El Prodigioso Jardín de las Matemáticas, 4ª edición

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Por Free-edit fecha 17:11 , 28/02/2004

PRIMERA EDICIÓN: SEPTIEMBRE DE 1943 SEGUNDA EDICIÓN: SEPTIEMBRE DE 1944 TERCERA EDICIÓN: F E B R E R O D E 1953 CUARTA EDICIÓN: AGOSTO D E 1964

DEPÓSITO LEGAL, B. 22089 - 1964 NÚM. DE REGISTRO:10,415-42

COPYRIGHT BY EDITORIAL IBERIA, S. A. DERECHOS LITERARIOS Y ARTÍSTICOS RESERVADOS PARA TODOS LOS PAÍSES Casa P. de Caridad p Imprenta-Escuela - Montalegre, 5 - Barcelona

Prólogo

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PROLOGO También yo padecí, durante mucho tiempo, del mal que aqueja a la mayoría en cuestión de matemáticas. Mi comprensión era muy escasa, y la mente no lograba asimilar ni siquiera los principios o leyes fundamentales de esa ciencia, tan diáfana a despecho de las asperezas que la revisten. Llegué incluso a sentirme avergonzado a causa de mi innata torpeza para la concepción de ideas trascendentales, y hasta sufrí el amargo sentimiento de inferioridad. Pero vino un día en que, gracias a la sobresaliente habilidad expositiva de un apreciado amigo mío, maestro en la más hermosa de las ciencias, alcancé la necesaria comprensión y la satisfacción consiguiente. Mi angustia y depresión se trocaron en férvido entusiasmo, y fue entonces cuando descubrí con sorpresa todo el esplendor que irradia de esta magna obra de la inteligencia, de las tan deplorablemente aborrecidas matemáticas. Pues bien, el objetivo primordial de este libro no es otro que el de lograr influir en modo semejante sobre el lector; y esto sin que pretenda, en modo alguno, llegar a ser un método de cálculo, ni mucho menos lo que se llama un tratado en el sentido usual de la palabra. No. Su aspiración se reduce a exponer ante el lector las temidas matemáticas bajo su aspecto más atractivo, a familiarizarle del modo más ameno posible con la espléndida belleza de alguna de sus más importantes especulaciones. O, dicho en otras palabras: no pretendemos estudiar ni forzar la máquina. Nuestra empresa se reducirá a guiar al lector en un paseo por el maravilloso jardín encantado, que el arte de ordenar y coordinar lógicamente pensamientos con pensamientos e ideas con ideas ha ido creando al compás de la multimilenaria evolución de la humanidad.

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Estimamos necesario hacer constar de antemano que, con sujeción a este plan, no nos será posible explicar hasta agotarlos - y menos demostrarlos con entero rigor- todos los conceptos que el itinerario nos vaya presentando. Será, por lo tanto, imprescindible que el lector amable contribuya a nuestro propósito con un poco de confianza y de fe, animado de la esperanza de que más tarde, por la consulta de un buen tratado de matemáticas, le será dable abarcar mejor, y completar, los conocimientos que aquí adquiera. Sentado esto, y saliendo al encuentro de una de las posibles objeciones que se concreta en el tópico de que la Matemática es espantosamente seca y árida, es preciso decir que semejante reparo pueden ponerlo solamente los que ignoran por completo la más excelsa de las ciencias, ya que, como se verá, su expresión ha de llevarnos de sorpresa en sorpresa. Estemos, pues, seguros de que no habrá de rendirnos el hastío y a ello contribuirán, a un tiempo, la especie de mántico dramatismo en que se moverán nuestros pasos, y el hecho de que cada operación, cada problema, cada cálculo, sin exclusión de la tabla de multiplicar (pese a su aparente sencillez), aparecerá desarrollándose en la proximidad de un mundo extraño y misterioso, un mundo quimérico cuya contextura no puede idear nuestro cerebro, ni puede hallar figura ante nuestros ojos, pero cuya existencia puede ser -y acaso debe ser precisamente- tan real como cualquiera de las relaciones matemáticas o cualquiera de las figuras geométricas que nos son familiares. Siempre que la ocasión sea propicia haremos sentir hasta qué punto nos hallamos envueltos por un mundo omnipotente, insospechadamente próximo y desconcertante, cuya existencia se ve confirmada por cada concepto matemático. Pero, aunque este mundo es hijo de nuestro propio intelecto, resulta tan irrepresentable para nosotros como lo es para las truchas, por ejemplo, el deslumbrante esplendor del valle por donde corre bullicioso el torrente que constituye su mundo de peces. Este será, por consiguiente, el sentido en que vamos a conocer las matemáticas, puesto que a nuestro modo de ver sólo así podremos conjurar los pretendidos espectros, y sólo de esta manera será posible tender un puente de inteligencia hacia este magnífico dominio del pensamiento humano, cuyo usufructo había ido convirtiénédose hasta aquí en especial privilegio de algunos elegidos, a causa de supuestas insuperables dificultades de concepción por parte de los demás. Al lector le toca juzgar en definitiva si se ha cumplido la tarea que nos hemos impuesto. Esto es, él dirá si nos ha acompañado la fortuna en esta empresa de vencer la repugnancia a las matemáticas valiéndonos de las be-

Prólogo

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llezas que encierran. Y que los matemáticos expertos no se nos quejen por esta especie de «profanación» de su ciencia y reconozcan, al contrario, la buena intención que nos guía. Para terminar, conste que, a nuestro parecer, no hay nada tan bochornoso como el hecho de que, a pesar del incesante avance triunfal de la ciencia y de la técnica alemanas, sean todavía numerosos los compatriotas que sienten horror ante el más espléndido monumento del pensamiento, erigido por el espíritu humano en el transcurso de milenios de incesante esfuerzo, y que por el sólo motivo del temor que les inspira se vean privados de utilizar un auxiliar tan poderoso en el estudio de la Naturaleza. Y basta ya, porque es hora de que emprendamos nuestro anunciado paseo.

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PRÓLOGO DE KURT WULLSCHLAEGER EN LA OCTAVA EDICION ALEMANA

Sucedió en la repleta sala de espera, en la estación de una gran ciudad. Tres jóvenes «ferroviarios» estaban sentados según todas las apariencias, después de terminado el trabajo-, ante un vaso de cerveza, mientras esperaban el tren que debía llevarlos a casa. Un cuadro vulgar, tal como puede verse en cualquier ciudad. Y, sin embargo, ¡cuánto de especial había en él!Era la conversación que sostenían esos tres hombres. ¿Cómo es posible obtener un resultado positivo -en esta conversación se trataba del cálculo logarítmico-, cuando hay que restar una cifra negativa? Lo notable de este simple incidente es que un problema matemático sea reconocido realmente como tal y no sea, sin más, aceptado. Este hecho podria demostrar cuán independiente es la receptividad para las elucubraciones matemáticas de las premisas educativas. La opinión, ampliamente extendida, de que las matemáticas son «demasiado elevadas» para la mayoría de las personas, no aparece muy comprensible en este respecto. Para encontrar placer en los problemas matemáticos no son precisas lecciones muy severas a modo de preparación. Tampoco los relatos de viajes son leídos y comprendidos únicamente por los geógrafos. Por desgracia, a la mayor parte de los «talentos latentes» se les acaba muy de prisa el material. Facilitarles nuevos estímulos fue uno de los motivos que incitaron a Alexander Niklitschek a escribir su Prodigioso Jardín de las Matemáticas. Aparte de ello, se proponía comunicar a sus lectores parte de aquel entusiasmo que le invadió cuando, según sus propias palabras, pudo reconocer, con asombro, el «radiante esplendor del maravilloso edificio de ideas de las matemáticas». Desgraciadamente, Niklitschek no ha podido ver la presente 8.a edición de su obra. Como nuevo revisor de la misma, he debido modificar, alguna que otra vez, el sitio desde el cual Alexander Niklitschek contemplaba su «Jardín Maravilloso», y es por ello que, en el marco -de la nueva

Prólogo

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ordenación del texto, he creído necesario atribuir otra importancia a algunos problemas. Sin embargo, no se ha modificado la hábil ordenación de conjunto. Me he esforzado por destacar, aún más acentuadamente, en primer plano, el bello concepto de la función tangencial, pasando por la tangente, hasta el cálculo diferencial. El tema «regla de cálculo» ha sido tratado algo más ampliamente, para que el lector no deba remitirse, necesariamente, a otros manuales. Las breves iniciaciones facilitadas al comprar una regla -de cálculo bastarán para entender perfectamente sus fundamentos, después de la lectura de la presente obra. A este respecto quisiera agradecer especialmente a la firma Dennert & Pape, de Hamburgo-Altona, por habernos cedido el impresionante material de grabados que se incluye en el capítulo «Regla de Cálculo». ¡Bueno!¡Y, ahora, vayamos de paseo... con Alexander Niklitschek !

Brunswick, septiembre de 1956. KTRT WULLSCHLAEGER

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El secreto de termómetro

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EL SECRETO DEL TERMOMETRO

Nada hay que merezca ser tan justamente meditado y aquilatado como la elección, del apropiado sendero o de la puerta a través de la cual conviene mejor penetrar en el recinto rutilante de la más noble y la más temida de las ciencias. Y opino que podríamos partir confiadamente de algo conocido y evidente, esto es, de aquellos conocimientos matemáticos que, por ser adquiridos en los primeros días de la escuela, no abandonan ya al hombre en todo el resto de su vida. Naturalmente, no queremos ni debemos permitir que los números se precipiten ante nosotros sin orden ni concierto. Establecer un orden es cosa bien sencilla. Como ejemplo del mismo podríamos tomar, desde luego, un metro con su escala, en la cual, muy bien ordenaditos conforme a su valor, se suceden los números en cantidad limitada..., por supuesto. Pero vamos a ser todavía más precisos, y en lugar de la regla preferimos elegir un termómetro. ¿Por qué? Muy pronto lo veremos. La escala del termómetro se distingue de la del metro -con la cual está, por lo demás, íntimamente emparentada - por la significación que el conocido grado cero tiene en el primero de ellos. El metro posee también, ciertamente, un cero inicial, por el cual se comienza a medir siempre. Pero desde este extremo cero del metro no puede avanzarse más que en un sentido único, es decir, en el sentido que nos hace pasar a 10, 20, 30, etc., hasta 100 150 cm. según la longitud de la regla. No ocurre así en el termómetro, cuyo cero corresponde a un punto que no es extremo de la escala. A partir de este punto cero, hacia arriba, se cuentan grados positivos (+), y, en cambio, des-

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de este mismo punto cero, hacia abajo, se cuentan grados negativos (-). Cuando la columna de mercurio desciende por debajo del cero, decimos que «hace frío», y si, por el contrario, sube por encima del cero, decimos que «hace calor». Aun sabiendo que estas expresiones no son estrictamente correctas desde el punto de vista de la Física, hemos preferido valernos de ellas, por tratarse de locuciones completamente usuales y comprensibles para todos. Y es precisamente en este desdoblamiento, o sea en la ordenación de los números en dos sentidos opuestos, donde reside el interés; pues en matemáticas, como es generalmente sabido, existen números positivos y números negativos, los cuales se comportan entre sí precisamente como los que llamamos grados de calor y grados de frío del termómetro. Sentado esto, precisaremos algo más la cuestión. La primera distinción fundamental que nos separa de las convenciones del lenguaje ordinario cotidiano, y que debemos conservar grabada en la memoria, es la de que los signos + y -, que por convención expresan en el cálculo los imperativos de las operaciones de sumar y restar, respectivamente (equivaliendo a «añádase» o a «substráigase»), aparecen ahora como vinculados al número en sí. Es decir, más precisamente, que matemáticamente existe un - 9 (léase «menos nueve»), que se distingue del + 9 (léase «más nueve»), tan fundamentalmente como los 9 grados bajo cero del termómetro se distinguen de los 9 grados sobre cero. Y es el momento de hacer notar la costumbre hondamente arraigada, no sólo en el lenguaje corriente, sino también en el matemático, de que al escribir 9 sin ningún signo se entiende sencillamente +9; de la misma manera al decir 12 grados, entendemos precisamente +12 grados, o sea 12 grados sobre cero. Pero no dejemos todavía nuestra escala termométrica y fijémonos un poco en las leyes que rigen el cálculo de los números positivos y negativos en esa doble sucesión de números, para la cual se ha ideado expresamente el nombre arbitrario de «alineación numérica». Imaginemos que el termómetro señala 10 grados de calor. Si sobreviene un aumento de temperatura de 9 grados, el mercurio señalará 19 grados de calor. Ahora bien, si suponemos que cuando el termómetro marca los 10 grados

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sobre cero la temperatura experimenta un descenso de 18 grados, el mercurio bajará lógicamente hasta los 8 grados de frío (bajo cero). Y exactamente igual que con los grados de calor ocurre con la substracción y la adición de los números positivos y negativos 10 - 23 = -13, mientras que – 20+40= -20, etcétera. Convengamos en considerar, a todos los efectos, como positivo, el dinero que poseemos o que nos pertenece, y como «negativo», el correspondiente a pagos que hemos de efectuar o que adeudamos, y obtendremos así una idea tangible (y comprensible para todos) del balance resultante de operar con números positivos y negativos. Si

tengo 100 pesetas y gasto 99, no me quedará finalmente en el bolsillo más que 1 peseta, mientras que si uno sale de casa con 10 pesetas y gasta por valor de 25 ha tenido irremisiblemente que quedar a deber 15 pesetas en alguna parte. Son verdades sin vuelta de hoja, casi perogrulladas, ¿no es cierto? Pero, ¡calma! Conviene ya desde ahora poner un poco de atención, preparándonos para contemplar, en visión, mezcla de grandiosidad y de pavor, las más profundas simas de la representación matemática. Antes de ocuparnos de nuevos problemas es preciso introducir una forma de escritura que resulte adecuada. A este fin colocaremos los números, con sus signos «más» o «menos», entre paréntesis, para poder distinguir los signos de los números de los correspondientes a la adición y substracción. Así, por ejemplo, para el número positivo 9 escribiremos (+9), y para el número negativo -7, de manera correspondiente, (-7) . Por así decirlo - para servirnos de una imagen comprensible-, hemos guardado en cajas los números con sus correspondientes signos. Si queremos, por tanto, resolver el problema (- 13) + (+ 23) será preciso, naturalmente, liberar de nuevo los números. Expresado matemáticamente, esto significa que debemos quitar los paréntesis. La manera de hacerlo se comprende, si expresamos este problema con palabras y lo resolvemos como hasta ahora: el número positivo + 23 debe ser sumado al número negativo - 13. El resultado es + 10. Así, pues, (-13) + (+23) = - 13 + 23 = + 10

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+ (+) = + Tomemos nota: del signo matemático «más» delante del paréntesis y del signo «más» en el interior del paréntesis resulta el signo matemático «más». Si del número positivo + 36 substraemos el número positivo + 16 obtendremos entonces + 20. (+36) - (+16) = +36 – 16 = +20 - (+) = - El signo «menos» delante del paréntesis y el signo «más» en el interior del paréntesis dan como resultado el signo matemático «menos». Para el lector impaciente hemos de anticipar aquí que no hemos introducido los paréntesis con el simple objeto de expresar de manera complicada una cosa sencilla. La solución del problema «sumar al número positivo + 36 el número negativo - 16, por ejemplo, no resulta ya tan lógica. Planteemos, sin embargo, este problema de la manera más comprensible posible: alguien tiene 36 pesetas en el bolsillo, y además tiene deudas por un total de 16 pesetas. Nuestro amigo tiene, por consiguiente, sólo 20 pesetas (+ 36) + (- 16) = + 36 - 16 = + 20 + (-) = -1 El signo matemático «más» delante del paréntesis y el signo «menos» en el interior del paréntesis dan como resultado el signo matemático «menos». Ejemplos

(+ 17 ) + (+ 16) = + 17 + 16 = +33 (− 12) − (+ 35) = −12 + 35 = −47 (− 25) + (− 25) = −25 − 25 = −50

El último ejemplo hace inmediata la pregunta: ¿Qué representa (- 25) (- 25)? A primera vista esto parece muy difícil; pero si nos representamos los paréntesis como cajas, todo aparece de nuevo muy sencillo. Tenemos dos cajas con el mismo contenido. Si restamos el contenido de una caja del contenido de la otra caja no nos quedará nada. Así, pues, (-25)-(-25)=0

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De la misma manera, - 25 + 25 = 0. En consecuencia, podemos resolver, por ejemplo, también este problema, restando del número negativo - 36 el número negativo - 23. (- 36) - (- 23) = - 36 + 23 = -13 Una imagen más fácil de comprender: alguien tiene 36 pesetas de deudas. Si se le perdonan 23 pesetas de deudas no tendrá ya más que 13 pesetas de deudas. -(-) = + El signo matemático «menos» delante del paréntesis y el signo «menos» en el interior del paréntesis dan el signo matemático «más». Esto seguirá siendo válido, también, al restar números negativos de positivos, por ejemplo (+25) - ( -15) = +25 +15 = 40 Sin embargo, esto no se deduce necesariamente de nuestras anteriores consideraciones, aun cuando el lector acepte esta solución casi como algo natural. Pero, ¡tan natural no es la cosa!Por ejemplo, en, este caso falla el planteo del problema con ayuda de las deudas. Si alguien tiene 25 pesetas en el bolsillo y le son perdonadas 15 pesetas de deudas, seguirá teniendo, como antes, solamente 25 pesetas. Y, de la misma manera, falla también el termómetro. Si de 25º de «calor» restamos I5º de «frío», no se ve por ninguna parte cómo la temperatura puede subir en 15º. El lector no debe dejarse confundir. Una imagen no corresponde nunca exactamente a la realidad, y, por este motivo, no hay que pretender nunca encontrar, en una imagen más de lo que ésta puede mostrar. Y ahora viene una pequeña sorpresa; estas reglas de cálculo, expuestas de manera tan lógica, no pueden demostrarse, en modo alguno, matemáticamente. Para poder entender esto, en cierto modo, nos ocuparemos algo más a fondo del concepto general de «número». En su sentido original, los números designan cantidades.

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Objetos iguales (por ejemplo: libros, páginas, sillas, gallinas, etcétera), se cuentan con el fin de determinar su número. Éste es el empleo natural de los números. Así, contamos I, 2, 3, 4, 5, 6, ... Con estos «números naturales» es posible resolver cualquier problema de suma, por ejemplo 3+4=7

47+32=79

2+1=3.

El resultado es siempre otro número natural (7; 79; 3). En la substracción podemos comprobar, para sorpresa nuestra, que no podemos restar cantidades cualesquiera. Hay problemas que no pueden resolverse simplemente con nuestros números naturales. ¿Qué significa, por ejemplo, 3 - 3, 1 - 2, 13 - 24? Naturalmente, sabemos cuál es el resultado, pero si le preguntamos a un alumno de las primeras clases, nos contemplará sin entender, y dirá: « ¡Esto no es posible!» ¡Y tiene razón!Es preciso introducir el número cero y los números negativos, si queremos representar los correspondientes resultados: 3-3=0

1- 2 = -1

13 - 24 = -11

Estas «invenciones» pueden definirse matemáticamente, pero no demostrarse, y, sin embargo, la introducción de estos números no es, en modo alguno, arbitraria; es preciso poder contar con ellos de una manera lógica. Estos nuevos números no se presentan solos, sino también juntamente con los números naturales, y en el cálculo no deben presentarse contradicciones. Por tanto, es preciso incluirlos en las reglas de cálculo de los números naturales. Si se cumplen estas premisas, puede hablarse entonces de una ampliación del concepto de número. Esto significa: los nuevos números (0, - 1, -2, -3, ...) han sido aceptados, en igualdad de derechos, en la «familia de los números». Dentro de esta familia distinguiremos ahora, por tanto, los números positivos, el número cero, y los números negativos. Todos ellos, en conjunto, reciben el nombre de «números relativos». Todavía tendremos ocasión de conocer otras ampliaciones del concepto de número. Es siempre el mismo principio el que nos encontramos en la introducción de nuevos números las leyes de cálculo de los números ya co-

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nocidos deben ser válidas, también, conjuntamente, con los nuevos números. Este principio recibe el nombre de «Principio de permanencia»1. Mencionaremos sólo brevemente una segunda ampliación. La introducción de los números quebrados o fracciones, como se designan en general. $u introducción se deriva del hecho de que, en la división, se plantean muchos problemas que no «salen». Así, por ejemplo, el problema 2: 3 no tiene, en un principio, ningún sentido, pues no hay ningún número oue rueda indicarse como solución. En el planteamiento

2:3 =

2 3

se introduce la fracción 2/3 como nuevo número. Esto parece tan comprensible, que no es precisa ya ninguna distinción entre el signo «: » y la raya de quebrado. El conjunto de todos los números enteros y quebrados positivos y negativos recibe el nombre de «números racionales». Un pequeño descanso nos vendrá ahora muy bien. Nuestro paseo por el prodigioso jardín de las matemáticas, iniciado de una manera tan inocente, nos ha demostrado, después de los primeros pasos, que no es preciso buscar mucho para descubrir las bellezas del jardín. Cada flor que se encuentra junto al camino puede llenarnos de alegría. Y ya no es tan importante examinar exactamente todos los detalles. Sucede como en un rosal: nos encanta el esplendor de las flores, sin que se nos ocurra preguntarnos cómo serán sus raíces. Esto lo dejamos para el jardinero. También los rótulos, cuidadosamente pintados por el jardinero, con los nombres casi. siempre latinos, nos interesan sólo de pasada. Por otra parte, no tardamos en olvidarnos de ellos. Pero , sigamos ahora adelante ! Será necesario, ante todo, enterarnos bien del mecanismo de la multiplicación y división de los números positivos y negativos. Las cosas ya no se presentan ahora con aquella sencillez tan absoluta. Claro está, y aquí huelga toda demostración, que, por ejemplo: 25:5 = 5, en palabras (¡y sin lugar a duda!), más veinticinco partido entre más cinco es igual a más cinco. 1

Nombre designado por Hermann Hankel (1539-1373), matemático de Erlangen; permanere (lat.): permanecer.

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Pero el problema, aparentemente inofensivo, de saber cuántos son 10 x (-4) resulta un hueso duro de roer para los no matemáticos. No obstante, he aquí que el ejemplo de las deudas e ingresos a que aludimos antes va a sacarnos de apuros. Consideremos sencillamente los números negativos como deudas o gastos. Así, si yo en diez ocasiones he quedado a deber a razón de 4 pesetas cada vez, adeudo simplemente 40 pesetas en total. Mediante el estudio de nuestra escala termométrica llegamos al mismo resultado. Todo aumento de temperatura ha de considerarse evidentemente como «positivo», y todo descenso de la misma como «negativo». De suerte que si en el termómetro tienen efecto lo descensos sucesivos bajando 4 grados cada vez, es evidente que tendremos un enfriamiento total de 40 grados. Con eso hemos hallado la ley aplicable a nuestro caso, y que dice: Todo número positivo multiplicado por otro negativo da un producto negativo. Y puesto que la división representa el concepto inverso de la multiplicación, la misma ley debe imperar también en ella, es decir que: Todo número negativo dividido por otro positivo -y viceversa- dará un cociente2 negativo. Si adeudo un total de 100 pesetas y descompongo el débito en 20 partidas aisladas, tendré entonces justamente 20 veces 5 pesetas de deuda; ¡pero jamás conseguiré con esta operación dinero contante, «positivo»! Y es una verdad que comprenderá perfectamente el lector sin más explicaciones. Mas ahora llega su turno a un problema más serio, cuya solución no se nos presentará tan clara y abierta. He aquí la pregunta: ¿Cuál es el producto que resulta de multiplicar dos números negativos,? Sabemos que 2 x 2 = 4, que 2 x (-2), como acabamos de ver, es igual a -4; pero ¿qué obtenemos si multiplicamos (- 2) x (- 2)? La dificultad capital que encierra esta cuestión reside, por decirlo así, en traducir al lenguaje vulgar la operación matemática planteada. Pero esto no tiene por qué sorprendernos, pues también en la substracción de números negativos nos hemos encontrado con la misma dificultad. En realidad, existe aquí una relación. Así, por ejemplo, (+ 3) · (+ 4) = (+ 4) + (+ 4) + (+ 4) = ± 12 (3).

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Así se designa el resultado de la división. Para el signo de multiplicación utilizamos el punto. Anteriormente era usual también la x

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Por consiguiente, la multiplicación puede ser concebida como una adición con números siempre iguales. Tres veces más cuatro significa, por consiguiente: sumar tres veces el número + 4. En consecuencia, también (+3) · (-4) = (-4) + (-4) + (- 4) = -12 Vemos, por tanto, que las reglas de cálculo conocidas de la adición y la substracción de los números relativos son válidas. también, enteramente, para la multiplicación

En consecuencia, convenimos nosotros que también debe ser

Y también (- 3) · (+ 4) = -12

(- 3) · (- 4) = + 12

Y comprobamos, en especial, la sorprendente realidad Dos números negativos, multiplicados entre sí, dan un producto positivo ! Para aquellos que estimen increíbles todas estas historias voy a reproducir aquí un sencillo ejemplo que nos proporciona el estudio de las lenguas. Muchísimos idiomas - ¡no todos, por supuesto! - se atienen estrictamente, por así decirlo, a las leyes matemáticas. La lengua latina, estructurada le modo rigurosamente lógico, conceptúa dos negaciones sucesivas como una afirmación, y, por cierto, como afirmación reforzada: dos expresiones negativas equivalen, pues, a una positiva reforzada. Basta con mencionar la irónica inscripción lapidaria Sit tibi terra levis mollisque tegaris harena, Ne tua non p.ossint eruere ossa canes ! Que traducido literalmente dice: «Que la tierra te sea leve, y blanda la capa de arena que te cubre, que no puedan os perros no desenterrar tus huesos.» Traducido a su verdadero sentido, el segundo verso dice así: «que los

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perros den con tus huesos», de donde el piadoso deseo funeral llega a adquirir un amargo sabor de sarcasmo. Pues los romanos - expertos lingüistas que sabían, con rigurosa lógica, sacar partido a sus modismos-, consecuentes con su principio: «Duplex negatio est afirmatio», convertían en afirmación reforzada la doble negación que en nuestro verso reside en las palabras «ne» (no) y «non» (no). También nosotros significamos con «no está mal» algo que está mejor que bien; decir «no poca velocidad» equivale a un ritmo rápido, y explicar que «fulano no es un descamisado» da a entender que es todo lo contrario de un andrajoso. Vemos, pues, que es válido en filología el enunciado de que dos negaciones, o dos expresiones negativas, juntas, componen una afirmación; ¡y he aquí un notable paralelismo entre la ciencia del lenguaje y la ciencia de los números ! Pero ¡volvamos a nuestras matemáticas!Porque a lo dicho tenemos todavía algo que añadir. Ante todo, valga afirmar de nuevo que también en la división de dos números negativos ocurre exactamente igual que en la multiplicación el cociente resulta siempre positivo. ¿Por qué? La cosa se nos aparece aquí con singular sencillez. Se deduce del hecho de que un número negativo multiplicado por otro positivo ha de dar forzosamente un producto negativo. Por consiguiente, (- 35): (- 5) = + 7 En efecto, es (- 5) · (+ 7) = - 35. La multiplicación del resultado de la división con el número, por el que ha sido dividido (divisor), es siempre una prueba muy útil. Bueno, y ahora, para repetir una vez más todo esto, y resumir todo lo dicho, escribiremos, de forma ampliada matemáticamente, nuestra ya conocida tabla de multiplicar

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Y ahora vamos a evocar en nuestra memoria las correspondientes relaciones relativas al «más» y «menos» para la división

Hasta aquí, el cálculo con números relativos. ¡Los paréntesis, que nos han sido tan útiles para la derivación de las reglas de cálculo, han cumplido ya con su deber!De ahora en adelante nos serviremos de ellos solamente cuando esté clara la relación entre ellos.

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De un número que vive solamente en la imaginación

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DE UN NUMERO QUE VIVE SOLAMENTE EN LA IMAGINACION

Durante los primeros años de colegio a todos les habrá llamado la atención aquellos peculiares cálculos en los que un mismo número se multiplica por sí mismo, como, por ejemplo, 3 · 3 = 9, 6 · 6 = 36, etc. ¡Realmente, se trata de unas multiplicaciones maravillosas! Estos curiosos productos reciben el nombre de potencias. Así, se dice 3·3=9 3 · 3 · 3 = 27 3·3·3·3=8 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243

es la segunda potencia de 3 (4) es la tercera potencia de 3 es la cuarta potencia de 3 es la quinta potencia de 3

y el juego se continúa alegremente. Naturalmente, si uno encuentra la cosa divertida, o es necesario para algún cálculo en particular, es posible, también, calcular la 38ª potencia de algún número. Para resumir, con estos cálculos es posible llegar, alegre y despreocupadamente, hasta lo desmesurado y lo ilimitado, a voluntad ¡Esto parecerá algo espantoso al lector! 4

Para la expresión «segunda potencia» se utilizaba, a menudo, también el nombre de «cuadrado».

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¿La 38ª potencia de 7? ¿Cómo se escribe esto? Esta es una cosa muy complicada. Paciencia, querido lector, la cosa no es tan terrible como parece. La 38ª potencia de 7 se escribe, simplemente, 738 (léase: 7 elevado a 38). El pequeño número en lo alto, el exponente, nos indica, por consiguiente, cuántas veces hay que multiplicar por sí mismo el número base 7 para obtener la potencia. En consecuencia, por ejemplo,

23 = 2 · 2 · 2 = 8 54= 5 - 5 - 5 - 5 = 625,

y así sucesivamente. Tampoco será objeto de seria preocupación la cuestión de los signos «más» y «menos» en estas operaciones, pues toda multiplicación de un número por sí mismo, es decir, toda potenciación, puede ser considerada como una multiplicación normal repetida. Ocurre aquí, no obstante, algo ligeramente desconcertante. Estemos, pues, atentos para ver lo que sucede al ir multiplicando sucesivamente por sí mismo un número tal como, por ejemplo, el - 2

Con sorpresa observamos en estos resultados que las potencias formadas por un número par de factores son siempre positivas, mientras que las de número impar de factores salen en cambio negativas. De suerte que - 2 multiplicado tres veces por sí mismo da - 8, ¡pero multiplicado cuatro veces por sí mismo da + 16! La explicación resulta obvia después de pensar un poco. Realícense las multiplicaciones de la serie, y al ir haciéndolo se reconocerá la causa de que las cosas hayan de ser así: comencemos por multiplicar un «dos» negativo por otro también negativo, que da por resultado, como es lógico, un producto positivo; pero si este producto positivo se multiplica luego a su vez por un «dos» negativo, es natural que se obtenga por producto un nuevo número negativo, y así sucesivamente. Hasta aquí todo resulta muy comprensible, y no demasiado difícil. Sin embargo, no resulta ya tan fácil de contestar la pregunta de cuál es la base que corresponde a un valor dado de la potencia.

De un número que vive solamente en la imaginación

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Para estos cálculos se ha introducido el signo matemático de la «raíz». Si, por ejemplo, se trata de encontrar la base que, multiplicada cuatro veces por sí misma, da 625, la manera correcta de expresar este problema es: «¿Cuál es la raíz cuarta de 625?» La manera abreviada de expresarlo es 4

625 = ?; donde

es el signo de " raíz de"

El lector se dirá: esto es muy sencillo, pues el número que multiplicado cuatro veces por sí mismo da 625, es precisamente 5, 54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625 Esto es lo que hemos calculado anteriormente. De la misma manera, tenemos también (5) 2

9 = 3, pues 3 2 = 9;

3

27 = 3, pues 33 = 27;

4 5

81 = 3, pues 3 4 = 81; 243 = 3, pues 35 = 243

Todo esto es muy bonito, pero con ello no hemos ganado todavía mucho. Por el momento, lo único que sabemos es que pueden calcularse las raíces de algunos números bien determinados. De «extraer raíces» entendemos tan poco, como de multiplicar el alumno, que acaba, justamente, de aprenderse la tabla. ¿Qué significa, por ejemplo, la raíz cuadrada de 2? ¡En buen lío nos hemos metido! Naturalmente, esto lo hemos aprendido ya en la escuela, pero, quién se acuerda todavía de ello? Este cálculo –logaritmo de la raíz es su nombre- es sumamente complicado, como puede deducirse del siguiente ejemplo

5

“Raíz segunda de” se denomina, también, «raíz cuadrada». El 2 se omite. No se es-

cribe, pues,

2

9 , sino simplemente 9

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Pero, ¡basta de este cruel juego!Esto es muy poco satisfactorio. Por ello no vamos a meternos ahora en detalles. Y si al lector le parece esto muy complicado, que no se preocupe, ya aprenderemos otros métodos más sencillos, no tan exactos, es cierto, pero del todo suficientes para los cálculos en la práctica. Y ésta es también la razón de que el logaritmo de la raíz no tenga ya una mayor importancia. En el maravilloso jardín de las matemáticas se encuentra, por decirlo así, bajo protección. Otra conclusión, aún más excitante: como se deduce de la potenciación de bases positivas y negativas, a la pregunta de cuál es el número que multiplicado por sí mismo da 36, no existe una, sino dos respuestas, y ello porque existen dos números capaces de hacerlo, a saber, + 6 y - 6. Por lo tanto, 36 = + 6, y también - 6, de la misma manera que, 25 = + 5 y -5, y 1 = + 1 y - 1, etc. ¡Un mismo problema tiene, por tanto, dos soluciones! Pero hagamos la cosa aún más emocionante. De acuerdo con lo expuesto hasta ahora, podemos plantear la pregunta, realmente lógica y justificada: ¿cuál es el número que multiplicado por sí mismo da, por ejemplo, -4? Después de una breve reflexión se deduce que nos encontramos ante una nueva complicación, surgida de manera inesperada. ¿Qué número podrá ser este? Tratamos de descubrirlo con nuestro práctico sistema de deudas y cálculo con dinero. Pero la conclusión primera es realmente desoladora: «¿Cuántas veces debo contraer, o no contraer, deudas, para acabar debiendo cuatro pesetas, pidiendo prestado dinero tantas veces, como indica la suma parcial?» Y ahí nos quedamos atascados, como en una trampa sin remisión. ¡Ése es, precisamente, el abismo adonde da la puerta!, y al contemplarlo debemos confesar, simplemente, en medio de un escalofrío, que: ¡No existe ningún número que multiplicado por sí mismo produzca -4! Sentimos, sin embargo, picado nuestro amor propio y reaccionando ante semejante derrota, probamos fortuna partiendo de otro valor distinto, tal como el -36, y preguntamos: ¿Cuál es la raíz cuadrada de - 36? Pero tampoco nos

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acompaña el éxito y, no obstante, como si fuéramos víctimas de una burla, al ir más allá, hallamos que existe, en cambio, una raíz cúbica de - 27, y es - 3, puesto que (- 3) · (- 3) · (- 3) = - 27. Nada nos excusa; estamos abochornados y corridos por el hecho de vernos incapaces de contestar a una pregunta de aparente sencillez infantil, y no acertamos a encontrar un número del cual sólo se exige que llene un requisito que se nos antoja casi natural. La cuestión, en conjunto, es mucho más sencilla y, al mismo tiempo, sin embargo, bastante más compleja de lo que a primera vista podía parecernos. Trataremos, antes de seguir más adelante, de la simplificación en matemáticas, y puesto que con ello adquiriremos una nueva «costumbre», permítaseme, también en este caso, que para llegar a mi objeto me valga de imágenes tomadas de la vida real. En el lenguaje usual no es indiferente el modo en que se expresa una opinión determinada. «El decir gracias y escribir donaires es de grandes ingenios», dice Cervantes. Si se me ocurre dirigirme a mi jefe para elogiar las elevadas cualidades espirituales que reconozco en él y le digo: «Le felicito, señor, por su amplitud de miras», es algo muy distinto que decirle: «Bien sabe Dios, señor director, que no es usted ningún cretino.» Aun cuando ambas frases expresan; lógicamente, conceptos parecidos, el justo parabién me será seguramente agradecido en el primer caso, pero si adopto la segunda modalidad me veré sin duda obligado a salir «por pies» del despacho de la persona alabada. En el reino de las frías matemáticas, tan rigurosamente objetivas, no se tienen en cuenta esta clase de sutilezas. Aquí todo está sencillamente permitido, y puedo, pues, servirme de cualquier determinada expresión, perífrasis o modismo, por muy estrafalarios que sean, siempre que, sin alterar un valor dado, su empleo me proporcione una ventaja cualquiera. Lo único absolutamente necesario es atenerse a la verdad. Todo lo demás, es decir, lo que sólo atañe al «modo», nos está plenamente permitido. Permitámonos ahora un ardid semejante. He aquí la nuez dura como el acero: ¿ − 4 ? En este caso empezaremos por descomponer el número que figura bajo el signo de raíz (signo radical), de este sencillo modo: -4 = 4 · (-1)

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lo cual es enteramente lícito. Pongamos el producto resultante debajo del signo mencionado, y tendremos: 4·(−1) -¿Podemos hacer esto? ¡Sí, podemos!Para hacer ver que sí, partamos de otro ejemplo: En vez de 36 , que nos da 6, podemos escribir 4 ⋅ 9 , ó también 4 ⋅ 9 ; pues si extraemos las raíces y multiplicamos obtendremos: 2 • 3 = 6, lo cual es enteramente exacto. Así, pues, la escisión de − 4 en 4 ⋅ (− 1) debe ser también lícita. Ahora podemos dar un nuevo paso, extrayendo la raíz de 4. El malhadado (-1), al cual no hemos llegado todavía, lo dejamos sencillamente donde está, es decir, debajo del signo radical, mientras esperamos que llegue para él la orden de « ¡extráigase la raíz!» Tenemos, pues, que: − 4 = 2 ⋅ − 1 . Así, pues, habiendo llegado a esta conclusión lícitamente, hemos demostrado que, al fin y al cabo, todos estos números enigmáticos cuya raíz no es posible extraer, se descomponen fácilmente, dando lugar a un producto formado de dos números: uno de ellos «posible» y el otro (o sea el − 1 ) «imposible». Gracias a ese procedimiento, el problema se ha simplificado, puesto que por una disección análoga nos será posible aislar en otros números, tales como los - 16, - 64, - 25, etc., la parte que podríamos llamar misteriosa, cargándola toda sobre el raro y desagradable -1. Así nos habremos ido acercando al fatal «menos uno» y a su raíz, y podremos estar en posición de sorprender mejor su secreto. Pero ¡aquí te quiero, escopeta ! A la raíz de -1 se le ha dado el nombre de i. Tomemos nota, por tanto: ¡En lugar de − 1 , diremos, en adelante, i! El lector querrá saber, sin duda, qué es lo que sucede con este notable¡. ¿Es realmente un número? ¿Es posible calcular con este número, como con los números hasta ahora conocidos? Solamente en este caso estaremos autorizados - recordemos, en este lugar, el principio de permanencia- para hablar de un «número i». Con la adición y la substracción no tendremos, en principio, mayores dificultades. Podemos ver, sin dificultad, que i ± i.= 2i. Esto nos parece muy natural, aun cuando no sepamos nada de este i, de la raíz de - 1. Es tan irreal, y, sin embargo, vive en nuestra imaginación. Y nosotros calculamos con esta «irrealidad», como si fuera algo completamente natural. 8i - 5i = 3i;

3i + 5i = 8i;

- 4i - i = - 5i, etc.

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Todo esto se ordena tan fácilmente en la estructura de nuestros cálculos, que no permite se presente duda. Estos enigmáticos números i, 3i; 8i; 5i, etc., son designados por el matemático con el nombre de «números imaginarios», en oposición a los «números reales», los verdaderos, de los que nos habíamos ocupado hasta ahora. Pero ¿pueden compaginarse, realmente, los números imaginarios con los reales? En un principio, parece ser así, en efecto, como si esto fuera; lo más natural del mundo. Esta i se alinea pacíficamente con un factor numérico real. Sin embargo, tan pronto se le añade un número real, se presentan dificultades. ¿Qué significa, por ejemplo, 4 3i? ¡Es algo tan absurdo como, por ejemplo, querer sumar 4 arenques y 3 limones! ¡Imposible!. Y, sin embargo, con estas criaturas imposibles 4 + 3i; 6 - 2i, etc., empieza uno de los capítulos más importantes de la moderna matemática. Fue preciso que transcurrieran siglos y siglos en la historia de las matemáticas, antes de que el espíritu humano pudiera concebir esta «imposibilidad». Muy tímidamente fue imponiéndose la certeza de que estas formaciones -los números complejos- ocupaban un lugar.muy destacado en el conjunto de las matemáticas. Los trabajos de C. F. Gauss, en la primera mitad del siglo XIX, fueron los que aportaron una total claridad sobre este problema. A su extraordinario genio debemos también un método para representar gráficamente todas las magnitudes complejas e imaginarias. El haz de números, pensemos aquí en el modelo adecuado, en nuestro termómetro, no basta, evidentemente, para representar los números complejos. En el «ascenso y descenso» de las temperaturas, los -4 grados, 5 grados, - 1 grado, cero grados, etc., pueden leerse siempre con una sola representación numérica. Todos estos números tienen siempre sólo una dimensión, es decir, los números pueden moverse siempre sólo en una dirección, y no tienen, por tanto, ninguna posibilidad de movimiento. Por lo contrario, los números complejos vienen dados siempre por dos referencias numéricas. Por ello se habla también de pares de números y se abrevia, por ejemplo, como sigue 4 + 3i = (4;3) El par de números (- 2; 6) corresponde, por tanto, al número complejo - 2+ 6i. Naturalmente, esto es solamente una forma de representación, pero nos permite comprender de lo que se trata. Estos pares de números, cada uno de los cuales representa siempre sólo un número complejo, no pueden ser llevados unos junto a otros en un haz de números. Después de Gauss podemos representarnos los números complejos como situados fuera de las rectas de los números. Tienen, por tanto, una

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«doble dimensión» y se los representa en el llamado «plano numérico de Gauss».

¿Te arde ya un poco la cabeza, mi querido lector? ¡No te inquietes por eso! Has de saber que todas las cantidades e interpretaciones matemáticas, sólo una parte ínfima se halla a nuestro alcance. Fuera de nuestra esfera habitual (que con criterio equivocado se considera como lo único realmente existente) residen infinidad de maravillas y rarezas intangibles, verdaderamente incompatibles con las leyes de nuestra inteligencia. Ocurre con nosotros algo análogo a lo que sucede, por ejemplo, con los peces de río. Todo el mundo, para los peces, se encierra en los límites del angosto y cristalino arroyo. Los prados y alamedas, los sembrados, las aldeas y el bosque son sin duda para las truchas algo que no son capaces de representarse, algo «imaginario», y esto por la sola razón de formar parte integrante de un mundo que en realidad existe, pero que ellos desconocen. Y es, simplemente, que toda la estructura corporal de los peces, y la conformación de sus órganos sensoriales ¡no hablemos de su constitución psíquica! - los hace ineptos para captar las cosas de este mundo que existe fuera de sus aguas. Nuestra conducta ante la verdad realmente existente, o tan sólo sospechada, no resulta más atinada que la de las truchas. De igual modo que los ágiles peces huyen despavoridos al chocar de la piedra que un zagal arroja

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en el torrente, nosotros nos _ sentimos también presa de pánico ante los números imaginarios que llegan a nuestra esfera vulgar, procedentes de otros mundos en los cuales -en consonancia con nuestra naturaleza - no podemos penetrar ni siquiera con el pensamiento.

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UN POCO DE FANTASMAGORIA NUMÉRICA Descubrir, presentar y barajar en ingeniosos malabarismos las mil y una propiedades curiosas que en sí encierran los números, constituye de antiguo un dilecto esparcimiento, y se han publicado volúmenes enteros dedicados a semejantes pasatiempos. Así, por ejemplo, el número 37 ofrece la rara propiedad de que muchos de sus múltiplos están formados por la repetición de una misma cifra: 3 · 37 = 111; 12 · 37 = 444; 27 · 37= 999. Más extraordinario es todavía en esta particularidad el número 3367, pues si se multiplica por ciertos múltiplos de 33 da lugar a productos que también constan de una cifra repetida, y ésta es, precisamente, el multiplicador que se ha tomado para formar el múltiplo 33; así: 33 · 3367 = 111 111; 165.3367 = 555 555, etc. Como «número final» presentaremos el refinado 11, con la gracia de que multiplicado por sí mismo (o sea, 11) da 121, es decir, un número en el cual el valor de sus cifras asciende primero, para descender luego simétricamente. En este caso parece simple casualidad. Sin embargo, también en más altas esferas permanece fiel a esta curiosa propiedad.

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¡Bien empiezan las cosas!Estas cifras son imposible., de enunciar 12 345 678 987 654 321 ¿Un número de 17 cifras? Son 12 mil millones, 345 billones, 678 millardas, 987 millones, 654 mil y 321. 1 billarda es un uno seguido de 15 ceros 1 billarda = 1 000 000 000 000 000 Naturalmente, no hay nadie que escriba un número así. Es preferible servirnos de las prácticas potencias ya conocidas de todos nosotros 1 billarda = 1015 Pero esto es secundario. Más tarde hablaremos de ello con más detalle. ¿Podemos imaginarnos un tal número? - 1015 Su aspecto es tan inofensivo! ¿Cuánto tiempo se necesitaría para contar de 1hasta 1billarda? ¿1 año o 100 años? ¿O, quizás, incluso 1000 años? Las estimaciones están aquí fuera de lugar; será preferible calcularlo. Supongamos que para cada cifra se requiere un segundo. Ya para ello se precisa una técnica especial de conteo, no tan fácil de conseguir. ¡Démosla por conseguida! Además, es necesario contar ininterrumpidamente, día y noche. Varias personas pueden relevarse en esta tarea. En este caso, se contarán en 1 minuto 1 hora 24 horas 1 año

6o cifras 3. 6oo cifras 86 400 cifras 31 536 000 cifras

En un año no hemos llegado, por tanto, muy lejos. Y también en 1000 años estaremos aún muy lejos de la meta; sólo después de 30 millones de años estaremos ya algo más cerca de la cifra de 1 billarda. Tardaremos, exactamente 31.709.791 años, 359 días, 1 hora, 46 minutos y 40 segundos ¡Quien no lo crea, puede calcularlo!

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¡Probemos, ahora, en el mundo de los átomos! Un electrón tiene un diámetro de 0,000 000 000 005 mm. Esta «pequeñez» no podemos, tampoco, apenas concebirla, pero, de todos modos, sabemos que un tal electrón es muy, muy pequeño. Si alineamos ahora, uno al lado del otro, una billarda de estos electrones, ¿qué longitud tendrá esta cadena? Exactamente, 5636mm. = 5 m., 63 cm. y 6 mm. Prestemos ahora atención a la siguiente clasificación 1 millar 1 millón 1 millarda 1 billón 1 billarda 1 trillón 1 trillarda 1 cuatrillón

= 1000 unidades = 1000 millares = 1000 millones = 1000 millardas = 1000 billones = 1000 billardas = 1000 trillones = 1000 trillardas

Todo esto, a fin de cuentas, no son más que historias verdaderamente entretenidas y no vamos a malgastar tiempo en tales superfluidades; antes bien, nos es preciso excavar un poco más profundamente y empezar ante todo por el desarrollo de una cuestión que al lector se le habrá ocurrido ya, sin duda, al final del capítulo anterior. Vimos allí, para sorpresa nuestra, que, al lado de los números que nos son ya de antiguo familiares, existe, además, un extraño mundo de ficción poblado de nociones completamente distintas de la noción vulgar de número: es el reino ideal de los números susceptibles sólo de interpretación figurada, de los números que dimos en llamar «imaginarios» o «complejos». Pero ahora, sólidamente apoyados en nuestros leales «números guías», vamos a tratar básicamente la inmediata cuestión de si existe todavía otra clase de números. ¡Esta pregunta ha de contestarse afirmativamente! Partamos, para nuestro examen, de los conocimientos que ya nos son familiares, y veamos, en primer lugar, los números enteros. Nos es bien conocida la clasificación que se acostumbra hacer de los mismos: números pares y números impares, llamando par a todo número divisible por 2. Nada hay de interesante o singular en esta vulgar subclasificación. Un poco más curiosa, empero, resulta ya la cuestión referente a los

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números denominados primos. Son éstos aquellos caprichosos números (impares casi sin excepción), que además de ser divisibles por sí mismos (naturalmente) lo son tan sólo por 1. ¿Por qué decimos «casi sin excepción»? No debe olvidarse que existe un único número Par, el 2 precisamente, que a pesar de ser par es también primo. Tras los números primos -y es ésta una maravilla que vamos a conocer bien como de paso en nuestro paseo- se esconde uno de los más grandes enigmas que las matemáticas encierran. Lo más desconcertante en la distribución de los números primos consiste ciertamente en su irregular distribución. No se someten a ninguna ley. Así, su sucesión empieza (prescindiendo de i), con dos números primos, que son el 2 y el 3, seguidos de 5 y 7, 11 y 13, 17 Y 19, etc. Como se ve, estos números gustan a menudo de aparecer en pareja, como apoyándose mutuamente. Sin embargo, las lagunas que se extienden entre ellos son bien visiblemente desiguales, unas mayores, otras más pequeñas. Lo notable es la evidencia que se tiene de la absoluta imposibilidad de hallar una ley para la distribución y extensión de esas lagunas y, por lo tanto, la imposibilidad de saber determinar «a priori» los números primos. Así, pues, a pesar del gigantesco instrumento del razonamiento matemático, cuando nos proponemos averiguar si un número determinado es primo o no lo es, nos vemos forzados a perder nuestro tiempo en fatigosas pruebas. Así ocurre que sólo a costa de largas y pesadas divisiones podemos llegar al conocimiento de que el 589 no es primo, por ser el producto de 19 por 31. Como decimos, no hay ley. Inversamente, podrá sospecharse que los números primos se hacen más raros, sucediéndose a intervalos cada vez mayores a medida que se aproximan a las esferas del millón, del trillón, etc. Podría deducirse de esto que ha de alcanzarse un instante en que los números primos dejan de existir y que, por consiguiente, debe haber uno de dichos números como punto final, mayor que todos los restantes, y «tras el cual» no existe ninguno más. Pero, ya alrededor del año 300 antes de J. C., sabía el genial Euclides que la serie de los números primos no se agota nunca. Ocurre tan sólo que los mayores de ellos no nos son, naturalmente, conocidos. A partir de cierta altura en esta serie hay campo para una especie de deporte matemático: la «caza de los números primos». Durante muchos años el número 261 - 1 = 2 305 843 009 213 693 951

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pudo ser considerado como el más elevado trofeo del que un cazador de números primos había podido vanagloriarse, una «sexagésima primera» potencia que conservó, durante largo tiempo, el «campeonato» del mayor número primo conocido de la humanidad. Pero entre tanto surgió un nuevo matemático, más afortunado todavía, que logró destacar al primer plano el nuevo número primo. 2127 - 1 = 170 141 183 460 469 231731687 303 715 884 105 727 Para saber, pues, cómo es este «fenómeno» bastará multiplicar el número 2 ciento veintisiete veces por sí mismo y restar 1 al producto. Esto nos dará un número primo que, hasta hace todavía poco tiempo, podía vanagloriarse de ser el rey entre los números primos. ¡Pero también éste ha sido ya destronado!Hoy día se sabe ya que 22281 - 1 es un número primo. Nuestra capacidad de representación queda con ello prácticamente agotada. Para poder representar este número, que consta de 687 cifras, necesitaríamos 14 líneas, muy comprimidas, de este libro. Hasta aquí lo referente a los números primos. Fuera de ellos no encontraremos en nuestra alineación numérica nada que, en apariencia, ofrezca interés inquietante, siempre que nos atengamos a los números enteros. Pero hemos de considerar que éstos no están solos, ni mucho menos, en el mundo real. A su lado se encuentran las famosas fracciones: las fracciones decimales, algo más modernas, que se nos presentan por doquier en la vida práctica corriente, y los quebrados o fracciones comunes, relegados hoy día_ a un plano notablemente secundario. ¿Qué es en suma un quebrado? La respuesta no deja de ser interesante. Los quebrados proceden, en cierto modo, de la división. La raya del quebrado constituía originariamente el signo más usado para indicar dicha operación aritmética. Fue Leibniz el primero en adoptar los dos puntos (: ), hoy día comúnmente empleados como signo de la operación «divídase por». El quebrado es, pues, en realidad, una división planteada, pero no efectuada todavía. Si escribo 14: 9 propongo la operación tan correctamente como si

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escribo 14/9. Conocida nos es, por lo demás, la clasificación en quebrados propios (por ejemplo, 1/2) e impropios (por ejemplo, 4/3), etc. Con la introducción del sistema decimal, los quebrados o fracciones comunes han desaparecido de tal manera en la vida práctica, que hoy ya son pocas las personas familiarizadas con las sencillas reglas para su operación. ¡Y esto es una lástima, pues los quebrados comunes son altamente instructivos! Se ha podido comprobar que determinados valores que, mediante un número quebrado, podían escribirse sencilla y exactamente, quedaban, en cambio, incompletamente expresados al serlo mediante fracciones decimales. Así, 1/3 = 0,3333... 2/3 = o,666666..., lo cual resulta todavía más desconcertante al saber que hay otros quebrados, por ejemplo, 3/4, que se pueden expresar, también, completamente en decimales (0,75 en este caso). Los puntos tras una fracción decimal indican que ésta es infinitamente larga, y que puede ser, por tanto, eternamente prolongada hasta lo infinito, ya que contiene un sinfín de lugares decimales. Se debe, pues, tener presente que algunos sencillos quebrados comunes son tan sólo susceptibles de ser traducidos a la forma decimal mediante fracciones decimales prolongadas hasta lo infinito, o sea que prácticamente -puesto que hemos de permanecer siempre en lo finito- no pueden ser representados con exactitud, mediante fracciones decimales. Y para hacernos cargo del tipo de expresiones a que, en determinadas circunstancias, hemos de vernos conducidos, daremos como muestra la transformación, mediante una sencilla división, del quebrado 10/7 , en una fracción decimal. Procédase a realizar la operación y se verá que es cuento de nunca acabar; pues obtendremos el divertido resultado siguiente: 10: 7 = 1,42 857 142 857 142 857... ¡y así indefinidamente ! Semejantes expresiones reciben el nombre de fracciones decimales periódicas (infinitas) y se escriben abreviadamente poniendo para 0,666666... sencillamente 0,6, así como para 1,42 857 142... sencillamente 1,42857. Tras todo esto no parece que se escondan grandes hechos, aun cuando debamos hacer la revelación de que incluso los números enteros pueden ser expresados en forma de semejantes decimales periódicos. Así, por ejemplo, 1 = 0,9 999 999..., o sea igual a 0,9, y 17 = 16,9999999...,= 16,9, etc.

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He aquí, para distracción y recreo, dos acertijos matemáticos: ¿Cómo se escribe 100 con seis nueves? Pues -así reza la respuesta en diversos libros de pasatiempos- sencillamente: 99 + 99/99. Igualmente gracioso, pero más ingenioso todavía sería preguntar, ¿cómo se escribe 10 con dos nueves? Así: 10 = 9,9, lo cual es rigurosamente justo desde el punto de vista matemático. No deja de ser también interesante la traducción inversa y se demuestra de manera fehaciente que toda fracción decimal exacta (finita o infinita periódica) puede ser transformada en un quebrado común. Así, 0,013 equivale a 13/1000; 24,05 = 2405/100; 1,32 es igual a 132/100 etcétera. En las fracciones decimales infinitas no podemos seguir, naturalmente, así adelante. Un ejemplo: ¿existe un quebrado común para

2 = 1,41421... ? Podemos formar el múltiplo por mil, el múltiplo por cien mil o un múltiplo todavía mayor: la coma no desaparece, es imposible eliminarla. Probemos ahora con las fracciones decimales periódicas más sencillas. Aquí sabemos, por lo menos, qué aspecto tienen las infinitas cifras detrás de la coma 2,6666...; 1,42857142857... Los llamados «períodos» 6, respectivamente, 142 857 se repiten hasta el infinito. Merced a un pequeño juego de manos podemos eliminar la coma. El décuplo del número 2,6666... tiene las mismas cifras, detrás de la coma, que el número sencillo 10 • 2,6666... = 26,6666... 1 • 2,6666... = 2,6666... Si del décuplo quitamos el número sencillo obtenemos, sencillamente, 24. Esto es, por tanto, nueve veces el número. Exactamente de la misma manera como 10 limones menos 1 limón son 9 limones. Así, pues, 9 ·2,6666... = 24 El número sencillo es, en este caso, la novena parte. Con ello hemos resuelto nuestro problema 2,6666... = 24/9 = 8/3

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El quebrado lo hemos podido «acortar», todavía, con 3, es decir, hemos dividido numerador y denominador del quebrado por el mismo número. Como es sabido, el valor del quebrado permanece, con ello, invariado. Tanto si dividimos 12 manzanas por 4, o 6 manzanas por 2, el resultado es el mismo: 3. De la misma manera, todas las fracciones decimales periódicas pueden transformarse en quebrados comunes. Probémoslo, ahora, todavía con el número algo «más difícil» 1,42 857 142 857... obtenido por la división 10: 7. En esta fracción decimal, sólo el múltiplo millón del número tiene las mismas cifras. detrás de la coma. como el número sencillo

1.000.000 · 1.42857142857... = 1428571,42857142857.. 1 · 1.42857142857... = 1.42857142857... 999.999 · 1.42857142857. = 1428571 De este modo se deduce el número simple como la 999 999 ava parte 1,42857142857 = 1 428 570 /999 999 Con ello hemos terminado ya, realmente, pues hemos obtenido un quebrado común. De todos modos, este quebrado parece todavía muy complicado. Por ello vamos a ver si podemos abreviarlo. Y, en efecto, podemos dividirlo, sucesivamente, por 9, 3, 37, 13 y 11. Así tenemos

1.4285070 158.730 52.910 1.430 110 10 = = = = = 999.999 111.111 37.037 1.001 77 7 Hemos obtenido, por tanto, el siguiente resultado 1,428571428 = 10/7 ¡Llegar hasta aquí no ha sido, en realidad, nada sencillo!

