Theoretische Elektrotechnik. Eine Einführung: Eine Einfuhrung

Springer-Lehrbuch

Karl Küpfmüller · Wolfgang Mathis Albrecht Reibiger

Theoretische Elektrotechnik Eine Einführung 17., bearbeitete Auflage

Mit 372 Abbildungen

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Professor Dr.-Ing. Karl E. h. Küpfmüller † em. o. Professor an der Technischen Hochschule Darmstadt

Professor Dr.-Ing. habil. Wolfgang Mathis Universität Hannover Institut für Theoretische Elektrotechnik und Hochfrequenztechnik Appelstr. 9A 30167 Hannover [email protected]

Professor Dr.-Ing. habil. Albrecht Reibiger Technische Universität Dresden Institut für Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik Mommsenstr. 13 01062 Dresden [email protected]

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ISBN-10 3-540-29290-X 17. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-29290-6 17. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 3-540-20792-9 16. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1932, 1952, 1955, 1959, 1962, 1965, 1968, 1973, 1984, 1988, 1990, 1993, 2000, 2005, 2006 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z. B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für die Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuziehen. Satz: Digitale Druckvorlage der Autoren Einband: design & production GmbH, Heidelberg Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Gedruckt auf säurefreiem Papier

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Unseren Frauen Barbara und Christine gewidmet

Vorwort

Im Jahre 1932 hat Karl K¨ upfm¨ uller das erste Vorwort zu seinem Buch Einf¨ uhrung in die Theoretische Elektrotechnik“ verfasst, aber es ist, wie man ” sich leicht u ¨berzeugen kann, nach wie vor ebenso aktuell wie sein Plan, der Ingenieurwissenschaft Elektrotechnik ein einheitliches Fundament zu verschaffen. In den Jahren nach dem erstmaligen Erscheinen dieses Buches wurden vor allem in der Nachrichtentechnik zahlreiche neue Konzepte entwickelt, die sich wie die Informationstheorie nicht mehr unter dem Dach einer feldtheoretisch und netzwerktheoretisch orientierten Elektrotechnik zusammenfassen lassen. Mit der Regelungstechnik hat sich nach dem 2. Weltkrieg eine neue Theorie entwickelt, die sich zwar urspr¨ unglich aus der Netzwerktheorie entwickelte, aber inzwischen mit anderen Disziplinen wie Maschinenbau und Verfahrenstechnik ein neuer ingenieurwissenschaftlicher Bereich mit interdisziplin¨arer Auspr¨ agung geworden ist. Schließlich ist zumindest der materialwissenschaftliche Teil der Halbleiterschaltungstechnik eine scheinbar unaufl¨osliche Verbindung mit der Physik und Chemie eingegangen. Anstatt dasjenige, was man unter Theoretischer Elektrotechnik versteht, immer weiter auszudehnen, beschr¨ anken wir uns ganz im Sinne von K¨ upfm¨ ullers erster Auflage weitgehend auf die netzwerk- und feldtheoretischen Grundlagen der Elektrotechnik und wagen allenfalls hier und da einen Blick auf das, was auch noch zur Elektrotechnik geh¨ ort. Bevor wir n¨ aher darauf eingehen, was sich an Aufbau und Inhalt dieser 16. Auflage der Einf¨ uhrung in die Theoretische Elektrotechnik ge¨andert hat, wollen wir zun¨ achst noch einmal Karl K¨ upfm¨ uller selbst sprechen lassen, indem wir das im Jahre 1932 noch an der Technischen Hochschule Danzig verfasste Vorwort voranstellen: Die Elektrotechnik bildet heute ein so großes und vielfach verzweigtes ” Gebiet der Ingenieurwissenschaften, dass es f¨ ur den einzelnen nicht m¨oglich ist, dieses Gebiet auch nur einigermaßen kennenzulernen; in noch st¨arkerem Maße muss sich der am Fortschritt der Technik arbeitende Ingenieur auf die Bet¨ atigung in einem verh¨ altnism¨ aßig engen Teilgebiet beschr¨anken. F¨ ur das Studium an den Hochschulen, das nicht angen¨ ahert so weit spezialisiert werden

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Vorwort

kann, wie es die sp¨ atere T¨ atigkeit des Studierenden erfordern w¨ urde, ergibt sich daraus die Notwendigkeit einer Beschr¨ ankung auf diejenigen Grundlagen, die m¨ oglichst vielen Gebieten gemeinsam sind. Das sind insbesondere die den elektrotechnischen Anwendungen zugrunde liegenden physikalischen Gesetze. Es gibt heute eine Reihe von vorz¨ uglichen Einf¨ uhrungen in die einfacheren Grundgesetze der Elektrotechnik. Es gibt ferner eine ausgezeichnete Spezialliteratur, die sich mit den Anwendungen der Grundgesetze besch¨aftigt. Hinsichtlich der theoretischen Vorbildung sind nun die Anforderungen an die allgemeinen Kenntnisse des wissenschaftlich t¨atigen Ingenieurs in den letzten Jahren bedeutend gewachsen, und wenn hier auch sehr gute physikalische Lehrb¨ ucher zur Verf¨ ugung stehen, so folgen doch Schwierigkeiten daraus, dass sich die Sprache der Elektrotechnik zum Teil nicht unerheblich von der der Physik entfernt hat und dass der Studierende nicht in der Lage ist, das f¨ ur ihn Notwendige aus der großen Stoffmenge herauszufinden. In dem vorliegenden Buch habe ich versucht, eine Einf¨ uhrung in die Vorstellungen und die Methoden zu geben, deren Kenntnis nach meinen Erfahrungen heute zur Allgemeinbildung des an der Weiterentwicklung der Elektrotechnik interessierten Ingenieurs geh¨oren muss. Damit ergab sich eine Abgrenzung des Stoffes gegen die mehr physikalischen Lehrb¨ ucher. Eine weitere Einschr¨ ankung wurde noch im Hinblick auf die vorhandene einf¨ uhrende Literatur der Elektrotechnik vorgenommen, die gewisse Gebiete sehr ausf¨ uhrlich behandelt. Diese Gebiete konnten daher hier etwas zur¨ uckgestellt werden. Ebenso wurde kein Versuch gemacht, die Theorie der elektrischen Maschinen aufzunehmen; sie stellt ein hochentwickeltes Spezialgebiet dar, das ein besonderes Studium erfordert. Die Stoffeinteilung ist keine systematische, sondern so gew¨ahlt, wie es f¨ ur das Verst¨ andnis am zweckm¨ aßigsten erschien. Daraus folgte eine Einteilung in einzelne Abschnitte, die nur verh¨ altnism¨ aßig lose zusammenh¨angen und z.T. ineinander greifen, die aber ungef¨ ahr von Leichterem zu Schwierigerem fortschreiten. Der Stoff ist so weit fortgef¨ uhrt, wie es zum Verst¨andnis und zum Studium der Spezialliteratur notwendig ist; insbesondere ist bei der Darstellung auch den Bed¨ urfnissen von Studierenden der Physik, die auf dem Gebiet der Elektrotechnik t¨ atig sein wollen, Rechnung getragen. amtliche Formeln sind als Gr¨oßengleichungen geschrieben. Wer in der S¨ Praxis einmal weniger gel¨ aufige Formeln zahlenm¨aßig auszuwerten hatte, kennt den f¨ ur den Ingenieur besonders unzul¨assigen Zweifel u ¨ ber die richtige Wahl der Einheiten der verschiedenen Gr¨oßen; meist ist ein zeitraubendes Nachrechnen der Formeln oder Nachsuchen in der Literatur erforderlich, wenn bei irgendeiner Gr¨ oße die Angabe der Einheit fehlte. Diese Schwierigkeiten verschwinden restlos, wenn man sich der Gr¨oßengleichungen bedient. Die den Gr¨ oßengleichungen zugrunde liegende Auffassung wurde bereits von J.C. Maxwell vertreten; wird verdanken den erneuten und tatkr¨aftigen Hinweis auf die Zweckm¨ aßigkeit der Gleichungen J. Wallot. Es ist zu hoffen, dass sich auch die anderen Gebiete der Technik und insbesondere der Physik von den veralteten Zahlenwertgleichungen, die nur f¨ ur bestimmte Einheiten richtig

Vorwort

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sind, im Einklang mit den k¨ urzlich vom A.E.F. herausgegebenen Empfehlungen m¨ oglichst bald abkehren werden. Eine erhebliche Erleichterung und ein bedeutender Zeitgewinn f¨ ur die sp¨ ateren Generationen w¨are der Lohn daf¨ ur1“. Die von K¨ upfm¨ uller geschilderten Vorstellungen u ¨ ber die Bedeutung von Theorie in der Elektrotechnik und ihr Verh¨ altnis zu den technischen Anwendungen sind, so glauben wir, nach wie vor – und vielleicht sogar mehr denn je – richtig. K¨ upfm¨ ullers Theoretische Elektrotechnik“ kann auch mehr als ” siebzig Jahre nach dem Erscheinen der ersten Auflage trotz Computer und Internet und der dennoch fast un¨ ubersehbaren F¨ ulle von Literatur auf diesem Gebiet ihren Platz in den B¨ ucherregalen von ElektrotechnikerInnen und InformationstechnikerInnen finden. Ein Grund daf¨ ur mag sein, dass es K¨ upfm¨ uller nicht darum ging, ein neues Buch u ber elektromagnetische Felder zu schrei¨ ben, denn auch zu seiner Zeit gab es hervorragende Werke wie etwa Breisigs Theoretische Telegraphie“ aus dem Jahre 1910. Vielmehr wollte er auf einem ” theoretisch durchaus anspruchsvollen Niveau eine Gesamtschau u ¨ ber diejenigen Bereiche der Elektrotechnik bieten, bei denen man durch Probieren nicht weiterkommt und daher Theorie ben¨ otigt. Eine solche Intention kann heute aus den oben genannten Gr¨ unden kein Ziel mehr sein; dazu ist die theoretische Basis der Elektrotechnik und Informationstechnik heute zu breit geworden. Beschr¨ ankt man sich jedoch auf die netzwerktheoretischen und feldtheoretischen Grundlagen, dann ist K¨ upfm¨ ullers Unternehmung auch heute noch sinnvoll. Deshalb haben wir genau diesen Weg beschritten, als wir uns an die Neubearbeitung der Theoretischen Elektrotechnik“ gemacht haben. ” Nicht die Inhalte sondern die Form der Theoretischen Elektrotechnik“ ist ” ein wenig in die Jahre gekommen. Das liegt nicht zuletzt daran, dass bisher keine elektronische Form von K¨ upfm¨ ullers Buch vorlag. So haben G. Bosse, der die 11. Auflage bearbeitete, und G. Kohn, der sich um die 12. bis 14. ¨ noch in die vorhandene Buchvorlage einarAuflage k¨ ummerte2 , Anderungen beiten mssen. Dadurch konnten strukturelle Ver¨anderungen nicht ausgef¨ uhrt werden. Als wir die Arbeiten an der 16. Auflage aufnahmen, war es das Ziel, einen strukturellen Neuaufbau durchzuf¨ uhren und dabei die K¨ upfm¨ ullersche Art der Aufbereitung des Materials unbedingt zu beachten. Die Leserinnen und Leser m¨ ogen beurteilen, ob das gelungen ist. Zur besseren Orientierung wollen wir jedoch die Grundgedanken der neuen Struktur des Buches skizzieren. Dabei ist das Buch in Teile, Abschnitte und Unterabschnitte gegliedert. 1

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K¨ upfm¨ ullers Danksagung von 1932: F¨ ur eine Reihe von Anregungen bei der Auswahl des Stoffes bin ich Herrn Dir. Dr. phil. Dr.-Ing. E.h. F. L¨ uschen zu Dank verpflichtet. Ferner danke ich den Herren Dr.-Ing. H. Jenss und Dipl.-Ing. H. Werrmann f¨ ur ihre freundliche M¨ uhewaltung bei der Durchsicht des Manuskripts und der Korrekturen. Der Verlagsbuchhandlung danke ich f¨ ur das bereitwilligem Eingehen auf meine W¨ unsche In der 15. Auflage haben W. Mathis und A. Reibiger die 14. Auflage nur hinsichtlich der Abbildung ein wenig kosmetisch ver¨ andert

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Vorwort

Bevor wir n¨ aher auf die Grundelemente der theoretischen Elektrotechnik eingehen, stellen wir im ersten Teil zun¨ achst einmal die Frage: Was ist theoretische Elektrotechnik? Dabei werden systemtheoretische Grundgedanken betont, wie sie von K¨ upfm¨ uller bereits in den 1920er Jahren erdacht und in seiner ber¨ uhmten Monographie systematisch entwickelt wurden. Wie in K¨ upfm¨ ullers urspr¨ unglicher Konzeption der Theoretischen Elektrotechnik“ ” ist der zweite Teil des Buches der Theorie elektrischer Netzwerke gewidmet. Dieser Teil ist v¨ollig neu konzipiert worden, wobei auch neuere Entwicklungen wie alternative Darstellungen der Grundlagen der resistiven Netzwerke und der Wechselstromrechnung einbezogen wurden. Anschließend werden die Methoden anhand ausgew¨ ahlter Beispiele demonstriert. Im gleichen Sinne wie der zweite Teil sind auch die anderen Teile der Neufassung des Buches aufgebaut. Dazu wurden die theoretischen und methodischen Anteile, die zugeh¨ origen Interpretationen und die Beispiele der vorherigen Auflage der Theoretischen Elektrotechnik“ getrennt und in syste” matischer Weise neu geordnet. Um die inhaltliche Einordnung zu verbessern, wurden jedem Abschnitt in kompakter Form die wesentlichen theoretischen Aspekte hinzugef¨ ugt. Nach der Theorie elektrischer Netzwerke wird die Theorie elektromagnetischer Felder in induktiver Weise aufgebaut. Darunter versteht man, dass nicht die vollst¨ andigen Maxwellschen Gleichungen f¨ ur das elektromagnetische Feld Ausgangspunkt der Betrachtungen sind wie beispielsweise bei Sommerfeld [222], sondern es werden schrittweise auf der Grundlage entsprechender experimenteller Erfahrungen n¨ aherungsweise g¨ ultige Theorien entwickelt, bis die vollst¨ andige Theorie aufgebaut ist. Im dritten Teil wird in ausf¨ uhrlicher Weise auf die Theorie des statischen elektrischen Feldes – die Elektrostatik – eingegangen. Dazu wird wie im gesamten Buch intensiv vom Satz von Helmholtz (vgl. Anhang A.2) Gebrauch gemacht, um die mathematischen Felder zur Beschreibung des physikalischen Sachverhaltes in nachvollziehbarer Weise einzuf¨ uhren; dabei wird auch das Nahwirkungsprinzip verwendet. Nach den theoretischen Grundlagen und einem Abschnitt u ¨ ber die Interpretation der Elektrostatik werden zahlreiche Beispiele diskutiert. Danach werden die Methoden zur L¨ osung der mathematischen Probleme ausf¨ uhrlich vorgestellt. In entsprechender Weise wird im vierten Teil das elektrische Str¨omungsfeld behandelt. Es ist zu hoffen, dass die Leserinnen und Leser aufgrund der neuen Struktur des Buches sehr viel besser auf die teilweise hochinteressanten Inhalte von K¨ upfm¨ ullers Theoretischer Elektrotechnik“ zugreifen k¨onnen. ” Im f¨ unften Teil des Buches wird auf die Theorie des station¨aren Magnetfeldes eingegangen. Dabei werden die mathematischen Felder der Theorie auf eine wenig bekannte, aber sehr durchsichtige Weise aufgrund einer einfachen experimentellen Beobachtung eingef¨ uhrt, die auf Falk und Ruppel [65] zur¨ uckgeht. Es folgen wiederum Beispiele und Rechenmethoden sowie weitere theoretische Aspekte. Ebenfalls auf eine alternative Weise wird das Induktionsgesetz in sechsten Teil des Buches eingef¨ uhrt, die man in dem klassischen Lehrbuch u ¨ ber Theoretische Physik von Weizel [253] finden kann, die bisher aber kaum

Vorwort

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beachtet wurde. F¨ ur uns ist es besonders wichtig, dass die Gleichungen des quasistation¨ aren elektromagnetischen Feldes entwickelt werden. Diese Gleichungen enthalten auch einen Anteil des Verschiebungsstromes, um die Ladungsbilanz zu gew¨ ahrleisten, aber ohne dass Wellenl¨osungen m¨oglich sind. Auf diese Erweiterung hat Ludwig [145] erstmals in voller Klarheit hingewiesen; siehe auch Mathis [152]. Ansonsten wird der Gedanke der Felddiffusion in die Theorie des quasistation¨ aren elektromagnetischen Feldes eingearbeitet, wie er beispielsweise in der ausgezeichneten Monographie von Lehner [136] zu finden ist. Im siebten Teil des Buches wird dann die vollst¨andige Theorie des elektromagnetischen Feldes entwickelt, wobei der noch fehlende Anteil des Verschiebungsstromes – die Maxwellsche Erg¨ anzung – hinzugef¨ ugt wird und somit Wellenl¨ osungen auftreten k¨ onnen. V¨ ollig neu ist der Abschnitt u ¨ ber TEMWellen auf Leitungen. Dabei werden die Leitungsgleichungen f¨ ur verlustfreie homogene Leitungen konsequent aus den Maxwellschen Gleichungen hergeleitet. F¨ ur verlustbehaftete Leitungen gelten diese Gleichungen nur n¨aherungsweise. Wie auch in den anderen Abschnitten wird der Zusammenhang der feldtheoretischen Inhalte mit der Netzwerktheorie im zweiten Teil des Buches und der Zustandsdarstellung, die bei Leitungen unendlich dimensional ist, betont. Im achten Teil des Buches wird die Anwendung netzwerk- und feldtheoretischer Methoden auf die Modellierung von Bauelementen und Schaltungen behandelt. Auch in diesem Abschnitt werden zahlreiche neue Aspekte diskutiert. In den Anh¨ angen werden einige wichtige mathematische Ergebnisse zusammenfasst. Aus Platzgr¨ unden konnten nicht s¨ amtliche Inhalte der 15. Auflage der Theoretischen Elektrotechnik“ u ¨bernommen werden. In Absprache mit dem ” Springer-Verlag haben wir uns entschieden, einige, eher in den Hintergrund getretene, aber dennoch interessante Aspekte der theoretischen Elektrotechnik auf der Homepage des Buches verf¨ ugbar zu machen. Dazu geh¨oren die Abschnitte u ¨ ber Elektronenoptik 14.5, Stromleitung in Gasen 37.1 und Elek¨ tronenr¨ ohren 38, deren Uberschriften an den sachlich richtigen Stellen des Buches und im Gesamtinhaltsverzeichnis erscheinen (mit (Internet) gekennzeichnet), die jedoch in vollst¨ andiger Form als PDF-File von der Homepage http://www.springeronline.com/de/3-540-20792-9 heruntergeladen werden k¨ onnen. Dort findet man auch umfangreiches weiteres Material zur theoretischen Elektrotechnik: Eine Biographie von Karl upfm¨ uller, PowerPoint-Files und PDF-Files von Vorlesungen u K¨ ¨ber theoretische Elektrotechnik, Animationen, historische Hinweise, vieles andere mehr. Der eine von uns (W.M.) arbeitet mit seinem Team st¨andig daran, zus¨atzliches Material bereitzustellen. Da bei der erstmaligen Umsetzung eines derart umfangreichen Manuskripts in eine elektronische Version eine erh¨ohte Fehlerquote auftreten kann, wird auf der Homepage auch ein Erratum bereitgestellt, das laufend aktualisiert wird. F¨ ur ihre Hinweise w¨aren wir allen Leserinnen und Lesern sehr dankbar. Wir laden Sie ein, die Seiten zu besuchen und freuen

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uns u ur steht auf der Homepage ¨ ber ihre Anregungen. Eine Email-Adresse daf¨ zur Verf¨ ugung. Um dem Inhalt des Buches folgen zu k¨ onnen, sollten einige grundlegende Kenntnisse der Physik und Mathematik sowie der Grundlagen der Elektrotechnik bekannt sein. Hinsichtlich der physikalischen Vorkenntnisse sollte zumindest die Schulphysik (wie Metzler Physik [170]) aber besser noch die Physik f¨ ur Ingenieure (wie bei Dobrinski, Krakau, Vogel [55]) pr¨asent sein. Die notwendigen mathematischen Vorkenntnisse der linearen Algebra und Vektoranalysis kann man bei J¨ anich [114], [113] erlangen. Zur Auffrischung dieser Mathematik kann das Repetitorium von Merziger und Wirths [168] sehr empfohlen werden. Die Grundlagen der Elektrotechnik werden in einer Vielzahl von Lehrb¨ uchern dargestellt; vgl. z. B. das an der Universit¨at Hannover eingef¨ uhrte Buch von Haase, Garbe und Gerth [84] oder Unbehauen’s ¨ Lehrbuch [235]. Hinsichtlich weiterf¨ uhrender (Ubungs-)Aufgaben zur Theorie elektromagnetischer Felder sei u. a. auf Fl¨ ugge [69], Mrozynski [173] und das Lehrbuch von Wolff [259] verwiesen; weitere Hinweise findet man auf der Homepage des vorliegenden Buches. Abschließend sei noch darauf hingewiesen, dass in den letzten Jahren alternative Darstellungen der Theorie elektromagnetischer Felder mit Hilfe sogenannter Differentialformen entwickelt wurden. Man erh¨alt gute strukturelle Einsichten in die Theorie und hat Vorteile bei analytischen Rechnungen. Allerdings gen¨ ugen Differentialformen nicht, sondern es m¨ ussen orientierte Formen eingef¨ uhrt werden. Darauf wird u. a. in den Monographien von Meetz und Engl [166] sowie von Hehl [91] hingewiesen werden; vgl. auch Russer [214]. Inzwischen konnten Bossavit [30], Hiptmair [101] und andere nachweisen, dass man von diesem geometrischen Standpunkt aus gesehen auch neuartige Einblicke in die Numerik elektromagnetischer Felder gewinnen kann. Diese Aspekte gehen jedoch weit u uhrenden Buches hinaus, und ¨ ber den Rahmen dieses einf¨ wir m¨ ussen daher auf diese Literatur verweisen. Am Schluss dieses Vorwortes sollen noch einige Danksagungen folgen, da ohne die entsprechende Hilfe das Buch wohl kaum in der vorliegenden Form entstanden w¨ are. Zun¨ achst m¨ ochten wir unseren Familien herzlich f¨ ur die Unterst¨ utzung danken, die uns zuteil geworden ist, da sie u ¨ ber einen l¨angeren Zeitraum nicht selten auch an Abenden und Wochenenden auf uns verzichten mussten; aufgrund sehr großen Arbeitsanteils gilt das insbesondere f¨ ur die (W.M.)-Familie. Weiterhin m¨ ochten wir uns zutiefst bei Herrn Hans-J¨ urgen udliche Arbeit bei B¨ odecker bedanken, denn ohne dessen engagierte und unerm¨ der Vorbereitung eines großen Teils des Textes hinsichtlich der elektronischen Fassung und bei der Aufbereitung der Bilder das Erscheinen dieses Buches sich noch lange hinausgeschoben h¨ atte. Mit Hans-J¨ urgen B¨odecker ist einer von uns (W.M.) schon lange und intensiv freundschaftlich verbunden, wobei sich sein Wahlspruch Die Liebe zur Sache“ und seine darauf gegr¨ undete Art ” des Arbeitens auch bei diesem Buchprojekt auf das Trefflichste bew¨ahrt hat. Wir danken auch unseren Mitarbeitern, den Herrn Dipl.-Ing. F. Felgenhauer und M. Streitenberger (beide Hannover) und Herrn Dipl.-Ing. T. N¨ahring

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(Dresden) f¨ ur mannigfache Hilfe bei der computerm¨aßigen Erstellung des Manuskripts, verschiedenen Abbildungen und Diskussionen zum Thema der jeweiligen Abschnitte. Dar¨ uberhinaus dankt einer von uns (W.M.) seiner Frau Barbara f¨ ur das Korrekturlesen. Von zahlreichen Fachkolleginnen und Kollegen haben wir immer wieder ermunterndes Interesse erfahren; dabei m¨ochten wir Herrn Prof. J¨ urgen Nitsch (Otto-von-Guericke-Universit¨at Magdeburg), Herrn Prof. Gerhard Wunsch (TU Dresden) und Herrn Prof. Sigurd Falk (TU Braunschweig) besonders erw¨ ahnen. Schließlich m¨ochten wir uns bei den Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern des Springer-Verlages f¨ ur die ausgezeichnete Zusammenarbeit bedanken. Hannover und Dresden im Juli 2004

Wolfgang Mathis und Albrecht Reibiger

Vorwort zur 17. Auflage Schon nach weit weniger als einem Jahr nach dem Erscheinen der 16. Auflage dieses Buches wurden wir vom Springer-Verlag gebeten, eine weitere Neuauflage vorzubereiten. Trotz der freundlichen Aufnahme der Neubearbeitung der neuen Fassung des K¨ upfm¨ ullerschen Buches sind wir auf zahlreiche Fehler hingewiesen worden, f¨ ur die wir uns an dieser Stelle entschuldigen wollen. Die wichtigsten Fehler sind in dem Erratum auf den Internetseiten dieses Buches aufgelistet. Dort findet man auch die u ¨berarbeiteten Versionen der drei nicht in dem Buch, sondern im Internet zu findenden Unterabschnitte, die im Inhaltsverzeichnis mit (Internet) gekennzeichnet sind. Diesen Nachdruck haben wir benutzt, um diese wie auch andere von uns entdeckte Fehler zu korrigieren und das Buch an vielen Stellen zu verbessern. Wir sind deshalb allen Kollegen, Studenten und insbesondere den unbekannten Gutachtern sehr dankbar, die uns mit ihren Hinweisen geholfen und auf diese Weise daf¨ ur gesorgt haben, die Qualit¨ at dieses Nachdrucks zu verbessern. Wir hoffen in dieser Hinsicht auch weiterhin auf die tatkr¨ aftige Mithilfe der Leserinnen und Leser. Herrn H.-J. B¨ odecker (Universit¨ at Hannover) m¨ochten wir ebenso wie Herrn Dipl.-Ing. M. Claus (TU Dresden) f¨ ur verschiedene vorbereitende Arbeiten f¨ ur diesen Nachdruck danken. Schließlich sei auch dem Springer-Verlag f¨ ur die hervorragende und verst¨ andnisvolle Zusammenarbeit gedankt. Der eine von uns (W.M.) dankt seinem Freund, Prof. Dr. rer. nat. Thomas Beth (Universit¨ at Karlsruhe), der am 17. August 2005 viel zu fr¨ uh verstorben ist, f¨ ur mannigfachen Gedankenaustausch u ber systemtheoretische Fragen und Wis¨ senschaftsgeschichte sowie f¨ ur die Ermutigung, einen eigenen theoretischen Standpunkt zu bewahren. Hannover und Dresden im August 2005

Wolfgang Mathis und Albrecht Reibiger

Inhaltsverzeichnis

Teil I Was ist Theoretische Elektrotechnik? 1

Die elektrotechnischen Disziplinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2

Systemtheoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3

Grundlegende Aspekte physikalischer Systeme . . . . . . . . . . . . . 15 3.1 Verteilte physikalische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Mechanik und Energie-Impuls-Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Teil II Theorie elektrischer Netzwerke 4

5

Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Netzwerkmodellierung und Widerstandsnetzwerke . . . . . . . . . . . 4.2 Einschwingvorg¨ ange in elektrischen Netzwerken . . . . . . . . . . . . . 4.3 Die Wechselstromrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 4.4 Darstellungen von Ubertragungsfunktionen ................. 4.5 Zweitore und Vierpole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 23 35 38 44 51

Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Netzwerke aus Kapazit¨ aten und Widerst¨anden . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Der zeitliche Auf- und Abbau eines elektrischen Feldes . 5.1.2 Wechselstromkreis mit Kapazit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Netzwerke aus Induktivit¨ aten und Widerst¨anden . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Der Aufbau eines magnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Wechselstromkreis mit Induktivit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Dreiphasennetzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Der Gyrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60 60 60 65 70 70 73 78 84

Inhaltsverzeichnis

XV

Teil III Das elektrostatische Feld 6

Die Grundgleichungen des elektrostatischen Feldes . . . . . . . . 91

7

Elementare Betrachtungen zur Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . 97

8

Materialgesetze in der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

9

Influenzwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

10 Einfache Beispiele f¨ ur elektrostatische Felder . . . . . . . . . . . . . . 115 10.1 Das elektrische Feld von Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 10.1.1 Die homogen geladene Kugel und die Punktladung . . . . 116 10.1.2 Endlich viele Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 10.1.3 Das Potenzial zweier Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 10.1.4 Der elektrische Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 10.1.5 Das elektrische Feld zweier Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 10.1.6 Endlich ausgedehnte Linienladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 10.2 Ebene elektrostatische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 10.2.1 Unendlich lange Linienleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 10.2.2 Koaxialkabel, Zylinderkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 10.2.3 Zweidrahtleitung, parallele Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 10.2.4 Zylinder und Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 10.2.5 Liniendipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 10.2.6 Erdseil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 11 L¨ osungsverfahren der Poisson- und Laplace-Gleichung . . . . . 144 11.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 11.1.1 Poisson- und Laplace-Gleichung und ihre L¨ osungsmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 11.1.2 Rand- und Grenzbedingungen, Eindeutigkeit des Potenzials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 11.2 Elementare Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 11.2.1 Die graphische Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 11.2.2 Eindimensionale Potenzialprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 ¨ 11.2.3 Uberlagerung von Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 11.3 Das Kirchhoff-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 11.4 Die Greensche und Neumannsche Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 154 11.5 Die Multipolmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 11.6 Die Spiegelungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 11.7 Konforme Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 11.8 Die Separationsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 11.9 Bemerkungen zu numerischen Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

XVI

Inhaltsverzeichnis

12 Kapazit¨ atskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 12.1 Der elementare Kapazit¨ atsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 12.2 Graphische Berechnung von Kapazit¨ atskoeffizienten . . . . . . . . . . 180 12.3 Kapazit¨ at einfacher Anordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 12.4 Parallel- und Reihenschaltung von Kapazit¨aten . . . . . . . . . . . . . . 190 12.5 Kapazit¨ aten in Mehrleitersystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 12.5.1 Maxwellsche Kapazit¨ atskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 12.5.2 Definition und Messung von Teilkapazit¨aten . . . . . . . . . . 192 12.5.3 Form des elektrischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 12.5.4 Berechnung von Teilkapazit¨ aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 13 Energie in der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 14 Mechanische Kr¨ afte in der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 14.1 Kr¨ afte an Leiteroberfl¨ achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 14.2 Mechanische Spannungen im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . 212 14.3 Kr¨ afte an Grenzfl¨ achen zwischen Nichtleitern . . . . . . . . . . . . . . . 214 14.4 Berechnung der Feldkr¨ afte aus der Kapazit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . 216 14.5 Einwirkung elektrischer Felder auf Elektronenbahnen: Elektronenoptik (Internet-Download ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Teil IV Das elektrische Str¨ omungsfeld 15 Grundgleichungen des elektrischen Str¨ omungsfeldes . . . . . . . 223 16 Elementare Betrachtungen zum elektrischen Str¨ omungsfeld 228 16.1 Experimentelle Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 16.2 Das station¨ are Str¨ omungsfeld und Widerstandsnetzwerke . . . . . 232 16.3 Zusammenhang zwischen Kapazit¨ at und Widerstand . . . . . . . . . 238 17 Beispiele von elektrischen Str¨ omungsfeldern . . . . . . . . . . . . . . . 242 17.1 Punktquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 17.2 Spiegelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 17.3 Linienquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

Teil V Das station¨ are Magnetfeld 18 Grundgleichungen des station¨ aren Magnetfeldes . . . . . . . . . . . 261 19 Elementare Betrachtungen zum station¨ aren Magnetfeld . . . 268 19.1 Magnetische Kraftwirkungen und das B-Feldes . . . . . . . . . . . . . . 268 19.2 Beispiele f¨ ur magnetische Kraftwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 19.3 Das Durchflutungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 19.4 Der magnetische Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

Inhaltsverzeichnis

XVII

20 Materialgesetze im station¨ aren Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . 283 20.1 Diamagnetismus und Paramagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 20.2 Messung der Permeabilit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 20.3 Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 20.4 Magnetische Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 20.5 Magnetische Anisotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 21 L¨ osungsverfahren f¨ ur die Vektorpoisson-Gleichung . . . . . . . . . 301 21.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 21.2 Das vektorielle Kirchhoff-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 21.2.1 Kirchhoff-Integral f¨ ur Stromdichteverteilungen . . . . . . . . 303 21.2.2 Kirchhoff-Integral f¨ ur Stromf¨ aden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 21.3 Das Biot-Savart-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 21.4 Die Multipolmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 21.5 Das skalare magnetische Potenzial und konforme Abbildungen 312 22 Beispiele f¨ ur station¨ are Magnetfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 22.1 Anwendung der Laplaceschen Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 22.2 Anwendung des magnetischen Potenzials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 22.3 Der magnetische Kreis: Elektro- und Dauermagnete . . . . . . . . . . 327 22.3.1 Grundgleichungen des magnetischen Kreises . . . . . . . . . . 327 22.3.2 Angen¨ aherte Berechnung von Elektromagneten . . . . . . . . 329 22.3.3 Scherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 22.3.4 Berechnung von Dauermagneten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 22.3.5 Theorie der Kompassnadel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 23 Induktionskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 23.1 Der Induktivit¨ atsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 23.2 Induktivit¨ aten einfacher Anordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 23.2.1 Induktivit¨ at einer Ringspule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 23.2.2 Induktivit¨ at einer Zylinderspule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 23.2.3 Induktivit¨ at einer Doppelleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 23.2.4 Induktivit¨ at eines Drahtringes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 23.2.5 Induktivit¨ at von Dr¨ ahten beliebiger Form . . . . . . . . . . . . 345 23.2.6 Induktivit¨ at bei beliebigen magnetischen Kreisen . . . . . . 346 23.3 Gegeninduktion und Gegeninduktivit¨aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 24 Energie im station¨ aren Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 25 Kr¨ afte im station¨ aren Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 25.1 Kr¨ afte zwischen Stromleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 25.2 Kr¨ afte zwischen Stromleitern und magnetischen Stoffen . . . . . . 365 afte an Grenzfl¨ achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 25.3 Kr¨

XVIII Inhaltsverzeichnis

Teil VI Das quasistation¨ are elektromagnetische Feld 26 Grundgleichungen des quasistation¨ aren Feldes . . . . . . . . . . . . . 373 26.1 Elektrisches und magnetisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 26.2 Das Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 26.3 Die Grundgleichungen mit Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 26.4 Das Induktionsgesetz und die Kontinuit¨atsgleichung . . . . . . . . . 378 26.5 Die Grundgleichungen des quasistation¨aren elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 27 Elementare Betrachtungen zur Induktionswirkung . . . . . . . . . 384 28 L¨ osungsverfahren f¨ ur Diffusionsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 401 29 Anwendungen des quasistation¨ aren Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 29.1 Wirbelstr¨ ome und Skineffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 29.1.1 Stromverdr¨ angung im zylindrischen Leiter . . . . . . . . . . . . 405 29.1.2 Ebene Wirbelfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 29.1.3 Einseitige Stromverdr¨ angung in Ankerleitern und Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 29.1.4 Wirbelstr¨ ome in Eisenblechkernen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 29.1.5 Abschirmung von Hochfrequenzfeldern . . . . . . . . . . . . . . . 424 29.1.6 Triebstr¨ ome eines Wechselstromz¨ahlers . . . . . . . . . . . . . . . 426 29.2 Ummagnetisierungsverluste bei ferromagnetischen Werkstoffen 427 29.3 Der Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 29.3.1 Allgemeine Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 29.3.2 Streuungs-Ersatzbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 29.3.3 Die Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 ¨ 29.3.4 Der lineare Ubertrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 ¨ 29.3.5 Kopplungs-Ersatzbilder des linearen Ubertragers . . . . . . 446 29.4 Elektrisch-mechanische Energiewandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 29.4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 29.4.2 Die Grundgleichungen der elektrischen Maschine . . . . . . 449 29.4.3 Die Gleichstrommaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 29.4.4 Die Synchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 29.4.5 Die Asynchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 29.4.6 Lineare elektrisch-mechanische Systeme . . . . . . . . . . . . . . 466 30 Der Verschiebungsstrom im quasistation¨ aren Feld . . . . . . . . . 473 31 Bewegte Leiter und das Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 31.1 Bewegte Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 31.2 Bewegte nichtleitende K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 31.3 Weitere Bewegungseffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

Inhaltsverzeichnis

XIX

Teil VII Das instation¨ are elektromagnetische Feld 32 Die Maxwellsche Theorie des elektromagnetisches Feldes . . 489 32.1 Die Maxwellsche Erg¨ anzung und Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 32.2 Die Maxwellschen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 33 Elementare Betrachtungen zum instation¨ aren elektromagnetischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 34 Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 34.1 Elementarform der elektromagnetischen Welle . . . . . . . . . . . . . . . 503 34.1.1 Nahfeld der schwingenden Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 34.1.2 Fernfeld der schwingenden Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 34.1.3 Energiefluss in der Elementarwelle, Strahlungswiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 34.2 Energiedichte des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . 516 34.3 Ebene Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519 34.4 Empfangsantennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 34.5 Elektromagnetische Schirme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 35 TEM-Wellen auf Doppel- und Mehrfachleitungen . . . . . . . . . . 534 35.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 35.2 Verlustfreie Doppelleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 35.2.1 Feldtheoretische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 35.2.2 Leitungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 35.2.3 Konstruktion von Leitungsmodellen mit Differenzenformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555 35.2.4 Ausblick: Mehrfachleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559 35.2.5 Schlußbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561 35.3 Verlustbehaftete Doppelleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561 35.3.1 Doppelleitungen mit verlustbehaftetem Dielektrikum . . . 561 35.3.2 Doppelleitungen mit verlustbehaftetem Dielektrikum und verlustbehafteten Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564 35.4 L¨ osung der Leitungsgleichungen im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . 567 35.4.1 Wellenausbreitung auf verlustlosen Doppelleitungen . . . . 567 35.4.2 Leitungsmodelle zur Netzwerkanalyse im Zeitbereich . . . 580 35.5 L¨ osung der Leitungsgleichungen im Frequenzbereich . . . . . . . . . 589 35.5.1 Sinusf¨ ormig eingeschwungene L¨osungen der Leitungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 35.5.2 Leitungsmodelle f¨ ur die Netzwerkanalyse im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 35.5.3 Eigenschaften der L¨ osungen der Leitungsgleichungen im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599 36 Hohlleiter und Hohlraumresonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608

XX

Inhaltsverzeichnis

Teil VIII Das elektromagnetische Feld in elektronischen Bauelementen 37 Mechanismen der Stromleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623 37.1 Stromleitung in Gasen: Grundbegriffe (Internet-Download ) . . . 623 37.1.1 Stoßionisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623 37.1.2 Elektronenausl¨ osung an der Kathode . . . . . . . . . . . . . . . . . 623 37.1.3 Anlaufspannung. Durchschlag in Gasen . . . . . . . . . . . . . . 623 37.1.4 Koronaentladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623 37.1.5 Kurzzeitige Gasentladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623 37.1.6 Bogenentladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623 37.1.7 Bogenentladung an Kontakten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623 37.1.8 Die Kapazit¨ at bei Feldern mit Raumladungen . . . . . . . . . 623 37.1.9 Der Durchschlag von Isolierstoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623 37.2 Stromleitung in festen K¨ orpern und Fl¨ ussigkeiten . . . . . . . . . . . . 624 37.2.1 Atomstruktur der Leiter und Leitungsmechanismen . . . . 624 37.2.2 Metallische Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625 37.2.3 Ionenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630 37.2.4 Schwankungserscheinungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 37.2.5 Das Wesen der Spannungsquellen - Quellenspannung . . . 633 37.3 Stromleitung in Halbleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634 37.3.1 Siliziumkristall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634 37.3.2 B¨ andermodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636 37.3.3 Eigenleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637 37.3.4 St¨ orstellenleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639 37.3.5 Feldstrom und Diffusionsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642 37.3.6 Diffusion von Minorit¨ atstr¨ ager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645 37.3.7 Diffusion von L¨ ochern aus einer p-Zone in eine n-Zone. Diffusionsspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649 37.3.8 Thermoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653 37.3.9 Photoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653 38 Elektronenr¨ ohren (Internet-Download ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 38.1 Die Raumladungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 38.2 Elektronenemission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 38.3 Photoemission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 38.4 Die Strom-Spannungsrelation f¨ ur Elektronenr¨ohren . . . . . . . . . . 656 38.5 Die Hochvakuumtriode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 38.6 Die Hochvakuumtriode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 38.7 Raumladung in leitenden Stoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656

Inhaltsverzeichnis

XXI

39 Halbleiterbauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657 ¨ 39.1 Der pn-Ubergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657 ¨ 39.1.1 Der pn-Ubergang im stromlosen Zustand . . . . . . . . . . . . . 657 ¨ 39.1.2 pn-Ubergang im Durchlassbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661 ¨ 39.1.3 pn-Ubergang im Sperrbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666 ¨ 39.1.4 Kapazit¨ at des pn-Uberganges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666 39.2 Der bipolare npn-Transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671 39.2.1 Der Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673 39.2.2 Die Ersatzschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673 39.3 Der MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680 40 Schaltungen und Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685 40.1 Grundbegriffe des Bipolartransistors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685 40.2 Der Bipolartransistor und seine Grundschaltungen . . . . . . . . . . . 686 40.2.1 Die Basisschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686 40.2.2 Die Emitterschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690 40.2.3 Die Kollektorschaltung (Emitterfolger) . . . . . . . . . . . . . . . 694 40.3 Systeme mit R¨ uckkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695 40.3.1 Stabilit¨ atsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695 40.3.2 Negativer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698 40.3.3 Die beiden Typen von negativen Widerst¨anden . . . . . . . . 702 40.3.4 R¨ uckkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 40.3.5 Erzeugung von Schwingungen in Oszillatoren . . . . . . . . . 709 A

Mathematische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715 A.1 Differentialoperatoren und Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715 A.2 Das Satz von Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720

B

Der Laplace-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722 B.1 Skalare Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722 B.2 Vektorielle Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739

Teil I

Was ist Theoretische Elektrotechnik?

