Duden Abitur Physik (Basiswissen Schule)

In der Physik wird d er Drehwinkel meist in Bogenmaß angeg eben. Es gilt: 90° = ~ 180°= rr

0

Ei ne volle Umdrehung entspricht 360 in Gradmaß oder 2rr in Bogenmaß. A llgemein gilt: 1 rad ~ 180· rr

= 57,3

0

1 0 ~ l ~orad

= 0,017 rad

360°= 2rr Die Einh eit rad wird häufig w egg elassen.

Mechanik

96

• Für beliebi ge Drehbewegungen kan n man auch sch rei ben : dip • W = di = (P

Alle Tei le ei nes starren Körpers bewegen sich mit der gleich en Winkelg€ schwindlgk it.

Die Winkelgeschwindigkeit gibt an, wie schnell sich der Drehwinkel bei einem starren Körper ändert. Formelzeichen : W Einheit: eins durch Sekunde (1 S- 1) Die Winkelgeschwindigkeit kann berechnet werden mit der Gleichung: OJ

= ~t

.(jrp

M

Änderung des Drehwinkels Zeitintervall

Die Winkelgeschwindigkeit hängt mit der Umlaufzeit T (Zeit für einen voll en Umlauf), und mit der Drehzahl n zusammen. Es gilt: Die Richtung der Win kelgeschwindigkeit ergibt sich aus Radius und Geschwindigkeit. Si e ist mathematisch das Kreuzprodukt aus di ese n beiden Größen -7

W

OJ =~= 2 7r · n T

Für den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit eines Punktes des Körpers, seinem Abstand r von der Drehachse und der Winkelgeschwindigkeit OJ gilt:

=r x v

und damit ein axialer Vektor, zeigt also in Richtung Drehachse.

v =(u· r

Die Wink elgeschwindigkeit ist ein axialer Vektor.

• Für beliebige Drehbewegungen kan n man auch schre iben: (X= !i!g

dt

=W

a=d ",= ;p 2

d( 2

Die WlIlkelbeschleunigung ist wie die Win ke lgeschwindigke it ein ax ialer Vektor.

Die Winkel beschleunigung gibt an, wie schnell sich die Winkelgeschwindigkeit eines starren Körpers ändert. Formelzeichen: (X Einheit: eins durch Quadratsekunde (1 s- 2) Die Winkelbeschleunigung kann berechnet werden mit der Glei chung : (X = -.!!!

.(jOJ

t

t

Änderung der Winkelgeschwindigkeit Zeitintervall

Die nachfolgende Übersicht zeigt die Analogie und Zusammenhänge zwischen Größen der Translation und der Rotation. Rotation

Translation

Zusammenhang

Wegs

s =rp· r

rp = ~ r

W inkel rp

Geschwindigkeit v

v=OJ·r

OJ = ~ r

Winkelgeschwindig keit OJ

Beschleunigung a

a = a· r

(X =

~ r

W inke lbeschleunigung a

Mechanik starrer Körper

97

Für d ie Rotation sta rrer Kö rper ge lten anal o ge Gesetze w ie für die Tra nslatio n von Massepunkten (/ S. 61 , 64, 65). Tra nslati on

Rotati on

gleichförmige Bewegung

gleichförm ige Drehbewegung

a= O

0:= 0

v = konstant s = v · t + So

Cf>

w = konstant = ()) . t + Cf>o

gleichmäßig beschleunigte Bewegung

gleichmäßig beschleunigte Dreh bewegung

a = konstant v = a . t + Vo s = ~ t2 + Vo . t + So

(I)

= ko nstant = 0: . t + (P = ~ t2 +

0:

(1)0

(1)0 .

t + Cf>o

Eine Moto rwelle (d = 10 cm ) läuft gleichmäßig an und erreicht nach 10 s eine Drehzahl von 360 min- 1. a) Wie groß wa r d ie Win ke l besch leunigung wä hrend des An laufens? b) Welche Geschwindigkeit hat dan n ein Punkt des Umfangs der We lle?

Ana lyse: Es liegt eine g leichmäßig beschleunigte Drehbeweg ung aus dem Stillstand vor. Für die Berechnung der W inkelbeschleunigung kann ihre Definition (/ S. 96) genutzt werden . Die Geschwindigkeit eines Punktes ergibt sich aus W inkelgeschwindigkeit und Radius. Gesucht: Gegeben:

u., v d = 10 cm , r = 5 cm = 10 s n = 360 min- 1 = 6 s- 1

Lösung: a)

(x=

.Jt 0:= rL

b)

.Jw

v v

v

(I)

= 2rr . 6 S- 1

~2 10 s

= 3,77 s-2 = ()) . r = 2rr . n . r = 2rr . 6 S- 1 . 5 cm = 188,5 cm . S- 1 '" 1,9 m . S- 1

Ergebn is: Die W inkelbeschleunigung w ährend des An laufens beträgt etwa 3,8 s- 2, die Geschwi ndigkeit eines Punktes des Umfangs der W elle bei einer Dreh za hl von 360 min- 1 etwa 1,9 m . S- 1.

Wi e be i der TI il1lS11ti on kann auch bei der Rot ltion ein e Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit als eine Überlagerung von g leichförm iger und gleichm äß ig besch leunigter Bewegu ng angesehen werden ( / S. 69).

98

Mechanik

2.5.3 Dynamik rotierender starrer Körper Drehmoment und Trägheitsmoment Bei einer geradlinigen Bewegung hängt die Änderung des Bewegungszustandes eines Körpers vom Bet rag und von der Richtung der wirkenden Kraft sowie der Masse des Körpers ab. Bei einem drehbar gelagerten starren Körper hängt die Änderung des Bewegungszustandes ab - vom Betrag und von der Richtung der wirkenden Kraft, - vom Abstand ihres Angriffspunktes von der Dreh achse, - von der M asseverteilung des Körpers bezüglich der Drehachse. Beschrieben werden d iese Abhängigkeiten durch die Größen Drehmoment und Trägheitsmoment.

Das Drehmoment ist die analoge Größe zur Kraft bei ei ner Translation (/ S. 72 ff. ). Es hat wie die mechanische Arbeit (/ S. 88) die Ei nh eit Nm.

Das Drehmoment beschreibt die Drehwirkung einer Kraft auf einen drehbar gelagerten Körper. Formelzeichen : M Einheit: ein Newtonmeter (1 Nm) Entscheidend für die Wirkung ei ner Kraft sind nicht nur ihr Betrag und ihre Richtung, sondern auch der Abstand ihres Angriffspunktes von der Drehachse. Wir bezeichnen den senkrechten Abstand zwischen der Wirkungsli nie der Kraft und der Drehachse als Kraftarm r.

, "'

, ' , ,' ' , ,' ' ','

Das Drehmoment wird auch als Kraftmoment bezeichnet. Es ist eine vektorielle Größe und ist allgemein definiert als Kreuzp rodukt aus Abstand und Kraft F:

r

M= r x F Das Drehmoment ist damit wie die Winkel geschwindigkeit ein axialer Vektor. Für den Betrag gilt allgemein auch: M = r . F· sin 1: (r, F)

Unt er der Bedingung, dass die Kraft und der Kraftarm senkrecht zueinander sind, gilt: M = r ·F

r

F

Kraftarm wirkende Kraft

Wirkt eine Kraft in Richtung des Kraftarms, dann ist das Drehmoment null. Die Kraft bewirkt dann keine Drehung des Körpers. Ist bei einem drehbar gelagerten Körper die Summe aller wirkenden Drehmomente null, so befindet er sich im Gleichgewicht. Es gilt dann auch: Die Summe aller linksdrehenden Drehmomente ist gleich der Summe aller rechtsdrehenden Drehmomente ( / S. 94). Drehmomente wirken z. B. bei den Pedalen eines Fahrrades, bei den antreibenden Rädern eines Fahrzeuges, bei Hebeln und allen ihren Anwendungen (Schere, Pinzette, Zange, Schraubenschlüssel, Brech stange, Balkenwaage).

Mechanik starrer Körper

Wirkt auf einen drehbar gelagerten Körper ein bestimmtes Drehmoment, so hängt seine Winkel beschleunigung von der Masse des Körpers und ihrer Verteilung bezüglich der Drehachse ab. Diese Körpereigenschaft wird durch das Trägheitsmoment erfasst.

99

• Das Tragheitsmome nt ist die analoge Größe zur Masse bei der Transl ation.

Das Trägheitsmoment gibt an, wie träge ein drehbar gelagerter Körper gegenüber der Änderung seines Bewegungszustandes ist. Formelzeichen: ) Einheit: ein Kilogramm mal Quadratmeter (1 kg . m 2) Für einen ausgedehnten Körper muss man die Trägheitsmomente J = t..m j· r j2 aller Masseteilchen aufsummieren und erhält:

Mithilfe der Integ ral rechnung kann man unter bestimmten Bedingungen das Träg heitsmoment folgen dermaßen berechnen:

n

L

J=

;=1

J =

Nachfolgend sind die Trägheitsmomente einiger Körper angegeben . Dabei ist zu beachten, dass sich das Trägheitsmoment immer auf eine bestimmte Drehachse bezieht.

fr 2 dm

Trägheitsmomente ausgewählter Körper

'

Massepunkt

#

dünner Kreisring

Voll zylinder

, , ,, r,,

,

,,

\,

,

, ,

... '

J Ku gel

= m . r2

J = 1. m . r 2 2

Hohl zylinder

) = ~5 m . r 2

I

gerader Kre iskegel

Qu ader

Stab

~-'7----' b \4 J=

l.. m . r 2 10

--~ Ie

) = J.. m (b 2 + e 2) 12 ~------------------------------

I V J

,nn

I

J

= 112 mllP.12

Mechanik

100

Grundgesetz der Dynam ik der Rotation Bei der Translation gilt der grundlegende Zusammenhang F = m . ä, das newt onsche Grundgesetz ( / S. 77). Analog dazu gibt es auch für die Dynamik rotierender Körper einen Zusammenhang zwischen dem auf ei nem Körper wirkenden Drehmoment, seinem Trägheitsmoment und der W inkel beschleunigung des Körpers, der als Grundgesetz der Dynamik der Rotati o n bezeichnet wird .

•

I

Drehmolll ·nt un d

Für den Zusammenhang zwischen Drehmoment M, Trägheitsmoment J und Winkelbeschleunigung a gilt d ie Gleichung:

Wink('lb p ~(h l lIIl

Clung si nd axia le Vektoren mit g leicher Richtung, sod ass m an vektori ell au ch schreiben kann:

-

-)

M = J ·(J.

Die Rotationsenergie Ein rotierender Körper, z. B. ein Schwungrad, besitzt Rotationsenergie. Das ist eine spez ielle Fo rm der kinetischen Energie ( / S. 86). Bewegt sich ein Massete ilchen m j mit der Geschwindigkeit Vj um eine feste Drehachse, dann beträgt seine Bewegungsenergie:

M = } ·o:

oder Die Gesamte nergie ist gleich der Summe der Tei lenerg ien :

Die Rotationsenergie des gesamten Körpers ergibt sich als Summe der Energien aller seiner Masseteilchen .

n

Ero t

'-

I.JE j ,

1

Die Rotationsenergie eines Körpers kann berechnet werden mit der Gleichung :

Auß erd em gi lt (/ S. 99):

J (V

n

I i

Trägheitsmoment W inkelgeschwindigkeit

Im, ( ,2 = J 1

Analoge Größen und Gesetze Ähnlich wie in der Kinematik (/ S. 96) gibt es auch in der Dynamik bei Translation und Rotati on analoge Größen und Zusammenhänge. Translation

Rotation

Kraft F Masse m

Drehmoment Trägheitsmoment

newtonsches Grundgesetz:

Grundgesetz der Dynamik der Rotati o n:

F= m ·ä kinetische Energie: E kin =

~ m . v2

Rotationsenergie:

Erat

= ~ J . w2

M J

Mechanik starrer Körper

101

Ein Vollzylinder und eine Ku gel mit gleicher Masse und gleichem Radius rollen aus gleicher Höhe eine geneigte Ebene hinab. We lcher der be iden Körper kom m t eher unten an? o

Ana lyse: Beide Körper bewegen sich beschleunigt abwärts. Dabei wird die für beide Körper gleiche potenzielle Energie in kinetische Energie der Translation und in Rotationsenergie umgewandelt. Wir gehen davon aus, dass die Reibung beide Bewegungen gleichartig beeinflusst. Sie braucht deshalb nicht berücksichtigt zu werden . Der Körper, der die größere Geschwindigkeit oder Beschleunigung erreicht, kommt eher unten an. Es bietet sich ein energetischer An satz an.

Gesucht: Gegeben:

Das Erg ebnis könnte man auch experim ent ell erm itteln. Die Erklärung des Erg ebnisses ergibt sich aus der nebensteh enden Betrachtung.

Geschwindigkeiten vK' Vz Gleiche Höhe h des Herabro ll ens

Lösung: Allgemein gilt für die Energien

m .9 .h

= .12 m . v2 + .12 J . (J

Für den Vollzylinder erhält man mit J m .9 .h

= .12 m

m·g · h

= 4~ m'

Vz

= ~ m . r 2, v = Vz und = ~ : (V

. v 2 + .1 . .1 m . r 2 Z

2

2

.

'd. (2

vZ2

= J~ g . h

Durch analoge Überlegungen erhält man für die Kugel mit J = ~5 m . r 2 .. VK

= J~g .

Der Vergleich zeigt: vK> vz. da

h

~

z

1,2>

A'"

1,1 S.

Ergebnis: Beim Herabrollen erreicht die Kugel die größere Geschwindigkeit, kommt also eher unten an als der Vo ll zylinder.

In der Praxis spielt die Rotationsenergie vor allem bei rotierenden Wellen und Maschinenteilen, den Rotoren von Elektromotoren und GeneratoI en, Fahrzeugrädern oder Kreiseln eine Rolle. So muss Energie aufgewe ndet werden, um ein en Körper in Rotation zu versetzen. In rot ierenden Körpern kann auch eine erhebliche Energie gespeichert we rd en. Das wird vor allem bei Schwungrädern genutzt.

Bea chte: Di e max imale Geschwindigkeit ein es herabrol lend en Körpers ist unabh ängig von M asse und Radius des Körpe r~ hängt aber von der M assevert eilung ab.

102

i Der Begriff Impuls ist abge leitet vom latei nischen impell ere = anstoßen . W ir betrachten nachfolgend Körp er, die ein e translato ri sche Bewegung ausfüh ren und die mit dem Modell Massepunkt (/ S. 55) beschrieben werden können .

Mechanik

2.6

Impuls und Drehimpuls

2.6.1

Kraftstoß, Impuls und Impulserhaltungssatz

Der Impuls eines Körpers Den Bewegungszustand eines Körpers, z. B. eines Balles oder eines Aut os, kann man mit der physikalischen Größe Geschwindigkeit beschrei ben . Will man den Bewegungszustand ändern, dann ist eine Kraft erforderlich, die von der Masse des Körpers abh ängt. Auch bei Einbeziehung möglicher W irku ngen von bewegten Körpern spielen Geschwindigkeit und Masse des Körpers eine Rolle. So ist z. B. bei einem Crashtest die Verformung eines Pkw umso größer, je größer sei ne ursprüngliche Geschwindigkeit und seine Gesamtmasse si nd. Fährt ein schwerer Lkw mit einer bestimmten Geschwin dig keit auf einen stehenden Pkw auf, so ist die Wirkung größer als beim Auffahren eines leichte n Pkw .

• Früher wurde für die physikalische Größe Impuls auch die Bezeichnung Bewegungsgröße genutzt. Da der Impuls den Beweg ungszu st and eines Körp ers ken nzeichnet, ist er ein e Zustandsgröße. Darü ber hinaus ist er eine vektorie lle Große, dere n Richtung mit der der Geschwindigkeit übereinstimmt.

Der Bewegungszustand eines Körpers wird sowohl durch seine Geschwindi g keit als auch durch seine Masse gekennzeichnet. Zur Beschrei bung dieses Bewegungszustandes nutzt man d ie physikalische Größe Impuls, die als Produ kt aus Geschwindig keit und Masse definiert ist. Der Impuls eines Körpers kennzeichnet die Wu cht, die dieser Körper bei einer Translationsbewegung hat.

p

Formelzeichen: Einheit: ein Kilogramm mal Meter durch Sekunde (1 kg . ~ ) Der Impuls eines Körpers kann berechnet werden mit der Gleichung:

p

=m . v

m

v

Masse des Körpers Geschwindigkeit des Körpers

Vergleichen Sie den Impuls eines Geschosses (m G = 12 g, vG = 830 ~ ) mit dem eines Balles mit der Masse von 500 g, der sich mit 72 km h bewegt!. Analyse: Zu berechnen ist j eweils der Impuls . Er ergibt sich aus der Masse und der Geschwindigkeit. Für einen Vergleich ist es erforderlich, ihn in der gleichen Ei nheit anzugeben .

Gesucht:

Impuls und Drehimpuls

Gegeben:

mG vG

= 12 9 = 0,012 kg = 830 ~ = 500 9 = 0,5 kg

= 72

km h

= 20

f!! s

Lösung: Angewendet wird die Definitionsgleichung des Impulses P = m . v.

PG

= 0,012 kg

. 830 f!!

PB = 0 , 5 kg . 20

s

f!! s

= 9,96

= 10

103

Haben zw ei Körper den gl ei ch en Impuls, so verh alten sich ihre Massen umgekehrt proportion al zu ihren Geschwindigke ite n, denn es gilt: m , ·v ,= m 2· v 2 und damit

kg · m s

kg . m s

Ergebn is: Geschoss und Ball haben etwa den gleichen Impuls von 10 kg ~ m .

Impulsänderung und Kraftstoß

• Die Wirkun g von Körpern mit g leich em Impuls ka nn vö llig unterschi edlich se in .

p= veines Körpers zu ändern, gibt es unterschiedli-

Um den Impuls m . che Möglichkeiten.

Die Änderung des Impulses eines Körpers kann erfolgen durch Änderung der Masse des Körpers. Flugzeug mit = konstant, dessen Masse sich durch Treibstoffverbra uch verringert.

v

durch Änderung des Betrages der Geschwindigkeit . Bergab rollender Radfahrer, dessen Geschwindigkeit sich vergrößert.

Wir betrachten nachfolgend nur den Fall, bei dem man einen Körper als Massepunkt ansehen kann, keine Reibung auftritt und durch eine Kraft der Bewegungszustand des Körpers geändert wird. Wirkt in einem solchen Fall eine bestimmte Kraft auf einen Körper, z. B. einen Ball, ein, so ist die Wirkung der Kraft von ihrem Betrag, ihrer Richtung sowie von der Dauer der Krafteinwirkung abhängig. Das zeitl iche Einwirken einer Kraft auf einen Körper wird durch die physikalische Größe Kraftstoß erfasst.

durch Änderung der Richtung der Geschwindigkeit. Billiardkugel prallt gegen die Bande und wird dort reflektiert.

Die M)s ~e ei nes Körpers hängt von se iner Geschwindig ke it ab. Für die hier betrach t ete n Bewegungen kann die relativisti sch e Masseänd erung ( / S. 439) vern achl ässigt w erden.

104

Mechanik

•-

Für die Einheiten g ilt: 1 N . s = 1 kg · m· s s2

1N · s = 1~ s

Der Kraftstoß hat also die gle iche Einheit wie der Impuls (/ S. 102).

Der Kraftstoß kennzeichnet die Wirkung einer Kraft über eine bestimmt Zeit auf einen Körper.

T

Formelzeichen: Einheiten: ein Newton mal Sekunde (1 N . s) Unter der Bedingung, dass die Kraft im Zeitintervall konstant ist, kann der Kraftstoß berechnet werden mit der Gleichung:

T =F .M

F M

auf den Körper wirkende Kraft Zeitdauer der Einwirkung

Ist die einwirkende Kraft nicht konstant, so kann man mit einer mittleren Kraft rechnen oder den Kraftstoß durch Integration ermitte ln, wenn F(t) bekannt ist.

• Der Kraftstoß auf einen Körper kennzeichnet einen Vorgang und ist daher ein e Prozessgröße. Er ist darüber hinaus eine vektorielle Größe, dessen Rich tung mit der der einwirkenden Kraft übereinstimmt.

• Wir betrachten auch hier nur Körper, die als Massepunkte ( /' S. 55) angesehen werden können . Damit sind Drehbewegungen ausgeschlossen. Der Körper sei darüber hin aus frei beweglich .

' J

F*- konstant

F =konstant F

F

Ll

t,

~T " ,,:

I

! i 'J(t)dt

,:,

Zusammenhang zwischen Kraftstoß und Impuls Ein Kraftstoß auf einen Körper ist immer mit einer Impu lsänderung verbunden. Mathematisch lässt sich der Zusammenhang folgendermaßen beschreiben : Auf einen Körper wird ein Kraftstoß F . M ausgeübt, wobei F = konstant sei. Setzt man für F = m . ä (newtonsches Grundgesetz), so erhä lt man:

F·M=m·ä·M Mit

ä = LlV

ergibt sich

Llt

F·M=m·Llv.M

oder

LIt

Links steht der Kraftstoß auf einen Körper, rechts die Änderung se in es Impu lses. Allgemein gilt folgender Zusammenhang:

• in der Übersicht S. 105 oben sind drei charakteristische Fälle der Impulsänderung beschrieben.

Der Kraftstoß pulses

/':,p.

T auf einen Körper ist gleich der Änderung seines ImF M m /':,v

einwirkende Kraft Zeitdauer der Einwirkung Masse des Körpers Geschwindigkeitsänderung

105

Impuls und Drehimpuls

Kraftstoß entgegen der Bewegungsrichtung

Kraftstoß in Bewegungsrichtung vor dem Kraftstoß

nach dem Kraftstoß

nach dem Kraftstoß

vor dem Kraftstoß

T

T Pl

8

Der Impuls wird größer, die Richtung bleibt erhalten.

Kraftstoß in beliebiger Richtung vor dem Kraftstoß

nach dem Kraftstoß

Pl

Der Impuls wird kleiner, kann auch null werden oder se in e Richtung umkehren.

Betrag und Richtung des Impulses ändern sich.

•

Impuls und Kraft Aus dem Zusammenhang zwischen Kraftstoß und Impulsänderung F . M =!'1p erhält man für die Kraft: Die Kraft ist gleich der zeitlichen Änderung des Impulses.

!'1p Änderung des Impulses t

Zeitdauer

Ist die auf einen Körper wirkende Kraft nicht konstant, dann kann man die Momentankraft ermitteln, in dem man die Zeitdauer immer klei ner wählt. Dann ergibt sich: _ -.

Diese Definition der Kraft ist allgemeiner als die Kraftdefinition über die Beschleunigung F =m . ä. Sie berücksichtigt auch den Fall, dass sich wäh rend eines Vorganges die Masse eines Körpers ändern kann ( / S. 439 ).

F

<\ p

= \~ ~ OM

F =iE.= ~· dt

Der Impulserhaltungssatz Wir betrachten ein System aus zwei mit elastischen Federn versehenen W ag en, auf die keine äußeren Kräfte wirken (s. Skizzen unten). Nach dem Wechselwirkungsgesetz gilt für die Kräfte:

-F 1 = F2

od er

• •

Ein System, auf d as keine äuße ren Kräfte w irken, nennt man ein kräftemäßig

abgesch lossenes System ( / S. 84).

Die Multiplikation mit M erg ibt: oder Die beim Zusammenstoß auftretenden Impulsänderungen heben sich gege nseitig auf. Der Gesamtimpuls bleibt gleich. vor dem Zusammenstoß

beim Zusammenstoß

nach dem Zusammenstoß U1

V1

Der Gesam!lmpuls b~trägt m1· v 1+ m 2· v 2

Die Impulsänderung ist null.

Der Gesam!lmpuls b~trägt m1 . U1 + m 2 . u2

Mechanik

, Der Impul s ist wi e di e En ergi e, di e elektrisch e Ladung oder di e M asse ein e Erh alt ungsgröße, für di e ein Erhaltungssatz gilt.

Aus diesem Beispiel und aus vielfältigen anderen Untersuchungen ergibt sich als grundlegender Erfahrungssatz der Impulserhaltungssatz . In einem kräftemäßig abgesch lossenen System bleibt der Gesamtim puls erhalten . Es gilt: n = + + ... + = I p; = konstant

p p, P2

e.

Pn

Gesamtimpuls

p" P2, ... Impulse der einze lnen Körper des Systems Häufig besteht ein System nur aus zwei Körpern, die miteinander wech selwirken. Durch eine solche Wechselwirkung wird der Gesamtimpuls nicht beeinflusst. Er bleibt erhalten .

• Bei den beteili gte n Körp ern sin d st et s Bet rag und Ri chtung der Geschwind igkeit zu bea chten. Bewegen sich Kö rp er läng s einer Geraden, dan n brin gt man d ie unte rschi edliche Ri chtung der Geschw indig ke it en durch verschiedenen Vo rze ichen zum Au sd ruck.

Für ein kräftemäßig abgeschlossenes System aus zwei Körpern, die miteinander wechselwirken, ist der Impuls vor der Wechselwirkung gleich dem Impuls nach der Wechselwirkung.

Massen der Körper Geschwindigkeiten vor der Wechselwirkung

U" U 2

Geschwindigkeiten nach der Wechselwirkung

Beim Abfeuern einer Waffe spürt man einen kurzen Stoß, der als Rückstoß bezeichnet wird. Wie kommt der Rückstoß zustande? Waffe und Geschoss einschließlich Treibladung können als kräftemäßig abgeschlossen es System mit dem Gesamtimpuls = 0 betrach t et w erden. Nach dem Auslösen der Waffe wird das Geschoss kurzzeitig stark beschleunigt und verlässt zusammen mit den Gasen der Treibladung den Lauf mit großer Geschwindigkeit. Vernachlässigt man die Gase wegen ihrer meist geringen Masse, dann sind noch Geschoss und Waffe zu betrachten.

p

vor dem Abschuss

-

nach dem Abschuss

mG

mw · Vw - mG .

mw '

VG

=0

w =

V

mG . vG

Impuls und Drehimpuls

Durch die Bewegung des Geschosses in die eine Richtung bewegt sich die W affe in die entgegengesetzte Richtung. Da aber ihre Masse wesentlich größer als die des Geschosses ist, gilt für d ie Geschwindigkeiten: Die Geschwind ig ke it der W affe ist wesentlich kle iner als die des Geschosses. Raketenantrieb und Raketengrundgleichung Raumflugkörper w erden nach dem Rückstoßprinzip ang etrieben . Di ese Antriebsform stellt praktisch die einzige Möglichkeit da r, den Im puls und damit au ch die Geschwindigkeit des Raumflugkörpers zu ändern. Eine Rakete oder ein Raumflugkörpe r mit Triebwerk stellt ein kräftemä ßig abgeschlossenes System dar, für das der Im pul serhaltungssatz gilt.

107J

i Bei so gena nnten rü ckstoßfre ien Geschützen wird der Rückstoßimpu ls durch den Schubim puls eines Pulverg asstrah ls kompensiert, der entgegengesetzt zur Richtung der Geschossbewegu ng austritt .

•

Nach dem Impulserhaltungssatz gilt dann:

Für den Betrag der Geschwindig keit der Rakete erhält man:

Das Foto zeigt eine Rakete vom Typ Ariane. Das sind Trägerraketen für den Transport von Nutzund Forschungssate lliten. Die gegenwärtig eingesetzte Version, die Ar iane 5, kann Nutzlasten bis 15 t in eine erdnahe und bis 5 t in ein e erdfernere Bahn bringen. Gestartet werden diese Raketen im französischen Raum fahrtzentrum Kou rou in FranzösischGu ayana.

Die Gleichung gilt nur für den Fall, dass die Rakete k urzzeit ig besch leunigt wird. Bleiben die Triebwerke län gere Zeit eingeschaltet, dann kann die Masse der Rakete nicht mehr als konstant angesehen werden , da sich stä ndig die Masse des Treibstoffes ve rri ngert. Das wird bei der Raketengrundgleichung berü cks ichtigt. Die Geschwindigkeit einer zunä chst ruhenden Rakete kann bei Vernachlässigung vo n Gravitationsfeldern berechnet werden mit der Gleichung: VR

vG

m

Endmasse der Rakete

mo

Endgeschwindigkeit der Rakete Ausströmgeschwindigkeit der Verbrennungsgase Anfangsmasse der Rakete

• Di e Endgeschwindigkeit, die eine Rakete bis zum Ende der Brenndauer von Triebwerken erreicht, ne nnt man auch Brennschlussgeschwindigkeit.

108

•

Mechanik

Impulserhaltung und Schwerpunkt von Körpern

I

Diese Beziehung wird auch als Schwerpunktsatz bezeichnet. Weitere Aussagen zum Schwerpunkt von Körpern sind / S. 93 f. zu fin den.

Für ruh ende Körper in einem abgeschlossenen System (/ S. 84) gilt die Beziehung

Schwerpunkt

I I

Der Gesamtimpuls der Körper ist null. Wir~- X1 --}-- X2ken nur innere Kräfte, dann gilt für das I System der Impulserhaltungssatz . Bewegen sich die Körper geradlinig und gleichförmig voneinander weg, dann gilt die oben genannte Beziehung ebenfalls. Das bedeutet: Der Schwerpunkt bleibt auch bei gleichförmiger geradliniger Bewegung der Körper erhalten. Diese Aussag e lässt sich auf beliebige Bewegungsvorgänge in kräftemäßig abgeschlossenen Systemen vera llgemeinern . Der Schwerpunkt eines kräftemäßig abgeschlossenen Systems bleibt erhalten, unabhängig davon, welche Bewegungen du rch innere Kräfte im System erfolgen. Der Schwerpunkt kann dabei in Ruhe sein oder sich bewegen .

•

I

Ein Feuerwerkskörper, der in größerer Höhe exp lodi ert, behält se in en Schwe rpun kt be i, da nur in nere Kräfte wirken .

•

Auch unser Sonnensystem besitzt einen Schwerpunkt, der seine Lage trotz der Bewegung der Himmelskörper in Bezug auf das Son nensystem nicht ändert. Vergl eicht man die Massen der Planeten, dann zeigt sich: Nur der Planet Jupiter hat wegen seiner extrem großen Masse merklichen Einfluss auf die Lage des Schwerpunktes. Da her werden nachfolgend nur Sonne und Jupiter betrachtet. Für diese Himmelskörper gilt der Schwerpunktsatz . Nach dem Schwerpunktsatz gilt fü r diese beiden Körper:

Das Umstellen der Gleichung nach as und das Einsetzen der Werte liefert als Lösung: Der Schwerpunkt des Sonnensystems ist etwa 740000 km vom Son nenmittelpunkt entfernt und liegt damit außerhalb der Sonne. Jupiter und Sonne sowie auch die anderen Planeten bewegen sich um diesen Schwerpunkt. Ein außerirdischer Beobachter würde die Positionsveränderung der Sonne eventuell erkennen und 50 die Existenz eines massereichen Planeten schlussfolgern können, selbst wenn er diesen Planeten nicht beobachtet hat. Auf diese Weise hat man in den letzten Jahren eine Reihe von Planetensystemen um andere Sterne entdeckt. Das erste solche Planetensystem fanden 1995 M. M AYOR und D. QU ELOZ um den Stern 51 Pegasi.

Impuls und Drehimpuls

2.6 .2 Unelastische und elastische Stöße

109

•

l Einteilung von Stößen

Stoßvorgänge oder Stöße treten in Natur, Techn ik und Alltag in vielfältiger W eise auf. •

Beisp iele für Stöße sind der Aufprall eines Ba lles auf den Boden, der Schlag gegen einen Tenn isball, der Zusammenstoß zweie r Fahrzeuge oder von Elementarte ilch en, der Aufprall eines Himmelskörpers auf einen anderen oder der Schlag, den ein Boxer seinem Gegner zufügt.

Di e beiden Arten von Stößen sind Idea li sierungen, die in der Praxis nur näherung sweise auftreten. Daher muss man in jedem ein ze lnen Fal l prüfen, welcher Stoß vo rli egt und welch e Gesetze dann näherungsweise an wendbar sind.

Nach der Energ iebila nz unterscheidet man zwischen unelastischen und elastischen Stößen. unel astischer Stoß

elastischer Stoß

Bei der W echselwirkung der Körper treten nur unelastische Verformungen auf.

Bei der Wechselwi rkung der Körper treten nur elastische Verform ungen auf.

Es gilt der Impulserhaltungssatz und der al lgemeine Energieerha ltungssatz . Ein Te il der mechanischen Energie wird in andere Energieformen umgewandelt.

Es gilt der Impulserhaltungssatz und der Energieerhaltungssatz der Mechanik, d. h. die mechanische Energie des Systems bleibt erha lten.

Zwei Autos stoßen frontal zusamme n und werden dabei unelastisch verformt.

Ein Tennisba ll wird m it einem Tennisschläger weggeschlagen.

Nach der Lage der Körper zueinander beim Stoß unterscheidet man zwi sche n geraden und schiefen Stößen. gerader Stoß

--0

schiefer Stoß

?z n

- - - ~---

Die Impu lsvektoren liegen auf einer Linie.

Di e Impu lsvektoren liegen nicht auf einer Linie.

I

110

Mechanik

Steht darüber hinaus die Ve rbindungsgerade der Schwerpunkte beider Körper senkrecht auf der Berührungsfläche, die sich beim Stoß ausbildet, dann spricht man von einem zentralen Stoß. Der zentrale gerade unelastische Stoß Beim ze ntralen unelastischen Stoß zweier Körper, z. B. bei einem Auffahrunfall, - t reten keine elastischen Verformungen zwischen den beteiligten Körpern auf, - bewegen sich die Körper nach dem Stoß mit einer gemeinsamen Geschwindigkeit weiter, - w ird ein Teil der mechanischen Energie in andere Energieformen umgewandelt.

i Es ist stets der vekto ri elle Ch arakter der Geschwindigkeit zu beachten. W erd en nur die Beträge betrachtet, so wird die Richtung der Geschwi ndig keit d urch das Vo rzeichen berück sichtigt.

Kennzeichnung des Vorganges

mathematischer Zusammenhang

Es gilt der Impulserhaltungssatz.

m, ·

\7,

+ m 2' \72= (m , + miu

Bewegen sich alle Körper in der gleichen Richtung, so gilt:

m, . v, + m2 . v2 = (m , + m 2)u

I I

Die gemeinsame Geschwindigkeit der Körper nach dem Stoß ergibt sich aus dem Impulserhaltungssatz. Die mechanische Energie der Körper verringert sich .

m1

. V

1

m1

j

L1Emech

+ m2 + m2

. V

2

= i (m , . v ,2 + m 2 ' v/

)

_1 (m, + m 2)u 2 2

Von Interesse sind auch einige spezielle Fälle, die sich aus dem Verhältnis der Massen bzw. der Geschwindigkeiten der betei ligten Körper ergeben. Bedingung

m, »

m 2' Körper 1 stößt mit gegen Körper 2, Körper 2 ruht.

v,

Bewegung nach dem Stoß Beide Körper bewegen sich näherungsweise mit der Geschwindig ke it weiter.

v,

Ein Lkw stößt gegen einen Pkw.

m, = m 2' Körper 1 und Körper 2 haben die gleiche Geschwindigkeit bei entgegengesetzter Richtung .

m, «

m 2' Körper 1 stößt mit gegen Körper 2, der ruht oder sich mit v2 bewegt.

v,

Beide Körper sind nach dem Stoß in Ruhe. •

Pkw stoßen frontal zusammen.

Beide Körper ruhen oder bewegen sich näherungsweise mit der Geschwindig keit v2 weiter. •

Ein Geschoss trifft auf einen Körper.

Impuls und Drehimpuls

•

Beschreiben Sie eine Möglichkeit der Bestimmung der Geschossgeschwindigkeit!

Eine Möglichkeit, die Geschwind igkeit eines Geschosses experimentell zu bestimmen, ist die Verwend ung eines ballistischen Pendels. Das ist ein Holzklotz, in den das Geschoss eindringen kan n und in dem es st ecken bl eibt. a)

b)

111- '

i Geschossgeschwi ndigkeiten kö nn en in ei nem weiten Bere ich varii eren. Bei Pisto len und Gewehren liegen sie meist zwischen 200 f!\ und 700 f!\. S S

\

\ \

\ \

\ \

\

\

\ \

m1

V1

• Es liegt ein unelastischer St oß vor. Betrachtet man Geschoss und Holzklotz als kräftemäßig abgeschlossenes System, dann gilt der Impu Iserha Itungssatz: ml . Vl V 1

= (m , + m2) u

und damit

= m 1 + mz . U

(1)

m1

Di e gemeinsame Geschwindigkeit u lässt sich z. B. folgendermaßen bestimmen: Beim Auftreffen des Geschosses gerät das ballistische Pendel in Schwingungen. Dann gilt nach dem Energieerhaltungssatz:

u =~

(2)

Setzt man (2) in (1) ein, so erhält man: V

1

= m l+ m Z ~ m1

Die Massen des Geschosses (m l ) und des Holzklotzes (m 2) können ebenso wie die Höhe h gemessen werden. Aus den Messwerten ka nn man die Geschwindigkeit des Geschosses bestimmen. Der zentra le gerade elastische Stoß Be im zentralen elastischen Stoß zweier Körper, z. B. beim Aufprall einer Billardk ugel auf eine andere, trete n nur elastische Wechselwirkungen auf, bewegen sich die Körper nach dem Stoß mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten weiter, ble ibt die mechanische Energie erhalten.

Di e Geschwindigkeit kan n auch folgendermaßen bestimmt werden: Der Hol zklotz wird nicht an Fäden aufg ehängt, sondern li egt auf einer hori zonta len Fläche. Beim Auftreffe n des Geschosses bewegt er sich ei ne bestim mte Strecke s. Dabei wird Reibungsarbeit ( / S. 89) verrichtet. Di e kineti sche Energie des Geschosses ~ m l . ist gleich der verrichteten Reibungsa rb eit

vf

p (ml + m 2) 9 . 5 Darau s ergibt sich

vl'

I

112

• Es ist stets der vektori elle Charakter der Geschwindigkeit zu beachten. Werden nur die Beträge betrach tet, 50 wi rd die Rich tung der Geschwindigkeit durch das Vo rzeichen berücksichtigt.

Di e Herleit ung der Gl eichung en für die Geschwi nd ig keiten beim eil {I ,ehen Stoß ist auf der CD zu f inden .

Mechanik

Kennzeichnung des Vorgangs

mathematischer Zusammenhang

Es gilt der Impulserhaltungssatz.

m, . v, + m, . ", = m, . u,+ m, .

u,l

Bewegen sich alle Körper in einer Richtung so gilt:

m, . v, + m2 . v2 =m, . u, + m2 . U2 ! Es gilt der Energiee rhaltungssatz der Mechanik. Bei Bewegungen in einer Ebene spielt nur die kinetische Energie eine Rolle.

m,

T

V '

2

Die Geschwindigkeiten der Körper nach dem St oß ergeben sich aus den Gleichungen für Impuls und Energie (2 Gleichungen mit 2 Unbekannten )

m2 2 + T V2

m,

2

m

2

2 T U' + T U2

2m 2 , v 2

+ (m,

- m 2 )v,

m, +m 2

Ähnlich wie beim unelastischen Stoß gibt es auch beim elastischen Stoß einige spezielle Fälle, die sich aus dem Verhältn is der Massen bzw. der Geschwindigkeiten der beteiligten Körper ergeben .

• Ei n Beispiel für den Fall m l = m 2 sind zusammenstoßende Billardkugeln.

Bedingungen

m,

= mb

Bewegungen nach dem Stoß

beliebige Geschwindig-

keiten

n

v, _

~2n

~ - - - ------ ~- -

n

L~' n u} ------ ~ - ~-- - --

m, Körper gleicher Masse "tauschen" ihre Geschwindigkeiten. Das Auftreffen ein es Tischtennisballes auf ei ne Ti schtennisp latt e ist ei n Stoß gege n eine fest e Wand.

m1 « m2' Körper 2 ist in Ruhe (Stoß gegen eine feste W and )

u, =

- V1

Beim elast ischen Stoß gegen eine feste Wand ist der Betrag der Geschwindigkeit vor dem Stoß genauso groß wie nach dem St oß, die Richtung der Geschwindigkeit ist entgeg engesetzt. Trifft ein Körper unter einem beliebigen Wink el a gegen eine feste Wand, dann gilt das Reflexionsgesetz (X = (X ' . Das Reflexionsgesetz gilt nur für Massepunkte. Trifft z. B. ein Ball schräg auf eine Wand, dann gilt wegen der auftretenden Rotation das Reflexi onsgesetz nicht.

Impuls und Drehimpuls

113

2.6.3 Der Drehimpuls und seine Erhaltung Der Impuls charakterisiert den Bewegungszustand eines Körpers, den man als Massepunkt ansehen kann, bei einer Translationsbewegung ( / S. 95, 97). In analoger Weise lässt sich der Bewegungszustand eines um eine Achse rotierenden Körpers oder eines auf einer Kreisbahn umlaufenden Körpers durch die Größe Drehimpuls beschreiben. Der Bewegungszustand eines rotierenden oder umlaufenden Körpers wird durch sein Trägheitsmoment} (/ S. 99) und seine Winkelgeschwindigkeit ~ (/ S. 96) bestimmt. Der Drehimpuls eines Körpers kennzeichnet den Schwung, den ein rotierender oder umlaufender Körper hat.

Der Drehimp uls ch arakterisiert den Zustand eines rotierenden Körpers. Es ist eine LU~1 nd gro~n und darüber hinaus ein e w. ktonelk G'L ,e, deren Richtung mit der der Win I

Formelzeichen:

L

Einheit:

ein Kilogramm mal Quadratmeter durch Sekunde (1 kg . m 2 )

Iges

hwindI3~"'i

übereinstim mt.

s

Der Drehimpuls eines rotierenden oder umlaufenden Körpers kann berechnet werden mit der Gleichung: ~

L

~

= } .

w

} ~

(V

Trägheitsmoment des Körpers Winkelgeschwindigkeit des Körpers

Formal gelangt man zur Gleichung für den Drehimpuls, wenn man von der Gleichung =m . für den Impuls ausgeht und dort die zur Translati on analogen Größen der Rotation einsetzt. Die zur Masse analoge Größe ist bei der Rotation das Trägheitsmoment, die zur Geschwindigkeit analoge Größe die W inkelgeschwindigkeit.

v

p

Vergleich zwischen Impuls und Drehimpuls Der Impuls kennzeichnet die Wucht eines Körpers, der als Massepunkt angesehen werden kann, bei einer Translation.

Der Drehimpuls kennzeichnet den Schwung eines Körpers bei seiner Eigendrehung oder eines umlaufende n Körpers .

Der Impuls wird durch Masse und Geschwin digkeit des Körpers bestimmt.

Der Drehimpuls wird durch Trägheitsmoment und Winkelgeschwindig keit des Körpers bestimmt.

p Masse m Trägheitsmoment )

p

= m·

v

Impuls und Geschwind igkeit haben die gleiche Richtung.

L

= } .

w

Drehimpuls und Winkelg eschwindigkeit haben die gleiche Richtung.

Mechanik

114

Drehimpuls und Drehmoment Bei der Translation besteht zwischen Impuls und Kraft ein enger Zusam menhang. Die Kraft ist gleich der zeitlichen Änderung des Impulses (/ S. 105). Analoge Überlegungen kann man auch für Drehimpuls und Drehmoment durchführen . Wirkt auf einen drehbar gelagerten Körper ein bestimmtes Zeitintervall lang ein Drehmoment M, dann ände rt sich dessen Drehimpuls:

M·M= L Di ese Gleichung kann man nach

• Ist das auf einen Körper wirkende r rehmoment nicht konstant, so kann man das momentane Drehmom ent ermitteln, ind em ma n die Zeitda uer immer kleiner wählt. Dann ergibt sic h: _ M= \tlim. 0

*

M umstellen und erhält:

Das Drehmoment, das an einem Körper angreift, ist gleich der zeitli chen Änderung des Drehimpulses.

M= [

.1 [ Änderung des Drehimpulses Zeitdauer

t

Der Drehimpulserhaltungssatz Analog zum Impu lserhaltungssatz (/ 5. 106) gilt auch ein Dreh impulserhaltungssatz. Unter der Bedingung, dass keine äußeren Drehmomente wirken, bleibt in einem abgeschlossenen System der Drehimpuls erhalten . n

[ = [1

+ [2 + ... +

Ln = L

[i

= konstant

i=1

Gesamtdrehimpuls Drehimpulse der einzelnen Körper des Systems

Eine wichtige Anwendung des Dre>himpuls· erhaltungss t7 ssi nd II'rt.;lsel und darauf beruhende Instrumente (Kreise lko mpass, Fliegerh ori zont).

Ein Kunstspringer besitzt nach dem Absprung einen bestimmten Drehimpuls L um ei ne bestimmte Achse . Durch Veränderung der Körperhaltung, z. B. An ziehen der Beine, kann er sein Trägheitsm oment verkleinern und damit seine Winkelgeschwindigkeit vergrößern, denn für L = konst. gilt w Damit werden z. B. Mehrfachsaltos möglich.

j.

Auch bei der Entste hung vo n Planetensyste men spie lt der Drehimpul se rhaltu ngssatz eine Roll e. Extrem langsam rot ierend e Gaswolken im All erhöhen ihre W inkelgeschwind igkeit, wenn sie durch Gravitati on skräfte (/5. 117) kollabieren. Dabei nimmt die Winkelgeschwindigkeit mit Ve rkleinerung des Trägheitsmomentes zu. Es entstehen schnell rotierende Scheiben um junge Sterne, in denen sich Planeten bilden können .

