Experimentalphysik I,II

Experimentalphysik I und II Prof. Dr. Gregor Herten Physikalisches Institut Universit¨at Freiburg WS 2005/2006 und SS 2006

Inhaltsverzeichnis 1 Einfu ¨hrung 1.1 Gr¨oßenordnungen physikalischer 1.2 Messungen . . . . . . . . . . . . 1.3 Koordinatensysteme . . . . . . 1.4 L¨angenmaßstab . . . . . . . . . 1.5 Zeitmaßstab . . . . . . . . . . . 1.6 Masseneinheit . . . . . . . . . .

Objekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7 7 7 8 8 8 8

2 Bewegung in einer Ebene 2.1 Massenpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Mittlere Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . 2.3 Momentangeschwindigkeit . . . . . . . . . . . 2.4 Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Konstante Beschleunigung in einer Dimension 2.6 Bewegung in einer Ebene . . . . . . . . . . . .

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9 9 9 9 10 10 11

3 Kreisbewegung 3.1 Gleichf¨ormige Kreisbewegung 3.2 Allgemeine Kreisbewegung . . 3.3 Vektorschreibweise . . . . . . 3.4 Beispiele zur Kreisbewegung .

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12 12 13 14 14

4 Transformationen 4.1 Relativbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Galilei Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Rotierende Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 14 15 16

5 Newtonsche Gesetze 5.1 Newtonsche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Gewichtskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Beispiele zur Newtonschen Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 17 19 20

G. Herten

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1

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Experimentalphysik

INHALTSVERZEICHNIS 6 Reibung 22 6.1 Haft- und Gleitreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6.2 Reibung in Fl¨ ussigkeiten und Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 7 Arbeit und Energie 7.1 Arbeit bei konstanter Kraft 7.2 Arbeit bei variabler Kraft . 7.3 Kinetische Energie . . . . . 7.4 Leistung . . . . . . . . . . . 7.5 Energieerhaltung . . . . . . 7.6 Konservative Kr¨afte . . . . . 7.7 Potentielle Energie . . . . .

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8 Impuls 8.1 Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . 8.2 Bewegung des Schwerpunktes . . . 8.3 Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Impuls eines ausgedehnten K¨orpers 8.5 Impulserhaltung . . . . . . . . . . . 8.6 Systeme mit variabler Masse . . . .

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26 26 28 30 31 32 32 34

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36 36 39 39 40 40 41

9 Sto ¨ße 9.1 Kraftstoß . . . . . . . . . . . . . . 9.2 St¨oße in einer Dimension . . . . . . 9.3 Elastischer Stoß . . . . . . . . . . . 9.4 Unelastischer Stoß . . . . . . . . . 9.5 Ballistisches Pendel . . . . . . . . . 9.6 St¨oße in zwei und drei Dimensionen

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43 43 44 45 46 47 48

10 Intermezzo: Teilchenphysik 10.1 Teilchenstreuung . . . . . . . . 10.2 Relativistische Massenzunahme 10.3 Naturkr¨afte . . . . . . . . . . . 10.4 Bausteine der Materie . . . . .

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49 49 49 50 51

11 Drehungen 11.1 Drehmoment . . . . . . . . . . . . . 11.2 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Systeme von Teilchen . . . . . . . . . 11.4 Tr¨agheitsmoment . . . . . . . . . . . 11.5 Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . 11.6 Steinerscher Satz . . . . . . . . . . . 11.7 Berechnung von Tr¨agheitsmomenten 11.8 Translation und Rotation . . . . . . . 11.9 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . 11.10Haupttr¨agheitsachsen . . . . . . . . .

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52 52 53 53 54 55 56 56 59 60 63

G. Herten

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2

Experimentalphysik

INHALTSVERZEICHNIS 11.11Freier symmetrischer Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 11.12Schwerer symmetrischer Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 12 Tr¨ agheitskr¨ afte 12.1 Beschleunigte geradlinige Bewegung . . . 12.2 Rotierende Systeme . . . . . . . . . . . . 12.3 Transformation in ein rotierendes System 12.4 Die Erde als rotierendes System . . . . .

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68 69 70 73 74

13 Gravitation 13.1 Die Keplerschen Gesetze . . . . . . . . . . . 13.2 Das Newtonsche Gravitationsgesetz . . . . . 13.3 Beispiele zur Gravitation . . . . . . . . . . . 13.4 Zentralkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5 Gravitationsfeld einer Kugel . . . . . . . . . 13.6 Planetenbewegung . . . . . . . . . . . . . . 13.7 Allgemeine Relativit¨atstheorie (Intermezzo)

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79 79 79 80 86 90 93 98

14 Mechanik deformierbarer K¨ orper 14.1 Druck und Dichte . . . . . . . . . 14.2 Oberfl¨achenspannung . . . . . . . 14.3 Str¨omungen . . . . . . . . . . . . 14.4 Innere Reibung . . . . . . . . . . 14.5 Str¨omungswiderstand . . . . . . . 14.6 Deformation fester K¨orper . . . .

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101 102 106 110 117 121 125

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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129 129 135 139 142 148

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15 Schwingungen 15.1 Harmonische Schwingung . . . . . . . 15.2 Ged¨ampfte Schwingung . . . . . . . . 15.3 L¨osung der Schwingungsgleichung mit 15.4 Erzwungene Schwingung . . . . . . . 15.5 Gekoppelte Schwingungen . . . . . . 16 Mechanische Wellen 16.1 Wellengleichung . . . 16.2 Schallwellen . . . . . 16.3 Reflexionen . . . . . 16.4 Stehende Wellen . . . 16.5 Fourierentwicklung . 16.6 Allgemeine Bewegung

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152 . 152 . 157 . 161 . 165 . 168 . 171

17 W¨ arme 17.1 Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 W¨armekapazit¨at . . . . . . . . . . . . . 17.3 W¨armetransport . . . . . . . . . . . . 17.4 Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik

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G. Herten

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3

174 174 177 180 183

Experimentalphysik

INHALTSVERZEICHNIS 18 Kinetische Gastheorie 18.1 Makroskopische Beschreibung des idealen Gases 18.2 Mikroskopische Beschreibung des idealen Gases 18.3 W¨armekapazit¨at des idealen Gases . . . . . . . 18.4 Adiabatische Zustands¨anderung . . . . . . . . . 18.5 Mittlere freie Wegl¨ange . . . . . . . . . . . . . . 18.6 Geschwindigkeitsverteilung von Molek¨ ulen . . . 19 2. Hauptsatz der Thermodynamik 19.1 Reversible und irreversible Prozesse . . . . . 19.2 Der Carnot-KreisProzess . . . . . . . . . . . 19.3 Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik . . . 19.4 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.5 Thermodynamische Potentiale . . . . . . . . 19.6 Der dritte Hauptsatz (Nernstsches Theorem)

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187 188 191 194 198 202 204

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206 . 206 . 207 . 209 . 211 . 213 . 216

20 Aggregatzust¨ ande 216 20.1 Van-der Waals Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 20.2 Dampfdruckkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 20.3 Phasendiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 21 Elektrostatik 21.1 Elektrische Ladung . . . . . . . . . . . . . 21.2 Das Gaußsche Gesetz . . . . . . . . . . . . 21.3 Beispiele zum Gaußschen Gesetz . . . . . . 21.4 Der elektrische Dipol . . . . . . . . . . . . 21.5 Kapazit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6 Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . . . . 21.7 Die drei elektrischen Vektoren . . . . . . . 21.8 Energie im elektrischen Feld . . . . . . . . 21.9 Elektrische Eigenschaften von Festk¨orpern 22 Der 22.1 22.2 22.3 22.4 22.5

elektrische Strom Strom und Stromdichte . . Kontinuit¨atsgleichung . . . Widerstand . . . . . . . . Leistung . . . . . . . . . . Die Kirchhoffschen Regeln

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23 Magnetismus 23.1 Die Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2 Kraft auf einen Leiter . . . . . . . . . . . . . . 23.3 Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.4 Das Amp`eresche Gesetz . . . . . . . . . . . . 23.5 Das Biot-Savart Gesetz . . . . . . . . . . . . . 23.6 Differentielle Form des Amp`ereschen Gesetzes

G. Herten

4

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225 . 225 . 227 . 231 . 239 . 244 . 248 . 250 . 254 . 255

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256 . 256 . 257 . 259 . 262 . 263

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268 . 268 . 270 . 271 . 272 . 277 . 279

Experimentalphysik

INHALTSVERZEICHNIS 23.7 Grundgleichungen der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 23.8 Der magnetische Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 23.9 Dipol-Dipol Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 24 Elektromagnetische Induktion 24.1 Faraday Gesetz . . . . . . . . . 24.2 Selbstinduktion . . . . . . . . . 24.3 Energie im Magnetfeld . . . . . 24.4 Magnetische Substanzen . . . . 24.5 Die drei magnetischen Vektoren 25 Wechselstrom 25.1 Der LCR-Schwingkreis . . . . . 25.2 Leistung im Wechselstromkreis . 25.3 Impedanz . . . . . . . . . . . . 25.4 Transformator . . . . . . . . . . 25.5 Wechselstromgeneratoren . . . .

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286 . 286 . 291 . 294 . 295 . 300

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306 . 307 . 311 . 312 . 316 . 319

Maxwellschen Gleichungen Amp`ere-Maxwellsches Gesetz . . . . . Grundgleichungen der Elektrodynamik Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . Energiefluß . . . . . . . . . . . . . . .

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320 321 322 324 326

27 Elektromagnetische Wellen 27.1 Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . 27.2 Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . 27.3 Energie und Impuls . . . . . . . . . . . . . 27.4 Erzeugung elektromagnetischer Strahlung . 27.5 Modulation von Wellen . . . . . . . . . . . 27.6 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.7 Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . .

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329 329 330 333 336 343 345 347

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352 . 353 . 355 . 357 . 360 . 366 . 367 . 369 . 370 . 374 . 376

26 Die 26.1 26.2 26.3 26.4

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28 Materie im elektromagnetischen Feld 28.1 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . 28.2 Reflexion an einer Metalloberfl¨ache . . . . . 28.3 Wellen in leitenden Medien . . . . . . . . . . 28.4 Wellenausbreitung in einem Kabel . . . . . . 28.5 Elektromagnetische Wellen in Dielektrika . . 28.6 Reflexions- und Brechungsgesetz . . . . . . . 28.7 Fresnelsche Gleichungen . . . . . . . . . . . 28.8 Interpretation der Fresnelschen Gleichungen 28.9 Doppelbrechung . . . . . . . . . . . . . . . . 28.10Rayleigh-Streuung . . . . . . . . . . . . . .

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5

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Experimentalphysik

INHALTSVERZEICHNIS 29 Dispersion 29.1 Starre Saite . . . . . . . . . . . . . . . . 29.2 Wasserwellen . . . . . . . . . . . . . . . 29.3 Hohlleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.4 Dispersion elektromagnetischer Wellen in

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dielektrika

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379 380 385 388 392

30 Interferenz 30.1 Licht als Welle . . . . . . . . . ¨ 30.2 Uberlagerung von Lichtwellen . 30.3 Youngscher Doppelspaltversuch 30.4 Interferenzen an Vielfachspalten 30.5 Interferenz an d¨ unnen Schichten 30.6 Beugung . . . . . . . . . . . . .

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395 395 397 398 400 401 401

31 Geometrische Optik 31.1 Fermatsches Prinzip 31.2 Asph¨arische Linsen . 31.3 Sph¨arische Linsen . . 31.4 Optische Instrumente 31.5 Linsenfehler . . . . .

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404 404 407 408 412 413

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416 . 416 . 417 . 420 . 422 . 424 . 425 . 426

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32 Spezielle Relativit¨ atstheorie 32.1 Das Michelson-Morley Experiment 32.2 Lorentz-Transformationen . . . . . 32.3 Gleichzeitigkeit . . . . . . . . . . . 32.4 L¨angenkontraktion . . . . . . . . . 32.5 Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . 32.6 Massenzunahme . . . . . . . . . . . 32.7 Das Zwillingsparadoxon . . . . . .

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6

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Experimentalphysik

1 Einf¨ uhrung

1 1.1

Einfu ¨ hrung Gr¨ oßenordnungen physikalischer Objekte

Physiker versuchen, in der Vielfalt der Naturerscheinungen Gesetzm¨aßigkeiten und Zusammenh¨ange zu finden. Dabei gibt es eine Arbeitsteilung zwischen Experimentalphysikern und theoretischen Physikern. Experimentalphysiker stellen Fragen an die Natur in Form von Experimenten und erhalten einen Messwert als Antwort. Die Kunst der Experimentalphysik ist, bisher unbekannte Effekte zu entdecken, und Messmethoden zu entwickeln, mit denen Modelle und Theorien mit st¨andig verbesserter Genauigkeit getestet werden k¨onnen. Entscheidend dabei ist die Entwicklung neuer und verfeinerter Messverfahren, die sp¨ater h¨aufig in der Technik und Wirtschaft zur Anwendung kommen. Theoretischen Physik versuchen aus den vorhandenen Messungen mathematische Modelle zu entwickeln, die m¨oglichst viele Beobachtungen mit wenigen Grundprinzipien beschreiben k¨onnen. In einem iterativen Prozess zwischen experimentellen und theoretischen Physikern werden die Modelle weiter verfeinert bis schließlich eine in sich konsistente Theorie entsteht, die viele Naturerscheinungen beschreiben kann und zu einem tieferen Verst¨andnis der Naturerscheinungen f¨ uhrt. Eine Theorie ist ein mathematisches Bild der Natur. Sie l¨asst sich nicht beweisen, sondern nur widerlegen. Eine wichtige Forderung an eine wissenschaftliche Theorie ist, dass sie widerlegbar sein muss. Es ist eine erstaunliche Tatsache, dass sich die Natur mathematisch beschreiben l¨asst. Da die Mathematik die Sprache der Logik ist, bedeutet dies, dass die Natur logischen Gesetzen folgt. Physiker untersuchen die unterschiedlichsten Objekte in der Natur, vom Kleinsten (Elementarteilchen) bis zum Gr¨oßten (Universum). Es gibt viele Teilgebiete der Physik, die sich auf einzelne Aspekte der Natur spezialisieren: Elementarteilchenphysik, Kernphysik, Atomphysik, Molek¨ ulphysik, Nanophysik, Festk¨orperphysik, Geophysik, Sonnenphysik, Astrophysik, Kosmologie und andere mehr. In der Natur findet man Objekt mit folgenden Gr¨oßenordnungen. < 10−18 10−15 10−10 10−8 107 109 1013 1020 1023 > 1026

1.2

m m m m m m m m m m

Elektronen, Quarks Proton, Neutron, Atomkern Atom, Molek¨ ul Virus Erde Sonne Sonnensystem Gr¨oße unserer Galaxie Supercluster von Galaxien Universum

Messungen

Genaue Messungen sind notwendig, um die Gesetzm¨aßigkeiten in der Natur zu erfassen. Charakteristisch f¨ ur eine physikalische Gr¨oße ist, dass sie messbar ist und dass eine Messvorschrift besteht. Eine Messung ist nur dann sinnvoll, wenn auch die Unsicherheit (Fehler) angegeben

G. Herten

7

Experimentalphysik

1.3 Koordinatensysteme wird. Messen einer physikalischen Messgr¨oße bedeutet, dass sie zahlenm¨aßig mit einer Maßeinheit verglichen wird.

1.3

Koordinatensysteme

Man ben¨otigt 3 Koordinaten, um einen Punkt in einem 3-dimensionalen Raum festzulegen. Wir benutzen h¨aufig rechtsh¨andige kartesische Koordinaten, Kugelkoordinaten oder Zylinderkoordinaten. Unser 3-dimensionaler Raum ist in guter N¨aherung euklidisch (d.h. die Winkelsumme in einem ebenen Dreieck ist 180◦ ). Abweichungen erwartet man nach der Allgemeinen Relativit¨atstheorie in der N¨ahe starker Gravitationsfelder (große Massen). In guter N¨aherung ist die Zeit eine absolute Gr¨oße (f¨ ur unser Leben auf der Erdoberfl¨ache). Nach der Relativit¨atstheorie ist Zeit relativ und h¨angt von der St¨arke der Gravitationsfelder und von der Geschwindigkeit ab.

1.4

L¨ angenmaßstab

Als L¨angenmaß wird in den meisten L¨andern ein Meter verwendet. Die Definition des Meter wurde im Laufe der Zeit immer weiter verfeinert. Urspr¨ unge des Meter gehen auf 1668 zur¨ uck, als vorgeschlagen wurde, als L¨angeneinheit die L¨ange eines Pendels zu verwenden, das eine halbe Periodendauer von einer Sekunde hat (Sekundenpendel). Ein solches Pendel hat die L¨ange von 0,994 m. Dies wurde Metro Cattolico (katholischer Meter) genannt. 1793: 1 m ≡ 1/(4 · 107 ) Erdumfang. (als Maßstab diente ab 1799 ein Platin- und ab 1889 ein Platin1960: 1 m ≡ 1650763, 73λ mit λ = Wellenl¨ange von orangem Licht von Krypton Atomen 1983: Lichtgeschwindigkeit c ≡ 299792458 m/s 1 m ≡ Weg, den Licht im Vakuum in der Zeit 1/299792458 sec zur¨ ucklegt.

1.5

Zeitmaßstab

Die Definition der Sekunde benutzt das seit den Babyloniern u ¨bliche Sexagesimalsystem (Zahlensystem basierend auf 60), das wir auch heute noch f¨ ur die Einteilung von Grad, Minuten und Stunden verwenden. Verkn¨ upft damit ist das 12er System (12 Stunden pro Tag und Nacht). Definition der Sekunde: 1sec = 1/(24 · 60 · 60) Sonnentage Die Sonnentage sind aber nicht konstant, sondern verl¨angern sich aufgrund von Gezeiteneffekten mit der Zeit. Atomstandard der Zeit (1967): 1 sec = 9 192 631 770 fache der Schwingungsdauer der Strah¨ lung, die beim Ubergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes 133 von Cs Atomen ausgesandt wird. Moderne Atomuhren haben eine relative Genauigkeit von 10−14 .

1.6

Masseneinheit

Bei der Masse ist es bisher nicht gelungen, einen ‘atomaren’ Standard zu benutzen. Man k¨onnte z.B. die Protonmasse als Standard verwenden. Aber die Anzahl der Atome in 1 kg Masse ist nicht genau genug bekannt (relativer Fehler 10−6 ). Daher dient ein Platin-Iridium Zylinder (bei Paris) als kg-Standard. G. Herten

8

Experimentalphysik

2 Bewegung in einer Ebene Ebenso gilt: 1 kg = Masse von 1 Liter H2 O (bei 4◦ C) + 0.028 g 1 Mol = Stoffmenge, die so viele Atome (Molek¨ ule) enth¨alt wie 12 Gramm Kohlenstoff. 23 1 Mol enth¨alt NA = 6, 0221 · 10 Atome (Molek¨ ule). NA ist die Avogadrozahl. Masse eines Kohlenstoffatoms m =

2

1u = 1.66057 · 10−27 kg.

Bewegung in einer Ebene

Kinematik: Dynamik:

2.1

12g = 12u, NA

Bewegung Einwirkung von Kr¨aften (f¨ uhrt zu Bewegung und/oder Verformung)

Massenpunkt

Im allgemeinen kann ein K¨orper folgende Bewegungen durchf¨ uhren: Translation, Rotation, Schwingung Als Approximation f¨ ur die Beschreibung von K¨orpern verwenden wir oft den Massenpunkt. Der Massenpunkt stellt ein idealisiertes Teilchen dar, bei dem die Gesamtmasse in einem Punkt konzentriert ist. Ein Massenpunkt hat nur Translationsbewegung.

2.2

Mittlere Geschwindigkeit

Ein Teilchen sei zum Zeitpunkt t1 am Ort ~r1 und bei t2 am Ort ~r2 . Mit ∆t = t2 − t1 und ∆~r = ~r2 − ~r1 definieren wir als mittlere Geschwindigkeit f¨ ur die Bewegung von P1 zu P2 ~ ∆r Verschiebung (Vektor) ~v¯ = = ∆t Zeitspanne (Skalar)

2.3

(1)

Momentangeschwindigkeit

Wenn wir das Zeitintervall ∆t weiter verkleinern, erhalten wir als Grenzwert die momentane Geschwindigkeit ~v am Ort ~r1 . ∆~r(t) d~r(t) = ∆t→0 ∆t dt

~v (t) = lim

(2)

Betrag der Geschwindigkeit v(t) = |~v(t)| = | d~rdt(t) | Zerlegung in x, y Komponenten unter Verwendung der Einheitsvektoren ~e1 und ~e2 in x−, bzw. y−Richtung. ~r(t) = x(t)~e1 + y(t)~e2 dx(t) dy(t) d~r(t) = ~e1 + ~e2 = vx~e1 + vy ~e2 ~v(t) = dt dt dt Eindimensionale Bewegung: ~v = vx~e1 mit vx > 0 beschreibt eine Bewegung in +x-Richtung und vx < 0 eine Bewegung in −x-Richtung. G. Herten

9

Experimentalphysik

2.4 Beschleunigung

2.4

Beschleunigung

Beschleunigung ist eine Geschwindigkeits¨anderung pro Zeit. F¨ ur die mittlere Beschleunigung erh¨alt man: Mittlere Beschleunigung: ~a(t1 , t2 ) =

∆~v ~v2 − ~v1 = t2 − t1 ∆t

(Vektor)

(3)

d~v(t) ∆~v (t) = (4) ∆t→0 ∆t dt F¨ ur Ableitungen nach dem Ort und nach der Zeit verwendet man h¨aufig folgende Schreibweisen. momentane Beschleunigung: ~a(t) = lim

Funktion von x und t: f = f (x, t) df (x, t) dx 2 d f (x, t) 2. Ableitung nach x: f ′′ (x, t) = dx2 df (x, t) 1. Ableitung nach t: f˙(x, t) = dt 2 d f (x, t) 2. Ableitung nach t: f¨(x, t) = dt2 somit ist ~a(t) = ~v˙ (t) = ~r¨(t) 1. Ableitung nach x: f ′ (x, t) =

2.5

Konstante Beschleunigung in einer Dimension

Ein wichtiger Fall ist die Bewegung eines K¨orpers mit konstanter Beschleunigung. Wir betrachten eine konstante Beschleunigung in x-Richtung. Die Bewegungsgleichung x(t) soll nun hergeleitet werden. Es sei: ~a = ax~e1 mit ax = const. und ay = az = 0 somit ist: x¨(t) = ax = const Z t Z t ′ ′ ax dt′ x¨(t ) dt = Integration liefert: 0 Z0 t ax dt′ = ax t vx (t) − vx (0) = 0

vx (t) = vx (0) + ax t Z t dt′ (vx (0) + ax t) erneute Integration:x(t) − x(0) =

(5)

0

1 = vx (0) t + ax t2 2

1 Ergebnis: x(t) = x(0) + vx (0) t + ax t2 2

(6) (7)

G. Herten

10

Experimentalphysik

2.6 Bewegung in einer Ebene Die Zeit l¨asst sich aus dieser Gleichung eliminieren, so dass man die Bahnkurve x(t) als Funktion von v(t) erh¨alt. Umformen von (6) liefert: 1 1 x(t) = x(0) + vx (0)t + (vx (0) + ax t)t 2 2 1 x(t) = x(0) + (vx (0) + vx (t) ) t 2 (vx (t) − vx (0)) 1 mit (5) folgt: x(t) = x(0) + [vx (0) + vx (t)] 2 ax 1 2 Ergebnis: x(t) = x(0) + [v (t) − vx2 (0)] 2ax x Andere Darstellung: 2ax [x(t) − x(0)] = vx2 (t) − vx2 (0)

(8)

Freier Fall Alle Objekte auf der Erde fallen mit der Beschleunigung g = 9.81 m/s2 unabh¨angig von ihrer Masse(Galileo Galilei). Wir betrachten nun den freien Fall und w¨ahlen die Koordinatenachse so, dass die −y -Richtung zum Erdmittelpunkt zeigt, d.h. ay = −g. Zur Zeit t = 0 sei y = 0 und vy (0) = 0. 1 Somit ist: y(t) = − gt2 . 2 Mit (8) erh¨alt man f¨ ur die Geschwindigkeitskomponente vy als Funktion von y den Ausdruck (sowohl y als auch vy sind negativ). p vy = − −2gy (9)

2.6

Bewegung in einer Ebene

Wir betrachten eine Bewegung in der x − y - Ebene mit konstanter Beschleunigung (~a(t) = a~0 ). ax =

const.

ay =

const.

1 → x(t) = x(0) + vx (0) t + ax t2 ; vx (t) = vx (0) + ax t 2 1 → y(t) = y(0) + vy (0) t + ay t2 ; vy (t) = vy (0) + ay t 2 1 2 ~r(t) = ~r(0) + ~v(0) t + ~a t ; ~v (t) = ~v0 + ~a t ; ~a(t) = a~0 2

Beispiel: Wurfbewegung Ein Stein wird zur Zeit t0 bei x(0) = 0 unter dem Winkel θ zur Erdoberfl¨ache auf der H¨ohe y0 mit der Geschwindigkeit v0 abgeworfen. Es gilt ax = 0, ay = −g, somit vx (0) = v0 cos θ vy (0) = v0 sin θ

G. Herten

11

Experimentalphysik

3 Kreisbewegung F¨ ur x(t) und y(t) ergibt sich dann: x(t) = v0 t cos θ 1 y(t) = y0 + v0 t sin θ − gt2 2  2 x(t) 1 y(t) = y0 + x(t) tan θ − g 2 v0 cos θ

3 3.1

(10) (11)

Kreisbewegung Gleichf¨ ormige Kreisbewegung

F¨ ur die Beschreibung einer Kreisbewegung ist es g¨ unstig, die Polarkoordinaten r, ϕ zu verwenden. Dabei ist r der Radius des Kreises und ϕ der Winkel in der x − y Ebene bezogen auf die x-Achse. Der Zusammenhang zwischen kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten ist gegeben durch (s. math. Formelsammlung): x = r cos ϕ, y = r sin ϕ und p r = x2 + y 2 , tan ϕ = y/x Kreisbogen: s(t) = r ϕ(t)

Geschwindigkeitsbetrag: Winkelgeschwindigkeit: ω =

dϕ(t) dt

v= =

dϕ(t) ds(t) =r = r · ω = const. dt dt

2π T

= const., wobei T die Umlaufzeit ist.

Wir betrachten eine gleichf¨ormige Kreisbewegung mit ω = const. Somit erhalten wir f¨ ur die Komponenten x(t) und y(t): t T t y(t) = r sin ωt = r sin 2π T

x(t) = r cos ωt = r cos 2π

und durch Differenzieren vx (t) = dx/dt = −ωr sin ωt vy (t) = dy/dt = ωr cos ωt



~v = vx (t)~e1 + vy (t)~e2

~e1 und ~e2 sind die Einheitsvektoren in x-, bzw. y-Richtung. Durch Einsetzen von Werten, z.B. ωt = 0, π/4, π/2, usw., l¨asst sich leicht zeigen, dass ~v immer in Richtung der Tangente an den Kreis zeigt. Beschleunigung: ~a = ax~e1 + ay~e2 dvx (t) = −ω 2 r cos ωt = −ω 2 x(t) dt dvy (t) ay (t) = = −ω 2 r sin ωt = −ω 2 y(t) dt

ax (t) =

G. Herten

12

Experimentalphysik

3.2 Allgemeine Kreisbewegung ~a zeigt immer zum Drehzentrum. Betr¨age: v = |~v | = a = |~a| = Vektorschreibweise:

3.2

q

q

vx2 + vy2 = ω · r a2x + a2y = ω 2 · r =

v2 =ω·v r

(12)

~er : Einheitsvektor (radial: zeigt vom Zentrum nach außen) ~eϕ : Einheitsvektor (tangential: zeigt in Richtung der Tangente an den Kreis) ~r(t) = r~er (t) (~v ist tangential, s.o.) d~r(t) d~er (t) z}|{ ~v (t) = = v~eϕ (t) = ωr~eϕ (t) (13) =r dt dt (−~a ist radial, s.o. ) d~v(t) d~eϕ z}|{ ~a(t) = = −ω 2 r~er (t) = −ωv~er (t) (14) = rω dt dt

Allgemeine Kreisbewegung

Bei der allgemeinen Kreisbewegung kann ω zeitlich variable sein, d.h. ω = ω(t), Die Geschwindigkeit ist nun gegeben durch ~v(t) = r ω(t) e~φ (t) Bei der Ableitung nach t muss nun die Produktregel verwendet werden. ~a(t) =

Radialbeschleunigung: Tangentialbeschleunigung: Winkelbeschleunigung:

d~v (t) dω(t) d~eϕ (t) = r ~eϕ (t) + rω(t) dt dt dt = ~at (t) + ~ar (t) (14) d~eϕ z}|{ = −ω(t)v(t)~er (t) = −ω 2 (t)r~er (t) (15) ~ar (t) = rω(t) dt dω(t) dv(t) ~eϕ (t) = r~eϕ (t) = α(t)r~eϕ (t) (16) ~at (t) = dt dt dω(t) (17) α(t) = dt

Die folgende Tabelle zeigt, dass es einen engen Zusammenhang zwischen den Gr¨oßen der Translation und Rotation gibt. Translation Rotation x ϕ v = dx/dt = x˙ ω = dϕ/dt = ϕ˙ a = dv/dt = x¨ α = dω/dt = ϕ¨

G. Herten

13

Experimentalphysik

3.3 Vektorschreibweise

3.3

Vektorschreibweise

Wir definieren 2 neue Vektoren: Winkelgeschwindigkeit ~ω und Winkelbeschleunigung α ~ . Die Betr¨age sind ω und α. Die Richtung beider Vektoren ist nach der Rechte-Hand-Regel definiert, d.h. wenn die Finger der rechten Hand in Richtung der Drehbewegung zeigen, so zeigt der Daumen entlang der Drehachse in Richtung ~ω und α ~. Mit der Definition des Vektorproduktes (s. Formelsammlung) zeigen somit α ~ × ~r und ~ω × ~r in Richtung ~eϕ und ~ω × ~v zeigt in Richtung −~er . Damit erhalten wir: ~v (t) = ~ω (t) × ~r(t) ~a(t) = α ~ (t) × ~r(t) + ~ω (t) × ~v (t) = α ~ (t) × ~r(t) + ~ω (t) × (~ω (t) × ~r(t))

3.4

(18)

Beispiele zur Kreisbewegung

a) Mondumlauf Abstand Erde - Mond: r = 3, 85 · 108 m; Umlaufzeit: T = 27, 3 Tage = 2, 36 · 106 s; ω = 2π/T = 2, 66 · 10−6 s−1 . v = ωr = 1, 02 · 103 m/s; a = ω 2 r = 2, 7 · 10−3 m/s2 . Vergleich mit der Erdbeschleunigung auf der Erdoberfl¨ache a/g = 2, 8 · 10−4 . b) Konstante Winkelbeschleunigung α = const. ω(t) = αt + ω0 ϕ(t) = ϕ0 + ω0 t + 12 αt2 Zum Zeitpunkt t = 0 sei ϕ0 = 0 und ω0 = 0. Damit erhalten wir f¨ ur x(t) und y(t): 1 und y(t) = r sin αt2 2 1 2 dx/dt = −rαt sin αt 2 1 2 dy/dt = rαt cos αt 2 1 1 dvx /dt = −rα sin αt2 − rω 2 cos αt2 2 2 1 2 1 dvy /dt = rα cos αt − rω 2 sin αt2 2 2

1 x(t) = r cos αt2 2 vx (t) = vy (t) = ax (t) = ay (t) =

4 4.1

Transformationen Relativbewegung

Vom Ursprung O des Koordinatensystems betrachtet, befinden sich zwei Massenpunkte A und B am Ort ~rA und ~rB und bewegen sich mit den Geschwindigkeiten ~vA = d~rA /dt und ~vB = d~rB /dt.

G. Herten

14

Experimentalphysik

4.2 Galilei Transformationen Die Relativgeschwindigkeit von B (gesehen von A) ist dann ~vBA

=

und umgekehrt ~vAB

=

Ebenso ~aBA

f¨ ur =

d d~rBA = (~rB − ~rA ) = ~vB − ~vA dt dt d~rAB d = (~rA − ~rB ) = ~vA − ~vB = −~vBA dt dt die Beschleunigungen: ~aB − ~aA , ~aAB = ~aA − ~aB = −~aBA

Somit ist die Geschwindigkeit (Beschleunigung) der Relativbewegung die Vektordifferenz der Geschwindigkeiten (Beschleunigungen).

4.2

Galilei Transformationen

Abb. 1: Zwei Koordinatensysteme mit gleichf¨ormiger Relativgeschwindigkeit zu einander.

Zwei Koordinatensysteme x, y, z und x′ , y ′ , z ′ befinden sich in gleichf¨ormiger relativer Translationsbewegung zueinander mit der Relativgeschwindigkeit ~u (gemessen im ungestrichenen System). Beispiel: Im Koordinatenursprung O befindet sich ein Beobachter auf einem Bahnsteig. Ein Beobachter in einem vorbeifahrenden Zug befindet sich im Ursprung O ′ des Koordinatensystems x′ , y ′ , z ′ . Der Zug f¨ahrt mit konstanter Geschwindigkeit in ~u-Richtung. Beide Beobachter messen die Bewegung eines Flugzeuges P. Die Aufgabe besteht darin, eine Relation zwischen den Messungen beider Beobachter herzuleiten (Koordinaten-Transformation). Bei t = 0 seien beide Koordinatensysteme identisch und entfernen sich danach von einander. Anhand der Zeichnung l¨asst sich der Zusammenhang zwischen beiden Koordinatensystemen herleiten (Galilei-Transformation). Ortsvektor Somit: ~r ′ (t) = ~r(t) − ~u t (Galilei-Transformation) G. Herten

15

(19)

Experimentalphysik

4.3 Rotierende Koordinatensysteme F¨ ur den speziellen Fall, dass der Zug mit der Geschwindigkeit ~u = ux~ex in x-Richtung f¨ahrt, ergeben sich folgende Komponenten: x′ y′ z′ t′ Geschwindigkeit: ~v ′ Beschleunigung: ~a ′

= = = = = =

x − ux t y z t ~v − ~u ~a

Nach der Galilei-Transformation ist die Beschleunigung f¨ ur Beobachter gleich, die sich zueinander in relativer gleichf¨ormiger Translationsbewegung befinden. Oder: Die Beschleunigung ist invariant unter Galilei-Transformationen mit gleichf¨ormiger relativer Translationsbewegung. Falls ~u nicht konstant ist, erh¨alt man ~a ′ = ~a −

d~u = ~a − ~arel dt

,

(20)

wobei ~arel die Relativbeschleunigung zwischen beiden Systemen ist.

4.3

Rotierende Koordinatensysteme

Abb. 2: Koordinatentransformation bei der Rotation

In ¨ahnlicher Weise betrachten wir zwei Koordinatensystem O und O ′ , die denselben Koordinatenursprung besitzen, aber um die gemeinsame Drehachse (z-Achse) unter einem Winkel ϕ gedreht sind. Der Punkt P (im Abstand r vom Koordinatenursprung) l¨asst sich im gestrichenen und ungestrichenen Koordinatensystem darstellen. Dazu verwenden wir Zylinderkoordinaten: x = r cos θ und y = r sin θ x′ = r cos(θ − ϕ) ,

y ′ = r sin(θ − ϕ) ,

z′ = z

Mit den Additionsregeln f¨ ur sin und cos (Formelsammlung Kap. 5.1): sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β G. Herten

16

Experimentalphysik

5 Newtonsche Gesetze erh¨alt man die Koordinatentransformation: x′ = x cos ϕ + y sin ϕ y ′ = −x sin ϕ + y cos ϕ z′ = z In kompakter Matrixschreibweise (s. Formelsammlung  ′   x cos ϕ sin ϕ  y ′  =  − sin ϕ cos ϕ z′ 0 0

5

Kap. 1.6)   0 x 0  y  1 z

(21)

(22)

Newtonsche Gesetze

Bisher haben wir die Bewegung eines K¨orpers in der Ebene untersucht. Wir beobachten in der Natur viele Erscheinungen von Bewegung. Die Ursache dieser Bewegung ist die Wechselwirkung des K¨orpers mit der Umgebung (Kraft).

5.1

Newtonsche Gesetze

1. Newtonsches Gesetz: ‘Jeder Massenpunkt verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichf¨ormigen Bewegung auf geradliniger Bahn, solange keine Kr¨afte auf ihn wirken.’ (‘Tr¨agheitsgesetz’) Zuerst hat Galileo diese Behauptung aufgestellt. Diese Tatsache war und ist nicht offensichtlich, da oft Reibungskr¨afte dominieren. Wenn wir Geschwindigkeiten messen, m¨ ussen wir ein Koordinatensystem angeben, d.h. die Bewegung des K¨orpers verl¨auft relativ zu einem Beobachter, der selbst keine Wechselwirkung mit der Umgebung hat. Das Bezugssystem des Beobachters nennen wir ein Inertialsystem. Inertialsystem: Klasse von Systemen, in denen das Tr¨agheitsgesetz gilt. Verschiedene Inertialsysteme bewegen sich daher mit konstanter Geschwindigkeit zu einander. Die Beobachtungen in diesen Systemen sind durch die Galilei-Transformationen korreliert. Die Erde ist kein Inertialsystem. Sie rotiert um die eigene Achse, sie rotiert um die Sonne; die Sonne rotiert um die Milchstraße, Galaxien werden abgebremst etc. D.h. ein wirkliches Inertialsystem existiert nicht, allerdings sind die Fixsterne sehr gute Inertialsysteme (Umlaufzeit der Sonne um das Zentrum der Milchstraße T = 2 × 108 Jahre). F¨ ur viele praktische Anwendungen kann man jedoch auch die Erde als Inertialsystem betrachten. Alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt. Somit gibt es keine absolute Geschwindigkeit. 2. Newtonsches Gesetz Wenn wir Kraft definieren wollen, m¨ ussen wir eine Messvorschrift angeben. Wir nehmen einen K¨orper mit der Masse 1 kg und ziehen ihn reibungsfrei mit einer Feder so, dass die Beschleunigung 1m/s2 betr¨agt. Wir definieren, dass dann die Feder eine konstante Kraft von 1 Newton (1 Newton = 1kg m/s2 ) auf die Masse aus¨ ubt. Bei 2m/s2 nennen wir die Kraft 2 Newton. Es stellt sich nun die Frage, ob Kraft als vektorielle Gr¨oße aufgefasst werden kann. Dann muss

G. Herten

17

Experimentalphysik

5.1 Newtonsche Gesetze sie einen Betrag und eine Richtung haben, und die Vektoroperationen m¨ ussen gelten. Experimentell wurde best¨atigt, dass f¨ ur Kr¨afte die Vektoroperationen gelten z.B. die Regeln der Vektoraddition. Jede Kraft erzeugt eine eigene Beschleunigung. Die resultierende Beschleunigung ist die Vektorsumme der Einzelbeschleunigungen. Nun ersetzen wir den K¨orper durch einen K¨orper mit verschiedener Masse. Wir ziehen mit derselben Kraft (dieselbe Auslenkung der Feder) und messen die Beschleunigung. Wir definieren als Massenverh¨altnis das inverse Verh¨altnis der Beschleunigungen. a0 m1 = m0 a1 Masse ist ein Maß f¨ ur die Tr¨agheit des K¨orpers. Man nennt die so definierte Masse deshalb auch tr¨age Masse. Diese Beziehungen zwischen Kraft, Masse und Beschleunigung werden im 2. Newtonschen Gesetz ausgedr¨ uckt: m~r¨(t) = F~ (23) Dabei ist F~ die Gesamtkraft, die auf einen K¨orper wirkt. Das 1. Gesetz ist im 2. Gesetz enthalten. Denn falls f¨ ur einen K¨orper F~ = 0 (freier K¨orper), gilt ~a = 0 → ~v = const. 3. Newtonsches Gesetz:

A

B

FAB

FBA

Actio = Reactio

FBA =

FAB

Abb. 3: Kr¨aftepaar bei Actio und Reactio

Bei der Wechselwirkung zweier Teilchen ist die Kraft, die auf ein Teilchen wirkt, gleich und entgegengesetzt der Kraft, die auf das andere Teilchen wirkt. Beachte: Die Actio- und Reactio-Kr¨afte wirken auf verschiedene K¨orper. Dazu betrachten wir eine Masse A, die mit Hilfe eines Seils s und einem Griff B gezogen wird. F¨ ur das Seil haben wir somit die Bewegungsgleichung: ms~x¨ = F~BS + F~AS x: Richtung: ms x¨ = FBS − FAS FBS und FAS ist kein Actio - Reactio Paar, denn sie wirken auf denselben K¨orper. Im allgemeinen ist |F~BS | = 6 |F~AS |. Nur wenn x¨ = 0 oder ms = 0 ist FBS = FAS .

G. Herten

18

Experimentalphysik

5.2 Gewichtskraft

S

A

B

Seil: FAS Masse A:

FBS F SA FSB

Griff B:

Abb. 4: Auftretende Kr¨ afte beim Seilzug

5.2

Gewichtskraft

Das Gewicht eines K¨orpers mit der Masse m kann man z.B. mit einer Federwaage messen. Man beobachtet, dass die Gewichtskraft proportional zur Masse ist. ~ = ms~g . G Der Vektor ~g zeigt zum Erdmittelpunkt und |~g | ist eine Gravitationskonstante, die von der Erdmasse und von der St¨arke der Gravitationskraft abh¨angt. Wir bezeichnen die Masse hier als schwere Masse, um zu verdeutlichen, dass hier ms ein Maß daf¨ ur ist, mit welcher St¨arke ein K¨orper vom Gravitationsfeld der Erde angezogen wird. Zun¨achst haben also tr¨age Masse und schwere Masse nichts miteinander zu tun. Die tr¨ age Masse ist ein Maß f¨ ur die Kraft, die man ben¨otigt, um einen K¨orper zu beschleunigen. Die schwere Masse ist Maß f¨ ur die St¨arke der Gravitationskraft zwischen zwei K¨orpern. Wir betrachten den freien Fall in y-Richtung, beschrieben mit der Gleichung mt y¨G = G = ms g Es wirkt nur die Gewichtskraft auf den K¨orper. Es wirkt nur die Gewichtskraft auf den K¨orper. Die Gleichung enth¨alt die schwere und die tr¨age Masse. Die Frage stellt sich nun, ob beide Massen identisch sind und wie man dies experimentell pr¨ ufen k¨onnte. Beispiel: Um die Relevanz dieser Frage zu untersuchen, machen wir die hypothetische Annahme, dass die Gravitationskraft nur auf Protonen und nicht auf Neutronen wirkt. Damit betrachten wir den freien Fall von Helium und Uran. (He4 : 2p, 2n; U238 : 92p, 146n).

G. Herten

19

Experimentalphysik

5.3 Beispiele zur Newtonschen Mechanik Somit gilt f¨ ur die Fallbeschleunigung 2 ms ur He4 g = − g f¨ mt 4 92 =− g f¨ ur U238 238 0.5 y¨G (He4 ) = y¨G(U238 ) 0.39 y¨G = −

Somit sollte He4 schneller fallen als U238 . Mit sehr guter Genauigkeit wurde allerdings best¨atigt, dass alle K¨orper unabh¨angig von ihrer chemischen Zusammensetzung mit derselben Beschleunigung fallen und somit tr¨age und schwere Masse identisch sind (|(mt − ms )/ms | < 10−12 ). Die Gravitationskonstante auf der Erdoberfl¨ache g nennt man daher auch oft Erdbeschleunigung.

5.3

Beispiele zur Newtonschen Mechanik

Schiefe Ebene:

N

F

m Gx

x

y

Gy

θ

mg = G

θ Abb. 5: Kr¨afte bei der Bewegung auf der schiefen Ebene.

Eine Masse m bewegt sich reibungsfrei auf einer schiefen Ebene. Entlang der x-Achse wirkt ~ = Gx~ex + Gy ~ey mit eine Kraft F~ = Fx~ex . Die auf die Masse wirkende Gewichtskraft ist G ~ (Zwangskraft), Gx = −mg sin θ und Gy = −mg cos θ. Zus¨atzlich wirkt noch die Normalkraft N die bewirkt, dass die Masse ‘gezwungen’ wird, auf der schiefen Ebene zu bleiben. Zwangskr¨afte stehen immer senkrecht zur Oberfl¨ache (bei Vernachl¨assigung von Reibung). Die Normalkraft kann man so erkl¨aren, dass die Atome an der Oberfl¨ache durch den Kontakt des K¨orpers leicht komprimiert werden und somit eine Kraft auf den K¨orper aus¨ uben. Bei einer Wasseroberfl¨ache k¨onnen die Wassermolek¨ ule keine gen¨ ugend große Gegenkraft erzeugen, falls die Dichte des K¨orpers gr¨oßer als die Dichte von Wasser ist. Dann sinkt der K¨orper. Wir erhalten f¨ ur die Bewegung von m: ~ + F~ m~r¨ = m~g + N

G. Herten

20

Experimentalphysik

5.3 Beispiele zur Newtonschen Mechanik ~ + F~ = 0 a) statischer Fall: ~r¨ = 0 → m~g + N x : −mg sin θ + F = 0 y : −mg cos θ + N = 0 Kr¨aftegleichgewicht: der K¨orper ruht b) dynamischer Fall: z.B. bei F~ = 0 m~r¨ = m~g + N x : max = −mg sin θ y : 0 = may = −mg cos θ + N Nach Definition ist die Normalkraft gerade so groß, dass der K¨orper auf der schiefen Ebene bleibt, d.h. ay = 0. Der K¨orper wird also in -x Richtung beschleunigt mit ax = −g sin θ Atwoodsche Fallmaschine:

m ex

T1

T2

ex

m2 m1 Abb. 6: Atwoodschen Fallmaschine

Zwei Massen m1 und m2 verbunden durch einen Faden mit der Masse m h¨angen an einer drehbar gelagerten Rolle. Positive x-Richtung ist definiert durch Bewegung von m1 nach oben und m2 nach unten. Kr¨afte auf m1 , m und m2 (die Gravitationskraft auf den Faden werden wir vernachl¨assigen):

T2

T1 m1 m 1g

m2 g

m

ex

m2 T1

T2

Abb. 7: Kr¨afte bei der Atwoodschen Fallmaschine (die x-Achse zeigt nach oben).

G. Herten

21

Experimentalphysik

6 Reibung Alle drei K¨orper bewegen sich mit derselben Beschleunigung ax m1 ax max m2 ax max ax

6 6.1

= = = =

T1 − m1 g → T1 = m1 ax + m1 g T2 − T1 m2 g − T2 → T2 = m2 g − m2 ax T2 − T1 = −ax (M2 + m1 ) + g(m2 − m1 ) m2 − m1 = g m + m1 + m2

(24)

Reibung Haft- und Gleitreibung

Aufgrund von Reibungskr¨aften wird im t¨aglichen Leben ein freier K¨orper, der sich bewegt, st¨andig abgebremst bis er zur Ruhe kommt. Ohne Reibungskr¨afte k¨onnten wir uns nur mit M¨ uhe fortbewegen, z.B. alle Fahrzeuge mit R¨adern k¨onnten nicht zum Antrieb verwendet werden. Man denke nur an unsere Schwierigkeiten, sich auf einer Eisfl¨ache zu bewegen. Dort sind die Reibungskr¨afte reduziert. Mikroskopisch kann man Reibung deuten als Molek¨ ul-Wechselwirkung, die beim Kontakt zweier K¨orper auftritt. Die Reibungskraft ist immer der Bewegung entgegengerichtet. Experimentell stellt man fest, dass bei der Bewegung eines K¨orpers auf einer festen Unterlage eine Reibungskraft (Gleitreibung) auftritt, mit der Form FR = fk N.

(25)

Dabei ist fk der Reibungskoeffizient f¨ ur Gleitreibung (kinetisch). Es gibt zwei Arten von Reibungskoeffizienten: - f¨ ur Gleitreibung fk (kinetisch) - f¨ ur Haftreibung fs (statisch) F¨ ur einen K¨orper mit der Masse m, der von einer Kraft Fx in x-Richtung so gezogen wird, dass er sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, gilt folgende Bewegungsgleichung: m¨ x = Fx − FR = Fx − fk N m¨ y = N − mg = 0 → N = mg somit Fx = fk mg (falls x¨ = 0, vx = const.) Diese Kraft muss aufgewandt werden, um den K¨orper mit konstanter Geschwindigkeit zu bewegen. Falls der K¨orper anfangs in Ruhe war, m¨ ussen wir die Haftreibung u ¨berwinden: Fx ≥ fs · N Man findet f¨ ur alle bisher getesteten Materialien fs ≥ fk . Material: Stahl auf Stahl Teflon auf Teflon Gummi auf Beton G. Herten

22

fs 0.78 0,04 ∼1

fk 0.42 0,04 ∼1 Experimentalphysik

6.1 Haft- und Gleitreibung ¨ reduziert den Reibungskoeffizienten. Ein Benetzen der Oberfl¨ache mit Fl¨ ussigkeit (Wasser, Ol) Dies kann erw¨ unscht sein (Schmierung von Lagern) oder problematisch (Aquaplaning beim Auto). Der experimentelle Befund, FR = f N, ist erstaunlich, da die Reibungskraft nur von der Normalkraft, aber nicht von der Ber¨ uhrungsfl¨ache abh¨angt. So ist z.B. die Reibungskraft f¨ ur einen Metallquader unabh¨angig davon, ob er auf der großen oder kleinen Seitenf¨ache aufliegt. Beispiel: Bremsweg Frage: Was ist die k¨ urzeste Wegstrecke, um ein Auto abzubremsen, das sich mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 bewegt? Zur L¨osung benutzen wir das Diagramm des vorhergehenden Beispiels mit Fx = 0. FR ist die Reibungskraft, die beim Bremsen auftritt.

N v0 F

y x

R

mg Abb. 8: Kr¨afte beim Abbremsen eines Autos

m~r¨ = x: y: einsetzen:

X

~ + m~g F~ = F~R + N

m¨ x m¨ y m¨ x v(t)

= = = =

−fk N N − mg = 0 ⇒ N = mg −fk mg; a = x¨ = −fk g v0 + at 1 2 s(t) = at + v0 t 2

Zum zeitpunkt t0 soll das Auto zum Stillstand kommen. d.h. v(t0 ) = 0 und somit t0 = Einsetzen in s(t) liefert dann die L¨ange des Bremsweges s(t0 ) =

−v0 . a

v02 2fk g

Die Polizei nutzt diese Formel, um nach einem Unfall aus der Bremsspur die urspr¨ ungliche Geschwindigkeit des Autos zu brechnen: p v0 = 2fk gs G. Herten

23

Experimentalphysik

6.2 Reibung in Fl¨ ussigkeiten und Gasen

6.2

Reibung in Flu ¨ ssigkeiten und Gasen

Bei der Bewegung eines K¨orpers in einer Fl¨ ussigkeit und in Gasen treten Reibungskr¨afte auf, die von der Geschwindigkeit des K¨orpers abh¨angen. Reibungskraft in Gasen: In Gasen findet man experimentell, dass der Str¨omungswiderstand in guter N¨aherung vom Quadrat der Geschwindigkeit abh¨angt. ~v 1 FR = − CρAv 2 2 |~v | Dabei sind: C: Widerstandskoeffizient (ca. 0.4 bis 1) ρ: Dichte des Gases (Masse pro Volumen) A : Querschnittsfl¨ache des K¨orpers F¨ ur einen fallenden K¨orper in x-Richtung, der durch die Luftreibung abgebremst wird, erhalten wir somit die Bewegungsgleichung: m¨ x = mg − bv 2 , wobei b = CρA/2 ist. Durch die Luftreibung bewegt er sich nach einiger Zeit mit konstanter Geschwindigkeit vE . Zur diesem Zeitpunkt ist die Beschleunigung x¨ = 0. Einsetzen in die Bewegungsgleichung ergibt p p vE = mg/b = 2mg/(CρA)

Die folgende Tabelle zeigt einige typische Werte f¨ ur die Endgeschwindigkeit vE sowie f¨ ur die 95% - Falltiefe (Tiefe, die ein K¨orper f¨allt, bis er 95% der Endgeschwindigkeit erreicht hat). K¨orper Kugel (f¨ ur Kugelstoß) Tennisball Fallschirmspringer (Schirm geschlossen) Fallschirmspringer (Schirm ge¨offnet) Regentropfen (Radius 1.5 mm)

vE m/s 145 31 60 5 7

95% Falltiefe ( m ) 2500 115 430 3 6

Reibung in Flu ¨ssigkeiten: F¨ ur die Reibungskraft in Fl¨ ussigkeiten findet man experimentell, dass sie linear von der Geschwindigkeit abh¨angt. F¨ ur den speziellen Fall der Bewegung einer Kugel gilt das Stokes’sche Reibungsgesetz

F~R = −6πηr~v ,

(26)

dabei ist η die Viskosit¨atskonstante der Fl¨ ussigkeit, r der Radius der Kugel und v seine Geschwindigkeit. F¨ ur Wasser bei einer Temperatur von 20◦ C ist η = 1, 00·10−3 Ns/m2 . Neben der Reibungskraft wirken die Gewichtskraft und der Auftrieb auf die Kugel. Der Auftrieb entspricht nach dem Archimedischen Prinzip genau der Gewichtskraft (mf g) der verdr¨angten Fl¨ ussigkeit mit der Masse mf . Wir w¨ahlen die y-Richtung so, dass sie in Fallrichtung zeigt. Damit erhalten wir die Bewegungsgleichung: m¨ y = mg − mf g − 6πηrv . G. Herten

24

Experimentalphysik

6.2 Reibung in Fl¨ ussigkeiten und Gasen Mit m = ρV , mf = ρf V , wobei ρ und ρf die Massendichten des K¨orpers, bzw. der Fl¨ ussigkeit sind, und V das Volumen des K¨orpers, l¨asst sich die Bewegungsgleichung umformen in y¨ = g ′ − βv,

wobei folgende Abk¨ urzungen verwendet wurden ρ − ρf und β = 6πηr/m . g′ = g ρ Wie beim Fall in Gasen erreicht die Kugel auch in der Fl¨ ussigkeit f¨ ur große Zeiten t → ∞, eine konstante Endgeschwindigkeit (¨ y (t → ∞) = 0), die nun gegeben ist durch vE =

g′ 2 gr 2 = (ρ − ρf ) . β 9 η

v(t) v0 > vE vE v0 < vE t Abb. 9: Geschwindigkeitsverlauf bei der Reibung in Fl¨ ussigkeiten.

Lo ¨sung der Differentialgleichung Die Differentialgleichung y¨(t) + β y(t) ˙ − g′ = 0

kann durch Integration gel¨ost werden. Dazu setzen wir v = y(t), ˙ somit dv = −(βv − g ′) v˙ + βv = g ′ oder dt Z t Z v dv ′ dt′ , die Integration ergibt = − ′ 0 v0 βv − g ′ 1 βv − g ln = −t, somit β βv0 − g ′ βv − g ′ = e−βt ′ βv0 − g g′ g′ v(t) = + (v0 − )e−βt = vE + (v0 − vE )e−βt β β dv und y¨(t) = a(t) = = −β(v0 − vE )e−βt dt Z t 1 vdt = vE t − (v0 − vE )(e−βt − 1) y(t) − y0 = β 0 G. Herten

25

(27) (28) (29)

Experimentalphysik

7 Arbeit und Energie ¨ Die L¨osung der Differentialgleichung best¨atigt das Ergebnis unserer Uberlegungen. F¨ ur große Zeiten (βt > 1) nimmt die Kugel die Endgeschwindigkeit vE an. Die Beschleunigung y¨(t) erreicht dann den Grenzwert Null.

7 7.1

Arbeit und Energie Arbeit bei konstanter Kraft

In diesem Kapitel werden als neue Begriffe Arbeit und Energie eingef¨ uhrt. Dabei behandeln wir zun¨achst einen einfachen Fall und betrachten einen K¨orper mit der Masse m, der von einer konstanten Kraft in x-Richtung beschleunigt wird.

F x φ

m

Fx

Abb. 10: Masse, die von einer konstanten Kraft in x-Richtung gezogen wird.

Unter Arbeit versteht man bei einer konstanten Kraft das Produkt aus dem zur¨uckgelegten Weg und der Kraftkomponente in Bewegungsrichtung. Die Arbeit, die an dem K¨orper entlang der Strecke d verrichtet wird, ist somit gegeben durch W = Fx · d = F d cos φ. Dies ist die Arbeit, die von F an dem K¨orper geleistet wird. Andere Kr¨afte k¨onnen zus¨atzliche Arbeit verrichten. Keine Arbeit wird verrichtet, wenn der K¨orper ruht, oder falls die Kraft senkrecht zur zur¨ uckgelegten Strecke steht. Bei einer Kreisbewegung wird z.B. keine Arbeit verrichtet, da die Kraft (Zentripetalkraft) immer senkrecht auf der Bewegungsrichtung steht. Im allgemeinen k¨onnen wir mit Hilfe des Skalarproduktes in Vektorform schreiben W = F~ · d~ , bei F~ = const.

(30)

Die physikalische Definition von Arbeit ist verschieden von der umgangssprachlichen Bedeutung. So ist das Halten ein großes Gewichtes physikalisch keine Arbeit, da der zur¨ uckgelegte Weg Null ist. Dennoch ist es f¨ ur den K¨orper anstrengend, da die Muskeln st¨andige Zitterbewegungen durchf¨ uhren und dabei Arbeit verrichten. Unsere Muskeln sind f¨ ur statische Kraftanstrengungen nicht gut optimiert. Das Vorzeichen der Arbeit ist per Konvention nach Gleichung (30) festgelegt. Damit erh¨alt man: Positive Arbeit: Arbeit wird an einem K¨orper verrichtet, cosφ > 0, der K¨orper erh¨alt Energie. Negative Arbeit: Der K¨orper verrichtet Arbeit, F~ ist entgegengesetzt zu ~r, cosφ > 0 der K¨orper gibt Energie ab. G. Herten

26

Experimentalphysik

7.1 Arbeit bei konstanter Kraft Die Maßeinheit der Arbeit ist das Joule: 1Joule = 1J = 1Nm = 1kgm2/s2 .

Beispiel: Schlittenziehen mit konstanter Geschwindigkeit.

F N θ

y

F

R

x mg

Abb. 11: Kr¨ afte beim Ziehen eines Schlitten mit der Kraft F~ .

Aus der Abbildung kann man die Kr¨afte in x- und y-Richtung ablesen und in das 2. Newtonsche Gesetz einsetzen. ~ + F~R + F~ m~r¨ = m~g + N in x-Richtung: m¨ x = F cos θ − fk N = 0 in y-Richtung: m¨ y = F sin θ − mg + N = 0 Aus der zweiten Gleichung erh¨alt man: N = mg − F sin θ. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt: F cos θ − fk mg + fk F sin θ = 0 und somit f¨ ur die Kraft: F =

fk mg cos θ + fk sin θ

Damit ist die Arbeit beim Schlittenziehen gegeben durch: W = Fx · d = fk mgd

cos θ cos θ + fk sin θ

Die vertikale Komponente Fy verrichtet keine Arbeit, da sie senkrecht auf der Bewegungsrichtung steht. Allerdings reduziert die vertikale Komponente die Normalkomponente und verringert daher die Reibung und somit die Arbeit beim Schlittenziehen.

G. Herten

27

Experimentalphysik

7.2 Arbeit bei variabler Kraft

7.2

Arbeit bei variabler Kraft

Wie besprochen ist f¨ ur eine konstante Kraft die Arbeit gegeben durch W = F~ · d~

Bei einer variablen Kraft k¨onnen wir die Strecke d in n gleichgroße Intervalle ∆x aufteilen, in denen die Kraft als konstant angesehen werden kann. F¨ ur jedes Intervall i erhalten wir dann die Arbeit ∆Wi = Fi ∆x. Die Gesamtarbeit, die man verrichten muss, um den K¨orper von x1 nach x2 = x1 + ∆x zu bewegen, ist dann W =

n X

Fi ∆x

i=1

oder im Grenzfall lim∆x→0 erhalten wir mit der Definition des Integrals: Z x2 X Fi ∆x = F dx . W = lim ∆x→0

(31)

x1

i

In Vektorschreibweise (analog zum Fall einer konstanten Kraft) Z ~rB W = F~ · d~r .

(32)

~ rA

Dieses Integral nennt man Linien-Integral oder wegintegral. Damit ist gemeint, dass man u ¨ ber den Weg des K¨orpers von Punkt A zu Punkt B integriert.

F

B

φ

dr

dr

φ

F

A Abb. 12: Berechnung der Arbeit entlang eines Weges.

An jedem Punkt der Bahn muss man d~r und F~ (~r) kennen. d~r zeigt in Richtung der Tangente an die Bahnkurve und F~ gibt die Richtung und den Betrag der Kraft an jedem Punkt der Bahnkurve an.

Beispiel 1: Erdbeschleunigung Als erstes Beispiel betrachten wir die Erdbeschleunigung. Ein K¨orper mit der Masse m wird von der konstanten Gewichtskraft G = m g beschleunigt. Wir w¨ahlen die Koordinatenachsen so, dass die positive y-Achse zum Erdmittelpunkt zeigt. Damit erhalten wir f¨ ur die Arbeit, die die Gewichtskraft verrichtet: ~ · ~r = m g y. W =G (33) G. Herten

28

Experimentalphysik

7.2 Arbeit bei variabler Kraft Beispiel 2: Feder Wenn wir an einer Feder mit der Kraft Fx ziehen, so wird die Feder um die Strecke x verl¨angert. Dabei tritt eine Federkraft Fx in x-Richtung auf, die der Auslenkung entgegenwirkt. Bei kleinen Auslenkungen gilt: Fx = −kx (Hooke’sches Gesetz) (34)

Dabei ist k die Federkonstante. Das Minuszeichen deutet an, dass die Auslenkung und die Federkraft immer entgegengesetzte Richtung haben, wobei x ist die Auslenkung der Feder aus der Ruhelage ist. x > 0: Verl¨angern der Feder → Fx < 0 x < 0: Zusammendr¨ ucken der Feder → Fx > 0 Wenn wir eine Feder um x verl¨angern und festhalten, m¨ ussen wir eine ¨außere Kraft F′ anwenden, die im Betrag gleich der Federkraft ist, aber eine entgegengesetzte Richtung hat. Fx′ (x) = −Fx (x) = +kx F¨ ur die Arbeit, die von der a¨ußeren Kraft F ′ bei einer Verl¨angerung von x1 nach x2 verrichtet wird, erh¨alt man dann Z x2 Z x2 1 1 ′ W = F (x)dx = k x dx = kx22 − kx21 2 2 x1 x1 F¨ ur Verschiebungen aus der Ruhelage (x1 = 0) ergibt sich damit:

1 W = kx2 (35) 2 Da x quadratisch eingeht, ist die Arbeit gleich bei Verl¨angern oder Zusammendr¨ ucken der Feder um x.

Beispiel 3: Pendel

θ

l

u

θ

h

s

Gs θ mg Abb. 13: Kr¨afte bei der Pendelbewegung.

Mit Hilfe einer ¨außeren Kraft F in x-Richtung wird das Pendel, bestehend aus einem masselosen Faden der L¨ange l und einer Punktmasse m, um den Winkel θ aus der Ruhelage G. Herten

29

Experimentalphysik

7.3 Kinetische Energie ausgelenkt. Wir w¨ahlen die Koordinaten so, dass s der Kreisbogen darstellt und u in Richtung des Aufh¨angepunktes zeigt. Die Kraftkomponente in s-Richtung steht somit immer tangential auf dem Kreis, den das Pendel beschreibt. Damit ergeben sich folgende Zusammenh¨ange: Vertikale H¨ohe: h = l − l cos θ = l(1 − cos θ), Kreisbogen: s = l θ, ds = l dθ Kraft in s-Richtung (tangential): Fs = F cos θ Kraft in Richtung des Aufh¨angepunktes: Ft = F sin θ. Wir stellen uns vor, dass das Pendel auf die H¨ohe h angehoben und dann losgelassen wird. Aufgrund der Gravitationskraft f¨allt es zur¨ uck zu s = 0(θ = 0). Wir wollen nun berechnen, wieviel Arbeit die Gravitationskraft dabei verrichtet. Aus der Definition der Arbeit erhalten wir f¨ ur das Wegintegral von s nach s = 0, d.h. von θ nach θ = 0: W =

Z

~ r (θ=0)

~ r(θ)

~ r ) · d~r = G(~

Z

0

Gs ds s

Das Vektor-Integral l¨asst sich somit vereinfachen, indem wir u ¨ber den Kreisbogen s integrieren unter Verwendung der Komponente Gs der Gravitationskraft, die in Richtung der Tangente an den Kreisbogen zeigt. Aus der Abbildung erh¨alt man: Gs = mg sin θ Nach der Variablensubstitution (s = l θ) ergibt sich dann Z 0 Z 0 mgl sin θ dθ Gs ds = W = θ

s

W = −mgl(1 − cos θ) = −mgh

Es ist interessant zu sehen, dass wir f¨ ur die Arbeit den gleichen Ausdruck erhalten, wie beim freien Fall 33, bei Verwendung von y = −h. Dies ist eine besondere Eigenschaft der Gravitationskraft (konservative Kraft), die wir in K¨ urze genauer untersuchen werden.

NB: Herleitung der Pendelgleichung: Mit dem 2. Newtonschen Gesetz k¨onnen wir die Bewegungsgleichung in s-Richtung herleiten. m¨ s = −mg sin θ Einsetzen von s = l θ liefert

g θ¨ + sin θ = 0 . (36) l Dies ist die ber¨ uhmte Pendelgleichung. Sie beschreibt die Schwingungsbewegung eines Pendels. Wir werden uns mit dieser Gleichung in einem sp¨ateren Kapitel besch¨aftigen.

7.3

Kinetische Energie

Arbeit h¨angt sehr eng mit dem Begriff der Energie zusammen. Dies wird schon dadurch deutlich, dass beide dieselbe physikalische Einheit haben, das Joule. Somit wollen wir n¨aher untersuchen, wie sich die Bewegungsenergie (kinetische Energie) eines K¨orpers ¨andert, an dem G. Herten

30

Experimentalphysik

7.4 Leistung Arbeit verrichtet wird. Dazu untersuchen wir den Fall, dass die resultierende Kraft von null verschieden ist und der K¨orper beschleunigt wird. Wir betrachten eine konstante Kraft, die einen K¨orper mit konstanter Beschleunigung bewegt. Dann ist mit (5), (6) a = (v − v0 )/t und x = x0 + 1/2(v0 + v)t. Wir w¨ahlen x0 = 0 bei t = 0. Dann erhalten wir f¨ ur die Arbeit W = Fx =

max

=m

1 2 1 2 mv − mv0 2 2

W =

v − v0 1 (v0 + v)t t 2 (37)

K = 12 mv 2 .

Kinetische Energie:

(38)

Die Arbeit, die an einem Teilchen durch die resultierende Kraft verrichtet wird, ist gleich der ¨ Anderung seiner kinetischen Energie. Die Herleitung gilt nur f¨ ur den Fall einer konstanten Kraft. Die Beziehung gilt aber allgemein (z.B. variable Kraft in x-Richtung), wie die folgende Herleitung zeigt: Z Z x ~ W = F · d~r = F dx x0

Einsetzen des 2. Newtonschen Gesetzes unter Benutzung der Kettenregel liefert: mit F = ma und a = folgt W =

Z

x

F dx =

x0

Z

x

x0

dv dx dv dv dv = = v=v dt dx dt dx dx

dv mv dx = dx

Z

v

m v dv ,

v0

1 1 (39) W = mv 2 − mv02 . 2 2 ¨ahnlich kann man zeigen, dass dieses Arbeit - Energie Theorem auch bei Kurvenlinien gilt. Dieses Theorem folgt aus den Newtonschen Gesetzen und ist somit kein “neues” Gesetz. Wenn ¨ die Geschwindigkeit konstant bleibt, ergibt sich keine Anderung in der kinetischen Energie, und die Arbeit ist null. Falls sich das Teilchen auf der Kreisbahn mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, wird keine Arbeit verrichtet. Die Zentripetalkraft wirkt nach innen, steht somit immer senkrecht auf der Bewegungsrichtung.

7.4

Leistung

Die Leistung ist definiert als die Arbeit, die pro Zeit aufgewandt wird. Arbeit , Zeit Als mittlere Leistung bezeichnet man: Leistung

=

momentane Leistung P =

1 W = P¯ = t t

G. Herten

31

Z

dW dt

t

P (t) dt

0

Experimentalphysik

7.5 Energieerhaltung Bewegt man einen Massepunkt m unter dem Aufwand einer Kraft F~ (t) mit der Geschwindigkeit ~v (t), so ist die Leistung: P (t) = F~ (t) · ~v (t) Beweis: Die verrichtete Arbeit zwischen t0 und t ist:

W (t0 , t) = W (~r(t0 ), ~r(t)) Z ~r(t) F~ (t) d~r(t) = ~ r(t0 ) t

= =

Z

t

Z 0t

d~r(t) dt F~ (t) dt

F~ (t) ~v (t) dt

t

=

Z 0t

P (t) dt

t0

Somit ist die momentane Leistung zur Zeit t: P (t) = F~ (t) · ~v (t). Joule kg m2 = . s s3 Eine ¨altere Einheit ist die Pferdest¨arke: 1 PS = 764 Watt = 0.764 kW. Die Einheit der Leistung ist Watt

7.5

=

Energieerhaltung

Bisher haben wir gefunden, dass die Arbeit, die von der resultierenden Kraft an einem Teilchen ¨ verrichtet wird, gleich der Anderung der kinetischen Energie ist. Die resultierende Kraft ist die Vektorsumme aller am Teilchen angreifenden Kr¨afte. Somit k¨onnen wir auch schreiben: W1 + W2 + . . . Wn = ∆K

,

dabei sind die Wi ’s die Arbeiten, die von den einzelnen Kr¨aften verrichtet werden. Sie f¨ uhren zu verschiedenen Arten von Energieformen, z.B. kinetische Energie, potentielle Energie, W¨arme, elektrische Energie, usw. Nach der Relativit¨atstheorie ist sogar die Masse selbst eine Form von Energie (E = m c2 ). In Kernprozessen kann man Masse in kinetische Energie umwandeln. Vielf¨altige Experimente in der Physik, Chemie, Biologie zeigen, dass die Summe der Energie in der Natur konstant ist. Energie ist somit eine wichtige Erhaltungsgr¨oße in allen Prozesse, die in der Natur vorkommen. Den Zusammenhang zwischen, Arbeit, Kr¨aften und Energie wollen wir nun genauer untersuchen. Dazu betrachten wir eine besondere Art von Kr¨aften, die konservativen Kr¨afte.

7.6

Konservative Kr¨ afte

Wir k¨onnen konservative und nicht-konservative Konservative Kr¨afte: Federkraft, Gravitation etc. Nichtkonservative Kr¨afte: Reibung G. Herten

32

Kr¨afte

unterscheiden.

Experimentalphysik

7.6 Konservative Kr¨afte Der offensichtliche Unterschied zwischen beiden Arten von Kr¨aften ist, dass durch Reibung eine Verlangsamung (Abbremsung) der Bewegung erfolgt, d.h. die kinestische Energie wird verringert. Wenn wir z.B. einen Ball ohne Luftreibung hochwerfen, so kommt er in einer gewissen H¨ohe zum Stillstand und f¨allt zur¨ uck. Wenn wir ihn wieder fangen, hat er die gleiche kinetische Energie (Geschwindigkeit) wie beim Abwurf. Die kinetische Energie (= F¨ahigkeit eines K¨orpers aufgrund seiner Bewegung Arbeit zu verrichten) bleibt bei diesem geschlossenen Weg erhalten. ¨ahnliches gilt bei der Feder. Ein System mit einer Feder und einer Masse schwingt hin und her. Die Masse hat bei einer bestimmten Auslenkung der Feder immer dieselbe Geschwindigkeit, d.h. mit (39) ist die verrichtete Arbeit bei einem geschlossenen Weg null. Falls aber Reibungskr¨afte auftreten, wird die Geschwindigkeit nach jedem Rundkurs geringer, d.h. die Arbeit ist ungleich null. Def.1: Die Arbeit einer konservativen Kraft l¨angs eines beliebigen geschlossenen Weges ist null. I F~ · d~r = 0 f¨ ur konservative Kr¨afte (40) (A)

(B)

1 b

a

2

b

1

a

2

Abb. 14: Bei konservativen Kr¨ aften ist die Arbeit unabh¨ angig vom Weg.

Diese Defintion benutzen wir nun und berechnen die Arbeit in Diagramm (A) f¨ ur den Weg von (a) nach (b) u ¨ ber Weg 1 und von (b) nach (a) u ¨ber Weg 2. Im n¨achsten Schritt betrachten wir die gleichen Wege, allerdings soll nun Weg 2 in umgekehrter Richtung (von a nach b) durchlaufen werden. Mit (40) muss gelten: Weg A: Weg B: und somit

Wab,1 + Wba,2 = 0, Wab,2 = −Wba,2 Wab,2 = Wab,1

somit Wab,1 = −Wba,2

Damit erhalten wir eine neue Definition einer konservativen Kraft: Def. 2: Eine Kraft ist konservativ, wenn die Arbeit unabh¨angig vom Weg ist und nur von den Endpunkten der Bahn abh¨angt.

Beispiel: Gravitation Die Arbeit, die man ben¨otigt, um einen Stein von Punkt a zu Punkt b zu heben, ist unabh¨angig vom Weg. Sie ist W = mgh, wobei h die H¨ohendifferenz zwischen Punkt b und Punkt a ist. Dieses Ergebnis hatten wir bereits bei der Behandlung des Pendels gefunden. Falls Reibung vorliegt, h¨angt die Arbeit vom Weg ab. G. Herten

33

Experimentalphysik

7.7 Potentielle Energie Beispiel: homogenes Kraftfeld Ein homogenes Kraftfeld F~ (~r) = (Fx , Fy , Fz ) mit Fx , Fy , Fz ) = const. ist eine konservative Kraft, da Z xB Z yB Z B Z zB Z xA Z yA Z zA ~ F d~r = Fx dx + W = Fy dy + Fz dz = − Fx dx − Fy dy − Fz dz A

xA

yA

zA

→

I

xB

yB

zB

F~ · d~r = 0

Damit ist gezeigt, dass ein homogene Kraft eine konservative Kraft ist.

Beispiel: Zentralkraftfeld Ein Zentralkraftfeld ist gegeben durch F~ (~r) = f (|~r|)~r. Sein Betrag ist nur von |~r| abh¨angig. In Kugelkoordinaten gilt: F~ (~r) = (Fr , Fθ = 0, Fϕ = 0) Da die Kraft nur vom Betrag des Ortsvektors abh¨angt, ergibt nur die r-Koordinate eine Beitrag. Somit erhalten wir: Z rB Z rA Z B I ~ F d~r = Fr dr = − Fr dr → F~ · d~r = 0 A

7.7

rA

rB

Potentielle Energie

Bei einer konservativen Kraft h¨angt die Arbeit nur von den Endpunkten ab. Wir haben f¨ ur den Weg von a nach b Z b

W =

a

F~ · d~r = −(U(b) − U(a))

(41)

Die Gr¨oße U(~r) nennen wir potentielle Energie. Die potentielle Energie, die zu einer konservativen Kraft geh¨ort, ist eine Ortsfunktion. Die Differenz zwischen ihren Werten am Anfangs- und am Endpunkt ist gleich der Arbeit, die von der Kraft verrichtet wird. Nur Differenzen der potentiellen Energie sind somit definiert. U(~r) selbst ist bis auf eine additive Konstante bestimmt. Das bedeutet, dass wir den Nullpunkt der potentiellen Energie beliebig festlegen k¨onnen.

G. Herten

34

Experimentalphysik

7.7 Potentielle Energie Beispiel:

Ein Stein f¨allt eine Strecke h hinunter von Punkt a zu Punkt b. Punkt b sei in der H¨ohe yb und Punkt a bei ya oberhalb der Erdoberfl¨ache. Wir w¨ahlen als Nullpunkt der potentiellen Energie die Erdoberfl¨ache. U(y) U(b) U(a) W mit W erh¨alt man: K(a) + mgya

= = = = = =

mgy mgyb mgya U(a) − U(b) = mg(ya − yb ) = mgh K(b) − K(a) = mgya − mgyb K(b) + mgyb 1 2 mv + U(y) = const. also K + U = 2 Z b F~ · d~r = U(a) − U(b) mit W =

(42)

a

k¨onnen wir setzen F~ · d~r = −dU(~r) Z b dU = U(b) − U(a). denn − a

Außerdem gilt F~ · d~r = Fs ds l¨angs der Bahn, dU(~r) somit − dU = Fs ds und Fs = − . ds Falls wir U(~r) kennen, k¨onnen wir also die tangentiale Komponente der Kraft Fs berechnen. Die x, y und z Komponenten der Kraft lassen sich analog u ¨ber Ableitungen bestimmen. Fx = −

∂U(~r ) ∂U(~r ) ∂U(~r) , Fy = − , Fz = − ∂x ∂y ∂z

Allgemein: ∂U(~r) ∂U(~r ) ∂U(~r) ~ex − ~ey − ~ez F~ (~r) = − ∂x ∂y ∂z ~ r) F~ (~r) = − grad U(~r) = −∇U(~ ~ = ∂ ~ex + ∂ ~ey + ∂ ~ez mit Nabla-Operator ∇ ∂x ∂y ∂z Beispiel 1: Feder Z x Z x 1 −kxdx = + kx2 F dx = − F (x) = −kx; U(x) = − 2 0 0 ∂U(x) = −kx F (x) = − ∂x Beispiel 2: Ein zwei-atomiges Molek¨ ul habe eine potentielle Energie der Form: 12 6 U(x) = a/x − b/x , wobei x der Abstand der beiden Atome ist, a und b sind Konstanten.

(43) (44) (45)

a) Kraft: F (x) = − G. Herten

dU(x) 12a 6b = 13 − 7 dx x x 35

Experimentalphysik

8 Impuls

Abb. 15: Die potentiellen Energie als Funktion des Abstandes zweier Atome im Molek¨ ul.

b) Minimum der potentiellen Energie: r 2a dU(x) 6 = 0 → F (x) = 0 → xmin = . dx b Somit werden die Atome f¨ ur x < xmin von einander abgestoßen und f¨ ur x > xmin angezogen. Wir erhalten als Gleichgewichtslage x = xmin . c) Bindungsenergie Um das Molek¨ ul aufzubrechen, m¨ ussen die Atome soviel kinetische Energie K erhalten, dass sie die Potentialmulde verlassen k¨onnen, d.h. x → ∞. K > U(x → ∞) − U(xmin ) In unserem Fall ist U(xmin ) = −b2 /4a und U(x → ∞) = 0. Somit wird das Molek¨ ul zerst¨ort, falls K > b2 /4a ist. Diese kinetische Energie kann den Atomen durch Erhitzen zugef¨ ugt werden (z.B. beim Kochen).

8 8.1

Impuls Schwerpunkt

Bisher haben wir nur die Bewegung punktf¨ormiger Teilchen betrachtet. Normalerweise m¨ ussen wir aber die Bewegung von ausgedehnten K¨orpern untersuchen. Wenn wir z.B. einen Stift werfen, so bewegt sich ein Punkt, der Schwerpunkt so, als sei die gesamte Masse des K¨orpers G. Herten

36

Experimentalphysik

8.1 Schwerpunkt dort vereinigt. Wir betrachten zun¨achst ein System von zwei Massen. Der Schwerpunkt ist dann definiert als m1 x1 + m2 x2 m1 x1 + m2 x2 = m1 + m2 M Gesamtmasse M = m1 + m2 Mxcm = m1 x1 + m2 x2

(46)

xcm =

Bei n Teilchen auf der x-Achse

somit

Pn mi xi m1 x1 + m2 x2 + . . . + mn xn = Pi n xcm = m1 + m2 + . . . + mn i mi n n X X mi xi mi xcm = Mxcm =

(47)

i

i

Nun betrachten wir 3 Massen, die in einer Ebene liegen.

y y2 y3 y

1

x1

x2

x3

x

m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 m1 + m2 + m3 m1 y1 + m2 y2 + m3 y3 ycm = m3 P m1 + m2 + X mi xi 1 = allgemein xcm = P mi xi m M P i 1 X mi yi mi yi = ycm = P mi M Im 3-dimensionalen Fall auch 1 X mi zi zcm = M Vektoriell: ~ri = xi~ex + yi~ey + zi~ez ~rcm = xcm~ex + ycm~ey + zcm~ez 1 X mi~ri ~rcm = M xcm =

Falls der Koordinatenursprung identisch mit dem Schwerpunkt ist, so gilt X ~rcm = 0 → mi~ri = 0

G. Herten

37

(48)

Experimentalphysik

8.1 Schwerpunkt Beispiel:

homogene Kugel: Falls das Zentrum der Kugel (= Schwerpunkt) auch der P Koordinatenursprung ist, so gibt es zu jedem mi~ri ein mi (−~ri ), sodass mi~ri = 0. Der Schwerpunkt eines Systems von Teilchen h¨angt nur von den Massen der Teilchen und ihren relativen Positionen ab. Einen ausgedehnten K¨orper kann man sich als zusammengesetzt von Atomen denken. Dann m¨ ussten wir die Summe u ¨ber alle Atome und ihre relative Position laufen lassen. Wir k¨onnen den K¨orper aber auch als kontinuierliche Massenverteilung auffassen. Dazu betrachten wir kleine Massenelemente ∆mi mit den Koordinaten xi , yi, zi :

Vektoriell:

R P Z x dm 1 ∆mi xi R P = xcm = lim = x dm ∆mi →0 ∆mi M dm R P Z y dm 1 ∆mi yi = ycm = lim P y dm = R ∆mi →0 ∆mi M dm R P Z z dm 1 ∆mi zi R P = zcm = lim = z dm ∆mi →0 ∆mi M dm ~rcm

1 = M

Z

1 ~r dm = M

Z

~rρ(~r) dV

(49)

V

F¨ ur einen K¨orper mit konstanter Massendichte (ρ(~r) = const.) l¨asst sich die Gleichung vereinfachen zu Z 1 ~r dV f¨ ur ρ(~r) = const. (50) ~rcm = V V Zur Berechnung des Schwerpunktes und des Volumens eines K¨orpers kann man je nach der geometrischen Form karthesische Koordinaten oder Zylinder- , bzw. Kugelkoordinaten verwenden. Die Volumenelemente dV sind dann gegeben durch (s. math. Formelsammlung): dV dV dV

= dx dy dz Karthesische Koordinaten 2 = r dr sin θ dθ dφ Kugelkoordinaten = ρ dρ dφ dz Zylinderkoordinaten

Bei der Berechnung des Volumens, bzw. des Schwerpunktes muss man somit u ¨ber alle 3 Koordinaten einzeln integrieren. Diese multidimensionalen Integrale sind in der Regel kompliziert, da die Integrationsgrenzen meistens von den anderen Koordinaten abh¨angen.

Beispiel: Keil mit der Kantenl¨ange a. Wir betrachten einen Keil, der in x-, y-, und z-Richtung die L¨ange a hat. Der Keil liegt mit seinem rechten Winkel entlang der y-Achse (von y=0 bis y=a).Die 45 Grad Schr¨age liegt in der x-z Ebene. Damit ergeben sich folgende Integrationsgrenzen: Integrationsgrenzen f¨ ur x: 0 < x < a − z Integrationsgrenzen f¨ ur y: 0 < y < a Integrationsgrenzen f¨ ur z: 0 < z < a G. Herten

38

Experimentalphysik

8.2 Bewegung des Schwerpunktes Das Volumen berechnet sich zu: Z Z a Z a Z a−z dx = dy dz V = 0

0

0

0

a

dz(a − z)

Z

a

dy = 0

Z

a 0

1 dz(a − z)a = a3 2

F¨ ur die Koordinaten des Schwerpunktes ergeben sich somit: Z a Z a−z Z Z 1 aa 1 a x dx = dy dz (a − z)2 = a/3 xcm = V 0 V 0 2 0 Z a−z Z a Z0 a 1 a ycm = dx = dy y dz V 0 2 0 Z a Z0 a−z Z a Z 1 a 1 dx = dy dz z dz a(a − z)z = a/3 zcm = V 0 V 0 0 0 Insgesamt erh¨alt man somit f¨ ur den Ortsvektor des Schwerpunktes: 1 1 1 ~rcm = a( , , ) 3 2 3

8.2

Bewegung des Schwerpunktes

Wir betrachten einen K¨orper mit den Massen m1 . . . mn . Damit M~rcm differenzieren: M~vcm d~vcm differenzieren: M dt Mit dem 2. Newtonschen Gesetz ist F~i

= m1~r1 + m2~r2 + . . . + mn~rn = m1~v1 + m2~v2 + . . . + mn~vn

(51)

= M~acm = m1~a1 + m2~a2 + . . . + mn~an (52)

= mi~ai M~acm = F~1 + F~2 + F~3 + . . . F~n

(53) (54)

Nach dem 3. Newtonschen Gesetz sind die internen Kr¨afte zwischen den Massen i und j gleich und entgegengesetzt. Somit heben sich alle inneren Kr¨afte auf. Die Vektorsumme aller Kr¨afte F~1 + F~2 + . . . + F~n ist somit gleich der ¨außeren (externen) Kraft. Wir erhalten also M~acm = F~ext

(55)

Der Schwerpunkt eines K¨orpers bewegt sich so, als ob die Gesamtmasse dort vorliegt und alle ¨außeren Kr¨afte dort angreifen. Wir haben f¨ ur die Herleitung nicht verwendet, aus welchen Materialien der K¨orper besteht. Es kann ein fester K¨orper sein, eine Fl¨ ussigkeit oder ein Beh¨alter mit Gas.

8.3

Impuls

Definition: Der Impuls eines Teilchens der Masse m ist definiert durch p~ = m~v .

G. Herten

39

(56)

Experimentalphysik

8.4 Impuls eines ausgedehnten K¨orpers d~p d~v = m = m~a k¨onnen wir das 2. Newtonsche Gesetz dt dt d~ p (57) auch folgendermaßen ausdr¨ ucken: F~ = dt Mit der zeitlichen Ableitung:

Dies ist die urspr¨ ungliche Formulierung von Newton. Es zeigt sich, dass diese Formulierung auch im Rahmen der Relativit¨atstheorie noch richtig ist, w¨ahrend unsere fr¨ uhere Formulierung ~ F = m~a nur in der klassischen Physik gilt. d~p d dm d~v F~ = = (m~v ) = ~v + m dt dt dt dt d~v F = m~a = m dt

(58)

Beide Formulierungen sind dann ¨aquivalent, wenn die Masse konstant ist. In der Relativit¨atstheorie ist die Masse nicht konstant. Sie ist eine Funktion der Geschwindigkeit und somit eine Funktion der Zeit. m0 m= p , (59) 1 − (v/c)2 dabei ist v die Geschwindigkeit des Teilchens, m0 die Ruhemasse (bei v = 0) und c die Lichtgeschwindigkeit.

8.4

Impuls eines ausgedehnten K¨ orpers

Wir behandeln einen ausgedehnten K¨orper wieder als System von n Teilchen. F¨ ur die Bewegung des Schwerpunktes hatten wir bereits folgende Beziehung erhalten (51) M~vcm = m1~v1 + m2~v2 + . . . + mn~vn . Dies bedeutet nichts anderes als P~ = p~1 + p~2 + . . . + p~n , wobei p~i = mi~vi ist. P~ = M~vcm ist der Gesamtimpuls des K¨orpers. Der Gesamtimpuls eines Systems von Teilchen ist gleich dem Produkt der Gesamtmasse und der Geschwindigkeit des Schwerpunktes. Und das 2. Newtonsche Gesetz lautet daher dP~ F~ext = dt

8.5

(60)

Impulserhaltung

Falls keine ¨außere Kraft auf einen K¨orper wirkt (F~ext = 0), so folgt dP~ = 0 oder P~ = dt G. Herten

40

const.

(61) Experimentalphysik

8.6 Systeme mit variabler Masse Dies ist das Prinzip der Impulserhaltung. Ebenso wie die Energieerhaltung spielt die Impulserhaltung eine wichtige Rolle bei der Untersuchung physikalischer Prozesse. Sp¨ater werden wir noch weitere Gr¨oßen kennenlernen, die erhalten sind. Beobachter in verschiedenen Inertialsystemen stellen fest, dass der Gesamtimpuls P~ erhalten bleibt (wenn F~ext = 0), obwohl die Werte f¨ ur P~ von Beobachter zu Beobachter verschieden sein k¨onnen.

Beispiel f¨ ur Impulserhaltung: Silvesterrakete Eine Rakete fliegt auf einer parabolischen Bahn und explodiert im Flug. Die Explosion erzeugt “interne” Kr¨afte. Diese a¨ndern den Impuls von einzelnen Fragmenten. Aber dadurch treten keine weiteren ¨außeren Kr¨afte auf. Die einzige ¨außere Kraft ist die Gravitationskraft, die auf alle Fragmente wirkt. Somit bewegt sich das System so, als sei die Gesamtmasse im Schwerpunkt vorhanden. Die Schwerpunktsbewegung bleibt gleich, ob die Rakete explodiert oder nicht.

8.6

Systeme mit variabler Masse

Wir betrachten nun Systeme mit ver¨anderlicher Masse, z.B. eine Rakete, die Treibstoff verbrennt, der mit hoher Geschwindigkeit herausgeschleudert wird. Aufgrund der Impulserhaltung wird dann die Rakete in die entgegengesetzte Richtung beschleunigt. Dabei ver¨andert sich allerdings die Masse der Rakete st¨andig. Wir wollen die Bewegungsgleichung eines solchen Systems berechnen (mit einer ¨außeren Kraft F~ext , z.B. Gravitation). Zum Zeitpunkt t1 habe die Rakete die Masse M1 und die Schwerpunktsgeschwindigkeit ~v .

y

t1

t 2 = t 1+ ∆ t

y

M 1− M 2

M1

v

u x

M2 v +∆ v x

Nun wird Gas mit der Geschwindigkeit ~u herausgeschleudert. Zum Zeitpunkt t + ∆t hat die Rakete die Masse M2 und ihr Schwerpunkt bewegt sich mit der Geschwindigkeit ~v +∆~v. Das Gas hat die Masse M1 − M2 und der Schwerpunkt des Gases bewegt sich mit der Geschwindigkeit ~u. P~2 − P~1 dP~ ∆P~ F~ext = ≈ = dt ∆t ∆t M2 (~v + ∆~v ) + (M1 − M2 )~u − M1~v = ∆t ∆M ∆M ∆~v = ~v + M2 − ~u ∆t ∆t ∆t M2 ist die verbleibende Masse der Rakete. Wir setzen M = M2 und bilden den Grenzwert

G. Herten

41

Experimentalphysik

8.6 Systeme mit variabler Masse lim∆t→0 :

andere Formulierung:

dM dM d~v + ~v − ~u F~ext = M dt dt dt d dM F~ext = (M~v ) − ~u dt dt

Diese Differentialgleichung entspricht dem 2. Newtonschengesetz, das nun einen Term enth¨alt, der ber¨ ucksichtigt, dass der K¨orper Masse mit der ~u aussendet. aussenden. oder d~v dM M = (~u − ~v) + F~ext dt dt ~vrel = ~u −~v ist die Relativgeschwindigkeit zwischen Rakete und ausstr¨omendem Gas. Mit guter N¨aherung bleibt ~vrel (die Ausstoßgeschwindigkeit des Gases) w¨ahrend des Fluges konstant. Sie wird im wesentlichen von der Temperatur des D¨ usentriebwerkes bestimmt. (~u − ~v )dM/dt wird auch Schub genannt. Hoher Schub bedeutet große Ausstoßgeschwindigkeit und großer Treibstoffverbrauch. Die Diffenetialgleichung f¨ ur die Raketenbewegung l¨asst sich somit schreiben als M

dM d~v − ~vrel = M ~v˙ − ~vrel M˙ = F~ext dt dt

(62)

Formale Herleitung: Dieselbe Gleichung l¨asst sich auch formal aus dem 2. Newtonschen Gesetz herleiten. Dazu beachten wir, dass sich der Gesamtimpuls des Systems aus dem Impuls der Rakete P~R = M~v und dem Impuls des Gasvolumens außerhalb der Rakete P~G = MG~vG zusammensetzt. Ableitung nach der Zeit unter Verwendung der Produktregel liefert mit dem 2. Newtonschen Gesetz ˙ ˙ ˙ v + M ~v˙ + M˙ G~vG + MG~v˙ G F~ext = P~R + P~G = M~ Die Massenabnahme der Rakete ist gleich der Massenzunahme des Gases, d.h. M˙ = −M˙ G . Das Gas außerhalb der Rakete wird nicht beschleunigt, sondern bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit, d.h. ~v˙ G = 0. Einsetzen in die Gleichung liefert mit ~vrel = ~vG − ~v . M ~v˙ − ~vrel M˙ = F~ext Dies ist identisch zu Gl. 62.

Beispiel: Was ist die Endgeschwindigkeit einer Rakete, wenn der gesamte Treibstoff verbraucht ist? Zur Berechnung muss die Differentialgleichung gel¨ost werden. Es sei M0 die Anfangsmasse (mit Treibstoff) und M die Endmasse ohne Treibstoff (Nutzlast). Wir beschr¨anken uns auf den Fall, dass keine ¨außere Kraft auf die Rakete wirkt ( F~ext = 0). Dies ist eine gute N¨aherung f¨ ur

G. Herten

42

Experimentalphysik

9 St¨oße eine Rakete im Weltraum, die weit entfernt von Planenten oder der Sonne ist. dM d~v = ~vrel dt dt dM d~v = ~vrel M Z ~v Z M dM d~v = ~vrel ~ v0 M0 M M ~v − ~v0 = ~vrel ln M0 M0 ~v (M) = ~v0 − ~vrel ln M M

(63)

Dies ist die Raketengleichung. Somit h¨angt die Geschwindigkeit der Rakete nur von ~vrel und M0 /M ab. Bei einer Anfangsgeschwindigkeit ~v0 = 0 erh¨alt man f¨ ur die Masse M, unter Verwendung der Betr¨age f¨ ur die Geschwindigkeiten: v = ln M0 /M vrel somit M = M0 exp(−

9

v ). vrel

St¨ oße

St¨oße von Atomen, Molek¨ ulen und Elementarteilchen spielen in der Physik eine große Rolle bei der Untersuchung des Aufbaus der Materie. Andere Beispiele von St¨oßen findet man im Sport, z.B. Billard, Tennis, Baseball. Der Kontakt zwischen Tennisschl¨ager und Ball dauert dabei nur einen Bruchteil einer Sekunde. Dabei wirkt eine Kraft auf den Ball, der Ball wird beschleunigt und fliegt fort.

9.1

Kraftstoß

F(t)

F(t)

Fext t1

G. Herten

∆t

43

t t2

Experimentalphysik

9.2 St¨oße in einer Dimension Das Diagramm zeigt die Kraft, die als Funktion der Zeit auf den Ball einwirkt. dp Mit F~ = erhalten wir dt d~p = F~ dt und nach Integration von t1 bis t2 Z p~2 Z t2 p~2 − p~1 = d~p = F~ (t)dt Die Gr¨oße I~ =

p ~1 Z t2

(64)

t1

F~ (t)dt nennen wir den Kraftstoß.

(65)

t1

Die Impuls¨anderung eines Teilchens ist gleich dem Kraftstoß. Dies ist a¨hnlich zu (39): Z ~r2 K2 − K1 = F~ (~r) · d~r ~ r1

¨ Die Anderung der kinetischen Energie eines Teilchens ist gleich der Arbeit, die an dem Teilchen geleistet wird.

9.2

St¨ oße in einer Dimension

Meistens ist man nicht am zeitlichen Verlauf des Stoßes interessiert, sondern will nur wissen, wie sich die Teilchen vor und nach dem Stoß bewegen. Wir betrachten den Stoß von zwei Kugeln mit den Massen m1 und m2 ohne ¨außere Kr¨afte.

M1

p1

p2

M2

Wir k¨onnen dies als isoliertes System von 2 Massen betrachten. Mit den bisherigen Ergebnissen haben wir dann P~ = p~1 + ~p2

und

dP~ = F~ext = 0, dt

da

keine ¨außeren Kr¨afte wirken sollen. Die Kr¨afte, die beim Stoß auftreten, sind innere Kr¨afte, die den Gesamtimpuls des Systems nicht ver¨andern. Der Gesamtimpuls bleibt also beim Stoß erhalten. Auch wenn ¨außere Kr¨afte auf beide Massen einwirken sollten, so sind dennoch meistens die inneren Kr¨afte w¨ahrend des Stoßes sehr viel gr¨oßer als die ¨außeren Kr¨afte. Somit gilt: Wir k¨onnen das Prinzip der Impulserhaltung bei St¨oßen anwenden, wenn die Dauer des Stoßes gen¨ugend klein ist. Mit gen¨ ugend klein ist gemeint, dass

G. Herten

∆p(extern) F · ∆t << 1, = Rext ∆p(Stoß) F (t)dt

wobei ∆t die Dauer des Stoßes ist. 44

(66)

Experimentalphysik

9.3 Elastischer Stoß Anschaulich muss die Fl¨ache Fext · ∆t sehr viel kleiner sein als die Fl¨ache unter der Kurve F (t). Somit wissen wir, dass bei St¨oßen zwei Erhaltungss¨atze gelten. 1) Impulserhaltung 2) Erhaltung der Gesamtenergie Man unterscheidet zwei Arten von St¨oßen: 1) Elastischer Stoß: Wenn die kinetische Energie erhalten bleibt. Streng genommen gibt es elastische St¨oße nur bei Elementarteilchenst¨oßen oder Atomst¨oßen. Aber der Stoß zweier Stahlkugeln ist in guter N¨aherung elastisch. 2) Unelastischer Stoß: Die kinetische Energie bleibt nicht erhalten. Beispiele sind Zusammenst¨oße von Autos. Ein Teil der kinetischen Energie wird aufgewandt, um die Autos zu verformen. Unelastische St¨oße bei Elementarteilchen und Atomen treten auf, wenn beim Stoß andere Teilchen erzeugt werden oder Atome angeregt werden. Total unelastische St¨oße treten auf, wenn die beiden K¨orper nach der Kollision zusammenkleben und sich mit derselben Geschwindigkeit bewegen.

9.3

Elastischer Stoß Anfangszustand

m1

Endzustand

m2 v1A

m1 v2 A

m2 v1 E

v2 E

Wir betrachten einen elastischen Stoß zweier Massen m1 und m2 in x-Richtung. Die angegebenen Geschwindigkeiten v1 und v2 sind somit die x-Komponenten der Geschwindigkeitsvektoren. Der Index A bezeichnet den Anfangszustand (vor dem Stoß) und E den Endzustand (nach dem Stoß). Impulserhaltung: m1 v1A + m2 v2A Erhaltung der kinetischen Energie: 1 1 2 2 m1 v1A + m2 v2A 2 2 aus (67): m1 (v1A − v1E ) 2 2 aus (68): m1 (v1A − v1E ) → m1 (v1A − v1E )(v1A + v1E ) Division von (70) und (69) ergibt: v1A + v1E oder: v1A − v2A

= m1 v1E + m2 v2E

(67)

1 1 2 2 m1 v1E + m2 v2E 2 2 = m2 (v2E − v2A ) 2 2 = m2 (v2E − v2A ) = m2 (v2E − v2A )(v2E + v2A )

=

= v2E + v2A = v2E − v1E

(68) (69) (70)

(71)

Die Relativgeschwindigkeiten f¨ ur die Ann¨aherung vor und f¨ ur die Separation nach dem Stoß bleiben bei elastischen Kollisionen gleich. G. Herten

45

Experimentalphysik

9.4 Unelastischer Stoß Zur Berechnung von v1E und v2E benutzen wir (71) und setzen die Formeln f¨ ur v1E und v2E in die Impulsgleichung (67) ein. Dann erhalten wir: 2m2 m1 − m2 )v1A + v2A m1 + m2 m1 + m2 2m1 m2 − m1 = ( )v1A + v2A m1 + m2 m1 + m2

v1E = (

(72)

v2E

(73)

Besondere F¨alle: 1) m1 = m2 → v1E = v2A und v2E = v1A . Zwei Teilchen gleicher Masse treffen aufeinander. Beide tauschen ihre Geschwindigkeiten (kinetische Energie) aus. 2) v2A = 0

→

v1E =

m1 −m2 v m1 +m2 1A

und v2E =

2m1 v . m1 +m2 1A

a) v2A = 0 und m1 = m2 → v1E = 0 und v2E = v1A . Teilchen 1 trifft auf ein gleich schweres ruhendes Teilchen (2). Nach dem Stoß ist Teilchen 1 in Ruhe und Teilchen 2 bewegt sich mit der Geschwindigkeit v1A . b) v2A = 0 und m2 ≫ m1 → v1E = −v1A und v2E ≈ 0. Ein leichtes Teilchen (1) trifft auf ein schweres ruhendes Teilchen (2). Das leichte Teilchen wird reflektiert (die kinetische Energie des Teilchens 1 bleibt erhalten), und das massive Teilchen bleibt in Ruhe. In diesem Fall ist der Impuls¨ ubertrag auf das schwere Teilchen 2~p1A (aufgrund der Richtungsumkehr). Eine geringe kinetische Energie wird auf das massive Teilchen u ¨bertragen (da v2E ≈ 0).

c) v2A = 0 und m1 ≫ m2 : → v1E = v1A und v2E = 2v1A Ein massives Teilchen (1) trifft auf ein ruhendes leichtes Teilchen (2). Nach dem Stoß beh¨alt das massive Teilchen die urspr¨ ungliche Geschwindigkeit bei und das leichte Teilchen bewegt sich doppelt so schnell.

9.4

Unelastischer Stoß

Ein Teil der kinetischen Energie wird in andere Energieformen umgewandelt, z.B. W¨arme, Verformung von K¨orpern etc. Beispiel: Autozusammenstoß - die Knautschzone sorgt daf¨ ur, dass das Auto langsamer abgebremst wird. Dadurch ist die Beschleunigung (und Kraft) geringer. Ein Teil der kinetischen Energie wird umgewandelt. Impuls: m1 v1A + m2 v2A 1 1 2 2 Energie: + m2 v2A m1 v1A 2 2

G. Herten

m1 v1E + m2 v2E 1 1 2 2 = + m2 v2E +Q m1 v1E 2 2 mit Q>0

46

=

(74) (75)

Experimentalphysik

9.5 Ballistisches Pendel F¨ ur den speziellen Fall des total unelastischen Stoßes (plastischer Stoß) gilt zus¨atzlich v1E = v2E . Aus der Impulserhaltung folgt somit: m1~v1A + m2~v2A = (m1 + m2 )~vE m1~v1A + m2~v2A ~vE = m1 + m2 2 m1 v1A m2 damit erh¨alt man f¨ ur v2A = 0 : Q = 2 m1 + m2 2 m1 v1A speziell f¨ ur: m1 = m2 : Q = 4

9.5

(76) (77) (78)

Ballistisches Pendel α l m1

s

m2

V1 A

h

V2 A=0

Beim Ballistischen Pendel schießt man mit einem Gewehr eine Kugel der Masse m1 auf einen Holzblock der Masse m2 , der an einer langen Schnur aufgeh¨angt ist. Daraufhin wird der Holzblock um eine Winkel α ausgelenkt. Durch Messung der Auslenkung s kann man die Geschwindigkeit der Kugel bestimmen. h = ℓ(1 − cos α),

v2A = 0,

s = ℓ sin α m1 v1A = (m1 + m2 )vE m1 + m2 v1A = vE m1 1 ∆K = ∆U → (m1 + m2 )vE2 = (m1 + m2 )gh 2p p 2gh = 2gℓ(1 − cos α) vE = α mit 1 − cos α = 2 sin2 2 r q p α p g 2 4gℓ sin α/2 = gℓ2 sin ≈ gℓ sin α = s vE = 2 ℓ r m1 + m2 g somit v1A = s. (79) m1 ℓ

Zahlenbeispiel: Beim Versuch in der Vorlesung haben wir folgende Zahlenwerte verwendet: m1 = 0, 5 g, m2 = 900 g, ℓ = 3, 18 m, s = 6 cm. G. Herten

47

Experimentalphysik

9.6 St¨oße in zwei und drei Dimensionen Damit erh¨alt man f¨ ur die Geschwindigkeit der Kugel v1A = 190 m/s. Einsetzen dieser Werte in (77) ergibt Q m2 = = 0, 9994, K1A m1 + m2 2 die kinetische Energie der Kugel ist. Somit wird fast 100 % der kinetischen wobei K1A = 12 m1 v1A Energie in andere Energieformen wie W¨arme oder potentielle Energie (Verformung des Holzes) umgewandelt.

9.6

St¨ oße in zwei und drei Dimensionen

Wir betrachten nun nicht-zentrale St¨oße, wie man sie h¨aufig beim Billardspiel anwendet.

y

v2E

m2

θ θ

b m 1 v1A

v1E x

Ein Teilchen mit der Masse m1 trifft auf ein ruhendes Teilchen der Masse m2 . Der Stoßparameter b gibt die Abweichung von einem zentralen Stoß (b = 0) an. Nach dem elastischen Stoß bewegt sich Teilchen 1 unter θ1 und Teilchen 2 unter θ2 fort. Zur Berechnung dieses Stoßprozesses verwenden wir die Impulserhaltung in x- und y-Richtung und die Erhaltung der kinetischen Energie. Impuls x: Impuls y: kin. Energie:

m1 v1A = m1 v1E cos θ1 + m2 v2E cos θ2 0 = −m1 v1E sin θ1 + m2 v2E sin θ2 1 1 1 2 2 2 m1 v1A = m1 v1E + m2 v2E 2 2 2

(80) (81) (82)

Wir haben vier Unbekannte (v1E , v2E , θ1 , θ2 ) aber nur drei Gleichungen. Somit wird der Stoß durch Impuls- und Energieerhaltung alleine nicht eindeutig festgelegt. Die auftretenden Winkel θ1 und θ2 h¨angen vom Stoßparameter b ab. Je nach Wahl von b erh¨alt man verschiedene Stoßwinkel. Die Gleichungen (80 - 82) erlauben die Berechnung der Gr¨oßen (v1E , v2E , θ1 , θ2 ) dann, wenn eine Gr¨oße z.B. θ1 durch Messung bestimmt wurde.

G. Herten

48

Experimentalphysik

10 Intermezzo: Teilchenphysik

10 10.1

Intermezzo: Teilchenphysik Teilchenstreuung

Stoßprozesse werden in der Teilchenphysik verwendet, um die Struktur der Teilchen zu untersuchen. So schießt man z.B. hochenergetische Elektronen auf eine Folie aus z.B. Gold und mißt die Impuls- und Winkelverteilung der Teilchen nach dem Stoß. Mit aufwendigen mathematischen Verfahren kann man dann aus diesen Messungen R¨ uckschl¨ usse auf die Struktur der Goldkerne und die Kr¨afte zwischen Elektron und Atomkern schließen. Dabei treten elastische und inelastische St¨oße (oder Streuungen) auf. Wie bisher besprochen bleibt bei der elastischen Streuung die kinetische Energie des Elektrons und des Kerns erhalten. Wie in 11.6 erl¨autert, werden Elektron und Kern unter bestimmten Winkeln θ1 und θ2 gestreut. Bei der inelastischen Streuung wird ein Teil der kinetischen Energie in andere Energieformen umgewandelt, z.B. Anregung von Kernen oder Erzeugung von neuen Elementarteilchen. Um diese Umwandlung von Energie in Materie (neue Elementarteilchen) verstehen zu k¨onnen, ben¨otigen wir einige Grundkenntnisse der speziellen Relativit¨atstheorie.

10.2

Relativistische Massenzunahme

Die bekannte Einstein’sche Gleichung besagt: E = mc2 = γm0 c2 = p

m0 c2 1 − (v/c)2

.

(83)

Dabei ist E die Gesamtenergie, m0 die Ruhemasse, v die Geschwindigkeit des Teilchens und c die Lichtgeschwindigkeit. Diese Gleichung besagt, dass Masse eine Erscheinungsform von Energie ist. Vor Einstein gab es den Energieerhaltungssatz und den Massenerhaltungssatz, der z.B. in der Chemie große Bedeutung hat. Durch Gleichung (83) werden beide Erhaltungss¨atze verkn¨ upft und wir finden, dass die Summe aller Energien und Massen erhalten ist. Damit er¨offnet sich aber auch die M¨oglichkeit, Energie in Masse umzuwandeln. Dies wird bei der inelastischen Teilchenstreuung ausgenutzt und nach (83) kann ein Teilchen mit der Masse Mc2 < Q erzeugt werden. Um m¨oglichst schwere Teilchen produzieren zu k¨onnen (großes Q), ben¨otigt man Teilchenstrahlen hoher Energie. Man verwendet Beschleuniger (Linearbeschleuniger oder Kreisbeschleuniger), die Teilchen auf fast Lichtgeschwindigkeit beschleunigen.

m γ=m

0

1 0

G. Herten

0,5

49

1

v c

Experimentalphysik

10.3 Naturkr¨afte Mit (58) haben wir d~v dm d~p = m + ~v F~ = dt dt dt

(84)

Betrachten wir eine Beschleunigung mit konstanter Kraft F~ . Am Anfang ist m ≈ m0 , d.h. ¨ die Kraft bewirkt eine Anderung der Geschwindigkeit. Der zweite Term mit dm/dt ist klein. Bei l¨angerer Einwirkung der Kraft erreicht v ≈ c, dann wird die Massen¨anderung dm/dt sehr groß. Die gesamte Kraft muss aufgewandt werden, um die Masse des Teilchens zu erh¨ohen, und die Geschwindigkeit wird nur minimal erh¨oht. Jede weitere Krafteinwirkung f¨ uhrt dazu, dass die Masse immer weiter ansteigt und die Geschwindigkeit immer n¨aher an die Lichtgeschwindigkeit heranreicht, ohne sie jemals zu erreichen oder gar zu u ¨bertreffen. Aufgrund von z.B. Ladungserhaltung kann ein einzelnes Elektron bei inelastischer Streuung nicht erzeugt werden. Es kann nur zusammen mit einem Positron (das Anti-teilchen des Elektrons) mit positiver elektrischer Ladung entstehen. Beispiel einer Reaktion: A + B → A + B + e+ e− Diese Reaktion ist m¨oglich, falls Q > 2me c2 me = 9, 11 · 10−31 kg c = 3 · 108 m/s

→

Q > 1, 64 · 10−13 J

In der Teilchenphysik wird eine andere Einheit f¨ ur Energie verwendet: das Elektronenvolt. 1 eV = kinetische Energie eines Elektrons, das eine Spannungsdifferenz von 1 Volt durchl¨auft. 1eV = 1, 602 · 10−19 J Die Elektronenmasse ist dann me = 5, 11 · 105 eV/c2 = 0.511MeV/c2 . Zur Erzeugung eines e+ e− Paares muss somit gelten Q > 2me c2 = 1, 02 MeV.

10.3

Naturkr¨ afte

Mit Hilfe von Streuexperimenten gelang es, die Kr¨afte zwischen Elementarteilchen zu untersuchen und Theorien aufzustellen, die diese Kr¨afte (Wechselwirkungen) mathematisch beschreiben. Im Rahmen der Quantentheorie wird Kraft so gedeutet, dass “Kraftteilchen” (Eichbosonen) zwischen zwei Teilchen ausgetauscht werden und dadurch Impuls und Energie von einem Teilchen auf ein anderes u ¨bertragen werden. Graphisch stellt man einen StoßProzess eines Elektrons mit einem Proton folgendermaßen dar (Feynman-Diagramm): Elektron und Proton bewegen sich aufeinander zu und tauschen ein Photon aus (das Eichboson der elektromagnetischen Kraft). Dadurch wird Impuls und Energie u ¨bertragen. In diesem Bild bestimmen die Eigenschaften der Eichbosonen die Struktur der Kr¨afte. So folgt z.B. das Coulombsche Gesetz (die Kraft zwischen zwei geladenen Teilchen ist umgekehrt proportional

G. Herten

50

Experimentalphysik

10.4 Bausteine der Materie

γ

e

p

e

p

zum Abstand r zum Quadrat: F ∼ r −2 ) aus der Tatsache, dass das Photon keine Masse hat. Kraft Elektromagnetisch Schwach

Stark Gravitation

10.4

Eichboson Photon γ mγ = 0 W ±, Z 0 mW ≃ 80 GeV mZ ≃ 91 GeV Gluon mg = 0 Graviton? mG = 0

Theorie Quantenelektrodynamik (QED) Glashow-Salam-Weinberg Theorie Quantenchromodynamik (QCD) Allgemeine Relativit¨atstheorie, noch keine Quantentheorie der Gravitation

Bausteine der Materie

Mit Hilfe von Streuexperimenten konnte man die elementaren Bausteine der Materie identifizieren, bei denen bisher noch keine Unterstruktur gefunden wurde. Man unterscheidet Quarks und Leptonen. Quarks Q koppeln an:       + 2/3 e top charm up γ,W,Z,g,G - 1/3 e bottom strange down

e ist die Ladung eines Protons. Es gibt deutliche Anzeichen f¨ ur die Existenz des Top-Quarks. Es konnte bisher aber noch nicht direkt im Experiment nachgewiesen werden. Quarks k¨onnen an alle bekannten Eichbosonen “koppeln”, d.h. alle bekannten Kr¨afte k¨onnen auf Quarks wirken. Quarks sind die Bestandteile von Protonen und Neutronen. Das Proton ist ein Bindungszustand von uud-Quarks und das Neutron von udd-Quarks. Quarks haben die elektrische Ladung +2/3 e und -1/3 e, wobei e die Protonladung ist. mu ∼ 5 MeV/c2 mc ∼ 1500 MeV/c2 mt ∼ 175 GeV/c2 Massen der Quarks: md ∼ 5 MeV/c2 ms ∼ 300 MeV/c2 mb ∼ 5 GeV/c2 Leptonen: Neutrino und geladenes Lepton  G. Herten

νe e

 

νµ µ

 

ντ τ

51



Q 0 -e

koppeln an: W,Z,G γ,W,Z,G

Experimentalphysik

11 Drehungen Massen der Leptonen: mν me mµ mτ

< = = =

2 eV/c2 0.51 MeV/c2 105 MeV/c2 1780 MeV/c2

Stabile Materie besteht nur aus u-, d- Quarks und Elektronen. c-,s-,t-,b-Quarks und µ-, τ Leptonen zerfallen nach der Erzeugung mit Lebensdauern τ ≤ 10−5 s. Das langfristige Ziel der Teilchenphysik ist es, eine einheitliche Theorie aller Naturkr¨afte zu finden. Bei der elektromagnetischen, schwachen und starken Wechselwirkung wurden in den letzten 25 Jahren große Fortschritte gemacht. Bisher ist es allerdings noch nicht gelungen, eine Theorie der Gravitation zu finden, die vertr¨aglich ist mit der Relativit¨atstheorie und mit der Quantentheorie.

11 11.1

Drehungen Drehmoment

Nach dem Newtonschen Gesetz bewirkt eine Kraft eine lineare Beschleunigung in Richtung der Kraft. Was bewirkt eine Drehbewegung und eine Winkelbeschleunigung? Das Analogon zur Kraft ist das Drehmoment bei einer Drehung.

y θ

F

r 0

x

Dazu definieren wir ein Inertialsystem und berechnen das Drehmoment bez¨ uglich des Ursprungs O. Eine Kraft F~ wirkt auf ein Teilchen P, das sich am Ort ~r befindet. Dann ist das Drehmoment bezogen auf den Koordinatenursprung O: ~τ = ~r × F~

(85)

Das Drehmoment ist ein Vektor mit dem Betrag τ = rF sin θ

(86)

~τ steht senkrecht auf der Ebene, die von ~r und F~ aufgespannt ist. In unserem Beispiel zeigt ~τ in die Papierebene. Die Einheit von ~τ ist Nm, dieselbe Einheit wie Arbeit und Energie, aber das Drehmoment ist vollkommen verschieden von Energie. Das Drehmoment ist ein Vektor, die Energie ein Skalar. Das Drehmoment h¨angt nicht nur davon ab, wo die Kraft an einem K¨orper G. Herten

52

Experimentalphysik

11.2 Drehimpuls angreift, sondern auch wo sich dieser Punkt bez¨ uglich des Koordinatenursprungs befindet. Eine Angabe des Drehmomentes ist nur dann sinnvoll, wenn auch der Koordinatenursprung angegeben wird. Wirkt die Kraft direkt am Koordinatenursprung, so ist ~τ = 0, da ~r = 0. Nur die Kraftkomponente senkrecht zu ~r tr¨agt zum Drehmoment bei. Falls θ = 0 oder θ = 180◦ , ist ~τ = 0.

11.2

Drehimpuls

Den linearen Impuls p~ = mv ~ haben wir bisher ausgiebig verwendet. Das Analogon zum Impuls ist der Drehimpuls f¨ ur Drehungen. Betrachten wir ein Teilchen am Ort ~r bez¨ uglich des Koordinatenursprungs O, das sich mit der Geschwindigkeit ~v bewegt, so ist der Drehimpuls gegeben durch: ~ℓ = ~r × ~p mit dem Betrag ℓ = rp sin θ, dabei ist θ der Winkel zwischen ~r und p~. Wiederum ist ~ℓ nur die Komponente von p~ entscheidend, die senkrecht zu ~r liegt. Befindet sich das Teilchen im Koordinatenursprung, so ist ~r = 0 und somit ~ℓ = 0. Ein Drehimpuls muss daher auch immer bez¨ uglich eines Koordinatenursprungs angegeben werden. Wir berechnen nun eine wichtige Beziehung zwischen Drehmoment und Drehimpuls. d~p 2. Newtonsches Gesetz: F~ = dt d~p d~p Vektorprodukt mit r: ~r × F~ = ~r × → ~τ = ~r × dt dt

(87)

Weiterhin benutzen wir ~ℓ = ~r × p~ und bilden die zeitliche Ableitung (Formelsammlung Kap. 2.2):

mit

d~ℓ d d~r d~p = (~r × ~p) = × p~ + ~r × dt dt dt dt d~r = ~v und ~v × (m~v ) = 0 (da ~v × ~v = 0) dt

bleibt nur der 2. Term u ¨ brig, mit (87) erhalten wir dann ~τ =

d~ℓ . dt

(88)

¨ Die zeitliche Anderung des Drehimpulses ist gleich dem wirkenden Drehmoment. ~ Dies ist analog zu F = d~p/dt f¨ ur die Translation.

11.3

Systeme von Teilchen

F¨ ur ein System von n Teilchen haben wir: ~ = ~ℓ1 + ~ℓ2 + . . . + ~ℓn = L

n X

ℓi

i=1

G. Herten

53

Experimentalphysik

11.4 Tr¨agheitsmoment Wie bei der Diskussion des Schwerpunktes tragen auch bei der Drehung die internen Kr¨afte nach dem 3. Newton’schen Gesetz nicht zum Gesamtdrehmoment bei. Das Gesamtdrehmoment ist daher die Summe aller ¨außeren Drehmomente und daher gilt ~ dL ~τext = dt

(89)

¨ Die zeitliche Anderung des Gesamtdrehimpulses eines Systems von Teilchen bez¨uglich eines Ursprungs eines Inertialsystems ist gleich der Summe der ¨außeren Drehmomente, die auf das System wirken. dP~ Dies ist analog zu (60) F~ext = . dt Im allgemeinen kann man die Bewegung eines Systems von Teilchen separieren in: 1) Translationsbewegung des Schwerpunktes (F~ext = dP~ /dt) ~ 2) Drehung bez¨ uglich des Schwerpunkts (~τext = dL/dt).

11.4

Tr¨ agheitsmoment

Bei einem “starren K¨orper” nehmen die Teilchen relativ zueinander immer die gleiche Position ein. Wir betrachten die Rotation eines starren K¨orpers um eine Achse, die in einem Inertialsystem fest liegt. Der K¨orper rotiere mit der Winkelgeschwindigkeit ω. Ein Teilchen der Masse m im Abstand r von der Achse hat somit die kinetische Energie 1 2 1 2 2 mv = mr ω . 2 2 Man beachte, dass r hier p der senkrechte Abstand zur Drehachse ist. Falls die Achse z.B. in z-Richtung liegt, ist r = x2 + y 2 . Die gesamte kinetische Energie des K¨orpers ist dann Die Gr¨oße

1 1 X K = (m1 r12 + m2 r22 + . . . + mn rn2 )ω 2 = ( mi ri2 )ω 2 2 2 I=

X

mi ri2

(90)

(91)

nennen wir das Tr¨agheitsmoment bez¨ uglich dieser Drehachse. Die kinetische Energie des starren K¨orpers bez¨ uglich dieser Achse ist somit 1 K = Iω 2 2

(92)

Im Vergleich zur Translation (K = 12 mv 2 ) sehen wir, dass die Masse unabh¨angig von der Wahl des Koordinatensystems, das Tr¨agheitsmoment hingegen von der Drehachse abh¨angig ist. Bei einem starren K¨orper, der um eine raumfeste Achse mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotiert finden wir analog f¨ ur die Komponente des Drehimpulses entlang der Drehachse X X X Lz = ri pi = ri mi vi = ( mi ri2 )ω 2 = Iω (93) i

G. Herten

54

Experimentalphysik

11.5 Drehimpulserhaltung

ω

ω

ω

I1

I2

I3

In Kapitel 14 werden wir die Beziehung zwischen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit genauer untersuchen. Beispiel: 3 K¨orper mit gleicher Masse I1 < I2 < I3

und K1 < K2 < K3

Wie beim Schwerpunkt k¨onnen wir auch hier den Grenzwert lim∆m→0 durchf¨ uhren und erhalten das Tr¨agheitsmoment f¨ ur eine kontinuierliche Massenverteilung Z Z 2 I = r dm = r 2 ρ(x, y, z)dV (94) V

Wie bereits gesagt, ist r der senkrechte Abstand zur Drehachse. Sp¨ater werden wir die Tr¨agheitsmomente einiger K¨orper berechnen.

11.5

Drehimpulserhaltung

~ Ausgehend von der Beziehung τext = dL/dt betrachten wir nun freie Systeme, bei denen ~ ~τext = 0. Damit erhalten wir dL/dt = 0 und somit ~ = L

const.