1 Die elektrotechnischen Disziplinen

Viele technische Aufgaben k¨ onnen im Prinzip durch Probieren gel¨ost werden, z. B. der Bau eines Elektromotors oder einer Verst¨arkerr¨ohre oder einer Fernsprechverbindung. Beim Bau eines Transistores oder einer mikro- oder gar nanoelektronischen Schaltung in integrierter Technologie ist das jedoch nicht mehr so einfach und kann bei fehlerhaften Ergebnissen hohe Kosten verursachen. Wendet man die Probiermethode“ an und erf¨ ullt das erste Ger¨at nicht ” die gew¨ unschten Bedingungen, ist z. B. die Leistung des Elektromotors nicht ausreichend oder zeigen sich irgendwelche anderen M¨angel, dann wird man ein zweites Ger¨ at herstellen und versuchen, durch Ab¨anderungen diese M¨angel zu beseitigen, und es ist wahrscheinlich, dass man bei Verwertung der dabei gemachten Erfahrungen nach einer gewissen Anzahl von Versuchen schließlich zu einem brauchbaren Ger¨ at kommen wird. Dieses empirische Verfahren ist in der Tat das Verfahren, das in der Technik, besonders in der Anfangszeit neuer Zweige der Technik, h¨ aufig angewendet wurde und noch angewendet wird. Offensichtlich erfordert es aber zumindest große Aufwendungen an Hilfsmitteln und an Zeit. Sie lassen sich um so mehr verringern, je genauer man die Vorg¨ ange kennt, die sich in der betreffenden Einrichtung abspielen. Diese Kenntnis kann zwar grunds¨ atzlich nur durch Erfahrung ermittelt werden; es ist jedoch m¨ oglich, auch ohne dass Erfahrungen mit der besonderen Einrichtung vorliegen, um deren Herstellung es sich handelt, Voraussagen u ¨ber ihre Eigenschaften zu machen. Dazu dient die Theorie. Die Theorie bildet die Zusammenfassung der jeweils vorliegenden, durch Beobachtung und Messung gewonnenen Gesamterfahrungen, so dass diese auf m¨oglichst viele F¨alle ¨ ubertragen werden k¨onnen. Diese unseren heutigen Vorstellungen entsprechende Definition unterscheidet sich grunds¨ atzlich von der alten Bedeutung dieses Wortes, wie sie Goethe im Faust“ meint, wenn er von der grauen“ Theorie spricht. Jene Theorie“ ” ” ” ging nicht von der Erkenntnis der Naturvorg¨ange aus, sondern beruhte auf einer dogmatischen Weltbetrachtung. Zur L¨ osung einer technischen Aufgabe stehen also grunds¨atzlich Versuch und Theorie zur Verf¨ ugung, wobei die Theorie die bereits fr¨ uher gemachten

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1 Die elektrotechnischen Disziplinen

Versuche und Erfahrungen ber¨ ucksichtigt. Daher sind zur L¨osung einer technischen Aufgabe im allgemeinen drei Arten von Aufwendungen erforderlich: 1. Gedankenarbeit zur Verwertung der theoretischen Erkenntnisse. 2. Mittel zur Ausf¨ uhrung von Versuchen (Rohstoffe, Werkstoffe, Bauelemente, Herstellungskosten der Versuchseinrichtungen, Betriebskosten). 3. Man braucht Zeit, wobei zur L¨ osung ein und derselben Aufgabe mehr Entw¨ urfe, Versuche und Versuchseinrichtungen erforderlich sind, wenn man von den theoretischen Erkenntnissen weniger Gebrauch macht. An materiellem Aufwand kann gespart werden, wenn mehr geistige Arbeit bei der L¨ osung des Problems aufgewendet wird. Dazu kommt noch, dass das empirische Verfahren unvergleichlich mehr Zeit und Gesamtarbeit erfordert als bei Anwendung der theoretischen Erkenntnisse notwendig ist. Hierin liegen die Erfolge des wissenschaftlichen Verfahrens der Bearbeitung technischer Aufgaben, das den Gegensatz zum empirischen Verfahren bildet, und dessen Einf¨ uhrung die raschen Fortschritte der Technik in den letzten Jahrzehnten erm¨ oglicht hat. Die theoretischen Erkenntnisse sind allerdings gegenw¨ artig – und das galt nicht nur in der Zeit K¨ upfm¨ ullers, sondern aufgrund des st¨ andigen Technologiewandels gilt diese Aussage in jeder Epoche – noch weit von dem idealen Zustand entfernt, dass man jede technische Aufgabe rein durch Gedankenarbeit l¨osen k¨onnte, dass also die zweite Art von Aufwendungen vollst¨ andig durch die erste ersetzt werden k¨ onnte; um so wichtiger ist es daher, mit der Auswertung des Vorhandenen so weit zu gehen wie irgend m¨ oglich. Jede technische Aufgabe ist l¨ osbar. H¨ aufig erfordert die L¨ osung große Aufwendungen an Mitteln und an Zeit; sie k¨ onnen in dem Maße vermindert werden, in dem es m¨oglich ist, theoretische Erkenntnisse anzuwenden. Gew¨ ohnlich gibt es zur L¨ osung einer technischen Aufgabe viele verschiedene Wege oder verschiedene Arten der Ausf¨ uhrung, die alle die gestellten Bedingungen an sich erf¨ ullen. Die zweckm¨ aßige und daher richtige L¨osung ist dann immer diejenige, die den geringsten Gesamtaufwand erfordert. Es k¨onnen z. B. die Herstellungskosten der verschiedenen Ausf¨ uhrungen verschieden sein oder der Materialbedarf, der Bedarf an besonders wertvollen Rohstoffen oder der Raumbedarf; es k¨ onnen aber auch die Betriebskosten oder diejenigen Kosten verschieden sein, die f¨ ur die Instandhaltung der betreffenden Einrichtung und die Sicherstellung des Betriebes laufend erforderlich sein werden. Daher ist es in vielen F¨ allen schwierig, die zweckm¨ aßigste L¨osung zu finden. Es geh¨ort aber grunds¨atzlich zur L¨osung einer technischen Aufgabe, dass sie die gestellten Bedingungen mit einem Minimum an Gesamtaufwand erf¨ ullt. Je genauer man die Eigenschaften der herzustellenden Einrichtung im voraus ermitteln kann, um so sicherer wird dies zu erreichen sein. Auch in dieser Beziehung ergeben sich daher wichtige Anwendungen der theoretischen Erkenntnisse. Es ist nicht m¨ oglich, dass jeder Einzelne alle Erfahrungen, die im Laufe der Zeit gemacht worden sind, in der gleichen Reihenfolge und Vollst¨andigkeit sammelt, besonders wegen der F¨ ulle des Erfahrungsmaterials, die unge-

1 Die elektrotechnischen Disziplinen

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heuer groß ist im Vergleich zu dem was ein Mensch w¨ahrend seines Lebens auf diese Weise aufnehmen k¨ onnte. Daher ist es n¨otig, die Erfahrungen in eine m¨ oglichst konzentrierte Form zu bringen und in dieser Form zu verbreiten. Ein Hilfsmittel dazu stellt die Mathematik dar, die, vom Standpunkt der Anwendung aus betrachtet, einerseits eine Art Kurzschrift zur Zusammenfassung der Erkenntnisse bildet und andrerseits Anweisungen f¨ ur die Auswertung dieser Erkenntnisse gibt. Aus diesem Grunde sind mathematische Kenntnisse eine unentbehrliche Voraussetzung zum Verst¨ andnis der Ingenieurwissenschaften. Die mathematischen Verfahren erm¨ oglichen es, viel kompliziertere Zusammenh¨ ange zu erfassen, als es mit bloßem Nachdenken m¨oglich w¨are; sie k¨onnen Denkprozesse ersetzen, die u ahigkeit des menschlichen Gehirns weit ¨ ber die F¨ hinausgehen. Gewisse Erfindungen konnten sogar nur auf dem Weg u ¨ ber ma¨ thematische Uberlegungen entstehen; ein Beispiel daf¨ ur bilden die Wellenfilter. Allerdings sind dies seltene F¨ alle. F¨ ur den wissenschaftlich arbeitenden Ingenieur gilt die Grundforderung, dass er sich eine klare Vorstellung von dem Wesen der Naturvorg¨ ange erwirbt, mit denen er es zu tun hat. Darunter ist zu verstehen, dass mit dem Ablauf dieser Vorg¨ange bestimmte Ideen verbunden werden, die die Erscheinungen auf wenige allgemeine Gesetzm¨aßigkeiten zur¨ uckf¨ uhren. Zu jeder Technik geh¨ ort eine ganz bestimmte Vorstellungswelt, die durch die Theorie vermittelt wird. Die Fortschritte der Technik gehen jeweils von dieser Vorstellungswelt aus. Jede Erweiterung der theoretischen Vorstellungen gibt daher die M¨ oglichkeit weiterer Fortschritte. Diese Vorstellungen aber k¨onnen in vollem Umfang nur mit Hilfe der Mathematik erworben werden.1 Der Computer ist dabei ein m¨ achtiges Werkzeug besonders zur Aufl¨osung sehr großer linearer Gleichungssysteme, zur Wurzelbestimmung von Polynomen h¨ oheren Grades, zur automatischen Durchf¨ uhrung der Fouriertransformation beim Wechsel von Zeit- und Frequenzbetrachtung, und nat¨ urlich zur Feldberechnung, die mit Hilfe verschiedener Diskretisierungsmethoden ihrerseits wieder auf die Aufl¨ osung linearer Gleichungssysteme zur¨ uckgef¨ uhrt werden kann. Rechnung und Simulation ganzer Systeme erh¨ohen insbesondere u ¨ ber eine graphische Ausgabe der Ergebnisse die Anschaulichkeit. Unentbehrlich f¨ ur eine wissenschaftliche T¨atigkeit auf dem Gebiete der Elektrotechnik sind aber nach wie vor die Elemente der Differential- und Integralrechnung, die Lehre von den Potenzreihen und den Fourierschen Reihen, ferner das Rechnen mit komplexen Zahlen und die Elemente der Vektorrechnung und Vektoranalysis; es ist nicht im geringsten ausreichend, diese Gebiete der Mathematik zu kennen, sondern es geh¨ ort dazu die F¨ahigkeit, die in diesen Gebieten gelehrten Regeln anzuwenden. Diese F¨ahigkeit kann man durch

1

Weitere interessante Ausf¨ uhrungen u ¨ ber die Philosophie des Schaltungsentwurfs ¨ und des Schaltungsdesigners findet man bei O’Dell [183]. Uber den Sinn und Zweck von Theorie in den Ingenieurwissenschaften findet man Lesenswertes bei Mathis [155].

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1 Die elektrotechnischen Disziplinen

ein noch so ausgedehntes Studium der Formeln nicht erwerben, sondern nur dadurch, dass man spezielle Aufgaben in hinreichend großer Zahl selbst l¨ost. Die Vorstellungen von dem Wesen der Naturerscheinungen werden durch die Physik geschaffen. Die allgemeine Aufgabe der Physik besteht darin, unsere Erkenntnisse von den Naturvorg¨ angen zu erweitern. Die physikalischen Gesetze fassen die beobachteten Naturerscheinungen quantitativ zusammen und bilden damit auch die theoretischen Grundlagen der technischen Anwendungsgebiete. Neue physikalische Entdeckungen f¨ uhren immer auch zu neuen technischen Anwendungen. Die physikalische Forschung, die eine st¨andige Verbesserung der physikalischen Vorstellungen und die Entdeckung neuer Zusammenh¨ ange anstrebt, bestimmt daher, u ¨ ber lange Zeiten gesehen, grunds¨atzlich die Schnelligkeit aller technischen Fortschritte. Dabei f¨ ordern sich die Fortschritte der Physik und die der technischen Anwendungen in einem fortgesetzten Kreislauf. Neue technische Produkte, neue technische Ideen und Erfindungen f¨ uhren bei der Durcharbeitung in der Regel auf neue physikalische Fragestellungen, sei es, dass die Genauigkeit der vorhandenen Kenntnis bestimmter physikalischer Zusammenh¨ange nicht ausreicht, sei es, dass physikalische Effekte als St¨orungen auftreten, die noch nicht n¨ aher untersucht worden sind, sei es, dass die Ursachen irgendwelcher Erscheinungen noch unbekannt sind. Daher kommt es, dass ein großer Teil der physikalischen Erkenntnisse aus der Entwicklung technischer Erzeugnisse stammt. Beispiele daf¨ ur bilden die Entwicklung der Akustik, die Entwicklung der Elektronenoptik oder die Entwicklung der Festk¨orperphysik und Halbleiterphysik in den letzten Jahrzehnten. Neue technische Aufgaben, f¨ ur die noch keine brauchbare L¨ osung vorliegt, stellen vielfach Aufgaben f¨ ur die physikalische Forschung und regen diese zum Aufsuchen neuer Erkenntnisse an. Aus solchen Arbeiten entstehen andererseits nicht selten technische Anwendungen f¨ ur ganz andere Zwecke; Beispiele daf¨ ur aus der neuesten Zeit bilden die Legierungen und Stoffe f¨ ur Dauermagnete und Magnetkerne oder die Halbleiter f¨ ur Gleichrichter und Verst¨ arker. Man kann das Ineinandergreifen von Physik und Technik beim Werdegang der technischen Produkte etwa durch die folgende Reihe veranschaulichen: •

•

Die Physikalische Forschung umfasst Entdeckungen, Versuche und Messungen und f¨ uhrt zu physikalischen Erkenntnissen, Gesetzen und Theorien, auf deren Basis sich Erfindungen und Verbesserungsideen entwickeln k¨ onnen. Anschließend folgt die Modellierung und Simulation und/oder es m¨ ussen Versuchsger¨ ate und Modelle erstellt werden, um Versuche und Messungen auszuf¨ uhren. Die Technische Entwicklung baut auf den Entdeckungen der physikalischen Forschung auf und nutzt deren Erkenntnisse, Gesetze und Theorien, um zu Erfindungen und Verbesserungsideen zu kommen, die mit Hilfe von Simulationen und messtechnischen Versuchen weiterentwickelt werden. Zur Produktentwicklung f¨ uhrt die Konstruktion und Projektierung auf der Grundlage von Berechnungen und es folgen Fertigungsversuche und Ferti-

1 Die elektrotechnischen Disziplinen

•

7

gungsmuster. Am Ende steht die technische Erprobung und schließlich die Fertigung. Betriebsentwicklung umfasst Anwendungsforschung und Betriebsversuche.

Jedes Stadium hat die vorhergehenden zur Voraussetzung; ein wesentlicher Vorgang ist jedoch der, dass sich aus allen diesen Stadien laufend Fragestellungen nach r¨ uckw¨ arts ergeben, die wieder zu neuen Wegen, Erkenntnissen und Verbesserungen f¨ uhren, so dass das Fortschreiten der gesamten Entwicklung mit vielfachen R¨ uckkopplungen“ vor sich geht. Daher kann auch die ” Grenze zwischen der Forschung und der technischen Entwicklung nicht scharf gezogen werden, ebensowenig wie die zwischen der technischen Entwicklung und der Erforschung der Anwendungsm¨ oglichkeiten technischer Erzeugnisse. Das letztgenannte Gebiet ist in der Aufstellung durch den Begriff Betriebs” entwicklung“ gekennzeichnet; dazu geh¨ oren z.B. die Anwendungen der Automatisierung in Verwaltungs- und B¨ urobetrieben. Unter der Bezeichnung Elektrotechnik werden alle technischen Aufgaben und Anwendungen zusammengefasst, bei denen elektrische Vorg¨ange wesentlich sind, die also auf der Ausn¨ utzung der Wirkungen elektrischer Str¨ome oder Spannungen beruhen. Die Elektrotechnik ist daher kein eigenes technisches Aufgabengebiet, sondern fasst verschiedenartige technische Aufgaben unter einem physikalischen Gesichtspunkt zusammen. Zwei technische Aufgabengebiete sind besonders eng mit der Elektrotechnik verbunden: die Energietechnik und die Nachrichtentechnik. ¨ Die Energietechnik befasst sich mit der Umwandlung und der Ubertragung von Energie. F¨ ur den Anteil der Elektrotechnik an diesem Aufgabengebiet ist die Bezeichnung Starkstromtechnik gebr¨ auchlich. Die Aufgabe der Starkstrom¨ technik besteht in der Erzeugung, Umwandlung, Ubertragung, Verteilung und Speicherung elektrischer Energie. ¨ Die Aufgabe der Nachrichtentechnik ist die Ubertragung, Verteilung, Verarbeitung und Speicherung von Nachrichten (Information). Der zur Elektrotechnik geh¨ orige Teil wird als elektrische Nachrichtentechnik bezeichnet. Hier werden gew¨ ohnlich die beiden Hauptgebiete Nachrichten¨ ubertragung und Nachrichtenverarbeitung (Informationsverarbeitung, Datenverarbeitung) unterschieden. Die Messtechnik kann nach diesen Definitionen als Teil der Nachrichtentechnik angesehen werden, da der Zweck jeder Messung die Gewinnung oder Umwandlung von Information ist. Gew¨ ohnlich wird die Messtechnik als Sondergebiet der Technik betrachtet. Die elektrische Messtechnik befasst sich mit der Messung von elektrischen und nichtelektrischen physikalischen Gr¨oßen mit elektrotechnischen Hilfsmitteln. Ebenso wird die Steuerungs- und Regelungstechnik als ein Sondergebiet betrachtet, da sie Energietechnik und Nachrichtentechnik miteinander verkn¨ upft: Jede Steuerung kann als die Einwirkung einer Nachricht auf einen Energiefluss oder einen Transportvorgang aufgefasst werden.

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1 Die elektrotechnischen Disziplinen

Unter Elektronik wird die Schaffung und Anwendung elektronischer Bauelemente und Schaltungen verstanden. Dies sind solche Bauelemente und Systeme, bei denen keine mechanischen Bewegungen vorkommen (z.B. Verst¨arkerr¨ ohren, Braunsche R¨ ohren, Halbleiter- und R¨ ohrengleichrichter, Transistoren, fr¨ uher magnetische Speicherkerne und inzwischen integrierte mikroelektronische und nanoelektronische Schaltungen (Chips) oder ¨ahnliches); einen aktu¨ ellen Uberblick u ¨ber nanoelektronische Systeme gibt Goser et al. [75]. Die Bezeichnung theoretische Elektrotechnik“ soll alle diejenigen physika” lischen Gesetzm¨aßigkeiten und mathematischen Verfahren umfassen, die bei der L¨ osung von Aufgaben der Elektrotechnik n¨ utzlich sein k¨onnen. Es gibt jedoch keine eigentliche Abgrenzung zwischen diesen theoretischen Grundlagen der Elektrotechnik und der Physik und der Mathematik. Bei neuen technischen Problemen m¨ ussen oft neue mathematische und physikalische Hilfsmittel herangezogen werden. Dieses Buch soll so weit in die verschiedenen f¨ ur die Elektrotechnik wichtigen Theorien einf¨ uhren, dass ein Spezialstudium und das Verst¨andnis f¨ ur schwierigere Zusammenh¨ ange dadurch erleichtert werden. Bei der Auswahl und Anordnung des Stoffes wurde versucht, von Leichterem zu Schwierigerem fortzuschreiten, so dass durch das Studium des Vorhergehenden das jeweils Folgende leichter verst¨ andlich wird. Die in den Text des Buches eingestreuten Zahlenbeispiele sollen eine Vorstellung von den Gr¨ oßenverh¨ altnissen der besprochenen Zusammenh¨ange geben. Es ist zweckm¨ aßig, beim Studium m¨ oglichst viele von diesen und ¨ahnlichen Zahlenbeispielen selbst durchzurechnen, da man auf diese Weise ein Gef¨ uhl f¨ ur die Bedeutung der Gr¨ oßen erh¨ alt. F¨ ur ein weitergehendes Studium wurden zahlreiche Literaturhinweise eingef¨ ugt, anhand derer spezielle Aspekte der dargestellten Theorie vertieft weronnen. den k¨

2 Systemtheoretische Grundlagen

In der Einleitung zu diesem Buch wurde zun¨ achst einmal versucht, die Gegenst¨ ande etwas n¨ aher zu charakterisierten, die im folgenden betrachten werden sollen. Jedoch hat Ludwig [144] bereits im ersten Band seiner Einf¨ uhrung in die Theoretische Physik darauf hingewiesen, dass es zumindest schwierig wenn nicht gar unm¨ oglich ist, eine Wissenschaft und insbesondere die Theoretische Physik – wir k¨ onnen das wohl letztlich auch auf die Theoretische Elektrotechnik u ¨ bertragen – inhaltlich zu charakterisieren, ohne dasjenige detailliert zu schildern, was diejenigen wirklich tun, welche in der Disziplin arbeiten. Dem ist kaum etwas hinzuzuf¨ ugen, denn auch K¨ upfm¨ uller hat bei der Konzeption der ersten Ausgabe seines Buches Eine Einf¨ uhrung in die Theoretische ” Elektrotechnik“ mit Hilfe von Motivationen, theoretischen Ausf¨ uhrungen und vorgerechneten Beispielen gezeigt, wie ein theoretischer Elektrotechniker arbeitet. Er hat die Theoretische Elektrotechnik“ zwar nicht erfunden, denn ” Vorlesungen und Lehrst¨ uhle dieser Art gab es schon lange (z.B. vertrat W. Kohlrausch an der TH Hannover ab 1886 das Lehrgebiet Grundz¨ uge der elektrotechnik und Theoretischen Elektrotechnik und H. Hertz hielt an der TH Karlsruhe im Studienjahr 1885/86 eine Vorlesung Theoretische Grundlagen azisiert, was Theoretische Elekder Elektrotechnik1 ), aber er hat genauer pr¨ ” trotechnik“ bei sich wandelnder Technologie bedeutet. Im Unterschied zur Theoretischen Physik h¨ angen die Inhalte der Theoretischen Elektrotechnik und somit auch das was theoretische Elektrotechniker tun ganz wesentlich von den technologischen M¨ oglichkeiten der jeweiligen Epoche ab. K¨ upfm¨ uller hat aber nicht nur f¨ ur die Entwicklung der Theoretischen Elektrotechnik eine maßgebliche Rolle gespielt. Noch weit wichtiger war er f¨ ur das Entstehen einer neuen technischen Disziplin, der Systemtheorie“, welche – ” zun¨ achst als N¨ aherungstheorie zur Charakterisierung komplexer technischer und insbesondere nachrichtentechnischer Systeme gedacht – zu einer v¨ollig neuen Sichtweise bei der Beschreibung von Natur und Technik gef¨ uhrt hat. 1

Fridericiana – Zeitschr. der Universit¨ at Karlsruhe (TH), Heft 52: 100 Jahre Elektrotechnik and der Universit¨ at Karlsruhe

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2 Systemtheoretische Grundlagen

Der signaltheoretische Hintergrund der linearen Systemtheorie wird in dem Aufsatz von Mathis [156] sehr ausf¨ uhrlich geschildert; siehe auch Krabs [128]. Diese Entwicklung ist, wie Wunsch [262] in seiner Geschichte der Sys” temtheorie“ dargelegt hat, auch noch keineswegs beendet, sondern erfasst immer weitere Bereiche der Wissenschaft. So hat Wunsch vor einigen Jahren, aufbauend auf einer Vielzahl von Grundkonzepten aus der Systemtheorie (Mesarovic, Klir, Pichler, Willems etc.) und der Physik und der entsprechenden Basisdisziplin Mathematik die Grundz¨ uge einer allgemeinen Theorie der Prozesse entworfen. Besonders interessant sind Bestrebungen, auch die M¨oglichkeiten, welche heutige Computer und Programmsysteme bieten, mit in die Betrachtungen einzubeziehen und zu einer Computer-Aided Systems Theory (CAST) zu kommen, wie es Pichler [189] vorschlug. W¨ahrend die Physik viele Jahrzehnte lang wichtige Grundelemente“ f¨ ur den Aufbau theoretischer ” Fundamente technischer Disziplinen lieferte, zeigen neueste Entwicklungen wie Quantencomputing und Quanteninformationsverarbeitung (siehe u. a. Leuchs, Beth et al. [138]), dass es inzwischen zur R¨ uckwirkung“ von der Technik in ” die Physik gekommen ist. Eine Quanten-Systemtheorie k¨onnte die klassische Systemtheorie in Zukunft erg¨ anzen. Man spricht nun auch in der Physik von Systemen und Modellen im engeren Sinne, wie es zun¨achst nur in der Technik u urfen, ob es zu einer vereinheitlichten ¨ blich war. Man wird gespannt sein d¨ System- oder Prozesstheorie kommt, die als gemeinsame Sprache f¨ ur Naturwissenschaften und Technik dienen kann; vgl. Wunsch [264], Willems [256] und Polderman, Willems [190]. K¨ upfm¨ uller hat sich in seinen ersten Arbeiten zur Systemtheorie auf eine kleinere Klasse von Systemen beschr¨ ankt, obwohl er auch schon damals an eine Erweiterung seiner Betrachtungsweise auf allgemeinere technische und sogar an nichttechnische Systeme dachte. Die Bezeichnung Systemtheorie“ f¨ uhrte ” er u ¨ brigens erst im Jahre 1949 im Titel seiner Monographie Die Systemtheorie ” der elektrischen Nachrichtentechnik“[131] ein. Der Kerngedanke der Systemtheorie linearer zeitinvarianter Systeme (LTISysteme) besteht darin, deren Systemverhalten durch eine einzige Funktion zu charakterisieren. Dazu verwendet man die Systemantwort auf ein spezielles Eingangssignal – die sogenannte Impulsantwort. Der Gedanke ist eigentlich nicht neu, denn sowohl in der Theorie linearer Differentialgleichungen als auch bei der L¨ osung der Feldgleichungen f¨ ur elektromagnetische Felder hatte man diesen Gedanken implizit bereits benutzt. Auch in der Praxis liegt es nahe, das Verhalten eines physikalischen Systems m¨ oglichst nur durch eine einzige Ant” agt ein Glockengießer mit einem Hammer wort“ zu charakterisieren. So schl¨ seine neue Glocke an, um anhand des sich ergebenden Klangs die G¨ ute seiner Arbeit zu ermitteln. Eine mathematische Formalisierung dieses Gedankens war in vielen Arbeiten bereits enthalten, aber K¨ upfm¨ uller hat diese Konzepte systematisch weiterentwickelt und eine vereinheitlichte Sprache entwickelt. Insbesondere konnte er zeigen, dass es in vielen F¨allen g¨ unstiger ist, die Systemantwort eines LTI-Systems nicht aus den Grundgleichungen abzuleiten, sondern nur die wesentlichen Aspekte zu modellieren. Auf diese Weise gelang

2 Systemtheoretische Grundlagen

11

es, f¨ ur die Anwendungen hinreichend genaue Systembeschreibungen zu ermitteln, die jedoch die f¨ ur den Entwurf von Systemen notwendige Einfachheit besitzen. Auch wenn sich die K¨ upfm¨ ullersche Systemtheorie sp¨ater als zu eng erwiesen hat, war diese neuartige Sichtweise, als deren Begr¨ under K¨ upfm¨ uller zusammen mit Nyquist gelten muss (vgl. Bissell [26]), f¨ ur die Analyse als auch den Entwurf von technischen Systemen von kaum zu untersch¨atzen ist. Auch in der Theorie elektromagnetischer Felder ist der systemtheoretische Standpunkt als Ordnungsprinzip sehr hilfreich und wir werden daher immer wieder auf systemtheoretische Konzepte zur¨ uckgreifen. Um das mathematische Konzept der Impulsantwort“ zu verdeutlichen, ” soll eine kurze Betrachtung u ¨ ber die Verwendung der Methode der Greenschen Funktion zur L¨ osung von gew¨ ohnlichen linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und Inhomogenit¨ at folgen. Diese Vorgehensweise entspricht weitgehend der Impulsantwort in der Systemtheorie. M¨ ochte man die Menge aller L¨ osungen linearer inhomogener Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ermitteln, dann kann man davon ausgehen, dass sich die L¨ osungsmenge aus s¨ amtlichen L¨osungen der zugeh¨origen homogenen Differentialgleichungen und einer speziellen oder partikul¨aren L¨ osung der inhomogenen Differentialgleichungen in additiver Weise zusammensetzt2 . Diese recht allgemeine mathematische Aussage h¨angt u ¨brigens nicht davon ab, ob es sich um algebraische Gleichungen oder gew¨ohnliche oder partielle Differentialgleichungen handelt. Daher notieren wir lineare inhomogene Gleichungen in Operatorform3 L[x] = f,

(2.1)

wobei der Operator L[·] ein algebraischer oder ein Differentialoperator sein kann. Ein Differentialoperator kann sich aus gew¨ohnlichen oder partiellen Ableitungen zusammensetzen und soll konstante Koeffizienten besitzen, so dass er gegen Verschiebungen der Variablen invariant ist. Der Einfachheit halber beschr¨ anken wir uns an dieser Stelle auf Ableitungen nach der Zeit t. Dann l¨ asst sich L[·] in folgender Weise darstellen 
dn (·) d(n−1) (·) d(·) + a0 (·) x = f (t), L[x] := an n + an (n−1) + · · · + a1 dt dt dt

(2.2)

wobei die Koeffizienten ai konstant sind und die Funktion x hinreichend oft differenzierbar ist. Auch wenn sich die allgemeine L¨ osung der Operatorgleichung (2.1) aus zwei Anteilen zusammensetzt, ist man h¨ aufig nur an einer partikul¨aren L¨osung interessiert. Sie ist in bestimmten F¨ allen sogar eindeutig. Andernfalls ist eine 2 3

Eine solche Menge wird auch affiner Raum genannt [115] Auf eine mathematische Pr¨ azisierung des Operatorkonzepts im Sinne der Funktionalanalysis soll in diesem Buch, das in seiner Anlage eher physikalisch orientiert ist, verzichtet werden

12

2 Systemtheoretische Grundlagen

solche partikul¨ are L¨ osung eindeutig bis auf eine L¨osung der zugeh¨origen homogenen Gleichung4 L[x] = 0, die an dieser Stelle nicht weiter interessieren soll. Die Bedeutung einer solchen Eindeutigkeitsaussage liegt darin, dass jede Methode, die zu einer L¨ osung f¨ uhrt, angewandt werden kann. Dabei spielt es keine Rolle, ob die Methode mathematisch gerechtfertigt werden kann, da ein Ergebnis durch Einsetzen daraufhin u uft werden kann, ob es sich ¨ berpr¨ um eine L¨ osung handelt. Die im folgenden skizzierte Methode der Greenschen Funktion (siehe z. B. [90]) arbeitet mit der sogenannten Delta-Funktion δ(t), die keine Funktion im Sinne der gew¨ ohnlichen Analysis ist (z. B. J¨anich [111]), aber dennoch eine partikul¨ are L¨ osung f¨ ur die Gl. (2.1) liefert. Man geht davon aus, dass sich alle praktisch“ vorkommenden reellwerti” gen Funktionen f (t) mit Hilfe der δ-Funktion darstellen lassen, d.h.  f (τ )δ(t − τ ) dτ. (2.3) f (t) = R

Weiterhin geht man davon aus, dass G(t) eine L¨osung der folgenden Differentialgleichung mit der δ-Funktion als rechter Seite ist L[G] = δ(t).

(2.4)

Diese L¨ osung G(t) wird Greensche Funktion oder Impulsantwort des durch Gleichung ((2.1)) festgelegten Operators L genannt. Nach einer Verschiebung“ der Gleichung (2.4) um τ , einer skalaren Mul” tiplikation mit f (τ ) und der Integration bez¨ uglich der Variablen τ erh¨alt man   f (τ )L[G(t − τ )] dτ = f (τ )δ(t − τ ) dτ = f (t). (2.5) R

R

Mit der Beziehung Gl. (2.3) und der Vertauschbarkeit des linearen Operators L[·] mit der skalaren Multiplikation und der Integration bez¨ uglich τ ergibt sich schließlich   L R

f (τ )G(t − τ ) dτ = f (t).

(2.6)

Wenn wir Gl.(2.1) mit Gl.(2.6) vergleichen, dann erhalten wir eine Darstellung der L¨ osung von Gl.(2.1)  f (τ )G(t − τ ) dτ. (2.7) x(t) = R

In vielen F¨ allen kann man dazu die Fouriertransformation verwenden. Geht ˆ von G(t) aus, die man wie folgt man n¨ amlich von der Fouriertransformierten G darstellen kann  1 ˆ G(jω) ejωt dω, (2.8) G(t) = 2π R 4

¨ In der Mathematik kann man an dieser Stelle zu Aquivalenzklassen“ u ¨ bergehen ”

2 Systemtheoretische Grundlagen

und verwendet die Fouriertransformierte“ der δ-Funktion ”  1 δ(t) = ejωt dω, 2π R

13

(2.9)

so ergibt sich 

1 L [G(t)] = L 2π

 R

  1 jωt ˆ G(jω) e dω = ejωt dω. 2π R

(2.10)

Da der Differentialoperator L [·] nur auf Funktionen in t angewendet wird, ist eine Vertauschung mit der Integration m¨ oglich     1 1 ˆ L [G(t)] = ejωt dω. (2.11) G(jω) L ejωt dω = 2π R 2π R Vergleicht man die beiden letzten Integranden in Gl. (2.11), so erh¨alt man eine Beziehung f¨ ur die Fouriertransformierte der gesuchten Greenschen Funktion ˆ G(jω) =

ejωt . L [ejωt ]

(2.12)

ˆ ¨ In der Systemtheorie wird G(jω) auch Ubertragungsfunktion genannt. Zweifellos ist die genannte Vorgehensweise f¨ ur Operatorgleichungen des Typs (2.1) sehr zweckm¨ aßig, aber es hat sich gezeigt, dass weitere Schwierig¨ keiten mit der Interpretation der Ubertragungsfunktion auftreten, wenn die ˜ ] (mit einem Differentialoperator rechte Seite der Gl. (2.1) nicht f sondern L[f ˜ L[·]) ist. Dieses Problem, das mit den Anfangsvorgaben der Differentialoperatoren zusammenh¨ angt, hat Wunsch [261] schon sehr fr¨ uh erkannt und ausf¨ uhrlich diskutiert. Mit Hilfe eines neuartigen Operatorkalk¨ uls zeigte Mathis [152], dass ˆ ¨ die Ubertragungsfunktion G(jω) auch bei Differentialgleichungen der Form ˜ ] immer unabh¨ L[x] = L[f angig von den genannten Anfangsvorgaben ist; einen Beweis mit klassischen Techniken lieferte Wunsch bereits in seiner Arbeit [261] aus dem Jahre 1962. Die genannten Schwierigkeiten konnten von Kalmann Anfang der 1960er Jahre durch Einf¨ uhrung des Konzepts der sogenannten Zustands- und Beobachtungsgleichungen wenigstens teilweise u ¨berwunden werden. Dabei wurden neben den Eingangs- und Ausgangsgr¨ oßen auch noch Zustandsgr¨oßen eingef¨ uhrt, die das innere“ Verhalten eines Systems beschreiben. Dieser Stand” punkt war keineswegs neu, denn in der Physik hat man schon die Newtonschen Bewegungsgleichungen mechanischer Systeme in dieser Weise formuliert. In der Elektrotechnik und insbesondere der Nachrichtentechnik sowie der daraus entstandenen Regelungstechnik ist man andere Wege gegangen, ¨ da man h¨ aufig nur an dem Ubertragungsverhalten eines Systems interessiert war. Lineare zeitinvariante Systeme (LTI) werden im Sinne der Theorie der Zustandsgleichungen in folgender Form dargestellt

14

2 Systemtheoretische Grundlagen

x˙ = A x + B u,

(2.13)

y = C x + D u,

(2.14)

wobei u der Vektor der (zeitabh¨ angigen) Eingangsgr¨oßen, y der Vektor der Ausgangsgr¨ oßen und x der Vektor der Zustandsgr¨oßen ist; die Koeffizientenmatrizen A, B, C, D sind konstant. Die erste Gl. (2.13) wird Zustandsgleichung und die zweite Gl. (2.14) Beobachtungsgleichung genannt. Die Eigenwerte der Matrix A bestimmen die Stabilit¨ at des Systems; vgl. z. B. Kisacanin und Agarwal [121], Mathis [152]. Auch bei dieser Systembeschreibung ist es m¨oglich und h¨aufig auch sinnvoll, die Zustands- und Beobachtungsgleichungen nicht aus den fundamentalen Beziehungen f¨ ur die Teilsysteme und den Gleichungen f¨ ur deren Verbindungen abzuleiten, sondern durch vereinfachte Modelle zu beschreiben. Somit kann man neben den im Rahmen des gew¨ ahlten Modellsatzes exakt g¨ ultigen Gleichungen auch hier gen¨ aherte Beschreibungsgleichungen verwenden, die ¨ f¨ ur die urspr¨ ungliche Ubertragungstheorie nach K¨ upfm¨ uller und Nyquist charakteristisch war. Es handelt sich also bei den Zustands- und Beobachtungsgleichungen um eine konsequente Erweiterung der Theorie von K¨ upfm¨ uller und Nyquist. Wir werden den Gedanken der Zerlegung der Beschreibungsgleichungen in Zustands- und Beobachtungsgleichungen auch im Rahmen der Theorie elektromagnetischer Felder aufgreifen und seine N¨ utzlichkeit bei der Interpretation der Theorie erl¨ autern.

3 Grundlegende Aspekte physikalischer Systeme

3.1 Verteilte physikalische Systeme In der Physik gibt es zahlreiche Systeme, deren Verhalten im Ortsraum bzw. Konfigurationsraum als lokalisiert“ angesehen werden kann, wobei sich der ” Ortsraum eines solchen Systems nur in einfachen F¨allen durch einen dreidiasentieren l¨ asst; vgl. auch Anhang A.1. Solche mensionalen Punktraum1 repr¨ Systeme k¨ onnen bez¨ uglich ihrer Beschreibung im Ortsraum f¨ ur alle Zeiten in sehr guter N¨ aherung durch einen Punkt charakterisiert werden. Das wichtigste Beispiel ist die Newtonsche Punktmechanik, im Rahmen derer man die Bewegung von Punktmassen unter dem Einfluss von Kr¨aften diskutieren kann. Dabei wird die Dynamik im Raum durch Orts- und Geschwindigkeitsgr¨ oßen charakterisiert; zusammengenommen handelt es sich um die Zustandsgr¨ oßen der Newtonschen Mechanik – auch klassische Mechanik genannt. Solche Punktmassensysteme sind offensichtlich im obengenannten Sinne lokalisiert. Sie dienten als Vorbild f¨ ur viele andere physikalische Systeme. Die Dynamik elektrischer Netzwerke, die durch Str¨ome und Spannungen beschrieben werden, ist ein weiteres Beispiel daf¨ ur, dass der Konfigurationsraum i. a. eine Dimension h¨ oher als drei besitzt. Daneben gibt es in der Physik auch solche Systeme, deren Eigenschaften r¨ aumlich nicht lokalisiert sind, d. h. man muss die beschreibenden Zustandsgr¨oßen in einem ganzen Gebiet des Ortsraumes kennen, um das zuk¨ unftige Systemverhalten zu bestimmen. Beispielhaft sei die Kontinuumsmechanik und die Hydrodynamik genannt, wo erst die Kenntnis der mechanischen Spannungen bzw. der Geschwindigkeiten in einem Raumgebiet2 das Systemverhalten charakterisiert. Wir sprechen von einem (r¨ aumlich) verteilten oder nichtlo1

2

Eigentlich sollte f¨ ur den Orts- oder Konfigurationsraum ein affiner Raum (siehe z. B. J¨ anich [112]) zugrunde gelegt werden, aber u ¨ blicherweise wird ein geeigneter Rn verwendet. In diesen Theorien wie bei elektromagnetischen Feldern gen¨ ugt ein 3-dimensionaler Ortsraum, so dass wir einfach von Raum“ sprechen k¨ onnen. ”

16

3 Grundlegende Aspekte physikalischer Systeme

kalisierten System; elektromagnetische Felder sind ein weiteres Beispiel f¨ ur ein nichtlokalisiertes System. Dort werden die elektrischen oder magnetischen Kraftwirkungen auf nicht bewegte oder bewegte Ladungen durch gewisse Feldgr¨ oßen repr¨ asentiert, die in einem Raumgebiet bekannt sein m¨ ussen, um das elektromagnetische System vollst¨ andig zu beschreiben. Im Unterschied zur Kontinuumsmechanik und Hydrodynamik besitzen diese Feldgr¨oßen zun¨achst keine unmittelbar anschauliche Interpretation wie ein Geschwindigkeitsfeld zur Charakterisierung einer hydrodynamischen Str¨omung. Allerdings k¨onnen mechanische Spannungen (Kraft pro Fl¨ ache) eines Materials auch nicht direkt beobachtet werden, aber durch messtechnische Hilfsmittel der Optik gelingt es, wenigstens den Spannungszustand transparenter Materialien sichtbar zu machen. In der fehlenden direkten Anschauung liegt sicherlich eine besondere Schwierigkeit der Theorie elektromagnetischer Felder begr¨ undet. Erst mit Hilfe des Zusammenspiels von Theorie und experimenteller Erfahrung sowie der rechnerischen Analyse von Beispielen gelingt es, tiefere Einblicke in das Gebiet elektromagnetischer Felder zu gewinnen. Auch im Hinblick auf die Dynamik verteilter Systeme k¨onnen ¨ahnliche Bemerkungen gemacht werden. Anstatt mit einem modifizierten Kraftbegriff zu arbeiten, ist es oft g¨ unstiger, die Dynamik verteilter Systeme als EnergieImpuls-Transporte aufzufassen, wie es vor allem in der Elementarteilchenphysik u alt bereits die Newtonsche Mechanik mit dem ¨ blich ist. Allerdings enth¨ Kraftkonzept ein nicht lokalisierbares Element, das mathematisch mit einem vektoriellem Feld beschrieben wird (vgl. Anhang A). Darauf wird in den klassischen Darstellungen leider nur selten hingewiesen. Auf diese Weise k¨onnte n¨ amlich die begrifflich durchaus schwierige Einf¨ uhrung physikalischer und mathematischer Felder erheblich erleichtert werden, was u. a. auch damit zu tun hat, dass man physikalische und mathematische Felder klar unterscheidet. In diesem Buch wird zumindest in den einf¨ uhrenden Abschnitten auf eine solche Unterscheidung geachtet. W¨ ahrend die physikalischen Felder zur Charakterisierung der qualitativen Eigenschaften eines physikalischen Systems herangezogen werden, ben¨otigt man zur quantitativen Beschreibung mathematische Hilfsmittel, mit denen man die physikalischen Felder modellieren kann. Beispielsweise ist ein r¨aumliches physikalisches Temperaturfeld ungerichtet; mathematisch beschreibt man ein solches physikalisches Feld mit einer skalarwertigen oder in diesem Fall reellwertigen Abbildung u ¨ber dem R3 , der den Ortsraum in den meisten Feldtheorien modelliert. Man nennt solche Abbildungen auch skalares (mathematisches) Feld oder Skalarfeld und definiert es in folgender Weise ϕ : R3 → R,

ϕ : r → ϕ(r).