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Hasta aquí vamos bien; pero la siguiente pregunta, lógica, nos abre otra vez la puerta a un nuevo misterio de los números, realmente profundo: ,Qué ocurre con las fracciones decimales infinitas, pero nol periódicas? ¿Cómo se reducen a quebrados comunes? Hemos de suplicar al lector que crea simplemente el enunciadorespuesta que vamos a dar a esta pregunta. Pues la demostración matemática, que no puede ser más sencilla, nos resultaría, sin embargo, en extremo difícil a causa sobre todo de nuestro poquísimo dominio del «lenguaje matemático». La respuesta dice sencillamente: ¡Las fracciones decimales infinitas no periódicas no son susceptibles de ser transformadas en quebrados comunesl A primera vista esto no parece en verdad nada fuera de razón. Habremos de ir, pues, más adentro para mostrar al lector la insondable y sobrecogedora profundidad de este misterio. Para ello volveremos de nuevo a los quebrados comunes, que están íntimamente emparentados con los números enteros y a base de los cuales se estructuran directamente, pues el numerador y el denominador, que son los términos de que constan, son números enteros. Estos términos pueden elegirse pequeños o grandes, a discreción. Sin más, por lo tanto, puedo escribir, sea encima o sea debajo de la raya dei quebrado, trillones, cuatrillones, hasta los números gigantes más descomunales, en la forma que mejor me parezca. De todo esto se deduce inmediatamente que a la vista de un quebrado común dado no puedo declarar cuál es su inmediato mayor ni cuál su inmediato menor. ¿Cuál es el quebrado que siendo mayor que 1/2 difiere menos de éste? ¡Pregunta sin respuesta posible, pues en seguida me pierdo aquí entre cúmulos de números de magnitud rayana en lo infinito. Y puedo sin cesar ir construyendo quebrados cada vez más próximos al ½ . Así 51/100 es contiguo al ½, pero 50.000.001 /100.000.000 se le acerca añun mas, y si recurro a los números gigantescos, la diferencia con ½ será cada vez más pequeña, sin que, de todos modos, llegue a desaparecer nunca por completo. Como consecuencia inmediata de esta prueba parece desprenderse la posibilidad de que cualquier valor fraccionario, por finamente aquilatado que sea, admita ser representado, o transcrito, mediante un quebrado común; porque digo siendo así que tengo á mi disposición, en caso necesario, cantidades enormes de números, bien podré -para expresarme en términos completamente populares - «atrapar», en la tupida red de los quebrados comunes, cualquier valor fraccionario que se presente.

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Dándose la mano con lo expuesto - y si retrocedemos de nuevo a la alineación numérica - se nos ocurre la idea de que también en ella podrían los quebrados comunes, sucediéndose ininterrumpidamente en un escalonamiento escrupuloso, llenar todo el espacio comprendido entre un número entero y su inmediata superior, y -lo que es más importante- llenar, por tanto, en toda su extensión longitudinal, la alineación numérica. Pero resulta que ambas conclusiones son sorprendentemente, y casi increíblemente, falsas; y es que, si bien es cierto que entre dos números enteros se alinean, sucesivamente, un sinfín de quebrados propios, no lo es menos que, por muy «apretadas» que sean las filas de los quebrados, han de persistir, sin embargo, entre ellos determinados espacios. Pues, por añadidura, no todos los valores fraccionados pueden representarse mediante quebrados comunes, y los únicos números de que disponemos para intercalar entre los quebrados comunes finísimamente escalonados y probar de llenar, en cierta medida, las lagunas de la alineación son las fracciones decimales no periódicas, cada una de las cuales se prolonga, de forma inacabable, hasta lo infinito. Ahora bien, esta conclusión se les antojará ilógica y contradictoria creo yo- a algunos lectores. Y lo es si se mira lo fundamental. Ya los antiguos griegos -de tan antiguo arranca la consideración de este hecho, hoy solamente conocido por muy pocos de entre los iniciados - se habían quebrado la cabeza con semejante problema, y este resultado recibía de ellos, desde Pitágoras, la denominación de «alogos», que significa algo así como «ilógico o carente de sentido». Por lo demás, el punto de vista de las matemáticas es hoy, a este respecto, exactamente el mismo; y a estos nuevos números -las fracciones decimales no periódicas- que se hallan en contradicción con la razón -con la «ratio» - se los denomina «números irracionales». Con esto hemos trabado, pues, conocimiento con una nueva especie de números. De suerte que los números «reales», que ya conocíamos, se clasifican, pues, en: racionales (conformes con la razón) e irracionales (contrarios a la razón). Como aclaración a lo dicho conviene presentar aquí una imagen de la cual hay que decir, ya desde ahora, que, como toda comparación, resulta coja, y más en este caso, en que pretendemos demostrar algo infinitamente delicado mediante un ejemplo de lo más basto. Comenzaremos por ampliar nuestra alineación numérica, representándola como un trayecto de ferrocarril de algunos centenares de kilómetros de longitud. También ésta resulta una alineación numérica excelente, por

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cuanto en su trayecto aparece señalado, comenzando por la estación de partida, el llamado «kilometraje». A derecha e izquierda de la vía se yerguen en tamaño grande los hitos indicadores de kilómetros, y entre ellos, otros más pequeños que indican la subdivisión en hectómetros. Desde la ventanilla del coche pueden verse unos y otros en todas las líneas de ferrocarril, y su combinación nos da indicaciones tales como 27,8, 27,9; 40 Km., 40,1, 40,2, etc. Esta grosera división llena su objeto plenamente desde el punto de vista de la técnica ferroviaria y prácticamente basta para todos los efectos. Cualquier ocurrencia en algún punto del trayecto se localiza de modo suficiente mediante la indicación: «en el Km. 44,7» o «entre los 56,6 y los 56,7 Km.». Estas marcas itinerarias podemos compararlas con nuestros quebrados comunes y considerarlas, por tanto, como los indicadores «racionales» o «razonables» del trayecto. Pero al mismo tiempo es innegable que en el imaginado trayecto ha de haber, por ejemplo, un punto cuya distancia al de partida sea exactamente 4,427448 Km. Sucede únicamente que no podemos determinarlo con exactitud por ninguno de los medios técnicos que nos son conocidos; y ello a causa, precisamente, de que no existe ninguna medida de longitud que, tratandose de tan grandes distancias, permita afinar a la perfección un punto en décimas de milímetro. Este punto - y una infinidad de puntos semejantes - existe, pues, de hecho en el trayecto mencionado, sin que nos sea posible determinarlo ni siquiera mediante los instrumentos de medición más delicados. Un tal punto es, pues, verdaderamente irracional, es decir, absurdo. Resultaría en gran manera ridículo que un ferroviario transmitiese un parte del tenor siguiente: «A causa de una avería en la locomotora, el tren D 76 se halla detenido a mitad del trayecto y el primer par de ruedas de la máquina se halla exactamente a la altura del kilómetro 429,7758.» Lo mismo ocurre con los números irracionales. Así como nos es imposible determinar con toda exactitud un punto del trayecto en décimas o centésimas de milímetro, nos lo es igualmente al escribir en cifras un número irracional; pues los quebrados comunes, muy manejables, pero demasiado bastos y de insuficiente afinación, no se prestan a ello; y si recurrimos a los decimales quedaremos en seguida «defraudados», puesto que no ya toda una vida, ni siquiera las eras irrepresentables transcurridas desde la aurora de los tiempos, serían suficientes para trasladar al papel un quebrado decimal no periódico de una extensión realmente infinita... ¡Lástima que la bonita y luminosa idea que sobre esto teníamos resulte enteramente falsa, pues en ella nada hay de irracional o irrazonable !

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Más justo hubiera sido representar los hitos itinerarios - es decir, los símbolos de los quebrados comunes - infinitamente más estrechos en el sentido del camino y sucediédose ininterrumpidamente, de forma que la más insignificante variación de distancia imaginable viniese al momento señalada por su hito correspondiente. Estos hitos, entre los cuales nada se interpondría, ni siquiera el más leve resquicio, formarían, pues, una pequeña e ininterrumpida valla paralela a la vía. Y sin embargo, aun así habrían de existir intervalos suficientes entre los hitos en cuestión para que en su espacio pudieran intercalarse, en cierto modo, una inmensa cantidad de fracciones decimales infinitas no periódicas. Esta incompatibilidad entre las sucesiones herméticas y los incontables intersticios que manifiestamente han de coexistir con el hermetismo, es lo irrazonable, lo irracional, en este misterio de los quebrados, que desde hace casi dos mil años importuna a la humanidad y que en la actualidad no ha logrado todavía penetrar en nuestra mente. Convengamos en que este asunto de los números irracionales resulta, por demás, enfadoso y enrevesado. Y ahora nos encontramos con un hecho que nos parece casi absurdo, después de todo lo visto hasta ahora: los números irracionales pueden «dibujarse». Veamos, a este respecto, un bonito ejemplo. Una de las relaciones de cantidad más importantes y más frecuentemente utilizadas es la existente entre la longitud de uno de los lados iguales de un cuadrado cualquiera y la longitud de la diagonal de éste. Propongamos, por ejemplo, inscribir una figura (o sea un ornamento de envolvente cuadrada) en un círculo de determinado tamaño. ¿Cuál será la longitud del lado del cuadrado, dada la longitud del diámetro del círculo? A poco que se reflexione se verá que la cuestión se reduce a la consideración de un triángulo rectángulo e isósceles al que puede aplicarse el viejo teorema de Pitágoras y llegar por él a la conclusión de que la diagonal de un cuadrado (que en este caso es el diámetro del círculo) es igual a la longitud de uno de los lados multiplicada por un número en extremo sencillo, el expresado por que como es natural se halla de antiguo calculado y vale 1,414214..., que resulta ser un número fraccionario infinito y no periódico, es decir irracional. Si dibujamos, por tanto, en un cuadrado cuyo lado es 1, la diagonal, la longitud de ésta será 2 = 1,4142 ...

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De este modo hemos representado gráficamente el número irracional

2 sin muchos problemas.

Irracionales son, además, casi todas las raíces; por ejemplo, las raíces cuadradas de 5, de 8, la raíz cúbica de 36, de 49 6 112, etc. Una excepción la constituyen todas las raíces que se «abren»; por ejemplo

También el infinito ejército de los logaritmos -ya tendremos ocasión de conocerlos más a fondo- son, casi todos, números irracionales. Con los logaritmos llegamos, sin embargo, todavía, a otro grupo de números -al que esperamos tener ocasión de conocer durante nuestro paseolos «números trascendentes». También éstos pertenecen a los números irracionales, pero se caracterizan por el hecho de que no pueden representarse ya como «raíces» (6). Mientras que los números irracionales ya provocaron el despecho de los antiguos griegos, el descubrimiento de los números trascendentes es producto de tiempos más modernos. El propio C. F. Gauss, «rey de las matemáticas», nada preciso sabía acerca de ellos, pues hasta el cuarto decenio del pasado siglo se ignoraban del todo estas curiosas particularidades. El lector, si es que no ha perdido ya la cabeza, opinará tal vez que nos hemos elevado en exceso. Cálmese, pues ha de saber que uno de los números más importantes en el orden práctico, sin el cual toda la técnica actual resultaría inconcebible, pertenece a este grupo de trascendentes. Se trata del 6

(') Más exactamente «raíces de una ecuación algebraica»; pero esto no lo entendemos, y no es, tampoco, importante para nosotros.

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llamado número de Ludolf, más o menos conocido desde hace milenios, y que nos dice las veces que la longitud de una circunferencia contiene la longitud de su diámetro; se trata, en fin, del célebre número π, usado a diario millones y millones de veces. Es, desde luego, un número, naturalmente, irracional, o sea que sólo puede expresarse -mediante una fracción decimal infinita no periódica. Helo aquí, incompleto 3,14159265358979323846.. Lindemann demostró por primera vez, en 1882, que este número es trascendente. Con anterioridad, en 1873, había hecho ya Hermite el gran descubrimiento de que el «número entre todos los números», acaso el más importante de todos, la verdadera piedra fundamental y angular de toda la Matemática, el número e, célebre base del llamado sistema de logaritmos naturales y cuyo valor incompleto es 2,718281828459045... es también un número trascendente. No nos reproches, lector amigo, el que hayamos abusado un poco de tu facultad imaginativa. Pues cabe preguntar ¿No son verdaderamente grandiosos y espectaculares los misterios que durante este ligero paseo por los dominios de los números han aparecido a nuestros ojos? Y qué mísero resulta, sin embargo, nuestro poder, que no alcanza siquiera a expresar mediante cifras un número tan simple como habría de ser el que multiplicado por sí mismo diese por producto 2 Y ¡qué gigantescamente grande y noble es el trabajo de la inteligencia que ha sabido proporcionarnos toda esta serio de conocimientos ! He aquí una exposición que en los que reflexionan seria mente habrá de despertar un presentimiento de la augusta belleza del mundo de la concepción matemática.

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Las primeras impresiones del prodigioso jardín de las matemáticas han hecho cambiar fundamentalmente el mundo de nuestras representaciones. ¡Cuán interesantes son, sin embargo, todas las relaciones que unen entre sí aun los cálculos más sencillos! Antes de ocuparnos más a fondo de la «teoría», que no nos parece ya tan «gris», estudiaremos primero algunos problemas prácticos. Procuraremos, como medida de precaución, callar prudentemente de lo que se trata, para evitar que el lector, asaltado otra vez por el temor a una supuesta nueva dificultad de concepción, cierre el libro, en la creencia de que no logrará desentrañar jamás tan intrincadas materias. En realidad, la cosa es, también en este caso, tan sencilla, que - como está comprobado - hasta los alumnos algo listos de las escuelas elementales se ocupan de ella. Siempre ha gozado el número 10 de una especial y plena popularidad, y el motivo es fácil de comprender. El 10 es el número básico que, en cierto modo, se repite desde un principio en toda la numeración. Y es por esa característica sistemática que esta práctica decena nos permite contar del modo mejor y más sencillo; es el número más «grato» por ser el que menos quebraderos de cabeza nos ocasiona al practicar la_ adición, multiplicación, división y substracción. Así, pues, vamos a entretenernos un poco con este número, calificado como el «más sencillo».

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¡Empecemos, pues, a contar con nuestro «sencillo número»! En cierto modo curiosa es la multiplicación de diez por sí mismo, es decir, la llamada potenciación. Para ello nos serviremos, naturalmente, de los pequeños y conocidos números plantados en lo alto las potencias. Recordamos todavía cómo debe leerse esta forma de anotación. 10 • 10 = 102 equivale á «cuadrado de diez» o «segunda potencia de diez», o -con expresión acertadísima, que utilizaremos las más veces- «diez elevado a dos». En consecuencia, «diez elevado a tres» 103, es decir, mil, y así sucesivamente.

Esta notación nos lleva a considerar algo que al lector acaso pueda antojársele disparatado. Se trata del símbolo 101, es decir, «diez elevado a uno». Pero si lo consideramos más a fondo podremos darnos cuenta de que 101 se incluye de manera perfectamente armónica. Significa, simplemente en comparación con las otras potencias-, que el diez debe escribirse sólo una vez. Era necesario detenernos en esta aclaración porque a partir de ella podemos establecer inmediatamente una estrecha relación entre los números pequeños que figuran en la parte superior derecha del diez, y el valor relativo del producto, o sea el número de ceros que lleva. El producto tiene exactamente -vulgarmente hablando- tantos ceros detrás del uno como indica el numerito colocado arriba. Según esto, 1.000.000 es =106, y se escribe, pues, con seis ceros; del mismo modo que: 102, o sea l00, se escribe tan sólo con dos ceros. De aquí resulta una comodidad extraordinariamente grande, y es que ahora podemos expresar los monstruosos números gigantes mediante combinaciones de números sencillísimas, claras y de fácil interpretación al primer golpe de vista. Así, por ejemplo 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 equivale sencillamente a 1030.

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Incluso los números descomunales cuyos primeros lugares no se hallan ocupados por «uno» y ceros podrán ser traducidos por nuestro cómodo y recién hallado procedimiento. Así: 29 000 000 000 es sencillamente 29 • 109, o 29 000 millones. Ahora bien, estas pequeñas cifras colocadas en la parte superior derecha, llamadas «exponentes», nos permitirán además ampliar útilmente nuestra técnica relativa a la multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces. Procediendo por partes y sin prisas, fijémonos en que 100 • 1000 da 1.000.000, y esto, en nuestra nueva escritura, equivale a: 102 · 103 = 105; del mismo modo que, por ejemplo: 1.000.000 • 1.000 = 1.000.000.000 = 106 · 103 = 109. Con natural sorpresa nos damos así cuenta de que la multiplicación de los números reales se convierte en una adición de los consabidos números de la derecha, es decir, de los exponentes, y es fácil ver que esto no sólo es aplicable al caso de la unidad seguida de ceros, sino que también lo es cuando se trata de otros números cualesquiera. Así 3 · 9= 27 equivale a 31 · 33 = 33. Y este caso nos hace comprender al mismo tiempo la oportunidad de haber anteriormente colocado un pequeño uno en la parte superior derecha de un simple diez. Lo mismo ocurre con la división, pero a la inversa. Veámoslo también prácticamente: 1.000: 10 = 100, equivaldrá, según el nuevo modo de expresión, a 103: 101 = 102 Así, pues, ¡a división de los números reales se ha convertido en una substracción de los exponentes! Una vez aquí nos falta muy poco para poder contestar a la pregunta siguiente: ¿De qué modo puedo escribir por este procedimiento las fracciones decimales? Primero, una pregunta: ¿Qué es 10l: 103? Si, de acuerdo con la regla establecida, restamos los exponentes, obtendremos 10-2. Ésta es una cosa casi absurda, con la que poco podemos empezar, a primera vista. ¿10-2? ¿Diez no escrito dos veces y luego multiplicado entre sí? Nuestra comprensión, evidentemente, ha terminado. Pero en este caso no resulta tan difícil descubrir el meollo de este misterio. Como ya sabemos, 10: 103 equivale también a

101 10 = 3 100 10

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Este quebrado podemos, empero, dividirlo, también, por 10, obteniendo de este modo 1/100 La «potencia» 10-2 se revela como el quebrado 1 / 100 ¡Y lo mismo puede hacerse con cualquier número!Así, por ejemplo, de 22: 25 se deduce que 2-3 no es otro que el quebrado 1/23 = 1/8 -. Quien no vea esto con claridad, puede hacer los cálculos correspondientes, sin utilizar las potencias. Otros ejemplos, todavía

Los quebrados pueden representarse, también, como fracciones decimales. La cosa es particularmente sencilla ron los quebrados de 10:

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La potencia negativa indica, por consiguiente, cuántos ceros debe tener la fracción decimal. Sin necesidad de ningún cálculo especial, podemos convertir una potencia de diez, de exponentes negativos, inmediatamente en una fracción decimal. Así, por ejemplo, en el caso de 10-8 se añaden simplemente 8 ceros, se añade un 1 y se añade, finalmente, todavía la coma. ¡Todo ello es muy sencillo! No hay que indicar siquiera que las potencias con exponente negativo están muy indicadas para la representación de números muy pequeños. Recordaremos, todavía, un ejemplo: el diámetro de un electrón, al que dimos como 0,000 000 000 005 636 mm. Si tenemos en cuenta que 5636•0,00000000000001 = 0,000000000005636 podremos escribir esta formación numérica, tan poco manejable, de una manera mucho más sencilla Diámetro del electrón = 5636 . 10-15 mm. ¡Y así se representa, también, en todas las obras científicas ! Algunos de nuestros lectores habrán observado ya que en la introducción de los exponentes negativos estaba, también, en juego el principio de la permanencia: hemos ampliado el concepto de potencia a las potencias con exponente negativo, consiguiendo, con ello, que nuestras reglas de potenciación sigan siendo válidas para un campo mucho mayor de tareas. Lo importante es aquí que no se deriven cualesquiera contradicciones. Probemos, de momento, con la multiplicación: 10 · 0,01 = 0,1, o expresado en palabras: diez veces una centésima es igual a una décima. De acuerdo con nuestra anotación, significa esto: 101 • 10-2 = 101. ¡Por consiguiente, da resultado ! Conviene, sin embargo, prestar ahora un poco de atención, pues del desarrollo ulterior de nuestro problema resulta algo que a primera vista parece estar en franca contradicción con toda lógica usual. No nos apartemos de nuestro diez tan fácilmente manejable. Sabemos ya que 102 = 100, y que, por el contrario: 10-2 es igual a 1/100, etc. Entre los valores 102 y 10-2 debe existir, sin duda, también el valor 10°, y aquí se nos presenta una delicada cuestión: ¿qué significa entonces realmente «diez elevado a cero»? Si le atribuyéramos la significación del imperativo: ¡no escribas para nada el 10, ni lo multipliques tampoco por sí mismo!, ¿no sería un patente disparate? Concedamos que la tal pregunta planteada en esta forma suena en cierto modo a necedad. Pero la práctica, me-

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diante un sencillo ejemplo, nos da una contestación enteramente clara y significativa. Así tenemos que: 103 • 10° debe equivaler simplemente a 103, pues la suma de los exponentes 3 + 0 no puede dar más que 3. Si a un número cualquiera no le añado nada (ni nada le resto) dicho número permanece simplemente invariable. Nuestro ejemplo nos dice, por lo tanto, que podemos multiplicar 103 por un cierto número (desconocido todavía y que no se oculta tras el disfraz de 10°) sin que el 103, o sea 1.000, sufra variación alguna. Una cosa igual ocurre en la división de 103 por este mismo misterioso número. ¿Qué clase de número puede ser éste, que cuando multiplica o divide a otros no los hace variar en lo más mínimo? No necesitamos investigar mucho, pues el curioso prodigio, tras el cual andamos, ha de ser forzosamente el único posible y ¡precisamente el uno! Y así llegamos al hecho sorprendente, pero innegable, de que «diez elevado a cero» es igual a 1. Por tanto, hemos «inventado» un nuevo símbolo numérico. «¿Para qué?», se preguntará el lector. Para contestar esta inmediata pregunta; ahí va un ejemplo 102: 102 = 10 2 – 2 = 100 = 1 Sin la definición de un nuevo símbolo 100 = 1 fallaría, en este caso, la regla de la potenciación. De la misma manera, sería imposible de resolver, por este sistema, el problema 34: 34 = 34-4 = 30. Naturalmente, sabemos perfectamente, cuál ha de ser el resultado

3 4 3·3·3·3 = =1 3 4 3·3·3·3 Y así nos encontramos con la sorpresa de que también 30 = 1. Esta curiosa relación es válida, sencillamente, para cualquier número. Como hemos mencionado ya, repetidamente, es lógico que todas las operaciones numéricas encontradas y su básica simplificación, mediante los «números pequeños», son válidas también para todos los otros números. Así, por ejemplo, 152.154 = 156, de la misma manera que 2112 · 2114 = 2126 Esta profundización no habría de prestarnos ya ningún valioso servicio, pues las operaciones semejantes a las de estos dos últimos ejemplos

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son en cierto modo raras y los conocimientos' que hemos adquirido acerca de esto no nos servirían más que como interesantes y entretenidas piezas del arte de calcular en casos determinados y especiales, si no fuera que habrán de permitirnos utilizar y aplicar el truco de nuestros numeritos a otros números fundamentalmente distintos. La solución del problema 4261 . 33448 =? quedaría en efecto muy simplificada si pudiésemos resolverlo jugando con nuestros numeritos como en el caso, por ejemplo, de la multiplicación de 10 • l00 El camino que conduce a este fin, y algunos se habrán ya percatado de ello, nos va a resultar poco largo. Sabemos que 100 = 10 • 10 = 102 y 1.000= 10 • 10 • 10= l03. Y ahora viene la cuestión que a primera vista parece sin sentido y absurda: ¿Cuántas veces necesito multiplicar el 10 por sí mismo para obtener, por ejemplo, 500? La pregunta nos choca de pronto porque en nuestro lenguaje vulgar y corriente nos dice de algo enteramente fuera de lógica. En realidad, es decir, concebida de modo puramente matemático, la cosa varía por completo, pues puedo hallar en seguida una respuesta aproximada a nuestra pregunta. Así: 500 se halla entre 100 y 1.000, es decir, entre 102 y 103. Para obtener 500 necesito, pues, indudablemente, multiplicar 10 por sí mismo algo más de dos veces y algo menos de tres. ¡Reflexiona un poco por favor, lector amigo, depón los prejuicios que empañan la visión justa de las cosas y procura abarcar con la mirada enteramente despejada la clara evidencia de este desconcertante aserto! Después de haberlo calculado realmente a fuerza de tiempo, se sabe hoy con absoluta precisión que para obtener 500 es necesario multiplicar 1o por sí mismo 2,698970... veces (este número acaba en una fracción decimal infinita no periódica). A la pregunta de: ¿cuántas veces habrá que multiplicar 10 por sí mismo para obtener, por ejemplo, 7?, se puede contestar de modo análogo. También en este caso salta claramente a la vista que este último número será menor que 1 y mayor que 0; pues l00 da 1, mientras que 101 da l0. El número buscado es realmente 0,845098...; y ahora, para poner un par de instructivos ejemplos, vamos a escribir el valor de los «numeritos» que habrán de indicarnos las veces que debe multiplicarse el 10 por sí mismo para obtener algunos «números vulgares». Así, por ejemplo 100,47712... = 3 101,30103... = 20 101,69897... = 50 102,17609... = 150, etc

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Más adelante averiguaremos de dónde salen estos números. Ahora vamos a hacer, en primer lugar, un experimento de la mayor importancia. Puesto que 102 • 105 es igual a 107, la ley de simplificación que aparece aquí de manifiesto debe conservar su validez aun cuando los numeritos que hacen de exponente de 10 no sean números enteros, sino fracciones decimales. ¡Veámoslo! 20 • 50, por ejemplo, equivale a 1.000, o sea l03. Pero si yo escribo 101,30103 en lugar de 20, y l01,69897 en lugar de 50, habrá de resultar, para que dicha ley se cumpla, que el exponente del producto sea precisamente 3; y, para alegría nuestra, podemos ver que realmente estos excelentes numeritos cumplen fielmente su palabra; así: 101,30103 · 101,69897 = 101,30103 – 1,69897 =103 = 1.000 Una segunda prueba nos proporcionará un resultado idénticamente brillante con 3 = 100,47712 y 50 = 101,69897. Así, pues, la suma de estos pequeños números habrá de darnos aquel pequeño número que nos indica cuántas veces hemos de multiplicar 10 por sí mismo para obtener 150. ¡Y, en efecto, es correcto! 3 · 50 = 100,47712 · 101,69897 = 100,47712 + 1, 69897 = 102,17609 Como podemos deducir de los ejemplos numéricos arriba mencionados, tenemos 102,17609 = 150, lo que quería demostrarse. ¡Una historia realmente fantástica ! No queremos ocultar ya, por más tiempo, al lector, el nombre de estos exponentes quebrados. ¡Todos aquellos pe-, queños números que indican cuántas veces debe multiplicarse 10 por sí mismo para obtener un número determinado se llaman logaritmos! Antes de seguir adelante en nuestro empeño de dar a conocer en toda su amplitud la curiosa magia de la tabla de multiplicar, descubriremos el secreto de la procedencia de estos logaritmos. Su obtención en las tablas logarítmicas es cosa bien sencilla, porque en éstas figuran asentados en disciplinadas columnas los logaritmos pertenecientes a todos y cada uno de los números imaginables... El lector dirá « ¡Alto ahí!¡sto es un disparate! ¿Cómo es posible colocar todos estos números en un breve manual? ¡Esto es imposible! » ¡Pero se equivoca el amigo lector !Pues lo maravilloso de los logaritmos es que con un modesto montoncito de estos «peones del arte de calcular» basta ya para dominar todo el panorama de los números que nos

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son accesibles. Cosa, aunque maravillosa, fácilmente comprensible, ya que lo que se ha procurado en primer término ha sido establecer un modo de escribir simplificado. Como hemos afirmado anteriormente, 3, por ejemplo, es igual a 100,477121.... Según eso, el número 0,47712 es el logaritmo de 3. No hemos de olvidar, ni por un instante, que este logaritmo es el exponente de 10. Por consiguiente, se escribe: 10 log 3 = 0,47712... donde «log» es, simplemente, la abreviatura para «logaritmo». Esto no significa sino que 0,47712... es el exponente de 10, equivale a 100,47712... = 3 De la misma manera, 10 log 2 = 0,30103... significa que 100,30103... = 2, y así sucesivamente. Los logaritmos que hemos tenido ocasión de conocer hasta ahora están todos ellos referidos a nuestros «aplicados' dieces». Existen, también, sistemas de logaritmos edificados sobre otros números, es decir, tienen una «base» distinta de Io. Sin embargo, para facilitar las operaciones de multiplicar, dividir, etc., están indicados solamente los logaritmos decimales. Así, pues, en nuestros cálculos nos las tendremos que ver siempre con estos logaritmos. Por consiguiente, no es siquiera necesario que hagamos alusión cada vez al:ro. Además, prescindiremos también de los puntos, que significan simplemente que se trata de una fracción decimal infinita. ¡Esto lo sabemos ya, de una vez para siempre! Así, pues, los logaritmos decimales los expresaremos sencillamente log 2 = 0,30103 log 3 = 0,47712 lo que debe enunciarse diciendo: «El logaritmo de 3 es igual a 0,47712», y así sucesivamente. Naturalmente, también es posible una inversión de este «método», a saber, cuando se trata de buscar el número que corresponde a un logaritmo determinado. Esto se escribe como sigue antilog 0,47712 = 3

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Planteemos inmediatamente la siguiente pregunta: ¿Cuáles son los logaritmos de 0,3, 3, 30, 300 y 3000? Basándonos en los conocimientos adquiridos, podemos averiguarlo enseguida, aunque sea de modo aproximado. Estos números podemos representarlos como productos, es decir: 0,3=3 · 10-1; 3 =3 · 100, 30 = 3 · 101, 300=3 . 102, etc. Tenemos, por consiguiente 0,003 = 3 · 10-3 = 100,47712 · 10-3 = 100,47712 - 3 0,03 = 3 · 10-2 = 100,47712 · 10-2 = 100,47712 - 2 0,3 = 3 · 10-1 = 100,47712 · 10-1 = 100,47712 - 1 3 = 3 · 10-0 = 100,47712 · 10-0 = 100,47712 + 0 30 = 3 · 10+1 = 100,47712 · 10+1 = 100,47712 + 1 300 = 3 · 10+2 = 100,47712 · 10+2 = 100,47712 + 2 3000 = 3 · 10+3 = 100,47712 · 10+3 = 100,47712 + 3 30.000 = 3 · 10+4 = 100,47712 · 10+4 = 100,47712 + 4 Y este examen nos ofrece algunas comprobaciones del mayor interés y el más elevado valor. En primer lugar, es vano el temor, antes enunciado, especto al desmesurado número de logaritmos que necesitaríamos tener dispuestos para poder calcular con ellos, pues las partes de los logaritmos que no pueden saberse sin consultar las tablas, es decir, que no trascienden al exterior y que pudiéramos denominar «numéricamente íntimas» vuelven a figurar de nuevo. log 0,003 log 0,03 log 0,3 log 3 log 30 log 300 log 3000 log 30000 log 300000

= 0,47741 – 3 = 0,47741 - 2 = 0,47741 - 1 = 0,47741 = 0,47741 + 1 = 1,47741 = 0,47741 + 2 = 2,47741 = 0,47741 + 3 = 3,47741 = 0,47741 + 4 = 4,47741 = 0,47741 + 5 = 5,47741

El logaritmo de 1,11 es de tal modo semejante a los de 11,1, de 111, de 11.100, etc., que con un solo logaritmo podemos arreglárnoslas para todos

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esos números. La parte interesante del logaritmo dependiente del valor relativo del número, o sea del lugar que ocupa el grupo de sus cifras, podemos calcularla mentalmente al instante. Resumiendo, resulta 1. El logaritmo es, prescindiendo de excepciones, una fracción decimal. Por ejemplo, log 20 = 1,30103. Consta de la característica (en nuestro ejemplo el 1), como se denomina la cifra delante de la coma, y de la mantisa (30103), es decir, las cifras después de la coma. 2. Los logaritmos de todos los números con la misma sucesión numérica (por ejemplo, 173; 1,73; 0,0173) tienen la misma mantisa. 3. Del valor posicional del número se deduce la característica. 4. La característica del logaritmo a) de un número es cuando la cifra delante de la coma tiene

0 1 2 3; ..., 1 2 3 4 lugares

b) de fracciones decimales, que tiene la forma 0,... 0,0... 0,00... 0,000... es 0,...-1 0,...- 2 0,...- 3 0,...-4 (Así, por ejemplo, el logaritmo de 0,002 es igual a 0,30103 - 3) Así, si busco el logaritmo de un número cualquiera, por ejemplo, de 123, lo haré en dos actos. El primer acto del cometido queda resuelto al instante, por así decirlo, y consiste en determinar la característica. Esta será, sin duda, dos, puesto que 123 es mayor que 100, y así, dejando, por el momento, espacio para la mantisa en averiguación, escribo: log 123 = 2,.... Luego viene el segundo acto, y para efectuarlo consulto sencillamente una tabla de logaritmos, en la que para el valor numérico 123 hallo las siguientes cifras: 08991. En ella no encuentro nada más, aparte las cinco (según las tablas pueden ser 4, 5, 7 o hasta 11) mencionadas cifras. Éstas me

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dan la mantisa correspondiente al logaritmo del valor numérico 123, que faltaba poner en la igualdad establecida. Y así obtengo finalmente log 123 = 2,08991 con lo cual queda resuelto el ejercicio. Pongamos otro ejemplo más, para aprender a buscar los logaritmos de las fracciones. Ya sabemos que, por ejemplo log 3,243 log 0,3243 log 0,03243 log 0,003243

= 0.51095 = 0,51095 - 1 = 0,51095 - 2 = 0,51095 - 3

y así sucesivamente. Para evitar la incómoda notación de las cifras negativas, tal como 0,51095 - 1, se encuentra, a menudo, en las tablas una simplificación. Para evitar totalmente la cifra negativa, se completa la cifra delante de la coma hasta 10, de modo que, en lugar de 0,64532 - 2, se tiene entonces 10,64532 - 2 = 8,64532 (7). Igualmente sencillo resulta el procedimiento cuando se trata de averiguar el número correspondiente a un logaritmo determinado. Tenemos, por ejemplo, el logaritmo 4,43136. También aquí dividiremos en dos partes nuestro ejercicio, que se plantea así antilog 4,43136 =?

7

Esta forma de notación es solamente usual en las tablas, en las que, por razones de conveniencia, es preciso dar una indicación sobre la característica (por ejemplo, en las funciones trigonométricas). El lector no debe romperse por ello la cabeza, pues no habrá de vérselas apenas con tales cálculos. De todos modos, estaremos informados cuando nos llamen la atención tales anotaciones en las tablas.

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La primera, consiste en determinar dónde habremos de poner la coma. Se resuelve al instante, pues sabemos que un número cuyo logaritmo comienza por 4 debe ser mayor que 104 y menor que 105, es decir, debe encontrarse comprendido entre 10 000 y 100 000. Con esto podemos ya indicar, aproximadamente, el valor relativo del número, mientras ponemos unos puntos antes y después de la coma decimal. .. ...,.. En la tabla hallamos que al resto, es decir, a la mantisa, le corresponde el valor numérico 2700. Este valor se escribe debidamente en la pauta antes preparada, y encontramos el número 27 000,000 Del mismo modo hallaríamos inmediatamente, dado el logaritmo 0,89448, que el número correspondiente está entre 10 y 1, es decir, que tiene sólo una cifra entera. De modo que apuntamos .,.... En la tabla hallamos para 894.48 el valor numérico 78.43 y por lo tanto diremos antilog 0,89448 = 7,843 Antes de pasar a exponer, a continuación, en algunos ejemplos, las ventajas de este método de cálculo, trabaremos una más íntima amistad con las tablas mismas. Examinemos una parte de una tabla de logaritmos (8).

8

De «Sohloemilch Logarithmen», 5i. Edición r9S6, Vieweg & $ohn Braunschweig.

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Lo mejor será empezar con un ejemplo. ¿Cuál es el logaritmo de 70,16? La característica es, por tanto log 70,16 = 1, . . . . Para escribir esto no se necesita, naturalmente, todavía ninguna tabla. En las tablas de logaritmos se encuentran, por tanto, solamente las mantisas, es decir, las cifras poi las que hemos de sustituir los puntos. Para la tabla carece también de importancia si buscamos el logaritmo del número 70,16, del 7016 o del 70160. También aquí es la sucesión numérica la única que importa. Un pequeño obstáculo, todavía, en el que podríamos tropezar: las cifras que se repiten son omitidas en diversas tablas.

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No pierdas la paciencia, querido lector: todo esto debe decirse una vez, para que sepamos manejar también las tablas. ¿De qué nos servirían todas las hermosas teorías, si no supiéramos manejar nuestras herramientas? 1.° La multiplicación. Diremos: Puesto que 102 · 103 = 105, podrá aplicarse en general la ley que dice: el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. Si tengo, pues, que multiplicar tres números entre sí, buscaré los logaritmos que les corresponden. Sumados éstos obtendré el logaritmo del producto. De aquí se deduce, por añadidura, que la multiplicación de valores numéricos corresponde a la adición de sus valores logarlitmicos. ¡Bueno! Supongamos ahora que hemos de resolver el siguiente problema: 84,734 · 2001,2 · 0,0414. ¿Cómo lo haremos? ¡Muy sencillo! Determinemos en primer lugar los logaritmos. Estos son

log 84,734 = 1,92806 log 2001,2 = 3,30129 log 0,0414 = 0,61700 − 2 log producto = 5,84635 − 2 = 3,84635

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Ha llegado ahora el momento de determinar el número de cifras enteras. Del valor de la característica deducimos que el número debe ser mayor que 1 000 y menor que 10 000, o sea que ha de tener cuatro cifras enteras. La plantilla será: ....,... Ahora entramos con 846.35 en la tabla de logaritmos. Allí encontramos el valor numérico 702.02 que debidamente colocado en nuestro esquema de puntos da el siguiente resultado antilog 3,84635 = 7020,2 Con lo cual ha quedado resuelta nuestra multiplicación: 84,734. 2001,2 · 0,0414 = 7020,2 Está indicada en este lugar una observación sobre la «interpolación», es decir, la determinación de valores intermedios, no consignados en la tabla. En nuestro ejemplo debíamos buscar el antilogaritmo de 3,84635. La mantisa 84635 no se encuentra en la tabla (véase la tabla de la pág. 61), sino tan sólo los valores contiguos 84634 y 84640. Las cifras del antilogaritmo buscado deben encontrarse, por tanto, entre 7020 y 7021. Esto es posible solamente si tomamos una quinta cifra. Para ello se divide el intervalo 70200 a 70210 -diferencia 10- y 84634 hasta 84640 -diferencia 6 - cada vez en 10 partes iguales. Si el antilogaritmo aumenta en 1 unidad, la mantisa aumentará, entonces, en la décima parte de la diferencia 6, es decir, en 0,6. Éste es todo el secreto de la interpolación. Para la mejor comprensión vamos a resumir todo esto en una tabla. Si se busca la mantisa correspondiente a un antilogaritmo se procede entonces de la 1ª a la 4ª columna log 70,206 = 1,84638

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Inversamente, se procede de la 3ª columna cuando se busca la sucesión numérica del antilogaritmo en la 1ª columna antilog 3.84635 = 7020,2 Naturalmente, no hay nadie que escriba esto tan extensamente. Con un poco de práctica se puede calcular, inmediatamente, mentalmente. Algunas tablas evitan incluso este trabajo y contienen «tablillas de proporcionalidad» adicionales (P. P.), las cuales contienen las divisiones decimales de la diferencia tabular dada. 2.° La división. Como sabemos ya, es la inversa de la multiplicación y, por lo tanto, 10 000:100 = l00, o sea, 104: 102 = 102. En presencia de dos números que es preciso dividir entre sí operaremos restando del logaritmo del dividendo el logaritmo del divisor. He aquí un ejemplo 3884:5287=? Recurrimos una vez más a los logaritmos:

log 3884 = 4,58928 − 1 − log 5287 = 3,72321 log cociente = 0,86607 − 1 ¡Atención!El log 3884 es, en realidad, 3,58928 y, en consecuencia, hubiéramos debido calcular 3,58928 – 3,72321. Este logaritmo negativo es,

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sin embargo, muy incómodo para el ulterior cálculo. Por ello se escribe para 3,58928, preferiblemente 4,58928-1, lo que viene a ser lo mismo. Por lo referente al número de cifras vemos que, como nos lo delata -1, el número debe ser menor que 1, pero mayor que 1/10. De ello se deduce el siguiente esquema de número de cifras: 0, . . . . . En la tabla encontramos, para 86 607, el valor 73 463; así, en nuestra división se deduce 0,73463. Y nosotros escribiremos 3884: 5287 = 0,73463. 3.° Elevación a Potencias. ¿Cuánto es 2,363, es decir, la tercera potencia de 2,36? Hace ya tiempo que sabemos hacer este cálculo. La elevación a potencias no es más que la repetida multiplicación por el mismo número. Así, pues 2,36 · 2,36 · 2,36, y sucesivamente

log 2,36 = 0,37291 + log 2,36 = 0,37291 + log 2,36 = 0,37291 log 2,36 3 = 1,11873 ¡Alto! Todo esto puede hacerse de manera mucho más sencilla. 0,37291+0,37291+0,3729 no es más que 3 ·0,37291 Con ello podemos reconocer ya una regla de cálculo muy cómoda para la elevación a potencias log 2,363 = 3 · 0,37291 = 3 • log 2,36 Antes de que, a la vista de esta sorprendente deducción, nos olvidemos de seguir calculando, veamos rápidamente el resultado 1og 2,363 = 1,11873 Ù 2,363 = 13,114

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¡Pero volvamos ahora a nuestra regla de cálculo! Si nuestras reflexiones fueran correctas, y la casualidad no nos ha jugado ninguna treta, en este caso, por ejemplo, 45=4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 1024 logarítmicamente puede calcularse muy sencillamente log 45 = 5 · 1og 4 = 5 · 0,60206 = 3,01030 De la tabla de logaritmos deducimos nosotros antilogaritmo 3,01030 = 1024, y éste es, realmente, el valor correcto, incluso completamente exacto. Así, pues, nuestra regla es correcta, y con ayuda de los logaritmos podemos elevar a potencias, sin fatiga y como nos guste. ¿Cuál es, por ejemplo, la quinta potencia de 4,742, es decir, el número que se obtiene cuando se multiplica 4,742 cinco veces por sí mismo? Rápidamente se encuentra el logaritmo, que resulta ser 0,67596. Y con la misma rapidez se obtiene 5 . 067596 = 337980. Si se busca el número correspondiente, resulta ser: 2397,7. Es, pues, 4,7425 = 2397,7 4.0 Extracción de raíces. En tanto que las operaciones aritméticas hasta aquí estudiadas pueden ser resueltas también, aunque más trabajosamente, mediante los procedimientos directos de la multiplicación y la división, ocurre que la extracción de raíces es, en cambio, un proceso en el cual el auxilio de los logaritmos resulta insubstituible. Aclararemos esto, ante todo, en muy pocas palabras. La raíz cuadrada, por ejemplo, de 13,64 significa buscar el número que multiplicado por sí mismo dé 13,64. Ya sabemos que no es tan fácil tratar con raíces. En un principio, éste es para nosotros un gran interrogante. Por el momento vamos a dar un nombre a este interrogante. Y un nombre muy corto. Vamos a llamarle «x». En nuestro ejemplo; x es la raíz cuadrada de 13,64. De esta x sabemos solamente que su cuadrado es 13,64. x2 = 13,64

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Detrás de, por ejemplo, 32 = 9 no se esconde realmente nada más. A ambos lados (de la ecuación, según se llama) hay exactamente lo mismo, sólo que escrito de manera distinta. Así, también 9 • 9 = 32 • 32 y log 9 = log 32, etc. Después de estos preparativos teóricos, la logaritmación de x2 13,64 no nos procura ya ninguna dificultad, y también la siguiente ecuación nos resulta sumamente comprensible log x2 = log 13,64 = 1,13481 Ù 2 · log x = 1,13481 De esta manera sabemos finalmente cuál es el valor de dos veces log x, a saber, 1,13481. Una vez log x es, sencillamente, la mitad de este valor log x = ½ log 13,64 = 0,56741 Con 0,56741 buscamos en las tablas de logaritmos, y descubrimos que el antilog de 0,56741 = 3,6933. Así, pues,

x = 13,64 = 3,6933 De la potencia de la raíz, y sirviéndonos de la conocida y cómoda regla de la elevación a potencia logarítmica, hemos llegado a la raíz misma. De la misma manera podemos proceder con cualquier raíz. Vamos a probarlo con la raíz tercera de 125. Si planteamos 3 125 = x , x, multiplicado tres veces por sí mismo, deberá ser 125 log x3 = 3 • log x = log 125 = 2,09691 Se calcula, por tanto, primero, 3 por el log x, y la tercera parte nos dará el log x. log x = 1/3 log 125 = 0,69897 x = antilog 0,69897 = 5

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La extracción de raíces se convierte en un cálculo muy sencillo. Nos llama la atención aquí, todavía, otra relación. En los ejemplos anteriores, log x = ½ log 13,64 y log x = 1/3 log 125. Por consiguiente, podemos escribir también

log 13,46 = 1 log 13,46 2

y log 3 125 = 1 log 125 3

¡Éste sí que es un resultado sorprendente!De lo que se trata en nuestra extracción de raíces: se divide, simplemente, el logaritmo del número por el «grado» de la raíz buscada, y un problema que sería por lo común muy complicado, se resuelve ahora en un abrir y cerrar de ojos. ¿Cuál es, por ejemplo, la raíz séptima de 90?; o sea, ¿cuál es el número que multiplicado siete veces por sí mismo da 90? ¡Aquí del logaritmo de 90!Hallamos en las tablas que es 1,954243. Hay que dividirlo ahora por 7, con lo que obtendremos 1,954243: 7 = 0,279177 Busquemos el número correspondiente al logaritmo 0,279177 y encontraremos que es 1,902... Pero algo hay en esta mágica tabla de multiplicar logarítmica que no habrá pasado inadvertido para el atento lector, y es una cierta imprecisión en todo el procedimiento. De hecho, cuando la cantidad de cifras enteras de un número es relativamente grande no nos es posible mediante logaritmos realizar, de un modo verdaderamente preciso, ni siquiera una multiplicación. No podemos, por ejemplo, expresar exactamente, valiéndonos de los logaritmos usuales, el logaritmo del número 947 332 482,7441. En nuestra tabla pueden ser consideradas solamente las 5 primeras cifras. Del número desaparecen, pues, de buenas a primeras, 24827441. Y para hacer cálculos real y verdaderamente exactos es necesario acudir a medios totalmente distintos, tales como -en primer lugar- las máquinas calculadoras. Mas no por esto vamos a juzgar como insuficiente la exactitud de las operaciones logarítmicas, pues en la gran mayoría de los casos basta su exactitud.

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Pero aún hay algo más. Hasta este momento hemos partido siempre del número 10 y hemos planteado la pregunta siguiente: ¿Cuántas veces he de multiplicar 10 por sí mismo?, etc. Pero podríamos preguntar igualmente ¿Cuántas veces he de multiplicar por sí mismo el número 8 o el 15 o el 341 para obtener cualquier otro número dado, por ejemplo, el iio? Sin embargo, en la práctica se ha introducido casi exclusivamente la base 10. Estos logaritmos erigidos sobre 10 como número básico reciben el nombre de logaritmos vulgares o de Briggs. Al lado de éste, sólo otro sistema ha adquirido significación, a saber, el llamado sistema natural de logaritmos. La base de estos logaritmos es el importante número 2,71828182845904... que termina en una fracción decimal de infinito número de cifras y es trascendente. Lamentamos tener que suplicar al lector que crea, sencillamente, lo que le decimos, pues una digresión sobre el conjunto de pruebas referentes a la asombrosa posición e importancia de este número es algo tan difícil que no halla cabida en este libro, cuyo programa no traspasa los límites de lo elemental. Bastarán unos modestos intentos, en averiguación de algo más acerca de este número, para que tengamos idea de la extraordinaria dificultad de toda ulterior discusión a este respecto. El mencionado número, base del sistema natural de logaritmos, y que desde Euler se representa comúnmente por la letra e, puede expresarse también de otra manera, es decir, mediante una suma, de infinito número de sumandos que se alinean en una representación de las llamadas series. Nos contentaremos con transcribirla sin entrar en las complicadísimas teorías relativas a esta clase de representaciones matemáticas. Bastará el solo aspecto de esta serie para que el lector llegue a hacerse una idea de las profundas raigambres y vínculos que ligan este extraño valor 2,718... a los restantes números

1 1 1 1 1 1 e = 1+ + + + + + + 1 1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 1 1 + + + ..... 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8

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y téngase por entendido que esta igualdad no será cierta hasta que se sume el conjunto de todos los términos, que, como dijimos, son en número infinito. Para terminar diremos que nuestro importante y misterioso e se alía y coopera con otras dos cantidades, de no menor importancia en verdad. Tenemos, por una parte, la fantasmagórica i, raíz de -1, que no aparece en nuestra incondicional alineación numérica, pero que, en cierto modo, nos es conocida; y, finalmente, el tercer número que se asocia a estos dos es el no menos singular número π, o sea 3,1415926..., que, como es sabido, nos indica cuántas veces el perímetro de la circunferencia contiene a la longitud de su diámetro. Junto a esas especiales cantidades, tan misteriosas y fuera de lo común, nuestro ecuánime uno causa una pobre impresión de cortedad, sensatez y prosaísmo. Pero, ¡qué parentesco más cercano ofrece con tal «terceto» de números!Así es que, como Euler reconoció en 1748, no es mucha la distancia que media entre, el más sencillo de nuestros números y aquel tenebroso trío. Valgan como ejemplo de lo dicho las siguientes relaciones características, verdaderamente asombrosas e2 i π=1

y

ei π =-1

Que, traducidas al lenguaje vulgar y corriente, nos dicen: si multiplicas 2,7182818... por sí mismo tantas veces como indica el producto de 2 por i y por 3,1415926..., el resultado será 1; y si multiplicas 2,7182818... por sí; mismo tantas veces como indica el producto de i por 3,1415926... el resultado será -1. Ya sé que la mayoría de mis lectores no alcanzarán a «comprender» esto, pues la escasez de conocimientos que hasta aquí hemos podido proporcionarles no lo permite. Es, pues, conveniente que estas dos expresiones -por lo demás bien fáciles de recordar - sean miradas algo así como si fueran arcaicas piedras misteriosas cubiertas de indescifrables caracteres rúnicos. Las dos mencionadas igualdades, que constituyen «la cabeza de puente» en los dominios de lo irrepresentable, merecen el realce que les hemos dado; pues aun cuando apenas pueda sospecharse lo que significan estos extraños monolitos, bien vale, sin embargo, la pena de saber lo que en realidad demarcan y adónde conduce ese camino ante cuya entrada se yerguen, imponentes, tan singulares expresiones.

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Sería una omisión imperdonable si, después de trabar conocimiento con los admirables logaritmos, ignorásemos un descubrimiento que descansa en la aplicación práctica de los mismos, y que constituye una de las adquisiciones más geniales del espíritu humano; sobre todo, cuando el objeto al que vamos ahora a referirnos es útil para toda persona que desempeñe alguna actividad. ¡Atención, pues, que a todos interesa! Como tantos otros descubrimientos básicos, la varita mágica en que vamos a ocuparnos ahora surge de la conexión entre dos espléndidas ideas halladas por la humanidad en el transcurso de su desarrollo; la primera de ellas es, a pesar de su maravillosa sencillez, poco menos que desconocida. Por esto hablaremos primeramente de ella. A Andrés, el labrador, no le «entran» las cuentas. Y es que en la escuela ya le salían rematadamente mal; y aun ahora, después que los años han hecho de él un venerable abuelo, encanecido tras una vida honrada de penosa labor, no puede ocultar su pésimo humor cada vez que, por «pega», sus asuntos le ponen frente a un problema aritmético, por sencillo que sea. En esas ocasiones, nuestro buen Andrés, amargado y fuera de tino, suelta palabras feas - ¡a pesar de no haber sido nunca blasfemo! - mientras se esfuerza en hallar, aunque a veces en vano, algún posible recurso que esté a su alcance y le permita llegar a la deseada solución. Hemos de confesar, no

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obstante, que puesto a buscar revela una genialidad digna de mención. Así, por ejemplo, no hace mucho tiempo tuvo que llevar huevos al mercado, y la vispera había reunido un montoncillo de 36 piezas. Cuando por la mañana del día señalado recorrió el gallinero encontró todavía 17 huevos más, con lo que se le planteó a nuestro buen Andrés el difícil problema matemático siguiente «¿Cuántos huevos he reunido en total? ¿Cuántos serán 36 y 17?» Problema sencillamente insoluble para él, pues nuestro labrador, en medio de las fatigas del recio trabajo cotidiano, ha olvidado hace tiempo la difícil tabla de sumar tan a duras penas aprendida en su infancia; mas, de pronto, le asalta una idea genial y, gracias a su astucia, se pone Andrés en condiciones de practicar la suma sin necesidad de sumar. Abandona, por decirlo así, el camino recto y busca un rodeo que le conduce igualmente al fin deseado. El rodeo consiste en contar: empieza por juntar todos los huevos en un solo montón y comienza en seguida a contarlos. ¡Estupendo! El resultado ha de ser forzosamente justo y, efectivamente, Andrés cuenta de este modo 53 huevos. La invención de Andrés tiene mucha más importancia y trascendencia de lo que a primera vista parece. Y, cosa curiosa, es precisamente en la ocurrencia de reunir los huevos en «un solo montón» donde salta el chispazo de ingenio. Daremos un paso más y desarrollaremos la idea fundamental que de aquí se desprende. Quedamos por el momento en que Andrés calculaba con huevos, es decir, con piezas sueltas. Avancemos ese paso, en sí insignificante, y pongamos distancias, o sea centímetros, en lugar de huevos, con lo que habremos hallado una auténtica máquina de calcular, que nos permitirá resolver rapidísimamente, en una determinada zona de números, adiciones y substracciones. Pasemos ya a la práctica. No necesitamos, a tal fin, grandes preparativos: no necesitamos más que dos reglas divididas en centímetros. No tenemos más que colocar una regla sobre la otra y... ¡el invento está listo !

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Queremos saber, por ejemplo, cuántos son 36 + 47. Para ello no hay más que hacer coincidir los bordes de las dos reglas y hacer deslizar una de ellas hasta que su origen, o sea la raya cero, venga a coincidir con la raya 36 de la otra. Más exactamente deberíamos decir «en la raya de 36 mm», de la misma manera que, por ejemplo, 5 es la división- que marca los 5o mm. Seguimos ahora con la mirada la graduación de la primera regla hasta llegar al punto 47, Y veremos que coincide exactamente con la raya 83 de la regla inferior. Y he aquí que el resultado se obtiene, o mejor dicho se lee, de un simple vistazo, sin necesidad de recurrir a ningún cálculo mental o escrito. En realidad, hemos logrado más de lo que pretendíamos saber en un principio, pues sin variar la colocación de las reglas podemos ir leyendo una serie de adiciones hechas al sumando 36; de suerte que las reglas nos indican, con igual precisión, los resultados de sumas tales como, por ejemplo, 36 + 20, 36 + 6o, y así sucesivamente. Nuestros cálculos no hallan aquí límite, si no es en la longitud de la regla; pero hay más todavía: nuestro sencillo instrumento, cuando a causa de la longitud de las reglas no alcanza a dar resultados directos, hace lo posible para proporcionarnos indirectamente todas las indicaciones posibles. Esto es que, si muevo una regla a lo largo de la otra a fin de obtener una suma, como por ejemplo: 80'+ 140, no podré leer directamente el resultado si las divisiones no llegan más que hasta 200; pero en todo caso nuestro par de reglas nos indican por lo menos, con entera claridad, al leer el sumando mayor en la regla móvil, que para obtener el resultado justo faltan veinte divisiones -es decir, el número de divisiones de la regla móvil que sobrepasan de la división límite de la regla fija.

Nuestra regla, verdadera máquina calculadora, nos sirve, con igual rapidez y eficacia, al practicar una substracción. En este caso es necesario únicamente tener de antemano bien presente que se trata de una resta entre dos trayectos. Mientras que durante la adición corremos la vista de izquierda a derecha, en la substracción ocurre todo lo contrario. Así, pues, si que-

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remos restar, por ejemplo, 22 de 148, no debemos -¡atiendan bien!- no debemos llevar a coincidencia la raya cero de la graduación. Lo que haremos será colocar las reglas de tal modo que las rayas correspondientes a los dos números dados coincidan entre sí, y en seguida miraremos con qué raya de una de las reglas coincide la raya cero de la otra. Basta con dirigir una mirada a nuestro grabado para darse en seguida perfecta cuenta de ello. En la resta, sin embargo, fracasa nuestra sencilla máquina de calcular cuando la longitud de las reglas es insuficiente. Toda la dificultad estriba, por consiguiente, en que las reglas son demasiado cortas. Para poder seguir calculando debemos, por tanto, alargar las reglas. Esto puede conseguirse de una manera sorprendentemente sencilla, sin necesidad de acudir a ningún recurso especial. Pero no hay necesidad de perder muchas palabras, pues la figura permite reconocerlo claramente para el problema 30+90.

Así, pues, no colocamos, como en el caso anterior, el cero de la regla superior sobre la marca de los 30 mm. de la inferior, sino sobre los io. Éste es todo el truco. ¡Naturalmente, esto no tiene nada que ver con la brujería!Si la regla inferior fuera realmente -y no solamente en nuestra imaginación, tal como pretende representar la parte punteada de la figura - el doble de largo, el cero coincidiría, efectivamente, sobre el 30, y todo sería igual que antes. 30,+ 9o son, pues, los 20 más zoo, es decir, 120, tal como puede leerse en la «prolongación». Repetiremos una vez más esta importante conclusión: si la regla superior se hace retroceder en toda su longitud (io cm.), la regla inferior o de «lectura» se «alarga» en toda esta misma longitud. Resumiendo, tenemos que para la adición mediante la regla calculadora ponemos un trayecto a continuación de otro, mientras que, contrariamente, en la substracción des. contamos un trayecto de otro. Esto da por resultado una extraordinaria rapidez en el cálculo; pero fácil es también de comprender la causa de que semejante «invento» no alcance a proporcionarnos en la práctica ningún provecho, pues por lo que se refiere a la adición esta-

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mos ya más que suficientemente ejercitados en el cálculo mental para que una máquina de calcular de tal naturaleza pueda aportarnos ninguna ventaja esencial. Ahora bien, la cuestión toma de pronto otro cariz si a esta idea, que en sí ya es genial, le asociamos los logaritmos, aquel tan eficaz recurso de cálculo. Del acertado enlace de estos dos inventos nace la varita mágica: la llamada regla logarítmica de cálculo, de la cual vamos a ocuparnos seguidamente. Para ello necesitamos tan sólo reglas provistas de graduación logaritmica. Lo que de esto puede resultar es cosa que se adivina con facilidad, pues siendo así que los logaritmos permiten convertir la multiplicación en adición y la división en substracción, bastará combinar convenientemente dos reglas graduadas de la antedicha manera para poder hallar productos y cocientes con tanta precisión y sencillez como hicimos antes sumas y restas mediante las reglillas normales. Falta sólo explicar el aspecto que ofrece una regla graduada logarítmicamente. En primer lugar, de lo que se trata es de representar los logaritmos como intervalos. A este fin ordenamos los logaritmos de los números de i a io, correspondiendo a cada uno un intervalo cuya longitud corresponde al valor numérico del logaritmo. Si se indican las longitudes en milímetros, centímetros, decímetros o como sea, carece en sí de importancia, y depende solamente de si resulta práctico o no, respectivamente, de la longitud que quiera darse a la división.

