El Descubrimiento Del Calculo Infinitesimal

Chapter 1

EL DESCUBRIMIENTO DEL CALCULO

1.1

Introducci´ on.

Isaac Newton (1642-1727) en 1664-1666 y G. W. Leibniz (1646-1716) en 1675 descubrieron independientemente el c´alculo diferencial e integral. Sus enfoques y conceptos son distintos, pero llegan b´asicamente a los mismos resultados, llegando a un c´ alculo tambi´en algo distinto del que usamos ahora. Hasta entonces, en el periodo 1615-1660, se hab´ıa usado el c´alculo infinitesimal por matem´aticos de gran talla como Kepler, Cavalieri, Torricelli, Pascal, Fermat, Wallis, Gregory, Barrow, etc. Pero los m´etodos para hallar cuadraturas, y tangentes a curvas o problemas relacionados eran como una especie de matem´atica artesanal donde cada ejemplo resolv´ıa un problema concreto, bien adaptado a la forma particular de cada objeto en cuesti´ on. El gran m´erito de lo que llamamos c´alculo diferencial e integral es el de ser un algoritmo general que vale para todas expresiones anal´ıticas a la vez y que se basa en que los procesos de c´alculo de tangentes (derivaci´ on) y cuadraturas (integraci´on) son procesos inversos el uno del otro. Isaac Newton (1642-1727) fue profesor de matem´aticas en Cambridge y luego jefe de la casa de la moneda en Londres. Sus principales ideas fueron desarrolladas en 1664-1666 cuando estaba recluido en su casa natal de Lincolnshire, ya que el Trinity College de Cambridge, donde Newton era estudiante, estuvo 1

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cerrado por la epidemia de la peste. Alli desarroll´o sus ideas de la gravitaci´on universal, de la teor´ıa de los colores y sobre la serie del binomio y el c´alculo de fluxiones. De naturaleza entonces t´ımida era reacio a publicar sus resultados, para asi evitar las posibles cr´ıticas y controversias de sus contempor´aneos. En Octubre de 1666 escribi´ o un tratado sobre fluxiones y en 1669 De analysi, un tratado sobre series infinitas que circul´o en forma de manuscrito entre los miembros de la Royal Society. Hay otro tratado sobre fluxiones y series infinitas de 1671 y otro sobre la cuadratura de curvas de 1693. Sin embargo estos fueron publicados hasta bien tarde y algunos s´olo lo fueron despu´es de su muerte. De analysi fue publicado en 1711 y el tratado sobre cuadratura de curvas, De Quadratura Curvarum de 1693 apareci´o como un ap´endice de su Opticks en 1704. Su obra m´ as famosa, donde expone su teor´ıa de la gravitaci´on universal, los Principia, fue publicada en 1687, pero sus argumentos son muy geom´etricos y s´olo dan una idea de sus m´etodos del c´alculo infinitesimal. De entre el trabajo matem´atico de Newton, profundo y poderoso, se pueden distinguir algunos temas centrales. Estos son los desarrollos en serie de potencias, en especial el desarrollo del binomio, algoritmos para hallar ra´ıces de ecuaciones y de inversi´on de series, relaci´on inversa entre diferenciaci´on e integraci´ on y el concepto de fluentes y fluxiones como variables que cambian en el tiempo. Newton estuvo muy interesado tambi´en en ´optica, din´amica, alquimia, cronolog´ıa de la historia y en la interpretaci´on de las sagradas escrituras. Gotfried Wilhem Leibniz (1646-1716) era hijo del vice-presidente de la facultad de filosof´ıa de la universidad de Leipzig. De joven, estudi´o filosof´ıa, derecho y lenguas cl´ asicas. Su principal inter´es estuvo centrado en desarrollar una especie de lenguaje simb´olico para representar los conceptos fundamentales del pensamiento humano y las maneras de combinar estos s´ımbolos para llegar a conceptos m´ as elaborados. Esta idea filos´ofica, que tiene relaci´on con la combinatoria, fue ya algo en parte elaborada por franciscano mallorqu´ın Ram´on Llull (1235-1316) en su Arte Luliano. Poco despu´es de acabar sus estudios, Leibniz empez´o en 1672 una misi´on diplom´ atica en Paris donde permanecer´ıa unos cuatro a˜ nos hasta 1676. All´ı conoci´ o a numerosos fil´osofos y miembros de la alta sociedad, en particular al holand´es C. Huygens (1629-1695), entonces miembro de la reci´en creada Acad´emie Royale des Sciences. Como curiosidad Huygens le plante´o a Leibniz que hallara la suma de los inversos de los n´ umeros triangulares. Mediante sumas y diferencias Leibniz fue capaz de hallar la suma de esta serie y entonces creci´ o su inter´es en estudiar matem´aticas, cuya formaci´on hasta entonces hab´ıa sido muy escasa. Huygens le recomend´o que leyera la renovada edici´on en lat´ın de van Schooten de la G´eometrie de Descartes y los trabajos de Pascal. La entrada matem´ atica de Leibniz fue entonces impresionante, ya que le llev´o al descubrimiento del c´ alculo en 1675 y su elaboraci´on y publicaci´on en dos cortos art´ıculos del Acta Eruditorum despu´es en 1684 y 1686, el primero sobre c´alculo diferencial y el segundo sobre c´alculo integral. El trabajo de Leibniz se conoce principalmente por los numerosos art´ıculos que public´ o en Acta y por sus cartas personales y manuscritos que se conservan