(3.1)

Der Definition ist zu entnehmen, dass jedem Raumpunkt r eine Zahl ϕ(r) – in diesem Fall ein positiver Temperaturwert – zugeordnet wird. Es ist sehr zweckm¨ aßig das physikalische Temperaturfeld und das mathematische skalare Feld ϕ, das zur physikalischen Modellierung verwendet wird,

3.2 Mechanik und Energie-Impuls-Transporte

17

auseinander zu halten. Ein wesentlicher Grund daf¨ ur ist, dass die Modellgleichungen, die das skalare Feld ϕ erf¨ ullt, je nach Genauigkeit der Beschreibung unterschiedlich sein k¨ onnen. Dabei ¨ andert sich nat¨ urlich nur das Feldmodell ϕ, ¨ w¨ ahrend das physikalische Feld keiner Anderung unterliegt. Diese Unterscheidung ist beim hierarchischen Aufbau der Theorie elektromagnetischer Felder ausgehend von Grundexperimenten f¨ ur das Verst¨andnis außerordentlich wichtig. Außer den skalaren Feldern, die jedem Raumpunkt eine Zahl zuordnen und die zur Beschreibung ungerichteter physikalischer Felder ben¨otigt werden, werden auch mathematische Beschreibungshilfsmittel f¨ ur gerichtete nichtlokalisierte physikalische Eigenschaften gebraucht. Das schon erw¨ahnte Geschwindigkeitsfeld einer inhomogen sich bewegenden Fl¨ ussigkeit w¨are ein Beispiel daf¨ ur. Dazu verwendet man vektorielle mathematische Felder oder auch Vektorfelder, die in folgender Weise definiert sind v : R 3 → R3 ,

v : r → v(r).

(3.2)

Auf diese Weise wird jedem Raumpunkt r ein Vektor v(r) zugeordnet. Fasst man den R3 als Vektorraum auf, wobei der Nullpunkt der ausgezeichnete Punkt ist, dann kann man jedem Punkt des Ortsraumes einen vom Nullpunkt ausgehenden Ortsvektor zuordnen. Im Gegensatz dazu ist der Vektor v(r) an den Punkt r angeheftet“ und wird erst durch die Abbildung v spezifiziert. ” Die Menge aller solcher Vektoren im Punkt r wird als Tangentialraum in r bezeichnet. Da es sich bei den genannten mathematischen Feldern um Abbildungen handelt, lassen sie sich in Klassen einteilen (stetige, differenzierbare, usw. Abbildungen). Eine wichtige Teilklasse der unendlich oft differenzierbaren Vektorfelder v wird dadurch charakterisiert, dass v zusammen mit seinen Ableitungen im Unendlichen verschwindet. Nach dem Satz von Helmholtz (vgl. Anhang A.2) lassen sich diese Vektorfelder v bis auf ein konstantes Vektorfeld mit Hilfe der Rotation rotv und der Divergenz divv eindeutig festlegen. Der Satz von Helmholtz wird beim hierarchischen Aufbau der Theorie elektromagnetischer Felder eine wichtige Rolle spielen. Schließlich wird auch deutlich, dass man in der Mathematik die Freiheit hat, auch andere mathematische Objekte wie Matrizen, Fl¨achen, Differentialgleichungen und dergleichen an die Punkte des Ortsraumes R3 anzuheften. Damit wird noch einmal deutlich, dass zwischen dem physikalischen und dem mathematischen Feldbegriff ein grunds¨ atzlicher Unterschied besteht, der beim Aufbau einer physikalischen Theorie auf keinen Fall verwischt werden sollte.

3.2 Mechanik und Energie-Impuls-Transporte In der Newtonschen Theorie der Bewegung mechanischer K¨orper unterscheidet man Kinematik und Dynamik. Die Kinematik bezieht sich auf die mathematische Beschreibung der mechanischen Bewegung durch Bahnen oder

18

3 Grundlegende Aspekte physikalischer Systeme

Trajektorien, die man als L¨ osungen von Differentialgleichungen interpretiert. Dazu muss man voraussetzen, dass die Ausdehnung der K¨orper in einem gewissen Sinne physikalisch lokalisiert sind. Geht man etwa von der Menge aller m¨ oglichen Orte eines K¨ orpers aus - oft Ortsraum des K¨orpers genannt - und wird dieser Ortsraum als R3 modelliert, dann l¨asst sich die Ausdehnung eines K¨ orpers mit Hilfe eines geeigneten Abstandsbegriffes quantifizieren. Da es physikalisch nicht sinnvoll ist, irgendeinen Punkt im Ortsraum auszuzeichnen, sollte der R3 als affiner Raum oder lineare Mannigfaltigkeit angesehen werden, der nur lineare Verschiebungen als zus¨atzliche Struktur enth¨alt. Das Modell der Punktmasse kann bei einem starren ausgedehnten K¨orper mit der Lage des Schwerpunktes identifiziert werden. Ver¨ anderungen eines Punktes im Ortsraum werden mit Hilfe einer reellen Gr¨ oße t parametrisiert; t wird Zeit genannt. Man geht davon aus, dass eine Folge von Ver¨ anderungen als mit der Zeit parametrisierte Bahnen r(t) im Ortsraum repr¨ asentiert werden k¨ onnen. Entsprechend den auf Experimenten basierenden Vorstellungen von Galilei und Newton (vgl. Longair [143]) werden f¨ ur den Aufbau der kinematischen Mechanik die erste und die zweite Zeitableitung von r(t), d.h. die Geschwindigkeit r˙ (t) und die Beschleunigung ¨r(t) ben¨ otigt. Nach Newton wird die physikalische Bewegung eines Massenpunktes in der Mechanik mit einer von null verschiedenen Geschwindigkeit bzw. Beschleunigung in Verbindung gebracht. Nach Galilei wird ein mechanischer K¨ orper ohne Wechselwirkung mit seiner Umgebung als beschleunigungsfrei interpretiert und mit Hilfe von ¨r = 0 mathematische charakterisiert. Demzufolge wird ein wechselwirkender K¨ orper nach Newton durch eine Kraftfunktion F(r) definiert, d.h. es gilt die Newtonsche Bewegungsgleichung m¨r = F(r),

(3.3)

der Einfluß auf die Beschleunigung des K¨ orpers noch umgekehrt proportionaler Weise von der Masse m des K¨ orpers abh¨ angt. An dieser Stelle soll darauf hingewiesen werden, dass die Kraftfunktion im Gegensatz zu den bisher betrachteten mechanischen K¨ orpern ein nichtlokalisiertes physikalisches System modelliert. In solchen F¨ allen spricht man von einem physikalischen Feld, das durch ein mathematisches vektorielles Feld beschrieben wird. So hat Newton mit dem Gravitationskraftfeld ein erstes Beispiel angegeben und n¨aher untersucht. Hat man es mit mehreren Massen zu tun, dann lassen sich diese Betrachtungen ohne Schwierigkeiten verallgemeinern, wobei der 3-dimensionale Ortsraum durch einen 3n-dimensionalen R3n ersetzt wird. Im Zusammenhang mit der Einf¨ uhrung einer Kraftfunktion und der Masse spricht man u ¨brigens auch von klassischer Newtonscher Mechanik. Erst im Zusammenhang mit der Entwicklung der Prinzipien der klassischen Mechanik (vgl. z. B. Goldstein [74]; siehe aber auch F¨ oppl [71]) traten Erhaltungsgr¨oßen wie Energie, linearer“ Impuls und Drehimpuls in den Mittelpunkt des Inter” esses. Insbesondere die sogenannte Hamiltonsche Form der klassischen Mechanik bildet die Grundlage der Quantenmechanik, so dass die Dynamik der

3.2 Mechanik und Energie-Impuls-Transporte

19

Elementarteilchen auf Erhaltungss¨ atzen begr¨ undet wird. Man beachte, dass Energie und linearer“ Impuls im folgenden keine abgeleiteten Gr¨oßen wie ” in der Newtonschen Mechanik sind sondern Fundamentalgr¨oßen des entsprechenden Dynamikkonzepts. Daher ist es zweckm¨aßig, auch die Dynamik der elementaren Mechanik auf der Basis von Erhaltungsgr¨oßen aufzubauen. Es zeigt sich, dass dieser Zugang eine sehr durchsichtige Darstellung der Dynamik geladener K¨orper und der eng damit zusammenh¨angenden Theorie elektromagnetischer Felder gestattet, die mit Hilfe physikalisch nicht lokalisierter Feldgr¨ oßen formuliert wird. Eine erste ausf¨ uhrliche Darstellung einzelner Aspekte einer solchen Darstellung findet man bei Falk [66], [67] sowie Falk und Ruppel [65]. Im folgenden sollen die wichtigsten Elemente dieser Theorie zusammengestellt werden. Um die Diskussion zu vereinfachen, betrachten wir nur solche Situationen, wo Energie E und linearer“ Impuls p die einzigen Erhaltungsgr¨oßen sind und f¨ ur ” die im Ortsraum eine das zu untersuchende physikalische System charakterisierende Energiefunktion E(p, r) existiert. F¨ ur den Aufbau der zugeh¨origen Dynamik wird nach Falk das totale Differential der Energie betrachtet3 dE =

∂E ∂E dp + dr, ∂p ∂r

(3.4)

wobei die Ableitungen nach p und r die entsprechenden Gradienten sind. Ein Zusammenhang mit den kinematischen Gr¨ oßen Geschwindigkeit v und Kraft F kann wie folgt hergestellt werden v :=

∂E , ∂p

−F :=

∂E . ∂r

(3.5)

¨ Damit k¨ onnen mit den zeitlichen Anderungen von p und r die verallgemeinerten dynamischen Gleichungen eines mechanischen Systems formuliert werden dr = v, dt

dp = F. dt

(3.6)

Die Vorgabe der charakteristischen Energiefunktion eines mechanischen Systems legt somit dessen verallgemeinerte dynamische Gleichungen fest. Anhand der Geschwindigkeits- und der Kraftfunktionen lassen sich noch spezielle Klassen mechanischer Systeme angeben. H¨angt n¨amlich die Kraftfunktion F(p, r) nur vom Ort ab, dann kann man leicht zeigen, dass die Geschwindigkeit v(p, r) nur vom linearen Impuls abh¨angt; auch die Umkehrung gilt. Wenn also F(p, r) nur vom Ort r und somit v(p, r) nur vom Impuls p abh¨ angt, dann spricht man von Kr¨ aften 1. Art andernfalls von Kr¨aften 2. Art. Die nach Newton benannte Gravitionskraft ist eine Zentralkraft und ist nur vom Ort r abh¨ angig; es handelt sich demnach um eine Kraft 1. Art. Wir 3

Die Ableitung von skalaren Feldern nach Vektoren entspricht dem GradientenOperator

20

3 Grundlegende Aspekte physikalischer Systeme

werden im Abschnitt Elektrostatik“ kennenlernen, dass die von Coulomb in ” Analogie mit der Gravitationskraft formulierte elektrostatische Kraft ebenfalls eine Kraft 1. Art ist. Im Gegensatz dazu wird sich erweisen, dass die magnetischen Kr¨ afte nicht von 1. Art sind. Sie erf¨ ullen auch nicht die sogenannte Newtonsche Relation p = mv, die nur f¨ ur Kr¨afte 1. Art gilt. Mit dieser Relation lassen sich die verallgemeinerten dynamischen Gleichungen (3.6) auch auf die Newtonschen Bewegungsgleichungen (3.3) reduzieren.

Teil II

Theorie elektrischer Netzwerke

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

4.1 Netzwerkmodellierung und Widerstandsnetzwerke Elektrische und elektronische Schaltungen geh¨ oren zu den wichtigsten physikalischen Systemen, die auf elektromagnetischen Eigenschaften basieren und daher grunds¨ atzlich mit der Theorie elektromagnetischer Felder behandelt werden m¨ ussten. Eine mathematische Modellierung und Beschreibung mit Hilfe elektromagnetischer Felder ist jedoch aufgrund der hohen Komplexit¨at solcher Schaltungen – d. h. der großen Anzahl von Bauelementen – und der damit zusammenh¨ angenden komplizierten geometrischen Struktur zumeist außerordentlich schwierig, wenn nicht gar unm¨ oglich. Außerdem wird h¨aufig die vollst¨ andige Kenntnis der elektromagnetischen Felder gar nicht ben¨otigt, da fast alle Messger¨ate, mit denen man elektrische und elektronische Schaltungen untersucht, nur bestimmte Aspekte und integrale Gr¨oßen dieser Felder ermitteln. Es ist daher sehr zweckm¨ aßig, eine eigenst¨andige Theorie f¨ ur solche Schaltungen zu entwickeln, die von Anfang an auf diesen integralen Gr¨oßen aufbaut. Tats¨ achlich ist man physikhistorisch gesehen auf diese Weise vorgegangen. Noch lange bevor eine vollst¨ andige physikalische Theorie elektromagnetischer Felder existierte, haben Ohm und Kirchhoff sowie Helmholtz und andere eine eigenst¨ andige Theorie linearer Widerstandsnetzwerke entwickelt, die man als Modelltheorie f¨ ur elektrische Schaltungen aus metallischen Drahtleitern verwenden kann. Ausgangspunkt war die Suche von Ohm nach geeigneten physikalischen Gr¨ oßen zur Beschreibung solcher physikalischen Systeme. Auch wenn u ¨ ber Strom und Spannung auch schon vor Ohm gewisse Vorstellungen existierten, so ist es doch allein sein Verdienst, die Bedeutung dieser Gr¨oßen f¨ ur die Analyse elektrischer Schaltungen bestehend aus metallischen Drahtleitern (damals galvanische Kette“ genannt) erkannt zu haben; vgl. z. B. Wunsch [262], ” Mathis [152]. Nach umfassenden Untersuchungen u ¨ ber die physikalischen Gesetzm¨ aßigkeiten von Str¨ omen und Spannungen in elektrischen Schaltungen hat Ohm in seiner im Jahre 1827 erschienen Monographie Die galvanische Kette – ” mathematisch bearbeitet“ [184] die heute als Kirchhoffsche Gesetze bekannten

24

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

Beziehungen in verbaler Form angegeben. Eine mathematische Formulierung in der uns bekannten Form wurde allerdings erst von Kirchhoff in seiner ersten Ver¨ offentlichung von 1845 publiziert. Nachdem Ohm die Gr¨oßen Strom und Spannung als zentrale physikalische Gr¨ oßen zur Beschreibung von elektrischen Schaltungen aus metallischen Drahtleitern erkannt hatte und gleichzeitig physikalische Messger¨ ate zur Messung dieser Gr¨oßen vorschlug, war es nat¨ urlich eine einfache Aufgabe, den Zusammenhang f¨ ur Strom und Spannung an metallischen Drahtleitern zu bestimmen, der bis heute als Ohmsches Gesetz bezeichnet wird. An dieser Stelle soll aber noch einmal betont werden, dass nicht die Ermittlung des Ohmschen Gesetzes sondern die Modellierung von Schaltungen aus metallischen Drahtleitern die eigentliche Leistung Ohms gewesen ist. Leider wird dieser Umstand – h¨ aufig aus didaktischen Gr¨ unden – nicht immer in der notwendigen Klarheit hervorgehoben. Im folgenden wollen wir die Modellierung und mathematische Beschreibungsmethoden von Schaltungen aus Widerst¨ anden sowie unabh¨angigen Spannungs- und Stromquellen im Sinne der Theorie von Ohm und Kirchhoff diskutieren. Dazu gehen wir so vor, dass zun¨ achst die Bauelemente modelliert werden, aus denen sich solche Schaltungen zusammensetzen. Das gesamte Modellsystem wird auch als elektrisches Netzwerk bezeichnet, obwohl inzwischen der Ausdruck Netzwerk“ anders als bis in die 1960er Jahre hinein in ganz ” vielf¨ altiger Weise verwendet wird (Computernetzwerke, Energieversorgungsnetzwerke, neuronale Netzwerke, etc.). Als physikalische Gr¨oßen werden fast ausschließlich Str¨ome und Spannungen oder aus ihnen abgeleitete Gr¨oßen verwendet, die nicht nur einen numerischen Wert sondern auch eine Richtung aufweisen, was in einfacher Weise anhand von messtechnischen Experimenten best¨ atigt werden kann. Mikroskopisch gesehen, kann man sich den elektrischen Strom als fließende elektrische Ladung vorstellen, ganz analog zu den fließenden Wasserteilchen eines Wasserstromes. Seine Stromrichtung liegt durch die Flussrichtung der Wasserteilchen eindeutig fest. Da es aber bekanntlich positive und negative Ladungen gibt, muss beim elektrischen Strom eine positive und eine negative Flussrichtung festgelegt werden: Aus mikroskopischer Sicht gesehen k¨ onnte man die positive und negative Richtung des elektrischen Stromes I mit Hilfe der Flussrichtungen der Ladungen festlegen. In der Netzwerktheorie, die das mikroskopische Geschehen nicht in ihre Betrachtungen einbezieht, kann man die Bezugsrichtungen oder Z¨ahlpfeile f¨ ur die Str¨ome ganz willk¨ urlich festlegen und durch einen Pfeil kennzeichnen. Die Z¨ahlpfeile f¨ ur die Str¨ ome m¨ ussen, nachdem sie festgelegt sind, nur konsequent verwendet werden. Wir wollen noch anmerken, dass eine bestimmte Art der Festlegung gelegentlich noch als technische Stromrichtung“ genannt wird, was aber nur ” aus der geschichtlichen Entwicklung der Elektrizit¨ atslehre zu begreifen ist, da sie lange vor der Entdeckung des Elektrons erfolgte. Im allgemeinen ist die technische Stromrichtung der tats¨ achlichen Bewegung der negativ geladenen Elektronen, welche Tr¨ ager des Stromes in metallischen Leitern sind, entgegengerichtet.

4.1 Netzwerkmodellierung und Widerstandsnetzwerke

25

Auch bei der Spannung soll eine kurze Motivation auf der Grundlage einer mikroskopischen Betrachtung vorangestellt werden, obwohl das eigentlich nicht notwendig ist. Wie wir in einem sp¨ ateren Abschnitt 13 ausf¨ uhrlicher diskutieren werden, hat eine Ladung Q in einem Punkt a eine bestimmte potenzielle Energie Wa , die proportional zur Ladung ist; der Proportionalit¨atsfaktor wird Potenzial Va genannt. Weiterhin sei Vb das Potenzial in einem weiteren Punkt b. An dieser Stelle soll darauf hingewiesen werden, dass das elektrische Potenzial erst in der Theorie elektromagnetischer Felder auf physikalischer Grundlage eingef¨ uhrt und insbesondere auch in der Elektrostatik mit dem Buchstaben ϕ bezeichnet wird; vgl. u. a. Abschnitt 18. Ebenso wie ein Wasserstrom, der sich an einem Wasserfall vom Ort h¨oherer potenzieller Energie zu einem Ort kleinerer Energie bewegt, fließt ein elektrischer Strom von einer Klemme a mit hohem Potenzial Va zur Klemme b mit niedrigerem Potenzial Vb . Die Spannung entspricht einem Gef¨alle in der hydrodynamischen Analogie und der Spannungspfeil gibt die Richtung des Gef¨ alles“ an, in welcher der Strom fließt, wenn es sich nicht um eine ” Stromquelle handelt. Im hydrodynamischen Bild entspricht die Stromquelle nat¨ urlich einer Wasserpumpe, in der das Wasser auch bergauf fließen“ kann; ” vgl. u. a. Abschnitt 40.1. Die elektrische Spannung zwischen den Punkten a und b ist gleich der Potenzialdifferenz (4.1) Uab := Va − Vb . Die positive Richtung der Spannung wird, wie in Abbildung 4.1 gezeigt, in einem Netzwerk durch einen Z¨ ahlpfeil markiert; eine Richtungsangabe durch Indizes a, b ist darum nicht mehr n¨ otig.

i

u

Abbildung 4.1. Nichtlinearer Widerstand mit Z¨ ahlpfeilen

Der Strom i eines realen Bauelements h¨ angt in vielen F¨allen von der anliegenden Spannung ab. Modellm¨ aßig kann man diese Abh¨angigkeit h¨aufig mit Hilfe einer Funktion1 i = i(u) oder u = u(i) charakterisieren und durch das in Abbildung 4.1 gezeigte Symbol darstellen, wobei das Symbol als Netzwerkelement bezeichnet wird. Dabei kann i = i(u) eine komplizierte Funktion – wie beispielsweise bei pn-Dioden; vgl. Abschnitt 39.1. 1

Wie in der Technik u ¨ blich, werden wir den Funktionswert und die Funktion in diesem Buch h¨ aufig nicht unterscheiden, wenn aus dem Zusammenhang klar ist, was gemeint ist

26

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

Strom-Spannungsrelationen der genannten Art werden in der Netzwerktheorie als (nichtlinearer) Widerstand bezeichnet, wenn Strom und Spannung, wie in Abbildung 4.1 gezeigt, einem zweipoligen Netzwerkelement zugeordnet sind. Bei vielen Materialien, besonders bei metallischen Leitern, ergibt das Experiment aber einen linearen Zusammenhang zwischen Spannung und Strom, der in Abb. 4.1 gezeigt wird und den Ohm bereits 1827[184] aufgrund der von ihm durchgef¨ uhrten Experimente angegeben hat. Der Strom durch einen Leiter ist also der anliegenden Spannung u proportional und die Proportionalit¨ atskonstante wird sein Leitwert G genannt. Das ist der Inhalt des Ohmschen Gesetzes i = Gu. (4.2) Gleichbedeutend damit ist die Aussage: Fließt durch einen Leiter ein Strom

i

u

Abbildung 4.2. Linearer Widerstand mit Z¨ ahlpfeilen

i, so f¨ allt an ihm eine Spannung u ab, wobei u proportional zu i ist. Die Proportionalit¨ atskonstante wird Widerstand R des Leiters benannt. Dann lautet das Ohmsche Gesetz u = Ri. (4.3) Der Leiter kann also v¨ ollig gleichberechtigt durch seinen Leitwert G oder durch seinen Widerstand R gekennzeichnet werden. Es ist immer 1 . (4.4) G In Abb. 4.2 wird das Netzwerkelement Linearer Widerstand“ gezeigt. ” R=

Bemerkung: Im deutschen Sprachgebrauch wird das Netzwerkelement selbst kurz Widerstand“ genannt, im Englischen wird die Eigenschaft mit resistan” ” ce“, das Element selbst mit resistor“ bezeichnet. Die Bezeichnung Ohmscher ” ” Widerstand“ wird verwendet, wenn die lineare i − u-Abh¨angigkeit besonders betont werden soll. Die Berechnung des Widerstandswertes wird besonders einfach, wenn es sich um homogene drahtf¨ ormige Leiter handelt. Sind die Querschnittsabmessungen der Dr¨ ahte sehr klein gegen die Drahtl¨ ange, dann f¨ ullt der elektrische Strom den Querschnitt der Leiter gleichm¨ aßig aus, und es gelten f¨ ur den Widerstand eines Drahtes von der L¨ ange l und dem Querschnitt A die folgenden Formeln

4.1 Netzwerkmodellierung und Widerstandsnetzwerke

27

A l oder G = κ . (4.5) A l Die Gr¨ oßen ρ und κ werden spezifischer elektrischer Widerstand und elektrische Leitf¨ ahigkeit genannt. Aus Gl. (4.5) geht hervor, dass als Einheit f¨ ur den spezifischen Widerstand z. B. 1 Ωm, als Einheit f¨ ur die spezifische Leitf¨ ahigkeit z. B. 1 S/m gew¨ ahlt werden kann (S: Siemens, = 1/Ω). Eine praktisch h¨ aufig verwendete Einheit f¨ ur den spezifischen Widerstand ist auch utte“ [105] findet man die Werte des 1 Ωmm2 /m. In dem Nachschlagewerk H¨ ” spezifischen Widerstandes und der Leitf¨ ahigkeit bei ϑ = 20◦ C f¨ ur zahlreiche Stoffe, ferner der Temperaturkoeffizient α bei dieser Temperatur, der definiert ist durch die Gleichung (4.6) R(ϑ) = R20 (1 + αϑ). R=ρ

Als einfachste Quelle stelle man sich einen Bleiakkumulator (z. B. Autobatterie) vor. Trotz komplizierter elektrochemischer Vorg¨ange in seinem Inneren ist seine Klemmenspannung u leicht zu messen und wenig vom entnommenen Strom i abh¨ angig, weshalb diese Quelle den Namen Spannungsquelle f¨ uhrt. Im Idealfall w¨ are die Spannung der Quelle vom entnommenen Strom v¨ollig unabh¨ angig; man spricht von einer eingepr¨agten Spannung oder fr¨ uher auch Urspannung. Das Symbol einer (idealen) Spannungsquelle wird in Abb. 4.3, Teil a gezeigt, wobei die eingepr¨ agte Spannung mit U0 bezeichnet wird.

Abbildung 4.3. Ideale Quellen: a) Spannungsquelle, b) Stromquelle

Der in Wirklichkeit bei Stromentnahme immer auftretende Abfall der Klemmenspannung u = u(i) l¨ asst sich durch Einf¨ uhrung eines Innenwiderstandes Ri der Quelle, der in Reihe zu einer idealen Spannungsquelle mit der eingepr¨ agten Spannung2 U0 geschaltet ist, ber¨ ucksichtigen. So entstehen die Ersatzschaltung f¨ ur eine reale Quelle, die je nach Gr¨oße des Widerstandes als reale Spannungs- oder Stromquelle bezeichnet werden kann. Im Fall der realen Spannungsquelle verwendet man die Ersatzschaltung mit einem Innenwiderstand Ri in Reihe, wobei Ri klein“ sein sollte. In diesem Fall kann man ” 2

Wenn wir betonen wollen, dass wir uns auf Gleichstr¨ ome und Gleichspannungen (konstante Funktionen!) beschr¨ anken wollen, dann verwenden wir große Buchstaben; z. b. U oder I

28

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

Klemmenspannung U und Klemmenstrom I offensichtlich in folgender Weise in Zusammenhang bringen U = U0 − IRi .

(4.7)

Die Ersatzschaltung f¨ ur eine reale Stromquelle erh¨alt man, indem man die Gl. (4.7) nach I umstellt und den eingepr¨agten Strom I0 – fr¨ uher auch als Urstrom“ bezeichnet – einf¨ uhrt ” I = I0 − Gi U, (4.8) mit Gi = 1/Ri und I0 = U0 /Ri . In diesem Fall sollte der Leitwert Gi groß sein. Es ist offensichtlich, dass sich die Leerlaufsspannung bei I = 0 zu U = U0 und der Kurzschlussstrom f¨ ur U = 0 zu I = I0 ergibt. Durch Zusammenf¨ ugen von Netzwerkelementen (Widerst¨anden und Quellen) entsteht ein elektrisches Netzwerk, wobei es sich um ein Modell f¨ ur eine elektrische Schaltung handelt. Die einzelnen Netzwerkelemente eines solchen Netzwerkes sind in den Knoten miteinander verbunden. Sieht man davon ab, um welches Netzwerkelement es sich handelt, dann sprechen wir auch von Zweigen des Netzwerkes. Geht man von irgend einem Knotenpunkt aus und bewegt“ sich l¨ angs der elektrischen Leiter, so kann man bei vielen Netz” werken auf mindestens einem Wege zu dem Ausgangspunkt zur¨ uckkehren, ohne dass ein Zweig mehrmals durchlaufen wird. Einen solchen geschlossenen Weg nennt man eine Masche eines Netzwerkes. Ein solches Netzwerk ist hinsichtlich seiner Verbindungsstruktur durch Knoten, Zweige und Maschen charakterisiert, w¨ ahrend die physikalischen Eigenschaften eines Netzwerkes durch die speziellen Netzwerkelemente in den Zweigen festgelegt sind. Ordnet man den Zweigen Strom- und Spannungsz¨ ahlpfeile zu, dann lassen sich die Grundgesetze der Verbindungsstruktur mathematisch formulieren. Das Kirchhoffsche Stromgesetz Dieses – wie bereits erw¨ ahnt – auf die Arbeiten von Ohm zur¨ uckgehende Gesetz bezieht sich auf die Knotenpunkte des Netzwerkes. Es bringt die Erfahrungstatsache zum Ausdruck, dass sich der elektrische Strom an der Verzweigungsstelle wie eine inkompressible Fl¨ ussigkeit verh¨alt. Mikroskopisch gesehen wird von der Verzweigungsstelle in jedem Zeitelement die gleiche Ladung wegfließen, die ihr zugef¨ uhrt wird. Man kann daher das Kirchhoffsche Stromgesetz mikroskopisch auch als eine Formulierung des Gesetzes von der Erhaltung der Ladung bezeichnen. Dabei ist nat¨ urlich auf eine bez¨ uglich der eingef¨ uhrten Strompfeile vorzeichengerechte Addition der Str¨ome zu achten. Bei der Untersuchung elektrischer Netzwerke gen¨ ugt es jedoch, den elektrischen Strom als Fundamentalgr¨ oße aufzufassen, ohne auf die mikroskopische Interpretation zur¨ uckzugreifen. ahlpfeil zum Knoten mit einem positiven Werden alle Str¨ ome Iµ mit dem Z¨ Vorzeichen versehen und dementsprechend alle Str¨ome Iν , deren Z¨ahlpfeil vom

4.1 Netzwerkmodellierung und Widerstandsnetzwerke

29

Knoten weg zeigt, negativ gez¨ ahlt, dann erh¨ alt man folgende Stromsumme f¨ ur einen ausgew¨ ahlten Knoten   Iµ − Iν = 0; (4.9) + µ

ν

Das gilt f¨ ur alle Knoten eines Netzwerks. Bringt man die Summe aller negativen Str¨ ome auf die rechte Seite der Gleichung, dann kann man auch sagen: Die Summe der einem Knoten zufließenden Str¨ome ist gleich der Summe aller ” abfließenden Str¨ ome des Knotens“. In Kurzform schreibt man auch  Iν = 0, (4.10) ν

wenn man die entsprechenden Vorzeichen bei den Pfeilrichtungen der Str¨ome ber¨ ucksichtigt. ome aller Zweige eines Netzwerkes Wenn man im Vektor I ∈ Rb die Str¨ zusammenfasst ⎛ ⎞ I1 ⎜ I2 ⎟ ⎜ ⎟ (4.11) I = ⎜ . ⎟, ⎝ .. ⎠ Ib wobei b die Anzahl der Zweige ist, dann ergibt sich aufgrund des Kirchhoffschen Stromgesetzes bei einem Netzwerk mit k Knoten ein homogenes lineares Gleichungssystem AI = 0; (4.12) dabei besitzen die Koeffizienten der k × b-Matrix A nach Gl. (4.9) die Werte ±1, wenn die Str¨ ome den entsprechenden Knoten ber¨ uhren und ansonsten den Wert 0. Das Kirchhoffsche Spannungsgesetz Das Kirchhoffsche Spannungsgesetz bezieht sich auf die Maschen des Netzwerkes. Es besagt, dass die Summe aller Spannungen, die man bei einem vollst¨ andigen Umlauf um eine Masche vorfindet, null ist, wenn man die bei dem Umlauf im positiven Sinn der Z¨ ahlrichtung durchlaufenen Elemente als positiv, die anderen als negativ einsetzt. F¨ ur die Anwendung des zweiten Kirchhoffschen Spannungsgesetzes in linearen Widerstandsnetzwerken gelten daher die folgenden Vorschriften: 1. Man versehe jeden Zweig mit einem Z¨ ahlpfeil f¨ ur die positive Stromrichtung; jeder dieser Z¨ ahlpfeile kann willk¨ urlich angenommen werden. 2. Man versehe alle Quellen mit den Z¨ ahlpfeilen ihrer Spannungen, die vom Pluspol zum Minuspol zeigen.

30

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

3. Man gehe von einem Knotenpunkt aus und umlaufe in einem beliebigen Sinn die ganze Masche. Auf diesem Wege bilde man f¨ ur jeden Zweig die Summe der Quellenspannungen U0 , und der ohmschen Spannungsabf¨alle Iν , Uν . Alle Spannungen, die in der Richtung der Z¨ahlpfeile durchlaufen werden, erhalten ein positives, die anderen ein negatives Vorzeichen. 4. Die Summe aller dieser Spannungen l¨ angs einer Masche ist Null.  Uν = 0, (4.13) ν

wenn man die entsprechenden Vorzeichen bei den Pfeilrichtungen der Spannungen ber¨ ucksichtigt. Das gilt f¨ ur alle Maschen eines Netzwerkes. Die Vorzeichenregeln sind f¨ ur die Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze von grundlegender Wichtigkeit; werden sie nicht beachtet, so verlieren die beiden Gesetze ihren Sinn. Mikroskopisch gesehen ist die Aussage des Kirchhoffsche Spannungsgesetzes eine spezielle Form des Energiesatzes. Bringt man die Ladung Q von einem Punkt b mit der potentiellen Energie Wb = QVb zu einem Punkt a mit der potentiellen Energie Wa = QVa , so muss man die Arbeit Wab = QUab = Q(Va − Vb )

(4.14)

aufwenden. Beim Umlauf um die ganze Masche kommt man bei G¨ ultigkeit des Kirchhoffschen Spannungsgesetzes auf die gleiche potentielle Energie zur¨ uck. Sehr h¨ aufig werden die beiden Kirchhoffschen Gesetze kurz als Knotenregel und Maschenregel bezeichnet. Sie sind ihrer Natur nach als Erhaltungss¨atze von Ladung und Energie sehr allgemein und gelten f¨ ur jede Schaltung unabh¨ angig davon ob sie linear oder nichtlinear ist. Weiter unten werden sie zur Charakterisierung von Kirchhoffschen Verbindungselementen verwendet. Sind im Vektor U ∈ Rb alle Zweigspannungen enthalten ⎛ ⎞ U1 ⎜ U2 ⎟ ⎜ ⎟ (4.15) U = ⎜ . ⎟, ⎝ .. ⎠ Ub wobei b die Anzahl der Zweige ist, dann bilden s¨amtliche m Maschengleichungen eines Netzwerkes ein homogenes lineares Gleichungssystem BU = 0;

(4.16)

dabei besitzen die Koeffizienten der m× b-Matrix B entsprechenden der obengenannten Vorschriften die Werte ±1, wenn die Spannungen an der entsprechenden Masche beteiligt ist und ansonsten den Wert 0. Die Gleichungen (4.12) und (4.16) k¨ onnen beim Aufbau einer axiomatischen Theorie linearer Widerstandsnetzwerke in sehr unterschiedlicher Weise interpretiert werden. Am h¨ aufigsten wird wohl die bereits auf Kirchhoff

4.1 Netzwerkmodellierung und Widerstandsnetzwerke

31

zur¨ uckgehende Vorgehensweise mit gerichteten Netzwerkgraphen verwendet. Dabei wird dem elektrischen Netzwerk ein orientierter Graph – Netzwerkgraph –zugeordnet, und die Matrizen A und B als Knoten-Zweig- bzw. MaschenZweig-Inzidenzmatrizen gedeutet. Wir wollen an dieser Stelle nicht weiter auf diese Vorgehensweise eingehen und stattdessen auf die umfassende Literatur verweisen, z. B. Balabanian, Kuh, Rohrer [133], Vlach, Singhal [242]. Mit Hilfe des Konzepts der dualen“ Netzwerkgraphen kann man beispielsweise mit ” Hilfe der L¨ osungsmenge eines Netzwerkes auf die L¨osungsmenge des dualen Netzwerkes schließen. Konstruktionsvorschriften f¨ ur den dualen Netzwerkgraphen findet man z. B. bei Desoer und Kuh ([52], S. 448ff). Besonders einfache F¨ alle dualer Netzwerke sind die sogenannten widerstandsreziproken Netzwerke, bei denen man die Impedanz- und Admittanzformeln mit Hilfe bestimmter Regeln u ¨bertragen kann; vgl. Cauer [39] [40], Feldtkeller [68]. Ein Nachteil der Verwendung von Netzwerkgraphen ist, dass nicht immer ein dualer Netzwerkgraph existiert; erste Hinweise findet man bereits bei Cau¨ er [38]. Erst mit Hilfe idealer Ubertrager (vgl. auch Abschnitt 29.3.1) k¨onnen duale Netzwerke angegeben werden (siehe Bloch [27]). Einen Ausweg bieten verallgemeinerte Konzepte, die Graphen als Spezialf¨ alle enthalten. Reibiger hat auf der Grundlage von Bondgraphen und Matroiden das Konzept graphoidaler Netzwerke entwickelt (siehe z. B. Reibiger [202]), wobei er auf Ideen von Minty zur¨ uckgreift. Alternativ dazu griffen Mathis und Marten [153] Ideen von Ghenzi, Bloch und Belevitch [17] auf und entwickelten ein Konzept verallgemeinerter Verbindungselemente, wobei sie nach Ghenzi einige Bezeichnungen der algebraischen Topologie verwendeten; die entsprechende Literatur findet man in der Monographie von Mathis [152]. Da das Konzept von Netzwerken mit Kirchhoffschen Verbindungselementen ohne große Vorbereitung mit Hilfe der Matrizen A und B formuliert werden kann, sollen die Grundz¨ uge dargestellt werden. Ein Kirchhoffsches Verbindungselement (siehe Mathis [152]) wird durch zwei reelle Matrizen A ∈ Rk×b und B ∈ Rm×b definiert, welche die folgende Exaktheitsbedingungen erf¨ ullen • •

ABT = 0, Rang(A) + Rang(B) = b.

Zwei Matrizen, die diese Bedingungen erf¨ ullen, nennen wir exaktes Matrizenpaar. Die verallgemeinerten Kirchhoffschen Gleichungen lassen sich nun mit einem solchen exakten Matrizenpaar formulieren AI = 0,

BU = 0.

(4.17)

Nach Belevitch [17] kann jedes exakte Matrizenpaar mit Hilfe von idealen n¨ Tor-Ubertragern realisiert werden. Vertauscht man die Matrizen in den Gln. (4.17), dann erh¨alt man das bez¨ uglich der Str¨ome und Spannungen duale ¨ Netzwerk nach Bloch, dessen Verbindungselement auch ideale Ubertrager enthalten kann (siehe Mathis, Marten [153]).

32

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

Zusammen mit den Zweigbeziehungen der Ohmschen Widerst¨ande und unabh¨ angigen Quellen k¨ onnen alle linearen Widerstandsnetzwerke beschrieben werden. Eine kompaktere Form ergibt sich, wenn man den Satz von Weyl-Tellegen (siehe Mathis [152]) bez¨ uglich der Bezeichnung) verwendet. Dazu wird das nat¨ urliche innere (oder Skalar-)Produkt (x, y) von Vektoren x, y ∈ Rb benutzt. Satz von Weyl-Tellegen: F¨ ur alle Str¨ ome I und Spannungen U, welche die verallgemeinerten Kirchhoffschen Gleichungen erf¨ ullten, gilt (I, U) = 0.