(95)

~ = ~ℓ1 + ~ℓ2 + . . . + ~ℓn . Dies ist das Prinzip der Drehimpulserhaltung: Dabei ist L Wenn das gesamte ¨außere Drehmoment null ist, bleibt der totale Drehimpulsvektor erhalten. Das Prinzip der Drehimpulserhaltung hat in der Physik eine ¨ahnliche Bedeutung wie die Impuls- und Energieerhaltung. Alle gelten sowohl in der klassischen Physik als auch in der Quantenphysik. Beispiel: Bei einer Drehung um eine ortsfeste Achse muss Lz = Iω = const. sein. Wenn man das Tr¨agheitsmoment durch Verlagerung von Massen vergr¨oßert, muss ω kleiner werden. Bei Verkleinerung von I wird die Winkelgeschwindigkeit gr¨oßer.

G. Herten

55

Experimentalphysik

11.6 Steinerscher Satz

11.6

Steinerscher Satz

Wir betrachten einen K¨orper, der sich um eine raumfeste Achse dreht, die in z-Richtung durch den Schwerpunkt f¨ uhrt. Das Koordinatensystem wird so gew¨ahlt, dass der Nullpunkt im Schwerpunkt liegt.

y

yi mi P d C

b xi

a

x Wir wollen nun eine Beziehung suchen zwischen dem Tr¨agheitsmoment Icm umd die Achse durch den Schwerpunkt und das Tr¨agheitsmoment IP bez¨ uglich einer zweite Achse, die parallel dazu liegt und durch den Punkt P verl¨auft. Icm = IP =

X

X

X

mi ri2 =

X

mi (x2i + yi2)

mi [(xi − a)2 + (yi − b)2 ]

mi [x2i − 2axi + a2 + yi2 − 2byi + b2 ] X X X X = mi (x2i + yi2 ) − 2a mi xi − 2b mi yi + (a2 + b2 ) mi . P P Mit der Definition des Schwerpunktes ~ r = m ~ r erhalten wir mi xi = 0 und cm i i P mi yi = 0, daPder Koordinatenursprung in den Schwerpunkt gelegt wurde. Damit erhalten P wir mit Icm = mi (x2i + yi2 ) und d2 = a2 + b2 , M = mi den =

Steinerschen Satz: IP = Icm + Md2

(96)

Das Tr¨agheitsmoment eines starren K¨orpers bez¨uglich einer Achse durch P berechnet man, indem man zum Tr¨agheitsmoment des K¨orpers bez¨uglich einer durch den Schwerpunkt verlaufenden und zu P parallelen Achse das Tr¨agheitsmoment der ganzen im Schwerpunkt vereinigten Masse bez¨uglich der Achse P addiert. Mit diesem Satz l¨aßt sich die Berechnung von Tr¨agheitsmomenten h¨aufig vereinfachen.

11.7

Berechnung von Tr¨ agheitsmomenten

F¨ ur einen K¨orper mit kontinuierlicher Massenverteilung gilt f¨ ur das Tr¨agheitsmoment (94): Z Z 2 I = r dm = r 2 ρ(x, y, z)dV, V

G. Herten

56

Experimentalphysik

11.7 Berechnung von Tr¨agheitsmomenten wobei r der Abstand senkrecht zur Drehachse ist. Die Masse eines K¨orpers mit kontinuierlicher Massenverteilung l¨aßt sich aus der Dichte ρ und dem Volumen V berechnen. m = ρV

(97)

Differenzieren ergibt dm = ρdV , dabei ist dV ein Volumenelement: dV = dx dy dz. Bei der Berechnung von Tr¨agheitsmomenten empfiehlt es sich oft, Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) zu verwenden: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z. Ein Volumenelement ist dann gegeben durch (FS: 3.7): dx dy dz = r dr dϕ dz. Dies kann man sich auch anschaulich an Hand der folgenden Zeichnung klarmachen.

dr

y r

dϕ

ds ϕ

r

x

dA = ds dr

Der Kreisbogen bei einer Drehung um dϕ ist ds = r dϕ. Somit erhalten wir f¨ ur die Fl¨ache dA = ds dr = r dϕ dr und f¨ ur das Volumenelement dV = r dϕ dr dz.

Beispiel 1: Zylinder der L¨ange L, Innenradius ra , Außenradius rb .

ra rb L

Die Fl¨ache eines Kreises ist A = R2 π. Damit ergibt sich f¨ ur das Volumen eines Hohlzylinders V

= L(Ab − Aa ) = Lπ(rb2 − ra2 ) und f¨ ur die Masse M = ρV = ρπ(rb2 − ra2 )L . G. Herten

57

Experimentalphysik

11.7 Berechnung von Tr¨agheitsmomenten Zur Berechnung des Tr¨agheitsmoments benutzen wir (94) und erhalten mit Integration u ¨ ber die drei Raumkoordinaten. Z Z Z Icm = dx dy dz (x2 + y 2 )ρ Z L/2 Z 2π Z rb = rr 2 ρ dr dϕ dz −L/2

0

ra

1 πρL(rb4 − ra4 ) = 2 mit rb4 − ra4 = (rb2 − ra2 )(rb2 + ra2 ) erhalten wir 1 2 (r + ra2 )ρπL(rb2 − ra2 ) Icm = 2 b

Dabei ist der letzte Teil gleich der Gesamtmasse M. Somit k¨onnen wir schreiben 1 Icm = M(rb2 + ra2 ) 2

(98)

Falls wir das Tr¨agheitsmoment um die Achse P berechnen wollen (an der ¨außeren Oberfl¨ache des Zylinders), so k¨onnen wir den Steinerschen Satz verwenden: 1 Ip = Icm + rb2 M = M(rb2 + ra2 ) + rb2 M 2 1 = M(3rb2 + ra2 ) 2 Beispiel 2: Quader mit Kantenl¨angen a, b, c. Wiederum wird das Koordinatensystem so gelegt, dass der Nullpunkt im Schwerpunkt des Quaders liegt. Die x-Achse liegt parallel zur Kante mit der L¨ange a, entsprechen liegt y entlang der Kante mit b und z entlang der Kante mit der L¨ange c. Die Drehachse ist die z-Achse.

Icm =

Z

c/2

dz

= = = Gesamtmasse M = somit Icm = G. Herten

b/2

dy

Z

a/2

dx ρ(x2 + y 2 ) −a/2

1 a/2 dy(xy 2 + x3 ) 3 −a/2 −b/2 Z b/2 a3 dy(ay 2 + ) ρc 12 −b/2 b/2 1 1 ρc( ay 3 + a3 y) −b/2 3 12 3 1 b 1 ρc( a · 2 + a3 b) 3 8 12 abc 2 (b + a2 ) ρ 12 abc · ρ M 2 (b + a2 ) 12

= ρc =

b/2

−b/2

−c/2

Z

Z

58

(99) Experimentalphysik

11.8 Translation und Rotation Weitere wichtige Tr¨agheitsmomente (ohne Rechnung) sind: Beispiel 3: Homogene Kugel 4 Masse M = πρR3 3 Tr¨agheitsmoment um Achse durch Schwerpunkt: 2 Icm = MR2 . 5

(100)

Tr¨agheitsmoment um Achse tangential zur Oberfl¨ache der Kugel: 7 2 Ip = Icm + R2 M = MR2 + R2 M = MR2 5 5

(101)

Beispiel 4: Stab der L¨ange L mit einer Achse durch den Schwerpunkt senkrecht zum Stab

Icm =

11.8

M L2 12

IP =

M L2 12

+ M( L2 )2 =

M L2 3

Translation und Rotation

Wir betrachten einen K¨orper, der auf einer Oberfl¨ache rollt. Welche Rotationsachse soll man w¨ahlen, um z.B. die kinetische Energie des K¨orpers zu berechnen? Es gibt zwei M¨oglichkeiten: 1) Man kann die Bewegung in zwei Teile aufspalten: a) Translation des Schwerpunktes b) Rotation um die Achse durch den Schwerpunkt 2) Reine Rotation um eine Achse, die durch den Auflagepunkt verl¨auft.

2 vcm

Q C

vcm P

G. Herten

59

Experimentalphysik

11.9 Beispiele Im folgenden wird gezeigt, dass beide Verfahren ¨aquivalent sind. Dazu betrachten wir zun¨achst Verfahren 2. Wenn wir die Bewegung des K¨orpers in einem kurzen Zeitintervall betrachten, so ist der K¨orper am Punkt P in Ruhe, er bewegt sich im Punkt C mit vcm und am Punkt Q mit 2vcm . Die Drehachse durch P heißt auch momentane Drehachse. Der K¨orper dreht sich um diese Achse mit der Winkelgeschwindigkeit ω. Somit ist die totale kinetische Energie 1 IP ω 2 2 mit IP = Icm + MR2 einsetzen in (102) ergibt 1 1 Icm ω 2 + MR2 ω 2 K = 2 2 K

(102)

=

Nun ist Rω die Geschwindigkeit des Schwerpunktes C, somit vcm = Rω. Damit erhalten wir 1 1 2 K = Icm ω 2 + Mvcm 2 2

(103)

Von P aus gesehen dreht sich der Schwerpunkt C mit der Winkelgeschwindigkeit ω. Aber auch ein Beobachter in C findet, dass sich Punkt P mit derselben Winkelgeschwindigkeit ω dreht. Somit k¨onnen wir Gleichung (103) auch folgendermaßen interpretieren: Der erste Term beschreibt die Rotationsenergie bez¨ uglich einer Achse durch den Schwerpunkt, und der zweite Term beschreibt die Translation des Schwerpunktes. Wir k¨onnen zusammenfassen: Der kombinierte Effekt von der Translation des Schwerpunktes und der Rotation um eine Achse durch den Schwerpunkt ist ¨aquivalent zu einer reinen Rotation mit derselben Winkelgeschwindigkeit um eine Achse durch den Auflagepunkt. Diesen Sachverhalt k¨onnen wir auch anschaulich verstehen.

Q vcm

ω R = vcm

2 vcm

Q

Q C

vcm

C

C P

P vcm Translation

vcm P

ωR = vcm Rotation um C

Translation und Rotation um C = Rotation um P

Wenn wir Translation und Rotation getrennt betrachten, so k¨onnen wir die Geschwindigkeiten an den Punkten P, C und Q separat bestimmen. Bei Addition beider Bewegungen erhalten wir eine Geschwindigkeitsverteilung wie bei einer Rotation um eine Drehachse durch Punkt P.

11.9

Beispiele

Zylinder auf einer schiefen Ebene G. Herten

60

Experimentalphysik

11.9 Beispiele

s

h

ω

θ

a) Energieerhaltung Zun¨achst benutzen wir die Energieerhaltung, um die Geschwindigkeit v des Schwerpunktes beim Auftreffen am Boden zu bestimmen. ∆U = −Mgh 1 1 Icm ω 2 + Mv 2 ∆K = 2 2

mit ω = v/R.

F¨ ur die meisten homogenen rotationssymmetrischen K¨orper finden wir einen Ausdruck f¨ ur das 2 Tr¨agheitsmoment der Form I = βMR , wobei M die Masse, R der ¨außere Radius und β eine Konstante ist. Unter Ausnutzung der Energieerhaltung ∆U + ∆K = const., erhalten wir: v 1 1 1 (βMR2 )( )2 + Mv 2 = (β + 1)Mv 2 2 R 2 r 2 2 2 = gh oder v = gh 1+β 1+β

Mgh = v2

(104)

Zum Vergleich berechnen wir die Geschwindigkeit vT der reinen Translation vT (der K¨orper rutscht ohne Reibung herunter). p 1 Mgh = MvT2 → vT = 2gh 2

Wir sehen, dass dieses Resultat in (104) enthalten ist, da f¨ ur Rutschen β = 0 gilt. Somit ist die Geschwindigkeit beim Rollen (β > 0) kleiner als beim Rutschen (β = 0), da ein Teil der kinetischen Energie in der Rotation steckt. Dennoch haben beide beim Auftreffen dieselbe totale kinetische Energie. q Vergleich:

homogener Zylinder Rohr

I I

= =

1 MR2 2 2

MR

→ v → v

4 = gh √3 gh =

homogene Kugel

I

=

2 MR2 5

→ v

=

q

10 gh 7

Somit rollt ein Rohr langsamer als ein homogener Zylinder, die Kugel ist am schnellsten. Die Geschwindigkeit eines K¨orpers h¨angt nicht direkt von seiner Masse und dem Radius sondern nur von seiner Form (gegeben durch β = I/MR2 ) ab.

b) Berechnung mit Kr¨aften G. Herten

61

Experimentalphysik

11.9 Beispiele

N h

f Mg sinθ Mg cosθ Mg

θ

Wir berechnen nun dieselbe Bewegung unter Verwendung des 2. Newtonschen Gesetzes. Wir haben mehrere Kr¨afte, die an dem K¨orper (z.B. Zylinder) wirken. Die Gewichtskraft M~g , ~ , senkrecht zur schiefen Ebene, und die Reibungskraft f~ entgegengesetzt zur die Normalkraft N Bewegungsrichtung. Ohne Reibungskraft w¨ urde der Zylinder rutschen, und es k¨ame zu keiner Rotation. Wir betrachten wie u ¨blich die Kr¨afte in der schiefen Ebene und senkrecht dazu: senkrecht: N − Mg cos θ = 0 in der Ebene: Mg sin θ − f = Ma Dabei ist a die Beschleunigung des Zylinders. Das Drehmoment bez¨ uglich des Schwerpunktes ist dLz d dω τ= = (Icm ω) = Icm = Icm α. dt dt dt ~ steht anti-parallel zum Ortsvektor, der vom Schwerpunkt ausgeht und M~g wirkt am SchwerN punkt. Somit tragen beide Kr¨afte nicht zum Drehmoment bei. Nur f~ erzeugt ein Drehmoment. Es ist gegeben durch τ = f R = Icm α a 1 MR2 und α = Mit Icm = 2 R 1 α f = Icm = Ma. R 2

finden wir

Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt 1 3 Mg sin θ = Ma + Ma = Ma 2 2 2 somit a = g sin θ. 3 Dies bedeutet, dass die Beschleunigung des Schwerpunktes kleiner ist als bei reiner Translation (a = g sin θ).

G. Herten

62

Experimentalphysik

11.10 Haupttr¨agheitsachsen Geschwindigkeit: √ 1 mit v = at und s = at2 folgt v = 2as. 2 h Mit s = erhalten wir sin θ r 4 v = gh, wie vorhin mit der Energiemethode. 3 Wir k¨onnen auch die Reibungskraft berechnen: 1 1 f = Ma = gM sin θ 2 3 Falls die Reibungskraft (statische Reibung) kleiner als dieser Wert ist, f¨angt der Zylinder an zu rutschen. Wir haben gesehen, dass Reibung die Voraussetzung f¨ ur eine Rollbewegung ist. Nun u ¨berrascht es, dass wir in beiden Rechnungen a) und b) dasselbe Resultat erhalten, obwohl die entscheidende Reibung bei der Benutzung der Energieerhaltung nicht ber¨ ucksichtigt wurde. Dies l¨aßt vermuten, dass zwar Reibung vorliegt, allerdings keine Energie durch die Reibung verloren geht. Um dies zu verstehen, betrachten wir die Arbeit ∆W , die durch die Reibungskraft verrichtet wird: ∆W = f · ∆s. F¨ ur den Kontaktpunkt hatten wir aber gesehen, dass er in Ruhe ist, und somit ist ∆s = 0 also ∆W = 0, Reibungsverluste treten dann auf, wenn (z.B. beim Auto, das mit angezogener Handbremse eine schiefe Ebene hinabrutscht), sich der Zylinder nicht dreht, sondern am Auflagepunkt gleitet.

11.10

Haupttr¨ agheitsachsen

L m

ω

L r

m

r1 m

ω

m

ϕ r2 r1 = r2

Wir betrachten einen K¨orper mit zwei Massen, die um die z-Achse rotieren. Beim linken Diagramm (a) steht die Verbindungslinie beider Massen senkrecht auf der Drehachse, und im ~ parallel zu ~ω , rechten Diagramm (b) bildet sie einen Winkel ϕ mit der Drehachse. F¨ ur (a) ist L ~ und ω ~ der Gesamtdrehimpuls aber im Fall (b) haben L ~ verschiedene Richtungen, dabei ist L beider Massen bez¨ uglich des Kreuzungspunktes von der Drehachse und der Verbindungslinie beider Massen. ~ = ~ℓ1 + ~ℓ2 = ~r1 × p~1 + ~r2 × p~2 L

G. Herten

63

Experimentalphysik

11.10 Haupttr¨agheitsachsen Fall a) Drehung um Symmetrieachse L = 2rp = 2rmv = 2mr 2 ω = 2mr 2 ω I = 2mr 2 und somit erhalten wir L = Iω Fall b) Drehung um geneigte Achse L = 2rmv = 2rmρω = 2mr 2 ω sin ϕ I = 2mρ2 = 2mr 2 sin2 ϕ Damit ist L = sinI ϕ ω 6= Iω. ~ z von L ~ immer noch: Allerdings gilt f¨ ur die z-Komponente L Lz = L cos(

π − ϕ) = L sin ϕ = 2mr 2 ω sin2 ϕ 2

und damit Lz = Iω.

(105)

Somit gilt die Beziehung Lz = Iω immer bzgl. einer festgegebenen Drehachse in z-Richtung. ur bestimmte Achsen, die “Haupttr¨agheitsachsen”, gilt: Aber nur f¨ ~ = I~ω , L

(106)

~ zeigen in dieselbe Richtung. Man kann zeigen, dass jeder K¨orper mindestens d.h. ~ω und L drei senkrecht zueinander stehende Haupttr¨agheitsachsen hat, f¨ ur die der Drehimpuls parallel zur Drehrichtung steht. Um diese Achsen kann sich der K¨orper frei drehen. Deshalb nennt man die Haupttr¨agheitsachsen auch freie Achsen. Bei allen anderen Achsen muss man Lager verwenden, die den K¨orper zwingen, in Drehrichtung zu bleiben. Dabei werden w¨ahrend der Rotation Kr¨afte auf die Lager u ¨ bertragen. Bei schnell rotierenden Teilen (Autorad, Propeller, Turbinenschaufeln) muss man darauf achten, dass sie ausgewuchtet sind, d.h. die Drehung soll l¨angs einer Haupttr¨agheitsachse erfolgen, um Besch¨adigungen der Lager zu vermeiden. Die Tr¨agheitsmomente um die freien Achsen heißen Haupttr¨agheitsmomente. Stabile Achsen sind die Achsen mit dem gr¨oßten und kleinsten Tr¨agheitsmoment; sie bleiben auch bei kleinen St¨orungen erhalten. Labil ist die Achse mit dem mittleren Tr¨agheitsmoment; sie wird durch kleine St¨orungen ge¨andert.

stabil

labil stabil

Beispiel f¨ ur stabile und labile Lagen einer Kugel auf einer Oberfl¨ache.

G. Herten

64

Experimentalphysik

11.11 Freier symmetrischer Kreisel Man findet, dass die stabilste Achse, die mit dem gr¨oßten Tr¨agheitsmoment ist. Bei Drehung um eine Haupttr¨agheitsachse haben wir ~ = I~ω L d~ω ~ mit ~τ = dL/dt erhalten wir ~τ = I = Iα ~. dt Falls ~τ = 0 ergibt sich I~ω = const. Ein starrer K¨orper (I = const.), der sich um eine Haupttr¨agheitsachse dreht, bewegt sich bei Abwesenheit ¨außerer Drehmomente mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. Dies ist das Tr¨agheitsgesetz der Rotation. F¨ ur einen K¨orper, der sich um eine beliebige Achse in z-Richtung dreht, gilt: d dLz = (Iω). τz = dt dt Falls die Richtung der Drehachse fixiert ist, sodass I = const., gilt τz = I

11.11

dω = Iα dt

Freier symmetrischer Kreisel

e3

L

L3

L 3 = I 3 ω3

ω

ω3

L 1 = I 1 ω1

ω1 e1

L1

Bisher haben wir Drehungen von starren K¨orpern um eine raumfeste Achse betrachtet, die mit Lagern festgelegt wird. Bei der Drehung um Haupttr¨agheitsachsen ist zwar die Drehachse nicht raumfest, aber sie ist fest im K¨orper fixiert. Nun werden wir einen Kreisel betrachten, bei dem die Drehachse fortw¨ahrend ihre Richtung im K¨orper ¨andern kann, obwohl sie in einem Punkt gelagert ist. Wir betrachten einen symmetrischen Kreisel (rotationssymmetrische K¨orper, genauer: die Tr¨agheitsmomente um zwei Haupttr¨agheitsachsen sind gleich). Die drei senkrechten Haupttr¨agheitsachsen spannen ein rechtwinkliges Koordinatensystem auf ~e1 , ~e2 , ~e3 . Die geometrische Figurenachse ist eine Haupttr¨agheitsachse (z.B. ~e3 -Achse, sie soll die Achse mit dem gr¨oßten Tr¨agheitsmoment sein). Infolge der Rotationssymmetrie sind alle Richtungen senkrecht zur Figurenachse gleichberechtigt. Der Kreisel wird kr¨aftefrei gelagert, indem wir ihn im Schwerpunkt G. Herten

65

Experimentalphysik

11.12 Schwerer symmetrischer Kreisel unterst¨ utzen. Der Kreisel wird um die Haupttr¨agheitsachse mit dem gr¨oßten Tr¨agheitsmoment I3 (in ~e3 -Richtung) in Drehung versetzt. Die Winkelgeschwindigkeit ~ω3 zeigt in ~e3 -Richtung. ~ 3 = I3 ~ω3 , der ebenfalls in ~e3 -Richtung zeigt. In diesem Der Kreisel hat einen Drehimpuls L ~ 3 dieselbe Richtung. Wenn wir den Kreisel seitlich Fall haben also Figurenachse (~e3 ), ~ω3 und L ~ 1 = I1 ~ω1 , so anstoßen, sodass er eine zus¨atzliche Drehung um die ~e1 -Achse erh¨alt mit ~ω1 und L beobachtet man eine kreisende Bewegung der Figurenachse. Um die Bewegung zu verstehen, unterscheiden wir drei Achsen: 1) Figurenachse: K¨orperfeste Haupttr¨agheitsachse (hier die ~e3 -Richtung) 2) Momentane Drehachse: Richtung von ~ω = ~ω1 + ~ω3 ~ =L ~1 + L ~3 3) Drehimpulsachse: Richtung von L ~ 3 ist der Drehimpuls des Kreisels vor dem Stoß und L ~ 1 der Drehimpuls, den der Kreisel L ~ = L ~1 + L ~ 3 und ~ω = ω aufgrund des seitlichen Stoßes erh¨alt. Da I3 > I1 , haben L ~ 1 + ~ω3 ~ 3 und verschiedene Richtung. Diese Richtungen sind verschieden von der Figurenachse (gleich L ~ω3 Richtung). Dies ist ein freies System, daher bleibt der Gesamtdrehimpulsvektor L erhalten. Die Drehimpulsrichtung wird bei noch so komplizierten Bewegungen des Kreisels beibehalten.

L

ω e3

Rastpolkegel

Figuren achse Nutationskegel

~ und Der Vektor ~ω l¨auft auf einem raumfesten Kreiskegel (Rastpolkegel) mit der Achse L ~ ~ω und ~e3 liegen stets in einer Ebene. Die dem Schwerpunkt als Spitze ab. Die Vektoren L, ~ nennt man Nutation. Die Nutationswinkelgeschwindigkeit ist Bewegung von ~ω und ~e3 um L gegeben durch L (107) ωN = I1

11.12

Schwerer symmetrischer Kreisel

Nun betrachten wir einen Kreisel, z.B. ein Gyroskop, bei dem ¨außere Kr¨afte wirken. Wir k¨onnen z.B. auf das Gyroskop von oben oder unten mit einem Stab stoßen. Wir beobachten dann, dass G. Herten

66

Experimentalphysik

11.12 Schwerer symmetrischer Kreisel

das Gyroskop seitlich nach rechts oder links ausweicht. Bei einer seitlichen Ber¨ uhrung beobachtet man ein Ausweichen des Gyroskops nach oben oder unten. Dies kann mit der Beziehung ~ ~τ = dL/dt erkl¨art werden. Durch die ¨außere Kraft wird ein Drehmoment erzeugt, das senkrecht zur Kraft steht. Dadurch erh¨alt der Kreisel einen zus¨atzlichen Drehimpuls, der zu einer seitlichen Verschiebung der Achse f¨ uhrt. ~ K rotiert. Die Abbildung zeigt ein Gyroskop, das vor dem Stoß mit dem Drehimpuls L Durch Einwirken einer Kraft F~ wird ein Drehmoment T~ erzeugt, das zu einem zus¨atzlichen ~ T senkrecht zu L ~ K f¨ Drehimpuls L uhrt. Z.B. im Fall a) wird das Gyroskop in der horizontalen Ebene abgelenkt. Dieses Ph¨anomen kann deutlich gezeigt werden, wenn wir ein Gewicht an das Gyroskop h¨angen. Dann wird das Gyroskop seitlich abgelenkt und bewegt sich auf einer Kreisbewegung um die vertikale Achse. Diese Bewegung nennt man Pr¨azession des Kreisels. ~ Nutation: Drehung von Figurenachse und ~ω um L. ~ Pr¨azession: Drehung von L um die Vertikale. Im allgemeinen f¨ uhrt ein schwerer Kreisel sowohl eine Nutation als auch eine Pr¨azessionsbewegung durch. Herleitung der Pr¨azessionswinkelgeschwindigkeit ωp : Wir betrachten einen Kreisel(s. Zeichnung), der im Abstand ℓ vom Schwerpunkt unterst¨ utzt wird. Dadurch bewirkt die Schwerkraft ein Drehmoment

G. Herten

67

Experimentalphysik

12 Tr¨agheitskr¨afte

z ∆φ

z ∆L

l

θ

L sinθ L

θ

x

mg

τ = mgℓ sin θ ~ ∆L Definition des Drehmomentes: ~τ = ∆t ∆L τ ∆t mg ℓ ∆t anhand der Zeichnung: ∆φ = = = L sin θ L sin θ L mg ℓ mg ℓ ∆φ = = ωp = ∆t L L

(108)

Allgemeine Kreiselbewegung: ~ um die vertikale z-Achse mit zeitlich kon1) Pr¨azessionsbewegung des Drehimpulsvektors L ~ und z-Achse). stantem Polarwinkel θL (Winkel zwischen L ~ Dadurch ist der Polarwinkel der Figuren2) Nutationsbewegung der Figurenachse ~e3 um L. achse zeitabh¨angig θF = θF (t). 3) Drehbewegung des Kreisels um seine Figurenachse.

12

Tr¨ agheitskr¨ afte

Wir hatten bereits in Kapitel 4.2 Galilei-Transformationen besprochen und gefunden, dass Systeme, die sich mit einer gleichf¨ormigen Translationsbewegung zueinander bewegen, ununterscheidbar sind. Inertialsysteme sind dadurch ausgezeichnet, dass in ihnen das Tr¨agheitsgesetz gilt, d.h. ein kr¨aftefreier K¨orper ist in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit. Die Newtonschen Gesetze gelten nur in Inertialsystemen. Wie m¨ ussen wir die Newtonschen Gesetze ab¨andern, damit sie auch in Nicht-Inertialsystemen gelten? Diese Frage ist wichtig, da wir bereits in Kapitel 5.1 erw¨ahnten, dass die meisten Systeme, die wir f¨ ur unsere Rechnungen benutzen, z.B. Erdoberfl¨ache, eigentlich keine Inertialsysteme sind. Genaue Messungen sollten daher Abweichungen von den Vorhersagen der Newtonschen Gesetze zeigen. Wir werden sehen, dass man die Newtonschen Gesetze f¨ ur Nicht-Inertialsysteme durch Einf¨ uhrung von Tr¨agheitskr¨aften (Scheinkr¨aften) so modifizieren kann, dass sie mit den Beobachtungen u ¨bereinstimmen. G. Herten

68

Experimentalphysik

12.1 Beschleunigte geradlinige Bewegung

12.1

Beschleunigte geradlinige Bewegung

Wir betrachten eine Masse, die sich in einem Zug befindet und reibungsfrei gleiten kann. Die Masse wird von einem Beobachter B außerhalb des Zuges gesehen, der sich im Inertialsystem (x,y,z) befindet, z.B. auf dem Bahnsteig. Ein zweiter Beobachter B ′ im Zug sieht dieselbe Masse und misst ihre Bewegung im zugfesten Koordinatensystem (x′ , y ′,z ′ ). Der Zug wird nun in xRichtung mit der Beschleunigung arel beschleunigt.

z z

y

a rel = a x e x x

m

x Im Inertialsystem gilt das Newtonsche Gesetz

m~r¨ = F~ . Der Zusammenhang zwischen (x′ , y ′, z ′ ) und (x,y,z) ist: 1 ~r ′ = ~r − ~arel t2 2 ~r˙ ′ = ~r˙ − ~arel t ~r¨ ′ = ~r¨ − ~arel

mit ~arel = const.

Diese Beziehung hatten wir bereits in (20) gefunden. Nun multiplizieren wir beide Seiten mit der Masse m und ersetzen F~ = m~r¨: m~r¨ ′ = m~r¨ − m ~arel = F~ − m~arel = F~ + F~T

(109)

Diese Gleichung beschreibt das 2. Newtonsche Gesetz f¨ ur das Nicht-Inertialsystem des beschleunigten Zuges. Man muss also nur die Tr¨agheitskraft FT = −m~arel zur ¨außeren Kraft F hinzuf¨ ugen und kann dann die Bewegung im Nicht-Inertialsystem berechnen. Um dies zu verdeutlichen betrachten wir unser Beispiel. Zun¨achst ist der Zug in Ruhe, beide Beobachter B und B ′ messen ~r¨ = 0 und ~r¨ ′ = 0. Mit dem zweiten Newtonschen Gesetz ist somit F~ = 0. Nun wird der Zug mit konstantem ~arel beschleunigt. Aufgrund der Tr¨agheit verharrt die Masse m f¨ ur den Beobachter B in Ruhe. Sie bewegt sich reibungsfrei durch den Zug. F¨ ur ihn ist immer noch ~r¨ = 0. Der Beobachter im Zug beobachtet aber, dass die Masse von ihm weg beschleunigt wird und sich zum Zugende hin bewegt. Aus (109) erhalten wir (f¨ ur F~ = 0). m~r¨ ′ = −m~arel und damit eine konsistente Beschreibung der Bewegung im Nichtinertialsystem. Beobachter B ′ sieht, dass die Masse aufgrund einer Kraft FT = −m~arel beschleunigt wird. Diese ¨ Tr¨agheitskr¨afte treten beim Ubergang von einem Inertial- in ein Nicht-Inertialsystem auf. Man nennt sie auch oft Scheinkr¨afte. Man beachte, dass beide Beobachter die gleiche am K¨orper G. Herten

69

Experimentalphysik

12.2 Rotierende Systeme wirkende Kraft F~ (hier F~ = 0) messen. Als weiteres Beispiel betrachten wir einen Aufzug, der mit ~arel nach unten beschleunigt wird. Im Aufzug h¨angt eine Masse an einer Feder. Sie wird benutzt, um die Federkraft F~F zu messen, die auf die Masse wirkt. Beobachter B befindet sich außerhalb des Fahrstuhls und Beobachter B ′ im Fahrstuhl. F¨ ur beide Beobachter gelten somit die folgenden Newtonschen Gesetze: B : m~r¨ = m~g + F~F ′ ′ B : m~r¨ = m~g + F~F − m~arel Fall 1: Fahrstuhl in Ruhe B : ~r¨ = 0 → F~F B ′ : ~arel = 0 und ~r¨ ′

= −m~g = 0

→ F~F = −m~g

Fall 2: Beschleunigter Fahrstuhl mit ~arel B : ~r¨ = ~arel → F~F = m(~arel − ~g ) B ′ : ~r¨ ′ = 0 → F~F = m(~arel − ~g ) Wir sehen, dass beide Beobachter dieselbe Kraft an der Feder messen. Beide Ans¨atze f¨ uhren somit zu konsistenten Resultaten. Somit lassen sich auch Bewegungen in Nicht-Inertialsystemen berechnen, wenn wir nur die Scheinkr¨afte hinzuaddieren. Diese Kr¨afte sind im beschleunigten System als Kr¨afte vom Beobachter sp¨ urbar und k¨onnen auch z.B. mit einer Feder gemessen werden.

12.2

Rotierende Systeme

Rotierende Systeme sind ebenfalls Nicht-Inertialsysteme. In Kapitel 3 hatten wir gefunden, dass f¨ ur einen Beobachter im Inertialsystem die rotierende Masse st¨andig mit der Beschleunigung ~a = ~ω × (~ω ×~r) zum Rotationszentrum beschleunigt wird (wir betrachten hier nur Drehbewegungen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω ~ = const.,~ α = 0). Wir k¨onnten nun vermuten, dass wir zur Herleitung der Newtonschen Gesetze - wie bei der Translation - nur eine Tr¨agheitskraft F~Z = −m~ω × (~ω × ~r) zur ¨außeren Kraft addieren m¨ ussen. Dies ist zum Teil richtig und diese Scheinkraft bezeichnet man als Zentrifugalkraft (oder Fliehkraft). Wie wir sp¨ater sehen werden, ist dies aber nicht ausreichend, sondern es gibt noch eine weitere Scheinkraft, die Corioliskraft. Zun¨achst wollen wir aber nur die Zentrifugalkraft betrachten. Sie wirkt entgegengesetzt zum Drehzentrum und ist jedem bekannt, der im Auto um eine Kurve f¨ahrt. Der Fahrer sp¨ urt dabei die Zentrifugalkraft, die ihn nach außen dr¨ uckt. Wenn die Autoseitenwand ihn nicht daran hinderte, w¨ urde der Fahrer radial nach außen beschleunigt mit der Kraft F~Z = −m~ω × (~ω × ~r) |F~Z | = mω 2 r = mv 2 /r.

(110) (111)

Als Beispiel betrachten wir eine Masse auf einer rotierenden Scheibe. Die Masse ist mit einer Feder am Drehzentrum fixiert. Beobachter B steht außerhalb und Beobachter B ′ rotiert mit der Scheibe im Drehzentrum. Beide Koordinatensysteme haben denselben Koordinatenursprung. Sie sind nur gegeneinander gedreht. Bewegungsgleichungen: Beobachter B sieht von außen eine Drehbewegung. Er weiss, dass dann eine G. Herten

70

Experimentalphysik

12.2 Rotierende Systeme

y y x

ωt

x

Zentripetalbeschleunigung vorliegen muss (s. Kap. 3), die in seinem System (Inertialsystem) einer Beschleunigung ~r¨ = ~ω × (~ω × ~r) entspricht. Eingesetzt in das 2. Newtonsche Gesetz ergibt somit: m~r¨ = F~Z mit ~r¨ = ~ω × (~ω × ~r). Die Feder zieht also nach innen mit F~F = m~ω × (~ω × ~r).

Der Beobachter B ′ befindet sich im Nicht-Inertialsystem und muss daher im 2. Newtonschen Gesetz die Zentrifugalkraft als Scheinkraft ber¨ ucksichtigen. Seine Rechnung sieht folgendermaßen aus: m~r¨ ′ = F~F − m~ω × (~ω × ~r) Er sieht, dass die Masse in seinem System in Ruhe ist (~r¨ ′ = 0) und erh¨alt somit denselben Ausdruck f¨ ur die Federkraft F~F = m~ω × (~ω × ~r) , die wiederum zum Drehzentrum hin gerichtet ist und daf¨ ur sorgt, dass die Masse nicht nach außen wegfliegt. Wiederum haben wir also f¨ ur beide Beobachter konsistente Resultate. Es ist wichtig, Zentripetal- und Zentrifugalkraft auseinander zu halten. Die Zentripetalkraft ist die Ursache der Kreisbewegung und wird im Inertialsystem gemessen. Die Zentrifugalkraft ist eine Scheinkraft, die bei der Koordinatentransformation in ein rotierendes System auftritt. Die manchmal zu h¨orende Meinung, beide seien ein actio=reactio Paar, ist falsch. Wie fr¨ uher erl¨autert, treten actio=reactio Paare bei der Wechselwirkung zweier K¨orper auf. Die beiden Kr¨afte des Paares wirken auf unterschiedliche K¨orper und werden im selben Koordinatensystem beschrieben. Zentripetal- und Zentrifugalkraft hingegen geh¨oren zu unterschiedlichen Koordinatensystemen. Nun wollen wir versuchen, die zweite Scheinkraft bei der Drehbewegung, die Corioliskraft, zu verstehen. Dazu betrachten wir folgenden Versuch. Eine runde Scheibe dreht sich um die vertikale Achse. Mit einem Stift zeichnen wir einen Strich u ur ¨ber die Scheibe so, dass er f¨ einen ¨außeren Beobachter gerade erscheint. F¨ ur einen Beobachter auf der rotierenden Scheibe ist dieser Strich allerdings nicht gerade, sondern gekr¨ ummt. Er nimmt daher an, dass auf den Schreibstift eine Kraft eingewirkt hat, die die Kr¨ ummung verursachte. Die Kr¨ ummung kann man leicht erkennen, wenn man die Scheibe anh¨alt und die Zeichnung auf der Scheibe betrachtet. Die Kr¨ ummung kommt dadurch zustande, dass sich die Scheibe w¨ahrend des Schreibens laufend weiterdreht. Die St¨arke der Kr¨ ummung h¨angt damit von der Geschwindigkeit des Schreibstiftes G. Herten

71

Experimentalphysik

12.2 Rotierende Systeme und der Winkelgeschwindigkeit der Scheibe ab . Ein weiteres Beispiel ist ein Pendel, das u ¨ ber einer rotierenden Scheibe schwingt. Dabei f¨allt Sand auf die Scheibe. Die rosettenartigen Bahnen zeigen dann die Pendelbahn, die ein mitrotierender Beobachter sehen w¨ urde. Ein ¨ahnliches Experiment kann man durchf¨ uhren, indem man ein langes Pendel an der Decke aufh¨angt und schwingen l¨aßt. Die Erddrehung ersetzt dabei die rotierende Scheibe im vorhergehenden Experiment. Als mitrotierende Beobachter auf der Erde beobachten wir, dass das Pendel seine Schwingungsrichtung nicht beibeh¨alt, sondern (auf der Nordhalbkugel) nach rechts abgelenkt wird. F¨ ur einen Beobachter in einem Inertialsystem schwingt das Pendel immer in derselben Ebene, aber die Erde rotiert st¨andig darunter. Dieses Pendel nennt man auch Foucaultsches Pendel nach J.B.L. Foucault, der 1851 diesen Pendeldemonstrationsversuch im Panth´eon in Paris vorf¨ uhrte. Der Foucaultsche Pendelversuch ist ein Beispiel f¨ ur die Corioliskraft. Wir wollen nun die Corioliskraft berechnen. Dazu betrachten wir eine mit ω rotierende Scheibe, bei der eine Kugel vom Drehzentrum aus radial mit konstanter Geschwindigkeit v nach außen geschossen wird. Der rotierende Beobachter B ′ sieht, dass eine Kugel mit der Geschwindigkeit vx′ ′ in x′ -Richtung abgeschossen wird. Nach einer Zeit t = r/vx′ ′ erreicht sie den Radius r der Scheibe. Beobachter B ′

y r

ω

P x Q

Beobachter B ′ bemerkt aber, dass die Bahn nicht gerade, sondern gekr¨ ummt ist. Die Kugel erreicht den Radius r nicht im Punkt P ′ sondern im Punkt Q′ . W¨ahrend des Fluges hat sich die Scheibe um den Winkel ϕ = ωt gedreht. Beobachter B ′ findet daher eine Ablenkung in der −y ′ -Richtung. F¨ ur kleine Ablenkungen gilt: y ′ ≈ −rϕ ≈ −(vx′ ′ t)(ωt) = −vx′ ′ ωt2 B ′ deutet diese Ablenkung als beschleunigte Bewegung mit der Beschleunigung a′c . 1 ′ 2 a t womit wir 2 c = −2ωvx′ ′ erhalten.

y′ = a′c

(112)

Dies ist die Coriolisbeschleunigung, die in diesem Fall eine Beschleunigung der Kugel in −y ′ Richtung bewirkt. Allgemein kann man zeigen, dass in Vektorschreibweise die Coriolisbeschleunigung gegeben ist durch: ~a ′c = −2~ω × ~v ′ . (113) G. Herten

72

Experimentalphysik

12.3 Transformation in ein rotierendes System Somit wird auf der Nordhalbkugel das Foucaultsche Pendel immer nach rechts abgelenkt und auf der S¨ udhalbkugel nach links. Damit k¨onnen wir unsere Ergebnisse zusammenfassen und das modifizierte 2. Newtonsche Gesetz im rotierenden System formulieren: m~r¨ ′ = F~ − m~ω × (~ω × ~r) − 2m~ω × ~v ′

(114)

Man beachte dabei, dass~v ′ die Geschwindigkeit der Masse m ist, die im ”gestrichenenSSystem (x′ , y ′ , z ′ ) gemessen wird. Zum bekannten Newtonschen Gesetz f¨ ur das Inertialsystem m¨ ussen wir somit nur die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft hinzuf¨ ugen und erhalten die Bewegungsgleichung im rotierenden System. Eigentlich m¨ ussten wir f¨ ur die Berechnung physikalischer Prozesse auf der Erde immer diese Gleichung verwenden. Allerdings sind die Effekte beider Scheinkr¨afte in den meisten F¨allen sehr gering und k¨onnen vernachl¨assigt werden. Bei pr¨azisen Experimenten, wie z.B beim Foucaultschen Pendel, darf man sie aber nicht weglassen.

12.3

Transformation in ein rotierendes System

y y x

ωt

x

Bei der geradlinig beschleunigten Bewegung hatten wir gesehen, dass Tr¨agheitskr¨afte auftreten, wenn man eine Transformation vom Inertialsystem in ein beschleunigtes System durchf¨ uhrt. Es wurde bereits erw¨ahnt, dass bei der Transformation von einem Inertialsystem in ein rotierendes System die beiden Scheinkr¨afte Zentrifugalkraft und Corioliskraft auftreten. Beide Kr¨afte haben wir bereits im Detail behandelt. Nun wollen wir uns genauer ansehen, wie Scheinkr¨afte bei der Koordinatentransformation auftreten und f¨ uhren deshalb die Transformation explizit durch. In einem Spezialfall werden wir die Formeln f¨ ur beide Kr¨afte herleiten. Ein System (x′ , y ′, z ′ ) rotiere bez¨ uglich eines Inertialsystems (x, y, z) um die z (= z ′ )Achse mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω. Nach Gl. 21 (sowie math. Formelsammlung) erhalten wir x = x′ cos ωt − y ′ sin ωt y = x′ sin ωt + y ′ cos ωt z = z′ Im Inertialsystem gilt das 2. Newtonsche Gesetz m¨ x = Fx , m¨ y = Fy , m¨ z = Fz . Differentia-

G. Herten

73

Experimentalphysik

12.4 Die Erde als rotierendes System tion nach der Zeit ergibt (mit ω = const.). x˙ y˙ z˙ und x¨

= x˙ ′ cos ωt − x′ ω sin ωt − y˙ ′ sin ωt − y ′ω cos ωt = x˙ ′ sin ωt + x′ ω cos ωt + y˙ ′ cos ωt − y ′ ω sin ωt = z˙ ′

= x¨′ cos ωt − x˙ ′ ω sin ωt − x˙ ′ ω sin ωt − x′ ω 2 cos ωt −¨ y ′ sin ωt − y˙ ′ω cos ωt − y˙ ′ω cos ωt + y ′ ω 2 sin ωt y¨ = x¨′ sin ωt + x˙ ′ ω cos ωt − x′ ω 2 sin ωt +¨ y ′ cos ωt − y˙ ′ ω sin ωt − y˙ ′ ω sin ωt − y ′ ω 2 cos ωt z¨ = z¨′

Zur einfachen Interpretation dieser Gleichungen betrachten wir die Bewegung zu einem Zeitpunkt, bei dem beide Koordinatensysteme u ¨bereinanderliegen (z.B. t = 0). Somit erhalten wir (bei Einsetzen von m¨ x = Fx , m¨ y = Fy , m¨ z = Fz ): x¨ = x¨′ − ω 2x′ − 2ω y˙ ′ = Fx /m y¨ = y¨′ − ω 2 y ′ + 2ω x˙ ′ = Fy /m z¨ = z¨′ = Fz /m Dies ist das modifizierte 2. Newtonsche Gesetz f¨ ur ein rotierendes System (f¨ ur den speziellen Moment t = 0, d.h. x = x′ ,y = y ′). m¨ x′ = Fx + mω 2 x′ + 2mω y˙ ′ = Fx + mω 2 x + 2mω y˙ ′ m¨ y ′ = Fy + mω 2 y ′ − 2mω x˙ ′ = Fy + mω 2 y − 2mω x˙ ′ m¨ z ′ = Fz Damit haben wir gezeigt, dass durch Transformation in ein rotierendes System die beiden Tr¨agheitskr¨afte (Scheinkr¨afte) Zentrifugalkraft und Corioliskraft auftreten. Wir k¨onnen uns davon u ¨berzeugen, dass dieser spezielle Fall verallgemeinert werden kann (andere Zeiten t sowie Rotationen um beliebige Achsen) mit der Vektorgleichung m~r¨ ′ = F~ − m~ω × (~ω × ~r) − 2m ~ω × ~v ′ .

12.4

Die Erde als rotierendes System

Als mitrotierende Beobachter auf der Erde bemerken wir bei der Bewegung von K¨orpern die beiden Scheinkr¨afte Zentrifugalkraft und Corioliskraft. Wir werden zun¨achst die Effekte der Corioliskraft auf der Erde etwas n¨aher untersuchen. F~c = −2m(~ω × ~v ′ ) ~ω zeigt vom S¨ udpol zum Nordpol. Eine vollst¨andige Erdumdrehung gegen¨ uber dem Fixsternhimmel erfolgt in T = 86 164 sec. Damit erhalten wir ω= G. Herten

2π = 7, 3 · 10−5 s−1 . T 74

(115) Experimentalphysik

12.4 Die Erde als rotierendes System Bei einem Erdradius von R = 6, 37 · 106 m ergibt dies eine Geschwindigkeit f¨ ur einen K¨orper auf der Erdoberfl¨ache v = ωρ = ωR cos ϕ, wobei ϕ der Breitengrad ist und ρ der Abstand ¨ zur Erddrehachse. Am Aquator ist v = 465 m/s und in Freiburg (ϕ = 48, 0◦ )v = 311m/s.

ρ φ

Wir w¨ahlen nun ein Koordinatensystem (x′ , y ′, z ′ ) auf der Erdoberfl¨ache so, dass x′ nach Osten zeigt, y ′ nach Norden und z ′ lotrecht nach oben.

ω

y’

ω

z’

φ

y’ z’ Nordhalbkugel

S¨ udhalbkugel

Wir zerlegen ~ω in Komponenten in y ′ und z ′ - Richtung: F¨ ur die Nordhalbkugel erhalten wir: ωy′ = ω cos ϕ und ωz ′ = ω sin ϕ und f¨ ur die S¨ udhalbkugel: ωy′ = ω cos ϕ

und

ωz ′ = −ω sin ϕ.

Wir setzen ωz ′ = nω sin ϕ, mit n = 1 f¨ ur die Nordhalbkugel und n = −1 f¨ ur die S¨ udhalbkugel. Dann erhalten wir f¨ ur die Corioliskraft: F~c = −2m(~ω × ~v ′ ) = −2m(ωy′ vz′ ′ − ωz ′ vy′ ′ , ωz ′ vx′ ′ − ωx′ vz′ ′ , ωx′ vy′ ′ − ωy′ vx′ ′ ) F~c = −2mω (vz′ ′ cos ϕ − nvy′ ′ sin ϕ, nvx′ ′ sin ϕ, −vx′ ′ cos ϕ) G. Herten

75

(116)

Experimentalphysik

12.4 Die Erde als rotierendes System Dies ist die allgemeine Gleichung f¨ ur die Corioliskraft auf der Erdoberfl¨ache. Zun¨achst betrachten wir eine Bewegung in der x′ − y ′ Ebene auf der Erdoberfl¨ache, wie z.B. beim Foucaultpendel. Dabei sind nur die x′ - und y ′-Komponenten der Corioliskraft wirksam und vz′ ′ = 0. Einsetzen ergibt F~c (Ebene) |F~c (Ebene)|

= −2mω(−n vy′ ′ sin ϕ, n vx′ ′ sin ϕ, 0) q ′ ′ = 2m ω vxy sin ϕ ; vxy = vx′2′ + vy′2′ .

(117) (118)

Wir sehen, dass der Betrag der Kraft nicht von der Bewegungsrichtung in der x′ − y ′ Ebene abh¨angt, sondern nur vom Betrag der Geschwindigkeit. Die Corioliskraft in der Ebene ist ma¨ ximal am Nordpol und verschwindet am Aquator. ¨ Man k¨onnte meinen, dass bei einer Bewegung am Aquator in Ost - West Richtung (x′ -Richtung) eine Corioliskraft auf das Pendel wirken m¨ usste, die zu einer Abweichung der Schwingungsebene f¨ uhren sollte. Allerdings sehen wir an (116), dass ein vx′ ′ Term f¨ ur ϕ = 0 nur zu einer Coriolis′ kraft in z -Richtung f¨ uhrt und somit eine Gewichtserh¨ohung oder Gewichtsverminderung ergibt, die aber keine Ablenkung in der x′ − y ′ Ebene bewirken kann. F¨ ur die Nord- und S¨ udhalbkugel erhalten wir: Nord S¨ ud

: F~c (Ebene) : F~c (Ebene)

2m ω sin ϕ( vy′ ′ , −vx′ ′ , 0) 2m ω sin ϕ( −vy′ ′ , vx′ ′ , 0)

= =

Dies entspricht einer Rechtsabweichung auf der Nordhalbkugel und einer Linksabweichung auf der S¨ udhalbkugel. Wir k¨onnen somit festhalten, dass alle bewegten K¨orper auf der Nordhalbkugel nach rechts abgelenkt werden, und auf der S¨ udhalbkugel nach links. Wir k¨onnen die bisherigen Resultate benutzen, um die Zeitdauer zu berechnen, die das Foucaultpendel f¨ ur eine gesamte Drehung der Pendelebene ben¨otigt. Relativ zum Pendel dreht sich die Erde um die z ′ -Achse mit ωz ′ . Die Ebene des Foucaultpendels dreht sich daher mit ωc = −ωz′ = −n ω sin ϕ. F¨ ur die Betr¨age erhalten wir |ωc | = daraus folgt: Nordpol, S¨ udpol Freiburg ¨ Aquator

2π 2π sin ϕ = ω sin ϕ = Tc T 24h T ≈ Tc = sin ϕ sin ϕ Tc = 24 h Tc = 32.3 h Tc = ∞ keine Drehung.

(119)

Bei der Demonstration in der Vorlesung haben wir die Drehung der Schwingungsebene in einem Abstand von 15 min. gemessen. Nach obiger Gleichung sollte sich dann ein Drehwinkel α ergeben von α 1/4h ⇒ α = 2.8◦ = ◦ 360 32.3h G. Herten

76

Experimentalphysik

12.4 Die Erde als rotierendes System

F¨ ur die meisten Prozesse auf der Erdoberfl¨ache spielt die Corioliskraft keine Rolle. Die Geschwindigkeiten sind meist zu gering. Allerdings nimmt sie einen entscheidenden Einfluss auf das Wettergeschehen. Luft, die auf der Nordhalbkugel von einem Hochdruckgebiet weg fließt, wird nach rechts abgelenkt (Drehung des Windes im Uhrzeigersinn). Sie bewegt sich dann spiralf¨ormig auf ein Tiefdruckgebiet zu (Linksdrehung aufgrund des Sogs des Tiefdruckgebiets). Aus diesem Grunde drehen sich Hurrikans (ein Tiefdruckgebiet) auf der Nordhalbkugel entgegen dem Uhrzeigersinn und auf der S¨ udhalbkugel im Uhrzeigersinn. Die h¨aufig ge¨außerte Behauptung, dass die Drehrichtung des Wasserstrudels beim Abfluss des Badewassers von der Corioliskraft herr¨ uhre, ist falsch. Die Str¨omungsgeschwindigkeiten sind viel zu klein. In diesem Fall dominieren spontane Fluktuationen in den Wasserstr¨omungen, bzw. asymmetrische Verformungen des Abflusses. Als n¨achstes Beispiel wollen wir den senkrechten Fall eines Steins auf der Erdoberfl¨ache betrachten (vx′ ′ = vy′ ′ = 0). Mit (116) erhalten wir F~c = −2mω( vz′ ′ cos ϕ, 0, 0) Beim Fall ist vz′ ′ < 0 und wir erhalten eine Abweichung in die +x′ - Richtung (nach Osten) f¨ ur die Nord- und S¨ udhalbkugel. Diese Ablenkung nach Osten mag zun¨achst unverst¨andlich sein, da sich die Erde von West nach Ost dreht. W¨ahrend der Flugzeit des Steins dreht sich die Erde nach Osten und man k¨onnte vermuten, dass der Stein irgendwo im Westen auftreffen sollte. Man muss aber bedenken, dass vor dem Fall der Stein und der Beobachter dieselbe Winkelgeschwindigkeit (dies folgt aus dem Ansatz vx′ ′ = vy′ ′ = 0) , aber verschiedene Tangentialgeschwindigkeiten haben. Der Stein bewegt sich schneller, da er sich auf einem gr¨oßeren Bahnradius befindet. Beim Fall beh¨alt der Stein seine Tangentialgeschwindigkeit und trifft deshalb weiter im Osten auf.

ω ρ φ

ar a at z x

r

Nun sollen Effekte der Zentrifugalkraft auf der Erdoberfl¨ache behandelt werden. Die Zentrifugalkraft bewirkt eine Beschleunigung auf einen K¨orper auf der Erdoberfl¨ache mit ~aZ = G. Herten

77

Experimentalphysik

12.4 Die Erde als rotierendes System −~ω × (~ω × ~r), die senkrecht zur Drehachse steht und nach außen gerichtet ist. Ihr Betrag ist aZ = ω 2 ρ = ω 2 r cos ϕ Außerdem wirkt die Erdbeschleunigung ~g0 , die zum Erdmittelpunkt zeigt. Die Gesamterdbeschleunigung ~gϕ = ~g0 + ~aZ ist daher breitengradabh¨angig und zeigt im allgemeinen nicht mehr zum Erdmittelpunkt. Wir k¨onnen sie in zwei Komponenten zerlegen, die Radialkomponente gr und die Tangentialkomponente gt . gr = −g0 + aZ cos ϕ = −g0 + ω 2r cos2 ϕ gt = aZ sin ϕ = ω 2 r cos ϕ sin ϕ

(120) (121)

Einsetzen von Werten ergibt unter Verwendung von g0 = −9, 832m/s2 (Erdbeschleunigung am Nordpol) (in m/s2 ). Ort Nordpol (90◦ ) Anchorage (61, 2◦ ) Paris (48, 8◦ ) ¨ Aquator (0◦ )

gr gt gϕ Messung von gϕ 9,832 0 9,832 9,832 9,824 0,0143 9,824 9,822 9,817 0,0168 9,817 9,809 9,798 0 9,798 9,780

Die ϕ Abh¨angigkeit der Erdbeschleunigung ist qualitativ richtig. Die numerischen Unterschiede zu den Messungen kommen dadurch zustande, dass die Erde keine genaue Kugelgestalt hat. ¨ Aufgrund der Tangentialbeschleunigung gt , die zum Aquator gerichtet ist, kommt es zu einer ¨ Abplattung der Erde. Der Erdradius ist am Aquator etwa 20 km gr¨oßer als am Nordpol. Aufgrund der Abplattung stellt die Erde bei ihrer Eigendrehung um die Nord-S¨ ud Achse im Gravitationsfeld der Sonne keinen kr¨aftefreien Kreisel dar. Die Erdachse ist um 90◦ − 23, 5◦ = 66, 5◦ zur Ekliptik geneigt (Ebene der Erddrehung um die Sonne).

Im Sommer und Herbst erf¨ahrt der der Sonne zugewandte Wulst eine gr¨oßere Gravitationskraft und eine kleinere Zentrifugalkraft als der abgewandte Wulst. Dadurch wird ein Drehmoment auf die Erde ausge¨ ubt, das zu einer Pr¨azessionsbewegung f¨ uhrt. Die Pr¨azessionsbewegung der Erde ist kompliziert, da auch die Anziehung des Mondes mitwirkt und das Drehmoment, das die Sonne auf die Erde aus¨ ubt, zeitlich nicht konstant ist; es ist z.B. null im Fr¨ uhling und ¨ Herbst, wenn die Sonne u uhrt zu einer Dre¨ ber dem Aquator steht. Die Pr¨azessionsbewegung f¨ hung der Erdachse bez¨ uglich des Fixsternhimmels mit einer Umlaufperiode von 26 000 Jahren. In etwa 12 000 Jahren wird der Stern Wega unser Polarstern sein. G. Herten

78

Experimentalphysik

13 Gravitation

13 13.1

Gravitation Die Keplerschen Gesetze

Eine der grundlegenden Fragen, mit denen sich die Menschheit befaßt hat, ist die Planetenbewegung. Die Griechen beschrieben die Planetenbahnen von einem Koordinatensystem mit der Erde als Ursprung (so wie es in der modernen Astronomie auch u ¨blich ist). Die Planetenbahnen beschreiben dann sogenannte Epizykloide (der Planet befindet sich auf einem rotierenden Kreis, dessen Zentrum sich auf einem gr¨oßeren Kreis bewegt). Kopernikus schlug im 16. Jahrhundert vor, eine einfachere Beschreibung zu w¨ahlen und die Sonne als Mittelpunkt zu betrachten. Dieser Vorschlag setzte sich aber zun¨achst nicht allgemein durch, aus philosophischen Gr¨ unden, aber auch weil dieses Modell nicht sehr gut mit den Messungen u ¨ bereinstimmte, da Kopernikus nur Kreisbahnen benutzte. Aufgrund sorgf¨altiger Messungen von Tycho de Brahes (1546 - 1601) gelang es Johannes Kepler (1571 - 1630) die Gesetze der Planetenbewegung zu finden. Keplersche Gesetze: 1) Die Planeten beschreiben elliptische Bahnen mit der Sonne in einem Brennpunkt. 2) Der Ortsvektor jedes Planeten relativ zur Sonne u ¨ berstreicht in gleichen Zeiten gleiche Fl¨achen (Fl¨achensatz). 3) Die Quadrate der Umlaufperioden zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Halbachsen ihrer Ellipsenbahnen (T 2 ∼ a3 ).

13.2

Das Newtonsche Gravitationsgesetz

Ausgehend von den Keplerschen Gesetzen gelang es Newton (1666) das Gravitationsgesetz zu formulieren. Newtons besondere Leistung war die Erkenntnis, dass die Planetenbewegung und Erdanziehung (Fall des ber¨ uhmten Apfels vom Baum) dieselbe physikalische Ursache haben. Das Newtonsche Gravitationsgesetz lautet:

m1

F21

F12 r12

m2

Abb. 16: Bezeichnungen zum Newtonsche Gravitationsgesetz

m1,s m2,s ~r12 F~12 (~r12 ) = −G 2 r12 |~r12 |

;

F~21 = −F~12

Die Gravitationswechselwirkung zwischen zwei K¨orpern kann durch eine zentrale Anziehungskraft ausgedr¨uckt werden, die den Massen der K¨orper direkt proportional und dem Quadrat der Entfernung zwischen ihnen umgekehrt proportional ist. Zur Erl¨auterung betrachten wir zwei Massen m1 und m2 , die sich aufgrund der Gravitation G. Herten

79

Experimentalphysik

13.3 Beispiele zur Gravitation anziehen. Masse m2 wird von m1 mit der Kraft F~12 angezogen. F~12 zeigt zentral auf die Masse m1 . Solche Kr¨afte, die in Richtung der Verbindungslinie zweier K¨orper wirken, nennt man Zentralkr¨afte. Sie haben bedeutende Eigenschaften, die wir im n¨achsten Kapitel n¨aher untersuchen werden. F~12 und F~21 sind ein Actio-Reactio Paar, sie sind somit gleich im Betrag und entgegengesetzt gerichtet. Die Eigenschaft eines K¨orpers, die angibt wie stark er u ¨ ber die Gravitation mit einem anderen K¨orper wechselwirkt, ist die Masse, genau genommen die schwere Masse. G ist die Newtonsche Gravitationskonstante, die die St¨arke der Gravitationskraft angibt. Sie hat den Wert G = 6, 67 · 10−11 Nm2 kg−2 (oder m3 kg−1 s−2 ). (122) Die experimentelle Bestimmung dieser Gr¨oße wird im folgenden Kapitel behandelt. Die 1/r2 Abh¨angigkeit der Gravitationskraft bedeutet, dass die Gravitation eine unendlich große Reichweite hat. Bei sehr kleinen Abst¨anden zwischen zwei Teilchen u ¨berwiegen oft andere Kr¨afte (z.B. Kernkraft, elektromagnetische Kraft), aber bei großen Abst¨anden (z.B. zwischen Planeten, Sternen und Galaxien) u ¨berwiegen die Gravitationskr¨afte. Sie sind die Ursache der Entstehung von Galaxien und Sternen.

13.3

Beispiele zur Gravitation

a) Erdbeschleunigung F¨ ur einen K¨orper auf der Erdoberfl¨ache gilt mit dem Newtonschen Gesetz

y

m

Fg Abb. 17: Erdbeschleunigung

m~y¨ = F~g , wobei F~g die Gravitationskraft zwischen Erde und Masse m ist. Um die Gravitationskraft der Erde zu bestimmen, m¨ ußten wir die Erde in kleine Massenpunkte aufteilen und die Gravitationskr¨afte zwischen ihnen und der Masse m vektoriell aufaddieren. Aufgrund des 1/r 2 Gesetzes findet man aber eine einfache Regel f¨ ur eine Kugel mit kugelsymmetrischer Massenverteilung (s. Kap. 13.5). Die Gravitationskraft außerhalb einer homogenen Kugel verh¨alt sich so, als sei die Gesamtmasse punktf¨ormig im Schwerpunkt angeordnet. Wir k¨onnen also f¨ ur die Gravitationskraft, mit der die Erde die Masse m in -y Richtung anzieht, folgenden Ausdruck verwenden: Fg = −G

G. Herten

ms Ms 2 RE

80

, wobei

Experimentalphysik

13.3 Beispiele zur Gravitation ms die schwere Masse des Probek¨orpers ist, Ms die schwere Masse der Erde und RE der Erdradius. Somit ist mit dem 2. Newtonschen Gesetz: ms Ms mt y¨ = −G 2 und RE ms ms Ms y¨ = − G 2 = − g. mt RE mt Dies ist die Beschleunigung, die der Probek¨orper durch das Gravitationsfeld der Erde erh¨alt. Wie wir bereits erl¨autert haben (s. Kap. 5.2, zeigen alle Experimente, dass schwere und tr¨age Masse gleich sind (ms = mt ). Damit haben alle K¨orper dieselbe Erdbeschleunigung Ms g=G 2 (123) RE b) Satellitenbewegung Wir betrachten nun einen Satelliten der Masse m, der sich auf einer Kreisbahn um die Erde bewegt. Wir wollen diese Bewegung vom Inertialsystem (B) und vom mitbewegten System (B ′ ) betrachten: mM ~r B : m~r¨ = −G 2 r |~r| Beobachter B beobachtet eine Kreisbewegung, d.h. der Satellit erf¨ahrt st¨andig eine Beschleunigung ak , die zum Erdmittelpunkt gerichtet ist. ~r ~r¨ = ~ak = −ω 2 r , somit |~r| ms Ms ~r ~r = −G 2 , mit ms = mt , Ms = M −mt ω 2 r |~r| r |~r| GM finden wir ω 2 = . (124) r3 Der mitbewegte Beobachter B ′ sieht sich und den Satelliten in Ruhe (~r¨ ′ = 0) und findet nach Einsetzen der Zentrifugalkraft: ms Ms ~r ~r 0 = mt~r¨ ′ = F~g + F~Z = −G 2 + mt ω 2r . r |~r| |~r|

, wobei T die Somit erhalten wir ebenfalls ω 2 = GM/r 3 . Unter Verwendung von ω = 2π T Umlaufzeit ist, erhalten wir: r3 T2 = (125) 4π 2 GM Dies ist das 3. Kepplersche Gesetz, hergeleitet f¨ ur den speziellen Fall einer Kreisbewegung um eine ruhende Masse. Man beachte, dass diese Beziehung unabh¨angig von der Masse des Satelliten gilt. Ein spezieller Fall sind geostation¨are Satelliten, die eine Umlaufzeit T haben, die gleich der Dauer einer Erddrehung ist (T=24 Stunden). Falls sie u ¨ber dem ¨ ¨ Aquator positioniert werden, stehen sie immer senkrecht u ¨ber einem Punkt am Aquator. Geostation¨are Satelliten werden deshalb benutzt, um Fernseh- und Radiosendungen auszustrahlen. Um den Radius dieser geostation¨aren Bahnen zu berechnen, benutzen wir (125), setzen T=24 h und erhalten r = 42 200 km. G. Herten

81

Experimentalphysik

13.3 Beispiele zur Gravitation c) Cavendish Experiment Newton kannte den Wert der Gravitationskonstante nicht genau. In allen Gleichungen kommt G immer in den Kombinationen GMErde oder GMSonne vor (falls wir die Planetenbewegung um die Sonne betrachten). MErde oder MSonne waren nicht bekannt. Man kann Annahmen u ¨ber die Dichte der Erde machen und dann aus dem Erdvolumen die Masse und damit auch G bestimmen. Ein solches Verfahren ist aber sehr unsicher, da u ¨ber die Zusammensetzung der Erde nichts bekannt ist. Die erste direkte Bestimmung von G wurde von Cavendish (1798) durchgef¨ uhrt.

s A a A’

L 2φ

B’ φ

b B

d

r

Abb. 18: Berechnungen zum Cavendish Experiment

Zwei kleine Kugeln a und b sind an einem vertikalen d¨ unnen Draht drehbar aufgeh¨angt. Bei Ann¨aherung von zwei großen Kugeln in der Position A und B (bzw. in Stellung A′ und B ′ ) werden die kleinen Massen beschleunigt. Aus der Beschleunigung kann dann die Gravitationskonstante berechnet werden. Die sehr kleinen Drehbewegungen werden stark vergr¨oßert, indem man einen Lichtstrahl durch einen Spiegel an der Drehwaage ablenkt. In der Versuchsanordnung in der Vorlesung befinden sich die Massen a und b zun¨achst in der N¨ahe der Massen A′ und B ′ . Diese Stellung wurde mehrere Stunden beibehalten, so dass die Massen a und b in Ruhe sind. Das Gleichgewicht wird durch zwei Kr¨afte gehalten: die Gravitationskraft zwischen a und A′ (bzw. b und B ′ ) und eine R¨ uckstellkraft FR , die von der Verdrillung des d¨ unnen Drahtes herr¨ uhrt. Beide Kr¨afte sind gleich groß, da die Drehwaage in Ruhe ist. Nun werden die großen Massen so getauscht, dass sie in der Stellung A und B sind. Nun wirkten sowohl die R¨ uckstellkraft als auch die Gravitationskraft (mit gleichem Betrag) in dieselbe Richtung. Mit dem 2. G. Herten

82

Experimentalphysik

13.3 Beispiele zur Gravitation Newtonschen Gesetz erhalten wir (2m)a = 2G

mM mM + FR = 4G 2 2 r r

.

Somit

ar 2 2M Die Drehwaage dreht sich nur um sehr kleine Winkel. Wir k¨onnen daher eine konstante Gravitationskraft annehmen (r = const.). Mit der Auslenkung x der kleinen Massen x = 12 at2 erhalten wir a = 2x . Aus der Zeichnung finden wir die Beziehung t2 G=

sin ϕ =

1 s 2

L

=

also G =

x 1 ds →x= d 2L

dsr 2 2xr 2 = 2Mt2 2MLt2

Bei der Versuchsanordnung in der Vorlesung hatten wir folgende Werte: d= 0,05 m, r= 0,045 m, M= 1,46 kg, L= 14,68 m. Durch Messung von s f¨ ur bestimmte Werte von t, kann man dann die Gravitationskonstante bestimmen. Der Weltmittelwert der Gravitationskonstanten ist G = 6, 673 · 10−11 m3 s−2 kg−1 . d) Mondbewegung

RE

m

C

rE

rM

Abb. 19: Drehung von Erde und Mond um einen gemeinsamen Schwerpunkt C

Wir betrachten die Drehbewegung von Erde (M) und Mond (m) um einen gemeinsamen Schwerpunkt C. Wir benutzen ein Koordinatensystem mit dem Schwerpunkt als Ursprung. Dann gilt mit der Definition des Schwerpunktes: M~rE = −m~rM

, wobei

~rE der Ortsvektor von C zum Erdmittelpunkt und ~rM der Ortsvektor zum Mondmittelpunkt ist. Damit erhalten wir f¨ ur die Betr¨age m , M = (rE + rM )

rM = r E rE

G. Herten

83

m m+M

Experimentalphysik

13.3 Beispiele zur Gravitation Einsetzen von Werten: Abstand Erde - Mond rE + rM = 3, 84 · 108 m, m = 7, 35 · 1022 kg, M = 5, 98 · 1024 kg ergibt. 3 rE = 4, 66 · 106 m ≈ RE 4

, wobei

RE der Erdradius ist. Der Schwerpunkt des Erde - Mond Systems liegt somit im Erdinnern. Erdmittelpunkt und Mondmittelpunkt beschreiben Kreise um den gemeinsamen Schwerpunkt mit einer Periode von 27,3 Tagen und einem Radius von rE ≈ 34 RE , bzw. rM .

Die Gezeiten, Ebbe und Flut, entstehen durch die gemeinsame Drehbewegung von Erde und Mond. Gezeiteneffekte lassen sich nutzen, um die Masse des Mondes zu bestimmen. Zur Berechnung diese Effekte stellen wir uns vor, dass die Erde bei der Kreisbewegung ihre Orientierung im Raum (im Vergleich zum Fixsternhimmel) beibehalten soll. Die Eigenrotation der Erde k¨onnen wir f¨ ur die Untersuchung der Gezeiten ignorieren. Sie ist sehr viel schneller (T= 1 Tag) als die Mondumdrehung (T=27,3 Tage). Sie bewirkt, wie bereits erw¨ahnt, eine Beschleunigung, die von der Drehachse wegzeigt und liefert keinen Beitrag zum Unterschied von Ebbe und Flut. Man kann sich nun graphisch die Bahn eines festen Punktes in der Erde im Laufe einer Mondumdrehung (1 Monat) aufzeichnen. Wenn man z.B. die Bewegung des Mittelpunktes der Erde untersucht, so sieht man, dass dieser jeden Monat eine Kreisbewegung beschreibt, die als Mittelpunkt den gemeinsamen Erde-Mond Schwerpunkt hat und einen Radius von 43 RE . Zeichnet man die Bewegung eines anderen Punkt in der Erde (die Orientierung der Erde im Raum bleibt wie vorhin angenommen bei der Bewegung unver¨andert), so sieht man, dass auch dieser eine Kreisbahn mit dem Radius 34 RE beschreibt, aber dass das Zentrum des Kreises f¨ ur jeden Punkt verschieden ist. Da alle Punkte in der Erde eine Kreisbewegung mit gleichem Radius und gleicher Umlaufzeit durchf¨ uhren, wirkt auf sie zu einem gegebenen Zeitpunt t die gleiche Zentrifugalkraft. Sie zeigt immer vom Mond weg, da sich alle Punkte immer auf der Position des Kreises befinden, die am weitesten vom Mond entfernt ist. W¨ahrend die Zentrifugalkraft f¨ ur alle Punkte gleich ist, gilt dies nicht f¨ ur die Gravitationskraft des Mondes. Sie ist gr¨oßer f¨ ur Massenelemente auf der dem Mond zugewandten Seite und kleiner auf der dem Mond abgewandten Seite.

Abb. 20: Erkl¨arung der Gezeiten durch den Vergleich der (unterschiedlichen) Mondanziehung und der (gleichen) Zentripetalkraft f¨ ur ausgew¨ahlte Punkt in und auf der Erde.

Nun wollen wir den Gezeitenefekt berechnen. Dazu betrachten wir 4 Punkte auf der G. Herten

84

Experimentalphysik

13.3 Beispiele zur Gravitation Erdoberfl¨ache (a Mond zugewandt, c Mond abgewandt, b und d oben, bzw. unten). Eingezeichnet sind die Gravitationskraft des Mondes sowie die f¨ ur alle Punkte gleiche Zentrifugalkraft. Die resultierende Gesamtkraft am Erdmittelpunkt ist null (beachte: hier wird nur die Gravitationskraft des Mondes auf ein Massenelement im Erdmittelpunkt betrachtet, die Gravitationskraft der Erde spielt f¨ ur den Unterschied von Ebbe und Flut keine Rolle). Am Punkt a zeigt sie zum Mond (|Fg | > |FZ |) und im Punkt c vom Mond weg(|Fg | < |FZ |). Dies ist der Gezeiteneffekt. An den Punkten a und c beobachtet man eine Flut und an b und d Ebbe. Aufgrund der Erdrotation bewegt sich die Flutwelle um die Erde, sodass alle 12 Stunden Flut auftritt. Die Sonne bewirkt einen ¨ahnlichen Effekt, der allerdings nur etwa 1/2 so groß ist. Bei Springflut wirken die Gravitationskr¨afte von Sonne und Mond (Neumond) in die gleiche Richtung, so dass die Flut um etwa einen Faktor 1,5 st¨arker als normal ist. Berechnung der Gezeitenkraft:

RE

m

M

a Abb. 21: Berechnung der Gezeiteneffekte

Nun wollen wir berechnen, von welchen Gr¨oßen die Gezeiteneffekte abh¨angen. Dabei benutzen wir die Tatsache, die vorhin diskutiert wurde, dass die Zentrifugalkraft f¨ ur alle Punkte in der Erde oder auf der Erdoberfl¨ache den gleichen Wert annimmt und somit in der Rechnung nicht ber¨ ucksichtigt werden muss. Als Maß f¨ ur die Gezeitenkraft muss somit nur der Unterschied der Mondanziehung f¨ ur eine Masse am Punkt a (Mond zugewandt) und einem Referenzpunkt, z.B. dem Erdmittelpunkt, berechnet werden. Die Anziehungskraft des Mondes auf eine Masse m am Punkt a ist: m Fa = GM (RE − r)2 und am Erdmittelpunkt m F0 = GM 2 . r Dabei ist M die Mondmasse und r der Abstand vom Erd- zum Mondmittelpunkt. Ein Maß f¨ ur die Gezeitenkraft ist die Differenz der Kr¨afte Fa und F0 .   1 1 − F = Fa − F0 = GMm (RE − r)2 r 2 r 2 − r 2 ( RrE − 1)2 r 2 − (RE − r)2 = GMm . = GMm (RE − r)2 r 2 r 4 ( RrE − 1)2 Mit der Taylorentwicklung f¨ ur x << 1 (Formelsammlung 2.5) findet man: (1 ± x)n ≈ 1 ± nx G. Herten

85

Experimentalphysik

13.4 Zentralkraft Damit erh¨alt man F da

2RE r F

≈

1 − (1 − 2Rr E ) GMm 2 r (1 − 2Rr E )

<< 1 folgt ≈

GMm

2RE 2RE /r = GMm 3 . 2 r r

(126)

Die Gezeitenkraft ist also proportional zur Masse des Mondes und umgekehrt proportional zur dritten Potenz des Erde - Mond Abstandes. Man kann somit die Gezeiten benutzen, um die Masse des Mondes zu bestimmen. Einsetzen der Werte f¨ ur die Sonne (r = 1, 50 · 11 30 10 m, M = 1, 99 · 10 kg) ergibt 3 FM ond MM ond rSonne = ≈ 2, 2 3 FSonne MSonne rM ond

Die Gezeitenkraft des Mondes ist also etwa doppelt so groß wie die der Sonne.

13.4

Zentralkraft

Bisher haben wir einige Beispiele zur Gravitationskraft untersucht. Wir wollen nun die Eigenschaften der Gravitationskraft, wie sie z.B. in den Keplerschen Gesetzen zum Ausdruck kommen, aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz ableiten. Zun¨achst bemerken wir, dass die Gravitationskraft zwischen zwei Massen immer entlang der Verbindungslinie beider Massen gerichtet ist und die St¨arke der Kraft vom Abstand beider Massen abh¨angt. Solche Kr¨afte nennt man Zentralkr¨afte. Sie haben die Form

y m 1 r2 - r1

m2

r1 r2 x Abb. 22: Eigenschaften der Zentralkraft

~r2 − ~r1 F~ (~r2 − ~r1 ) = f (|~r2 − ~r1 |) |~r2 − ~r1 |

Die Eigenschaften solcher Zentralkr¨afte wollen wir nun n¨aher untersuchen und die Ergebnisse auf die Gravitationskraft anwenden. G. Herten

86

Experimentalphysik

13.4 Zentralkraft Drehimpulserhaltung Falls wir unseren Koordinatenursprung in die Masse m1 legen, so gilt f¨ ur das Drehmoment ~ ~ ~τ = ~r × F = 0, da F eine Zentralkraft ist und somit ~r immer parallel zur Gravitationskraft ~ F~ liegt. Da aber ~τ = dL/dt = 0, folgt, dass der Drehimpuls des Systems bez¨ uglich des festen Ursprungs erhalten ist. Dies gilt ebenso f¨ ur zeitlich ver¨anderliche Zentralkr¨afte. Wir werden nun zeigen, dass das 2. Kepplersche Gesetz aus der Drehimpulserhaltung folgt. Dazu betrachten wir das System Sonne - Erde, wobei wir die Sonne als Koordinatenursprung annehmen.

B

)

S

r(t+dt

dF

r(t)

r(t) dt A

Abb. 23: Zur Herleitung des 2. Keplerschen Gesetzes.

Im Zeitraum dt u ¨berstreicht der Fahrstrahl die Fl¨ache dF, die der Fl¨ache des Dreiecks SAB mit den Seitenvektoren ~r(t) und ~r˙ (t)dt entspricht. Die Fl¨ache eines Dreiecks mit den Seitenvektoren ~a und ~b ist 1 1 dF = |~a||~b| sin ∠(~a, ~b) = |~a × ~b|. 2 2 In unserem Fall also

1 dF = |~r(t) × ~r˙ (t)|dt. 2 Andererseits ist der Drehimpuls der Erde bez¨ uglich der Sonne gegeben durch ~ = ~r × ~p = m~r × ~r˙ L Einsetzen in (127) gibt dF =

(127)

(128)

1 ~ |L|dt. 2m

~ konstant ist, erhalten wir das 2. Keplersche Gesetz Da |L| dF = const. dt

(129)

Der Fahrstrahl ¨uberstreicht in gleichen Zeiten gleiche Fl¨achen. Eine Konsequenz der Drehimpulserhaltung ist also, dass sich Planeten oder Kometen auf ihrer Bahn in Sonnenn¨ahe schnell und in Sonnenferne langsam bewegen. Potentielle Energie In Kap. 7.6 hatten wir bereits gezeigt, dass Zentralkr¨afte konservative Kr¨afte sind. Zum Beweis hatten wir Kugelkoordinaten verwendet. Nun soll eine anschaulichere Methode benutzt werden, G. Herten

87

Experimentalphysik

13.4 Zentralkraft

B

1 d~r1 F~1

d~r2 r

A

2 F~2

r + dr Abb. 24: Zentralkr¨afte sind konservative Kr¨ afte

um zu zeigen, dass Zentralkr¨afte konservativ sind. Wie in Kap. 7.6 gezeigt wurde, kann dann zur Zentralkraft eine potentielle Energie definiert werden. Wir betrachten eine Zentralkraft ausgehend vom Koordinatenursprung. Die gestrichelten Kurven sind zwei Kreisb¨ogen um den Ursprung. Zwei Wege 1 und 2 verbinden die Punkte A und B. Die beiden Kr¨afte F1 und F2 sind im Betrag gleich, da sie denselben Abstand vom Ursprung haben. Ebenso stimmen die Projektionen von d~r1 auf F~1 und d~r2 auf F~2 miteinander u ¨berein; sie sind gleich dr, dem Abstand zwischen den beiden Kreisb¨ogen. Somit ist d~r1 · F~1 = d~r2 · F~2 ¨ Die gleiche Uberlegung gilt f¨ ur alle Segmente des Weges. Daher folgt Z B Z B ~ F~2 · d~r2 F1 · d~r1 = A

A

Weg 1 Weg 2 Die Arbeit ist somit unabh¨angig vom Weg, daher ist die Zentralkraft F~ (r) konservativ. Nach Kap. 7.6 ist damit eine potentielle Energie definiert mit Z b F~ (r) · d~r. U(b) − U(a) = − a

Dabei ist b = rB und a = rA . F¨ ur die Gravitationskraft ist Z r GmM − ′2 dr ′ U(r) − U(a) = − r a   1 1 = −GmM − . r a G. Herten

88

Experimentalphysik

13.4 Zentralkraft Wir setzen den Nullpunkt der Potentiellen Energie ins Unendliche (a = ∞) und erhalten 1 U(r) = −GmM . r

(130)

Man benutzt auch oft anstelle der potentiellen Energie das Potential V(r). V (r) =

1 U(r). m

(131)

Das Potential ist unabh¨angig von der Probemasse m und gibt die St¨arke der Gravitationswechselwirkung der Masse M als Funktion von r an. Damit haben wir Kraft: F~ (r) = −grad U(r) Gravitationsfeld: ~g (r) = −grad V (r)

(132) (133)

Das Gravitationsfeld ist der negative Gradient des Gravitationspotentials. An jeden Raumpunkt k¨onnen wir einen Vektor ~g (r) anbringen, der zur Masse M zeigt, sodass die Kraft auf einen Massepunkt gegeben ist durch F~ (r) = m~g (r). Die bisher betrachtete Erdbeschleunigung an der Erdoberfl¨ache ist ein spezieller Fall von ~g (r), n¨amlich ~g (RE ). Man kann ein Kraftfeld zeichnerisch so angeben wie in der Abbildung angedeutet. Die Richtung des Feldes ist an jedem Punkt tangential zur Linie. Die Kraftlinien werden so gezeichnet, dass ihre Dichte proportional zur St¨arke des Feldes ist. Die gestrichelten Linien ¨ geben Aquipotentialfl¨ achen an (Fl¨achen mit gleichem Potential).

¨ Abb. 25: Gravitationsfeld von Erde und Mond. Die Kreise bezeichnen Aquipotentiallinien und die Pfeile zeigen die Richtung des Gravitationsfeldes (Beschleunigung) an.

Fluchtgeschwindigkeit: Da die Gravitationskraft konservativ ist, bleibt die Summe von kinetischer und potentieller Energie f¨ ur einen K¨orper im Gravitationsfeld erhalten. Somit gilt f¨ ur zwei verschiedene Orte r1 und r2 , an denen der K¨orper die Geschwindigkeiten v1 und v2 hat: 1 GmM GmM 1 E = K + U = mv12 − = mv22 − 2 r1 2 r2 G. Herten

89

Experimentalphysik

13.5 Gravitationsfeld einer Kugel

V(r)

Rs

r

Abb. 26: Gravitationspotential der Sonne mit dem Sonnenradius RS

Wir betrachten eine Masse m, die von weit weg (vom Unendlichen) zentral auf die Sonne (Masse M) f¨allt. Im Unendlichen (r1 = ∞) soll die Masse ruhen (v1 = 0) und auf der Sonnenoberfl¨ache (r2 = Rs ) die Geschwindigkeit v2 = vF haben. Dann erh¨alt man r 1 2 GmM 2GM mvF = , → vF = = 617km/s 2 Rs Rs Dies ist die Geschwindigkeit, die ein K¨orper, der im Unendlichen ruht, beim Auftreffen auf die Sonnenoberfl¨ache hat. Oder: Die Mindestgeschwindigkeit, mit der ein K¨orper von der Sonne weggeschossen werden muss, um das Unendliche zu erreichen (Fluchtgeschwindigkeit). Die Fluchtgeschwindigkeit f¨ ur die Erde betr¨agt vF = 11, 3km/s. Bei einem Schwarzen Loch ist die Fluchtgeschwindigkeit gleich der Lichtgeschwindigkeit, daher kann kein K¨orper dem Gravitationsfeld des Scharzen Loches entkommen.

13.5

Gravitationsfeld einer Kugel

Abb. 27: Berechnung des Gravitationsfeldes einer Kugel.

Wir wollen das Gravitationsfeld einer homogenen Kugel berechnen. Dazu betrachten wir eine Kugelschale und berechnen die Gravitationskraft auf eine Masse m am Punkt P. Die Masse G. Herten

90

Experimentalphysik

13.5 Gravitationsfeld einer Kugel wird von zwei gegen¨ uberliegenden Punkten auf der Schale angezogen. Dadurch heben sich die transversalen Komponenten von F~1 und F~2 auf. Die resultierenden longitudinalen Kr¨afte sind F1 cos α und F2 cos α. Um die Gesamtkraft zu berechnen, brauchen wir also nur die horizontalen Komponenten zu betrachten. Wir betrachten einen Streifen der Dicke t, Umfang 2π(R sin θ) und Breite R dθ. Damit erhalten wir f¨ ur das Volumen dV dieser Kugelschale dV = 2πR sin θ t Rdθ = 2 2πtR sin θ dθ. Die Masse dM der Kugelschale ist dann dM = ρdV = 2πρtR2 sin θ dθ, und die Kraft dF auf die Masse m: dF = G

mdM cos α x2

=

2πρtR2 Gm cos α

sin θdθ x2

r − R cos θ . x Mit dem Cosinus-Satz: x2 = r 2 + R2 − 2Rr cos θ R2 + r 2 − x2 folgt R cos θ = . 2r Differenzieren von (135) ergibt: 2x dx = 2Rr sin θ dθ x oder sin θ dθ = dx. Rr 2 2 2 r − R +r2r −x r 2 − R2 + x2 = Damit ergibt sich cos α = x 2rx 2 2 r − R + x2 xdx und dF = 2πρtR2 Gm . 2  2 2rx 2 rRx  1 r −R dF = πρtRGm 2 + 1 dx r x2 Nun ist

cos α

=

(134) (135)

(136)

Dies ist die Kraft, die der Streifen auf die Masse m aus¨ ubt. Integration u ¨ber x ergibt die gesamte Kraft, wobei die Integration von r − R bis r + R durchgef¨ uhrt wird. r+R r+R  Z r+R  2 r − R2 2 2 −1 + x + 1 dx = −(r − R )x x2 r−R r−R r−R   1 1 2 2 − + (r + R) − (r − R) = −(r − R ) r+R r−R (r − R)(t + R) (r − R)(r + R) + + 2R = 4R = − r+R r−R Somit erhalten wir f¨ ur die Kraft: m mM F = (4πR2 ρt)G 2 = G 2 , (137) r r mit M = 4πR2 ρt als Masse einer Kugelschale der Dicke t. Wir haben ein wichtiges Ergebnis hergeleitet: Die Gravitationskraft (und somit das Gravitationsfeld) außerhalb einer Kugelschale ist gleich der Gravitationskraft eines Massenpunktes, der die gleiche Masse M wie die Kugelschale hat und sich im Zentrum der Kugelschale befindet. Wenn wir unsere Herleitung zur¨ uckverfolgen, so sehen wir, dass dies nur f¨ ur Kr¨afte gilt, die 2 eine 1/r Abh¨angigkeit haben. Eine homogene Kugel kann man sich aus vielen Kugelschalen G. Herten

91

Experimentalphysik

13.5 Gravitationsfeld einer Kugel zusammengesetzt denken. Daher gilt dieses Ergebnis auch f¨ ur homogene Kugeln. Nun betrachten wir einen K¨orper innerhalb der Kugelschale. Hier ist r < R. Der minimale Abstand zur Schale ist R − r und der maximale Abstand R + r. Wir integrieren also  Z R+r  2 r − R2 (r − R)(r + R) (r − R)(r + R) + 1 dx = − + + (R + r) − (R − r) = 0 x2 R+r R−r R−r Die Gravitationskraft innerhalb einer Kugelschale ist null. Dies ist wiederum eine Eigenschaft einer 1/r 2 Kraft. Daher gilt diese Aussage z.B. auch f¨ ur die elektrische Kraft (Coulombkraft). Wir k¨onnen nun die Gravitationskraft innerhalb einer homogenen Kugel mit Radius R berechnen. Wir betrachten eine Masse m am Punkt P im Abstand r(r < R) vom Zentrum der Kugel. Mit den bisherigen Ergebnissen wissen wir:

rk r

m P

Abb. 28: Gravitationsfeld innerhalb einer Massenschale.

1) Die Kugelschale mit Radien zwischen r und R tr¨agt nicht zur Gravitationskraft am Punkt P bei, da die Gravitationskraft innerhalb einer Kugelschale null ist. 2) Die Gravitationskraft am Punkt P l¨aßt sich so berechnen, als l¨age die Gesamtmasse der inneren Kugel (mit Radius r) als Massenpunkt im Zentrum vor. ur die GravitationsDie Masse einer Kugel mit Radius r ist M(r) = 34 πr 3 ρ, somit erhalten wir f¨ kraft (r < R): mM(r) ~r 4 ~r F~ (r) = −G = − πρmGr . r2 r 3 r ur r < R) Mit der Gesamtmasse der Kugel M = 43 πR3 ρ erhalten wir (f¨ F (r) = −

GmM ~r r . R3 r

Die potentielle Energie innerhalb der Kugel ist dann Z r GmM rdr − U(r) − U(a) = − R3 a 1 GmM 2 = (r − a2 ) 2 R3 G. Herten

92

(138)

(139) Experimentalphysik

13.6 Planetenbewegung Andererseits hatten wir in Kap. 15.4 f¨ ur die potentielle Energie außerhalb der Kugel gefun, wobei wir den Nullpunkt der potentiellen Energie so gelegt hatten, dass den U(r) = −G mM r U(r) → 0 f¨ ur r → ∞. Wir m¨ ussen nun sicherstellen, dass beide Ausdr¨ ucke f¨ ur U(r) an der Kugeloberfl¨ache denselben Wert geben, denn die potentielle Energie ist u berall stetig. An der ¨ Stelle r = R haben wir die Beziehung mM 1 GmM 2 (R − a2 ) = 3 R 2 R −2R2 = R2 − a2 → a2 = 3R2

−G Damit erhalten wir f¨ ur r < R:

U(r) =

1 GmM 2 (r − 3R2 ). 2 R3

(140)

Bisher haben wir die Ergebnisse f¨ ur eine ausgedehnte Kugel und einen Massenpunkt hergeleitet. Man kann aber auch analog zeigen, dass diese Beziehungen f¨ ur zwei ausgedehnte homogene Kugeln gelten. Dies ist eine besondere Eigenschaft eines 1/r 2 Kraftgesetzes. Wir werden diese Resultate bei der Diskussion der elektrischen Kraft (Coulomb-Kraft) wiederverwenden. Zusammenfassung: Kugelschale: r < R F (r) = 0 r ≥ R F (r) = −GmM/r 2

Kugel: r ≤ R F (r) = −GmMr/R3 r ≥ R F (r) = −GmM/r 2

13.6

U(r) = −GmM/R U(r) = −GmM/r U(r) = 21 GmM(r 2 − 3R2 )/R3 U(r) = −GmM/r

Planetenbewegung

Bisher haben wir nur kreisf¨ormige Planetenbahnen betrachtet und haben gezeigt, dass das 3. Keplersche Gesetz aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz abgeleitet werden kann. Eine Kreisbahn ist ein Spezialfall einer Ellipsenbahn. Man kann zeigen, dass sich der allgemeine Fall der Ellipsenbewegung aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz ergibt und auch das 3. Keplersche Gesetz f¨ ur eine Ellipsenbahn gilt. Die mathematischen Voraussetzungen u ¨bersteigen die M¨oglichkeiten im 1. Semester. Eine systematische Herleitung des 1. und 3. Keplerschen Gesetzes wird im Rahmen der Theoretischen Physik durchgef¨ uhrt (Kepler Problem). Wir wollen hier die mathematische Herleitung u uhrlich diskutieren. Wir ¨ bergehen, aber das Resultat ausf¨ betrachten eine Zentralkraft mit einer 1/r2 Abh¨angigkeit. k ~r F~ = 2 r |~r|

,

wobei k eine Konstante ist. Positives k bedeutet eine abstoßende und negatives k eine anziehende Kraft. So ist z.B. f¨ ur Gravitationskraft: k = −GmM 1 Coulombkraft: k = Q1 Q2 4πε0 G. Herten

93

, Experimentalphysik

13.6 Planetenbewegung

a)

b)

Potentielle Energie einer Punktmasse m1 im Abstand r vom Mittelpunkt einer Kugelschale mit Radius R und Masse ms . Kraft auf eine Punktmasse m1 . (negatives Vorzeichen entspricht Anziehung) Die Kraft verschwindet f¨ ur r < R.

a)

b)

Potentielle Energie einer Punktmasse m1 im Abstand r vom Mittelpunkt einer Vollkugel mit Radius R0 und Masse m. Kraft auf eine Punktmasse m1 . F¨ ur r < R0 nimmt die Kraft linear mit r zu.

wobei m die Masse des Planeten und M die Sonnenmasse ist. Q1 und Q2 sind die elektrischen Ladungen und ε0 ist eine Konstante (mehr dazu im 2. Semester). Wir behandeln hier den Fall, dass das Kraftzentrum (z.B. Sonne bei der Planetenbewegung) im Punkt r = 0 fixiert ist. Man kann zeigen, dass der kompliziertere Fall zweier K¨orper, die sich um einen gemeinsamen Schwerpunkt bewegen, auf diesen einfachen Fall zur¨ uckgef¨ uhrt werden kann. Mit dem 2. Newtonschen Gesetz erhalten wir dann die Bewegungsgleichung: m~r¨ =

k ~r r 2 |~r|

(141)

Die L¨osung dieser Differentialgleichung ist als Kepler Problem bekannt. Man erh¨alt eine Bahnkurve, die durch folgenden Ausdruck gegeben ist: " #  1/2 2EL2 km 1 cos θ . (142) = − 2 1− 1+ 2 r L k m Dabei ist L der Drehimpuls, E die Gesamtenergie (kinetische + potentielle Energie), m ist die Masse des bewegten K¨orpers (z.B. Planeten). Diese Bahnkurve ist so zu verstehen, dass sich G. Herten

94

Experimentalphysik

13.6 Planetenbewegung die Bahn von einem Koordinatenursprung O aus gesehen unter einem Winkel θ im Abstand r befindet. Dies ist die Darstellung eines Kegelschnittes (Ellipse, Kreis, Parabel, Hyperbel) in Polarkoordinaten. Allgemein kann man in der analytischen Geometrie einen Kegelschnitt in folgender Form angeben. 1 1 = (1 − e cos θ) (143) r se e ist die Exzentrizit¨at und s ist ein Maßstabsfaktor. Gleichung (143) beschreibt vier Kurvenformen. Kreis: e=0 Ellipse: 0<e<1 Parabel: e=1 Hyperbel: e > 1 F¨ ur e = 0 erhalten wir keine θ-Abh¨angigkeit und somit konstantes r (der Faktor s ist in diesem Fall unendlich). F¨ ur 0 < e < 1 bleibt r endlich und variiert von rmax = se/(1 − e) bis rmin = se/(1 + e). Dies ist eine Ellipse. Die Exzentrizit¨at hat dabei eine anschauliche Bedeutung. 1 1 − 1+e rmax − rmin 1 + e − (1 − e) 1−e = 1 =e (144) 1 = rmax + rmin 1+e+1−e + 1+e 1−e F¨ ur e > 1 gibt es zwei Winkel, bei denen 1 − e cos θ = 0 und damit r = ∞ wird. Dies ist eine Hyperbel. F¨ ur e = 1 wird r nur bei θ = 0 unendlich groß, dies ist eine Parabel. In unserem Fall ist  1/2 2EL2 e = 1+ 2 (145) k m Die Gesamtenergie ist gegeben durch

1 k E = mv 2 + . 2 r

(146)

Die kinetische Energie ist immer positiv. Die potentielle Energie kann positiv (k > 0: abstoßende Kraft) oder negativ (k < 0: anziehende Kraft) sein. F¨ ur abstoßende Kr¨afte mit k > 0 ist somit die Gesamtenergie immer positiv. Mit (145) sehen wir, dass somit nur Hyperbelbahnen f¨ ur abstoßende Kr¨afte m¨oglich sind. F¨ ur anziehende Kr¨afte (k < 0) ist E positiv, falls die kinetische Energie gr¨oßer als die potentielle Energie ist. Dann erhalten wir Hyperbelbahnen (e > 1). Im umgekehrten Fall (E < 0) ergeben sich Kreis- oder Ellipsenbahnen (0 ≤ e < 1). Den Grenzfall E = 0 (e = 1) beschreibt eine Parabelbahn. Dabei ist interessant zu beobachten, dass der Unterschied zwischen Ellipse und Hyperbel, d.h. zwischen geschlossener und offener Bahn, nur durch das Vorzeichen von E gegeben ist und nicht vom Wert f¨ ur den Bahndrehimpuls L abh¨angt. In unserem Fall der Gravitationskraft, die immer anziehend ist, haben wir mit k = −GmM. # "  1/2 1 2EL2 Gm2 M cos θ 1− 1+ 2 3 2 = r L2 GmM mit der Exzentrizit¨at

G. Herten

 e= 1+

2EL2 G2 m3 M 2 95

1/2

.

Experimentalphysik

13.6 Planetenbewegung Kreisbahn: F¨ ur den speziellen Fall einer Kreisbahn wollen wir nun zeigen, dass e = 0 ist. Wir setzen Gravitationskraft gleich Zentripetalkraft r GM v2 mM m =G 2 und erhalten v = . r r r Der Drehimpuls ist L = mvr = mr Die Gesamtenergie ist dann

r

√ GM = GMm2 r. r

1 mM 1 mM E = mv 2 − G =− G <0 2 r 2 r und somit e=



−GmM GMm2 r 1+ rG2 m3 M 2

1/2

= 0.

Anhand der folgenden Abbildung wollen wir nun verschiedene Bahnen betrachten, die alle durch den Punkt P verlaufen und senkrecht auf der Verbindungslinie von P zum Kraftzentrum O stehen. Sie unterscheiden sich durch die Geschwindigkeit am Punkt p P. In der Abbildung wird das Verh¨altnis α√der Geschwindigkeit v einer Kreisbahn v0 (v0 = GM/r, α√= v0 /v) Bahnen (Ellipsen) und f¨ ur α > 2 offene angegeben: F¨ ur α < 2 erhalten wir geschlossene √ Bahnen (Hyperbeln). Den Grenzfall α = 2 bildet die Parabel.

Abb. 29: Beispiele zu Planetenbahnen und Hyperbelbahnen.

G. Herten

96

Experimentalphysik

13.6 Planetenbewegung Das 3. Keplersche Gesetz: Aus den Ellipsenbahnen kann man die Beziehung T2 =

4π 2 a3 GM

(147)

ableiten, die dem 3. Keplerschen Gesetz entspricht. Dabei ist a die große Halbachse der Ellipse. Diese Beziehung wird bei den Planetenbahnen sehr gut erf¨ ullt, wie aus der folgenden Abbildung und Tabelle zu erkennen ist.

Abb. 30: Zusammenhang zwischen den großen Halbachsen und den Umlaufzeiten f¨ ur Planetenbahnen. Parameter der Planetenbahnen.

Eine Astronomische L¨angeneinheit (A.E.) ist der Mittelwert des gr¨oßten und kleinsten Ab-

G. Herten

97

Experimentalphysik

13.7 Allgemeine Relativit¨atstheorie (Intermezzo) standes der Erde von der Sonne: 1 1A.E. = (rmax + rmin )Erde = 1, 495 · 1011 m 2 Ein Parsec ist die Entfernung, in der eine L¨ange von 1 A.E. unter einem Winkel von 1 Sekunde gesehen wird.

r θ

S

Abb. 31: Zur Definition der L¨angeneinheit Parsec.

s = rθ Mit s = 1A.E. ; r =

θ=

π 1 1 = · 10−5 180 3600 2, 06

erhalten wir

s = 3, 084 · 1016 m θ

Die Entfernung von der Sonne zum n¨achsten Stern betr¨agt 1,31 Parsek. Eine andere wichtige L¨angeneinheit ist das Lichtjahr. 1 Lichtjahr

= c · 1 Jahr

= 2, 998 · 108 · 365, 25 · 3600 · 24m = 9, 46 · 1015 m.

Die Inklination, die in der Tabelle erw¨ahnt wird, ist der Winkel zwischen der Bahnebene eines Planeten und der Bahnebene der Erde (Ekliptik).

13.7

Allgemeine Relativit¨ atstheorie (Intermezzo)

Das Newtonsche Gravitationsgesetz stimmt sehr gut mit den beobachteten Planetenbewegungen u ¨berein. Allerdings ist das Newtonsche Gesetz ein Spezialfall der Allgemeinen Relati¨ vit¨atstheorie. Die Newtonsche Theorie gibt guteUbereinstimmung, solange die betrachteten Massen nicht zu groß sind. Um ein Maß daf¨ ur zu bekommen, wann große Abweichungen aufgrund der Allgemeinen Relativit¨atstheorie zu erwarten sind, betrachten wir noch einmal unsere Herleitung der Fluchtgeschwindigkeit in Kap. 13.4. Ein K¨orper, der das Gravitationsfeld eines Sterns verlassen kann, ben¨otigt die kinetische Energie 1 2 GmM mv = 2 R Diese Beziehung ergab in 13.4 die Fluchtgeschwindigkeit. Nun wollen wir eine andere Frage untersuchen. Auf welchen Radius R muss die Masse M komprimiert werden, damit die Fluchtgeschwindigkeit gleich der Lichtgeschwindigkeit wird? Dann h¨atten wir ein schwarzes Loch.

G. Herten

98

Experimentalphysik

13.7 Allgemeine Relativit¨atstheorie (Intermezzo) Sogar Licht w¨are nicht mehr in der Lage, aus dem Gravitationsfeld des Sterns zu entkommen. Wir setzen v = c und erhalten 2GM Rs = (148) c2 ¨ Dieser Radius heißt Schwarzschild-Radius. Die folgende Tabelle gibt einen Uberblick u ¨ber den Schwarzschild-Radius Rs und das Verh¨altnis von Rs zum geometrischen Radius von Erde, Sonne und Neutronensternen.

Erde Sonne Neutronenstern

Rs [m] 9 · 10−3 3 · 103 3 · 103

Rs /R 10−9 10−6 0.3

Das Verh¨altnis Rs /R ist ein Maß daf¨ ur, wie stark Effekte der Allgemeinen Relativit¨atstheorie in der N¨ahe von Massen sind. Einsteins Ausgangspunkt bei der Entwicklung der Allgemeinen Relativit¨atstheorie war die Tatsache, dass schwere Masse und tr¨age Masse gleich sind. Angenommen wir befinden uns in einem Kasten, der in einem Gravitationsfeld f¨allt. Da alle K¨orper gleich schnell fallen, macht sich das Vorhandensein eines Gravitationsfeldes nicht bemerkbar. Alle K¨orper erscheinen vielmehr kr¨aftefrei (schwerelos) und bewegen sich f¨ ur den Beobachter im Kasten gem¨aß dem 1. Newtonschen Gesetz (Tr¨agheitsgesetz), n¨amlich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geraden Bahn. Wir hatten fr¨ uher festgestellt, dass ein System, in dem das Tr¨agheitsgesetz gilt, ein Inertialsystem ist. Somit kann man ein frei fallendes Bezugssystem als Inertialsystem im Kleinen auffassen. Mit “im Kleinen” soll angedeutet werden, dass dieses System so klein ist, dass “Gezeiteneffekte” vernachl¨assigt werden k¨onnen. Bei einem großen Kasten h¨atten wir n¨amlich den Effekt (¨ahnlich wie die Gezeiten auf der Erde), dass ein K¨orper, der sich n¨aher am Stern befindet, st¨arker beschleunigt w¨ urde als ein K¨orper, der weiter entfernt liegt. Ein Beobachter im Kasten w¨ urde dann beobachten, dass sich beide K¨orper voneinander entfernen. Bei Betrachtung eines kleinen Raum - Zeit Bereiches k¨onnen wir somit den Grundgedanken der Allgemeinen Relativit¨atstheorie festhalten: In einem Gravitationsfeld frei fallende Bezugssysteme sind Inertialsysteme. Es ist instruktiv die Newtonsche und Einsteinsche Auffassung von frei fallenden Bezugssystemen gegen¨ uberzustellen. Newton: Es existiert ein großes, globales Inertialsystem. Darin wirken Gravitationskr¨afte, die durch die Massenverteilungen hervorgerufen werden. Auf fallende K¨orper wirkt eine Kraft. Einstein: Frei fallende Bezugssysteme sind Inertialsysteme im Kleinen. Die Massenverteilungen bestimmen die Relationen der Inertialsysteme untereinander. Fallende K¨orper bewegen sich kr¨aftefrei. In fast 10 j¨ahriger Arbeit gelang es Einstein, die Feldgleichungen der Allgemeinen Relativit¨atstheorie zu finden, die aus der Massenverteilung Relationen zwischen den einzelnen lokalen Inertialsystemen herstellen. Wir wollen nun einige Effekte der Allgemeinen Relativit¨atstheorie zusammenstellen. G. Herten

99

Experimentalphysik

13.7 Allgemeine Relativit¨atstheorie (Intermezzo) a) Rotverschiebung Betrachten wir einen Lichtstrahl, der von einem Stern (Radius R) ausgesandt wird, im Gravitationsfeld hochsteigt und auf die Erde trifft, so stellen wir fest, dass das Licht mit verminderter Energie (kleinerer Frequenz) ankommt. Wenn wir diese Rotverschiebung durch den Frequenzunterschied ∆ν = ν − ν ′ ausdr¨ ucken, so erhalten wir Rotverschiebung:

∆ν ∆V Rs = 2 = ν c 2R

(149)

∆V ist die Differenz zwischen dem Gravitationspotential auf der Sternoberfl¨ache (V (R) = − GM ) und auf der Erdoberfl¨ache (V ≈ 0). Rs ist der Schwarzschild-Radius des Sterns. R b) Lichtablenkung Ein Lichtstrahl wird in der N¨ahe großer Massen abgelenkt. Dies kann man z.B. beobachten,wenn man Sterne betrachtet, kurz bevor sie hinter der Sonne verschwinden. Dann wird das Licht aus seiner geraden Bahn um den Winkel δ abgelenkt. Lichtablenkung

δ=

2Rs R

(150)

Rs ist der Schwarzschild-Radius und R der geometrische Radius der Sonne. c) Perihelverdrehung Nach der Newtonschen Theorie bewegen sich die Planeten auf Ellipsen mit der Sonne in einem Brennpunkt. Die Einsteinsche Theorie korrigiert die Aussage so, dass sie rosettenf¨ormige Planetenbahnen vorhersagt, d.h. die L¨angsachse der Ellipse rotiert um die Sonne. Somit dreht sich der sonnenn¨achste Punkt der Ellipse, das Perihel, um die Sonne.

Die Messung der Periheldrehung des Merkur war eine wichtige Best¨atigung der Allgemeinen Relativit¨atstheorie. Man findet f¨ ur den Winkel ψ der Periheldrehung Periheldrehung:

ψ 3 Rs = 2π 2 r

(151)

f¨ ur einen Planeten im Abstand r von der Sonne. Rs ist wiederum der Schwarzschildradius der Sonne. d) Verhalten von Uhren Nach der Allgemeinen Relativit¨atstheorie gilt: In der Umgebung schwerer Massen ist der Gang von Uhren verlangsamt. G. Herten

100

Experimentalphysik

14 Mechanik deformierbarer K¨orper Wir betrachten eine Uhr auf der Sternoberfl¨ache, die eine Zeitdauer TR mißt. Dasselbe Ereignis wird von einer im Unendlichen (d.h. weit weg) ruhenden Uhr als T∞ gemessen. Dann gilt der Zusammenhang   Rs TR = 1 − T∞ . (152) 2R Diese Vorhersage wurde auf eindrucksvolle Weise auf der Erde best¨atigt. Z.B. betrachtet man zwei Atomuhren: eine bleibt auf der Erdoberfl¨ache und eine zweite wird im Flugzeug um die Erde geflogen. Beim anschließenden Vergleich der beiden Uhren konnten die Vorhersagen der Speziellen und Allgemeinen Relativit¨atstheorie best¨atigt werden. Diese Effekte m¨ ussen auch bei der Koordinatenbestimmung auf der Erde mit dem GPS System ber¨ ucksichtigt werden. Sonst w¨ urde es im Laufe der Zeit zu Ortsungenauigkeiten von einigen Kilometern kommen. e) Verhalten von Maßst¨aben Ein im Gravitationsfeld befindlicher Maßstab schrumpft. Ein Maßstab, der im Abstand R von einer Masse die L¨ange LR hat, hat im Unendlichen (d.h. r >> R) die L¨ange L∞ .   Rs L∞ . (153) LR = 1 − 2R f) Ausdehnung des Universums Eine wichtige Anwendung der Allgemeinen Relativit¨atstheorie ist die Beschreibung des Universums. Seit dem Urknall expandiert das Universum. Man kann die Gleichungen der Allgemeinen Relativit¨atstheorie verwenden, um die Ausdehnung des Universums zu beschreiben. Allerdings ben¨otigt man dazu Messungen u ¨ber den Energie- und Masseinhalt des Weltalls. Dazu gab es in den vergangenen Jahren bahnbrechende Experimente, mit denen die Eigenschaften des Universums bestimmt werden konnten. Die Ergebnisse zeigen, dass ca. 73% der Energie als dunkle Energie vorliegt. Diese bewirkt eine Anti-Gravitation, sodass sich das Universum mit immer gr¨oßerer Geschwindigkeit ausdehnt. Außerdem weiss man nun, dass weitere 22% der Energie in Form von dunkler Materie existiert. Man nimmt an, dass dies eine neue Form von Elementarteilchen ist, die m¨oglicherweise ab 2007 in Teilchenphysikexperimenten am LHC im CERN nachgewiesen werden k¨onnen. Die uns bekannte Materie aus Quarks und Leptonen macht nur ca. 5% der Materie und Energie des Universums aus. In den kommenden Jahren werden wir durch Entdeckungen in der Teilchenphysik und Astrophysik sicherlich neue spektakul¨are Erkenntnisse u ¨ ber unser Universum gewinnen.

14

Mechanik deformierbarer Ko ¨rper

Bisher haben wir die Physik eines starren K¨orpers untersucht. Er ist dadurch charakterisiert, dass die Massenelemente ihre relative Position immer einhalten. Fl¨ ussigkeiten und Gase k¨onnen ihre Form sehr leicht ¨andern; Gase nehmen sogar das Volumen des sie umgebenden Gef¨aßes vollst¨andig ein. G. Herten

101

Experimentalphysik

14.1 Druck und Dichte

14.1

Druck und Dichte

Bei festen K¨orpern kann eine ¨außere Kraft unter jedem Winkel auf die Oberfl¨ache wirken. Bei Fl¨ ussigkeiten und Gasen steht die Kraft aber immer senkrecht zur Oberfl¨ache. Jede tangentiale Kraftkomponente w¨ urde eine Str¨omung verursachen. Daher benutzt man zur Beschreibung von Fl¨ ussigkeiten und Gasen den Druck p. Der Druck ist das Verh¨altnis der Normalkraft zur Fl¨ache A. F (154) p= A Als Einheit f¨ ur Druck verwendet man Pascal (Pa). 1Pa = 1N/m2 = 10−5 bar = 0, 9869 · 10−5 atm = 0, 7501 · 10−2

Torr

Die Dichte (Masse durch Volumen) ρ = m/V ¨andert sich kaum als Funktion der Temperatur f¨ ur Fl¨ ussigkeiten, aber stark f¨ ur Gase.

(p+dp) A dy y

dw pA

y=0 Wir betrachten eine Fl¨ ussigkeitsscheibe innerhalb der Fl¨ ussigkeit. Diese Scheibe ist im Gleichgewicht, d.h. die Summe aller ¨außeren Kr¨afte ist null, wobei auch die Gewichtskraft dw der Scheibe zu ber¨ ucksichtigen ist. Insgesamt erhalten wir pA = (p + dp)A + dw = (p + dp)A + ρgAdy

(155)

und somit −dp = ρgdy dp = −ρg dy

oder (156)

F¨ ur eine Fl¨ ussigkeit im Gleichgewicht gibt diese Gleichung den Druck als Funktion der H¨ohe an. Integration ergibt: Z p Z y ′ dp = −ρg dy ′ p0

y0

p − p0 = −ρg(y − y0 )

G. Herten

102

(157)

Experimentalphysik

14.1 Druck und Dichte Falls wir f¨ ur y0 die Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ache w¨ahlen, so ist p0 der Luftdruck, der auf diese Oberfl¨ache wirkt. Dann erhalten wir den Druck als Funktion der Fl¨ ussigkeitstiefe h = y0 − y1 p = p0 + ρgh.

(158)

Diese Formel beschreibt z.B. den Wasserdruck im Meer als Funktion der Wassertiefe h. Barometrische H¨ohenformel

Abb. 32: Wasserdruck und Luftdruck als Funktion von Wassertiefe und H¨ohe.

N¨aherungsweise kann man eine analoge Formel f¨ ur Gas aufstellen, um den Luftdruck als Funktion der H¨ohe zu berechnen. Nun m¨ ussen wir allerdings ber¨ ucksichtigen, dass die Dichte von Gas nicht konstant ist, sondern sich ungef¨ahr proportional zum Druck verh¨alt. p ρ = ρ0 p0

(159)

Sp¨ater werden wir sehen, dass diese Beziehung nur f¨ ur ideales Gas bei konstanter Temperatur gilt (Boyle-Mariotte-Gesetz). ρ0 und p0 seien Dichte und Druck auf der Meeresoberfl¨ache. Dann erhalten wir mit (156): dp p = −ρ0 g dy p0 Z Z p ′ ρ0 g h dp dy = − ′ p0 0 p0 p p ρ0 g ln = − h p0 p0 ρ0 gh p = p0 exp(− ) p0

(160)

Dies ist die barometrische H¨ohenformel f¨ ur Luftdruck. Einsetzen von typischen Werten (ρ0 = 1, 20 kg/m3 G. Herten

,

p0 = 1, 01 · 105 N/m2 ) 103

Experimentalphysik

14.1 Druck und Dichte ergibt, dass der Luftdruck in 6 km H¨ohe nur noch etwa halb so groß ist wie der Druck auf Meeresh¨ohe. Messung von Druck

Abb. 33: Funktionsweise des Quecksilberbarometers und des Fl¨ ussigkeitsmanometer.

Evangelista Torricelli (1608-1647) erfand das Quecksilberbarometer, mit dem man den Luftdruck messen kann. Es besteht aus einem mit Hg gef¨ ullten langen Rohr, das an einem Ende geschlossen ist und mit dem anderen in ein Quecksilberbad getaucht wird. Bei normalem atmosph¨arischem Druck hat die Quecksilbers¨aule eine L¨ange von 760 mm. Zum Messen von Druckdifferenzen kann man ein Fl¨ussigkeitsmanometer benutzen. Dabei wird ausgenutzt, dass eine Druckdifferenz p − p0 an beiden Enden des Rohres zu einer unterschiedlichen H¨ohe der Fl¨ ussigkeitss¨aule f¨ uhrt, sodass p − p0 = ρgh.

Bei hohem Druck verwendet man als Fl¨ ussigkeit Quecksilber, bei geringem Druck Wasser. Pascalsches Prinzip Wirkt auf eine eingeschlossene Fl¨ ussigkeit (oder Gas) ein Druck, so breitet sich dieser mit gleicher St¨arke aus (hydrostatischer Druck) und wirkt auf die Wandungen des Gef¨aßes. Diese Prinzip kann man ausnutzen, um mit gerimgem Krafteinsatz große Lasten zu heben, z.B. beim Wagenheber oder der hydraulischen Presse. Da der Druck an beiden Enden des Wagenhebers gleich ist gilt f F p= = , a A wobei f und a die Kraft und Fl¨ache auf der rechten Seite (kleiner Querschnitt) und F und A die entsprechenden Gr¨oßen auf der linken Seite sind. Somit l¨asst sich die Kraft f berechnen, die aufgewandt werden muss um das Auto mit der Gewichtskraft F = mg hochzuheben: f =F

a A

Archimedisches Prinzip G. Herten

104

Experimentalphysik

14.1 Druck und Dichte

Abb. 34: Hydraulische Wagenheber

Ein in eine Fl¨ ussigkeit getauchter K¨orper erf¨ahrt einen Auftrieb, der vom Fl¨ ussigkeitsdruck herr¨ uhrt.

Schwere Fg =mg V ρ fl

FA= ρflVg hydrostat. Auftrieb F > Fg schwimmen F =F g schweben F
Abb. 35: Kr¨afte auf einen eingetauchten K¨orper.

Der Druck wird umso gr¨oßer, je tiefer der K¨orper eintaucht. Die Resultierende aller Kr¨afte bewirkt eine nach oben gerichtete Kraft (Auftrieb). Die Gr¨oße dieser Kraft kann man bestimmen, wenn man zun¨achst annimmt, dieses Volumen sei mit der gleichen Fl¨ ussigkeit gef¨ ullt. Dann kompensiert das Gewicht dieser Fl¨ ussigkeitsmenge die Auftriebskraft, sodass sich dieses Volumen im Gleichgewicht befindet. Die Kraft auf die Oberfl¨ache eines eingetauchten K¨orpers h¨angt aber nicht von seiner Materialbeschaffenheit ab. Daher muss die Auftriebskraft f¨ ur alle K¨orper gleich der Gewichtskraft der verdr¨angten Fl¨ ussigkeitsmenge sein (Archimedisches Prinzip). Man muss dabei beachten, dass die Auftriebskraft im Schwerpunkt des verdr¨angten Fl¨ ussigkeitsvolumens wirkt. Die Gewichtskraft hingegen wirkt im Schwerpunkt des eingetauchten K¨orpers. Dadurch kann ein eingetauchter K¨orper gedreht werden, sodass er mit dem schwereren Ende nach unten zeigt. U-Rohr mit zwei Fl¨ ussigkeiten Ein U-Rohr sei teilweise mit Wasser und mit Quecksilber gef¨ ullt. Beide durchmischen sich nicht. Entlang der Horizontalen Linie durch den Punkt a herrscht gleicher Druck in beiden G. Herten

105

Experimentalphysik

14.2 Oberfl¨achenspannung

Abb. 36: U-Rohr mit zwei unterschiedlichen Fl¨ ussigkeiten.

Rohrabschnitten. Deshalb m¨ ussen die Fl¨ ussigkeitss¨aulen auf beiden Seiten oberhalb dieser Linie den gleichen statischen Druck erzeugen. ρHg gh1 = ρW gh2 h1 ρW = ρHg h2 Mit dieser Gleichung kann man die Dichte von Quecksilber bestimmen. Man findet ρHg = 13, 6

14.2

g . cm3

Oberfl¨ achenspannung

Im Inneren einer Fl¨ ussigkeit ist jedes Molek¨ ul von anderen Molek¨ ulen umgeben. Untereinander wirkende Kr¨afte heben sich auf. F¨ ur Molek¨ ule in der N¨ahe der Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ache ist die resultierende Kraft aber im allgemeinen von null verschieden. Dies ist in der folgenden Abbildung verdeutlicht:

Abb. 37: Kr¨ afte an der Oberfl¨ ache einer Fl¨ ussigkeit (links). Fl¨ ussigkeitss¨ aule beim Herausziehen eines Drahtb¨ ugels aus einer Fl¨ ussigkeit (rechts).

Die Kreise sollen den Radius r der Wirkungssph¨are eines Molek¨ uls andeuten. Die Molek¨ ule M2 und M3 innerhalb der Grenzschicht erfahren eine resultierende Kraft in das Innere der G. Herten

106

Experimentalphysik

14.2 Oberfl¨achenspannung Fl¨ ussigkeit. Die Dicke dieser Grenzschicht ist etwa 10−9 m bei Fl¨ ussigkeiten. Es muss Arbeit verrichtet werden, um ein Molek¨ ul aus dem Inneren in die Grenzschicht zu bef¨ordern. Man muss Kraft aufwenden, um die Oberfl¨ache zu vergr¨oßern. Die Grenzschicht wirkt wie eine Lamelle, die der Fl¨ ussigkeit eine Oberfl¨achenspannung verleiht. Als Beispiel betrachten wir einen Drahtb¨ ugel der L¨ange ℓ, der in eine Fl¨ ussigkeit getaucht wird. Beim Herausziehen spannt sich innerhalb des B¨ ugels eine Fl¨ ussigkeitslamelle auf. Die Oberfl¨achenspannung definiert man nun durch σ=

am Rande angreifende Kraft L¨ange des Randes

(161)

Beim B¨ ugel haben wir zwei Oberfl¨achen, sodass die Gesamtl¨ange des Randes 2 ℓ betr¨agt. Durch Messung der aufw¨arts ziehenden Kraft F (kurz vor dem Abriß des Fl¨ ussigkeitsfilms) kann man dann die Oberfl¨achenspannung messen. σ=

F . 2ℓ

(162)

Einige Zahlenwerte f¨ ur die Grenzschicht gegen Luft sind (bei 18◦ C in N/m): Hg H2 0 Benzol Oliven¨ol

0.471 0.073 0.029 0.033

Der energetisch g¨ unstigste Zustand wird erreicht, wenn die Oberfl¨ache minimal wird. Wirken keine anderen Kr¨afte, so haben Fl¨ ussigkeitstropfen Kugelgestalt, da die Kugel f¨ ur gegebenes Volumen von allen K¨orpern die kleinste Oberfl¨ache hat. Experimentell kann man an verschiedenen Drahtgestellen, die man aus einer Fl¨ ussigkeit zieht, erkennen, dass die Lamelle immer die minimale Oberfl¨ache annimmt. Auf die Molek¨ ule an der Oberfl¨ache einer konvex gekr¨ ummten Oberfl¨ache wirken Kr¨afte, die ins Innere des Tropfens zeigen. Dadurch entsteht ein sogenannter Normaldruck in der Fl¨ ussigkeit.