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en Hannover. Entre estos documentos est´an los manuscritos fechados el 25, 26 y 29 de Octubre y el 1 y 11 de Noviembre de 1675 donde Leibniz estudia la cuadratura de curvas y desarrolla su c´alculo diferencial e integral. Uno de los ingredientes fundamentales R del c´alculo de Leibniz son las reglas para la manipulaci´ on de los s´ımbolos “ ” y “d” de la integral y la diferencial. Esto refleja sus ideas filos´ oficas de buscar un lenguaje simb´olico y operacional para representar los conceptos e ideas del pensamiento de tal manera que los razonamientos y argumentos se puedan escribir por s´ımbolos y f´ormulas. En matem´ aticas su c´ alculo es en parte esto, un algoritmo para escribir los m´etodos geom´etricos de cuadraturas y tangentes por medio de s´ımbolos y f´ormulas. Las otras dos ideas fundamentales del c´alculo de Leibniz son la relaci´on entre la sumas de sucesiones con las diferencias de sus t´erminos consecutivos y el llamado tri´angulo caracter´ıstico. Leibniz pas´ o la mayor parte del resto de su vida en Alemania, como consejero del duque de Hannover. Aparte de la invenci´on y del desarrollo de su c´alculo y en la soluci´ on de problemas geom´etricos y de ecuaciones diferenciales, Leibniz tiene otros trabajos en solvabilidad de ecuaciones y determinantes y escribi´o y contribuy´ o enormemente en pr´ acticamente todos los campos del conocimiento humano, religi´ on, pol´ıtica, historia, f´ısica, mec´anica, tecnolog´ıa, l´ogica, geolog´ıa, lingu´ıstica e historia natural. Aunque oscuros y dif´ıciles de leer, los dos art´ıculos de Acta de Leibniz de 1684 y 1686 fueron leidos por los hermanos Jakob y Johann Bernoulli. Jakob Bernoulli era profesor de matem´ aticas en Basilea y su hermano Johann, unos trece a˜ nos m´ as joven, le sucedi´ o despu´es en 1705. Ambos entendieron notablemente el simbolismo y los conceptos de Leibniz y publicaron varios art´ıculos en Acta a partir de 1690. Despu´es iniciaron una intensa y productiva correspondencia con Leibniz, resolviendo en unos pocos a˜ nos numerosos problemas en los que el nuevo c´ alculo demostr´ o toda su fuerza, tales como el la isocrona, la catenaria, la tractriz, la isocrona parac´entrica o la braquistocrona.

1.2 1.2.1

W.G. Leibniz (1646-1716). Sumas y diferencias.

