Theorie quantique des champs experimentale

J.S. Bell

Th´ eorie Quantique des Champs Exp´ erimentale Traduit de : Experimental quantum field theory, Proceedings of the 1977 CERN-JINR school of physics, Nafplion, Greece, 22 May–4 June 1977 CERN 77-18, 20 October 1977

La th´ eorie quantique des champs ne manque pas de volumes. Quoique ni superficiel ni plat, ce cours de J.S. Bell me semble pourtant, par sa clart´ e et sa concision, combler un vide p´ edagogique et m´ eriter mieux que l’oubli. D´ epouill´ e des complications g´ eom´ etriques inh´ erentes aux spineurs, il devrait satisfaire les bientˆ ot maˆıtre(sse)s en physique, expert(e)s en th´ eorie quantique mais frustr´ e(e)s par les graffiti feynmaniens dont les physicien(ne)s des particules font un usage immod´ er´ e. Bell n’´ etant plus l` a pour se d´ efendre, je me suis interdit toute modification autre que quelques corrections de coquilles, et toute addition de notes qui auraient malencontreusement alourdi l’expos´ e. le 6 avril 1998 Alain Laverne Lab. de physique nucl´ eaire e et. couloir 24-14, 5 ´ Universit´ e Paris7 e 2 pl. Jussieu, Paris V

SOMMAIRE R´ esum´ e . . . . . . . . . . . . . La m´ ecanique quantique . . . . . . . Les ´ equations du mouvement de Heisenberg . Le formalisme canonique . . . . . . . Le champ scalaire r´ eel . . . . . . . . Interpr´ etation en termes de particules . . . Interaction . . . . . . . . . . . . L’op´ erateur S . . . . . . . . . . . El´ ements de matrice S . . . . . . . . Les graphes de Feynman . . . . . . . La renormalisation . . . . . . . . . Probabilit´ es de transition et sections efficaces Le champ vectoriel . . . . . . . . . Vide nu et vide r´ eel . . . . . . . . . Les fonctions de Green . . . . . . . . Int´ egrales fonctionnelles . . . . . . . Th´ eorie de champ euclidienne . . . . . L’ind´ ependance de jauge . . . . . . . Les instantons . . . . . . . . . . Les solitons . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 3 5 8 11 14 15 16 18 20 22 24 28 29 30 33 34 36 39

1 RESUME Je tente ici d’exposer ce qui me semble le minimum indispensable de th´ eorie quantique des champs qui devrait ˆ etre connu des exp´ erimentateurs cultiv´ es de physique des particules. L’adjectif «exp´ erimental» dans le titre qualifie non seulement l’auditoire vis´ e mais aussi le niveau de rigueur math´ ematique ambitionn´ e. LA MECANIQUE QUANTIQUE Commenc ¸ons par quelques points essentiels de m´ ecanique quantique ´ el´ ementaire. Consid´ erons un syst` eme dynamique typique n’ayant, pour simplifier, qu’un seul degr´ e de libert´ e. En m´ ecanique quantique, un ´ etat de ce genre de syst` eme est caract´ eris´ e par une fonction-d’onde Ψ (t, q) (1)

d´ ependant du temps t et de la coordonn´ ee q. L’´ evolution au cours du temps est r´ egie par l’´ equation de Schr¨ odinger ˙ = H Ψ, iℏΨ (2)

o` u l’op´ erateur hamiltonien H est g´ en´ eralement une combinaison de la coordonn´ ee q et de l’op´ erateur diff´ erentiel ℏ ∂ . (3) p= i ∂q Dans ce qui suit, H sera toujours un polynˆ ome en q et p. La quantit´ e dq Ψ ∗ (t, q) Ψ (t, q)

(4)

est suppos´ ee donner la distribution de la probabilit´ e que la coordonn´ ee ait la valeur q au temps t. La valeur moyenne de toute fonction X de q est donc : Z dq Ψ ∗ (t, q) X(q) Ψ (t, q), (5)

l’int´ egrale ´ etant ´ etendue ` a toutes les valeurs de q. On a coutume de faire allusion ` a cette expression sous le nom de valeur moyenne de X, mˆ eme pour des X qui d´ ependent de p aussi bien que de q, et qui sont donc des op´ erateurs diff´ erentiels. Lorsque X est un op´ erateur diff´ erentiel, il semble naturel de se le repr´ esenter comme agissant sur Ψ dans (5), c’est-` a-dire : Z
dq Ψ ∗ (t, q) X Ψ (t, q) . (6)

Mais il est utile d’admettre aussi l’association alternative Z
dq Ψ ∗ (t, q) X Ψ (t, q),

(7)

dans laquelle on imagine que X agit vers la gauche, “en arri` ere”, sur Ψ ∗ . Pour voir comment cela peut se faire, consid´ erons, dans X, un terme de la forme : f (q) p g(q) = f

ℏ ∂ g. i ∂q

Dor´ enavant, nous supposerons que Ψ d´ ecroˆıt bien gentiment ` a l’infini. Alors, par int´ egration par parties sur tout q, Z

  Z   ℏ ∂ ℏ ∂ dq Ψ ∗ f g Ψ = dq − f Ψ∗ g Ψ . i ∂q i ∂q

2 Cela ne fait donc aucune diff´ erence de consid´ erer que p diff´ erencie tout ce qui est ` a sa droite ou tout ce qui est ` a sa gauche — dans la mesure o` u il est bien entendu que ce dernier cas implique un changement de signe. Au prix de ce sous-entendu, l’accouplement (7) est ´ equivalent ` a (6). Moyennant ces actions “en arri` ere” implicites, l’´ equation (X Ψ )∗ = X ∗ Ψ ∗

(8)

(X Ψ )∗ = Ψ ∗ X + ,

(9)

peut s’´ ecrire, parfois plus commod´ ement,

o` u X + , appel´ e le conjugu´ e hermitique de X, est obtenu ` a partir de ce dernier en inversant la suite de tous les facteurs q et p et en conjuguant tous les coefficients num´ eriques. Le changement de signe qui s’introduit lorsqu’on ´ ecrit p ` a droite, plutˆ ot qu’` a gauche, est ´ equivalent ` a la conjugaison complexe de (ℏ/i)(∂/∂q). L’inversion de l’ordre, lorsqu’on ´ ecrit les q et les p du cˆ ot´ e droit, donne l’ordre des op´ erations d´ efinies par X ∗ . Nous aurons souvent affaire ` a des op´ erateurs X autoconjugu´ es hermitiques (ou, simplement, hermitiques), c’est-` a-dire dou´ es de la propri´ et´ e X = X + . Les op´ erateurs hermitiques ont des valeurs moyennes r´ eelles car Z ∗ Z ∗ dq Ψ X Ψ = dq Ψ (X Ψ )∗ Z = dq (X Ψ )∗ Ψ Z = dq Ψ ∗ X + Ψ . D’apr` es (4), la norme de Ψ ,

Z

dq Ψ ∗ Ψ ,

(10)

˙ ∗ = H ∗ Ψ ∗ = Ψ ∗ H +. −iℏΨ

(11)

doit rester constante au cours du temps, de fait ´ egale ` a l’unit´ e, car elle fournit la probabilit´ e eriv´ ee de la norme par rapport au temps, ` a l’aide de toutes les valeurs de q. Calculons la d´ odinger (2) et de sa conjugu´ ee complexe de l’´ equation de Schr¨

Ainsi :

Z Z
d ∗ dq Ψ Ψ = dq Ψ ∗ H + − H Ψ . −iℏ dt

(12)

La constance de la norme est donc assur´ ee en imposant ` a H d’ˆ etre hermitique : H + = H . On peut r´ esoudre formellement l’´ equation de Schr¨ odinger par un d´ eveloppement de Taylor autour de t = 0, avec pour r´ esultat :   2 1i i H t + · · · Ψ (0, q) Ψ (t, q) = 1 − H t + ℏ 2! ℏ =e

it −ℏH

Ψ (0, q) ,

(13)

o` u l’exponentielle de l’op´ erateur est d´ efinie (par exemple) par sa s´ erie enti` ere. De mˆ eme, ` a l’aide de (11) et de H + = H , on a : it

La valeur moyenne

Ψ ∗ (t, q) = Ψ ∗ (0, q) e ℏ Z

H

dq Ψ ∗ (t, q) X Ψ (t, q)

.

(14)

(15)

3 peut donc s’´ ecrire aussi :

Z

avec

dq Ψ ∗ (0, q) X(t) Ψ (0, q) ,

(16)

X(t) = e ℏ

(17)

it

H

Xe

it −ℏH

.

Le formalisme adopt´ e dans (15), o` u les fonctions-d’onde d´ ependent du temps tandis que les op´ erateurs sont ind´ ependants du temps, est appel´ e repr´ esentation de Schr¨ odinger. La valeur moyenne (5), o` u n’intervient qu’un seul ´ etat Ψ , est un cas particulier d’une construction plus g´ en´ erale impliquant deux ´ etats, disons Ψα et Ψβ , ´ eventuellement diff´ erents : Z dq Ψα∗ X Ψβ . (18)

Ces quantit´ es sont appel´ ees ´ el´ ements de matrices de X entre les ´ etats α et β, et not´ ees hα|X|βi .

(19)

A la suite de Dirac, il est commode d’attribuer une signification aux diff´ erentes parties de cette notation composite entre crochets. Ainsi, le bra hα| est mis pour Ψα∗ , le ket |βi pour Ψβ , tandis que le bra-ket complet dans (19) implique l’int´ egration sur q. Avec cette odinger (2) et (11) s’´ ecrivent notation, les ´ equations de Schr¨ d |β, ti = H |β, ti , dt d −iℏ hα, t| = hα, t|H . dt iℏ

(20)

On ´ ecrit ` a l’int´ erieur des crochets partiels | i et h |, les bras et kets, n’importe quels symboles convenant pour identification de l’´ etat en question. Lorsque nous aurons affaire ` a un ´ etat de Schr¨ odinger d´ ependant du temps (dans (20) par exemple), nous ferons g´ en´ eralement figurer le temps t parmi les symboles identificateurs. Remarquez que (8) et une minime g´ en´ eralisation de (9) permettent d’´ ecrire, en notation de Dirac : X|αi


∗

= hα|X +

(8′ )

hβ|X|αi∗ = hα|X + |βi .

(9′ )

LES EQUATIONS DU MOUVEMENT DE HEISENBERG Soit X un polynˆ ome en q et p, ne d´ ependant pas explicitement du temps (autrement dit dont les coefficients sont constants). L’op´ erateur de Heisenberg correspondant est it

X(t) = e ℏ

H

Xe

it −ℏH

.

(21)

En d´ erivant par rapport au temps, on a : ˙ X(t) =−

 i  X(t), H , ℏ

(22)

  o` u le commutateur de deux op´ erateurs est, par d´ efinition, A, B = AB−BA. Le r´ esultat (22) est obtenu grˆ ace aux identit´ es ℏ

it d  ± it H  ± H e ℏ = ±iH e ℏ dt it ± H (±iH ) , =e ℏ

4 dont on peut se convaincre en examinant la s´ erie enti` ere de l’exponentielle. C’est l’op´ erateur de Schr¨ odinger H qui fait irruption en premier dans (22). Mais on peut lui substituer l’op´ erateur de Heisenberg H (t), car it

H

H (t) = e ℏ

it

= H eℏ

He

H

e

it −ℏH it −ℏH

=H.

(23)

Ici, comme souvent par la suite, nous utilisons l’identit´ e e

it ±ℏH

e

it ∓ℏH

= 1,

(24)

qui r´ esulte du produit des deux s´ eries enti` eres, tout comme si H ´ etait un nombre plutˆ ot qu’un op´ erateur. On a donc :  i  ˙ X(t) =− X(t), H (t) , (25) ℏ

et en particulier,

i ℏ i ˙ =− p(t) ℏ ˙(t) = − q

  q(t), H (t)

(26)

  p(t), H (t) ,

dites ´ equations du mouvement de Heisenberg. Remarquez que H (t) est la mˆ eme fonction de q(t) et p(t) que la fonction H de q et p. On s’en assure en appliquant ` a chaque terme de H des identit´ es du genre : i

eℏ

Ht

AB e

i −ℏHt

i

= eℏ

Ht

Ae

i −ℏHt

i

eℏ

Ht

Be

= A(t) B(t) ,

i −ℏHt

(27)

grˆ ace ` a (24). Au moyen de l’expression de H (t), on peut r´ eduire les membres de droite de (26) en fonctions des seuls commutateurs :     q(t), q(t) = p(t), p(t) = 0   (28) q(t), p(t) = ?

On effectue cette r´ eduction en appliquant ` a chaque terme de H (t) des identit´ es du genre 

     A, BC = A, B C + B A, C ,

(29)

dont la validit´ e saute aux yeux lorsqu’on ´ ecrit leur d´ eveloppement explicite. Enfin, on ´ evalue facilement le commutateur inconnu : i

[q(t), p(t)] = e ℏ i

= eℏ

i

 − Ht Ht  q, p e ℏ Ht

ℏ

(− i ) e

i −ℏHt

ℏ =−i .

Supposons, par exemple, que H (t) contienne un terme q(t)


2

p(t)


2

= q(t) q(t) p(t) p(t) .