Abb. 38: Abh¨angigkeit der Oberfl¨ achenspannung von der Kr¨ ummung der Oberfl¨ache: a) ebene, b) konvexe, c) konkave Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ache.

¨ F¨ ur den Fall einer Kugeloberfl¨ache findet man den Normaldruck ∆p (Uberdruck) ∆p =

2σ r

,

(163)

wobei r der Radius der Kugel ist. Dies bedeutet, dass kleine Tropfen einen gr¨oßeren Innendruck haben als große Fl¨ ussigkeitskugeln. Dies kann man experimentell zeigen, indem man u ¨ber ein G. Herten

107

Experimentalphysik

14.2 Oberfl¨achenspannung Rohr zwei verschieden große Seifenblasen verbindet. Bei Seifenblasen betr¨agt der Innendruck ∆p = 4σ/r, da es eine innere und ¨außere Oberfl¨ache gibt. Man beobachtet, dass die kleine Blase aufgrund des gr¨oßeren Druckes die große Blase aufbl¨ast. Dieser Versuch zeigt deutlich den Unterschied zwischen der Oberfl¨achenspannung und einer elastischen Spannung (z.B. bei einem Luftballon). Der Druck in der gr¨oßeren Seifenblase kann nur deshalb geringer sein, weil die Oberfl¨achenspannung in beiden gleich ist. Beim Luftballon ist die Spannung und damit der Druck h¨oher in der gr¨oßeren Blase. F¨ ur kleine Tropfen k¨onnen diese Normaldr¨ ucke sehr große Werte annehmen. Ein Quecksilberk¨ ugelchen von r = 0, 1µm hat z.B. einen Druck von p = 10 M Pa. Es gelingt nicht, dieses K¨ ugelchen durch Zusammendr¨ ucken von zwei Glasplatten zu verformen. ¨ auf einer Wasseroberfl¨ache. An den einzelnen Grenzfl¨achen Wir betrachten nun einen Tropfen Ol wirken Oberfl¨achenspannungen.

¨ Abb. 39: Oltropfen auf einer Wasseroberfl¨ache.

Die Oberfl¨achenspannung (σ12 = 0, 0725 N/m) des Wassers gegen Luft ist gr¨oßer als die ¨ (σ13 = 0, 0182 N/m) und Ol ¨ gegen Summe der Oberfl¨achenspannungen von Wasser gegen Ol ¨ Luft (σ23 = 0, 032 N/m). Dadurch wird der Oltropfen immer weiter auseinander gezogen, bis ¨ sich ein d¨ unner Olfilm auf der Wasseroberfl¨ache bildet. Beim Hinzuf¨ ugen von einem Tropfen Sp¨ ulmittel wird die Oberfl¨achenspannung des Wassers verringert, sodass σ12 < σ23 + σ13 ist. ¨ ¨ Nun zieht sich der Olfilm zusammen, und man beobachtet wieder Oltropfen. Kapillarit¨at Wir wollen nun die Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ache in der N¨ahe der Gef¨aßwand untersuchen. Molek¨ ule an der Wand erfahren anziehende Kr¨afte von den Fl¨ ussigkeitsmolek¨ ulen und von den Molek¨ ulen in der festen Wand. Die Fl¨ ussigkeit bildet einen Randwinkel ϕ mit der Gef¨aßwand, den man ableiten kann, wenn man annimmt, dass auch an der Oberfl¨ache fester Stoffe eine Oberfl¨achenspannung herrscht. Man erh¨alt σ12 + σ23 cos ϕ = σ13 oder

σ13 − σ12 (Kapillargesetz) (164) σ23 Fall (a) ist eine benetzende Fl¨ ussigkeit an der Gef¨aßwand (σ13 > σ12 ) und Fall (b) eine nicht benetzende Fl¨ ussigkeit (σ13 < σ12 , z.B. Hg an Glas). Im Fall (a) kann man noch 3 weitere F¨alle unterscheiden: cos ϕ =

1) σ13 − σ12 > σ23 In diesem Fall gilt das Kapillargesetz nicht, da | cos ϕ| > 1 wird. Es gibt keinen statischen Fall, die Fl¨ ussigkeit kriecht st¨andig an der Wand hoch (z.B. Petroleum an Glas). G. Herten

108

Experimentalphysik

14.2 Oberfl¨achenspannung

2) σ13 − σ12 = σ23 (ϕ = 0◦ ) Die Fl¨ ussigkeit ist vollst¨andig benetzend. 3) σ13 − σ12 < σ23 (ϕ < 90◦ ) Dies ist der eingezeichnete Fall, z.B. Wasser an Glas. Diese Effekte treten deutlich in Erscheinung bei d¨ unnen Kapillaren. Die Fl¨ ussigkeit, z.B. Wasser, steigt in d¨ unnen Kapillaren hoch. Die Steigh¨ohe ist gegeben durch h=

2σ cos ϕ rρg

,

(165)

wobei r der Radius der Kapillare ist. Bei Quecksilber wird die Fl¨ ussigkeitss¨aule abgesenkt.

Abb. 40: Beispiele zur Kapillarwirkung.

G. Herten

109

Experimentalphysik

14.3 Str¨omungen Die Kapillarwirkung spielt eine große Rolle in der Natur; z.B. beim Aufsteigen von Pflanzens¨aften in B¨aumen. Aber auch beim Aufsteigen von Wasser im Schwamm, Tinte im L¨oschblatt, Petroleum im Lampendocht und Fleckentfernung durch Sp¨ ulmittel.

14.3

Stro ¨mungen

Um Str¨omungen von Fl¨ ussigkeiten zu beschreiben ist es zweckm¨aßig, die Dichte ρ und die Str¨omungsgeschwindigkeit ~v an jedem Ort als Funktion der Zeit anzugeben. ρ = ρ(x, y, z, t) ~v = ~v(x, y, z, t) ρ ist ein Skalar und ~v ein Vektor. Man bezeichnet daher ρ(x, y, z, t) auch als Skalarfeld und ~v (x, y, z, t) als Vektorfeld. Wir unterscheiden verschiedene Arten von Str¨omungen in Fl¨ ussigkeiten und Gasen: 1) Bei einer station¨aren Str¨omung ist die Geschwindigkeit an jedem Ort zeitlich konstant. ~v = ~v (x, y, z) Dies kann man z.B. bei einem langsam str¨omenden Fluss sehen. An einem bestimmten Punkt im Fluss bewegen sich alle Teilchen mit einer zeitlich konstanten Geschwindigkeit. Bei instation¨aren Str¨omungen, z.B. Flutwelle, ¨andert sich die Geschwindigkeit mit der Zeit. 2) Eine Str¨omung kann wirbelfrei oder wirbelbehaftet sein. Wenn in der Fl¨ ussigkeit keine Rotationsbewegung um einen Punkt auftritt, liegt eine wirbelfreie Str¨omung vor. Ein Propeller in einer str¨omenden Fl¨ ussigkeit bewirkt eine Rotation. Die Str¨omung ist dann wirbelbehaftet. 3) Das Medium der Str¨omung kann kompressibel oder inkompressibel sein. Fl¨ ussigkeiten sind meist inkompressibel, Gase dagegen sehr kompressibel. Bei manchen Str¨omungsvorg¨angen kann man aber auch Gase als inkompressibel betrachten (weiteres dazu sp¨ater). 4) Eine Str¨omung kann viskos oder nichtviskos verlaufen. Die Viskosit¨at ist die innere Reibung der Fl¨ ussigkeit, die bei der Bewegung der Molek¨ ule zueinander auftritt. In der folgenden Diskussion wollen wir uns zun¨achst auf station¨are, wirbelfreie, nichtviskose und inkompressible Medien beschr¨anken. Dies ist eine Idealisierung (John von Neumann (19031957) sprach in diesem Zusammenhang von “trockenem Wasser”), die uns erlaubt, wichtige Eigenschaften von Str¨omungen zu verstehen. Bei einer station¨aren Str¨omung bewegt sich jedes Teilchen in der Fl¨ ussigkeit an einem gegebenen Punkt P mit der gleichen Geschwindigkeit. Alle Teilchen, die den Punkt P passieren, nehmen dieselbe Bahnkurve ein. Eine solche Bahn wird Stromlinie genannt. Wir betrachten nun ein B¨ undel von Stromlinien. Dieses schlauchartige Gebilde nennt man auch Stromr¨ohre. Str¨omungen, bei denen die Stromlinien glatt nebeneinander liegen (ohne Durchmischung), nennt man auch laminar. Wir betrachten eine Stromr¨ohre mit der Querschnittsfl¨ache A1 am Punkt P und A2 am Punkt Q. Die entsprechenden Str¨omungsgeschwindigkeiten sind v1 und v2 . Im Zeitintervall ∆t G. Herten

110

Experimentalphysik

14.3 Str¨omungen

R 00 11 P111 Q 1111 000 000000 10111 000 11 11 00 000 111

01111 000

Abb. 41: Beispiel einer Stromlinie.

Q

P

V2 A1 V1

A2

Abb. 42: Beispiel einer Stromr¨ohre.

bewegt sich ein Fl¨ ussigkeitselement um eine Strecke v ∆t weiter. Die Masse ∆m, die in diesem Zeitraum durch die Fl¨ache A1 str¨omt, ist ∆m1 = ρ1 A1 v1 ∆t F¨ ur den Massenstrom an den Punkten P und Q erh¨alt man dm1 = ρ1 A1 v1 dt dm2 = ρ2 A2 v2 Massenstrom an Q: dt Massenstrom an P:

Da keine Masse die Stromr¨ohre seitlich verl¨aßt, m¨ ussen beide Massenstr¨ome gleich sein. ρ1 A1 v1 = ρ2 A2 v2 oder ρAv = const.

(166)

Dies ist die Kontinuit¨atsgleichung der Str¨omungslehre. Sie folgt aus der Massenerhaltung. F¨ ur inkompressible Fl¨ ussigkeiten vereinfacht sich (166) zu Av = const. Diese Gleichung besagt, dass bei einer inkompressiblen Str¨omungsgeschwindigkeit umgekehrt proportional zum Querschnitt ist.

(167) Fl¨ ussigkeit

die

Bernoulli-Gleichung

G. Herten

111

Experimentalphysik

14.3 Str¨omungen

Abb. 43: Skizze zur Herleitung der Bernoulli-Gleichung.

Die Bernoulli-Gleichung folgt aus dem Energieerhaltungssatz der Mechanik, angewandt auf Str¨omungen. Wir betrachten eine nichtviskose inkompressible Fl¨ ussigkeit w¨ahrend einer station¨aren Str¨omung vom Zustand (a) in den Zustand (b). Die Fl¨ ussigkeit steigt hoch und nimmt das Volumen mit dem Querschnitt A2 und der L¨ange ∆ℓ2 ein. Nach dem Energiesatz (s. Kap. ¨ 7.5) gilt: Die von einer Kraft an einem System geleistete Arbeit ist gleich der Anderung der kinetischen Energie des Systems. Bei Vernachl¨assigung von Viskosit¨at werden Kr¨afte nur durch Schwerkraft oder durch Druck hervorgerufen. Die vom Druck p1 verrichtete Arbeit ist: W1 = p1 A1 ∆ℓ1

,

und von p2 : W2 = −p2 A2 ∆ℓ2 . Die durch die Gravitationskraft verrichtete Arbeit ist Wg = −mg(y2 − y1 ). Da die Fl¨ ussigkeit inkompressibel ist, sind beide Volumina gleich V = A1 ∆ℓ1 = A2 ∆ℓ2 =

m . ρ

Damit erhalten wir f¨ ur die Gesamtarbeit W = (p1 − p2 )

m − mg(y2 − y1 ) ρ

(168)

¨ Die Anderung der kinetischen Energie ist dann 1 1 ∆K = mv22 − mv12 2 2 G. Herten

112

Experimentalphysik

14.3 Str¨omungen Mit dem Energiesatz erhalten wir dann (p1 − p2 ) oder

1 1 m − mg(y2 − y1 ) = mv22 − mv12 ρ 2 2

1 1 p1 + ρgy1 + ρv12 = p2 + ρgy2 + ρv22 2 2

(169)

oder

1 (170) p + ρgy + ρv 2 = const. 2 Dies ist die Bernoulli-Gleichung. Sie gilt f¨ ur station¨are Str¨omungen von nichtviskosen inkompressiblen Medien. Im Fall einer wirbelfreien Str¨omung kann gezeigt werden, dass die Konstante in (170) f¨ ur alle Stromlinien dieselbe ist. Der statische Fall einer ruhenden Fl¨ ussigkeit ist als Spezialfall (v = 0) in der Bernoulli-Gleichung enthalten. Oft bezeichnet man p + ρgy

als statischen Druck und

1 ρv 2 2

als Staudruck.

Man kann die Bernoulli-Gleichung auch so formulieren, dass sich der konstante Gesamtdruck aus der Summe von statischem Druck und Staudruck zusammensetzt. 1 pstat + ρv 2 = pgesamt = 2

const.

(171)

Als Faustregel f¨ ur Anwendungen der Bernoulli-Gleich kann man sich merken, dass u ¨ berall dort, wo die Str¨omungsgeschwindigkeit groß ist, ein Unterdruck vorliegt, und bei niedrigen ¨ Str¨omungsgeschwindigkeiten ein Uberdruck. Anwendung der Bernoulli-Gleichung In der Herleitung der Bernoulli-Gleichung haben wir angenommen, dass das Medium inkompressibel sein soll. Wir wollen nun absch¨atzen, bis zu welchen Geschwindigkeiten dies auch f¨ ur Gase als gute N¨aherung angesehen werden kann. Dazu ist in der folgenden Tabelle das Verh¨altnis ∆ = (pgesamt − pstat )/pstat f¨ ur verschiedene Geschwindigkeiten angegeben (mit ρLuf t = 1, 293 kg/m3 , Normaldruck p0 = 1, 01 · 105 N/m2 ), wobei wir f¨ ur den statischen Druck den atmosph¨arischen Normaldruck einsetzen. Mit (171) erhalten wir ∆= v(in m s) 50 100 250 340

G. Herten

∆(in %) 1, 6 6, 5 41 75

ρv 2 2p0

Schallgeschwindigkeit in Luft

113

Experimentalphysik

14.3 Str¨omungen

Nach dem Boyle-Mariotte-Gesetz (s. Kap. 18.1) ist p ∼ ρ bei konstanter Temperatur. Somit ¨andert sich die Gasdichte um das gleiche Verh¨altnis (N¨aheres dazu in Kap. 18). Wir sehen, dass die Bernoulli-Gleichung auch f¨ ur Gase verwendet werden kann, solange wir Geschwindigkeiten viel kleiner als die Schallgeschwindigkeit betrachten. Nun sollen einige Messger¨ate besprochen werden, die die Bernoulli-Gleichung nutzen, um Druck und Str¨omungsgeschwindigkeiten zu messen. 1) Drucksonde zur Messung des statischen Drucks pa + ρ′ gh = p0

2) Pitot-Rohr zur Messung des Gesamtdrucks

Vor der Sonde bildet sich ein Staugebiet, in dem die Fl¨ ussigkeit (Gas) zur Ruhe kommt (v = 0). Am Manometer mißt man somit den statischen Druck, der hier gleich dem Gesamtdruck ist. G. Herten

114

Experimentalphysik

14.3 Str¨omungen 3) Prandtl Staurohr Das Prandtl Rohr verbindet Drucksonde mit Pitot Rohr. Damit kann man direkt die Str¨omungsgeschwindigkeit bestimmen.

Mit der Bernoulligleichung erh¨alt man 1 pa + ρv 2 = pb 2 Die Druckdifferenz am Manometer ergibt eine H¨ohendifferenz des Fl¨ ussigkeitsspiegels (mit ′ der Fl¨ ussigkeitsdichte ρ ): pa + ρ′ gh = pb Damit oder

1 ρ′ gh = ρv 2 2 s 2ρ′ gh v= ρ

Oft wird das Prandtl-Rohr so kalibriert, dass man direkt die Geschwindigkeit ablesen kann. Es wird z.B. als Windgeschwindigkeitsmesser verwendet. 4) Venturi-D¨ use Mit der Venturi-D¨ use kann man die Geschwindigkeit von Gasen und Fl¨ ussigkeiten in einer Rohrleitung messen. Dabei handelt es sich um ein in die Rohrleitung eingef¨ ugtes Reduzierst¨ uck. Die Dichte der Fl¨ ussigkeit im Rohr sei ρ und die Dichte der Fl¨ ussigkeit im Manometer (z.B. Quecksilber) sei ρ′ . Unter Ausnutzung der Kontinuit¨atsgleichung und der Bernoulli-Gleichung kann die Str¨omungsgeschwindigkeit mit Hilfe des Manometers bestimmt werden. Kontinuit¨atsgleichung: v1 A = v2 a

G. Herten

115

Experimentalphysik

14.3 Str¨omungen

Bernoulligleichung: 1 p1 + ρv12 2 p1 − p2   1 A 2 1 2 ρ − ρ( ) v1 2 2 a 2 (ρ − ρ′ )gh v12 = ρ 1 − Aa22 v1

1 1 A = p2 + ρv22 = p2 + ρ( )2 v12 2 2 a = ρ′ gh − ρgh = p2 − p1 = (ρ − ρ′ )gh 2a2 ρ − ρ′ )gh ρ a2 − A2 s 2 (ρ′ − ρ)gh = a ρ A2 − a2 =

(172)

Damit l¨aßt sich dann die Fl¨ ussigkeitsmenge V˙ bestimmen, die pro Zeiteinheit durch das Rohr fließt. (Oft gibt man als Einheit Liter/sec. an). dV d(A · x) dx V˙ = = =A = Av1 dt dt dt

(173)

5) Dynamischer Auftrieb Die folgende Abbildung zeigt die Stromlinien um einen Tragfl¨ ugel. Aufgrund des Anstellwinkels und der Form des Tragfl¨ ugels sind die Stromlinien oberhalb des Tragfl¨ ugels enger beieinander als unter der Fl¨ache. Somit ist v1 > v2 oder nach Bernoulli p1 < p2 . Die Tragfl¨ache erf¨ahrt also eine resultierende Kraft F (dynamischer Auftrieb). 6) Fl¨ ussigkeitsfluss aus einem Beh¨alter Wir betrachten nun einen großen Beh¨alter, der mit einer Fl¨ ussigkeit gef¨ ullt ist. In der ¨ Tiefe h befindet sich eine Offnung, aus der die Fl¨ ussigkeit mit der Geschwindigkeit v ausstr¨omt. Sowohl auf der Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ache als auch an der Austritts¨offnung wirkt als statischer Druck der atmosph¨arische Druck p0 . Der Beh¨alter wird st¨andig mit Fl¨ ussigkeit G. Herten

116

Experimentalphysik

14.4 Innere Reibung

V1

F

V2 Abb. 44: Stromlinien um einen Tragfl¨ ugel.

Abb. 45: Fl¨ ussigkeitsfluss aus einem Beh¨alter.

nachgef¨ ullt, sodass die Wasserh¨ohe immer gleich bleibt. Anwendung der Bernoulli-Gleichung ergibt 1 p0 + ρgh = p0 + ρv 2 2 und somit v=

p

2gh.

(174)

Die Ausstr¨omungsgeschwindigkeit einer reibungslosen Fl¨ ussigkeit ist gleich der Geschwindigkeit eines K¨orpers, der vom Fl¨ ussigkeitsspiegel bis zur Austritts¨offnung frei fallen w¨ urde. Dieses Resultat ist einfach zu verstehen, wenn man bedenkt, dass hier potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt wird.

14.4

Innere Reibung

Bisher haben wir die Reibung zwischen den Molek¨ ulen einer Fl¨ ussigkeit vernachl¨assigt. Ein einfaches Beispiel zeigt aber schon, dass solche Reibungskr¨afte existieren. Wenn man ein Glas Wasser auf eine rotierende Scheibe stellt, so findet man nach kurzer Zeit, dass das Wasser mitrotiert. Dies ist nur m¨oglich, wenn es Kr¨afte zwischen den Fl¨ ussigkeitsschichten gibt, die die Bewegung von der Glasoberfl¨ache in die inneren Wasserschichten u ¨ bertragen. Um die Eigenschaften der inneren Reibung zu untersuchen, betrachten wir zun¨achst zwei ebene Scheiben, die

G. Herten

117

Experimentalphysik

14.4 Innere Reibung

Abb. 46: Relative Bewegung zweier Platten in einer viskosen Fl¨ ussigkeit.

sich in einer Fl¨ ussigkeit relativ zueinander bewegen. Zwischen einer ruhenden und einer bewegten Platte bildet sich ein Geschwindigkeitsgef¨alle der Str¨omung. Direkt an der Plattenoberfl¨ache haftet die Fl¨ ussigkeit, d.h. die Str¨omungsgeschwindigkeit ist v an der bewegten Oberfl¨ache und Null an der ruhenden Platte. Bei kleinen Plattenabst¨anden nimmt die Geschwindigkeit linear von Null bis v zu. Dies kann man damit erkl¨aren, dass jede Fl¨ ussigkeitsschicht auf die n¨achste Schicht aufgrund der Reibung Tangentialkr¨afte aus¨ ubt. Es ist daher Kraft n¨otig, um die Platte zu bewegen. Diese Kraft kompensiert die auftretenden Reibungskr¨afte. Nach der Erfahrung in Experimenten ist die Kraft F proportional zur Fl¨ache der bewegten Platte A, proportional zur Geschwindigkeitsdifferenz ∆v und umgekehrt proportional zum Abstand beider Platten. ∆v , F = ηA ∆z

dabei ist der Proportionalit¨atsfaktor η die dynamische Viskosit¨at. Das Absolutzeichen bedeutet, dass die Kraft unabh¨angig davon ist ob ∆v positiv oder negativ ist, d.h. ob die obere oder die ∆z untere Platte bewegt wird. F¨ ur d¨ unne Fl¨ ussigkeitsschichten kann man auch schreiben dv F = ηA . (175) dz Die Einheit der dynamischen Viskosit¨at ist (Ns)/(m2 )=Pa s. Bei der Berechnung der Kraft spielt das Oberfl¨achenmaterial der Platten keine Rolle, da die Fl¨ ussigkeitsschicht an der Oberfl¨ache station¨ar ist. Die Reibungskraft h¨angt nur von der Reibung zwischen den Molek¨ ulen ab. Die Viskosit¨at einer Fl¨ ussigkeit ist ein Maß f¨ ur die innere Reibung. Fl¨ ussigkeiten, bei denen η unabh¨angig von der Geschwindigkeit ist, nennt man Newtonsche Fl¨ussigkeiten. Die folgende Tabelle gibt typische Werte von dynamischen Viskosit¨aten (in Pa s) einiger Stoffe bei 20◦ C. Stoff Wasser Ethylalkohol Quecksilber Schwefels¨aure Oliven¨ol Glycerin G. Herten

118

η(Pa s) 0, 001025 0, 000248 0, 00155 0, 00254 0, 084 1, 528 Experimentalphysik

14.4 Innere Reibung

Die dynamische Viskosit¨at ist stark temperaturabh¨angig. Bei Fl¨ ussigkeiten sinkt die dynamische Viskosit¨at mit steigender Temperatur. F¨ ur Wasser haben wir z.B. bei T = 0◦ C, 20◦ C, 100◦ C die η-Werte 0,00182; 0,001025; 0,000288 Pa s. N¨aherungsweise gilt η = aeb/T ; (176) wobei a und b Materialkonstanten sind und T die absolute Temperatur (in Kelvin). Nun wollen wir einige Beispiele untersuchen, bei denen die innere Reibung von Fl¨ ussigkeiten wichtig ist. a) Laminare Rohrstr¨omung Im Rohr haftet die Fl¨ ussigkeit am Rand und str¨omt im Inneren am Schnellsten. Die

Abb. 47: Str¨omungsprofil in einem Rohr.

Fl¨ache eines Zylinders ist A = 2πrℓ. Somit erhalten wir f¨ ur die Reibungskraft eines Fl¨ ussigkeitszylinders mit dem Radius r dv dv (177) FR = 2πrℓη = −2πrℓη . dr dr

Das negative Vorzeichen ber¨ ucksichtigt, dass in der Rohrstr¨omung gr¨oßerem Radius nimmt die St¨omungsgeschwindigkeit ab.

dv dr

negativ ist, d.h. mit

Die Reibungskraft wird durch den Druckunterschied im Rohr kompensiert. Die Druckkraft ist Fp = (p1 − p2 )πr 2 . (178) Im station¨aren Fall folgt FR = Fp und somit

dv p1 − p2 =− r. dr 2ηℓ Integration bis zum Innenrand des Rohres ergibt dann Z R dv p1 − p2 2 ( ′ )dr ′ = − v(R) − v(r) = (R − r 2 ) dr 4ηℓ r G. Herten

119

(179) Experimentalphysik

14.4 Innere Reibung Mit der Randbedingung v(R) = 0 erhalten wir v(r) =

p1 − p2 2 (R − r 2 ). 4ηℓ

(180)

Dies ist eine parabolische Geschwindigkeitsverteilung mit dem Maximum v(r = 0) =

p1 − p2 2 R 4ηℓ

im Zentrum des Rohres. Um den Fl¨ ussigkeitsstrom I (die Fl¨ ussigkeitsmenge pro Zeit, die durch das Rohr fließt) zu berechnen, betrachten wir zun¨achst das Volumen eines Fl¨ ussigkeitszylinders innerhalb des Rohres. Der Radius des Zylinders sei r, die Dicke dr und die L¨ange l, d.h. die Endfl¨ache eines Zylinders mit dem Radius r betr¨agt A(r) = 2πr dr und das Volumen V (r) = Al = 2πrl dr. Die Str¨omungsgeschwindigkeit ist gegeben durch v(r) = dl/dt. Somit erh¨alt man f¨ ur den Fl¨ ussigkeitsstrom durch diesen Zylinder im Radius r I(r) =

d(A(r) l) dl dV (r) = = A(r) = A(r)v(r) = 2πrv(r) dr dt dt dt

Den Gesamtfl¨ ussigkeitsstrom I erh¨alt man dann mit einer Integration u ¨ber r.

I = V˙

I = V˙

Z

R

p1 − p2 2πrv(r)dr = π = 2ηℓ 0 p1 − p2 1 4 1 4 = π ( R − R ) 2ηℓ 2 4 p1 − p2 4 R = π 8ηℓ

Z

0

R

(rR2 − r 3 )dr

(181)

Dies ist das Hagen-Poiseuille Gesetz der laminaren Rohrstr¨omung. Es ist bemerkenswert, dass bei gleicher Druckdifferenz bei einem Rohr mit doppeltem Radius 16 mal soviel Fl¨ ussigkeit fließt. Dieses Gesetz hat enorme Bedeutung f¨ ur die Blutstr¨omung in den Adern. Verengt sich eine Ader auf 1/4 des urspr¨ unglichen Radius, so kann bei gleicher Druckdifferenz nur 1/256 des Blutvolumens hindurchstr¨omen. Bei großer k¨orperlicher Anstrengung erweitern sich die Blutgef¨aße; dadurch wird die Blutzufuhr erh¨oht. Man kann das Hagen-Poiseuille’sche Gesetz auch verwenden, um Messungen der dynamischen Viskosit¨at durchzuf¨ uhren. b) Laminare Str¨omung um Kugeln Als Ergebnis f¨ ur die Reibungskraft bei einer laminaren Str¨omung um eine Kugel findet man die Stokessche Reibung FR = −6πηvr (182) Die Rechnung ist recht aufw¨andig und soll daher hier nicht durchgef¨ uhrt werden. Dieses Gesetz hatten wir bereits in (Kap. 6.2) verwendet, um die Reibung von K¨orpern in G. Herten

120

Experimentalphysik

14.5 Str¨omungswiderstand

FA

FR vE mg

Abb. 48: Kr¨afte bei der laminaren Str¨omung um eine Kugel.

Fl¨ ussigkeiten zu untersuchen. L¨aßt man eine Kugel in einer Fl¨ ussigkeit fallen, so wird sie beschleunigt bis sie eine konstante Endgeschwindigkeit vE annimmt. Nun werden wir das Stokesche Gesetz benutzen und auch den Auftrieb der Kugel in der Fl¨ ussigkeit ber¨ ucksichtigen. Bei konstanter Endgeschwindigkeit vE ist die Summe von Gewichtskraft, Auftrieb und Reibungskraft Null. mg − FA = 6πηvE r Mit dem Volumen der Kugel V = 4πρr 3 /3 erhalten wir (ρ und ρf sind die Dichten der Kugel und der Fl¨ ussigkeit.) 4 πgr 3(ρ − ρf ) = 6πηvE r 3 2 g(ρ − ρf ) 2 r vE = 9 η

(183)

Der Auftrieb l¨asst sich somit leicht ber¨ ucksichtigen, indem man wie in Kap. 6.2 in die ′ Gleichungen eine effektive Dichte ρ = ρ − ρF einsetzt. Wie bereits in Kap. 6.2 erl¨autert folgt aus diesem Gesetz, dass große Kugeln schneller fallen als kleine Kugeln. In einem Kugelfallviskosimeter wird diese Gleichung genutzt, um die Viskosit¨at η einer Fl¨ ussigkeit zu messen. Man l¨aßt eine Kugel bekannter Gr¨oße und Dichte fallen und bestimmt η durch Messung der Fallgeschwindigkeit vE .

14.5

Str¨ omungswiderstand

Nach dem Stokeschen Gesetz ist der Reibungswiderstand einer Kugel in einer laminaren Str¨omung gegeben durch F = 6πηrv. Bei einer idealen Fl¨ ussigkeit (inkompressibel und nicht viskos) sollte man somit erwarten, dass der Str¨omungswiderstand Null wird. Dies ist auch leicht zu verstehen, da mit der Bernoulli-Gleichung der statische Druck auf der Vorder- und R¨ uckseite der Kugel (bzgl. der Str¨omungsrichtung) gleich sind. Die Fl¨ ussigkeitsteilchen werden auf der Vorderseite beschleunigt, aber auf der R¨ uckseite wieder abgebremst. Die Summe aller Widerstandskr¨afte ist Null. Bei realen Fl¨ ussigkeiten beobachtet man aber, dass hinter der Kugel Wirbel auftreten. Dadurch entsteht eine unsymmetrische Stromlinien- und Druckverteilung. Es treten Widerstandskr¨afte auf. Der Str¨omungswiderstand kommt dadurch zustande, dass die G. Herten

121

Experimentalphysik

14.5 Str¨omungswiderstand

Fl¨ ussigkeitsteilchen kinetische Energie (ρv 2 /2) erhalten. Bei symmetrischen Stromlinien wird diese Energie dem K¨orper beim Abbremsen der Fl¨ ussigkeitsteilchen wieder zur¨ uckgegeben. Bei der nichtidealen Fl¨ ussigkeit geht diese Energie in Wirbelbildung u ¨ ber und kommt dem umstr¨omten K¨orper nicht mehr zugute. Nach Newton ist die Kraft, die auf einen umstr¨omten K¨orper wirkt, proportional zur kinetischen Energie der Fl¨ ussigkeitsteilchen und man erh¨alt 1 F = cw A ρv 2 2

;

(184)

dabei ist A die angestr¨omte Fl¨ache, ρv 2 /2 die kinetische Energie pro Volumen und cw ein dimensionsloser Faktor, der Widerstandsbeiwert genannt wird. Im allgemeinen wird cw durch Messungen bestimmt. Wir k¨onnen (184) auch benutzen, um den Str¨omungswiderstand von laminaren Str¨omungen zu beschreiben. Dann allerdings ist cw nicht konstant, sondern abh¨angig von der Geschwindigkeit. Ein Vergleich mit dem Stokeschen Gesetz ergibt mit A = r2π

1 6πηrv = cw π ρv 2 r 2 und somit 2 12η rρv cw = = 12/( ) rvρ η

(185)

f¨ ur eine laminare Str¨omung um eine Kugel. Den dimensionslosen Ausdruck rρv Re = η

(186)

bezeichnet man als Reynoldszahl. Man findet allgemein f¨ ur alle Arten hydrodynamischer Widerst¨ande, dass der Widerstandsbeiwert cw nur von der Reynoldszahl abh¨angt, d.h. ¨anderungen von ρ, r, v und η treten nur in der Kombination Re = rρv/η auf. Str¨omungen verhalten sich ¨ahnlich, wenn ihre Re u ¨ bereinstimmen. Ein verkleinertes oder vergr¨oßertes Modell M stimmt str¨omungsm¨aßig mit dem Original O u ¨berein, wenn gilt pM p0 ReM ≈ Re0 und ≈ 2 ρM vM ρ0 v02 wobei der pM Druck des Fluids und ρM die Dichte des Fluids im Modellversuch sind. Dies ist das hydrodynamische ¨ahnlichkeitsgesetz. Mit Hilfe beider Kriterien kann man ein Modell G. Herten

122

Experimentalphysik

14.5 Str¨omungswiderstand im Wind- oder Str¨omungskanal testen und die Vorg¨ange in die Wirklichkeit u ¨bertragen. Die ¨ Reynoldszahl ist ein Kriterium f¨ ur denUbergang von laminarer zu turbulenter Str¨omung. Der Umschlag erfolgt bei einer kritischen Reynoldszahl Re Re

< >

Rekrit Rekrit

: :

laminare turbulente

Str¨omung Str¨omung

¨ bei einer Rohrstr¨omung findet derUbergang zwischen laminarer und turbulenter Str¨omung bei Re ≈ (1000 − 2000) statt. Das Hagen-Poiseuille Gesetz gilt nur f¨ ur kleinere Re-Werte. Bei der Str¨omung um eine Kugel findet man einen kritischen Wert von Re ≈ 0.4. Das Stokesche Gesetz ist somit nur f¨ ur Re < 0.4 g¨ ultig. Der cw -Wert eines K¨orpers wird meist als Funktion von Re angegeben. Die folgende Abbildung zeigt den cw -Wert f¨ ur Str¨omung einer realen Fl¨ ussigkeit um eine Kugel.

Im laminaren Bereich ist cw ∼ 1/Re. F¨ ur gr¨oßere Re l¨ost sich die Grenzschicht hinter der Kugel ab und es entsteht eine Wirbelstraße. cw bleibt dann nahezu konstant im Bereich 100 < Re < 105 . Oberhalb von 3 · 105 l¨ost sich die Grenzschicht turbulent ab. Der Querschnitt der Wirbelstraße wird kleiner, daher sinkt cw erneut ab. Im folgenden werden einige relative cw -Werte f¨ ur K¨orper mit gleichem Querschnitt angegeben. Ein K¨orper mit Tr¨opfchenform hat einen niedrigen cw -Wert. Tragfl¨ ugel Wie wir bereits in Kap. 17.3 diskutiert hatten, erfolgt der Auftrieb bei Tragfl¨ ugeln nach dem Bernoulli-Gesetz durch Druckunterschiede unterhalb und oberhalb der Tragfl¨achen. In der Praxis stellt sich die Frage, welches Profil der Tragfl¨ ugel haben soll, um einen m¨oglichst großen Auftrieb FA und einen kleinen Widerstand FW zu haben. Außerdem muss bestimmt werden, wie beide Gr¨oßen vom Anstellwinkel abh¨angen. Diese Aufgabe muss experimentell gel¨ost werden. Dazu h¨angt man ein Modell des Tragfl¨ ugels in einen Windkanal und bestimmt Auftrieb und Widerstand. Analog zu F = cw ρv 2 /2 benutzt man hier den Auftriebsbeiwert fA und den G. Herten

123

Experimentalphysik

14.5 Str¨omungswiderstand

Widerstandsbeiwert fw . Auftrieb

FA

= fA 2ρ v 2 S

Widerstand

Fw

= fw 2ρ v 2 S

Nun bezieht man FA und Fw auf die Fl¨ache S des Tragfl¨ugels und nicht auf die angestr¨omte Fl¨ache. F¨ ur eine typische Tragfl¨ache sind fA und fw als Funktion des Anstellwinkels α aufgetragen.

Die Messungen werden oft in einem Polardiagramm nach Lilienthal zusammengefaßt. Ein G. Herten

124

Experimentalphysik

14.6 Deformation fester K¨orper Maximum im Auftrieb erreicht man etwa bei α ≈ 15◦ . Bei diesem großen Anstellwinkel l¨ost sich die Str¨omung von der Oberseite ab und es entstehen Wirbel. Dadurch wird der Widerstand stark erh¨oht. Durch Spaltfl¨ ugel kann die Wirbelbildung vermieden werden und deutlich gr¨oßere Auftriebe erreicht werden. Eine ¨ahnliche Rolle spielt das Vorsegel im Segelboot. Ein Maß f¨ ur die G¨ ute eines Tragfl¨ ugels ist die Gleitzahl ε. ε=

fw Fw = FA fA

Bei modernen Flugzeugen betr¨agt die Gleitzahl etwa 0.05. Die Gleitzahl ist besonders wichtig bei Segelflugzeugen. Beim Gleitflug ist ε = (Fw )/(FA ) = tan ϕ, wobei ϕ der Neigungswinkel des Flugzeugs ist. Ein Segelflugzeug mit ε = 0, 05 verliert somit auf einer Flugstrecke von 100 m eine H¨ohe von 5 m.

14.6

Deformation fester Ko ¨rper

Bisher haben wir verschiedene Aggregatzust¨ande von Stoffen behandelt; den gasf¨ormigen, fl¨ ussigen und festen Zustand. Gase haben keine besondere Gestalt, sondern f¨ ullen den sie umgebenden Raum v¨ollig aus. Relativ kleine Kr¨afte sind n¨otig, um das Gasvolumen zu verringern. Bei fl¨ ussigen Stoffen ist eine Volumen¨anderung nur bei sehr großen Kr¨aften m¨oglich; eine Gestalts¨anderung erfordert praktisch keine Kraft. Bei festen Stoffen haben wir bisher nur den starren K¨orper betrachtet, bei dem sowohl eine Volumens¨anderung und eine Gestalts¨anderung unm¨oglich ist. Nun wollen wir uns der Wirklichkeit etwas n¨ahern und auch Deformationen bei festen Stoffen zulassen. Man nennt einen deformierbaren K¨orper elastisch, wenn er nach Beendigung der Krafteinwirkung wieder seine urspr¨ ungliche Gestalt annimmt. Ein plastischer K¨orper erh¨alt nach der Krafteinwirkung eine bleibende Formver¨anderung. Bei einigen Stoffen ist es nicht einfach zu entscheiden, ob sie fl¨ ussig oder fest sind. Wachs und Glas k¨onnte man zun¨achst als feste Stoffe ansehen, aber bereits durch leichte Temperaturerh¨ohung n¨ahern sich diese Stoffe mehr dem fl¨ ussigen Zustand. Der ideale feste K¨orper ist der Kristall. Bei ihm besteht eine regelm¨aßige Anordnung der Atome bzw. Molek¨ ule in geometrisch genau definierten Gittern.

Dehnung und Kompression Wenn wir mit einer Kraft F an einem Draht der L¨ange ℓ und dem Querschnitt A ziehen, so beobachtet man, dass er um eine Strecke ∆ℓ verl¨angert wird. Die Kraft wirkt senkrecht auf die G. Herten

125

Experimentalphysik

14.6 Deformation fester K¨orper Oberfl¨ache; man spricht daher von der Normalspannung (oder Zug- bzw. Druckspannung) σ, die gegeben ist durch NormalkraftFn (187) σ= Fl¨acheA Zug- und Druckspannung unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen ihrer Richtung. Bei nicht zu großen Kr¨aften findet man, dass die L¨angen¨anderung gegeben ist durch 1 ℓF ∆ℓ = , (188) E A wobei die Materialkonstante E der Elastizit¨atsmodul (Einheit N/m2 ) genannt wird. Mit der relativen Dehnung ε = ∆ℓ/ℓ erhalten wir 1 (Hookesches Gesetz) (189) ε = σ. E Das Hookesche Gesetz besagt, dass die relative Verzerrung proportional zur Spannung ist. Dieses Gesetz gilt nur f¨ ur kleine relative Dehnungen. Man nennt die Grenze, bis zu der das Hookesche Gesetz gilt, die Proportionalit¨atsgrenze. Wenn man den Draht weiterspannt, so nimmt die Dehnung zu. Der K¨orper ist aber immer noch elastisch, d.h. nach Beendigung der Krafteinwirkung nimmt er wieder seine urspr¨ ungliche Form ein. Dehnt man den K¨orper jenseits der Elastizit¨atsgrenze, so verbleibt eine plastische Verformung. Oberhalb dieser Dehnung versagen mathematische Beschreibungen der Verformungen. Man benutzt experimentelle Spannungs-Dehnungs-Diagramme. Zwei Beispiele (a) f¨ ur Kupfer und Aluminium und (b) f¨ ur unlegierten Stahl sind im folgenden aufgef¨ uhrt.

Am Punkt Rp (Dehngrenze) setzt ein deutliches Fließen des Drahtes ein. Unlegierter Stahl hat eine sogenannte Streckgrenze Re . Dort ist am Ende des linearen Hookeschen Bereiches kurzzeitig ein geringf¨ ugiger Abfall der Spannung zu beobachten. Die maximale Spannung wird am Punkt Rm erreicht (Festigkeitsgrenze). Bereits oberhalb von Rp und Re , aber vor allem bei u ¨berschreiten der Festigkeitsgrenze fließt der Draht, d.h. die Dehnung nimmt selbst bei Entlastung weiter zu. Die Dehnung f¨ uhrt zu einer so starken Einschn¨ urung des Drahtes, dass es am Bruchpunkt Z zum Zerreißen des Drahtes kommt. Ein Eisen- und ein Stahldraht haben etwa den gleichen Elastizit¨atsmodul. Sie unterscheiden sich aber deutlich in der Streckgrenze. Bei Eisen betr¨agt sie 180 N/mm2 und bei Stahl 1100 N/mm2 . Ein Stahldraht l¨aßt sich somit 6 mal so weit elastisch biegen, bis er sich verformt. Poissonzahl In der folgenden Diskussion setzen wir die strenge G¨ ultigkeit des Hookeschen Gesetzes voraus, G. Herten

126

Experimentalphysik

14.6 Deformation fester K¨orper d.h. wir bleiben im Proportionalit¨atsbereich. Ein Draht, an dem man zieht, wird um ∆ℓ l¨anger, aber auch um ∆d d¨ unner (Querkontraktion). Das Verh¨altnis der beiden relativen Deformationen nennt man die Poisson-Zahl µ. −∆d/d (190) µ= ∆ℓ/ℓ µ ist eine Materialkonstante, die bei festen Stoffen im Bereich 0.2 < µ < 0.5 liegt und bei Fl¨ ussigkeiten ≈ 0.5 betr¨agt. Das urspr¨ ungliche Volumen des Drahtes war V0 =

π 2 d ℓ. 4

(191)

Nach der Dehnung erhalten wir das Volumen VD VD = = mit (1 + x)2 ≈ VD = =

(d + ∆d)2 π(ℓ + ∆ℓ) 4  2 π 2 ∆d ∆ℓ d ℓ 1+ ) (1 + 4 d ℓ 1 + 2x erhalten wir    π 2 ∆d ∆ℓ d ℓ 1+2 1+ 4 d ℓ   ∆ℓ ∆d ∆d ∆ℓ π 2 d ℓ 1+ +2 +2 4 ℓ d d ℓ

Bei Vernachl¨assigung des letzten Terms ergibt sich f¨ ur die relative Volumen¨anderung   VD − V0 ∆ℓ ∆d ∆ℓ ∆V ∆d ℓ = +2 = = 1+2 V0 V ℓ d ℓ d ∆ℓ σ ∆V = ε(1 − 2µ) = (1 − 2µ) oder V E

(192)

Bei Fl¨ ussigkeiten haben wir µ = 0.5. Dies bedeutet, dass sie inkompressibel sind (∆V = 0). Bei Metallen (0.2 < µ < 0.5) beobachtet man bei Zugspannung (σ > 0) eine Volumenvergr¨oßerung. Kompressionsmodul Wir betrachten einen festen K¨orper, auf den ein ¨außerer Druck wirkt. Der Druck wirkt u ¨ berall gleich, sodass der K¨orper komprimiert wird, aber seine Gestalt beibeh¨alt. Nach dem Hookeschen Gesetz ist die relative Volumen¨anderung proportional zur Druck¨anderung. ∆p = −K

∆V V

(193)

Die Materialkonstante K nennt man auch den Kompressionsmodul (Einheit N/m2 ) und den Kehrwert Kompressibilit¨at κ = 1/K. Bei festen K¨orpern ben¨otigt man einen großen Druck, um das Volumen zu ¨andern, d.h. die Kompressibilit¨at ist sehr klein, z. B. bei Glas ist κ ≈ 3 · 10−11 m2 /N G. Herten

127

Experimentalphysik

14.6 Deformation fester K¨orper und bei Metallen (Kupfer oder Eisen) ist κ < 10−11 m2 /N. Wasser hat κ ≈ 50 · 10−11 m2 /N. Schubmodul Im vorherigen Beispiel haben wir den Fall betrachtet, bei dem die Gestalt unver¨andert bleibt, aber das Volumen zu- oder abnimmt (Volumenelastizit¨at). Nun soll die Gestaltselastizit¨at untersucht werden, wie sie z.B. bei der Scherung eines W¨ urfels um den Winkel α oder der Verdrillung eines Drahtes auftritt.

Die Kraft wirkt in diesem Fall tangential zur Oberfl¨ache. Die Tangential- oder Schubspannung ist definiert durch TangentialkraftFt στ = . (194) Fl¨acheA Nach dem Hookeschen Gesetz ist die Schubspannung proportional zum Winkel α. στ = Gα

(195)

Die Materialkonstante G nennt man Schub- oder Torsionsmodul. Aus der Erfahrung findet man, dass Kompressionsmodul und Schubmodul unabh¨angig voneinander sind. Volumenelastizit¨at und Gestaltselastizit¨at sind zwei voneinander verschiedene, sich gegenseitig nicht beeinflussende Wirkungen der atomaren Bindungskr¨afte. Bei der Verdrillung eines Drahtes treten Schubspannungen auf. Dadurch erh¨alt man ein Drehmoment ~τ , das proportional zum Winkel ϕ ist, um den der Draht verdrillt ist. |~τ | = D · ϕ.

(196)

Die Drahtkonstante D ist f¨ ur einen zylindrischen Draht der L¨ange L und dem Radius r gegeben durch |~τ | π r4 D= = G . (197) ϕ 2L F¨ ur empfindliche Messinstrumente (z.B. beim Cavendish Experiment) werden Dr¨ahte (meist Quarzdr¨ahte) mit kleinem D ben¨otigt. Mit (197) sehen wir, dass sehr d¨ unne Dr¨ahte verwendet werden m¨ ussen. Zusammenhang der elastischen Konstanten Im Bereich des Hookeschen Gesetzes kann man zeigen, dass ein Zusammenhang zwischen dem G. Herten

128

Experimentalphysik

15 Schwingungen Elastizit¨atsmodul E, dem Schubmodul G, dem Kompressionsmodul K und der Poissonzahl besteht. E = 1+µ 2G E = 1 − 2µ 3K 1 − 2µ 2G = 3K 1+µ

(198) (199) (200)

Alle Konstanten lassen sich durch E und G ausdr¨ ucken. Dies ist zweckm¨aßig, da E und G genau gemessen werden k¨onnen. Die folgende Tabelle gibt die elastischen Konstanten und die Zugfestigkeit Rm f¨ ur einige Stoffe 9 2 an (E, G, K und Rm sind in Einheiten von 10 N/m angegeben). E Federstahl 212 Gold 81 Cu, weich 120 Quarz 76

15 15.1

G 80 28 40 33

K 170 180 140 38

Rm 1, 55 0, 14 0, 20 0, 09

µ 0, 28 0, 5 0, 35 0, 17

Schwingungen Harmonische Schwingung

Wir betrachten ein System, das aus einer Masse und einer Feder besteht. Die Masse kann sich reibungsfrei auf einer Unterlage bewegen.

F m x

0

Wir w¨ahlen den Koordinatenursprung so, dass x = 0 die Ruhelage der Feder angibt, d.h. wenn sich die Masse bei x = 0 befindet, ist sie kr¨aftefrei. Verschieben der Masse nach rechts oder links f¨ uhrt zu einer Federkraft, die die Masse zur Ruhelage zur¨ uckzieht (R¨ uckstellkraft). Diese R¨ uckstellkraft F wirkt somit immer der Auslenkung entgegen. Wir erhalten also F~ = −k~x , G. Herten

129

(201)

Experimentalphysik

15.1 Harmonische Schwingung wobei k die Federkonstante ist. Mit dem 2. Newtonschen Gesetz erhalten wir dann die Bewegungsgleichung m~x¨ = −k~x.

Bei unserer ein-dimensionalen Bewegung erhalten wir somit die Differentialgleichung (harmonische Schwingungsgleichung) x¨ + ω02 x = 0 mit ω02 =

k . m

(202)

Wie wir an der Schwingungsgleichung erkennen, sind zwei Voraussetzungen n¨otig, damit es zu Schwingungen kommt. 1) Eine zur¨ ucktreibende Kraft, die immer zur Ruhelage hin gerichtet ist. 2) Eine Tr¨agheit, die daf¨ ur sorgt, dass der sich auf die Ruhelage hin bewegende K¨orper dort nicht stehen bleibt, sondern u ¨ber die Ruhelage hinausschießt. Unsere Aufgabe ist es nun, diese Gleichung zu l¨osen und eine Funktion zu finden, deren 2. zeitliche Ableitung die Funktion selbst ergibt (bis auf die Konstante −ω02 ). Verfahren zur L¨osung von Differentialgleichungen werden in der Formelsammlung n¨aher erl¨autert. (202) ist eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die allgemeine L¨osung dieser Gleichung hat zwei unabh¨angige freie Parameter, die die Anfangsbedingungen der Schwingung festlegen. Zwei Funktionen, die die obigen Bedingungen erf¨ ullen, sind sin ω0 t und cos ω0 t. Wir versuchen somit den Ansatz einer allgemeinen L¨osung: x(t) = B1 cos ω0 t + B2 sin ω0 t. Mit x(t) ˙ = −ω0 B1 sin ω0 t + ω0 B2 cos ω0 t und x¨(t) = −ω02 B1 cos ω0 t − ω02 B2 sin ω0 t = −ω02 x(t)

(203)

haben wir durch Einsetzen gezeigt, dass x(t) eine L¨osung ist. B1 und B2 sind freie, unabh¨angige Parameter. Somit ist x(t) eine allgemeine L¨osung der harmonischen Schwingungsgleichung. Eine andere Schreibweise der allgemeinen L¨osung ist: x(t) = A cos(ω0 t + φ) ,

(204)

mit den p unabh¨angigen Parametern A und φ (man beachte, dass ω0 eine Konstante ist ω0 = k/m, und kein freier Parameter, der von den Anfangsbedingungen abh¨angt.). Der Zusammenhang mit (203) ist nach (FS. Kap. 5.1) B1 = A cos φ und B2 = −A sin φ. Wir wollen nun die Bedeutung von B1 , B2 und A, φ untersuchen. Dazu betrachten wir eine Masse, die sich bei t = 0 am Ort x0 befindet und die Geschwindigkeit v0 hat. Mit x(t = 0) = x0 = B1 cos ω0 t + B2 sin ω0 t = B1 und x(t ˙ = 0) = v0 = ω0 B2 ¨ k¨onnen wir B1 und B2 aus den Anfangsbedingungen bestimmen. Ahnlich gilt: x0 = A cos φ und v0 = −ω0 A sin φ. Wir k¨onnen diese Schwingung graphisch darstellen: G. Herten

130

Experimentalphysik

15.1 Harmonische Schwingung

x(t) T A

t

Dabei gibt A die Amplitude (maximaler Ausschlag) und φ gibt die Phasenverschiebung an. ω0 ist die Winkelfrequenz (analog zur Winkelgeschwindigkeit bei der Kreisbewegung). T ist die Schwingungsdauer, der zeitliche Abstand zwischen zwei Schwingungsb¨auchen. Es gilt mit der Periodizit¨at von 2π der sin − und cos − Funktionen : ω0 T = 2π → T =

2π . ω0

(205)

Die harmonische Schwingung h¨angt sehr eng mit einer Kreisbewegung zusammen. Wir hatten f¨ ur eine Kreisbewegung in der x-y-Ebene die Bewegungsgleichungen: x(t) = x0 cos ω0 t y(t) = y0 sin ω0 t. Wir sehen, dass die Projektionen einer Kreisbewegung auf die x- oder y-Achse harmonische Schwingungen sind. Wir wollen nun die potentiellen und kinetischen Energien einer harmonischen Schwingung untersuchen. Z x Z x 1 ′ ′ −kx′ dx′ = kx2 (t) F (x ) dx = − Potentielle Energie: U(x) = − 2 0 0 Einsetzen der allgemeinen L¨osung ergibt 1 2 1 kx (t) = kA2 cos2 (ω0 t + φ) 2 2 1 2 1 K(t) = mv = mA2 ω02 sin2 (ω0 t + φ) 2 2 2 Mit k = mω0 erhalten wir 1 2 2 K(t) = kA sin (ω0 t + φ) 2 U(t) =

(206) (207)

(208)

Es wird st¨andig kinetische Energie in potentielle Energie umgewandelt. Die Gesamtenergie ist konstant und gegeben durch

G. Herten

  1 1 E = U(t) + K(t) = kA2 cos2 (ω0 t + φ) + sin2 (ω0 t + φ) = kA2 . 2 2 131

(209)

Experimentalphysik

15.1 Harmonische Schwingung Bisher haben wir den speziellen Fall der harmonischen Schwingung betrachtet, die dann auftritt, wenn die R¨ uckstellkraft die Form F (x) = −kx hat. Nun wollen wir beliebige Kr¨afte betrachten, die nur die Bedingung erf¨ ullen sollen, dass an einer Stelle (z.B. x = 0) die Kraft verschwinden soll, d.h. die potentielle Energie hat bei x = 0 ein Minimum. Ein K¨orper an der Stelle x = 0 befindet sich somit in einer stabilen Lage.

U(x)

x 0 F (x) = −

dU(x) dx

Wir entwickeln nun die potentielle Energie in einer Taylorentwicklung (FS. Kap. 2.5) um den Punkt x = 0. U(x) = U(0) + U ′ (0)x +

1 ′′ 1 U (0)x2 + U ′′′ (0)x3 + . . . 2! 3!

Der zweite Term U ′ (0) ist null, da U(x) bei x = 0 ein Minimum hat. Damit erhalten wir 1 1 U(x) = U(0) + k2 x2 + k3 x3 + . . . 2 6

,

dabei sind k2 , k3 , . . . kn Konstanten mit kn = U (n) (0). F¨ ur die Kraft erhalten wir dann: F (x) = −

dU(x) 1 = −k2 x − k3 x2 − . . . dx 2

Wir sehen somit, dass jede beliebige Kraft bei gen¨ ugend kleinen Ablenkungen von der Ruhelage die Form F (x) = −kx hat. Somit k¨onnen kleine Schwingungen um jede Ruhelage einer beliebigen Kraft in guter N¨aherung als harmonische Schwingung beschrieben werden. Deshalb ist das Beispiel der harmonischen Schwingung bedeutend f¨ ur viele Anwendungen. Weitere Beispiele f¨ ur harmonische Schwingungen a) Physikalisches Pendel Wir betrachten einen K¨orper, der drehbar aufgeh¨angt ist (physikalisches Pendel).

Drehmoment τ = ℓ · Ft = −ℓms g sin θ τ = I θ¨ G. Herten

132

Experimentalphysik

15.1 Harmonische Schwingung

l C

θ

Ft

mg somit erhalten wir I θ¨ + ℓms g sin θ = 0 ℓms g oder θ¨ + sin θ = 0 I

(210) (211)

Dies ist die Schwingungsgleichung f¨ ur das Pendel. Diese Differentialgleichung ist nicht einfach zu l¨osen, da es sich um eine nicht-lineare Gleichung handelt. F¨ ur kleine Winkelauslenkungen k¨onnen wir aber mit einer Taylorreihe die N¨aherung sin θ ≈ θ verwenden. Damit erhalten wir die harmonische Schwingungsgleichung r ℓms g (212) θ¨ + ω02 θ = 0 mit ω0 = I Die Schwingungsdauer ist dann T =

2π = 2π ω0

s

I ℓms g

(213)

Man kann das physikalische Pendel benutzen, um das Tr¨agheitsmoment eines K¨orpers zu bestimmen. T 2 ℓms g I= (214) 4π 2 F¨ ur gr¨oßere Winkelauslenkungen erh¨alt man Abweichungen von der harmonischen Schwingung. Die Schwingungsdauer erh¨alt dann folgende Korrekturen: s   I 9 1 2 θm 4 θm T = 2π + sin + ... (215) 1 + sin mgℓ 4 2 64 2 θm bedeutet hier der maximale Winkelausschlag. Typische Werte f¨ ur die Verl¨angerung der Schwingungsdauer sind 0.2%,0.8%,1.7% und 4.0% f¨ ur θm = 10◦ , 20◦ , 30◦ , 45◦ . G. Herten

133

Experimentalphysik

15.1 Harmonische Schwingung

l

θ

m b) Mathematisches Pendel Wir betrachten nun ein idealisiertes Pendel, bei dem die gesamte Masse m im Abstand ℓ vom Drehpunkt konzentriert ist. Dies ist ein Spezialfall des physikalischen Pendels mit dem Tr¨agheitsmoment I = mt ℓ2 . Einsetzen in (211) ergibt ms g sin θ = 0 (216) θ¨ + mt ℓ In der Kleinwinkeln¨aherung und mit ms = mt erhalten wir die harmonische Schwingungsgleichung mit s r g ℓ und T = 2π . (217) ω0 = ℓ g Die Schwingungsdauer ist somit unabh¨angig von der Masse, falls tr¨age Masse und schwere Masse gleich sind. Newton benutzte das Pendel, um die Gleichheit von ms und mt zu zeigen. c) Torsionspendel

θ

Wir betrachten eine Scheibe, die an einem Draht befestigt ist. Wenn man die Scheibe waagerecht dreht, f¨ uhrt sie Drehschwingungen aus. Wegen der Elastizit¨at bewirkt der verdrillte Draht ein Drehmoment, f¨ ur das man bei kleinen Verdrillungen einen linearen Zusammenhang findet (analog zum Hookeschen Gesetz bei der Feder). τ = −Dθ.

(218)

D ist die Drehfederkonstante. Mit τ = I θ¨ erhalten wir somit die Gleichung I θ¨ = −Dθ

oder θ¨ + ω02 θ = 0 mit ω02 = D/I

(219)

Die L¨osung ist wiederum eine Cosinus-Funktion θ(t) = θ0 cos(ω0 t + φ) G. Herten

134

Experimentalphysik

15.2 Ged¨ampfte Schwingung . F¨ ur die Schwingungsdauer erh¨alt man somit den Ausdruck r I . T = 2π D Das Torsionspendel kann benutzt werden, um bei bekanntem D das Tr¨agheitsmoment I zu messen, oder umgekehrt, um bei bekanntem I die Drehfederkonstante zu bestimmen.

15.2

Ged¨ ampfte Schwingung

Nun wollen wir einen Schwingungsvorgang betrachten, bei dem Energie durch Reibung in W¨arme umgewandelt wird. Die Schwingung wird dadurch ged¨ampft und kommt f¨ ur t → ∞ zum Stillstand. Beispiele f¨ ur ged¨ampfte Schwingungen sind Pendel, die durch den Luftwiderstand abgebremst werden; ein System bestehend aus einer Feder und einer Masse, das sich in einer Fl¨ ussigkeit befindet oder sich auf einer rauhen Oberfl¨ache bewegt. Wir hatten bereits diskutiert, dass die entsprechenden Reibungskr¨afte etwa folgendermaßen dargestellt werden k¨onnen: Luftreibung: Fl¨ ussigkeitsreibung:

~v F~R = −β1 v 2 |~v | F~R = −β2~v

~v F~R = −µmg |~v|

Gleitreibung:

(220) (221) (222)

Die Reibungskraft ist immer der Geschwindigkeit entgegengesetzt. Wir wollen uns nun genauer mit dem zweiten Fall besch¨aftigen (F~ ∼ −~v ), da dieser Reibungstyp große praktische Bedeutung hat. Ein weiterer Vorteil f¨ ur diese Form der Reibung ist, dass wir eine lineare Differentialgleichung erhalten, die sich relativ einfach l¨osen l¨aßt.

x m Als Beispiel betrachten wir nun eine Feder, an die ein K¨orper der Masse m h¨angt. Der K¨orper ist vollst¨andig in eine Fl¨ ussigkeit getaucht. Der Nullpunkt x = 0 wird so festgelegt, dass sich der K¨orper bei x = 0 in Ruhe befindet, d.h. die Summe Fs aller ¨außeren Kr¨afte ist null. Fs = mg − FF − FA = 0 , wobei

mg die Gewichtskraft, FF die Federkraft und FA die Auftriebskraft des K¨orpers in der Fl¨ ussigkeit. Wenn wir den K¨orper aus der Ruhelage auslenken, dann erhalten wir f¨ ur die ¨außere G. Herten

135

Experimentalphysik

15.2 Ged¨ampfte Schwingung Kraft nur die Federkraft FF (x) = −kx, da die Gewichtskraft und Auftrieb unver¨andert bleiben (solange der K¨orper eingetaucht bleibt). Hinzuf¨ ugen muss man allerdings noch die Reibungskraft FR = −bv = −bx. ˙ Mit dem 2. Newtonschen Gesetz erhalten wir daher m¨ x = −kx − bx˙ 2 Umformen ergibt x¨ + γ x˙ + ω0 x = 0 (223) p mit dem D¨ampfungsfaktor γ = b/m und der Winkelfrequenz ω0 = k/m der unged¨ampften Schwingung. Unsere Aufgabe besteht nun darin, die allgemeine L¨osung dieser Differentialgleichung zu finden. Die Methoden und L¨osungen werden in der Formelsammlung zusammengestellt. Wir unterscheiden 3 verschiedene F¨alle: 1) Geringe D¨ampfung: ω0 > γ/2 In diesem Fall benutzen wir den L¨osungsansatz: γ

x(t) = A0 e− 2 t cos(ωD t + φ) ,

(224)

dabei ist ωD die Winkelfrequenz der ged¨ampften Schwingung. Einsetzen des Ansatzes ergibt γ γ x(t) ˙ = −A0 e− 2 t cos(ωD t + φ) 2 γ −A0 e− 2 t ωD sin(ωD t + φ) γ γ x¨(t) = +A0 ( )2 e− 2 t cos(ωD t + φ) 2 γ +A0 γe− 2 t ωD sin(ωD t + φ) γ 2 cos(ωD t + φ) −A0 e− 2 t ωD Beim Einsetzen in die Differentialgleichung muss die Summe aller Terme Null ergeben. Dies ist nur m¨oglich, wenn getrennt alle Sinus- und Cosinus-Terme Null sind. Aus der Summe der Cosinus-Terme erhalten wir eine wichtige Beziehung zwischen den Konstanten.

ω02 ω02 2 ωD

   γ γ 2 2 cos(ωD t + φ) − γ cos(ωD t + φ) + − ωD cos(ωD t + φ) = 0 2 2 γ2 γ 2 − + ( )2 − ω D =0 2 2 γ2 = ω02 − 4

Wir sehen also, dass die Schwingungsfrequenz ωD der ged¨ampften Schwingung immer kleiner ist als die Frequenz ω0 der unged¨ampften Schwingung. γ

ullende der Schwingungsamplitude. Sie f¨allt exDie Funktion A(t) = A0 e− 2 t ist die Einh¨ ponentiell ab. Als typischen Wert gibt man oft an, zu welchem Zeitpunkt die Einh¨ ullende γ −1 den Wert A0 e = A0 /e annimmt, d.h. 2 t = 1 und somit t = 2/γ. G. Herten

136

Experimentalphysik

15.2 Ged¨ampfte Schwingung

x(t) A0

((−γ/2) t) A0 e

ωt

Energie der ged¨ampften Schwingung Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie ist nun nicht mehr erhalten, da durch Reibung ein Teil der Energie in W¨arme umgewandelt wird. E(t) = U(t) + K(t) 1 1 U(t) = kx(t)2 = kA20 e−γt cos2 (ωD t + φ) 2 2

(225)

Unter Verwendung der Abk¨ urzung α = ωD t + φ erhalten wir i2 1 2 −γt 1 h γ 1 k 2 v(t) = e kA cos α + ω sin α K(t) = D 2 ω02 2 0 ω02 2   1 γ 1 2 −γt 2 2 kA e cos α + 2 ( cos α + ωD sin α) E(t) = 2 0 ω0 2

(226) (227)

ur die D¨ampfung eines OszillaQ-Wert: Der Q-Wert (oder Qualit¨atsfaktor) ist ein Maß f¨ tors. ω0 Qualit¨atsfaktor Q ≡ (228) γ Q = ∞ bedeutet keine D¨ampfung und Q > 1/2 schwache D¨ampfung. F¨ ur den Bereich der starken D¨ampfung wird in der Regel der Q-Wert nicht verwendet. Wir wollen nun untersuchen, wie wir den Q-Wert bestimmen k¨onnen. Nach einer vollen Schwingungsdauer der unged¨am¨ uften Schwingung T = 2π/ω0 sei die Amplitude von A0 auf A(T ) reduziert worden. γ 2 Mit A(T ) = A0 e− 2 T erhalten wir γ = ln A0 /A(T ). (229) T F¨ ur sehr schwache D¨ampfung haben wir ωD ≈ ω0 = und erhalten somit Q= G. Herten

2π T

2π π T ω0 = = A0 γ T 2 ln A0 /A ln A 137

(230) Experimentalphysik

15.2 Ged¨ampfte Schwingung Der Q-Wert l¨aßt sich also aus dem Verh¨altnis der Amplituden A(T ) und A0 bestimmen. Man kann den Q-Wert auch durch die Energie der Schwingung ausdr¨ ucken. Welcher Bruchteil der Schwingungsenergie geht pro Schwingungsdauer verloren? E(tm ) − E(tm + T ) e−γtm − e−γ(tm +T ) ∆E = = E E(tm ) e−γtm 2π

= 1 − e−γtm +γtm −γT = 1 − e−γT = 1 − e− Q F¨ ur schwache D¨ampfung:

∆E 2π = E Q

Mann kann γ durch Q und ω0 ausdr¨ ucken und erh¨alt: r r γ2 1 2 = ω0 1 − ωD = ω0 − 4 4Q2

(231)

(232)

2) Starke D¨ampfung: γ2 > ω0 Aus den Experimenten in der Vorlesung konnten wir ablesen, dass es bei starker D¨ampfung zu keiner Schwingung kommt, sondern wir nur einen exponentiellen Abfall der Amplitude beobachten. Wir versuchen daher die Gleichung x¨ + γ x˙ + ω02 x = 0

(233)

durch einen exponentiellen Ansatz zu l¨osen: x(t) = Be−µt x(t) ˙ = −µBe−µt x¨(t) = µ2 Be−µt

(234)

Einsetzen in (233) ergibt µ2 B − γµB + ω02 B = 0 Nach Aufl¨osung der quadratischen Gleichung erhalten wir r γ γ µ1/2 = + ± ( )2 − ω02 2 2

(235)

Die allgemeine L¨osung f¨ ur starke D¨ampfung muss 2 freie Parameter haben. Sie ist daher gegeben durch: x(t) = B1 e−µ1 t + B2 e−µ2 t (236) Dabei ist µ1 > µ2 . Die erste Exponentialfunktion f¨allt somit schneller ab als die zweite. Die folgende Abbildung zeigt einen typischen Verlauf f¨ ur ein stark ged¨ampftes System. 3) Aperiodischer Grenzfall: γ2 = ω0 In diesem Fall erhalten wir µ1 = µ2 =

G. Herten

138

γ = ω0 . 2

Experimentalphysik

15.3 L¨osung der Schwingungsgleichung mit komplexen Zahlen

γ

Somit ist x(t) = (A1 + A2 )e− 2 t nicht die allgemeine L¨osung, da A1 + A2 durch eine Konstante ersetzt werden kann. Wir ben¨otigen somit eine weitere linear unabh¨angige L¨osung der Gleichung. Sie ist gegeben durch: γ

x2 (t) = A2 te− 2 t

(237)

Somit lautet die allgemeine L¨osung γ

x(t) = (A + Bt)e− 2 t .

(238)

Der aperiodische Grenzfall ist dadurch charakterisiert, dass das System in kurzer Zeit zur Ruhelage zur¨ uckkehrt.

15.3

L¨ osung der Schwingungsgleichung mit komplexen Zahlen

F¨ ur eine ausf¨ uhrliche Behandlung von komplexen Zahlen und Differentialgleichungen sei auf die Formelsammlung (FS Kap. 6 und 7) verwiesen. Hier sollen nur die wichtigsten Regeln noch einmal zusammengestellt werden. Die Schwingungsgleichung x¨(t) + γ x(t) ˙ + ω02x(t) = 0 (239) ist eine homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung und konstanten Koeffizienten. Sie hat folgende Eigenschaften: 1) Wenn x1 (t) und x2 (t) L¨osungen von (223) sind, dann ist f¨ ur beliebige reelle α, β auch αx1 (t) + βx2 (t) eine L¨osung (Superpositionsprinzip). 2) xah (t) = αx1 (t) + βx2 (t) ist die allgemeine L¨osung der homogenen Gleichung, falls x1 (t) und x2 (t) linear unabh¨angig sind. Die freien Parameter α und β werden durch die Anfangsbedingungen festgelegt. Die allgemeine L¨osung xai (t) der inhomogenen linearen Differentialgleichung mit einem Freiheitsgrad und konstanten Koeffizienten x¨(t) + γ x(t) ˙ + ω02 x(t) = A(t)

(240)

ergibt sich als Summe der allgemeinen L¨osung der homogenen Gleichung (223) xah (t) und einer speziellen L¨osung xsi (t) der inhomogenen Gleichung xai (t) = xah (t) + xsi (t). G. Herten

139

(241) Experimentalphysik

15.3 L¨osung der Schwingungsgleichung mit komplexen Zahlen Als n¨ utzliches Hilfsmittel zur L¨osung dieser Differentialgleichungen f¨ uhren wir komplexe Zahlen ein. Wir kennen ganze Zahlen −2, −1, 0, 1, 2, . . . rationale Zahlen 1/3, 5/7, . . . √ irrationale Zahl a2 = 2, a = ±√2 komplexe Zahl a2 = −1, a = ± −1 = ±i Eine komplexe Zahl l¨aßt sich allgemein als z = x + iy ausdr¨ ucken, wobei man x = Re(z) als Realteil und y = Im(z) als Imagin¨arteil bezeichnet. Graphisch kann man eine komplexe Zahl als Punkt in der x-y Ebene darstellen.

y 10 z

φ

x

In Polarkoordinaten kann man ebenfalls schreiben (Euler Gleichung): p z = x2 + y 2(cos φ + i sin φ) = |z|eiφ ,

wobei wir die Definition der komplexen Exponentialfunktion verwendet haben (FS Kap. 6.6 ). Dieser Zusammenhang zwischen Geometrie (Trigonometrische Funktionen) und Algebra (Exponentialfunktion) ist eine bedeutende Erkenntnis der Mathematik. Die mathematische Beschreibung von Schwingungen l¨aßt sich damit entscheidend vereinfachen. Dabei verwenden wir folgendes Verfahren: Obwohl wir eigentlich die reelle Gleichung (239) l¨osen wollen, suchen wir eine L¨osung der komplexen Gleichung z¨ + γ z˙ + ω02 z = 0

(242)

oder (¨ x + γ x˙ + ω02x) + i(¨ y + γ y˙ + ω02y) = 0 Wenn z(t) eine L¨osung von (242) ist, so sind x(t) = Re(z) und y(t) = Im(z) zwei reelle L¨osungen. Falls x(t) und y(t) linear unabh¨angig sind, ist somit die allgemeine L¨osung der relle Differentialgleichung bereits gefunden; denn sie ist eine Linearkombination (Summe) aus x(t) und y(t) mit zwei freien Vorfaktoren. Im allgemeinen k¨onnen wir folgenden Plan festhalten, um eine allgemeine L¨osung zu finden: 1) Komplexifizierung Wir l¨osen die komplexe Differentialgleichung und suchen die allgemeine L¨osung z(t) = αz1 (t) + βz2 (t) Durch Bildung des Realteils erhalten wir dann die reelle L¨osung x(t) = Re(z(t)). G. Herten

140

Experimentalphysik

15.3 L¨osung der Schwingungsgleichung mit komplexen Zahlen 2) Exponentialansatz Geeignete Ans¨atze zur L¨osung der Schwingungsgleichung sind Exponentialfunktionen der Form z(t) = e−µt , wobei µ eine komplexe Zahl ist. Einsetzen des Exponentialansatzes in (242) ergibt µ2 − γµ + ω02 = 0

(243)

Der Ansatz f¨ uhrt genau dann zu einer L¨osung, wenn r γ γ µ1/2 = + ± ( )2 − ω02. 2 2 Wir unterscheiden nun die 3 F¨alle: 1) Starke D¨ampfung: γ/2 > ω0 . In diesem Fall sind µ1 und µ2 reell. Wir erhalten somit die allgemeine (reelle) L¨osung z(t) = x(t) = αe−µ1 t + βe−µ2 t

(244)

¨ inUbereinstimmung mit (236). 2) Schwache D¨ampfung: γ/2 < ω0 In diesem Fall k¨onnen wir µ1/2 ausdr¨ ucken durch r γ γ γ µ1/2 = − ± (−1)(ω02 − ( )2 ) = − ± iωD 2 2 2 2 γ 2 mit ωD = ω02 − . 4 Das Ziel ist nun, zwei linear unabh¨angige, reelle L¨osungen zu finden. In unserem Beispiel lassen sie sich einfach aus dem Real- und Imagin¨arteil einer L¨osung, z.B. f¨ ur µ1 , bestimmen: γ

x1 (t) = Re(exp(−µ1 t)) = e− 2 t cos ωD t γ x2 (t) = Im(exp(−µ1 t)) = e− 2 t sin ωD t. Die allgemeine L¨osung ist dann eine Linearkombinationen beider Einzell¨osungen: γ

x(t) = A1 x1 (t) + A2 x2 (t) = e− 2 t (A1 cos ωD t + A2 sin ωD t). Wie bereits erw¨ahnt l¨asst sich dieser Ausdruck durch trigonometrische Relationen (FS Kap. 5.1) in die L¨osung (224) umwandeln. Eine andere M¨oglichkeit ist, zun¨achst die allgemeine komplexe L¨osung z(t) anzugeben ¨ und dann den Realteil x(t) zu berechnen. Dieses Verfahren soll nun zur Ubung ebenfalls durchgef¨ uhrt werden. G. Herten

141

Experimentalphysik

15.4 Erzwungene Schwingung Zun¨achst erhalten wir die allgemeine komplexe L¨osung mit den beiden komplexen Zahlen a = a1 + ia2 und b = b1 + ib2 γ

z(t) = a exp(−µ1 t) + b exp(−µ2 t) = e− 2 t (a eiωD t + b e−iωD t ).

(245)

Mit der Abk¨ urzung c = cos ωD t und s = sin ωD t kann man den Ausdruck in der Klammer umformen. (a1 + ia2 )(c + is) + (b1 + ib2 )(c − is) = a1 c + ia1 s + ia2 c − a2 s + b1 c − ib1 s + ib2 c + b2 s = (a1 + b1 )c + (b2 − a2 )s + i [ (a2 + b2 )c + (a1 − b1 )s] Nach dieser Umformung kann man den Real- und Imagin¨arteil ablesen und erh¨alt die allgemeine reelle L¨osung x(t). x(t) = Re z(t) γ = e− 2 t [ (a1 + b1 ) cos ωD t + (b2 − a2 ) sin ωD t ] | {z } | {z } A

− γ2 t

= e

B

[ A cos ωD t + B sin ωD t ] ,

¨ wobei A und B reelle Parameter sind. Dies ist in Ubereinstimmung mit dem fr¨ uheren Ergebnis. 3) Aperiodischer Grenzfall: ω0 = γ/2 Wie in 15.2 erl¨autert, liefert der Exponentialansatz hier nur eine linear unabh¨angige L¨osung, da µ = µ1 = µ2 = γ/2 ist. Eine weitere L¨osung hat die Form γ

x(t) = te− 2 t . Somit erhalten wir als allgemeine L¨osung γ

x(t) = (α + βt)e− 2 t .

15.4

(246)

Erzwungene Schwingung

F0cos(ω t+φ )

m

Wir betrachten nun einen ged¨ampften Oszillator, auf den eine periodische ¨außere Kraft F (t) = F0 cos ωt wirkt. Dieses System wird dann durch die Differentialgleichung x¨ + γ x˙ + ω02 x = f0 cos ωt (mit f0 = F0 /m und wie bisher γ = b/m , G. Herten

142

(247) ω02

= k/m) Experimentalphysik

15.4 Erzwungene Schwingung beschrieben. Zur L¨osung dieser Gleichung betrachten wir nun, wie im letzten Kapitel erl¨autert, zun¨achst die komplexe Differentialgleichung. z¨ + γ z˙ + ω02z = f0 eiωt .

(248)

(247) ist der Realteil von (248). Unser Plan ist wiederum, eine L¨osung z(t) zu finden und dann durch Bildung des Realteiles eine reelle L¨osung x(t) zu erhalten. Wir beschr¨anken uns hier auf den Fall schwacher D¨ampfung ω0 > γ/2. Um die allgemeine L¨osung der inhomogenen Differentialgleichung (247) zu erhalten, m¨ ussen wir eine spezielle L¨osung von (248) suchen und sie anschließend zur allgemeinen L¨osung der homogenen Differentialgleichung (239) addieren. Zun¨achst wollen wir eine spezielle L¨osung von (248) finden. Wir versuchen einen exponentiellen Ansatz z(t) = Aei(ωt−δ) π z(t) ˙ = iωAei(ωt−δ) = ωAei(ωt−δ+ 2 ) z¨(t) = −ω 2 Aeiωt = ω 2 Aei(ωt−δ+π) wobei wir

π

ei 2 = cos

(249) (250) (251)

π π + i sin = i 2 2

und eiπ = cos π + i sin π = −1 verwendet haben. Einsetzen in (248) ergibt (−ω 2 A + iωγA + ω02 A) = f0 eiδ .

(252)

Zun¨achst k¨onnen wir einen interessanten Zusammenhang zwischen den relativen Phasen von z(t), z(t), ˙ z¨(t) und der ¨außeren Kraft feststellen. Z.B. habe z(t) zum Zeitpunkt t = 0 die Phase −δ. z(t) ˙ ist dann bereits vorger¨ uckt auf +π/2 − δ und z¨(t) auf π − δ. Die ¨außere Kraft hat dann die Phase null. Diesen Sachverhalt k¨onnen wir weiter erl¨autern, indem wir Gleichung (252) in der komplexen Ebene darstellen. Dabei w¨ahlen wir zur Darstellung den Zeitpunkt t0 = δ/ω, bei dem z(t) die Phase null und die ¨außere Kraft die Phase δ hat.

γωΑ

Im

1 0 0 1

f0 2

ωΑ

δ 2 ω0Α

Re

Die Anteile ω 2A und ω02A haben entgegengesetzte Vorzeichen. Dies ist auf die relative Phasenverschiebung von π zwischen z(t) und z¨(t) zur¨ uckzuf¨ uhren. Die Phasendifferenz von π/2 zwischen z(t) ˙ und z(t) bewirkt, dass der Pfeil der L¨ange γωA entlang der imagin¨aren Achse G. Herten

143

Experimentalphysik

15.4 Erzwungene Schwingung zeigt. Die Summe aller Pfeile ergibt dann die ¨außere Kraft. δ gibt dabei den Phasenvorsprung der ¨außeren Kraft relativ zur Auslenkung z(t) an. Mit Hilfe des Diagramms erhalten wir tan δ =

ω02

γω − ω2

(253)

und mit dem Satz des Pythagoras f02 = (γω)2 A2 + (ω02 − ω 2 )2 A2 oder A2 (ω) =

f02 (ω02 − ω 2 )2 + (γω)2

(254)

Die Funktionen (253) und (254) sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

δ(ω) π π 2 0

ω0

ω

A(ω)

F0 k

ω0

ω

Wir k¨onnen nun auch eine spezielle reelle L¨osung xs (t) von (248) angeben und erhalten xs (t) = A(ω) cos(ωt − δ).

(255)

Folgende Spezialf¨alle sollen nun genauer untersucht werden: G. Herten

144

Experimentalphysik

15.4 Erzwungene Schwingung 1) ω << ω0 In diesem Fall erhalten wir tan φ ≈ 0. Somit ist die ¨außere Kraft phasengleich mit z(t). Die Amplitude nimmt dann den Wert A(ω) = f0 /ω02 = F0 /k

an.

2) ω = ω0 In diesem Fall betr¨agt der Phasenvorsprung der ¨außeren Kraft π/2. Sie ist somit phasengleich mit z(t). ˙ Die Amplitude erh¨alt dann den Wert A(ω0 ) =

F0 f0 f0 =Q 2 =Q . γω0 ω0 k

Diesen Fall nennt man Resonanz. Die Amplitude ist dabei um den Faktor Q im Vergleich zu ω << ω0 vergr¨oßert. 3) ω >> ω0 . Nun betr¨agt der Phasenvorsprung der ¨außeren Kraft π. Sie ist also phasengleich mit z¨(t). Die Amplitude strebt f¨ ur hohe Frequenzen gegen null. Die Geschwindigkeit und Beschleunigung der speziellen L¨osung ergibt sich dann zu x˙ s (t) = −ωA(ω) sin(ωt − δ) x¨s (t) = −ω 2 A(ω) cos(ωt − δ) ¨ Die folgenden Abbildungen geben einen Uberblick u ¨ber die Funktionen A(ω), ωA(ω) und 2 ω A(ω). In der folgenden Tabelle sind einige Werte der Amplituden zusammengestellt: Amplitude

ω << ω0

ω = ω0

ω >> ω0

A(ω)

F0 /k

Q Fk0

0

ωA(ω)

0

F0 /b

0

ω 2 A(ω)

0

Q Fm0

F0 m

Maximum bei ω0

q 1−

1 2Q2

< ω0

ω0

q1−ω

0 1 2Q2

> ω0

Man erkennt somit, dass f¨ ur A(ω) der Maximalwert f¨ ur Frequenzen unterhalb der Resonanz und 2 f¨ ur ω A(ω) oberhalb der Resonanz erreicht wird. ωA(ω) erreicht den Maximalwert genau bei ω = ω0 . Der Q-Wert des Oszillators bestimmt die Breite der Resonanzkurve. In der folgenden Abbildung sind Kurven von A(ω)/A(ω = 0) f¨ ur verschiedene Werte von Q aufgetragen. Man erkennt, dass f¨ ur große Q-Werte die Resonanzkurve schmaler wird. G. Herten

145

Experimentalphysik

15.4 Erzwungene Schwingung

In der folgenden Abbildung ist der Phasenvorsprung δ der treibenden Kraft relativ zur ¨ Auslenkung f¨ ur verschiedene Werte von Q aufgetragen. Man erkennt, dass der Ubergang von ◦ δ = 0 zu δ = 180 in der N¨ahe der Resonanz f¨ ur große Q-Werte sehr abrupt verl¨auft. H¨aufig ist es interessant, die Leistungsaufnahme des Oszillators bei der erzwungenen Schwingung zu bestimmen. Die momentane aufgenommene Leistung ist gegeben durch (Kapitel 7.4) P =

dW = F (t) · v(t) dt

(256)

In unserem Fall erhalten wir mit F (t) v(t) P Mit FS 5.1 P

G. Herten

= = = = =

F0 cos ωt und x˙ s (t) = −ωA(ω) sin(ωt − δ) −F0 ωA(ω) cos ωt sin(ωt − δ). −F0 ωA(ω) cos ωt(sin ωt cos δ − cos ωt sin δ) −F0 ωA(ω) cos δ cos ωt sin ωt + +F0 ωA(ω) sin δ cos2 ωt

146

(257)

Experimentalphysik

15.4 Erzwungene Schwingung

Die mittlere Leistungsaufnahme u ¨ ber eine volle Schwingungsperiode ist Z T 1 P (t)dt. P¯ = T 0 Z 2π 1 Mit cos α sin α dα = 0 2π 0 Z 2π Z 1 1 2π 1 1 2 cos α dα = cos2 α + sin2 α dα = und 2π 0 2π 2 0 2

(258) (259) (260)

sehen wir, dass der 1. Term in (257) bei der Mittelung u ¨ber eine Periode keinen Beitrag liefert 2 und wir im zweiten Term cos ωt durch den Faktor 1/2 ersetzen m¨ ussen. Damit erhalten wir das Resultat f¨ ur die mittlere Leistungsaufnahme 1 P¯ = F0 ωA(ω) sin δ 2 Aus dem Diagramm auf Seite 92 ersehen wir, dass sin δ = Somit

γωA f0

1 F02 γ2ω2 1 F0 ω 2 γA = P¯ = 2 f0 2 b (ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2

Das Maximum von P¯ (ω) liegt f¨ ur alle Werte von Q bei ω = ω0 . Die Breite der Resonanzkurve ¯ f¨ ur P (ω) ist ein Maß f¨ ur den D¨ampfungsparameter γ. Man findet, dass die volle Breite der Kurve bei halber H¨ohe (1/2P¯ max ) gleich γ ist. Der Q-Wert des Oszillators l¨aßt sich somit direkt aus der Leistungsresonanzkurve ablesen. Er ist ω0 Resonanzfrequenz Q= = γ volle Breite bei halbem Maximalwert G. Herten

147

Experimentalphysik

15.5 Gekoppelte Schwingungen

Bisher haben wir nur die spezielle L¨osung der erzwungenen Schwingung betrachtet. Nun wollen wir die allgemeine L¨osung zusammenstellen. xai (t) = xah (t) + xs (t) γ xai (t) = Be− 2 t cos(ωf + β) + A(ω) cos[ωt − δ(ω)]

(261)

Wir sehen, dass f¨ ur große Zeiten t → ∞ die allgemeine L¨osung in die spezielle L¨osung u ¨bergeht. Der erste Term von (261) ist somit wichtig zur Beschreibung des Einschwingvorganges, w¨ahrend die spezielle L¨osung das System f¨ ur Zeiten beschreibt, die sehr viel gr¨oßer sind als die typische D¨ampfungszeit t >> γ −1 .

15.5

Gekoppelte Schwingungen

Bisher haben wir Oszillatoren betrachtet, die aus einer schwingf¨ahigen Masse bestehen. Ihre Oszillation ist durch genau eine Resonanzfrequenz charakterisiert. Nun werden wir Oszillatoren untersuchen, die miteinander gekoppelt sind. Beispiele sind zwei Pendel, die u ¨ber eine Feder oder G. Herten

148

Experimentalphysik

15.5 Gekoppelte Schwingungen u ¨ber eine Stange verbunden sind, oder Massen, die u ¨ber Federn miteinander gekoppelt sind. Wenn man die Bewegung dieses Systems betrachtet, so stellt man fest, dass sich die Massen A und B im allgemeinen nicht wie bei einer harmonischen Schwingung verhalten. Man beobachtet einen st¨andigen Wechsel zwischen Schwingungen von A und B. Wenn A in Ruhe ist, schwingt B mit maximaler Amplitude und umgekehrt. Es wird st¨andig Energie zwischen beiden Oszillatoren ausgetauscht. Allerdings gibt es zwei spezielle Bewegungen (die beiden Eigenschwingungen), bei denen beide Massen harmonische Schwingungen durchf¨ uhren. Die Eigenschwingungen sind gegeben durch: 1) Parallele Schwingung von A und B (xA = xB ) 2) Anti-parallele Schwingung (xA = −xB ) Wir wollen nun die Bewegungsgleichung dieser gekoppelten Schwingung herleiten. Dazu betrachten wir zwei Massen A und B, die u ¨ ber eine Feder mit der Federkonstante k an einer Wand befestigt sind und miteinander u ¨ ber eine Feder mit κ gekoppelt sind. Zum Zeitpunkt t = 0 seien die Massen aus der Ruhelage um xA bzw. xB ausgelenkt.

Auf die Masse A wirkt die Kraft FA = −kxA − κ(xA − xB )

(262)

Der erste Term ist die bekannte Federkraft eines einzelnen isolierten Oszillators. Der zweite Term beschreibt die Kraft, die von der mittleren Feder herr¨ uhrt. Diese Kraft ist proportional zu xB − xA . F¨ ur xB = xA ist diese Kraft null, f¨ ur xB > xA zeigt sie in +xA Richtung und f¨ ur xB < xA in −xA Richtung. Analog finden wir f¨ ur die Kraft auf B FB = −kxB − κ(xB − xA ).

(263)

Damit erhalten wir folgende Differentialgleichungen (bei Vernachl¨assigung von Reibung). m x¨A + kxA + κ(xA − xB ) = 0 m x¨B + kxB + κ(xB − xA ) = 0 G. Herten

149

(264) (265)

Experimentalphysik

15.5 Gekoppelte Schwingungen Dies sind zwei gekoppelte Differentialgleichungen. Zur L¨osung erinnern wir uns an unsere experimentelle Beobachtung, dass eine harmonische Bewegung f¨ ur die beiden Eigenschwingungen beobachtet wird. Wir definieren daher x1 = xA + xB x2 = xA − xB F¨ ur die erste Eigenschwingung (gleichl¨aufige Bewegung beider Massen mit gleicher Amplitude) ist somit x1 = 2xA = 2xB und x2 = 0 und f¨ ur die zweite Eigenschwingung (gegenl¨aufige Bewegung) x1 = 0 und x2 = 2xA = −2xB . Durch Addition und Subtraktion von (264) und (265) erhalten wir m(¨ xA + x¨B ) + k(xA + xB ) = 0 m(¨ xA − x¨B ) + k(xA − xB ) + 2κ(xA − xB ) = 0 oder x¨1 + ω12 x1 = 0 x¨2 + ω22 x2 = 0

(266) (267)

mit ω12 = k/m k + 2κ ω22 = m

(268) (269)

Mit Hilfe der Eigenschwingungen erhalten wir somit zwei entkoppelte harmonische Schwingungsgleichungen. Die erste Gleichung (266) beschreibt die parallele Bewegung von A und B mit der Schwingungsfrequenz ω1 , und (267) beschreibt die antiparallele Eigenschwingung mit der Frequenz ω2 . Die beiden Eigenschwingungen sind somit entkoppelt. Ein gekoppeltes Pendel, das sich mit einer Eigenschwingung bewegt, bleibt in diesem Modus, da die Komponente der anderen Eigenschwingung xA + xB bzw. xA − xB null ist. F¨ ur die Eigenschwingungen erhalten wir somit die allgemeine L¨osung x1 (t) = A1 cos(ω1 t + φ1 ) x2 (t) = A2 cos(ω2 t + φ2 ).

(270) (271)

Dabei ist ω2 > ω1 , d.h. die antiparallele Schwingung erfolgt mit gr¨oßerer Frequenz. Dies ist auch verst¨andlich, da bei dieser Bewegung die mittlere Feder maximal angespannt wird. 1 (x1 + x2 ) 2 1 = (x1 − x2 ) 2

Mit xA = und xB

erhalten wir dann f¨ ur die Bewegung der Massen A und B A1 cos(ω1 t + φ1 ) + 2 A1 cos(ω1 t + φ1 ) − = 2

xA = xB G. Herten

150

A2 cos(ω2 t + φ2 ) 2 A2 cos(ω2 t + φ2 ). 2

(272) (273) Experimentalphysik

15.5 Gekoppelte Schwingungen Die Bewegung von A und B entspricht somit einer Superposition der harmonischen Eigenschwingungen. F¨ ur den speziellen Fall A = A1 = A2 und φ1 = φ2 = 0 k¨onnen wir dann weiter umformen 1 1 (274) mit cos α + cos β = 2 cos (β − α) cos (β + α) 2 2 1 1 und cos α − cos β = 2 sin (β − α) sin (β + α). (275) 2 2 ω2 − ω1 ω2 + ω1 t cos t 2 2 ω2 − ω1 ω2 + ω1 xB = A sin t sin t 2 2 Der linke Cosinus-, bzw. Sinus-Term, beschreibt eine Schwingung mit kleiner Frequenz, die auch Schwebung genannt wird. Der rechte Term beschreibt den schnell Oszillierenden Anteil. xA = A cos

Diese Funktionen haben etwa folgenden Verlauf:

Abb. 49: Verlauf von xA und xB bei der gekoppelten Schwingungen.

Das bisherige Ergebnis k¨onnen wir verallgemeinern (D. Bernoulli 1753). 1) Ein oszillierendes System mit N Massen hat genau N unabh¨angige Eigenschwingungen f¨ ur eine Bewegung in einer Dimension. 2) Die allgemeine Bewegung des gekoppelten Systems ist eine Superposition der Eigenschwingungen. Diese Verallgemeinerung k¨onnen wir experimentell leicht u ufen, indem wir ein System ¨berpr¨ mit mehreren Massen mit einer ¨außeren periodischen Kraft anregen. Dann beobachtet man bei den einzelnen Eigenfrequenzen große Amplituden und kann die Eigenschwingungen deutlich erkennen. Bei 3 Massen findet man die Eigenschwingungen. 1) ←− ←− 2) ←− ↑ 3) −→ ←−

←− −→ −→

−→ −→ −→ −→ ↑ ←− ←− −→ ←−

Dabei sollen die Pfeile Bewegungen nach links oder rechts und die Ruhelage andeuten. Die Eigenschwingungen sind dadurch charakterisiert, dass die Massen Phasenunterschiede von 0◦ oder 180◦ zueinander haben, bzw. in Ruhe sind und jede eine harmonische Schwingung durchf¨ uhrt. G. Herten

151

Experimentalphysik

16 Mechanische Wellen

16 16.1

Mechanische Wellen Wellengleichung

l

l K

m n=1 z=a

l K

m 2 2a

l K

l K

m 3 3a

m 4 4a

m 5 5a

Bei einem System von N gekoppelten linearen Oszillatoren hatten wir bereits in den gekoppelten Schwingungen gesehen, dass sich eine Schwingung eines Oszillators fortpflanzt. Wir betrachten nun eine Kette von vielen Massen und Federn, wie in der Abbildung dargestellt. Die allgemeine Bewegung der Oszillatoren kann man sich nach dem Theorem von Bernoulli aus N Eigenschwingungen zusammengesetzt denken. Versetzt man eine Masse in Schwingung, so pflanzt sich diese St¨orung entlang der Kette fort. Dies bezeichnen wir als eine Welle, die sich entlang der Kette ausbreitet. Ein solches System mit vielen gekoppelten Massen und Federn ist ein Modell f¨ ur ein Seil mit einer kontinuierlichen Massenverteilung. Die Wellenausbreitung entlang eines Seils wollen wir nun genauer untersuchen.

y

Zeit t’ z v(t−t’)

Zeit t

y

z z=0

λ

Abb. 50: Eine Seilwelle, die sich in der Zeit t − t′ mit der Geschwindigkeit v ausbreitet.

Wir betrachten ein Seil, das am linken Ende cosinus-f¨ormig nach oben und unten bewegt wird. Zur Zeit t′ habe das Seil am Ort z = 0 ein Maximum. Die Schwingung bei z = 0 l¨asst G. Herten

152

Experimentalphysik

16.1 Wellengleichung sich somit folgendermaßen beschreiben: y(z = 0, t′ ) = y0 cos(ωt′) . y0 ist die Amplitude der Seilauslenkung bei z = 0. Wir beobachten nun, dass sich nun eine sinusf¨ormige Welle auf dem Seil bildet, sodass sich ein Wellenberg in z-Richtung fortbewegt. Das Maximum lag zum Zeitpunkt t′ am Punkt z = 0. Zum Zeitpunkt t befindet sich derselbe Wellenberg an der Stelle z = v(t − t′ ), wobei v die Ausbreitungsgeschwindigkeit (oder Phasengeschwindigkeit) der Welle ist. Der Ausdruck Phasengeschwindigkeit r¨ uhrt daher, dass sich eine Phase der Cosinus-Welle, z.B. das Maximum (Phase = 0 oder 2π), mit dieser Geschwindigkeit ausbreitet. Aufl¨osen nach t′ liefert z t′ = t − . (276) v Die Auslenkung des Seils an der Stelle z zum Zeitpunkt t ist gleich der Auslenkung bei z = 0 zum Zeitpunkt t′ , d.h. y(z, t) = y(0, t′) = y0 cos ωt′ (277) Einsetzen von t′ liefert

z y(z, t) = y0 cos ω(t − ) . (278) v Man beachte, dass v die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist und nicht die Geschwindigkeit eines Seilst¨ uckes. Jeder Punkt auf dem Seil schwingt in y-Richtung mit der Frequenz ω und der Geschwindigkeit dy/dt. Eine Welle, die sich in −z Richtung bewegt, h¨atte die Form y(z, t) = y0 cos ω(t + z/v) . Wir sehen außerdem, dass sich am Ort z + λ wieder ein Wellenberg befindet, d.h. es gilt y(z, t) = y(z + λ, t) oder h h i ω i ω cos ωt − z = cos ωt − (z + λ) v v

Dies ist aber nur erf¨ ullt, wenn

.

ω λ = 2π v

oder

2πv 2πv v = = (279) ω 2πf f λ ist die Wellenl¨ange und f die Frequenz der Schwingungsanregung. Die Phasengeschwindigkeit ist somit gegeben durch das Produkt von Wellenl¨ange und Frequenz. H¨aufig verwendet man auch die Wellenzahl 2π . (280) k= λ Damit ist die Phasengeschwindigkeit gegeben durch λ=

v=

ω k

(281)

und die sinusf¨ormige Welle kann geschrieben werden als y(z, t) = y0 cos(ωt − kz) . G. Herten

153

(282) Experimentalphysik

16.1 Wellengleichung Wir bilden nun die zweifache partielle Ableitung nach der Zeit und nach dem Ort ∂ 2 y = −ω 2 y0 cos(ωt − kz) ∂t2 z = const ∂ 2 y = −k 2 y0 cos(ωt − kz) ∂z 2 t = const

Somit finden wir den Zusammenhang

∂ 2 y  ω 2 ∂ 2 y = ∂t2 k ∂z 2

Mit ω/k = v ergibt sich somit die ein-dimensionale (Ausbreitung nur in z-Richtung) Wellengleichung 2 ∂2y 2∂ y = v . (283) ∂t2 ∂z 2 Obwohl wir diese Gleichung f¨ ur sinusf¨ormige Wellen hergeleitet haben, werden wir sehen, dass sie allgemein f¨ ur alle Wellen gilt, die sich ohne D¨ampfung in einer Dimension fortpflanzen. Wir wollen nun die Wellengleichung f¨ ur Seilwellen herleiten.

y

Τ2

Seil

Τ θ2

θ1

Τ

Τ1

∆z z

Wir betrachten ein Seil, das sich unter der Spannung (Kraft) T befindet, deren Betrag sich zeitlich nicht ¨andern soll. Somit wirkt auf ein Seilst¨ uck der L¨ange ∆z eine Kraft T nach links und nach rechts unter verschiedenen Winkeln θ1 und θ2 zur Ausbreitungsrichtung z. Die entsprechenden Komponenten in y Richtung sind T1 und T2 . Mit dem 2. Newtonschen Gesetz m¨ y=F

(284)

erf¨ahrt dann das Massenelement der L¨ange ∆z die Beschleunigung y¨ in y-Richtung. Dabei ist m = µ · ∆z mit der Massenbelegung pro L¨ange µ. F ist die Kraft, die auf das Seilst¨ uck in y-Richtung wirkt. F = T2 − T1 = T (sin θ2 − sin θ1 ) ≈ T (tan θ2 − tan θ1 ) G. Herten

154

Experimentalphysik

16.1 Wellengleichung Den Tangens k¨onnen wir durch die erste Ableitung ausdr¨ ucken: ∂y und tan θ1 = ∂z z ∂y tan θ2 = = y ′(z + ∆z) = f (z + ∆z) . ∂z z+∆z

Damit erhalten wir f¨ ur die Kraft

F = T [f (z + ∆z) − f (z)]

.

Andererseits finden wir mit der Taylorentwicklung f (z + ∆z) ≈ f (z) + f ′ (z)∆z Einsetzen liefert F = T f ′ (z)∆z = T

∂2y ∆z ∂z 2

.

(285)

Einsetzen in (284) ergibt dann µ∆z

∂2y ∂2y = T ∆z oder ∂t2 ∂z 2 ∂2y T ∂2y = . ∂t2 µ ∂z 2

(286)

Der Vergleich mit der Wellengleichung (283) zeigt, dass die Phasengeschwindigkeit der Seilwelle gegeben ist durch s T . (287) v= µ Nicht nur sinus oder cosinus-Funktionen sind L¨osungen der Wellengleichung sondern alle Funktionen der Form z g(t ± ) , v die nur von der Kombination t ± z/v abh¨angen. Dies soll nun bewiesen werden. Wir verwenden den Ansatz z y = g(t ± ) . v ∂y ∂t ∂2y ∂t2 ∂y ∂z ∂2y ∂z 2 G. Herten

= g′ = g ′′ 1 = ± g′ v 1 = 2 g ′′ v 155

Experimentalphysik

16.1 Wellengleichung Einsetzen in die Wellengleichung liefert g ′′ = v 2

1 ′′ g v2

.

Damit ist gezeigt, dass jede Funktion, bei der Zeit und Ort nur in der Kombination t − z/v vorkommt, eine L¨osung von (283) ist. Die allgemeine L¨osung der ein-dimensionalen Wellengleichung l¨aßt sich schreiben als y(z, t) = g(t − z/v) + f (t + z/v)

(288)

¨ und somit als Uberlagerung einer in +z und einer in −z Richtung laufenden Welle. Nun wollen wir noch die Energie berechnen, die pro Zeit (Leistung) durch den Punkt z1 fließt.

b F

Fy

Die Leistung ist gegeben durch ((Kapitel 7.4)) P = F~ ·~v. In y Richtung muss die Gegenkraft Fy u ¨berwunden werden, die sich berechnen l¨asst zu: Fy = −T sin θ ≈ −T tan θ = −T

∂y ∂z

Mit

∂y ∂t erhalten wir somit f¨ ur die momentane Leistung am Punkt z zur Zeit t v=

P (z, t) = −T

∂y ∂y ∂z ∂t

.

(289)

Als Beispiel betrachten wir wieder unsere Cosinus-Welle in +z Richtung. y(z, t) = y0 cos(ωt − kz) Damit erhalten wir P (z, t) = T kωy02 sin2 (ωt − kz)

G. Herten

156

(290)

Experimentalphysik

16.2 Schallwellen Mit unserer Vorzeichenwahl ist die Leistung positiv, wenn sich die Welle in +z-Richtung bewegt (k positiv) und negativ in umgekehrter Richtung (k negativ). Die u ¨ber eine volle Periode T = gemittelte Leistung ist dann

16.2

2π ω

1 < P >= T kωy02 2

.

(291)

Schallwellen

Im letzten Kapitel haben wir Transversalwellen am Beispiel einer Seilwelle untersucht. Nun werden wir Longitudinalwellen behandeln. Dabei schwingen die Oszillatoren in Ausbreitungsrichtung der Welle. Schallwellen in Luft sind ein Beispiel f¨ ur Longitudinalwellen. Dabei werden im Gas Druckschwankungen erzeugt, die allerdings sehr klein im Vergleich zum atmosph¨arischen Druck sind. Dieser betr¨agt p0 = 1, 01 × 105 N/m2 . Typische Schallwellen (z.B. bei einem Gespr¨ach) erzeugen zus¨atzliche Druckschwankungen von ∆ps ≈ 10−2 N/m2 . Der Gesamtdruck ist somit p = p0 + ∆ps ≈ p0 . Wir betrachten eine bestimmte Gasmenge (Anzahl von Gasmolek¨ ulen), die zu einem gewissen Zeitpunkt das Volumen V = V0 + ∆Vs einnimmt, wobei ∆Vs die Volumen¨anderung aufgrund der Schallwelle angibt. Bei Gas ist der Druck eine Funktion des Volumens p = p(V ). Mit einer Taylorentwicklung erhalten wir somit die Beziehung p = p(V ) = p(V0 + ∆Vs ) = p(V0 ) + p′ (V0 ) ∆Vs ∂p Mit p0 = p(V0 ) und p′ (V0 ) = ∂V erhalten wir V0 ∂p ∆Vs ∂p V0 ∆Vs = p0 + V V0 p = p0 + ∂V ∂V V

.

.

(292)

In (193) hatten wir den Kompressionsmodul K definiert als ∆p = −K

∆V V

.

In diesem Fall ist ∆p = p − p0 = ∆ps die Druck¨anderung aufgrund der Schalls und ∆V = ∆Vs die entsprechende Volumen¨anderung. Einsetzen in (292) liefert ∆ps = −K

∆Vs V

.

(293)

Mit den Eigenschaften von Gasen und speziell dem Kompressionsmodul K oder dem Kehrwert, der Kompressibilit¨at, werden wir uns in Kapitel 18 noch ausf¨ uhrlicher besch¨aftigen. Hier wollen wir nun ein wichtiges Resultat vorwegnehmen. Bei Gasen muss unterschieden werden, unter welchen Bedingungen die Kompression stattfindet, z.B. ob dabei die Temperatur konstant bleibt (isothermer Prozess) oder ob die Gesamtenergie des Gases konstant bleibt (adiabatischer

G. Herten

157

Experimentalphysik

16.2 Schallwellen Prozess, d.h. es wird keine W¨arme an die Umgebung abgegeben). Als Ergebniss findet man f¨ ur Kompressionsmodul eines idealen Gases: K = p (isothermer Prozess) K = κp (adiabatischer Prozess)

(294)

Dabei ist κ der Adiabatenkoeffizienz, der f¨ ur Luft den Wert κ = 1.4 hat. Bei der Schallausbreitung erfolgt die Kompression des Gases so schnell, dass keine W¨arme mit der Umgebung ausgetauscht werden kann (∆Q = 0). Es handelt sich somit um einen adiabatischen Prozess. Diese Ergebnisse werden wir bei der Herleitung der Wellengleichung f¨ ur Schall verwenden.

V’

V

A Z1

Z’1 ∆z

Z2 Z’2

Wir betrachten einen gasgef¨ ullten Zylinder mit dem Querschnitt A. Ein Volumenelement der L¨ange ∆z befindet sich zwischen den Punkten z1 = z und z2 = z + ∆z. Bei Durchgang der Welle verschieben sich die Molek¨ ule um eine Strecke, die durch die Funktion s(z) gegeben ist. Nun befindet sich dieselbe Gasmenge im Volumenst¨ uck zwischen den Punkten z1′ = z + s(z) und z2′ = z + ∆z + s(z + ∆z). Die Volumina sind somit V = A(z2 − z1 ) = A · ∆z V ′ = A(z2′ − z1′ ) = A [∆z + s(z + ∆z) − s(z)] ∆Vs = V ′ − V = A [s(z + ∆z) − s(z)] und somit

∆Vs s(z + ∆z) − s(z) ∂s = ≈ V ∆z ∂z

.

(295)

Mit (293) erhalten wir somit ∆ps = −K

∂s ∆Vs = −K V ∂z

.

(296)

Nun verwenden wir das 2. Newtonsche Gesetz f¨ ur Bewegungen in der z-Koordinate: m¨ s = Fz G. Herten

158

.

(297) Experimentalphysik

16.2 Schallwellen Die Masse der betrachteten Gasmenge ist m = ρV = ρA∆zund s¨(z) die Beschleunigung der Gasmolek¨ ule am Ort z. Fy ist die ¨außere Kraft, die auf das Volumenelement in z-Richtung wirkt. Sie ist gegeben durch Fz = −A [p(z + ∆z) − p(z)]) = −A [ps (z + ∆z) − ps (z)]

.

Das Minus-Zeichen ber¨ ucksichtigt, dass die Kraft in die −z Richtung zeigt, falls der Druck an der Stelle z + ∆z gr¨oßer ist als bei z. Der atmosph¨arische Druck ist auf beiden Seiten des Volumens gleich. In der Differenz erscheint somit nur noch der Schalldruck. Mit einer Taylorentwicklung erhalten wir f¨ ur kleine ∆z   ∂ps ∆z . Fz = −A [ps (z + ∆z) − ps (z)] ≈ −A ∂z Einsetzen von (296) liefert weiter Fz = −A



∂ps ∂z



∆z = +AK



∂2s ∂z 2



∆z

.

Mit dem 2. Newtonschen Gesetz (297) ergibt sich somit ρA∆z

∂2s ∂2 s = AK ∆z ∂t2 ∂z 2

oder

∂2s K ∂2s = . (298) ∂t2 ρ ∂z 2 Aus einem Vergleich mit der ein-dimensionalen Wellengleichung (283) sieht man, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Schallwelle gegeben ist durch: v=

p K ( ρ

Durch Einsetzen des Kompressionsmoduls f¨ ur Gase f¨ ur eine adiabatische Prozess (294) finden wir somit f¨ ur die Schallgeschwindigkeit s r p K v= = κ . (299) ρ ρ F¨ ur die Ausbreitung von Longitudinalwellen in einem fl¨ ussigen Medium findet man dieselben Ausdr¨ ucke; allerdings muss nun der Kompressionsmodul der Fl¨ ussigkeit eingesetzt werden, den wir in (193) definiert hatten durch ∆p = −K

∆V V

.

Bei einer Longitudinalwelle, die sich entlang eines Stabes ausbreitet, erzeugen die Druckschwankungen eine lokale L¨angen¨anderung des Stabes. Die relevante Materialgr¨oße ist daher der Elastizit¨atsmodul E, der gegeben ist durch (188) σ= G. Herten

F ∆ℓ =E A ℓ 159

. Experimentalphysik

16.2 Schallwellen Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Longitudinalwelle entlang des Stabes ist dann: s E v= . ρ

(300)

Wir k¨onnen somit die Ausbreitungsgeschwindigkeiten von mechanischen Wellen zusammenfassen. 1) Transversale Wellen, z.B. Seil, Draht. v=

s

T µ

Ein Draht mit µ = 0, 5 g/m, der mit einer Kraft T = 100N gespannt ist, hat eine Ausbreitungsgeschwindigkeit von v ≈ 450 m/sec. 2) Schallwellen in Gas v=

p p K/ρ = κp/ρ

Die Schallgeschwindigkeit in Luft bei Normaldruck und T = 0◦ betr¨agt 343m/sec. 3) Schallwellen in einer Fl¨ ussigkeit v=

p

K/ρ

Der Kompressionsmodul f¨ ur Wasser betr¨agt 2 · 109 N/m2 . Damit erh¨alt man eine Schallgeschwindigkeit um 1500 m/sec. 4) Longitudinalwellen in einem Stab v=

p E/ρ

Typische Geschwindigkeiten in Metallen betragen ca. 6000m/sec. Die gemessenen Geschwindigkeiten stimmen mit den Vorhersagen innerhalb von 15% u ¨berein. Eine Abweichung r¨ uhrt daher, dass der Elastizit¨atsmodul durch statische Messungen bestimmt wird. F¨ ur die Wellenausbreitung ist aber das Verhalten des Materials bei schnellen Kontraktionen entscheidend. 5) Transversalwellen in einem Stab v=

p

G/ρ

Bei Transversalwellen in einem festen K¨orper werden benachbarte Schichten gegeneinander verschoben. Die Kopplung erfolgt durch die Scherkraft. Daher ist die relevante Materialkonstante der Schubmodul (Torsionsmodul). Typische Werte f¨ ur Transversalwellen in Metallen liegen um 3000m/sec. ¨ Die folgende Tabelle gibt einen Uberblick u ¨ber Schallgeschwindigkeiten von Longitudinalwellen in verschiedenen Materialien.

G. Herten

160

Experimentalphysik

16.3 Reflexionen Material Luft Helium Wasser Aluminium Granit Blei Silber

16.3

E(N/m2 )

6, 0 · 1010 5, 0 · 1010 1, 6 · 1010 7, 5 · 1010

K(N/m2 ) 1, 4 · 105 1, 66 · 105 2, 0 · 109

ρ(kg/m3 ) 1 103 2, 7 · 103 2, 7 · 103 11, 4 · 103 10, 4 · 103

v(m/s) 330 970 1500 5100 5000 1320 2680

Reflexionen

Wenn sich eine Welle entlang eines Seils fortpflanzt, beobachtet man, dass sie am Ende des Seils reflektiert wird. Die einlaufende Welle u ¨berlagert sich mit der reflektierten Welle. Diese Reflexionen wollen wir genauer untersuchen. Wir betrachten ein elastisches Seil, das am linken Ende von einer transversalen Kraft Fy angeregt wird. Die Kraft wirkt der Seilspannung entgegen.

y

Ty α

z

Fy

Fy = −Ty = −T sin α ≈ −T tan α = −T



∂y ∂z



(301) z=0

Da sich eine Welle entlang des Seils bewegt, hat die transversale Auslenkung des Seils die Form y(z, t) = y(vt ∓ z) = y(s) mit s = vt ∓ z. Dabei gilt das Minuszeichen f¨ ur die Bewegung in +z-Richtung und das Pluszeichen f¨ ur eine Wellenausbreitung in −z-Richtung. Dann erhalten wir ∂y ∂y ∂s ∂y = = v ∂t ∂s ∂t ∂s ∂y ∂s ∂y ∂y = =∓ ∂z ∂s ∂z ∂s

.

Also

∂y ∂y = ∓v . (302) ∂t ∂z Diese Gleichung besagt, dass f¨ ur alle Seilwellen gelten muss, dass die transversale Geschwindigkeit ∂y/∂t gleich dem Produkt aus Phasengeschwindigkeit v und transversaler Steigung ∂y/∂z G. Herten

161

Experimentalphysik

16.3 Reflexionen des Seils ist. Diesen Zusammenhang werden wir sp¨ater verwenden. Diese Beziehung k¨onnen wir in (301) einsetzen und erhalten T ∂y . (303) Fy = ± v ∂t z=0 p Mit (287) v = T /µ finden wir dann p ∂y ∂y = ±Z , (304) Fy = ± T µ ∂t z=0 ∂t z=0

wobei

Z=

p

Tµ

die Impedanz des Seils ist. An der Definition der Impedanz Z=

Fy ∂y/∂t

(305)

sieht man, dass große Impedanz bedeutet, dass eine große Kraft ben¨otig wird, um ein Massenst¨ uck auf dem Seil zu bewegen. Die Impedanz ist somit ein Maß f¨ ur den Widerstand der u ¨berwunden werden muss, um das Seil auszulenken. Wir betrachten nun zwei unterschiedliche Seile, die miteinander verbunden sind.

ya

yt

yr

T1 ,v1 , µ 1 ,Z1

T2 ,v2 , µ 2 ,Z2

Die Materialeigenschaften und somit die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit und die Impedanz seien f¨ ur beide Seile verschieden. Wir f¨ uhren nun ein Experiment durch und lassen einen Puls auf Seil 1 nach rechts laufen (Welle ya ). Wir beobachten, dass sich im allgemeinen ebenfalls ein Puls entlang des Seils 2 fortbewegt (transmittierte Welle yt ) und eine Welle an der Verbindungsstelle von Seil 1 und Seil 2 reflektiert wird und sich in −z-Richtung auf Seil 1 ausbreitet (reflektierte Welle yr ). ¨ Auf Seil 1 haben wir somit eine Uberlagerung von zwei Wellen ya (z, t) und yr (z, t) und auf Seil 2 nur die transmittierte Welle y1 (z, t) = ya (z, t) + yr (z, t) y2 (z, t) = yt (z, t)

(306) (307)

Randbedingungen: Nun m¨ ussen wir noch die Randbedingungen am Verbindungspunkt der Seile z = 0 erf¨ ullen. Diese besagen, dass die Funktionen, die die Auslenkung und Kr¨afte auf Seil 1 und Seil 2 beschreiben, am Punkt z = 0 stetig sein m¨ ussen. Ebenso sollte die zeitliche Ableitung existieren und auch stetig sein. Diese Randbedingungen legen das Reflexionsverhaltens der Wellen fest.

G. Herten

162

Experimentalphysik

16.3 Reflexionen 1) Steigkeit der Auslenkung und Geschwindigkeit Die Auslenkung und Geschwindigkeit von Seil 1 und Seil 2 bei z = 0 m¨ ussen zu allen Zeiten gleich sein. y1 (0, t) = y2 (0, t) ya (0, t) + yr (0, t) = yt (0, t)

(308)

Die Stetigkeit der ersten zeitlichen Ableitung liefert ∂yr ∂yt ∂ya + = ∂t z=0 ∂t z=0 ∂t z=0

(309)

2) Stetigkeit der Kr¨afte Die transversalen Kr¨afte bei z = 0 m¨ ussen zu allen Zeiten auf beiden Seilen gleich sein. F1y (0, t) = F2,y (0, t)

(310)

Einsetzen von (304) liefert ∂ya ∂yr F1y (0, t) = Z1 − Z1 ∂t z=0 ∂t z=0

.

(311)

Das Minus-Zeichen r¨ uhrt daher, dass sich die reflektierte Welle in −z-Richtung ausbreitet und daher nach (304) ein negatives Vorzeichen zu w¨ahlen ist. Mit ∂yt (312) F2y (0, t) = Z2 ∂t z=0 erhalten wir dann

∂ya ∂yr ∂yt Z1 − Z1 = Z2 ∂t z=0 ∂t z=0 ∂t z=0

.

(313)

Einsetzen von (309) in (313) liefert     ∂ya ∂ya ∂yr ∂yr Z1 = Z2 − + ∂t z=0 ∂t z=0 ∂t z=0 ∂t z=0 ∂ya ∂yr (−Z − Z ) = (Z2 − Z1 ) 1 2 ∂t z=0 ∂t z=0 Z1 − Z2 ∂ya ∂yr = ∂t z=0 Z1 + Z2 ∂t z=0

Integration u ur die Auslenkung ¨ber die Zeit ergibt denselben Zusammenhang auch f¨ yr (0, t) =

Z1 − Z2 ya (0, t) . Z1 + Z2

(314)

Die Integrationskonstante ist Null, da die reflektierte Welle yr (0, t) = 0 sein muss, wenn ya (0, t) = 0. Z1 − Z2 R= Z 1 + Z2 G. Herten

163

Experimentalphysik

16.3 Reflexionen nennt man den Reflexionskoeffizienten (−1 ≤ R ≤ 1). Einsetzen von (314) in (308) liefert   2Z1 Z1 − Z2 ya (0, t) . (315) ya (0, t) = yt (0, t) = 1 + Z1 + Z2 Z 1 + Z2 2Z1 ist der Transmissionskoeffizient (0 ≤ T ≤ 2) . Z1 + Z2 Wir sehen, dass R und T nur von den Impedanzen abh¨angen. Im Spezialfall, dass beide Seile mit derselben Spannung T gespannt sind, erh¨alt man mit T =

Z= R=

p Tµ ,

v=

p

T /µ ,

Z=

T v

1/v1 − 1/v2 v2 − v1 Z1 − Z2 = = Z1 + Z2 1/v1 + 1/v2 v1 + v2

und f¨ ur den Transmissionskoeffizienten T T =

2/v1 2v2 2Z1 = = Z1 + Z2 v1 + v2 v1 + v2

Beispiele: a) Z2 ≫ Z1

ya yr

Z1

R = −1 ,

Z2

T =0,

yr (0, t) = −ya (0, t) ,

yt (0, t) = 0

Dieses Beispiel beschreibt im Grenzfall ein Seil(mit Z1 , das an einer Wand (Z2 ) festgebunden ist. Dabei wird die Welle mit voller Amplitude reflektiert. Allerdings gibt es einen Phasensprung von 180◦ an der Wand, d.h. die reflektierte und einlaufenden Wellen haben unterschiedliches Vorzeichen. b) Z1 ≫ Z2 R=1,

T =2,

yr (0, t) = ya (0, t) ,

yt (0, t) = 2ya (0, t)

Die Grenzfall beschreibt ein sehr dickes Seil (Z1 ), das an eine d¨ unnes Seil gebunden ist (Z2 ). Der reflektierte Puls hat gleiche Polarit¨at wie der einlaufende Puls. Aufgrund der Stetigkeit muss daher der transmittierte Puls eine doppelt so große Amplitude haben. G. Herten

164

Experimentalphysik

16.4 Stehende Wellen

ya

yr

yt

Z1

Z2

c) Z2 = Z1 R=0,

T =1,

yr (0, t) = 0 ,

yt (0, t) = ya (0, t)

Wir sehen, dass keine Reflexionen auftreten, wenn beide Seile dieselbe Impedanz haben. Auch wenn beide Seile aus unterschidlichen Materialien bestehen sollten, ist f¨ ur das Reflexionsverhalten nur die Impedanz entscheidend.

16.4

Stehende Wellen

Wir betrachten ein Seil, das am linken Ende (z = 0) an einer Wand befestigt ist (Z2 = ∞) und am anderen Ende sinusf¨ormig bewegt wird. Damit erhalten wir f¨ ur die einlaufende und reflektierte Welle die Reflexionsbedingung bei z = 0 yr (0, t) =

Z1 − Z2 ya (0, t) = −ya (0, t) . Z1 + Z2

(316)

Als Ansatz f¨ ur ya benutzen wir sinus-f¨ormige ein-dimensionale Wellen mit freier Phase ϕ, die sich in −z-Richtung mit der Phasengeschwindigkeit v = ω/k bewegt: ya (z, t) = A′ cos(ωt + kz + ϕ) .

(317)

Um die Randbedingung (316) zu allen Zeiten zu erf¨ ullen, muss f¨ ur die reflektierte Welle (+zRichtung) gelten: yr (z, t) = −A′ cos(ωt − kz + ϕ) . (318) ¨ Die Uberlagerung (Superposition) beider Wellen liefert dann mit 1 1 cos α − cos β = −2 sin (α + β) sin (α − β) 2 2 y(z, t) = ya (z, t) + yr (z, t) = −2A′ sin(kz) sin(ωt + ϕ) .

Die Variablen z und t sind getrennt, somit handelt es sich nicht mehr um eine Welle, die sich ausbreitet. Man spricht von einer stehenden Welle, Eigenschwingung oder Eigenmode. Mit A = −2A′ erh¨alt man als allgemeine Darstellung: y(z, t) = A sin(kz) sin(ωt + ϕ)

(319)

Alle Punkte auf dem Seil f¨ uhren Sinusschwingungen mit der Frequenz ω durch. Die Amplituden dieser Schwingungen sind ortsabh¨angig und gegeben durch A sin kz. Man erkennt Knoten, f¨ ur die gilt sin kz = 0 und B¨auche mit sin kz = ±1. Nun betrachten wir ein Seil der L¨ange L, das an beiden Enden eingespannt ist. G. Herten

165

Experimentalphysik

16.4 Stehende Wellen Die Randbedingungen erzwingen y(0) = 0 und y(L) = A sin kL = 0. Daraus folgt, dass nur diskrete Werte kn erlaubt sind. kn L = nπ

(n = 1, 2, . . .)