Cuando a sus 26 a˜ nos conoci´ o en 1672 a Huygens en Paris, ´este le plante´o el problema de sumar los inversos de los n´ umeros triangulares 1 1 2 1 1 1 + + + + + ··· + + ··· 1 3 6 10 15 n(n + 1) Leibniz observ´ o que cada t´ermino se puede descomponer como   2 1 1 =2 − n(n + 1) n n+1 de donde       1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + ··· = 2 1 − +2 − +2 − + ··· = 2 1 3 6 10 15 2 2 3 3 4

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Leibniz, tal como hizo en la suma de la serie de los inversos de los n´ umeros triangulares, consideraba sumas y diferencias de sucesiones de n´ umeros. Observ´ o por ejemplo que dada la sucesi´on a0 , a1 , a2 , · · · , an , si consideramos la sucesi´ on de diferencias d1 , d2 , · · · , dn , donde di = ai − ai−1 . Entonces d1 + d2 + · · · + dn = (a1 − a0 ) + (a2 − a1 ) + · · · + (an − an−1 ) = an − a0 es decir, la suma de diferencias consecutivas es igual a la diferencia entre el u ´ltimo y el primer t´ermino de la sucesi´on original. Por ejemplo, dada la sucesi´on de cuadrados 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, · · · , n2 sus primeras diferencias son 1, 3, 5, 7, 9, 11, · · · , 2n − 1 ya que i2 − (i − 1)2 = 2i − 1. Luego se sigue que la suma de los n primeros n´ umeros impares es n2 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 Leibniz utiliza este m´etodo en otros casos. Por ejemplo en relaci´on a la serie geom´etrica 1, q, q 2 , . . . , q n , . . . obtiene

∞ X

qn =

n=0

1.2.2

1 1−q

El c´ alculo de Leibniz.

Leibniz no tard´ o en aplicar a la geometr´ıa sus observaciones de que las sumas de sucesiones y sus diferencias consecutivas son procesos inversos el uno del otro. Consideremos una curva como la de la figura donde aparece una sucesi´on de ordenadas equidistantes y1 , y2 , y3 , . . . , yn

Si suponemos que la distancia entre estas ordenadas es 1, entonces su suma y1 +y2 +y3 +· · ·+yn es una aproximaci´on de la cuadratura de la curva, mientras que la diferencia entre dos sucesivas yi0 s da aproximadamente la pendiente de su

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tangente. Adem´ as, cuanto m´ as peque˜ na sea la unidad 1 elegida, mejor ser´a la aproximaci´ on. Si la unidad se pudiera elegir infinitamente peque˜ na, entonces las aproximaciones ser´ıan exactas, la cuadratura ser´ıa igual a la suma de ordenadas y la pendiente de la tangente ser´ıa igual a la diferencia de ordenadas. De esta forma y por su analog´ıa con las sucesiones num´ericas, Leibniz observa que la determinaci´ on de cuadraturas y el c´alculo de tangentes son operaciones inversas la una de la otra. Leibniz considera una curva como una poligonal de infinitos lados donde dy es la diferencia infinitesimalR de dos ordenadas consecutivas, dx la diferencia de dos abscisas consecutivas e ydx representa la suma de los peque˜ nos rect´angulos infinitesimales ydx. De esta forma el teorema fundamental del c´alculo aparece como obvio. Esto es, para hallar el ´ area debajo de una curva con ordenadas y, debemos hallar dz una curva de ordenadas z de tal manera que dx = y, en cuyo caso es tambi´en R ydx = z. En la primera notaci´ on de sus manuscritos Leibniz escribe omn · ` = y donde omn es omnia, que en lat´ın significa suma, y donde ` son diferencias. Con ello empieza a desarrollar su c´alculo y la expresi´on simplemente significa que la suma de las primeras diferencias de una sucesi´on que empieza por 0 es igual al u ´ltimo Rt´ermino. Despu´es ir´a cambiando su notaci´on y escribe la anterior R relaci´ on como dy = y que es la que usamos actualmente. El signo integral no es m´ as que una S elongada que significa suma. La idea de su c´ alculo es que las f´ormulas y relaciones geom´etricas se realicen de manera casi autom´ atica por medio de las reglas del c´alculo de diferencias d(x + y) = dx + dy d(xy) = x dy + y dx d( x y) =

y dx − x dy y2

d(xn ) = nxn−1 dx

etc.