(4.18)

Zum Nachweis verwendet man die expliziten L¨osungen der verallgemeinerten Kirchhoffschen Gleichungen (4.17). Man kann zeigen, dass die L¨osungen der beiden linearen homogenen Gleichungssysteme (4.17) mit Hilfe der Transponierten der Matrizen A und B bestimmt werden k¨onnen U = AT V,

I = BT J,

(4.19)

wobei die Vektoren V und J Knotenpotenziale bzw. Maschenstr¨ome genannt werden; die Koeffizientenmatrizen sind ein exaktes Matrizenpaar, das ein verallgemeinertes Kirchhoffsches Verbindungselement charakterisiert, und daher ¨ auch ideale Ubertrager enthalten kann. In speziellen F¨allen kann man dieses Verbindungselement auch mit Hilfe eines Netzwerkgraphen darstellen, wobei das Matrizenpaar die Inzidenzmatrizen des Graphen bildet. Einen Beweis f¨ ur die L¨ osungsformeln (4.19) findet man bei Mathis ([152], Anhang). Danach kann der Satz von Weyl-Tellegen mit den Rechenregeln f¨ ur innere Produkte und lineare Abbildungen sehr leicht bewiesen werden (I, U) = (BT J, U) = (J, B U) = 0,

(4.20)

da B U = 0 ist. ¨ Auf der Grundlage der bisherigen Uberlegungen k¨onnen nun die Knotengleichungen und die Maschengleichungen f¨ ur eine sehr allgemeine Klasse linearer Widerstandsnetzwerke sehr einfach abgeleitet werden. Dazu wird angenommen, dass jeder Zweig eines Netzwerk in Standardform vorliegt, d. h. es gilt die sogenannte Admittanzform Ik = Gk Uk + I0k + Gk U0k

(4.21)

f¨ ur alle k Zweige, oder es gilt die sogenannte Impedanzform Uk = Rk Ik − U0k − Rk I0k

(4.22)

f¨ ur alle k Zweige. Verwendet man die Admittanz- und Impedanzform in Matrizenschreibweise und benutzt die L¨ osungen der verallgemeinerten Kirchhoffgleichungen, dann erh¨ alt man

4.1 Netzwerkmodellierung und Widerstandsnetzwerke

I = YAT V + I0 + YU0 ,

33

(4.23)

wobei die Leitwertmatrix Y eine Diagonalmatrix mit den Leitwerten Gk auf der Hauptdiagonalen ist, bzw. U = ZBT J − U0 − ZI0 ,

(4.24)

wobei die Widerstandsmatrix Z eine Diagonalmatrix mit den Widerst¨anden Rk auf der Hauptdiagonalen ist. Multipliziert man die Gln. (4.23) und (4.24) mit A bzw. mit BT 0 = AI = AYAT V + A(I0 + YU0 ), 0 = BU = BZBT J − B(U0 + ZI0 ),

(4.25) (4.26)

dann erhalten wir daraus die verallgemeinerten Knoten- bzw. Maschengleichungen, die in die gew¨ ohnlichen Knoten- bzw. Maschengleichungen u ¨ bergehen, wenn die Matrizen A und B Inzidenzmatrizen eines Netzwerkgraphen sind. Die Knotenleitwertmatrix AYAT und die Maschenwiderstandsmatrix ar und daher haben diese GleichungsBZBT sind nicht notwendigerweise regul¨ systeme nicht unbedingt eine eindeutige L¨ osung V und J, so dass es in beiden F¨ allen der Bezeichnung Potenzial“ f¨ ur diese Gr¨oßen gerechtfertigt w¨are. ” Eindeutigkeit der L¨ osungen kann erreicht werden, wenn A und B als Inzidenzmatrizen eines Netzwerkgraphen gedeutet werden k¨onnen und geeignete Gleichungen gestrichen werden bzw. bestimmte Komponenten von V und J auf feste Werte (z. B. auf null) gesetzt werden; im Fall der Knotengleichungen entspricht diese mathematische Vorgehensweise der Festlegung der sogenannten Masse eines Netzwerkes. Außer den Ohmschen Widerst¨ anden, die Strom und Spannungen in einem Zweig eines Netzwerkes in Beziehung setzen, gibt es auch sogenannte gesteuerte Quellen, die Str¨ ome und Spannungen in verschiedenen Zweigen koppeln. Eine lineare stromgesteuerte Stromquelle koppelt beispielsweise die Str¨ome I2 und I5 mit Hilfe eines Kopplungskoeffizienten β, d. h. I2 = βI5 . In analoger Weise kann man lineare spannungsgesteuerte Spannungsquellen einf¨ uhren; z. B. U2 = vU5 . Außerdem gibt es noch lineare spannungsgesteuerte Stromquellen und stromgesteuerte Spannungsquellen. W¨ahrend sich die beiden zuerst genannten Arten gesteuerter Quellen weder in die Knoten- noch in die Maschengleichungen einbringen lassen, k¨ onnen stromgesteuerte Spannungsquellen in die Maschengleichungen und spannungsgesteuerte Stromquellen in die Knotengleichungen eingef¨ ugt werden. Steuert beispielsweise die Spannung U2 den Strom I1 , d. h. I1 = gU2 , so kann man dieses Netzwerkelement in die Leitwertmatrix Y als Nichtdiagonalelement einbringen. Die u ¨ blicherweise als gesteuerte Quelle bezeichneten Teilnetzwerke werden noch durch zus¨atzliche Beziehungen erg¨ anzt; vgl. Mathis [152], Vlach und Singhal [242]. Netzwerke k¨onnen somit aus zusammengeschalteten Admittanzzweigen und spannungsgesteuerten Stromquellen mit Hilfe von Knotengleichungen beschrieben werden. Entsprechend k¨ onnen Netzwerke aus zusammengeschalteten Impedanz-

34

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

zweigen und stromgesteuerten Spannungsquellen mit Hilfe von Maschengleichungen beschrieben werden. Neben diesen Grundgleichungen linearer Widerstandsnetzwerke gibt es zahlreiche andere M¨ oglichkeiten f¨ ur Beschreibungsgleichungen, die in speziellen Situationen vorteilhaft sind. In einige dieser Beschreibungsgleichungen lassen sich auch lineare stromgesteuerte Stromquelle und spannungsgesteuerte Spannungsquellen einf¨ ugen. Diese Beschreibungsgleichungen sind zwar f¨ ur die Anwendungen und insbesondere f¨ ur die Konstruktion von Schaltkreissimulatoren (SPICE, siehe Vlach, Singhal [242], Kielkowski [119]) von wesentlicher Bedeutung, aber es ergeben sich daraus keine grunds¨atzlich neuen Einsichten, so dass wir den interessierten Leser auf die Literatur verweisen; ausf¨ uhrlich wird die Aufstellung von Netzwerkgleichungen auch bei Reinschke und Schwarz [209] diskutiert. Allgemeine nichtlineare Widerstandsnetzwerke k¨onnen ebenfalls mit Hilfe eines Kirchhoffschen Verbindungselementes dargestellt werden, das mit linearen und nichtlinearen Zweipol-Widerst¨ anden sowie gesteuerten und unabh¨ angigen Quellen beschaltet ist. Gelingt es beispielsweise, s¨amtliche Netzwerkelemente in einer nichtlinearen Standardform zu beschreiben, so dass sie folgendermaßen repr¨ asentiert werden k¨ onnen I = f (U − U0 ) + I0 ,

(4.27)

dann kann man in der obengenannten Weise mit Gl. (4.19) die Beschreibungsgleichungen solcher nichtlinearen Widerstandsnetzwerke ableiten Af (AT V − U0 ) = −AI0 .

(4.28)

Da sich die nichtlinearen Elemente nur in Ausnahmef¨alle in der Standardform (4.27) formulieren lassen, k¨ onnen die allgemeinen Beschreibungsgleichungen nichtlinearer Widerstandsnetzwerke nur in die sehr allgemeine Form fN L (I, U) = 0, AI = 0, BU = 0

(4.29) (4.30)

notiert werden, wobei fN L die nichtlinearen Widerst¨ande beschreibt. Geometrisch gesehen handelt es sich um die Nullstellenmenge von f bzw. die L¨osungen der nichtlinearen Gleichungen (4.29), die mit der L¨osungsmenge der homogenen linearen Gleichungen (4.30) in der Menge aller Str¨ome und Spanosungsmengen homogener Gleichungen nungen Rb × Rb geschnitten werden; L¨ tragen grunds¨ atzlich eine Vektorraumstruktur. Diese Schnittmenge kann auch Zustandsraum eines (nichtlinearen) Widerstandsnetzwerkes genannt werden (siehe Mathis [152]); die Elemente eines Zustandsraumes werden Arbeitspunkte genannt. Bei linearen Netzwerkelementen ist die Nullstellenmenge eine lineare Mannigfaltigkeit, die im Fall eines echten (transversalen) Schnittes“ ebenfalls ” eine lineare Mannigfaltigkeit ist, die in den meisten F¨allen zu einem Punkt entartet. Dann besteht der Zustandsraum genau aus einem Arbeitspunkt.

4.2 Einschwingvorg¨ ange in elektrischen Netzwerken

35

Das Arbeitspunktproblem bei linearen Widerstandsnetzwerken kann auf die L¨ osung linearer Gleichungen zur¨ uckgef¨ uhrt werden und ist daher gut verstanden und auch f¨ ur die numerische L¨ osung stehen verschiedene Algorithmen zur Verf¨ ugung (siehe z.B. Vlach und Singhal [242]). Dagegen kann man das Arbeitspunktproblem nur f¨ ur wenige Klassen nichtlinearer Widerstandsnetzwerken analytisch behandeln. So gibt es wichtige Schaltungsklassen, die Netzwerkmodelle mit mehreren Arbeitspunkten erfordern; beispielsweise zwei (stabile) Arbeitspunkte von Flip-Flop-Schaltungen, die in SRAM-Speichern eingesetzt werden. Eine Reihe von Ergebnissen u ¨ ber die Anzahl von Arbeitspunkten sind f¨ ur nichtlineare Widerstandsnetzwerke aus Ohmschen Widerst¨anden und unabh¨ angigen Quellen sowie aus Halbleiterdioden und Bipolartransistoren verf¨ ugbar. Wie in Abschnitt 39 n¨ aher ausgef¨ uhrt wird, werden f¨ ur die Ersatzschaltungen dieser Halbleiterbauelemente, die das Gleichstromverhalten ¨ modellieren, gesteuerte Quellen verwendet. Einen Uberblick u ¨ ber die Ergebnisse solcher Netzwerke findet man bei Wilson [257], Hasler, Neirynck [86], Mathis [152]. Interessante neue Resultate sind in Arbeit von Reibiger, Mathis et al. enthalten [203], welche auf einer Idee von Kronenberg, Mathis und Trajkovic basieren [129].

4.2 Einschwingvorg¨ ange in elektrischen Netzwerken Im vorangegangenen Abschnitt 4.1 haben wir uns auf Schaltungen beschr¨ankt, die keine dynamischen Netzwerkelemente enthalten. Im Rahmen der Theorie elektromagnetischer Felder werden wir sehen, dass die Str¨ome und Spannungen dynamischer Netzwerkelemente u ¨ ber differentielle und integrale Beziehungen zusammenh¨angen und somit der bisherige netzwerktheoretische Rahmen erweitert werden muss. In Abschnitt 12 wird gezeigt, dass Leiteranordnungen, die sich auf unterschiedlichen Potenzialen befinden, mit Hilfe des Kapazit¨ atsbegriffs in integraler Form beschreiben lassen. In der Schaltungstechnik werden solche Anordnungen als Kondensatoren bezeichnet, so dass man auf der Ebene der Str¨ ome und Spannungen das folgende einfache Netzwerkmodell definieren kann du = i, (4.31) C dt welches Kapazit¨ at genannt wird. Dabei muss wie bei den Widerstandsnetzwerken nicht auf den feldtheoretischen Hintergrund zur¨ uckgegriffen werden. In ¨ ahnlicher Weise kann man das magnetische Feld in stromdurchflossenen Leiteranordnungen mit Hilfe des Begriffs der Selbst- oder Gegeninduktivit¨at in integraler Form beschreiben, so dass solche Anordnungen, die man in der Schaltungstechnik als Spulen bezeichnet, mit Hilfe des folgenden einfachen Netzwerkmodells beschreiben kann L

di = u, dt

(4.32)

36

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

welches Induktivit¨ at genannt wird (vgl. Abschnitt 23). Bemerkung: Ebenso wie beim Widerstand werden die Bauelemente, die feldtheoretischen Kenngr¨ oßen und die Netzwerkmodelle hinsichtlich ihrer Bezeichnung in der deutschsprachigen Literatur nicht unbedingt unterschieden, so dass man dem inhaltlichen Ausf¨ uhrungen entnehmen muss, was gemeint ist. Fasst man s¨ amtliche Kapazit¨ aten bzw. Induktivit¨aten in jeweils einer vektoriellen Form zusammen C

du = i, dt

L

di = u, dt

(4.33)

wobei C die (diagonale) Kapazit¨ atsmatrix bzw. L die (diagonale) Induktivit¨ atsmatrix ist, dann k¨ onnen die Beschreibungsgleichungen dynamischer Netzwerke, bei denen man sich auf die obengenannten dynamischen Netzwerkelemente beschr¨ankt, mit Hilfe der Gleichungen (4.29) und (4.30) fN L (i, u) = 0, Ai = 0, Bu = 0, diL duC = iC , = uL . L C dt dt

(4.34) (4.35) (4.36)

Dabei werden die dynamischen Netzwerkelemente mit Hilfe derjenigen Str¨omen und Spannungen des Kirchhoffschen Verbindungselements beschrieben, an denen diese Netzwerkelemente angeschaltet sind; sie werden daher mit iC , uC , iL und uL bezeichnet, sind aber auch in den Vektoren i und u enthalten. Dieses System von Gleichungen besteht aus linearen Differentialgleichungen und algebraischen Gleichungen (linear, und nichtlinear), die sich nur in speziellen F¨ allen in eine kompakte Form bringen lassen. Im Fall nichtlinearer Kapazit¨ aten und Induktivit¨ aten, denen der Kapazit¨atswert von der Spannung atswert vom Strom iL abh¨angt, besitzt das GleichungsuC bzw. der Induktivit¨ system die Form B(x)

dx = f (y), dt 0 = g(x, y),

(4.37) (4.38)

welche man auch als Algebro-Differentialgleichungen bezeichnet. Solche Gleichungen besitzen unter bestimmten Umst¨ anden L¨osungen, die explizite Differentialgleichungen der Form x˙ = f (x) nicht besitzen und m¨ ussen daher gesondert klassifiziert (Indexbegriff, Differentialalgebra) und analytisch behandelt werden; auch bei der numerischen Analyse m¨ ussen Besonderheiten beachtet werden. Bez¨ uglich der Einzelheiten verweisen wir auf die Literatur: ¨ einen Uberblick geben z. B. Mathis [154] und Deuflhard [54]. Wenn die dynamischen Netzwerke nur lineare Widerst¨ande, Kapazit¨aten und Induktivit¨ aten sowie gesteuerte und unabh¨angige Quellen enthalten, dann

4.2 Einschwingvorg¨ ange in elektrischen Netzwerken

37

kann man diese Netzwerke, bei denen Eingangs- und Ausgangsgr¨oßen gesondert bezeichnet sind, in bestimmten F¨ allen (sogenannten Index1-Systeme) mit Hilfe der obengenannten Zustandsgleichungen (2.14) x˙ = A x + B u,

(4.39)

y = Cx + Du

(4.40)

beschrieben, wobei die Gr¨ oßen x, u und y geeignete Str¨ome und Spannungen des Netzwerkes sind. In diesen F¨ allen kann man auf die analytischen L¨osungsverfahren der Theorie linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zur¨ uckgreifen; siehe z. B. J¨ anich [111]. Die allgemeine L¨osung der Zustandsgleichung (4.39) lautet bei vorgegebenen Anfangswerten x(0) = x0 (f¨ ur t0 = 0) x(t) = e

At

 x0 +

t

eA(t−τ ) Bu(τ ) dτ = eAt Bu(t),

(4.41)

0

wobei exp(At) die allgemeine L¨ osung von x˙ = A x

(4.42)

und das zugeh¨ orige Faltungsprodukt ist. Die Ausgangsgr¨oße y l¨asst sich danach in einfacher Weise bestimmen. Weitere Einzelheiten zur L¨osung expliziter linearer Vektordifferentialgleichungen findet man in der Literatur; vgl. z. B. Kisacanin, Agarwal [121], Mathis [152]. In Abschnitt 5 wollen wir jedoch auf beispielhafte Anwendungen eingehen. Wir wollen nur darauf hinweisen, dass man lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und insbesondere die Zustandsgleichungen auch mit Hilfe der Laplace-Transformation und Methoden der sogenannten Operatormethode l¨ osen kann. Das liegt vor allem daran, dass der L¨osungsraum solcher Gleichungssysteme (4.42) grunds¨ atzlich ein endlich dimensionaler Funktionenvektorraum ist und somit das Problem auch explizit algebraisch formuliert werden kann. Wie in Gl. (4.41) zu ersehen ist, kann man die spezielle L¨ osung der Zustandsgleichung mit Hilfe eines Faltungsintegral formulieren. F¨ uhrt man diese Faltung als Produkt in den entsprechenden Funktionenvektorraum ein, dann kann in dieser Algebra auch L¨osungen des Differentialgleichungssystems ausrechnen. Eine sehr zweckm¨aßige Methode geht von dem sogenannten Mikusinski-Kalk¨ ul f¨ ur Distributionen aus und reduziert die Menge der verf¨ ugbaren Distributionen auf sogenannte Hyperfunktionen (vgl. Yosida [266]). In Anwendung auf die System- und Netzwerktheorie, in der die Klasse der Algebro-Differentialgleichungen im Vordergrund steht, gelangt man zu dem eleganten, von Mathis und Marten (siehe z. B. Mathis [152]) entwickelten HY-Kalk¨ ul, bei dem es sich um eine erweiterte Fassung des Heaviside-Kalk¨ uls (vgl. Courant, Hilbert [49]) handelt. Auf analytische, beweistechnisch aber sehr viel kompliziertere Art und Weise erh¨alt man die Ergebnisse des HY-Kalk¨ uls auch mit Hilfe der Laplace-Transformation, deren

38

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

Anwendbarkeit darauf beruht, dass man das Faltungsprodukt im Urbildraum als Produkt komplexwertiger Funktionen im Bildraum dieser Transformation schreiben kann. Hinsichtlich weiterer Einzelheiten verweisen wir auf die Literatur; z. B. Kisacanin, Agarwal [121], Ziemer, Tranter, Fannin [270]. Bei vielen Anwendungen derartiger Methoden geht es insbesondere darum, die spezielle L¨ osung einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten ermitteln, die man nach Gl. (4.41) mit Hilfe eines Faltungsproduktes darstellen kann. Ist die Impulsantwort eines Systems h mit dem Eingang x und dem Ausgang y bekannt, dann erh¨ alt man im Zeitbereich die folgende Beziehung y = h x, (4.43) wenn das Symbol das Faltungsprodukt bezeichnet. Dabei soll darauf hingewiesen werden, dass nach Abschnitt 2 ein enger Zusammenhang mit der Greenschen Funktion besteht. ¨ Im Bildbereich der Laplace-Transformation kann man das Ubertragungsverhalten eines LTI-Systems in Produktform Y = H(s) X

(4.44)

ausdr¨ ucken, wenn s die komplexe Frequenz sowie Y, H und X die Laplace¨ Transformierten von y, h und x sind. Die Ubertragungsfunktion H(s) ist eine komplexwertige Funktion, die auch als Quotient Y /X definiert werden kann. In Abschnitt 5 werden die genannten Verfahren anhand einiger Beispiele illustriert.

4.3 Die Wechselstromrechnung In diesem Abschnitt beschr¨ anken wir uns auf lineare zeitinvariante Netzwerke mit sinusf¨ ormiger Anregung, die durch lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und sinusf¨ ormiger Inhomogenit¨at beschrieben werden. Interessieren wir uns nur f¨ ur eine Netzwerkvariable x(t) und besitzt das Netzwerk nur eine sinusf¨ ormige Quelle, dann reduzieren sich die Beschreibungsgleichungen auf eine Differentialgleichung der Form an

dn x dn−1 x d2 x dx + a0 x = bf, + a + · · · + a + a1 n−1 2 dtn dtn−1 dt2 dt

(4.45)

wobei f zur Menge der sinusf¨ ormigen Funktionen geh¨ort, d. h. f ∈ Fω := ¨ {f (t) = α sin ωt + β cos ωt}. Bei der Ubertragung der in diesem Abschnitt diskutierten Methoden auf Netzwerke mit mehreren Eingangsquellen und Ausgangsgr¨ oßen muss man auf Systeme inhomogener linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zur¨ uckgreifen, was jedoch zu keinen neuen Einsichten f¨ uhrt. Daher verweisen wir an dieser Stelle auf die Literatur; vgl. Mathis [152].

4.3 Die Wechselstromrechnung

39

Ist man an L¨ osungen x der Gl. (4.45) in der Menge Fω interessiert, dann k¨onnen spezielle Rechenmethoden entwickelt werden, die wir unter Methoden ” der Wechselstromrechnung“ zusammenfassen wollen. Wenn man die skalare Multiplikation sinusf¨ ormiger Funktionen punktweise anf¨ uhrt, dann handelt es sich offensichtlich um einen reellen Vektorraum, der aus Funktionen besteht. Letztlich laufen diese Methoden darauf hinaus, dass das unbequeme Arbeiten mit Sinus- und Kosinus-Funktionen und den dazu notwendigen Additionstheoremen durch das Arbeiten mit einer einzigen Funktion – n¨amlich der e-Funktion – ersetzt wird. Methoden dieser Art wurden bereits von Helmholtz und Rayleigh um 1880 benutzt (siehe Marten, Mathis [151]), aber erst durch Steinmetz und Kennelly wurde im Jahre 1893 ein systematisches Verfahren entwickelt und auf Probleme der Energietechnik angewendet. Wenig sp¨ater wurde auch das Konzept der komplexen Leistung durch Janet (vgl. Breisig [35]) eingef¨ uhrt. Um 1910 war die Methode der Wechselstromrechnung schon vollst¨andig etabliert und es gab zahlreiche Darstellungen der symbolischen Methode“, ” wie sie schon von Rayleigh genannt wurde. Eine mathematisch befriedigende Darstellung der Methode zur L¨ osung der obengenannten Klasse von Differentialgleichungen existierte jedoch lange nicht. Erst im Jahre 1937 hat Quade [197] die vielfach angewendete Methode in eine mathematische Form gebracht. Allerdings hielt er an den komplexen Str¨ omen und Spannungen fest, welche von vielen Ingenieuren, die an reellwertige Funktionen f¨ ur physikalische Gr¨ oßen gew¨ ohnt waren, mit zum Teil erheblicher Skepsis betrachtet wurden. Mathis und Marten haben eine alternative Darstellung der Wechselstromrechnung pr¨ asentiert, die auf komplexe Str¨ ome und Spannungen verzichtet und die komplexen Zahlen zur mathematischen Darstellung von Differentialund Integraloperatoren verwendet; siehe u. a. Mathis [152], Marten und Mathis [151]. Ein besonderer Vorteil dieser alternativen Methode zur L¨osung von Wechselstromaufgaben kann auch darin gesehen werden, dass sich die komplexe Leistung in mathematisch sehr durchsichtiger Weise einf¨ uhren l¨asst. Im folgenden soll kurz auf die Grundideen der Methode eingegangen werden. Ausgangspunkt der Methode nach Mathis und Marten ist die Tatsache, ur alle x ∈ Fω definiert ist durch dass der Differentialoperator Dω , der f¨ 1 dx , ω dt

(4.46)

Dω ◦ Dω = −idFω

(4.47)

Dω (x) := die interessante Eigenschaft

besitzt, wobei ◦ die Hintereinanderschaltung von Operatoren und idFω die Identit¨ at auf Fω ist. Offensichtlich ist die Inverse von Dω der Operator −Dω . Zum Nachweis dieser Aussagen mache man sich klar, dass Dω auch auf die Basisfunktionen cos ωt und sin ωt angewendet werden kann, woraus sich folgendes ergibt

40

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

Dω cos ωt = − sin ωt,

Dω sin ωt = cos ωt.

(4.48)

Daraus folgt f¨ ur die Basisfunktionen sofort die Beziehung (4.47), die offensichtlich auch f¨ ur beliebige Linearkombinationen g¨ ultig ist. Wenn auf einem 2-dimensionalen Vektorraum eine lineare Abbildung mit der in Gl. (4.47) genannten Eigenschaft existiert, die dann komplexe Struktur genannt wird (vgl. Mathis [152]), dann kann man die reelle skalare Multiplikation durch eine komplexe skalare Multiplikation ersetzen. Dazu f¨ uhrt man einen Operator j ein, der die Rechenregeln der imagin¨aren Einheit i erf¨ ullt und somit mit i identifiziert werden kann. Eine komplexe skalare Multiplikation auf Fω wird wie nun folgt definiert (α + βj)  f := α · f + β · Dω (f ),

(4.49)

wobei das  zur Unterscheidung von der gew¨ ohnlichen skalaren Multiplikation · beibehalten wird, obwohl das bei der Anwendung der Methode unn¨otig ist und das Symbol wie bei · aus Gr¨ unden der Bequemlichkeit h¨aufig weggelassen wird. j entspricht also der Anwendung des Differentialoperators Dω . Nat¨ urlich handelt es sich bei den Funktionen f weiterhin um reellwertige Funktionen, die jedoch im Sinne von  mit komplexen Zahlen α + βj multipliziert werden k¨ onnen. ¨ Ubersetzt man die Beziehungen in Gl. (4.48) mit Hilfe von , dann erh¨alt man j  cos ωt = − sin ωt, j  sin ωt = cos ωt. (4.50) Das bedeutet aber, dass die beiden Basisfunktionen in Bezug auf  linear abh¨ angig sind und der mit  versehene Raum der sinusf¨ormigen Funktionen Fω ist ein 1-dimensionaler komplexer Vektorraum. Als Basis kann man cos ωt, sin ωt oder irgendeine Linearkombination dieser Funktionen verwenden, die f¨ ur vorliegende Anwendung zweckm¨ aßig ist. Sucht man nun eine sinusf¨ ormige L¨ osung einer Differentialgleichung vom Typ (4.45) (man kann zeigen, dass es sich i. a. um eine eindeutige L¨osung handelt), dann kann man die Differentialoperatoren dn /dtn durch Erweitern uhren und anschließend mit Hilfe von  formulieren in Potenzen von Dω u ¨berf¨   an ω n j n + an−1 ωn−1 j n−1 + · · · + a2 ω 2 j 2 + a1 j + a0  x = bf. (4.51) Entsprechend den Rechenregeln der imagin¨ aren Einheit k¨onnen nun die Potenzen von j bis auf ein Vorzeichen auf j reduziert werden, so dass sich die Klammer in Gl. (4.51) als komplexe Zahl A + Bj schreiben l¨asst (A + Bj)  x = bf,

(4.52)

wobei A und B von den Koeffizienten a0 , a1 , . . . , an−1 , an und der Frequenz ω abh¨ angen. Die L¨ osung kann nun einfach in folgender Form notiert werden x=

b  f. (A + Bj)

(4.53)

4.3 Die Wechselstromrechnung

41

¨ Der Nenner des komplexen Vorfaktors von f , der sich auch als Ubertragungsfunktion H(ω) von f nach x interpretieren l¨ asst, kann reell gemacht werden und das Ergebnis mit Hilfe der Definition (4.49) in eine Linearkombination von f und der Zeitableitung von f umgewandelt werden x=

bA bB 1 df b(A − Bj) f = f− 2 . (A2 + B 2 ) (A2 + B 2 ) (A + B 2 ) ω dt

(4.54)

Insbesondere Gl. (4.54) zeigt, dass im Rahmen der Darstellung der Wechselstromrechnung nach Mathis und Marten die komplexen Zahlen zur Darstel¨ lung von Differentialoperatoren dienen, wobei komplexe Aquivalente f¨ ur die Funktionen f und die L¨ osungen x u berfl¨ u ssig sind. ¨ ¨ Die Ubertragungsfunktion in Gl. (4.53) kann als rationale Funktion H(jω) ¨ in jω dargestellt werden. Die in Abschnitt 4.2 eingef¨ uhrte Ubertragungsfunktion H(s) kann durch analytische Fortsetzung von H(jω) in die komplexe Ebene C gewonnen werden (vgl. z. B. J¨ anich [111]). Auf verschiedene Darstel¨ lungen von Ubertragungsfunktionen kommen wir noch einmal in Abschnitt 4.4 zur¨ uck. Sind x und y sinusf¨ ormige Spannungs- und Stromfunktionen eines Zweiges in einem Netzwerk, dann ist die zugeordnete Wirkleistung P in folgender Weise definiert (T := 2π/ω)  1 T x(t)y(t)dt. (4.55) P := T 0 Dieser Ausdruck kann auch als inneres Produkt oder Skalarprodukt (x, y) = P im Raum der sinusf¨ ormigen Funktionen Fω gedeutet werden. Die Basisfunktionen cos ωt und sin ωt sind bez¨ uglich (x, y) orthogonal, d. √ h. es gilt (sin ωt, cos ωt) = 0. Erst nach einer Multiplikation mit dem Faktor 1/ 2 erh¨alt man orthonormale Basisfunktionen mit √ √ √ √ ((1/ 2) cos ωt, (1/ 2) cos ωt) = 1, ((1/ 2) sin ωt, (1/ 2) sin ωt) = 1; (4.56) √ √ das innere Produkt ((1/ 2) cos ωt, (1/ 2) sin ωt) verschwindet. Es fragt sich nun, ob und in welcher Weise sich dieses innere Produkt P = (x, y) ver¨ andert, wenn man die neue skalare Multiplikation  in Fω einf¨ uhrt. In einem komplexen Vektorraum muss es sich nat¨ urlich um ein Hermitesches inneres Produkt x, y handeln (siehe J¨anich [114]), das nicht mehr symmetrisch hinsichtlich der Vertauschung von x und y ist; vielmehr gilt uglich der rechten oder linken x, y = y, x∗ . Weiterhin ist x, y nur noch bez¨ Seite linear. Beispielsweise gilt λx, y = λx, y, w¨ahrend mit y multiplizierter komplexer Skalar λ konjugiert komplex herausgezogen wird; das kann leicht mit Hilfe der Vertauschungregel x, y = y, x∗ gezeigt werden. Mathis und Marten konnten zeigen, dass unter der Voraussetzung, dass der Realteil des Hermiteschen inneren Produkts x, y gleich (x, y) ist, der zugeh¨ orige Imagin¨ arteil bis auf ein Vorzeichen eindeutig festgelegt ist. Man erh¨ alt

42

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

x, y := (x, y) ± j(x, Dω (y)).

(4.57)

Die Eigenschaften dieses inneren Produkts werden klar, wenn man die m¨oglichen Produkte der Basisfunktionen cos ωt und sin ωt berechnet. Das Hermitesche innere Produkt x, y wird – nach Festlegung des Vorzeichens – komplexe Leistung und der Imagin¨ arteil Blindleistung genannt; den Betrag |x, y| bezeichnet man als Scheinleistung. Wir nehmen nun an, dass x und y bez¨ uglich einer orthogonalen Basis in Fω und mit  durch komplexe Zahlen X und Y dargestellt werden. Dann wird sofort klar, dass sich die komplexe Leistung x, y in Bezug auf diese Basis asst, wenn x, y linear bez¨ uglich x mit Hilfe des Produkts XY ∗ darstellen l¨ ist und damit der Koeffizient Y konjugiert komplex aus x, y herausgezogen wird. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass man ausf¨ uhrlich durchgerechnete Beispiele mit der neuen Wechselstromrechnung in [151] und auf den Internetseiten des vorliegenden Buches (vgl. Vorwort) zu finden sind. Nach einer Darstellung der Grundideen der Wechselstromrechnung nach Mathis und Marten soll noch kurz skizziert werden, wie die Wechselstromrechnung nach Steinmetz und Kennelly u uhrt wird. Dabei ¨ blicherweise eingef¨ geht man von einer allgemeinen sinusf¨ ormigen Gr¨oße in folgender Form aus x(t) = x ˆ cos(ωt + ϕ),

(4.58)

wobei x ˆ der Scheitelwert und ϕ der Phasenwinkel ist, und erweitert x im Sinne der Eulerschen Formel3 (exp z = cos z + j sin z) mit einem Imagin¨arteil x˜(t) = x ˆ cos(ωt + ϕ) + j x ˆ sin(ωt + ϕ) = x ˆej(ωt+ϕ) .

(4.59)

Zerlegt man exp(j(ωt + ϕ)) in ein Produkt, dann ist x ˜ vollst¨andig durch den zeitunabh¨ angigen Teil X := x ˆ exp(jϕ) festgelegt. Der zeitabh¨angige Anteil exp(jωt) ist f¨ ur alle komplex erweiterten sinusf¨ormigen Zeitfunktionen mit derselben Frequenz ω identisch und kann daher bei den Rechnungen weggelassen werden. Erst wenn man wieder auf reelle Zeitfunktionen u ¨ bergehen will, wird exp(jωt) wieder hinzugef¨ ugt und trennt den Imagin¨arteil ab. Bildet man die Zeitableitung von x ˜ und trennt wiederum den zeitabh¨angigen Anteil exp(jωt) ab, dann kann diese Ableitung von x˜ auch durch Multiplikation des zeitunabh¨ angigen Teils X von x ˜ mit jω dargestellt werden  j(ωt+ϕ)    d x ˆe d˜ x(t) = → jω xˆejϕ = jωX. (4.60) dt dt Auch bei der Darstellung der Wechselstromrechnung nach Steinmetz und Kennelly wird also die Ableitung (bis auf ω) durch eine Multiplikation mit j ausgedr¨ uckt, aber gleichzeitig m¨ ussen die Zeitfunktionen durch eine komplexe Gr¨oße 3

Wie in der Elektrotechnik u ur die imagin¨ are Einheit auch ¨ blich, verwenden wir f¨ weiterhin das Symbol j, obwohl es zun¨ achst f¨ ur die Darstellung des Ableitungsoperator Dω reserviert wurde.

4.3 Die Wechselstromrechnung

43

ersetzt werden. Somit wird der eigentlich Grund f¨ ur die Einf¨ uhrung komplexer Zahlen in die Wechselstromrechnung, n¨ amlich eine alternative algorithmische Behandlung von Differential- und Integraloperatoren in der Menge der sinusf¨ ormigen Zeitfunktionen zu gestatten, eher verdeckt als explizit herausgearbeitet. Die Ergebnisse der beiden Darstellungen der Wechselstromrechnung f¨ uhren nat¨ urlich zu den gleichen Ergebnissen. Es soll darauf hingewiesen werden, dass man in beiden Konzepten auch das Impedanz/Admittanz-Konzept einf¨ uhren kann. Beispielsweise kann man die konstitutive Differentialgleichung f¨ ur Kapazit¨ aten du =i (4.61) C dt in der Form jωCU = I schreiben oder alternativ mit dem  Produkt ωCj  u = i. Dabei wird jωC bzw. ωCj Admittanz (verallgemeinerter Leitwert) genannt. In entsprechender Weise kann auch die Impedanz (verallgemeinerter Widerstand) als Kehrwert der Admittanz definiert werden. Nutzt man Impedanzen und Admittanzen in der Wechselstromrechnung, dann kann man die grundlegenden Netzwerkanalyseverfahren f¨ ur Gleichstromnetzwerke, wie sie in Abschnitt 4.1 diskutiert wurden, ohne Probleme auf Wechselstromnetzwerke u ¨ bertragen. Anstatt der reellen Widerst¨ande erscheinen dann in der Leitwertmatrix Y bzw. der Widerstandsmatrix Z Admittanzen und Impedanzen. An der Form der Gleichungen ¨ andert sich nichts. Noch weniger systematisch als die Rechenmethoden zur L¨osung von Wechselstromaufgaben werden in der Wechselstromrechnung nach Steinmetz und Kennelly die verschiedenen, obengenannten Leistungsgr¨oßen eingef¨ uhrt. Wir wollen an dieser Stelle auf eine ausf¨ uhrliche Darstellung verzichten und diesbez¨ uglich auf die Literatur verweisen (z. B. Bosse [32]). Grunds¨atzlich ergibt sich folgendes: Sind U und I die komplexen und zeitunabh¨angigen Anteile der komplex erweiterten Zeitfunktionen u(t) und i(t), dann entspricht die komplexe Leistung P dem folgenden Produkt S = P + jQ =

1 U I ∗. 2

(4.62)

Den Faktor 1/2 kann man eliminieren, indem man √ auf orthonormale Basisfunktionen (Multiplikation mit dem Faktor 1/ 2) u ¨ bergeht und damit auf Effektivwerte anstatt der Scheitelwerte; vgl. (4.56). Es sei angemerkt, dass wir weiter oben im Rahmen der Wechselstromrechnung nach Mathis und Marten bereits eine Begr¨ undung daf¨ ur geliefert haben, unter welchen Voraussetzungen ur die komplexe Leistung auftreten muss. ein Produkt U I ∗ f¨ Trotz der ohne weiteres erkennbaren Vorteile der neuen Methode werden wir in den folgenden Abschnitten des Buches und damit auch bei den in Abschnitt 5 behandelten Beispielen zur Wechselstromrechnung fast ausschließlich die Darstellung nach Steinmetz und Kennelly verwenden, um die Leserschaft mit dieser bisher noch gebr¨ auchlichen Methode vertraut zu machen. Wir hoffen aber auch gezeigt zu haben, wie man die Wechselstromrechnung alternativ mit Hilfe einiger weniger Kenntnisse aus der linearen Algebra

44

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

in systematischer Weise entwickeln und anwenden kann. Damit erf¨ ullt die neue Methode alle diejenigen Bedingungen eines L¨osungsverfahren f¨ ur Differentialgleichungen, wie sie von Quade schon vor vielen Jahren gefordert wurden, so dass die Methode in Zukunft auf weiteres Interesse stoßen k¨onnte. Es soll abschließend noch einmal betont werden, dass wichtige Techniken der Wechselstromrechnung, wie Zeigerdiagramme und Ortskurven, auch in der neuen Darstellung nicht nur ihren Wert behalten, sondern da sich die komplexen Gr¨ oßen H(jω) direkt auf den Systemoperator des betrachteten Systems beziehen, wird ihre Bedeutung unserer Meinung nach noch klarer. Ein aus unserer Sicht durchaus interessanter Gesichtspunkt, der zumindest begriffliche Vorteile bringt.

¨ 4.4 Darstellungen von Ubertragungsfunktionen ¨ Bei den bereits erw¨ ahnten Ubertragungsfunktionen H(jω) und H(s) handelt es sich um Abbildungen der Form H : C → C mit H : jω → H(jω) bzw. H : s → H(s). Verwendet man die Laplace-Transformation zur L¨osung der Beschreibungsgleichungen elektrischer Netzwerke, dann gilt das auch f¨ ur die von der komplexen Frequenz s abh¨ angenden Str¨ome I(s) und Spannungen U (s). F¨ ur graphische Darstellungen von H(s) ist offensichtlich eine Dimensionsreduktion um mindestens eine Dimension notwendig. Im Rahmen der komplexen Wechselstromrechnung hatte man das schon fr¨ uh erkannt und sogenannte ¨ Ortskurven eingef¨ uhrt. Bei dieser Art der graphischen Darstellung von Ubertragungsfunktionen H(s) bildet man nicht die gesamten komplexe Ebene C auf C ab, sondern beschr¨ ankte sich auf die Abbildung der imagin¨aren Achse in C. Das Bild ist nat¨ urlich ebenfalls eine Kurve in C. Dabei wird als Argument jω ∈ jR anstatt s ∈ C verwendet. Da der Definitionsbereich dieser Funktionen H(jω) klar ist, kann man auf seine graphische Darstellung verzichten und stellt nur die Kurven in der komplexen Ebene dar. Auf einige wichtige Aspekte solcher Ortskurven soll im folgenden eingegangen werden. Etwas allgemeiner gesagt, kann die Abh¨ angigkeit einer Wechselstromgr¨oße von einer Ver¨ anderlichen, z. B. von einem ver¨anderlichen Widerstandswert, einer Stromst¨ arke oder auch von der Frequenz ω, als Ortskurve dargestellt werden. Sie gibt den geometrischen Ort der Zahlen – im folgenden auch Zeiger genannt – in der komplexen Ebene an. Insbesondere kann man auch jω als komplexen (imagin¨ aren) Parameter w¨ ahlen. So ist z. B. die komplexe Impedanz einer Kapazit¨at, d. h. eines Kondensators ohne Verluste j 1 =− . (4.63) Z(jω) = jωC ωC Sie l¨ asst sich f¨ ur eine feste Frequenz ω in der komplexen Z-Ebene durch einen Zeiger darstellen, der auf der negativen imagin¨ aren Achse liegt, Abb. 4.4, und die L¨ ange 1/ωC hat. Beim Ver¨ andern der Frequenz oder des Kapazit¨atswertes

¨ 4.4 Darstellungen von Ubertragungsfunktionen

45

Abbildung 4.4. Ortskurve der Impedanz einer Kapazit¨ at

wandert die Spitze des Zeigers auf dieser Achse, so dass die imagin¨are Achse die Ortskurve f¨ ur die Impedanz der Kapazit¨ at bildet. Die Reihenschaltung von Widerstand und Kapazit¨ at besitzt die Impedanz Z(jω) = R +

1 . jωC

(4.64)

Die Ortskurve bez¨ uglich der variablen Frequenz ω ist eine Parallele zur imagin¨ aren Achse, Abb. 4.5, mit dem Abstand R. Auf dieser Linie kann eine Skala der Frequenzen angebracht werden, welche man auch Bezifferung nennt.

Abbildung 4.5. Ortskurve der Impedanz einer Kapazit¨ at mit Reihenwiderstand

Aus der Impedanz ergibt sich die Admittanz Y (jω) =

1 . Z(jω)

(4.65)

Zerlegt man Z in Betrag und Phase Z(jω) = r(ω)ejϕ(ω) ,

(4.66)

so erkennt man, dass Y (jω) =


1 −jϕ(ω) e = r (ω)ejϕ (ω) ; r(ω)

(4.67)

L¨ange und Phase des zugeh¨ origen Zeigers ergeben sich also aus r (ω) =

1 ,; r(ω)

ϕ (ω) = −ϕ(ω).

(4.68)

46

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

Sollen Admittanz und Impedanz in das gleiche Bild eingezeichnet werden, so kann man die Richtung der imagin¨ aren Achse f¨ ur die Admittanzen um¨ kehren. Dann bleibt beim Ubergang von der Impedanz zur Admittanz der Winkel gegen die reelle Achse der gleiche, und es ¨andert sich lediglich die L¨ ange des Zeigers entsprechend dem Kehrwert. Man nennt die Bildung des Admittanzzeigers aus dem Impedanzzeiger in dieser Form auch Spiegelung am Einheitskreis oder Inversion. Beim Rechnen mit Ortskurven ist nun der Satz wichtig, dass durch Spiegelung eines Kreises wieder ein Kreis entsteht. Auf eine Ableitung dieses Satzes soll hier verzichtet werden. Wir verweisen den interessierten Leser stattdessen auf die mathematische Literatur u ¨ber komplexwertiger Funktionen, die auch auch Funktionentheorie genannt wird, und die dort behandelten M¨ obiustransformationen; vgl. z. B. J¨anich [111]. Die gerade Linie kann als Grenzfall eines Kreises interpretiert werden, so dass ihr Spiegelbild ebenfalls ein Kreis ist; er geht durch den Nullpunkt des Achsenkreuzes. Statt einer Ableitung soll diese mathematische Aussage anhand eines Beispiels verdeutlicht werden. Beispiel: Als Anwendungsbeispiel werde die Parallelschaltung von Widerstand R mit Kapazit¨ at C und Induktivit¨ at L betrachtet. Die Admittanz dieses Schwingkreises ist 1 1 . (4.69) Y (jω) = + jωC + R jωL ¨ Bei Anderung der Frequenz ergibt sich als Ortskurve eine Gerade mit dem

Abbildung 4.6. Ortskurve der Impedanz eines Schwingkreises

Abstand 1/R von der imagin¨ aren Achse, Abb. 4.6 Die Frequenzen k¨onnen auf dieser Ortskurve angegeben werden. Die Impedanz Z entsteht hieraus durch Spiegelung; seine Ortskurve ist nach dem obengenannten Satz ein Kreis, der durch den Nullpunkt geht und dessen Durchmesser R ist. Im Punkt A hat die Impedanz seinen Maximalwert R (Resonanz). Die zugeh¨orige Frequenz ist die Resonanzfrequenz ω, f¨ ur die ωC = 1/ωL ist. Die allgemeine Form einer Wechselstromgr¨oße W, deren Ortskurve ein Kreis ist, erkennt man aus der folgenden Betrachtung. Es sei zun¨achst

¨ 4.4 Darstellungen von Ubertragungsfunktionen

W = a1 f (x),

47

(4.70)

worin a1 eine komplexe Konstante, f (x) eine beliebige reellwertige Funktion der reellen Ver¨ anderlichen x ist. Zerlegt man W und a1 in die reellen und imagin¨ aren Teile, (4.71) W = W  + jW  , a1 = a1 + ja1 , so folgt

W  = a1 f (x) and W  = a1 f (x).

