UNIVERSITATEA din BUCURES ¸ TI ˘ FACULTATEA de FIZICA ˘ TEORETICA ˘ ¸si MATEMATICI CATEDRA de FIZICA
Radu Paul LUNGU
˘ TEORIA CUANTICA A SISTEMELOR DE PARTICULE IDENTICE Volumul I
BUCURES¸TI - 2011 -
Prefat¸˘ a Prezenta lucrare se adreseaz˘ a ˆın primul rˆand student¸ilor de la masterat (studii aprofundate), sect¸ia Fizic˘ a teoretic˘ a ; totu¸si, pentru a avea o prezentare coerent˘ a a problemelor fundamentale ale Teoriei cuantice a sistemelor de particule identice, a fost necesar s˘a se includ˘ a material suplimentar, astfel ˆıncˆ at aceast˘a lucrare se adreseaz˘ a de asemenea doctoranzilor. Materialul cont¸inut ˆın prezentul manual este rodul activit˘a¸tii didactice (curs ¸si seminar) a autorului ˆın ultimii 20 de ani ˆın domeniul Teoriei cuantice a sistemelor de particule identice. La elaborarea acestei lucr˘ari autorul a luat ˆın considerare existent¸a unui num˘ar apreciabil de lucr˘ari diverse pe aceast˘a tem˘a, ap˘arute ˆın ultimii 50 de ani, dintre care se remarc˘ a prin rigurozitate, completitudine ¸si claritate ˆın primul rˆand lucrarea Quantum Theory of Many Particle Systems cu autorii A. L. Fetter ¸si J. D. Walecka. Totu¸si, din experient¸a avut˘ a ˆın ultimii ani, legat˘ a de predarea cursului ¸si seminarului de Teoria cuantic˘ a a sistemelor de particule identice, a rezultat c˘ a utilizarea direct˘a a unei lucr˘ari din literatura de specialitate nu este convenabil˘ a, deoarece ˆın oricare dintre lucr˘arile de prestigiu ale acestui domeniu exist˘a foarte multe subiecte exprimate eliptic, astfel ˆıncˆ at cititorul trebuie s˘a fie capabil s˘a adauge prin fort¸e proprii chestiuni suplimentare, necesare ˆınt¸elegerii corespunz˘ atoare a textului. Din discut¸iile avute cu mult¸i student¸i, ˆın ultimiii ani, a rezultat c˘ a este foarte dificil s˘a se utilizeze ˆın mod direct chiar ¸si lucrarea lui Fetter ¸si Walecka, fiind absolut necesar cursul predat de o persoan˘a autorizat˘a, a¸sa cum este autorul acestei lucr˘ari. Pe baza observat¸iei anterioare autorul a ajuns la concluzia c˘ a este necesar˘a o lucrare ˆın care s˘a se prezinte ˆın mod coerent ¸si complet problemele fundamentale ale acestui domeniu, ¸tinˆand seama de programa analitic˘a de fizic˘a teoretic˘a ¸si de matematici pentru student¸ii Facult˘a¸tii de Fizic˘a a Universit˘a¸tii din Bucure¸sti. Ca urmare, autorul a c˘ autat s˘a prezinte materialul astfel ˆıncˆ at studentul care a ajuns la masterat (sau doctorandul) s˘a poat˘ a ˆınt¸elege ˆıntregul material, f˘ar˘a s˘a fie nevoit s˘a consulte lucr˘ari suplimentare. De asemenea, autorul a luat ˆın considerare c˘ a beneficiarii acestui manual nu sunt interesat¸i s˘a parcurg˘a ˆıntregul material prezentat ˆın aceast˘a lucrare (cu rare except¸ii, care nu trebuie luate ˆın considerare); ˆın consecint¸˘a, autorul a c˘ autat maxim posibil s˘a redacteze capitolele lucr˘arii astfel ˆıncˆ at textul din fiecare capitol sa fie cˆ at mai put¸in posibil dependent de alte capitole corespunz˘ atoare aceleia¸si p˘ art¸i a acestei lucr˘ari. Pentru a realiza acest deziderat prezentarea materialului s-a f˘acut mai detaliat decˆat ˆın alte lucr˘ari cu caracter de manual ¸si nu s-au evitat repetit¸iile atunci cˆ and un text mai scurt ar fi f˘acut dificil˘a lectura part¸ial˘a a acestei lucr˘ari; astfel s-a ajuns la o lucrare cu dimensiuni mai mari decˆat lucr˘arile similare publicate ˆın literatur˘ a ¸si care cont¸ine ˆın mod voit redundant¸e. Totu¸si, avantajul acestei prezent˘ ari este autonomia diferitelor capitole, astfel ˆıncˆ at este posibil s˘a se studieze ˆın mod independent unele capitole ale acestei lucr˘ari. Ca urmare a considerentelor prezentate, autorul consider˘ a c˘ a aceast˘a lucrare este mult mai