(30)

5 Nous avons alors       q(t), q(t) q(t) p(t) p(t) = q(t), q(t) q(t) p(t) p(t) + q(t) q(t), q(t) p(t) p(t)     + q(t) q(t) q(t), p(t) p(t) + q(t) q(t) p(t) q(t), p(t) , qui devient, grˆ ace ` a (28) et (30) : −

 i  q(t), q(t) q(t) p(t) p(t) = q(t) q(t) p(t) + q(t) q(t) p(t) ℏ ∂ = q(t) q(t) p(t) p(t) , ∂p(t)

o` u, en calculant les d´ eriv´ ees, il faut veiller ` a ne pas alt´ erer l’ordre des p et des q survivants. Moyennant cette pr´ ecaution, on a une ´ equivalence tout ` a fait g´ en´ erale entre commutation avec q (ou −p) et d´ erivation par rapport ` a p (ou q). Les ´ equations du mouvement de Heisenberg peuvent ˆ etre r´ e´ ecrites : ∂H (t) ∂p(t) ∂H (t) ˙ p(t) =− , ∂q(t) ˙(t) = q

(31)

c’est-` a-dire pr´ ecis´ ement (` a la pr´ ecaution pr` es concernant les facteurs non commutables) sous la forme des ´ equations classiques du mouvement de Hamilton. Bien sˆ ur, les quantit´ es q et p dans (31) sont des op´ erateurs (on dit des q-nombres), et pas encore les nombres ordinaires (dits c-nombres) de la m´ ecanique classique. Mais les op´ erateurs peuvent ˆ etre remplac´ es par des valeurs num´ eriques en prenant leurs valeurs moyennes. On peut ainsi montrer, en s’appuyant sur (31), que dans certaines conditions (lorsque ℏ peut ˆ etre consid´ er´ e comme n´ egligeable) les valeurs moyennes quantiques se comportent comme des valeurs moyennes classiques, en sorte que la m´ ecanique classique est une approximation idoine. LE FORMALISME CANONIQUE Nous avons vu comment la m´ ecanique quantique r´ ealise sa jonction avec la m´ ecanique classique par le truchement des ´ equations du mouvement de Hamilton. Pour la plupart d’entre nous, la m´ ecanique classique est plus facile ` a appr´ ehender que la m´ ecanique quantique. Aussi la construction d’une th´ eorie quantique s’op` ere-t-elle habituellement ` a partir de la th´ eorie classique correspondante. A ce niveau classique, le formalisme lagrangien est, par certains cˆ ot´ es, plus commode que le formalisme hamiltonien. Le lagrangien ˙) L(q, q (32) est une fonction de la coordonn´ ee et de la vitesse. Les ´ equations du mouvement sont d´ efinies par le principe variationnel δA = 0, (33) avec

Z

˙) , A = dt L(q, q

(34)

et par rapport ` a des variations δq(t) suppos´ ees s’annuler pour |t| grand. Le r´ esultat peut s’´ ecrire δA =0 (35) δq(t) pour tout t, o` u la d´ eriv´ ee fonctionnelle de A par rapport ` a q(t) est d´ efinie par la relation : Z δA δq(t) . (36) δA = dt δq(t)

6 Celle-ci est une g´ en´ eralisation de l’expression δA =

X ∂F δxn , n ∂xn

d´ efinissant les d´ eriv´ ees partielles d’une fonction F d’un nombre fini de variables xn , au cas d’une fonction A d’une infinit´ e d’arguments q(t) — en fait une fonction de fonction, dite une fonctionnelle. Pour calculer la d´ eriv´ ee fonctionnelle, notez que Z  ∂L δq + δA = dt ∂q Z  ∂L d = dt − ∂q dt

 ∂L δ˙ q ˙ ∂q  ∂L δq , ˙ ∂q

apr` es int´ egration par parties. Donc : δA ∂L d ∂L = − , ˙ δq(t) ∂q dt ∂ q

(37)

et ainsi (35) donne l’´ equation du mouvement de Lagrange famili` ere. Le moment p, conjugu´ e de q, est par d´ efinition : p=

∂L . ˙ ∂q

(38)

En supposant cette ´ equation soluble pour q en fonction de p, l’hamiltonien est d´ efini par ˙ − L, H = pq

(39)

et nous obtenons la forme hamiltonienne des ´ equations du mouvement : ˙= q

∂H , ∂p

˙=− p

∂H . ∂q

(40)

On passe alors ` a la th´ eorie quantique en consid´ erant les op´ erateurs de Heisenberg q(t) et p(t) tels que   q(t), p(t) = iℏ   ˙(t) = (iℏ)−1 q(t), H (t) q   ˙ p(t) = (iℏ)−1 p(t), H (t) ,
avec H (t) = H q(t), p(t) . La g´ en´ eralisation ` a plusieurs degr´ es de libert´ e est imm´ ediate : pn =

∂L ˙n ∂q

P ˙n − L H = pn q  ∂H    ˙n =  q ∂pn   ∂H   ˙n = − p ∂qn   ( −1 ˙n (t) = (iℏ) q qn (t), H (t)   ˙n (t) = (iℏ)−1 pn (t), H (t) p

(41) (42)

(43)

(44)

7    ( qn (t), qm (t) = pn (t), pm (t) = 0   qn (t), pm (t) = iℏ δnm .

(45)

Pour en arriver enfin ` a la th´ eorie des champs, il nous faut encore g´ en´ eraliser ` a une infinit´ e continue de degr´ es de libert´ e. En effet, mˆ eme le plus simple des champs est ~ pour tout x. ~ caract´ eris´ e, ` a un instant t, par une infinit´ e continue de quantit´ es φ(t, x) Et nous avons affaire ` a des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles plutˆ ot qu’` a des ´ equations diff´ erentielles ordinaires. Pour vous convaincre de la possibilit´ e de cette g´ en´ eralisation, souvenez-vous du traitement pratique des ´ equations diff´ erentielles qui consiste ` a les approximer par des ´ equations aux diff´ erences. On peut ainsi imaginer repr´ esenter la fonction φ par ses ~ n ), en un ensemble discret de points x ~ n que l’on rendra en fin de valeurs, qn (t) = φ(t, x compte infiniment dense. Nous pouvons aussi travailler, pour commencer, non pas dans tout l’espace, mais dans un volume fini que l’on finira par rendre tr` es grand. En proc´ edant ainsi, nous pouvons trouver comment g´ en´ eraliser le formalisme canonique et le processus de quantification. Au niveau formel, nonobstant de subtiles questions de convergence, la g´ en´ eralisation aux syst` emes continus consiste principalement ` a remplacer les sommes ~ et les deltas de Kronecker δnm sur des indices n par des int´ egrales sur des arguments x, ~ − y). ~ par des deltas de Dirac δ3 (x Consid´ erons alors un principe variationnel Z A = dt L(t),

δA = 0,

~ et de sa d´ o` u le lagrangien L est maintenant une fonctionnelle du champ φ(t, x) eriv´ ee ˙ x). ~ Dans une th´ par rapport au temps φ(t, eorie invariante de Lorentz, il faut s’attendre ` a des manifestations sym´ etriques des coordonn´ ees de temps et d’espace. Nous supposons donc que Z ~ L(t, x), ~ L(t) = d3 x

~ est une fonction de φ et de ses d´ o` u la densit´ e lagrangienne L(t, x) eriv´ ees premi` eres ~ On a alors : en (t, x). Z A = d4 x L(x), Z δA = d4 x

δA δφ(x), δφ(x)

(46)

~ d4 x = dt dx1 dx2 dx3 , et avec o` u x ≡ (t, x), ∂L ∂L X ∂ δA
, = − δφ(x) ∂φ ∂x ∂ ∂φ/∂x µ µ µ

(47)

en analogie avec (37). En exprimant la nullit´ e de cette d´ eriv´ ee fonctionnelle, on obtient les ´ equations de Lagrange du mouvement du champ. En analogie avec (41), le champ Π(x) canoniquement conjugu´ e de φ(x) est d´ efini par Π(x) =

∂L . ˙ ∂φ

(48)

En analogie avec (42), on d´ efinit l’hamiltonien Z ˙ x) ~ Π(t, x) ~ φ(t, ~ − L(t), H (t) = d3 x

(49)

8 et on peut r´ e´ ecrire les ´ equations du mouvement sous forme hamiltonienne : δH (t) ˙ x) ~ = φ(t, ~ δΠ(t, x) δH (t) ˙ (t, x) ~ =− Π , ~ δφ(t, x)

(50)

en analogie avec (43). Passons maintenant ` a la th´ eorie quantique en postulant des champs d’op´ erateurs de Heisenberg correspondants. Les relations de commutation et les ´ equations du mouvement de Heisenberg sont les g´ en´ eralisations naturelles de (44) et (45) :    ˙ x)  φ(t, ~ = (iℏ)−1 φ(t, x), ~ H (t) (51)   Π ˙ (t, x) ~ = (iℏ)−1 Π(t, x), ~ H (t) (

   ~ φ(t, y) ~ = Π(t, x), ~ Π(t, y) ~ =0 φ(t, x),   ~ Π(t, y) ~ = iℏ δ3 (x ~ − y). ~ φ(t, x),

(52)

Comme pr´ ec´ edemment, les ´ equations du mouvement de Heisenberg peuvent se r´ e´ ecrire, en veillant ` a l’ordre des op´ erateurs non commutables, sous la forme hamiltonienne (50). La g´ en´ eralisation ` a un syst` eme de plusieurs champs est directe :    ˙ n (t, x) φ ~ = (iℏ)−1 φn (t, x), ~ H (t) (53)   Π ˙ n (t, x) ~ = (iℏ)−1 Πn (t, x), ~ H (t)    ( ~ φm (t, y) ~ = Πn (t, x), ~ Πm (t, y) ~ =0 φn (t, x), (54)   ~ Πm (t, y) ~ = iℏ δ3 (x ~ − y) ~ δnm φn (t, x),  ~ ∂L(t, x)   ~ =   Πn (t, x) ˙ n (t, x) ~ ∂φ (55) Z     P   H (t) = d3 x ˙ ~ ~ φn (t, x) ~ −L n Πn (t, x)  δH   ˙ Π   n = δφn    ˙ n = − δH .  φ δΠn

(56)

Il ne reste plus qu’` a appliquer ce sch´ ema g´ en´ eral ` a des exemples sp´ ecifiques. LE CHAMP SCALAIRE REEL Pour travailler sur des th´ eories relativistes, nous utiliserons souvent, plutˆ ot que le temps x0 (= t), la quatri` eme coordonn´ ee imaginaire x4 (= ict). De plus, nous userons d’unit´ es telles que ℏ = c = 1. Nous supposerons que la densit´ e lagrangienne est un scalaire de Lorentz, car c’est ce qui conduit ` a des ´ equations du mouvement invariantes de Lorentz. Le champ le plus simple est un scalaire de Lorentz, r´ eel : x ≡ xµ ≡ (x1 , x2 , x3 , x4 )
∗ φ(x) = φ(x) . φ(x),

La densit´ e lagrangienne scalaire de Lorentz non triviale la plus simple que l’on puisse construire avec ce champ et ses d´ eriv´ ees premi` eres est de la forme 1

L = − 2 (∂µ φ)(∂µ φ) −

1 2

m 2 φ2 ,

(57)

9 o` u m est une constante. L’absence de constante multiplicative arbitraire devant le premier terme n’est rien de plus qu’une convention de normalisation de φ. Dans (57), nous utilisons la notation condens´ ee ∂φ ∂µ φ ≡ , ∂xµ ainsi que la convention habituelle de sommation sur les indices r´ ep´ et´ es :

(∂µ φ)(∂µ φ) ≡

4 X

(∂µ φ)(∂µ φ).

µ=1

Toujours dans (57), le signe moins, global, est n´ ecessaire pour obtenir des ´ energies positives. La d´ eriv´ ee fonctionnelle de Z A = d4 x L(x) par rapport ` a φ(x) vaut ∂L ∂L ∂ δA = − δφ(x) ∂φ ∂xµ ∂(∂µ φ) = −m2 φ + ∂µ ∂µ φ, d’o` u l’´ equation du mouvement :
∂µ ∂µ − m2 φ(x) = 0,

(58)

dite ´ equation de Klein-Gordon. ˙ = ∂φ/∂t = i∂φ/∂x4 , En s´ eparant les d´ eriv´ ees par rapport au temps, et en notant φ on a : →
2 1 2 2 ˙2 − 1 − (59) − 2m φ . L = 21 φ 2 ∇φ

Le moment canoniquement conjugu´ e est donc

L’hamiltonien vaut

Π=

∂L ˙ = φ. ˙ ∂φ

Z
˙−L ~ Πφ H = d3 x Z   − →
2 ~ 21 Π2 + 12 ∇φ + 12 m2 φ2 . = d3 x

(60)

Les ´ equations du mouvement de Hamilton sont

  ˙ = δH = Π  φ  δΠ  δH  − →  ˙ =− Π = ∇ 2 φ − m2 φ, δφ

qui redonnent bien (58). Remarquez que (61) admet comme solution particuli` ere l’onde plane φ = e±ikx ,

Π = ∓ik0 e±ikx ,

(61)

10 avec :

kx ≡ kµ xµ ≡ k1 x1 + k2 x2 + k3 x3 + k4 x4 q

≡ k1 x1 + k2 x2 + k3 x3 − k0 x0

~2 k0 = + m2 + k

~ ≡ (k1 , k2 , k3 ). k

La solution g´ en´ erale, ´ etant donn´ e son comportement ` a l’infini qui autorise un d´ eveloppement du type Fourier ` a tout instant, peut donc s’´ ecrire :  Z   ~  d3 k   ~ ikx + a∗ (k)e ~ −ikx  φ(x) = a( k)e   (2π )3 2k0   Z       Π(x) =

3~

d k (2π )3 2k0

(62)

  ~ ikx − a∗ (k)e ~ −ikx (−ik0 ). a(k)e

C’est la r´ ealit´ e de φ qui fait qu’aux ondes planes complexes conjugu´ ees sont associ´ es des ∗ ~ ~ coefficients complexes conjugu´ es, a(k)/2k 0 et a (k)/2k0 . Passant ` a la th´ eorie quantique, nous prenons pour φ et Π des op´ erateurs hermitiques, φ = φ+ , Π = Π+ , la propri´ et´ e d’hermiticit´ e (qui implique la r´ ealit´ e des valeurs moyennes) ´ etant l’analogue quantique de la r´ ealit´ e classique. Nous supposons les r` egles de commutation canoniques aux temps ´ egaux (´ equations (52)) : (

   ~ φ(t, y) ~ = Π(t, x), ~ =0 ~ Π(t, y) φ(t, x),   ~ = i δ3 (x ~ Π(t, y) ~ − y). ~ φ(t, x),

(63)

On peut alors v´ erifier, par calcul explicite, qu’avec l’hamiltonien (60), les ´ equations du mouvement de Heisenberg,   ˙ = −i φ, H , φ

  ˙ = −i Π, H , Π

sont ´ equivalentes aux ´ equations de Hamilton (61). La solution peut encore s’´ ecrire sous ~ est maintenant un op´ la forme (62), ` a ceci pr` es que a(k) erateur, et que son conjugu´ e hermitique a+ prend la place de a∗ :  Z   ~  d3 k   ~ ikx + a+ (k)e ~ −ikx  a(k)e φ(x) =  3  (2π ) 2k0   Z       Π(x) =

(64)

  ~ d3 k ~ ikx − a+ (k)e ~ −ikx (−ik0 ). a( k)e (2π )3 2k0

A tout instant t donn´ e, on peut, au moyen de la transform´ ee de Fourier inverse, r´ esoudre les ´ equations (64) par rapport ` a a et a+ : Z
~ = d3 x ~ 2k0 φ + iΠ e−ikx a(k) Z
+ ~ ~ 2k0 φ − iΠ eikx . a (k) = d3 x A l’aide de (63), nous trouvons alors les r` egles de commutation des a et a+ :     ~ a(k ~′ ) = a+ (k), ~ a+ (k ~′ ) = 0  a(k),   ~ ~′ ) = 2k0 (2π )3 δ3 (k ~−k ~′ ). a(k), a+ (k

(65)

11 On peut exprimer l’hamiltonien en termes des a et a+ . A un instant t donn´ e, en reportant (64) dans (60), on obtient : Z

~
d3 k k0 ~ a(k) ~ + a(k) ~ a+ (k) ~ a+ (k) 3 (2π ) 2k0 2 Z ~ d3 k ~ a(k) ~ k0 a+ (k) + C ′, = 3 (2π ) 2k0

H =

(66)

o` u C ′ est une constante num´ erique, Z ~ k0 δ3 (k ~ − k). ~ C ′ = d3 k 2 Mais nous aurions pu ajouter une constante ` a la densit´ e lagrangienne initiale : L → L + C.