Para demostrar por ejemplo la regla d(xy) = xdy + ydx, calcula la diferencia entre dos t´erminos consecutivos de la sucesi´on producto xy d(xy) = (x + dx)(y + dy) − xy = xdy + ydx + dxdy y luego omite la cantidad dxdy por ser infinitamente m´as peque˜ na en comparaci´ on con los otros t´erminos. De esta regla Leibniz deduce la integraci´on por partes Z Z xdy = xy − ydx

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Aunque las demuestra como teoremas, siempre que puede intenta relacionar sus operaciones anal´ıticas con resultados geom´etricos familiares. Por ejemplo para esta u ´ltima integraci´on por partes, observa que es tambi´en la adici´on de areas ´ Z Z xdy + ydx = xy de acuerdo con la figura

Para probar d

y x

=

xdy − ydx x2

escribe d

y y + dy y xdy − ydx = − = 2 x x + dx x x + xdx

y otra vez cancela xdx del denominador por ser peque˜ no frente a x2 . Otra relaci´ on es por ejemplo Z ydy =

y2 2

Para su prueba, piensa en t´erminos de la funci´on y = x. Tal como se observa en la figura el ´ area del tri´angulo ABC es la suma de los ydy, para peque˜ nos dy, y2 pero esta ´ area es 2 .

En sus aplicaciones geom´etricas, dado un punto P = (x, y) sobre una curva, tal como se observa de la figura

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aparecen las llamadas subtangente s = T A, tangente t = T P , normal n = P B y subnormal ν = AB. Todas estas variables tienen entitad propia y est´an relacionadas unas con otras. Por ejemplo se tiene por la semejanza y ν = s y Para cada una de estas variables se pueden considerar tambi´en sus diferencias. Si consideramos las diferencias dx y dy, el peque˜ no tri´angulo P QR se llama el tri´ angulo caracter´ıstico y se tiene por ejemplo la relaci´on dy y = dx s Todo este c´ alculo y en especial su notaci´on result´o ser muy manejable y de gran utilidad, lo que contribuy´ o decisivamente a su ´exito. Notaci´on y concepto son virtualmente inseparables. Por ejemplo la regla de la cadena para z = f (y) e y = g(x) que nosotros escribimos como primero la composici´on h(x) = f (g(x) y luego h0 (x) = f 0 (g(x))g 0 (x) en su notaci´ on diferencial es simplemente dz dz dy = · dx dy dx Aunque desde el punto de vista l´ogico le falta rigor a esta f´ormula simb´olica, ya que cancela dy 0 s como si fueran n´ umeros reales, no s´olo halla correctamente al resultado sino que sugiere adem´as la manera de demostrarla, reemplazando las diferenciales dx, dy, dz por incrementos finitos ∆x, ∆y, ∆z y pasando luego al l´ımite. Leibniz tard´ o unos a˜ nos en presentar estas ideas en p´ ublico ya que era una formulaci´ on intuitiva, pero que ten´ıa el problema de trabajar con cantidades infinitamente peque˜ nas y esto no estaba rigurosamente definido ni era muy aceptable en matem´ aticas. Su primera publicaci´on fue un corto art´ıculo titulado Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur et singulare pro illis calculi genus, (Un nuevo m´etodo para m´ aximos y m´ınimos y tangentes, no impedido por cantidades racionales o irracionalesy un singular nuevo tipo de c´alculo para ellas), que apareci´ o en 1684 en Acta eruditorum.