explicit˘a ¸si mai clar˘a decˆat restul lucr˘arilor, chiar dac˘a pret¸ul este dimensiunea mare a lucr˘arii prezente. Lucrarea este structurat˘ a ˆın 2 volume ¸si materialul prezentat este organizat astfel. Volumul 1 intitulat Formalismul general, prezint˘ a principalele concepte, care sunt legate de teoria perturbativ˘a ¸si metoda funct¸iilor Green pentru descrierea propriet˘ a¸tilor unui sistem cuantic de particule identice, care este fie ˆın starea fundamental˘ a, fie la echilibru termodinamic corespunz˘ ator unei temperaturi finite; acest volum cont¸ine urm˘atoarele capitole. 1. Formalismul general al mecanicii cuantice care constituie o completare a cursului general din anii II ¸si III, corespunz˘ ator necesit˘a¸tilor prezent˘ arii teoriei perturbat¸iilor pentru funct¸iile Green. Se face o prezentare general˘a a mecanicii cuantice ˆın varianta ondulatorie, i
ii care este varianta elementar˘ a, iar apoi se construie¸ste f˘ar˘a un abuz de rigurozitate matematic˘ a, formalismul general al mecanicii cuantice; aceasta implic˘ a atˆat formularea abstact˘a ¸si utilizarea teoriei reprezent˘ arilor, cˆ at ¸si prezentarea principalelor propriet˘ a¸ti ale formul˘arilor Heisenberg ¸si de interact¸ie, pentru descrierea evolut¸iei temporale a sistemului cuantic. 2. Descrierea st˘ arilor ¸si observabilelor sistemelor multi-particule se prezint˘ a init¸ial, ˆın mod detaliat, st˘ arile uni-particul˘a ¸si descrierea st˘arilor sistemului cu multe particule identice ˆın cadrul formalismului Cuantific˘arii I; apoi se construie¸ste ˆın mod minimal formalismul Cuantific˘ arii II, introducˆandu-se numai acele not¸iuni necesare teoriei nerelativiste pentru sisteme de particule. ˆIn final se deduce seria de perturbat¸ie Feynman-Dyson, bazat˘a pe metoda introducerii adiabatice a interact¸iei. 3. Formalismul de temperatur˘ a nul˘ a pentru fermioni prezint˘ a init¸ial sistemul de fermioni liberi ˆın formalismul particul˘ a-gol, iar apoi se deduce teorema Wick. ˆIn continuare se prezint˘ a ˆın mod detaliat principalele propriet˘ a¸ti generale ale funct¸iilor Green uni-particule (cauzal˘a, retardat˘ a ¸si avansat˘ a); apoi se construie¸ste ˆın mod explicit seria de perturbat¸ie pentru funct¸ia Green cauzal˘ a ¸si se deduc regulile diagramatice Feynman. Cu ajutorul seriei de perturbat¸ie Feynman-Dyson se prezint˘ a funct¸ia de corelat¸ie a fluctuat¸iilor densit˘ a¸tii de particule, care este exprimat˘ a diagramatic prin polarizare. 4. Formalismul de temperatur˘ a nul˘ a pentru bosoni se prezint˘ a descrierea sistemului bosonic ˆın condit¸ii de condensare Bose-Einstein, prin utilizarea aproximat¸iei Bogoliubov. Apoi se definesc funct¸iile Green ¸si se prezint˘ a principalele lor propriet˘ a¸ti; ˆın mod similar cazului fermionic se construiesc seriile de perturbat¸ie pentru funct¸iile Green ¸si se deduc ecuat¸iile Dyson-Beliaev. Rezultatele generale anterioare se particularizeaz˘a pentru cazul sistemului bosonic cu interact¸ii slabe. 5. Teoria cˆ ampului la temperatur˘ a finit˘ a prezint˘ a formalismul Matsubara pentru funct¸iile Green temice, ˆımpreun˘ a cu seria de perturbat¸ie Feynman-Matsubara. Apoi se studiaz˘a funct¸iile Green termice de timp real ¸si se deduc relat¸iile acestor funct¸ii Green cu funct¸iile Green-Matsubara. ˆIn final se studiaz˘a funct¸iile de corelat¸ie ale fluctuat¸iilor de densitate ¸si polarizarea termic˘ a. Volumul 2, intitulat Probleme speciale, prezint˘ a chestiunile complementare fundamentale pentru descrierea sistemelor cuantice cu particule identice; primele 3 capitole prezint˘ a cele mai importante metode de aproximat¸ie a seriei de perturbat¸ie pentru funct¸ia Green uni-particul˘a cauzal˘ a, iar ultimele capitole descriu metode speciale de studiu. 