(67)

Nous pouvions choisir C en sorte que la constante subs´ equemment soustraite de l’hamiltonien compense exactement C ′ . Une telle addition de constante ne change physiquement rien d’autre que l’origine arbitraire de mesure des ´ energies. Nous ne prendrons donc comme hamiltonien que le premier terme de (66). Notez quand mˆ eme que C ′ est en fait infinie, non seulement parce qu’y intervient ~ une fonction delta d’argument nul, mais aussi parce qu’elle r´ esulte d’une int´ egrale sur k ′ divergente. La constante compensatrice C dans (67) doit ˆ etre infinie, en rapport avec C . C’est la premi` ere fois, mais non la derni` ere, que nous tol´ ererons la pr´ esence de constantes infinies dans le lagrangien, afin de les ´ eviter ailleurs. A l’´ etudiante qui doute de la fiabilit´ e de ce genre de manipulation, je ne peux offrir plus que quelques paroles de r´ econfort : la th´ eorie peut ˆ etre ´ etablie de mani` ere plus rigoureuse, par exemple en travaillant sur un r´ eseau fini de points, au lieu d’un espace-temps continu. Les quantit´ es qui ´ etaient infinies sont alors grandes mais finies, et se laissent manipuler en tout bien tout honneur. Ce n’est qu’apr` es les avoir combin´ ees sous forme inoffensive convenable que l’on se hasarde ` a la limite d´ esir´ ee d’un espace-temps infini continu. C’est en adoptant des points de vue de ce genre que les experts se sont convaincus, sur des mod` eles simples, que les t´ em´ eraires manipulations des physiciens ne sont pas sp´ ecieuses. INTERPRETATION EN TERMES DE PARTICULES ˙ = −iH Ψ , supposons possible d’en trouver des Etant donn´ e l’´ equation de Schr¨ odinger, Ψ solutions particuli` eres dont la d´ ependance temporelle soit tout simplement exponentielle : Ψ (t) ∝ e−iEt . On a alors H Ψ = EΨ . (68)

On dit dans ce cas que Ψ est un ´ etat propre de l’hamiltonien (ou de l’´ energie), avec la valeur propre E. Etant donn´ e n’importe quel ´ etat propre, les op´ erateurs a et a+ permettent imm´ ediatement d’en construire d’autres. D’apr` es (66) et (65), on a :

d’o` u:

(  ~ = a+ (k) ~ k0 H , a+ (k)   ~ = −a(k) ~ k0 , H , a(k) ~ Ψ H a+ (k)

~ Ψ H a(k)

= =

~ (H + k0 ) Ψ a+ (k)

~ (H − k0 ) Ψ a(k)

~ Ψ = (E + k0 ) a+ (k) ~ Ψ. = (E − k0 ) a(k)

(69)

(70)

~ Ψ et a(k) ~ Ψ sont Si Ψ est un ´ etat propre de l’´ energie avec la valeur propre E, alors a+ (k) des ´ etats propres avec les valeurs propres E ± k0 respectivement.

12 Supposons qu’existe une valeur minimale E0 de l’´ energie, dont le vecteur propre correspondant est Ψ0 . On a alors ~ Ψ0 = 0 a(k) (71)

~ sinon ce genre d’´ pour tout (k), etat serait ´ etat propre pour une valeur propre plus basse. Nous appellerons Ψ0 le vide. D’apr` es (71) et (66), on a H Ψ0 = 0, et E0 = 0.

(72)

Si la constante C ′ , dans (66), n’avait pas ´ et´ e compens´ ee, l’´ energie E0 du vide n’aurait pas ´ et´ e nulle mais infinie, d´ esagr´ ement mineur. D’apr` es (70), les ´ etats ~1 ) a+ (k ~2 ) · · · · · · Ψ0 , a + (k

(73)

~1 , k ~2 , k ~3 , . . .i, |k

(74)

|0i.

(75)

r´ esultant de l’application d’un nombre quelconque d’op´ erateurs a+ sur le vide, sont ´ etats propres de l’´ energie avec les valeurs propres E = k1 0 + k2 0 + · · ·. En notation de Dirac, nous repr´ esenterons ces ´ etats par

et, de mˆ eme, le vide par : Les symboles (74) et (75) seront mis indiff´ eremment pour des ´ etats de Schr¨ odinger ` at =0 ou des ´ etats de Heisenberg ` a t quelconque. Les ´ etats (74) ont une interpr´ etation aussi simple qu’importante. La confirmation de sa l´ egitimit´ e r´ eside, finalement, dans sa p´ erennit´ e. Cette interpr´ etation peut ˆ etre d’abord sugg´ er´ ee par l’examen de l’´ el´ ement de matrice ~ h0|φ(x)|ki.

(76)

D’apr` es (64), (65), (71) et (8’), celui-ci vaut tout simplement ~

~ 0t eikx = eik·x−ik .

(77)

On se souvient qu’en m´ ecanique ondulatoire ´ el´ ementaire, cette expression est pr´ ecis´ ement ~ de masse m, et celle de l’onde qde de Broglie associ´ ee ` a une particule d’impulsion k, ~2 . La possibilit´ ~ la signification, justement, d’un e d’attribuer ` a |ki d’´ energie k0 = m2 + k ~1 , k ~2 , . . .i a la tel ´ etat d’une particule n’est donc pas pour surprendre, tout comme l’´ etat |k signification d’un ´ etat de plusieurs particules de quadri-impulsions k1 , k2 , . . . Il ne faut pas s’imaginer que cette interpr´ etation en termes de particules, que nous incorporons dor´ enavant ` a la th´ eorie, se substituerait ` a l’interpr´ etation originale des ´ etats comme des distributions de probabilit´ e de diff´ erentes configurations de champ φ ; elle vient plutˆ ot la compl´ eter. L’interpr´ etation pertinente est dict´ ee par le dispositif exp´ erimental. Il serait bien sˆ ur plus satisfaisant d’obtenir les deux interpr´ etations ` a partir d’axiomes ant´ erieurs, mais je ne ferai ici aucune tentative dans cette direction. On a, d’apr` es (73), ~ |k ~1 , k ~2 , . . .i = |k, ~ k ~1 , k ~2 , . . .i. a+ (k) A l’aide de (73) et (65), on peut calculer : ~ |k ~1 , k ~2 , k ~3 , . . .i = a(k)

~−k ~1 ) |k ~2 , k ~3 , . . .i 2k0 (2π )3 δ3 (k

~−k ~2 ) |k ~1 , k ~3 , . . .i + 2k0 (2π )3 δ3 (k

+ ···

13 L’action de a+ , ou de a, sur un ´ etat donn´ e a donc pour effet d’ajouter, ou d’ˆ oter, des particules. C’est pourquoi on les appelle op´ erateurs de cr´ eation et de destruction (ou d’annihilation). Remarquez que, d’apr` es (8’), le conjugu´ e de ~1 , k ~2 , . . .i = a+ (k ~1 ) a+ (k ~2 ) · · · |0i, |k est : ~1 , k ~2 , . . . | = h0| · · · a(k ~2 ) a(k ~1 ). hk

(78)

Notez ´ egalement que, puisque les a+ commutent les uns avec les autres, voir (65), prendre les mˆ emes impulsions dans un ordre diff´ erent, ou ´ echanger l’´ etiquetage des particules, ne donne pas un nouvel ´ etat : ~1 , k ~2 , . . .i = |k ~2 , k ~1 , . . .i |k

~1 , k ~2 , . . . | = hk ~2 , k ~1 , . . . | hk

(79)

etc.

Les calculs mettant en jeu des op´ erateurs de cr´ eation et de destruction sont effectu´ es au moyen d’utilisations r´ ep´ et´ ees de (71) et de sa conjugu´ ee (voir (8’)), ~ |0i = h0| a+ (k) ~ = 0, a(k)

(80)

ainsi que des r` egles de commutation (65). ~k ~′ i. Calculons, par exemple, le produit int´ erieur de deux ´ etats ` a une particule, hk| Celui-ci est donn´ e par :   ~ a+ (k ~′ ) |0i = h0| a+ (k ~′ ) a(k) ~ |0i + h0| a(k), ~ a+ (k ~′ ) |0i. h0| a(k)

Le premier terme est nul en vertu de (80), si bien que, compte tenu de la valeur (65) du commutateur, on a : ~k ~′ i = 2k0 (2π )3 δ3 (k ~−k ~′ ). hk| (81) Le proc´ ed´ e est typique. On r´ earrange l’ordre des op´ erateurs, ` a l’aide des relations de commutation, jusqu’` a ce que les op´ erateurs de destruction agissent directement sur le vide |0i et que les op´ erateurs de cr´ eation soient imm´ ediatement suivis de h0|, ce qui donne z´ ero, d’apr` es (80). De mˆ eme : ~1 , k ~2 , . . . , k ~n |k ~′ , k ~′ , . . . , k ~′ i = hk m 1 2  3 3 ~ 3 3 ~ ~′ ~′    (2π ) 2k10 δ (k1 − k1 ) (2π ) 2k20 δ (k2 − k2 ) · · · δnm +(2π )3 2k10 δ3 (k ~2 − k ~′ ) · · · ~1 − k ~′ ) (2π )3 2k20 δ3 (k  1 2   +······

(82)

avec, en tout, n! termes correspondant ` a toutes les fac ¸ons possibles d’accoupler chaque variable prim´ ee avec une variable non prim´ ee. Nous aurons ` a envisager des ´ etats r´ esultant de superpositions de diverses configurations d’impulsions et divers nombres de particules, par exemple : X 1 Z ~n ~1 d3 k d3 k ~1 , . . . , k ~n ) |k ~1 , . . . , k ~n i. · · · f (k |αi = 3 (2π )3 2kn0 n n! (2π ) 2k10

(83)

14 ~1 · · · d3 k ~n , car l’int´ Notez que nous aurions pu restreindre l’int´ egration sur d3 k egration sans restriction visite chaque ´ etat distinct n! fois, ` a cause de (79). Mais il est pr´ ef´ erable de sp´ ecifier que f est une fonction totalement sym´ etrique, ~1 , k ~2 , . . .) = f (k ~2 , k ~1 , . . .) f (k etc.,

et de compenser le comptage multiple en divisant par n!. A l’aide de (82), on trouve la norme de |αi : 2 X 1 Z ~1 ~n d3 k d3 k ~ ~n ) f (k1 , . . . , k . ··· hα|αi = 3 3 (2π ) 2kn0 n n! (2π ) 2k10

(84)

(85)

Il faut que cette quantit´ e soit ´ egale ` a un pour que l’´ etat soit correctement normalis´ e. En accord avec cette probabilit´ e totale unit´ e, nous pouvons, et nous ne nous en priverons pas, interpr´ eter 2 ~n ~1 d3 k d3 k ~ ~n ) f (k1 , . . . , k (86) ··· 3 3 (2π ) 2k10 (2π ) 2kn0

comme la probabilit´ e partielle, lorsque le syst` eme est dans l’´ etat α, de trouver n particules dont les impulsions appartiennent aux r´ egions sp´ ecifi´ ees. Notez que pour l’´ etat (83), on a, d’apr` es (82) : ~1 , . . . , k ~n ) = hk ~1 , . . . , k ~n |αi. f (k

(87)

INTERACTION Les particules de la section pr´ ec´ edente n’ont pas d’interactions ; autrement dit elles sont libres. Leurs quadri-impulsions k1 , k2 , . . . , ne changent pas. L’´ etat de Schr¨ odinger qui a ~1 ) a+ (k ~2 ) · · · |0i, ` pour valeur initiale a+ (k a l’instant t = 0, ne d´ e pend du temps que par q 2 −i(k10 +k20 +···)t 2 ~ un facteur de phase e , avec k10 = m + k1 , etc. Pour avoir interaction, il faut compliquer le lagrangien. Ajoutons par exemple ` a la densit´ e lagrangienne (57), la densit´ e lagrangienne d’interaction (ou perturbation) : I(x) =


4 g φ(x) . 4!

(88)

Il faut donc retrancher cette quantit´ e de la densit´ e hamiltonienne int´ egrande de (60). On obtient, au lieu de (58), l’´ equation du mouvement modifi´ ee, maintenant non lin´ eaire,   g 2 φ φ = 0, (89) ∂µ ∂µ − m2 + 3! et, au lieu de (61),

 ˙=Π φ (90) g 3 →2 Π ˙ =− φ . ∇ φ − m2 φ + 3! Le champ ne peut plus s’´ ecrire, pour tout t, sous la forme (64) avec des op´ erateurs a et a+ constants. Mais, ` a un instant quelconque, disons t = 0, on peut utiliser ces ´ equations pour d´ efinir des op´ erateurs a et a+ , et un ´ etat vide, tels que :

Les ´ etats

~ |0i = 0. a(k)

(91)

~1 ) a+ (k ~2 ) · · · |0i a + (k

(92)

ne deviendront plus solutions de l’´ equation de Schr¨ odinger sur simple multiplication par un facteur de phase. Etudions maintenant comment un ´ etat, ainsi sp´ ecifi´ e` a un instant initial, va en fait ´ evoluer.

15 L’OPERATEUR S Nous avons ` a r´ esoudre l’´ equation de Schr¨ odinger

avec

dΨ = −iH Ψ , dt

Z ~ I(0, x). ~ H = H 0 − d3 x

(93)

(94)

Notez que nous nous plac ¸ons ici dans la repr´ esentation de Schr¨ odinger, dont les op´ erateurs sont obtenus ` a partir des op´ erateurs de Heisenberg en posant t = 0. A l’aide de (62), on peut ´ ecrire les op´ erateurs de champ φ, ainsi que I, en termes d’op´ erateurs de cr´ eation et d’annihilation. L’hamiltonien non perturb´ e (g = 0) a d´ ej` a´ et´ e´ ecrit sous cette forme en (66). On voit alors que l’´ evolution temporelle r´ esultant de (93) peut ˆ etre consid´ er´ ee comme un processus continu de destructions et cr´ eations de particules. La contribution de l’hamiltonien non perturb´ e (66) ` a ce processus est quasi triviale car la ~ destruction d’une particule d’impulsion k est alors imm´ ediatement suivie de la re-cr´ eation d’une particule de mˆ eme impulsion. Il est commode de mettre de cˆ ot´ e ce processus trivial en travaillant avec un nouveau vecteur d’´ etat : Φ(t) = eiH0 t Ψ (t).

(95)

Si I ´ etait nulle, Φ serait constant car, dans ce cas,

Ψ (t) = e−iH0 t Ψ (0).

