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·D'ANALYSE SUR.
LES JEUX D·E
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P 'R E F ACE· L Ya IORg-temps que les Gcometres, fe vantent de pouvoir par leurs m~ thodes 'decouvrir dans lcs Science• ....~~ . naturelles, toutes les verites qui fon~ ~~ la portee de efprit humain; & il . eft cert~in que par Ie merveilleux alliage qu'il,s ont fait de puis cinquante ans de la Geometric avec la Phyfique, ils ont force les, ~ommes reconnoitre que ce qu'ils ~ifent l'avantage de la Geometrie n'eft pas fans fondemdit. Q!telle gloire feroit-ce pour cette Science fi elle pouvoit encore fervir regler les jugemens & la conduite des hommes dans la pratique des chofes de la vie! . L'alne de Meffieurs Bernoulli li connus run & rautre dans Ie monde f~avant, n'a pas cru ~u'il fut impoffible de porter la Geometric jufqu'a cc .. 'I..
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PREFACE•
.point. 11 avoit ent.rer~i~ de donner des Regles pour Juger de la probabillte des evenemens futurs, Be dont la connoitfance nous ell: cachee, {oit dans Ies Jeux, foit dans les autres chofes de la vie ou Ie hazard feul a part Le titre de cet Ouvrage devoit ctre De arte conje8anJi ~ I'art de dc'Viner. U ne mort prematuree ne lui a pa, permis d'y mettre la derniere main. . Monfieur de Fontenelle & MonGeur Saurin ont donne chacun une courte Analyfe de ce Livre; Annee 170f, Ie premier dans i'Hilloire de rAcademie; l'autre page ,+8. dans les Journaux des S~avans de France. Void) Annee J706~ felon ces deux Aute~rs, quel eroit Ie p~an de eet page 81. Ouvrage.M. Bernoulli Ie divifoit ~n quatle part~es; .dan~ les trois premieres il donnoit la folu.tlonde divers Problemes fur les Jeux ·de hazard: on devoit y trouver pluGeurs chofes nouvelles fur tes fuites infinies, fur les combinaifons & les chan. gemens d'ordre, avec la folution des cinq Pro.. . blemes propoCes depuis long-temps aux Geome_' ~res par M. Hugens. Dans la quarrieme partie il employoit les methodes ~u'iI avoit donnees dans ~es trois premieres, refoudre diverfes queftions ' morales, politiques & ch~i1es. On ne nous a point appris quels font les Jeux dont cet AuteQr determinoit les pards, ni quels fujets de politique & de morale il avoit entrepris d'eclaircir, mais quelque furprenant que foit ce projet, il ya lieu de croire ql1e ce f~a vant Auteur rauroit parfaitement execute. M. Bernoulli eroit trop fu perieur aux autres pour vouloir en im.,
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PREFACE~.
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'porer ~ il etoit de ce petit nombre d'hommes rares qui font propres inventer, & je me perfuadequ'il auroit tenu tout ce ,que promettoit Ie ritre de fon Livre. . Rien ne retarde plus ravancement des Scien_ ces, & ne met un plus grand obftacle 1a decouverte des verites cachees; que la defiance ou nous fommes de nos forces. La plufpart des chofes qui paroHfent impoffibles ne Ie font que faute de donner l'efprit humaiil toute l'etendue qu'il peut avoir. PltiGeurs de mes amis m'avoient 'excite il ya deja long-temps dfayer li l'Algebre ~e pourroit point atteindre determiner quel eft l'avantage . du Banquier dans Ie Jeu'du Pharaon. Je"n'avois, . jamais ofe entreprendre cette recherche, ca* f~avois que Ie nombre de tous Ies divers arrangemens poffibles de cinquante-deux cartes, furpafi'e plus de cent, mille millions de fois celui des grains de fable que pourroit contenir Ie globe de la terre, & il ne me paroHfoit pas pollible de demeler dans un nombre li vaile Ies arrangemens qui font avantageux au Banquier,. d'avec' . ecux qui lui font contraires ou inaifferens. Je ferois encore dans ce prejuge li les fueees· de feu M. Bernoulli ne m'eufi'ent invite il y a environ deux ans ehercher les differens h~ards .de ee jeu. Je fii, plus heureux que je n'avois ore efperer, car outre la folution generale de ce Problenle, j'apper~us les ,routes qu'il falloit ,enir pout en decouvrir une; ~6nite de pareils,
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PRE FA C E. . on m!me de beancoup plus dilficiles.' Je con.nus
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queon pouvoit aller fort loin dans ce pals perConne n'avoit encore ete .;je me B.attai qu'oa pouvoit y faire uneample recolte de verites ega. Iement curieufes & nouvelles: i:ela me donna la pen fee de travailler afond fur certe matiere, & Ie defir de. dedommager en qudque forte Ie Public de la perte qu'i1 feroit .s'if etoit prive de rex.cellent Ouvrage de M. Bernoulli. Diverfes reHesions m'ont conlirmc dans ce delfein. · . C'eft particulierement dans les Jeux de hazard que paroit la foiblelfe ·de refprit humain &: la pence qu'i!-a la fuped1:ition. Rien n'ell Gordi:naire que de voir des Joueurs attribuer leur mal... heur aux perfOnDe5 qui les approchent ~ & d~au tres cit'conftances qui ne font pas moins indifferentes aux evcnemens du jeu. 11 yen a qui fe font une lei de ne prendre que des cartes qui gagnent, dans la penfee qU·UR certain bonheur leur ell at. tache. D·aunes au contraire ,:attachent prendre les cartes perdantes, dans ropinion quaayant plulieurs fois perdu, it eft moins vrai - femblable qu'd1es perdront encore, comme li Ie paffe ponvoit decider quelque chore pour ravenir. II y en a qui afl"eCl:ent certaines places & certains jours. O~ en voit qui refufent de m~ler les cartes, Ii ce n·eft dans certaines iituations, '" qui croiroient perdre infailliblement s'ils s'etoient en cela ecartes de leurs regles. En6n la plufpart cherchent leurs avantages ils ne.font pas, ou bien ilsles negligent, entierement.. .
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'Vij-. . On peor dire pen pres Ia meQ.'le chofe ide la . eonduite des hommes dans toutes Ies actions de Ja vie Ie hazard a quelque part. Ce font les m~mes prejuges qui les gouvernel1t~ e'eftl'imagi"" nation qui regie feurs demarehes) & qui fait nai.. ne aveuglement leurs craintes &: leurs efperan... ces. Souvent ils abandonnent un petit bien eer_, rain pour c:ourir temerairemeDt aprcs un plus grand bien) d~t ra.cquiGtion eG comme impoflible; '" fouvent par trop de iefiance ils renon.,. cent des e!j>erances confidcrables & bien fon"!" dies, pour fe conferver un bien doat Ia valeurn'a poinrde proportion avec (elui tp'iIs Bcgligentr Le principe general de ccs prcjuges " de ces er. reur$ eft que fa plufpart des hommcs attribuanf la diftribution des Liens ac des maus·" & genera-. Jemem tous Ies lvencmens de ~e monde aUIlC' puiifance fatale 'lui agft &m Oldre '" fans regIe J< its croyent qu'it vaut autant s"abandonner eette Div~nite aveugle ,_ qu"on . JK)mmc Fortune, que cle Ia lorcer leur etre favorable en fuivant Cles. J:egles de prudence qui leur puoiJfellt imaginaires.. rai done ern qu'jlferoif utile, BOD feulemene aux Joueurs, mais aux hommcs en genuaI , de f~avoir que Ie hazard a des regfes'l\ qui pe.uvene: etre eonnues ~& que faute de COlUlOlue ces regfes; font taus Ies jours des fautes:,. deDf les fuites. BeheuiCs feur doive11t etre imputecs avec plus ~ zaifon qu-'au deftin qU'llS aceufent. Ie pourro. apporter en preuve \Ul~ jpfinite d CXCJl.P~s tile,
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'IIiij . P R.E F ACE. ou des Jeux, ou des autres' chofes de Ia vie d,?ne revenement depend du hazard. 11 eft certain gue' Ies homme, ne fe fervent point affex de leur efprit pour obtenir ce qu'ils defllent m!me avec Ie plus d'ardeur, & qu'ils ne font point alfez. d'efforts pour oter la Fortune ce qu'ils pourroient lui fouftraire par les regles de la prudence. On a cru que cette matiere pourroit exciter Ia. C\Jriofite de ceux meme qui en ont,le moins pour les connoitfances abftraites. L'on aime nature lIe.... ment voir clair dans' ce qu'on fait, meme independamment de tout interet.' On joueroit fans doute avec plus d'agrement li ron pouvoit f~avoir chaque coup efperance qui on a' de gagner, ou Ie rifque que l'on court de perdre~ On [eroit plus tranquile fur les evenemens du jeu, & on fentiroit mieux Ie ridicule de ces plaintes continue lIes aue. queUes fe laiffentaller la plufpart des Joueurs dans les rencontres les plus communes lorfquelles leur font contraires. .Si Ia connoilTance exaae des hazards du jeu tie fuffit pas kule aux Joueurs pour Ies faire gagner,' dIe peut au moins fervir a. leur faire prendre Ie meilleur parti dans les chofes douteufes, &, ce qui eft fort important, leur apprendre jufqu'a, quel point font defavantageufes pour eux les conditions de certains Jeux que l'avarice & l'oilivete . introduifent tous les jours. Pour moi je crois que ft les Joueurs f~avoient que lorfqu'ils. mettent au Pharaon un louis de treize livres -fur unc· . carte -qui a patre trois fois, Ie talon n'etant pips. . que
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PRE-FACE.
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que de douz~ cartes, il~ font precifement la m~me ' chofe que s lis donnOlenr ,en pur don llne byte un fol & huit deniers au Banquier, il y en ~uroit peu qui voulu1fent tenter la Fortune avec rant de defavantage. La conauire'des hommes fait Ie plus fonvent leur bonne ou leur mauvaife fortune; & Ies gens fages donnent au hazard Ie moins qu'ils peuvent. Nous pouvons connoitre' I'avenir, maig nous pouvons toujours dans les Jeux de haza~d" &: fouvent dans Ies autres chofes de Ia vie, connOltre avec exactitude. combien it eft plus probable que certaine chofe arrivera de relle fa~on plutot que de toute autre! Et puifque ce font la les bornes de nos connoHfances, nous devens au moins tacher d'y atteindre. Tout Ie monde f~ait qu~au defaut de l'eviden ... , ce, nous devons chercher la vrai..femblance pour nous approcher de la verite; mais on ne f~aj.t point" alfez qu"j} y a des vrai-femblances plus gr~ndes & plus petites I'infini, Be que efprit paur ~tre" bon juge, en doit dilHnguer tous les degres, puif~u'il, arrive fo~vent qu:une chofe e'~~t in£ert~ne" iI eft neanmOlns ce~tal'n Be mem,e eVldentqu die eft vrai .. f~mblable, & plus. vrai- femblable que toute autre. . Il parolt qu'on ne s"ef£ point alfez. apperfll jufqu'a prefent 'lu'oJ.l pat donner des regles in-faillibies pour caIculer Ies differences qui fe tro~ ~eD.t ,entre, diverfes probabi1ites~ .,,'
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PRE FA C E. On a voulu donner dans eet Ouvrage un elfai de ee nouyel art J en rappliquant une matiere qui a ete ju[qu'ici dans une grande obfcurite, &: qui ne parolc fufceptible d'aucune precifion. On a eru qu'dle etoit plus propre que coute autre donner de l'elHme pour l'Analyfe, eet art merveilleux qui eft Ia clefde routes Ies Sciences exacres, & qui n'ell apparemmellt neglige que Earceg,u'on DC connolt point afTez l'etendue (Ie res ufages ; car au lieu qu'on n'a employe jufqu·ici l'Algebre & l'Analyfe qu'a, decouvrir des raporrs eonflants & immuables entre des nombres & des figures, on s'en lert ici pour decouvrir des raports de pro. babilite entre des chofes incertaines & ~ui n' on"t rien de fixe, ce qui femble fort oppofe a I'efprit de la Geometrie, & en q~elque fa~on hors de fes regles. C'eft ce que fait judicieufement fentir l'illuf1:re Auteur de I'Hilloire de l'Academie dans l'endroit que j'aideja cite. 1L n'1f pas Ii glorieux ~ dit-il, 4 L'efprit de Geometrie ae regner dans La Phyfi,ue 'lue da.ns Les chofes de morale ~ fi c4[uelles ~ fi compLiquets ~ fi changeantes. Plus Nne matiere lui eft oppofte & re"elle~ plus il a d'honneur 4 LA dampter. . Je divife ce Traite en trois Parties: dans la premiere je donne Ia folution de divers Problemes fur les Jeux de cartes qui font en ufage; fexamine d'abord ceux qui font de pur hazard, tds que Ie Pharaon, Ia Ba{fete, Ie Lanfquenet & Ie Treize ; je determine que! eft ravantage ou Ie defavantage ,des Joueurs dans routes les circonftanees polli. bles de ees Jeux. Les Geometres trouveront dans lC
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P1{EFACE. . :ltj la LOlution de ces Problemes toute Ia generalite qu'ils pourront fouhaiter; & les Joueurs y ren.. contreront des nouveautes fort lingulieres , dont illeur eft important d'etre inftruits.. L'on s'efl: borne aexaminer ces quatre Jeux pour ne point faire un trop gros Volume, & on les a preferes aux autres parcequ'ils font plus en ufage, & qu'ils m'ont paru les plus curieux. Je donne enruite divers Theor~mes fur Ies combinaifons, dont la plufpart font nouveaux & d'un fort grand ufage; je Ies applique ici refoudrc plulieurs Probl~mes particulie,rs fur l'Hombre, Ie Piquet, }'Imperiale, Ie Brelan, &c. Je n'ai pu traiter ces derniers Jeux avec Ia meme erendue que les pre. . cedens, j'en rend raifon dans les pages 7J, 76,
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77 & 78. .
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La feconde partie contient une. folution generaIe de toutes -Ies queftions qu' on peut propofer fur Ie QHinquenove, Ie Jeu qes trois dez, & Ie Jeu du hazard. Les deux premiers font- Ies feuls Jeuxde dez qui foient en ufage· en France, Ie demier n'ell connu'qu'en Angleterre~ Je donne enfuite des regIes pour jauer Ie plus parfaitement qu'il fe puilfe ~n Jeu dont rinvention' eA: ingenieufe, & qui dent egalement de deux Jeux ae cartes Ie Her & Ia Tontine. La perfonne qui m'a appris ce Jeu n'a pu me dire' comment·on Ie nomme. Pour ne Ie point lailfer fans nom, je rai _appelle Jeu de l'Efperance. On y trouvera auffi la folution· de quelques ProbMmes atfez faciles fur Ie Jeu du TriClrac. II yen a un qui peut etre de quelque· utilite pour les Joueu,rs. ~~ ij
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Itij _ P R. E F .4 C E. Je finis cette feconde Partie par un ProbI~,mt tres general fur lesdez. Ce ProbIerne avec celu! de la Propolition 14, renferme toute la theorie :des combinaifons. J'y ajoutc comme p.~ur fervir d'Exemple t{"ois-ProbLemes, il y en -a U1'l fut Je Jeu de la. premiere RaRe;; Ie fecoad efifw- les trois RaSes comptees; Ie de.rnier ell fur un Jeu dont Ie Baron de la Hontan fait mentien dans Ie fecond T orne de res Voyages '., Jk :qu~il dit ett".e fort ell ' ufage panni ·les Sauvages de Canada. -Le _nom, n'en dl: 'pas lllagnifi~l,le , jJ~'apFeUe Ie J~u des Noyaux. .on pour.ra remar'1uerque tous l(Sdlfferens Jeux de dez qu'oo examine dans cet~e k«OndeP,artie. Qon1).e~t du deIavantage.a ceIui qui ·rient Ie de, alJ lieu que dans les J eux de cartes tels que Ie Pharaon, laBaffete.,Je Laafquene~~ Ie Trejze, celui qui tient lcscarees a un a-v~ntage c8n{ide-ra~~,. ' Il eft a. croic~ que ceul.C qui ont invente ces Jeux n' one point preeendu les re·ncke entieremen.t egaux; eu~, ce .qui parolt plus vrai-f~mblable, t),u'ils n'en ont point atfez connu -Ia n~un~ pour en bien dillrib\l~r Ies hazards. Dans .l~ plufpart l~s conditions font li ine-gales pour 'les Joueurs •. qu' on feroit bien fon.de foueenir qu'on ne peut rgagt1~ avec julHce, .co,mme fa:ns .d9ut~ on .n~ peut y perdre fans .etre dup~. Quoi~ue dans ce T,raite j'ayebeaucoup .plus en' vue:Ie ptaifir des ··Geometres :que l'utilire des· Joue.urs, & que {elOl1 nous .ceux qui perd~nt leur ."mp~ ~u w,u (Be:l:i~e.nt ,bieJ;l d'y p~r,Qre .le.ur ,argent,
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je'n'ai point neglige en decouvrant l'avafttage ou Ie defavantage des Joueurs, de faire temarquer de quelle maniere i1 faudroit reformer les Jeult pour les rendre parfaitement egaux. Dans la troifieme Partie, je donne la folutioft des cinq Problemes propofes par M" Hugens, Be en ajoute quelques aucres, qui quoique moins curieux & moms dilliciles que ceux qui fonc contenus dans Ies deux Parties precedences-, ne laiC. {ent pas d'avoir leur ucilice par raport cerce matiere. Je la termine en propofant, l'imitacioll .de M Hugens, quatre Problemes atrez linguliers. Mais je crois devoir avertir les Geometres qui auroient la curiofite d' en tenter lafolution, quits n'y trouveront pas moinsdediBiculceque dans les plus difficiles Problemes de caicul integral. Ceux qui ne regarderoient ces quefiions que comme des Probl£.me,s d'Arichmecique, reconnoicront que li cUes {uppafent moins de connoHfance en Geome.. trie, elles demandeilt peut-etre plus d'adrelfe, & certainement beaucou rlus d',exacHtude .& de circonfpcCliGn. -Si je m:,&ois 'propore .de {ulvre en tout Ie projet ~e M. 'Bernoulli, j'aurois dt1 ajouter une quatrienlC~ , Partie, ou j'euffe fait l'application des methodes contcnucs dans les .trois premier.es , des fujet9 , politiques., Cfconomiques.ou moraux. Ce qui. m'en a .empeche, ,C'ea l'embarras ou jc me fuis trouve de Faire deshypoth.efes qui erant appuyees fur des faits certains, pufi'ent me conduire & me.. foUtemr ,dans m~s recherches; Mais n'ayant point
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eu la comtnodite de.; me fatisfaire entieremeftt Ii de1fus, fai eru qu~il valoit mieux remettre ce travail un autre temps, au en lailfer la gloire a quelqu-autre perfonne plus habile que moi, que de dire des chafes ou trop communes au pell exaltc;s, qui n'eulfent point repondu l"attente du Lelteur & ala beaute du fujet. Je me bornerai faire \ remarquer en mains de mots qu~il me fera pollible, Ie rap art qu'il ya entre cette matiere & celIe des Jeux, & les vues qu'il faudroit prendre pour y reunir. . A parler exaClement rien ne depend du hazard; , quand on. etudie Ia nature, on ell bientot convaineu que fan Auteur agit d-une maniere generale Be uniforme qui porte Ie caraClere d 'une fagelfe '" d'une prefcience inttnie. Ain6 pour attaclier ace mot h4'{ara une idee qui foit conforme a la vraye Philofophie, on doit penfer que toutes chofes etant reglees felon des loix certaines, dont Ie plus {ouvent ordre ne nous eft pas connu, celles dependent du hazard dont la caure naturelle nous eft cachee. Apres cette definition on pe~t dire que la vie de l'homme eft unJeu ouregne le.ha~ zard. Pour fairevoir plus precifement que l'Analyfe 'des Geometres, & principalement celie quJon employe dans ceo Traite, eft propre a diffiper en partie les tenebres qui femblent repandues fur les chafes de la vie civile qui. ont raport avenir, il faut remarquer que de m~me qu'il y a des Jeux ,qui fe reg lent par Ie hazard feul, &: d'autrcs qui
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re -reglent en partie par Ie hazard 'Ii en 'pattie par rhabilete des Joueurs; ain6 entre les' enaCes de'la "ie it y en a dont Ie fucces depen'd entierement dtl hazard, &. d'autres aufquelles la eonduire des hommes a beaucoup de part; Be que generalement . dans toutes Ies chofes de la vie fur lefquelles nous avons prendre notre parti,. notre deliberation doit fe reduire, comme dans les ~aris fur les Jeux , com parer Ie nombredes cas ou arrivera un certain evenement, au nambre des cas ou il n'arrivera pas; OU, pour parler en Geometre, examiner fi ce que nous efperons multiplie par Ie degre de probabilite qu"il 'Y a que nous robtiendrons, egale ou furpalfe notre mife, c'eft dire les avances que nous devons faire, foit peine, foit argent, foit credit, &C. . 11 fuit de Ia que les m~mes regles d'Analyfe qui nous ont fervi determiner datis les Jeux Ies partis des Joueurs & la maniere dont ils doivent con. . duire leur Jeu , peuvent auffi fervir determiner Ie jufte d~re de nosefperances dans nos diverfes entreprifes, & anous appre'ndre fa conduite que nous devons tenir pour y trouver Ie plus d'avantage qU'iI foit poffi~le. 11 e~ clair, par ~e~e~ple , que la m~me methode qUI nous a CervI a determiner dans queIles circonfrances iI etl: propos l'Hombre de renoncer aux fiches du fans-prendre dans r efperance de faire la volle, 'peut ~tre employee, quoique plus diflicilement, pourderertni~er dans qudles circonftances de la vie iI faue facrifier un petit bien dans'l'c;fperallce d'en obt~ 1lir 'UD plus. grand.
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PREF~C£
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Pour continuer cettecomjlaraifon; il fautre.; marquer que les m~mes raifons qui nous empl;.. chent de pouvoir refoudre toutes les quelHons qu'on peut propofer fur les Jeux, emp~client auffi qu'on ne puilfe refoudre celles qu'on peut eropoler fur les chofes de la vie civile. Ces raifons font de deux fortes: la premiere eft l'incertitude ou nous fommes du parti que prendront notre egard ceux dont les acHons doivent regler reve.. nement de nos entreprifes. Le choc d'un corp! decide & de la route qu'il doit tenir '" de lao vitetk qll'il doit avoir, car Ies loil[ des communications des nl0uvemens font fixes. & in variables. Mais les .taifons & les differens motifs '1uc les hommes peuvent avoir pottr agir d'une fa~on pIn tot que d'une autre, ne peuvent nous afforer de quel cote ils fc determineront. Souvent ils ne connoilfent point leurs inter~ts, & fonvent ils ne les fuivenr pas lor£' qu'its les connoitfent, Ie caprice les determine beaucoup plus que la raifon, & c'eft toujours 4eviner que de vouloir juger de ce qui depend ~e la liberte des ftommes. La feconde caufe de notre ignorance dans Ies chofes qui dependent de l'avenir, ell: fondee. fur ce que res bornes de notre efprit erant fort etror... tes,. touces 1es connoilTances qui lUppofent un trop grand nombre de rapports font au deffus de fes forces. Or dans pluliel1rs}eux, & dans la plufEandes chefes de la vie, les comparaifons qu·il faut faire font era. fi grand nonlbre), qu'il n~eft pref'l~
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FPo1Iiblc de les epuue.r.
Dcter.miJlef
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PRE F ACE.
xvii Determiner combien vatu Ie de entre deux. Joueurs egaux au Jeu du Tricrrac, & combien vaut la main au Piquet, queUe piece eft la plus avantageufe au Jeu aes Echets du fou ou du cavalier, & de combien rune eft meilleure que rautre; ce fontJa des Problemes dont je tiens Ia folution impoffible aux hommes. II en eft de meme, & pour les memes raifons de la plufpart des, qudHons de morale &. de politique: par exemple, determiner fidans telle &. telle circonftance je dois avoir plus d'egard ala recommandation d'un parent, qu'a. Ia priere d'un certain nombre d'amis: Si un cere tain commerce ell: avantageux ou prejudiciable 3une Nation; quel doit etre Ie fucces d'une negociation &. d'une entreprife milicaire, &c. Les contrats d'alfurance qui font fi communs parmi les Marehands, principalement dans Ies. Republiques, n'enrichilfent pas toujours les Alfureurs; & Ies plus habiles Poliriques d' Angleterre eprouvent tous les jours a leur perte dans ee~ groffes gageures qU'on fait en ce pays-Ia fur le& evenemens de la guerre, que la prudence des. hommes eft infuffifante pour penetrer [urement d'ans l'avenir. • Il ell: vrai quiavec beau coup de jufl:elfe d'efprk" une grande connoilfance des faits, & furtout des retrorts feerets qui donnent Ie branle &. Ie mouvement aux affaires, on peut deeouvrir avec affez: de vrai-femblan~e que! eft Ie Meilleur pa.rti dans ces gageures : mais il eft impoffible d' en venir. jamais au point de pouvoir determiner par. Ie
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x·lJ;ij P' R- E F .A C' E. raportexacc de deux nomhres, comhien un' parti eft meilleur que l'autre. ~elque recours que l'efprit humain puiffe recevoir de la Geometrie J ceue venu, que l" on nomme prudence, n'aura jamais que des r.egles. incenaines; pour U1'l. petit nombre de verites & de principes certains que contiennent Ia politique Bi la morale, on y tr.ouve une infinite .d obfcu.. tires impenetrahles efprit humain. . Tout l'ufage qu'on peut tirer de la Geometrie par raport us forte·s de Problemes J confifie en ce qu' on peut affurcr que ceux qui fe feront rendll familiere refpece de Logique donr on fait urage dans.ceTraite ,en [eront plus pt"opres decouvrir Ies differens degr.es de probabilite dans les divers' pards qu'on peut prendre!iu les chofesqui regar. dent la morale t .ou fur celles qui ont rapport a. la vie civile, & .eviter l'erreur dans leurs jugemens par l"habitudequ'ils auront acquife de difiinguer ole vrai d'av.ec Ie vrai-fen1blable, &. de ne donner leur .cpn(entement qu'a, l'.evidenc~ ~e les hommes en penfent ce qu'i1s voudronr. it dl: certain que cecte force & ·cette jufl:etfe d'efprit qu' on acquie.rt da-ns la recherche des verites ahll:raites, s~etend auffi aux verires fenlibles _, l3c • pour ainu.dire de pratique. L"Analyfe eft un in.. ftrume-nt qui fert a tout quand on Ie f~ait hie-a manier.T outes les -verites fe tiennent entr"d·les J & quan4 on a fait .quelque tentp~ effaide fes for.ces fur les notions exatlesque nous avons d~ nombres& de l'etendue, on 1es employe aveC t
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PREFACE..
xix plus de fucces fur les connoillanees moins exactes. qui peuvent ~tre I'objet de nocre e(pric. Ceux qui ont Ie mieux eerit fur la Metaphyfique;) la Phylique, peut - ~tre m~me fur la Medecinc &: fur la Morale, etoient d'exeellens Geo·metres. L'experienee devroit done convaincre de l'utilite de la Geometrie ceux qui les raifons ne la peuvent perfuader. Pour terminer ce paraJlele entre les ProbI~mes fur les Jeux, & les quefiions qu'on peut propofer fur les chofes o=conomiques, politiques & morales, il faut obferver que dans ces dernieres comme en celles des Jeux, if y a une efpece de Probl~mes qu'on pourra refoudre en obfervant ces deux regles; 1°. borner la queftion que I'on fe propofe un pet~t nombre de fuppofitions, etablies fur des faits cenains ; 2,0. faire ablhaction de toutes les circonftances aufquelles la liberte de l'hom, me, cet ecueil perpetuel de nos connoilfances,. pourroit. avoir queIque rart. Il eft croire que M.. Bernoulli avoit egard a ces regles dans la quatrieme partie de fGn Ouvrage, & iI ell: certain qu'avec ces deux rellricHons on pourroit traiter plulieurs fujets ou de politique ou de morale avec toute r exactitude des veritls geometriques. C·eft ce qu·a fait admirablement M. HalTey dans un Memoire qui fe trouve dans les Tranfactions'philofophiques d'Ang[eterre, num. 19 6 , ou ce f~avant Anglois entreprend de determiner Ie' degre de Ia mortaIite du genre humain. Ce morceau eft plein de chores curieufes, dont Ie - -'- '1
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P R.. E F .4 C E.
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Led:cur verroit ici rextrait avec plaiGr : Mais cette Preface crant peut-etre deja trop longue, je n'en rapporterai qu'une qui efrtraitee par rAuleur avec beau coup de fineffe. C'eft une methode pour derernliner fur quel pied fe doivent regler les rentes fond perdu.U donne une Table toute .calculee pour les differens ages de cinq en cinq annees depuis un an jufqu'a foixance &: dix. Cette Table fait voir combien etoit avantageux aux Anglois Ie parti que leur faifoit alors Ie Roy Guil.laume , en donnant 14 pour. cent par annee de rente viagere , ce qui ell: apeu pres Ia feptieme partie du fond. On yoir par cerfe Table qu'une _ perfonne agee de dix ans n'en devroit avoir que fa neizie.1ne .partie, &: un homme age de trentefix ans la onzi~me, & e·n6n que l"interet de dix pour cent o'ell: du qu·aux perfonnes .agees de quarante ... trois quarallte - quaere ans. Il poutre encore cette idee plus -loin, & it examine fur quel pied devroit [e regler une rente viagere qui feroit fur la tete de deux ou de plu.!ieurs perfonnes d~ differens ages. .'. . Cet.te matiere parolt epuifee dans Ie Memoire de M. Halley. On en trouve quelques autres femblables maniees a£fez heureu[ement)quoiqu'ave~ moins d'exaclitude, dans I'Arithmetique politique du Chevalier Peny. Mais il en refi:e plafieurs ap~ tr.es de cette nature .qu'on pourroit traiter av~c le meme [ucces & Ia meme utilite pour Ie Pub]~c. Je .crois devoir parler maintenant de deux Ge.ometres ill,ufrres qui je dois Ies premieres viles qu~
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.... ;P R. E F A C E., xxj J'ai eues fur Ie fujet que je traite. En 1654 M. Pafcal
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reColut ce Probleme : Deux perfonnes jouent un jell egal en un certain nombre de plJints ; l'unt des deux eftfuppofle A'Voir plus de points que l'autre: On demande com. ment eUes doivent panager l'd.ruent du Jeu en cas qu"elles 1JeuiUent ro.mpre LA partie fAns ia finir. On peut voir la (olution de ce Probleme dans un Livre fort court · qu"on a trouve imprime apres fa mort, & qui a' pour titre, Triangle .Arithmetique. Ce grand Homme , qui avoit beaucoup meditc fur les proprietes des nombres, fait diverfes applications de ce triangle aux regles des partis & aux combinaifons. . Le Chevalier de Mere lui avoit propofe ce Probleme, illui en avoit auffi propofe quelques autres fu~ les dez : Par exemple, determiner en combien de coups on peut amener une certaine raSe J & quelques autres de eerte forte atfez faciles. Chevalier, qui e·toit plus bel efprit. que Geome.tre, refolut Ies Problemes fur les dez, , mais-ni lui ni M. de Roberval ne purent refoudre celui des parris. M. Pafcalle propofa aM. Fermat · ~vec.qui il ctoit en commerce d'amitie& de Geo.. , metrie, & qui en cette Science n"etoit infcrieur · qU'a M. Defcartes. · Ce Geometre parvint ala folution du Probleme par une voye difference de celle de M. Pafcal : Il ana meme plus loin, & il alfu.ra que fa methode ctoit generale pou.r tel nombre de Joueurs qu'il y ~ut. .M. ,Pa{c~l ~e cmt pa~ q~' elle ~ut Ie. conauire Jufque la) & d tache de lUI falre votr dans .une let.. tIe ''iui (e trouve avec quelques autres fur ce fujet
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P R. E F .4 C E. dans les Ouvrages pofrhumes de M. Fermat i~ primes Touloufe J que fa methode, qu'il re. connolt bon~e pour deux Joueurs, n·eft pas jufre pour u~ plus grand nombre. On ne voit point dans ce Recueil la reponfe de M. Fermat, mais il eft certain que Ie droit etoit de fon cote; fa methode eft wre, &: s·etertd tel nombre· de . Joueurs que ce toit. . . A peu pres dans ce temps M. Hugens, ce fameui: Geometre qui a enrichi routes Ies parties des Mathematiques de tant de belles decouvertes, ayant entendu parler de ces ProbMmes , entrefrit de Ies refoudre, & employa, pour en venir a bout, la methode analytique, qui pour l'ordinaire mene' plus loin que toute autre. Il fit de ces Problemes . un petit Traite latin qui compofe environ une feuille, & fe trouve ala 6n du Livre de M. Schotten, intitule, Exercitationes Geometrictt. Qyoique cet Auteur n-entreprenne de deter-_ miner les parris des Joueurs dans aucun jeu de cartes ni de dez , & qu·il fe borne ce 9u-il a de plus facile en cette matiere, &: prefque aux feuls ProbMmes de M.Pafcal, on voit par fa Jettre, qu'il eerit Schotten, qu·il efrimoit beaucoup, ce qu'il donne dans ee petit Ouvrage. Rien n'eft plus glorieux ~ dit-il, d l'Art a01Jt nOlls ftlifons llfall dAns te TrAite ~ que ae pouvoir aonner aes regles AJes chofes qui etAnt depenJanteJ au hA'{ma ~ femblent n'en reconnoitre aucune ~ & Jar id fi [oujlrtlire J [A raifon bumaine.. Et if ajoute: je m'affore que ceux qui Havent juger Jes . &hoflS ~ reconno,tront en lifNIt eet emt ~ que Ie fujet en eft kxij
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• P R. E F ACE.
xxiiI plMs flrieux & plus i"'parta1lt qu'il 1St p~ro~t ~ que l'ony poft les flnaemens fi"UM theorie ~s belle & tTts fobtile~ & que les recherches tie Diaphante ~ qui ,,'ont pour objet que des proprietts abflraitts des nom"bres ~ font & plus faciles a & moins agreables que crlks que /'on peut fo propoftr en cettt matiere.
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L"Auteur la fin de ce Traite invite les Geometres a. la recherche qe cinq' Problemes , dont aucun que je f~ache n'a encore ete refolu. n.y en a trois de ces cinq dont il donne la folution, mais fans analyfe ni demonftration, & il ne donne point la folution des aurres. . Comme c'efr principatement pour les Geometres que j'ai compofe ce Traite:, & que pour rordinaire les S~avclns ne font pas Joueurs, fai cru devoir expliquer fort au long les Jeux dont je parle dans cet Ouvrage, & rai tache de n'obmettre aucune circonllance necetfaire. Je m'etois propofe d'abord de mettre en langage ordinaire fa Colution de quelques-uns des Probl~mes les plus faciles, tels que font ceux de la troifieme Partie: mais j'ai ete contraint d'abandonner ce de{fein J pour neetre point oblige de fairedes difcours ina.. nis que perfonne n'auroit eu la patience de Cui vre. L'uLage de Algebre eR: de reprefenter a. efprit un grand nombre d'idees fous des exereffions fort' courtes, & de lui foumir de grandes facilites pour parcourir avec promptitude les raports des cnofes que 1'0n confidere. rai crt1 que ne voulant point faire un gros Livre, je ne devois point renoncer 'a, ~et ayantagc; je me fuis feulement attache
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• xxiv . PRE. F A C' E.. m'e.xpliquer de telle maniere dans la conclulio1l de chaque Probleme, & dans les Corollaires & let Remarques qui font ala fin de chaque [olution, que jepulfe etre entendu de tout Ie monde J &: . meme des Jou~urs. .... Comme on n'ecrit que pour etre lu, rai tache. de rendre facile la leaure de cet Ouvrage, & iai prefere fans eeine la f~ltisfaaion du Le~eur areCtime de ces e[prits mediocres, qui n'admire~t que ce qui leur coute beaucoup de peine, & ce qui leurparolt au deffus de leur portee. On trouvera que je me fuis fort etendu dans Ies endroits que far eru difliciles, & principalement dans ceux qui devoient repandre leur lumiere fur plufieurs' veri-' tes. Mais comme je f~ai auffi· que l'utilite d"un Livre de Matherriatique confifte mains dans Ie$ verites qu·il decouvre que dans la difpofition qu'll donne l'efprit d"en decouvrir de pareilles, &: qu'on acquiert beaucoup plus cette difpofition en trouvant ce que l'Auteur a deja trouve, qu"en Ie fuivant pas a pas, j"ai cru que je ne devois point me gener expliquer tout en detail, Be meme tout demontrer, & qu'il me fuffifoit de ne Iaitfer aucune diff!culte dont on ne p-at trouver la folution avec une application fuffifante. Enfin je me fuis propofe d'epargner au Leaeur Ie travail de l'invention, Be de lui en laiifer en que1que forte' Ie plailir.
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PROBLEME$
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PROBLEME S SUR
L E S J E U X D E H A Z A R D. PR.EMIERE
P.4RTIEw
D E' FIN I T ION
I.
fi~~~~ AN S les Jeux, les Gageures & les Loteries~,
l'argent que rifque un Joueur ell cenfe ne lui plus appartenir, car il en a quitte Ia propriete; mais en revanche il acquiert un cer. tain droit fur Ie fond du Jeu, c'eft a. dire, ...; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;.... fur I'argent de Ia gageure. . . Lorfque Ies condinons du jeu font egalement avanta.. . . geufes aux Joueurs, comme dans I. Palfe.dix, & un petir . nombre d'autres Jeux, ce droit ou l"efperancequ'jl fournit: eft equivalent a la mife de chacun des Joucurs. Mais dans· les Jeux) dont les conditions font inegalement avanra.:
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• t: PllOBLBM2 geures aux Joueurs, tels que font Ie ~Iu$ grand nombre, ce droit ne repond plus exad:ement a130 mife des Joueurs; &, en ce cas ,s'ils veulent fe retirer .& quitter la partie J pour rentrer en la propriete de quelque chofe, en renon~ant a ce que Ie haz.ara leur auroit donne J ils ne doivent plus partager egalement I"argent du jeu , mais ils en doivent prendre une partie plus ou moins grande, felon qu'il y a plus ou moins de probabilitc que les uns ou les autres ga.. gneront la fomme entiere dont on eft convenu. Cela pofe, fi I"on nomme" l'argent du Jeu, je dirai que Ie fort de chaque Joueur efi: Ie jufi:e degre Q'efperance qu'll a Q'obtenir 4. ; .& j'appellerai, parti J la convention ou Ie reglement que des Joueurs doivent Faire entr'eux , lorfqu'i1s veulent fe retirer fans courir Ie rifque de I"evene. ment du Jeu ; en fotte qu'illeur {oit entierement ega! , ou de continuer la partie, ou de la rom pre. AinG, en fuppofant que deux Joueurs foient c:onvenus d'hazarder chacun une demie pifi:olIe acroix ou pile, fi ron nomme la piftolle a, je dirai que Ie fort de chacun des Joueurs efi: ta; & que fi changeant d'avis ils veulent quitter Ie Jeu, Ie parti qu'lls fe doivent faire run arautre. c'eft de retirer chacun leur demie pifi:olIe. 5
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DE' F IN 11' l 0 N·
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I I.
I deux Joueurs veulent jouer fans avantage ni defa~antage un eu doot les conditions foient inegales ~
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i faut que celui, qui elles font favorables, mette au Jell plus que l'autre; & pour parler avec prc:cifion, il faut que fa mife fDit acelle de l'autre Joueur (lans la m!me raifon que Ies divers degres d'efperance qU'ils ont de gagner. S'ils jouent but a but, il ell: clair que I'avantage efi: pour l'ltft d~ ces Joueurs, &,. qU'il f~ut entendre par ce mot, lI'lIntage, l'exd~$ de ce qu'il attend du haz.ara fur ce qu'iI met au Jeu. Par e~elJ1ple, fi l'on fuppofe que Paul paciant but abut un ecu contre Pierre, d'amener un douDlet dll p.r~mie,r co.up av~~ deu¥ de~. QD ~t tt9uve pour Ie {Oft
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H A Z A 1l D.
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de Pierre A + tA,A defignant un ccu, cette fratHoD t.A qui eft I'exces' de I'efperance ou du fort de Pierre fur fa mire qui ell: A J exprimer~ [on avantage J ou ce que Paul devroit donner a Pierro, Ii apres aVOlr fait ceue convention avec lui, il vouloit rompre la gageure, puifqu'en vertu de la condition de cette gageure, Pierre n'a pas moins de droit fur les deux tiers de l'ecu de Paul, qu'il en a fur l'ccu qu'i1 a mis au jeu. Car i1 faut remarquer que quoiqu'il foit tres ineer~ain li Paul gagnera ou ne gagnera pas, &. qu'il n'r ait point de contraaicnon qu'il gagne mille fois de fuire,lI eft neanmoins tres certain que po~r acheter Ie droit de Pierre il faudroit lui donner quarante fols; &. que li Paul s'obligeoit de jouer trois coups aux conditions precedentes J Pierre pourroit auffi.bien compter fur deux ccus de profit com me fur deux ccus que Paul lui auroit donne en pur ,don, acondition qu'il voulut jouer trois ceus contre lui acroix ou pile. .. Quoique ces termes 4'lJ4111a1,e &. Jefo'lJ41lt4'll femblent ~treClairs, parcequ'ils font communs & familiers, j'ai em . qu'il ctoit a propos pour oter toute equivoque, d'expli" quer de queUe maniere je les entends; iI m'a raru que prefque tout Ie monde y attachoit de faulIes idees.
PRO P 0 SIT ION
I.
LiMNE.
Le lIf111llm des hll~,tls '1"i Pell'lJt1Il foire 'l,4gller Piem, & I.i . . Unne, A, IIa7lt m; dr Ie 1IIJ1Il/',e des "",,,,ds '1"i pell'lJt1Jt Ie {ai" pewire fJ8 t,,; Jq""" ~"'J ;'''lIt n, je dis '1"e s'il 71" iI ,/111 teS dllIX [ones de b"(.!I,ds J & '1,1,,, nztnuk P"" A f 4'gnu je. J III 1111'" J, fort M 1';"1'6 = m~...: : 0 •
a.
.pOua.le prouve.-, foit ~ Ie fort de Pierre" c~Iu~ de l'au. trejoueur,qu'on nommeraPaul, on aura x -+ J=,A. On auta auUi Jf , , .1 III • nJ cu. Ie 10ft de ~hacun de ces Aij
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PR()BLENE
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Joueurs ell comme leur efperance, & cette efperance e"ft: proporcionnee aux facilites ou aux moyens qu'ils ont de gagner, c'eft a dire au nombre de coups qui leur donne. ront A. De ces deux equations-, & J& ..- , A, on tirera J& c. ~f. D. . . Ainfi fuppofant, par exempIe, que Pierre-parie conue Paul d'amener un 6 du premier coup avec un de,- fon fort fera J .X.Al ......Sf xc - ' ,1. A , & Ie fort de Paul fera 1. , A'• D'ol! il fuit que pour parier egalement" Pierre devroit mettre un eeu au jeu, contre Paul cinq ecus,.pui(que dans une gageure egale les mifes de deux Joueurs doivent avoir' Ie meme rapon que les divers _degres de probabilite au d'efperance. que chacun de.s Joueurs a de gagner. J'aurois pu cnoncer ce Lemme plus generalement, Ia.demonllration eut ere la meme,. mais j'ai apprehende de rendre obfcure une chofe qui me paroir de la derniere. evidence, f~avoir que Ie fort de Pierre eft Ie raport de taus l.es COllpS qui lui (ant favorables au nombre de tous Ies coups pombles; au, fi.l'on veut. que ~on fort eftJe rapox du degre d'efperance au de. facilite q~'il a.de gagner, au _ ri[que qu'i1 court de perdre.
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PROBLEME
SU:Jl L.E- PH' A.R A 0 N. Derer.miTJer generJemtnt I'"vantage all Banq~iereAr raport IlUX Pontes•..
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Esp.indpales regles de·ce Jea font·, 19 , que Ie IBn:.. . quier taille avec un jeu entier compofe de cinquante. "eux cartes. 10~ ~e·le Banquier tire toates les carte~de {uire, mettant les unes (a d.oire & les·autres [a gauohe, en commen~ant par la droite. 3°. ~'a chaque main du a' chaque taille, c'eA: adire- de' deux en deux cartes, fe Ponte alaJiberte de prendre une'ou plufieurs cartes,.& de ha7.aldcr. ddfus. une·cortaine fomme. +0. Q!!clc B~
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f .quie~ gagne la mife du Ponte, 10rfque Ia carte-du Ponte arrive a la main droite dans un rang impair; & qU'il perd, Iorfque la carte du Ponte tombe a. fa main gauche & dans un rang pair. 5°. (t.ue Ie Banquier prend Ia. moi· tie de ce que 1e Ponte a mis fur fa carte, Iorfque dans une m~me taille la carte du Ponte vient deux fois, ce qui fait une partie de l"avantage du Banquier. Et en9n, que la derniere carte qui devroit ~tre pour Ie Ponte i n'ell ni pour lui ni pour Ie Banquier, ce qui ell: encore un avan. '-(age pot' rIe Banquier. 11 ell: evident que les conditions de ce Jeu font avantageufes au Banquier. La difficldte ell: de aeterminer cet .avantage, car il change, & felon Ie nombre des cartes que tient Ie Banquier, & auffi felon que la carte du Ponte au o'a point palfc: au a palfc: une ou plufieurs fois. J". La carre du Ponte n"etant qU'une fois dans Ie talon, ia difference du fort du Banquier &. du Ponte eft fondee fur ce que entre tous les divers arl'angemens poffibles des cartes du Banquier, i1 y en a un plus grand nombre qui Ie font gagner, qU'i1 n"y en a qui Ie font perdre, la der. niere carte etant confideree comme nulle; & dans ce cas il ell: aife de s"appercevoir que l"avanta.ge au Banquier augmente, a melire que Ie nombre des cartes du Ban-. quier diminue. 2..... La carte du Ponte etant deux fois dans Ie ~alon, t"avantage du Banquier fe tire de la probabilite qu'iJ a, que Ia carte du Ponte viendra deux lois dans une meme taille : Car alol's, Ie Banquier gagne la moitie de la mife du Ponte, excepte Ie feul cas, ou Ia carte du Ponte viendroit en doublet ~ans I~ derniere taille, ce ~ui donneroit au Banquier la mlfe entlere du PODte. 3°. La carte du Ponte etant ou trois ou quatre fois dans la main du Banquier, l"avantage du Banquier ell: fonde fur la poffibilite qu'il y a, que Ia carte du Ponte fe trouve deux fois dans une m~me taille, avant qu"elJe foit venue en pur g3.in ou en pure perte pour Ie Banquier. Or cette poffibilire augmente ou diminue, & felon qu'il y a plus ou rooins de cartes dans la main du Banquier , & felon que la A iij SUIt
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PROBLEME
carte du Ponte s'y trouve plus ou moins de fois. De tottt ceia il fuie que pour connoltre l'avantage du Banquier par rapport aux Pontes dans toutes Jes differences circonfranees de ce Jeu, ii faut decouvrir dans tous les differens ' arrangemens pofIibles des cartes que rient Ie Banquier, & dans Ia {uppolition que Ia carte du Ponce s'y trouve, Oll une, ou deux, ou trois, ou quatre fois, quels font ceux qui Ie font entierement gagner, queis font ceux qui lui donnent la moitie de la mife du Ponce, quels font ceux qui Ie font perdre , & enf1n quels font les arrangemens qui ne Ie font ni perdre ni gagner. Pour refoudre generalement ce ProbI~me, il eft apro. pos de commencer par les cas les plus fimpJes; & enruite paffant des cas plus compofes, il faut chercher quelque Ioi uniforme & queIqu'analogie qui puHfe fervir deme. ler dans tous les cas poffibles, les atrangemens qui fOnt avantageux au Banquier, ceux qui lui font indiff'erens, &: enf1n ceux qui lui font defavorables. Cette methode eft 1a feule qU'on puHfe utilement mettre en ufage, lorfqu'on a comme dans ce Probleme, un fort grand nombre de comparaifons afaire. C'efr auffi·la voye la plusnatureIIe, pour conduire l'efprit du Ledeur en ces matieres, & pOUl! Ie preparer aune folution generale. ..
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'J~f~~~~iii~i"~'~i~~~~~'i'i~~ PROPOSITION PIlE M I E R.
II.
CAS.
On foppoft qu'il rtfle quatre carttS entre les mains du Banquier, & que ceOe du Pontey eft un certain nombre de flis. 11 s'agit de dtterminer quel 1£ Ie fort du Banquitr & caui du P~~te : Par exemple, s'il y a lin ;eu fur la earte du P()nte, on demande quelle partie de l'feu Ie Ponte devroit donner tIU Banquier pour acbeter Ie droit de fe retirer, & de ne point courir Ie rifque du jeu ; .OU, ce qui revient au meme ., qua eft dans ce cas Je defovantage du P{)nte en jOU41lt ],ut but C01#re Ie Banquier.
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L faut divifer tout .ce que tous Ies divers arrangemens poffibles des quaere cartes donnent de gain ou de perte at! Banqaier par Ie nombre de tous ces arrangemens; rexpofant de cetee divifion exprimera fon fort. Pour decouvrir ces arrangemens dUFerens, il faut obferver que deux lettres, a-&:", peuvent s'arranger en deux f3.'jons, a", "a; que trois lettres, II, ", t, pcuvent s'arran. ger de fix fa'ions differentes : ce qui fe voit en mettant c oans & atoutes les placesqu'il peut avoir; f'iavoir, la premiere, ala feconde, & la croifieme. Ces fix ar... rangemens font:
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a", "a
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On trouvera. de maroc que quatre lettres, II, ", t~ J.
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PaOBLEME
peuvent s~arra.nger en vingt- quaere fa~ons djiFerentes~ puifque apeue occuper quatre places cWferentes dans chacun aes fix arrangemens precedens nombre des lettres . Generalement, fi l"on nomme qu'on veut arranger de toutes les manieres poffibles, qTe ~,"Cfn &, IU IJrLJ,/nv1 nombrede tous les divers arrangemens poffibles d'nn· nombre de lettres ex prime par p - I,. P'I exprimera en ~, 4,"MjtWU~b/mJk 1t4 com bien de fa~ons differentes on peut arranger des leetres rp~ Wl-n1, ~ I, (, ~,;., dont Ie nombre foit exprime par p. Par exemple, fi ron veut f~avoir en combien de fa~ons differentes quatre 'M'"lp-I.J4ic.4t.d1L~ lettres peuvent etre arrangees, on aura en fubllituant pour p fa valeur quatre, & pour 'I fa valeur fix. 1''1 = 1+~ & ce nombre exprimera en com bien de ta~ons differentes. quatre lettres peuvent s'arranger. Cela pofe, fi I·on veut exprimer les qpatre cartes dLl Banquier par les lettres a, tl, on aura tous les arran.. gentens diHerens de quaere cartes reprefentes dans lao Table fuivante. a",a /}lud ta"d Ja"t
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a"ac add
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Idal "aea
,aa" ta"a
J,"a Jea"
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"tlac
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Si ron fuppofe que la carte du Ponte delignee par Ia lettre a, foit une fois dans les quatre carres du Banquier, & que Ie Ponte ait mis fur fa carte une fomme d"argent exprimee par .A, on remarquera en confiderant la Table precedente, qU'il y a dou7& arrangemens qui donnent 2.,A au Banquier, fix qui Ie font perdre ou lui· donnent 0, & fix qui lui font indiff"erens.. Ceux 9ui Ie font gagner, font: alud "ellt!. 1°.
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Ceux qui Ie font perdre font:
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aUf:?£: Ainli e:?£::?£:rima:?£:t fort chii Ia 8 a.)(2.~:6)(O+6~A =~A=A+ ~.A. . . Si roo fupps:»'e que carte Pont:?£: trO:»l:?£::?£: deu:?£: lots entre Ies quatre cartes du Banquier, & que les deux lettres" expriment celie du Ponte, on trouvera que ~s cingt-~i:?£::?£:tre de ·1 able yen dou7.:?£: qui donnent 1../1 au Banquier : lc
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qui lui d~nnent t A , c-ell: adire fon Cal &: 1& dc t""onte
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ron :?£::?£:ca J jif)(2.A*e::f.A*{~={:£J.i~!·~140 30. Si ron fuppofe que la carte du Ponte fe trouve tro!s fois :?£:ntre quasc:?£: cart:?£:s B:?£::?£:quier & que les troIS 14'1*·#:"#:2", "§ t, eopsimeot selle Pons:?£: on sc:?£::?£:vera. eD~::e Ie ::~r: d~ B·aftqu~e~~:-- .A ..... ~ A.; car i1 y douze .ar.1S_~gem=.1S0A0 qw dO~§#:"'"§t B
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COJl.OLLAIR.E
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L paro~t par Ia folution de ce premier cas, 'que fi la, mire du Ponte eft un ecu, il doit donner quinze foIs,qui en eft Ie quart au Banquier,pour acheter Ie droit de fe retirer, foit que fa carte foit une fois , ou deux fois, oQu trois fois dans les quatre cartes du Banquier. COl\. 0 L L A'I It E
I I.
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E {eroit u~ travail infini ,de cherc~e~ Ies autres cas de la mamere qu~on a refolucelw-cl en cherchant dans des Tables les arrangemens favol'ables & conuaires; q.r ce nombre devient immenfe dans un plus grand nombre de cartes; auSi n·ai- je mis la {olution prece.. dente, que pour me faire plus facilement entendre dans
la {uite.
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Pour relaudre Ie cas precedent d'unemaniere merht1f~i'}.ue, & pour en decouvrir hazards pa!:' v(ie de
J ~:;tfi d laut rem~:~~:r une foit de!:'x Ie du Banqnie!:' fe!:'oit -lcrtt: C!:'r des deux a!:'!:'angeme~ls poffibles de dee x il V ee a !:'n qui donne 1",,4, & un qui I~i donne A; & que Ja carre du Po~nte y ctant plus d'une fOls,le fort du Banquier [eroit 1A" ce qui ell: evident. II faut obferver ~en{uire que la carte du Ponte ctant une fois dans quatre cartes, ~ti ron place let v.iegtooqwJat!:'e i~'r c",10 ,s.s_ '" P't tilt ot I"'" q""*ua""*re ",~Jrili
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f~l:'tn: l~~~~E~~r C~I::::::::!.~~::' :r:~
gerne?:ts. Et que partageant chacune des trois autres colonnes en trois colonnes de deux arrangemens"$ rune de ces trois der. nieres fc;avoir celie OU4QCCUpe la1econde place, donnera deux zero au Banquiert & ~chacune des deux aunes der. nieres donnera au Banquier Ie meme fort qu'il auroit dans Ie cas que le Banquier tenant deux cartes, celIe du Ponte f/y trouvat une fois, e ell a dire ~A, ce qui donne Ie [orr du
°fois
~
,0
•
lx'x·J.A+~x&xJ.xtA
Banqmee , C~tmme cl-denant =..