115

Gravitation

2.7

Gravitation

2.7.1

Das Gravitationsgesetz

•

Die Entdeckung des Gravitationsgesetzes durch den englischen Naturforscher ISAAC NEWTON (1643- 1727) war der Endpunkt einer langen und komplizierten historischen Entwicklung. Dabei flossen irdische Beobachtungen über die Erdanziehungskraft und Himmelsbeobachtungen über die Bewegungen des Mondes und der Planeten zusammen . Zu beantworten war letztlich die Frage, ob die Kraft, die Erdmond oder Planeten auf eine kreisähnliche Bahn zwingt, wesensgleich mit der Kraft ist, die wir als Erdanziehungskraft kennen und die z. B. bewirkt, dass ein Apfel nach unten fällt, wenn man ihn loslässt.

Mondbahn

~----

o

Erde

Abg eleitet ist der Begriff Gravitation von gravis (Iat. ) = sc hwe r.

i Ein Teil di eses komplizierten und langwierigen Erkennt nisprozesses w ar der Strei t um das Weltbild, der in den Au se inandersetzung en um di e Richtigkeit des helioze ntrischen Weltb i 1des des NIKOLAUS Ko PERNIJIUS (1 473- 1543) gipfelte.

Die keplerschen Gesetze Ei n entscheidender Schritt auf dem Weg zur Erkenntnis des Gravitationsgesetzes war die Analyse der Bewegungen von Planeten des Sonnensyste ms und die Formulierung entsprechender Gesetze. Dieser Schritt wu rde von JOH ANNES KEPLER (1571 - 1630) unternommen. KEPLER gelangte durch intensi ve Auswertung von Beobachtungen des dänischen Astronomen TYCHO BRAHE (1546- 1601) zu den heute nach ihm benannten kepl erschen Gesetzen, die nachstehend in moderner Formulierung angegeben si nd: 1. kep lersches Gesetz Pl a n e~t:..-_

_ _

Pl anete nbahn

I ~

a.

~

I

Sonne

~

I .., li, ~ - -- - o- --- I - - ~_9,:--- --:r I ~

Alle Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen . In einem gemeinsa men Brennpunkt steht die Sonne.

I

Da raus folgt, dass sich bei der Bewegung von Planeten um die Sonne der A bsta nd Planet - Sonne ständ ig ändert. Für die Erde beträgt die geringste Entfernung von der Sonne 147,1.10 6 km (Perihel, Anfang Januar), die größt e Entf ernung 152,1 . 10 6 km (Aphel, An f ang Juli) .

• JOHANNES KEPLER

(1571 - 1630) ent deckte die keplersehen Gesetze der Planeten bew egung . Eing ebunden in das Denken sein er Ze it, w ar er zut iefst davo n überzeugt, dass die Welt vo n gött lichen Harmoniepri nzipien durchdrunge n ist.

2. keplersches Gesetz Die Verbindungslinie Sonne - Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. A l _ A2 t,-~

Flächen Zeiten

Daraus folgt, dass sich ein Planet in Sonnenferne langsamer bewegt als in Sonnennähe. Für die Erde betragen die Geschwindigkeiten 29,3 km · S- 1 in Sonnenferne (Juni/Juli) und 30,3 km· S- 1 in Sonnennähe (Dezember/Januar). 3. keplersches Gesetz

---,---Pl anet 1

Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Bahnen. 2

Tl _

a~

~- ~ Umlaufzeiten der Planeten große Halbachsen der Planeten bahnen

• Geht man davon aus, dass die auf ein en Pl anet en wirk ende Kraft gl eich der Radial kraft ist, dann gilt:

F= m .

4n;2·r

( / S. 82) und damit F(1)

fo

Für Kreisbahnen folgt aus dem 3. kepl erse hen Geset z: T2 - ? Eing esetzt in (1) ergibt sich:

F _ 1-

(2

Aus diesem Gesetz folgt, dass die Bahngeschwindigkeit von Planeten mit wachsendem Abstand von der Sonne abnimmt. Merkur als sonnennächst er Planet bewegt sich schneller um die Sonne als die Erde. Die Erde bewegt sich schneller um die Sonne als die sonnenfernen Planeten Saturn oder Pluto. Aus den keplerschen Gesetzen ergeben sich wichtige Hinweise auf den Charakter der Gravitationskraft. Das gilt vor allem für das 3. keplersche Gesetz. NEWTONS Mondrechnung Neben I. NEWTON (1643- 1727) waren im 17. Jahrhundert auch schon andere Gelehrte, z. B. der Astronom EDMUND HALLEY (1656 - 1743), auf den Zusammenhang zwischen Kraft und Abstand gestoßen (s. Randspalte). Mithilfe der so genannten M ondrechnung konnte NEWTON aber zeigen, dass es sich bei der Kraft zwischen Himmelskörpern um die gleiche Art von Kraft handelt e, die auch die Körper auf der Erdoberfläche anzog . NEWTON ging bei seinen Überlegungen von einer näherungsweisen Kreisbewegung des Mondes um die Erde aus. Die in Richtung Erde wirkende Radialbeschleunigung beträgt nach den Geset zen der Kreisbewegung dann :

a

Gravitati on

Darin bedeuten T die Umlaufz eit des Mondes um d ie Erde (27,32 d) und r den mittleren Mondbahnrad ius (384400 km). NEWTON wusste : Der Radius r der Mondbahn ist et wa 60-mal größer als der Erdradius R. Für das Verhält nis der Radialbeschleun igung a des Mondes und der Fallbeschleunigung 9 an der Erdoberf läch e gilt näherungsweise : 9. = _ 1_ "" ( .1.. ) 2 = (ß/ g 3 590 60 r Sind beide Beschleunigungen auf dieselbe Kraft zurückzuführen, dann müsste für diese Kraft eine Entfernungsabhängigkeit der Form F - ~ gelten . r

117

• In den Jahren 1680- 1684 arb eit et e ISAAC NEWTON die Th eori e der Plan et enbewegung aus. Den Zu sa mm enh ang F - ~ fa nd N EWTON bereits et wa 1665 .

Die Erdanziehungskraft und die im All wirkenden Anziehungskräfte zwischen Himmelskörpern sind auf das Wirken ein - und desselben Gesetzes, des Gravitationsgesetzes, zurückzuführen . Das Gravitationsgesetz Das Gravitationsgesetz fand ISAAc NEWTON um 1687. Es lautet: Zwischen zwei Körpern wirken aufgrund ihrer Massen anziehende Kräfte, die gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sind . Für den Betrag dieser Gravitationskräfte gilt: G Gravitationskonstant e m, M Massen der Körper r Abstand der Massenmittelpunkte

Di e Gravitationskonstante G kann experimentell ermittelt werden. Erstma ls gelang das 1798 dem englischen Physiker HEN RY CAVENDISH (1731-1810, Bild rechts) mit einer von ihm erfundenen Drehwaage. Die Skizze zeigt das Messprin zip. A n einem Draht sind zwei kleine kuge lförmige Körper befestigt. Darüber hinaus ist ein Spiegel angebracht, über den die Verdrillung des Sp iegel Drahtes gemessen werden kann . Zwe i große Kugeln sind symmetrisch einer drehbar gelagerten auf m, = 730 g Scheibe befestigt. Bei gleichem Abm2 = 158 kg _--+-::7"""'=-~/ sta nd von den kleinen Kugeln heben sich die Gravitationskräfte auf. Der Draht wird nicht verd r illt. Nähert ma n die großen Kugeln den kleinen, so wird der Draht aufgrund der wirke nden Gravitationskräfte verdrillt. Die Stärke der Verdrillung kann gemessen und damit die Gravitationskonstante bestimmt werden.

• Aufgrund der -r wi llun ist j eder Körpe r auf der Erde " schwe r " . Au s diesen Überl eg ung en ergibt sich der Begriff "schwere Masse", der von der "trägen Masse" unte rsch ieden wi rd, di e bei Bew egungsänd erung en ein e Roll e spi elt. Schwere und t rä ge r eines Körpers sind gleich groß .

118

Mechanik

Mithilfe des Gravitationsgesetzes kann man die Erde "wiegen", also ihre Masse ermitteln. Führen Sie eine solche Bestimmung der Erdmasse durch !

•

Die nebenstehend genannte Gl eichung (1) kann man beisp ielsweise dazu nutzen, um die Fallbeschleunigung an der Oberfläche von Him melskörpern zu berechnen, w enn man deren Masse und Ra dius kennt .

Analyse: Die Gewichtskraft FG eines Körpers auf der Erdoberfläche ist g leich der Gravitationskraft zwischen ihm und der Erde. Es gilt also:

m . g= G· m · M

---ri2

und damit

g

= G· !!!. R2

Erde mit der Masse M

(1)

Mithilfe der nach M umgestellten Gleichung kann man die Erdmasse berechnen. Gesucht: Gegeben:

M

G

= 6,67· 10- 11 ~ kg . 5 2

g

= 9,81

R

= 6371

~

5

km

= 6,371

. 10 6 m

Lösung: M 9,81 ~ . (6,371 . 10 6 m) 2

M

•

667. 1O - 1 1~ ,

Di e Erdm asse ist 8l -mal größer als die Mondm asse. Sie beträgt aber nur 1 330 000 der M asse der Sonne .

Al s An satz ist bei solch en Aufgab en häufig zu w ähl en: Radi alkraft = Gravit ationskraft m ·M rn .ir = G · -;:2

M

= 5,97·

kg . 52

10 24 kg

Ergebnis: Die Masse der Erde beträgt 5,97· 10 24 kg.

Das Gravitationsgesetz kann zur Lösung weiterer interessanter Aufgaben genutzt werden, beispielsweise zur Bestimmung der 1. kosmischen Geschwindigkeit ( / S. 124) oder zur Bestimmung der Bahngeschwindig keit des Mondes um die Erde . Mithilfe der Gravitation lassen sich auch Erscheinungen wie Ebbe und Flut erklären.

119

Gravitation

2.7.2 Gravitationsfelder Beschreibung von Gravitationsfeldern Lange Zeit konnte die Wissenschaft nicht die Frage beantworten, wie die gravitative Wirkung zwischen Körpern durch den Raum hindurch erfolgt. Dies wurde erst mithilfe der Feldtheorie möglich. Unter einem Gravitationsfeld versteht man den besonderen Zustand des Raumes um einen massebehafteten Körper. In ihm werden auf andere Körper Gravitationskräfte ausgeübt.

• Analog dazu ex isti ert um einen geladenen Körper ein elektrisches Feld ( / 5.214) und um einen M agneten ein magneti sches Feld ( / 5. 229).

Veranschaulichen kann man sich ein Gravitationsfeld ähnlich wie ein elektrisches oder ein magnetisches Feld durch ein Feldlinienbild. Gravitationsfeld der Erde

Gravitationsfeld in der Nähe der Erdo berfläche

Als Richtung der Feldlinien des Gravitationsfeldes wird di e Richtung der Kraft auf einen Pro bekörper angenommen . In di e Physik eingeführt wurd e das Feldlinienmodell durch den englischen Physike r MICHAEL FARAOAY (1791 - 1867).

m

m

m Erdoberfläche

Das Gravitationsfeld der Erde ist ein Radialfeld und damit ein in homogenes Feld.

In unmittelbarer Nähe der Erdoberfläche kann man das Gravitationsfeld als homogen ansehen.

Die ortsabhängige Stärke eines Gravitationsfeldes wird durch die Gravi tationsfeldstärke erfasst. Die Gravitationsfeldstärke gibt an, wie groß die Gravitationskraft auf einen Probe körper der Masse m im Gravitationsfeld ist.

F

Formelzeichen: 9 Einheit: ein Newton durch Kilogramm (1 ~) Die Gra vitationsfeldstärke eines Körpers der Masse M kann berech net werden mit der Gleichung:

9

F

=m

G

M r

Gravitationskonstante Masse des felderzeugenden Körpers Abstand vom Massenmittelpunkt

Fü r di e Einheiten gilt: 1!i. = 1 kg . m = 1 r:!! kg

s2. kg

s2

• Di e Grav itationsfeld stärke wird auch als u rt~fa or oder als 1'" It e (h l uni l un g ( / 5.66) bezeichnet.

Mechani k

120

In welcher Entfernung von der Erdoberfläche ist der Ortsfaktor nur noch halb so groß wie an der Erdoberfläche? Der Abstand r wi rd stets vom Massenmittelpunkt des felderzeugenden Körpers aus gemessen .

Analyse: Für den Ortsfaktor an der Erdoberfläche gilt gE= 9,81 ~. Die Entfernung h, in der der Ortsfaktor nur noch halb so groß ist, kann mithilfe der Gle ichung für die Gravitationsfeldstärke berechnet werden . Gesucht: Gegeben:

h R = 6371 km = 6,371 . 10 6 m M = 5,97 . 1024 kg G = 6,67 · 10- 11 ~

9

1

=2

kg . 52

gE

Lösung :

Di e Aufgabe lässt sich auch durch inhaltlichlogisches Sch li eßen ( / S. 35) lösen:

h =

J2

r = R· h =R ( J'i - 1)

Hebt man einen Körper von Normalnull (NN) auf 1 000 man, so verkleinert sich der Ortsfaktor lediglich um 0,000 2 %.

J2 ' 6. 67m

3

24

. 5.97 ' 10 kg ' 10 11 · kg·5 2 · 9, 81m

52 _

6,371 . 10 6 m

h = 9,01 '1 06 m - 6,371 ' 106 m h = 2,64 . 106 m Ergebnis: Der Ortsfa ktor (G ravitationsfeldstärke) hat in 2640 km Höhe über der Erd oberfl äche die Hälfte des Wertes auf der Erdoberfläche. Potenzielle Energie und Arbeit im Gravitatio nsfeld

In der Nähe der Erdobe rfläche kann man das Gravitat ionsfeld der Erde als ho mogen ansehen ( / 5. 119). Dem zufo lge ist in diesem Bere ich der Ortsfaktor 9 = konstant. Wird an einem Körper Hubarbeit ( / 5.89) verrichtet, so ve rgrößert sich seine poten zielle Energie:

Im homogenen Gravitationsfeld in der Nähe der Erdoberfläche ist die Änderung der potenziellen Energie eines Körpers gleich der verrichteten Hubarbeit: W

Als Bezugsniveau für die in Erdnähe wird häufig die Erdoberfläche gewählt. Man ka nn auch j edes andere Bezugsniveau wählen.

=

Epot

=m . 9 . ,1h

m g L1h

Masse des Körpers Ortsfaktor Höhenunterschied

Die verrichtete A rbeit und damit die Änderung der potenziellen Energie ist nur vom An fangs- und En dpunkt der Bewegung abhängig. Beide Größen hängen nicht vo n der Bahn ab, auf der die Bewegung erfolgt. Wi rd ein Körper um größere Strecken im Gravitationsfeld verschoben, dann kann man das Feld nicht mehr als homogen ansehen ( / 5.119). Die genannte Gleichung ist dann nicht mehr anwendbar.

Gravitat ion

121

•

Verb indet man in einem Gravitationsfeld Punkte gleicher Gravi tati onsfeldstärke miteinander, so erhält man Flächen gleichen Potenzials, die man in der Physik auch als Äquipotenzialflächen beze ichnet. In einem Radialfeld sind es Kugel schaien, auf denen die Feldlinien des Gravitationsfeldes senkrecht stehen.

Ein Körper auf einer Aquipotenzialfläche hat eine bestimmte potenzielle Energ ie, un abhängig davon, an welchem Ort auf der Fläche er sich befindet.

Um einen Körper aus der Entfernung r1 in die Entfernung r 2 zu verschieben, ist eine bestimmte Arbeit erforderlich. Dabei kann man zwei Fälle unterscheiden.

•

Es wird ein beliebiger Weg zurückgelegt.

Gravitationskraft und Weg haben stets die gleiche Richtung .

------ -- -

...

...

... ,

, \

...

... ,

...

\ \

,

\ \

\

\

M

\

\

,

\ \

\

\

\

... ,

\ I I

\

\

\

I

\ I I

I I

I

I

\ I I I I I

In beiden Fällen lässt sich die Arbeit durch Integration ermitteln:

f

F dr

Es gilt:

f

.l dr == - ! + C

(2

Mit W ==

Rechts lässt sich der Weg in Teilstrecken läng s ei ner Äquipotenzialfläche (blau) und in solche, die ra dial verlaufen (rot) zerlegen. Nur die ra dialen Teile ergeben einen Beitrag für die zu verrichtende Arbeit. Die Wege in ra dia ler Richtung sind in beiden Fällen g leich groß.

(2

und

F == G · m

·M

(2

erhält man:

(

(1

In einem radialen Gravitationsfeld kann die Arbeit zum Verschieben eines Körpers und damit die Änderung seiner potenziellen Energie berechnet werden mit der Gleichung :

G M m

r" r2

Gravitationskonstante Masse des felderzeugenden Körpers Masse des Körpers im Gravitationsfeld Abstand vom Massenmittelpunkt

Die I ist positiv, wenn sich die E I< I des Systems Erde-Körper vergröß ert, also der Körper von der Erde weg bewegt wird. Im umgekehrten Fall ist sie negativ.

122

i Meteoroide sind Kleinstkörper des Sonnensystems, die in die Erdatmosphäre eindri ng en können . Kleine Meteoroide verdampfen in der Atmosphäre und rufen dabei Leuchterscheinunge n hervor, die als Meteore (Sternschnuppen) bezeichnet werden. Größere Meteoroide können den Erdboden erreichen. Diese zur Erdoberfläche gelangenden Reste der Meteoroide werden als Meteorite bezeichnet. Der größte bekannte Meteorit liegt in Namibia und besitzt eine Masse von mehr als 60 Tonnen.

Mechanik

Welche Arbeit kann ein Meteoroid der Masse 500 kg verrichten, der aus den Tiefen des A lls kommt und auf die Erdoberfläche fällt? Analyse: Zur Berechnung kann die / S. 121 unten genannte Gl eichung für die Arbeit im Gravitationsfeld genutzt werden. Es geht dabei um das Gravitationsfeld der Erde, folglich ist die Masse der Erde einzusetzen. Als Anfangsgeschwindigkeit des Meteoroiden nehmen wir v = 0 an. Da der Meteoroid aus sehr großer Entfernung kommt und auf die Erdoberfläche fällt, setzen wir r, ~ 00 und r2 = R.

Gesucht: Gegeben:

W M

r,

= 5,97 . 1024 kg (Masse der Erde) ~ 00

. 106 m (R adius der Erde) G = 6,67· 10-"~

r2

= 6,371

kg . s 2

Lösung:

Mit r, ~

erhält man ~ (, ~ 0 und damit:

00

W = _G · m · M (2

W

=

6,67m 3 . 500 kg ·5,97 · '0 24 kg 10 " kg . S2 . 6. 371 .10 6 m

W = - 3. 13.10 10 J Bereits der Aufpra ll eines so lchen Meteoroiden könnte verheerende Wirkungen haben. Zum Vergleich: Eine En"rgi" von 3·1 0'0 J wird auch frei , wenn etwa 1000 I Benzin vollständig verbrennen.

• Bei Betrachtungen zur potenziellen Efll:rg' in der Nähe der Erdober·fläche wählt man meist die Erdoberfläche als Bezugsniveau und setzt für h = 0 die potenzielle Energie Epot = O.

Ergebnis: Ei n Meteoroid mit einer Masse von 500 kg kann beim Fall auf die Erde eine Arbeit von etwa 3· 10'0 J verrichten.

Potenzielle Energie und Potenzial Die potenzielle Energie eines Körpers, der sich im Gravitationsfeld eines Zentralkörpers befindet, ist von seiner Masse und davon abhän gig, wei ches Bezugsniveau man für die potenzielle Energie w ählt. In der Physik wird häufig die poten zielle Energie im Unendlichen gleich null gesetzt. Um einen Körper der Masse m vom Unendlichen auf den Abstand r zu verschieben, ist die Arbeit W = - G . m ·M (

erforderlich . Diese Arbeit entspricht der Änd erung der poten ziellen Energie und mit Epot, ~ = 0 zugleich der potenziellen Energie. Ist ein Körper der Masse m von einem Zentralkörper der Masse M den Abstand r entfernt, dann besitzt er die potenzielle Energie

Epot = - G . m

·M

Gravitation

Betrachtet ma n z. B. einen Körper der Masse 1 kg im Gravitationsfeld der Erde, so ergibt sich für das Bezugsniveau Epot, ~ = 0 der nachfolgend dargestellte Verlauf für die potenzielle Energie.

R - 0,7 .1 0 7 J - 1,3.107 J -2,1 .1 0 7 J

3R

SR

1

1

7R

9R

: -______ L_______ L______ _--~--~~-----

1 1 --- I -

---

1 1

123

Setzt man dagegen für die Erdoberfläche die poterlZlelie Energie EP Ol = 0, dann ergibt sich allgemein für die potenzielle Energie der Au sdruck: 1 n Epot = G . m . M ( R und für r

r)

1 1

---r EpOl = - G .

III

~M

EPO I = G . m . M · ~

Um das Gravitationsfeld eines Körpers unabhängig davon beschreiben zu können, ob sich ein Probekörper in ihm befindet oder nicht, führt man die Größe Potenzial ein. Das Potenzial eines Punktes im Gravitationsfeld eines Zentralkörpers der Masse M ist ein Maß für die Energie eines Körpers im betreffen den Punkt. Formelzeichen: V Einheit: ein Joule durch Kilogramm (1

dg)

Das Potenzial in einem Radialfeld kann berechnet werden mit der Gleichung: V

= Em = - G · Mr pot

E pot

m G M r

potenzielle Energie Masse eines Körpers im Gravitationsfeld Gravitationskonstante Masse des felderzeugenden Körpers Abstand des Punktes vom Massenmittelpunkt des felderzeu genden Körpers

Für das Potenzial ergibt sich in der grafischen Darstellung ein äh nlich er Verlauf wie für die potenzie ll e Energie (s. oben). Berechnet man mit der oben genannten Gle ichung das Potenzial auf der Erdoberfläche (M = 5,97 . 1024 kg, r = 6371 km ), so erhält man einen Wert von - 6,3 . 10 7 J/kg . Mit Vergrößerung der Entfernung vergrößert sich dieser Wert ( / Ski zze oben).

• In analoger Wei se wird beim elektrischen Feld das Poten zial eingeführt (/ S. 221 ).

• Als Bezugspunkt (V = 0) für das Poten zial kann entweder ein Punkt im Unendlichen oder ein Punkt auf der Erdoberfläche festgelegt werden. Die nebenstehende Gleichung gilt für einen Bezugspunkt im Unendlich en.

124

Mechanik

Die kosmischen Geschwindigkeiten Die Kenntnis der zum Erreichen ei ner bestimmten Bahn erforderlich en Geschwindigkeit ist z. B. notwe ndig, um den genauen Antriebsbedarf ermitte ln zu können.

Damit eine von der Oberfläche eines Himmelskörpers gestartete Raumsonde auf eine Umlaufbahn um diesen Himmelskörper gelangt oder den Anziehungsbereich des Himmelskörpers verlassen kann, muss sie auf eine bestimmte Mindestgeschwindigkeit beschleunigt werden. Zur Verdeutl ichung der Zusammenhänge betrachten wir folgenden vereinfachten Fall: Ein Körper wi rd von einem hohen Berg aus waagerecht zur Erdoberfläche abgesch ossen, wobei die Abschussgeschwindigkeit in weite n Grenzen variiert werden kann.

Bei den nachfolgenden Betrachtungen wird der Luftwidersta nd vernachl ässigt. Die Erde wird als id ea l kre isfö rmig angesehen. Die rechts stehend e Skizze ist eine Darstellung, die auf zurückgeht.

All e Bahnkurven, die voll stä ndig im Erdfel d verlaufen, sind geschlosse n und damit ell iptisch od er kreisförmig. Bei klein en Geschwindigk ei t en verl äuft die Bewegung natürlich nur bis zur Erdoberfläche.

Hyberb el

Ellipse

Ist die Geschwindigkeit gering, dann fällt der Körper auf einer elliptischen Bahn auf die Erd oberfl äche. Bei Vergrößerung der Abschussgeschwindigkeit vergrößert sich die Flugweite immer mehr, bis schließlich der Körper den Zentralkörper (die Erde) auf ei ner Kreisbahn gerade umläuft. Die Geschwindigkeit, die ein Satellit haben muss, damit er einen Zentralkörper gerade umläuft, wird als 1. kosmische Geschwindigkeit oder als minimale Kreisbahngeschwindigkeit bezeichnet.

m

,,

Der Betrag der 1. kosmischen Geschwindigkeit ergibt sich aus folgender Überlegung : Für einen Körper auf einer Kreisbahn ist die Radialkraft gleich der Gravitationskraft: m·

Für andere Himmelskö rp er ergeben sich für die . t.J andere Werte. So beträgt sie z. B. für den Erdmond 1,68 k~ und für den Pl aneten Mars 3,54 ~ .

-

Himmelskörper der Masse M

vl

R-

m .M

= G .~

und damit: VK

= JG.W

Für eine Kreisbewegung, die gerade um die Erde herum erfolgt, ist R gleich dem Erdradius. Damit erhält man als Betrag der 1. kosmischen Geschwindigkeit für die Erde v = 7,9 k~ .

125

Gravitation

Die 1. kosmische Geschwindigkeit (minimale Kreisbahngeschwindigkeit) kann berechnet werden mit der Gleichung: G M

R

Gravitationskonstante Masse des Zentralkörpers Radius des Zentralkörpers

Wird die waagerechte Abschussgeschwindigkeit eines Körpers über die 1. kosmische Geschwindigkeit hinaus weit er erhöht, dann kann er sich von der Oberfläche des Zentralkörpers entfernen (s. Skizze / S. 124). Es entstehen zunächst elliptische Bahnen, die sich schließlich zur Bahnform der Parabel und weiter zu Hyperbelästen öffnen. Die Geschwindigkeit, die ein Satellit mindestens haben muss, um das Gravitationsfeld eines Himmelskörpers zu verlassen, wird als 2. kosmische Geschwindigkeit (Fluchtgeschwindigkeit) bezeichnet.

Der Betrag dieser Geschwindigkeit ergibt sich aus energetischen Betrachtu ngen. Der Satellit muss beim Start gerade soviel kinetische Energie besitzen, um Hubarbeit bis ins Unendliche verrichten zu können. Die 2. kosmische Geschwindigkeit (Fluchtgeschwindigkeit) kann berechnet werden mit der Gleichung : vF

= J2G . ~

G M

R

Gravitationskonstante Masse des Zentralkörpers Radius des Zentralkörpers

Für die Erde erhä lt man eine n Wert von 11,2 ~ , für den Erdmond 2,38 ~ und für den Mars

5,00 k~

.

Zwischen 1. und 2. kosmisch er Geschwindigkeit besteht folgender Zusammenhang: vF =

J2 . v K

In der nachste henden Übersicht sind die Geschwindigkeiten und d ie Bahnformen für die Bewegung im Gravitationsfeld der Erde zusammengestellt. Startgeschwindigkeit

Bahnform

Beispiele

v< 7,9 km/s

Körper fällt zur Erde zurü ck .

Rakete bei Ausfall ei ner Antriebsstufe

Kreisbahn

Satelliten auf niedri ger Umlaufbahn

Ellipse

viele Forschungssate lliten

Parabe l

Pioneer-Raumsonden

v

= 7,9 km/s

7,9 k~ < v< 11 ,2 k~

V=

11 ,2 k~

v>11 , 2 k~

Hyperbel

Die Bahn von Raumsonden in größerer Entfernung von der Erde wird maßgeblich durch Gravitationskräfte anderer Himmelskörper beeinflusst.

• Zum Verl assen unseres Son nensystems ist d ie 3. kosmische Geschwindigkeit erforderlich, die für die Erde 16,7 k~ beträgt. Durch Swing by-Manover , also der Nutzung von Gravitationskräften von Himmelskörpern, kann die Geschw indigkeit von Raumflugkörpern vergrößert werden.

126

i Statt von Gleichgewichtslage spricht man auch von Ruhelage.

i Beispiele für Schwingungen sind auch die Bewegung einer Sch aukel , der Unruh ein er Uhr oder eines Autos bei unebener Fahrbahn. Manche Sterne ändern periodisch ihren Radius . Sie pulsieren um eine Gleichgewichtslage.

i Jede mechanische Schwingung ist eine periodische Bewegung , aber nicht jede periodische Bewegung ist eine Schwi ng ung . Ein so lches Beispiel für ein en period ischen Vorg ang ist die Bewegung der Erde um die Sonn e. Es li egt zwar Period izität vor, es gibt aber ke ine Gl eichgewi chtslage.

Mechanik

2.8

Mechanische Schwingungen und Wellen

2.8.1

Entstehung und Beschreibung mechanischer Schwingungen

Häufig sind in Natur und Technik Vorgänge zu beobachten, bei denen Körper periodisch ihre Raumlage oder ihr geometrisches Erscheinungsbild än dern und sich dabei immer wieder ein gleicher oder weitgehend ähnlicher Bewegungsprozess abspielt. Eine mechanische Schwingung ist eine zeitlich periodische Bewegung eines Körpers um eine Gleichgewichtslage .

•

[ Pendel

v=o

Stimmgabel

v= 0

Bei einem Pendel schwingt der gesamte Pendel körper hin und her.

I

Teile einer angeschlagenen Stimmgabel bewegen sich periodisch.

Bei dieser periodischen Bewegung ändern sich zeitlich verschiedene physikalische Größe, z. B. der Abstand von der Gleichgewichtslage, die Geschw indig ke it , die Beschleunigung, die potenzielle und die kinetische Energ ie, bei Schallschwingungen der Druck . Deshalb lässt sich eine Schwingung allgemein auch folgendermaßen definieren: Eine Schwingung ist eine zeitlich periodische Änderung physikali scher Größen. Entstehung mechanischer Schwingungen Voraussetzungen für das Entstehen mechanischer Schwingungen sind: - das Vorhandensein schwingungsfäh iger Körper bzw. Teilchen, die auch als Oszillatoren oder Schwinger bezeich net werden, - die Auslenkung dieser Oszillatoren aus der Gleichgewichtslage (Energiezufuhr), - das Vorhandensein einer zur Gleichgewichtslage rücktreibenden Kraft .

127

Mechanische Schwingungen und Wellen

Allerdings wird ein ausgelenkter Körper durch diese Kraft beschleunigt, sodass er beim Erreichen der Gleichgewichtslage nicht verharrt, sondern sich vielmehr infolge seiner Trägheit über diese Lage hinaus weiterbewegt . Außerhalb der Gleichgewichtslage wirkt wiederum eine rücktreibende Kraft, die ihn bis zum Stillstand abbremst und in Richtung Gleich gewichtslage beschleunigt. Gleichgewichtslage

rücktreibende Kraft

Trägheit

rücktreibende Kraft

./

Vernachlässigt man die Reibung, dann erfolgt dieser periodische Vorgang unbegrenzt weiter, eine Schwingung hat sich ausgebildet. Beschreibung mechanischer Schwingungen Schwingungen können in verschiedenen Formen auftreten. Es ist deshalb erforderlich, sie möglichst genau zu charakterisieren. Zun ächst kann man untersuchen, in wie vielen Raumrichtungen sich das schwingenden System bewegen kann und wie viele Masseteilchen sich d abei unabhängig voneinander bewegen. Der einfachste Fall ist die Schwingung eines Körpers in nur einer Richtung . Man hat dann eine lineare Schwingung vor sich . Zei chnet man in ein Diagramm den Zusammenhang zwischen der Auslen kung, y aus der Gleichgewichtslage und der Zeit t ein, so erhält man eine Weg-Zeit-Funktion d er Schwingung. Dabei ergibt sich ein periodisc he r Kurvenverlauf, der unterschiedlich ausseh en kann .

_.

,

-

Gleichge- __ w ichtslage

-. -.. -. ...

-

......

"

,,

'..;,;., -------~ - ------

,

...... .... _- - ... -_ .... '

---. -.

"-

,

,

• Neben linea ren Schw ingun ge n g ibt es auch f lä ch enhaft e und dreidim ensionale Schw ingungen. Federschwinger od er Fadenpendel führen linea re Schwingungen aus.

--.

", ,-


y

•

1- - - - - - - Schwingungsdauer T - - - - - --1

Zeichn et man eine sol che Federschwin gung auf, so erg ibt sich eine Sinusfun kt ion .

128

• Eine harmonische Schwingung kan n mit ein er Sinusfun ktion mathematisch beschrieben we rd en ( / S. 129 f.). Bei nicht harmonischen Schwingung en ist eine mathematische Beschreibung wesentlich kompl izierter. y -t-Diagramme von Sch wingungen können in untersch iedl ich er Weise aufgezeichnet werden.

Mechanik

Entspricht der Graph einer Sinusfunktion, dann bezeichnet man die Schwingung als harmonisch, andernfalls ist sie nicht harmonisch . W ir beschränken uns nachfolgend auf die genauere Betrachtung und Kenn zeichnung harmonischer Schwingungen. harmonische Schwingung (sinusförmige Schwingung)

nicht harmonische Schwingung (nicht sinusförmige Schwingung)

y

y

Uhrpendel, Fadenpendel, schwingende Wassersäule

1

Stimmbänder beim Menschen, Saite einer Gitarre

Zur mathematischen Beschreibung von mechanischen Schwingung en nutzt man einige physikalische Größen, die in der folg enden Übersicht zusammengestellt sind.

I Die Auslenkung I

.

(Elongation) gibt den Abstand des schwing en den Körpers von

Formelzeichen:

Y

Einheit: 1 Meter

(1 m)

Einheit: 1 Meter

(1 m)

I

d., Glekhgewiehtslage an.

-Di e Amplitude w ird auch als maximale Auslenkung bezeichnet.

• Die Einheit für die Freq uenz ist nach dem deutschen Physi ker HEINRICH HERTZ (1857- 1894) benannt worden.

-

Die Amplitude einer Schwingung ist der maxima le Abstand des schwingenden Körpers von der Gl eichsgewichtslage. Die Schwingungsdauer (Periodendauer) gibt die Zeit für eine vollständ ige Hin- und Herbewegung an . Die Frequenz einer Schwingung gibt an, wie vie le Schwingungen in jeder Sekunde ausgeführt werd en.

Formelzeichen:

Formelzeichen:

1Fo,mel ze khen '

Ymax

j

Einheit

T

f f= !

T

1 Sekunde

(1 s)

Einheit: 1 Hertz 1Hz=1 /s

(1 Hz)

Mechanische Schwingungen und W el len

Sofern keine Reibungse inflüsse existieren, erfolgt eine Schwingung ungedämpft. Reale Schwingungen kommen durch Reibung nach einer gewissen Zeit zum Erliegen. Man nennt sie gedämpfte Schwingungen.

I

un:edämpfte Schw;ngung Ymax

= konstant

gedämpfte Schwingung Y

129

•

I

Durch periodische Energ iezufu hr kann der" Verlust" an mechanischer Energie ausgeg lichen werden.

• Membran eines Lautsprech ers bei einem Ton bestimm ter Lautstärke [ pot

+[

kin

Fadenpendel bei Berücksichtigung der Luftreibung, Schwingungsdämpfer

= konstant

Mathematische Beschreibung harm onischer Schwingungen

Ein harmonischer Oszi llator führt die gleiche Bewegung aus wie d ie Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung. Der Radius entspricht der Amplitude Ym ax' die Umlaufzeit der Schwingungsdauer T. Für die Elongation (Auslenkung ) Y gi lt jeweils:

Y =Ymax . sin cp Der W inkel, den man auch als Phasenwinkel oder Phase bezeichnet, lässt sich mithilfe der Umlaufze it ausdrücken, den n es gilt:

!. t

=

2n oder (p = 2n . t rp T

Der Faktor "0/- wird als Kre isfrequenz bezeichnet, sodass man für den Winkel (p auch schreiben kann: (p= (at

Bei einer gedämpften Schwingung verkleinert sich zwar die Amplitud e, die Schwingungsda uer bleibt aber gleich groß, damit auch di e Frequenz .

• Das lässt sich auch leicht experim ente ll zeigen , indem man z. B. die gleich förmige Kreisbewegung ein es Stati vstabes, der auf einer drehbaren Scheibe befestigt ist, auf ein e Fl äche projizi ert.

130

• Di e Kreisfrequenz ist id enti sch mit der Winkelgeschwindigkeit (/ S. 96).

Mechanik

Die Gleichung für eine harmonische Schwingung lautet: . (T 21': . t ) = Y . Y = Ymax . sm max . sm wt T

w

Schwingungsdauer Zeit Kreisfrequenz

Hat eine Schwingung zum Zeitpun kt t = 0 den Phasenwinkel (Po, dann kann man sie beschreiben mit de r Gleichung :

• Die betreffenden Gl ei chung en bezeichnet man auch als GeschwindigkeitZeit-Gesetz bzw. Beschleunigung-ZeitGesetz einer harmoni schen Schw ing ung . In der grafischen Darstellung haben Geschwindigkeit und Beschleunigung auch ein en sin usförmig en bzw. kos in usfö rm igen Verl auf.

Y = Ymax . sin «(vt + (Po ) Die Geschwindigkeit des Oszillators ergibt sich als Ableitung der Elonga t ion nach der Zeit:

v = ~ = Ymax . w· cos (wt + (Po ) Als Ableitung der Geschwind igke it nach der Zeit erh ält man die Beschleunigung des Oszillators: a= ~ = ~ = - Ymax . uf . sin (mt + (flo) = - Y . w2 dt dt2 't' Die Membran eines Lautsprechers schwingt bei einem Ton mit einer Frequen z von 650 Hz und wird dabei maximal um 2,5 mm aus der Gleichgewichtsla ge ausgelenkt. a) Wie lautet die Schwingungsgleichung? b) Welche maximale Gesch windigke it und Besch leunigung erreicht die Membran? Ana lyse: Bei der Wiedergabe eines Tons führt die Membran eine harmonische Schwingung aus. Die Kreisfrequenz kann aus der gegebenen Frequen z ermittelt werden .

Gesucht:

Gleichung für Y

v a Gegeben:

Die maximale Geschwindigkeit wird beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage erreicht, die max imale Beschleunigung dagegen in den Umkehrpun kten.

f = 650 Hz Ymax= 2,5 mm

Lösung: Als Schwingungsgleichung erhält man: Y= 2,5 mm · sin (2rr· 650 ~ . t ) Y = 2,5 mm . sin (4 084 ~ . t )

Für die maximale Geschwindigkeit ergibt sich : V=

Ymax ' w

V=

2,5 mm · 2n: · 650 ~

= 10210

msm

= 10,2 !f

Mechanische Schwingungen und Wellen

131

I

Für die maximale Beschleunigung erhält man: =-Ymax' o.i a =- 2,5 mm . (2n: · 650 1 )2 =-4,2.10 7 mm =-4,2· 104 !!!

a

s

S2

S2

Ergebnis: Die Schwingungsgleichung für die Membran lautet: Y = 2,5 mm . sin(4084 t) . Die Membran erreicht eine maximale Geschwindigkeit von 10,2 m/s und eine maximale Beschleunigung von 4,2' 10 4 m/s2 .

t.

Rücktreibende Kraft bei harmonischen Schwingungen Bei einer harmonischen Schwingung ist die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung. Es gilt:

F = -0 . y

0

y

Richtgröße (Rückstellfaktor) Elongation (Auslenkung)

Auch die Umkehrung dieses Satzes ist richtig: Ist in einem schwingungsfähi gen System die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung, dann führt es harmon ische Schwingungen aus. Das Minuszeichen in der Gleichung bedeutet, dass die rücktreibende Kraft der Elongation stets entgegengerichtet ist.

• Diese Beziehung ergibt sich aus

F = m·a.

=-y.

2 Mit a (V erhä lt man : F = m . (-y . (02 ) und mit m . (02 = 0 die Gleichung

F =-0

'

y

Federschwinger und Fadenpendel Bei einem Federschwinger gilt im elastischen Bereich das hookesche GeFederschwinger und Fadenpendel führen harmonische setz F = - 0 . Schwingungen aus. Mit 0 = m . w2 = m . 4~2 erhält man durch Umstellen nach T eine Gleichung für die schwingun~sdauer.

y.

Federschwinger (vertikal. horizontal) Für die Schwingungsdauer eines Federschwingers gilt:

~

T=2n: .m

m Masse des schwingenden Körpers o Federkonstante (Richtgröße) Beim Fadenpendel ist die rücktreibende Kraft die tangential zur Pendelbahn gerichtete Komponente der Gewichtskraft FG ( / Skizze S. 132). Dabei ist für kleine Auslenkwinkel die Länge des Kreisbogens y' näherungsweise gleich der linearen Auslenkung y. Unter kleinen Auslenkungen verstehen wir Auslenkwinkel von weniger als 10°. Dann beträgt der Unterschied zwischen der linearen Auslenkung Y und dem Bogen y' weniger als 0,5 %. Man kann also setzen:

Y' = Y

Auch gespannte Seile (Seile mit Last) oder Maschinen mit ihren elastischen Fundamenten können als Federschwinger betrachtet werden.

Der Zusammenhang y' == y wird bei der nachfolgenden Ablei tung genutzt.

132

• Ein solches Fadenpendel wird auch als mat hematisches Pendel beze ichnet. Kann der schw in ge nd e Körper nicht als Massepunkt betrachtet werden , so hat man ein physisches Pendel vor sich.

Mechanik

Für die tangential gerichtete Komponente F der Gewichtskraft gilt:

/

/

/

u. : F = FG . sin a = m . 9 . sin a Für sin a gilt außerdem: sin a = ~ Damit erhält man für die rücktreibende Kraft F:

F , ,~ ~

F=m · g· y_m .

7-

,' . . . . . . (x:'

Y

I

y

,'- - ~ -- _l __---y

mi

Der Term ist also die Richtgröße 0 bei einem Fadenpendel. Für 0 gilt auch (/ S. 131): 0 =

m . (I} = m .

4n:

2

T2

Eine Gleichsetzung de r Terme für 0 ergibt:

Durch Umstellung nach T erhält man eine Gleichung für die Schwingungsdauer eines Fadenpendels .

•

Fadenpendel

Das Pen del einer Uhr oder einer Schaukel kann als Fadenpendel betrachtet werden. Di e Gl eichung kann auch ge nutzt werden, um mithilfe eines Fad enpendels d ie Fall beschleunigung an ei nem bestimmte n Ort zu bestimme n.

Für d ie Schwingungsdauer eines Fadenpendels gilt unter der Bedingung kl ei ner Auslenkungen:

/

\

\ \ \ \

\

T=

\

27r!i

\ \

1-:(

~~

/

9

Länge des Pendels Fallbeschleunigung (Ortsfakt or)

Gedämpfte Schwingungen

Bei der Schw ingung von Körpern treten unterschiedliche Arten von Re ibung auf. Dadurch wird den Oszillatoren mech anisch e Energie entzogen; die Amplitu de der Schwingung verringert sich.

Bei ein er gc llmpf t:n Sei wingung änd ert sich die Amplitude. Schwingungsdauer und Frequenz bleiben gleich .

Eine gedämpfte harmonische Schwing ung kann beschrieben werden mit der Gleichung :

Y= Ymax,O . Y

e- ö , t . sin wt

Elongation

Ymax, O Amplitude bei t

=0

8 Abklingkoeffizient w Kreisfrequenz t Zeit

133

Mechanische Schwingungen und Wellen

Resonanz Wird ein Oszill ator einmal angeregt und dann sich selbst überlassen, so führt er freie Schwingungen aus. Di e Schwingungen erfolgen mit der Eigenfrequenz f a. Wird dagegen die Energie nicht einmalig, sondern über einen längeren Zeitraum hinweg periodisch zugeführt, so führen die betreffenden Oszillatoren erzwungene Schwingungen aus.

• Die Bezeichnung Resonanz ist abgele itet vom lateini schen resonare = nachklin gen.

Die Gesetze für erzwungene Schwingungen können mithilfe eines Drehpendels (Bild unten links) untersucht werden. Die rücktreibende Kraft wird durch eine Spiralfeder aufgebracht. Ein Motor kann dem Pendel über einen Exzenter periodisch Energie zuführen. Die Erregerfrequenz f E ist veränderbar. Die Amplitude lässt sich an einer Skala ablesen. Registriert man die Amplitude des Pendels in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz, so erhält man eine Resonanzkurve, deren Verlauf vom Grad der Dämpfung abhängig ist (Bild unten rechts). Die Auswertung der Resonanzkurven führt zu charakteristischen Merkmalen erzwungener Schwingungen. Die Amplitude der erzwungenen Schwingung ändert sich mit der Erregerfrequen z FE' Es existiert bei f E ", f a ein Maximum der Amplitude. Dieser Fall wird als Resonanz bezeichnet. Unter der Resonanzbedingung f E '" f a ist die Amplitude besonders groß, wenn die Dämpfung gering ist. Bei ungenügend gedämpften schwingungsfähigen Systemen kann sich die Amplitude der Schwingungen so weit vergrößern, dass die mechanische Zerstörung des Systems erfolgt. Unter ungünstigen Bedingungen können Windbö en, die zufällig periodisch auftreten, höhere Gebäude oder Brücken zum Einsturz bringen. Be i Erdbeben können die periodische n Bodenbewegungen zum Aufschaukeln der Gebäudestruktur bis zum Zusammenbruch führen . Man spricht dann von einer Resona nzkatastrophe. Verhindert werden kann sie durch eine wirkungsvolle Dämpfung. Ein berühmtes Beispiel für eine Resonanzkatastrophe war der Einsturz der 1 km langen Tacoma-Hängebrücke (USA) im Jahr 1940.

• Beispiele für das Auftret en von Reson,lnz sind das Klirren von Fensterscheiben, das Mitschwingen von Autotei len oder das Schwing en von Hängebrücken. Di e Resonanz ist dabei un erwünscht. Genutzt wird die Reson anz dagege n bei Zungenfrequenzmessern oder bei der Prüfung von Schwin· gungsdampfern.

1 134

Mechanik

Zeigerdarstellung von Schwingungen

Harmonische Schwingungen können als Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung betrachtet werden ( / S. 129). Dabei rotiert ein Radiusvektor gleichförmig. Diese Form der grafischen Darstellung nennt man Zeigerdiagramm . Die nachfolgende Darstellung zeigt ein Zeigerdia gramm (links) und das entsprechende y-t -Diagramm (rechts) für zwei Schwingungen gleicher Frequenz, unterschiedlicher Amplitude und bestimmter Phasendifferenz /1qJ.