En g´ en´ eral, on a, d’apr` es (95) et (93),

soit :

o` u


˙ (t) = eiH0 t − H0 Ψ (t) + iΨ ˙ (t) iΦ Z ~ I(0, x) ~ Ψ (t), = −eiH0 t d3 x Z ˙ ~ iI(x) Φ(t), Φ(t) = d3 x

~ e−iH0 t I(x) = eiH0 t I(0, x)

(96) (97)

n’est pas l’op´ erateur de Heisenberg original, car sa d´ ependance temporelle correspond ` a l’hamiltonien non perturb´ e. En recourant ` a (95) et (97), nous adoptons en fait une odinger. Dans cette repr´ esentation interm´ ediaire entre celles de Heisenberg et de Schr¨ repr´ esentation d’interaction, nouvelle, la d´ ependance temporelle due ` a l’hamiltonien non perturb´ e est plac´ ee dans les op´ erateurs, tandis que l’´ evolution du vecteur d’´ etat Φ n’est due qu’` a la perturbation. L’´ equation diff´ erentielle (96) peut se r´ e´ ecrire sous forme d’´ equation int´ egrale Φ(t) = Φ(−∞) +

Zt

d4 x ′ iI(x ′ ) Φ(t ′ ),

(98)

−∞

avec d4 x ′ = dx0′ dx1′ dx2′ dx3′ , et o` u seules les bornes de l’int´ egration sur t ′ sont indiqu´ ees, les autres int´ egrales ´ etant sans bornes. On peut r´ esoudre l’´ equation (98) en consid´ erant I petit. A l’ordre z´ ero, on n´ eglige totalement I, et Φ est constant : Φ(t) = Φ(−∞). Reportant cette approximation dans le deuxi` eme membre de (98), on obtient une estimation am´ elior´ ee : Φ(t) = Φ(−∞) +

Zt

d4 x ′ iI(x ′ ) Φ(−∞).

−∞

16 Introduisant celle-ci dans le deuxi` eme membre de (98), les choses s’am´ eliorent encore :

Φ(t) = Φ(−∞) +

Zt

d4 x ′ iI(x ′ ) Φ(−∞) +

−∞

Zt

d4 x ′

−∞

Zt ′

d4 x ′′ iI(x ′ ) iI(x ′′ ) Φ(−∞).

−∞

Et ainsi de suite, on obtient ` a chaque ´ etape un r´ esultat dont la pr´ ecision augmente d’une puissance suppl´ ementaire de la constante de couplage g. On trouve, de cette fac ¸on, Φ(∞) = S Φ(−∞), (99) o` u l’op´ erateur S est d´ efini, en th´ eorie des perturbations, par une s´ erie de puissances de la constante de couplage g : Z Z Z d4 x1 d4 x2 iI(x1 ) iI(x2 ) + · · · S = 1 + d4 x iI(x)+

(100)

t1 >t2

dont le terme g´ en´ eral est de la forme Z Z

Z · · · d4 x1 d4 x2 · · · d4 xn iI(x1 ) iI(x2 ) · · · iI(xn ),

(101)

t1 >t2 > ··· tn

et peut s’´ ecrire, plus commod´ ement, 1 n!

ZZ

Z


· · · d4 x1 d4 x2 · · · d4 xn T iI(x1 ), iI(x2 ), . . . , iI(xn ) .

(102)

Par convention, le symbole d’ordination temporelle T signifie que les op´ erateurs agissent non pas dans l’ordre o` u ils sont ´ ecrits, mais dans l’ordre de leurs arguments temporels respectifs. Au cours de l’int´ egration sur toutes les valeurs des temps, chaque contribution intervient n! fois, comptage multiple que l’on compense par l’intervention explicite du facteur (n!)−1 . ELEMENTS DE MATRICE S N´ ecessairement, l’op´ erateur S, comme I, est une combinaison d’op´ erateurs de cr´ eation et ~1 , k ~2 , . . .i = a+ (k ~1 ) a+ (k ~2 ) · · · |0i, de destruction. Lorsque l’´ etat Φ(−∞) est de la forme |k ~1 , k ~2 , . . .i est une superposition du type (83). L’amplitude f d’un ´ alors Φ(+∞) = S |k etat ′ ~′ ~ particulier |k1 , k2 , . . .i dans ladite superposition, vaut : ~′ , k ~′ , . . .) = hk ~′ , k ~′ , . . . | S |k ~1 , k ~2 , . . .i f (k 2 1 2 1 ~′ ) a(k ~′ ) · · · S a+ (k ~1 ) a+ (k ~2 ) · · · |0i. = h0| a(k 1 2

(103)

Les r` egles syst´ ematiques permettant de calculer ces ´ el´ ements de matrice S ont ´ et´ e´ etablies par Feynman, Dyson, et Wick. La contribution d’un terme particulier (102) dans l’expression (103) de l’´ el´ ement de matrice S, est une int´ egrale dont l’int´ egrande est de la forme h0|ABC · · · |0i,

(104)

o` u chaque op´ erateur A, B, etc., est soit un op´ erateur de cr´ eation ou de destruction, soit une combinaison lin´ eaire (comme l’op´ erateur de champ Φ) d’op´ erateurs de cr´ eation et de destruction.

17 Ecrivons A sous forme de combinaison : A = A+ + A− ,

(105)

o` u A+ est une combinaison lin´ eaire d’op´ erateurs de cr´ eation, et A− une combinaison d’op´ erateurs de destruction. Puisque h0| A+ = 0,

(106)

on peut laisser tomber A+ dans (104). Et puisque A− |0i = 0,

(107)

  h0| A− BC · · · |0i = h0| A− , BC · · · |0i     = h0| A− , B C · · · |0i + h0|B A− , C · · · |0i + etc.

(108)

on peut ´ ecrire :

  Mais A− , B , somme de commutateurs d’op´ erateurs de cr´ eation et de destruction, est un nombre. On peut donc ´ ecrire, au moyen de (107) puis (108),     A− , B = h0| A− , B |0i = h0|A− B|0i = h0|AB|0i.

(109)

Donc : h0|ABCD · · · |0i = h0|AB|0ih0|CD · · · |0i + h0|AC|0ih0|BD · · · |0i + etc. Dans l’expression h0|CD · · · |0i, on peut appliquer ` a C le traitement que l’on vient d’infliger ` a A, et ainsi de suite, jusqu’` a exprimer le r´ esultat enti` erement en termes de valeurs moyennes dans le vide de produits de paires. Il advient donc que h0|ABCD · · · |0i est ´ egal ` a la somme des produits de valeurs moyennes des paires : h0|AB|0ih0|CD|0i · · · + h0|AC|0ih0|BD|0i · · · + · · · ,

(110)

o` u la sommation s’´ etend ` a toutes les mani` eres possibles d’accoupler les op´ erateurs, l’ordre au sein de chaque paire restant celui du produit original. Remarquez que si les facteurs dans le produit original sont en nombre impair, alors le r´ esultat est nul car notre proc´ ed´ e de r´ eduction ci-dessus conduit finalement ` a prendre la valeur moyenne d’un seul op´ erateur, laquelle est nulle en vertu de (106) et (107). Le r´ esultat (110) constitue une partie du th´ eor` eme de Wick. Pour traiter du cas du champ scalaire φ, nous aurons besoin des valeurs moyennes de paires particuli` eres : ~ φ(x) |0i = e−ikx h0| a(k) ~ |0i = eikx h0| φ(x) a+ (k) Z ~ d3 k eik(x−y) , h0| φ(x) φ(y) |0i = 3 (2π ) 2k0

(111) (112) (113)

en vertu de (64) et (81). En fait, nous aurons plutˆ ot besoin du produit chronologiquement ordonn´ e
T φ(x), φ(y) = Θ(x0 − y0 ) φ(x) φ(y) + Θ(y0 − x0 ) φ(y) φ(x).

18 Utilisant (113), on a
h0| T φ(x), φ(y) |0i = Z 3~   e−iω(y0 −x0 ) e−iω(x0 −y0 ) d k ik·( ~ x− ~ y) ~ e + Θ(y − x ) Θ(x − y ) , 0 0 0 0 (2π )3 2ω 2ω

avec

q ~2 . ω = m2 + k

(114)

(115)

Jusqu’` a pr´ esent, nous avions not´ e cette quantit´ e k0 , mais nous allons maintenant avoir besoin de ce symbole pour un usage tout diff´ erent dans la repr´ esentation int´ egrale : Θ(t) e−iωt =

Z

i e−ik0 t dk0 , 2π k0 − (ω − iǫ)

(116)

o` u ǫ est petit, positif, et prend la valeur z´ ero apr` es calcul de l’int´ egrale. Le deuxi` eme membre de (114) devient, en utilisant (116), Z

~ dk0 d3 k (2π )3 2π



 i eik(y−x) i eik(x−y) 1 + , k0 − (ω − iǫ) k0 − (ω − iǫ) 2ω

(117)

soit finalement, en changeant le signe des variables d’int´ egration dans le deuxi` eme terme :
h0| T φ(x), φ(y) |0i =

Z

d4 k ik(x−y) 1
, e (2π )4 i (m − iǫ)2 + k2

(118)

o` u d4 k = dk0 dk1 dk2 dk3 . La quantit´ e (118) est appel´ ee le propagateur du champ de m´ eson scalaire. LES GRAPHES DE FEYNMAN Calculons par exemple l’amplitude de probabilit´ e qu’un ´ etat initial de deux particules, ~1 et k ~2 , finisse en deux particules, d’impulsions diff´ ~′ et k ~′ : d’impulsions k erentes k 1 2 ~′ , k ~′ | S − 1 |k ~1 , k ~2 i. hk 1 2

(119)

En vertu de (100) et (103), le terme d’ordre le plus bas en g s’´ ecrit Z ig ~′ ) a(k ~′ ) φ(x) φ(x) φ(x) φ(x) a+ (k ~1 ) a+ (k ~2 ) |0i. d4 x h0| a(k 1 2 4!

(120)

D’apr` es le th´ eor` eme de Wick, la valeur moyenne dans le vide est une somme de produits de valeurs moyennes de paires dans le vide. Si les impulsions prim´ ees sont diff´ erentes des non prim´ ees, il est inutile de consid´ erer les accouplements d’op´ erateurs de cr´ eation et d’annihilation, car ~ a(k ~′ ) |0i = h0| a+ (k) ~ a+ (k ~′ ) |0i = 0 h0| a(k) q ~2 δ3 (k ~−k ~′ ). ~ a+ (k ~′ ) |0i = (2π )3 2 m2 + k h0| a(k)

(121)

Chaque a ou a+ doit donc ˆ etre accoupl´ e avec l’un des quatre φ. Il y a, pour cela, 4! fac ¸ons contribuant chacune, d’apr` es (111) et (112), pour le mˆ eme produit de facteurs. Ainsi donc, (120) est ´ egal ` a Z ′ ′ ig d4 x ei(k1 +k2 −k1 −k2 )x = ig (2π )4 δ4 (k1 + k2 − k′1 − k′2 ).

(122)

19 Remarquez que les transitions ne se produisent que vers des ´ etats de mˆ emes ´ energie et impulsion totales que l’´ etat initial. Nous verrons plus loin comment les ´ el´ ements de matrice de S − 1 sont reli´ es aux sections efficaces diff´ erentielles. Passant au second ordre en g, nous obtenons, d’apr` es (100), une contribution ` a (119) : Z
1 ig ig ~′ ) a(k ~′ ) T φ4 (x), φ4 (y) a+ (k ~1 ) a+ (k ~2 ) |0i. d4 x d4 y h0| a(k (123) 1 2 2! 4! 4!

On peut encore calculer la valeur moyenne dans le vide ` a l’aide du th´ eor` eme de Wick. Mais il y a maintenant plusieurs combinaisons d’accouplements qui contribuent. Ces diverses combinaisons se repr´ esentent commod´ ement avec les graphes de Feynman. Par exemple, le graphe

(124)

indique l’accouplement des op´ erateurs de cr´ eation initiaux avec deux op´ erateurs de champ φ de la mˆ erateurs d’annieme interaction (ou vertex), et l’accouplement des op´ a coupler hilation finals avec deux φ de l’autre vertex, laissant deux φ en chaque vertex ` ¸ons d’accoupler les deux a+ avec deux avec les deux φ de l’autre vertex. Il y a (4 × 3) fac ¸ons d’accoupler les deux a avec deux des des quatre φ en un vertex. Il y a aussi (4 × 3) fac quatre φ de l’autre vertex. Et pour chacune de ces (4 × 3)2 possibilit´ es, il y a encore deux fac ¸ons d’accoupler les φ restants. Enfin, les rˆ oles des deux vertex sont interchangeables. a (123), identiques, du type (124) : Il y a donc en tout (4!)2 contributions ` Z Z 4 Z 4 eip(x−y) d q eiq(x−y) d p 1 2 4 4 −i(k′1 +k′2 )x (ig) d x d y e ei(k1 +k2 )y . (125) 2 (2π )4 i(m2 + p 2 ) (2π )4 i(m2 + q2 ) L’int´ egration sur x et y dans (125) donne un facteur (2π )4 δ4 (k′1 + k′2 − p − q) (2π )4 δ4 (p + q − k1 − k2 ).

(126)

De cette fac ¸on, on peut, en toute g´ en´ eralit´ e, associer des quadri-impulsions (p1 , p2 , . . .) aux lignes internes des graphes de Feynman, comme (k1 , k2 , . . .) sont associ´ ees aux lignes externes. En toute g´ en´ eralit´ e, les int´ egrations d’espace-temps impliquent la conservation de l’impulsion-´ energie ` a chaque vertex, comme dans (126). On peut r´ e´ ecrire le produit (126) sous la forme (2π )4 δ4 (k′1 + k′2 − k1 − k2 ) (2π )4 δ(p + q − k1 − k2 ), moyennant quoi la contribution (125) devient Z 4 d p 1 1 1 ′ ′ 2 4 4
. (127) (ig) (2π ) δ (k1 + k2 − k1 − k2 ) 4 2 2 2 2 (2π ) i(m + p ) i m + (p − k1 − k2 )2

Remarquez qu’il y a plusieurs autres graphes de Feynman du mˆ eme ordre que (124). Par exemple :

(128)

20 qui repr´ esente une configuration o` u les op´ erateurs de cr´ eation initiaux sont accoupl´ es ` a des φ en des vertex diff´ erents. La contribution correspondante se d´ eduit de (127), moyennant la substitution k2 −→ −k′1 (129) k′1 −→ −k2 . Le diagramme restant de ce type,

(130)

donne une contribution d´ eduite de (127) par la substitution : k2 −→ −k′2

k′2 −→ −k2 .

(131)

Il existe une mani` ere plus relˆ ach´ ee de parler des graphes de Feynman, commode si elle n’est pas prise trop au pied de la lettre. On peut dire que (124) repr´ esente un processus au cours duquel les particules initiales sont annihil´ ees en un point donn´ e, avec cr´ eation, ees ` a leur tour en ce mˆ eme point, de deux particules interm´ ediaires (ou virtuelles), annihil´ en un autre point o` u les particules finales sont cr´ e´ ees. On peut raconter des histoires semblables sur (128) et (130). Dans la contribution au premier ordre, (120) alias (122), les particules initiales sont annihil´ ees, et les particules finales cr´ e´ ees, au mˆ eme point :

(132)

autrement dit, tous les φ en jeu ont le mˆ eme argument. Notez que dans nos graphes de Feynman, comme dans nos ´ el´ ements de matrice, nous mettons les particules initiales ` a droite, et les particules finales ` a gauche. De nombreux auteurs adoptent cette disposition dans les ´ el´ ements de matrice, et l’inverse dans les graphes. D’autres, embarass´ es par ce renversement de convention, aussi total qu’arbitraire, transigent : ils mettent l’´ etat initial au bas de leurs graphes, et l’´ etat final en haut. LA RENORMALISATION D’apr` es (122) et (127) : hk′1 , k′2 | S − 1 |k1 , k2 i = (2π )4 δ4 (k′1 + k′2 − k1 − k2 ) i M(k′1 , k′2 , k1 , k2 ), avec

M=g

g 1+ 2

Z

! d4 p 1 1
+ ··· . (2π )4 (m2 + p 2 ) i m2 + (k1 + k2 − p)2

(133)

(134)

Au vu de ce genre d’expression, il est clair que la relation entre l’amplitude de diffusion M et la constante de couplage g, telle qu’elle est d´ efinie jusqu’` a pr´ esent, n’est gu` ere ´ evidente. Mais on peut red´ efinir g en sorte que cette relation soit plus visible. Au lieu d’une interaction de la forme g 4 φ , 4!