Hieraus W  =

a1  W . a1

(4.72) (4.73)

Dies ist die Gleichung einer durch den Nullpunkt gehenden Geraden mit der Steigung tan α = a1 /a1 . Der geometrische Ort von W bei variablem x ist eine alt. Daraus folgt sofort, dass die Ortskurve gerade Linie, die den Zeiger a1 enth¨ von W = a0 + a1 f (x) (4.74) eine um den Zeiger a0 gegen die Gerade verschobene gerade Linie ist, Abb.

Abbildung 4.7. Allgemeine Gerade in C

4.7. Bildet man den Kehrwert, so ergibt sich nach dem oben Ausgef¨ uhrten als Ortskurve ein Kreis. Die Ortskurve der Funktion W=

1 a0 + a1 f (x)

(4.75)

ist ein Kreis, der durch den Nullpunkt geht und dessen Mittelpunkt M auf dem zu der Geraden in Abb. 4.7 senkrecht stehenden Strahl liegt; siehe den gestrichelt gezeichneten Kreis in Abb. 4.8. Addiert man zu allen Punkten des Kreises einen Zeiger c, Abb. 4.8, so ergibt sich die Funktion W=

1 + c, a0 + a1 f (x)

(4.76)

deren Ortskurve also ein allgemeiner Kreis ist. Die Gl. (4.76) ist die allgemeine

48

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

Abbildung 4.8. Allgemeiner Kreis in C

Form f¨ ur eine Wechselstromgr¨ oße mit kreisf¨ ormiger Ortskurve; man kann sie auch schreiben b0 + b1 f (x) W= , (4.77) a0 + a1 f (x) wobei c = b1 /a1 gesetzt ist. Ist die Wechselstromgr¨oße W in der Form (4.77) gegeben, so bringt man sie zun¨ achst auf die Form (4.76). Dann l¨asst sich der Kreis in der angegebenen Weise leicht konstruieren. Schließlich folgt noch der allgemeine Satz, dass auch jede beliebige lineare gebrochene Funktion der Gr¨ oße W wieder eine Kreisabbildung liefert. Ist R=

p0 + p1 W , q0 + q1 W

(4.78)

mit den beliebigen komplexen Koeffizienten p0 , p1 , q0 , q1 , so u ¨ berzeugt man sich durch Einsetzen von W aus Gl. (4.77) leicht, dass R wieder auf die gleiche Form (4.77) gebracht werden kann. Die Ortskurve von R ist also f¨ ur jede Funktion f (x) ein Kreis. Weitere Beispiele: 1. Die in Abb. 4.9 dargestellten Ortskurven f¨ ur ver¨anderliche Frequenz k¨onnen leicht ohne Rechnung abgeleitet werden. 2. In Abb. 4.10 seien L1 , L2 , L3 sowie die Eingangsspannung U0 und die Frequenz ω konstant. Gesucht ist der Strom I bei ver¨anderlichem Widerstand R. Die Rechnung ergibt I=

U0 jωL3 . jω(L1 + L3 )R − ω 2 (L1 L2 + L1 L3 + L2 L3 )

(4.79)

Dies ist in Bezug auf den Widerstand R eine lineare gebrochene Funktion gem¨ aß Gl. (4.76) oder (4.77). Die Ortskurve von I f¨ ur variables R ist daher immer ein Kreis. Legt man U0 in die reelle Achse, so ergibt sich die Abb. 4.11. Der Kreis wird leicht gefunden, wenn man zun¨achst die Punkte A und B f¨ ur R = 0 und R = ∞ einzeichnet und beachtet, dass I die Form b/(R + ja) hat. Die Ortskurve f¨ ur R + ja ist bei variablem R eine waagrechte Gerade im Abstand a von der reellen Achse. Der Kehrwert ist daher ein Halbkreis u ¨ ber der Strecke AB.

¨ 4.4 Darstellungen von Ubertragungsfunktionen

Abbildung 4.9. Beispiele von Ortskurven

49

50

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

Abbildung 4.10. Netzwerk mit einer kreisf¨ ormigen Ortskurve

Abbildung 4.11. Ortskurve f¨ ur I bei variablem R

3. Die Impedanz einer Wechselstrominduktionsmaschine ist nach Abb. 29.44   u ¨2 R2 2 jω u ¨ L + jωL h1 σ2 s U1 Z1 = = R1 + jωLσ1 + . (4.80) 2 u ¨ 2 I1 jω (Lh1 + u ¨ Lσ2 ) + sR2 Die Ortskurve der Impedanz bei variablem Schlupf s ist also ein Kreis. Die Ortskurve f¨ ur den St¨ anderstrom I1 bei konstanter sinusf¨ormiger St¨anderspannung ist das Spiegelbild davon, also ebenfalls ein Kreis, So ergibt sich das genaue Kreisdiagramm der Wechselstrominduktionsmaschine. ¨ Eine weitere wichtige Darstellungsform komplexer Ubertragungsfunktionen H(jω) ist das sogenannte Bodediagramm, bei dem Betrag |H(jω)|und Phase arg(H(jω)) von H(jω) u ¨ber der Frequenz ω mit logarithmischem Maßstab aufgetragen werden. Beispielhaft wird in Abbildung 4.12 das Bodedia¨ gramm der Ubertragungsfunktion des dort abgebildeten Tiefpasses gezeigt. Schließlich soll auch noch auf die Betragsfl¨ache von |H(s)| hingewiesen werden, wobei s die komplexe Frequenz ist. Die Betragsfl¨ache kann qualitativ sehr ¨ einfach konstruiert werden, wenn man die Pole und Nullstellen einer Ubertragungsfunktion kennt. Mit Hilfe der Vorstellung eines Gummituches4“ erh¨alt ” man eine qualitative Vorstellung von der zugeh¨origen Betragsfl¨ache |H(s)|, wenn man die Pole und Nullstellen von H in C kennt und das Gummituch“ ” an den Nullstellen auf der C-Ebene festheftet“ und an den Polstellen an sehr ” hohen Masten befestigt. 4

Diese sehr suggestive Vorstellung u achen wurde von Eduard Schwarz ¨ ber Betragsfl¨ – Professor an der TU Braunschweig bis zu seinem fr¨ uhe Tod 1984 und Lehrer des Autors W.M. – gebraucht und soll hier auch zum Andenken an ihn wiedergegeben werden

4.5 Zweitore und Vierpole

51

Abbildung 4.12. Bodediagramm eines Tiefpasses

Kennt man die Betragsfl¨ ache, so kann man qualitativ auf den Betrag einer ¨ Ubertragungsfunktion schließen. In Abbildung 4.13 wird die Betragsfl¨ache der ¨ Ubertragungsfunktion H(s) =

H0 , 1 + sT

H0 , T ∈ R+

(4.81)

illustriert.

4.5 Zweitore und Vierpole Unter einem Zweitor“, h¨ aufig auch Vierpol“ genannt, versteht man ein Netz” ” ¨ werk, das zwei Eingangs- und zwei Ausgangsklemmen besitzt und zur Ubertragung von Energie und/oder Signalen dient. Die Klemmenpaare werden jeweils durch hinein- und herausfließende Str¨ ome und eine Spannung beschrieben. Die Torbedingung ist erf¨ ullt, wenn die beiden Str¨ ome eines Tores einander gleich sind. Bei echten“ Vierpolen werden diese Einschr¨ankungen nicht verlangt, ” so dass man Vierpole und Zweitore tats¨ achlich unterscheiden sollte. Die Bezeichnung Vierpol“ stammt u ¨brigens von Breisig. In seiner 1921 erschienenen ” ¨ Arbeit charakterisierte er erstmals bestimmte nachrichtentechnische Ubertragungssysteme mit zwei Klemmenpaaren am Eingang und Ausgang in dieser

52

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

¨ Abbildung 4.13. Betragsfl¨ ache einer Ubertragungsfunktion mit einem reellen Pol

Weise; vgl. Wunsch [262]. Kurze Zeit sp¨ ater benutzen Strecker und Feldtkeller [227] die damals noch neue Matrizenrechnung, um Vierpole (eigentlich Zweitore) mathematisch zu kennzeichnen und die Vierpolmatrizen verschiedener Zusammenschaltungen von Vierpolen wie bei Zweipolwiderst¨anden mit Hilfe von Matrizenoperationen zu ermitteln.

Abbildung 4.14. Bezeichnung von Spannungen und Str¨ omen bei einem Zweitor

Will man besonders kennzeichnen, dass in einem Zweitor keine Energiequellen vorhanden sind, so spricht man von einem passiven Zweitor. Ist das Zweitor aus linearen Elementen aufgebaut, so nennt man es ein lineares Zweitor. Bei linearen Zweitoren gelten eine Reihe allgemeiner Beziehungen, die im Rahmen der Zweitortheorie (fr¨ uher: Vierpoltheorie) behandelt werden. Abb. 4.14 stelle ein beliebiges lineares Zweitor mit den Eingangsklemmen 1, 2 und den Ausgangsklemmen 3, 4 dar. Diese Klemmen stehen im Innern des Zweitors miteinander durch beliebige Anordnungen von linearen Elementen, z.B. Wi¨ derst¨ anden, Leitungen, Spulen, Kondensatoren, Ubertrager in Verbindung. Da die Energie¨ ubertragung durch das Zweitor vor sich gehen soll, so muss der bei 2 austretende Strom gleich dem bei 1 eintretenden und der bei 3 austretende Strom gleich dem bei 4 eintretenden Strom sein. Dies ist die bereits erw¨ahnte Torbedingung, die eine wesentliche Voraussetzung der Zweitortheorie ist. Die Bezugsrichtungen der Spannungen und Str¨ome seien durch Abb. 4.14 ¨ festgelegt (symmetrische Bepfeilung). Alle Gr¨oßen sind komplex, der Ubersichtlichkeit wegen aber nicht unterstrichen.

4.5 Zweitore und Vierpole

53

Die Beziehungen zwischen den Eingangs- und Ausgangsstr¨omen I1 und I2 und den Eingangs- und Ausgangsspannungen U1 und U2 findet man, wenn man die Maschengleichungen anschreibt; vgl. Abschnitt 4.1. Bei n voneinander unabh¨ angigen Maschen sind dies n Gleichungen Z11 I1 + Z12 I2 + Z13 I3 + · · · + Z1n In = U1 , Z21 I1 + Z22 I2 + Z23 I3 + · · · + Z2n In = U2 , Z31 I1 + Z32 I2 + Z33 I3 + · · · + Z3n In = 0, .. .. .=. Zn1 I1 + Zn2 I2 + Zn3 I3 + · · · + Znn In = 0.

(4.82) (4.83) (4.84) (4.85) (4.86)

Die beiden ersten Maschen schließen die Spannungsquellen U1 und U2 ein5 . Mit Hilfe der Cramerschen Regel k¨ onnen wir die L¨osungen f¨ ur I1 und I2 formulieren D11 U1 + D D12 I2 = U1 + D

I1 =

D21 U2 , D D22 U2 , D

(4.87) (4.88)

wobei D die Determinante der Koeffizientenmatrix des Gleichungsssystems und die Dij die folgenden Unterdeterminanten sind      Z22 Z23 . . . Z2n   Z12 Z13 . . . Z1n       Z32 Z33 . . . Z3n   Z32 Z33 . . . Z3n      D11 = +  . (4.89) .. . . ..  , D21 = −  .. .. . . ..   ..  .   . . . . . .      Zn2 Zn3 . . . Znn   Zn2 Zn3 . . . Znn       Z21 Z23 . . . Z2n   Z11 Z13 . . . Z1n       Z31 Z33 . . . Z3n   Z31 Z33 . . . Z3n      (4.90) D12 = +  . .. . . ..  , D22 = +  .. .. . . ..   ..   . .  . .  . .   .  Zn1 Zn3 . . . Znn   Zn1 Zn3 . . . Znn  Die Beziehungen zwischen Spannungen und Str¨omen an dem passiven Zweitor haben also allgemein die Form I1 = Y11 U1 + Y12 U2 ,

(4.91)

I2 = Y21 U1 + Y22 U2 .

(4.92)

In Matrizenschreibweise erh¨ alt man 


I1 Y11 Y12 U1 = oder I = YU. I2 Y21 Y22 U2 5

(4.93)

Das bedeutet, es wird ausdr¨ ucklich ausgeschlossen, dass die Spannungsquellen U1 und U2 selbst eine Masche bilden.

54

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

Die Yij haben die Dimension von Leitwerten und daher nennt man diese Gleichungen auch die Zweitorgleichungen in Leitwertform, wenn es das Zweitor nur Ohmsche Widerst¨ ande enth¨ alt und Admittanzform oder YMatrixform, wenn das Zweitor allgemeine Admittanzen enth¨alt. Es sind zwei lineare Gleichungen mit vier Koeffizienten. Sie gelten f¨ ur beliebige lineare Zweitore. Unter der eingangs gemachten Voraussetzung u ¨ ber den Aufbau des Zweitors aus Zweipol-Elementen reduzieren sich nun diese Koeffizienten auf drei wegen der Gleichheit der Kopplungswiderst¨ande Zik = Zki .

(4.94)

D12 = D21 .

(4.95)

Es ist n¨ amlich Dies erkennt man, wenn man die eine dieser beiden Determinanten nach der ersten Zeile, die andere nach der ersten Spalte in die Unterdeterminanten entwickelt und dieses Verfahren bei den Unterdeterminanten fortsetzt. Es gilt daher (4.96) Y12 = Y21 . Ein Zweitor, bei dem diese Beziehung gilt, nennt man kopplungssymmetrisch

Abbildung 4.15. Umkehrungssatz

oder reziprok. Beim Anlegen einer Spannung an das eine Klemmenpaar und Kurzschluss des anderen Klemmenpaares ergibt sich dort ein Strom, der unabh¨angig davon ist, welches Klemmenpaar als Eingang gew¨ahlt wird, Abb. 4.15. Aus den Gln. (4.91) und (4.92) folgt

 I2 I1 =− . (4.97) U2 U1 =0 U1 U2 =0 Die symmetrische Bepfeilung hat den Vorteil, dass bez¨ uglich der Vorzeichen beide Tore gleich behandelt sind. Sie f¨ uhrt allerdings dazu, dass z. B. bei einem Zweitor, das eine kurze Leitung repr¨ asentiert, der Ausgangsstrom dem Eingangsstrom entgegengesetzt gleich wird. Deswegen wird manchmal auch eine Kettenbepfeilung mit umgekehrter Z¨ ahlrichtung von I2 benutzt. Wegen der Vorteile der symmetrischen Bepfeilung, insbesondere bei Schaltungen mit mehr als zwei Toren, empfehlen die Normen nur noch diese. Die Bedeutung der Gr¨ oße Y11 erkennt man, wenn man U2 = 0 setzt: Y11 ist der Eingangsadmittanz des Zweitors bei Kurzschluss am Ausgang. Setzt man U1 = 0, so folgt

4.5 Zweitore und Vierpole

Y22 =

I2 . U2

55

(4.98)

Y22 ist die Admittanz an den Ausgangsklemmen und daher die Ausgangsadmittanz, wenn die Eingangsklemmen kurzgeschlossen sind.

Abbildung 4.16. Darstellung des Zweitors durch eine Dreiecksschaltung

Die Vierpolgleichungen in der Admittanzform k¨onnen bei der betrachteten Gruppe von passiven Zweitoren durch eine Dreieckschaltung (eine sogenannte Π-Schaltung) mit drei Admittanzen veranschaulicht werden, Abb. 4.16. Nach dem oben Ausgef¨ uhrten gilt Y1 + Y3 = Y11 ,

Y2 + Y3 = Y22 ,

Y1 = Y11 + Y21 ,

Y2 = Y22 + Y21 ,

Y3 = −Y21 ,

(4.99)

also Y3 = −Y21 .

(4.100)

Beispiel: Bei einer Π-Schaltung aus drei Ohmschen Widerst¨anden R1 , R2 , R3 wird Y11 =

1 1 + , R1 R3

Y21 = Y12 = −

1 1 1 , Y22 = + . R3 R2 R3

(4.101)

Man beachte, dass bei allgemeinen Admittanzen die Dreieckschaltung das Zweitor nur f¨ ur eine feste Frequenz, nachbildet. Grunds¨ atzlich gibt es auch andere M¨ oglichkeiten der Darstellung von Zweitor-Gleichungen. Das wird besonders deutlich, wenn man nach Belevitch [16] (wir nennen diese Form auch Belevitch-Form f¨ ur Zweitore) die Gln. (4.91) und (4.92) in folgender Weise umformt ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0  I1
⎟ ⎜0⎟ I 1 0 −Y11 −Y12 ⎜ 2 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟. (4.102) 0 1 −Y21 −Y22 ⎝ U1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ U2 0 Im Rahmen der Darstellungstheorie von Zweitoren nach Belevitch wird deutlich, dass es sich bei den verschiedenen Darstellungen von Zweitoren um

56

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

spezielle Koordinatendarstellungen handelt. Insgesamt gibt es 6 verschiedene M¨ oglichkeiten der Aufl¨ osung nach zwei der vier Variablen eines Zweitors. Dabei muss beachtet werden, dass diese Umrechnungen gewissen Einschr¨ankungen unterliegen. So kann man nicht jede Y-Matrixform eines Zweitors in eine Z-Matrixform umgewandelt werden, die man nach Inversion der Y-Matrix in Gl. (4.93) erh¨ alt 


Z11 Z12 I1 U1 = oder U = ZI. (4.103) U2 Z21 Z22 I2 Dabei k¨ onnen die Koeffizienten Zij in folgender Weise berechnet werden Y22 −Y12 , Z12 = , Y11 Y22 − Y12 Y21 Y11 Y22 − Y12 Y21 −Y21 Y11 = , Z22 = . Y11 Y22 − Y12 Y21 Y11 Y22 − Y12 Y21

Z11 =

(4.104)

Z21

(4.105)

Anhand des Nenners Y11 Y22 −Y12 Y21 lassen sich sofort Beispiele finden, wo die Y-Matrix nicht verschwindet aber die Z-Koeffizienten nicht existieren; in diesen Punkten ist die Y-Matrix nicht invertierbar. Ein einfaches Beispiel ist der Fall eines Zweitors, bei dem die Klemmen 1,3 in Abb. 4.14 mit der Admittanz Y verbunden und die Klemmen 2,4 kurzgeschlossen sind. Die Koeffizientenmatrix ist offensichtlich singul¨ ar. Entsprechendes gilt auch f¨ ur einige andere Darstellungen von Zweitoren; solche Koordinatenwechsel sind im Rahmen der klassischen Zweitortheorie unzul¨ assig. Die Eigenschaften von Zweitoren und Mehrtoren werden in einem Beitrag von Mathis und Pauli [160] ausf¨ uhrlich diskutiert, wobei auch Koordinatenwechsel bzw. Darstellungswechsel ber¨ ucksichtigt werden. Von einem allgemeineren mathematischen Standpunkt hat Pauli [186] das Problem der Darstellungen von Zweitoren aufgegriffen. In weiteren Arbeiten (vgl. z. B. [187]) zeigt Pauli, dass die angesprochenen Schwierigkeiten mit singul¨ aren“ Koordinatenwechseln vermieden werden k¨onnen, wenn man all” gemeinere mathematische Konzepte f¨ ur Beschreibungsr¨aume von Zweitoren – ¨ er spricht von Betriebsr¨ aumen – verwendet. Diese Uberlegungen gehen allerdings u uhrende Darstellung hinaus. ¨ber diese einf¨ Die Kopplungssymmetrie oder Reziprozit¨ at u ¨ bertr¨agt sich sinngem¨aß auf die Z-Koeffizienten (4.106) Z12 = Z21 . Die Z-Darstellung l¨ asst sich am besten durch eine Stern- oder T-Schaltung veranschaulichen. Auch das gilt nur f¨ ur eine feste Frequenz. Zweitore sind im allgemeinen Fall l¨angsunsymmetrisch. Ein l¨angssymmetrisches Zweitor ist dadurch definiert, dass man Eingang und Ausgang vertauschen darf, ohne dass sich an den Spannungen und Str¨omen etwas ¨andert. Vertauscht man in Gl. (4.103) U1 und U2 sowie I1 und I2 , so erkennt man, dass f¨ ur das (l¨ angs-)symmetrische allgemeine Zweitor folgende Beziehungen gelten

4.5 Zweitore und Vierpole

Z22 = Z11 ,

Z21 = Z12 .

57

(4.107)

Das symmetrische Zweitor ist durch zwei Koeffizienten vollst¨andig bestimmt. L¨ ost man die Belevitch-Form (4.102) nach U1 und I1 auf, so erh¨alt man die Kettenform der Zweitorgleichungen oder A-Matrixform. In dieser Form wird u ¨ blicherweise die Stromrichtung von I2 umgekehrt, d. h. man verwendet (−I2 ) als Variable; es ergibt sich 


U1 A11 A12 U2 = . (4.108) I1 A21 A22 (−I2 ) W¨ ahrend die ¨ außere Form der Reziprozit¨ atsbedingung bei der Y- und Z¨ Matrixform von Zweitoren gleich sind, transformiert sie sich beim Ubergang auf die A-Matrixform in eine andersartige Bedingungsgleichung A11 A22 − A12 A21 = 1.

(4.109)

Eine detaillierte Diskussion u ¨ber einen Reziprozit¨atsbegriff, der unabh¨angig von der Darstellung eines Zweitors ist, findet man bei Mathis [152]. Bemerkung: Die Bezeichnung Kettenform r¨ uhrt daher, dass diese Darstellung f¨ ur Zweitore zweckm¨ aßig verwendet wird, wenn mehrere Zweitore kettenartig aneinander geschaltet werden, so dass die Ausgangsgr¨oßen des einen Zweitors identisch sind mit den Eingangsgr¨ oßen des folgenden Zweitors. Deswegen steht in den Kettengleichungen (4.108) auch (−I2 ), denn dieser Strom ist bei der Kettenschaltung gleich dem Eingangsstrom des nachfolgenden Zweitors. Eine weitere wichtige Darstellung f¨ ur Zweitore ist die Hybridform oder H-Matrixform 


H11 H12 I1 U1 = , (4.110) I2 H21 H22 U2 die insbesondere bei der Beschreibung von Transistor-Ersatzschaltungen eingesetzt werden. Neben den Zweitor-Darstellungen, die sich durch passende Permutation aus den Netzwerkvariablen U1 , I1 , U2 , I2 ergeben kann man durch Superposition dieser Gr¨ oßen noch weitere Darstellungen ableiten. Die wichtigste Darstellung aus dieser Gruppe ist die sogenannte S-Matrix-Darstellung. Sie wurde im Jahre 1943 von Heisenberg in die Quantenfeldtheorie eingef¨ uhrt. Am Ende des 2. Weltkrieges wurde die S-Matrixbeschreibung von Kernphysikern (u. a. R. H. Dicke) auch in der Mikrowellentechnik verwendet. In der Netzwerktheorie hatte Campbell eine bestimmte Form der S-Matrix bereits in einer Arbeit aus dem Jahre 1922 benutzt. In allgemeiner Form wurde sie aber erst von Belevitch um 1946 in die Netzwerktheorie eingef¨ uhrt und sehr erfolgreich bei der damals sehr wichtigen Synthese klassischer Filter angewendet. F¨ ur die Mikrowellentechnik ist die S-Matrix nach wie vor eine wichtiges Verfahren zur Beschreibung von Mikrowellenschaltungen; vgl. z. B. Pozar [191].

58

4 Grundgleichungen und Analysemethoden elektrischer Netzwerke

Ausgehend von den Variablen U1 , I1 , U2 , I2 werden die Eingangs- und Ausgangsvariablen jeweils einer Heaviside-Transformation unterzogen; man erh¨alt die neuen Netzwerkvariablen U1 + Z0 I1 U1 − Z0 I1 √ √ , b1 := , 2 Z0 2 Z0 U2 + Z0 I2 U2 − Z0 I2 √ √ a2 := , b2 := . 2 Z0 2 Z0 a1 :=

(4.111) (4.112)

Die Gr¨ oßen a1 , b1 , a2 , b2 , die man traditionell mit Hilfe kleiner Buchstaben definiert, werden Wellengr¨oßen oder Streuvariablen genannt. Mit Hilfe dieser Gr¨ oßen kann man die alternative S-Matrixform f¨ ur Zweitore formulieren 


S11 S12 a1 b1 = oder b = S a. (4.113) b2 S21 S22 a2 Insbesondere die S11 und S22 sind unter bestimmten Voraussetzungen als Reflektionskoeffizienten interpretierbar; z. B.
 b1 (4.114) S11 = a1 a2 =0 als Eingangsreflektionskoeffizient, wenn das Ausgangstor mit ZL = Z0 abgeschlossen wird. Die S-Matrix-Koeffizienten k¨onnen auch aus Koeffizienten anderer Darstellungen ermittelt werden; beispielsweise aus den Z-MatrixKoeffizienten (Z11 − 1)(Z22 + 1) − Z12 Z21 , (Z11 + 1)(Z22 + 1) − Z12 Z21 2Z12 = , (Z11 + 1)(Z22 + 1) − Z12 Z21 2Z21 = , (Z11 + 1)(Z22 + 1) − Z12 Z21 (Z11 + 1)(Z22 − 1) − Z12 Z21 = . (Z11 + 1)(Z22 + 1) − Z12 Z21

S11 =

(4.115)

S12

(4.116)

S21 S22

(4.117) (4.118)

Die S-Matrixform von Zweitoren ist besonders interessant, weil sie in engem Zusammenhang mit Leistungsbegriffen von Zweitoren stehen. Weiterhin kann man Stabilit¨ atseigenschaften von Zweitoren mit den S-Parametern besonders gut ausdr¨ ucken. Weitere Einzelheiten dazu findet man z. B. bei Pozar [191]. Verlustlose Zweitore werden beispielsweise durch unit¨are Matrizen mit der Eigenschaft SS† = 1 beschrieben, wobei S† die konjugiert-komplexe und transponierte Matrix von S ist. Wir wollen nun auf wichtige Anwendungen der verschiedenen Darstellungen von Zweitoren hinweisen. Schon in der ersten Arbeit u ¨ ber Zweitormatrizen haben Strecker und Feldtkeller [227] gezeigt, dass man die verschiedenen

4.5 Zweitore und Vierpole

59

Arten der Zusammenschaltungen von Zweitoren mit Verkn¨ upfungen bestimmter Matrizen in Verbindung bringen kann. So eignet sich die Y-Matrix, um am Eingang und Ausgang parallel geschaltete Zweitore zu beschreiben; man addiert die entsprechenden Y-Matrizen. Die Reihenschaltung von Zweitoren wird durch die Addition der Z-Matrizen beschrieben und auch bei den Mischformen Reihen-Parallelschaltungen sowie Parallel-Reihenschaltung kann man geeignete Matrizen addieren. Leider wird nur selten darauf hingewiesen, dass dabei auch nach der Zusammenschaltung die Torbedingung ( jedes Klemmenpaar wird durch eine ” Spannung und einen Strom festgelegt“) f¨ ur jedes Tor (Klemmenpaar) erf¨ ullt sein m¨ ussen. Das ist insbesondere bei sehr einfachen Zweitoren nicht der Fall und dann kann die Zweitormatrix der zusammengeschalteten Zweitore auch nicht mehr mit Hilfe der obengenannten Matrizenoperationen berechnen. Es sind zwar schon seit langer Zeit Kriterien bekannt, mit denen man u ufen ¨berpr¨ kann, ob die Matrizenoperationen f¨ ur die Berechnung der zusammengesetzer Zweitore eingesetzt werden k¨ onnen, aber sie werden nur selten angegeben; Ausnahmen sind Baerwald [9], Cauer [39], Bosse [32]. Die einzige Art der Zusammenschaltung, die uneingeschr¨ ankt mit einer Matrizenoperation in Verbindung gebracht werden kann, ist die Kettenschaltung. In diesem Fall sind die Torbedingungen offensichtlich immer erf¨ ullt und die gesamte A-Matrix erh¨ alt man durch Multiplikation der A-Matrizen der einzelnen Zweitore. Entsprechendes gilt auch f¨ ur die S-Matrix.

5 Beispiele fu ¨r elektrische Netzwerke

5.1 Netzwerke aus Kapazit¨ aten und Widerst¨ anden 5.1.1 Der zeitliche Auf- und Abbau eines elektrischen Feldes Im folgenden soll das zeitliche Verhalten eines einfachen Netzwerkes behandelt werden, das aus einer Kapazit¨ at und einem Ohmschen Widerstand besteht. In ersten Fall wird in einem bestimmten Zeitpunkt (t = 0) eine ideale Spannungsquelle und ein dazu in Reihe geschalteter Widerstand u ¨ ber einen Schalter parallel mit der ungeladenen Kapazit¨ at verbunden. Im zweiten Fall ist die Kapazit¨ at elektrisch geladen und im Zeitpunkt t = 0 wird ein Widerstand parallel geschaltet. Bemerkung: Im Vorgriff auf die Ausf¨ uhrungen im Rahmen der Theorie elektromagnetischer Felder lassen sich die Vorg¨ ange in beiden Anordnungen physikalisch interpretieren. Man beachte jedoch, dass die verwendeten Begriffe im Rahmen der Netzwerktheorie nicht notwendigerweise physikalisch interpretiert werden m¨ ussen. Der Hinweis gilt auch f¨ ur die nachfolgenden Abschnitte. Infolge der im elektrischen Feld gespeicherten Energie ist zu dessen Aufbau mit endlicher Stromst¨ arke Zeit erforderlich. Man kann diese Verz¨ogerung des Feldaufbaues auch so deuten, dass der Zufluss von Ladungen einem Strom entspricht, der in den Widerst¨ anden des Stromkreises einen Spannungsabfall zur Folge hat. Dieser Spannungsabfall kann h¨ochstens bis zum Betrage der Quellenspannung im Stromkreis wachsen, da sonst die treibende Spannung fehlen w¨ urde; dadurch ist die Stromst¨ arke und damit die Schnelligkeit des Feldaufbaues begrenzt. Entsprechend der konstitutiven Relation einer Kapazit¨at k¨onnen Stromst¨ arke und Ableitung der Spannung in folgender Weise in Beziehung gesetzt werden du . (5.1) i=C dt

5.1 Netzwerke aus Kapazit¨ aten und Widerst¨ anden

61

Abbildung 5.1. Stromkreis mit Kapazit¨ at

Dieser Strom tritt an der einen Elektrode in den Kondensator ein und verl¨ asst ihn an der anderen wieder; er fließt als Verschiebungsstrom“ durch ” den Nichtleiter hindurch. In einem Stromkreis, Abb. 5.1, der aus einer Kapazit¨ at C, einem Widerstand R und einer abh¨angigen Spannungsquelle U0 besteht, fließt der Strom dann bei der Aufladung der Kapazit¨at auf einem geschlossenen wie in einem metallischen Stromkreis. Die Quellenspannung U0 deckt die Spannung u an der Kapazit¨ at und den Spannungsabfall iR an dem Widerstand R, in dem auch der Innenwiderstand der Quelle enthalten sei. Es ist du U0 = u + iR = u + CR . (5.2) dt In jedem Zeitpunkt ist die f¨ ur den Spannungsabfall im Widerstand R zur Verf¨ ugung stehende Spannung U0 − u. Feldtheoretisch gesehen kann daher die Ladung des Kondensators nur so rasch zunehmen wie es diese Spannung erlaubt. Die gr¨ oßte Ladungszunahme tritt unmittelbar nach dem Einlegen des Schalters auf. War der Kondensator zun¨ achst ungeladen (u = 0), so gilt hier CR

du = U0 dt

oder u(t) =

U0 t. RC

(5.3)

Die Spannung nimmt also anfangs proportional mit der Zeit zu, und zwar um so rascher, je kleiner das Produkt aus Widerstand und Kapazit¨at ist. Man bezeichnet dieses Produkt als Zeitkonstante oder Abklingzeit RC =: τ.

(5.4)

F¨ ur den Wert der Ladungsvariablen“ q := Cu des Kondensators gilt unmit” telbar nach dem Einschalten q(t) =

U0 C U0 t= t. τ R

(5.5)

In dem Maße, in dem infolge der Ladung die Spannung u w¨achst, wird die f¨ ur den Spannungsabfall am Widerstand zur Verf¨ ugung stehende Spannung kleiner, der Wert der Ladungsvariablen nimmt langsamer zu. Die Gl. (5.2) l¨asst sich mit der sogenannten Methode der Trennung der Ver¨anderlichen schreiben dt du = . U0 − u τ Durch Integration ergibt sich hieraus

(5.6)

62

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

− ln

t U0 − u = , k τ

(5.7)

wobei k eine Integrationskonstante ist, und schließlich u(t) = U0 − ke−t/τ .

(5.8)

Soll u = 0 f¨ ur t = 0 sein, so gilt 0 = U0 − ke0 oder k = U0 , und es wird   (5.9) u(t) = U0 1 − e−t/τ . F¨ ur die Stromst¨ arke folgt i(t) = C

du(t) U0 −t/τ = e . dt R

(5.10)

Sie hat im ersten Augenblick nach dem Einschalten den gleichen Wert I = are; man sagt daher, die Kapazit¨at verhalte U0 /R, als ob kurzgeschlossen w¨ sich im ersten Augenblick nach dem Einschalten so wie ein Kurzschluss. F¨ ur den Wert der Ladungsvariablen q ergibt sich

Abbildung 5.2. Aufladung einer Kapazit¨ at

    q(t) = U0 C 1 − e−t/τ = Q 1 − e−t/τ

(5.11)

mit Q := U0 C. Der zeitliche Verlauf dieser Gr¨oßen ist in Abb. 5.2 dargestellt. Die Spannung n¨ahert sich allm¨ ahlich ihrem Endwert U0 , der Strom nimmt im gleichen Maße allm¨ ahlich ab. Der Vorgang der Aufladung dauert streng genommen unendlich lang; praktisch ist aber schon nach einer bestimmten endlichen Zeit kein Unterschied mehr gegen¨ uber dem Endzustand wahrzunehmen. Mit Hilfe eines Taschenrechners lassen sich rasch einige Zahlenwerte der beiden Zeitfunktionen bestimmen. Je nach der Genauigkeit, mit der die Spannungen und Str¨ ome gemessen werden k¨ onnen, wird man im allgemeinen als Dauer des Aufladungsvorganges eine Zeit zwischen 4τ und 8τ anzusehen haben. ¨ Unter der Voraussetzung von verh¨ altnism¨ aßig langsamen zeitlichen Anderungen, die im Abschnitt 33 noch genauer definiert wird, ¨andern sich feldtheoretisch gesehen die Feldgr¨ oßen, also z. B. die elektrische Feldst¨arke, u ¨ berall im

5.1 Netzwerke aus Kapazit¨ aten und Widerst¨ anden

63

ganzen Feld gleichzeitig mit der Spannung u; ihr zeitlicher Verlauf stimmt also mit dem Verlauf von u u ¨ berein. Die bei der Aufladung aufgewendete Energie ist  ∞  ∞ U0 i(t)dt = U0 i(t)dt = U0 Q = CU02 . (5.12) 0

0

Sie ist zur H¨ alfte (1/2)CU02 im elektrischen Feld gespeichert; vgl. Abschnitt 13. Die andere H¨ alfte wird bei der Aufladung im Widerstand R in W¨arme umgesetzt.

Abbildung 5.3. Entladung einer Kapazit¨ at

¨ Ganz ¨ ahnliche Uberlegungen gelten auch f¨ ur die Entladung einer Kapazit¨at, wobei es sich um ein Netzwerkmodell f¨ ur den Vorgang der Entladung eines Kondensators handelt. Ein Kondensator wird entladen, indem man seine Elektroden u ¨ ber einen Widerstand miteinander verbindet; im Modell wird die Kapazit¨ at mit einem idealen Schalter an einen Ohmschen Widerstand geschaltet (Abb. 5.3). Bei offenen Klemmen stellt der Isolationswiderstand des Kondensators bereits eine solche Verbindung her. Der Spannungsabfall iR am Schließungswiderstand muss hier in jedem Augenblick die Spannung u am Kondensator zu Null erg¨anzen; es gilt gem¨aß Gl. (5.2) du = 0. (5.13) u+τ dt Durch Integration ergibt sich u(t) = U e−t/τ ,

(5.14)

wobei der Anfangswert f¨ ur t = 0 mit U bezeichnet ist. Der Strom wird nach Gl. (5.1) und (5.4) U i(t) = − e−t/τ . (5.15) R Er hat die entgegengesetzte Richtung und den gleichen zeitlichen Verlauf wie bei der Aufladung. Die bei der Entladung durch den Widerstand R flie∞ ßende Elektrizit¨ atsmenge ist Q = 0 i(t)dt; sie hat den Wert U C. Nach den Formeln (5.10) und (5.15) w¨ urde die Stromst¨arke im ersten Augenblick nach dem Einschalten unendlich groß werden, wenn der Widerstand Null w¨ are. Abgesehen davon, dass dieser Fall nicht realisierbar ist, ergibt sich in Wirklichkeit immer ein endlicher Wert der Stromst¨arke wegen der Wirkung der gleichzeitig mit dem Strom auftretenden magnetischen Felder, die hier nicht ber¨ ucksichtigt sind (siehe Abschnitt 17).

64

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

Zahlenbeispiele: 1. Wird ein Kondensator mit der Kapazit¨ at C = 1µF u ¨ ber einen Widerstand von R = 1000Ω durch eine Spannung von 220V aufgeladen, so hat die Stromst¨ arke im ersten Augenblick nach dem Einlegen des Schalters den Wert I = U0 /R = 220V /1000Ω = 0, 22A. die Zeitkonstante betr¨agt τ = CR = 10−6 · 1000F Ω10−3 = 1 ms. Nach einer Zeit von 3ms hat daher die Ladung 95% , nach 4ms 98% ihres Endwertes Q = U0 C = 220 · 104 V F = 2, 2 · 10−4 As erreicht. Der Strom ist nach 4ms auf i = 0, 22 · 0, 0183A = 4mA abgeklungen. 2. Hat der Kondensator einen Isolationswiderstand von 100M Ω, so entl¨adt er sich nach Unterbrechen des Stromkreises mit einer Zeitkonstante von τ = 10−6 · 108 F = 100s. Die Spannung ist nach einer Zeit von 400s = 6, 7min auf 1,83% ihres Anfangswertes, also auf 4V gesunken. Nach der doppelten Zeit betr¨ agt die Spannung noch 0, 000335 · 220V = 0, 074V . 3. Die M¨ oglichkeit, bei der Entladung eines Kondensators die ganze ihm zugef¨ uhrte Elektrizit¨ atsmenge wieder zu gewinnen, kann z. B. zur Messung der Frequenz von Wechselstr¨omen ben¨ utzt werden. Dazu wird u ¨ ber ein von dem Wechselstrom gespeistes Relais A, Abb. 5.4, ein Kondensator C in jeder Periode des Wechselstromes einmal auf eine bestimmte Spannung U aufgeladen und u ¨ ber ein Gleichstrommessinstrument entladen. Ist f die Frequenz“ (Zahl der Perioden geteilt durch Zeit), dann ist die durch ” das Instrument je Zeiteinheit fließende Elektrizit¨atsmenge bestimmt durch f CU . Dies ist die Gleichstromst¨ arke I im Instrument. Sie ist proportional der Frequenz f . Voraussetzung f¨ ur diesen einfachen Zusammenhang ist, dass w¨ ahrend der Schließungszeiten der Kontakte die Ladungen bzw. die Entladungen praktisch v¨ ollig beendet sind.

Abbildung 5.4. Frequenzmesser

Ist z. B. C = 1µF, U = 100V , so ergibt sich bei 50Hz ein Strom I = f U C = 50 · 10−6 100s−1F V = 5mH.

(5.16)

Der Widerstand R des Instrumentes muss so klein sein, dass die Zeitkonstante CR kleiner als etwa 1/6 der Periodendauer 1/f wird, d. h. R < 1/(6f C). Der Instrumentenwiderstand darf danach in dem Zahlenbeispiel nicht gr¨ oßer als 3000Ω sein. Auch der Vorwiderstand im Ladestromkreis darf diesen Betrag nicht u ¨ berschreiten.