(320)

Mit kn = λ2πn erhalten wir somit verschiedene Wellenl¨angen, die mit den Randbedingungen vertr¨aglich sind. 2L 2π (n = 1, 2, . . .) (321) = λn = kn n Die zugeh¨origen Eigenfrequenzen sind fn =

nv v = λn 2L

(n = 1, 2, . . .)

(322)

Die folgende Abbildung zeigt die Eigenschwingungen f¨ ur ein Seil, das an beiden Seiten festgebunden ist (Z = ∞) und ein zweites Seil, das an einem Ende u ¨ ber einen Ring frei beweglich ist (Z = 0). Am offenen Ende muss dann ein Schwingungsbauch vorliegen, d.h. sin kL = ±1 → kn L = π2 (2n − 1) oder λn = 4L/(2n − 1), n = 1, 2, . . . . Seil n=1: Enden (fest,offen) 1

0.5

0.5

0

0

y

y

Seil n=1: Enden (fest,fest) 1

-0.5 -1 0

-0.5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

-1 0

1

0.1

0.2

0.3

0.4

z/L

0.5

0.5

0

0

-0.5

0.8

0.9

1

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-0.5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 z/L

0.6

0.7

0.8

0.9

-1 0

1

Seil n=3: Enden (fest,fest)

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 z/L

Seil n=3: Enden (fest,offen)

1

1

0.5

0.5

0

0

y

y

0.7

Seil n=2: Enden (fest,offen) 1

y

y

Seil n=2: Enden (fest,fest)

-0.5 -1 0

0.6

z/L

1

-1 0

0.5

-0.5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 z/L

0.6

0.7

0.8

0.9

-1 0

1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 z/L

Abb. 51: Stehende Wellen bei einem Seil mit zwei festen Enden (links), bzw. einem festn und einem offenen Ende (rechte Abbildung).

G. Herten

166

Experimentalphysik

16.4 Stehende Wellen Die Eigenmode der stehenden Welle sind somit yn (z, t) = An sin(kn z) sin(ωn t + ϕn ) mit ωn = vkn

.

(323)

Nun wollen wir zeigen, dass Gleichung (323) f¨ ur stehende Wellen auch eine L¨osung der Wellengleichung ist. Dies erwarten wir, da eine stehende Welle eine Superposition von zwei entgegengesetzt wandernden Wellen ist. Formal erhalten wir ∂ 2 yn = −An kn2 sin(kn z) sin(ωn t + ϕn ) ∂z 2 ∂ 2 yn = −Aωn2 sin(kn z) sin(ωn t + φn ) , 2 ∂t und somit ist die Wellengleichung ∂ 2 yn = ∂t2



ωn kn

2

2 ∂ 2 yn 2 ∂ yn = v ∂z 2 ∂z 2

erf¨ ullt.

Stehende Wellen treten auch bei Schall auf und werden z.B. in Orgelpfeifen zur Erzeugung von T¨onen verwendet. Es gelten dieselben Regeln f¨ ur Reflexion und Transmission. Bei Longitudinalen Wellen verwendet man die charakteristische Impedanz (Impedanz pro Fl¨ache). Longitudinale Schallwelle: s K p K v= und Z= = Kρ ρ v Transversale Welle:

v=

s

T µ

und

Z=

p T = Tµ . v

Wenn wir eine Orgelpfeife betrachten, die bei z = 0 geschlossen und bei z = L offen ist, so gelten folgende Randbedingungen f¨ ur die Druck¨anderung ps (z, t) und Auslenkung s(z, t) der Gasmolek¨ ule

P

z=0

z=L

z=0

S

z=L

1) Offenes Ende z = L Der Schalldruck ist Null: ps (L) = 0 (Knoten in der Druckverteilung). Die Auslenkung der Molek¨ ule hat ein Maximum (Bauch in der Auslenkung). ∂s = s′ (L) = 0 ∂z z=L

G. Herten

167

Experimentalphysik

16.5 Fourierentwicklung 2) Geschlossenes Ende z = 0 Hier finden wir die entgegengesetzte Situation. Die Auslenkung hat einen Knoten: s(0) = 0, und der Druck einen Schwingungsbauch: ∂p = p′ (0) = 0 . ∂z z=0

Wir k¨onnen somit einen mathematischen Ausdruck f¨ ur eine stehende Schallwelle angeben, der mit den Randbedingungen vertr¨aglich ist. s(z, t) = s0 sin(kn z) cos(ωn t + ϕn ) Mit (296) ps = −K

∂s ∂z

erhalten wir dann ps (z, t) = −p0 cos(kn z) cos(ωn t + ϕn ) . Einsetzen der Randbedingungen bei z = 0 und z = L liefert π und 2 πv = vkn = (2n − 1) 2L

kn L = (2n − 1) ωn

mit n = 1, 2, 3, . . .

Wir sehen, dass in einer stehenden Welle Orte mit Knoten in den Druckschwankungen B¨auche in der Auslenkung haben.

16.5

Fourierentwicklung

Wir haben bereits diskutiert, dass jede Funktion der Form g(vt ± z) eine L¨osung der eindimensionalen Wellengleichung ist. Als Beispiel haben wir sinusf¨ormige laufende Wellen betrachtet. In der Praxis hat man es allerdings oft mit nicht-sinusf¨ormigen Wellen zu tun. Wir wollen nun untersuchen, mit welchen mathematischen Methoden wir allgemeine Wellen behandeln k¨onnen. Wir unterscheiden nicht-periodische und periodische Signale. Ein Beispiel f¨ ur eine nichtperiodische Welle ist ein Knall, der nur einmal auftritt und sich nicht wiederholt. Periodische Signale treten mit guter N¨aherung bei Musikinstrumenten auf, wenn man einen lang anhaltenden Ton spielt. Die Abbildung zeigt als Beispiel das Signal einer Geige, mit der ein Grundton von 437 Hz gespielt wird. Das Signal ist nahezu periodisch, ¨ahnelt einer Sinusfunktion, zeigt allerdings eine kompliziertere Struktur. Zur mathematischen Behandlung solcher beliebigen, aber periodischen Signale bieten sich die Fourierreihen an. Dabei handelt es sich um die Entwicklung einer periodischen Funktion f (x) mit der Periode 2ℓ in einer Reihe von trigonometrischen Funktionen der Perioden 2ℓ/n, mit n = 1, 2, . . . ∞. f (x) = G. Herten

∞ a0 X  π π  an cos n x + bn sin n x + 2 ℓ ℓ n=1

168

(324) Experimentalphysik

16.5 Fourierentwicklung

Die Fourierkoeffizienten an und bn sind dann gegeben durch Z  π  1 ℓ an = f (x) cos n x dx ℓ −ℓ ℓ Z ℓ  π  1 f (x) sin n x dx . bn = ℓ −ℓ ℓ

(325) (326)

F¨ ur gerade Funktionen f (x) = f (−x) ist bn = 0 und f¨ ur ungerade Funktionen f (x) = −f (−x) folgt an = 0. Diese mathematische Aussage wollen wir nun an einem Beispiel genauer untersuchen. Wir betrachten die ungerade Funktion mit der Periode T , die eine Rechteck-Puls darstellt f (t) = a f¨ ur 0 < t < T /2 und f (−t) = −a f¨ ur −T /2 < t < 0 Da f (t) ungerade ist, sind die Koeffizienten an = 0. Dies ist auch sofort aus dem Vergleich mit der Sinus- und Cosinus-Funktion ersichtlich. Wir wollen nun die Fourierkoeffizienten bn berechnen. Gleichung (324) gilt f¨ ur eine Funktion f (x) mit der Periode 2ℓ. Wir setzen somit f (x) → f (t) und 2ℓ = T und erhalten f (t) =

∞ X

bn sin n2π

n=1

t T

(327)

mit bn

= = = bn = G. Herten

Z

T /2

t f (t) sin n2π dt T −T /2 "Z # Z T /2 0 2 t t −a sin n2π dt + a sin n2π dt T T T −T /2 0 Z T /2 t 4a sin n2π dt T 0 T T /2   4a 2a T t (1 − cos nπ) = − cos n2π T 2πn T 0 πn   2a 2 2 . 2; 0; ; 0; ; . . . π 3 5

2 = T

169

(328) (329) Experimentalphysik

16.5 Fourierentwicklung

f(t)/a

Rechteck-Puls: Fourierreihe bis zur 7. Ordnung

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 t/T

Abb. 52: Vergleich eines Rechteck-Pulses und der N¨aherung mit einer Fourierreihe bis zur Ordnung n=7.

Dieses Ergebnis kann man auch graphisch in einem Frequenzspektrum zeigen, wobei die Grundfrequenz gegeben ist durch ω1 = 2π/T . Somit l¨asst sich ein periodisches Signal mit einer Zeitreihe oder mit einem Frequenzspektrum darstellen. Beide Darstellungen enthalten dieselben Information. Mit Hilfe der Fourierreihe sind beide Darstellungen verkn¨ upft. Aus diesem Grunde sind Fourierreihen oder Fourierentwicklungen wichtige Werkzeuge, um Signale, wie z.B. Musik, zu analysieren und weiter zu verarbeiten. ¨ Bereits durch Uberlagerung von wenigen Grundfrequenzen kann man die Funktion recht gut approximieren. Nun k¨onnte man fragen, was wir durch diese Fourierreihen gewonnen haben. Wir haben eine Funktion f (t) durch eine unendliche Reihe von trigometrischen Funktionen ersetzt und damit den Rechenaufwand erheblich erh¨oht. Allerdings m¨ ussen wir bedenken, dass wir f¨ ur viele Differentialgleichungen, z.B. bei der erzwungenen Schwingung, eine analytische L¨osung f¨ ur sinusf¨ormige inhomogene Terme angeben konnten. Mit den Fourierreihen k¨onnen wir nun jede beliebige periodische Funktion in Sinusfunktionen zerlegen und die Schwingungsgleichung f¨ ur jedes n l¨osen und dann die Gesamtl¨osung mit der Fourierreihe zusammensetzen. Dieses Verfahren ist somit sehr leistungsf¨ahig und wird bei linearen Differentialgleichungen h¨aufig verwendet. Das Verfahren der Fourierentwicklung ist sogar f¨ ur nicht-periodische Funktionen anwendbar. Diese k¨onnen n¨amlich als periodische Funktionen aufgefaßt werden mit der Periode T → ∞. Damit erhalten wir eine sehr kleine Grundfrequenz ω1 = 2π/T und somit ein fast kontinuierliches Frequenzspektrum. Die Reihenentwicklung geht dann u ¨ ber in ein Integral u ¨ber die Frequenz. Das Frequenzspektrum zeigt dann nicht nur diskrete Frequenzwerte, sondern hat einen kontinuierlichen Verlauf. Die Fourierkoeffizienten an , bn gehen dann u ¨ber in eine Funktion F (ω), die man Fouriertransformierte nennt.

G. Herten

170

Experimentalphysik

16.6 Allgemeine Bewegung einer Saite

bn 4a π

ω1 16.6

3ω1

ω

5ω1

Allgemeine Bewegung einer Saite

Wir wollen nun die Fourierreihen verwenden, um die allgemeine Bewegung einer eingespannten Saite zu berechnen. Bereits bei den gekoppelten Oszillatoren hatten wir gesehen, dass die allgemeine Bewegung eines Oszillators durch die Summe der Eigenschwingungen gegeben ist. Eine eingespannte Saite besteht aus vielen gekoppelten Oszillatoren, deren Eigenschwingungen ¨ die stehenden Wellen sind. Wir erhalten somit in Ubereinstimmung mit den Fourierreihen als allgemeine Bewegung einer Saite eine Summe u ¨ber alle stehenden Wellen. Wir nehmen an, dass die Saite gem¨aß einer Funktion u(z) ausgelenkt und bei t = 0 losgelassen wird. Wir k¨onnen somit die allgemeine Bewegung der Saite schreiben als y(z, t) =

∞ X

An sin kn z cos ωn t

mit v = ωn /kn

und

n=1

u(z) = y(z, 0) =

∞ X

An sin kn z

.

n=1

Mit Hilfe der Fourierreihenentwicklung k¨onnen wir die Koeffizienten An und die Wellenzahlen kn bestimmen. Dabei treffen wir aber auf eine Schwierigkeit, da die harmonische Fourierentwicklung nur f¨ ur periodische Funktionen gilt. Die Saite hat aber nur die L¨ange L; u(z) ist somit nur u ussen daher u(z) ¨ber ein Intervall der L¨ange L definiert und daher nicht periodisch. Wir m¨ u ¨ber die Saite hinaus nach +∞ und −∞ periodisch extrapolieren. Dies ist ein naheliegender ¨ Schritt, denn stehende Wellen (Eigenschwingungen der Saite) k¨onnen wir als Uberlagerung von zwei unendlich langen entgegengesetzt laufenden Wellen ansehen. Als Beispiel zeigt die Abbildung eine Dreiecksfunktion u(z) als Auslenkung der Saite im Bereich 0 < z < L. Wie wir sehen, gibt es viele M¨oglichkeiten u(z) periodisch zu verl¨angern. Wir k¨onnen gerade oder ungerade periodische Funktionen mit verschiedenen Perioden erzeugen. Die Fourierentwicklung gibt f¨ ur jede Funktion andere Koeffizienten. Wie k¨onnen wir nun entscheiden, welche periodische Funktion die eingespannte Saite beschreibt? Die L¨osung finden wir, indem wir beachten, dass zu allen Zeiten die Randbedingungen y(0, t) = 0 und y(L, t) = 0 erf¨ ullt sein m¨ ussen. Wir betrachten die periodischen Funktionen daher als zwei laufende Wellen (in +z und −z Richtung). Wir addieren beide Wellen und verlangen, dass die Randbedingungen zu jedem Zeitpunkt erf¨ ullt sind. Wir sehen, dass nur die zweite Funktion (b) diese Bedingung G. Herten

171

Experimentalphysik

16.6 Allgemeine Bewegung einer Saite

u(z)

a) -2L -L

L 2L 3L 4L

z

u(z)

b)

z -2L -L

u(z)

L 2L 3L 4L

c) -2L -L

L 2L 3L 4L

z

u(z)

d)

z

Abb. 53: Ein Seil, das bei z=0 und z=L eingespannt ist, wird dreiecksf¨ormig ausgelenkt. Es gibt viele M¨oglichkeiten, die Funktion periodisch fortzusetzen. Die Randbedingungen bei z=0 und Z=L k¨ onnen aber f¨ ur alle Zeiten t nur mit der Funktion (b) erf¨ ullt werden.

erf¨ ullt. Diese Funktion ist ungerade und hat die Periode 2L. Wir benutzen (324) mit x → z, ℓ → L und an = 0. ∞ X

 π  bn sin n z u(z) = L n=1 Z L  π  1 u(z) sin n z dz mit bn = L −L L

(330) (331)

wobei u(z) gegeben ist durch  0 < z < L/2  2A Lz 2A(1 − z/L) L/2 < z < L u(z) =  u(−z) = −u(z)

Da u(z) und sin kz ungerade Funktionen sind, erhalten wir Z  π  2 L bn = u(z) sin n z dz L 0 L Z Z L/2 Z  π    π  4A π  4A L 4A L = sin n z sin n z sin n z dz . z dz + z dz − L2 0 L L L/2 L L2 L/2 L Mit

G. Herten

Z

x sin(ax)dx =

sin ax x cos ax − a2 a

172

Experimentalphysik

16.6 Allgemeine Bewegung einer Saite

y A z -L

L -A

erhalten wir weiter  2 Z  π  4A L/2 2 π L/2 π L/2 4Az z sin n z dz = A cos n z sin n z − L2 0 L nπ L 0 Lnπ L 0  2 2 4A π π = A cos n sin n − nπ 2 2nπ 2 F¨ ur das letzte Integral finden wir:  2 Z  π  4Az 2 π L π L 4A L z sin n z dz = −A cos n z sin n z + − 2 L L/2 L nπ L L/2 Lnπ L L/2  2   π 2 1 π 4A = A cos nπ − cos n sin n + nπ 2 nπ 2 2 Das 2. Integral liefert Z

L

 π  4A L π L sin n z dz = − cos n z L L nπ L L/2 L/2 4A 4A π = − cos nπ + cos n nπ nπ 2 Wir addieren alle Terme und erhalten π 8A 8A sin n = 2 (1; 0; -1/9; 0; 1/25; . . .) bn = 2 (nπ) 2 π 4A L

.

Damit haben wir die L¨osung f¨ ur die Auslenkung der Saite als Funktion von z und t. y(z, t) =

∞ X

bn sin(kn z) cos(ωn t) .

n=1

Die Wellenzahl f¨ ur die n-te Eigenschwingung ist gegeben durch kn = nπ/L und die entsprechende Winkelfrequenz ωn = vkn = nπv/L q mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Seilwelle v = Tµ . G. Herten

173

Experimentalphysik

17 W¨arme

17

W¨ arme

Die ganze W¨armelehre l¨aßt sich in einem Satz zusammenfassen: W¨arme ist ungeordnete Molek¨ulbewegung. Beim Wind bewegen sich die Molek¨ ule nat¨ urlich auch, aber in geordneter Weise. Man beobachtet eine makroskopische Gesamtbewegung. Bei einer thermischen Bewegung in einem Gas bewegen sich die Molek¨ ule v¨ollig zuf¨allig und unabh¨angig von einander. Bei einem Festk¨orper (z.B. Kristall) sind die Bewegungen der Atome nicht mehr unabh¨angig, aber dennoch gibt es keine makroskopische Bewegung des ganzen Kristalls. Zum Verst¨andnis der W¨armelehre kann man makroskopische Gr¨oßen z.B. Druck und Temperatur verwenden. Diese Vorgehensweise benutzt man in der Thermodynamik. Man kann physikalische Systeme aber auch mikroskopisch als Bewegung von Molek¨ ulen analysieren. Dies ist die Grundlage der Statistischen Mechanik. Die Aufgabe besteht darin, einen Zusammenhang zwischen mikroskopischen Gr¨oßen (z.B. mittlere zeitliche Impulsdichte, mittlere kinetische Energie) und makroskopischen Gr¨oßen (Druck und Temperatur) herzustellen. Zun¨achst werden wir uns hier mit makroskopischen Gr¨oßen besch¨aftigen.

17.1

Temperatur

Aus unserer eigenen Erfahrung wissen wir, dass zwei unterschiedlich heiße K¨orper, die miteinander in Kontakt gebracht werden, nach einiger Zeit dieselbe Temperatur annehmen. Sie befinden sich in einem thermischen Gleichgewicht. Diese Erfahrung wird in einem Postulat zusammengefaßt (Nullter Hauptsatz der Thermodynamik). Sind zwei K¨orper A und B jeder f¨ ur sich im thermischen Gleichgewicht mit einem dritten K¨orper C (z.B. Thermometer), so sind auch A und B im thermischen Gleichgewicht. Daraus folgt, dass die Temperatur eine Gr¨oße darstellt, die in verschiedenen Systemen schließlich denselben Wert annimmt, wenn diese Systeme miteinander in Kontakt gebracht werden. Etwas lax ausgedr¨ uckt, lautet die Aussage des nullten Hauptsatzes, es gibt eine n¨ utzliche Gr¨oße, die man Temperatur nennt. Temperaturskala Verschiedene physikalische Effekte k¨onnen zur Messung der Temperatur verwendet werden, z.B. Volumen¨anderung von Fl¨ ussigkeiten, L¨angen¨anderung von St¨aben, Druck- oder Volu¨ men¨anderung von Gasen, Anderung des elektrischen Widerstandes, Farbe eines Gl¨ uhdrahtes. Jedes gew¨ahlte Verfahren (und jede gew¨ahlte Substanz) definieren aber nur eine individuelle Temperaturskala. Zur Reproduzierbarkeit von Messungen ist es wichtig, sich auf eine universelle Temperaturskala zu einigen und eine genaue Messvorschrift anzugeben. Urspr¨ unglich hat man Celsius als Temperaturskala verwendet. Man w¨ahlte zwei Fixpunkte bei Normaldruck (Gefrierpunkt des Wassers bei TC = 0◦ C und Siedepunkt bei TC = 100◦ C). In der Physik benutzt man die Kelvin-Skala (oder thermodynamische Temperatur). Als Fixpunkt benutzt man nicht den Gefrierpunkt sondern den Tripelpunkt von Wasser, da er sich mit zehnfach besserer Genauigkeit bestimmen l¨aßt. Am Tripelpunkt betr¨agt der Dampfdruck von Wasser 610,6 Pa und Eis, Wasser und Wasserdampf k¨onnen im Gleichgewicht nebeneinander existieren (mehr dazu sp¨ater). Die Temperatur an diesem Fixpunkt betr¨agt 0, 01◦ C = 273, 16K. Die Kelvin-Skala wird folgendermaßen definiert: Die Einheit Kelvin ist der 273,16te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers. Die Temperatur 0K = −273, 15◦C entspricht dem absoluten Temperaturnullpunkt. Der absoluG. Herten

174

Experimentalphysik

17.1 Temperatur te Nullpunkt kann nicht erreicht werden, obwohl es theoretisch m¨oglich ist, ihm beliebig nahe zu kommen. Der Unterschied zwischen der Celsius und Kelvin Skala besteht in einer Verschiebung der entsprechenden Nullpunkte. T TC − 273, 15 = ◦C K Temperaturmessung Als Standard f¨ ur die Temperaturmessung benutzt man Gasthermometer. Die beste Messgenauigkeit kann mit Gasthermometern bei konstantem Volumen erreicht werden. Wenn man das Volumen eines Gases konstant h¨alt, so erh¨oht sich mit steigender Temperatur auch der Druck. Diese Eigenschaft wird beim Gasthermometer ausgenutzt. F¨ ur ein ideales Gas besteht bei konstantem Volumen eine direkte Proportionalit¨at zwischen Druck und Temperatur. Bei Verwendung von idealem Gas in einem Gasthermometer k¨onnte man somit die Kelvin-Skala unter Benutzung des Tripelpunktes festlegen.

Dazu benutzt man eine Apparatur, wie sie in der Abbildung dargestellt ist. Durch Heben und Senken des Quecksilbervorratsbeh¨alters R erreicht man, dass die linke Quecksilbers¨aule unver¨andert (bei Null) bleibt. Die H¨ohe der rechten Quecksilbers¨aule ist ein Maß f¨ ur den Gasdruck im Beh¨alter. Die Temperatur kann dann mit der Formel T (p) = 273, 16K

p ptr

(V =

const.)

bestimmt werden, wobei ptr der Druck ist, der beim Tripelpunkt des Wassers im Gasbeh¨alter herrscht. Da es in der Natur kein ideales Gas gibt, muss man den Versuch mit realen Gasen z.B. He, O2 , H2 durchf¨ uhren. Man stellt allerdings fest, dass die Temperaturmessung da- von abh¨angt, welches Gas verwendet wird und wie groß der Druck ptr gew¨ahlt wurde. Als Beispiel ist in der folgenden Abbildung die Temperaturanzeige eines Gasthermometers mit konstantem Volumen f¨ ur kondensierenden Wasserdampf (Siedepunkt des Wassers = 100◦ C) als Funktion des Druckes ptr angegeben. Man beobachtet eine deutliche Abh¨angigkeit der Temperaturmessung von ptr und vom Gas. Die Abweichungen betragen etwa 0, 2%. Helium zeigt einen nahezu konstanten Verlauf. Es kommt einem idealen Gas am n¨achsten. Allerdings sehen wir, dass wir f¨ ur alle Gase f¨ ur ptr → 0 denselben Wert erhalten. Bei kleinem Druck (geringer Dichte) n¨ahern G. Herten

175

Experimentalphysik

17.1 Temperatur sich die Gase einem idealen Gas an. Daher definiert man die Temperaturskala des idealen Gases durch folgende Beziehung: p . T = 273, 16K lim ptr →0 ptr

Mit dieser Definition der Kelvin-Skala hat man ein wohldefiniertes Standard-Verfahren angegeben, wie man die Temperatur eines K¨orpers bestimmen kann. F¨ ur viele praktische F¨alle ist diese Methode aber zu aufwendig. Daher hat man eine Internationale Praktische Temperaturskala (IPTS) aufgestellt, indem man die Temperaturen von definierten Fixpunkten angibt. Zus¨atzlich gibt es genaue experimentelle Anweisungen, mit welchen Messger¨aten zwischen diesen Punkten interpoliert werden darf. Thermische Ausdehnung von Festk¨orpern Die L¨ange ℓ eines Festk¨orpers h¨angt mit der Temperatur in guter N¨aherung linear zusammen. ℓ = ℓ0 (1 + αℓ T ) ,

(332)

wobei α der L¨angenausdehnungskoeffizient oder linearer Ausdehnungskoeffizient genannt wird. Er h¨angt von den Materialeigenschaften ab. Typisch betr¨agt die L¨angenausdehnung 1 mm bei einer Stabl¨ange von 1 m und einer Temperaturerh¨ohung von 100 K. Die folgende Tabelle gibt ¨ einen Uberblick u ¯ ℓ (gemittelt u ¨ber den mittleren L¨angenausdehnungskoeffizienten α ¨ber den Bereich von 0◦ C bis 100◦C).

Material Aluminium Messing Glas

G. Herten

α ¯ ℓ in K−1 23 · 10−6 19 · 10−6 9 · 10−6

Material Stahl Hartgummi Blei

176

α ¯ ℓ in K−1 11 · 10−6 80 · 10−6 29 · 10−6

Experimentalphysik

17.2 W¨armekapazit¨at

Mikroskopisch kann man die thermische L¨angenausdehnung mit der Asymmetrie der Potentialkurve zwischen zwei Atomen im Kristall verstehen.

H¨ohere Temperatur bedeutet h¨ohere kinetische Energie; somit ergeben sich gr¨oßere Amplituden bei den Schwingungen der Atome im Kristall. Aufgrund der Asymmetrie des Potentials erh¨oht sich dadurch der mittlere Abstand. Bei einem symmetrischen Potential w¨ urden mit erh¨ohter Temperatur die Schwingungsamplituden zwar auch zunehmen, aber der mittlere Abstand bliebe immer unver¨andert. Die Volumen¨anderung als Funktion der Temperatur ergibt sich daraus, dass sich jede lineare Abmessung ¨andert. Bei einem W¨ urfel erhalten wir V (T ) = ℓ(T )3 = ℓ30 (1 + αT )3 ≈ ℓ30 (1 + 3αT ) V (T ) = V0 (1 + γT ) mit γ = 3α .

(333) (334)

Allgemein erh¨alt man f¨ ur den Volumensausdehnungskoeffizienten γ den Ausdruck γ=

1 ∆V V ∆T

.

(335)

Wasser zeigt unter den Fl¨ ussigkeiten eine Besonderheit. Oberhalb 4◦ C dehnt sich Wasser mit steigender Temperatur aus. Unterhalb 4◦ C bis 0◦ C dehnt es sich ebenfalls mit fallender Temperatur aus. Die maximale Dichte des Wassers betr¨agt ρ = 0, 999973 g/cm3 bei 3.98◦ C. Ohne diese Eigenschaft w¨ urden Seen von unten her zufrieren. Im Winter w¨are der See vollst¨andig zugefroren und Fische k¨onnten nicht u ¨berleben.

17.2

W¨ armekapazit¨ at

Aus allt¨aglicher Erfahrung wissen wir, dass ein K¨orper durch Reibung erw¨armt wird. Zwei K¨orper, die zun¨achst verschiedene Temperatur haben, nehmen bei thermischem Kontakt dieselbe Temperatur an. Im ersten Fall wird mechanische Arbeit in W¨arme umgewandelt und im zweiten wird Energie von einem K¨orper auf den anderen u ¨bertragen. Wir betrachten einen K¨orper, dem Energie in Form von W¨arme zugef¨ uhrt wird. Dadurch erh¨oht sich seine Temperatur. Verschiedene Stoffe unterscheiden sich durch den Betrag an

G. Herten

177

Experimentalphysik

17.2 W¨armekapazit¨at

W¨armemenge ∆Q, die zugef¨ uhrt werden muss, um die Temperatur um ∆T zu erh¨ohen. Das Verh¨altnis von W¨armemenge zu Temperaturerh¨ohung nennt man W¨armekapazit¨at C des Stoffes: C=

∆Q ∆T

(336)

Die W¨armekapazit¨at h¨angt von der Masse des K¨orpers ab; deshalb ist es u ¨blich die auf die Masse des K¨orpers bezogene W¨armekapazit¨at, (spezifische W¨armekapazit¨at) anzugeben, die von der Materialzusammensetzung des K¨orpers abh¨angt. c=

1 ∆Q m ∆T

(337)

Die spezifische W¨armekapazit¨at ist temperaturabh¨angig. Im Grenzfall ∆T → 0 ist die spezifische W¨armekapazit¨at bei der Temperatur T0 gegeben durch 1 dQ . (338) c(T0 ) = m dT T =T0 Wenn wir einen K¨orper von Ta auf Te erw¨armen, so ben¨otigen wir die W¨armemenge Z Te c(T )dT Q=m

(339)

Ta

Die Einheit der W¨armemenge ist Joule und die der spezifischen W¨armekapazit¨at ist J kg−1 K−1 . Bei Temperaturen zwischen 0◦ C und 100◦ C kann c(T ) f¨ ur die meisten Stoffe mit guter N¨aherung als konstant angesehen werden. Die Abbildung zeigt die spez. W¨armekapazit¨at f¨ ur Wasser. Im Temperaturbereich von 0◦ C −100◦ C ist c(T ) innerhalb von 1% konstant. Der kleine Kreis auf der Kurve bei 15◦ C gibt die Temperatur an, bei der die fr¨ uher gebr¨auchliche W¨armeeinheit Kalorie definiert ist. 1 Kalorie ist die W¨armemenge, die ben¨otigt wird, um 1 Gramm Wasser von 14, 5◦ C auf 15.5◦ C zu erw¨armen. Der Umrechnungsfaktor zwischen Kalorie und Joule ist gegeben durch 1 cal = 4, 1868 Joule.

(340)

Mit (338) ist die spezifische W¨armekapazit¨at noch nicht eindeutig festgelegt. Man muss noch die ¨außeren Bedingungen angeben, z.B. ob die Werte bei konstantem Druck (cp ) oder konstantem G. Herten

178

Experimentalphysik

17.2 W¨armekapazit¨at

Volumen (cv ) bestimmt wurden. Normalerweise gibt man bei festen Stoffen cp an. Die folgende Tabelle gibt Werte f¨ ur verschiedene Stoffe bei T = 20◦ C und p = 101325 Pa an. spez. W¨armekap. −1

−1

Stoff

cp (Jg K )

Kupfer Aluminium Blei Magnesium Messing (80 % Cu, 20 % Zn) Wasser

0,386 0,900 0,128 1,013 0,385 4,182

C V

= cp · ρ

Dichte ρ (cm−3 ) J/(cm3 K) 8,96 3,46 2,7 2,43 11,3 1,45 1,74 1,76 8,5 3,27 1,0

4,18

molare molare Masse W¨armekap. Cp g/mol J mol−1 K−1 63,5 24,5 27,0 24,4 207 26,5 24,3 24,7 63,9 24,6 18

75,4

Man sieht, dass Wasser eine vergleichsweise große W¨armekapazit¨at hat. Beispiel:

Ein 75 g schwerer Kupferblock wird aus einem Heizofen genommen und in 200 g Wasser getaucht. Die Wassertemperatur erh¨oht sich von Ta = 12◦ C auf Te = 27◦ C. Welche Temperatur TK herrscht im Ofen? mK cK (TK − Te ) = mW cW (Te − Ta ) mW cW (Te − Ta ) TK = + Te = 460◦ C mK cK

Molare W¨armekapazit¨at fester Stoffe Wie man aus der Tabelle ablesen kann, unterscheiden sich die spezifischen W¨armekapazit¨aten fester Stoffe sehr. Multipliziert man cp jedoch mit der Molmasse, so unterscheidet sich die molaren W¨armekapazit¨aten, die auf ein Mol des Stoffes bezogen sind, kaum. Bereits 1819 wiesen Dulong und Petit darauf hin, dass f¨ ur die meisten festen Stoffe die molare W¨armekapazit¨at den G. Herten

179

Experimentalphysik

17.3 W¨armetransport

Wert

J (Dulong-Petitsche Regel) (341) molK annimmt. Dieser Wert wird allerdings nur f¨ ur große Temperaturen erreicht. Die Abbildung zeigt die molare W¨armekapazit¨at bei konstantem Volumen Cv als Funktion der dimensionslosen Gr¨oße T /θD . Cv zeigt in Einheiten dieser Gr¨oße ein ¨ahnliches Temperaturverhalten f¨ ur alle Substanzen. θD ist die Debye Temperatur; eine f¨ ur jedes Material konstante und charakteristische Gr¨oße, z.B. betr¨agt sie 88 K f¨ ur Blei und 2230 K f¨ ur Diamant. Zimmertemperatur entspricht f¨ ur Blei T /θD = 3.4, f¨ ur Diamant aber nur 0,13. F¨ ur T → 0 streben die molaren W¨armekapazit¨aten gegen Null. Mit ∆Q = c∆T bedeutet dies, dass in der N¨ahe des absolu¨ ten Temperaturnullpunktes eine Temperatur¨anderung eine kleine Anderung der W¨armemenge bewirkt. Deshalb ist es sehr schwierig, K¨orper bis in die N¨ahe des Nullpunktes abzuk¨ uhlen. cp ≈ 25

17.3

W¨ armetransport

Wenn zwei benachbarte K¨orper unterschiedliche Temperatur haben, so erfolgt ein W¨armeaustausch. W¨arme wird vom heißeren K¨orper auf den k¨ uhleren K¨orper u ¨bertragen (von der W¨armequelle zur W¨armesenke). Der W¨armeaustausch wird beendet, wenn beide K¨orper dieselbe Temperatur annehmen. Es gibt drei Ph¨anomene, die zum Transport von W¨armeenergie f¨ uhren: W¨armeleitung, W¨armekonvektion und W¨armestrahlung. W¨armeleitung W¨armeleitung findet zwischen K¨orpern mit unterschiedlicher Temperatur statt, die durch eine feste, fl¨ ussige oder gasf¨ormige Substanz (Tr¨agersubstanz) verbunden sind. Durch inelastische St¨oße von Molek¨ ulen in der Tr¨agersubstanz wird W¨armeenergie transportiert. In der Abbildung sehen wir zwei K¨orper mit der Temperatur T1 bzw. T2 , die im Abstand ∆x voneinander angeordnet sind. Zwischen den K¨orpern befindet sich eine w¨armeleitende Substanz mit dem Querschnitt A. Experimentell beobachtet man, dass die W¨armeenergie ∆Q, die durch die Querschnittsfl¨ache transportiert wird, proportional zu A, zur Temperaturdifferenz ∆T =

G. Herten

180

Experimentalphysik

17.3 W¨armetransport 11111111111 00000000000 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 1 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111

feste Temperatur T

x1

11111111111 00000000000 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 2 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111

∆x Isolator

feste Temperatur T

Wärmestrom

x

x2

T2 − T1 und zur Messdauer ∆t ist und umgekehrt proportional zu ∆x. ∆Q ∼ A∆t

∆T ∆x

F¨ ur den station¨aren (zeitunabh¨angigen) W¨armestrom φ erh¨alt man dann im Grenzfall ∆x → 0 die Beziehung dT dQ = −λA . (342) φ= dt dx φ ist die W¨armeenergie, die pro Zeit durch die Fl¨ache A transportiert wird, dT /dx ist der Temperaturgradient und λ eine Proportionalit¨atskonstante (W¨armeleitf¨ahigkeit). Das Minuszeichen soll andeuten, dass bei negativem Temperaturgradienten (T2 − T1 )/(x2 − x1 ) < 0 der W¨armestrom in +x-Richtung erfolgt. λ ist eine Materialkonstante, die temperaturabh¨angig ist. Ist λ relativ groß, so liegt ein guter W¨armeleiter vor (z.B. Metall). Gase sind schlechte W¨armeleiter und haben kleines λ. Die folgende Abbildung zeigt die Temperaturabh¨angigkeit von λ f¨ ur verschiedene Substanzen. In festen Stoffen gibt es zwei Prozesse, die W¨armeleitung bewirken. Bei tiefen Temperaturen dominiert die W¨arme¨ ubertragung durch Gitterschwingungen im Kristall. Es breiten sich Gitterwellen aus, die Energie transportieren. Bei elektrisch leitenden Kristallen der Metalle kommt ein großer Anteil der W¨armeleitf¨ahigkeit durch Bewegung von Elektronen zustande. Deshalb ist es nicht verwunderlich, dass bei Metallen die elektrische Leitf¨ahigkeit σ und die W¨armeleitf¨ahigkeit eng miteinander verkn¨ upft sind. 1λ = const. Tσ

(Wiedemann-Franz-Gesetz)

(343)

Die Konstante hat f¨ ur alle Metalle denselben Wert. Wie man in der Abbildung erkennt, ist der beste W¨armeleiter bei Zimmertemperatur der Diamant. Dies mag zun¨achst verwundern, da Diamant ein Isolator ist. F¨ ur Diamant ist Zimmertemperatur eine “tiefe Temperatur” verglichen mit der Debye Temperatur, sodass die Gitterwellen eine große W¨armeleitf¨ahigkeit bewirken. W¨armekonvektion Konvektion ist der Transport von W¨arme durch str¨omende Fl¨ ussigkeiten und Gase. Die Str¨omung wird durch Dichteunterschiede, d.h. Auftrieb der w¨armeren Fl¨ ussigkeit von selbst ausgel¨ost. Der W¨armetransport durch Konvektion u ¨bertrifft oft den durch W¨armeleitung. Er wird in der Warmwasserheizung ausgenutzt. Durch Pumpen wird die Wirkung der Konvektion noch G. Herten

181

Experimentalphysik

17.3 W¨armetransport

verst¨arkt. Bei der W¨armed¨ammung benutzt man oft por¨ose Materialien, die Lufteinschl¨ usse enthalten. Die W¨armeleitung von Luft ist sehr gering und aufgrund der kleinen Hohlr¨aume wird der W¨armeverlust durch Konvektion unterdr¨ uckt. Ein Vakuum zwischen zwei K¨orpern w¨ urde den W¨armetransport durch W¨armeleitung und Konvektion verhindern. W¨armestrahlung W¨armestrahlung f¨ uhrt zu einem W¨armetransport auch ohne Kontakt und durch das Vakuum. Es wird keine Tr¨agersubstanz ben¨otigt. Ein K¨orper mit der Temperatur T sendet Licht aus, dessen Energiespektrum im Idealfall (schwarzer K¨orper) durch das Plancksche Strahlungsgesetz beschrieben wird (mehr dazu im 3. Semester), das nur die Temperatur als freien Parameter enth¨alt. Dieser Effekt wird z.B. in der Gl¨ uhlampe ausgenutzt. Dabei wird ein Wolframdraht auf hohe Temperatur erhitzt, sodass er Licht im Bereich des sichtbaren Lichtes aussendet. Das Sonnenlicht ist ein anderes Beispiel f¨ ur diese Temperaturstrahlung. Zwei K¨orper mit unterschiedlicher Temperatur senden und empfangen W¨armestrahlung. W¨arme str¨omt in beide Richtungen. Der Netto W¨armetransport (die Differenz beider W¨armestr¨ome) erfolgt vom K¨orper mit h¨oherer Temperatur (Quelle) zum K¨orper mit niedrigerer Temperatur (Senke). Ein Gleichgewicht stellt sich dann ein, wenn beide K¨orper dieselbe Temperatur annehmen. G. Herten

182

Experimentalphysik

17.4 Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik

Als Beispiel f¨ ur W¨armeisolation soll hier eine Dewar-Flasche vorgestellt werden, wie sie z.B. zur Aufbewahrung von fl¨ ussiger Luft benutzt wird. Verspiegelte W¨ande im Beh¨alter verhindern W¨armetransport durch Strahlung. Eine Vakuumkammer zwischen dem Innen- und Außenbeh¨alter unterbindet W¨armeverlust durch Konvektion und W¨armeleitung. Außen verwendet man ein schlecht w¨armeleitendes Material, z.B. Glas.

17.4

Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik

W¨arme ist eine Energieform. Es ist daher m¨oglich, Arbeit in W¨arme umzuwandeln (Reibung) oder durch W¨arme Arbeit zu verrichten (Verbrennungsmotor). James Joule hat durch Experimente in der Mitte des letzten Jahrhunderts die Beziehung zwischen W¨arme und mechanischer Arbeit untersucht und das mechanische W¨arme¨aquivalent gemessen (im wesentlichen ist dies der Umrechnungsfaktor zwischen der Einheit der W¨arme, Kalorie, und der Einheit der Arbeit, Nm oder Joule). Heute benutzen wir keine eigene Einheit f¨ ur W¨arme, sondern verwenden f¨ ur alle Formen der Energie die Einheit Joule. Anhand des abgebildeten thermodynamischen Systems soll nun der Zusammenhang zwischen W¨arme und Arbeit n¨aher erl¨autert werden. Gas befindet sich in einem zylindrischen Beh¨alter, der mit einem beweglichen Kolben verschlossen ist. Wir betrachten drei verschiedene Zust¨ande eines thermodynamischen Prozesses: 1) Anfangs befindet sich das System (Gas) mit der Umgebung (Kolben und W¨armereservoir) im thermischen Gleichgewicht. Zu diesem Zeitpunkt hat das Gas den Druck pa und das Volumen Va . 2) Nun soll sich der Kolben um eine Strecke ds bewegen. Dabei wird Arbeit von dem (oder an G. Herten

183

Experimentalphysik

17.4 Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik

dem) System geleistet, indem das Gas expandiert oder komprimiert wird. Dabei kommt es zu einem W¨armeaustausch zwischen dem Gasvolumen und dem W¨armereservoir. 3) Das System erreicht nun ein neues Gleichgewicht, sodass der Endzustand durch den Gasdruck pe und das Gasvolumen Ve gekennzeichnet ist. Im eingezeichneten Fall dehnt sich das Gas gegen die Kraft F aus, d.h. das System (Gas) verrichtet die Arbeit dW = −F~ · d~s = −pAds = −p dV . (344)

dabei ist dV die Volumen¨anderung des Gases. Der Druck des Gases bleibt w¨ahrend der Ausdehnung nicht konstant. Die gesamte Arbeit ist somit Z Ve Z e pdV (345) dW = − W =− Va

a

P a011111111100000000000 11111111111 00000000000 111111111110011 y Pa 0011 0011 0011 0011 00111000000000 1010 Pe

x

0110 1010 1010 10 00111010 101010 101010 01

0 Va

0011

Ve

e V

Wie an dem Diagramm zu erkennen ist, gibt es viele M¨oglichkeiten, um vom Zustand a zum Zustand e zu gelangen. G. Herten

184

Experimentalphysik

17.4 Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik i) Weg { a y e }: Die Arbeit auf dem Weg { y e } ist Null, da dort dV = 0 ist. Somit ist die gesamte Arbeit gleich der Fl¨ache unter der Verbindungslinie { a y }. ii) Weg { a x e }: Die Arbeit auf dem Weg { a x } ist Null. Die Gesamtarbeit ist die Fl¨ache unter der Linie { x e }. iii) Weg { a e }: Die Arbeit ist gleich der Fl¨ache unter der Kurve { a e }. Somit stellen wir fest: Die vom System geleistete Arbeit ∆W h¨angt nicht nur vom Anfangs- und Endzustand, sondern auch vom Weg der Zustands¨anderung ab. Eine ¨ahnliche Aussage trifft auch f¨ ur die W¨arme zu. Eine System¨anderung vom Anfangzustand pa , Ta zu pe , Te kann auf vielf¨altige Weise erfolgen. Der W¨armefluss in das (oder aus dem) System nimmt unterschiedliche Werte an. Die vom System gelieferte oder empfangene W¨arme ∆Q h¨angt vom Anfangs- und Endzustand und vom Weg der Zustands¨anderung ab. Arbeit W und W¨arme Q sind deshalb keine Zustandsgr¨oßen, die den Zustand eines Systems definieren; denn W und Q h¨angen vom Weg ab. Wenn man aber die gesamte Energie¨anderung ∆Q + ∆W des Systems untersucht, so stellt man experimentell fest, dass ∆Q + ∆W f¨ ur alle Wege von { a } nach { e } denselben Wert ergibt, ∆Q + ∆W h¨angt nur vom Anfangs- und Endpunkt ab. Die W¨arme ∆Q wird dabei positiv gerechnet, wenn sie dem System zugef¨ uhrt wird. Die Arbeit ∆W wird positiv gerechnet, wenn sie zu einer Erh¨oung der Energie des Systems f¨ uhrt. Wir f¨ uhren nun eine neue thermodynamische Gr¨oße ein, die innere Energie U des Systems, ¨ sodass die Summer der zugef¨ uhrten W¨arme und Arbeit gleich der Anderung der inneren Energie ist. ∆U = Ue − Ua = ∆Q + ∆W . (346)

U ist eine Zustandsgr¨oße. (In der Mechanik hatten wir eine Potentielle Energie V definiert, sodass Ve −Va = W , d.h. die Arbeit ist gegeben durch die Differenz des Anfangs- und Endpunktes der Potentiellen Energie. In der Thermodynamik finden wir nun eine Gr¨oße, die innere Energie U, sodass Ue − Ua = ∆Q + ∆W , d.h. die Energie¨anderung ∆Q + ∆W des Systems ist gegeben durch die Differenz des Anfangs- und Endpunktes der inneren Energie.) Gleichung (346) ist der Erste Hauptsatz der Thermodynamik. Er ist ein Erfahrungssatz. Seine Konsequenz ist, dass es kein Perpertuum mobile 1. Art gibt: Es gibt keine Maschine, die dauernd Arbeit verrichtet, ohne eine gleichgroße Energiemenge aufzunehmen. Betrachten wir nur kleine Zustands¨anderungen, so l¨aßt sich der 1. Hauptsatz auch in differentieller Form angeben: dU = dQ + dW (347) Im Nullten Hauptsatz wird die Temperatur und im Ersten Hauptsatz die innere Energie als n¨ utzliche thermodynamische Zustandsgr¨oße eingef¨ uhrt. Der erste Hauptsatz ist ein Energieer¨ haltungssatz: die Gesamtenergie¨anderung dQ+dW ist gleich der Anderung der inneren Energie. Innere Energie kann Bewegungsenergie der Molek¨ ule sein (z.B. Erw¨armung), aber z.B. auch Schmelz- und Verdampfungsenergie. Der erste Hauptsatz der Thermodynamik kann auf jeden Vorgang in der Natur angewendet werden, sofern er zwischen zwei Gleichgewichtszust¨anden stattfindet. Anwendungen:

G. Herten

185

Experimentalphysik

17.4 Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik a) Isobarer Prozess (p = const.) Zun¨achst betrachten wir einen Prozess, bei dem bei der Volumen¨anderung von Va und Vb der Druck konstant bleiben soll (isobarer Prozess). 0110 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 10

0110 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010

Gewicht 000000 111111 10111111 0000 1111 000000 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 1010 000000 111111 00000 11111 10111111 0000 1111 000000 111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 000000 00000 11111 1010 111111 000000 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 000000 111111 111 000 000001010 11111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 000000 111111

Stempel Dampf Wasser Q

0110 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010

Wasser wird durch W¨armezufuhr verdampft. Ein Gewicht auf dem frei beweglichen Stempel sorgt daf¨ ur, dass beim Verdampfen der Druck konstant bleibt. Am Anfang sei das Volumen des Wassers VF , und im Endzustand betr¨agt das Dampfvolumen VD . Damit erhalten wir f¨ ur die Arbeit Z e pdV = −p(Ve − Va ) = −p(VD − VF ) ∆W = − a

¨ Beim Ubergang vom fl¨ ussigen in den gasf¨ormigen Zustand nimmt das System die W¨arme ∆Q auf. ∆Q = mLV , wobei m die Masse des Wassers und LV die spezifische Verdampfungsw¨arme ist. Mit dem ersten Hauptsatz erhalten wir ∆U = ∆Q + ∆W = mLV − p(VD − VF ) Beispiel:

LV

= 2, 2257kJ/g ,

VD = 1671 cm3

,

m = 1 g, VF = 1 cm3 p = 1, 01 · 105 Pa

Das System nimmt die W¨arme ∆Q = mLv = 2257 J auf, und leistet die Arbeit ∆W = ¨ −p(VD − VF ) = −170 J. Die Anderung der inneren Energie ist ∆U = 2087 J. Ein kleiner Teil der aufgenommenen W¨arme wird also in Arbeit umgewandelt, w¨ahrend der gr¨oßte Teil zur Erh¨ohung der inneren Energie (Verdampfung) aufgewandt wird. b) Adiabatischer Prozess (∆Q = 0) Eine Zustands¨anderung, bei der keine W¨arme zwischen dem System und der Umgebung ausgetauscht wird, nennt man adiabatisch. Experimentell kann man diesen Prozess dadurch realisieren, dass man das System thermisch gut isoliert oder den Prozess so schnell durchl¨auft, dass w¨ahrend dieser Zeit kein W¨armeaustausch stattfindet. Mit dem ersten Hauptsatz erh¨alt man ∆U = Ue − Ua = ∆W = −p ∆V G. Herten

186

Experimentalphysik

18 Kinetische Gastheorie Dies bedeutet, dass vom Gas verrichtete Arbeit (∆W < 0) zu einer Erniedrigung von U und somit zu einer Temperaturerniedrigung f¨ uhren kann. Diesen Vorgang kann man zur Erzeugung niedriger Temperaturen nutzen. Der umgekehrte Vorgang (∆W > 0: am Gas verrichtete Arbeit) f¨ uhrt zur Temperaturerh¨ohung. Dieser Effekt ist beim Aufpumpen eines Fahrradreifens als Erw¨armung der Pumpe wahrnehmbar. Freie Expansion

Zwei thermisch isolierte, starre Beh¨alter sind durch einen Hahn miteinander verbunden. ¨ Zun¨achst befindet sich Gas im linken und Vakuum im rechten Beh¨alter. Beim Offnen des Hahns expandiert das Gas schnell in den zweiten Beh¨alter. Da die Beh¨alter thermisch isoliert sind, handelt es sich um einen adiabatischen Prozess. Da bei der Expansion der Gegendruck p = 0 ist, verrichtet das Gas keine Arbeit (∆W = 0). Somit ist ∆U = 0. Die innere Energie ist somit unabh¨angig vom Volumen. Dieses Resultat gilt nur f¨ ur ideales Gas. Sp¨ater werden wir diesen Prozess f¨ ur reales Gas behandeln (Joule-Thomson Effekt).

18

Kinetische Gastheorie

W¨arme ist ungeordnete Bewegung von Molek¨ ulen. Diese Erkenntnis sollte es uns erlauben, die Gesetze der Thermodynamik aus den Newtonschen Bewegungsgleichungen, angewandt auf Molek¨ ule, herzuleiten. Wegen der Vielzahl der Molek¨ ule ist es unm¨oglich, die Bewegung jedes einzelnen zu berechnen. F¨ ur das makroskopische Verhalten von Gasen, Fl¨ ussigkeiten und Festk¨orpern ben¨otigen wir nur die Mittelwerte der Bewegungsgr¨oßen von Atomen und Molek¨ ulen. Wie wir sehen werden, entspricht dem Druck eines Gases der mittlere Impuls pro Zeit und Fl¨ache, den die Molek¨ ule beim Aufprall auf die Wand u ¨ bertragen. Man kann drei Stufen bei der statistischen Beschreibung von Atom- und Molek¨ ulansammlungen unterscheiden: 1) Kinetische Gastheorie: Es werden relativ einfache Mittelwertbildungen benutzt, um Temperatur, Druck, spezifische W¨armekapazit¨at und innere Energie f¨ ur Gase aus mikroskopischen Gr¨oßen zu berechnen. 2) Statistische Mechanik: Allgemeine, formale Verfahren werden benutzt, um mechanische Gesetze auf statistische Weise anzuwenden. Alle thermodynamischen Beziehungen lassen sich so aus den Newtonschen Gesetzen der Mechanik ableiten. G. Herten

187

Experimentalphysik

18.1 Makroskopische Beschreibung des idealen Gases 3) Quantenstatistik: Methoden wie bei der Statistischen Mechanik, allerdings werden nun die Gesetze der Quantenmechanik auf Vielteilchensysteme angewandt. Wir werden uns hier nur mit der kinetischen Gastheorie besch¨aftigen, speziell mit der Untersuchung des idealen Gases.

18.1

Makroskopische Beschreibung des idealen Gases

Drei Zustandsgr¨oßen beschreiben ein Gas: Temperatur T , Druck p und Volumen V . Zwischen diesen Gr¨oßen wurden Gesetzm¨aßigkeiten gefunden, die von Gasen in guter N¨aherung erf¨ ullt werden (die Gasmenge bleibe bei allen Reaktionen konstant). F¨ ur isotherme Prozesse (T = const.) gilt das Boyle-Mariotte-Gesetz: p∼

1 V

.

(348)

Isobare Reaktionen (p = const.) werden durch das Gesetz von Charles beschrieben: V ∼T

(349)

und isochore Prozesse (V = const.) nach dem Gesetz von Gay-Lussac p∼T pV = const. p

T1 T2

.

(350)

V~T V

T3

p~T

p

p

3

p

V3

2

p

V2

1

Isothermen

Isochoren Isobaren

V1 p1> p2> p3

T3> T2 > T1 V Gesetz von Boyle-Mariotte

V1 > V2> V3 T

Gesetz von Charles

T Gesetz von Gay-Lussac

Die Abbildungen zeigen eine graphische Darstellung der Isothermen (a), der Isobaren (b) und der Isochoren (c). Die drei Gesetze werden im Gasgesetz zusammengefaßt; wobei auch die Abh¨angigkeit von der Gasmenge mitber¨ ucksichtigt wird. pV = nRT

.

(351)

Dabei ist R = 8, 314JK −1mol−1 die universelle Gaskonstante und n die Stoffmenge gemessen in mol. Die makroskopische Definition des idealen Gases lautet dann: Folgt ein Gas genau dem Gasgesetz, so ist es ein ideales Gas, andernfalls ist es ein reales Gas. Gleichung (351) ist daher die Zustandsgleichung des idealen Gases. Sp¨ater werden wir sehen, dass reale Gase von diesem Gasgesetz vor allem bei kleiner Temperatur und geringem Volumen G. Herten

188

Experimentalphysik

18.1 Makroskopische Beschreibung des idealen Gases abweichen. Bei hoher Temperatur und niedrigem Druck n¨ahern sich alle Gase dem idealen Gas an; daher ist das ideale Gas, von großer praktischer Bedeutung, obwohl es eigentlich nur eine Abstraktion ist. Wir hatten das ideale Gas bereits bei der Definition der thermodynamischen Temperatur benutzt (Kap. 17.1). K¨onnte man ein Gasthermometer mit konstantem Volumen mit idealem Gas betreiben, so ließe sich die Temperatur definieren als p (ideales Gas). T = 273, 16 ptr Da sich reale Gase bei geringem Druck dem idealen Gas ann¨ahern, erh¨alt man eine ¨aquivalente Definition f¨ ur reales Gas p T = 273, 16 lim (reales Gas.) ptr →0 ptr Molvolumen Ein Mol eines idealen Gases enth¨alt NA = 6, 022 · 1023 (Avogadro Konstante) Molek¨ ule bei Normalbedingungen (T = 273, 15 K und p = 101325 Pa). Ein Mol eines idealen Gases beansprucht dann das Volumen RT V = = 0, 02241 m3 = 22, 41 ℓ . (352) p F¨ ur Mischungen von Gasen gilt das Gesetz von Dalton. Der Gesamtdruck einer Gasmischung ist gleich der Summe der Partialdr¨ucke. X Ni ni pi = = , (353) p= pi und p N n i dabei sind Ni die Anzahl der Molek¨ ule und ni die Molzahl des Gases i. Der Molenbruch oder Stoffmengengehalt einer Gaskomponente i ist dann

Liter

κi =

Ni ni = N n

.

(354)

101111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1010000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 1010 0011 0011 0011 0011 1010 1010 2 0011 2 2 1010 2 1010 11 00 1111 0000 1010 3 1010 0011 1111 0000 1010 1010 1010

ideales Gas 22.4 H He N O 22.4138l CO 22.2 NH 22.0 SO 2 21.8

Die Molvolumina mehrerer Gase sind in der Abbildung dargestellt. Man erkennt, dass einund zweiatomige Gase gut mit dem idealen Gas u ¨bereinstimmen. Mehratomige Gase (CO2 , NH3 , SO2 ) haben niedrigere Molvolumina. Volumenausdehnungskoeffizient In Kap. 17.1 hatten wir den Volumenausdehnungskoeffizienten γ behandelt, der folgendermaßen definiert ist (333): V = V0 (1 + γTc ) , G. Herten

189

Experimentalphysik

18.1 Makroskopische Beschreibung des idealen Gases dabei ist Tc die Temperatur in Einheiten Celsius. Aus dem idealen Gasgesetz folgt bei konstantem Druck V T T = oder V = V0 , V0 T0 T0 dabei ist T0 = 273, 15 K und V0 das Molvolumen. Bei Umwandlung in Celsius erhalten wir mit Tc = T − T0 T0 + Tc = V0 (1 + γTc ) . V = V0 T0 Der Volumenausdehnungskoeffizient des idealen Gases ist somit γ=

1 1 = T0 273, 15K

.

-1

0110 1010 1010 10 10 1111010 000 0.00374 10 10 0.00372 101010 10 0.00370 101010 1010 1010 111 0.00368000 11 1010 00 1010 111 0.00366000 1010 1010 1010

γ in K

11 00

Ar

Luft 11 00

CO2

11 00

11 00

He H2

ideales Gas 1/273.15 K-1

¨ In der Abbildung erkennen wir wieder eine gute Ubereinstimmung der ein- und zweiatomigen ◦ ◦ Gase mit dem idealen Gas (im Bereich 0 C bis 100 C). F¨ ur CO2 finden wir γ ≈ 1/268 K. Arbeit bei isothermer Expansion Ein Gas dehne sich isotherm von Va nach Ve aus. Welche Arbeit verrichtet dann ein Mol des Gases? Z Ve ∆W = − pdV Va

nRT erhalten wir f¨ ur die Arbeit pro Mol. Mit p = V Z Ve W Ve dV = −RT = −RT ln . n V Va Va

Nach unserer Vorzeichenkonvention ist die Arbeit negativ bei der Expansion und positiv bei Kompression. Isotherme Prozesse k¨onnen in der Praxis dadurch realisiert werden, dass man die Expansion sehr langsam vornimmt, und das System st¨andig W¨arme mit der Umgebung austauschen kann.

G. Herten

190

Experimentalphysik

18.2 Mikroskopische Beschreibung des idealen Gases

18.2

Mikroskopische Beschreibung des idealen Gases

Nun wollen wir das ideale Gas aus mikroskopischer Sicht definieren und zeigen, dass die mikroskopische und makroskopische Definition identisch sind. Wir benutzen folgende Annahmen: 1) Ein Gas besteht aus Teilchen, den Molek¨ ulen. 2) Die Molek¨ ule befolgen die Newtonschen Bewegungsgleichungen und f¨ uhren unabh¨angige Zufallsbewegungen aus. 3) Die Gesamtzahl der Molek¨ ule ist sehr groß. Eine typische Gr¨oßenordnung ist durch die Avogadro-Konstante NA = 6.022 · 1023 mol−1 gegeben. 4) Das Volumen der Molek¨ ule ist vernachl¨assigbar klein gegen¨ uber dem Gasvolumen. 5) Auf die Molek¨ ule wirken außer bei Zusammenst¨oßen keine weiteren Kr¨afte ein. 6) Zusammenst¨oße erfolgen elastisch und sind von vernachl¨assigbar kurzer Dauer. Kinetische Berechnung des Druckes Zun¨achst wollen wir den Druck aus der Sicht der kinetischen Gastheorie berechnen. Der Druck ist Kraft pro Fl¨ache, und Kraft ist die zeitliche Ableitung des Impulses P . Somit erhalten wir den Druck p durch F P˙ 1 ∆P p= = ≈ A A A ∆t

A2 A 1 11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 v 1111 0000 xi 11 00 11 00 00 11 00 11 00 11 00 111111 0000 111111111111111111 0000000000000000 111111 000000 00 00 11 x 00 11 00 11 −vxi 11 00 11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00000000 11 00 p wi 111111 0000000 111111111 l

Wir betrachten einen w¨ urfelf¨ormigen, elastischen Kasten mit der Kantenl¨ange ℓ. Ein Gasmolek¨ ul i fliege mit der Geschwindigkeit ~vi = (vxi , vyi , vzi ) in x-Richtung. Nach dem Zusammenstoß mit der Wand A1 prallt das Molek¨ ul zur¨ uck, d.h. vxi ¨andert sein Vorzeichen und vyi und vzi bleiben unver¨andert. Der auf die Wand u ¨bertragene Impuls Pwi ist die Differenz zwischen dem Anfangs- und Endimpuls. Pwi = −(Pei − Pai ) = −(−m vxi − m vxi ) = +2m vxi Das Molek¨ ul m¨oge nun ohne Zusammenst¨oße mit anderen Molek¨ ulen auf die gegen¨ uberliegende Wand A2 treffen und dort wieder reflektiert werden. Zum Durchqueren des Beh¨alters ben¨otigt es die Zeit t = ℓ/vxi . In Zeitabst¨anden von ∆t = 2ℓ/vxi trifft das Molek¨ ul auf die Wand A1 .

G. Herten

191

Experimentalphysik

18.2 Mikroskopische Beschreibung des idealen Gases Der Gesamtimpuls, der im Zeitraum ∆t auf Wand A1 u ¨bertragen wird, ist ∆Pi = 2mvxi . Mit A1 = ℓ2 erhalten wir den Druck, den Molek¨ ul i auf die Wand A1 aus¨ ubt. pi =

1 2m vxi m 2 1 ∆Pi = 2 vxi = 3 vxi A1 ∆t ℓ 2ℓ ℓ

Der Gesamtdruck ist die Summe aller Einzeldr¨ ucke p=

N X i=1

pi =

m 2 2 2 (vx1 + vx2 + . . . + vxN ) , 3 ℓ

wobei sich die Summe u ule N im Kasten erstreckt. Durch Umformen erhalten ¨ber alle Molek¨ wir 2 2 mN v 2 + vx2 + . . . + vxN p = 3 x1 , ℓ N 2 2 2 + vx2 + . . . + vxN ) der Mittelwert von vx2 dabei ist ρ = mN/ℓ3 die Gasdichte und vx2 = N1 (vx1 f¨ ur alle Molek¨ ule im Kasten. Somit erhalten wir p = ρvx2 2 2 2 F¨ ur jedes Teilchen ist vi2 = vxi + vyi + vzi . Aufgrund der zuf¨alligen Bewegung in alle Richtungen gilt f¨ ur die Mittelwerte 1 vx2 = vy2 = vz2 = v 2 . 3 Somit erhalten wir den gesuchten Zusammenhang zwischen Druck und mittlerem Geschwindigkeitsquadrat. 1 p = ρv 2 . (355) 3 Das Resultat ¨andert sich nicht, wenn man in der Herleitung Gasbeh¨alter beliebiger Form zul¨aßt. Wir haben St¨oße von Teilchen untereinander nicht ber¨ ucksichtigt. Durch elastische St¨oße werden Geschwindigkeiten zwischen Molek¨ ulen ausgetauscht. Verliert ein Molek¨ ul Geschwindigkeit, so erh¨oht sich die Geschwindigkeit des Stoßpartners entsprechend. Bei großer Zahl von Molek¨ ulen 2 ¨andert sich der Mittelwert v nicht. Ein Maß f¨ ur die mittlere Molek¨ ulgeschwindigkeit ist die Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat. v u r N p u1 X 3p t 2 2 vi = , vrms = v = N i ρ

(rms bedeutet root-mean-square.)

Sp¨ater werden wir die Geschwindigkeitsverteilung der Molek¨ ule genauer untersuchen und eine Wahrscheinlichkeitsverteilung f¨ ur die Molek¨ ulgeschwindigkeit angeben (Maxwell-Boltzmann Verteilung). Kinetische Interpretation der Temperatur Wir multiplizieren (355) mit dem Gasvolumen 1 1 pV = ρV v 2 = nMv 2 3 3 G. Herten

192

,

(356) Experimentalphysik

18.2 Mikroskopische Beschreibung des idealen Gases wobei ρV die Masse des Gases darstellt. M ist die Molmasse und n die Stoffmenge (Anzahl der Mole). Die gesamte kinetische Translationsenergie des Gases ist 2 1 2 1 v 2 + v22 + . . . + vN 1 2 1 2 mv1 + mv2 + . . . + mvN = mN 1 2 2 2 2 N 1 1 = mNv 2 = nMv 2 2 2

K =

Ein Vergleich mit (356) zeigt

2 2 1 pV = ( nMv 2 ) = K 3 2 3 Mit der Zustandsgleichung des idealen Gases pV = nRT finden wir den Zusammenhang 1 3 K = nMv 2 = nRT 2 2

(357)

Die Geschwindigkeit wird dabei auf den Massenmittelpunkt des Gases bezogen; denn die Temperatur des Gases ¨andert sich nat¨ urlich nicht, wenn man den Beh¨alter im Flugzeug transportiert. F¨ ur die mittlere kinetische Energie pro Molek¨ ul erhalten wir Km =

K 1 M 2 1 2 3 R 3 v = mv = = T = kT nNA 2 NA 2 2 NA 2

(358)

wobei

R = 1, 380 · 10−23 J/K NA die Boltzmann-Konstante ist. Die mittlere kinetische Energie der Molek¨ule eines idealen Gases ist proportional zur thermodynamischen Temperatur. F¨ ur zwei verschiedene Gase mit den Molek¨ ulmassen m1 und m2 und den mittleren Geschwindigkeiten v1, rms und v2, rms erhalten wir bei gleicher Temperatur q r v12 v1,rms m2 2 2 m1 v1 = m2 v2 oder =q = . (359) v2,rms m1 2 v2 k=

Vergleich verschiedener Gase molare Masse vrms (0◦ C)

Gas

H2 He H2 O CO Luft CO2

G. Herten

g/mol

in m/s

2,02 4,0 18 28 28,8 44

1838 1311 615 493 485 393

193

1 Mv 2 2

in J/mol bei 0◦ C 3370 3430 3400 3390 3280 3400

Experimentalphysik

18.3 W¨armekapazit¨at des idealen Gases Diffusion: Die Tatsache, dass leichtere Gasmolek¨ ule eine gr¨oßere Geschwindigkeit besitzen, kann man bei der Diffusion von Gasen durch eine por¨ose Wand ausnutzen. Befindet sich eine Gasmischung in einem Beh¨alter mit por¨osen W¨anden, so stellt man im evakuierten Außenraum fest, dass im Laufe der Zeit Gasmolek¨ ule die Wand durchdringen und in den Außenraum diffundieren. Dabei diffundieren die leichten Gase schneller, da sie eine gr¨oßere Geschwindigkeit besitzen. Unter der Annahme, dass sich die Diffusionsgeschwindigkeit proportional zur Wurzel aus der Molek¨ ulmasse verh¨alt Grahamsches Gesetz findet man im Außenraum eine Anreicherung der leichten Gasmolek¨ ule (mit Masse m) im Vergleich zu den schwereren (mit Masse M) von p α = M/m

Dieses Verfahren wird zur Anreicherung von Isotopen (z.B. Uran - 235 aus nat¨ urlichem Uran) verwendet. Demonstrationsversuch: Brownsche Bewegung

Molek¨ ulst¨oße kann man sichtbar machen, wenn man die Bewegung sehr kleiner Partikel in Luft unter dem Mikroskop anschaut. Zur Beobachtung eignet sich gut Zigarettenrauch. Er besteht aus etwa 0.1 µm großen Partikeln, die etwa 106 Atome enthalten. Man beobachtet, dass die Partikel eine statistische Bewegung durchf¨ uhren, die einem Zick-Zack-Kurs ¨ahnelt (Brownsche Bewegung). Diese wird durch St¨oße des Partikels mit den umgebenden Luftmolek¨ ulen hervorgerufen.

18.3

W¨ armekapazit¨ at des idealen Gases

Beim idealen Gas wirken keine Kr¨afte zwischen den Molek¨ ulen; deshalb besitzt es keine potentielle Energie. Die innere Energie besteht ausschließlich aus kinetischer Energie. In (358) hatten wir f¨ ur die mittlere kinetische Energie pro Molek¨ ul den Wert 3/2 kT gefunden. F¨ ur N Molek¨ ule erhalten wir somit die innere Energie 3 3 U = NkT = nRT 2 2

(360)

Bei realen Gasen stimmt diese Beziehung nur f¨ ur einatomige Gase (z.B. He), mehratomige Gase (z.B. O2 , CO2 ) haben zus¨atzlich zur Translationsenergie noch Schwingungs- und Rotationsenergie. Die wichtige Aussage von (360) ist, dass bei idealem Gas die innere Energie proportional zur thermodynamischen Temperatur ist und nur von ihr abh¨angt. Bei Gasen sind zwei molare W¨armekapazit¨aten wichtig, Cp (isobarer Prozess, p = const.) und CV (isochorer Prozess, V = const.). Sie sind durch folgende Gleichungen definiert (336): 1 ∆Q 1 ∆Q und CV = (361) Cp = n ∆T p=const n ∆T V =const Wir betrachten nun ein thermodynamisches System, bestehend aus einem gasgef¨ ullten Zylinder, einem W¨armereservoir und einem beweglichen Stempel. Durch Anh¨aufen von Sand auf dem Stempel kann der Gasdruck variiert werden. Wir betrachten nun die Prozesse, die im p-V Diagramm eingezeichnet sind. Dort sind zwei Isothermen eingezeichnet mit den Temperaturen T1 = T und T2 = T + ∆T .

G. Herten

194

Experimentalphysik

18.3 W¨armekapazit¨at des idealen Gases

1) Zun¨achst befindet sich das System im Punkt a (Abb. a). Das W¨armereservoir wird nun von T1 auf T2 erw¨armt. Es wird st¨andig Sand auf den Stempel gegeben, damit das Volu¨ men konstant bleibt. Wir haben einen isochoren Ubergang von (a) nach (c). Mit dem 1. Hauptsatz ∆U und ∆W mit ∆Q ∆U

= = = =

∆Q + ∆W −pdV = 0 (da V = const.) erhalten wir nCV ∆T nCV ∆T

(362)

¨ 2) Nun f¨ uhren wir einen isobaren Ubergang von (a) nach (b) durch (das Gewicht auf dem Stempel bleibt konstant). Mit dem 1. Hauptsatz erhalten wir ∆U = ∆Q + ∆W = nCp ∆T − p∆V Beide Prozesse durchlaufen dieselbe Temperaturdifferenz ∆T . Da die innere Energie nur von der Temperatur abh¨angt, muss ∆U in beiden Prozessen gleich sein. Also ∆U = nCV ∆T = nCp ∆T − p∆V

(363)

Durch Differenzbildung der Idealgasgleichung (mit p= const.) p∆V = nR∆T finden wir nCp ∆T = nCV ∆T + p∆V = nCV ∆T + nR∆T Cp = CV + R G. Herten

195

(364) Experimentalphysik

18.3 W¨armekapazit¨at des idealen Gases Die molare W¨armekapazit¨at bei konstantem Druck ist stets um den Betrag R gr¨oßer als die molare W¨armekapazit¨at bei konstantem Volumen. Diese Beziehung gilt auch in guter N¨aherung f¨ ur reale Gase. Mit (360) und (361) erhalten wir f¨ ur (einatomiges) ideales Gas. 1 d 3 3 1 dU = ( nRT ) = R n dT n dT 2 2 5 Cp = CV + R = R 2 Das Verh¨altnis von Cp und CV nennt man auch den Adiabatenkoeffizienten κ. CV

=

κ=

Cp CV

(365) (366)

(367)

F¨ ur einatomiges ideales Gas finden wir somit κ=

5 5/2 Cp = = 1, 67 = CV 3/2 3

Gleichverteilungssatz der Energie Wir hatten bereits angedeutet, dass bei mehratomigen Molek¨ ulen mehr Energieformen zur inneren Energie beitragen k¨onnen als bei einatomigen Gasen. Wir haben folgende Beitr¨age: 1) kinetische Energie der Translation: 1/2mv 2 2) kinetische Energie der Rotation: 1/2Iω 2 3) kinetische Energie der Schwingung von Atomen im Molek¨ ul 4) potentielle Energie der Atomschwingungen In der statistischen Mechanik kann man zeigen, dass bei Verwendung der Newtonschen Mechanik und bei großen Molek¨ ulzahlen alle oben genannten Energiebeitr¨age denselben mittleren Wert haben und dass dieser nur von der Temperatur abh¨angt. Dies ist der Gleichverteilungssatz ¨ der Energie oder das Aquipartitionstheorem. Jede M¨oglichkeit eines Molek¨ uls Energie aufzunehmen, nennt man Freiheitsgrad. F¨ ur jeden Freiheitsgrad f erh¨alt das Molek¨ ul die mittlere Energie 1 E = kT 2

(368)

Einatomiges Gasmolek¨ ul Ein einatomiges Gasmolek¨ ul hat 3 Freiheitsgrade der Translation, f¨ ur jede Raumrichtung einen. Damit ist die innere Energie gegeben durch U=

3 f nRT = nRT 2 2

.

(369)

Mit (365) erhalten wir f 3 1 dU = R = R ≈ 12, 5 J mol−1 K−1 n dT 2 2  f + 1 R ≈ 20, 8 J mol−1 K−1 Cp = CV + R = 2 Cp 5 f +2 κ = = = CV f 3

CV

G. Herten

=

196

Experimentalphysik

18.3 W¨armekapazit¨at des idealen Gases Zweiatomiges Gasmolek¨ ul Zus¨atzlich zur Translation tritt auch Rotation auf. Ein zwei-atomiges Molek¨ ul kann man sich als Hantel vorstellen. Es kann sich prinzipiell um alle drei Raumrichtungen drehen. Allerdings beobachtet man, dass die Rotationsenergie um die L¨angsachse der Hantel fast nichts beitr¨agt, da das Tr¨agheitsmoment um diese Achse sehr klein ist. Schwingungsbeitr¨age werden bei Zimmertemperatur bei den meisten Gasen nicht beobachtet. Wir erwarten somit f = 5 Freiheitsgrade. Somit 5 U = nRT 2 5 CV = R ≈ 20, 8 2 7 R ≈ 29, 1 Cp = 2 7 κ = = 1, 4 5 Drei- und mehratomige Gase Es kommen 3 Translation- und 3 Rotationsfreiheitsgrade in Betracht, also f = 6. Schwingungsbeitr¨age sind bei Zimmertemperatur hier ebenfalls klein. Damit erhalten wir U = 3nRT CV = 3R ≈ 24, 9 J mol−1 K −1 Cp = 4R ≈ 33, 3 J mol−1 K −1 4 κ = = 1, 33 3 Die folgende Tabelle und Abbildung zeigt die gemessenen Werte f¨ ur verschiedene Gase. F¨ ur ein- oder zweiatomige Gase liegen die Werte nahe bei denen des idealen Gases. Bei mehratomigen Gasen gibt es deutliche Abweichungen von unserem Modell. CV und Cp liegen deutlich u ¨ber unserer Erwartung. Vermutlich treten Energiebeitr¨age durch Schwingungen auf, die nicht ber¨ ucksichtigt wurden.

Die Grenzen unseres Modells werden in der Abbildung deutlich. Dort sehen wir die molare W¨armekapazit¨at (CV ) als Funktion der Temperatur f¨ ur zweiatomige H2 Molek¨ ule. Bei kleine G. Herten

197

Experimentalphysik

18.4 Adiabatische Zustands¨anderung

Temperaturen (T < 100K) finden wir CV = 3R/2 im Bereich 250K < T < 750K, den berechneten Wert CV = 5R/2 und bei sehr hohen Temperaturen CV = 7R/2. Dies widerspricht der klassischen kinetischen Gastheorie, denn die W¨armekapazit¨aten sollten sich nicht mit der Temperatur ¨andern. In der Quantentheorie ist es m¨oglich, dass einige Freiheitsgrade bei geringen Temperaturen keinen Beitrag liefern. Salopp sagt man, die Freiheitsgrade seien bei tiefen Temperaturen “eingefroren”. Offensichtlich tragen also nur die 3 Translationsfreiheitsgrade bei tiefen Temperaturen zur W¨armekapazit¨at des H2 Molek¨ uls bei. Rotations- und Schwingungsfreiheitsgrade sind eingefroren. Oberhalb von 250 K kommen noch 2 Rotationsbewegungen hinzu und bei sehr hohen Temperaturen finden wir noch 2 weitere Freiheitsgrade der Schwingung (kinetische und potentielle Energie). Mit diesem Gleichverteilungssatz der Energie kann man auch das Dulong-Petitsche Gesetz (341) f¨ ur die molare W¨armekapazit¨at im Festk¨orper verstehen. Ein Atom im Kristall kann in alle drei Raumrichtungen schwingen. Insgesamt hat es 6 Freiheitsgrade (je 3 f¨ ur kinetische und potentielle Energie). Somit erhalten wir die molare W¨armekapazit¨at f Cp ≈ CV = R = 3R ≈ 25 J mol−1 K−1 . (370) 2 Dies ist das Dulong-Petitsche Gesetz. Der Abfall der molaren W¨armekapazit¨at bei kleinen Temperaturen ist gem¨aß Quantenmechanik durch “Einfrieren” von Freiheitsgraden zu erkl¨aren.

18.4

Adiabatische Zustands¨ anderung

Wir wollen nun die adiabatische Zustands¨anderung eines idealen Gases betrachten, bei einem adiabatischen Prozess wird keine W¨arme zwischen dem System und der Umgebung ausgetauscht

G. Herten

198

Experimentalphysik

18.4 Adiabatische Zustands¨anderung (∆Q = 0). Nach dem 1. Hauptsatz erhalten wir ∆Q = ∆U − ∆W mit ∆W = −p∆V , ∆Q = 0 und (362) ∆U = nCV ∆T erhalten wir 0 = nCV ∆T + p∆V und p∆V ∆T = − nCV

(371)

Andererseits gilt f¨ ur ein ideales Gas die allgemeine Zustandsgleichung pV = nRT , welche f¨ ur ¨ kleine Anderungen nach der Produktregel der Differentiation umgeschrieben werden kann: dV dp d(pV ) = p +V = nR dT dT dT p∆V + V ∆p = nR∆T p∆V + V ∆p ∆T = nR Beide Ausdr¨ ucke f¨ ur ∆T werden nun gleichgesetzt.

(372)

V ∆p p∆V p∆V + = 0 + nCV nR nR Multiplikation mit n R CV liefert: Rp∆V + CV p∆V + CV V ∆p = 0 Mit CV = Cp − R erh¨alt man: Cp p∆V + CV V ∆p = 0 . Mit dem Adiabatenkoeffizienten κ = Cp /CV ergibt sich dann nach Multiplikation mit 1/(pV CV ) κ

∆V ∆p + =0 V p

Im Grenzfall (∆V → 0 und ∆p → 0) finden wir

dp dV +κ =0 p V

und nach Integration ln p + κ ln V = ln p V κ =

const.

Ein adiabatischer Prozess des idealen Gases wird somit durch die Gleichung pVκ =

const. beschrieben.

(373)

Mit Hilfe der Zustandsgleichung pV = nRT l¨aßt sich diese Gleichung auch umformen in: T κ p1−κ =

const. oder T V κ−1 =

const.

(374)

Die Abbildung zeigt die Adiabaten und Isotherme f¨ ur ein ideales Gas. Da der Adiabatenkoeffizient κ immer gr¨oßer als 1 ist, verlaufen Adiabaten steiler als Isotherme im pV Diagramm. Im Prinzip wird jede Isotherme von allen Adiabaten geschnitten. Schallausbreitung Die Schallausbreitung in einem Gas ist ein Beispiel eines adiabatischen Prozesses. Beim Schall G. Herten

199

Experimentalphysik

18.4 Adiabatische Zustands¨anderung

kommt es zu Kompression und Expansion von Gas, wodurch Gas lokal erw¨armt und abgek¨ uhlt wird. Prinzipiell sollte daher W¨arme vom w¨armeren zum k¨ uhleren Bereich fließen. Die Kompressionen erfolgen aber so schnell, dass es aufgrund der schlechten W¨armeleitf¨ahigkeit von Gas zu keiner nennenswerten W¨arme¨ ubertragung kommen kann. Wie wir in Kap. 16.2 gesehen haben, ist die Schallgeschwindigkeit v gegeben durch p v = K/ρ , (375)

wobei K der Kompressionsmodul ist. In (193) hatten wir den Kompressionsmodul f¨ ur feste K¨orper definiert. ∆V p − = V K Bei Gasen bleibt der Druck bei einer Kompression nicht konstant. Die Druck¨anderung ist proportional zur Volumen¨anderung. ∆V ∆p − = (376) V K ¨ F¨ ur eine differentielle Anderung ergibt sich K = −V

dp dV

(377)

Als Beispiel betrachten wir zun¨achst einen isothermen Prozess (pV = const.). Somit ist d(pV ) dp = p + V ( )isotherm = 0 dV dV Vergleich mit (377) gibt Kisotherm = p . G. Herten

200

(378) Experimentalphysik

18.4 Adiabatische Zustands¨anderung F¨ ur einen adiabatischen Prozess erhalten wir mit pV κ = const. κ dp d(pV ) = p κ V κ−1 + V κ ( )adiabatisch = 0 dV dV Einsetzen von (377) liefert dann pκV κ−1 − V κ−1 Kadiabatisch = 0

oder

Kadiabatisch = κp Die gesuchte Beziehung f¨ ur die Schallgeschwindigkeit ist somit p v = κp/ρ

Als Beispiel sehen wir in der folgenden Tabelle die berechnete und gemessene Schallgeschwindigkeit f¨ ur verschiedene Gase bei p = 101325 Pa (T = 0◦ C).

Gas Argon Wasserstoff Sauerstoff Luft Methan

f Ar H2 O2

3 5 5 5 6

κ=

f +2 2

1,67 1,4 1,4 1,4 1,33

ρ (kg/m3 ) 1,78 0,090 1,43 1,29 0,717

vberechnet (m/sec) 307,4 1255 315,0 331,6 433,5

vgem (m/sec) 308 1306 314,3 331,8 430

¨ Man erkennt eine gute Ubereinstimmung zwischen der berechneten und gemessenen Schallgeschwindigkeit f¨ ur ein-, zwei- und mehratomige Gase. Da wir nun das Idealgasgesetz kennen, k¨onnen wir berechnen, wie die Schallgeschwindigkeit von der Temperatur abh¨angt. Mit der Idealgasgleichung erhalten wir pV = NkT ρ = Nm/V p/ρ = kT /m

und somit

Damit erhalten wir f¨ ur die Schallgeschwindigkeit p p v = κp/ρ = κkT /m ,

(379)

dabei ist m die Masse eines Gasmolek¨ uls. Die Schallgeschwindigkeit steigt somit proportional zu p T /m an. Sie ist gr¨oßer f¨ ur Helium als f¨ ur Luft und steigt mit wachsender Temperatur an. Es ist interessant, die Schallgeschwindigkeit mit der typischen Geschwindigkeit der Gasmolek¨ ule, z.B. vrms , zu vergleichen, die wir in Kap 18.2 hergeleitet hatten. r 3kT vrms = m Wir sehen, dass die Schallgeschwindigkeit in derselben Gr¨oßenordnung, aber geringf¨ ugig unter der Geschwindigkeit der Molek¨ ule liegt. G. Herten

201

Experimentalphysik

18.5 Mittlere freie Wegl¨ange

18.5

Mittlere freie Wegl¨ ange

Gasmolek¨ ule stoßen andauernd aneinander und bewegen sich auf Zick-Zack-Linien. Die mittlere ul im Mittel zwischen zwei St¨oßen zur¨ ucklegt. freie Wegl¨ange ℓs ist jene Distanz, die ein Molek¨ Sie ist gegeben durch: ℓs = v ts , (380) wobei v¯ die mittlere Geschwindigkeit N 1 X v¯ = |vi | N i=1

und ts die mittlere Stoßzeit ist (mittlere Zeit zwischen zwei St¨oßen). Zur Berechnung von ℓs betrachten wir den Stoß zweier Molek¨ ule, die wir als harte Kugeln mit dem Radius r1 bzw. r2 ansehen.

Es gibt einen Zusammenstoß, wenn sich die Mittelpunkte beider Molek¨ ule bis auf den Abstand R = r1 + r2 n¨ahern. Die effektive wirksame Fl¨ache f¨ ur den Stoß ist daher ein Kreis mit dem Radius R = r1 + r2 . Man nennt diese Fl¨ache auch Wirkungsquerschnitt σ des Stoßes. σ = πR2 = π(r1 + r2 )2

(381)

Der Wirkungsquerschnitt hat denselben Wert, wenn wir Molek¨ ul 2 als punktf¨ormig ansehen und daf¨ ur Molek¨ ul 1 den Radius R annimmt. In unserem Fall betrachten wir St¨oße von identischen Molek¨ ulen, sodass r1 = r2 = d/2, wobei d der Durchmesser ist. Damit erhalten wir f¨ ur den Wirkungsquerschnitt: σ = πd2 Die Zahl der Zusammenst¨oße in der Zeit t entspricht dann der Anzahl NM der Molek¨ ule in einem Zylinder mit dem Querschnitt σ = πd2 und der L¨ange vrel t. vrel ist die gemittelte relative Geschwindigkeit zwischen den beiden Stoßpartnern. ~v1 und ~v2 seien die Geschwindigkeiten beider Molek¨ ule. Dann ist ~vrel = ~v1 − ~v2 |~vrel|2 = v12 + v22 − 2v1 v2 cos γ Mit v 1 = v 2 = v¯ = vrms G. Herten

202

Experimentalphysik

18.5 Mittlere freie Wegl¨ange

und mit dem Mittelwert u ¨ber den Stoßwinkel γ zwischen beiden Geschwindigkeiten cos γ = 0 erhalten wir q √ vrel = 2v 2 − 2v 2 cos γ = 2 v Das Volumen des Zylinders ist

VZ = σvrel t =

√

2σvt.

Die Molek¨ uldichte nM (Anzahl der Molek¨ ule pro Volumen) ist nM = (NM )/(VZ ) = ρ/m, wobei m die Molek¨ ulmasse bedeutet. Damit erhalten wir f¨ ur die Zahl der Zusammenst¨oße √ v t nM NM = nM VZ = 2σ¯ Die mittlere Zeit zwischen zwei St¨oßen ist dann ts =

t 1 1 =√ =√ NM 2σ¯ v nM 2πd2 v¯nM

(382)

und die mittlere freie Wegl¨ange ℓs = v¯ts = √

1 1 =√ 2σnM 2πd2 nM

(383)

Die mittlere freie Wegl¨ange h¨angt somit nicht von der Geschwindigkeit (d.h. Temperatur) ab. ¨ Die folgende Tabelle gibt einen Uberblick der mittleren freien Wegl¨ange in der Erdatmosph¨are. Auf der Erdoberfl¨ache betr¨agt die mittlere Zeit zwischen zwei St¨oßen etwa ts ≈ 2 · 10−10 s .

H¨ohe u ¨ber Erdoberfl¨ache (km) 0 100 300

G. Herten

Luftdruck (Pa)

ℓs (cm)

101 325 0,133 0,133 · 10−3

2 · 10−5 0,2 15

203

Experimentalphysik

18.6 Geschwindigkeitsverteilung von Molek¨ ulen

18.6

Geschwindigkeitsverteilung von Moleku ¨ len

Durch St¨oße ¨andern Molek¨ ule ihre Geschwindigkeit. Man kann vermuten, dass die meisten Molek¨ ule eine Geschwindigkeit um vrms haben. Nur wenige Teilchen werden deutlich gr¨oßere oder kleinere Geschwindigkeiten aufweisen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Molek¨ ulgeschwindigkeiten ist gegeben durch die Maxwell-Boltzmann Verteilung. m 3/2 2 − mv2 dn(v) = 4πN( ) v e 2kT dv 2πkT

(384)

Dabei ist dn(v) die Anzahl der Molek¨ ule im Geschwindigkeitsintervall zwischen v und v + dv. F¨ ur ein gegebenes Gas h¨angt die Geschwindigkeitsverteilung nur von T ab. Die Gesamtzahl der Molek¨ ule zwischen v1 und v2 ist dann Z Z v2 m 3/2 v2 2 − mv2 dn(v) )dv = 4πN( ) (385) v e 2kT dv n(v1 , v2 ) = ( dv 2πkT v1 v1 Die Verteilungsfunktion ist so normiert, dass die Integration von Null bis unendlich die Gesamtzahl N der Molek¨ ule ergibt. Z ∞ dn(v) ( N= )dv (386) dv 0

In der Abbildung ist die Geschwindigkeitsverteilung von Sauerstoffmolek¨ ulen bei T = 73K und T = 273K aufgezeichnet. Die Fl¨ache unter beiden Kurven ist gleich, da f¨ ur beide Kurven 106 O2 Molek¨ ule angenommen wurden. Man definiert h¨aufig 3 verschiedene Geschwindigkeiten: 1) wahrscheinlichste Geschwindigkeit vˆ, bei der die Verteilung ein Maximum hat. G. Herten

204

Experimentalphysik

18.6 Geschwindigkeitsverteilung von Molek¨ ulen 2) mittlere Geschwindigkeit v¯ =

1 Σ(|~v |) N

3) Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat p vrms = v 2

Wegen der Asymmetrie der Verteilung finden wir

vˆ < v¯ < vrms Diese Geschwindigkeiten lassen sich aus der Maxwell-Boltzmann Verteilung berechnen. Mit λ = m/2kT und den Integralen aus einer Tabelle r Z ∞ 1 π 2 −λv2 dv = v e (387) 4 λ3 0 Z ∞ 1 2 v 3 e−λv dv = (388) 2λ2 0 r Z ∞ 3 π 4 −λv2 (389) dv = v e 8 λ5 0 erhalten wir

r r Z 8 kT kT 1 ∞ dn(v) v¯ = vdv = = 1, 59 N 0 dv π m m Analog erh¨alt man f¨ ur das mittlere Geschwindigkeitsquadrat Z 1 ∞ dn(v) 2 2 v dv v = N 0 dv r r √ 3kT kT und vrms = = 1, 73 v2 = m m

(390)

(391)

vˆ erh¨alt man mit der Bedingung, dass die 1. Ableitung der Verteilung am Maximum Null sein muss. r r 2kT kT = 1, 41 (392) vˆ = m m Planetenatmosph¨are Molek¨ ule in der ¨außeren Erdatmosph¨are, die eine Geschwindigkeit gr¨oßer als die Fluchtgeschwindigkeit haben, k¨onnen das Gravitationsfeld der Erde verlassen. Es gehen somit der Erdatmosph¨are st¨andig Molek¨ ule verloren. Bei gegebener Temperatur haben H2 Molek¨ ule eine Geschwindigkeitsverteilung, die im Vergleich zu O2 zu gr¨oßeren Geschwindigkeiten verschoben ist. Der Verlust an H2 oder He Molek¨ ulen ist daher prozentual gr¨oßer als der Verlust an Sauerstoff. Der Mond hat eine kleine Fluchtgeschwindigkeit. Deshalb hat er nur eine d¨ unne Atmosph¨are (p = 10−8 Pa), die haupts¨achlich aus schweren Molek¨ ulen, z.B. Krypton und Xenon besteht. Verdunsten G. Herten

205

Experimentalphysik

19 2. Hauptsatz der Thermodynamik Eine ¨ahnliche Geschwindigkeitsverteilung gibt es auch f¨ ur Molek¨ ule in einer Fl¨ ussigkeit. Die schnellsten k¨onnen schon bei Temperaturen unterhalb des Siedepunktes die Fl¨ ussigkeit verlassen, also verdunsten. Weil die schnellsten Molek¨ ule, d.h. die mit der h¨ochsten Energie, die Fl¨ ussigkeit verlassen, sinkt die mittlere kinetische Energie der zur¨ uckbleibenden Molek¨ ule und die Temperatur der Fl¨ ussigkeit sinkt. Dies ist die Ursache f¨ ur den bekannten Abk¨ uhlungseffekt beim Verdunsten. Beim Schwitzen wird er zur K¨ uhlung des K¨orpers ausgenutzt. Bei Wind ist dieser Effekt besonders stark, da die Molek¨ ule nach dem Verdunsten weggeweht werden, und somit nicht mehr zur¨ uck in die Fl¨ ussigkeit gelangen. Bei 100% Luftfeuchtigkeit treten gleich viele Molek¨ ule aus der Fl¨ ussigkeits- in die Gasphase wie umgekehrt. Somit tritt kein Abk¨ uhlungseffekt auf. Aus diesem Grunde empfinden wir schw¨ ules Wetter, wie es in den Tropen h¨aufig vorkommt, als unangenehm.

19

2. Hauptsatz der Thermodynamik

Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik ist ein Energieerhaltungssatz. Er gibt an, welche Prozesse aus energetischen Gr¨ unden m¨oglich sind. Nicht alle Prozesse, die nach dem 1. Hauptsatz erlaubt sind, werden in Wirklichkeit beobachtet. So geschieht es z.B. nicht, dass sich das Innere eines Backofens spontan erw¨armt und sich daf¨ ur die Umgebung abk¨ uhlt, oder sich die Luft im K¨ uhlschrank abk¨ uhlt und die Umgebung erw¨armt wird. Nach dem 1. Hauptsatz w¨are es m¨oglich, dass sich ein Teil des Raumes spontan abk¨ uhlt und daf¨ ur der Rest erw¨armt wird, d.h. die schnellen Molek¨ ule befinden sich an einer anderen Stelle des Raumes als die langsamen. Wir k¨onnten vermuten, dass dies vielleicht prinzipiell m¨oglich sein k¨onnte, aber wegen der großen Anzahl von Molek¨ ulen sehr unwahrscheinlich ist. Wir beobachten nur Prozesse, bei denen W¨arme vom heißeren zum k¨alteren Medium u ¨ bertragen wird. Der 2. Hauptsatz gibt an, in welche Richtung Prozesse ablaufen k¨onnen. Mit dem 2. Hauptsatz kann man auch erkl¨aren, weshalb es nicht m¨oglich ist, W¨arme vollst¨andig in Arbeit zu verwandeln, obwohl dies nach dem 1. Hauptsatz erlaubt ist. Als Beispiel einer solchen W¨armemaschine werden wir den Carnot-Prozess besprechen, der einen reversiblen KreisProzess im pV −Diagramm beschreibt.

19.1

Reversible und irreversible Prozesse

Ein reversibler Prozess ist ein umkehrbarer Prozess. Betrachten wir z.B. einen isothermischen Prozess im pV-Diagramm, bei dem sich das Gas in st¨andigem Kontakt mit einem W¨armebad befindet. Durch langsame Kompression (z.B. durch Hinzuf¨ ugen von Sandk¨ornern auf den Stempel) durchl¨auft das System die Isotherme vom Anfangs- zum Endpunkt. Aufgrund der langsa¨ men Anderung befindet sich das System jederzeit in einem wohldefinierten p und V -Zustand. W¨ahrend des gesamten Vorgangs wird das System nie sehr weit vom Gleichgewicht entfernt sein (gleiche Temperatur und gleicher Druck im gesamten Gasvolumen). Durch langsames Wegnehmen von Sand k¨onnte man erreichen, dass das System auf derselben Kurve wieder vom Endpunkt zum Anfangspunkt zur¨ uckgeht. Ein solcher Prozess ist eine reversible Zustands¨anderung. Ein Prozess mit denselben Anfangs- und Endzust¨anden ist irreversibel, wenn man den Stempel sehr schnell herunter dr¨ uckt, und das Gas erst nach einiger Zeit einen Gleichgewichtszustand einnimmt. Bei den Zwischenzust¨anden sind Druck und Temperatur des (turbulenten) Gases nicht definiert. Das Gas geht u ¨ ber eine Reihe von Nichtgleichgewichtszust¨anden vom AnfangsG. Herten

206

Experimentalphysik

19.2 Der Carnot-KreisProzess zustand in den Endzustand u ¨ber. Reale Prozesse laufen immer irreversibel ab, da z.B. durch Reibung ein Teil der Energie verloren geht. Aber durch geeignete experimentelle Vorkehrungen kann man einen reversiblen Prozess beliebig approximieren. Bei einem adiabatischen Prozess (s. Kap. 19.4) wird keine W¨arme mit der Umgebung ausgetauscht (∆Q = 0). F¨ ur ideales Gas gilt die adiabatische Zustandsgleichung (373): pV κ = κ =

const. ,

wobei

Cp CV

der Adiabatenkoeffizient ist. Da κ > 1 verlaufen Adiabaten immer steiler als Isotherme. Eine adiabatische Zustands¨anderung kann auch reversibel verlaufen, wenn wir z.B. das Gas thermisch isolieren und durch langsames Hinzuf¨ ugen von Sand eine adiabatische Kompression durchf¨ uhren. Da ∆Q = 0 gilt, erhalten wir mit dem 1. Hauptsatz Z ∆U = ∆Q + ∆W = − p dV . Nur beim reversiblen Prozess ist der Druck f¨ ur alle Zwischenzust¨ande wohldefiniert, sodass R die Arbeit durch pdV gegeben ist. Durch schnelles Herunterdr¨ ucken des Stempels wird die Reaktion irreversibel adiabatisch verlaufen. Dabei werden Nichtgleichgewichtszust¨ande eingenommen. Daher werden ∆U und die Temperatur¨anderung ∆T f¨ ur reversible und irreversible adiabatische Zustands¨anderungen verschieden sein.

19.2

Der Carnot-KreisProzess

Wir wollen nun reversible Kreisprozesse betrachten, bei denen das System nach Zustands¨anderungen wieder am Ausgangszustand ankommt. Ein wichtiger KreisProzess wurde von Carnot (1796 - 1832) beschrieben. Der Carnot-KreisProzess erfolgt in 4 reversiblen Teilschritten, die im folgenden Diagramm dargestellt sind.

G. Herten

207

Experimentalphysik

19.2 Der Carnot-KreisProzess 1. Schritt: Isotherme Expansion von (a) nach (b). Dabei nimmt das System die W¨arme Q1 vom W¨armereservoir T1 auf und verrichtet Arbeit. 2. Schritt: Adiabatische Expansion von (b) nach (c). Das System verrichtet Arbeit bei der Expansion. Da keine W¨arme mit der Umgebung ausgetauscht wird, sinkt die Temperatur auf T2 . 3. Schritt: Isotherme Kompression. Das Gas wird bei der Temperatur T2 komprimiert. Dabei gibt es W¨arme an das W¨armebad ab. An dem Gas wird durch den Stempel Arbeit verrichtet. 4. Schritt: Adiabatische Kompression. Das Gas wird weiter komprimiert, sodass es auf einer Adiabaten von T2 auf T1 erw¨armt wird. Durch den Stempel wird Arbeit am System verrichtet. Der Anfangszustand des Carnot-Prozesses kann beliebig gew¨ahlt werden. Die Nettoarbeit wird durch die Fl¨ache abcda wiedergegeben. Die gesamte vom System aufgenommene W¨arme ist ∆Q1 − ∆Q2 . Da es sich um einen KreisProzess handelt, hat sich die innere Energie nicht ge¨andert. Daher gilt f¨ ur einen Zyklus mit dem 1. Hauptsatz ∆U = ∆Q + ∆W = 0;

∆W = ∆Q1 − ∆Q2

Dieser Prozess beschreibt eine W¨armekraftmaschine. Durch wiederholtes Durchlaufen des Prozesses kann W¨arme in Arbeit umgewandelt werden. Wenn man den Prozess in umgekehrter Richtung durchl¨auft, wird dem W¨armereservoir T2 W¨arme entzogen. Die Fl¨ache abcda entspricht dann der Arbeit, die man bei Abk¨ uhlen des Reservoirs T2 leisten muss. Dies ist das Prinzip des K¨ uhlschranks. Der Wirkungsgrad η einer W¨armekraftmaschine ist definiert durch den Quotienten der abgegebenen Arbeit zu der bei h¨oherer Temperatur aufgenommenen W¨arme. η=

∆Q1 − ∆Q2 ∆Q2 |∆W | = =1− ∆Q1 ∆Q1 ∆Q1

(393)

Gew¨ohnliche Maschinen werden mit Dampf oder einem Gemisch aus Luft und Kraftstoff betrieben. Ein Teil der W¨arme wird als Abgase wieder dem K¨ uhlwasser u ¨bergeben und nicht in Arbeit umgewandelt. Daher ist η immer kleiner als 1. Der Carnot-Prozess ist dadurch ausgezeichnet, dass er von allen reversiblen und irreversiblen Kreisprozessen den h¨ochsten Wirkungsgrad hat. Wir wollen nun den Wirkungsgrad einer Carnot-Maschine berechnen, die mit idealem Gas betrieben wird. i) Isotherme (s. Kap. 19.1) ∆Q1 ∆Q2 ∆Q1 somit ∆Q2 Außerdem gilt p1 V1 und p3 V3 G. Herten

= −∆W1 = nRT1 ln(V2 /V1 ) = −∆W2 = nRT2 ln(V3 /V4 ) T1 ln(V2 /V1 ) = T2 ln(V3 /V4 ) = p2 V 2 = p4 V 4 . 208

(394) (395)

Experimentalphysik

19.3 Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik ii) Adiabaten p2 V2κ = p3 V3κ p4 V4κ = p1 V1κ

(396)

Multiplikation von (395) und (396) ergibt V1 V3 V2κ V4κ = V2 V4 V3κ V1κ  κ−1  κ−1 V2 V3 = , V1 V4 V3 V2 = V1 V4

somit

Einsetzen in (394) gibt Q1 T1 = Q2 T2 Damit erhalten wir mit (393) f¨ ur den Wirkungsgrad einer Carnot-Maschine, die mit idealem Gas betrieben wird. T2 T1 − T2 =1− . (397) η= T1 T1 Ein hoher Wirkungsgrad l¨aßt sich also durch eine große Temperaturdifferenz T1 − T2 erzielen. Da der absolute Temperaturnullpunkt (T2 = 0) nie exakt erreicht werden kann, ist der Wirkungsgrad immer kleiner als 1.

19.3

Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik

Nach der Entwicklung der ersten W¨armekraftmaschinen hegte man die Hoffnung, eine W¨armekraftmaschine zu entwickeln, die einem unersch¨opflichen W¨armereservoir, z.B. dem Ozean, andauernd W¨arme entnimmt und damit Nutzarbeit verrichtet. Wie anfangs erw¨ahnt, w¨ urde diese Maschine den Energieerhaltungssatz nicht verletzen. Dies w¨are ein Perpetuum mobile 2. Art. Aus Erfahrung wissen wir, dass es ein solches Perpetuum mobile 2. Art nicht gibt. Diese Erfahrung wird im 2. Hauptsatz der Thermodynamik als Behauptung aufgestellt. Es gibt verschiedene Formulierungen des 2. Hauptsatzes, die alle gleichwertig sind. Seine anschauliche Formulierung lautet: W¨arme fließt von selbst immer nur vom w¨armeren zum k¨alteren K¨orper, nie umgekehrt. Formulierung nach Kelvin und Planck: Es ist unm¨oglich, nur durch Abk¨uhlung eines W¨armereservoirs W¨arme in mechanische Arbeit zu ¨uberf¨uhren. Moderne Formulierung des zweiten Hauptsatzes: Ein System geht spontan nie in einen erheblich unwahrscheinlicheren Zustand ¨uber. Nach dem 2. Hauptsatz sind viele Prozesse irreversibel. So ist z.B. ein W¨arme¨ ubergang von warm nach kalt irreversibel. Wir wollen nun einige Anwendungen des 2. Hauptsatzes untersuchen. Wirkungsgrad thermodynamischer Maschinen

G. Herten

209

Experimentalphysik

19.3 Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik

" Warmereservoir T1>T2

∆ Qx < ∆ Q 1 Wundermaschine

∆ Q1 ∆W

Carnotmaschine

∆ Qy < ∆ Q 2

∆Q 2

" Warmereservoir T2
Es wurde bereits gesagt, dass keine W¨armekraftmaschine existieren kann, die einen gr¨oßeren Wirkungsgrad als der Carnot-Prozess besitzt. Dies soll nun mit Hilfe des 2. Hauptsatzes gezeigt werden. Wir nehmen an, dass es eine solche Wundermaschine (WM) mit einem h¨oheren Wirkungsgrad gibt. Sie wird zwischen den W¨armereservoiren T1 und T2 betrieben und liefert gerade die Arbeit ∆W , die eine in umgekehrter Richtung laufende Carnot-Maschine f¨ ur ihren Betrieb als W¨armepumpe ben¨otigt. Die CM transportiert die W¨arme (∆Q1 ) = (∆Q2 ) + (∆W ) vom k¨alteren zum w¨armeren Reservoir. Da die WM einen h¨oheren Wirkungsgrad als die CM besitzt, ben¨otigt sie eine geringere W¨armemenge ∆Qx < ∆Q1 aus dem w¨armeren Reservoir. Das kombinierte System transportiert somit W¨arme vom k¨alteren zum w¨armeren Reservoir ohne ¨außere Energiezufuhr. Dies widerspricht aber dem 2. Hauptsatz. Somit muss unsere Annahme falsch sein. Es gibt daher keine W¨armekraftmaschine mit einem h¨oheren Wirkungsgrad als eine Carnot-Maschine. Wir haben den Carnotschen Wirkungsgrad mit Hilfe eines Carnot-Prozesses hergeleitet, der mit idealem Gas betrieben wird. Man kann aber zeigen (s. Honerkamp, R¨omer, Klassische Theoretische Physik, Kap. 7.9), dass der Wirkungsgrad aller zwischen zwei Temperaturen reversibel arbeitenden W¨armekraftmaschinen gleich groß ist. Keine irreversibel arbeitende Maschine kann einen h¨oheren Wirkungsgrad erreichen. Die Arbeitssubstanz spielt somit keine Rolle. Deshalb ist es wichtig bei modernen, energiesparenden Motoren, m¨oglichst hohe Verbrennungstemperaturen zu erreichen. Thermodynamische Temperaturskala Der Wirkungsgrad einer reversiblen Maschine h¨angt nur von der Temperatur der W¨armereservoirs, bzw. dem Verh¨altnis ∆Q2 /∆Q1 ab. Dies kann man nun ausnutzen, um die thermodynamische Temperatur oder Kelvin-Skala zu definieren. T1 |∆Q1 | = T2 |∆Q2 | Die Temperaturen verhalten sich wie die aufgenommenen (bzw. abgegebenen) W¨armen. Wie bei der urspr¨ unglichen Definition der thermodynamischen Temperatur mit Gasthermometern, benutzt man auch hier den Tripelpunkt des Wassers. F¨ ur eine Carnot-Maschine, die zwischen

G. Herten

210

Experimentalphysik

19.4 Entropie zwei W¨armereservoirs T und Ttr = 273, 16 K operiert, findet man: T = 273, 16 K

|∆Q| = 273, 16 K (1 − η) |∆Qtr |

(398)

Der Wirkungsgrad l¨aßt sich aus dem Verh¨altnis der verrichteten Arbeit und der gemessenen W¨armemenge ∆Qtr bestimmen. ∆Qtr l¨aßt sich z.B. anhand der elektrischen Heizleistung messen, die ben¨otigt wird, um das W¨armeniveau auf die Temperatur Ttr zu stabilisieren. Diese Definition der thermodynamischen Temperatur (gegen¨ uber der Definition u ¨ ber ein ideales Gas) hat den Vorteil, dass Q f¨ ur alle Arbeitssubstanzen denselben Wert hat. Unterhalb von 1 K verfl¨ ussigen Gase, somit k¨onnen sehr kleine Temperaturen nicht mit Gasthermometern gemessen werden. Die neue Definition ist dagegen f¨ ur alle Temperaturbereiche anwendbar.

19.4

Entropie

Beim Carnot Prozess hatten wir gesehen, dass ∆Q2 ∆Q1 =− T1 T2

,

d.h. die gleiche Menge ∆Q/T wird vom Gas aufgenommen und abgegeben. ∆Q1 und ∆Q2 haben dabei verschiedene Vorzeichen da ∆Q1 aufgenommen und ∆Q2 abgegeben wird. Somit ist ∆Q1 ∆Q2 + =0 (399) T1 T2 ¨ Die gesamte Anderung von ∆Q/T u ¨ber diesen reversiblen KreisProzess ist Null. Nun stellen wir uns vor, dass der Carnot-Prozess in viele kleine reversible Kreisprozesse angen¨ahert wird. Dann erhalten wir f¨ ur einen geschlossenen reversiblen KreisProzess X ∆Qrev

=0

(400)

dQrev =0 , T

(401)

T

und im infinitesimalen Grenzfall

I

H wobei andeutet, dass u ¨ber einen vollst¨andigen Zyklus des reversiblen Kreisprozesses integriert wird. Die Zustandsgr¨oße in (401) nennt man Entropie. I dQrev dS = mit dS = 0 (402) T Die Einheit der Entropie ist J/K. Bei einem reversiblen KreisProzess bleibt sie Entropie konstant. ¨ Die gesamte Entropie¨anderung vom Ubergang von (a) nach (e) ist Z e dQrev , Se − S a = T a wobei u ¨ ber irgendeinen reversiblen Weg zwischen (a) und (e) integriert wird. G. Herten

211

Experimentalphysik

19.4 Entropie Nun wollen wir die Entropie¨anderung f¨ ur einige Beispiele berechnen. Entropie des idealen Gases Zun¨achst soll die Entropie¨anderung bei reversiblen Zustands¨anderungen des idealen Gases berechnet werden. Mit dem 1. HS folgt dS =

dQrev dU + p dV = . T T

(403)

Mit dU = n Cv dT und pV = nRT folgt dS = n Cv

dV dT + nR . T V

(404)

Integriert man u ¨ber einen Temperaturbereich, in dem Cv als konstant betrachtet werden kann, so erh¨alt man f¨ ur die Entropie¨anderung bei Temperatur- und Volumen¨anderung (isobarer Prozess) T2 V2 ∆Sisobar = n Cv ln + nR ln . T1 V1 Bei einem isochoren Prozess (∆V = 0) erh¨alt man mit Cv = Cp − R und p1 /T1 = p2 /T2 ∆Sisochor = n Cp ln

p2 T2 − nR . T1 p1

Entropie bei irreversiblen Prozessen Wir betrachten nun einige irreversible Prozesse: 1) Reibung Arbeit W wird u ¨ber Reibung in W¨arme ∆Q umgewandelt. Dieser Prozess ist irreversibel. Dabei nimmt die Entropie der Umgebung um ∆Q ∆W = T T zu. 2) W¨armeleitung Die W¨armemenge ∆Q wird von einem K¨orper 1 mit der Temperatur T1 auf einen K¨orper 2 mit T2 u ¨bertragen, falls T1 > T2 ist. Die gesamte Entropie¨anderung ist ∆S =

∆Q ∆Q − T2 T1

Da T1 > T2 , ist ∆S > 0 und somit nimmt die Entropie der K¨orper zu. F¨ ur alle irreversiblen Prozesse findet man eine Zunahme der gesamten Entropie (System und Umgebung). Wir k¨onnen den 2. Hauptsatz mit Hilfe des Entropiebegriffs neu formulieren. Ein nat¨urlicher Prozess zwischen zwei Gleichgewichtszust¨anden wird nur in der Richtung ablaufen, in der die Entropie von System und Umgebung zunimmt. G. Herten

212

Experimentalphysik

19.5 Thermodynamische Potentiale Eine nat¨ urliche Richtung gibt es somit nur bei irreversiblen Prozessen: Reversibler KreisProzess: Entropie des Gesamtsystems (K¨orper und Umgebung) bleibt gleich. Irreversibler Prozess: Entropie des Gesamtsystems nimmt zu. Der 2. Hauptsatz legt somit eine Zeitrichtung beim irreversiblen Prozess fest. Ein irreversibler ¨ Prozess ist der Ubergang von einem geordneten Zustand in einen weniger geordneten Zustand. Die Entropie ist ein Maß f¨ ur die Ordnung. Als Beispiel betrachten wir 2 Gasbeh¨alter, der erste ist mit Argon und der zweite mit Neon gef¨ ullt. Zun¨achst, im Zustand (a), seien die Beh¨alter getrennt. Im Zustand (e) werden sie verbunden und das Gas beginnt sich zu mischen. Die ¨ Unordnung ist gr¨oßer im Zustand (e) als im Zustand (a), somit ist Se > Sa . Der Ubergang von a nach e tritt spontan auf, w¨ahrend der umgekehrte Vorgang nicht beobachtet wird. Die Wahrscheinlichkeit ist gr¨oßer, dass sich alle Gasmolek¨ ule mischen und die Wahrscheinlichkeit ist sehr klein, dass spontan alle Argonmolek¨ ule sich im linken und alle Neonmolek¨ ule im rechten Beh¨alter sammeln. In der Statistischen Mechanik kann man zeigen, dass die Entropie direkt mit dieser Wahrscheinlichkeit W eines Zustandes verkn¨ upft ist (W ist die Anzahl der m¨oglichen Anordnungen der Molek¨ ule) S = k ln W , (405) dabei ist k die Boltzmann-Konstante. Dazu wollen wir ein einfaches Beispiel betrachten. Die Anzahl der m¨oglichen Anordnungen sollen f¨ ur 52 Spielkarten bestimmt werden: a) wenn sie in einer bestimmten Reihenfolge aufgestapelt sind: Wa = 1 e) wenn sie in zuf¨alliger Folge aufgestapelt sind: We = 52! = 8.1 × 1067 Der Entropieunterschied w¨are ∆S = k ln

We = 2, 2 · 10−21 J/K Wa

Man sieht, dass so geringe Entropieunterschiede bereits einen riesigen Unterschied in der Wahrscheinlichkeit bedeuten. Man m¨ ußte 8.1 · 1067 mal mischen, um einmal die Karten in der bestimmten Reihenfolge (a) vorzufinden. Bei normalen thermodynamischen Prozessen sind ∆S und somit auch die Unterschiede in der Wahrscheinlichkeit viel gr¨oßer; denn dort betrachten wir nicht nur 52 sondern typisch 6 · 1023 Molek¨ ule.

19.5

Thermodynamische Potentiale

Die Haupts¨atze beinhalten die wesentlichen Aussagen der Thermodynamik. F¨ ur spezielle Berechnungen ist es vorteilhaft, weitere Zustandsgr¨oßen einzuf¨ uhren. Bisher kennen wir die thermodynamischen Zustandsgr¨oßen: Temperatur T , Druck p, Volumen V , Innere Energie U und Entropie S. Zun¨achst definieren wir die freie Energie F ≡U −T ·S G. Herten

213

Experimentalphysik

19.5 Thermodynamische Potentiale Mit dem 1. HS gilt allgemein dU = dQ + dW f¨ ur reversible und irreversible Prozesse. Speziell f¨ ur reversible Prozesse folgt aus der Definition der Entropie. dQrev = T dS F¨ ur irreversible Prozesse gilt dQirr < T dS mit dF = dU − T dS − SdT folgt dF = dQ + dW − T dS − SdT ≤ dW − SdT dabei gilt das Gleichheitszeichen f¨ ur reversible und das <–Zeichen f¨ ur irreversible Prozesse. Somit gilt speziell f¨ ur ein isothermes System: dF ≤ dW

oder

− dW ≤ −dF

Das bedeutet: Die Zunahme der freien Energie eines isothermen Systems ist h¨ochstens gleich der in das System hineingesteckten Arbeit oder Die maximale Arbeit, die ein isothermes System nach außen abgeben kann, ist gleich der Abnahme seiner freien Energie. Spezialfall: isotherm mit ∆V = 0 → ∆W = 0. Dann erh¨alt man f¨ ur einen isothermen, isochoren Prozess: dF ≤ dW = 0 , d.h. die freie Energie nimmt spontan nicht zu und ist im stabilen Gleichgewicht minimal. Gleichzeitig muss wegen T · S = U − F , U = const , T = const die Entropie zunehmen. Da in der Natur alle Prozesse irreversibel ablaufen, wird die Entropie immer gr¨oßer und die freie Energie immer kleiner. Damit nimmt die F¨ahigkeit , Arbeit zu verrichten, st¨andig ab. Das Weltall strebt einem ”W¨armetod” entgegen, d.h. einem Zustand gleicher Temperatur, Dichte und Zusammensetzung der Materie u ¨ berall im Universum. Eine weitere Zustandsgr¨oße ist die Enthalpie H definiert als H = pV dH = dU + p · dV + V dp Mit dem 1. Hauptsatz dQ = dU − dW = dU + pdV G. Herten

214

Experimentalphysik

19.5 Thermodynamische Potentiale erh¨alt man dH = dQ + V · dp

F¨ ur einen adiabatischen, isobaren Prozess (dQ = 0, dp = 0) folgt somit dH ≤ 0, somit nimmt die Enthalpie spontan nicht zu und ist im stabilen Gleichgewicht minimal, wiederum gilt das Gleichheitszeichen f¨ ur reversible Prozesse. Weiterhin benutzt man die freie Enthalpie G (oder Gibbssches Potential). G ≡ U + pV − T S ≡ H − T S dG = dU + pdV + V dp − T dS − SdT Aus dem ersten Hauptsatz dU + pdV = dQ = T dS folgt dG = V dp − SdT F¨ ur isobare, isotherme Prozesse (dp = dT = 0) nimmt die freie Enthalpie f¨ ur irreversible Prozesse ab. dG ≤ 0

Thermodynamische Prozesse verlaufen von selbst immer so, dass die thermodynamischen Potentiale (F, H, G) minimal werden. Wie beim Potential in der Mechanik ist die 1. Ableitung des Potentials ein Maß f¨ ur die ”Kraft” mit der ein Prozess angetrieben wird. Daher haben sie große Bedeutung in der Chemie. Die Zustandsgr¨oßen T, V, P, S lassen sich als partielle Ableitungen der Potentiale schreiben: Zusasmmenstellung: dQ = T dS dU = dQ − pdV = T dS − pdV dF = dU − T dS − SdT = −pdV − SdT dH = dU + pdV + V dp = T dS + V dp dG = dH − T dS − SdT = V dp − SdT Und somit S = −

G. Herten



∂G ∂T



p



=−





∂F ∂T

∂F ∂U =− ∂V T ∂V     ∂G ∂H = = ∂p T ∂p S

p = − V



215



V



S

Experimentalphysik

19.6 Der dritte Hauptsatz (Nernstsches Theorem)

19.6

Der dritte Hauptsatz (Nernstsches Theorem)

Der dritte Hauptsatz besagt, dass die Entropie aller reinen, kondensierten Stoffe f¨ ur T → 0 demselben Grenzwert, n¨amlich Null, zustrebt. lim S(T ) = 0

T →0

Mit der statistischen Deutung der Entropie S = k ln W Somit ist der thermodynamische Gleichgewichtszustand am absoluten Nullpunkt ein Zustand maximaler Ordnung mit W = 1, d.h. es gibt nur eine Realisierungsm¨oglichkeit. Eine Konsequenz ist, dass sich der absolute Nullpunkt nie erreichen l¨aßt. Wenn u ¨berhaupt, dann k¨onnte es nur mit einem adiabatischen Prozess gelingen, da bei anderen Prozessen ein W¨armereservoir mit T < 0 ben¨otigt w¨ urde. Bei einem adiabatischen Prozess ist mit dQ = T dS = 0     ∂S ∂S dT + dV = 0 dS = ∂T V ∂V T

20

Aggregatzust¨ ande

Ein K¨orper besteht aus Atomen und Molek¨ ulen, die aufeinander Kr¨afte aus¨ uben. Von der kinetischen Energie und der St¨arke der intermolekularen Kr¨afte h¨angt der Aggregatzustand des K¨orpers ab. Man unterscheidet drei klassische Aggregatzust¨ande: fest, fl¨ ussig, gasf¨ormig. Weiterhin gibt es nicht-klassische Aggregatzust¨ande, wie den Plasmazustand, Bose-Einstein Kondensate und superfluide Fl¨ ussigkeiten. Beim Festk¨orper ist die mittlere kinetische Energie der Bausteine kleiner als die Bindungsenergie. Die Molek¨ ule sind in festen Positionen angeordnet und schwingen um diese Mittellage. Ein Festk¨orper ist formelastisch. Amorphe K¨orper (z.B. Harz, Teer, Glas) bilden einen Zwischenzustand zwischen fest und fl¨ ussig. Man kann sie auch als Fl¨ ussigkeiten mit sehr hoher Viskosit¨at betrachten. Bei der Fl¨ ussigkeit ist die mittlere kinetische Energie der Bausteine gr¨oßer als die Bindungsenergie zwischen den Molek¨ ulen, aber kleiner als die Koh¨asionskr¨afte der Molek¨ ule untereinander. Die Molek¨ ule k¨onnen leicht gegeneinander verschoben werden. Eine Fl¨ ussigkeit ist volumenbest¨andig. Fl¨ussige Kristalle sind lange organische Molek¨ ule, die lokale regelm¨aßige Anordnungen bilden. Bei Gasen ist die mittlere kinetische Energie der Bestandteile gr¨oßer als die Bindungsenergie zwischen den Molek¨ ulen. Die Koh¨asionskr¨afte k¨onnen vernachl¨assigt werden. Ein ideales Gas zeigt keine Wechselwirkungskr¨afte seiner Bestandteile untereinander, sie besitzen kein Eigenvolumen. Reale Gase sind die in der Natur vorkommenden Gase. Sie haben ein kleines Eigenvolumen und wechselwirken miteinander. Dampf ist ein Gas in der N¨ahe des Verfl¨ ussigungspunktes, es enth¨alt Fl¨ ussigkeitstr¨opfchen. Beim Plasma sind die Atome und Molek¨ ule nicht mehr intakt. Es besteht aus frei beweglichen Ionen und Elektronen. Seine Dichte ist sehr gering (10−5 − 10−11 g/cm3 ). Beispiele f¨ ur Plasma sind: Bahn eines Blitzes, Sonne. Bose-Einstein-Kondensate sind quantenmechanische Zust¨ande mehrerer Atome. Viele Atome verhalten sich gewissermaßen wie ein einzelnes großes Atom. Bei superfluiden Fl¨ ussigkeit ist die Viskosit¨at gleich Null, d.h. sie k¨onnen reibungsfrei fließen. G. Herten

216

Experimentalphysik

20.1 Van-der Waals Gesetz Durch Temperatur- und Druck¨anderungen kann ein K¨orper in verschiedene Aggregatzust¨ande u uhrt werden. Dies gilt allerings nicht f¨ ur den Plasmazustand. Dieser kann nicht ¨ berf¨ in einem Physen¨ ubergang erreicht werden, sondern nur durch Zerfall eines neutralen Atoms in eine positiv geladenen Kern und Elektronen. Daher ist es umstritten, ob ein Plasma u ¨berhaupt als Aggregatzustand angesehen werden soll. Die Bezeichnungen f¨ ur die einzelnen Phasen¨ uberg¨ange sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt. von Feststoff von Fl¨ ussigkeit von Gas

nach Feststoff Erstarren/Gefrieren Resublimation

nach Fl¨ ussigkeit Schmelzen Kondensation

nach Gas Sublimation Verdampfen, Sieden -

¨ Zun¨achst wollen wir den Ubergang zwischen fl¨ ussigem und gasf¨ormigem Zustand untersuchen.