21 prenons plutˆ ot :


g g0 4 φ , (135) 1 + Ag + Bg 2 + · · · φ4 = 4! 4! o` u A et B sont des constantes qui restent ` a choisir. Ceci n’est qu’une red´ efinition du param` etre g, pr´ ec´ edemment not´ e g et maintenant appel´ e g0 . Nous pouvons parfaitement, si nous le souhaitons, choisir les constantes A, B, . . ., en sorte que la valeur de M, pour des impulsions choisies, soit enti` erement donn´ ee par le premier terme. Proc´ edons ainsi ` a partir de k1 = k2 = k′1 = k′2 = 0. En fait, ce ne sont pas des valeurs physiques correspondant ` a des particules massives ; n´ eanmoins, ce sont des valeurs o` u l’amplitude de diffusion physique peut ˆ etre prolong´ ee analytiquement. Posons donc :

M(0, 0, 0, 0) = g.

(136)

Remplac ¸ons g par g0 dans (134), et d´ eveloppons en puissances du nouveau g selon (135) : ! Z 4 d p 1 1 g
+ ··· . (137) M = g 1 + Ag + 2 (2π )4 (m2 + p 2 ) i m2 + (p − k1 − k2 )2

Alors, (136) entraˆıne

A=− et g M=g 1+ 2

Z

1 2

d4 p 1 2 4 (2π ) i(m + p 2 )

Z



d4 p 1 4 2 (2π ) i(m + p 2 )2

1 1 − 2 2 2 m + (p − k1 − k2 ) m + p2

(138) 

!

+ ··· .

(139)

Non seulement on a maintenant un param` etre g plus proche de l’observable M, mais on b´ en´ eficie d’une prime : l’int´ egrale dans (139) est convergente alors que l’int´ egrale dans (134) ´ etait en fait divergente. Cette divergence a ´ et´ e repouss´ ee dans la quantit´ e A, dans (138), c’est-` a-dire dans la d´ efinition de g0 . De nouveau, nous sommes amen´ es ` a tol´ erer la pr´ esence dans le lagrangien de quantit´ es infinies (ou qui croissent sans limite lorsqu’on repousse une borne) afin d’obtenir des grandeurs physiques finies. L’´ etude des autres graphes nous conduirait ` a administrer le mˆ eme traitement au terme de masse dans le lagrangien, ` a savoir remplacer m2 φ2 par (m2 + A′ g + B ′ g 2 + · · ·)φ2 = m02 φ2 .

(140)

Nous trouverions que m peut endosser le rˆ ole de masse physique, et annuler certaines divergences dans les expressions des grandeurs physiques, si l’on permet aux constantes A′ , B ′ , etc. de prendre des valeurs infinies. Les quantit´ es m0 et g0 , autrement dit les coefficients r´ esultants devant φ2 et φ4 dans le lagrangien, sont appel´ ees respectivement masse et constante de couplage nues, ou non renormalis´ ees. Les param` etres finis m et g sont appel´ es masse et constante de couplage renormalis´ ees, ou physiques. Exprim´ ot que m0 ee en termes de m et g, plutˆ et g0 , la th´ eorie φ4 fournit des int´ a egrales finies pour tous les ´ el´ ements de matrice S ` tous les ordres du d´ eveloppement perturbatif. On dit, dans ce cas, que la th´ eorie est renormalisable. Il est commode, ` a certaines fins, d’introduire un op´ erateur de champ renormalis´ e φr : φ = Z 1/2 φr

Z 1/2 = 1 + A′′′ g + B ′′′ g 2 + · · ·

(141)

Cela facilite les red´ efinitions finies de quantit´ es auxiliaires de la th´ eorie, les divergences ´ etant transf´ er´ ees aux coefficients A′′′ , B ′′′ , . . . On appelle ce proc´ ed´ e la renormalisation de la fonction-d’onde, et Z la constante de renormalisation de la fonction-d’onde. Les termes suppl´ ementaires introduits dans le lagrangien, mettant en jeu les divers coefficients A, A′ , A′′′ , . . . , B, B ′ , B ′′′ , . . ., etc., ne sont chacun que des multiples des termes originellement pr´ esents. On les nomme contre-termes de renormalisation. On ne s’y r´ ef` ere en r´ ealit´ e, dans les calculs de perturbation, que pour la suppression des parties divergentes des int´ egrales de Feynman.

22 PROBABILITES DE TRANSITION ET SECTIONS EFFICACES Les ´ el´ ements de matrice S pour la diffusion de particules stables ont, en toute g´ en´ eralit´ e, la forme d´ ej` a vue dans (133) :
P ′ P
k − k i M k′1 , k′2 , . . . , k1 , k2 , . . . , (142) hk′1 , k′2 , . . . | S − 1|k1 , k2 , . . .i = (2π )4 δ4

o` u l’on trouve une fonction delta assurant la conservation de l’impulsion-´ energie, et une amplitude invariante de Lorentz, M. Etudions maintenant l’interpr´ etation de M en termes de probabilit´ es de transition et de sections efficaces. Supposons encore, pour simplifier, qu’il n’y a que deux particules dans l’´ etat initial, ainsi que dans l’´ etat final. Pour invoquer l’interpr´ etation probabiliste, nous devons recourir ` a des ´ etats normalisables. Au lieu de sp´ ecifier des impulsions k1 et k2 bien d´ efinies, nous construisons donc l’´ etat initial avec des paquets d’ondes normalis´ es : Z Z ~1 ~2 d3 p d3 p ~1 ) g(p ~2 )|p ~1 , p ~2 i, f (p (143) (2π )3 2p10 (2π )3 2p20 o` u les fonctions f et g sont normalis´ ees, Z Z 2 2 ~1 ~2 d3 p d3 p f (p g(p ~ ~2 ) = 1, ) = 1 3 3 (2π ) 2p10 (2π ) 2p20

(144)

~1 et k ~2 respectivement ; autrement dit, les valeurs et ont une forme de pic aux alentours de k ~1 et p ~2 . La probabilit´ ~1 ≈ k ~2 ≈ k d’impulsions qui contribuent effectivement sont donc p e 3 ~′ 3 ~′ que les impulsions finales soient dans l’´ el´ ement d k1 d k2 vaut donc : ~′ ~′ d3 k d3 k 2 1 (2π )3 2k′10 (2π )3 2k′20 ZZZZ ~2 ~1 ~2 ~1 d3 p d3 q d3 q d3 p × 3 3 3 3 (2π ) 2p10 (2π ) 2p20 (2π ) 2q10 (2π ) 2q20

∗ ~1 ) g(p ~2 ) M k′1 , k′2 , q1 , q2 M k′1 , k′2 , p1 , p2 × f ∗ (~ q1 ) g ∗ (~ q 2 ) f (p

× (2π )4 δ4 k′1 + k′2 − q1 − q2 (2π )4 δ k′1 + k′2 − p1 − p2 . (145)
Grˆ ace ` a la premi` ere fonction δ, la seconde peut ˆ etre remplac´ ee par δ4 q1 + q2 − p1 − p2 . ~1 et k ~2 , l’ensemble de l’expression Usant du fait que f et g sont des pics aux environs de k peut s’´ ecrire dP × X, (146) avec : dP = X=

~′ ~′

d3 k d3 k 2 2 1 ′ ′ ′ ′ 4 4 , M k , k , k , k (2π ) δ k + k − k − k 1 2 1 2 1 2 1 2 ′ ′ (2π )3 2k10 (2π )3 2k20

ZZZZ

(147)

~1 ~2 ~1 ~2 d3 p d3 p d3 q d3 q 3 3 3 (2π ) 2p10 (2π ) 2p20 (2π ) 2q10 (2π )3 2q20


~1 ) g(p ~2 ) (2π )4 δ4 q1 + q2 − p1 − p2 . × f ∗ (~ q1 ) g ∗ (~ q 2 ) f (p

(148)

Mais X a une interpr´ etation simple en termes d’ondes de de Broglie spatio-temporelles des paquets d’ondes donn´ es : Z ~1 d3 p e ~1 ) eip1 x f (p f (x) = (2π )3 2p10 (149) Z ~2 d3 p ip2 x e ~2 ) e g(x) = g(p . (2π )3 2p20

23 Utilisant celles-ci, ainsi que leurs conjugu´ ees fe∗ (x) =

Z

~1 d3 q f ∗ (~ q1 ) e−iq1 x (2π )3 2q10

Z

~2 d3 q e (x) = g ∗ (~ q2 ) e−iq2 x , g 3 (2π ) 2q20 ∗

pour calculer l’int´ egrale de recouvrement Z 2 2 e , d4 x fe g

(150)

(151)

on trouve que cette derni` ere vaut pr´ ecis´ ement X. Donc X mesure le recouvrement des paquets d’ondes dans l’espace-temps, recouvrement n´ ecessaire pour qu’une interaction ` a courte port´ ee donne lieu ` a diffusion. e D’apr` Nous n’avons encore rien dit ` a propos des normes de fe et g. es un th´ eor` eme standard d’analyse de Fourier, on a Z

2 2 Z d3 p ~1 ~1 ) f (p ~ t) = ~ fe(x, d3 x (2π )3 2p10 ≈

1 , 2k10

(152)

en utilisant la normalisation (144), et la valeur approch´ ee (2k10 )−1 pour le facteur (2p10 )−1 dans l’int´ egrande. Pour des paquets d’ondes planes ´ etendus, ou tr` e2s pointus dans l’espace ~ t) comme des impulsions, on peut donc interpr´ eter la quantit´ e 2k10 fe(x, densit´ e de une 2 ~ ` e x, ~ t) relative probabilit´ e de position x, a l’instant t. De mˆ eme pour la quantit´ e 2k20 g( ` a la deuxi` eme particule. On peut alors r´ eexprimer le r´ esultat (146) sous la forme suivante : la probabilit´ e de transition, par unit´ e de volume et par unit´ e de temps, au pav´ e sp´ ecifi´ e de l’espace des impulsions finales, vaut ρ1 ρ2 , (153) dP 2k10 2k20 o` u ρ1 et ρ2 sont les densit´ es de probabilit´ e respectives des deux particules au point de l’espace en question, ` a l’instant donn´ e. Ce r´ esultat concerne d’abord un syst` eme de deux particules, et non un syst` eme de deux faisceaux, ou un faisceau incident sur une cible mat´ erielle. Mais dans la mesure o` u faisceaux et mat´ eriaux sont assez dilu´ es pour que les effets ` a N-corps soient n´ egligeables, e par (147) on obtient le r´ esultat d´ esir´ e par simple multiplication. En ce sens, dP donn´ est le taux de transition, par unit´ e de volume et par unit´ e de temps, pour des faisceaux e de volume respectivement. La mˆ eme concourants de 2k10 et 2k20 particules par unit´ quantit´ e, exprim´ ee en fonction d’une section efficace diff´ erentielle, s’´ ecrit : ~1 − v ~ 2 (2k10 ) (2k20 ), dP = dσ v (154)

~ 1 et v ~ 2 . On peut ainsi exprimer pour des faisceaux dont les vitesses sont respectivement v la section efficace diff´ erentielle en fonction de l’´ el´ ement de matrice. Nous nous sommes content´ es de consid´ erer le cas de deux particules dans l’´ etat initial et deux particules dans l’´ etat final. Mais c’est un r´ esultat tout ` a fait g´ en´ eral. Avec N faisceaux concourants, chacun de 2kn0 particules par unit´ e de volume, n = 1, . . . , N, la probabilit´ e de transition, par unit´ e de volume et par unit´ e de temps, aux impulsions sp´ ecifi´ ees, k′1 , . . . , k′M , vaut : dP =

 P ~′
PN d3 k 2 M ′ m ′ ′ (2π )4 δ4 1 km − 1 kn M k1 , . . . , kM , k1 , . . . kM . 3 (2π ) 2km0 m=1 M Y

(155)

24 Cette formule convient mˆ eme s’il n’y a qu’une particule dans l’´ etat initial — c’est-` adire dans le cas de la d´ esint´ egration d’une particule instable —, dans la mesure o` u le calcul est limit´ e` a l’ordre le plus bas de l’interaction d´ esint´ egratrice. Dans ce cas, bien sˆ ur, les particules finales sont diff´ erentes de, et plus l´ eg` eres que, la particule initiale. A partir du taux de transition dP , par unit´ e de volume et par unit´ e de temps, d’un faisceau de 2k0 particules par unit´ e de volume, on obtient le taux total de d´ esint´ egration par particule : Z 1 X Γ = dP , (156) 2k0 avec int´ egration sur les impulsions finales, et sommation sur les voies finales. Dans le cas de la d´ esint´ egration d’une particule instable, la formule (146) pr´ esente une particularit´ e car : Z 2 X = d4 x fe(x) Z
−1 ≈ dt 2k10

= ∞.