. .. . - ;+
. . . .. ~
=!~A=A+~A.
On obfervera de meme qee Ia. !:'arte du eepri= fi}is <)eatre !:'a!:' mee par les lettreJ II & ees, fi eoe~oitqnatte nrrJmgemenJ diff"e= eeet (tne Ie) qnatte!:'a!:'tet peunent receeoi!:', poCes fur quetr~ eomme ci~devant" les deux colon,nes qui eommencent par les lettres II & b, contiendront cbacunc quatre arrange mens qui donneroDt 7.A au Banquier, &: deux arrangemensqui lui donne~ont {A : Car dans l'une il y a deux arrangemens ou" eilluinie de b , &:. dem il ya deux arrangemen} oll h ell . de; r0"'UF" !:'he!:'une denx autres c!:'.$lonoes de fx eutses de deex , il v en °
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PROBLEME,
ces t!,ois qui donneront deux fois zero au Banquier, "
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Y occupant la feconqe place; & la troifieme donnera au Banquier Ie m~me fort qu"i1 auroit, fi la canedu Ponte fe trouvoit deux fois dans deux cartes; & par confequent on auroit encore felon cette idee Ie fort du Banquier ~ 2. x .. X & .A ..... & X 1 A+-2. )I 1)( J;A _ 1 =,A+ -.1.. A .. 14 On remarquera encore que la carte du Ponte exprimee par les lettres a J !J, t J ctant trois fois dans quatre cartes ~ les trois colonnes qui cornmencent par les Iettres "? !J, t, contiendront chacune deux arrangemens qui don. neront 1,A au Banquier, & quatre arrange mens qui lui donneront t,A J deux quelconques des trois lettres a , ", t, , ctant de fuite; & que partageant la derniere colonne qui commence par J en troi~ colonnes de deux arrangemens, chacune des trois donnera deux fois zero au Banquier, en forte que fon fort fera encore 3 )( & x "A +- 4 x fA -+ I x 0 q =A+-"itA. . . Enfin i1 eft evident que la carte du Ponte exprimee par les lettres a, !J, t,. erant quaere fois dans les quarre ~artes~ les quarre colonnes qui commencent par les Iettres a, !J, t, J, contiendront chacune fix arrangemens qui donneront au Banquier ~ A , puifque to us ces diff"erens arrangemens produiront neceffairement un doublet; d·ou il {uit que Ie fort du Banquier fera A +- ,t A. Tout cela eft fonde fur l'ordre des arrangemens, & , s'cclaircira par I"application que yen ferai aux cas fuivans.
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E L nombre de cartes que tienne Ie Banquier, 6 . celIe du Ponte ne s'y trouve qu'une fois, Ie fort du Banquier fera exprime par ~ne fracoon qui aura l"unite pour numerateur, & pour dcnominateur Ie nombre des cartes que dent Ie Banquier: Car fix cartes, par exemple, pouvant ~tre rangees en 710 fa'ions differentes, il eft clair 'Jue ti 1"on con'iQic cous ces arrangemens dUferens pofes
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S U 1l t B P H A Il"A 0 B. '3 fUr lix colonnes de cent _ vingt arrangemens chacune, en forte que dans la premiere la lertre '" foit parcour la premiere place, que dans la feconde elle foit partout a la Cleuxieme place, que dans la troifieme elle foit parrout a. la rroifieme place, &: ainfi de [uite, la premiere, la tf(~i "Jieme, &: la cihquieme colonnes donneront lA au Banquier dans taus leurs arrangemens; la {econde & la qua;.. trieme lui donneront zero, &: la cmquieme lui donnera 4. On auroit donc s J x !lOX a A + % X laO )( 0 + t X 110 X A
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72.0
Et generalemenr, fi I'on nomme p Ie nombre des carres du Banquier; m Ie nombre de tous les arrangemens poRi... ·hles de ces cartes, on aura toujours Ie fort du Banquier ex• , r 1e s= 1.p x!!!. xaA+!!!.xA "prIme par cette rormu 2. P _ ' -.A .A:r-
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PROPOSITION
III.
SEC 0 N D C A S.
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LtDll foP!~ tjll' Ie Bantjlli" rimf fix 'drteS, & celie tiM Ponte 'Y tji lin tertllin nom"" ae fois. On ae1lllmf1e'111,l tji I, flTt au BIIllqtlier aans tOllteS les Vllrilltitms ae tt fe&ona 'liS. 10. SO I T
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fuppofe que la carte du Ponte {e ttouve deax. fois· dans res fi» cartes. Si ces fix cartes font rep refen tees par les fix lettres II, ", " a, f, g, en forte que deux quelconques, par exem.. pie, II &: g expriment cefIe du Ponte. On remarquera, 1°, qu'on peut mettre les fept cens vingt arrange mens difFerens que fix cartes peuvent rece. voir fur fix colonnes, dont chacune fera compofee de fix vingt rangs perpendiculaics, en forte que la premiere colonne commence toure par la lettre ", la feconae par la lettre ", la troifieme par la lettre " &: de {uire. 2.0. Que les deux colonnes qui commencent par" Be par g, ont chacune quaere - vingt-feize rangs perpendieulaires, qui donnent au Banquier 2.A, &: vingt-quatre qJli lui donnent ~.A : Car chaque rang de ces deux colonDes " B iij
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donne 1.1'1 au Banquier l'exception de eeux ou." eG (uivie de g dans Ia premiere J Be ou. g eft fuivie de It dans la der... niere. Or cinq lettres pouvant reeevoir 110 differens arrangemens, Ie chacune (e trouvant neeefI"airement un egaI nombre de fois apres It dans la premiere eolonne, & apres g dans la derniere, il eft eviaent qU'il faut divifer 110 par +, pour avoir tous les doublets dans chacune des deux colonnes qui commencent ou par II, ou par g. Cette remarque eft importanre pour la folution de ce Probl~me, & il faut s'en fouvenir dans la fuire. . La plus grande difficulte, c'eft de deeouvrir ee que donnent au Banquier les quatre autres colonnes. Pour Ie dem~ler, il faut lCnlarquer d'abord que ~hacune de ces quatre colonnes donne un fort egal au Banquier ( ce qui eft' evident, ) &: qu'ainfi il fuRit d'.en examiner une. Soit Ja colonne qui commence par", celie que l'on vent examiner; &: pour plus de facilite, je la partage en cinq colonnes de vingt-quatre arrangemens chacune.
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11 eft: aife de voir, en confultant cette Table, que Ia premiere & la cinquierne colonnes donnent zero au Ban. quier, puifquc dans Ia premiere la lettre til, & dans la cinquieIpe la lettre" y riennent la feconde plac~, & que chacune des trois autres colonnes contient douze arran. gemens qui don'nent 1A au BanqUier , huit qui lui donnenr ~ero, & quatre qui lui donnent {A, c'eA: adire que cha. cune de ces trois colonnes donne les memes hazard, 'lu'on a trouves pour Ie Banquier dans Ie cas precedent,. lorfqu'on a fuppofe qu'il tenoit quatre cartes, parmi lef. quelIes celIe du Ponte fe trouvoie deux fois , done la rai. fon eft que les deux premieres lettres de la fe-conde, troi. berne & quatrierne colo nne de la Table d. delfus n'etane point celie du Ponte, it refte quatre JettRs, parmi let: quelles celie gui exprime la carte du Ponte fe trouve deu~ fois: ce qui fe reduit manifefternent a I'article fecond dD as precedent, ou Ia carte du Ponte fe trouve deux fots. dans quatre cartes. . Ainfi la colonne qui commence pa.r Ia. Ierne' ", donne:. ra au Banquier 1. )( 2.4 X 0 + J x 8 X 0 -I- u. X 2.A -+ + x f.A . ,G A. Or les colonnes de 110 arrangemens qui commen. cent par c, par ti, & par I, donnent la meme valeur & 'par confequent pour avoir tous les' coups favorables que d~:)Onent .les quatres. cO.lonnes qui ne commencent ni par til, m par g,I1faut multIplIer 90A par 4, cequi fait 360 ,A; ~[ quai atoutant 2. x 9' x 2.,A -)- 2.4 x fA +r'.A pour Ies. coups favorables que donnent les colonnes qui comrnen-
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centpara&parg,on aura 71.0 ~!~A=.A+-!.A· pour Ie fort du Banquier dans Ie cas propofe.. IS
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E L nombre de ,cartes que tienne Ie B'anquier, {f celIe du Ponte s y rencontre deux fois, pour trouver Ie ore du Banquier , iJ faut concevofr tous Ies arrange. mens poffibles des cartes qu'il tient pofes fur autant de' colODDeS,. qu'il a de cartes.; k remarquer enfuite que Ie5, .
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I, & encore vingt-quaue, ou "
en fuivi de g; il en eft de m~me des coionnes qui com. mencent par f& par g. I!0ur connoitre ce que donnent Ies trois autres colonnes, on prendra garde que partageant une de ces trois colonnes de cent vingt rangs perpendiculaires en dnq aut res de vingt-quarre chacune, par exemple, la colonne qui commence par ", ainu qU'elle eft reprefentee a la page 1+, il Y en a trois de ces dnq qui donnent zero au Banquier , f~voir celles 6u les Iettres II ,/& g font ala feconoe place, & que chacune des deux autres colonnes contient douze arrangemens qui donnent {A au Banquier~ fix qui lui donnent zero, & fix qui lui donnent 'LA; c'eft a. dire que chacune de ces deux colonnes donne Ies mames hazardsqu'on a trouves pour Ie Banquier dans Ie cas precedent, 10rfqu"on a fuppofe qu"il tenoif quatre cartes I parmi lefquelIes celIe du Ponte fe trouvoit trois fois; done Ia raifon eft ~ue les deux premieres Iettres de la feconde &: de la troifi~me colonne de 130 Table,pag. l4,n'etant point celIe du Ponte, it refte quatre Iettres parmi lefquelles celIe qui e~prime Ia carte du Ponte y eft trois fois, ce qui (e reduit manifell:ement a l"article troifieme du cas pre:cedent. Cela pofe, Ies colonnes qui commencent par les lettres
II, t, til donnerotit J x
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fA ... ,)( aA = ..IX fA = ,.,1 A,
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quoi ajourant J )( 7& x a.A + pour ce que donnent les trois colonnes qui commencent par les = +-!c;A pour lavaleur qui Iettres 1I,!,g, on aura exprirnc Ie fort du B30nquier dans Ie cas .propofe.
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E L nombre de cartes que rienne Ie Banquier, Ii . celIe du Ponte s'y rencontre trois fois, pour trouver Ie ort du Banquier, il faut concevoir tous les arrangem~s poail>les des cart~s que tient Ie Banquier pore.s Tur aJltant de ~olonnes qU'll a de cartes, Be remarquc;r enfuite
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que les trois colonnes qui commencerit par Ies Iettres qui expriment Ia carte du Ponte, donnent chacune 2.A au Banquier, aI'exception des arrange mens , ou deux quelconques des trois lettres qui expriment.Ia carte du Ppnte fe trouvent de fuite a la premiere & a la feconde place; ces derniers lui donnent ~ A. Pour trouver combien i1 y a de ces arrangemens dans chacune des trois colonnes) il faut divifer tous les arrangemens qui Ies compofent par Ie nombre des cartes moins un : L'expofant de cette divifion multiplie par deux exprimera Ie nombre des arrangemens qui donnent {A d~ns chacune de ces trois colonnes. Pour determiner ce que donne chacune des trois autres colonnes, on Ies concevra chacune partagee en autant de colonnes moins un, qu'iI y a de cartes; & obfervant un arrangement pareil celui des deux Tables precedentes, on trouvera qu'il y a toujours trois de ces aernieres co. lonnes qui donnent zero au Banquier, les trois Iettres qui expriment la carte du Ponte y occupant la feconde place; & que chacune des autres egales a celle.. ci donnera au Banquier Je marne fort qu'iI avoit dans Ie cas precedent, ou, Ie nombre des cartes du Banquier etant moindre de deux, celie du Ponte y eroit deux fois. 3°, Pour trouver quel eft Ie fort du Banquier, lorfqu'il tient fix cartes, parmi lefquelles celie du Ponte fe trouve quatre fois. On remarquera qU'exprimant comme d-devant Ies fix cartes par Ies lettres ", ", " J" I, g, dont quatre quelcon.. ques, par exemple, ", J" f, g, defignent celIe du Ponte, fa 1'0n difrribue les (ept cens vingt arrangemens poffibles de ces fix cartes fur fix colonnes, done la premiere commence toute par Ia lettre II, la feconde par la lerue ") &c. comme i1 a ete die ci.devant, les quarre colonnes, dont la premiere lettre exprime Ia carte .du Ponte, contiendront' chacune 4-8 arrangemens qui donnent 2.A au Banquier, & foixante & douze qui lui donnent{A. Car des quatrc: . lertres qui expriment la carte du Ponte, il y en a trois qui fuivent la lettrell dans 1a premiere colonne, & il en eft-
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mame des autres colonnes qui commencent par les . lectres J,f,g. . Pour connoitre ce que donnent. les deux autres co-, lonnes, il faut obferver q~e partageant une de ces deux . colonnes de cent. vingt rangs perpendiculaires en cinq aueres de vinge-quatre chacune, par exemple, la colonne qui commence par ", ainfi qutelfe eft reprefentee dans Ia Table page 14; il y en a qlfatre de ces cinq qui donnent zero au Banquier , ~avoir ~ ceUes 00. les lettres ,,~ J" f, g, font a.la feconde place, Be que rautre concient vinge .. quatre arrangemens J qui donnent au Banquier -\" j la raifon en eft evidente. Cela pofe, Ies colonnes qui commencent par les Iettres II,
J, (, g, donneront toutes enfemble -4 x ... x·" A .... 7' x -\A.
aquoi ajoutant +
~ A, pour ce que donnent les deux colonnes qui commencent par les lettres " &: t J OD aura ~:~ A =.A -4- 70 .A, pour Ia valeur qui exprime Ie 2. x
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fort du Banquier dans Ie cas propofe. C
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EL nombre de cartes que tienne Ie Banquier, fi celie du Ponte sty rencontre quatre fois, pour trouver Ie fort du Banquier, il faut concevoir tous les arrangemens poffibles des cartes qutil tient pofes fur autant de colonnes qU'il a de cartes, &: remarquer que les quatre colonnes qui commencent par les lettres qui expriment la carte du Ponte, donnent chacune 1,A au Banquier, a i'exception des rangs, oU. deux quelconques des quatre lettres qui expriment la carte do. Ponte fe trouvent de [nite fa premiere &: la feconde place; ees derniers lUi donnent fA. Pour trouver combien i1 y a de ees arrangemens dans cha.cUne des quatre colonnes, il faUI: divifer tous les urange mens qui les compofent par Ie nombre des cartes moins '. un. L'expofant de cette divifion mulriplie par trois exprimera Ie n.ombre des arrangcmCen~. qui don-
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donnent t.A dans chacune de ces quaere colonn"es. Pour determiner ce que donne chacune des deux autre5 c:olonnes, on les CODcevra chacune partagee en autant de colonnes moins une qu'il y a de cartes; & obfervant un arrangement pareila celui des deux Tables pag. 8 & 14, on trouvera qu'il y a toujours quarre de ces dernieres colonnes qui donnent zero au Banquier, les quatre lettres qui expriment la carte du Ponte y occupant fa feconde place, & que chacune des autres egales celles-ci donnera au Banquier Ie mcme fort qu'on a trouve pour Ie Ban~uier "dans Ie cas, ou Ie Dombre des cartes du Banquier crant moindre de deux, celIe du Ponte y eroit quatre fois.
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PRO P 0 SIT ION T
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CAS.
L'on foppoft qu'il refo huit cartes aans la main Ju Banqui" ~ & que aans ces huit cartes ceUe au Ponte.J eft aeJIX fois; on aemAnde 'Iuel eft dAnS ce"cas l'a'Vantage au BAn'Iuirr. . . 1°. ~
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reprefenrees Ies huit cartes du Banquier far les huit lettres #I, !J ~ e,J ~ f, , h ~ k.; foit aWli de 19nee celle du Ponte par les deux que~conques #I & !J. On f~ait par ce qui a ete dit dans la folution du premier cas pag. 7 & 8, que huit cartes peuvent ctre arran gees en quarante mil trois cens vinge fa~ons difFerentes: Si done 00 place tous ces arrangemeos diffcrens fur hait co.lonnes, qui en contiennent cliacune cinq mil quarante, en forte" que tous les arrangemens de la premiere colonne commencent par la lettre. #I, tous les arrangemens de la ieconde par la lettre ", & ainfi de foite. On remarquera que les deux premieres colonnes contiennent chacune quaere mil trois cens vingt arrangemens qui donnent 7.A au Banquier, & {ept cens virigt arraD~.. mens qui lui donnent A. _ . lEN T
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PHAllAON.
2.1
. Pour determiner ce que donnent chacune des fix autres colonnes, OD les fubdivifera en fept autres compofees ·chacune de fept cens vingt arrangemens felon rordre de Ia Table page 14, & on obfervera que de ces (ept colonnes il y en a deux qui donnent zero, f~a voir celles ou " & " font a Ia feconde place, & que Ies cinq autres cODtiennent chacune deux cens quatre - vingt huit arrangemens qui donnent zero au Banquier, trois cens trente- fix qui lui donnent 1.A, & quatre-viogc feize .qui lui donnent t.A; c'eft a dire que chacune de ces cinq coloDnes donne au Banquier Ie meme fort qu'on a tro~ ve, lorfque dans fix cartes celIe du Ponte s'y trouvoit deux fois : D'ou il faut condure que chacune des rue colonnes, qui ne commencent ni par #I ni par ", donnera au Banquier 408o..A, & par confequent Ies fix enfemble don. Deront 1#8o.A. Ajoutant donc a cette valeur celIe que donnent Ies deux coionnes dont les arrangemens com.. mencent par" & par" , on aura 2.+410 A)( 1'+40 A -..±.ll.~ -" 4012.0 40 U JZ ..A ... A pour la valeur qui exprime Ie fort du Ban. quier dans Ie cas propofe. 1°. On trouvera de la meme maniere que Ie fort du Banquier, Iorfque dans fes huit cartes celle du Ponte s'y
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n-
trouve trois fois ell: = J )(
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)C
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4012.0
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fA ...
J X 811)( 4)( A =.Hf40A == A -L" +ouo 401.0 LZ-I-I.ILZ 3°. On trouvera pareillement que Ie fort du Banquier, lorfque dans fes huit cirtes celle du Ponte s'y trouve
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4o)( 2.180 x ",A -I- 1.160 X t A q uatre fois , ell: ~,~ + :c: Uf!gA=..A -I- ;~A.
G ENE a;
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+x~,~ 188 " ,·A
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Tel nombre de cartes que ~enne Ie Banquier, &0 tel nombre de fois que la carte du Ponte foit parmi celles du Banquier, on trouvera roujours fon fort en cette forte. 1-. On cherchera par la methode de la page 8 Ie nombre C iij
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byC;oogIe
U P&O~LIM. de tous· Ies diflerens arrangemens pofiibles des cartes du Banquier. 1.0. On fe reprefenteraces cartes par les Iettres II, II, t, J" f, &c. & on fuppofera que cerraines volonte· dc::iignent celle du Ponte. 3°. On concevra tollS ces arran. gemens differens dill:ribues fur autant de colonnes qu'il y aura de cartes; en forte que la premiere commence route par la Iettrell,la feconde par la"lettrell,la troifieme par la Ietre , , &c. 4·. On remarquera que les colonnes qui com· mencent par les ]ettres qui defignent la carte du Ponte, donnent ~A au Banquier dans tous leurs arrangemens,. l'exception de ceux ou deux quelconques d'entre les lettres qui expriment la carte du Ponte, fe trouvent de . fuite ala premiere & ala teconde place; ceux-ci donne.. ront tA. Pour trouver Ie nombre de ces arrangemens dans cha. rune de ces colonnes, on divifera Ie nombre des arrange. mens dont eftcompofee chaque colonne par Ie nombre des cartes du Banquier moins un, & on multipliera rexpofant par l~ nombre de fois moins un que la carte du Ponte fe rrouve dans celles du Banquier; ce produit donnera tous lesarrangemens de ces colonnes, qui donnent fA. A I'egard des autees colonnes qui commencent par des lettres difFerenres de celles qui expriment la 'carte du Ponte,' il faut, pour y decouvrir les arrangemens favorables, Ies concevoir chacune partagee & fubdivifee en au. tant de colonnes moins une qU'jl y a de cartes, & avoir egard l'ordre marque dans Ies Tables des pages 8 & 14; <>:oferver que de ces dernieres coJonnes i1 y en a toujours autant qui donnent zefO au Banquier,que la carte du Ponte fe trouve de fois dans celles du Banquier ~ & que. chacune des autres petites colonnes donne au Banqu1er Ie meme fort lu'on a trouve dans Ie cas qui a precede; c'eft dire, dans e cas, Ie nombre des cartes du Banquier crant moiodre de deux, la carte du Ponte s'y trouve un egal Dombre de fois. Ainu 1'00 trouvera entre tous les differens arrangemens pollibles des cartes que rient Ie Banquier, quels fOnt Cf~ q~ lui donnen~ 0114, ou J..,dol ou fA ~ ou.. ~ero i &.
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, S U" L EPHAllA 0 N'r 1f,J ?it -coa{equent on aura par cettemethode Ie [ott duBall~
quier dans tolis les cas peffible, ;_c~'Ru'i1 faUoit ttouver. " " En fuivant l'idce de terre ,demonffration> Ii l'on nomme .p Ie nombre des cartes que tient,le Banquier, f Je noinbr,' de fois'que la'carte du Ponte eft dans celles du Banquier, 's Ie fort du ~anquier dans un no~bre-de cartesexprime (par p ---'1. , 'S Ie fort cherche; 01'1 aura Ie fort du Banql1ier .aprimepar (jetee fermule' . . _ ''1- )C f.,A ... ,'1'1 - '1)( {-..4 .,..-g)( p=f)(.p - '1- ; $= _.. i
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P)(/-I On peut trouver par cette fo;mu.le Ie fort du Banquier, fluelque nombre de cartes qu 11 alt entre les m'ai,ns, ~ quelque nombre de fois que la cartedu Ponte y foit COI1).. prife. Mais cetce formule a eet inconvenient fort grand de ne donner i»avantage d!1 Banquier pour un certain Dom. ore de cartes dcfigne ,par p , que lorfqu'on [~ait deja foa ~van~ge.pour;un nombre de cartes qui [oitp-1.., Ainu <:ette formule ne peut cere utile que pour trouver tous les diH"erens .cas les uns apres les autres, en commen~ant par Ies plus fimples. En void une autre beau coup plus redier.. .:hee, &: :infiniment plus etendue, qui donne fans beau_ coup decalcul tous les differens cas en general, &chaque ,as 'en pareie,ulier independamment les UDS des autres.. L'avantage du Banquier peut ctre exprime par une fraClion qu'on dererminera par la regie qui fuit. Le denominateur contiendra autant de prodl1its des quantites p' p - J , P - 1., &c. qu~l y a d'unices dans f.~our avoit Ie numerateur il faudra prendre dans'la Table des combinaifons page '80,~ tin rang horizontal, dont Ie quan_ til~me foit f - I , ajouter en une fomme totIs les termes de ce'. rang qui font en nombre im~(, commencer par celui -qui eorrefpond p - 7. dans Ie rang des nombra. naturels, c'ell adire Ie premier, Ie rroifiel11e, Ie cinquic-, me , &c. jufqu'a zero; multiplier cerce fomme par al1tant deproduits des Bombres narurels.-I, 7.,3, +,'5, 6, &c. quOil . 'f a d·unites dansq, & la multiplier encQre'par tA, avec (ctce feule:.exception. que 'I. etant 1., il4ut multiplier let
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·demier terme de la fuite par.A, &: non par tAo 'CettW Jegle s'cdaircira par un Exemple. 'Soit 'I =='6, & 1 == 14, il faut ajouter les termes de la cinquiCmebande "horizontale, commencer par 49J qui correfpond u. =1-1., ces termes font 4-95'" 2.10 ....70 + IJ'" I, dont Ia fomme ctane multiplice .par I, I., 3,4,5,6, &c. multiplice encore par:{-A, & divifee,par 14, 13,11, II, 10,9, eft 6~~!.A. ~ Pour reduire cette regIe a des formuies qui determilo ne~t tout 4'un, coup,. en fubftituant pour 1 fa valeuc ~ l'avantage du Banquier pour quelque nombre de cartes que ce foit, Iorfque la cane du :Ponte s'y ·rr-ouve un cer.. tain nombre de fois exprimc par 'I; il fuffira dans Ie cas de f = 3, de trouver la fomme d'une progreffion arithme... tique ; ainu les trois premiers c.as ou.!J = J = 2. = 3~ Ji'ont nulle diflicuh:c. A l'cgard des autRs, on a hefoin de la folution generale du Probl~me qui (utt : T,wvtf It. fomme 11ogfl.//io" cha'l'" ""111 foil fonnJ fI••tll_ tl, ,rodMils t.U 'l.lIfJlith 'I'" JJtroiJint tit f.nit; a 'i"'iI,r " tl."ith da"s q -"2.. Ainfif ctant.ll-, i1 s'agit de trouver lafomme d'une·pro. greffion dont Ie premier terme.foit 1 - 2. )( P- 3'"1-4)( 1 - 5 ... 1 - 6 )(.1-7 &c. Si 'I 5, 'it fauttrouver la fomme de cette progreffion p - 2. )( 1 - 3 )( P - 4 +- P ~ 4 xl - J )( 1 - 6 -4- 1 - 6 )( 1 - 7 )( P - 8 .... &c. 6, ,il faut uouver la fomme de cette progreffion $i' f )(1-3 X/-4)(1-$+1-4)(/-5)( p- 6)( , -7'" 1 -.6 )( P - 7 )( P - 8 x P - 9 +- &c. &: ainu de fuire par raport aux di£Ferenres valetus de 'I. Comme la methode qui fert trouver Ja {om me de ces mires eft aU"ez unguliere, & peut paroitre avoirquelque difficulrc , j'aurois fouhaite }'expliquer iei ; mais comme elle fuppofe ce qui eft demontrc depuis la page 80 jufqu'a • Ia page 100, je me contenterai en donnant les formule, J '", . " J A' ~ ,+I. .A ,(Wv.antes, JJ= -, C it=) A:t D
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L =, &c. oe faire obferver une propriete fort finguliere -des nombres figures, qui m'a fervi de fondement pour -trouver. Jes fommes des fuitesprecedentes. Cette pro.. ..priete cooftfre en ce que rangeant ces nombres en triangle comme Ja page 80, u ron nomme un nombre naturel.quelconque pair p, la fomme des nombres d'un rang quelconque horizontal qui repond~nt des nombres natureIs impairs, {era egale al'exce:s des nombres qui dans Ie rang fuivant rtpondent des nombres natureb pairs, a· commencer par p fur les nombres de ce dernier r~n, qui repondent des nombres naturels impairs. La premiere de ces formules e~prime I'a:va.ntage du Banquier quand la carte du Ponte fe trouve une fois dans ·fa main, ]a feconde exprime fon avantage lorfqu'elle s'y trouve deux fois,]a troifi6me exprime fon avanrage lort: 4iu'elJe s'y trouve trois fois , & ainu de {uite.. rai dreif6 deux Tables fur Ies quatre premieres formules , dans Ie deifein de faire plaifir aux Joueurs, & de fatisfaire leur curiofite. Pour en connoitre I'ufage: il faut .f~avoir que dans Ia. premiere ]e chifre renferme dans la cellule oexprime Ie nombre des cartes que rient Ie Banquier, & que Ie nomb.re qui fuit ou la cellule dans la pre. miere colonne, ou deux points dans les autres colopnes, ex~rime ]e nombre de fois que Ia carte du Ponre ell: fup~ poree fe trouver dans ]a. main du Banquier. L'ufage de la. feconde Table ell de donner des expreffions ala verite moins exaCl:es, mais plus fimples & plus intelligibles aux JOlleurs, de. fractions qui dans la premiere delignent avec preci 40n Pavantage du Banquier. II faut f~avoir pour entendre cette Tab]e, que cerre marque >- fignifie exces, & cette autre defaut, en forte que j'enrens par une· C{uantite plus graBde que ~, ~ plus petire que f. . On ~ut faire par raport aux nombres de ·12. premiere Table, pluficurs ob{ervatioDs a1fez curieufes. Void Ie, principalcs. D
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L L A I 1l E
I.
A N S la premiere Table l~avantage du Banquier eG exprime dans la premiere colonne par une fracnon dont Ie numerateur ctant toujours l"unire 1 Ie denomi.. nateur ell: Ie nombre des cartes que rient Ie Banquier. Dans la feconde colonne cet avantage eft exprlme 'par une frad:ion dont Ie numerateur crant felon la {uite des n?m,bres naturels I, 1, 3, 4, &c. Ie denominateur a pour ddference entre fes termes les nombres 18, 16,34,41; 50. 58, dont la difference ell: 8. Dans Ia troifieme coionne Je numerateur ctant toujours 3, la difference qui regne dans Ie denominateur ell: g. Dans Ia quatrieme coionne la difference erant toujours 4- ~ans Ie nume~attur, ledenominateur a pour diffe. rence entre fes termes Ies nombres 14,40,56,72., 88,&c. dont la difference ell: 16. On peut encore obferver une autre uniformitc a1J'ez finguliere enrre Ies derniers chiffres du denominateur de ·chaque terme d'une colonne. Dans Ia premiere les derniers chifFres du denominateur font felon cet ordre 4,6, 8, 0, 1 14,6, 8,0, 2. I &c. Dans ]a feconde iIs font felon cet ordre 1,0,6,0,112.,0,6,0,2.1 &c. Dans Ia troifieme ils (ant felon cetordre 1,0,8,6,41 2., 0, 8 , 6 , 4 I &c. Dans la quatrieme ils font felon cet ordre 6, 0, 0, 6, 8 I 6, 0, 0, 6 , 8 I &c. On recherchera avec plaifir la caufe de cette uniformite.
O
COROL,LAIRE
II.
N pourra par Ie moyen de ces Tables trouver tout . d'un coup combien un Banquier a d'avantage fur chaque carte. On pourra pareillement f~avoir combien chaque railJe complette aura dd, fortune e~ale, apporter de profit au Banquier, fi l~on fe fouvient du nombre de cartes qui ont ete priCes par les Pon~es, des diverfes circonR:ances dans Iefquelles on les a mifes au jeu,& enBn de la quantite d'argent qU"on a hazarde deffias. On trag.. vera apparemment que eet avantage eft trap confide. rable. On lui donneroit de juftes bomes en eralili1rantque Jes doublets fuifent indifferens pour Ie Banquier& pour Ie
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I.,
N.
Ponte, ou du moins qu'ils vaIu1fent feulement Ie tiers au Ie quart de 1a mife du Ponte.. Ainu ce quirefl:eroit d'a...vantage au Banquier, feroit fuffifmt pour faire preferer aux Joueurs qui entendent leur interefl, la place de Ban... quier a. celie de Ponte; & ne feroit pas affes conuderable, pour que les Pontes en fouffrUfent bCaucoup de prejudice.
C 0 a.
0 L L A I II E
I I I.
~ defavantage
FI
N que Ie Ponte prenant une carte ait Ie moins de u'il ell: poffible, it faut quid en choie une qui ait p:a1 deux fois; car il y auroit plus de deC.
avantage pour rui, s'H prenoit nne carte qui eut paHc: une fois, & plus de defavantage encore, S'jJ prcmoit uue carte qui e\lt pafi"c' trois fois; & enfin Ie plus mauvais chojxque pullre faire un Ponte, c'efl: de prendre une carte qui n'lit point encore pafi"c. . Ainu lion trouvera, par exemp1e, que fuppofant A ega! a une piftalle,'i'avantage du Banquier qui lttoit di)tp neuE fols deux deniers, dans la fuppofirion que la cane du Ponte fUt quatre fois dan~ douze cartes; & {eiu lois huit deniers" dans 'Ia fuppofition qu'elle y fUt une fois., n'efr plus que trei'l.e fols Cept deniers, IOrlque dans ces douz.e cartes celIe du Ponte s'y t~ouve trois fois, & dix fob {cpt deniers, lorfqu'elle n'y ell: que deux fois. On remarquera la mcme chofe par rapport tout autre nombre de cartes.
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RBM.A.Rf1..VB
I.
perfonnes qui n'one point examine afond Ie Jeu du Pharaon & de la Ba1fette, pourroient trouver are-dire, que je ne parlaffe point des nlafi"~, des, parolis, de Ia paix des fept & Ie '1)4, &c. car la plupart des Jou~ur.s s'iIbagi~ent qu'i1. y a en tout cela bien du myftere. ren ai connu qui croyoient avoir de bonnes raifons pour preferer de mettre quatre Louis fur une carte umple a. faire Ie paroli de deux Louis, ou Ie fept & Ie '1)4 d'un Louis. D ij
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2.8
E'M"B-
Ten eli v4 d'autres qui s'etoient perfuadcs qu~I ctoit tift avantageux de Faire fouventdes paix: neanmoins il ell: evi:dent que, puifque Ie Ponte a la·Iibertede prendre achaque
fois'lU'U perd ou qu'il gagneune nouvelIe:cartetelle qu'U lui. plait, il ne doit point s'embaralfer fi c'efi: ou un fept &!: Je 'IIr6, oU' \Ul. paroH, au une paix, ou une double paiJ[ ,.ace;. Car faire Ie paroH d'un Louis n'ell: autre chole que de. mettre deux .Louis fur une cal'te, apres avoir gagne un; Louis; Be &ire Ie fept & Ie va d'un Louis n'ell: autre chof~ cque' de mettre quatre Louis fur une carte, apres en avoil"" gagne trois :- Be de m8me, £aire Ia paix d'un Louis n'ell: autre· chofe que·de-mettJ:e·un. Louis fur une carte ,..aprcs.. avoirgagne un Louis fur-cette meme'carte: . . 1:.'oD n'a apparemment invente les paralis. Ies fept & le·v",", Bec. que pour e~rgner au Banquier la peine' d~ payer ceux. qui'ODt den-ein' de mettre fur leurs cartes Ie aouble de ce qu'ils .viennent de gagner: neanmoins. il feroit .plus utile· aux Banquiers de. prendre ce fain, que· diane ~olCs., comme ils..Ie IOnt-, ice. qu'QD. nomm~ Alpiou de Campagne. : "Pour moi, je crois que fi les Banquiers n'oot ~int abolt: rufage de faire- ces comes dont Ie grad nombre caufe' dans Ie Jeu une confuflOD qui ell: fouvem' prejudiciable au Banquie", Be quhfavorife Ies tromperies des Pontes, c'ea que Ies Banquiersont bien.VIi que-la pluyart des hommes !ie-jugeam point des chofes par.mifon, te Ponte.quiferoir fans peine Ie. fept Be Ie va d'un Louis, crorant ne.hazarder qu'un, Louis , rie pourroit fe refoudre a mettre quaere.' Louis fur UM carte tiinp,le•. Outre. que, pour l'ordinaire: c,'ell: .dans les dernieres cartes, lorlque l'avantage du Ban. quier etlle pl~s-confiderable, que.lesPon~es fe ~icqnent-&: . ront Jes parohs, les frpt &.Ie·va" &:c: ce·qw les dedommage ' 'al7ec ufure des tro~rie$ aufqaelJes iIs font par Ii expo... {Cs, m~is dont i1 n'e~ 'pas d'ailleurs impoffi61e. de fe ~a~. :rantir. av~ beaucoup d'afplication~ Be. avec: raide. d U81
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+~4 +99 -
-
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a+-1-4
a
:2=4+
4 +1 * 4 .
a
:2=4+
4
a
:2=4+
4
:2=4+
4+t4
a-
:2=a+
a +1 * f a
a-
:2=a+
a-
: 2 = a+
a+~a 1+ a+ ---L- 4
4
: 2 = a+
4+-1..-a
:+=a-+
20!~
a
: 2 = a+
a+.-1-a
:+=a+
£2 a 179 8
a-
:2=4+
a4-
:+= a
a-
:2=-4+
4 + __3_ 4108
:+=a+
1 26 a-
: 2 = a+
4+--L-4
:+=4+
a
: 2 = a+
a + --1.- a 92
:+=4+
4
: 2 = a+
a+~a
4
: 2 = a+
a-
: 2=
4
: 2 = a+
a
:2=a+
a
!2=
a
~l=a+ ~l=a+
~l=a+
1-:
~1=a+ ~1=a+ \£]1= a+
~I=a+ E!jl=a+
~l=a+ [2+11=4+
8 1 =a+
1
+8 1
+6 1
++ 1
+2 1 +0 1 38 1
36
1 3+ 1 32 1 30 1
28
1
241
22.• 1
E).l=a+
20
E!jl=a+
18
~l=a+ E!jl=4+
8 1 =4+ 8 1 =a+
I!Jl = 01 ,
:+=a
* * *
: 2 = a+
~l=a+
a
*
* * '*
~1=a+
j3i\1 =
:2=
a ",is k pa,9' 28.
a+ a+
. [!]1=a+
1 1 16
1 1+ 1 12
1 10 1 8 1
6 1
+
a+
+
19 6
+
+
-.to1 0 4
.:+ __
1+0 13 2
12+
a
100
3
3 8 70
8i' a
a+
3f2
:+=a+ 3 1
1 +
3
87 4
:+.=a +
4
'"'1i'6
+23 0
a
7£ 4 2886 7 1 a:+=a+ 2\"9 0 67 :+=a+ 23 10 a-
:+=a-+
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:+=a+
6+6
a
: + = a+
a+ __3_ a
: + = a+
4+ __3_ 76 3 a+
68
60 3 a+ _ - r-2- 4
:+=a+ :+=a+
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a. + --La
:+=a
a
:2=a+
:+=a +
a
; 2 = a+
a a+ --1...28 . a+ _3_ a
a
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II.
efoit facile aux Joueurs de s~appercevoit que I'avattcage du Banquier augmente proportion queJe nomre de fes cartes dimin~e, mais il etoit impoQibie de decouvrir fans Analyfe la loj tie cerre diminution, Be, ce . qui eft Ie plus important, de f~avoir comment cet avan. rage vane felon que Ia carte du Ponte fe trouve plus 011 moins de fois dans Ia maiD du Banquier. -Les Joueurs n'eufi"erit afi"urement jama.is pu imaginer que l'avantage du Banqllier par raport une carte qui n'a point pam; ~ ell: prefque double de celui qu'il a fur une carte qui a paifc deux fois, & beaucoup moins- encore que fon avantage par raport une carte qui a paHe trois fois, ell: fon- avan.. rage par raport une carte qui a paife deux; fois dans Wl plus grand raport 9ue de trois deux. Les Joueurs trOuveront tout cela fans peine, & peut - atre avec quelquo furprife dans les Tables ci jointes; ib y verront, par exem. pIe, que I'avantage du Banquier qui ne feroit qu'enviroD vingt - quatre fols fi Ie Ponte mettoit fix pifl:olles ou Ia premiere taille du jeu, ou fur une carte ~ui auroit palfc deux fois lorfqu'il n'en reGeroit plus que vingt-huit (fans. la main du Banquier (ces deux cas reviennent peu pres a. la m!me chofe ) fera ,live " f. fi Ie Ponte met fix piftolles. fa.. une carte qui n'ait point encore paifc, Ie talon n'ctane plus compofe que de dix cartes, &que fon avantage feroit precifcment de 6 livres fi Ia carte du Ponte avoit dans ce aernier cas pam: trois fois. Ainfi toute Ia fcicftCe de ce Jell fe redait pour les Pontes- Ii obferver les deux regles qui. fuivent. 1°. N e prendre des cartes que dans Ies premieres taiL. les, & hazarder far Ie jeu d'autant moins qu'il y a un plus. grand nombre de tailles paiTces. ,,0 • Regarder comme les plus mauyaifes cartes ceDes qui I1~ODt point encore- pafi"c, ou quP ont paKe trois fois , &. ,referer toutes, celles qui ont pafTe deux fois. En faivant ces deux regles, Ie defa vantage du POJlte: lera Ie moindre qu'll fera po.aibl~
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SUR
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DU LAN S QUE NET. Detmnintr generalernent I'"vantage de celui qui a la main~ & Ie fort des autres coupeurs p.r raport /lUX dijforentes places qu'its occupent.
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N nomme coupeurs ceux qui prennent carte dans Ie tour, avant que celui qui a Ia main fe donne Ia benne; & carabineurs, ceux qui prennent carte, apres que celIe de celui qui a la main efr tiree. On appelle Iarejouif{ance la carte qui vient immediatement apres la carte de celui qui a la main. Tout Ie monde y peut mettre avant que lao carte de celui qui a la ~ain foit tirce; mais il depend de lui de tenir ce qu'il veut, pourvd qu'il s'en explique avant que de tirer fa carte: car s'ill~ tire fans rien dire-, il eft oblige de tenir tout ce qu'on y a mise Apres qu'on a regie Ie fond du jeu, celui qui a la main donne des cartes aux coupeurs acommencer par fa droite, & ces cartes fe nomment cartes droites, pour les difringaer des cartes de reprife & de rejoaHfance ; il fe donne une carte, & enfuite il tire la rejouilfance. Cela ctant fait, il continue de tirer toutes les cartes de fuite; il gagne ce qui eft far la carte d'un coupeur, lorfqu'il amene la carte de Ge coupeur ; & il perd rout ce qai eft au jeu, Iorfqu'il amene la Genne. Enlin s'il amene routes les cartes droites des coupeurs avant que d'amener la Genne, il recommence &: continue d'avoir la main, foir qu'il ait gagnc oil perdu la rejouiB"ance. Voila les regles les plus generales de ce Jeu : En void queIqu'autres particulieres qui ont . raport au Problcme propoG:.
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J'.
SUR.
I.E
LAN S
"11
Lorfque celui qui a la main, que je nommerai tou. jours Pierre, donne une carte double aun coupeur, c'ell: a dire une cart(de marne efpece qu'une autre carre qu'il a deja donnee a un autre coupeurqui ell plus afa droite, il gagne Ie fond du jeu fur la cane perdante, & il ell obli~e de tenir Ie double fur la carte double. 2. • Lorfque Pierre donne une carte triple a un cou. peur, iI gagne ce qui ell fur la carte perdante, & il eft remi de mettre quatre fois Ie fond du jeu fur la carte ~~ . 3°. Lorfque Pierre donne une cane quadruple a un coupeur, il reprend ce qu'iI a mis fur Ies cartes fimples 011 doubles; s'il y en a, il perd ce qui eft fur la cane triple de marne efpece que la 9uadrupre qu'il amene, & il quitte la main fur Ie champ, fans donner d'autre! cartes. 4°. S'il fe donne a lui.marne une carte quadruple, il prend' tout ~e qu'il ya fur les cartes des coupeurs, &, fans donner d'autres cartes, it recommel)ce la main. fOe Lorfque la carte de la rejouitfance ell quadruple t elle ne va point. 6°. C'eLE encore une loi du jell, qu'un coupeur, dont Ja carte ell: prife, ell oblige de payer Ie fond du Jeu a chaque coupeur qui a une cane (levant l..i , co qui s'appelle arrofer : mais il y a cette diftinClion a faire, que quand c'ell une cane droite, celui qui perd paye auz autres cartes droitts Ie fond du jeu, fans avoir egard a ce que Ia fienne Oll la carte droite des autres coupeurs foit fimple, double ou triple; au lieu que quand c'ell: une carte de reprife, on ne paye & on ne re~oit que felon Ies regles du partie Or dans ce Jeu les partis font de mettre trois contre deux, lorfqu'on a carte double contre carre finlpIe; deux contre un, Iorfqu'on a cane" triple contre carte GoubIe, & trois contre un, 10rfqu·on a carte triple contre . .carte fimple. Ces regies ctant bien con~es, G l'on veut f~avoir en ~uoi confifi:e la difficulte de la premiere partie de ce Problame, qui ell de determiner l'avantage de celui qui a la main j ilJaut oblCrver 2
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PaOBLE~.
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1°. Q!1e rava.ntage d'avoir la main en renferme un a.u.: tre fort conGderabTe, qui eftde conierver aPierre Ie droit de renir les cartes aucant de fois qu"il aura amene roures les carres droices des coupeurs avant que d'amener la ftenne. Or comme cela peut arriver rluGeurs fois de fuire, reI nombre de coupeurs qu'il y ait, i faut, en examinant l'avanrage de -celuiqui rient Ies cartes, avoir egard al'ee. perance qu'il a de faire la main un nombre de fois quel. conque indererminement. D'ou il fuit qu'on ne peut ex. primer l'avantage de Pierre que par une fuire compofee ({'un nombre innni de ternles, qui iront toujours en· (iimi. ·nuant; ce qui. donne quelque fujet de cJ'oir~ qu'on ne peur jamais avoir la valeur precife de l'avant~ge de Pier... re, mais feuIement une valeur d'auraDt plus exade, 'lu'on employera un plus grand nombre des rermes de la Tuite. ,.0. ~e Pierre a d'aurant moins d'efperance de faire Ja main, qu'il y a plus de coupeltrS ~ pl~s de cartes limpies parmi Ie, C3l'tes drGicer;. . t f , ~e l'obJigation oU. eft Pierre de mettre Ie double du fond du jeu hlr les carres doubles, & Ie quadruple fut Ies ca.rtes triples, diminue l'avantage qu'il auroit en ame~ nant des carres doubles ou triples avant que de fe donner la lienne ; & que fon avanrage eft augmenre par cetce autre condition du jeu, qui lui permer de reprendre en entier ce qu'il a mis fur les cartes doubles & "triples, lort qu'il donne aun des coupeurs une carte quadruple. Ces remarques, & quelqu'aucres pareillesque j'obmets, peuvent faire connoltre que ce Probl~me eQ plus com"pofe qu'it ne paroic d'abord. Pour Ie refoudt"e, void Ia roure Clue je tiens. J'examifle d'abord toutes Ies difpofitions ddferences que Ie jeu peue a'Voir, aval1t que Pierre (e foit donQe fa carte, & je determine combien i1 y a de probabilite que chacune des difpofitions poffibles ie trouvera arexcluf10n des aucres. Enfuite je cherche quelle eA: I'e(perance de Pierre dans chacune de ces difpofitions dffferences de fe donner uDe carte ou fimple, ou double, ou triple, ou quadruple. En troilicme lieu, j'examine en pal1iculier ce que chacud . des
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Jj .des .difFerensrapports de la carte de Pierre a cellesdes 4:oupeurs lui peut donner de g~;Q ou de perte. Enfin aprcs coes recherches, i1 ne refte qlla operer felon les regles ordinairesde l'Analyfe. II feroit long & difficile .de faire; entendre la methode, fans en faire l'application fur des cas particuliers: ainfi, fans m'etendre davantage "'je commence comme dans Ie Probl~me precedent par Ie cas Ie plus fimple. _ . . . ' 1 U II
PRO P 0 SIT ION
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V.
CAS.
L'on fuppoft qu'i1 y ait trois COUpe1W4- Pierre J paul eJr.' Jacques. Paul eft Ie premier Ala aroite J & J4Cque! k fer:ond. On demande combien ilJ Aa'a'fJantage pour Pie.rn ~ 4110ir fa main. . ,
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Ol T le fond du jeu appenc .A. On remarquera : 1ft. QE."'i1 Y a a parier feize contre un, que les carte. de Paul & de Jacques fe rrouveront fimples, lorfque Pierre fera fur Ie point de tirer fa carte & un contre feize -qu~ la carte de Jacques fe trouvera double. . ,.0. ~e les cartes de Paul &. de Jacques ctant fimples, Pierre a fix coups fut" cinquante pour amener carte dou. ble, & par confequent quarante -quatre fur cinquante, pour amener carte fimple. " f. Que b. carte de Jacques ctant double, Pierre a deult coupsJur cinquant:e pour gagner tout, e!l amenant carte triple, & par confequent quarante-huit fur cinquante, pouramenercarte fimple. -+0. ~e fi Pierre amene carte timple, Ies cartes de Paul & de Jacques ctant fimples, fon fOrt eft ,..A; ce qui eft evident: mais que 1i Pierre amene carte double, fan {grt eft 3.A + tA. Car aDlen~t carte double, il prend
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d'abord e'eft a dire Ia mife de celui qui perd & la fienne propre, Be outre cela il a fa mife fur la carte d_ . Joueur qui refte, &I~avantage d'avoi, cute Gmple contre ca.rre double: or cet avantage eft t A; en, ~oki la preuve. Pierre ayant. carte double. contre c:arte Gmple, a trois coups pour gagner, &: {eulement deux coups p~u~ perdre; fon fort fera done en ce cas 3' )( 1A'-t- %. )(" 0 dlVne par 5. Donc fon fort (era .A ...- f ~, & [on avantage tA. 1°. ~e Ii Pierre amene carte limple, la carte de Jacques ctant double, fon fort ell: lA A. Car c'eft une loi du jeu, que Jacques ayant carte double. eft en droit de mettre. 1.A fur fa carte, & d'obliger Pierre. en mettre autant quoiqu'a fon defavantage. Ona d ... devant que l'avanrage de celui quf a carte, double cOHtre carte Gmple ~ft la cinquieme partie. de Ia mife de chacun : or ici la mife de Jacgues crant 1,A, fon avantage & Ie defavantage.~e Pierre {era.),- A. II eft e.vident que. fi Pierre. amenoit €art'e triple-,. fon·for.tferoit 4-A .. (j0. II faut encore obferver que PIerre hazarde %. A " lorfque Jes cartes de. Paul & de Jacques font fimples; mais qu'ilhazarde [eulement;A, ~orrqu~ la carte de Jacqu~sell' double: De. tout ccla 11 CUlt 'iue·1'avanta:ge qu"a PlC:rre: ..J un "our _IL 16 18"' A' 1··:tz. At_JIJ' A,_...L A .. ans ~'Clt-'ff)G m.n:+ 'i7 x u,rJZ-2.I2.f JZ 17.tn. , Maintenaot· pour ~avoir 'ce qu'il faut ajouter cet 2vantage pour' avoir egard refperance' qu'a Pierre-de mire Ia:. main, il nut ~erminer queIeft'le nombre,qui exprime. certe. eq,erance. ..&:.Ie. multiplier p,ar. ra vantagedeja trouve !;.A_ . II eft clair que cette' e{pennce eff diffi!renre·. klo~ routes les diiferentes difpolirions que peuv.em a voir leSt :cartes des trois coupeurs. AinU il faUt chercher quel dogre de probabilite .H'y a que charune de. ces djtpofitions~ poffibles fe' trot1yera~, &: multiplier chacan des nombres.. ~ui kS'ex;pcilllt,plr le.. de-gre ae.-prababilirc qu'il'y aque: danstene&ttlte dif~lition Pierrefera la maiD. Or je ttouve que fur vingt- d~ux mil cent diHerentes· .r,lX)litions fO~bles ~o.s ·twis.-euw .de ~P·ier.,.e~, Paul ~
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. S U Il L E LAN 5 Q...U B N E't'. '. ;1 Jacques, il y en a.dix-huic mil trois cens qua,fre" pour que les trois carte5,foient fimples; deux mil quatre cens CJuatre.vingt.fcize,pourque la carte de Pierre foitdoublc; , mil deux cens quaranre-huit, pour que la carre de Jacques {oit double; & cinquantc .. deux pour que celie de Pierre {oit triple~ , . 0 II faut encore obfcrver, 1 ., que larfque lestrois carte, . de Pierre, Paul & Jacques font fimples., il y a a parier un {;ontre deux que Pierre fera la main. . , ,,0. ~'i1 ya aparier trois contre deux', 10r~que la carte de Pierre eft double; & deux contre trois, lorfque la carte de Jacques efi double. De tout cela il fuit que Ii 1'0n fuppofe , pour abreger, J\ A == ,,~ l'efperance qu'a, Pierre de faire la main fera. expnmee par: cerre quantlte,. . " . •
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Done li: I'on nomme h l'avantag.e de Pierre', lorfque 1'011' {tlppofe indeterminement qu'il continuera de reDir les' flartes autant de fois qu'il continuera de faire la main ( CC' qui ell: l~ Probicme chcrche) 00 aura h = +, A ..... x • '" .!.U!. 2.UI 'A ~'fI,J 'A ~. 17A. ..... 'J7f )( 'J7S )( TjA. ..... 417f )( I f A. ..... ",c. La fomme de cetre wire intinie eft !=!~~ A, en forte que -Ii Ie jeu efr aux pifi:oUes, I'avantage de celui qui a la main {era d'e 'J.liv. Il foIs , & environ 10 deniers..
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J efuppu{e tpI"ily .it quatrt COUptIlTJ; It quarrieme fo IIOmmr
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decouvrir en €ombien de manieres differentes . Ies cartes d~ trois coypeurs, Paul, Jacques & Jean peuvent arriver ou fimples, ~u doubles, ou triples; il faut Ie lOuvcnir que dans Ie cas pr~ccdent on a rrouve qu'il ya E ij OUl\.