En nuestro gráfico hemos elegido como unidad de longitud 1 decímetro. El log 2 está representado, por consiguiente, por la distancia 0,301 dm. (log 2 = 0,30103); el log 3, por la distancia 0,477 dm. (log 3= 0,47712), etc. ¡Téngase en cuenta que log 1 = 0 y log 10 = 1 ¿Qué hemos conseguido con ello? Una comparación nos permitirá comprobarlo en seguida. Para determinar, por ejemplo, el log 2 buscaremos en la tabla de logaritmos, primero, el antilog 2 (es decir, sucesión numérica 2000), y encontramos, finalmente,

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el valor numérico del logaritmo. Con la división numérica sucede de manera enteramente análoga. Se parte, también, del antilog 2 y se encuentra directamente la distancia del log 2. Dado, sin embargo, que es posible sumar y restar las distancias exactamente igual que con los valores numéricos conocidos hasta ahora, los valores numéricos de los logaritmos mismos se han hecho innecesarios, y no se indican ya en nuestra división. Las que hasta aquí fueron engorrosas operaciones de hallar el logaritmo de un número y el número correspondiente a un logaritmo, indispensables en los cálculos logarítmicos, resultan enormemente simplificadas por la adopción de este tipo de graduación, efectuado una vez para siempre y reproducido en serie. En una palabra: la regla nos ofrece todas las ventajas del cálculo logarítmico, sin el más insignificante inconveniente. De suerte que con una graduación semejante pueden realizar cálculos sin esfuerzo incluso aquellos que sienten invencible antipatía por los logaritmos y por todas las leyes del cálculo; y si nuestro antes citado Andrés quisiera ponerse a tono con los tiempos que vivimos debería haber comprado en la ciudad, con el producto de los huevos tan penosamente reunidos, una regla de cálculo, varita mágica gracias a la cual le sería fácil, al llegar a casa, dejar admirada a su buena esposa, e incluso al maestro y al párroco, al verificar de golpe verdaderas multiplicaciones, divisiones, elevaciones a potencias, extracción rápida, y sin dolor, de raíces cuadradas, y sabe Dios qué otras maravillas. ¡Él, que jamás había sabido hacer una suma cabal... ! Pero nos hemos salido un poco al margen. ¡Volvamos a nuestra regla logarítmica!Con una sola no hay nada que hacer. Necesitamos también en este caso dos de ellas, que dispondremos convenientemente, de idéntico modo que lo hemos hecho en el caso anterior con las dos reglas simples. Si queremos, por ejemplo, multiplicar o dividir dos números necesitamos solamente sumar o restar los correspondientes intervalos. ¡Pero esto hace ya tiempo que sabemos hacerlo!Debemos solamente prestar atención al hecho de que las escalas logarítmicas (como se designan también muchas veces las divisiones) no empiezan con 0, como los centímetros, sino con 1.

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Las modernas reglas de cálculo, tal como se encuentran en el comercio, constan de dos pares de escalas adaptables, llevando el par superior doble número de divisiones que el par inferior. En las dos divisiones superiores A y B están marcadas las distancias, siempre con la mitad de la distancia que en las escalas inferiores C y D, las llamadas escalas básicas. Por el momento no debemos preocuparnos de las demás escalas presentes; por su principio están concebidas igual que nuestras escalas básicas. Después de este «prólogo», empecemos de una vez con los cálculos. i. Multiplicación (se suman dos intervalos). 12 • 20 = 2400

Superposición 10 • 20 = 200

¡Pero, alto!¡Ya hemos resuelto el problema 1,2 • 2!Al escéptico lector debemos confesarle que, en realidad, hemos obtenido solamente 2,4. Sin embargo, las cifras siguen siendo exactamente las mismas, tanto si hemos de calcular 12 • 2, 12 • 20 o, incluso, 12 • 2000. No hay que extrañarse, pues los logaritmos, por ejemplo, de 20 y de 2000 se diferencian tan sólo por la característica. Y si. a alguien le viene en gusto puede prescindir también de la característica. Para comprobar, por ejemplo, que el resultado 3,433 · 12,71 no tiene, con seguridad, más de dos lugares antes de la coma no es precisa más que la simple conversión 3 · 13 = 39. ¡Así, pues, a deslizar las reglas; la coma y el número de cifras se obtienen al final de todo ! Es posible que el lector se sienta un poco incómodo al principio. Pero no es preciso más que un poco de práctica, y todo nos parecerá natural.

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También en la regla de cálculo logarítmica sucede que la división es demasiado corta para poder leer el resultado, por ejemplo, en el problema 8 • 7. Sin embargo, el «alargamiento» no nos causa ninguna dificultad una vez aprendida la simple suma de distancias (véase pág. 72). La escala móvil debe situarse no en el 1, sino en el 10. Para nuestro ejemplo esto significa colocar el 10 encima del 8, y el resultado se lee, como antes, en el 7.

Algo hemos de añadir aquí todavía: en la regla de cálculo está montada una fina lámina de vidrio móvil, el llamado «cursor». Lo más importante en ella es una fina raya grabada, que permite leer con exactitud. La figura en la página 74, en la que se ha representado esta raya, nos permite darnos cuenta de su aplicación.

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2. División (se restan dos intervalos). 240: 20 = 12 Superposición: 200: 20 = 10

El resultado se lee debajo del 1, o, si esto no es posible, debajo del 10 (recordemos el deslizamiento en la multiplicación). No es preciso meditar mucho sobre cuál de las marcas entra aquí en consideración. En este lugar puede ser oportuna una interrupción en nuestros cálculos. ¡Resumamos, una vez más, todo lo aprendido hasta ahora para evitar las confusiones ! Para calcular rápida y seguramente se requiere una cierta práctica al principio, especialmente la colocación y lectura de los valores indicados en la escala. En lo esencial existen tres representaciones, siempre repetidas, de las escalas I) Lectura como en una división milimétrica, cada división representa una subunidad. Puede apreciarse la décima parte del intervalo.

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Axioma: ¡Primero dividir!Encima de 21 colocamos, primero, 14 (¡compárense las dos flechas!). Del «intervalo 21» se resta, por tanto, el «intervalo 14». El, resultado se encuentra debajo de 1, a saber: 1,5. Si se

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quiere sumar ahora el «intervalo 2» (multiplicación por 2), se coloca entonces el 1 encima de 1,5 y se lee el resultado final 3, debajo de 2. Ahora una pequeña sorpresa: la lectura del resultado intermedio 1,5 es completamente superflua. El resultado de la división se encuentra en cada caso debajo del 1 o del 10. De este modo, se tiene ya la posición de partida para la subsiguiente multiplicación. Por tanto, no necesitamos ya desplazar la «lengua» (como se denomina también la parte móvil de la regla) después de la división, sino que leemos inmediatamente debajo de 2 el resultado final. ¡Fijarse en ello y practicar !

4. Cuadrados y extracción de raíces. Como ya hemos mencionado brevemente, las escalas A y B (es decir, el segundo par en nuestra regla), se encuentran frente a las escalas básicas C y D a media escala (r: 2). La escala superior «divide por la mitad», por así decirlo, la inferior. Esta «división por la mitad» es, empero, justamente -recordemos la extracción logarítmica de raíces en el capitulo anterior- lo que necesitamos para extraer las raíces. Exactamente debajo de cada número de la escala A se encuentra, en la escala D, la raíz cuadrada. Naturalmente, esto puede, también, invertirse. Si se procede de abajo arriba, se lee entonces en A, inmediatamente, los cuadrados de D. Hay muchas reglas de cálculo que llevan, además -esto queremos mencionarlo todavía para los lectores particularmente interesados-, otra escala, con un número de divisiones tres veces mayor (escala 1: 3). En ella pueden leerse, con igual sencillez, los cubos o terceras potencias, y, por lo tanto, también las raíces cúbicas. En nuestros gráficos esta escala se representa por K. La posición de la coma se obtiene más fácilmente mediante un cálculo de superposición. En la extracción de raíces es conveniente descomponer las potencias de diez para obtener valores numéricos, cuya solución sea fácil de determinar. Por ejemplo 3200 = 32 ⋅ 100 = 10 32 ;

Superposición : 10 25 = 50

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Y si a lo dicho añadimos aún que al dorso de la «reglilla» corredera se encuentra, en la mayoría de las reglas de cálculo, una escala para el cálculo trigonométrico, y que existen reglas de cálculo especiales para electrotecnia, geodesia, etc., así como también para los cambios de divisas, el lector podrá hacerse una idea de la increíble multiplicidad de facetas de este sencillo instrumento auxiliar.

Hay algo que no debe silenciarse: toda regla de cálculo puede tener, como es natural, una longitud sumamente limitada, al objeto de que no resulte poco manejable. Esta limitación, sin embargo, tendrá como tope, hasta cierto punto, la excesiva finura de la división de la escala. Toda regla de cálculo es por ello más o menos imprecisa, dado que la lectura de decimales se haría muy pronto imposible. No obstante, su exactitud es tan grande, que su empleo en la mayoría de las operaciones de cálculo, tales como, por ejemplo, las que resuelve el constructor de maquinaria, resulta completamente satisfactorio. En resumen, la regla de cálculo es un instrumento auxiliar de un valor inimaginable; sobre todo porque, si bien no posee la exacta precisión de una máquina de calcular, es incomparablemente de más recursos que ésta.

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Presenta además otra ventaja no menos importante, y es que es suficiente conocer los trucos y maneras de manejarla, sin necesidad de dominar su «teoría». Quien no tema hacer el pequeño gasto que su adquisición requiere, ni le asuste «practicar» un par de días con la regla de cálculo, habrá encontrado en ella un auxiliar para todo el resto de su vida, auxiliar tan eficaz para la solución de los temas de la escuela primaria como para el trabajo en los dominios de la ciencia. Poseer una regla de cálculo y saber utilizarla, es llevar en el bolsillo la parte práctica, que, en cierto modo, es la más difícil del arte de calcular. ¡A decidirse y a adquirirla, pues ! Con el título «magia de la tabla de multiplicar» pusimos al paciente lector en primer contacto con los logaritmos. Para algunos, es posible que este cartel no responda al contenido. Y, sin embargo, aquel reino irreal de lo imaginario tuvo también entonces intervención. Los logaritmos de que nos valemos para nuestros cálculos, y que tenemos grabados en las escalas de la regla de cálculo, no son más, por decirlo así, que una partes de sí mismos: la parte numérica real y verdaderamente tangible. De suerte que queda sencillamente omitido el apéndice, constituido por los números fantasmas. Pero esta omisión es tan sólo permisible mientras nos limitamos a la consideración de los logaritmos correspondientes a números positivos, y la cosa empieza a resultar difícil cuando tratamos de averiguar el logaritmo de un número negativo, pues se halla incluido de pleno en lo imaginario y pertenece, por tanto, a unos dominios que son para nosotros intangibles... Es preciso que insistamos una vez más en la tan repetida verdad- acerca de la lamentable deficiencia de nuestra capacidad de imaginación. Extiende, querido lector, un hilo finísimo a través de tu habitación; e imagínatelo infinitamente delgado. Sobre semejante nonada, sobre este angosto camino, que ha de ser precisamente de delgadez infinita, irrepresentable (y que es, sin embargo, la alineación numérica en que nos hemos basado) se mueve todo nuestro ejército de números reales, ¡toda nuestra ciencia matemática real!Y a su alrededor, en la amplitud infinita del espacio, mora, escapando a toda representación, el inmenso mundo obscuro de los complejos. Naturalmente, esta imagen sigue siendo válida incluso cuando admitimos que nuestro hilo -la alineación numérica- se extiende por ambos lados hasta el infinito.

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Un hilo de araña tendido a través de los espacios infinitos del Universo. He aquí la parte que nos alcanza del inmenso ejército de los números. Es casi imposible dar una imagen que mejor nos ilustre acerca de la exasperante y deplorable insuficiencia de nuestras facultades representativas, tanto más cuanto que tal imagen no es producto de la fantasía de una_ mente soñadora y romántica, sino la pintura veraz de la más sobria y rigurosa de todas las ciencias...

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Como hemos advertido ya al principio, no nos será posible, ni mucho menos, estudiar siquiera las más importantes maravillas del inmenso jardín en el que nos vamos internando. Nos vemos obligados a guardar la moderación más estricta para ilustrar al lector de modo agradable, evitándole excesivas complicaciones y sorteando aquello que habría de repugnarle demasiado. Esta limitación que nos imponemos implica tener que realizar extraños saltos, y por tal motivo en la presente ocasión vamos a saltar por encima de toda una serie de fenómenos para pasar a unos dominios, que aun siendo de los mirados con temor y antipatía (por cuya razón no han sido nunca comprendidos como es debido por la mayoría de la gente), no pueden quedar totalmente ignorados dada la fundamental importancia que encierran para la vida práctica. Se trata sencillamente de la Geometría, y en ella vamos a ocuparnos ahora. El nombre, por sí solo, ya atemoriza un poco, por rememorar malos ratos pasados, pues el estudiante, desde el momento en que intenta entrar en este fructífero y maravilloso distrito de las matemáticas, se encuentra ya de lleno en un áspero matorral de líneas entrecruzadas y tropieza a cada paso con desusados y difíciles modos de expresión, todo lo cual tiene por consecuencia que, a pesar de la mayor aplicación y celo, no logre alcanzar la deseada meta en tanto no llegue a una comprensión básica y clara que le guíe.

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Es por ello necesario que, también en este caso, comencemos por algo práctico y perfectamente asequible. Como todo el mundo sabe, la Geometría gira esencialmente en torno del triángulo, con el cual nos encontramos de continuo; de tal modo que quien desconozca la anatomía de esta figura, tan simple en sí, hallará cerrado el paso que conduce a la comprensión de las más sutiles artes geométricas. ¿Por que? Esta pregunta resulta fácil de contestar. El triángulo es la más sencilla de las figuras geométricas planas, y por esto es- la base, el fundamento, de toda representación geométrica, la más simple imagen a la cual pueden referirse las demás figuras de complicada estructura. Todo problema geométrico podrá ser tenido por verdaderamente resuelto tan pronto como logremos llevarlo al campo de los triángulos. No tenemos manera de representar un «monoángulo». Tampoco es concebible en la geometría plana corriente, llamada euclidiana, la representación de un «biángulo», y sólo le hallaremos formado por curvas, como, por ejemplo, en la superficie esférica, etc. Todo el mundo sabe perfectamente le que es un triángulo; es la figura que tiene tres lados, perímetro, área y -aquí comienza la dificultad de comprensión- tiene también tres ángulos. De momento dejaremos de considerar los tres ángulos. Repasemos lo que acerca de las relaciones del triángulo sabemos ya o debiéramos saber. Al empezar tropezamos en primer lugar con una tesis, establecida por la humanidad desde hace milenios, y que resulte precisamente indispensable para nuestros conocimientos geo. metricomatemáticos. Se trata del popular teorema de Pita, goras, conocido en el lenguaje escolar medieval con el nombre de «pons asinorum», o sea puente de los asnos. Procedamos pues, a resucitar en nuestra memoria ese fundamenta: enunciado Un triángulo especialmente «simpático» es, sin duda alguna, aquel que tiene sus tres lados iguales, lo cual -dicho sea de paso- lleva como consecuencia que los tres ángulos sean forzosamente de igual magnitud. Pero, innegablemente, resulta todavía más «simpático» el llamado triángulo rectángulo, cuya característica principal consiste en que dos de sus lados se articulan formando un ángulo recto, es decir, un ángulo de exactamente 9o grados.

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En esta clase de triángulos descansa todo el resto de la geometría. Su «popularidad» se funda en algo fácilmente comprensible; porque, sabiendo de antemano que tiene un ángulo que vale 9o grados, no habremos de ocuparnos más que de los dos restantes. Eso simplifica extraordinariamente toda la cuestión, e impone además la de que los tres lados estén relacionados entre sí por una ley determinada. Y es precisamente el citado teorema de Pitágoras el encargado de enunciarnos el hecho, tan digno de ser tenido en cuenta, de que la medida del lado más largo, multiplicada por sí misma, es exactamente igual al resultado de sumar las medidas de los dos otros lados. Designemos, como es costumbre, el lado más largo mediante la letra c y los dos más cortos mediante a y b, y obtendremos la fórmula, tan amenudo repetida, c2 =a2 + b2; o, para hacerlo más com prensible todavía (Lado más largo)2 = (un lado corto)2 + (otro lado corto)2 Lo curioso y útil a la vez, es que haya triángulos rectángulos en los que los números correspondientes a la medida de los lados vengan representados por «simples» números enteros, sin que por ello deje de ser aplicable el teorema de Pitágoras. Si tenemos, por ejemplo, un triángulo rectángulo cuyos lados son 5, 4 Y 3, respectivamente, veremos que se cumple el enunciado, pues tendremos: 52 = 42:+ 32, osea, 25:= 16 + 9.

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A pesar de su origen milenario, estos triángulos no han perdido actualidad ni importancia. Se puede, además, invertir esta relación, haciendo derivar de la ley pitagórica el «arte» de construir exactamente ángulos rectos. Tomemos al efecto un cordel fuerte de exactamente 40 cm. de largo, y con tinta, u otro medio cualquiera, hágase una marca a 8 cm. de distancia de un extremo y a 15 cm. del otro. Se unen luego los dos extremos del cordón, y se tensa luego, mediante alfileres, formando un triángulo, de modo que en cada alfiler quede formado un ángulo. De este modo habremos formado, con gran exactitud, un triángulo rectángulo de lados 8 cm., 15 cm. y 17 cm.

Éste es un procedimiento primitivo del que se valieron, ya en el antiguo Egipto, los sacerdotes conocidos por el nombre de «harpedonaptas», para obtener directamente ángulos rectos cuando trataban de asentar los cimientos de templos o de edificios profanos. También los indios se valieron en la Antigüedad de igual procedimiento, pero utilizando números distintos, a saber: 15> 36, 39. De aquí que hoy dia se denomine «egipcio» el triángulo 3-4-5, y reciben, en cambio, el nombre de «índicos» aquellos cuyos lados guardan la relación de 5: 12: 13 ó 15: 36: 39. Séanos permitida aquí una ligera digresión. Junto a estas sobrias y tangibles verdades milenarias se nos ofrece un profundísimo misterio matemá-

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tico, que no ha podido ser descifrado todavía hasta la fecha. Se trata del célebre problema de Fermat. Existe un sinfín de grupos de tres números que, al ser elevados al cuadrado, puedan relacionarse de igual modo que los 3, 4, 5 antes citados. Pero, y he aquí lo extraordinario, no hay números enteros que puedan relacionarse de la misma manera al ser elevados al cubo, es decir, al tomar terceras potencias. Se posee hoy la prueba de que, hasta potencias de centésimo grado, no existen números que cumplan esta relación. Lo que actualmente se ignora todavía' es si para más elevadas potencias será posible hallar algún número que cumpla con esta relación. Volvamos a nuestro triángulo rectángulo, al que vamos a examinar ahora con un poco más de detención desde el punto de vista «anatómico». Llevemos, en efecto, las pinzas de nuestra exploración precisamente allí donde se toca el punto neurálgico, por ser donde la cuestión se hace más difícil y menos transparente, es decir, a los ángulos, en cuyos dominios es de extraordinaria importancia práctica entrar con paso seguro; pues, como lo demuestra ya una superficial observación de los más corrientes fenómenos vulgares, los ángulos desempeñan en el mundo que nos rodea un papel directamente predominante. Basta con recordar, por ejemplo, el siguiente hecho evidente: cuanto mayor sea el ángulo de abertura de una puerta, tanto mayor será la anchura del paso libre que deja. Y ejemplos como éste, demostrativos de la influencia de los ángulos, se presentan a centenares y a millares en nuestra habitación y en la oficina. Por otra parte sabemos todos que existe un sistema de medida para expresar la magnitud de un ángulo, sistema por cierto práctico y acreditado: se basa en la conocida división de la circunferencia en grados, minutos y segundos. Según ese modo de contar, un ángulo de 4 rectos -es decir, el formado todo «alrededor» de un punto- mide 36o grados, la medida de un ángulo recto es de 9o grados, etc. Pero semejante evaluación en grados ofrece, sin embargo, la desventaja de no ser suficiente para todos los cálculos o, mejor dicho, sólo nos permite calcular dentro de estrechos límites. Efectivamente, si bien el sistema nos permite, por ejemplo, restar un ángulo de 45 grados de otro de 68 grados, esta medición en grados no basta por sí sola para lograr deducir la variación de longitud de los lados de un triángulo como consecuencia de la variación de magnitud de uno de sus ángulos. Por eso cuando pretendemos realizar cálculos a base de las magnitudes angulares es necesario seguir distinto procedimiento y hacer intervenir otras propiedades de los ángulos. Tales «propiedades» han sido ya debidamente aquilatadas por las matemáticas, y a su conjunto se le ha dado el nombre genérico de «funciones angulares»,

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nombre que, como otros que hemos oído, suena a cosa difícil y complicada. No debe asustarnos, sin embargo, pues en realidad únicamente es ofuscador el nombre, ya que la cosa en sí es bastante sencilla e innocua. Pero antes de seguir adelante es necesario que trabemos conocimiento con uno de los más grandes descubrimientos que la humanidad ha realizado. Se trata, por una parte, del arte de representar gráficamente las relaciones matemáticas y, por otra, del arte de traducir las relaciones geométricas al lenguaje de las matemáticas. Una vez más tropezamos con una extraña designación presuntuosa, es decir, con el llamado sistema de coordenadas, y también en este caso lo más importante de esta cuestión es... el nombre. Imaginémonos un acuario exactamente rectangular con su fondo, que puede estar recubierto de arena y ocupado por plantas, en el cual nada cómodamente un pececillo. Planteemos ahora la siguiente cuestión, tal vez inesperada, pero en todo caso oportuna dentro de nuestro plan: ¿Dónde se halla realmente el pez en este instante? Con arreglo al lenguaje vulgar, la situación del más o menos vivaz animal, vagabundeando en su acuario, se expresaría en una de las siguientes formas: (El pez está justamente en el centro», «ahora se ha corrido un poco hacia el ángulo posterior derecho», o «ahora está casi pegado al fondo», etc. Todo esto es expresivo y está bien, pero, sin embargo, resulta impreciso y difuso. Si queremos ser exactos y determinar la posición real del pez en su recipiente, hemos de llenar en primer lugar un requisito cuya necesidad sienten indudablemente con evidencia la mayor parte de los hombres, pero de modo casi inconsciente. Es menester, ante todo, escoger y fijar un punto al que pueda referirse la posición

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del animal. Puntos nos sobran en nuestro acuario. Partamos, por ejemplo, del ángulo inferoanterior izquierdo de nuestro recipiente. Ahora nos será fácil enunciar dónde se encuentra el pez, o, si queremos ser todavía más exactos, dónde se halla la punta de su boca. Podemos, verbigracia, decir: el pez se encuentra ahora 4,5 cm. a la derecha de la arista vertical del ángulo; desde la pared anterior del recipiente hasta la punta de la boca median 6 cm., y desde la boca hasta la base 4 cm. Como se ve de pronto con toda claridad, la posición del pez se determina de ese modo neta e irrebatiblemente, y con ello no hemos hecho más que establecer un «sistema de coordenadas en el espacio». Medimos las distancias, bien sobre los ejes, bien sobre paralelas a ellos. Y aparece claro como la luz del día que los tres ejes son, partiendo del vértice inferior izquierdo: la arista anteroinferior, la vertical izquierda y la arista que desde el citado vértice corre horizontalmente hacia atrás. Hemos elegido en primer término este ejemplo porque se puede representar más cómodamente la cuestión en el espacio. Pero para nuestro estudio de los ángulos no nos será necesario trabajar en el espacio, sino que podemos limitarnos sencillamente a trabajar sobre un plano. Con lo que se simplifica la cuestión por bastarnos ahora sólo dos ejes: es decir, direcciones y medidas, que volveremos a construir, de manera adecuada. Repitamos, a este objeto, una imagen que servirá para la mejor comprensión del sistema de coordenadas en el plano. Supongamos que, de pronto, nos vemos obligados a emprender un viaje inesperado, y que, durante nuestra ausencia, el electricista tiene que instalar una lámpara en el techo de nuestra habitación. Como quiera que no podemos hablar con el operario, debido a la premura del tiempo, tenemos dos maneras para señalar el lugar del cual ha de pender la lámpara, a saber: hacer de momento una señal con lápiz o carbón en el techo, o bien, lo que es más cómodo, escribir en un papel: «La lámpara ha de instalarse a 4 m. del rincón donde está la chimenea, contados hacia la ventana, y a 2 m. desde la pared de ésta hacia dentro.» Todo error es ahora imposible. Y lo cierto es que también aquí hemos establecido un sistema de coordenadas, cuyo «punto de origen» es precisamente el vértice del ángulo del techo por cuyo rincón pasa la chimenea. Las dos aristas del techo, a las que hemos referido nuestros datos, reciben el nombre de ejes de coordenadas o del sistema. Por lo tanto, un sistema de coordenadas plano consta, en lo esencial, de dos rectas que se cortan en ángulo recto (¡por lo general!) y del punto de intersección de ambas.

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Además de esto hay, naturalmente, algo que hacer notar. Para ello volvamos con nuestro conocimiento de las coordenadas en un plano, a la superficie de dos dimensiones; extendamos sobre un tablero de dibujo un papel blanco, elijamos hacia el centro de éste un punto y tracemos por él, mediante escuadras y tiralíneas, una recta vertical y otra horizontal. Tenemos, pues, de nuevo aquí un «punto de origen de coordenadas» y dos ejes, también de coordenadas. La superficie del papel queda así dividida en cuatro partes de igual modo como la esfera de un reloj queda dividida en cuatro sectores por las cuatro posiciones que toma la aguja mayor cuando señala los cuartos de hora. Cada una de estas cuatro partes recibe en el sistema de coordenadas el nombre de «cuadrante». Nos quedan todavía por bautizar los dos ejes mencionados. También aquí topamos con nombres de extraña sonoridad para denominar objetos inocentes: el eje horizontal se llama eje de las abscisas o eje de las x el eje vertical toma el nombre de eje de las ordenadas, o eje de las y. Reflexionemos un momento y todo este asunto de las ordenadas nos recordará algo ya, en cierto modo, sabido. Pues este sistema ya nos es conocido, «a medias» (por así decirlo): basta recordar nuestro fiel termómetro, imagen de las alineaciones numéricas. Y, efectivamente, imaginemos dos escalas termométricas cortándose en ángulo recto, de tal modo que, por superposición, las divisiones cero de ambas formen el punto de intersección de los ejes de coordenadas; con lo cual habremos logrado construir al vivo un sistema -de coordenadas. La cosa parece a primera vista artificiosa y hasta tal vez infantil. No obstante, esta intersección de dos termómetros, considerada como un sistema de coordenadas, nos aclara de golpe algo que de otra forma habría presentado serias dificultades para el lector, por obligarle a un ejercicio nemotécnico que la mente podría incorporar, pero no asimilar; se trata de los sentidos en que han de contarse, sobre los ejes, los signos más (+) o menos (-).

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Un vistazo a nuestro sistema de termómetros aclara mejor la comprensión real del tema que las más extensas descripciones

Consideremos, primeramente, el primer cuadrante y comprobamos: tanto en el eje horizontal de la x como en el vertical de las y, para todos los puntos de dicho cuadrante, leeremos exclusivamente números positivos. En el segundo cuadrante - y conste que en la ordenación de los cuadrantes vamos en sentido contrario al de las saetas del reloj -, la numeración correspondiente al eje vertical de las y es también positiva, pero los números co-

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rrespondientes al eje de las x son ahora negativos. En el tercer cuadrante todo está «bajo cero» y es, por tanto, negativo. En el cuarto cuadrante las cosas cambian de nuevo; ahora el eje de las x resulta positivo y el de las y, negativo.

Ten la bondad, lector amigo, de dibujar y escribir todo esto. Es de extraordinaria importancia comprenderlo con entera claridad, pues, en lo sucesivo, necesitaremos recurrir a cada paso al sistema de coordenadas y a sus tan sencillos misterios. ¡Y estudia, en la figura, la excursión de la mosca matemática! Tenemos dibujado un verdadero sistema de coordenadas, con sus dos ejes provistos de graduaciones numéricas en ambos sentidos. Una mosca indiscreta viene a describir un vuelo en torno a nuestro dibujo matemático y

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se posa precisamente en el primer cuadrante, sobre un punto que corresponde, por ejemplo, a una x de + 2,5 y a una y de + 3,3. Desde aquí avanza en dirección al eje de las y, al que atraviesa a la altura de una y de + 2,6. Siguiendo un trayecto irregular, va andando entonces por la región del segundo cuadrante, atraviesa el eje de las x por un punto correspondiente a i,g, entra en el tercer cuadrante, que abandona pasando a través del eje de las y, por y - 3,2; una vez en el cuarto cuadrante llega, finalmente, al punto correspondiente a las coordenadas: x = + 3/4; y = -4,4. Al parecer, el insecto está de matemáticas hasta la coronilla, pues, desde el mencionado punto, se decide por reemprender su vuelo. Pero en su paseo, y del modo más sencillo, la entrometida mosca nos ha ido señalando diversas posiciones de puntos en el sistema de coordenadas. Por fin nos hallamos ya en condiciones de poder abordar la espinosa cuestión de los ángulos en el triángulo, para lo cual, por cierto, no necesitamos más que una parte de los conocimientos adquiridos. En el centro del papel recién extendido sobre nuestro tablero de dibujo marcamos un punto. ¿Lo tienes ya, amigo lector? ¡Bueno, pues! Toma ahora un compás cuyas puntas se hallen separadas 10 cm. -medidos con auxilio de una regla-. Apoya ahora la punta seca del compás en el punto anteriormente elegido y traza un círculo. ¡Con lo cual queda ya ultimada toda la cuestión! El resultado de esta operación no puede ser más claro: hemos dibujado un círculo cuyo radio vale un decímetro, o sea una unidad. En nada variaría la cosa si en lugar de este valor tomáramos como radio del círculo un centímetro, una pulgada, una vara o un metro. La longitud absoluta nada importa; lo único importante es que el radio del círculo corresponda a la unidad que escojamos para nuestras mediciones ulteriores. Para nuestro objeto resulta sencillamente más cómodo el decímetro, y designaremos este círculo con el nombre de circulo de radia unidad o, más abreviadamente: círculo unidad. Pasemos ahora a estudiar nuestra cuestión. Principiaremos, al efecto, trazando, a partir del mencionado punto, o sea del centro del círculo, una línea horizontal y otra vertical, es decir, un eje x y otro eje y. El origen cero del sistema de coordenadas así trazado es, pues, a la vez, el centro del círculo unidad. ¡Bueno! Y ahora se acerca, de nuevo, nuestra mosca, de tan clara «orientación matemática», y empieza a trazar círculos sobre nuestro dibujo. ¡La punta del lápiz con el que hemos trazado el círculo parece haber estado en las proximidades de un tarro de miel!La mosca sube hacia arriba, partiendo del eje horizontal x. La distancia del eje vertical y es, al principio,

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igual a la unidad 1 (más exactamente, 1 dm.); pero, conforme va subiendo, se aproxima, cada vez más, al eje y. Cuando alcanza el punto más elevado, la separación es, naturalmente, igual a o. Para cada punto situado en el círculo -es decir, la «situación» en cada momento dado de la mosca-, puede indicarse de nuevo una x o una y. Juntamente con el radio, estos puntos forman un triángulo rectángulo. De este modo se forma un número infinito de triángulos que tienen dos cosas en común: los lados más largos son siempre iguales. Y en cada triángulo uno de sus ángulos es recto, es decir, tiene exactamente 90 grados; cada punto y se encuentra, lo mismo que el propio eje y, verticalmente sobre el eje x horizontal. Por el contrario, los dos lados más pequeños y los otros dos ángulos de los triángulos varían continuamente. De tales triángulos sólo nos interesa, de momento, el lado horizontal, que descansa sobre el eje de las x. Alguna de sus particularidades nos es ya conocida, pues sabemos que para un ángulo de o grados, o sea, con el brazo giratorio en posición horizontal -y esto es para nosotros decisivo-, el lado horizontal del triángulo tiene exactamente la misma longitud que el radio de círculo unidad, o sea 1 y para los 90 grados el lado horizontal vale sencillamente cero.

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¡La cosa continúa siendo clara!Y con ello hemos comprendido la parte verdaderamente más difícil: nos hallamos en medio del tan temido reino de la Trigonometría. Y en nuestro modesto círculo unidad podemos leer todo lo posible acerca del coseno. El círculo unidad es, por así decirlo, la «morada del señor Coseno». Y si tenemos alguna dificultad, lo mejor será «buscarle» en su propia casa.

Algunos de los triángulos mencionados están representados en la figura que sigue. El valor del coseno para el ángulo 10 es, por ejemplo, 0,985. Para el ángulo 60 es exactamente 1/2.

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¿Qué es, pues, el coseno? Tomemos buena nota: es un número puro, llamado «adimensional» (9), que importa 1 cuando el ángulo es o, y disminuye al hacerse mayor el ángulo, hasta convertirse en 0, valor que alcanza en un ángulo de 90 grados. Como se ve claramente, el coseno de 0 grados es igual a 1; el de 10 grados, igual a 0,985...; después va disminuyendo continuamente y, por último, a los 90 grados, resulta igual a cero. Todavía un ejemplo para facilitar la comprensión del coseno: tomemos un libro cuya rígida cubierta tenga exactamente las mismas dimensiones que las páginas. Coloquémoslo, cerrado, bajo una lámpara tan elevada como sea posible. Si levantamos ahora la cubierta con toda lentitud, la anchura de la sombra nos mostrará el valor del coseno de cada uno de los ángulos formados por la cubierta y la primera página del libro. Este ejemplo será exactamente ajustado a la verdad tan sólo en el caso de que supongamos la lámpara colgada a una altura infinita. Por revelador que pueda ser este ejemplo, nos encontramos ahora con una pequeña dificultad. El libro no tiene, en realidad, nada que ver con el círculo unidad; tiene, por ejemplo, una anchura perfectamente real. Habrá llamado ya la atención al lector que con el radio 1 las cosas no son tan malas. La longitud de este radio es arbitraria; los valores del coseno se presentan siempre como partes de 1

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Como, por ejemplo, 3, 1/4, l0; para diferenciación de, por ejemplo, 5 cm., 18 1., 36 t.

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cos 0º = 1 cos 30º = 0,8660 cos 60º = 0,5 cos 90º = 0 En el círculo unidad, las longitudes no tienen ninguna importancia; se trata de una figura matemática adimensional. Sin embargo, no nos dejemos confundir, y determinemos solamente hasta qué punto deben mantenerse separadas las formulaciones que utilizamos en la matemática. ¿De dónde se toma el valor exacto del coseno, cuando lo necesitamos? Pues bien, de sus propias tablas, que se encuentran en todo libro de logaritmos. Para que podamos calcular también valores numéricos, ofrecemos (páginas 98-99) una de tales tablas de cosenos. Si queremos estudiar ahora más exactamente las relaciones del señor Coseno con los triángulos rectángulos, deberemos entonces incluir de nuevo las longitudes en nuestras consideraciones. Empecemos con el cálculo de las dimensiones de la «moradas del señor Coseno, es decir, del círculo unidad. Para mantener la coincidencia con nuestras anteriores consideraciones debemos elegir como unidad de longitud para nuestras mediciones la longitud del radio. De este modo se deduce la sencilla definición del coseno: si en un triángulo rectángulo, el lado más largo - la hipotenusa - es igual a la unidad de longitud, la longitud del lado adyacente está en relación con el valor del coseno del ángulo comprendido. Si la hipotenusa tiene, por ejemplo, la longitud de 1 dm. y forma un ángulo de 60° con el lado adyacente, la longitud del lado adyacente será igual a cos 60 • 1 dm = 0,5 • 1 dm. = 0,5 dm. Naturalmente, nada puede impedirnos escribir para 1 dm., por ejemplo, 10 cm. La hipotenusa tiene, en este caso, justamente la longitud de 10 cm. y el lado adyacente es cos 60° • 10 cm. = 5 cm. de longitud. Nada cambia en este principio si damos el paso hacia un triángulo rectángulo de la longitud de lado deseada. Debemos sustituir, simplemente, «unidad de longitud» por «longitud de la hipotenusa». Vamos a plantear ahora mismo un problema

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Una carretera rectilínea, que mide 11 kilómetros, presenta un desnivel de un grado; ¿a qué distancia horizontal desde el punto de partida del trayecto se hallará un camión después de haberlo recorrido totalmente? Tampoco en este caso resulta difícil la respuesta. Dice así: 11 kilómetros multiplicados por el coseno de un grado, o lo que es lo mismo, 11 • 0,9998 es igual a 10,9978 Km. Con la misma sencillez se alcanza la solución del siguiente problema. Bajo un foco de luz que pende de una altura infinita está puesto un libro de 8,5 cm. de ancho. ¿Cuál es la anchura de la sombra que arroja la cubierta del libro cuando ésta se halla abierta formando un ángulo de 45 grados? De nuevo tenemos aquí que la anchura de la cubierta del libro, multiplicada por el coseno de 45 grados, dará: 8,5 cm. • 0,7071 = 6,0104 cm. De estos dos cálculos podemos deducir que: Hipotenusa por coseno = cateto adyacente Para el «coseno del ángulo» existe también una abreviatura; se escribe, sencillamente, «cos». Si designamos como a el ángulo formado por la hipotenusa y el lado adyacente, y los lados del triángulo con pequeñas letras, a saber, la hipotenusa por c y los dos más cortos por a y b, podemos escribir también: c · cos a = b. Y de ello se deduce: cos a = b / c. O, en lenguaje vulgar: El coseno es la relación (el cociente) entre el lado adyacente y la hipotenusa en un triángulo rectángulo. Una vez aquí, lector amigo, mira a tu alrededor, fija tu atención en los objetos que te rodean y allí donde halles un triángulo rectángulo procura «descubrir» el coseno. Ten, sin embargo, en cuenta lo siguiente: 10) el coseno es siempre un cociente, el resultado de la división del cateto adyacente por la hipotenusa; 2º) a consecuencia de esto: sólo cuando la hipotenusa sea 1, el valor del coseno corresponderá a la longitud del propio cateto adyacente al ángulo.

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A decir verdad, no resulta muy interesante, a lo menos aparentemente, lo que hasta ahora hemos averiguado acerca de nuestro buen coseno. Cierto es que no hay triángulo rectángulo en el que él no desempeñe su papel, pero al lado de aquellos números que hemos visto destacarse como gigantes y con los cuales tan a menudo triunfa la ciencia matemática, no aparece en realidad más que como un mozuelo del todo insignificante que empieza valiendo cero y que a lo sumo alcanza a valer uno. Antes de intentar aclarar por medio de algunos ejemplos lo que este recién conocido nuestro tiene, no obstante, de verdadero gigante y soberano, vamos a iniciar un conocimiento sucinto con el señor Seno, hermano del señor Coseno. Los hermanos suelen ofrecer un mutuo parecido. Tal ocurre también en este caso. Sin embargo, el señor Seno es, en cierto modo, un contradictor del Coseno. Por lo demás, también la morada del señor Seno se encuentra en el círculo unidad. Consideremos, por ello, primero de nuevo los conocidos triángulos rectángulos. No debemos preocuparnos ya de los lados adyacentes; el señor Seno no siente el menor interés por ellos. Sen = c / a

Nuestro propósito es claro: estudiar cómo varía la longitud del tercer lado del triángulo en correspondencia con la variación del ángulo. Y después de una corta observación habremos dado en el clavo, pues vemos que: dicho lado es igual a cero cuando el brazo está completamente horizontal y el ángulo es, por lo tanto, también nulo; que dicho lado crece al crecer el ángulo, para alcanzar finalmente el máximo valor, o sea 1, cuando el ángulo es de 90 grados. Entre estos dos valores (0 y 1) adquiere la longitud del referido lado toda una serie de valores intermedios; ocurre, en una palabra,

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lo mismo exactamente que ocurría con el coseno, con la sola diferencia de que se trata del otro lado y referido al mismo ángulo a. De manera enteramente similar llegamos a los valores del seno del ángulo - abreviadamente, «seno a» -, los cuales podemos leer también en el círculo unidad. También para el seno encontramos todos los valores en las tablas de logaritmos, varias veces mencionadas. Si se estudian con atención estos valores, no tarda en presentarse una sorpresa: el seno y el coseno varían metódicamente en sentido opuesto. El seno de 0° es 0, y el coseno de 0° es 1. En cambio, el seno de 90° es igual a 1 y el coseno de 90° es igual a 0. Es decir, exactamente opuestos. Esto nos permite sospechar que a mitad del camino, es decir, en una magnitud angular de 45°, los dos son iguales. Pues tanto el seno como el coseno de 45° es 0,7071 (lo que, en el fondo, no significa más que

1 / 2 2 ). El seno de 30° es 1/2,; el coseno de 60° es, asimismo, ½. Exac-

tamente igual es, por ejemplo, seno 8° = cos (90° - 8°) = cos 82°; además, el seno de 49 grados es igual al coseno de 41 grados, y así sucesivamente. Teniendo en cuenta las consideraciones hechas ya a propósito del coseno, no nos ha de ser difícil definir el seno: 1. Por lo general, el seno es siempre un cociente, el resultado de una división, la del cateto opuesto por la hipotenusa.

senα =

c a

2. Sólo cuando la hipotenusa es igual a 1, el valor del seno corresponde a la longitud del lado opuesto al ángulo. Con lo que, naturalmente, no debemos olvidar que esto es válido solamente en el triángulo rectángulo. Por el momento nos daremos por contentos con este conocimiento. En total, son cuatro hermanos de tipo semejante dos a dos: seno y coseno, tangente y cotangente, acerca de los cuales habremos de informarnos después con más detenimiento. Averigüemos ahora lo que son capaces de realizar por el mundo estos dos mozuelos que llevan los nombres de Seno y Coseno. ¡Su poder espanta ! Tenemos, por ejemplo, un tren que conduce al extraradio. El trayecto es recto y exactamente horizontal. Los hermanos Seno y Coseno no tendrán

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mucho que aportar aquí, pues si es horizontal quiere decir que el ángulo del declive del trayecto es cero, y entonces el señor Coseno equivale a 1 y el señor Seno a 0. Y si el tren se para habrá llegado simplemente allí donde lo han llevado la fuerza de la locomotora y la energía cinética acumulada en el peso del tren. Pero ahora viene una rampa. Supongamos que la cuesta sube formando un ángulo de 1/2 grado. Al instante interviene nuestro par de hermanos. El señor Coseno se encarga de ejecutar algo fantástico, pues logrará aligerar el peso del tren. Mientras corría por el llano, todo el peso del convoy (supongámoslo de 300 Tm.) cargaba sobre las ruedas. Sin embargo, en la rampa ya no ocurre lo mismo, pues el peso que descansa ahora sobre las ruedas resulta ser de sólo 300 Tm. · cos ½ grado, lo cual equivale a 300 . 0,999962= 299.9886 Tm. (10). El tren se ha aligerado en 11,4 kilos - ¡no es mucho, verdaderamente!-; es decir, la presión ejercida por mediación de las ruedas sobre los raíles ha disminuido en 11,4 kilos. Naturalmente, este peso no puede desaparecer. El señor Coseno se lo traspasa, en cierto modo, a su hermano Seno. Eso hace que del gancho de tracción de la locomotora «cuelgue» real y efectivamente, en sentido de la pendiente abajo, una fuerza igual a una fracción del peso de 300 Tm. del tren. Esta fracción es la que corresponde a 300 Tm. · sen 1/2 grado, y por lo tanto, a 300 . 0,008727 = 2,6189 Tm., o sea 2.618,1 Kg. El maquinista se ve obligado a dar más vapor para vencer la pertinaz fuerza retentiva, que vale más de 2.500 Kg., que es debida al ángulo de la pendiente -al seno- y dirigida hacia el fondo del valle. Si el tren se parase en la pendiente habría que poner inmediatamente en acción los frenos, pues de no hacerlo así el señor Seno arrastraría inexorablemente el tren cuesta abajo. Puede uno imaginarse lo costoso que este maldito doble juego de los dos hermanos resulta en trabajo y dinero para las explotaciones de ferrocarriles del mundo entero, así como para todos los camiones, ciclistas y peatones: en trabajo por la sobrecarga exigida a la máquina en las cuestas arriba, y en dinero por el desgaste del material a causa de los frenos en las cuestas abajo, etc. Y ambos son de una tiranía inexorable no aceptan la más mínima «exención» ni consienten la más insignificante excepción a los duros tributos que imponen. Y con esto habrá vislumbrado ya el lector algo acerca del papel todopoderoso que en la sobria e insípida Geometría desempeñan nuestras recientes amistades.

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El cos ½ , se diferencia sólo muy poco de 1, de modo que podemos considerar ya seis lugares detrás de la coma

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¡Pero volvamos a nuestro don Coseno! He aquí un ejemplo que demuestra hasta qué punto hace sentir su influencia en todas partes, y que sorprenderá seguramente tanto a los felices terratenientes como a aquellos que sueñan con poseer aunque sólo sea una modesta parcela de jardín. He aquí que nos ofrecen en venta, pongamos por caso, dos parcelas de terreno, a elegir. Supongamos que ambas tengan una misma longitud y anchura; digamos, por ejemplo, 100 metros justos de lado. Pero una de ellas se extiende sobre el llano; la otra, en una pendiente bastante empinada y orientada al Sur. Ahora cabe la pregunta: ¿qué parcela nos conviene mejor? También en esta ocasión decide el importante y definitivo señor Coseno, de la siguiente manera: en la parcela llana, el coseno es igual a 1, puesto que no hay allí rampa alguna, ningún ángulo de inclinación o, con otras palabras, no «pinta» nada el coseno, pues es evidente por doquier que cualquier número multiplicado o dividido por 1 no sufre variación. En lo que respecta al terreno en pendiente orientada hacia el Sur, la cosa ya es distinta. Éste se extiende sobre un ángulo de inclinación de -supongamos- 15 grados. Es terreno abonado para la intervención inflexible e inexorable de tal coseno, cuyo valor para el ángulo citado es de 0,9659. Y no hay en el orbe poder alguno que nos libre de este importante factor, del valor del coseno, que actúa de muy curioso modo y va a inclinar la balanza para decidir la compra, haciendo entrar en juego una consideración de peso; pues como en ningún registro ni en ningún catastro se toma en consideración la longitud real de una parcela, sino la llamada longitud proyectada, o sea reducida a la horizontal, ¡vamos a adquirir en realidad un trozo de terreno mucho mayor! ¡Si compramos y pagamos 100o metros, longitud del mismo en sentido horizontal, la intervención del señor Coseno hace que obtengamos de hecho 100: 0,9659, o sea 103,5 m., medidos a lo largo de nuestra parcela! Pero hay más: es por el señor Coseno por quien actúa con «mayor vigor» la energía del Sol en esta ladera orientada al Mediodía. Gracias a su influencia hemos salido incuestionablemente más favorecidos afincándonos en la vertiente Sur que si lo hubiéramos hecho en la llanura o en la ladera que da al Norte, pues aun cuando en esta última el amigo Coseno habría aumentado también la extensión, habría en cambio debilitado la energía solar. ¡A comprar, pues! Pero el inflexible soberano Coseno nos exige en seguida su tributo, que pagamos tan pronto como comenzamos a andar o a hacer acarreos en la parcela de nuestra propiedad; porque si bien empieza por aligerar traicioneramente nuestro peso, ocurre que el señor Seno, que acecha en todas partes, acude simultáneamente en auxilio de su hermano Coseno y

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nos obliga a realizar mayor trabajo cuesta arriba, para fustigarnos, en cambio, las corvas al bajar. Si tenemos en cuenta el papel que desempeñan en la marcha del mundo y reconocemos la fuerza de su terrible y despiadado puño, mediante el cual mantienen a raya al orbe entero, no podremos por menos que admirarnos ante el poder omnímodo de nuestros recién conocidos personajes geomé, tricos. ¿Quién azota el desierto del Sahara con los ardientes y mortíferos rayos; mantiene en las mágicas selvas del trópico, palpitantes de calor y humedad, la incesante canícula; procura el suave clima propio de las zonas templadas, y sepulta la zona polar de la Tierra bajo eternas corazas de hielo y desiertos de nieve? ¿Quién nos trae el calor estival, el encanto de la primavera, el bello y declinante morir del otoño, y el frío y la escarcha invernales? ¡Nadie más que el señor Coseno!Y la cosa se explica, una vez más, por consideraciones tan sencillas como fundamentales e irrevocables expongamos a la luz directa del Sol una hoja de papel blanco. Indudablemente éste lucirá más intensa y claramente; es decir, su brillo será de máxima potencia cuando los rayos del Sol caigan perpendicularmente sobre su superficie, o sea, por tanto, cuando el ángulo formado por los rayos solares con la perpendicular levantada en un punto de la hoja de papel sea de o grados. Pero a medida que vayamos inclinando el papel su iluminación será más y más débil; y si se consideran las cosas desde el punto de vista estrictamente teórico, puede llegar a no ser batido por los rayos solares, sino simplemente rozado por ellos, y esto sucederá en el instante en que dispongamos el papel exactamente en dirección paralela a dichos rayos; y el hecho de que en esta posición no quede completamente a «obscuras» se debe a la acción de la luz reflejada por los demás objetos circundantes y por el firmamento. Como ya adivinamos, el señor Coseno hace sentir también en este caso su influencia. Hay una sola posición del papel en la que no se modifica la acción de los rayos solares (la normal a éstos); en los demás casos el coseno, debido a su valor decreciente, reduce la actividad de los mismos hasta llegar a anularla por completo. Y exactamente igual que con la hoja de papel procede el despiadado Coseno con la totalidad del globo terráqueo. En el trópico posee el valor de «uno», ya que el Sol brilla siempre casi en el cenit, y por eso en aquella latitud el señor Coseno deja llegar la energía solar con poca merma. En nuestras latitudes es ya mayor la reducción, debido a recibir la luz solar bajo mayor ángulo con la normal. Y en aquella región del globo donde el Sol puede elevarse muy poco en el horizonte, es decir, en el círculo polar, el coseno es todavía de menor valor, hasta el punto que, por la gran reduc-

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ción que impone la acción del Sol, el calor recibido de este astro en las regiones gélidas resulta insignificante para poder compensar el descenso de temperatura determinante de los terribles fríos que cubren aquellas tierras y mares de un perpetuo caparazón de nieve y hielo, fenómeno que la sucesión de las estaciones, debida también exclusivamente al señor Coseno, tiende a compensar. ¡Y aún habrá quien se atreva a afirmar que la Trigonometría, campo de acción del tal señor Coseno, es un árido desfile -de fórmulas y números!Mucho habría que buscar para hallar un tirano tan singular, romántico y desconsiderado como el señor Coseno, que, a pesar de todo, sólo alcanza a valer 1. Después de las sorpresas que nos ha reportado el más intimo conocimiento del par de hermanos llamados Seno y Coseno, no sería perdonable que nos echáramos a dormir sobre nuestros «laureles trigonométricos». Y es tiempo ya de que trabemos conocimiento con la «tangente», imprescindible para la comprensión de las matemáticas superiores. ¡La cosa seguirá siendo aquí también muy sencilla ! Ya sabemos que los lados del triángulo rectángulo están en una firme relación de dependencia con el ángulo α - naturalmente, en concordancia también con el ángulo β; pero esto no nos interesa ahora tanto- y esta relación es

senα =

a c

y cos α =

b c

En matemáticas no se habla de «dependencia», sino que se sirve para ello del concepto de «función». Un «algo» depende de otro «algo», y todo el conjunto recibe el nombre de «función». Todo esto suena muy sencillo, pero en realidad puede procurarnos muchos dolores de cabeza cuando se trata de estudiar funciones complicadas. Es aquí donde empiezan en realidad las matemáticas; en su parte principal debe ocuparse de tales estudios (análisis). ¡Pero no tengamos miedo! Ocurre aquí como en la vida comercial: el comerciante Juan ha contraído deudas con sus proveedores. El asunto «funciona» perfectamente; de acuerdo con sus ingresos, va amortizando sus deudas. Sus preocupaciones no son muy grandes... ¡Juan entiende de su negocio!Muy distintos son los «compromisos» de una gran empresa indus-

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trial; en este caso se requiere ya un hábil experto en finanzas, capaz de dominarlo todo. Con estos claros ejemplos de «funciones» pueden quedar trazados los límites de nuestra ambición. Pero ¡volvamos ahora a nuestras funciones angulares ! El señor Coseno es responsable para la relación de lados entre el lado adyacente y la hipotenusa, en tanto el señor Seno se ocupa de la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Es, sin embargo, también evidente que la relación entre los dos catetos depende asimismo del ángulo α, es decir, es una función angular. Recibe el nombre de «tangente» (abreviado «tg»).

tgα =

a b

Las relaciones de parentesco son fáciles de determinar. : Puesto que a = c • sen a, y b = c • cos a, resulta, muy sencillamente

Con ello podemos reconocer ya algunas características de esta nueva función. Si, por ejemplo, a = 0°, la tg 0° = 0 (sen 0 : cos 0° = 0 : 1 = 0). Si sen a = cos a, es decir, pues, a 45°, la tangente será igual a 1. Y ahora empieza la cosa a hacerse interesante, pues este personaje sale muy distinto de los demás, es capaz de hacerse mayor que 1. Así, tg 60 = 1,7321 (esto equivale a 3 ). Pero la señora Tangente es capaz aún de mayores cosas. La tangente de 80° es ya 5,3713 a 85° sube hasta 11,430, y a 89° alcanza hasta 57,290. De 89' a 90° parece perder los estribos. Conforme va acercándose a los 90°, tanto más escapa a todos los límites conocidos. Tampoco nuestra fórmula nos permite comprender lo que sucede

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Esto es un completo absurdo, pues nosotros no podemos, ni debemos, dividir por el cero. Nada cambia en la situación si se dice que la tangente del ángulo de 90° es «infinita». ¿Qué significa este «infinito»? Nadie sabe cuál es su aspecto. No puede decirse siquiera que sea un número. Tomaremos nota, por tanto, de que para el ángulo de 90º no puede definirse ningún valor para la tangente. La usual denominación, no demasiado afortunada, de tg 90º = ∞ («igual a infinito») no tiene, por consiguiente, más que un carácter simbólico. ¡Pero volvamos de nuevo a nuestro círculo unidad ! También los valores tangenciales pueden determinarse en el círculo unidad. Sin embargo, no queremos aburrir demasiado al lector con largas explicaciones. Lo que debe decirse sobre este particular puede deducirse del gráfico adjunto. Lo importante es aquí leer los valores de la tangente en la tangente al círculo unidad. De ahí ha recibido su nombre la tangente. No debe, pues, sorprendernos el que siempre que se habla de tangentes entre también en juego la tangente. La importancia de la señora Tangente es, por lo menos, tan considerable como la de sus hermanos. Veamos ahora un ejemplo: El desnivel de un trozo de vía férrea ha sido calculado de tal modo que por cada kilómetro se eleva 5 m. ¿Cuánto mide el ángulo de la pendiente? La contestación es muy sencilla: la tangente del ángulo buscado será, llanamente, igual al cateto opuesto dividido por el cateto adyacente; o escrito en otra forma

tan gente del angulo de desnivel =

5m 5 = = 0,005 1Km 1000

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En vista de esto podemos decir también: el desnivel de la vía en aquel trozo es de 5/1000 (léase «cinco por mil»). Mas si quiero expresar el ángulo en grados buscaré en las tablas la magnitud del ángulo cuya tangente es igual a 0,005 y encontraré allí que es de 0 grados, 17 minutos, 49 segundos. Hagamos hincapié en el hecho importantísimo de que al querer valorar una pendiente, y tanto si la indicamos de palabra como por escrito, habremos de hacerlo expresándolo por la tangente del ángulo. Una inclinación o desnivel de 1 : 7 corresponde simplemente a un ángulo de desnivel cuya tangente es 1/7 o, expresado en forma de fracción decimal: 0,142857. Si se busca en una tabla de tangentes, hallaremos que le corresponde un ángulo de 8 grados, 7 minutos y 30 segundos. Así, pues, en nuestra tangente reconocemos una antigua expresión, desde hace mucho tiempo conocida y empleada en la vida corriente. Más adelante insistiremos de nuevo sobre la extraordinaria importancia que tiene la exacta comprensión de esta magnitud. La señora Tangente, como es natural, no quiere ser menos que la pareja fraterna formada por Seno y Coseno. Por tanto, también ella tiene una hermana, una hermana gemela a la cual se halla más vinculada aún que los hermanos Seno y Coseno entre sí. Esta hermana gemela se llama Cotangente (abreviatura: «cotg»). La cotangente - indica la dependencia del ángulo a, de la relación entre los dos catetos entre sí. Si examinamos a las dos hermanas comprobaremos que son casi gemelas

De ello deducimos inmediatamente las relaciones de parentesco

¡Cada una de ellas representa el valor recíproco, el valor inverso, de la otra! Divídase 1 por la tangente de un ángulo y se obtendrá la cotangente del mismo, y viceversa. Poco es lo que debemos añadir aquí todavía para borrar fantasmas que pudieran asustar al temeroso lector.

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Como ya hemos visto, las funciones angulares están muy próximamente emparentadas entre sí. A partir de estos parentescos funcionales, y a los fines prácticos del cálculo, se han llenado -¡calculando por bajo!- cuatro o cinco páginas con otras fórmulas que, a primera vista, atemorizarían al novato, inspirándole un horror incurable hacia toda la Trigonometría. ¡Bien mirado, en el fondo es siempre el mismo «juego»!; pues la cosa no pasa de mover y remover, mirar y remirar, ya de un lado, ya de otro, nuestro dichoso triángulo de lado unidad, para sacar a relucir esta o aquella relación de parentesco entre las funciones angulares. No puede ser objeto de este libro penetrar - dentro de semejante matorral, aparentemente tan espinoso, y si alguien debe entrar forzosamente en él, ¡anímese!, pues las espinas en apariencia tan peligrosas se quiebran por sí solas siempre que uno no se deje aturdir. Un importante ejemplo puede subrayar esto. Si nos acercamos con el «teorema de Pitágoras» al triángulo rectángulo, tendremos a2 + b2 = c2, o si dividimos todos los miembros por c2

Ahí tenemos, justamente, los cuadrados de las relacion entre los lados, para los que son responsables los señores secno y coseno. De modo que es válido simplemente

Léase: «seno al cuadrado de alfa más coseno al cuadrado de alfa igual a uno». Sen α no es más que sen α . sen α = (sen α)2; es decir, simplemente, una forma más adecuada de notación que «seno de alfa al cuadrado». Pero no acaba aquí la cosa. Si alguien encuentra alguna dificultad en la Trigonometría, debido tal vez a que no lo ha visto todo sencillo y claro, siempre le quedará un último recurso: «¡Volver al círculo unidad!» Sería lástima que hoy día, en el siglo del incontenible avance triunfal de la técnica, haya alguien que, queriendo colaborar, no se ponga al corriente en estos importantes dominios de la más poderosa de las ciencias auxiliares de aquélla.