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En este trabajo original, despu´es de introducir su c´alculo, Leibniz da tres ejemplos de la aplicaciones, el primero prueba el principio ya conocido por Descartes y Fermat de que el ´angulo de incidencia es igual al ´angulo de refracci´ on, el segundo es un problema geom´etrico. Luego, dice Leibniz: “Y esto es s´ olo el comienzo de una mucho m´ as sublime Geometr´ıa, de problemas incluso mucho m´ as dif´ıciles y de los m´ as bonitos de matem´ aticas aplicadas, los cuales sin nuestro c´ alculo diferencial o algo similar nadie podr´ıa atacar con tanta facilidad. A˜ nadiremos como ap´endice la soluci´ on del problema que De Beaune propuso a Descartes, qui´en lo intent´ o resolver el el Vol. 3 de sus Lettres, pero sin ´exito” En realidad Descartes hab´ıa encontrado pr´acticamente la naturaleza de esta curva, pero carec´ıa de instrumentos adecuados para su soluci´on. Este problema y otros que fueron apareciendo despu´es pusieron de manifiesto la potencia del nuevo c´ alculo. Exponemos este problema en la secci´on siguiente.

1.2.3

El problema de De Beaune.

El problema que Florimont De Beaune hab´ıa propuesto originalmente a Descartes en 1639 es: Hallar una curva cuya subtangente sea una constante dada a.

De la relaci´ on dx s = dy y obtenemos tomando s = a a dy = y dx Leibniz considera dx = b constante, lo que equivale a tener las abscisas en progresi´ on aritm´etica. Tomando k = b/a, la relaci´on anterior da dy = k y Esto es, los incrementos dy son proporcionales a sus las ordenadas y. M´ as concretamente, si tomamos la sucesi´on de abscisas x0 = x, x1 = x + b, x2 = x + 2b, x3 = x + 3b, . . .

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que est´ an en progresi´ on aritm´etica, al ser dy1 = y1 − y0 = ky1 , ser´a y1 = k1 y0 1 para la constante k1 = k+1 . Luego las correspondientes ordenadas y0 , y1 = k1 y0 , y2 = k12 y0 , y3 = k13 y0 , . . . est´an en progresi´ on geom´etrica. Leibniz concluye diciendo que la curva es una “logar´ıtmica”. En nuestro c´ alculo actual de la relaci´on diferencial que define la curva ady = ydx, obtenemos dy = dx a y de donde integrando a log y = x + C. (Obs´ervese que la notaci´on que usamos ahora para este proceso es la original). Leibniz viene a describir una poligonal soluci´ on de una ecuaci´ on en diferencias que aproxima a la exponencial y su ecuaci´ on diferencial correspondiente, siendo la aproximaci´on cada vez mejor a medida que dx se va haciendo infinit´esimo.

1.2.4

Desarrollo del seno a partir de su ecuaci´ on diferencial.

Leibniz utiliza series de potencias para resolver muchas de us ecuaciones diferenciales. Por ejemplo consideremos la figura donde aparece el primer cuadrante de la circunferencia de radio 1, donde P = (x, y) y θ es el ´angulo que forma P OB.

Por semejanza de tri´ angulos dx y =p dy 1 − y2 Adem´ as por el teorema de Pit´ agoras dx2 + dy 2 = dθ2 . Elevando al cuadrado la primera relaci´ on, despejando dx2 y sustituyendo en la segunda obtenemos despu´es de simplificar dy 2 + y 2 dθ2 = dθ2 que es la ecuaci´ on diferencial que verifica y = sin θ. Para resolver esta ecuaci´on Leibniz considera dθ como constante y aplica el operador d a la ecuaci´on. Se

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obtiene d[dy 2 + y 2 dθ2 ] = 0, de donde por la regla del producto d[dy · dy + y 2 dθ2 ] = 2(dy)(d dy) + 2y dy dθ2 = 0 esto es

d2 y = −y dθ2 que es la ecuaci´ on diferencial de segundo orden de y = sin θ. Ahora Leibniz supone que podemos escribir la serie de potencias con coeficientes indeterminados y = sin θ = bθ + cθ3 + eθ5 + f θ7 + gθ9 + · · · donde ha tomado el t´ermino constante igual a cero al ser sin 0 = 0 y s´olo toma potencias impares al ser sin θ impar. Diferenciando dos veces esta expresi´on se obtiene d2 y = 2 · 3cθ + 4 · 5eθ3 + 8 · 9gθ7 + · · · dθ2 que debe ser igual a −y = −bθ−cθ3 −eθ5 −f θ7 −gθ9 −· · ·. Igualando coeficientes se obtiene 2 · 3c = −b 4 · 5e = −c 8 · 9g = −f ... De donde tomando b = 1 como condici´on inicial obtenemos sucesivamente c = 1 1 1 1 , e = 5! , f = − 7! , g = 9! , . . ., esto es − 3! sin θ = θ −

1 3 1 1 1 θ + θ5 − θ7 + θ9 − · · · 3! 5! 7! 9!