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Je fort de Pierre lorfqu'll a carte fimple, le"S cart-es ,des . trois autres coupeurs etant Gmples auffi, efi 3A; & foil fort, lorfqu'il a carte double, deux quelconques d'entre RS coupeurs ayant carre fimple, eft: -4 A ... ·~,A.. On aura done Ie fort de Pierre, lorLque les canes des trois autres coupeursfont fimples, :~ x 3A + -4 x 4A'"" yA m'A 3 At ....... -M. A &4f. J2, -r- &4f~" Q!te la carte de Jean etant double, Pierre a fur CJuarante-neuf cartes qui ~eftent quarallte-quatre cartes rirer qui lui pcuvent donner (i:arte fimple, trois cartes qui lui peuvent donner carte double, & enlin deux cartes qui lui peuvent dOImer carte tripl~. Or Ie fort de Pierre,. k>rfque fa carte efr firnple, eft lA + t A; & lOn fort, lorfque fa carte eft double, eft 4A. Enlin lOn lOIt, lorfque f.l carre ea: triple, eLi +A ..... fA. Car,. Pierre ayant carte triple contre une autre carte fimplc', devr.oic paner trois contre un pour ~arier egalement, & par- confequent iI a trois contre un fur Ia fomme qui ei couchee fur Ia carte qui refte : Done fi la carte de Jean eft doubl\:, Ie fort de Pierre fera= .~ x lA. -+4.~ x +,A .... . .~ )( +.A .... {;A
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On, trouvera que Ie fort de Pierre rera meme, c'ell dire lA .... ~A , lorfque Ia carte de Jacq.ues fera do~ble. 3°. On obfervera que Ia carre de Jean etant triple, Pierre kIr quarante-neuf cartes en a quarante-huit, qui lui don.. .llenE cane' fimple, contre carte ttiple" & une feulemenc 'lui lui'donne carre quadruple. , . Or Ie fort de PieFre-lorlque fa ca:rte· efr-limple eit· lA~ car it a un coup pour avoir SA, & tFOis· coup's pouravoir zero. Son forr, lorfque fa carte' ell: qua:druple, eiE 8A. Done fi Ja carte Je'an eft triple) Ie forr de Pierre fera !! )( 1.4 ...... :, x 8A= ~o,tA=A+*A. 11 faut encore remarquer' que Pierre ne 11a~rde 3A fJlC dans Ie cas oules cartes de raul, Jacques & Jean font
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limples s qu'il hazarde feulement 1A dans "Ie cas ou'l. carte, foit de Jacques, foit de Jean;, 'eR: double, & .feu Ie. ment A dans Ie cas ou la carte de Jean ell: triple. Tout cela fuppofe, ravantage qU'a Pierre dans chaque main, fera exprime par cette 9.uanrite ~ 511 X" ... 71X 197'" HX f 41SX1+S
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II s'a~t maintenant de decouvrir combien ily .a de pro. babilite que Pierre fera la main. POU'I' envenir about, it' faut s'y prendre comme ron a fait dans Ie cas precedent.; examiner quel eft Ie nombre qui exprime chacune des difpofitions fuivantes des quatre cartes. S~avoir, IU, que toutes les cartes foient limp1es; 2,0, que la cane de Pierre foit limple,l'une des trois autres etant double; 3°, que la carte de Pierre foit double, deux autres quelconques etant lim. pIes; +0, que la carte de Pierr.e foit double., une des autres ctant double; 5°., que la .,carte de .lean foit triple, celIe de Pierre .etant kmple; ~~ que fa. carre de .Pierre foit triple, l'une quelconque q.es trois autres ctant limple; 7°, que la carte de Pierre foit quadruple; & enfuite cher. cher queUe eft l'efperance de Pierre de faire la main da1l& chacune de ces {ept di(pofltions differentes des quatre cartes. Or je trouve qlfexprimant I'efperance qti'a 'Pierre de faire la main dans les lept difpolitions differentes ci-delfus 'fllarquees par les··inconnues It, y, '\., s., t, p, I, klon l'ordre ~u'on vient de leur donner, & defignant par la lettre " ce .-quirevient aPierre de cette efperance, & far Ia lettre g I'oavantage de Pierr.e Iorfqu"on fuppofe qri'i Tecommen. <.era une feconde fois a tenir les cartes, en cas qu'll fa.He 1a main dans Ie premier tour, OD aura
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Done fi l·on nomme h l'avanrage de Pierre, lor.fqu'oft lUppofe indetenninement qu'il eontinuera de temr Ies, . cranes jufqu'a ee qu'il ait manque de faire la main, on aura. -2.
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o 1l S Q....UE Pierre va tirer- fa. carte,. void toutes lei difpofitions differentes OU fe peuvent trouver Ies car., tes es quatre autres eoupeurs_ 1°. Les cartes de Paul" Jacques, Jean" Thomas" peu. vent fe trouver fimpJes, & Ie nomore qui. exprime com. bien il yauroit aparier que. cetre.di{pourionfe troovera" .i2. x .!.!. )( E!. u., 17'
• 11.
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La carte de Thomas pent fe.tl'Ouv.er umple, celie de Jean etam double, &: Ie, nombre:qui aprime eombien iL , Yauroit pari~r que eette dnpofition de cartes [e trouvera,. . cfi: :; x ,.'s )( g. 3°. La carte de Thomas peur [e trouver limple, celIe de•Jacques eranr douBle', & Ie nombre qui exprime combieo: it y auroi~ a' parier que·eette·difpolirioD dc:·cartes·fe trou4fi " r . vera, en H x Tf x 17' .... +". La carte-de Thomas pent fetrouver liinple,cel1ede Jean crant triple, & lenombre qui exprimct com bien il y: auroir parier que' eette. difpofition de:. cartes fe trouv.era" 1 0.
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lO. La ,ue de Thomas ECLlC fe tl"OUV.U double, Its e~
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"~o P 1l 0 B L E M 11 'tes des deux a.utres quelconques ctant Gmples, & le nom.. brequi exprime combien il y auroit a parier que cette die. pormon fe trouvera, eft -/, )( : ~")( ~ ~. (j0. La carte de Thomas peut [e trouver doubie, celIe de Jacques crant double, &. Ie Dombre qui exprime combien il y auroit a parier que cette ddpofition [e trouvera, eft 4~ )( !i :.c 117. 7". La carte de Thomas pent fe trouver double, cene de Jean ctant double, & Ie nombre qui exprime cOin.. bien iI y auroit a. parier que cette dilpofition [e trouvera, eft ,,',) >: 2.'r )( ! ~. so. La carte de Thomas peut [e trouver triple, la carte de Jean ctant flmple , & Ie nombre qui exprime combiell i1 y auroit a parier que ceete dHpofirion fe trouvera,
en 4~ H)( I~· )(
9 La carte de Thomas peut fe trouver triple, la carte 4le Paul ou de Jacques crant fimple, & Ie nombre qui ex.. prime c~mbien il y auroit aparler que certe di1poGtion Ie trouvera, eft "2.'$ )( {i· 10°. La (:a1'te de Thomas peut fe trouver quadruple, & -Ie nombre qui exprime combien il y auroit a parler q~ f! li' . It. I I 1 «rte diIpO mon arrlVera, en U )( 'if K 17. On pourroit ai[cment demonrrer tout ceci, mais il -faudroit faire de longs di[cours, qui erant fort abftrairs, donneroiemt uop de peine aux Lec1:eurs. Les rcRexions que tai faites dal'ls les deux cas prccedens peuvent {ervir de demonftration rour celui.ci aux perfonnes intelligentes. J'ai affed:e de ne point, confoDdre les produirs .aes quantites qw fe multiplient, &. de les la.Urer [OUS cerre forme :~ ~a ~};" til,: ~!:, &c. afind'en mieux faire coa. noitre Pordre & la formation. On pourra en cette maniere dc:couvrir toutes Ies differentes difpo(mons pollibles des cartes de cnq coupeurs, en fe [ervant des va1eurs qui ont determine ceI1es de quatre coupeurs, de mam~ qu'on .vien~. de [e feryir poar Ie /cas .prefeat de celles qu on avo.t deja tr.ouvees po~r trOlS CI.
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SUR.
L E' LAN" S Q.. U ENE T.
4t
t~~is c~upeurs afin de determiner toutes les dHFerentes dlfpz::&finons des nnrtes quacsn coupnuss; &; uouver de nouveau ceIles de fix par Ie moyen de celles qu'on aura trouves pour ci~q coup~urs , & ainfi de fuite; &; po~bl~~puent sette me:&hode eft auteL:& qu'il
11 eft a .propos de remarquer qu'il n'eft pas toojours nesePaire Pn conni:?ttre tuu:&ss le:& qui fe trouver dans Ia difpofition des cartes des coupeurs, car [uivant la nature du ProbIeme, on peut en confondre ce:&:&uines, ueglipns de uunfidesnr fepnsPmen:& ~ :&:e qui dans certames' rencontres diminue extremement Ie travail de l'efprit &; abrege 1a {olution. Cette remarque ell: trs:& imposts ute pnns Ie PmPlemn pui , elln auffi lieu dans celuLci, ou il faut obferver qu'on peut comprendre dans une meme fraaion Ie fecond , Ie troifIeme &; Ie cinpuieme nmcIe~ fixieLn & Ie fPptieme Ie quutelemej0 ~e huitieme &; Ie neuvieme, d'ou il fuit que de toutes Ies variations fe peuvent trouver. entre ·Ies difpofitions
~a;:~~os d~u~~:fi~~~~S~l~'que pa:~on{~~~~~t 1~~
foit nomme x Ie fort de Pier,:e lorfque Ies cartes des quatre au:&rns fimpk:&~ , fon fort Iorfqu~il y en a une double, Ies deux autres . .quelconques ctant fimpies. ~ ton fur:& lorftu y en heux Pnubles" ~fon fort Iorfqu'il y en a une·triple &; une fimple. fon fort Iorfque la carte de Th()mas ell quadruple. aurn fors PieLn dans uhaque z:nnin
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6 H 61'" 192.'\."" 2.16 t ...
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1.:;:8:&5· connf:&1tre ualeur x, on que Pierrn en tirant dans quarante-huit cartes en a trente-fix qui lui peuvent donner carte fimpJe, &; douze qui lui qenvens dU1f:&ner douPle" Or "fort elierrelu{qu'if cartn fimple efr 4A , &; {on fort Iorfqu'il a carte double ell: lA ... t x 6,A, De tail fuit +A ~: x t~el ~j0'~3 4 4-4 .A. F
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PROBL,MB
Pour determiner la valeur de 1, on remarquera que fur quarante-huit cartes qui reftent il yen a deux qui ~uvent donner carte triple aPierre, fix qui peuvent lui donner ~arte double, & par' confequent quarante qui peuvent lui donner carte fimple. Or Ie fort de Pierre Iorfque fa carte eft triple, eft 4A + i x 4A = 7 A, & fon fort lorfque fa. carte eft double, eft 5A -+ f A,& fon fort lorfque fa carte eft fimple, eft 3A + tAo De tout cela il fuit que, = A I A i2.. x 3A +- Of J A -" -+ 1iO.n· IIJ-" 7 A + ...L 48 x 5 + T -+." - 3,n On trouvera par de femblables raifonnemens ~= ':8 x loA -+ 4~ x 4A+ fA +!: x3A=3.A+~A. x +A+t x4A -+*x tx 8A=3A+ ~~..tI.
:8 )(
t=:a
1=0.. De tout cela'on peut conclure que l'avanrage de Pierre dans chaque main ell 1+080 )itA +- 6H6 x -NtrA -+ 192. xtA -+- 2.16A +*A-A 2.081$' '
-" == 11119 8 .n. 2.0 1$
Pour determiner l'efperance qu'a Pierre de fai~ la main, on fera des raifonnemens pareHs a ceux des,deux cas precedents, & I'on rrouvera qu~ cetre efperance eft exprimee par Ia fraCOon ~~;:!t. Cela pofe,l'avantage cherchc --J.
de Pierre fera !~~~, A + ~~;t:1 x {~~l~A + ~,~r:1- x !~~~~ A --I 106994
.... 4'HZoS
.
UIS9
-"
x J.OhS..n.
+ & c.
Q..u AT 1\.1 E'M E
' CAS.
L'In foP/oft'fllil! aii fix 'D.pe.,s ,je 7lIJ1IUIIelejixiime Antir;, & Ie refle "mme (i-Mvant. ' ,
5
1 I'on nomme x Ie fort de Pierre lorfqueJes cartes des cinq coupeurs font fimples. y fon fort quand l'une des cinq eft double, les autres ctant fimples. ' ~ fon fort quand il y en a une triple & deux fimples. .. t fon fort quand i.l y en a deux doubles. '
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SUll LE LANSQ...UENK"r. <4J IJ fon fort quand il yen a: une triple &: une double. p fon {ort quan~ Ie demier joueur, qui eLl: ici Andre, a une carre quadruple. . f {on lOrt quand Thomas, qui eLl: Ie penultieme joueur~ a une carte quadr!lple. On aura Ie fort ae Pierre dans chaque main . 10$60.1& .... 8800' .... #0, .... 990' + JOf + .1' + f
==
On trouvera aum Jt=SA .... :~A , = SA .... :,~A
fl=4A+HsA '=+A+M.A f =3A +!!1,A 2.H P .A. [=0; ce qui donnera I~avantage de Pierre dans chaque main
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17o,o, A
-l9S7SS
-•
On t;rouyera par des calculs alrez longs, mais pareils :l ceux des cas precedents·, que It"efperance qu'a Pierre de r.. I . en IL ., II!9!J2.J60 .... 2. .laue amaIn, exprlmce par Ia rau.10D 10+7U2.882.J , e~ forte qu'oD aura l'avantage cherche §u~l A fi.Cl.~
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. 18992.'6042. 170,07.A lo.... nl2.882.f UHf S 18991)60+2.' 170607 ..... 10+71820882.1 X 11$1 sf
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+ To.... 7JUS8J.S x ,A .... &:c.
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L~on
- - "-2. 18992."042.
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• 70607 . A
19S7S S .n.
E~ M E CAS.
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O IT" l·avantage de Pierre lorfque les fix cartes fOnt fimples. .. , quand il y en a une double & qu4tre fimples. F ij
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P 1l 0
B L E M 'K
. ~ quand il y en a deux doubles &. deux .GmpIes• .• quand i1 y en a trois doubles. 1 quand il yen a une triple & trois Gmples. . ,. quand il y en a une triple, une double & une limpJ.e. 1 quand il y en a deux triples. . 'I quand il y en a une quaaruple & deux Gmples. ", quand il y en a une quadruple & une double. On aura l'avantage de Pierre dans ehaque main =: 67S8+x .... 9S0+0, .... 2.J760,,"+ 194 8 .... 7 0 +01 + ~S8... , I~1q ....
..... I2.P +
A,,=
9'" 2. 0811 x 1
x= !~ !{;A,~= f!~A~.=*A,t=!~tA, . 6-- A , -- l l .... ,A , p-il -.2.1'"7 .n I p-o -:• Done fi ron fubftitue ces valeursde X,J, <., &e~ on aura l"avantage de Pierre dans ehaque main 67$84 x !;.A +910+0 xffiA+2.J7 6oX f~' A+ s9+xHA~70+ox::1.A ..... 158+ x A .... n x it A .... IJ2. )( - A .... 9 :Ie O.
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J9S7H H6S1U A - A 962.7S7 A ;:: 4$02.JiB.n .... +so2.ld.n·
L'on trouvera que l'efperanee qu'a Pierre de faire la • 11. ., 4: .1 17 1600102. 177 1 2 it. malO, en; expnmce par Ia fra~on tl02.l'f87S1H2.H' ~ par eonfequent l'avantage che~e fera. f46flU
A
,17160010101771,
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+So2.4 6S .n+ 610U9f87JHS2.U X 4$ •.uUf H6S1 U • +$02.f"
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-'1~71--'-00~J-02.~f7~7-19J.,
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+'10U'S87fJH2.JS)(
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'171600'02.$7719 $04·6"12.20 A .... ,102.1.9187$1IS2.H x +S02.I'S.n""
&
c.
On pourra ainfi trouver l'avantage de Pierre. en fuppofant quail yait un plus 'grand nombre de coupeurs, la methode en feroit la meme I mais les calculs en {eroient G longs, & les raifonnemens que {uppofent les caIcuIs fi embaraifes, que je crois devoir me difpenfer d'aller plus Ioing ; il eft rare qu'il y ait plus de fept coupeurs , ~ l'urilite qu'on pourroit tirer d'une table calculce pour un plus grand nombre de coupeurs ne {eroit pas notre avis a.lfez.
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PROPOSITION
VI.
A
PRO B L E MEl I.
Dettrmintr quel eft !e raport aes
a~ens aefo'Vant~(/s
ae trois coupeurs~ Pauf,Jacques & Jean, en foppof4nt comme allns Iefcona cas au probleme preceaent ~ que Pierre qulltritme coupeur titnt LA main ~ que PlUll eft Ie pre1llitr.. ~ fa aroite ~ que JIICques [uit,Paul, & qlle Jean eft A 14 [,lIIIche ae Pit7Tt.
O
.
,
N a trouve dans la folution de ce fecond cas du ,Probleme precedent, page 38't que l'avantage de Pierre dans chaque main etoit exprimc par la fraaien a~~~~ , en forte que Ie jeu crant aux piftoles, il doit ellimer Ion avantage trois livres dix fols Be quelques deniers. , Or il eft clair que eet avanrage de Pierre tombe en perte fur les autres coupeurs, mais inegalement fur chacun, en 'forte, par exemple, que Paul en porte plus que Jacques,"&; Jacques plus que lean. ' La difficultc dU Probleme conlille a decouvrir felon . queUe proportion cerre perte ou ee defavantage commun fe dill:ribue entre chacun des trois ·coupeurs. Pour trouver ee raporr je cherehe feparement Ie defavantage de chatun des trois joueurs, & pour tela j'examine
.
F iij
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4& ' .p 1l 0 B L 'J! M E · ' . toutes les difpofirions poffibles des quatre ,cartes droites qui varient Ie fort de cliacun des joueurs, & j'obferve dans chacune que! eft [on 'defavantage, ayant egard· ace que les arrofemens lui donnent ou lui font efperer de gain ou de perre. Je multiplie chacun des nomlires qui exprime les aifferentes difpofitions de cartes qui varient Ia condition du joueur par l'avantage ou Ie defavantage qU'elles lui donnent; j'ajoute tous ces pt"oduits , & je divife leur fomme par 2.0815, qui eft Ie produit, de ces trois nom.. bres 17, 15, 49; rexpo[ant de cette divifion exprime Ie defavantage de ce joueur. •
Truu1Jer Ie
Jefovant~be
ae Paul.
Cl!tand Ies cartes des quaere coupeurs font fimples, il n'y a ni avantage ni defavantage pour Paul. 2.-. QEand la carte de Pierre ell: double, celles de Jacques, & de Jean ctant fimples, Ie defavantage de Paul eft exprimc par - 3A. 3°~ ~and Ia carte de Pierre ell: double, celle de Paul ctant fimple, l'avaneage de Paul eft t A. ~o. ~and la carte de Jacques eft double, Ie defavantage . de Paul eft exprime par - 4. . . jfl. Quand la carte de Jean eft double, celie de Paul ctant en perte, Ie defavantage de Paul ell: exprime par - 2.A. 6°. ~and Ia carte de Jean ell: double, celles de Pierre & oe Papi ctant fimples, l~avantage de Paul ell: -fA. 7°, .QEand la carte de Jean ell: double de celIe deJacques, & la carte de Pierre double de celIe de Paul, Ie defa. vantage de Paul eft exprime par - A. . go. ~and la carte de Pierre eft triple, celIe de Paul ctant fimple, ravantage de Paul· eft tA.. 9-, ~and la carte de Jean eft triple, Ie de[avantage de paul ell: exprime par - A. . . .. .Les 'nombres qui expriment combien il y a de probahihte que chacune de ces difpofitions particulieres fe trog.. Ie.
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ow.
i.L
SUR.
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LANSQ...UBNET.
47
vera, font a commencer par la feconde, &:: en continaanc avec ordre, '51X~,
H2.x6, 2.+)l+9, 2.+X+9; 1.+)(++,2.+)(" I+X2., +,.
&:: par confeq~e~1t, Ie defavantage de Paul fera exprimc par cette quantlte i52.X~ X5 x-'"3A ... 352.X6x+A + 2.+X+9 X5 x-3A +2.4 x4-+ x+A + 72.)( pc - A'" 72. X 5 xA ... +9 x 5 x - A 2.082.,5 )(5
qui ctant rcduite deviene - lo2.:~NA; &:: cette fraClion exprime Ie defavantage .de Paul.
Trouver Ie de[avant4[,e de Jacques. 1°.
,.v. 3°.
+0. 5°. 6°.
,0. SO.
,".
~and
Ies cartes des quaere coopeurs font lim pIes , il n'y a ni avantage ni defavanea~ pour Jacques. ~and Ia carte de Pierre ctant doubIe,celles de Paul & de Jean font limples, Ie defavantage de Jacques ell: exprimc" par - 3A. Q..uand la carte de Pierre ctant double, celle de Jac.ques ell: fimple, l'avantage de Jacques ell: A. ~and la carte de Jean ctane double, celles de Jacques &:: de Pierre font fimples , ravantage de Jacques eft ~and la carte de Jean ctant double de ceUe de "Paul, Ia carte de Pierre ell: double de celIe de Jacques, Ie defavantage de Jacques ell: exprimc par -A. ~and Ia carte de Jean etan~ double, ceIIes de Paul &:: de Pierre font limples, Ie defavantage de Jacques ell: exprimc par - 2.A. Quand la carte de Jean ctant double, celIe de Pierre el£ double de la carte de P~ul, Ie tlefavantage de Jacques. ell: exprime par - ,.,A. Q!!and la cart~' de Jacques .ctant fimple, celIe de Pierre ell: triple, l'avantage de Jacques ell: t A. ~and la carte de Paul ctant itmple, celIe de Pierre eA: triple, Ie defavantage de JacquC$ eft exptime par
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rA."
.
•
-2.A.
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48 JOn.
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Quand la carte de Jacques erant double, celks de
"t: ~~:::e
Ja~;4~~el~~~~ d~~~s;~: aelta-~~
ll;:nd Pierre efl: double, l'avantage de Jacques efl: A. u". ~and la carta da e~ant ", de Pierre eft ~riple, dcfaaa.ntcge de Jccqces afl: dar -34"1· 13". Q.:"Eand la car~a da Piarrc cfl: Ie dcfaccntatiU"F dF J"C~qUFS eFDrime nar II 1+°. Q~d la~~art; de Pi;ire '~'ta~t {impl;: ~elle de Jean efl: ~riple, Ie dafacant~~ge jccques cfl: CUpn.:RURC dar -cA. .Les nombres qui expr~men! ~ombien il y. a delroba. Jl o
y
:~;:: ~:~ commanc::sp~;)~tf:~i:~S~~~~~c:~~~~:~~~~ avec ordre J
•
3)( H 2., a)( H 2.,
2.+ ++
3
1"')(
1+
++ ,
)(
)(,
2.
1+
1,
+8
& par confequent Ie defavantage de Jacques fera exprime par cette quantite "
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x 52. - 3A (; J P + 1+ f+ -+- 140)()( A + ~a)( ff)(~~.A + ~f)( - 2.A ... 2.fX 1 fA'" 1+ x 2. x -loA ",,::+~+xtA"'2.+X3A+l+Xlx-3.A+1=-1~++8x-1A loorl;
Ce qui doune cet~c frcd:iri:Rr ~ f~¥f~-j A, 4.1 ui exprime Ie defavantage de Jacduesc "
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1
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LANf(lU-l!NET. ...'. Quand la carte de PietTe crant fimpIe, celie de Jean el£ triple, l'avantage de Jean eft 1A. ~~"'4 Ia carte de Pierre ctane double, ceUes de Paul & de Jacques font fimples~ Ie defavantage de Jean eft.. exprime par - 3A. 6°. Quand la carte de Pierre etant double, celIe de Jeall' . elf fimple, l'avantage de Jean eft .7°. ~anQ la carte de Pierre ctane· 40uble , celIe de Jac.. ques eft double,- Ie defavantage de Jean eft exprimc par-1A. '''. Quand la carte de Pierre cram double~ ,die de Jean e1t double, l'avantage de Jean eft A. Qua!)d Ia carte de Pierre' ctant triple, celIe de Jean . elrfimple, l'avantage de Jean eft fA. JO·. Q!.tand la carte de Pierre etant triple, celIe de Paul ou de Jacques [ont fimpIes.. le defavanta~e de Jean eft exprimc par - 3A. . . '. llo. ~and la carte de Pi~rre eft quadruple t Ie defavan... tage de Jean ell: exprimc par - 4A. . Les nombresqui expiiment la probabilite qu'il y a que chacune de ces difpofitions particulieres [e trouvera, font a commencer ala feconde, &: en continuan~.avec ordre~ SUIt
-~--
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4+)(~)( 16,++)( 1+X J, +8, JX ""xI6, 6)( UX 16,
" )( 1+,
2.)(
Sx 1+, J X3)( I~
r)( 16, I ,
Et par confequent Ie defavantage de Jean fera. ....+)( ~ )( 16)( t A+ ++)( 1+ x - t A ........8 "x 1,A + 3 )( 2.1 )( IG >.C
x
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-~.A!"f- " 11. x 16 x + ~)(~.... )( --lA ... ~)( 1+ )( fA -+- 2. x ~ )( 16)( - ~A .... 1 X -
.... , x 3 x· 16 x.if +A.
10815
, ce qui ctane rcduit devient - J~~~; A, & cette fraClion exprime Ie defavantage de Jean. . Maintenant fi l'on ajoute en une fomme les defavan.; rages trouves des trois·joueurs Pa~, Jacques & Jean, - 2.IOH - U610 -197%. xA on trouvera q,ue leur fomme 2.081jXj.
··J.mA ..... a.o~s.n·
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·PllOBL:!MK ' Ot on a. vii dans Ie fecond cas du Probl!me precedent, que l'avantage de Pierr:e dans chaque main ctoit z.Z::i A~ Be par confequent ces deux termes ctant compares, fc detruifent. . . On a donc la jull:e proportion du defavantage des trois joueurs, &: Ie total de leur defavantage. ainU qu'on a-dd Je trouver. On n'a fait ici attention qu'au defavantage qu'a dans chaque main chacun des trois joueurs Paul, Jacques'&::; Jean. Maintenant fi ron veut avoir egard ce qui leur furvient de defavantage lorfque I'on fuppofe que Pierre recommencera remr les t:artes autant ae fois qu'i! fera la main, on trouvera Ie defavantage de Paul, .
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x iO+12.f·
'02.2.9 .... 10+l1.f
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'012.9 2.Ioq A 104US X 10+Uj
z. '°2.1.9 1041oZ.S
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x 10+USn
2.loH A.,..Jt..C
10412.S
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"".
&: celui de Jacques
I I .
2.972. A
= - 1 ) ( i"O"4iiJ,n ....
+
402.:1.9 1041Z.j
~
A
X I0412.Tn+
2;02.2.2. 2-972. A 10412.S X 10+US:.tZ
J
,oL"9 2.972. A O. 104nf X 104Uj.n.'"
Q.c.
La fomme de ces trois fuites infinies fera. egale a celle qui exprime ravantage de Pierre,&:lui etantcomparce, eUes fc dctrUiront ayant des ugnes contraires.. COl\.OLLAIl\.E
I.
S
I I'on \teut connoitre les valeurs exades des {uites in-finies qui expriment I'avantage de celui qui a la main, en fu~pofant que A qui exprime Ie jeu foit une piftole oa dix livres i on les aura dans cctte table.
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LA K S CLu B N Ii , ..~
~ts
'Pour trois coupeurs fon avantagefera 2.1•.I5f.lod·1t~. Pour quarre coupeurs • • • . 4 L 19 f. 1 d. : ~;~. Pour cinq c~upeurs . 7 1• 14 f. 7 d. H!~~~~ Pour fIX coupeurs • • • • 10 L u f. 10 d-.l~~·~:;:~~~~ i Pour fept coupeurs • • • • 14 1.:i6 f. Sd. 77;6~~~~~;;;:. II fwt de 13. que l·avantage de celui qui a la, main ne crote
•
p~s dans la m~me rallon que Ie nombre des joueurs, ruif..
que fon avanrage qui eft environ 2.liv. 16 fols lorfqu'i ya trois coupeurs,.efi: beau coup plus grand que Sliv. I2. fob, lorfqu'i! y a fIX coupeurs. . COllOLLAIlt:f
It
S
11·on {uppofe que Ie jeu foit a~x piftoles, Be qu~1 yaie quatre cOlipeurs Pierre, Paul, Jacques & Jean, aina "lue dans Ie fecond ProbJeme , ou dans Ie fecond cas du premier, Ie defavantage de Paul fera 2.1. 16 f. I1·d. :~~~; defavantage de Jacques fera ~ ~ 11. 14 f. I d .. :~~:; Ie defavantage de Jean {era . '. 8 f. 0 l~;:; II faut remarquer, 1°, que Ia fomme des trois termes qui expriment les divers defavaritages des joueurs efi: egale c:elui-ci +live 19£ 1 d. :J~: qui exprime I'avantage de Pierre; "D, que Ie raport des defavanrages de Paul, Jacques & Jean efr a peu Pl'CS comme les nombres 7J ~h 1_
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COil 0 L L A
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E l l I.
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•
A probabHite qu'il y a que Pierre fera la mailt, dimr.. nue a mefure qu'il y a un plus grand nombre de cou. peurs ~ Et l·~rdre de certe dimi~u[ion depuis trois coupeurs; JUfqu"a {ept lOclufivement~ db& peu pres comme ces frae.. ' JlsJ "i, T, 'i, S-,. , ... uo ~Irll
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I,
• COil 0 L L A I II E
IV.
L fe trouve fouvent des coupeurs qui £aute de {~avoir leurs interefts, ou par une imagination qu'i1S.oDt d'avoir . . la main malheureufe , ou enfin pour ne point perdre plus d'argent qu'ils D'ont delfeiA d'en hazarder, paHent leur .main fans quitt.er, pour cela Ie jeu·. Chaque coupeur f~aura par Ie fecond Prooleme·, co~bien celui qui renonce ala main lui fait d'avantage. .
I
CO1\. 0 L L A I II E
v.
L en eft de meme quand un coupeur quitte Ie jeu, ch~ cun des autr,s coupeurs pourra decouvrir par Ie mcme Probleme, combien celiJ. lui ell: avantageux ou prejudi. ciable. . RBM.ARQ..VB I. 'E STun prcjuge commun parmi les Toueurs, que Ii carte de Ia rejouilfance ell: favorable a ceux qui y mettent. Pour fedetab~ferde cette opinion,ilfaut prendre ga~de que Gla ca.rte ~e la rejouilfance a de l'avantage dans certaines difpoGtions des c~rtes des coupeurs, elfe a du . defavantage en d'autres, & que ceIa fe compenfe toujours exad:ement. . Suppofons, pal'exemple, qu'il yait trois coupeurs comme dans Ie premier cas du premier Problcme,&que l'argent de Ia. rcjoujlfance foit nomme il eft bien vrai que l'avan. tage de Ia rejoullfance fera :a.4~" lorfque Ies cartes des trois coupeurs feron~ .Gmples~& 4~" lorfque la carte de Jacques fera double: mais en rccompenfe fon defavantage fera ,ft " 'lorfqwe la carte de Pierre {era double, at lorfqu'elle {era triple. Multipliant done ees nombres par ceux qui expriment les differentes probabilites qu'il y a que telle ou telIe de I!' fce.rencontrera,on aur.a:r.HX 6 X H' l ,~ . ces d1'lipounons ...'S"'" .'X4J.S' 44 X 48 l 2.1. I. • £. • • ....., d - ' 4 f X+J.f"- ..., x 'U1"=0; ce qUlrattvouqu j j n y a ans ce cas ni ..vantage, ni dcfavantage pour la carre de 1&
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~ jJ Cnpourra decouvrir la. meme chofe par raport a tout .autre nombre de coupeurs.
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LAN S Q...U ENE,..
R B MAR.
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B
I I.
un Jeu afIes connu qU'onnomme la Duppe, c'ell: une efpece de Lanfquenet renverfe. La difference .de ce Jeu acelui duLanfquenet confdle encequifuit; 1°. celui qui tient 130 Duppe, fe donne 130 premiere carte; ,.0. celui qui.a coupe Ies cartes eLl oblige de prendre 130 feconde ; 3°. les autres Joueurs peuvent prendre ou refufer 130 carte 9u1 leur eLl prefentee; 4°. celui jui prend une carte ·douhIe eO: oblige d'en faire Ie pard; 5 • celui qui tient 130 Duppe ne quitte point les cartes, &. coruerve toujours 130 main. La refremblance qu'il y a de ce Jeu a celui du Lanfquenet, a , fait imaginer aux Joueurs qu'il y a du defavantage poar celui qui tient 130 main, & d'autant plus, qu'a ce Teu Ia. main ne change point, au lieu qu'au Lanfquenet chacun 130 tient.a fon tour. Sur ce' fondement ils lui ont donne Ie nom de 130 Du,Ppe: mais il ne lui convient nullement, car il eft aife de dccouvrir que l'egalite eft parfaite dans ceJeu & pour Ies Toueurs eoer'eux, & pour celui qui dent la main aregard des Joueurs. 11 me fuffit de faire ceete remarque~ un peu d'attennon en convaincra ceux qui voudront preo. dre 130 peine de rexaminer. .
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B L E M l!
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~~~~~~~~~9~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~99~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~.~~~~~~~~~~~~~
lliaf~~jf.iF.·~T...~tlRtf~.n~~
PROB.LEMES DIVERS SUR ·LE
JEU
DU T REI Z E· EXPLICATION DV JEV.
k (ons que ce foit Pierre, & que Ie nombre des J0':!eurs. E~
Joueurs tirenr d'abord iqui aura la main. Suppo,;
it tel qu'on vo~dra. Pierre ayant un jeu entier compo(e de cinquante - deux cartes m~lees di(cretion., Ies tire rune apres I'autre. Nommant & pronon,?nr un Ior(qu'il tire la premiere carte, deux lorfqu'il tire la feconde, trois. lorfqu'il tire la troilieme J & ainli de (uite ju(qu'a la trei. zieme qui eft un Roy. Alors fi dans toute cerre fuite de cartes il n'en a tire aucuile felon Ie rang qu'illesa nom.. mees, il paye ce que chacun des Toueurs a nUs au jeu, k cede la main a celui qui Ie fuit a fa droite. . Mais s'illui arrive dans la fuire des treize cartes, de tirer la carte qu'il nomme, par exemple de tirer un as dans Ie IIelnps qu'il nomme un, ou un aeux dans Ie temps qu'll n6mme deux, ou un trois dans Ie temps qu~l nom me trois, ~c. il prend tout ce qui eft au j'eu, & recommence comme auparavanr, nommant UD, enfuite deux, ~c. II pent arriver que Pierre ayant gagne plufieurs fois ~ &. recommenCjant par u~, n'ait pas alfez de cartes dans fa main pour aller jufqu'a, treize ,. alors il doit, lofque Ie jeu lui manque, meier les canes, donner couper, & enfDite tirer du jeu entier Ie nombre de cartes qui lui eft necer.. 1aire ,Pour "ntinuer Ie jeu) en commen~ant par celIe o{i
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. , s' u i l t B 1;' R. it I Z E. 11 11 ell: demeure dans la ptccedtnte main. Par exemple fi
en tirant la derniere carte il a Domrile {ept, il doit en tirant Ia premitre (arte .dans Ie jeu entier, apres qu'on a coupe, Dommer huir, & enfuite neuf, &c. jufqu'i treize, ,a moins qU'il ne gagne plurot, auquel cas il recommeneeroit, nommant d'abord un, enruire deux, & Ie refte comme on vient de l'expliquer. D'oD: iI par01t que Pierre peut faire pluGeurs mains de fuire, & meme qu'il peut continuer Ie jeu al'infini. . L'avanrage ell: fort confiderable aee Jeu en faveur de celui qui a Ia main, & ceux qui Ie jouent {ouvent peuvent s'en appercevoir par pratique; mais il ell: extremement. diffieife d.e determiner eet avantage: I'AnaIyfe y pourroi~ .conduire, mais certe route feroit extremement longue, & je trouve qu'jJ faudroit refoudre plus de mille egalites pour determiner taus Ies cas poffibles de ce leu. On en ~ pourroit plutot efperer Ia folution en ~ond'der~t tous Ies a~rangemens poffibies des cinquante-deux cartes, & dckouvrant comme I'on a fait pour Ie Pharaon, & comme '1'on fera dans·le Probleme fuivant pour Ie jeu de la Bar.. feete, quelque Ioi uniforme , qui des cas limples conduife des ,cas plus compofes, & fournilfe ainfi une {olution ~enerale. Je ne donnerai point ici ~a folution de ce Pro. bleme, mais en fa place en void deux qui y ant beaucoup de raport, & dont Ia foIl1rion pourra fadliter celie du jell du Treize a ceux d'entre mes Led:eurs qui voudront fe -donner la peine d'en faire Ia recherche.
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& 'l"i [.111 m;lees" Jijiretim: it p",.il tl1It1l PallJ
'1111 lil les tire tie flitl , 6- '111-illes 1l1llWWl1 [tIm flJ,J" des tllrtls, 111 tlmmenf4Fl1 tJII P'" Ja plRS haRtl, Oil P'" Ja pl.s , IJa./fo, it lui a,,;vIf" all 11lfJills 11111 fois tie tirer' tlOI '111'il fIOmmtr". Pllr Ix""ple pil"' alallt en 1NIin 'IRIltre ''''''S,
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» Lit. M B.
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If""';' •• III , .",u"J& , ." mil 6- ~. IJUI11 meJitJ J Jif.
trttio", p"ril 'I.e us tirll1ll" foite, 6- ",mm,,111"" I,r(-. 'i.'il tirer" '" p"mie", ,u"J& Iorfq.tit ti"'" I" fiCO"", tToil Ior{q,lil ti,,,a III Iroijieme, ill,,; ""i"",, ti'" fI" 4~ !o;PI.'illllJ1nmer" .'" (JfI tie tirtr "11 de.J& ;1 "tlmme,,, Je.J& , (JfI de Ii", ." tToil '1""lla it 1l0mmt,,, t,oil, ,. ae ti,er "" '111"1" '1"auilllomme,,, '1utfl. Soil CfJ1ff" la me,,!, choft de to.t ".tre "omIJrt de c",tes. On derullH. fj.tl eft Je fort IJtI fe'!pe'41lCt de Pie"e po., ttl ll~mo" de c",tts '1l1e " puiUe ~m dep•• Je"x j"fq,lA I;ti~.
I). "
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. ' SOL UTI 0
S
N.
O I E NT .I~scarres avec lefquelles Pierre fait Ie parti, . reprefenrces par lcs letrres III, 0, c, Bec. Si ron nomme m Ie nombre des cartes qU'il dent, Be 11 Ie nombre qui exprirw tous les arrangemens poffibles de ces cartes, l~ f~ad:ion.; exprimera comb~en de differenres fois chaque letrre accupera.chacune des places. Or il faut remarquer que Ieftres ne fe rencontrent pas toujours leur prace utiJement pour Ie Banquier; par exempJe ", II, c ne donne qU'un coup pour gagner a celui qui a la main, quoique chacune des trois lettres y foit a fa place; Et de meme "," , c, J ne donne qU'un coup aPierre pour gagner, quoique chacune des lettres c Be tl Yfoir afa place. Ladifficulte de ce Probleme conftfte donc a demeler combien de fois chaque lettre ell: afa place utilement pour Pierre, Be combien de fois eIle y ell: inutilement. II feroit trop long de mettre en detailles reRexions qui m'ont conduit ala folution de ce Probleme. Je vas donner d'abord fuccinClement la folution des premiers cas qui font les plus fimples, enfuite je donnerai une formute generale, & je formerai une' table .qui exprimera Ie fort de Pierre dans tous les djfferens cas, depuis deux cartes 'jufqu~a treize inclufivement.
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'Pitm tilllt fln 114' do "" J do ' 4 ';1 tml" PIl,,1 J '1,lIlY4111 mite ttS Jnx tllrtes, & 7JfJ1fUNlnt n Iorfq.';llirera la premiere, & de.x 10rJiJtlilnommerll la ftt-:I ;1111; atrivetll ", Je lirer lin M po.r la premiere tafte J IJ'II de tirer n u.x pili' la ficmae t4rte. L'4tglnt d. je. eft exprimJ lar A.
D
Eux cartes ne peuvent s'arrangerque de deux fa~ons differentes : l'une falt gagner Pierre; I'autre Ie fait
perdre, do;c fon forr fera~ .~ SE co
N D
= i A. CAS.
•
Pierre timl trois &4rtIS.
S
O lEN Tees trois cartes repre(entees par les lettres I, ", t: on obfervera que des fix arrangemens differens que ces trois lettres peuvent recevoir J il Yen a deux ou " ell: a la premiere place ; ~u'il y en a un ou" eft a la feconde place, II n',ctant point a la premiere,. & un ou & ell: a la troifieme place, 4 n'erant point ala premiere, n'etant point ala feconde; d'oo il fuit qu'on aura S = TA; & par confequent que Ie fort de Pierre eft a celui de Paul comme deux eft a un.
&"
T
S·
0
-
1l 0 I S I E' M l!
CAS.
Pit", tient '1llatrt &arlIS. lEN TIes. quatre
11:1 ",
t,
cartes repre[entees par les,lettres
e!: on obfervera que des vingt-quatre arrange..
mens .differens que ces quatre lettres peuvent recevoir , il 'yen a fix OU 4 occupe la premiere place; qu'il y en a quatre ou!J ell: ala feconde, II n'ctant pas a Ja premiere; trois ou t en a Ja troificme, II n'etant pas aJa premiere, & " n'etant pas ala feconde ; enfin deux ou J ell: ala quatricme, II n'etant pas a Ja premiere, " n·ctant pas a la {econde, &, ~"et~t pas ala troifieme s d'ou il fuit qu'on
H
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·sg
B L ~ l4 B aura Ie fort de Pierre =$ 6+\~J .•hA= !~A=fA;
Pll 0
=
& par confequent q:ue Ie {ort de Pierre efl: au fort de Paul comme cinq a trois. •
Q..U A Till It' AI E
CAs..
Pilm timt ';1lI[ ,a1tIS.
S
O lEN TIes cinq cartes reprefentees par Ies lettres ". ", " d,f: on obfervera que des 110 arrange mens dif. ferens que cinq lettres peuvent recevoir, il y en a vingt.. quaere ou a occupe la premiere place, dix-huit ou " oc. cupe la feconde , a n'occupant pas Ia: premiere; quatorze ou, eft a la troifieme place, #I n'ctant pas a Ia premiere place, ni " ala feconde ; onze ou Ii eft ala quatrieme place, a n'ctant pas a Ia premiere, .oi "a Ia feconde, ni , a la troificme ; enfin neuf arrangemens OU f eft a la cillquieme a la feconde, ni , place, a n'etant pas ala premiere, ala troifieme, ni Ii ala quatricme ; d'ou il fuit qu'on aura Ie fort de Pierre = $=14+18 +/~~+ JI+'A= I~~ A~.A; & par confequent que Ie fort de Pierre eft au fort de Paul comme dix.neuf eft a onze.
ni"
G I 1"on nom me $
ENE R. ALE MEN T.
~ canes que Pierre tient ctant exprime par p ; 1, Ie fort
Ie fort que l'on cherche, Ie nombre des
e Pierre, Ie nombre
des cartes ctant p - I; Ii 10n fort·, Ie nombre des cartes qU'il ~ient ctant p - ~, on aura
S
= g )( P -p
J ....
Ii. erne formule, qui eft tres limple Be
tres generale, donnera fans peine rous Ies cas, ainfi qu'oD Ies voit refolus dans Ia Table ci. jointe.
S
TABLB.
Ip = r, on aura $ = A. . Ip =~, on aura $=tA.
Si P=3, on auraS=jJt=fA+i A •
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S U 1 L B' T R. E I Z B. 19 Si P == 4, on aura S fA fA ... tA. Si P S, on aura S Po A = t A + I ~ A. Si P== 6, on aura S I~~.A iA ... I~!A. Si P -- 7 , on aura S -- .ll.!. .!.A ... !..!..! A 84-0 A I. 840 JZ • Si P 8, on aura S \~!~A = fA -I- r~;~ A. Si P = 9, on aura S = ~'f~~ A t A -I-4~~:~ A. Si P 10, on aura S :::~~.A f 4 .....!I~~ A. · S z.f2.tl1t A . • A f2.71 U A S1 P = 11, OD aura 49j1680 JZ "i' ... "'1680 n. Si p =u., on aura S= !7;~~::~~A==fA'" ..~!~~~;~~A. 10 'H9 6 6t A=J..A+_ u 8tU, 61 .A Sip=13 , onauraS172.972.800 ~ 172.9711100· 11 ell: aife de voir que cette formule donneroit de me me l'avantage de Pierre, fi 1'0n fuppofoit qU'il y edt un plus grand nombre de cartes de differente efpece.
=
== = =
=
=
=
= =
== ==
= =
=
REAl A R. Q....U E
L
I.
A folution precedente fournit un urage lingulier des . nombres figures, dont je parlerai dans la Tuite, car je ttouve en examinant la formule, que Ie fort de Pierre ell exprime par une fuite infinie de termes qui ont alternativement ...... & - , & tels que Ie numerateur ell la fuite des nombres qui compofent dans la Table, page 80, la colo nne perpendiculaire qui repond ap, en comD1en~ant par p, & Ie denominateur la fuite des produits p x p - I )( P- " x P- 3 x P- 4- x P- 5; en forte que ces produits qui fe trouvent dans Ie numerateur & dans Ie denomina.teur fe detruifants, il rell:e pour expreffion du fort de Pierre cette fuite tres fimple f-I:z. ... 1.'.".4 -+- 1.'.;.4.' 1 6 ... &c. ( ces points font ici & {eront dans la I. ,. J.4. r. (uite la marque de produits). Si 1'on forme une logarithmique dont la foutangente foit runitc, & que I'on prenne deux ordonnees, dont rune foit runite, & l'autre foit eloignee d~ cette premiere d 'une quantirc cgale a la foutangente, l'exd:s de 1'0rdonnCe conll:ante fur la dcrniere {era egal acette fuite.
I.:., -
Hij
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P II 0 B L' l!
60
MES
Pour Ie demonrrer foir la formule generale des (OIJ.; tan gentes s =.:!: ~~Jt, la fourangente erant nommee s',. l"abciffe x, l''ordonnee f. On fuppofera, egale aune fuire' d'expofants de x affed:es de coeficients inderermines, par exel:l1ple, = 1+ IIIX +6xx + exl -+- ax· -+- &c. & prenant' de part & drautre fa difference, divifant enfuite par tlx,. & multipliant par s, on trouvera .:!: ';; = .1 = I + II JC ... 6xx -+- ex' -+- tlx· -+- &c. ~IIS .:t 16sx .... 3CSXX .... ¥sx J ... &c. Si ron comp~re les termes omologues de ces deux fuires, & que ron tire de cette coinparaifon la valeur des . 1 JI IJlJI.... t x' coe'fiClents 11,11, t, d on aUf'a.1 I .:t - + ,
=
a:
=
x4,'
,
.'.
ISS
I.&.JS
ce qui fait voir que fi ron determine y i etreI"ordonnee d'une Iogarithmique dont la foutangente confi:ante foit I , on aura l'OJ:donnee qui correfpond a x pris du cote que les ordonnees diminuent, = I - -: 4 .... ==- ~ + 1.&.,.+ :11 &c. on peut voir cette demon.· I.a. I.Zo., . . . I.
J. 4S4 .:!: &c.
=
Ilration dans Ies Ad:es de Leiplic de l·annce- r693, p. ]7', oule celebre M[ de Lcibnitz; .refoud ce Probleme : V" logllrithme ;illnl Ionn;, t'fJUver Je nombre 'III; Illi e,,,t'/p,nJ. Or il eft dair que 11dans cette fuite on fuppofe X = T, c'ell: a dire egaIe ala foutangente ou a l'ordonnee' conftante, & qu'on retranche cette {uite de l'unite , elle deviendra la fuite du prefent Probleme~ On peut encore Ie demontrer prus {implement en certe forte. Soit'con~ue une logarithmique dont la foutangente' foit l'unire ; on prendra fur cecte courbe une ordonnee conllante = 1, & une autre ordqnnee plus petite'=] - y; l"'on nommera Jt l'ilbcilfe comprife entre ces deux ordon:. nees', on aurad%= /!..y, &x=.1+ty'+fY' .... .... &c. & par Ia methode pour Ie retour des {uires,'y = '" X1l" ~J' x4 x' & . - -1• ." ... -J...2.~J, - 1.2.'J·+ ... 1 02··J·4·$ c. ce qUI , elll r. r. d' I 1 I . luppolant K = I, eVlent 1 - W' + ~ 1 ..2..5;'-"
i'·
=
~
1'&';,4',,1 -
&-c. C.I1.:B.,D ..
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f
S U II L B
T II BIZ E.
REM .A II Q...U E
Q
61
I I.
80 I Q.!J E la fuite du Problame foit comp(\fee d'un _nombre infini de termes, eUe n'ell: point egale I'unite; on trouvera meme qU'elle ne fera jamais u grande que i +1., eXCepte Ie feul cas ou il y a trois cartes, en forte que res limites de la fuite font entre ! ~ & j~. On pourra encore les trouver plUs jull:es u ron ajoute en une meme fomme un plus grana nombre des termes de la fuite, c~ qui fe fait fans peine, en employant la Table des loga· nthmes; & ainfi Pexces ou Ie defaut de cette fomme fur la valeur de la [uite diminuera al"infini. On peut obfervcr que la {uice 1. _ I -+- _ I_ _ _ I + I _ r + Sec
b. I
a.
1.2.
1.2.03
'.2..1.-4
1.1" ..... $
1.1,J .....
f.'
.'
ell: egale a chacune des trois qui fuivent C, D, F, lefquelles fous des formes tres dUFerentes ne laiifent pas d'avoir la meme valeur, en forte que tout ce qui convient la foite B leur convient auffi. C -!.. -+- I."i:1 ... + 1.1.).... 9 + 1.2..)I..... ' 2.J " $.6.7 1.2. 1 ... 1.2..3 ..... $.' + 1.2.d ..... ... &c• - 1 X .!.2. + 1.2..3.... 1 *" 1.1.'I..... $., + 1.2..' .....~:--='-=-':" f.'.7 •• ... 1 -+-&c •. J.1·~· ... ·1·'·7·8.'.IO
a
D
•
.!... ~ -+- 1 _ + 1.2..J ..... 7J'.'.7.8 -+- 1.2.01 ..... $.'.7.8.'01 "-=-"'~=• 2. 1.30.'.... 1.2..) ..... J'.,
..... &c.
F
...!..+-I-+
1.2.
1.2..,
r + 1.2..'1..... 1 ... I.~"."'.f.', I ... I 1.2..1.... 1.2." ..... $.'.7
__ I _ _1 _ _
J....
3..... $.'
1
,· .... $·'·7.8
-
I
' .... :1.'.7.8.'.10
-
1
'
+&c• -&c
,· .... $·'·7.8.'.10.1J,J2.
•
On pourroit faire pluueurs remarques curieufes par raport c'es fuites; mais ceia nous ecarteroit de notre fujet, & nous mener()it trop loin. On a fuppofc dans ce Probleme, que Pierre iyanr gagnc ou perdu, fe jeu finHfoit. Mais fi ron fuppofoit, ain6 qu'il fe pratique dans Ie jeu du Treize, que ,Paul ayant perdu une fois, rem1t encore au jeu, & qu'a yant perdu une feconde fois, il remit encore la meme fomme au jeu , & ainu de {uite , jufqu'a ce que Pierre eut perdu en tirant toutes fes cartes faDs en nommer une {eule fon rang: Ce feroit un . . H iij
a
a
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, 6'"
PRO B L E M E
nouveau Probleme qui auroit plus de difficu)te que ceJui dont on vient de donner une {olutton generale ~ & qui auroit plus de raport au jeu du Treize. En voiclles cas les plus funples. A
PROBLEME. PRO P 0 S. I T ION V I I I. Pie"e jotte con/Ie PattI aflx memes conditionS"'1,lA. je. J. 'rrei7.! ci-de./Jus expliqlle, avec celte (ellie difference, '1tt'allliell. 'i,iall jeu till TreiZl Piem j(Jllc IIvec un jell ae tin'lunte.defl" cartes, compoj6 de 'Jllatre as, 'Jllatre dellx~ qllatfl trois, &c. ici· Pie"e lIe jOlle 'I"'avec t'~iZl cartes, /fa voir 1111 as, 1111 dellX ,._ • Irois, lin 'l"alfe, doc. jtlfq,iall Roy incltlJivement.,
P
J
&. E M I E 1l
Pie"e tifnt 1111 liS
CAS.,
do lin dellx.,
E {uppofe que Pierre & Paul mettent· clia.crm a.u jeu' une certaine fomme que je nommeA, j'exprime les deux' cartes par deux lettres, f~avoir l'as par la le[[re tl, & Ie deux par la lettre 6. Cela pofe, fexamine ce que les deux: arrangemens differens, a ", "a donnent aPierre. Or je vois que I'arrangement "" fait perdre Pierre, & que I'autre arrangement a " Ie met dans une lituation que je vois aIa verite lui etre favorable, mais qui m'eft encore inconnue, puifque Pierre pour achever eft oblige de meIer les cartes & de retirer. Or en retirant il peut egalement lui arriver ou de reperdre' ce qu'il auroit deja gagne Ii Ies cartes fe trouvent arrangees ainli que Ie reprefente r'arrangement it !J.,ou de gagner de nouveau 1A avec Ie droit de recommencer Ii les cartes font di[polees ainfi que Ie repre{ente l'arrangement" a, car dans cette difpolition il gagneroit par" ayant anommer un deux, & enfuite par II ayant Dommer un as, & iI auroit· encore Ie droit de continuer Ie jeu apres avoir melc. de nouveau les cartes. Nommant done S Ie fort cherche de Pierre ~It {on:{ort
a
...
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.
,
........
:
s U :R.
L B
T REI Z E.
"I
lor[qu·il a amene pour premiere carte un as, on aura 8=ix+ i x 0, x =f)C 4-A ... S +ix A, d·oD. ron tire S = -fA; ce qui fait voir q"e dans la [uppo.. fition de ce premier cas l'avantage de Pierre {eroit exprime par t A. _. ' SEC 0 N D '
.Pi,,,, tinu n
E
as,
CAS.
•
8" de8x & 8" trois.
Xp R. I M A NT comme ci.defi"us l'as,Ie deux & Ie trois par les Iettres a,", " & Ie fort cherche de Pierre par S, je range pour me faire entendre en moins de paro.. les & plus facilement, les fix arrangemens dHFerens que ces trois lettres peuvent recevoir fur trois colonnes , & je mets a. cote ce que chacun de ces arrangemens donne a. , '3. Pierre de gain, de perre, ou d·efperance~ Or il yen a qui laUrent la fortune de Pierre indecife. Pierre ctant oblige pour achever, de meIer les cartes, & de continuer a. tirer ou une carte s'illui refte trois a. nom mer , ou deux cartes s'illui refte deux & trois a nom mer. En ce cas j'exprime • Ie fort de Pierre par une variable, & pour la determiner je remets de nouveau ces memes arrangemens, & j'exprime acote ce que chacun donne a Pierre. II feroit trop long de rendre raifon de tout en detail, il fuffira "au Lect~ur de regarder la Table, & de confiderer avec attention Ii la valeur de chaque arrangement eft bien determinee. x .a " c 1A ... S ."" c o . '" !J 3A+S.ac/J o.",a 3A+S.,"a Je nomme x Ie fort de Pierre Iorfque fes cartes fe font trouvees difpofees ainu que Ie repre{ente l'arrangement ,,/J G. Pour Ie determiner je &is cette nouvelle T~bIe,
,.G""
A.a"c .A."ac A . a , " .A ." G a A +J& • , " " . Je nomme j Ie fort de Pierre lorfque fes cartes s'etant trouvees d'abord d~fpofees ainu que Ie reprefente rarrangement a " " eUes Ie font ala {econde fois , ainu que Ie reprefente l'arrangement IJ. /
,a
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..