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Casi tememos haber cansado un poco la atención del lector, al introducirle en este extraordinario mundo geometricomatemático. Y para aliviarle, le anunciamos que arrojaremos simplemente por la borda mucho de lo que nos queda por decir y que, por otra parte, ofrece escasa importancia en orden a la aplicación práctica de las matemáticas. Digamos solamente que existen además algunas curiosas inversiones de nuestras consecuentes funciones angulares, tales como las llamadas funciones ciclométricas en las cuales el arco, es decir, ángulo, constituye el punto de partida; así como también las denominadas funciones hiperbólicas, que no corresponden al círculo, sino a la elegante curva hiperbólica. Pero todo esto serviría más para intimidar que para instruir y nos llevaría indudablemente a un zarzal de representaciones realmente espinosas. Hablando de esto viene a punto una pregunta que merece ser contestada: ¿Qué relación puede existir entre nuestros modestos ángulos y aquel pavoroso y extraño «imperio imaginario» de los complejos? ¿No estamos a distancia considerable de él? Debería ser así, porque hasta ahora no hemos hecho más que practicar sencillos trabajos manuales y movernos pacíficamente dentro del círculo de radio unidad, tal como Schiller hace decir al soldado de Wallenstein, con ironía: «Necio e indolente, como el jamelgo en torno de la noria, se mueve el paisano siempre alrededor del círculo.» Y no obstante -por lo que se refiere a nuestras funciones angulares, simples relaciones numéricas entre los lados de an triángulo rectángulo-, hemos de confesar que nos hallamos próximos a_ aquel reino fantástico; una vez más pisamos in cierto modo sus fronteras. Y una vez más disponemos de una «cabeza de puente», una piedra miliar esculpida con -aracteres rúnicos, cuya inscripción misteriosa pudo ya reconocer e interpretar el célebre Euler mediante la famosa ecuacion de su nombre. La ecuación de Euler se expresa así (léase: «e elevada a la potencia i alfa es igual a..., etc.»). Pero como esta ecuación está basada en un modo de expresión de los ángulos completamente nueva (esta fórmula es válida cuando los ángulos se miden mediante unidades de arco más adecuadas al cálculo analítico), no vamos ni a intentar siquiera traducirla al lenguaje vulgar.

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Abandonamos, pues, la cuestión en este punto, no sin hacer observar que además de las misteriosas e e i que desempeñan marcado papel en este caso, interviene también (y no podía faltar), el número π, aunque «emboscado» en la formación de la unidad de arco utilizada. La e, la i y π, que, como hemos visto en repetidas ocasiones, gobiernan toda la ciencia matemática, y con ella al mundo entero, siguen pesando sobre nosotros...

El lenguaje de las matemáticas

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EL LENGUAJE DE LAS MATEMATICA.S

Ya desde el principio hemos dado a nuestro avance por el ámbito de las matemáticas el aire de un paseo por un jardín botánico. Pero hay gentes que, a pesar de ser cultas e ilustradas, sienten cierta prevención contra los jardines botánicos, motivada casi siempre por causa de las denominaciones «exclusivamente latinas» empleadas en la mayoría de estos jardines. La verdad es que el placer de contemplar plantas tan hermosas e interesantes se minora considerablemente cuando nos las presentan con la etiqueta de un nombre latino incomprensible, que habremos de olvidar al instante. ¿No resulta_ chocante ver que, por ejemplo, una simple coliflor viene designada con el nombre de Brassica oleracea forma botrytis, y que un vulgar rábano se denomina Raphanus sativus forma radicula2 No estimo del todo injustificados tales recelos, dado que el latín no está al alcance de todo el mundo. Por desgracia, las matemáticas poseen también un lenguaje propio, sus propios signos, oraciones, imperativos, etc., y su propia sintaxis. De suerte que, aun cuando se asemeja a la escritura corriente, este modo desusado de expresión sorprende, no obstante, a los no versados en ellas, haciendo que, de antemano, ya sean presa de sensible desconfianza y no poca repulsión. Y de aquí nacen un sinfín de equívocos, y el desaliento y la angustia, dignos de compasión, que acosan al novato puesto enfrente de una fórmula y que se renuevan cada vez que se halla en presenca de semejantes instrumentos de tortura.

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Intentemos, pues, explicar las características fundamentales de esta lengua y conjurar de tal suerte en gran parte los temores que suelen asaltar al profano ante cada signo, fórmula o enunciado matemáticos, para evitar que sucumba al deprimente sentimiento de inferioridad. Partamos del lenguaje vulgar. Una ligera reflexión hace evidente que el núcleo de toda oración está constituido por el verbo, mejor dicho, el verbo que afirma el predicado. Si faltase éste la oración resultaría incompleta e incomprensible, y solamente tendría sentido en el caso de que el verbo ausente pudiera sobreentenderse sin esfuerzo, como, por ejemplo, en la siguiente afirmación: (¡Oh, estos niños!», o en «¡Horrible accidente ferroviario!» Algo idéntico ocurre en las matemáticas, sólo que con una importante diferencia, favorable e inmensamente simplificadora. Mientras que en el lenguaje vulgar disponemos de un número grandísimo de verbos atributivos, de predicados verbales, en las matemáticas no hay, en realidad, más que uno solo: es éste el comúnmente conocido «signo de igualdad», es decir, «=», que traducido en palabras expresa «es igual a». Y si es verdad que al lado de este capital y fundamental verbo matemático hay otros, tales como los signos (>) «mayor que» y su inverso (<) «menor que», etc., éstos no son, en modo alguno, tan importantes. Claro está que el signo de igualdad expresa siempre un estado de hecho, una afirmación, una verdad adquirida, tal como la de aquellas oraciones matemáticas conocidas incluso por los chiquillos de la escuela, aunque rara vez comprendidas por ellos en su importancia capital, a saber: 3 x 4 = 12 ó 7 – 4 = 3. En cuanto a los otros signos matemáticos que se emplean en combinación con el todopoderoso signo de igualdad, la mayoría de nosotros los hemos intuido, por decirlo así, aunque sin comprenderlos con suficiente claridad. Si bien el signo de igualdad, como dijimos, expresa una afirmación rotunda e irrebatible, todos los demás signos matemáticos, tanto si se trata de los signos + o -, generalmente conocidos, como del pavoroso signo integral ∫, equivalen a una orden imperativa. Con ellos no se expresa más que un mandato o, si se quiere, una señal para la realización de una operación determinada. Con esto nos hallamos ya en condiciones de traducir a nuestro lenguaje corriente, aunque de un modo un tanto ridículo si lo hacemos literalmente, algunos enunciados matemáticos. Si vemos en alguna parte 3 · 4 = 12, sabemos ya que esto significa en el lenguaje común: multiplicad 3 por 4 y el resultado será igual a 12. Y análogamente, 7 - 3= 4 significa: restad 3 de 7 y 10 que quede será igual a 4.

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Gracias a estas operaciones de tan fácil interpretación estamos en condiciones de comprender, mediante nuestros conocimientos del lenguaje matemático, una escritura que tantas dificultades reporta, por lo general, a los no matemáticos: el cálculo con letras. El cálculo literal se hizo necesario para poder establecer y expresar, en el lenguaje propio de las matemáticas, los conocimientos y leyes generales que constituyen esta ciencia. Nuestros números usuales no tienen ninguna condición para caracterizar relaciones de validez universal, y esto por la simple razón de que cada número en sí posee peculiaridades bien definidas, es decir, su «individualidad». Veamos un sencillo ejemplo: supongamos que necesito establecer la diferencia fundamental existente entre la multiplicación y la adición de los números. Con números particulares la cosa no resulta, pues tropiezo entonces con terribles contradicciones. Así, por ejemplo, tengo que 2 • 2 = 4, pero no deja de ser igualmente cierto que también 2 + 2 = 4. Si pretendiera sacar consecuencias de esta equivalencia de resultado y establecerla como tesis de aplicación general a todos los números, daría lugar a un lamentable sinsentido, pues resultaría que otros números sometidos a la misma experiencia matemática se comportarían de muy distinto modo; así, mientras que 1 • 1 = 1, se tiene, en cambio, que 1 + 1 = 2; o también: 3 • 3 = 9, en tanto que 3 + 3 = 6. En estos dos últimos experimentos con el 1 y con el 3 puede fundamentarse una ley que si la vislumbramos será de modo muy confuso, pero que nos aparecerá, por el contrario, sumamente clara si en lugar de experimentar con números particulares lo hacemos con un símbolo, tal como la letra a, por ejemplo. Obtendremos entonces la expresión inequívoca a • a = a2. Vertida al lenguaje vulgar, la ley calculatoria que acabamos de hallar dice así: Todo número, cualquiera que sea, multiplicado por sí mismo, da su cuadrado. Pero, en lo que se refiere a la adición, la cosa varía por completo, pues el resultado es totalmente distinto. Si escribo a + a obtendré con el resultado de esta operación: 2a; y veo, expresándolo en palabras, que todo número sumado consigo mismo equivale a un valor doble del suyo propio, y no a su cuadrado. Al aplicar el cálculo literal hay que tener siempre presente una cosa, y es que el número que queramos representar por el símbolo a debe conservar siempre e incondicionalmente su propio valor dentro de una misma operación. Por ejemplo, si hacemos el cálculo del gasto diario correspondiente al sueldo del mes, no puede pasarse, de repente, de pesetas a cocos, pongamos por caso, y será preciso que para cada uno de los números que puedan ir apareciendo en la cuestión escojamos otros tan-

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tos símbolos distintos,. tales como b, c, u otras cualesquiera de las restantes letras. ¡Y con esto podemos ya empezar a calcular sin trabas ! Como es de sobra conocido, el área de un rectángulo es .igual al producto de multiplicar su lado menor por su lado mayor. Si quiero traducir esto al lenguaje matemático, lo primero que necesito hacer -y esto se ha dicho muy raras veces con la debida claridad - es explicar lo que representa cada una de las letras que intervienen en nuestro estudio y decir: en el ejemplo sentado, a representa el valor del lado menor, b el del mayor y S la extensión, o sea el área. Una vez convenido esto, la traducción a nuestro lenguaje matemático será la fórmula: S = a x b, y para remachar todavía más todo esto, diremos que si omitimos o ignoramos esta clave de representaciones, es decir, si desconocemos el significado de las letras a, b y S, la fórmula resultará en sí incomprensible; pudiendo ocurrir en el mejor de los casos que adivinemos lo que esas letras quieren decir, pero al mismo tiempo puede igualmente suceder que en este ejercicio de adivinación dejemos sin valorar algún hecho fundamental que nos haya pasado inadvertido. Precisamente por ocuparnos ahora en las «letras-símbolos», será oportuno mencionar que existen en matemáticas toda una serie de símbolos fijos, que tienen siempre y en toda circunstancia la misma significación y que, por así decirlo, no son más que estenogramas, signos taquigráficos, expresivos de más amplios conceptos o de determinados valores numéricos. Así, por ejemplo, el célebre número de Ludolf, o número pi, que representa en realidad una fracción decimal de infinito número de cifras, no se expresa nunca por sus cifras en el cálculo literal, sino sencillamente por medio de la letra griega π, exactamente del mismo modo que para expresar el número fundamental y cardinal, base del sistema logarítmico natural, se escribe y dice siempre e. Hay asimismo en nuestro vocabulario una serie de símbolos «bloque» también invariables en su significación. ¡Son fáciles de aprender de memoria!Son fáciles de descifrar por su aspecto, y de este modo comprendemos clara y significativamente las fórmulas que nos conducen al cálculo de longitud de la circunferencia y del área del círculo. Para llegar a ellas se ha de establecer previamente la clave: así, llamando S al área del círculo y C a la longitud de la circunferencia, obtendremos las fórmulas más frecuentemente usadas para expresar dichas relaciones, a saber: S = π · r2 y C = 2·π·r. Y

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como ejemplo de la influencia de los símbolos escogidos, veamos lo que ocurre al variar uno de los vocablos que forman la frase, o mejor dicho, al introducir uno nuevo: si desbancamos al radio y entronizamos al diámetro, veremos en seguida cómo se modifican nuestras fórmulas. que ahora resultan ser, respectivamente

S=

π ·D 2 4

y C = π ·D; pues r =

d y 2r = d 2

Repitámoslo, pues, una vez más: ¡Atiéndase siempre rigurosamente a la significación de los símbolos, condición necesaria e imprescindible para comprender cualquier enunciado matemático ! Falta todavía lo que quizá tiene más importancia. Hasta aquí nos hemos referido exclusivamente a la comprobación matemática de las fórmulas correspondientes a tesis ya establecidas. Pero, como es sabido, la interrogación es el alma de toda investigación y las matemáticas, para poder progresar, han debido tener la posibilidad de indagar e investigar partiendo de un caudal conceptual e idiomático. Debe haber, pues, también una interrogación matemática, es decir, una proposición mediante la cual se busca precisamente un resultado. Y así es, en efecto. Pero la interrogación matemática difiere por entero de la del lenguaje corriente, porque aquélla se escribe y expresa indefectiblemente en la acostumbrada forma afirmativa, cuya esencia está representada por el signo de igualdad. Y, gracias a un artificio fundamental y genial por su simplicidad, la afirmación -que en el fondo continúa subsistiendo siempre- queda transformada en una interrogación. El ardid consiste en designar con una letra especial aquella cantidad que nos es todavía desconocida, pero que perseguimos y deseamos descubrir. Al deducir la regla logarítmica de las raíces hemos hablado ya de este hecho. Como es generalmente sabido, este puesto de honor se cede a la x minúscula latina, y si las cantidades buscadas son más de una, se echa entonces mano de las letras que siguen o anteceden a la x al final del alfabeto: y, z, la u, etc. Ahora bien, de momento, y para simplificar, nos quedamos solamente con la x. Ella designa siempre, pues, la cantidad buscada, la incógnita, y en la siguiente frase: A todo aquello que queremos saber o conocer, y que todavía nos es desconocido, le llamamos x, está contenida una de las nociones de mayor alcance e. importancia en el tan a menudo difícil

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arte de establecer las fórmulas matemáticas que nunca ha sido debidamente valorada. Hemos adelantado al fin lo suficiente para estar en condiciones de tomar en consideración con tranquilidad de espíritu una nueva expresión que ha sido hasta ahora_ el temor de los no especializados. Se trata de la ecuación. ¿Qué es una ecuación? La respuesta es muy sencilla: una ecuación es un enunciado matemático, de los que hablando en nuestra lengua corriente calificaríamos de oración afirmativa normal. La afirmación del hecho de que 2 x 2 = 4 es una ecuación, como lo es asimismo la fórmula del área del círculo S= π · r2; y es también una ecuación cualquiera de las expresiones matemáticas que miramos con recelo por parecernos todavía espantosamente complicadas. Lo esencial de la ecuación nos es ya conocido. Se trata del signo «igual a», en cuyos secretos nos proponemos penetrar un poco más; a cuyo fin, y aunque sea sólo en su más sencillo fundamento, procuraremos aprender, en plan de «ciencia recreativa», algo que muchas gentes no han podido asimilar en todos los días de su vida. Se trata del célebre y temido planteo de la ecuación. Y esto equivale a saber traducir al lenguaje matemático un enunciado de investigación (problema) hecho en nuestro habitual idioma. Valgámonos de un sencillisimo ejemplo. Todo el mundo sabe en qué consiste la reja o respiradero de una conducción subterránea; es una pesada pieza de hierro colado con orificios cuadrados, regularmente repartidos, que permiten la evacuación de las aguas de lluvia y del lodo. Las dimensiones de las rejas -casi siempre de configuración cuadrada-, varían en cada caso; depende de las condiciones locales. Por ello, el número de los agujeros es también variable. La rejilla del respiradero ha de ir provista de una charnela que facilite su apertura y su cierre. Para el montaje de ésta es ne-

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cesario prescindir de dos de los agujeros. Los términos de nuestra sencillísima pregunta matemática serán los siguientes: ¿Cuántos agujeros tiene la reja de un respiradero, dado el número de los que corresponden a cada lado? Tomémonos la molestia de contarlos -y esta operación; tan simple es, como veremos más tarde, una eficaz y trascendental operación calculatoriay llegaremos a la sencilla conclusión de que la tal rejilla ha de tener tantos agujeros como resulta de multiplicar por sí mismo el número de los que corresponden a uno cualquiera de sus lados, pues las rejillas a que venimos refiriéndonos suelen ser cuadradas. Si son 5 los agujeros correspondientes a uno de los lacios, el resultado dará en total 25; si son 9, dará 81, etc. Pero como a causa de la charnela faltan dos agujeros, no habría en realidad más que 23 y 79, respectivamente. Contando y reflexionando hemos conseguido resolver sin dificultad la cuestión en el campo de nuestro lenguaje ordinario. Mas intentemos traducirla ahora al lenguaje matemático. Sigamos las buenas normas y empecemos por lo más importante, o sea el establecimiento de la clave o vocabulario de símbolos. Lo que queremos saber y no sabemos es el número total de los agujeros de la tapa. Daremos, por lo tanto, a este número el nombre de x. Por otra parte, el número de los orificios que hay en cada uno de los lados nos es conocido y por esta razón lo designaremos por la letra a. Sentado esto, el número de agujeros obtenido en cualquiera de las diversas rejillas cuadradas que podamos considerar nos viene dado, de modo sumamente sencillo, por la siguiente relación X = a 2 - 2. No podemos pasar adelante sin examinar más detenidamente esta ecuación que acabamos de plantear. Lo que a primera vista no resulta del todo claro en dicho planteo, y pudiera por eso inducir a error, es el punto de por qué escribimos x = a2 - 2 y no, por ejemplo, x = (a - 2)2. Y es que aquí tropezamos con una cuestión que también se presenta en el lenguaje vulgar y en el que tiene asimismo considerable importancia, lamentablemente desatendida con demasiada frecuencia. Se trata del orden de sucesión del tiempo, al que debe (¡necesariamente!) sujetarse toda narración, todo relato. Por ello se entiende no sólo la distinción entre futuro, presente y pasado, sino incluso los simples adverbios «antes» y «después», que pueden tener una fundamental importancia. Así, por ejemplo, la frase: «Al entrar el rápido en la estación descendieron los viajeros», es en realidad

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el relato dee una catástrofe, ya que descender de un tren que se halla todavía en movimiento es exponerse a perder la vida. Si, por el contrario, la oración se enuncia así: «Una vez que el rápido hubo entrado en la estación descendieron los viajeros», la cosa es entonces completamente natural. Pero las matemáticas distinguen con mayor precisión todavía la sucesión del tiempo; pues en esta ciencia, toda negligencia en lo que se refiere al antes y al después induce inmediatamente a error. Un ejemplo: ¿Cuántos son 2 + 4 : 2? Se ve claramente y en seguida, que en este caso no ha de resultar indiferente, ni mucho menos, dividir primero el cuatro por dos y añadirle dos, o proceder inversamente. Pues en el primer caso se obtiene 4, y en el otro, 3. Es preciso, pues, distinguir exactamente entre el antes y el después. Conocemos ya los signos matemáticos que sirven para indicar el grupo a que se refiere el imperativo de la operación: son los paréntesis. A base de tales indicadores establecemos la siguiente ley: las operaciones comprendidas dentro del paréntesis han de ser siempre ejecutadas en primer lugar, y sólo después de realizadas éstas se procede a operar con lo que está fuera del paréntesis. Propongamos, por ejemplo: (a-2)». Teniendo en cuenta su situación, los paréntesis nos dicen en el lenguaje ordinario: realizarás primeramente la operación de cálculo comprendida dentro del paréntesis, y sólo después de que ésta haya sido realizada, procederás a cumplimentar lo que señala el signo que está fuera; es decir: resta primero el 2 de a y multiplica luego el residuo por sí mismo. Este resultado no corresponde, sin embargo, a nuestra tarea, puesto que lo primero que debemos hacer es multiplicar la a por sí misma, para obtener así provisionalmente el número total de los agujeros, del cual hay que restar seguidamente los dos que no existen. Así, pues, en el problema de la reja la fórmula de la ecuación es la siguiente X = a2 - 2. Veamos todavía otra operación, en la cual seguiremos el mismo camino, es decir, traducir al lenguaje matemático el enunciado expresado en palabras usuales. Propongamos una adivinanza que dice así: «Un ladrillo pesa lo mismo que medio ladrillo y un kilogramo. ¿Cuánto pesa en total?» Muchos habrá que «intuirán» al primer golpe de vista la evidente solución de este problema. Pero los más quedarán de tal modo sorprendidos ante tan extraño enunciado que, aun después -de reflexionar, serán incapaces de llegar a un resultado exacto. Intentemos aplicar aquí lo aprendido y cubrir con

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el ropaje de la expresión verbal matemática la intrincada cuestión. Empecemos, como siempre, por el establecimiento de la «clave de símbolos». ¿Qué es lo que no sabemos y queremos, sin embargo, saber? Sin duda alguna el peso total del ladrillo, que, conforme a nuestra convención, llamamos x. Con esto lo hemos hecho realmente todo, pues de lo dicho se desprende ahora que el peso total x es igual a la mitad de este mismo peso x, más 1 Kg. Escribiéndolo al modo matemático X = ½ x + 1en la cual hemos prescindido de la designación Kg. como superflua, ya que en todo momento podemos darnos perfecta cuenta de que se trata del kilogramo y no, por ejemplo, de la libra o de la onza. Y ahora, ante esa ecuación, no podemos por menos de recordar una libertad que nos otorga generosamente la más rigurosa de las ciencias. Con esta ecuación, como con todas ellas, podemos en definitiva hacer lo que queramos (con la sola condición de actuar de la misma manera sobre ambos lados del signo de igualdad), sin que por ello deje en ningún instante de ser exacta. Si nos place podemos, pues, multiplicar ambos miembros por 1000, obteniendo así sencillamente 1000 x = 500 X + 1000 (11) . Tampoco varía en nada la cosa si añadimos o restamos a ambos miembros de la ecuación dada un mismo número. La ecuación x + 1 000 000 = 1/2 X + 1 000 001 es también exacta, y sigue siéndolo incluso si la dividimos ahora, miembro a miembro, por cualquier expresión matemática más o menos complicada que ésta. Es, exactamente, lo mismo que ocurre con una balanza que, aun siendo uno de los más sencillos instrumentos, pudiera llamarse en justicia «máquina de resolver ecuaciones».

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¡Téngase en cuenta que cada uno de los miembros de la ecuación x = 1/2 x + 1, se multiplica por l000 !

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Cualquier balanza puede explicarnos del modo más concluyente la causa de que podamos permitirnos todas las licencias mencionadas; pues si la balanza se halla en equilibrio, podemos poner o quitar, a derecha e izquierda, simultáneamente, todo lo que queramos sin que el aparato pierda su equilibrio, con la condición expresa de que hagamos siempre iguales operaciones en ambos platillos. Si, por ejemplo, en uno de los lados de la balanza hay 1 Kg. de judías y en el otro 1 Kg. de manzanas, la tendremos en equilibrio, y lo conservará si en cada uno de los platillos añadimos 5 Kg. de carbón, o si, después de dividir la cantidad de manzanas y la de judías en el mismo número de partes iguales, quitamos, por ejemplo, de cada uno de los dos platillos una décima de su carga.

Tengamos bien presente, pues, que en una ecuación se puede hacer lo que se quiera sin que por ello deje ni Por un instante de ser absolutamente verídica, con la sola condición de que hagamos a la izquierda del signo de igualdad lo mismo exactamente que se haga a su derecha. Es verdad que las transformaciones anteriormente efectuadas en la ecuación utilizada como ejemplo no conducen de por sí a gran cosa; pero podemos valernos de determinadas transformaciones que nos permitirán llegar a separar en cierto modo nuestra deseada x de las restantes cantidades y nos la presentarán por sí sola, libre de todo lastre, de tal forma, que a uno de los lados del signo de igualdad tengamos solamente una x y quede en el otro lado un valor que nos indique la magnitud de esta x. Con lo cual habremos logrado entera-

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mente nuestro propósito, es decir, la solución de la ecuación. Escribámosla, pues, una vez más x = 1/2 x +1 Y planteemos la siguiente cuestión: ¿qué operaciones de cálculo habremos de realizar para obtener un «cultivo puro» de nuestra x? Esta se halla ya bien sola en el primer miembro de la ecuación, pero lo que todavía nos estorba es la presencia de una parte fraccionaria de x en el segundo miembro. Se ve fácilmente que daríamos un acertadísimo paso hacia delante si, pudiéramos deshacernos de esta ½ x del segundo miembro. ¿Cómo lograrlo? Quitando sencillamente el ½ x de este segundo miembro de la ecuación, cosa que podemos hacer, pues nada nos lo impide, siempre que del primer miembro de la ecuación restemos también ½ x. Intentémoslo, y en seguida obtendremos

x − 1 x = 1 x − 1 x +1 ⇔ 1 x = 1 2 2 2 2 Con esto hemos hecho un verdadero progreso; pero podríamos decir que no hemos logrado más que quitar el diablo para poner a Belcebú, pues de aquella x tan entera que antes llenaba por sí sola el primer miembro ha desaparecido la mitad y ahora sólo nos queda la otra mitad. Sin embargo, así las cosas, no nos será tampoco difícil poder seguir avanzando si usamos nuevamente de la libertad que se nos permite y multiplicamos por 2 ambos miembros de nuestra ecuación, con lo cual obtendremos inmediatamente el resultado: x =2 ¡Hemos llegado a puerto ! La x ha cumplido su deber y ya no nos sirve más; de suerte que procediendo a traducir al lenguaje vulgar esta verdad descubierta, enunciaremos: el peso del ladrillo es de 2 Kg. Y ya que anteriormente nos hemos referido a la balanza, indiquemos el método que nos permitirá resolver ecuaciones con auxilio de este vulgar instrumento, lo que, al propioo tiempo, nos servirá de ilustración acerca de lo que estamos explicando. Pongamos sobre uno de los platillos de la balanza un ladrillo entero y sobre el otro, medio ladrillo y una pesa de un kilo.

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Quitemos, de cada uno de los platillos, la materialización de nuestra x , es decir, el peso de medio ladrillo. Se ve en seguida que hecho esto nos quedará la mitad de ladrillo en un platillo y la pesa de un kilo en el otro, y sabiendo cuánto pesa medio ladrillo, no es ningún problema calcular el peso del ladrillo entero. He aquí todavía otro ejemplo de resolución de una ecuación de estructura aparentemente complicada. Supongamos que tropezásemos con la siguiente relación

Esto parece ya algo más espinoso!Pero, aquella libertad de proceder con una ecuación a nuestro antojo nos ayuda en seguida a salvar el escollo. En primer lugar, debemos eliminar los quebrados del primer miembro y llevar a cabo la substracción. Nuestra acción queda limitada a este primer miembro, y las operaciones que en él hagamos con los quebrados para preparar la resta no alterarán en nada el valor de este primer miembro, pues todo queda igual que si no los hubiésemos tocado. Por consiguiente nada varía, sencillamente, y no habiendo alteración de valor en el primer miembro no tenemos necesidad de hacer variar tampoco nada en el segundo miembro. Ahora bien, para poder restar los quebrados tendremos que reducirlos previamente a un común denominador siguiendo la conocida regla (12), con lo que obtendremos

Esto implica haber multiplicado el numerador y el denominador del primer quebrado por 5, y en el segundo quebrado multiplicarlos por 7. Se trata de un artificio que suele aprenderse en la escuela.

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Para los que desconozcan lo que pasa entre bastidores con objeto de dar a los quebrados la forma en que aparecen en esta fórmula, diremos que, como es sabido, para poder sumar o restar quebrados han de tener igual denominador. Como denominador común elegimos el 35 por que (7 · 5 = 35).

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Ahora llevamos a cabo la substracción en el lado izquierdo de la ecuación, y tenemos

Vamos ahora a atacar el quebrado de la izquierda. El procedimiento es sencillo: multiplicar ambos miembros de la ecuación por 35, y tendremos inmediatamente

En el segundo miembro de la ecuación han de efectuarse las operaciones que dicen: ¡multiplíquese 2 por 35 y divídase el producto por 35!Esto da por resultado 70 : 35 = 2, una verdad que hubiésemos podido encontrar también directamente, pues la división y multiplicación por un mismo número se contrarrestan mutuamente. Llegamos, pues, a la solución definitiva X=2 Como se desprende ya de estos ejemplos sumamente sencillos, la auténtica dificultad en las transformaciones de preparación de una ecuación si prescindimos del planteo de la misma, cosa que aquí sólo hemos podido indicar someramente - está en saberla transformar de la manera más adecuada, en saber hallar la operación más conveniente para que se simplifique y aparezca finalmente tan clara y transparente que nos permita descubrir la x como a través de un cristal, en medio de la complicada estructura de las relaciones dadas. En el acierto de los ardides de transformación se muestra la maestría, el verdadero arte de calcular. Es evidente que ello presupone una cierta intuición y muchísimo ejercicio. Pero del mismo modo que la resolución de Jos problemas de palabras cruzadas puede en un corto tiempo desarrollar una verdadera habilidad para descubrir los ardides y trucos que allí intervienen, la resolución de ecuaciones puede llegar también a constituir un deporte que termina por proporcionar, al que se aplica a él con interés y constancia, una destreza que a los no ejercitados les parecerá a menudo inexplicable. Y si nos estuviera permitido dar algún consejo, abogaríamos por que en lugar de la lenta y aburrida solución de crucigramas se pre-

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firiese el arte de resolver ecuaciones, incomparablemente más rico en ingenio. Cualquier texto de enseñanza media constituye a tal objeto la mejor guía, puesto que en él se contiene todo lo que por ser de mayor importancia merece ser conocido en este gran dominio.

Representación gráfica de las matemáticas

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REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LAS MATEMATICAS

Como hemos indicado ya, existe una curiosa coherencia entre la Geometría y las concepciones y razonamientos matemáticos. La Geometría, que tan singulares imágenes presta a todas las verdades matemáticas establecidas, podría llevar en cierto modo el nombre de arte de ilustrar las matemáticas, de dar representación tangible a sus expresiones. La alineación numérica, por ejemplo, era ya una de estas imágenes. Y ahora vamos a examinar con más detenimiento las aludidas conexiones; tarea en cuyo desarrollo habremos de topar con extrañas maravillas que en su mayor parte parecen verdaderamente inconcebibles a los ojos del gran público. Hemos de acudir de nuevo a nuestro arte de plantear y resolver ecuaciones. Pero dándole ahora realmente mayores vuelos al aplicar sus procedimientos al caso de un nuevo tipo de ecuación, en la cual no sólo se presenta una incógnita, una;x, sino que aparece además una segunda cantidad desconocida que designamos con el nombre de y. Tipo que podríamos concretar, pongamos por caso, en una ecuación tal como 3x – y + 5 = 0 El hecho de que en uno de los miembros de esta ecuación no haya nada, es decir, que sólo figure en él un cero, no debe inquietarnos, pues en ello no hemos de ver más que un modismo, mejor dicho, una forma con la que podemos expresar cualquier ecuación. Podríamos escribirla también de otra manera. Sumemos, por ejemplo, y a los dos miembros de la ecuación,

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con lo que resultará que la - y (una y substraendo) que estaba ya en el primer miembro quedará anulada por la y añadida, y obtendremos, por lo tanto, la siguiente fórmula 3x + 5 = y Así transformada la ecuación se nos aparece ya algo más precisa. Ha tomado ahora un aspecto muy manejable y sencillo, puesto que la y se halla aislada en uno de los miembros, y es, por consiguiente, más fácil de «abordar». Pero, como puede comprobarse sin necesidad de más demostraciones, la y desempeña en esta ecuación un papel especial, notable; pues aunque haya quedado sola en un miembro, no será posible determinar netamente cuál es su valor, porque, y esto es lo notable, ocurre que le corresponden infinidad de valores. En el lenguaje vulgar esta ecuación se limita a expresar lo siguiente: tomando el valor de x tres veces y aumentando 5 unidades al resultado se obtiene el valor que llamaremos y. Si supongo que, por ejemplo, x=1, tendré para y la cantidad 3 + 5 = 8; si x =2, la y será 6 + 5 = 11, etc. Claro está que si queremos resolver una ecuación de esta clase habremos de acudir a una segunda ecuación que complete nuestra información acerca de la mutua relación existente entre x e y. Observemos el importante principio matemático que se desprende de esto: siempre que en una cuestión se presenten dos incógnitas, para poder obtener valores determinados para x e y será preciso disponer de dos ecuaciones (¡distintas entre si!) de relación entre dichas incógnitas. Si tenemos, por ejemplo, cinco incógnitas distintas, necesitaremos cinco ecuaciones distintas también, etcétera. Sin más explicaciones se comprende que la cuestión queda así conclusa. Si nuestra segunda ecuación dada es, por ejemplo, x:+ y = 3, no podrá haber más que una solución para estas dos ecuaciones, es decir, un único par de valores, uno para la x y otro para la y. No es difícil obtener este par de valores. El artificio de que nos serviremos en este caso (y hay que decir que existen muchos procedimientos) consiste, en su forma más simple, en transformar una de las ecuaciones para dejar sola en un miembro la x (o la y) y poner en la otra ecuación este valor en lugar de la x (o de la y). Con estas operaciones tendremos que en la ecuación donde se ha hecho la substitución habrá desaparecido la x (o la y), con lo cual habremos llegado a convertirla en una ecuación con una sola incógnita y estaremos ya en condiciones de romper la nuez. En nuestro caso la y aparece ya despejada y no falta más que substituir su valor y = 3 x + 5

Representación gráfica de las matemáticas

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en la segunda ecuación dada, o sea en la x + y = 3, que quedará transformada en x+3x+5=3 Podemos simplificar en seguida lo aquí escrito verificando la suma de los términos x y 3 x, que nos da 4 x. Y así obtendremos al instante: 4 X + 5 = 3. Restaremos luego 5 de ambos miembros de la ecuación, de lo que resultará 4 x = - 2. Dividiendo ahora por 4 los dos miembros llegaremos a: x = - 2/4, que equivale a x = - ½ Así, pues, conocemos ya la x, de manera que no tenemos necesidad de seguir arrastrando esta «incógnita» en nuestras dos ecuaciones 1) 3x + 5 = y 2) x + y = 3 Por consiguiente, sustituiremos ahora el valor x = 1/2 y tendremos 1) 3 (- ½) + 5 = y 2) -1/2 +y=3 Naturalmente, una de las dos ecuaciones resulta ahora innecesaria. No tenemos ya más que una incógnita, y para ella basta con una ecuación. Es indiferente cuál sea la ecuación elegida, pues las dos ecuaciones deben dar la misma y. Por lo general se toma aquella ecuación con la que se llega antes a la meta. De este modo, si en la ecuación – ½ + y = 3 sumamos a ambos lados ½ , tendremos inmediatamente y=3 + ½ . Y ahora, una pequeñez; en realidad, lo más bello en nuestra resolución de problemas...: ¡la prueba!Para ello no tenemos más que sustituir las soluciones en las ecuaciones de las que hemos partido. Si todo va bien, como en nuestro ejemplo, podemos tranquilizarnos; nuestros cálculos han sido correctos13.

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Observad la diferencia entre 3 · ½ y 3½ ; 3½ , no es más que 3 + 1/2

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He aquí, para acabar de comprender mejor este procedimiento, un ejemplo-pasatiempo que enseña a no fiarse del golpe de vista. Un tabernero vende el litro de vino con su correspondiente botella por 1,20 pesetas. Un cliente ahorrador, que se trae una botella propia, quiere saber lo que vale el vino en sí y lo pregunta. «El litro de vino vale una peseta más que la botella», responde el tabernero. ¿Cuanto vale, pues, el vino y cuánto la botella? Pasándose de listo, uno se siente de pronto inclinado a afirmar: ¡Bah!, el vino cuesta simplemente una peseta y el casco veinte céntimos! Desconfiemos de. esta apariencia y empecemos, como de costumbre, estableciendo la «clave del asunto» En este caso, las cosas que no sabemos son dos: el precio de la botella y el del vino. Pondremos, por lo tanto Precio del litro de vino = x Precio de la botella vacía = y Para mayor sencillez podemos calcular en céntimos y escribiremos “Un litro de vino + la botella vale 120 céntimos”, o sea, matemáticamente 1) x + y = 120 Pero ahora viene la segunda información. “El vino vale 100 céntimos más que la botella, lo que, expresado matemáticamente, dirá 2) y + l00 = x Tenemos, pues, dos ecuaciones que, para mejor orden y claridad, escribiremos juntas (14) x + y = 120 x = y + 100 Así las cosas, para eliminar la x de nuestra primera ecuación, puesto que la segunda nos dice que x = y + 100, pondremos: y + 100 + y = 120 14

(') Formando lo que se llama «un sistema de ecuaciones». - N. del R.

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Sumamos en seguida las dos y. Restamos luego 100o de cada miembro de la ecuación, y llegaremos a que en uno de estos miembros nos quede solamente un término multiplicado por y. De modo que de 2y +100 = 120 pasamos a 2 y = 20 de donde, por división de ambos miembros de la ecuación por 2, resultará que y = 10 ¡Bravo! Puesto que y representa el precio de la botella, llegamos a la conclusión de que Precio de la botella = 10 céntimos De aquí se deduce rápidamente la x, ya que: x + 10 = 120 Ù x = 120 – 10 Ù x = 110 Nuestra x, el precio del vino, es, pues, 110 céntimos; de manera que el precio del vino (los 110 céntimos) es realmente 100 céntimos, o sea una peseta más elevado que el de la botella, cuyo importe es de 10 céntimos. Pero este método de resolución de las ecuaciones es mencionado aquí sólo de pasada. Vamos a atacar en otra dirección partiendo, como antes, de una sola ecuación, que puede ser muy bien la primeramente dada Y = 3x - 5 Iremos dando a x valores a discreción, al objeto de observar lo que en consecuencia le va sucediendo a nuestra y. Dando ahora diversos valores a la x obtendremos también diversos valores de y. Resumiendo estos pares de valores en forma de tabla tendremos, por ejemplo

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Como vemos, este juego podría continuarse por toda una eternidad, pues para cada valor de x habrá siempre un valor determinado de y. Antes de ocuparnos más a fondo de esta «tabla de valores», nos ocuparemos de una nueva particularidad de las ecuaciones. No es preciso demostrar que, en efecto, podemos elegir la x libremente y darle cualquier valor deseado. Y es también cierto que una vez hayamos asignado un valor a la x, el valor de la y nos vendrá impuesto, es decir, que el valor correspondiente de y nos lo determinará el cálculo de una manera automática y segura. Naturalmente que podríamos también «invertir» la cuestión, eligiendo a voluntad la y, a partir de la cual obtendríamos entonces los valores determinados de x. Pero nos mantendremos fieles al orden acostumbrado, eligiendo las x para deducir de ellas las y. Así pues, la x es siempre el elemento que dicta y determina. La y, en cambio, es la consecuencia, lo deducido. Y ahora hemos de atrevernos a dar nombres apropiados a lo que vamos descubriendo. Nuestros dos símbolos numéricos x e y se diferencian de otros, como, por ejemplo, 3, 5, 2 , etc., por su variabilidad. Por esto se les da el nombre de variables, y para especificar su carácter se denominan x = variable independiente y = variable dependiente y toda relación dada, en forma de ecuación, entre una variable independiente y una variable dependiente recibe el nombre de función. Así pues, ¡tomemos nota y apuntemos este nuevo nombre en nuestro vocabulario! Nuestras x e y han alcanzado una nueva significación. Hasta aquí nos hemos ocupado en ellas como simples incógnitas o números tras los cuales andamos. Ahora, al considerarlas en una función, pasan a ser unas variables. Pero es preciso tener bien en cuenta que en una función nuestra libertad se limita solamente a poder elegir arbitrariamente la cantidad independiente, pues la otra variable, la dependiente, se deduce de por sí (aparte nuestra voluntad) de la independiente elegida. Hay todavía otra advertencia, que es, al mismo tiempo, una aclaración: es costumbre adquirida expresar la idea de función (o dependencia) mediante una fórmula, y así en lenguaje matemático la frase «y es una función de x» se traduce siempre por y=f(x)

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Por lo tanto, en nuestra lista de observaciones a tener en cuenta escribiremos: la expresión y = f (x) no es ninguna fórmula de cálculo directamente determinado: expresa, únicamente, que una magnitud (y) depende, de manera no especificada, de otra magnitud (x). Nos permitirá, por ejemplo, escribir (sin miedo a equivocarnos y sin temor a cometer indiscreciones): «saldo en caja = f (entradas)», pero sin más precisión. Quedamos, pues, en que esta fórmula y = f (x) no expresa más que una dependencia - ¡y esto es todo!-. Así es que ,con ella no podrá hacerse ningún cálculo, porque se calla la especie de dependencia existente. Después de esto no habrá lugar a equivocarse con y = f (x). El volumen de cosas que hemos sacado a luz al establecer el concepto de «función» ofrece a primera vista un aspecto un tanto imponente. Y es por eso por lo que surge la siguiente cuestión: ¿A qué fin, en el curso de un estudio tan incompleto, de un paseo tan superficial a través del gigantesco imperio de las matemáticas (en el cual hemos tenido que dejar de lado un número casi infinito de conceptos e imágenes), a ,qué fin, repetimos, habríamos de recoger, aquí precisamente, para inflarlo, el concepto, al parecer tan rebuscado, de función? Mas una tal pregunta únicamente pueden formularla aquellos a quienes desconcierta el tipo de escritura característico de las matemáticas, pues nada existe en el mundo tan natural y sencillo como el concepto de función. Este concepto no es realmente otra cosa que la traducción al lenguaje matemático de la ley fundamental de causa y efecto, dictada, por lo demás, directamente por todo nuestro ser y por todo cuanto en el mundo ocurre. La expresión anteriormente hallada: y f (x) (léase «y es función de x») traducida al lenguaje vulgar dice, poco más o menos, lo siguiente «El hecho de que una magnitud dada x sea de determinado modo y valor, lleva consigo que, según una ley determinada, otra magnitud y sea de tal otro modo y valor.» Daremos un par de ejemplos sobre este particular. Elijamos, para comenzar, uno de los más vulgares, pero - ¡por desgracia!- muy importante para todos. Consideremos las disponibilidades monetarias de un funcionario modesto. A primeros de mes cobra su mensualidad, que gasta por lo regular en el transcurso del mismo sin dejar ningún remanente. El primero

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de mes dispondrá nuestro hombre de la cantidad de dinero máxima, y a partir de entonces irá reduciéndose día a día hasta el 30 o el 3I (¡a menudo incluso antes!) en que desciende invariablemente a cero. Salta a la vista que el factor que en todo momento determina y condiciona la existencia en caja de nuestro funcionario es la fecha, el tiempo. Es, pues, justo decir que el numerario de que dispone es función de la fecha. Supongamos que cada primero de mes recibe 300 pesetas en metálico. Si asigna para sus gastos una misma cantidad cada día tendrá

Prescindiendo de algunas inexactitudes que pudieran motivarse a causa de gastos de mayor importancia y de las economías consiguientes para nivelarlos, el cálculo no deja de ser ajustado. Sigamos, pues, los ejemplos. En nuestro tantas veces citado termómetro la altura de la columna mercurial es una función de la temperatura; la cifra que señala nuestro contador del consumo de energía eléctrica y la suma que hemos de abonar a cada plazo por la corriente utilizada es una función del número de lámparas que han estado en uso y del tiempo durante el cual han iluminado - y con esto acabamos de trabar conocimiento con una función en la cual una dependiente viene a ser determinada por dos independientes-. La iluminación producida por un foco de luz es función de su potencia lumínica y de la distancia, la velocidad tope de un camión es función de la potencia máxima de su motor, de la carga y de las resistencias que se ofrecen a su marcha... ¡y henos aquí con tres independientes! En una palabra, en todo cuanto nos es dable contemplar en la vida, en acontecimientos que en el mundo se suceden, existe un «fundamento y una causa», es decir, una «función», que casi siempre nos será posible establecer, aun cuando, naturalmente, sólo en contados casos podamos distinguirla con claridad y exactitud matemáticas irreprochables. Pues las funciones propiamente dichas se ven con gran frecuencia perturbadas por toda clase de factores imponderables -recuérdese a este efecto lo que ocurre en el ejemplo del sueldo mensual- y por propias «funciones de perturbación». Propongamos ahora la cuestión, al primer golpe de vista sorprendente, de saber si tenemos o no posibilidad de expresar gráficamente la relación entre dos variables o, por mejor decir, representar nuestra función y saber

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qué resultaría de ello en caso afirmativo. Pero si meditamos más detenidamente sobre el caso, fácil nos será concluir que para llegar a una representación gráfica no habrá necesidad de recurrir a los artificios de la magia. Para llevarla a cabo disponemos de medios intelectuales y materiales que nos son ya conocidos. Nuestro sistema de coordenadas, bien acreditado al tratar de la representación de las funciones angulares, no nos abandonará tampoco aquí. Además, con motivo de la anotación y representación de las líneas de senos y cosenos, entre otras, hemos adquirido ya alguna práctica en lo que se refiere a la representación gráfica de las relaciones matemáticas. Refresquemos, pues, nuestros conocimientos acerca de las coordenadas -que son, ni más ni menos, dos escalas de termómetros cruzadas- y pongamos mano a la obra. Comencemos por un tema sencillo. Supongamos que poseemos dos datos, por ejemplo, x = 4, y = 3. Para hallar el punto que les corresponde procederemos como sigue: partamos de nuestro punto cero, que a la vez lo es de intersección, y dirigiéndonos hacia la derecha contemos hasta la división 4; en este punto levantemos una perpendicular al eje horizontal y desde él contemos 3 divisiones hacia arriba, con lo cual tendremos sobre la superficie aquel punto cuya x («abscisa» o distancia contada sobre la recta horizontal, desde el cero) corresponde en nuestra escala al 4.; mientras que la «ordenada» o altura (en línea vertical, por tanto) desde la recta horizontal, corresponde a un valor de y igual a 3 de nuestro trazado. En orden a una mejor comprensión recordemos todavía que con nuestra simple intersección de ejes hemos dividido el plano en cuatro regiones, que nos son ya conocidas con el nombre de cuadrantes. Sin el menor esfuerzo puede verse que éstos están caracterizados por una curiosa combinación de los signos que en ellos representan las x y las y. En el primer cuadrante, tanto x como y son de signo positivo; pero en el segundo cuadrante ocurre que, aun cuando se halla igualmente situado en la «parte superior» del eje horizontal, y en él la y es positiva -como corresponde, la x es, en cambio, negativa.

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En el tercer cuadrante, la combinación varía. Aquí, todas las x y todas las y son negativas; en el cuarto cuadrante, la x es, de nuevo, positiva, en tanto la y es negativa.

Sirva lo precedente como útil repaso. Pero vayamos ahora a nuestro tema: representar gráficamente la función y = 3x + 5. Echemos una mirada, de nuevo, a nuestra tabla de valores

Según el método ya conocido dibujaremos un punto suelto para cada par de valores x, y, en nuestro sistema de coordenadas. Si unimos luego esos puntos sueltos notaremos un hecho sorprendente, y es que dichos puntos no resultan esparcidos de cualquier manera sobre la superficie de los cuadrantes, sino que se suceden tan ordenadamente que por ellos podrá trazarse una recta. Tampoco a su paso por el valor cero, o sea el límite entre lo positivo y lo negativo, sufre inflexión alguna; la recta pasa como un hilo tenso por todos los puntos, y si seguimos calculando valores -negativos o positivos- de y, correspondientes a valores que vayamos eligiendo para x,

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cualquiera que éstos sean, nos daremos cuenta en seguida de que la recta se extiende hasta lo infinito. Hemos de comprobar, pues, no sin sorpresa La representación gráfica de la ecuación y = 2x + Z es una recta.,

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Y seguramente nuestra estupefacción subirá de punto si inventamos cualquier otra relación numérica del mismo tipo. Sea, por ejemplo: y = 14 2 x. También ella da una recta; como la da, igualmente, la siguiente relación, ya algo más complicada

Probemos, una vez más, de representar gráficamente toda esta historia. Para ello se precisa solamente un juego de dominó, una tablilla de madera plana y algo de fantasía. Pero veamos representado gráficamente - sin muchas palabras -,un tal experimento. Según nuestros conocimientos matemáticos, la historia debe explicarse como sigue: las distancias entre las piezas de dominó y sus alturas respectivas deben guardar entre sí una determinada relación; así, pues, cada altura y es igual a una x, que debe ser siempre multiplicada por un número determinado. En nuestro ejemplo los valores de y son siempre exactamente un tercio de los correspondientes valores de x. Podemos, por consiguiente, establecer en seguida la ecuación de las rectas: y = ⅓ x. Nuestro juego, al principio de aspecto tan primitivo, nos ha hecho dar un notable paso hacia adelante. Hemos podido determinar la esencia de las rectas. Hemos de hablar todavía de una notable característica de las rectas y = 1/3 x. (15) A diferencia de la recta y = 2x + 1, a la que hemos conocido al principio, pasa por el punto cero de nuestro sistema de coordenadas. Es evidente la razón de ello. Pues en nuestra ecuación, tan sencilla, y = 1/3 x no tenemos ningún número que sumar o restar. Al hacerse x = o, tenemos también, inmediatamente, y = 1/3 · 0 = 0.

15 Hablamos aquí de la recta y -'/, x; más exactamente, debería decirse, naturalmente, «recta, cuya ecuación de función es y = '/, x». En la continuación nos serviremos, sin embargo, preferentemente, de la denominación abreviada; ya sabemos qué queremos decir con ella

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La. recta y = ⅓x - 1, por él contrario, no pasa por el punto cero, sino que carta el eje de las y en los lugares donde la x= o, y donde la y muestra el valor igual a 1. Pero éste es el descubrimiento más pequeño que hemos llevado a cabo. Un descubrimiento de incalculable trascendencia, y que nos ha de llevar hasta el corazón mismo de las ma temáticas superiores, se ofrece ahí, claro y sencillo, ante nosotros. Vamos a plantear la justificada pregunta de a qué es debido el que la recta se levante más o menos vertical . Los infinitos puntos de nuestra recta y = ⅓ x, de la que nuestro lineal no podía representar más que un (limitado) trecho, obedecen a una misma orden: cada valor de y es exactamente ⅓ del correspondiente valor de x. A cambio, puede decirse también, sin embargo, que la y se comporta, en relación a la x, como el 1 al 3. Y ahora vamos dándonos cuenta, poco a poco, de que nuestra amiga Tangente interviene también en el juego. Del gráfico podemos reconocer que nuestra y = x no es más que la relación de lados entre los catetos de un triángulo rectángulo de ángulo a. De este modo todo el asunto entra ya en el campo de competencia de la señora Tangente, y es

Es fácil de comprender ahora que la señora Tangente es también la responsable para el ascenso vertical de la recta. Ocurre exactamente igual como en la pendiente escalada por un ferrocarril, del que ya nos hemos ocupado. Naturalmente, también aquí puede indicarse el ángulo por el cual sube la recta. '/3 equivale a 0,3333...; para este valor encontramos en las tablas de tangentes el ángulo α = 18° 26'. En la mayor parte de los casos, sin embargo, no es siquiera necesario calcular el ángulo α, el llamado ángulo de ascenso. Por lo general, es suficiente el factor delante de la x denominado factor de inclinación-; en nuestro caso, pues, este 1/3 para determinar la inclinación. Si, por ejemplo, avanzamos 3 unidades en el eje de las x no hemos adelantado más que una unidad en el valor y. Esto podemos concebirlo más fácilmente que la idea de haber ascendido por un ángulo de

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18° 26'. Igualmente claro podemos ver ahora que el factor de ascenso es mayor cuando la recta sube más verticalmente. Si tenemos otra recta, por ejemplo, y = x, el factor de ascenso delante de la x es exactamente 1. Para el ángulo de ascenso es válido, por tanto, tg α = 1, lo que equivale a que a es igual a 45 ° . Esta recta es, pues, ya mucho más pendiente. Un paso en el eje de las x no hace ascender, por tanto, siempre la misma distancia hacia arriba. Cuanto mayor elegimos el factor de ascenso, tanto más pendiente se hace nuestra recta. El factor numérico delante de la x puede ser también negativo, por ejemplo, y = -x. Y ahora nos encontramos con la sorpresa de que la recta no sube ya, sino que desciende. Si adelantamos un paso en la parte positiva del eje de las x., habremos descendido entonces también el mismo paso en nuestro valor y. A cada paso se hunde más profundamente en los valores negativos. ¡Resbalamos hacia abajo! Y así nos encontramos con que el signo menos nos indica la caída de la recta. Una pequeña observación, todavía. También en la recta descendente, el ángulo a se indica de la misma manera como en la recta ascendente. Esto quiere decir que el ángulo de la inclinación - conservaremos esta denominación para todas las rectas posibles - es siempre el mismo ángulo que forma el eje positivo de las x con la parte de la recta que se encuentra encima de éste. La expresión de este hecho es, en realidad, lo más difícil, y el lector no tardará en habituarse a ella. Es, pues, evidente que en una recta descendente el ángulo de inclinación es mayor de 90°. ¡Pero todo esto no es tan importante!Decisivo es aquí, por lo contrario, el hecho de que el factor de la inclinación tiene un signo negativo cuando la recta desciende. Pero no vamos a darnos tan pronto por satisfechos. Hay algo todavía que no parece estar tan en orden en nuestras consideraciones: ¿Dónde se ha quedado nuestra simpática señora Tangente? No teman, ya volvemos a tenerla aquí. Así, para nuestra recta descendente, y = -x, tenemos también El ángulo correspondiente α = 180º - 45º = 135º. Esto se deduce también, del círculo unidad, de aplicaciones tan múltiples. Sólo es necesario dejar que los valores del ángulo a excedan de los 90°, y leer los correspon-

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dientes valores sobre la tangente, prolongada hacia abajo. No vamos a profundizar, en este lugar, en estas profundas relaciones. ¡Y si el lector ha escuchado sólo con un oído lo hasta aquí expuesto, esto no habrá de perjudicarle demasiado ! Pero ahora hemos de preguntarnos: ¿Qué habrá de suceder si consideramos las rectas que no pasan ya por el punto cero, como, por ejemplo y=½x+3? Podemos comprobar aquí, para nuestra satisfacción, que los números que deben adicionarse o sustraerse no tienen ya ninguna influencia sobre la pendiente de las rectas. El factor delante de la x nos indicará, lo mismo que antes, en cada caso, la inclinación de la recta. Los números pueden ser lo grandes que quieran - no por ello se deja desconcertar nuestra amiga Tangente-. ¿Cómo puede ser esto? La respuesta es fácil de encontrar si nos representamos gráficamente la situación.

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Podemos darnos cuenta inmediatamente de que las rectas aquí representadas son paralelas. Podemos representarnos esta situación considerando que toda la recta y = 1/2 x ha sido desplazada 3 unidades hacia arriba, y cada valor de y ha sido alargado por la cifra dada 3. Con ello, la recta no modifica en lo más mínimo su inclinación - su dirección -. De la misma manera, de todos los valores de y podemos deducir el mismo valor, por ejemplo, -2. La recta y = ½ x es desplazada entonces por completo hacia abajo. En este caso su ecuación es, naturalmente, y = ½ x - 2. Nos encóntramos ahora ante una situación casi excitante. Sin necesidad de mayores reflexiones, podemos obtener de la ecuación misma una imagen de la recta. ¡No necesitamos siquiera lápiz o papel! El factor delante de la x nos indica inmediatamente cuál es el curso de la recta. Asciende si el factor es positivo, y desciende cuando está precedida del signo menos. Si el factor es grande, o si es pequeño, sabemos en seguida cuán pronunciada es la subida o la caída de la recta dada. Y, para mayor abundancia, los números que se adicionan o substraen, y que -independientemente de la x-, se añaden a la ecuación, nos indican dónde la recta corta al eje de las y. Es posible que esto no se haya deducido claramente de las anteriores consideraciones. La intersección de la recta con el eje de las y se caracteriza por el hecho de que el valor de la x es, entonces, justamente cero. Para el valor de la y es, en este caso, responsable el valor independiente de la x. Por lo demás, esto es válido también cuando el factor delante de la x es un cero. De este modo desaparece también la x de nuestra ecuación y quedan, por ejemplo, y = +3; y = -2; y=0 Estas rectas no suben ni caen tampoco. Ha desaparecido aquí la influencia de la señora Tangente. El número en el lado derecho de la ecuación nos indica, lo mismo que antes, dónde cortan estas rectas al eje de las y. Así podemos reconocer que y = 0 representa la ecuación de nuestro eje de las x (que es también una recta), en tanto y = + 3 y también y = - 2 son las ecuaciones de rectas paralelas, llamadas brevemente paralelas al eje de las x. La inmediata pregunta por las paralelas al eje de las y no es tan fácil de contestar. Sabemos ya que el ángulo de inclinación a es, en estos casos, 90°. ¡La señora Tangente no cesa de causarnos preocupaciones; se comporta de un modo en verdad imposible! No es fácil deshacerse de la señora

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Tangente; y esta vez es la y quien debe pagar las consecuencias. No nos quedan más que la x y un valor numérico. Así, por ejemplo, x = 2;

x = -1;

x = 61/2

Ecuaciones de las paralelas al eje de las y, y x = o, la ecuación del eje de las y mismo. Los números nos indican los puntos de intersección con el eje de las x. Todo esto es fácil de comprender, dada su clara exposición. Y tanto más se sentirá sorprendido el lector al saber que esta sencilla función tiene una especial importancia para el naturalista y para el técnico. Así, por ejemplo, el camino recorrido por un ferrocarril es una función lineal del tiempo, siempre que viaje a una velocidad constante. Un tren expreso, que corre a la velocidad de 8o km. por hora, recorre en x horas y = 80 · x kilómetros. Por ejemplo, en una media hora (es decir, x = ½ ) habrá recorrido y 8o - 1/2 = 4o kilómetros. ¡Hace tiempo que este ejemplo nos es ya familiar! ¡Cuántas veces hemos estado sentados en un tren, y calculado cuánto tardaremos en llegar a la estación de destino! Lo nuevo para nosotros es solamente que esto pueda formularse también exactamente mediante las matemáticas. Y si nos representamos claramente estas relaciones, deberemos llegar necesariamente a la conclusión de que todos los prejuicios con los que nos hemos acercado siempre a las matemáticas eran muy exagerados. Repitamos, una vez más: ¡no nos dejemos asustar por los nombres ni por los nuevos conceptos!A menudo no se esconde detrás de todo ello mucho más de lo que ya sabemos. Las concretas formulaciones tienen, sin embargo, su buen sentido. Pueden ayudarnos también cuando hayamos llegado, hace ya tiempo, al fin de nuestra usual «sabiduría».

La señora tangente abre la puerta al cálculo diferencial

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LA SEÑORA TANGENTE ABRE LA PUERTA AL CALCULO DIFERENCIAL

De la función lineal y su representación geométrica de las rectas no hay más que un corto paso a todas las numerosas funciones que influyen sobre el acontecer en nuestro mundo. Investigar o analizar estas funciones constituye una de las más importantes tareas de las matemáticas. Tanto si se trata del juego de un motor, de la carga que puede sostener un puente o del movimiento de nuestra tierra; tanto si consideramos cualesquiera procesos, técnicos, físicos, químicos, biológicos o demás, se trata aquí siempre de las relaciones entre una o varias magnitudes, que se encuentran entre sí en una bien determinada dependencia. Naturalmente, estas funciones son mucho más complicadas que nuestra primitiva función lineal. En la mayor parte de los casos no es posible siquiera representar la índole de la función, de tal manera, que se nos aparezca en la forma de una ecuación. Sin embargo, en las funciones cuya ecuación conocemos y cuya imagen nos es posible representar, después de establecida una tabla de valores, ocurre lo mismo que con nuestras rectas. Se determina su subida, su caída, sus puntos de intersección con los ejes, y así sucesivamente. Con ello hemos ido a parar, con nuestras modestas rectas, a la parte del prodigioso jardín, en donde empiezan va las llamadas matemáticas superiores.