• .--,----- - - Bei der Zeigerdarstellung ist die Länge von r gleich der Amplitu de, die Elongation zu ein em bestimmten Zeitpunkt ist gleich der Proj ektion auf eine Senkrechte. Di e Phase bzw. die Phasendifferenz zwische n zwei Schwingungen kan n unmittelbar als W inkel abge lesen werden.

• M an spricht hier auch vom klassischen Determinismus, den man auch fo lg end ermaße n formuli eren kann: Gl eiche Ursach en haben gl eiche W irkungen oder abgeschwächt: Ähnliche Ursach en haben ähnliche Wirk ung en.

•

I

Au sführliche Inf ormationen dazu sind unter dem Stichwort "Determ inistisches Chaos" auf der CD zu finden.

y

----

----

Aus einem Zeigerdiagramm lässt sich die Amplitude sowie für einen bestimmten Zeitpunkt die Phase und die Elongation ablesen. Di e Kreisfrequenz (Winkelgeschwindig keit) des Zeigers muss gesondert angegeben werden . Chaotische Bewegung von Schwingern

Lenkt man ein Fadenpendel oder einen Federschwinger aus der Gleich gewichtslage aus und überlässt den Schwi nger sich selbst, so schwingt er immer in bestimmter und vorhersagbarer Weise hin und her. Der Vo rgang ist exakt berechenbar und eindeutig vorhersagba r. Eine genaue Vorausssage von Vorg ängen in Natur und Technik ist aber keineswegs ~~isenkörper immer möglich. Lässt man z. B. das dargestellte Magnetpendel schwingen, so ist .I nicht vorhersagbar, wie es sich bewegt und bei welchem Magneten es letztendlich stehenbleibt. In Natur und Technik gibt es viele ähnli che Vorg änge, die man als chaotische Vorgänge bezeichnet. Mit der Beschreibung solcher chaotischen Vorgänge befasst sich die Chaostheorie, die sich seit den siebzi ger Jahren das 20. Jahrhunderts entwi ckelt hat. Die Chaostheorie spielt nicht nur für die Physik eine Rolle. Auch biologische, astronomische, meteorologische oder ökonomische Systeme zeigen chaotisches Verh alten. Pendel mit

/ I

'

Mechanische Schwingungen und Wellen

_ _ _ _135

1

2.8.2 Üb~rlagerung von Schwingungen Wie auch andere Bewegungen können sich Schwingungen überlagern. Das tritt vor allem bei komplexen Systemen auf. Solche komplexen Systeme können Schwingungen in verschiedenen Frequenzen und Amplitu den ausführen . Kennt man die Frequenzen und Amplituden der Grundschwingungen, dann kann man die resultierende Schwingung ermitteln. Wir betrachten nachfolgend den speziellen Fall der Überlagerung von zwei linearen harmonischen Schwingungen, die in der gleichen Richtung schwingen und die gleiche Schwingungsdauer bzw. Frequenz haben.

• So entsteht z. B. das Geräusch ei nes PkwMotors durch Überl agerung verschiedener Frequenzen, mit denen seine Baugruppen vibri ere n.

Ze ichnet man die Schwingungen unter Berücksichtigung ihrer Phasen winkel in ein y -t -Diagramm, dann kann man für jeden Zeitpunkt die resultierende Auslenkung ermitteln, wenn man die Auslenkungen der Einzelschwingungen unter Beachtung ihrer Vorzeichen addiert. Dabei gilt: - Überlagern sich zwei harmonische Schwingungen gleicher Frequenz, so entsteht wieder eine harmonische Schwingung mit der gleichen Frequenz. Zwei spezielle Fälle sind in der Übersicht unten dargestellt. - Überlagern sich zwei harmonische Schwingungen unterschiedlicher Frequenz, so ist die resultierende Schwingung im Allgemeinen keine harmonische Schwingung mehr. Schwingungen gleicher Frequenz, Phasendifferenz

Yl =Ymax. 1 . sinwt Y2 =Ym ax. 2' sinwt

Unterscheide n sich die Frequenzen der Einzelschwingungen nur wenig voneinander, so ent steht eine Schwebung .

Acp =0

y

resultierende Schwingung:

I Y =Yl I

Y Y

+ Y2

.

.

=Ymax ' 1 . sm wt + Y max.' 2 . sm wt = (Ym ax. 1 + Y max . 2) . sm wt

Schwingungen gleicher Frequenz, Phasendifferenz

Yl Y2

=Ym ax. 1 . sin wt =Ym ax. 2 . sin(wt + 7t)

resultierende Schwingung : Y =Ym ax, 1 . sin wt + Ym ax. 2 . sin (wt + TC) Y =Ym ax. 1 . sin wt - Ym ax. 2 . sin wt Y = (Ym ax. 1 - Ym ax. 2) . sin wt

Acp= 7t

y

~ y,

t

Y

.. . .

--------------------------------------

y

Für Ym ax. 1 =Ym ax. 2 erfolgt Auslöschung.

136

Mechanik

Bei beliebigen Phasendifferenzen kann man die Zeigerdarstellung (/ S. 134) zur Ermittlung der resultierenden Schwingung nutzen .

•

~--r.-_--------- y

Di e math ematisch e Herl eitung ist relativ aufwändig. Deshalb ist an di eser Stell e d ie Zeigerdarstedlung zu bevorzug en. Das y-tDi ag ra mm ist mitg eze ichnet . Darauf kan n aber auch verzichtet we rd en.

Die Amplitude der resultierenden Schwingung ergibt sich durch vektori elle Addition der Zeiger der Einzelschwingungen. Auch der j eweilige Phasenwinkel (p ist ablesbar.

2.8.3 Entstehu ng und Beschreibung mechan ischer Wellen Entstehung mechanischer Wellen

Schwingungsfähig e Körper oder Teilchen (Oszillatoren) können durch Kopplung von einem anderen Oszillator Energie erhalten und so selbst zu Schwingungen angeregt werden . Beisp iele dafür sind eine Pendelkette (Bild links) oder eine Wellenmaschine (Bild rechts).

,

• Regt man ein en der Osz ill atoren an, so wird w egen der Kopplung En ergi e auf den j ewe ils nächst en Oszill ato r übertrage n. Di e h '/ingung pfl anzt sich im Raum fort.

Au ~ lJleitllng ~ rithtung

Eine mechanische Welle ist die Ausbreitung einer mechanischen Schwingung im Raum . Dabei ändern sich für den einzelnen Oszillat or so wie bei Schwingungen (/ S. 128) physikalische Größen, z. B. die Geschwindigkeit und die Beschleunig ung, zeitlich periodisch. Zugleich ändern sich diese Größen auch räumlich periodisch, haben also zu einem bestimmten Zeitpunkt für die verschiedenen Oszillato ren unterschiedliche W erte. Deshalb gilt: Eine We lle ist eine zeitlich und räumlich peri od ische Änderung physikalischer Größen.

Mechanische Schwingungen und Wellen

Voraussetzungen für das Entstehen von mechanischen Wellen sind - das Vo rhandensein von miteinander gekoppelten Oszillatoren, - die Anregung von mindestens einem der Oszillatoren durch Energiezufuhr zu Schwingungen . Bei einer Welle wird Energie von einem Oszillator zum nächsten übertragen. Es gilt: Mit einer Welle wird Energie übertragen, jedoch kein Stoff transportiert. Arten mechanischer Wellen Je nach dem Verhältnis der Schwingungsrichtung der einzelnen Schwinger und der Ausbreitungsrichtung der Welle zueinander unterscheidet man zwischen Longitudinalwellen (Längswellen) und Transversalwellen (Querwellen). Eine besondere Form sind Oberflächenwellen.

.

. ) ) )

@)

Au sbreitu ngsrichtung

• Die Kopplung zwischen den Oszill atoren kann in unterschied li cher Weise erfolgen, z. B. durch Federn oder durch ei ne andere mec han ische Verbindung. Bei Schallwellen und Wasserwellen wirken vorrangig Stöße zwischen den Teilch en und zwischen molekulare Kräfte.

i

Längswellen (Longitudinalwellen) Schwingungsrichtung

137

Schwingungsrichtung und Ausbreitungsrichtung stimmen überein . In Gasen und Flüssigkeiten wirken kaum Kohäsionskräfte, benachbarte Tei Ichen können daher nur über Stöße wechselwirken.

Beisp iele für longitudinalwellen sind Schallwell en und ein Teil der ErdbebenweIlen {P-Well en }.

Schwingungsrichtung und Ausbreitungsrichtung verlaufe n senkrecht zue inander. In Festkörper wirken starke Kohäsionskräfte. Es können auch transversale Bewegungen übertragen werden .

Beispiele für Transversalwellen sind Seilwellen und ein Teil der Erdbebenweilen {S-Wellen}.

Querwellen (Transversalwellen) Schwingungsrichtung

Ausbreitungsrichtung

•

Oberflächenwellen (Kreiswellen)

"

, ,

,...

,,,

I'

---1

Schwingungsrichtung

Ausbreitungsrichtung

Die Teilchen führen eine kreisförmige Bewegung aus, wobei für das wellenförmige Erscheinungsbi ld die Bewegungskomponente senkrecht zur Ausbreitungsrichtung entscheidend ist. Es wi rke n Kohäsi onskräfte (Oberflächenspannung) und die Schwerkraft.

Ein Beispiel für Oberflächenwellen sind Wasserwellen.

~ 8 _____________ M_e_c_h_a_n_ik_________________________________________________

Beschreibung mechanischer Wellen

• Die Wellenlänge und di e Ausbreitungsge schwindigkeit sind abhängig vom St off, in dem sich d ie Well e ausbreitet. Die Freque nz ist nur davon abhängig, w ie d ie Welle erzeugt wi rd. Bei der Au sbreitung von Wellen ändert sie sich nicht.

Da jeder Oszi llator mechanische Schwingung en ausfü hrt , können solch e Schwin g ungsgrößen wie Auslenkung (Elongation), Amplitude, Schwingungsdauer und Frequenz bzw. Kreisfrequenz ( / S. 128 f.) auch für die Beschreibung mechanischer Wellen genutzt we rden . Mithilfe d ieser Größen kann man das Ve rhalten einer Welle (ein es Oszillat ors) an einem bestimmte n Ort charakterisieren. Zur Beschreibung der räumlichen Ausbreit ung werd en noch zw ei we itere Größen benöt igt, die Wellenlänge und die Ausbreitungsgeschwindigkeit. Die Wellenlänge ist der minimale Abstand zwischen zwei Oszillatoren, die sich im gleichen Schwingungszustand befinden. Das ist auch der Abstand zwischen zwei benachbarten W ellenbergen oder Wel lentälern . Formelzeichen: A. Einheit: ein Meter (1 m) Mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit gemeint , mit der sich eine bestimmte Phase, z. B. ein Wellenberg oder ein Wellental, fortbewegt. Man spricht deshalb auch von der Phasengeschwindigkeit.

Neben der Phasengeschwindigkeit ist auch die Geschwindigkeit, mit der sich ei ne Well engruppe ausb reitet (Gruppengeschwindigkeit) von Bedeutung .

• Ei n y -t -Diag ra mm zei gt den zeitlichen Verla uf der Bewegu ng ei nes Oszillato rs, ein y-x-Di agra mm das Mome nta nbi ld de r Oszill atoren, d ie sich in unterschi ed lich en Ph asen befind en. Zu r vollständig en Beschreibung ein er Welle sind beid e Di agramm e erford erlich .

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle ist die Geschwindigkeit, mit der sich eine bestimmte Phase im Raum ausbreitet. Formelzeichen : v Einheit: ein Meter durch Sekunde (1 ~ ) Di e Darstellung mechanischer Wellen kann auch mithilfe von Diagrammen erfolgen . Dabei kann die Bewegung eines Oszi llators wie bei Schwingungen mit einem y-t -Diagramm beschrieben werden. Die räumliche Ausbreit ung kann man mit einem y -x-Diagramm erfassen . y -t-Diagramm

y -x-Diagramm

Für ein en bestimmten Ort (x = ko nst ant ) wird dargestellt, wi e sich der bet reffende Oszilla tor in Abh äng igkeit von der Zeit bewegt.

Für ein en bestimmt en Zeitpunkt (t = konstant) wird dargestellt, welche Lage die Gesamtheit der Oszillatoren hat.

y

y

x

Mechanische Schwingungen und Wellen

139

---------------------------------

J

Für mechanische Wellen gilt wie für andere We llen ein grundlegender Zusammenhang zwischen der Ausbreitungsgeschwindigkeit, der Frequenz und der Wellen länge. Für alle mechanischen Wellen gilt: v = A. . f v Ausbreitungsgeschwindigkeit A. Wellenlänge f Frequenz Die Wellengleichung Zur mathematischen Beschreibung einer Welle benötigt man einen Ausd ruck, der sowohl ihre räumliche als auch ihre zeitliche Ausbreitung beschreibt. Die betreffende Gleichung bezeichnet man als Weilengleichu ng. Die Wellengleichung für lineare harmonische Wellen lautet:

(i -x)

Y =Ymax . sin 21t Y Auslenkung am Ort x Ymax Amplitude t Zeit

T

Schwingungsdauer Ort Wellenlänge

x A.

Eine mechanische Welle sei durch die folgenden zwei Diagramme charakterisiert: yin cm

2 1

yin cm

2

~~~-''-''-'C7~-..--"

1

o

o

- 1 + +-++4\-t-++/~!H---j -2

~~~-''-"-',7~-'-',,

-j-L-l----L--L-"'-LLL-I.

L-'-L-C...:..L:...:L--l

-1 -2

-l_-'---JL-L-'--'' -'-''''---'----'-L-l---'''--'-'-'--l..:..J

Wie groß ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit dieser Welle? Wie groß ist die Elongation eines Schwingers, der sich 50 cm vom Ausgangspunkt der Welle entfernt befindet, zur Zeit t = 10 s? Analyse: Die Ausbreitungsgeschwindigkeit kann aus Wellenlänge und Frequenz ermittelt werden . Beide Größen ergeben sich aus den Dia grammen. Die Elongation lässt sich mithilfe der Wellengleichung berechnen. Gesucht:

v Y

Gegeben :

= 20 cm = 8s x = 50 cm = 10 s Ymax = 2 cm A.

T

~

f=

i

= 0,125 Hz

• Di ese r Zu sa mmenhang gilt auch für elektromagnetische Wellen ( / 5.3 02) . Die Ausbreitung sgeschwindigkeit ist dort gle ich der lichtgeschwind igkeit c.

ä Die Herleitung der Wellengleichung kann erfolgen . indem man die Au slenkung y an einem Ort x zur Zeit t allgemein ermittelt (/ CD) .

•-

Aus dem y -t -Dia gramm ka nn man di e Amplitude und die Schwingungsdauer entnehmen. Mit f= ~ erhält man auch die Frequ enz. Au s dem y -x -Di agramm ergeben sich Amplitud e und Wellenlänge.

140

Mechanik

Lösung: Für d ie Ausbreit ungsgeschwindigkeit erh ält man: v = A· f v = 20 cm . 0,1 25 Hz = 2,5 ~

Für die El ongation erhält man: Y= Ymax · sin2n(y. - X)

Y = 2 cm . sin2n (1 0 S _ 50cm) = 2 cm . sin2n (- 1,25) 8s 20 cm Y= - 2 cm Ergebn is: Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle beträgt 2,5 cm Elongation des Schwingers hat zur Zeit t = 10 s den Wert - 2

die

dn.

2.8.4 Ausbreitung und Eigenschaften mechanischer Wellen

•

Anhand der kreisförmigen Wasserwe il e können wesentliche Eigenschaften von W ellen, die sich flächenhaft oder räumlich ausbreiten , demonstriert werden. Solche Eigenschaften sind Reflexion, Brechung, Beugung und Interferenz. Entscheidende Zusammenhänge zur Erklärung dieser Eigenschaften fand der niederländisch e Naturforscher CHRISTIAAN HUYGENS.

l

Mithilfe ei nes W asserwe ll eng erät es kann man di e Interferenz von W ell en zeige n.

i CHRISrIAAN HUYG[NS

(1629- 1695) entwi ckelte im Zu samme nhang mit Untersuchungen zum W esen d es Lichtes ein e Vorste llu ng zur W eilenausbre it un g, di e als

huygenssches Prin zip be ze ichnet w ird.

Das huygenssche Prinzip Zur Da rstellu ng der Ausbreitung von Wellen nutzt man Weilenfronten und Wellennormale. Die Wellenfronten (in den Ski zzen schwarz) sind Ste llen maximaler Auslenkung (Well en berge). Ihr Abstand voneinander ist gle ich der Wel lenlänge A. Die Wellennormale (in der Skizze rot) steht immer senkrecht auf den Wellenfronten. Ihre Richtung stimmt mit der Ausbreitungsricht ung überein. Für die Ausbreitung von Well en gilt das huygenssche Prinzip. Jeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangspunkt für kreis- oder ku gelförmige ElementarwelJen. Diese Elementarwellen besitzen die gleich~ Ausbreitungsgeschwind igkeit wie die ursprüngliche Welle. Die Elementarwellen überlagern sich . Die Einhüllende aller Elementarwelien bildet die neue W el lenfront.

Mechanische Schwingungen und W ellen

141

• Da die (bl au gezeichneten) Elementa l wel len von jedem Punkt ei ner We llenfront ausgehen, erg ibt sich als Einhül lend e ei ne neue W ell enfro nt. neue W ellenfront

Das durch A.J. FRESNEL erweiterte Prin zi p wird als huygens-fresnelsches Prinzip bezeichnet und lautet: Der Schwingungszustand in einem Punkt eines Raumes wird bestimmt durch die Sum me aller Elementarwe llen, die von W eilenfronte n ausgehen und die in d iesem Punkt zusammentreffen. Charakteristische Eig ensch aften von Wellen Nachfo lg end sind charakteristische Eigenschaften von W ellen im Überblick dargeste llt und mithilfe des huygensschen Prinzips erklärt. Reflex ion : Tr ifft eine Well e auf eine ebene Oberfläche, dann wird sie ref lektiert. Es gilt das Reflexionsgesetz.

Lot einfallende Welle

Bei der Reflexion von W ellen sind der Einfallswinkel und der Reflexi onswinkel gleich groß : a = a'. Die Wellennormalen der einfallenden und reflektierten W ellen liegen in einer Ebene. Brechung : Trifft eine W elle unter einem Win kel (X *- 0 auf eine eben e Grenzfläche zwe ier Stoffe, in denen sie sich mit unterschiedlichen Geschwindigke iten ausbreitet, dann ändert sie ihre Au sbreitungsrichtung. Sie wird gebrochen. Es gilt das Brechungsgesetz. Fast immer tritt dabei gleichzeitig auch Ref lexion auf, die wir hier aber nicht betrachten wol len.

AUGUSTIN JlAN FRESNEL

(1788- 1827) war ein französischer Physi ker und Ing enieur, der sich vor al lem mit der Wellentheorie d es Lichtes beschäftigt hat .

Bei eh lllwLlI(.n ist die Reflexion als Feho oder als Nachh all wahrzun ehmen.

~_ 2 __

Brechung t ri tt z. B. auf , wenn Schall we llen auf ein e Gre nzfl äche zwischen Luf t un d W asser t reffe n. Be i W asserwe ll en verändert sich die Ausbreitu ngsrichtung m it der Wasse rtiefe, da sich di e A usbre it ungsgeschwindigke it mit Verringerung der Ti efe verklei nert.

Mechan ik

einfa ll ende Welle

Lot

In welcher Richtung die Brechung von Wellen beim Übergang von einem Stoff in einen anderen erfolgt , hängt von den Ausbreitung sgeschwindigke iten in den betreffenden Stoffe n ab. Beim Übergang von einem Stoff in einen anderen gilt das Brechungsgesetz: sin a si nß =

Beugung tritt z. B. bei Schallwellen auf: Gerä usche ei nes Autos hört man auch, wen n ma n sich hinter eine r Hausecke befindet . Die Inte nsität der gebe ugte n Well en ist aber im Vergleich zu der de r ursprü nglichen W ellen meist gerin g.

• Stat t von Überl agerung spricht man auch von Superposition, herg eleitet vom lat einisch en superpositum = Überl agerung .

v,

V;

Einfallswinkel Brechungswinkel v" v2 Ausbreitungsgeschwindigkeiten

a

ß

Beugung: Tr ifft eine Welle auf ein en Spalt oder ein e Kante, so sind die betreffend en St ell en nach HU YGENS Ausg angspun kt von El ementarw eIlen. Damit breit et sich die Welle auch in d en Schatte nrau m hinein aus.

Ka nt e

Spa lt

Dringt eine Welle abweichend von ihrer geradlinigen Ausbreitung an Kanten und Spalten in den Schattenraum ein, so spricht man von Beugung . Interferenz: Treffen zwei oder mehrere W ellen in einem Ort zusammen, dann reg en sie den dort befindl ichen Schwinger nach dem huygens-fresne lschen Prinzip ( / 5. 14 1) zu einer zusamm engesetzten Schwingung an. Da es bei der Zusammensetzung von Schwingungen zu Verstärkung , Abschwächung oder Auslöschung ( / S. 135) kommen kann , ist ein glei ches Verhalten auch bei der Überlagerung von Wellen zu erwa rten .

Mechanische Schwingungen und W ellen

Wellenberg

wellen tal

r

Als Interferenz bezeichnet man die Überlagerung von Wellen. Dabei bilden sich Bereiche der Verstärkung und der Abschwächung bzw. Auslöschung heraus.

Entscheidend ist dabei der Gangunterschied zwischen den beiden W eIlen. Beträgt er an einem Ort 0, ?. o der ein Vi elfaches davon, dann treffen die Wellen bei gleicher W ell enlänge mit der gleichen Phase zusammen. Es tritt Verstärkung auf. Be i einem Gangunterschied von ~ od er einem ungeradzah ligen Vielfachen davon tritt Abschwächung CAuslöschung) auf.

143

I

Stabile Interferenzmuster kann man z. B. mithilfe ei nes Wasserwe llengerätes ( / Foto S. 140) oder von zwei Lautsprechern erreich en , die Töne gleicher Frequenz aussenden. Solche stabi len Interferenzmuster entstehen , wenn zwischen den beteiligten W eIlen eine konstante Phasen differenz besteht. Man sagt auch: Zwischen den W ell en besteht Kohärenz ( / S. 33 7).

Weitere Eigenschaften von Wellen Wellen können absorbiert, gestreut oder polarisiert werden . Darüber hi naus kann auch Dispersion auftreten. Absorption: Beim Durchgang von W ell en durch Stoffe erfo lgt eine Abschwächung oder Absorption, die sich durch den Absorptionsgrad erfassen lässt. Damit verringert sich die Energie der W elle. Die Energ ie wird vom Stoff aufgenommen.

Ausführ liche Informationen zu diesen Welleneigenschaften sind unter den betreffe nden Stichwörtern auf der CD zu f inden.

Streuung: Hind ernisse, die im Ve rg leich zur W el lenlänge sehr klein sind, werde n zu Zentre n von Elementarwellen, die sich von dort nach allen Richtungen ausbreiten. Di eser Vorg ang wird als Streuung bezeichnet. Er sp ielt vor al lem in der Optik eine wichtige Rolle (/ 5.324). Polarisation: W ird bei Transversal wellen unterschiedlicher Schwingungsrichtung eine bestimmte Schwingu ngsrichtung herausgefil tert, so spricht man von Polarisati on. Die W el len schwingen dann in einer Schwingungsrichtung. Sie sind linear pola risiert.

~

Dispersion: Bei der Ausbreitung in einem Stoff hängt die Ausbreitungsgeschwi ndigkeit einer Welle in d er Regel von der Wellenl änge bzw. von der Frequenz ab. Diese Erscheinung wird als Dispersion bezeichnet. Si e spie lt vor all em in der Opti k eine Rolle ( / 5. 317).

Bei Schallwellen in Luft tritt keine Dispersion auf. Es gibt deshalb bei der Übertragung von Sprache oder Musik durch die Luft auch kei ne Verzerrungen durch Dispers ion.

144

• Eine Transversalwelle wird bei der Reflexion am losen Ende ohne Ph ase nsprung reflektiert. Am festen Ende ( / Skizze) tritt ein Phasensprung von Cf'= TC auf. Experiment und Skizze zeigen die Reflexion am festen Ende.

Mechanik

Stehende Wellen Wellen breiten sich in der Regel von einem Erreger in den Raum aus. Man spricht dann von fortschreitenden Wellen. Werden solche Wellen reflektiert, so können sich hin- und rücklaufende Wellen überlagern . Da bei können sich stehende Wellen ausbilden.

'. P\7V1 :hinlaufenCle Welle

Schwingungsbauch

I

I

I

I

I

I

•

I

I

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I I

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r~~cklayfende W(}lIe ; \ Sohw;ng"ng,kno"n I ' I

'

I

I

"

I

I

I I

~ :stehende :Well e

,

• Der Abstand zwi sc hen zwei Schwingungsknoten beträgt imm er ~ .

I t

I

I

t

I

I

I

I

t

,

,

I

Für die beschriebene stehende Welle ist charakteristisch, dass - der Bereich zwischen den bei den festen Enden (Erreger und Ort der Reflexion) ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge ist, - sich an bestimmten Stellen des Raumes Orte mit maximaler Auslenkung (Schwingungsbäuche) und solche mit der Auslenkung null (Schwingungsknoten) herausbilden. Der DOPPLER-Effekt

Benannt ist dieser Effekt nach dem öste rreichischen Physike r und Mathematiker C j 1
Registriert man mit einem Empfänger die Frequenz bzw. Wellen länge von Schallwellen, dann stimmen diese Werte nur dann mit den vom Sender abgegebenen überein, wenn Sender und Empfänger zue inander ru hen. Bei einer Relativbewegung zwischen Sender und Empfänger tritt eine Frequenzverschiebung auf, die sich bei Schall als Änderung der Tonhöhe (/ S. 145) bemerkbar macht. Zu registrieren ist das z. B., wenn ein hupendes Auto an einer Person vorbeifährt. Bei einer Relativbewegung zwischen einem Sender und einem Empfänger unterscheidet sich die vom Empfänger registrierte Frequenz f E von der vom Sender abgegebenen Frequenz f s. Für einen ruhenden Empfänger und einen bewegten Sender gilt:

f E =!L 1

!(

(- beim Annähern, + beim Entfernen voneinander)

c

Für einen ruhenden Sender und einen bewegten Empfänger gilt: f E = f s ± ~ (+ beim Annähern, - beim Entfernen voneinander)

v Relativgeschwindigkeit zwischen Sender und Empfänger c Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen (Sch allgeschwindigkeit)

Mechanische Schwingungen und Wellen

145

2.8.5 Akustik Di e Lehre vom Schall (Akust ik) beschäftigt sich mit der Entstehung, der Ausbreitung, den Eigenschaften und der Nutzung des Schalls. Schall im engeren Sinn ist alles das, was der M ensch mit den Oh ren wahrnehmen kann . Dazu gehören z. B. Geräusche, Sprache, Musik od er Lärm. Damit wir etwas als Schall wahrnehmen, müssen bestimmte Bedingungen erfüllt sein. Diese lassen sich in einem Diagramm darstellen, aus dem der Hörbereich des menschlichen Oh res erkennbar ist. Druckschwankungen am Tromm elfell in mPa

,

10000 1000

",,/ 100 10

""

"

"

"

Sch

rer~

'

chwE lIe

...

Der Hor~ r 1(1, d es Mensch en w ird auch als Hör I (h beze ichnet. Sie ist im Di agramm f arb ig g ekenn zeichnet .

"', ... ...

-.

Haupt-

' • •~prachgebiet '"

"'

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I I I

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0,0 1 0,001 0,0001

"\

.. -.. -.......

... ...

0,1

~

Inf ormation zu I I In, MU,IK, Ultr h 11 und w eit ere n Themen zur A~ I1 i f indet man auf d er CD.

25

50

100

200

I

Hörs hwe le

~

400

,

,,

r-

800 1600 3200 6400 12800

Frequen z in Hz

Der Hörbereich des menschlichen Ohres umfasst Frequenzen von 16 Hz bis 20000 Hz. Schall mit einer Frequenz von weniger als 16 Hz wird als Infraschall bezeichnet. Schall mit einer Frequenz vo n über 20000 Hz (20 kHz) nennt man Ultrascha ll. Schallwellen sind Lon g itudinalwellen ( / S. 137), da die Ausbreitungsrichtung der Well e und die Schwingungsrichtung der Teilchen übereinst immen. W ie andere mechanische Wellen w erden Schallwellen reflek tiert und gebrochen. Sie könne n sich auch überlag ern ( / S. 141 ff. ). Die Tonhöhe ist da von abhängig, wie schnell ein Körper schwi ngt. Je größer die Frequenz der Schwingun g eines Körpers ist, umso höher ist der Ton.

y~

hoherTon

DDDDf\f\Df\

vV

V \TV V \TV \t

M it zun ehm end em Alter können M ensch en hö here Frequenzen imm er schl echter wahrn ehmen.

• Verschi edene Lebewesen haben nicht nur unte rschi edliche Hörber jrhe, sondern auch ein en unt erschied lichen Stimmumhng Der Sti m mumfa ng des Menschen liegt meist zwischen 85 Hz und 1 100 Hz, be i einem Hund zwi schen 450 Hz und 1 000 Hz und bei ei ner Fledermaus zwi schen 10000 Hz und 120000 Hz.

146

Mechanik

Die lautstärke ist davon abhängig, mit welcher Ampl itude ein Körper schwingt. Je größer die Ampl itude der Schwingung eines Körpers ist, umso lauter ist der Ton.

~ = ;;::::::;

'C7

=

=leise;2,0n. C/

tr\

c::::;

,

t

YjVrv\!\P " lauter Ton

Ton

Klang

Geräusch

Knall

Die Schwingung ist sinusförmig .

Die Schwingung ist periodisch, aber nicht sinusförmig .

Die Schwingung ist unregelmäßig.

Die Schwingung hat zun ächst eine große Amplitude und klingt schnell ab .

t I

y

1~ NI

lfJ\'A.r1 ,,"

11\

Geräusche entstehen z. B. bei Fah rzeugen und Maschinen.

Beim Explodieren ei nes Feuerwerkskörpers entsteht ein Knall.

~ ~ ~ I;~ f\ f\ f\

:

Afi

I

I

Eine angeschlagene Stimmgabel erzeugt einen g anz klaren Ton.

Mit Musikinstrumenten kann man verschiedene Klänge erzeugen .

Be i schwingenden Saiten hängt die Frequenz der Schwingung von verschi edenen Größen ab .

• Geigen oder Gita rren verf ügen über verschi eden d ick e Saiten. Zum Stimmen des Instrum ents wi rd di e Kraft verändert, mit der die j ew eilige Saite gespannt ist .

Inform at ionen dazu si nd auf der CD zu finden.

Die Frequenz einer schwingenden Saite kann berechnet werden mit der Gleichung :

A p F

länge der Saite Querschnittsfläche der Saite Dichte Kraft, mit der die Saite gespannt ist

Für praktische Anwendungen besonders bedeutsam ist Ultraschall, also Schall mit Frequenzen über 20 kHz. Wicht ige Anwendungen sind die Ultraschalldiagnostik im medizinischen Bereich, die Werkstoffprüfung oder das Echolot. Bei Pkw wird Ultraschall für Einparkhilfen genutzt. Dabei wird das Prinzip des Echolots angewendet.

148

Thermodynamik

3.1

Manchmal spricht man auch von der Kalorik. Diese Bezeich nung kommt aus dem Lateinischen: ca lor = W ärm e.

Mit dem Begriff thermodynamisches System wird nur zu m Ausdruck gebracht, dass im betreffend en SystC'1ll thermodynami sche Vorgänge und Erscheinungen vor sich gehen bzw. betrachtet werden.

Betrachtungsweisen und Modelle in der Thermodynamik

Die Thermodynamik oder Wärmelehre beschäftigt sich mit dem thermischen Verhalten von Körpern und Stoffen, den dafür geltenden Gesetzen und Beziehungen, den physikalischen Grundlagen von W ärmekraftmaschinen, Energieumwandlungen sowie mit solchen grundlegenden physika lischen Größen wie Temperatur, Wärme, thermische Energie od er Entropie. Letztere ist für die Verständigung über die Richtung des Abl aufs von natürlichen Vorg ängen von größter Bedeutung . Ein Teilbereich der The rmodynam ik sind die Strahlungsgesetze und solch e damit zusammenhängenden Fragen wie das Strahlungsgleichgewicht der Erde oder das Ozonloch und seine Auswirkungen . Wie in anderen Teilbereichen der Physik werden in der Thermodynamik offene, geschlossene oder abgeschlossene Systeme (/ S. 84) betrachtet, die manchmal auch als thermodynamische Systeme bezeichn et werden . Im Bild wird ein solcher abgegrenzter Raum bereich dargestellt. Der Zustand eines t herm odyn amischen Systems und seine Änderungen kön nen in unterschiedl icher Weise beschrieben werden . Ein thermodynamisches System ist ein durch eine Systemgrenze von seiner Umgebung abgetrennter Raumbereich, der durch Größen wie Temperatur, Druck, Volumen, Teilchenanzahl oder Geschwind igkeit der Teilchen gekennzeichnet werden kann . Di e Wahl der Systemgrenze erfolgt meist so, dass die Vorg änge im System möglichst gut überschaubar erfasst werden können. Zur Beschrei bung der Vorg än ge in einem thermodynamisch en System wird entweder die phänomenologische oder die kinetisch-statistische Betrachtungsweise angewen det.

Di e Bezeichnung ist aus dem Gri echischen hergeleitet: phainom enon (griech.) = Ersche inung, Ph änomen .

3.1 .1 Die phänomenologische Betrachtungsweise Di e phänomenologische Betrachtungsweise ist - wie der Name schon sagt - an den Erscheinungen orientiert . Es geht dabei um die Beschrei bung vo n Sachverhalte n und Vorgängen mit makroskopisch messbaren Größen, z. B. um die Beschreibung der Volum enänderung von Körpern mit den Größen Temperatur und W ärme oder um die Zustan dSänderung eines Gases, dargestellt mit den Größen Volum en, Druck und Tempera tur. Erfasst w erden damit immer Eigenschaften von Systemen, die mit -

149

Betrachtungsweisen und Modelle in der Thermodynamik

hilfe von makroskopisch messbaren Zustands- und Prozessgrößen ( / S. 18) beschrieben werden können . Wichtige thermodynamische Zustandsgrößen, also Größen, die den Zustand eines Systems kennzeichnen , sind die Temperatur ( / S. 151 f. ), das Volumen, der Druck, die innere Energie ( / S. 153) und die Entropie ( / S. 198 ff. ). Wichtige Prozessgrößen, also Größen, mit denen Vorgänge im System und Austausch vorg änge mit der Umg ebung beschrieben werden, sind die von einem System aufgenommene oder abgegebene Wärme sowie die am System oder vom System verrichtete Arbeit. Dabei gilt vereinbarungsgemäß: Die am System verrichtete Arbeit bzw. die dem System zugeführte Wärme ist positiv. Die vom System verrichtete Arbeit bzw. die von ihm abgegebene Wärme ist negativ. Bei einem abgeschlossenem System erfolgen keine Austauschprozesse mit der Umgebung . Solche Prozesse können aber innerhalb des Systems vor sich gehen.

Arbeit W

~ Wärme Q Systemgrenze System

Arbeit W

Viele thermodynamische Prozesse und Erscheinungen können mithilfe makroskopischer Zustands- und Prozessgrößen beschrieben werden. Diese Art der Beschreibung wird als phänomenologische Betrachtungsweise bezeichnet. Die Volum enänderüng von homogenen Körpern bei Temperaturänderung kann mit den Größen Volum en, Temperatur und einer Stoffkonstanten (Vol umenausdehnungskoeffizient) beschrieben werden . Quantitat iv wird sie erfasst mit der Gleichung: .1V = y ' V a ·.1T

Kennt man die Stoffkonstante y; das Ausgangsvolumen Vo und die Temperaturänderung .1T, so kann man die Vol umenänderung berechnen. Das ist für viele praktische Anwendungen völlig ausreichend .

3.1.2 Die kinetisch-statistische Betrachtungsweise Bei der kinetisch -statistischen Betrachtungsweise wird vom Aufbau der St offe aus Atomen und Molekülen ausgegangen. Ihr liegt ein Teilchenmodell ( / S. 54) zugrunde. Die Beschreibung therm odynam ischer Syst eme erfolgt durch Teilchengrößen, z. B. durch die Teilchenanzahl (/ S. 51), die Geschwindigkeit der Teilchen, ihre kinetische Energie und ihre räumliche Verteilung . Ein makroskopisches System ist durch eine sehr große Teilchenanzahl gekennzeichnet. Aussagen über das Gesamtsystem erfordern deshalb statistische Betrachtungen. Daher stammt die Bezeichnung kinetisch-statistische Betrachtungsweise.

• Diese Festl egung en entsprechen der in der Physik üblich en Herang ehensweise. Wird z. B. an ei nem 5) <{I;:rn Arbeit verrichtet, 50 vergröß ert sich dessen En ergie. Die Zustand sä nderung kann beschri eben w erd en mit: EE- EA = E = W> 0

Du rch di e Gl eichung wird das Ph änomen Volumen änderung ausreichend beschri eben . Warum bei Tem peraturänderung ein e Vol umenänderung erfolgt, bleibt allerdings offen.

150

Thermodynamik

Viele thermodynamische Prozesse und Erscheinungen können auch mithilfe von Teilchengrößen beschrieben, gedeutet oder erklärt werden. Diese Art der Beschreibung wird als kinetisch-statistische Betrachtungsweise bezeichnet. Ihr liegt ein Teilchenmodell zugrunde. Eine Reihe von thermodynamischen Prozessen und Erscheinungen kön nen sowohl phänomenologisch als auch kinetisch -statistisch beschrieben we rden. Während das bei der phänomenologischen Betrachtungsweise makroskopisch erfolgt, ermöglicht die kinetisch -statistische Betrachtungsweise die Erklärung bzw. Deutung von Vorgängen und Erscheinun gen im m ikroskopischen Bereich und damit das Vo rdringen zum Wesen einer Erscheinung .

• Häufi g w ird nu r eine der bei den Betrach tung sw eise n angew endet. Darüber hinaus g ibt es Prozesse und Erschei nungen, die nu r mit ei ner de r Betracht ungsweisen erfasst we rden können . Dazu gehört z. B. die e I vlr :li J ~ ~i c , ( ilun J der Te ilchen in ein em Gas.

Phänomenologische und kinetisch-statistische Betrachtungsweisen ergänzen einander. Sie können auf ein- und dieselben Prozesse und Erscheinungen angewendet werden . Ein einfaches Beispiel ist die Längenänderung von Körpern bei Temperaturänderung ( / S. 159). Phänomenologisch lässt sich diese Ersche inung vollständig mit der Gleichung

beschreiben. Auch f ür praktische Anwendungen reicht es aus, diesen Zusammenhang zu kennen. Die Frage, warum eine solche Längen änderung bei Temperaturänderung erfolgt , lässt sich nur kinetisch -statistisch beantworten. Reale Gase und das ideale Gas Zum Gegenstandsbereich der Thermodynamik gehört die Untersuchung des th ermodynamisch en Verhaltens der Gase. Bei Gasen in Natur und Techn ik (realen Gasen) haben die Atome bzw . Moleküle ein Volumen . Zwischen den Teilchen treten Wechselwirkungen auf. Die mathematische Beschrei bung ist relativ kompliziert. In der Thermodynamik wird deshalb das Modell ideales Gas genutzt. Das Modell ideales Gas ist dadu rch gekennzeichnet, dass

Die Beschreibung von Prozesse n und Erscheinung en bei Gase n mit der kin eti schstati sti sc hen Betrach tun gsweise w ird auch als kinetische Gastheorie bezeichnet (/ S. 170 ff.).

- die Teilchen eines Gases als Massepunkte betrachtet werden, - die Teilchen untereinander und mit den Gefäßwänden nur ideal elastische Wechselwirkungen haben . Allen nachfolgend en Betrachtungen zu Gasen liegt dieses Modell zugrunde. Unt ersuchungen zeigen: Vi ele rea le Gase verhalten sich annähernd w ie das ideale Gas. Das gilt insbesondere für Wasserstoff und Helium unter Normbedingungen sowie für alle anderen Gase bei höherer Temperatur und geringem Druck.

Thermisches Verhalten von Körpern und Stoffen

3.2

151

Thermisches Verhalten von Körpern und Stoffen

3.2.1 Temperatur, innere Energie und Wärme Die Größe Temperatur und ihre Messung Eine der grundlegenden Größen der Thermodynamik ist die Temperatur, die den thermischen Zustand von Körpern bzw. Systemen kennzeichnet, also eine thermodynamische Zustandsgröße ist. Die Temperatur gibt an, wie warm oder wie kalt ein Körper ist. Formelzeichen: ß oder T Einheiten: ein Grad Celsius (1 °C) oder ein Kelvin (1 K)

Fixpunkte der CELSius-Skala sind 0 °C (Temperatur von schmelzendem Eis) und 100 °C (Tempe ratur von siedendem Wasser bei Normdruck). Die Festlegung des Nullpunktes der KELVIN-Skala ergibt sich aus thermodynamischen Überlegungen : Nach dem Gesetz von GAy-LUSSAC (/ S. 163) ändert sich bei konstantem Druck das Volumen eines Gases gleichmäßig mit der Temperatur. Für das ideale Gas ergibt sich, dass bei einer ständigen Verringerung der Temperatur der Schnittpunkt der Graphen bei beliebigem Ausgangsvolumen bei - 273,15 °C liegen würde.

Ip = konstant I

I

I

I

273,15

- 200

- 100

o

100

200

o

100

273,15

400

Für die C<.Lslu'Skah w ird das Formelzei chen u für die I<'EL Vlt -Skai das Formelzeichen T verwendet . Temperaturdifferenzen werden meist in Kelvin angegeben.

• Die KELVIN -Skala wurde von dem britischen Physiker Wil L1AM TJlOM ON

(1 824-1907) entwi ckelt, der 1892 geadelt wurde und sich dann Lo,( ~ f LVI ~ T l Irg nannte. Auf ihn geht auch die Bezeichnung l ro lute feflpE rd Ut ;kaln zurück .

200 500 Tin K

Es ist zugle ich diejenige Temperatur, bei der die kinetische Energie der Teilche n eines Systems null wäre. Da keine tiefere Temperatur möglich ist, wird sie auch als absoluter Nullpunkt und die in Kelvin angegebene Temperatu r als absolute Temperatur bezeichnet. Der absolute Nullpunkt hat einen Wert von - 273,15 °C = 0 K. Er ist Ausgangspunkt der absoluten Temperaturskala (K ELVIN-Skala) . Fü r die Umrechnung von Kelvin in Grad Celsius und umgekehrt gilt:

f

~ + 273,15

~

= f - 273,15

Häufig wird mit dem gerundeten Wert von 273 K gerechnet. Da mit gilt:

ooe = 273 K 100 0 e = 373 K

152

Neben der CELSI USund der KELvIN-Ska la w erd en in verschi edenen Lä nde rn auch noch di e FAHRENHEITSka la und di e REAUMUR-Ska la genutzt. Di e Te mperaturskalen sind nach dem Sch we den I J> dem Brit en ~ de m d Deutschen F I I I und dem Franzose n F • ( , "J benannt.

Thermodynamik

Temperaturen können mithilfe von Thermometern direkt gemessen oder auch indirekt best immt werden. Zur Temperaturm essung eignen sich im Prinzip alle Vorgänge, bei denen sich eine messba re Größe mit der Tem peratur ändert. Flüssigkeitsthermometer

50

Gasthermometer

~ - - An ze ig eröhrch en

40

40

30

30

20

20

10

10

10

10

Skala

°c

30 20

Quecksilbert ropfen

10 20

20

1-

Thermometergefäß _ _ mit Th ermometerflü ssig keit

Genutzt wird die Vol umenänderung einer Thermometerflüssigkeit (Qu ecksilber, Alkohol) mit der Temperatur (/ S. 158) .

Glasröhrch en mit Gas

Genutzt wi rd die Volumenänderung eines Gases bei p =konstant mit der Temperatur (/ S. 158).

• Di e Genauig ke it der verschi ede nen Arten der I1 I I "n mg ist sehr unterschiedlich. Beim galil eisc hen Thermom et er wi rd di e Änd erung der Dichte un d damit des Auft ri ebs mit Temperaturänderung genutzt. Das Fot o ze igt ein galil eisch es Th ermom et er.

Weitere Möglichkeiten, die Temperatur zu bestimmen sind: - Mit Veränderung der Temperatur ändert sich die Biegung eines Bimetallstreifens (Bimetallthermometer). - Mit Veränderung der Temperatur ändert sich der elektrische Widerstand eines metallischen Le iters oder eines Halbleiters (Widerstandsthermometer. elektronisches Thermometer). Als temperaturempfind liche Halbleiterbauelemente nutzt man vor allem Thermistoren (/ S. 274).

- Mit Veränderung der Temperatur ändert sich die Thermospannung bei einem Thermoelement. - Die Intensität der Strahlung, die von einem Körper ausgeht, hängt von dessen Temperatur ab. Aus der Analyse des Spektrums eines Strahlers kann mithilfe der Strahlungsgesetze (/ S. 203ff.) die Temperatur des Strahlers ermittelt werden. Insbesondere lässt sich damit die Oberflä chent emperatur von Sternen bestimmen. - Es gibt Stoffe, die mit der Temperatur ihre Farbe ändern (Thermofarben). Auch das kann man für Thermometer nutzen. - Mit der Temperatur ändert sich die Dichte von Stoffen und damit der Auftrieb (galileisches Thermometer, Bild links) . - Mit der Temperatur ändert sich die Festigkeit von Körpern. Das wird bei Temperaturabschätzungen mittels Segerkegeln genutzt. Das sind kegelförmige Körper aus speziellem Material, die bei einer bestimm ten Temperatur ihre Form ändern . - Mit der Temperatur ändert sich die Farbe von glühenden Körpern. An hand von Glühfarben kann man die ungefähre Temperatur eines glühenden Körpers abschätzen. Glüht z. B. ein Werkstück aus Stahl dunkelrot, so hat es eine Temperatur von ca. 740 oe.