20.1

Van-der Waals Gesetz

Ein reales Gas hat ein Eigenvolumen und Wechselwirkungen zwischen den Bestandteilen. Bei großen Dichten zeigen sich daher bei Gasen wie z.B. CO2 deutliche Abweichungen von der Zustandsgleichung des idealen Gases. CO2 l¨aßt sich bei Zimmertemperatur unter Druckanwendung verfl¨ ussigen. Als Beispiel betrachten wir das folgende Diagramm:

Abb. 54: p-V Diagramm von CO2 .

G. Herten

217

Experimentalphysik

20.1 Van-der Waals Gesetz Bei hohen Temperaturen (T > TK ) findet man eine Ann¨aherung der Isothermen an die Hyperbeln des Boyle-Mariottschen Gesetzes. Wenn wir bei tiefen Temperaturen, z.B. T = 0 deg C, die Isotherme verfolgen, so beobachtet man, dass bei Kompression der Druck w¨achst bis wir den Punkt E erreichen. Nun beginnt die Verfl¨ ussigung des CO2 . Bei weiterer Volumenerniedrigung bleibt der Druck konstant, da immer mehr CO2 verfl¨ ussigt wird. Am Punkt A ist das gesamte CO2 fl¨ ussig. Jede weitere Volumenerniedrigung bewirkt nun einen starken Druckanstieg, da die Fl¨ ussigkeit wenig kompressibel ist. Im Bereich zwischen A und E existieren Fl¨ ussigkeit und Gas nebeneinander. Man spricht hier auch von einem Zweiphasengebiet. Gasverfl¨ ussigung tritt nur unterhalb der kritischen Temperatur TK auf. Der Wendepunkt K auf der Isotherme TK wird kritischer Punkt genannt, der durch die kritische Temperatur TK und den kritischen Druck ¨ pK charakterisiert ist. Am kritischen Punkt tritt ein abrupter Ubergang vom fl¨ ussigen in den gasf¨ormigen Zustand auf. Die folgende Tabelle gibt eine Zusammenstellung der kritischen Punkte f¨ ur verschiedene Gase.

Gas He O2 N2 Luft CO2 Cl2 Acetylen

TK (K) pK 5,3 154,4 126,1 132,5 304,2 417 309

(105 Pa) 2,26 50,8 35 37,2 72,9 76,9 62,6

Tab. 1: Kritische Temperatur und kritischer Druck f¨ ur verschiedene reale Gase bei einem Mol.

Eine gute Beschreibung der Eigenschaften von realen Gasen erh¨alt man mit der Van-derWaals Zustandsgleichung f¨ ur reale Gase. Es wird dabei angenommen, dass die Gasmolek¨ ule ein Eigenvolumen b haben und miteinander wechselwirken. Die Wechselwirkungskaft hat eine a¨hnliche Wirkung wie ein zus¨atzlicher von außen wirkender Druck. Daher spricht man hier auch von einem Binnendruck pb , der zum ¨außeren Druck addiert wird. Eine gute Beschreibung des Binnendrucks ist gegeben durch pb = an2 /V 2 , dabei ist a ein zu bestimmender Parameter und n die Molzahl. Damit erhalten wir das Van-der-Waals Gesetz durch Modifikation der Zustandsgleichung des idealen Gases.   an2 p + 2 (V − nb) = nRT (406) V a und b sind dabei Materialkonstanten. Aufl¨osen nach p ergibt den Druck als Funktion von V und T an2 RT − (407) p= V − nb V2 G. Herten

218

Experimentalphysik

20.1 Van-der Waals Gesetz Bei hinreichend kleinen Temperaturen erh¨alt man f¨ ur Isotherme einen S-f¨ormigen Verlauf im Zweiphasengebiet zwischen den Punkten A und E. In diesem Bereich gibt die Van-der-Waals Gleichung keine gute Beschreibung der Wirklichkeit. Eine Verbesserung erh¨alt man dadurch, dass man ein waagerechtes Linienst¨ uck zwischen A und E so einf¨ uhrt wie in der obigen Abbildung gezeigt wird. Unter gewissen experimentellen Bedingungen ist es aber m¨oglich, teilweise dem Verlauf der gekr¨ ummten Kurve zu folgen. Man erzeugt dann in der N¨ahe des Punktes E u ¨bers¨attigten Dampf und bei Punkt A eine u ussigkeit. Das sind Bereiche, die vom Normalzu¨ berhitzte Fl¨ stand abweichen und sich explosionsartig normalisieren k¨onnen. Erhitzt man z.B. Wasser, so beginnt es bei Normaldruck bei 100◦ C an zu sieden. Durch eine besondere experimentelle Anordnung, z.B. bei pl¨otzlicher Erniedrigung des ¨außeren Luftdruckes, kann man die Fl¨ ussigkeit u berhitzen, d.h. der Siedeprozess hat noch nicht begonnen, obwohl sich das Wasser bereits im ¨ Zweiphasengebiet befindet. Durch leichte Ersch¨ utterung des Wassers k¨onnen sich nun schlagartig Dampfblasen bilden. Dieser Effekt wird in der Blasenkammer ausgenutzt. Ein Beh¨alter ist mit einer Fl¨ ussigkeit, z.B. fl¨ ussigem Wasserstoff, gef¨ ullt, der durch kurzzeitige Druckerniedrigung u ¨berhitzt wird. Wird der Beh¨alter in diesem Augenblick von einem ionisierenden Teilchen durchdrungen, so bilden sich entlang der Teilchenspur kleine Bl¨aschen, die photographiert werden. Damit kann die Teilchenspur vermessen werden. Mit dem gleichen Prinzip funktioniert die Nebelkammer, bei der u ¨bers¨attigter Wasserdampf benutzt wird. Ein ionisierendes Teilchen erzeugt kleine Wassertr¨opfchen entlang der Teilchenbahn. Damit werden die Bahnen von Teilchen direkt sichtbar. Nebelkammer und Blasenkammer hatten eine große Bedeutung in der experimentellen Kern- und Teilchenphysik. Heute sind sie aber weitgehend von Driftkammern abgel¨ost worden, die eine h¨ohere Z¨ahlrate erlauben und eine direkte elektronische Datenauslese erm¨oglichen. Damit kann die aufwendige Vermessung von Photographien umgangen werden. Am kritischen Punkt hat die Isotherme (mit T = Tk ) einen Wendepunkt, d.h.    2  ∂S ∂ S = 0. = 0 und ∂V Tk ,Vk ∂V 2 Tk ,Vk Angewendet auf die van-der-Waals Gleichung erh¨alt man f¨ ur die Konstanten (bei einem Mol): a = 3pk Vk2 ;

1 und b = Vk . 3

Somit lassen sich aus der Messung des kritischen Druckes und des kritischen Volumens die van-der-Waals Konstanten bestimmen. Typische Werte sind in der Tabelle zusammengestellt. Gas He H2 N2 O2 CO2 NH3

a (Nm4 mol) 0,0033 0,025 0,136 0,137 0,365 0,424

b(106 /m3 /mol 24 27 38,5 31,6 42,5 37,2

Tab. 2: Van-der-Waals-Konstanten f¨ ur verschiedene Gase.

G. Herten

219

Experimentalphysik

20.2 Dampfdruckkurve

20.2

Dampfdruckkurve

Wir betrachten eine Fl¨ ussigkeit in einem abgeschlossenen Beh¨alter. Durch Verdampfen treten NF l Molek¨ ule aus der Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ache in die Dampfphase u ¨ber und durch Kondensieren ¨ folgt der Ubergang vom Dampf (ND Molek¨ ule)in die Fl¨ ussigkeit. Im Verdampfungsgleichgewicht ist NF l = ND , es herrscht ein S¨attigungsdampfdruck pS . Diesen Dampfdruck kann man als Funktion der Temperatur mit Hilfe eines Quecksilbermanometers messen, wie in der folgenden Abbildung angedeutet wird.

Abb. 55: Messung des S¨attigungsdampfdrucks.

Abb. 56: Carnot-Prozeß zur Herleitung der Clausius-Clapeyronschen Gleichung.

Experimentell findet man, dass der S¨attigungsdampfdruck stark mit der Temperatur ansteigt. Diese Temperaturabh¨angigkeit des Dampfdruckes wollen wir nun herleiten. Dazu betrachten wir einen Carnot-Prozess im p-V Diagramm f¨ ur 1 mol einer Fl¨ ussigkeit, die verdampft. Der Prozeß besteht aus folgenden Schritten: 1) Im Zustand A(T+dT, ps + dpS , Vf l ) sei der Dampf kondensiert. Nun wird er bei konstanter Temperatur und konstanten Druck isotherm expandiert. Dabei muss dem System die W¨armemenge dQ1 = Λ = QV , die molare Verdampfungsw¨arme, zugef¨ uhrt werden, um die G. Herten

220

Experimentalphysik

20.2 Dampfdruckkurve Fl¨ ussigkeit vollst¨andig zu verdampfen (Punkt B). 2) Nun werden Druck und Temperatur um infinitesimale Schritte adiabatisch erniedrigt. Das System bleibt in der Dampfphase und gelangt zum Punkt C(pS , TS ). 3) Nun erfolgt eine isotherme Kompression bei konstanten Druck bis zum Zustand D. Dabei kondensiert der Dampf und setzt die W¨armemenge dQ2 frei. 4) Im Schritt D-A werden die Temperatur und der Druck in einem adiabatische Prozess erh¨oht. Die geleistete Arbeit im Schritt A-B ist ∆W1 = −p dV = −(pS + dpS )(VD − VF l ). Bei der Kompression ergibt sich die Arbeit ∆W2 = −p dV = −pS (VF l −VD ). Die Gesamtarbeit ist somit ∆W = ∆W1 + ∆W2 = (VF l − VD )dpS . Der Wirkungsgrad bei einem Carnot-Prozess ist definiert als der Quotient aus geleisteter Arbeit zu W¨armemenge, die in das System hineinfliest. Bei der Diskussion des Carnot-Prozesses sahen wir, dass der Wirkungsgrad nur von den Temperaturen beider Temperaturniveaus abh¨angt. η=

|∆W | dT (VD − VF l )pS (T + dT ) − T ≈ = = ∆Q1 QV T + dT T

Umformen nach QV ergibt die Clausius-Clapeyronsche Gleichung: dpS (VD − VF l ). (408) dT Die molare Verdampfungsw¨arme ist somit proportional zur Differenz der Molvolumina und der Steigung der S¨attingungsdampfdruckkurve als Funktion der Temperatur. Die molare Verdampfungsw¨arme QV hat bei Wasser einen besonders hohen Wert von QV = 40657 J/mol (bei Normaldruck und 100◦ C) und QV = 43990 J/mol (25◦ C) sowie QV (0◦ C) = 45054 J/mol. QV setzt sich aus zwei Anteilen zusammen: QV = T

1) Energie, um das Volumen zu vergr¨oßern. Das Wasservolumen von 1 Liter/kg vergr¨oßert sich auf 1700 Liter/kg f¨ ur Dampf. 2) Energie, um die anziehenden Molek¨ ulkr¨afte zu u ¨ berwinden. Dieser Anteil u ¨berwiegt und betr¨agt bei Wasser etwa 93% der molaren Verdampfungsw¨arme. Aufl¨osen der Clausius-Clapeyronschen nach dpS /dT ergibt f¨ ur VF l << VD dpS QV QV = = dT T (VD − VF l ) T VD Wenn wir nun n¨aherungsweise f¨ ur den Dampf die ideale Gasgleichung ansetzen pS VD = RT und diese Beziehung f¨ ur VD einsetzen, ergibt sich QV 1 dpS = pS dT RT 2 Aus der Integration

Z

pS (T ) pS (T0 )

dp′S = p′S

Z

T

T0

QV dT RT 2

folgt dann (mit der N¨aherung, dass QV konstant ist und nicht von der Temperatur abh¨angt) die van t’Hoffsche Gleichung    QV 1 1 pS (T ) = pS (T0 )exp − (409) R T0 T G. Herten

221

Experimentalphysik

20.2 Dampfdruckkurve Zur Berechnung von Zahlenwerten verwenden wir die Messwerte pS (T0 = 25◦ C) = 3163 Pa und QV (25◦ C) = 43990 J/mol. Damit erh¨alt man z.B. pS (10◦C) = 1235 Pa und pS (40◦ C) = 7400 Pa. Aufgrund der N¨aherungen, die bei der Herleitung gemacht wurden, weichen die berechneten Werte von den Messungen ab, allerdings sind die Abweichungen im Temperaturbereich von 0◦ C bis 60◦ C kleiner als 2%. In der Literatur und in Handb¨ uchern findet man empirische Formeln, die u ur diese Berechnungen verwendet werden. ¨blicherweise f¨ Sieden und Kondensieren Entlang der S¨attigungsdampfdruckkurve pS (t) sind die gasf¨ormige und dampff¨ormige Phase im Gleichgewicht. Sieden tritt ein, wenn der Dampfdruck den ¨außeren Druck u ¨ bersteigt. So ◦ betr¨agt die Siedetemperatur des Wassers 100 C bei Normaldruck; auf dem Gipfel des Mont Blanc siedet das Wasser bereits bei 84◦ C. Aus der van t’Hoffschen Gleichung (409 l¨asst sich somit die Siedetemperatur TS (p) bei einem ¨außeren Druck p im Vergleich zur Siedetemperatur bei Normaldruck TS (p0 ) berechnen. Als Ansatz benutzen wir, dass der ¨außere Druck p gleich dem S¨attigungsdampfdruck an der Siedetemperatur sein muss. p = pS (TS ) Unter Benutzung der van t’Hoffschen Gleichung findet man somit: TS (p) = TS (p0 )

1 1−

RTS (p0 ) ln(p/p0 ) QV

(410)

Diese Abh¨angigkeit wird auch im Dampfdruckkochtopf ausgenutzt. Der Druck steigt darin weit u ¨ber den Normaldruck an. Daher lassen sich bei Sieden h¨ohere Temperaturen als 100◦ C erreichen, und das Essen ist somit schneller fertig. Bei einem Druck, der dem doppelten Normaldruck entspricht, steigt die Siedetemperatur auf etwa 120◦ C an. Verdunsten heißt das langsame Verdampfen von Fl¨ ussigkeit. Durch Wind wird das Verdunsten gef¨ordert, da die ausgetretenen Molek¨ ule schnell von der Fl¨ ussigkeit wegtransportiert werden, und somit ein erneutes Kondensieren verhindert wird. Durch Verdunsten und Verdampfen wird der Fl¨ ussigkeit W¨arme entzogen, sie k¨ uhlt sich ab. ¨ Kondensieren setzt ein, wenn der Dampfdruck kleiner als der Außendruck ist. Beim Ubergang vom Dampf in die fl¨ ussige Phase wird die Kondensationsenergie frei, die mit der Verdampfungsenergie u ¨ bereinstimmt.

Hygrometrie Normalerweise ist Luft nicht mit Wasserdampf ges¨attigt, da sich die Temperaturen zu schnell ¨andern. Als relative Luftfeuchtigkeit bezeichnet man dann den Quotienten ϕ=

p(T ) , pS (T )

(411)

dabei ist p(T ) der tats¨achlich vorhandene Dampfdruck bei der Temperatur T und pS (T ) der bei dieser Temperatur maximal m¨ogliche Dampfdruck, d.h. der S¨attigungsdampfdruck. Die relative Luffeuchtigkeit ist somit ein Maß daf¨ ur wie viel der maximal m¨oglichen Wassermenge in der Luft vorhanden ist. ϕ = 40% Luftfeuchtigkeit bedeutet somit, dass der Partialdampfdruck p(T ) des G. Herten

222

Experimentalphysik

20.2 Dampfdruckkurve Wassers p(T ) = 0.4 pS (T ) ist. Die Temperatur, an der ϕ = 1 wird, nennt man Taupunkt oder Kondensationspunkt. Die Kenntnis des Taupunktes ist wichtig in der Klimatechnik oder in der Meteorologie. Wird die Luft n¨amlich unter diese Temperatur gek¨ uhlt, so kondensiert Wasser. Dadurch kann z.B. in der Klimaanlage, wenn im Sommer feuchte Luft unter den Taupunkt abgek¨ uhlt wird, Kondenswasser auftreten. Daher muss die Luft vorgetrocknet werden. Nachts k¨ uhlt die Luft unter den Taupunkt ab, daher findet man morgens auf dem Rasen Tauwasser. Falls die relative Luftfeuchtigkeit ϕ(T ) bei der Temperatur T durch Messung bekannt ist, l¨aßt sich mit der van t’Hoffschen Gleichung der Taupunkt berechnen. Als Ansatz u ¨ berlegen wir, dass der Taupunkt gerade dadurch gegeben ist, dass p(T ) gleich dem S¨attigungsdampfdruck am Taupunkt TT ist pS (TT ) = p(T ) = ϕ(T )pS (T ) Unter Verwendung der van t’Hoffschen Gleichung f¨ ur pS (TT ) und pS (T ) finden wir TT = T

1−

RT QV

1 ln ϕ(T )

(412)

H¨aufig verwendet man auch die absolute Feuchte ρa . Dies ist die Dichte des Wasserdampfes gemessen in g/m3 bei einer gegebenen Temperatur T . Die maximale Feuchte ρm bei dieser Temperatur l¨aßt sich aus dem S¨attigungsdampfdruck berechnen. Dazu berechnen wir die Dichte f¨ ur ein Mol Wasser (mW ist die Molmasse und VS das Volumen von Wasserdampf bei S¨attigung). Unter Verwendung der Idealgasgleichung pS VS = RT erhalten wir f¨ ur die maximale Feuchte ρm (T ) =

mW mW = pS (T ). VS RT

Mit mW = 18g/mol, T = 25◦ C und pS (25◦ C) = 3163 Pa erhalten wir somit ρ(25◦ C) = 23g/m3 und entsprechend ρ(50◦ C) = 83g/m3 . In der Literatur findet man Tabellen der maximalen Feuchte als Funktion der Temperatur. Der Zusammenhang zwischen absoluter Feuchte und maximaler Feuchte ist durch die relative Luftfeuchtigkeit ϕ gegeben mit ρa = ϕ ρm . Schmelzen Die Clausius-Clapeyronsche Gleichung l¨aßt sich in ¨ahnlicher Weise auch f¨ ur den Phasen¨ ubergang vom festen zum fl¨ ussigen Zustand herleiten. Nun tritt allerdings die Schmelzw¨arme, sowie das Volumen des festen Stoffes auf. Um feste Phase f in die fl¨ ussige Phase fl zu u uhren, ist die Schmelzw¨arme Qf n¨otig. ¨ berf¨ Qf = T (Vf l − Vf )

dp dT

(413)

Dabei ist p der Schmelzdruck. Normalerweise ist Vf l > Vf . Bei Wasser finden wir aber, dass das Volumen von Eis gr¨oßer ist als das Volumen von Wasser. Dies bedeutet dp/dT > 0, somit kann Eis unter Druck schmelzen. Diesen Effekt nutzt man beim Schlittschuhfahren aus. Unter den Kufen herrscht ein so hoher Druck, dass das Eis schmilzt und der L¨aufer nahezu reibungsfrei auf einem Wasserfilm gleitet. Bei sehr niedrigen Eistemperaturen reicht der Andruck nicht zum ¨ Schmelzen. Beim Ubergang von fest nach fl¨ ussig muss Schmelzenergie aufgewandt werden. Sie wird wieder als Erstarrungsenergie frei, wenn die Fl¨ ussigkeit fest wird.

G. Herten

223

Experimentalphysik

20.3 Phasendiagramme

20.3

Phasendiagramme

Die drei Phasen eines Stoffes kann man in einem Phasendiagramm veranschaulichen. Dabei werden im p − T Diagramm die Dampfdruck-, Schmelzdruck- und Sublimationskurve nach der ¨ Clausius-Clapeyronschen Gleichung f¨ ur die Uberg¨ ange fl¨ ussig - gasf¨ormig, fest - fl¨ ussig und fest - gasf¨ormig aufgetragen. Ein schematisch vereinfachtes Phasendiagramm wird in der folgenden Abbildung gezeigt.

(1) ist die Dampfdruckkurve von Eis (Sublimationskurve). F¨ ur (p,T) Werte unterhalb der Kurve 1 liegt H2 O als Gas vor. Der Phasen¨ ubergang (1) erfolgt direkt vom festen in den gasf¨ormigen Zustand. (2) ist die Dampfdruckkurve von fl¨ ussigem Wasser. Bei T = 100◦ C ist der Dampfdruck gleich dem atmosph¨arischen Druck, d.h. das Wasser siedet. Oberhalb des kritischen Punktes kommt Wasser nur im gasf¨ormigen Zustand vor. (3) stellt den Gleichgewichtsdruck zwischen fest und fl¨ ussig dar. Bei Normaldruck und T = ◦ 0 C schmilzt Eis. Kurve (3) ist nach links geneigt, da, wie oben erw¨ahnt, der Schmelzpunkt von Eis mit steigendem Druck abnimmt. Die Kurven (1), (2) und (3) haben einen gemeinsamen Punkt, den Tripelpunkt. An ihm liegen alle drei Phasen fest, fl¨ ussig und gasf¨ormig im Gleichgewicht vor. Der Tripelpunkt ist eindeutig definiert, daher wurde er bereits in Kap. 17.1 zur Festlegung der Temperaturskala verwendet. Er liegt f¨ ur H2 O bei p = 6, 11 mbar und T = 0, 010◦C = 273, 16 K. Wenn man Kurve (2) u ¨ ber den Tripelpunkt hinaus extrapoliert, erh¨alt man eine Kurve, die unterk¨ uhltes Wasser beschreibt. In Wolken sind z.B. Unterk¨ uhlungstemperaturen bis zu ◦ −80 C festgestellt worden, d.h. Wassertr¨opfchen lagen immer noch im fl¨ ussigen Zustand vor ohne zu gefrieren. Erstarrung von kaltem Wasser zu Eis setzt Erstarrungskerne voraus, z.B. Staubteilchen. Wenn ein unterk¨ uhltes Wassertr¨opfchen auf ein Staubteilchen trifft und zu Eis wird, sinkt sein Dampfdruck auf (1) ab. Das Eisk¨ornchen hat nun einen geringeren Dampfdruck als die fl¨ ussigen Tr¨opfchen in der Nachbarschaft. Durch diesen Druckunterschied verdampfen die Wassertr¨opfchen und die Molek¨ ule lagern sich am Eisk¨ornchen an. Dieses w¨achst dadurch und wird schließlich so groß, dass es zur Erde f¨allt und dort als Regen, Hagel oder Schnee ankommt. G. Herten

224

Experimentalphysik

21 Elektrostatik

21 21.1

Elektrostatik Elektrische Ladung

Es gibt zwei Arten von elektrischen Ladungen, positive und negative. Sie sind an materielle Ladungstr¨ager gebunden. Die Einheit der elektrischen Ladung ist das Coulomb (C). Jede elektrische Ladung ist ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e (e = 1, 602 · 10−19 C). Das Proton tr¨agt eine positive und das Elektron eine negative Elementarladung. Zwar tragen Quarks, die Bestandteile des Protons, eine drittelzahlige Elementarladungen e/3 und 2e/3, aber sie sind bisher nicht als freie Teilchen beobachtet worden. Gleichartige Ladungen stoßen sich ab und entgegengesetzte Ladungen ziehen sich an. Ladungen k¨onnen sich gegenseitig neutralisieren. Daher sind Atome, die aus einer gleichen Anzahl von Protonen und Elektronen zusammengesetzt sind, elektrisch neutral. Die elektrische Ladung wird mit einem Elektrometer gemessen. Ein Bl¨attchenelektrometer besteht aus zwei Metallbl¨attchen, die an einem elektrisch isolierten Metallstab aufgeh¨angt sind. Ber¨ uhrt ein geladener K¨orper den Stab, so werden beide Bl¨attchen mit gleichem Vorzeichen aufgeladen und stoßen sich ab. Das Aufspreizen der Bl¨attchen ist ein Maß f¨ ur die Elektrische Ladung.

Abb. 57: Beispiele f¨ ur Elektrometer.

Ein Fadenelektrometer besteht aus einem d¨ unnen Faden, der in einem konstanten elektrischen Feld aufgespannt ist. Wird der Faden aufgeladen, so verbiegt er sich proportional zur Gr¨oße der Ladung. Ladungserhaltung Bisher konnte die Erhaltung der elektrischen Ladung in allen Experimenten best¨atigt werden. Bei Kernumwandlungen und Reaktionen zwischen Elementarteilchen bedeutet dies, dass die Summe der Ladungen vor und nach der Reaktion gleich sind. Beim Zerfall eines neutralen Teilchens m¨ ussen gleich viele positive wie negative Elementarladungen entstehen. Coulomb Gesetz Charles Coulomb entdeckte 1784 mit einer Drehwaage, dass die Kraft zwischen zwei PunktLadungen, wie bei der Gravitation, umgekehrt zum Abstandsquadrat ist. F~ = G. Herten

1 Q1 Q2 ~r 4πε0 r 2 |~r| 225

Coulomb Kraft

(414) Experimentalphysik

21.1 Elektrische Ladung ε0 ist die elektrische Feldkonstante, die den Wert ε0 = 8, 854 · 10−12 C2 J−1 m−1

hat.

(415)

~r ist der Verbindungsvektor zwischen den Ladungen Q1 und Q2 . Bei gleichem Vorzeichen von Q1 und Q2 wirkt die Coulombkraft abgestoßend und bei umgekehrtem Vorzeichen anziehend. Millikan Experiment Robert A. Millikan gelang es 1910-1913 in einem ber¨ uhmten Experiment (Millikan Experiment) ¨ opfchen in eine isolierte leitende die Elementarladung e zu messen. Dazu spr¨ uhte er winzige Oltr¨ Messkammer, an die er mit einer Batterie eine Spannung anlegen konnte. Manchmal wurde die ¨ opfchen bei Einspr¨ Oltr¨ uhen leicht aufgeladen (z.B. dadurch, dass sie Elektronen verloren). ¨ opfchen beschleunigt. Durch Messung der Durch die angelegte Spannung wurden dann die Oltr¨ Bewegung der Tr¨opfchen mit einem Mikroskop konnte er die Ladung der Tr¨opfchen bestimmen. Sein Ergebnis war, dass die Ladungen ganzzahlige Vielfache einer Elementarladung sind, q = n e f¨ ur n = 0, ±1, ±2, ±3, .... Dies war der erste Hinweis darauf, dass die elektrische Ladung quantisiert ist. Der Messwert der Elementarladung ist e = 1, 6 · 10−19 C. Beispiel 1: F¨ ur die Kraft zwischen zwei Elementarladungen, z.B. Elektron und Proton im Wasserstoffatom, mit r ≈ 5 · 10−11 m, |Q1 | = |Q2 | = 1, 6 · 10−19 C erh¨alt man die Coulombkraft F ≈ 9 · 10−8N. Beispiel 2: Die Kraft zwischen zwei Ladungen von 1 C im Abstand von 1 m ist F = 9 · 109 N. Dies entspricht der Gewichtskraft von 1 Million Tonnen. Beispiel 3: Die elektrische Kraft zwischen zwei Elementarteilchen ist sehr viel gr¨oßer als die Gravitationskraft zwischen ihnen. F¨ ur das Verh¨altnis von Gravitations- zu Coulombkraft erh¨alt man m1 m2 Fg = 4πε0G (416) Fc Q1 Q2 F¨ ur Paare von Elektronen (me = 9.11 · 10−31 kg) und Protonen (mp = 1, 67 · 10−27 kg) erh¨alt man Elektron-Elektron : Proton-Proton : Elektron-Proton (Wasserstoffatom) :

Fg /Fc = 2, 4 · 10−43 Fg /Fc = 8, 1 · 10−37 Fg /Fc = 4, 4 · 10−40

Am letzten Beispiel erkennt man, dass Atome neutral sein m¨ ussen, d.h. die Elektron und Protonladung m¨ ussen abgesehen vom Vorzeichen gleich groß sein. Sonst h¨atte ein Atom eine geringe Nettoladung. Da die Coulombabstoßung zwischen den Atomen dann sehr viel gr¨oßer als die Gravitationskraft w¨are, k¨onnten sich im Universum keine Gaswolken, Galaxien oder Sterne bilden. Weshalb das Verh¨altnis aus Elektron und Protonladung, d.h. Quarkladung, eine ganze Zahl ist, ist noch unverstanden. M¨oglicherweise werden weitergehende Theorien der Teilchenphysik, wie z.B. die Stringtheorie, daf¨ ur eine Erkl¨arung liefern. Als Hilfsmittel zum Verst¨andnis elektrischer Effekte benutzt man oft das elektrische Feld ~ F¨ ~ gegeben durch E. ur eine Punktladung Q ist E ~ r) = 1 Q ~r . E(~ (417) 4πε0 r 2 |~r| G. Herten

226

Experimentalphysik

21.2 Das Gaußsche Gesetz Auf eine Probeladung q im Abstand ~r wirkt dann die Coulombkraft ~ r)= F~c (~r ) = q E(~

1 Qq ~r 4πε0 r 2 |~r|

Mit einer bekannten Probeladung q kann man somit das elektrische Feld einer Ladung bestimmen. Die Probeladung sollte so klein wie m¨oglich sein, um das urspr¨ ungliche E-Feld nicht zu ver¨andern. ~ = lim 1 F~c E q→0 q ~ Graphisch zeichnet man das elektrische Feld mit Pfeilen, die in Richtung des E-Feldes zeigen ~ Sind (von positiver zu negativer Ladung). Die Dichte der Feldlinien ist proportional zu |E|. die Feldlinien u ¨berall parallel und ist ihre Dichte u ¨ berall gleich, so ist das Feld homogen, sonst ~ inhomogen. Mathematisch nennt man E(~r) ein Vektorfeld. Die Coulombkraft ist eine Zentralkraft und somit eine konservative Kraft (s. Kap. 7.6). Somit existiert ein Potential V (~r) (oder eine potentielle Energie). Wir k¨onnen also folgern, dass ~ r ) = −grad V (~r ) E(~ ~ r ) = −q grad V (~r ) F~c (~r) = q E(~

(418) (419)

Bei einer konservativen Kraft h¨angt die Arbeit bei einer Verschiebungen von Punkt 1 nach Punkt 2 nur von den Endpunkten ab. Z ~r2 Z ~r2 ~ W1,2 = − F (~r) · d~r = −q E(~r) · d~r (420) ~ r1

~ r1

W1,2 = −q [V (~r2 ) − V (~r1 )] = −q∆V

(421)

Die Potentialdifferenz ∆V nennt man auch die elektrische Spannung zwischen den Punkten ~r1 und ~r2 . H¨aufig verwendet man als Symbol f¨ ur die Spannung einfach V . Dabei sollte man allerdings immer beachten, dass es sich immer um eine Potentialdifferenz handelt. Die Einheit der Spannung ist Volt = Joule/Coulomb. Die Einheit des elektrischen Feldes E ist dann Volt/Meter = Newton/Coulomb.

21.2

Das Gaußsche Gesetz

Bei jedem Vektorfeld kann man analog zum Geschwindigkeitsfeld einer Str¨omung einen Fluß φ definieren. Dabei betrachten wir eine Fl¨ache im Str¨omungsfeld. Der Fluß ist dann ein Maß f¨ ur die Zahl der Stromlinien, die die Fl¨ache durchsetzen. Der Fluß φE des elektrischen Feldes ist ein Maß f¨ ur die Anzahl der Feldlinien, die die hypothetische Fl¨ache durchstoßen. Wir betrachten geschlossene Oberfl¨achen in der N¨ahe von zwei gleichen und entgegengesetzten Ladungen (Fig.58). S1, S2, S3, S4 seien r¨aumliche geschlossene Oberfl¨achen. Der Fluß ist positiv, wenn mehr Feldlinien austreten als eintreten, und negativ im umgekehrten Fall. Somit ist der Fluß f¨ ur S1 positiv und f¨ ur S2 negativ. Der Fluß durch S3 und S4 ist Null. Wir erkennen hier bereits ein wichtiges Prinzip: Enth¨alt die geschlossene Oberfl¨ache eine positive ~ Nettoladung, so haben wir einen positiven Fluß (Quelle von E-Feldern) und bei negativer Ladung einen negativen Fluß (Senke). Bei den Fl¨achen S3 und S4 sind die Nettoladung und die G. Herten

227

Experimentalphysik

21.2 Das Gaußsche Gesetz

Abb. 58: Erl¨auterungen zum Gaußschen Gesetz.

Fl¨ usse gleich Null. Zur genaueren mathematischen Definition des Flusses betrachten wir eine geschlossene beliebige Oberfl¨ache in einem ¨außeren elektrischen Feld. Wir teilen die Fl¨ache in kleine Bereiche ∆S und definieren f¨ ur jedes Fl¨achenelement einen ~ Vektor ∆S, der senkrecht auf dem Fl¨achenelement steht (und bei einer geschlossenen Oberfl¨ache ~ ist gleich dem Fl¨acheninhalt des Elementes. Der Fluß durch nach außen zeigt). Der Betrag |∆S| ein Fl¨achenelement ist dann gegeben durch das Skalarprodukt ~ i · ∆S ~ i = |E ~ i |∆Si cos Θ φE,i = E

(422)

Bei (x) ist Θ > 90◦ und somit φE,x < 0. Bei (y) ist Θ = 90◦ und φE,y = 0 und schließlich erhalten wir φE,z > 0 (Θ < 90◦ ). Der Gesamtfluß ist dann die Summe u ¨ber alle Fl¨achenelemente X ~ i · ∆S ~i φE ≈ E (423) i

und bei Bildung des Grenzwertes φE =

I

~ · dS ~ E

.

(424)

H Dabei bedeutet das Oberfl¨achenintegral u ¨ber die geschlossene Fl¨ache. Der vorhin erw¨ahnte Zusammenhang zwischen dem Fluß durch eine geschlossene Oberfl¨ache und der eingeschlossenen Netto-Ladung q wird im Gaußschen Gesetz ausgedr¨ uckt. I ~ · dS ~=q (425) ε0 E G. Herten

228

Experimentalphysik

21.2 Das Gaußsche Gesetz

Abb. 59: Definition des Oberfl¨achenelements bei der Anwendung des Gaußschen Gesetzes.

Es besagt, dass die elektrische Ladung die Quelle (bzw. Senke) des elektrischen Feldes ist. Das Coulombgesetz ist eine Folgerung des Gaußschen Gesetzes f¨ ur eine Punktladung q. Wir ¨ betrachten eine Kugeloberfl¨ache mit dem Radius r um die Punktladung. Uberall auf dieser ~ parallel zu dS ~ und hat denselben Betrag E. Somit erhalten wir Fl¨ache ist E I I ~ ~ ε0 E · dS = ε0 E dS = ε0 4πr 2 E = q E =

1 q 4πε0 r 2

(426)

Bei Verwendung einer Probeladung q0 folgt dann das Coulombgesetz F =

1 qq0 4πε0 r 2

Das Gaußsche Gesetz ist eines der fundamentalen Gesetze des Elektromagnetismus. Oft findet man das Gaußsche Gesetz auch in einer anderen mathematischen Form. Dazu benutzen wir die Theorie der Vektorfelder (s. Formelsammlung Kap. 8 und 9). Ein Integral u ¨ber eine geschlossene Oberfl¨ache kann nach (F.S. 9.1 (164) Gaußscher Satz) u uhrt werden in ein Integral u ¨berf¨ ¨ ber das eingeschlossene Volumen: Z I ~ ~ · dS ~ div E dV = E (427) V

G. Herten

S

229

Experimentalphysik

21.2 Das Gaußsche Gesetz ~ die Divergenz von E, ~ gegeben durch Dabei ist div E ~ = div E

∂Ex ∂Ey ∂Ez + + ∂x ∂y ∂z

(428)

Wie der Name sagt, ist die Divergenz ein Maß daf¨ ur, wie stark die Feldlinien divergieren, d.h. ~ ist ein Skalar. Zum Vergleich und zur sich voneinander fortbewegen. Das Resultat von div E Wiederholung: grad U ist ein Vektor, der gegeben ist durch grad U =

∂U ∂U ∂U ~ex + ~ey + ~ez ∂x ∂y ∂z

.

(429)

F¨ ur eine kompakte Schreibweise verwendet man h¨aufig den Nabla Operator: ~ = ∂ ~ex + ∂ ~ey + ∂ ~ez ∇ ∂x ∂y ∂z

(430)

Damit ist ~ ∇U = grad U ~ ·E ~ = div E ~ ∇

(431) (432)

Unter Verwendung von (425) und (427) erhalten wir Z I ~ dV = ~ · dS ~= q div E E ε0 V S

(433)

Bei einer Ladungsverteilung ρ = dq/dV im Volumen V ist die Netto-Ladung q gegeben durch Z q= ρ dV (434) V

Einsetzen liefert somit

Z

V

~ dV = 1 div E ε0

Z

ρ dV V

Beide Integrale sind f¨ ur alle beliebig w¨ahlbaren Volumen nur dann gleich, wenn die Integranden u ¨bereinstimmen, d.h. ~ = ρ (435) div E ε0 Dies ist die differentielle Form des Gaußschen Gesetzes. Die Differential- und Integralschreibweisen sind physikalisch ¨aquivalent. Unter Benutzung von (418) und (435) erhalten wir ~ = div grad V (~r) = ∆V (~r) = − ρ - div E ε0

(436)

Dabei ist ∆ der Laplace-Operator(FS 8.2). ∆V (~r) =

G. Herten

2 2 2 ~ · ∇V ~ (~r) = ∂ V + ∂ V + ∂ V div grad V (~r) = ∇ ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

230

(437)

Experimentalphysik

21.3 Beispiele zum Gaußschen Gesetz Gravitation Masse G ~g (~r) F~ = m~g (~r)

Quellen, Senken Fund. Konstante Feldst¨arke Kraft Kraft zwischen r 2 ~ Punktladungen F~ = −G m1rm 2 |~ r| Ben¨otigte Arbeit bei Rb Verschiebung des K¨orpers Wab = −m a ~g (~r) · d~r Rb Vb − Va = − a ~g (~r) · d~r Potential Potentielle Energie: Ub − Ua = m(Vb − Va ) Wab = Ub − Ua Arbeit-Potent. Energie: Potential - Feldst¨arke: ~g (~r) = − grad V (~r) H ~ = −4πGm ~g · dS Gaußsches Gesetz: div ~g = −4πGρ

Elektrostatik elektr. Ladung ε0 ~ E(~r) ~ r) F~ = q E(~ F~ =

r 1 q1 q2 ~ 4πε0 r 2 |~ r|

Rb ~ r ) · d~r Wab = −q a E(~ Rb ~ r ) · d~r Vb − Va = − a E(~ Ub − Ua = q(Vv − Va ) Wab = Ub − Ua ~ r) = − grad V (~r) E(~ H ~ · dS ~ = q/ε0 E ~ = ρ/ε0 div E

Tab. 3: Vergleich des Newtonschen Gravitationsgesetzes mit der Elektrostatik.

Das Gaußsche Gesetz l¨aßt sich somit auch in der Form schreiben: ρ ∆V (~r) = − ε0

(438)

Dies ist die Poissongleichung. Der Spezialfall f¨ ur den ladungsfreien Raum ∆V (~r) = 0 heißt Laplacegleichung. Wie wir bereits gesehen haben, sind die Gesetze der Newtonschen Gravitation und der Elektrostatik sehr ¨ahnlich. In der folgenden Tabelle werden wichtige Gr¨oßen zusammengestellt.

21.3

Beispiele zum Gaußschen Gesetz

Beispiel 1: Unendlich langer geladener Stab. Wir integrieren u ¨ ber einen Zylinder mit dem Radius r und der L¨ange ℓ, der um diesen Stab gelegen ist. Z I ~ · dS ~ = ε0 EdS = ε0 E2πr · ℓ = q = λℓ ε0 E λ ist die Ladung pro L¨ange (lineare Ladungsdichte). Damit erhalten wir E=

1 λ 2πε0 r

(439)

Nun kann man fragen, wie relevant ist es, das E-Feld eines unendlich langen Leiters zu berechnen. Diese Annahmen mussten wir hier machen, um Randeffekte am Ende des gaußschen Zylinders vernachl¨assigen zu k¨onnen. Allerdings ist klar, dass das Ergebnis eine sehr gut N¨aherung G. Herten

231

Experimentalphysik

21.3 Beispiele zum Gaußschen Gesetz

Abb. 60: Anwendung des Gaußschen Gesetzes auf einen unendlich langen geraden Stab.

sein wird, solange die L¨ange des Leiters sehr viel gr¨oßer als sein Durchmesser ist. In ¨ahnlicher Weise werden wir auch in sp¨ateren Beispielen soche idealisierten Annahmen machen. unne Platte mit der Oberfl¨achenladung σ. Beispiel 2: Unendlich große isolierende d¨ ~ In dieser Anordnung sind die E-Felder symmetrisch zur Platte. Das elektrische Feld ist u ¨ berall gleich (homogen). Wenn wir u ¨ ber einen Zylinder mit den Endfl¨achen A integrieren, erhalten wir somit Beitr¨age von beiden Endfl¨achen.

Isolator +

Ε

+

σ

+

Ε

+ + +

Ε Α

Ε

+

A

+ + +

Ε

+

Ε

Abb. 61: Isolierende Platte mit Oberfl¨achenladung σ.

ε0

I

~ · dS ~ = ε0 (EA + EA) = σA E E =

σ 2ε0

(440)

Beispiel 3: Zwei große Isolatorplatten Elektrische Ladungen in Isolatoren sind ortsfest und k¨onnen sich nicht verschieben. Das elektrische Feld, das von der Ladung auf einer Platte erzeugt wird, durchdringt die n¨achste G. Herten

232

Experimentalphysik

21.3 Beispiele zum Gaußschen Gesetz

Abb. 62: Zwei Isolatorplatten mit den Oberfl¨achenladungen σ1 und σ2 . Die E-Eelder beider Isolatorplatten werden getrennt von einander berechnet und dann addiert.

Platte vollst¨andig. Um das elektische Feld an einem ort zu berechnen, muss man somit die E-Feld Beitr¨age beider Isolatorplatten addieren. Damit ergibt sich f¨ ur den eingezeichneten Fall: linke Seite: Mitte: rechte Seite:

El = −E1 − E2 = (−σ2 − σ1 )/(2ε0 ) Em = E1 − E2 = (σ1 − σ2 )/(2ε0 ) Er = E1 + E2 = (σ1 + σ2 )/(2ε0 )

Falls σ = σ1 = −σ2 ist, ist die Feldst¨arke im Außenraum somit gleich Null, und im Inneren erh¨alt man Em = σ/ε0 . Beispiel 4: Unendlich große leitende Platte.

Leiter Ε=0

+ + +

Ε=0

σ

Ε

+ 0000000 11111111 00000000 1111111

A Ε=0

+ +

Α

Ε

+ + + + +

Ε

Abb. 63: Leitende Platte mit Oberfl¨achenladung σ.

Wir betrachten eine unendlich große leitende Platte mit der Oberfl¨achenladung σ. Im Innern ~ des Leiters befindet sich kein E-Feld (sonst w¨ urden solange Ladungen fließen bis das elektrische Feld verschwindet). Wir integrieren u ¨ber eine geschlossene Gaußsche Oberfl¨ache, einen Zylinder mit der Endfl¨ache A. Nun erhalten wir nur einen Beitrag von der ¨außeren Fl¨ache. Anwendung

G. Herten

233

Experimentalphysik

21.3 Beispiele zum Gaußschen Gesetz des Gaußschen Gesetzes liefert ε0

I

~ · dS ~ = ε0 EA = σA E

und somit E =

σ ε0

(441)

~ Beim Leiter ist das E-Feld also doppelt so groß wie bei der isolierenden Platte mit derselben ~ Oberfl¨achenladung. Der Grund liegt darin, dass beim Leiter die E-Felder nur nach außen zeigen.

Beispiel 5: Zwei parallele leitende Platten Im Vergleich zu den beiden Isolatorplatten, bei denen wir die E-Felder beider Platten addiert hatten, m¨ ussen wir nun beachten, dass im Leiter das elektrische Feld immer verschwindet. Ein ¨außeres E-Feld bewirkt daher, dass Oberfl¨achenladungen auftreten. Im vorhergehenden Beispiel hatten wir eine leitende Platte mit einer Fl¨achenladung nur auf der rechten Seite betrachtet. Dies ist nat¨ urlich nur m¨oglich, wenn irgendwo auf der rechten Seite eine negative Ladung vorliegt, so dass eine Kraft auftritt, die die positiven Ladungen auf die rechte Seite verschieben. Diese Situation wollen wir daher etwas genauer untersuchen.

Leiter 1 σ σ

Leiter 2 σ σ

1r

1l

− −

+ E=0

+

2l

Ε

2r

−

+

− E=0

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

− −

−

−

+

+

−

+

E=0

G1

−

+

+

−

+

+

− E=0 −

+

+

− −

+

+

Abb. 64: Zwei Leiterplatten mit Oberfl¨achenladungen.

In Abb. 64 sehen wir oben zwei Leiterplatten, die zun¨achst weit von einander getrennt sind und isoliert stehen, so dass sich die Gesamtladung auf jeder Platte nicht ¨andern kann. Auf der ersten (linken) Platte bef¨anden sich die Fl¨achenladungen σ1l und σ1r , dabei gibt der erste Index die Platte an und der zweite die linke (l) oder rechte (r) Oberfl¨ache. Analog habe wir σ2l und σ2r f¨ ur die 2. Platte. Die Gesamtladung der ersten PLatte ist q1 = A(σ1l + σ1r ) und der zweiten q2 = A(σ2l + σ2r ). Entsprechend definieren wir die E-Felder E1l , E1r , E2l , E2r . Nach Beispiel 4 Gl. (441) besteht ein direkter Zusammenhang zwischen dem E-Feld und der entsprechenden Fl¨achenladung, z.B. E2l = σ2l /ε0 und analog f¨ ur die anderen Indizes. Wenn kein externes EFeld vorliegt, so verteilen sich die Ladungen auf jeder Platte gerade so, dass die Fl¨achenladung links und rechts gleich sind. G. Herten

234

Experimentalphysik

21.3 Beispiele zum Gaußschen Gesetz Nun werden beide Platten zusammengeschoben, so dass sie in einem Abstand d stehen, der viel kleiner als die Seitenl¨angen der Platten ist. Somit k¨onnen wir die E-Feldlinien als parallel annehmen und als Gaußsche Oberfl¨ache einen Quader oder Zylinder mit den Endfl¨achen A verwenden. Wir die Fl¨achenladungen k¨onnen wir nun folgende Beziehungen zusammenstellen: 1) Gesamtladung auf Platte 1 bleibt unver¨andert: (σ1l + σ1r )A = q1 . 2) Gesamtladung auf Platte 2 bleibt unver¨andert: (σ2l + σ2r )A = q2 . 3) Legen wir eine Gaußsche Fl¨ache so, dass sie links bis zur Mitte der Platte 1 und rechts bis zur Mitte der Platte 2 reicht, so finden wir, da im Leiter die E-Felder Null sind: 0 = σ1r + σ2l . In unserem Beispiel 4 war σ1l = 0 gew¨ahlt worden. In diesem Fall erhalten wir somit f¨ ur die anderen Ladungsdichten σ1r = q1 /A, σ2l = −q1 /A und σ2r = (q1 + q2 )/A. Wir sehen somit, dass die Fl¨achenladungen der Innenfl¨achen immer gleich und entgegengesetzt sind (erzwungen durch das Gaußsche Gesetz). Die a¨ußere Fl¨ache der 2. Platte hat eine von Null verschiedene Fl¨achenladung, falls die Gesamtladung beider Platten von Null verschieden ist, z.B f¨ ur q1 = q + ∆q und q2 = −q erhalten wir σ2r = ∆q/A. Betrachten wir nun den analogen Fall wie bei den zwei Isolatorplatten, in dem wir setzen σ1l = 0, σ1r = σ, σ2l = −σ, σ2r = 0 so ergibt sich im Außenraum kein E-Feld und im Innenraum E = σ/ε0 , also das gleiche Resultat wie bei den Isolatorplatten. Beispiel 6: Geladene Kugel in einer ¨außeren Kugelschale.

Abb. 65: Eine Ladung innerhalb einer leitenden Kugelschale (Halliday,Resnick).

Im vorhergehenden Beispiel hatten wir die Fl¨achenladung σ1l willk¨ urlich auf Null gesetzt. Wie groß σ1l bei einer bestimmten Konfiguration ist, h¨angt davon ab, ob sich die beiden Platten in einem ¨außeren E-Feld befinden, d.h. man muss die ¨außeren Randbedingungen beachten. Nun wollen wir das Beispiel in Abb.65 betrachten. Ein geladener K¨orper mit Ladung Q befindet sich innerhalb einer leitenden Kugelschale. Die Verbindung mit dem vorhergehenden Beispiel k¨onnen wir dadurch herstellen, dass wir uns vorstellen, dass die leitenden Platten nun zu Kugelschalen aufgerollt sind mit q1 = Q und q2 = 0. Die linke Platte in Abb. 64 wird somit zur inneren G. Herten

235

Experimentalphysik

21.3 Beispiele zum Gaußschen Gesetz Kugelschale und die rechte Platte zur ¨außeren Kugelschale. Die Oberfl¨ache mit dem Index 1l befindet sich somit im Innern der kleinen Kugelschale. Somit muss f¨ ur diesen Aufbau σ1l = 0 sein, da innerhalb eines Leiters keine Ladung vorliegt. Die Ergebnisse aus dem letzten Beispiel k¨onnen wir somit direkt u ¨bertragen. Die Gesamtladung auf der inneren Oberfl¨ache der ¨außeren Kugel muss gleich der Ladung Q der inneren Kugel sein. Wie beim letzten Beispiel ist dies sofort einsichtig, wenn man das Gaußsche Gesetz auf eine Oberfl¨ache anwendet, die innerhalb der ¨außeren Kugelschale verl¨auft. Dort ist das E-Feld Null, somit muss die Gesamtladung innerhalb des Gaußschen Volumens auch Null sein. Die Gesamtladung auf der ¨außeren Oberfl¨ache ist dann gleich Q. Auch dies ist mit dem Gaußschen Gesetz sofort einleuchtend, da innerhalb einer Oberfl¨ache,die beide Kugelschalen einschließt, die Gesamtladung Q vorliegt. F¨ ur einen ¨außeren Beobachter ist dieser Aufbau identisch zu einer geladenen Kugel mit der Ladung Q. Dabei ist es gleichg¨ ultig, wie die Ladung im Inneren verteilt ist. Die Ladungsverteilung auf der Innenseite der ¨außeren Kugel ist nicht gleichm¨aßig verteilt, sondern h¨angt von der Position der Ladung Q ab. Die Feldlinien m¨ ussen immer senkrecht auf den Leiter auftreffen; denn jede tangentiale Komponente von E w¨ urde sofort zu einer Kraft auf die Ladungstr¨ager f¨ uhren. Diese w¨ urden sich solange verschieben, bis die tangentialen Komponenten Null sind. Die Ladungsverteilung auf der a¨ußeren Oberfl¨ache ist aber immer gleichm¨aßig verteilt; denn im Leiter ist E = 0 und somit beeinflussen sich die Ladungsverteilung innen und außen nicht. Beispiel 7: Homogen geladene Kugel. Wir betrachten eine Kugel mit dem Radius R aus isolierendem Material, die homogen aufgeladen ist, d.h. die Ladungsdichte ρ innerhalb der Kugel ist konstant. Die Gesamtladung der Kugel ist dann Z 4 q = ρdV = ρ πR3 (442) 3 F¨ ur die Berechnung mit dem Gaußschen Satz integrieren wir zun¨achst u ¨ber eine Kugel mit dem Radius r > R.

Abb. 66: Homogen geladene Kugel.

Dies ergibt mit ε0 G. Herten

I

~ · dS ~ = ε0 E4πr 2 = q E 236

Experimentalphysik

21.3 Beispiele zum Gaußschen Gesetz das Coulombgesetz f¨ ur r > R E=

1 q 4πε0 r 2

.

Innerhalb der Kugel finden wir I Z 4 2 ~ ~ ε0 E · dS = ε0 E4πr = ρdV = ρ πr 3 3

.

Mit der Gesamtladung q = 34 πρR3 erh¨alt man dann f¨ ur das elektrische Feld innerhalb der Kugel E=

1 qr 4πε0 R3

(443)

Dies ist das gleiche Resultat, das wir in Kap. 13.5 f¨ ur das Gravitationsfeld einer Kugel mit homogener Massenbelegung erhalten hatten. Aufgrund der Benutzung des Gaußschen Gesetzes kann nun die Berechnung entscheidend vereinfacht werden. Das elektrische Potential erh¨alt man mit Z b ~ · d~r E (444) V (rb ) − V (ra ) = − a

Um eine Probeladung q0 im elektrischen Feld zu bewegen, muß die Arbeit Wab aufgewandt werden. Z b ~ · d~r E (445) Wab = q0 [V (rb ) − V (ra )] = −q0 a

F¨ ur die homogen geladene Kugel erhalten wir somit analog zur Gravitation: 1 q r≥R 4πε0 r 1 q V (r) = (3R2 − r 2 ) 8πε0 R3

(446)

V (r) =

r≤R

(447)

Beispiel 8: Faraday-K¨afig. Wir betrachten einen beliebigen K¨orper aus elektrisch leitendem Material, der an einem Seidenfaden h¨angt und dadurch elektrisch von der Umgebung isoliert ist. Der K¨orper wird nun aufgeladen. Nehmen wir nun an, im Inneren des K¨orpers bef¨ande sich eine Ladungsmenge. Nach dem Gaußschen Gesetz gibt es dann im Innern des K¨orpers elektrische Felder. Da die Ladungen sich in einem Leiter frei bewegen k¨onnen, fließen sie entlang ~ ~ ¨ des E-Feldes. Dadurch kommt es zu einer Anderung der Ladungsverteilung und der E-Felder. ~ Erst dann stellt sich ein Gleichgewichtszustand ein, wenn u ¨berall im Innern des K¨orpers das EFeld Null ist. Wir betrachten nun eine geschlossene Gaußsche Oberfl¨ache knapp unterhalb der ~ Oberfl¨ache des Leiters. Da an der Gaußschen Oberfl¨ache alle E-Felder Null sind, folgt mit dem Gaußschen Gesetz, dass sich innerhalb des Leiters keine (Netto-) Ladung befindet. Die gesamte Ladung befindet sich an der Oberfl¨ache. Alle Punkte des Leiters nehmen das gleiche elektrische Potential an. Die elektrischen Feldlinien treffen immer senkrecht auf die Leiteroberfl¨ache. An spitzen Kanten des K¨orpers k¨onnen die Feldlinien sehr eng beieinander liegen, d.h. das E-Feld und die Ladungsdichte sind sehr groß. Daher kommt es an Spitzen h¨aufiger zu Entladungen G. Herten

237

Experimentalphysik

21.3 Beispiele zum Gaußschen Gesetz

Abb. 67: Im Inneren eines Leiters verschwinden die E-Feldinien (Halliday,Resnick).

(Koronaentladungen, Funken). Dies wird beim Blitzableiter ausgenutzt. An einem spitzen Stab sind die Feldst¨arken sehr hoch, so dass der Blitz bevorzugt dort einschl¨agt und zum Boden abgeleitet werden kann. Einen ¨ahnlichen Effekt (Feldfreiheit im Innern einer Kugel) haben wir bereits bei der Gravitation f¨ ur eine Kugelschale mit homogener Massenbelegung diskutiert (Kap. 13.5). Dort hatten wir die Tatsache, dass die Gravitationskraft innerhalb der Kugelschale verschwindet, aus der 1/r 2 Abh¨angigkeit der Gravitationskraft hergeleitet. In der Elektrizit¨atslehre gilt die Feldfreiheit innerhalb jeden Leiters (unabh¨angig von der geometrischen Form). Die Ladungen fließen solange, bis das elektrische Feld Null ist. Technisch wird dieser Effekt beim Faradayschen K¨afig ausgenutzt. Es handelt sich um einen leitenden Kasten, der im Innern feldfrei ist. Somit k¨onnen im Innern genaue Messungen durchgef¨ uhrt werden, die von ¨außeren elektrischen St¨orungen abgeschirmt sind. Ein Auto wirkt wie ein Faradayk¨afig bei Blitzeinschlag. Die Insassen sitzen im feldfreien Raum und bleiben daher unverletzt. Beispiel 8: Leitende Kugel. Zur einfachen Berechnung mit dem Gaußschen Gesetz betrachten wir nun einen symmetrischen K¨orper: eine leitende Kugel mit dem Radius R. Die Ladungen befinden sich an der Kugeloberfl¨ache. Dieses Beispiel ist daher analog zur Kugelschale in der Gravitation. Somit erhalten wir E(r) = 0 1 q E(r) = 4πε0 r 2 und f¨ ur das Potential 1 q V (r) = 4πε0 R 1 q V (r) = 4πε0 r

G. Herten

238

f¨ ur r < R

(448)

r≥R

(449)

r≤R

(450)

r≥R

(451)

Experimentalphysik

21.4 Der elektrische Dipol

21.4

Der elektrische Dipol

Ein elektrischer Dipol besteht aus zwei entgegengesetzten und gleichen Ladungen +q und −q, die durch einen kleinen Abstand a von einander getrennt sind. “Klein” bedeutet, dass wir das Feld des Dipols f¨ ur Punkte P mit den Abst¨anden r ≫ a berechnen wollen.

P

z r1

+q p

a

r2 θ

r2 − r1

−q Abb. 68: Elektrischer Dipol.

Das elektrische Potential V am Punkt P ist die Summe der Potentiale der positiven und der negativen Ladung.   q q 1 q(r2 − r1 ) 1 − (452) = V = 4πε0 r1 r2 4πε0 r1 · r2

Mit r ≫ a k¨onnen wir ann¨ahern

r2 − r1 = a cos θ

und r1 r2 = r 2

.

Damit erhalten wir

1 q a cos θ 1 ~p · ~r = . (453) 2 4πε0 r 4πε0 r 3 Die Gr¨oße p = qa nennt man das elektrische Dipolmoment. In vektorieller Schreibweise: V =

~p = q~a ,

(454)

wobei ~a die Verschiebung von der negativen zur positiven Ladung ist. Das elektrische Potential eines Dipols a¨ndert sich daher mit 1/r 2 anstatt 1/r f¨ ur eine Punktladung. Wir sehen, dass ◦ V = 0 f¨ ur θ = 90 und das Potential den gr¨oßten positiven Wert f¨ ur θ = 0◦ und den gr¨oßten negativen Wert f¨ ur θ = 180◦ annimmt. Alle Ladungsverteilungen, die ein Potential wie (453) haben, nennt man elektrische Dipole. So hat z.B. das H2 O Molek¨ ul ein permanentes elektrisches Dipolmoment. Die Elektronen sammeln sich in der N¨ahe des Sauerstoffatoms. Dadurch ist die linke Seite des Molek¨ uls negativ und die rechte Seite positiv geladen. Da die mittleren Positionen von positiver und negativer Ladung verschieden sind, entsteht ein elektrisches Dipolmoment. Bei Wasserdampf betr¨agt es p = 6, 1 · 10−30 Cm. Symmetrische Molek¨ ule oder Atome, bei denen der G. Herten

239

Experimentalphysik

21.4 Der elektrische Dipol

Abb. 69: Elektriches Dipolmoment beim Wasser- und CO2 - Molek¨ ul.

Schwerpunkt von negativer und positiver Ladung zusammenfallen, haben kein permanentes Dipolmoment. Werden sie aber in ein elektrisches Feld gebracht, so f¨ uhren die entgegengesetzten Kr¨afte auf die positive und negative Ladung zu einer Ladungsverschiebung und somit zu einem ~ induzierten elektrischen Dipolmoment. F¨ ur nicht zu große E-Felder ist das induzierte Dipolmo~ ~ = −grad V ment proportional zum E-Feld. Aus dem Potential in (453) k¨onnen wir nun mit E ~ das E-Feld des Dipols berechnen. Dazu verwenden wir zun¨achst ein rechtwinkliges Koordinatensystem. x = r cos ϕ sin θ , y = r sin ϕ sin θ , z = r cos θ p r = x2 + y 2 + z 2 p cos θ = z/ x2 + y 2 + z 2 Damit erhalten wir p z V = . 2 2 4πε0 (x + y + z 2 )3/2

(455)

~ F¨ ur die Komponenten des E-Feldes finden wir dann   3 z 2x ∂V p p 3xz 2 Ex = − = = 2 2 2 5/2 2 ∂x 4πε0 (x + y + z ) 4πε0 (x + y 2 + z 2 )5/2 ∂V 3yz p Ey = − = 2 ∂y 4πε0 (x + y 2 + z 2 )5/2   p 1 3z 2 ∂V = − Ez = − ∂z πε0 (x2 + y 2 + z 2 )5/2 (x2 + y 2 + z 2 )3/2

(456)

Einsetzen von Kugelkoordinaten liefert p 3 cos ϕ sin θ cos θ 4πε0 r3 p 3 sin ϕ sin θ cos θ = 4πε0 r3 p 3 cos2 θ − 1 = 4πε0 r3

Ex = Ey Ez

In dieser Darstellung erkennt man sofort, dass das elektrische Feld eines Dipols mit r −3 abf¨allt. Diese Rechnung l¨aßt sich auch in Kugelkoordinaten (r, ϕ, Θ)durchf¨ uhren (FS: 3.8). Dazu verwenden wir die Kugelkoordinatendarstellung f¨ ur den Gradienten, siehe Kap. 8.3 der mathematischen Formelsammlung. Dann erhalten wir durch Anwendung des Gradienten auf das Potential G. Herten

240

Experimentalphysik

21.4 Der elektrische Dipol mit (453) 1 p cos θ 4πε0 r 2 1 p cos θ ∂V = = − ∂r 2πε0 r 3 1 ∂V =0 = − r sin θ ∂ϕ 1 ∂V 1 p sin θ = − = r ∂θ 4πε0 r 3

V (r, θ) = Er Eϕ Eθ

(457) (458) .

(459)

¨ Der Ubung wegen wollen wir nun (Er , Eϕ , EΘ ) zur¨ ucktransformieren in (Ex , Ey , Ez ) und u ufen, ob beide Rechnungen u ¨berpr¨ ¨bereinstimmen. In (FS 3.6) haben wir gesehen, dass man Transformationen von Basisvektoren und Feldvektoren unterscheiden muß. In unserem Fall haben wir daher

t

(ex , ey , ez ) = (m)(er , eϕ , eθ ) und
t (Ex , Ey , Ez ) = (m)−1 (Er , Eϕ , Eθ )

(460) (461)

((m)−1 ) ist die transponierte inverse Matrix m. Dabei ist (FS 3.8)   sin θ cos ϕ − sin ϕ cos θ cos ϕ m =  sin θ sin ϕ cos ϕ cos θ sin ϕ  cos θ 0 − sin θ

(462)

¨ Die Transformationsmatrix f¨ ur den Ubergang von Kugel- zu kartesischen Koordinaten. Diese Transformation ist orthogonal, daher folgt
t m = (m)−1

und wir erhalten f¨ ur die Transformation der Feldvektoren

(Ex , Ey , Ez ) = (m)(Er , Eϕ , Eθ ) Ex = Er sin θ cos ϕ − Eϕ sin ϕ + Eθ cos θ cos ϕ p 3 cos ϕ sin θ cos θ = 4πε0 r3 Ey = Er sin θ sin ϕ + Eϕ cos ϕ + Eθ cos θ sin ϕ p 3 sin ϕ sin θ cos θ = 4πε0 r3 Ez = Er cos θ − Eθ sin θ p 3 cos2 θ − 1 . = 4πε0 r3 Beide Rechnungen f¨ uhren somit zum selben Ergebnis. Zum Schluß sei noch erw¨ahnt, dass sich die Komponentenschreibweise f¨ ur Ex , Ey , Ez auch noch kompakt in Vektorform darstellen l¨aßt. Man erh¨alt (453) 1 ~p · ~r V (~r) = (463) 4πε0 r 3 G. Herten

241

Experimentalphysik

21.4 Der elektrische Dipol und

1 3(~p · ~r)~r − (~r · ~r)~p (464) 4πε0 r5 Diese Darstellung wollen wir u ufen, indem wir annehmen, dass p~ in z-Richtung zeigt. ¨berpr¨ p~ = (0, 0, p). Mit ~p · ~r = pz und ~r · ~r = r 2 erhalten wir dann ~ r ) = −grad V (~r) = E(~

1 3pzx 4πε0 r 5 1 3pzy = 4πε0 r 5 1 3pz 2 − r 2 p = 4πε0 r5

Ex = Ey Ez ¨ in Ubereinstimmung mit (456).

~ Elektrischer Dipol in einem homogenen E-Feld

Abb. 70: Drehmoment auf einen elektrischen Dipol im ¨außeren elektrischen Feld.

Im homogenen Feld ist die Gesamtkraft auf den Dipol ~+ − E ~ −) = 0 , F~ = q(E ~ + und E ~ − an der positiven und negativen Ladung gleich sind. Allerdings da die Feldst¨arken E entsteht ein Drehmoment a F sin θ = aqE sin θ = pE sin θ τ =2 2

oder in vektorieller Schreibweise

~ ~τ = ~p × E

.

(465)

~ Die antiparallele Dieses Drehmoment versucht den Dipol in Feldrichtung zu stellen (~p || E). ~ Stellung des Dipols zum E-Feld ist labil, d.h. bei einer kleinen Auslenkung wird der Dipol ~ soweit gedreht, bis er parallel zu E steht. Potentielle Energie des Dipols Der Dipol besteht aus zwei Ladungen, auf die die gleichen Kr¨afte im homogenen Feld wirken. G. Herten

242

Experimentalphysik

21.4 Der elektrische Dipol Bei der Drehung des Dipols wird Energie ben¨otigt, d.h. die potentielle Energie U des Dipols ~ im E-Feld ¨andert sich: Z Z ~ ~ · d~r . U = − F · d~r = −2q E Wir betrachten den Fall, dass das elektrische Feld nur Komponenten in z-Richtung hat.

p

θ

+q F a/2 θ E a/2

Ε

F −q

E z

E

Abb. 71: Elektrischer Dipol im ¨außeren Feld.

Mit z =

a 2

cos θ und dz = − a2 sin θ dθ erh¨alt man Z Z U = −2q Edz = +qaE sin θdθ = −pE cos θ

.

In vektorieller Schreibweise erhalten wir f¨ ur die potentielle Energie eines Dipols im elektrischen Feld: ~ U = −~p · E (466) Elektrischer Dipol im inhomogenen Feld

E

E E

+q

F

F

p

+q

p

+q

−q

F

p

E Abb. 72: Elektrischer Dipol im inhomogenen Feld.

Die Gesamtkraft auf einen Dipol in einem inhomogenen Feld ist F = F+ − F− = q(E+ − E− ) G. Herten

243

Experimentalphysik

21.5 Kapazit¨at Wir entwickeln nun das elektrische Feld in einer Taylorreihe um E0 , das Feld am Mittelpunkt des Dipols. Damit erhalten wir dE a dE · z = E0 + cos θ dz dz 2 dE dE a = E0 − · z = E0 − cos θ dz dz 2

E+ = E0 + E−

.

Dabei ist θ der Winkel zwischen der Richtung des Dipolmoments und dem elektrischen Feld. F¨ ur die Gesamtkraft finden wir dann. F = q(E+ − E− ) = aq

dE dE cos θ = p cos θ. dz dz

(467)

Diese Beziehung zeigt, dass ein Dipol, der in Richtung des elektrischen Feldes ausgerichtet ist (θ < 90◦ ), sich in Richtung des zunehmenden Feldes bewegt. Bei entgegengesetzter Ausrichtung (θ > 90◦ ) bewegt sich der Dipol in Richtung des abnehmenden Feldes. Diese Gleichung k¨onnen wir auch verallgemeinern und in Vektorform darstellen. Dann erh¨alt man f¨ ur das Drehmoment ~ ~τ (~r) und die Kraft F (~r) auf einem permanenten elektrischen Dipol im elektrischen Feld ~ r) ~τ (~r) = ~p × E(~ ~ r) . F~ (~r) = (~p · grad) E(~

(468) (469)

Die x-Komponente der Kraft hat dann z.B. die Form Fx (~r) = (~p · grad)Ex (~r) ∂Ex ∂Ex ∂Ex = px + py + pz ∂x ∂y ∂z

.

Die y- und z-Komponenten berechnen sich dann entsprechend durch Einsetzen von Ey und Ez . Gleichung (469) soll hier nicht im Detail abgeleitet werden. Sie folgt aber direkt aus der ~ r ) in Richtung ~a des Dipols. Dabei m¨ verallgemeinerten Taylorentwicklung von E(~ ussen wir eine Richtungsableitung bilden. An Stelle einer Ableitung nach z erhalten wir dann Ableitungen nach ~ r ) in Richtung allen drei Raumrichtungen, also einen Gradienten. Die Taylorentwicklung von E(~ ~a kann somit geschrieben werden als ~ r + ~a) ≈ E(~ ~ r ) + (~a · grad)E(~ ~ r) . E(~

(470)

Damit erhalten wir sofort f¨ ur die Kraft ~ r) . F~ (~r) = q(E(~r + ~a) − E(~r)) = (~p · grad)E(~

21.5

Kapazit¨ at

Wir betrachten zwei Metallplatten mit der Fl¨ache A im Abstand d zueinander. Sie werden kurzzeitig mit einer Spannungsquelle verbunden, so dass eine Platte positiv (+q) und die andere negativ (-q) geladen ist. Da die Platten leitend sind und sich positive und negative Ladungen anziehen, befinden sich alle Ladungen auf den Innenseiten der Platten. G. Herten

244

Experimentalphysik

21.5 Kapazit¨at

+q + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + +

x

d

Gaußsche Oberfläche

E

A

− − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − −

−q Abb. 73: Anwendung des Gaußschen Gesetzes auf einen Kondensator.

Zwischen den Platten bildet sich daher ein gleichf¨ormiges elektrisches Feld. Wir betrachten nun eine geschlossene Gaußsche Oberfl¨ache (gestrichelt eingezeichnet), die durch die obere Platte und im Raum zwischen den Platten verl¨auft. Wie bereits fr¨ uher erw¨ahnt, benutzen wir dabei die N¨aherung, dass die L¨ange der Platten in beiden Dimensionen sehr viel gr¨oßer als der Plattenabstand ist, so dass wir Randeffekte vernachl¨assigen k¨onnen. Da das elektrische Feld in der Metallplatte verschwindet und am Ende der Platten parallel zur Gaußschen Fl¨ache steht, tr¨agt nur das Fl¨achenst¨ uck zwischen den Platten in der Berechnung mit dem Gaußschen Gesetz bei. I ~ · dS ~ = ε0 E · A = q (471) ε0 E

Die Spannung V zwischen den Platten ist die Potentialdifferenz zwischen den Metallplatten und l¨asst sich mit dem Linienintegral u ¨ber das E-Feld berechnen. Dazu definieren wir die x~ Achse so, dass sie von der negativen zur positiven Platte zeigt und somit entgegengesetzt zu E verl¨auft. Somit erhalten wir Z d Z d ~ E dx = Ed . (472) E · d~x = + V = V (q+) − V (q−) = − 0

0

Die Wahl der x-Achse ist bei der Intergration willk¨ urlich. Wir k¨onnten auch die umgekehrte Richtung x~′ = −~x verwenden. Die Integration erfolgt dann parallel zum E-Feld. Z d Z d ′ ~ · dx~′ = − E dx′ = −Ed . E V = V (q−) − V (q+) = − 0

0

Wir erhalten das gleiche Ergebnis, allerdings ist nun wie zu erwarten V ′ = −V , da wir den Integrationsweg umgekehrt haben. Somit muss man bei der Wahl des Integrationsweges beachten, wie das Vorzeichen der Spannung definiert ist. In (472) haben wir den Integrationsweg so gew¨ahlt, dass V positiv ist. Diese Definition werden wir auch bei weiteren Beispielen verwenden. Einsetzen von (472) in (471) ergibt q ε0 A = V d Dieses Verh¨altnis nennt man auch die Kapazit¨at C: C = G. Herten

245

q V

(473) Experimentalphysik

21.5 Kapazit¨at Diese Anordnung von zwei Metallplatten nennt man einen Plattenkondensator. Die Kapazit¨at des Plattenkondensators ist somit gegeben durch C=

ε0 A q = V d

.

(474)

Die Kapazit¨at ist ein Maß daf¨ ur, wieviel Ladung ein Kondensator bei gegebener Spannung speichern kann. Die Einheit ist Farad (F). 1 Farad

= 1 Coulomb/Volt

Beispiel 1: Zylinderkondensator Als Beispiel betrachten wir einen zylindrischen Kondensator, der aus zwei Zylindern mit Radien a bzw. b besteht, die die L¨ange ℓ haben. Wir verwenden das Gaußsche Gesetz und integrieren

Abb. 74: Zylinderkondensator mit einem inneren Zylinder mit Radius a und einem ¨außeren mit Radius b.

u ¨ber einen Zylinder mit dem Radius r (a < r < b). Dabei nehmen wir wie u ¨blich an, dass die L¨ange des Zylinders sehr viel gr¨oßer als der Radius ist, so dass wir Randeffekte vernachl¨assigne ~ und dS ~ eine entgegengesetzte Richtung haben und dass sich k¨onnen. Wir beachten, dass E innerhalb der Gaußschen Oberfl¨ache die Ladung −q befindet. I ~ · dS ~ = −ε0 E2πr · ℓ = −q ε0 E E =

q 2πε0 ℓr

(475)

~ und d~r haben entgegengeDie Spannung zwischen den beiden Zylindern berechnet sich zu (E setzte Richtung, da wir vom negativ zum positiv geladenen Zylinder integrieren.) Z b Z b b q ~ ln . (476) Edr = E · d~r = V =− 2πε0 ℓ a a a Damit erhalten wir f¨ ur die Kapazit¨at des Zylinderkondensators C= G. Herten

q 2πε0 ℓ = V ln b/a 246

(477) Experimentalphysik

21.5 Kapazit¨at Wie beim Plattenkondensator h¨angt die Kapazit¨at also nur von geometrischen Gr¨oßen (a,b und ℓ) ab. Beispiel 2: Parallele Kondensatoren.

Abb. 75: Parallelschaltung von Kondensatoren.

Bei einer Parallelschaltung von Kondensatoren ist die Spannung an jedem Kondensator gleich. Die Gesamtladung ist dann q = q1 + q2 + q3 = (C1 + C2 + C3 )V

(478)

Eine Parallelschaltung von n Kondensatoren hat somit die Gesamtkapazit¨at q = C1 + C2 + . . . + Cn . C= V Beispiel 3: Serienschaltung von Kondensatoren.

(479)

Abb. 76: Serienschaltung von Kondensatoren.

In diesem Fall sind die Ladungen auf jedem Kondensator gleich. Dies erkennt man leicht, wenn man die Serienschaltung mit einer Batterie verbindet. In dem gestrichelten Bereich fließt keine Ladung. Es kommt lediglich zu einer Ladungsteilung, sodaß sich eine positive Ladung (+q) bei C1 und eine negative Ladung (−q) bei C2 befindet. Die Gesamtspannung ist die Summe der Einzelspannungen. q q q + + V = V 1 + V2 + V 3 = C1 C2 C3 Die Gesamtkapazit¨at f¨ ur eine Reihenschaltung von n Kondensatoren ist somit gegeben durch q 1 (480) C= = 1 1 V + C2 + . . . + C1n C1 oder 1 1 1 1 = + + ...+ (481) C C1 C2 Cn G. Herten

247

Experimentalphysik

21.6 Dielektrikum Material Vakuum Luft Wasser Papier Porzellan Pyrex Glas Teflon Titan Dioxid

κ Emax (kV/mm) 1 ∞ 1,00054 0,8 78 3,5 14 6,5 4 4,5 13 2,1 60 100 6

Tab. 4: Dielektrische Konstanten und Durchbruchfestigkeiten (maximale Feldst¨arke ohne Funkenbildung) f¨ ur verschiedene Materialien.

21.6

Dielektrikum

Die Gleichungen (474) und (477) gelten nur f¨ ur Kondensatoren im Vakuum. Nun wollen wir einen Plattenkondensator untersuchen mit einem Isolator (Dielektrikum) zwischen den Platten. Zun¨achst laden wir den Kondensator ohne Dielektrikum auf und messen eine Spannung V0 . Nun wird die Spannungsquelle entfernt und ein Dielektrikum zwischen die Platten geschoben. Wir beobachten, dass sich die Spannung V am Kondensator erniedrigt, obwohl die Ladung auf den Platten unver¨andert geblieben ist. V = V0 /κ

mit

κ>1 .

(482)

Mit

q q und V0 = C C0 finden wir, dass die Kapazit¨at C des Kondensators mit Dielektrikum gr¨oßer ist als die Kapazit¨at im Vakuum. κ ε0 A C = κC0 = (483) d κ ist die dielektrische Konstante. Die folgende Tabelle gibt f¨ ur verschiedene Materialien die dielektrische Konstante und die maximale Feldst¨arke an, die im Dielektrikum auftreten kann, ohne dass es zu Spannungsdurchbr¨ uchen kommt. V =

Mit V = Ed und V0 = E0 d finden wir mit (482), dass auch die elektrische Feldst¨arke E des Kondensators beim Einschieben des Dielektrikums verringert wird. E = E0 /κ

(484)

Auf atomarem Niveau kann man diesen Effekt verstehen, wenn man annimmt, daß die Molek¨ ule ein elektrisches Dipolmoment besitzen (permanent oder induziert) und sich im ¨außeren Feld ausrichten. Der Gesamteffekt ist, dass sich an der Oberfl¨ache des Dielektrikums eine Ladung q ′ bildet, die der Ladung q an den Kondensatorplatten entgegengesetzt ist. G. Herten

248

Experimentalphysik

21.6 Dielektrikum

Abb. 77: Polarisation der Atome in einem Dilektrikum, das sich in einem ¨außeren elektrischen Feld befindet.

~ Die induzierte Oberfl¨achenladung q ′ erzeugt ein elektrisches Feld E ′ , das dem E-Feld im Vakuum E0 entgegengerichtet ist. Das resultierende elektrische Feld E ist daher kleiner als E0 und wir finden ~ =E ~0 + E ~′ E (485) F¨ ur die Betr¨age erhalten wir mit (484) ~ = |E ~ 0 | − |E ~ ′ | = |E ~ 0 |/κ , d.h. |E| ~ ′ | = |E ~ 0 |(1 − 1 ) |E κ

(486) (487)

Das Dielektrikum wirkt wie ein Kondensator mit der Ladung q ′ im Feld eines ¨außeren Kondensators mit der Ladung q. Mit (483) erhalten wir somit E0 =

q ε0 A

und E ′ =

1 Dies ergibt q ′ = q(1 − ) κ

q′ ε0 A

(488) (489)

Dies zeigt, dass die induzierte Ladung auf dem Dielektrikum immer kleiner ist als die Ladung auf den Metallplatten. Gaußsches Gesetz f¨ ur Dielektrika ~ im Dielektrikum mit dem Gaußschen Gesetz Bei der Berechnung des elektrischen Feldes E m¨ ussen wir alle Ladungen (auch die induzierte Ladung) ber¨ ucksichtigen. I ~ · dS ~ = q − q′ (490) ε0 E Durch Einsetzen von (489) k¨onnen wir dies umformen:

q q = q − q′ = q − q + κ κ I ~ · dS ~ = q und daher ε0 κE G. Herten

249

(491) (492)

Experimentalphysik

21.7 Die drei elektrischen Vektoren

+q Metallplatte + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + − − − − − − − − − − − − − − −

−q’

Dielektrikum

Gaußsche Oberfläche

E’ E0 + + + + + + + + + + + ++ + + + + − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − +q’

Metallplatte

−q Abb. 78: Anwendung des Gaußschen Gesetzes auf einen Kondensator mit Dielektrikum.

Wir haben hiermit Gleichungen (490) und (492) erhalten, die allgemein g¨ ultig sind (nicht nur f¨ ur Plattenkondensatoren). Wir haben zwei M¨oglichkeiten, das Gaußsche Gesetz f¨ ur Dielektrika anzuwenden. 1) Gleichung (490) zeigt, dass wir das Gaußsche Gesetz wie bisher verwenden k¨onnen, allerdings muß nun die Gesamtladung q − q ′ (einschließlich der induzierten Ladung) eingesetzt werden. 2) Gleichung (492) zeigt, dass wir im Flußintegral die dielektrische Konstante κ benutzen k¨onnen und dann nur die freie Ladung q einsetzen m¨ ussen. Beide Gleichungen sind ¨aquivalent. Meistens verwendet man (492), weil die induzierte Ladung q ′ nicht einfach zu messen ist.

21.7

Die drei elektrischen Vektoren

Mit (486) erhalten wir ~ ~ ′| , ~ 0 | = |E| ~ + |E ~ ′ | = |E0 | + |E |E κ Einsetzen von (488) liefert mit (491) 1 q q 1 q′ q − q′ 1 q′ = + = + ε0 A κε0 A ε0 A ε0 A ε0 A

.

(493)

Die Bedeutung des Quotienten q ′ /A versteht man leicht, wenn man Nenner und Z¨ahler mit dem Plattenabstand des Kondensators (Dicke des Dielektrikums) multipliziert. Der Ausdruck P =

q′d q′ = A A·d

(494)

ist das induzierte Dipolmoment q ′ d im Dielektrikum pro Volumen (Ad). Die Gr¨oße P nennt man auch die elektrische Polarisation. Der Name soll andeuten, dass die Oberfl¨achenladung q ′ G. Herten

250

Experimentalphysik

21.7 Die drei elektrischen Vektoren nur auftritt, wenn das Dielektrikum polarisiert ist. Mikroskopisch ist P~ die vektorielle Summe der atomaren Dipolmomente p~ im Dielektrikum geteilt durch das Volumen des Dielektrikums. Analog nennen wir den Ausdruck q (495) D= A die elektrische Verschiebung. Somit k¨onnen wir (493) schreiben als D = ε0 E + P

(496)

mit q A q q − q′ = E = ε0 A κε0 A ′ q P = A

D =

Wir erkennen, dass D nur von der freien Ladung, E von der gesamten Ladung (freie und induzierte) und P nur von der induzierten Ladung abh¨angt. Diese Gleichung l¨aßt sich auch vektoriell schreiben ~ = ε0 E ~ + P~ D (497) dabei ist

~ = ε0 E ~0 D

.

(498)

~ dem elektrischen Feld ohne Dielektrikum. D ~ ¨andert Bisher auf den Faktor ε0 entspricht D ~ nur sich nicht, wenn ein Dielektrikum zwischen die Kondensatorplatten geschoben wird, da D ~ von der unver¨anderten freien Ladung q abh¨angt. Der Polarisationsvektor P h¨angt mit dem ~ ′ zusammen induzierten elektrischen Feld E ~′ P~ = −ε0 E

.

(499)

Das Minuszeichen kommt von unserer Konvention, dass das Dipolmoment von −q ′ zu +q ′ und das elektrische Feld von der positiven Ladung zur negativen Ladung zeigt. ~ ist das resultierende elektrische Feld im Dielektrikum. So wirkt z.B. auf eine Probeladung q0 E im Dielektrikum aufgrund der ¨außeren Felder die Kraft ~ F~ = q0 E

(500)

Abb. 79 zeigt einen Kondensator, der nur teilweise mit einem Dielektrikum gef¨ ullt ist. Au~ = ε0 E. ~ Im Dielektrikum sind die Polarisation ßerhalb des Dielektrikums ist P~ = 0 und somit D P~ 6= 0 und das elektrische Feld somit reduziert. Die Beziehung (497) ist g¨ ultig f¨ ur alle Dielek~ ~ ~ trika, auch f¨ ur Materialien, bei denen P , E und D verschiedene Richtung haben. Die meisten Dielektrika, die in der Praxis verwendet werden, sind isotrop und linear und haben folgende Eigenschaften, die wir in unserer fr¨ uheren Diskussion stillschweigend benutzt haben. 1) Isotropie ~ 0 aus. Damit Die induzierten Dipolmomente richten sich entlang des ¨außeren Feldes E ~ ~ ~ haben D, E und P dieselbe Richtung. G. Herten

251

Experimentalphysik

21.7 Die drei elektrischen Vektoren

~ D, ~ P~ in einem Kondensator, der teilweise mit einem DielekAbb. 79: Die elektrischen Vektoren E, trikum gef¨ ullt ist.

~ 0. 2) Linearit¨at Das elektrische Feld im Dielektrikum ist proportional zum ¨außeren Feld E ~ =E ~ 0 /κ E Damit erhalten wir ~ = ε0 E ~ 0 = κε0 E ~ D

(501)

~ ~ − ε0 E ~ = (κ − 1)ε0 E ~ = (1 − 1 )D P~ = D κ

(502)

H¨aufig verwendet man die Suszeptibilit¨at χ χ=κ−1

(503)

Die Suszeptibilit¨at ist die Proportionalit¨atskonstante zwischen der Polarisation und dem Elektrischen Feld und ein Maß daf¨ ur, wie stark sich ein Material polarisieren l¨asst ~ . P~ = χε0 E

(504)

Gleichung (501) k¨onnen wir in (492) einsetzen und erhalten das Gaußsche Gesetz f¨ ur Dielektrika I ~ · dS ~ =q , D (505) G. Herten

252

Experimentalphysik

21.7 Die drei elektrischen Vektoren wobei q wiederum die freie Ladung ist. (505) gilt f¨ ur alle Materialien, obwohl wir es hier nur f¨ ur isotrope und lineare Materialien hergeleitet haben. Analog zum Gaußschen Gesetz im Vakuum verwendet man h¨aufig auch f¨ ur Materie die differentielle Form ~ =ρ, div D

(506)

wobei auch hier ρ die freie Ladungsdichte ist. Beispiel: Teilweise mit Dielektrikum gef¨ ullter Kondensator. Die Anordnung in Abb. 79 wollen wir nun genauer untersuchen. Wir betrachten eine Kondensator mit dem Plattenabstand d und der Fl¨ache A, der mit einer Spannungsquelle V verbunden ist. Die Kondensatorplatten sollen in beiden Dimensionen sehr viel gr¨oßer als d sein, so dass wir Randeffekte vernachl¨assigen k¨onnen. Nun wird ein Dielektrikum mit der Dicke b und der Permeabilit¨at κ eingeschoben. Die Frage ist: Wie ¨andert sich die Kapazit¨at? Wir groß sind die E-Felder innerhalb und außerhalb des Dielektrikums? Als L¨osungsidee halten wir zun¨achst fest, welche Fakten und Gesetze wir verwenden k¨onnen. Diese sind: • Die Spannung an den Kondensatorplatten bleibt konstant, da sie mit der Batterie verbunden bleiben. Somit gilt f¨ ur den Kondensator V = E(d − b) + Ed b, dabei ist Ed das Feld im Dielektrikum und E das elektrische Feld außerhalb des Dielektrikums. • Zur Berechnung bietet sich das Gaußsche Gesetz an, aber nun in der Form (505), unter Verwendung des D-Feldes, da ein Dielektrikum vorhanden ist. • Innerhalb des Dielektrikums m¨ ussen wir nach (502) den Beitrag der Polarisation ~ ~ ber¨ ucksichtigen, P = (1 − 1/κ)D. • F¨ ur die Berechnung des E-Feldes verwenden wir dann den Zusammenhang (497). F¨ ur den Kondensator ohne Dielektrikum haben wir q0 = V0 C0 , dabei soll der Index ”0” ohne Dielektrikum bedeuten. Die Kapazit¨at ist C0 = ε0 A/d und das E-Feld E0 = V0 /d. Beim Einschieben des Dielektrikums bleibt die Spannung am Kondensator V0 unver¨andert. Somit erhalten wir die neue Ladung q und die neue Kapazit¨at C mit q = V0 C. Zur Berechnung ~ = ǫ0 E ~ + P~ und P~ = (1 − 1 )D, ~ d.h. P~ und D ~ stehen parallel. Das E-Feld verwenden wir D κ ~ = (D ~ − P~ )/ǫ0 . F¨ berechnet sich dann zu E ur den Raum ohne Dielektrikum ist P = 0 und somit E = D/ǫ0 . Im Raum mit Dielektrikum erh¨alt man dann nach Einsetzen von P, Ed = D/(κǫ0 ). Mit dem Gaußschen Satz angewandt auf die Metallplatte erh¨alt man D = q/A. F¨ ur die Spannung am Kondensator gilt nun die Beziehung (nach Einsetzen der Ausdr¨ ucke f¨ ur E und D): q d−b b = V0 = E (d − b) + Ed b = q( + ) C ǫ0 A κǫ0 A Somit d−b b 1 1 1 = + = + C ǫ0 A κǫ0 A C0 Cd Somit finden wir, dass dies einer Reihenschaltung zweier Kondensatoren entspricht. Der erste hat den Plattenabstand (d − b) und kein Dielektrikum und der zweite den Abstand b mit Dielektrikum. Dies ist das Ergebnis, das wir auch erwarten w¨ urden. G. Herten

253

Experimentalphysik

21.8 Energie im elektrischen Feld F¨ ur das E-Feld im Raum ohne Dielektrikum erhalten wir dann E=

q V0 V0 κd D = = ≥ = E0 f¨ ur κ ≥ 1 ǫ0 Aǫ0 d κ(d − b) + b d

Es ist interessant den Grenzwert b → 0 zu betrachten. Wir erhalten, wie zu erwarten, E = V0 /d = E0 und C = C0 . Im Grenzfall b → d folgt E = κE0 und C = κC0 . Damit erhalten wir das wichtige Ergebnis, dass bei einem d¨ unnen Luftspalt in einem Kondensator, der mit Dielektrika gef¨ ullt ist, das E-Feld sehr große Werte annehmen kann. Dies hat eine wichtige praktische Bedeutung. So m¨ ussen Hochspannungskondensatoren (oder Hochspannungsisolierungen) sorgf¨altig mit dielektrischem Material vergossen werden, damit keine Luftblasen oder Luftspalte entstehen. Sonst besteht die Gefahr, dass das E-Feld im Luftspalt so groß wird, dass es zu st¨andigen Funken¨ uberschl¨agen kommt. Diese zerst¨oren im Laufe der Zeit das Dielektrikum und es kommt zu Kurzschl¨ ussen im Kondensator. Am besten verwendet man zur Isolierung ein Material mit kleinem κ und hoher Durchschlagsfestigkeit(Emax ). Luft als Isolator ist h¨aufig eine gute L¨osung. Aus der Tabelle 4 auf Seite 248 erkennt man allerdings, dass Luft eine geringe Durchschlagsfestigkeit besitzt. Eine Kombination aus einer ausreichend dicken Teflon- und Luftschicht f¨ uhrt meist zu guten Ergebnissen. Falls ein Dielektrikum mit hohem κ (z.B. Titanoxid) ben¨otigt wird, z.B. um einen kompakten Hochspannungskondensator mit großer Kapazit¨at herzustellen, muss man sehr auf Luftspalte achten. F¨ ur das E-Feld im Dielektrikum finden wir: Ed =

21.8

D CV0 q = = κǫ0 κǫ0 A κǫ0 A

Energie im elektrischen Feld

Man muss Arbeit aufgewenden, um einen Kondensator aufzuladen. Diese Arbeit bewirkt eine Ladungstrennung; die negativen Ladungen sammeln sich auf einer Platte und die positiven Ladungen auf der anderen. Zur Berechnung dieser Arbeit stellen wir uns vor, dass zur Zeit t bereits eine Ladung q ′ (t) von einer Platte zur anderen transportiert wurde. Die Spannungsdifferenz zwischen den Platten betr¨agt somit V (t) = q ′ (t)/C. Nun soll eine zus¨atzliche Ladung dq ′ (t) transportiert werden. Dazu ist die Arbeit dW = V dq ′ =

q ′ (t) ′ dq C

n¨otig.

Integration u ¨ ber q ′ ergibt die Gesamtarbeit, die n¨otig ist, um die Ladung q von einer Platte zur anderen zu bewegen. Z q ′ q ′ 1 q2 W = dq = 2C 0 C Mit q = CV erhalten wir 1 (507) W = CV 2 . 2 Diese Arbeit ist dann gleich der gespeicherten potentiellen Energie U im Kondensator. Ein Kondensator ist somit ein Energiespeicher. Die Energiedichte u (Energie pro Volumen) eines Plattenkondensators ist gegeben durch u= G. Herten

1 CV 2 U = 2 Ad Ad

254

,

(508) Experimentalphysik

21.9 Elektrische Eigenschaften von Festk¨orpern wobei A die Fl¨ache der Platten und d ihr Abstand sind. Mit C = κε0 A/d erhalten wir V2 1 1 1 u = κε0 2 = κε0 E 2 = D · E 2 d 2 2

.

(509)

Diese Beziehung l¨aßt sich auch vektoriell schreiben und gilt allgemein, nicht nur f¨ ur den speziellen Fall des Plattenkondensators. 1~ ~ u= D ·E (510) 2 Beispiel: Wir berechnen die potentielle Energie eines Kondensators mit (m) und ohne (o) Dielektrikum. Wir haben die Beziehungen Cm = κC0

und Vm = V0 /κ .

F¨ ur den Fall, dass in beiden F¨allen die gleiche Ladung q auf dem Kondensator gespeichert ist, folgt Vm = V0 /κ und somit 1 Cm Vm2 Um = . = 2 U0 C 0 V0 κ Somit ist die potentielle Energie des Kondensators gr¨oßer ohne Dielektrikum. Wir m¨ ussen also Arbeit aufwenden, um das Dielektrikum aus dem Kondensator zu ziehen. Falls wir aber beide Kondensatoren mit der gleicher Spannung V aufladen, so finden wir Um Cm = =κ . U0 C0 In diesem Fall wird mehr Energie im Kondensator mit Dielektrikum gespeichert, da bei gleicher Spannung mehr Ladung auf die Kondensatorplatten gebracht werden kann.

21.9

Elektrische Eigenschaften von Festk¨ orpern

Piezoelektrizit¨at tritt an der Oberfl¨ache einiger Kristalle auf. Durch mechanische Deformation verschieben sich die Ladungen im Kristall. Dadurch werden die Molek¨ ule polarisiert und es entsteht eine Spannung, die an der Oberfl¨ache des Kristalls gemessen werden kann. Gebr¨auchliche Piezomaterialien sind Quarz, Tumalin und Bariumtitanat (BaTiO3 ). Sie werden z.B. als Tonabnehmer beim Plattenspieler verwendet. Dort werden mechanische Schwingungen in elektrische Signale umgewandelt. Der umgekehrte Piezoeffekt wird ebenfalls beobachtet. Beim Anlegen einer Spannung wird der Kristall deformiert. Dies wird z.B. zur Frequenzstabilisierung in Quarzuhren verwendet, indem man eine Wechselspannung anlegt und den Quarz dadurch zu mechanischen Schwingungen anregt. Stimmt die angelegte Frequenz mit der Resonanzfrequenz des Quarzes u ¨berein, so entsteht eine zeitlich sehr konstante Resonanzschwingung. Der pyroelektrische Effekt erzeugt ein elektrisches Feld zwischen den Endfl¨achen eines Kristalls, wenn sich die Temperatur ¨andert. Er beruht auf einer Verschiebung der Ionen im Innern des Kristalls. Die Umkehrung, der elektrokalorische Effekt f¨ uhrt zu einer Abk¨ uhlung, bzw. Erw¨armung der Kristallfl¨achen beim Anlegen einer Spannung. Kontaktspannung tritt an der Grenzfl¨ache von zwei unterschiedlichen Metallen auf. Elektronen diffundieren von einem Metall in das andere. Jenes Metall, das die meisten Elektronen G. Herten

255

Experimentalphysik

22 Der elektrische Strom verliert, wird positiv, das andere negativ aufgeladen. Diese Kontaktspannung wird im SeebeckEffekt verwendet. L¨otet man zwei Metallstreifen an beiden Enden zusammen, so entsteht an jedem Ende eine Kontaktspannung. Da beide Spannungen entgegengerichtet sind, fließt kein Strom. Erw¨armt man aber eine L¨otstelle, so tritt zwischen ihnen eine Thermospannung auf. Diese Anordnung heißt Thermoelement. Eine Thermos¨aule besteht aus in Reihe geschalteten Thermoelementen. Sie ist ein sehr empfindliches Temperaturmeßger¨at und wird als Strahlungsmesser verwendet. Die Umkehrung des Seebeck-Effektes ist der Peltier-Effekt. L¨aßt man Strom durch die beiden Metallstreifen fließen, so beobachtet man je nach Stromrichtung an einer Kontaktfl¨ache eine Erw¨armung und an der anderen eine Abk¨ uhlung. Peltier-Elemente werden daher verwendet, um Komponenten (z.B. elektronische Bauteile) zu k¨ uhlen.

22 22.1

Der elektrische Strom Strom und Stromdichte

Ein elektrischer Strom wird durch die freie Bewegung von Elektronen in einem Leiter hervorgerufen. Diese Bewegung ist vergleichbar zur Molek¨ ulbewegung in Gasen. Die Elektronen bewegen sich auf einem “Zick-Zack Kurs”. Erst beim Anlegen eines ¨außeren elektrischen Feldes ~ Richtung. Im Gegensatz zur Elektrostatik, bei bewegen sich die Elektronen im Mittel in −E der im Innern eines Leiters das E-Feld verschwindet, existiert nun ein elektrisches Feld auch im ~ Richtung nennt man Innern des Leiters. Diese mittlere “Driftbewegung” der Elektronen in −E elektrischen Strom. Obwohl die Elektronen die freien Ladungstr¨ager beim Strom sind, definiert man aus historischen Gr¨ unden als Richtung des Stromes die Bewegung einer positiven Ladung ~ Strom ist eine skalare, makroskopische Gr¨oße, die (von +V nach -V; d.h. in Richtung von E). angibt, wie viel Ladung pro Zeit durch einen Leiter fließen. I = Q/t (Einheit Ampere = Coulomb/sec) H¨aufig verwendet man den Stromdichtevektor ~j, der angibt, wieviel Ladung pro Zeit und Fl¨ache an einem Punkt im Leiter fließt. Bewegen sich in einem Leiter mit dem Querschnitt A u ¨ berall gleichviele Ladungen pro Zeit, so ist der Betrag der Stromdichte gegeben durch j = I/A

(511)

Die Richtung des Vektors ~j gibt an, in welche Richtung sich eine positive Ladung an diesem Punkt bewegen w¨ urde. Im allgemeinen ist der Strom das Flußintegral der Stromdichte f¨ ur eine Oberfl¨ache im Leiter Z ~ . I = ~j · dS (512) Die Driftgeschwindigkeit vd der Elektronen l¨aßt sich aus der Stromdichte berechnen. In einem Leiterst¨ uck der L¨ange ℓ befinden sich freie Elektronen mit der Gesamtladung (n ist die Anzahl der frei beweglichen Elektronen pro Volumen) q = nAℓe ,

G. Herten

256

Experimentalphysik

22.2 Kontinuit¨atsgleichung

die sich im Zeitraum

ℓ vd durch das rechte Ende bewegen. Dies entspricht einem Strom von t=

I=

nAℓe q = = nAevd t ℓ/vd

.

Mit j = I/A erhalten wir I j = . (513) nAe ne Typische Werte f¨ ur die Stromleitung in Kupfer bei Zimmertemperatur sind: Die mittlere Geschwindigkeit der Elektronen betr¨agt etwa v = 1.5 · 106 m/s (0.5% der Lichtgeschwindigkeit), die mittlere freie Wegl¨ange (Kap. 18.5) λ = 4 · 10−8 m, die Zeit zwischen zwei St¨oßen τs = 2.66 · 10−14s und die Elektronendichte n = 8.4 · 1028m−3 . Bei einer Stromst¨arke von 1A und einem Leiterquerschnitt von 1 cm2 betr¨agt daher die Driftgeschwindigkeit vd = 7.4 · 10−7 m/s. Somit driften die Elektronen pro Stunde 2.7 mm. Bei gleicher Stromst¨arke und einem Querschnitt von 1 mm2 driften die Elektronen 27 cm pro Stunde. Diese langsame Driftgeschwindigkeit sollte nicht verwechselt werden mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektrischen Signalen in Leitern, die nahezu Lichtgeschwindigkeit ist. Ent~ lang des Leiters bildet sich eine elektromagnetische Welle, so dass sich das E-Feld, und damit das Signal, mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet. Im Gegensatz zur Elektrostatik existiert nun u uhrt im gesamten Leiter zu einer ¨berall im Inneren des Leiters ein elektrisches Feld. Dieses f¨ Beschleunigung der Elektronen. Allerdings bewirkt dies kein Anwachsen von vd mit der Zeit, wie wir es beim freien Fall gesehen hatten (v = gt), sondern vd bleibt konstant. Der Grund ist darin zu sehen, dass die Elektronen im Leiter st¨andig hin- und hergestreut werden, und dass sich ihre Bewegungsrichtung ununterbrochen a¨ndert. Die freie Wegl¨ange ℓs ist sehr klein. Eine Beschleunigung erfolgt nur in der Zeit τs zwischen zwei St¨oßen. Die Gesamtbewegung aus Streuung und Beschleunigung ergibt eine konstante Driftgeschwindigkeit. vd =

22.2

Kontinuit¨ atsgleichung

Im vorherigen Kapitel hatten wir Strom, der durch eine Fl¨ache fließt, definiert als Z ~ , wobei I = ~j · dS u ¨ber die Fl¨ache S integriert wird. Nun betrachten wir eine geschlossene Fl¨ache, die ein Volumen umschließt. Falls ein Strom aus diesem Volumen fließt, so muß wegen der Ladungserhaltung die G. Herten

257

Experimentalphysik

22.2 Kontinuit¨atsgleichung elektrische Ladung Q in diesem Volumen mit der Zeit abnehmen. I ~ = − ∂Q ~j · dS ∂t

(514)

Diese Gleichung heißt die Kontinuit¨atsgleichung. Sie ist die mathematische Formulierung des Erhaltungssatzes der elektrischen Ladung. Das Minuszeichen deutet an, dass ein positiver Strom zur Folge hat, dass die positive Ladung im Volumen abnimmt (∂Q/∂t < 0). Diese Gleichung k¨onnen wir auch in differentieller Form schreiben. Dazu benutzen wir f¨ ur die Gesamtladung Q den Ausdruck Z Q = ρ dV

und wandeln das Integral u ¨ber die geschlossene Fl¨ache mit Hilfe des Gaußschen Satzes in ein Integral u ¨ber das eingeschlossene Volumen um I Z ~j · dS = div ~j dV . Damit erhalten wir

Z

Z

∂ρ dV . ∂t Dieser Zusammenhang soll f¨ ur beliebige Volumina gelten, daher finden wir div ~j dV = −

∂ρ + div ~j = 0 . ∂t

(515)

Dies ist die differentielle Form der Kontinuit¨atsgleichung. Kontinuit¨atsgleichungen dr¨ ucken immer einen Erhaltungssatz aus. So hatten wir z.B. bei der Fl¨ ussigkeitsstr¨omung eine Gleichung (Gl. 166 auf Seite 111) hergeleitet, die wir Kontinuit¨atsgleichung genannt hatten. Bei der Fl¨ ussigkeitsstr¨omung ist die Masse erhalten. Die Massenerhaltung l¨aßt sich mathematisch mit derselben Kontinuit¨atsgleichung wie bei der elektrische Ladung ausdr¨ ucken ∂ρ + div~j = 0 . (516) ∂t Dabei ist ρ die Massendichte und ~j = ρ~v (517) die Massenstromdichte. In Kap. 14.3 hatten wir den Spezialfall einer inkompressiblen Fl¨ ussigkeit in einem Rohr betrachtet, d.h. die Dichte bleibt immer konstant (∂ρ/∂t = 0). Damit reduziert sich die Kontinuit¨atsgleichung zu div ~j = 0 Wenn wir nun u ¨ber ein Rohr mit dem Einlassquerschnitt A1 und dem Ausflussquerschnitt A2 integrieren (s. Abb. 42 auf Seite 111), erhalten wir Z I ~ = −ρv1 A1 + ρv2 A2 . ~ 0 = divj dV = ~j · dS

Damit folgt das alte Ergebnis (166)

ρAv = const. G. Herten

258

Experimentalphysik

22.3 Widerstand

22.3

Widerstand

Wenn wir dieselbe Spannung an zwei St¨aben, z.B. aus Kupfer und aus Holz, anlegen, so messen wir sehr unterschiedliche Str¨ome. Beide Materialien haben einen verschiedenen elektrischen Widerstand. Er ist definiert durch ist definiert durch R=

V I

.

(518)

Diese Gleichung wird oft verwendet, um die Spannung zu messen. Dazu benutzt man ein Strommeßger¨at und pr¨azise Standardwiderst¨ande. Die Einheit des elektrischen Widerstandes ist Ohm = Volt/Ampere. Der Widerstand eines Stabes h¨angt nicht nur von dem Material ab, aus dem er besteht, sondern auch von seinen Maßen z.B. L¨ange und Querschnitt. Man benutzt daher h¨aufig den spezifischen elektrischen Widerstand ρ, der eine charakteristische Gr¨oße f¨ ur eine Substanz ist (ρ ist nicht zu verwechseln mit der Ladungsdichte). ρ=

E j

(Maßeinheit:

Ohm Meter)

(519)

H¨aufig verwendet man auch die elektrische Leitf¨ahigkeit σ, den Kehrwert des spezifischen Widerstandes σ = 1/ρ . (520) F¨ ur einen zylindrischen Leiter der L¨ange ℓ und dem Querschnitt A erhalten wir mit E = V /ℓ und j = I/A V /ℓ . ρ = I/A Mit R = V /I ergibt sich dann der Zusammenhang: R=ρ

ℓ A

.

(521)

¨ Tabelle 5 gibt einen Uberblick u ¨ber den spezifischen Widerstand einiger Materialien (bei 20◦ C). Die relative Temperaturabh¨angigkeit des spezifischen Widerstandes ist mit der Gr¨oße α=

1 dρ ρ dT

(522)

bei T = 20◦ C angegeben. Abb. 80 zeigt Beispiele f¨ ur die Temperaturabh¨angigkeit des spezifischen Widerstandes. F¨ ur Kupfer erkennen wir eine fast lineare Abh¨angigkeit von der Temperatur. F¨ ur T → 0 nimmt ρ den Wert 0, 02 · 10−8 Ohm - m an. Das zweite Beispiel zeigt Quecksilber (Hg). Unterhalb von 4 K ist Hg supraleitend. Der spezifische Widerstand sinkt sprunghaft auf Null ab. Wenn man die Beziehung R = V /I verwendet, um den Widerstand zu messen, muß man beachten, dass R im allgemeinen eine Funktion der angelegten Spannung ist. Abb. 81 zeigt den gemessenen Strom als Funktion der Spannung. F¨ ur Kupfer (linke Abbildung) finden wir einen linearer Zusammenhang zwischen I und V . Dies bezeichnet man als das Ohmsche Gesetz. Es besagt, dass der elektrische Widerstand in Metallen unabh¨angig von der angelegten Spannung G. Herten

259

Experimentalphysik

22.3 Widerstand

Material Aluminium Kupfer Kohlenstoff(amorph) Silber Wolfram Silizium, rein Silizium, n-leitend (typisch) Glas

ρ (Ohm-m) α (pro C ◦ ) bei 20◦ C 2, 75 · 10−8 4, 4 · 10−3 1, 69 · 10−8 4, 3 · 10−3 −5 3, 5 · 10 −5 · 10−4 1, 62 · 10−8 4, 1 · 10−3 5, 25 · 10−8 4, 5 · 10−3 3 2, 5 · 10 −70 · 10−3 8, 7 · 10−4 1010 − 1014

Tab. 5: Spezifischer Widerstand und Temperaturabh¨angigkeit f¨ ur verschiedene Materialien bei 20◦ C.

Abb. 80: Temperaturabh¨ angigkeit des elektrischen Widerstandes. Links die Temperaturabh¨angigkeit von Kupfer. Bei Raumtemperatur hat Kupfer den spezifischen Widerstand ρ = 1.69 · 10−8 Ω m. Der Widerstand von Quecksilber (rechts) f¨ allt unter 4 K abrupt auf Null. Quecksilber wird dann supraleitend.

G. Herten

260

Experimentalphysik

22.3 Widerstand

Abb. 81: Elektrischer Widerstand als Funktion der angelegten Spannung f¨ ur einen Ohmschen Widerstand (links) und f¨ ur eine Halbleiterdiode (rechts).

ist (d.h. R=const.). Das Ohmsche Gesetz gilt f¨ ur metallische Leiter. Viele Leiter folgen nicht dem Ohmschen Gesetz, z.B. eine Vakuumr¨ohre (s. rechte Abbildung) oder Halbleitermaterialien. H¨aufig wird (518) als Ohmsches Gesetz bezeichnet. Dabei handelt es sich aber nur um eine Definition des Widerstandes. Die eigentliche Aussage des Ohmschen Gesetzes ist, dass f¨ ur metallische Leiter R unabh¨angig von V oder I ist. Diese Leiter nennt man daher auch Ohmsche Leiter. In mikroskopischer Schreibweise kann man das Ohmsche Gesetz f¨ ur isotrope Materialien schreiben als ~ ~j = σ E (523) ~ Dies ist die in der Physik u F¨ ur ohmsche Leiter ist σ unabh¨angig von E. ¨bliche Schreibweise des ohmschen Gesetzes. Atomare Sicht Das Ohmsche Gesetz f¨ ur Metalle kann man leicht verstehen, wenn man die Bewegung der freien Elektronen wie die Molek¨ ulbewegung im Gas behandelt. Elektronen bewegen sich mit einer mittleren Geschwindigkeit v¯ = 1.5 · 106 m/s und stoßen in typischen Zeiten τs mit den Ionen des Metalls zusammen und werden dadurch aus ihrer Bahn abgelenkt. Die mittlere freie Wegl¨ange ist dann λ = v¯τs . Zwischen zwei St¨oßen erfahren die Elektronen die Beschleunigung a = eE/m und erreichen die Driftgeschwindigkeit vd vd = aτs

.

Mit ρ = E/j und (513) vd = j/ne erhalten wir somit ρ=

E E E m = = = 2 j nevd neaτs ne τs

.

(524)

Ein kleiner spezifischer Widerstand wird also dann erreicht, wenn die Elektronendichte n und die Zeit τs zwischen St¨oßen groß sind. Einsetzen von τs = λ/¯ v liefert ρ= G. Herten

1 m¯ v = 2 ne λ σ 261

.

(525) Experimentalphysik

22.4 Leistung v und λ h¨angen von der Geschwindigkeitsverteilung der Elektronen ab. Das elektrische Feld beeinflußt die Driftgeschwindigkeit vd . Da v¯ zehn Gr¨oßenordnungen gr¨oßer ist als vD , ¨andert sich die Geschwindigkeitsverteilung nicht durch Anlegen eines elektrischen Feldes. Somit sind v¯ und λ und damit ρ unabh¨angig von E. Gleichung (525) ist somit eine Herleitung des Ohmschen ~ mit σ = const., die unter der Annahme eines “Elektronengases” in Metallen Gesetzes ~j = σ E durchgef¨ uhrt wurde.

22.4

Leistung

Wir betrachten einen Stromkreis mit einer Batterie und einem “Kasten” mit zwei Anschl¨ ussen, eine ”Last”. Im Kasten k¨onnten sich ein Widerstand, ein Motor, eine Batterie oder andere Stromverbraucher befinden, die nicht n¨aher spezifiziert werden sollen. Es fließt ein konstanter Strom I. Zwischen den beiden Anschl¨ ussen a und b liegt die Spannung Vab an.

I a B

Last b

I Abb. 82: Stromkreis mit einer Batterie und einer Last mit den Anschl¨ ussen a und b.

Anschluß a befindet sich auf h¨oherem (d.h. positiverem) Potential als Anschluß b. Eine Ladung dq, die sich von a nach b bewegt, verliert daher die potentielle Energie dq Vab . Wegen der Energieerhaltung muß diese Energie in andere Energieformen umgewandelt werden. Die Energie, die im Zeitraum dt im Kasten umgewandelt wird, ist dann gegeben durch dU = dqVab = IVab dt . Die Leistung (Energieabgabe pro Zeit) ist somit gegeben durch dU = IVab . (526) dt Im speziellen Fall eines Widerstandes wird die elektrische Energie durch St¨oße der Elektronen mit den Ionen in W¨arme umgewandelt (Joulesche W¨arme). Mit R = V /I erhalten wir daher f¨ ur die Leistung eines Stromkreises mit einem Ohmschen Widerstand R P =

P = IV = I 2 R = V 2 /R .

(527)

Man beachte, dass (526) allgemein g¨ ultig ist, aber (527) nur f¨ ur die Umwandlung von elektrischer Energie in W¨arme in einem ohmschen Widerstand gilt. G. Herten

262

Experimentalphysik

22.5 Die Kirchhoffschen Regeln

22.5

Die Kirchhoffschen Regeln

Beim Betrieb von elektrischen Ger¨aten benutzt man Batterien oder elektrische Generatoren, die in der Lage sind, eine Spannung zwischen zwei Punkten aufrecht zu halten. In diesen Ger¨aten werden chemische, mechanische oder andere Energieformen in elektrische Energie umgewandelt. In einer Batterie muß die Arbeit dW verrichtet werden, um eine (positive) Ladung dq auf h¨oheres Potential zu bef¨ordern. dW = VB dq, wobei VB (oft auch elektromotorische Kraft E genannt) die Batteriespannung ist.

Abb. 83: Vergleich von elektrischem und mechanischem Potential.

Die Funktionsweise eines elektrischen Schaltkreises wird in der nebenstehenden Abbildung mit einem mechanischen Analogon verglichen. Die Batterie verrichtet Arbeit, die dann im Widerstand in W¨arme umgewandelt wird. Nach einem Umlauf befinden sich die Ladungen wieder auf dem urspr¨ unglichen Potential. Zur Berechnung von Stromkreisen benutzt man zwei Regeln (die Kirchhoffschen Regeln), die auf der Energie- und der Ladungserhaltung basieren (sp¨ater werden wir diese Regeln aus den Grundgleichungen der Elektrizit¨atslehre herleiten). 1) Ladungserhaltung (1. Kirchhoffsche Regel) An einem Knotenpunkt ist die Summe aller Str¨ome Null. I X ~=0 ~j · dS Ii = 0 oder

(528)

i

Dabei werden Str¨ome, die zum Knotenpunkt fließen, mit positivem und die wegfließenden Str¨ome mit negativem Vorzeichen gez¨ahlt.

G. Herten

263

Experimentalphysik

22.5 Die Kirchhoffschen Regeln 2) Energieerhaltung (2. Kirchhoffsche Regel) Die Summe aller Spannungsabf¨alle in einem geschlossenen Stromkreis ist Null. I X ~ · d~ℓ = 0 E Vi = 0 oder

(529)

i

Wir wollen nun die Anwendung beider Regeln anhand verschiedener Beispiele u ¨ben. Beispiel 1: Stromkreis mit Batterie und Widerstand Wir verwenden zun¨achst den oben betrachteten Schaltkreis mit einer Batterie und einem Widerstand (Abb. 83). Wir verwenden die 2. Kirchhoffsche Regel. Zun¨achst legen wir die Stromrichtung fest (nach unserer Konvention vom Pluspol zum Minuspol der Batterie). Innerhalb der Batterie zeigt die Stromrichtung dann vom Minus- zum Pluspol. Nun w¨ahlen wir eine Umlaufrichtung f¨ ur die Berechnung des Schaltkreises. Diese Umlaufrichtung ist beliebig (im Uhrzeigersinn oder entgegen dem Uhrzeigersinn). Wir w¨ahlen hier als Umlaufrichtung den Uhrzeigersinn. Somit sind Stromrichtung und Umlaufrichtung identisch. Die Spannungsdifferenz u ¨ber ein Schaltkreiselement ist die Differenz der Spannung hinter und vor dem Element in Stromrichtung gerechnet. Somit erhalten wir f¨ ur die Spannungsdifferenz an der Batterie V+ − V− = VB > 0 . Am Widerstand sehen wir aber, dass die Spannung vor dem Widerstand (Punkt a) gr¨oßer ist als die Spannung hinter dem Widerstand (Punkt b). Damit erhalten wir f¨ ur die Spannungsdifferenz VR am Widerstand VR = Vb − Va = −IR < 0 . Wir k¨onnen somit folgende Regeln festhalten: 1) Die Spannungsdifferenz an einem Widerstand ist −IR bei einem Umlauf in Stromrichtung und +IR entgegen der Stromrichtung. 2) Die Spannungsdifferenz an einer Batterie (oder einem Generator) ist +VB beim Umlauf in Stromrichtung und −VB entgegen der Stromrichtung. In unserem einfachen Beispiel erhalten wir daher mit dem 2. Kirchhoffschen Gesetz VB − IR = 0 oder VB = IR . Beispiel 2: Serienschaltung von Widerst¨ anden Nun betrachten wir eine Serienschaltung von drei Widerst¨anden. Der Strom ist in allen Widerst¨anden gleich. Die zweite Kirchhoffsche Regel liefert VB − I(R1 + R2 + R3 ) = 0 . Im Vergleich zu Beispiel 1 sehen wir, dass dieser Stromkreis mit drei Widerst¨anden die gleiche Stromst¨arke wie ein Kreis mit nur einem Widerstand R hat, falls R = R1 + R2 + R3 . Somit

G. Herten

264

Experimentalphysik

22.5 Die Kirchhoffschen Regeln I R1 I

+ VB

R2

−

R3

I

Abb. 84: Serienschaltung von Widerst¨anden. a

I

I1

+ VB

R1

−

I2

I3

R2

R3

I

Abb. 85: Parallelschaltung von Widerst¨ anden.

k¨onnen wir festhalten, dass der effektive Gesamtwiderstand R einer Serienschaltung gegeben ist durch X R= Ri . (530) i

Beispiel 3: Parallelschaltung von Widerst¨ anden Die Spannungsdifferenz an allen Widerst¨anden ist gleich. Mit dem 1. Kirchhoffschen Gesetz ist z.B. am Punkt a der einlaufende Strom I und der auslaufende Strom die Summe der Einzelstr¨ome I1 + I2 + I3 . Somit erhalten wir mit der 1. Kirchhoffschen Regel X Ii = I − I1 − I2 − I3 = 0 oder

I = I1 + I2 + I3 = VB



1 1 1 + + R1 R2 R3



=

VB R

.

Der effektive Gesamtwiderstand R einer Parallelschaltung ist daher 1 1 1 1 = + + ...+ R R1 R2 Rn

.

(531)

Beispiel 4: Zwei gekoppelte Stromkreise Insgesamt haben wir drei verschiedene Str¨ome in Abb. 86. Zun¨achst legen wir die Richtung der Str¨ome willk¨ urlich fest. Falls wir in unsere Rechnung einen negativen Strom I1 , I2 oder G. Herten

265

Experimentalphysik

22.5 Die Kirchhoffschen Regeln

Abb. 86: Zwei gekoppelte Stromkreise.

I3 erhalten sollten, so bedeutet dies, dass der Strom in Wirklichkeit in die entgegengesetzte Richtung fließt. Mit dem 1. Kirchhoffschen Gesetz erhalten wir am Punkt d: I1 + I3 − I2 = 0 .

(532)

Nun benutzen wir die 2. Kirchhoffsche Regel und durchqueren den linken Schaltkreis im entgegengesetzten Uhrzeigersinn. Dabei durchqueren wir R1 in Stromrichtung I1 und R3 entgegen der Stromrichtung von I3 . Unter Benutzung unserer Regeln finden wir V1 − I1 R1 + I3 R3 = 0 .

(533)

Analog erhalten wir f¨ ur den rechten Kreis (bei gleicher Umlaufrichtung) −V2 − I2 R2 − I3 R3 = 0 .

(534)

Insgesamt haben wir somit drei Gleichungen (532, 533, 534) und die drei unbekannten Str¨ome I1 , I2 , I3 . Aufl¨osen des Gleichungssystems ergibt: V1 (R2 + R3 ) − V2 R3 R1 R2 + R2 R3 + R1 R3 V1 R3 − V2 (R1 + R3 ) = R1 R2 + R2 R3 + R1 R3 −V1 R2 − V2 R1 = R1 R2 + R2 R3 + R1 R3

I1 =

(535)

I2

(536)

I3

.

Wir sehen, dass I3 negativ ist. Somit fließt der Strom I3 in Wirklichkeit von Punkt d zu Punkt b. Beispiel 5: RC Schaltkreis Wir betrachten einen Schaltkreis mit Batterie, Widerstand und Kondensator (Abb.87). Zun¨achst sei der Schalter S in Position b. Beim Umschalten in Position a fließt ein Strom von der Batterie u ¨ber R und C. Wie beim Widerstand verringert sich beim Kondensator die Spannung um VC = −q/C in Stromrichtung und VC = +q/C entgegen der Stromrichtung. Mit der 2. Kirchhoffschen Regel erhalten wir dann VB − IR − G. Herten

q =0 . C

266

Experimentalphysik

22.5 Die Kirchhoffschen Regeln

Abb. 87: RC-Schaltkreis mit Widerstand R und Kapazit¨at C.