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Pero nuestro interés ha sido despertado, y, por ello, vamos a seguir animosamente hacia adelante. Y si nos mantenemos en el cómodo camino, cuidadosamente elegido, será difícil que podamos perdernos en la impenetrable maleza. Primeramente vamos a considerar, ante todo, otra clase de funciones más complicadas, como son aquellas en las cuales las potencias desempeñan también un papel. Al objeto de examinar de cerca el tipo de función a que nos referimos, partiremos del caso más sencillo Y = x2 El asunto adquiere ya a primera vista un aspecto un tanto diferente, pues los valores de y aumentan ahora muy considerablemente en comparación con el acompasado y sencillo aumento de las x. Y para darnos mejor cuenta de esto, escribiremos las citadas variaciones disponiendo superpuestas las parejas de valores que se corresponden, y tendremos

Antes de pasar a la transcripción gráfica de estos valores conviene calcular algunos valores intermedios, como, por ejemplo, los correspondientes a x que valgan: ½ , 1½ , 2½ Marcaremos ahora el valor correspondiente a cada una de las x sobre un eje horizontal trazado en papel cuadriculado, o sobre el papel llamado milimétrico. Una vez obtenidos los puntos sueltos resultantes, comprobaremos, con no poca sorpresa, que ya es imposible trazar ninguna recta que pase por más dedos de dichos puntos. Si unimos todos esos puntos por un trazo continuo, obtendremos una curva que se extiende hacia arriba. Sin salir del asombro, repetiremos las pruebas; pero esta vez, y con objeto de no alcanzar demasiado pronta alturas inconvenientes con los valores de y, estudiaremos la ecuación y = ½ x2

La señora tangente abre la puerta al cálculo diferencial

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y ¡nuevamente nos encontramos con lo mismo!Ahora la curva no resulta tan empinada, pero no por ello deja de ser una curva; y lo será incluso en el caso de trazar, por ejemplo, el gráfico y = 0,1 x2. ¡Indefectiblemente curvas! Y es que, en realidad, siempre que una variable aparezca afectada por cualquier potencia, o sea elevada al cuadrado, al cubo, a la quinta, sexta, etc., potencias o se presente con un signo radical de grado cualquiera, la imagen de la función no será jamás una recta; será, de un modo u otro, una línea de curvatura regular. ¡El asunto va tomando verdaderamente un mal cariz !

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Muchas cosas hemos aprendido, sin duda; mas ya a primera vista podemos percibir claramente que las leyes descubiertas al tratar de nuestras simples rectas, de las imágenes correspondientes a las funciones que por dar rectas hemos llamado «lineales», no podrán ser aplicables así como así al caso de las curvas. Ahora bien, al tratar de una recta hablábamos de un desnivel, inclinación o pendiente uniformemente conservada hasta el infinito. Pero ¿qué pasa en una curva? ¿Dónde y cómo se halla la inclinación en este caso? Y sobre todo, ¿es que puede hablarse aquí de pendiente o inclinación? En semejante trance acudimos a un viejo y estimado amigo: el círculo. Mas como quiera que las representaciones puramente gráficas de los conceptos geométricos resultan a veces demasiado pálidas y poco explicativas, preferimos ir a buscarlo en una mejor representación, es decir, recurrir a un cuerpo. Un molde para pudding, más o menos semiesférico,vuelto al revés, puede ser mirado como la maqueta de una montaña de forma singularmente regular. Esta superficie, como se ve claramente, presenta rampas. Un alpinista, por ejemplo, que pretendiera escalar nuestra montaña, se hallaría, al principio, con dificultades muy considerables. Frente a él, desde el llano, se levanta perpendicularmente un acantilado. Escalado éste, es decir, salvada la primera faja, las perspectivas de ascensión aparecen inmediatamente mucho más favorables. Sigue andando en verdad hacia arriba, pero no de modo tan despiadadamente vertical como antes. Al alcanzar la faja siguiente, la ascensión mejora todavía, hasta que alcanzando al fin la cumbre de la «montaña» llega a una meseta plana que se extiende horizontalmente y no permite ascender más. No es necesario acudir a ningún artificio para determinar las distintas pendientes en este cuerpo. Basta simplemente aplicar nuestra infalible regla de madera, y podrá observarse fácilmente la pendiente.

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Del mismo modo, podemos reconocer fácilmente que la pendiente cambia «paso a paso». Y, por muy cortos que elijamos los pasos, la pendiente cambia también. Cada punto tiene, por consiguiente, otra pendiente. Allí donde nuestro modelo descansa, sobre su base, la rampa es al principio muy empinada, sube de un modo vertical, pero ya en el punto que sigue inmediatamente encima, la inclinación se ha reducido algo y desde este punto continúa disminuyendo gradualmente, hasta quedar reducida a cero en lo alto. ¡Todo lo dicho puede comprobarse en la práctica, aplicando la regla de madera!El ángulo que esta regla forma con el plano de la base nos valorará la inclinación correspondiente ál punto dado, expresable en grados o bien mediante la tangente trigonométrica. De la misma manera podemos representarnos la caída, es decir, el «descenso de la montaña». De lo corpóreo pasemos de nuevo al papel, al tablero de dibujo, al plano. Del molde de pudding no quedan ya más que los contornos, que sobre el papel aparecen como una línea curva. Nuestra regla se convierte en una recta que toca la curva, es decir, una tangente. El factor de inclinación de esta pendiente nos indicará la pendiente existente en el punto dado. Toda investigación de una curva, por consiguiente, consiste, en su parte esencial, en representar la pendiente de la curva en todos sus puntos.

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A fin de poder entendernos en seguida, anticiparemos algunas definiciones. La tangente del ángulo de inclinación de las tangentes, que pertenecen a un punto de la curva de la función y = f (x), recibe el nombre de cociente diferencial y, o expresado brevemente Cociente diferencial (y') = factor de inclinación (tg a) Diferenciar (la orden matemática para buscar el cociente diferencial) no significa, pues, nada más que determinar los factores de subida de la función (más exactamente, de la curva de la función, es decir, de la representación de la función). Y ahora sabemos también adónde iremos a parar con nuestras consideraciones, cuál es la diferencia fundamental entre una curva y una recta. Y podemos decir: en toda la longitud de una recta, y para cualquiera que sea el punto de ella considerado, se tiene invariablemente la misma inclinacion. La recta tiene, pues, para todos sus puntos los mismos cocientes diferenciales. Así, por ejemplo, de la función y =3x - 2 se deduce el cociente diferencial y' = 3. En otras palabras, la inclinación no depende del lugar considerado en la recta. Muy distintas son las cosas en la curva: en ésta la inclinación varía

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ininterrumpidamente para cada punto y, en consecuencia, el valor del cociente diferencial es también distinto en cada punto de la curva. Será natural que, ante todo, nos preocupemos por conocer este extremo cociente diferencial tan variable. Para ello no vamos a partir, es claro, de ninguna curva complicada. Donde el asunto se ofreciera de por sí intrincado no podríamos nosotros, principiantes que andamos a tientas, prometernos demasiada fortuna. Elegiremos, pues, la curva más elemental posible, aquella precisamente que tenga la ecuación más sencilla, y ésta será la curva que resulta de desarrollar gráficamente la ecuación o función y = x2 Esta curva - a la que hemos aludido ya anteriormente - posee, además, su nombre propio: es la llamada parábola de Apolonio. Toda vez que, según sabemos, esta curva se extiende hacia arriba en rápida subida, trataremos de «suavizarla» sacándola de la ecuación y = ¼ x2. De la tabla de valores

tomaremos, para la parte de la curva que nos interesa (la curva se continúa todavía a lo largo del eje negativo de las x), las coordenadas de los puntos, y resulta fácil trazar la curva por ellas. Intentemos ahora, poniendo en ello el mayor cuidado, trazar las tangentes a la curva en los puntos de ésta que tienen por abscisas: x = 2, x = 4, x = 8, etc. Si logramos dibujar bien la curva no escapará a nuestra observación una particularidad desconcertante. Cada tangente forma siempre triángulos rectángulos con las perpendiculares trazadas al valor x en el eje de las x. El primer y más pequeño de los triángulos así trazados, es decir, aquel cuyo vértice alto coincide con el punto y = 1, x = 2 (y que hemos dibujado, además, suelto en la parte superior de la figura), resulta ser isósceles y sus ángulos agudos son de 45 grados. El segundo, situado a su derecha, muestra una relación entre los lados de 2 : 1. No tan claras son las relaciones en los triángulos siguientes, cada vez mayores y más estrechos. También en ellos llama la atención el hecho de que las tangentes que parten de los puntos encima de x = 6 y x = 8 apuntan a números enteros en el eje de las x.

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Examinemos uno por uno estos diversos triángulos. Su figura cada vez más alargada, más alta y más esbelta, no nos interesa gran cosa. Pretendemos únicamente recoger sus relaciones más importantes. Así, por ejemplo, el valor del ángulo de inclinación de la curva, ángulo que en realidad depende directamente de la relación entre las longitudes de los dos catetos, porque el cociente de dividir el cateto vertical (ordenada y) por el horizontal, es decir, por el trozo del eje de las x correspondiente, ha de darnos, indudablemente, el consiguiente coeficiente diferencial. La relación, o sea el cociente de las longitudes de los dos expresados catetos, equivale, para cada punto, a la deseada tangente trigonométrica del ángulos a que forma la tangente a la curva con el eje de las x. Contemos, pues, las longitudes de los catetos, dividámoslas entre sí, y obtendremos el valor de la tangente trigonométrica (116).

De aquí podemos deducir ya inmediatamente que la pendiente que corresponde al ángulo formado por la tangente a la curva y el eje de las x (o sea la y', que es el cociente diferencial) tendrá por valor el de la tangente trigonométrica y será el indicado a continuación para los valores de x dados en la columna de la izquierda. X=2 X=4 X=6 X=8 16

Y=1 Y=2 Y=3 Y=4

Hay que distinguir con toda claridad entre la tangente, o sea, la recta que toca a la curva, y la tangente trigonométrica del ángulo, o sea, la relación que existe entre los dos catetos, de todo triángulo rectángulo.

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¡Esto no puede ser pura casualidad!Y efectivamente, la relación puede ser establecida con rapidez mediante el cálculo. Es evidente que el cociente diferencial ha de crecer en este caso cada vez más, pero es también fácilmente comprensible que, en cualquier momento, su valor ha de depender del de x. Y puesto que el valor del cociente diferencial es igual a la mitad del valor de la x correspondiente, podremos enunciar: la «derivada» (cociente diferencial) de la función

Hora es ya de revelar al lector la fórmula básica del cálculo diferencial, la cual, por lo demás, puede deducirse de modo riguroso y muy sencillo, pero preferimos darla ya desde luego. Supongamos una función en la cual x viene multiplicada por el valor a y en la cual, a la vez, la x se halla elevada, pongamos por caso, al exponente n (enésima potencia) (17). Semejante función se expresará de esta manera: y = a · nx Si la derivamos, resultará y '= n · a · xn-1 Es decir, que al hallar la derivada, el factor constante (a) permanece inalterado. El exponente -esto es, el numerito que figura en la parte superior derecha de la x- se apea de esta posición para pasar a multiplicar los demás factores, y a la x le queda un exponente igual al que llevaba, disminuido en una unidad. Primero debemos convencernos por nosotros mismos de que esta fórmula coincide con nuestro resultado para la paróbola y = ¼ x2. En nuestro ejemplo tomemos, pues, a = ¼ y n = 2. Así resulta, en efecto

17

Quien no pueda representarse tan claramente la potencia enésima, Podrá sustituir, sencillamente, por n, un número determinado, por ejemplo, 6 u I1.

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Con la misma fórmula nos ocupamos también de la función lineal, por ejemplo, y = - 4x, pues para ello podemos también escribir (recordemos las reglas de la potenciación) y = - 4 • x1, Es, pues, Análogamente sucede con y = x2. El numerito 2 pasa delante, como factor, y a la x se le pone por exponente 2 - 1 = 1, resultando así

Un caso más: supongamos, por ejemplo, la siguiente función: y = 4x12; su derivada será: y'= 48 x11 Es evidente que el cociente diferencial hallado puede también ser derivado a su vez de nuevo. La regla para efectuar el cálculo no varía. El cociente diferencial obtenido en esta segunda derivación se denomina segundo cociente diferencial y se escribe y" (léase «y segunda). Significa -como se puede comprender por sencilla reflexión- la variación de la pendiente. Y de igual modo puede llegarse a un tercer, cuarto, quinto, etc., cociente diferencial, a condición, naturalmente, de que la función primitiva lo permita. Si partiendo de una ecuación lineal, por ejemplo, obtuviéramos los cocientes -diferenciales primero y segundo, o sea las derivadas primera y segunda, resultaría lo siguiente

Y esto significa que la pendiente de una recta ¡no experimenta ninguna modificación, puesto que la variación de esta pendiente es igual a cero ! Pero algo muy distinto ocurre ya cuando se trata de una ecuación de segundo grado o de tercer grado. Vamos a hacer la prueba. Sea, pongamos por caso, la ecuación que nos dará sucesivamente

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Sigamos, para una de tercer grado, tal como: que nos dará

El lector se figurara que le hemos llevado a donde nadie le llama y estamos fuera de lugar. Y, sin embargo, esto nos guía al descubrimiento de una conclusión importante que tenemos a mano. En efecto: si escribimos los cuadrados de los números y establecemos luego sus diferencias y, a continuación, las diferencias de estas diferencias, tendremos:

y así sucesivamente. Es decir, que la segunda vez de escribir las diferencias aparece el segundo cociente diferencial. Una cosa análoga ocurre con las terceras potencias o cubos

es decir que, dados los cubos, el tercer cociente diferencial aparece a la tercera vez de escribir las diferencias; pues, efectivamente y = x3 Ù. y'=3x2 Ù y"= 6x Ù y" = 6 Y como quiera que para la función y = x4 el tercer cociente diferencial se obtendría por las siguientes operaciones

habrá de suceder que si escribimos las cuartas potencias de los números y sucesivamente buscamos las diferencias, como hemos hecho con los cuadrados y cubos, llegaremos finalmente a 24, que es el cuarto cociente diferencial de la función propuesta. Y asimismo, en las quintas potencias, habrá dé resultar 120o, porque el quinto cociente diferencial de y = x5 es 120, y así sucesivamente.

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Algo queda por poner en claro para que podamos proseguir nuestro avance por el territorio de las matemáticas superiores. Hasta aquí nos hemos limitado a dar a conocer las cuestiones, aclararlas y sacar conclusiones, pero no hemos hecho ver el objetivo perseguido al idear tales sutilezas y las atractivas imágenes que con frecuencia nos apartan del árido camino recto. La reconvención de que hasta ahora hayamos hecho solamente l'art tour l'art (el arte por el arte), podría parecer justificada. ¿Para qué sirven, en suma, el cociente diferencial y el imperativo de integrar? Naturalmente no nos sería posible, ni con mucho, y aunque fuese sólo de modo aproximado, pintar la multiplicidad de cuestiones que estas dos maravillosas llaves de las matemáticas superiores nos permiten resolver. Las aportaciones de los cálculos diferencial e integral hicieron variar casi por entero la imagen que poseíamos del Universo, al permitir la demostración de relaciones y hechos de los cuales se tenía apenas una idea borrosa y difuminada. Como muestra de ello daremos sólo algunos ejemplos especialmente ilustrativos. Supongamos que cierto número de exploradores van a emprender una marcha de determinada longitud, por un desierto intransitable, y que es preciso avituallarlos. Se da, además, la circunstancia de que no se encuentra ni agua ni alimentos y que es necesario, por lo tanto, llevarlos consigo. Así las cosas, ¿habrán de llevar grandes cantidades de víveres, o será mejor, por el contrario, cargar con peoueña cantidad de ellos? A esto es difícil contestar, pues nos hallamos evidentemente ante dos posibilidades distintas. En primer lugar, cada hombre procura llevar la menor cantidad posible de bagaje, ya que cuanto menor sea la carga mejor conservará sus fuerzas. En todo caso este hombre poco cargado podrá llegar más lejos, ya que le será posible mantener sin fatiga una velocidad de marcha relativamente elevada. La otra posibilidad es la de que el hombre cargue con la mayor cantidad de vituallas posible. Es cierto que a causa del considerable peso del bagaje avanzará más despacio que el hombre con carga ligera y no podrá, ni con mucho, dar el mismo rendimiento diario que éste, pero también es verdad que, en cambio, el más aprovisionado no necesitará apresurarse tanto como el poco cargado, puesto que las vituallas que aquél lleva durarán mucho más tiempo que las de éste. Por simple intuición decidiremos que la mejor relación entre la carga y el rendimiento de la marcha ha de hallarse en un justo medio, pero no nos será posible expresarlo en cifras. He aquí otro ejemplo: En un recipiente de vidrio, lleno de gas, o también si en él se ha «hechos el vacío, hay un hilo metálico que se pone incandescente por el paso de la corriente eléctrica y emite una cantidad de luz

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tanto mayor cuanto más se calienta, esto es, cuanto mayor sea la intensidad de la corriente que por él pasa. Pero cuanto más elevada sea la temperatura del hilo, tanto mayor será también el desgaste de éste, y tanto más corta será, por consiguiente, la duración del filamento incandescente de la lámpara. ¿Qué resultará, pues, más ventajoso: producir grandes cantidades de luz mediante lámparas de incandescencia que se desgastan rápidamente, o realizar una mayor economía en el consumo de corriente y de lamparas? Estos dos simples ejemplos, tomados al azar, muestran ya hasta qué punto dominan nuestra técnica, e incluso toda nuestra vida cotidiana, estas cuestiones que plantean la necesidad de un equilibrio entre los factores en pugna, con el fin de obtener un mayor rendimiento o un mínimo consumo. Y nos hacen asimismo ver bien claramente que con el solo auxilio de los procedimientos comunes de cálculo, es decir, con la multiplicación o división, extracción de raíces o elevación a potencias, etc., no hay modo de atacar estos problemas, cualquiera que sea la forma en que decidamos plantearlos y abordarlos. En todo caso, el lector que hasta aquí haya seguido atentamente nuestras explicaciones vislumbrará sin duda ya algún método que, aun siendo sólo de modo formal, tiende a dar contestación a aquellas afinadas preguntas. Es cuestión, otra vez, de estudiar la dependencia de una cantidad respecto a otra y de establecer, como antes hicimos, las funciones correspondientes. Así, por ejemplo, está perfectamente claro que el número de días que nuestros viajeros podrán andar a través del desierto y vivir por sus propios medios habrá de depender de la cantidad de víveres de que dispongan. Es decir que: la velocidad de la marcha será «función» de la carga. Con esto poseemos ya la clave que nos permitirá resolver el problema. Y si bien no va a sernos posible desarrollar o plantear en cifras los expresados ejemplos, porque resultaría la cosa demasiado complicada, nos será posible, no obstante, indicar la manera cómo podrán ejecutarse tales cálculos. En primer lugar sería necesario para ello reunir datos experimentales, cifras comparativas. Así, por ejemplo, supongamos que con 3 Kg. de determinadas substancias alimenticias se pueden pasar tres días, pero que 15 Kg. basten solamente para doce días; que 30 Kg. duren sólo diecinueve; y así sucesivamente. Estas cifras, al igual que las de consumo de energía eléctrica - es decir el número de decalúmenes para determinado consumo de energía eléctrica- en nuestro ejemplo de la lámpara de incandescencia, habrían de ser puestas en mutua relación matemática, al objeto de poder llegar a establecer la expresión descrita de la función correspondiente. Un

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ejemplo bien sencillo nos ilustrará acerca de la manera como puede atacarse un problema de este tipo. Supongamos que en la mesa, ante nosotros, tenemos un trozo de chapa de forma rectangular, de un tamaño, por ejemplo, de 12 x 16 cm. Si plegamos esta chapa de modo conveniente tendremos una cajita abierta por arriba, a la cual le faltarán solamente dos paredes laterales que por ahora no nos interesan (quedando entendido que cuando hayamos acabado la tarea no dejaremos de suplir tal falta mediante otro pedazo de chapa). De momento pretendemos exclusivamente determinar la manera como es menester plegar la pieza de chapa para que el recipiente resultante pueda contener la mayor cantidad posible de líquido. O, mejor dicho, para que la capacidad (volumen) del recipiente construido llegue a ser la mayor posible (un máximo). Hemos de hacer aquí el inciso de que el volumen o contenido de la «cubeta» que puede construirse con una extensión dada de chapa no es siempre el mismo ni mucho menos, sino que, antes bien, depende principalmente de la forma que se dé a las paredes y el fondo de la caja proyectada. Hagamos algunos cálculos recordando en primer lugar que el volumen de una cajita como ésa viene dado por el producto de la longitud por la anchura y la profundidad. Empezaremos por doblar la chapa de modo que se levante un borde de sólo 5 mm. de altura. Esta doble altura del borde ha de ser, naturalmente, restada de la longitud total de la cajita. Ésta ofrecerá, pues, las dimensiones, y por tanto el volumen, correspondientes a: 15 • 12 • 1/2 = 90 cm3; transformemos la cajita, que de este modo resulta extensa y baja, en una especie de cartera muy estrecha y profunda, que tenga sólo 1/2 cm de ancho. El volumen según puede leerse en la figura, será ahora de: 1

/2 • 73/4.· 12 = 46 1/2 cm3,

cabida que es sólo la mitad de la del modelo precedente

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. Hagamos ahora la caja de modo que el borde sea de 3 cm. y obtendremos así un contenido de 3 • 10 • 12 = 360 cm3. Vemos, pues, que existen diferencias muy notables según la forma que demos a la caja. Por esto puedo preguntarme: ¿Cómo habrá que doblar la chapa para obtener la máxima cabida posible? Es preciso, ante todo, que pongamos en juego cuanto llevamos aprendido hasta aquí del «lenguaje de las matemáticas». Procuremos, en primer lugar, establecer la «clave de símbolos», o sea el «vocabulario», y planteemos seguidamente la pregunta pertinente: ¿qué es lo que queremos saber y, no obstante, ignoramos? Y será necesario estar ahora alerta, pues uno puede sentirse fácilmente inclinado a decir que lo que se busca es el volumen, y esto no es cierto. Lo que realmente deseamos conocer, y no conocemos, es la anchura del borde, que es lo que habrá de marcar luego la profundidad de la cajita resultante. Es esto, precisamente, lo que hemos de designar por x,

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pues de esta magnitud, de esta x dependerá el volumen de la caja en cuestión.. Pasemos ya a la clave general: designemos la longitud de la chapa por L; el volumen lo designaremos por V; a la longitud de la caja (a fijar al final) la denominaremos lg, y a la anchura, a. La «técnica» consiste en establecer la dependencia en que se halla el volumen con respecto a las citadas dimensiones. ¿Puede esto parecernos difícil? No, porque el volumen de una caja rectangular es, y será siempre, el producto de la longitud por la anchura y la profundidad, independientemente de la forma como queramos designar estas tres dimensiones. En todo caso hay que tener presente que la longitud de la caja en construcción será tanto más reducida, por supuesto, cuanto mayor sea la profundidad que adoptemos. Así, pues, la longitud lg no podrá ser nunca un valor independiente, sino que vendrá siempre y únicamente expresada por: lg= L - 2 x; advirtiendo que si ponemos 2 X es porque el borde se ha de doblar en los dos extremos (las paredes laterales de la futura caja). La función que resulta, por lo tanto. vara nuestro volumen es

Para ser todavía más claros, repetiremos que a es la anchura de la chapa y permanece siempre invariable. La longitud de nuestra cajita está determinada por la longitud L de la chapa, de la cual, sin embargo, hemos de restar, al doblarlas, dos tiras, cada una de las cuales tiene un ancho igual a x (que es la incógnita) y por esta razón la L ha de acotarse en una longitud igual a 2 x. La profundidad de la caja es también x, evidentemente. Así, pues, no hemos hecho más que enunciar en forma distinta el producto de la anchura por la longitud y por la profundidad. Lo primero que haremos ahora será efectuar el producto indicado en el segundo miembro de la ecuación, con lo que obtendremos De momento nos quedamos parados. Pero vemos en seguida que si en lugar de nuestra V hubiera una y nos encontraríamos en presencia de una ecuación funcional, que podríamos representar perfectamente mediante la consabida red de coordenadas (18). Y, como es natural, nos ha de ser completamente indiferente que en lugar de la y haya una V u otra letra cual18

Una tarea que puede recomendarse al lector.

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quiera. En realidad, pues, se trata de una ecuación funcional; y, según podemos apreciar por el término 2ax2, esa ecuación dará seguramente una línea curva. Según sabemos, en cualquier curva de este género el cociente diferencial tiene un valor diferente para cada punto. Por otra parte, una curva puede elevarse ininterrumpidamente en el espacio infinito, o dirigirse hacia las profundidades insondables, pero puede también subir primero y bajar después o bajar primero y subir después, y así sucesivamente. Ahora bien, en cualquiera de estos dos casos la curva habrá de alcanzar un punto, situado por encima del eje de las x o por debajo de éste, según el caso, para el cual la y resulte tener un valor mayor, o menor, que todos los valores que puede alcanzar para todos los demás puntos de la curva. La cuestión está ahora en saber si podremos hallar el mencionado punto valiéndonos del cálculo. Y la respuesta es, naturalmente, afirmativa: podemos determinarlo con auxilio del cociente diferencial.

Pues es evidente que en cada punto donde el ascenso se convierte en descenso, o viceversa, la tangente tendrá una posición horizontal, exactamente del mismo modo que podemos considerar que el punto más elevado de una esfera es un plano horizontal infinitamente pequeño, sobre el cual, haciéndolo con habilidad, podremos colocar, por ejemplo, un naipe, que quedará en posición horizontal. En el punto más elevado y en el más profundo de la curva la tangente resulta, por consiguiente, horizontal; es decir, que forma un ángulo de cero grados con el eje de las x. Pero, como ya sa-

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bemos, la tangente trigonométrica de este ángulo nos da el valor del cociente diferencial y, puesto que la tangente de cero grados es también cero, el cociente diferencial en este caso ha de ser igualmente cero. ¡Con lo cual estamos al cabo de la calle! Buscaremos sencillamente la derivada de la ecuación establecida e igualaremos a cero el cociente diferencial (o derivada) resultante. Entonces, basándonos en esta nueva ecuación, en uno de cuyos miembros figura simplemente un cero, despejaremos la x que nos interesa. Nuestra ecuación se expresa así: V = a L x - 2 a x2. Al buscar su derivada tendremos cociente dif. de V = a L - 4 a x; e igualando a cero, será 0 = aL-4ax Sumemos ahora a cada uno de los miembros de esta última ecuación la cantidad 4 a x, a fin de que nos quede esta expresión sola en el primer miembro, y como en el segundo miembro el término se neutralizan mutuamente, quedará 4ax=aL Podemos dividir todavía ambos miembros por a, con lo cual ésta desaparecerá: 4 x = L; y, dividiendo finalmente ambos miembros por 4, resultará x = 4 . Con esto tenemos nuestro problema resuelto, pues ahora sabemos que bastará dividir por 4 la longitud de la pieza de chapa de que se trata y construir la caja con bordes cuya altura x sea igual a 1/4 de dicha longitud. De tal forma la capacidad -de la cajita resultante tendrá el máximo valor posible. Y toda vez que las dimensiones de nuestra chapa son 16 x 12 cm., debemos doblarla a una altura de 4 cm. por cada uno de sus extremos. Con lo que obtendremos una capacidad máxima de V = 8 . 12 . 4 = 384 cm3 Claro está que la cuestión no queda todavía definitivamente resuelta, pues procediendo de este modo habríamos podido también determinar el valor mínimo, ya que, tanto al punto más alto como al más bajo de toda curva les corresponden tangentes horizontales y para ambos resulta ser cero el cociente diferencial. Mas también aquí se nos ofrece un auxilio, gracias al cual en un instante veremos claramente si en el recorrido de la curva

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hemos alcanzado el punto más alto de la «cumbre» o si, por el contrario, hemos llegado al más profundo de la «depresión del valle».

Hace poco vimos que el segundo cociente diferencial nos indica del modo más sencillo la variación de la pendiente. Si en un punto dado esta variación es de signo negativo, será indicio de que a partir de este punto hemos de descender. Esto nos advierte que nos hallamos en el punto más alto, puesto que desde él, desde la cima, será preciso bajar, cualquiera que sea la dirección en que se emprenda la marcha, es decir, que la pendiente, que era cero, habrá de disminuir, y, por lo tanto, su variación será negativa en todas direcciones. Lo contrario ocurre en lo más profundo del valle, porque a partir de este lugar la pendiente aumenta en todas direcciones, de modo que su variación ha de ser necesariamente positiva. Nos bastará, pues, mirar si el segundo cociente diferencial (derivada segunda) es negativo o positivo; y esto es todo. Para aplicar lo que acabamos de decir a nuestro ejemplo, recordaremos que derivando el primer cociente diferencial, obtenido ya por una primera derivación, obtendremos el segundo. La ecuación era V = aLx-2ax2 cuya derivada primera, o primer cociente diferencial, es V'=aL-4ax

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Derivando nuevamente esta ecuación, los términos que no contienen la x quedarán, según se sabe, reducidos a cero. De aquí resulta el segundo cociente diferencial (o derivada segunda), expresado por V" =-4a ¡Así comprobamos, pues, que nuestros cálculos han sido realizados con exactitud! El segundo cociente diferencial lleva el signo menos y es, por tanto, negativo. Viene a decir: «Por todas partes se desciende. Luego es cierto que nos hallamos realmente en la cúspide y hemos calculado, de hecho, el valor máximo.» Con esto pudiera bastarnos para adquirir conocimiento de la marcha comúnmente seguida para el cálculo de los valores máximo y mínimo. No obstante, el problema no es siempre - ¡por desgracia!- tan claro como en este ejemplo, que es tal vez el más sencillo; y en esto el lector nos creerá indudablemente. Es posible que algún que otro lector lamente el que tengamos que abandonar demasiado rápidamente este campo. Por ello vamos a dar un pequeño complemento, destinado solamente a los especialmente interesados. El planteo del problema es, naturalmente, siempre el mismo: ¿Cómo es posible determinar la inclinación de la tangente de una curva? Hasta ahora este problema lo hemos resuelto solamente desde un punto de vista puramente geométrico. Es decir, hemos trazado las tangentes a diversos puntos de una parábola, reconociendo en ello una cierta regularidad. Este método de representación gráfica es ciertamente poco satisfactorio, si se piensa en el infinito número de puntos que constituyen una curva. Pero esta vez somos mucho más modestos. Según el lema: «Más vale pájaro en mano...», consideraremos, no las tangentes, sino las vecinas secantes. Son éstas las rectas que cortan la curva, por lo menos, en dos puntos. En el gráfico hemos representado algunas secantes de un sector de curva (19), todas las cuales pasan por el punto P. Podemos reconocer que la tangente es la posición límite de la secante, cuando el segundo punto de intersección de la secante se acerca, cada vez más, al punto P, hasta coincidir finalmente con él. Nuestro propósito se hace con ello evidente. Calculamos la pendiente de la secante y comprobamos en qué se convierte el factor de inclinación cuando la secante se convierte en la tangente.

19

Esta curva no es ninguna parábola; sin embargo, las relaciones pueden explicarse, también, en la parábola, sólo que el gráfico no resulta muy claro.

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Si partimos de nuevo de nuestra parábola, y = x2, entonces... Pero, alto, este problema podemos resolverlo ya de manera mucho más elegante. ¿Para qué partir de la parabola? ¡Nuestras consideraciones son válidas también para todas las curvas posibles y sus ecuaciones de función!Importante es solamente el hecho de que nos proponemos considerar curvas arqueadas cuyas coordenadas de y dependen de las coordenadas de x. Por el momento no nos interesa el aspecto individual de estas curvas. Por ello no debemos preocuparnos tampoco de la ecuación de la función; su aspecto puede ser el que quiera cuando cada y depende solamente de una x, es decir, es una función de x, cuyo gráfico nos muestra una curva en cierto modo «razonable».

La ecuación y = f (x) representa, como sabemos, completamente esta relación. Esta ecuación nos indica solamente que cada y depende únicamente de una x. Si se sustituye, por ejemplo, una x1 en la ecuación, se deduce entonces también, automáticamente, una y1 f (x1). Naturalmente, existen también características especiales, de las que no vamos a ocuparnos, empero, por el momento. Si alguien tiene aquí alguna dificultad puede sus-

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tituir, en su pensamiento, f (x) sencillamente por una función determinada, por ejemplo, y = 2x2. ¡Así, pues, no nos dejemos confundir!

Del gráfico podemos deducir inmediatamente cómo se obtiene la inclinación de la secante. Si tomamos el triángulo rectángulo con la hipotenusa P1P reconoceremos entonces que los catetos son De este modo podemos dar en seguida el factor de inclinación de la secante

Del gráfico podemos deducir todavía que x1 = x + a. Podemos, por tanto, escribir también

en donde hemos sustituido x1, simplemente, en todas partes, por x + a. Si el punto P, se acerca cada vez más a P, a = xl - x se hará tan pequeño coma se quiera. Se dice: a tiende a cero (gráficamente: a ´ 0). De la secante se obtiene la tangente, del factor de inclinación de la secante se obtiene el factor de inclinación de la tangente, esto es, el cociente diferencial.

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Esto se escribe, abreviadamente

(Exprésese: el cociente f (x !+ a) - f (x) por a tiende a y' cuando a tiende a cero.) Un ejemplo nos mostrará lo que puede hacerse con ello. Si se deriva la función y = f (x)= 1/x , nos encontramos con una pequeña sorpresa. Esto podemos calcularlo ahora sin más complicaciones. Sustituyamos en f (x) = 1/x , para x, x simplemente x + a, y tendremos

Así, pues, debemos restar dos quebrados. Con los números vulgares se hace esto como con las fracciones comunes, para lo cual determinamos primero el denominador común. Este es, simplemente, x (x + a). Así. pues20.

De ello se obtiene

Si hacemos tender ahora a hacia cero, quedará finalmente en el denominador solamente el x2. Simultáneamente, f (x + a ) − f (x ) tenderá al cociente a

diferencial y' de la función y = 1 / x . Obtenemos, pues, el resultado: y´= -1/x2 que es el cociente diferencial de la función y = 1/x

20

Para el lector poco práctico escribiremos esto, una vez más, detalladamente

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Como es natural, todo esto va más allá del objetivo propuesto. Pero también el lector que no ha podido seguirnos completamente, y que se ha atenido a nuestro consejo de no apartarse del bien trazado sendero en el prodigioso jardín, puede haberse dado cuenta de la elegancia de los métodos matemáticos para la resolución de problemas. Pero los que se han atrevido a abrirse paso, por entre la maleza, al borde del sendero, no deben imaginarse que han comprendido todo el cálculo diferencial. En realidad, no nos hemos ocupado siquiera de las muchas dificultades que nos acechan allí. ¡Y si el cociente diferencial causa, a primera vista una impresión casi inofensiva, en realidad, grandes son sus complicaciones ! En este caso hemos partido del planteamiento geométrico del problema. Consideramos la tangente a una curva como la posición límite de la secante pasando por dos puntos de la curva. Éste es, también, el método utilizado por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Independientemente de él, Isaac Newton (1642-1727) llegó a resultados correspondientes. Por ello es considerado asimismo como creador del cálculo diferencial. Pero ¿qué sucede cuando la secante, para un punto considerado, no tiene ninguna posición limite? Con ello llegamos a la pregunta de cuáles deben ser las condiciones previas a cumplir para que sea posible derivarla función de una curva. El estudio de este problema es uno de los factores principales del cálculo diferencial. Tampoco hemos podido ocuparnos de los detalles de concepto. Lo que más nos ha preocupado ha sido este cálculo con magnitudes tan pequeñas como se quiera. Finalmente hemos obtenido también el cociente diferencial de un triángulo rectángulo con los catetos tan pequeños como se quiera. Hemos considerado, por así decirlo, un triángulo con los lados más pequeños - posibles. Nadie podrá medir jamás estos lados; son todavía más pequeños que pequeño. Incluso las más pequeñas «magnitudes» atómicas no son lo bastante pequeñas. Y a pesar de ello, este cociente, esta relación entre los lados, existe realmente.

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En esta relación pensamos al utilizar para y' la anotación

Pero que no se trata aquí solamente de una forma distinta de anotación, sino, en efecto, del cociente de las dos llamadas «diferenciales» dy y dx, no puede explicarse en este lugar. ¡A pesar de ello tomaremos nota de este hecho.

¿Por qué tanto miedo a la integral?

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¿POR QUÉ TANTO MIEDO A LA INTEGRAL? La respuesta a la pregunta de si de un cociente diferencial es posible volver de nuevo a la función primitiva parece imposible a primera vista, pues toda esta historia es, en cierto modo, impenetrable. Hay que dedicarse a probar y adivinar, si se quiere seguir adelante. Pero ya hemos aprendido algunas cosas, y por ello la regresión de la tarea hasta ahora tratada -y, según puede verse claramente, no se trata de otra cosa- tiene que conseguirse. ¡Naturalmente, ahora hay que prestar atención!Si viene alguien diciendo que el cociente diferencial en un punto determinado de una curva es igual a cuatro, esto no nos sirve de mucho. Por mucho que nos esforcemos no podremos dar un solo paso adelante. Nuestro amigo deberá revelarnos si y en qué forma el cociente diferencial depende de x. ¡De lo contrario, todo el problema carece de sentido!Por ello no nos ocuparemos más de este asunto y daremos por sentado que se cumple esta condición previa. El problema, consistente en buscar la función, a partir del cociente diferencial 4, tiene ya un sentido.. En este caso podemos deducir inmediatamente que sólo puede tratarse de una función lineal. Sólo ésta tiene un cociente diferencial constante, independiente de la x. Ya sabemos, por tanto, aproximadamente, lo que va a salir. Pero esto no debe impedirnos el tratar con especial atención este primer y sencillo problema.

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Examinemos, pues, con un poco mas de atención, nuestro cociente diferencial, para lo cual nos serviremos de la anotación, algo más complicada del cociente diferencial

El cociente diferencial de la función buscada es 4, y escribiremos Nos encaminamos ahora hacia la solución, a la ecuaciór primitiva de la función, y procuramos tenerla en una forma que, como de costumbre, empiece con: y = tantos... Sin embargo, no trabajamos ya sólo con la y, sino también con la dy, casi infinitamente pequeña. Por tanto; debemos empezar la búsqueda de nuestra función, escribiendo dy= ... Pregunta: ¿Qué se ha hecho ahora de la pobre dx, adónde ha ido a parar? Lo cierto es que la hemos hecho desaparecer del primer miembro de nuestra ecuación inicial; multiplicando aquél por dx. En una ecuación está todo permitido, siempre que se haga lo mismo en los dos miembros. Así, pues, en justicia, deberemos multiplicar también el otrc lado de nuestra ecuación por dx. Y escribiremos correctamente: dy = 4 • dx. Este es el momento indicado de introducir el nombre para la operación de cálculo que acabamos de encontrar, e: decir, la búsqueda de la función a partir del cociente diferencial. Esta operación recibe el nombre de «Integración», y la orden « ¡Búsqueda, a partir del cociente diferencial, de la correspondiente ecuación de la función !», se escribe colocando delante de las diferenciales dy y dx el

Y así, la nueva operación vendrá expresada como sigue

¿Por qué tanto miedo a la integral?

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Hacemos ahora el cálculo, y se deduce primero del hecho de que sólo puede existir una función lineal,

Pero con ello no hemos terminado todavía; pues, como ya sabemos, además del valor numérico que contiene la x, puede intervenir también en la función otro número no implicado en la x. Por el momento no podemos encontrar este número. Pero la posibilidad de su existencia hemos de admitirla, por lo menos. Y para cada miembro de la ecuación de función que haya existido, y que «ha caído en el pozo» al derivar, colocamos una constante indeterminada, la cual recibe el nombre de constante de integración, y que se designa con C. Así tenemos, finalmente la fórmula exacta

Bueno! De este modo hemos concluido victoriosamente el primer cálculo integral, y -aun cuando de manera algo complicada para nuestro sencillo objeto- hemos sabido anotarlo también correctamente. Esta maldita constante de integración C -que, naturalmente, puede ser también un número negativo-, queda por determinar. Sin embargo, no puede prescindirse de ella, pues tiene una especial importancia, derivada del planteamiento del problema. Si, por ejemplo, del problema se deduce que la recta debe pasar por el punto de coordenadas x = 1 e y = 4, en este caso podemos calcular la C. Necesitamos solamente sustituir estos valores en la ecuación de la recta y = 4 x + C, y tendremos 4 = 4 · 1 + C = 4 + C Si de los dos lados de la ecuación se resta todavía 4, nos quedará solamente C = 0. En este caso, la ecuación de la función buscada será, simplemente, Y=4x De todos modos, hemos de tener en cuenta: ¡No siempre es posible determinar la constante de integración! Por ello siempre hay algo de incierto en este «tipo» de integrales. En consecuencia, reciben también el nombre de «integrales indeterminadas» .

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¡Todo esto no ha resultado, en verdad, muy difícil! Pero ¿cómo será posible, por ejemplo, integrar el cociente diferencial dy/dx= 4x3? A este fin deberemos repetir lo que ya sabemos acerca de la derivación de potencias. Supongamos que se me presenta una función cualquiera expresada en forma,de ecuación, como, por ejemplo, y = a x2. Empezaré por determinar el cociente diferencial según la fórmula y'=n · a · xn-1 Esto ofrece en verdad un aspecto «amedrentador», pero es, en realidad, perfectamente inofensivo. Apresurémonos a poner un ejemplo que suavice la impresión. Consideremos la siguiente función y = 22x2 + 11x + 56 cuya derivada, de acuerdo con la fórmula precedente, será y´= 44x + 11 + 0 (21) Esto nos dice, y de ello hemos de tomar buena nota, que en la derivada, el exponente de la variable independiente (o sea el numerito que lleva ésta en su parte superior derecha) pasa, como factor, abajo y delante de dicha variable, y que el nuevo exponente de ésta es el antiguo disminuido en una unidad. Los términos que no contienen la variable quedan reducidos a cero y se eliminan. Pues bien, se denomina integración la inversión de este proceso de cálculo, y el signo integral es el imperativo de tal operación. La regla principal entre las fundamentales del cálculo integral -y el objeto de éste es la determinación de la función partiendo de su cociente diferencial - dice así: 1° Los factores constantes (esto es, no sujetos a variación), pueden pasar fuera, delante del signo integral, ya que no tienen que ver con la integración.

21

Para hacerlo más claro, pondremos: y' = 2 . 22 x + 1 • 11 + 0 = 44x+11 + 0.

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2.° La integración, por ejemplo, dx/dy = xm tiene lugar, según la regresión de la fórmula anteriormente indicada para la derivación, es decir

Es decir que, para integrar, se aumenta en una unidad el exponente de la variable y, simultáneamente, la cantidad sujeta a integración (la cantidad que llamaríamos «integrando»), se divide por el exponente primitivo de la variable aumentando en una unidad. Podemos convencernos inmediatamente de lo correcto de esta regla, si derivamos y =

x m +1 + C . En este caso debe salir de nuevo xm, es decir, m +1

el integrando. Así sucede, en efecto, en la realidad, pues tenemos

Podemos comprobar también que la constante de integración, por desgracia, necesaria, desaparece de nuevo al derivar. Ahora podemos resolver también el problema inicialmente planteado, es decir, la integración de dx/dy = 4x3.

Pero todo esto parece poco satisfactorio y un tanto nebuloso, sobre todo si se compara con las cantidades tangibles del cociente diferencial. ¡En cambio, la integral se nos escapa! Esta no hace sino convertir el fiel cociente diferencial en una función más y aun ésta bastante vaga, puesto que la constante C seguirá siendo imprecisa y desconocida. ¡Mas ha de consolarnos saber que hasta ahora no hemos tenido aún ocasión de conocer el más importante de los papeles que desempeña el signo imperativo de integral, y en el cual vamos a ocuparnos en seguida!

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También en esta ocasión partiremos de un hecho sencillo. Consideremos la simplísima función y = 2 y dibujémosla en nuestro sistema de coordenadas. El resultado es claro. La ecuación y = 2, es decir, «y es siempre, y en todas circunstancias, igual a dos», viene representada por una línea notable, pues se reduce a una recta en la cual todos los puntos, y para cualquier valor de x que se considere, tienen la misma y, que vale constantemente 2, es decir, que se hallan situados a la altura 2 por encima del eje horizontal o de las x. La figura correspondiente a esta relación y = 2, es, por lo tanto, una recta horizontal trazada más arriba que el eje de las x. Ahora podemos permitirnos el lujo de tomar sobre esta horizontal el punto que tiene por abscisa x = 6 y trazar por él una perpendicular al eje de las x. Habremos formado así un rectángulo cuya altura será 2 (que, suponiendo que medimos en centímetros, valdrá 2 cm.) y que tendrá 6 cm. de longitud. De un simple vistazo podremos también hallar el área de este rectángulo, pues según sabemos ha de ser igual al producto de la longitud por la anchura -la altura en este caso-, operación que nos dará 2 - 6 = 12

. Pero llega el momento de integrar nuestra función y 2, por lo que escribiremos :

conforme a la ya conocida fórmula de integración, sin preocuparnos de todas formas, por el momento, de la constante de integración C. El resultado no deja de ser asombroso en cierto modo. Mas no hay que buscar demasia-

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do tiempo para llegar a descubrir el misterio de estas 2 x. Efectivamente, si, por ejemplo, damos a x el valor 6, obtendremos 12; y ésta es precisamente el área del rectángulo anteriormente dibujado. Y con la misma rigidez pondremos de manifiesto que esta fórmula, que nos ha sido dada por integración, sirve para todos los valores que asignemos a x, es decir, para toda clase de rectángulos de altura 2, cualquiera que sea su longitud. Sean los que fueren los valores que intervengan, esta fórmula obtenida por integración nos dará siempre el área del rectángulo que se forme apoyado sobre los ejes x e y, limitado por la horizontal de ordenada constante dada y por la perpendicular levantada en un punto de abscisa x tomado sobre el eje de las x. Veamos ahora lo que ocurre si aplicamos nuestra experiencia, no a un rectángulo, sino, por ejemplo, a un triángulo. En este caso -si queremos estudiar los triángulos - la recta dada habrá de ser inclinada. Esto exige que la y no tenga en todos los puntos la misma altura, sino que ésta varíe según los valores de x. A tal efecto tomemos, por ejemplo, la función y:= ¾ x y procedamos a su integración, con lo que obtendremos el siguiente resultado

Tracemos ahora nuestra recta, y mediante una perpendicular levantada, por ejemplo, en x = 4, «cerremos» un triángulo. Como todos sabemos, el área de un triángulo es igual a la mitad del producto que resulta de multiplicar su base por la altura, y en nuestro caso sería 4 · 3 · ½ = 6. Apliquemos ahora la fórmula obtenida por integración, la cual nos dará ¾ · 16 · 1'/2'= 6, si sustituimos x = 4. ¡Hemos hallado de este modo, y también con exactitud, el área del triángulo propuesto! Y se comprende al instante que ha de ser así, por cuanto las dos fórmulas, vulgar e integral, son enteramente equivalentes.

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De aquí se deduce claramente que así como es posible determinar por cálculo integral el área de un triángulo la de un rectángulo, será igualmente fácil determinar, mediante este nuevo método, el área de un polígono cualquiera, puesto que todos los polígonos pueden descomponerse en triángulos y rectángulos.

Detengámonos aquí por un momento. Las relaciones matemáticas que acabamos de hallar parecen autorizarnos a sacar una consecuencia en cierto modo sorprendente; pues si, fundándonos en ellas, declaramos lisa y llanamente que, en rigor, la determinación del área de superficies limitadas por rectas no significa más que una integración, nadie podrá contradecirnos. Y resulta así el hecho singular de que: todos los alumnos de enseñanzaa media, al dedicarse a determinar áreas de triángulos y rectángulos, y asimismo todos los caldereros, empapeladores y sastres, obligados a calcular superficies de chapas, papel o tejidos, no hacen en el fondo otra cosa que aplicar prácticamente el cálculo integral, sin que, no obstante, el procedimiento del que se sirven día tras día lleve un nombre tan altisonante y un signo imperativo tan repulsivo.

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Cabe aquí, evidentemente, la objeción de que no valía la pena de emplear el cálculo integral, tan engorroso y complicado, para resolver unos problemas que, en resumidas cuentas, nos resuelve la geometría más elemental; es decir, que aun sin tener la menor idea acerca de las matemáticas superiores, es posible calcular una superficie plana cualquiera limitada por rectas. La objeción es justa. En cierto modo no hemos hecho sino cortar el pan con navajas de afeitar; aplicar con éxito un método afinadísimo de cálculo allí donde el procedimiento más burdo y más sencillo habría bastado para conseguir el mismo resultado. Pero será mejor que nos preparemos para la inminente aparición del «plato fuerte». Que se nos presenta, por cierto, en forma de figuras limitadas por líneas curvas. Acudimos de nuevo a la parábola de Apolonio y'= x2. Si se nos propone ahora el problema de calcular, por ejemplo, el área de la porción de superficie comprendida entre el eje de las x, la perpendicular levantada en el punto x'= 4 de este eje y la porción de parábola que va desde el origen hasta cortar dicha perpendicular, nuestra vieja geometría elemental no nos servirá de nada, pues nos hallamos en esta ocasión ante una figura que si bien tiene lejano parecido con un triángulo, se diferencia de un triángulo «auténtico» por la circunstancia, «nada alentadora», de que uno de sus lados tiene la forma de una línea curva y ¡precisamente parabólica! Es aquí donde se muestra la abrumadora superioridad del cálculo integral, toda vez que el afinadísimo instrumento intelectual de las matemáticas superiores nos permite apreciar las variaciones más insignificantes siempre que vengan legitimadas por una ecuación. El concepto integral no resbalará, impotente, sobre la línea curva, sino que, por el contrario, la atenazará con la misma firmeza que a la recta, la cual, desde el punto de vista de las matemáticas superiores, es nada más que el caso particular de una curva que no se desvía ni hacia arriba ni hacia abajo, y que tiene, por lo tanto, una curvatura infinitamente pequeña. Y así, con ayuda del cál-

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culo integral, podemos pasar sin titubeos a resolver el problema planteado. La función de la curva se expresa por y = x2 Su integración nos da:

Si ahora substituimos, por ejemplo, el valor x=3, el área de la superficie limitada por la parábola, el eje de las x y la perpendicular levantada por el punto 3 del eje de las x estará expresada por S = 27/3 = 9. En el punto x = 4 tendremos análogamente: 64 : 3 = 21 ⅓ , etc. Es evidente que con ello habremos también determinado indirectamente la porción superficial comprendida entre la parábola, el eje de las y y una horizontal trazada por el punto de la parábola cuya abscisa es x = 3; pues es fácil calcular en un abrir y cerrar de ojos la extensión del rectángulo que, si la curva está bien trazada, tiene por dimensiones y = 9, x = 3, y cuya área será, por lo tanto, de: 9·3= 27. Restando de este valor el área de la parte exterior a la parábola, que ya hemos evaluado en 9, quedarán 18. Intercalemos aquí una pequeña observación: Hoy día nos sentimos demasiado inclinados a menospreciar presuntuosamente las aportaciones de los pueblos de la Antigüedad en el terreno de las ciencias naturales y de la técnica. Cometemos con ello una gran injusticia, pues dos mil años antes de que Leibniz y Newton fundaran las matemáticas superiores propiamente dichas, el arte de calcular el área de una parábola, y la de una superficie limitada por curvas, era ya conocido por el genial Arquímedes a base de ingeniosas lucubraciones que, en cierto modo, presuponían un vislumbre del cálculo integral. Queda por hacer todavía una breve rectificación. Hasta aquí, en el afán de no apartarnos de un método de exposición sencilla y fácil, hemos tratado con cierta negligencia algo que ahora necesitamos poner en su lugar. Así, en nuestras «cuadraturas», o sea en la determinación de áreas por medio del cálculo integral, basta con que modifiquemos levemente el problema que nos sirvió de ejemplo, para incurrir inmediatamente en lo absurdo. Tomemos por un momento la función y = x - 2 y dibujemos la recta que la representa. Advertiremos al instante que esta recta, que asciende formando un ángulo de 45 grados, cortará el eje de las x en el punto x = 2, pues éste es el valor para el cual la y resulta ser y = 2 – 2 = 0. Determinemos ahora el área del triángulo limitado por la perpendicular levantada en el punto x=10. El cálculo que utilizamos generalmente para la determinación de superficies

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nos dice en seguida que el área del triángulo es: 8 · 8 · ½ = 32. Apliquemos ahora al mismo problema el cálculo integral: La función y = x - 2 da

Si en esta fórmula introducimos el valor x = 10 obtendremos, con fundada decepción, un falso resultado, a saber

10 ⋅ 10 − 2·10 = 50 − 20 = 30 2

¿Donde esta el error? Dicho en breves palabras: la integral tiene razón; somos nosotros los que pecamos por negligencia y precipitación, pues la severa integral, inexorable, ha abarcado toda la superficie situada a la derecha del eje de las y; por falta de precaución nuestra, partió del valor x.= o y tomó toda la extensión superficial que se extiende hasta el valor de x = 10.

Pero esto no comprende sólo el triángulo cuya área buscamos, todo él situado por encima del eje de las x: el exceso se debe a que nuestra recta

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atraviesa dicho eje y por debajo de éste se forma otro triángulo cuya área es igual a 2, como se ve fácilmente. Es preciso, pues, ser meticulosos a fin de no hacer nunca más un mal papel ante el signo integral, tan elegante e imperturbable. Examinado el caso con detenimiento observaremos que en este triángulo, situado en el cuarto cuadrante, si bien el lado que descansa sobre el eje de las x es, ciertamente, positivo (22), resulta que el segundo lado, que apunta hacia abajo y se halla situado por debajo del eje de las x, es, en cambio, negativo. Y como quiera que el producto de multiplicar un número positivo por otro negativo es negativo, resulta que el área del triángulo de que tratamos habrá de ser negativa y deberá, por este motivo, ser restada. Su valor es: (+ 2) · (- 2) · ½ = - 2. Así la superficie comprendida en la integral se compone de dos partes: el área de un triángulo situado por encima del eje de las x, de valor 32, y un área negativa correspondiente a otro triángulo, situado por debajo del mismo eje, que vale - 2. En suma, el signo de integración, con su mágico poder, está en lo justo. Somos nosotros los malos calculadores. La exactitud e inexorable rigor del cálculo integral no pueden, naturalmente, fallar. Y esto nos enseña que debemos esmerarnos en la precisión y en la escrupulosidad, cosa que habremos de conseguir mediante el deslinde preciso del concepto de integral. Así, como imperativo de la integración se ordenará: «Buscar el área comprendida desde aquí hasta allí»; y esta limitación nos lleva a escribir debidamente la integral que nos viene definida por límites estrictamente precisos, que se establecen del siguiente modo: Si es nuestra intención (no nos separemos del ejemplo de la función y=x-2) que la integral se extienda solamente al trozo comprendido entre 2 y 10, escribiremos estos límites «superior» e «inferior», en el signo de integración, de esta manera

∫ (x − 2)dx = ... 10

2

(léase: «integral definida entre 2 y 10, de x - 2 por de equis»).

22

Conviene no dejarse desorientar por el juego de los signos + y -; esto es, por lo positivo y lo negativo. Recordemos que la «forma primitiva» del sistema de coordenadas la hemos realizado a base de dos escalas termométricas que se cortan y cuyo punto de intersección coincidía con el punto cero de ambas. Contando hacia arriba y a la derecha los grados son «de calor» (positivos), y contando hacia abajo y a la izquierda son «de frío» (negativos)

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Y ahora es fácil, por lo que ya sabemos, escribir:

Para aclarar un poco esto, diremos que hemos substituido x por io y el resultado de ello es la expresión que aparece en el penúltimo paréntesis, y de este resultado hemos restado lo que resulta de substituir x por 2, lo cual dará a su vez la expresión que figura en el último paréntesis. El valor del contenido en este último paréntesis es: 4/2 - 4 = - 2. Es decir, que deben restarse los dos paréntesis; de modo que del valor del penúltimo paréntesis, que es 30, hemos de restar el valor (- 2) del último y esto se resuelve, como sabemos, mediante un cambio de signo del substraendo obteniéndose, finalmente, 30 + 2 = 32. Consecuencia de todo esto es haber adquirido conocimiento de una nueva notación, con lo que tal vez se renovará el desasosiego de aquellos que se limiten a hojear el presente libro. Pero, en resumidas cuentas, nada hay en ello de extraordinario. ¿Cómo estaban las cosas en nuestros cálculos de áreas? ¡Se han obtenido allí resultados perfectamente correctos!Sencillamente, en aquel lugar no debíamos determinar más que áreas tales para las cuales los límites inferiores de las integrales eran cero. La parte correspondiente sería suprimida, si no lo hubiéramos hecho ya anteriormente en nuestro desconocimiento. Hay que tener presente, además, que en la integración de una función dada podría presentarse por añadidura, y con intención de enmarañar el juego, una constante indeterminable, nuestra conocida C. En nuestros cálculos referentes a las áreas hemos hecho desaparecer, «disimuladamente», esa C. No se ha perdido gran cosa; pues si al hacer el cálculo de un área se evalúa una integral definida, es decir, considerada extensiva únicamente entre límites dados, la constante C desaparece por completo al proceder a restar del valor de la integral correspondiente al límite superior el valor de la integral que corresponde al límite inferior. Desaparece, pues, con toda sencillez, por un procedimiento impecablemente matemático. Especialmente también cuando el límite inferior es cero. Citemos todavía dos hechos curiosos: existe un caso en que también la fórmula de integración claudica lastimosamente. Así sucede, por ejemplo, al tratarse de la cantidad x-1, tan sencilla al parecer. Esta «falla» del cálculo

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integral, por lo demás tan completo, produjo algún sobresalto entre los primeros matemáticos, de entre los cuales se elevaron voces muy sobresalientes para predecir, sin más, la ruina de toda esta espléndida obra del pensamiento. Aquella funesta «llaga» se cicatrizó más tarde brillantemente. Esto nos conduce a los logaritmos, puesto que (y esto no lo sabían todavía los críticos) la expresión ∫x -1 dx es nada menos que el logaritmo natural de x aumentado con la consabida constante C. Y he aquí, para terminar, otro caso notable y quizá el más curioso de todos. Como el lector comprenderá fácilmente, hay funciones que al derivarlas se hacen en cierto modo mayores o menores; cosa que, como es natural, ha de ocurrir también con los valores integrales, que pueden ser mayores o menores que las primitivas funciones de que proceden. Ocurre aquí lo propio que sucede con las curvas, que lo mismo pueden dirigirse hacia arriba que hacia abajo; unas, vistas desde arriba, ofrecen un pronunciado relieve, otras parecen más bien deprimidas, etc. La cuestión está en saber si hay funciones tales que (al modo de la línea recta, que viene a representar una curva intermedia entre la que dirige su curvatura hacia arriba y la que la dirige hacia abajo) no sufran la menor alteración, ni al diferenciarlas ni al integrarlas, y en las cuales los imperativos del cálculo, dotados de tanta omnipotencia en general, reboten impotentes al chocar con ellas. Y esta función, esta curva, existe realmente. Innecesario sería advertir que, debido a esta propiedad esencial, adquiere una importancia fundamental en el ámbito de las matemáticas superiores. Se trata de la función y = ex En ella tropezamos una vez más con uno de los tres «famosos» números, es decir, con el «número por excelencia», e, base del sistema de logaritmos naturales. Nos contentaremos con afirmar que esto explica la causa de que a este célebre número: e = 2,718281... le haya sido concedido el título de «eje de las matemáticas». Con ello damos por terminado nuestro rápido vuelo de reconocimiento sobre el campo del cálculo diferencial e integral. Confío en que habrá llevado al ánimo del lector la seguridad de que tras los signos con que se indican estos cálculos, de aspecto tal vez misterioso y hosco, no se oculta, sin embargo, ninguna indescifrable «magia negra», sino que, por el contrario, resultan fácilmente comprensibles y definidos a la luz de la más rigurosa lógica.