Thermisches Verhalten von Körpern und Stoffen

153

Die Größe innere Energ ie Die Temperatur eines Syste ms besagt noch nichts darüber, wie groß die in diesem System gespeicherte En ergie ist. Das wi rd durch die Größe innere Energ ie erfasst. Die innere Energie gibt an, wie groß die in einem System gespeicherte Energie ist. Formelzeichen: U Einheit: ein Joule (1 J) Diese innere Energie setzt sich aus unterschiedlichen Bestandteilen zu sammen :

Bindungsene rgi e

Di e thermische Energie ist Teil der inneren Energ ie und w ird w eitgehend durch die Tempe ratur best immt ( / S. 177). Da man in vie len Fällen von der Konstanz der anderen Bestandteile ausg ehen kann, wird mit unter nur die thermische Energie betracht et. Die Bestimmung des absoluten Wertes der inneren Energ ie ist überaus schwierig und oft nicht notwend ig. Für thermodynam ische Prozesse re icht es meist aus, die Ä nderu ng der in neren Energie zu erfassen . Die Größe Wärme Zw ischen Körpern oder Syst emen kann Energie übertragen we rden. Die Wärme gibt an, wie viel thermische Energie von einem System auf ein anderes übertragen wird. Formelzeichen: Q Einheit: ein Joule (1 J) Da durch die W ärme der Prozess der Energieübertragung zwischen zwei Syst emen oder zwei Körpern beschrieben w ird, ist sie eine Prozessg rö ße, deren Wert von der Energie änderung abhängig ist . Fü r den Zusammenhang zwischen übertragener W ärme und Energieänderung gilt:

Q =.1Et he rm

Die innere Energie kennze ichnet den ene rg etischen Zu sta nd eines Syste ms. Sie ist eine Zustandsgröße.

• Die kinetische Energie der Teilchen umfasst Translati onsenergie, Rotati o nsenergie und Schw ing un gsenerg ie. Beim idealen Gas ist die inn ere Energie gl eich der Sum me der kinetischen Energien all er sei ner Teilchen, also id entisch mit der therm ischen Energie .

• Der Zu sa mm enh ang zwischen der Än derung de r trmenn Energie ei nes Syst ems, der Wärme und de r Arbeit w ird im 1. Hauptsatz der Thermodyn ami k erfasst (/ S. 179 ff. ).

Statt von WarmE: w ird auch von Wärmemenge gesprochen. In der Te ch nik ist d ie Bezei ch nung W ärmeenergie üb lich . Aus physika lisch er Sicht ist dieser Begriff unzw eckmäßi g.

154

• M it der Zufuhr von Warme vergrößert sich auch stets di e th ermi sch e Energie und damit di e innere Energie des betref fe nd en Körpers od er Syste ms, mit der Abgabe von W ärm e verringe rt sie sich.

Thermodynamik

Wird einem Körper W ärme zugeführt, dann kann das folgende Auswirkungen haben: -

Die Temperatur des Körpers erhöht sich . Das Volumen des Körpers vergrößert sich . Der Druck im Körper ändert sich. Der Agg regatzustand des Körpers ändert sich . Körper 1

Körper 2 W ärme Q

Etherm

t

• Warm IULI! n si nd z. B. d ie Sonn e, eine Heizpl atte, ein Heizkö rper. Die 'rl r nr ungswarn kann berechnet werden mit der Gl eichung:

Q = m· H Dabei sind m d ie M asse und H der He izwert des Brennstoffs.

Anordnungen , die Wärme an ihre Umgebung abgeben, werden als Wärmequellen bezeichnet. Beim Verbrennen von Brennstoffen und Hei zst off en (Kohle, Hol z, Hei zöl, Benzin, Dieselkraftstoff, Propan, Erdgas) wird ebenfalls Wä rme frei, die als Verbrennungswärme bezeichnet wird .

3.2.2 Wärmeübertragung Die Übertragung von Energie in Form von Wärme kann durch Wärmeleitung, Wärmeströmung (Konvektion) oder Wärmestrahlung erfolgen . Häufig treten zwei oder alle drei Arten der Wärmeübertragung auch zusammen auf. Die Grundgleichung der Wärmelehre Di e W ärme, die einem Körper zugeführt oder von ihm abgegeben wird, ka nn mit der Grundgleichung der Wärmelehre berechnet werden.

Für Temperatu rd ifterenzen gilt: L\T =Ll19 Sie werd en meist in Ke lvin (K) angegeben.

Unter der Bedingung, dass keine Änderung des Aggregatzustandes erfolgt, gilt fü r die zugeführte oder abgegebene Wärme: Q

=c · m ·

T

Q = C· m · 19

c m

T, LW

spezifische Wärmekapazität Masse des Körpers Temperaturänderung des Körpers

Die spezifische Wärmekapazität c ist eine Stoffkonst ante . Sie gibt an, wie viel Wärme von einem Körper aufgenommen oder abgegeben werden muss, damit sich die Temperatur von 1 kg des Stoffes um 1 K ändert. Bei Gasen ist zwischen der spezifischen Wärmekapa zität bei konstantem Druck cp und der bei konstantem Volumen Cv zu unterscheiden. Von allen natürlichen Stoffen hat Wasser mit c = 4,19 kJ . kg- 1 . K- 1die größte spezifische W ärmekapazität. Es ist deshalb besonders gut als Kühl- und Transportmittel für Energie geeignet.

Thermisches Verhalten von Körpern und Stoffen

155

Welche Wärme ist erforderlich, um 1,2 Liter Wasser von 18 oe auf 90 oe zu erwärmen? Ana lyse: Die erforderliche Wärme kann mithilfe der Grundgleichung der Wärmelehre berechnet werden. Die Masse des Wassers ergibt sich aus dem gegebenen Volumen. Die spezifische Wärmekapazität für Wasser kann der Tabelle entnommen werden.

Gesucht: Gegeben:

Q 1,2 I 18 oe 90 0 e 4,19

c

= = = =

Q

= c · m·

Q

=419 ,

Q

= 360 kJ

V /91

192

~

Für Wasser gilt: 1 I Wasser hat ein e M asse von 1 kg . 1 ml Wasser hat eine Masse von 1 g.

m=1,2kg

kJ kg · K

Lösung: !')

_ kJ_ . kg · K

1,2 kg ·72 K

Bei allen Berechnungen ist auf ein e sinnvolle Genauigkeit zu achten!

Ergebnis: Um 1,2 I Wasser von 18 oe auf 90 oe zu erwärmen, ist eine Wärme von etwa 360 kJ erforderlich.

Wärmeaustausch zwischen zwei Körpern Wenn zwei Körper unterschiedlicher Temperatur in engen Kontakt miteina nder kommen, so gibt der Körper höherer Temperatur Wärme ab, der Körper niedrigerer Temperatur nimmt Wärme auf. Das geht solange vor sich, bis sich eine für beide Körper gleiche M ischungstemperatur ein geste llt hat (/ S. 156). Energetisch lässt sich dieser Vorgang mit dem Grundgesetz des Wärmeaustauschs beschreiben. Bilden zwei Körper ein abgeschlossenes System und erfolgt zwischen ih nen ein Wärmeaustausch, so ist die vom Körper höherer Tempera tur abgegebene Wärme gleich der vom Körper niedrigerer Temperatur aufgenommene Wärme:

Diesen Zusammenhang kann man nutzen, um z. B. die Mischungstemperatur von zwei beliebigen Flüssigkeiten zu ermitteln. Die von der einen Flüssigkeit abgegebene bzw. die von der anderen Flüssigkeit aufgenom mene Wärme kann jeweils mithilfe der Grundgleichung der Wärmelehre berechnet werden. Die Indizes 1 und 2 stehen für die zwei verschiedenen Flüssig keiten:

Ein \/"" 1 L. zwischen Körpern erfordert eine bestimmte Zeit . Das ist I auch bei Illl)~ J 1 I zu beachten . Das Thermometergefäß oder der Messfühler muss die T' 111 r IHn des Körpers annehme n, dessen Temperatur gemessen werden soll.

156

Thermodynamik

Durch Gleichsetze n, Auflösen de r Klammern und Umste llen nach der Mischungstemperatur ä M erh ält man d ie richmannsche M ischungsregel. GEORG WILHELM RICHMANN

(17 11-1 753), nach dem die Mischungsrege l bena nnt ist, war ein deutscher Naturforscher, der in 5t. Petersburg tätig war.

Unter der Bedingung, dass keine Aggregatzustandsänderungen erfolgen und ein abgeschlossenes System vorliegt, gilt für die Mischungstemperatur die Gleichung: tiM

= Cl

.

m 1 . 19 1 + C2 . m 2 . 1' 2 Cl .

Für c, tiM

Mischungstemperatur Ausgangstemperaturen der Körper Massen der Körper spezifische W ärmekapazitäten der Stoffe

m1 + C2 . m2

=c2 gi lt:

= m 1 . !?1 + m 2 . !?2 m1 + m2

10 I W asser von 20 oe und 2 I W asser von 80 oe werden gemischt. We lche Temperatur haben die 12 I Wasse r ? Ana lyse : Die Mischungstemperat ur kann nach der obigen Gle ichung berech net werden. Da nur ein Stoff miteinander gemischt w ird , ist c, = c2. Vernachl ässigt wird dabei der Wärmeaustausch mit der Umgebung und die Wärme, die von den Gefäßen abgegeben oder aufgenom men wird. Gesucht: Gegeben:

• Bei experim entell en Untersuchungen zum Wärmeaustausch ist darauf zu achten, d ass vor Temperatu rmessungen di e Flü ssi g ke ite n gut durchmischt se in müssen.

• Abge leitet ist diese Bezeichnung vom lateinischen calor = W ärm e. Auch der Begriff Ka paz ität st ammt aus dem Lateini schen: capac itas = A ufnahmefähigkeit, Fassungsverm ö gen.

19M

m, = 10 kg m2 = 2 kg

Lösung:

I'JM

IJ M

19M

_ m1

·

19, ti2

1'1 1 + m 2 m1 + m2

·

= 20 e = 80 e 0

0

°2

= 10 kg . 20 oe + 2 kg . Bo oe

10 kg + 2 kg

= 30 e 0

Ergebn is: Mi scht man 10 I Wasser vo n 20 oe mit 2 I W asser von 80 oe. so erhält man W asser mit einer Tempe ratur von 30 oe. Ka lorimetrische Messungen Mithi lfe kalorimetrischer Messungen kann man z. B. die spezifische W ärmekapazität eines Stoffes ermitteln und damit auch die Stoffart bestimmen . Dabei ist zu beachten, dass beim Mischen verschiedene r Stoffe untersch iedlicher Temperatur nicht nur ein Austausch von W ärme zwischen den beteiligten Stoffen, sondern auch m it dem Gefäß (Ka lorimeter) erfolgt, in dem d ie Mischung erfolgt. In der Energiebilanz wird das durch die Wärmekapazität des Kalorimeters berücksichtigt.

Thermisches Verhalten von Körpern und Stoffen

157

Die Wärmekapazität C eines Körpers gibt an, wie viel Wärme ihm zugeführt oder von ihm abgegeben wird , wenn sich seine Temperatur um 1 K ändert.

C=.!l = m ·c tJ T Die Wärmekapazität eines KaloriRührer meters kann experimentell ermittelt Thermo meter werden, indem man zwei Wassermengen unterschiedlicher Tempera tur mischt und aus den Messwerten den Wert für ( berechnet. Dabei ist zu beachten, dass die Wärmekapazität eines Kalorimeters vom Füllstand abhängig ist. Bringt man einen Körper der höheren Temperatur 191 in ein wassergewärm eisol iertes Kalorim eter fülltes Kalorimeter der niedrigeren Temperatur l'h, dann wird vom Wasser und vom Kalorimeter Wärme aufgenommen . Die vollständige Energiebilanz unter Berücksichtigung der Wärmekapazität des Kalorimeters lautet dann: m1' C1 . (19 1 - 19M ) = (m 2' c 2 + () (z9 M -192) Die Umstellung nach C ergibt eine Gleichung für die Wärmekapazität.

• Bei der Energi ebilanz muss man beachten, ob das Kalorimeter W ärm e aufn immt oder abgibt. Das hängt von den Temperaturen der bet eiligten Körper ab .

Zu 100 g Wasser von 18 °(, das sich im Kalorimeter befindet, wird 100 g Wasser von 50 o( gegeben . Als Mischungstemperat ur werden 32 oe ermittelt. Wie groß ist die Wärmekapazität des Ka lorimeters?

Ana lyse: Das kalte Wasser und das Kalorimeter nehmen Wärme auf, das warme Wasser gibt Wärme ab. Daher kann die oben genannte Gleichung genutzt werden . Gesucht: Gegeben:

C

m1 = m2 = 100 9 191 C1

= 50 oe 192 = 18 oe l~M = 32 oe = c 2 = 4,19 kJ . kg- 1 . K- 1

Lösung:

C

C

= m , . c, . ( i9 , -

11 M )

öM

=0,12 kJ· K-

-

-

m2

.

c2 ( I )M - ö2 )

1)2

1

Ergebnis: Die Wärmekapazität des Kalorimeters beträgt 0, 12 kJ . K- 1.

Bei Experim ent en mit Kalorim et ern muss sein e Warmekapa zität bei der Energi ebil anz einbezog en w erden.

158

Thermodynamik

3.2.3 Volumen- und Längenänderung von Körpern Bei einer bestimmten Temperatur und bestimmtem äußeren Druck nimmt jeder Körper ein bestimmtes Volumen ein. Ändert sich die Temperatur, so ändert sich meist auch das Volumen des Körpers .

i Nicht frei ausdehnen kann sich z. B. ein Gas in ei ner stählernen Gasflasche. In diese m Falle vergröß ert sich mit Erhöhung der Temperatu r der Druck im Gas.

Unter der Bedingung, dass sich ein Körper frei ausdehnen kann und der Druck konstant ist, gilt für die Volumen änderung: L1 V::; y· Vo · T V = Vo (1 + y. LlT)

Di e Anomalie d 5 Was<, _r ist der Grund dafür, dass Wasser als Thermometerflü ss igkeit ungeeignet ist. Unte r 4 oe würde di e Flüssigkeitssäul e im Thermom et er wieder anste igen. Die Anomalie des Wassers ist auch die Ursa che für die charakteri stische jahreszeitlich unterschiedliche Temperaturschichtung in Seen und Teichen .

Volumenausdehnungskoeffizient Vo Ausgangsvolumen L1T Temperaturveränderung

Der Volumenausdehnungskoeffizient ist eine Stoffkonstante, die sich allerdings mit dem Aggregatzustand ändert und die darüber hinaus temperaturabhängig ist. Für das ideale Gas gilt:

v

• Der Zusammenhang zwischen Vol umen und Temperatur des id ea len Gases bei konst antem Druck wird auch als Geset z von GAYLUS~AC bezeichnet (/ S. 163).

y

y

oK=

- 273,15

oe

T

= 273 \5 K ,., 0,003 66 K- l

Mit diesem Wert kann auch näherungsweise bei realen Gasen gerechnet werden.

Wasser verhält sich anders als fast alle anderen Stoffe. Dieses abwei chende thermische Verhalten wird als Anomalie des Wassers bezeichnet.

1

" ' -, - - __I _--

I

----

I

Kühlt man Wasser ab, so verrin gert sich wie bei fast allen Stoffen sein Volumen. Bei normalem Luftdruck bei 4 oe ist das Volumen am kleinsten und da mit die Dichte des Wassers am größten. Bei Verringerung der Temperatur unter 4 oe dehnt sich Wasser wieder aus.

Wasser hat bei norm alem Luftdruck (Po = 101 ,325 kPa) bei 4 oe sein kleinstes Volumen und seine größte Dichte. Bei 4 oe beträgt die Dichte von Wasser 0,999973 g/cm 3 , bei 0 oe beträgt sie 0,999840 g/cm 3 , bei 20 0 e hat sie den Wert 0,998205 g/cm 3 und bei 90 oe den Wert 0,9653 g/cm 3 . Beim Gefrieren dehnt sich Wasser aus (Sprengwirkung). Eis von 0 oe hat eine Dichte von 0,92 g/cm 3 , nimmt also bei gleicher Masse ein größeres Volumen ein. Deshalb schwimmt es auf dem Wasser.

Thermisches Verha lten von Körpern und Stoffen

Bei Stahl brücken, Eisenbahn schienen, Rohrleitungen, Hochspannungsleitungen oder Bimetal1streifen erfolgt ebenfalls eine Volumenänderung bei Tempera turänderung. Von praktischer Bedeutu ng ist hier aber nur die Länge nänderung, die konstruktiv berü cksichtigt werden muss.

159

Di e Längenänderung von feste n Körpern wird z. B. bei Birne tall streifen genutzt, di e von Flüssigkeiten bei Flüss igkeitstherrnornetern .

Unter der Bedingung, dass sich ein fester Körper frei ausdehnen kann, gi lt für die Längenänderung:

= a· 10 . CiT oder 1= Lo (1 + a· Ci T)

Längenausdehnungskoeffizient A usgangslänge Ci T Temperaturdiffe renz a

Ci l

10

Der Längenausdehnungskoeffizient ist eine temperaturabhängige Stoffkonstante. Zwischen ihm und dem Vo lumenausdehnungskoeffizienten (/ S. 158) besteht die Beziehung:

y= 3a Eine 85 m lange Stahlbrücke wird im Wint er bis auf - 20 abgeküh lt und im Sommer bis +35 oe erwärmt.

• oe

Wie groß ist die Längenänderung z wischen Sommer und Winter? Ana lyse :

Aus der Temperaturänderung, der Ausgangslänge und dem Längenausdehnungskoeffizienten kann die Längenänderung berech net werden . Als Ausgangslänge bei - 20 oe werden 85 m gewählt, der Längenausdehnungsk o effizient kan n einem Tabellenwerk entnommen werden . Gesucht: Gegeben :

Ci l

10 19, 192

= 85 m = - 20 oe = 35 oe

Ci I? = 192 - 19, = 55 K

(X

= 0,000012 ~

Ci l

=

Ci l

= 0,000 012 ~ ·85 m . 55 K

Ci l

= 0,0 56 m

Lösung: Cl·

10 . Ci 19

Ergebnis:

Die Längenänderung der 85 m langen Stahlbrücke zwischen Som mer und Winter beträgt 5,6 cm .

Beim Bau von Brücken wird d ie Längenänderung bei Temperaturänderu ng so berücksichtigt, dass - mind este ns eine Seite der Brücke beweglich (z. B. auf Rollen) gelagert ist, - im Fahrbahnbelag Dehnungsfug en vorh anden si nd .

160

i Fast all e Stoffe können f est, flü ssig od er gasförmig sein . In w elch em Aggregatzustand ein Stoff vorli egt, hängt nicht nur von der Temperatur, sondern auch vom Druck ab .

Thermodynamik

3.2.4 Aggregatzustände und ihre Änderungen Aggregatzustände und Aggregatzustandsänderungen Stoffe können sich im festen, flüssigen und gasförmigen Aggregatzustand befinden.

"-

•

...

...

..c

co

'+-

Nebe n de n dre i " klassisch en" Aggregat zust än den fest, flüssig und gasförmi g spricht man man chm al auch von einem vi erte n (Plasma) und fü nf t en (BOSE-EINsTUN -Kondensat) Aggregat zust and .

::l N Q)

E "-

:co

S

Q)

..Q

::l

Ol

Sublimieren

...

Resublimieren

f est (z. B. Eis)

...

..Q CO Q)

E "-

:co

S

Durch Druckänderung oder durch Zufuhr oder Abgabe von Wärme kann sich der Aggregatzustand eines Körpers ändern . Während des Umwandlungsprozesses ändert sich die Temperatur des Körpers nicht, jedoch seine thermische (innere) Energie und häufig auch das Volumen.

• All e nachfolgend en Betrachtung en beziehen sich auf kristal line Stoffe mit bestimmter Schmelztemperatur. Be i amorphen Stoffen, z. B. bei Gl as oder Wach s, lässt sich für eine Umwandlung st emperatur nur ein ungef ährer Wert oder ein Temperaturbereich ang eben.

Schmelzen und Erstarren Wird einem festen Körper Wärme zugeführt, so geht er bei der Schmelztemperatur z3s vom festen in den flüssigen Aggregatzustand über. Durch Wärmeabgabe geht er bei der gle ichen Temperatur, der Erstarrungstemperatur, in den festen Aggregatzustand über. Während des Schmelzens und des Erstarrens ändert sich die Temperatur nicht. Es ändert sich aber die Struktur des betreffenden Stoffes und da mit seine innere Energie. Beim Schmelzen wird sie größer, beim Erstarren kleiner.

Schmelzwärme Os f est bei iis

flüssig bei iis

Schm elzen

I Erstarrungswärme Os I

Thermisches Verhalten von Körpern und Stoffen

Erwärmt man einen festen Stoff gleichmäß ig oder kühlt man eine Flüssigkeit gle ichmäßig ab, dann erhä lt man den im Diagramm dargestellten idealisierten Kurvenverlauf. Die W ärme, die man zum Schme lzen benötigt, wird beim Erstarren als Erstarru ngswärme wieder freigesetzt .

•

1)5 - - - - - , . . - - - -- - ( "

o

Schmelztemperatur und Erstarrungstemperatur 13s sowie Schmelzwärme und Erstarrungswärme Os sind bei einem Stoff und konstantem Druck gleich groß . Die Schmelzwärme Os kann berechnet werden mit der Gleichung : Os = q s . m

qs m

Statt l gql ') ustund ist auch di e Bezeichnung feste, flü ssige und gasförmige Phase üblich . Statt von einer Aggregatzustandsänderung spricht man dann von einer Philsemmvrmdl H g .

spezifische Schmelzwärme Masse des Körpers

Die Schmelztemperatur ist vom Druck abhängig. Bei Körpern , die sich beim Erstarren zusammenziehen , erhöht sich mit zunehmendem Druck die Schmelztemperatur. Bei Körpern, die sich beim Erstarren ausdehnen, verringert sich mit zunehmendem Druck die Schmelztemperatur. Zur letzten Gruppe gehört Wasser. Bei einem Druckzuwachs von 1 bar = 10 5 Pa verringert sich die Schmelztemperatur von Eis um 0,007 5 K. Bei hohem Druck, wie er z. B. von Schlittschuhkufen auf Eis ausgeübt wird, schmilzt Eis im negativen Temperaturbereich . Sieden und Kondensieren

Wird einer Flüssigkeit Wärme zugeführt, so geht sie bei der Siedetemperatur rJ v vom flüssigen in den gasförmigen Aggregatzustand über. Durch Wärmeabgabe geht das Gas bei der Kondensationstemperatur wieder in den flüssigen Aggregatzustand über. Während des Siedens und des Kon densierens ändert sich die Temperatur nicht. Es ändert sich aber die Struktur des Stoffes und seine innere Energie. Beim Sieden vergrößert sie sich, beim Kondensieren verkleinert sie sich entsprechend.

IVerdampfungswärme Ov I fl üssig bei 19v

161

J JJ

Si eden

gasförmig bei 1'Jv

..)

.J..J ..)

Kond ensieren

J JJ

I Kondensationswärme Ov I

..J

..J

lun,,1 VI rr wird auch als Schmelzenergie oder als Schmelzenthalpie beze ichnet. Die Enthal pie ist eine physikalische Größe zur Beschreibung von Energ iebil anze n. Für 1 kg Eis beträgt di e Schm elzw ärm e 334 kJ. Di ese W ärm e w ird frei, w enn 1 kg Wasse r vom flüssigen in den f esten Aggregatzu st and überg eht.

162

Thermodynamik

Q

Erwärmt man eine Flüssigkeit gleichmäßig oder kühlt man ein Gas gleichmäßig ab, dann erhält man den im Diagramm dargestell ten Kurvenverlauf. Die Wärm e, die man zum Verdampfen benötigt (Verdampfungswärme), wird be im Kondensi eren als Kondensationswärme wi eder frei gesetzt.

Siedetemperatur und Kondensationstemperatur IJ v sowie Verdampfungswärme und Kondensationswärme Ov sind bei einem Stoff und bei konstantem Druck gleich groß. Die Verdampfungswärme Ov kann unter der Bedingung, dass der Druck konstant ist, berechnet werden mit der Gleich ung: Ov = qv . m

qv m

Genutzt wird die Druckabhängigkeit der Si edetemperatur von W asser z. B. bei Druckkesseln und Schnellkochtöpfen.

spezifische Verdampfungswärme Masse des Körpers

Die Siedetemperatur ist vo m Druck abhäng ig. Für das Sieden von Flüssigkeiten gilt: Je größer der Druck auf die Oberfläche ist, desto höher ist die Siedetemperatur. Wasser siedet bei normalem Luftd ruck ( p = 101,325 kPa) bei 100 oe. Bei anderem Dru ck hat die Siedetemperatur einen anderen We rt. p in kPa

10

50

101

500

1 000

5 000

10000

[}v in oe

46

81

100

152

180

264

311

Verdu nsten

Die Verdunlötungskälte wird z. B. in der Medizin genutzt. Um Haut schmerzunempfi ndlich zu machen, wird die betreffende Stelle mit einer schnell verdunstenden Flüssigkeit besprüht und kühlt durch deren Verdu nsten stark ab.

Flüssigkeiten können auch unterhalb der Siedete mperatur in den gasförmigen Aggregatzustand übergehen. Diesen Vo rgang nennt man Verdunsten. Auch zum Verdunsten ist Wärme erforderlich (Verdunstungswärme). Da sie meistens der Umgebung entzogen wird und zu einer Abkühlung der Umgebung führt, wird sie manchmal auch als Verdunstungskälte bezeichnet. Be ispiele für Verdunsten sind das Trocknen von W äsche, das Abtrocknen von Straßen nach dem Regen, das Trocknen von Schweiß oder das Trocknen von Farbe. Die Ve rd unstung ist umso stärker, je größer die Oberfläche ist, je höher die Temperatur ist und je schneller die verdunsteten Anteile abgeführt werden.

163

Thermisches Verhalten von Körpern und Stoffen

3.2.5 Die Gasgesetze Allgemeine Zustandsgleichung f ür das ideale Gas Eine beliebige abgeschlossene Gasmenge lässt sich durch die Zustandsgrößen Volu men, Druck und Temperatur charakterisieren . Für den Zusammenhang zwischen den Größen gilt die allgemeine Zustandsgle ichung für das ideale Gas. Unter der Bedingung einer abgeschlossenen Gasmenge besteht für das ideale Gas folgender Zusammenhang zwischen Druck, Vo lumen und Temperatur:

e.r =

konstant

p

oder

V T

Druck Volum en Temperatur in K

• Di ese r grundl eg ende Zu sa mm enhang w ird auch als allgemeine Gasgleichung. universelle Gasgleichung od er allgemeine thermische Zustandsgleichung bezeichn et.

Für konstantes p, Voder T ergeben sich Spezialfälle, die in der nachfol genden Übersicht dargestellt sind. Druck ist konstant (isobare Zustandsänderung)

Volumen ist konstant (isochore Zustandsänderung)

Temperatur ist konstant (isoth erme Zustandsänderung)

~

T, < T2 V, < V2

T, < T2 p, < P2

p, < P2 V, > V2

Je größer die Tempe ratur, desto größer das Volu men.

Je größer die Temperatur, desto größer der Druck.

Je größer der Druck, desto kleiner das Volumen .

Unter der Bedingung p = konstant gilt:

Unter der Bedingung V = konstant gilt:

Unter der Bedingung T = konstant gilt:

~ = ~ = konst.

e.", = ~ = konst.

p, . v,

(Gesetz von GAY-LusSAC)

(Gesetz von A MONTONS)

(G esetz von BOYLE und MARIOTTE)

Tl

T2

Erwärmung der Luft in einem Wohnraum

Tl

T2

Erwärmung des Ga ses in einer Gasflasche

=P 2 . v2 = konst .

langsames Betätigen einer Luftpumpe

• Entdeckt wurd en d ie Gasgesetze von d en Naturwissensch aftlern JOSFPH LoUIs GAY '

LUSSAC (1778- 1850), GUIllAU "l A, ONTONS

(1663- 1705), ROB T Bmu (1627- 1691) und Eo

E MARIorTE

(1620 - 1684).

164

Thermodynamik

isobare Zustandsänderung (p konstant)

isochore Zustandsänderung (V konstant)

= v

V2 V,

isotherme Zustandsänderung (T konstant)

=

=

EJ

P

EJ

P

/P' /V ~ IJ

/V

P2

P2

~;

:

,

i

P,

T2

T,

T

-

Y

:

I

P,

'

'

:

TI

T2

T

V2

VI

V

Zustandsänderungen in der Thermodynamik werden meist in p-V-Diagrammen dargestellt. Für die drei speziellen Fälle ergeben sich folgende rot eingezeichnete Graphen: P P

_mr

~

VI

V2

P

P

P2

T' ~

PI

-----:~

2

PI

PI

V

:

V

V

:~

:~ T

,

,

V2

VI

V

Neben den drei genannten Zustandsänderungen ist auch noch eine vierte, die adiabatische Zustandsänderung, von Bedeutung.

• Bei einer adi abati sch en Zust andsä nderung änd ern sich Druck, Volum en und Temperatu r, also im Unterschied zu den and eren Zustandsänderungen all e drei Größen .

P

P,

V

Eine adiabatische Zustandsänderung ist dadurch gekennzeichnet, dass das Gas mit der Umgebung keine W ärme austauscht. Beispiele für solche Zustandsänderungen sind der Kompressionstakt beim Dieselmotor oder auch das schnelle Zusammenpressen der Luft im Kolben einer Luftpumpe.

Bei 15 oe beträgt der Druck im Reifen ein es Pkw 240 kPa. Durch schne ll e Autobahnfahrt auf sonnenbeschienener Strecke erhöht sich die Temperatur im Reifen auf 50 oe. Auf welchen Wert vergrößert sich der Reifendruck? Analyse: Ein Pkw-Reifen ist so konstruiert, dass sich sein Volum en bei Druckänderung im normalen Betriebsbereich kaum verän dert. Man kann deshalb von einer isochoren Zustandsänderung (V = konst.) ausgehen.

Thermisches Verhalten von Körpern und Stoffen

165

1

Da sich Luft annähernd wie das ideale Gas verhält, kann das Gesetz von AMONTONS angewendet werden . Gesucht: Gegeben:

P2 P, T, T2

= 240 kPa = 288 K

Di e CELSiu s-Te mperatur muss in di e abso lute Temperatur um gerechn et w erd en (/ 5. 151). Näherung sw eise gilt:

=323 K

Lösung:

f = ~ + 273 Umstellen nach P2 ergibt:

323 K . 240 kPa 288 K

P2

= 269 kPa

• Ergebnis: Bei einer Temperaturerhöhung um 35 K erhöht sich der Reifendruck von 240 kPa auf etwa 270 kPa, also um etwa 10 %. Aus der allgemeinen Zustandsgleichung für das ideale Gas ( / S. 163) folgt, dass der Term P ~ v für eine abgeschlossene Gasmenge und beliebige Zustandsänderungen immer den gleichen Wert hat. Den Wert der Konstanten kann man berechnen, wenn man von folgenden Annahmen ausgeht: - Der Druck im Gas ist gleich dem Normdruck Po = 101,325 kPa . - Die Temperatur ist gleich der Normtemperatur Ta = 273,15 K. - Das Volum en des idealen Gases bei Normbedingungen (mol ares Normvolumen) beträgt Vo = 22,414 Liter je Mol.

Rechn et man f älsch licherweise mit der CELSius-Temperatur, so wü rde P2 = 800 kPa sei n, also m ehr als eine Verdreifac hu ng d es normalen Rei f endrucks auf treten.

Damit erhält man: Po' Vo _ 101,32 5 kPa . 22,414 ' 10- 3 m 3 273,1 5 K · mol

--=;=;;- -

= 8,314 _

J_ K · m ol

Diese Konstante wird als universelle oder allgemeine Gaskonstante R bezeichnet. Beträgt das Volumen V = n . Vo, so erh ält man als Wert für die Konstante n . R. Damit kann man die allgemeine Zustandsgleichung für das ideale Gas ( / S. 163) auch folgendermaßen schreiben: Für eine abgeschlossene Gasmenge des idealen Gases gilt:

P V

n R T

Druck Volumen Stoffmenge in mol universelle Gaskonstante absolute Temperatur

• Der Tabell enwe rt für di e un iverse lle Gaskonstante bet rägt: R = 8,31 4472 _ J_ K · mo I

Thermodynamik

166

• Die spezifische Gaskonstante ist mit der allgemeinen Gaskonstanten folg endermaßen verknüpft:

R = '!2 .R n S

In Physik und Technik wird häufiger mit der Masse als mit der Stoffmenge gerechnet. Deshalb wird meist nicht mit der allgemeinen Gaskon stanten R, sondern mit der spezifischen Gaskonstanten Rs gearbeitet. Damit kann man die allgemeine Zustandsgleichung auch so schreiben: Für eine abgeschlossene Gasmenge des idealen Gases gilt:

p . V = m . Rs . T

m Rs

Damit gilt:

Masse des Gases spezifische Gaskonstante

J

Rs = ~ . R = ~

Die spezifische Gaskonstante ist für jedes Gas, das näherungsweise als ideales Gas betrachtet werden kann, eine Stoffkonstante. Sie hängt nicht vom Druck und von der Temperatur ab. Eine weitere Form der allgemeinen Zustandsgleichung des idealen Gases ergibt sich, wenn man statt der Stoffmenge ( / Gleichung S. 165) die Teilchenanzahl N (/ S. 52) einbezieht .

•

Für eine abgeschlossene Gasmenge des idealen Ga ses gilt auch:

Für di e Stoffll1enge gilt:

n

p .V=N .k .T

N

k

= !:!..

Teilchenanzah l BOLTZMANN -Konstante

NA

Aus den beiden Konstanten NA und R ergibt sich di e BOLTZMANN- Kon stante k :

In einer 40-I-Gasflasche befindet sich Sauerstoff. Bei 20 oe beträgt der Druck 11,6 MPa . Wie groß ist die Masse des Sauerstoffs?

k = !i.

NA

k = 1,381 . 10- 23 J . K- 1 Benannt ist sie nach dem österreich ischen Physik er lUDWIG BOlTZMANN (1844 - 1906).

Analyse: Sauerstoff kann als ideales Gas betrachtet werden. Die zur Berechnung erforderliche spezifische Gaskonstante kann man einem Tabellenwerk entnehmen.

Gesucht: Gegeben:

m V = 40 1=4· 10- 2 m 3 T = 293 K P =11,6·1 06 pa Rs = 259,8 J . kg- 1 . K- 1 (Tabellenwerk)

Lösung:

Die Umstellung von p . V = m . Rs . T nach m ergibt: m =~

R, ' T

m _11,6·10 6 N·4·1O- 2 m 3 · kg·K -

m

= 6,1

m 2 . 259,8 J . 293 K

kg

Ergebnis: In der 40-I -Gasflasche befinden sich bei einer Temperatur von 20 und einem Druck von 11 ,6 MPa etwa 6,1 kg Sauerstoff.

oe

Kinetische Theo rie der W ärme

3.3

Kinetische Theorie der Wärme

3.3.1

Der atomare Aufbau der Stoffe

167

Feste, flüssige und gasförmige St offe bestehen aus Atomen od er Molekü len . Dere n Existenz wurde zwar seit lan gem vermutet, experimentelle Belege kon nten aber erst seit Begi nn des 20. Jah rhunderts erbracht werden. Wichtige Ansätze gab es bereits im 19. Jahrhundert. So stel lte der engl ische Naturforsch er JOHN DALTON (1766- 1844) im Jah r 1808 eine Atomhypothese auf , die es ermöglichte, bereits früher entdeckte Gesetze über chemische Reaktionen zu erklären . Diese Atomhypothese lautet:

JOh I D l 0'11

- Jedes Element besteht aus k leinsten, ch emisc h nicht weiter ze rl eg baren Teilchen, den A t omen . - At om e eines Elements haben die gleiche Größe, die gleiche M asse und verhalten sich chemisch gleich. - Ato me verschiedener Elemente sind von einander ve rschieden . - Bei der ch emischen Verbindung von zwei ode r mehreren Elementen verbinden sich die Ato me zu neuen Teilchen, den Molek ülen. - Die unterschiedlichen Eigenschaften der chemischen Verbindungen ergeben si ch aus der Verschiedenartigkeit ihrer Zusa mmensetzung und der unterschiedlichen Struktur.

(1766- 1844) versuchte, di e von ihm aufgest ellte Atomhypothese durch chemi sch e M essungen zu best äti gen . Die Existe nz von Atom! n wurd e bereits von d em gr iechischen Philosophen DEMOKRIT (460 - 370 v. ehr.) angen omm en .

•

Diese At omh ypothese erwies sich als außerordentlich tragfähig und tr ug entscheid end zur Entwicklu ng der At omth eo rie be i.

iSHiii MII

+

•

iji'Htum'

Bei ch emischen Reak tion en bl eibt die Gesamtm asse unverändert (Gesetz von der Erhaltung der Masse). In einer ch emisch en Verbindung sind die Best andteil e stets in einem bestimmten Massenverhältnis enth alten (Gesetz d er konstanten Proportionen).

)

6 W asserstoffmo lekül e

3 Sauerstoffmolek üle

6 Wassermoleküle

Unterschiede zwischen festen , flüssigen und gasförmigen St offen bestehen vor allem bei den zwischenmolekularen Bindungskräften zwischen Atomen bzw. Moleküle n, die ein unterschiedliches Form - und Volumen verhalten bewirken (/ s. 54). W esentl ich en Anteil an der Entwickl ung der kinetischen Theorie der W ärme hatten die Physiker LUDWIG BOLTZMANN (1844- 1906), JAMES CLERK MAXWELL (1831 - 1879), RUDOLF CLAUSIUS (1822- 1888) und WILLI AM THOMSON, d er spätere Lord KELVIN (1824- 1907).

Thermodynamik

168

Größe, Masse und Anzahl von Atomen

i Eine M ethod e zur Bestimmung des Durchmessers von Atom en ist di e Ölfleckme· thode.

i Di e relative Atom masse A r ist d er Quoti ent aus der Ma sse eines At om s mA und der atom aren M asseeinheit u (/ S. 53):

Ar = ~ u

Atome und Moleküle haben außerordentlich kleine Abmessungen; ihre Anzahl bei den uns umgebenen Körpern ist unvorstellbar groß. Nachfol gend sind die Größenordnungen für den Durchmesser, die Masse und die Anzahl von Atomen angegeben. Der Durchmesser von Atomen lässt sich nicht direkt messen, aber indirekt ermitteln . Messungen haben ergeben: Der Durchmesser von Atomen liegt zwischen 10- 10 und 5 . 10- 10 m . Geht man von der größtmöglichen Packungsdichte aus, dann liegt der Abstand von Atomen bei Festkörpern und Flüssigkeiten in der Größen ordnung des Atomdurchmessers. Bei Gasen ist der Abstand stets vom Druck abhängig und kann in weiten Grenzen variieren. Die Masse von Atomen kann mithilfe eines Massenspektrografen ( / S. 240) oder über die relative Atommasse berechnet werden . Die Masse von Atomen liegt zwischen 10- 27 kg und 10- 24 kg .

Die im Periodensystem ausgewiesene relative Atommasse von Aluminium beträgt 26,98. Demzufolge erhält man als Masse eines Aluminiumatoms: m A = U · Ar m A = 1,66· 10- 27 kg ·26,98 m A = 4,48 . 10- 26 kg Die Teilchenzahl in einem bestimmten Volumen hängt von der Stoffmenge (/ S. 52) ab, die in Mol angegeben wird . In einem Mol eines Elements sind etwa 6 . 10 23 Atome enthalten.

Das gilt auch fü r Gase unter Normbed in gungen (p = 101,3 kPa, T = 273 K) . Da s molare Volumen beträgt d ann Vm

= 22,4

m10 l .

Aus wie vielen Atomen besteht 1 kg Eisen? Analyse: Die An zahl der Atome ka n n über die relative Atommasse (s.o.) oder mithilfe der AVOGADRO-Konstanten ( / Beispiel S. 52) ermittelt werden. Die Werte der Konstanten sind in Tabellenwerken zu finden . Gesu cht: Gegeben:

N

Ar

= 55,85

Lösung: Für d ie Masse eines Eisenatoms erhält man : m A =1,66· 10- 27 kg . 55,85 m A = 9,27 . 10- 26 kg

169

Kinetische Theorie der Wärme

Daraus ergibt sich durch eine einfache Dreisatzrechnung als An zahl der Atome für 1 kg :

N

• Würd e man d iese Atome w ie an ein er Perl enkett en hintereinand er aufreih en, so hätte di ese Perl enkette ein e Länge von etwa 2 500 Milliarden Kilom et ern.

= 1,08 · 10 25

Ergebnis: 1 kg Eisen besteht aus 1,08 . 10 25 Atomen.

Bewegung von Atomen und Molekülen Atome und Moleküle von Stoffen bewegen sich ständig ungeordnet. Dabei kann es sich, je nach dem Aufbau der Stoffe, um Schwingungen oder translatorische Bewegungen oder Rotationsbewegungen handeln .

Schwingungen

Translation

Rotation

Schwingungen um eine bestimmte Lage in verschiedenen Raumrichtungen

Geradlinige Bewegung in verschiedenen Raumrichtungen

Rotation von Molekülen um verschiedene Drehachsen.

t / Atome eines Stoffes im Kristallgitter

I

Bei Flüssigkeiten und Gasen kann es auch zu ei ner Überlag eru ng von Translation, Schw ingun ge n und Rotation komm en.

-

Atome oder Mol eküle in Flüssigkeiten und Gasen

•

mehratomige Moleküle

Die ständige ungeordnete Bewegung von Atomen und Molekülen wird als Molekularbewegung oder als thermische Bewegung bezeichnet. Ein Beleg für die thermische Bewegung von At omen bzw. Molekülen ist die von dem schottischen Biologen ROBE RT BROWN (1773- 1858) entdeckte brownsche Bewegung. Diese von BROWN beobachtet e Bewegung von kleinen Teilchen (/ Foto) wird durch die Bewegung der Moleküle hervorgerufen, die ständig auf die im Mikroskop sichtbaren kleinen Teilchen treffe n.

•

• Di e durch schnittli chen Geschwindig ke iten der Atom e bzw. Mole kül e sind st ark t em peratu rabhängig und li egen bei Gasen unter No rmbedingungen ( / S. 165) zwischen 400 m/s und 2 000 m/s ( / S. 172). All ge mein gilt: Di e Be w eg ung ist um so heft iger, j e höher di e Temperatur ist .

170

i Wesentlich en Antei l an der Entw icklung d er kin eti schen Gast heori e hatten der britische Physi ker JAMES CLERK MAXWELL

(1831 - 1879) und der öste rreich isch e Physiker LUDWIG BOLTZMANN (1844- 1906) .

Thermodynamik

3.3.2 Kinetische Gastheorie Die allgemei ne Zustandsgleichung für das ideale Gas ( / S. 163) und die daraus ableitbaren spez iell en Gasgesetze ( / S. 163) zeigen , dass Gase we itgehend ü bereinstimmende thermische Eigenschaften haben. In der phänomenologischen Betrachtungsweise ( / S. 148 f .) lassen sie sich mithi lfe der Zustandsgrößen Temperatur, Druck und Volu men beschre iben . Zugleich sind die Zustandsgrößen mit Teilchengrößen (Teilchenanzahl, Geschwindigkeit und Energie der Tei lchen) verknüpft. Die Einbeziehung von Teilchengrößen ermöglicht d ie Erklärung des Verhaltens vo n Gasen und d ie Deutung von Vorgängen im makroskopi sche n Bereich. Dazu gehört auch die Herstel lung von Beziehungen zw ischen makroskopisch messbaren Größen und ih rer mikrophysikalischen Deutung . Angewandt wird hierbei d ie kinetisch-statistische Betrachtungsweise (/ S. 149 f .), di e auf das ideale Gas (/ S. 150) bezogen wird. Räumliche Verteilung von Teilchen Wir betrachten ein thermodynamisches System, das aus zwei getrennten Raumbereichen besteht. In einem der Raumbereiche befindet sich ein idea les Gas, der andere Raumbereich ist leer (S kizze links). Beseitigt man die trennende W and, dann stellt sich nach einiger Zeit die rechts dargestellte räumliche Ve rteilung ein.

•

Geht man von einer sehr großen Teilchenanzah l aus, w ie es bei makroskopischen Systemen der Fall ist, dann gilt:

I

Unter der W ahrscheinlichkeit w einer Verteil ung versteht man die re lative Häufig keit d es Auftret ens einer Vertei lung . Die Wahrschein lichkeit, d ass sich ein beli ebig herausg egriffen es Teilchen im Volum en V, + V2 befind et , ist w = 1. Das g ilt auch fü r 2 oder f ür N Teilchen.

Die Gleichverteilung der Teilchen ist die wahrscheinlichste räumliche Anordnung in einem gegebenen Raumbereich. Betrachtet man die Teilchenanzahl N in ein em Volum en \I, so ist der Quotient N/V die Te ilchenanzahldichte. Bei einer Gleichverteilung der Teil ch en ist die Teilchenanzahldi chte in den versch iedenen Raumbereichen näherungsweise konstant . Andere Zustände als die der Gleichverte il ung sin d möglich. Ih re W ahrscheinlichkeit ist allerdings umso kleiner, je weiter sie vo n der Gleichverteilung entfernt sind. Die A bweichungen vo n den statistisch wahrscheinlichsten Zuständen werden als statistische Schwankungen bezeichnet. Ein Beisp iel für Schwankungserscheinunge n ist die brownsche Bewegung ( / S. 169).