64
•
PRO B L EM B
Pour determiner cette inconnue je fais cette troifieme Table. ,.A+!./NtC 3A+x.b&" De tout cela on tire ·S _ I x ~A -+- s .... 'x ,A -+- $ .... 'x 0 + r X x
-
,
.~= fA .... : .... !. J X 'A ..... IX ,A""&J"",+lx',A""X=I
,
J'
,
Et .fubilituant cette valeur dey dans l'egalite x
---;-;
= fA"" x+, . , »
.ll E =!') A. t fubftituant cette valeur dexdans . l'egalite s= sA +J~+x, ,
A + x
on aura x= S •
on aura S
=
,
11.-4+",
+ ,; ce
it
•
qUI
donne x
SA -+- 3S +H-A = ,
tf,A
-+-
17$ .... }fA. 11+
Et enfin S = WA = 3A + ~~ A. D'on il paroit que l'avantage de Pierre feroit 2..,A .... ~ ~. A. En forte que fi A exprime .une piftolJe, e'eft a dire, Ii Paul s'obljge a mettre au jeu un~ piftolle conere Pierre, jufqu'a ce que Pierre perdant, Ie jeu foit fini; l'avantage qu'il fait aPierre, & la perte qu'il foufFre en tenant ce pacti, eft 1a meme que s'il donnoit a Pierre en pur don vingt-deux livres leize fols & quelques deniers; Cette methode eft generale; mais comme Ia longueur du ~alculla rend impraticable lorfqu'il y a un plus grand nombre de cartes, on ne doit s'en contenter que par provifion en attendant qu'on ell ait trouve une meiJIeure.
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,--
!
SUR· LE
JE U
DELA BASSE.TE. BXPLICATION DES
A
REGLES.
a
Ce Jeu, comme ceIui du Pharaon, Ie Banquier tient un Jeu entier compofe de cinquante.deux car. "tes. Apres qu'illes a melees, & que chaque Joueur 011 Ponte a mis une certaine fomme fur une carte prife volonte, Ie Banquier tourne Ie jeu, m.ettant Ie delfous delfus, en forte qu'il Yoit la carte de delfous. En {uite it tire toutes fes cartes deux c\ deux jufqu'c\ la fin du jeu, en commen~ant par la feconde. Void les autres regles du I· eu. 1°. La premiere carte efr pour Ie Banquier, mais i ne prend que les deux tiers de Ia mife du Ponte Iorfqu'il ~mene fa carre, & ceIa s'appelle {atef. La feconde efr entieremcnt pour Ie Ponte; fa troifieme entierement pour Ie Banquier; & ainu de fuire aIternativement. II faut re'marquer que lorfqu'une carte a gag~e ou perdu, eJIe n'apparcient plus au jeu, amoins qU'on ne la remetre de nouveau. Ainu, par exemple, la carte du Ponte etanr un Roy, fi la premiere carte du jeu efr une Dame,la feconde un Roy, & Ia: troificme auffi un Roy, "Ie Banquier qui dit en tirant Ics cartes, Roy It gtlgnt, Roy It pt,d" (ccla s'entend des Pontes) perdra la mire du Ponte, quoique naturelle-:ment Ie fecond Roy I'eut fait gagner, {i la premiere carre de la taille n'eut point etc un Roy. . 2/\ ~tand les Pontes veu·lent prendre une carte dans Ie cours du jeu, il faut que la taille foit balfe, c'efra dire, qlle Ie Banquier les tirant, cOJl¥lle j'aj dit deux adeux, air I
a
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66
PR.O B L l! M B S
pofe fa derniere-taille ou couple de cartes fur Ie tapis, en forte que la carte qui refte decouverte foit perdance pour Ies Pontes. Alors fi un Ponte prend une carte, la.premiere carte que cirera Ie Banquier fera nulle a. regard de ce Ponce J quoiqu'elle foit favorable aux autres Joueurs; fa e1Ie vient la feconde, elJe fera facee, c'ell: a. dire que Ie Banquier prendra Ies de ce que ce Ponte aura mis fur 130 carte: fi elle vient dans la {uite, elle {era. en pur gain Oll en pure perte pour Ie Banquier , felon qu'eUe viendra, ou la premie~, ou Ia feconde d'une tailIe. 3°. La derniere carte, qui devroit atre pour Ie Ponte. eft nulle.
t
PROPOSITION PilE M I E II
IX.
CAS.
].'on [uppoft que It BAnquier '!Jant fix cartes entre leI m';ns J Ie Pontt en prlnne line qlli [oit une flis aans cesfix cArtes J • c'eft Adire aans les cinq cartej couvertes. On aemande quel eft Ie ort au Banquier par raport A cette carle au Ponte. PAr exemele fi Ie Ponte met un 'eu for fa CArte J on tlemande '" quelle partie ae [';ell peut s"eva~ l'AVAntAge Banquier. OIT Ie fort cherchc exprime par S, & la mife de Paul
r
au
S
par A. . Si 1'on con~oit Jes cent vingt arrangemens difFerens que cinq cartes exprimees par les lettres a J " , t J J J I, peuvent recevoir, pofes fur cinq colonnes, de vingt-quatre arrangemens chacune; on remarquera, 1°, que celIe ou Ia Iettre a occupe la premiere place, donne .A ·au Banquier. :&0. Que dans chacune des quatre autres colonnes, la let. tre a Ie trouve fix fois la troifieme place, fix fois 130 qu3ocrieme, &: fix fois 130 cinquieme, d'ou iI fuit qU'on
a a
aura S
== 2.4 )( .A ...... )( 6 )( t A .... " )(2.A"" , )(
= f¥o -=.A. ....
~alant
a
0 .... " )(
.A
12.0
J"S
.A; &: par confequent fi,J defigne un CCq
foixante fols, Paul prcoant une cane, dam les CODs
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.
I'
•
•
lUll L A. ·B. ASS B ,. B~ '7 C!itions du prefent Probl~me, kroit a Pierre Ie memc. avantage que ~'illui donnoit huit foIs en pur don. On peut encore confiderer la chofe autrement en pre. nant garde que de ces cinq colonnes, la premiere donnera 2.4.4, la feconde 14)( tA, la troiGeme 14 x o"la-quatrie. me 14- )( l,A ~ & 1a cinquicme 14A.
G
ENE
a. ALE
M E H T.
S
I la carte que preud Ie PODte n'ell qu'uDe fois panni les cartes couvertes du Banquier dont Ie Dombie foit .
cxprimC par p,. on aura S = SEC 0 No 1)
~Ap+2..A
~p.
C A
.
•
·s..
L'on foppofe que ~ Banquier tena~t fix tArtts ~ leoi'mtt en prend une. Or CDmme I" cafte duPontl fo pe~ttr.oll _'lief" 014 deux fois ~ 014 trois fois ~ ou q,uatre fois dans ces fix cartes.~& q.ueceladi'Ulrfific ra'UanrageduBanquier" .il eft dpropos de chercher quel eft[on.[or.tdans routes les 'Variations-de ce fecond. ease Je commencerAi par examiner quel eft[On fort Jans Il¥pppofition quela carte d.1I. Ponte {oit-deux fois tbms fA main au Banqu;er;.
S
les cinq cartes couvertes du Banquier delignees par Ie! lettres ",", t,fi,f, d9nt deux>-queloCi)nques, par' cxemple III &f, exprimeRt··ceUedu·Ponre. On remarquera, J que les cent vingt dHferens arrangcmens pollibles que les cinq cartes peuvent recevoir, crant pofes fur. cinq eolonnes de.vingt-'1uatre arrangemens chacune~,dont;la premiere' commence par (Z , la feconde -par", la troilieme' par t, &c.les deux· ~ol()nnes qui commencent par-" & pal" ( donneDtA au Banquier, puifqu'elles font indifFerentes pourBanquier & pour Ie Ponte. zO. ~e- chacune des trois· autres colonnes contient douze arrangemens qui donnentau Banquier fA, ce font ceux ou " & f font la deuxieme.· pace.;. & quatre- arrangeinens qui donnent 1A au Ban.;. OI!NT
O
,
•
re
a
l:ij
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•
P 1l 0 B L B MIlS
-6S
quier, e'el1: adire qui Ie font gagner. ce~ ~ d~cou...ritl
wement par Ja Table ci- jointe qui teprefente Ia fecondC colonne , qui ell: celIe ou " tient la premiere pla~
laea! laefd laalf IIaaft IIaled IIa/u
leaa! IJtafJ. I calif
II&Jf~
laae! I Ja!t la,"! II ",f. IIJlat
I/aat Ifaed "!<d If,all IfJilt I!Je.
IIeflld "'Iall. IJI'"
Ii eft clair que Ia premiere & la demiere de ces qua~ colO1!nes donnent f A au Banquiet, k que chacune des deux autres connent deux arrangemens qui donnent 'J.A au Banquier ; ce font ceux.ci, IJ,J.f~ II,Jf", IIJe.f. IIJefll. On aura done --~----
C'_'J.)(2.+A+})(2.X6xjA+2. x ix2.,A U -
!..! ~
.~
I
~
==.n +Ion ,,0. Pour trouver quel eft Ie fort du Banquier lorfque la .
12.0
t::: 10.n.
carte que prend Ie Ponte eft trois fois dans Ies cinq cartes du Banquier. On obfervera que des cinq colonnes fufdites i1 y en a trois qui donnent A ~u Banquier, & deux qui contiennent chacune dix.huit arrange mens qui donnene fA au Banquier. eela nta pas hefoin de preuve. On aura. A _ A' I ~ done S -- 3 x 2.+A -+0 2. x 18 x t.A -_ ill u.o.J:I J:I + iO n. . 12.0 . 3°. Pour trouver quel eft Ie fort du Banquier lorfque la. carte que prend Ie Ponte eft quatre fois dans Ies cinq cartes couvertes du Banquier, on obfervera que des cinq colon. nes fufdites il yen a quatre qui donnent A au Banquier,'~ une qui lui donne f A. On aura dODe • ~ .1:-A S -_4 X1+ A -+02.+xfA_ -.a+,sno u.o
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s U .. .T
LAB ASS II T E.
(;9
1l 0 I S I Et ME. CAS.
L'on foppbfo q~ Ie talo~ ;rant rompofl de huit cartes, . JOIIt la premiere eft aecou'Verte, Ie Ponte en prend une 'lui {olt deux fois aans ces hllit cartes. On aemande 'Juel eft Ie fort au Banquier PM' rapon 4 cette carte. .
:l
0
exprimees les [ept cartes couvertes par Ies [ept lettres II, ", " J,{,g, h, dont deux, f~avoir "~f, . efignent celle du Ponte. Soit aum, comme ci-devant, S Ie fort cherche , Be .A la mife de Paul. Cela pofe, On obfervera, 1°, que po[ant les cinq nUl quarante arrangemens difFerens que les [ept leeeres peuvent recevoir fur [ept colonnes de fept cens vingt arrangemens chacune, la coronne qui commence par" Be celie qui commence par f, donneront chacune A au Banquier. 1°. Q?e fi 1'0n con~oit chacune des cinq autres partagee de nouveau en fix autres de cent vingt arrangemens cMcune, les deux d'entre ces fix ou II & f occupent la feconde place, don- . neront ~.A au Banquier. 3°.. Que Ies quatre aueres colon. nes dtentre ces fix ont chacune quarante. huit arrange... mens qui donnent 1A au Banquier. Pour Ie voir. aifcment il faut fuppofer qu'une des cinq colonnes fubdivifee en lix aut res , eft celIe qui commence par ", Be confulter la Table qui a fervi ala folution du cas precedent. On remarquera d'abord que Ia pre~iere Be Ia demiere colonne de ceete Table etane varie¥utant qu'il eft pollible avec les deux nouvelles lettr~s g Be h, II reftant a Ia feconde place, e1les fourniront chacune cent vingt arrangemens qui donneront fA au Banquier. A I'egard des quatre aueres colonnes de cent vin~ arrangemens chacune, dans lefquelles Jes lettres " ti, g, h occuperoient la feconde place apres", iI eft aife de voir qu'iJ fufflt dten examiner une, puifque toutes les quatre donnent Ie meme fort au Banquier. Soit la colonne troilieme deja Table celIe que I'on veut exa. miner: II faut prendre garde que chacun des quatre arra~ gemens IUlld!, ","fd, "'fad, ",fda crant varies avec les I iij lEN T'
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P 1l.O.B:.L.E M.E S.
70
.
deux nouvelles lettres g & h, autant qu'il eft poffiDle , ell' "rte neanmoins que, refte a Ja feconde place, c'eft a dire immediatement apres II, donnent fix nouveaux arrange.mens qui font gagner Ie Banquier, & lui dOJ.lDent 2.4 •. Pat c.xemplc. "-( II dl fournit ceux - ci, In:gadfh bthadf~ Itglldhf' .I,(hag/d' 6'glllhdf 6thll[gd n en, ell: ainu des treis autres, puifque g ctane devanr" QU f,. fe peut trouver en· trois.differentes places; & que h ctant devant II ouf,.fe peut trouver en trois places difFe... unres, a oufrell:ans toujours ala quatrieme. On trouvera de meme que les deux arrangemens 6fdA!. /J"Jfa etant varies autant quail eft poffible avec g & h, en . forte neanmoins que t foit toujours Ja feconae place ~ fournHfent chacun douze arrangemens qui donnent 1.A. au Banquier,. car dans,6.(.daf,.. g ac. h peuvent s'aNange.c en fix fa'ions avec J, & en fix. fiic;ons differences avec f, II refrant ala quatrieme place; Be de memo dans 6(Jfa~ g & h peuvent s'arranger en fix fac;ons avec d, & en fix fac;ons differences avec II, f r.el4nr toujours la quatriemc place. De tout cela il {nit qu'on aura
a
a
_
s-
2i)('710A+5)(lXI2.0~fA+ ... x+8x1A -.:.
le>+9
n6
~
-·S.:l4.n
==,A -+- :3.A:·
Pour trouver quer ell: Ie fort dujJanquier lorfque la carte queprend Ie. Ponte ell: trois foiPdans les [ept carres couvertes du Banquier.· Soie~t expr~mees comme ci- devant Ies {ept cartes dll Banquler- par.les le.ttres II "..6, (, J ,/, g, h, donr trois que!.. conques ,.par exempIe.II,d,{, delignent la carte du Ponte:. Cela pofe., .. On ob[erv~r~, IO,.que.po[ant les dnq mil' quarante arrangemens durerens que les {ept lettres peuvent recevoir fur fept colonnes de [ept eens vingt at>rangemens chacune ~s trois 'lui comme.ricent par 101ettres '11, d, f donnent ..; 2.0 •
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BA 5'S.·,. E.
SU'A' LA
.
'71
f'All'Banquier "ce qui.ea evident. ~o. ~e dilhiooant chacune des,quaere autres eo fept colonnes qe cent .v.lngt arrangemens chacune, Ies trois colonnes d'entre ces fix ou' -Ies fettres .,J,ftiendront la [econde place, donnent t A ,~u.B,anquier. )0. Que chacune des trois autres colonnes .cOhtiendra trente hX arrangemens qui donneront 1A au 'Banquier. Pour s'en ~iI'urer, on peut confulter la Table de la page 68,& remarquer que chacundes arrangemens de la feconde colonne, de Ia Table, eft a la premiere place, & , a'la feconde, ne petit par Ie melange des dellX 'nouvelles lettres g Be h, recevoirque fix arrangemens qui .,donnent 'I.A au Banquier, les deux y.remieres renant leur place. Ce quiparoltra e.vident, fi ·on.confidere. q9e. dans. Ies fix arrange mens
ou "
a
r
~,,,Jf
I"d"
"'''Itl,
",dl"
lIe/"tl· Iltld,,~
gou h crant devant rune des trois lettres",·J~f,
h' ou'g' avec les
peuvent s'arranger en trois fa~ons c:illferen~es .ilcux derllier~. 11 ea vifible qu'll en [eroit de. meqtedes' ~is autr~s co.;. lonnes de cent vingt arrangemens.ou. les deux premieres kures [eroieot.."", "g, Detout'celail [uitqu·on.aura.
"h.
._ 3 )( 72.0 +- 4
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12.0 )(
tA +
S~O i
J )( " )( 2.A _ .
..L A.'
A
-.n.+ lOf.n·
30. Pour trouver que! effIe fort du 'Banquier lor{que Ie' ttalon CtaDt compo[e. de [ept cartes couvertes, Ie Ponte en' ;prend une qui eft quatrefois dans ces {ept cartes; 00 ob[er·_vera, JO, que'concevant' les cinq mil quarantearrangemens !}'offibles de:fept cartes po[cs fur {ept coloones de fept cens· .Yingt arrange mens c4acune, -dont·l'unecommence. 'par", la feconde. par" ,.&c. comme ci.devant', il yen aura quatre, .deces {ept quidonneront A all Banquier. '1.0. ~e diari.. ;buant cliacunedes trois aurres,[llr fix colonnes decent "jngt arrangemen$ chacune, quaere de ces fix foumiront· chatune. cent vin~ arraDgemcns qui dODDerODt A au
t
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1'4
L
MIt
Bailquxer, &: aueres ilin:&:le-
S=r 4)( ,10A-4- 3)( +x l~O xt A+l)(':~)( lA =",4
;e=4.
11
f O+
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ferilit pilur{"hivre ene derilil d'illl pl~25 gnnd de cas. ,On voit atTez p,ar les, refle~~ons precedentes, queUes ferOlent celles qu H faunerolt 25eUO daK2525la lupeofidon :&:Iue Ie iienqnier eyeilt ileuf earees CilU..
i:~:~e 1~!;~t:r~~Kr~e~~efc!i~~~~ce~nn~:Ot;=;:e;~:: aura S
l.
)(+O,l(K...4
= -----..-;..---~--:.-------
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:~~::~ A-+- '~8 A. l.0. Si la cartedu Ponte eft: trois fois dans les neuf cartes 3 :c:::
s
Carte25 one aueil )( e n 'Jl0A+ 5)( + x jOe O ~-
-'
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fA -4- +)( rj8ne)( l.A
' 5 6 Z. S80
•
-
=::!=:~A =.4 Ji~.A, UilUililra rellexk:&ns at dans l'ordre des chiffres l'origine & la demonfrrarion des formules B = ! x.!.-:!'"~ C [F'- FF'- T D FOP~,P-ki '1'1'-1"
= 2.pJ-6pp+.p' =
'PI-~PP+6f1~
dans leiquelles p defignant Ie nombre Cilrres couvertes llune riezir Beilqeirr B neneprime aveiltalle d:?rfilile la carre du Ponte fe trouve deux fois dans Ie talon, c fon avanfeg; lor~~~~!~e ~ir, trois llois, Dian ilvailtage 10rfCes formules font afI"ez commodes pour Ie calcul, mais limii:&:les, en deux ilutrilS elles font particulieres ililroie'f1t Iieil , fi Ie erer uninerfeIler , Banquier tailloit avec deux ou trois jeux de cartes enfemble. '
meles
SUll tA BASSBTit
7J
G E N .E II ALE MEN T. u ~ L ~U E nombre de cartes que tienne Ie Banquier, & quelque nombre de fois que celIe du Ponte y foit contenue, fi ron nomme p Ie nombre des cartes couver. res que tient Ie Banquier; 'I Ie nombre de fois que celIe du Ponte y ell: contenue, on aura Ie fort du Banquier ex. prime par cette formule generaIe, ,S=.!.A ... 'XI-' xI-A'" '1X1-'X1'-'-IXI'-'-t. x 1A , 1XJ'-1 J IXl-IXI-2.Xl-1 ... 'X1-1X/-'-1 XI'-'-2.X1-,-4X1-'-4)c 1A 1XI-IXI- 2.XI 1 XJ' 4XI-1 . 'XI-'XI'-'-IX1'-'I-2.X1-'-IX1-,-4X"-'- fXI-'-'X 1A
Q
...
IX1-IX1
2.XI'-IXI-4XI
fXI'-&X1
7
+ 'X1-,X1-'1-1 X"-'-2. XI -'-1 X"-'1-4 XI'-'1-f XI-'-& X'-'-7 XI-f-1 )( 2JI 1XI-IXI-2.XI-IXI-+XI-SXI-&XI-7X/-IXlr'
.~C.
11 ell: facile de continuer cette formule , & de decouvrir tous les termes de cette fuite, a commencer depuis Ie ~~~
.
Pour avoir Ie {ort du Banquier on employera toUS Ies termes de cette fuite jufqu'a ce qu'on en vienne aun terme qui foit 0; mais il faut obferver que lorfque Ia carte du Ponre n'ell: qu'une fois dans Ie talon, U faut ajouter iA aux termes de la {uite.· .
=
AUTIlE
POIlMULl!•
.~ I lion nom me g Ie {ort du Banquier dans un nombre de cartes exprimc par p -~2., & Ie refte comme ciefi'us, on aura generalement
p-, x...L J-A ... ,X,-,XI-,-I XP-'-2. 1 ,A - pLZ"', ,-1' 1 XI-I XI-\XI'-1
S -.1
+
A
X
1-'X1'-'-1 'A IX1-1 X g - I . X ~n -
1-'1-2. J'-2.Xl-1 X
RBMARfJ..VB
S A '1 X JLZ.
Z.
A
Ce Jeu comme a celuidu Pharaon , Ie plus grand avanrage du Banquier ell: quand Ie Ponte prend une caire qui n'a point palfe, & fon moindre avantage ell: quand Ie Ponre en prend une qui a palfe deux fois; fon K
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74
R0
S.51J
lJ..
AS
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avantage ell: auill plus grand lorfque la ,carte du Ponte a fois que lorfqu'elle a palIe feulement "oe fois.
palfe
RE
.ARf2...VE
A u J~u~~ lje~affete l'avan~~:
I.
du B~?o~~:~~~~:~:: aifement en comparant l'avantage dLtBanquier au Jeude la BaLIete , 10rfilue tenant douze cartes Ie Ponte en prend ~ne s'y tfouve ou w.:me, deux ou trols ou quusre fois, avec fonfort dans ce meme cas a.u Jeu du Pharaon. L'on trouvera que Ie Ponte mettant unepill:olle fur fa.
l:;;~ue 11: ~:;::~~ p~:~:1e:a qu!::t~~:d~~:I~~ dOu! «:artes du
y
Ban~luier,
u. f.
I
d. l.orfqu'elley fera une fois,.
~r~ de~o:~~~':I!: rieu qu'au P~~~~on f.~!nta~~r~(:~I~:
d. dans Ie premier. cas , 16 f. 8 d. dans Ie fecond 13 f. /, dans =troifidme, & f. 7 da:s.ss Ie quttritme ;ce qui donne 3 !iv. 1 denier d'avantageau Banquier' liour Ies quatre cas, au lieu riu'a la Balfete les quatre enlembIt ue dosmunt 2. liv. + ce ~'ell: deu. pres que Ies deux..tiets de l'avantage du Banquier au JelL du PharaoQ. EM R E II. 2.
·c
E J"£~ eaprefent~ment beaucoup moins ~~ufageJue
q~~~:;~h~kd:fae:ivac~~~ D'allf:ur~oiItyP:f~~~
au Jeu . vent difputut pOile f4}avoir fi la carte du Ponte va ou ~e vu O~ ~e peut aces mcon~uS¥.iens qui font fondes fur la nature du Jeu: mais on pourroit ,rendre ce Jeu dlus en ef:&nvenantque les cartes facees De quu moirid la nflHe du P~nte, rage du Banquier feroit fort peu confiderable.; j'ai trouve Hue fiBanpuier ne qrenoit tiers pour les faces ce Teu {"'fait ·,i",fava''±·'±·'±·="£eux plu fP ''±1f't·de'± ~ema s qU'on a'faites~iu'r Ie J~~~ du Pharao~~·Peuv~~~avoir eu ~ I'egard de celui .. ci ~ & il ne fera pas inutile de les ,o11luiter.
"1""'--
•
'1 TABLE
[!]1 =a
+
·2
If
+=4+
a
07 -_a.+--a ~1=a
+ __2~a
.
11311 =' .a +
33
~or
+=api-
2.7
Bl="",+-2-a
2
2=4+---
11
, 4
rr
4-+- - - - - 4
16r 40 71 [ 197 4 0 9r
---!....a 39
E!11=a
+---!....a
1171, =
a + -2...p
4=a+
~9,=a+~a l.2.J f7'
+=a+
a
4r
3
12311 = 4 +
+,a
4=4+
a+
E!],=a+-2- a
4:::;:::::
12711=a.+ +,a
4=a+
--;'a
4=a+
71'
1291'~4+
a +
9'=4+ I.!lJ f:711=a+ ~ .
13911 =
4=4+
~a ,lOr
4= 4+
~a 111
4=a+
2
1+311 -:-- a
2
1471,=a+ -2-a I",. 1+911
=
~1= ~1=
= a+ 242160 a. = 4 + _ _2_2_ 4 2709
a-+--2a 147
2=4+
"*
*,
LqTO 4
4= a+
~a.
+
p023
-a
P9 0 2.....: ...~4 ~.ti. 3 2 +3 ~
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1..2....2...-
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f9 8 [ 16 3 a £3 1 3
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6 33
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12 9
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\ ~~~ii~~~~~~~i. A
PROBLE'MES ' SUR LE PIQ..UET, L'OMBRE. LA TRIQMPHE, LE BRELAN ET .L'IMPERIALE. ·.AYBRTISSBMBNT..
Lo
II S Q...U E Ie hazard regne ahfolument dans un jeu, on peut toujours determiner l'avantage ou Ie defavan.. tage des joueurs; les Prob1emes precedents en peuvenr fervir de preuve; & fi l'on fait attention a la variete des conditions de ces jeux, & au grand nombre de circonftan. ces aufquelles il a faUu avoir egard, on reconnoicra que Ia plupart des autres jeux de pur hazard, qU'on connoit . ou qU'Qn peut imaginer, fedetermineront par des methodes ou femblab1es, ou peu differenres de celIes qui ont fervi arefoudre Ies Prob1~mes prc:Cedents. 11 n'en eft pas de meme des jeux ou Ia fdence du jo1.leur a part a l'evenement auffi - bien que Ie fOFt , car cecce {dence, qui n'en mcrire pas Ie nom, n'etant fondee que fur des regies trompeufes de vrai.femblance, & Ie plus fou· . vent fur Ie caprice & la fanraiGe des joueurs ~ il eft impo£. fIble que les conjectures qU'OD forme fur ces regles,. ne participent a leur incertitude, Ainu la lumiere qui n01.ls a. c:onduit jufqu'ici dans les jeux de pur hazard, nous. doic manquer dans la plufJ,art des quefEions qU'on· peut faire fur les jeax dont res evenemens bons ou mauyais. pour les . joueurs > De dependent point entierement de la fortune.
K ij
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7"
PR.O B L E M B propos d'eclaircir & de prouver ced par des exem:-
a
II ell pies. . " . Un Probl~me que I'on propofe fouvent fur Ie Piquet, .c'ef} de f~avoir combien entre deux joueurs egaux, un premier en carte peut parier de faire de points. On croit communement que cela peut aller a vingt-huit points, & c'eft fur ce pied que j'en ai vu faire Ie Rarti a de bons joueurs. Or afin qu'un premier en carte put refoudre cette .quefrion, il fatadroit qu'il f~ut non feulement Ie nombl1i "des difpofitions differenres que peuvent recevoir fes douze cartes, & ceUes du dernier, & qu'il fsUt encore l'art de COrllparer tous les changemens qui peuvent arriver a fes douze cartes lorfqu'il en ecartera cipq pour en prendre autant dans Ie talon, Be aux dOllze cartes du dernier lorfqu'i~ en ecartera troi~ pour .en ~rendre trois au t~lon. ~l {erolt encoo:e necdralre qu'll {~ut ce que Ie dermer dOlt ccarrer dans chacune des differentes difpofitions poffibIes de fes douze cartes. Or c'eft la ce que Ie premier De peut · {Cjavoir, Ie demier ne Ie f~achant pas lui- meme, car il n'y a point de joueur qui ait des regles fixes & certaines pour toutes les differentes difpofitions p~ffibles du jeu. N eanmoins fans cette derniere connoHfance, la premiere .eft prefque inutile acelui qui eft premier en cartes J & il nc . pourra jamais fe faire des regles lures pour ecarter pro. pos, & enfuite pour bien jouer les cartes. • Suppofons encore qu'un joueur veuille examiner ce qui lui eft le plus avantageux d'ecarrer, une quarte majeure ou une quarte de Roy. 11 ell: vrai qu'il s'appercevra fans peine qu'en gardant la quarre de Roy, il y a deux cartes qui lui peuvent donner unequinte, conrre une s'ilgarde laoquarte majeure; mais il n'en {~auroit condure quel parti il doit 'prendre, car outre que cela depend de l"etat. ou eft Ja partie, il faut qu'i1 ait egard a la difpofition du refre de fon je!l, qu·il confidere ce qu'i1 a craindre de fon adver{aire , il doit penfer a faire les cartes ou ales rendre egales, &c. Or tout cela demande un grand nombre de com.. , paraifons dont chacune feroit la matiere d'un Probl~me .. fort compo{e. Ainfi il faut avouer que dans l'examen du
a
a
,
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SUit L E P I
ct!' E T,
L' 0 M B R. E, &c.
11
detail de ce jeu, Ia theorie ne peut mener bien loin. , . La premi~re regIe de l'Analyfe, c'eA: qU'OD ne peut de.. couvrir ce qui eA: inconnu que par Ie moyen pe ce qui eft connu. Or dans Ies deux quellions precedentes ce qui eft connu n'eA: pas fuffifant pour decouvrir ce qui ell: a. trouver. . 11 en eA: ainH de la plufpart des queilions qu'on peut propoCer fur Ie jeu de rOmbre, & d'autant plus, qu'on y joue trois, avec quarante cartes, Be qu'il reA:e un plus grand nombre de cartes au talon. e'eA: pourquoi dans 130 plus grande partie des difficultcs qui fe prefentent fur ce jeu, il faut fe eontenter de chercher Ie vrai-femblabIe; Be borner {on etude aapprocher de la verite Ie plus gu'il eft poffible. Q!!oique bien (les joueurs entendent l'art de deviner beau. coup mieux que moi, je ne laHferai pas de faire voir par l'exemple qui fl,lit, de quelle maniere il s'y faut prendre. Soit fuppofe que Pierre ait fait jouer en pique, qu'iJ ait quatre mains, & que jouant fa cinquieme il lui refte encore deux triomphes ffires, & outre cela Ie Roy de carreau & la Dame de cceur. On demande fa Pierre doit tenter de . faire la volle. Pour refoudre exadement ce Probl!me, iI faudroit y (aire entrer mille circonA:ances dont on ne pourroit calcu. ler la valeur precife qu'avec un fort grand travail: mais fi I"on veut fe conrenter de la vrai-femblanee,il fuffira d'obferver queUes font les rencontres principales ou Pierre entreprenant la volle perdroit, queUes font celles qui Ie feroient eertainement gagner, & quelles font celles aum qui rendroient Ie fueces incertain. Ainu, dans Ie cas prefent on remarquera que Pierre gagnera, fi Ie Roy de treRe erant dans une main, Ie Roy de ca:ur eA: d~s l'autre main avec la g\rde a carreau ; ou u Ies deux Rois crant dans une meme main avec Ia garde carreau, cette garde D'eA: point dans l'autre main, au eA: moins avantageufe. . 1°. ~e Pierre perdra uaucundes deux joueurs n'ayant la garde a carreau, les deux Rois font~n differente main, pu fi !"un des deux joueurs.a la garde acarreau & ~ Roy de creRe:, l'autre joue:ur ayant Ie Roy de ca:Ku~,~ans gard~
a
11)
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~ PaOBLEME carreau, OU a.vecunegarde mOlDsavanrageufeque ceUe qui accompagne Ie Roy de treBe. 3°. ~e Ii Ies deux Rois fe trouvent dans une meme main fansqu'aucun des deux joueurs air lagardea carreau. il yaura pour Pierre autant d'efperance de gagnerque deroque de perdre. . On pourra en pefant ces raifons pour & contre, k y fai-. fant entrer quelques autres circoriftances, par exemple celle.ci, que Ia garde a earreau peut ~rre fi bafIe que Ie joueur fe determinera plutat a garder fon Roy que eeete garde; on pourra, dis-je, en examinant combien run de ces cas fournit plus de rencontres qu'un autre, tirer de cett~ comparaifon des raifons fort vrai-femblables pour fe de.: terminer. Pour moi j"avoue que. je prefererois de tenter la volle; & quoi qu'apparemment cela oOzt etc pratique-par perfonne, je {uis perfuade que eeux qui feront attention fur ee qui precede, ne feront pas fort eloignes de mon fentiment; il fe prefente tres fouvent des difficultes de eette nature, & ce font autant de Probl~mes qu"ll faut rcfoudre, & rcfoudre fur Ie champ. C"eft pourquoi il faut convenir qu'un homme qui a l'efprit vif & penetrant·, &: qtli a I'habitude du jeu, a bien plus d~avantage abien prendre fon parci dans la phlpart des rencontres. de ce jeu, qu'un autre joueur qui avec autant d'habitude aura l'ima.. gination moins june & moins agHfante, car il ne faut pas moins d'efprit pour renconrrer Ie vrai.femblable Iorfque l'evidence manque, que pour dceouvrir la verite lorfqu'Il . ell: ppffible de la trouver. . Le Brelan, & generalement tous les jeux ou I'on renvie font fujet'i aux memes ineonvenients que Ie jeu de 1·0m. bre, & mcme a. de plus grands. Suppofons par exemple. qu'il y ait trois joueurs, Pierre, Paul Be Jacques; Pierre paff'e, Paul rieot Ie jeu, & Jacques renvie i Paul ttent Ie renvi, & va de tout ce qu'll a devant lui t ce Cera par exemple 30A, Ie jeu erant A. On demande fi Jacques, que . ron fuppofe avoir quarante & un en main, & qui ell: dernier ,.dolt tenir ou ahandonner ce qu'il a deja Mis au jeu,
a
far
~emple
I
+A. Je f~ai que bien des perfonnes n'he~
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, . SUR. ,~E P'IQ..?'ET, L'OMBllE, Ike. 79 reroient· pas decider la.deffus pour ou contre, chacun' confultant fon humeur phltot que "evidence. Pour mor je' trois pouvoir alfurer qu'il eft impoffible de determiner exadement quel parti}acques dait prendre, Be rna raifon eft 'lu'il ne fuffit pas Jacques pour fe dererminer avec rai{on, de f~oir qll'entre 134-19 6 fa~ns differentes dont les cartes de Pierre & de Paul peuvent 8rre difpofees, il n'y en. a que- 3 041 qui puiffent faire perdre-Jacques. Il faudroit qu'il y edt des regles certaines & connues aux deux Joueurs pour f~voir. a queUe carte il faut renir fe jeu, & .julqu'ou il eft propos de renir ou de pou1fer pour chaque jeu. Alors JacqJles pOUl'roit compter
a
a
a
.
Q
-
D E' FIN I T ION.
N entend quelquefois par ee ·terme eombinaifon', fa' maniere dont plufieurs chofes peuvent 8tre prifes. . eremment deux adeux. Je lui donnerai ici. une fignifi..·. "tion plus ctenduc, & j"entendrai par ce.mot la.maniere;
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10
PllOBLBMB
de trouver generalement toutes les diCpolirions que pen.. vent avoir foit deux, foit plufieurs chofes felon qU'on les voudra prendre, ou deux a. deux, ou trois atrois, ou quatre a quaere, ou dnq a cinq, ou enfin de toutes les manieres .. poffibles.
PROBLEME... PROPOSITION
X.
Vn nfl1ll"" de chofos f'le/e""f/fle 114111 proposl ~ p,,, ,xnnpk US lettres a, b, c, d, f, g, h, &e. fin tintumJ, ,_!Jim i/J' " J, {"fons Jijferenus tie US p"1II1re t fJfI tme 4 ."', fill de.x.i Jellx, o. t10is 4lfOis, fill enji" Je lotIl,S lis ma,,;,"s pflJ/i!Jks.
Po
U 1l reCoudre ce Probl8me, I'e me Cervirai de la Table d. jointe , dont je vas exp iquer la formation, & dont je demontrerai enfuite l'ufage par rapport aux combinaifons.· .
Table de M. Pafcal po.ur lei comhinaifons. 1.1.1-.1. I . I . I . I . I . I . I . I . I . I I • 2. . 3 • 4· S. 6. 7. 8. 9. 10. II. I 2. . I} J • 3 . 6 • 10 . 15. 11 • 18. 36 • 45. 55. 66. 78 J • + . 10. 2.0 • H . 56 . 8+. 110 • 165 . 12.0. 186 I. 5. 15.35· 7 0 • 116 • 2.10.33 0 . +'5 . 7 15 I. 6. u . 56 • 12.6 . 11'.. +62. .79 1 • u87 J. 7.18 . 8+. 2.10.461. 91+.1716 J. 8. 36. no. 330 . 791.1716 I . :9. 45 16 5 . 495 • u87 Ie 10. 35.12.0. 7 1 5 I. II. 66. 186 I . 11. 78 0
I
0
I.
I} I
J'appelle bandes horizontales celles au les chilFres vont de gauche a droite, Be bandes perpendiculaires celles ou Jes chiffres vont de haut en ba~; j'appelle cellule la pontion d"un clililre renferme entre deux points.
La
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..
•
Ii
COM -S I N A r SON'S. of, La feconde bande horizonta4e eft la Tuite desnOmbr~ llaturels un , deux , trois , quatre ,. &c - ' .. :- - - - . - .; - La troifieme bande horizontale eft formee fur Ii feo:... conde en cette maniere; 1°, je retrograde de gauche i droite d·une celule: 1·, pour former fe chiffre de chaque celule de ceue bande, j'ajoute tous les' chiffres -qui -Je precedent gauche dansla bande fuperieure horizontale. Ainfi Ie nombre fix,. troifieme chiffre de Ia troiueme bande horizontale, eft egal la fomme du premier, dn fecond Be du troifieme chiff're de la {econde Daade horfSUit
L :E f •
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La quatrieme bande horizontale re forme (ur"Ja troiliente en la m~me maniere que la troiueme fe forme fur la fC'conde : Ainu on trouvera que Ie nombre 10 qui eft ]~ quatrieme de la quatrieme bande horizontale, eft egal a la fomme des quatre chiffres qui Ie precedent dans fa bande {uperieure horizontale qui eft ]a troiti~e. n en {eroit de marne de tous- les autres chiffres de 'Cette quttrieme bande. - , On formera les chHFres qui compOrel1t res autres'bandeshorizontales de la mame maniere- que l'on-a fo-rme la feconde fur la premiere,. & let rroilieme fur la fe'conde, ob. fervant toujoUl"S de retrograder chaque ban de d'une celu]e avan~anr vets la droite; c'eLl: ce qll'on pourra ai(erneflr:: decouvrir en con(1derant la cable qu'on pourrOl. continuerr a l'infini. Les nombres qui cOn1pofent la premiere- bande horizomaJe font appeUes rtombres du premier ordre- ~ ceux qui compofent la kconde bande horizontale font appelIes _ nombtes du fecond ordre, ceux qui compofent la rroi. berne bande (ont appfl1es- n6mi>res-da t'roHiemeordre, &c.. Ces nombres aqui on donne aum les noms drunites-, d~ nombres nature-Is,. nombrts triaftgu]a:ires, pytarnidaux,. triangulo . pyramidaU1C, &c. acau(e de' certains raports qu'ils ont aux triangles, aux Pyramides,. &c. ont des proprietes fort fingulieres; que Mrs Fermat, Defcartes" Pafcal,. & plufieurs autres grands Geometres FFan~ois- & ~tr_nsets OAt recherches
-
avec grand {oint Une_ des- p~ - I.
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,RO,,'L,B,¥:BS ~ipale:s,.~doDt iI s"agit ici, eft que par leur moyenO.D pent trouver toutd"un coup en combiep.de manieI:esdifferentes .UD nombre quelconque de jettons ou de canes ou de toute ~tre chofe, peut cue combine; c'eft a. dire pris ou un .. .un, ou deux a deux, ou trois atr9is, C)U quatre a. quatre , ~. d~Ds un pl\1s grand Dombre Pe jettons Be de cartes. Par exempIe fi l"on dem~nde en com bien defa~ons dif.. /erentes fix chofes diffe~tes peuvent acre prifes deux a. deux; on trouvera que Ie nombre quinl.e qui repond aIa .troificme bandehoriz.ontaIe & la kpticme bande· perpendiculaire, eft Ie nombre que 1"on cherche: & de mc.me ii l'on veue (~av9ir en combien de fa~ons differentes ,on7.e chofes peuvellt ~tre priCes quatre a. quatre , on trou.. ·vera que Ie nombre 339 qui repolld Ia cinquicme bande ;horizontale Be ala do~ziemebande perpendiculaire, efi: .le nombre que rOil dema$lde. On trouvera de mame .toures. Ies autrescombhlaifoQs imaginables en cherchant Ie D~mbre. qui rcpood a. one colonne perpendiculaire . done Ie quantieme (urpaire de I"unite Ie nombre de chofes Eropofe, & une colonne horizoncale qui foit Ia troificme Ii Ies ohofes fe combinent deux deux,Ia quatrieme fi Ies chofes fe combinc:nt trois trois, &c. Mr Palea! eft Ie premier qui ait decouvert cet ufage des I!ombres de difFerents ordres, & on peut en voir la demonftration 4ans Ie Traite qU'il- a fait. intituIe Triangle Jlritlmuti'l.t, ou iI applique ces nombres tant aux combi-. naifons, qu·a. trouver les parris que doivent faire deux Joue!Jrs qui jouant en un cert.in nombre de points un ,lCu ega! , ont plus ou moins de points. .
a
a
a
a
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..1>·E 14 0 N S T II A T JON.
Po
u .. me. faire plus facilement entendre, je preris un . exemple, & j~ fuppoCe que I"on veuille f~avoir en .combjen de. fa~ons differentes fix chofes peuvent ~tre pri,fes oupne aone, 9U d~ux adeux, ou trois a trois,ou quatre ). quatc.e, ou cinq aciDq, OU fix a Gx, foient ces lix chofes ~ICAAq.ue$ ~~p»m,es 131 .lc~ 1iJ l~"~A , ", , , J J f, g. J
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:' Premieremtilt·ilell::evident que fi-l!on cheh:he"effC'6m.. 'ien de fa~ons ces fi~ le.ttre~ pe~\I~t- ~tre prif~ unea un~; Ie nombre fix fera celul qUi fansfalt au Probleme~ Or il "{l,cvident~'que Its-ttrmes de la premiere'bande horizon.. tale qui·precedeilt Ie nombre fix, de la, {econde t ctane ajoutes en une .fom~ font Ie nombre fix;. Suppofons enfuite que l"on veoille f~avoir en com..: bIen de fa~ons difFerentes ces memes lettres'peuvent !tre ' prifes deux adeux. Pour Ie tfouver on obfervera, 1-, que I_ IettreA peut fe combiner avec Ies cinq fuivantes 2.°. Q!le la lettre' GpeuE fe combiner dilferemment avec Ies quatre Iettres (uivantes t,. a,f, g, ce qui donne quatre com.. binaifons differentes ,,&~ "a, "g, "I; car ". feroit bien ud arrangement different de A/); mais non pas une combi,:. Daifo~ differente. 30.
",(,el,,,,,.
0
•
Gont Iafomm'C'f+4+J+z+ 1= Ir~ . . Et par confequent Ie' nombre 15 qui fe trouve- dans r~ kprieme bande- perpendicwaire Be dan'S la troifieme bande horizontale, eft la fOInnle des nombres qui Ie precedent 1 gauche dans la ban'de fuperieure' horizontale,. 8( eft ~ m~me temps Ie nombre' qui exprime' en 'combien de' fa,. sons dUfereDtcS ~ Jettres peuvent eue nmes deux idea:. ~ ,L ij
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. . . . P'R 'f).~ 1. PM FS
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~, SuppOrODS ~aintenant que 1'on veuille· trouver eft combien ~e fasons differences ces fix leures peuvent etre ~~~i~~ . . On remarquera 1°, que ." peut fe combiner en quaere ~~ons avec les lettres , , d, f, g; en trois fasons, "d en deux fasons, & a f feulement d'une fason . • 2,0. Que!Je fe combine en troIs fasons avec les lettres d,{,g; lid en deux fac;ons avec les letcres f &g, & "f feulement d'une farson avec g. . . f'. ~e cd fe combine en deux fasons avec les Iettres {&g, & 'ffeulement d'une fac;on avecg. . +0. 11 eft evident que· df nepeut fe combiner que d'une fa~on avec g. Toutes ces combinaifons enfemble de fix chofes priCes trois trois, font
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.'n/', AP/, A&g, .cd, Aef, ACg, Ad!, dag. dl: I,d ~ luf, !J&g, !Jdl, Inig, "fg tdf, ldg, ~/f, dft,· - ~ontla fomme 10+ &+3+1=10. . . Et par confequent Ie nombre 10 qui fe trouve dans'la feptieme bande perpendiculaire, & dans la quatrieme bande horizontale, eft la fomme des nombres qui Ie precedent i gauche dans la bande fuperieure horizon tale , & eft en mcme temps Ie nombre qui exprime en eombien de fasons dilferentes fix Iettres peuverit etre prifes trois a. trois. Done, &c. Suppofons encore que l'on. veuille fsavoir en combien de fasons , differentes ces fix letcres peuvent etre prifes quaere a quatre. . On obfervera 1°, que dl" peut fe combiner en trois fa. ~ons difFerentes avec les lettres J, f, g ; a bd en deux fa.. ~ns avec f & g ; a!JI feulement avec g; que A cd peut fe :combiner en deux fasons avec les lettres f & g; que .tf .&. "dr fe combinent feulement d'une Fason. Que !Jed fe combine en deux fa~ons avec les lerrres f ~ g, &~qu~",£ lutl & fdfne fe.combjn~nt que d'une /a~o~'~ve~' g. . ., .
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suR. LES'" COMBINAISONS. . Totites ces combinaifons enfemble font
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_IKJ, ,,!Jif, ,,!JIg, "IId/, Mtlg J "IIIg, ited!, "tdt" "elg, ,,~
",dl, "'dg, "'Ig, "dfi
.
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~
,
dont la fomme 10+4+1 If. , Et par confequent Ie nombre 15 qui eA: dans la fepriee me baude perpendiculaire & dans la cinquieme bande ho.. rizontale , eft la fomn~e de~ nombres qui Ie precedent i gauche dans la bande fupeneure, & ell en m!me temps Ie nombre qui exprime en combien de fa~ns dUferentes .fix lettres peuvent !tre prifes quatre aquaere. , Si 1"on veut encore f<;avoir en combien de fa<;ons difFe. renres ces fix lettres peuvenr ~cre prifes cinq a cin') , OD remarquera 10 , que ,,/ud ne peut fe combiner difFerem.. ment ql.1'avec les deux letrresf&g; ,,6,! qu'en une {eule faCion avec g, ,,"Jfen une {eule fa<;on avec g; & "'ti! qu'en ane fa<;on avec g. 2,0. ~e ",d! ne fe combine que d'une faCion avec g . ' '; , La fomme de ces combinaifons de fix chofes prifes cinql cinq, fera done "",el{,aIJ,dg,,,6'!g,a6dfg, a,d!g,6,dfg =~
,
"
'
Et par confequent Ie nombre 6 qui eA: daDS la feptieme bande perpendiculaire & dans la fixieme bande horiz.on.., tale s eft la fomme des nombres qui Ie precedent dans la bande fuperieure horizoncale , qui eft cel1e des nombres du ciDquieme ordre; & eA: en m!me remps Ie nombre qui exprime en com bien de fa<;ons difFerentes fix lettres, peuvent ~cre prifes cinq a cinq. ' EDfin il eft evident que fix lettres ne peuvent ~tre prifes que d'une faCioD fix afix. . , De tout cela il faut condure que Ia {eptieme colonne ~rpendiculaire exprime toures les manieres poffibles , dont .hx chofes peuvent !tres prifes, ou une aune, ou deux a deux, ou trois a trois, au quatre a quatre , ou cinq a ciQq , ou fix afix. On trouvera de m!me que la huitieme colonne per.. pendiculaire exprime toutes les manieres potIibles dOD'
a
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"
PaOBnZMIS' {ept chofes peuvent atre'prifes 7 ou uoe a:une', Ott deux I
deux, ou trois a trois, ou quatre a quatre, ou cinq a cinq,. &c. Et ennn que cette table crant conrinuee a l'infini. donneroit toutes les manieres poffibles doot un nombre quelconque de jettons ou de cartes pourroit arre pris 011 un aun, ou deux adeux, ou trois atrois, Bec.. dans un nom.. bre plus grand de jettons ou de cartes. Ce '1"'it [,,8,il
ae-
mtmtTtr.-
On tire de Ia demonlhatioD precedente une maniere: wee & couree de former Ia table, c'efl: af~avoir d'ajouter en une fomme Ie chifFre qui precede Ie nombre cherchc-gauche dam Ia baode horizontale 7 & Ie chiffrequi eft fuperieur acelui qui eft aIa gauche; ainfi pour for~er la troweme bande horizontale, j·ajoute Ie nombre qui eft aIa gauche (c'efl: zero} Be Ie nombre audeifus, cela ine donne un pour Ie premier terme de cette bande.. Pour avoir Ie fecon
marne
a
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a
AUT it E
DE 51 O-N S T
itA T I 0: N"•.
S
fuppole que-I'on- veUiIle- prendre cinq chofes par ex. de toutes les manieres poffibles, ou deux adeux, 0111 trois a trois, ou quaere a qJl_arre, ou cinq a cinq. 11 elhclaiJr )0 que cinq chofes d ,. !J, " J" e peuvent arre priCes deux: a deux e~ _autant de' fa~ons que quaere chofes ont ctt prifes en cette maniere, (or les lettres 4, !J, c, J" ont p& kre mifes deux-a deux en [loX fac;ons, f~voir 41,,11&7'-' O-IT
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SUR. L ESC 0 1\1 B l"N A ISO N S.It. It, IJ, ,d) &: qU'elles peuvent acre prifes outre eela en ..' autant de fa~oDS que quatre chofes peuvent atre prifes une +tl/lJU ~!~~~'l!!llm<-= e. unet f~avoir .1', 61', 1;:1' ~ de, ce qui donne dix combinai.
a
fons de cinq chofes priks deux a deux. 1°. Cinq chofes peuvent !tre prifes trois a trois en autant de fa~ons que quatre chofes ont etc prifes troi' a trois & deux a deux. Or quatre chofes peuvent etre prifes trois a trois en quatre fa~ons, ."', lit", "ttl; Be aeux deux en fix fa~ons j 46, 4t, .d, "t,,,tI, ttl; doncfion ajoute lalettre I' aces fix der. nieres fa~ons differentes, on trouvera que ·Ie nombre Ie) cxprime en combien de fa~ons differentes cinq chofes peu~ vent etre prifes trois atrois, Be. ell en mcme temps la fam~ me du nombre qui Ie precede agauche, Be de celui qui eft au deH'us de ce nombre. Cette dcmonllration s'etend A tous les nombres de la table, Be ell fondee fur ce .qu·un nombre quelconque p peut .cue pris dans un autre nom. bre quelconque, mais. plus grana, 'f, en autant' de fa~ons que l' Be P ~ I peuvent ctre pris dans '1- I. Or cette propofitioD ell evidente a regard du nombre qui.ell 4 gauche, ~ifque Ie ~tit ell contenu dans Ie plus grand; cUe eR: vraie auffi a l'cgard de celui qui eft fuperieur au nombre de la gauche, puifqu'en y joignant la lettre qui n'eR: point entree dans les combinaifons qU'exprime Ie nombre de la gauche, il en fournit de nouvelles, Be fup- . plee a celIes qui manquent au nombre de ·la gaucne. Donc, &:c.. .
,,"J,
*
REMA:a~UE.
Po
f-? 't== ?
.
U II epargner la peine au Leaeur de' former des tables qui puilfent Cervir a. trouver toutes les combi. naifons dont on aura befoin dans la fuire, te qui ell d'une Jon~eur exceffi"e lorfque les combinaifons que ron cherche font entre de grands nombres. Par exemple, lorfqu'un des nombres et!mt 49 , I'autre ell 100 , il eft utile Be meme necelfaire de trouver quelque formule qui puure donner Ie nombre cherche fans avoirbefoin de conno~tre toutes les combinaifons poffibles entre de moindres nonibres.
C'eQ c-e que I'on apprendra par·l~ Lemme qui {wt.
. .
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11 PROPOSI
L EM
lOti XL 14'
E.
'Ptlflr t1YJfn)tr tOllttiun C,.fJ tel terme tllle ron 'Voua,,, ,fune (~ I~ pe;e;pmdiculilire '1l1eJconlf~e de 14 t"b/e~p4ge go cont~nlll, d Ji{i:retion , e;n mllltill/i"a celui 'lui eft immediate~ent 4. def!~1 ,~r re~tpe;fanl de Lz lIande perpendi~ulaire,."!,oms t::xpo(ant d:k IMnde ho,i'{onta/e plus .n. Ce proalllt dzvlje par" expofant", k ctJlonne hori~ntale moins .n aonn-era Ie nombre cherche ; en{oftir ftJ01 n01l'lmttnt:5p4rexemple /, premiertenne d"une colonne perpendf~laire q.elconque I, II ftcond p, Ie troift"'bne B, Ie quatrieme C,. Ie cilllflliime D &c. on III1'fIft II premier I , Jeficond p = I )(. ,+~-:.~:-r Ie trgiftlmg B = P X ~~=~+I,= P, X y: r, Ie qfld,;.