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Interrumpiremos aquí nuestro paseo por el tan temido reino de la alta matemática. Sería síntoma de engreimiento. por parte del autor si intentase siquiera insinuar que ha conseguido realmente instruir al lector en el arte de manejar las matemáticas superiores. ¡Ni era éste tampoco el objeto de nuestro paseo!Nuestra_ pretensión se limita a deshacer la leyenda negra en que se quiere envolver este sublime arte del razonamiento, y convencer al lector de que, tal como enseña la botánica, las espinas tan temidas no son otra cosa que verdaderas hojas transformadas, y que aun cuando nos movamos mucho entre ellas, no es forzoso que nos hieran, siempre y cuando desde un principio hayamos aprendido a evitar las agudas puntas y a interpretar las ideas fundamentales con la sencillez que les es realmente propia. No hemos de negar que, a medida que se avanza por el camino, éste es cada vez más empinado y pedregoso. ¡A pesar de ello, no es intransitable! Pero, para llegar a semejante fin, ha de acudirse necesariamente a obras más extensas que la presente.

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Un círculo que tiene tres vértices

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UN CIRCULO QUE TIENE TRES VÉRTICES

Después de la difícil «prueba» de los precedentes capítulos y de la «carga matemática» soportada, el amable lector tiene bien merecido un poco de descanso. Vamos a tomarnos, pues, unas «vacaciones» y, abandonando los terroríficos logaritmos y conceptos básicos de las matemáticas superiores, intercalaremos un capítulo de la Geometría, fácil de seguir con la imaginación, para lo cual vamos a confiarnos a la bien conocida circunferencia, de plácida y franca expresión por su redondez. Además, las fórmulas que sirven para calcular el perímetro y el área del círculo merecen encendidos elogios por la facilidad y sencillez con que pueden ser retenidas en la memoria. Pero como quiera que nos hallamos ya un tanto familiarizados con el verdadero espíritu de las matemáticas, vamos a ser cautelosos, pues sabemos que nuestro fiel círculo se halla de continuo asediado por uno de los tres números «misteriosos». Sin el número n no podemos avanzar por el círculo. Poco a poco iremos viendo que esta figura geométrica posee, además, otras características, tan sorprendentes como poco conocidas. Sin embargo, rehuiremos de momento estos innumerables y difíciles problemas relacionados con el círculo, a fin de lograr realmente un positivo descanso.

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La circunferencia es, según se sabe, una_ línea cerrada sobre sí misma y cuyos puntos equidistan todos de otro punto - el centro de la circunferencia -. Esta es otra verdad de cajón, familiar hoy día a todo muchacho de la escuela, pero ¡cuán ignoradas resultan ya las primeras inmediatas consecuencias de este aserto ! «Remachemos» antes de nada lo siguiente: toda circunferencia queda determinada, en absoluto, con un solo dato métrico: el radio (23). El problema de trazar un círculo de 5 cm. de radio no puede solucionarse más que de una sola manera. Existen otras figuras geométricas que ofrecen a este respecto una cierta analogía con el círculo, y de las cuales podríamos citar el cuadrado y el triángulo equilátero, entre otras. Cuando necesitamos dibujar un cuadrado de 45 cm. de lado, no hallamos más que una sola solución al problema. Pero el círculo aventaja a todas estas figuras por el hecho de que, si bien un triángulo equilátero, por ejemplo, puede representarse apoyado sea por la punta sea por el lado o en una posición oblicua intermedia, resulta que el círculo, por ser absolutamente redondo, se presenta siempre en la misma posición, por muchas vueltas que se le den. Así, pues: el círculo es, en cierto modo, fa figura que queda más «completamente» determinada por un solo dato numérico. La inmediata consecuencia de esto es que, en rigor, no hay más que un solo círculo. Esta idea, expresada con mayor exactitud geométrica, dice: todos los círculos son «semejantes» entre sí. Y, en efecto, exceptuados el punto, la recta y la esfera, no existen otras figuras tan semejantes entre sí como lo son dos círculos. Pero ¿es que, verdaderamente, no hay más que un círculo único? He aquí una imagen aclaratoria: sería perfectamente imaginable que yo, para cubrir mis «necesidades» de círculos para toda la vida, me dibu jase un círculo perfecto y lo fotografiase luego. Dejaría las pruebas en casa del fotógrafo y podría, cuando me pluguiera, hacer un pedido por teléfono: «Hoy necesito dos círculos de 72 mm. de diámetro; para pasado mañana téngame uno de 108 cm.», y así sucesivamente. A base de una sola prueba negativa el fotógrafo podría «suministrar», valiéndose de su aparato 23

Incluso en el caso de que se indique el área o el perímetro, vienen también dados por el radio o (lo que para el caso es lo mismo) por el diámetro. También resulta unívoco el problema de dibujar un círculo de, por ejemplo, 538 cm' de área, mientras que pueden construirse infinidad de triángulos, cuadriláteros y polígonos irregulares y de diversa figura que tengan esa misma área.

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amplificador, cualquier círculo deseado, de la misma manera, exactamente, que podria obtener los retratos que quisiere de un determinado antepasado mío en todos los tamaños deseados, postal, carnet, etc., siempre que poseyera la prueba negativa del buen señor; y cualquiera que fuese el color de la «foto», en negro o sepia, brillante o mate, las reproducciones no dejarían de representar siempre la misma persona, esto es: mi antepasado. Volviendo a la Geometría, dos curvas serán semejantes siempre que una de ellas pueda quedar dentro del espacio limitado por la otra, de tal modo que sus contornos resulten equidistantes en todos sus puntos. Me sería posible - al menos en teoría - disponer «concéntricamente», o sea con un centro común, todos los círculos existentes, y en todos ellos se cumpliría el referido requisito; cosa que, en cambio, sería imposible si se tratara, por ejemplo, de triángulos o rectángulos dados; hay triángulos esbeltos, de punta muy acusada; los hay achatados, así como también existen rectángulos gordotes, aplanados y bajos y otros de forma más cuadrada, etc. Por lo contrario, todos los círculos tienen la misma forma!Procuremos no olvidar esta afirmación, pues, aunque tal vez resulte nueva y nunca oída para muchos, habremos de servirnos de ella. Ahora es la ocasión oportuna para plantear la cuestión de cómo debe ser la expresión matemática de la circunferencia, o sea ver qué aspecto ofrece la función que al ser dibujada da por resultado un círculo. De momento, y debido principalmente a que siguiendo la circunferencia no hacemos más que «virar en redondo» para volver al punto de origen, el asunto parece difícil de abordar. Pero, cual corresponde a matemáticos, hemos de conservar nuestra sangre fría y recurrimos en seguida, una vez, más, al trazado de un círculo unidad, cuyo diámetro mida io cm. y el radio, por tanto, 5 cm. Tomemos luego una x de 4 cm.; partamos de ella hacia arriba, hasta cortar la circunferencia (todo esto en el primer cuadrante), y midamos la y correspondiente, es decir, la ordenada o altura a que queda este punto de intersección por encima del eje de las x. Para sorpresa nuestra no resulta ningún quebrado o fracción de difícil lectura, sino un valor vistoso, entero y pulido, tal como el 3. Imbuidos de optimismo por el feliz término de nuestro primer «experimento con el círculo» procedemos a invertir el problema y partimos de x = 3. Inmediatamente buscamos también la y del punto correspondiente, y hallamos que vale 4. Sin ulteriores explicaciones, es fácil comprender que este sencillo ensayo tendrá éxito también si se realiza en cualquier otro cuadrante, puesto que, aparte la orientación, en nada habrán de variar por ello nuestras relaciones numéricas.

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¡Por de pronto hemos podido establecer, cuando menos, una sencilla relación!En todo caso, bueno será que contengamos un poco nuestra satisfacción por tal victoria; pues si hemos logrado matar esa mosca es porque estaba ya agonizante e imposibilitada de volar.

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Como podemos deducir de la figura de la página 192, las coordenadas de los puntos representados en la circunferencia forman siempre un triángulo rectángulo con el radio del círculo (véase nuestras Historias del círculo unidad). Tomemos un punto cualquiera en el perímetro del círculo. El radio que se dirige hacia él constituye la hipotenusa del triángulo rectángulo aludido, en tanto que las rectas x e y, ambas más pequeñas, representan los catetos del mismo. Así las cosas, no hay más que tener en cuenta la principal ley fundamental que rige para todos los triángulos rectángulos, o sea el milenario teorema de Pitágoras, según el cual: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Este principio nos dará hecha la ecuación correspondiente a cualquier punto situado en la circunferencia; ecuación que se anuncia simplemente diciendo: el cuadrado de la longitud x (abscisa), más el cuadrado de la longitud y (ordenada), ha de ser igual al cuadrado del radio Ahora vemos que los triángulos que, por vía de ensayo, habíamos construido con anterioridad eran sencillamente los conocidos triángulos «egipcios» con lados de 5, 4 y 3 cm. Pero ¿cómo se entiende -preguntará el reflexivo lector- que la circunferencia tenga una parte en cada uno de los cuatro cuadrantes? ¿Qué dice a este respecto la ecuación de la circunferencia? Intentemos transformar nuestra ecuación de tal modo que adopte la forma corriente de las ecuaciones funcionales, en cuyo caso tendremos que se deduce De primera intención, para permanecer fieles al dibujo ya trazado, decidimos adoptar un círculo de 5 cm. de radio. A continuación elegimos una x = + 4, de lo que se deduce y2 = 25 – 16 = 9. Pero pongamos ahora atención, pues es de saber que existen dos números que multiplicados por sí mismos dan + 9, y son éstos: + 3 y -3. Existen, por tanto, para x = + 4 dos puntos; uno de éstos tiene una y de + 3 y el otro una de - 3. Uno de ellos, el primero, se halla, por consiguiente, en el primer cuadrante, y el segundo está en el cuarto cuadrante, por debajo del eje de las x. Supongamos ahora el valor de x - 4 y obtendremos de nuevo el mismo resultado que antes, pues (-4) · (-4) = 16. Así, pues, a un valor de x,= - 4 le corresponden tam-

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bién dos puntos de la circunferencia: uno de ellos tiene la y = + 4 y el otro la y = -4. Como consecuencia de esto, y puesto que todos los puntos que tienen una x negativa han de estar situados a la izquierda del eje de las y -o sea a la izquierda del punto de origen de coordenadas- los dos puntos obtenidos esta vez estarán: uno en el segundo cuadrante y el otro en el tercero. Y puesto que esto se verifica para cualquier par de valores opuestos de x (uno positivo y otro negativo) que introduzcamos en la ecuación, tendremos explicado el enigma de por qué la circunferencia puede pasar impunemente por los cuatro cuadrantes. Y ahora vamos a hacer un experimento que a primera vista parece pura tontería. Pidamos a un alma femenina, y que por añadidura, a ser posible, se interese por las matemáticas (los dedos de los hombres suelen ser demasiado torpes), que nos prepare un hilo de manera que, como indica la figura adjunta, termine en cada uno de sus extremos por un nudo con presilla. El hilo podrá tener de 12 a 15 cm. de longitud. A través de las dos presillas terminales, puestas juntas, introduciremos luego la punta de una chinche que clavaremos en medio de un papel de dibujo colocado sobre nuestro tablero. Si ahora hacemos pasar la afilada punta de un lápiz por la doblez que forma de este modo el hilo, y manteniendo a éste tirante trazamos una línea en derredor, resultará, naturalmente, una circunferencia, pues el hilo sujeto por la chinche fija representa en este caso el radio de longitud invariable, de tal forma que todos los puntos de la línea trazada por la punta del lápiz están a una misma distancia de la chinche que representa el centro. De este modo hemos confeccionado un simple compás de cordel, tal como el que, en mayor escala, emplean los jardineros. Procuremos conservarlo bien, pues necesitaremos utilizarlo en otros experimentos, muy interesantes, en los cuales de nada nos serviría el compás ordinario. Tomemos una segunda chinche, cuya punta introduciremos en una de las presillas terminales del hilo, y la fijaremos en el tablero cerca de la primera, que fija la otra presilla. Lo que queremos conseguir con tal maniobra se percibe a primera vista nos hemos preparado para trazar una «circunferencia con dos centros».

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En efecto, si con el cordel tirante, como antes, hacemos pasar el lápiz alrededor de las chinches clavadas, obtendremos una figura parecida a la circunferencia, pero que, no obstante, se diferencia de la circunferencia propiamente dicha por el hecho de que en una de las direcciones, digamos en la dirección de las x, es más alargada que en la dirección de las y. La circunferencia se ha «estrechado» o, como podría decir un bromista, la circunferencia se ha sometido a un régimen de adelgazamiento. La característica principal de la figura resultante se reconoce fácilmente. En las circunferencias auténticas todos sus puntos equidistan del centro. En la figura recién obtenida no ocurre lo mismo y las cosas se presentan de manera muy particular. Nuestro hilo, cuyos dos extremos están sujetos por las chinches, ha conservado su antigua longitud. Este es el hecho más importante, que no puede ser alterado ni siquiera por la afirmación de que tanto el radio como el diámetro de la nueva curva son de distinta longitud para cada uno de sus puntos. No podrá, pues, tratarse aquí de «distancias iguales». Pero hay, en cambio, algo que se mantiene siempre igual y es la longitud invariable del hilo de que nos hemos servido, pues esta longitud es en todo caso igual a la suma de las distancias que van desde cada uno de los puntos ocupados por las dos chinches a un punto cualquiera de la curva. Esta curva es, por lo tanto, el lugar geométrico de todos aquellos puntos cuya suma de distancias a otros dos puntos interiores es invariable. Para denominar la curva así engendrada y que ofrece un parentesco notorio con la circunferencia escogeríamos en nuestra lengua, si fuese posible, el nombre de «deficiencia», dado que el nombre griego de elipse que

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actualmente lleva significa precisamente eso (24). Pero, para no salir de tono, diremos que acabamos de trazar una elipse. Examinémosla más detenidamente. Al ver cómo se traza con auxilio de un hilo y dos chinches, podemos reconocer al primer golpe de vista que la elipse no es más que una circunferencia «alargada», o lo que viene a ser lo mismo, una circunferencia que en una de las direcciones conserva su amplitud, en tanto que en la otra (a 90 grados de la primera) ha sufrido una compresión. Ahora no tenemos ya un diámetro de valor único, sino un número infinito de diámetros de distinta longitud y de entre los cuales nos interesan especialmente dos, el mayor y el menor. En nuestro dibujo, el diámetro mayor coincide exactamente con el eje horizontal le las x; el menor corta la figura de arriba abajo, dividiéniola en dos mitades. Es claro que estos dos diámetros citados no solamente determinan la magnitud de la elipse, sino también su figura. Si hacemos que los dos diámetros -llamados usualmente «ejes» - tengan longitudes casi iguales, la elipse resultará más redonda, más repleta, más parecida a una circunferencia. Si admitimos, en cambio, dos ejes de longitudes más distintas entre sí, esto es, por ejemplo, de 10 cm. el mayor y de 2 el menor, para mayor contraste, la elipse resultante será más alargada, más achatada y más estrecha. Tomemos, pues, buena nota de que existen dos magnitudes que determinan el aspecto y la figura de la elipse, y que éstas son las longitudes de los dos ejes. No nos hallamos ya ante una sola magnitud determinativa, como lo era el radio en la circunferencia o el lado en el trángulo equilátero y en el cuadrado. La inmediata consecuencia de ello es que no todas las elipses son «semejantes» entre sí. Existen un sinnúmero de elipses de la más variada figura. Tengamos bien entendido, por consiguiente, que existe la circunferencia, pero existen las elipses. No queremos exponer aquí la deducción de la fórmula matemática de la elipse para no atormentar más al lector, al cual hemos sacrificado tan duramente en los capítulos anteriores. En su forma más usual y sencilla la ecuación de la elipse se expresa simplemente así

x2 y 2 + =1 a 2 b2 24

La etimología de elipse es: elleipsis= falto, incompleto, deficiente. RICHARD BAZTZER, en sus Elementos de Matemáticas, indica: elipse = defectus

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en donde a y b representan, respectivamente, la mitad del eje mayor y la mitad del menor. Es claro que en el caso de ser a = b la ecuación toma la forma siguiente

x2 y2 + =1 b2 b2 y en la que por multiplicación se puede hacer pasar fácilmente la b al segundo miembro, con lo que se tendrá la ecuación x2 + y2 = b2, que nos indica que hemos ido a parar a una circunferencia cuyo radio es b. Antes de seguir adelante es preciso todavía revelar dos «secretos» de la elipse. Sabemos que la fórmula del área del círculo se expresa por: S=π · r2, en la que S representa la superficie, o sea el área. El área de la elipse será análogamente: S = a • b • π. Existe, pues, como se ve, un innegable «parecido de familia». Pero el cálculo de su perímetro nos revela el hecho sensible de que la elipse, a pesar de comportarse con respecto al círculo al modo de una hermana flaca con su obeso hermano, no deja de ser una señora ladina y maliciosa. Ocurre que no nos es posible, en ningún modo, determinar el perímetro de la elipse con exactitud matemática, porque en este cálculo, aparentemente tan sencillo, tropezamos con la temible «integral elíptica», de la cual se dice en términos científicos que «no es elementalmente evaluable». Nos está vedado, por tanto, calcular con gran exactitud y precisión el perímetro de una elipse dada. Disponemos, sin embargo, de métodos de aproximación que nos permiten acercarnos al valor exacto deseado, pero de todas formas no se hace de modo tan sencillo y preciso como cuando se trata de la circunferencia. El otro secreto de la elipse es también, bien mirado, un secreto de la circunferencia. Vamos a plantear -netamente y sin rodeos - la cuestión: ¿Es que en alguna ocasión vemos la circunferencia realmente como tal? La contestación, por extraño que parezca, es: ¡Puede decirse que nunca la vemos así, pues nos aparece casi siempre en forma de elipse! Para poder ver la circunferencia tal como es, sin acortamiento alguno y con todos sus diámetros iguales, es condición indispensable que la miremos con nuestro ojo situado exactamente en la perpendicular levantada al plano del círculo por

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su centro. Mas, tan pronto como hayamos desviado ligeramente la vista reaparecerá la elipse. ¿Quién habría podido pensar que nuestro buen círculo fuese tan sensible hasta el punto de no permitir que se le mire «de soslayo»? La comprobación de este hecho nos conducirá a un fenómeno sumamente importante, que nos revelará la fundamental y verdadera relación de parentesco existente entre la circunferencia, la elipse y otras figuras. Digamos preliminarmente que: si, suponiendo el ojo situado en un punto de la perpendicular levantada en el centro del plano de un círculo, mando rayos visuales a todos los puntos de la circunferencia, el conjunto de todos ellos formará un cono, denominado precisamente cono circular. Y es justamente este cono el que consigue, como por arte de magia, convertir un círculo en una elipse. Desde el punto de vista geométrico, el cono es una figura sumamente interesante. Su superficie curva consiste en un gran número de líneas rectas. Pensemos en los rayos visuales, y entonces comprenderemos claramente porque estas líneas rectas, que parten a modo de rayos de la punta del cono, reciben el nombre de «generatrices» del cono. ¿Y qué hay de este parentesco entre círculo y elipse? Para demostrarlo prácticamente no tenemos más que contemplar una zanahoria, de forma aproximadamente cónica. Si le doy un corte transversal, normal a su eje, es decir, perpendicularmente a su dirección, principal de crecimiento, obtendré un círculo. Pero en cuanto incline un poco la dirección del corte, lo que resultará será una elipse. Esto que ocurre con el cono ocurre también con el cilindro. Como modelo de cilindro para realizar el experimento (se trata, naturalmente, de un cilindro circular) podrá servirnos un embutido cualquiera. Se ve fácilmente que al cortar el embutido perpendicularmente al eje se reproducirá un círculo, pero que, en cambio, al acortarlo oblicuamente se obtendrán elipses más o menos perfectas. Las secciones de un cilindro circular son, pues, únicamente círculos o elipses (aunque, para ciertas posiciones extremas del plano de corte, puedan obtenerse incluso rectángulos, u otras figuras, dependientes de las superficies terminales del modelo cilíndrico). Es importante además tener presente que la elipse y el círculo son secciones producidas en el cono cuando el plano secante corta todas las generatrices. Es decir, que cuando un plano corta todas las rectas imaginables que, partiendo del vértice de un cono, están trazadas sobre la superficie pe-

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riférica de éste (superficie cónica), la sección obtenida será un círculo o una elipse. Hagamos ahora, siquiera sea mentalmente, un nuevo experimento a base de las chinches de que nos hemos servido hace poco y que habíamos fijado a una distancia mutua de 2 a 3 cm. Procedamos a arrancar una de ellas, por ejemplo la de la derecha, e imaginemos que se traslada más allá del infinito, o sea millones de veces más lejos que las mayores distancias conocidas, y que se clava en el tablero (que supondremos extendido asimismo hasta el infinito) sobre un punto de prolongación del eje horizontal de las x. Resultaría imposible prolongar suficientemente el hilo, pues no encontraríamos en todo el mundo las varas que de él necesitaríamos para alcanzar este segundo punto. Por fortuna no nos es menester lograrlo, ya que la paralela al eje de las x señalará perfectamente la dirección en que se encuentra esa segunda chinche que hemos imaginado alejada al infinito. Cabría preguntar qué se ha conseguido con el «destierro» de ese segundo punto, que tan importante era en el caso de la elipse. No será difícil darnos cuenta de lo que ocurre. Cuando en vez de una sola chinche en el centro del círculo teníamos dos clavadas en nuestro tablero, a una distancia mutua cómoda y dentro de lo finito, resultaba que al querer trazar el círculo alrededor, éste se alargó un poco y salió una elipse. Lo que entonces hicimos seguiremos haciéndolo igualmente ahora, pero estirando nuestro pobre círculo hasta hacerlo llegar a la Vía Láctea y a las inmensas lejanías intersiderales. Ante nosotros tendremos el extremo de una elipse cuya mayor parte se pierde en los espacios interplanetarios, una elipse cuyos dos ejes se han hecho infinitamente grandes. A primera vista la cosa presenta un cariz desconcertante, pues hemos entrado en los dominios de esa magnitud irrepresentable llamada infinito. Por atrayente que estimemos la prosecución de este problema, que nos permitiría dominar uno de los más grandes panoramas del vasto reino de las matemáticas, y especialmente de la geometría, habremos de conformarnos con exponer al lector, en breves palabras, sólo aquello que tiene mayor importancia. Esta elipse estirada hasta el infinito representa una curva bien determinada, y que, traduciendo en sentido figurado el nombre griego que lleva, deberíamos llamar «equiparación» (25). La explicación del modo como se 25

En la citada obra de BAMTZER, se dice: parábola (πααβολ), aequalitas)

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construye la curva, y la deducción de su fórmula, exigirían, más que nada, largas digresiones. Observemos solamente que esta curva, que llamaríamos «equiparidad», la conocemos ya, y por cierto en su forma más sencilla e importante: es la Parábola, cuya fórmula se expresa en la forma más sencilla como sigue: y x2. Y, exactamente lo mismo que la elipse, la parábola está también estrechamente emparentada con la circunferencia. Sin embargo, habrá de saltar a la vista una diferencia entre ambas curvas muy digna de ser tenida en cuenta: en la circunferencia, que es en suma un caso particular de la elipse, el famoso valor π representa un gran papel, cosa que en la parábola no ocurre. El área de ésta (que por ser infinita es sólo determinable para una porción dada a partir de su extremidad inicial) puede hallarse sin el auxilio de aquel número trascendente. Pero hay más: todas las parábolas tienen la misma forma. Su fórmula se expresa generalmente por y2 = 2px. De la que se deduce que, análogamente al caso de la circunferencia, en la parábola hay también una sola magnitud de elección discrecional, que es P y se llama parámetro de esta curva. Según eso, todas las curvas que tracemos traduciendo la ecuación de la parábola serán semejantes entre sí, y por lo tanto no se conoce más que una sola parábola (26). Haremos todavía una ligera consideración acerca de la parábola en su calidad de sección del cono. La parábola se obtiene siempre que se corte el cono de tal modo que el plano de la sección sea paralelo a una generatriz de la superficie cónica. Esta generatriz es además la única recta de la superficie cónica que no puede en ningún caso cortar al plano de la parábola, por más que se prolongaran el cono y el plano de la sección (o plano secante) hasta el infinito. Avancemos todavía un paso más. Si dirigiésemos el corte de tal modo que el plano secante fuese paralelo al eje del cono, tendríamos una sección limitada por una curva de pendiente todavía más pronunciada y 26 Según hemos podido ver en un capítulo precedente, la curva de ecuación y = x2 se extendía, hacia arriba, en rápido ascenso. Para minorar esta rápida ascensión establecimos, entonces, la fórmula y = ½ x2. Con ello, la curva se hace más aplastada; y se haría aún más aplastada, si hacemos y = 0.01 x2. No hicimos más que ampliar una pequeña porción de ella. Es como si hubiéramos sacado, fotográficamente, una ampliación de una pequeña parte de la curva y = x2. Las relaciones son, en este caso, exactamente iguales que en la circunferencia. La a menudo mencionada »parábola cúbica», de ecuación: y = x3, a la que hicimos alusión como curva de tercer grado (llamada así porque en su ecuación la variable está elevada a la tercera potencia), tiene únicamente un parecido externo con la parábola auténtica (que en seguida definiremos como sección del cono), sin que haya entre ellas ningún parentesco intimo.

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más elegante que la parábola. Su nombre, traduciendo en sentido figurado el nombre griego «hipérbola» con que se la conoce, debería llamarse «exceso». Es una curva muy notable, hermana gemela de la elipse desde el punto de vista matemático. Se distingue únicamente de ésta por un signo «menos» (-) que figura delante de uno de los términos de la ecuación.

Pero este signo negativo actúa aquí precisamente como instrumento de la magia negra. Hemos dicho ya anteriormente que el que podríamos llamar eje menor de la parábola indefinidamente prolongada está en el infinito, y es infinitamente grande, razón por la cual deja de estar a nuestro alcance. Pero el eje menor de la hipérbola es aún mucho más inconcebible; pues, debido al fatal papel que desempeña el citado signo negativo (27), resulta esfumado por ambos extremos en los dominios espectrales de lo imaginario. Lo que todavía desorienta más en la hipérbola es el ser una curva que consta de dos ramas, debiéndose esto a que ha de considerarse otro cono obtenido por la prolongación de las generatrices del primero y que más allá del vértice de éste se extiende también hacia el infinito aunque en sentido contrario, con lo cual resulta que el plano secante corta simultáneamente los dos conos y produce como sección una rama de hipérbola en cada uno de ellos. Y para poner fin a esta marcha forzada a través de las secciones 27

La ecuación de la hipérbola (en su forma usual), se expresa así

x2 y 2 − =1 a 2 b2 Según se ve, a excepto el signo negativo es en todo igual a la ecuación de la elipse.

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cónicas terminaremos subrayando el hecho de que, si bien la hipérbola es sección simultánea de dos conos, existen dos rectas en la doble superficie cónica a las cuales dicha curva no consigue cortar jamás. Pero, con objeto de indemnizar al lector por nuestra apresurada exposición de uno de los capítulos más espléndidos, añadiremos algo todavía que habrá de servirle de receta para lograr con sencillos aparatos la representación de estas secciones cónicas, valiéndonos para ello de experimentos ópticos. Existen, y es corriente, lámparas de bolsillo cuyo foco, o por mejor decir el reflector, emite la luz proyectándola en forma de cono circular bastante preciso. Si se ilumina con una de estas lámparas la pared, o mejor una, hoja de papel blanco, se verán aparecer con toda claridad sobre la superficie iluminada: el círculo, la elipse, la parábola y la hipérbola, según sea la inclinación que demos a la lámpara con relación al papel (pantalla); es decir, según sea el ángulo con el cual la pantalla corta el cono de luz. Pero volvamos de nuevo a nuestro círculo. Podría escribirse una novela acerca de las penalidades que el espíritu investigador humano hubo de soportar hasta penetrar en el auténtico misterio del círculo, es decir, hasta descubrir el verdadero valor del número π. La cuestión está todavía hoy algo obscura. En la más antigua obra de matemáticas egipcia que ha logrado llegar hasta nosotros, el célebre «Papiros» de Rhind, del escriba Ahmés, se halla ya para π un valor sorprendentemente exacto; y es que los antiguos egipcios tomaron como valor numérico de dicho símbolo el quebrado 16/9 elevado al cuadrado, lo que equivalía a 256/81, que traducido a fracción decimal es: 3,1605. Más tarde esta adquisición debió de volver a perderse, pues está plenamente demostrado que los propios egipcios se conformaron para la construcción de sus grandes edificios circulares con la muy tosca aproximación de π = 3. Los clarividentes helenos fueron los primeros en calcularlo más fundamentalmente. Arquímedes llegó a los valores de aproximación: 310/71 y 3 1/7; pero el valor exacto de π les fue también negado a los griegos, por lo demás tambien dotados de conocimientos matemáticos. Como sabemos ya, hasta el siglo XVII no se hizo definitivamente luz en torno de esta cuestión tan intrincada (28). 28

Todavía no está hoy totalmente aclarada la cuestión de si el número de cinco decimales que PIAZZI SMITH identificó como corporizado en las medidas principales de la pirámide de Cheops (perímetro de la pirámide dividido por el doble de la altura = 3,14159...), es exactamente ajustado o no. En todo caso no dejará de ser un hecho notable aunque no único - el que un conocimiento perdido se haya recuperado 4000 años más tarde.

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En cambio, dando un genial rodeo, consiguieron los sagaces griegos la solución -siquiera sea parcial, pero perfectamente exacta- del problema tan calurosamente debatido referente al cálculo de las áreas de superficies circulares. Como toda buena novela que se precie de tal, la historia del número ir ofrece también sus sorpresas; y así se puede hablar aquí del llamado «biángulo circular». Con rectas (y en lo que a las superficies planas se refiere) no hay posibilidad alguna de limitar un biángulo; se necesitan, por lo menos, tres lados y tres ángulos para obtener una superficie enteramente limitada. Pero ello es posible con arcos de círculo. Partiendo de este conocimiento pudo hallar Hipócrates (29), ya en el siglo V antes de J. C., las famosas «lúnulas» que llevan su nombre.

Surgen éstas en un triángulo rectángulo cuando tomando la hipotenusa por diámetro se traza un semicírculo que resulta pasar por los tres vértices y 29

El pitagórico Hipócrates de Quío, contemporáneo de Pericles.

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se trazan luego otros dos semicírculos tomando respectivamente los catetos por diámetro. La suma de las áreas de las lúnulas así formadas es igual al área del triángulo. En todo cuadrado sobre el que se opere de análogo modo, ocurre naturalmente el mismo fenómeno: también en este caso la suma de las áreas de las lúnulas es igual al área del cuadrado. La demostración resulta del teorema de Pitágoras, así como también del hecho de que las áreas de dos círculos son proporcionales a los cuadrados de sus diámetros. En su conjunto la cuestión resulta, a pesar de su sencillez, enredada en cierto modo, pero con ayuda de las referidas lúnulas hace casi dos milenios y medio que nos hallamos en disposición de construir, mediante una regla y un compás, cuadrados o rectángulos ele un área exactamente igual a la de figuras limitadas por arcos de circunferencia. Lo que, en cambio, sabemos muy bien es que la cuadratura absoluta del círculo, es decir, la construcción de un cuadrado o de un rectángulo cuya área sea igual a la de un círculo dado, es imposible de lograr mediante la regla y el compás. Lo impide la trascendencia del número it. Los griegos se han ocupado también, naturalmente, mucho, con figuras, compuestas de arcos de círculo. Dos de tales figuras, que, al parecer, fueron halladas por Arquímedes, el más eminente matemático de la antigua Grecia, las vemos aquí reproducidas. Se trata de las figuras llamadas «cuchilla de zapatero« (arbelos) y «salero» (salmon). Ya se sabía por entonces que el cálculo del área de tales figuras limitadas por curvas no podía ser cosa en extremo difícil en cuanto se alcanzase el secreto del cálculo del área del círculo. Para dar remate a nuestras vacaciones haremos conocer al lector un hecho que a primera vista podría ofrecer todas las trazas de un trabalenguas matemático, si no fuese porque el resultado, sorprendentemente absurdo en apariencia, está confirmado con el mayor rigor científico. Esto prueba la necesidad de andar con muchísima cautela cada vez que se proceda a establecer una definición o a «fijar un concepto», si el mismo definidor no quiere quebrarse después la cabeza con su propia definición. En el círculo se encierra ciertamente una alevosa trampa, y lo más pasmoso de ello es que hasta hace apenas medio siglo nada se sabía al respecto. El buen Euclides, «padre de la Geometría», del cual hemos de volver a tratar todavía, fue un definidor sumamente precavido y extraordinariamente hábil. Aproximadamente 30o años antes de J. C. definió el círculo como una figura plana, limitada por una línea de las características siguientes: «Todas las rectas trazadas desde un punto dado en el interior de la figura

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hasta los puntos de la línea son iguales.» Aquí se ve claramente dónde se apoyaba el griego: en la igualdad de los radios. El compás no hace más que mantener constante el radio de la circunferencia, y aun cuando empleamos el compás de cordel, seguimos fiando en la igualdad de los radios. Pero de la igualdad de los radios se sigue irrebatiblemente la igualdad de todos los diámetros del círculo. Y no parece tampoco que pueda haber reparo en definir la circunferencia como «una figura» plana que se caracteriza por ser iguales los diámetros correspondientes a todos sus puntos. Si nos expresamos vulgarmente podremos decir que el círculo ofrece un «grueso» (calibre) uniforme en todas direcciones, que es de un mismo «ancho» por todas partes. Veámoslo prácticamente pasando a lo corpóreo y comparando cilindros circulares y prismas de base poligonal. Así, por ejemplo, coloquemos debajo de un libro dos lápices cilíndricos, sobre los cuales el libro resbalará sin resistencia alguna, igual que si tuviese ruedas. Si, en lugar de aquéllos, se toman lápices de sección octagonal, el libro ya no corre tan fácilmente; se encuentran resistencias, y si se observa bien se verá que se eleva y desciende y su marcha pierde estabilidad. ¿Por que? Por la sencilla razón de que el octágono no ofrece un «grueso uniforme»; su diámetro medio de vértice a vértice es mayor que el medio de lado a lado, y así el referido libro ha de mecerse y bambolearse como un vehículo que en vez de ruedas circulares las llevase elípticas o poligonales. Pero todavía resulta más difícil el experimento si se toman lápices de sección hexagonal o si se emplean listones de sección triangular, en cuyo caso el libro ya no se dejará transportar de un lado a otro, a no ser resbalando. Y es ahora cuando aparece la extraña y maravillosa sorpresa. Hasta el año 1875 -es decir, más de 2000 años después de la primera definición correcta de la circunferencia, dada por Euclides - la circunferencia era tenida, incluso en un círculo cuyo perímetro dividimos en seis partes iguales, valiéndonos para ello del conocido procedimiento de tomar el radio como cuerda. De estos seis puntos tomaremos uno sí y otro no, y obtendremos así los tres vértices de un triángulo equilátero. A continuación clavaremos la punta del compás en uno de los tres puntos marcados y haremos que la punta el dominio de las más rigurosas matemáticas, como la única figura que en todos sus puntos posee realmente un mismo diámetro. Durante todo este largo período de tiempo fue tenida por completamente justa la definición que decía: «el círculo es una figura plana que ofrece el mismo grueso en todos sentidos». La verdad es que no se conocía ninguna otra figura que pudiese llenar también ese requisito.

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Pero en el expresado año de 1875, el matemático Reuleaux halló que existen también otras figuras que ofrecen ciertamente una misma amplitud en todos sus puntos, a pesar de no ser circunferencias en el sentido antiguo tradicional, sino figuras que poseen diámetros iguales, pero radios desiguales, con lo cual quedaba demostrada la inexactitud de la definición del círculo basada en la identidad de los diámetros.

Las más sencillas de estas figuras de Reuleaux que ofrecen diámetros iguales pueden considerarse como derivadas de un triángulo equilátero. Al efecto, empezaremos por tomar del lápiz del compás alcance el vértice inmediato; trazaremos un arco de circunferencia (que pasará por los otros dos vértices) y repetiremos la misma operación en cada uno de los vértices restantes. De este modo aparecerá un triángulo limitado por tres arcos de circunferencia. Como se deduce de un ligero examen, esta figura posee realmente diámetros iguales para todos sus puntos. En efecto: si recorremos su contorno veremos que desde cada uno de los arcos que hacen de lado hasta el vértice opuesto mediremos siempre un mismo diámetro, y que una vez llegados al vértice hallamos igualmente que desde éste hasta cada punto del arco opuesto persiste la misma distancia. De manera parecida podremos inscribir cualquier polígono regular, de número impar de lados (pentágono, eptágono, etc.), en una figura de Reuleaux de amplitud uniforme para todos sus puntos.

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Si construimos un cilindro cuya sección transversal tenga la forma de una de estas figuras de Reuleaux, y lo hacemos servir a modo de rodillo, podrán transportarse sobre él, sin altibajos y al igual que sobre un rodillo cilíndrico de sección circular, libros, tablas u otras cargas cualesquiera. Existen, pues, para sorpresa nuestra y asombro de la rigurosa ciencia matemática, «círculos» que presentan tres, cinco, siete y más ángulos. Un descubrimiento maravilloso que provoca el asombro aun en el reino de las sobrias matemáticas. Como parece natural, las figuras de Reuleaux se prestan solamente a la construcción de rodillos, pero jamás a la construcción de ruedas; pues en la rueda el postulado capital reside en la igualdad de los radios. Esto no se cumple, como es natural, en las figuras mencionadas, puesto que en ellas no hay ni puede haber punto alguno que equidiste de todos los puntos de la periferia.

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Acabamos de ver, en el desarrollo del curioso ejemplo del círculo, todo el poder de una definición. Valiéndonos, pues, de una «definición» vamos a atrevernos con el monstruo infinito. La dificultad en expresar este concepto con palabras está en el hecho de que podamos «romper el fuego» con varias definiciones a la vez. Los filósofos dicen, por ejemplo: «Infinito es aquello de lo que no es posible imaginar el fin, aquello a lo que no se conocen límites.» Los matemáticos se expresan diciendo: «Un número o una cantidad son infinitos cuando son mayores que toda cantidad dada, por grande que ésta sea.» Podríamos aducir todavía multitud de definiciones, más o menos ingeniosas y acertadas; pues alguien dijo, irónicamente: «Donde faltan los conceptos, acuden oportunamente las palabras.» Pero sepamos lo que hemos conseguido con la definición. La consecuencia inmediata deducida del sentido puramente matemático de la afirmación de existencia de una cantidad infinita, será la de que las cuatro operaciones de cálculo elemental -adición, substracción, multiplicación y división- escapan a dicha cantidad. Lo infinito no aumenta al sumarle una cantidad por grande que ésta sea, ni disminuye aunque se le substraiga un número finito monstruoso que sume una cantidad gigantesca de quintillones. Tampoco la multiplicación puede hacer a lo infinito mayor de lo

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que es, y sería también igualmente absurda toda idea de división de la cantidad infinita. Es evidente que tales consideraciones vienen a echar por tierra todas nuestras concepciones y todas las leyes que rigen nuestra manera de pensar. Pondremos un ejemplo que, pese a su entera absurdidad aparente, es absolutamente exacto. Nos referimos a la infinidad del tiempo, a la eternidad. Si a partir del instante actual, es decir, del presente, sigo contando toda una eternidad, llegaré con los números tan lejos como si hubiese empezado a contar desde el más remoto pasado, desde una eternidad pretérita. Desde la obscura Antigüedad, en que los hindúes encontraron el concepto de infinitud, la idea de infinito ha gravitado sobre el pensamiento humano como una losa. Y al igual que el rodillo de una apisonadora no deja casi rastro de la cáscara de nuez que por casualidad encuentra en su camino, cualquier esfuerzo mental en marcha para abarcar lo eterno o lo infinito destruye todo nuestro bagaje intelectual, reduciéndolo a la nada. No es, pues, de extrañar que entre los grandes hombres que honramos como a preclaros maestros de la humanidad haya habido muchos que elevaron su voz poderosa para prevenirnos contra la admisión de lo infinito. Aristóteles nos enseñó ya que es imposible la existencia de un infinito absoluto. Descartes rehusaba ocuparse en el infinito; y en 1831, G. F. Gauss, príncipe de los matemáticos, se oponía al uso de toda cantidad infinita en sentido definidor, como algo que en matemáticas no debiera permitirse jamás; pero, no obstante, la humanidad hubo de encararse con ese infinito desconcertante, monstruoso e irrepresentable. Mejor dicho: se logró atrapar al inmenso coloso, a ese infinito, en apariencia incoercible, mediante la llamada teoría de los conjuntos, que señaló nuevos rumbos a las matemáticas en orden al estudio del infinito. Hizo su aparición en el último tercio del pasado siglo, y su cerebro más genial fue G. Cantor. Como en tantas otras concepciones geniales, la primera idea, la idea más fundamental de esta teoría de los conjuntos, parte de un hecho sumamente sencillo; y por tal motivo esta arma, la más importante para la exploración del infinito, puede, no sin razón, ser considerada como un retroceso a los más primitivos artificios del cálculo, tales como el procedimiento de contar con los dedos, tan practicado aún entre los niños y en el seno de los pueblos salvajes. En primer término precisó montar un puente imaginario que condujera al reino tenebroso de lo infinito; es decir, fue menester hallar una operación de cálculo que sirviese de ariete para atacar al monstruo que lleva ese nombre, pues, como ya sabemos, lo infinito no se

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altera, ni aumenta ni disminuye mediante la adición o la substracción de números finitos, por grandes que éstos sean. Y ocurre exactamente igual al aplicarle la elevación a potencias, extracción de raíces, cálculos logarítmicos, diferenciaciones, etc., operaciones con las que sólo se logra poner de manifiesto su propia impotencia cada vez que tratan de habérselas con él. Después de todo lo dicho, cuando descubramos la ingenua operación que va a permitirnos luchar con el infinito, nos parecerá cosa de broma. Consiste sencillamente en la llamada operación de «coordinar». Supongamos, por ejemplo, que en un lugar cualquiera de una selva africana está sentado un honrado hotentote, perito en el arte de dar caza al fiero león y al terrible rinoceronte, pero completamente «en blanco» por lo que se refiere al cálculo mental, ya que nuestro negro gentleman no sabe ni siquiera contar. Pero ha conseguido juntar un montón de cocos y un pequeño montoncito de dátiles y quisiera saber en cuál de los montones hay más piezas. Para su capacidad, es ésta una tarea al parecer insoluble. Y es entonces cuando viene en su auxilio la «coordinación». Sobre cada coco coloca un dátil, y al terminar ve, de modo inconfundible, si tiene más dátiles, más cocos o igual número de unos que de otros. He aquí otro ejemplo un poco más preciso: Para esta noche tenemos 10 convidados a cenar, y contándonos usted y yo, los dos anfitriones, seremos en total 12 personas. En este caso será nuestra ama de llaves la que habrá de «coordinar». Cada persona requiere una silla, un plato sopero y otro llano, un tenedor, un vaso, etc.

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Y ahora toda la matemática que el caso requiere consiste en lograr que el número de sillas, tenedores, cuchillos, vasos, etc., esté, como dice la expresión matemática, «unívocamente coordinado» (30) al número de las personas invitadas a cenar. Todos estos «conjuntos» de cuchillos, sillas, vasos, etc., han de ser en «número igual» puesto que para 12 personas se necesitan: 12 sillas, 12 Cuchillos, 12 tenedores, 12 vasos, etc.

30

Unívocamente o reversiblemente inequívocamente, es decir, por ejemplo, a los doce vasos pueden serles coordinadas, también, unívocamente doce personas

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Con esto tenemos la siguiente definición: Se dirá que dos conjuntos tienen «igual número» siempre que entre sus elementos sea posible establecer una coordinación unívoca. La característica que toda cantidad ofrece de común con todas las demás cantidades de «igual número», y por la que se distingue de cualquiera otra cantidad que no sea de «igual número», se denomina «número» de esta cantidad con una alineación numérica Es claro que todo esto son «perogrulladas», pero es preciso tenerlas bien presentes, pues es de aquí de donde surge la «idea rectora», la conclusión trascendental de nuestra coordinatoria No habiéndose dicho en parte alguna, ni pudiendo afirmar nadie que la coordinación sea exclusivamente aplicable a lo finito, es deducible que debe ser también aplicable a cantidades infinitamente grandes. Y con ello tenemos en la mano el instrumento ideal que va a permitirnos adueñarnos de ese inabordable monstruo de lo infinito. ¡Ya esta tendido el puente! Mas, antes de hacer uso de este instrumento que acabamos de forjar, será necesario que dejemos sentados dos puntos básicos relativos a la nomenclatura. En rigor, hablar de un número infinitamente grande carece de sentido; pues la propia naturaleza de lo infinito lleva ya consigo el ser mayor que cualquier otro número, por grande que éste sea. Será más justo, pues, hablar de «cantidades infinitas». En segundo lugar, las denominaciones de «grande» o «mayor» resultan realmente gastadas cuando se refieren al infinito, puesto que éste ha sido aceptado ya desde un principio como infinitamente grande. Así, en vez de grande, digamos simplemente «extenso», en lugar de mayor dígase «más extenso», y en lugar de menor «menos extenso». ¡Esto, bien entendido cuando nos refiramos a cantidades infinitamente grandes ! Ahora sabemos ya lo suficiente y podemos lanzarnos a probar la mágica virtud de nuestro cascanueces. La primera cuestión que se nos plantea corresponde tal vez a la pregunta siguiente: ¿Pero es que hay, acaso, cantidades infinitas? Seguramente no necesitaremos buscar demasiado, pues hay, como es notorio, infinitos números naturales distintos (31). Así, pues, la cantidad o, mejor dicho, el conjunto de todos esos números naturales nos ofrece un número infinito de «elementos» y constituye, por tanto, una cantidad infinita. Los conjuntos que tengan «igual número» que este conjunto de los números naturales, y cuyos elementos pueden ser unívocamente 31

Se entiende por números naturales, los números enteros positivos, como los: 1, 2, 3, 4, 5, etc.

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coordinados con los referidos números, reciben el nombre de «conjuntos infinitos numerables». Al decir que un conjunto tiene por número el diez, por ejemplo, se quiere significar que sus elementos pueden ser coordinados con los diez primeros números (el número de los dedos de las manos es, por lo tanto, un conjunto de esta clase) y que, en consecuencia, podrá ser numerado por los primeros diez números naturales; por esto se dice que es numerable. El carácter definitivo es y será siempre el de numerabilidad, o si se prefiere, la «posibilidad de numeración». Ahora haremos lo dicho hasta aquí extensivo a los conjuntos infinitos. Según lo expuesto, un conjunto infinito numerable será aquel cuyos elementos pueden ser coordinados unívocamente con la totalidad de los números naturales, es decir, aquel cuyos elementos pueden ser, uno por uno, «numerados» con el conjunto de los números naturales. Mas, según nuestra definición, todos los conjuntos infinitos numerables han de ser de número igual (constarán del mismo «número de piezas», como diríamos vulgarmente). Este número ha de llevar un nombre, y se ha elegido, a este fin, el de «alfa cero», del mismo modo que el número coordinable con los dedos de nuestra mano izquierda lleva el nombre de «cinco», desde tiempo inmemorial. En adelante escribiremos, en lugar de «alfa cero», a. Esta a es, por consiguiente, el primer ejemplo de la extensión de un número infinito (o también, como se dice en el lenguaje científico: de un «número cardinal transfinito») que tenemos ocasión de conocer. Repetiremos que al decir: «un conjunto tiene el número cinco» se da a entender que los elementos de esta cantidad pueden ser coordinados unívocamente con los dedos de la mano derecha (o de la mano izquierda), o con los guarismos 1, 2, 3, 4, 5. Por lo tanto, al decir que «un conjunto tiene el número a.» se entiende que los elementos de dicho conjunto pueden ser unívocamente coordinados con todos los -números naturales, Q que pueden ser «numerados» con éstos. Consideremos ahora otros ejemplos de conjuntos infinitos numerables y veremos en seguida cómo damos con hechos en gran manera sorprendentes, que se hallan en contraposición con nuestros conceptos generalmente admitidos. Es innegable que el conjunto de los números pares es infinito numerable. Pero de aquí se deduce, sin ninguna duda posible, que de números pares hay la misma cantidad que de números naturales en general, aunque uno se siente inclinado a aceptar que ha de haber menos números pares que números enteros en general. Resulta, pues, para sorpresa nuestra, que: ¡no es cierto que haya más números naturales que números pares!Lo mismo

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exactamente podríamos decir respecto de los números impares, cuyo conjunto es también infinito numerable. ¡Existen, pues, tantos números pares como impares, y como números naturales en general!Hay algo más sorprendente todavía, pues el conjunto de parejas de números naturales es también un infinito numerable y su cantidad ha de ser, por lo tanto, igual a a. No resulta en esencia mucho más intrincada la demostración de que el conjunto de todos los números racionales, incluyendo los quebrados comunes, es un infinito numerable y es, por esta razón, de número igual al del conjunto de todos los números naturales. Ya en el último tercio del siglo xix se pudo demostrar que .el conjunto de todos los números algebraicos (que comprende todos los números posibles, con excepción de los trascendentes), es también infinito numerable e igual, por consiguiente, a a. Nos hallamos, pues, en resumen, con la siguiente serie de hechos portentosos: los coniuntos de

A la vista de semejantes resultados, a todas luces desvariados, el lector dudará tal vez de nuestro sano juicio. Se imaginará seguramente que, en el intento de enfrentarnos con el misterioso y obsesionador infinito, hemos sido víctimas de una completa confusión mental. Pero ¡no hay que perder la calma!, porque la cosa no está tan mal parada. Si de buenas a primeras hemos emprendido una marcha en busca de lo ignoto y aun de lo no imaginable, no debe sorprendernos el oir cosas inesperadas e inauditas; pues si, por ejemplo, es claro como la luz del Sol que el hecho del reciente descubrimiento de un animal desconocido hasta el presente, no ha de dar pie a otra pretensión que la de clasificarlo en una nueva especie, si es que realmente ofrece caracteres esencialmente distintos de los de todos los demás animales conocidos con anterioridad, es claro también que las cantidades infinitamente grandes han de distinguirse de modo fundamentalísimo de las cantidades finitas, y que, como es de esperar, ocurra que en el inmenso terreno de lo infinito rijan leyes muy distintas de las que tienen validez en los dominios limitados de lo finito. Aparte esto, las rarezas que hemos hallado aquí en orden al primer conjunto infinito a, en ningún modo contradicen las propiedades que desde un principio habíamos

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descubierto ya respecto a las magnitudes infinitas. Pero hay más, y es que la posible suposición de que todos los conjuntos infinitamente grandes sean iguales entre sí, o sea iguales a a, carece de todo fundamento. Vamos a verlo inmediatamente. En el año 18744 se halló la prueba de que hay conjuntos infinitos que no son numerables. Ha de haber, pues, muchos (en realidad infinitos) conjuntos infinitos. Pudo demostrarse, ante todo, que el conjunto total de los números llamados «reales» (que son todos los números con excepción de los complejos, o sea los relacionados con i) no es infinito numerable. La demostración de este aserto es sencillísima e ilustrativa. Basta, en efecto, demostrar que el conjunto de los números reales que caben entre cero y uno no es infinito numerable, es decir, que es tan numeroso que siempre me permitirá intercalar otro número, por muy tupida que me imagine su colocación previa. Para ello partimos del hecho de que las «divisiones» más finísimas de la alineación numérica (que conocemos ya por la escala del termómetro) representan aquellas fracciones decimales no periódicas extensibles hasta el infinito (32). Si, según esto, logro demostrar (y resumiré aquí las premisas de la demostración) que en un conjunto dado de fracciones decimales indefinidas no periódicas podré siempre interpolar una más, deduciré de tal demostración que es imposible echar ninguna cuenta, ni aun teóricamente, por la sencilla razón de que siempre, en todo momento, podría añadir algo, en cierto modo «olvidado». Expresándolo en otra forma diré: si yo he enumerado los enteros desde cero hasta zoo, habré terminado definitivamente de contar este centenar, pues me será ya por completo imposible intercalar -si no quiero salirme de los números enteros otro número en ninguna parte. Al 38 le sigue el 39, al 82 el 83, etc. Pero la cosa varía considerablemente cuando se trata de fracciones decimales indefinidas no periódicas. Por muchas que pongamos (situadas, por ejemplo, entre o y i), siempre encontraré algún «nuevo» decimal de este tipo para añadir. Es claro que la demostración será factible únicamente dentro de lo finito, ya que no es posible escribir fracciones decimales de extensión indefinida. Supongámonos ante las siguientes fracciones decimales indefinidas no periódicas

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Recuérdese que todas las fracciones decimales, periódicas, extensibles hasta el infinito, son, como ya sabemos, quebrados comunes, es decir, que pueden convertirse directamente en tales. ¡Esto no esf posible con las no periódicas !

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Siguiendo un método sistemático se puede indicar al momento un número cualquiera que no sea igual a uno de éstos. He aquí, a tal efecto, la «receta»: elíjase el primer decimal del nuevo número, diferente del primer decimal de la primera fracción; a continuación se pasa al segundo decimal del nuevo número, poniéndolo diferente del segundo decimal de la segunda fracción; seguidamente se va al tercer decimal del nuevo número, escribiéndolo diferente del tercer decimal de la tercera fracción, y así sucesivamente. Ahora se puede comprender con claridad que de este modo habrá de hallarse un nuevo número real, comprendido entreo y i, distinto de cada uno de los anteriormente anotados. Repitamos: con las cifras así elegidas -obtenidas de las diagonales del esquema numérico -, hemos formado, en primer lugar, un número decimal infinito 0,10358... Todas las cifras de este número decimal las sustituimos después por otras. Cómo, es completamente indiferente. Tomemos, por ejemplo, el nuevo número decimal 0,21469..., en el que hemos aumentado cada cifra del número anterior en i; este número decimal no estaba presente, con seguridad, en nuestro esquema. En todos los casos se distingue del primer número de nuestro esquema en los primeros decimales, y del segundo número, con seguridad, en los segundos decimales, y así sucesivamente. ¡Con lo cual queda demostrado que el conjunto de los números reales no puede ser de igual número que el conjunto de los números naturales!Esta nueva «especie» de infinidad se denomina (valga la expresión) densidad de la continuidad, y viene designada por medio de la letra e. De esas consideraciones se desprende un resultado de gran sorpresa. En efecto: como hemos averiguado anteriormente, el conjunto formado por los números enteros, los quebrados comunes y todas las fracciones decimales periódicas de infinitas cifras (no confundir con los quebrados infinitos no periódicos) es un infinito numerable; pero, por otra parte, de lo dicho últimamente se deduce la imposibilidad de que el conjunto de los números reales sea un conjunto infinito numerable. Por esto ha de existir otra especie particular de números entre los números reales, los llamados «números trascendentes»,

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muy buscados antaño por los matemáticos, de los cuales hoy sabemos que existen en cantidad infinita. Intentaremos aclarar ahora nuestro nuevo descubrimiento, con auxilio de una imagen tangible. La «densidad» de un conjunto infinito numerable, como es el a, resulta comparable a una escalera: en cada uno de los peldaños de la misma, todos de igual altura, hay un número entero. En un lugar dado ha de señalarse el peldaño número 2144, el siguiente vendrá señalado con el número 2145, al cual sigue el de número 2146, y así sucesivamente hasta llegar a lo infinito. Nuestra escalera con sus peldaños netamente distinguibles -podemos suponer sin inconveniente que tienen 1 cm. de separación- conduce a alturas infinitas, a alturas infinitamente más lejanas que las de los más distantes astros. Se comprende fácilmente que así sea, porque, estando formada por un número infinito de escalones, todos ellos de altura apreciable, la longitud de la escalera ha de resultar infinita. En cambio, debe existir otra escalera que representa nuestro infinito no numerable, y en ella los escalones estarán separados por una altura infinitamente pequeña, debido a que la distancia entre un número trascendente y el de igual naturaleza que le sigue es de una pequeñez infinita. De lo cual se deduce que, si bien el número de escalones que contiene es infinito, esta escalera puede ser tan corta como se desee. Ya a esta segunda especie de infinito, que representa la «densidad de la continuidad» o, dicho de otro modo, la «densidad con que se sucede la serie ininterrumpida del total de los números reales», podemos hacerle corresponder, por ejemplo, con los puntos de una recta. Nos acechan ahora dos nuevas sorpresas, que como mazas vienen a dar de lleno en el aparador de nuestro sistema de conceptos matemáticos, haciendo saltar todas las imágenes y representaciones que se habían incorporado «en carne y hueso» a nuestra mente. Así se da, por ejemplo, el absurdo siguiente: una raya de lápiz cualquiera, aun suponiendo que su longitud no exceda de un par de milímetros, contiene tantos puntos como corresponden al infinito conjunto de la continuidad. ¡Tenemos, pues, que toda una infinidad real cabe de sobra en el bolsillo de nuestro chaleco ! Pero aún hay más: esa infinidad de la continuidad es todavía mucho «mayor» que la de a, que es la expresión de la especie más pequeña de conjuntos infinitamente grandes. Y esto nos conduce a la más extravagante de las insensateces, a saber: ni en toda la extensión de una hoja de papel y ni siquiera en todo el orbe entero, está contenido mayor número de puntos que el de los que pueden alojarse en una raya de lápiz de unos dos milímetros

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de longitud. Ignoramos cuánto mayor o «más poblado» es el infinito de la continuidad con respecto al a. En torno a esta cuestión se halla planteado el famoso problema de la continuidad, que absorbe los esfuerzos de los mejores matemáticos. Todo eso, diríase, tiene algo de locura; y esta impresión se acentuará, todavía más, cuando sepamos que existe un número infinito de números cardinales transfinitos, pero de los cuales sólo se conocen tres: a, e y f. El número cardinal f -al que no hemos considerado todavía - indica el número del conjunto de funciones posibles, o, mejor dicho el número total de posibilidades de que un número dado 'de magnitudes puedan coexistir en mutua dependencia. Para mejor comprensión de lo dicho, haremos memoria de lo anteriormente expuesto: hemos hallado «cantidades» de diferente especie que las conocidas en el mundo finito, hemos penetrado en otro dominio de las matemáticas que carece ya de toda conexión con lo finito. Se pueden admitir infinitos de la extensión que se quiera o, por decirlo así, inventar, sin tasa, potencias de lo infinito cada vez más elevadas. Lo que, empero, no nos es posible, al menos con los números que nos hemos creado en lo finito y para lo finito, es hacer deslindes ni siquiera aproximadamente. Todas las cantidades infinitamente grandes son, por decirlo así, tan gigantescas que sus límites quedan borrados en una inundación de toda clase de números y conceptos numéricos finitos. Son como el océano que no se deja limitar por un surco abierto con la contera del bastón en la arena de la playa. Conocemos la más pequeña de las cantidades infinitamente grandes, la a. Podría ahora esperarse que de esto fuese posible obtener el mayor de los números finitos. Pero esto no es posible; y no lo decimos precisamente a causa de que hayamos llegado a formarnos un concepto de la cantidad a, sino por motivo de la consabida definición de lo infinito, puesto que: «un número es infinito cuando es mayor que todo número dado por grande que éste sea». ¿Qué hacer, pues, para no incurrir en contradicción con lo que nos ha servido de punto de partida? (33).