Kinetische Theorie der Wärme

Stellt man die Wahrscheinlichkeit der Verteilung in den beiden Raumbereichen V, und V2 grafisch dar, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass si ch in jedem der Raum bereiche NI2 Teilchen befinden, besonders groß. Die W ahrscheinlichkeit dafür, dass sich in einem der Raumbereiche alle oder kein Teilchen befinden, ist äußerst gering. Sie geht gegen nu ll.

171

•

W

o

N/2

N

Di e W ahrscheinlichkeit, ein bestimmtes Teilchen im Raumbereich V 1 zu finden, beträgt w = ~ . Das g ilt auc h für ein zwei tes Teilchen . Di e Wahrsche inlichkeit, beide Teilchen gleichzeitig in V 1 zu finden, beträgt nur noch

w= ~~=~ oder

w= (~r

Geschwindigkeitsverteilung von Teilchen Untersucht man anhand eines Modellgases die Geschwindigkeitsverteilung in einem Gas, dann erhä lt man eine charakteristische Verteilung, die darüber hinaus von der Temperatur abhängig ist. Im nachfolgenden Diagramm ist die Geschwindigkeitsverteilung für zwei verschiedene Temperaturen dargestellt.

Für N Teilch en wäre sie W =

( ~r.

I Der britische Physiker JAMES CLERK MAXWELL

v

(1831 - 1879) leitete um 1860 das Verteilungsgesetz unter Nutzung der W ahrschei n Iich keitstheori e her. Man spricht deshalb auch von der maxwellsehen Geschwindigkeitsverteilung .

Aus dem Diagramm und vielen anderen Untersuchungen ergibt sich: Die Teilchen eines Gases haben unterschiedliche Geschwindigkeiten . Die Geschwindigkeitsverteilung ist temperaturabhängig. Insbesondere ist aus dem Diagramm erkennbar, dass die Geschwindigkeitsverteilung nicht symmetrisch ist. Deshalb muss man zwischen verschiedenen Geschwindigkeiten unterscheiden. Das Maximum des Graphen (s. Diagramm), entspricht der wahrsch einlichsten Geschwi ndigkeit Vw. also der Geschwindigkeit, d ie die meisten Teilchen haben. Da wegen des unsymmetrischen Kurvenverlaufs die Anzahl der Teilche n mit höherer Geschwind igkeit größer ist als die mit kleiner Geschwindigkeit (s. Diagramm), ist die m ittlere Geschwindigkeit ii der Teilchen größer als die wahrscheinlichste Geschwindigkeit Vw

•

1 Die Geschwindigkeitsverteilung kann man auch experim entell bestimmen, z. B. mithilfe des Versu ches von STERN. Dabei wurde die theoretisch vorhergesagte Geschwindigke itsverteilung bestätigt.

Thermodynamik

172

•

I

Für die drei Geschwindigk eiten geIten di e folg enden Beziehungen:

v

w

=

Für statistische Betrachtungen ist darüber hinaus der quadratische Mittelwert der Geschwindigkeit (die Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat) von Bedeutung. Die Zusammenhänge zwischen diesen drei Geschwindigkeiten zeigt das nachfolgende Diagramm.

ß

{2R"":T

"f ----r0

N(v)

T = konstant

Fv2 = Jf{;T Mit ~ = Rs ( / S. 166) erh ält man we itere Gl eichungen.

v

Für diese drei Geschwindigkeiten gilt: vw :

v:ß

= 1 : 1,13 : 1,22

Bei 0 oe beträgt die mittlere Geschwindigkeit von Stickstoffmolekülen 490 m/s. Wie groß ist die wahrscheinlichste Geschwindigkeit? Analyse: Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit Vw ist kleiner als die mittlere Geschwindigkeit. Sie kann aus ihr berechnet werden. Gesucht: Gegeben:

Vw

v

= 490 m/s

Lösung :

vw : v =1:1,13 Vw

v

1.13

Vw = 4,90 m ...,-;-i3S

Vw = 434 m . s- 1

Ergebnis: Die wahrscheinlichst e Geschwindigkeit von Stickstoffmolekülen bei ooe beträgt 434 m . S- 1. Energieverteilung der Teilchen und Gesamtenergie Bei einem idealen Gas haben die Teilchen nur kinetische Energie der Translation. Aus der oben beschriebenen Geschwindigkeitsverteilung ergibt sich eine entsprechende Energieverteilung.

Kinetische Theorie der Wärme

Die kinetische Energie eines Teilchens beträgt E kin = ~m . v 2 . Sie kann, wie die Geschwindigkeit, in einem weiten Bereich schwanken. Für statistische Betrachtungen bedeutsamer ist die mittlere kinetische Energie der Teilchen. Die mittlere kinetische Energie der Teilchen beträgt: Ekin =

~m . v 2

m

Masse eines Teilchens

;?

mittleres Geschwindigkeitsquadrat

Besteht ein Gas aus N Teilchen, so ist die gesamte kinetische Energie des Gases das N-fache der mittleren kinetischen Energie aller Teilchen. Für das ideale Gas ist das zugleich die innere Energie.

173

Mit ei ner Geschwin

digkelt von 1 500 m/s und ein er M asse von 1,67 · 10- 27 kg (Wasse rstoffatom) erhä lt man eine kin eti sc he En ergi e ein es W asse rstoffatom s von etwa 2 . 10- 2 1 J. Ein Mol Wa sserstoff hätte d ann eine En ergi e vo n 2 . 10- 2 1 J . 6 . 10 23 und damit von 1,2 kJ.

Die innere Energie U des idealen Gases ist gleich der gesamten kinetischen Energie aller seiner Teilchen. U = N· Ekin

N

Teilchenanzahl

Ek in

mittlere kinetische Energie eines Teilchens

Molekularbewegung und Gasdruck In einem abgeschlossenen Behälter bewegen sich die Teilchen eines Ga ses völlig unregelmäßig mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten und in den verschiedensten Richtungen. Setzt man das ideale Gas voraus, so fin den nur elastische Stöße zwischen den Teilchen sowie zwischen Teilchen und Behä lterwänden statt.

Der auf eine Fläche wirkende Gasdruck kommt du rch die Stöße einer Vielzahl von Teilchen zustande.

Er ist umso größer, je größer die Teilchenanzahl und die mittlere Geschwindigkeit der Teilchen sind. Da der Gasdru ck eine statistische Größe ist, kann er zeitlich geringfügig schwanken . Makroskopisch messbar sind diese Schwankungen allerdings nicht.

Der Erst e, der de n Gasdruck mit de r Beweg ung d er Mol ekül e in Zusam m enhang bracht e, wa r der schwe ize r M ath ematiker und Naturforscher [, NI L uEfl t JUlI l (1700 - 1782).

174

----

Thermodynamik

• Ist bei senk rechter Anordnung der Kol ben bewegl ich, so ist im Gl ei chg ewichtszusta nd die von den Teilchen ausgeübte Druckkraft gl eich der Gewichtskraft des Kolbens.

Experimentell veranschaulichen kann man den Gasdruck mithilfe von kleinen Stahlkugeln, die sich in einer Kammer mit durchsichtigen Wänden befinden und die durch einen Motor mit Exzenter in schnelle Bewegungen versetzt werden. Das Foto links zeigt die Versuchsanordnung, die als "Schüttelapparat" bezeichnet wird. Die Geschwindigkeit der Teilchen kann man durch Veränderung der Drehzahl des Motors verändern.

Kolben (beweglich oder fest) -~-Kammer mit Teilchen Motor mit Exzenter

Grundgleichung der kinetischen Gastheorie Die Zusammenhänge zwischen dem Gasdruck und der Teilchenbewegung kann man quantitativ erfassen, wobei wir von folgenden Annahmen ausgehen:

s = v· Llt I' I

I

, A _

I

l, _ __

J _ _ _ _ _ _ _ __ _

- Betrachtet wird das ideale Gas, bei dem nur elastische Wechsel wirkungen mit den Behälterflächen auftreten . - Die Teilchen haben eine (durchschnittliche) Geschwindigkeit v. In Richtung jeder der sechs Flächen des Würfels bewegen sich 1/6 aller Teilchen . - Im Behältervolumen V befinden sich insgesamt N Te ilchen. Die Teilchenanzahldichte beträgt somit NIV

In einem Quader der Seitenfläche A und der Länge 5 d an n eine Teilchenanzahl von:

=v· Llt befindet sich

!Yv · A · v·M Da sich 1/ 6 der Teilchen in Richtung Fläche A bewegt, beträgt diese Teil chenanzahl:

l!Y · A-v ·

6V

v

Jedes Teilchen der Masse m und der Geschwindigkeit hat den Impuls m . V. Nach senkrechtem Stoß gegen die Wand beträgt dieser Impuls weder Betrag der Impu lsändegen der elastischen Wechselwirkung - m . rung dem zufolge 2 m · v. Der Betrag der Impulsänderu ng aller Teilchen, die während des Zeitintervalls auf die Wand treffen, beträgt damit:

v,

LlP i = ~ ~ . A · v · M

. 2m . v

(1)

Kinetische Theorie der Wärme

175

Für den Betrag der Kraft auf die Fläche A gilt allgemein :

F

= ...EJ

(2)

t

Setzt man (1) in (2) ein und vereinfacht, so erhält man : F

= 13Vr:!. . A

.

m . v2

(3)

Mit P = F/A erhält man für den Druck auf die Fläche A:

p

= 13 r:!.v . m . v2 = 3~ . r:!.V

. 1 m . v 2 (4) 2

Die Imp ulsänderung ist gleich dem Kraftstoß (/ S. 104):

L'1Pi = F · L'1t Beachten Sie: Impul s und Dr Jck haben beide das Kurzzei ch en p . Zur Unte rsch eid ung ist hier der Impul s mit Pi bezeich net.

Der letzte Term (rot ) ist die kinetische Energie eines Teilchens. Beachtet man, dass als Mittelwert der quadratische Mittelwert der Geschwindig keit (/ S. 172) angeset zt werden muss, dann erh ält man durch Umformen von (4) die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie. Die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie lautet: p .V

oder

p N

Druck des Gases Teilchenanzahl

= l3 N · m · ~ m V

Masse eines Teilchens Volumen des Gases

[kin mittlere kinetische Energie

der Teilchen v2

mittleres Geschwindigkeitsquadrat

In der Grundgleichung der kinetischen Gastheorie sind makroskopisch messbare Größen mit Teilchengrößen verknüpft. Das ermög licht die kinetisch-statistische Deutung der Zustandsgrößen eines Gases. Darüber hinaus können aus der Grundgleichung weitere einfache Zusammenhänge hergele itet werden.

•

Geschwindigkeit von Teilchen Stellt man die Gleichung p . V = l N · m . v 2 nach der Geschwindigkeit 3 um, dann erhält man :

Di e Umst ellung nach pergibt:

p =~ N ~m .~ -

_2

Setzt man v 2 ", v , dann erhä lt man eine einfache Gleichung für die Abschätzung der Geschwindigkeit von Molekülen . Bei einem Gas, das als ideales Gas angesehen werden kann, beträgt die Geschwindigkeit der Gasmoleküle p p

Druck des Gases Dichte des Gases

Das Produ kt N . mi st die Masse des Gases, der Quoti ent aus Masse und Volum en die Dichte:

N;n = p

Dam it erh ält man:

P = ~ p. v2

176

Thermodyna m i k

•

Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit von Wasserstoffmolekülen bei Normbedingungen?

Gelöst werd en kann die Aufgabe auch mit der Gleichung :

v=

J3R~ T

M an erhä lt d iese Gleichung durch Verknüpfung der GIl I gl.ichlillg d r ~ ir E.d(h n ::lastllecti' mit der lIstand~gl 'I tu nr des idealen

Analyse: Unter Normbed ingungen versteht man einen Druck von 101,3 kPa (normaler Luftdruck) und eine Temperatur von oe = 273 K. Die Dichte von Wasserstoff bei diesen Bedingungen kann man einem Tabellenwerk entnehmen.

°

Gesucht: Gegeben :

v p = 101,3 kPa p

Lösung:

Gases.

= 0,089 kg . m- 3

v

=fj =J3 .

v

= 1850 !!l

v

101 ,3 kPa . m 3 0,089 kg

Für die Einh eiten gi lt: 1 kP a = 1 000 Pa Pa· m 3

N . m3

~

m2 · kg

5

-~ -

s2. m 2 . kg

m2

52

Ergebnis: Bei Normbedingungen beträgt die Geschwindigkeit von Wasse rstoffmolekülen etwa 1 850 m/s. Druck eines Gases Ste llt m an die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie nach dem Druck p um, so erhält man :

Der Druck eines Gases wird durch die Teilchenanzahldichte und die mittlere k ineti sche Energie der Teilchen bestimmt. Energie, Temperatur und Teilchenbewegung Verknüpft man die Grundgle ichung der kinet ischen Gastheorie in der Form p . V = ~ N . Ekin mit der Zustandsgleichung des idealen Gases in der Form p . V = N . k . T durch Gleichsetzen der rechten Seiten, so erhält man folgend en Zusammenhang:

• Diese Bezi ehung gilt für das :k I ll., und damit ann ähernd für all e einatomigen Gase.

Die mittlere kinetische Energie eines Teil ch ens hängt von der absolu ten Temperatur des Gases ab. Ekin

= ~k . T

k T

BOLTZMANN-K onstante ( / S. 166) absolute Te mperatur

Kinetische Theorie der Wärme

Die Teilchen des idealen Gases können sich in drei Raumrichtungen bewegen. Man nennt diese Bewegungsmöglichkeiten auch Freiheitsgrade. Bei einem hantelförmigen Molekül (Skizze rechts) kommen weitere drei Freiheitsgrade der Rotation hinzu, wobei die Rotation um die Längsachse wegen des geringen Trägheitsmomentes ( / S. 99) vernach lässigt werden kann .

177

• Ein ein atomi ges Gas hat 3 Freih eitsg rad e der Transl ation . Sein e mittlere kin etische En ergie beträgt :

Ekin = ~ k .T

I /

Ein zweiatomig es Gas hat 3 Freiheitsgrade der Transl ation und 2 Freiheitsgrad e der Rotation. Seine mittlere kinetische Energi e beträgt:

-

Ekin =~ k ' T

Im statistischen Mittel verteilt sich die Energie gleichmäßig auf die Freiheitsgrade. Auf jeden Freiheitsgrad entfällt eine mittlere kinetische Energie von : -

1

k T

Ekin = '2 k. T

BOLTZMANN-Konstante (/ S. 166) absolute Temperatur

Der S. 176 genannte Zusammenhang zwischen kinetischer Energie und Temperatur lässt sich zur kinetisch-statistischen Deutung der Temperatu r nutzen . Die absolute Temperatur ist ein Maß für die mittlere kinetische Energie der Teilchen eines Gases. Es gilt: [ kin mittlere kinetische Energie der Teilchen

~

mittleres Geschwindigkeitsquadrat

Atomarer Wasserstoff habe eine Temperatur von 0 oe.

Wie groß ist die mittlere kin etische Energie seiner Teilchen? Analyse: Wir gehen davon aus, dass sich Wasserstoff annähernd wie das ideale Gas verhält. Dann kann seine mittlere kinetische Energie aus der absoluten Temperatur und der BOLTZMANN -Konstanten berechnet werden. Für atomaren Wasserstoff als ideales Gas liegen 3 Freiheitsgrade vor. Anzuwenden ist also die Gleichung: 3 Eki n = '2 k . T Gesucht: Gegeben:

[ kin

T k

= 273 K = 1,38 ' 10- 23 J . K- 1

• Für ein Teilch en od er ein e kl eine An za hl von Tei lch en ka nn sinnvoll erweise ke in e mak roskopisch messbare Temperatur angegeben werden. Man ka nn aber eine aus kinetisch-statisti schen Betracht ung en resultierend e Temperatur zuordn en.

178

Thermodynamik

Lösung: Ekin ==

~ k· T

2

Ekin == ~ · 1,38 · 1O-23~ . 273 K 5,7 . 10- 21 J

Ekin

Ergebnis:

Bei einer Temperatur von 0 oe beträgt die mittlere kinetische Energie von Teilchen des Wasserstoffs 5,7 . 10- 2 1 J. In der nachfolgenden Darstellung ist ein Überblick über ausgewählte thermodynamischen Zustandsgrößen und ihre kinetisch-statistische Deutung gegeben. makroskopische Zustandsgrößen eines Gases

kinetisch-statistische Deutung

Druck p

Der Druck auf eine Fläche kommt durch Stöße einer Vielzahl von Teil chen zustande. 2 N

-

P == :3 v · Ekin p _ 1':!.

p - Eki n

V

Temperatur T

Die Temperatur ist ein Maß für die mittlere kinetische Energie der Teilchen. Eki n ==

~ k .T T-

Energie E

Die mittlere kinetische Energie der Teilchen ist von ihrer Geschwindigkeit bzw. von der Temperatur des Gases abhängig. Ekin ==

12 m· ~

Ekin - v 2

innere Energie U

v2

Ekin - T

Für das ideale Gas ist die innere Energie gleich der Summe der mittleren kinetischen Energien aller Teilchen. U == ~ N . k . T

U == ~ p . V 2

Hauptsätze der Thermodynamik

3.4

179

Hauptsätze der Thermodynamik

Die Hauptsätze der Thermodynamik sind grundlegende Erfahrungssätze, auf denen erhebliche Teile der Thermodynamik aufbauen. Die in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts bis zum Anfang des 20. Jahrhunderts formulierten Gesetze sind vielfach experimentell bzw. durch die Erfah rung bestätigt. Eine ihrer Besonderheiten besteht darin, dass sie in sehr unterschiedlicher Weise formuliert werden können. Das gilt insbesondere für den 2. Hauptsatz. Wicht ige Formulierungen gehen auf solche bedeutenden Physi ker wie RUDOLF CLAUSIUS (1822- 1888), W ILLIAM THOMSON (Lord KELVIN, 1824- 1907), MAX PLANCK (1858 -1947) und WALTH ER NERNST (1864- 1941) zurück .

3.4.1 Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik Innere Energie, mechanische Arbeit und Wärme Wir betrachten eine Gasmenge, die sich bei bestimmter Temperatur und bestimmtem Druck in einem abgeschlossenen Zylinder befindet (Skizze unten links) . Di eses Gas besitzt dann eine bestimmte innere Energie U, die sich aus der Summe der kinetischen Energien seiner Teilchen ergibt. Für die Veränderung der inneren Energie des Gases gibt es zwei Möglichkeiten: - Schiebt man den Kolben unter Verrichtung mechanischer Arbeit in den Zylinder (mittlere Skizze), dann wird die Geschwindigkeit und da her auch die kinetische Energie der am Kolben reflektierten Atome größer als vor ihrem Aufprall. Dies folgt aus den Gesetze n des e lasti schen Stoßes (/ S. 112), denn der Kolben bewegt sich auf di e Teilchen zu. Insgesamt erhöht sich also durch Verrichten mechanischer Arbeit die innere Energie des Gases. - Führt man dem Zylinder bei fest stehendem Kolben Wärme zu, dann werden die Teilchen der Gefäßwände in heftigere thermische Schwingungen versetzt (Ski zze rechts). Die auf die Gefäßwände prallenden Gasatome nehmen einen Teil dieser Schwingungsenergie auf und erhöhen dadurch ihre kinetische Energie.

I

/ I

Die Beze ichnung "Hauptsatz" ist ein historisch geprägter Begriff. Es hand elt sich bei den Hauptsät zen der Thermodyna mik um grundlegende ph ysikal ische Gesetze.

180

• Die erst e Formulierung di eses Hauptsatzes geht auf RUDOLF CLAUSIUS (1822- 1888) zurück, der um 1850 erstm als eine Gl eichung dafü r anga b.

Thermodynamik

Das bedeutet: Durch Zufuhr von Wärme lässt sich die innere Energie des betrachteten Gases ebenfalls erhöhen. Sofern die dargestellten Vorgänge in umgekehrter Richtung vonstatten gehen, gilt: Verrichtet das Gas mechanische Arbeit oder gibt es Wärme ab, so sinkt seine innere Energie. Durch Verallgemeinerung auf beliebige Stoffe und physikalische Systeme gelangt man zum 1. Hauptsatz der Thermodynamik. Tauscht ein System mit seiner Umgebung Wärme aus, verrichtet es mechanische Arbeit oder wird an ihm mechanische Arbeit verrichtet, dann ändert sich seine innere Energie. Die Änderung der inneren Energie ist gleich der Summe aus mechanischer Arbeit und Wärme. Es gilt: LlU

=W + 0

LlU Änderung der inneren Energie W mechanische Arbeit o Wärme

Dabei gelten die in der Physik üblichen Festlegungen für die Vorzeichen: - Die am System verrichtet Arbeit bzw. die zugeführte Wärme ist posit iv. Die innere Energie des Systems wird dabei größer, d. h. LlU> O. - Die vom System verrichtet Arbeit bzw. die abgegebene Wärme ist negativ. Die innere Energie des Systems wird d abei kleiner, d. h. LlU < O.

!

W
Q

~

Q >O

Q
Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik ist eine spezielle Form des allgemeinen Energieerhaltungssatzes. Dieser besagt, dass in einem abgeschlossenen System die Gesamtenergie konstant ist und Energie lediglich von einer Energieform in andere Energieformen umgewandelt werden kann . W ährend der allgemeine Energieerhaltungssatz für beliebige Energiefo rmen gilt, bezieht sich der 1. Hauptsatz der Thermodynamik auf th ermische und mechanische Energieformen .

• Bereits 1775 erklärte n di e Pari se r A ka demi e der Wi ssensch aften und die Royal Society in London, dass sie kein en Vorschlag für ein Perpetuum mobi le mehr prüf en w erden.

Das Perpetuum mobile 1. Art Die Versuche, eine M aschine zu konstruieren, die dauernd Arbeit verrich tet, ohne dass ihr Energie zugeführt wird, reichen viele Jahrhunderte zurück. Eine solche Anordnung nennt man ein Perpetuum mobile 1. Art. Abgeleitet ist dieser Begriff vom lateinischen perpetuum = dauernd, ewig und mobilis = beweglich. Sofern nur thermische und mechanische Energieformen beteiligt sind, erkennt man: Ein solches Perpetuum mobile wide rspricht dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik. Bezieht man beliebige Energieformen ein, so widerspricht es auch dem allgemeinen Energieerhaltungssatz. Trotzdem gab und gibt es immer wiede r Versuche, solche Maschinen zu bauen.

Hauptsätze der Thermodynamik

181

Mithilfe des historisch bedeutsamen Begriffs "Perpetuum mobile" kann man den 1. Hauptsatz der Thermodynamik auch folgendermaßen formulieren: Ein Perpetuum mobile 1. Art gibt es nicht. Nach dem 1. Hauptsatz könnte aber eine Maschine genau so viel Arbeit verrichten, wie innere Energie in ihr gespeichert ist. Selbst das ist jedoch nicht möglich (/ S. 202). Die Äquivalenz von Wärme und mechanischer Arbeit Das schnelle Aufpumpen eines Fahrradreifens führt zu einer spürbaren Erwärmung der Luftpumpe. Ein Bohrer mit hoher Drehzahl kann sich stark erwärmen. Auch das Reiben der Hände führt zu einer Erwärmung. Lenkt man ein Pendel durch Verrichten mechanischer Arbeit Waus und überlässt es dann sich selbst , dann w ird es nach einer gewissen Zeit infolge der Reibung wieder zum Stillstand kommen. Allgemein gilt: Bei konstanter Temperatur und damit gleicher innerer Energie eines Systems (LlU = 0) gilt nach dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik: LlU

=0 = W + 0

und damit

W = - 0 ode r 0 = - W Mechanische Arbeit kann in W ärme und Wärme in mechanische Arbeit umgewandelt werden . Die physikalischen Größen mechanische Arbeit und Wärme sind zueinander äquivalent. Der genannte Satz bedeutet nicht, dass bei jedem Prozess mechanische Arbeit vollständig in W ärme umgewandelt wird und schon gar nicht, dass W ärme vollständig in mechanische Arbeit umgewandelt werden kann. Er sagt lediglich aus, dass Wärme und Arbeit gleichwertige physi kalische Größen sind . Der quantitative Zusammenhang wurde historisch durch das mechanische Wärmeäquivalent erfasst.

• Ein e Konsequenz dieser Feststellu ng ist: Wärme und Arbeit haben di e gleichen Einheiten 1 J = 1 Nm = 1 W s.

• JAMES PREscon JOULE

(1818 - 1889) führte za hlreiche Versuche zur Bestimmung des mecha nischen Wärmeäqu ivalents durch . Das Bild ze igt eine se in er Vers uchsanordnung en. Durch herabsi nkende Massestücke wird ein Rührwerk betrieben und erw ärmt Wa sser.

182

• In der Aufg abe ist ein Verfahren beschri eben, mit dem J. P. JOUl[ das mechanische Wanneäquivalent mit erst aunlicher Genauigkeit ermitte lt hat .

Thermodyna m i k

Durch ein langsam herabsin kendes Massestück wird ein Rührwerk angetrieben. Beschreiben Sie die Vorgänge, die sich dabei abspielen ! In fo lge der Gewichtskraft sinkt das Massestück nach unten und verrichtet dabei Arbeit am Rührwerk. Zugleich verringert sich dabei seine potenzielle Energie entsprechend . Durch das Umrühren der Flüssigkeit vergrößert sich deren Temperatur. Es wird also durch die mechanische Arbeit der gleiche Effekt erzielt wie durch direkte Zufuhr von W ärme.

Wie groß ist die Temperaturerhöhung, wen n sich im Gefäß 100 ml Wasser befinden, das Massestück 5,0 kg schwer ist und 2,0 m herabsink t? Analyse: Wir betrachten das Gefäß mit W asser, den Rührer und das Massestück als ein abgeschl osse nes System . Reibungseffekte an der mechanischen Aufhängung werden vernachlässigt. Dann wird die gesamte Arbeit, die vom Massestück verrichtet wird, für die Erhöhung der inneren Energie des Wassers genutzt. Diese Energieänderung ist einer Wärme äquivalent, sod ass man setzen kann : W=Q Gesucht: Gegeben :

.6.T

= 100 ml -) m w = 0, 1 kg = 5,0 kg = 2,0 m = 9,81 N/kg =419 ~ , kg · K

Lösung: Setzt man für die Arbeit W = mG . g . h und für die W ärme Q = m w' C · .6.T ein, so erhält man : mG . g . h Be i den Ei nh eiten ist zu beachte n: Kilojoul e (kJ) sollte in Joule (J) umgerechnet w erd en. Außerdem g ilt: 1 J = 1 Nm

=m w' c ·,1T

Die Umstellung nach .6.Tergibt: mG· g · h

,1T = - mw · (

.6.T = 5,O kg · 9,81 N · 2,Om ·kg . K 0, 1 kg . kg . 4,1 9 · 10 3 J

T = 0,23 K Ergebnis: Unter den angegebenen Bedingungen würd e sich das Wasser um 0,2 K erwärmen .

Hauptsätze der Therm odynamik

183

Berechnung der mechanischen Arbeit und der Wärme beim idealen Gas

Die nachfolgenden Betrachtungen beziehen sich auf das ideale Gas und die j eweils genannten Bedingungen. Sie sind näherungsweise auch auf rea le Gase anwendbar. Mechanische Arbeit

In einem Zylinder, der durch einen Kolben abgeschlossen ist, befindet sich eine bestimmte Menge Gas. Der Kolben wird mit einer konstanten Kraft langsam um die kleine Wegstrecke Ll S hineingeschoben . Dabei wird mechanische Arbeit verrichtet. Der Druck im Gas soll zunächst als kon stant angesehen werden . Für die mechanische Arbeit gilt bei konstanter Kraft (/ S. 88): W= F · Ll S M it F = P . A erhält man :

W=p·A·

S

Der Term A . L1s ist gleich der Volu menänderung il V V2 - VI' sodass sich bei Beachtung des Vorzeichens bei Vol umenverkleinerung ergibt:

=

W=-p '

P

p

= konstant

V

v Ist der Druck nicht konstant, so gilt das auch für die Kraft . Demzufolge muss zur Berechnung der Arbeit die allgemeine Gleichung

ä

Ll V

Das Beispiel bezieht sich auf einen isoth ermen Prozess (T = konst ant). Für einen solch en Prozess gilt (/ S. 163):

p . V = konst ant

P genutzt werden . Durch die analogen Überlegungen wie oben erhält man :

f

v,

:

t

p (V)dV

-

I

----~

v2 W=-

~ -

~

I

--

,

-

w

:

v

Da sich durch die Arbeit, die am Gas oder vom Gas verrichtet wird, das Volumen des Gases ändert, bezeichnet man diese Art von Arbeit als Volumenarbeit oder als Volumenänderungsarbeit. Für das Vorzeichen gilt die / S. 180 genannte Regelung.

Da Arb eit am Syst em verrichtet wird, gilt für den beschriebenen Fa ll: W > 0

184

Thermod ynami k

Die Volumenarbe it kann berechnet werden mit den Gleichungen

v2

p

w =-

oder

W = - p ' LW (für p = konst. )

f

p (V)dV

v, v

Druck im Gas

Volumen des Gases

Eine in einer Luftpumpe eingeschlossene Luftmenge wird durch langsames Hineindrücken des Kolbens von 80 cm 3 auf 20 cm 3 komprimiert . Der anfängl iche Druck beträgt 1000 hPa.

a) Zeichnen Sie für diese Zustandsänderung das p -V-Diagramm! b) Wie groß ist die zur Kompression erforderliche Arbeit?

Eine langsa me Kompression oder Expan sion ka nn man näherungsweise als isotherme Zustandsänderung ansehen. Be i schne ll er Kompression liegt meist eine adiabatische Zustandsanderung vor.

Analyse: Für eine isotherme Zustandsänderung (T = konstant) giltp' V = kon stant oder p, . V, = P 2 . V 2. Daraus ergeben sich Wertepaare für p und V. Die mechanische Arbeit kann man durch Auszählen der Fläche unter dem Graphen ermitteln oder mit der oben genannten Gleichung berechnen, wobei zu beachten ist, dass sich der Druck mit Ve ränderung des Volumens ändert. Lösung: a) Es ergeben sich z. B. folgende Wertepaare:

60

80

p in hPa

I 1333

1000

40

20

2000

4000

J

Damit erhält man folgendes Diagramm : p in hP a

4000 3000 2000 1000

-

Es empfi ehlt sich, die auf den Achsen abgetragenen Einheiten so umzurechnen, dass man eine gebräuchliche Ei nheit für die mech anische Arbeit erh ält.

w 20

40

60

80

V i n cm 3

b) Durch Auszählen der Fläche unter dem Graphen erhält man für die mechanische Arbeit einen Betrag von etwa 11 Nm. Für die Berechnung ist folgende Gleichung an zuwenden:

v2 W=-

f

p (V)dV

~

Mit P (V) = P, / , erhält man:

~

W =- p , . V, .

f&

dV

v,

185

Hauptsätze der Thermodynamik

Die Integration ergibt: W = I - p, . V , . In VJ

V2

v,

V

InV2 - lnV, = In ~2

= (- p , . V,) . (In V2 - In V, )

Für die Einh eiten gilt:

W= - 1 000 hPa ·80 cm 3 . (- 1,39) W = 11,1 Nm

1 hPa ·1 cm 3 = 10 2 Pa . 10- 6 m 3 = 10-4 N ·m 3

Ergebnis: Beim Komprimieren der Luft muss eine Arbeit von etwa 11 Nm verrichtet werden.

m2

= 10- 4 Nm

Wärme bei konstantem Volumen Wir betrachten ein Gefäß mit unbeweglichem Kolben . Das Gas kann damit bei Wärmezufuhr nicht expandieren und daher auch keine mechanische Arbeit verrich ten (W = 0) . Wird Wärme auf das Gas übertragen, dann muss das nach dem 1. Hauptsatz zur Erhöhung der inneren Energie füh ren:

unbew eg licher Kolben

• Au s der Zustandsgleichung des idealen Gases (/ S. 163) folgt für V = kon st ant: ~ = kon st ant oder

p- T M it Erhöhun g der Temperatur nimmt f olgl ich der Druck im Gas zu.

t1U = Q = m·cv · t1T

Für d ie spezifische Wärmekapazit ät muss derjenige Wert genommen werden, der experimentell bei konstantem Gasvolumen ermittelt wu rde. Unter der Bedingung, dass sich das Volumen eines Gases nicht ändert, gilt für die Änderung der inneren Energie t1U des Gases: t1U = Q = m . Cv . t1 T

Masse des Gases spezifische Wärmekapazität konstantem Volumen t1T Temperaturdifferenz m Cv

Wärme bei konstantem Druck Führt man einem thermodynami schen System Wärme zu, dann wird sich nach dem 1. Hauptsatz im Allgemeinen seine innere Energie erhöhen und es wird infolge von Expansion mechanische Arbeit verrichten. Es gilt demzufolge bei Wärmezufuhr und konstantem Druck: t1U = W+ Q

bei

• Aus der Zustandsgleichung des idealen Gases ( / S.163)folgt für p = kon st ant:

~ = konstant oder

V- T Mit Erhö hung der Temperatur w ächst folglich das Volumen des Gases.

186

Thermodynamik

Die zugeführte Wärme kann wie üblich mit der Gleichung Q berechnet werden.

i Der Quotient cp : Cv wird als Adiabatenexponent bezeichnet . Für zwei atomige Gase hat er ein en Wert von etwa 1,4. Die Differen z von cp und Cv für ein Gas ist gl eich der spezifischen Gaskonstan ten Rs: Rs = cp

-

Cv

=m

. cp . .1T

Unter der Bedingung, dass sich der Druck in einem Gas nicht ändert, gilt für die zugeführte oder abgegebene Wärme Q: Q

=m

m cp

Masse des Gases spezifische Wärmekapazität konstantem Druck T Temperaturdifferenz

· cp ·.1T

bei

Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für verschiedene Zustandsänderungen des idealen Gases Das ideale Gas kann isochoren, isothermen, isobaren oder adiabatischen Zustandsänderungen ( / S. 163 f.) unterliegen. Auf jede dieser Zustandsänderungen kann der 1. Hauptsatz der Thermodynamik angewendet werden . Es ergibt sich damit eine Aussage über das energetische Verhal t en und die Austauschprozesse beim jeweiligen System. Isochore Zustandsänderung : Bei einer solchen Zustandsänderung bleibt das Volumen V = konstant. Daher wird auch keine Volumenarbeit verrichtet . Es ist also W = O. Somit folgt aus dem 1. Hauptsatz: .1U = Q =

Unter ungünstig en Um st änden ka nn ei ne f ast leere Gasfl asche gef ährlich er auf W ärmez ufuhr reagi eren als ein e gefüllt e, w eil gilt: .1T - .1 m

m . Cv . .1 T

Das Treibgas in einer Sprayflasche kann nicht expandieren. Wird ei ner solchen Flasche Wärme zugeführt, dann erhöht sich die Temperatur und die innere Energie des Gases. Mit der Temperatur ste igt ebenfalls der Gasdruck. Damit besteht bei zu großer Erwärmung Explosionsgefahr. Deshalb findet man auf solchen Flaschen den unbedingt einzuhaltenden Hinweis, dass sie keinesfalls Temperaturen über 50 °C ausgesetzt werden dürfen. Isotherme Zustandsänderung : Bei einer solchen Zustandsänderung bleibt die Temperatur T = konstant . Damit ändert sich auch die innere Energi e nicht (.1U = 0). Daher wird die gesamte dem Gas zugeführte Wärm e in mechanische Arbeit oder umgekehrt, die gesamte am Gas verrichtete Arbeit in Wärme umgewandelt. Aus .1U = W + Q folgt mit .1U = 0:

Q =-W

oder

W= - Q

W ärme und Arbeit sind bei isothermen Zustandsänderungen entgegengesetzt gerichtet. Fließt Wärme in das System, dann verrichtet es mechanische Arbeit . Wird am System mechanische Arbeit verrichtet, dann gibt es Wärme an die Umgebung ab .

Ein Beispiel für einen solchen isothermen Prozess ist näherungwe ise die Ausdehnung des Dampfes im Kolben einer Dampfmaschine.

Hauptsätze der Thermodynamik

187

Die Gleichung zur Berechung der Arbeit kann man, ausgehend von der allgemeinen Arbeitsdefinition ( / S. 90), herleiten. Bei einer isothermen Zustandsänderung des idealen Gases gilt für die mechanische Arbeit W: W

m Rs T

= m . Rs . T · In ~ v,

oder

W

Masse des Gases spezifische Gaskonstante Temperatur des Gases

p, V, V2

= p, . V,

. In ~

v,

Druck im Ausgangszustand Volumen im Ausgangszustand Volumen im Endzustand

Isobare Zustandsänderung: Bei einer solchen Zustandsänderung bleibt der Druck p = konstant. Man kann eine isobare Zustandsänderung modellhaft in drei Teilschritte zerlegen:

a) Dem Gas wird bei konstantem Druck Wärme zugeführt: Q = m,c p ·L1T b) Durch die Wärmezufuhr erhöht sich zunächst die innere Energie des Gases bei konstantem Volumen: L1U = m . Cv . L1 T

Die Herl eitung en der genannten Gl eichungen für di e m ech ani sch e Arb eit bei ein er isothermen Zustandsanderung sind auf der CD unter dem St ichwort "i sot herm e Zu st andsä nd erung" zu find en ( / auch 5.184).

i Ein Be ispi el f ür ein e isobare Zustandsanderung ist di e Erwärm ung d er Luft in einem Zim m er.

c) Anschließend führt die Temperaturerhöhung im Gas zu einer Expansion, bei der vom Gas mechanische Arbeit verrichtet wird: W= - p· L1V In der Realität laufen diese drei Teilschritte gleichzeitig ab. Das Resultat ist jedoch mit dem betrachteten Modellvorg ang identisch. Damit ergibt sich aus dem 1. Hauptsatz U = Q + W: m . Cv . L1T = m . cp . L1T - P . L1 V In einem Zylinder mit beweglichem Kolben sind 5 kg trockene Luft eingeschlossen. Welche Arbeit wird verrich tet, wenn diese Luft im Zylinder von 15 oe auf 60 oe erwärmt wird?

Ana lyse: Wir gehen davon aus, dass die Zustandsänderung isobar verläuft, der Druck also konstant bleibt, da er nur durch die Gewichtskraft des bewegli chen Kolbens bestimmt wird. Damit kann die oben genannte Glei chung für eine isobare Zustandsänderung angewendet werden. Zu beachten ist dabei, dass bei Erwärmung die Arbeit vom Gas verrichtet wird . Die spezifischen Wärmekapazitäten für Luft bei konstantem Druck und konstantem Volum en müssen einem Tabellenwerk entnommen werden. Angenommen wird auch, dass sich der Kolben im Zylinder reibungsfrei bewegt.

• Nur trock ene Luft verh ält sich näherun gswe ise wi e das ideale Gas. Bei Luft m it best immter Luftf euchtigk eit tret en z. B. durch Kon de nsation und Verdu nstung zusätz liche Effekte auf, di e beim W etter eine erh ebli che Rol le sp ielen.

Thermodynamik

188

Gesucht: Gegeben :

= 5 kg =15 oe = 60 e -7 L\T = 45 K = 1,01 k; J K

Für Temperatu rdifferenzen gilt:

0

L\ß=L\T

=072 ~ , kg· K Lösung:

U =Q+W

m . cV ' T

=m . cp . L\T + W

Die Umstellung nach der Arbeit Wergibt:

W W W

Für di e Einh eiten gilt:

= 1 Nm

bew eg licher Kolben

In ein em pneumatischen Feuerzeug wird durch sehr schn ell es Hineinstoßen eines Kolbens eine solche Temperatur erreicht, dass sich ein benzingetränkter Wattebausch entzündet und sich dann das Gas explosi onsartig ausdehnt.

kJ

9

K

Adiabatische Zustandsänderung: Bei einer solchen Zustandsänderung erfolgt kein Wärmeaustausch mit der Umgebung. Es gilt also Q = O. Das ist über einen längeren Zeitraum hinweg technisch schwer realisierbar. Es gibt aber eine Reihe schnell ablaufender Prozesse, die sich in guter Näherung adiabatisch verhalten, weil dem physikalischen System keine Zeit bleibt, einen größeren Anteil Wärme durch Wärmeleitung, Wärmeströmung oder Wärmestrahlung mit der Umgebung auszutauschen. •

•

= - 65,3

Ergebnis: Vom Gas im Zylinder wird beim Erwärmen der Luft um 45 K eine Arbeit von ca . - 65300 Nm verrichtet. Das negative Vorzeichen bedeutet : Es wird Arbeit vom Gas verrichtet.

1 kJ = 1000 J 1J

= m , cv· L\T - m · cp · T = m ·L\T(cv-cp) = 5 kg· 45 K· (0,72 - 1,01) k kJ

Im Zylinder eines Dieselmotors wird das gasförmige Kraftstoff-LuftGemisch schlagartig und damit nahezu adiabatisch verdichtet. Dabei erhöht sich seine innere Energie und damit seine Temperatur bis zur Zündtemperatur des Kraftstoff-Luft-Gemisches. Weitere Bei spiele für adiabatische Kompression findet man bei Turbinen und Kompressoren. Auch in einem pneumatischen Feuerzeug (Bild links) findet eine adiabatische Kompression statt.

Aus dem 1. Hauptsat z der Thermodynamik L\ U

= W + Q folgt mit Q = 0:

L\ U = W

Bei einer adiabatischen Kompression vergrößert sich die innere Energie und damit die Temperatur z. T. erheblich, wie die Beispiele Dieselmotor und pneumatisches Feuerzeug zeigen. Die Vergrößerung der inneren Energie ist gleich der am System verrichteten Arbeit. Bei einer adiabatischen Expansion verringert sich dagegen die innere Energie und damit die Temperatur. Die Verringerung der inneren Energie ist gleich der vom System verrichteten Arbeit.

Hauptsätze der Thermodynamik

189

Zustandsänderungen des idealen Gases im Überblick Zustandsänderung

energetischen Verhalten des Systems

Verhalten von Druck, Volumen und Temperatur

isochor (V = konstant)

W =0 ,1U =

V P

0

mitO = m · cv ·,1T

= konstant

T = konstant

Wärme wird in innere Energie oder innere Energie wird in Wärme umgewandelt.

Bei Wärmezufuhr vergrößern sich p und T, bei W ärmeabgabe verkleinern sie sich.

isotherm

,1U = 0

(T = konstant)

0

T = konstant p . V = konstant

=-Woder W = - O

Wärme wird in mechani sche Arbeit oder mecha nische Arbeit wird in Wärme umgewandelt.

Bei Wärmezufuhr nimmt V zu und p ab, bei Wärmeabgabe nimmt p zu und Vab .

Beispiele für Energieströme Erwärmung des Ga ses in einer Gasflasche

4~

G}4 Ausdehnung des Dampfes im Kolben einer Dampfmaschine

~ Q ~ LlU = O

w ~

~ LlU = O

isobar

,1U =

(p = konstant)

mit

0+

W

V

,1U = m . Cv . ,1 T 0 = m . cp . ,1T W =- p' V

Es gibt unterschiedliche Möglich keiten, z. B. W ärme wird in innere Energie und Arbeit umgewandelt. adiabatisch (0 = 0)

0

P

=0

U = W

Innere Energie wird in mechanische Arbeit oder mechanische Arbeit in innere Energie umgewandelt.

T

= konstant = konstant

Erwärmung der Luft in einem Zimmer

~~ Bei Wärmezufuhr werden V und T größer, bei Wärmeabgabe kleiner. p ·v

T

= konstant

(alle drei Größen än dern sich) Bei mechanischer Arbeit am System wachsen p und T, Vnimmt ab .

w ~ ~ LlUt

Verdichtungstakt bei einem Verbren nungsmotor

4~

190

Thermodynamik

3.4.2 Kreisprozesse Die ersten Versuche zur Konstruktion einer Dampfmaschine machte d er Fran zose DEN IS PAPIN (1627- 171 2) um 1690. lange bevor der 1. Hauptsatz beka nnt war. Eine W eite rentwick lun g war die atmosphärische Dampfmaschine des Engländers THOMAS NEWCOMEN (1663 - 1729). Bedeutende Fortschri t te erzie lte im 18. Jahrhund ert der schotti sche Techniker JAMES WATr (1736- 1819).

Aus dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik folgt: Durch Zufuhr von Wärme kann man erreichen, dass ein thermodynamisches System seine innere Energie ändert oder mechanische Arbeit verrichtet. Diese Einsicht ermöglicht die Konstruktion von Maschinen, die bei W ärmezufuhr mechanische Arbeit verrichten . Man bezeichnet solche Maschinen als Wärmekraftmaschinen . Beispiele für W ärmekraftmaschinen sind die historisch bedeutsamen Dampfmaschinen, die in Kraftwerken genutzten Dampfturbinen und Gasturbinen, die verschiedenen Arten von Motoren (Ottomotor, Dieselmotor, Heißluftmotor), die in Flugzeugen genutzten Strahltriebwerke sowie auch Kühlmaschinen.

Dam it in einer solchen W ärmekraftmaschine kontinuierlich W ärme in mechani sche Arbeit umgewandelt wird, müssen in ihr periodische Vorgänge so ab laufen, dass - immer wieder der Ausgangszustand hergestellt wird und - dabei mechanische Arbeit abgegeben wird . Das ist nur durch eine geschickte Abfolge verschiedener Zustandsänderungen möglich .

• Dabei ist zwischen realen Kreisp ro zessen (z. B. beim Ottomotor) und idea len Kreisprozesse n (fü r d as ideal e Gas) zu unte rscheiden.

Man bezeichnet eine Abfolge von Zustandsänderungen, bei der wieder der Ausgangszustand erreicht wird, als Kreisprozess. Nach einem vollständ igen Kreisprozess gilt: Die Änderungen von Temperatur, Druck, Volumen und innerer Energie sind null. Solch e Kreisprozesse laufen in allen Wärmekraftmaschinen ab. Der carnotsche Kreisprozess

Benannt ist d iese r Kreisprozess nach d em französischen Wi sse nscha ftler SADI CARNOT (1796 - 1832) .