Cela signifie que le paquet d’ondes de l’unique particule n’a pas besoin de recouvrir quoi que ce soit pour que la d´ esint´ egration se produise. A l’ordre le plus bas de la th´ eorie des perturbations, les effets r´ etroactifs de diminution de l’amplitude de l’´ etat initial ne sont pas pris en compte, en sorte que le processus semble continuer ind´ efiniment. Pour inclure ces effets, il faut modifier (dans le cas d’une particule instable) non seulement l’amplitude M dans (155), mais le facteur de conservation de l’impulsion-´ energie. Pour Γ petit, et dans le rep` ere du centre de masse, la fonction delta conservatrice de l’´ energie est remplac´ ee par le facteur de Breit-Wigner-Weisskopf : 2π δ(E − E ′ ) −→

(E ′

Γ e−Γ t , − E)2 + (Γ /2)2

(157)

o` u t est le temps ´ ecoul´ e depuis la cr´ eation de la particule instable. LE CHAMP VECTORIEL Envisageons maintenant un champ de quadrivecteurs de Lorentz : Aµ = (A1 , A2 , A3 , A4 = iA0 ),

(158)

o` u, au stade classique, A1 , A2 , A3 , et A0 , sont r´ eels. La densit´ e lagrangienne invariante de Lorentz non triviale, la plus simple, est L = − 12 (∂µ Aν )(∂µ Aν ) − 21 m2 Aν Aν ,

(159)

avec sommations sur µ et ν. A premi` ere vue, ce n’est qu’une somme de quatre contributions du type (57), une pour chaque composante. Mais comme A4 est imaginaire, la quatri` eme contribution intervient avec un signe oppos´ e aux autres, et l’´ energie associ´ ee est n´ egative. Il faut donc s’attendre ` a des ennuis lorsque, au cours de l’´ elaboration de la th´ eorie quantique, on postule l’existence d’un ´ etat d’´ energie fondamental (vide). Continuons n´ eanmoins, avec l’espoir de parvenir ` a surmonter ces probl` emes. Le conjugu´ e canonique de Aµ est ˙µ , Πµ = A

(160)

et nous disposons du commutateur aux temps ´ egaux correspondant : 

 ~ Πν (t, y) ~ = i δµν δ3 (x ~ − y). ~ Aµ (t, x),

(161)

25 Essayons ` a nouveau une d´ ecomposition en op´ erateurs de cr´ eation et de destruction : Aµ = Πµ =

XZ

(162)

 k   ~ d3 k 0 ~ s) uµ (k, ~ s) eikx − a+ (k, ~ s) uµ (−k, ~ s) e−ikx . a( k, (2π )3 2k0 i

(163)

s

XZ s

  ~ d3 k ~ s) uµ (k, ~ s) eikx + a+ (k, ~ s) uµ (−k, ~ s) e−ikx a( k, (2π )3 2k0

~ s) (s = 1, 2, 3, 4) sont des ensembles de quatre quadrivecteurs constants, choisis Les u(k, ~ = 0, pour convenance. Prenons, pour k u(1) = (1, 0, 0, 0)

u(2) = (0, 1, 0, 0)

u(3) = (0, 0, 1, 0) u(4) =

(164)

(0, 0, 0, i)

~ 6= 0, par le truchement ` a partir desquels nous obtenons des vecteurs associ´ es ` a k de la transformation de Lorentz qui fait passer de l’impulsion au repos (0, 0, 0, im) ` a ~ s) = u(k, ~ s). Notez l’impulsion voulue (k1 , k2 , k3 , k4 ). Remarquez que l’on a ainsi u(−k, ´ egalement que X ~ s) uν (k, ~ s) = δµν , g(s) uµ (k, (165) s

avec g(1) = g(2) = g(3) = −g(4) = +1, identit´ e que l’on peut v´ erifier explicitement ` a l’aide de (164), et qui est pr´ eserv´ ee lors des transformations de Lorentz. Alors, (160) est une cons´ equence de (162) et (163), si  X X ~ s ′ ) uν (k, ~ s ′ ) = δµν , ~ s) uµ (k, ~ s) , a+ (k, a(k, s

s′

ou, avec (165), si : h i ~ s), a+ (k ~′ , s ′ ) = g(s) (2π )3 2k0 δ3 (k ~−k ~′ ) δss ′ . a(k,

(166)

Les ennuis redout´ es se manifestent maintenant, pour s = 4 : h i ~ 4), a+ (k ~′ , 4) = −δ3 (k ~−k ~′ ) (2π )3 2k0 . a(k, ~ 4)|0i = 0, Si nous supposons l’existence d’un ´ etat fondamental vide, avec la propri´ et´ e a(k, on a alors : ~ 4) a+ (k ~′ , 4)|0i = −(2π )3 2k0 δ3 (k ~−k ~′ ). h0|a(k, (167) Cela entraˆıne que le paquet d’ondes Z

~ d3 p ~ a+ (p, ~ 4)|0i f (p) (2π )3 2p0

a une norme n´ egative : −

Z

2 ~ d3 p f (p) ~ . 3 (2π ) 2p0

(168)

Nous nous sommes donc, d’une certaine fac ¸on, ´ ecart´ es du sentier de la m´ ecanique quantique ordinaire. Peut-ˆ etre ne devrions nous plus parler de conjugaison hermitique ` a propos de l’op´ eration a ⇌ a+ , et de la r` egle correspondante pour le produit : (AB)+ = B + A+ .

(170)

26 Et pourtant, les valeurs moyennes d’un op´ erateur autoconjugu´ e dans cette nouvelle acception, sont r´ eelles. Un hamiltonien autoconjugu´ e dans ce sens conserve la norme d´ efinie par g´ en´ eralisation de (167) aux ´ etats ` a plusieurs particules. Il n’y a donc d’autre difficult´ e que l’apparition d’´ etats de norme n´ egative — qui compliquent l’interpr´ etation probabiliste. Mais il se trouve que pour certaines formes d’interaction, les ´ el´ ements de matrice S vers, ou depuis, des ´ etats contenant des quanta du quatri` eme type, non physiques, sont tout simplement nuls. Les normes n´ egatives ne se manifestent donc pas dans les probabilit´ es de transition qui constituent l’interpr´ etation des ´ el´ ements de matrice S ; pour ce qui est de la matrice S tout au moins, il n’y a donc aucun probl` eme. Comment cela se produit-il ? Il faut ´ ecrire les ingr´ edients de base des r` egles de Feynman pertinentes, les valeurs des paires dans le vide calcul´ ees ` a l’aide de (162) :
δµν 1 h0|T Aµ (x), Aν (y) |0i = i (m − iǫ)2 + k2

(171)

~ s)|0i = g(s) uµ (k, ~ s) h0|Aµ (x) a+ (k,

(172)

~ s) Aµ (x)|0i = g(s) uµ (−k, ~ s). h0|a(k,

(173)

Notez en particulier qu’il y a une fonction-d’onde de spin u pour chaque particule initiale ou finale, en sorte que l’´ el´ ement de matrice de diffusion ! k′1 k′2 M ′ , ′ ,... s1 s2 est de la forme


uµ (k′1 , s1′ ) uν (k′2 , s2′ ) · · · Mµν... k′1 , k′2 , . . . .

(174)

Une condition suffisante pour que les ´ el´ ements de matrice dans lesquels interviennent des quanta non physiques soient nuls est donc que : k′1µ Mµν... = 0 k′2ν Mµν... = 0

(175)

etc. Ces ´ equations sont des cas particuliers d’identit´ es dites «de Ward-Takahashi». Elles sont valides lorsque l’interaction satisfait ce que l’on appelle l’«invariance de jauge». L’´ electrodynamique quantique (qui implique, en temps voulu, la limite m → 0) peut ˆ etre formul´ ee de cette mani` ere. Vous entendrez parler par ailleurs de l’invariance de jauge g´ en´ eralis´ ee dont jouissent les modernes th´ eories de champs unifi´ ees. Il existe une autre fac ¸on de neutraliser les quanta du quatri` eme type, non physiques. On peut les alourdir, en sorte que la conservation de l’´ energie empˆ eche leur production par les particules ordinaires aux ´ energies ordinaires. Il faut pour cela modifier le lagrangien (159). On connaˆıt, en fait, d’autres invariants bilin´ eaires que l’on pouvait ajouter ` a celui-ci : (∂µ Aν )(∂ν Aµ ) et (∂µ Aµ )(∂ν Aν ). En r´ ealit´ e, ces quantit´ es apportent des contributions ´ egales ` a l’int´ egrale d’action, comme le montre une int´ egration par parties, et il suffit donc de n’en consid´ erer qu’une. Ajoutons ` a (159) le terme : − 21 α (∂µ Aµ )2 . Les ´ equations du mouvement de Lagrange deviennent :
∂µ ∂µ − m2 Aν + α ∂ν ∂µ Aµ = 0.

(176)

(177)

Pour des solutions en ondes planes, requises pour ´ ecrire (162), on doit donc avoir :
k2 + m2 uν + α kν kµ uµ = 0. (178)

27 ~= Puisque kµ uµ = 0 dans les cas s = 1, 2 ou 3 (cons´ equence imm´ ediate de (164) lorsque k 0, et plus g´ en´ eralement ` a cause de l’invariance de Lorentz de kµ uµ ), on a : k2 + m2 = 0 q ~2 , k0 = m 2 + k

comme auparavant. Mais dans le cas s = 4, puisque uµ ∝ kµ , on a : (1 + α)k2 + m2 = 0 s

m2 ~2 . +k (179) 1+α √ La masse des quanta non physiques vaut donc m/ 1 + α, et peut ˆ etre rendue arbitrairement grande ` a la limite α → −1. Apr` es int´ egration par parties, le lagrangien (159), additionn´ e de (176), est ´ equivalent ` a: k0 =

1 4 ∂µ Aν ∂ν Aµ 1 + 4 ∂µ Aν ∂ν Aµ + 41 ∂ν Aµ ∂µ Aν 1 − 2 (α + 1)(∂µ Aµ )2 − m2 A2µ

− 14 ∂µ Aν ∂µ Aν −

1

1

1

= − 4 (∂µ Aν − ∂ν Aµ )2 − 2 m2 A2µ − 2 (α + 1)(∂µ Aµ )2 . (180)

Lorsque α = −1, c’est la forme standard de la densit´ e lagrangienne d’un m´ eson vectoriel massif. D’apr` es (162) et (179), le propagateur est maintenant
h0|T Aµ (x) Aν (y) |0i = Z

d4 k ik(x−y) 1 e (2π )4 i



 δµν − kµ kν /k2 kµ kν /k2 + . (m − iǫ)2 + k2 (m − iǫ)2 + (1 + α)k2

(181)

Lorsque α = −1, sa transform´ ee de Fourier prend la forme standard du m´ eson vectoriel massif : δµν + kµ kν /m2 . (182) (m − iǫ)2 + k2 Bien que (182) soit d´ ebarass´ e des ennuis de normes n´ egatives, il y a un autre probl` eme. Le propagateur ne d´ ecroˆıt pas lorsque k est grand. Les int´ egrales associ´ ees aux boucles dans les graphes de Feynman divergent donc gravement, et il s’ensuit g´ en´ eralement des divergences qui subsistent apr` es renormalisation. Ce genre de th´ eorie est dit «non renormalisable». Toutefois, dans les th´ eories suffisamment invariantes de jauge, les termes d’aspect menac ¸ant (kµ kν /m2 ) peuvent, en vertu des identit´ es de Ward-Takahashi g´ en´ eralis´ ees, ˆ etre mis sous des formes moins dangereuses. On a effectivement construit, ces derni` eres ann´ ees, des th´ eories renormalisables avec des m´ esons vectoriels. Nous venons de voir, pour α = 0 et α = −1, des th´ eories de m´ esons vectoriels apparemment diff´ erentes. Dans ces deux cas, nous avons identifi´ e des difficult´ es, et signal´ e la possibilit´ e de les r´ esoudre avec des interactions invariantes de jauge. Plus tard, nous verrons aussi qu’avec suffisamment d’invariance de jauge, on n’a pas l` a, en fait, deux th´ eories diff´ erentes mais des formulations diff´ erentes de la mˆ eme th´ eorie. On peut alors faire appel ` a l’une des versions lorsqu’on veut mettre en ´ evidence la renormalisabilit´ e, et ` a l’autre quand on veut montrer l’absence de probl` eme li´ e aux normes n´ egatives.

28 VIDE NU ET VIDE REEL L’´ etat d´ enomm´ e jusqu’` a pr´ esent «vide», et not´ e |0i, sera appel´ e dor´ enavant vide «nu». C’est un ´ etat propre de la seule partie libre de l’hamiltonien : H0 |0i = 0.

(183)

Nous allons bientˆ ot avoir besoin du concept de vide «r´ eel», ` a savoir l’´ etat fondamental |0i du syst` eme en interaction : H |0i = 0. (184) Nous supposons ici que vide nu et vide r´ eel ont tous deux une ´ energie nulle. Si n´ ecessaire, on introduit un contre-terme trivial, un c-nombre, dans H pour supprimer tout d´ ecalage d’´ energie. ement reli´ es l’un ` a l’autre au moyen de Les deux ´ etats, |0i et |0i, sont commod´ l’«hypoth` ese adiabatique». Selon cette hypoth` ese, si la constante de couplage varie lentement en fonction du temps, l’´ etat fondamental associ´ e` a la valeur initiale de g ´ evolue de concert vers l’´ etat fondamental associ´ e` a la valeur finale. Il est commode de travailler dans la repr´ esentation d’interaction : dΦ(t) = −i HI (t) Φ(t), dt

avec

(185)

Z

~ I(x), HI (t) = − d3x

(186)

et la constante de couplage dans I assujettie au branchement adiabatique g −→ g e−α|t| ,

(187)

avec α petit. La solution it´ erative de (185) peut s’´ ecrire formellement :

Φ(t2 ) = T e

−i

’ t2 dt HI (t) t1

Φ(t1 ).

(189)

|0i,

(190)

L’hypoth` ese adiabatique implique alors, en particulier, |0i = T e

−i

’0

dt HI (t)

−∞

dans la limite α → 0. On peut v´ erifier explicitement en th´ eorie des perturbations que, dans cette limite, (184) r´ esulte bien de (183) et (190). De la mˆ eme mani` ere, la solution it´ erative de la conjugu´ ee de (185) conduit ` a +

+

Φ (t1 ) = Φ (t2 ) T e

−i

’ t2 dt HI (t) t1

,

(191)

d’o` u, par hypoth` ese adiabatique,

h0| = h0| T e

−i

’∞ dt HI (t) 0

.

(192)

Ce r´ esultat peut lui aussi ˆ etre confirm´ e explicitement par d´ eveloppement perturbatif. Semblable ` a cette distinction entre vides «nu» et «r´ eel», existe une distinction entre ´ etats de particule «nus» et «r´ eels». Jusqu’` a pr´ esent, nos ´ el´ ements de matrice S reliaient des ´ etats de particules nus, construits par applications d’op´ erateurs de cr´ eation et d’annihilation nus au vide nu. Mais, par extension de l’hypoth` ese adiabatique, ces mˆ emes ´ el´ ements de matrice, dans la mesure o` u les limites t → ±∞ dans les int´ egrales

29 sont soigneusement d´ efinies par branchement adiabatique, conviennent pour les ´ etats de particules r´ eels correspondants. On suppose qu’avec ce branchement se produisant surtout avant et apr` es le recouvrement des paquets d’ondes, les ´ etats r´ eels sont d’abord ´ engendr´ es par les etats nus et finissent par d´ eg´ en´ erer en ´ etats nus. Il n’y a qu’un endroit o` u ces limites t → ±∞ s’av` erent d´ elicates en pratique. C’est lorsqu’on a affaire ` a des graphes de Feynman avec «insertions dans les lignes externes». Consid´ erons un graphe du genre

(193)

dans lequel les globules repr´ esentent des sous-structures arbitrairement compliqu´ ees. On peut consid´ erer que ce graphe est engendr´ e par un graphe de base

(194)

avec insertion d’une sous-structure dans une ligne externe. A la ligne interne figurant dans (193) est associ´ e un facteur
−1 i(m2 + k2 ) , (195)

o` u, par conservation, k est la quadri-impulsion de la ligne externe. Mais, comme les lignes externes se rapportent ` a des particules r´ eelles, on a m2 + k2 = 0, et (195) est infini. Une renormalisation correcte de la masse engendre en r´ ealit´ e un z´ ero dans le facteur associ´ e au globule ins´ er´ e, et il reste ` a interpr´ eter (0/0). C’est ` a ce stade qu’il faut r´ eexaminer le passage d´ esinvolte aux limites t → ±∞ dans les int´ egrales. Un branchement adiabatique soigneux conduit ` a la prescription qui suit. L’effet de toutes les insertions possibles dans une ligne externe se r´ eduit ` a une multiplication de la contribution du graphe irr´ eductible de base par un facteur Z 1/2 , o` u Z est une constante caract´ eristique de la particule ` a laquelle se rapporte la ligne en question. Cette constante Z est en fait la «constante de renormalisation de la fonction-d’onde» mentionn´ ee plus haut. LES FONCTIONS DE GREEN Etroitement reli´ ees au ´ el´ ements de matrice S, et souvent plus commodes pour les d´ eveloppements th´ eoriques, nous avons ce qu’on nomme les «fonctions de Green». Ce sont les valeurs moyennes, dans le vide, des produits ordonn´ es des op´ erateurs de champ de Heisenberg. Pour un champ vectoriel, par exemple,
(196) Gµν... (x, y, . . .) = h0|T Aµ (x) Aν (y) · · · |0i.