5.1 Netzwerke aus Kapazit¨ aten und Widerst¨ anden

65

Zwischen dem Isolationswiderstand Ri und der Kapazit¨at C eines Kondensators besteht nach Gl. (16.29) die Beziehung Ri C =

ε , κ

(5.17)

wenn mit κ die Leitf¨ ahigkeit des Isolierstoffes bezeichnet wird. Die Zeitkonstante f¨ ur die Selbstentladung eines Kondensators ist daher τ=

ε , κ

(5.18)

Zahlenbeispiel: Die Schnelligkeit, mit der die Selbstentladung vor sich geht, ist also unabh¨ angig von Form und Gr¨ oße des Kondensators und nur durch die Eigenschaften des Isolierstoffs bestimmt, gute Isolierung der Zuleitungen vorausgesetzt. Ist z. B. εr = 4, κ = 10−13 S/m, so wird τ=

4 · 8, 86 · 10−12 F m εr ε0 = = 354s ≈ 6min. κ 10−13 Sm

(5.19)

5.1.2 Wechselstromkreis mit Kapazit¨ at Praktisch besonders wichtig ist das Verhalten der Nichtleiter in elektrischen Feldern, wenn sich die Feldgr¨ oßen zeitlich sinusf¨ormig a¨ndern. Das elektrische Feld kann der Einfachheit halber durch zwei Platten (Plattenkondensator) erzeugt werden, die auf unterschiedlichem, sinusf¨ormig sich a¨nderndem Potenzial liegen. Diese Anordnung kann nach Abschnitt 12.1 durch den Kapazit¨ atswert C charakterisiert werden. Um die zugeh¨origen Wechselspannungen und -str¨ ome mathematisch darzustellen, ist es erforderlich, positive Richtungen willk¨ urlich festzulegen. Wir kennzeichnen die positive Richtung des Stromes in einem Leiter durch einen Stromz¨ahlpfeil auf dem Leiter und setzen fest, dass die Spannung zwischen zwei Punkten des Leiters als positiv bezeichnet werden soll. Wenn der Spannungsz¨ahlpfeil vom h¨oheren zum niedrigeren Potenzial weist, Abb. 5.5. Gibt man beiden Z¨ahlpfeilen die gleiche Richtung (Verbraucherz¨ahlpfeilsystem), so gilt f¨ ur den Ladestrom iC in einem Kondensator mit der Kapazit¨ at C die Beziehung

Abbildung 5.5. Wechselstromkreis mit Kapazit¨ at

66

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

iC = C

du . dt

(5.20)

Eine zeitlich sinusf¨ ormige Spannung stellen wir dar durch √ u(t) = U 2 sin ωt = uˆ sin ωt, (5.21) √ wobei U den Effektivwert, U 2 = u ˆ den Scheitelwert, ω die Kreisfrequenz, ω = 2πf,

(5.22)

und f die Frequenz der Wechselspannung bezeichnen; f ist die Zahl der Perioden geteilt durch die Zeit; als Einheit der Frequenz wird 1 Hertz = 1Hz = 1 P er/s gebraucht. Die Periodendauer ist T =

1 . f

(5.23)

¨ Andert sich die Spannung zwischen den beiden Elektroden einer Kapazit¨at gem¨ aß (5.21), so wird der Ladestrom nach Gl. (5.20) 

√ 1 1 iC (t) = ωCU 2 cos ωt = ωC u ˆ sin ω t + T . ˆ sin ω t + T = ωC u 4 4 (5.24) Das elektrische Feld in einer Kapazit¨ at ist ein Wechselfeld, f¨ ur das die gleichen

Abbildung 5.6. Zeitlicher Verlauf von Spannung und Strom bei einer Kapazit¨ at

Gesetze gelten wie f¨ ur ein elektrostatisches Feld. Der Ladestrom der Kapazit¨at erreicht entsprechende Werte um 1/4 Periode fr¨ uher als die Spannung, Abb. 5.6; er eilt also der Spannung um 1/4 Periode voraus. Sein Effektivwert ist IC = U ωC.

(5.25)

Indem man die Periode T in 360 Grad einteilt, sagt man auch: Der Strom iC ” eilt der Spannung u um 90◦ voraus“. Diese Aussage hat nur dann einen Sinn, wenn die positiven Richtungen so wie oben definiert werden. Hat der Nichtleiter eine endliche Leitf¨ ahigkeit σ, so entsteht an jeder Stelle unter der Einwirkung der elektrischen E-Feldst¨arke ein Strom von der Dichte

5.1 Netzwerke aus Kapazit¨ aten und Widerst¨ anden

67

κE. Da die elektrische Feldst¨ arke in jedem Augenblick proportional der Spannung zwischen den Elektroden ist, also mit ihr in Phase“ schwingt, so ” ist auch der Leitungsstrom Phase mit der Spannung. Bezeichnen wir diesen Strom mit iR , so gilt daher iR (t) =

U√ u(t) = 2 sin ωt, R R

(5.26)

wobei R den Isolationswiderstand f¨ ur Wechselstrom von der Frequenz f darstellt. Der gesamte Strom ist in jedem Augenblick i = iC + iR .

(5.27)

Er eilt der Spannung um einen Phasenwinkel zwischen 0◦ und 90◦ vor, und

Abbildung 5.7. Ersatzbild eines verlustbehafteten Kondensators

man kann auf Grund dieses Zusammenhanges f¨ ur den Kondensator das in Abb. 5.7 dargestellte Ersatzschema aufstellen, in dem man sich den Kondensator zerlegt denkt in einen Kondensator mit vollkommener Isolierung und in einen Widerstand, der den Isolationsstrom f¨ uhrt. Die elektrische Arbeit, die dieses Zweipol-Netzwerk w¨ahrend einer Periode aufnimmt, ist nach Gl. 4.55  P T = W1 =

T

u(t)i(t)dt.

(5.28)

0

Durch Einsetzen von u und i und Ausf¨ uhren der Integration erh¨alt man W1 =

U2 T. R

(5.29)

Diese Arbeit ist unabh¨ angig vom Kapazit¨ atswert und nur bestimmt durch den Widerstand R. Der Strom zeigt lediglich ein Hin- und Herpendeln von Ladungen an, wobei in jeder Periode die w¨ ahrend der Zeitabschnitte mit gleichen Vorzeichen von u und i aufgenommene Arbeit w¨ahrend der anderen Zeitabschnitte vom Kondensator wieder abgegeben wird. Die elektrische Arbeit wird w¨ahrend der ersten Zeitabschnitte im elektrischen Feld als elektrische Energie aufgespeichert. Im Sinne einer elektrostatischen Betrachtung (vgl. Abschnitt 13) gilt in jedem Zeitpunkt t

68

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

W =

1 2 Cu . 2

(5.30)

Die aufgespeicherte Energie erreicht den Maximalwert Wm =

1 2 Cu ˆ = CU 2 , 2

(5.31)

wenn die Spannung ihren positiven oder negativen Maximalwert hat. Nimmt dann die Spannung ab, so verringert sich die aufgespeicherte Energie entsprechend, und es wird Energie aus dem elektrischen Feld zur Stromquelle zur¨ uckgeliefert. Nur infolge des Leitungsstromes entstehen elektrische Verluste. Nach Abschnitt 16.2 zeigt die endliche Leitf¨ahigkeit des Isolierstoffes eine Umsetzung elektrischer Energie in W¨ arme an. Die w¨ahrend einer Periode des Wechselstromes entwickelte W¨ armemenge ist W1 Gl. (5.29). Die Rate des W¨armeumsatzes ist daher U2 W1 = = P. (5.32) T R Dies ist die elektrische Leistung P , die dem Kondensator im Mittel zufließt. Durch Messen dieser Leistung kann man die Gr¨oße R bestimmen. Derartige Messungen zeigen nun, dass bei wirklichen Isolierstoffen der so ermittelte Wert von R im allgemeinen nicht dem Isolationswiderstand entspricht, den man mit Gleichstrom feststellen kann; er ist vielmehr meist erheblich kleiner. Um auszudr¨ ucken, dass es sich hier nicht um den Gleichstromisolationswiderstand handelt, ist es u uhren ¨ blich, den reziproken Wert von R, den Leitwert G, einzuf¨ und diese Gr¨ oße zu definieren durch die vom Kondensator aufgenommene Leistung zur Deckung der dielektrischen Verluste, P = U 2 G.

(5.33)

G wird als die Ableitung des Kondensators bezeichnet. F¨ ur den Effektivwert des Leitungsstromes gilt IR = GU. (5.34) Zur Veranschaulichung von sinusf¨ ormigen Str¨ omen und Spannungen kann man im Sinne der Darstellung der Wechselstromrechnung nach Steinmetz und Kennelly ein Zeigerdiagramm verwenden, ohne dass komplexe Str¨ome und Spannungen explizit verwendet. Es ist f¨ ur den hier betrachteten Fall eines Kondensators in Abb. 5.8 aufgezeichnet. Die Wechselstromgr¨oßen werden durch Zeiger dargestellt, deren L¨ ange in einem willk¨ urlich gew¨ahlten Maßstab gleich dem Effektivwert gemacht wird; sie bilden Winkel miteinander, die gleich den in Graden ausgedr¨ uckten zeitlichen Verschiebungen sind, wobei eine Voreilung einer Drehung links herum entsprechen soll. Die Projektionen dieser Zeiger auf eine im Uhrzeigersinn mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotierende Zeit√ ” linie“ Z geben, mit 2 multipliziert, die Augenblickswerte der Spannungen und Str¨ ome an. Oft wird f¨ ur die Zeigerl¨ ange auch der Scheitelwert ben¨ utzt, so dass die Zeigerprojektionen auf die Zeitlinie direkt die Augenblickswerte

5.1 Netzwerke aus Kapazit¨ aten und Widerst¨ anden

69

ergeben. Die Zeitlinie wird ebenfalls mit einem Pfeil versehen und dadurch in eine positive und negative H¨ alfte geteilt. Die Augenblickswerte gelten als positiv, wenn die Projektionen auf der positiven H¨alfte der Zeitlinie liegen, im anderen Falle als negativ. Der Ladestrom IC = U ωG eilt der Spannung U um 90◦ vor, w¨ ahrend der Leitungsstrom IR = U G in Phase mit U liegt.

Abbildung 5.8. Zeigerdiagramm f¨ ur den verlustbehafteten Kondensator

F¨ ur die Wechselstromzeiger gelten die geometrischen Additionsgesetze der Vektoren; man bezeichnet sie daher manchmal – vor allem in der ¨alteren Literatur – als Vektoren. Wie aus Abb. 5.8 ersichtlich ist, gilt bei geometrischer ur die Projektionen auf die Zeitlinie Addition von IR und IC f¨ OA = OB + OC

oder

i = iC + iR ,

(5.35)

wie es nach Gl. (5.29) sein soll. Der Zeiger des Gesamtstromes ergibt sich also durch geometrische Addition der die Teilstr¨ ome darstellenden Zeiger. Die Winkel zwischen den Zeigern bilden ein Maß f¨ ur die zeitliche Verschiebung der Wechselgr¨ oßen. Man bezeichnet sie auch als Phasenwinkel. Als Maß f¨ ur die dielektrischen Verluste kann man den Winkel δ ben¨ utzen, um den der Gesamtstrom dem Ladestrom nacheilt. Man bezeichnet diesen Winkel als den Verlustwinkel des Kondensators, da sich durch ihn die Verlustleistung ausdr¨ ucken l¨ asst. Es ist tan δ =

G IR . = IC ωC

(5.36)

Der Verlustwinkel stellt eine Stoffkonstante dar, da das Verh¨altnis G/C nach Gl. (16.29) unabh¨ angig von den Abmessungen ist. H¨aufig wird auch der Verlustfaktor tan δ als Maß f¨ ur die Verluste ben¨ utzt; bei kleinen Verlustwinkeln ist tan δ ≈ δ. Die in W¨ arme umgesetzte Leistung wird P = U 2 G = U IR = U I sin δ = U I cos ϕ. F¨ ur den Gesamtstrom l¨ asst sich aus Abb. 5.8 die Beziehung ablesen

(5.37)

70

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

I=U

 G2 + (ωC)2 .

(5.38)

Statt die Zeitlinie im Uhrzeigersinn rotieren zu lassen, kann man auch eine festliegende Zeitlinie annehmen und das ganze Zeigerdiagramm entgegengesetzt umlaufen lassen. Wird die Darstellung der Wechselstromrechnung nach Mathis und Marten verwendet, dann kann man ein Zeigerdiagramm f¨ ur den Differentialoperator zwischen zwei ausgew¨ ahlten Gr¨ oßen (z. B. u und i) angeben, dessen Aussagewert dem oben gezeigten Zeigerdiagramm der Str¨ome und Spannungen a¨quivalent ist. Zeichnet man mehrere solcher Operator-Zeigerdiagramme“ in ” ein Bild, dann lassen sich auch die Zeigerdiagramme der Str¨ome und Spannungen rekonstruieren. Zumeist enthalten diese Zeigerdiagramme aber zuviele Informationen und werden in dieser Form in praktischen Anwendungen gar nicht ben¨ otigt. Im Sinne der Darstellung der Wechselstromrechnung nach Steinmetz und Kennelly kann die obenstehende Rechnung noch einmal mit komplexen Gr¨oßen wiederholt werden, obwohl sich dieses Verfahren erst bei der Analyse umfangreicherer Netzwerke lohnt.

5.2 Netzwerke aus Induktivit¨ aten und Widerst¨ anden 5.2.1 Der Aufbau eines magnetischen Feldes Die Spannung der Selbstinduktion sucht nach dem oben besagten den Stromanderungen entgegenzuwirken. Wird an eine Spule eine Gleichspannung ge¨ legt, so bildet sich daher mit dem Anwachsen des Stromes eine der treibenden Spannung entgegenwirkende Spannung. Der Strom kann nur so rasch ansteigen wie es die zur Verf¨ ugung stehende Spannung zul¨asst. In dem Stromkreis Abb. 5.9 gilt nach dem Einlegen des Schalters

Abbildung 5.9. Schalten einer Spule

U0 = Ri + uL , oder U0 = Ri + L

di ; dt

(5.39)

(5.40)

5.2 Netzwerke aus Induktivit¨ aten und Widerst¨ anden

71

hieraus folgt (nach Trennung der Ver¨ anderlichen) dt =

Ldi , U0 − iR

(5.41)

und man findet durch Integration i(t) =

U0 + ke−(R/L)t . R

(5.42)

War die Spule vor dem Einschalten stromlos, so muss i = 0 f¨ ur t = 0 sein, uhrt man noch die Zeitkonstante also k = −U0 /R. F¨ τ := ein, so wird i(t) =

L R

 U0  1 − e−t/τ . R

(5.43)

(5.44)

¨ Ahnlich wie die Spannung bei der Aufladung eines Kondensators n¨ahert sich

Abbildung 5.10. Stromanstieg in der Spule

der Strom in der Spule allm¨ ahlich seinem durch das Ohmsche Gesetz bestimmten Endwert, Abb. 5.10. Die Zeit, die verstreicht, bis der station¨are Gleichstrom erreicht ist, betr¨ agt etwa 4 · · · 8τ . Als Ursache f¨ ur die Verz¨ogerung des Stromanstieges kann wie im elektrischen Feld die Speicherung von Feldenergie angesehen werden. Multipliziert man auf beiden Seiten der Gl. (5.40) mit idt, so wird (5.45) U0 idt = i2 Rdt + Lidi. Links steht die in irgendeinem Zeitpunkt w¨ ahrend des Zeitabschnittes dt von der Stromquelle gelieferte Arbeit. Das erste Glied rechts gibt die w¨ahrend dieses Zeitabschnittes entwickelte W¨ armemenge an. Der Rest der gelieferten Arbeit wird in der Spule gespeichert, und zwar kann man ¨ahnlich wie beim elektrischen Feld das ganze magnetische Feld selbst als Sitz der gespeicherten Energie ansehen. Die w¨ ahrend des Zeitabschnittes dt aufgenommene Energie ist nach Gl. (5.45) dW = Lidi. (5.46)

72

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

Die zu einem beliebigen Zeitpunkt im Feld gespeicherte Energie, die man als die magnetische Energie des Feldes bezeichnet, ergibt sich durch Integration: W =

1 2 Li . 2

(5.47)

Abb. 5.11 zeigt den zeitlichen Verlauf der von der Stromquelle gelieferten

Abbildung 5.11. Energieaufnahme der Spule

Leistung U0 i sowie der in W¨ arme umgewandelten Leistung i2 R. Die schraffierte Fl¨ ache zwischen den beiden Kurven gibt die gespeicherte Energie an. Diese kann beim Abbau des Feldes wiedergewonnen werden. Verbindet man die beiden Enden der Spule miteinander, so gilt di ; dt

(5.48)

i(t) = Ia e−t/τ ,

(5.49)

0 = iR + L daraus folgt

wenn mit Ia der Strom im Moment des Kurzschlusses bezeichnet wird. W¨ahrend der Strom gem¨ aß dieser Funktion allm¨ahlich auf Null abf¨allt, wird die im Feld gespeicherte Energie an den Stromkreis abgegeben und in W¨arme umgewandelt. Bei einer pl¨ otzlichen Unterbrechung eines Stromkreises, der eine Spule mit hoher Induktivit¨at enth¨ alt, muss sich die in der Spule aufgespeicherte Energie in sehr kurzer Zeit umsetzen; es ergibt sich daher eine sehr hohe Selbstinduktionsspannung, die einen Funken oder Lichtbogen an der Unterbrechungsstelle zur Folge hat, wobei die magnetische Energie in W¨arme umgewandelt wird. Um derartig hohe Spannungen, die f¨ ur die Isolation der Wicklung gef¨ahrlich werden k¨ onnen, zu vermeiden, verbindet man bei großen Spulen vor dem Abschalten der Stromquelle die beiden Wicklungsenden durch einen Widerstand R1 . Die Spannung an der Spule wird dann nach dem Abschalten der Stromquelle (5.50) u(t) = i(t)R1 = Ia R1 e−t/τ , wobei

5.2 Netzwerke aus Induktivit¨ aten und Widerst¨ anden

τ=

L ; R + R1

73

(5.51)

sie springt also beim Abschalten auf den Wert Ua = Ia R1 = U0

R1 . R

(5.52)

Zahlenbeispiel: Es sei L = 0, 2H, R = 10Ω, U0 = 100V . Die Zeitkonstante wird 0, 2H L τ= = = 0, 02s. (5.53) R 10Ω Der Aufbau des magnetischen Feldes ist in etwa 0,1 Sekunden beendet. Dann ist die Stromst¨ arke 100V I= = 10A. (5.54) 10Ω die in der Spule aufgespeicherte Energie W =

1 2 1 LI = 0, 2 · 100HA2 = 10W s. 2 2

(5.55)

Bei gegebenem Wickelraum, F¨ ullfaktor und magnetischem Widerstand ist die Zeitkonstante einer Spule unabh¨ angig von der Windungszahl, da nach Gl. (23.23) und (22.28) sowohl der Widerstand als auch die Induktivit¨at proportional dem Quadrat der Windungszahl ist. 5.2.2 Wechselstromkreis mit Induktivit¨ at Magnetische Wechselfelder werden durch Wechselstrom erzeugt. Fließt in einer Spule mit der Induktivit¨ at L ein Strom √ i(t) = I 2 sin ωt = Im sin ωt, (5.56) so entsteht nach Gl. (4.32) eine Selbstinduktionsspannung uL (t) = L

di(t) = ωLIm cos ωt. dt

(5.57)

Dabei gilt die Spannung dann als positiv, wenn sie einem Potenzialgef¨alle in Richtung des Stromz¨ ahlpfeiles entspricht. Aus Gl. (5.57) geht hervor, dass die Selbstinduktionsspannung dem Strom um 90◦ voreilt. Ferner ist ersichtlich, dass der Effektivwert der Selbstinduktionsspannung UL = ωLI betr¨ agt.

(5.58)

74

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

Infolge des Widerstandes R der Spule entsteht nach dem Ohmschen Gesetz eine Spannung uR (t) = Ri(t) = RIm sin ωt, (5.59) die in Phase mit dem Strom schwingt und deren Effektivwert UR = RI

(5.60)

betr¨ agt. Man bezeichnet UR auch als Ohmschen Spannungsabfall, UL als induktiven Spannungsabfall. Die gesamte Spannung u an der Spule ergibt sich in jedem Zeitpunkt als Summe der beiden Spannungen uR und uL u = uR + uL .

(5.61)

Im Zeigerdiagramm, Abb. 5.12, m¨ ussen daher die beiden Zeiger UR und UL

Abbildung 5.12. Zeigerdiagramm einer Spule

geometrisch addiert werden. Aus dem rechtwinkligen Dreieck folgt f¨ ur den Effektivwert der Gesamtspannung an der Spule   (5.62) U = UR2 + UL2 = I R2 + (ωL)2 . Zs (ω) =

 R2 + (ωL)2 .

(5.63)

ist die Impedanz der Spule. Umgekehrt folgt bei gegebener Spannung die Stromst¨arke aus der Gl. (5.62). Der Strom in der Spule eilen der Spannung an der Spule um einen Winkel ϕ nach, der zwischen 0◦ und 90◦ liegt, und der berechnet werden kann aus ωL . (5.64) tan ϕ = R Die Spule nimmt in jedem Zeitelement dt die elektrische Arbeit uidt auf. Die der Spule zufließende Leistung ist daher in jedem Zeitpunkt t Pt = ui = uR i + uL i.

(5.65)

Setzt man hier uR , uL und i nach Gl. (5.56), (5.57) und (5.59) ein und ber¨ ucksichtigt, dass

5.2 Netzwerke aus Induktivit¨ aten und Widerst¨ anden

2 sin2 ωt = 1 − cos ωt;

2 sin ωt cos ωt = sin 2ωt,

75

(5.66)

so ergibt sich unter Verwendung von Effektivwerten Pt (t) = I 2 R − I 2 R cos 2ωt + I 2 ωL sin 2ωt.

(5.67)

Die Leistung schwankt zeitlich mit der doppelten Frequenz des Wechselstromes. Der Mittelwert zeigt die in der Spule entstehenden Verluste durch Stromw¨ arme an. Er betr¨ agt  1 T P = u(t)i(t)dt = I 2 R. (5.68) T 0 Dies ist der erste Summand in Gl. (5.67). Der zweite Summand stellt eine

Abbildung 5.13. Augenblicksleistung Pt bei einer Spule

Schwankung mit dem gleich großen Scheitelwert dar. Der Augenblickswert der Leistung in dem ohmschen Widerstand R ist immer dann Null, wenn der Strom durch Null geht, er hat den Maximalwert 2I 2 R, wenn der Strom ein positives oder negatives Maximum durchl¨ auft. Abb. 5.13 zeigt den zeitlichen Verlauf der vom ohmschen Widerstand R aufgenommenen Leistung PRt . Der dritte Summand in Gl. (5.67) stellt ebenfalls eine Leistungsschwankung mit der doppelten Frequenz des Wechselstromes dar, aber mit dem Mittelwert Null. Der Scheitelwert der Schwankung ist I 2 ωL, Abb. 5.67. Diese Leistung PLt ist immer dann Null, wenn der Strom i oder die Spannung uL durch Null gehen. Dazwischen liegen die Maximal- und Minimalwerte. Diese schwankende Leistung zeigt die im magnetischen Feld gespeicherte Energie an. Jeweils w¨ ahrend einer Viertelperiode des Stromes (+) wird Energie in das magnetische Feld geliefert und w¨ ahrend der darauffolgenden Viertelperiode (−) fließt diese Energie wieder zur Stromquelle zur¨ uck. Der Scheitelwert dieser Leistung ist auch (5.69) I 2 ωL = IUL . Die maximal im magnetischen Feld gespeicherte Energie ergibt sich durch Integration u ¨ber eine Viertelperiode

76

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

 Wm =

0

T /4

2

PLt (t)dt = I ωL



T /4

sin 2ωtdt = I 2 L.

(5.70)

0

Dies ¨ berein mit Gl. (5.46), wenn dort der Scheitelwert des Stromes √ stimmt u I 2 f¨ ur den betrachteten Zeitpunkt T /4 eingesetzt wird. Der aus der gemessenen Verlustleistung nach Gl. (5.68) berechnete Wert von R ist im allgemeinen gr¨ oßer als der mit Gleichstrom gemessene Widerstand. Man bezeichnet daher den aus Gl. (5.68) definierten Widerstand als den Wirkwiderstand der Spule; der Unterschied gegen¨ uber dem Gleichstromwiderstand ist bedingt durch die im magnetischen Wechselfeld auftretenden Verluste, die sich aus verschiedenen Anteilen zusammensetzen (siehe Abschnitt 29.1 und 29.3). ωL wird auch als Blindwiderstand bezeichnet, da die mittlere Leistung nur durch den Spannungsabfall IR bestimmt ist und der Spannungsabfall IωL zur mittleren Leistung nichts beitr¨ agt. Bemerkung: Auch wenn Induktivit¨ aten erst im Rahmen der Theorie des station¨ aren Magnetfeldes n¨ aher betrachtet werden, f¨ ugen wir schon hier einige Bemerkungen an. Die verwendeten Begriffe des magnetischen Feldes muss der Leser gegebenenfalls in Abschnitt 18 nachlesen. Wenn n¨amlich der magnetische Kreis im wesentlichen aus Eisen besteht und hohe B-Feldst¨arken vorkommen, so dass die nichtlinearen Effekte eine wesentliche Rolle spielen, vermeidet man den Begriff der Induktivit¨ at und berechnet die Selbstinduktionsspannung unmittelbar aus dem durch die Wicklung mit N Windungen hindurchgehenden B¨ undelfluss Φ. Ist Φm der Scheitelwert dieses Flusses, so ist der Augenblickswert (5.71) Φ(t) = Φm sin ωt. Die Selbstinduktionsspannung wird nach dem Induktionsgesetz uL (t) = N

dΦ(t) = N ωΦm cos ωt. dt

(5.72)

Sie eilt gegen¨ uber dem Fluss danach um 90◦ vor. Der Effektivwert der Selbstinduktionsspannung wird 1 UL = √ N ωΦm = 4, 44N f Φm 2

(5.73)

In manchen F¨ allen ist die hierin enthaltene Voraussetzung, dass der B¨ undeloße mit allen Windungen verkettet ist, nicht zul¨assig. fluss Φm in voller Gr¨ Der Gesamtfluss Φgm ist verschieden von N Φgm . Man dr¨ uckt dies durch die Beziehung aus (5.74) Φgm = ξN Φm und nennt ξ den Wicklungsfaktor. Dann gilt also allgemein UL = 4, 44ξN f Φgm .

(5.75)

5.2 Netzwerke aus Induktivit¨ aten und Widerst¨ anden

77

H¨ aufig ist bei Spulen mit Eisenkern der ohmsche Spannungsabfall klein gegen den induktiven Spannungsabfall. Dann stimmt die Selbstinduktionsspannung UL , angen¨ ahert mit der Gesamtspannung U an der Spule u ¨ berein. Durch eine an der Spule wirkende Wechselspannung U ist nach Gl. (5.75) der Scheitelwert des magnetischen Flusses Φm im Eisenkern zwangsl¨aufig und unabh¨angig von den Eigenschaften des Eisenkerns bestimmt Φgm ≈

U . 4, 44ξN f

(5.76)

Er eilt gegen¨ uber der Spannung U angen¨ ahert um 90◦ nach. Aus dem Scheitelwert Φm des Induktionsflusses folgt der Scheitelwert die magnetische BFeldst¨ arke Bm durch Division mit dem wirksamen Eisenquerschnitt. Auch die magnetische Induktion verl¨ auft zeitlich sinusf¨ormig und eilt gegen¨ uber der Spannung U um 90◦ nach. Die magnetische Induktion bestimmt nun in jedem Zeitpunkt gem¨ aß der Magnetisierungskurve des Eisens die magnetische Feldst¨ arke und damit Durchflutung und Strom in der Spule. Wegen der Kr¨ ummung der Magnetisierungskurve verl¨ auft der Strom bei sinusf¨ormiger Spannung daher nicht sinusf¨ ormig (siehe Abschnitt 33). Zahlenbeispiel: An einer Spule mit der Induktivit¨at 1H und dem Wirkwiderstand 10Ω liegt eine Wechselspannung mit dem Effektivwert U = 220V und der Frequenz f = 50Hz. Der Blindwiderstand der Spule wird ωL = 314 Ω. Der Scheinwiderstand der Spule wird  Zs = 102 + 3142 Ω ≈ 314Ω.

(5.77)

(5.78)

Der Effektivwert der Stromst¨ arke wird I=

U 220V = 0, 7A. = Zs 314Ω

(5.79)

Die von der Spule aufgenommene Leistung ist P = I 2 R = 490W.

(5.80)

Die komplexe Wechselstromrechnung l¨ asst sich mit Vorteil anwenden, wenn die Induktivit¨ at als konstant angesehen werden kann. Dabei werden UL , I, UR und Z als komplexe Gr¨ oßen angenommen, ohne sie besonders zu kennzeichnen. Dann gilt f¨ ur die Selbstinduktionsspannung UL = IjωL.

(5.81)

78

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

Man kann Z = jωL

(5.82)

als die der Induktivit¨ at L entsprechende komplexe Impedanz auffassen. Der Ohmsche Spannungsabfall ist UR = IR,

(5.83)

U = UR + UL = I(R + jωL).

(5.84)

und es gilt Die Gr¨ oße R + jωL stellt den komplexen Widerstand der Spule dar, R ist der Wirkwiderstand, ωL der Blindwiderstand. N¨aheres u ¨ ber die komplexe Wechselstromrechnung siehe in Abschnitt 4.3.

5.3 Dreiphasennetzwerke Beim symmetrischen Dreiphasensystem haben die drei Sternspannungen (Spannung zwischen Außenleiter und Sternpunkt) untereinander gleiche Effektivwerte und Phasenverschiebungen von je 2π/3 = 120◦, Abb. 5.14. Ohne weitere Kennzeichnung werden s¨ amtliche Spannungen, Str¨ome, Impedanzen, und Faktoren als komplex angenommen. Nennt man die drei Sternspannungen U1 , U2 , U3 , die drei Dreiecksspannungen U12 , U23 , U31 , so gilt

Abbildung 5.14. Zeigerdiagramm der Dreiphasenspannungen

U2 = kU1 ,

U3 = kU2 = k 2 U1 ,

(5.85)

wobei ◦

k = ej120 = cos 120◦ + j sin 120◦ = −0, 5 + j0, 866, 2

j240◦

3

j360◦

k =e k =e

bedeuten. Ferner ist

(5.86)

= −0, 5 − j0, 866,

(5.87)

=1

(5.88)

5.3 Dreiphasennetzwerke

U12

79

√ ◦ = U1 − U2 = U1 (1 − k) = U1 (1, 5 − j0, 866) = 3e−j30 U1 , (5.89)

U23 = U2 − U3 = kU1 − k 2 U1 = kU12 , U31 = U3 − U1 = k 2 U1 − U1 = k 2 U12 .

(5.90) (5.91)

Bei beliebiger unsymmetrischer Belastung des Netzes erh¨alt man die Str¨ome durch Anwenden der Kirchhoffschen Gesetze.

Abbildung 5.15. Dreiphasensystem ohne Sternpunktleiter

Mit Hilfe der Dreiecksternumwandlung kann bei Systemen ohne Sternpunktleiter jeder Belastungsfall auf das Schema der Abb. 5.15 zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Der Sternpunkt des Verbrauchers nimmt hier im allgemeinen Falle uber dem Sternpunkt des Netzes an. F¨ ur die drei eine Spannung U0 gegen¨ Str¨ ome gilt U1 − U0 , Z1 U2 − U0 , I2 = Z2 U3 − U0 I3 = . Z3 I1 =

(5.92) (5.93) (5.94)

Da die Summe dieser drei Str¨ ome gleich 0 sein muss, folgt I1 + I2 + I3 =

U1 − U0 U2 − U0 U3 − U0 + + =0 Z1 Z2 Z3

(5.95)

und hieraus ergibt sich
U0 = Zp

U1 U2 U3 + + Z1 Z2 Z3

 ,

(5.96)

wobei zur Abk¨ urzung Zp den Ersatzwiderstand der drei parallel geschalteten Verbraucherwiderst¨ ande bezeichnet 1 1 1 1 = + + . Zp Z1 Z2 Z3 Damit k¨ onnen die drei Außenleiterstr¨ ome berechnet werden.

(5.97)

80

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

Abbildung 5.16. Dreiphasensystem mit Sternpunktleiter

F¨ ur Systeme mit Sternpunktleiter ist das allgemeine Schema durch Abb. 5.16 gegeben. Hier ist (5.98) U0 = I0 Z0 und die Summe der drei Leiterstr¨ ome gleich dem Sternpunktleiterstrom I0 also U2 − U0 U3 − U0 U0 U1 − U0 + + = . Z1 Z2 Z3 Z0

(5.99)

Daraus ergibt sich Z0 Zp U0 = Z0 + Zp




U1 U2 U3 + + Z1 Z2 Z3

 .

(5.100)

Das Zeigerdiagramm ist f¨ ur den Fall von symmetrischen Dreiphasenspannun-

Abbildung 5.17. Symmetrisches Dreiphasennetz mit unsymmetrischer Belastung

gen in Abb. 5.17 gezeigt. Die Lage des Sternpunktes 0 der Verbraucher unterscheidet sich im allgemeinen um die Spannung U0 von 0. Die Verbindungsstrecken zwischen 0 und den drei Eckpunkten des Dreiecks geben die Zeiger der Spannungen an den drei Verbraucherstr¨ angen; z. B. ist 0 1 = U1 − U0 = I1 Z1 die Spannung am Verbraucherwiderstand Z1 . Beispiele: 1. Bei der in Abb. 5.18 dargestellten Anordnung zur Feststellung der Phasenfolge bei Dreiphasenspannungen, bestehend aus den beiden Gl¨ uhlampenwiderst¨ anden R und dem Kondensator mit der Kapazit¨at C, ist Z1 = Z2 = R,

Z3 =

1 . jωC

(5.101)

5.3 Dreiphasennetzwerke

81

Abbildung 5.18. Phasenfolgezeiger

Hieraus

1 2 + jωC = Zp R

und U0 = U1

1 + k + k 2 jωCR . 2 + jωCR

(5.102)

(5.103)

Daher wird U1 U1 − U0 = (1 + jωRC − k − k 2 jωRC) R R(2 + jωCR)

(5.104)

U1 kU1 − U0 = (k + kjωRC − 1 − k 2 jωRC) R R(2 + jωCR)

(5.105)

I1 = und I2 =

Durch Einsetzen von k und k 2 ergibt sich  √ I  1 − 3ωRC + (ωRC)2  1 √  = I2 1 + 3ωRC + (ωRC)2

(5.106)

Dieser Quotient ist f¨ ur alle Werte von ωCR > 0 kleiner als 1. Die heller brennende Lampe zeigt daher die der dunklen Lampe zeitlich folgende Spannung an.

Abbildung 5.19. Zeigerdiagramm f¨ ur Beispiel 1.

F¨ ur die Anordnung der Abb. 5.18 gilt das Zeigerdiagramm Abb. 4.11 Die Summe der beiden Zeiger 0 1 und 0 2 ist O A = (I1 + I2 )R und somit ein

82

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

Maß f¨ ur die Summe der beiden Str¨ ome, die entgegengesetzt gleich I3 sein muss. Der Zeiger der Spannung 0 3 am Kondensator muss daher gegen O A um 90◦ voreilen. Daraus folgt die in der Abb. 4.11 angedeutete Konstruktion. B halbiert die Strecke 12. Der Punkt 0 liegt auf dem Halbkreis u ¨ber B3. 2. Wenn in einem Dreiphasennetz ohne Sternpunktleiter Erdschluss eines Außenleiters z. B. des Leiters 3, eintritt, so fließt zwischen diesem Außenleiter und Erde ein Strom, der sich u ¨ ber die Erdkapazit¨at der anderen Leiter schließt. Bezeichnet man die Teil-Erdkapazit¨ at eines Leiters mit C, so ist im Erdschlussfall 1 1 1 , = jωC + , (5.107) Z1 = Z2 = jωC Z3 R3 wenn mit R3 der als klein angenommene Erd¨ ubergangswiderstand bezeichnet wird. Daraus folgt 1 1 = j3ωC + , (5.108) Zp R3 und nach Gl. (5.96) 
U3 U3 + U3 jωC = . U1 jωC + U2 jωC + R3 1 + 3jωR3 (5.109) Der Strom in Z3 wird also

U0 =

1 3jωC + 1/R3

U3 − U0 U3 U3 (1 + jωCR3 ) (1 + jωCR3 ) = + U3 jωC − = R3 R3 (1 + 3jωCR3 )R3 1 + jωCR3 = 3jωCR3 . (5.110) 1 + 3jωCR3

I3 =

Angen¨ ahert folgt hieraus I3 = 3jωCU3 , also f¨ ur den Effektivwert |I3 | = 3ωC|U3 | = 3ωC|U1 |. Ist z.B. |U1 | = 100kV, ω = 314s−1 und bei 100km Leitungsl¨ange C = 0, 7µF , so wird |I3 | = 66A. Ein Lichtbogen zwischen Leiter und Erde kann also einen Strom bis zu dieser St¨ arke f¨ uhren. 3. Man senkt die bei Erdschluss einer Leitung entstehende Stromst¨arke durch die Erdschlussspule (W. Petersen 1913). Diese Spule wird zwischen den Sternpunkt der Stromquelle und Erde eingeschaltet. Bei Erdschluss der Leitung 3 ergibt sich dann ein Stromkreis wie in Abb. 4.8 mit Z1 = Z2 =

1 , jωC

1 1 = + jωC, Z3 R3

Z0 = jωL,

(5.111)

wenn L die Induktivit¨ at der Erdschlussspule bezeichnet. Damit folgt 1 1 = 3jωC + Zp R3 und nach Gl. (5.100)

(5.112)

5.3 Dreiphasennetzwerke

U0 =

1 jωL

1 + 3jωC + 

= 1 + R3

1 R3

U3 1 jωL

83


U3 + U3 jωC = U1 jωC + U2 jωC + R3 .

(5.113)

+ 3jωC

Nach Gl. (5.93) ergibt sich U3 − U0 ≈ U3 I3 = Z3




1 + 3jωC jωL

 (5.114)

und f¨ ur den Effektivwert angen¨ ahert
|I3 | = |U1 |3ωC 1 −

1 2 3ω LC

 .

(5.115)

Dieser Ausdruck verschwindet, wenn die Induktivit¨at so gew¨ahlt wird, dass 3ωLC = 1. Im Zahlenbeispiel 2. muss also L=

1 ω2C

=

1 3 · 9, 83 · 104 · 0, 7 · 10−6

H = 4, 84H

(5.116)

gemacht werden. In diesem Fall ist |U0 | = |U3 |, und der u ¨ber die Erdschlussspule fließende Strom |U3 |/(ωL) hat die gleiche St¨arke wie der gesamte kapazitive Strom des Netzes, aber entgegengesetzte Phase, so dass der Erdschlussstrom kompensiert wird. Im unsymmetrischen Dreiphasensystem, bei dem die drei Sternspannungen U1 , U2 , U3 beliebige Werte und Phasen sowie einen von Null verschiedenen Summenwert haben k¨ onnen, sind auch die Dreieckspannungen U12 = U1 − U2 ,

U23 = U2 − U3 ,

U31 = U3 − U1

(5.117)

im allgemeinen voneinander verschieden und ungleich gegeneinander phasenverschoben; ihre Summe ist jedoch immer Null. F¨ ur die Berechnung der Leiterstr¨ ome gilt grunds¨ atzlich das gleiche wie im symmetrischen Dreiphasensystem; es gelten also auch hier die Gl. (5.93), (5.96) und (5.100), durch die alle F¨alle beliebiger Unsymmetrien und Belastungen erfasst sind. Ein besonderes Verfahren, das h¨aufig mit Vorteil anwendbar ist, bildet die Zerlegung in symmetrische Komponenten. Dieses Verfahren zerlegt ein beliebiges System von drei unsymmetrischen Sternspannungen in eine Summe aus 1. einem System von drei symmetrischen Sternspannungen mit positivem Umlaufsinn ( Hauptsystem“ oder Mitsystem“) ” ” (1)

U1 ,

(1)

U2

(1)

= kU1 ,

(1)

U3

(1)

= k 2 U1 ,

(5.118)

2. einem System von drei symmetrischen Sternspannungen mit negativem Umlaufsinn ( Nebensystem“ oder Gegensystem“) ” ”

84

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke (2)

(2)

U1 ,

U2

(2)

(2)

= kU1 ,

U3

(2)

= k 2 U1 ,

(5.119)

3. einem System von drei gleichphasigen Sternspannungen ( Gleichpha” sensystem“ oder Nullsystem“) ” (0)

U1

(0)

(0)

= U2

= U3 .

(1)

(2)

(1) U2 (1) U3

(2) U2 (2) U3

(5.120)

Man setzt also (3)

U1 = U1 + U1 + U1 , U2 = U3 =

+ +

+ +

(3) U2 , (3) U3 .

(5.121) (5.122) (5.123)

Durch Aufl¨ osen nach den drei Komponenten erh¨alt man (0)

U1

(1)

U1

(2)

U1

1 (U1 + U2 + U3 ) , 3  1 U1 + k 2 U2 + kU3 , = 3  1 U1 + kU2 + k 2 U3 . = 3 =

(5.124) (5.125) (5.126)

Mit diesen Gleichungen k¨ onnen die Komponenten leicht berechnet oder graphisch bestimmt werden. Die Berechnung der Leiterstr¨ome l¨asst sich dann f¨ ur die drei Komponenten einzeln durchf¨ uhren wie bei den symmetrischen Spannungssystemen. Die wirklichen Str¨ ome ergeben sich durch Summieren der drei Komponenten.

5.4 Der Gyrator Ein interessantes Beispiel f¨ ur ein Zweitor ist der Gyrator. Wir haben in Abschnitt 4.5 ausf¨ uhrlich erl¨ autert, dass der Umkehrungssatz gem¨aß der obigen Ableitung bei jedem passiven linearen Zweitor gilt, das beliebig aus Widerst¨ anden, Kondensatoren, Spulen mit und ohne magnetische Kopplungen und aus Leitungen zusammengesetzt ist. Solche Zweitore nennt man auch kopplungssymmetrische oder reziproke Zweitore. Es gibt jedoch eine Gruppe von passiven linearen Zweitoren, f¨ ur die der Umkehrungssatz nicht gilt. Ein Beispiel bildet ein elektrodynamischer Lautsprecher, der auf ein Kondensatormikrophon einwirkt. Werden die Klemmen des Lautsprechers als Eingangsklemmen, die Klemmen des Mikrophons als Ausgangsklemmen betrachtet, so liegt ein lineares Zweitor vor, f¨ ur den z. B. die Z-Matrixform existiert. Es l¨asst sich aber zeigen, dass die Reziprozit¨ atsbedingung hier nicht gilt, sondern Z21 = −Z12 .

(5.127)

5.4 Der Gyrator

85

Abbildung 5.20. Feldberechnung bei einem Dipol

Gegen¨ uber dem kopplungssymmetrischen Zweitor kehrt sich die Richtung der Spannung am leerlaufenden Ende beim Vertauschen von Eingang und Ausgang um. Einen solches Zweitor nennt man einen Gyrator; er l¨asst sich nicht durch eine Stern- oder Dreieckschaltung von Widerst¨anden darstellen. Ein anderes Beispiel liefert der Hall-Effekt; siehe Abschnitt 27. In Abb. 5.20 seien 1 2 und 3 4 die 4 Anschlussklemmen eines d¨ unnen Pl¨attchens aus einem geeigneten Hall-Effekt-Leiter; es befinde sich entsprechend Abb. 27.5 in einem konstanten B-Feld B. Die Klemmen 1 2 seien nun die Eingangsklemmen, die Klemmen 3 4 die Ausgangsklemmen eines Zweitors mit den Bezugsrichtungen f¨ ur die Spannungen wie in Abb. 4.14. Die Zweitor-Gleichungen lassen sich dann in der Form schreiben:


 U1 R1 −r I1 = . (5.128) U2 I2 r R2 Dabei bezeichnen R1 und R2 die zwischen den Klemmen 1 2 bzw. 3 4 gemessenen Gleichstromwiderst¨ ande (B = 0), r ergibt sich aus den auf in Abschnitt 27 erl¨ auterten Zusammenh¨ angen zu Rh /d. Es zeigt sich also, dass auch hier die Gl. (5.127) gilt und nicht der Umkehrungssatz. Der ideale Gyrator (H. Tellegen 1948) entsteht, wenn die Widerst¨ ande R1 und R2 vernachl¨assigbar klein gegen den Gyratorwiderstand“ r sind. Die Zweitor-Gleichungen des idealen ” Gyrators lauten in der Z-Matrixform 


0 −r I1 U1 = . (5.129) U2 I2 r 0 Die Kettenmatrix ist




0 r 1/r 0

 .