6. Aproximat¸ia Hartree-Fock prezint˘ a aproximat¸ia minimal˘a self-consistent˘ a (echivalent˘ a cu aproximat¸ia Hartree-Fock din fizica atomic˘a), atˆat la temperatur˘a nul˘a, cˆ at ¸si la temperatur˘ a finit˘a; rezultatele generale sunt particularizate pentru sisteme bosonice ¸si sisteme fermionice cu interact¸ii slabe. 7. Aproximat¸ia fazelor aleatoare studiaz˘a aproximat¸ia diagramelor inelare pentru modelul de gaz electronic uniform (numit modelul “jellium”), aceast˘a aproximat¸ie fiind echivalent˘ a cu aproximat¸ia fazelor aleatoare; ˆın cadrul acestei aproximat¸ii se deduce energia st˘arii fundamentale a sistemului electronic ¸si propriet˘ a¸tile termodinamice la temperatur˘a finit˘a ale acestui sistem. 8. Aproximat¸ia scar˘ a se define¸ste pentru descrierea unui sistem ˆın care particulele interact¸ioneaz˘a prin procese de tip ciocniri ˆıntre sfere rigide. Se construiesc seriile de perturbat¸ie pentru funct¸iile Green ¸si ecuat¸iile Galitski atˆat ˆın cazul sistemului fermionic, cˆ at ¸si ˆın cazul sistemului bosonic. 9. Teoria r˘ aspunsului liniar este aproximat¸ia ˆın care sistemul prezint˘ a o perturbat¸ie slab˘a ¸si m˘arimile sale caracteristice legate de aceast˘a perturbat¸ie se exprim˘ a ˆın termeni de m˘arimi
iii neperturbate; ˆın cazul cˆ and perturbat¸ia este cuplat˘ a cu sistemul studiat prin fluctuat¸iile de densitate, atunci r˘aspunsul sistemului se exprim˘ a ˆın termeni de funct¸ie de corelat¸ie, care este direct legat˘ a de polarizare. Rezultatele generale se particularizeaz˘a pentru gazul electronic descris ˆın aproximat¸ia fazelor aleatoare, obt¸inˆandu-se ecranarea ¸si oscilat¸iile plasmonice, atˆat la temperatur˘a nul˘a, cˆ at ¸si la temperatur˘a fini˘ a. 10. Transform˘ ari canonice se prezint˘ a ˆın mod detaliat aproximarea Bogoliubov a hamiltonianului ¸si apoi transformarea canonic˘a care diagonalizeaz˘ a acest hamiltonian, atˆat ˆın cazul bosonic, cˆ at ¸si ˆın cazul fermionic; apoi se prezint˘ a principalele consecint¸e ale diagonaliz˘ arii specificate anterior. 11. Metoda ecuat¸iei de mi¸scare este prezentat˘ a ˆın cazul general, iar apoi se particularizeaz˘a pentru cele mai reprezentative situt¸ii: fermioni liberi, electroni cu interact¸ii coulombiene, bosoni supra-fluizi ¸si fermioni supra-conductori. 12. Fermioni ˆın cˆ amp extern se prezint˘ a construct¸ia seriei de perturbat¸ie cu diagrame arborescente pentru un sistem de fermioni independent¸i, care interact¸ioneaz˘ a cu un cˆ amp extern; rezultatele generale (atˆ at ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a, cˆ at ¸si ˆın formalismul de temperatur˘a finit˘a) se particularizeaz˘a pentru cazul unui cuplaj magnetic de spin, obt¸inˆandu-se magnetizarea corespunz˘ atoare. 13. Formalismul cˆ ampurilor cuplate este aplicat pentru cazul gazului electronic aflat ˆın interact¸ie cu vibrat¸iile ret¸elei cristaline ionice. Se studiaz˘a init¸ial ret¸eaua ionic˘ a ˆın aproxima¸tia de mediu continuu elastic, obt¸inˆandu-se modelul de gaz fononic ideal. Apoi se introduce interact¸ia electroni-fononi ˆın aproximat¸ia Fr¨ohlich ¸si se construiesc seriile de perturbat¸ie pentru funct¸iile Green electronic˘ a ¸si fononic˘ a prin utilizarea metodei de renormare, atˆat la temperatura nul˘a, cˆ at ¸si la temperatur˘a finit˘a. ˆIn final se prezint˘ a principalele rezultate asupra r˘aspunsului liniar al gazului de electroni aflat¸i ˆın interact¸ie cu fononi. A. Anexa matematic˘ a cont¸ine prezentarea succint˘ a ¸si f˘ar˘a rigurozitate matematic˘a a unor probleme de matematic˘a pur˘ a care sunt utilizate ˆın mod repetat ˆın teoria cuantic˘ a a sistemelor de particule identice. Aceast manual va fi completat cu urm˘atoarele lucr˘ari, care ˆın prezent se afl˘a ˆın curs de redactare, ambele avˆand ca autori Virgil B˘ aran ¸si Radu Paul Lungu. 