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''finnl C
= B x .'.-~:....; , = B *'+:5_*,.,t
. .' D=e x ... -_ ... emf/"leml,
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P -;- x J', ,
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c:v~~ula ~:~:r!u~;~e~~~~:l~nnes ~~:~~i~:t:~d~
b table !,rife a & arr~: ca~te , . je' ptJotJ0vrra:m. (lue ttJ0ures let aattJes a 1mfiru dOgvent fmvge £erte meme ell:: vifible eltJ etJ0amh:w3iit , par exemp[e:? k lltJ0ieme ou ~, q'ue I'tJ0n atJ0ra.B = f X..f I,', 1:' _ ~,tJJ' I -It',," r ,J' 2. ~ ,. - ~,. .fit
n =
D:::::=
-,;2.=5,
E
=-r- = I,
==
&. qu'ainll en fuivant Ia;
regIe 'du Lemm~ ,on tr()uve chaque t€rme de ceete (:olonne tel que Ie donne Ja formation de Ia table: II faut mainten~nt prouver que ceete reple ayant lieu: comme par hazard pour certe colonne elle a lieu par necelIiw:e a 1'c2:ard des autres. Soit la col~nne {epeiem~ ceJIcque rro!1'veut examiner,. & d..onr on ,doit trouve! par Ie Lemme tOllS le.s terme4contormes a cenx que donne Ja formation. de la table~ n eff: clair_ que· Ie premier de cette bande lera I aC. Ie fecond.1era P .... I on trouvera par Ie Lem.rne q~e
sue
Ie
's tllt L :a'S . COM B I 11 .i ISO N S. I, Ie troilieme eft 1+;)(' If, & par 1:.. formation de fa table qu'il eft p x f-; 1+ P =" - ~ +2.1 I'f; l' , ce qu'il
=
==
falloir premierement trouver. Si I'on fuppofe maintenant q~e p ...... I de Ia quantite 9ue ron ~rient de· trouver foit ehangee en p, on trouvera en fubllituant p pour P'+ I dans la quantite p x l' -:: 1 qU'elle fe chang~ en celle-ci p x l' -; r d'ou il fuit qu'on trouveroit par ce moyen Ie troiueme terme.de.lahuitieme.bandeperpendiculaire=p x ':'1 =11. & qU'employant toujours le~memc: artifice, on trouveroit' ainu de fuire conformement au Lemme tous les termes de Ia troiueme bande harizontale." tels que les donne la for.. mation deJa table. L'on trouvera a~ par Ie Lemme Ie +c terme de cette~feptieme bande. horiZ-ontale = P"'~Xf x·
!.T = ",, =
-,+ ,.-"
& par la forma~on cetautre 'X!-I x PXP-I ""-31 ,L_p qu'l . Jl.' 1 -,,-= fJ-~Pf+'J.1'+ JX2.XI ----r 1 u1.eu;ega. 1'0,
Maintenant li ron fubfl:itue dans cette quantite, P' pour 1+ I, eUe fe changera en celle_ci~ p. x '-;I. x ~;, &: en ~rtu de cetce fuppofition on trouveroit Ie quatrieme terme de Ia huitieme bande perpendiculairce= ' J -;" = 35, & ainu on s'alIUrera de.1a verite du Lemme aregard de toU! les te~mes de cette quatrieme bande horizontale. On ·trouvera encore; par Ie Lemme. Ie. cin'luieme rer~ 'me de la feptieme t;ande. perpendiculaire
= "
"
= 15, &
= '~x'-" 4-
par la formation Ie meme termefous cctteformepx r-;:' x ';J. x ':;! + p x ' ; ' X f."jl qui, {e reduit aceUe _ ci ,4-2.P:;.P1'+2.1'·•. . Maintenant u l'on fubllitue dans cette quantite , p la: . place de p -I- I, eUe fe changera en ceUe - ci, P X ~I x' X ":;', qui fervira a. trouver tous Ies termes de la cinquieme ·bande horizontale, ainu qu'on l'a en(eigne ci..... ,4_2.I'J;$'+2.,
.
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',J.
devast."
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P 1l 0
,0 "
B L If MoB S
'
On trouverl enfin par Ie Lemme Ie fixieme tetme de 1& o..! b d di ul ° p.-2.pI -11 ... 2.p fceptlcme an e perpen c aue ~ x P- J ° s = pf-f'· ... 1::O. . S"-~,= 6, & par la £orma.tlon ce meme
==
terme -
== pS -
-
"X" - Ix1'-I.XP-IX1-4 ... ' X p- I X I' - 1 . ) ( ' - I IX1)Ci)(4Xf 1)( 2. X I X 4
° en fubfiituantO comme on ~ fait uo ,ao. devant 1 a Ia place de p .... I, on s'afi"'ure~que Ie'terme fuivant 4& tous les autres de cette fixicme colonne horizontale doivent fuivre fordre qU'enfeigne Ie Theoreme.
rl'· ... u' ... SPI' - "
Q.
COllOLLAlllE
L
I
L fuit du Lemme precedent que Gron cherc'he en com. bien de fa~onsle nombre 'I petU: etre pris dans un autre nombre plus grand qui foit appeIIe p., lenombre cherch6 fera exprimc par une frad:ion .dont Ie numerateur {era. egal a autant de produitsde fJ, P-I, P - ~, P - 3. P - 4, 4&c. que 'Iexprime d'unitcs, 4& dont Ie dcnomi. nateur fera compofe d'un cgal nombre de produits de. Dombres naturels I, 1., 3,4, 5, 6, 4&c. • COil 0 L L A I Ill! IL
°
"-
-
S
•
I ron veut prendre ou p on 'I dans un nombre expri.' me par 111, je dIS que ft p ..... 'I =·111, Ie nombre qui exprimera en combien de fa.~ns "GD peut prendre p dans 111 Tera,Ie meme que celu.i. qui exprime en combien de fafions on pent y prendre '14 AinG parexemple 111 ctant = 7. Ie noml:ir-e qui exprimera en cQmbien de fa(jons on peut prendre trois chofes dans {ept, {era le meme que celui qui exprime en combien de £a~ns on y en peut prendre quatre ; 4& de meme Ie nombre qui exprimera ~bien de fa~ons on pent prendre deux chafes dans f~pt, {era Ie m~me que celui qui exprime en combien de fa~ons on y en peut prendre cinq; & Ie nombre qui exprimera CD combien cfe f~ons on peut prendre une chofe dans [ept. exprimera en combien de fa~ons on yen peut prendre f~
sUll LE-S
COMB-IN AlSO N S.
,1
II (uit de Ii 1°, que U,. expri_ .un nombre impair, ole, deux nombres de la colome perpendiculaire qui font 1es plus eloignes des extremites, font egaux & les plus grands entre tous ceu de la colonne ; Be que u m exprime WJ ..
•
Ilombre pair, celm du milieu fera Ie plus gmnd d'entre tous • ~es nom})~es de cette colonn~. 1~. ~~e les nombres qui font a egale ddlance, 011 ete celm du mIlIeu Ii m eft un nornbre pair, ou des deux moyens iii eft impair,feront egaux laUD al'autre. 3°. On peut obferver que la iOrnme de to\1S les termes d'une banae perpendiculaire quelconque eft egale au terme correfpondant d'une progreffion geometrique .double, dont Ie premier terme foit l'anite.. . Ainli par exemple on trouvera que Ie huitieme terme d'une progreffion geometrique double qui eA: u8 J fera. egal a la fomme ae tous les nombres que connent la.. huitieme bande perpendiculair~ . III.
COllOLLAIB.E
R
AN s toutes les applications particulieres, I~ formule du premier ·CorollaiFC fe r-eduit toujours. un nombre cotier.; ainG, par exemple, la fonnule
'XP-I~P-~~'-3XP-4X'-$X'-6X'-7~P-8X'-' I •••
'.4.$.6.7.8.,.10.
Bee.
qui, cn fuppofant p = 40, exprimcroit en combien de' fa~ons dix chofes peuvent fe prendre dans quaraore, fe reduit en•divifant lenumerareur & Ie denominateur autant • qu'il eft pomble, ala quantite 31x4 x II x 34 x 37 x 38 x·J3-
== 8+7660518.~
C O'Jl 0
. 1.1. A I II E
IV.
LE
nomb~ p exprimant la fuite des nombres naturefs, la formule des nombres triangulaires fera p x ' ; 1 ~ celIe des nombres pyramidaux rera. p x ~; 1 X t. 7' , celle des
llombrestriangulopyr~~ux {era lx'·~· x t~2. X ' ; ' ,&c.
Mii
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B L' :a M II 'S
enforteque {i'I'on range les nombres de dif'erents ordrd de telle maniere que ne rerrogradant point d'un chHfre:j comme·dans la table page 80, d'une bande fuperieure horizontale a la fuivante , its fafi"entune figure ,quarr.c~ 1 • ~ fa place. de la figure .triangulaire qu'its ont dans la cable page 80, Ii 1'on vent trouver dans atte nouvelle table tel nombre figure .que·I'on voudra, fon ordre ecantllunuc avec Ie quantieme qu'il y occupe, il n'y aura qu"a '{ublli-, tuer dans cetre formule pour p Ie quantieme du nombre figure que I'on cherche, c'eft ce que je vois demontre fort au long & tres fc;avament d~ un Livrepofthume de M~ Ie Marquis de I'Hopital qui paroi!: depuis quelques jours, it ,employe ce Theor8me a etal:ilir ,plulieurs .propofitions curieufes & Jlouvelles en Geometrie .; mais. la voye qu'iJ. prend .pour demomrer cc l.e~me .ell 'toot. a. ..fait ~ rente de celle -'ci • .
SEeO.NDE METHO'DE POUR.
L E ~C 0 M.B IN A -I SONs..
llROPOSITION XII.
Po
U II :me faire ,plus facilementenrendre je me rers d'un exemple. Soil fuppofeque 1'o~ cher.che combien· it y a a parier C(ue·tirantquatl'e cartes au hazard dans ql:larante, par exemple .dans un jeu d'Ombre, on y ·tirera Jes quatre as. II eft d'abor.d e.vident qu'il m"efr permis de (uppofer que .CfS 'quatre as fe trouveront dans Its quatre .~" ;: l -'cartes de deHus , puiLCque j'ai la liberee de Ies choifir panout ~7:-,. U+t... .. - 1 ( - _ , .~" HI. ou je voudrai; or il ell clair que nommant m Ie nombr" pM" " ~ &"1 J,~ I~".:v, ,j. 2 ~ de tous Ies arrangemens poffibles de quarante cartes, mon fort pour que I'as de carre au fe trouvea -Ia premiere place 1 . . . -+. : ~"'("''''~'l4If'nJlnc. ea 1)( : : puifque cet as etant a la premiere pla&.:c -«11U. ;;-=~ -p~./d;; Ies trente-neuf aurres peuvent avoir tous les divers arran~~fHV'1'"~"t-.IC. gemens imaginables; &:: de meme que mon fort pour que ~'"" '''JMHt<, ~ 1f.L;I-"lIU ~.... l'as de carreau fe trouvant a. 1& premiere place I·as de
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L 11 S COM BIN A i ~ 0 N S. I)(~)(-L
:
'o«ur foit a la feconde, eA:
+;,
u
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9J
+0~19; puifque
'
fas de carreau ctant ala premiere place, &: l'as de cceur
ala feconde,
Ies trente - huit autres cartes peuvent etre rangces diverferhent en autant de fa~ons qU'exprime d'uDices ub nombre compofe de 38 produirs aes nombres nacurels depuis l'unicc jvfqu'au nombre 38 induu. vement. • Br pour la mame rallon mon fort pour amener l'as de treHe aIa troifieme place, de carreau erant a la pre.
"as
,
,
1 X • I x..!!..x-
miere &: I'as de ca:ur ala feconde, feroit.. .
'4-0
m J9
Tf
== +OX:9X~I: ~ enlin mon fort pour, que, l'as de carreau
hant a la premiere place , l'as de cceW" a la feconde, & l'as de treHe ala troifieme J l'as de pic fUt la quatrieme, .
a
..
I
J
J
II eft parel'I'lement· 40 X 19,XliX . 17' certain par les regles des changemens d·ordre , page S que Ie produit des quatre nombres 1,1,3,4= 14 exprime tous les arrangemens poffibles des quatre as aux quatre premieres places. Done mon fort pour que les quatre as fe f c · X1 x, x+ ' ~rot1vent dans Ies quatre premieres cartes era 40 X 19 X IS x,,' Maintenant fi je fuppofe que la lettre p exprime Ie nombre ' de toutes les manieres ~offibles de prendre quatre chofes dans quarante ~ i1 eft evident que mon fort pour prendre quatre chofes determinees dans quarante, fera 1;: j"aurai. IX2.'X~ X4 _ I d' .\.' , ' _ 40X"X~8XI7 b donc+OXJ9XIIXJ7-'" ou)etuemp- lXJ.XJX4 ,""" ..Il.
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1 X40 x 19 x Tf x T7 -
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eet exemple fait voir que fi je me p'ropofe de tirer un nombre quelconque exprime par 'I de chofes determi. nees, d~ns un nombre plus grand ap-pelle p, mon forr fe!~ ex prime par une fradion dont Ie numerateur Cera compote d'autant de produits des nombres naturels I , 2., }, 4, &:c. &: Ie denominateur d'autant de produits des quanti res p, p - I, P- 2., P- 3, &:c, que 'I exprime d'unites; en forte qU'appellant " Ie nombre d~ toutes les manico M iij
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PROBLBMES. res poffibles de prendre fJ dass p, mon (ort leta 1 X 2. X ~ X + X S x 6. llec:, d'o'';, Je , t'Ire (I :::::II
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PXP-IXP-1XP-'XP-4XP-h,lIec.
1X;>-IXI'-2.)(1' -3XI'-+ XF-$, IX1XIX4XfX6 )
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&e •. &eArlilfiaBoittmwe, Etpat' ~ , •
confequent me voila retombe par la methode des chan.: gemens d'ordre dans celIe. des cO,mbinaifons, & dans 1& m8me formule des llOmbres figures que nous avom trOIJi ~Cs ei..devant en tenant une route fort difFerente.
P R.OPO SIT IO'·N XIIL. L
E M ¥ E••
liem tenantmtn ps 1I1lIills tm nnn/in If"elemtJ- Ji iettlJ1lS J4. . to.tes to.Je.,s, "lIIntS, noirs "rtmges, dot. I'a,ie tontre PaJ' 'i.e tirant a ha~rd lin 1IIJm"" tJ~eltll1ltJ'le dJtermint Ujettons, il en tirer" tdnt Je"lIInes, tllnt de "oi,s , .ta1lt de nmges, doc. On tiem4"u 'i. el eft Ie flrttk Pilm do "I,,;. de Ra.J tittnJ to.s les cas polP"les•.
I
L faut multiplier Ie nombre qui exprime en com bien. de fa~ons les jettons blanes 9ue Pierre doit .prendre au· hazard, ~uvent !tre pris dHferemment dans Ie nombre de jettons blanes propofes , .par Ie nombre qui exprime en combien.de.fa~ons IFsJCttons n(li~s ~e.Pierre·doit pren~ dre all hazard:,. peuvent 8tre pns dlfferemment dans Ie' nombre entier de jettons noirs propoCes; multiplier enfuite ce produit par Ie nombre qui exprime en eombien de fa~ons diff'erentesles jett
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•
~UIl LBS COMBINAISONS. 9$ Pour rendre la demonftration plus faciJ.e &: moins abl• .traite, je vas l'appliquer a quelques exemples partieuliers. EXEtdPLE
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'l'i"" Ii"" iku jelldS !JkmtS, de.x jettuns ",;'s (} JeflJ& jfllms ,.ges. II p",ie IJIU les "YMIt mi,",-, &- ti,ll1lt mfoite . l'Iois jfttunS "" hllK...,4,J",,,e HS fix il en ti",,,.n
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noir
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L faut remarquer que s'il nfy avoit au jeu que deux jettons DoirS &: deux jettons blanes , il y auroit quatre manieres c:illFerentes de prendre dans ees quatre jettons deux jettons de difFerente eouleur; car chacun des deux jettons blancs pourroit ~tre pris avec c~acun des deux. jettons nairs ~ ce qui fait quatre fa'i0ns. Maintenant G aces quatre jettons on en ajoute deux autres rouges, il efr clair que Ies quatre fa'ions differentes que ro~ vient de trouver pouvant fe rencontrer chacune avec chacun des deux jettOllS-i"ouges, Ie produit qui exprime tous Ies coups que Pierre a pour rirer trois jetrons de dHFereri'te couleurs entre ces fix, fera Ie cube de deux, c'efr a dire, qu'il faudra multiplier Ie nombre qui exprime en combien de fa'ions un je~ton blanc peut ~tre pris difFeremment en deux jettons blancs par Ie nombre qui exprime en com. bien de fa'ions dUferentes un jetron noir peut ~tre pris , dans deux jeccons noirs, &: multiplier ce produit par Ie nombre qui exprime en com_bien de fa'ions un ietton rouge peut etre pris difFeremment dlns deux jettons. rouges, " f,li/ fo0,it Jbntmm,. Or 1'on trouvera par la Propofition douxieme &: par la table, que fIx chofes peuvent fe pren... dre dHFeremment trois a trois en vingt fa'ions; &: par confequent Ie fort de Pierre fera exprime par la fraction !c;- ou T' Ie fort de Paul fera donc exprime par la frmion &: par confequent Ie fort de Pierre feroit au -':>rt de paul comme deux efr a trois, U 'i,lil jaUoit
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D'L E ME·i.
It,. Pie", tient ti!!lJllanle - drflx jell_ns 111111 fts mIIl"s , .R4'11fJ;'~ trei"'! Manu, trliz.! noirs , tr,iKt roflges & treiz.! hl'flS, 011,. (I tiNi 1rojent afl meme, fln jtfl enlier compop d, ti"'l*anteJeflX cartes. On dem.tnd, en combil1l d~ raf01ls differentes il pellt ,. tirant qlldtrl cartes a. hd~ara aans ees "Cinqfl"nt'•. JeNx en tirer un carreafl, ,fin CfElI', fln Pic (} fin trefl,.., EXEMPLE
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I L n'y avoit q~e treize carreaux & treize creurs, il y auroit cent foixante-nellf fa~ons differences de. prendre dans cesvingt-fix cartes deux cartesde ces deux e(pecesj carchacun des treize carreaux pourroit etre pris.avec l"as de creur, ce qui fait treize, ou avec Ie deux de creur, ce qui faie encoretreize, & ainu de fuite chacun des. treize, carreaux pourroit erre pris aveG chacun
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Or ron trouvera par Ie, Probleme prc:c.edent Be par la table,que cinquante-deux canes peuvent ~tre priCes quatre aquatre en deulf ceos foix-a.nte-dix'mil {epr cens vingt-cinq &~ons; & parconfequent Ie fort de Pierre fera expame .t\.' Hot 2. 8 nH & Ie,lore r. . d P I ' par cetce fi['flu;lOD i'707ii - ~jo7.f" e au par cet~ autre :;:;~~~ & par confeq~ent Ie fort de Pierre fera au fort de Paul ::. 2.8561 .,242-16+ apeu pres :: I . 8 :-en. ~rte qu'il aura de I~avantage a parier un contre neuf" & clu dCfavantage parier un.contre.huit•.
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DE' FIN I T ION:.
A P po E 1; LEI.. A I urtes fun pIes les cartes de dHlerentes. efpeces ; carte double , deux cartes de ,merne efpece. par exetnple', deux Rois, deux Dames, deu)f valets, &c. carte triple, trois cartes d~une'meme efpece', par exemple; trois as, trois valets, trois dix, &c. carte quadruple, qua-ere cartes d'une meine efpece,. carte q~intuple , cinq,cartes ' d'une meme efpece, &c~. '
•
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P'R 0 B'I:. E' M' E:, P ROPOS-lT-IO"N'
XIV~
Soit-1m llombre de t4rles 'ltleltOll'ltlC"tfJ'llJPOP t!;,n llom~"1 IgaJr' tiM, de detlx, de trok J de 'ltl4trt, &t. Piewe-pa,ic qlletirant II. ha~rd tnm ttS tartes." &trt4ill 1IfmIJrt de tartlS: J -'lJoltmt; , il en liTera ta'llt de fimples, tant at dD.~'es, t"nl' Iii triples, ta'llrde"'lll4a"ples, tllnt' de- 'Iflinlflll,.s, &of. -
P
Ova faire entendre pluS' facilemellt la {alutton de Cflt Probl~me, j'appellerai m Ie nO,mbre des carres dans lef. queUes on "ell veut prendre -un :certain nombre; 'i Ie nombre de fois que chague efpece de cartes eft reperee 'dans m; p Ie aombre desdifFerentes -efpeces de cartes, en forte que 'i )( ,p -
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PaOBLIMES
{oit =:; m; /; l'eopo{ant de la oane qoi a 112, plu~ haute di-
~~?~:~lfi:.fr~!~~1~?:::E~~7~i~
Je nomme~ai auffi JJ Ie nornb~e aafte~ Que I'on derl\aode de dirnenfiun expnmce par b, fiomb~e des cartes que IFon demande de diroenfiun cuprimce par" D Ie nombre des cartes que ron del'nande de la dimenlion exprimee par J, occ. .I
reuprimer;i num p~r ce~te marque I
•
:
c Ie nu~mbre qui.
exprime en combien de fa~ons " peut 8rre pris dans '1 J mertant Ie pius petit delToos &; plu~ graod de Hils , & entre deux cert:e marque arbitraire I I. Tout cela pofe, voici la methode. II filut ehercher en combien de fasons " peut ecre pris dans 4, elever ce nombre a l'expofant B, multiplier ce produit nombre qui expnme en combien fa~ons 0 peut pris duns pF J. Multiplier ce produit par Ie nonnbre qui' uKprime en c~.'Hnbien de fu~on;§; , PCE.&.t ~rre pri;§; dum ,!, clevercc nombre al'eupufaut C, & multiplier ue pr{rdait par nombre qui e:-.iprime an combjeo de fa'ion;§; C reur ~crc pris p ~ B. 3° Multipliar les pro. duits prn::cedens prr nornbce qui exprime en combien de fa~onc prit dan;§; 'i, n::Ievur ue nombre a r "'" I ' I' ,." . 1""eXpOlantv, mu~t1p lerpar ceiiW qlllenpnme en com. biOzu de D peut etce pric dane p -=.B ~ c" 4°. Mul• . I'lec tous 1i.e;§; prouUICS .1 , ' dens fur 1Fe nomb·re qUI' ext?:p pruee prime en combien de fa~ons puut etre pri;§; d~ms q:w clever . .. r_ . ~ &(. Ie rnu,t1p 1 • I'Ie,~ paIL~ cel' nmn bTIre a' h 3: eopm,aot E m qUI. exprillle en cTI)mbien .fa
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COM BIN A ~ SON s. 99 de cartes propofc dans.. La methode eft renfermce S U 1l
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dans cette formule~ f t
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laquelle doit etre divnee par Ie IIOmbre qui exprime eft combien de fa~ons on peut prendre Ie nombre ae cartes propofe dans m.. II faut remarquer que cene formuIe crane appliquee 1 un cas particulier, llet' doit ~tre compofee que d'aurant de' ,roduies qui font ici'marques par X,. qu'il y a d.e cartes, «Ie differentes dimenflOns entre ceUes que l'on veue prendre. On- ne pourroic donner 1a dcmonffration de cette' for. mule fans faire de longs difcours, & on n'aura pas beaucoup plus de peine a la trouver qU"on en auroit ai'entendre ; ainu vourant lailfer Ie plaiur de l'inventioD' au Leaeur,. je me contenterai de l'e:klaircir par quelques exemples. . . Ext.ple I. Si Pierre fe propofe' de tirer [ept carres dans c:inquante;.deux, en forte qu'il y en ait trois· doubles. k one ~ple, Oil: aura par la formule ...
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Extmple II. Si Pierre fe propofoit de tirer huit cartes dans. c:inquante - deux, en forte qu'il y en edt une triple, de~ doubles &: une fimple', on auroit . 4
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. BJlnnple I II. Si Pierre' fe propofoit de tfrer treize- carres Gans deux jeux eotiers compofes de 10+ cartes J en forto
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qu'il Y en e4t deux quadruples., deux.doubles:& une 4impie, on auroit par la formule . 8 I'
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PROBLEME:S
SUR LE JE11
DU
PIQUET~
PRO PO SITI O·N XV.
.
Pie", tjJ Jemit, "* PilJllet, .ej- eft fllpp,u n'A'lJoit" ptlint tl4S. On aemt;tnde flleUe di fin ejjerAnce d:en.lirer 011 fin, fJ8 MIIX. d "oii
O
N ffiaitqu~a ce jeu lesJoueurs'prennent cnacundollzc carces, qu'il en refre huit au .talon, dont le premier ·prend. cinq, & Ie dernier trois. . .Cela pofe, ontroltvera pades propolitions II" 11, 13, que :1efort de'Pierre pourtirer un as dansl-es·trois.cartes en~ ~e fon fon pour en prendre deux efr ~~1 .Q!!e fon fott pour en prendre t.rois eft ,; J Era parcon(equent, q~ fon fort .ponr en prendre ou un, 0\1 deux, ou =tl"tiH indeterminCment ,ell ~~ en forte qu.'il peut parier:but"'a- but avec avantage qu~il lui en cntreraquelqu'u.n " puifque le juite pani feroit ~ontre~. . ..5i l'on Iuppofe -que P.aul q~j c~ pt;c.mier ;cn cane .n'a point de Rois, on trouvera ' ~e fon fort pour c~ avoir un eft: ~e[on fon' pour·e~ avoir deux ·ell: ~l1.~ QE.e fon fort pourt~D avair. tr~S eft .,12.~ Qge fon fort pour en avolt qUarre eA:. ,:, '. DODe {Og fort -ll0llr. en .a~oir qQ~lqu'ua mdCt-ermioe.
1,
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SUR. L B P IQ.YE-'1', LtOM B R E, &c. rot ment {era & par con{eql1ent il y a a parler deux cens
i\r;
trente-deux contre quatre-vingt-onze, enViron cinq contre deux, ·que Ie premier n'ayant point de Rois, illui en en.. . .trera quelqu"un en cinq cartes. Ii.
PRO B L E MEl I. PROPOSITION XVI. 1';,m tfJ Jemi,r, & ell foP/os; l1e poil1t pgrter de t4m,,". 0" . Je""".de tomDim it y" 4 p"rierf,liJ J.i ,entre,II tUns (es t",is ,,,rltS ·Je f",i :empccher '1"e P II1II1 flli eft premier 111 fnlif/i lUoir tit f"i1lle 0111111 Jeff-s. N tro\:vera par les propofitions II, 11, 13, qu'iI y a deux cens vin~ coups dHferens qui donnent la huiti me a. P a u l : ' • ~'iI yen a Il" qui lui donnent une feptieme" 168 qui lui donnent une fixieme, Et enIin 108 qui lui donnent une quinte; . Et par confequent Ie jufre pam de la gageure (eroie 103 contre J 81, ce qui feroit un peu moins que trois contre cinq• Si ron fuppofoit que Pier.re rut premier en carte, les autres cicconllances du Probleme rellant les memes, on trouveroit qu'll y auroit parler 10433 contre f071 , qu'il l"enrre~ a Pierre dans les ciluj cartes de quoi empecher que Paul De pur avoil de quinte ,ou de fixieme, ou de . fepricme, ou de lruitieme. Car dans cerre feconde fltppofition il y .aura 7,)~ coups qui donneronr une huirieme a. Paul, ~90 qui lui donneront une feptieme, 1650 qui lui donne.ront une fixieme, J639 qui lui donnerant une quinte. . Ce Probleme & Ie precedent pour.ront erre utiles aux Joueurs en quelques occafions, & fervir a Ies determiner lair dans la maniere d"ecarrer, foit apropofer ou aaccep-.. ter avec raifon certains partis, par ex~mple, de remeic:r . Jes carres, de.donner des points ou fa main. lis pourront auffi lervir de modele pour en refoudre une infinite de pareils, qui feroDt au moins curieux, s"ils ne font pas touS uriles. N iij
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PROBLEMES A
• PROBLEME
SUR LE JEU DE LAXRIOMPI:{E. P R.O·P O,SITI 0 N
XVII.
Pitm & Palll jOllttltnJ C;ll'l lomts ~ Lt Trio.pht:l its nJ ehacMn tr";s , Pierre ejI prmzier, it" It R" & la Damt troi• .' /ibM de triomphe, 'Illi fora pa, exmzple dt trejle, &1111 Roy tk . e4m4. garrJe par it valet: lorfilM'il jot" fin Roy de tridlnph, .. 1011' Ja premitre carte, PallZlii Dffr/lln pDiTlt.On dC1Il41ltk s'ilk doit accepter, &. .qfleU, ':II ~ en Ie refofo1lt ,ft" elpera1J(~ . tIe {aire Itt wUe.
'IL
faut d'abord examiner en combfen defa~ons diflerentes il peut arriverque Paul·ait la Dame. gardee d'\lD ou de plulieur.s carreaux indeterminement ~ rcrrancher de ce nombre celui qui exprime en com bien de fa~ons it peut arriver que Paul ait la Dame troifieme en carreau ,. avec une autre Dame 'gardee de quelqu'aurre couleur,. &: en rerrancher encore la moirie du nombre qui exprime en combieri de manieres il peut arriver que Paul ait lao Dame gardee de carreau, une autre Dame gardee & une' cinquieme carte quelconque d'une autre efpece~ Le nombre qui refl:era, ces foufiracHbns crant faites, fera £elui qui exprime combien ily a de coups qui peuvent empecher' que Pierre De fane la volle. . On trouvera par les propofitions Il, 1%, rl, l4, qu'il y a. 3605 pour Ie premier cas,. 71 pour Ie {ecoM,.140 pour Ie .rroifieme. On trouvera auffi 'que Ie nombr~ qui exprime en combien de fa~ons difFerentes on peut prendre cinq cartes. dans vingt - deux, ell: 16134,. & 'par confequent on aura. Je fort de Pierre dans cette fraC1:ion ~'6~ Ainu I»avantage de Pierre en rc:fufant la propolition de Paul fera exprime par cette fraC1:ion Itf Done en fup.. pofant que A, qui exprime l'argent du jeu fUr deux pifi:olles,. ji quelqu'un vouloit achetter les droits dePierre & fc met-
t:·.
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•
•
..
SUll LB PIQ...UET, L'HoMBRE,&C. (Or ~re en fa place,
il devroit donner a Pierre fept livres neuf fols & onze deniers outre fa miCe. 11 eft aife de voir par la qu·il en: plus avantageux iPierre ' de tenter la volle, 9qe d'accepter un point; car en l'acceptant fon fort ne feroit que!.A , & mame un peu moins., puifqu'il y a apparence qu"a ce jeu la primaute donne quelque avantage a. un Toueur qui a trois points de cinq contre'rautre quatre. 'Or i1eft evident que iA eft moin. dreque !!~:lA. Donc,&c. Cette folution peut s'appliquer ' i des cas pareilsdans lejeu de l'Hombre, & principalemenc " dans l"Hombre a deux.
•
A
PROBLEME
SUR. LE lEU DE L'HOMBRE. PROPOSITION XVIII. Pi,,,, foit jtJller en noir, & t/I foP,osJ 4f}fJ;r tm nll1nf,,, '1",1. &o1if"e tk triomph,s. On ele11l41llie f"eJI, ifper"llCl il" de tirer 1m certai" nombre d, momphts Jans Its ',l1ttS f,iil pre""'". • 11I1m.
Pill! MIl! JL
CAS.
Pit"t " IrfJis triomphes & pmul jx &4rlll. Esp E B. AN C! qu'H a de' tirer une triomphe all moins dans ux cartes, eft exprimee par la fradion U~~1; ainfiil pourroit parier 3015+ contre ...8°7, ce qui eft un peu plus de fix contre un. , L'efperance qutil a dten tirer au moins deux eft exprimce par la fradion -U/fs,., en {~rte quOil y auroit a parier ,661+7. contre 37013~ •
L'
• •
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• SEC 0 N DCA S.
Pit", "'1'lIllf' trio.phn, &prtnJ ti1llj &4rllf. S PER. A NeE qu'a Pierre de 'tirer au moins une L ~E triomphe dans ces cinq cartes eft exprimee par Ia. fratHon -;lS: ; ainfi il pourroit parier 18 32.1 eontre 5952.). & iI auroit de l'avantage a parier trois contre un.
L'e[perance qu'jl a de tirer aux moins deux triomphes. ~era exprimee par la fr.aCtion {J,~2.1fl' ainliil pourroit paner: 17 675 contre 38,61.
•
T
R. 0 I S I E",M E
CAS':
L
'E S PER. A. NeE qu'a Pierre de tirer au moins une~ triomphe dans quatre cartes eft: exprimee par la frac.. non ~~;, ainfi il pourroit parier +.113 contre 1170, Ull' peu moins que deux contre un. II [era facile d~ refoudre par res propolitioJls 11,11, 13"u9' grand' Dombre d'autres ProbI~mes de me me efpece que' celui-ci, lefquels rourroienr fervil' afiKe1 des regies pour' f~avoir aquel jeu i eft apropos de jouet ou de paa-er, ou de' jouer fans prendre. I I fuffiroit pour ceia de chercher pour les, ,anes rouges ce que POD vienrdetrouverpour IeS'noires,tt de faire entrer dans Ie calcul les R.ois, res di£rerens Macadots & leJ renonces. On pourroit auffi determiner aquel. jeu il eft permis de deman(Jer gano; maii l'etendue de ces. matieres nous oblige anous donner des bornes.. II fuBit· d~, marqu~r l~ che~in;, ~infi je finirai par Ie Probleme' ~~vaDt q~l eft afi'ez. facile, & pourra. etre de q~elql.le. lUagc:.
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A
PROBLEME
II.
PROPOSITION XIX.
t.
tllntS t il" "mis MllltlJo,J til .~',- 6 ti1llj MltYes l7ifJ11lphls 'l.,kfJ1lIJIlts.()n Jnn,mJ, (om"i,. iJ fnt 'i,liJ7 IIit II. jill pflflr f.-ill.; flit pJ.s nll1ltllflflJ' tit
Pil"' " p"mil1 dr,
II.
"m-
tll/on 'J'II de jOlUr fens prnJrt-
J
.£ fuppote que chaque Jouenr donne une fiche pour Ie
fans - prendre a celui qui Ie gagne. 1I faut t~marquer que Pierre a. trois coups fur ttence- un pour-cirer une triomphe, & trois coups fur trente-un 0ur tirer un Roy qui ne foit Fas triompne, & ~ue dans'un & l'autre cas la volle lui ell aifuree. Cela pore, Ii I'on nomme{chaque fiche, p ce que Pierre gagneroit: en jouant fans prendre 1 & " ce qui viendroic a, Pierre precifement de la volle. . II faudta pour que Pietre ait taifon de jouer fans prendre que 6 x P - 1/ ... " .... "5 )( 'P - 1{ foit plusgrand que 3F p', &; fi l'on veut f~avoir en quel cas illui feroit indifferent de pre-ndre ou de jauet' fans prendre. 11 n'ya qu'a former cette egalite () x p'-:' 1/'" b ... "5 x 'P - :t.f ~ 3r p, Be eO titer felon res regIes ordinaires "= VI = 10f + if. D'ou. il faut condure que Ie ,pront de fa volle doit ~tre all moins de dix fiches & fix jett'orts pour que Pierre puHle prendre (ans de{avantage; & pat con(equent s'il n', a point de b~te au jeu, Pierre prendra [on parti de prendre ou dOe ne ~s prendre f~lon que ce qui {era ~(!yant chaque jaueur fera ou plus grand ou DloindrCt que J+ je°nons, en [oppo[ant qU'oD donne deux fiches' pou~' la volle. . Si l'on jouoit I'augmentation'des Matadors, 8c que Ie, triomphes de Pierre fidfenttrois Matadors, la Dame, Ie va. let, Ie [ept, Ie fix & Ie cinq, l~equation kroit , x p -1{-+- 6 1- 1 ' X I + lof+ II ..... "5 x 1- 'J.{ 31/, dObt on tireroico
f.
==
.
0
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P II 0 B L J! M ]I S
10'
"= 81+ {-I, c'ell adire, qu'il
faudroit pour jouer fans prendre que profit de la volle rut plus grand que huit fiches Be fix jettons, 8c parcon(equent fa, n'y ayant point de bate au jeu, il fe uouve plus de neuf jettons devant chaque joueur, Pierre aura raifon de prendre, at il jouera fans prendre s·il y en a neuf ou moins que neuf. . Suppofons maintenant que Pierre ait quatre Ma~adors feptiemes en pic , 8c deux faulf'es qui feront par exemple It Ie trois de trefle Be Ie cinq de carreau. Pour trouver combien il doit y avoir aux tours dans .c-ette fuppofation afin qU'il foit pIQS avantageux a Pierre de~renare pour Ia volle, que de jauer fans prendre. - e remarque d'abord qu'il y a 1+ coups qui alf'urent la YO Ie a Pierre; car il y en a fix pour prendre deux triomphes, douze.pour prendre une triomphe Be un Roy, trois pour prencfre d~ux Roys, Be trois pour prendre un Roy garde de la Dame. robferve enfuite qU'il y a "7 coups qui rendent Ie fort de Pierre incenain ,Pour la volle J r~avoir, quand illui entre un Roy garde, ou une triomphe avec une faulfe. Jappellerai dans cetas {on e(perance It. On aura 14 x p-1{0+-11 + 117.¥+ 31+xI---l~f=4-611
Ie
ou~=4-6fP- , ...
8" ...
696 [ -
117x
14-
ou
L
fI=
~96f'" 1I7P- 1l7¥' ~
-
Si fon {uppo(e x = p - 2./ ... fIJ, on aura" = 4:~~f == I')f + !to/f. On trouvera ainfi differentes valeurs de" felon coutes les fuppofitions diJferentes que I'on fera de la valeur de}t. Celle qU'on vient de faire kmble approcher alfez. de Ia veritable. On pourroit la trouver exall:ement, mais ce feroit un nouveau Problemc qui nous meneroit trop Ioip. Ce Probleme ell plus facile, & d'un ufage plus frequent a regard de I'Hombre adeux.
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-~----
A
- PROBLE-ME.
SUR LE BRELAN. PR.O P 0 SIT ION
XX.
Piml., Palll & 111ttpUs jOUlIt a" Brtln; Pi;m (} Pa,,/ tim.. tlnlt Ie j,., & '/4''lIlIS pa!fo. LA tartl 'III; rltOllnzl tjJ It Roy dl tnr, Pilm ,jJ premier, il A f AS i:!r It R(JY dl ta",AII J 6- f AS tit ttlllr. P AliI A f AS, It tInIf d- II hllil al trlfll.Dltlx des Sp,8A'ItIrS J 'I"; 0111 'V, that"" l,s jltlx al Pi,", d-tit Pa"l., &- n' fJ1Jt ,(Jint 'V. lIl"i de 1at'lIlIS,Ji/Jlfltl1lt POll'/fa'V(J;r /''1",1 Jes 1tJIUllrs Piml &. ~"III" It ,IllS '''A. il., do It p"'s tltfperalIll tit g4gur. L'''ll des tiI"x, 1JII11Jm; 1Ia", p4r;1 1000r Pi,," : I a,,'rt ,.nfl1lUlli ThfllllAJ, p4ril,Mr PIIIII. L'4"!,l1lt dl '" gllg",,, tjJ "fI1mIIJ A. 0" dmwnde '11111 tjlll fort tks M.X 81,811I1.rs 1'"'' 0- Thll1lWS, &- "'lll'ils al'Vroil1lt- mlltrt ,hll'." a. jill ,n, Illner fo"s "1!.471taz, 11; Jefo'Va1Jtag', -
mx
•
I
L faut remarquer, 1°, que Jean gagnera, files trois car_ tes de Jacques [ontou trois creurs ou trois carreaux.. 2.". ~'il gagnera encore Ii l'une des trois ctant un pique E>U un treRe, Ies deux autres fODt ou deux creurs ou deuX' carreaux. 3o.~e fa l'une des trois cartes de Jacques eft uncreur ou un carreau,les deux autres crant des piques, Jeaa aura gagne. +0. ~'i1 gagnera encore fa les trois cartes de Jacques font un carreau, un ca:ur & un pique, & que dans route autre di[pofitioD des cutes de Jacques il aperdu. Cela fofe , il De refte plus qu'a examiner combien il y_ a d>hazaras difFerens, qui donnent chacune de ces quatre dHpofations difFel'entes aes trois cartes deJacques. On trouvera par les propofirions II, n, 13, I+, quail yen- a vingt pour la premiere, deux cens vingt .~ur Ia [econde, deux .~ens dix pour la. croweme, & ,cnt foixance - quinze pour· . 0 ij.
•
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10 S PR.O B L B M E S SUR. L E PI Q.!1 E T, &C. la quatrieme ; & par eonfequent Ie [ort de Jean [era !~~A ~.A. A, ce qui fait voir q~e la condition de Pierre
==
rn
.
eft moins avantageufe que eelle de Paul, Beque Jean pour parier egalement contre Thomas, devroit mettrc au jell U.S conere 141• A
PROBLEME.
SUR
L' IMP E R I ALE.
PROPOSITION
XXL
Po., "floir ." Imptfi"k a. jttl 'l"; P"lt ( t nmt, il folll A'Voir II. 'iulrt 4S, fJ. 'iUIrt RIls, fJII 'i"IItre Dames, 'I'lldIre '1l1tkts, "" 'llllfltrt flpt, ,. qfl"triemt majt.", 011 c4rte Manthe. On Jemaw CfJmJ,iIn fin 7tJfICflf ptllt ptllritr 'l."it Jlli vim· Jra fin Imperiale Mlt,mj.; )P"' Ix,m/le ~n Imperi,,1e J'1Id' , 1111 cartt "'lInche. .
tI.
O
N conno~tra par les propoGrions u., 13, r+, que fur Ie nombre 11579184-0, qui exprime en combien de fa~ons on peut prendre dou1.e cartes dans uente - deux, it y en a 310&105 pour avoil" un Imperiale d'as, & 115970 pour avoir carre blanche. Le fort d'un Joueur, qui pariroit a I-Imperiale ou au Piquet d'avoir carte blanche, [eroit done. exprime par Ia. fradion S78~1r'" ainu il auroit de l'avanrage aparier I con· ~re 1791, & du defavan~~ge ~ parier I contre 179'•
.
.
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A.
.p R·O B L E ME SUR
LE QU.I N Q. U E NOV E· SECONDE E X P L I CAT ION
PAR.TIE. DEC E
J E U.
II~am N tire d'aboid entore Ies Joueurs aqui aura
Ie corn.er. Suppo(ons qu'il rombe
a Pierre;
& pour faire entendre Ie Jeu plus facile.
menr , fuppofons qu'il n'y a que deux Joueurs, Pierre & Paul. Celui. ci mertra d'abord au jeu une certaine fomme; alors Pierre poulfant les del., void ce qui arrive. Si Pierre amene cinq ou neuf, il perd, & donne Ie corner aPaul. Si Pierre amene ou trois, ou onze, ou un doublet, il tire la mife de Paul. Celui. ci remer au jeu , & Pierre continue de jouer. Si Pierre n'amene aucun des coups preeeo iij
•
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1 PR
OB L E M E S dents, il n'aura ni" perdu, ni gagne. Pour expliqu er ce qui arrive en ce cas, fuppofons, par exemple, que Pierre ait amene [ept du premier coup. On remarquera, J., que Pierre rejouant, ne pourra gagner cette ~ife a~ Paul.qu'en atnenant Cept. lU. Q!!e Paul efi: dans la- bberte de nfquer . une nouvelfe miCe, & que Pierre Cera pareillement dans.. la liberte de la tenit, ou de ne ~a pas tenir. 3°~ Que Paul pour diilinguer cette miCe de la precedente, Ia. metdelfous,. & qU'elle Ie nom me mafie. +0. ~e fi cette mane eft ega Ie ala miCe ~ die Ce nom me malIe au jeu ; & que quand elle n'eft pas la meme, dIe Ce nom me mafie aux del.. ~e Pierre ayant accepre cette nouvelle maffe, gagnera ell· amenant Ie coup. fuivant, au trois,_ ou onz.e, ou aoublet tau bien en amenant dans la fuite cette chanCe avant qued'amener cinq ou neuf; mais qu'il ne peut gagner la premiere mife qui efi: di~ entree au jeu, qu'en amenant fept; &: enlin qu'illes perdra toutes deux en amenant ou cinq ou nel1f. SuppoCons prefentement pour une plus a1!lPIe'exp]jc~ tion, que Pierre ayant dir., T",.p,4 U,1II4./fe, amene defon fecond coup huit autremcnt-que par doublet, cOefi: a. dire par fix. & deux, ou par cinq & trois ,- at que Paul metre au jeu une nouvelle matTe que Pierre accepte. On. .remarquera. ,.10, que Pierre gagnera cetre m~ en amenant ?U tro~ , ou on1e) ou doubler~ 2.o~ ~'il gagnera la premiere mlfe de Paul en amenant [ept, & la feconde en amenant huit. 3°. ~~ perd les deux mifes & Ja mafi'e en. amenant ou. cinq ou.neuf" lie qu'alors il cede. Ie· comet i PauL Ceo que- je- viens d'txpliquer pour un petit nombre de& feulement regard de deux Joueurs , doit s'en,:. re de tout autre nombre de coups & de Joueua.110
n
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. SUIt L E
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Qy I N Q.Y B NOV E. ...
III
PROBLEME PROPOSITION XXII. Pie", 0- Patti jOflmt 4 • .fl.!!infflmfJ'Ue, 0- Pie"e tlent Ie co,n,t. 1e foppoft '1 fle Lt mile ae P a.t flit twjollrs Ia me11U, 0'Xp,;"';t pa, A. ]t lippoft all§i'llle Pie"e ,,"lIcuptera poi"t tit malfi, 1fI4is flltil fir4 o"lIg; u tmi, Ie jell jllfq,la ce'llltil 4it per. ; ap";s 'illoJ je fop/oft 11 ie. /i1li. On umande flltl eft aCt je. f avantage ~ ie Jefov411tage ae "llli '1.i " Ie a; ; 011, ce flli 'lVitnt IIfI mbne, cfl1ll!Jitn Pie," elev,oit aemanae, 011 dormer a .n til1S P08' i.i ceder Ie 'omet, & ill; Jmne, • iOIl',. t1I fo place.
L
SOL UTI 0 N.
E fort de Pierre lorfqu'il pouffe Ie de, eA: dtavoir huit coups pour perdre, ~avoir cinq qui arrive en quatre fa~ons, & neuf qui arrive pareillement en 'qua.tre fa~ons; d'avoir dix coups pour gagner, f(javoir les fix doublets, trois, qui arrive en deux fa(jons, & onze-, qui arn,e pareillement en deux fa(jons; d'avoir quatre coups-pour amener fix autrement que par doublet, autant p'0ur amener huit autrement que par doublet, deux coups pour amener quatre autrement que par doublet, deux coups pour amener dix autrement que par doublet, & enlin fix coups pour amener fept. Donc fi je nomme x Ie fort de Pierre lorfqutil a amenc huit ou fix, ~ fon fon lorfqu'il a amene quatre ou dix, .. ,fon fon lorfqu'il a amene lept, 'I Itavantage ou Ie defavanta~e que Pierre trouve a continuer Ie jeu lorfqu'il a gagne, & s fon fon en general. On aura le fort cherchc de Pierre s== 10)( Sot' ++~ + 6J • •
iA-=f"'I'"
36
11 faut prefentement cherche,r les valeurs des inCODnues x, ~, y &.'1_ Pour determiner Ia valeur de l'inconnue Jt, ie remarque que Pierre ayant amene du premier coup fIX fans.doublet,
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In. . PRO B L E M E S il a en rejouant cinq coups pour ,gag~r , huit coups pour perdre., & vingt-trois coup' pour reJouer. On aura done x -h )( 1A .... '1_,-,-_ On trouvera de meme J t )( 1A ... 'I' Et ~ = 2.A + 'f. M·aintenant fi l'on fubllitue ces valeurs de II J J , f\. dans l°egalitc propofee., on aura_ 10)( 1A ..... o+8 )(..L x')2.A-+-o+4 x -!-J)( 2..11+'1+ 6 xt)( J..A+f s= -I H 7
=
=
tr )(
~G .I
=
10 X l..n
-+
q+ ~6
'746
"iOCf
.
)C
J
2..n'" 'I
_
418 ~ )( j009
2..11 ....
4, IS". ,00, 'I
Pour connoitre la valeur de If, iI faut remarquer que fi'l ctoit = 0, ce qui arriveroit fi Pierre & Paul convenoienr que Ie jeu dut finir auffitot que Pierre auroit gagne. Alol'S fc' A A 6t1 A'd Il. ' 1e fcort de Plerre, erOlt .,11178 Oo".i.n = .'n 'jOO'j.n , OU 1'I eu clair que la quantite 9'0'019 A exprimeroit Ie defavantage' que Pierre auroit ace jeu. On obfervera pareillement que li Pierre Be Paul conve;. noient avant que de jouer, que Pierre ayant gaiDc une' fois., continuera del'ouer jufqu'a ce qu'il ait ou .gagne de' nouveau ou perdu, e defavantage de Pierre ferolt ,~~J, A 4189 6U A + 'jOO"j" )( ~.n. Et que lOon fuppore indererminement fuivant fa regre de ce jeu, que Pierre continuera de tenir la Banque jufquIa ce quOn air perdu, lOn defayantage fera exprimc par. -I r: • 10 'fin'Ie -fi.!.. ~ 'f J ~ -U.!..J. cette 10Ite '00'.4+ ~oo, x "i'mA ... ,009 )( ,oo,.n O
\
u
~ 1 82, J 6' 1.1 ... !l009 )("j"OO'j'J3
'i'i"'i;"+ x -m ".c• T~- 10 r. mme de +roo·ji ?oo,.n~ + Io1L cette {uite eft ?6!~-.A = 11. 6. f. 2. ~-1 d. fuppofc 'lue la miCe de Paul filt une piftolle. , Et ce feroie la Ie defavantage de Pierre .s"il Jouoit contre unJ' oueur qui chaque fois qU'il perdroit mit A au jeu, & e qui Pierre n·e tint jamais aucune maKe. Ainli Pierre peut compter que fur chaque- pHl:olle qu'un' des joueurs met a.u jeu, foit que ce foit un enjeu ou un~ mafi'e :. it Y a pour lui 14 f. ,b~, de pure perte , ce qui eft
=t.A .... a
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•
SUR. LB Q.yIN ct.,U B N OV E.
IIJ
, unpeu plus que Ia quinzieme fGLnie de fa mife, &: un peu 1D0lDS que Ia quatorzieme. Ce fa'il f"l/oit UtJfnJt,., Cet avaDtage eft aB"ez cODuderable, principalemem: Jorfqu'~ y. a un grandnombre de Joueurs, pour obliger ceux qw tlenneDt Ie de arefukr les manes, ce qui ate tout ragrement de ce jeu.D feroil done ~ propos de Ie refor- mer en Ie rendant plus egaI, Ie en dormant un pet! d'a'Yaa. ~ a celui qui rient Ie de ~ pour rengager a temr Ies maEes. Pour cela il £audrea convenir que Ie nombre 4 amene au kcond coup, gagnit 1luffibien que 3 k 11. Alors • J'avantage de celui qui tient Ie de par raport a Ia mife de chaque joueur, feroie exprime par Ia fradian ;/O--}, qui eft ape\! pres la q uatre-vingt - treizieme partie de l'unite •
• PROB.LEME
SUR LE JEU DU HAZARD. EXPLICATION DE CE JEU~
O
N y joue .avec deux des comme au ~inquenove'. N ommons encore Pierre celui qui tient Ie de; ~ fuppofons que Paul reprefente les autres Joueurs. Pierre poutrera Ie de julqu'a ce qu'U ait amene ou 5, ou 6 ~ ou 8~ au 9 j , alai.de ces nombres qui fe prefentera Ie premier fervira de chanfe aPaul, cofuitc Pierre recommencera a poulTer Ie de pour.te donner fa chanfe. Or les chatJfes de Pierre font 00+, au j, ou 6, au 7, ou 8, ou 9,. ou 10, en • forte qu'il en a deux plus que.PauI, f~avoir 4- & 10. II faut encore fc;avoir ce ~ui [uit : . . 1°. Si Pierre apres avoir donne aPaul une c1ianfe qUi foit ou 6 ou 8, amene au fecond coup au la meme chanfe, ou douzc, iI ga~e ; mais ~ll amene ou bezet, ou deux & as, ou onze, iI perd. . 2.0. S'il a donne aPaulla chanfe de 1 ou de 9, &: qu'il amene au coup [uivanr Ia meme chanfe, il gagne ; mais s'il amene ou oezer,. ou deux & as, ou Qnze , ou dOl1ze ~ il perd. . P
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114-
PR.OBLEM:!!
o.
_ 3°. S'il a donne i Paulla chanfe de 7, &: qu'il amene Ie coup fuivant on la mame chanfe, ou onze, if gagne ; mais 5'il amene ou bezet, ou deux &: as , ou douze , iI perd. 40, Pierre ~'etant donne une chanfe differente ae celle de Paul, il gagnera 5'il amene fa chanfe avant que d'amener celIe de Paul, &:il perdra 5'il amene Ia chanfe de Paul avant que d'amener la fienne. 'So. ~and Pierre &: Paul ont perdu, on recommence Ie jeu, en donn ant de nouvelles cnanfes; mais Pierre ne quitte Ie de pour Ie donner celui qui Ie fuit, que lorfqu'il a perdu. 6°. S'il Y a plufu:urs Joueurs , ils ont tous la marne chanfe. .
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A
PROBLEME. • PR. 0 P 0 SIT ION X X I I I. On tltmtmtk 'luI eft A'e in f ""1I1II4tl fJII Ie Jefovllntlltl tk t,itn flli timt Ie JJ. 0
S
O I T fuppofe que la: mue de Paul foit t.A. 1°. Si la chanfe de Paul eft 6 ou 8 , Ie fort de Pierre
fcera 6A -+- 8 )( t A ... 6 o
~o.
)( I ~ A .... , )( ~6
t A -+- -I: A =
141$6.n.
Si la chanCe de Paul eft 7, Ie fort de Pierre fera 8~ -+- 8)( -rtA -+- 6)( ;A'" 10)( rrA
•
~I ~
_,"44
--------------~-----------4JffA. 36 . JO• Si la chanCe de Paul eft ou S ou 9, Ie fort de Pierre fcera 4A +4)( fA'" to )C -!-A+ 6)( tA+')( I~ A = 7
36
.!1..!! A.' &lU '
.Par confequent Ie fort de Pierre fera 6961.A 144 ~ 8 )C .!.!.!LA 10 )( i'4iT6 ... 6 )( m.n.... JoSH'
•
14-
&: fon defavantage fera 167 ~ 10 )( 1411 6 .n. ...
.
.
L
0.)(
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"i'iO.n.
2.+
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--il.A 1670
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40J:a..n.·
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r- - ' S U Jl L E J BUD U H A Z A It D. IIJ Cette fraaion qui exprime Ie defavantage de Pierre par raport a. la mife de Paul, eft plus petite que I~a' & plus grande que I~" Mais parceque ce defavantage continue Wlt que Pierre continue d·avoir Ie-de. Ie deTavantage de Pierre confidere en general eft exprime par une fuite infinie dont la fomme el1:-;;o\tA, en forte que fi iA defigne une pifi:oIJe, a 3f. 8 .,,11 d. de pure perte pour lui fur chaque pifi:olle, &: Pierre pourroit fans de{avantage donner 7 f. 2. 12.~'\ ~ d. ;l celui qui s'ofmroit de teni:r Ie de en fa placC'.