Bei allen W ärmekraftmaschinen wird ein möglichst hoher Wirkungsgrad angestrebt. S. CARNOT fand und beschrieb einen idealen Kreisprozess, der unter allen möglichen dieser Prozesse den größten Wirkungsgrad besitzt. Der carnotsche Kreisprozess setzt sich aus vier Zustandsänderun gen zusammen, die in der nachfolgenden Übersicht beschrieben sind.

191

Hauptsätze der Therm odynamik

Zustandsänderung

Beschreibung des Vorganges

1. Isotherme Expansion

Ein Zylinder mit bewegli chem Kolben wird mit einer W ärmeq uelle verbunden . 0, wird auf das Gas übertragen. Es dehnt sich bei der Temperatur T, aus und verrichtet die Arbeit W,.

2. Adiabatische Expansion

Das Gas im Zylinder dehnt sich adiabatisch aus. Seine Temperatur verringert sich auf T2• es wird die Arbeit W 2 verrichtet.

3. Isotherme Kompression

Am Gas wird die Arbeit W 3 verrichtet. Bei der Temperatur T2 wird die entstehende Wärme 0 3 an die Umgebung abgegeben .

4. Adiabatische Kompression

Am Gas wird die Arbeit W 4 verrichtet. Di e Temperatur erhöht sich auf den An fangswert T,. Damit ist der Ausgangszusta nd wieder erreich t.

Darstellung

W ärm equelle

11

~mgebUng :

Die Zustandsänderungen kann man in einem p -V-Diagramm darstellen: - Die Fläche unter ABC entspricht der bei Expan sion verrichteten Arbeit. - Die Fläche unter CDA entspricht der bei Kompression zugeführten Arbeit. - Die Differenz beider Flächen (grau markiert) ergibt die nach außen abgegebene Arbeit W.

P

v

192

Thermodynamik

Insgesamt wird beim carnotschen Kreisprozess nur ein Teil der zugeführten Wärme in mechanische Arbeit umgewandelt. Diese Aussage gilt für beliebige Kreisprozesse bei Wärmekraftmaschinen. Bei einem Kreisprozess erfolgt die Umwandlung von Wärme in mechanische Arbeit nie vollständig, sondern stets nur teilweise. Weitere Kreisprozesse

• Benannt ist di ese r Kreisprozess nach dem schottischen Pfarrer und Gelehrten ROBERT STJRLlNG (1790 - 1868), Er wird bei m STlRLlNG-Motor, auch Heißluftmotor genannt, genutzt . Dabei ist zu beachten: M eist wird heute als Arb eitsstoff nicht Luft, sond ern Helium genutzt.

Neben dem carnotschen Kreisprozess gibt es weitere Kreisprozesse, die bei Wärmekraftmaschinen genutzt werden. Das sind z. B. der stirlingsche Kreisprozess, der Gasturbinenprozess oder der Kreisprozess bei einem Viertakt-Verbrennungsmotor. Der besonders einfach überschaubare stirlingsche Kreisprozess, ebenfalls ein idealer Kreisprozess, stellt eine Abfolge von isothermen und isochoren Zustandsänderungen dar. 1. In einem Zylinder wird Gas der Temperatur T1 Wärme zugeführt. Das Gas expandiert isotherm unter Verrichtung mechanischer Arbeit vom Volumen V1 auf das Volumen V2 (siehe p -V-Diagramm unten). 2. Das Gas wird isochor unter Abgabe von Wärme auf die Temperatur T2 abgekühlt. 3. Am Gas wird mechanische Arbeit verrichtet. Dabei wird es solange komprimiert, bis es das Ausgangsvolumen V1 w ieder erreicht hat. Bei der isothermen Kompression muss es Wärme an die Umgebung abgeben. 4. Durch Zufuhr von W ärme wird das Gas isochor auf die Anfangstemperatur T1 erwärmt. Damit ist der Ausgangszustand wieder erreicht. Der Vorteil eines nach dem stirlingschen Kreisprozess arbeitenden Heißluftmotors (Foto links) besteht in seinem einfachen Aufbau und in dem hohen Wirkungsgrad, der Nachteil in der geringen Leistung . Solche Heißluftmotoren werden gegenwärtig nur in speziellen Bereichen genutzt, z. B. in Kombination mit Solaranlagen .

p

2

v,

v

Hauptsätze der Therm od ynam ik

Der t hermi sche Wi rku ng sg rad

•

Wä rmekraftmasch in en sin d Energiewandler, be i denen W ärme zugeführt und mecha ni sche A rbe it verrichtet w ird. Der W irkungsgrad einer W ärmekraftmasch ine gibt an, welcher Antei l d er zugeführten W ärme als mechanische A rbe it genutzt werden kann .

w

W

11 = 75

verrichtete Arbeit

193

o

zugeführte W ärme

Weitere Hinweise zum Wirkungsgrad sind / S. 92 zu fin den. Der Begriff "thermi scher W irkung sgrad" verd eutlicht nur die Anw endung auf ein en spezi ell en Bereich der Thermodyn ami k.

Untersuchungen zeigen , dass de r W irkungsgrad von W ärmekraftmaschinen nur vo n den Temperaturen T1 und T2 (p -V-Diagramme / S. 191, 192) abhängig ist, bei denen W ärme zugeführt bzw. abgegeben wird. Für den maxi malen Wi rku ngsgrad, der bei Kreisprozessen erreicht wird, gilt: Der thermische W irkungsgrad einer W ärmekraftmaschine kann berechnet werden mit den Gleichungen /1 = 1 -

T1 T2

!1

oder

Tl

Temperatur bei W ärmezufuhr Temperatur bei W ärmeabgabe

IJ = 1 O ab

Ozu

~

Ozu abgegebene W ärme zugeführte W ärme

Der Wirkungsgrad ist demzufolge besonders hoch, wenn die Temperatur T1 möglichst hoch und die Temperatur T2 möglichst niedrig ist, die Temperaturdifferenz also möglichst g roß ist. Darüber h inaus ist zu beachten : Die angegebenen Gleichunge n gelten nur für einen idealen Kreisprozess. Reale W ärmekraftmaschinen besitzen infolge der Reibung und der Wärmeverlust e einen z. T. wesent lich niedrigeren Wirkungsgrad. Beträgt z. B. be i einem Diese lmotor r? 1 erhält man als W irkungsgrad : /1

=1 -

393 K 923 K

= 65 0 oe und

19 2

= 120 oe, so

• Die Temperatur Tl ist höher als di e Tempe ratur T2. Demzu folg e ist

!2 < Tl

1

und da mit der Wirkungsgrad stets positi v und klein er 1.

Einzuset ze n ist imm er di e absolute Temperatur in Kelvin:

= 0,57

Der real erreichte W irkungsgrad liegt aber nur bei etwa 0,4 oder 40%. Wärmep umpen Eine W ärmekraftmaschine, die mechanische Arbeit verrichten soll, nimmt bei hoher Temperatu r W ärme auf, verrichtet mechanische A rbeit und gibt bei tiefer Temperat ur W ärme ab. Es lassen sich auch Maschinen bauen, mit deren Hilfe man diesen W ärme- und A rbeitsfluss umkehren kann. Die Maschinen nehmen bei tiefer Temperatur W ärme auf, ihnen fließt mechanische A rbeit zu u nd sie geben bei einer höheren Tempera t ur W ärme ab. Solch e: Masch in en werde n als W ärmepumpen bezei chnet. Der Energiefluss bei diesen beiden Arten von Maschinen ist S. 194 o ben gegenübergestellt.

• Wärmepumpen werden in zunehmend em M aße vor all em zu r Heizung von Gebäuden ge nutzt. Die Wärm e wird dem Grundwasser, dem Boden od er der Luft ent nommen.

Thermodynamik

194

Energiefluss bei einer Wärmekraftmaschine, die Arbeit verrichten soll.

Energiefluss bei einer Wärmepumpe, bei der Arbeit zugeführt wird .

T,

T, Q ab

Q ,U

...... W=Qzu- Qab

W = Qzu - Qab Q ,b

Qw

T2

T2

• Warmepumpen und u 15 :1112/1 _ besit ze n de n g leiche n grundsätz li chen A ufbau. W äh rend aber ein e W ärmep umpe im Au Be nraum W ärm e auf ni mmt und sie m it hö here r Temperatur im Inn enraum abgibt , w ird bei einem Kühl schra nk inn en W ärm e aufgenomm en und an di e Umgebung abgegeben, also W ärme vo n inn en nach auBen transporti ert.

/\ußenraum

Eine Wärmepumpe durchläuft wie Wärmek raftmaschinen einen Kreisprozess mit vier Zustandsänderungen: 1. Ein Arbeitsstoff der Temperatur T, nimmt Wärme aus der Umgebung auf und vergrößert isotherm sein Volumen. 2. Anschließend wird der Arbeitsstoff durch einen Kompressor schnell und damit nahezu adiabatisch verdichtet, wobe i seine Temperatur auf den Wert T2 ansteigt. Dazu muss Kompressionsarbeit (Volumenarbeit) verrichtet werden . 3. Bei der höheren Temperatur T2 gibt der Arbeitsstoff Wärme ab und wird weiter isotherm verdichtet. 4. Anschließend wird der Arbeitsstoff schlagartig und damit wieder nahezu adiabatisch entspannt und kühlt auf die Ausgangstemperatur T, ab. Der Stoff- und Energiefluss und das p -V-Diagramm dieses Prozesses sind in den Skizzen unt en dargestellt. Der Vergleich mit dem carnotschen Kreisprozess ( / S. 190 f .) zeigt: Die hier beschriebene Wärmepumpe durchläuft den carnotschen Kreisprozess in umgekehrter Richtung. Reale W ärm epumpen arbeit en meist mit schon bei niedrigen Temperatu ren verdampfenden bzw. kondens ierenden Arbeitsstoffen , da beim Sieden bzw. Kondensieren besonders viel Wärme vom Arbeitstoff aufgenommen bzw. abgegeben werden kann.

Innen raum

I

I

:

~~ VerdIChten W ~~

I Verdampfen

:I

p

Verflüssig en

~~

Entspannen

I

I

Verd a mpfer :

Ex pansionsventil Verflü ssiger

v

19 ~

Hauptsätze der Thermodynamik

•

Ottomotor

Ottomotoren, benannt nach dem deutschen Erfinder NI KOLAUS AUGUST OITO (1832 - 1891), gibt es als Zweitakt- und als Viertaktmotoren . Sie werden zum Antrieb von Mot orrädern, Pkw, Booten usw. genutzt. Die wichtigsten Teile eine Ottomotors sind in der Sk izze dargestellt. Zünd ke rze

Be nzi nLu ftGemi sch

Den erst en m it eine m Benzinmotor betri ebenen "Motorwage n " kon stru ie rten im Ja hre 1886 CARl BENZ (1844- 1929), GOTIllEB DAIMlER

(1 834 - 1900) und Au slassventil

Einl assvent il

WllHElM MAYBACH

(1846- 1929).

Zyl ind er

Kolben

Kurbelwell e

Be i einem Ottomotor wird im Vergaser ein Benzin-Luft-Gemisch erzeugt und in den Zylinder eingebracht. Dieses Ben zin -Luft-Gemisch wird im Zylinder durch elektrische Funken zwischen den Elektroden der Zündkerze gez ündet . Es verbrennt, dehnt sich dabei aus und bewegt den Kolben. Die Ski zzen zeigen di e p rinzipielle Wirkungsweise eines Viertakt -Ottomotors. Ein lassventi l

/

Ben zinLu ftGem isch

Zü nd ke rze

Au slassventi I

~~J: :-~:r.=

t An saugta kt (1. Takt)

Verdichtung st akt (2 . Takt )

t Arb eitstakt (3. Takt )

Ottomotoren gibt es auch als Zweitaktmotoren. Sie werden z. B. bei Mopeds und bei Motorrädern genutzt. Die wesentlichen Unterschiede gegenüber dem Viertaktmotor bestehen darin, dass - aufgrund einer anderen Zylinderkonstruktion auf die Ventile verzich t et werden kann, - d as Ansaugen und Verdichten (1. Takt), sowie das Verrichten von Arbeit und das Ausstoßen der Abgase (2 . Takt) in insgesamt 2 Takten erfolgt .

Au spufft akt (4. Takt )

Ein e w eitere Art von Verb rennun gs mot or ist der Wankelmotor, benannt nach se inem Erfind er F .LlX WAN KEl (1 902- 1988).

I

Thermodynamik

196

Dieselmotor

i Der erste Dieselmotor wurde 1897 konstruiert. Ab 1923 wurden die ersten Lkw und ab 1935 die erste n Pkw mit Di eselmotor gebaut. Der erste Pkw mit einem so lch en Motor war der Mercedes-Benz 260 D.

• Eine weite re Art von Motor ist der Heißluftmotor oder Stirlingmotor ( / 5.192).

Dieselmotoren, benannt nach dem deutschen Erfinder RUDOLF DIESEL (1858-1913), gibt es ebenfalls als Zweitakt- und Viertaktmotoren . Sie werden u. a. zum Antrieb von Pkw, Lkw und Schiffen genutzt. Im Unterschi ed zum Ottomotor beEinspritzdüse sitzt der Dieselmotor keine Zünd kerze und keinen Vergaser. Vielmehr wird die im Zylinder an Luft -- IlllllllllIIIIIIii~ i '-'-~~= gesaugte Luft so stark verdichtet, dass ihre Temperatur auf 500 oe bis 700 oe steigt. Bei dieser Temperatur wird der Tre ibstoff (Diesel) mithilfe einer Einspritzpumpe in den Au slassZylinder eingespritzt. Der Treibventi l stoff entzündet sich und verbrennt. Die nachfolgenden Sk izzen zeigen die p rin zipielle Wirkungsweise eines Viertakt-Dieselmotors. J