1. Bazele teoriei cuantice a sistemelor de particule identice, ˆın care se va face o prezentare mai elementar˘ a ¸si mai fizic˘a a principalelor probleme asupra sistemelor cuantice constituite din particule identice; ca urmare, aceast˘a lucrare suplimentar˘ a poate fi considerat˘ a o introducere ˆın raport cu prezentul manual. 2. Aplicat¸ii ale teoriei cuantice a sistemelor de particule identice, ˆın care se va utiliza materialul prezentat ˆın acest manual ¸si se vor studia sisteme complexe reprezentative: sistemul supra-fluid, sistemul supra-conductor, nucleul atomic; ˆın consecint¸˘a, aceast˘a lucrare ar trebui considerat˘ a ca fiind al treilea volum al prezentului manual. Autorul dore¸ste s˘a mult¸umeasc˘a ˆın mod deosebit Domnului Profesor Dr. Virgil B˘ aran, care a f˘acut recenzia, pentru lectura atent˘ a a acestei voluminoase lucr˘ari ¸si pentru indicat¸iile asupra modific˘arilor de text, care au condus la o ˆımbun˘at˘a¸tire semnificativ˘a a materialului prezentat.
Septembrie, 2011 Bucure¸sti
Radu Paul Lungu
iv
Cuprins Prefat¸˘ a
I
i
Formalismul general
1
1 Formalismul general al mecanicii cuantice 1.1 Fundamentele mecanicii cuantice ondulatorii . . . . . . . . 1.2 Formularea general˘ a a mecanicii cuantice . . . . . . . . . 1.2.1 Formularea Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Formularea Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Formularea de interact¸ie (Dirac) . . . . . . . . . . 1.2.4 Observat¸ii generale asupra formul˘arilor anterioare 1.3 Reprezent˘ ari ale mecanicii cuantice . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Reprezent˘ ari discrete ¸si continue (trat˘ ari generale) 1.3.2 Reprezentarea coordonatelor de pozit¸ie . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
3 3 8 8 15 16 22 22 22 29
2 Descrierea st˘ arilor ¸si observabilelor sistemelor multi-particule 2.1 Observat¸ii generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Descrierea sistemului N -particule ˆın Cuantificarea I-a . . . . . . 2.2.1 Condit¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Definirea operatorilor sistemului . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 St˘ari proprii uni-particul˘a (st˘ ari impuls-spin) . . . . . . . 2.2.4 Reprezentarea coordonatelor pentru o particul˘ a . . . . . . 2.2.5 Starea sistemului multi-particule . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Descrierea sistemului many-body ˆın Cuantificarea II . . . . . . . 2.3.1 Formalismul numerelor de ocupare . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Operatori de cˆ amp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Operatori asociat¸i observabilelor . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Relat¸ii de comutare remarcabile . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Formul˘arile Dirac ¸si Heisenberg ˆın Cuantificarea II . . . . . . . . 2.4.1 Observat¸ii preliminare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Formularea de interact¸ie (Dirac) . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Formularea Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Dezvoltarea perturbativ˘a Feynman-Dyson . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
35 35 35 35 36 37 39 45 49 49 63 66 79 86 86 87 92 94