Ici, nous soulignons les champs, et le vide, pour les distinguer des champs libres (ou en repr´ esentation d’interaction), et du vide nu, dont nous allons bientˆ ot avoir besoin. La relation entre op´ erateurs en repr´ esentations de Heisenberg et d’interaction est dict´ ee par la condition que leurs ´ el´ ements de matrice, dans les ´ etats Φ(0) et Φ(t) respectivement, soient ´ egaux. D’apr` es la relation entre ´ etats (189), on a : Aµ (x) =

Te

−i

’t !+ dt ′ HI (t ′ ) 0

Aµ (x) T e

−i

’t ! dt ′ HI (t ′ ) 0 .

(197)

30 Mais on peut d´ emontrer la relation d’unitarit´ e ’ t2 ’ t2 !+ !−1 −i dt HI (t) −i dt HI (t) t1 t1 Te = Te , d’o` u: Aµ (x) =

Te

−i

’t !−1 dt ′ HI (t ′ ) 0

Aµ (x) T e

−i

(198)

’t ! dt ′ HI (t ′ ) 0 .

(199)

Utilisant alors les formules (190) et (192), donnant le vide r´ eel en fonction du vide nu, et des relations du genre ’ t3 ’ t3 ’ t2 ! ! −i dt HI (t) −i dt HI (t) −i dt HI (t) t2 t1 t1 = Te Te Te , (200) on trouve : Gµν... (x, y, . . .) = h0| T e

−i

’∞

dt HI (t)

−∞

!

Aµ (x) Aν (y) · · · |0i.

(201)

Grˆ ace ` a (201), on peut mettre au point un d´ eveloppement en graphes de Feynman pour les fonctions de Green. Les graphes sont pr´ ecis´ ement ceux des ´ el´ ements de matrice S, si ce n’est que les lignes externes se rapportent maintenant ` a des accouplements d’op´ erateurs de champ Aµ (x), Aν (y), . . . , au lieu d’op´ erateurs de cr´ eation et d’annihilation a+ et a. On obtient finalement les ´ el´ ements de matrice S ` a l’aide des transform´ ees de Fourier des fonctions de Green : Z e Gµν... (k1 , k2 , . . .) = d4 x d4 y · · · eik1 x eik2 y · · · Gµν... (x, y, . . .). (202)

eµν... un facteur La r` egle exacte consiste ` a extraire de G


−1 i Z 1/2 m2 + k2

(203)

pour chaque ligne externe, puis ` a remplacer k par la quadri-impulsion (ou son oppos´ ee) de la particule correspondante s’il s’agit d’une particule initiale (ou finale), et enfin ` a contracter les indices tensoriels µ, ν, . . ., avec les fonctions-d’onde appropri´ ees uµ , uν , . . . INTEGRALES FONCTIONNELLES Consid´ erons le quotient d’int´ egrales simples, ordinaires, ’

1 2 dx e− 2 ǫx x n , ’ 1 2 dx e− 2 ǫx

o` u ǫ peut ˆ etre complexe ` a partie r´ eelle positive. Cette expression est nulle pour n impair, tandis que pour n pair, elle vaut   d n/2 −1/2 ǫ = ǫ−n/2 1 × 3 × · · · (n − 1). ǫ1/2 −2 dǫ

(204)

Mais 1 × 3 × . . . (n − 1) n’est autre que le nombre de fac ¸ons de disposer n objets par couples. Le reste s’ensuit. Soit A, B, . . . , des puissances de x, et d´ efinissons une valeur moyenne ’ 1 2 dx e− 2 ǫx ABC · · · ABC · · · = . ’ 1 2 dx e− 2 ǫx

31 On a alors ABC · · ·

=

AB CD · · · +

AC BD · · ·

+

AD BC · · ·

+

··· ··· ···

(205)

o` u chaque monˆ ome est un produit de valeurs moyennes de paires, et o` u la somme est ´ etendue ` a tous les accouplements possibles. Plus g´ en´ eralement, soit A, B, C, . . . , des combinaisons lin´ eaires des variables x1 , x2 , . . . , et

ABC · · · =

Z

1 P 2 Q dx e− 2 ǫn xn ABC · · · Z . 1 P 2 Q dx e− 2 ǫn xn

(206)

On a encore la propri´ et´ e (205) ; il suffit de remarquer que xn xm = 0, pour n 6= m, puis que les variables se s´ eparent. Le r´ esultat (205) ´ evoque le th´ eor` eme de Wick et sugg` ere de repr´ esenter les valeurs moyennes des produits d’op´ erateurs de champ par ce genre d’int´ egrales. Toutefois, le champ φ(x) a un nombre infini de degr´ es de libert´ e, un en chaque point de l’espace-temps. Il faut donc recourir ` a des sommes continues, multiples, les int´ egrales fonctionnelles. Pour des champs libres, on trouve que Z Q dφ eiA0 φ(x) φ(y) · · ·
Z , (207) h0| T φ(x) φ(y) · · · |0i = Q dφ eiA0 o` u A0 est l’action. Grˆ ace ` a (205), il suffit de chercher confirmation de cette expression pour une paire de champs. V´ erifions que, pour des champs libres, Z Q dφ eiA0 (φ) φ(x) φ(y)
Z h0| T φ(x) φ(y) |0i = , (208) Q dφ eiA0 (φ) o` u φ est une fonction de (x), A0 est l’action correspondante, Z   1 ~ dx0 (m − iǫ)2 φ2 + (∂µ φ)2 , A0 = − 2 d3 x et l’int´ egration est ´ etendue ` a «tous les φ possibles», c’est-` a-dire ` a «toutes les valeurs de φ en tous points x». Pour pr´ eciser un peu plus cette notion, plac ¸ons-nous dans un tr` es grand hypercube de l’espace-temps, de cˆ ot´ e L, et imposons au champ φ des conditions p´ eriodiques. Ledit champ peut alors ˆ etre repr´ esent´ e par une s´ erie de Fourier φ(x) = L−4 avec Choisissons la signification

X k

e Φ(k) eikx ,

∗  e e . φ(−k) = φ(k)

   Q Q′  e e dφ ≡ k d ℜe φ(k) d ℑm φ(k) ,

(209)

(210)

(211)

32 o` u le prime indique qu’il ne faut pas prendre ` a la fois les valeurs k et −k. Remarquez que A0 (φ) = − 12 L−4 1

= − 2 L−4

X k

X k


e e φ(k) (m − iǫ)2 + k2 φ(−k)


∗ e (k), e φ(k) (m − iǫ)2 + k2 φ

et que φ(x) φ(y) = L−8

XX p

q

e e Evidemment, φ(p) φ(q) = 0 si p 6= −q, et

e e eipx+iqy φ(p) φ(q).

(212)

(213)

Z

2
i −4 2 e (m − iǫ)2 + p 2 φ(p) e e e φ(p) dℜe φ(p) dℑm φ(p) e− 2 L e e φ(p) φ(−p) = Z 2
i −4 e (m − iǫ)2 + p 2 φ(p) e e dℜe φ(p) dℑm φ(p) e− 2 L = L−4 i−1 (m − iǫ)2 + p 2

On a donc : φ(x) φ(y) = L−4 −→

Z

X p


−1

.

eip(x−y) i−1 (m − iǫ)2 + p 2

eip(x−y) d4 p
, 4 (2π ) i (m − iǫ)2 + p 2


−1 (214)

comme nous le d´ esirions. Nous n’avons consid´ er´ e jusqu’` a pr´ esent que les fonctions de Green des champs libres. Mais celles-ci permettent le traitement des champs en interaction, par le truchement de la formule ’∞  
−i dt HI (t) −∞ φ(x) φ(y) · · · |0i, h0| T φ(x) φ(y) · · · |0i = h0| T e pour laquelle (207) donne : Z

R 4 Q dφ eiA0 e d x iI φ(x) φ(y) · · · Z . Q dφ eiA0

En combinant ceci avec

1 = h0|0i =

Z

R 4 Q dφ eiA0 e d x iI Z , Q dφ eiA0

(215)

(dans la mesure o` u l’on maintient l’´ energie du vide ` a z´ ero par un contre-terme, trivialement un c-nombre), on a : Z Q dφ eiA(φ) φ(x) φ(y) · · ·
Z h0| T φ(x) φ(y) · · · |0i = . (216) Q dφ eiA(φ)

33 THEORIE DE CHAMP EUCLIDIENNE Dans les fonctions de Green G(x, y, . . .) consid´ er´ ees jusqu’` a pr´ esent, les temps x4 /i, y4 /i, etc., ´ etaient r´ eels. Mais il s’av` ere fructueux de consid´ erer les prolongements analytiques de ces fonctions ` a des temps imaginaires, c’est-` a-dire aux valeurs r´ eelles de x4 , y4 , etc. On peut mˆ eme d´ efinir des op´ erateurs de Heisenberg ` a des temps imaginaires par ~ x4 ) = eH x4 φ(x, ~ 0) e−H x4 , φ(x,

(217)

et les champs libres (ou en repr´ esentation d’interaction) correspondants par ~ x4 ) = eH0 x4 φ(x, ~ 0) e−H0 x4 , φ(x,

(218)

~ x4 ) = U −1 (x4 , 0) φ(x, ~ x4 ) U(x4 , 0), φ(x,

(219)

de sorte que avec U (τ2 , τ1 ) = eH0 τ2 e−H (τ2 − τ1 ) e−H0 τ1 ’ τ2 dτ HI (τ) − = T e τ1 , o` u

HI (τ) = eH0 τ (H − H0 ) e−H0 τ ,

(220)

(221)

et o` u le T prescrit maintenant l’ordination par rapport ` a τ. En supposant que les c-nombres additifs, dans H0 et H , soient ajust´ es pour que les ´ energies des vides r´ eel et nu soient nulles, les formules suivantes sont plausibles : |0i = = =

U(0, −∞)|0i

lim e−H τ |0i

τ→∞

X n

(222)

lim e−En τ |nihn|0i.

τ→∞

De mˆ eme : h0| = h0| U (∞, 0).

(223)

U (τ3 , τ2 ) U (τ2 , τ1 ) = U(τ3 , τ1 ),

(224)

En utilisant ces formules, ainsi que

on obtient ’∞   − dτ HI (τ) −∞ h0| T φ(x) φ(y) · · · |0i = h0| T e φ(x) φ(y) · · · |0i.


(225)

Cette expression peut ˆ etre le point de d´ epart d’un d´ eveloppement ` a la Feynman-DysonWick, comme pr´ ec´ edemment. Et de ce genre de d´ eveloppement, on peut inf´ erer une repr´ esentation int´ egrale fonctionnelle. Celle-ci est disponible ` a partir de (216) en y prenant x, x4 , y4 , etc. r´ eels. Notre notation pr´ esente une particularit´ e qui requiert maintenant un peu de soin. Lorsque nous utilisions la quatri` eme composante imaginaire de Minkowski, notre notation d4 x d´ esignait la quantit´ e r´ eelle dx0 dx1 dx2 dx3 . Dans le cadre euclidien, il est plus commode d’utiliser d4 x = dx1 dx2 dx3 dx4 . Ainsi, en prolongeant (216), nous avons i d4 x −→ d4 x. (226)

34 Donc :


h0| T φ(x) φ(y) · · · |0i =

Z

Q

dφ eiA(φ) φ(x) φ(y) · · · Z , Q dφ eiA(φ)

(227)

avec int´ egration sur toutes les fonctions r´ eelles φ de quatre variables r´ eelles x1 , x2 , x3 , x4 , l’action A ´ etant construite formellement, comme auparavant, ` a partir de φ et ∂µ φ. Pour la th´ eorie φ4 : Z   iA(φ) = d4 x L(x)    (228)  2    L = − 1 (∂µ φ)2 − m φ2 − g φ4 . 2 2 4! − →
2 Remarquez que ∂4 φ est maintenant r´ eelle, et que (∂4 φ)2 a le mˆ eme signe que ∇φ . A l’invariance de Lorentz de la th´ eorie originale, s’est substitu´ ee une sym´ etrie O(4) des rotations r´ eelles dans un espace euclidien (au lieu de minkowskien) ` a quatre dimensions. Parmi les simplifications dont on b´ en´ eficie dans une th´ eorie de champ euclidienne, il y a le fait que la transform´ ee de Fourier du propagateur, m 2 + k2


−1

= m2 + k21 + k22 + k23 + k24


−1

,

(229)

avec k4 r´ eel, n’a plus de singularit´ ecessaire pour d´ efinir e. Le stratag` eme du iǫ n’est plus n´ les int´ egrales de Feynman. On n’en a plus besoin, non plus, pour faire d´ ecroˆıtre, aux grands champs, le poids exponentiel dans les int´ egrales fonctionnelles. Ces propri´ et´ es, ainsi que la sym´ etrie O(4), facilitent le maniement de la th´ eorie. L’INDEPENDANCE DE JAUGE En guise d’illustration de la technique de l’int´ egrale fonctionnelle, esquissons la d´ emonstration que toute une famille de lagrangiens diff´ erents conduisent ` a la mˆ eme th´ eorie physique des m´ esons vectoriels. Consid´ erons la densit´ e lagrangienne 1

1

1 L = − 4 (∂µ Wν − ∂ν Wµ )2 − 2 (α + 1)(∂µ Wµ )2 − 2 m2 Wµ2 + · · · ,

(230)

o` u les termes non transcrits font intervenir d’autres champs. Nous supposons que ces termes non explicit´ es sont invariants de jauge, c’est-` a-dire inalt´ er´ es par les transformations Wµ −→ Wµ + ∂µ χ

(231)

et les transformations associ´ ees des autres champs. Notez que le premier terme de (230) respecte cette invariance de jauge, tandis que les deux termes suivants la violent. Nous avons d´ ej` a remarqu´ e que ce lagrangien entraˆıne g´ en´ eralement des manifestations de «particules fantˆ omes» auxquelles il faut attribuer des «probabilit´ es n´ egatives». On peut rendre ces particules infiniment massives en permettant ` a α d’approcher la valeur −1. Mais on doit alors utiliser pour W un propagateur dont la transform´ ee de Fourier δµν + pµ pν /m2 m2 + p 2 semble non renormalisable. Si la physique est effectivement indiff´ erente aux changements de α, on peut aussi bien croire que la th´ eorie est renormalisable et que la matrice S est unitaire, sans plus faire attention aux fantˆ omes. Tout W peut s’´ ecrire sous la forme Wµ = Uµ + ∂µ χ,

(232)

35 avec ∂µ Uµ = 0.