Obtiene por tanto con su m´etodo de diferencias la relaci´on que ya hab´ıa obtenido Newton en 1676 con su serie del binomio.

1.3

Resumen y desarrollo posterior.

Una vez que hemos descrito con detalle separadamente las ideas de Newton y Leibniz en el desarrollo del c´alculo como una nueva y coherente disciplina matem´ atica vamos a comparar y contrastar ambos procedimientos. Tal como hemos visto Newton concibe la derivada de y = f (x) como el cociente entre fluxiones y/ ˙ x˙ donde considera las fluxiones x, ˙ y˙ como las velocidades en que cambian los fluentes x, y. Su concepci´on es cinem´atica. En cambio Leibniz considera el cociente anterior dy/dx como cociente entre diferencias. La integral para Newton es una integral definida, es el fluente a determinar para una fluxi´ on dada. Para Leibniz la integral es, en cambio, una suma infinita de diferenciales. A pesar de estas diferencias de concepto luego ambos la calculan de la misma forma, como un proceso inverso de derivadas. Ambos desarrollan el mismo c´ alculo desde puntos de vista distintos y observan como inversos los procesos de diferenciaci´ on e integraci´on. Antes se hab´ıan calculado ´areas, vol´ umes

1.3. RESUMEN Y DESARROLLO POSTERIOR.

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y tangentes, pero eran razonamientos particulares para cada caso concreto sin que se observara con claridad que el c´alculo de ´areas y el de tangentes son inversos uno del otro. El nuevo c´ alculo es universal, en el sentido en que se aplica del mismo modo a todo tipo de funciones. Newton y Leibniz lo aplicaron con ´exito para calcular ´ areas como la cisoide o la cicloide, tangentes, longitudes de arco, problemas de m´ aximos y m´ınimos, geom´etricos, etc. Para ilustrar con un ejemplo sencillo los conceptos del c´alculo de Newton y de Leibniz, veamos como calcular´ıan ambos la tangente a la par´abola y 2 = ax en un punto M = (x, y) de la figura

Dada la relaci´ on entre fluentes y 2 = ax Newton calcular´ıa primero la relaci´on entre sus fluxiones: de (y + oy) ˙ 2 = a(x + ox) ˙ elevando al cuadrado y 2 + 2yoy˙ + o2 y˙ 2 = ax + oax˙ Simplificando y dividiendo por o resulta 2y y˙ + oy˙ 2 = ax˙ de donde cancelando luego los t´erminos que contienen o se obtiene 2y y˙ = ax, ˙ esto es a y˙ = x˙ 2y que nos dar´ıa la pendiente de la tangente. En el primer libro de texto de c´alculo diferencial, Analyse des Infinitement Petits de l’Hospital de 1696, aparece exactamente el ejemplo que estamos calculando. De hecho la figura geom´etrica anterior est´a tomada del este libro, secci´on 2, pag. 12, su soluci´ on, siguiendo de diferencias de Leibniz dice asi: “Si se quiere que ax = yy exprese la realci´on de AP a P M , la curva AM ser´a una par´ abola que tendr´ a por par´ametro la recta dada a y tendr´a, tomando diferencias en cada miembro a dx = 2y dy por tanto dx = 2ydy/a y PT =