3 Formalismul de temperatur˘ a nul˘ a pentru fermioni 3.1 Sistemul de fermioni liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Definirea sistemului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 St˘ari excitate ¸si formalismul particul˘ a-gol . . . . . . . 3.1.3 Contract¸ii ¸si teorema Wick . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Funct¸ii Green fermionice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Definit¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Propriet˘a¸ti generale ale funct¸iilor Green uni-particul˘a 3.2.3 Funct¸ia Green cauzal˘ a liber˘a (uni-particul˘ a) . . . . . . 3.2.4 Interpretarea fizic˘ a a funct¸iei Green cauzale . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
107 . 107 . 107 . 111 . 120 . 132 . 132 . 134 . 151 . 155
v
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
vi
CUPRINS
3.3
3.4
3.5
3.2.5 Ecuat¸ia de evolut¸ie pentru funct¸ia Green uni-particul˘a cauzal˘ a . 3.2.6 Relat¸iile dintre funct¸iile Green ¸si observabile . . . . . . . . . . . Calculul perturbat¸ional al funct¸iei Green cauzale . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Funct¸ia Green ˆın spat¸iul coordonate-timp . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Funct¸ia Green ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a . . . . . . . . . . . . . Polarizarea ¸si interact¸ia efectiv˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Definit¸ii ¸si propriet˘ a¸ti ˆın spat¸iul pozit¸ii-timp . . . . . . . . . . . 3.4.2 Definit¸ii ¸si propriet˘ a¸ti ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a . . . . . . . . . 3.4.3 Calculul polariz˘ arii de ordinul minim (ordinul 0) . . . . . . . . . Funct¸ii de corelat¸ie pentru densitatea de particule . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Funct¸ii de corelat¸ie pentru densit˘ a¸ti de observabile uni-particul˘a 3.5.2 Funct¸ii de corelat¸ie pentru densitatea de particule . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
165 170 177 177 198 222 222 229 233 247 247 248
4 Formalismul de temperatur˘ a nul˘ a pentru bosoni 4.1 Formularea problemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Sistemul bosonic ˆın starea fundamental˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Aproximat¸ia Bogoliubov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Descrierea grand-canonic˘a a sistemului bosonic ˆın aproximat¸ia Bogoliubov 4.2 Funct¸ii Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Definit¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Propriet˘a¸ti generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Funct¸ia Green liber˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Relat¸ia dintre funct¸ia Green ¸si observabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Teoria perturbat¸ional˘ a pentru funct¸iile Green bosonice . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Probleme preliminare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Analiza diagramatic˘ a ˆın spat¸iul pozit¸ii-timp . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Analiza diagramatic˘ a ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Ecuat¸ii Dyson-Beliaev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5 Relat¸ia Hugenholtz-Pines pentru potent¸ialul chimic . . . . . . . . . . . . 4.4 Gazul bosonic cu interact¸ii slabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Condit¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Rezultatele teoriei perturbat¸iilor ˆın ordinul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Consecint¸e ale funct¸iilor Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
261 . 261 . 261 . 263 . 269 . 277 . 277 . 279 . 284 . 286 . 295 . 295 . 298 . 318 . 322 . 335 . 337 . 337 . 337 . 338