Mit I = dq/dt finden wir dann die Differentialgleichung VB = R

dq q + dt C

.

(537)

Diese Gleichung hatten wir bereits in Kap. 7.2 gel¨ost. Wir finden VB q dq = − dt R RC und mit Integration

Z

q

0

dq ′ =− ′ q − VRB RC

Z

(538) t

dt′ . 0

Dieses Integral l¨asst sich mit der Substitution x=

q′ VB − und dq ′ = RC dx l¨osen. RC R RC ln

Wir erhalten das Ergebnis

q RC

− VRB = −t − VRB

q(t) = CVB (1 − e−t/RC ) = CVB (1 − e−t/τ ) .

(539)

τ = RC ist die Zeitkonstante dieses RC-Schaltkreises. F¨ ur den Strom erhalten wir dann I(t) =

VB −t/τ dq(t) = e dt R

.

(540)

Beide Funktionen sind in Abb. 88 dargestellt. Anfangs fließt ein großer Strom. F¨ ur große Zeiten (t ≫ RC) strebt der Strom gegen Null. Nun bringen wir den Schalter in Position b. Wir erwarten, dass sich der Kondensator u ¨ber den Widerstand entl¨adt. Wir verwenden wieder die 2. Kirchhoffsche Regel und durchlaufen den Stromkreis im Uhrzeigersinn. −IR − q/C = 0 oder R G. Herten

dq q + =0 . dt C 267

(541) Experimentalphysik

23 Magnetismus

100

Kondensator auf- und entladen

Spannung (Volt)

80 60 40

Strom (A)

20 0 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0 -0.002 -0.004 -0.006 -0.008 -0.01 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Zeit (sec)

Zeit (sec)

Abb. 88: Auf- und Entladen eines RC-Schaltkreises mit VB = 100 V , R = 10 kΩ und C = 1 µF . Nach t = 5τ = 0.05 sec wird der Kondensator entladen. Das obere Bild zeigt die Spannung am Kondensator und das untere den Strom als Funktion der Zeit.

Diese Differentialgleichung wird gel¨ost durch q(t) = q0 e−t/RC

,

(542)

wobei q0 die Anfangsladung des Kondensators ist (nach dem vorherigen Aufladen mit der Batterie ist q0 = CV ). F¨ ur den Strom finden wir I(t) =

dq(t) q0 −t/RC V =− e = − e−t/RC dt RC R

.

(543)

Der Entladestrom ist negativ. Er verl¨auft also entgegen der eingezeichneten Stromrichtung.

23 23.1

Magnetismus Die Lorentz-Kraft

Magnetische Effekte sind schon seit langem bekannt. Die Erfindung des Kompaß, der sich im Erdmagnetfeld ausrichtet, war ein bedeutender Fortschritt in der Schiffahrt. Zun¨achst wollen wir verstehen, wie man bestimmen kann, ob ein magnetisches Feld an einem Punkt existiert und welche Wirkung es auf eine bewegte Ladung hat. (Sp¨ater soll ausf¨ uhrlich untersucht werden, wie magnetische Felder erzeugt werden k¨onnen.) G. Herten

268

Experimentalphysik

23.1 Die Lorentz-Kraft ~ Sie Der grundlegende magnetische Feldvektor ist die sogenannte magnetische Induktion B. ~ entspricht dem E-Vektor in der Elektrizit¨at. Wir betrachten ein Experiment, bei dem ein ~ ~ Elektronenstrahl in ein homogenes B-Feld geschossen wird. Das B-Feld wird mit zwei Spulen erzeugt. Die Elektronen treten an einer Gl¨ uhkathode aus und werden durch eine positiv vorgespannte Anode beschleunigt und fokussiert. Die Bahn des Strahls in einem Glaskolben wird durch St¨oße mit Wasserstoffmolek¨ ulen als blau schimmernde Spur sichtbar. Der Elektro~ nenstrahl wird senkrecht zum B-Feld eingeschossen. Wir beobachten, dass der Elektronenstrahl ~ abgelenkt wird und sich bei gen¨ ugend hohem B-Feld auf einer Kreisbahn bewegt. Nach Kap. 3.1 heißt dies, dass eine Kraft auf die Elektronen wirkt, die zentral zum Kreismittelpunkt gerichtet ~ Der Kreisradius ¨andert sich, wenn ist. Die resultierende Kraft wirkt senkrecht auf ~v und auf B. ~ man das B-Feld oder die Geschwindigkeit ~v der Elektronen variiert. Mit diesen Experimenten kann man das Kraftgesetz f¨ ur einen bewegten K¨orper der Ladung q im Magnetfeld herleiten. Man findet f¨ ur die Kraft (Lorentz-Kraft) ~ F~ = q ~v × B

.

(544)

~ ~ das E-Feld ~ Dies ist die Definitionsgleichung f¨ ur das B-Feld, in ¨ahnlicher Weise, wie F~ = q E fest~ legt. Die Lorentzkraft verschwindet, wenn ~v und B parallel zueinander stehen. Bei gleichzeitig ~ und B-Feld ~ vorhandenem Ewirkt daher die Kraft ~ + ~v × B) ~ F~ = q(E

(545)

~ auf eine Probeladung q. Bei dem oben erw¨ahnten Experiment, der Kreisbewegung im B-Feld, ist ~ die Lorentzkraft gleich der Zentripetalkraft. Da ~v und B senkrecht aufeinander stehen, k¨onnen wir f¨ ur die Betr¨age schreiben mω 2 r = qvB . (546) Mit v = ωr ergibt sich dann f¨ ur die Winkelgeschwindigkeit q ω= B . m

(547)

Die Umlauffrequenz f = ω/2π ist

1 q B . (548) 2π m Diese Frequenz wird auch Zyklotronfrequenz genannt. F¨ ur den Bahnradius erhalten wir mit (546) mv p r= = . (549) qB qB Gleichungen (548) und (549) sind in vieler Hinsicht interessant. Zum einen ist (548) unabh¨angig von r, d.h. die Umlaufzeit ist f¨ ur alle Bahnen gleich. Sowohl in (548) als auch in (549) erscheint ~ das Verh¨altnis q/m. Bei bekanntem B-Feld erlaubt die Messung der Zyklotronfrequenz eine Bestimmung von q/m. Gleichung (549) wird in vielen Teilchendetektoren verwendet, um aus der Kr¨ ummung einer Spur im Magnetfeld den Impuls p zu bestimmen. Da die Lorentzkraft immer senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor steht, wird aufgrund des Magnetfeldes keine Arbeit am Elektron verrichtet. Die kinetische Energie des Elektrons bleibt konstant. Die Einheit der magnetischen Induktion ist Tesla. f=

Tesla = G. Herten

N Ns = Cm Am 269

. Experimentalphysik

23.2 Kraft auf einen Leiter Eine ¨altere Einheit ist Gauß. 1Tesla = 104 Gauß.

23.2

Kraft auf einen Leiter

Abb. 89: Kraft auf einen Leiter mit der Ladungsdichte ~j, der sich in einem ¨außeren B-Feld befindet.

Wir betrachten einen Leiter, der senkrecht zu einem konstanten Magnetfeld angeordnet ist. Elektronen bewegen sich im Leiter mit einer mittleren Geschwindigkeit vd (Driftgeschwindigkeit ~ in –E-Richtung). Die zeitlich gemittelte Lorentzkraft auf ein einzelnes Elektron ist daher F ′ = e vd B

(e ist die Elektronladung) .

Mit (513) vd = j/ne finden wir

j jB B= . ne n Ein Leiter der L¨ange ℓ und Querschnitt A hat nAℓ freie Elektronen. Die Gesamtkraft auf alle freien Elektronen im Draht ist daher F′ = e

F = nAℓF ′ = jAℓB = IℓB

.

(550)

In der Herleitung ist es gleichg¨ ultig, ob wir ein negativ oder positiv geladenes Teilchen betrachten. Sowohl e als auch vd ¨andern ihr Vorzeichen, sodass die Kraft immer in dieselbe Richtung

G. Herten

270

Experimentalphysik

23.3 Hall-Effekt ~ zeigt. Gleichung (550) l¨aßt sich verallgemeinern, indem wir zulassen, dass Leiter und B-Feld nicht senkrecht aufeinander stehen m¨ ussen. Wir finden ~ F~ = I ~ℓ × B

.

(551)

Dabei ist ~ℓ der Ortsvektor, der in Stromrichtung entlang des Leiters zeigt. Gekr¨ ummte Leiter k¨onnen wir in kleine St¨ ucke d~ℓ unterteilen und erhalten die auf sie wirkende Kraft dF~ ~ dF~ = Id~ℓ × B

23.3

.

(552)

Hall-Effekt

E.M. Hall konnte in einem Experiment 1879 zeigen, dass die Ladungstr¨ager im Metall negativ sind. Um dieses Experiment zu verstehen, betrachten wir zwei Metallb¨ander im Magnetfeld.

Abb. 90: Erl¨auterungen zum Halleffekt. (a) zeigt die Ablenkung eines negativen Ladungstr¨agers im B-Feld nach rechts aufgrund der Lorentzkraft. Am rechten Rand sammeln sich negative Ladungen. (b) Gleichgewicht der Kr¨afte f¨ ur negative Ladungstr¨ager. (c) Gleichgewicht der Kr¨afte f¨ ur positive Ladungstr¨ager. Das Vorzeichen der seitlichen Spannungsdifferenz erlaubt somit eine Bestimmung der elektrischen Ladung der Ladungstr¨ager. Hallsonden werden zur Messung des B-Felder verwendet (aus Halliday-Resnick).

Im linken Band in Abb.90 bewegt sich eine negative Ladung nach oben, entgegen der Stromrichtung. Bei der eingezeichneten Orientierung des B-Feldes wirkt die Lorentzkraft nach rechts. Am rechten Seitenrand sammeln sich somit negative Ladungen, so dass der rechte Rand im Vergleich zum linken eine negative Spannung hat. Die Spannungsdifferenz erreicht dann einen S¨attigungswert, wenn die Lorentzkraft FB gleich der elektrischen Anziehungskraft FE zwischen G. Herten

271

Experimentalphysik

23.4 Das Amp`eresche Gesetz der positiven und negativen Ladungen an den Seiten ist, wie in Abb (b) f¨ ur negative Ladungstr¨ager dargestellt. Falls die beweglichen Ladungstr¨ager aber positiv sein sollten, so sollte sich ebenfalls eine Spannungsdifferenz ausbilden, nun aber mit umgekehrten Spannungsvorzeichen. Aus der Messung dieser Querspannung (Hall-Spannung) kann man somit das Ladungsvorzeichen der freien Ladungstr¨ager bestimmen. Die Experimente zeigen, dass die freien Ladungstr¨ager negativ sind. Wir wollen nun die Hallspannung berechnen. Aufgrund der Hallspannung bildet sich zwischen dem linken l und rechten r Rand ein elektrisches Feld EH = Vlr /d , das eine Kraft FH = qEH erzeugt, die der Lorentzkraft entgegengerichtet ist. Die Vektorsumme beider Kr¨afte ist im Gleichgewicht Null ~ H + q~vd × B ~ = 0 qE ~ H = −~vd × B ~ E ~ H und B ~ kann man dann sowohl den Betrag als auch die Richtung Mit einer Messung von E von ~vd bestimmen. Damit wird das Vorzeichen der Ladungstr¨ager festgelegt. Unter Verwendung von vd = j/ne finden wir f¨ ur die Betr¨age EH =

j B ne

.

Mit Vlr = EH · d und j =

I I = A hd

,

wobei h die Dicke des Streifens ist, erhalten wir Vlr =

IB neh

.

(553)

Hallproben k¨onnen benutzt werden, um die St¨arke der magnetischen Induktion B zu messen. Man kann damit auch die Anzahl der Ladungstr¨ager pro Volumen n im Metall bestimmen.

23.4

Das Amp` eresche Gesetz

In den vorhergehenden Kapiteln haben wir die Wirkung des magnetischen Feldes auf einen Leiter und eine bewegte Ladung untersucht. Nun wollen wir verstehen, wie man ein magnetisches Feld erzeugen kann. Dazu diskutieren wir den Effekt, der 1824 von Oersted entdeckt wurde, dass sich um einen stromdurchflossenen Leiter ein kreisf¨ormiges Magnetfeld bildet. Mathematisch wird diese experimentelle Beobachtung durch das Amp`eresche Gesetz ausgedr¨ uckt, das ~ eine Beziehung zwischen dem B-Feld und dem Strom im Leiter herstellt. I ~ · d~ℓ = µ0 I B (554) Dabei ist µ0 ≡ 4π · 10−7 Tm/A = 4π · 10−7 kg m/(A2 s2 ) G. Herten

272

(555) Experimentalphysik

23.4 Das Amp`eresche Gesetz ~ die Induktionskonstante oder magnetische Feldkonstante. Die Richtung des B-Feldes um den Leiter ist damit festgelegt (“Rechte-Hand-Regel”). Wir umschließen den Leiter mit der rechten Hand so, dass der Daumen in Richtung des Stromes zeigt. Die Finger zeigen dann in Richtung ~ des B-Feldes. Gleichung (554) bedeutet, dass das Linienintegral entlang einer geschlossenen Kurve gleich dem Strom ist, der die eingeschlossene Fl¨ache durchsetzt. Eine andere mathematische Formulierung des Amp`ereschen Gesetzes ist somit Z I ~ ~ . ~ B · dℓ = µ0 ~j · dS (556) Das Oberfl¨achenintegral erstreckt sich u ¨ber die Fl¨ache, die von der geschlossenen Kurve begrenzt wird. Die Form der Oberfl¨ache ist fei w¨ahlbar,aber sie muss als Rand die die geschlossene Intergrationskurve haben. Wir wollen nun das Amp`eresche Gesetz verwenden, um Magnetfelder zu berechnen. ~ um einen geraden, langen Leiter Beispiel 1: B-Feld

B P

dl

r

Abb. 91: Berechnung des B-feldes um einen geraden Leiter.

¨ Ahnlich wie beim Gaußschen Gesetz m¨ ussen wir hier Symmetrieannahmen machen, um Randeffekte vernachl¨assigen zu k¨onnen. Wir machen die Annahme, dass der Leiter gerade und sehr lang ist. (d.h. die L¨ange muss sehr viel gr¨oßer sein als der Abstand r zum Leiter, bei dem wir das B-Feld bestimmen wollen). Dies Notwendigkeit dieser Annahme ist zun¨achst u ¨ berraschend, da das Amp`eresche Gesetz aussagt, dass der Strom durch die Fl¨ache relevant ist und keine Aussage macht, wie der Strom danach weiterfließt. Allerdings m¨ ussen wir auch hier einen Integrationsweg w¨ahlen,auf dem das B-Feld konstant ist. Nur so k¨onnen wir das Intergral l¨osen und B berechnen. Naheliegend ist ein Kreis als Integrationsweg. Dies impliziert aber sofort, dass wir den Leiter als gerade und sehr lang annehmen. Denn nur dann sind die B-Feldlinien um den Leiter kreisf¨ormig. Mit der Wahl des Integrationsweges machen wir somit Annahmen u uhren somit die Integration u ¨ber die Form des Leiters. Wir f¨ ¨ber den Kreis mit Radius r durch und erhalten I Z Z ~ ~ B · dℓ = Bdℓ = B dℓ = B2πr = µ0 I . (557) Somit

B= G. Herten

µ0 I 2π r 273

.

(558) Experimentalphysik

23.4 Das Amp`eresche Gesetz ~ Das B-Feld um einen stromdurchflossenen Leiter f¨allt also mit 1/r ab. ~ innerhalb eines Leiters Beispiel 2: B-Feld Der Gesamtstrom im Leiter sei I und die Stromdichte sei u ¨berall im Innern des Leiters konstant.

B dl

R

r

P

Abb. 92: Berechnung des B-Feldes innerhalb eines zylindrischen Leiters mit dem Radius R.

Wir integrieren u ¨ber einen Kreis mit dem Radius r(r < R). Durch die eingeschlossene Fl¨ache fließt dann der Strom Ir . Z ~ = jπr 2 Ir = ~j · dS Mit I = jπR2 erhalten wir

Ir = I Also

und damit

I

r2 R2

.

2 ~ · d~ℓ = B2πr = µ0 I r B R2

B=

µ0 I r 2π R2

.

(559)

Beispiel 3: Kraft auf zwei parallele Leiter Wir betrachten zwei lange parallele Leiter, durch die die Str¨ome Ia und Ib in dieselbe Richtung fließen. Der Strom Ia erzeugt am Ort des Leiters b ein Magnetfeld ~ a = µ0 Ia B 2π d

.

(560)

Nach der Gleichung (552) ~ F~ = I ~ℓ × B

(561)

wirkt dann auf den Leiter b eine Kraft Fb , die zum Leiter a gerichtet ist. Fb = Ib ℓBa = G. Herten

274

µ0 ℓIa Ib 2π d

(562) Experimentalphysik

23.4 Das Amp`eresche Gesetz

Abb. 93: Kraft auf zwei parallele, stromdurchflossene Leiter.

Ebenso erzeugt der Strom Ib ein Magnetfeld am Ort des Leiters a. Die dabei entstehende Kraft ist zum Leiter b gerichtet. Wir k¨onnen somit festhalten, dass sich die Leiter bei parallelem Strom anziehen und bei antiparallelem Strom abstoßen. Die Anziehung von langen parallelen Dr¨ahten wird benutzt, um die Maßeinheit Amp`ere festzulegen, indem man die Stromst¨arke auf die Messung einer Kraft nach Gleichung (562) zur¨ uckf¨ uhrt. Wir betrachten als Beispiel zwei Dr¨ahte im Abstand von 1 m voneinander. Die Stromst¨arke in beiden Dr¨ahten sei 1 A. F¨ ur 1 m lange Dr¨ahte erhalten wir dann die Kraft F =

µ0 ℓIa Ib = 2 · 10−7 N . 2π d

Beispiel 4: Spule (Solenoid) Wir betrachten eine Spule, die aus aufgewickeltem Draht hergestellt wurde. Im Draht fließt der ~ Strom I0 . Wir wollen das B-Feld innerhalb der Spule berechnen. Dazu machen wir die N¨ahe~ rungen, dass die Spule sehr lang ist,sowie dass das B-Feld im Innern konstant und außen vernachl¨assigbar klein ist (siehe rechte Abbildung in 94). Zur Berechnung nach dem Amp`ereschen ~ hat. Der Gesetz integrieren wir u ¨ber das Rechteck abcd, das eine L¨ange h in Richtung von B Strom, der durch das Rechteck fließt, ist I = I0 nh , wobei

(563)

n die Anzahl der Windungen pro L¨ange angibt. Das Linienintegral l¨aßt sich in vier Teilbereiche unterteilen: Z a Z d Z c Z b I ~ · d~ℓ . ~ · d~ℓ + ~ · d~ℓ + ~ · d~ℓ + ~ · d~ℓ = B (564) B B B B a

c

b

d

~ und d~ℓ parallel zu einander steDas erste Integral auf der rechten Seite ist gleich Bh, da B ~ und d~ℓ senkrecht aufeinander stehen. hen. Das zweite und vierte Integral sind Null, da B

G. Herten

275

Experimentalphysik

23.4 Das Amp`eresche Gesetz

Abb. 94: Berechnung des B-Feldes in einer Solenoidspule.

~ Das dritte Integral liefert keinen Beitrag, da das B-Feld außerhalb der idealen langen Spule als vernachl¨assigbar klein angenommen wird. Mit (563) und (564) erhalten wir somit f¨ ur die magnetische Induktion im Innern einer langen Spule B = µ0 nI0

.

(565)

Wir sehen, dass B nicht von der L¨ange oder dem Durchmesser der Spule abh¨angt. Beispiel 5: Ringspule (Toroid)

Abb. 95: Berechnung des B-Feldes in einer Toroidspule.

Nun betrachten wir einen Toroidmagnet. Er besteht aus einem Draht, der auf einem Ring aufgerollt wird. Im Grunde ist ein Toroid ein Solenoid, der so gebogen wird, dass Anfang ~ und Ende zusammenstoßen. Es bildet sich ein kreisf¨ormiges B-Feld im Raum zwischen den Leiterschleife. Bei idealen Toroiden ist das Feld außerhalb der Leiterschleife Null. Wir verwenden das Amp`eresche Gesetz und integrieren u ¨ ber einen Kreis mit dem Radius r, der sich zwischen G. Herten

276

Experimentalphysik

23.5 Das Biot-Savart Gesetz beiden Leiterschleifen befindet. I

~ · d~ℓ = B2πr = µ0 I = µ0 NI0 B

,

wobei I0 der Strom im Draht ist und N die Anzahl der Windungen. I = NI0 ist der Gesamt~ strom, der durch die umschlossene Fl¨ache fließt. Das B-Feld zwischen den Leiterschleifen ist somit gegeben durch µ0 NI0 . (566) B= 2π r Es hat den f¨ ur einen Toroiden charakteristischen 1/r Verlauf. Falls wir bei der Integration einen Kreis benutzen, der innerhalb oder außerhalb der Leiterschleife liegt, so ist der Gesamtstrom gleich Null. Somit gibt es nach dem Amp`ereschen Gesetz kein Magnetfeld im Innen- oder Außenbereich des Toroiden.

23.5

Das Biot-Savart Gesetz

~ Mit R dem Amp`ereschen Gesetz l¨aßt sich das B-Feld berechnen, wenn man die Stromverteilung ~ kennt. Dieses Gesetz ist allgemein g¨ ~j·dS ultig. Allerdings lassen sich einfache Rechnungen nur bei symmetrischen Stromverteilungen durchf¨ uhren. In der Elektrostatik hatten wir eine ¨ahnliche ultig ist, kann das Oberfl¨achenintegral HSchwierigkeit. Obwohl das Gaußsche Gesetz allgemein g¨ ~ · dS ~ nur f¨ E ur Probleme mit hoher Symmetrie einfach berechnet werden. Bereits f¨ ur den elektrischen Dipol hatten wir das Gaußsche Gesetz nicht mehr benutzt, sondern den Dipol in zwei Punktladungen zerlegt und das Potential zweier Punktladungen berechnet. Allgemein kann man daher jede Ladungsverteilung in kleine Ladungselemente dq unterteilen und dann ~ die Beitr¨ R age dV zum Gesamtpotential, bzw. die Beitr¨age dE zum gesamten elektrischen Feld ~ = dE ~ mit dem Coulombgesetz berechnen. E

Abb. 96: Berechnung des B-Feldes verursacht durch den Strom I in einem gekr¨ ummten Stromleiter. ~ zum Der Stromleiter wird in Teilst¨ ucke dl zerlegt, die nach dem Biot-Savart Gesetz die Beitr¨age dB B-Feld geben.

~ ¨ Ahnlich gehen wir bei der Berechnung von B-Feldern aus Stromverteilungen vor. Wir be~ ~ trachten ein Stromelement dℓ und berechnen am Punkt P im Abstand ~r das Magnetfeld dB, G. Herten

277

Experimentalphysik

23.5 Das Biot-Savart Gesetz das durch dieses Stromelement erzeugt wird. d~ℓ zeigt in Richtung der Tangente an den Leiter. ~ zeigt in Richtung des Vektorproduktes d~ℓ × ~r. F¨ ~ = 0 und f¨ dB ur ϑ = 0 ist dB ur ϑ = 90◦ fin~ Die experimentellen Erfahrungen mit stromdurchflossenen det man einen Maximalwert f¨ ur dB. ~ Leitern kann man im Gesetz von Biot-Savart zusammenfassen. Man findet f¨ ur den Betrag |dB| ~ = |dB| Unter Verwendung von

µ0 I dℓ sin ϑ . 4π r2

(567)

r dℓ sin Θ = |d~ℓ × ~r|

erh¨alt man die vektorielle Schreibweise des Biot-Savart Gesetzes ~ = dB

µ0 I dℓ × ~r 4π r 3

.

(568)

~ p am Punkt P ergibt sich dann F¨ ur die magnetische Induktion B ~p = B

Z

~ = µ0 I dB 4π

Z

d~ℓ × ~r r3

.

Dabei ist ~r der Ortsvektor vom Stromelement d~ℓ zum Punkt P . Zur Vollst¨andigkeit soll diese Gleichung nun allgemeiner formuliert werden. Wir nehmen eine Stromverteilung ~j(~r ′ ) an. Dann erhalten wir f¨ ur das B-Feld am Ort ~r Z ~j(~r ′ ) × (~r − ~r ′ ) µ0 ~ B(~r) = d3 r~′ . (569) 4π |~r − ~r ′ |3 Dabei erstreckt sich das Integral u ¨ber die Volumenelemente d3 r~′ .

Leiter

y j

r − r’ r’

P

r x

Abb. 97: Definition der Gr¨oßen bei der Rechnung mit dem Biot-Savart-Gesetz. ~r ist der Ortsvektor zum Punkt P und r~′ der Vektor zum Stromelement. Die Integration erfolgt ¨ uber den ganzen r~′ Raum, aber nur innerhalb des Leiters ist die Stromdichte von Null verschieden.

G. Herten

278

Experimentalphysik

23.6 Differentielle Form des Amp`ereschen Gesetzes

23.6

Differentielle Form des Amp` ereschen Gesetzes

¨ Das Gaußsche Gesetz hatten wir in Integral- und Differentialform angegeben. Der Ubergang wurde mit dem Gaußschen Satz durchgef¨ uhrt, der ein Oberfl¨achen- in ein Volumenintegral ¨ u berf¨ u hrt. Ahnlich werden wir nun auch beim Amp`ereschen Gesetz vorgehen und wollen an ¨ ~ Stelle des Stromes die Stromdichte j verwenden. Z I ~ ~ ~ B · dℓ = µ0 ~j · dS (570)

Nun k¨onnen wir den Stokes’schen Satz (s. math. Formelsammlung FS 9.2) anwenden. Er lautet I Z ~ ~ · dℓ = ~ · dS ~ . B rot B (571) Das Linienintegral u ¨ber eine geschlossene Linie ist gleich einem Integral u ¨ber eine eingeschlossene Fl¨ache. Damit erhalten wir das Amp`eresche Gesetz in Differentialform ~ = µ0~j rot B

.

(572)

Der Differentialoperator Rotation ist dabei folgendermaßen definiert: ~ = ∇ ~ ~ rot B  ×B      ∂Bz ∂By ∂Bx ∂Bz ∂By ∂Bx = − − − ~ex + ~ey + ~ez ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

.

(573)

Bisher k¨onnen wir somit zwei Gesetze festhalten: 1) Gaußsches Gesetz ε0 2) Amp`eresches Gesetz

I

I

~ · dS ~=Q , E

~ · d~ℓ = µ0 I B

;

~ = ρ div E ε0 ~ = µ0~j rot B

(574)

.

(575)

~ und rot E ~ lauten k¨onnten. Wir k¨onnen uns nun fragen wie die entsprechenden Gesetze f¨ ur div B ~ Die Quellen von B-Feldern sind Str¨ome, d.h. es gibt keine magnetischen Ladungen, die man auch Monopole nennt. Die einfachste Feldverteilung, z.B. bei einem Kreisstrom (s. Kap.23.8) ist ein magnetischer Dipol. Der Gaußsche Satz f¨ ur die magnetische Induktion lautet somit I ~ · dS ~ = 0 oder div B ~ =0 . B (576)

Die Aussage dieses Gesetzes ist somit: Es gibt keine magnetischen Monopole. Zur Berechnung ~ erinnern wir uns an das zweite Kirchhoffsche Gesetz (Maschenregel): Die Summe der von rot E Spannungsdifferenzen u ¨ber einen geschlossenen Weg ist Null. I ~ · d~ℓ = 0 oder rot E ~ =0 . E (577)

~ und B ~ Felder g¨ Dieses Gesetz ist nur f¨ ur statische E ultig. Die Bedeutung dieses Gesetzes erkennt man, wenn man sich an Kap. refsubsec:konservativ und 9.3 erinnern. Dort hatten wir notwendige und hinreichende Kriterien festgehalten, ob ein Vektorfeld, z.B. Kraftfeld F~ (~r), konservativ ist. Die Kriterien sind: G. Herten

279

Experimentalphysik

23.7 Grundgleichungen der Elektrostatik a) F~ l¨aßt sich als Gradient einer skalaren Funktion U darstellen: F~ = − grad U b)

H

F~ · d~r = 0; d.h. die Arbeit ist unabh¨angig vom Weg.

c) Mit Hilfe des Stokes’schen Satzes k¨onnen wir (b) umformen und wir erhalten, dass ein Vektorfeld konservativ ist, wenn die Rotation verschwindet. rot F~ = 0 ~ r ) ist konservativ. Wir Die Aussage von (577) ist somit: Das elektrostatische Feld E(~ k¨onnen ebenfalls zeigen, dass aus (a) Kriterium (c) folgt. F~ = −grad U ~ × ∇U ~ =0 rot F~ = −rot grad U = −∇ Der Nabla-Operator gehorcht dem normalen Vektorkalk¨ ul. Das Vektorprodukt zweier identischer Vektoren ist Null.

23.7

Grundgleichungen der Elektrostatik

Die physikalischen Gesetze f¨ ur statische (zeitunabh¨angige) elektrische und magnetische Felder lassen sich somit in kompakter Form darstellen. ~ = ρ div E ε0 ~ =0 rot E

(578) (579)

~ =0 div B

(580)

~ = µ0~j rot B

(581)

I

(582)

Oder in integraler Form: ~ · dS ~=Q ε0 E I ~ · d~ℓ = 0 E I

I

G. Herten

(583)

~ · dS ~ =0 B

(584)

~ · d~ℓ = µ0 I B

(585)

280

Experimentalphysik

23.8 Der magnetische Dipol

Abb. 98: Definition des magnetischen Dipolmomentes m. ~ Es steht senkrecht auf der Fl¨ache, die von der Leiterschleife umschlossen wird.

23.8

Der magnetische Dipol

Das Analogon zum elektrischen Dipol ist der magnetische Dipol. Ein magnetischer Dipol wird z.B. durch eine stromdurchflossene Leiterschleife gebildet (Abb. 98. Das magnetische Dipolmoment m ~ wird nun definiert als Produkt von Strom I und Schleifenfl¨ache S. Die Richtung von m ~ ist mit der Rechten-Hand-Regel mit dem Strom I verkn¨ upft. Wenn die Finger in Stromrichtung liegen, zeigt der Daumen in Richtung des Dipolmomentes. m ~ steht senkrecht auf der Schleifenfl¨ache. Abb. 99 zeigt einen Vergleich des Feldes eines elektrischen und eines magnetischen Dipols (stromdurchflossener Ring). Wir erkennen wichtige Unterschiede. Die elektrischen Feldlinien entstehen und verschwinden bei den Ladungen. Die magnetischen Feldlinien hingegen sind ~ = 0. Die Richtungen von ~p und m immer geschlossen, da u ~ sind so ¨berall gelten muß div B ~ und m definiert, dass beide in den Abbildungen nach oben zeigen. ~p ist entgegengesetzt zu E ~ ist ~ parallel zu B gerichtet. Betrachtet man Entfernungen, die sehr viel gr¨oßer als die Abst¨ande der beiden Ladungen, bzw. Durchmesser des Ringes sind, so stellt man fest, dass sich beide Felder ¨ahneln. Das elektrische Feld im Fernbereich entspricht dem Feld eines elektrischen Dipols. Das Fernfeld des Ringstromes entspricht dem magnetischen Dipol und hat dieselbe mathematische Struktur. Wir werden nun die Kr¨afte auf eine Stromschleife im Magnetfeld berechnen. Dazu verwenden wir die Bezeichnungen in Abb. 100. Die resultierende Kraft auf die Stromschleife wird durch die Kr¨afte F~1 und F~3 gegeben. Sie verursachen ein Drehmoment ~τ , das die Schleife im Magnetfeld ~ erhalten wir f¨ dreht. Mit F~ = I(~ℓ × B) ur F~1 und F~3 die Betr¨age |F~1 | = |F~3 | = IaB

.

F~1 und F~3 sind entgegengesetzt gerichtet, so dass die Gesamtkraft auf dem Schwerpunkt der Stromschleife Null ist. Allerdings entsteht ein Drehmoment mit dem Betrag  b ~ τ= |F1 | + |F~3 | sin Θ = IabB sin Θ . (586) 2 Bei N Windungen erhalten wir τ = NIabB sin Θ. Nun ist ab die effektive Fl¨ache der Stromschleife. Unter Benutzung des magnetischen Dipolmomentes m = NIab finden wir τ = m · B sin Θ . G. Herten

281

(587) Experimentalphysik

23.8 Der magnetische Dipol

Abb. 99: Feldlinien beim elektrischen und magnetische Dipol. F¨ ur große Abst¨ande sind beide Felder sehr ¨ahnlich. B-Felder immer geschlossen. E-Felder hingegen beginnen bei der positiven und enden bei der negativen Ladung.

Dieser Zusammenhang gilt f¨ ur alle geschlossenen Leiterschleifen, nicht nur f¨ ur rechteckige, die hier betrachtet wurden. Vektoriell k¨onnen wir schreiben ~ ~τ = m ~ ×B

.

(588)

Die potentielle Energie des Dipols im ¨außeren magnetischen Feld ist dann gegeben durch Z Z Θ U = τ dΘ = mB sin Θ′ dΘ′ = −mB cos Θ . (589) 90◦

Dabei wurde Θ = 90◦ als Energienullpunkt festgelegt. Vektoriell erhalten wir somit ~ U = −m ~ ·B

.

(590)

Die Gleichungen f¨ ur Drehmoment und potentielle Energie sind analog zum elektrischen Dipol. Entsprechend kann man zeigen, dass auch die Kraft auf einen magnetischen Dipol in einem G. Herten

282

Experimentalphysik

23.8 Der magnetische Dipol

Abb. 100: Eine stromdurchflossene Leiterschleife in einem ¨außeren homogenen Magnetfeld (HallidayResnick).

~ ~ r) die gleiche Form hat wie im elektrischen Fall ortsabh¨angigen B-Feld B(~ ~ r) . F~ = (m ~ grad)B(~

(591)

Die magnetische Induktion eines magnetischen Dipols ist gegeben durch ~ · ~r)~r − (~r · ~r)m ~ ~ r) = µ0 3(m B(~ 5 4π r

.

(592)

Dies ist das magnetische Feld eines Ringstromes im Fernbereich.

Abb. 101: Ein stromdurchflossener Ring mit dem Radius R.

Als Beispiel soll nun das von einem Ringstrom erzeugte Magnetfeld auf der Symmetrieachse (x-Achse) berechnet werden. Zu jedem Stromelement d~ℓ im Ring gibt es ein gegen¨ uberliegendes G. Herten

283

Experimentalphysik

23.8 Der magnetische Dipol ~ Element d~ℓ ′ so, dass sich die transversalen Komponenten dB⊥ f¨ ur Punkte auf der x-Achse aufheben. Auf der x-Achse erhalten wir somit Z B = dBk . Mit dem Gesetz von Biot-Savart (568) finden wir

µ0 I sin 90◦ dℓ . 4π r 2 = dB cos α ergibt sich µ0 I cos α dℓ = 4π r 2

dB = Mit dBk dBk Weiter erhalten wir mit

√ x2 + R2 und cos α = R/r = R/ R2 + x2 µ0 I R dBk = dℓ . 4π (R2 + x2 )3/2 R Integration u ¨ber den Ring mit dem Radius R liefert dℓ = 2πR: Z Z µ0 I µ0 I R R2 B = dBk = dℓ = 4π (R2 + x2 )3/2 2 (R2 + x2 )3/2 r =

√

(593)

F¨ ur den Fernbereich x ≫ R erhalten wir dann

µ0 I R 2 . (594) B(x) = 2 x3 Die Fl¨ache des Ringes ist πR2 . Wir k¨onnen somit IπR2 als das magnetische Dipolmoment des Kreisstromes auffassen: m = IπR2 , oder f¨ ur N Windungen m = NIπR2 . Damit k¨onnen wir schreiben: µ0 m B(x) = . (595) 2π x3 ~ r) u Dieses Resultat stimmt mit der allgemeinen Gleichung (592) f¨ ur B(~ ¨berein. In unserem Beispiel hat das magnetische Dipolmoment nur Komponenten in x-Richtung. m ~ = (m, 0, 0) ; m ~ · ~r = mx Dann erhalten wir mit (592) µ0 3mx2 − r 2 m 4π r5 µ0 3mxy By = 4π r 5 µ0 3mxz Bz = 4π r 5 F¨ ur Punkte auf der x-Achse ist y = 0 und z = 0. Somit sehen wir, dass die transversalen ~ Null sind, By = 0 und Bz = 0, wie vorhin besprochen. Es bleibt nur die Komponenten von B Komponente in x-Richtung (mit x = r) Bx =

Bx =

µ0 3m − m µ0 m = 4π x3 2π x3

¨ in Ubereinstimmung mit (595). G. Herten

284

Experimentalphysik

23.9 Dipol-Dipol Wechselwirkung

23.9

Dipol-Dipol Wechselwirkung

Nun wollen wir ein System von zwei Dipolen betrachten, die miteinander wechselwirken. Wir k¨onnen diese Anordnung so betrachten, dass sich ein Dipolmoment im ¨außeren Feld eines zweiten Dipols befindet.

−

− P1

P2

+

+

Abb. 102: Wechselwirkung zweier Dipole.

Die obige Abbildung zeigt den Fall f¨ ur zwei elektrische Dipole. Auf den Dipol 2 wirkt das Drehmoment (468) ~1 . ~τ2 = p~2 × E

Es versucht den Dipol so zu drehen, dass p~1 und p~2 parallel stehen. Mit den Ergebnissen in Kap. 21.4 (467) finden wir, dass sich Dipol 2 f¨ ur Θ < 90◦ in Richtung des zunehmenden Feldes bewegt (zum Dipol 1 hin) und bei entgegengesetzter Orientierung (Θ > 90◦ ) stoßen sie sich ab. Mit (466) erhalten wir f¨ ur die potentielle Energie des Dipols 2 im Feld des Dipols 1 den Ausdruck ~1 . U12 = −~p2 · E ~ 1 parallel stehen (d.h. ~p1 parallel Der energetisch g¨ unstigere Fall tritt dann ein, wenn ~p2 und E zu p~2 ). Sind beide Dipole frei beweglich, so werden sie sich so einstellen, dass ihre Dipolmomente parallel zu einander stehen. den allgemeinen Ausdruck f¨ ur die potentielle Energie der DipolDipol Wechselwirkung k¨onnen wir leicht berechnen. Mit   1 3(~ p · ~ r )~ r − (~ r · ~ r )~ p 1 p ~ 3(~ p · ~ r )~ r 1 1 1 1 ~ 1 (~r) = E (596) = − 3 4πε0 r5 4πε0 r5 r

erhalten wir durch Bildung des Skalarproduktes   1 3(~ p · ~ r )(~ p · ~ r ) ~ p · p ~ 1 2 1 2 ~1 = − U12 (~r) = −~p2 · E − 4πε0 r5 r3

(597)

Dabei ist ~r der Verbindungsvektor von Dipol 1 zum Dipol 2. F¨ ur die parallele Einstellung erhalten wir   1 p 1 p2 p1 p2 3p1 p2 1 =− − 3 U12 (r) = 3 4πε0 r r 2πε0 r 3 und f¨ ur die antiparallele Einstellung   1 1 p 1 p2 p1 p2 3p1 p2 U12 (r) = =+ . − 3 + 3 4πε0 r r 2πε0 r 3 G. Herten

285

Experimentalphysik

24 Elektromagnetische Induktion Dies stimmt mit unserer fr¨ uheren Erkenntnis u ¨ berein, dass die parallele Einstellung der energetisch g¨ unstigere Fall ist. Das gleiche gilt auch f¨ ur zwei magnetische Dipole; denn die Gesetze f¨ ur das Drehmoment und die Kraft im ¨außeren Feld sind in beiden F¨allen analog. Magnetische Dipole werden sich spontan also so ausrichten, dass die magnetischen Dipolmomente parallel stehen, d.h. Nordpol und S¨ udpol ziehen sich an und zwei Nordpole stoßen sich ab.

24 24.1

Elektromagnetische Induktion Faraday Gesetz

Bisher haben wir station¨are elektromagnetische Effekte behandelt. Die Gesetze lassen sich sehr kompakt mit den Gleichungen (578) bis (581) darstellen. Nun werden wir zeitabh¨angige Effekte behandeln. Faraday hat 1831 solche Experimente durchgef¨ uhrt, und konnte dabei das Gesetz der elektromagnetischen Induktion ableiten.

Abb. 103: Erzeugung eines Ringstromes durch ein ver¨ anderliches Magnetfeld.

Bewegt man einen Stabmagneten durch eine Leiterschleife, so beobachtet man an einem angeschlossenen Galvanometer einen Strom solange der Magnet bewegt wird. Bei entgegengesetzter Bewegung des Magneten erfolgt der Stromausschlag in entgegengesetzter Richtung. Entscheidend ist die relative Bewegung zwischen Magnet und Leiterschleife. Offensichtlich wird in der Leiterschleife eine Spannung induziert, die einen Strom hervorruft. Durch Experimente fand Faraday einen Zusammenhang zwischen der induzierten Spannung und der zeitlichen ¨ Anderung des magnetischen Flusses durch die Leiterschleife, der gegeben ist mit Z ~ · dS ~ , φB = B (598) wobei S eine Fl¨ache ist, die von der Leiterschleife begrenzt wird. Das Faradaysche Induktionsgesetz f¨ ur die induzierte Spannung lautet Vind = −

dφB dt

.

(599)

¨ Experimentell l¨aßt sich leicht zeigen, dass wirklich die zeitliche Anderung des Flusses ent~ scheidend ist. L¨aßt man z.B. das B-Feld konstant, aber ¨andert kontinuierlich die Gr¨oße der G. Herten

286

Experimentalphysik

24.1 Faraday Gesetz Stromschleife, so zeigt sich ebenfalls ein Stromausschlag, da sich der Fluß ¨andert. Das Induktionsgesetz wird in elektrischen Generatoren benutzt, um Strom zu erzeugen. Verwendet man eine Spule mit N Leiterschleifen, so erh¨alt man die induzierte Spannung Vind = −

d(NφB ) dt

.

(600)

Bisher haben wir noch nicht spezifiziert, in welche Richtung der induzierte Strom fließt. Die Stromrichtung wird mit der Lenzschen Regel festgelegt: Die induzierten Str¨ome sind immer so gerichtet, dass sie der Ursache der Induktion entgegen wirken.

Abb. 104: Der erzeugte Rinstrom ist so gerichtet, dass er nach der Lenzschen Regel der Ursache entgegenwirkt.

Diese Regel bedingt das negative Vorzeichen im Faradayschen Gesetz. Als Beispiel der Lenzschen Regel betrachten wir einen Stabmagneten, der in einen Metallring gesteckt wird. Durch das Ann¨ahern des Stabmagneten erh¨oht sich der magnetische Fluß durch die Kreisfl¨ache, die vom Ring umschlossen wird. Mit der rechten Handregel fließt dann (unter Ber¨ ucksichtigung des Minuszeichens in (600) der Strom so, daß er in der Zeichnung oben aus der Leiterschleife austritt und unten hineinfließt. Damit entsteht ein magnetischer Dipol mit dem Nordpol zum Stabmagneten gerichtet. Die beiden Nordpole stoßen sich ab, so dass als Best¨atigung der Lenzschen Regel der induzierte Strom die Ursache der Induktion (Ann¨aherung des Stabes) zu hindern versucht. Wir stellen uns nun vor, in (600) sei an Stelle des Minuszeichens ein Pluszeichen. Dann w¨ urde durch den induzierten Strom an der Leiterschleife ein S¨ udpol entstehen. Dadurch w¨ urde der Stab weiter angezogen und beschleunigt. Aufgrund der Tr¨agheit fliegt der Stab nun durch den Ring und tritt an der linken Seite wieder aus. Dadurch nimmt der magnetische Fluß durch die Leiterschleife ab, und ein Strom wird induziert, der nun einen S¨ udpol am linken Teil des Ringes erzeugt. Der S¨ udpol des Ringes und der S¨ udpol des Stabes stoßen sich ab, so dass der Stab weiter beschleunigt w¨ urde. Eine kleine Bewegung des Stabes w¨are somit ausreichend, um den Stab zu beschleunigen. Dies widerspricht nat¨ urlich dem Prinzip der Energieerhaltung. Die Lenzsche Regel dr¨ uckt somit die Energieerhaltung bei der elektromagnetischen Induktion aus. Die Arbeit, die man verrichten muß, um den Stabmagneten in der Stromschleife hin- und her zu bewegen, ist gleich der Jouleschen W¨arme, die der induzierte Strom im Ring erzeugt. G. Herten

287

Experimentalphysik

24.1 Faraday Gesetz Die induzierte Spannung im Ring ist gegeben durch das Linienintegral u ¨ ber eine geschlossene Kurve I ~ · d~ℓ . (601) Vind = E Mit (600) erhalten wir somit f¨ ur das Faradaysche Induktionsgesetz I Z d ~ ~ ~ · dS ~ . E · dℓ = − B dt

(602)

~ Linien gibt. Nun Im elektrostatischen Fall hatten wir gesehen, dass es keine geschlossenen E sehen wir aber, dass sie durch einen zeitlich ver¨anderten magnetischen Fluß erzeugt werden H ~ ~ k¨onnen. In der Elektrostatik hatten wir aus der Tatsache, dass E · dℓ = 0 ist, geschlossen, dass das elektrische Feld konservativ ist und wir somit ein Potential definieren k¨onnen, so dass ~ ~ -Felder, die durch elektromagnetische Induktion entstehen, ist aber E ur E H = − grad V ist. F¨ ~ · d~ℓ 6= 0, das E-Feld ~ E ist nicht konservativ und es existiert kein elektrisches Potential. Wie beim Amp`ereschen Gesetz benutzen wir nun den Stokeschen Satz und erhalten Z Z I d ~ ~ · dS ~ . ~ ~ ~ B E · dℓ = rot E · dS = − dt Dieses Gesetz gilt nun f¨ ur eine beliebige geschlossene Kurve und eine beliebige von ihr aufgespannte Fl¨ache. Beide Integrale erstrecken sich u ur ¨ber dieselbe Fl¨ache. Sollen beide Seiten f¨ ~ gleich der partiellen zeitlichen Ableitung von B ~ beliebige Fl¨achen gleich sein, so muß rot E sein: Z Z ~ ~ · dS ~ = − ∂ B · dS ~ rot E (603) ∂t ~ ~ = − ∂B . rot E (604) ∂t Dies ist die differentielle Form des Induktionsgesetzes. Es besagt, dass ein zeitlich ver¨anderliches ~ festlegt. Damit ist E ~ nicht eindeutig bestimmt. Das E-Feld ~ Magnetfeld die Rotation von E ~ kann noch von einem elektrostatischen Feld mit rot E = 0 u ¨berlagert sein. Beispiele zur Induktion und zur Lenzschen Regel

Beispiel 1: Bewegte Leiterschleife im Magnetfeld Wir betrachten eine Leiterschleife, die wir mit der Geschwindigkeit v aus einem konstanten Magnetfeld ziehen. Dadurch entsteht ein Strom I, der die Kr¨afte F1 , F2 , F3 bewirkt. F~2 und F~3 heben sich auf und F~1 wirkt der Ursache der Induktion (dem Herausziehen) entgegen. Der magnetische Fluß im konstanten Feld ist φB = B ℓ x . Die induzierte Spannung beim Herausziehen ist dann (mit v = −dx/dt) Vind = − G. Herten

dφ d dx = − (B ℓ x) = −Bℓ = Bℓv dt dt dt 288

.

(605) Experimentalphysik

24.1 Faraday Gesetz

Abb. 105: Leiterschleife, die in einem homogenen B-Feld bewegt wird.

Der Strom fließt nach dem Induktionsgesetz im Uhrzeigersinn. Vind Bℓv = R R ~ Mit F~ = I ~ℓ × B I =

.

(606) (607)

erhalten wir dann die eingezeichneten Kr¨afte F~1 , F~2 und F~3 . Da F~2 + F~3 = 0, ist F~1 die resultierende Kraft. F¨ ur den Betrag erhalten wir F1 = I ℓ B sin 90◦ =

B 2 ℓ2 v R

.

(608)

F¨ ur die Leistung, die beim Herausziehen aufgewandt wird, finden wir dann B 2 ℓ2 v 2 P = F1 v = R

.

(609)

Andererseits wissen wir, dass der induzierte Strom aufgrund des Widerstandes Joulesche W¨arme mit der Leistung (527) 2  B 2 ℓ2 v 2 Bℓv 2 (610) R= P =I R= R R erzeugt. Die aufgewandte mechanische Arbeit wird somit vollst¨andig in W¨arme verwandelt.

Beispiel 2: Zeitlich ver¨anderliches Magnetfeld Wir betrachten ein kreisf¨ormiges Magnetfeld mit dem Radius R, das mit einer konstanten Rate (∂B)/(∂t) ver¨andert wird. Wir wollen nun das induzierte elektrische Feld f¨ ur r < R und r > R berechnen. a) F¨ ur r < R haben wir den magnetischen Fluß φB = Bπr 2

G. Herten

289

Experimentalphysik

24.1 Faraday Gesetz

Abb. 106: Ein zeitlich ver¨anderliches B-Feld induziert ein ringformiges E-Feld.

und damit I

~ · dℓ = − dφB = −πr 2 dB E dt dt 2 πr dB 1 dB E = − =− r 2πr dt 2 dt

.

(611)

b) F¨ ur r > R erhalten wir unabh¨angig von r φB = BπR2 und somit 1 R2 dB πR2 dB =− E = − 2πr dt 2 r dt

.

(612)

Beide Formeln geben denselben Wert f¨ ur r = R. Beispiel 3: Wirbelstr¨ome Wirbelstr¨ome entstehen in einem ausgedehnten elektrischen Leiter (z.B. Scheibe), der sich durch ein inhomogenes Magnetfeld bewegt. Das Magnetfeld der induzierten Wirbelstr¨ome hemmt nach der Lenzschen Regel die Bewegung des Leiters. Eine Kupferscheibe, die sich zwischen den Polschuhen eines Magneten dreht, wird durch elektromagnetische Induktion abgebremst. Die Bewegungsenergie wird in Joulesche W¨arme umgewandelt. Wirbelstr¨ome f¨ uhren oft zu unerw¨ unschten Energieverlusten in elektrischen Anlagen, wenn sich Leiter in zeitlich ver¨anderlichen Magnetfeldern befinden. So benutzt man z.B. bei Transformatoren Eisenkerne, die aus lamellierten Blechen zusammengesetzt sind und dadurch Wirbelstromverluste reduzieren. Dieser Effekt wird in der Wirbelstrombremse ausgenutzt, bei der durch Einschalten eines Elektromagneten ein Rad abgebremst wird. In modernen E-Lokomotiven wird der beim Bremsen erzeugte Wirbelstrom teilweise wieder ins elektrische Netz geleitet. Weitere Anwendungen sind: Tachometer, D¨ampfung von Meßinstrumenten, industrielle Induktions¨ofen (Erhitzung von Materialien durch Wirbelstr¨ome), Wirbelstrommotoren. G. Herten

290

Experimentalphysik

24.2 Selbstinduktion

24.2

Selbstinduktion

Nach dem Faradayschen Gesetz ist die induzierte Spannung in einer Spule mit N Windungen gegeben durch (600) d(NφB ) Vind = − . (613) dt Man beobachtet, dass es nicht n¨otig ist, den magnetischen Fluß durch eine Spule zu ¨andern, indem man einen Permanentmagneten bewegt oder mit einer zweiten Spule ein zeitlich ver¨anderliches Magnetfeld erzeugt. Eine Spannung wird in einer einzelnen Spule induziert, wenn sich der Strom durch diese Spule ¨andert. Der vom Strom erzeugte magnetische Fluß induziert in der Spule selbst eine Spannung. Diesen Effekt nennt man Selbstinduktion. Die entscheidende Gr¨oße f¨ ur die Induktion ist N φB . F¨ ur Spulen, die frei von ferromagnetischen Materialien (z. B. Eisen) sind, gilt N φB = LI . (614) Die Proportionalit¨atskonstante L wird Selbstinduktion oder Induktivit¨at genannt. Die Einheit der Induktivit¨at ist Henry. V s =Ωs . [L] = Henry = A Damit erhalten wir f¨ ur die induzierte Spannung Vs.ind = −

dI d(NφB ) = −L dt dt

.

(615)

Diese Gleichung k¨onnen wir als Definition der Induktivit¨at f¨ ur Spulen unterschiedlicher Art und Form auffassen: V L = − S·ind . (616) dI/dt Mit der Lenzschen Regel k¨onnen wir das Vorzeichen der selbstinduzierten Spannung bestimmen:

Abb. 107: Vorzeichen der selbstinduzierten Spannung nach der Lenzschen regel. (a) Strom fließt nach rechts und nimmt ab, (b) Strom fließt nach rechts und nimmt zu.

Im Fall (a) fließt der Strom durch die Spule nach rechts. Nun wird der Strom verringert und auf Null abgesenkt. Nach der Lenzschen Regel ist die induzierte Spannung so gerichtet, dass sie der Strom¨anderung entgegengewirkt wird. Der induzierte Strom fließt somit in Stromrichtung nach rechts. Im Fall (b) wird der Strom eingeschaltet. Die induzierte Spannung wirkt dem entgegen und ist somit nach links gerichtet. Beispiel 1: Induktivit¨at einer Solenoidspule F¨ ur eine eng gespulte, eisenfreie Solenoidspule finden wir mit (614) L= G. Herten

NφB I 291

. Experimentalphysik

24.2 Selbstinduktion Mit der Anzahl n der Windungen pro L¨ange, der Spulenl¨ange ℓ, dem Spulenquerschnitt A und dem Magnetfeld B = µ0 nI einer Spule (565) finden wir N = nℓ φB = BA = µ0 nIA und nℓAµ0 nI NφB = = µ0 n2 ℓA . L = I I

(617)

¨ Ahnlich wie die Kapazit¨at C eines Kondensators h¨angt auch die Induktivit¨at L nur von geometrischen Gr¨oßen ab. Sie ist proportional zum Volumen (ℓA) der Spule. Die n2 Abh¨angigkeit ist damit zu erkl¨aren, dass das erzeugte B-Feld (und damit φB ) mit n ansteigt und die Zahl der Windungen proportional zu n ist. Beispiel 2: LR Stromkreis In Kap. 22.5 hatten wir den RC Stromkreis untersucht und festgestellt, dass der Strom beim Ein- und Ausschalten exponentiell an- bzw. abf¨allt. Die charakteristische Zeitkonstante ist dabei gegeben durch τc = RC . (618) a

R

c

y x

b + −

L

V b z Abb. 108: RL Stromkreis beim Einschalten (Schalterstellung a) und Ausschalten (Schalterstellung b) der Batteriespannung.

Nun betrachten wir einen Stromkreis, der aus einem Widerstand und einer Spule in Serienschaltung besteht. Beim Einschalten wird in der Spule eine Spannung induziert, die dem ansteigenden Strom entgegenwirkt. Mit der 2. Kirchhoffschen Regel k¨onnen wir den Stromkreis berechnen, indem wir ihn im Uhrzeigersinn durchschreiten und den Stromverlauf beim Einschalten (Pos. a) der Batterie betrachten. Nach unserer Regel in Kap.22.5 wird die Spannung an der Batterie VB positiv gez¨ahlt. Wir beginnen am Punkt x und durchschreiten den Stromkreis im Uhrzeigersinn. Punkt x hat ein h¨oheres Potential als Punkt y, d.h. am Widerstand tritt ein Spannungsabfall Vy − Vx = −IR < 0 auf. Andererseits liegt bei ansteigendem Strom y auf h¨oherem Potential als z, weil bei zunehmendem Strom die selbstinduzierte Spannung Vz dieser Zunahme entgegenwirkt. Beim Durchschreiten des Stromkreises von y nach z tritt also ein Spannungsabfall von dI Vz − Vy = −L dt G. Herten

292

Experimentalphysik

24.2 Selbstinduktion auf. Insgesamt erhalten wir VB − IR − L

dI =0 dt

dI + IR = VB . (619) dt Diese Differentialgleichung haben wir schon mehrfach gel¨ost (Kap.6.2; 22.5). Wir erhalten L

I(t) =


VB
VB 1 − e−Rt/L = 1 − e−t/τL R R

(620)

mit der charakteristischen Zeitkonstanten τL

τL =

L R

.

(621)

Damit erhalten wir f¨ ur die Spannung an der Spule VL = Vy − Vz = +L

dI VB R −t/τL =L e = VB e−t/τL dt R L

.

Am Widerstand liegt die Spannung IR an VR = Vx − Vy = IR = VB 1 − e−t/τ Die Summe beider Spannungen ist damit immer




VL + VR = VB e−t/τL + VB − VB e−t/τ = VB

.

.

(622)

Beim Ausschalten, d.h. Umlegen des Schalters von (a) nach (b) muss man nun einiges beachten. In der Zwischenstellung des Schalters, zwischen (a) und (b) ist der Stromkreis f¨ ur kurze Zeit unterbrochen. Somit geht der Strom schlagartig auf Null. Dadurch wird in der Spule aufgrund des Induktionsgesetzes Vind = −L(dI/dt) eine sehr große Spannungsspitzen induziert. Diese werden in der Praxis h¨aufig beim Abschalten von Magneten, Motoren und Relais beobachtet und k¨onnen zur Zerst¨orung elektronischer Bauteile f¨ uhren. Spannungsspitzen lassen sich durch Parallelschaltung von Dioden oder Kondensatoren zur Spule vermeiden. Zur Vermeidung dieser Spannungsspitzen kann man auch einen Folge-Arbeits-Ruhe Schalter (make-before-break-Schalter) verwenden. Dieser verbindet den Schalter mit Position (b) bevor die Batterie abgeklemmt wird. Danach liegt keine Batteriespannung an. Mit der zweiten Kirchhoffschen Regel erhalten wir dI =0 . (623) −RI − L dt Im Vergleich zum Einschalten ist nun die Ableitung dI/dt negativ. L¨osen der Differentialgleichung liefert I(t) = I0 e−t/τL

,

(624)

dabei ist I0 = VRB . Der Strom steigt auf den Anfangswert I0 an. In unserem Schaltkreis erhalten wir f¨ ur die Spannung am Widerstand beim Abschalten VR = IR = VB R e−t/τL G. Herten

293

Experimentalphysik

24.3 Energie im Magnetfeld und f¨ ur die Spannung an der Spule Vy − Vz = VL = L

R dI = LI0 (− ) e−t/τL = −VB e−t/τL dt L

.

Wie erwartet ergibt die Summe VR + VL = 0 . Spule auf- und entladen

Spannung (Volt)

10 8 6 4 2 0 0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

Zeit (sec)

0

Spannung (Volt)

-2 -4 -6 -8 -10 0

Zeit (sec)

Abb. 109: Zeitlicher Verlauf der Spannung an der Spule beim Einschalten (oben) und Ausschalten (unten) der Batteriespannung. Die Werte des Stromkreises sind R = 2 kΩ, L = 4 H und VB = 10 V. Die Zeitkonstante ist τL = L/R = 0.002 sec.

24.3

Energie im Magnetfeld

In Kap. 21.8 hatten wir gesehen, dass ein elektrisches Feld Energie speichert. Die Energiedichte im Vakuum ist gegeben durch (508) 1 uE = ε0 E 2 2

.

Auch im Magnetfeld wird Energie gespeichert. Im zuvor behandelten Beispiel des Stromkreises wird beim Einschalten chemische Energie der Batterie umgewandelt in Joulesche W¨arme im Widerstand und magnetische Energie in der Spule. Beim Ausschalten wird die magnetische Energie zur¨ uckgegeben und dann vollst¨andig in W¨arme umgewandelt. Zur Berechnung der magnetischen Energie benutzen wir die Differentialgleichung (619). Multiplikation mit dem Strom I ergibt dI VB I = I 2 R + LI . (625) dt G. Herten

294

Experimentalphysik

24.4 Magnetische Substanzen Diese Gleichung k¨onnen wir folgendermaßen interpretieren: VB I ist die von der Batterie abgegebene Leistung (526), I 2 R ist die verbrauchte Leistung im Widerstand (527). Da die Gesamtenergie erhalten ist, muß dUB dI PB = = LI dt dt die abgegebene Leistung an das Magnetfeld sein. Damit erhalten wir f¨ ur die gespeicherte potentielle Energie UB im Magnetfeld mit dUB = LIdI Z Z I 1 (626) LI ′ dI ′ = LI 2 . UB = dUB = 2 0 F¨ ur das elektrische Feld hatten wir den analogen Ausdruck UE =

1 q2 2C

erhalten. Wir wollen nun auch die Energiedichte im Magnetfeld berechnen. Als Beispiel betrachten wir eine Solenoidspule mit dem Volumen ℓA. 1 LI 2 UB = uB = ℓA 2 ℓA

.

Mit (565), B = µ0 nI, und (617), L = µ0 n2 ℓA, erhalten wir 1 B2 1 2 2 u B = µ0 n I = 2 2 µ0

.

(627)

uB h¨angt nicht von den geometrischen Daten der Spule ab, sondern nur von der St¨arke des Magnetfeldes. Obwohl (627) hier f¨ ur den speziellen Fall einer Spule hergeleitet wurde, gilt diese Beziehung f¨ ur alle Punkte in einem Magnetfeld (im Vakuum oder in nicht magnetischen Substanzen). Die Energiedichten uE und uB h¨angen somit vom Quadrat der Feldst¨arke ab.

24.4

Magnetische Substanzen

Wir hatten bereits die Tatsache behandelt, dass es keine magnetischen Monopole gibt. Wenn man einen Stabmagneten, der ein magnetischer Dipol ist, immer weiter unterteilt, erh¨alt man mehrere kleine magnetische Dipole. Wenn man die Teilung so weit treibt bis man zu einem einzelnen Elektron kommt, so stellt man fest, dass das Elektron ebenfalls ein magnetischer Dipol ist. Elektronen haben einen Eigendrehimpuls (Spin) mit dem Wert LS = 0, 91 · 10−34 J sec. Klassisch kann man sich ein Elektron als rotierende geladene Kugel vorstellen. Das magnetische Moment ist dann proportional zum Eigendrehimpuls. Obwohl dieses Bild nicht mehr im Einklang mit der Quantenmechanik ist, bleibt die Proportionalit¨at zwischen Drehimpuls und magnetischem Moment auch in der Quantentheorie g¨ ultig. Neben dem magnetischen Moment aufgrund des Elektronspin treten auch magnetische Momente auf, die vom Bahndrehimpuls der Elektronen herr¨ uhren. Klassisch k¨onnen wir uns dies so vorstellen, dass sich die Elektronen im Atom auf Bahnen um den Kern bewegen. Dadurch entsteht ein ”Kreisstrom”, der ein magnetisches Dipolmoment erzeugt. G. Herten

295

Experimentalphysik

24.4 Magnetische Substanzen Dieses magnetische Moment k¨onnen wir berechnen, wenn wir annehmen, dass das Elektron eine Kreisbahn um den Atomkern beschreibt. Das magnetische Moment mL aufgrund des Bahndrehimpulses ist dann gegeben durch mL = I · A wobei A = R2 π die Kreisfl¨ache ist und I=

q q ωR qω Ladung = = =q = Umlaufzeit T 2πR/v 2πR 2π

also

1 qR2 ω . 2

mL = Andererseits ist der Bahndrehimpuls

~ =R ~ × ~p L

und f¨ ur die Betr¨age gilt: L = Rmv = mωR2 . Somit finden wir den Zusammenhang mL =

q L, 2m

(628)

der auch in der Quantentheorie g¨ ultig ist. Allerdings findet man dort, dass nicht alle Werte f¨ ur L m¨oglich sind, sondern nur diskrete L-Werte vorkommen. In der Quantentheorie gibt es einen ¨ahnlichen Zusammenhang zwischen dem magnetischen Moment mS aufgrund des Spins und dem Eigendrehimpuls LS des Elektrons. mS =

q LS m

(629)

Beide Gleichungen unterscheiden sich um einen wichtigen Faktor 2. Wir unterscheiden drei wichtige Arten von magnetischen Substanzen: ferro-, para- und diamagnetische Materialien. 1) Paramagnetismus F¨ ur die meisten Atome heben sich die magnetischen Momente der Elektronen aufgrund von Spin und Bahndrehimpuls auf. Sie haben somit kein permanentes magnetisches Moment. Bei einigen Atomen heben sich die einzelnen magnetischen Momente nicht vollst¨andig auf, und es existiert ein resultierendes Moment. Betrachtet man eine Probe aus diesem Material, so hat sie im allgemeinen kein resultierendes magnetisches Moment. Jedes Atom bewegt sich st¨andig wegen der thermischen Energie, so dass es im Material ~ keine bevorzugte Orientierung gibt. Legt man nun ein ¨außeres B-Feld an, so versuchen die ~ magnetischen Dipole sich parallel zum B-Feld auszurichten, da dies nach (590) die energetisch g¨ unstigere Orientierung ist. Allerdings ist diese Ausrichtung nur unvollst¨andig, da die Atome aufgrund der thermischen Bewegung dauernd zusammenstoßen und ihre Orientierung ¨andern. Dennoch bleibt eine effektive Ausrichtung u ¨brig und die Probe erh¨alt ~ im ¨außeren B-Feld ein magnetisches Moment m. G. Herten

296

Experimentalphysik

24.4 Magnetische Substanzen Wenn diese paramagnetische Substanz nun in ein inhomogenes Magnetfeld gebracht wird, ¨ so wissen wir mit den Uberlegungen in Kap. 21.4, dass auf die Substanz die Kraft ~ r) F~ = (m ~ · grad)B(~

(630)

wirkt, die dazu f¨ uhrt, dass die Substanz von den magnetischen Polschuhen angezogen wird. Paramagnetische Materialien werden somit im inhomogenen Magnetfeld angezogen. Paramagnetische Substanzen sind z.B. Platin, Aluminium, Sauerstoff. Als Magnetisierung ~ bezeichnet man das magnetische Moment pro Volumen. M ~ ~ =m M V

(631)

Diese Definition ist analog zur Polarisation f¨ ur Dielektrika. Pierre Curie (1859 - 1906) fand mit Experimenten, dass die Magnetisierung einer paramagnetischen Substanz proportional zum Magnetfeld und umgekehrt proportional zur Temperatur ist M =C

B T

(Curie Gesetz),

(632)

wobei C eine Konstante ist. Die folgende Abbildung zeigt einige experimentelle Werte f¨ ur verschiedene Substanzen.

Abb. 110: Messungen des Verh¨altnisses M/Mmax f¨ ur ein paramagnetisches Salz als Funktion der Feldst¨arke B bei verschiedenen Temperaturen. Die durchgezogene Linie ist die Berechnung im Rahmen der Quantentheorie und die gestrichelte Linie entspricht dem Gesetz von Curie (aus Halliday-Resnick).

Das Curie Gesetz stimmt nur f¨ ur kleine B/T Werte. F¨ ur typische Anwendungen (B=1 4 Tesla = 10 Gauss T = 300 K) ist B/T = 1/300 T/K = 1/30 kG/K im vollen G¨ ultigkeitsbereich des Curie-Gesetzes. 2) Diamagnetismus Eine diamagnetische Substanz hat kein permanentes magnetisches Dipolmoment. Wird G. Herten

297

Experimentalphysik

24.4 Magnetische Substanzen ~ sie in ein B-Feld gebracht, so werden wegen der elektromagnetischen Induktion atomare ”Kreisstr¨ome” induziert, d.h. Bewegung der Elektronen um die Atomkerne. Dadurch entstehen induzierte magnetische Momente. Diese sind nach der Lenzschen Regel so gerichtet, dass sie dem ¨außeren B-Feld entgegengerichtet sind. Bei Paramagnetismus haben wir somit magnetische Dipole parallel und beim Diamagnetismus anti-parallel zum ¨außeren ~ ~ B-Feld. Eine diamagnetische Substanz wird somit im inhomogenen B-Feld abgestoßen. Beispiele f¨ ur diamagnetische Materialien sind Bi, Cu, Au. Jeder Stoff zeigt Diamagnetismus. Allerdings ist der Paramagnetismus st¨arker und u ¨berwiegt daher bei Substanzen mit permanentem magnetischen Dipolmoment. 3) Ferromagnetismus Ferromagnetismus wird bei einigen Elementen (Fe, Co, Ni, Gd und Dy) und verschiedenen Legierungen beobachtet. Er beruht auf speziellen Eigenschaften der Kristallstruktur, aber Voraussetzung ist, dass die Atome ein permanentes magnetisches Dipolmoment besitzen. So ist z.B. Eisen ferromagnetisch, aber Fe-Ionen in L¨osungen sind nur paramagnetisch. Ferromagnetische Materialien zeichnen sich dadurch aus, dass eine starke Kopplung zwischen den einzelnen magnetischen Momenten auftritt. Dadurch richten sich große Bereiche (Weißsche Bezirke) parallel zueinander aus, und es entsteht eine starke Magnetisierung. Oberhalb der Curie-Temperatur verschwindet der Kopplungseffekt und die ferromagnetische Substanz wird paramagnetisch. Bei Eisen betr¨agt die Curie-Temperatur 1073 K. Wenn wir eine Spule im Vakuum betrachten, so ist das magnetische Feld gegeben durch B0 = µ0 nI . Mit einem Eisenkern ergibt sich nun ein zus¨atzliches Magnetfeld BM aufgrund der Magnetisierung. Das Gesamtfeld ist dann B = B0 + BM . F¨ ur ferromagnetische Stoffe ist BM ≫ B0 . Abbildung 111 zeigt BM /BM ,max als Funktion des durch den Strom erzeugten B-Feldes B0 .

Abb. 111: Eine Magnetisierungskurve f¨ ur Eisen.

Zun¨achst steigt BM stark an, geht aber dann in einen S¨attigungswert BM , max u ¨ber, wenn alle Weißschen Bezirke parallel zu einander ausgerichtet sind. Ein Eisenstab wird G. Herten

298

Experimentalphysik

24.4 Magnetische Substanzen ¨ dadurch magnetisiert. Andert man nun st¨andig die St¨arke und das Vorzeichen des ¨außeren Feldes B0 , so erh¨alt man eine Magnetisierungskurve, wie in der folgenden Abbildung zu sehen ist.

Zun¨achst nehmen wir einen unmagnetisierten Eisenstab am Punkt a bei B0 = 0. Nun wird B0 erh¨oht, und am Punkt b ist der Eisenstab magnetisiert. Bei Verringerung des Magnetfeldes auf B0 = 0 stellen wir fest, dass der Eisenstab eine Restmagnetisierung besitzt (Punkt c), d.h. die Weißschen Bezirke bleiben immer noch ausgerichtet. Ein Eisenstab im ¨ Punkt c ist ein Permanentmagnet. Erst bei Anderung des Vorzeichens von B0 erreichen wir wieder B=0 und schließlich am Punkt d erneut volle Magnetisierung. Ausschalten des Stromes an der Spule (B0 = 0) bringt uns nun zum Punkt e. Wir sehen somit, dass die Magnetisierung nicht nur vom ¨außeren B0 -Feld abh¨angt (wie beim Curie Gesetz des Paramagnetismus), sondern auch von der Vorgeschichte des Materials. Die Kurve in der obigen Abbildung nennt man die Hystereseschleife. Die Fl¨ache zwischen der unteren und oberen Kurve ist ein Maß f¨ ur die Energie, die bei einem vollen Durchlauf der Magnetisierungskurve aufgewandt wird. Sie wird in W¨arme umgewandelt. Bei Elektromotoren und Transformatoren benutzt man Materialien mit engen Hysteresisschleifen (magnetisch weich). Dann sind der Energieverlust und die W¨armeentwicklung klein. Das Umklappen der Weißschen Bezirke im Ferromagnet kann man als Barkhausen-Effekt (¨ uber Verst¨arker und Lautsprecher) h¨orbar machen. Einstein-de-Haas Effekt Bringt man eine ferromagnetische Substanz in ein Magnetfeld, so richten sich die magnetischen ~ Momente der Elektronen in Richtung der B-Linien aus. Da Elektronen einen Eigendrehimpuls ~ Der Gesamtdrehimpuls bleibt erhal(Spin) besitzen, entsteht ein resultierender Drehimpuls L. ~ um die Magnetisierungsachse zeigen. Dieser ten, also muß die Substanz einen Drehimpuls - L Effekt wurde 1915 von Einstein und De Haas entdeckt. Dazu wird ein Eisenstab an einem Faden in einer Spule aufgeh¨angt. Der Drehwinkel wird beim Einschalten der Spule optisch vermessen. Meißner-Effekt Bringt man eine nicht ferromagnetische Substanz in ein Magnetfeld, so treten ~ die B-Linien praktisch unver¨andert durch die Substanz. Verringert man die Temperatur so ~ weit, dass die Substanz supraleitend wird, so beobachtet man den Meißner-Effekt. Die B-Linien werden aus der Substanz herausgedr¨angt. Im Inneren des Supraleiters ist B = 0. Bei zu hohen G. Herten

299

Experimentalphysik

24.5 Die drei magnetischen Vektoren

Magnetfeldern (oberhalb der kritischen Induktion Bc ) wird die Supraleitung zerst¨ort und das Material wird normalleitend. Magnetische Abschirmung ~ Eine ferromagnetische Substanz im Magnetfeld konzentriert die B-Linien im Innern. Wenn man z.B. eine Hohlkugel aus Eisen verwendet, so findet man im Innern einen feldfreien Raum. Daher benutzt man h¨aufig einen Eisenmantel, um empfindliche Meßinstrumente wie Galvanometer, Photovervielfacher oder Motoren vom Magnetfeld abzuschirmen.

24.5

Die drei magnetischen Vektoren

Bei der Behandlung von Dielektrika in Kap. 21.7 hatten wir gesehen, dass es vorteilhaft war, drei elektrische Vektoren einzuf¨ uhren, um die elektrischen Eigenschaften von Materialien allgemein ~ h¨angt nur von den freien, die Polarisatibeschreiben zu k¨onnen. Die elektrische Verschiebung D ~ von der gesamten elektrischen Ladung on P~ nur von den induzierten und das elektrische Feld E ¨ ab. Ahnlich werden wir auch beim Magnetismus vorgehen, um eine allgemeine mathematische Beschreibung aller magnetischen Substanzen vornehmen zu k¨onnen. Wir definieren analog zur ~ (631), der nur von mikroskopischen Kreisstr¨omen Polarisation den Magnetisierungsvektor M abh¨angt (permanente oder induzierte atomare magnetische Dipolmomente). Entsprechend zu ~ definieren wir die magnetische Feldst¨arke H, ~ die nur von makroskopischen Kreisstr¨omen D ~ h¨angt dann vom totalen Kreisstrom (z.B. Spulenstrom) abh¨angt. Die magnetische Induktion B ab. Um die Eigenschaften der drei Vektoren genauer zu verstehen, betrachten wir einen Toroidmagneten mit dem Spulenstrom I. Zun¨achst befinde sich im Raum zwischen den Spulen ein Vakuum. Dann erhalten wir mit dem Ampereschen Gesetz I ~ = µ0 I ~ 0 · dℓ B (633) G. Herten

300

Experimentalphysik

24.5 Die drei magnetischen Vektoren

f¨ ur einen kreisf¨ormigen geschlossenen Weg mit dem Radius r erhalten wir, B0 2π r = µ0 N I ,

(634)

dabei ist N I der Gesamtstrom durch die Fl¨ache und B0 die magnetische Induktion im Vakuum. F¨ ullen wir den Zwischenraum nun mit Eisen und benutzen denselben Spulenstrom I, ~ so stellen wir experimentell fest, dass das B-Feld stark angewachsen ist. Dies zeigt, dass (633) ~ und (634) nicht g¨ ultig sein kann, wenn magnetische Substanzen vorhanden sind. Das B-Feld in einer Eisenspule ist aber identisch zum Feld in einer Luftspule, wenn wir den Spulenstrom entsprechend erh¨ohen. Wir modifizieren daher das Amp`eresche Gesetz, indem wir einen Magnetisierungsstrom IM zum freien Strom I hinzuf¨ ugen. I ~ = µ0 (I + IM ) ~ · dℓ B (635) Anhand der obigen Zeichnung kann man die physikalische Bedeutung des Magnetisierungsstromes verstehen. Im Eisenkern bilden sich mikroskopische Kreisstr¨ome (permanent oder induziert). Betrachtet man ein kleines Volumenelement im Eisen, so findet man, dass sich die Kreisstr¨ome gegenseitig aufheben. Nur an der Oberfl¨ache des Eisenkerns bleibt ein resultierender Strom u ¨ brig. Die Gesamtheit aller Mikrokreisstr¨ome hat somit denselben Effekt wie ein hypothetischer Oberfl¨achenstrom, der Magnetisierungsstrom IM , der in dieselbe Richtung wie ~ gilt nun der Spulenstrom fließt. F¨ ur den Magnetisierungsvektor M I ~ = IM M · dℓ (636) Integration u ¨ber einen Kreis mit Radius r liefert M 2π r = IM . G. Herten

301

Experimentalphysik

24.5 Die drei magnetischen Vektoren

Ein Oberfl¨achenstrom IM , der um eine Fl¨ache mit dem Querschnitt A fließt, hat ein magnetisches Moment m = IM · A. Einsetzen liefert

m m magn. Moment = = . 2π r · A V Volumen Dieses spezielle Beispiel zeigt, dass (636) konsistent ist mit unserer fr¨ uheren Definition (631) ~ von M als magnetisches Dipolmoment pro Volumen. Einsetzen in (635) liefert somit   I I ~ ~ ~ ~ B · dℓ = µ0 I + M · dℓ M=

oder

I

~ ~ − µ0 M B µ0

!

~ =I. · dℓ

(637)

Da der Ausdruck

 1 ~ ~ B − µ0 M µ0 ~ und nennt diese Gr¨oße magnetische h¨aufig auftritt, verwendet man ein eigenes Symbol H Feldst¨arke.  1 ~ ~ ~ B − µ0 M (638) H= µ0 oder   ~ +M ~ . ~ = µ0 H (639) B Das Amp`eresche Gesetz kann somit geschrieben werden als I ~ =I, ~ · dℓ H

(640)

H ~ h¨angt somit nur vom Spulenstrom I ab und ~ · dℓ dabei ist I der makroskopische freie Strom. H ¨andert sich nicht durch Anwesenheit von ferromagnetischen Substanzen. Unter Verwendung des Stokes’schen Satzes k¨onnen wir das Amp`eresche Gesetz auch in differentieller Form angeben. ~ = ~j rot H G. Herten

302

(641) Experimentalphysik

24.5 Die drei magnetischen Vektoren ~ und M ~ lauten Die entsprechenden Ausdr¨ ucke f¨ ur B ~ = ~jM rot M und rot

~ B = ~jgesamt , µ0

(642)

(643)

dabei ist ~j die makroskopische, freie Stromdichte (in der Spule), ~jM die Stromdichte des Magnetisierungsstromes und ~jgesamt die Summe von ~j und ~jM .

As Beispiel betrachten wir einen Permanentmagneten. Im Vakuum (am Punkt p) außerhalb des Stabmagneten m¨ ussen folgende Ausdr¨ ucke gelten 1) Außerhalb (Punkt p) ~ = 0 und daher B ~ = µ0 H ~ M 2) Innerhalb (Punkt q)   ~ +M ~ . ~ 6= 0 und somit B ~ = µ0 H M Da es beim Permanentmagneten keine freien Str¨ome I gibt, erhalten wir f¨ ur eine geschlossene Bahn (gestrichelt eingezeichnet) I ~ B ~ · dℓ = Igesamt = IM µ0 I ~ = I=0 ~ · dℓ H I ~ = IM . ~ · dℓ M G. Herten

303

(644) (645) (646)

Experimentalphysik

24.5 Die drei magnetischen Vektoren ~ bis auf den Faktor µ0 identisch mit B. ~ Mit (645) muß das Linienintegral Im Außenbereich ist H ~ f¨ ~ im Innern des Permanentmau ur jede geschlossene Bahn aber Null sein. Daher muß H ¨ber H gneten sein Vorzeichen umdrehen (s. Abb. a). Wie bei Dielektrika wollen wir nun isotrope und lineare Materialien n¨aher untersuchen. Dies sind diamagnetische und paramagnetische (bei G¨ ultigkeit des Curie-Gesetzes) Materialien. ~ und M ~ dieselbe Richtung und sind proportional zueinander Dann haben H

und

~ = χm H ~ M

(647)

  ~ +M ~ = µ0 (1 + χm ) H ~ = κm µ0 H ~; ~ = µ0 H B

(648)

κm = χm + 1

(649)

dabei ist χm eine Materialkonstante, die magnetische Suszeptibilit¨at genannt wird. Die Gr¨oße

bezeichnet man als magnetische Permeabilit¨at.

Substanz Bismut Zink Cu Vakuum Sauerstoff (fest) Chrom Platin Aluminium Luft

χm · 106 -13,4 -1,0 -0,8 0 +522 +26 +21 +1,7 +0,03

¨ Die obige Tabelle gibt einen Uberblick u ¨ber die magnetische Suszeptibilit¨at verschiedener Stoffe. Substanzen mit negativem χm sind diamagnetisch und mit positivem χm paramagnetisch. Das Curie-Gesetz f¨ ur paramagnetische Substanzen kann man mit (648) auch in der Form schreiben ~2 ~ = (1 + χm )µ0 H ~ mit χm ≈ +µ0 N m B , (650) 3k T wobei die Substanz pro Einheitsvolumen N atomare magnetische Dipole m ~ enth¨alt. F¨ ur ferromagnetische Substanzen ist es nicht sinnvoll, eine magnetische Suszeptibilit¨at an~ als auch von der Vorgeschichte des Stoffes zugeben, da sie wegen der Hysteresis sowohl von H abh¨angt. Um einen Vergleich zu paramagnetischen Stoffen zu erhalten, gibt man aber oft die magnetische Suszeptibilit¨at χm,s f¨ ur S¨attigungsmagnetisierung an. Bei der Feldst¨arke Hs sei die S¨attigungsmagnetisierung Ms erreicht. Dann ist χm,s = G. Herten

304

Ms Hs

(651) Experimentalphysik

24.5 Die drei magnetischen Vektoren

Die folgende Tabelle gibt χm,s -Werte f¨ ur verschiedene Ferromagnetika an:

Substanz Reinsteisen Eisen nach Vorbehandlung Mu-Metall (77 % Ni, 16 % Fe, 5 % Cu, 2 % Cr) Ni (+0,7% Mn) Co (+1,4% C)

χm,s 350 000 500 – 10 000 100 000 1 000 80 – 200

Wir wollen nun die wichtigsten Formeln f¨ ur statische, elektrische und magnetische Felder in Materie zusammenstellen.

Gr¨oße

G. Herten

abh¨angig von

Elektrische Feldst¨arke Magnetische Induktion

~ E ~ B

allen Ladungen allen Str¨omen

Polarisation Magnetisierung

P~ ~ M

induzierten Ladungen Magnetisierungsstrom

Elektrische Verschiebung Magnetische Feldst¨arke

~ D ~ H

freien Ladungen freien Str¨omen

305

Experimentalphysik

25 Wechselstrom ~ und B: ~ Definitionsgleichung f¨ ur E F~ = q Beziehung zwischen den Vektoren:

  ~ + ~v × B ~ E

(652)

 1 ~ D − P~ ε0   ~ +M ~ . ~ = µ0 H B ~ = E

(653) (654)

~ kommt von unserer Konvention, dass das elektriDas unterschiedliche Vorzeichen vor P~ und M ~ sche Dipolmoment von der negativen zur positiven Ladung zeigt, und dass die Richtung von M ~ parallel zu H ~ steht f¨ so gew¨ahlt wurde, dass M ur paramagnetische Substanzen und antiparallel f¨ ur diamagnetische Substanzen. Gaußsches Gesetz: I I

~ = q ~ · dS D

(freie Ladung)

(655)

~ = ρ (freie Ladungsdichte) div D

(656)

~ = 0 ~ · dS B

(657)

~ = 0 div B

(658)

Amp` eresches Gesetz: I

~ = I ~ · dℓ H ~ = ~j rot H

(freie Str¨ome)

(659)

(freie Stromdichte)

(660)

Energiedichte: 1 ~ ~ 1 ~ ~ E·D uM = B ·H. 2 2 Spezielle empirische Relationen existieren f¨ ur lineare und homogene Substanzen. uE =

25

~ ~ = (1 + χe ) ε0 E ~ = κe ε0 E D ~ = χe ε0 E ~ P~ = (κe − 1) ε0 E ~ = κm µ0 H ~ = (1 + χm ) µ0 H ~ B

(662)

~ = (κm − 1) H ~ = χm H ~ M

(664)

(661) (663)

Wechselstrom

Wir haben die Kirchhoffschen Gesetze verwendet, um Stromkreise mit Widerst¨anden, Kondensatoren und Spulen zu berechnen. Meist haben wir konstante Str¨ome oder den Stromverlauf beim Ein- und Ausschalten untersucht. Nun wollen wir zeitlich ver¨anderliche Str¨ome G. Herten

306

Experimentalphysik

25.1 Der LCR-Schwingkreis (Wechselstr¨ome) genauer untersuchen. Bei diesen Studien gehen wir von idealen ohmschen Widerst¨anden, verlustfreier Kondensatoren und widerstandsfreier Spulen aus, d.h. wir benutzen einen linearen Zusammenhang zwischen Spannung und Strom: V = RI, V = q/c bzw. V = L dI/dt. In Wirklichkeit hat jedes Bauelement zugleich eine Kapazit¨at, Induktivit¨at und eventuell einen ohmschen Widerstand. Große Abweichungen werden vor allem bei sehr großen Frequenzen erwartet. Dann entstehen elektromagnetische Wellen, die wir in einem sp¨ateren Kapitel genauer untersuchen werden. Die Kirchhoffschen Gesetze k¨onnen mit Hilfe der obigen Beziehungen f¨ ur quasistation¨are Str¨ome angewandt werden. Damit ist gemeint, dass die maximale Lineardimension der Schaltung dmax und die minimale Zeit der elektrischen Vorg¨ange so beschaffen sein m¨ ussen, dass die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektrischen und magnetischen Felder keine Rolle spielt; d.h. es muß gelten: dmax tmin ≫ , c wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist (c = 2, 998 · 108 m/s). F¨ ur eine Schaltung von dmax = 1 m muß somit tmin ≫ 3, 3 · 10−9 sec sein. Die Theorie der quasistation¨aren Str¨ome ist somit nicht anwendbar f¨ ur Antennen, Mikrowellenger¨ate und Verz¨ogerungsleitungen. Wir beschr¨anken uns hier auf Wechselstr¨ome und Schaltvorg¨ange in linearen Schaltungen.

25.1

Der LCR-Schwingkreis R

+ −

L

VB

C Abb. 112: RCL Schwingkreis.

Um die eigenschaften eines RCL-Stromkreises zu verstehen, betrachten wir zun¨achst einen Stromkreis, der aus einer Kapazit¨at C und einer Induktivit¨at L besteht. Zur Zeit t = 0 sei der Kondensator geladen und der Strom durch die Spule sei Null. Die gespeicherte Energie im Kondensator ist dann (507) 1 q2 UE = , 2C und die gespeicherte Energie in der Spule (626) UB = G. Herten

1 L I2 2

307

Experimentalphysik

25.1 Der LCR-Schwingkreis

ist zum Zeitpunkt t=0 Null, da kein Strom fließt. Wir verfolgen nun den zeitlichen Ablauf und untersuchen die potentiellen Energien im Kondensator und in der Spule. (a) entspricht dem Zustand bei t=0. Bei (b) hat sich der Kondensator teilweise entladen. Aufgrund der Selbstinduktion der Spule steigt der Strom nicht abrupt, sondern kontinuierlich an. Bei (c) ist das Magnetfeld in der Spule maximal, nun ist die Gesamtenergie im Magnetfeld gespeichert. Nun nimmt der Strom wieder ab. Mit der Lenzschen Regel entsteht ein Induktionsstrom, der dem abnehmenden Strom entgegenwirkt, so dass der Kondensator wieder aufgeladen wird. Bei (e) ist der Kondensator vollst¨andig geladen (mit umgekehrter Polarit¨at zu (a). Nun beginnt der Entladungsprozeß erneut, und wir beobachten ¨ einen st¨andigen Ubergang von elektrischer Energie im Kondensator und magnetischer Energie in der Spule. Ein LC Stromkreis f¨ uhrt elektromagnetische Schwingungen durch. Die mathematische Behandlung dieser Schwingungen ist analog zu mechanischen Schwingungen, die in Kap. 16 besprochen wurden. In Kap. 15.1 hatten wir zwei Voraussetzungen f¨ ur das Auftreten von mechanischen Schwingungen zusammengestellt: 1) Eine zur¨ ucktreibende Kraft G. Herten

308

Experimentalphysik

25.1 Der LCR-Schwingkreis 2) Tr¨agheit Im elektromagnetischen Schwingkreis erzeugt die Kapazit¨at eine r¨ ucktreibende Kraft. Es muß Arbeit aufgewandt werden, um einen Kondensator aufzuladen, da sich gleichartige Ladungen auf einer Kondensatorplatte abstoßen. Das Analogon zur tr¨agen Masse ist die Induktivit¨at. Es kommt nicht nur zu einer Entladung des Kondensators u ¨ber die Spule, wie z.B. bei einem Kurzschluß, sondern aufgrund der Lenzschen Regel entsteht eine Induktionsspannung, so dass der Kondensator wieder aufgeladen wird. Beim Pendel sorgt die tr¨age Masse daf¨ ur, dass die Kugel nicht in der Ruhelage abrupt zum Stillstand kommt, sondern dar¨ uber hinausfliegt. Wir wollen nun einen LCR Stromkreis berechnen, der an eine sinusf¨ormige Spannungsquelle VB (t) angeschlossen ist (Abb. 112). Wir k¨onnen einen quasistation¨aren Zustand betrachten, bei dem die Spannungsquelle am oberen Pol positiv und am unteren Pol ein negatives Potential hat. Es fließt somit ein Strom in der eingezeichneten Richtung. Wir durchlaufen den Schwingkreis in Stromrichtung. Mit dem 2. Kirchhoffschen Gesetz muß die Summe aller Spannungsabf¨alle Null sein, d.h. VB (t) + VR + Vc + VL Mit I = dq/dt VR = R I = Rq˙ Vc VL = −L dI/dt

= = = =

0 q und q/c und −L q¨

erhalten wir mit unseren Vorzeichenregeln f¨ ur VR und Vc f¨ ur die Berechnung von Stromkreisen (s. Kap. 22.5) VB (t) − Rq˙ − q/c − L¨ q=0

oder

R 1 VB (t) q˙ + q= = f0 cos ωt (665) L LC L Dies ist die Differentialgleichung einer erzwungenen Schwingung, die wir bereits in Kap. 15.4 f¨ ur den mechanischen Fall gel¨ost haben. Wiederum werden wir einen komplexen Ansatz zur L¨osung verwenden. Wir definieren eine komplexe Zahl z, die den Realteil q hat. q¨ +

z = q + ip Damit erhalten wir die komplexe Differentialgleichung z¨ + γ z˙ + ω02 z = f0 eiωt

(666)

mit γ = R/L und ω02 = 1/LC . Unser Plan ist, wie in Kap. 15.4 zun¨achst Gleichung (666) zu l¨osen, und dann durch Bildung des Realteils eine L¨osung f¨ ur q(t) zu bestimmen. Wir erhalten f¨ ur die station¨are L¨osung z(t) = A ei(ωt−δ) π z(t) ˙ = iω A ei(ωt−δ) = ω A ei(ωt−δ+ 2 ) z¨(t) = −ω 2 A ei(ωt−δ) = ω 2 A ei(ωt−δ+π) unter Verwendung von

π

i = ei 2 G. Herten

und

309

− 1 = eiπ . Experimentalphysik

25.1 Der LCR-Schwingkreis Analog zu den Ausf¨ uhrungen in Kap. 15.4 kann man δ und A(ω)2 aus geometrischen Rechnungen in der komplexen Ebene bestimmen. tan δ = A(ω)2 =

γω ω02 − ω 2

(667)

f02 . (ω02 − ω 2 )2 + (γω)2

(668)

Bildung des Realteils liefert: q(t) = A(ω) cos(ωt − δ)

π ) = −ωA sin(ωt − δ) 2 ˙ I(t) = q¨(t) = ω 2A(ω) cos(ωt − δ + π) = −ω 2 A cos(ωt − δ) . I(t) = q(t) ˙ = ωA cos(ωt − δ +

F¨ ur die Spannungen erhalten wir dann: VB (t) = VB,0 cos ωt A(ω) cos(ωt − δ) VC (t) = q/C = C VR (t) = IR = −ωRA(ω) sin(ωt − δ) VL (t) = LI˙ = −ω 2 LA(ω) cos(ωt − δ) .

(669) (670) (671) (672)

Wir sehen, dass VC und VR sowie VR und VL jeweils eine Phasenverschiebung von 900 haben. Die Diskussion dieser Gleichungen ist identisch zu den Ausf¨ uhrungen in Kap. 15.4. Es 2 m¨ ussen lediglich die entsprechenden Werte f¨ ur γ und ω0 eingesetzt werden. Ein solcher Schwingkreis wird verwendet, um sinusf¨ormige Wechselstr¨ome zu erzeugen. Um die ohmschen Verluste auszugleichen, wird das Signal ausgekoppelt und u ¨ber einen Verst¨arker dem Schwingkreis wieder zugef¨ ugt. Durch Feinabstimmung der Kapazit¨at oder der Spule kann der Schwingkreis auf eine bestimmte Resonanzfrequenz abgestimmt werden. Dies wird im Radioger¨at beim Einstellen von Sendern durchgef¨ uhrt. Wir wir bereits bei der Diskussion der erzwungenen Schwingung in Kap. 15.4 gesehen hatten, entspricht die angegebene L¨osung der Schwingungsgleichung dem station¨aren Fall. Um die allgemeine L¨osung zu erhalten muss zu dieser Speziellen L¨osung noch die allgemeine L¨osung der homogenen Differentialgleichung addiert werden. Die allgemeine L¨osung beschreibt dann auch Vorg¨ange kurz nach dem Einschalten, d.h. das Einschwingverhalten. Bemerkung: Wir haben die Phase δ so definiert, dass sie die Phasenverschiebung zwischen Generatorspannung und Kondensatorspannung (d.h. VB (t) und q(t)) angibt. H¨aufig findet man in B¨ uchern eine andere Definition, δ ′ , n¨amlich die Phasenverschiebung zwischen Generatorspannung und Spannung am Widerstand (d.h. VB (t) und I(t)). Beide unterscheiden sich um 90◦ . Mit dieser Definition erh¨alt man f¨ ur tan δ ′ den Kehrwert tan δ ′ =

G. Herten

ω02 − ω 2 . γω

310

Experimentalphysik

25.2 Leistung im Wechselstromkreis

25.2

Leistung im Wechselstromkreis

Bei Gleichstrom war die Leistung P = V I. F¨ ur Wechselstrom m¨ ussen wir die momentane Leistung P (t) benutzen. P (t) = V (t)I(t) Mit V (t) = V0 cos ωt I(t) = I0 cos(ωt − φ) erhalten wir P (t) = V0 I0 cos ωt cos(ωt − φ)

Mit

cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β

ergibt sich

  P (t) = V0 I0 cos φ cos2 ωt + sin φ cos ωt sin ωt

Beispiel 1: φ = 0 : P (t) = V0 I0 cos2 ωt > 0 Dieser Fall tritt, wie wir sp¨ater sehen werden, auf, wenn sich im Stromkreis nur ein Ohmscher Widerstand befindet. Beispiel 2: φ = π/2 : P (t) = V0 I0 cos ωt sin ωt Dies ist der Fall einer reinen Kapazit¨at oder reinen Induktivit¨at im Stromkreis. Nun kann die momentane Leistung auch negativ werden. Positive Leistung bedeutet, dass der Stromkreis Energie verbraucht. Negative Leistung zeigt an, dass der Stromkreis (z.B. Kondensator) Energie an den Generator zur¨ uckschickt. H¨aufig interessiert man sich nicht f¨ ur die momentane Leistung, sondern f¨ ur die zeitlich gemittelte Leistung. Sie ist definiert durch Z T 1 Pm = V (t) I(t) dt , (673) T 0 wobei das Integral u ¨ber eine Schwingungsperiode T berechnet wird. Zur Berechnung ben¨otigen wir die Integrale Z T Z T 2 cos ωt sin ωt dt . cos ωt dt und 0

0

Das 2. Integral ist Null, da der Integrand u ¨ ber eine volle Periode gleichermaßen positiv wie negativ ist. Das erste Integral k¨onnen wir berechnen, wobei wir benutzen, dass u ¨ber eine volle Periode gilt Z Z 2π

2π

sin2 ωt dt

cos2 ωt dt =

0

0

Somit erhalten wir Z

G. Herten

T

1 cos ωt dt = 2 2

0

Z

0

T

1 cos ωt + sin ωt dt = 2 2

2

311

Z

0

T

dt =

T . 2 Experimentalphysik

25.3 Impedanz Damit ergibt sich f¨ ur die mittlere Leistung 1 Pm = V0 I0 cos φ . 2 In der Elektrotechnik verwendet man h¨aufig effektive Spannungen und Str¨ome 1/2  Z T 1/2  1/2  Z T 1 1 2T 1 2 2 2 V (t) dt V cos ωtdt = = V Veff = T 0 T 0 0 T 0 2 √ Veff = V0 / 2 und analog √ Ieff = I0 / 2

(674)

(675) (676)

Damit erh¨alt man f¨ ur die mittlere Leistung Pm = Veff Ieff cos φ (677) Es wird keine Leistung verbraucht, wenn die Phasendifferenz zwischen Spannung und Strom φ = 90◦ betr¨agt. Dies ist z.B. in einem Stromkreis der Fall, der nur eine Kapazit¨at oder Induktivit¨at enth¨alt. Beim Wechselstrom aus der Steckdose ist Veff = 230V und V0 = 325V .

25.3

Impedanz

Im letzten Kapitel haben wir die Eigenschaften eines Schaltkreises bestehend aus Spule, Kondensator und Widerstand bei Wechselstrom untersucht. Bereits f¨ ur diese einfache Schaltung mußte eine Differentialgleichung gel¨ost werden, um den Zeitverlauf des Stromes zu bestimmen. F¨ ur kompliziertere Schaltungen, wie wir sie z.B. in einem Radioapparat finden, ist dieses Verfahren nicht mehr anwendbar, da wir sehr viele gekoppelte Differentialgleichungen erhalten w¨ urden, die nicht mehr, oder nur mit großem Aufwand l¨osbar w¨aren. Daher benutzt man in der Elektrotechnik andere Verfahren zur Berechnung von Wechselstromschaltungen, die auf der Verwendung von komplexen Spannungen Vc und Str¨omen Ic beruhen. Damit lassen sich einfache Ersatzschaltbilder anfertigen, die eine Berechnung erlauben. Somit erh¨alt man Vc (ω, t) = Z(ω) Ic (ω, t) . Die komplexe Funktion Z(ω) nennt man Impedanz. Sie ist definiert als das Verh¨altnis der komplexen Spannung zum komplexen Strom. Bei station¨arem Wechselstrom (ω =const.) ist die Zeitabh¨angigkeit von Spannung und Strom gegeben durch eiωt . Vc (ω, t) = Vc (ω) eiωt Ic (ω, t) = Ic (ω) ei(ωt−φ) . Durch Abspalten der Zeitabh¨angigkeit (d.h. Multiplikation mit e−iωt ) erh¨alt man somit Vc (ω) = Z(ω) Ic (ω) . Bei der Messung von Spannung und Strom werden immer nur reelle Gr¨oßen bestimmt. In der Polardarstellung sind Vc und Ic gegeben durch Vc = V0 eiα Ic = I0 eiβ V0 Vc = eiφ = |Z|eiϕ , ϕ = α − β. Z = Ic I0 G. Herten

312

Experimentalphysik

25.3 Impedanz H¨aufig misst man die Amplituden V0 und I0 und die Phasenverschiebung ϕ = α − β zwischen Spannung und Strom. F¨ ur die Betr¨age gilt |Vc (ω)| = |Z(ω)||Ic(ω)| . Wir werden nun die Impedanzen f¨ ur Stromkreise bestehend aus einem Widerstand, einer Spule oder einem Kondensator untersuchen. 1) Widerstand

Vc ~

R

Abb. 113: Wechselstromkreis mit einem ohmschan Widerstand R.

Vc (ω, t) = Vc (ω) eiωt ; Ic (ω, t) = Ic (ω) ei(ωt−φ) Mit dem Kirchhoffschen Gesetz finden wir unter Verwendung komplexer Spannungen und Str¨ome Vc (ω, t) = R Ic (ω, t) und Vc (ω) = R Ic (ω) . Die Impedanz Z ist somit reell und unabh¨angig von ω. ZR = |ZR |eiφ = R ,

|ZR | = R ,

Vc ~

L

φ = 0.

2) Induktivit¨at

Abb. 114: Wechselstromkreis mit einer Spule.

Wir verwenden wieder den Anstaz Vc (ω, t) = Vc (ω) eiωt

und Ic (ω, t) = Ic (ω) ei(ωt−φ)

Mit dem Kirchhoffschen Gesetz finden wir Vc (ω, t) − L G. Herten

313

dIc (ω, t) = 0. dt Experimentalphysik

25.3 Impedanz Dabei ist

dIc (ω, t) = iω Ic , dt

Damit erhalten wir Vc (ω) = iωL Ic (ω) . Die Impedanz einer Induktivit¨at ist somit gegeben durch ZL = |ZL |eiφ = iωL ,

|ZL| = ωL ,

φ=

π . 2

(678)

3) Kapazit¨at

Vc ~

C

Abb. 115: Wechselstromkreis mit einer Kapazit¨at.

In ¨ahnlicher Weise finden wir Vc (ω, t) − q/C = 0 und durch Differenzieren mit dem obigen Ansatz f¨ ur Vc und Ic

Mit

dVc (ω, t) Ic (ω, t) = dt C dVc (ω, t) = iω Vc (ω, t) dt

finden wir dann Vc (ω) =

1 Ic (ω) . iωC

Die Impedanz ist somit gegeben durch ZC = |ZC |eiφ =

1 1 = −i , iωC ωC

|ZC | =

1 , ωC

φ=−

π 2

Bei Wechselstrom k¨onnen wir mit Impedanzen wie mit Widerst¨anden bei Gleichstrom rechnen. So erhalten wir z.B. f¨ ur Serienschaltung von Impedanzen Zges = Z1 + Z2 + . . . + Zn und bei Parallelschaltung

1 Zges

=

1 1 1 + + ... . Z1 Z2 Zn

Beispiel: LCR Schwingkreis G. Herten

314

Experimentalphysik

25.3 Impedanz

R C Vc ~

L

Mit dem 2. Kirchhoffschen Gesetz erhalten wir in komplexer Schreibweise Vc (ω) = (ZR + ZC + ZL )IC (ω)      1 1 Vc (ω) = R+ + iωL Ic (ω) = R + i ωL − Ic (ω) iωC ωC F¨ ur das Verh¨altnis der komplexen Spannungen VR und Vc am Widerstand und an der Wechselspannungsquelle finden wir mit VR (ω) = RIc (ω) H(ω) =

R VR = Vc R + i(ωL −

1 ) ωC

.

H(ω) nennt man auch die Transferfunktion. Um den Betrag und die Phase von H(ω) zu bestimmen, benutzen wir die Algebra f¨ ur komplexe Zahlen. Multiplikation mit dem komplex konjugierten des Nenners liefert R H(ω) = R + i(ωL − =

R2 R2 + (ωL −

1 ) ωC 1 ) ωC 1 R(ωL − ωC ) i 2 1 2 ) R + (ωL − ωC

R − i(ωL − · 1 ) R − i(ωL − ωC 1 2 ) ωC

−

.

In der Polardarstellung H(ω) = finden wir

|VR |ei(ωt−φ) |VR | −iφ(ω) = e = |H(ω)| e−iφ(ω) |Vc |eiωt |Vc |

tan(ω) =

R(ωL − Im H(ω)) = Re H(ω)) R2

1 ) ωC

=

ωL − R

1 ωC

.

(679)

Dies ist die Phasenverschiebung zwischen VR und Vc . Der Betrag |H(ω)| =

G. Herten

315

|VR | |VL|

Experimentalphysik

25.4 Transformator berechnet sich zu √

H ∗H
  2
 1 1 2 R − iR ωL − R + iR ωL − ωC ωC H ∗H = h
2 i2 1 R2 + ωL − ωC

1 2 1 2 2 R4 + R2 ωL − ωC 2 R + ωL − ωC = h
i2 = R h
i2 1 2 1 2 R2 + ωL − ωC R2 + ωL − ωC

H(ω) =



=

R2

R2 + ωL −

Also |Vr | = q |H(ω)| = |Vc |

R


1 2 ωC

R2 + ωL −

.


1 2 ωC

.

¨ Dies ist in Ubereinstimmung mit unserem fr¨ uheren Resultat (667). Dort hatten wir f¨ ur das entsprechende Verh¨altnis ωRA(ω) cos(ωt − (δ − π2 ) −ωRA(ω) sin(ωt − δ) VR (t) = = VB (t) VB cos ωt VB cos ωt erhalten. Die Phasenverschiebung betr¨agt somit wie in Kap. 25.1 bereits erw¨ahnt φ=δ−

π . 2

Beide Phasen φ (679) und δ (667) unterscheiden sich um π2 . Der Grund ist, dass wir im Kap. 25.1 die Phasenverschiebung (δ) zwischen Generatorspannung und Kondensatorspannung berechnet haben (d.h. zwischen Generator und der Ladung q(t)). φ dagegen ist die Phasenverschiebung zwischen Generatorspannung und Spannung am Widerstand (d.h. Strom I(t)). Da Ladung q(t) und Strom I(t) um 90◦ phasenverschoben sind, unterscheiden sich die beiden Phasendefinitionen δ und φ um π2 . In der Elektrotechnik ist die zweite Definition der Phase (φ) zwischen Strom und Spannung gebr¨auchlicher. F¨ ur die Phasen ergeben sich nach (667) und (679) die Beziehungen tan φ(ω) = −1/ tan δ(ω) = mit γ = R/L und ω02 =

25.4

ωL − R

1 ωc

=

ω 2 − ω02 γω

1 . LC

Transformator

¨ Ein Transformator wird zur Anderung der Spannung beim Wechselstrom verwendet bei Beibehaltung der Frequenz. Er besteht aus zwei Spulen mit den Windungszahlen N1 und N2 , die einen gemeinsamen Magnetfluß umgreifen. Der Magnetfluß wird mit einem Eisenkern mit hoher magnetischer Permeabilit¨at geb¨ undelt. Der Eisenkern besteht aus schlecht leitendem Material G. Herten

316

Experimentalphysik

25.4 Transformator z.B. Ferritkerne oder aus Blechen, die gegeneinander mit Papier oder Lack isoliert sind, um Wirbelstromverluste zu vermeiden. Ein idealer Transformator besitzt Spulen ohne Ohmschen Widerstand. Der Magnetische Fluß soll im Eisenkern konzentriert sein, d.h. der magnetische Fluß ist f¨ ur beide Spulen gleich. Keine Leistung soll aufgrund von Wirbelstr¨omen und Hysteresis verloren gehen. Der Transformator beruht auf dem Induktionsgesetz.

Wir betrachten einen idealen Transformator. Anlegen einer Spannung V1 bewirkt einen ~ in die eingezeichnete Richtung zeigt. Bei Strom I1 , der einen Fluß im Eisen erzeugt, so dass B ansteigendem magnetischen Fluß wird in Spule 2 eine Spannung U2 so induziert, dass u ¨ ber einen angeschlossenen Widerstand ein Strom I2 in die eingezeichnete Richtung zeigt. Bei eingezeichneter Spulenwicklung (obere Abbildung) haben V1 und V2 umgekehrtes Vorzeichen (oder bei Wechselstrom eine Phasenverschiebung von 180◦ ). Fr¨ uher hatten wir f¨ ur die Induktivit¨at einer Solenoidspule gefunden (617) N2 A , L = µ0 ℓ wobei N die Anzahl der Windungen, A der Querschnitt und ℓ die L¨ange sind. Das magnetische ~ in der Spule ist gegeben durch Feld B N I. ℓ Die angelegte Spannung V1 an der Spule 1 ist gleich der selbstinduzierten Spannung B = µ0

V1 = V1,s.ind = −L

N 2 dI1 dI1 = −µ0 1 A . dt ℓ dt

¨ Die induzierte Spannung in der Spule 2 ist nach dem Faraday-Gesetz gegeben durch die Anderung des magnetischen Flusses: V2 = V2 ,ind = −dφ/dt = −N2 A

dB N1 dI1 = −N2 Aµ0 . dt ℓ dt

Damit erhalten wir f¨ ur das Verh¨altnis V2,ind V2 N2 = = . V1 V1,s.ind N1 G. Herten

317

(680) Experimentalphysik

25.4 Transformator Die Spannungen haben eine Phasenverschiebung von 180◦ bei gleichem Windungssinn (obere Abbildung) und 0◦ bei umgekehrten Windungssinn (untere Abbildung). Im idealen Transformator geht keine Energie verloren. Deshalb muß die an der Prim¨arseite abgegebene elektrische Leistung gleich der auf der Sekund¨arseite aufgenommenen Leistung sein: V1eff I1eff cos ϕ1 = V2eff I2eff cos ϕ2 .

(681)

Dies ist die Transformatorgleichung. Ist der Sekund¨arkreislauf offen (Leerlauf), I2eff = 0, so ist die Leistung P2 = 0. Somit muss beim idealen Transformator P1 = 0 sein. Es fließt dann im Prim¨arkreislauf ein Blindstrom I0 = V1 /iωL, der leistungsfrei ist, da die Phasendifferenz ϕ1 = π/2 betr¨agt. Wenn die Phasen ϕ1 und ϕ2 ¨ahnlich sind, erh¨alt man durch Einsetzen von (681) in (680) I1,eff I2,eff

=

N2 N1

N2 N1

2

Multiplikation mit 680 liefert dann V2,eff I2,eff Und somit

=



V1eff I1,eff

2 N2 |Z1 | . (682) |Z2 | = N1 Mit (680,681,682) kann man somit Transformatoren benutzen, um z.B. sehr hohe Spannungen (bei kleinen Str¨omen) oder – wie beim Elektroschweißen – sehr große Str¨ome bei geringen Spannungen zu erzeugen. Mit (682) kann man Transformatoren auch benutzen, um Ger¨ate mit verschiedenen Impedanzen anzupassen. 

¨ Ubertragung elektrischer Energie ¨ H¨aufig werden Transformatoren benutzt, um Spannungen f¨ ur Uberlandleitungen hoch zu transformieren. Beim Verbraucher werden sie dann mit einem Transformator auf 230 V herunter transformiert. Dadurch lassen sie Leistungsverluste aufgrund ohmscher Widerst¨ande R der ¨ Uberlandkabel reduzieren. Die Verlustleistung im Kabel ist PK = I 2 R. F¨ ur das Verh¨altnis der Verlustleistung zur Gesamtleistung P finden wir PK I 2R I ·R RP = ≡ = 2 P I ·V V V Bei vorgegebener Gesamtleistung P verringern sich die Verluste mit steigender Spannung somit proportional zu 1/V 2 . Beispiel: Ein Kupferkabel mit der L¨ange 2.5 km, Querschnitt A = 0.2 cm2 und spez. Widerstand ρ = 1, 7·10−8 Ωm hat einen Widerstand von 2.1 Ω. Bei P = 20 kW und V = 230 Volt findet man PK = 0.8, d.h. nur 20% der ausgesandten Leistung erreicht den Verbraucher. F¨ ur P = 20 kW P −4 und V = 20 kV erh¨alt man PK /P = 10 und somit eine deutliche Energieersparnis. Um ¨ Leistungsverluste gering zu halten, verwendet man f¨ ur Uberlandleitungen Spannungen von mehreren 100 kV. G. Herten

318

Experimentalphysik

25.5 Wechselstromgeneratoren

25.5

Wechselstromgeneratoren

Wechselstromgeneratoren beruhen auf dem Induktionsgesetz, d.h. der Lorentzkraft. Zun¨achst wollen wir mit einem der modernsten, dem magneto-hydrodynamischen (MHD) Generator beginnen. Durch ein Rohr wird eine erhitzte hochionisierte Fl¨ ussigkeit oder ein Gas ~ geleitet. Senktrecht zur Str¨omungsrichtung herrscht ein B-Feld (Permanentmagnet, oder mit Gleich- oder Wechselstrom betriebener Elektromagnet). Auf das str¨omende Fluid herrscht die ~ ein Elektrisches Feld erzeugt Lorentzkraft, die senkrecht zu ~v und B ~ = ~v × B ~. E

~ Wenn man in Richtung des E-Feldes am Rohr mit dem Durchmesser d Elektroden anbringt, herrscht zwischen ihnen eine Spannung V0 = Ed = vBd .

(683)

Man kann sich den Vorgang auch so vorstellen, dass die positiven Ladungen zu einer Seite und die negativen in die entgegengesetzte Richtung abgelenkt werden. Es bildet sich dann ein Gleichgewichtszustand zwischen Lorentzkraft und Coulombabstoßung. Solange kein Strom fließt (Leerlaufspannung), ist die Spannung unabh¨angig von der Leitf¨ahigkeit des Fluids. Sobald aber ein Strom fließt, erniedrigt sich die Spannung. Der Innenwiderstand des Generators ist 1d , σA wobei σ die Leitf¨ahigkeit und A die Elektrodenfl¨ache ist. Bei Belastung ergibt sich dann die Klemmspannung an den Elektroden Ri ∼

V = V0 − Ri I . Drehstromgeneratoren Die klassische Bauart eines Generators besteht im Prinzip aus einer Schleife der Fl¨ache A, z.B. ein Rechteck mit den Seiten a und b, das sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω um eine zu b parallele Seite dreht. Dabei wird die Spannung V = NBAω sin ωt G. Herten

319

Experimentalphysik

26 Die Maxwellschen Gleichungen

induziert. Dabei ist N die Windungszahl und B die magnetische Induktion. Das Magnetfeld wird meist mit Elektromagneten erzeugt, deren Betriebsstrom einer ¨außeren Spannungsquelle entnommen oder vom Generator selbst geliefert wird. Im letzteren Fall unterscheidet man den Hauptschlußgenerator, wenn der gesamte Verbraucherstrom durch Magnetwicklung fließt, oder den Nebenschlußgenerator, wenn Verbraucher und Magnet parallel liegen. Der Eisenkern hat immer eine Restmagnetisierung. Diese reicht aus, um beim Anfahren des Generators zun¨achst einen kleinen Strom zu erzeugen, der dann das Magnetfeld verst¨arkt, bis der Normalbetrieb erreicht ist.

26

Die Maxwellschen Gleichungen

Das Faradaysche Gesetz sagt aus, dass ein zeitlich ver¨anderliches magnetisches Feld ein geschlossenes magnetisches Feld erzeugen kann ~ =− rot E Mit dem Amp`ereschen Gesetz

~ ∂B . ∂t

~ = µ0~j rot B

(684)

(685)

ist ein geschlossenes Magnetfeld mit einem Strom verkn¨ upft. Die besondere Leistung Maxwells war, eine weitgehende Symmetrie zwischen elektrischem und magnetischem Feld zu erzielen, indem er das Amp`eresche Gesetz so modifizierte, dass auch ver¨anderliche elektrische Felder ein geschlossenes Magnetfeld erzeugen k¨onnen ~ ~ = µ0~j + µ0 ε0 ∂ E . rot B ∂t

(686)

Mit diesem Zusatz gelang es Maxwell, Licht als elektromagnetische Welle zu interpretieren. Dies werden wir sp¨ater ausf¨ uhrlich diskutieren. Zun¨achst wollen wir diesen zus¨atzlichen Term genauer untersuchen. G. Herten

320

Experimentalphysik

26.1 Amp`ere-Maxwellsches Gesetz

26.1

Amp` ere-Maxwellsches Gesetz

Abb. 116: Diagramm zur Herleitung des Verschiebungsstromes. Der Strom I durch den Leiter wird mit dem Amp`ereschen Gesetz auf zwei Arten berechnet, unter Verwendung der Fl¨ache F1 und der sackartigen Fl¨ache F2, die zwischen den Kondensatorplatten verl¨auft. Nur mit dem Maxwellschen Verschiebungsstrom erh¨alt man f¨ ur beide F¨alle das gleiche Ergebnis.

An einem einfachen Beispiel k¨onnen wir sehen, dass das Amp`eresche Gesetz alleine zu Inkonsistenzen f¨ uhrt. Wir betrachten einen Leiter, durch den ein Strom I fließt. Mit dem Amp`ereschen ~ Gesetz ist das B-Feld um den Leiter gegeben durch Z I ~ ~ ~ B · dℓ = µ0 ~j · dS (687) Z ~ ~j · dS wobei I = der Strom ist, der durch eine Fl¨ache fließt, die von der geschlossenen Linie aufgespannt wird, u ¨ber die sich das Linienintegral erstreckt. Die Fl¨ache kann beliebig gew¨ahlt werden, z.B. wie ~ die sackartige Fl¨ache F2 in Abb. 116. Aus Gleichung (687) k¨onnen wir somit das B-Feld um den Leiter berechnen. Nun unterbrechen wir den Leiter und f¨ ugen einen Kondensator so ein, dass unsere eingezeichnete Fl¨ache F2 zwischen den Kondensatorplatten verl¨auft. Es soll nun ein konstanter Strom fließen, der den Kondensator aufl¨adt. q erhalten wir C dV 1 dq I = = = const. dt C dt C Mit V

=

(688)

F¨ ur das elektrische Feld im Kondensator erhalten wir somit dE dV =a = const, dt dt

(689)

wobei a der Plattenabstand ist. Genauso wie beim kontinuierlichen Leiter (Fall (a)) fließt auch mit Kondensator (Fall (b)) durch den Leiter ein Strom I. Anwendung des Amp`ereschen Gesetzes G. Herten

321

Experimentalphysik

26.2 Grundgleichungen der Elektrodynamik liefert f¨ ur den Fall (b)

Z

~ = 0, ~j · dS

da kein Strom durch die sackartige Fl¨ache F2 fließt. Somit folgt aus dem Amp´ereschen Gesetz, ~ dass kein B-Feld um den Leiter existieren sollte. Dies ist aber im Widerspruch zum Experi~ ment, bei dem auch in diesem Fall ein B-Feld beobachtet wird. Dieses Manko wird durch den Maxwellschen Zusatzterm behoben. Wir wollen nun untersuchen, wie dieser Term aussehen k¨onnte. Durch die Fl¨ache tritt ein ~ zeitlich ver¨anderliches E-Feld. Mit (688), (689) und C = ε0 A/a erhalten wir dE 1 dV 1 a = = I= I dt a dt aC aε0 A oder

dE . dt Mit dem elektrischen Fluß φE = E · A, der durch die Kondensatorplatten tritt, k¨onnen wir dies auch umformen in dφE . IV = I = ε0 dt Diesen Zusatzterm nennt man auch den Verschiebungsstrom, obwohl es sich nicht um einen Strom handelt, sondern um einen zeitlich ver¨anderlichen elektrischen Fluß. Maxwell hat nun postuliert, dass dieser Zusatzterm generell g¨ ultig ist, nicht nur f¨ ur Kondensatoren. Mit Z ~ ~ · ds φE = E I = ε0 A

erhalten wir somit das Amp`ere-Maxwell-Gesetz I ~ = µ0 I + µ0 ε0 dφE . ~ · dℓ B dt

(690)

Das Amp`ere-Maxwell-Gesetz ist somit analog zum Faraday-Gesetz formuliert.

26.2

Grundgleichungen der Elektrodynamik

Wir wollen nun alle Grundgleichungen der Elektrodynamik zusammenfassen. Sie heißen auch die Maxwell-Gleichungen, da Maxwell das letzte fehlende Glied hinzugef¨ ugt hat. Sie lauten in Integralform: 1) Gaußsches Gesetz des elektrischen Feldes Z I Q 1 ~ = ~ · dS ρdV = E ε0 ε0

(691)

2) Gaußsches Gesetz des Magnetfeldes I G. Herten

~ =0 ~ · dS B 322

(692) Experimentalphysik

26.2 Grundgleichungen der Elektrodynamik 3) Faraday-Gesetz

I

4) Amp`ere-Maxwell-Gesetz

I

~ = − dΦB ~ · dℓ E dt

(693)

~ = µ0 I + µ0 ε0 dφE , ~ · dℓ B dt

(694)

wobei die Fl¨ usse I, φE und φB gegeben sind durch Z ~ ~j · dS I = Z ~ ~ · dS ΦE = E Z ~ . ~ · dS ΦB = B

(695) (696) (697)

~ und B~ Zus¨atzlich zu diesen Maxwell-Gleichungen ben¨otigen wir noch zur Definition des EFeldes die Lorentzkraft   ~ ~ ~ F = q E + ~v × B (698) zur Formulierung der Elektrodynamik. Mit diesen 5 Gleichungen k¨onnen alle Effekte der Elektrodynamik beschrieben werden, solange keine elektrischen und magnetischen Materialien vorhanden sind. In differentieller Form lassen sich die Maxwell-Gleichungen wie bereits erl¨autert in folgender Form schreiben: ρ ε0 ~ divB = 0 ~ = divE

1) 2)

~ ∂B ∂t

3)

~ = − rotE

4)

~ ~ = µ0~j + µ0 ε0 ∂ E rotB ∂t

(699) (700) (701) (702)

Beim Vorhandensein von Materie m¨ ussen wir wie besprochen die elektrischen und magneti~ D, ~ P~ bzw. B, ~ H, ~ M ~ verwenden. Dann erhalten wir die makroskopischen schen Vektorfelder E, Maxwellgleichungen ~ = ρ divD el ~ divB = 0 ~ = −∂B ~ rotE ∂t ~ ~ = ~j + ∂ D rotH ∂t

1) 2) 3) 4) Dabei ist ρel G. Herten



= 0 = ρel (~r)

elektrisch neutral elektrisch geladen 323

Experimentalphysik

26.3 Folgerungen

~j

  

= = =

0 ~ σ·E ~ ~j(E)

~ = ε0 E ~ + P~ D

~ = µ 0 (H ~ +M ~) B





Isolator ohmscher elektrischer Leiter allgemeiner elektrischer Leiter ~ = κε0 E ~ E) ~ = D(

normal elektrisch ferroelektrisch

~ = κm µ0 H ~ H) ~ = B(

dia- oder paramagnetisch ferromagnetisch

Speziell gelten f¨ ur das Vakuum die Beziehungen ~ = ε0 E, ~ B ~ = µ0 H ~. ρel = 0, ~j = 0, D ~ und B-Feld ~ Damit ergeben sich die Maxwell-Gleichungen f¨ ur das Vakuum, bei denen das E in sehr symmetrischer Form auftreten. 1) 2) 3) 4)

~ divE ~ divB ~ rotE ~ rotB

= = = =

0 0 ∂ ~ − ∂t B ∂ ~ µ0 ε0 ∂t E

Sp¨ater werden wir sehen, dass der Ausdruck c= √

1 µ0 ε0

die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist.