(5.130)

¨ Der ideale Gyrator bildet danach ein Gegenst¨ uck zum idealen Ubertrager, dessen Kettenform oder A-Matrixform nach Gl. (4.108) lautet
 u ¨ 1/¨ u . (5.131) 0 0 Die Vorzeichenumkehr im Kopplungswiderstand nach Gl. (5.127) hat merkw¨ urdige und praktisch wichtige Konsequenzen:

86

5 Beispiele f¨ ur elektrische Netzwerke

¨ Abbildung 5.21. Gyrator mit Uberbr¨ uckung

¨ 1. Wird der Ausgang eines idealen Ubertragers mit einer beliebigen komplexen Impedanz Z2 abgeschlossen, so erscheint nach Gl. (29.172) zwischen den Eingangsklemmen die damit proportionale transformierte Impedanz u ¨Z2 . Wird dagegen der Ausgang des idealen Gyrators mit Z2 abgeschlossen, so folgt aus der Kettenmatrix f¨ ur den Eingangswiderstand Z1 =

U1 r2 = . I1 Z2

(5.132)

D. h. der Scheinwiderstand zwischen den Eingangsklemmen ist umgekehrt proportional dem Abschlusswiderstand. Wird der ideale Gyrator mit einem Kondensator abgeschlossen, so wirkt er am Eingang wie eine Spule. Der ideale Gyrator transformiert eine Impedanz in seine widerstandsre” ziproke“ oder duale Impedanz; siehe z. B. Feldtkeller [68]. 2. Besondere Effekte ergeben sich ferner, wenn der Ausgang des Gyrators u ande mit dem Eingang verbunden wird. Die ¨ ber irgendwelche Widerst¨ Abb. 5.21 soll ein einfaches Beispiel veranschaulichen. Nach Gl. (5.129) gilt f¨ ur den idealen Gyrator G U1 = −rI2 , ferner ist

I1 = I1 + I1 ,

U2 = rI1 ; I2 = I2 + I2 ,

(5.133)

(5.134)

sowie

1 (U1 − U2 ). 2R Daraus folgt f¨ ur das gesamte Zweitor
 1 1 1 U1 + − I1 = U2 , 2R r 2R
 1 1 1 + U2 . −I2 = − r 2R 2R I1 = −I2 =

(5.135)

(5.136) (5.137)

In dieser Leitwertform der Zweitor-Gleichungen kann man Y22 = 0 machen, indem man 2R = r w¨ ahlt. Dann wird aus Gln. (5.136), (5.137)

5.4 Der Gyrator

87

U1 = rI1 ,

(5.138)

U2 = 2U1 + rI2 .

(5.139)

Der Eingangswiderstand wird also gleich r, unabh¨angig vom Abschlusswiderstand des Ausgangs; das Zweitor sperrt in der Richtung vom Ausgang zum Eingang. Die Ausgangsspannung U2 ergibt sich, indem von einer konstanten Quellenspannung 2U1 ein Spannungsabfall rI2 abgezogen wird. F¨ ur das Zweitor gilt also das in Abb. 5.22 gezeigte Ersatzbild. Er liefert in einen Abschlusswiderstand Z2 = r die volle, dem Eingang zufließende Leistung. Ein solches Zweitor bezeichnet man als ideales Trennzweitor. Praktisch verwendete Trennzweitore ben¨ utzen die Drehung der Polarisationsebene in Ferritmaterial (Faraday-Effekt, siehe Abschnitt 20.1). Diese Drehung f¨ uhrt ¨ ahnlich wie die Ablenkung der Ladungstr¨ager beim HallEffekt zu einer Gyrator-Wirkung.

Abbildung 5.22. Ersatzbild des idealen Trennzweitors

Teil III

Das elektrostatische Feld

6 Die Grundgleichungen des elektrostatischen Feldes

Elektrostatische Anziehungskr¨ afte eines mit einem Wolltuch geriebenen Bernsteins (griech. electron) waren bereits den Griechen bekannt waren (Thales von Milet; 626 - 547 v. Chr.), aber erst Benjamin Franklin schlug die Bezeichnungen negativ“ und positiv“ f¨ ur die beiden elektrischen Fluida“ vor, ” ” ” mit denen K¨ orper bestimmter Art – beispielsweise auch Metalle – beaufschlagt werden k¨ onnen. Man wusste auch, dass sich K¨ orper mit unterschiedlichen elektrischen Fluida anziehen, w¨ ahrend sie sich bei gleichartigen Fluida abstoßen. Zwischen 1771 und 1789 entdeckten Henry Cavendish und Charles Augustin de Coulomb (vgl. Spektrum der Wissenschaft-Biographie von Maxwell [224]) die Gesetzm¨ aßigkeit dieser Anziehungs- und Abstoßungskr¨afte. Einzelheiten zur Fr¨ uhgeschichte der Elektrizit¨ at findet man in dem 1772 erschienenen Werk von Priestley [195] und u. a. auch bei Simonyi [220]. Sie fanden heraus, dass der Betrag der Kraft umgekehrt proportional mit dem Quadrat des Abstands abnimmt und proportional zu den Ladungen der beiden K¨ orper ansteigt. Die Richtung der Kraft liegt auf der Verbindungsgerade der Schwerpunkte der beiden K¨ orper. Es zeigte sich also, dass die Form des elektrischen Kraftgesetzes dem des Gravitationsgesetzes von Newton entspricht. Das elektrische Kraftfeld kann also im Rahmen der Experimente von Cavendish und Coulomb mit Hilfe des folgenden (mathematischen) Vektorfeldes modelliert werden F12 (r) = −

1 Q1 Q2 r , 4πε r2 r

(6.1)

wobei Q1 , Q2 die Ladungen der K¨ orper 1 und 2 sind, die ihren zugeh¨origen Schwerpunkten zugeordnet sind. Dieses nach Coulomb benannte Kraftfeld hat bei r = 0 zwar eine Singularit¨ at, aber es verschwindet im Unendlichen zusammen mit seinen Ableitungen. Damit kann F12 in einfach zusammenh¨angenden Gebieten, die den Ursprung r = 0 nicht enthalten, mit Hilfe seiner Rotation und Divergenz (bis auf eine Konstante) eindeutig festgelegt werden. Das besagt der Satz von Helmholtz, auf den wir weiter unten eingehen. Man

92

6 Die Grundgleichungen des elektrostatischen Feldes

kann leicht zeigen, dass der rotationsfreie Anteil von F12 gleich null ist, d.h. rot F12 = 01 Die Kraft h¨ angt nur vom Ort ab, so dass nach Abschnitt 3.2 die Newtonsche Relation gilt und somit f¨ ur die beiden geladenen K¨orper die Newtonschen Bewegungsgleichungen q1 q2 r1 − r2 1 , 2 4πε r1 − r2  r1 − r2  r2 − r1 q2 q1 1 m2 ¨r2 = . 4πε r2 − r1 2 r2 − r1  m1 ¨r1 =

(6.2) (6.3)

aufgestellt werden k¨ onnen. Bereits die L¨ osung dieses einfachen dynamischen Problems f¨ ur das elektrische Kraftfeld kann nicht analytisch ermittelt werden, da die Bewegungsgleichungen nichtlinear sind. Man kann jedoch auf die L¨ osung des Zwei-K¨ orper-Problems der Gravitationstheorie zur¨ uckgreifen und die entsprechende L¨ osung anpassen (vgl. Goldstein [74]); diese L¨osung kann nur bis auf ein elliptisches Integral bestimmt werden. Daher ist es offensichtlich, dass es auch f¨ ur allgemeinere Probleme keine analytische L¨osung gibt. An dieser Stelle wollen wir noch darauf hinweisen, dass Ladungen zwar immer an massebehaftete K¨ orper gebunden sind, aber die Gravitationskraft gegen¨ uber der elektrostatischen Kraft vernachl¨ assigt werden kann, da die Gravitationskraft um viele Zehnerpotenzen schw¨ acher ist als die elektrostatische Kraft. Anstatt die dynamischen Gleichungen mit der Coulomb-Wechselwirkung zu l¨ osen, stellt man sich in der statischen Theorie des elektrischen Feldes – kurz auch Elektrostatik genannt – zun¨ achst einmal die Aufgabe, das Kraftfeld f¨ ur vorgegebene Ladungsverteilungen zu ermitteln. Das berechnete Kraftfeld k¨ onnte dann auch Ausgangspunkt f¨ ur dynamische Betrachtungen sein, die ggf. numerisch durchgef¨ uhrt werden m¨ ussen. Wir wollen an dieser Stelle noch einmal darauf hinweisen, dass mathematische Vektorfelder als Modelle f¨ ur physikalische Felder genutzt werden. Wie in anderen F¨ allen d¨ urfen Modell und Realit¨ at keinesfalls verwechselt werden. Wir kommen im folgenden auf diesen wichtigen Punkt immer wieder einmal zur¨ uck. Da sich das elektrische Kraftfeld beim Einbringen einer ausgedehnten Ladungsverteilungen in ein vorhandenes Kraftfeld ver¨andert, gehen wir davon aus, dass der geladene K¨ orper mit der Ladung q wenig“ ausgedehnt ist und ” und die Ladung q klein“ ist, so dass das elektrische Kraftfeld des anderen ” K¨orpers mit der Ladung Q kaum“ gest¨ ort wird; den kleinen K¨orper nennt ” man Probek¨orper. Daher wird das Kraftfeld auf die Ladung des Probek¨orpers normiert und definieren wir auf diese Weise das elektrische Feld oder E-Feld E(r) := 1

F(r) , q

(6.4)

F12 wird somit nur seine Divergenz bestimmt, die jedoch ebenfalls verschwindet wie man anhand der Beziehung divU (
r
)r = 3U (
r
) +
r
U
(
r
) leicht ermittelt.

6 Die Grundgleichungen des elektrostatischen Feldes

93

wobei es sich nat¨ urlich um das mathematische Modell des physikalischen elektrischen Feldes handelt. Das als elektrisches Feld eingef¨ uhrte physikalische Feld repr¨ asentiert im Sinne der Grundexperimente von Cavendish und Coulomb die Kraftwirkung, die von einem K¨ orper mit der Ladung Q auf einen geladenen Probek¨ orper ausge¨ ubt wird. Da das E-Feld proportional zur Coulombschen Kraft F ist, erbt“ das E-Feld auch einige Eigenschaften von F. ” Insbesondere gilt rot E = 0. Das Coulombsche Kraftgesetz wirkt wie das Gravitationsfeld im Sinne einer Fernwirkung. Der dazwischenliegende Raum sowie die Art und Geschwindigkeit der Ausbreitung der Kraftwirkung wird in diesem Modell nicht ber¨ ucksichtigt. Da die Zeit in das Kraftgesetz nicht eingeht, breitet sich die Kraftwirkung mit unendlich großer Geschwindigkeit aus. Wir werden sp¨ater sehen, dass das nur n¨ aherungsweise g¨ ultig ist. Daher sollte man das physikalische elektrische Feld und sein mathematisches Modell klar unterscheiden. Obwohl in der Folge des Newtonschen Gravitationsgesetzes alle Kraftfelder im Sinne einer Fernwirkung formuliert worden sind, stellte sich diese Auffassung beim Aufbau der Theorie des elektromagnetischen Feldes als bedeutendes Hindernis heraus. Maxwell ging davon aus, dass Ursache und Wirkung am gleichen Ort stattfinden sollten. Grunds¨ atzlich handelt es sich allerdings um ein philosophisches Prinzip, das seit Maxwell und Einstein beim Aufbau s¨amtlicher physikalischer Theorien beachtet wird. Eigentlich ist es im Fall statischer oder station¨ arer Theorien, in denen keine explizite Zeitabh¨angigkeit auftritt, entbehrlich. Dennoch werden wir das Nahwirkungsprinzip schon beim Aufbau der Theorie des elektrostatischen Feldes beachten und auch beim Ausbau der Theorie wird dieses Prinzip beachtet. Um die Fernwirkung des mit der Ladung Q geladenen K¨orpers auf den Probek¨ orper zu eliminieren, wird zun¨ achst die Ladung durch ein gerichtetes Feld in ¨ aquivalenter Weise ersetzt. Mathematisch gehen wir dabei vom Helmholtzschen Satz aus, der besagt, dass ein Vektorfeld, das im Unendlichen mitsamt seinen Ableitungen verschwindet, bis auf ein konstantes Feld durch den divergenzfreien und rotationsfreien Anteil festgelegt sind; vgl. Anhang A.2. Ausgehend von der Erfahrungstatsache, dass sich gleichnamige Ladungen aufsummieren lassen und ungleichnamige Ladungen subtrahieren, k¨onnen verteilte Ladungen mit Hilfe einer Ladungsverteilungsdichte feldm¨aßig repr¨asentiert werden  (r)dV, (6.5) Q= V

wobei  : R3 → R gilt. Die elektrische Erregung in der Umgebung des K¨orper mit der Ladung Q wird durch ein weiteres (mathematisches) Vektorfeld D(r) repr¨ asentiert, dass im Unendlichen verschwinden soll. Da die Ladungsverteilungsdichte  ein skalares Feld ist, liegt es nahe, die Divergenz von D mit  in Zusammenhang zu bringen; man setzt divD := .

(6.6)

94

6 Die Grundgleichungen des elektrostatischen Feldes

Die elektrische Erregung wird auch dielektrische Verschiebungsdichte oder einfach D-Feld genannt. Um die Rotation dieses D-Feldes D festzulegen, wird nunmehr ein Materialgesetz D = D(E, r) herangezogen. Bei vielen Materialien ist die Materialbeziehung nicht richtungsabh¨ angig (isotrop) und h¨aufig gen¨ ugt ein linearer Ansatz D = ε(r) E f¨ ur das Materialgesetz. Ist das Material auch noch homogen, dann ist ε konstant und die Eigenschaft rotE = 0 kann auf das D-Feld u ¨ bertragen werden. Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass die Ladung Q und das DFeld nur alternativ verwendet werden d¨ urfen. Eine Formulierung wie die ” Ladung Q erzeugt das D-Feld“ w¨ urde wiederum eine Interpretation im Sinne der Nahwirkungstheorie sein. Somit geh¨ ort der Ladungsbegriff Q zum Fernwirkungsprinzip, w¨ ahrend das D-Feld dem Nahwirkungsprinzip zugeordnet werden muss. Bei dieser Einf¨ uhrung der beiden mathematischen Felder in der elektrostatischen Theorie des elektrischen Feldes wird auch deutlich, dass das E-Feld und das D-Feld physikalisch gesehen v¨ollig unterschiedliche Eigenschaften dieses physikalischen Systems repr¨ asentieren. Vielfach wird in der Literatur diese Problematik unklar oder sogar falsch dargelegt. Auf dieser Basis k¨ onnen nun die Grundgleichungen der Elektrostatik mit Hilfe des E- und des D-Feldes f¨ ur den Fall linearer, isotroper, homogener Materialien formuliert werden rot E = 0,

D = εE,

div D = .

(6.7)

Mit Hilfe dieser Gleichungen lassen sich zusammen mit den vorgegebenen Randbedingungen die Felder E und D bei vorgegebener Ladungsverteilung  berechnen. Allerdings handelt es sich um gemischte algebraische und partielle Differentialgleichungen, die f¨ ur eine direkte L¨osung etwas unbequem sind. Man kann jedoch aus diesen Beziehungen in einfacher Weise eine mathematisch handlichere Grundgleichung ableiten, wenn man sich auf einfach zusammenh¨ angende Raumgebiete beschr¨ anken2 . Dazu nutzt man die bekannte Vektoridentit¨ at rotgrad = 0, um das rotationsfreie E-Feld mit Hilfe des Gradienten eines Skalarfeldes, das elektrisches Potenzial ϕ genannt wird, darzustellen E = −grad ϕ. (6.8) Setzt man diese Beziehung unter Verwendung des Materialgesetzes in die Divergenz des D-Feldes ein, man erh¨ alt schließlich  ϕ = − , ε

(6.9)

wobei der Laplaceoperator := divgrad verwendet wird. Im Fall linearer inhomogener Materialien erh¨ alt man eine allgemeinere partielle Differentialgleichungen (PDgln.), die in Abschnitt 8 abgeleitet wird. 2

der Fall mehrfach zusammenh¨ angender Gebiete muss gesondert betrachtet werden

6 Die Grundgleichungen des elektrostatischen Feldes

95

Die Gleichung in (6.9) ist eine sogenannte Poisson-PDgl., bei der es sich um eine lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung handelt. In kartesischen x, y, z-Koordinaten kann der Laplaceoperator beispielsweise in folgendermaßen notiert werden ϕ =

∂ 2 ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2 ϕ + + . ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

(6.10)

Auch in allgemeineren Koordinatensystemen bleibt die Ordnung der Differentialgleichung erhalten, wobei die Koeffizienten der Differentialoperatoren bez¨ uglich der einzelnen Koordinaten nicht notwendigerweise konstant sein m¨ ussen. In Anhang B.1 findet man Darstellungen des Laplaceoperators in den wichtigsten Koordinatensystemen. Im Sinne der Theorie der Zustandsgleichungen nach Abschnitt 2 kann man die Gleichung (6.9) als Zustandsgleichung des elektrischen Feldes interpretieren, wobei (6.8) und die Materialgleichung als Beobachtungsgleichungen erscheinen, mit denen ggf. die beobachtbaren E- und D-Felder ermittelt werden k¨ onnen. Im Mittelpunkt der Analysen im Rahmen der Elektrostatik steht aber die Poisson-PDgl. (6.9). Im Abschnitt 11 wird auf einige grundlegenden analytische und numerische L¨ osungsverfahren eingegangen. Neben der differentiellen Form der Grundgleichungen der Elektrostatik (6.7) gibt es noch eine integrale Formulierung, die mit Hilfe der Vektoranalysis und den dort zur Verf¨ ugung stehenden Integral-S¨atzen leicht ermittelt werden kann. Mit dem Integralsatz von Stokes erh¨ alt man  E · dr = 0 f¨ ur rot E = 0, (6.11) C

w¨ahrend der Gaußsche Satz angewendet werden muss, um den folgenden Darstellungswechsel zu ermitteln  

D · dA =  dV f¨ ur div D = . (6.12) O

V

Schließlich kann man auch eine integrale Formulierung f¨ ur die Definitionsgleichung des elektrischen Potenzials (6.8) angeben  r0 E(˜r) · d˜r. (6.13) ϕ(r) = r

Mit Hilfe der Definition des Potenzials kann man damit auch eine Potenzialdifferenz einf¨ uhren  r2 ϕ(r1 ) − ϕ(r2 ) = E(˜r) · d˜r, (6.14) r1

die man elektrische Spannung bezeichnet.

96

6 Die Grundgleichungen des elektrostatischen Feldes

An dieser Stelle soll darauf hingewiesen werden, dass die in den integralen Formulierungen auftretenden Linien- und Fl¨achenintegrale nur symbolischen Charakter haben. Zur Ausf¨ uhrung konkreter Rechnungen m¨ ussen einige Vorbereitungen (z. B. die Parametrisierung der entsprechenden Fl¨achen und Kurven) getroffen werden, auf die in der Repetitorium von Merziger und Wirths [168] eingegangen wird; eine umfassende Darstellung der mathematischen Theorie findet man in dem Monographie von J¨anich [113].

7 Elementare Betrachtungen zur Elektrostatik

Eine wesentliche Grundlage f¨ ur den Aufbau einer Theorie des statischen elektrischen Feldes war die in Abschnitt 6 n¨ aher betrachtete elektrostatische Kraftwirkung, die man schon seit langer Zeit kannte. Wir sagen demnach, dass die Umgebung einer Ladung mit einem elektrischen Feld erf¨ ullt ist. Die auf eine Punktladung im elektrischen Feld ausge¨ ubte Kraft ist nach Gl. (6.1) F = QE.

(7.1)

Dabei bedeutet E das urspr¨ unglich am Ort der Punktladung vorhandene EFeld. Die Kraft, die zwischen zwei Punktladungen Q1 und Q2 im Abstand a auftritt, l¨ asst sich danach in folgender Weise berechnen. W¨are nur die Punkturde sich am Ort der anderen Punktladung nach ladung Q1 vorhanden, so w¨ Gl. (6.4) ein E-Feld mit dem Betrag E =

Q1 4πεa2

(7.2)

einstellen. F¨ ur den Betrag der Kraft gilt daher (Coulomb 1785) F =

Q1 Q2 ; 4πεa2

(7.3)

sie sucht Ladungen gleichen Vorzeichens voneinander zu entfernen, Ladungen entgegengesetztes Vorzeichens einander zu n¨ ahern. Von diesem durch Coulomb experimentell entdeckten Gesetz hat die Elektrizit¨atslehre ihren Ausgang genommen; ihre geschichtliche Entwicklung ging gegen¨ uber dem hier Dargestellten den umgekehrten Weg. Das Coulombsche Gesetz gab die M¨oglichkeit, Elektrizit¨ atsmengen zu messen; damit konnte man aufgrund der Gl.(6.14) das E-Feld und die elektrische Spannung definieren. Weiterhin wurden im letzten Abschnitt darauf basierend die Grundlagen der Theorie des statischen elektrischen Feldes entwickelt. Setzt man die G¨ ultigkeit des Nahwirkungsprinzips voraus, dann werden zwei mathematische

98

7 Elementare Betrachtungen zur Elektrostatik

Vektorfelder, n¨ amlich das E-Feld und das D-Feld ben¨otigt, um alle physikalischen Aspekte des elektrischen Feldes zu beschreiben. Auch wenn sich diese Vektorfelder zur Beschreibung der physikalischen Zusammenh¨ange gut eignen, ist es f¨ ur die Analyse komplexer Probleme der Elektrostatik zweckm¨aßig, bei der Ableitung entsprechender Verfahren von der Poisson-PDgl. auszugehen. Diese Differentialgleichung f¨ ur das elektrische Potenzial kann als Zustandsgleichung der Elektrostatik aufgefasst werden. Zuvor wollen wir anhand einiger ¨ elementarer Uberlegungen u ¨ ber die Vektorfelder E und D und das elektrische Potenzial ϕ zur Veranschaulichung dieser Gr¨ oßen beitragen. Dazu geht man besser vom elektrischen Potenzial aus; das E-Feld kann dann nach (6.8) durch Bildung des Gradienten ermittelt werden. Das Potenzial wird veranschaulicht durch die Niveaufl¨ achen, die Richtung des E-Feldes durch Feldlinien oder Kraftlinien“. Sie gehen vom Leiter mit dem h¨oheren Po” tenzial zum Leiter mit dem niedrigeren Potenzial und geben u ¨ berall die Richtung der Kr¨ afte an, die im elektrischen Feld auf positive elektrische Ladungen (Elektrizit¨ atsmengen) ausge¨ ubt werden. Geometrisch zeigt das E-Feld die Abnahme des Potenzials l¨ angs einer kleinen Strecke mit der st¨arksten Abnahme geteilt durch diese Strecke an. Das E-Feld ist punktweise also ein Vektor, der senkrecht auf der Niveaufl¨ ache steht und in die Richtung abnehmenden Potenzials zeigt. Um f¨ ur einen beliebigen Punkt eines Potenzialfeldes das E-Feld zu bestimmen, denke man sich durch den betrachteten Punkt die Niveaufl¨ache gelegt, Abb. 7.1, und errichte die Senkrechte auf dieser Niveaufl¨ache. Man

Abbildung 7.1. Berechnung der E-Feldst¨ arke

schreite dann l¨ angs dieser Senkrechten um ein kleines St¨ uck dn1 in Richtung abnehmenden Potenzials fort und bestimme die Abnahme dϕ des Potenzials auf diesem Weg. Dann ist der Betrag des E-Feldes  dϕ    E := E =  . (7.4) dn Diese Ableitung ist gerade der Betrag des Gradienten des Potenzials, wobei noch eine Richtung f¨ ur das vektorielle E-Feld ausgezeichnet werden muss. 1

wir benutzen hin und wieder die Bezeichnung ds oder ds etc. als skalare oder vektorielle differenzielle“ Wegelemente, die man sich im Sinne des linearen Terms ” einer Taylorreihe von f als endliche Differenzen denken kann. Im skalaren Fall gilt: x0 f (x) := f (x) − f (x0 ) ≈ f
(x0 )(x − x0 ) = f
(x0 )x0 x =: dx0 f (x); Die Indizes oße x0 x wird mit dx bezeichnet. x0 werden u ¨ blicherweise weggelassen und die Gr¨

7 Elementare Betrachtungen zur Elektrostatik

99

Entsprechend (6.8) verwendet man im Sinne einer Konvention den negativen Gradienten. Zeichnet man das Niveaulinienbild so, dass benachbarten Niveaulinien immer die gleiche Potenzialdifferenz entspricht, so liegen die Niveaulinien um so dichter nebeneinander, je gr¨ oßer der Betrag des E-Feldes ist. Die Potenzialdifferenz zwischen zwei beliebigen Punkten a und b im Potenzialfeld l¨ asst sich mit Hilfe des Wegintegrals in (6.11) berechnen, wobei statt geschlossenen Weges irgendein Weg von a nach b in Abb. 7.2 verwendet

Abbildung 7.2. Berechnung der Spannung aus der E-Feldst¨ arke

wird. Wir betrachten einen kleinen Abschnitt ds des Weges. Die Potenziale der Endpunkte des Wegelements ds seien ϕ und ϕ−dϕ. Das E-Feld steht senkrecht zu den Niveaufl¨ achen; sie bilden einen Winkel α mit dem Wegelement ds. Der Abstand dn der beiden Niveaufl¨ achen ist daher dn = ds cos α,

(7.5)

dϕ = Edn = Eds cos α.

(7.6)

und nach Gl. (7.4) gilt

Zerlegt man andererseits den Vektor des E-Feldes in die Komponenten in Richtung des Wegelements ds und senkrecht dazu, so ist der Betrag der erstgenannten Komponenten (7.7) Es = E cos α. Es gilt daher f¨ ur die Potenzialunterschied der Endpunkte des Wegelementes auch (7.8) dϕ = Es ds. Die ganze Potenzialdifferenz zwischen den Punkten a und b ergibt sich durch Summierung dieser einzelnen Beitr¨ age u ¨ber den ganzen Weg  b Es ds = ϕa − ϕb . (7.9) a

100

7 Elementare Betrachtungen zur Elektrostatik

Es ist positiv einzusetzen, wenn Es in die Integrationsrichtung f¨allt, negativ bei entgegengesetzter Richtung, Es gilt daher 



b

a

Es ds = − a

Es ds.

(7.10)

b

Das nach Gl.7.9 gebildete Integral ist das Linienintegral des E-Feldes. In einem Potenzialfeld der betrachteten Art ist das Linienintegral des E-Feldes unabh¨angig vom Weg gleich der Differenz der Potenziale zwischen Anfangsund Endpunkt des Integrationsweges. Im Sinne der Vektoranalysis kann man auch das Wegelement ds als Vektor ds auffassen, dessen Richtung durch eine willk¨ urlich als positiv angenommene Wegrichtung, z.B. die Richtung des +Pfeils in Abb. 5.8, bestimmt ist. Die Potenzialdifferenz zwischen Anfangs- und Endpunkt des Wegelements ist dann das skalare Produkt der beiden Vektoren E und ds, also dϕ = E · ds.

(7.11)

F¨ ur die Potenzialdifferenz zwischen einem Ausgangspunkt und einem auf der positiven Wegrichtung zu erreichenden Endpunkt eines beliebigen Weges gilt daher  b

E · ds = ϕa − ϕb .

(7.12)

a

F¨ uhrt man hier die Darstellung des E-Feldes durch den Gradienten ein, Gl. (6.8), so folgt noch  b gradϕ · ds = ϕb − ϕa . (7.13) a

Im Rahmen dieses Buches soll die Theorie elektromagnetischer Felder im wesentlichen als Kontinuumstheorie entwickelt werden; das gilt auch f¨ ur die Ladungen und Ladungsverteilungen. Allerdings wird es gelegentlich n¨otig sein, auch auf den atomistischen Hintergrund der Ladungen hinzuweisen. In der Festk¨ orperphysik wird gezeigt, dass elektrische Ladungen in bestimmten Materialien – sogenannten Leitern – eine gewisse Beweglichkeit besitzen. In metallischen Leitern sind das haupts¨ achlich negativ geladene Elektronen. In der statischen N¨ aherung des elektrischen Feldes ist innerhalb des leitenden Elektrodenmaterials die Feldst¨ arke null, da sonst aufgrund der Kraftwirkung des Feldes auf die Ladungen eine Verschiebung stattfinden w¨ urde; es w¨ urde ein Strom fließen. Daher gilt: Die Oberfl¨achen leitender Elektroden sind im elektrischen Feld Niveaufl¨achen. Die elektrischen Feldlinien m¨ unden senkrecht auf den Leiteroberfl¨ achen; sie entspringen oder endigen dort; es gilt also Etang = 0.

(7.14)

W¨ ahrend bei den elektrischen Leitern einzelne Elektronen eine gewisse Bewegungsfreiheit haben, werden in den Nichtleitern alle Elektronen durch

7 Elementare Betrachtungen zur Elektrostatik

101

die Atomkr¨ afte im Atomverband oder im Molek¨ ul festgehalten. Befindet sich daher in dem Raum zwischen den Elektroden ein nichtleitender Stoff, so entsteht unter der Einwirkung der elektrischen Feldkr¨afte auf die positiv und negativ elektrischen Bestandteile der Atome und Molek¨ ule lediglich eine elastische Verschiebung dieser Bestandteile; im Gleichgewichtszustand halten die afte den inneren Atomkr¨ aften die Waage. Man nennt diese ¨außeren Feldkr¨ Erscheinung die Polarisation des Nichtleiters. Die Herstellung des Gleichgewichtszustandes geht mit einer Verschiebung von Elektrizit¨atsmengen l¨angs der Feldlinien einher, d.h. mit dem Auftreten eines kurzzeitigen elektrischen Stromes in dieser Richtung. Dieser Strom wird bei der Herstellung des elektrischen Feldes als Ladestrom beobachtet, der der einen Elektrode zufließt und von der anderen abgenommen wird. Die Ladung einer Elektrode ist gleich der gesamten Elektrizit¨ atsmenge, die durch den Ladestrom transportiert wird. Wird das elektrische Feld so hergestellt, dass an zwei isolierten Elektroden die beiden Pole einer Spannungsquelle gelegt werden, so m¨ ussen die beiden Ladungen wegen der Kontinuit¨ at des elektrischen Stromes entgegengesetzt gleich sein. Entfernt man die Spannungsquelle von den Elektroden, so bleibt der hergestellte Zustand erhalten, da die aufgebrachten Ladungen sich nicht u onnen. Die Elektroden behalten ihre ¨ ber den isolierten Raum ausgleichen k¨ Ladung und damit auch ihren Potenzialunterschied bei. Da im Innern der leitenden Elektroden kein Potenzialgef¨alle besteht und die ¨ außeren Feldkr¨ afte nur an der Oberfl¨ ache der Elektroden angreifen, so ist die Oberfl¨ ache der Leiter als Sitz der Ladungen aufzufassen. Die Ladung Q einer Elektrode verteilt sich in bestimmter Weise u ¨ ber die Oberfl¨ache. Man kann daher eine Ladungsdichte definieren als die in einem Fl¨achenelement der Leiteroberfl¨ ache vorhandene Ladung geteilt durch das Fl¨achenelement. Befindet sich in einem kleinen Fl¨ achenelement A der Leiteroberfl¨ache eine Ladung Q, so ist limA→0 Q/ A die Ladungsdichte (z.B. 0, 1 As/cm2 ). Veranschaulicht man die Richtung des E-Feldes an jeder Stelle des Raumes durch die Feldlinien, die von der positiv geladenen Elektrode zur negativ geladenen u ¨bergeht, so kann man die Menge der Ladungen dadurch darstellen, dass man die Feldlinien an den Leiteroberfl¨ achen um so dichter zeichnet, je gr¨ oßer die Ladungsdichte an der betreffenden Stelle ist (M. Faraday 1831). Die Anzahl der Linien, die von einer Elektrode ausgehen, gibt dann ein Maß f¨ ur die gesamte Ladung der Elektrode an. Wir nennen diese Gesamtheit der Linien den Verschiebungsfluss oder den elektrischen Fluss und bestimmen: Der von einer Elektrode ausgehende elektrische Fluss ist gleich der Ladung der Elektrode. Die gezeichneten Linien werden Fluss- oder D-Feldlinien genannt. Die Dichte der Verschiebungslinien wird als Verschiebungsdichte, elektrische Erregung oder einfach als D-Feld bezeichnet. Der Betrag des D-Feldes ist gleich dem Verschiebungsfluss geteilt durch die Querschnittsfl¨ache und dessen Richtung ist durch die Richtung der Verschiebungslinien gegeben. Bezeichnet A das Fl¨ achenelement einer Niveaufl¨ ache, Q die Zahl der Verschiebungslinien, die durch das Fl¨ achenelement hindurchgehen, so gilt also f¨ ur den Betrag des D-Feldes an der betrachteten Stelle

102

7 Elementare Betrachtungen zur Elektrostatik

D = D = lim Q/ A. A→0

(7.15)

Der elektrische Fluss, der durch eine beliebige Fl¨ache hindurchgeht, ergibt sich, wenn man das D-Feld in jedem Fl¨ achenelement zerlegt in die normale und die tangentiale Komponente. Die letztere tr¨agt zum Fluss nicht bei; es ist  D · dA. (7.16) A

Der Fluss ist gleich dem Fl¨achenintegral des D-Feldes bzw. der Fluss, der durch ein B¨ undel von Flusslinien dargestellt wird, ist definitionsgem¨aß gleich der Ladung, von der das B¨ undel ausgeht oder auf der das B¨ undel endigt. Legt man in das elektrische Feld in elektrostatischer N¨aherung eine beliebige H¨ ullfl¨ ache O, die eine leitende Elektrode umgibt, so ist der durch diese Fl¨ache tretende Verschiebungsfluss gleich der Ladung Q der Elektrode  (7.17)

D · dA = Q. O

Legt man die H¨ ullfl¨ ache so, dass sie keine Ladungen umschließt, so gilt 

D · dA = 0. (7.18) O

In Gl.(6.12) haben wir gesehen, dass man die integrale Beziehung zwischen DFeld und Ladungsdichte auch mit Hilfe einer partiellen Differentialgleichung formulieren kann. Dazu wird der Divergenz-Operator ben¨otigt, der mit Hilfe einer Grenzwertbildung in folgender Weise gebildet werden kann. Es werde ein beliebiges elektrisches Feld betrachtet mit einer Anzahl von Elektroden, deren Zwischenraum durch nichtleitende Stoffe ausgef¨ ullt ist. In einem nichtleitenden Raum k¨ onnen im allgemeinen freie Elektrizit¨atsmengen, Elektronen oder Ionen, vorhanden sein; man spricht in diesem Fall von einer Raumladung des Nichtleiters. Grenzen wir irgendeinen kleinen Raumteil V beliebiger Form, z.B. einen W¨ urfel, in dem Nichtleiter ab, so kann daher in diesem Raumteil im allgemeinen Fall eine bestimmte Raumladung Q(V ) enthalten sein. Durch Division mit dem Volumen V des Raumteiles erh¨alt man die auf das Volumen bezogene Ladung. Dieser Quotient n¨ ahert sich einem Grenzwert, wenn man den Raumausschnitt kleiner und kleiner werden l¨asst, vorausgesetzt, dass seine Abmessungen noch groß sind gegen die Abst¨ande der Elektronen oder Ionen. Es sei darauf hingewiesen, dass man die Existenz eines Grenzwertes in physikalischer Weise motiviert anstatt durch bestimmte Eigenschaften der mathematischen Funktion Q(V )/V . Den auf diese Weise erhaltenen Grenzwert nennen wir die Raumladungsdichte  := lim

V →0

Q(V ) , V

(7.19)

7 Elementare Betrachtungen zur Elektrostatik

103

die in Abschnitt 18 bei der feldm¨ aßigen Darstellung von Ladungen Q eingef¨ uhrt wurde. Es ist dies eine positive oder negative Gr¨oße, die man z.B. in As/m3 messen kann. Bei gegebener (konstanter) Raumladungsdichte folgt f¨ ur die Ladung des sehr kleinen Raumteiles Q(V ) =  V.

(7.20)

Nach (7.17) kann man nun diese Ladung auch darstellen durch das Fl¨achenintegral des D-Feldes u ache O des Raumausschnittes V und der ¨ber die Oberfl¨ Grenzwert (7.19)  1  = lim (7.21)

D · dA. V →0 V O

Diese Beziehung kann folgendermaßen gedeutet werden. Ist an jeder Stelle des elektrischen Feldes das D-Feld gegeben und bildet man das Fl¨achenintegral des D-Feldes u ache eines kleinen Raumteiles, so n¨ahert sich der ¨ ber die Oberfl¨ Quotient des Integrals zum Volumen des Raumteiles bei abnehmendem Volumen einer festen Grenze, n¨ amlich der Raumladungsdichte. Man bezeichnet die Operation, mit der man aus dem Vektor des D-Feldes diesen Grenzwert erh¨ alt, als die Bildung der Divergenz des D-Feldes  1

D · dA. (7.22) divD := lim V →0 V O

Diese Definition gilt nicht nur f¨ ur das D-Feld, sondern auch f¨ ur beliebige mathematische vektorielle Felder von ¨ ahnlichen Eigenschaften, z.B. die elektrische Stromdichte oder die magnetische Induktion (B-Feld) oder die Geschwindigkeit einer Fl¨ ussigkeitsstr¨ omung. Die Divergenz bestimmt den je Raumeinheit entspringenden Fluss. Insgesamt erh¨ alt man mit Gl. (7.19) und Gl. (7.23) die Beziehung divD = . (7.23) Die Divergenz des D-Feldes ist gleich der Raumladungsdichte. Wenn keine Raumladungen vorhanden sind, dann gilt divD = 0.

(7.24)

Die in einem beliebigen Raum vorhandene Gesamtladung Q ist   Q=  dV = divD dV, V

(7.25)

V

wobei das Integral u ¨ ber den ganzen Raum zu erstrecken ist. Andererseits gilt  Q = D · dA, (7.26) O

104

7 Elementare Betrachtungen zur Elektrostatik

wobei das Fl¨ achenintegral u ¨ ber die den Raumteil begrenzende Fl¨ache zu bilden ist. Durch Vergleich dieser beiden Beziehungen ergibt sich der unter bestimmten Voraussetzungen auch f¨ ur beliebige mathematische vektorielle Felder g¨ ultige Satz von Gauß     dV = divD dV = D · dA. (7.27) V

V

O

Zum Abschluss dieses Abschnittes sollte noch einmal darauf hingewiesen ¨ werden, dass diese Uberlegungen zur Illustration der mathematischen Felder des elektrischen Feldes in elektrostatischer N¨ aherung dienen sollen. Besonders bei der anschaulichen Einf¨ uhrung des D-Feldes wurde deutlich, dass eine wirkliche Begr¨ undung f¨ ur ein zus¨ atzliches Feld in der Elektrostatik nicht gegeben werden kann. Erst mit der Unterscheidung von Fernwirkungs- und Nahwirkungskonzept kann die Einf¨ uhrung des D-Feldes sinnvoll gerechtfertigt wer¨ den. Dennoch sind diese Uberlegungen f¨ ur eine begriffliche Diskussion auch in der Elektrostatik durchaus n¨ utzlich.

8 Materialgesetze in der Elektrostatik

Im vorangegangenen Abschnitt haben wir gesehen, dass der Verschiebungsfluss gleich der Ladung der Elektroden ist. Somit kann das Verh¨altnis des D-Feldes zum E-Feld experimentell untersucht werden. Hierzu kann z.B. eine Anordnung nach Abb. 8.1 dienen. Zwei ebene parallele Metallplatten stehen sich mit der Fl¨ ache A in einem kleinen Abstand d gegen¨ uber. Im Zwischenraum befindet sich der zu untersuchende Nichtleiter. An die beiden Elektroden kann mit Hilfe eines Schalters S eine Spannungsquelle gelegt werden; sie erzeugt an den Elektroden eine Potenzialdifferenz U , die durch das Voltmeter V angezeigt wird. Der Strom fließt dabei durch ein ballistisches Galvanometer G, dessen Maximalausschlag anzeigt, wie groß die Elektrizit¨atsmenge Q ist, die die Platten aufgenommen haben. Diese Elektrizit¨atsmenge ist gleich dem Verschiebungsfluss zwischen den Platten. Wenn der Abstand d der beiden

Abbildung 8.1. Experimentelle Untersuchung des Zusammenhanges zwischen Eund D-Feld

Platten sehr klein gegen die gegen die Fl¨ achenabmessungen ist, so geht der Verschiebungsfluss praktisch vollst¨ andig in dem Zwischenraum von einer Platte zu anderen u ¨ ber. Das Feld zwischen den beiden Platten ist homogen. Alle Niveaufl¨ achen sind parallele Ebenen. Das E-Feld steht senkrecht auf diesen Ebenen; es hat u ¨ berall den Betrag E =

U . d

(8.1)

106

8 Materialgesetze in der Elektrostatik

Der Verschiebungsfluss mit dem Wert Q verteilt sich gleichm¨aßig auf die ganze Fl¨ache A. Das D-Feld hat daher u ¨ berall den Betrag D =

Q . A

(8.2)

Die Messung der Potenzialdifferenz liefert also bezogen auf den Plattenabstand d den Betrag des E-Feldes, w¨ ahrend man aus der Ablesung am ballistischen Galvanometer den Betrag des D-Feldes berechnen kann. F¨ uhrt man derartige Messungen bei verschiedenen Potenzialdifferenzen aus, so findet man, dass bei den u ¨ blichen Isolierstoffen in einem weiten Bereich des E-Feldes das D-Feld proportional zum E-Feld ist, so dass man unter Ber¨ ucksichtigung der Richtung dieser Gr¨ oßen schreiben kann D = εE.