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La ecuación que parecería aquí más indicada: a - r = máximo número infinito, es un disparate, por razón de que es contradictoria con respecto a la definición del número infinito. Podemos restar del infinito tanto como queramos sin que sufra reducción.

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Es difícil de enunciar aquí todo lo que ha podido establecerse acerca de los conjuntos infinitos; en su complejidad, la teoría de los conjuntos está aún actualmente en pleno período de desarrollo, y para el cálculo de cantidades infinitas sólo pueden ser admitidas como seguras algunas sencillas reglas aisladas. El programa de antemano trazado para nuestro paseo no nos permite seguir avanzando por aquellos extraños dominios limítrofes del saber humano. El lector que nos ha seguido fielmente por tan intrincados vericuetos preguntará: «¿Es que hay, en realidad, algo infinito?» La interrogación es del todo oportuna, mas no podemos contestarla sin salirnos de los conocimientos que nos ha sido posible establecer hasta aquí. Nos daremos por satisfechos afirmando simplemente que -por lo que nos es dado juzgar- no existen en realidad sino dos posibilidades de infinito, a saber: la infinidad del espacio y la del tiempo. Pero en estos problemas desempeñan un papel decisivo consideraciones de naturaleza_ muy distinta, y habremos de volver más adelante sobre este tema. De momento no podemos sino afirmar con satisfacción que, gracias a la coordinatoria hotentote, hemos librado una batalla victoriosa contra el monstruo de lo infinito, que en un principio parecía inatacable, y hasta hemos conseguido recoger algún botín. El hecho de que no hayamos podido apoderarnos de todo era de prever, como es natural, desde un principio. Un famoso astrofísico alemán que se ha dedicado durante muchos años al estudio de este problema del infinito, dijo en una ocasión, con ironía «La idea que podemos hacernos del infinito es tan incompleta como la que un ciego pudiera hacerse acerca de la inmensidad, de la amplitud imponente y de la grandiosidad del océano por la sola impresión de tomar en la mano un trapo mojado.» Sea como fuere, hemos logrado salir ventajosamente de este ataque. Pero al proseguir nuestro avance vamos a aproximarnos a nuevos monstruos matematicogeométricos, pasando por enrevesados caminos que, a pesar de los obstáculos en ellos acumulados, nos llevarán a la contemplación de curiosas maravillas de la vida cotidiana. También en este nuevo capítulo, la entrada en materia será por vía nada sospechosa y de modo aparentemente inofensivo...

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LA ESFERA AUTENTICA Y LA FALSA, O SEUDOESFERA Aun aquellos que están acostumbrados a mirar en lo profundo de las cosas, suelen prestar poca atención a la sorprendente complicación de que dan muestra a menudo las causas e interconexiones de los más sencillos fenómenos y en la íntima amalgama que forman los hechos más profundamente significativos con las cuestiones más baladíes y palpables. He aquí, extendido sobre nuestra mesa, un papel blanco; tomemos una regla y tracemos dos rectas a cierta distancia de sus bordes superior e inferior, y de modo que estas dos rectas estén entre sí en una posición determinada, tal que la distancia que las separa sea la misma en todos sus puntos; es decir, que sean dos rectas paralelas. Por puro pasatiempo tracemos un haz de rectas que, partiendo todas de un mismo punto, vayan a cortar nuestro par de paralelas. El resultado es' asombroso: nadie creería ahora que las dos rectas primitivas siguen siendo paralelas, es decir, que su distancia mutua sigue siendo la misma en todos sus puntos.

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Más bien parece como si se hubiesen curvado. Sin embargo, no hemos hecho más que provocar una ilusión óptica. Pero más gracioso todavía resulta nuestro sencillo ensayo si nos preguntamos de qué modo podremos descubrir en realidad el paralelismo entre dos rectas. La respuesta no se hará esperar: únicamente realizando mediciones -nos contestaremos-; tan sólo podremos reconocer su paralelismo mediante la aplicación repetida de una escala para comprobar si guardan la misma distancia en todos sus puntos. De momento, esto nos parece simplemente interesante. Pero el problema es realmente mucho más complicado. Nuestros ojos presentan tal defecto morfológico, que no podemos apreciar en rigor si una línea o un objeto es rectilíneo o curvilíneo; y éste es un descubrimiento que no dejará de desconcertarnos. Para ponerlo de manifiesto es preciso que salgamos a la calle o nos traslademos al campo. En el primer breve paseo que emprendamos «poniendo los ojos en las cosas», descubriremos ya hechos muy notables. Al ir andando pasamos, por ejemplo, por delante de un enorme cuartel completamente desprovisto de adornos. Si nos situamos a 15 o 10 m. de la fachada del edificio y dirigimos la mirada a la cornisa del tejado y a las líneas de los antepechos de las ventanas de los dos pisos, veremos que las tres líneas corren marcando con sensible exactitud tres rectas horizontales paralelas. Y si el edificio descansa sobre un terreno horizontal, los puntos de cada una de estas tres, líneas están todos a una misma altura por encima del pavimento de la calle. Que las tres son indudablemente rectas es cosa que no necesita demostración, pues en este tipo de construcciones impera la línea recta por lo regular. Pero algo muy distinto nos dicen nuestros ojos. La parte de edificio que tenemos más próxima parece ser más alta que el resto, a causa, sencillamente, de que la vemos de cerca; a derecha e izquierda y a medida que la distancia es mayor, los muros, ventanas, tejados, etc., nos parecen cada vez más bajos y pequeños, hasta que llega un momento en que, como los dos raíles de un ferrocarril, parecen converger en un punto. Mas la mayor altura aparente de la porción de cornisa del tejado que tenemos delante, así como la aparente disminución de la altura del edificio a un lado y otro, demuestran lo siguiente: a la derecha e izquierda, las líneas se precipitan por efecto de la persectiva. como si descendiesen por ambos lados; en el centro tenemos, en cambio, ante nosotros el «punto culminante» .

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Esto es impropio de una recta, que no puede en ningún modo descender a derecha e izquierda para presentar una máxima elevación en la parte media. Esto es solamente posible en las líneas quebradas y curvas, pero lo cierto es que en el cuartel vemos el conjunto de rectas en forma curvada (y, por cierto. hiperbólica). Si miramos de lado una vía de ferrocarril nos ofrece análogo fenómeno. Ante nosotros, los ralles parecen separados por la distancia máxima, pero a derecha e izquierda corren a reunirse. De ahí puede deducirse la conclusión siguiente: en determinadas circunstancias nos es absolutamente imposible decir con seguridad si una línea es recta o si, por el contrario, es curva; y esto, sencillamente, porque son muchos los casos en que tomamos como curvas líneas que son rectas, y los en que, recíprocamente, vemos como rectas algunas líneas que son curvas. Por lo que se refiere a las paralelas es todavía peor, pues se puede decir que casi nunca las vemos como tales, sino como líneas concurrentes. Todas las cuestiones que se derivan de estos sencillos hechos han preocupado a la humanidad durante milenios antes de poder conseguir conocerlas con perfección. Y los pintores y dibujantes fueron, precisamente, los que en este orden de ideas se vieron en el más grave aprieto ante el difícil dilema siguiente: ¿Cómo deben ser representados los objetos, tal cual realmente son, o tal como los vemos? En un tiempo se aceptaron como solución sistemas y normas que al presente nos parecen extraños y aventurados. Así vemos que los escultores y pintores egipcios, al tratar de representar la figura humana, dibujaban la cabeza de perfil, pero en cambio los ojos los figuraban tal como aparecen al mirarlos de frente, o sea en forma de almendra. El busto, girado en ángulo recto, aparecía representado de frente, pero a su vez el vientre y las piernas se representaban de perfil. La figura, en conjunto, ofrece un aspecto extrañamente retorcido, y de ella surge un rostro que ni responde a la realidad ni es tal como lo vemos. Pero más delicado todavía resulta en el arte la representación de las paralelas en perspec-

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tiva. Mientras en la Antigüedad y en la Edad Media el arte de representar la figura humana llegó a gran altura, resultaba en cambio caótica la reproducción de edificaciones y líneas paralelas. El correcto dibujo de la perspectiva no aparece sino con los grandes artistas del Renacimiento. Fue nada menos que Alberto Durero quien, a su regreso de Italia, introdujo en el norte de Europa el arte del dibujo en perspectiva y, por tanto, la representación correcta de las líneas paralelas. Fácilmente podría parecernos ahora que el tan meditado y bien acreditado arte actual de dibujar o de pintar el mundo ha alcanzado impecable justedad. ¡Y sin embargo, tal creencia está muy lejos de la realidad!En este asunto se han pasado por alto muchas cosas que el razonamiento rigurosamente científico considera indispensables. Nos limitaremos a poner aquí de relieve un error que se comete con gran frecuencia y que está íntimamente relacionado con la cuestión que estamos tocando, por tratarse precisamente de líneas paralelas. Al imparcial ojo lenticular de la cámara fotográfica, que reproduce las imágenes conforme a las leyes matemáticas, debemos en rigor el descubrimiento de muchos de los defectos rayanos en lo absurdo de que adolecen nuestras normas de representación gráfica. Al representar líneas horizontales paralelas, tales como aleros de tejados y zócalos de edificios, calles o raíles, todos los artistas las dibujan con la debida convergencia, pues de no hacerlo así la percepción del observador sufriría lamentables perturbaciones. Es evidente que esta convergencia habrá de regir también para líneas paralelas aun en los casos de ser inclinadas o verticales. Basta situarse en el angosto patio de luces de una casa alta, o bien a corta distancia enfrente de dos campanarios -de una iglesia, para darse cuenta inmediatamente de que las paredes de la casa convergen hacia arriba obedeciendo, lo mismo que los campanarios de la iglesia, a la ley de aproximación mutua, tanto más aparente cuanto mayor es la altura. ¡Pero diríase que está sencillamente prohibido pintar y dibujar así las cosas! Y la verdad es que tal representación se nos antoja, también a nosotros, carente de naturalidad aun siendo correcta. Así ocurre que los aficionados a la fotografía, si no sostienen la cámara en posición exactamente horizontal y la ponen algo inclinada con objeto, por ejemplo, de abarcar enteramente dos bellas torres gemelas, son mirados con cierta sonrisa burlona y se los considera como inexpertos chapuceros, porque se sabe que el ojo infalible de la cámara dibuja siempre con absoluta precisión la perspectiva (aunque a veces un tanto exagerada), y los campanarios, chimeneas industriales, etc., tomados con la máquina algo inclinada aparecen en la foto, como es lógico,

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oblicuados y convergiendo hacia arriba, y esto no puede ser. ¿Por qué? Pues muy sencillo por razón de que está prohibido, según una ley arbitrariamente establecida en las normas del arte y de la reproducción gráfica; y así fracasaron todos los intentos de validar las «líneas desplomadas» de chimeneas que amenazan derrumbarse, torres inclinadas, etc.; representaciones que el «Nuevo realismo» pretendió en vano hacer reconocer como correctas diez años atrás. ¡Hasta tal punto llega a enraizar en nosotros una tradición secular! Mas con esto no hemos hecho sino recalcar la más insignificante e inofensiva de las tretas que nos juegan las paralelas. Incomparablemente mayor es, sin duda, la broma que estas mismas paralelas han hecho pesar en el dominio de las ciencias exactas. Y es difícil encontrar otro ejemplo que ponga más de manifiesto hasta qué punto la lucha intelectual en torno a una cuestión, en sí aparentemente nimia, puede fatigar durante miles de años las mentes más selectas. Se trata aquí de algo verdaderamente notable, cuyo origen se remonta a los albores de la Antigüedad. Por el año 300 antes de J. C. vivió en Alejandría, en la corte del rey Ptolomeo hago, el sabio griego Euclides, el «padre de la geometría». Y hemos de decir que casi todo lo que corrientemente sabe hoy de geometría la humanidad salió de aquella cabeza genial, que estableció los fundamentos de todo el saber actual, expuestos en su libro famoso Stoicheia, y a base de los cuales construimos hoy día nuestras locomotoras y aviones. Todos los principios fundamentales por cuya guía sigue construyéndose en nuestros días fueron establecidos por primera vez en aquella obra; tal como, por ejemplo, el teorema: «El punto es lo que no tiene partes; es una imagen.» Es sabido que Euclides partió de ciertas hipótesis indemostrables, pero experimentalmente comprobadas, esto es, los llamados postulados, la mayoría de los cuales siguen siendo hoy inconmovibles. Uno solo de ellos ha continuado ocupando siempre, desde siglos, la atención de los sabios matemáticos, y es el famoso postulado del paralelismo. Euclides sentó como verdad la tesis de que desde un punto dado fuera de una recta no se podía trazar más que una paralela a dicha recta. Repetidas veces han intentado los sabios aportar una demostración a este enunciado, que encierra, como se reconoció muy pronto, una verdad de gran consecuencia. Mas todo empeño resultó infructuoso, pues las demostraciones intentadas terminaban en contradicciones y conducían a desacuerdos. Hasta pasados 2ooo años_ no llegó a conocerse que la tesis mencionada es en absoluto indemostrable, lo cual

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venía a significar que fuera de nuestra geometría plana corriente debía de haber otras geometrías. El primero en percibir la inmensa importancia de este -digamos- secreto fue Carlos Federico Gauss (34), de Gottinga, el «príncipe de las matemáticas». Y es significativo de la trascendencia de ser indemostrable el expresado enunciado el hecho de que ni siquiera esta «figura mundial» de las matemáticas se atrevió a salir a la palestra con su punto de vista revolucionario, por «miedo (como él mismo decía) a la gritería de los beocios» (35). Independientemente de él especularon también sobre la posible falsedad del postulado del paralelismo el ruso Lobatschewski y el húngaro Bolyay (36), cuyos trabajos, sin embargo, no fueron reconocidos en seguida. Es natural que el profano no alcance a darse cuenta de la razón por la cual decimos que tras esta cuestión del paralelismo se esconde algo de tan profunda importancia. Examinemos el asunto con más detenimiento. Supongamos que, no teniendo nada más importante que hacer, nos sentamos de nuevo ante un tablero de dibujo colocado sobre nuestra mesa de trabajo con una hoja de papel extendida. Sobre ésta señalamos dos puntos cualesquiera. Como es lógico, podemos unir estos dos puntos entre sí por un número infinito de líneas cualesquiera, tales como líneas onduladas de todas las formas imaginables, o arcos de círculo, o de elipse, de hipérbola, etc. Nuestra libertad ilimitada para trazar líneas aumentará todavía considerablemente si, por añadidura, se nos permite hacer la unión a través del espacio y trazamos en éste líneas como la que resultaria, por ejemplo, de curvar un alambre entre ambos puntos pasando por encima del plano del papel. Con este procedimiento, que de momento nos parecerá desprovisto de finalidad, podremos poner en claro una cosa, y es que la distancia más corta entre dos puntos es la representada por una línea recta, es decir, por aquella «raya» que obtendremos del modo más sencillo aplicando una regla de suerte que pase por dichos dos puntos. Huelga demostrar que toda nuestra geometría descansaa realmente sobre esta notable propiedad de la recta. Sin reglas ni plomadas -aun cuando pudiéramos disponer de un excelente estuche de dibujo, con el mejor compás- sería imposible la geometría práctica. En efecto, la figura geométrica más importante que conocemos, el 34

En 1792. - N. del R Frase que hace referencia a la injusta fama de escasa cultura y cor tos alcances que los antiguos atribuían a los naturales de Beocia, región de la Grecia Central. - N. del R. 36 Ew 1829 y 1832, respectivamente. - N. del R. 35

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triángulo, está formado por rectas; e incluso, mirando las cosas con detenimiento, podremos llegar pronto al convencimiento de que tampoco nos sería posible trazar circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas sin recurrir a la recta de modo más o menos directo. Llegados a este punto no podemos eludir una triste confesión acerca del simple concepto de línea recta. Cualquier niño de la escuela distingue a primera vista una línea recta de una curva o quebrada. Y, sin embargo, no poseemos una definición satisfactoria, rigurosamente científica, de la recta; la más generalmente admitida nos dice: «la recta es la línea más corta entre dos puntos». Pero, según veremos en los capítulos que siguen, esta propiedad definidora de la recta no es lo clara que debería ser. Toda esta cuestión es, pues, mucho más intrincada de lo que podríamos sospechar desde un buen principio. Pero volvamos a nuestras investigaciones. Meditemos un poco acerca de si la unión de dos puntos mediante una recta constituye realmente la única posible solución cierta del problema del camino más corto. La contestación, en apariencia_ obvia, que hallamos prácticamente para esta cuestión, nos pone ante resultados que sorprenden y que en muchos casos desconciertan. Parece desde luego evidente que mientras no nos movamos del plano de nuestro tablero, es decir, en tanto que tengamos la mirada puesta en un plano, o sea en una superficie que no ofrece la menor curvatura, la recta ha de ser irrevocablemente el camino más corto entre dos puntos, conservando por lo tanto su predominio. Pero ¿qué ocurrirá en el caso de que la naturaleza de la superficie no permita trazar ninguna «recta» en la acepción vulgar de la palabra; es decir, cuando, abandonando el plano, nos movamos sobre una superficie curva? Una vez más nos encontramos presos en un orden de ideas absurdo, pero que en realidad podemos armonizar con las circunstancias concurrentes en cada caso, con menos dificultad y menos violencia de la que exige la adquisición de nuestra noción del plano; pues éste, aunque pueda parecernos extraño, no se nos ofrece prácticamente nunca en la Naturaleza. La superficie plana no es más que una hipótesis imaginaria, una simplificación de gran estilo, cuya realización efectiva puede decirse que no se presenta nunca en el mundo que nos rodea. Ni siquiera las superficies de los lagos y mares, aun suponiéndolas sin oleaje, podrán constituir jamás un plano, ya que, por razón de ser esferoidal el planeta en que vivimos, constituirían en todo caso porcio-

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nes de una superficie esférica. En cierto modo, y por naturaleza, la superficie esférica está más a nuestro alcance que el plano, pues éste existe únicamente en nuestra imaginación y no podemos, por tanto, realizarlo si no es, y aun así de manera sólo aproximada, en una extensión muy reducida. Todas estas consideraciones hacen que la cuestión que nos ocupa se presente de súbito en un nuevo aspecto.

La averiguación del trazo de unión más corto entre dos puntos situados sobre la superficie esférica (asunto de suma importancia) nos conduce a un resultado curioso. En cualquier globo terráqueo podemos comprobar al primer golpe de vista que el trayecto más corto entre Berlín y Madrid no puede ser de ninguna manera una recta, si es que no queremos dejar de andar por la superficie, pues la recta se hinca inmediatamente en la esfera, y si nos propusiésemos establecer el enlace ferroviario más corto, siguiendo la línea recta, entre los dos lugares mencionados, los raíles de la vía habrían de introducirse profundamente en la esfera terrestre. El camino recto entre ambas ciudades podría únicamente establecerse a través de un túnel (37). He aquí una imagen más tangible: el trayecto más corto entre dos manchas de la piel de una manzana puede representarse por un alfiler clavado en la fruta de tal modo que con él se pinchen las dos manchas en cues37

El perfil de ese túnel habría de ofrecer, aparentemente, una particularidad muy notable; pues si bien se ha convenido ya en que ha de ser recto, resultaría que en la parte de Berlín habría de penetrar en la tierra descendiendo con fuerte pendiente, la cual, se suavizaría poco a poco hasta alcanzar la horizontal, a la mitad de trayecto exactamente. Desde este punto tomaría una rampa hasta alcanzar su valor máximo al desembocar en Madrid. El túnel recorrería, pues, una línea completamente recta a pesar de presentar una porción de trayecto horizontal, otra en pendiente y otra en rampa. ¿Cómo se explica esto, mi apreciado lector?

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tión. Mas si estuviésemos forzados a no abandonar la superficie, el trayecto más corto sería el representado por un hilo mantenido aplicado sobre la piel mediante dos alfileres y que se extendiese entre las dos manchas.

Lo mismo cabrá hacer en la esfera terráquea. También se podrá indicar allí el camino más corto entre las dos ciudades clavando un alfiler en Madrid y otro en Berlín y tendiendo entre ambas un hilo mantenido a ras del suelo. Si examinamos la forma y posición de este hilo, veremos que este trayecto más corto resulta ser un arco de círculo máxima, entendiéndose por círculos máximos de una esfera los de máximo diámetro entre los que pueden trazarse sobre la superficie; o dicho de otro modo: los círculos cuyos diámetros son iguales al diámetro de la esfera. Es así como llegamos a la notable conclusión de que la mínima distancia entre dos puntos, la llamada «línea geodésica», es en la esfera, y por tanto también en la superficie de la Tierra, un segmento de arco de circulo. Lo notable es que el «destronamiento» de la recta da lugar a un juego de magia curiosisimo, que presentaremos mediante un ejemplo. Supongamos que en un taller de calderería hay dos delineantes. Uno de ellos está sentado ante un tablero de dibujo; el otro, frente a una caldereta esférica acabada de construir. Por pasatiempo, se han propuesto comprobar prácticamente cuántas veces la longitud de una circunferencia es mayor que la longitud de su diámetro. Para el delineante que está junto al tablero de dibujo la cosa es sumamente fácil toma sencillamente su compás, traza una circunferencia de, por ejemplo, 3 dm. de diámetro y mide a continuación el perímetro con una cinta métrica cualquiera. El resultado es claro: obtendrá

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como perímetro 9,42 dm. Cualquier muchacho de la escuela sabe que éste es el valor aproximado, puesto que: el perímetro del círculo es igual al diámetro multiplicado por el bien conocido número π o de Ludolf. Un poco más difícil es la tarea que se ha impuesto la persona que tiene que hacer mediciones directas sobre la caldera esférica, por no poder valerse de un compás normal; pero, como es astuto, sale del paso atando en el saliente de un perno un hilo, en cuyo extremo libre anuda un trocito de tiza, procurando que la longitud de dicho hilo entre el perno que le sirve de centro y el trozo de tiza mida r 1/2 dm. exactamente; con este radio traza seguidamente una circunferencia sobre la superficie esférica, procede a medir el perímetro del círculo trazado y... ¡se lleva un susto ! Le resulta, nada menos, que el perímetro del círculo es notablemente menor del que esperaba obtener de acuerdo con la relación fundamental. En efecto: nuestro buen delineante obtiene un desarrollo de circunferencia que vale solamente 2,9 veces la longitud del diámetro correspondiente. La discordancia entre los dos resultados disgusta, como es natural, a ambos experimentadores, e intentan repetir la medición con círculos de mayor diámetro. El que dibuja en el tablero vuelve a obtener el número de Ludolf. Pero el de la caldera fracasa nuevamente, con la agravante de que ahora la circunferencia trazada con radio mucho mayor, es decir, con cordel más largo a partir del mismo perno, acusa un perímetro relativamente mucho más pequeño, pues su longitud no pasa de ser 2,2 veces mayor que la del diámetro. Y si ambos continuaran haciendo experimentos podrían comprobar con extrañeza que los perímetros -de las circunferencias que trazasen en la esfera irían primeramente creciendo con el diámetro (doble del radio del trazado), pero que, después de alcanzar cierto valor, los perímetros de las circunferencias empezarían a ir disminuyendo a medida que los diámetros fueran aumentando, es decir, que al aumento del diámetro corresponde una disminución del perímetro. Y se pasará por el caso de que para uno de los círculos trazados el área será numéricamente igual al perímetro (38). Si se continúa el experimento se llega al absurdo de que ¡tomando el diámetro 38

Claro está que ambos isómeros son distintos debido a la llamada «dimensión» que los concrete, pues el área del círculo es una superficie que se mide por centímetros cuadrados, y en cambio, el perímetro es una línea que se mide por centímetros lineales. En toda operación práctica de cálculo conviene mucho tener bien claras y determinadas estas dimensiones ¿distinguiremos, por ejemplo, cm., cm', cm', así como también Kg./cm', Km./hora, etcéteral, pues si se multiplican «coles» por «nabos» resultará naturalmente un disparate.

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mayor posible en el caso dado, el perímetro de la circunferencia se reduce a... cero!Y, sin embargo, si procuramos representarnos lo que sucede y reflexionar debidamente, veremos en seguida que todo ello no puede ser más ajustado a la verdad. En otras palabras nuestras leyes, que en las superficies planas rigen con evidente lógica y absoluta firmeza, carecen por completo de validez en lo que se refiere a la esfera; de donde se desprende la prueba inequívoca de que nuestra geometría plana, inventada por la mente humana, pero prácticamente casi inexistente, representa sólo un caso particular, y que, por lo tanto, han de existir otras geometrías que se rigen por otras relaciones y por otras leyes. Volvamos por un momento a la esfera y comparémosla con la ideal superficie plana. Tenemos, por ejemplo, que en un triángulo plano la suma de los tres ángulos vale siempre, según es sabido, 180 grados. En cambio, sobre la superficie esférica la suma de los ángulos de un triángulo formado por círculos máximos ¡es siempre mayor de 180°! Y ahora no queremos ocultar por más tiempo al lector el problema fundamental que durante millares de años ha fatigado la mente de los más eminentes matemáticos y que es la causa de las sorprendentes singularidades que nos ofrece la esfera. Se trata del misterio de nuestras paralelas, del famoso postulado del paralelismo. Estudiada detenidamente, lá cuestión se presenta como sigue: tracemos sobre el consabido tablero de dibujo una recta y tomemos un punto fuera de ella. Es evidente que por este punto no será posible trazar más que una sola paralela a la recta dada. Cualquiera otra recta que hagamos pasar por aquel punto necesariamente habrá de tener una posición inclinada con relación a la primera; es decir, a una determinada distancia, sea a la derecha o sea a la izquierda, las dos rectas habrán de cortarse en algún punto. Pasemos ahora a la esfera. También aquí tendremos lo que diríamos una «recta», que corresponde, total o parcialmente, a un círculo máximo. Admitamos ahora un punto situado fuera de este círculo máximo e intentemos trazar por él una «recta» paralela, es decir, un círculo máximo paralelo. Según se verá inmediatamente, esto es cosa imposible, pues el círculo máximo trazado por el punto dado fuera del círculo primitivo cortará a éste inmediatamente en dos puntos. Con lo cual queda demostrado el enunciado que dice sobre la superficie esférica, dada una línea geodésica y un punto exterior a esta línea, no puede trazarse por él ninguna línea geodésica paralela a la primera.

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Cabe preguntarse ahora por qué poder ha podido derrumbarse nuestra bella geometría plana de la escuela. La contestación no ha de ser difícil. Partiendo de una superficie plana, es decir, de una superficie que no presenta la menor curvatura, hemos pasado a una superficie enteramente curva. ¿¿Qué significa, según nosotros, una curva? Partamos de una línea curva cualquiera trazada en el papel. Señalemos sobre ella un punto fijo p e imaginemos que en este punto substituimos la curva por un corto segmento de arco de círculo amoldado lo más íntimamente posible a la curva. Si aplicamos este procedimiento a dos puntos separados y trazamos las circunferencias correspondientes, saltará inmediatamente a la vista con toda claridad que los diámetros de estas circunferencias resultan de diferente longitud y que se hallan situados a uno u otro lado de la curva según el sentido de la curvatura en el punto considerado.

Prescindiremos de momento de la posición que ocupe el centro de curvatura de la curva y trataremos de ver cómo hallamos la medida de la curvatura derivándola de la de los radios de los círculos, es decir, de los llamados radios de curvatura. Como expertos planteadores de fórmulas que somos, podremos establecer en seguida la relación matemática correspondiente. Lo haremos primero de palabra: la curvatura, que abreviadamente llamaremos K, es tanto más pronunciada cuanto más corto sea el radio del círculo correspondiente. Así, pues, basta traducir al lenguaje matemático esto de «tanto más pronunciada cuanto más corto». Si escribiésemos K (la curvatura) es igual a r (radio de curvatura del círculo), indicaríamos con ello que la curva es tanto más pronunciada cuanto mayor es el radio de la curvatura, lo cual sería completamente erróneo. Escribamos, en cambio: K = 1/r y habremos acertado en lo justo; pues, en esta forma, cuanto más au-

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mente r, tanto más se reducirá el valor del quebrado. Hemos de sentar todavía, aunque sea rápidamente, algunos puntos. Cuando dibujamos una línea curva en un plano es claro que coincidirán con éste los planos de los círculos de curvatura, y que para cada punto de dicha curva no podrá haber más que un solo radio de curvatura, esto es, que en cada punto la curva ofrecerá únicamente una curvatura. Sin embargo, tenemos, por otra parte, que nos será fácil curvar un trozo de alambre de tal forma que no sea posible aplicarlo sin deformación sobre un plano; es decir, que podemos curvarlo, por ejemplo, simultáneamente de derecha a izquierda y de arriba abajo. Semejante curva recibe el nombre de curva en el espacio; su principal característica estriba en el hecho de que en cada uno de sus puntos presenta una doble curvatura. Tomemos, pongamos por caso, un trozo de alambre, y démosle la forma de anillo. En tanto que esta pieza descanse de plano sobre la superficie del papel, tendrá en cada punto un solo radio de curvatura; pero tan pronto como le deformemos, elevando uno de sus extremos y bajando el otro, tendremos que a la curvatura circular primitiva se le añade otra (la curvatura de torsión), de tal suerte que ya no podrá adaptarse por completo a la superficie plana del papel.

De modo análogo podremos considerar la curvatura de una superficie. A este efecto basta con saber distinguir entre las superficies cintradas, o sea simplemente arqueadas, y las superficies con torsión, distinción que saben

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hacer, por «rutina» todos los metalúrgicos, hojalateros y hasta las modistas sin saber apenas el «porqué». Son simplemente arqueadas, por ejemplo: las superficies laterales del cilindro, del cono y del tronco de cono; pues todas ellas son susceptibles de «desarrollarse», son «desarrollables», como se dice en el lenguaje técnico, sobre un plano; esto es, que pueden construirse dibujando previamente un patrón en un plano -de plancha, tejido o papel -, recortándolo y arrollándolo luego, y, viceversa, pueden extenderse sobre un plano sin que se rompan. Así, los populares gorros cónicos de payaso son superficies simplemente arqueadas y, por tanto, desarrollables. Pero la cosa es muy distinta cuando se trata de superficies de doble curvatura, como, por ejemplo, las que nos ofrece la esfera o la superficie tórica, etc. Para valernos una vez más de un ejemplo dentro de lo vulgar, recordemos esos sombreros fuertes, a los que llaman «bombines» u «hongos» y que son modelos de superficies de doble curvatura. Un sombrero de este tipo no podrá «desarrollarse», es decir, no podrá extenderse sobre un plano, a no ser que se recorte conveniente mente y se peguen los retazos sobre el plano del papel. Para analizar la superficie del sombrero en cuestión podremos también, como es natural, aplicar en cada uno de sus puntos dos círculos de curvatura convenientemente dispuestos. En el sombrero hongo los dos círculos de curvatura de cada punto están situados a un mismo lado de la superficie y son de distinta magnitud. En la esfera se hallan también a un mismo lado de la superficie, con la particularidad de ser todos ellos iguales entre sí. Y ahora viene la diferencia más importante. Pero antes es necesario que pidamos consejo a Gauss, rey de los matemáticos. La curvatura de una superficie se expresa, según él, por: K = 1 / r1 · r2 . Consideremos más detenidamente esta fórmula. Si los dos radios de una superficie curva se hallan a un mismo lado de ésta, ambos serán positivos, su producto también lo será y por esta razón resultará asimismo positivo el valor de la curvatura; diremos entonces que se trata de una superficie de curvatura positiva (en relieve, convexa). Ejemplos de tales superficies son la esfera, el ovoide, el elipsoide (realizado éste, circunstancialmente, en el sombrero hongo), la superficie tórica tal como aparece en los anillos de goma de sección circular, como, por ejemplo, en las cámaras de los neumáticos hinchadas, etc. Entre estas superficies las hay que se distinguen porque el valor 1 / r1 • r2 o sea el valor recíproco del producto de ambos radios de curvatura, es invariable para todos sus puntos. La más conocida de estas superficies de

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curvatura positiva constante es la esfera. Y es éste el momento de preguntarse qué aspecto habrá de ofrecer una superficie con curvatura negativa.

En ella es preciso que uno de los radios sea negativo, es decir, que tendrá que haber un radio a cada lado de la superficie, de modo tal que en cada uno de sus puntos esta superficie esté a la vez curvada hacia fuera y hacia dentro. Cuerpos limitados por esta clase de superficies los hay a montones todas las acanaladuras de los cuerpos torneados, así como los en forma de silla de montar, presentan esta curva negativa. Un bonito ejemplo de cuerpo limitado por superficies de diversos tipos, dispuestos en fajas distintas, entre las cuales las hay positivas, negativas y desarrollables, nos lo ofrece una campana, y también una copa de cristal. Las figuras que acompañamos son bien explicativas, y enseñan cómo deben ser interpretados los radios de curvatura en los distintos puntos considerados. Si ahora se me ocurriera preguntar qué es lo contrario u opuesto a una esfera, tal vez se me dijese que la pregunta carece de sentido. Y, sin embargo, como habrá previsto sin duda el lector, la respuesta a esta pregunta no resulta ser un dis-

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parate, ni mucho menos, pues existe realmente un cuerpo, y por tanto una superficie, que por lo que se refiere a la curvatura está en completa oposición con la esfera. Se conoce además la definición matemática de dicha superficie: se trata de una superficie cuya curva es negativa y constante. Esta esfera, que en cierta manera no lo es y sin embargo lo es, recibe el nombre de falsa esfera o seudoesfera y fue descubierta por Beltrami en el año 1868. La estructura de la seudoesfera no es, en modo alguno, tan complicada y difícil de concebir, como parece deducirse de lo que hemos expuesto de ella. Lo mismo que la esfera, también la seudoesfera es un cuerpo giratorio. Estos cuerpos, llamados también cuerpos de revolución, son fáciles de generar. Si hacemos girar un triángulo cualquiera alrededor de uno de sus lados -experimento que podemos realizar con cualquier cartabón, haciéndolo girar alrededor de uno de sus lados-, veremos que se engendra un doble cono, del mismo modo que se engendra una esfera al hacer girar un círculo alrededor de su diámetro. La curva que al girar engendra una seudoesfera es una línea muy curiosa que puede construirse, en la práctica, sin la menor dificultad. A tal fin se requiere solamente un reloj corriente de bolsillo con su correspondiente cadena.

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Se coloca el reloj sobre la mesa de tal modo que la cadena extendida quede perpendicular al borde de la mesa y con su extremo libre tocando a dicho borde. Seguidamente tomamos la cadena por este extremo libre y tiramos de ella corriendo dicho extremo a lo largo del borde de la mesa, hacia la derecha, por ejemplo. El reloj, por efecto de la tracción, abandona su posición primitiva y va moviéndose describiendo un arco de curva que al principio se dirige con gran inclinación hacia el borde de la mesa, pero esta inclinación va suavizándose cada vez más. Si se mira con atención podrá observarse fácilmente que el punto que corresponde aproximadamente al centro del reloj va acercándose poco a poco, y de manera muy particular, al borde. En realidad, el centro del reloj describe una curva que se acerca gradual e ininterrumpidamente al referido borde de la mesa, pero sin que llegue a alcanzarlo jamás; o, como diría un matemático: la curva se aproxima asintóticamente al borde de la mesa. La curva así trazada se llama «tractriz» o línea de tracción, y también «línea del perro», porque la manera de trazarla recuerda en cierto modo la escena de un hombre que por medio de una cuerda tira hacia sí de un perro que le sigue de mala gana. Por muy singular que parezca a primera vista esta curva que se prolonga hasta el infinito, no deja de ofrecer cierto parentesco próximo con nuestra circunferencia que se cierra sobre sí misma. Es evidente que con el presente ejemplo del reloj hemos construido solamente la mitad de la curva. Si después de volver a colocar el reloj en su primitivo lugar, tiramos de la cadena hacia la izquierda, se engendra una curva exactamente igual a la de la primera vez, que irá a perderse también en el infinito, pero hacia el lado izquierdo. Consideremos ahora el borde de la mesa como un eje alrededor del cual vamos a hacer girar nuestra curva tractriz; con esta rotación se engendrará un cuerpo extraño, que ofrecerá el aspecto aproximado de la superposición de dos trompetas por sus pabellones. Este cuerpo es la falsa esfera; el auténtico reverso, en cierto modo, de nuestra esfera verdadera. La falsa esfera se distingue fundamentalmente de la esfera auténtica en que aquélla presenta una arista en el lugar del diámetro máximo -constituyendo lo que se llama una línea singular-, y se distingue también en que se extiende por ambos lados hasta perderse en el infinito, ya que únicamente a una distancia inmensa (prácticamente nunca) llegarían a cerrarse las dos puntas en las que termina esta figura. Las fórmulas matemáticas que permiten calcular su superficie y su volumen nos demuestran que, a pesar de su rareza, la falsa esfera está íntimamente emparentada con la auténtica esfera, tan clara, que

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ofrece la misma redondez en todos sus puntos. El área de la superficie de la seudoesfera tiene el mismo valor que la de una esfera real cuyo diámetro fuese igual al círculo máximo de ésta. Es decir, que en ambas figuras el área es igual a cuatro veces el cuadrado del radio del círculo máximo, multiplicado por el número de Ludolf, esto es: S=4r2π. De modo análogo los valores de los respectivos volúmenes ponen de manifiesto la relación entre ambos cuerpos. El de la falsa esfera es igual a la mitad del de la esfera auténtica. El de ésta es, como se sabe

4r 3π , y el 3

de la seudoesfera se expresa por:

2r 3π 3 Examinemos ahora las relaciones en lo que afecta a la curvatura. En la seudoesfera la curvatura es constante; es decir, que la expresión 1 / r1 · r2 tiene siempre el mismo valor para cada putno de la «falsa esfera». Pero, puesto que los radios de curvatura se hallan siempre en lados diferentes, o sea el uno dentro de la curva y el otro fuera de la misma, la curvatura ha de ser negativa en cada punto. La fórmula que obtenemos, por tanto, para la curvatura K es

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Sobre esta falsa o seudoesfera domina a su vez una geometría completamente distinta. Es, por así decirlo, una; tercera geometría, distinta de la geometría esférica y de la plana: es la geometría llamada hiperbólica

Si sobre la superficie de una de esas falsas esferas dibujamos un triángulo -haciendo, como es natural, que las líneas estén sobre la superficie veremos que la suma de los tres ángulos de este triángulo es inferior a 180 grados, y que la suma de los ángulos de un cuadrilátero es por la misma razón inferior a 36o grados. El equivalente del círculo en la seudoesfera ofrece una extraña figura, y debido a esto, en la falsa esfera podrán considerarse triángulos en los cuales la suma de los valores de sus ángulos sea igual a cero grados. Y, en fin, he aquí lo más importante: por un punto situado fuera de una recta, por un punto de la superficie seudoesférica situado fuera de una de las líneas que en esta superficie hacen las veces de rectas, es posible trazar ¡varias paralelas a la citada línea ! Hemos de referir todavía otra singularidad. Hay un problema para el cual durante siglos los matemáticos más eminentes buscaron en vano una solución dentro de la geometría plana y que halla solución mediante la

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geometría de la seudoesfera. Se trata de la famosa «cuadratura del círculo», es decir, de trazar, con la simple ayuda del compás y la escuadra, un cuadrado cuya área sea igual a la de un círculo de magnitud dada. Como hemos visto, nuestra geometría nos da sólo una solución incompleta para este problema, en tanto que en la geometría de, la falsa esfera la solución es posible en un determinado caso. Así es que, en esta última geometría, y valiéndonos exclusivamente del compás y la regla, podemos convertir un círculo que tenga por área el número π , o de Ludolf, en un cuadrado de igual área.

A pesar de lo poco que se ha dicho hasta ahora con referencia al primitivo pleito de las paralelas, que nos ha conducido al caso curioso de la falsa esfera, el lector se habrá dado cuenta sin duda de que con este problema, al parecer de tan escasa monta, se dilucida en esencia nada menos que el saber si nuestra geometría se ajusta o no a la realidad. Podemos contestarnos que nuestra geometría, y con ella todos los principios que se enseñan ya en la escuela, y que aplicamos en millares de ocasiones a la física y a la técnica, ofrecen un valor exclusivamente relativo, esto es, condicionado. Nuestra geometría, la geometría euclidiana, según la cual por un punto exterior a una recta sólo puede trazarse una paralela, y según la cual la suma de los

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ángulos de un triángulo vale 18o grados, constituye un determinado caso Particular, válido únicamente en circunstancias especiales. Al lado de ésta hay otras geometrías entre las cuales, tal como nos enseñan la esfera y la seudoesfera, figuran dos de especial importancia. Son éstas: la elíptica, realizada en la esfera «verdadera» y en la cual se establece que desde un punto exterior a una recta dada no puede trazársele ninguna paralela; y la geometría hiperbólica, que se realiza en la seudoesfera, según la cual las paralelas que pueden trazarse a una recta desde un punto exterior son en número infinito. En correspondencia con todo esto, la suma de los tres ángulos de un triángulo es mayor de 18o grados en la esfera y menor de 18o grados en la seudoesfera. Es mucho lo que hemos aprendido de sorprendente y admirable en nuestras andanzas por las superficies de la esfera y de la seudoesfera, gracias a nuestra decisión de abandonar la superficie plana del tablero de dibujo que nos era ya tan familiar. Pero la nueva excursión que proyectamos en el jardín encantado ha de enseñarnos que con toda nuestra erudición hemos llegado apenas ante el umbral de la puerta tras la cual se oculta una de las más profundas y grandiosas cuestiones que jamás se haya planteado la humanidad. Mas, antes de emprender la marcha, conviene que trabemos conocimiento todavía con algo que muy a menudo se nos ha aparecido como inimaginable, pero que después de lo dicho hasta aquí estamos ya en condiciones de poder comprender y digerir sin dificultad. Se trata del misterio del espacio curvado. Indudablemente, esta rara expresión de «espacio curvado» habrá llegado a oídos del lector y es muy verosímil que, disimuladamente, haya pasado por alto semejante figura verbal incomprendida; pues un espacio curvo es algo que en un principio no puede concebir una mente normal, y sin embargo, en realidad no es tan extraordinario. E incluso su representación nos será inmediatamente comprensible con sólo querer tomarnos la molestia de quitarnos las gafas del pensar rutinario para mirar, dejando a un lado los prejuicios arraigados en nuestra mente y procurando obtener una visión objetiva de las cosas y de los fenómenos. A través de una irrebatible definición del viejo Euclides,que hemos expuesto pocas páginas atrás, sabemos ya lo que es un punto. Se trata, pues, de una imagen, de algo que carece de todo menos de «lugar». El punto no tiene longitud, altura y profundidad; de lo cual se desprende además que «dentro de un punto» no puede haber nada, «por falta de sitio». Por donde-

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quiera que se le mire, el punto no es susceptible de ninguna medida, no tiene ninguna dimensión o, diciéndolo en términos profesionales: «es adimensional». Sería, pues, disparatado inquirir acerca de si un punto es recto o curvo. El punto es, verdaderamente, la nada, no posee nada y, en cierta manera, no es más que una indicación de «allí». Con la línea ocurre algo muy distinto. La verdad es que tampoco tiene anchura ni profundidad; la sección transversal de cualquier línea es nada, como sabemos bien; pero, en cambio, se manifiesta en una dimensión mensurable: la longitud. Tratándose de la línea se puede, pues, hablar de una estructura «unidimensional», mas con una restricción muy esencial por cierto: una línea puede ser recta o curva, y es aquí donde aparece la curiosa singularidad de que únicamente en el caso de que la línea sea recta nos será suficiente considerar una sola dimensión, es decir, basarnos en el solo dato de su longitud pues tan pronto como la línea ofrezca la más leve curvatura, habrá perdido lo que podríamos decir su carácter unidimensional. ¡Resulta, por lo tanto, que en una sola dimensión no, cabe ya la curvatura!De suerte que para contener la curva nos precisa un plano, o sea una estructura que posea dos dimensiones, esto es, longitud y anchura. Y es así como llegamos a la sorprendente conclusión de que realmente es exclusivo de la recta el tener una dimensión única, que es su longitud. Mas no basta con esto. Nuestra sorpresa se trocará en asombro al saber que existen líneas de doble curvatura que, no cabiendo ya en el plano, requieren el espacio para extenderse en él, y son, por lo tanto, tridimensionales. Como ejemplo de esta clase de líneas citaremos la línea helicoidal (un muelle de sofá) que ocupa en su conjunto un cierto espacio; y que, como línea de doble curvatura que es, además de curvarse para que sus espiras tiendan a formar anillos, se curva hacia arriba al mismo tiempo, a cada instante, para que las espiras asciendan. Pero ¿qué ocurrirá entonces con las superficies? Pues algo parecido, aunque en otro concepto un poco diferente. Hay una sola superficie, y es el plano, que se extiende en todas direcciones sin curvarse: presenta dos dimensiones -largo y ancho- y puede ser considerada como bidimensional. Ahora bien, en el momento en que la superficie ofrezca aunque sólo sea una sola curvatura, habremos de recurrir en seguida al espacio para poder contenerla. Así, una superficie cilíndrica o cónica corresponde sencillamente al espacio, pues sólo en él puede ser representada. Lo dicho es todavía más válido para las superficies de doble curvatura, como son, por ejemplo, las superficies esféricas, las de otros cuerpos de

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revolución, etc. Todas ellas han de estar en cualquier caso «contenidas» en un espacio, según la expresión técnica. Interrumpimos por un momento el hilo de nuestro discurso para repetir que el punto es adimensional y no es más que un «lugar», de modo que no requiere espacio alguno. Le llamaremos un Ro (39). La recta ofrece una dimensión única, y la designaremos, por tanto, por R1. El plano, con sus dos dimensiones posibles, podremos representarlo por R2,. Y nuestro espacio usual, que es tridimensional, habrá de designarse por R3,. Acabamos de explicar que ciertas superficies que habían sido consideradas como expresables, al igual que el plano, por R2, pasan a inscribirse en la categoría inmediata superior, R3, por lo cual vemos que la catalogación de las líneas como «extensiones» unidimensionales, y de las superficies como bidimensionales, no deja de tener muy considerables excepciones. Pero vamos ahora a estudiar con más detenimiento nuestro espacio tridimensional, el conocido R3. Dos concepciones hay que dominan como dogmas indemostrables - axiomáticos- nuestra representación. En primer lugar nos representamos siempre el espacio que nos rodea como invariablemente recto (es decir, extendiéndose en línea recta en todas direcciones). Marquemos un punto sobre nuestro tablero de dibujo y tomándolo por origen formemos un sistema de coordenadas -que en este caso será, naturalmente, de tres ejes- en el cual nos sea dado leer la anchura, la longitud y la altura o profundidad. A este efecto nos será naturalmente preciso (como en el ejemplo del acuario) disponer de tres ejes: uno horizontal, el de las x, que se extiende transversalmente de derecha a izquierda; otro vertical, el de las y, y finalmente, un eje z{que irá de delante hacia atrás. Los tres ejes se extienden inflexibles hacia el infinito, conservando en todos sus puntos la dirección primitiva, rectos, invariablemente rectos, sin desviarse ni el grueso de un cabello, sin curvarse. Schiller, en sus Máximas de Confucio, nos ha dado una preciosa idea de esta representación del espacio diciendo «Triple es la medida del espacio. Siempre adelante, sin descanso, la longitud busca la lejanía; se extiende sin límite la anchura, y en lo insondable se hunde la Profundidad.»

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Léase: «erre cero», al igual que leeremos abajo, «erre uno», «erre dos», etc. Es evidente que con esto hemos creado sólo una denominación, un nombre solamente, pero no una fórmula utilizable desde el punto de vista matemático.

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El espacio R3 se extiende recto, recto como un hilo tenso, en todas direcciones hasta el infinito, tan recto (dinamos, valiéndonos de nuestros simbolismos) como la superficie plana de la geometría de Euclides. Es, pues, un espacio al que llamaremos recto, euclidiano (o parabólico). Pero sabemos ya que la geometría plana, euclidiana, no pasa de ser una de las posibles geometrías, en la cual todo es sencillo y transparente; en el que la suma de los tres ángulos de un triángulo vale 18o grados y en el que se cumple que las paralelas no se cortan nunca en su carrera al infinito; y sería desatinado si sacáramos de aquí la conclusión de que nuestro espacio debe ser necesariamente euclidiano. Llegados aquí, la cosa empieza a presentarse un tanto complicada. Hemos barrido montañas enteras de los detritos de imaginados imposibles. Y ahora, inesperadamente, surgen nuevas posibilidades cuya sola consideración hiere ya nuestro cerebro acomodado a la rutina cotidiana. Es cosa clara, desde luego, que el espacio puede ser en cierto modo curvado; pero ¿cómo debemos imaginarnos este espacio curvado? Y, ante todo, ¿es que existe alguna indicación práctica o alguna observación que pueda permitirnos formar juicio de si el espacio es realmente curvado o no? Procedamos, en primer lugar, a dar satisfacción a esta última pregunta: es evidente que existen, y podemos hallarlos, hechos por los que se puede juzgar de si el espacio es recto o curvado, euclidiano o no euclidiano. El «criterio», el índice y característica primordial, es sencillisimo en verdad: basta investigar si en los triángulos del mayor tamaño que nos sea dable elegir, la suma de sus tres ángulos resulta ser exactamente igual a 180°, o mayor o menor que este valor. Gauss -que reconoció, naturalmente, la enorme importancia de semejante cuestión y sus consecuencias- midió, a tal efecto, el triángulo de 69, 85 y 107 Km. de lado que forman los puntos geográficos de Hohenhagen, Brocken e Inselberg. No llegó, sin embargo, a ningún resultado preciso, debido seguramente a motivos de dos órdenes distintos. Es posible, en primer lugar, que este gran triángulo resultase, en realidad, demasiado pequeño a los efectos de su experimento.

La esfera auténtica y la falsa o seudoesfera

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Habría sido más eficaz la medición del triángulo: Sol, Betelgeuse, Mizar (40), cuyos lados se miden por años de luz. Pero, y esto constituye el motivo principal, prescindiendo ya de que tal vez nuestros instrumentos ven y miden «euclidianamente», ha de ser quizá en la práctica imposible desde nuestro R3 lograr formar juicio acerca de si este mismo R3 es realmente curvo o recto. El caracol lacustre que vive entre el limo de su pantano, privado de visión, no llegará a formarse ninguna imagen de las bellezas de las altas montañas y los valles. De todas maneras sabemos ya que si nuestro R3, es recto, es decir, euclidiano, tendrá todavía «cabida» en un R3; pero que si está curvado (y en este caso no tenemos más que aplicar, haciéndolo extensivo al espacio, lo que sabemos acerca de las líneas y de las superficies curvas), ya no podrá ser «contenido» en un R3 y tendrá que acomodarse• en un espacio de cuatro dimensiones, tetradimensional, esto es, en un R4, ... O bien, inversamente: si estuviéramos familiarizados con la cuarta dimensión (matemática), podríamos decidir a la primera ojeada si nuestro espacio tridimensional (del cual los hombres afirman que con su infinito euclidiano, recto, abarca todo lo existente), es realmente recto o curvo. Pero los dominios de la cuarta dimensión nos están totalmente vedados, son inimaginables, y sólo pueden hacerse tangibles por vía puramente matemática. Así, pues, nuestra pregunta respecto de si, el espacio es curvo o recto queda, por ahora, incontestada; porque sobre este particular hay sólo conjeturas y casi ningún argumento de probabilidad. El lector va dándose cuenta con creciente inquietud de que, partiendo de una cuestión tan inofensiva a primera vista y de importancia tan aparentemente secundaria como es la que nos plantea el saber si las líneas paralelas pueden o no pueden cortarse, nos vemos inevitablemente arrastrados hacia precipicios en los que amenazan arrojarse sin remedio todas nuestras ideas. Por el rumbo que seguimos vamos en derechura a una insospechada catástrofe en la que habrán de perecer todos nuestros conocimientos, al naufragar la totalidad de nuestros conceptos corrientes. 40

Betelgeuse es la estrella situada en la parte superior izquierda de la constelación de Orión; es la más hermosa de- nuestro firmamento. Puede reconocerse fácilmente por su color rojo brillante, y dista de nosotros unos 50o años del luz. Mizar es la conocida estrella que forma parte de la lanza del Carro u Ose Mayor; y es doble, pues encima y como montada sobre la estrella principal hay otra más pequeña, visible, no obstante, sin auxilio de instrumento alguno por los que gozan de buena vista. Por eso este pequeño «jinetea de la otra estrella recibe a veces el nombre de «graduador de la vista,. Este enorme sistema solar, integrado por varios soles, dista de nosotros unos 8o años de luz.

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Es imposible ya detener el torbellino en que estamos envueltos. Pero antes de alcanzar el objetivo que nos hemos propuesto, vamos a intentar valernos de un dispositivo sencillisimo, y de fácil preparación en cualquier momento, para obtener la sorprendente confirmación de que en la vulgaridad de cada día nos hallamos muy poco distantes de las fronteras de esos territorios en los que se pierden todas nuestras ideas y cuyas siluetas vemos surgir amenazadoras ante nosotros.

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Sabido es que las imágenes, modelos, etc., resultan tanto más ilustrativos y claros cuanto más sencillos son. En las espinosas regiones fronterizas hacia las cuales dirigimos apresuradamente nuestros pasos existe un modelo que, en cuanto a su simplicidad, fácil ejecución y profundidad de los puntos de vista que desde él pueden percibirse, constituye un ejemplo único, como no podía menos de ocurrir dado el ingenio, tan excelente y tan especialmente amigo de los que se interesan por las cuestiones matematicogeométricas, de aquel a quien debemos su descubrimiento. Partiremos de lo expuesto anteriormente acerca de las relaciones existentes entre las categorías de espacios establecidas. Pensemos que, si bien estamos obligados a movernos en un espacio tridimensional, no deja de asistirnos la posibilidad de imaginar un perfecto modelo de otros «espacios» más sencillos; y así lo haremos, empezando por el espacio plano, el R2. Una hoja de papel extendida en nuestro tablero constituye un «modelo» del espacio plano, es decir, R2, euclidiano; modelo que será tanto más perfecto cuanto mejor podamos imaginarnos que el grueso del papel, siempre tangible, ha desaparecido. Y a base de esto, presentaremos un cuadro, producto de la fantasía de que nos permitimos alardear: usando de esta fantasía, admitamos la existencia de «seres planos», tales como los inventados por el ya citado Beltrami. Se trata, por lo tanto, de seres estrictamente bidimensionales, que no conocen más que superficies planas, constituyentes del único ambiente donde se encuentran en condiciones de vivir y morir;

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seres que no poseen ni la menor idea acerca de la existencia de espacios superiores y, sobre todo, que no conocen siquiera nuestra tercera dimensión. Ocioso es decir que es del todo indiferente la figura que podamos atribuir a esos habitantes del plano. Para nuestras investigaciones interesa únicamente la «composición de lugar» que puedan hacerse semejantes habitantes del plano, que no pueden tener ni idea de la tercera dimensión, a la que llamamos «grueso», puesto que para ellos no existe en absoluto la «tercera dirección» y no conciben lo que es subir o bajar, limitándose exclusivamente al conocimiento de lo que significa ir adelante o atrás y moverse a la derecha o a la izquierda. Pero además de carecer, nada menos, de toda una dimensión, le falta al «habitante de la superficie plana» algo que a su vez es consecuencia de las dos únicas dimensiones en las que se ve obligado a vivir. Coloquemos un cartabón de dibujo encima de la mesa y cubrámoslo con una placa de vidrio. El espacio que queda entre la mesa y el cristal puede constituir una imagen de ese mundo bidimensional. El cartabón, en este espacio intermedio, queda, como se echa de ver, «aprisionado» de curiosa manera; pues puede muy bien deslizarse en un sentido y otro, e incluso girar en redondo, pero le es absolutamente imposible alzarse o invertirse, es decir, cambiar de lado como lo hacemos en la cama.