26.3

Folgerungen

Wir wollen nun zeigen, dass Gesetze der Elektrodynamik, die wir schon fr¨ uher diskutiert hatten, aus den Maxwell-Gleichungen hergeleitet werden k¨onnen. 1) 2) 3) 4)

G. Herten

~ = ρ div D ~ = 0 div B ~ ~ = − ∂B rot E ∂t ~ = ~j + ∂ D ~ rot H ∂t

324

(703) (704) (705) (706)

Experimentalphysik

26.3 Folgerungen a) Elektrostatik und Magnetostatik Die Gleichungen der Elektro- und Magnetostatik ergeben sich dadurch, dass alle zeitlichen Ableitungen verschwinden. Damit erhalten wir f¨ ur das elektrische Feld ~ = ρ div D ~ = 0 rot E

(707) (708)

Wir hatten bereits erl¨autert, dass die zweite Gleichung aussagt, dass das statische elektrische Feld konservativ ist und ein skalares Potential existiert, so dass ~ r ) = −grad V (~r) E(~ Ein zeitlich ver¨anderliches elektrisches Feld ist nicht konservativ. F¨ ur das statische magnetische Feld erhalten wir ~ = 0 div B ~ = ~j rot H

(709) (710)

b) Kontinuit¨atsgleichung Wir bilden die Divergenz von Gleichung 4 ~ =∇ ~ · (∇ ~ × H) ~ = div ~j + div div rot H

∂ ~ D ∂t

(711)

~ = 0 . Mit FS Kap.10 finden wir div rot H ~ = ρ einsetzen und die gemischten Den letzten Term formen wir um, wobei wir div D Ableitungen vertauschen ! ~ ∂ ∂D ~ = div D . div ∂t ∂t Damit erhalten wir die Kontinuit¨atsgleichung div ~j +

∂ρ =0 ∂t

(712)

Wir erkennen an dieser Rechnung, dass der Zusatzterm von Maxwell, der Verschiebungsstrom, entscheidend ist, um die Erhaltung der elektrischen Ladung zu gew¨ahrleisten. c) Das erste Kirchhoffsche Gesetz Wir integrieren die Kontinuit¨atsgleichung u ¨ ber ein Volumen, das von einer geschlossenen Fl¨ache begrenzt wird. Z Z ∂ρ dQ ~ div j dV = − dV = − . (713) ∂t dt Die linke Seite wandeln wir mit den Gaußschen Satz um und erhalten Z I ~ = − dQ . ~ div j dV = ~j · dS dt G. Herten

325

(714)

Experimentalphysik

26.4 Energiefluß Das erste Kirchhoffsche Gesetz besagt, dass der Gesamtstrom durch einen Knoten Null sein muß, d.h. I ~ =0 . ~j · dS (715)

Es fließt genau soviel Strom in die geschlossene Fl¨ache hinein wie heraus. Mit (714) sehen wir, dass das 1. Kirchhoffsche Gesetz in dieser Form nur gilt, solange die elektrische Ladung in diesem Volumen konstant bleibt. Dieses Ergebnis ist anschaulich klar. Bef¨ande sich z.B. am Knotenpunkt eine positiv geladene Kugel, so w¨ urde beim Entladen ein von Null verschiedener Gesamtstrom auftreten, der aus dem geschlossenen Volumen austritt. ¨ Nach (714) entspricht dieser Strom der zeitlichen Anderung der Ladung. d) Das zweite Kirchhoffsche Gesetz Das zweite Kirchhoffsche Gesetz besagt, dass die Summe aller Spannungsabf¨alle u ¨ber eine Masche (geschlossener Weg) Null ist X Vi = 0 i

oder in Integralform

I

~ =0 , ~ · dℓ E

wobei sich das Linienintegral u ¨ ber einen geschlossenen Weg erstreckt. Wir hatten bereits besprochen, dass dieses Gesetz aus der Energieerhaltung folgt. Wir benutzen die Integralschreibweise des Induktionsgesetzes und erhalten Z I d ~ ~ ~ · dS ~ B E · dℓ = − dt Wir sehen sofort, dass das 2. Kirchhoffsche Gesetz f¨ ur den Fall gilt, dass der magnetische ~ = 0. Eine elektrische Schaltung, die man in ein Fluß zeitunabh¨angig ist, d.h. rot E ver¨anderliches Magnetfeld bringt, wird somit andere Spannungen und Str¨ome zeigen, als mit den Kirchhoffschen Gesetzen vorhergesagt. Man muß dann noch zus¨atzliche induzierte Ringspannungen ber¨ ucksichtigen.

26.4

Energiefluß

Nun werden wir die Maxwell-Gleichungen verwenden, um die Kontinuit¨atsgleichung f¨ ur die ~ ×M ~ . Unter Benutzung der elektromagnetische Energie zu berechnen. Dazu bilden wir div E Identit¨at (FS. Kap.10) ~ × B) ~ =B ~ · rot A ~ −A ~ · rot B ~ div (A finden wir

G. Herten

~ ×H ~ =H ~ · rot E ~ −E ~ · rot H ~ div E

326

.

(716)

Experimentalphysik

26.4 Energiefluß Mit den Maxwell-Gleichungen ~ ~ = − ∂ B und rot E ∂t ~ ~ = ~j + ∂ D ergibt sich rot H ∂t ~ ~ ~ −E ~ · ∂D ~ ×H ~ = −H ~ · ∂ B − ~j · E div E ∂t ∂t

.

(717)

Zur weiteren Berechnung betrachten wir nur lineare Substanzen f¨ ur die die Beziehungen ~ = κm µ0 H ~ und B ~ = κ ε0 E ~ gelten. D Dann ist

Weiter gilt

Analog finden wir

~ ~ ~ ~ · ∂B = B ~ · ∂ H = κm µ0 H ~ · ∂H H ∂t ∂t ∂t

.

~ ~ ~ ∂  ~ ~  ~ ∂B ~ · ∂ H = 2H ~ · ∂B H ·B =H · +B ∂t ∂t ∂t ∂t

Einsetzen in (717) liefert somit

~ ∂ ~ ~  ~ · ∂D E · D = 2E ∂t ∂t

.

.

~ × H) ~ + 1 ∂ (E ~ ·D ~ +B ~ · H) ~ = −~j · E ~ div (E 2 ∂t Die einzelnen Terme fassen wir nun in folgender Form zusammen ~ ~ + ∂u = −~j · E div S ∂t

(718)

wobei ~ ×H ~ und S = E 1 ~ ~ ~ · H) ~ (E · D + B sind. u = 2

(719) (720)

Den Ausdruck u hatten wir bereits fr¨ uher erhalten. u ist die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes. Gleichung (718) hat die Struktur einer Kontinuit¨atsgleichung. Wir interpretieren daher die Gr¨oße ~ =E ~ ×H ~ S (721) ~ wird auch Poyntingvektor genannt. Gleichung als Energiefluß des elektromagnetischen Feldes. S (718) k¨onnen wir somit folgendermaßen interpretieren. Auf der linken Seite steht die elektromagnetische Energiebilanz eines Volumens als Summe der Energie, die pro Zeit heraus- oder

G. Herten

327

Experimentalphysik

26.4 Energiefluß ¨ hineinfließt und die zeitliche Anderung der Energiedichte. Auf der rechten Seite steht die Ener~ gie, die pro Volumen und Zeit in andere Energieformen u uhrt wird. Der Ausdruck ~j · E ¨ berf¨ beschreibt den Energieverlust durch Joulesche W¨arme. Da nur die Divergenz des Energieflusses eine Rolle spielt, ist der Energieflussvektor nicht eindeutig definiert. Denn man k¨onnte z.B. die Rotation eines anderen Vektors F~ hinzuf¨ ugen: ~′ = E ~ ×H ~ + rot F~ S

.

(722)

~ ′ = div S ~ und damit die selbe Da die Beziehung div rot F~ = 0 gilt, erhalten wir div S Kontinuit¨atsgleichung. Daher hat dieser Zusatzterm keine physikalische Bedeutung. Es ist daher ~=E ~ × H, ~ f¨ u ur den Energieflussvektor zu verwenden. ¨blich, die einfachste Form, S Beispiel 1: Stromdurchflossener Leiter

Abb. 117: Bei einem stromdurchflossenen Leiter zeigt der Poynting-Vektor in den Leiter hinein.

~ Wir betrachten einen stromdurchflossenen, zylinderf¨ormigen Leiter mit dem Radius r. Das E~ ~ Feld ist parallel zu j und das H-Feld tangential zur Oberfl¨ache gerichtet. Der Poynting Vektor zeigt somit zum Mittelpunkt des Leiters. Energie fließt durch die Leiteroberfl¨ache. Wir wollen nur station¨are Felder betrachten. Somit ist ∂ u=0 . ∂t Wir integrieren u uck der L¨ange ℓ und erhalten ¨ber ein Leiterst¨ Z Z ~ ~ dV . div S dV = − ~j · E

(723)

das linke Integral k¨onnen wir mit dem Gaußschen Satz in ein Oberfl¨achenintegral u ¨ber die geschlossene Oberfl¨ache A umwandeln. Z I Z ~ ~ ~ ~ dV div S dV = S · dA = − ~j · E (724) ~ senkrecht auf den Seitenfl¨achen steht, erhalten wir im Oberfl¨achenintegral keinen Beitrag Da S von den Endfl¨achen. I ~ · dA ~ = 2πrℓ S S G. Herten

328

Experimentalphysik

27 Elektromagnetische Wellen ~ gerichtet ist) Die rechte Seite in (724) liefert (da ~j parallel zu E Z ~ dV = j · E · a · ℓ , ~j · E da a der Querschnitt und a · ℓ das Volumen des Leiterst¨ ucks ist. Mit dem Strom I = j · a und der Spannung V = E · ℓ erhalten wir somit S=

Leistung I V = 2πrℓ Fl¨ache

.

~ die Leistung pro Fl¨ache angibt, Damit haben wir an diesem konkreten Beispiel gezeigt, dass S die durch die Oberfl¨ache in den Leiter fließt und dort in Joulesche W¨arme umgewandelt wird. Bei einem Leiter mit spez. Widerstand ρ = 0 tritt kein Spannungsabfall u ¨ber die Strecke ℓ auf, d.h. V = 0 und daher auch E = 0. Die rechte Seite in (724) ist daher Null und somit verschwindet auch der Energiefluß. Beispiel 2: Elektrisch geladener Stabmagnet

Abb. 118: Bei einem elektrisch geladenen Stabmagneten zeigt der Poyntingvektor kreisf¨ormig um den Magneten.

Als n¨achstes Beispiel betrachten wir einen Stabmagneten, der elektrisch geladen ist. Somit gibt es sowohl ein E- als auch ein H-Feld. Beide stehen senkrecht auf einander. Der Stabmagnet kann nat¨ urlich nicht st¨andig Energie aufnehmen oder abgeben. Daher erwarten wir, dass der Energiefluß Null ist. Allerdings werden wir sehen, dass dies nicht ganz richtig ist. Wie in der ~ und H ~ senkrecht zueinander gerichtet. Der Poynting Vektor Abbildung zu sehen ist, sind E ~ ~ ~ S = E × H zeigt somit kreisf¨ormig um den Stabmagneten. Somit ist der Energiefluß nicht Null. Aber die Energie fließt st¨andig um den Stabmagneten, so dass kein Energieverlust auftritt. Dieser Energiefluß mag intuitiv u ¨ berraschend sein, da es sich ja hier um ein statisches Problem handelt. Andererseits sollten wir uns erinnern, dass wir uns einen Permanentmagneten aus vielen atomaren Kreisstr¨omen zusammengesetzt denken sollten.

27 27.1

Elektromagnetische Wellen Wellengleichung

Bisher haben wir mechanische Wellen behandelt. Nun wollen wir elektromagnetische Wellen untersuchen. Die erste Aufgabe besteht darin, aus den Maxwell-Gleichungen die Wellengleichung G. Herten

329

Experimentalphysik

27.2 Ebene Wellen herzuleiten. Wir beschr¨anken uns zun¨achst auf das Vakuum. ~ = 0 div E ~ = 0 div B

(725) (726)

~ = −B ~˙ rot E

(727)

~ = µ0 ε0 E ~˙ rot B

(728)

Anwendung der Rotation auf (727) liefert ~ = −rot B ~˙ = − ∂ rot rot E ∂t

~ = −µ0 ε0 E ~¨ rot B

.

Andererseits erhalten wir mit (FS. Kap. 10) ~ = grad div E ~ − ∆E ~ E ~ = 0 folgt dann mit (728) E ~ = µ0 ε 0 E ~¨ ∆E 2~ 2~ 2~ ~ = ∂ E+∂ E+∂ E mit ∆E ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 oder ! 2~ 2~ 2~ ~ ∂2E E ∂ E E ∂ ∂ ~ = c2 = c2 ∆E + + ∂t2 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

rot rot Aus div

.

(729)

Dies ist die 3-dimensionale Wellengleichung f¨ ur elektromagnetische Wellen im Vakuum. Dabei ist 1 ≡ 299 792 458 m/s c= √ µ0 ε0 die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Analog findet man durch Anwenden von rot auf (727) die Wellengleichung f¨ ur das Magnetfeld. ~ ∂2B ~ = c2 ∆B ∂t2

(730)

Im Gegensatz zu Seitenwellen oder Schallwellen enth¨alt die Wellengleichung nun keine skalare ~ r , t), bzw. B(~ ~ r , t). Gr¨oße (z.B. Druck oder transversale Auslenkung), sondern ein Vektorfeld E(~

27.2

Ebene Wellen

Wir wollen als wichtige L¨osung der Wellengleichung zun¨achst ebene Wellen betrachten. Wir haben ebene Wellen in unseren bisherigen Betrachtungen verwendet, z.B. bei der Beschreibung einer Schallwelle, die sich in z-Richtung ausbreitet. p(z, t) = p0 cos(ωt − kz + ϕ)

(731)

Diese Gleichung besagt, dass an allen Punkten in der Ebene senkrecht zur z-Achse (x-y Ebene) derselbe Druck vorliegt. Die Wellenfront in der x-y Ebene hat somit eine unendliche Ausdehnung. Eine solche ebene Welle ist eine Idealisierung einer wirklichen Welle. Wir werden sie aber G. Herten

330

Experimentalphysik

27.2 Ebene Wellen h¨aufig verwenden, da sie mathematisch einfach zu behandeln ist. Eine ebene elektromagnetische Welle, die sich in +z Richtung bewegt, hat somit die Form ~ t) = E ~ 0 cos(ωt − kz + ϕ) E(z, mit c = ω/k .

(732)

Die ebene Welle kann sich im 3-dimensionalen Raum in jede beliebige Richtung zˆ′ fortbewegen, wobei zˆ′ der Einheitsvektor ist, der in die Ausbreitungsrichtung zeigt. Allgemein schreibt man eine ebene Welle daher in Vektorform als ~ r , t) = E ~ 0 cos(ωt − ~k · ~r + ϕ) . E(~

(733)

Man f¨ uhrt den Wellenvektor ~k ein, der gegeben ist durch ~k = ω zˆ′ = 2π zˆ′ c λ und somit in Ausbreitungsrichtung zeigt.

^z’

x d

θ

r

z

y Abb. 119: Eine ebene elektromagnetische Welle, die sich in zˆ′ - Richtung ausbreitet.

Wie man an der Zeichnung erkennt, hat das Skalarprodukt 2π ~k · ~r = 2π zˆ′ · ~r = 2π |ˆ z ′ | |~r| · cos θ = d λ λ λ f¨ ur alle Punkte auf einer Ebene senkrecht zu der zˆ′ Achse denselben Wert. Gl. (733) beschreibt somit eine ebene elektromagnetische Welle, die sich in +ˆ z ′ -Richtung ausbreitet. Wie bei Schwingungen benutzt man f¨ ur die Beschreibung von Wellen h¨aufig eine komplexe Formulierung. Eine ebene Welle hat damit die Form ~ r, t) = E ~ 0 ei(ωt−~k·~r+ϕE ) E(~ ~ r, t) = B ~ 0 ei(ωt−~k·~r+ϕB ) B(~

.

Die Exponentialdarstellung vereinfacht die Rechnungen sehr, denn es gilt ~ · E(~ ~ r , t) = ∇ ~ ·E ~ 0 ei(ωt−~k·~r+ϕE ) = −i~k · E(~ ~ r , t) ∇ G. Herten

331

Experimentalphysik

27.2 Ebene Wellen und Entsprechend

~ × E(~ ~ r , t) = ∇ ~ ×E ~ 0 ei(ωt−~k·~r+ϕE ) = −i~k × E(~ ~ r, t) . ∇ ~ ~˙ = ∂ E(~r, t) = iω E ~ E ∂t ~ ~˙ = ∂B(~r, t) = iω B B ∂t

Mit den Maxwell-Gleichungen

Abb. 120: Ebene elektromagnetische Welle, die sich in z-Richtung ausbreitet. Die Welle ist linear polarisiert, die E-Felder stehen in x-Richtung und die B-Felder in y-Richtung.

~ ·E ~ ∇ ~ ·B ~ ∇ ~ ×E ~ ∇ ~ ×B ~ ∇

= 0 = 0 ~˙ = −B

~˙ = µ0 ε 0 E

folgen somit die Bedingungen f¨ ur die ebene Welle. ~k · E(~ ~ r, t) = 0 ~k · B(~ ~ r, t) = 0

(734) (735)

~ ×E ~ = −i~k × E ~ = −iω B ~ , d.h. ∇ ~ ~ ~ = 1 k ×E ~ = 1 ~k × E B ω c |~k|

analog ~ = µ0 ε0 iω E ~ ~ ×B ~ = −i~k × B ∇ ~ = − E G. Herten

(737)

, d.h.

~k 1 ~ ~ ~ ×B k × B = −c ~ µ0 ε0 ω |k| 332

(736)

.

(738) Experimentalphysik

27.3 Energie und Impuls Aus diesen Rechnungen k¨onnen wir mehrere Schl¨ usse f¨ ur ebene elektromagnetische Wellen im Vakuum ziehen: ~ B ~ und ~k stehen senkrecht aufeinander, d.h. elektromagnetische Wellen sind transversale 1) E, Wellen. ~ E ~ und ~k sind nach (736) mit der rechten Handregel 2) Die relativen Richtungen von B, gegeben. 3) F¨ ur die Betr¨age der Felder gilt

~ ~ E = c B

.

(739)

~ und E ~ dieselbe Phase 4) Die Gleichungen (736) und(738) sind nur dann erf¨ ullt, wenn B haben, d.h. ϕE = ϕB . Abbildung 120 zeigt als Beispiel eine ebene Welle, die sich in +z-Richtung ausbreitet. Das ~ ~ nur Komponenten in x-Richtung hat, d.h. E-Feld wurde so gew¨ahlt, dass E ~ r , t) = Ex (z, t)ˆ E(~ ex = eˆx E0x ei(ωt−kz)

.

~ nur Komponenten in y-Richtung haben kann. Mit (736) folgt dann, dass B ~ r , t) = By (z, t)ˆ B(~ ey = eˆy B0y ei(ωt−kz) Eine solche Welle nennt man auch eine linear polarisierte ebene Welle. Den Begriff der Polarisation werden wir in einem sp¨ateren Kapitel genauer behandeln.

27.3

Energie und Impuls

In Kap. 26.4 hatten wir den Poynting-Vektor definiert, der den Energiefluß in elektromagnetischen Feldern angibt. ~ =E ~ ×H ~ = 1E ~ ×B ~ S (740) µ0 Mit (736) und ~a × (~b × ~c) = (~a · ~c)~b − (~a · ~b)~c sowie µ0 = 1/(ε0c2 ) finden wir ~× ~ ×B ~ = 1 E ~ = 1E S µ0 µ0 c ~ 1 ~ 2 ~k ~2 k = c ε0 E E µ0 c |~k| |~k| ~ = c|B| ~ ist mit |E| ~ 2 = ε 0 c2 B ~2 = 1 B ~2 . ε0 E µ0

~k ~ ×E |~k|

!

=

Damit k¨onnen wir schreiben  ~  1 2 k 1 2 ~ ε0 E + B c S= 2 µ0 |~k| G. Herten

333

.

(741) Experimentalphysik

27.3 Energie und Impuls Wir erkennen den ersten Ausdruck wieder. In Kap. 26.4 hatten wir   1 2 1 2 ε0 E + B u= 2 µ0 als Energiedichte des elektromagnetischen Feldes im Vakuum definiert. Der Poyntingvektor der laufenden elektromagnetischen Welle ist somit gegeben durch ~ ~ = uc k S |~k|

,

~ = uc |S|

(742)

als Produkt aus Energiedichte und Lichtgeschwindigkeit. Die Energie fließt in Richtung ~k, der Ausbreitungsrichtung der Welle. Es ist nun naheliegend anzunehmen, dass elektromagnetische Wellen nicht nur Energie sondern auch Impuls haben. Wenn eine elektromagnetische Welle auf eine Metallscheibe trifft, sollte daher aufgrund des Impuls¨ ubertrages eine Kraft auf die Scheibe wirken. Es entsteht ein Strahlungsdruck, der von der elektromagnetischen Welle herr¨ uhrt. Wir wollen nun den Impuls und Strahlungsdruck berechnen. Dazu wollen wir zwei Verfahren benutzen. Im ersten betrachten wir eine elektromagnetische Welle als Ansammlung von Photonen. Dies ist das Teilchenbild im Gegensatz zum Wellenbild des Lichtes, das wir im Rahmen der Maxwell-Gleichungen untersucht haben. Im zweiten Verfahren werden wir dasselbe im Wellenbild analysieren. In der speziellen Relativit¨atstheorie hat ein Teilchen mit der Ruhemasse m und dem Impuls p die Gesamtenergie (936) W 2 = p2 c2 + m2 c4 . (743) Ein Photon hat die Ruhemasse m = 0 und somit den Impuls p = W/c .

(744)

Eine elektromagnetische Welle, die von einer Platte vollst¨andig absorbiert wird, u ¨bertr¨agt somit den Impuls p = W/c auf die Platte. Die auf die Platte wirkende Kraft ist somit F =

1 dW dp = dt c dt

.

Somit finden wir f¨ ur den Druck P , der auf die Platte mit dem Querschnitt A wirkt P =

F 1 dW = A cA dt

.

Nun ist der Energiefluß definiert als Leistung pro Fl¨ache ~ = |S|

1 dW A dt

und somit erhalten wir f¨ ur den Strahlungsdruck 1 ~ . P = |S| c G. Herten

334

Experimentalphysik

27.3 Energie und Impuls Dies ist somit der Strahlungsdruck, der auf die total absorbierende Platte wirkt. Bei einer total reflektierenden Platte ist der Impuls¨ ubertrag und damit der Strahlungsdruck doppelt so groß. Dies ist analog zur Reflexion einer Kugel an einer Wand in der Mechanik. Den Strahlungsdruck k¨onnen wir auch im Wellenbild herleiten. Wir betrachten eine absor~ bierende Platte, auf die eine ebene elektromagnetische Welle trifft. Das E-Feld der Welle habe ~ nur Komponenten in x-Richtung, und das B-Feld somit nur y-Komponenten. Elektronen in der ~ ~ in +x-Richtung zeigt, erfolgt Platte werden durch das einfallende E-Feld beschleunigt. Wenn E die Beschleunigung in −x-Richtung. Dadurch erhalten die Elektronen eine Geschwindigkeit vx = −vˆ x in −x-Richtung. Mit der Lorentzkraft ergibt sich somit eine Kraft F~z ~ = (−e) [vx (−ˆ F~z = q~v × B x) × By (ˆ y )] = evx By zˆ ,

(745)

die in z-Richtung zeigt. Sie ist die Ursache des Strahlungsdruckes. Andererseits ist die Leistung dW/dt, die von der Welle aufgebracht werden muß, um die Elektronen zu beschleunigen, gegeben durch   dW ~ + ~v × B ~ · ~v = q E ~ · ~v = (−e)Ex (−vx ) = F~ · ~v = q E dt dW = eEx vx = eBy vx c . dt Durch Vergleich mit (745) erhalten wir somit Fz =

dP 1 dW = c dt dt

F¨ ur den Impuls der Welle ergibt sich dann P =

W c

.

Damit erhalten wir dasselbe Ergebnis wie im Teilchenbild. Die Berechnung des Strahlungsdruckes erfolgt nun in derselben Weise wie bereits erl¨autert. Der Strahlungsdruck hat große Bedeutung in der Astrophysik. So betr¨agt z.B. der mittlere Energiefluß des Sonnenlichts auf der Erdoberfl¨ache < SE >= 1352 Watt/m2 . Dies entspricht einem zeitlich gemittelten Strahlungsdruck von < PE >= 1352/c Watt/m2

,

im Vergleich zum atmosph¨arischen Druck von 105 N/m2 also ¨außerst klein. Dennoch spielt der Strahlungsdruck der Sonne eine bedeutende Rolle f¨ ur Staubteilchen im Sonnensystem. Ein kugelf¨ormiges Teilchen mit dem Radius r und der Dichte ρ wird durch den Strahlungsdruck von der Sonne abgestoßen und durch Gravitation angezogen. Die Kraft auf die total absorbierende Kugel aufgrund der Strahlung ist FS =< PE > G. Herten

335

2 RE r2 π R2

. Experimentalphysik

27.4 Erzeugung elektromagnetischer Strahlung Dabei ist < PE > der oben genannte mittlere Strahlungsdruck auf der Erde, RE der Abstand der Erde von der Sonne, R die Entfernung des Staubteilchens von der Sonne und r 2 π die Querschnittsfl¨ache des kugelf¨ormigen Staubteilchens. Die Gravitationskraft ist   Ms 4 3 πr ρ , FG = G 2 R 3 wobei Ms die Masse der Sonne und 34 πr 3 ρ die Masse des Staubteilchens ist. Der Strahlungsdruck u ¨berwiegt somit, wenn Fs > FG , d.h. 2 kg 3 < PE > RE = 5, 6 · 10−4 2 rρ < 4 GMs m

.

Ein Teilchen (z.B. Wasser) mit der Dichte ρ = 103 kg/m3 und dem Radius r < 5, 6·10−7 m w¨ urde somit von der Sonne weggestoßen. Zus¨atzlich zu elektromagnetischer Strahlung sendet die Sonne ¨ noch geladene Teilchen aus (z.B. Protonen). Dieser Sonnenwind¨ und der Strahlungsdruck des Sonnenlichtes bewirken z.B., dass ein Kometenschweif, der aus kleinen Staubteilchen besteht, immer von der Sonne weg zeigt.

27.4

Erzeugung elektromagnetischer Strahlung

In den letzten Kapiteln haben wir die Eigenschaften von ebenen elektromagnetischen Wellen besprochen. Nun werden wir die Erzeugung elektromagnetischer Wellen durch einen Sender untersuchen. Die allgemeine mathematische Beschreibung f¨ ur die Erzeugung von elektromagnetischer Strahlung folgt aus den vier Maxwell-Gleichungen. Allerdings ist der mathematische Aufwand sehr groß. Wir werden daher hier einen einfachen Fall untersuchen. Zun¨achst wollen wir uns u ussen, damit es zu elektromagnetischer ¨berlegen, welche Voraussetzungen vorliegen m¨ Strahlung kommt. Wir vermuten, dass die Beschreibung der elektromagnetischen Welle in der N¨ahe des Senders (Nahbereich) sehr kompliziert sein wird. Wir beschr¨anken uns daher auf den Fernbereich. Dort erwarten wir, dass sich Kugelwellen bilden, d.h. die Welle bewegt sich radial nach außen. Die Wellenfront ist eine Kugelschale. Bei sehr großen Abst¨anden k¨onnen wir lokal die Kr¨ ummung der Kugelschale vernachl¨assigen. Dann bildet die Wellenfront eine Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Dies sind ebene Wellen, die wir bereits besprochen haben. Eine ~ B ~ und ~k senkrecht wichtige Eigenschaft der ebenen elektromagnetischen Wellen war, dass E, ~ = c|B|, ~ und beide gleichphasig sind. Dieaufeinander stehen, und dass f¨ ur die Betr¨age gilt |E| selben Eigenschaften erwarten wir auch von Kugelwellen im Fernbereich. Von einer Kugelwelle erwarten wir noch zus¨atzlich, dass der zeitlich gemittelte Energiefluß mit wachsendem Radius abf¨allt. Wegen der Energieerhaltung muß das Integral I ~ r , t) · dA ~ >= const., < S(~ das den zeitlich gemittelten Energiefluß durch die geschlossene Fl¨ache A um den Sender angibt, unabh¨angig von r sein. W¨aren die mittleren Leistungen, die durch eine kleine und eine große Kugelschale fließen, verschieden, so bedeutete dies eine Verletzung der Energieerhaltung. Denn

G. Herten

336

Experimentalphysik

27.4 Erzeugung elektromagnetischer Strahlung elektromagnetische Energie kann im Vakuum zwischen beiden Kugelschalen nicht verschwinden oder erzeugt werden. Berechnung des Integrals u ¨ber Kugelschalen liefert ~ t)| > 4πr 2 = < |S(r, const. ~ t)| > ∼ 1/r 2 . Damit folgt < |S(r, ~ × B) ~ ~ = 1 (E Mit S µ0 k¨onnen wir somit einen Ausdruck f¨ ur elektromagnetische Kugelwellen formulieren, der unseren Anforderungen gen¨ ugt. ~ A cos(ωt − kr) r ~ ~ t)| = A cos(ωt − kr) |B(r, rc ~ t)| = |E(r,

~ und B ~ h¨angen nur vom Betrag des Ortsvektors ab r = |~r|. E ~ und Um elektromagnetische Wellen zu erzeugen, m¨ ussen wir eine Methode u ¨berlegen, um E ~ ~ B-Felder zu erzeugen, so dass sie senkrecht zur Ausbreitungsrichtung k stehen. Eine ruhende ~ elektrische Ladung erf¨ ullt diese Bedingung nicht. Die E-Feldlinien zeigen immer in radialer ~ Richtung von der Ladung weg. Außerdem f¨allt das E-Feld mit 1/r 2 ab und erf¨ ullt somit nicht die Bedingung, die wir an Kugelwellen gestellt haben.

Abb. 121: Bei ruhenden und gleichf¨ormig bewegten Ladungen zeigen die E-Felder zu jeder Zeit und an allen Orten in radiale Richtung.

~ Bei einer Ladung, die sich mit konstanter Geschwindigkeit u bewegt, zeigen die E-Feldlinien ebenfalls zu jedem Zeitpunkt in radiale Richtung. Dies mag zun¨achst u ¨berraschen, da sich nach der speziellen Relativit¨atstheorie kein Signal schneller als Lichtgeschwindigkeit ausbreiten ~ kann. Dennoch zeigen die E-Linien, z.B. auf dem Mond, zu jedem Zeitpunkt zu der gleichf¨ormig ~ bewegten Ladung auf der Erde. Diese Tatsache kann man sich so klarmachen, dass das E-Feld zu G. Herten

337

Experimentalphysik

27.4 Erzeugung elektromagnetischer Strahlung ~ ¨ einem bestimmten Zeitpunkt die Uberlagerung aller E-Felder ist, die von der Ladung zu einem ¨ fr¨ uheren Zeitraum erzeugt wurden. Bei einer gleichf¨ormigen Bewegung ist die Uberlagerung ~ nun gerade so, dass E zu jedem Zeitpunkt radial zur Ladung oder von ihr weg zeigt. Somit gibt es auch in diesem Fall keine Aussendung elektromagnetischer Strahlung. Dies w¨are auch nach der speziellen Relativit¨atstheorie nicht erlaubt, da alle gleichf¨ormig zu einander bewegten Systeme gleichberechtigt sind. Eine gleichf¨ormig bewegte Ladung kann aber so transformiert werden, dass sie im neuen System ruht. Eine ruhende Ladung strahlt aber nach den fr¨ uheren ¨ Uberlegungen keine elektromagnetischen Wellen aus.

Abb. 122: Eine Ladung wird vom Punkt O bis O′ beschleunigt und bewegt sich anschließend bis zum Punkt O′′ mit konstanter Geschwindigkeit.

Wir vermuten somit, dass beschleunigte Ladungen die Quellen von elektromagnetischer Strahlung sind. Zur Berechnung verwenden wir ein einfaches Beispiel (s. Abb. 122). Eine positive Ladung ruhe zum Zeitpunkt t0 = 0 am Punkt O. Sie werde w¨ahrend der Zeit 0 < t < t1 beschleunigt und anschließend bewegt sie sich mit konstanter Geschwindigkeit u = at1 im Zeitraum t1 < t < t2 . Die Ladung befindet sich an den Punkten O ′ und O ′′ zu den Zeiten t1 ~ und t2 . Die E-Felder zeigen einen komplizierten Verlauf. Wir erkennen zwei Kreise. Der ¨außere Kreis hat den Mittelpunkt O und den Radius ct2 . F¨ ur Punkte außerhalb dieses Kreises haben wir noch keine Information dar¨ uber erhalten, dass sich die Ladung bewegt hat. Dieser Kreis markiert den Raumbereich, der ein Signal vom Beginn der Beschleunigung erhalten hat. Die ~ E-Vektoren im Außenbereich zeigen daher radial zum Punkt O. Ein innerer Kreis mit dem Radius c(t2 − t1 ) um den Punkt O ′ markiert den Raumbereich, der vom Ende der Beschleunigung ~ eine Information erhalten hat. Innerhalb dieses Kreises zeigen die E-Feldlinien zur Ladung, die sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt und sich zum Zeitpunkt t2 am Ort O ′′ befindet. ~ ~ Die E-Felder zeigen daher zum Punkt 0′′ . Zwischen beiden Kreisen m¨ ussen wir die E-Linien ~ geben kann. Dadurch entstehen transstetig fortsetzen, da es im Vakuum keine Spr¨ unge in E ~ versale E-Felder, die senkrecht zu ~r stehen. Dies war eine Bedingung f¨ ur die Aussendung von ~ elektromagnetischen Wellen. Im Innenbereich sehen wir, dass das E-Feld, wie bei gleichf¨ormiger Bewegung erwartet, u ¨ berall zur Ladung zeigt. Wir setzen t1 − t0 = ∆t und t = t2 − t1 . Dabei soll die Beschleunigungszeit sehr viel kleiner als die Gesamtzeit sein ∆t ≪ t. Außerdem sei die gleichf¨ormige Geschwindigkeit viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit u ≪ c. Damit k¨onnen wir in guter N¨aherung die Linien, die von G. Herten

338

Experimentalphysik

27.4 Erzeugung elektromagnetischer Strahlung

x 1 0 0 1 0 1 0 1

E ut

ut θ

E 11 00

r

1111 0000 0000 1111 0000 1111

c ∆t

ut Abb. 123: Diagramm zur Herleitung der Dipolstrahlung.

0 und 0′′ ausgehen als parallel zueinander ansehen. Aus dem Vergleich der Dreiecke f¨ ur die ~ Geschwindigkeit und des E-Feldes finden wir u⊥ t −E⊥ = . c∆t Ek Dabei ist u⊥ die Komponente der Geschwindigkeit senkrecht zur Ausbreitungsrichtung rˆ der Welle. Sie ist gegeben durch u⊥ = a⊥ ∆t = a sin Θ∆t a⊥ ist die Transversalbeschleunigung, die Komponente der Beschleunigung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Entsprechend sind E⊥ und Ek die Komponenten des elektrischen Feldes senkrecht und parallel zur Ausbreitungsrichtung. Wir erhalten (mit t = r/c). u⊥ t a⊥ t a⊥ r E⊥ = −Ek = −Ek = −Ek 2 c∆t c c Ek muß stetig sein. F¨ ur Punkte im Außenbereich ist Ek aber das Feld einer ruhenden Ladung, daher erhalten wir q 1 . (746) Ek = 4πε0 r 2 Einsetzen ergibt qa⊥ E⊥ = − . (747) 4πε0 rc2 Dieses transversale E-Feld hat die richtige r-Abh¨angigkeit, wie wir sie f¨ ur eine Kugelwelle er~ warten. Nun m¨ ussen wir nur noch beachten, dass das E-Feld am Ort r zur Zeit t von einer transversalen Beschleunigung herr¨ uhrt, die zum Zeitpunkt t′ = t − r/c auftrat. Die Gleichung (747) ist als Dipoln¨aherung bekannt. Wir k¨onnen sie zusammenfassen (unter Weglassung des ~ Index ⊥, da wie bereits erw¨ahnt bei großen Abst¨anden r die E-Felder senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehen, d.h. E ≈ E⊥ und Ek ≪ E⊥ .) ′

~ r , t) = − q~a⊥ (t ) E(~ 4πε0 rc2 ~ ~ r , t) = rˆ × E(~r, t) B(~ c 1 ~ r , t) = ~ ×B ~ S(~ E µ0

G. Herten

339

(748) (749)

Experimentalphysik

27.4 Erzeugung elektromagnetischer Strahlung Diese Gleichungen sind eine hervorragende N¨aherung f¨ ur die Abstrahlung von elektromagnetischer Strahlung f¨ ur große Abst¨ande r ≫ λ und kleine Geschwindigkeiten u ≪ c. Sie gilt nicht nur f¨ ur beschleunigte Punktladungen, sondern auch f¨ ur ausgedehnte K¨orper, deren Gr¨oße d sehr viel kleiner als die Wellenl¨ange ist (d ≪ λ). Einsetzen von a⊥ = a sin Θ liefert E(r, t) = −

qa(t′ ) sin Θ 4πε0 rc2

(750)

und |S(r, t)| =

1 q 2 a(t′ )2 sin2 Θ q 2 a(t′ )2 sin2 Θ EB = = µ0 16π 2 ε20 µ0 r 2 c4 c 16π 2 ε0 r 2 c3

(751)

Die sin Θ Winkelabh¨angigkeit ist typisch f¨ ur Dipolstrahlung (Hertzscher Dipol). Fr¨ uher hatten wir f¨ ur einen statischen Dipol dieselbe Abh¨angigkeit gefunden.

(b)

(a)

Abb. 124: Verlauf des E-Felder (a) und B-Felder bei der Dipolstrahlung.

F¨ ur die gesamte abgestrahlte Leistung erhalten wir Z Z P = |S(r, t)| dA = |S(r, t)| r 2 dϕd cos Θ ; mit

Z

1

−1

ergibt sich

2

sin Θ d cos Θ =

Z

1

−1


2 1 − cos2 Θ d cos Θ = 2 − = 4/3 3

q 2 a(t′ )2 4 q 2 a(t′ )2 2π = . (752) P = 16π 2 ε0 c3 3 6πε0 c3 Dies ist die Lamor-Formel f¨ ur die Leistungsabstrahlung einer beschleunigten Ladung. Als Beispiel betrachten wir eine harmonisch oszillierende Ladung auf der z-Achse. z(t′ ) = z0 cos ωt′ , die ein zeitlich ver¨anderliches Dipolmoment darstellt p(t′ ) = qz(t′ ) = qz0 cos ωt′ = p0 cos ωt′ . G. Herten

340

Experimentalphysik

27.4 Erzeugung elektromagnetischer Strahlung

Abb. 125: Polardiagramm zur Darstellung des winkelabh¨angigen Energieflusses bei der Dipolstrahlung.

Die zweifache zeitliche Ableitung von p ist dann gegeben durch p¨(t′ ) = q¨ z (t′ ) = qa(t′ ) = −qω 2 z0 cos ωt′ = −ω 2 p(t′ ) . Einsetzen von t′ = t − r/c gibt dann p¨(t) = qa(t) = −ω 2 p0 cos(ωt − kr) . Damit erhalten wir p¨(t′ ) sin Θ ω 2 p0 sin Θ = cos(ωt − kr) 4πε0rc2 4πε0 rc2 B(r, t) = E(r, t)/c und 2 4 2 1 ~ ~ = ω p0 sin Θ cos2 (ωt − kr) |S(r, t)| = E × B µ0 16π 2 ε0 c3 E(r, t) = −

(753)

(754)

Man erkennt an dieser Formel, dass die abgestrahlte Leistung eines oszillierenden Dipols (Hertzscher Dipol) proportional zu ω 4 ist. In der Praxis benutzt man Antennen, um elektromagnetische Wellen abzustrahlen. Die mathematische Behandlung von Antennen ist recht schwierig. Wir wollen daher eine Vereinfachung vornehmen, indem wir eine Antenne in kleine St¨ ucke ∆ℓ ≪ λ zerlegen und annehmen, dass der Strom u uck gleich ist. Wir berechnen nun die durch das Anten¨berall in diesem St¨ nenst¨ uck ∆ℓ erzeugte elektromagnetische Welle und erhalten durch Superposition die Wellen f¨ ur gr¨oßere Antennen. Das Leiterst¨ uck ∆ℓ habe die Ladungsdichte ρ, Querschnitt A und Elektronengeschwindigkeit v. Dann ergibt sich f¨ ur die Gesamtladung q = ̺A∆ℓ und f¨ ur den Strom I = jA = ̺vA. p¨(t′ ) = qa(t′ ) = ̺A∆ℓ

G. Herten

dv d(̺Av) dI(t′ ) = ∆ℓ = ∆ℓ . dt′ dt′ dt′ 341

Experimentalphysik

27.4 Erzeugung elektromagnetischer Strahlung F¨ ur einen harmonisch oszillierenden Strom erhalten wir somit mit I(t′ ) = I0 cos ωt′ qa(t′ ) = −ω∆ℓI(t′ ) = −ω∆ℓI0 sin(ωt − kr) . Einsetzen in (750) liefert E(r, t) =

I0 ∆ℓω sin Θ sin(ωt − kr) 4πε0rc2

und B(r, t) =

I0 ∆ℓω sin Θ sin(ωt − kr) . 4πε0rc3

F¨ ur die gesamte abgestrahlte Leistung finden wir dann mit (752)   (ω∆ℓ)2 2 2 I sin (ωt − kr) . P (t) = 6πε0c3 0 Diese Formel ¨ahnelt der Jouleschen Leistung im Widerstand P = RI 2

.

Daher nennt man

(ω∆ℓ)2 6πε0 c3 den Strahlungswiderstand der Antenne mit der L¨ange ∆ℓ. Die bisher betrachtete Antenne der L¨ange ∆ℓ ≪ λ ist nicht realistisch, da angenommen wurde, dass der Strom u ¨ber die Strecke ∆ℓ konstant ist. Praktische Antennen haben z.B. eine L¨ange ℓ = λ/2 oder ℓ = λ. Zur Berechnung langer Antennen muß man zun¨achst die Stromverteilung I(z) u ¨ ber die Antenne bestimmen und dann durch Integration u ¨ ber z das gesamte E-Feld berechnen. Z ℓ/2 I(z)ω sin Θ E(r, t) = sin(ωt − kr)dz 4πε0 rc2 −ℓ/2 RS =

Bei der Berechnung des Integrals muß noch beachtet werden, dass die einzelnen Elementarwellen, die an verschiedenen Positionen z und z ′ ausgesandt werden, unterschiedliche Phase haben. Dies bewirkt, dass sich einige Elementarwellen unter bestimmten Θ-Winkeln gegenseitig ausl¨oschen oder verst¨arken. Dadurch ¨andert sich die Winkelverteilung der Abstrahlung. Als Beispiel betrachten wir in a) eine Antenne der L¨ange ℓ = λ/2. Der Energiefluß zeigt dann die Winkelverteilung cos2 ( π cos Θ) ~ 2 . S(Θ) ∼ sin2 Θ Der Strahlungswiderstand der λ/2 Antenne ist 73 Ω. Bei l¨angeren Antennen z.B. ℓ = λ (Abbildung b) treten noch deutlichere Interferenzen (Verst¨arken und Ausl¨oschen) der Elementarwellen auf. Daher wird die Strahlung st¨arker unter Θ = 90◦ geb¨ undelt. Eine λ/4 Antenne hat eine Abstrahlungscharakteristik, die ungef¨ahr der Dipolstrahlung entspricht. Ihr Strahlungswiderstand betr¨agt RS ≈ 12, 5Ω. Wir haben bisher nur das Fernfeld (r ≫ λ) einer Dipol– oder Antennenstrahlung behandelt, da es f¨ ur die meisten Anwendungen die wichtigste N¨aherung darstellt. Im Nahfeld des Dipols ~ findet man recht komplizierte E-Feldlinien, die mit 1/r 3 abfallen. Sie entsprechen dem E-Feld, das wir bei einem statischen Dipolmoment (453) kennengelernt haben. G. Herten

342

Experimentalphysik

27.5 Modulation von Wellen

Abb. 126: Winkelabh¨ angige Strahlung bei einer ℓ = λ/2 (a) und ℓ = λ (b) Antenne.

27.5

Modulation von Wellen

Abb. 127: Ein amplitudenmoduliertes Signal bestehend aus einer Tr¨agerfrequenz ωc und einer Modulationsfrequenz ωm .

Wellen haben die besondere Eigenschaft, dass sie sich u ¨berlagern k¨onnen. Die resultierende Welle ergibt sich dann durch Addition der Amplituden an jedem Ort. Unz¨ahlige Radio- und ~ und B ~ Felder Fernsehsender strahlen elektromagnetische Wellen ab. Die Vektorsumme der E als Funktion von Ort und Zeit ist sehr kompliziert. Mit einem Radioger¨at, dessen Resonanzfrequenz auf den entsprechenden Sender abgestimmt ist, kann eine Welle selektiv empfangen werden. Eine einzige sinusf¨ormige elektromagnetische Welle tr¨agt noch keine Information. Um Signale zu senden, m¨ ussen wir die Welle modulieren, d.h. gem¨aß der zu sendenden Nachricht ver¨andern. Man unterscheidet verschiedene Arten von Modulation, Amplituden-, FrequenzG. Herten

343

Experimentalphysik

27.5 Modulation von Wellen und Phasenmodulation. Man benutzt eine hochfrequente Tr¨agerwelle mit der Frequenz ωc . Bei der Amplitudenmodulation wird die Amplitude der Tr¨agerwelle so ver¨andert, dass sie sich im Rhythmus der Nachricht ver¨andert. Diese Nachricht zeigt im allgemeinen einen sehr komplizierten zeitlichen Verlauf, den wir aber mit der Fourierentwicklung in Sinuswellen zerlegen k¨onnen. Der Einfachheit halber betrachten wir hier nur Schwingungen und eine sinusf¨ormige Modulationsfrequenz ωm . Die Tr¨agerwelle ergibt beim Empfang die Schwingung Ec = E0c cos ωc t und die Modulation ist gegeben durch Em = E0m cos ωn t . Die amplituden-modulierte Tr¨agerwelle hat dann die Form E = [E0c + αE0m cos ωm t] cos ωc t ,

(755)

dabei gibt der Ausdruck in der Klammer die Amplitude an. Wir k¨onnen (755) umformen und erhalten mit (FS 5.1) 1 1 E = E0c cos ωc t + αE0m cos(ωc + ωm )t + αE0m cos(ωc − ωm )t 2 2

(756)

Wir sehen, dass anstelle einer Tr¨agerfrequenz nun effektiv drei Frequenzen ωc , ωc + ωm und ωc − ωm vorhanden sind. Mit der Fourierentwicklung erwarten wir, dass bei typischen Modulationen bei Radiosendungen viele Frequenzen um ωc auftreten. Das folgende Diagramm zeigt das Frequenzspektrum f¨ ur diese Modulation.

Abb. 128: Das amplitudenmodulierte Signal l¨asst sich als Fourierreihe von drei Wellen beschreiben.

Sprache oder Musik benutzt einen Frequenzbereich von 20 Hz bis 20 kHz. Somit betr¨agt die ben¨otigte Bandbreite 40 kHz. Der im Frequenzspektrum n¨achste Radiosender sollte also G. Herten

344

Experimentalphysik

27.6 Polarisation mindestens 40 kHz entfernt sein, um den Empfang nicht zu st¨oren. Der Q-Wert des Eingangsschwingkreises am Radioger¨at muß dann so gew¨ahlt werden, dass die Resonanzkurve breit genug ist, damit die hochfrequente T¨one nicht unterdr¨ uckt werden. Andererseits sollte sie schmal genug sein, um eine Beeinflussung von Nachbarsendern zu vermeiden. Man kann Gleichung (756) ¨ auch anders interpretieren. Kommt es zu einer Uberlagerung von zwei Wellen mit ¨ahnlichen Frequenzen, so tritt Schwebung auf, d.h. niederfrequentes An- und Abschwellen der Amplitu¨ de. Wir betrachten als Beispiel die Uberlagerung (Superposition) von zwei Wellen mit gleicher Amplitude (wir betrachten die Wellen bei z = 0). E = E0 [cos(ωc + ωn )t + cos(ωc − ωm )t] = 2E0 cos ωm t cos ωc t Wir erhalten somit eine Welle mit der Tr¨agerfrequenz ωc mit der Amplitude 2E0 cos ωm t. Diese Schwebungen eignen sich sehr gut, um die Frequenzen zweier Wellen abzugleichen. Dies wird z.B. auch h¨aufig in der Musik verwendet. Mit einer Stimmgabel wird ein Instrument solange gestimmt, bis keine Schwebungen mehr auftreten. Solche Schwebungen hatten wir bereits bei den gekoppelten Oszillatoren beobachtet.

27.6

Polarisation

Wir hatten bereits besprochen, dass elektromagnetische Wellen Transversalwellen sind. Im Gegensatz zu Longitudinalwellen kann man Transversalwellen polarisieren. Damit ist gemeint, dass die Schwingungsrichtung eingeschr¨ankt wird. Bei Longitudinalwellen ist dies nicht m¨oglich, da eine Einschr¨ankung der longitudinalen Schwingung die Welle an der Ausbreitung hindern w¨ urde. Um die m¨oglichen Effekte der Polarisation zu verstehen, betrachten wir zwei EM Wellen mit ~ derselben Frequenz, aber verschiedenen Phasen, deren E-Felder senkrecht zueinander stehen. Ex = E0x cos(ωt − kz + φx ) Ey = E0y cos(ωt − kz + φy )

¨ Beide Wellen sind linear polarisiert, die erste in x- und die zweite in y-Richtung. Die Uberlagerung beider Wellen ergibt dann ~ = xˆE0x cos(ωt − kz + φx ) + yˆE0y cos(ωt − kz + φy ) . E Wir betrachten der Einfachheit halber die Welle bei z = 0. ~ = xˆE0x cos(ωt + φx ) + yˆE0y cos(ωt − φy ) E und untersuchen die Kurve Ey als Funktion von Ex . Wir erhalten eine lineare Polarisation, d.h. eine gerade Linie f¨ ur φx = φy und f¨ ur φx = φy ±π (s. Abb. 129). Die Steigung dieser Linie ist gegeben durch tan α = E0y /E0x

(757)

Als n¨achstes betrachten wir zwei Wellen mit einem Phasenunterschied von φx = φy ± π/2. Damit erhalten wir Ex = E0x cos(ωt + φx ) Ey = ±E0y sin(ωt + φx ) G. Herten

345

Experimentalphysik

27.6 Polarisation

Ey

Ey

+E0y −E0x +E0x

Ex

Ex −E0y

Ey

Ey α

α

Ex

Ex φx − φ y = + −π

φx − φ y = 0

Abb. 129: Linear polarisierte Wellen treten dann auf, wenn der Phasenunterschied zwischen der x und y Komponente 0 oder π betr¨agt.

oder



Ex E0x

2

+



Ey E0y

2

=1 .

Dies ist die Gleichung einer Ellipse. Die Hauptachse der Ellipse liegt auf der x- oder y-Achse. Der Spezialfall E0x = E0y ergibt einen Kreis. Solche Wellen nennt man elliptisch bzw. zircular polarisiert. Der allgemeine Fall einer beliebigen Phasendifferenz ε = φx −φy und eines beliebigen Amplitudenverh¨altnisses ergibt ebenfalls elliptisch polarisierte Wellen. Die Abbildung 130 zeigt im oberen Fall (ω1 /ω2 ) = 1 Beispiele f¨ ur elliptisch, linear und zirkular polarisierte Wellen. Die Spitze des E-Vektors dieser Welle beschreibt im Laufe der Zeit die eingezeichnete Kurve in der y − x-Ebene. Lissajou Figuren ¨ Bei einer allgemeinen Uberlagerung zweiter Wellen mit x- und y-Komponenten mit unterschiedlicher Phase, Amplitude und Frequenz ergeben sich komplizierte Figuren, die der resultierende E-Vektor beschreibt (s. Abb. 130). Diese ver¨andern sich im allgemeinen mit der Zeit. Nur wenn das Verh¨altnis der Frequenzen eine rationale Zahl ist, sind die Figuren zeitlich stabil. Sie sind als Lissajou-Figuren bekannt. Diese lassen sich am Einfachsten mit einem Oszillographen darstellen. Dazu koppelt man auf der x-Achse eine Schwingung mit der Frequenz ωx und auf der y-Achse eine Schwingung mit ωy ein. Durch Ver¨anderung der Frequenzen lassen sich die Lissajou-Figuren darstellen.

G. Herten

346

Experimentalphysik

27.7 Dopplereffekt

Abb. 130: Lissajou-Figuren y = f (x), die der E-Vektor im Laufe der Zeit beschreibt, wenn sich zwei senkrecht zu einander polarisierte Wellen ¨ uberlagern. Bei gleicher Frequenz (ω1 = ω2 ) erh¨alt man im allgemein Fall Ellipsen, die bei gleicher Phase (∆φ = 0) oder entgegengesetzter Phase (∆φ = π) zu einer Geraden und bei (∆φ = π/2) zu einem Kreis werden. Kompliziertere Formen treten auf, wenn ¨ man die Uberlagerung von Wellen mit unterschiedlicher Frequenz zul¨asst.

27.7

Dopplereffekt

Wenn sich ein Beobachter relativ zur Strahlungsquelle bewegt, so mißt er eine Frequenz, die von der Frequenz der Quelle abweicht. Bewegt sich der Beobachter auf die Quelle zu, steigt die Frequenz. Ein Fortbewegen von der Quelle f¨ uhrt zu einer Erniedrigung der Frequenz. Das nebenstehende Diagramm zeigt Kreiswellen einer sich bewegenden Quelle auf einer Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ache. Der Sender bewegt sich mit der Geschwindigkeit vS und sendet an verschiedenen Punkten 1, 2, 3 . . . Kreiswellen aus. Die Kugelschalen sind nicht konzentrisch. In Vorw¨artsrichtung folgen sie schnell aufeinander und in R¨ uckw¨artsrichtung sind sie r¨aumlich weit getrennt. Ein ruhender Beobachter in Vorw¨artsrichtung stellt somit eine schnelle Folge von Maxima und Minima fest und mißt daher eine gr¨oßere Frequenz als die Frequenz der Quelle. Ein Beobachter in R¨ uckw¨artsrichtung stellt analog eine erniedrigte Frequenz fest. Bei der Herleitung des Dopplergesetzes, das einen Zusammenhang zwischen der ausgesandten Senderfrequenz ωS und der empfangenen Beobachterfrequenz ωB herstellt, m¨ ussen wir die Welle vom Koordinatensystem des Senders in das Koordinatensystem des Beobachters transformieren. Bei mechanischen Wellen m¨ ussen wir noch ein drittes Koordinatensystem beachten, das Ruhesystem des Mediums, das die Welle u ¨bertr¨agt (z.B. Luft oder Wasser). Zur Herleitung betrachten wir einen Sender, der sich in +z Richtung mit der Geschwindigkeit vS bewegt. Der Beobachter bewegt sich ebenfalls in +z Richtung mit der Geschwindigkeit vB . Die Welle breitet sich in +z Richtung aus. Die drei Koordinatensysteme sind: 1) Ruhesystem des Mediums: x, y, z, t G. Herten

347

Experimentalphysik

27.7 Dopplereffekt

Abb. 131: Diagramm zum Dopplereffekt. In Vorw¨ artsrichtung werden die Wellen gestaucht (Frequenzerh¨ ohung) und in R¨ uckw¨artsrichtung gedehnt (Frequenzerniedrigung)

x y

vS

z

S

k

vB

B

z

Abb. 132: Definition der Geschwindigkeiten von Sender und Beobachter.

2) Ruhesystem des Senders: xS , yS , zS , tS 3) Ruhesystem des Beobachters: xB , yB , zB , tB Mit den Galilei-Transformationen gelten folgende Beziehungen zwischen den Systemen x = xS , y = yS , z = zS + vS tS , t = tS x = xB , y = yB , z = zB + vB tB , t = tB

.

(758) (759)

Die ausgesandte Welle w(z, t), die z.B. die Druckschwankungen angeben soll, l¨asst sich nun mit den Koordinaten in den drei Bezugssystemen darstellen. w(z, t) = w0 cos(ωt − kz) mit u = ω/k w(z, t) = w0 cos(ωS t − kS zS ) mit uS = ωS /kS w(z, t) = w0 cos(ωS t − kB zB ) mit uB = ωB /kB

.

(760) (761) (762)

u, uS und uB sind die Ausbreitungsgeschwindigkeiten der Welle in den einzelnen Systemen. Wir benutzen zun¨achst (760) und ersetzen mit (758)   kvS ωt − kz = ωtS − k(zS + vS tS ) = ω 1 − tS − kzS ω G. Herten

348

Experimentalphysik

27.7 Dopplereffekt also erhalten wir f¨ ur die Gr¨oßen im System des Senders ωt − kz = ωS tS − kS zS  vS  ωS = ω 1 − u kS = k

, falls (763) (764)

entsprechend erhalten wir f¨ ur den Beobachter ωt − kz = ωB tB − kB zB  vB  ωB = ω 1 − u kB = k .

, falls (765) (766)

Mit (763) und (765) k¨onnen wir ω eliminieren und erhalten ωB = ωS

u − vB 1 − vB /u = ωS 1 − vS /u u − vS

.

(767)

Allgemein findet man f¨ ur Sender und Beobachter, die sich unter Winkeln αS bzw. αB zur z-Achse bewegen den Ausdruck ωB = ωS

u − vB cos αB u − vS cos αS

.

(768)

vB

vS αS

αB

S

z

B

Abb. 133: Definition der Winkel αS und αB

Die st¨arkste Frequenzerh¨ohung tritt bei αS = 0 und αB = π auf, wenn sich Sender und Beobachter aufeinander zu bewegen. Den Dopplereffekt kann man bei Schall leicht beobachten. So h¨ort man beim Vorbeifahren eines hupenden Autos, dass die Frequenz bei der Ann¨aherung h¨oher ist als beim Entfernen. Ein zun¨achst erstaunliches Resultat ist, dass zwar die Frequenzen ωB und ωS verschieden sind, aber die Wellenzahlen kB und kS gleich sind. Somit messen Beobachter in allen drei Systemen dieselbe Wellenl¨ange. Dies kann man sich leicht klar machen. Denn die Ausbreitungsgeschwindigkeiten der Welle in den drei Systemen sind u , uS = u − vS

und uB = u − vB

.

uS und uB sind kleiner als u, da sich Sender und Beobachter in Ausbreitungsrichtung der Welle bewegen. Damit erhalten wir mit (765) kB = G. Herten

ωB ω ω u − vB = =k = uB u − vB u u 349

Experimentalphysik

27.7 Dopplereffekt und mit (763)

ω ω u − vS ωS = =k . = uS u − vS u u Im Grenzwert kleiner Geschwindigkeiten vS ≪ u und vB ≪ u gilt kS =

ωB

Somit

 1 − vuB vB   vS  = ωS 1 − ≈ ω 1 + S 1 − vuS u u  vB vS vB vS  . + − 2 = ωS 1 − u u u

 v (769) ωB ≈ ωS 1 ± u mit der Relativgeschwindigkeit v = |vS − vB |. Dabei gilt das Pluszeichen f¨ ur Ann¨aherung (vS − vB > 0) und das Minuszeichen f¨ ur Entfernung (vS − vB < 0) von Sender und Beobachter. Im Grenzwert kleiner Geschwindigkeit h¨angt die Dopplerverschiebung somit nur von der Relativgeschwindigkeit ab.

Dopplereffekt bei elektromagnetischen Wellen: Bei elektromagnetischen Wellen, z.B. Licht, tritt ebenfalls ein Dopplereffekt auf. Man findet eine Verschiebung zu kleinen Frequenzen (Rotverschiebung), wenn sich Sender und Empf¨anger voneinander entfernen. Im Unterschied zu mechanischen Wellen gibt es f¨ ur elektromagnetische kein ruhendes Medium, in dem sich die Welle ausbreitet. Außerdem ist nach der speziellen Relativit¨atstheorie die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit in allen Systemen gleich c. Daher betrachten wir nur zwei Systeme: das Ruhesystem des Senders und das Ruhesystem des Beobachters. Beide sind u upft: ¨ ber Lorentztransformationen (s. Kap. 32) in folgender Form verkn¨ tB = γ(tS ± vzS /c2 ) zB = γ(zS ± vtS ) , dabei ist v = |vS − vB | die Relativgeschwindigkeit und p γ = 1/ 1 − (v/c)2

(770) (771)

.

(772)

Dabei bedeutet +v eine Ann¨aherung und −v eine Entfernung von Sender und Beobachter. Damit finden wir analog zu den vorherigen Rechnungen ωB tB − kB zB = ωB γtS ± ωB γvzS /c2 − kB γzS ∓ kB γvtS     kB v ωB v = γωB 1 ∓ zS = ωS tS − kS zS tS − γkB 1 ∓ ωB k B c2

.

Somit gilt:

  v v , kS = γkB 1 ∓ ωS = γωB 1 ∓ c c Durch Einsetzen von ωB /kB = c = ωS /kS (da die Lichtgeschwindigkeit in allen Systemen gleich ist) erhalten wir ωS kS 1 1 ωB = und kB = . (773) γ 1 ∓ v/c γ 1 ∓ v/c

G. Herten

350

Experimentalphysik

27.7 Dopplereffekt Der Dopplereffekt f¨ ur Licht hat somit zwei Anteile: einen Term 1/(1 − v/c), der auch bei mechanischen Wellen auftritt, und zus¨atzlich noch einen relativistischen Anteil 1/γ. Da 1−

 v 2 c

 v v  1+ = 1− c c

k¨onnen wir diesen Ausdruck noch vereinfachen und erhalten r c+v bei Ann¨aherung ωB = ωS c−v r c−v ωB = ωS bei Entfernung. c+v

(774) (775)

F¨ ur kleine Geschwindigkeiten v ≪ c erh¨alt man mit einer Taylorentwicklung des Wurzelausdrucks s  p v 1 ± v/c , (776) ≈ ωS (1 ± v/c)(1 ± v/c) = ωS 1 ± ωB = ωS 1 ∓ v/c c

wobei das Pluszeichen wiederum f¨ ur Ann¨aherung und das Minuszeichen f¨ ur die Entfernung von Sender und Empf¨anger gilt. Im Grenzwert kleiner Geschwindigkeiten erhalten wir somit dieselbe Beziehung f¨ ur die Dopplerverschiebung bei Licht (776) und bei Schall (769). Bei Ann¨aherung von Sender und Beobachter v = vS − vB > 0 erhalten wir eine Frequenzerh¨ohung (Blauverschiebung) und sonst eine Frequenzerniedrigung (Rotverschiebung). Die Rotverschiebung des Lichtes hat eine wichtige Bedeutung in der Astrophysik. Wegen der Ausdehnung des Universums bewegen sich entfernte Galaxien von uns fort. Aufgrund des Dopplereffektes sind die Spektrallinien nach rot verschoben. Beim Vergleich der gemessenen Spektren mit Referenzspektren derselben Atome auf der Erde kann man die Rotverschiebung messen und damit die Geschwindigkeit der Galaxien bestimmen. Eine andere eher unangenehme Anwendung des Dopplereffektes begegnet uns im Straßenverkehr. Die Polizei sendet Radarwellen (mit Frequenzen im Gigahertzbereich) auf fahrende Autos und mißt die Frequenz der reflektierten Wellen. Aus der Frequenzverschiebung der ausgesandten und empfangenen Radarwelle kann dann die Geschwindigkeit des Autos bestimmt werden. Machscher Kegel: Nun wollen wir einen Gegenstand, z.B. ein Geschoß oder Flugzeug betrachten, das sich mit ¨ Uberschallgeschwindigkeit vS in einem Medium bewegt. Das Doppler Gesetz ist f¨ ur vS > u nicht anwendbar. Entlang der Bahn des K¨orpers entstehen Kugelwellen, die sich u ¨berlagern, so dass eine kegelf¨ormige Wellenfront entsteht. Sie wird auch Machscher Kegel genannt. Die Intensit¨at dieser ¨ Wellenfront ist sehr groß, dies kann man z.B. beim Uberschallknall h¨oren. Dieser tritt auf, wenn ¨ ein Flugzeug mit Uberschallgeschwindigkeit fliegt, und der Machsche Kegel den Beobachter auf ¨ der Erdoberfl¨ache trifft. Der halbe Offnungswinkel α des Machschen Kegels berechnet sich zu sin α = cos Θ =

1 u = vS m

m ist die Machzahl m = vS /u. Mit dieser Gleichung kann der Beobachter auf der Erdoberfl¨ache ¨ die Geschwindigkeit des Flugzeuges messen, indem er zum Zeitpunkt des Uberschallknalles den G. Herten

351

Experimentalphysik

28 Materie im elektromagnetischen Feld

vt θ θ

vS t

α α

α Abb. 134: Definition der Winkel beim Machschen Kegel.

Winkel α mißt. Unter Verwendung der Schallgeschwindigkeit U kann somit vS bestimmt werden. Bei elektromagnetischen Wellen im Vakuum kann kein Machscher Kegel auftreten, da sich kein K¨orper schneller als die Vakuumlichtgeschwindigkeit c bewegen kann. Allerdings werden wir sp¨ater sehen, dass in Materie die Lichtgeschwindigkeit v kleiner ist als c: v = c/n , wobei n der Brechungsindex f¨ ur dieses Material ist. Daher ist es in Materie m¨oglich, dass ein ¨ geladenes Teilchen mit Uberlichtgeschwindigkeit fliegt vS > v. Es werden zeitlich ver¨anderliche Dipolmomente induziert, die nach den Ausf¨ uhrungen in Kap. 27.4 elektromagnetische Strahlung aussenden. Entlang der Teilchenbahn entstehen somit Kugelwellen, die einen Machschen Kegel ¨ bilden. Diesen Effekt nennt man Cerenkov Strahlung. Man erh¨alt f¨ ur den halben Offnungswinkel des Kegels der Cerenkov Strahlung sin α = cos Θ =

v c 1 = = vS nβc nβ

,

(777)

mit β = vS /c . In der Teilchenphysik wird die Cerenkov-Strahlung verwendet, um die Geschwindigkeit geladener Teilchen durch Messung des Winkels Θ zu bestimmen.

28

Materie im elektromagnetischen Feld

Bisher haben wir elektromagnetische Wellen im Vakuum untersucht. Nun wollen wir verstehen, welche Effekte auftreten, wenn eine elektromagnetische Welle auf Materie trifft. Dies hat sehr große praktische Bedeutung, z.B. beim Transport von elektromagnetischen Wellen u ¨ ber Kabel (Antennenkabel) oder Hohlleiter und in der Optik (Linsen, Prismen etc.). Wie beim ¨ Schall erwarten wir, dass eine elektromagnetische Welle beim Ubergang in ein anderes Medium reflektiert wird, und sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit ¨andert. Zur Berechnung des Reflexions- und Transmissionskoeffizienten haben wir beim Schall die Randbedingungen an der Grenzfl¨ache zwischen zwei Materialien benutzt. Nun m¨ ussen wir genauso vorgehen, und die Randbedingungen f¨ ur elektromagnetische Wellen an Grenzfl¨achen aus den Maxwellgleichungen herleiten. Wir werden zwei Arten von Materialien genauer betrachten, perfekte elektrische Leiter, gut angen¨ahert durch Metalle (Leitf¨ahigkeit σ = ∞) und perfekte Isolatoren (σ = 0). G. Herten

352

Experimentalphysik

28.1 Randbedingungen

28.1

Randbedingungen

In einer dielektrischen und para- oder diamagnetischen Substanz gelten die Maxwellgleichungen I Z ~ ~ 1) κe ε0 E · dS = ρdV (778) I ~ · dS ~ =0 2) B (779) Z I d ~ ~ · dS ~ ~ B (780) 3) E · dℓ = − dt I Z Z ~ B d ~ ~ ~ ~ . 4) E · dS + ~j · dS (781) · dℓ = κM µ0 κe ε0 κM µ0 dt Zun¨achst benutzen wir Gleichung (779) und untersuchen die Grenzfl¨ache zwischen zwei Materialien. Zur Berechnung des Gausschen Satzes m¨ ussen wir u ¨ber eine geschlossene Oberfl¨ache integrieren.

Wir betrachten einen Zylinder der L¨ange dL, dessen Endfl¨achen parallel zur Grenzfl¨ache liegen: die obere in Material 1 und die untere in Material 2. Wir unterteilen das magnetische Feld in Komponenten normal (senkrecht) zur Grenzfl¨ache Bn1 und Bn2 und parallel (tangential) zur Grenzfl¨ache Bt1 , Bt2 . Gleichung (779) liefert I ~ · dS ~ = Bn1 · A − Bn2 · A + ΦB1 + ΦB2 = 0 . B ΦB1 und ΦB2 sind die magnetischen Fl¨ usse, die durch die gekr¨ ummte Seitenfl¨ache des Zylinders in Material 1 bzw. 2 fließen. Wir interessieren uns f¨ ur die Randbedingungen an der Grenzfl¨ache, daher verk¨ urzen wir den Zylinder (dL → 0), so dass beide Querschnittsfl¨achen mit der Grenzfl¨ache u usse durch die Seitenfl¨ache, ¨bereinstimmen. In diesem Grenzwert verschwinden die Fl¨ d.h. ΦB1 → 0 und ΦB2 → 0. Damit erhalten wir Bn1 = Bn2 G. Herten

353

.

(782) Experimentalphysik

28.1 Randbedingungen ~ Wir erhalten somit die wichtige Randbedingung, dass die Normalkomponenten des B-Feldes an der Grenzfl¨ache stetig sein m¨ ussen. Nun verwenden wir Gleichung (780) und integrieren entlang einer geschlossenen Linie, die durch beide Materialien verl¨auft.

db E n1

0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Medium 1 y x z

E t1

Oberflache "

1 0 1 0

A

dL

E n2

1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Medium 2 Bz

E t2

geschlossene Kurve C Wir unterteilen das elektrische Feld in Normal- und Tangentialkomponenten. Damit erhalten wir, wobei wir mit der Integration A beginnen und entgegen dem Uhrzeigersinn fortfahren I ~ · d~ℓ = En1 dL − Et1 db − En1 dL − En2 dL E 2 2 2 dL dL − En2 + Et2 db + En2 . 2 2 Wiederum bilden wir den Grenz¨ ubergang dL → 0 und erhalten I ~ · d~ℓ = Et2 db − Et1 db . lim E dL→0

Mit (780) ist I

~ · d~ℓ = − d E dt

Z

~ · dS ~ = − d (BZ · dL · db) = − dBZ dLdb . B dt dt

Der magnetische Fluß, der durch die geschlossene Schleife fließt, ist gegeben durch die zKomponente des B-Feldes. Durch Grenzwertbildung erhalten wir somit I ~ · d~ℓ = Et2 db − Et1 db = − lim dBL dLdb = 0 lim E dL→0 dL→0 dt und somit die Randbedingung Et2 = Et1

.

(783)

Dies ist die zweite wichtige Randbedingung, die wir in den folgenden Untersuchungen immer wieder verwenden werden. Gleichungen (782) und (783) sind die wichtigsten Randbedingungen. Der Vollst¨andigkeit halber werden wir aber auch die anderen angeben. Wir benutzen Gleichung (778) und integrieren wiederum u ¨ber eine geschlossene Zylinderoberfl¨ache und bilden den Grenzwert dL → 0. Damit erhalten wir die Randbedingung [κe ε0 E]n1 = ρS + [κe ε0 E]n2 G. Herten

354

(784) Experimentalphysik

28.2 Reflexion an einer Metalloberfl¨ache oder Dn1 = ρS + Dn2

.

(785)

Dabei ist ρS die freie Oberfl¨achenladung (ρS = limdL→0 ρdL). Der Grenzwert (dL → 0) verschwindet nicht, da sich Ladungen genau an der Grenzschicht ansammeln. Somit ist die Nor~ an der Grenzschicht nicht stetig, sondern ¨andert sich, wenn eine freie malkomponente von D Oberfl¨achenladung existiert. Nun betrachten wir Gleichung (781) und integrieren u ¨ber eine geschlossene Schleife. Mit dem Grenzwert dL → 0 finden wir     B B = − JS (786) κm µ0 t1 κm µ0 t2 oder Ht1 = Ht2 − JS . (787) Dabei ist JS = lim jZ · dL (788) dL→0

der Oberfl¨achenstromdichte, die durch die Schleife in z-Richtung fließt. Wiederum verschwindet dieser Grenzwert nicht, da Ladungen sich entlang der Grenzschicht bewegen.

28.2

Reflexion an einer Metalloberfl¨ ache

In einem perfekten elektrischen Leiter (in guter N¨aherung ein Metall wie Kupfer oder Silber) ist im Innern das elektrische Feld immer Null. Nach den Maxwell-Gleichungen d¨ urfen dann auch ~ keine zeitlich ver¨anderlichen B-Felder im Metall existieren. Statische Magnetfelder k¨onnen im Metall existieren. Aber wir betrachten hier elektromagnetische Wellen und interessieren uns somit nur f¨ ur zeitlich ver¨anderliche Felder. Damit erhalten wir f¨ ur Felder an der Grenzfl¨ache zum Metall die Randbedingungen Dn = κe ε0 En = ρS Bn = 0 Et = 0 Bt = jS Ht = κm µ0

(789) (790) (791) (792)

Die Randbedingungen sind in der Abbildung 135 illustriert. Die gestrichelte Linie gilt f¨ ur einen perfekten Leiter (σ = ∞) und die durchgezogene Linie f¨ ur ein Metall mit hohem aber nicht unendlich großem σ. Wir erkennen, dass Et und Bn f¨ ur den perfekten Leiter stetig an der Oberfl¨ache auf Null abfallen, w¨ahrend En und Bt unstetig auf Null absinken. Dieser Sprung ist gegeben durch die Oberfl¨achenladung ρS und den Oberfl¨achenstrom jS . Reflexion bei senkrechtem Einfall (perfekter Leiter) Wir betrachten eine einlaufende Welle mit der Amplitude Ee , die senkrecht auf eine Metallfl¨ache mit σ = ∞ trifft (Abb. 136) . Die Welle sei linear polarisiert. Bei Auftreffen auf die Metallplatte zeige der E-Vektor in +x-Richtung. Mit der Beziehung (736) ~ ~ ~ = 1 k ×E B c |~k| G. Herten

355

(793) Experimentalphysik

28.2 Reflexion an einer Metalloberfl¨ache

Abb. 135: Verlauf der E- und B-Felder an einer Metalloberfl¨ ache. Die gestrichelte Linie entspricht einem perfekten Leiter (Leitf¨ahigkeit σ = ∞) und die durchgezogene Linie einem guten Leiter mit hoher Leitf¨ahigkeit.

Er

Ee

Be k

Br k

y z

x

Abb. 136: Polarisierte elektromagnetische Welle, die an einer Metalloberfl¨ache reflektiert wird. Das E-Feld erf¨ ahrt einen Phasensprung von 180◦ . Das B-Feld hat keinen Phasensprung.

~ ~ als auch B ~ haben in diesem Fall nur Tangenzeigt dann das B-Feld in +z-Richtung. Sowohl E tialkomponenten. Mit (791) muß f¨ ur die reflektierte Welle an der Metalloberfl¨ache daher gelten ~ Er (y = 0) = −Ee (y = 0), damit das gesamte E-Feld Et = Er + Ee = 0 ist. Das elektrische Feld ~ erf¨ahrt somit bei der Reflexion einen Phasensprung von 180◦. Mit (793) folgt, dass das B-Feld keiner Phasen¨anderung unterliegt und Br ebenfalls in +z-Richtung zeigt. Da |Ee | = |Er | und ~ |E| = c|B| folgt somit f¨ ur das gesamte B-Feld an der Metalloberfl¨ache B(y = 0) = Be (y = 0) + Br (y = 0) = 2Be (y = 0) . Mit (792) sehen wir, dass somit ein Oberfl¨achenstrom jS =

2Be (y = 0) κm µ0

an der Metalloberfl¨ache fließen muß. Wir wollen nun die Welle in der N¨ahe der Metalloberfl¨ache G. Herten

356

Experimentalphysik

28.3 Wellen in leitenden Medien berechnen. Die einlaufende ebene Welle ist gegeben durch Ee (y, t) = E0e ei(ωt+ky) und die reflektierte durch Er (y, t) = E0r ei(ωt−ky)

.

Durch Superposition ergibt sich dann das Gesamtfeld (E(y,t), wobei wir benutzen, dass wegen der Randbedingung bei y = 0 gilt: E0e = −E0r .   E(y, t) = Ee + Er = E0i eiωt eiky − e−iky = 2iE0i eiωt sin ky Durch Bildung des Realteils finden wir mit   Re ieiϕ = Re(i cos ϕ − sin ϕ) = − sin ϕ E(y, t) = −2Eoi sin ky sin ωt . Dies ist die Gleichung einer stehenden Welle, die sich in y-Richtung bildet. Wir k¨onnen diese Rechnung auch f¨ ur das B-Feld durchf¨ uhren. Aufgrund der verschiedenen Randbedingungen gilt nun bei y = 0, Be = Br . Daher folgt B = Be + Br = Boe ei(ωt+ky) + Bor ei(ωt−ky)   = Boe eiωt eiky + e−iky = 2Boe eiωt cos ky Bildung des Realteils liefert damit B(y, t) = 2Boe cos ωt cos ky

.

~ und B ~ bei dieser stehenden Welle um 90◦ phasenverschoben. Dies hatten wir Somit sind E bereits bei stehenden Schallwellen beobachtet. Dort waren der Schalldruck und die Auslenkung um 90◦ phasenverschoben. Bei realen Metallen kommt es aufgrund der Eindringtiefe δ > 0 zu Energieverlusten durch Joulesche Q W¨arme. Dadurch ist die Intensit¨at der reflektierenden Welle kleiner als die der einfallenden Welle.

28.3

Wellen in leitenden Medien

Bei realen Metallen mit hohem, aber nicht undendlich großem σ beobachten wir (Abb. 135), dass die Felder im Metall nicht vollst¨andig verschwinden, sondern eine kleine Strecke δ in das Metall eindringen. Wir wollen daher die Ausbreitung einer elektromagnetischen Welle in einem leitenden Medium genauer untersuchen. Wir nehmen an, dass es sich um einen ohmschen Leiter handelt, d.h. es soll gelten: ~ ~j = σ E Um die Wellenausbreitung zu untersuchen, m¨ ussen wir die Wellengleichung f¨ ur Leiter berechnen. Dazu stellen wir die relevanten Maxwell-Gleichungen zusammen: ~ = ρ = 0 , die Ladungsdichte im Inneren des Metalls ist Null. • ε0 divE G. Herten

357

Experimentalphysik

28.3 Wellen in leitenden Medien ~ = −B ~˙ • rot E

~ = κm κe µ0 ε0 E ~˙ + κm µ0 σ E ~ • rot B Wie bei der Herleitung der Wellengleichung im Vakuum berechnen wir: ~ = grad divE ~ −∆ E ~ = −rotB ~˙ rot rotE

~ = 0 verschwindet der erste Term. Auf der rechten Seite vertauschen wir die Wegen div E gemischten Ableitungen und erhalten: ∂ ~ = κm κe µ0 ε0 E ~¨ + κm µ0 σ E ~˙ rotB ∂t Damit erhalten wir die Wellengleichung f¨ ur leitenden Medien ~ = κm κe µ0 ε0 E ~¨ + κm µ0 σ E ~˙ ∆E

(794)

Wie bei der Wellengleichung im Vakuum, hat der Vorfaktor die Dimension einer inversen Geschwindigkeit zum Quadrat. Daher verwenden wir die Abk¨ urzung. v 2 = 1/(κm κe µ0 ε0 ) = c2 /(κm κe )

(795)

Bei Schwingungsgleichungen hatten wir gesehen, dass Terme mit einer zeitlichen Ableitung als D¨ampfungsterme interpretiert werden k¨onnen. Bei der L¨osung der Schwingungsgleichung mit komplexen Zahlen in Kap. 15.3 haben wir eine komplexen Ansatz der Form exp(−µ t) gemacht, wobei µ eine komplexe Zahl ist. Wir sahen, dass der Imagin¨arteil von µ zu einem D¨ampfungsterm f¨ uhrte. In ¨ahnlicher Weise wollen wir auch nun vorgehen. Wir betrachten eine linear polarisierte ebene Wellen, die sich in z−Richtung ausbreitet. Somit vereinfachte sich die Wellengleichung zu ˙ E ′′ = κm κe µ0 ε0 E¨ + κm µ0 σ E, (796) wobei E ′′ die zweifache partielle Ableitung nach z bedeuten soll. Wir machen den L¨osungsansatz (mit komplexem k): E(z, t) = E0 ei(ωt−kz) . (797) Damit erhalten wir E˙ E¨ E′ E ′′

= = = =

iω E −ω 2 E −ik E −k 2 E

Eingesetzt in die Wellengleichung folgt die Beziehung: ω2 k = 2 − iκm µ0 σω v 2

Als n¨achstes m¨ ussen wir den Real- und Imagin¨arteil von k bestimmen. Dazu verwenden wir aus mathematischen Tabellen die Beziehung (f¨ ur reelle Zahlen a > 0, b > 0) q q √ √ √ 1 1 2 2 2 a + b + 2a − i 2 a2 + b2 − 2a a−i b= 2 2 G. Herten

358

Experimentalphysik

28.3 Wellen in leitenden Medien In unserem Fall ist

ω2 und b = κm µ0 σω v2 Wenn wir typische Werte f¨ ur elektromagnetische Wellen in einem guten Leiter einsetzen, wie 7 −1 z.B. σ = 5, 81 · 10 (Ωm) f¨ ur Kupfer und die Frequenz f = ω/2π = 1 GHz, so erh¨alt man −2 a = 438 m und b = 4.6 · 1011 m−2 , d.h. b ≫ a. F¨ ur einen guten Leiter k¨onnen wir somit a vernachl¨assigen. Damit erhalten wir die Vereinfachung p k = kr + iki ≈ (1 − i) b/2 = (1 − i)κ (798) a=

mit

κ=

r

κm µ0 σω 2

(799)

Somit sind die Real- und Imagin¨arteile kr und ki gleich groß. Eingesetzt in die L¨osung ergibt sich E(z, t) = E0 ei(ωt−(kr +iki )z) = E0 eki z ei(ωt−kr z) = E0 e−κz ei(ωt−κz) (800) Die Welle wird somit exponentiell im Leiter ged¨ampft. Wir wollen nun die Eindringtiefe der Welle berechnen. Damit ist die Position z = δ gemeint, bei der die Feldst¨arke E der Welle auf 1/e abgefallen ist. Die Bedingung daf¨ ur ist somit κδ = 1. Als Ergebnis f¨ ur die Eindringtiefe oder Skin depth erhalten wir somit r 1 1 2 δ= ≈ = (801) −Im(k) κ κm µ0 σω Typische Werte f¨ ur Kupfer ergeben δ = 66µm ( Frequenz f=1 MHz) und δ = 2µm (f=1 GHz). Bei gr¨ unem Licht (f≈ 6 · 1014Hz) betr¨agt die Eindringtiefe nur 2.7 Nanometer. Mit sehr d¨ unnen Metallschichten kann man somit elektromagnetische Wellen abschirmen. Eine weitere Konsequenz ist, dass sich elektromagnetische Wellen in einem Kabel nur an der Oberfl¨ache ausbreiten. Ein dickes Kupferkabel ist daher unwirtschaftlich f¨ ur Hochfrequenzanwendungen. G¨ unstiger ist ein Kabel, das aus vielen einzelnen Ader besteht, so dass die gesamte Oberfl¨ache m¨oglichst groß wird. Interessant ist es noch, die Ausbreitungsgeschwindigkeit vL der Welle im leitenden Medium zu berechnen. Sie ist gegeben durch ω ω vL = = (802) kr κ F¨ ur die Wellenl¨ange erh¨alt man dann 2π λ= (803) κ Interessant ist noch das Verh¨altnis von Eindringtiefe zu Wellenl¨ange: 1 1 δ = = = 0.16 λ κλ 2π

(804)

Als Ergebnis erhalten wir somit, dass unabh¨angig von der Frequenz die Eindringtiefe etwa 16% der Wellenl¨ange betr¨agt. Einige typische Werte f¨ ur Kupfer sind bei f=1 GHz ( vL = 13km/s (sehr langsam!), λ = 13 µm) und f¨ ur gr¨ unes Licht ( vL = 0.1c, λ = 17 nm). Obwohl wir als L¨osung eine transversale G. Herten

359

Experimentalphysik

28.4 Wellenausbreitung in einem Kabel

Abb. 137: Wellenausbreitung in einem Kabel. Eingezeichnet ist eine TEM Welle mit E-Feldern, die radial nach außen zeigen. Das B-Feld zeigt kreisf¨ormig um den Innenleiter.

Welle im leitenden Medium erhalten, so entspricht sie nicht der Vorstellung, die wir uns von einer ausbreitenden elektromagnetischen Welle machen, denn sie wird in einem Bruchteil einer Wellenl¨ange ged¨ampft. Der Grund f¨ ur die D¨ampfung ist, dass im Leiter freie Ladungstr¨ager vorliegen, die zu Schwingungen angeregt werden. Dadurch wird sehr viel Energie absorbiert und in Joulesche W¨arme umgewandelt. Plasmafrequenz Unsere Rechnung versagt bei sehr hohen Frequenzen im Bereich der sogenannten Plasmafrequenz. Diese betr¨agt fp = 2.5 · 1015 Hz f¨ ur Kupfer. Bei solch hohen Frequenzen ist die ohmsche ~ nicht mehr g¨ Beziehung ~j = σ E ultig. In der Herleitung in Kap.22.3 hatten wir angenommen, dass ein Elektron zwischen zwei St¨oßen in der Zeit τs beschleunigt wird. Wenn aber die Frequenz so groß ist, dass sich innerhalb der Stoßzeit das E-Feld ¨andert und sogar im Vorzeichen umkehrt, dann ist dieser Ansatz nicht mehr richtig. Als zus¨atzlicher Effekt tritt nun eine Plasmaoszillation auf. Elektronen und positive Ionen werden durch das elektrische Feld zu Schwingungen mit der Plasmafrequenz angeregt, d.h. die negativen und positiven Ladungswolken n¨ahern und entfernen sich im Takt des ¨außeren Feldes. Die Plasmafrequenz ist gegeben durch s ne2 , (805) ωp = ǫ0 m dabei sind (wie in Kap. 22.3) n die Elektronendichte, e die Elektronenladung und m die Elektronenmasse.

28.4

Wellenausbreitung in einem Kabel

Im letzten Kapitel haben wir die Randbedingungen zusammengefaßt, die elektromagnetische Wellen an Metalloberfl¨achen erf¨ ullen m¨ ussen. Wir haben sie verwendet, um die Gesetze f¨ ur die Reflexion von Wellen an einer Metalloberfl¨ache zu bestimmen. Als n¨achstes Beispiel wollen wir die Wellenausbreitung in einem Kabel, z.B. ein Koaxialkabel, untersuchen. G. Herten

360

Experimentalphysik

28.4 Wellenausbreitung in einem Kabel Die einschneidensten Randbedingungen, die immer erf¨ ullt sein m¨ ussen, sind (753) und (754). Et = 0 Bn = 0

(806) (807)

~ keine tangentialen Komponenten und Dies l¨aßt sich dann am einfachsten erf¨ ullen, wenn E ~ B keine Normalkomponenten hat. Die ist in der nebenstehenden Abbildung angedeutet. Das elektrische Feld steht immer senkrecht zur Ausbreitungsrichtung und zur Metalloberfl¨ache. Das ~ B-Feld ℓ zeigt kreisf¨ormig um den inneren Leiter und hat somit keine Normal- sondern nur Tangentialkomponenten. Diesen Modus der Wellenausbreitung nennt man auch Transversaler~ Elektromagnetischer Modus (TEM). Es gibt noch h¨ohere Moden, bei denen das E-Feld auch Komponenten in z-Richtung hat. Die beiden anderen Randbedingungen κe ε0 En = ρs und Bt Ht = = Js κm µ0

(808) (809)

werden dadurch erf¨ ullt, dass durch das Feld En am Innen- und Außenleiter eine gleichgroße aber entgegengesetzte Oberfl¨achenladung +ρs und −ρs auftritt. Dadurch entsteht an der Position z im Kabel eine Potentialdifferenz V (z) zwischen Innen- und Außenleiter, die als Spannung ~ f¨ meßbar ist. Die Transversalkomponente von B uhrt zu einer gleichen aber entgegengesetzt gerichteten Oberfl¨achenstromdichte +Jsz und −Jsz im inneren bzw. ¨außeren Leiter in +z bzw. −z-Richtung. Bt = κm µ0 Jsz Anwendung der Maxwell-Gleichungen auf das Koaxialkabel im TEM-Modus und Ersetzen von En durch die Spannung V und Bt durch den Strom I liefert dann nach einer l¨angeren Rechnung, die wir hier u ¨bergehen wollen. ∂V ∂I = −L0 ∂z ∂t ∂I ∂V = −C0 ∂z ∂t

(810) (811)

Dabei sind L0 und C0 die Impedanz bzw. Kapazit¨at des Kabels pro L¨ange. F¨ ur das Koaxialkabel erh¨alt man a κm µ0 (812) ln L0 = 2π b und 2πκe ε0
. (813) C0 = ln ab

Wir k¨onnen sofort zeigen, dass aus (810) und (811) die Wellengleichung folgt, indem wir (810)

G. Herten

361

Experimentalphysik

28.4 Wellenausbreitung in einem Kabel nach z ableiten und (811) nach t und die gemischten Ableitungen gleichsetzen. ∂2I ∂2V = −L 0 ∂z 2 ∂z ∂t 2 ∂2V ∂ I = −C0 2 ∂t∂z ∂t also 1 ∂2V ∂2V = ∂t2 L0 C0 ∂z 2 Dies ist die eindimensionale Wellengleichung mit der Phasengeschwindigkeit v = v=

1 ω =√ k L0 C0

q

1 . L0 C0

(814)

F¨ ur das Koaxialkabel finden wir v=√

1 c =√ κm κe ε0 µ0 κe κm

.

(815)

Impedanz Die Impedanz ist das Verh¨altnis der komplexen Spannung zum komplexen Strom Z=

V I

.

Mit V (z, t) = V0 ei(ωt−kz) I(z, t) = I0 ei(ωt−kz) erhalten wir ∂V ∂z ∂I ∂t

= −ikV (z, t) = iωI(z, t)

Einsetzen in (810) liefert und somit

−ikV (z, t) = −L0 iωI(z, t) ω V (z, t) = L0 = Z= I(z, t) k

r

L0 C0

.

(816)

Diese ”charakteristische Impedanz” eines Kabels hat f¨ ur Reflexion und Transmission eines Signals dieselbe Bedeutung wie die Impedanz, die wir bei Schall und bei Seilwellen kennengelernt hatten. F¨ ur ein Koaxialkabel finden wir somit r 1 κm µ0 a Z0 = . (817) ln 2π κe ε0 b G. Herten

362

Experimentalphysik

28.4 Wellenausbreitung in einem Kabel Im Gegensatz zur Phasengeschwindigkeit, die von der Geometrie des Kabels unabh¨angig ist, h¨angt Z0 von den geometrischen Maßen des Kabels ab. Die momentane Leistung, die bei z zur Zeit t durch das Kabel transportiert wird, ist gegeben durch (?) V2 P (z, t) = Re(V )Re(I) = 0 cos2 (ωt − kz) . (818) Z0 F¨ ur die zeitlich gemittelte Leistung findet man somit < P >=

1 V02 . 2 Z0

(819)

Impedanzanpassung

I

1 0 0 1

~

IL 1 0 0 1

V

11111 00000

VL

1 0 0 1

Generator

Last z

1 0 0 1

I

z=0

Abb. 138: Impedanzanpassung einer Last an einem Kabel.

Wir betrachten einen Generator, der eine hochfrequente Welle erzeugt, die u ¨ber ein Kabel einem Verbraucher zugef¨ uhrt wird. Das Kabel hat die Impedanz Z0 =

V I

und der Verbraucher (Last) VL . IL Wir wollen nun die Reflexion und Transmission auf einem Kabel berechnen. Die Gesamtspannung und der Gesamtstrom auf dem Kabel betragen ZL =

V = Ve ei(ωt−kz) + Vr ei(ωt+kz) I = Ie ei(ωt−kz) + Ir ei(ωt+kz) Ve i(ωt−kz) Vr i(ωt+kz) e − e = Z0 Z0 Dabei bezeichnet der Index ”e” die einfallende und ”r” die reflektierte Welle. Das Minuszeichen f¨ ur Ir = −Vr /Z0 folgt aus der Tatsache, dass die Str¨ome beider Wellen entgegengesetzte Richtung haben. Der Verbraucher (Last) befinde sich bei z = 0. Damit erhalten wir VL = (Ve + Vr )eiωt   Ve Vr IL = − eiωt Z0 Z0 G. Herten

363

Experimentalphysik

28.4 Wellenausbreitung in einem Kabel Damit ergibt sich f¨ ur die Impedanz des Verbrauchers ZL =

Ve + Vr VL = Z0 IL Ve − Vr

.

Aufl¨osen nach Vr /Ve liefert den Reflexionskoeffizienten f¨ ur Spannungen RL RL =

Vr ZL − Z0 = Ve ZL + Z0

Mit Ie = Ve /Z0 und Ir = −Vr /Z0 erhalten wir den Reflexionskoeffizienten f¨ ur den Strom RI = −RL =

Z0 − ZL Z0 + ZL

.

Analog findet man f¨ ur die Transmissionskoeffizienten f¨ ur Spannung und Strom Ve + Vr 2ZL VL = = 1 + RL = Ve Ve Z0 + ZL IL Ve − Vr 2Z0 = = = 1 − RL = . Ie Ve Z0 + ZL

TL = TI

Die zeitlich gemittelten Leistungen der einfallenden, reflektierten und transmittierten Wellen sind (819)

Pe Pr PL

1 Ve2 = 2 Z0 1 Vr2 = 2 Z0 1 VL2 = 2 Z0

Wegen der Energieerhaltung ist PL = Pe − Pr . Somit erh¨alt man f¨ ur den Reflexionskoeffizienten der Leistung  2 Pr ZL − Z0 Vr2 2 RP = = 2 = RL = Pe Ve ZL + Z0

und f¨ ur den Transmissionskoeffizienten

PL Pe − Pr TP = = = 1 − RL2 = 1 − Pe Pe



ZL − Z0 ZL + Z0

2

=

4Z0 ZL (Z0 + ZL )2

.

TP gibt an, welcher Bruchteil der Leistung der einfallenden Welle an die Last abgegeben wird. ¨ Das folgende Diagramm zeigt dieses Verh¨altnis als Funktion von ZL /Z0. Eine maximale Ubertragung der Leistung erfolgt, wenn die Impedanzen des Kabels und der Last angepaßt (d.h. ZL = Z0 ) sind. Die folgende Tabelle zeigt einige Beispiele f¨ ur die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten. G. Herten

364

Experimentalphysik

28.4 Wellenausbreitung in einem Kabel

¨ Abb. 139: Ubertragene Leistung als Funktion des Impedanzverh¨altnisses aus Last und Kabel.

Gr¨oße RL = Vr /V0 RI = Ir /Ie TL = VL /Ve TI = IL /Ie RP = Pr /Pe = RL2 TP = PL /Pe = 1 − RL2

ZL = 2Z0 ZL = 21 Z0 ZL = 0 1/3 −1/3 −1 −1/3 1/3 1 4/3 2/3 0 2/3 4/3 2 1/9 1/9 1 8/9 8/9 0

ZL = ∞ 1 −1 2 0 1 0

¨ Ahnlich wie bei Schall- und Seilwellen finden wir auch hier unterschiedliche Reflexions- und Transmissionskoeffizienten f¨ ur ”kraft-artige” (wie Spannung, Druck) und ”fluß-artige” Gr¨oßen (wie Strom, Auslenkung). ¨ Durch Uberlagerung der einfallenden und reflektierten Welle ergeben sich auf dem Kabel stehende Wellen. Wie im folgenden Diagramm angegeben, h¨angt die Amplitude vom Verh¨altnis der Impedanzen ab. Es zeigt die Betr¨age |V | und |I| als Funktion des Ortes entlang des Kabels. Bei ZL = 0 wird der Spannungspuls mit umgekehrten Vorzeichen und gleicher Amplitude reflektiert. Bei ZL = Z0 wird kein Puls reflektiert, es entstehen keine stehenden Wellen. Dann wird die maximale Leistung an den Verbraucher u ¨bergeben. Stehende Wellen lassen sich leicht bei einer Lecherleitung demonstrieren. Diese besteht aus zwei parallelen Dr¨ahten, an denen eine elektromagnetische Welle entlang l¨auft und am Ende reflektiert wird. Mit Gl¨ uhlampen und Glimmlampen kann man die B¨auche des Strom- bzw. Spannungsverlaufs ausmessen. Damit kann man die Wellenl¨ange ausmessen und bei Kenntnis der Frequenz die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle bestimmen. Mit (815) ist v=√

c κe κm

.

Diese Beziehung gilt nicht nur f¨ ur Koaxialkabel sondern allgemein f¨ ur verschiedene metallische Leiter und sogar, wie wir sp¨ater sehen werden, f¨ ur Isolatoren. Taucht man die Lecherleitung in Wasser (κe ≈ 81 f¨ ur den statischen Fall ω → 0), so beobachtet man eine deutliche Verringerung der Wellenl¨ange.

G. Herten

365

Experimentalphysik

28.5 Elektromagnetische Wellen in Dielektrika

Abb. 140: Durch Reflexionen entstehen stehende Wellen auf dem Kabel.

28.5

Elektromagnetische Wellen in Dielektrika

Bisher haben wir elektromagnetische Wellen im Vakuum untersucht und Effekte an Metalloberfl¨achen analysiert. Nun werden wir die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen in Isolatoren besprechen. Die wichtigste Anwendung liegt dabei in der Optik, n¨amlich der Wellenausbreitung in Glas. Wir beschr¨anken uns daher auf lineare und homogene Dielektrika, f¨ ur die wir die Maxwellgleichungen noch einmal zusammenstellen: ~ = ρ div (κe ε0 E) ~ = 0 div B

(820) (821)

~ ~ = − ∂B rot E ∂t ~ ~ B ∂E rot = κe ε0 κm µ0 ∂t

(822) (823)

Da alle hier behandelten Materialien entweder dia- oder paramagnetisch sind, k¨onnen wir κm ≈ 1 annehmen. Wie bei elektromagnetischen Wellen im Vakuum k¨onnen wir auch hier die Wellengleichung herleiten, indem wir auf (822) und (823) die Rotation anwenden. Wir erhalten ~ ∂2E 1 ~ = ∆E ∂t2 κm κe ε0 µ0

.

(824)

Die Phasengeschwindigkeit im Dielektrikum ist damit gegeben durch v=√

c c 1 =√ = κe κm ε0 µ0 κe κm n

Dabei nennt man n= G. Herten

√

κe κm

366

.

(825)

(826) Experimentalphysik

28.6 Reflexions- und Brechungsgesetz den Brechungsindex des Dielektrikums. Die Impedanz ist gegeben durch Z=

E E = κm µ0 H B

.

(827)

F¨ ur ebene Wellen hatten wir bereits in (739) die Beziehung E ω = =v B k hergeleitet. Einsetzen in (827) liefert 1 Z = κm µ0 v = κm µ0 √ = κm κe µ0 ε0

r

F¨ ur das Vakuum finden wir somit die Impedanz r µ0 = 377 Ohm. Z0 = ε0

κm µ0 κe ε0

(828)

(829)

Eine ebene Welle im Dielektrikum hat somit die Form ~ r , t) = E ~ 0 ei(ωt−~k·~r) E(~ mit

28.6

ω c =v= n |~k|

(830)

.

Reflexions- und Brechungsgesetz

Nun wollen wir die Reflexion und Transmission von elektromagnetischen Wellen an Oberfl¨achen von Isolatoren untersuchen. Nach Kapitel 28.1 m¨ ussen an der Grenzschicht zwischen zwei Dielektrika folgende Randbedingungen erf¨ ullt sein. [κe ε0 E] n1 Et1 Bn1   B κm µ0 t1

= [κe ε0 E] n2 + ρs = Et2 = Bn2   B = κm µ0 t2

(831) (832) (833) (834)

In der letzten Stetigkeitsbedingung erscheint kein Oberfl¨achenstrom, da wir von einem idealen Isolator mit unendlichem spezifischem Widerstand ausgehen. Wir betrachten eine Welle in Abb.141 im Medium 1 (z.B. Luft), die unter einem Winkel Θ1 zum Lot auf die Oberfl¨ache von Medium 2 (z.B. Glas) trifft. Wir beobachten eine reflektierte Welle unter dem Winkel Θ3 und eine transmittierte Welle unter dem Winkel Θ2 . Die einlaufende Welle kann eine beliebige Polarisation haben. Aus der Diskussion in Kap. 27.6 wissen wir, dass man durch Superposition von zwei senkrecht zueinander polarisierten Wellen jede beliebige Polarisation erzeugen kann. Daher reicht es, zwei F¨alle zu berechnen. Im Fall (a) zeigt das ~ E-Feld senkrecht zur Einfallsebene der Welle. Dies ist die Ebene, die von den ~k-Vektoren von G. Herten

367

Experimentalphysik

28.6 Reflexions- und Brechungsgesetz

ki k f

kt ki

Bi

z

ki

kf Er

Ei

Ei z 0 1

Br

Medium 1 n1

θ1 θ3

0 Bi 1

Er

kf 0 1 0 Br 1

θ1 θ3

y Et a)

θ2

x n2 Medium 2

Bt

Bt

1 0 0 1 0 1

b)

θ2

kt

Et

kt

Abb. 141: Linear polarisierte Welle, die auf ein Dielektrikum trifft. Die k-Vektoren der einfallenden, reflektierten und transmittierten Wellen liegen in einer Ebene. Bei Welle (a) liegt der E-Vektor senkrecht zur Einfallsebene und bei (b) in der Ebene.

~ der einlaufenden ~ke und reflektierten Welle ~kr aufgespannt wird. Im Fall (b) zeigt das E-Feld in die Einfallsebene. Zun¨achst wollen wir verstehen, welche Beziehungen zwischen den Winkeln Θ1 , Θ2 , Θ3 bestehen. Die Randbedingungen m¨ ussen zu jeder Zeit an jedem Punkt auf der Grenzfl¨ache bei z = 0 erf¨ ullt sein. Dies ist nur m¨oglich, wenn die Phase (das Argument der komplexen Exponentialfunktion) f¨ ur alle drei Wellen bei z = 0 identisch ist. ~e = E ~ 0e ei(ωt−~ke ·~r) E ~r = E ~ 0r ei(ωt−~kr ·~r) E ~t = E ~ 0t ei(ωt−~kt ·~r) E Dies bedeutet, dass

i h ~ke · ~r

z=0

Bei x = 0, z = 0 erhalten wir

i h = ~kr · ~r

z=0

i h ~ke · ~r

(836) (837)

i h = ~kt · ~r

z=0

.

(838)

= ke y sin Θ1

(839)

[kr · ~r]z=0 = kr y sin Θ3 i h ~kt · r = kt y sin Θ2

(840)

z=0

z=0

G. Herten

(835)

368

(841) Experimentalphysik

28.7 Fresnelsche Gleichungen mit ω ω = n1 v1 c ω ω = n2 . = v2 c

ke = kr =

(842)

kt

(843)

Einsetzen von (839) und (840) in (838) liefert ke y sin Θ1 = kr y sin Θ3 also Θ 1 = Θ3

.

(844)

Der Einfallswinkel ist gleich dem Reflexionswinkel. Einsetzen von (839) und (841) in (838) ergibt ke y sin Θ1 = kr y sin Θ2 oder n1 sin Θ1 = n2 sin Θ2

.

(845)

Dies ist das Snelliussche Brechungsgesetz. Bei der Herleitung von (844) und (845) haben wir keine speziellen Randbedingungen f¨ ur elektromagnetische Wellen verwendet. Beide Gesetze sind somit f¨ ur alle Arten von Wellen g¨ ultig. Allgemein k¨onnen wir das Brechungsgesetz so angeben als v1 sin Θ1 = . (846) sin Θ2 v2 Die Sinusse des Einfalls- und Brechungswinkels verhalten sich wie die Phasengeschwindigkeiten.

28.7

Fresnelsche Gleichungen

Wenn wir die Intensit¨aten der reflektierten und transmittierten Wellen berechnen wollen, m¨ ussen wir die Randbedingungen (831) bis (834) verwenden. Wir beginnen mit Fall a. Das ~ E-Feld steht senkrecht zur Einfallsebene, d.h. es treten nur Transversalkomponenten des EFeldes bzgl. zur Grenzfl¨ache auf. Wir verwenden daher Randbedingungen f¨ ur Et (832) und f¨ ur Bt = B cos Θ (834) und erhalten (mit den Vorzeichen anhand der Zeichnung) −E0e + E0r = −E0t B0e cos Θ1 B0r cos Θ3 B0t cos Θ2 + = κm1 κm1 κm2

(847) (848)

mit B = nc E, κm ≈ 1, Θ1 = Θ3 erhalten wir (E0e − E0r ) n1 cos Θ1 = n2 E0t cos Θ2 .

(849)

Mit (847) und (849) haben wir zwei Gleichungen f¨ ur zwei Unbekannte (E0r und E0t ). Aufl¨osung des Gleichungssystems ergibt f¨ ur den Reflexions- und Transmissionskoeffizienten der Kompo~ nente des E-Feldes senkrecht (⊥) zur Einfallsebene   E0r n1 cos Θ1 − n2 cos Θ2 r⊥ = (850) = E0e ⊥ n1 cos Θ1 + n2 cos Θ2   2n1 cos Θ1 E0t . (851) = t⊥ = E0e ⊥ n1 cos Θ1 + n2 cos Θ2 G. Herten

369

Experimentalphysik

28.8 Interpretation der Fresnelschen Gleichungen Dabei gilt als Zusatzbedingung n1 sin Θ1 = n2 sin θ2 , mit der man z.B. Θ2 eliminieren kann. ~ Entsprechend untersuchen wir nun Fall b, bei dem das E-Feld parallel zur Einfallsebene liegt. Wiederum benutzen wir die Randbedingungen (832) und (834) und erhalten anhand der Zeichnung E0e cos Θ1 − E0r cos Θ3 = E0t cos Θ2 ne E0e + nr E0r = nt E0t , wobei bereits die Beziehung B = n E/c verwendet wurde. L¨osung des Gleichungssystems liefert ~ parallel zur dann den Reflexions- und Transmissionskoeffizienten f¨ ur die Komponente von E Einfallsebene.   E0r n2 cos Θ1 − n1 cos Θ2 rk ≡ = E0i k n2 cos Θ1 + n1 cos Θ2   2n1 cos Θ1 E0t = tk ≡ E0i k n2 cos Θ1 + n1 cos Θ2 ¨ Der Ubersichtlichkeit halber wurden r⊥ , rk und t⊥ , tk als Funktionen von n1 , n2 , Θ1 und Θ2 dargestellt. Das Snelliussche Gesetz liefert eine Zusatzbedingung n1 sin Θ1 = n2 sin Θ2 , so dass r⊥ , rk , t⊥ und tk bei gegebenem n1 und n2 nur noch Funktionen eines Winkels (z.B. des Einfallswinkels) sind. Diese Funktionen sind in Abb. 142 f¨ ur den Einfall einer Welle vom Vakuum (n=1) auf Glas (n=1,5) dargestellt.

28.8

Interpretation der Fresnelschen Gleichungen

Abb. 142 zeigt die Reflexionskoeffizienten r⊥ und rk und die Transmissionskoeffizienten t⊥ ¨ und tk f¨ ur die Amplituden f¨ ur den Ubergang von Luft (n1 = 1) auf Glas (n2 = 1, 5) als ~ Funktion des Einfallswinkels Θ1 . Ein negativer Reflexionskoeffizient bedeutet, dass das E-Feld der reflektierten Welle an der Oberfl¨ache das Vorzeichen ¨andert, d.h. einen Phasensprung von 180◦ erf¨ahrt. Wir sehen, dass r⊥ f¨ ur alle Winkel Θ1 negativ ist. Die Komponente E⊥ erf¨ahrt an der Oberfl¨ache zum dichten Medium n2 > n1 einen Phasensprung von 180◦ . Wir betrachten zun¨achst den senkrechten Einfall. Dort finden wir mit den Fresnelschen Gesetzen n2 − n1 rk = |−r⊥ |Θ1 =0 = . Θ1 =0 n2 + n1

(852)

In unserem Beispiel ergibt sich somit ein Reflektionskoeffizient von ±0, 2 f¨ ur die Amplituden 2 und 0, 2 = 0, 04 f¨ ur die Intensit¨at. An einer Glasoberfl¨ache wird somit 4% der Lichtintensit¨at bei senkrechtem Einfall reflektiert und 96% durchgelassen. F¨ ur Θ1 → 90◦ finden wir, dass beide Reflexionskoeffizienten r⊥ und rk sich -1 ann¨ahern. Somit wird 100% des des Lichtes reflektiert. Davon kann man sich leicht mit einer Glasscheibe selbst u ¨ berzeugen. Wenn man senkrecht auf die Scheibe schaut, kann man ohne Schwierigkeit hindurchsehen. Wenn man nun die Scheibe immer st¨arker neigt, so wird mehr und mehr Licht reflektiert bis man in der N¨ahe von Θ1 = 90◦ nicht mehr durch die Scheibe sehen kann. Sie wirkt wie ein Spiegel. Sogar rauhe Oberfl¨achen, wie z.B. ein Buchdeckel, wirken bei Θ1 ≈ 90◦ wie Spiegel. G. Herten

370

Experimentalphysik

28.8 Interpretation der Fresnelschen Gleichungen

Abb. 142: Interpretation der Fresnelschen Gleichungen. Die Reflexions- und Transmissionskoeffizi¨ enten der Amplituden f¨ ur beide Polarisationsrichtungen beim Ubergang von Luft nach Glas (n=1.5).

Brewster Winkel Zwischen beiden Extremwerten Θ1 = 0◦ und Θ1 = 90◦ erkennen wir in Abb. 142 f¨ ur rk eine Nullstelle. Diese tritt beim Brewster Winkel ΘB auf. In unserem Beispiel (n1 = 1, n2 = 1, 5) ~ betr¨agt dieser Winkel ΘB = 56, 3◦. Der reflektierte Strahl hat dann nur noch E-Feld Komponenten E⊥ , senkrecht zur Einfallsebene. Diesen Effekt kann man leicht verstehen (s. Abb. ~ 143). Das E-Feld der gebrochenen Welle regt Atomen an der Oberfl¨ache des Glases zu Schwingungen an. Dadurch entsteht elektromagnetische Dipolstrahlung. Nach den Ausf¨ uhrungen in Kap. 27.4 ist die Intensit¨at dieser Strahlung maximal senkrecht zur Schwingungsrichtung und Null in Schwingungsrichtung. Sind also gebrochener Strahl und reflektierter Strahl senkrecht zu einander (~kr · ~kt = 0), so ist die Intensit¨at des reflektierten Strahls f¨ ur die Komponente Ek gleich Null. Dies ist der Fall beim Brewster Winkels. Das reflektierte Licht hat nur E⊥ Komponenten, ~ E-Felder senkrecht zur Einfallsebene. Dann gilt mit Θ1 = ΘB Θ2 = 90◦ − ΘB

.

Mit dem Snelliusschen Brechungsgesetz finden wir dann n1 sin ΘB = n2 sin Θ2 = n2 cos ΘB tan ΘB = n2 /n1 . G. Herten

371

(853) (854) Experimentalphysik

28.8 Interpretation der Fresnelschen Gleichungen

Abb. 143: Erl¨auterungen zum Brewsterwinkel. Wenn der transmittierte Strahl und der reflektierte Strahl einen Winkel von 90◦ C zu einander bilden, ist der reflektierte Stral senkrecht zur Einfallsebene polarisiert (a). Dies l¨ asst sich leicht mit der Abstrahlcharakteristik der Dipolstrahlung erkl¨aren (b).

In unserem Beispiel n2 /n1 = 1, 5 findet man den genannten Wert ΘB = 56, 3◦ . Durch Reflexion ist es somit m¨oglich, linear polarisiertes Licht zu erzeugen. Dieser Effekt kann z.B. beim Fischen ausgenutzt werden. Normalerweise reflektiert Sonnenlicht an der Wasseroberfl¨ache, so dass man Fische im Wasser nicht sehen kann. Mit speziellen Sonnenbrillen, die ein Polarisationsfilter enthalten und nur Ek Komponenten durchlassen, kann man die reflektierte Welle unterdr¨ ucken und den Fisch im Wasser sehen. Gebr¨auchliche Polarisationsfilter bestehen aus Polaroidfolie. Sie bestehen aus langen Makromolek¨ ulen, die parallel zu einander angeordnet sind. Die Wirkungsweise kann man sich vorstellen wie die Polarisation von Mikrowellen durch ~ ein Drahtgitter. Die E-Feld Komponente parallel zu den Makromolek¨ ulen wird reflektiert und ~ dadurch die Transmission unterdr¨ uckt. Nur die E-Feld Komponente senkrecht zur Ausrichtungsachse der Makromolek¨ ule wird durchgelassen. Wir sehen an der Abb. 142, dass t⊥ und tk immer positiv sind, d.h. die gebrochene Welle erf¨ahrt keinen Phasensprung. Beide zeigen einen ¨ahnlichen Verlauf. r⊥ , rk und t⊥ , tk sind die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten der Amplituden. F¨ ur die Intensit¨aten I =< S >∼ 2 E findet man Ir = RIe bzw. It = T Ie mit 2 R⊥ = r⊥ Rk = rk2

und T⊥ Tk



 n2 cos Θ2 2 = 1 − R⊥ = t n1 cos Θ1 ⊥   n2 cos Θ2 2 = 1 − Rk = t n1 cos Θ1 k

Diese Koeffizienten sind in Abb. 144 f¨ ur (n1 = 1 und n2 = 1, 5) dargestellt. Man erkennt deutlich den Effekt des Brewsterwinkels bei 56, 3◦ .

G. Herten

372

Experimentalphysik

28.8 Interpretation der Fresnelschen Gleichungen

Abb. 144: Reflexions- und Transmissionskoeffizient der Intensit¨aten f¨ ur Wellen mit Polarisation ¨ senkrecht zur Einfallsebene (oben) und in der Einfallsebene (unten) f¨ ur den Ubergang von Luft (n1 = 1) nach Glas (n2 = 1.5).

¨ Ubergang vom optisch dichteren zum d¨ unneren Medium: Nun wollen wir den Fall untersuchen, dass die Welle vom dichteren Medium auf ein d¨ unneres ¨ Medium trifft (n1 > n2 ). In Abb. 145 sind die Koeffizienten r⊥ , rk f¨ ur den Ubergang von Glas zu Luft (n1 = 1, 5, n2 = 1) dargestellt. Wir erkennen auch hier einen Polarisationswinkel Θ′B , bei dem der gebrochene Strahl und der reflektierte Strahl ebenfalls einen rechten Winkel bilden. 1 n2 = tan Θ′B = n1 1, 5 ◦ ′ ΘB = 90 − ΘB = 33, 7◦ Zus¨atzlich erkennen wir noch einen weiteren bedeutenden Winkel ΘT , den Grenzwinkel der Totalreflexion. F¨ ur Winkel Θ1 > ΘT betr¨agt der Reflexionskoeffizient r⊥ = rk = 1. Dieser Grenzwinkel entspricht mit dem Snelliusschen Gesetz genau dem Fall, wenn Θ2 = 90◦ . n1 sin Θ1 = n2 sin Θ2 G. Herten

373

Experimentalphysik

28.9 Doppelbrechung

¨ Abb. 145: Reflexion und Transmission beim Ubergang vom optisch dichteren (n1 = 1.5) zum d¨ unneren (n2 = 1) Medium.

F¨ ur Θ2 = 90◦ folgt somit

n2 . n1 In unserem Fall also sin ΘT = 1/1, 5 und somit ΘT = 41, 8◦. Die Totalreflexion wird in Lichtleitern und optischen Fasern benutzt. Licht, das durch die Querschnittsfl¨ache einer Faser tritt, wird im Inneren total reflektiert und kann sich somit verlustfrei in der Faser ausbreiten. Durch Rauheiten der Faseroberfl¨achen kann es jedoch zu Verlusten kommen. sin ΘT =

28.9

Doppelbrechung

Mit linearen Polarisationsfiltern kann man unpolarisiertes Licht linear polarisieren. Falls wir zwei lineare Polarisationsfilter, die zueinander um den Winkel Θ gedreht sind, mit unpolarisiertem Licht der Intensit¨at I0 beleuchten, so erh¨alt man f¨ ur die Intensit¨at des Lichtes, das beide Filter durchdringt, den Ausdruck I(Θ) = I0 cos2 Θ . Dies ist das Gesetz von Malus. Bei Θ = 0 erh¨alt man ein Maximum und bei Θ = 90◦ ist I = 0. Polarisiertes Licht kann man neben Polaroidfolien wie besprochen durch Reflexion erzeugen. Nun sollen andere Substanzen, doppelbrechende Kristalle, besprochen werden, die Licht polarisieren. Ein Kalkspat (CaCO3 ) zeigt die Eigenschaft, dass ein einlaufender Strahl G. Herten

374

Experimentalphysik

28.9 Doppelbrechung

¨ Abb. 146: Winkel der Totalreflexion beim Ubergang vom optisch dichteren (n1 ) zum optisch d¨ unneren (n2 ) Medium.

zweifach gebrochen wird. Es entsteht ein ordentlicher (o) und ein außerordentlicher (a) Strahl. Der erste gehorcht dem Snelliusschen Brechungsgesetz, der zweite nicht.

Abb. 147: Bei der Doppelbrechung in Kristallen wird Licht je nach Polarisationsrichtung unterschiedlich gebrochen.

Man stellt fest, dass beide Strahlen senkrecht zueinander polarisiert sind. Dieser Effekt ist schwierig zu beschreiben. Im wesentlichen liegt er an einer Isotropie der Kristallstruktur, d.h. wir ~ B, ~ D ~ und H ~ verwenden. Ein linearer Zusammenhang zwischen E ~ m¨ ußten bei der Berechnung E, ~ liegt nicht vor. Je nach Polarisationsrichtung von E ~ ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit und D im Kristall unterschiedlich. Beim ordentlichen Strahl ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit in alle Richtungen gleich. Der Kristall ¨ahnelt somit einem homogenen Medium. F¨ ur den ordentlichen Strahl gilt das Snelliussche Brechungsgesetz. Beim außerordentlichen Strahl sind die Wellenausbreitungsge~ schwindigkeiten parallel und senkrecht zur optischen Achse verschieden. Das E-Feld setzt sich ~ und P~ -Vektor. Obwohl die Wellenfronten immer noch parallel zur nun zusammen aus dem DKristalloberfl¨ache liegen, weicht der Poyntingvektor um 6, 2◦ von der Normalen ab. Ein Kalkspatkristall zeigt somit ein Doppelbild. Dieser Effekt wird im Nicolschen Prisma ausgenutzt. Dabei werden die Winkel so gew¨ahlt, dass der ordentliche Strahl total reflektiert wird und der außerordentliche Strahl durchgelassen wird. Somit kann ein Nicolsches Prisma verwendet werden, um Licht linear zu polarisieren.

λ/2 und λ/4 Pl¨attchen G. Herten

375

Experimentalphysik

28.10 Rayleigh-Streuung

Abb. 148: Darstellung der Wellenausbreitung f¨ ur den ordentlichen und außerordentlichen Strahl.

Effekte der Doppelbrechung kann man in der chromatischen Polarisation ausnutzen. Dabei benutzt man zwei Polarisationsfilter (Analysatoren) und eine doppelbrechende d¨ unne Platte. Man beobachtet Farben, die von der Stellung der Analysatoren abh¨angt. Durch die unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeit des ordentlichen und außerordentlichen Strahls erfahren beide eine Phasenverschiebung, die Wellenl¨angen abh¨angig ist. Bei einem λ/4 Pl¨attchen betr¨agt der Gangunterschied λ/4 λ/4 = d(n1 − n2 ) , wobei d die Dicke der Platte und n1 und n2 die Brechungsindizes f¨ ur Polarisationsrichtung E1 und E2 sind. λ/4 Pl¨attchen erzeugen somit f¨ ur eine bestimmte Wellenl¨ange einen Phasenunterschied von 90◦ . Nach der Diskussion in Kapitel 27.6 bedeutet dies, dass aus linear polarisiertem Licht elliptisch polarisiertes Licht wird. Im Grenzfall, dass beide Amplituden E01 und E02 gleich sind, erh¨alt man zirkular polarisiertes Licht. Durch Hinzuf¨ ugen eines weiteren λ/4 Pl¨attchens erh¨alt man ein λ/2 Pl¨attchen, d.h. eine Phasenverschiebung von 180◦ . Dies ergibt wieder linear polarisiertes Licht. Mit d¨ unnen doppelbrechenden Pl¨attchen kann man somit die Polarisationsrichtung von Licht wellenl¨angenabh¨angig ver¨andern. Mit dem zweiten Analysator lassen sich dann bestimmte Wellenl¨angen, also Farben unterdr¨ ucken. Dieses Ph¨anomen wird zur Belastungsanalyse von Strukturteilen benutzt (Photoelastizit¨at). Durch Spannung wird ein plastisches Material doppelbrechend. Es kommt somit zu einem farbigen Muster, an dem man die Spannungsbelastung untersuchen kann.