5 Teoria cˆ ampului la temperatur˘ a finit˘ a 5.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Funct¸ii Green-Matsubara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Definit¸ii ¸si propriet˘ a¸ti generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Ecuat¸ia diferent¸ial˘a a funct¸iei Green-Matsubara . . . . . . . . . 5.2.3 Relat¸ia dintre funct¸iile Green-Matsubara ¸si observabile . . . . . . 5.2.4 Funct¸ia Green-Matsubara pentru sistemul liber . . . . . . . . . . 5.2.5 Calculul perturbat¸ional al funct¸iei Green-Matsubara . . . . . . . 5.3 Funct¸ii Green termice de timp real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Definit¸ii ¸si propriet˘ a¸ti generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Reprezentarea Lehmann ¸si consecint¸e . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Ecuat¸iile diferent¸iale ale funct¸iilor Green termice de timp real . . 5.3.4 Relat¸ia dintre funct¸iile Green termice de timp real ¸si observabile 5.3.5 Funct¸iile termice de timp real libere uni-particul˘a . . . . . . . . . 5.4 Polarizarea ¸si interact¸ia efectiv˘a termice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Definit¸ii ¸si propriet˘ a¸ti ˆın spat¸iul pozit¸ii-pseudo-timpi . . . . . . . 5.4.2 Definit¸ii ¸si propriet˘ a¸ti ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a . . . . . . . . . 5.4.3 Calcului polariz˘ arii termice de ordinul zero . . . . . . . . . . . . 5.5 Funct¸ii de corelat¸ie pentru densitatea de particule . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Funct¸ii de corelat¸ie pentru densit˘ a¸ti de observabile uni-particul˘a 5.5.2 Funct¸ii de corelat¸ie pentru densitatea de particule . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
341 341 345 345 350 353 359 371 399 399 402 416 420 424 428 428 430 432 440 440 441
CUPRINS
II
vii
Probleme speciale
1
Aplicarea metodelor funct¸iilor Green 6 Aproximat¸ia Hartree-Fock 6.1 Aproximat¸ia Hartree-Fock ˆın teoria sistemelor multi-particule 6.2 Aproximat¸ia Hartree-Fock ˆın formalismul T = 0 . . . . . . . . 6.2.1 Condit¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Determinarea funct¸iei Green libere . . . . . . . . . . . 6.2.3 Explicitarea analitic˘a a ecuat¸iilor Hartree-Fock . . . . 6.2.4 Forma uni-particul˘ a a ecuat¸iilor Hartree-Fock . . . . . 6.2.5 Energia st˘ arii fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.6 Cazul sistemului f˘ ar˘a interact¸ii externe . . . . . . . . . 6.3 Aproximat¸ia Hartree-Fock la temperatur˘a finit˘a . . . . . . . . 6.3.1 Rezultate generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Gazul bosonic imperfect . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Gazul fermionic imperfect la temperaturi mici . . . . .
3 . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
7 Aproximat¸ia fazelor aleatoare 7.1 Sistemul electronic ˆın modelul “jellium” . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Interact¸ia coulombian˘ a efectiv˘a ˆın aproximat¸ia RPA . . . . . . . . . . 7.3 Energia st˘ arii fundamentale pentru modelul jellium . . . . . . . . . . . 7.3.1 Metoda Brueckner ¸si Gell-Mann (utilizarea self-energiei) . . . . 7.3.2 Metoda Hubbard (utilizarea funct¸iei de corelat¸ie a densit˘ a¸tii de 7.4 Gazul electronic la temperatur˘a finit˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Condit¸ii ¸si formularea modelului . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Evaluarea self-energiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3 Potent¸ialul grand-canonic ˆın aproximat¸ia inelar˘a (RPA) . . . . 7.4.4 Limita clasic˘ a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.5 Limita temperaturilor joase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
5 5 7 7 7 10 11 14 15 17 17 25 30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . particule) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
41 41 47 57 57 73 81 81 83 89 95 102
. . . . . . . . . . . .