¿Por qué? Pues, sencillamente, porque para eso le sería preciso contar con la tercera dimensión, la única que permitiría al cartabón ponerse en pie, dado que para realizar semejante movimiento necesitarla -aunque sólo fuese por breves segundos- atravesar el espacio tridimensional. Así, pues, mientras se halle encerrado en R2, el cartabón habrá de yacer de plano y

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sobre la misma superficie lateral en que fue primitivamente colocado; y si aplicamos esto a nuestros habitantes del plano, sacaremos la conclusión de que en su mundo no podrán «revolverse» jamás sobre sí mismos. Si nos los figuramos con tan sólo un mínimo de corporeidad, los veremos, por ejemplo, extendidos sobre el vientre (si es que han venido al mundo en esta posición), pasando su vida entera arrastrándose sobre él; y en esta posición habrán de ser «enterrados». De la imposibilidad de «volverse» que aflige a esos seres imaginarios, podremos sacar inmensas consecuencias, ya que nosotros, humanos, nos hallamos en nuestro R3, con apremio idénticamente penoso, del cual, no obstante, apenas si nos damos cuenta por tratarse de algo habitual, y por lo tanto natural. Más adelante tendremos ocasión de volver sobre esto. Vayamos nuevamente a nuestros seres planos y al mundo R2 de papel. El habitante del espacio plano se arrastra ante nosotros en su mundo constituido por la hoja de papel. Le ocurre lo mismo exactamente que a una oruga encerrada entre dos láminas de vidrio. Si nuestro ser viviente conserva por un rato la misma dirección y está a punto de alcanzar el borde de la hoja, se le da en seguida el « ¡alto!» y se ve obligado a dar media vuelta a la derecha, o a la izquierda, para emprender de nuevo su marcha. Después de varias excursiones, el habitante del plano irá dándose cuenta de que vuelve siempre al mismo sitio. La conclusión a deducir de aquí es simple y clara. Nuestro habitante se dirá: «Me encuentro en un mundo finito, en un mundo que hallo limitado por todas partes; por dondequiera que me arrastro alcanzo pronto un límite "infranqueable".» No puede lograr formular otros juicios acerca de la configuración de su mundo. No alcanza a hacerse la menor idea de la existencia de un espacio en el cual su mundo pueda estar alojado, pues no hay nada que le revele este hecho, ¡ni nada que le descubra siquiera la posibilidad de una tercera dimensión, esto es, la posibilidad del espacio que llamamos R3! Curvemos ahora un poquito la hoja de papel que supusimos larga y estrecha, de tal modo que sus extremos se levanten algo del plano. El habitante en cuestión seguirá arrastrándose por la superficie que le hemos arqueado un poco. Pero ahora, aun prescindiendo de lo que pueda notar en la acción de la fuerza de gravedad, el mundo se ha transformado para el de modo repentino e inexplicable, algo así como por arte mágico. Es sencillamente como un desvarío. En tanto el habitante del plano se mantiene en medio de su dominio, todo sigue normal como antes; pero en cuanto se aproxima a los límites más distantes se producen increíbles fe-

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nómenos, hasta entonces nunca imaginados. Sucede que en el reino del R2 los «objetos» pierden de súbito su visibilidad en una determinada dirección. Es decir, que, si bien en la región central que permanece plana todo es visible desde lejos, ocurre que en los extremos, que están arqueados, los ojos dejan de ver al mirar en una determinada dirección. Los objetos situados en tal dirección no se ven sino cuando ya se da de narices contra ellos. Nos sonreímos naturalmente un tanto regocijados, por saber que el rayo de luz que se propaga invariablemente en línea recta no puede curvarse para penetrar en la región del mundo R2. Se comprende que allí donde R2 está curvado, donde el papel se arquea hacia arriba, sea únicamente posible ver a una breve distancia ante sí. Para comprender lo que ocurre fijémonos en que, si bien a través de una rendija de 1 mm. de separación entre dos planchas planas es posible ver objetos situados a varios metros de distancia, resulta que, en cambio, si se curvan esas dos planchas y se intenta mirar por la rendija en dirección de la parte curvada, aparece en seguida una pared por medio y no se puede ver nada. Siendo así que el habitante del plano ignora el secreto de la curvatura, porque éste, a su vez, supondría el conocimiento del espacio en tres dimensiones, no puede explicarse de ningún modo lo que sucede, y, asustado, sigue arrastrándose por el ámbito de su mundo, en busca de una salida; ¡pero es en vano!, pues ahora, como antes, su mundo sigue siendo limitado. Incluso las medidas de longitud, cuya comprobación no habrá omitido nuestro ser plano, continúan sin variación alguna; nada se ha alterado... y, sin embargo, ha ocurrido algo inusitado, incomprensible, inimaginable, de explicación simplemente imposible para el habitante de R2. Mas nosotros, en nuestro papel de seres superiores (que por destino de la Providencia nos está permitido desempeñar), no nos dignamos todavía conceder reposo al pobre habitante del plano, conscientes de nuestro poder rayano en la omnipotencia. Nos decidimos a prepararle arteramente una nueva trampa con la que, gracias a su mentalidad bidimensional, vamos a ponerle en un aprieto del que irremisiblemente saldrá congestionado y pataleando. A tal fin procedemos a curvar del todo el papel hasta lograr que los bordes opuestos se toquen entre sí, pegándolos luego de manera que resulte formado un anillo, del cual suprimimos mentalmente la parte encolada. También en este caso prescindimos de la acción de la gravedad. He aquí que nuestro habitante de la planicie palidece de espanto. Su mundo se ha conmovido una vez más desde sus cimientos, pues ahora incluso la parte central de la tira de papel, que hasta aquí no había dejado nunca de ser plana, se ha curvado también al convertir la tira de papel en un anillo o, por

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mejor decir, en una porción de superficie cilíndrica. Hemos creado, pues, lo que podríamos llamar un «mundo cilíndrico» y son las consecuencias de semejante creación lo que ha producido tanto pánico en el desconcertado aborigen del plano. Dentro de su mundo se ha reducido ahora a un mínimo la visibilidad de los objetos en una determinada dirección. De continuo se suceden colisiones, pues en dicha dirección apenas si se ve la mano puesta delante de los ojos, aunque luzca el pleno sol de mediodía. Pero el habitante del ex plano hace lo más prudente que pudiera hacerse, dada la situación: explora de nuevo su ambiente. Examina ante todo si la longitud del mundo que habita, medida en aquella dirección en que falla toda visibilidad, sigue siendo normal; pero se da el caso de que han desaparecido los límites. Puede avanzar cuanto quiera en dicha dirección sin alcanzar jamás un límite, un fin. En cambio, muy pronto puede observar que en su marcha alrededor del mundo van sucediéndose indefectiblemente lugares que ya le eran conocidos. ¡No se trata, pues, de un «infinito», pero sí de algo ilimitado!Y de este modo aquel ser llega a la siguiente conclusión: «Mi mundo sigue siendo ciertamente finito, pero en una de sus direcciones se ha convertido en ilimitado.»

Al cortar transversalmente el anillo de papel, nos viene al pensamiento una idea diabólica: torcemos uno de los extremos, haciéndolo girar 180 grados, de manera que la cara interna de este extremo de tira quede al exterior (véase figura 76), y viceversa; a continuación pegamos entre sí los dos extremos así dispuestos, y una vez más consideramos la raya de unión como inexistente. Supongamos, además, que el ser bidimensional no se ha dado cuenta, en absoluto, de nuestra nueva y traicionera intromisión en su

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mundo R2. De modo que, en el fondo, el R2, sigue realmente inalterado, aun cuando lo hayamos torcido notablemente hasta el extremo de presentar un marcado tirabuzón en uno de sus puntos, tal como se aprecia en la figura citada. Examinemos ahora, con más detenimiento, al habitante del espacio plano en su modificado R2. Puesto que su grosor es infinitamente pequeño, es completamente transparente, como lo sería, por ejemplo, el oro, si se batiera en láminas de tenuidad casi infinita. Si bien es puramente bidimensional y tiene, por lo tanto, sólo longitud y latitud, sin el más mínimo espesor, podemos formarnos una imagen más natural de él en nuestro espacio tridimensional R3. Figurémonos a este fin la imagen cinematográfica de una persona (y por mí no hay inconveniente en que sea la de algún favorito del cinema) proyectada sobre pantalla. Pero esta vez la pantalla no ha de consistir en una hoja opaca de aluminio ni de cualquier otro material no transparente o tela, sino en un gran disco de cristal esmerilado, es decir, de vidrio finamente deslustrado, tal como el que se usa en los aparatos fotográficos para recibir y enfocar la imagen. Esta «imagen luminosa en sí», captada en el cristal esmerilado, responde casi exactamente a nuestro ser bidimensional. Si miramos la imagen de frente, esto es, desde una localidad de espectador, veremos la figura en sus relaciones normales: el personaje tendrá su mano derecha realmente al lado derecho, llevará el sable -si lo lleva- a la izquierda, etc. Y si a continuación nos ponemos a mirar por detrás de la pantalla translúcida, veremos exactamente la misma figura, sólo que lateralmente invertida, es decir, que la derecha se ha permutado con la izquierda, y viceversa; con lo que el sable aparecerá colgado del costado derecho, etc. Ocurre lo mismo que en una imagen vista en el espejo. Si hay alguien que no pueda seguirnos con la imaginación, haga el favor de tomar un trozo conveniente de papel secante y, con tinta y pincel, dibuje en él un hombre. La tinta traspasará el papel y originará en el reverso del mismo una imagen reconocible en parte y sensiblemente igual a la que se ha dibujado en la cara opuesta. Ambas imágenes se distinguirán entre sí solamente por el trastrueque de los lados; es decir, cada una de ellas se presentará lateralmente invertida con relación a la otra. Esto mismo ocurre, exactamente, con nuestro hombre bidimensional, porque, al igual que la imagen cinematográfica, carece de espesor, hasta el punto de que la cara anterior es a la vez la posterior.

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Pero, entre tanto, el habitante del espacio plano ha aprovechado el tiempo para explorar detenidamente su mundo, ahora un tanto alterado, y se encuentra en seguida con curiosas mutaciones: le extraña, ante todo, la momentánea aparición y subsiguiente desaparición, no menos enigmática, de amplios límites que no veía desde hacía largo tiempo. En vista de ello, nuestro hombre R2 se decide a emprender de nuevo un viaje de exploración más detenido y comprueba que, en realidad, las cosas no han cambiado mucho desde su última exploración. La visibilidad de los objetos en la dirección de su marcha - esto es, a lo largo del anillo circular- es muy escasa, pues se ve solamente lo que se halla en primer término. En cambio, en la dirección transversal -perpendicular a la primera- los objetos pueden verse ya desde lejos, como antes. En esta dirección el mundo sigue siendo finito, mientras que en la otra dirección continúa siendo, sin duda alguna, ilimitado. Nuestro hombre regresa felizmente al hogar después de su viaje alrededor de este mundo R2, que habíamos curvado de forma tan extraña. Pero el aspecto del recién llegado causa a sus sedentarios paisanos y parientes un indecible espanto. ¡Y es que nuestro viajero regresa... con inversión lateral! ¡Lo que antes se hallaba a su derecha está ahora a su izquierda, y viceversa! El corazón lo tiene ahora a la derecha, a la derecha trae su reloj, y cuando escribe o dibuja toma la pluma o el lápiz con la mano izquierda (suponiendo que los hombres bidimensionales se sirvan corrientemente, al igual que nosotros, de la mano diestra). Nadie cree en lo que ven sus propios ojos, todos asedian al viajero con preguntas acerca de lo sucedido: ¿Cómo diablos habría podido efectuarse tal inversión de todo su organismo? Mas nuestro hombre no sabe qué decir, le parece totalmente incomprensible la enorme admiración y estupefacción de sus compatriotas. Declara que no había observado nada de particular, a excepción del singular fenómeno que ocurrió un día en que las manecillas del reloj se pusieron súbitamente a marchar al revés sin que él hubiese cambiado nada en la maquinaria. Durante días cunde el desconcierto entre los ciudadanos bidimensionales, hasta que al fin se deciden a enviar un nuevo explorador a recorrer el mundo. Mas como quiera que ninguno de los sabios se apresta a afrontar los fantásticos peligros que acechan en el infernal viaje, se elige por unanimidad para tamaña empresa un lisiado semisordo y medio ciego que junta con trabajo los pocos céntimos R2 de cada día tocando el organillo. No sabe

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nada de nada. De la terrible agitación que turba los ánimos de sus conciudadanos no ha oído ni una sola palabra, pues no hace más que tocar hora tras hora su organillo, dándole vueltas al manubrio, con la mano derecha por supuesto. Cargando con el instrumento, del cual no quiere separarse, emprende el anciano alegremente el viaje. Pasado mucho tiempo regresa al hogar patrio.- Declara que lo ha pasado bien durante toda la tra-' vesía; pero, entre tanto, el auditorio le mira con ojos pasmados, pues el viejo mendigo vuelve también trayendo el corazón a la derecha, a la vez que hace girar el manubrio con la mano izquierda, ¡la misma mano que fue antes su derecha y en cuyos dedos resaltan las callosidades producidas por la manija del manubrio a lo largo de los lustros! Resulta, pues, que también nuestro organillero ha regresado con inversión de costados y sin haber experimentado la menor sensación de este total intercambio lateral de su cuerpo y de su organillo. El aplicado lector sospechará sin duda que con estos cuentos pretendemos endosarle gato por liebre tetradimensional. Y, sin embargo, lo que pasa es que hemos sido víctimas de un amargo escarmiento por nuestro empeño de erigirnos en seres superiores. El llevado y traído R2 ha puesto en nuestro camino una trampa, en la cual todo nuestro poder imaginativo ha caído preso como un ratoncillo. Y cuando el que ignore todavía lo que encierra de extraordinario y sorprendente el mundo que hemos producido con la tira de papel retorcida, poblándolo «in mente» de ciudadanos aplanados, vea lo que puede ofrecernos aún de asombroso, moverá maravillado la cabeza al considerar hasta qué punto nuestra vida, incluso la tan insulsa vida cotidiana, está rodeada de fantasmas verdaderamente inquietantes. Comenzando a llamar las cosas por su nombre, diremos que: esa tira de papel que, después de entrelazarla del modo dicho, hemos pegado por sus dos extremos, se denomina cinta de Moebius, en honor del famoso matemático alemán que fue el primero en llamar la atención sobre los relatados sucesos, ridículamente tremendos. Para la realización de nuestro terreno de experimentos conviene a maravilla una tira de papel de unos 6 cm. de anchura por unos 60 a 80 cm. de longitud, que podemos recortar de un periódico del mayor tamaño posible. El truco decisivo consiste, como queda dicho, en que antes de engomar los extremos se procede a torcer uno de ellos (pero, bien entendido un solo extremo), dándole un giro de 180 grados. Basta esto para producir el gran trastorno. Pues, por el hecho de girar uno de sus extremos antes de pegarlo al extremo opuesto, resulta que nuestra tira de papel ¡y esto es matemáticamente exacto!- ha perdido su segundo lado. ¡En

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consecuencia, no le resta más que un solo lado! Y, cosa curiosa, esta superficie unilateral tiene una única línea, de limitación. ¡Difícil de concebir, ciertamente!¡Prueba por ti mismo, querido lector ! Nuestro amigo, al que acabamos de contar esta curiosa historia, se niega a admitir este «engaño». A manera de prueba se dispone a pintar los dos lados - según él estima-, cada uno en un color distinto. ¡Pero sus esfuerzos resultan en vano!¡Para el segundo color... no dispone de ninguna superficie! Y es que de cada una de estas superficies se pasa a la otra sin que uno se dé cuenta de ello; de manera que, en realidad, no hay más que una sola superficie; y si, para repetir la prueba, aplico la punta de un lápiz en el centro aproximado de la anchura de la cinta y trazo con él una raya a lo largo de la superficie, hasta volver de nuevo al punto de partida, veré que la raya de lápiz resulta trazada en las dos caras que aparentemente tiene la cinta. ¡Haz la prueba tú mismo, querido lector !

Si cortamos la cinta de Moebius, tal como se indica en la figura, la cinta no queda dividida en dos partes, sino que se mantiene unida en un sólo trozo. ¡La única diferencia estriba en que ahora es más larga!Con esto hemos preparado un nuevo juego de magia, pues la cinta así cortada puede volverse a cortar de igual modo, y obtendremos dostrozos distintos, pero entrelazados entre sí como eslabones de una cadena. Pero cada una de estas mallas es, a su vez, incortable en dos piezas; es decir que, cortadas longitudinalmente, cada una de las dos nuevas partes dará una nueva cinta más larga. Y únicamente al verificar el corte longitudinal por cuarta vez queda una de las dos cintas partida longitudinalmente en dos partes, dando así lugar a cuatro cintas, etc. Resultado éste que seguramente no podía esperarse de una cosa tan simple como es una tira de papel.

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A lo expuesto queremos añadir todavía que, desde un punto de vista puramente matemático, la cinta de Moebius puede representar un «espacio curvado», esto es, un R2 curvado. Los espacios que presentan propiedades tan sorprendentes como las que hemos puesto de manifiesto se denominan espacios no orientables. Es claro que puede haber también espacios tridimensionales cerrados no orientables, matemáticamente estructurables. Pero del mismo modo que la cinta de Moebius, que es en sí un R2, solamente puede ser establecida y contenida en la dimensión inmediata superior, esto es, en un R3 y resulta que un R3, curvado y tridimensional será preciso que se establezca y se contenga en una dimensión inmediatamente superior; por consiguiente, en un R4. El lector reflexivo no podrá disimular un sentimiento de malestar al darse cuenta de que todas nuestras ideas acerca del ser y del mundo empiezan de pronto a vacilar, y que el edificio de nuestros conceptos fundamentales, de apariencia tan sólida, cruje en toda su estructura como una casa que amenaza ruina por ceder sus cimientos. Mas nosotros permanecemos firmes y con ánimo sereno para poder penetrar en el último capítulo de la presente obra, venciendo todos los horrores que puede despertar en nosotros la imagen de espacios superiores,

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rigurosa y científicamente trazada, que ha de permitirnos alcanzar puntos de vista sobre lo más grandioso y más elevado que podamos concebir. El punto de apoyo de la palanca que ha de abrirnos camino adelante es fácil de hallar. La fábula que en el presente capítulo acabamos de tejer alrededor de R2 hemos de adaptarla al R3, o sea a nuestro propio mundo. Pero para ello es necesario, ante todo, que trabemos conocimiento con el R4j ya que únicamente desde él podemos echar una ojeada sobre este mundo en que vivimos. Así, pues, vamos a convertirnos nosotros mismos en muñecos, como antes lo fue el hombre bidimensional, y confiemos a un ser inimaginablemente superior y más poderosamente organizado que nosotros, un investigador de categoría R4 la dirección del experimento.

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Los horrores dela cuarta dimensión

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LOS HORRORES DE LA CUARTA DIMENSION

¡Cuarta dimensión!¡He aquí una palabra gastada como una moneda vieja!Todos la hemos oído alguna vez por motivos diferentes. A ella va vinculado algo desconocido e inquietante; pues, como ha dicho alguna vez con ironía el excelente humorista Guillermo Busch, en la cuarta dimensión los espíritus y los espectros viven en su casa. Pero la medida de lo inconsistente y lamentable que es todo lo que acerca de la temida cuarta dimensión nos dicen el ocultismo y el espiritismo, queda insuperablemente puesta de relieve por los resultados a que nos llevan las matemáticas y la geometría al revelarnos con su fría y pura objetividad lo que en sí es irrepresentable (41). La cosa se explica fácilmente. Para ello recurriremos de nuevo a nuestra escala termométrica y a los distintos sistemas de coordenadas. En la escala termométrica un punto queda distintamente determinado mediante un solo dato; si, por ejemplo, digo: «el punto se halla a + 3,42°, éste queda ya unívocamente caracterizado. En el sistema normal - esto es, superficial - de 41

Con el fin de prevenir al lector contra sus propias especulaciones, seguramente erróneas, queremos ponerle en antecedentes acerca de lo mucho que alrededor de este tema han ideado ya las más eminentes inteligencias de la humanidad. Fue sin duda Platón el primero en vislumbrar la idea de un espacio superior. Más tarde colaboran en este difícil dominio pensadores tan verdaderamente destacados como Kant, Gauss y Helmholtz. Si quisiéramos reunir todo lo que se ha escrito sobre esta cuestión, coleccionaríamos muy pronto una biblioteca de más de cien volúmenes; esto sin salirnos de los temas que tratamos aquí superficialmente y dejando de lado todo cuanto se ha consagrado a la difícil investigación del problema del espacio en sí.

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coordenadas, que obtuvimos en su forma más sencilla mediante dos escalas graduadas que se cortan en ángulo recto, necesitamos de dos datos correspondientes a los dos ejes, o sea el eje de las x y el eje de las y. Así decimos, verbigracia: el punto se halla en x = + 4 e y = + 3. Ahora viene nuestro sistema de coordenadas de tres dimensiones, cuyo conocimiento hicimos al tratar de determinar la situación del pez en su acuario. Ya en aquella ocasión tuvimos necesidad de tres datos o indicaciones correspondientes a las tres dimensiones del espacio, y por esto dijimos-: «el pez tiene la boca en x = 5, y = 15, z = 21». Dicho de otro modo: sobre la recta un punto queda determinado por un solo dato, sobre el plano queda determinado por dos, y en el espacio se determina por tres. Ahora viene el salto. Si consideramos un espacio en el cual no existan únicamente tres dimensiones perpendiculares entre sí, sino cuatro, es claro que la determinación de un punto en este espacio requerirá un cuarto dato: para esa determinación nos habrán de dar, por ejemplo: x, y, z , v. Pero ahora interviene, airado, uno de nuestros más peligrosos enemigos, el llamado «sentido común», que exclama « ¡Alto ahí!¡Todo eso es una insensatez!» En nuestro mundo el espacio de cuatro dimensiones es algo en esencia imposible. No hay, puede asegurarse, sitio en él para una cuarta dirección, para una cuarta dimensión. Entre nosotros todo lo existente posee latitud, longitud y profundidad (altura). Otra cosa es imposible, no cabe. Así, pues, todo lo que puede pensarse a este respecto ¡es un absurdo o una superchería ! No cabe duda alguna de que la mayoría de mis lectores, pese a lo que hayan oído acerca de las grandilocuentemente enunciadas posibilidades del espacio curvado, se adherirán, plenamente convencidos, a una tal opinión, pues las objeciones aducidas parecen verdaderamente irrefutables. Pero, una vez más, las apariencias nos engañan. En realidad es un juego de niños pulverizar esas objeciones. Veámoslo. La palabra «imposible», según prueban incontables ejemplos tomados de la historia de la humanidad, tiene tan sólo un valor relativo, y aun quizá temporalmente limitado, tal como ocurre con algunas monedas que después de circular durante lustros pierden súbitamente todo poder adquisitivo y toda validez. Tal vez sea cierto, en efecto, que no está en la mano del hombre decidir acerca de lo posible y lo imposible. Pero retrocedamos un poco más de tres siglos Galileo sólo podía concebir como una simple posibilidad la existencia de una enorme estrella en forma de un gran disco de luz ro-

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deado, como el propio Júpiter, de estrellas más pequeñas (sus satélites), antes de haberla visto con sus propios ojos por medio del telescopio. Ptolomeo, Copérnico, Tico Brahe, los tres sabios astrónomos, pero que desconocían todavía el anteojo, habrían recibido sin duda con la expresión de « ¡imposible!» a cualquiera que se les hubiese acercado afirmando que el maravilloso planeta de «feliz augurio» era en realidad una esfera aparentemente un disco- rodeada de satélites, en vez de una simple chispa diminuta de luz. Al genial superhombre que fue Leonardo de Vinci le habría sido sencillamente imposible imaginar que una masa de 600 toneladas de peso pudiera ponerse en movimiento y marchar a una velocidad de ioo a 120 Km. por hora transportando al mismo tiempo un sinnúmero de personas. ¿Y qué habría contestado Goethe a quien le hubiese profetizado que cien años después de su muerte la voz humana podría ser percibida, en todos sus tonos y matices, a través de distancias interoceánicas? Ninguno de los novelistas que escribieron acerca de lo futuro llegó a profetizar la existencia de rayos para los cuales nuestros ojos son ciegos y que, no obstante, atraviesan los cuerpos opacos. Hasta lo infinito podríamos prolongarlos ejemplos, pero creo que con lo dicho queda suficientemente demostrado el escaso valor de las exclamaciones: « ¡Esto no existe!», o « ¡eso es imposible!». Según otra objeción, en nuestro espacio ya no queda sitio para una cuarta dirección, para el cuarto eje v. Pero esta prevención es igualmente insostenible. Pensemos en nuestros hombres bidimensionales: ciertamente, en su mundo de superficies planas no cabe en absoluto una tercera dimensión, una altura, y, no obstante, los hombres bidimensionales se hallaban incluidos, con todo su mundo finito, en nuestro espacio tridimensional R3. ¿Por qué razón nosotros, con todo nuestro mundo finito R3, no habríamos de poder estar alojados en un R4, y si a mano viene en un R5 o en un R17? ¿Por la simple razón de que no hay sitio? Así tenemos a un modesto estudiante que habita una angostísima buhardilla. Es inimaginable que en tan reducido cuartito pudiera instalarse todavía un, piano. ¿Sería razonable que el escolar sacara de aquí la consecuencia de que no era posible que en el mundo existiese un gran piano de cola? No. Si así lo hiciera, deduciría tan desatinadamente como aquel que negase la existencia de la cuarta dimensión por la simple razón de que en nuestro R3 no cabía ya nada más. Es verdad que hasta el presente nadie ha visto jamás un espacio tetradimensional, un cuerpo de cuatro dimensiones mensurable en cm4; pero si bastase esto resultaría que todo un planeta, tal como, por ejemplo, Plutón, no habría

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exístido nunca, hasta hace algunos años, por la simple razón de que nadie lo había visto hasta entonces. Sin embargo, llegó a ser descubierto. Y si alguien quisiera afirmar hoy en día que no puede haber tigres en libertad porque en nuestras regiones nadie los ha visto así, pasaría por persona poco cabal. Y, para terminar: ningún ojo humano ha podido ver nunca un punto verdadero, ni una verdadera recta, puesto que uno y otra son imperceptibles para nuestra vista, adaptada exclusivamente al espacio tridimensional. No se acusa a nuestros ojos nada que no pueda medirse en alguna dirección predominante, del mismo modo que desde la cúspide de una montaña nos será imposible descifrar un periódico que esté extendido en un punto cualquiera del valle. Y, sin embargo, en la vida corriente hablamos y pensamos de puntos y de rectas, es decir, de cosas completamente invisibles que, por añadidura, ni siquiera sabemos definir. ¿Qué dicen las matemáticas a esto? ¡Aquí está la cosa!, pues hace ya, en cierto modo, mucho tiempo que las hermanas Matemática y Geometría afirmaron, lisa y llanamente, ¡la posibilidad de la existencia de tales espacios!La existencia de un R4, R5, R6, etc., es de todo punto posible. Ahora se nos presentan una serie de importantes cuestiones que realmente podrían condensarse en una: ¿Qué sabemos con certeza acerca de la cuarta dimensión? El lector temerá que nos escapemos por la tangente a favor de la aportación de sólo algunas cosillas imprecisas. Pero se engaña. Conocemos, por cierto, toda una serie de pormenores sorprendentes acerca de fantásticos prodigios de la cuarta dimensión. Empecemos, pues, de una manera muy objetiva y elemental, estudiando los cuerpos geométricos que podemos construir en los distintos espacios. Consideraremos aquí también el punto, la recta y el plano como «espacio», y hablaremos, por ejemplo, del espacio R0, cero dimensional, al referirnos al punto, y así sucesivamente. Está claro cómo puede entenderse esto. Para nuestro habitante de las regiones planas, el espacio R2,, bidimensional, el plano es su espacio vital; por consiguiente es un espacio. Para que todo este asunto no se nos aparezca demasiado complicado y poco claro estudiaremos los cuerpos llamados regulares. Son las figuras geométricas, construidas de manera sumamente sencilla. Se encuentran, por ejemplo, en el plano, el triángulo de lados iguales, el cuadrado, el pentágono, el hexágono, etc. -para citar solamente algunas de tales figuras-. Entre ellas nos limitaremos, naturalmente, a las más sencillas posibles. En la «dimensión cero», en el Ro, en el punto, se da el curioso caso de ser el propio punto la estructura más simple. No es muy distinto lo que ocu-

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rre en la recta_ esto es primera dimensión, en el R1,, pues también aquí resulta que es la recta su estructura más simple

Mayor interés ofrece la cuestión en lo que atañe a la superficie plana, al R2, es decir, al plano en que dibujamos. Aquí se considera como estructura más simple al triángulo equilátero. Y ahora entramos en nuestro espacio tridimensional. En éste, y como cuerpo limitado por un menor número de triángulos, tenemos la pirámide de tres caras y cuya base sea también otro triángulo idéntico a los de las tres caras. Este cuerpo más sencillo recibe el nombre de tetraedro. Todas las estructuras simples llevan la designación de simplex de su dimensión respectiva. El punto es, por tanto, el simplex de la Ro; el triángulo equilátero, el simplex de R1; etc. Preguntémonos ahora cómo puede ser el simplex de la cuarta dimensión. A este efecto es de notar lo siguiente: en la superficie plana hay, como es sabido, un número infinita de figuras regulares - o, como podríamos decir, también, en nuestra relación-, cuerpos R2. En nuestro R3, tenemos cinco cuerpos regulares (42): el tetraedro, el hexaedro (o cubo), el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. En el espacio de cuatro dimensiones existen seis cuerpos regulares, uno de los cuales corresponde a nuestro tetraedro tridimensional y constituye el simplex de R4,, que representa en dicho espacio el caso más sencillo de cuerpo regular. ¿Qué aspecto tiene éste? Hemos de llamar aquí la atención del lector acerca de la tremenda catástrofe que pesa sobre nuestro pensamiento y sobre nuestra representación en cuanto a la configuración del Universo y a sus posibilidades. El edificio de nuestra inteligencia, resquebrajado en sus cimientos, se nos desploma sin remedio. La tragedia comienza verdaderamente al tener que afirmar que todos los cuerpos tetradimensionales no pueden ya estar limitados por planos, 42

Estos cuerpos juegan un importante papel, entre otros, como formas cristalinas en la química y la mineralogía.

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sino por espacios. Meditemos, comparemos: en el plano, toda estructura, esto es, todo cuerpo R2, está limitado por líneas; en el R3, o sea en nuestro espacio ordinario, todo cuerpo está limitado por superficies, es decir, por estructuras que posean ya una dimensión más que la recta. Y, por idéntica razón, en el espacio R4, todo cuerpo ha de estar limitado y circundado por cuerpos tridimensionales. Nuestra misma nomenclatura relativa a los cuerpos simples está ya ordenada por superficies planas, o caras; así decimos: tetraedro = cuatro caras, hexaedro= seis caras, etc. Siguiendo este mismo criterio los cuerpos tetradimensionales han de estar limitados por espacios corpóreos, que forman lo que llamamos celdas. Así, el tetraedro del R4, cuya construcción dibujamos - es un cuerpo pentacelular, una estructura que consta de 5 vértices, 10 aristas, 10 triángulos equiláteros y 5 tetraedros laterales como envolvente límite. Asimismo, nuestro machucho cubo se convierte, en R4 en una estructura octacelular que consta de 16 vértices, 32 aristas, 48 cuadrados y 8 cubos. Veamos, de una vez, cómo es un pentacélula o un octacélula, pues de una manera u otra hay que dibujarlos. ¿O es que, en último término, va a claudicar también la geometría descriptiva?... Sí y no, según por donde quiera tomarse

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Ante todo es preciso afirmar que nuestro espíritu, puramente tridimensional, al igual que nuestros ojos, acomodados al espacio de tres dimensiones, son completamente ciegos para captar lo tetradimensional, e incapaces, por tanto, de reconocerlo. En las fronteras del R3 el mundo parece como si estuviera amurallado. Las mentes más selectas han fracasado, sencillamente, al tratar de imaginar lo tetradimensional. El «demoledor» Kant, el pensador más eminente de Alemania, atribuye nuestra incapacidad de imaginar un espacio de más de tres dimensiones a nuestra especial organización psíquica. Gauss, el gran matemático, considera las tres dimensiones del espacio como una característica específica del alma. Helmholtz, el gigante del intelecto, reconoce francamente que «es imposible toda representación del R4 de la misma manera que a un ciego de nacimiento le sería imposible imaginar los colores por muy comprensible que fuese la descripción que de ellos se le pudiera hacer». No obstante, disponemos de figuras correspondientes a cuerpos tetradimensionales. Procuraremos ver cómo se forman, basándonos en el ejemplo dado por la representación adjunta del pentacélula. Tomaremos un punto exterior al tetraedro tridimensional y vamos a suponer que éste es un punto perteneciente a la cuarta dimensión, es decir, determinado por la cuarta coordenada. A partir de él tracemos las rectas de unión con los vértices del tetraedro tridimensional. Visto esto, podremos intentar algo análogo para el cubo. Los resultados obtenidos se indican en las ilustraciones que acompañamos. Es natural que el lector no quede satisfecho de la contemplación de los grabados. ¡A todos nos ocurre lo mismo!Aparte eso, semejantes «imágenes» no podrán lograr de ningún modo tener el aspecto de cuerpos tetradimensionales. Si nos detenemos a examinar la cuestión, llegaremos a caer en el siguiente gracioso disparate: toda imagen plana, es decir, un dibujo, una fotografía, es bidimensional; posee una dimensión menos que el cuerpo R, representado. Así, al fotografiar una locomotora prescindimos de una sola de sus dimensiones, esto es, de la profundidad. Mas al querer proceder de parecida manera con un cuerpo tetradimensional, es decir, al representarlo en el papel, le dejamos de golpe sin dos de sus dimensiones; o sea que además de omitir como antes la profundidad, cometemos la más grave omisión en cuanto a la extensión del cuerpo tetradimensional, es decir, la de su cuarta dirección. Si a una locomotora, que es tridimensional, le quitamos dos dimensiones, su imagen quedará reducida a una sola dimensión, esto

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es, a una recta. Así, pues, si me siento a la mesa en compañía de un amigo y trazo sobre el papel una raya de, por ejemplo, 4 cm. de longitud, y le digo a mi amigo: «¿Ves, tú? Así es el nuevo tipo de locomotora de los Ferrocarriles del Norte. Mi amigo, que me mirará a mí y al dibujo con aire de estupefacción, quedará probablemente tan bien informado respecto de la estructura de las nuevas locomotoras como quedamos nosotros a la vista de los adjuntos dibujos que pretenden representar objetos de la cuarta dimensión. El caso no puede ser más desesperado, pues una raya trazada en el papel lo mismo puede simbolizar un cuerpo cualquiera de tres dimensiones: lo mismo un toro que una torre de iglesia; una locomotora que una suegra; un pelotón de soldados en marcha que la cúspide de una montaña... Así, ante los cuerpos tetradimensionales nos hallamos desarmados de una manera absoluta, pues para su representación, por sencilla que fuese, de poco habrían de servirnos ni el papel ni el lápiz. He aquí, por ejemplo, la esfera tetradimensional, en absoluto verosímil desde un punto de vista matemático. Se halla limitada por un espacio curvo de tres dimensiones, que se define del más sencillo modo como lugar geométrico de todos aquellos puntos de R4 equidistantes de un punto denominado centro. Entre nosotros, en el R2, este lugar geométrico es naturalmente una superficie del mismo modo que en el plano semejante equidistancia determina una circunferencia, es decir, una línea. Pero en el R4 la totalidad de los puntos que equidistan del centro ¡representan un espacio tridimensional!¡Esto resulta ya fantástico!Pero sigamos adelante. El volumen de una esfera vulgar, tridimensional, es, según se sabe, V = 4/3 · π · r3; el área de la superficie esférica equivale a S = 4 · π · r2. Pues bien, en la esfera tetradimensional el volumen se expresa por esta ecuación V = ½ · π2 · r4, y el área por S= 2 π2 r3. Y dando diente con diente vamos a enfrentarnos con una nueva aparición espectral; nada menos que uno de los tres números «fatídicos», el número famoso de Ludolf, que nos ha seguido, por cierto, al reino de los tetradimensionales. Pero este número, que lo mismo en el plano que en nuestro espacio tridimensional y en el de dos dimensiones se ha mantenido consecuente conservando su valor trascendente, de π igual a 3,141593..., se nos presenta aquí convertido en su propio cuadrado; en la cuarta dimensión se nos ha multiplicado por sí mismo, y ahora equivale a 9,869604... Una aullante jauría de diablillos matemáticos cae sobre nosotros y nubla nuestra vista en todas direcciones. Como se deduce después de la más simple reflexión, en el espacio R4 un cuerpo tridimensional y una recta se cortan en un punto, en lugar de dar por intersección una recta como sucede

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en nuestro espacio R3. Y dos planos, que en nuestro mundo se cortan asimismo según una recta, tendrán, en cambio, por intersección en el R4 también un punto. ¡En el R4 la intersección de un plano con un cuerpo tridimensional da solamente una recta!Así, pues, ha de resultar tarea en extremo difícil la de cortar rebanadas de pan en el espacio R4, pues el cuchillo aplicado al pan que queremos cortar no rebanará nada..., ¡produce solamente un conjunto ordenado de puntos, una recta ! ¡Un verdadero infierno suelto! Pero queda todavía por decir lo inimaginable. Si queremos comprenderlo en cierto modo, habremos de retroceder antes hasta nuestros seres bidimensionales. Sabemos de sobra que en el R2 son del todo imposibles determinados procesos que entre nosotros, en R3,, constituyen fenómenos vulgares y corrientes. Recurramos de nuevo a nuestro modelo de plano bidimensional, que, bien mirado, no es más que un espacio completamente aplanado. Superpongamos dos placas de vidrio de tal modo que en ningún punto disten entre sí más de 2 mm.

Esta aproximación al R2,, representada por el intersticio que separa las dos placas, basta para nuestro objeto. En nuestro R2 así dispuesto introducimos un par de cartabones simétricos entre sí, es decir, equivalentes en todos los aspectos, formados por ángulos y lados iguales dos a dos, disponiéndolos de manera que queden «mirándose». Así las cosas, los imagina-

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rios habitantes de R2, no podrán nunca superponer las escuadras por la sencilla razón de que son «lateralmente invertidas», del mismo modo que lo son entre nosotros, por ejemplo, un guante de la mano derecha y uno de la izquierda. Los habitantes de R2, podrán hacer girar y deslizar escuadras sin que abandonen el plano, pero nunca podrán superponerlas de forma que coincidan exactamente. Resulta, pues, que una de las más importantes pruebas de identidad, la congruencia (que quiere decir la posibilidad de superposición), es imposible en el R2. Según parece, los habitantes de R2, pueden reconocer solamente determinados triángulos como «superponibles». Pero la cosa cambia de súbito tan pronto como retiremos la placa de vidrio superior, con lo cual penetramos en nuestro R3,, y levantando ahora sencillamente los triángulos podemos superponerlos de forma que coincidan exactamente. Todo esto es natural y evidente, ¿no es cierto? No obstante, si lo que aquí hemos hallado lo «elevamos» a los R3, y R4, sentiremos correr un escalofrío por nuestra espalda; es decir, si establecemos paralelos con lo hallado en las dimensiones inferiores. En nuestro mundo hay también cuerpos que pudiendo ser considerados como exactamente iguales no son «superponibles»; tal es el caso citado de los guantes, botas y otros. Pero es natural que si trasladásemos al R4 estos objetos, una vez allí podrían ser manejados de tal modo que se correspondieran inmediatamente en todos sentidos y en todos sus puntos. Esto es inconcebible. En efecto: sobre la mesa tenemos un par de guantes nuevos; un experimentador habitante del R4 toma uno de ellos. El guante desaparece en seguida de nuestra vista de modo absolutamente inexplicable, pues el manipulador se halla en el R4, del cual no columbramos nada. Dos segundos más tarde, el guante vuelve a caer sobre nuestra mesa, y... sin que haya habido la más mínima alteración en su estructura, resulta que los dos guantes son ahora enteramente iguales entre sí, es decir, que tenemos delante dos guantes de una misma mano, ambos de la derecha o ambos de la izquierda. Con igual facilidad, el hombre del R4, que tuviera absoluto dominio sobre nosotros, podría en una fracción de segundo convertir de nuevo los dos guantes en un par corriente; y así sucesivamente mientras le pluguiera divertirse viendo el gran susto que indudablemente habría de producirnos el inexplicable prodigio. La serie de conclusiones que podrían deducirse de semejante hipótesis son en verdad desoladoras. Un hombre conducido durante sólo un breve instante al R4 podría, por una sencilla torsión, regresar tan «alterado» que a partir de ese instante su corazón latiría del lado derecho; y además sus manos y sus pies

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nos y sus pies no se distinguirían ya en derechos e izquierdos, sino que serían idénticos. Los fabricantes de guantería y de calzado de R4 no necesitarían producir más que guantes de una sola mano y zapatos de un solo pie, pues sobre ambos pies o manos sentarían bien, de igual manera que un sombrero se ajusta a nuestra cabeza, salvo únicamente la variación de medidas, pero con eliminación del problema de derecha o izquierda... Los oídos empiezan a silbarnos. Pero ¡lo último, lo más terrible, queda todavía por decir ! Para ello será preciso que volvamos de nuevo a nuestros hombres bidimensionales. Supongamos - para facilitar la realización del experimentoque su mundo plano está formado ahora de papel secante. Sigamos suponiendo que en su mundo de papel secante poseen esos hombres un tesoro importante, que habrán de proteger, naturalmente, contra posibles ataques de los salteadores bidimensionales, catástrofes, etc. Simbolizamos semejante tesoro por un punto marcado con lápiz tinta sobre la superficie del papel secante. Admitamos que el agua, que sería ávidamente absorbida por el papel secante y que borraría el punto trazado con el lápiz tinta si llegase a alcanzarlo, representa los ladrones. ¿Cómo proteger el tesoro contra el asalto del agua que avanza por el papel secante? Muy sencillamente: trazando alrededor del punto un anillo de grasa. Si en estas condiciones avanzase el agua, ésta no podría atravesar la barrera de aceite o de grasa, y la huella de tinta quedaría bien a salvo. Con lo cual se demuestra que los bidimensionales han logrado en su plano aislar un cuerpo R2 de modo enteramente inaccesible, por haber trazado en torno del mismo una figura perfectamente cerrada. Un punto, el centro, por ejemplo, de una circunferencia, o de un cuadrado, queda totalmente aislado por la línea trazada en derredor; y si ésta resulta perfectamente infranqueable el punto será inaccesible. Pero he aquí que se nos ocurre de nuevo jugar a seres superiores, y con un cuentagotas alcanzamos desde arriba, desde el R2,, el tesoro simbolizado por el punto de lápiz tinta. En el mismo instante de ser tocado por la gota de agua, se desvanece el tesoro, ¡y lo habremos alcanzado y destruido sin haber ni siquiera tocado la muralla protectora!¿Por qué? ¿Cómo ha podido ocurrir eso? Pues por la sencilla razón de que al mundo R2 (en el cual había conseguido cercar el tesoro de manera que no pudiese ser alcanzado dentro de las posibilidades y juego de dimensiones propias del mundo), lo hemos atacado desde el R3,. Para expresarnos de distinto modo: las estructuras amuralladas de R2,, es decir, círculos, elipses, rectángulos, triángulos, etc., resultan abiertos en la dirección de R3, y, siguiendo esta dirección, ha sido posi-

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ble penetrar en un territorio cerrado, sin necesidad de atacar las murallas que lo limitan.

Las conclusiones que sacamos de aquí por lo que afecta al vulgar R3 son desoladoras. ¡Los últimos restos de nuestra herencia intelectual, que creíamos tan bien asegurada, se vienen abajo!¡Todo aquello que podíamos suponer inconmovible yace en ruinas, pues con lo dicho no será necesario demostrar que todos los cuerpos herméticamente protegidos desde nuestro punto de vista del R,, se hallan completamente a descubierto en la dirección del R4! Y el siniestro experimentador de la cuarta dimensión podría «forzara nuestros «cofres» y nuestras cámaras acorazadas por muy herméticamente cerradas que estuvieran, y esto sin necesidad de destruir las paredes y ni siquiera tocarlas; le bastaría hacer lo que hemos hecho nosotros con el tesoro de los hombres bidimensionales que, a pesar de estar encerrado en su hermético anillo de grasa, no pudo resistir el ataque del cuentagotas procedente del R3,. Esta afirmación es aplicable al fin de todas las cosas materiales. Intentemos pintar el cuadro de un caso de esta destrucción total: en el espacio R3, un vaso de agua retiene con perfecta seguridad su contenido, a menos que se nos vierta. Si llevásemos el vaso al espacio R4,... en el mismo instan-

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te de llegar a él veríamos que el agua fluiría del vaso como si hubiésemos arrancado el fondo de éste. Y hasta en el caso de que llenásemos de agua una esfera de acero y cerrásemos el agujero de entrada con soldadura autógena, al llevarla al R4 fluiría también el agua, sin contención posible y sin que pudiésemos descubrir ni el más leve resquicio en la intacta pared de acero; y es forzoso que ocurra tal como decimos, porque la esfera - que es, por decirlo así, el cuerpo más cerrado que podamos imaginar- está también abierta en lo que afecta a la cuarta dimensión... Y por esta razón, un habitante del R4 podría leer sin dificultad en uno de nuestros libros cuyas páginas estuvieran pegadas unas a otras. Pero a quien le iría peor en el R4 es a cualquiera de nosotros mismos. Nuestro cuerpo es también rigurosamente tridimensional, y si bien está, por lo tanto, eficazmente resguardado por lo que se refiere al R3, está, por el contrario, abierto por entero para el R4 y demás espacios superiores. El hombre del R4, podría llevar a cabo, tanto en nuestros miembros como en todos nuestros órganos, operaciones quirúrgicas fabulosas. Para nosotros sería un cirujano incomparable, puesto que podría intervenir en todos nuestros aparatos funcionales, que aparecen ante él completamente al descubierto, sin velos, y operar sin necesidad de tocar siquiera la piel que recubre nuestro cuerpo. Supongamos que por descuido hemos tragado un alfiler. La consecuencia puede ser una grave herida interna y aun la muerte. Es cierto que nuestros médicos pueden también mucho: con auxilio de los rayos Roentgen se determina primeramente la posición del alfiler; pero luego, para llegar al cuerpo perjudicial y extraerlo, es preciso abrir cruelmente con el bisturí un camino a través de nuestro cuerpo. Pero si pudiéramos ir a consultar con nuestro hombre del R4, que puede hacer con nosotros lo que se le antoje, cogería con una dulce sonrisa la aguja: al primer vistazo la habría descubierto en nuestro cuerpo, del mismo modo que se descubre una pulga sobre un papel blanco, y la extraería en seguida sin causarnos la más insignificante herida ni el más ligero sufrimiento. En cambio, tendríamos que guardarnos con la mayor precaución, como de la peste, de exponernos al menor contacto con el espacio tetradimensional; pues, en cuanto un dedo de nuestra mano penetrara en él, se habría acabado todo. En ese mismo instante se abrirían todos nuestros vasos: la sangre fluiría, de repente, en la cuarta dirección, que, está «abierta», y nos desangraríamos sin haber recibido la más leve herida. Y si penetrásemos del todo en ese cuarto espacio, al instante moriríamos...

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Del mismo modo que en el R3, no es representable ni posible ninguna estructura bidimensional (43), tampoco nosotros, seres del R3, podríamos tener existencia en el R4 o en otro espacio superior. Y hasta es discutible si en el espacio R4 puede subsistir la materia como tal, en la forma que nos es conocida. Recurramos otra vez a las enseñanzas que nos depara el R2. En la superficie plana, o en nuestro R3,, hay algunas estructuras que mantienen firme el mutuo apoyo de sus componentes, cuando están privadas de movimiento en determinadas direcciones. Se comprende, por ejemplo, que si en una de nuestras representaciones aproximadas del R2j o sea en el delgadísimo espacio comprendido entre dos placas de vidrio, disponemos una cadena cuyos eslabones sean trozos de alambre uniformemente curvados, pero todos ellos abiertos en parte, esta cadena opondrá de seguro resistencia a cualquier intento de tracción, a condición de que permanezca en dicho espacio. Pero si, esta misma cadena la suspendemos libremente en el aire, se deshará en el acto en eslabones sueltos, a causa de que éstos ya no están retenidos ni apoyados uno en otro, en el sentido de la tercera dirección del R3, (esto es, hacia arriba y hacia abajo). Algo semejante ocurre con los conocidos juguetes llamados «rompecabezas». Las piezas sueltas de cartón, que están convenientemente recortadas, ajustan bien unas a otras en tanto se mantienen colocadas sobre un plano; pero si se las deja suspendidas libremente en el espacio, la combinación se deshace inmediatamente, como es natural. De aquí pueden sacarse obligadas conclusiones acerca de lo que ocurriría si determinadas combinaciones corpóreas, que se mantienen muy sólidamente ligadas en el espacio R3, se llevaran al R4. Así, dos anillas que en el espacio R3, estuvieran tan sólidamente enlazadas que para separarlas fuese necesario destruir una de ellas, podrían separarse sin el menor trabajo al estar situadas en el espacio R4. Y si en el R4 no puede subsistir ninguna cadena, por descomponerse en sus eslabones, habría de ocurrir lo propio con los hilados y los tejidos, que si 43 Una sugestiva ilustración acerca de esto, y aun no del todo convincente, nos la proporciona la única estructura bidimensional, aproximadamente exacta, posible en nuestro R3 esto es, la imagen proyectada. Si colocamos una película o una diapositiva en la cámara de proyección, damos luz y proyectamos las imágenes en el espacio vacío, nada percibiremos de momento. Es necesario que interpongamos en el cono de luz un plano corpóreo, una pantalla, para que surja la imagen clara y nítida. Pero tan pronto como diéramos a ésta la posibilidad de adquirir corporeidad dotándola de profundidad, cosa que. podría realizarse proyectándola, por ejemplo, sobre una cuba de vidrio con un líquido algo turbio (leche muy aguada), la imagen se desvanecería, corriéndose y haciéndose indistinta.

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bien en el espacio tridimensional resisten con firmeza en virtud de la torsión y el ligamento de trama y urdimbre, deberían ceder inmediatamente en el R4. Tampoco habría de ser distinto lo que ocurriese en estas condiciones al complejo de nuestro cuerpo. Y hasta un trozo del más tenaz acero habría de sufrir notable alteración en R4, pues las partículas elementales de esta masa metálica quedarían en libertad por la pérdida total de cohesión. Si alguna vez se hiciera sentir sobre nosotros la siniestra influencia del R4 o de cualquier otro espacio superior, habría llegado el fin de todas las cosas, la, total disolución de todo lo existente. En tal caso, el R4 habría de significar para nosotros algo así como una especie de Juicio Final... Solvet saeclium in fanilla. El mundo se resolverá en cenizas, dice el canto litúrgico. Para realizarlo en un instante, el Omnipotente no necesitaría más que trasladarnos al R4... Entre los escombros a que quedó reducida toda nuestra concepción del Universo, al aceptar el R4, subsisten todavía en pie dos trozos de muro que es menester triturar por comppleto, con el fin de poder barrer más fácilmente el polvo y los cascotes. Volvamos por última vez a considerar nuestros seres planos. Pero en esta ocasión no vamos a admitir su convencional mundo de papel, al objeto de permitirnos una ligera “bromita”. Con una aguja que suponemos candente, al rojo blanco, daremos un pinchazo en este mundo R2,. Como es natural, sus habitantes advertirán en seguida la luz y el calor. Verán también de dónde emana el fenómeno. Pero ¿cómo? En efecto, según ya sabemos, no les es posible penetrar con su vista en R3,, y solamente pueden ver lo que pasa en R2. Así, pues, del cilindro de hierro, representado geométricamente por nuestra aguja candente, no ven más que un círculo y precisamente aquel en que el plano de R2, corta al cilindro de acero. En rigor ni siquiera ven el círculo mismo, sino sólo una recta, un trazo, puesto que han de contemplar dicho círculo en una dirección rasante a su plano. Pero como quiera que este trazo visto desde cualquier punto presenta un mismo diámetro, pueden sacar con facilidad la consecuencia de que ha de tratarse, necesariamente, de un círculo, y los hombres de R2, exclaman, poseídos de júbilo « ¡Nos ha salido un círculo que nos emite luz y calor!» Y también a nosotros, habitantes del R3, nos pasa lo mismo que a ellos, al pretender mirar hacia el R4, esto es, en dirección a la cuarta dimensión del espacio. Si nuestro experimentador R4, en su papel de superhombre, toma un gigantesco cuerpo R4 radiante y lo dirige de manera tal que una parte del mismo ilumine dentro de nuestro R3,, sucederá que, de análogo modo que la intersección de R2, con un cilindro era un círculo, la intersec-

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ción del cuerpo tetradimensional al cortar nuestro espacio resultaría ser una esfera. Y haciendo lo mismo que hicieron los hombres R2 al comprobar con júbilo la aparición de la luz en su espacio, exclamaríamos entonces: « ¡Con qué esplendor irradia hoy la esfera del Sol su calor y su luz sobre nosotros!» Nadie nos obliga, ni la ciencia lo exige, que consideremos el Sol y otros astros como cuerpos de intersección de estructuras tetradimensionales que penetran en nuestro espacio. Nos contentamos admitiendo simplemente, y sin tropezar por ello con ninguna dificultad de concepción ni de imaginación, que el Sol, la Luna y las estrellas son cuerpos esféricos de tres dimensiones. Lo más desconcertante está, sin embargo, en que si alguien quisiera concebir los astros como fenómenos secundarios promovidos por estructuras tetradimensionales, carecemos hasta del mínimo indicio de prueba que nos permitiese afirmar: « ¡Eso es absolutamente imposible!» « ¡No puede ser así!» De modo que los últimos restos de la ruina de nuestro conocimiento, los que creíamos todavía firmes como rocas, no son tampoco en realidad más que polvo: un montón de escombros inútiles.

Epilogo

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EPILOGO

Hemos llegado al fin; y en rigor no nos queda más que un indecible horror, un espanto indescriptible. Como a través de la rendija -de un telón, nuestra mirada espiritual ha podido posarse, sólo de paso, en el arsenal y taller de Dios Omnipotente. La más fría y objetiva de las ciencias nos ha permitido vislumbrar por unos momentos lo que está sobre todo vedado a los ojos humanos. Mas, ante tal visión, nos sentimos presa de la helada fiebre del terror y sobrecogidos de angustia y desesperación; y es bien comprensible que, una vez más, el lector se pregunte: «Pero ¿es todo ello verdaderamente tan espantoso? ¿O se trata solamente de una desatinada fantasmagoría geométrica; de la caricaturización, desmesuradamente aguzada y forzada, de una ciencia? ¿No será realmente que el vuelo de la fantasía en torno del R4 nos haya conducido a la enajenación mental? ¿Quién puede protegernos contra la irrupción, siempre posible, de la cuarta dimensión?» Estas preguntas pueden ser contestadas de diversa manera. Comencemos por la última: únicamente la Providencia, que nos instaló en el R3, que nos creó y que formó en sus más mínimos detalles nuestro mundo tridimensional, podrá protegernos también frente a todas las otras posibilidades. Así, pues, el R4 nos cierra todas las salidas menos la que conduce a Dios... por su omnipotencia. ¡Inmensa enseñanza que hemos podido lograr de nuestra excursión ! Queda sin resolver el problema que nos plantea la existencia de ese mundo de la cuarta dimensión, de ese mundo R4,. Podríamos buscar la solución en el espacio universal, en el reino de la Astronomía o, por mejor decir, de la Astrofísica, porque a fin de cuentas todo irá a parar a la cuestión del modo de ser de nuestro espacio universal. Pero aquí nos espera otra sorpresa. Por mucho que difieran las opiniones y por muy discutido que sea todavía el alcance de la cuestión, hay una cosa innegable, y es que resulta más verosímil la hipótesis de que a nuestro alrededor se extiende una dimensión mayor que el R3,, en la cual nos hallaríamos «alojados», que la suposicion de que estamos dentro de un espacio infinito, extendido en línea

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recta, euclidiano, es decir, un espacio tal como nos lo imaginamos de ordinario. Con toda brevedad vamos a exponer el orden de ideas que nos ha conducido a este curioso resultado; si optamos por representarnos el espacio universal como infinito y tridimensional, caemos en contradicciones irreconciliables, que en definitiva podrían concretarse en el cómico enunciado siguiente: Si la cosa fuese tal como suponemos que es, no podría entonces ser tal como es realmente. Por atónitos y defraudados que nos deje ese «sofístico» juego de palabras y frases, hemos de comprender que es la única conclusión a la que podemos llegar dentro de la citada hipótesis del espacio infinito de tres dimensiones. Efectivamente: en primer lugar, la aceptación de un Universo infinito, del que puede decirse que en cierto modo está densamente poblado por astros que emiten rayos lumínicos, está en flagrante contradicción con el fenómeno de la falta de luz al que llamamos noche y que sería inconcebible en medio de una verdadera infinidad de estrellas. Si fuese infinito y rectilíneo, toda la extensión visible del firmamento debería estar ocupada, sin la menor interrupción, por sucesivas filas de esos grupos tan brillantes y centelleantes, tan luminosos y radiantes; de modo que, por contraste, la Luna y los planetas se destacarían como discos obscuros en un cielo inundado de luz. Por otra parte resultaría inimaginable la acción de la gravedad, pues la infinidad de masas repartidas por todo el infinito debería anular, ipso facto, la atracción de la Tierra, la del Sol, etc. De suerte que el conjunto de nuestro sistema solar no podría subsistir ni un instante como tal, por falta del nexo común: la mutua atracción de las masas. Y si, mudando de criterio, nos decidimos a aceptar sólo un número finito de cuerpos celestes, encerrados en una esfera de radio finito, caemos, como por desquite, en la difícil y poco satisfactoria concepción de un mundo condensado en un determinado espacio más allá del cual no existe nada. Esto es lo que se trata de evitar aceptando la curvatura del espacio. En esta última hipótesis, el espacio deja ya de ser infinito y vuelve sobre sí mismo como una curva cerrada. Esto es evidentemente difícil de concebir, pero sirve de puente para poder salvar, entre otras, las dificultades que hemos enumerado. La consecuencia inmediata de toda curvatura del espacio es la hipótesis que admite la existencia de una dimensión más elevada. Comprendiendo que una chapa curvada no puede ser colocada de plano en una carpeta plegable, se comprende que tampoco el R3, curvado cabrá en el

Epilogo

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R3 plano, y que por lo tanto habrá de hallarse «contenido» por lo menos en un R4, o en un R5 o incluso en un R6. Sigue todavía la encarnizada y estrepitosa lucha de opiniones en torno al problema que hemos esbozado. Existen como una docena de teorías diferentes sobre el espacio universal y entre ellas figuran algunas que acentúan, y no poco, los tonos sombríos con que hemos tratado de pintar aquí la cuarta dimensión. Así, por ejemplo, se atribuye al espacio curvo elíptico el prodigio de la inversión lateral; en él se realizaría, pues, lo mismo exactamente que ocurre en la conocida cinta de Moebius. Por otra parte, existen también los llamados mundos del «espacio-tiempo», en los cuales están a la orden del día las más disparatadas imposibilidades. Existen mundos en los que el espacio se revuelve sobre sí mismo y en los que, por consiguiente, cada uno puede ver su propio occipucio. Pero más francamente aterradora es aún la «curvatura del tiempo», esto es, la posibilidad de que el tiempo, curvándose, vuelva sobre sí mismo, pues en un mundo de tal manera organizado, el tiempo volvería a pasar siempre por los mismos «puntos»; todo lo sucedido se repetiría de nuevo, aunque para la repetición de una ocurrencia hubiera de pasar un intervalo de tiempo inimaginablemente largo, un tiempo que pudiera contarse por trillones y cuatrillones de años. En el caso de ser admisible un Universo organizado así, Sócrates volvería a enseñar en el ágora de Atenas, César volvería a morir asesinado por Bruto, y América volvería a ser descubierta, con la particularidad de que esto no habría de repetirse una sola vez, sino cien, mil, infinitas veces. La inmediata consecuencia de ello es que todo lo que suceda habría de ocurrir forzosamente, por estar determinado ya así desde el origen. Y si se confiere al tiempo la cualidad de dimensión, todos nuestros conceptos se vendrán al suelo, irremisiblemente, tan pronto como intentemos hacer experimentos sobre esta base, aunque no sea más que con el pensamiento. Pero ¿es que todo esto ha de ser meditado de veras y creído? Eso es, por decirlo así, cuestión de gusto. Ninguna de esas teorías se halla en flagrante contradicción con ninguna de las posibilidades matemáticas; a ninguna de ellas podría acusarse de no estar de acuerdo con los hechos obser vables. En cambio, es también cierto que ninguna de dichas teorías es demostrable, al menos en el sentido que permitiera declarar concretamente: «Así es, y no de otra manera.» En vista de estos hechos y de estas posibilidades, no nos queda otro remedio que resignarnos en silencio y contemporizar. El consecuente desarrollo de los conceptos ya admitidos y sobradamente demostrados ha devastado todos nuestros caudales de imaginación y

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El prodigioso jardin de las matemáticas

de representación. En cierto modo nuestras propias concepciones se han precipitado sobre nosotros y nos han atropellado y vencido. Y así, para terminar, no me queda más que reproducir las elevadas estrofas de Schiller, inspiradas en la imposibilidad de reconocer siquiera la inmensidad del espacio recto, euclidiano, que a nosotros ha llegado a parecernos tan «simple». ¡Abate ya tus alas, pensamiento de águila!¡Fantasía, audaz velera, echa aquí el ancla del desaliento !