(8.3)

Man spricht von einem linearen Materialgesetz in der Elektrostatik. Die Gr¨oße ε ist eine Materialkonstante; sie wird Dielektrizit¨atskonstante oder Permittivit¨at des betreffenden Stoffes genannt. Es ist ε=

Qd D = . E UA

(8.4)

Setzt man Q in As, U in V , d in m und die Fl¨ache in m2 ein, d.h. arbeitet man mit SI-Einheiten, so erh¨ alt man als Einheit f¨ ur ε 1

F As =: 1 , Vm m

(8.5)

wenn man die Abk¨ urzung Farad F := As/V verwendet. Auch wenn sich kein materieller Nichtleiter zwischen den beiden Platten befindet, zeigt das Galvanometer G eine Aufladung der Elektroden an, die proportional der Potenzialdifferenz U ist. Nat¨ urlich kann auch im leeren Raum die Ladung Q im Sinne einer Nahwirkungstheorie feldm¨aßig durch ein D-Feld beschrieben werden und man erh¨ alt eine entsprechende Dielektrizit¨atskonstante, die mit ε0 bezeichnet wird. In anderen Einheitensystemen als dem internationalen System (SI) kann diese Gr¨ oße auf den Wert Eins normiert werden, was hinsichtlich der Unterscheidung von E- und D-Feld gelegentlich zu Problemen f¨ uhrt. An dieser Stelle soll noch einmal auf die ganz unterschiedlichen Gr¨ unde der Einf¨ uhrung dieser beiden Felder hingewiesen werden. Der Wert von ε0 kann messtechnisch ermittelt werden oder – wie man sp¨ater in Abschnitt 34.1 sehen wird – mit anderen Naturkonstanten in Zusammenhang gebracht werden. Es gilt nach Gl.(34.12) ε0 = 1/(µ0 c20 ), wobei µ0 die magnetische Feldkonstante oder Permeabilit¨at des freien Raumes (vgl. Abschnitt 20). Es ergibt sich folgender Wert ε0 = 8, 85418782

pF . m

(8.6)

8 Materialgesetze in der Elektrostatik

107

Es ist zweckm¨ aßig die Dielektrizit¨ atskonstante anderer Materialien mit ε0 ins Verh¨ altnis zu setzen; man erh¨ alt dann die relative Dielektrizit¨atskonstante (auch Permittivit¨ atszahl genannt) der betreffenden Materialien εr :=

ε . ε0

(8.7)

Diese Zahl ist f¨ ur Luft und gasf¨ ormige Stoffe fast genau gleich Eins. F¨ ur weitere Isolierstoffe der Elektrotechnik sind die entsprechenden Werte der Dielektrizit¨ atskonstante in der Literatur zu finden; z. B. in der H¨ utte [105]. Auch wenn wir die Theorie des elektrischen Feldes grunds¨atzlich als Kontinuumstheorie auffassen, ist es gelegentlich n¨ utzlich, die Verh¨altnisse mit Hilfe einer mikroskopischen Deutung zu illustrieren. Daher soll auf einige, teilwei¨ se auf Maxwell zur¨ uckgehende Uberlegungen hinzugef¨ ugt werden. Allerdings soll eine Ausweitung auf aktuelle festk¨ orperphysikalischen Vorstellungen nicht vorgenommen werden, da sonst der gesteckte Rahmen dieses Lehrbuches u ¨ berschritten wird. Die interessierten Leserinnen und Leser werden auf die entsprechende Literatur verwiesen (vgl. z.B. Wijn, Dullenkopf [258]). Der Fluss des D-Feldes bzw. Verschiebungsfluss besteht also gem¨aß den obenstehenden Ausf¨ uhrungen aus zwei Anteilen, einem Anteil, der durch der durch Verschiebung“ von Elektrizit¨ atsmengen im Inneren der Molek¨ ule des ” Nichtleiters infolge der Polarisation entsteht, und einem zweiten, der bereits im leeren Raum auftritt. Die Unterteilung des Flusses des D-Feldes in den im Vakuum entstehenden Teil und den durch den Isolierstoff bedingten Teil bringt man dadurch zum Ausdruck, dass man setzt D = εE = εr ε0 E = ε0 E + P = (ε0 + χe ε0 )E,

(8.8)

wobei P = ε0 E gilt. Man bezeichnet P als elektrische Polarisation“ des ” Dielektrikums, χe als dielektrische Suszeptibilit¨at; es gilt χe =

ε − ε0 = εr − 1. ε

(8.9)

Der zweite Teil des Flusses des D-Feldes kann formal in gleicher Weise ge¨ deutet werden wie der erste, wenn man die Existenz eines ruhenden Athers“ ” annimmt, der alle Materie durchsetzt, und der ¨ahnliche Eigenschaften besitzt wie die Materie, nur mit dem Unterschied, dass er viel feiner unterteilt ist. Man kann dann den Fluss des D-Feldes im leeren Raum als die Pola¨ risation des Athers auffassen. Die Folgerungen, die man auf Grund dieser von Maxwell herr¨ uhrenden Vorstellungen ziehen kann, decken sich auf das beste mit der Erfahrung, solange es sich um Vorg¨ange handelt, bei denen sich die materiellen K¨ orper mit Geschwindigkeiten gegeneinander bewegen, die klein gegen die Lichtgeschwindigkeit sind. Die Vorstellung des ruhenden ¨ Athers kann nicht aufrechterhalten werden, wenn man zu einer einheitlichen Darstellung auch bei sehr rasch ablaufenden Bewegungsvorg¨angen gelangen

108

8 Materialgesetze in der Elektrostatik

¨ will; man m¨ usste auf Grund der Erfahrungstatsachen dem Ather komplizierte ¨ Eigenschaften zuschreiben, z.B. die, dass der Ather auf jedem gleichf¨ormig gegen das Fixsternsystem bewegten K¨ orper in Ruhe zu sein, d.h. sich mit dem betreffenden K¨ orper zu bewegen scheint, auch bei beliebigen Bewegungen verschiedener K¨ orper gegeneinander. Obwohl daher die Annahme eines ¨ ruhenden Athers im leeren Raum streng genommen nicht zul¨assig ist, ist doch die Zusammenfassung der beiden Anteile des Flusses des D-Feldes zu einem einzigen außerordentlich zweckm¨ aßig, solange eben die vorkommenden Relativgeschwindigkeiten der materiellen K¨ orper gen¨ ugend klein sind gegen die Lichtgeschwindigkeit (vgl. Abschnitt 33). Eine kurze und leicht verst¨andliche Einf¨ uhrung in die spezielle Relativit¨ atstheorie findet man bei Lehner ([136], A.6); dort findet man auch weiterf¨ uhrende Literatur. Das D-Feld ist im Rahmen der Nahwirkungsvorstellung und bei gegebenem – nicht notwendigerweise linearem – Materialgesetz an jeder Stelle des Raumes durch das dort herrschende E-Feld bestimmt. Bei der Herstellung des elektrischen Feldes fließt im Sinne der obenstehenden Vorstellungen an jeder Stelle des Nichtleiters l¨ angs der D-Feldlinien ein Strom (Verschiebung von Ladungen, den man als Verschiebungsstrom“ bezeichnen kann), dessen Ge” samtst¨ arke gleich dem in den Leitungen zu den Elektroden fließenden Strom ist; dieser Verschiebungsstrom“ verschwindet im Nichtleiter und daher auch ” in den Zuleitungen wieder, wenn der Vorgang der Aufladung beendigt ist. Dadurch kann auch f¨ ur zeitlich ver¨ anderliche Vorg¨ ange die Vorstellung des in sich geschlossenen Stromkreises beibehalten werden; der Strom in den Zuleitungen setzt sich im Nichtleiter als Verschiebungsstrom“ fort. Auf diese Vorstellun” gen werden wir in Abschnitt 26 u ¨ ber das quasi-station¨are elektromagnetische Feld n¨ aher eingehen. Das Resultat dieses Verschiebungsstromes“ ist der Fluss ” des D-Feldes zwischen den Elektroden im Nichtleiter. Die relative Dielektrizit¨ atskonstanten (Permittivit¨atszahlen) von elektrisch leitenden Stoffen kann man nicht in der angegebenen Weise bestimmen; man findet sie durch Wechselspannungsmessungen. Da in den metallischen Leitern nur ein kleiner Teil der Elektronen frei ist, so muss auch in den Metallen dem Leitungsstrom ein Verschiebungsstrom bzw. ein Verschiebungsfluss u ¨ berlagert sein. Die relative Dielektrizit¨ atskonstante der Metalle ist jedoch im Bereich der technischen Wechselstr¨ ome nicht messbar und wahrscheinlich kleiner als 10; bei Germanium ist εr ≈ 16, bei Silizium εr ≈ 12. Nicht f¨ ur jedes elektrostatisch wirksame Material gilt ein linearen Materialgesetz mit konstanter Dielektrizit¨ atskonstante. Beispielsweise ist εr von Bariumtitanat nicht konstant, sondern h¨ angt vom E-Feld ab. Grunds¨ atzlich kann man die folgenden F¨ alle unterscheiden: • • •

Lineare, isotrope, homogene Materialien: D = ε E (ε = konst.) Lineare, inhomogene Materialien: D = ε E (ε = konst.) Lineare anisotrope Materialien mit Symmetrien: D = E E (E ist eine lineare Abbildung, die man Dielektrizi¨ atstensor nennt; deren Eigenvektoren kennzeichnen die Symmetrieachsen)

8 Materialgesetze in der Elektrostatik

•

109

Nichtlineare Materialien1 : D = f (E) oder F(D, E) = 0.

Ein Sonderfall sind die linearen inhomogenen Materialien, bei den die Dielektrizit¨ atskonstante ε st¨ uckweise konstant ist, d.h. das interessierende Raumgebiet V kann in Teilgebiete Vk zerlegt werden, in denen ε jeweils konstant ist. Um das Verhalten des E- und des D-Feldes an den R¨andern dieser Teilgebiete zu verstehen, betrachten wir zun¨ achst den allgemeinen linearen, inhomogenen Fall D = ε(r) E. Wir haben bereits darauf hingewiesen, dass wegen des Satzes von Helmholtz die Rotation des D-Feldes bzw. die Divergenz des E-Feldes noch festgelegt werden m¨ ussen, da auf physikalischer Grundlage (elektrostatische Kr¨afte, feldm¨ aßige Darstellung von Ladungen) zun¨ achst nur die Divergenz bzw. Rotation dieser mathematischen Felder begr¨ undbar sind. Die noch fehlenden Beziehungen lassen sich f¨ ur den Spezialfall eines linearen, isotropen, homogenen Materialgesetzes D = ε E (ε =konst.) sehr einfach festlegen. Wir untersuchen nun, wie man die gesuchten Eigenschaften des D- und E-Feldes in Fall linea¨ rer inhomogener Materialien findet; diese Uberlegungen findet man bei Weizel [253]. Dazu geht man von zwei vektoranalytischen Identit¨aten aus rot(f F) = f rotF + grad(f ) × F, div(f F) = f divF + F · gradf, wobei f ein skalares Feld und F ein vektorielles Feld)ist. Davon ausgehend erh¨ alt man die entsprechenden Beziehung f¨ ur die Rotation des D-Feldes und die Divergenz des E-Feldes in linearen inhomogenen Materialien rotD = rot(ε E) = ε rotE + grad(ε) × E = grad(ε) × E, divE = div(ε−1 D) = ε−1 divD + D · gradε−1 = D · gradε−1 . Dabei wurde ein rotationsfreies E-Feld und verschwindende Raumladungsdichte vorausgesetzt. Die entsprechende partielle Differentialgleichung f¨ ur das elektrische Potenzial, welche die Poisson-PDgl. im Fall eines linearen, isotropen, homogenen Materials ersetzt, lautet nunmehr div(ε(r) gradϕ) = −.

(8.10)

Verwendet man f¨ ur lineare inhomogene Materialien eine weiter oben beschriebene st¨ uckweise konstante Modellierung, dann kann man die Grenzbedingungen f¨ ur das E- und D-Feld, die an den R¨andern gelten, durch Diskretisierung der f¨ ur ortsver¨ anderliche Dielektrizit¨ atskonstanten geltenden Beziehungen −1 E1t − E2t = 0, E1n − E2n = Dn (ε−1 1 − ε2 ), D1t − D2t = E t (ε1 − ε2 ), D1n − D2n = 0 1

(8.11) (8.12)

Materialien mit Hystereseeffekten besitzen dynamische Eigenschaften und m¨ ussen gesondert behandelt werden; vgl. Mayergoyz [163] und in Hinweise in Abschnitt 20.3.

110

8 Materialgesetze in der Elektrostatik

erhalten, wobei die Indizes t“ und n“ die Transversal- bzw. Normalkompo” ” nente kennzeichnen. Wenn in der Grenzfl¨ ache Ladungen enthalten sind, kann man auch entsprechende Ab¨ anderungen dieser Beziehungen ableiten. ¨ ¨ Ublicherweise finden man in der Literatur eher heuristische Uberlegungen, um diese Beziehungen zu rechtfertigen. Ausgangspunkt ist die Gleichung (7.18). Danach treten in ein beliebiges Raumgebiet, das keine Ladungen enth¨ alt und mit einem elektrischen Feld durchsetzt ist, genau so viele Feldlinien des D-Feldes ein, wie aus ihm herauskommen. Die Feldlinien des D-Feldes sind in solchen Raumgebieten stetig; sie endigen oder entspringen nur auf elektrischen Ladungen. Daraus folgt f¨ ur die Grenzfl¨ache zwischen zwei Nichtleitern verschiedener Dielektrizit¨ atskonstanten, dass die Normalkomponenten des D-Feldes zu beiden Seiten der Grenzfl¨ ache, Abb. 8.2, einander gleich sein m¨ ussen

Abbildung 8.2. Grenz߬ ache zwischen zwei Nichtleitern

D1n − D2n = 0.

(8.13)

Die Tangentialkomponenten Et des E-Feldes sind maßgebend f¨ ur das Potenzialgef¨ alle l¨ angs der Grenzfl¨ ache. Schreitet man in Richtung der Tangentialkomponenten l¨ angs der Grenzfl¨ ache um ein kleines St¨ uck ds fort, so ergeben sich die Potenzialunterschiede dϕ1 = E1t ds

und

dϕ2 = E2t ds

(8.14)

auf beiden Seiten der Grenzfl¨ ache. Aufgrund von rotE = 0 m¨ ussen die Potenzialunterschiede auf beiden Seiten der Grenzfl¨ache einander gleich sein, d.h. dϕ1 = dϕ2 . Hieraus geht hervor, dass E1t − E2t = 0.

(8.15)

F¨ ur die Tangentialkomponenten des D-Feldes gilt daher D1t ε1 = . t D2 ε2

(8.16)

Die Feldlinien des D-Feldes werden an der Grenzfl¨ache gebrochen, und zwar ¨ wird der Winkel mit der Normalen zur Grenzfl¨ache beim Ubergang der Feldlinien von einem Stoff h¨ oherer zu einem Stoff niedrigerer Dielektrizit¨atskonoßer als ε2 . Diese Beziehungen entsprechen stante kleiner; in Abb. 8.2 ist ε1 gr¨

8 Materialgesetze in der Elektrostatik

111

einem Teil der bereits von einem allgemeineren Standpunkt abgeleiteten Beziehungen.

Abbildung 8.3. L¨ angsschlitz zur Messung der E-Feldst¨ arke

¨ Aus diesen Uberlegungen ergibt sich noch folgender Schluss. Bringt man in einen materiellen Nichtleiter einen engen, langgestreckten zylindrischen Schlitz an, dessen Richtung u ¨bereinstimmt mit der Richtung der Feldlinien, Abb. 8.3, und der von Materie frei ist, so muss im Inneren des Schlitzes die elektrische Feldst¨ arke den gleichen Wert haben wie außerhalb, da an der zylindrischen Grenzfl¨ ache das E-Feld stetig u ur ¨bergehen muss. Es gilt daher f¨ das E-Feld im Inneren des Schlitzes Ei = Ea ,

(8.17)

wenn mit Ea das E-Feld in dem Nichtleiter bezeichnet wird.

Abbildung 8.4. L¨ angsschlitz zur Messung der D-Feldst¨ arke

Wird dagegen ein kleiner dosenf¨ ormiger Hohlraum von sehr geringer H¨ohe, dessen Grundfl¨ ache senkrecht zu den Feldlinien stehen, im Innern des Nichtleiters angebracht, Abb. 8.4, so m¨ ussen die Feldlinien des D-Feldes stetig durch den Hohlraum hindurchgehen, d.h. es wird das D-Feld in dem Hohlraum, Di gleich dem D-Feld in dem Nichtleiter Di = Da .

(8.18)

Man kann also in einem L¨ angsschlitz das E-Feld, in einem Querschlitz das D-Feld innerhalb eines Nichtleiters messen.

9 Influenzwirkungen

Bringt man in ein elektrisches Feld, z. B. das Feld zwischen den beiden Elektroden A und B, Abb. 9.1, einen isolierten Leiter C, so entsteht in diesem Leiter unter der Einwirkung der elektrischen Feldkr¨afte eine Wanderung der Elektronenwolke, bis im Inneren

Abbildung 9.1. Influenzwirkung

E=0

(9.1)

ist. Als Resultat dieser Wanderung von Elektronen befinden sich auf der Oberfl¨ ache des Leiters elektrische Ladungen. Auf der Leiteroberfl¨ache steht das EFeld senkrecht, d. h. die tangentiale Komponente, die Ladungen verschieben k¨ onnte, verschwindet (9.2) Etang = 0. Die Summe der Ladungen des Leiters ist Null, wenn der Leiter vorher ungeladen war. Es m¨ unden ebenso viele Linien des D-Feldes auf dem Leiter, wie von ihm ausgehen. Diese Einwirkung des elektrischen Feldes auf Leiter bezeichnet man als Influenz. Sie hat zur Folge, dass die Leiter die Linien des D-Feldes zu sich hinziehen; man benutzt diese Erscheinung zur Abschirmung elektrischer

9 Influenzwirkungen

113

Felder (Faraday 1837). Stellt z.B. C, Abb. 9.1, eine Hohlkugel dar, so ergibt sich außerhalb der Kugel die gleiche Feldverteilung wie bei einer Vollkugel, im Innern der Hohlkugel ist jedoch das E-Feld Null. Als weiteres Beispiel ist in Abb. 9.2 schematisch die Abschirmung des Bedienungsraumes A eines Hochspannungslaboratoriums durch ein geerdetes Metallgitter G veranschaulicht. T stellt einen Transformator dar, K die Hochspannungselektrode. Durch das Gitter werden die Verschiebungslinien zwischen der Hochspannungselektrode und den W¨ anden des Raumes aufgefangen; infolgedessen wird der Raum hinter dem Gitter nahezu feldfrei.

Abbildung 9.2. Schirmwirkung

¨ Auf der Oberfl¨ ache eines influenzierten Leiters entsteht teils ein Uberschuss, teils ein Mangel an Elektronen; bestimmte Teile der Oberfl¨ache nehmen eine positive Ladung an, andere Teile eine negative. Wenn man daf¨ ur sorgt, dass die eine dieser beiden Ladungen abfließen kann, so ergibt sich eine Aufladung des betreffenden Leiters durch Influenz. Ein Beispiel daf¨ ur ist durch Abb. 9.3 veranschaulicht. Es ist hier zun¨ achst, Abb. 9.3, Teil a, das elektrische Feld in der Umgebung eines Hochspannungsgenerators T schematisch dargestellt, der einpolig geerdet und am anderen Pol mit einer Kugel K1 versehen ist. Abb. 9.3, Teil b zeigt die Ver¨ anderung, die das Feld erf¨ahrt, wenn in die N¨ ahe des Generators eine Metallkugel K2 gebracht wird. Hat die Kugel K1 in dem betrachteten Zeitpunkt eine positive Ladung, so ergeben sich auf der dieser Kugel zugewandten Seite von K2 negative Ladungen, auf der anderen positive Ladungen. Durch einen Draht, Abb. 9.3, Teil c, werde die Kugel K2 mit der Erde verbunden; dadurch nimmt K2 das Potenzial der Erde an, die positiven Ladungen fließen ab, die Verschiebungslinien zwischen K2 und Erde verschwinden. Entfernt man nun den Draht, so ergibt sich die Abb. 9.3, Teil d. Die Kugel K2 hat eine negative Ladung, die bei hinreichend guter Isolierung dieser Kugel erhalten bleibt, auch wenn K1 auf Erdpotenzial gebracht wird, Abb. 9.3, Teil e. Die zun¨ achst ungeladene Kugel K2 hat damit eine Potenzialdifferenz gegen Erde angenommen, ohne dass sie mit dem Generator in Verbindung gebracht wurde, eine Erscheinung die in Hochspannungsanlagen beachtet werden muss. Sie kann bei Blitzentladungen in der N¨ahe von

114

9 Influenzwirkungen

Freileitungen auftreten. Befindet sich eine Leitung im elektrischen Feld einer geladenen Gewitterwolke, so fließen Ladungen u ¨ ber die Isolationswiderst¨ande der Leitungen ab, Verschiebungslinien spannen sich zwischen Wolke und Leitung. Entl¨ adt sich die Wolke durch einen Blitz, so bleibt zun¨achst die Ladung der Leitung erhalten (K2 der Abb. 9.3); ihr entspricht eine bestimmte Potenzialdifferenz zwischen der Leitung und Erde, die zum Auftreten einer von der betreffenden Stelle l¨ angs der Leitung nach beiden Richtungen hin fortlaufende Wanderwellen f¨ uhrt, vgl. Abschnitt 35.4.

Abbildung 9.3. Aufladung eines Leiters durch Influenz

10 Einfache Beispiele fu ¨r elektrostatische Felder

Zur Bestimmung eines E-Feldes m¨ ussen die Grundgleichungen der Elektrostatik gel¨ ost werden, die in Form von Algebro-Differentialgleichungen (6.7) formuliert werden k¨ onnen. Alternative lassen sich die Differentialgleichungen auch als Integralgleichungen (6.11), (6.12) angeben, so dass AlgebroIntegralgleichungen zu l¨ osen sind. Da sich diese Gleichungen nur selten direkt l¨ osen lassen, wird zun¨ achst die Differentialgleichung f¨ ur das elektrische Potenzial ϕ abgeleitet und unter Hinzunahme von Randwerten eine entsprechende L¨ osung analytische oder numerisch ermittelt. Anschließend lassen sich daraus E-Feld und D-Feld durch Gradientenbildung bzw. Multiplikation mit ε bestimmen. In sehr einfachen Anordnungen von idealen Leitern l¨asst sich das E-Feld zumindest n¨ aherungsweise erraten, in dem man die Randbedingung f¨ ur ideale Leiter nutzt und zus¨ atzlich Symmetrie¨ uberlegungen anstellt. Ein Beispiel daf¨ ur ist der Plattenkondensator, wenn man bei ausgedehnten ebenen und parallelen Platten das E-Feld in Punkten wissen m¨ochte, die von den Plattenr¨ andern weit entfernt sind. Die Feldlinien des E-Feldes sind dann orthogonale, auf den Platten stehende Linien. In grober N¨aherung wird diese Vorstellung auf s¨amtliche Punkte der Platten angewendet. Auf dieser Grundlage lassen sich eine Reihe von Feldproblemen in guter N¨aherung zumindest qualitativ diskutieren. Ein sch¨ ones Beispiel ist die Elektronenoptik, wie sie bei der Braunschen R¨ ohre (vgl. in Fernsehger¨ aten und Oszilloskopen) verwendet wird. Wir gehen darauf in Abschnitt 14.5 n¨ aher ein. Weiterhin soll anhand einiger Beispiele gezeigt werden, dass auch im Fall anderer einfacher geometrischer Situationen eine direkte L¨osung der AlgebroIntegralgleichungen m¨ oglich ist. Dabei beschr¨ anken wir uns auf das Materialgesetz f¨ ur lineare, isotrope, homogene Materialien, so dass nur eine der beiden Integralgleichungen zu l¨ osen ist.

116

10 Einfache Beispiele f¨ ur elektrostatische Felder

10.1 Das elektrische Feld von Punktladungen 10.1.1 Die homogen geladene Kugel und die Punktladung Betrachtet man beispielsweise eine ideal leitende, homogen geladene Kugel mit dem Radius R, dann kann die Gesamtladung Q der Kugel mit Hilfe des D-Feldes berechnet werden (siehe Gl.(7.26))  (10.1) Q = D · dA. O

Ohne Einschr¨ ankung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass die Kugel mit einer positiven Ladung belegt ist. Gibt man die Ladung Q vor, dann ist das entsprechende D-Feld aus der Integralgleichung zu bestimmen, was bei der Wahl einer beliebigen Oberfl¨ ache O nicht ohne weiteres m¨oglich ist. Man kann aufgrund der Kugelsymmetrie des Problem voraussetzen, dass die D-Feldlinien der Ladungsverteilung von der Kugeloberfl¨ ache nach allen Seiten hin strahlenf¨ ormig ausgehen. Das D-Feld kann demnach mit Hilfe des Einheitsvektors uckt werden zu D(r) = Dr re , wobei Dr der Betrag von D im re von r ausgedr¨ Punkt r ist und re := r/r. Sie m¨ unden auf der Gegenelektrode, die ebenfalls als kugelf¨ ormig und mit gleichen Mittelpunkt wie die betrachtete Kugel vorausgesetzt wird und deren Radius R∞ im Vergleich zu R sehr groß ist. W¨ahlt man f¨ ur die Fl¨ ache O des Oberfl¨ achenintegrals in Gl. (10.1) ebenfalls ein Kugeloberfl¨ ache mit gleichem Kugelmittelpunkt, dann sind deren Normalenvektor und das D-Feld in dem Punkt von O kollinear. Damit kann die Integralgleichung stark vereinfacht werden, da bei fest gew¨ahlter Kugeloberfl¨ ache O mit dem Radius r der Betrag von D aus dem Integral herausgezogen werden kann    D · dA = Dr re · dA = Dr re · dA. (10.2) Q= O

O

O

Das Integral ist nur ein Faktor, der gleich der Kugeloberfl¨ache 4πr2 ist. Insgesamt erh¨ alt man also f¨ ur Dr Dr =

Q . 4πr2

(10.3)

Der Fluss des D-Feldes verteilt sich also gleichm¨aßig auf konzentrischen Kugelfl¨ achen. Mit Hilfe des Materialgesetzes und des Richtungsvektors re ergibt sich schließlich f¨ ur des E-Feld Qr E(r) = . (10.4) 4πεr3 Das E-Feld zeigt radial von der Kugel weg, wenn Q – wie vorausgesetzt – positiv ist. In Bezug auf den Raum außerhalb der Kugelelektrode kann man

10.1 Das elektrische Feld von Punktladungen

117

diese ersetzen durch eine Punktquelle oder Punktladung Q im Mittelpunkt der Kugel. Im Zusammenhang mit der Multipolentwicklung (siehe Abschnitt 11.5) werden wir eine mathematische Definition der Punktladung angeben. Das E-Feld in der Umgebung einer Punktladung ist durch konzentrische Kugelfl¨ achen als Potenzialfl¨ achen gekennzeichnet. Im Abstand r = r von der Punktladung wird das elektrische Potenzial  ∞  ∞  ∞ Q ˜r · d˜ r Q d˜ r Q , (10.5) E(˜r) · d˜r = = = ϕ(r) = 3 2 4πε˜ r  4πε˜ r 4πεr r r r wenn man beachtet, dass E und somit r l¨ angs einer E-Feldlinie kollinear mit und dr sind und wenn als Bezugspunkt der unendlich ferne Punkt gew¨ahlt wird. An der Oberfl¨ ache der Kugel vom Radius r0 ist das Potenzial gleich der Potenzialdifferenz (Spannung) zwischen der Kugel und einem sehr weit entfernten Punkt, also Q . (10.6) U= 4πεr0 Die E-Feldst¨ arke hat in der Umgebung einer Kugelelektrode vom Radius r0 den Betrag Q r0 E = = U 2. (10.7) 4πεr2 r Sie nimmt wie im entsprechenden Str¨ omungsfeld umgekehrt proportional mit dem Quadrat des Abstandes vom Mittelpunkt der Kugel ab und betr¨agt an der Oberfl¨ ache der Kugelelektrode E =

U . r0

(10.8)

Der gleiche Wert ergibt sich in einem Plattenkondensator mit dem Plattenabstand r0 bei einer Spannung U zwischen den beiden Platten. Die E-Feldst¨arke wird um so gr¨ oßer, je kleiner der Radius der Kugel ist. Hohe E-Feldst¨arken entstehen daher immer dort, wo die Kr¨ ummungsradien klein sind. Auf die Berechnung der Kapazit¨ atswerte gehen wir in Abschnitt 12.3 ein. 10.1.2 Endlich viele Punktladungen Allgemeine elektrostatische Felder entstehen, wenn mehrere Punktladungen vorhanden sind. Die von den einzelnen Punktladungen herr¨ uhrenden Potenziale, Gl.(10.5), u ¨ berlagern sich dann wegen der linearen Abh¨angigkeit zwischen Ladung und Potenzial, so dass das Gesamtpotenzial in einem beliebigen Raumpunkt 1  Qν (10.9) ϕ(r) = 4πε ν r − rν 

118

10 Einfache Beispiele f¨ ur elektrostatische Felder

wird, wobei Qν die Ladungen der Punktquellen, r − rν  die Abst¨ande des betrachteten Raumpunktes von den Punktquellen bezeichnen. Ist die Verteilung der Elektrizit¨ atsmengen im Raum bekannt, so ist damit also eindeutig das Potenzial bestimmt. Im folgenden soll zun¨achst nur der durchaus interessante Spezialfall zweier Punktladungen behandelt werden. Danach werden in Abschnitt 10.1.6 sogenannte Linienladungen diskutiert, die man sich aus Punktladungen zusammengesetzt denken kann. 10.1.3 Das Potenzial zweier Punktladungen In Abb. 10.1 ist ein Ausschnitt aus dem elektrischen Feld in der Umgebung zweier Punktladungen, deren Ladungen sich wie (−1) : 2 verhalten, dargestellt. Die Potenziallinien lassen sich hier in ¨ ahnlicher Weise ermitteln, wie es in Abschnitt 17 beschrieben wird. Von besonderem Interesse ist, dass bei einer solchen Anordnung von zwei Punktladungen mit Ladungen entgegengesetzten Vorzeichens immer eine Potenzialfl¨ ache zu finden ist, die eine Kugelfl¨ ache bildet; sie ist in Abbildung 10.1 mit 0 gekennzeichnet und st¨ arker ausgef¨ uhrt. Dies l¨asst sich folgendermaßen nachweisen. Das elektrische Potenzial im Punkte P mit dem Abstandsvektor r, Abb. 10.2, ist nach Gl. (10.9)

Abbildung 10.1. Potenziallinien des Feldes von zwei Punktquellen verschiedener Ladung (Ausschnitt)

ϕ(r) =

1 4πε




Q1 Q2 + r1 r2

 ,

(10.10)

wenn man mit r1 := r − r1  und r2 := r − r2  die Abst¨ande der jeweiligen Ladungen vom Punkt P bezeichnet. Wir suchen nun die Potenzialfl¨ache mit dem Potenzial Null. F¨ ur alle Punkte dieser Potenzialfl¨ache muss gelten Q1 Q2 + =0 r1 r2

(10.11)

10.1 Das elektrische Feld von Punktladungen

oder

r1 Q1 =− . r2 Q2

119

(10.12)

Bei gleichem Vorzeichen von Q1 und Q2 hat diese Beziehung keine geometrische Bedeutung; Punkte der gesuchten Art sind nicht vorhanden, wenn man von den unendlich fernen Punkten absieht. Bei entgegengesetzten Vorzeichen wird jedoch das Radienverh¨ altnis positiv; die Niveaufl¨ache mit dem Potenzial Null ist bestimmt durch r1 = k, (10.13) r2 wobei k das Verh¨ altnis der Betr¨ age der beiden Ladungen bezeichnet. Der

Abbildung 10.2. Kugelf¨ ormige Potenzialfl¨ ache

geometrische Ort der Punkte einer Ebene mit konstantem Abstandsverh¨altnis von zwei festen Punkten in dieser Ebene ist nach einem Satz der Geometrie (Apollonius) ein Kreis, der die Verbindungsgerade zwischen den beiden Punkten harmonisch teilt, Abb. 10.2. Es ist Q1 A Q1 B = = k. Q2 A Q2 B

(10.14)

Da diese Folgerung f¨ ur alle Ebenen gilt, die die Verbindungsgerade der beiden Punkte enthalten, so ist die gesuchte Potenzialfl¨ache eine Kugelfl¨ache, die durch Drehen des gekennzeichneten Kreises um die Verbindungsgerade Q1 Q2 entsteht. Die Kugelfl¨ ache umschließt die schw¨ achere Punktladung. Nennt man ihren Radius r0 und kennzeichnet man die Lage ihres Mittelpunktes M durch den Abstand b von Q2 , so findet man durch Anwendung der Gl. (10.13) auf die Punkte A und B (Gl.(10.14))

Hieraus folgt

a + b + r0 a + b − r0 = = k. r0 − b r0 + b

(10.15)

r02 = b(a + b).

(10.16)

Setzt man dies in Gl.(10.15) ein, so ergibt sich

120

10 Einfache Beispiele f¨ ur elektrostatische Felder

r0 Q1 =k=− . b Q2

(10.17)

Ferner findet man aus den beiden Gl.(10.16) und (10.17) k , k2 − 1 1 b=a 2 . k −1

r0 = a

(10.18) (10.19)

Damit k¨ onnen die Bestimmungsst¨ ucke des Kreises berechnet werden. F¨ ur k = 1 artet der Kreis zur Mittelsenkrechten der Verbindungslinie Q1 Q2 aus, die Mittelebene wird Niveaufl¨ ache, Abb. 17.6. Bringt man im Mittelpunkt M noch eine dritte Punktladung Q3 an, so bleibt die betrachtete Kugel eine Potenzialfl¨ ache; es wird lediglich zu allen Punkten der Kugel das Potenzial ϕ3 =

Q3 4πεr0

(10.20)

hinzugef¨ ugt. Das Potenzial zweier Punktladungen kann auch Begr¨ undung der sogenannten Spiegelungsmethode verwendet werden, die in Abschnitt 11.6 behandelt wird. 10.1.4 Der elektrische Dipol Im vorherigen Abschnitt wurde gezeigt, dass man die Potenziale zweier Punktladungen u ¨ berlagern kann und damit das Gesamtpotenzial der Ladungsanordnung erh¨ alt. Das ist m¨ oglich aufgrund der Linearit¨at der Poissongleichung bez¨ uglich der rechten Seite. Ein interessanter und f¨ ur die Anwendungen wichtiger Grenzfall entsteht, wenn man den Abstand d immer gr¨ oßer und gr¨oßer werden l¨asst, den Punkt ucken l¨ asst und gleichzeitig die Ladung Q1 so Q1 also immer weiter hinausr¨ vergr¨ oßert, dass E0  konstant bleibt. Mathematische gesehen handelt es sich dabei um einen Doppellimes, bei dem die Reihenfolge der Grenz¨ uberg¨ange durchaus beachtet werden sollte; außerdem h¨ angt der so entstehende Grenzwert nur noch von einem Ort ab. Dann ergibt sich schließlich die Potenzialverteilung in der Umgebung einer ungeladenen Metallkugel, die in ein urspr¨ unglich homogenes Feld gebracht wird. Die Punktladung Q1 muss dabei gem¨aß Gl.(11.43) den Wert erhalten: Q1 = 4πεd2 E0 .

(10.21)

Ihr elektrisches Bild“ Q2 wandert mit wachsendem d immer n¨aher an den ” Kugelmittelpunkt heran. Da wir dort eine Ladung −Q2 anbringen m¨ ussen, so r¨ ucken also im Kugelmittelpunkt zwei entgegengesetzt gleiche Punktladungen

10.1 Das elektrische Feld von Punktladungen

121

Abbildung 10.3. Feldberechnung bei einem Dipol

n¨ aher und n¨ aher zusammen; es entsteht ein sogenannter elektrischer Dipol, Abb. 10.3. Bezeichnet man den Abstand eines Aufpunkt P von dem Dipol mit r, den Winkel mit der Verbindungslinie der beiden Ladungen mit α, so gilt im Fall verschwindend kleinen Abstandes b der beiden Ladungen f¨ ur das durch den Dipol hervorgerufene Potenzial (r := r)
 Q2 1 Q2 −bQ2 cos α + . (10.22) ϕ= − = 4πε r r + b cos α 4πε r2 Auf einen Dipol wird im elektrischen Feld ein Drehmoment ausge¨ ubt. Wir denken uns ein kurzes isoliertes St¨ abchen von der L¨ange b an den beiden Enden mit den Ladungen −Q und +Q versehen und kennzeichnen die Richtung von −Q nach +Q durch die Koordinate x. Das St¨ abchen liege in einem homogenen E-Feld mit der Feldst¨ arke E. Wir legen durch die Richtung von x und E eine Ebene und bezeichnen die in die Richtung von x fallende Komponente E mit Ex , die dazu senkrecht stehende, in die y-Richtung fallende Komponente von abchen keine Wirkung aus, da sich die beiden E mit Ey . Ex u ¨bt auf das St¨ Kr¨ afte +QEx und −QEx aufheben. Ey dagegen verursacht ein Kr¨aftepaar mit dem Drehmoment Md = bQEy  = bQE sin β,

(10.23)

wenn mit β der Winkel zwischen x und E bezeichnet wird. F¨ ur das Drehmoment kommt es also nur auf das Produkt bQ an. Dieses bezeichnet man als elektrisches Dipolmoment p des Dipols. Es gilt Md = pE sin β.

(10.24)

p := −bQ2 .

(10.25)

In unserem Fall ist zu setzen

Damit wird aus Gl.(10.22) die allgemeine Beziehung f¨ ur das Potenzialfeld eines Dipols p cos α . (10.26) ϕ= 4πε r2 Obwohl also ein Dipol im ganzen die Ladung 0 aufweist, so ergeben sich doch in seiner Umgebung Feldkr¨ afte, die allerdings rascher abnehmen als in der Umgebung einer Punktladung.

122

10 Einfache Beispiele f¨ ur elektrostatische Felder

Abbildung 10.4. Ungeladene Metallkugel in einem homogenen Feld

Die durch das Vorhandensein einer ungeladenen Kugel in einem urspr¨ unglich homogenen Feld entstehende Potenzialverteilung l¨asst sich nach dem oben Ausgef¨ uhrten darstellen durch die gleichzeitige Wirkung einer sehr weit entfernten Punktquelle und eines Dipols ϕ=

bQ2 cos α Q1 − . 4πε(d + r cos α) 4πε r2

(10.27)

F¨ uhrt man hier die Beziehungen (11.37) und (11.38) aus Abschnitt 11.6 sowie (10.21) ein und ber¨ ucksichtigt, dass d u ¨ber alle Grenzen wachsen soll, so folgt
 1 r cos α r03 cos α 2 − + 2 2 . (10.28) ϕ = d E0  d d2 d r Wird schließlich als willk¨ urliche Konstante −dE0  hinzugef¨ ugt, so ergibt sich

  r3 r2 ϕ = E0  −r + 02 cos α = −E0 r 1 − 02 cos α. (10.29) r r Die Abb. 10.4 zeigt das nach Gl.(10.29) berechnete Feldbild, das man sich rotationssymmetrisch zur waagerechten Achse zu denken hat. Die Feldst¨arke an der Oberfl¨ ache der Kugel betr¨ agt  
  ∂ϕ  2r3 (10.30) E =   = E0  1 + 20 cos α = 3E0  cos α. ∂r r0 Sie wird f¨ ur α = 0 und α = 180◦ dreimal so groß wie die urspr¨ ungliche Feldst¨ arke des homogenen Feldes, die D-Feldlinien dr¨angen sich dort zusammen. Kleine metallische Einschl¨ usse in Isolierstoffen ergeben also eine ¨ortliche Erh¨ ohung der Feldst¨ arke. Die Dichte der influenzierenden Ladungen auf der Kugeloberfl¨ ache ist gleich dem Betrag des D-Feldes D = 3εE0  cos α;

(10.31)

sie ist ebenfalls in der Achse des Feldes am gr¨ oßten; es befinden sich auf der einen Halbkugel negative Ladungen, deren Summe Null ist.

10.1 Das elektrische Feld von Punktladungen

123

Abbildung 10.5. Geladene Metallkugel in einem homogenen Feld

Ersetzt man die zur Achse senkrecht stehende Hauptebene der Kugel, die gleichzeitig Potenzialfl¨ ache ist, durch eine Metallschicht, so ergibt sich der Fall eines halbkugelf¨ormigen Buckels auf einer leitenden Ebene, z.B. auf der Elektrode eines Plattenkondensators. An einem solchen Buckel ist demnach die Feldst¨ arke im Maximum dreimal so groß wie auf der Ebene. Ist die Ladung der Kugel nicht Null, so hat man zu dem gefundenen Potenzial noch das einer Punktladung Q im Mittelpunkt der Kugel hinzuzuf¨ ugen. Dann wird
 r3 Q . (10.32) ϕ = E0  −r + 02 cos α + r 4πεr Das Feldbild ver¨ andert sich in der durch Abb. 10.5 dargestellten Weise. Entsprechend der Ladung gehen von der Kugel mehr D-Feldlinien aus, als auf ihr einm¨ unden; bei negativer Ladung der Kugel gilt das Umgekehrte. 10.1.5 Das elektrische Feld zweier Kugeln Als weiteres Anwendungsbeispiel der Methode der elektrischen Bilder (Spiegelungsmethode) werde die Berechnung des elektrischen Feldes zwischen zwei geladenen Kugeln kurz besprochen, das f¨ ur die Theorie der in der Hochspannungstechnik verwendeten Kugelfunkenstrecken von Interesse ist; siehe z. B. [194]. Die beiden Kugeln, Abb. 10.6 , sollen den Mittelpunktsabstand c und die Radien r0 haben. Ihre Potenziale seinen (1/2)U und −(1/2)U . W¨are nur die erste Kugel vorhanden, so k¨ onnte das Feld