28.10

Rayleigh-Streuung

Streuung von Licht an Objekten, die kleiner als eine Wellenl¨ange sind, nennt man RayleighStreuung. Wenn Sonnenlicht auf Atome trifft, werden Dipolmomente induziert, die schwingen G. Herten

376

Experimentalphysik

28.10 Rayleigh-Streuung

Abb. 149: Anwendung der Doppelbrechung im Nicolschen Prisma.

und Dipolstrahlung aussenden. Diesen Effekt nennt man Lichtstreuung an Atomen. Man kann sich dies so vorstellen, dass gebundene Elektronen im Atom zu erzwungenen Schwingungen angeregt werden. Bei Vernachl¨assigung der D¨ampfung erh¨alt man die Differentialgleichung q x¨ + ω02x = E0 cos ωt (855) m mit der L¨osung 1 q E0 cos ωt . (856) x(t) = 2 m ω0 − ω 2 F¨ ur die Beschleunigung ergibt sich dann a(t) = −

q ω2 E0 cos ωt . m ω02 − ω 2

(857)

Einsetzen in die Lamor-Formel (752), die die abgestrahlte Leistung bei Dipolstrahlung angibt, liefert q 2 (q 2 /m2 )ω 4 2 q 2 a2 (t) = E0 cos2 ωt P (t) = 2 3 3 2 2 6πε0 c 6πε0 c (ω0 − ω ) F¨ ur den zeitlichen Mittelwert des Poynting-Vektors ~ = 1 (E ~ × B) ~ S µ0 erhalten wir mit E = cB f¨ ur ebene elektromagnetische Wellen im Vakuum < S >=< G. Herten

E ·B 1 >=< ε0 c2 EB >= ε0 cE02 . µ0 2 377

Experimentalphysik

28.10 Rayleigh-Streuung

Abb. 150: Anwendung der Doppelbrechung in der chromatischen Polarisation.

Somit erhalten wir f¨ ur die mittlere gestreute Leistung 2  2  ω2 q 8π < S >= σ < S > . < P >= 3 4πε0 mc2 ω02 − ω 2 Dabei nennt man σ den Wirkungsquerschnitt (Einheit m2 ). < S > ist der mittlere einfallende Energiefluß des Lichtes. Die Resonanzfrequenzen befinden sich bei den meisten Atomen im UV Bereich, d.h. ω0 ≫ ω. Damit findet man < P >∼

ω4 <S> ω04

.

Dies ist eine interessante Gleichung. Sie besagt, dass blaues Licht intensiver gestreut wird als rotes Licht. Daher ist der Himmel blau. Das Sonnenlicht streut in der Atmosph¨are. Vor dem Hintergrund des dunklen Universums dominiert somit vor allem das blaue Streulicht. Beim Sonnenuntergang erscheint die Sonne rot, weil das Licht einen langen Weg durch die Atmosph¨are zur¨ ucklegen muß und dabei stark gestreut wird. Der Beobachter sieht dann vor allem die ungestreute r¨otliche Komponente des Sonnenlichtes. Außerdem kann man beobachten, dass das gestreute Sonnenlicht senkrecht zur urspr¨ unglichen Welle linear polarisiert ist. " zufallig polarisierte, einfallende Strahlung

Elektronenbeschleunigung a, " aufgelost entlang zweier senkrechter Richtungen

11111 00000 00000 11111 00000 11111 0000000000000 1111111111111 0 1 00000 11111 0000000000000 1111111111111 0 1 00000 11111 0000000000000 1111111111111 00000 11111 0000000000000 1111111111111 00000000000 11111111111 0000000000000 1111111111111 00000000000 11111111111 0000000000000 1111111111111 00000000000 11111111111 0000000000000 1111111111111 00000000000 11111111111 0000000000000 1111111111111 sc 00000000000 11111111111 0000000000000 1111111111111 00000000000 11111111111 0000000000000 1111111111111 00000000000 11111111111 0000000000000 1111111111111 0 1 00000000000 11111111111 0000000000000 1111111111111 0 1 00000000000 11111111111 0000000000000 1111111111111 0 1 0000 1111 00000000000 11111111111 0000000000000 1111111111111 011111111111 1 0000 1111 00000000000 0000000000000 1111111111111 0 1 00 11 0000 1111 00000000000 11111111111 0000000000000 1111111111111 0 1 00 11 0000 1111 0000000000000 1111111111111 0 1 0000 1111 00 11 0 1 00001 1111 00 11 0 0000 1111 0000 1111

θ

E

linear polarisierte, gestreute Strahlung

z

teilweise polarisierte, gestreute Strahlung

Abb. 151: Erl¨auterung zur Polarisation von Streulicht.

G. Herten

378

Experimentalphysik

29 Dispersion Dies wird in der Abbildung deutlich. Unpolarisiertes Licht wird an Molek¨ ulen gestreut. Das Licht in Vorw¨artsrichtung ist unpolariasiert. Senkrecht zum urspr¨ unglichen Strahl bleibt nur eine Polarisationsrichtung u ¨ brig. Man nutzt diesen Effekt in Sonnenbrillen, die eine Polaroidfolie enthalten. Damit l¨aßt sich das helle, gestreute Sonnenlicht abschw¨achen. Das allgemeine Problem der Lichtstreuung wurde 1908 von Gustav Mie (Prof. in Freiburg) f¨ ur homogene, sph¨arische Teilchen jeder Gr¨oße gel¨ost. Die Herleitung ist mathematisch sehr aufwendig. Es zeigt sich, dass die gestreute Lichtintensit¨at sehr stark vom Durchmesser d der Partikel sowie vom Material und von der Oberfl¨achenbeschaffenheit abh¨angt, falls d > 0.1λ ist. ¨ Durch den Wegunterschied der einzelnen Wellen k¨onnen konstruktive oder destruktive Uberlagerungen der Wellen auftreten. Die Mie-Streuung hat große praktische Bedeutung bei der Untersuchung von L¨osungen, Nebel, Wolken und solarer Corona. Farben Licht, das jede Frequenz des sichtbaren Spektrums in etwa gleiche Intensit¨at enth¨alt, wird von uns als weißes Licht wahrgenommen. Ein K¨orper erscheint im reflektierten Licht weiß, wenn er Licht frequenzunabh¨angig und diffus, d.h. in alle Richtungen aussendet. So sind z.B. Wasser und Eis durchsichtig, aber Schnee und Wolken sind weiß. Sie haben alle dieselbe chemische Zusammensetzung. Der Unterschied liegt darin, dass eine Wolke aus Wassertr¨opfchen und Schnee aus kleinen Eisst¨ uckchen besteht, die gr¨oßer als die Wellenl¨ange von Licht ist. Licht, das in diese Tr¨opfchen eindringt, wird mehrfach im Innern total reflektiert, bis es in irgendeine Richtung, d.h. diffus austritt. Dies ist der Grund, dass eigentlich transparente Substanzen wie Salz, Zucker, Papier weiß erscheinen. Objekte erscheinen farbig im reflektierten Licht, wenn die Resonanzfrequenz in der N¨ahe des sichtbaren Bereichs liegt und somit die Intensit¨at des gestreuten Lichts frequenzabh¨angig ist.

29

Dispersion

Bisher haben wir Wellen betrachtet, bei denen die Phasengeschwindigkeit ω/k f¨ ur alle Frequenzen gleich ist. Die ein-dimensionale Wellengleichung f¨ ur solche Wellen ist gegeben durch (z.B. f¨ ur Seilwellen) 2 ∂2y 2∂ y = c . (858) ∂t2 ∂z 2   p Dabei ist c die Phasengeschwindigkeit c = T /µ ist. Wie wir gesehen hatten, ist die allgemeine L¨osung gegeben durch y = y(z ± vt) , (859) d.h. ein Puls der Form y(z ± vt) bewegt sich auf der z-Achse und beh¨alt seine Form bei. Solche Wellen nennt man auch dispersionsfrei. Dies ist aber ein Spezialfall. Im allgemeinen findet man, dass sich die Pulsform mit der Zeit ver¨andert. Ein Grund f¨ ur eine Ver¨anderung des Pulses ist die D¨ampfung. Sie f¨ uhrt zu einer Erniedrigung des Pulses im Laufe der Zeit. Die D¨ampfung ist in der Regel auch frequenzabh¨angig, so dass hochfrequente Anteile der Pulseform , z.B. scharfe Kanten, schnell ged¨ampft werden. Ged¨amfte Systeme (dissipative Systeme) wollen wir hier nicht n¨aher untersuchen. Wir konzentrieren uns auf den zweiten Grund daf¨ ur, dass sich die Pulsform im Laufe der Zeit ver¨andert: die Frequenzabh¨angigkeit der Phasengeschwindigkeit.

G. Herten

379

Experimentalphysik

29.1 Starre Saite Nach der Fourieranalyse eines Pulses besteht dieser aus Wellen mit unterschiedlichen Frequenzen. Die Summe aller Wellen ergibt dann die Wellenform. Falls sich z.B. Wellen mit hoher Frequenz schneller ausbreiten als Wellen mit niedriger Frequenz, so beobachtetet man nach einer Zeitspanne, dass sich die Wellenform ¨andert, d.h. die Summe aller Einzelwellen liefert dann eine neue Wellenform. Diese ist in der Regel breiter, d.h. die Wellengruppe (Wellenpacket) fließt auseinander. Diese Effekten wollen wir nun zun¨achst an Hand einer Seilwelle untersuchen.

29.1

Starre Saite

Bei unserer fr¨ uheren Herleitung der Wellengleichung f¨ ur eine Saite hatten wir angenommen, dass die Saite ¨außerst biegsam ist, so dass als transversale Kr¨afte nur die Spannung in der Saite ber¨ ucksichtigt wurde. Diese Annahme f¨ uhrte dann zur dispersionsfreien Wellengleichung. In Wirklichkeit ist eine Saite starr, d.h. bei Biegungen treten R¨ uckstellkr¨afte auf. Es ist sofort einleuchtend, dass dadurch ein scharfer Impuls (der z.B. durch einen Hammerschlag erzeugt wird) mit der Zeit gegl¨attet wird. Diesen Effekt nennt man Dispersion. Wir erwarten, dass solche Effekte frequenzabh¨angig sind; bei hohen Frequenzen ist die Wellenl¨ange klein, d.h. der Kr¨ ummungsradius der Saite ist ebenfalls klein und der Effekt der R¨ uckstellkraft bedeutend. Somit erwarten wir große Dispersionseffekte bei hoher Frequenz und kleiner wellenl¨ange. Eine gute Beschreibung der starren Saite findet man, wenn zur Wellengleichung noch ein weiterer Term hinzugef¨ ugt wird   2 ∂4y ∂2y 2 ∂ y , (860) =c −α 4 ∂t2 ∂z 2 ∂z wobei α eine positive Konstante ist, und der rechte Term die R¨ uckstellkraft beinhaltet. Wir setzen nun als L¨osung in diese Wellengleichung eine Sinuswelle ein und erhalten mit y = y0 ei(ωt±kz) y¨ = −ω 2 y y ′′ = −k 2 y y (iv) = k 4 y

(861) (862) (863) (864)

ω 2 = c2 k 2 + αc2 k 4 = c2 k 2 (1 + αk 2 ) .

(865)

die Gleichung Damit erhalten wir die Dispersionsrelation (Beziehung zwischen ω und k) √ ω = ±ck 1 + αk 2 .

(866)

F¨ ur α = 0 erhalten wir die alte Beziehung c = ω/k. Nun finden wir f¨ ur die Phasengeschwindigp keit unter Verwendung von c = T /µ(287) s √ ω T = c 1 + αk 2 = (1 + αk 2 ) . (867) |vφ | = k µ Somit h¨angt die Phasengeschwindigkeit von k, d.h. von der Wellenl¨ange, ab. Die Wellengleichung (860) beschreibt daher ein dispersives System. G. Herten

380

Experimentalphysik

29.1 Starre Saite

vφ c k Abb. 152: Phasengeschwindigkeit als Funktion von k bei einer dispersiven Welle.

Abb. 152 zeigt die Phasengeschwindigkeit als Funktion von k. Wie erwartet, sehen wir die gr¨oßte Abweichung vom nicht-dispersiven Verhalten bei großem k, d.h. großer Frequenz und kleiner Wellenl¨ange. Die Wellenl¨angenabh¨angigkeit der Phasengeschwindigkeit, ausgedr¨ uckt in der Dispersionsrelation, kennzeichnet ein dispersives System. Oft begn¨ ugt man sich mit der Angabe der Dispersionsrelation, um ein System zu beschreiben. Aus der Dispersionsrelation l¨aßt sich dann die Wellengleichung herleiten. Dies wollen wir an einem Beispiele zeigen. Dazu betrachten wir ein leicht dispersives System. Damit ist gemeint, dass z. B. bei der Saite gelten soll αk 2 ≪ 1, d.h. √ 1 1 + αk 2 ≈ 1 + αk 2 . 2 Damit erhalten wir die Dispersionsrelation   1 2 = ck − dk 3 . (868) ω = ck 1 + αk 2 Dabei haben wir das “±“-Zeichen weggelassen (d.h. die Welle soll sich in z-Richtung bewegen). Das Minuszeichen auf der rechten Seite ist Konvention (f¨ ur die Saite ist d = − 21 αc). Aus der Dispersionsgleichung k¨onnen wir wieder eine Differentialgleichung herleiten. Dabei verwenden wir den Ansatz einer Sinuswelle y = y0 ei(ωt−kz)

(869) (870)

y˙ = iωy (871) y y

′

′′′

= −iky

(872)

3

= ik y

Die Dispersionsgleichung wird erf¨ ullt mit y˙ = −cy ′ − dy ′′′ G. Herten

381

Experimentalphysik

29.1 Starre Saite oder

∂y +c ∂t



∂y ∂z





∂3y +d ∂z 3



= 0.

Einsetzen der L¨osung (869) f¨ ur y liefert dann wieder die Dispersionsrelation (868). Eine Funktion der Form y(z − vt) ist keine L¨osung einer dispersiven Wellengleichung, wie man durch Einsetzen sofort sieht. Somit bleibt die Pulsform in einem dispersiven System nicht mehr erhalten. Am Beispiel der Saite war dieser Gl¨attungseffekt (d.h. Verbreiterung des Pulses) anschaulich verst¨andlich. Diese Ver¨anderung der Pulsform kann man auch mit der Fouriertheo¨ rie verstehen. Ein Puls ist danach eine Uberlagerung von vielen Sinus-Wellen mit verschiedenen k-Werten. In einem nicht-dispersiven System wandern alle Sinuswellen mit derselben Phasengeschwindigkeit; somit wandert der Puls mit derselben Geschwindigkeit und beh¨alt seine Form. In einem dispersiven System haben die Sinuswellen unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten. ¨ Die Uberlagerung dieser Wellen ¨andert sich also mit der Zeit, d.h. die Pulsform ¨andert sich. Bei starker Dispersion wird der Puls schon nach kurzer Zeit gegl¨attet und verschwindet voll¨ kommen. Bei leichter Dispersion allerdings kann die Uberlagerung der Wellen (der Puls oder die Wellengruppe) sich als Ganzes bei leichter Verformung noch einige Zeit weiterbewegen. Wir wollen nun die Bewegung einer Wellengruppe mathematisch beschreiben. Als Beispiel betrachten wir drei Wellen, die sich in der Frequenz um ∆ω und in der Wellenzahl um ∆k unterscheiden. E = E0 cos(ωt − kz) +

1 αEom cos[(ω + ∆ω)t − (k + ∆k)z] 2

+

1 αEom cos[(ω − ∆ω)t − (k − ∆k)z] . 2

Dies kann man umformen und erh¨alt E = [E0 + αEom cos(∆ω · t − ∆k · z)] cos(ωt − kz) . Somit hat die resultierende Welle zwei Geschwindigkeiten: • Die Phasengeschwindigkeit

ω (873) k ist die Geschwindigkeit einer einzelnen der Cosinus-f¨ormigen Welle mit Frequenz ω und Wellenl¨ange λ = 2π/k.

• Die Gruppengeschwindigkeit

vφ =

∆ω = vg = ∆k



dω dk



(874)

ω ¯

ist die Geschwindigkeit der Modulation (der Einh¨ ullenden). Dieses Ergebnis k¨onnen wir auch etwas Formaler und Allgemeiner herleiten. Eine Wellengruppe mit der mittleren Frequenz ω ¯ kommt dann zustande, wenn an einem Ort z zur Zeit t alle Sinuswellen mit ω ≈ ω ¯ gleiche oder ¨ahnliche Phasen ϕ(ω) haben, d.h. ϕ(ω) = ωt − kz sollte G. Herten

382

Experimentalphysik

29.1 Starre Saite f¨ ur alle Wellen in dieser Gruppe denselben Wert haben; denn bei gleicher oder ¨ahnlicher Phase addieren sich die Einzelwellen gerade so, dass sie sich verst¨arken und dadurch ein Wellenberg entsteht. H¨atten sie entgegengesetzte Phase, so w¨ urden sich die Wellen gegenseitig ausl¨oschen und es w¨ urde kein Wellenberg auftreten. Somit sollen die Phasen der Wellen mit den Frequenzen ω≈ω ¯ ¨ahnlich sein, d.h ϕ(ω) = const., oder anders ausgedr¨ uckt: dϕ(ω) = 0. dω ω=¯ω Somit oder

d [ωt − kz]ω = 0 dω   dk z = 0. t− dω ω

Diese Gleichung wird dann erf¨ ullt, wenn sich die Wellengruppe mit der Geschwindigkeit vg = z/t (Gruppengeschwindigkeit) ausbreitet, die gegeben ist durch   dω . (875) vg (ω) ≡ dk ω

Abb. 153: Beispiel einer dispersiven Welle. Das Kreuz kennzeichnet die Bewegung einer Phase (hier Maximum). Es bewegt sich mit der Phasengeschwindigkeit. Der Kreis zeigt den Mittelpunkt der Wellengruppe an und bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit. In diesem Beispiel ist vg = vφ /2.

G. Herten

383

Experimentalphysik

29.1 Starre Saite Es ist wichtig, zwischen Gruppen- und Phasengeschwindigkeit zu unterscheiden. Dies ist in Abb. 153 verdeutlicht. In diesem Beispiel wird die Gruppengeschwindigkeit als halb so groß angenommen wie die Phasengeschwindigkeit. Mit × werden die Orte gleicher Phase (hier im Maximum) in zeitlichen Abst¨anden von einer Schwingungsperiode angedeutet. Die Bewegung der mit ¨ × markierten Orte wird somit von der Phasengeschwindigkeit beschrieben. Die Uberlagerung der Wellen erzeugt einen Wellenberg. Der Mittelpunkt des Wellenberges ist mit einem Kreis makiert. Wie man erkennt, breitet sich der Wellenberg langsamer aus, als eine einzelne Welle. Die Bewegung des Wellenberges (Wellengruppe) wird von der Gruppengeschwindigkeit angegeben. Die Phasengeschwindigkeit vφ ist die Geschwindigkeit eines Punktes mit gleicher Phase. Sie beschreibt die Ausbreitung einer Sinus-Welle. Die Gruppengeschwindigkeit vg ist die Geschwindigkeit von Punkten gleicher Amplitude der Wellengruppe, d.h sie beschreibt die Bewegung der Einh¨ ullenden. Wie bereits erl¨autert lassen sich beide aus der Dispersionsrelation bestimmen mit vφ = vg (ω) =

ω k 

dω dk



.

ω

In einem nicht-dispersiven System ist vφ = vg , bei dispersiven Systemen sind sie im allgemeinen verschieden. Die Gruppengeschwindigkeit entspricht der Geschwindigkeit, mit der Signale oder Energie u upft: ¨ bertragen werden k¨onnen. Die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit sind verkn¨ vg =

dω d(vφ · k) dvφ dvφ dλ = = vφ + k = vφ + k ; dk dk dk dλ dk

mit λ = 2π/k

und k

dλ 2π = −k2π/k 2 = − = −λ dk k

erhalten wir

dvφ . (876) dλ An dieser Gleichung sieht man sofort, dass die Phasen- und Gruppengeschwindigkeiten unterschiedlich sind, wenn die Phasengeschwindigkeit von der Wellenl¨ange abh¨angt. vg = vφ − λ

Beispiel: Stehende Wellen auf einer Saite Aufgrund der Dispersion der Saite kommt es bei Musikinstrumenten zu Frequenzverschiebungen bei Obert¨onen. Eine Saite ist ein leicht dissipatives System, d.h. wir k¨onnen zur Berechnung der Eigenfrequenzen der Schwingungsmode die Dispersionsrelation (868) verwenden: ωn = ckn − dkn3 . Die Wellenl¨ange der stehenden Welle ist festgelegt durch die L¨ange der eingespannten Saite, d.h. λ und k ¨andern sich nicht, wenn wir von einer Saite ohne Dispersion zu einer Saite mit Dispersion wechseln. F¨ ur die n-te stehende Welle erhalten wir kn = G. Herten

n 2L

384

Experimentalphysik

29.2 Wasserwellen

ω

(a)

π /L

(b)

k

Abb. 154: Dispersionskurve ω = f (k) f¨ ur eine Saite. Bei stehenden Wellen auf einer Saite f¨ uhrt die Dispersion dazu, dass die Frequenzen der Obert¨one keine ganzzahligen Vielfache der Frequenz des Grundtons sind.

Die Frequenzen sind nun mit k u upft. Da diese ¨ ber die Phasengeschwindigkeit der Welle verkn¨ ¨ aber von der Wellenl¨ange abh¨angt, erwarten wir eine Anderung der Frequenzen im Vergleich zum System ohne Dispersion. F¨ ur die Frequenzen der n-ten stehende Welle erhalten wir: fn =

n3 dπ 2 nc − . 2L 2L3

(877)

Bei einer starren Saite findet man somit im Vergleich zur flexiblen Saite eine Frequenzerh¨ohung in den Obert¨onen (wegen d = − 21 ac). Die starre Saite f¨ uhrt zu keiner Serie von harmonischen T¨onen. In einem Orchester findet man bei den einzelnen Instrumenten (Blech, Saiteninstrumente) unterschiedliche Dispersionsrelationen. Beim Abstimmen der Instrumente muß daher meist ein guter Kompromiß gefunden werden. Zum Gl¨ uck sind die Ohren der meisten Musikliebhaber nicht gut genug, um geringe Frequenzunterschiede in den Obert¨onen feststellen zu k¨onnen.

29.2

Wasserwellen

Bisher haben wir in unserer Diskussion keine Wasserwellen behandelt, obwohl sie f¨ ur viele Menschen das typische Beispiel f¨ ur Wellen sind.Der Grund liegt darin, dass sie stark dispersiv sind und wir sie deshalb erst in diesem Zusammenhang diskutieren. Wir werden hier die Wellengleichung f¨ ur Wasserwellen nicht herleiten, sondern uns nur klar machen, wie es zur Wellenausbreitung in Wasser kommt. Wasser hat zwei wichtige Eigenschaften f¨ ur die Wellenausbreitung: Wasser ist schwer zu komprimieren und leicht beweglich, d.h. es hat geringe Viskosit¨at. Viskosit¨at bedeutet D¨ampfung. Wir vernachl¨assigen hier die D¨ampfung und betrachten Wasser als inkompressibel. Dies bedeutet, dass sich Wassermolek¨ ule nicht einfach beim Durchgang einer Welle nach oben oder unten bewegen k¨onnen. Bei jeder Bewegung nach unten m¨ ussen sich andere Molek¨ ule zur Seite bewegen. Man kann die Bewegung der Molek¨ ule in Wasserwellen folgendermaßen zusammenfassen: 1) Jedes Teilchen bewegt sich auf einer Ellipse mit der Hauptachse in horizontaler Richtung. Teilchen auf (vertikal) benachbarten Ellipsen bleiben in Phase zueinander. 2) Obwohl sich die Teilchen auf Ellipsen bewegen, gibt es im Wasser keine Wirbel. G. Herten

385

Experimentalphysik

29.2 Wasserwellen

Abb. 155: Bewegung der Wassermolek¨ ule bei einer Wasserwelle.

3) Das Wasser wird nicht komprimiert, d.h. das Wasservolumen (markiert zwischen der 11ten und 16-ten Spalte) bleibt immer gleich. Man kann zeigen, dass folgende Dispersionsrelation f¨ ur transversale Oberfl¨achenwellen auf Fl¨ ussigkeiten mit der Dichte ρ, der Oberfl¨achenspannung σ und der Tiefe h gilt:   k3 2 ω(k) = gk + σ tanh(kh) . (878) ρ Wir k¨onnen nun mehrere F¨alle unterscheiden. Zun¨achst erinnern wir uns, wie die Funktion tanh(kh) aussieht. Es gelten die N¨aherungen tanh(kh) ≈ 1 f¨ ur kh ≫ 1 , d.h.λ ≪ h

(879)

und

1 2 (kh)3 + (kh)5 . . . f¨ ur kh ≪ 1 , d.h.λ ≫ h. (880) 3 15 Im folgenden betrachten wir entweder tiefes Wasser (kh ≫ 1) oder sehr seichtes Wasser (kh ≪ 1). In der Dispersionsrelation treten zwei Terme auf: Der erste enth¨alt die Erdbeschleunigung und beschreibt Schwerewellen. Hier bewirkt die Gravitation eine r¨ uckstellende Kraft, die daf¨ ur sorgt, dass Wellenberge nach unten gezogen werden und Auslenkungen zur Ruhelage (flache Wasseroberfl¨ache) getrieben werden. F¨ ur den zweiten Term ist die Oberfl¨achenspannung entscheidend; er beschreibt Kapillarwellen. In diesem Fall sorgt die Oberfl¨achenspannung dazu, dass die Oberfl¨ache m¨oglichst klein, d.h. flach wird. Beide Terme sind gleich bei der kritischen tanh(kh) ≈ kh −

G. Herten

386

Experimentalphysik

29.2 Wasserwellen Wellenl¨ange λc , gegeben durch gρ oder σ r σ = 2π . ρg

k2 = λc

(881)

Die kritische Wellenl¨ange betr¨agt λc = 17 mm f¨ ur Wasser (T = 20◦ C). Wellen mit kleinerer Wellenl¨ange sind durch die Oberfl¨achenspannung dominiert (“Kapillarwellen“), gr¨oßere Wellenl¨angen durch Gravitation (Schwerewellen). Wir untersuchen nun verschiedene F¨alle: 1) Kapillarwellen (λ ≪ λc und λ ≪ h) Wir betrachten Kapillarwellen bei einer Wassertiefe h ≫ 17 mm, d.h. tanh(kh) ≈ 1 und σ

k3 ≫ gk . ρ

Dies w¨aren z.B. kleine gekr¨auselte Wellen, wie man sie bei leichter Brise auf einem See beobachten kann. Dann erhalten wir die Dispersionsrelation s σk 3 ( kh ≫ 1, λ ≪ λc ) (882) ω(k) = ρ s σk ω vφ = = (883) k ρ s 3 σk 3 dω = = vφ . (884) vg = dk 2 ρ 2 Somit ist die Gruppengeschwindigkeit f¨ ur alle Wellenl¨angen gr¨oßer als die Phasengeschwindigkeit. 2) Schwerewellen auf tiefen Fl¨ ussigkeiten (λc ≪ λ ≪ h) Tiefe Fl¨ ussigkeit bedeutet, dass die Wassertiefe sehr viel gr¨oßer als die Wellenl¨ange ist. Beispiel f¨ ur solche Wellen sind die typischen Meereswellen, die Wellenl¨angen von mehreren Metern haben bei sehr viel gr¨oßeren Wassertiefen. Wir benutzen somit die N¨aherung kh ≫ 1 sowie λ ≫ λc . Somit gilt tanh(kh) ≈ 1. Damit erhalten wir p ω ≈ gk . (885)

Die Phasen- und Gruppengeschwindigkeiten berechnen sich dann zu r g ω ≈ vφ = k k G. Herten

387

(886)

Experimentalphysik

29.3 Hohlleiter

1 dω ≈ vg = dk 2 Wir sehen somit, dass vg =

r

g k

(887)

1 vφ . 2

(888)

3) Schwerewellen auf seichten Fl¨ ussigkeiten (λ ≫ h ≫ λc ) Nun benutzen wir die N¨aherung tanh(kh) ≈ kh sowie λ ≫ λc und erhalten p p √ ω ≈ gk kh = k gh vφ = vg =

p ω = gh k

p dω = gh = vφ . dk

(889) (890) (891)

Schwerewellen auf seichten Fl¨ ussigkeiten zeigen somit in dieser N¨aherung keine Dispersion. Das wichtigste Beispiel f¨ ur Schwerewellen auf seichten Fl¨ ussigkeiten sind Tsunamis. Dies mag zun¨achst u ¨berraschen, da sie sich u ¨ber Ozeane mit großer Wassertiefe ausbreiten. Allerdings liegen die Wellenl¨angen von Tsunamis im Bereich von 100 km bis zu 500 km. Somit ist ¨ ¨ λ ≫ h und tanh(kh) ≈ kh ist eine gute N¨aherung. Der Ausdruck Seichte Fl¨ ussigkeitbezieht sich somit immer auf das Verh¨altnis von Wassertiefe zu Wellenl¨ange. Tsunamiwellen sind somit nicht dispersiv, d.h. ein Wellenberg kann sich u ¨ber viele Tausend Kilometer ausbreiten , ohne seine Form zu ¨andern. Die Phasengeschwindigkeit h¨angt von der Meerestiefe ab. In der Mitte des Ozeans, bei 5000 m Meerestiefe, betr¨agt die Phasengeschwindigkeit 800 km/h, vergleichbar zu einem Passagierflugzeug. In der N¨ahe der K¨ uste, bei geringer Meerestiefe, wird die Welle viel langsamer, z.B. nur 40 km/h bei 100 m Tiefe. Dadurch t¨ urmen sich die mit hoher Geschwindigkeit heranrollenden Wassermassen immer mehr auf, so dass riesige Wellen auf Land treffen. Der Effekt ist vergleichbar zu Autos, die mit hoher Geschwindigkeit auf einen Stau auffahren. Die Phasengeschwindigkeit und Wellenl¨ange nehmen in Landn¨ahe ab und die Amplitude steigt an. Obwohl die Amplituden der Tsunamiewellen auf hoher See kaum wahrnehmbar sind, erreichen sie in Landn¨ahe eine H¨ohe von vielen Metern. Die Verw¨ ustungen k¨onnen lokal sehr unterschiedlich sein. Je nach dem Verlauf der Meerestiefe in K¨ ustenn¨ahe kann es zur B¨ undelung der Wellen kommen, z.B. in Buchten oder bei kreisf¨ormigen, seichten Meerestellen, die wie Linsen wirken k¨onnen.

29.3

Hohlleiter

Hohlleiter bestehen aus einer hohlen Metallr¨ohre. Bei sehr hohen Frequenzen benutzt man sie h¨aufig zum Transport von elektromagnetischen Wellen. Gegen¨ uber Koaxialkabel haben sie bedeutende Vorteile: einfache Herstellung; keine Probleme durch Impedanzunterschiede wie beim Kabel, wenn Innen- und Außenleiter nicht gut zentriert sind; geringe D¨ampfung. Allerdings haben sie auch wichtige Nachteile. W¨ahrend im Kabel Wellen mit Frequenzen f → 0 transportiert werden k¨onnen, gibt es im Hohlleiter eine Mindestfrequenz. Unterhalb dieser kritischen Frequenz ist keine Ausbreitung der Welle m¨oglich. G. Herten

388

Experimentalphysik

29.3 Hohlleiter Um die Funktionsweise eines Hohlleiters zu verstehen, betrachten wir zun¨achst zwei einfachere F¨alle, n¨amlich zwei parallele Metallplatten. Fall 1:

y Bt

En

x z

Abb. 156: Wellen mit E-Feldern senkrecht (normal) zu den Leiterplatten.

Wir betrachten eine elektromagnetische Welle, die sich zwischen zwei Metallplatten in zRichtung ausbreitet. Der Plattenabstand sei a. Das E-Feld in y-Richtung, senkrecht zur Plattenoberfl¨ache. Experimentell beobachtet man, dass die elektromagnetische Welle sich auch bei sehr kleinem Plattenabstand zwischen den Platten ausbreiten kann. Um dies zu verstehen, m¨ ussen wir die Randbedingungen beachten, die an den Metallfl¨achen erf¨ ullt werden m¨ ussen. Et = 0 und Bn = 0 . In unserem Beispiel gibt es nur Komponenten En und Bt . Somit sind die Randbedingungen f¨ ur alle Plattenabst¨ande erf¨ ullt und eine Ausbreitung der Welle ist zwischen den Platten m¨oglich. Fall 2:

y Et

Bn

x z

Abb. 157: Wellen mit transversalen E-Feldern.

y z

θ θ

k

ky

kx

Abb. 158: Ausbreitung der Welle zwischen zwei Leiterplatten.

G. Herten

389

Experimentalphysik

29.3 Hohlleiter

k 2 = kx2 + ky2 + kz2

(892)

Anhand der Zeichnung findet man die Beziehung ky = k cos Θ ,

(893)

kz = k sin Θ ,

(894)

und k = 2π/λ = ω/c .

(895)

In y-Richtung muß die Randbedingung Et = 0 an den Metallplatten erf¨ ullt sein, d.h. Ex (y = 0) = 0 und Ex (y = a) = 0 . Dies wird erf¨ ullt, falls eine stehende Welle in y-Richtung vorliegt und eine wandernde Welle in z-Richtung. Ex (y, z, t) = E0x sin(ky · y) cos(ωt − kz · z) (896) Die obigen Randbedingungen werden dann erf¨ ullt, wenn sin(0) = sin(ky · a) ,

also ky =

π n, a

n = 0, 1, 2 . . . .

(897)

Wir betrachten den einfachsten Fall mit n = 1. Mit (893) folgt dann ky =

π a

=

k cos Θ =

2π cos Θ λ

oder cos Θ

=

λ ≤1. 2a

(898)

F¨ ur Wellenl¨angen λ ≥ 2a k¨onnen somit die Randbedingungen erf¨ ullt werden. Ein Grenzfall ◦ wird bei Θ = 0 erreicht. Dort ist λc = 2a und die Welle wird nur noch zwischen den Platten hin- und herreflektiert und wandert nicht mehr in z-Richtung; denn kz =

2π sin Θ = 0 f¨ ur Θ = 0◦ . λ

Um eine Welle in z-Richtung zu transportieren, muß der Plattenabstand somit mindestens a ≥ λ/2 sein. Bei gr¨oßeren Abst¨anden gibt es zu jedem λ/a einen Winkel Θ, so dass die Gleichung (898) erf¨ ullt wird. Mit (892) erhalten wir (kx = 0) kz2 = k 2 − ky2 = G. Herten

 π 2 ω2 . − c2 a

390

(899) Experimentalphysik

29.3 Hohlleiter Damit finden wir die Dispersionsrelation f¨ ur die Wellenausbreitung in z-Richtung ω 2 = c2 kz2 + ω = Man nennt

p

c2 π 2 = c2 kz2 + ωc2 2 a

(900)

c2 kz2 + ωc2 .

(901)

2πc πc = = cky (902) λc a die “cut-off“ Frequenz. Wie bereits erw¨ahnt kann sich unterhalb dieser Frequenz keine Welle zwischen den Platten ausbreiten, da die Randbedingungen nicht erf¨ ullt werden k¨onnen. Die folgende Abbildung zeigt die Dispersionsrelation. Reelle Werte mit kz > 0 sind nur f¨ ur Frequenzen ω > ωc m¨oglich. ωc =

Abb. 159: Dispersionsrelation ω = ω(kz ) f¨ ur Hohlleiter.

Die Phasengeschwindigkeit f¨ ur die Ausbreitung einer Sinuswelle in z-Richtung ist gegeben durch s 2 s   2 ωc ky ω =c 1+ c 1+ >c (903) vφ = kz ckz kz vg =

dω 1 2c2 kz = r = p 2 dkz 2 c kz2 + ωc2

1+

c 

ωc ckz

2 < c .

(904)

kz = 0 entspricht nach (901) der cut-off Frequenz. Dort ist die Phasengeschwindigkeit unendlich groß und die Gruppengeschwindigkeit Null. F¨ ur Frequenzen ω < ωc folgt mit (899) kz2 =

ωc2 ω2 − <0. c2 c2

Somit ist

ip 2 1p 2 ω − ωc2 = ± ωc − ω 2 = ±ikz′ c c rein imagin¨ar. Wenn wir (896) in exponentieller Form schreiben  πy  Ex (y, z, t) = E0x sin ei(ωt−kz ·z) . a kz = ±

G. Herten

391

(905)

(906) Experimentalphysik

29.4 Dispersion elektromagnetischer Wellen in Dielektrika

v vφ c vg kz Abb. 160: Phasen- und Gruppengeschwindigkeit f¨ ur Hohlleiter als Funktion von kz .

Einsetzen von kz′ ergibt dann

′

ei(ωt−kz ·z) = eiωt e±kz ·z .

~ Exponentiell anwachsende E-Felder sind unphysikalisch (Verletzung des Energiesatzes) - somit erhalten wir πy − z √ωc2 −ω2 iωt Ex (y, z, t) = E0x sin e c e . (907) a Die Welle wird somit f¨ ur ω < ωc exponentiell in z-Richtung ged¨ampft. Ein Hohlleiter besteht normalerweise aus einem rechteckigen, hohlen Metallkasten mit den Kantenl¨angen a und b. ~ Je nach Orientierung des E-Feldes wird die “cut-off“ Frequenz von der Seitenl¨ange a oder b bestimmt.

29.4

Dispersion elektromagnetischer Wellen in Dielektrika

In Kap. 28.5 wurde bereits die Wellengleichung f¨ ur Dielektrika hergeleitet. ~ ∂2E 1 ~ = ∆E 2 ∂t κe ε0 κm µ0 Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Welle ist somit durch den Faktor √ n = κe κm im Vergleich zur Vakuumlichtgeschwindigkeit verringert. In Kap. 28 hatten wir angenommen, dass der Berechnungsindex n und somit die Phasengeschwindigkeit c ω = vφ = k n frequenzunabh¨angig sind. Genauere Messungen zeigen aber, dass sie von der Frequenz abh¨angen: c vφ (ω) = n(ω) p p κe (ω)κm (ω) ≈ κe (ω) mit n(ω) = Man beobachtet daher eine Dispersion bei elektromagnetischen Wellen in Dielektrika. Der frequenzabh¨angige Brechungsindex ist deutlich beim Prisma erkennbar. Qualitativ l¨aßt sich dieser

G. Herten

392

Experimentalphysik

29.4 Dispersion elektromagnetischer Wellen in Dielektrika Effekt dadurch verstehen, wenn wir annehmen, dass die einfallende EM Welle die Atomelektronen zu erzwungenen Schwingungen anregen. Diese strahlen dann Sekund¨arwellen ab, die allerdings zur einfallenden Welle phasenverschoben sind. Die Phase h¨angt bei der erzwungenen Schwingung davon ab, wie groß die Anregungsfrequenz ω im Vergleich zur Resonanzfrequenz ω0 der Atomelektronen ist. Somit ist die Phasenverschiebung frequenzabh¨angig. Man kann nun zeigen, dass die Superposition einer einfallenden Welle und aller Sekund¨arwellen dazu f¨ uhrt, dass sich eine Gesamtwelle bildet, die im Dielektrikum eine k¨ urzere Wellenl¨ange λ = λ0 /n als im Vakuum (λ0 ) hat. Mit ω ωλ ω λ0 vφ (ω) = = = k 2π 2π n(ω) ergibt sich dann eine frequenzabh¨angige Phasengeschwindigkeit. In einem klassischen Modell wollen wir nun n(ω) berechnen. Dabei stellen wir uns vor, dass Atomelektronen von der EM Welle in x-Richtung zu erzwungenen Schwingungen mit der Resonanzfrequenz ω0 angeregt werden, gem¨aß der Differentialgleichung (m = Elektronmasse) m¨ x + bx˙ + Dx = −e E0 eiωt . Diese Gleichung hatten wir bereits in Kap. 15.4 gel¨ost. Mit dem station¨aren Ansatz x(t) = x0 eiωt x(t) =

ω02

ergibt sich

−e/m b D E0 eiωt , mit γ = , ω02 = . 2 − ω + iγω m m

Die Schwingung erzeugt ein Dipolmoment p = −ex. Die Summe aller atomarer Dipolmomente ergibt dann die Gesamtpolarisation. P = pN = −exN =

e2 /m E0 eiωt · N ω02 − ω 2 + iγω

Dabei ist N die Anzahl der Atome pro Volumen. Mit P = (κe − 1) ε0 E erhalten wir κe ε0 E = ε0 E + P und n2 = κe = 1 +

e2 N 1 P =1+ 2 ε0 E mε0 ω0 − ω 2 + iγω

(908)

Es zeigt sich, dass diese Gleichung eine gute Beschreibung f¨ ur Gase bei geringem Druck liefert. F¨ ur Festk¨orper muß man bedenken, dass man das gesamte E-Feld einsetzen muß, das auf ein Atomelektron wirkt. Einen sehr wichtigen Beitrag liefert das induzierte elektrische Feld der Nachbaratome. Eine Ber¨ ucksichtigung dieser Effekte f¨ uhrt zur Clausius-Mosetti Gleichung Ne2 X fℓ n2 − 1 . = 2 2 n +2 3ε0m ℓ ω0ℓ − ω 2 + iγℓ ω G. Herten

393

(909)

Experimentalphysik

29.4 Dispersion elektromagnetischer Wellen in Dielektrika ¨ Dabei ist fℓ die Oszillatorst¨arke des atomaren Ubergangs ℓ. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, P dass Schwingungen mit der Resonanzfrequenz ω0ℓ auftreten k¨onnen. Es gilt ℓ fℓ = 1. Wir sehen, dass die Clausius-Mosetti Gleichung als Spezialfall (908) enth¨alt. Denn f¨ ur Gas (n ≈ 1) erhalten wir mit n2 − 1 n2 + 2

≈

n2 − 1 3

n2 = 1 +

fℓ Ne2 X 2 ε0 m ℓ ω0ℓ − ω 2 + iγℓ ω

Wir erkennen aus dieser Rechnung, dass n eine komplexe Funktion von ω ist p n(ω) = κe (ω) = nr (ω) − i nI (ω) .

Mit

ω ω n(ω) = (nr − i nI ) = (kr − i kI ) c c erh¨alt man somit einen komplexen Wellenvektor. F¨ ur eine ebene Welle in z-Richtung finden wir somit E(z, t) = E0 ei(ωt−kz) = E0 eiωt e−ikr z e−kI z . k=

Wir sehen somit, dass der Imagin¨arteil von n und k zu einer D¨ampfung der Welle f¨ uhrt. Den gleichen Effekt hatten wir bereits bei der Behandlung von elektromagnetischen Wellen in leitenden Medien (Kap. 28.3) gesehen. Der Imagin¨arteil von k f¨ uhrte auch dort zu einer starken D¨ampfung der Welle. Abb. 161 zeigt den Real- und Imagin¨arteil von n in der N¨ahe einer Resonanz. Wir erkennen, dass der Realteil nr > 1 f¨ ur ω < ω0 (normale Dispersion) und nr < 1 f¨ ur ω > ω0 (anomale Dispersion) ist. Farben treten beim Lichtdurchgang durch Materie dadurch auf, dass nI frequenzabh¨angig ist. Somit werden bestimmte Farben st¨arker als andere absorbiert und ged¨ampft. Transparente Materialien (Glas, Wasser) haben ihre Resonanzfrequenz oberhalb des sichtbaren Bereiches im ultravioletten Spektrum. Wir erkennen, dass im Bereich der normalen Dispersion (dnr /dω > 1) vg < vφ < 1 gilt. Im Resonanzbereich finden wir, dass vg > c ist. Dies bedeutet aber nicht, dass sich nun Energie ¨ mit Uberlichtgeschwindigkeit ausbreiten kann. Vielmehr haben wir gesehen, dass die D¨ampfung in diesem Bereich sehr stark ist. In diesem Fall ist es nicht mehr sinnvoll von Wellengruppen oder Gruppengeschwindigkeiten zu sprechen. Es gibt viele Beispiele in der Physik, bei denen die Rechnung vg > c liefert. Dies ist immer mit einer starken D¨ampfung verkn¨ upft. Aus dem Realteil des k Vektors k¨onnen wir die Phasen- und Gruppengeschwindigkeiten berechnen. ω c ckr vφ = = ; ω= kr nr nr und vg = Mit G. Herten

dω dkr

=

c ck dnr − 2 nr nr dkr

dnr dω dnr dnr = = vg dkr dω dkr dω 394

Experimentalphysik

30 Interferenz

Abb. 161: Real- und Imagin¨arteil des Brechungsindexes. Die Gruppengeschwindigkeit kann gr¨ oßer als die Vakuumlichtgeschwindigkeit werden. Allerdings sind dies immer die Frequenzbereiche mit starker D¨ampfung.

kann man die Beziehung weiter umformen und erh¨alt vg =

30 30.1

c . r nr + ω dn dω

Interferenz Licht als Welle

Licht ist eine elektromagnetische Welle. Wir erwarten somit, dass typische Welleneffekte wie ¨ Uberlagerung von Wellen (Interferenz) auch bei Licht beobachtet werden k¨onnen. Die Intensit¨atsverteilung der Interferenzmuster sollte mit den Maxwellgleichungen berechenbar sein. Die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen in einem homogenen Medium l¨asst sich recht einfach berechnen. Schwierig wird es allerdings in inhomogenen Medien und in der N¨ahe von G. Herten

395

Experimentalphysik

30.1 Licht als Welle Oberfl¨achen. Dort m¨ ussen die entsprechenden Randbedingungen ber¨ ucksichtigt werden. Eine analytische L¨osung der Wellengleichung l¨asst sich dann meist nicht angeben und man muss auf numerische L¨osungen zur¨ uckgreifen. Aus diesem Grunde verwendet man h¨aufig N¨aherungen. Eine N¨aherung, die auf einem geometrischen Verfahren beruht, ist das Huygensche Prinzip, das 1678 von Christian Huygens formuliert wurde. Es besagt: Jeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangspunkt sekund¨arer kugelf¨ormiger Elementarwellen. Der Ort der Wellenfront zu einer beliebigen Zeit t ist gegeben durch die Tangente an alle sekund¨aren Elementarwellen. Diese N¨aherung ist f¨ ur alle Typen von Wellen anwendbar. Speziell Eigenschaften von elektromagnetischen Wellen (Polarisation, Randbedingungen) bleiben daher unber¨ ucksichtigt. Wir erwarten somit, dass dort wo Randbedingungen wichtig sind, z.B. in der N¨ahe von Materialoberfl¨achen, die N¨aherung eher schlecht ist, w¨ahrend weit entfernt davon gute Ergebnisse zu erwarten sind. F¨ ur die meisten Anwendungen in der Optik ist diese N¨aherung vollkommen ausreichend. Das Huygensche Prinzip kann verwendet werden, um das Snelliussche Brechungsgesetz herzuleiten und um Interferenzmuster zu berechnen. Wellenl¨ ange und Brechungsindex ¨ Beim Ubergang einer Welle vom Medium 1 mit dem Brechungsindex n1 zum Medium 2 mit n2 bleibt die Frequenz f der Welle gleich. Da sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit ¨andert, ergibt sich eine unterschiedliche Wellenl¨ange λn im Medium mit dem Brechungsindex n im Vergleich zur Vakuumwellenl¨ange λ. c λ v = (910) λn = = f nf n Bei der Interferenz zweier Wellen ist die Anzahl der Wellenl¨angen N = L/λ entscheidend, wobei L die zur¨ uckgelegte Wegstrecke ist. Als Beispiel betrachten wir zwei Wellen, die eine Strecke L1 , bzw. L2 zur¨ ucklegen. Dabei soll sich die erste Welle im Medium mit n1 und die zweite im Medium mit n2 ausbreiten. Die entsprechenden Anzahlen von Wellenl¨angen sind dann: N1 = L1 n1 /λ und N2 = L2 n2 /λ . F¨ ur den Phasenunterschied (in Einheiten der Wellenl¨ange) ergibt sich dann: N1 − N2 = (L1 n1 − L2 n2 )/λ Entscheidend beim Phasenunterschied ist nur die Nachkommastelle. Ist sie Null, so sind bei Wellen in Phase, d.h. sie verst¨arken sich (konstruktive Interferenz). Betr¨agt sie 0.5 so sind beide Wellen 180◦ außer Phase, d.h. sie l¨oschen sich aus (destruktive Interferenz). Somit muss man bei der Analyse von Interferenzeffekten immer die relativen Phasenunterschiede der beteiligten Wellen untersuchen. Koh¨ arenz Bisher hatten wir festgestellt, dass es beim Phasenunterschied nur auf die Nachkommastelle ankommt. Dies ist allerdings nur dann richtig, wenn die Phasendifferenz beider Wellen zeitlich immer konstant bleibt. Solche Wellen nennt man koh¨arent. Normales Sonnenlicht oder Licht G. Herten

396

Experimentalphysik

¨ 30.2 Uberlagerung von Lichtwellen von einer Gl¨ uhlampe setzt sich aus vielen Wellenz¨ ugen zusammen. Spaltet man daher einen solchen Lichtstrahl in zwei Teile, so beobachtet man bei kleinen Wegunterschieden (wenige Wellenl¨angen) ein Interferenzmuster und bei sehr großen Wegunterschieden keine Interferenzeffekte, da sich die Wellen dann inkoh¨arent u ¨ berlagern, d.h. die Phasenbeziehung beider Wellen ¨andert sich zu schnell und zeigt keine Korrelation mehr. Dabei verwendet man den Begriff der Koh¨arenzl¨ange. Sie ist der maximale Wegl¨angenunterschied, den zwei Lichtstrahlen, die dersel¨ ben Quelle entstammen, haben d¨ urfen, damit bei ihrer Uberlagerung noch ein Interferenzmuster entsteht. Weißes Licht wie Sonnenlicht hat eine Koh¨arenzl¨ange von wenigen Mikrometern. Sehr große Koh¨arenzl¨ange (bis zu einigen Kilometern) lassen sich mit Lasern erzielen.

30.2

¨ Uberlagerung von Lichtwellen

Interferenzeffekte treten bei allen Wellen auf. Sie beruhen darauf, dass sich Wellen u ¨berlagern k¨onnen. An jedem Ort und zu jeder Zeit ergibt sich die Amplitude der Gesamtwelle aus der Verktorsumme der Amplituden der Einzelwellen. Als Beispiel betrachte wir zwei elektromagnetische Kugelwellen mit der Frequnez ω, die sich am Punkt P u ¨berlagern. Die Punktquelle der ersten Welle liege im Abstand r1 von P und die der zweiten Welle im Abstand r2 . ~ 01 (r1 ) cos(kr1 − ωt + φ1 ) E~1 (r1 , t) = E ~ 02 (r2 ) cos(kr2 − ωt + φ2 ) E~2 (r2 , t) = E

Im Experiment beobachtet man nicht die Amplitude der Welle, sondern die Intensit¨ at I, der Betrag des zeitlich gemittelten Poyntingvektors der Welle. ~2 ~ ~ ~ >= < |E × B| > = < E > I =< |S| µ0 µ0 c Einsetzen liefert

(911)

~ 2 = (E~1 + E~2 )2 = E 2 + E 2 + 2 E~1 · E~2 E 1 2

Einsetzen der Gleichungen f¨ ur E~1 und E~2 sowie Verwendung der trigonometrische Beziehung (FS Kap. 5.1): 1 cos α · cos β = [cos(α − β) + cos(α + β)] 2 liefert 1 E~1 · E~2 = E~01 · E~02 [cos(kr1 − kr2 + φ1 − φ2 ) + cos(kr1 + kr2 − 2ωt + φ1 + φ2 )] 2 Nun mitteln wir u ¨ber die Zeit, wobei wir annehmen, dass beide Wellen zu einander koh¨arent sich, d.h. φ1 und φ2 sind konstant und h¨angen nicht von der Zeit ab. Bei der zeitlichen Mittelung 2 wird der zweite cos-Term Null. Die zeitliche Mittelung von E12 ergibt E01 /2 (Mittelung des cos2 2 Termes), entsprechendes gilt f¨ ur E2 . Somit erhalten wir f¨ ur die Intensit¨at I=

2 2 E~01 · E~02 E01 + E02 + cos δ 2µ0 c µ0 c

(912)

wobei δ = kr1 − kr2 + φ1 − φ2 die Phasendifferenz in Radiant ist. Den zweite Term nennt man den Interferenzterm. Aus dieser Formel lassen sich einige Folgerungen ziehen: G. Herten

397

Experimentalphysik

30.3 Youngscher Doppelspaltversuch • Wenn beide Wellen senkrecht zu einander linear polarisiert sind, d.h. E~01 · E~02 = 0, verschwindet der Interferenzterm. Es werden keine Interferenzeffekte beobachtet. • F¨ ur zwei Wellen, die in der gleichen √ Richtung linear polarisiert sind, finden wir: I1 = 2 2 E01 /(2µ0 c), I2 = E02 /(2µ0c) und I1 I2 = E01 E02 /(2µ0 c). Einsetzen liefert p I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos δ Mit δ = 2πm k¨onnen wir nun zwei F¨alle unterscheiden:

p Konstruktive Interferenz (cos δ = 1, m ganzzahlig): Imax = I1 + I2 + 2 I1 I2

(913)

und

p Destruktive Interferenz (cos δ = −1, m halbzahlig): Imin = I1 + I2 − 2 I1 I2

(914)

F¨ ur den Spezialfall I1 = I2 = I0 ergibt sich dann

I = 2I0 (1 + cos δ) = 4I0 cos2

δ 2

(915)

F¨ ur die konstruktive, bzw. destruktive Interferenz, findet man somit die Werte Imax = 4I0 und Imin = 0.

30.3

Youngscher Doppelspaltversuch

Abb. 162: Youngscher Doppelspaltversuch (aus Halliday,Resnick).

G. Herten

398

Experimentalphysik

30.3 Youngscher Doppelspaltversuch

Abb. 163: Berechnung der Interferenz zweier Wellenz¨ uge, die sich unter einem Winkel θ ausbreiten und sich im Punkt P ¨ uberlagern (aus Halliday/Resnick).

Im Jahre 1801 gelang es Thomas Young zu beweisen, dass Licht eine Welle ist. Dazu zeigte er experimentell, dass Lichtwellen wie Schall- und Wasserwellen interferieren k¨onnen. Als experimentellen Aufbau verwendete er einen Doppelspalt. Dabei f¨allt die einfallenden Welle zun¨achst auf einen Einzelspalt S0 . Dort entsteht nach dem Huygenschen Prinzip eine Kugelwelle, die dann auf die Doppelspalte S1 und S2 trifft. Bei Verwendung von Sonnenlicht muss beachtet werden, dass der Gangunterschied beider Wellen kleiner als die Koh¨arenzl¨ange von wenigen µm ist. Dann beobachtet man auf dem Schirm C ein Interferenzmuster aus Minima und Maxima in ¨ der Intensit¨at. Mit einfachen geometrischen Uberlegungen l¨asst sich die Position der Maxima und Minima berechnen. Dabei nehmen wir zun¨achst an, dass die Spalte sehr schmall sind, so dass nur eine einzige Elementarwelle heraustritt. Der Abstand beider Spalte sei d. F¨ ur zwei Wellen, die sich unter einem Winkel θ ausbreiten, betr¨agt der Gangunterschied ∆L = d sin θ. Intensit¨atsmaxima treten dann auf, wenn der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenl¨ange ist. Entsprechen gibt es ein Minimum bei einem halbzahligen Vielfachen der Wellenl¨ange: Intensit¨atsmaximum:

d sin θ = m λ, mit m = 0, 1, 2, 3, ...

1 d sin θ = (m + ) λ, mit m = 0, 1, 2, 3, ... 2 Die Intensit¨atsverteilung des Dopplespaltes ist dann gegeben durch (s. Gl. 915): Intensit¨atsminimum:

δ (916) I = 4I0 cos2 , 2 dabei ist δ die Phasendifferenz in Radiant. 2πd ∆L = sin θ (917) δ = 2π λ λ I0 ist die Intensit¨at der Einzelwelle durch einen Spalt. Auf dem Bildschirm sieht man somit eine Folge von Maxima und Minima in der Intensit¨at. In der in Gl. 916 angegebenen N¨aherung haben alle Maxima die gleiche Intensit¨at, die das Vierfache der Intensit¨at einer Einzelwelle betr¨agt. Sp¨ater werden wir sehen, dass durch Beugungseffekte Maxima mit großem m abgeschw¨acht werden. G. Herten

399

Experimentalphysik

30.4 Interferenzen an Vielfachspalten

30.4

Interferenzen an Vielfachspalten

Die Behandlung von Vielfachspalten (Gitter) erfolgt ¨ahnlich wie die Behandlung des Doppelspaltes. Wir betrachten ein Gitter, bei dem N Spalte beleuchtet werden. Zun¨achst wollen wir u ur das Maximum ¨berlegen, unter welchen Winkeln Maxima und Minima erwartet werden. F¨ erhalten wir dieselbe Bedingung wie beim Doppelspalt d sin θ = mλ, mit m=0, ±1, ±2, ... . Zur Bestimmung der Minima stellen wir zun¨achst fest, dass der Gangunterschied der Wellen vom ersten und letzten Spalt Nd sin θ betr¨agt. Falls N sehr groß ist, erwarten wir ein Minimum genau dann, wenn Nd sin θ = mλ ist, mit m = ±1, ±2, ... . Denn in diesem Fall gibt es zu jeder Welle eine von einem anderen Spalt, so dass sich beide gerade ausl¨oschen. Allerdings muss man dabei die Einschr¨ankung machen, dass m 6= 0, N, 2N, ... ist; denn in diesen F¨allen wird die Gleichung f¨ ur das Maximum erf¨ ullt. Somit beobachtet man f¨ ur diese m Werte eine konstruktive Interferenz. Zusammenfassend k¨onnen wir somit festhalten: Maximum: d sin θ = mλ, mit m = 0, ±1, ±2, ... Minimum: Nd sin θ = mλ, mit m = ±1, ±2, ... ,aber m 6= N, 2N, ...

Die Berechnung der Intensit¨atsverteilung ist nun aufw¨andiger als beim Doppelspalt. Daher geben wir nur das Ergebnis f¨ ur die Intensit¨atsverteilung des Gitters an: !2 sin(N 2δ ) I = I0 (918) sin 2δ mit der Phasendifferenz

2π d sin θ λ Wir k¨onnen u ufen, dass diese Formel die Position der Maxima und Minima richtig wi¨ berpr¨ dergibt. Ein Minimum tritt dann auf, wenn sin(N 2δ ) = 0, d.h. Nδ/2 = mπ, mit m ganzzahlig. N d sin θ = mπ und somit Nd sin θ = mλ. Dies Nach Einsetzen der Beziehung f¨ ur δ finden wir 2π λ 2 ist die Formel f¨ ur ein Minimum, die wir vorhin gefunden hatten. Ein Maximum ist dadurch definiert, dass der Nenner Null wird: sin 2δ = 0 und somit d sin θ = mλ. Beim Intensit¨atsmaximum sind somit Nenner und Z¨ahler gleich Null. In der N¨ahe des Maximums k¨onnen wir daher beide Sinus-Terme in einer Taylorserie linear ann¨ahern. Damit erhalten wir f¨ ur die Intensit¨at am Maximum: !2 N δ2 = N 2 I0 (919) I = I0 δ δ=

2

Die Intensit¨at beim Maximum steigt somit quadratisch mit der Anzahl der Spalte an. Aus der Intensit¨atsverteilung f¨ ur ein Gitter k¨onnen wir den Spezialfall N=2 f¨ ur den Doppelspalt berechnen. Unter Verwendung von (FS Kap. 5.1) sin(2α) = 2 sin α cos α erhalten wir I = I0

sin(2 2δ ) sin 2δ

!2

= I0

2 sin 2δ cos 2δ sin 2δ

!2

= 4I0 cos2

δ 2

¨ in Ubereinstimmung mit unserem fr¨ uheren Ergebnis (Gl. 916). G. Herten

400

Experimentalphysik

30.5 Interferenz an d¨ unnen Schichten

30.5

Interferenz an du ¨ nnen Schichten

Abb. 164: Interferenz bei der Reflexion an d¨ unnen Schichten (aus Halliday,Resnick).

¨ Wenn Sonnenlicht auf eine d¨ unne Schicht trifft, z.B. auf einen Olfilm oder eine Seifenblase, so beobachtet man im reflektierten Licht farbige Streifen oder Ringe. Dabei handelt es sich um Interferenzen von Wellen, die an der Vorder- und an der R¨ uckseite des Films reflektiert werden. Die Schichtdicken liegen in diesen Beispielen im Bereich der Wellenl¨ange. Bei dickeren Schichten geht die Koh¨arenz verloren und das Interferenzmuster verschwindet. Bei der Berechnung der Interferenzmuster muss nach der Diskussion in Kapitel 28.7 beachtet werden, dass bei der Reflexion an einem Medium mit gr¨oßerem Brechungsindex ein Phasensprung von 180◦ auftritt, w¨ahrend es keinen Phasensprung bei der Relexion an einem Medium mit kleinerem Brechungsindex gibt. Die Konsequenz ist, dass Intensit¨atsmaxima und Intensit¨atsminima f¨ ur verschiedene Farben bei unterschiedlichen Winkeln auftreten. Dadurch treten farbige Streifen und Kreise auf. Falls die Schichtdicke sehr viel kleiner als die Wellenl¨ange ist, ist nur der Phasensprung entscheidend. Somit besteht f¨ ur alle Wellen, unabh¨angig von der Wellenl¨ange eine Phasendifferenz von 180◦ zwischen den reflektierten Wellen an der Vorder- und R¨ uckseite. Alle Welle l¨oschen sich daher aus und die Oberfl¨ache erscheint schwarz im reflektierten Licht. Ein a¨hnliches Prinzip wird bei der Anti-Reflexbeschichtung von Linsen eingesetzt. Auf der Glasoberfl¨ache (n=1.5) dampft man eine d¨ unne Magnesiumflouridschicht (n=1.38) auf. Ein Lichtstrahl, der von Luft auf diese Schicht trifft, wird an der MgF2 und an der Glasschicht reflektiert. In beiden F¨allen erf¨ahrt er einen Phasensprung von 180◦ . Falls die MgF2 Schicht gerade eine Dicke von λ/4 hat, wobei λ die Wellenl¨ange in MgF2 ist, l¨oschen sich beide reflektierten Strahlen aus und unerw¨ unschte Reflexionen auf der Linsenoberfl¨ache werden f¨ ur diese Wellenl¨ange unterdr¨ uckt. Solche Anti-Reflexschichten findet man h¨aufig auf Brillengl¨asern und Objektiven.

30.6

Beugung

In der bisherigen Behandlung der Interferenz an Mehrfachspalten haben wir angenommen, dass die Spaltbreite sehr klein ist, so dass alle Wellen in einem Spalt die gleiche Phase und G. Herten

401

Experimentalphysik

30.6 Beugung den gleichen Gangunterschied haben. Bei breiten Spalten (Spaltbreite in der Gr¨oßenordnung der Wellenl¨ange und gr¨oßer) ist diese Annahme sicherlich nicht mehr richtig. In diesen F¨allen muss man alle Wellen innerhalb eines Spaltes u ¨berlagern und das Interferenzbild berechnen. Das Bild des Einzelspalts wird dabei unscharf, da das Licht an den R¨andern gebeugt wird. Aus diesem Grunde nennt man Inteferenzeffekte innerhalb eines Spaltes auch Beugung. Zur Berechnung der Beugungseffekte m¨ usste man so vorgehen, dass man die MaxwellGleichungen f¨ ur einen Spalt l¨ost, wobei man die Randbedingungen ber¨ ucksichtigt, z.B. die elektrischen und magnetischen Eigenschaften des Materials. Es zeigt sich, dass solche Berechnungen sehr aufw¨andig sind. Bisher ist es nur in Spezialf¨allen (z.B. Beugung an einer Kante aus perfektem Leitermaterial) gelungen, eine exakte L¨osung zu finden. Aus diesem Grunde ist es vorteilhaft, vereinfachte Modelle zu verwenden. Dazu werden wir hier das Huygensche Prinzip verwenden, das bereits vorgestellt wurde. Bei der Beugung unterscheidet man unterschiedliche Bereiche, die Fresnel-Beugung und die Fraunhofer-Beugung. Bei der Fresnel-Beungung sind Quelle und/oder Beugungsbild in der N¨ahe des Spalts (d.h. Abstand z < b2 /λ mit Spaltbreite b und Wellenl¨ange λ), w¨ahrend bei der Fraunhoferbeugung beide weit entfernt sind. Mit Hilfe von Linsen l¨asst sich auch bei kurzen Abst¨anden vom Spalt das Beugungsbild der Fraunhoferbeugung erzeugen, d.h. am Spalt parellel einfallendes und ausfallendes Licht erzeugen. F¨ ur die Berechnung des Beugungsmusters muss man die einzelnen Elementarwellen u berlagern. Mathematisch bedeutet dies, dass man u ¨ ¨ber alle Elementarwellen integrieren muss, die im Spalt erzeugt werden. Dazu verwenden wir das Fresnel-Kirchhoffsche Beugungsintegral(s. Demtr¨oder Band 2, Kap. 10.7) Z Z exp(−ikr) E(P ) = C · ES · dx dy (920) r Dabei wird u ¨ber die Fl¨ache der Spalt¨offnung integriert. Der Abstand r ist die Strecke vom Ort (x, y) im Spalt zum Ort P des Bildes. C und ES sind Faktoren, die die Lichtamplitude beschreiben, die von einem Fl¨achenelement am Ort (x, y) des Spalts ausgeht. Die Berechnungen sind im allgemeinen sehr schwierig und lassen sich nur f¨ ur einfache F¨alle analytisch angeben. F¨ ur die folgenden F¨alle betrachten wir die Fraunhofern¨aherung, bei der die Lichtquelle und der Bildschirm sehr weit von der Beugungsstruktur entfernt sind, so dass paralleles Licht ein- und ausf¨allt. Einzelspalt Wir betrachten einen Einzelspalt mit der Spaltbreite b. Nun wollen wir die Intensit¨atsverteilung ¨ f¨ ur den Einzelspalt berechnen. Zun¨achst werden wir mit einfachen Uberlegungen herleiten, unter welchen Winkeln sich Maxima und Minima in der Intensit¨atsverteilung befinden. Ein Minimum tritt dann auf, wenn am Punkt P der optische Wegunterschied zwischen dem oberen und dem unteren Lichtstrahl gerade ganzzahlige Vielfache der Wellenl¨ange betr¨agt, λ, 2λ, 3λ, ... ; denn in diesem Fall gibt es zu jedem Lichtstrahl einen anderen, der um λ/2 verschoben ist. Somit l¨oschen sich alle Wellen untereinander aus und es entsteht ein Intensit¨atsminimum mit der Beziehung: mλ Intensit¨atsminimum: sin θ = ; m = 1, 2, 3, ... (921) b F¨ ur die Intensit¨atsverteilung am Einzelspalt ergibt sich dann die Beziehung (FraunhoG. Herten

402

Experimentalphysik

30.6 Beugung

Abb. 165: Beugung an einem Einzelspalt mit der Breite b. In der N¨ ahe des Spalts beobachtet man Fresnelbeugung und weit entfernt Fraunhoferbeugung.

fern¨aherung): I(θ) = Im



sin α α

2

, mit α =

πb sin θ λ

(922)

Diese Intensit¨atsverteilung ist auf der rechten Seite (großes z) in Abb. 165 abgebildet. ¨ Beugung an einer kreisrunden Offnung ¨ Bei der Beugung an einer kreisrunden Offnung mit dem Durchmesser b findet man ¨ahnliche Beugungseffekte wie am Spalt. Allerdings sind die Beugungsmuster Kreise. Die Berechnung der Minimum und Maxima ist nun aufw¨andiger. Im Vergleich zum Spalt erh¨alt man folgende Intensit¨atsverteilung:  2 J1 (α) I(θ) = Im , (923) α

wobei J1 die Besselfunktion erster Ordnung ist. F¨ ur das erste Beugungsminimum erh¨alt man dann die Beziehung: λ (924) sin θ = 1.22 . b

Beugungsgitter Ein Beugungsgitter bestehe aus N Spalte mit der Breite b, die im Abstand d von einander angebracht sind. Aus der bisherigen Diskussion wissen wir, dass beim Einfall von Licht zwei Effekte zu ber¨ ucksichtigen sind: die Interferenz der Wellen aus verschiedenen Spalten und Beugungseffekte innerhalb der Spalte. Die Winkelbeziehung f¨ ur Maxima und Minima in der Intensit¨atsverteilung sind die gleichen, wie wir sie bereits f¨ ur den Doppelspalt, bzw. f¨ ur Vielfachspalte, hergeleitet haben. Die Intensit¨atsverteilung als Funktion von θ setzt sich dann aus beiden G. Herten

403

Experimentalphysik

31 Geometrische Optik

Abb. 166: Beugungsgitter mit N=8 Spalten. Die Spaltabst¨ ande sind doppelt so groß wie die Spaltbreiten (d/b=2).

Anteilen zusammen. Man findet die Beziehung  2  2 sin α sin Nβ I(θ) = Im , α sin β

(925)

mit α = π(b/λ) sin ϑ und β = δ/2 = π(d/λ) sin ϑ . Der erste Term der Intensit¨atsverteilung beschreibt die Beugung im Einzelspalt und der zweite die Interferenz zwischen N Spalten. In der Abbildung wird ein Beispiel einer Intensit¨atsverteilung f¨ ur N = 8 und d/b = 2 dargestellt. Die Beugung im Spalt ist die Einh¨ ullende f¨ ur die H¨ohe der Intensit¨at f¨ ur die Hauptmaxima. Da die Lage der Hauptmaxima von der Wellenl¨ange abh¨angt, eignet sich ein Gitter f¨ ur die Spektroskopie von Licht (Bestimmung der Wellenl¨ange). Die Breite der Intensit¨atslinien f¨ ur die Maxima nimmt umgekehrt proportional zu N ab, d.h. je gr¨oßer N um so schm¨aler werden die Linien. Daher verbessert sich das Aufl¨osungsverm¨ogen (Trennung zweier Wellenl¨angen) mit steigenden N. F¨ ur Spektrometer 5 ben¨otigt man Gitter mit N = 10 Spalten. Diese lassen sich schwer herstellen. Daher verwendet man meistens Reflexionsbeugungsgitter, bei denen d¨ unne Furchen in eine Glasplatte geritzt werden. Eine Musik-CD oder eine DVD bestehen aus eng beieinanderliegenden Rillen und wirken wie ein Reflexionsgitter. Bei der Beleuchtung einer CD mit einem Laser-Pointer kann man die Interferenzmaxima deutlich erkennen. Im Sonnenlicht erkennt man auf der CD ein farbiges Interferenzmuster.

31 31.1

Geometrische Optik Fermatsches Prinzip

Pierre de Fermat (1607?-1665) hat 1650 das ”Prinzip des kleinsten Lichtweges”formuliert, um die Ausbreitungsrichtung eines Lichtstrahl zu beschreiben. Als Lichtweg oder optische Wegl¨ange

G. Herten

404

Experimentalphysik

31.1 Fermatsches Prinzip ℓ (im Gegensatz zur geometrischen Wegl¨ange s) wird hier das Produkt der Brechzahl n und des vom Licht zur¨ uckgelegten Weges s zwischen zwei Punkten S und P bezeichnet. Z P n(s)ds ℓ= S

Der Lichtweg h¨angt direkt mit der Zeitdauer t der Lichtausbreitung zusammen. t = ℓ/c Das Fermatsche Prinzip besagt somit, dass das Licht den Weg zwischen den Punkten S und P w¨ahlt, bei dem der Lichtweg ℓ, d.h. die Zeitdauer der Lichtausbreitung t, minimal ist. In einer modernen Version des Fermatschen Prinzips verwendet man eine allgemeinere Darstellung, bei der nur ein Extremum (Minimum oder Maximum) verlangt wird. Dies l¨asst sich mathematisch mit dem Variationsprinzip ausdr¨ ucken. Z P n(s)ds = 0 δ S

Dabei variiert man die Lichtwege von S nach P und verlangt, dass bei der Variation um den ¨ wahren Weg die Anderungen in ℓ sehr klein sind. Dies ist genau bei einem Maximum oder Minimum gegeben. Falls sich die einzelnen Wege durch einen Parameter γ charakterisieren lassen, so besagt das Fermatsche Prinzip, dass gerade der Weg vom Licht gew¨ahlt wird bei dem die erste Ableitung verschwindet: dℓ =0. dγ Fermats Prinzip hat viele Wissenschaftler motiviert, auch die Gesetze der Mechanik als Variationsprinzip zu formulieren. Pierre Louis Maupertuis sprach 1746 als erster von einem allgemeing¨ ultigen Prinzip der Natur, extremal oder optimal abzulaufen. Leonhard Euler und Joseph Louis Lagrange trugen wesentlich zur mathematischen Formulierung dieser Gedanken bei (Euler-Lagrange-Gleichungen). 1823 formulierte William Rowan Hamilton dann das nach ihm benannte Prinzip, das als gleichwertig zu den Newtonschen Axiomen angesehen werden kann. Hier werden wir uns nicht n¨aher mit der Variationsrechnung besch¨aftigen, sondern u ¨berlassen dieses Gebiet der Theoretischen Physik. Aus dem Fermatsche Prinzip lassen sich bekannt Gesetze der Optik herleiten, wie z.B. die Reflexions- und Brechungsgesetze. Im Fermatschen Prinzip wird die Wellennatur des Lichtes nicht verwendet. Einige Jahrhunderte lang bestand daher eine Unsicherheit dar¨ uber, ob Licht eher als Korpuskelstrahlung (Newtons Vorstellung) oder als Welle anzusehen sei. Erst Young demonstrierte mit seinem Doppelspaltversuch die Wellennatur des Lichtes. Einige Jahrzehnte sp¨ater konnte Maxwell zeigen, dass Licht eine elektromagnetische Welle ist. Obwohl damit die Frage endg¨ ultig gekl¨art schien, zeigt Einstein 1905, dass man Licht als Korpuskel (Teilchen) ansehen muss, um den Photoeffekt zu erkl¨aren. In der modernen Physik beschreibt man daher Licht (und auch Materieteilchen) als Welle und als Teilchen. Je nach experimenteller Anordnung tritt der eine oder der andere Aspekt st¨arker in Erscheinung. In diesem Zusammenhang spricht man auch von der Komplementarit¨at beider Vorstellungen. ¨ Zur Ubung wollen wir nun aus dem Fermatschen Prinzip das Snelliussche Brechungsgesetz herleiten. Dazu betrachten wir Abb. 167. Wir berechnen den optischen Weg ℓ, den ein G. Herten

405

Experimentalphysik

31.1 Fermatsches Prinzip

Abb. 167: Herleitung des Snelliusschen Brechungsgesetzes aus dem Fermatschen Prinzip.

Lichtstrahl vom Punkt S zum Punkt P einnimmt. p √ ℓ = n1 · SO + n2 · OP = n1 h2 + x2 + n2 b2 + (a − x)2

Dabei ist x eine Variable, die angibt, an welchem Punkt der Lichtstrahl auf die Grenzfl¨ache trifft. Mit der Variablen x lassen sich somit verschiedene Lichtwege charakterisieren. Nach dem Fermatschen Prinzip sollte das Licht den Weg w¨ahlen, bei dem der optische Weg extremal ist,d.h. dℓ a−x x = n1 sin θ1 − n2 sin θ2 0= − n2 p = n1 √ dx h2 + x2 b2 + (a − x)2

Dies ist das bekannte Snelliussche Brechungsgesetz. In der geometrischen Optik, oder Strahlenoptik, vernachl¨assigt man wie bereits erw¨ahnt Welleneigenschaften des Lichtes. Zur Berechnung optischer Instrumente kann man somit folgende Verfahren verwenden: 1. Fermatsches Prinzip 2. Huygensches Prinzip mit dem Grenzwert λ → 0 3. Direkte Verwendung des Snelliusschen Brechenungsgesetzes, sowie des Reflexionsgesetzes. F¨ ur komplexe optische Ger¨ate verwendet man Computerprogrammme (ray tracing), bei denen die Wege vieler Lichtstrahlen verfolgt werden. Mit diesem Verfahren kann man die Abbildungseigenschaften der Ger¨ate berechnen. Diese Programme werden auch eingesetzt, um virtuelle Welten im Computer zu erzeugen.

G. Herten

406

Experimentalphysik

31.2 Asph¨arische Linsen

Abb. 168: Um eine Kugelwelle auf einen Punkt zu fokussieren, muss die Oberfl¨ achenform ein kartesisches Oval sein (aus Hecht, Optics).

31.2

Asph¨ arische Linsen

Linsen wandeln Wellenfronten von einer in eine andere Form um, z.B. eine ebene Welle in eine Kugelwelle. Wir wollen nun untersuchen, welche Form ein Glask¨orper haben muss, um solche Wellenumwandlungen durchzuf¨ uhren. Fokussierung von Kugelwellen Wir stellen uns zuerst die Frage, welche Form ein Glask¨orper haben sollte, wenn wir in Abb. 168 eine Kugelwelle, die im Punkt S erzeugt wir auf den Punkt P im Glask¨orper fokussieren wollen. Wir verwenden das Fermatsche Prinzip, um die Oberfl¨achenform des Glask¨orpers zu berechen. Damit die Kugelwelle im Punkt P fokussiert wird, muss f¨ ur alle Strahlen der optische Weg gleich sein. n1 ℓ0 + n2 ℓi = n1 s0 + n2 si oder n1 ℓ0 + n2 ℓi = const. Die ist die Gleichung eines Kartesischen Ovals. Fokussierung von ebenen Wellen Nun betrachten wir die Umwandlung einer ebenen Welle in eine Kugelwelle. Die verschiedenen M¨oglichkeiten, aus Kugelwellen ebene Wellen zu generieren, bzw. aus ebenen Wellen Kugelwellen zu machen, sind in Abb. 169 f¨ ur n2 > n1 dargestellt. Wenn die ebene Welle im optische dichteren Medium vorliegt, ben¨otigt man eine hyperboloide Oberfl¨ache (c,d), ansonsten ein Ellipsoid (a,b). Asp¨ arische Linsen Abweichend von den beiden behandelten Beispielen stellt sich in der Praxis meistens die Aufgabe, eine Welle, die sich in Luft bewegt, in eine andere Welle zu u uhren, die sich ebenfalls in ¨ berf¨ Luft ausbreitet. Ja nach Art der Wellenumwandlung ben¨otigt man unterschiedliche Linsenformen (Abb. 170). Um gute Abbildungseigenschaften zu erzielen, m¨ usste man die angegebenen G. Herten

407

Experimentalphysik

31.3 Sph¨arische Linsen

Abb. 169: Die Umwandlung einer Kugelwelle in eine ebene Welle gelingt mit einem Ellipsoid (a,b) oder Hyperboloid (c,d), n2 > n1 . (aus Hecht, Optics)

Abb. 170: Asp¨arische Linsen. Eine Doppelt-Hyperbolische Linse (a), eine hyperbolisch-planare Linse (b), eine sph¨aro-elliptische Linse (c), eine planar-hyperbolische Linse (d). (aus Hecht, Optics)

Linsentypen einsetzen (asph¨arische Linsen). Diese sind allerdings schwer herzustellen. Erst in den vergangenen Jahren ist es durch Computersteuerung gelungen, solche Linsen preiswert in großen St¨ uckzahlen zu produzieren. Die Schwierigkeit liegt darin, dass die mechanische Pr¨azision der Oberfl¨ache im Bereich von λ/4 ≈ 0.1 µm liegen muss. Mit einfachen Schleiftechniken l¨asst sich diese Genauigkeit nur f¨ ur sph¨arische Oberfl¨achen erreichen. Daher findet man auch heute in den meisten Anwendungen noch sph¨arische Linsen, obwohl es dabei zu Linsenfehlern kommt.

31.3

Sph¨ arische Linsen

Abb. 171 zeigt eine dicke sph¨arische Linse mit den Kr¨ ummungsradien R1 , bzw. R2 . Die Linse bestehe aus Material mit dem Brechungsindex nl , das Medium außerhalb habe den Brechungsindex nm mit nl > nm . Der Index o bezeichnet den Objektabstand und der Index i den

G. Herten

408

Experimentalphysik

31.3 Sph¨arische Linsen

Abb. 171: Sp¨arische Linse mit Kr¨ ummungsradius R1 und R2 (aus Hecht, Optics).

Bildabstand (image). Aus geometrischen Rechnungen erh¨alt man die Beziehung   1 1 nl d nm nm + = (nl − nm ) − + so1 si2 R1 R2 (si1 − d)si1

(926)

Falls die Linse sehr d¨ unn ist (d ist sehr viel kleiner als die Objekt- und Bildabst¨ande), l¨asst sich diese Gleichung weiter vereinfachen. Weiterhin nehmen wir an, dass sich im a¨ußeren Medium Luft befindet (nm ≈ 1) und setzen so = so1 und si = si2 . Damit erh¨alt man die Linsengleichung f¨ ur d¨unne Linsen, auch Linsenmachergleichung genannt:   1 1 1 1 + = (nl − 1) − (927) s o si R1 R2 Die Lichtquelle steht im Punkt S und das Bild im Punkt P. Den Abstand s0 nennt man den Objektabstand und si den Bildabstand. Als Brennpunkt f bezeichnet man den Ausdruck f = lim si .

(928)

s0 →∞

Somit steht das Bild im Brennpunkt, wenn das Objekt unendlich weit entfernt ist. Von dieser Definition kommt auch der Name Brennpunkt; denn die weit entfernte Sonne wird im Brennpunkt einer Sammellinse fokussiert. H¨alt man ein Blatt Papier im Brennpunkt, so wird es sehr heiß und f¨angt an zu brennen. Damit erh¨alt man die Gaußsche Abbildungsgleichung f¨ ur eine d¨ unne Linsen 1 1 1 = + f so s i und entsprechend 1 = (nl − 1) f G. Herten



409

1 1 − R1 R2

(929) 

(930) Experimentalphysik

31.3 Sph¨arische Linsen

Abb. 172: Beispiele f¨ ur sph¨arische Linsen. Je nach Linsentyp werden die Kr¨ ummungsradien positiv oder negativ gez¨ ahlt. Der Index 1 bezeichnet die linke Kr¨ ummung und Index 2 die rechte.

Man unterscheidet Sammellinsen (konvex) und Zerstreuungslinsen (konkav). Je nach Linsentyp muss der entsprechende Radius eingesetzt werden. Dabei bezeichenet Index 1 die linke Kr¨ ummung und Index 2 die rechte. Eingesetzt in die Linsengleichung sieht man, dass Sammellinsen (konvex) eine positive Brennweite und Zerstreuungslinsen (konkav) eine negative Brennweite haben (s. Abb. 172). Abb. 173 zeigt das geometrische Verfahren, mit dem man bei einem gegebenen Gegenstand (Objekt) G das entsprechenden Bild B konstruiert. Dazu zeichnet man von jedem Punkt des Objektes ausgehend mindestens 2 Lichtstrahlen, z.B. einen parallel zu optischen Achse und einen zweiten durch den Mittelpunkt der Linse. Als dritte M¨oglichkeit bietet sich der Lichtstrahl durch den Brennpunkt auf der Gegenstandseite (linke Seite in der Abbildung) an. Der Schnittpunkt der Strahlen ergibt die Lage des Bildpunktes. Ja nach Position des Objektes erh¨alt man ein relles umgekehrtes Bild (a), ein virtuelles aufrechtes vergr¨oßertes Bild (b) oder ein virtuelles aufrechtes verkleinertes Bild (c). Ein Bild ist dann reell, wenn man es mit einer Mattscheibe sichtbar machen kann. Ein virtuelles Bild erscheint bei der Ansicht (Abbildung im Auge) an dem eingezeichneten Ort zu stehen. Das virtuelle Bild steht auf der Objektseite (Gegenstandsseite). Beispiel: Wir betrachten eine konvexe Linse (Sammellinse) mit f = +24 cm. Das Objekt sei im Abstand G. Herten

410

Experimentalphysik

31.3 Sph¨arische Linsen

Abb. 173: Graphische Konstruktion des Bildes B von einem Gegenstandes G.

s0 = 9.0 cm. Einsetzen in Gl. 929 liefert si = −14.4 cm. Das Minus-Zeichen deutet an, dass das Bild auf der Objektseite steht. Es handelt sich somit um ein virtuelles Bild. Vergr¨ oßerung F¨ ur die Vergr¨oßerung m des Bildes erh¨alt man den Zusammenhang sin α =

y0 −yi = . s0 si

Dabei ist α der Winkel, den der Strahl, der durch den Mittelpunkt der Linse geht, mit der Achse bildet. y0 , bzw. yi , ist der senkrechte Abstand des Objektes (bzw. Bildes) von der Achse. F¨ ur den Vergr¨oßerungsfaktor m erh¨alt man somit yi si =− (931) y0 s0 In unserem Beispiel ist m = +14.4/9.0 = +1.6. Das Plus-Zeichen bedeutet, dass es sich um ein aufrechtes Bild handelt. m=

Linsensysteme H¨aufig verwendet man Kombinationen unterschiedlicher Linsen. Die effektive Brennweite eines G. Herten

411

Experimentalphysik

31.4 Optische Instrumente Linsensystems errechnet sich dann zu 1 1 1 = + f f1 f2

(932)

Allgemein findet man f¨ ur eine Kombination von n Linsen: n

1 X 1 = f f i=1 i

(933)

Als Einheit f¨ ur die inverse Brennweite verwendet man die Dioptrie (dpt), 1 dpt=1/Meter und anstelle der Brennweite benutzt man in der Optik die Brechkraft oder den Brechwert D=1/f. Eine Sammellinse mit f=+5 cm hat somit den Brechwert D = 20 dpt und eine Zerstreuungslinse mit f = −2 m hat D = − 21 dpt. Bei Kombinationen von Linsen muss man somit die Brechwerte addieren: D = D1 + D2 + ... + DN (934)

31.4

Optische Instrumente

Abb. 174: Insektenaugen sind aus einzelnen Sehzellen aufgebaut (Facettenauge).

Facettenauge Ein Insektenauge besteht aus vielen gleichartigen Einzelelementen (Facetten), die eine Linse und lichtempfindliche Zellen beinhalten. Die optische Aufl¨osung von Bildern wird allein durch die Anzahl dieser Elemente (Bildpunkte) festgelegt. Eine Ameise hat etwa 50 Elemente und eine Libelle bis zu 30 000. Menschenauge Das menschliche Auge ist komplizierter aufgebaut. Es verwendet Komponenten, wie sie auch in einer Fotokamera zu finden sind. Das Licht trifft zun¨achst auf die Hornhaut (n=1.376) und wir G. Herten

412

Experimentalphysik

31.5 Linsenfehler

Abb. 175: Das Auge eines Menschen.

dort gebrochen. Anschließend durchdringt es eine w¨assrige Fl¨ ussigkeit und eine krystalline Linse. Diese besteht ca. 22 000 Lagen aus Fasermaterial. Sie hat eine unterschiedlichen Brechungsindex innen (n=1.406) als außen (n=1.386), um optimale Abbildungseigenschaften zu erzielen. Das Bild wird auf die Netzhaut abgebildet. Das menschliche Auge hat einen Brechwert von 60 dpt (f=1.67 cm). An der empfindlichsten Stelle (Macula, gelber Fleck) sind lichtempfindlichen Zellen sehr dicht gepackt. Dadurch wird eine sehr gute Bildaufl¨osung erzielt, die allerdings auf einen sehr kleinen Bildausschnitt beschr¨ankt ist (2◦ des gesamten Blickfeldes von 200◦ . Beim Lesen muss man daher st¨andig die Augen nachf¨ uhren, um auf den n¨achsten Buchstaben zu fokussieren. Man unterscheidet zwei verschiedene lichtempfindliche Zellen: Die St¨abchen, die hell und dunkel unterscheiden k¨onnen, und die Zapfen, die farbempfindlich sind. Menschen und Menschenaffen haben drei verschiedene Zapfen, die im blauen gr¨ unen und roten Spektralbereich empfindlich sind. Aus diesen drei Signalen konstruiert das Gehirn die Farbpalette. Andere S¨augetiere haben nur 2 Farbsensoren. Insekten und V¨ogel besitzen vier verschiedene Farbsensoren und k¨onnen daher mehr Farbnuancen wahrnehmen. Einfache optische Ger¨ ate In den Abbildungen 176 bis 179 sind die Lichtstrahlen einfacher optischer Ger¨ate abgebildet, wie. z.B. Brille, Vergr¨oßerungsglas, Fernrohr und Mikroskop.

31.5

Linsenfehler

Sph¨arische Linsen sind relativ leicht herzustellen. Wie bereits besprochen sind sie aber nicht optimal in der Bildabbildung und es treten Linsenfehler auf. Der erste Typ von Linsenfehlern

G. Herten

413

Experimentalphysik

31.5 Linsenfehler

Abb. 176: Verwendung von Brillen zur Korrektur der Kurzsichtigkeit.

ist die monochromatische Abberation. Diese ist dadurch bedingt, dass Lichtstrahlen in der N¨ahe der optischen Achse eine kleinere Brennweite haben als a¨ußere Strahlen. Hinzukommt die chromatische Abberation, die auf Grund der Dispersion im Glas zustande kommt. Da blaues Licht eine k¨ urzere Wellenl¨ange hat als rotes Licht, wird es st¨arker gebrochen. Somit ist die Brennweite f¨ ur blaues Licht kleiner als f¨ ur rotes Licht. Man erkennt daher farbige R¨ander an den Abbildungen. Solche Linsenfehler lassen sich zum Teil korrigieren, indem man eine Sammellinse und eine Zerstreuungslinse kombiniert. Ein weiterer Linsenfehler ist der Astigmatismus. Dabei tritt unter schr¨agem Einfall des Lichtes auf eine Linse eine verschiedene Brennweite f¨ ur horizontale oder vertikale Linien auf. Ein Kreis wird daher auf eine Ellipse abgebildet.

G. Herten

414

Experimentalphysik

31.5 Linsenfehler

Abb. 177: Vergr¨ oßerungsglas

Abb. 178: Einfaches Fernrohr, nicht maßstabsgerecht.

Abb. 179: Einfaches Mikroskop, nicht maßstabsgerecht.

G. Herten

415

Experimentalphysik

32 Spezielle Relativit¨atstheorie

32 32.1

Spezielle Relativit¨ atstheorie Das Michelson-Morley Experiment

Im 19. Jahrhundert nahm man an, dass sich elektromagnetische Wellen ¨ahnlich wie Schall- oder Wasserwellen in einem Medium, genannt Welt¨ather, ausbreiten. Michelson und Morley wollten ¨ die Bewegung der Erde relativ zum Ather bestimmen.

B

Spiegel 2 v Spiegel 1

A

c+v c-v

C

teildurchlaessiger Spiegel

AB=AC=l Ablesefernrohr oder Schirm zur Beobachtung der Interferenzstreifen

¨ Bewegt sich die Erde relativ zum Ather mit der Geschwindigkeit ~v , und das Licht relativ ¨ zum Ather mit ~c, so sollte nach den Galilei-Transformationen ein Beobachter auf der Erde die ~E = ~c − ~v messen. Lichtgeschwindigkeit V Michelson und Morley haben ein Interferometer verwendet, bei dem ein Arm in Flugrichtung der Erde orientiert ist (k) und ein zweiter senkrecht dazu (⊥). F¨ ur die Parallelkomponente erhalten wir die Geschwindigkeiten c − v und c + v und f¨ ur die √ 2 2 senkrechte Richtung c − v . Die Lichtstrahlen ben¨otigen dann die Flugzeiten tk =

ℓ ℓ 2cℓ + = 2 c−v c+v c − v2

und t⊥ = √ F¨ ur den Zeitunterschied finden wir dann

2ℓ − v2

c2

p 2cℓ − 2cℓ 1 − v 2 /c2 ∆t = tk − t⊥ = c2 − v 2 Mit v ≪ c k¨onnen wir setzen

Somit folgt

p 1 1 − v 2 /c2 ≈ 1 − v 2 /c2 und c2 − v 2 ≈ c2 2 ∆t = ℓ

G. Herten

416

v2 c3 Experimentalphysik

32.2 Lorentz-Transformationen Am Ablesefernrohr entsteht nun ein Interferenzmuster (Streifen). Die Zeitdifferenz ∆t entspricht einer Phasendifferenz von ℓ v2 2πc ∆t ≈ 2π ∆ϕ = 2π∆t/T = 2πν∆t = λ λ c2 Dreht man nun das Interferometer um 900 , so vertauschen sich die parallelen und senkrechten Strahlen. Zwischen beiden Orientierungen erwartet man daher eine relative Phasenverschiebung ∆ϕr = 2∆ϕ = 4π

ℓ v2 λ c2

Im Ablesefernrohr beobachtet man Streifen im Abstand d zueinander. Die Phasenverschiebung f¨ uhrt somit zu einer Verschiebung x der Streifen von ∆ϕr 2ℓv 2 x = = d 2π λc2 Michelson und Morley haben durch Vielfachreflexion den optischen Arm des Interferometers so verl¨angert, dass ℓ = 11 m. Mit v = 30 km/s (v 2 /c2 = 10−8 ) und λ = 5 · 10−7m erh¨alt man eine Streifenverschiebung von xd = 0, 4 oberhalb der Meßgenauigkeit von 0, 1. Allerdings stellten Michelson und Morley keine Verschiebung der Streifen fest. Somit folgt, dass die Lichtgeschwindigkeit in allen Richtungen c ist, unabh¨angig von der Bewegungsrichtung der Erde. Das Additionsgesetz der Geschwindigkeiten nach Galilei ist somit nicht g¨ ultig f¨ ur Licht.

32.2

Lorentz-Transformationen

Ausgehend vom Michelson-Morley Experiment war klar, dass die Galilei-Transformationen mit der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit nicht vertr¨aglich sind. Lorentz konnte 1890 die richtigen Transformationsgleichungen aufstellen. Die eigentliche Bedeutung dieser Gleichungen wurde allerdings erst von Einstein (1905) erkannt. Zur Herleitung der Lorentz-Transformationen betrachten wir zwei Inertialsysteme S(x, y, z) und S ′ (x′ , y ′, z ′ ) mit den Koordinaten-Nullpunkten 0 und 0′ . Beide Systeme bewegen sich mit der relativen Geschwindigkeit v entlang x. Zum Zeitpunkt t = t′ = 0 fallen die Punkte 0 und 0′ zusammen und ein Lichtblitz wird von diesem Punkt ausgesandt. Ein Beobachter im System S am Punkt 0 mißt, dass das Licht den Raumpunkt A im Abstand x nach der Zeit t erreicht. x=c·t

Ein Beobachter im System S ′ am Punkt 0′ mißt entsprechend die Koordinaten. x′ = c · t′

Beide Beobachter kennen das Ergebnis des Michelson-Morley Experimentes und benutzen dieselbe Vakuumlichtgeschwindigkeit c. Um die Transformationsgleichungen zu berechnen, starten wir mit den GalileiTransformationen.

G. Herten

x′ = x − vt

,

t′ = t

x = x′ + vt

,

t′ = t

417

Experimentalphysik

32.2 Lorentz-Transformationen

z

z’

S

r’(t’)=ct’

r(t)=ct y 0

A S’ y’

x

x’ 0’ v=vx x(0’) = vt

Wir versuchen als Ansatz eine lineare Modifikation dieser Gleichungen mit einem zun¨achst unbekannten Faktor γ. x′ = γ(x − vt) x = γ(x′ + vt′ ) Insgesamt haben wir somit x = ct = γ(x′ + vt′ ) = γ(x′ +

v ′ v x ) = γx′ (1 + ) c c

x′ = ct′ = γ(x − vt) = γ(x −

v v x) = γx(1 − ) c c

Multiplikation beider Gleichungen liefert xx′ = γ 2 xx′ (1 +

v v2 v )(1 − ) = γ 2 xx′ (1 − 2 ) . c c c

Somit : γ=p

1 1 − v 2 /c2

Damit k¨onnen wir nun auch die Transformationsgleichungen f¨ ur die Zeit angeben. x ct′ = γ(x − vt) = γ(ct − v ) c t′ = γ(t −

v t − v/c2 x p x) = c2 1 − v 2 /c2

Insgesamt kann man die Lorentz-Transformationen zweier achsenparalleler Systeme, die sich mit

G. Herten

418

Experimentalphysik

32.2 Lorentz-Transformationen der Relativit¨atsgeschwindigkeit v in x-Richtung bewegen, folgendermaßen zusammenfassen: x′ = γ(x − vt)

x = γ(x′ + vt′ )

y′ = y

y = y′

z′ = z

z = z′

t′ = γ(t − vx/c2 )

t = γ(t′ + vx′ /c2 )

Wir sehen, dass diese Gleichungen im Grenzfall v ≪ c die Galilei-Transformationen enthalten. Nun behandeln wir die Transformation von Geschwindigkeiten. Ein K¨orper bewege sich mit der Geschwindigkeit ~ = (Ux , Uy , Uz ) = ( dx , dy , dz ) , U dt dt dt gemessen im System S und ′ ′ ′ ~ ′ = (Ux′ , Uy′ , Uz′ ) = ( dx n , dy , dz ) U dt′ dt′ dt′

im System S. Mit den Transformationsgleichungen erhalten wir dx′ dx′ dt = dt′ dt dt′     dx v dx′ = γ −v γ 1+ 2 ′ dt c dt

Ux′ =

= γ 2 (Ux − v) + γ 2 (Ux − v) v Ux′ /c2 Aufl¨osen nach Ux′ liefert Ux′ =

γ 2 (Ux − v) = 1 − γ 2 (Ux − v) cv2

Ux′ =

Ux − v x 1− − vU + c2 v2 c2

Entsprechend Ux =

v2 c2

1 γ2

=

Ux − v x − vU + c2

v2 c2

Ux − v − vUx c2

Ux′ + v 1 + Uxv/c2

Bewegt sich der K¨orper in S mit Lichtgeschwindigkeit entlang der x-Achse (d.h. Ux = c), so folgt c−v Ux′ = =c 1 − vc G. Herten

419

Experimentalphysik

32.3 Gleichzeitigkeit Somit messen Beobachter in beiden Systemen dieselbe Geschwindigkeit c. Entsprechend findet man Uy′ =

dy ′ dt dy dt dy ′ = = ′ ′ dt dt dt dt dt′

= Uy γ(1 + V Ux′ /c2 ) Einsetzen von Ux′ liefert U ′ = γ Uy

= γUy =

v Ux − v 1+ 2 x c 1 − vU c2 1−

vUx c2

x + vU − c2 2 1 − vUx/c

! v2 c2

Uy γ(1 − vUx/c2 )

Analog findet man Uy =

uy ′ γ(1 + vUx/c2 )

sowie

32.3

Uz′ =

Uz γ(1 − vUx/c2 )

Uz =

Uz′ γ(1 + vU ′x /c2 )

Gleichzeitigkeit

Dem Begriff der Gleichzeitigkeit kommt eine große Bedeutungin der speziellen Relativit¨atstheorie zu. Dabei bedeutet gleichzeitig, dass zwei Ereignisse zum gleichen Zeitpunkt t passieren. Es ist dabei wichtig zu sagen, in welchem System t gemessen wird.

t

t t’=const

t1

A1

t2 t1

C1 α1

A B C

C’1 A’1 α’ A B C

x

tan α =1/v x

∆x ∆x

G. Herten

420

Experimentalphysik

32.3 Gleichzeitigkeit Betrachten wir zuerst das linke Diagramm. Die Punkte A, B und C befinden sich in Ruhe und B liegt in der Mitte zwischen A und C, so dass der Abstand von B nach A genauso groß ist wie der Abstand von B nach C. Zum Zeitpunkt t = 0 wird ein Lichtstrahl von B sowohl in Richtung von A als auch in Richtung von C ausgesandt. Da A, B und C ruhen, erreicht der Lichtstrahl A und C zum Zeitpunkt t1 , also gleichzeitig. Im rechten Diagramm liegen zwei Systeme S und S ′ vor, wobei sich S ′ mit Geschwindigkeit v von S wegbewegt. Die Punkte A, B und C ruhen im System S ′ . Es wird wieder ein Lichtstrahl von B zum Zeitpunkt t = t′ = 0 ausgesandt, der f¨ ur einen Beobachter in S ′ gleichzeitig bei A und C ankommt. F¨ ur einen ruhenden Beobachter im System S hingegen kommt der Lichtstrahl zuerst (zum Zeitpunkt t1 ) bei A an und erst sp¨ater (zum Zeitpunkt t2 ) bei C. F¨ ur den Beobachter S sind die beiden Ereignisse, das Eintreffen der Lichtstrahlen bei A und C, nicht gleichzeitig w¨ahrend sie f¨ ur den Beobachter S ′ gleichzeitig passieren. Dieses ist plausibel zu erkl¨aren, da f¨ ur den Beobachter S der Punkt A sich V 1 zur Position des Punktes B f¨ ur t = 0 hin bewegt, w¨ahrend Punkt C sich von der Position des Punktes B f¨ ur t = 0 wegbewegt. Die Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse an verschiedenen Raumpunkten ist folglich von der Wahl des Bezugssystems abh¨angig. Minkowski Diagramme Punkte in vierdimensionalen Raum-Zeit Koordinaten (x, y, z, t) k¨onnen in Raum-Zeit Diagrammen dargestellt werden. Da vierdimensionale R¨aume schwierig darzustellen sind, bedient man sich der Vereinfachung, dass alle Bewegungen in x-Richtung verlaufen. Dann ben¨otigt man nur noch ein zweidimensionales Diagramm mit Koordinaten (x, t) zur Darstellung. Wenn man die Zeit Komponente mit c multipliziert, so haben beide Koordinaten x und ct dieselbe Dimension. Solche Diagramme werden Minkowski Diagramme genannt.

t

t

t’

t’ A2

t2

tA

1 0 0 1

A

t’2

α t’A

t1

t’1

A1

x’

x’

x’A

x’1

α

0

β

xA

x

0

x’2 x1

x2

x

Objekte, die ruhen (v = 0) werden in einem Minkowski Diagramm durch eine Gerade parallel zur ct-Achse dargestellt. Ein Objekt, das sich mit Geschwindigkeit v bewegt, beschreibt eine Gerade mit Steigung tan α = v/c gegen¨ uber der x-Achse. Objekte, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, haben folglich einen Winkel von 45◦ gegen¨ uber der x-Achse. Der Weg, der von einem Punkt im (x, ct) Diagramm beschrieben wird, wird Weltlinie genannt. Weltlinien in Minkowski Diagrammen sind in jedem Inertialsystem g¨ ultig, wenn die x und ct Achse richtig gew¨ahlt werden. Wie in der obigen Abbildung dargestellt, passieren die Ereignisse G. Herten

421

Experimentalphysik

32.4 L¨angenkontraktion bei A′1 und C1′ gleichzeitig im System S ′ . Folglich muß entlang der Verbindungsachse zwischen A′1 und C1′ die Zeit t′ konstant sein und die Verbindungsachse muß parallel zur x′ -Achse sein. ct’’ ct ,,

β

ct’ ,

β

α

x’

γ

,

,

β tan β =v/c x

,,

0

β

x’’

Man kann zeigen, dass der Winkel zwischen der x- und der x′ -Achse und zwischen der ct und der ct′ Achse vom Betrag her gleich sein m¨ ussen. Allerdings sind die Achsen des Systems S ′ nicht mehr orthogonal, wie in der Abbildung dargestellt. Bewegt sich das System S ′ in positive x-Richtung bez¨ uglich des System S, so ist der Winkel zwischen der x′ - und der ct′ -Achse kleiner ◦ als 90 , bewegt sich das System S ′ in negative x-Richtung, so ist der Winkel gr¨oßer als 90◦ . Bei der Bestimmung der Koordinaten eines Punktes A in S oder S ′ m¨ ussen die Koordinaten jeweils bez¨ uglich der Achsen bestimmt werden, so wie es in der Abbildung dargestellt ist.

32.4

L¨ angenkontraktion

Die Beobachtung der Verk¨ urzung bewegter K¨orper in Bewegungsrichtung l¨aßt sich auf die ver¨anderte Gleichzeitigkeit in verschiedenen Bezugssystemen zur¨ uckf¨ uhren.

Weltlinien

0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 111111 000000 0000 1111 0000 1111 00000 11111 000000 111111 0000 1111 0000 1111 00000 11111 000000 111111 0000 1111 0000 1111 00000 11111 000000 111111 0000 1111 0000 1111 00000 11111 000000 111111 0000 1111 0000 1111 00000 11111 000000 111111 0000 1111 0000 1111 00000 11111 000000 111111 0000 1111 0000 1111 00000 11111 000000 111111 00000 11111 000000 111111 00000 11111 000000 111111 00000 11111 000000 111111 00000 11111 000000 111111 00000 11111 000000 111111 00000 11111 000000 111111 00000 11111 000000 111111 00000 11111 000000 111111 00000 11111 000000 111111 00000 11111 000000 111111 00000 11111 000000 111111 00000 2 11111 000000 111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 00000 11111 000000 111111 0000 1111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 00000 11111 000000 111111 0000 1111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 00000 11111 000000 111111 0000 1111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 00000 11111 0 1 00000 11111 000000 111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 00000 11111 0 1 00000 11111 000000 111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 00000 11111 00000 11111 000000 111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 00000 11111 00000 11111 000000 111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 00000 11111 00000 11111 000000 111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 00000 11111 000000 111111 11111111111111111111111111 00000000000000000000000000 0 1 0000000000000000000000 1111111111111111111111 11 00 1 0 00000 11111 000000 111111 0 1 0000000000000000000000 1111111111111111111111 11 00 1 0 00000 11111 000000 111111 0 1 0000000000000000000000 1111111111111111111111 00000 11111 000000 111111 0 1 0000000000000000000000 1111111111111111111111 00000 11111 000000 111111 0 1 00000 11111 000000 111111 1 0 1 1 2 00000 11111 000000 111111 0 1 00000 11111 000000 111111 0 1 00000 11111 000000 111111 0 1 00000 11111 000000 111111 0 1 00000 11111 000000 111111 0 1 00000 11111 000000 111111 0 1 00000 11111 000000 111111 0 1 00000 11111 000000 111111 0 1 00000 11111 000000 111111 0 1 00000 11111 000000 111111 0 1 00000 11111 000000 111111 0 1 00000 11111 000000 111111 0 1 000000 111111 0 1 000000 111111 0 1 000000 111111 0 1 000000 111111 0 1 000000 111111 0 1 000000 111111 0 1 0 1 0 1 0 1

ct

ct’

P’

L’

t1 t’

P

P

x’

0

x2

x1

x

L Wir betrachten einen Stab mit den Endpunkten P1′ und P2′ im bewegten System S ′ . Um die L¨ange des Stabes zu messen, m¨ ussen gleichzeitig die Koordinaten der beiden Enden des Stabes

G. Herten

422

Experimentalphysik

32.4 L¨angenkontraktion bestimmt werden. Im System S ′ sind dieses zum Zeitpunkt t′1 die Werte x′1 und x′2 : L′ = x′2 − x′1 Im ruhenden System sind die Koordinaten der beiden Endpunkte zum Zeitpunkt t1 durch x1 und x1 und x2 gegeben. Damit gilt L = x2 − x1 .

Man sieht in der Abbildung deutlich, dass die L¨angen L und L′ unterschiedlich sind und dieses durch die Gleichzeitigkeit der Messung des Anfangs- und des Endpunktes des Stabes zustande kommt. Das Verh¨altnis der L¨angen L und L′ kann man aus der Abbildung nicht bestimmen, da die Skalen auf der x- und x′ -Achse unterschiedlich sind. Wir k¨onnen das Verh¨altnis von L und L′ berechnen, wenn wir die Lorentz Transformationen (??) anwenden. x1 = γ(x′1 + vt′ )

x2 = γ(x′2 + vt′ )

→ x2 − x1 = γ(x′2 − x′1 ) → L = γL′ Da γ gr¨oßer als 1 ist, ist L′ immer kleiner als L. Einem ruhenden Beobachter im System S ′ erscheint somit die Strecke L aus dem System S um einen Faktor γ verk¨ urzt. Umgekehrt formuliert bedeutet dieses, dass einem ruhenden Beobachter ein bewegter Maßstab verk¨ urzt erscheint. Dabei spielt es keine Rolle, ob der Beobachter im System S ruht und der Maßstab im System S ′ oder umgekehrt. Denn wenn sich System S ′ mit Geschwindigkeit v gegen¨ uber S bewegt, so ist eine ¨aquivalente Beschreibung, dass sich System S mit Geschwindigkeit −v gegen¨ uber dem System S ′ bewegt. Da γ nur von v 2 abh¨angt, kommt es also nur auf die (relative) Bewegung zwischen den beiden Systemen an.

ct

ct’

ct x=ct 2

2 2

x’ 0 1

A

B’

Weltlinie von B

00000000 11111111 11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111

x−c t=1 A’1 0

ct’

x’=ct’ 2

2 2

x’ − c t’ = x’

B’

x

BA

x

L=1 Um dieses zu zeigen, muß zuerst eine Gr¨oße kontruiert werden, die sich bei Lorentztransformationen nicht ¨andert. Eine solche Gr¨oße wird Lorentzinvariante oder auch Lorentzskalar genannt. Die Gr¨oße S 2 = x2 − (ct)2 = x′2 − (ct′ )2 ist gegen¨ uber einer Lorentztransformation invariant (wie Sie leicht selber ausrechnen k¨onnen) und deshalb in allen Systemen gleich. G. Herten

423

Experimentalphysik

32.5 Zeitdilatation Mit der Hyperbel x2 − (ct)2 = 1 l¨aßt sich somit ein Maßstab erzeugen. Der Schnittpunkt dieser Hyperbel mit der x-Achse in einem beliebigen System definiert die L¨angeneinheit x = 1. Betrachten wir zun¨achst die linke Abbildung. Im System S wird die L¨angeneinheit 1 durch die Strecke 0A definiert. Im System S ′ ist die Strecke 0A jedoch kleiner als 1, da hier die L¨angeneinheit 1 durch die Strecke 0B ′ , also den Schnittpunkt der Hyperbel x2 − (ct)2 = 1 mit der x′ -Achse gegeben ist. Der umgekehrte Fall ist in der rechten Abbildung dargestellt. Die Einheitsl¨ange in System S ′ , urzer als die dortige Einheitsl¨ange 0A. gegeben durch die Strecke 0B ′ , ist im System S k¨ Dieses zeigt, dass ein bewegter Maßstab einem ruhenden Beobachter verk¨ urzt erscheint. Folglich gelten L¨angenmessungen nur im eigenen System. L¨angenmessungen k¨onnen von einem Inertialsystem in L¨angen in einem anderen Inertialsystem umgerechnet werden, wenn man die Lorentztransformationen benutzt.

32.5

Zeitdilatation

Neben der Ver¨anderung von L¨angenskalen in verschiedenen Inertialsystemen beobachtet man auch eine Ver¨anderung der Zeitskala. Um dieses zu zeigen, betrachten wir eine Uhr, die im System S am Ursprung ruht. Von dort werden im Abstand ∆t zwei Lichtsignale ausgeschickt, die ein Beobachter, der bei x0 ruht, mißt. F¨ ur den Beobachter in S gilt: ∆t = t2 − t1 = |AB| x=c(t−dt) x’=c(t’−dt’) 00 11 11111111 00000000 00 11 00000000 11111111

t2 dt t1 dt 0

Lichtsignale

00 11 00000000 11111111 00 11 000000000 111111111 000000 111111 00 11 ct’ 000000000 111111111 000000 111111 00 11 000000000 111111111 000000 111111 00x=ct 11 B’ 000000000 111111111 000000 111111

ct

t’2 111111111 000000000 000000 111111 000000 111111 000000 111111 0 1 0 1 000000 111111 0 1 0 1 000000 111111 0 1 000000 111111 B 0 1 000000 111111 0 1 000000 111111 0 1 000000 111111

11 00 00 11 00 11 00 11 00 11

0 1 111111 000000 0 1 000000 111111 0 1 000000 111111 0 1 000000 111111 000000000 111111111 0 1 000000 111111 000000000 111111111 0 1 000000 111111 000000000 0 111111111 1 000000 111111 000000000 111111111 0 1 000000 111111 000000000 111111111 0 1 000000 111111 0 1 000000 111111 0 1 000000 111111 0 1 000000 111111 0 1 000000 111111 0 1 000000 111111 0 1 000000000 111111111 0 1 000000 111111 0 1 000000000 111111111 0 1 000000 111111 000000000 111111111 0 1 000000 111111 0000000000 1111111111 000000000 111111111 0 1 000000 111111 0000000000 1111111111 000000000 111111111 0 1 000000 111111 0000000000 1111111111 0 1 000000 111111 1 0000000000 1111111111 0 1 000000 111111 0000000000 1111111111 0 1 000000 111111 0000000000 1111111111 0 1 000000 111111 0000000000 1111111111 0 1 000000 111111 0000000000 1111111111 0 1 000000 111111 0 1 000000 111111 0 1 000000 111111 0 1 000000 111111 0 111111 0 1 000000 0 1 000000 111111 0 1 0 1 0 1 0 1

A=A’

t’

x’

x0

x’=ct’

x’0 " x0 Weltlinie fur x’

" Weltlinie fur

x

F¨ ur einen Beobachter in S ′ hingegen, der sich zur Zeit t1 ebenfalls bei A aufh¨alt, ergibt sich folgende Zeitmessung:
′
vx0 0 t′1 = γ t1 − vx t = γ t − 2 2 2 2 c c → ∆t′ = t′2 − t′1 = γ∆t

Der bewegte Beobachter (der in S ′ ) mißt eine l¨angere Zeit als der ruhende Beobachter. Anders ausgedr¨ uckt bedeutet dieses, dass bewegte Uhren langsamer laufen. Dieser Effekt l¨aßt sich mit G. Herten

424

Experimentalphysik

32.6 Massenzunahme Elementarteilchen experimentell best¨atigen. Zuerst wurde dieses bei Muonen, die durch die kosmische Strahlung in der Erdatmosph¨are erzeugt werden, best¨atigt. Heutzutage kann man die Effekte an Teilchenbeschleunigern, z. B. am CERN oder DESY, beobachten. Muonen sind Elementarteilchen, die den Elektronen ¨ahneln, aber viel schwerer sind. Deshalb kann ein Muon in ein Elektron, ein Muon-Neutrino und ein Anti-Elektron-Neutrino zerfallen. µ− → e− + vµ + ve F¨ ur ruhende Muonen wird eine Lebensdauer τ ≈ 5·10−6 s gemessen. Dabei bedeutet Lebensdauer nicht, dass nach der Zeit τ alle Muonen zerfallen sind, sondern dass die Anzahl der Muonen um einen Faktor e abgenommen hat. Wenn zum Zeitpunkt t = 0 N0 Muonen vorhanden sind, so ist N(t) gegeben durch: N(t) = N0 − e−t/τ (935) Muonen, die durch kosmische Strahlung, z.B. Protonen, in der ¨außeren Atmosph¨are erzeugt werden, d¨ urften deshalb ohne die spezielle Relativit¨atstheorie nur zu einem ganz geringen Bruchteil die Erdoberfl¨ache erreichen. Da die maximale Geschwindigkeit, mit der sich die Muonen bewegen k¨onnen, gleich der Lichtgeschwindigkeit ist, legen die Muonen in der Lebensdauer τ nur c · τ = 1, 5 km zur¨ uck. Bei einer Atmosph¨arenh¨ohe von ungef¨ahr 15 km d¨ urften nur ( 1e )10 , also ein verschwindend geringer Bruchteil, der Muonen die Erdoberfl¨ache erreichen. Durch Messung des Flusses der atmosph¨arischen Myonen in Bergstationen in verschiedenen H¨ohen wurde unter Benutzung von (935) eine Lebensdauer τ ′ ≈ 10−6 s gemessen. Damit ergibt sich: τ ′ = γ · τ → γ = g → v = 0, 994 · c und die zur¨ uckgelegte Strecke c · τ ′ w¨ahrend einer Lebensdauer betr¨agt 13,5 km, also ungef¨ahr die Atmosph¨arenh¨ohe. Dieses bedeutet, dass mehr als 1/3 aller in der Atmosph¨are erzeugten Muonen bis auf die Erdoberfl¨ache trifft und damit auch die Lebewesen dort. F¨ ur den Beobachter auf der Erde erscheint die Zeit im System des Muons um den Faktor γ langsamer zu gehen. Deshalb verl¨angert sich die Lebensdauer des Muons. Eine Uhr im Ruhesystem des Muons mißt hingegen immer noch die Lebensdauer τ = 5 · 10−6 s. Daf¨ ur gilt nach L′ = L/γ, dass die vom ′ Muon zur¨ uckgelegte Strecke l um den Faktor γ gegen¨ uber der von dem Beobachter auf der Erde gemessenen Strecke verk¨ urzt erscheint.

32.6

Massenzunahme

In der speziellen Relativit¨atstheorie wird neben dem vierdimensionalen Zeit-Ortsvektor (ct, x, y, z) auch ein vierdimensionaler Energie - Impulsvektor (E/c, px /py , Pz ) eingef¨ uhrt. Zwischen Energie, Impuls und Masse eines Teilchens gilt dann die Beziehung E 2 = p2 c2 + m20 c4 (936) Dabei ist E die Gesamtenergie. Die klassischen Beziehungen EKin = 12 mv 2 und p = mv gehen aus obiger Gleichung f¨ ur vc ≪ 1 hervor. Um die klassische Schreibweise von Energie und Impuls beibehalten zu k¨onnen, wird der Begriff der Ruhemasse m0 eingef¨ uhrt. Mit m = γm0

G. Herten

425

Experimentalphysik

32.7 Das Zwillingsparadoxon lassen sich die klassischen Beziehungen weiter benutzen. Unter Ruhemasse versteht man die Masse des Teilchens in dem System, in dem es sich nicht bewegt, also sein Ruhesystem. In einem anderen System S ′ werden kinetische Energien und Impulse gemessen, die der Masse m = γm0 entsprechen. Bewegte Objekte erscheinen deshalb schwerer. Ohne diesen Effekt g¨abe es einen maximalen Impuls pmax = m0 · c eines Teilchens.

32.7

Das Zwillingsparadoxon

Wir haben in Kapitel 34.5 gezeigt, dass sich bewegte Uhren langsam bewegen. Dazu f¨ uhren wir folgendes Gedankenexperiment aus. Von zwei gleichen Uhren wird eine auf der Erde belassen, w¨ahrend die andere Uhr mit einem Raumschiff von der Erde weggeschickt wird. Der Kurs des Raumschiffes wird so gew¨ahlt, dass es nach einer auf der Erde gemessenen Zeit T wieder v1 zur Erde zur¨ uckkommt, und auf dem Hinflug und R¨ uckflug jeweils mit konstanter Geschwindigkeit die Strecke L zur¨ uckgelegt hat. Die zum Beschleunigen und Bremsen ben¨otigte Zeit klein gegen¨ uber T und kann deshalb vernachl¨assigt werden. Werden die beiden Uhren nach der R¨ uckkehr miteinander verglichen, so geht die mit dem Raumschiff mitgenommene Uhr nach, d.h. innerhalb des Raumschiffes ist weniger Zeit vergangen als auf der Erde. Wenn der Raumfahrer auf der Erde einen Zwillingsbruder hat, so ist der Raumfahrer folglich weniger gealtert als sein Bruder. Vom Standpunkt des Raumfahrers hingegen muß nach Kapitel 34.5 auf der Erde weniger Zeit vergangen sein als im Raumschiff, da L¨angen- und Zeitmaßst¨abe sich relativ zwischen zwei Systemen ¨andern. Folglich sollte der auf der Erde zur¨ uckgebliebene Zwilling weniger gealtert sein als der Raumfahrer. Dieses ist nat¨ urlich ein Widerspruch oder Paradoxon.

ct

t 2 =T

P2 x=x u−v(t−T/2)

P1

t1 =T/2 x=vt

xu Experimente haben gezeigt, dass die Uhr, die mit dem Raumschiff mitgeflogen ist, weniger Zeit anzeigt. F¨ ur bisherige Raumfahrt Missionen liegt diese gewonnene Zeit allerdings unter einer Sekunde. Die L¨osung des Paradoxons liegt darin, dass der Raumfahrer sich auf seinem Flug von der Erde weg und wieder zur¨ uck nicht in einem Inertialsystem befindet. Wenn er sich auf dem Flug von der Erde weg mit Geschwindigkeit v in einem Inertialsystem befindet, so wechelt er auf dem R¨ uckflug in eines, das sich mit Geschwindigkeit −v gegen¨ uber der Erde bewegt. Die G. Herten

426

Experimentalphysik

32.7 Das Zwillingsparadoxon Messungen auf der Erde und im Raumschiff sind deshalb nicht ¨aquivalent. Dennoch l¨aßt sich die Zeit, die die Uhr im Raumschiff anzeigt, mit Hilfe der Lorentz Transformationen berechnen. Unter Vernachl¨assigung der Beschleunigungs- und Bremszeiten befindet sich das Raumschiff auf dem Hinflug und auf dem R¨ uckflug jeweils in einem Inertialsystem, das sich mit einem Geschwindigkeitsbetrag v gegen¨ uber der Erde bewegt. Der Raumfahrer legt also zweimal die Strecke L′ = L/γ in der Zeit T ′ /2 = T /(2γ) zur¨ uck. T′ =

2L 2L′ = = T /γ < T v γv

Zwei Messungen sind also nur dann ¨aquivalent, wenn jede Messung innerhalb eines Inertialsystems durchgef¨ uhrt wird. Weitere Effekte der speziellen Relativit¨atstheorie, wie Frequenzverschiebungen und Abberationsbeziehung gehen weit u ¨ber den Inhalt dieser Vorlesung heraus und k¨onnen in Spezialvorlesungen geh¨ort werden. Literatur, z. B.: W. Greiner, Theoretische Physik, Band 1, Mechanik I, Kapitel 29ff

G. Herten

427

Experimentalphysik