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REM .A R fJ....V B'
C
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'Es T" la coutume des Joueurs ce jeu de ne'mettre leur argent que lorfqu·on leur a livre chanfe. Or il eft eviqent que cet ufage ell: prejudiciable a. celui qui nene Ie de, caT putfque fon defavanrage eft environ Tr' lorfque la chanfe des Joueurs eft 6 ou 8, &: feulement lorfque leur chanCe elf ou 5 ou 9 ,. & 14~ lorfque leur chanfe eft 7, iI eft clair que fi Ies Joueurs connoiffoient avec exad:itude leur intereft, ils hazarderoient plus d'argent lorfque leur chanCe ea Oll'r OU' 9', que lorfquelJe ell: 7, k plus, encore Iorfqu'elle e{l6 ou 8, que 10rfqu'eIJe' ea 7" ou f ou 9. IJ feroit donc a. propos que les. Joueurs mHlent leur argent . au jeu avant, que celui qui rient Ie de leur edt livre chanfe.
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RE MA Rfl-V B
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N voit que' ce jeu ell alfez egaI, mais Jl Ie' feroit davantage fi I'on convenoit que Pierre ayant amene du premier coup 7, gagn1t au fecond coup en amenan~' QU fa mcme ~hanre , ou II OU 12., &: qu1.1 perdit feulemencen amenant ou bezet ou deux &: as; car je trouve que par cette reforme celui qui tient Ie de auroit de ravantage, mais ce ne feroit que d'un fol & deux deniers fur chaque pill:oUe, ce qu~ ell: pea confiderable.
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PaOBLBMZS £
PllOBLEMES
SUR. LE lEU DE L'ESPERANCE. E X P LIe A T ION DEC E J E u.
O
N Yi,oue avec deuK des. Les Joueurs conviennent de p~Dd~ un certain nombre de jettons, & tirent enfuite a. qui aura Ie de. Ce120 fait, ft celui qui a Ie de amene un as, il donne un jenon a. celui qui ell: a. fa gau... che , s'il amene un fix, il met un jetton au jeu ; s'H amene fix & as, & qu'il ait plus d'un jetton, il en payera un a. fa gauche·& un au jeu: mais s'll n'en a qu'un, ille mettra au jeu. Dans tous ces cas celui qui a Ie de apres avoir paye, cede Ie cornet a celui qui Ie fait a120 droite. S'il amene un doublet, il a 120 1iberte ou de rejouer dans l'efperance d'amener encore deux doublets de fuite , ce qui Ie feroit gagner, ou ·de ceder Ie de a celui qui Ie fuit: a lao droite. S'il·amene tout autre coup., c'eft .a dire, s'il n'amene oi as, ni fix, ni doublets, il.cede Ie cornet, fans rien ,payer a celui qui·efi: a. fa,droite; ennn celui-la gag!1e I'argent du .jeu., 9ui .Ie premier amene trois doublets ae {uite, ou qui confe·rve.quelque jetton, tous lcs autres Joueurs ayant perdu Ies leurs. . Il eft a remarquer que quand on n'a plus de jettons, on ne joue plus, & qu'oR De pent rentrer au jeu (ce qui fe nomme refufciter) que par fe fe~ours de celuiqu'on a pour voilin a. la d.roite ior[qll-H amene un as. .
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• U 1l L B 11 U !) Z L' Esp III A NCB. 117
" PROBLEME. PROP 0 SITION XXIV .. . Pi,,,, J P111.1 6- 1/1ttpllS fJmlIInlI ebllltfm 1m jtlt,,,, & l a&&or· mt 'I.e 'tuli f8i rtfl"" IVtl '1.,IfJ8tS jttll1lS J lis il.tfts tim qll1lt phis, glllJll"lII at ,,"'/line{fIIII1III tltmt ils to'llUimflmt. L'fI1I foPPfl/l '181 PI"" III II JJJ IJf'I P 11.1 t/I ~ I" droitt 0- 111t'l.tS afo gll",be. 0" tkmIInJe 'lui eft It fi". des trois .'1fJ11n1rs J di" J fIIIl'.fJ f IVlIfIIlltl 6- Ie de{ll1Illlltllt,e f'II .."", a tha,. III 1~;fI1I 6- lt6 pllltt" ilft tmnJt.
' .fl.
S
O I T .Ii I'argent du jeu, &: S Ie fort de Pierre au com-
.
mencement du jeu.
n faut remarquer d'abord
que Pierre poulfant Ie de a fix coups fur~rente-fut pour amener un doublet, 1°. qu'il a deux· coups pour amen~r fix &: as; }". huit coups pour amener un as a'un de, I'autre de ,n'ctant ni as ni fix; ces huit coups fODt as &: deux, as &: trois, as &:. quatre, as &: cinq , d-eux &: as, trois & as, quatre &: as, cin·q & as: 4°. huit coups pour amener un fix d'UD de, l'autre de n'etant ni as ni fix; ces huits coups font fix & deux, fix & trois, fix &: quatre , fix Be cinq; deux &: fIX, tr9is &: 1ix, 'iuatre " fix, dnq &: flK. eela ppfe, i1 ell: clair que Je fort de Pierre Iorfqu'il va jouer eft, 1° ~ d'avoir huit coups, pour que n'ayant rien Jacques ait deux jettons, &:Paul un jetton &:le de, f~a voir quand Pierre amene un as fans fix ni doublet; 'J.0. d'a.. voirdix coups, pour que n'ayant rien Jacques ait un jetton & Paul un jetton &: Ie de, f~voir quand Pierre amene un tans doublet ;3°. d'~voir dix-huit coups, pour que 'Pierre,-Paul &: Jacques, ayant chacu.n ~n jetton, Paul ait ,je,de. . Si l'on nomme g Ie fort de Pierre dans Ie premier cas, y {on fon, tlans -Ie fecond cas, "lon fort dans Ie trQifieme (;<11.. aura S _ , .... 10.' ... ta~ .:..-, +¥ "·f.7 + ,,,
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1Jl3 P II 0 B' LB M Jl S' Pour determiner x, il faut remarquer que Pierre n'ayane rien, Jacques ayai'lt dGUx jettons, & Paul ayant un jettol! &: Ie de, Ie fort de Pierrc lorfque Paul va poulfer Ie de e~ J d'avoir huir coups, pour que Paul n'ayam rien, Pierre ait un jetton, & Jacques deux jettons & Ie de, [~avoir quapd Paul amene UD as fans fIX ni doublet; 1°. dix coups qui Ie font perdre & nnUfeot la partie, f~avoir quand Paul amene unnxfans doublet; 3°.d'avoir dlX.huit coups, pour que Pierre n'ayant rien,j'acques ait deux ie.ttons &: Ie de, . &: Paul un jetton. Si l'on nomme (I Ie fort de Pier.re dans Ie premier. cas, &: t fon fort dans Ie troifieme , on aura.. ~ a" ... lOX 46 0 + 18' -- t""'9' . II! • Pour determiner", it faut oDferver' que Paul" n~ayant rien, Pierre ayant un l'etton, & Jacques deux jettons &: Je de, Ie fort de Pierre orfqueJacquc9 va. poulTer Ie de el1:, J O, d'avt9ir deux coups, pour que Jacques n'aJanr rien, Paul air un jetton, &: Pierre un jetton &: Ie de , f~ayoir quand Jacques amene lis: &: as ; 1°. huit coups qui remettent Ie jeu comme au commencement, ~avoil' quand Jacques amene un as fans fix ni doublet;" 3~•. huir coups, pour que Paul n'ayant rien, Jacques air un jetton, &: Pierre un jetton &: Ie de, f~avoir quand Jacques amene un fix fans as ni doublet; +0. dix. huit coups pour que Paul n'ayant rien, Jac~ues ait deux jettons,&: Pierre unjcttoft ~ Je de, , Si "on Domme p Ie fort de Pierre' d'ans Ie premier cas , f fon fort'dans Ie troifieme cas" fon fort dans Ie quatric. me'cas,on aura.= 2.XI''''8-x~;ax'1'''lt,. = , ... "s;a4,. ... ,,,. Pour'determiner p, foit lie' fort de Pierre Iorfque Jacques n'ayantrien, Pierre a un jetton, &: Paul un jetton &:lede onaurap= I-oxo ... ax" ... l81. O,rJ.==.,a)(.A+I8xt O
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9..4 2.7'
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.ar. I =:a!.:10 A'",,' 1.. )( :t.
8.7'" 9..4 _ 2.7
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•
d'ou l'on.tire"! Ia"' .... ' :107
•
Pour determiner f, foit appellc K Ie {on de pierre lori.
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r-. -
SUll L B J E U DB L'E s P E ItA NeE. lIe) que Paul n'ayant rien, Pierre a un jetton, & Jacques un & K J-etton & Ie de , on trouvera 'I ==== 18)( 0)6'+ I,' x.{ , ,
=
" J d'ou I"on tire 6 on a eu ci-devant p= U2.~9..A j done IJ = =
IOK..A+8X'+I8)(f.
-
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1..A++P 2.7 •
jA ... 4 x
171.A+H" 2.1 X 2.7 •
"2.; 9..A
2.1
11 ell: evident que, = IS)( 0 +18 )(.. . t fl. I' On aura ( en fubll:ituant ces vaIeurs de p, IJ, ,) 2.
X 8.7 +,..A ...
Or
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+
8 x 2."
2.7
2.7)( 2.7 I' .1 _ ,U.7+181+A +J8J2.$ • i& 8 .&968' .,
I
2...
Ie:::=
ce qui fe re-
' 34+.7 +92.'..4+2.916$ 19611 •
. d _ dUlt one,Pour determiner Ia valeur de t, il faut remarquer que Pierre n'ayant rien, Paul ayant un jetton, & Jacques deux jettons & Ie de, Ie fort de Pierre IorfqueJacques va poulTer Ie de ell:, JO,d'avoirdcux coups pour perdre, f~avoirquand Jacques amene fix & as; 1°. huit coups, pour que Pierre n'ayant rien, Jacques ait un jetton, & P..aul deux jettons & Ie de, f~voir quand Jacques amene un as fans fix ni doublet; 3°. huit coups, pour que Pierre n'ayant rien , Jacques ait un jettoD, & Paul un jetton & Ie de, f<javoir quand Jacques amene un li~ fans as ni doublet; +0. dixliuit coups, pour que Pierre n'ayant rien,Jacques ait deux jettons , &. Paul un jetton & Ie de. Cela pofe, fi ron nomme t Ie fort de Pierre dans Ie fecond cas, on aural = 2.)( 0 +8 Xc ~! )(.7+ 18 )(x _
...c ......." ... 9x
-
IB
.
Pour determiner la valeur de t J on remarquera que Pierre n'ayant rien, Jacques ayant un jetton, & Paul deux jettons & Ie de, Ie fort de Pierre lorfque Paul va poulTer Ie de ell:, 1°, d'avoir deux coues, pour que Paul n'ayant rien , Pierre ait un jetton, & Jacques un jetton & Ie de, f<javoir quand Paul amene fix & as; 1°. d'avoir huit coups, pou,r que les trois loueurs ayent chacun un jetton, Jacques ayant Ie de, ~avoir quand Paul amene un as tans fix ni doublet; 3°. d'avoir huit coups, pour que Pierre n'ayant ricn" Paul air un jetton, & Jacques un
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110
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5
jetton & Ie dc, f~avoir quand Paul amene un fix fans as nI doublet; +0. d'avoir dix.huit coups, pour que Pierre n'ayant rien, Paul air deux jettons, &. Jacques un jetton &. Ie de. Si l'on nomme Ie fort de Pierre dans Ie fecond cas m j. dans Ie troifieme cas '" dans Ie quatrieme II, on aura _
"x
c-
lC
+Im + ,"+llb _" Ie+ .. '" + .."+
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-
18
,b. .
Pour determiner m , foit b Ie fort de Pierre lorfque Jacques n'ayant rien, Paul a deux jettons.) & Pierre Ull Jetton &. Ie de, on aura 1n=
loX,+8x "+18x9 U
.
"",,,,,+,&-
=.;.;;...~~-
18·
Pour determiner h, foit 6 Ie {ort de Pierre Iorfque Jacques n'ayant rien, Pierre a un jetton,. &. Paul deux lettons &. Ie de, on aura
h=
rox 0+,X'+I8X. _ ~6 -
4'+"18
•
. Pour determiner B, {oir D Ie fort de Pierre lorfqae Jacques n'ayant rien', Paul a un jetton, &. Pierre deox jetton$ &. Ie de, on aura B= &XA+8)(,+IXD ... 18"= ",,,,,,,"'41)+9". "6
II
Pour determiner D, fait E Ie fort de Pierre lorfque Jacques n'ayam rien,. 'Pierre a deux jettons, &. Paul un jetton &. Ie de, on aura • _ "x,+8X~+,Z+I'xE = '+4l: ..... Z... ,E D -
&.
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.
18
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E=18XA+1 8 l> =~.
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2-
Si ~'on fu~lhtue les valeurs de E , D, B,. b, dans Ies equations precedentes, on trouvera - 86.?+~R7A ... u6l: D "7X':&7 • I
D _ JJ -
b --
aA ....'+W ... +,. '-7
•
le ........... ' ... 7> 207 • 1111· ... ' .. '9 ... 'U .......... I&n m &7 x 18 .;
Et en fi n = On trouvera auffi
a-
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JIIXO+I8XJI _
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JRxo+18xe 36
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L~'~S p' E It AN C E.
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, Pour dctemriner, la: valeur de:y, il faut remarquer que Pierre n'ayanc rien, Jacques ayant un jettqn, &.Paul un jetton & Ie de, Ie fort de Pierre eft, In, d'avoir huit ~oups pour que Paul n'ayant rien, Pierr~ ait un jetton, &Jacqu~.s un jetton & Ie de, (~avoir qua'nd Paul amene un as fans fIx ni doublet; 1°. dix coups pour perdr.e; f~avoir quand Paul amene un fix; 30. dix-huit coues, peur que Pierre n'ayant rien, Paul ait un jetton, & Jacques un jetton &
Ie de.
Cela pore , on aura. J ...-,;.- 8)( K:.. 10)( 0 .... lSn = .lC + , • • & U' 18 , fubfi:ituant d~ns cette equation pOUi"K fa valeur f.A+J!P+9'7 , &. pour n fa valeur y , on aura ~---'----------. J' 4-)( sA + 4- x + 9 x r7~~;2.~Y + t.r,
±
=
.
8Y;.:.A
,d'ou I'on tire, en tranfpofant & reduifanc, y= IS
------------~--ir~--------~--
..
I:;;~A
Pour dete;miner la valeur de ~ je remarque que Pierre, Paul & Jacques ayant chacun un jetton, & Paul ayant Ie de, Ie fort de Pierre en , Ie, d'avoir dix COUpS, pour que Paul n'ayant rien, il'ait un letton, & Jacques on jetton & le'de, f~avoir quand Paul amene un fix fans dopblet; 2. 0 • huit coups, pour que Paul n'ayant rien, il air deux jettons, & Jacques un jetton & Ie de, f~a.voir quand' Paul amene un as fans fix ou doublet; 3°. dix-huit coups, pour que Pierre, Raul & Jacques ayant cha~4n un jetton, Jacques ait Ie act" , , '. Si I·on nomme G Ie fort' de 'Pierre dans Ie fecond cas, .
10 )(
lC .... 8 )( G + II x".
=
rlC .... • G .... 9'"
on aura" U 1lS • .Pour determine~ G, je rematque q~e Pa.ul nPayant rlen~ PIerre ayant deux Jettons, & J-clcqoes un Jetton & Ie de; Je fort de Pierre ell, -Iu, d-~avoir dix coups pour gagner, {~avoir quand Jacques amene un fIx fans doublet; 1". hwic coups, pour que Jacques n'ayant rien, Paul ait un jetton, k Pierre deux jettons & Ie de, {~avoir quand Jacques amene un as, fans fix ni doublet;' ?,o.dix-huit' coups, pour que Paul n'ayant rien, Jacques ait un jetton, & Pierre deux jettons & Ie de.
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P It. 0 ,
L.E·M as· Si 1'011 nomme 11 Ie fort de Pierre. dan~le derniet cas.
:I.t!.
P. . :
on aura. G t:;:::: 10)( Jl .... I~: ~ I')C Pour determiner F, foit L Ie fort de Pierre lorfque Paul n"ayant rien, Pierre a un j~tton, & Jacques deux jettons ~ Ie de, on aura . ' ; " . p~
&)(o ... a)(L
-
On trouvera aum L - IXS+IX,+8)(f+IB)("
_ -
~6
-
,I
.... a)(JC"'I')(~_ _ "'£+4J:+,C 16· . 18'· ....r+'+4'+',. 18 •
Si 1'0n fubllitue Ies valeurs de G, de _ & K dans +,,,, , on aura , l Ice, '\. = SlC+4G 18
rega.-
InUI...f+t602.m+lJr2.'lf .... q1BIS~80.7+ Jl664'+2.U2.8 e +17180 ..... 70u98 '
_ '\. -
& fubA:ituant de nouveau pour, fa valeur 34~' +917.A +2.916$ 1968J
&: pour t fa valeur
'
H4847.A ... sr,048Y + 114092..1 + 177147, + 70uUS + 1381.4 .... 42.j76f7
•
on trouvera, en tranfpofant &: reduifarit, = 116411010J08079Ifo88 A. t(
2. J7 Boo 2.7 60 2. 9 88 8 1 5 711
'On aura. aum III = 1~~18~~!;:!~;s'i:?::II; 4; &: par confequent S f0198'u76t 1"870 &"111' A.
=
1'78001760198881'717
Ainu Ie fort ·des trois 10ueurs Pierre, Paul &: Jacques; (era comme Ies trois nombres S 0 z. , 8 I .J I (;
+3 2. 0
7 (; 1 1 8 7 H 2. II h 1 (, 3 0 8 0 7 9 ISO 8 8.
2.
7 11 10 -IJ 81 0.9 9B 7 (; S I +I
11 faut ·remarquer que dans ve ProblSme on n'a pas ell lieu d'examiner s'il,ctoit a-vantageux au Joueur de recorn. mencer 10rfqu'i1 'amene de fOD co~p un doublet, ,dans l'efperance d'en amener trois de.i~·;·mais cette conGderationauroit:lieu fi en fuppofant-( Qinfi qt'l'il fe fait fou.. ~ent) qU'll fuffitpour'gagner,d~amener deuxdDublets de
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T
SUll LB. )BU J) B LtE~ P B ItA ~ C E•. u'J fuice, il fe trou~oit un plus grand nombre de Joueun ou , (eqlement deux Joueurs qui euirent chacon pluficturs jectons. On pourroit donner 130 delJus des reglescertail1cs, ain1i que l'on va voi.r dans Ie Probl~me qui fuit. ' A
PROBLEME II. •
PROPOSITIO-N
XXV.
'Pie"e &- Pllfll tml II" nm!J,e iJllekonq,;e ae jett01lS. L'tm tk'I1lIl7ll1e en tplel lllS ;ls dowmt '''""""Ulltr It6Ji1,,.ils ame"nrt Jollb/~t. L'tm foppofo 'i"'ils g4gnertmt en ammaN aellx JDulets de [flitl. . : . '. ' P a :E M I J! l\. CAS. 'Pierre &- Pdlll ,,'ont lJ,lfl'll jettfl1l ,hllctl1l) & ,'ej a Pi"" 4 • jOller. L'on dema7ll1e 1"e1 eji [m fort. .
tI"
Po
refoudre ce Problame, il fmt .ire ;des fuppo.. . 1itions couchant Ia manJere 'de jouer :de ·Pierre &. de Paul, car il peut arriver, 1°, que Pierre & Paul r.ecommenceront lorfqu'ils auront1Ul doublet; 2.". qu'i1s ne recommencent dans ce cas ni l'un ni l'autre; 3~. quePie.r.re recommence, & que Paul ne recommence pas;' .+~. qu'e Pierre De .recommence pas., & :que Paul re.commellce. Or felon toutes ces differences .fllp'pofitions, Ie fort, de Pierre fera .different. : JU. Si Ie. defTein de Pierre. & de Paut: efr ae ne point rei :Commencer lorfqu·ils auront un doubk~;Ic fort de Pierre {era {- A , & cclui de Paul A.. . '.' "'.1.' . I' • . 2,0. Si Ie defTein de Pierre & de Paul eft de recot)'lmen ... eer Iorfqu'ils ~uront un doublet, Ie fort de Pierre eft rt A, ac "dut de PauLl~ A. .;: ! . , . ' , u 3 • Si Ie deffein de Pierre eft de ne pars ret:()nJmencer, & celui de Paul de recoI1)mencei"~ en cas ·de, double~ {on fort fera ; ~ .A, -" celui: de .Paul H A. 4°. Si Ie deffein de Pierre eltde recommencer, -" celui de Paul de ~e pas reCoMJllClltet , 'too fon:' .~era 2I~A ~ -" celui de Paul !~.A~ " .. : .J', ' ..... Q..,ij . -' U R.
t
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12.4
Pll'OBLBMES II fuit de la que Pierre, &: par confequent Paul, doiveil\;
ceder Ie comet fans recommencer lor(qu'ils ont amenc un doublet. . . . Pour s'all'urer Ii Pierre Be Paul d9ivent recommencer 10rfqu'i1s ont amenc un doublet, il fuffit d'examiner fi Ie fort de Pierr~ eft plus grand OU tnoindre lorfqu'ils recom. mencent tous deux, que lor{qlle ni l'un ni l'autre ne recommen~e. . , SEC 0 N J)
CAS.
Pi,,,, "tin j,llm tnJlrl p"tJ· dnX jf/tlns I 0- ,',ft .t Pi,,,, .- jill".
_.
0
1°'SI I'on fuppofe que ni Pierre ni Paul ne recommence.. ront lorfqu'ils auront un jetton contre deux, &: qu'ils auront 'amenc un doublet, on trouvera que Ie fort de Pierre eft I~ A. , &: celui de Pau~ I~t A.. • 0 2. • Si I'on fuppofe qu'ils recommenceront I'un &: I'autre lorfqu'ayant • jetton contre deux, ils auront amenc un doublet, Ie fort de Pierre {era ~~6!);.A, &: celui de Paul !~~: A. . T R. 0 I S I E' J.{ E CAS.
,Ptem & P".l ont ,hlle." JeNX jell'~s,
6- Pie", "Ie di.
IO.SII'on fuppofe qu'ils ne recommenceront ni run ni l'autre lorfqu'ils auront un jetcon contre trois, on trouvera Ie for.t de Pierre -:- ~fl::.A, &: celui de Paul jn~~.A. On trouvera auffi que Ie fort .de Pierre lorfqu'il a un jettoll contre trois, &: que c'eft alui a jouer, eft ~::::'.A.. 2.0. Si ron {uppofe qu'ils recommenceront l'un &: l'autre lorfqu'ay~t un jerron contre trois, ils auront amene un doublet, Ie fort de Pierre [era '~:l::t:r .A., &: celui 4ePaul :~tt~~:~ A.' '.; . . '". 11 fuit'de la que Pierre 'ne doit point recommencer. lorfqu'ayant un jetton contre Paul trois jerrons, il amene iUi doublet. . ',~, 9n, pourra. en cette forte examiJ1er fi Pierre doit ou ceder Ie de a Paul, ou recommencer lQr,f'lu'il a un jettOD .
'-",
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s u ~ L B J E Unit L J E s l' I R. A NeE. u.j , contre quarre, ou deux contre trois; Ie calcul {era Ie m~me que celui de ce Probl~me &: du pt'ccedenr, mais la Ion. gueur en (eroir exceffive, ainu je ne confeille a per{onne de Ie tenter. II y a beaucoup d'apparence que Pictrre doit recommencer &: tenter degagner en ameDaAt'deux dou. , blets de (uite) lor{qu'ayant un jetton contre quatre, il a 'amenc un doublet; car je trouve que dans Ie troiueme &: dermer cas, la difference du fort de Pierre lorfqu'il ne recommence pas, a {on fort quand iI recommence, eft 2.34418212. A • II. 0 • 0.J. .IoH'U860U.n., ce qw en moms qu un centl~me. • ,
.&
PR'OBLEMES
SUR
LET RIC T R A C.
~. eft tres utile, pour jouer Ie Tricuac agreablement &: I av~c;, avantag~, ae f~avoir a. chaque coup de dc, l'efpe-
rance qu'on a ou de battre, ou de remplir, ou de ·couvrir quelqu'une de res dames par Ie coup qu'on va jouer. C'eft auffi ce que f~avent atrez. les bons Joueurs; mais ce n'eft que par une grande a~plication &. beaucoup d'exercice qU'on peut en acquerir I'habitude pour ~es cas qui font un peu compofes. Par exemple, i1 y a peu de perfonnes qui puilfent voir d'un coup d'~il que leur petit jan ctant dit:. pofe ainu que dans Ie c-ateA du Trid:rac, ils ayent un coup pour gagner douz.e points, dix coups pour en gagner huit, trois coups pour en gagner ux, feize C(lUPS pour en gagoer quatre , &. enfin fIx coups pour ne pas remplir. Mais ce qui patJ'e extremement les connoUfances ordinaires des Joueurs , &. ce qui leur feroit ne3:Dllloins tres important pour bien jouer Ies dames, &: £aire des. tenues a. propos, c'el1: de pouvoir conno1tre avec exaaitude l'efperance que l'on a de teoir un certain nombre de coups fans rom pre , ou d'arranger fon jeu de telle ou telle fa~on, en deux ou pIuGeurs coups. On peut decouvrir toutes ces chofes par les methodes precedentes: En voici deux Exemples fort urn. ples, dont Ie dernier peut avoir quelque utmte•.
.
Q...iij
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P1l0lLEMls .A
PROBLEME
1
PROPOSITION XXVI. Pimt parit fIlii 1mb" fun grand toin m ,tle.x MpS. Jnna1ide tt fIliI dbit gage, po., flit Ie la1'li foit .~aJ.
(}q
,
I
L faut remarquer, 1°, que Pietre ne" peut gagner qu'en. am~nant du premier coup de de I'un de ces quatre coup~ .fix cinq, quine ou fonnes. '].". ~'ayant amenc l'un de ces quatre coups, il n'a pas encore gagne; mais qU'ayant am-ellC fix cinq du premier coup, il doit pour gagner amener encore fix cinq au fecond coup; & qU'ayant amenc du premier coup quine, il doit pour gagner amener au fecond coup (onnes; & qU'ayant amene du premier coul> fonnes, il doit pour gagner arne.. ner au fecond coup ou quine Oll fonnes. Il fuit df toUt cela que Ie fon de Pierre fera ,~ x ,~ .... ,!)( ,~ + J! ~ ,~ = ""fi~6 ; ainfi Pierre pour parler fans defavantage, doit mettre au jeu 7 contre u89, & i1 auroit de I'avantage a parier I contre 186 de prendre fon grand coin en deux coups. ' I
A
PROBLEME II. PRO P 0 SIT ION
X X VII:
Mes JtI1IIIS ttll1lt diJPDfles 4itlji '1"ilp4roft tUns It dtJ B J. Tri[ba" jt'Vt8X /flZ'Vli, &om";ell je ".m. Itrlier tit teni1~ Je"x ''''PS fans mnp". , ,
'LES
hazards des deux CQupS fOnt iei males enfcmbIe, _ & ne fe doivent point confiderer independamment. l'un de I'autre. Si av.anta~x que puure atremon premier coup, il eft clair que mon recond coup pelit me faire perdre; & au contraire fi defayantageux qu'il foit, it De mtote! point I'eiperance de tellir au fecond coup. La plus -grande,
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r.a.w.e des coups de de
T III C T I. A C.
11.
7
que Je peux amener au premier coup, diverfi• . bent mon attente pour l'evenement dufecond, mais il yen a qui me laiC. rent une egale efperanceo Par exemple il m'eft indifFerent d 'amener au premier coup fonnesou cinq & as, au quaere & deux; fix trois ou cinq . & quatre, &c. Pou.e demeler tout cela, il £aut chercher queUe ell: mon efperance de tenir au fecond coup dans toutes les difFerentes fuppofitions des di1ferens coups de :de que je peux amener au premier coup. La fomme de . tous ces hazards exprimera mon fort, on trouvera que j'ai, 1°, deux coups qui me donnent 17, f~a.voirfix &: cinq. ,,0. Trois coups qui me donnent 17, (~avoir fix quatre Be quine, puifqu'ayant amenc fix quatre ou quine du pre. . mier coup, j'ai pour tenir fonnes & fix & as. 3°. ~atre coups qui me donnent11, f~avoir fix trois, & cinq & quatre, car j'aurai pour teoir fonnes, fix &: as, fIx deux &: bezet. . 4°. Q!!atre coups qui me donnent ~ ~, f~avoir fix deux, Be. cint) &: trois, car j'ai pour tenir fonnes, fix &: as, fix deux, fix trois, deux&: as &: bezet. So. Deux coups qui me donnent :!, f~avoir quatre & trois, car j'aurai pour tenir au fecond coup fonnes, fix &: as, fix deux, fix t(ois, deux &: as, trois &: as &: bezet. - (,o.~atre coups qui me donnent 'H, f~avoir fix &: as, &cinq&: .deux ,car j"aurai pour tenir fIX &: as, fonnes, fIX deux, bezcr, fix trois, deux&: as, fix.quat~e, trois &: as ~ &: double deux• ,Six coups qui me.donnent ~! "r~voir [onnes, cinq '" as, quatre.& deux &ternes, car j"aurai pour-tenir fonSlCs., fIX &: as, fIX deux, .bez.et, fix,trois, deux lk as, [loX
.,0.
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u.
11& P 1l OD L It M It S . quaue, trois & as, double deux, fIX cint}, quatre & trois & deux. . 8°. ~atre coups qui me donnent th f~avoir quatre Ie as, & trois & deux ,car j'ai pour tenir tous Ies memes coups que fi j'eulfe amene du premier coup cinq & as, & outre ceia l'efperance d'amener au fecond coup cinq .&; as. . 9°. Un coup qui me donne (~avoir canne, car j·aurai pour tenir au fecond coup deux &. as", bezet, fix & as, fix deux &. fonnes. . 10°. Trois "coups qui me donnent f~voir trois k as; &. double deux, car j'ai tout pour tenir au fecond coup', excepte cinq &. quaere, cinq & trois, quatre & trois, quine, carme & teme. 11°. Deux coups qui me donnent ::, f~avoir deux &. 2S, car j'aurai to us Ies coups favorables pour renir,. exceptc quine, carme, & cinq & quatrt. 11°. Un coup qui me donne :!, e'ea bezet , car il n", aura au fecond coup que quine contre moi. Le fort cherche fera done 1 !;l , &. Ie jull:e parti de fa gageure feroit 565 contre 731. On auroit de l"avantage a parier j contre ~h & du defavantage parier 4 contre 5.
i:'
*,
a
".A Y E R TIS S :E M. :E N T.
I
L elI impoffible dans'la plufpart des fituations OU deux Joueurs peuvent {e trouver .au Trid:rac, de determiner queI ell: leur fort, &. d'ell:imer avec precifion de quel cote eft l'avantage , car outre Ia variete prodigieufe des diffe.. rentes difpofitions poaibJes des trente dames, la manierc: [ollvent arbitraire dont les Joueurs conduifent leur· jeu , ell: ce qui deci4e prefque toujours du gain de la partie. Or tOtlt ce qui depend de la fantaifie des liomlnes n'ayant aucune regIe fixe & certaine, il ell: clair qu'on ne peat refoudre aucune queftion fur· Ie Trid:rac , a moins que Ia maniere de jouer ne foit dctenninee. Le feul Probleme que ron puilfe refoudre d'une maniere generale fur Ie jell
.
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du
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12.,
S Ull J. B Till C 'r 1l A C. . du Triara.c eft celui.a : TmnJtT Ie fort tie 1"'"s fll; ", [IAII a. jd tie f~tlfJtII 1I/imb,., tie James fJII'iJs a,_
_JI
,.,t"",.,
ntfWt 4 paffe,., ", 'llUltJru nul,o;t '1,l,O,s fo trfJfl'lJetlt pla,les. ren donne ici un Exemple, qui {uBira pour faire cann01..
tre de queUe maniere on pourroit trouver les autres cas plus compo{es. A
PROBLEMi III. PR.OPOSITION XXVIII. Ii"" II lis mis Jam,s A, B ~ C 4 lnJ", d- Pa.1 Its "01, James D, E, F; ,,1M; fJ8; II pmml' ••,,, InJI ", pa//a1ll tOIl"S ps James, gaglll,lI. 0" foppofo IJIU c'tft 4 Pi,,,,. ~tT, ron demand, 'lut eft f a'Ull1ltagi de p IUd.
L
•
O&SQ.!!E Pierre va jouer, il a vin~-cinq G:oups pour pairer les deux plus reculc~sB &C, huit pour pairer les dames A' &; C , f~avoir fix & as, cinq & as, quaere & as,. trois &; as; deux coups pour paJfer les dames A & B, &; un coup feulement pour paJfer B , f~avoir bezet. Soit nomme S Ie fort de pierre lorfqu'il va jouet , x fon fort quand il amene .deux & as, & y fon fort quand il amene du premier coup bezet. On aura S = H.A ;,'1. x +:1 • L'argent du jeD eft appeUc .A • II s'agit prelentement de determiner les inconnues x IXJi pour en venil' bout, iI faut remarquer que Pierre n'ayant plus a lever que la dame C, ne peut ni perdre nj gagner par Ie coup que jouera Paul; mais que fon fort fera difFe. rent felon tous les differens coups que Paul amenera. Car,. , . par exemple, Paul paffant de fon premier coup les deux aames E &P, fi Pierre De paHe pas de {on {econd coup la dame C, il aura certainement perdu, au lieu qu'iI pourroicencore gagDer fi Paul n'eut paEe de fon premier coup queles dames E & D ~. ou feulement la dame E. Soit done nomme·u Ie fort de Pierre, lorfqu'ayanr am~Dc du premier coup deux &; as., Paul a palfe de fon coup Ies dames E 8Z F; , fon fort, quand Paul a palre les dames D "E; & t fon fort, quand Paul a pafi"e la (lame E. On aura
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•
130, PRO B L E M B Pour conno1tre Ja vaJeur de II, on remarquera que Pierre n'ayant plus que 1a dan1e c a paLTer, il a en' jouant fon fecond coup, trente.cinq coups pour gagner. Pour connoltre la valeur de h, on obfervera que Pierre n'aya.nt plus que la dame C apalI'er, & Paul n'ayant plus que la dameF, Pierre a en jouant de nouveau, trente-cinq coups pour gagner ,~ un coup pour avoir ,16 A : car fup.. pole que Pierre jouant pour la feconde fois, amene bezet qui ell: Ie feuI coup qui puilfe l'empecher de gagner, Paul D'a pas pour cela gagne, il pourra amener auffi bezer, auquel cas Pierre auroit gagne. Pour connoltre lao valeur de I, on prendra garde que Pierre n'ayant plus que la dame C, & Paulles deux damesD &F alever, Pierre a en jouant pour la feconde fois, rrente - cinq coups pour gagner, & un coup pour avoir rrA: car Pierre ne gagcant pas de fon lecond coup, Paul a pareillement quatre coups pour ne pas lever toutes fes dames, f~avoir bezet, double deux, deux & as. On aura done t J~ A .... '6 ~ 16 A. Ayant ainu determine les inconnues II) h, t, Ii on fublHtue les valeurs trouvees ' . HU+J, ... , , -'HI" A d ans I,.!equatIon Jt = ~6 , on aura Jt = 4 66S6 .n. Prefentement il faut determiner la valeur de ,. Soit nomme 'I Ie fort de Pierre lorfqu'il va jouer fon fecond coup, & qu'illui rell:e les dames A &C a lever, &: aPaul la feule darneD; p fon fort lorfqu·illui refie alever les dames.A & C, & aPaulla dame F ; " fon fort 10rfqu'iI lui rell:e a lever les damesA &C~ & Paullcs damcsD &F. On aura, J1'''',~P'''.. - .- -
=
=
a
SUll I.E lEU DES TttOIS ,DEZ.
a
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On trOIlVera, par des raifonnements femblables ceux qu'on a faits pour trouver la valeur de x, If = 17.A, :!.A + 16 ~ u.A, • :~.A + ~1 ~ A; & par confequent y !!!~: A. Ayant ainfi determine les va. leurs de x & de" on trouvera S {~11.A.
., =
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t,
=
=
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PROBLEME
SUR LE JEU DES TROIS DEZ.
•
EXPLICATION DES REGLES DE CE JEU.
jeu foit ancien & en ufage dans Ies Q uAcademies cede Jeu ,. il n'eft guere connu que des 0 I Q...U E
JOQeurs de profeffion. Je crois donc devoir en expliqueravec· foin toutes les conditions. On nommera Pierre celui qui tient Ie de, & Paut reprefentera les autres Joueurs, dont Ie nombre eft inde. termine, ainfi qU'aux Jeux duo Ha%...,a,a Be du ~ill'lfLmlJW. Pierre pou1fera Ie de jufqu"a ce qu»il amene ou 8, ou 9, ou 10, ou II,OU J%, ou 13, cdle de ces chanfes que Pierre amenera fera ce que I"on nomme la chanfe droite, & (era apeu pres pour lui, ce 'lu'eft au jeu de la 'Dupe', pour fe' Toueur qui a la main , la carte qu'il fe donne. Enfuite I>ierre poulIe Ie de : void par ordre Ies principales regles~ 1°. La chanfe droite etant ou 9, ou 10, OU II, OU U, Pierre gagnera au fecond' coup s'H amene chanfepareilJe, c»'efl: dire 9 fi la chanfe droite ell: 9, 10 fi la chanfe droite eft 10, &c. n gagnera auffi en amenant quinze; mais if perdra s'll amene ou 3, ou oil=, ou 5, ou·6 " ou 16, ou 17, 011 18: Si la cbanfe droite ell ou 8, ou r3, Pierre gagnera all fecond coup en amen ant ou chanfe pareille, ou 16; & il perdra s11 amene ou 3', ou +, Ott 5, ou 6, ou If, ou 17" 4)\1 18. 3°. Dans tout autre cas que Ies deux precedents, Ie Dombre que Pierre ainenera, apres avoir tire la chanCe _iN, {era une chanfe pour la premiere matfe. II y a dODe . R. it
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poor les maifes deux chanfes de plus que pour la droi", r~avoir 7 & 14-. +0. Ces deux chanfes etant donnees, Pierre continuera de pouffer Ie de, & il gagnera la premiere malfe, s'il en amene Ia chanfe avant que d'amener la droite; & all contraire il perdra s'il amene la droite avant que d'ameDer cette clianfe. Dans Ie premier cas Ie jeu recom. mence, & Pierre livre de nouveau une droite & une chanfe a la premiere maffe, pourvii neanmoins qu'il n'ait
•
p~u~u.
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-
Pour apprendre ce que c'eR: que tin ,il faut f~avoir. qu'a ce jeu, ainfi qu·au ~inquenove, res Joueurs peuvent faire des mafi'es, & que Pierre Ies accepte stil veut, en difant! Tlllllpe. Mais if y a ceci a renlarquer, que fi Pi~rre . en ilcceptant une maffe. dlt T Illlpe 6- tillt,tII, la premIere matfe ne va plus; en forte que fi Pierre amene 1a dtoite apres avoir tingue , il perd routes Ies maEes qui ont ere acceptees, al'exception de la premiere qui ne va pas, & i1 rire celIe qu'on vient de matTer. Dans ce cas Ia droite & Ia chanfe de la premiere malfe fubfiftenr; & fi Pierre apres avoir tingue amene la chanfe de la premiere maife, toutes Ies manes deviennent nulles, a l'exception de Ia droite & de la premiere malfe qui fubfiftent. . . So. Toutes Ies fois que Pierre perd la premiere maife, celui qui fert'le de a Pierre peut Ie contraindre a tenir Ie paroli; & Ii ceIa arrive une feconde fois, a tenit Ie fept & Ie VII, & enfuite Ie quinze & Ie VIII , &c. 6°. Lorfque Pierre perd la premiere ma1fe, on lui fixe ou 8, ou 9, ou 10, ou 11, ou u., ou I h mais il n'ell oblige de tenir que 8 ou 13. Pour Faire entendre parfaitement roures ces regJes , je crois qu'i1 eft a propos de les appliquer a 1:1n ExempIe. Suppofons donc que la droite foit 13 , la premiere malIe 9, la feconde 10, la troiueme II, lei. deffus je fais une ma1fe. Pierre dir, TlIIllpe, & pouffant Ie de il amene 13. Void ce qui arrivera; 1°. il gagnera ce qui vient d'~tre maffe; ,,0. il Eerdra toures les aurres maffes, & je lui fixerai 13 en faifant, fi je veux, Ie paroH de cerre maU'e, enrulte il fe don.. nera. une chanfe.
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•
SUit L B J BUD EST 1l 0 I S D E Z. In Si Pierre au lieu de dire fimplement T ~ eut dit : Ta.pl & tintllt, tout auroir ete comme ci-devant, avec cette feule difference qn'il n'edr point perdu Ia premiere malfe, &: qU'elle feroit refi:ee auffi-bien que la droite. Suppofons maintenant que Pierre amene 9 apres avoir dit T atlpt, il tirera la premiere Maire qui ell 9, toutes Ies autres ma1fes s'en iront, & Pierre recommencera Ie jell en tirant une droite au hazard. S'il edt dit, T atlpt & lin.. gtll , Pierre n'auroit ni perdu, ni gagne, & toutes Ies chanfes euff'ent ete nulles, aI'exception de Ia premiere qui fubftllera avec Ia droite. Enfin Iorfque Pierre amenera ou 10, ou II avant que d'amener 13, il gagnera celIe de ces maH"es qu'il amenera avant la droite.
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PROBLEME. PROPOSITION
XXIX.
011 tlnn4nJe '1tu11fJ ~." 1'. t 14'11"111,,&' U ,,1M; '11#; timl Ie de.
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/I dtfo'lllltlltJg._
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O 1 T ~ Ie fort de Pierre Iorfqu'iI amene pour chanCe droite 8 ou 13, J fon fort lorfqu'il amene ou 9 ou 12., & (.Iorfqu'il amene 10 ou II. S exprimera Ie fort de Pierre, &:.A. la miCe de PauL Qn aura s= U.r +~s/ "'11~. On trouvera auffi _
100,A + 50 x
II -
I = .
"*.A. + 2.7 x i,A -.!.!1!!.A.,
2.16
-
1"7~
9S,A+42.X!:,A+17 x !~,A+Ij'Xt,A
2.16
-
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Joi.A+2.lxt,A"'~-fr1,A+30x~A...:...~
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2.1'
A
A
&6&081.1·
Par confequent Ie defavantage de Pierre-fera exprimc par
. , 2.1 x I"~! ,A +15 x 1~:;·6~.A. ... 17 x 7:::: 4
cette quanate,
73
R. iij
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i34
P .R.
0 B L It M It fiui fe reduit cette fradion 66Io4:::~11 A qui ell plus grande que ...I f , & plus petite que .:"., & ce feroit lei Ie defavan~
a
tage cherche, fi I'on fuppofoitque Pierre dut quitter Ie d~ & Rnir Ie jeu auffitor qu'il auroit ou gagnc ou perdu. Ainu la premiere matTe crant une pill:olle, il y a fur certe fom. me 4 fols 7 den. de perre pour Pierre lorfqu'il doit rirer fa droite au hazard. Mais lorfqu'on lui a fixe 8 ou 13, [OD defavanrage par rapbrr a Ja premiere matTe, n'eft que 10 d. d,. On verra dans les Remarques qui fuivenc qucl eft [on de[avanrage en acceptanr des maiIes&
RBMARt2-VB
I
I.
L ell moins defavantageuxaPierre d'avoir 8 ou 13 pour chanfe droire, que d'avoir 9 ou u.; &: il lui ell moins
defavanrageux d'avoir 9 ou 11 , que d'avoir 10 ou Il : car je rrouve que Ia chanfe droire crant 8 ou 13,. Ie defavan. tage de Pierre par raport ala mife de Paul, eft plus grand que 1:0 A, & plus petit que 1,1, A : QEe 1a chanfe droite crant ou 9 ou 11, Ie defavantage de Pierre eft plus grand que s14 A, &: moindre que f " .A; & enlin que la chanfe droire ctant II ou 10, fon de[avantage ell plus grand , lip I . I que iT, Q. P us peot que 2.+'
RB MA RD-V E I
I~
Pa
tinguer ell: un privilege que ce leu accorde celui qui tient Ie corner, par lequel il ell maitre de faire durer long- temps Ia droite & Ia premierema1I.e.II eft aife de s'appercevoir que cet avantage ell fort peu confiderable, & a lieu feuIement lorfque la chanfe de Ia droite doit arriver plus fouvent que la· chanfe de la pre-miere maffe; par~ exemple-Iorfque fa droire crane 10 OU I r, la premieremaiTe eft 8 ou 13. Dans: ce cas il vaut mieux tinguer que de tauper fimplement; mais il feroit-encoreplus propos de JlC point accepter de matre. OUVOlll
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Oma~~~lb~aucoup que ce Je~r!~e1o~~~: auh:'~p~~~
ni euffi ~bien invenre que hien des Joueurs [e l'imaginent.
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fe::;~dl!a~~~~bl~e {:!t~:'l~~~i~~r~!
que 15 un coreer, foir que la Proire [oir ou 9, OU 10, OU I I, OU 12.. Par cette Ie Pe[arrnrege Pierre a trOK~ve = ,,~~~!~~!A,f~re p;"r cettePrad:ien ,,6o~:~!;::A, ce qui vaut un pe.u moins de (ept deniers A deftgnant une pitlolle. . .
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PROBLEMB A
PROBLEME. PRO PO SIT ION $lJit 8. "o1Mre
tie de~.'/llItl(OnIJ.t.
XXX.
Pie", P",;' f'liUS'
j"'!'"
1111 ha,,-ttrd, i/ In IfImmlftt ta711 tlflllllfpe(l, tant J'tI1lI IfItllfli pa, Ixemple, ta1lt de pmpltS, ta1lt de dodlel, tant de m. pies, Oil ta1lt 'J, do.!Jles, 111111 de '1.ad,..pt,s, do,- On umanu '1f1I/ for. {1J1l fort, & &om!Jim it allrll de fafons dilf,· , mils tllft1III1lIr les tIe,,mani", 'III' itft Ie fer. p1Dpofl.
,SO
In"
I T P Ie nombre de dez, 'I Ie nombre de tous Ie$ divers arrangemens poffibles de ces del.; !J l"expofmt du de qui a la plus haute dimenfion entre tous ceux que Pierre fe propore d'amener; " a, "f, &c.l"expofant des autres del. qu'il doir amener, dont l'expofant doit ~tre' moindre, en forte que, exprime un nombre plus petit que", & J un nombre plus petir que" & I un nombre plus petit que a, & fun nomore plus petit que" &c. Je nommerai auffi B Ie nombre des dez que I'on de. mande de la dimenfion exprimee par", C Ie nombre des del. que l'on demande de la dimenGon exprimee par,,. D Ie nombre des. dez que ron demande de la dimenfion exprimce par J, E Ie nombre des dez. que I'on demande de la dimenfion exprimee par I , F Ie nombre des dez. que l'on demande de la dimenlion exprimce par f, &c. J'appellerai encore !" I,. 7It, n, r, &c.les nombres qui expriment tous les divers arrangemens poffibles des nombres deflgnes par Ies Iettres 6, " tJ, 1,1, &c. J'exprimerai auffi par cerre marque Ie nambre qui exprime en combien de fa~ons Bpeut !tre pris dans 6, mettant Ie plus petit nombre dclfous, &: Ie plus grand deffiJs , & entre oeux cette marqu~ arbitraire c::J, ainU que daes la pro. pofition x IV. Tout cela pofe, Ie fort de Pierre fera exprime par une fraction I dODt Ie. JUU1leratcur {era '1 multiplie par cerre
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{uite de produits, c::J X c::::l X c:::l X II
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6- ..... C-11
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'-.-C-D-E . ~ X &c. Be Ie dcnominateur {era ,~
.,
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ptultiplie par cette {uite de produits, B x It. X C x I X D)(", X,ExaXPx rX&c. ' • , O II faut remarquer, J , que cerre formule ctant ap~li l:!e un cas particulier,. ne doit atre compofee, foic s Ie numerateur ~ foit dans Ie denominateur , q~e d'au. ,ant de produits qui font marques par X, qu'il y a de dif.. . ferentes dimenfions entre Ies del. qU'on veut amener. . . "e. Que fi Ies dez, au lieu d'avoir fix'£aces en avoient un nombre quelconque exprimc par R, ~ n'y auroit qu'a fublOtuer R au lieu de 6 dans cerre fonriule. Mais il fa.ut obfervcr qu'alors Ia formuIe ..deviendroit une {uite infinie, 'R ctane indetermine. Entin pour avoir Ie nombre de'S coups favorables a Pierre, i1 n'y a qu'a multiplier cetre formule ~r 6 eleve a l'expofant p. Je ne d"onnerai point la demonftration de cerre formule, car elle ne pourroit ~tre qU'extr8mement longue k abftraite, &: ne teroit entendue que de ceux cpU !eront eux-memes capables de.la trouver. Je me contenterai de donner ici une Table fort ctcndue, qui en facilitera l'intelligence, & qUi decouvrira en partie I'ufage de ce' Prob18me. Cette Table donne tous Ies dift"erens cas du Probl8me propofe depuis deux dez jufqu'a neuf inclufivement. La premiere colonne donnera tous le~ cas determines, ce qui fait une efpece par. ticuIiere du Problame general: Ia feconde les donne indetermines conformemental'cnoDceduProbI8me. Ainu, par exemple, on trouvera que Ie nombre 3 exprime com. bien il y a de; fa~ons difFerentes d'amener bezet &: un depx .vectrois dez, & Ie nombre 90 qui ell vis avis ala feconde colonne ~ combien'il y a de fa~ons differences ·d'amener un double quelconque avec un fimple auffi quelconque ; &.de .m~me Ie nombre u. exprimera com bien iI y a de m~c~es ~rentes d'amener bez.et, un deux Be un tr~is ' . , S ,
a
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131
P 1l 0
I LS K • S avec quatre de!. , & Ie Dombre 710, combiel1 i1 pour amener un double & deux fimples.
y en-a
TABLE. p_",".tk~
Dftermin&. Ind&etmin&J se.
a·.
JO. 2,..
s·•.
deux (unp1es, UA.doubler,
.1'000f avoir
p., "';1 pour noir trois fimples, un double Be un fimple , WI triple,
•
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Jet.:, ,
J
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1"'it Ya ~u.~
coups.
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I
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1'-1J"'" M(:
2.41
.tt'~ ~ a..oir quatre Gmples, aO. un double & deox fiuiples, JO• deux doubles,· +0. un triple & un limpte, So. aD 'luintuple ,
J 2.
.+6 1
J
J60 72.0
,0 coupr.
il J a
12.0
"
1'..,-,m'l tk(: pour ..oir cinq dez limples, UD double 8c trois limples , JO• cleu doubles & un limpte, +0. UD triple & deux li~p[es, J O• UD uipl~ & un double, 6". WI quadruple 8c un fimple, 7°. un quintuple, Ie.
2,0.
1°. pour avoir Gx Gmples, .
il Y a
72,0
,0.
JO.
UD ,DintuE
II.
.
Be deux Gmtes, un quadru~le & un doub e,
UD
e '" un fimple, un cxtupe, .
-
6·
un double 8c quaue fimples, J60 deux doubles 8c deux firilples, 180 +0. trois doubles, 90 ,.. UD triple Be trois limples, 110 ~.. an triple, un double & un (lDIple , 60
deu:c&:' q pie
coups.
ISO
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7,0. 80• ,0.
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Determines. IndetenDines. ••• pour a"oir an doable It doC) limples, "Sse) sua ,.0.O deux doubles Ie uoil fimpICS, 1360 • 7S6OO J • croil doubles ac 11Il GmpJe, n80Q 630 +0. IUl triple Ie qame fimples, . 140 2S2C» ,.. an triple, unCloubIe Ie dcu =rles. .po ~. Ub triple & deux doubles ~ "10 c1eus u~es Ie lID fimple , 140 .'-I() r. un q pie Ie crois Gmplcs, un qUadruple, un clouble & aD 6mple. lOS 10. un quadrUple & un limple. 3S II. un quintuple Ie deus wnplcs, 4Z ~I 12.. un quintuple & un double , I J. un fenupfe & un mnple, 7 un feptuple; . J .
,0. ,0.
J,..
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7S6oo
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&aoo 12.600 12600
COUplt
10S0 .2S20
,
6)0 210
.
so. pour avoir deux doubles & quure funpl.looIo • , ISl200 deux fimples, S040 302.400 3°. quatre doubles, 2S1.0 37800 4°' un triple & cinq ftmples, . 6720 40320 So. un triple, un double & trois (JIllpIes, 3360 4032000 61). un triple, deus doubles & un fimpl~ 1680 302400 100100 ~. deux triples & deux timples, 1120 1°. deux triples & un double, S60 33600 9". un quadruple & quatre tim pies ~ J680 s0 400 ISI2.00 10. un quadruple, un double & deux timpl. 840 ilya 2. 51.00 coups. 11. un quadruple & deux doubles, 420 33600 u. un quadruple, un triple & un funple" 2.80 10SO "13. deux quadruples, '70 20160 'J4 un quintuple & tr~is 6mples, 336 20160 IS. unquintuple,undouble&untimple, 168 1680 16. un quintuple & un triple, S6 3360, '17. un fextuple Ik deux 6mples J S6 840 II. un fextuple & un double, 2.8 20+0 19. un feptuple & un flDlple, I 6 20. un oauple, 1, S ij
,,0. trois doubles &
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P&OBLBWBI l'~ 1l1li/ M(:.
Determines. Iftdecermia&~ ID. pouravoirtroisdoubles&uoisfimples, 4S360~ 9071.00 30°. quatre doubles lIcun funple, . 201.680 610400 So. un triple, Wi double Be qume fimples, 30 2..tO 907~ 4 e• un triple,deox doubles Be deux fuDples, IS11.O &72.1600 So. un mple Be trois doubles, 7SCSQ 4S3600 6°. deux triples Be trois fimples, 10080 604800 deus triples, un double Be un timple , S040 9071.OQ 1°. trois triples, 1680 33600 9·' un qUaaruple Be cinq fimple., IS 11.0 9071.0 10. un qqadrul'le, un do~le Be trois funpl. 7 S60 9071.00 II. unquadruplc,deuxdoublesBe.uufimple. 3780 680400 12,. un quadruple, un triple Be deux umptes , ,; S2P 453600 13. un quadruple, un triple Be un 4ou61e, U60 il Ya I S11.00 COUpt. )7800 .14.·deu quadrul'les Be un fimple, ~30 IS. un.quintupli Be quaere funples, 301.4 9071.0 1.71.I6o 16. un qUintuple ,un double Be deuxfunpL ISU 4S360 ' 17. un quintuple Be deux doubles, 7S6 II. un quintuple, un triple & un Jimple, S0460+10 .J71o '9. un quintuple Be unquad[~le, 11.6 301.40 300.. u.n fextuple Be trois fimples 1 SO+ ~01.40 at. un fextuple,undouble Beunfunple. "S~ 2oS1.0 301.. pn fextuple Be ~n fimple, 14'2.3. un feptuple Be deux fimples, 71. 437.0 1080 '2.4. un ~ptuple Be un double, 36 1.70 "S. an otbple Be 1p1umple; , 9: 4 a6. un Doncuple, V
r.