Einsp ri tzdüse Einlassventil

Au slassventil

~~~- Ab9'"

Luft --- ---~ il J ~-t-'

t Ansaugtakt (1. Takt )

Verd ichtungstakt (2. Takt)

+

'i"

Arbeitstakt (3. Ta kt)

Dampfmaschine

• JAMES WATI erfand

u. a. den Fliehkraftregler, den Kondensa tor zur Abkühlung des Dampfes und ein Getriebe zur Umwandlung der Hinund Herbewegung in ein e Drehbewegu ng .

Eine historisch bedeutsame W ärmekraftmaschine ist die Dampfmaschine, die von dem Engländer JAMES WAD (1776- 1819) so weiterentwickelt wurde, dass sie als An triebsmaschine genutzt werden konnte. Umfangreich verwendet wurde sie z. B. bei Dampflokomotiven, aber auch als Antriebsma schine in Fabriken, im Bergbau und bei Schiffen .

1~;

Au spufftakt (4. Takt)

Hauptsätze der Thermodynamik

------------------------------

_ _ _ 197 J

3.4.3 Der 2. und 3. Hauptsatz der Thermodynamik Reversib le und irreversible Vorgänge In einem Gedankenexperiment lassen wir zwei verschiedene Ku geln aus der gleichen Höhe zu Boden fallen. Die eine Kugel bestehe aus völlig elastischem Gummi, die andere aus Knetmasse . Während die eine Kugel annähernd wieder ihren Ausgangszustand erreicht, b leibt die andere Kugel am Boden liegen.

elasti sch e Gummikug el

Kug el aus Kn etmasse

-----0 ~I

o

Vorg änge in Natur und Technik, die von einem Ausgangszustand aus von allein wieder zu diesem Ausgangszustand führen, bezeichnet man als reversible Vorgänge.

Die Bewegung der Kugel aus elastischem Gummi, die Schwingungen eines Federschwingers über einen kürzeren Zeitraum hinweg oder die Bewegung der Erde um die Sonne sind Vorg änge, bei denen nach einer bestimmten Zeit der Ausgangszustand von allein wieder erreicht wird. Es sind näherungsweise reversible Vorg änge . Neben diesen reversiblen Vorgängen gibt es auch viele Prozesse, die von selbst nur in einer bestimmten Richtung ablaufen. Ein Beispiel ist die oben dargestellte Kugel aus Knetmasse: Es ist nie beobachtet worden, dass eine unelastisch verformte Kugel von allein wieder ihre ursprüngliche Gestalt annimmt und in die Ausgangslage zurückkehrt. Vorgänge in Natur und Technik, die von einem Ausgangszustand aus unbeeinflusst in einer bestimmten Richtung ablaufen und bei denen von allein der Ausgangszustand nicht wieder ereicht wird, nennt man irreversible Vorgänge.

Die Fotos zeigen Beispiele für solchen irreversiblen Vorgänge.

i Statt von reversibl en Vorg ängen spricht man auch von umkehrbaren Vorgängen. Würd e man einen solchen Vorg ang filmen und den Fi lm rückwärts ablauf en lasse n, d ann w ürd e man kein en Unterschi ed zum t atsächlich en Vor ga ng erk enn en .

•

I

Statt von irreversiblen Vorg äng en spricht man auch von nicht umkehrbaren Vorgängen. Solch e Vorg änge sind imm er mit ein er Abg abe von W ärm e an die Umg ebung verbund en .

I

198

Thermodynamik

Ein Auto bremst ab ( / Bild S. 197). Die an den Bremsbacken freig esetzte Reibungswärme wird an die Umgebung abgegeben. Aber noch nie wurde beobachtet , dass die Bremsen des Fahrzeuges aus der Umgebung W ärme aufnehmen und diese in Bewegungsenergie des Fahrze uges umwandeln . Eine Tasse mit heißem Tee (/ Bild S. 197) kühlt langsam ab. Auch dabei wird W ärme an die Umgebung abgegeben. Der umgekeh rte Prozess - die Aufnahme von Wärme aus der Umgebung und die Erw ärmung des Tees über die Umgebungstemperatur - tritt nicht auf.

• Fü r reversib le Vorgä nge gi lt de r Energieerhaltungssatz der M echan ik. Genauere Unt ersuch ungen zeigen abe r: Reversible Vorgä nge treten nu r als Grenzfäl le irreversi bl er Vo rgä nge auf.

Auch bei irreversiblen Vorgängen lässt sich der Ausgangszustand wieder herst ellen. Beim Auto müsste man Kraftstoff verbrennen, um es zu beschleunigen. Beim Tee müsste Wärme zugeführt werden. Das sind abe r Vo rgänge, die nicht von allein erfolgen. Betrachtet man reversible und irreversible Vorgänge aus ene rgetischer Sicht, dann gilt: Alle d iese Vo rgänge genügen dem Energieerhaltungssatz und speziell dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik. Es gilt aber auch : Der Energieerhaltungssatz erlaubt keine Entscheidung darüber, ob ein Vorgang reversibel oder irreversibel ist. Um die Irreversibilität eines konkreten Prozesses genauer beschreiben zu können, ist die Einführung einer neuen physikalischen Größe erforderlich .

• Der Beg riff Entropie w urd e 1865 vo n RUDOLF CLAU SIUS (1 822- 1888) in die Physik e ing efü hrt. Abg eleitet ist er vom gri echi schen entrepei n = um w end en, um wa ndeln . CLAUSIUSselbst nutzt e f ü r di e Größe auch den Term inus Verwandlungswert.

Die Entropie Die Entropie ist eine Größe, die für die Beschreibung von Vorg ängen eine ähnliche Bedeutung w ie die Energie hat. Die Entropie ist eine physikalische Größe, mit deren Hilfe man die Irreversibilität eines Vorganges kennzeichnen kann . Formelzeichen: 5 Einheit: ein Joule durch Kelvin (1 ~)

Zur Klärung d es Begriffsinhalts betrachten wir folgenden Modellversuch :

v,

199

Hauptsätze der Thermodynamik

In dem mittels einer Trennwand abgegrenzten Volumen V, befinden sich sehr vi ele Gasteilchen. Nach Entfernen der Trennwand werden sich die Gasteilchen im gesamten Volumen V2 ausbreiten, wobei eine Gleichverteilung (/ S. 170 f.) die wahrscheinlichste Verteilung ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich alle Teilchen wieder im ursprünglichen Volumen V, versammeln, ist äußerst gering. Ein zufällig herausgegriffenes Teilchen befindet sich mit einer Wah rscheinlichkeit von w 2 = 1 im Gesamtvolumen V2. Die Wahrscheinlich keit, es im halb so großen Volumen V, anzutreffen, ist nur w, = ~ . Dasselbe gilt auch für ein beliebiges zweites Teilchen. Die W ahrscheinlichkeit, beide Teilchen gleichzeitig in V, zu finden, beträgt dann nur noch: oder Für N Teilchen wäre diese Wah rscheinlichkeit:

w,= Gf

•

w,

Allgemein gilt: Ist die Wahrscheinl ichkeit für einen Ausgangszustand und w 2 die Wahrscheinlichkeit für einen Endzustand, dann gibt das Verhältnis W = w 2/w, an, wie viel ma: wahrscheinlicher der Endzustand als der Ausgangszustand eintreten wird. Die Wahrscheinlichk eit W = wiw, ist ein Maß für die Irreversibilität eines Prozesses. Je größer sie ist, desto unwahrscheinlicher ist die Rückkehr in den Ausgangszustand.

Der Term

w=

w 2 ::? 1 w1 wird auch als thermodynamische Wahrschein lichkeit bezeichnet, w eil er si ch auf Prozesse der Thermodynamik bezieht .

Dieser Zusammenhang wird zugleich für die Definition der physikali schen Größe Entropie genutzt. Je größer für ein System die Wahrscheinlichkeit W = w2/W, ist, desto größer soll die Änderung der Entropie L1S des Systems sein, wenn es vom Ausgangszustand in den Endzustand gelangt. Es gilt: L15 - In W

Der oben beschriebene Modellversuch ergibt eine anschauliche Deutung der Entropieänderung: Vergrößert sich die Wahrscheinlichkeit des Zustandes eines Systems, so vergrößert sich auch seine Entropie, indem es von einem Zustand höherer Ordnung in einen solchen geringerer Ord nung übergeht. Damit ergeben sich für einen irreversiblen Vorgang drei Merkmale: 1. Wä rme wird an die Umgebu ng abgegeben. 2. Das System gelangt in einen Zustand größerer Unordnung . 3. Die Energie und die Teilchen des Systems streben der wahrscheinlichsten Verteilung, der Gleichverte ilung, zu.

Aus verschiedenen Gründen hat man sich entschlossen, nicht die Wahrscheinlichke it W; sondern den natürlichen Logarithmus von Wals M aß für die Irreversibilit ät eines Prozesses zu nutzen.

• Im 19. Jahrhundert wurde breit die Frage diskutiert, ob das Universum einen Wärmetod erleidet.

Thermodynami k

Messung der Entropie Bei dem beschri ebenen Vorg ang erfol gt eine isot herm e Expa nsion .

Den Zusammenhang .15 - In W kann man zwar für quantitative Betrachtungen, nicht aber f ür prakt ikable Messungen der Ent ropieänderung verwenden. Eine M essvorschrift ergibt sich aus folgender Überlegung : Ein heißer Körper der Temperatur T gibt Wärme an ein Gas in einem Zylinder ab. Der frei bewegliche Kolben versch iebt sich. Die Gasteilchen verteilen sich auf einen größeren Raumbereich , die Entropie n immt zu . Je mehr W ärme vom Gas aufgenommen wird , desto weiter dehnt sich das Gas aus und desto stä rker nimmt seine Entropie zu . Es gilt: .15 -

• Bei hoher Tem pe ratur verg röße rt sich das Gasvolu me n bei Zufuhr ein er bestimmte n W ärme 0 we ni ge r stark als bei ni edrigerer Te mpe rat ur.

0

Dabei sind zwei Umstände besonders zu beacht en : - Die Volumenänderung im Gas hängt davon ab, bei welcher Temperatur T die Wärme zugeführt wird. Deshalb wird die Wärme auf die jeweilige Temperatu r bezogen, also statt der Wä rme 0 der Quoti ent aus Wärme und jeweiliger Temperatur OfT betracht et. - Der Vorgang muss sehr langsam ablaufen, damit keine Reibungswä rme entsteht und die Wärmebilan z ve rfälscht. Der Vorgang ist somit reversibel. Insgesamt kann man die Ent ropie änderung du rch die Gleichung .15 -- Q T ermitteln, wobei 0 die Wärme ist, die das Syst em bei einer bestimmten Temperatur T aufnimmt ode r abgibt .

• Der Term In W ist ein e reine Zahl, die Einh eit von O/T ist J/K (Joul e/Ke lvin). Beid e Darst ellung en lassen sich durch ei nen Proport ion alitätsf akt or k in Übereinstimmung bring en. Di eser ist nach dem öste rrei chi sch en Physike r LUDWIG BOLTZMANN (1844- 1906) benannt w ord en. Es ist die BOLTZMANN-Kon sta nte:

k = 1,38 1 . 10- 23 J. K- 1

Man kann die Entropieänderung einerseits durch den Term OfT, an dererseits durch die Proportionalität zu In W kennzeichnen. Für die Änderung der Entropie .15 gilt: .15

k W

=k · In W

oder

BOLTZ MANN -Konstante Wahrscheinlichkeit

o T

Wärme abso lute Temperatur

Wie verändert sich die Entropie eines Körpers beim Schmelzen bzw. beim Erstarren? W ährend sich beim Schmel zen der Ordnungszust and der Teilchen verringert, vergrößert er sich beim Erstarren. Für die Ent ropie bedeut et das: Beim Schmel zen ve rgrößert sich die Entropie des Kö rpers um den Betrag .15 = OsfTs, be im Erstarren ve rringert sie sich um eben diesen Betrag . Os ist die Schmel zwärm e, Ts die Schmelztemperatur.

------•

Haupt sätze d er The rmodynami k

201

Wie groß ist die Entropie ä nderung beim Schmelz en von 1 kg Eisen? Analyse:

Eisen schmilzt bei einer Temperatur von 1 540 oe. Während des Schmelzens bleibt seine Temperatur konstant. Die zum Schmelzen erforderliche Wärme ist die Schmelzwärme, die m it der Gleichung Os = qs . m berechnet werden kann . Gesucht: Gegeben :

LlS !~

m qs

= 1 540 oe -7 T = 1813 K = 1 kg = 275 kJ/kg

•..

Es muss imm er di e absolute Tem perat ur (in Ke lvin) genutzt we rden: O°C = 273K

Lösung:

Für die Entropieänderung gilt die Gleichung: LlS

LlS LlS

Q

=T

275 kJ . 1 kg kg · 1 8 13 K

= 0,15 kJ/K

Ergebnis: Beim Schmelzen von 1 kg Eisen erhöht sich seine Entropie um 0,15 kJ/K .

..

Der Temperaturausgleich Zwei Körper unterschiedlicher Temperatur werd en in engen Kontakt miteinander gebracht. Dann erfolgt ein Temperaturausgleich, wobei die Wärme immer vom heißeren zum kälteren Körper fließt .

Die gesamte Entropieänderung beträgt für den Beginn des Wärmeausgleichs: LlS = LlS1 + LlS2 = -

~ Tl

+

~ T 2

=

0 1 (.l _.l) T Tl 2

Da T1 > T2 ist, folgt für LlS > O. Die Entropie nimmt also beim Temperaturausgleich zu. Der Zust and der Gleichverteilung der Temperatur ist der wahrscheinlichste . In einem beliebigen Raumbereich können dann aber trot zdem statistische Schwankungen der Temperatur auftreten.

Weitere Beispi ele fü r Vorg änge mit Ent ropi ezun ahm e sind das Si eden von Stoffen, d ie Durchmi schung (Diffusion) von Stoff en od er di e Volum envergröß erun g.

.. Fü r di e W ärm ebet räge gi lt:

10 11= 1021

202

Thermodynamik

Der 2. Hauptsatz der Thermod ynamik Während der 1. Hauptsatz d er Thermodynam ik eine Aussage über energetisch mögliche Prozesse macht, gibt der 2. Hauptsatz der Thermo dy namik Auskunft über die Richtung von Prozessen in abgeschlossenen Systemen, die sich selbst überlassen sind . Er lautet:

i Gehen in einem System keine oder nur revers ibl e Vorg änge vor si ch, dann ist 5 = O. Bei beli ebigen irreversiblen Vorg ängen ist L\S > O.

• Im Unterschied zum Perpetuum mobile 1. Art (/ S. 180 f .) ist ein Perp etuum mobil e 2. Art mit dem Energi ee rh altungssatz und damit mit dem 1. Hauptsatz vereinbar, wid erspricht aber dem 2. Hauptsa t z der Th ermodyn amik .

In einem abgeschlossenen System kann sich die Entrop ie niemals verkleinern. Sie kann nur konstant bleiben oder zunehmen: L\5 ~ O.

In der Literatur findet man auch viele andere Formu lierungen dieses 2. Hauptsatzes der Thermodynamik, die aber alle gleichwertig sind: - Die historisch älteste Formulierung geht auf RUDOLF CLAUSIU5 ( 1822- 1888) zurück und lautet: Wärme kann niemals von se lbst aus einem Körper niederer Temperatur in einen Körper höherer Temperatur übergehen. Eine weitere, ebenfalls auf R. CLAU51US zurückgehende Formulierung heißt: Die Energie eines Körpers kann nicht a ll ein an W ert gewinnen. Es gibt die Tendenz zu r Entwertung der Energie. MAX PLANCK (1858-1947) formulierte den 2. Hauptsatz folgenderma ßen: Es ist unmöglich, eine periodisch arbeitende Maschine zu bauen, d ie nichts weiter bewirkt, als eine Last zu heben und einen W ärmespeicher abzukühlen . Eine solche Maschine nennt man ein Perpetuum mobile 2. A rt. Kürzer ist dann die folgende Formulierung des 2. Hauptsatzes: Ein Perpetuum mobile 2. Art ist unmöglich.

Schließlich formulierte LUDWIG BOLTZMANN (1844- 1906) den 2. Hauptsatz folgendermaßen : Die Natur strebt aus einem unwahrscheinlicheren dem wahrscheinli cheren Zustand zu .

Der wahrscheinlichste Zustand ist immer der der größtmög lichen Unord nung .

• Dieser 3. Hauptsatz der Thermodynamik wurde erstmals 1906 von dem deutschen Phys ikochemiker WALTHER NERNST

(1864- 1941) formuliert.

Der 3. Hau ptsatz der Thermodyn ami k Der 3. Hauptsatz der Thermodyn ami k, auch nern stsches W ärmet heore m genannt, macht eine Aussage über das Verhalten vo n Stoffen in unmittelbarer Nähe des absoluten Nul lpunktes, also von 0 K. Nach H. A. LOR ENTZ ( 1853- 1921 ) kann man diesen Ha u ptsatz folge ndermaßen formul ieren: Es ist unmöglich, durch irgendeinen Vo rgang den absoluten Nullpunkt zu erreichen.

Temperaturstrahlung und Strahlungsgesetze

3.5

203

Temperaturstrahlung und Strahlungsgesetze

Temperaturstrahlung

Die Alltagserfahrung besagt: W ärme wird nicht nur bei direktem Kont akt von Körpern übertragen, sondern auch durch elektromagnetische Strahlung (/ S. 309) . Elektromagnetische Strahlung, die ein Körper aufgrund seiner Tem peratur aussendet, wird als Temperatur- oder Wärmestrahlung bezeichnet. Temperaturstrahlung wird nicht nur von der Sonne ( / Bild links) oder von sehr heißen (glüh enden) Körpern abgegeben, sondern z. B. auch vom Menschen und anderen Lebewesen, wie die thermografische Aufnahme eines Pferdes (/ Bild rechts) zeigt.

• Temperaturstrahlung kan n mit Strahlungspyrometern , Therm osäu len oder durch fotografisc he Verfah ren (Infrarotfotografie, Thermografie) regist riert, gemesse n od er sichtbar gemacht werden .

• Dabei fließt W ärme in Form von Temperaturstrahlung immer so, dass der resultierende Wärmefluss vom heißen zum kalten Körper gerichtet ist, wie das die Darstellungen unten zeigen . Wie intensiv ein Körper mit best immter Temperatur Strahlung aussendet oder aufnimmt, hängt vom Stoff (Material), seiner Oberfl ächenbeschaffenheit und vom untersuchten Wellenl ängenbereich der Strahlung ab. Helle und glatte Oberflächen nehmen wenig Strahlung auf und geben auch wenig ab. Schwarze und raue Oberfl ächen dagegen nehmen vie l Wärmestrahlung auf und geben auch viel ab.

Die Hauptbereich e der Temperaturstra hlun g der Sonn e si nd infra rotes, sichtbares und ultravio lettes Licht. Ihr Antei l an der Sonnenstrahlung beträgt ca. 93 % (48 % sichtbares Licht, 38 % IR, 6,8 % UV) .

Erde

----10 1/ WS

IOI/Ws.

--- ~

T z 260 K

204

Thermodynamik

•

Der schwarze Körper

Modelliert werden kann ein schwarzer Körper durch ei nen innen m it Ruß oder matter schwarzer Farbe versehen en Hohl körper mit kleiner Öffnung, der gegen di e Um gebung wärmeisoliert ist.

\

Bei der Formulierung der Strahlungsgesetze geht man von einem ideali sierten Körper aus, d er Temperaturstrah lung mit der höchstmöglichen Intensität emittiert (aussendet ) und der die gesamte einfallende Strah lung absorbiert (auf nimmt) . Dem zufolge würde ein solcher Körper schwarz erscheinen . Man nennt ihn deshalb schwarzen Körper oder schwarzen Strahler_ Ein solcher schwarzer Körper ist ein Modell. Emissions- und Absorptionsvermögen von Körpern Man charakterisiert das Vermögen von Körpern, Strahlu ng zu emittieren bzw. zu absorbieren, durch den Emissionsgrad e bzw. den Absorptionsgrad a. Ist Ps die Strahlungsleistung, die ein schwarzer Körper der Temperatur T emittiert, und Pe die Strahlungsleist ung eines realen Körpers mit der gleichen Temperatur, dann gilt für den Emissionsgrad e eines Körpers:

An alog gilt für den Absorpt ionsgrad a eines Körpers:

Fü r den schwarzen Körper gilt: e

=a = 1.

Das kirchhoffsche Strahlungsgesetz Em issionsgrad e und Absorptionsgrad a eines realen Körpers hängen von der Beschaffenheit des j eweilige n Körpe rs, seiner Temperatur und dem untersuchten Well enl ängen bereich ab. KIRCHHOFF stellte fest : Für einen beliebigen Körper sind Em issionsgrad e und Absorptionsgrad a gleich groß: e = a Unter Einbezieh ung der oben genannten Terme kan n man für einen beli ebigen Körper als ki rchhoffsches Strahlungsgesetz auch f ormulieren : u nd GUSTAV ROBERT KIRCH HOFF (1824- 1877) entdeckte 1859 das nach ihm benannte Strahlungsgeset z. Die Herleitung di eses Geset zes ist auf CD zu fin den.

Dunkl e und raue Oberfl ächen haben einen großen Absorptionsgrad, neh men also viel W ärmestrah lung auf. Das gilt z. B. für dun k le Kleidungsstücke ebenso wie für Asphaltstraßen . Das Strahlungsgesetz von STEFAN und BOlTZMANN Bei Untersuch u ngen zur Temperaturst rahlu ng entdeckte der österreichi sche Physiker JOSEPH STEFAN (1835 - 1893) im Jah re 1879 einen Zusammenhang, der von seinem Landsman n LUDWIG BOlTZMANN (1844- 1906) theoretisch begr ündet wurde und deshalb heute die Bezeichnung Strahlungsgesetz von STEFAN und BOLTZMANN trä gt.

205

Temperaturstrahlung und Strahlung sgesetze

Die Strahlungsleistung eines schwarzen Körpers hängt nu r von der Größe seiner Oberfläche und von seiner Temperatur ab. Es gilt: P (J" ' A . T 4

=

= 5,67 . 10- 8 W

(J"

A

. m- 2 . K- 4

Di e Konstante (J wird als STEFANBOLTZMANN-Konstante bezeichnet.

Oberfl äche, von der Strahlung ausge ht absolute Temperatur

T

Aus dieser Gleichun g ergibt sich: Die Verd opplung der Temperatur eines St rahlers f ührt zu einer 16fachen Strahlu ngsleistung.

Die mittlere Temperatur an der Erdoberfläche beträgt + 15 oe. Welch e Temp eratur würde an der Erdob erfläch e h errschen, wenn kein Treibhauseffekt vorhanden wäre? Analyse: Die Erde befindet si ch in einem Strahlungsgleichgewicht ( / S. 203). Die auf die Erde treffende Stra hlungsleistung der Sonne beträgt P,., = A . 5, wobei A die Qu ersc hnittsfläc he der Erde und 5 die Sol arkonstante sind. Da ca . 30 % der einfallenden Strahlung sofort re flektiert werden, dürfen für das Strahlung sg leichgewicht nu r 70 % der e infallenden St rahlung berücksichtigt werden . Die von d er Erde abgege bene Strahlung PE kann mit dem Gesetz von STEFAN und BOLTZMANN berechnet werden. Gesucht: Gegeben:

TE 5

A AE (J"

= 1370 W = Jr' r E2

· m- 2

2 =4Jr· r E

=

5,67 · 10-8 W · m- 2 . K- 4

Lösung: Im Strahlungsglei chgewicht gilt:

0,7 P 0,7 A . 5

= PE = A E • TE4 (J" .

Stellt man nach TE um und setzt man für A und A E d ie angegebenen W erte ein, so erh ält man:

TE TE

=~ 4cr = 1/0.7 . 1370 · 1Q 8 W

m 2 . K4 4· 5,67' m 2 . W

TE = 255 K Ergebnis: Ohne Atmosphäre hätte die Erdob erfläche eine durchsch nittl iche Temperatur von 255 K od er - 18 oe. Da s wäre ei ne Temperatur, bei der sich kein Leben h ätte entwicke ln könn en.

• Die Atmosphäre schützt die Erdoberfläche und damit das Leben auf ihr ni cht nur vor schädlicher Strahl ung, sondern bewirkt auch den natiJrlichen Treibhauseffekt, ohne den sich kein Leben auf der Erde entwickelt hätte. Davon zu unterschei den ist der zusät zliche oder anthropogene Treibhauseffekt, der durch das Wir ken des Menschen hervo rgerufen wird und der Anteil an der allmäh lich en Erwärmung der Erde hat, die mit gravierenden Folgen verb unden sein kann.

206

Thermodynamik

Das wiensche Verschiebungsgesetz Dieses Gesetz wurde von dem deutschen Physike r WllHELM WIEN (1864-1928) im Jahre 1896 entd eckt.

Glühende Oberflächen senden eine aus vielen Wellenlängen zusammengesetzte elektromagnetische St rahlung aus. Die in tensivste Strahlung des Körpers ergibt sich aus dem wienschen Verschiebungsgesetz, das rechts im Diagramm dargestellt ist. Es lässt sich auch in Form einer Gleichung angeben.

Amax in nm 1000

500

2000

4000

6 000 Tin K

Die W ellenlänge der intensivsten Strahlung hängt nur von der Tem peratur des schwarzen Körpers ab. Es gilt: Amax =

~

b = 2,90 ' 10- 3 m . K (wiensche Konstante) Amax Wellenlänge der intensivsten Strahlung T

absolute Temperatur So hat beispi elsweise die Sonn e eine Oberflächentemperatur von etwa 5800 K. Damit ergibt sich als Wellenlänge für die intensivste St rahlung: Amax

=

2,90 m . K = 500 . 10- 9 m 3 10 · 5800 K

= 500 nm

Das ist sichtbares Licht im grünen Bereich. Bei der W endel einer Glühlampe mit einer Temperatur von etwa 2300 oe liegt die Wellenlänge der intensivsten Strahlung mit 1 260 nm im infraroten Bereich. Das plancksche Strahlungsgesetz "'lA PlA' (1858- 1947) t rug die theoretische Begründung se ines Strahlungsgeset zes am 14. Dezember 1900 in einer Sitzu ng d er Physika lischen Gese ll schaft in Berlin vor. Dieser Tag gilt als Geburtstag der ..)u< ntcnthloril ( / S. 356 ff.).

Das plancksche Strahlungsgesetz beantwortet die Frage, welchen Antei l die einzelnen Wellenlängen zur Energie der gesamten Strah lung eines schwarzen Körpers bei tragen . Besonders anschaulich lässt sich das in der grafischen Darstellung erkennen (s. Bild rechts): Je höher die Temperatur eines schwarzen Körpers ist, umso intensiver gibt er bei einer bestimmten Wellenlänge Energie ab. Außerdem nimmt der Anteil der kurzwelligen Strahlung mit wachsender Temperatur zu. Die mat hematische Formulierung dieses Gesetzes ist recht kompliziert. Au f ihre Angabe wird hier deshalb verzichtet.

ELEKTRIZITÄTSLEHRE UND MAGNETISMUS

4

208

Elektrizitätslehre und Magnetismus

-----

• Die Bezeichnung en plus (+, positiv) und minus (- , negativ) gehen auf den amerikanisch en Wi ssen sch aftler und Staat sma nn BENJAMIN FRANKLIN

(1706- 1790) zur ück.

• Teilchen, d ie elekt risch geladen sind, beze ich net man auch als Ionen . Negativ geladene Ion en heißen Anionen, positiv geladene Ion en Kationen.

4.1

Das elektrische Feld

4.1 .1

Elektrische Ladungen

Alle Körper sind aus Atomen bzw. Molekülen aufgebaut. Atome wiederum best ehen aus einer Atomhülle mit negativ geladenen Elektronen und einem Atomkern, der u. a. positiv geladene Protonen enthält. Ein Atom, das d ie gleiche Anzahl von Protonen im Atomkern und Elektronen in de r Atomhülle besitzt, ist elektrisch neutral. Auch ein Körper, der insgesamt genau so viele Protonen wie Elektronen hat, ist elektrisch neu tral. Durch unterschiedliche Vorg änge können Elektronen von einem Atom bzw . Körper auf ein anderes Atom bzw . Körper übergehen. Bei der Dissoziation (/ S. 267) von Kochsal z (NaCI) b ilden sich Ionen. Ein Chloratom wird durch die Aufnahme eines Elektrons zu einem negativ geladenen Chlorid -Ion.

Ein Natriumatom wird durch die Abgabe eines Elektrons zu einem positiv geladenen Natrium- Ion . Abg abe des - Auß enel ektrons

• Die Ladungstrennung durch elektrochemische Vorg äng e wird bei galvanischen Elementen un d bei Ak kumulatoren genutzt. ReibungselektrizItät wi rd bei Bandg eneratoren und Influ enzmaschinen zur Ladun gstrennung verw endet.

Eine Ladungstrennung kann durch elektrochemische Vo rgänge (s. oben), durch das Berühren oder Reiben von Körpern aneinander, durch thermoelektrische Vorgänge oder durch Influenz ( / 5.212) erfolge n. Es gibt positive und negative elektrische Ladungen . Ein elektrisch neutraler Körper hat gleich viele Elektronen und Protonen . Negativ geladene Körper haben einen Elektronenüberschuss, positiv geladene Körper einen Elektronenmangel.

elekt risch neut raler Körp er

o

negativ ge ladener Körp er H

o

positiv geladener Körper (+)

o

So lche Ladungstrennungen und die damit verbundene elektrische Aufladung von Körpern t reten auch in der Natur auf. So kommt es z. B. in Gewitterwolken aufgrund von Reibungseffekten zur Ladungstrennung, die so stark sein kann, dass ein Ladungsausgleich in Form von Bl itzen erfolgt.

209

Das elektrische Feld

Die Größe elektrische ladung Wie stark ein Körper elektrisch geladen ist, wird durch die physikalische Größe elektrische ladung beschrieben. Die elektrische ladung eines Körpers gibt an, wie groß sein Elektronenüberschuss oder sein Elektronenmangel ist. Formelzeichen: Q Einheit: ein Coulomb

(1 C)

• Di e Einheit der Ladung ist nach dem französischen Naturforscher CHARLES Au GUSTIN OE COULOMB

Jede elektrische Ladung ist ein Vielfaches der Elementarladu ng e: e = 1,602 . 10- 19 C. Sie kann in unterschiedlicher Weise bestimmt werden.

(1736- 1806) benannt. Für die Einheit gilt: 1C = lA · s

Die elektrische Ladung eines Körpers kann berechnet werden mit der Gleichung : N

Q=N ' e

e

Je nachdem, ob ein Körper positiv oder negativ geladen ist, kann man dem Zahlenwert der Ladung ein positives oder ein negatives Vorzeichen geben.

Anzahl der ladungen Elementarladung

ladung wird auch bei Stromfluss durch ei nen Leiter oder einen Elektrolyten transportiert. Wie viel Ladung durch die Qu erschnittsfläche hindurchtritt, hängt von der Stromstärke und der Zeit des Stromflusses ab. Stromstärke I

=konsta nt

Stromstärke I :t. konstant

~

o

,

,

Q = I . t1t

beliebig:;-~

Gl üh lampe oder anderer Leiter im Gleichstromkreis

Entladen eines Kondensators, Aufladen eines Akkumulators

Üb lich ist auch di e Schreibweise 0 = I · t. Mit t ist dann die Zeit gemeint, in der ein Strom konstanter Stärke fließt.

Elektrizitätslehre und Magnetismus

210

Di e Dat en von Glühlampen und Leuchtst offlampen w erden meist in der genannt en Form ang egeben. Di e Stromstärke bei Betri ebsspannung kann man aus Leistung und Spannung ermitteln:

P= U · / und dam it /=

Eine Taschenlampe mit einer Glühlampe 6 V/2,4 W wird drei Minuten lang genutzt. Wie viele Elektronen bewegen sich dabei durch einen Leiterquerschnitt des Stromkreises? Analyse: Es wird bei einer batteriebetriebenen Taschenlampe von einer konstanten Spannung der Batterien und damit von einer konstanten Stromstärke ausgegangen . Die Stromstärke kann man aus Leistung und Spannung ermitteln .

Gesucht: Gegeben:

ß

N (Anzahl der Elektronen) U 6V

P

= = 2,4 W

t = 3 min = 180 s

e

= 1,6 . 10- 19 C

Lösung: Für die Ladung Q gilt bei / = konstant:

Q = /"M Mit Q = N· e und 1= N·e

= E.U

1C = 1A ·s Damit erh ält man insgesa mt für di e Einheit en: ~ = V· A ·, = 1

v·c

V A ,

Das Erg ebn is ist also eine Zahl.

U 'e 2,4 W · 180 s 6 V' 1, 6' 10- 19 C

N

1W = 1V ·A

N

' ,M

p. L1t

N Für di e Ein heiten gi lt:

t erhält man:

= 4,5.

1020

Ergebnis: Bei einem Stromkreis mit einer Glühlampe 6 V/2,4 W fließen bei Bet ri ebsspannung in drei Minuten 4,5 . 1020 Elektronen durch den Lei terquerschnitt. In einer Sekunde wären das 2,5 ' 10 18 Elektronen.

Elektrischer Strom als bewegte Ladung

Der Zusammenhang zwischen der elektrischen Ladung und der Stromstärke kann auch zur Definition der Stromstärke genutzt werden . Die Stromstärke ist der Quotient aus der durch einen Leiterquerschnitt hindurchtretenden elektrischen Ladung und der Zeit. 1= L1Q M

oder

1= dQ dt

Q

elektrische Ladung Zeit

Bei einer Stromstärke von 1 A bewegen sich in einer Sekunde ca . 6 . 10 18 Elektronen durch ei nen Leiterquerschnitt.

212.J

Das elektrische Feld

Verhalten geladener Körper Zwischen elektrisch geladenen Körpern wirken anziehende oder abstoßende Kräfte. Gleichartig geladene Körper stoßen einander ab.

Ungleichartig geladene Körper ziehen einander an.

Der Betrag der Kraft zwischen zwei geladenen Körpern hängt von der Größe der Ladungen und vom Abstand der Körper voneinander ab. Die Zusammenhänge sind im coulombschen Gesetz erfasst. Unter der Bedingung näherungsweise punktförmig geladener Körper gilt für die an ziehenden oder abstoßenden Kräfte die Glei chung : F = __'__ . 0 1 . O2 4 1t · 100 ' er

01

(2

F

+ ---

-F

• Gefunden wu rd e d iese r Zu sa mm enh ang von dem französischen Naturforsch er CHARLES AUGUSTIN DE COULOMB

co cr

0"

elektrische Feldkonstante Permitt ivitätszahl oder Dielektrizitätszahl (für Luft: cr = 1) 0 2 Ladungen der beiden Körper Abstand der Massenmittelpunkte

Mit Elektronen oder Ionen wird auch elektrische Ladung übertragen. Dabei kann es zu Ladungsverschiebung, Ladungstrennung, Ladungsteilung oder Ladungsausgleich kommen . Lässt man eine leitende Kugel zwi schen zwei unterschiedlich geladenen Platten hin- und herpendeln, so erfolgt allmählich ein Ladungsausgleich zwischen den beiden Platten. Die Ladung wird "porti onsweise" zwischen den Platten verschoben. Ein solcher Ladungsausgleich kann auch in anderer Weise erfolgen.

(1736 - 1806) . Das cou lombsch e Geset z weist An alogien mit dem Gravitationsgesetz ( / S. 117) auf. Di e elektri sch e Feldkonsta nte hat ein en W ert von f O=

8,854 · 1O- 1 2 : ~ .

Elektrizitätslehre und Magnetismus

--------------------------------

• Durch einen Blitz erfo lgt ein Ladungsa usgl eich zwi sch en ge ladenen Wolk en bzw . Wolk e und Erd e.

Verbindet man zwei untersch iedlich geladene Platten mit einen Leiter, dann erfolgt in kürzest er Zeit ein Ladungsausgleich .

• In Leitern sin d frei beweg liche un d damit verschiebbare La dungsträger (El ektronen) vo rha nden.

Influenz und dielektrische Polarisation Bringt man einen geladenen Körper in die Nähe eines leitenden, nach außen ungeladenen Körpers, so wirken zwischen den Ladungen Kräfte. Sie bewirken auf dem leitenden Körper eine Ladungsverschiebung und damit eine Ladungstrennung, die als Influenz bezeichnet wird.

Leit er

+

• Die Beze ichnung Influenz ist abgeleitet von influ ere (Iat .) = hinei nfli eße n.

• Nähert man z. B. einen negativ ge lad enen Kun st stoffst ab Papie rschnitze ln, so tri tt dort dielektrische Polarisation auf. Die Papie rschnitze l w erden angezoge n.

Influenz ist der Vorgang der Ladungstrennung bei einem leitenden Körper unter dem Einfluss eines anderen geladenen Körpers aufgrund der zwischen Ladungen wirkenden Kräfte. Bringt man einen geladenen Körper in die Nähe eines Isolators, so kommt es auf grund der Kraftwi rkungen zwischen Ladungen zu ei ner Ausrichtung der gebundenen Ladungen. Es bilden sich kleinste elektrische Dipole. Damit kann sich die Oberfläche eines Isolators z. B. positiv (s. Sk izze) aufladen.

Der Vorgang der Ladungsverschiebung auf Isolatoren unter dem Einfluss eines anderen geladenen Körpers auf grund der zwischen Ladungen wirkenden Kräfte wird als dielektrische Polarisation bezeichnet.

213

Das elektrische Feld

Gesetz von der Erhaltung der ladung Ähnlich wie für Energie, Impuls, Drehimpuls oder Masse gilt auch für die elektrische Ladung ein Erhaltungssatz. In einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtladung erhalten: n

0= 0 , + O2 + ... + On =

L 0i = konstant

o

i =1

Oi

Erhaltungssätze machen eine Aussage über die Kon stan z ei ner physikalischen Größe in einem abgesch lossenem System .

Gesamtladung Teilladungen

Dieses Gesetz gilt insbesondere auch für Prozesse der Ladungstrennung . Die Gesamtladung ändert sich nur dann, wenn Ladungen durch die Oberfläche des betrachteten Volumens hindurchtreten, also ein Strom fließt. Nachweis und Messung von ladung Ein Gerät zum Nachweis elektrischer Ladung ist das Elektroskop ode r Elektrometer. Kommt ein geladener Körper mit dem Metallstab eines Elektroskops in Berührung, so findet zwischen beiden ein Ladungsausgleich statt. Metallzeiger und Metallstab laden sich dabei gleichartig auf. Es kommt infolge von abstoßenden Kräften zum Zeigerausschlag . negativ geladenes Elektroskop

Spitze des M etallstabes Gehäuse

Bei einem Elektroskop kann es auch infolge von Influenz zu einem Zeigerausschlag kommen. Dies kann man beobachten, wenn in die Nähe der Spitze des Metallstabes ein geladener Körper gebracht wird . Dann kommt es infolge Influenz zu einer Ladungstrennung und damit zu ei nem Zeigerausschlag.

positiv geladenes Elektroskop

Elektronenbewegung

• Ein mit Skala versehenes Elektroskop wird auch als Elektrometer bezeichnet. Es gibt sie in unterschiedlichen Bauformen. Die Ladungsmessung kann man auch mithilfe einer Stromstärkemessung ( / S. 209) oder eines Galvanometers durchführen .

I------------------------------214 Elektrizitätslehre und Magnetismus ---------------4.1.2 Elektrische Felder

•

Kennzeichnung, Nachweis und Arten von Feldern

Läng ere Zeit war umstritten, ob geladene Körper aufgrund ihrer Ladung unmittel bar aufei nander wirken (Fernwirkungstheorie) od er ob das elektrische Fe ld ein es Körpers ein en and eren geladenen Körper beeinflusst (Nahwirkungstheorie).

Im Raum um einen elektrisch geladenen Körper werden auf andere elektrisch geladene Körper Kräfte ausgeübt. Dieser Raum befindet sich in einem besonderen Zustand. In ihm existiert ein elektrisches Feld. Wir betrachten nachfolgend zeitlich konstante elektrische Fel der (statische Felder). Bandgenerator '--_ _ __ -'

Ein elektrisches Feld ist der Zustand des Raumes um einen elektrisch geladenen Körper, in dem auf andere elektrisch geladene Körper Kräfte ausgeübt werden .

• Das Modell der Fe ldli ni en wurde von MICHAEL FARADAY

(1791 - 1867) in die Physik eingeführt. Er erwa rb sich große Verdienste um di e Physik der Felde r.

Ein elektrisches Feld ist nur an seinen Wirkungen erkennbar und nach weisbar. Elektrische Felder können mithilfe von Feldlinienbildern dargestellt werden. Ein Feldlinienbild ist ein Modell für das elektrische Feld. Es macht Aussagen über Beträge und Richtungen der Kräfte auf Probekörper im elektrischen Feld. Für das Feldlinienbild als Modell des elektrischen Feldes gilt: - Je größer die Anzahl der Feldlinien in einem bestimmten Gebiet des Feldes ist, desto stärker ist die dort wirkende Kraft auf einen geladenen Körper.

Di e Ri chtung der Fe ldlin ien verläuft vere inbarungsgemäß von + nach - .

/

+ /

~ /

/

- Die Richtung der Feldlinien gibt die Richtung der wirkenden Kraft auf einen geladene Körper an. Dabei ist die Art der Ladung zu beachten.

Feldlinien lassen sich auch experimentell veranschaulichen, wenn sich Grieskörnchen in Öl in ein em elektrischen Fe ld befinden . Unter der Wirkung des elektri schen Feldes kommt es zur elektrischen Polarisation (/ S. 212) . Die Grieskörnchen richten sich in Richtung der Feldlinien au s. Man unterscheidet homogene und inhomogene Felder. Ein homogenes Feld liegt vor, wenn es an allen Stellen gleich stark ist, also die Kraft auf einen Probekörper überall gleich groß ist. Ein inhomogenes Feld liegt vor, wenn es von Ort zu Ort unterschiedlich stark ist, die Kraft auf einen Probekörper also verschieden ist.

Das elektrische Feld

homogenes Feld

inhomogene Felder

Feld zwischen zwei ungleichartig geladenen Platten

Feld zwischen zwei geladenen Kugeln

215

Feld um eine geladene Kugel (Punktladung)

+

Das Feld zwischen zwei ungleichartig geladenen Platten ist nur im Bereich zwischen den Platten homogen . Das inhomogene Feld um eine Punktladung wird auch als Radialfeld oder als radialsymmetrisches Feld bezeichnet. Feldlinien beginnen und enden an Ladungen, die auch - wie bei dem oben dargestellten Radialfeld - weit entfernt sein können . Dabei treten die Feldlinien aus Lei teroberflächen im elektrostati schen Gleichgewicht immer senkrecht ein oder aus. Wäre das nicht der Fall (siehe untere Feldlinie), dann würde eine tangentiale Kraftkomponente solange eine Verschiebung der Ladung hervorrufen , bis auch 3 senkrecht zur Oberfläche wirkt . Nach dem Verlauf der Feldlinien von Ladung zu Ladung kann man ein elektrisches Feld auch folgendermaßen chara kterisieren:

• Im Modell Feldlinienbild gilt: In ein em homogenen Feld verlaufen di e Feldlini en parall el zuein ander, in einem inhomogenen Feld dagege n nicht.

F

Ein statisches elektrisches Feld ist ein wirbelfreies Quellenfeld.

Wirbelfrei bedeutet, dass d ie Feldlinien keine geschlossene Linien sind, sondern Anfang und Ende haben. Die Quellen des Feldes sind die elektrischen Ladungen. Für die Wirkungen von Feldern gilt: - Auf einen geladenen Körper wird im elektrischen Feld eine Kraft ausgeübt. - Bei Stoffen im elektrischen Feld tritt Influenz ( / S. 212) oder dielektrische Polarisation ( / S. 212) auf. - In geschlossenen Stromkreisen bewirkt ein elektrisches Feld die gerichtete Bewegung von Ladungsträgern (Stromfluss) .

• Im Unterschi ed dazu ist ein magnetisches Feld ( / 5. 231) ein qu ell enfreies Wirbe lf eld . Das bedeutet: Die Feldlini en sind dort geschlossene Linien ohne Anfang und Ende.

Elektrizitätslehre und Magnetismus

216

----------------------------------------

Abschirmung elektrischer Felder

• Bei vielen Kabeln erfolgt ei ne Abschirmung elektrischer Felder durch eine metallische Hül le od er durch ein Drahtgeflecht.

Elektrische Felder können mithilfe von Leitern abgeschirmt werden. Bereits M ICHAEL FARADAY (1791 - 1867) wies 1836 nach, dass eine solche Abschirmung nicht nur durch massive Leiter, sondern auch durch MetalIgitter und -streben erfolgt. Eine Anordnung von Le itern , durch die ein Raum von elektrischen Feldern abgeschirmt wird, nennt man faradayschen Käfig . Ein Beispiel für einen solchen faradayschen Käfig ist die Karosserie eines Autos . Auch einem Blitzeinschlag bei bleibt der Raum im Inneren feldfrei. Personen sin d damit geschützt. Das gilt selbst für Cabrios bei geschlossenem Dach . Faradaysche Käfige nutzt man auch, um Kabe l oder elektronische Geräte vor störenden elektrischen Feldern abzuschirmen.

•

Die elektrische Feldstärke

Der Betrag der Kraft hängt von der Stärke des Feldes im betreffenden Punkt und von der Lad ung des Probekörpers ab . Die Richtung der Kraft wird durch di e Feldrichtung und di e Art der Ladung bestimmt.

Zur genaueren Kennzeichnung elektrischer Felder kann man Betrag und Richtung der Kraft bestimmen, die auf einen geladenen Körper in diesem Feld wirkt.

Di e Stä rke und die Richtung des elektrischen Feldes kann durch die Größe elektrische Feldstärke beschrieben werden. Für die Einheit gilt:

1 t!.= 1 ~ C

S2 .

A ·5

=1

V ·A ·s A s·m

=1

'm !..

Di e elektr ische Fe ldstärke in einem Pu nkt gibt an, w ie g roß d ie Kraft je Lad u ng in d iesem Pun kt ist. Formelzeichen: E Einheit en : ein Newton du rch Coulomb ei n Volt d urch M eter

( 1 y. ) m

Das elektrische Feld

Die elektrische Feldstärke kann berechnet werden mit der Glei ch ung:

- =Q F E Q

Kraft auf einen positiv geladenen Körper Ladung dieses Körpers

Bei ei nem homogenen elektrischen Feld ist die elektrische Feldstärke an allen Stellen gleich groß . Sie hängt bei einem elektrischen Feld zwischen zwei parallel zueinander stehenden Platten (Pl attenkondensator) nur vom Abstand der Pl atten und der Spannung zwischen ihnen ab.

u F

.:tt-+

• M it diese r Festlegung stimmt di e Ri chtung der Feldstärke in einem Pun kt mit der Richtung der Fe ldlinie durch d iesen Punkt überein. Di e Kraft F, di e auf einen geladenen Körpe r in ein em Feld wirkt, wird auch als Feldkraft bezeichn et .

Q

d

Für das homogene Feld im Innern eines Plattenkondensators kann die elektrische Feldstärke berechnet werden mit der Gleichung :

E

=~

U d

Spannung zwischen den Platten Abstand der Platten

Zwischen zwei Kond ensato rplatten mit einem Abstand von 3,2 cm liegt eine Spannung von 1,5 kV. Wie groß ist die Kraft auf ein en Körper mit ein er Ladung von 2 0 nC? Analyse: Zur Berechnung können die oben genannten Gleichu ng en für die elektrische Feldstärke genutzt werden. Gesu cht: Gegebe n:

F d = 3,2 cm = 0,032 m U = 1,5 kV= 1500V Q = 20 nC = 2 . 10- 8 C

Lösung: Aus F = Q . E und E = ~ erhä lt man: F = Q .~ F

= 2 . 10- 8 C .

F

= 9,4 . 10- 4 N

Für die Einhe iten gilt: 1~ = lA ·s·V m m

1 500 V 0,032 m Nm

Ergebnis: Au f den geladenen Körper wi rkt ei ne Kraft von 9,4 . 10- 4 N.

m

=N

und Magnetismus - 218 - - - - - - - -Elektrizitätslehre -Elektrische Feldstärke und dielektrische Versch iebung Bringt man einen elektrischen Leiter in ein elektrisches Feld, so erfolgt Influenz ( / S. 212). Sie ist umso stärker, je stärker das Feld ist. Den Zusammenhang zwischen der Feldstärke und der durch Influenz hervorgerufenen Ladung kann man fo lgendermaßen untersuchen : Zwei ungeladene metallische Blättchen der Fläche A werden aneinan der liegend in ein elektrisches Feld gebracht. Dort werden sie voneinander getrennt und anschließend ihre Ladung gemessen .

A

jT§

+

l]

J

Genauere Untersuchungen in unterschiedlichen Feldern zeigen: Die auf einer bestimmten Fläche A durch Influenz hervorgerufene Ladung Q ist proportional zur elektrischen Feldstärke .

• In der Literaturf indet man für diese Größe auch die Beze ichnung elektrische Verschiebungsdich te, Flächenladung sdichte od er elektrische Flussdichte in An alogie zu ein er entsprech enden Größe zur Ch arakteris ierun g des mag net ischen Fel des ( / S. 233).

Damit hat man eine weitere Möglichkeit zur Kennzeichnung der Stärke eines elektrischen Feldes durch die Größe Q/A. Die dielektrische Verschiebung ist ein Maß für die auf einer Fläche durch Influenz hervorgerufenen Ladung und damit zugleich ein Maß für die Stärke des betreffenden elektrischen Feldes. Formelzeichen : D Einheit:

ein Coulomb durch Quadratmeter ( 1 ~2 ) m

Durch die elektrische Verschiebung und die elektrische Feldstärke wird ein und dasselbe Objekt - ein elektisches Feld - charakterisiert. Demzuf olg e muss es zwischen den Größen einen engen Zusammenhang geben . Zwischen der dielektrischen Verschiebung D und der elektrischen Feldstä rke E besteht folgender Zusammenhang :

B = EO· Er· E

EO Er

I

I

elektrische Feldkonstante Permittivitätszahl ~

Elektrische Feldstärke eines Rad ialfeldes Die elektrische Feldstärke eines Radialfeldes ( / S. 215) kann man folgen dermaßen ermitteln : Um eine geladene Kugel mit der Ladung Q werden zwei große Halbkugelschalen mit dem Radius r gelegt. Die durch Influen z auf den Halbkugelschalen hervorgerufene Ladung ist genau so groß wie die Ladung der Kugel.

Das elektrische Feld

219

Dann gilt für die dielektrische Verschiebung (/ S. 218): D =Q=~ A

4rr' ( 2

Setzt man den Ausdruck für D in den / S. 218 genannten Zusammenhang zwischen D und E ein und stellt die Gleichung nach E um, so erhält man für die elektrische Feldstärke eines Radialfeldes die Gleichung : E= - '-

4rr . Fa .

· 9. Fr

(1)

(2

Befindet sich in einem Radialfeld mit der felderzeugenden Ladung 0, ein geladener Körper mit der Ladung O2 , dann beträgt die Feldkraft auf diesen geladenen Körper: F = E · 0 2 oder mit Gleichung (1)

Auch um die Erd e besteht ein elektri sch es Feld, das zur Erd e gerichtet ist. Die Erde trägt eine negative Ladung. Im Idealfall (ebene, unbebaute und unbewachsene Fläche) ist das Erdfeld ein Radi alfeld . Durch Bäume oder Häuser treten erhebliche Deformation en des Fe ldes auf. Di e durchschnittliche elektrische Feldstärke in der Nähe des Erdbodens beträgt etwa '30 V/m oSie kann in w eiten Grenzen schwanken .

F= __'__ . 0, · O2 4rr· Fa'

Fr

(2

Das ist das / S. 211 genannte coulombsche Gesetz. W irken auf einen geladenen Körper mehrere elektrische Felder, dann gilt für die resultierende Kraft das Superpositionsprinzip. Beim Wirken mehrere Felder ergibt sich die resultierende Kraft auf einen geladenen Körper als Vektorsumme der einzelnen Feldkräfte.

•

Arbeit im elektrischen Feld Bewegt man einen elektrisch geladenen Körper unter Kraftaufwendung in einem elektrischen Feld oder wird er infolge der Feldkraft bewegt, so wird an dem geladenen Körper mechanische Arbeit verrichtet. Heben eines Körpers im Gravitationsfeld

Bewegen einer Ladung im elektrischen Feld

I

Weg s

11

- Fo

0

I 0

I

1 +

Diese Arbeit kann in einfacher Weise berechnet werden.

Das Bewegen eines geladenen Körpers im elektrischen Feld ist vergleichbar mit dem Heben eines Körpers im GravitCltl onsfeld ( / S. '19). In beiden dargeste llten Fällen wird Arb eit im Feld verrichtet.

I

220

Elektriz itätslehre und Magnetismus

In einem homog enen elektrische n Feld ( / S. 214) ist die Feldkraft auf ei nen geladenen Körper konstant. Si e ergibt sich aus der Gleichung für die Feldstärke (/ S. 217) zu F = Q . E. Damit erhä lt man für die Arbeit im Fe ld:

Ana log dazu wird die mechanische Arbeit bei konstanter Kraft und bei Kraft in Wegrichtung berechn et mit der Gl eichu ng:

Bei der Bewegung eines geladenen Körpers in Richtung der Feldlinien beträgt die im homogenem elektrischen Feld oder vom homogenem elektrischen Feld verrichtete Arbeit: W

=Q . E . 5

oder

Q

E

W = Q ·U

5

U

W = F· s

Ladung des Körpers konstante Feldstärke Weg parallel zu den Feldlinien Spannung zwischen Ausgangspunkt und Endpunkt

Bei der Bewegung ein es geladenen Körpers in ein em beliebigen inhomogenen Fe ld ist die Feldkraft nicht konstant. Liegt ein Radialfeld vor, dann kann die Arb eit äh nlich wie im Gra vitati on sfeld der Erde f olg endermaßen berechnet werden: W

• Für die Arbeit im Gra vitationsfeld gilt eine analoge Beziehung (/ 5.1 21 ).

=

f

F(r) dr

(, Unter Nutzung des cou lombschen Gesetzes ( / S. 21 1) erhä lt man (2

W

= 4rr· ~f.ldr t· . Er ( 2 o

=

~(.l _ (.l) 2

4rr· F O . t· r ( ,

(,

Unabhängig von d er Art des elektrischen Fel des gilt: Die im elektrischen Feld oder von ihm verrichtete Arbeit an einem geladenen Körper hängt nur vom Anfangspunkt und vom Endpunkt der Bewegung ab. Sie ist unabhängig von der Bahn zwischen diesen beiden Punkten .

• Es muss zwischen der Energ ie ein es Körpers im elektrischen Feld und de r Energie des Fe ldes se lbst (Feldenergi e) untersch ieden werden.

Energie im elektrischen Feld Auch für Bewegungen von Körpern im elektrischen Feld gilt der allgemein e Zusammenhang zwischen A rbe it und Energ ie, so wie er bereits in der Mechanik dargestellt wurde ( / s. 88): Die von einem Körper oder an einem Körper verrichtete Arbeit ist gleich der Änderung seiner Energie: W= ,1E

Das elektrische Feld

Wird z. B. ein positiv geladener Körper mit der Ladung 0 entgegen der Richtung der Feldlinien eines homogenen Feldes der Feldstärke Eden Weg 5 entlang bewegt, so wird die Arbeit W = 0 . E . 5 verrichtet. Die potenzielle Energie des geladenen Körpers im elektrischen Feld vergrößert sich um den gleichen Betrag. Entsprechend verkleinert sie sich bei Bewegung in entgegengesetzter Richtung. Bei beliebigen elektrischen Feldern wird als Bezugspunkt häufig ein Punkt im Unendlichen gewählt und die Arbeit an einem positiv geladenen Körper betrachtet. In diesem allgemeinen Fall gilt für die potenzielle Energie eines Körpers der Ladung 0 in einem Abstand r von einer felderzeugenden Ladung:

E pot =

f

- 0 E(r) dr

221

• W ie in der Mechani k wird die poten ziell e Energie auch im elektrischen Feld auf ein besti mmtes Nivea u bezogen. Das kann z. B. eine bestimmte Äquipoten zialfl äch e (s. u.) sei n.

Das elektrische Potenzial und die elektrische Spannung Ähnlich wie beim Gravitat ionsfeld ( / 5.122) wird auch beim elektrischen Feld ein Potenzial definiert. Unter dem elektrischen Potenzial cp eines Punktes in einem elektri schen Feld versteht man den Quotienten aus der potenziellen Energie des Körpers im Feld und der Ladung dieses Körpers.

•-

Fü r die Einheiten gilt:

1~

Formelzeichen: cp Einheit: ein Joule durch Couloumb ( 1~ )

= lv~A/ 1V

• In einem homogenen elektrischen Feld beträgt demzufolge das Potenzial in einem Punkt P, :

cp

= O p ·E·s = E ' 5,

P,

Op

1' -

wenn man im Ausgangspunkt das Potenzial Po mit null annimmt. In einem Radialfeld wird als Bezugspu nkt für das Nullpotenzial meist ein Punkt im Unendlichen gewählt. Dann beträgt das Poten zial im Abstand r von einer felderzeugenden Ladung ,

cp

0

= 4 1l' co ' Fr .

Manchmal ordnet man, ähn lich wie beim Gravitationsfeld, auch beim elektrischen Feld der Erdoberfläche das Potenzial null zu.

U ----'I

t +-,

+

0 0p

:"-5 -.: I

:",

"'/

: : /0

Lin ien oder Fl ächen gl eichen Potenzials nennt man Äquipo tenzia llinien od er Äquipotenzia lfläehen. Si e stehen st ets senkrecht zu de n Fe ldli nien.

•a Das Potenzial in einem Punkt hängt nur vom Ort und von der elektr ischen Feldstärke (Größe der f eld erzeug end en Ladung) ab. Es ist unabhäng ig von der Probeladung Op.

Elektrizitätslehre und M agnet ismus

222

Die elektrische Spannung zwischen zwei Punkten eines elektrischen Feldes ist gleich der Potenzialdifferenz .

• Für ein h omog enes Fe ld im Inn eren ein es Platte nkon de nsators mit dem Plattenabsta nd d gilt: U =E · d

U

=d({J = Cf>2 -

({J,

({J,

Cf>2

Potenzial im Punkt 1 Potenzial im Punkt 2

Die Potenzialdifferenz und damit die Spannung ist unabhängig davon, welcher Bezugspunkt als Null-Potenzial gewählt wurde. Liegen zwei Punkte auf einer Äquipotenzialfläche, so ist die Spannung zwischen ihnen null. Zwischen den beiden Platten eines Plattenkondensators liegt eine Spannung von 22,5 V. Der Abstand zwischen den Platten beträgt 3,0 cm. a) Wie groß ist die elektrisch e Feldstärke zwischen den Platten ? b) Ein positiv geladener Körper mit ein er Ladung von 6 . 10- 8 C wird um 2,0 cm parallel z u den Feldlinien verschoben. Wie groß ist die Änderung sein er potenziellen Energie? c) Wie groß ist das Potenzial der positiv geladenen Platte, wenn man das der negativ geladenen Platte null setzt? Ana lyse: Beim elektrischen Feld eines Plattenkondensators handelt es sich um ein homogenes Feld . Es können die dafür geltenden Zu sammenhänge angewendet werden .

E ist sowohl das Kurzzeichen f ür die elekt ri sche Feldst ärke als auch fü r die Energie. Es ist nur aus dem Zusa mm enhan g erke nnbar, we lche Größe j ew eil s gemei nt ist.

Gesucht: Gegeben:

E, d Epot =

U

d s Q

W.

= 3,0 cm = 0,030 m = 2,0 cm = 0,020 m = 6 . 10- 8 C

Lösung: a) Für die Feldstärke im homogenen elektrischen Fe ld gilt:

E -- ~d

-

Für d ie Ein hei ten gilt: 1(. V . m= 1CV m

= 1 A · s· V = 1 Ws = 1Nm

({J

= 22,5 V

E

= 0,030 22, 5 V = 750 m

Y...

m

b) Die Änderung der Energie ist gleich der verrichteten Arbeit: d Epot = W = Q . E . s d Epot = 6 . 10- 8 C . 750 ~ . 0,020 m = 9 . 10- 7 Nm c) Das Potenzial ergibt sich aus Feldstärke und Plattenabstand: ({J = E · d (P = 750 Y... . 0,030 m = 22,5 V m

= 1J

Ergeb nis: Die elektrische Feldstä rke zwischen den Platten des Kondensators beträgt 750 V/m, die Änderung der potenz iellen Energie bei Verschiebung eines Körpers im elektrischen Feld 9 . 10- 7 J und das Poten zial der positiv geladenen Platte 22,5 V.

223

Das elektrische Feld

Kondensator als Ladungs- und Energiespeicher

•

Ein Kondensat or ist ein Bau element zur Speicherung elektrischer Ladung bzw . elektrischer Energi e. Er besteht aus zw ei leitenden Schichten, die durch einen Isolator, Dielektrikum genannt, von einander getrennt sind . Di e einfachste Bauform ist ein Plattenkondensator.

--

+

Ce] +

Plat tenkondensator mit Luft als Dielekt ri k um

- -

A bge leitet ist der Begri ff Kondensator von cond ensa re (I at.) = verd ichten. Weite re Bauformen von Kondensatoren sin d W icke lkond ensatoren , Ke ram ikk o ndensato re n, Drehkondensato ren un d Elektrolytko ndensatoren.

-

elektrisches Feld ei nes Plattenkondensa tors

Schaltzeichen eines Kondensators