8 Aproximat¸ia scar˘ a 8.1 Gaze fermionice imperfecte la temperatur˘a nul˘a . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Ciocnirea (ˆımpr˘ a¸stierea) pe o sfer˘a rigid˘ a . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Aproximat¸ia diagramelor scar˘a pentru gazul fermionic imperfect 8.1.3 Ecuat¸iile integrale Galitski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.4 Self-energia ˆın aproximat¸ia scar˘a ¸si la limita kF a ≪ 1 . . . . . . 8.1.5 Spectrul excitat¸iilor elementare tip uni-particul˘a . . . . . . . . . 8.1.6 Energia st˘ arii fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.7 Justificarea aproximat¸iei scar˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.8 Aplicabilitatea teoriei Galitski ¸si generaliz˘ari . . . . . . . . . . . 8.2 Gaze bosonice imperfecte la temperatur˘a nul˘a . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Condit¸ii ¸si aproximat¸ii fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Aproximat¸ia diagramelor scar˘a pentru gazul bosonic imperfect . 8.2.3 Ecuat¸iile Galitski bosonice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4 Self-energiile ˆın aproximat¸ia scar˘a ¸si limita undelor lungi . . . . . 8.2.5 Potent¸ialul chimic (ˆın aproximat¸ia scar˘a) . . . . . . . . . . . . . 8.2.6 Funct¸iile Green ˆın aproximat¸ia scar˘a . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.7 M˘ arimile fizice ¸si corect¸iile de ordin minim . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
119 . 119 . 119 . 130 . 140 . 148 . 152 . 156 . 159 . 162 . 163 . 163 . 165 . 172 . 172 . 173 . 175 . 177
9 Teoria r˘ aspunsului liniar 9.1 Cazul fermionic ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 R˘ aspunsul liniar al sistemului la o perturbat¸ie extern˘a (cazul general) 9.1.2 Exprimarea r˘aspunsului liniar prin funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ a . . . 9.1.3 Cazul perturbat¸iei cuplate prin densitatea de particule . . . . . . . . . 9.2 Formalismul de temperatur˘a finit˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 R˘ aspunsul liniar al sistemului la o perturbat¸ie extern˘a (cazul general)
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
181 181 181 183 185 188 188
viii
CUPRINS
9.3
9.4
9.2.2 Exprimarea r˘aspunsului liniar prin funct¸ia de corelat¸ie 9.2.3 Cazul perturbat¸ie cuplat˘ a prin densitatea de particule R˘ aspunsul liniar al sistemului electronic cu densitate mare . . 9.3.1 Ecranarea gazului electronic . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Oscilat¸ii plasmonice ale gazului electronic . . . . . . . 9.3.3 Modele semi-clasice pentru gazul electronic . . . . . . Sunetul de zero (ˆıntr-un gaz fermionic) . . . . . . . . . . . . .
retardat˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
190 193 195 195 206 210 217
10 Transform˘ ari canonice 10.1 Sisteme bosonice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1 Condit¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2 Aproximat¸ia Bogoliubov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.3 Transformarea canonic˘a Bogoliubov . . . . . . . . . . . 10.1.4 Aproximat¸ia pseudo-potent¸ialului . . . . . . . . . . . . . 10.1.5 Comentariu asupra aproximat¸iilor de ordine superioare . 10.2 Sisteme fermionice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Condit¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.2 Transformarea canonic˘a Bogoliubov-Valatin . . . . . . . 10.2.3 Determinarea coeficient¸ilor transform˘arii canonice . . . 10.2.4 Solut¸iile ecuat¸iior BCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
223 . 223 . 223 . 224 . 227 . 233 . 241 . 241 . 241 . 244 . 255 . 258
11 Metoda ecuat¸iei de mi¸scare 11.1 Principiul metodei . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Sistemul de fermioni liberi . . . . . . . . . . . 11.3 Sistemul electronic cu interact¸ii coulombiene . 11.4 Sistemul bosonic supra-fluid . . . . . . . . . . 11.5 Sistemul fermionic supraconductor . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
12 Fermioni ˆın cˆ amp extern 12.1 Formularea problemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Formalismul de temperatur˘a nul˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 Funct¸ia Green liber˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.2 Funct¸ia Green ¸si seria de perturbat¸ie ˆın spat¸iul pozit¸ii-timpi 12.2.3 Funct¸ia Green ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a . . . . . . . . . . 12.2.4 Ecuat¸ii Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.5 Cazul cuplajului cu un cˆ amp magnetic uniform . . . . . . . 12.3 Formalismul de temperatur˘a finit˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1 Probleme generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.2 Funct¸ia Green-Matsubara liber˘a . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.3 Funct¸ia Green-Matsubara ˆın spat¸iul pozit¸ii-pseudo-timpi . . 12.3.4 Funct¸ia Green-Matsubara ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a . . . . 12.3.5 Ecuat¸ii Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.6 Cazul cuplajului cu un cˆ amp magnetic uniform . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
297 . 297 . 298 . 298 . 298 . 304 . 308 . 308 . 312 . 312 . 313 . 314 . 320 . 324 . 325
13 Formalismul cˆ ampurilor cuplate 13.1 Modelul sistemului electroni-fononi . . . . . . . . . . . 13.1.1 Observat¸ii preliminare . . . . . . . . . . . . . . 13.1.2 Dinamica ret¸elei ˆın aproximat¸ia armonic˘ a . . . 13.1.3 Interact¸ia electron-fonon . . . . . . . . . . . . . 13.1.4 Ecuat¸iile operatorului de cˆ amp fononic . . . . . 13.1.5 Ecuat¸iile operatorului de cˆ amp electronic . . . 13.2 Formalismul cˆ ampurilor cuplate la temperatur˘a nul˘a . 13.2.1 Funct¸ii Green fononice . . . . . . . . . . . . . . 13.2.2 Funct¸ii Green electronice . . . . . . . . . . . . 13.2.3 Analiza diagramatic˘ a la temperatur˘a nul˘a . . . 13.3 Formalismul cˆ ampurilor cuplate la temperatur˘a finit˘a 13.3.1 Definit¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
333 . 333 . 333 . 334 . 343 . 347 . 351 . 353 . 353 . 363 . 365 . 406 . 406
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
267 267 270 272 284 288
CUPRINS 13.3.2 Funct¸ii Green-Matsubara . . . . . . . . . . . . 13.3.3 Formalismul cˆ ampurilor cuplate la temperatur˘a 13.3.4 Funct¸ii Green termice de timpi reali . . . . . . 13.4 R˘ aspunsul liniar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.1 Cazul temperaturii nule . . . . . . . . . . . . . 13.4.2 Cazul temperaturii finite . . . . . . . . . . . .