RBMARQ...'UE.
~
11es
jeux de dez font en 6 petit nOlllbre, & fe jouent feulement avec deux dez,ou tout au plus avec trois, i , a difFerence des jeux,de cartes qui fe jouent avec un fort ~ nombre de cartes, iI ya bien de l'apparence que cela. vient de ce qU'QD n'a pu caleuler les hazards qui fe troq... vent entre pfufieurs dez.. En efli:t cela ctoit fort difficile. LaTableprccedente,lkcellesqu'on trouveradans les pro. I!ofitions qui fuivent jufqu'a la fil) de cette feconde Partie, aonneront Ii dea-us to utes les lwnieres qu'on pourra fouJWter, ~ {e"iroDt i ceux qui vOlldroient inventer ~es
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s~Jt I.Jt-S hlUX nil DB%. r4i jeux de dez plus variez, & par confequent plus agreable. . que tous ceux qlion a connus jufqu'a, pre{ent. II
•
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P"R O· B L E M E. PllOP.OSITlON XXXI.
:0. ~ ,. ,1IIIIIn", tk r"fflllS 1m ptIIt Iinunn "" t1J1.41" ... 1UImIJ" .. tlJtlnllini ~ tI'IIIC tm de dt~ ,O u s Ies Joueurs de TriClrac f~avent en combiell
""IIi,,"'''
I'.
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de fa~ons .chaque point depuis deux jufqu'a douze. s·amener. Mr Huguens en a dotu~e une Table :pou.ri deux & pour trois du.: mais on ne p~t, aller plu~ loin ; fans methode, car cela devient to~t d'un coup extremement compore. On trouvera en euminant la folll... ·tien dll Probl!me precedent, que celui..ci L~:enferme.. Voici une Table qui determine tou ees' ds dcpnit . deux dez jufqu'a neuf inclufivement. '.
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4, '11 Ya
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P R -O B 1; It. . .1
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.Avt' fiJI Je~ 6 ou 36 011 JS 2.1 8 ou 349 9U J3 S6 126 10 ou 32. , 11 ou 31 2.52. 12. OU 30 456 1 S6 coaps Clui l3 ou 1.9 1161 dOI1DCJlt 14 ou 1.8 1666 IS OU 2.7 11ya 16 ou 1.6' 1.241 1.8 56 11 ou 2.S 3431 18 ou 243906 19 011 23 ', 4-1.2.1 - zo ou 22 HZ, ~'J, I
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2010 4 619 17 1661 2.807 toups qui 4417 donnent 6H8 -5»14-2. UI11 152.61 1831.1
20993 :12961 2.+011
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an! Jt(:.
8 ()D 48 I 8 9 ()1I +7 9 10 ou 46 36 45 120 1,1 ou +5 16 5 , 330 u. ou 404495 13 ou 43 1287 792 1708 1+ ou 41. 2994 ,,361 IS ,911 ~I 63H , tsI4?' 16 ou~ 124 6 5 I04JQ\ ,.~, , 7 ou 39 1. 282 5 'l6808 "t~s qui ' Iiou J8 39303 coups qui 2.S488 donnellt 19 ou 37 11 j a 63999 donnent 20 on 36 366U , 9 8979 2.I·ou JS 145 899 SOdi: 20 5560 l.~OU 34 .~'QS. 277464' ~3.~ 83 .k3'+ 2.4 ou 3235946 9 9~aI3 2-S OIl 3I 1 136a8 4476 69 2.60u 30 125588 53 6 569 61 9569 IB2S8 1.7 ou 2.9 1
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80u+I 9 ou 40 lO ou 39 II ou J8 U ou 31 I3 ou ,,6 1+ 011 JS IS au 3416 ou 3J 11 ou 32 I80u ~I 19 on 30 2.0 ou 39 2.1 ou 21 2.Z, ou 21 1.3 ou 1.6 24 ou Z.S
li8971S 74061 9 • 7 6 7394
9 0U S4 10 OU S~ I I ou 52. 12 ou SI 13 ou SO 14 ou 49 15 OU 4 8 , 16 ou 47 I7 0u 46 18 ou 4S' 19 ou 4420 ou 43 21 ou 4l. 22. ou 4 1 23 ou 40 24- ou 39 25 ou 31 26 ou 37 27 0u 36 28 ou 3S 29 0u 3430 0u 33 .~I 'OU 31.
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S Ull L BS 'BUS: DB D EZ. '4i On trouvera ~ cette Table que onze, par 'exemple • •'amene en deux fa~ns avec deux dez, en 17 ~ons avec . trois dez, en 10+ fa~ons avec: quaue dez, cn 10j ~ons avec cinq dez, &c. • COa.OLLAXB.I.
ON
~ fans avanrage IV defayaD~~ jouer avec: trots dez au paire - dix, & avec cinq dez au pa.re-
dii. fept, & avec {ept dez au paife - vingt-quatre , &: ainfi de fuire, en ajo~t toujours 7. ·Mais il fiut remarquer que Ie Dombre des dez crant· pair , on ne peut £aire de pareil pa~ , puifqu'il y a toujours ull certain point qu'OIl peuramener plutot que tout autre: avecdeu an,c'eft 7; av~c quatre dez, c'ea 1+; avec: fix dea, (:·cft 11, aGc. Cll ajoutant roujours 7. : .
I
RBMA R~7JR.· ,
L faut obferver que les Joueun ODe ctabli tant po~r Ie jeu deoIa RaSe que pourle.PaiTe-dix,oqu'jl n'yauroit de coups bons que ceux OU il fe trC:n:a.'f'el'()it au moins deux dez femhlables. Je ne peux. deviDer:co' qui a occaUonl'lo cette regie qui ne fert qu'a. amufet les Joueurs, puifqu'il y a a chaque coup cinq contre quatre i parier que Ie COllP qu'on va jouer ne fera pas bon s & je croitois qU'on ne. Ceroit pas mal de l'abolir, en etablUlant'que toos les coups fWfentbons·, ou 61'on vent (en lODverfant la regie ordinaire ) que ~eux-Ia feuis fidfent reputes pour bons ou tous les dez mar-queroient di1ferens. points; ainfi on aumit moins de ces coups inuriles: qui ennuyent prefque toujours Be" les Joueurs k les Speaateurs. Au refte avec l'un ou rautre ae ces changemens:~~e..dix kroit ton. jours un jeu egal. La Table pi'tcedente Ie ·prouve dans Ia' fupp06tion que tout coup foit repute, bon. Je ferai voir· dans la fuite que ce jeu feroit encore egal, en fuppofant qu'il D'y edt de coups de bons- que: ceux: au tous res dez feroieDt diflcrens , au bien; fctl~l1'la ie~lc ordiJiaire de ce
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P 1l 0
"44
B L B·M:' B I . jeu, qu'il n'yait de bODS que ceux OU il fe trouve au moiDs
deux del. femblables.
.
A
PROBL&ME. p R.OP O.SIT I ON'
XXXII~
p'.' lIIne1Ur de ,,,,ps Ji/,lfnu """ Jon., tl 'lJ,ItmtJ. . .
0. In.nuk etmUnen ."
.,. tefllti" "".,:, tk Je~
I
•
L faut remarquer, J O, que chaque de ayant llX faces; deux dez produifent necdJ'airement trente - fix: coups, & trois dez·oeux: cens {eize coups, ce qui eft Ie cube de· fix , & quatre del.. douze cens quatre -vingts feize coups, ce qui eD: la quatrieme puilfance de fix. 2.0. ~edans les trente -fix coups que donnent deux del. , iI y en a fix qui. ne peuvent arriver que d'une fa~on, {~avoir les fix dou. blets, & qu'il y en a- qWnze, (~avoir 6 & as, 6 & 2., 6 & h , & 4, 6 &: J; 5 & as,)" &: 2., )" &: 3, 5& 4; +&as, 4 &: 2., 4 & 3 ; 3 &: as ~ 3 & 2. ~ 2. & as, qui chacon peuvent arriver en deux manieres, car celui des deux dezqui a amen': un as, l'autre de crant un fix, peut atre un fix, l'auue etaet un as, & ainU dcS'o autres. II eD: dope certain qu'iI n'y a que viogt &: un coups differens dans deux del., quoique reellerneot il y ait create - fix coups dans deux dez. .. On peut remarquer la marne cliofe pour trois del., par exemple as, as & 1. peut arriver en trois fa~ODs, car ella. . cun des trois dez pourra ctre un deux,. le~deux aurees crane des as ; &: de mcrne as, 2., 3 peut arriver en fix fa.. fioos, car l'UD des troi, del. marquant un as, chacun des deux autres pent !tre ou un deux ou un trois; Ie l'un del trois del. etant UD deux, cha~ des deux a'utres peut· !tre;Q\l UD as ou un trois'; &: enfinl'un. des trois del. ctant W1 trois ;',cbaetln des deus ailtres peuf atre OU un .as au un de~x. On v0itdoDC'que Ii dans les deux cens feize coups poffiblesde trois ~ez on ne vCUt compter as, 2., 3, & a" as. 1. , & chacun des aures de cette efpece., que pour un couP'. c;'eft dire, DC g)mptcr qu~uoc foB·taus ceox qui arrivent
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S U 1l L E SIlt U X
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DE %.
141
.rrivent ou en trois ou en fix fa~ons ; ce nombre de deux cens feize reduit aux feuIs coups qui font difFerens les uns des autres, fera beaucoup moindre : it s'agit· de trouver une methode pour determiner ce nombre de coups difFe. rens Ies uns des autres pour tel nombre de del. que ce foit. En voici une tres generale & tres abregce qui depend de la propofition 30. Soit p = ,: on aura Ie nombre cherchc de coups pour un de p, pour deu~ del. p )( I , pour trois dez c:: #I X , ... 1 X t ... " pour quatre dez ==P)(!..:!:.!)( l..:t..~)( '-+oJ C" .I' " J ...' pour ciliq dez p)( , -: I x ' -;- " 1< ';- , )(' -;... )( &c. en forte que dans deux dez o~ aura vingt ~ un roups differens, . c:inquante.fix dans trOIS dez, cent VlOgt - fIX Clans quaere d~z, deux cens cinquante - deux dans cinq del., quatre cen. foixante&dcuxdansfixdez, fept cens quatre-vingtGouze daDS fept del. , 40uze cens q~tre- vingt. fepc dams huit dez, &c. On pourra remarquer que ces nombres 6,11, 56,116, :if1, 4 61 , 791, u87, & Jes autres fuivans co~pofent la. fixieme bande tranfverfale de la Table., p. 80, continuee adifcrction. ...
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t:
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PROBLEME PRO P 0 SIT ION
X X X I I I.
Pim, jllll 'IJ1Jtrl P 411l ". P /lifo· dix 0- timt Ie dt , P4111 IMi pTtJ/oji tIe Illi donne, tm point J tlJ1JditilJ1J'I'1I tIt 4S '1,liJ Jonn. jirui,,,'" rend" les ,,,,ps "ons kJ~fillle Pie," "mentra lin M tr"" .tie fls trois ·de~ On de1ll41llle Ii Pi,", JO;I a"'pte,. "
l arll.
b
.
A raifon de douter ell que Ii ce quatrieme de qui porte un as, donne a Pierre des cou s fa vorables , qui ans cela eull'ent ete contraires ou indi~rens, il y en a pIuGeurs aum enrre ceux qui etoient indifferens, ou meme favorables aPierre, qui lui deviennent contraires. Pour refoudre certe quellion, il faut confulter laTablede la Propofition 30 pour trois dez. On remarquera, 1°, qu'iJ T
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"P 1l 0 B L B M B S .,
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.
y a quarante -huit coups qui font gagner Pierre indepeft. (Iamment de ce quatrieme de; ,-0. qu'il y en a vingt-quatre qui l'eu1fent fait recommencer, &: qui par Ie moyen de ce nouvel as Ie font gagner. Ces vingt-quatre coups [ont, 6, +, I; 6, 1, I; 6, 3, I; f, +, I; 3°. quill y en a neuf qui Ie font gagner, &: qui fans ce quatrieme de l'eufient fait perdre. Ces neuf coups font ~h +,2.; +, h 3; 6,2.,2.; 4°. qu'll y a crente-neufcoups qui Ie fontper~re indepen.. dammenc du quatrieme de, &: trente-flx qUI Ie font perdre a cau{e de ce nouvel as, & qui fans cela etoient indi£. ferens. Ces trente-flx coups font I, +, 2.; I, '-,3; 1,1, J J I, 2., 6; I, 3, +; 1,3, 1; en forte quill refte [oixante COUP$ indi1lerens, [~avolr 4t 3,2.,; 1,3, 3o; 6,3,2.; 1, +, 2.; 6,4, 2. j ,., ~h 3 s 6,4,3; 6, f, 2.. Il Yauroit done dans ce patti de l'avantage pour Pierre, mais ce nc [eroir que de la ~inquante - deuxieme partie de I'argent mis a la gageure. On peut obferver que fi on ne comptoit un point aq profit d.c Pierre que lor[que l'as , reprefente par Ie quatricme de , [ert a rendre boft un coup qui edt ete nul, Ie patti [eroit de[avantageux a Pierre, Be [on defavantage feroit precucment Ie quadruple de ce qu'eft fon avantage . dans la [uppofition precedence. Ce ProDf8me ell: , comme lion voir, fort facile, Be je ne I'ai mis ici que parcequ'il M'a erc propo[c par un de mes amis, qui M'a dit avoirvd [ouvent jouer but abut [uivant _ Ies conditions qu'on a expliquces dans l'cDoncc du Pro-
blemc4!
.
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lUll LES JEUX DE DEZ.
141
.A
PROBLEME I•
.StIlt J..E JEU DE LA
RAFLE~
.'. . PROPOSITION XXXIV. . .
]li,m jnl6A J". 'l'mdm hf/llI'lJll "" ttrillm ""'" J,. 'U'IntJ.OtI ilnNmJe f"el fer", {fill ""atltg' /Drf. '1,,·;1 "'''II;nt iJ.i".nvJII, Mp.;s ..q j"ftl.·~ J;x.m,it.
,1-""s. It'"" I· Ya
L deUs fortes de jeux de Raile , f~avoir fa premiere Raile, & les trois RaBes comp~ees. Ie vais donner idce qui 'regarde Ia premiere Raffe, Ie I>robI!me fuivan&: {era fur Ies trois RaBes comptees. Voici quelques regles cominunes a ces deux jeux. 1°. On y joue avec trois dez. ~o. Tous les coups ou il De fetrouve pas au moins deux dez femblables font reputes nuls, & on Ies recommence. Aces jeux il n"y a point de primautc J & lorfque deux ou plufieurs Joueurs fe trouvent avoir Ie mcme point, ils recommencent enu"eux pour voir qui gagnera. Void . quelques autres regles qui font particulieres au jeu de Ia premiere RaBe. 1°. Un Joueur dit qu'il a rafle Iorfque les trois dezqu'ila jettes portent tousle mcmepoint.1°. RaRe l"emporte fur ceux qui n"ont que des points, en fortt, par exemple, que celui qui aura raBe gagnera au prejudice de celui qui aura 17 ; hors ce cas ce1ui qui a Ie plus haut point ~gne. 3°. Qne raBe plus haute l'emportc fur une plus batie, par exemple raBe de 4- fur rafle de 3, & raBe de 3 fur raBe de 1. &c. . La fulution de ce Problame s"entendra aifcment par un Exemple. : Je fuppofe done qu'il y ait· trois j('lueurs, Pierre, Paul &: Jacques: Pierre a deja jou.e & a .amene onze. On de.. mande s'H a de l'avantage , & quel ell cet avantage. II faut d'abord conCuIter la propofition 30 pour trouver com bien il y a de coups bons dans trois dez, c'ell: a dire de coups ou il fe trouve au moins deux dez femblables,
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i41
P 1l 0
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.
it y a de ces coups pour amener chaam des differens points en particulier: en[uire il faut employer la methoae analytique , examiner par ordre ce qui peut arriver dans les 'coups de Paul & de Jacques, & ce que les hazards differens de ces deux coups donnent aPierre daefperance, ou de gain, ou de perte. Je trouve qu'il y a trois coups pour amener 17 ou 4, fix coups pour amener 16 ou 5, quaere coups pour amener IJ ou 6, neuf coups pour amener 14 ou 7, 13 ou 8, 10 ou II ~ & enfin [cpt coups pour amener u ou~. Cela pofe, void com me je raifonne. . Lorfque Paul jouera {on coup, Pierre perdra fi Paul ' amene ou 18 ou 17, ou 16 ou 15, ou 14 ou 13, ou 11 ou rafle d'as, de deux & de trois, ce qui fait quarante-deux coups pour perdre. II y a neuf coups pour que Pierre foit but a but avec Paul dans l'attente du coup de Jacques, Be quarante_cinq coups pour que Paul amenant un point quelconque audetrous de onze, Pierre D'ait plus acraindre que Ie coup de Jacques. Lorfque Paul a amenc un point quelconque audelIou$ de onze, Ie fort de Pierre eft d'avoirquaranee. cinq coups pqur gagner tout ce qui eft au jeu, & neuf coups pour partager avec Jacques, {~avoir quand Jacques amene oDze. Si Paul a amene onze, Ie fort de Pierre eft d'avoir quarante-cinq pour partager egalement avec Paul Ie droit fur tout ce qui eft au jeu ; neuf coups pour aToir fon tiers fur I'argent qui eft au jeu; & enfin d'awir quarante-deux coups pour perdre. Si l'on rec.fuit ce rai[onnement felon les regles de l"algebre,oD trouvera que Ie fort cherche de Pierre eft T~!1A, en [uppofant que A exprime la mife de chaque Joueur, ce qui f.iit voir que Pierre a du defavantage lorfque jouant avec deux Joueurs ila onze. Ce defavantage eft tel qu'il pourroit fans perre ni profit donner quarante foIs & une fradion de deniers a un Joueur qui voudroit prendre fa place, fuppofe que A qui defigne la mife de chaqueJoueur exprimc une p.Hlolle, & combien.
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SUll I.ES JBUX DB DBZ. 149 On pourra trouver en eette maniere l'avantage ou Ie . defavanrage de Pierre, que1que foit fon point J & quelque Dombre de Joueurs qu·il yair. En void une Table qui donne l'avantage de Pierre, en fuppofant qu'il ait un point queleonque depuis onze jufqu'a dix.huit, autrement que par une raRe. L'on y fuppofe, eomme ci-de1fus, que Ie jeu foit aux piftolles. . .
TABLE.
-II
1'_ diu 1t111ftr1. ~
pfIIIr tms 1d111f1·
avantage. points. Iiv. Cols, den. liv. CoI5,· den. IS 19 I) 9 l!I&l 9 11 II 8 S 9 17 IS 9 10M \ 10 0 16 u IZ 19 3 n 6 II IS 10 I I 'h 3
p,., 'I."'" 1liliii'i1.
avantage.
.,
14-
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S 6 3 8 1 11 6
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II
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On voit par cette Table qu'entre deux Joueurs il y " de !'avantage a avoir onze, & qu'a trois Joueurs il y a du defavantage. Lorfqu'il y a quatre Joueurs, on n'a de !'avantage que lorfqu'on a au moins treize. Je trouve qu'a douze points il y a fur urie pUloUe une livre douze {ols de pette ou de defavantage , ee qui parott d'abord afi"ez etrange. J'ai trouve des perfonnes d'efprit qui eroyoient voir evidemment que puiCque e'el1: un avantage entre deux Joueurs d'avoir onze points, ondevoit eonclure que ee feroit auffi un avantage tel nombre de Joueurs qu'il y edt. Voici comme ils rajfonnoien~ 11 eft vrai que Pierre jouant lui troifieme, & ayant onz.e points, a moirie moins d'efT iij
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'50 . PIt OB L E M E S perance de gagnrr, que lorfqu'ayant oJlze points, il n'a affaire qu'a un Joueur i mais en re~ompenfe il a Ie double gagneI'. Or Ie produit de 1 x { ctant I , i1 s'enfuit que Pierre ayant onze points, doit avoir de l'avantage, foit que Ie jeu foit entre trois Joueurs, on qu'il foit feulemenr entre deux Joueurs. Us em'ploy~ient mime raifonnement pour prouver que l'avaiuage de celui qui a onze points eft Ie m!me, foit qu'il n'y ait que deux Toueurs ~ foit qu'il 1.. en ait quatre, ou un autre nombre quelconque. Ce raifonnement eft fpecieux, mais il manque en ce que ron fuppofe que l·etperance que Pierre a de gagner eft moitie moilldre lorfque deux Joueurs ont a jouer aprcs lui, que 10rfqu'i11(!'J en a qu'un: ce qui n'eft point vrai, quoique fort vrai - femblable. On ne peut trop chercher l'evidence en cette matiere, on ron trouvera plus qu'en route autre, que les apparences conduifent i l'erreur.
=
a
Ie
4
PRO B L E M Ell.
SUR LE JEU PES TROIS RAFLES 7
COMPTEES. PRO~OSITION
XXXV.
Pi,", illli ltl1ltre Pltlll ~ IJtU /"11 II phis tie ptlints en tfois 'Afln
Itlmpttes, 1·4/ ~ Jire, 111 mis ltlllpS tels '1"'il fe tmnIt da "'(liN." MdJtl JGs les ,,,is M~ II " dmm; tmttl-dtIlX. 0" J,md"a, s'il. lie f ItfId1lt4f,' J & 'Jael eft ttt 4Tlllntlltl.
L
•
'O N pourroit refoudre ce Probl~e par l'analyfe, en examinant par ordre taus les diHerents points qu'on peut amener avec un, deux, trois, quatre, &c. jufqu'a neuf dez, & en rejettant tous ceux Ott dans cha. que trois dez ilk trouveroit trois dez difFerens les uns des autre~ J &: en exprimant tous ces djfFerens hazards par des inconnues qU·OD dcrermineroit {elan les regles ordi.. . naires: mais cette voye feroit d'une longueur cAceffive,
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S" 1
L BS
i l! U X
111
DB' D E Z.
" demanderoit un calcul de plufleurs mois. Le Probl!me de la propolition 30 en fournic une tres abregee. Void uneTable qui contient tous les difFereDs hazaras qui peu... vent arriver, & exprime ravantage de Pierre pour tOOl les diJfercDS points qu'i! aura depais 31. julqu'a, 14-·
TABLE. _____ -diverfesfa~ons points. de les ameBet. avantage. Uvres. fols. S4 ou 9 I· . 18413S , - . 19 S3 ou S20 'OU Sl ou SO ou 49 ou +1 ou 41 ou 4.6 ou 4S ou 44 ou +3 OU
10
S)
11 120 13
4S 1+1
1+
369 16S
IS
1446
16
20+8+ 3969 S86p 1+3J
11 IS 19 20
8a+7~s.-
. -~ P 9. '88++1P, 9 88396).- SJ 182,12.9' - SJ 1S06.IS 9"
' 18~7." -.
876"1 -, -9
IP 19-
•
- 191919 19 . 18
-J7~-J.S
9, - 16 860397 9 14 1460919 11 J]+9J.S~61CSst -9 ~ [:
::
•
_ - - _ . diverl'es fa~. _ _, - -points. de les amener. avantage.· 'livres: {ol,. 42. ou 2.1 1 S01.1 : 7'sa6499 a +1 OU
2.20
191.87'.
1.~886- - .! :-
38 31 36 3S 34 H
Oil
38861 38871 +3]71 +7+S1
32.
OU
ou ou OU ou ou
i.~
2.6
21 28
29 30 31
2.&661$ ,
so607 S2SS1 S3944
1,6533S -
S', - IJ I -' - J .6960S.· ._7 '11 - 607f»3 6 17 S3433 S 6 ' 0 4S2.2.93 5 :z 36]66S 4 I 363601 :z. 19 1604+3 J ICS S3946 0 U.
40 ou 2.3 39 au 2+
12 2.1630
Cette Table eft, comme l'on voit, rangce fur quatre colonnes. La premiere deligne tous les dHferens points que Pie~re peut avoir depuis Deuf ju{qu'a cinquante.. quaue. La feconde e~prime Ie, npmbre de coupi diffe-
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• o
t52. . P 1l 0 B L It 'M E S•. rens que peuvent donnec Ies points qui lui repondentdans la premiere coionne. La troilieme colonne aonne l"avan.. tage de Pierre pour tous les difFerens points qu'i1 peut avoir depuis tn=nte.deux jufqu'a cinquante - quatre, en donnant achacun de ces termes laquaDtit': 17'9+71 pour dcnominateur. La quatrieme colonne donne cet avanrage en hvres & en fols, en {uppo{ant que Ie jeu foit aux pifl:oHes , c'eft a dire, que Pierre ait mis une pill:olle all Jeu. On a ~eglige .Ies deniers. On voit p~ cette Table que I'avantage d"avoir queI• . ques.uns de.s difFcrens points depuis cinquante:.quatre jufqu'a quarant~deux, ~ va qu'a vingt fols de difference; & que celui~'av~~r qu~lques- uns des nombres depuis cinquanre- q~trc J~qu'a quarante. huit., ne va qu'a quelques dt:niers., " .. . On voit au-coDuaire que cette difference change fort conGderablement dans Its nombres qui approchent de trente-deux. On peut decouyrir par Je raifonnement que cela doit !tre a peu pres ainU. II pato1t par la comparaifon de certe Table avec celIe de la Propolition 31 pour neuf dez, qu'on auroit plus d'avantage Ii jO!lant avec trois dez trois coups de fuite.· tow les coqps etoient bons indiHeremment: car dans cecas l"avantage d'un Joueur qui auroit pour point trente· 100767J'" r. . . Q.. fc I .Q,. d eux fc~rolt 77"" ce qw lerolt vmgt ~ un 0 S "quelques deniers cl'avantage ou de profit, Ie jell ctant aux pitl:oUes. ' . 0
PR.OBLEME
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SUIl LE 'BUr D'E:S NO.YAUX. •
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A
PR.OBLEME
sua:
;I.E lEU' DES SAUVAGES"
,
A, P E L.L B
L
J. E U DES N 0 Y AUX•.
E Baron de la HontaD fait mention de ce Teu dans Ie - fecond Tome de fes Voyages de Canaaa, p. .1.11. Voici comme il s'explique: On y joue avec huit noyaux Doirs d'uo- care 8G blancs de I'autr:e : -on jette les noyaux en I'air: alors fi les :noirs· {e trouvent impbrs"celuiquia jett~ les noraux gagne ce''lue l'autre Joueur a mis au jeu : S'ils {e uouvenr-ou tous - Boirs ou tous blancs, il en gagneJe. double; & ho.rsde cesdeux.cas il perd fa miCe.
P R. O'P O'S 11"1 Q'N'
XXXV],
OJ Je1ll4nJe Itljtlll des Jell" 10f1nrs 4 Jel'iu4ntlltl' ,-'11 foppo/anl'iflils meltlnt egtliement II. it.. .
'LA
folution de ce Probleme,depend ~e,la Propor.: tion 30, dont eUe ntefr qu'Uft cas particulier: Ceo 'futon reconno~tra fi I"on imagine'huit del" qlli ayent chacun deux· faces, fur I'tine defquelles foit marque un as, Be fur I'autre un deux. Ce~a f~Pfofe, ~l f~ra c!air q~e Ie Pro. bleme des Noyaux fe redult a Celul-Cl. Determiner com. bien il y a.a parier que jetta~t ces huit dez'au hazard, on'· amenera ou -un as & fept deux, ou trois as & cinq deux" ou -cinq as.& trois deux, ou {ept as & un deux, ou deux as & fix deux, ou quatre as & quatre deux, ou fix as !G' double deux: -ce qui fe trouve- compris dans la formule' . tl'es generale de la· Propofition 30. 0O:·trouvera qu~n Ya, 1°, huit coups {ur-116 pour-arne: Der un noir & fept blancss ,,0. 56 coups pour avoir trois noirs & cinq blaDes; 3°.18 coups pour avoir deux noirs \1;'
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.
P It OB
'. &fixblan~5; 4°.70 coups pour avoirquacre noirs &quatre blancs. II en evide~t qu'on ne peut Ies a~ener ou tous noirs ou tous blanes que d'une fa~on. II fUlt de tout cela. que fi l'argent du jeu eft appellc .A , Ie Cort de celui-qui . jette les noyaux fera
L B M B i·
u 8 )( .d ... & )( .d + t.d ,
Be Ie fort de
~6
.
;;=- {-A • Ainfi ravantage de celui qui iett.e les noyaux efi: .,}, -; .& pour'que Ie jeu fi1t cgal., j) faudroit que cclui
I'autre Joueur [era
u6.d ... a.)( . 2.16
~~
contre l'autre 1[. On peur obferver que 'finegalite de <:e jeune porte QUeon prejudice aces Joueurs de'l'autre monde, qui ne jouane enu'euK que des chofes done la prepriete leur eft commune. doivent etre affez indifferens pour Ie gain Ie pour la ~te. ·Le mepris que ces Peup)es ont pout" <=e que nous ellimons Ie plus, en une efpece de paradoxe 'lu'on ne doitpoint avancer fans preuve dans un-Livre tel que celui-d. La void 'tirie du Baron de la'Hontan: AII.,efI" dit cet ~greable Voyageur, tIS jellx nefe ffl1ll 'I"e. /JIIfI' q,s fejlins, & POll' 'I.elf/lles alltres IJagateUes: ta, i/ follt '1111 lomme ils haipent f a'f,e1lt , ils ne k metten' ja""'_ de ta,s ,arties• .A•./li peat."" II'//tw" '1'" l'inteNft ,,'~ , ia11l4i1,l""fl de J.i1lijio71 ,111t;ewx. . je crois devoir ajouter que 4Ze I'rohleme m'a ete propore par une Dame, qui m'en a donne prefque (lir ler champ une folution fort june" en fe fervant de la Table- . page 80: mais ceete Table De fert ici -que par hazard, car, li les noyaux au lieu d'avoir deu£ faces, en avoient davan.. tage, par exemple quatre, ceete Table ne feroie point {uffifante, Be Ie Probleme feroit bien moins facile que Ie. precedent, ainfi qu'on .pourra Ie remarquer dans Ia Pro... . . . pofition fuivan~. L'on fuppofe que les huit noyaux out chacun quarrefaces, f'javoir une blanche, une noire, une verte & une rouge. ~ierre fera celui qui jette les noyaux, Paul fera I-autre Joueur.
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SUR 1:1 JEU D ltS N'OYAUlr.
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-:1.j/ .
Si Ies Doyaux ayant ete jettes ~u hazard, it [e trouve des quatre couleurs t Paul donnera B a Pierre. S'il D'y . en a que de trois couleurs, Paul lui donnera 3B; &: s'U n'y en a ~ue d'une feule couleur , c'eR: ~ dire, fi les huit noyaux font ou tous blancs ou tous noirs, ou tous verts ou tous rouges, Paul 'lui donnera+B; enfin s'il n''Y en a. .que de deux couleurs , Pierre donnera aPaul 2..,A. Cela pofe, d Jnn4nJe de 'Jul t~tJ tjJ I tII"lImtdll, & 'Jul eft tet tII"41'JIdg', ell folPDjilnt 'lilt A IIit aB Til/lift 'J*,I-
fI"
tD1llJllt.
L'on trouvera par· la. Propofition 30 que It B '= A,. Paul aura de l'avantage ce jeu, mais ce ne feroit que de cene fracoon 16 ~U, ce qui n'eft apeu pres que la foixante &: dixieme partie de.l"unite; & par-confequent afin <)ue_la. condition de Pierre &: de Paul fiUfent egales, il faudrpit que B file ~ ~ a~;.A c'ell: adire que Pierre devroit mettre-:au. jeu onze mil cinq cefts ,cmquante-.deux.-,ontre.: Paul ODze mil trois cens cinquante-neuf.
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P10B L 2.M. I.
1
~ROlSIEME
PARTIE,
Ou {Oil donne IA fllution des cinq Problemtl pr()posls far Motlfteur Huygens. A
PROBLEME
I.
tt R.OP 0 SIT ION XXXVII. pime &- P 4,,1 jOllmt en[emlJlt tllVec ae"x dt~; Ptliti leI
J. jeu. Pierre g4gnerll en II1IInl4nt fix, & P4.1 en 411le1lllnt fipt. Chltcun des Jnx jfJfI"" mx tOtlpS defoit, IorJii"'jJ Itllrll les ae~: cependtmt Pierre q"i CfJ1IJ1nmurlll n'nJ JOIl"" q,,'tIn pOtlr Jill premiere fois. II lilltit dtdJtennilUr It fort de chlllclln de CeS de"x 10t1ell's ~ 0fI fe/perllncr f," ,h.&tI1I de glllgner III p4Ttie. tDnJitiDnJ
.11'"
f
SOL UTI 0 N.
u I S Cl.P' E chaque face de l'un des dez fe peut trduver
fucceffivemenr avec routes les faces de f'autre, iI ell: c air que les deux del. peuvent donner trente.fix coups,
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.
SUll l)"IV1tllS
IS1
RAZAllDS.
8C"que de ces trente-fix coups il y en·a cinq qui donnent: Ie nombre de fix , f~avoir as &: cinq, cinq &: as, deux ~ quatre, quatre 8c deux 8c te~e; 8c fix qui- donnent Ie nombre de fept, f~'foir as &: .fix, fix 8c as, deux &: cinq-, cinq &: deux, trois &: quatre, quatre &: t r o i s . ' PrefentementIoit hommcA rargent du jeu, 11 Ie fort de Pierre loditu'il va. jouer Con coup, ,'fon fort lorfque Paul va jouer fon premier coup, ",.ron fort lorfque Paul va jouer fon fecond (;OUP, &: erifin " fon fort lorfque Ie tour de Pierre revenant il va jouer Ie -premier de fes deux .. . coups.. . On aura 'ces quatre egalites, S == -Ii A + .LS!. .I!!. -.L. 1'1 ..' • d J6~' ~ u ", un'" n 11, ce qUI onne Jf(i.A ... :~ )( 11 x./,.A ..... 1~x; d'ou I'on tire par redutlion &: tranfpofition S ~:!! .A., ce qui exprime !!Hf 4 cp e~rime celm Ie fort de Pierre; &.A - S de Paul. .- .
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I l~on fuppofoit que Pierre joult d'abord un co3p, Be Paul deux coups, enfuite Pierre deux coups 8c Paul trois coups, enfuice Pietl'e.trois coups 8cPaul quatre coups, &: ainu de fuite, Paul jouant toujoUrs un coup de plus que Pierre, Ie fort de Pie·rre feroit e~rimepar une fuite infinie dont il {eroit fort difficile Q'-avoir la fomme, cette fuiteferoit-' A+ IIXl: a )(6 A ... lfa)(~ax6 A+IlJxl:'x6-.A f· I' f' lit JC" X ' " , Ii' x,, )( , A + ". ~ t;9 x II A' Ii' )l 1:' .A
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... A. + A .... &:c. en lappofantS = I, t= 30. J= 3t ,{=J6. 11 eO: aife de remarqutr i'ordft de' 11. fuite, Be de fa continuer arinfini, rexp~ffion-dD fo~ de Paul feroit la quan_ tite qui manque aIa fUKe qui exprimt Ie fort de Pierre . pour valoir A. . . . Si l'on fdppofoit que Pierre & P_ljoua4ienc: avec u~ de, felon l'ordre qU'on viene de marquer, a. qui Ie pre11lier • " ilj
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~8
PiOBL1MaS ameneroit un· Jix.,. on auroit pour exprellion do fort de Pierre une fuite plus fimple, f~avoir 1 -p + l' -I" + p~ -I"" + p'f'_ t' .... p" -:- pl., ... &:c. en fuppofant que t 1":." 1.. ~Olt = , .. It
•
PROBLEME PROPO~ITION
It
XX·XVIII.
7""iI 1f111n1rJ, Pilm, P",!I6- 14('18IS jtlllmt ~tlfnn!Jle, t!J s'"ltDranu 9111 ti'41111'tm "pres f jettfl" "II b,,~rtJ
".'1'1 ."
""""S,
,TJlrI Jo.q, dtmt !mit fortmt ".;,s &'/."'" fmml ,eIRi fJ"i Ie premi" 4.r4 liri ." jllttm "ltmt (,;'gul4. Yo;e;. f o,dn ft/q1l "lJIIet ils. jtlllt1lt: Film lire Ie. premier, P II," 'lire Ie fe,tmJ, ef l a,'1"'S Ie troifibM;. enfoile Piim ,e'om-. &- les Mlms Ii !flifJt1ll·ftlD" Uti, ,,,ng, jtl!1.'J " des p.e.rs '!it 1,4&tll. Zll"S# tie tml!JJ,er" 1- ,b".. '1'" 10lllllr Mit 1/IIttr! .. -jeri, 'I'" Ie P""; foil ;g,,/.; till !Jim, " 'I"; r""imt ". mhM , iJ. s'"gil tie Jitermin" f",ls
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L elE clair que chacun des- To~eurs pour p~rier eg~re~ -ment Be fans defavantage , dOlt mettre au Jeu aral{on du plus ou moins de droit qu'il a fur la partie, ou d'efpe. ranee qu'll a de.gagner. On voit bien, par exclllple, qU'a caufe de l~ primaute, Pierre a plus d'avantage en ce jell que. Paul ,.& Paul plus d'avantage que Jacques, pnifqu'il fe- peut faire que Pierre gagt!e fans que Paul &: Jacques ayent j~uc, &: auffi .que PaUl gagne fans que -Ie tour de Jacques lait v~u. MaiScombien Pierre-a plus d'avantage que Paul, k Paul plus d'avantitge que Jacques, & quelle eft, proportionnellement a· ces diirerens avamages des Joueurs, la difference des avances que chacun doit faire. pour'comparer Ie: !oDd do j~u I .. Ceft' ce qu'il faut cher... •
- ~er..
-
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SUll DIVEllS: HAZAllDS~ 159 !aut rcmarquer d~abord que Ie ~ort d~une pedonne qui pa:giu du prulld:gu un jetmn blanc untre douze dnnc liriit-fontnoirs & quatre font blancs eft d'avoir un contre Peun. Cda lizppnfc" fi l'nn l'argent dn jeu~ S Ie frrt . de Jacques lor[que Pierre va tLrer fon jetton, (on fort Inr1que va tirer Ie lien, "" Ion l'Ort lodque c'efl: lui rirur, on nuru eU:g trnis izgalites S ~ ~f ',.1 = t l\ ' I A --"- 2. S . d'~·~.!'t. l'~n .....C"'~lfu ....f.J!I I -1" ~ -:n 2' ll"lfuu. lfu", li"U;ill.ll"lfu -][,""'" prime Ie [ort de Jacques.
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n1::r;~;;%:~I:)![~~~t:?:g~nf:nIj:C~::n~u Piur%:t
nom. Paul tire le lien, f ion fort lorfqueJacques tire [on jetton. r.. =~ nk: "~lfu =lfu t ~~; lUypO;U,) lfu4.! C=2' rmS = U
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de Pierre. Or Ie fort de Paul ctant d'avoir l'arnent du ieu moins la [omme des junes pretentions de pierre &.? de jacqres on aU:gu de = A - ~:, - /,.it = -l! Alfu Pur rnnfrqunnt fi vrut liue Ie . Pe dix-neuf ccus, il faudra que Pierre en mette neuE" Paul fix, & Jrcques qua)re.
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E lIt OSIT ON
XXXIX.
Pime p4rie '01Itre P41l1 file prt1l41lt, les !nlX jtnnJs ,ftpt jet~ In1S :gfjitre iP:ml P.it pnr n'iJi:g:g d~ 'IlIntre font illautr. ;1 en prenJr4 trois IJillurJ & f";!/" Or de~~ntk ,~ bien Pierre & P 411t tioivt1lt p4,ier POll' 'lilt 14 mift M ,h4'.U /k:#:us mfff7fl,e p:g:potriqn 'lilt: leMrflrl~ SOL UTI 0 N.
I~~~~~~herc~~: d'abord combien de ~o~~:~~, ~~~~: eombien de fois quatre Jrtt01ls peurrnt ctre pri:'4 difFerrm.
P-lt 0
1'0:
B LB M B'!:'
me~t trois:a trois.; multiplier Ie nombre que donne fa COmblOallOn. de huit jettons, pris quatm aqpatte, par Ie· nombre que dQnne Ia combinaifon. de quatre jermns pm trois a trois ; ce produit exprimera tous Ies coups. que. Pierre ~ pour gagner. Si on,divife enfuite ce.. produit par Ie nombr~ qui exprima enlcombien.de fa~ons; difFerentes, {ept jettons. peuv.ent 8ue pris dans. dOllz.e ,. l·expofan~ de c~tte divifiQIl- expl'irner,a., l~. fo(t- ~herche.. OQ tt.ouv~ra par IaTaQI~., page 80,p,rQpolition 10, que huit jettons peuvent etre pris difFeremme.nt foixante Be dix fois <)uatre aquatre; que quaere jmons peuvent etre . pris dilferemment quatre fois. trois a uois , & enfin que Gouze jettons pe~ve~t ~tre pris fept a fept en fept cens. qllatre-.vingt- douze fa~ons difI"erenres. On aura done 7;9><"+ = ~:~ PQur.I~xpreffion du fort de Pierre. Par con. f~quent Ie fort-de- Pal.llJe,ra. ~ ~ ~. Donc -fi l'on -veut que Iefond du jeu foit, uqe:piftoIe, il faudra pour que Ie pari foit ~gal, que Pierre y me,tte trois !ivres dix fois huit deniers, & Paul fix liv:res ne!1f fols. quaere deniers•
.
PR.O B L E M E
IV.
PROPOSITION XL. Pitrrl parie tont" Pa.l fill tirAnt, Ies ,e.x formis, qtltltrl ttlrtes mtrI "1urA1Itt, /fa'U"ir Jix ttlrre4.X, Jix tnrs, tii)t 1itJ1I11& Jix treflel, i!. en tire'" 11111 dl th4q1l1 './ieee. On Jem~1Jde qMJ 'eft " fort til tiS JtIIX ,0.,1171) 0fI U 'i"'iis dfJi'111"t me/tTl a.j", la';11 ig4kmnJI:.
""fir
5'0 L U T·I.O N.,
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N ttouv~ra par la Table qui a fervi ~ la folurlon dl1 Probleme precedent, que quarante cartes peuvent etre pfif~s quatre aquatre en quatfe-vingt-onze mil trois cen,s q~atre-vin~- dix fa~ons dilferentes. Or dans ce nom. bre qw exprime to utes Ies manieres poffibles dont quarante cartes peuveJlt etrC prifes .diftC.remme.nt quatrea quaere,
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s U :R. 'D I V l! :R. S
H A Z All D S.
t~t
H:J eft a dix mil favorables a Pierre. Pour.le voir, il faut ' remarquer que s'i! n'y avoit quedix carreaux &dix c(e\Jts,. il y aUl'S)it cent manieres poffibles de prendre dans ce$ Yingt cartes deux cartes de ces deux efpeces ; car chacun des dix carreaux pourroit etre pris avec l'as de creur, ce: qui fait dix ; ou bien avec]e 6eux, ce qui fait encore dix,. & ainfi de fuite. Chacun des di~ carreaux pourroit done ~tre pris avec chacunde~ .dix creurs" ce qui fair cent., Prerentement 6 aces dix carreaux & a ces db~ ca:urs on ajoute dix trelIes, il eft clair que pour' a1[oir toutes les manieres pollibles de prendre trois cartes de dHrerente' efpece entrO ces trente, i1 faut ~uItiplief par dix les cent manieres dont deux cartes de dlfFerente efpece peuvent ~tre prifes entre vingc,. dODt dix foient des carr.eaux Be. dix !oient des c~urs.. . Pour Ie com prendre prus filcilemenr, one peut; imaginer une carte qui air cent points a Ia place des cent manieFes· differe~tes,dont~eux cartes de dHr~ren~e efpece peuveor 'tre pnfes dans VlDgt cartes, dont dlX fOlent des carreaux " dix foiena: qes creurs. Alors on remarquera fans peine ,.be chacun de ces cent points fe pourra' trouver avec l'as de treRe', ce qui fait cent; cofuite chacun de ces cent points avec Ie deux de treRe, ce qui fera deux cens;, & avec Ie trois, ce qui [e~a trois cens; & enlin Jes cent points fucceffivement avec Jes dix treHes, ce qui [era mil. Cela crant con~u, on obfervera aifement que la quatrieme puilfance de dix, qui eft dix mil , cxprime en combiell de ' manieres ont peut prendre quatre cartes de difference efpece entre quarante, qui [oient dix carreauxJ dlX c<eurs. dix rreRes & dix piques. On aura done Ie fort de Pierre = ~~f~:A, & PU' confequent celui de Paul = :~ .A~
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COIl 0 L L A I R' E.
I l'on demandoit combien il y a a parier que Pauf
tirant treize cartes au hazard dans cinquante-deux" ne tirera pas toute une couleur, on trouveroit qu'i! y ~ aparic: 1,5875.33 898" conere I.. . X ,' '
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1 ~~2.'
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•
.p.R. 0
B 1. E M B ."
Si l'on demandoit ·combien il y a aparief qUe Pierre' tirane dix cartes au hazard entre quarante, f~avoir un un deux ,-un tl'ois, un quatre, un cinq, un fix, un fept , un huit, 'un neuf & un due de carreau , autant de ca:urs:t de piques &de treHes, il rirera une dixaine complete, on uouveroit qu'il y a a parier-xo+857' contre 8+6611'51. j peu pres 1 contr~ ~o~. . .
as,.
•
PR:OBLEME P R. O.p 0 SIT ION
V.. XL L
P;',,,.& PlltJ jfllll1ll4n/Nle 1I."x ~; '/II&IJ.'S, lJIIi 1/1_ liers, timt 'lIi!'tl-lJflat1e jettons mt1e [es mains, & pfJIIJ!irlll. ·lroil de",,,.t41ll de (IfIPS IJflt;1 [era .1le&tjJaifl pOflr 'I" f .
e- .fIIfllre Jes deflx 10llnrs g~1le..
a.
Po;c; les &onJitions i'fl. LorfiJflI Its at,,- 41Mner01lt «1l~, P;ml pmulrll fI1l jettflll ntrlles v;nt,t-'1utrl '1lli fo7/J entfl Its mains dl 111&'1(11s i lorfll., les tk(."mtnNont '111t:ito~, P"flt m prnuir4 fit'; .& Ie p"mit, Jes detlx '18; "flrll pTil aOMr( l'ttons g"flZlT" . {)3 JouarJe ,.,,-,l.t/J Ie fort Je.Sc/.,flX llf1tM'J.
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50 L UTI
0 H.
I
L faut t<emarquer d·abot'd que trois dez donnent deux cens feize coups, puifque deux del. donnent trente-fix coups, avec chacun defquelschaque face du troifieme de peut fe trouver fucceffivement. On obfervera enfuite qu'entre ces deux cens feize coup' i1 y en a vingt-fept qui donnent un jettona Pierre , {~a.voir fix quaere Be as qui arrive en fix fa~ons , fIx trois & deux qui arrive en lix; fa~ons, cinq quatre & deux qui arrive en fix fa~ons, cinq cinq & as qui arrive en trois fa~ons, quatre quatre· trois quia1'rive en trois fa~ons, trois trois cinq qui arrive en trois fa~ons : Et quinze qui donnent un jetton aPaul, {~avoir fix cinq trois qui arrive en fIx fa~ons, cinq cinq quaere qui arrive en tro~ fa~ons , fIX Jix deux qui arrive
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Itt Il ]) I V EllS H A .% All D s. 'l~ trois fa~()n$; quatl'e quatre {IX qui arrive en trois Ia~Q~. Cela pofe, foient nommcs . ~ l'argent du jeu" . 1& Ie fort de Pierre quand Pierre Be Paul n'ont men, . , Ie fort de' Pietr-e quand Pierre a un· jetton Be que Paul n'a rien, . ~ Ie iOn de Pierre quand Pierre a deux. jettons & que Paul n'a rien, " Ie fort de Pierre ql1a.odPierrea trois jetons &que Paul n'a rien, . . I Ie fort de l~ier:~' ql1and Pierre a quatre:jettons.Be que Pauln'a neD', , . ,. leJort de Pierre q~and Pier~ a.cinqjettons Be que Paul n'a rien,. . s Ie fort de Pierre quand~Piene aUx jettons Beque Paul: n'a rien·" . f Ie fort'de Pierre q~and'Pierre a [ept- jettons si qlle Paul u"a rieD,. /! Ie fort de Pier*c· quand 'Pierre a hait 'jettons &: que'Paul~ na nen·~. . • Ie fort de Pierre.quand Pierre a neuf jettons.& q\1C Paul n'a rien', m Ie fort' de Pierre ~and Pierre a-~ jettons- & quePaul. _
m
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n'a. rien~,
Ie f9rt de-Pierre quand Pierre a'onte jettons &. quoJ?aul; Il'a. riell" ,. K Ie fort de Pierre quana.Pierre n'a rien &. Paul UJ1 jet-ton, _ 'j Ie Cort de Pierre.q\land 'Pierre n'a rieA at Paul'aeux jet"~ tODS", . . /.. Ie (ort de Pierte quand Pierre Ji'a rien Be. Paul trois j~. tons, . b Ie fort de Pierre qu.and Pierre n'a nen '&, Yaul q~trc' iettons, -. • g' Ie {orr.. de Pierre qu~n:d Pierre n'a rien &. Paul cinfi jettons., rIe fort de Pierre quand Pierre n'a rien &. Paul fix jettons ,... X.ij, II
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16'4 P'll 0 B L -. ME' . ., Ie tort de Pierre quaDd Pierre D'a rien at Paul fept jeotons, I/,
Ie fort de Pierre quand Pierre n'a rien & Paul huit jec;. tons"
"-tIe fort de Pierre quand Pierre n'a rien & Paul neuf jettons,
,
" Ie fort de Pierre quaad Pierre n~a tien & Paul dix jeeo .
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• i U Jl D I V ]I II S II A Z AIt D s. I~1 fublHtuant pour, &: K leuts vale1irs en It j Be enfin on 2.82. 42.!Jfl 648 I A • • aUra en re'dUl·fant, It 2.8I671671106.LX" ce qw expnme Ie fcort d e p.lerre; &: .nA - It • 2.44t4062.f A "B~7"7710 ce qw• cxprime Ie fort de Paul.
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DltWmin"'gnu,,,k1lll1lt us 14'1111 '1,l"" uil {II,,,, mtrl pt.P'IITS 1""""s 'I"; jfJtl,,,,,J 1111 jltl /gal", tlllfiltl's I"rties.
ProblSme foit Ie moins difticile de tous Q uceux qu'oncepeut [e propo[er fur matiere, les 0 I Q.....U E
c~tte
conditions du jeu etant egaIes pour tous les JOQeuts, il n'a pas laHfe d'exercer long.temps,&a ce qui parottavec plaifir, deux Geometres i11uftres, Mfl Fermat & Pafcal. Celui.ci employoit pour en venir about la methode analytique; cette voye femble Stre ici la plus naturelle & la prus facile, mais elle a Ie defaut d'etre d'une longueur exceffive, car I'on ne, peur trouver la folution des cas un peu compofes qu'on n'air parcouru tous ctux qui Ie font moins, en commen~ant par Ie plus fimple. Ainfi, par exemple, pour trouver par cettC yoye Ie fott de trois . ]oueurs Pierre, .Paul &: Jacques, en fuppofant que Pier~ loue pour un POlDt, Paul Jlour deux, 8£ Jacques pour trOIS, it faudroit examiner queI feroit leur forr, fi Pierre jouant. pour un point, Paul ne jouoit pareilleintilt que pour un point, &: Jacques ou pour un; on pour deux, ou pour trois points§ 2,0. quel feroit leur fort fi Pierre jouant pour deux points, Paul & Jacqu~s jouoient pareillement pour deux points, ce qui retomberoit enfuite dans Ie cas pre.. cedent. La methode ~e M. Fermat eft plus f~a.ante, &:demande plus d'adreffe dans {on application. II De l'a employee que pour determiner les parris entre deux Joueurs. M. Palcal n'a pas cru qU'elle put s'etendre a uil plus grand nombre.
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s" - Lfttrt de M. P~fc"l le ferai voir que la methode de M. Fermat refout Ie
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bleme des parris d'une matiere tres generale. Mais pour Ja faire entendre, & faire connoitre les difficultes qu'y trouvoit M. Pafca.l , je crois ne pouvoir rnieux faire que de rapporter ici fa Lettre du ~+ Aouft 1654 qui ell: toute fur ce fujet. Elle s'adrelfe a M. Fermat, & fe trouve_dans fes Ouvrages pofthumes imprimcs in folio a Touloufe: L"on y verral'explieation de la methode de M. Fermat: pour deux Joueurs, & les doutes de M. Pafeal fur cette· methode lorfqu'on veut l~appliquer aun plus grand nombre.. Je donnerai enfuite la [olution des diffi.cUltes de M. Pa{cal, & j'appliquerai cette methode aquelques Exem~ pIes, qui en feront connoitre l'~verfalite.
Lettrt de MonfieNr P~fc"l AMonjicJlr de Ftrl'fJAf_
MON,SlEUR.,. •
res
Je ne pus VOllS ouvrit ma penree ~ntiere toucnant p.arris de plufieurs Joueurs.1'ordinaire palfe,.& meme j'ai quelque repugnance aIe faire, de penr qu'en ced cette admirable convenance qui ctoit entrenous, & qui m'etoit .fi chere, ne- commence a fo d~entir J. car je crains que nous ne foyons de di1f'«ens ~s fur ee_ fujet. Je VOU5- vellS ouvrir toute~ mes raifons, Be vous me ferez la grace de me redre{fer fi j'erre, ou de m'a~rmir fi j'ai bien rencontre. Je vous Ie demande. tout de bon & fineerement, car je ne ll!e tiendrai pOUI' certain que qaand vaus {ern.de,mon ~tc .. Quand it n'y a qaedeux Joueurs, votre methode qui procede par 16 combinaifons eft tres lUre: mais quand il yen-a trois, je croi.av.oir demonfrration qU'eHe eft mal ~fte; fi· ce .n'e~ ·que vous .y. procediez.de qudqu'~tltre rna: mere. que leo n Clltcs pas l mais la methode. que.J,e ,vous aI.