Wird ein Kond en sato r an eine Gleichspannungsquelle angeschlossen, so fließt ein Ladestrom, beim Entladen ein Entladestrom. Schaltung

Verlauf der Spannung

:GJ

Verlauf der Stromstärke

u

I

Laden I I I

Laden :

I I I I I I I I

Entladen

I

Die Speicherfä higkeit eines Kondensators f ür elektrische Ladung wird durch die physikalisch e Größe Kapazität ang eg eben. Die Kapazität eines Kondensators gibt an, wie viel elekt rische La dung der Kondensator bei einer Spannung von 1 V speichern kann . Formelzeichen:

C

Einheiten:

1 Farad

(1 F)

1 Coulomb durch Volt

(1 ~ )

v

Sie kann berechnet werden mit der Gleichung : C= Q

u

0

U

elektrische Ladung elektrische Spannung

Bei einem Plattenkondensator ist die Kapaz ität umso größer, j e größer di e Flächen der Pl atten und je k leiner der A bst and zwischen ihnen ist.

•

l

A bge leitet ist der Beg riff Ka paz ität von ca pacitas (I at .) = Au f na hmef ähigke it, Fassung svermögen.

• Di e Ein heit 1 Fist nach de m englischen Naturforsche r M ICHAEL FARADAY

(17 91- 1867) benannt. Für die Ein heiten gilt : 1F = 1 ~

Ä/

I

224

Elektrizitätslehre und Magnetismus

-----------------------

• Die Permittivitätszahl, auch Dielektrizitätszahl gen annt, ist eine M ateria lkonstante, die die Beeinflussung der Kapazi t ät durch das Die lektrikum an gibt. Für Luft gilt: Er = 1 Be i Verwen dung von spez iell en kerami schen Werkstoffen kan n sich di e Speic herfähigkeit bei gleicher Pl attenfläche und gleichem Abstand um den Faktor 10 ... 10000 erhöhen.

-----------------------------------

Die Kapazität eines Plattenkondensators kann berechnet werden mit der Gleichung:

A d EO Er

Fläche einer Platte Abstand der Platten elektrische Feldkonstante Permittivitätszahl

Für die Schaltung von Kondensatoren gelten folgende Gesetze: Parallelschaltung

Reihenschaltung

U

U

EBC:J U

= U, = U2 = ... = Un

o = 0, + O2 + ... + On

~----------------

u

= U, + U, + ... + U,

o = 0 , = O2 = ... = On

Das Aufladen eines Kondensators bedeutet das Aufbauen eines elektrischen Feldes zwischen seinen Platten . Dazu ist Energie erforderlich, die dann nach dem Energieerhaltungssatz im elektrischen Feld gespeichert ist. Allgemein gilt: Ein elektrisches Feld besitzt Energie . Sie wird als Feldenergie bezeichnet. Wie viel Energie z. B. im Feld eines geladenen Kondensators gespeichert ist , hängt von seiner Kapazität und der Ladespannung ab .

• Im U-Q-Di ag ram m ist die Fläche unter dem Graphen gleich der beim Au f laden verrichteten Arbeit und damit auch gleich der im Feld gespeicherten Energie.

u ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

U; ~ IIIIIII LlQ

'0

Beim Aufladen wird Ladung zu den Platten transportiert. Für ein La dungselement L10 ist diese Arbeit:

Die Gesamtarbeit ergibt sich aus der Summe aller Teilarbeiten.

225

Das elektrische Feld

Für den dargestellten speziellen Fa ll ergibt sich : W = 10· U und mit 0 = 2

W

c ·U

Allgemein gi lt: Q

= 12 (. U2

W =

f

U dQ

o

Da die verrichtete Arbeit gleich der Energieänderung ist, gilt: Die in einem Kondensator gespeicherte Feldenergi e kan n berechnet werden mit den Gleichungen:

E

= 10 2

'U

0

E = 1C· U2

U C

2

Ladung des Kondensators Spannung am Kondensators Kapazität des Kondensators

Bei Blitzgeräten von Fotoapparaten werden Kondensatoren als Energiespeicher genutzt. a) Wie groß ist die im Konden sator gespeich erte und beim A uslösen des Blitzes fre i werdende Energie, wenn der ein geba u te Kondensator ein e Kapa zität von 100 pF hat und die Ladespa nnung 6 V beträgt? b) Warum kann ein zwe iter Blitz erst nach einer b estimm te n Zeit ausgelöst werden? Analyse: a) Di e im Kondensator gespeicherte Energie kann aus Kapazität und Ladespannung berechnet werd en.

Gesucht: Gegeben:

E C = 100

J..l F =

10- 4 F

U = 6V

Für die Einheit en gilt:

1 F . v2 = 1 ~ . V2

Lösung: E

= 1(. U2 2

E

= 1. 10- 4 2

E

= 1,8 mJ

= 1 A· s· =1J

V

F. (6 V) 2

Ergebnis: Im Kondensator des Blitzgerätes ist eine Energ ie von 1,8 mJ gespeichert.

b) Unmittelbar nach dem Zündvorgang ist der Kondensator entladen. Die Feldenergie ist null. Für den erneuten Aufladevorgang ist eine bestimmte Zeit erforderlich, die vo n der Kapazität des Kondensators und vo m ohmschen W iderstand im Stromkrei s abhäng ig ist. Er~t nach vollständig em Aufladen ist das Blitzgerät wieder betriebsbereit.

• Die im Kond ensator gespeicherte Energi e wird bei ein em Blitzgerät e in se hr kurzer Zeit freig eset zt . Nimmt man als Entl adezeit beim Blit ze n 0,1 ms an, so beträgt di e Leistung: p = 1 8 mJ = 18 W 0,1 ms

226

Elektrizitätslehre und Magnetismus

4.1.3 Geladene Teilchen in elektrischen Feldern

• Die Elementarladung e ( / S. 209) hat einen Wert von

e = 1,602 . 10- 19 C. Sie kan n mithilfe des MILlIKAN-Versuches bestimmt werden.

Befinden sich geladene Teilchen in einem elektrischen Feld, 50 wirkt auf sie eine Feldkraft F = E . Q. Da es sich bei den geladenen Teilchen meist um Elektronen mit der Elementarladung e handelt, werden alle nachfolgenden Betrachtungen darauf bezogen. Elektronen im homogenen Längsfeld Befindet sich ein Elektron in einem homogenen elektrischen Feld, 50 wirkt die konstante Feldkraft:

• Die Beschleunigung geladener Teilchen nutzt man be i Elektronenstrahlröhren und Beschleu nigern

Der Term ~ wird als m spezifische Ladung bezeichnet. Für Elektronen gilt:

F

+

e

Freie Beweglichkeit vorausgesetzt, wird das Elektron entgegen der Feldrichtung beschleunigt. Fü r die Beschleunigung gilt:

Dabei wird Feldenergie in kinetische Energie des Elektrons umgewandelt. Beträgt die Beschleunigungsspannung zwischen zwei Punkten des elektrischen Feldes U, 50 gilt:

~ = 1,759 · 10 11 .f. m

= E·

U · e = 1m . v2

kg

2

Löst man die Gleichung nach der Geschwindigkeit auf, dann erhält man:

Besitzen die Elektronen bereits eine An fangsgeschwindig keit, so gilt für die Gesa mtg eschwind igkeit vG:

In einem homogenen Längsfeld hängt die Geschwindigkeit von Elektronen von der Beschleunigungsspannung und der spezifischen Ladung ab. Es gilt:

v =

J2U ' ~

U

Beschleunigungsspannung

!i

spezifische Ladung des Elektrons

m

vG = vo + v

Beträgt z. B. in einer Elektronenstrahlrähre die Beschleunigungsspann ung 25 kV, dann erhält man für die Geschwindigkeit der Elektronen nach Durchl aufen dieser Spannung: Für die Einheiten gilt:

N

=

JV'k~' s

=~

=

Jk9.m

=~

=

kg .

v v

2

s2

= J2 U'~ =v = J'2-.-2-5 -. -10--'3::-V- . 1-,-7-59- . -10-1-1~ kg

v

[!]

s

Das ist immerhin eine Geschwindig ke it , die ca. 30 % der Va kuumlichtgeschwindigkeit beträgt.

227__

Das elektrische Feld

Elektronen im homogenen Querfeld

va

Tritt ein Elektron mit einer Anfangsgeschwindigkeit senkrecht zu den Feldlinien in ein homogenes elektrisches Feld ein, dann wirkt ebenfalls eine konstante Feldkraft mit dem Betrag F = E . e = ~ . e. Diese Feldkraft bewirkt eine Ablenkung des Elektrons aus der ursprünglichen Ausbreitungsrich tung . Das Elektron bewegt sich auf einer parabelförmigen Bahn. Die Ablenkung kan n mith ilfe von Gesetzen ermittelt werden . y

+

1 d

I

Die Bewegung des Elektrons ist vergleichbar mit der Bewegung eines Körpers beim waagerechten Wurf (/5.69). Dort wirkt die konstante Gewichtskraft.

+

-~

f-~

i

F f.--'f.--' y""-- -

Vc

T Y2

~--~ L

I

.

5

I

x

Leuchtschi rm

Innerhalb des Feldes überlagert sich eine gleichförmige Bewegung in xRichtung mit einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung in y-Rich tung : x = va . t (1) Y = la·t2 = lE ·~· t2 = 1!d.· ~ ·t2 (2 ) 22m

2d

m

Eliminiert man aus den Gleichungen (1) und (2) den Parameter t, so erhält man:

• Die Herleitung der Gl eichung ist ana log zur Herleitung der Bahnkurve beim waa gerechten Wurf (/5. 69).

• Die Ablenkung Yl ergibt sich mit x

= I zu:

Die Ablenkung Y2 auf einem Leuchtschirm beträgt dann: Y2

= ~m . !d.d . J..(1 + 5) v2 2 a

Setzt man die Geschwind igkeit va Y2

=

-2' .

-dU'

= J2U B . ~ ein, so erhält man:

...l ( 1 + 5) U 2 s

Die Ablenkung eines Elektronenstrahls hängt bei gegebener Dirnen sionierung der Ablenkplatten von der Ablenkspannung U und von der Beschleunigungsspannung UB (Geschwindigkeit der Elektronen) ab. Sie ist unabhängig von der spezifischen Ladung.

Di e Gl eichunge n für die Ablenkung von Ladungsträgern im elektrischen Feld können in unterschiedli cher Art und W eise hergeleitet werden.

228

i Elektronenstrahlröhren werden nach ihrem Erfinder eARL FER· DINAND BRAUN (1850- 1918) auch als braunsche Röhren beze ichn et. Bei Oszillografen bildröhren nutzt man meist die elektrostatische Ablenkung, bei Fernsehbildröhren die Abl enkung durch magnetische Felder (/ S. 236).

Elektrizitätslehre und Magnetismus

Genutzt wird die A blenk ung von Elektronen in homogenen Querfeld ern in Elekt ronenstra hlröhren, insbesondere in Bildröhren von Oszi llografen. Die Skizze zeigt den Aufbau einer solchen Röhre . Ablenksystem

Wehneltzy linder

Elektronenstrahl

Katode

Leuchtschirm

•

Elektronen mit einer Energie von 420 eV treten senkrecht zu den Feldlinien in ein homogenes elektrisches Feld ein. Dieses Feld existiert zwischen zwei Platten, die 5,0 cm lang sind und einen Abstand von 2,6 cm voneinander haben. a) Welche Geschwindigkeit haben die Elektronen beim Ein tritt in das elektrische Feld? b) Wie groß muss die Ablenkspannung sein, dam it die Ablenkung des Elektronenstrahls am Ende der Ablenkplatte 1, 8 mm beträgt?

A nalyse: Wir gehen vo n einer ungehinderten Bewegung der Elektronen aus. Die Geschwindigkeit der Elektronen ergibt sich aus ihrer Energie. Die Ablenkspannung kann aus der Ablenkung ermittelt werden . Gesucht: Gegeben:

• Ein Elektronenvolt (1 eV) ist die Energie, die ein e Elektron nach Durchl aufen einer Spannung von 1 V besitzt. 1 eV = 1,602· 10- 19 Ws

V,

E d

U

= 420 eV = 2,6 cm

= 5,0 cm y, = 1,8 mm

Lösung: a) Aus der Definition der Einh eit Elektron en volt ergibt sich: U = 420 V. Dam it erhält man als Geschwindigkeit der Elektronen:

v

= J2U .~ = J2 . 420 V . l,579 . 1011 ~ = 1, 2 . 107 ~

b) Durch Umstell en der /' S. 227 genannten Gleichung erhält man:

U

= 2.1 ,8 . 10- 3 m ·

( 1 2· 107 !!!) 2 1 . kg · 0 026 m · ' S 1,759 ' 10 11 C ' (0,05 m)2

= 27 2 V __ '_

Ergeb nis: Elektronen mit einer Energie vo n 420 eV besitzen eine Geschwin digkeit vo n 1,2 . 10 7 Bei einer Ablenkungspannung von etwa 27 V beträgt die Ablenkung im Feld 1,8 mm.

T'

229

Das magnetische Feld

4.2

Das magnetische Feld

4.2.1

Magnetische Felder von Dauer- und Elektromagneten

Das Phänomen des Magnetismus ist schon seit dem Altertum bekannt. Elektromag netismus wurde erstmals 1820 durch den dänischen Physiker HANS-CHRISTIAN OERSTED (1777-1851 ) nachgewiesen. Magnete sind Körper, die andere Körper in ihrer Umgebung (Körper aus Eisen, Nickel oder Cobalt, stromdurchflossene Leiter) magnetisch beeinflussen .

Dabei wird zwischen Dauermagneten und Elektromagneten unterschieden. Dauermagnete bestehen aus ferromagnetischen Stoffen. Sie weisen winzige Strukturen auf, die sich wie k le ine Magnete verhalten. Im unmagnetisierten Zustand sind diese Elementarmagnete ungeordnet. Unter dem Einfluss eines Magneten können sie sich ausrichten. Der betreffende Körper wird selbst zum Magneten. 1

000 • ••

• •• •••

Dauermagnete unterschiedlicher Form

=~B~~

a

:f~~~ ~~

b

===== = ==== ===== =====

•

I

HANS CHRI5TIAN

entd eckt e 1820, dass ein strom durchflossener Leiter eine Magnetn adel beei nfl usst . OERSTED

• Dauer- oder Permanentmagnete werden heute meist aus Legierungen und Oxid werkstoffen (Bariumund Eisenoxid, Neodym) hergestellt. Sie können in beliebige Formen gebracht werden.

~cPt7=B ~

Unm agnetisie rtes (a) und magnetisiertes (b) Eisen im Modell --1

i Eine magnetische Wirkung tr itt auch um stromdurchflossene Leiter, insbesondere stromdurchflossene Spulen auf. Solche Anordnungen werden als Elektromagnete bezeichnet. Ein Magnet übt auf andere Magnete und auf Körper aus ferromagneti schen Stoffen Kräfte aus. Die Bereiche mit der größten magnetischen Kraft werden als Magnetpole bezeichnet. Gleiche Magnetpole stoßen sich ab.

IN

51

8

8

8

8

15

NI

=

=Q

=

=Q

Ungleiche Magnetpole ziehen sich an.

IN

8

8

(.)

(.)

15

51

== =4]

NI

== =4]

In der Technik genutzte Elektromagneten bestehen zumeist aus einer Spule mit Eisenkern.

•

l

Körper aus ferro mag net ischen Stoffen w erd en von ei nem Magneten angezogen. Drehbare Kö rpe r rich ten sich im Bereich eines Magneten in bestimmter W eise aus.

Elektrizitätslehre und Magnetismus

230

-----------------------------------

---------

Au ch w enn ma n einen M agn eten ze rte ilt, hat je der Teil wi eder zw ei Pol e, einen Nordpol und einen Südpol. Keramisch e M agnet e könn en auch mehr al s ein Pol paa r haben, wi e das Feldlinienbild des M agneten aus einem Fahrraddynamo zei gt.

Jedem Magneten kann mindestens ein Nordpol und ein Südpol zugeordnet werden . Der Raum um einen Magneten, in dem auf andere Magneten oder auf Körper aus ferromagnetischen Stoffen Kräfte ausgeübt werden, befindet sich in einem besonderen Zustand . In ihm existiert ein magnetisches Feld. Ein magnetisches Feld ist der Zustand des Raumes um einen Magneten, in dem auf andere Magnete bzw. Körper aus ferromagnetischen Stoffen Kräfte ausgeübt werden. Ein magnetisches Feld ist nur an seinen Wirkungen erkennbar und nachweisbar. Magnetische Felder können wie elektrische Felder mithi lfe von Feldlinienbildern dargestellt werden (/ S. 214). Ein Feldlinienbild als Modell des magnetischen Fe ldes macht A ussagen über die Kräfte auf Probe kö rper (z. B. kleine M agnete). Dabe i gelten analoge Au ssagen wie für Feldlini enbilde r elektrischer Felder (/ S. 214) . Der Verlauf von Feldlin ien lässt sich experimente ll mithi lfe kleiner Magnete oder mithilfe von Eisenfei lspänen darstellen. Kleine Magnete richten sich im Magnetfeld aus.

....

\ \ I ..;---~,,-\ \ I I I J .,.r .... \ I I ; ... I \ f

\

'-

"-

... .;

;

.;

"

Eisenfeilspäne ordnen sich im Magnetfeld zu Ketten an.

I

/

....

,

;

;

.I

\

.... / f f \

'".......... - ...... / ;

,

\,

"-

,

; + \. ;

Ein Feldlinienbild ist ein Modell des real existierenden magnetischen Feldes. Kl ein e M ag netnade ln richten sich im mag netischen Feld so aus, dass si e parall el zu den Feldlinien sind. Di e Richtung der Feldlini en gibt bei Perm anentm agneten die Richtung der Kraft auf ein en magneti sch en Nordpol an.

Feldlinienbild eines Stabmagneten

Feldlinienbild eines Hufeisenmagneten

Das magnetische Feld

Feldlinienbild um einen stromdurchflossenen Leiter

Feldlinienbild einer stromdurchflossenen Spule

+

N

+

Magnetische Feldlinien sind im Unterschied zu elektrischen Feldlinien geschlossen. Sie haben keinen Anfang und kein Ende. Deshalb kann man nach dem Verlauf der Feldlinien ein Magnetfeld im Unterschied zu einem elektrischen Feld ( / S. 215) auch folgendermaßen charakterisieren:

231

Di e Richtung der Feldlinien ergibt sich aus fo lgender Regel: Zeigt der Daumen der linken Hand in Richtung des Elektronen strome s (von - nach + ), dann geben die gekrümm ten Finger die Richtung der Feldlinien an.

Das magnetische Feld ist ein quellenfreies Wirbelfeld . Diese Aussage gilt auch für Permanentmagnete, selbst wenn man dort aus Gründen der Zweckmäßigkeit meist keine geschlossenen Linien zeichnet. Das Magnetfeld der Erde Die Erde ist ein großer, wenn auch relativ schwacher Magnet. Die magnetischen Pole liegen in der Nähe der geografischen Pole, wobei sich im Norden der magnetische Südpol und im Süden der magnetische Nordpol befinden. Die Lage der Pole ändert sich mit der Zeit. In Erdnähe ist die Form des Erdmagnetfeldes vergleichbar mit dem Magnetfeld eines Stabmagneten ( / S. 230). Untersuchungen mithilfe von Satelliten haben ergeben, dass das Erdmagnetfeld durch die von der Sonne ausgehende Strahlung von geladenen Teilchen (Sonnenwind) erheblich deformiert wird und dass es auf der sonnenabgewandten Seite weit in den Raum hinausreicht. Das Erdmagnetfeld beeinflusst erheblich die Bewegung geladener Teilchen ( / S. 239). Magnetfeld der Erde in Erdnähe

Ursachen des ErdmagnE tfeldes si nd Ströme im Erdinn eren, die durch eine Art selbsterregten Dynamo zustande kommen.

Magnetfeld der Erde in größerer Entfernung von ihr

Durch den Sonnenwind wird das Erdmagnetfeld in Richtung Sonne regelrecht "zusammengedrückt". Der Schweif in Gegenrichtung reicht weit in den Weltraum hinaus.

232

Elektrizitätslehre und Magnetismus

4.2.2 Beschreibung magnetischer Felder durch Feldgrößen Die Richtung der Kraft kann mithi lfe der Linke-Hand-Regel ( / S. 236) bestimmt w erden : Zeigt der Daumen der linken Hand in Rich tung des Elektron enstromes und der Zeigefinger in Richt ung des magnetischen Feldes, so gibt der M itte lfinger d ie Richtu ng der Kraft an. Richtung der Kraft

El ektronenstrom Richtung des Magn etfeldes Mitunter nutzt man statt der Linke-HandRegel auch die Recht<. < .,d( / S. 236).

Befindet sich ein stromdurchflossener Leiter in einem Magnetfeld, so wird auf ihn eine Kraft ausgeübt. Diese Kraft hängt ab - von der Stärke des Magnetfeldes, in dem sich der Leiter befinn det, - von der Stromstärke und - von der Länge des Leiters. Die Richtung der Kraft ist sen krecht zur Richtu ng des magnetischen Feldes und senkrecht zur Strom richtung. Eine genauere Untersuchung der Zusammenhänge in einem homogenen Magnetfeld ergibt: Bei konstanter Länge [ ist die Kraft umso größer, je größer die Stromstärke ist: F- I - Bei konstanter Stromstärke ist die Kraft umso größer, je länger der stromdurchflossene Leiter ist, der sich im Magnetfeld befindet:

F- I Die Zusammenfassung der Proportionalitäten ergibt : F - I . I oder L

/. /

• Statt von magnetische r Flussdichte wird auch von magnetischer Induktion gesprochen.

= konstant

W eitere Untersuchungen zeigen: In einem stärkeren Magnetfeld ist der Quotient größer, in einem schwächeren kleiner. Er ist somit geeignet, die Stärke eines Magnetfeldes zu kennzeichnen. Aus historischen Gründen bezeichnet man die Größe als magnetische Flussdichte. Die magnetische Fl ussdichte gibt an, wie stark ein Magnetfeld ist. Form elzeich en: B Einheit: ein Tesla (1 T), 1 T = 1 -A N

·m

Benannt ist die Einheit der magnetisch"n Flu~sdichte nach dem kroat ischen Elektrotechniker und Physiker NICOLA TESLJ> (1B56- 1943). Die Richtung der magnet ischen Flussdi chte ist gl eich der Richtung der Fe ldlinien des magnetischen Feldes.

Unte r der Bedingung, dass sich ein stromdurchflossener Leiter senkrecht zu den Feldlinien eines Magnetfeldes befindet, kann die magnetische Flussdichte berechnet werden mit der Gleichung: B

= , F. /

F

Kraft auf den stromdurchflossenen Leiter Stromstärke Länge des Leiters

Befindet sich der stromdurchflossene Leiter nicht senkrecht zu den Feldlinien, sondern unter einem beliebigen W inke l a zu ihnen, dann gilt: F = B . I · [ . sin a od er vektoriell geschrieben F = 1(1 x B ).

Das magnetische Feld

Wie beim elektrischen Feld gibt es auch beim magnetischen Feld eine zweite Größe. Die Kennzeichnung magnetischer Felder kann auch mithilfe der magnetische Feldstärke erfolgen. Die magnetische Feldstärke ist ein Maß dafür, wie stark ein Magnetfeld ist.

233

• Meist wird nur noch mit der magnetischen Flussdichte gea rbeit et.

Formelzeichen: H Einheit: ein Ampere durch Meter (1.6.) m

Zwischen den beiden Größen zur Beschreibung magnetischer Felder besteht, ähnlich wie bei den Feldgrößen des elektrischen Feldes ( / 5. 218), ein enger Zusammenhang. Die magnetische Flussdichte B und die magnetische Feldstärke H sind folgendermaßen verknüpft: 110 f..L r

magnetische Feldkonstante Permeabilitätszahl

• Die magnetische Feldkonstante hat einen Wert von

P o = 1,257 . 10- 6 ~ . ,~

Ein Leiter von 4 cm Länge befindet sich in einem Magnetfeld und wird von einem Strom der Stärke 5,1 A durchflossen . Auf ihn wirkt eine Kraft von 2,2 . 10- 2 N. Wie groß ist die magnetische Flussdichte des Feldes? Analyse: Da kein Winkel zwischen Leiter und Richtung des Magnetfeldes an gegeben ist, gehen wir davon aus, dass beide senkrecht zueinander sind. Dann kann die 5. 232 genannte Definitionsgleichung für die Flussdichte angewendet werden. Gesucht: Gegeben:

B 1= 4 cm = 0,04 m 1= 5,1 A F= 2,2 . 10- 2 N

Lösung: Für den Fall I und damit I senkrecht zu B gilt für die Flussdichte:

B

= .L /. /

B

=

B

= 0,11

Für die Einheiten g ilt :

2,2· 1O- 2 N 5,1 A· 0,04 m

T

Ergebnis: Die magnetische Flussdichte beträgt 0,11 T. Die magnetische Feldstärke, berechnet mit H = .!!.. , würde dann 87500 .6. betragen . 110 m

1 - N- = 1 T

A· m

.C_2_3_4______________E_le_k_t_ri_z_it_ä_ts_le_h_r_e_u_ n_d__M__ ag~ ne_t_is_m __ u_s ______________________

• Sind zwei parallel zueinander liegende Leiter vorhanden und werden beide von St rom durchflossen, so beeinflussen sich di ese beiden Leiter: Bei gleicher Strom richtung wir kt ei ne anziehende Kraft, bei entgege ng esetzter Stromrichtung ein e abstoß en de Kraft.

• Die Permeabilitätszahl ist eine Stoffk onstante. Sie gibt an, wie vi el Mal so groß di e magnetische Flussdichte wird, wenn sich in ihrem Inneren statt ein es Vakuums bzw. Luft ein Stoff befind et .

• Di ese besondere spulenanordnung ge ht auf den deutschen Physik er HERMANN VON HELMHOlTZ (1821 - 1894) zu rück. Man beze ichn et sie des halb als HELMHOLTZ-spulen.

Das Magnetfeld um stromdurchflossene leiter und Spulen Die Stärke des Magnetfeldes um ei nen geraden stromdurchflossenen Leiter ist umso größer, - je größer die Stromstärke ist, - je kleiner der Abstand vom Lei ter ist. Für das Magnetfeld eines geraden stromdurchflossenen Leiters gilt: B = 110' !-I r

. -

' -

2rr'

r

.+

(I1r = 1 für Luft)

Bei einer Spule hängt die magnetische Flussdichte entscheidend davon ab, welcher Stoff sich in der Spu le befindet. Im Verg leich zu einer luftgefüllten Spule kann eine stoffgefüllte Spule eine vielfach größere magnetische Flussdichte im Inneren aufweisen. Die magnetische Flussdichte im Inneren einer langen, stromdurchflossenen Spule kann berechnet werden mit der Gleichung: N ·' B =110 'I1r' L !-IO

I1 r N

Stromstärke durch die Spule Länge der Spule

magnetische Feldkonstante Permeabilitätszahl Windungszahl der Spule

Mithilfe einer speziellen Spulenanordnung kann man ein weitgehend homogenes Magnetfeld erzeugen . Zwei kurze Spulen mit großem Ra dius R werden parallel zueinander im Abstand 5 aufgestellt. Die Überlagerung der Magnetfelder beider Spulen ergibt in Achsenn ähe ein weitgehend homogenes Magnetfeld, das gut für experimentelle Untersuchungen genutzt werden kann. Für solche Spulen (H ELMHOLTZSpulen) gilt: B =Po .

N · R2 - -- - - 3 ·

(R 2 +5 2 ) 2

Ebenso wie das elektrische Feld besitzt das magnetische Feld Energie. Die Energie, die im Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule gespeichert ist, kann berechnet werden mit der Gleichung: E = ~L . /2

L

Induktivität der Spule (/ S. 251) Stromstärke durch die Spule

235

Das magnetische Feld

4.2 .3 Geladene Teilchen und Stoffe in magnetischen Feldern Die LORENTz-Kraft

Bewegen sich geladene Teilchen senkrecht zu den magnetischen Feldli nien, so wird auf sie im Magnetfeld eine Kraft ausgeübt. Diese Kraft wird als LORENTz-Kraft bezeichnet. Die LORENTZ-Kraft ist die Kraft, die auf einzelne bewegte Ladungsträger in einem Magnetfeld wirkt.

i Benannt ist di ese Kraft nach dem ni ederl ändischen Physiker HENDRIK ANTON lORENTZ (1853 - 1928). der sie 1895 in die Elektrodynamik einführte.

Der Betrag dieser Kraft kann unter der Voraussetzung, dass Bewegungsrichtung und Richtung des Magnetfeldes senkrecht zueinander stehen, folgendermaßen ermittelt werden: In einem Leiter bewegen sich Elektronen mit einer mittleren Driftgeschwind igkeit v: Die N Elektronen im Bereich .eines Leiterstückes der Länge 1bewegen sich in der Zeit t durch einen Leiterquerschnitt, haben also die Geschwind igkeit v = ~ . Dann beträgt die Stromstärke im Leiter: 1=

g =~ t

t

(1)

Die Kraft auf ein Leiterstück der Länge I in einem Magnetfeld beträgt (/ S. 232): FL B . 1 . I

= (2) Setzt man (1 ) in (2) ein, so erhält man: FL = B . N . e . ~ Mit N . e

=Q

und ~

= vergibt sich

FL = Q . v· B.

Unter der Voraussetzung, dass die Bewegung geladener Teilchen senkrecht zur Richtung des Magnetfeldes verläuft, kann der Betrag der LORENTz-Kraft berechnet werden mit der Gleichung : FL = Q. v · B

Q v

B

Ladung des Teilchens Geschwindigkeit der geladenen Teilchen magnetische Flussdichte

Die LORENTZ-Kraft wirkt senkrecht zur Bewegungsrichtung und senkrecht zur Richtung des Magnetfeldes (vgl. /' S. 232).

Aus der Gleichung und den Bedingungen ergeben sich folgende Schlussfolgerungen: - Da die LORENTz-Kraft so wie die Radialkraft (/ S. 82 ) immer senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt, ändert sich nur die Richtung, nicht aber der Betrag der Geschwindigkeit der Teilchen. In einem homogenen Magnetfeld (8 = konstant) ist die Kraft konstant. Die geladenen Teilchen bewegen sich auf kreisförmigen Bahnen. Die Kräfte auf positi v und negativ geladene Teilchen gleicher Ladung sind entgegengesetzt gerichtet, haben aber bei gleicher Geschwindig keit und gleicher magnetischer Flussdichte den gleichen Betrag.

•

l

Für Elektronen und Proton en beträgt die Ladung Q =e = 1,602 . 10- 19 C

236

i Sie wird auch als Drei Finger-Rege l oder als UVW-Regel bezeichnet. Nutzt man die rechte Hand, dann zeigt der Daumen in Richtung der Bewegung positiv geladener Teilchen. Die Regel wird dann Rechte-Hand-Regel genannt.

• Statt sin (X schre ibt man auch häufig: sin
• Bei dieser und all en folg enden Darste llungen bede utet:

Elektrizitätslehre und Magnetismus

Die Richtung der Kraft auf geladene Teilchen und damit auch auf stromdurchflossene Leiter ergibt sich aus der Linke-Hand-Regel. Daumen: Zeigefinger: M ittelfi nger:

Richtung des Elektronenstromes von - nach + (Ursache) Richtung des magnetischen Feldes (Vermittlung) Richtung der Kraft (Wirkung)

+ -

Itr-=:

Stromrichtung (von - nach +)~ Kraftrichtung

( N --) S)

Bewegen sich die geladenen Teilchen nicht senkrecht, sondern unter einem beliebigen Win kel CI. zur Richtung des Magnetfeldes, dann gilt für die LORENTz-Kra f t: FL = Q . v· B . sinCl. od er allgemein

F = Q . (vx B)

Daraus folgt: - Bewegen sich geladene Teilchen parallel zu den Feldlinien des magnetischen Feldes ( CI. = 0), so ist die LORENTz-Kraft null. Die Teilchen werden in ihrer Bewegung nicht beeinflusst. - Bei senkrechtem Eintritt in das Feld wirkt die LORENTz-Kraft als Radialkraft. Di e geladenen Teilchen bewegen sich auf kreisförmigen Bahnen (Skizze links) . - Bei schrägem Eintritt in das Magnetfeld (Sk izze rechts) wirkt ebenfalls die LORENTz-Kraft, aber mit dem Betrag F = Q . Vs . B. Dabei ist Vs die Geschwindi gkeitskomponente senkrecht zu den Fe ldlinien. Die Geschwindigkeitskomponente vp parallel zu den Feld linien bewirkt, dass die Kreisbahn im dargestellten Fall nach rechts "auseinandergezogen" wird und damit eine spiralförmige Bahn entsteht . Bewegung senkrecht zu den Feldlinien des Magnetfeldes

Bewegung schräg zu den Feldlinien des Magnetfeldes

·Vs ~ -v ';

Das Magn etfel d ze igt in die Bl attebene hinein. Die umgekehrte Ri chtung wird durch Punkte markiert.

Richtung des magnetischen Feldes

, .' -, ',/ - ,-

~

,l,

:'

"

"

, ' " " , ",

,\"

';

Die Elektrone~ewegen SiC~ Die Elektronen bewegen sich auf einer kreisförmigen Bahn. einer spiralförmigen Bahn.

--

---

--

I

--

2EJ

Das magnetische Feld

Bestimmung der spezifischen ladung und der Masse von Elektronen Die Ablenkung von Elektronen in homogenen Magnetfeldern kann genutzt werden, um ihre spezifische Ladung zu bestimmen. Dazu werden in einer speziellen Röhre, die sich im homogenen Magnetfeld von HELMHOLTz-Spulen (/ S. 234) befindet, Elektronen im elektrischen Feld beschleunigt und im magnetischen Feld abgelenkt.

Anode

Elektronenstrah l

i In analoger Weise könn en auch di e spezifi sche Ladung und die Masse von Protonen oder von and eren geladenen Teil ch en ermittelt w erden.

•

I

Durch ein e Gasfül lung wird die Bahn der El ektronen sichtbar: Die schn ellen Elektronen re gen das Gas zum Leuchten an .

Aus einer Glühkatode treten Elektronen aus und werden im elektrischen Feld durch eine Spannung U beschleunigt. Dabei erreichen sie die Geschwindigkeit v = ~ (1). Durch das homogene Magnetfeld werden sie auf eine Kreisbahn gezwungen. Die LORENTz-Kraft wirkt dabei als Ra dialkraft. Es gilt:

J2U .

m .~ r

=e . v . B

(2)

Dividiert man durch v und setzt (1) in (2) ein, so erhält man: m· J 2U . ~ _

--'-_--"'m

r

=

e .B

Quadrieren der Gleichung und Umstel len nach ~ ergibt: i'.

m

= 8 22 .Ur 2

Alle rechts stehenden Größen sind messbar, damit die spezifische Ladung ~ experimentell ermittelbar. •

Bei einer Beschleunigungsspannung von 200 V und einer magneti schen Flussdichte von 1,0 mT wird ein Durchmesser des Elektronen strahis von 9,5 cm ermittelt. Bestimmen Sie aus diesen experimentellen Daten die spezifische Ladung des Elektrons! Analyse: Wir gehen davon aus, dass die Bedingungen für die Anwendbarkeit der abgeleiteten Gleichung (homogen es Magnetfeld, V'.l ä, Geschwindigkeit der Elektronen unmittelbar nach Austritt aus der Katode null) erfüllt sind . Dann kann die obige Gleichung zur Berechnung der spezifischen Ladung von Elektronen genutzt werden.

Die magnetische Flussdichte kann man entweder mit ein er HALL-Sonde ( / S. 239) direkt m eso sen oder aus der räuml ich en Anord nung der HELMIIOLrzSpul en bei Kenntnis der Stromstil,ke durch di e Spul en berechn en ( / S. 234).

~ 8 __________,___E _I_e_k_ t r_iz_i_ta_"t_s_le_h_r_e_u __ n_ d_M __a_g_n_e_t _ is_m_u_s______________________________

-

Gesucht: Gegeben :

Für die Einheiten gilt: 1 __V__ = V·m

m2

Lösung:

V · 52

2U 8 2 . r2

~

2·200 V (10 - 3 T) 2 . (4.75' 1O- 2 m) 2

m

= 1~ V . S2 . kg

~ =1 77 '1 0 11~ m ' kg

=1N , m=1 ~ V · kg V · kg 1V . A · s

V kg

kg

~

m

= 1~

=1 ~

= 200 V = 1,0 mT= 10- 3 T d = 9,5 cm -7 r = 4,75 cm = 4,75· 10- 2 m

4

V 2 . 52 ,

=

m

B

T2, m 2

= 1

~

U

1~ kg

Ergebn is: Aus den Messungen ergibt sich fü r d ie spez ifische Ladung des Elektrons ein Wert von 1,77.10 11 C · kg- 1 . Der Tabellenwert der spezifischen Ladung des Elektrons beträgt 1,7 59.1 0 11 C· kg- 1 . Kennt man die Elementarladung, so kann die Masse des Elektrons ermitte lt werden .

Die spezifische Ladung des Elektrons beträgt ~ = 1 759 · 10 11 ~ m ' kg ' seine Masse (Ruhemasse) m E = 9,1 09 . 10- 31 kg. Der HAll-Effekt Ben annt ist der Effekt nach dem amerikan isch en Physiker EDWIN HERBERT HALL

(1855 - 1938). der ihn 1879 entdeckte .

Die Erscheinung, dass geladene Teilchen, die sich im Magnetfeld bewegen, beeinflusst werden , ze igt sich auch bei stromdurchfl ossenen Lei tern. Wird ein flächenhafte r stromdurchflossener Leiter senkrecht zur Driftgeschwindigkeit der Elektronen von einem Magnetfeld durchsetzt, so kann man zwischen den Punkten A und B (siehe Skizze) eine Spannung nachweisen .

• Di e Richtu ng der Kraft auf di e Elekt ro nen kan n man mithilfe der Linke-HandRegel (/ S. 236) ermitteln. Sie werden nach unten abgelenkt.

Diese Spannung wird als HAll-Spannung bezei chnet. Das Zustandekom men lässt sich mithilfe der LORENTZ-Kraft deuten: Infolge ihrer Bewegung im Magnetfeld werden die Elektronen im skizzierten Fall nach unten abgelenkt. Es kommt im Punkt B zu einer Vergrößerung und im Punkt A zu einer Verringerung der Elektronenanzahl, demzufolge zu einer Spannung zwischen diesen be iden Punkten.

239~

Das magnetische Feld

Der Betrag der HALL-Spannung hängt von der Stromstärke, der magnetischen Fl ussdichte u nd der Dicke d des Leiters (/ s. Skizze S. 238) ab. Die HALL-Spannung kann berechnet werden mit der Gleichung UH

= RH ' 1"/

RH HALL-Konstante (Stoffkonstante) I Stromstärke B magnetische Flussdichte d Dicke des Leite rs

Den genannten Zusammenhang kan n man nutzen, um die magnetische Flussdichte und damit die Stärke von Magnetfeldern direkt zu messen . Eine solche Anordnung wird als HAll-Sonde bezeichnet. Bedeutung von Kräften auf geladene Teilchen

• Die genannte Gl eichung für di e HALLSpannung lässt sich theoretisch herleiten. Der Faktor RH ist eine Stoffkonstante und ist gleich dem Keh rwert der Ladungsträgerd ichte im betreffenden Leite r:

RH =~

N ·e

Kräfte auf geladene Teilche n in magnetischen Feldern spielen in Natur und Technik eine wichtige Rol le und werden in vielfacher W eise genutzt. Die Strahlungsgürtel der Erde kommen zustande, weil energiereiche Te ilchen vom Magnetfeld der Erde eingefangen werden und \ .. .' in bestimmten Höhen längs de r . I" " , ., .,-1' Fe ldlinien zwischen den Polen hin und herschwingen . Das Auftreffen energiereicher Strahlung in Pol nähe auf Luftmoleküle führt zur Erscheinung der Polarlichter, die vor allem in polaren Reg ionen häufig zu beobachten sind. Technisch genutzt wird die LORENTz-Kraft beispielsweise zur Able n kung von Elektronenstrahlen in Fernsehbildröhren, be i Teilchenbeschleu nigern wie dem Zyklotron und dem Sy nchrozyklotron oder bei magnetischen Flaschen, mit denen man ein Plasma in einem Raumbere ich regel recht einschließen kann. Bei Elektronenmikroskopen nutzt man magnetische linsen, die auf Elektronenstrahlen ähnlich wirken w ie optische Linsen auf Licht.

.• ..

,

..... I\~

'

Bewegungen vo n geladenen Te ilchen in kombinierten elektrischen u nd magnetischen Feldern Die b ishe ri gen Betrachtungen beziehen sich auf die Bewegung von gela denen Teilchen in elektrischen oder magnetischen Feldern. Für verschiedene Zwecke ist es sinn voll, diese Felder miteinander zu kombin ieren. Die gleichzeitige Ablenkung von geladenen Teilchen in elekt rischen und magnetischen Feldern kann man nutzen, um - Präzisionsmessu ngen der spezifischen Ladung Qlm und dam it der Masse m von Teilchen (Elektronen, Protonen, ionisierten Atomen und Molekülen) durchzuführen, - Teilchen mit kleinsten Massedifferenzen voneinander zu trennen.

• Entdeckt wurden die Strah lungsgürtel der Erde in Auswertung von Sate llitenmessu ngen 1958 von dem US-a merikanischen Astronomen und Physiker JAMESALFREDVAN ALLEN (geb. 1914).

• Mag netische Flaschen spie len z. B. bei Untersuchung en zur Kernfusion ei ne wich tige Rolle, da der Einschluss eines Plasmas im M agnetfeld "berüh ru ngslos" erfo lgt, d. h. ohne dass es die Wandung berührt.

~ ---

Den erste n Nachweis ei nes Isotops mittels Ablenkung durch elektrische und magnet ische Felder führten 19 12 die briti sche n Physiker FRAN· CIS WILLIAM ASTON (1877- 1945) und Joseph JOHN THOMSON (1 856-1940) . 1919 entwickelte ASTON einen Massenspektografen mit gekreuztem elekt ri schen und mag net ischen Feld (s. Skizze). Für seine Arbeiten erh ielt er 1922 den Nobelpreis für Chem ie.

Elektrizitätslehre und Magnetismus

Eine Anordnung, m it der geladene Teilchen k leinster Massedifferen zen voneinander getrennt werden können, wird als Massenspektroskop oder als Massenspektrograf bezeichnet. Die Skizze ze igt den prinzipiel len Aufbau und den Bahnverlauf bei positi v geladenen Ionen.

x

x

x

x

)(

x

x

)( -

)( )(

gekreuztes elektrisches und magnetisches Feld

x

)(

x

)(

x

)( )(

)(

x

x

x

)(

x

)(

)(

)( )( )(

x x x

x

x

x

)(

x Quelle von Ionen

)(

x

magnetisches Feld

Von einer Ionenquelle treten geladene Ionen aus, die zunächst unterschiedliche Geschwindigkeiten besitze n. Sie treten in ein gekreuztes elektrisches und magnet isch es Feld ein. Positiv geladene Ionen werden vom elektrischen Feld nach unten, vom magnetischen Feld nach oben abgelenkt. Nur die Ionen, bei denen die beiden Feldkräfte gleich groß sind, durchlaufen das gekre uzte Feld geradlinig. Das ist der Fall, wenn gilt:

Fel = Q . E = Q . v · ß

= Fmag n und damit

v= ~

B

Teilch en mit and ere n Geschwindigkei ten werde n nach oben oder unte n abgelenkt un d ge lange n ni cht in das mag net ische Fe ld.

Das bedeutet: Alle geladenen Teilch en, di e das gekreuzte Feld geradlinig durchlaufen, haben die gleiche Geschwindigkeit v = EIß. Das gekreuzte Feld wirkt als Geschwindigkeitsfilter. An schließend treten d ie gelad enen Teilchen in ein zweites homogenes M ag netfe ld konstanter Stärke ein. Die Abl enkung in diesem M agnetfeld erfo lgt durch die LOR ENTz-Kraft. Es gilt: Q . v· ß'= m · ~

Mit v = ~ erhält man die Gleichung :

• So besteht z. B. W asse rstoff aus den drei Isotopen

~H (99, 985 % ), ~ H (Deuter ium; 0,01 5 % ) un d

~ H (Triti um; 0,000 1 % ). Ihre Massen verhalten sich wie 1 : 2 : 3.

Q= _ E _ m

r · B · B'

Der Radius der Kreisbahn im magn etischen Feld ist bei konstante r Stärk e des elektrischen und der magnetischen Felder nur von der spezifischen Ladung d er Teilchen abhäng ig. Aus E, r, ß und ß' lässt sich die spezifische Ladung best immen. Kennt man d ie Ladung der Ionen, kann man aus der spezifischen Ladung die Ionenmasse berechnen . Di e Entwicklung der Massenspektroskopie war ein wichtiger Schritt auf dem Weg zur Erforschung von Atom ke rnen. Mithilfe massenspektroskopischer Untersuchungen fa nd man heraus, dass fast alle Elemente aus verschiedenen Isotopen ( / S. 402) bestehen.

Das magn etische Feld

------

Stoffe im magnetischen Feld

•

Die Stärke des Magnetfeldes um eine Spule hängt davon ab, welche r Stoff sich in der Spule befindet ( / S. 234). Allgeme in gilt: Die Veränderung der magnetischen Flussd ichte B in einem Stoff gegenüber der magnetischen Flussdichte Ba im Vakuum wird durch die Permeabilitätszahl flr erfasst. Es gilt: _ B oder B Ji r . Ba Ji r - Ba

=

Nach dem Wert von Pr unt erscheidet man drei Gruppen von St off en.

l

diamagne~ iSChe

ferromagnetische Stoffe

paramagnetische Stoffe

Stoffe

Pr » 1

Pr > 1

Pr < 1

Eisen, Nickel, Cobalt, spezi elle Leg ierungen Magnetfelder werden stark beeinf lusst.

241

Aluminium, Pla tin, Luf t (Pr = 1,00000037)

Antimon, Gold, Wasser, Zink, Kupfer, Glas

1Magnetfelder werden durch-diese Stoffe nur wenig beeinflusst.

Di e spezif ischen Ei ge nsc haft en fer romag net ischer St offe kom men durch die Ausr ichtung der weißsehen Bereiche zustande. Von großer t ec hnischer Bedeutun g si nd magnetisch weiche und harte Stoffe sow ie der Restmagnetismus, de r bei f erromag netischen St of fen auftritt.

• A usführl iche Informatione n zu Stoffen im Magnetfeld si nd auf der CD zu f in de n.

Vergleich statischer elektrischer und magnetischer Felder statisches elektrisches Feld

statisches magnetisches Feld

existiert um elektrisch geladene Körper

T existiert um Dauermagnete und um strom I

durchflossene Leiter

kann mithilfe von Feldlinienbildern beschrieben werden ; Die Feldl inien beginnen und enden an Ladungen.

kann mithilfe von Feldlinienbildern beschrieben werden; Die Feldlinien sind geschlossene Linien .

ist ein wirbelfreies Quellenfeld

ist ein quellenfreies Wirbelfeld

feldbeschreibende Größen:

feldbeschreibende Größen :

elektrische Feldstärke:

E = f.. Q

magnetische Flussdichte:

dielektrische Verschiebung:

D = EO . Er . E

magnetische Feldstärke :

B = ...L

/. / H = PO · P r · B

l7 ..1 ä mit

wirkt auf geladene Teilchen mit der Feldkraft:

wirkt auf geladene Teilchen bei der Feldkraft:

F = O· E

F= O ·v ·B

besitzt Energi e, z. B. beim Feld eines geladenen Kondensators:

besitzt Energie, z. B. beim Feld ein er strom durchflossenen Spule:

E = !O . U = ! C . U 2

E= ! L . /2

2

2

2

242

Elektrizitätslehre und Magnetismus

----

4.3

Elektromagnetische Induktion

• Wichtige Untersuchungen zum Elektromagnetismus führte auch A .M. AMPERE (1775 - 1836) durch. Er entdeckte 1820 di e Kräfte zwi sche n strom durchflossenen Leitern .

1819 fand HANS CHRISTIAN OERSTED (1777- 1851) den Zusammenhang zwischen elektrischem Strom und Magnetismus: Jeder stromdurchflossene Leiter ist von einem Magnetfeld umgeben. In den nachfolgenden Jahren untersuchte M. FARADAY (1791 - 1867) intensiv den Zusammenhang zwischen Magnetfeldern und Strömen, ausgehend von der Frage: Kann man mithilfe von Magnetismus elektrischen Strom erzeugen? Das führte ihn 1831 nach etwa 10-jähriger Forschungsarbeit zur Entdeckung der elektromagnetischen Induktion und des Induktionsgesetzes. Das Induktionsgesetz ist eine entscheidende physikalische Grund lage für die gesamte Elektrotechnik. So beruht z. B. die Wirkungsweise von Generatoren und Transformatoren auf diesem Gesetz.

4.3 .1 Grundlagen der elektromagnetischen Induktion Befindet sich ein beweglicher stromdurchflossener Leiter in einem Magnetfeld, so wirkt auf ihn eine Kraft (Skizze links). Er bewegt sich . Das wird auch als elektromotorisches Prinzip bezeichnet. Wird dagegen ein Leiter senkrecht zu den Feldlinien im Magnetfeld durch eine Kraft bewegt (Skizze rechts), so kann man zwischen den Enden des Leiters eine Spannung feststellen. Diese Umkehrung des elektromotorischen Prinzips wird als Generatorprinzip bezeichnet .

• Die Richtung der Kraft bzw. die Rich tung des Elektronenstrom es kann mithilfe der Linke-Hand-Regel ( / 5.236) bestimmt werden. Bei der Bewegung ei nes Leiters im Magnetfeld gilt: Zeigt der Daumen der lin ken Hand in Bewegungsrichtung und der Zeigefinger in Richtung des Magnetfeldes, dann gibt der Mittelfinger die Richtung der Elektronenbewegung an .

elektromotorisches Prinzip

Generatorprinzip

+ -

~ I

Auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld wirkt eine Kraft.

5

(

-

F

-~ v

N

-

()

Bei einem bewegten Leiter im Magnetfeld entsteht eine Spannung. Die Ursache für die Entstehung einer Spannung ist die LORENTz-Kraft, die bei Bewegung eines Leiters im Magnetfeld auf die Leitungselektronen im Leiter wirkt. Die LORENTZKraft bewirkt, dass sich die Elektronen an dem einen Ende des Leiters sammeln. Dort besteht Elektronenüberschuss, am anderen Ende Elektronenmangel, damit zwischen den beiden Enden ein Ladungsunterschied und folglich eine Spannung.

Elektromagn etische Induktion

Der Betrag der Spannung ergibt sich aus folgender Überlegung: Auf die Elektronen im Leiter wirkt die LOR ENTz- Kraft. Ist die Ladungsverschiebung beendet, dann wirkt weiter d ie LORENTz-Kraft FL = B . e . v. Zugleich wirkt in entgegengeset zter Richtung eine elektrische Feldkraft, denn zwischen den beiden unterschiedlich geladenen Enden des Leiters besteht ein elektrisches Feld. Im Gleichgewichtszustand gilt:

Setzt man für die LOR ENTz- Kraft und die Feldkraft ein, so erhält man:

243

• Besteht zw ischen den Enden eines Leiters der Länge I eine Spannung U, so bet rä gt die Fe ldstärke im Leiter E = ~ und di e Feld kraft auf ein Elekt ro n F = e E = e.~

Die Umstellung nach der Spannung U ergibt: U= B·f·v

Wird ein Leiter der Länge f in einem homogenen Magnetfeld senkrecht zu den Feldlinien gleichförmig bewegt, so kann die zwischen seinen Enden auftretende Spannung berechnet werden mit der Gleichung:

B

U= B · l · v (8 1.

v)

I

v

magnetische Flussdichte Länge des Leiters Geschwind igkeit des Leiters

Solche Spannungen t reten auch auf, wenn Spulen in Magnetfeldern bewegt we rden oder wenn sich das von einer Spule umfasste Magnetfeld ändert. Die Erscheinung, dass zwischen den Enden eines Leiters bei Bewegung im Magnetfeld oder bei einer Änderung des Magnetfeldes eine Spannung entsteht, wird als elektromagnetische Induktion bezeichnet. Die Spannung wird Induktionsspannung genannt. Der bei geschlossenem Stromkreis fließende Strom heißt Induktionsstrom.

Induktion im zeitlich konstanten Magnetfeld

Bew egung

Durch Bewegung ein er Spu le im Magnetfeld wird eine Spannung indu ziert.

i Der Beg riff " Induktion " ist abg eleitet von induce re (I at.) = hinei nführen.

Induktion im zeitlich veränderlichen Magnetfeld

Änd erung der Strom st ärke

Durch Änderung der Stärke des M agnetfeldes wird in der Spul e eine Sp annung indu ziert.

244

Elektrizitätslehre und Magn etismus

.~---------------

Alle experimentellen Untersuchungen zur elektromagnetischen Induktion zeig en: In einer Spule wird eine Spannung induziert, wenn sich das von der Spule umfasste Magnetfeld ändert. Der Betrag de r Induktionsspannung ist von verschiedenen Faktoren abhängig . Nachfolgend sind di e bei den charakt erist ischen Fä lle dargestellt, die auch für die Techni k von Bedeutung sind .

• All e nachfo lge nde n Betrachtun ge n we rden am Be isp iel ei ner rechteck igen Leiterschl eife durchgefüh rt. Eine solche Leiterschleife kann aufgefasst werden als eine Wi nd ung ein er Rechteckspule, ein e Spu le demzufol ge als Reih enschaltung von Leitersc hleifen .

Betrag der Induktionsspannung bei zeitlich konstantem Magnetfeld Ein zeitlich konstantes Magnetfeld kann durch einen Dauermagneten oder einen Elektromagn eten bei konstanter Stromstärke hervorgerufen werden. Angenomm en wird ein homogenes Magnetfeld . Die Leiterschl eife befindet sich senkrecht zum Magnetfeld. Wird die Leiterschleife in das M agnetfeld hine inbewegt, so entsteht eine Induktionsspannung . Wi rksam ist dabei die Läng e I.

Zeit pun kt t 2

Zeitpun kt t,

x x

x )(

x )(

x x

x )(

x x x x

)( x x x

)( )(

x x

)(

x

xl ~ / x ~ 1

)(

x

x

x

x

)( )( )(

x

)(

)(

)(

x

)( x x x

x

)(

)(

)( x x )(

x x )( x

)( x

x

)(

)(

x x )( )( )( x

• v

Die Geschwindigkeit vergibt sich aus v = f\2 . Durch Einsetzen erh ält man : M

U· = B . I· f\2 I

Ll t

Das Produkt I . L1s ist gleich der Änderung der Fläche, die vom Magnetfeld durchset zt wird . Es gilt also I · .dS = .dA. Damit erh ält man:

A w =A . cos rp

A

~ Aw

-

Befindet sich die Leiterschleife nicht senkrecht, sondern unt er ei nem beliebigen Winkel rp zu den Feldlinien, dann ist die wirksame Fläche A w kleiner als die Spulenfläche A. Sie hat den Betrag :

_

Di e Zu sa mmenh änge lasse n sich auch dedu ktiv aus der allgemeinen Formuli erung des Induktionsgesetzes ( / S. 246) abl eit en.

Uj= B . [ .

.

•

I

Die im Leiterstück induzierte Spannung beträgt ( / S. 243):

_

Die Fläche ein er Leite rschl eife, d ie von einem M agn etfeld se nkrecht durchset zt wird, beze ichn et man als wirksame Fläche.

A

Ip

Elektromagnetische Induktion

-----------------------

Wird statt ein er Leiterschleife eine Spule mit N Windungen verwendet, addieren sich die Teilspannungen. Die indu zierte Spannung ist N -mal 50 groß wie bei einer einzelnen Leiterschleife. 50

Im zeitlichen konstanten Magnetfeld hängt die induzierte Span nung von der Änderungsgeschwindigkeit der wirksamen Fläche ab. Für Spulen gilt: U · = N· 8 . 6 A I

6t

Windungszahl der Spule 8 magnetische Flussdichte .1A Änderung der wirksamen Fläche M Zeitintervall

Ein zeitlich veränderliches Magnetfeld entsteht , wenn sich bei einem Elektromagneten die Stromstärke ändert, z. B. durch Ein- und Ausschal ten des Stromes oder durch Nutzung einer W echselspannungsquelle. Ein solches Magnetfeld entsteht auch beim Verschieben eines Eisenkerns in einer Spule. Ändert sich das vo n ein er Leiterschle ife oder einer Spule umfasste Magnetfeld mit der Zeit, 50 wird ebenfalls eine Spannung indu ziert. Ursache für die Induktionsspannung ist in diesem Falle nicht die Bewegung zwischen Indukt ionsspule und Magnetfeld, son dern die zeitl ich e Änderung des von der Spule umfassten magnetischen Feldes. Experimentelle Untersuchungen zeigen, dass der Betrag der induzierten Spannung von der Schnelligkeit der Änderung der magnetischen Flu ssdichte abhängt. Im zeit lich veränderlichen Magnetfeld hängt die induzierte Spannung von der Änderungsgeschwindigkeit der magnetischen Flussdichte ab . Für Spulen gilt: I

.1t

6t

Zeitintervall

In d ifferenziell er Schreibweise lautet die Gleichung :

N

Betrag der Induktionsspannung bei zeitlich veränderlichem Magnetfeld

U · =N · A . 6 8

•

N A .18

Windungszahl der Spule wirksame Fläche Änderung der magnetischen Flussd ichte

Der magnetische Fluss Aus den oben genannten Gleichungen ist erkennbar, dass der Betrag der Induktionsspannung sowohl vo n der ze itli chen Änderung der wirksamen Fläche .1A/.1t als auch von der zeitlichen Änderung der magnetischen Flussdichte .1 8 /.1t abhängt. Beide Änderungen können auch gleichzeitig auftret en und führen dann ebenfalls zu einer Induktionsspannung. Es ist deshalb sinnvoll , für eine kürzere und zugleich allgemeine Formulierung des Indukti on sgesetzes die bei den Größen Fläche A und magnetische Flussdicht e 8 miteinander zu verknüpfen. Das geschieht durch die Größe magnetischer Fluss.

Uj

= N·

B·

'1A

~ bzw. ~ ist die Änd erungsg eschw i ndig ke it (ze itliche Än derun g) der Fl äche. Genutzt wird diese Art der Spannungserze ug ung bei Generatoren (/ s. 252f.).

• In differenzi eller Schreibweise lautet di e Gl eichung: Uj = N · A · ~

'M

bzw. ~ ist di e Änd erung sgeschwindigkeit (zeitl iche Än derung ) der magn eti sch en Flussdichte. Genutzt wird d iese Art der Spannun gse rzeugung bei Transformat oren (/ S. 254f.). A ll e hi er genannten Zusa mm enhäng e lassen sich auch dedu kt iv aus der allg emeinen Formuli erung des Induktionsgeselzes (/ S. 246) ableit en.

I

246

• Bena n nt ist d ie Ei nheit d es mag neti schen Flusses nach dem de utschen Physiker WllHElM EOUARO WEBER (1804 - 189 1), der in Götti ngen eng m it eARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1855) zusammenarbeitete. Beide Fo rsche r ba ut en 1833 de n erste n elektrischen Teleg rafe n. W EBER wu rde als ei ner der "G öttinger Sieben" 1837 se ines A mtes enthoben. Er hatte m it 6 weiteren Professo ren gege n die Aufhebu ng de r liberalen Verfassung protestiert.

Elektrizität slehre und M agnetismus

Der magnetische Fluss ist ein Maß für das die Fläche einer Leiterschleife oder Spule durchsetzende Magnetfeld. Formelzeichen : cp Einheit: ein Weber (1 Wb), 1 Wb

=1 V . s

Unter der Voraussetzung, dass die Fläche senkrecht zum Magnetfeld liegt, kann der magnetische Fluss berechnet werden mit der Glei chung:

cp= B· A

B A

magnetische Flussdichte Fläche (wirksame Fläche)

Ansch aulich gedeut et werden ka nn nach M . FARADAY diese Größe fol gendermaßen :

ä A,

Die magnetische Flussdichte ist ein Maß dafür, wie dicht die Feldlinien liegen . In den Ski zzen ist die Flussd ichte links größer als rechts. Dabe i ist A , kleiner als A 2 . Der magnetische Fluss dagegen ist ein Maß für die An zahl der Feldlinien, die senkrecht durch eine Fläche hindurcht ret en. Demzuf olge w äre der magnetische Fluss in beiden Fällen gleich groß .

4.3.2 Das Induktionsgesetz Mithilfe der Größe magnetischer Fluss lässt sich das Induktionsgesetz so formul ie ren, dass es alle Spezialfälle umfasst .

• Das Vorze ichen der Spannu ng hä ngt vom Vo rze ichen der Änd erung des m agn et ischen Flusses ab. Unt er Be rücks icht igung des lenzsehen Gesetzes ( / S. 248) wird deshalb d as Minu szeichen ein geführt .

In einer Leiterschleife oder Spule wird eine Spannung induziert, solange sich der magnetische Fluss durch die Leiterschleife oder Spule zeitlich ändert. Der Betrag der Induktionsspannung kann berechnet werden mit der Gleichung: U= - N . M I

N

Ll t

ßcp ßt

Windungszahl der Spule Änderung des magnetischen Flusses Zeitintervall

In differenzieller Form kann man das Induktionsgesetz folgendermaßen schreiben: U =- N · Q1 =- N . d ( 8 . A) =- N . (d A . B + A . d 8 ) I

dt

dt

dt

dt

Elektromagnetische Induktion

•

Wie groß ist die Induktionsspannung zwischen den Enden einer Spule mit 750 Windungen, die sich in einem Magnetfeld mit einer magnetischen Flussdichte von 30 mT befindet? Die Spule hat eine Länge von 15 cm und einen Durchmesser von 4 cm. Das Magnetfeld wird innerhalb von 0,1 s gleichmäßig auf null verringert. Die Längsachse der Spule schließt mit den Feldlinien einen Win kel von 30° ein . Ana lyse: Es ändert sich die magnetische Flussdichte zeitlich. Die wi rksame Fl äche ist konstant. Dabei muss berücksichtigt werden, dass die wirksame Fl äche k leiner als die Spulenfläch e ist. Die Spulenfl äche kann aus dem Spulendurchmesser berechnet werden . Die wirksame Fläche ergibt sich mit A w = A · cos