ydx 2yy = = 2x dy a

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donde hemos sustitu´ıdo yy por su valor ax. De donde se deduce que si se toma como P T el doble de AP y se considera la recta M T , ella ser´a tangente en el punto M . Ce qui ´etait propos´e”. Para Newton la derivada como cociente entre fluxiones, o como “raz´on u ´ltima de cantidades evanescentes” presentaba problemas de rigor l´ogico. Para Leibniz sin embargo, el cociente dy/dx era “simplemente” un cociente con interpretaci´on geom´etrica clara. Los problemas de interpretaci´on se volv´ıan m´as agudos al considerar derivadas de mayor orden. Debido a su facilidad y al genial tratamiento que tuvo por parte de los hermanos Bernoulli y por Euler el c´alculo de Leibniz empez´ o a cosechar grandes ´exitos. Sus seguidores se preocupaban menos de sus aspectos l´ ogicos y m´as de sus aplicaciones ya que era un c´alculo que funcionaba. Permiti´ o resolver problemas tales como el de la braquistocrona o de la catenaria que hab´ıan sido intratables hasta entonces. En cambio en Inglaterra los matem´ aticos se preocuparon mucho m´as por los problemas de rigor l´ogico, paralizando con ello su aplicaci´on. Una vigorosa y malintencionada exposici´on de las inconsistencias del nuevo c´alculo fue la que escribi´o el obispo anglicano de la di´ ocesis de Cloyne (Irlanda) George Berkeley(1685-1753). Berkeley escribi´o en 1734 un ensayo titulado The Analyst, or A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician. El “matem´atico infiel” era Edmund Halley (1656-1742), el famoso astr´ onomo y amigo de Newton, qui´en parece ser que convenci´o a un conocido sobre la inutilidad de la doctrina cristiana y ´este rehus´o el consuelo espiritual de Berkeley cuando estaba en su lecho de muerte. Este es un p´ arrafo del argumento de Berkeley: “Y ¿Qu´e son las fluxiones? Las velocidades de incrementos evanescentes. Y ¿Qu´e son estos mismos incrementos evanescentes? Ellos no son ni cantidades fimnitas, ni cantidades infinitamente peque˜ nas, ni nada. ¿No las podr´ıamos llamar fantasmas de cantidades que han desaparecido?” A finales de 1690 Leibniz fue duramente atacado por los seguidores de Newton, quienes le acusaban de plagio. Su principal argumento fueron las cartas que Newton le hab´ıa mandado via Oldenburg. Al irse incrementando los ataques Leibniz pidi´ o en 1711 a la Royal Society of London, de la que era miembro, para que interviniera en el asunto. La Royal Society nombr´o una comisi´on para que estudiara el caso y en 1712, movida m´as que nada por motivos de nacionalismo y maniobrada por Newton, decidi´o que Leibniz hab´ıa en efecto plagiado a Newton. Hoy sabemos que tanto Newton como Leibniz desarrollaron independientemente su c´ alculo. Este desafortunado incidente separ´o en dos bandos los matem´aticos de Inglaterra y del Continente por mucho tiempo. La iron´ıa del destino, fue que la victoria inglesa hizo que sus matem´aticos rehusaran sistem´aticamente el uso de los m´etodos de Leibniz, cerrando para si con ello el tremendo desarrollo que la matem´atica tuvo en el siglo XVIII.

1.4. REFERENCIAS

1.4

13

Referencias

Para biograf´ıas de Newton, Leibniz y de otros matem´ aticos en general se pueden consultar 1. http://www.geocities.com/grandesmatematicos/ 2. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/ history/index.html 3. Ch.C. Gillispie, “Dictionary of Scientific Biography”, es una excelente enciclopedia de biograf´ıas de cient´ıficos. 4. Antonio J. Dur´ an, “Historia, con personajes de los conceptos del c´ alculo” Alianza Universidad AU 861, un ameno y completo librito de bolsillo que trata sobre estos temas.

Jakob Bernoulli lanz´ o el desaf´ıo, en 1690, de hallar la curva que formar´ıa una cadena suspendida por sus dos extremos. Galileo, en 1638, ya hab´ıa concluido erroneamente que la curva era un arco de circunferencia. Arriba aparece el grabado original de la publicaci´ on de Leibniz de Junio de 1691. Encontrar esta curva, la catenaria, fue uno de los primeros grandes ´exitos del nuevo c´ alculo.