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~.M.
167 'ttverte, & dont je me fers parrout, ell commune toutes les caDditions imaginabfe5 de routes fortes de partis,. au lieu que celIe des combinaifons (dont je De me fers qu'auK renconrres particulieres ou eIIe ell: plus courre que la generale ) n 'eft bonne qu'en ces feuJes occaGons, & Don pas aUK autres • .It fuis fUr queJ' e me donnerai aentendre, mais il me faudra un peu de ifcours, & v~us un peu de patience. Void comment vous procedcz quand il y a deux Joueurs. . Si deux: Joueurs jouant eD plulieurs parties, fe trou~ent ~n cet etat qu'il manque deux parties au premier, & ~rois·au fec~nd, pour t!ouve.r Ie parti it ~ut, dites-vous, VOIr en comblen de partIes Ie Jeu fera deCide abfolument. II ell aife de fupputer que ce fera en quatre parties, d'ou vous concIuez qu'il faut voir combien quatre parties fe combinent entre deux Joueurs, & voir com bien il y a de combinaifons pour faire gagner Ie premier, & com bien pour Ie feconQ, & partager l'argent fuivant ceere propor.. " " " " I tion. J'eulfe eu peine entendre ce difcours Ii 444" I fi je ne l'euiIe f~u de moi - marne auparavant, " " "" It auffi vous I'aviez ecrit dans cetre penree. Done " a "" I pour voir com bien quarre parties fe combinent entre deux J oueurs, il faut imaginer qu'i1s jouent " " " " I avec un de deux faces (puilqu'ils De font que " " ,," J deux Joueurs ) comme croix & pile, & qu'i1s " " " , , I jettent quatre de ces dez, parcequ'ils jouent en " " " " 2. quatre. parties; &: rnaintenant il faut voir com. "~"" I bien ces dez peuvent avoir d'affietes difFerenres. " " ,," I Cela ell: aife fupputer, ils en peuvent avoir feize J qui ell: Ie fecond aegre de quatre , c'eG dire Ie " " " " 2. quarre; car figurons - nous qu'une des faces ea marquee A, favorable au premier Joueur, & l'aurte B favorable au fecond ~ dODC ces quatre I dez peuvent s'aiIeoir fur une de ces feize affieres. " " ,," 2. Et parcequ'il manque deux parties au premier " " " " 2. Joueur, toutes les faces qui ont 2.A Ie font ga" " !J!J 2. gner; done Ue~ a I ~ pour I~i ; & parcequ'il T FtrflMt.
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l6S Lettrt Je M. P"foal . manque trois parties au feeond, toutes les faces il y •. 3B Ie peuvent faire gagner; done il y en a 5. Done il faut qu'ils partagent la fomme eomme II a5. Voihi votte methode quand il y a deux Joueurs. Sur quoi vous dites que s'il y en a davantage, il De fera pas diffieile' de faire les partis par la m8me methcde. . . Sur eel a , Monueur, yai a vous dire que ee patti pout deux Joueurs fonde fur les eombinaifons, eft tres juGe Be eres bon. Mais que s'il y a plus de deux Joueurs, il ne fera. pas toujours jufte, & je vous dirai la rairOD de ecue difFe... renee. . . Je eommuniquai votre methode nos Meffieurs,. fur quoi MonGeur de Roberval me fit eette objeCl:ion. . ~e e'ella tort que 1'0n prend l'art de faire Ie pard fur Ia fuppoGtion qu'on joue en quatre parties, vu que . quand il manque deux parties a. run & trois a rautre, il D'e~ pas de neeelIi~e que I'on jouequatre .partie~, pouv~n~ arrlver . qu·on n'en louera que deux ou troIS ,. ou a Ia. verIte. pellt- etre quatre. Et ainli qu,1 ne voyoit pas pourquoi on pretendoit de: . faire Ie parti jufte fur une condition feinte qu'on jou~ra quatre parties, vd que la condition naturelle du jeu eft 'Iu'onne jouera plus des que l'un des Joueurs aura gagne, "qu'au, moins fi cela n'ctoit faux, cela n'ctoit pas demontre. De forte qu'll avoit quelque fOUp~OD que nous avions fait un paralogifme. Je lui repondis que je ne me fondois pas tant fur cetre methode aes combinaifons, laquelle v.eritablement n·efl: pas en fon lieu en eerre occaGon, c:omme ful" mon' autre methode univerfelle aqui rien n·e£hape·, & qui porte fa demonftration avec foi, qui trouve Ie m8me parti precifcment que celIe des combinaifons ; ac de plus je lui demontrai la verite du parti entre deux Joueurs par les combinaifons en cetre forte. N'eft.il pas vrai- que fa deux Joueurs fe trouvant en eet etat de l'hypotefequ'il manque deu)f parties a l'un & trois al'autre,conviennentmaintenant de grc a gre qu'on joue quatre parties complctes~ (;'eft a.dire qu'on jene.les.quatre dez
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dez deu~ fa:c~s tow Ja fois; n'ef1:-il pas vrai, dis-je, qu~ s~ls ont dclibere de jouer ~es <Juatre parties" Ie parti dOlt erte tel que no us avons dlt fwvant la mulntude des affietes fa vorabIes a chacul1'. . Il en demeurad'accord', &cela en effet ell: demonf1:r~ tif; mais il nioit que'la meme chofe fubfUUt, en ne s'af1:rei.. gnant pas' a jouer'quatre parties; je'lui dis done ainfi : N'efr-il pas clair que les memes Joueurs n'ctant pas af1:reints.a jouer quatre parties, mais vouIantquitter Ie jell des que run auroit atteint fon' nombre:, peuvent fans Gommage ni avantage's'all:reindre ajouer les quatre par- ' lies entieres, & que cette. convention ne change en aucune rnanierCileur condition. Car fi Ie premier gagne deux premieres parties de quatre, Be qu'ainfi il ait gagne, refit. Tera.t'il de'jouer encore'deuxparties, vu que s'illes gagne i). n'a pas mieux gagne, & s'il res pecd il n'a pas moins ga:. gnb, car .ces deux-que l'autre a gagne ne lui fuffifent pas ~ puifqu'il ~ui en faut trois, & ainu il n'y a pas a1fez. de quatre' parties pour. faire qu'ils puilfent tous· deux atteindre Ie nombre qui leur manque. Certainemenr il ell:" aife de conliderer' quoit ell: ablOlu. mont egal & indifferent a run & al"autre de jouer en Ia condition naturelle a leur jeu, qui eft de flnir des qU'un aura fon compte, ou de jouer Ies ~uatre.parties ent;ieres; done puifque ces deux conditions. font cgaies &. indifferenres, Ie parti :doit eere tour pareH en l'une & en l'autre:: or·n ell: jufre quand ils font obligez. de jE>uer quatre parties, comme je l'ai montre. Done il ell: jufre auffien l'autre cas. Voilaconunent je: It dernontrai~ & u 'yous y prenez. game, ceete demonfrra. tion ell:·fondee fur.re-galire des deux conditions vraye it reinre'a, l'egard de deux Jouenrs, & qu'en l'une&:'en l'all• tre un marne gagnera roujours, & fi-l'un'gagne'ou perd em rune, il gagnera ou perdra en l'aurre, & jamais deux nTauront leur compte~ Suivons la meme pointe pour trois· Joueurs. Et pofons qu'il manque.une partie au premier , qu'it'en manque deux au.fecond,.& deux, au troilieme : pour. faire.
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,,0Ltttre Je M. Pafcal Ie parti {wvtnt la merne methode des combinaifol'ls, it faut chercher d'abord en com bien de parties Ie jeu. fera. decide , comme nous avons fait quana il y avoit deux Joueurs ; ce [era en 3, car iis ne f~auroient jouer trois par. ties fans que la deciuon foit arrivCe neceffairement. 11 faut voir maintenant combien trois parties [e com. binent entre' trois Joueurs, '" combien il y en'a de favo.. rabIes a l'un, combien a I'autre, & combien ,au dernier, & fuivant cetteproportion dillribuer I'argent de meme que l'on a fait en l'hypotefe de deux Joueurs. Pour voir combien il y a de eombinaifons en tout, ceIa eft aife, c-Cfi: la troifieme puUfance de 3, c~eft a dire fOll cube ~7. Car fi on jette trois del. a la Eois ( puifqu'il faut jouer trois eatties ) qui ayent chacun trois faces, puifqu'il y a trois Joueurs, rune marquee A favorable au premier 1 I'autre B pour Ie fecond, l'autre C (»our Ie troiuemc. Il eft manifefte que ces trois del. Jettez enfemble peu.. vent s'alfeoir fur ~ 7 affietes differentes, f~avoir, /uta 44" I •
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tcc 3 3 3 Or il ne manque qu'une partie au premier, done touters Ies affietes o~ il y a un A font pour lui , done il y en a dix.. 4t' I
.neuf. . II manque deux parties au recond, done toutes Ies ~ • tes il y a 1B font pour lui, done il y en a fept. II manque deux parties autroificme, done toutes les alIietes ou il y a 1C font pour lui, done il y en a [ept. Si de Ia on concluoit qu'il faudroit donner a .chacun :{uivant la proportion de .", .,." on fe tromperoit trol
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J M.
Fermat.
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lfolRerement, Ie je n'ai garde de Cloire que vous Ie faffiez ainu. Car i1 y a quelques faces favorabIes au premier & au fecond tout enfemble eomme ABBJ car Ie premier y trouve unA qu'il Iuifaut; Be Ie fecond 1B qui lui manquent,. & ainfi ACC eft pour Ie premier ~ Ie troifieme. DODC il ne faut pas compter ces faces qui font commu.. lies a. deux comine valane la fomme entiere a chaeun" mais feulement la moitiC. Car s'il arrivoit I'affie.te Ace, Ie premier" Ie troiGeme auroient memc droit a la fomme ,. ayaDt £hac,u.n leur' co~pte; d~nc ils partageroient l·arge?t par la mottie.;, malS s'il arnve raaIete AAB, Ie premIcr gagne feul, if faut done faire la. fuppofition· ainfi :' II y a treize affietes qui. donnent l'entier au premier" "fix qui'luidonnent la mOitie,,'&'huit'qui nc lui valen~ rien. Done fi la fomme' enriere ell: une pifrQle '" ' n ya treize fa€es qui lui valent chacune une piftole; 11 y a fix faces qui-lui valent ehacune t p~re. Et huit qui ne valent rien. Done en' eas de' parti il fane multipler 13 par une'pifl:ole', qui font' I} (; par une aemi, qui font l 8 par zero, qui font 0 Somme 17 Somme 16 Et'divifer la- fomme des vaIeurs 1-6· par la famme des-; affietes 1 7 qu~ fait la fradion !; Y' qui ell ce qui appartientO au premier en cas de' partis, f~avoir feize piftoles de vingt.· fe t. PLe' parti du fccond Be du troifieme JoueUr fc trouvera. ae meme. II y a. -4 affietes qui lui valent une piftole,muli:iplies 4II y a 3 affietes qui'lui valent t piftole, multiplies I-J,. ,Et 2.0 affietes qui ne,lui valent rien, 0 Somme11. Somme .Done il appartient au fecond Joueur dnq· piftoles, &. t Jiu vingt-fept, Be autant all troifieme, & ces trois fom.. Y jj
Sr.,
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-'7t.: Lettrt de M. Pafoal roes 5 t, 5 t & 16 etant jointes, font les vingr -lept; Voila, ce me femble, de queHe maniere il faudroit faire les partis par les combinaifons, fuivant votre methode, it ce n'eft que vous ayez quelqu'autre chofe fur ce fujet que je ne pujs~avoir.. Mais Ii je ne me trompe ce parti eft mal julle. La. ratfon en ell: qu'on fuppofe une chofe faune, qui eO: qu'on joue en trois parties infailliblement, au lieu que la. condition nature lIe de ce jeu Ia ell: qu'on ne joue que jufqu'a ce qu'un des Joueurs ait atteint Ie nombre de parties qui lui manque, auquel cas Ie jeu ceffe. Ce n'ea fas qu'il ne puHre arriver ,qu'on joue trois parties, mais i peut ,.rriver ,auffiqu'on n'en jouera qU'une 011 deux, ,Be rien de n~ce£Iite. Mais d-'ou vient, dica- ton, qU'i1 n~eftpas permis de faire 'en cette rencontre la meme fuppolition feinte que quand il yavoit aeux JoueurS? En void k raifon. Dans la condition veritable de ces trois Joueurs il n·y cn a. qu'un qui peut gagner: car la condition eft que des qu'un a gagnc, Ie jeu ceffe ; mais en la condition feinte, deux peuvent atCeind.re Ie nombre de leurs parties: {~a voir fi Ie premier en gagne une qui lui manque, & un des autres d~ux qU,i lui manquent, €ar ils 'n'auront joue que trois parties, ~u lieu que quand i1 n·y avoit que deux Joueurs, la condition feinre & la veritable convenoienc pour ies a.vantages des Joueurs en tout" & c'eft ce qui met !'extrame difFere.nce entre l~ condition feinte Be la veri~able.
Q.ue Hies Joueurs fe rrouvant en l'etat de l'hypothefe, e'eft dire, 5'H manque une partie au premier, & deux au fecond, & deux au rroifieme, veulent maintenant de gee gre,& conviennent de cette condition qu'on jouera trois parties completes" & que ceux qui auront atteint Ie nom.. _ tire qui leur manque prendl"ont la {amme entiere ( s'ils fe trouvent feuls qui l"ayent atteint) ou s'il fe trouve que deux l·ayent attC!int ~ qu'ils la partageront cgalement.
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• d M. FermM. . 17J En ee cas Ie parti fe doit faire comme je viens de Ie don. ner, que Ie premier ait 16, Ie fecond 5 f, Ie troiueme S{de vingt-fept pill:oles, &:.cela.porte fa dcmonfi:ration de foi.plcme, en fuppofant cette condition ainu. Mais s'ils jouent ftmplement a condition nOD pas qu'on joue necelI'airerr.ent trois parries, mais feulement jufqu'a ce que I·un d'entre eux ait atteint fes parties, &: qu'alors Ie jeu ceife fans donner moyen un autre d'y arriver, lors il appartient au premier dix-fept pinoles , au fecond cinq, au troiueme cinq de vingt - fept. Et eeIa fe trouve par ma methode generale, qui deter. mine auffi qu'en la condition precedente il en faut 16 au premier, 5 t au fecond, &: 5i au troilicme, fans fe krvir des combinaifons, car elIe va par-~out feule &: fans obll:a•
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Voila, Monueur, mes penfees fur ce fujet , fur lequel je ·n'ai d'aurre avantage fur vous que celui d'y avoir beaucoup plus medite. Mais c'ell: peu de chofe avorre egard, puifque vos premieres vues loot plus penetrantes que Ia. longueur d~ mes efforts. Je ne IaHre pas de vous ouvrir mes raifons pour en attendre Ie jugement de vous. . Je croi vous avoir fait eonnoitre par que la methode des combinaifons eft bonne entre deux Joueurs par acci. dent, comme elle rell: auffi quelquefois entre troisJoueurs, com me quand il manque une partie arun, une aI'autre, &: deux a}'autre, parcequ'en ce cas Ie nombre des parties dans lefquelIesie jeu fera acheve ne fuffit pas pour en faire faire gagner deux; mais elle n'ell: pas general~, &: n'ell: bonne ~eneralement qu'au cas feu.Jement qu·on foit all:reint a jouer ~n certain nombre de parties exad:ement. De forre que comme vous n'aviez pas ma methode quand vous m'avez propofe Ie parti de pluueurs Joueurs, mais feulement celIe des combinaifons, Je. crains que nous foyons de fentimens difFerens fur ce fujet; jevous fupplie de me manderde queUe forte vous ptocedez. en la reefier. che de ce partie Y iij
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PRO B L E ME S
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Je recevrai votre reponfe avec refped:. Sc avec joye. quand meme votre fenrimenr me (eroit contraire. Je 1itis, &c. , Le refped: que· nOllS a'lODS pour la reputation & Eour
Ja memoire de M. Pa{cal, ne noos permet pas de Faire remarquer ici en detail routes les fautes de rai{onnement qui font dans cette Lerrre; il nous fuffira d"averrir que la t:aufe de fon erreur eO: de n'avoir point d"egard aux divers arrangemens des lertres. Pour prouver que des vingt-fept affietes difFerentes que peuvent avoirles trois dez, il y en a dix - fept qui font gagner Pierre, & cinq qui font gagner chacun des deux autres Joueurs qui il manque deux points; void comme i1 me femble qu'on devroit raifonner. . Les trois Joueurs s"obligent a jouer trois parties, mais cerre condition que Ii Pierre qui il ne manque qu''un point, Ie gagne avant que l~un ou l'autre des autres.·. Joueurs ait gagne deux- f,0ints, i1 gagnera la fartie ; &: qu'il la perdra fi I"un ou 'autre Joueur a qui i manque deux points, peut les prendre avant que Pierre' en ait pri$., un. Hell: evident que certe fuppofltioll revient predfernent.a celIe du Probleme. Or felon cetre fuppoficion on. trouvera que des vmgt-{ept affietc5 des trois dez iI y en a dix-feprqui feront gagner Pierre, cinq qui feront gagner Paul, & cinq qui feiODt gagner Jacques, ainfiqu'il paroit par la Table fuivante. . .
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R B M.A R ~'U B I. A regIe generale, e'eR: d'examiner en combien de , coups au plus Ie jeu doit necefi'airement finir; prendre autant de (fez qu'il y a de ces coups, & donner a cos dez autant de faces qu'll y a de Joueurs.; enfuite il ne s'agit plus que de determiner entre to utes Ies difpofitions poffibfes de ces dez, queUes font ceUes qui font avantageufes & contraires a chacun des Joueurs, ce que l'on trouvera toujours aifement par Ie Probleme de Ia Propo. fition 30. 'Ainli, par exemple, ~D fuppofant que Pierre Joue pour un point, Paul pour deux, & Jacques pour trois, 1i ron veut f<javoir Ie fort ·de chacun de tes trois Joueurs, il faudra pour Ie decouvrir imaginer quatre dez marques de trois points chacun , par exemple d'uD I , d'un ~ & d'un 3 ; clitrcher enfuite par nos regles des com.. binaifons en combien de fa<jons if fe peut trouver un as qui precede ou deux 2., ou trois 3, & en com bien de fa<jons deux 1 ou trois 3 peuvent preceder les as, ce que donncra la Table fuivante.
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TABLE. Pie",_ Pa.l. 14&'11111• t, I, I, I
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~6 PaO~LEMEr D'ou il paro~t que fur quatre - vingt - un coups il y en a c:inquante - fept pour Pierre, dix -huit pour Paul, & fix pour Jacques. On peut refoudre Ie Probl8me precedent drune rnamere prus abregee, en faifant-Ie raifonnement qui fuir. Je remarque que ron ne feroit tort a aucun de ces Joueurs, Ii on les obligeoit de JODer trois coups aces conditions. 1°. Que fi- Pierre gagnoit un coup avant que Paul en eut gagne deux, il [eruit fenfe avoir gagne la Partie. 1°. ~e fi Paul gagnoit deux coups avant que Pierre en eut gagne un, Paul gagneroit'. 3". ~e Jacques auroit gagne s'il gagnoit les trois coups. 4°. ~e fi des trois coups Paul en gagnoit un, & Jacques deux, les Joueurs fe' fepareroient en retirant chacun leur mife. Pour calculer rout ceci facilement, on peut, comme "ci - devant, imaginer trois dez qui a yent chacun trofs faces, que fur l"une foit un as, fur l'autre un 2.,.. fUI la trDi. fietne un 3, & fuppofer que fur les vingt-fept coups qu'an peur amener avec ces trois dez, tous ceux ou il Te trouvera un as qui precede deux 2; feront favorables aPierre" & que tous ceux OU deux 1 precederont les as feront pour Paul. On trouvera par Ia PropofitiDn 30 qu'il y a di~ huit coup' qui donneBt .A a Pierre, en fUPBofant que' A cxprime tout l'argent dU1jeu, f~avoir I, I~ I, qui arrive en unefeule fa'$on; I, I, 1; 1,1-,3- j 1,,3,hchacunen'troisfa'S0ns;, 1,1,3, qui arrive en fixfa'jons; & cesdeu~-ci 1,1,1; 1,1,1. ~'il Yen a- cinq favoraDles aPaul, (~avoir 1-, 2., r ; 2., 1-, 1, &: 1,1,3- en trois fa~ons; & un feul coup qui donne.A i Jacques. On trouvera enlin qu'i! ya trois coups qui don~ llCnt fA chacun desJoueurs, f'Savoir 1, }, 3. II eft aife de'remarquerquels font les cas ou ron peut _ abreger en, cette forte la methode generale~ .
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D IV: E It S
SUR.
1.77
tombe dans un auffi grand detail que celIe qui procede par l'Analyfe, calf un marne coup de da pouvant atre favorable a difFerens Joueurs, il paroit qU'on ne peut f.:difpenfer de .confidere'r ce que foumit ,haque different coup de del. en parricu!ier, & eet examen ne peut etre que fort long, meme avec la formule de Ia Propofition )0•. Mais la methode de M. Fermat outre plulieurs avantages. qu'elJe a fur celIe de M. Pafcal, a celui de refoudre' d'ul'le maniere infiniment courte & fimple Ie Problcme en queftion,Iorfqu'il ne s~agit que de deux Joueurs. Void la Fegle. . Soit Pierre celui des deux Joueur-s aqui il manque Ie mains de points; foit p Ie nom ore des points qui manquent aFierre pour gagner la. partie ; 'I J Ie nombre de ceux qui. ' masqueftt a.'Paul; foit encore'p .... IJ - 1 = m. Le fort de Pierre fera exprimc p.ar une fraddon dont Ie denominateur fera Ie nombre 2. eleve a l'expofant m, & dont Ie numerat.ur fera compofe d'autant de termes de ceere fuite', 1 + m + m x ", -; I + m x m.2o r X "'7 20 + m x . " ' - 1 X 111-20 x "'-1 + m ",'-1 "'-20 X "'-J x "'-4· ~
-r-"
x ~ x -y-
--.-
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... Bee. que 'I exprime d'unitCs. Le fort de Paul fera Ie: complement' de l'unite~
£XE
~rp
LE S.
po., tin'l poinls, & PdtJ PfIIl'jix-poillls :le for~ Pl,",;o., de Pierre ell 319 contre 1'3. . !
Pieri, jo.t pottf'lll4lre points, & PII8/pm fix points: Ie de Pierre ell: 191 contre 6f, ce qui eft un' peu moin'!
~rt 'l~e
3 contre I.
.
.
Pie", jOllt po., ",is poims, t!i- Pd.1 POll'fix points: Ie fort' de Pierre eft 1-19' contre"3 7, ccqui eft un peu mom's que ~ £onrre r.
'(JII'
Pierre jo.e anx p,ints , & Pit.1 p,., fix points: Ie rortr de Pierre eft 15 contre I. ' Pie"e j(Jlle ,oti' .n point, & P".J.Pflll' fix points: Ie for~ tI~ Pierre eft 63:contre h ,
1-
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PllOBLB ME f.
R1!MARfJ...VB
IIL.
S
I 1'011 rouoit en un certain nombre de parties toujoutl eo rabatant, e'ell: adire, en forte que Pierre ayant pat exemrle trois parties de fix, &' v.enaot a en perdre une, Pau ne marquit rien, & demarquit feulemeDt une partie aPierre, & ainfi du rene; Ies avantages de Pierre feroient dHferens & beaucoup moindres qU'OD De les a trouves dans la fuppofition' precedente. ' Void une Table que je m'amufai a faire il y a quel.. que temps en voyant jouer une partie de Piquet a1fez. ex· traordinaire. C'etoit au grand cent, pour gagner il falloit avoir fix parties, & I'on jouoit toujours en rabatant de la maniere qu'on vient de J'expliquer. II femble que cette condition dut rendre Ie jeu intenninable. 11 arriva en efl'et que Ies Joueurs apres avoir joue trente ou quarante parties, I'un ou l'autre approchant de temps en t~mps du but fans pouvoir y atteindre) prirent Ie parti d'y renODeer) & de fe feparer fans la finir : mais comme l'un des Joueurs avoit trois points ou trois parties marquees devant lui, on convint qu'il etoit june de repartir I'argent du jeu ( c'etoit huit louis ~ qui faifoient alors u8 liv.) Ie plus egalement qu'u fe pourroit. Je trouvai que Ie Joueur qui avoit trois jettons devoit retirer precifement ~6Iiv. & l'autre Joueur 32. livres. Dans la fuppolition de la Remarque precedente il en auroit dO. retirer 109liv. 10 fols, & I'autre IS liv.lo fois, car ces deux nombres font eotr'eux comme 2.1~ & 37, Be leur fonune ell u8. '
TABLE. "Pit", " '"' I s;1II. (00 fort ell: 7 contre, f. Pi,rr,,, titll" ,sints. fon fort ell: 2. contre I. Pierre" mis Isi1lls J fon fort ell: 3 contre I. , Pi;fre " '11l"'re POil1tS. fon fort ell: J contre I. Pi,", "&i1lt[ /oints. fOD fort eft II contre I.
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A
PROBLEME. PRO P 0 SI T ION X L I I I. ,Pi",t ;D1I4tJ1 'fI1ltre PIIIII" perdll 1I11t tt1l";1Ie fl1ll1lU tl'''gmt, 0- n'II!"lIt ,.r p"J,r file'" mDitil dt ttttt {(I1/I1/Ie, illtll prmtl tI"'fllitter f lI"t" moil;; I. II. """in 1lIJmiJ" ae . 14ytmens ;g"lIx. PllfJl, (D".ftllt, J (fI1laili(JlI flit Pime Ja~J tes I"Yt1llms y (omprenar" 1111 &erta;" illtereft Jo1l1 ;Is ,tJ1J'lJiI1l1ll1lt. On Jem"nJe ae (.m!Jim{erotJI ttS p"ytml1lS.
Sa
O I T Y Ie payement que Pierre doit faire tous les ans Paul, f Ie nombre qui exprime fur queUe fomme Pierre prend une unite d'inrerefr par annee, .A 1a fomme qui relle a payer; foit aum, pour abreger', p t! 1 •
=
=
.A
. On aura J I' ... 1'1 .p PJ ... 1+ .pI'S ... leI:. II faut remarquer que Ie denominateur fera compofe 'd'aurant de termes que Pierre aura pris d'annces pour achever de payer fa derre. . Bxt1IIple. Si l'on fuppofe que Pierre doive dix mille francs Paul,.& qu'il s'oblige de les lui payer en quarre paye-mens cgaux d'annee en annee , en y comprenant ['interell de dnq pour cent; on rrouvera, en fubllituant dam ceete formule pour .A & 1 leurs valeurs , que chaque payeA d. e 2. 810 IiV. 1 f.·4 d . U1U. . . crre ment d Olt 34481' Ce Probl!me, qui eft fort facile pour des Geomerres, feroit apparemment fort embaraHant pour des Arithme'ticiens, & comme il e~ d'un atfez grand ufage, rai juge a propos de Ie mettre ici. Je l'ai cherche al'occauon d'une quellion qui me fut faire il y a quelque temps par un de 'mes amis. La void. II vouloit acheter une Terre dont Ie principal revena 'croie en bois, il yen avoir cent arpens en coupe reglee, & . ils fe coupoicnt tous les dix-fept ansI 11 y avoit de vieux chenes parmi les taillis. Un M.archand lui pr:opofoit de lui donner quatre - vingt livres de l·arpent pendant Ies Z ij
a
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P It 9 B L E M B 5
,So
dix .fept annees en coupant Ies chanes avec Ies taillis. De plus, Ie Vendeur etoit certain par l'eftimation des Connoilfeurs, que Ies grands chenes erant coupes, Ie taillis, qui ali bout des dix.fept ans feroit revenu plus beau, vaudroit quarante livres l'arpent. Sur cet expofe il me demanda a combien il pouvoit evaluer Ia proprietc de ces bois, en eflimant cette acquifition fur Ie pied du denier 10. Te trouvai par la formule precedente, qu'elle {eroit eva1uee, felon fa june valeur, a plus de cent vingtcinq mille livres , & a moins de cent vingt - dnq Illille ant livres. . A
P R·O B L E ME. PRO P 0 5 I T ION
X L I V.
LI nD1!lZre '1t1i Ixpfime /e raport tI. fort u Pie", • tel.i 4, Patlt, en fopprJjil7lt 'I.e Pierre parie contre Pa.l de fairl ,certainl chflft rill premier CDllP, hant donne, 0" Jem411U .
,b0ft P,oP'};'!.
S
IJ'on exprime pat" ·1'iaconnuc Jt fon fort lorfqu·a.yant manque a gagner du premier coup il va rejouer fon lecpnd coup, &: y fon (ort [ors qU'ayant manque agagner dlol fecond coup il va rejouer fon troiGeme coup, & ~ fOAl {O.1.t lors ~ll'ayant manque de gagn~r afon troilieme coup il ~n ya ,rejo~r un
.?l'. !+~.,. = ~ ... ~t~
t= ~ +~,
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&c. ~ (ubfti~
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S UIl' n rv III S' 1I.! i All DS. ll", '_''''''''''' toutes.ees qllentites nn auen Ie {oet exPrime par' cette fuit~ iIifinie S = ".l ... 1..L """ ... 1ft[ + '!~
",. ....
1f,s U; eioutaes eutanr de' m' c:ette (llite qu'il en (era necell"aire pour que S foit egale .......
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~!ere bu~nn~~~e;: eetant ct:r~~ entrep::~:~~¥'2pl!~ de termes de cette [uire pour trouver S = i, ou un pell pies pra:~sPode Port lizREple, n'eft psdque per dif-
•
ferente d~ ceIle qU'employe M. H~gens po~r det~rminer en enmblen on pailer but nut d'nz&'kener avee deux ; melS dfes touses deux in .. convenient qu'elles font abfolument impratiCables lorCque ctans nn , m 'I en de grnnds. Pnr . fi cheredoit. d~
~~r!~!~~r~l!::~~oit P~f~~e::~f ;!c'le~1~~ ~v:'ilt:~:d~:~~
ajoeter plm; mille termer cesse fuite , Pans lnqeelle p etant 313, 'I feroit 57 8633, & m 57 895 6 ,,& qu·un travail de ennees If.ffirois peine pour lITette enm'£yeufe fuppmation. . ' Voici la maniere d'eviter une li grande ·longueur de fobferve, 1° , que la fomme de cette {uite innnie eA: toujours cgale a l'unite, puifqu·il eft· clair que s'H y a queklue pndidilite gaglITe du premier , il y. a certitude qu'il gagnera ayant un nombre innni de a de (uice, Je fnbftitue dnnc cette "'':.f nlace I'unirr Be fais diviu«m Ia numerique, il me vient pour quotient Ia fradion ", 1. -+-!..!i1. fI1#1.I LUlU,.? ..
a
.5
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... ..... ..... Je en fernnd qu~en faifant cette diviuon il y a toujours un rel1:e qui pour la preli'Riiere eft..... poue 1econre +t?ffl potU"
1a. trojueme ~~', pour.la quatrieme if.-) en forte que ~::Z;: Z iii _
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:d'ou i1efr clair que Ie nombre des rennes de b. fuire que J'on veut ajouter en une fomme ctant h , on aura tous ces ,
Hb
tennes enfemble egaux a2- _ ",L • "'-f a-I De Iel je tire certe regIe, que pour trouver Ie nombre ·de coups qui l'endroit Ie fort de Pierre Cgal a celui de ,~
,
Paul, iI faut retrancher de l'unite la quantitc -;}l , dcos a-!
laquelle h ait une tellc valeu,r quecette fraaioD
1i:-.. "p
",-!
foit~'
ou moindre que f; & par confequcnt il faut que mlt ... ~ _ II )( III It foit plus grand que 2. )( III )( 'I fa - 'I It ... r ; ou, divi(ant tout par III - 'I, mb plus grand que 2.)( fit. Ce qui Jervira de formale. 'p I\. JS.M I II\.' Ex E M P L E'. O r T {uppo{e que I'on cherche en, combien de coups Pierre pent parler d'amener fIX avec un de, il faudra fubllituer " 5, I ,POUl' les lettres III, 'I, P. en forte qu'oD ~ . ll aura I -=..Lb = -L- - mit , Be }'on connoitra fans , "'-f ·-f .peine que h erant~., c'ell el dire , Pierre fe propofant d'amener fix en quarre coups, il y aura de ravantage
S
. car I - 6+ f· =
pOUl' 1Ul,
~
u,,; ar cette frALl.·-f!L ~10D 11'6de la quantite I ~;! qui exprimera I -
ell plus petite que t l'avantage de Pierre en pariant d'amener un fix' avec UD de ,dans quaere coups. L·OD connottra aulli qU'en {ublHtuant 3 pour b, c'eft dire, que Pierre fe propofanr
a
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j
S
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.tamener un fix en trois coups, il y auroit pour lui du defavanlage que defaaaDtaga faroit II cIaia nae l'llIPofanl doir: dOnllant grand que 'I eft plus g;and par r~port ap J en forte que, par elaHzple etanl 5" par Innfequanl m , h dait ctre' 4, & fJ. etant -..;. 35, h Poit ctre .;;;;;;;; 1j.
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Ie forr de p~.~~.o::~ ~~~~, on a~ra- m=~ 913!!.~ 81 39 fUno'h2fe h 6, "rOUV=2'h2 Ie l'h2p_ rithme du nombre 9 139 = 3 • 9608987, ce qui ~tant muh:iplre par 6 donne 2.3.765392.2. logarithme du nom. Pre 9 elenB BI~ pnHBnnce Je lopalithma nombre 8139' = 3 • 9,10f71'()~ ce qui ctant multjpIie par 6 Honna . +6880 1 60 du. 8 8' elea~ Ja fixiBme puitBBnce. Si I'on cherche les nombres qUi correfpondent aces 11>garilPmes tromBata ,HT61885"190988"1978 61 granP <}pe 2. "
OIT
f/
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5813749n69087190?9303U~
Ainit Pierra parianl tonua "Iaul .. quatre carret ~ dilfatante
tireT haaand un Jal compofe
~s~:r~~~r!~s v~~:~~a Prof~~It~~~:o ) fO~(~~~~E;il reB2.9 1 9-4 499 08 45-5 8 5 3 1 94 0" ~90G874 84543 6 4549 6 f161r 5t H en Pnq , C(HREme ~ 80 3 6 55999 "735.1 0 5 0 0 0 eft a. );5715377300-090484;.699.
R B MAR
Po
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!l.. V' e.
Ie (a(nnnement, iI itnlara'enpvertiB 5a . formule mT = 1 X f/ en une autre ou h foit feule dans un des membl'es de l'egalit6, cc qu.i fo peut en empfoyanc It
..'
114 P 1l 0 B L E 14 K S Ie cal cui des exponcntiels. Car je trouve qu·elle Ie chaDge en ceue autre h = log. "':"~og. 'I ' & cette formule OU h ex.
prime Ie nombre de coups que ron cherche, donnera d'abord la folution du Probl~me propofe. Par exemple , li I'on veat f~avoir en combien de coups on peut parier but d'amener fonnes avec deux dez ~ . on trouvera en fubllituant pour m, }6, & pour 'I, 3S t h == IJJ6102.S 'OloJOO l~ 1-~ ce qui fait voir -Jf44~ao T '446" , qu'OD rentreprendroic aveC .avaDtage en 1} coups, l!c avec de{avantage en 14 coups. . Et de m~me Gl'on cherche cO' com bien de coups on peat parier but d·avoir carte blanchc au Piquet ( voyez . page 108) on aura, enfubllituantdans lafonnule pour",.. 6 & pour '1,57 8 6 -lh b -- f16Z64J6-1162.40fa. '0 10' 00 17 8 95, 114 I ~~~ ; cc qui fait voir qU"on l'entreprendroit avec avantage en 1142. coups, & avec defavantage en U.41 coups. On ponrra mSme dccouvrir par cerre voye de com. bien {era l'avantage ou Ie defavantage pa.r raport a. tel nombre de coups que ce foit.
a
=
a
=
C0
O
1\ 0 I. I. A I Bi. E.
N pourra, par la methodc·dece ProblatDc', refou. dre celui qui fuit :- Determiner (iMJIien aoil _re, _11~
pllrtie M·f011 ;o8tfOit t08jDII'S en r""ttttIl1lt, felon lIs ((J1IdiliD1ls f,lo1l II ,xplilJ_ies, p• .178. L'on troa~eJa, par cxemple·. que Ii ron joue felon ces regles en trois parties de Piquet. il y a. de l·avanrage a parler que Ie jeu fera tini en {ept partics, comme de 37 2.7, & du defavancage parier qu·il {era fini en cinq, comme de 7 9. On trouvera dans c. Ie 47I ............ ~ t· .R..... I 'r. d cccce forma +i' 1- 'if + "is -+-",,-, a ratIon e l'avantage ou du defavancage qu'il y a a parier que Ie jeu leta decide ~ un ~eltaiD nombre de parties quelcon-
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a
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,
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•
S U 1l D I V E R S If A Z A R D S. 181 ques. Le premier terme de cette Cuite exprime Ie {ort de celui qui pariroir que la partie {era decidee en trois coups; la {omme des deux premiers exprime Ie fort d'unJoueur qui pariroit que la partie feroit decidee en cinq coups; ]a. {omme des trois premiers exp~me Ie fort d'un Joueur flur pariroit que la partie feroit decidee en (ept coups, &c. On rrouvera fans 6eaucoup de peine des formules pareilIes pour les aueres cas" & 1'on en trouvera la recherche aJrez culieufe.
•
A'
PROBLEMES
A RES-OU'DRE .. A -
P'IlEMIER
SURe
PRO B,L EM E.,
LE. lEU
DU·
TR.E,IZE'.
Determiner gentralement queL- eft';· ce jell ravantal/ db.' eels; 'fUi tient les cartes. On trouvera l'explicarion deS' xegles de ce Jeu aux pages 54 & 5J. A-'
PROBLEME:
SECOND
SUR LE
lE1:1
APPELLE LE HER..
O
N tire d'abord lcs places, ron voit' enruite a qui' . aura la main~ Suppofons que ce foit' Pierre, & nOn)· mons les autres Joueurs Paul, Jacques & Jean. On convient de mcrue'une certaine famme au jeu;, chacun des Joueurs prend pour cette fomme un nombre egal'de jettons ; & ceiui-ia' gagne tout'l'argent du jeu qui refte avec un ou plulieurs jettons, les autres Joucurs n'en', ayant plus. Void' comment· Ie jeu fe conduit; - Pierre·tient un jeu entier compore de cinquante-deux: canes, & en donne une cha-eun des Joueurs, en COI11-· men5ant par fa droite; kala fin de chaque coup' celui Clui trouye avoir la plus barre carte, perd un jetron qu'il. ' '. met au milieu de.la table....
a
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A-a..
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18S
P It 0
B L B M I! I
Paul qui ell: Ie premier a la droite de Pierre, a drois 5'H neff pas content de fa carte, d'en changer avec Jac~ ques, qui ne peut la lui refufer qu'au feul cas qq'il ait un Roy, alors Jacques dit &.&• • Par ce terme celqi qqi a un-Roy avenit les Joueurs que fQn voiGn de 13 gauche: ayant vouiu fe detaire de fa carte a arrete par la lienne. II en eft de marne de Jacques al'egard de Jean t & de Te~n a l'egard de Pierre. ' II faut feulement remarquer, ,0, que li Pierre n~ell pat content de fa carte, foit que ce foif; ~U~ ql~'il ~'~~ 4()nn~ d'abord, ou celIe qu'il ~ ete ~ontr~il!~ 4e r~cevoir de Jean.. iI peut, n'ayant perfanne avec .qui changer, tent" de prendre une meilleure carte en ~oupant au hazard parmi celles qui lui rell:ent en main. Que s'il arrive que Pierre ayant parexempleun cinq,ne veuiITe pas s'y tenir,&.qu·en coupant il tire par exemple un valet, fa <;aJte dev.iendra un valet, &. ~nG de t0ll:te autre cart~, a l'exception du Roy, car Pierre tirant uq Roy eft r.env.oye afa carte telle qU'elIe {ait, &. iI (e trouve com~ s'U fe m~ d'abord .cepu a fa carte. . . Tout ce changement de cartes crant fait, chaque Toueur decouvre la Genne , &. celui qui fe trou~ avoir la plus balfe acommencer par I'as, met un jetton au jeu. S'il fe rencontre que de~x otlplufieun Joueum ayent 1. m~e carte, Ik ~u~ ce foit.la rlus baa'e, celui qui a Ia prlmaute , c'eQ a due ce1Ul qUI ell:' ~ pI~ proche a .... oroite de Pierre perd Ik payee Ce qul ~ ~oil' q.ue 1'0. doit toujours s'y tenir lorf'}\l,'ol) a. donne ~u Joueur qui. eft aIa gauche une carte pareill.e a. ceUe Q\1'Oll te'ioit de lui, de meme que fi on lui en eut dpnnc l,Ule plus ba{fe. , Le Joueur qui a pe(du tous fes jetto~s fait du (ang., Be les a.utres continuent Ie je~ jufqu'a ce que tous., l'e".... cepcion d'un {eul, ayent perdu.~.s let.1.r$ j,tto~, auquel cas celui qui rene gagoe l'argent de ~~ ~sJ9u.e\l.rs. &; tela s'appelle en termes de Joue",rs tJIfIIIr: lillt pfIAII,. Void Ie Probleme dont on d~ndc la {olutioJ1. o..Mai" 10"'1, l?ieue, Pnl, 'JaI'I8U tift· 184 { _ U$o
etc
,,0.
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(J., Il-s fIlll1l jell_ &h",...
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A. .1 E $ 0 t7 D l. :E. :i g, tiint us tllfttS J PII.lljl ~ (4 amite:l do Its 4.';;s tn., On tlbn4ndIlJ.tl tjJ Ie., ,apD" ~ la differe.I'
1';,,,,
{1Ii«. 1"'''lplus
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41ftl 'I.tU'I"DPfJrtifJ7i
Ii 4evrrJit rep"'.
p.l1t, t, ji;a pa"xnnple Jix pif/fJlJes, fllllllKittI '" p"nall' tiltlItlJi fo"s fi"i, '" partie.·
tir 1111",_
-raOISIEME
SUIt
s'ils
PROBLEME.
LE JEU DE LA FERMEr
~OK met la Ferme aprix, & on radjuge a celui qui _ fa porte Ie plus haue; par exemple fi les jettons vilt. vi~ fols, on la ponerq. adeux outrois piftolles', &: . Ie Fermier les metua fur la table. Void les regles de ce JeD. , Chacun' desJoueurs met un jetton au jeu, enfuite Ie Fermier leur diftribue deux canes, f~avoir rune de def{us, It la,feconde de detfous. Ceux d'eJitre les Joueurs. d~~t les deux cartes font plus que feize, donnent autant de Jtrtons au Fermier que les cartes font de points au deffils de feize. Par exemple fi Paul <)ui ell un des Joueurs. reqoit d'abord un neuf, &. 'pbur fa feconde carte un dix , cefa fait ] 9', it payera trois Jettons au Fermier. U faut olY. ltrver qU'a ce jeu ras ne vaut qu'un. . Les Joutin's dont les deux cartes font moins que feize: t1nt la fibenc de s'y tenif dans Ia crainte de palTer feize &: de paye~ au Femlier pour Ie furplus. lIs ont auffi la Jib~rte de demander de nouvelles cartes dans l'efperance go. de' gagner la Fermt & Ies tours s'its peuvenr acreindrt pceci{ement Ie nombre de fcize, ou du moins' d"en approcber en defi'ous plus pres qu'aucuIT ·autre Joueur, auquer £as i1s gagneront les tours. Lorfque tous Ies Joueurs parrent Ie nombre de feize" IfS tours refrenr au jeu, I( chaque Joueur y met de nouveau un jetton. A ce jeu Ie- nombre des Joueurs en indeteti.nine-. L'on y joue avec un jeu de cartes en tier , Be quelque:. lois on en ote les fix pour eviter que Ie nombre' de feize Jle fe rencoDtre trop fau.vent.
b
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•
Aaij
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Ifl PR.OBLEMBS Lorfque deux ou plufteurs Joueurs ont un egal nombre de points, celui qui .ell Ie plus a la droite GU Fermier ell: Ie feul qui gagne. Ainu Ie Fermier ne peut jamais gagner les tours que lorfqu'il a un point plus proche de feize qu'aucun autre Joueur, & s'il avoit feize en marne temps qu'un autreJoueur, il ne laifferoit pas de perdre la Ferme. & l'on feroir une nOllvelle enchere. Tout ceci erant expliqu¢, void Ie ProbJame dont on demande la [olution. Eta1ll foppo(e 8n certain tJlJmIJ,e deunnillt de ldtflrs , P'" Ixemple tie.x 10 8e.rs Pit"c 6- Pa./, d- f8e Ie prilt des jet.. tons foit tU 'lJingt {ots: On demalltU dt combien d.""oit Itre k prix tU III F emu a "pn fllo/J Lz pllttemffAns profit ni d141l""'" '~gl.
,
&
QUATRIEME
SUR LE
PR.OBLEM£.
lEU DES
TA~
Po a
comprendre de quoi il s'agit, il faut f~avoir qu'apres les repriCes d'hombre un aesJoueurs s'amu(e 10uvent partager Ie jeu en dixtas compo(es ch~cun de quatre cartes couvertes, & qU'e.n(uite retournant la premiere de chaque tas, il ote & met a part deux a deux toutes celles qui fe trouvent femblables, par exemple deux Rois, deux valets, deux fix t &C4 alors il retourne les cartes qui {uivent immediarement celles qui viennent de lui donner des doublers, & il continue d'oter & de mettre a part ceHes qui viennent par doublet ju(qu'a ce qu'il en [oit venu a la derniere de chaque tas, apres les avoir eldevc toutes deux adeux, auquel cas feulcment il a gagnc. .\ II eA: rare que l'on joue de l'argent ice jeu, mais on y joue {ouvent des difcretions, & les Dames [e plaifent a. juger de l'evenem~nt de certaines badineries qui les inte... re(fent1 par Ie fucces qU'elles ont a ce jeu. Il faut ob(erver que ce jeu n'ell point de pur hazard, & que pour y reuffir il faut de la conduite auffi. bien que de la fortune. L'o'" (,..~ir "'1';) F~l1r dechar~er les plus gros tas prefe.. U l\.
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A,
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SOU D 1l E. _
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rablement aux petits, mais l'on ne f~ait point exaClemenc sli( ell plus avantageux de decharger deux tas compofes de trois cartes chacun, ou deux tas dont l'un fera compofc de quatre cartes, & l'autre de deux. L'on f~ait aum qu'il ell pllJS facile de faire les tas avec un jeu de Piquet -~u'avec un jeu d'Hombre, & avec un jeu d'Hombre qu'avec un jeu entier, ou bien avec deux jeux d'Hombre m8lez enfemble, ce qui kroit Ies tas de huit cartes. Mais ce que Ies Joueurs ignorent entierement, c'clt Ie degrc de faciIite '1u'il y a de rcuffir dans toutes ces differentes efpeccs. L'on demande une methode generale pour JJttrm,ner qflel eft f A'UA7ltAge fJ8 Ie Jefa'Ua7llllge tU (elflt IJfl; e1llTtprma de fa;Tt les tM, foit 'l"e (e foil a'Uet tI1I jefl tk p iq.,t ~ tJfl rJ'Ult 1111 jefl d' H tJmIJ,e, fJ8 tl'Uet tI1I je. miter ; do 'ifl,Ue ejl14 1II411i"e tie tunJ,#re /m jell It pillS "'UAnllltlflfomint "fl';1 foit ,offillle,
/
FIN.
4PPR..OBATION.
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'Ar hi par ordre de Monfeigneur Ie Chancelier un manufcrit intitule , Elfai J'Analyfe fur les Jeux ha~arJ. Cet oltvrage m'a paru digne de la curiolite des plus profonas Analiftes , & d'une utilite plus confiderable & plus .etendue que ne femble Ie promettre le fujet qui y eft traite. Fait Paris Ie ",.... Fevrier 17Q7- Signe~ SA V R,1 N.
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PRIVILEGE DU ROY.
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PAll1.A GRACE DE DIEU, ROT DE FllANCE ET DE NAVAlla:E: A nos ames &feaux CoofeilIers
les gens tenans, nos Cours de Parlemen~, Ma1tres dc!s Requetes ordinaires de notre Hotel, Grand Confeil,. Prevot de Paris, Baillifs, Sene,haux, Prc:vots~ leurs Lieu.. tenans, & a toos autres nos Jufuciers & Ofticiers qu'il appartiendra, Salul!. Le near nous a fait expokr qu'il a compote 1m Ega; tfAnaJ,fo for Its 1tU tk hll~"nl,. d~nt l'impreffion pouFE~i~ aue u~le au public; Be noos ~ tres bumblemebt' fupphe de Ie Itu .permettre, Be de lUI aecorder a eet eEret nos Lettres fur ee necelfaires. ACES. CAUS ES defiranl! favorablcment traiter l'Expofant, nODS lui avons permis &accorde, permettoDsScaccordobs par ces prefentes , de faire imprimer, vendre &: debirer dans tous Ies lieux de notre Royaume, rar tel Imprimeur ou Libraire qu·n voudra y cAoinr, led it EtTai d'Analyfe fur Jes Jeux de hazard, de telle marge, earad:ere, & autant de to is , &: en tant de ~oIumes que bon lui femblera, l'efpace de fix annees confecutives, a compter du jour Be date des prefe-ntc), pthdarit Jequel temps' nODS faifonstres exprelfes defenfes a tous ImprimeuJ's. Libraires, & aurres, d'imprimcr, faire imprimer, vendre &·dc:biter Jedii Elfai dlAnalyfe,fous prerell!te dt-allgmentation, corred:ion, changementderitre, fautTesmarques, ou autremerit, de quelque masiere que ce foit, ni meine d'en Faire des extraits ou. a~te~s'; Be a tous Marehands & ~utres d'en apportet" nt diftriblJef eli ce Royaume d·autres ImprcirlOns' qpe de celles qui -auront ete faites du confentement par ecrit de l'Expor~t, feine de quinze eens li!res d'ame~de fayable par chacun des cont'rcvenans, appbcable un tiers a nous, un tiers aIHopital general de notre bonne ville de Paris, & l'autre tiers a. l'Expofant ou accux qui auront droit de lui, de confifcation des exemplaires contrefaits, &. de tous depeils dommages & interets, a condition qu'il fera mis deux exemplaires dudit Livre dans notre Biblio. teque pubIique, un en celie du cabinet de nos Livres dans
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Dotre chiteall du Louvre, & un cbns let BibIioteque de notre tres chet" & fealle' ,fieur PH ELY P EA ux Comte de Pontchartrain, Chevalier, Chancelier, & Garde des Sceaux de France, Comnlandeur de nos, Ordres , avant que de l'expofer en vente, ala charge auffi que l'impref.. fion fera belle, fur du beau & bon papier, & faite dans notre Royaume, & non aillenrs, fuivant qu'il ell: pone par les Reglemens faits pour la Librairie & Imprimerie, a. l'einede nullite des Pretentes, lefquelles feront regHl:rees dans Ie Regifhe de la: Communaute des Imprimeurs & 'Libraires de norredite ville de Paris. SI vous MANDONS ET ENJOIGNONS que du contenu en icelles vous fatIiez jouir plein.ement & paifiblernent ledir Expofa:n~ au cet1¥ qui auront, droit de lui, fans fouil'rir qu.·il leur foit fait aucun emp8chement. Voulons auffi qu'en mettant au commencement au ala fin dudit Livre une copie des Pte. fences, elles fuient renues pour bien -& duement Ggni6Ces i .& que foi y foit ajouree, & aux copies colJationnees par run de nos amez & feaux Con~illers & Secreraires comme I'original : Commandons au premier notre. Huiffier 0\1 Sergent fur ce requis, de faire pour it-execution d'icelles tous exploits & ad:es necefi'aires fans demander autre per. miffion, nonobfrant dameur de haro,Chartre N ormande, .& Lettres ace contraires. Car tel eft notre plainr. DONNE' aVerfailles Ie premier jour de Mars l'an de grace miJ fept cens fept ,~ & de notre regne Ie foixante ~ quatre. Par 1e R.oy en fon Confeil. Signe, L E PET IT.
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Rtgif/,; for Je Regiflre ,,0 l; ae /" CommtmAtltJ des ZiIJrAi," '& Imp,imtll's de Paris, page .104, n° 42~, c01l.formJmml allJl Regkmms, & notamTnenl • I' A"ef1 all Con/til dtl trei~;1111 AlJlljJ 1701• .A. Pilril "~? MaI17Q? Signt GUEJUN,.
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FAUTES
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A CORRIGEL
. PAl.' 1.lign, lB. lUI lie" d'hazarder, mnt,{,. de hazarder.
1,.
~"g' 12..
ligM 19' ""lie" de a, h, c, mnt,{,. a, b, c, d. Ggn, ""Ii,,, "" fort J ",ttt,{,.avantage. PAgIIJ.ligM 8. A"Iie",," a, fI~m,{,.A. Pille u,.. Gil" 1· "" lit" de 4, mnt,z:. S· P"g' IS' Ggn, 4. ""lie" d, b, merl,z:. Pill' 18. lign, 13. ""lie" "" deux, merl,{" trois. PAg' 11. lign, 18. lUI lie" "" x. ",m,{,. +. PAl.' 34' ligM J. "" lieu tie carte fimple contre carte dou. ble, mert,z:. cane double contre carte fimple. PAge 40. Ggnl-J0'"'' lie" -49 X1$X 16', mm,z:.49 x 1$ x 17. P"ge4+.lign, u.""IiI"d, 10~1S)( $, ""ttl{. 19j7H; lip IJ. lUI lieH tI, P = 0 . mell'z:. ~ = o. PAl.' 80' lif/¥ 1.7· ." lie" '" H, ""tt,z:. SS· PAge 115' lign' 10. lUI lie" tI, 6 ou 8, mett,{,. 6, ou 7, ou 8. P"g' 138. ligne 16. ""Iie" de quintuple, ",,,,,z:,. CJ~ruple. P"I! 139' ligne II. ""Iieu tI, un quadruple & un fimple J fIIIt'"- un quadruple & un triple. PAg' 14o.Iign' lUI li,,, tI, un fex. tuple Be un funple, mett,{,. un fextuple & un triple. PAge 164. lil!" Jemie,." lUI /it" tie ,87648.888S+96 , mnte{" 9876+888S+,6. PAl' 166. lil!" Jo. ""Iif" 4{ matiere ~ """,,,, maniere.
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