(233)

En termes de ces variables, on a 1

L = − 4 (∂µ Uν − ∂ν Uµ )2 − 21 m2 Uµ 2 1 1 − 2 (α + 1)(∂µ ∂µ χ)2 − 2 m2 (∂µ χ)2

− m2 Uµ ∂µ χ − · · · ,

(234)

o` u, en vertu de la suppos´ ee invariance de jauge, les termes non ´ ecrits . . . sont les mˆ emes qu’auparavant. De plus, le dernier terme effectivement ´ ecrit ne contribue pas ` a l’action car, par int´ egration par parties, il est ´ equivalent ` a un terme contenant ∂µ Uµ qui est nulle. Nous avons donc : Z Q dW eiA Wµ · · · Z = Q dW eiA Z Z
Q Q dχ eB(χ) dU δ∞ (∂µ Uµ ) eC(U) Uµ (x) + ∂µ χ(x) · · · Z Z , (235) Q Q dχ eB(χ) dU δ∞ (∂µ Uµ ) eC(U) avec

Z    1 1  2 2 2 4    B(χ) = − d x 2 m (∂µ χ) + 2 (α + 1)(∂µ ∂µ χ) Z       C(U ) = − d4 x 14 (∂µ Uν − ∂ν Uµ )2 + 21 m2 Uµ 2 + · · · .

(236)

Or, dans ces formules, seul B d´ epend de α. Seules les contributions des ∂µ χ aux fonctions de Green, et non les contributions des Uµ , sont sensibles ` a α. Mais ces termes ∂µ χ ne contribuent pas du tout aux ´ el´ ements de matrice S physiques. En effet, pour obtenir ces derniers, il faut transformer de Fourier les fonctions de Green, et contracter les indices tensoriels avec les fonctions-d’onde de polarisation uµ des ´ etats physiques. Chaque ∂µ χ introduit donc un facteur du type Z d4 x eikx uµ ∂µ χ, ou, apr` es int´ egration par parties Z

−ikµ uµ d4 x eikx χ, nul, car kµ uµ = 0 pour des ´ etats physiques. On invoque des m´ ecanismes semblables, mais plus compliqu´ es, dans les th´ eories de jauge «non ab´ eliennes» ` a la mode. La d´ ecomposition de W en parties d´ ependante et ind´ ependante de jauge est alors non lin´ eaire. Le passage ` a ces variables dans l’int´ egrale fonctionnelle fait intervenir un jacobien non trivial qui complique l’analyse. La d´ emonstration de l’ind´ ependance par rapport ` a α n’aboutit que dans le cas m = 0, et au prix de l’addition au lagrangien de termes suppl´ ementaires d´ ependants de α. On peut repr´ esenter ces termes additionnels par des int´ egrales fonctionnelles sur des champs auxiliaires, de sorte que la th´ eorie semble contenir des particules suppl´ ementaires, les «fantˆ omes de Faddeev-Popov». L` a encore, ce ne sont pas des particules physiques, mais des rouages du m´ ecanisme permettant d’utiliser une valeur de α plutˆ ot qu’une autre, selon que l’on souhaite montrer l’unitarit´ e ou la renormalisabilit´ e de la th´ eorie.

36 LES INSTANTONS Consid´ erons le lagrangien d’un syst` eme m´ ecanique simple, ` a un degr´ e de libert´ e φ(t), L=

1 ˙2 µ2 φ − 2 V (gφ), 2 g

(237)

o` u µ et g sont des param` etres, et supposons que V est positif, nul en φ = 0 ainsi que ses d´ eriv´ ees, dV (φ) V (φ) = = 0, φ = 0, (238) dφ et p´ eriodique : V (gφ + 2nπ ) = V (gφ).

(239)

Pour nous, gφ sera un angle, et la configuration obtenue lorsque φ croˆıt de 2π , identique ` a l’originale. L’´ equation de Schr¨ odinger correspondante est EΨ (φ) =



−

 µ2 1 d2 + V (gφ) Ψ (φ), 2 dφ2 g2

(240)

et ses solutions qui nous int´ eressent sont soumises aux conditions limites p´ eriodiques, en φ = ±π /g par exemple. Si nous d´ eveloppions V : 1 ′′ 2 g ′′′ 3 1 V (gφ) = V φ + V φ + ··· g2 2! 3!

(241)

en consid´ erant g petit, les termes ind´ ependants de g dans le lagrangien ou l’hamiltonien seraient ceux d’un oscillateur harmonique simple. On pourrait alors traiter en perturbation les termes d´ ependants de g dans (241), en ignorant totalement la condition de p´ eriodicit´ e aux confins φ = ±π /g. O` u est l’erreur ? On en a peut-ˆ etre une id´ ee, pour g petit, avec le facteur de p´ en´ etration de la barri` ere

e

µ −g

Z 2π /g q dφ 2V (gφ) 0

=e

− g12

Z 2π q dφ 2µ 2 V (φ) 0

,

(242)

calcul´ e, suite ` a (240), dans l’approximation WKB. Lorsque g tend vers z´ ero, ce facteur diff` ere de l’unit´ e par une quantit´ e qui s’annule plus rapidement que toute puissance finie de g. Etudions maintenant ce syst` eme simple, du point de vue de la moyenne fonctionnelle euclidienne. Le changement de variable gφ → φ dans (237) est commode. La fonction de poids dans la moyenne fonctionnelle est donc

e

Z

dx4 L

=e

− g12

Z

dx4

    1 dφ 2 2 + µ V (φ) 2 dx 4 .

(243)

Lorsque g est tr` es petit, on s’attendrait que la moyenne soit largement domin´ ee par les fonctions qui minimisent l’exposant, pour lesquelles une condition suffisante est l’´ equation classique du mouvement avec temps imaginaire : d d2 φ V (φ). = µ2 2 dφ dx4

(244)

Le minimum absolu est donn´ e par φ = 0. On pourrait donc traiter syst´ ematiquement φ, dans (243), comme petit d’ordre g. On peut de cette fac ¸on construire une s´ erie de perturbation ´ equivalente ` a celle mentionn´ ee ci-dessus.

37 Examinons quand mˆ eme d’autres contributions, ` a savoir les contributions des fonctions qui minimisent encore l’exposant, mais sujettes aux conditions limites φ = 0,

x4 = −∞

φ = 2π ,

(245)

x4 = +∞.

Ces fonctions doivent encore ˆ etre solutions de (244). Multipliant les deux membres par dφ/dx4 , on a :   d dφ 2 d 2µ 2 V (φ), = dx4 dx4 dx4 donc

q dφ = ± 2µ 2 V (φ) + Cµ 2 , dx4

(246)

Zφ

(247)

o` u C est une constante, soit

(x4 − a)µ = ±

π

dφ′ p , 2V (φ) + C

o` u a est une constante. Pour satisfaire les conditions limites (245), il faut prendre C = 0 et le signe positif. Alors, x4 − a croˆıt tr` es rapidement depuis −∞ lorsque φ croˆıt ` a partir de 0, et croˆıt encore tr` es rapidement jusqu’` a +∞ lorsque φ croˆıt jusqu’` a 2π , apr` es une pause vers x4 = a pendant une dur´ ee de l’ordre de µ −1 :

A cette fonction correspond, d’apr` es (246) et (247), la fonction de poids exponentielle : 2

e−∆/g ,

(248)

avec ⌠  ∆ = ⌡dx4 =

2π Z 0

1 2



dφ dx4

2

2

!

+ µ V (φ)

q dφ 2µ 2 V (φ) .

(249)

Mais ceci n’est autre que le facteur de p´ en´ etration de la barri` ere (242). On peut donc s’imaginer que les contributions de ces champs sont la fac ¸on dont la p´ en´ etrabilit´ e de la barri` ere se manifeste dans ce point de vue. Ces solutions d’´ equations classiques pour un

38 temps imaginaire, qui ne diff` erent notablement du «vide» classique (minimum de l’´ energie) que pendant une dur´ ee limit´ ee, sont appel´ ees «instantons» ou «pseudoparticules». L’instanton est caract´ eris´ e par un instant a, en temps imaginaire. La moyenne sur toutes les configurations comprend ensuite une int´ egration sur a. Consid´ erons ` a ce propos la configuration ` a plusieurs instantons X
φ(x) = F µ(x − an ) , (250) n


o` u F µ(x − a) est la solution de (247). Le facteur de poids de cette configuration sera :  X 1 − g2 ∆ + termes d’«interaction» n e , (251)

o` u les termes d’«interaction» s’annulent pour des positions an largement s´ epar´ ees. Par rapport ` a la configuration ` a un instanton, ces configurations ` a plusieurs instantons sont p´ enalis´ ees par une pond´ eration exponentielle plus faible. Mais il y a par contre plus de param` etres an sur lesquels int´ egrer, de sorte que, tr` es grosso modo, ces configurations occupent un plus grand domaine de l’espace des fonctions. L’augmentation d’«entropie» (par analogie avec la m´ ecanique statistique classique) peut compenser l’augmentation d’«´ energie». Et ainsi, nous trouvons que la m´ ecanique statistique d’un «gaz d’instantons» repr´ esente une partie de toute la dynamique laiss´ ee pour compte par la th´ eorie des perturbations. Remarquez que dans cette analogie m´ ecanique statistique, g 2 dans (243) joue le rˆ ole de «temp´ erature». D’aucuns esp` erent que des gaz d’instantons analogues dans les th´ eories de champs s´ erieuses pourraient servir ` a confiner les quarks. Peut-ˆ etre qu’` a une certaine «temp´ erature» le syst` eme transite ` a une phase plus exotique, de sorte qu’au del` a d’une constante de couplage critique, l’analogie pertinente serait un supraconducteur, un superfluide, un plasma, ou autre. On peut interpr´ eter autrement le lagrangien (237). Toujours avec le potentiel V p´ eriodique, on peut d´ ecr´ eter que φ n’est pas un angle, et que l’augmentation de φ sur une p´ eriode du potentiel est un changement de configuration. Le probl` eme est alors celui du mouvement d’une particule dans un potentiel p´ eriodique

et la fonction-d’onde elle-mˆ eme n’a nul besoin d’ˆ etre p´ eriodique. Dans ce cas, l’existence de l’instanton, ou de la p´ en´ etrabilit´ e finie de la barri` ere, indique qu’un traitement coh´ erent ne doit pas confiner φ au voisinage de l’un quelconque des minimums du potentiel. Ces solutions n’apparaˆıtraient pas dans une th´ eorie de perturbation. Certains des instantons des th´ eories de jauge ont ´ et´ e interpr´ et´ es de cette fac ¸on, comme l’indication d’une p´ eriodicit´ e du vide. On a mˆ eme sugg´ er´ e de prendre comme vide l’analogue d’un ´ etat obtenu dans le simple mod` ele du potentiel, en exigeant de la fonction-d’onde de Schr¨ odinger dans chaque synclinal du potentiel un d´ ephasage eiθ par rapport au pr´ ec´ edent. Ces «vides θ» n’auraient aucun sens si φ ´ etait effectivement un angle, car deux synclinaux adjacents ne seraient alors qu’un seul et mˆ eme puits. Il importe de remarquer que ces objets de l’espace euclidien n’ont peut-ˆ etre pas d’analogues faciles ` a visualiser dans l’espace de Minkowski. Dans l’exemple simple expos´ e, le gaz d’instantons n’´ etait qu’un concept auxiliaire pour discuter du mouvement d’une particule dans un puits de potentiel. Bien que l’´ etude de l’espace euclidien ne soit peutˆ etre d’aucune aide directe pour ´ elaborer une repr´ esentation physique, on esp` ere ainsi d´ ecouvrir des propri´ et´ es tr` es g´ en´ erales — comme l’existence d’une constante de couplage critique, ou la satisfaction de crit` eres de confinement des quarks.

39 LES SOLITONS L’instanton a un temps de vie bref (et imaginaire) dans l’espace-temps euclidien. Un «soliton» par contre est une concentration d’´ energie, de longue dur´ ee de vie, ´ evoluant dans l’espace-temps ordinaire. Sous ce nom, on d´ esigne une solution des ´ equations du champ ordinaires, dont l’´ energie reste concentr´ ee tandis que la solution ´ evolue au cours du temps ordinaire, si bien que cet objet se comporte comme une «particule» ´ etendue. La diff´ erence de ces particules avec les «particules» plus famili` eres de la th´ eorie quantique des champs, les quanta du champ, c’est qu’elles existent d´ ej` a dans le cadre classique. La question du soliton ne se posait pas dans le mod` ele simple de la section pr´ ec´ edente car il n’y avait aucune dimension spatiale (seulement le temps) suivant laquelle concentrer quoi que ce soit. Ajoutons une dimension spatiale, et ´ etudions la densit´ e lagrangienne, en 1+1 dimensions, !   1 1 ˙ 2 1 ∂φ 2 2 φ − − µ V (φ) , (252) L= 2 g 2 2 ∂x avec le mˆ eme V que pr´ ec´ edemment. L’´ equation du mouvement classique est : −

dV (φ) ∂2 φ ∂2 φ + − µ2 = 0. ∂t 2 ∂x 2 dφ

(253)

a r´ esoudre Cherchant d’abord des solutions statiques, ∂φ/∂t = 0, nous avons ` dV (φ) ∂2 φ = µ2 , ∂x 2 dφ

(254)

pour φ fonction de x. C’est encore l’´ equation (244), mais avec une interpr´ etation diff´ erente car elle d´ ecrit maintenant une variation ` a travers l’espace plutˆ ot qu’au cours d’un temps imaginaire. La solution
φ(x, t) = F µ(x − a) (255)

est maintenant un soliton immobile. Elle ne diff` ere sensiblement du vide (φ = 0 ou 2π ) que dans un domaine restreint, ` a l’entour de x = a, et son ´ energie totale, ou masse, ⌠∞ 1  M = 2 ⌡ dx g −∞ =

1 2



∂φ ∂x

2

∆ , g2

2

+µ V

!

(256)

avec le ∆ de l’´ equation (249), est finie. Puisque la th´ eorie est invariante de Lorentz, ce soliton immobile peut ˆ etre consid´ er´ e, par transformation de Lorentz, comme en mouvement :   x − a − vt φ(x, t) = F µ √ , (257) 1 − v2 avec l’´ energie

E=

1 ∆ √ . 2 g 1 − v2

(258)

Remarquons, ` a ce propos, qu’il n’existe pas de concept correspondant de «mouvement» pour un instanton. Dans l’espace euclidien, les transformations sp´ eciales de Lorentz de l’espace de Minkowski sont remplac´ ees par de simples rotations. On a trouv´ e des solitons tr` es int´ eressants dans des th´ eories de champs s´ erieuses. Leur existence est ` a la base de l’une des id´ ees ` a la mode pour unifier l’interaction forte avec l’´ electromagn´ etique et la faible. Le fait que les masses des solitons et les interactions soient typiquement proportionnelles ` a g −2 fait songer ` a des ph´ enom` enes d’interactions fortes hadroniques qui ´ emergeraient d’une th´ eorie d’interaction fondamentalement faible.