ix . . . . finit˘a . . . . . . . . . . . . . . . .
A Anexe Matematice A.1 Elemente de spat¸ii Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.1 Spat¸iu liniar (complex) . . . . . . . . . . . . . . A.1.2 Spat¸iu unitar (euclidian) . . . . . . . . . . . . . . A.1.3 Spat¸iu Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.4 Operatori liniari ˆın spat¸ii Hilbert . . . . . . . . . A.2 Funct¸ia Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Condit¸ii la limit˘ a spat¸iale periodice ¸si consecint¸e . . . . A.4 Transformate Fourier spat¸io-temporale . . . . . . . . . . A.5 Funct¸ii de variabil˘ a complex˘a . . . . . . . . . . . . . . . A.5.1 Probleme generale . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5.2 Evaluarea unor integrale cu teorema reziduurilor Bibliografie
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
408 413 424 434 434 435
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
437 . 437 . 437 . 438 . 438 . 440 . 443 . 446 . 448 . 450 . 450 . 452 457
x
CUPRINS
Partea I
Formalismul general
1
Capitolul 1
Formalismul general al mecanicii cuantice Se vor prezenta ˆın mod succint unele not¸iuni de mecanic˘ a cuantic˘ a necesare pentru dezvoltarea ulterioar˘ a a formalismului teoriei cuantice a sistemelor constituite din multe particule identice (numit˘ a ˆın limba englez˘ a many-body theory). Pentru ˆınceput se va face o succint˘ a recapitulare a fundamentelor mecanicii cuantice, varianta mecanic˘ a cuantic˘ a ondulatorie, care a fost utilizat˘a ˆın cursurile precedente de mecanic˘ a cuantic˘ a, prin enunt¸area principiilor (axiomatica Dirac) ¸si prezentarea consecint¸elor fundamentale derivate din aceste principii; aceast˘a variant˘ a ondulatorie este considerat˘ a drept reprezentarea coordonatelor de pozit¸ie ˆın cadrul formalismului general al mecanicii cuantice. Dup˘ a aceea, se va prezenta varianta abstract˘ a a mecanicii cuantice, care este necesar˘ a pentru teoria sistemelor multi-particule. ˆIn toat˘a aceast˘a prezentare se va considera c˘ a sistemul cuantic se afl˘a ˆıntr-o stare maximal determinat˘ a (adic˘ a o stare pur˘ a); ca urmare, nu apar problemele suplimentare corespunz˘ atoare st˘arilor termodinamice, care sunt descrise de mecanica statistic˘a ¸si care necesit˘a introducerea st˘arilor cuantice mixte.
1.1
Fundamentele mecanicii cuantice ondulatorii
Principiul 1 (al st˘ arilor): st˘ arile posibile ale sistemului sunt caracterizate prin funct¸ia de stare Ψ(q1 , . . . , qf ; t) ≡ Ψ(q; t), unde q = (q1 , . . . , qf ) este setul coordonatelor de pozit¸ie ¸si spin ale componentelor sistemului 1 . Dac˘ a fiecare micro-sistem (= particul˘ a) are s grade de libertate ¸si sistemul total cont¸ine N micro-sisteme, atunci num˘arul total al gradelor de libertate ale sistemului este f = sN . Funct¸ia de stare Ψ(q; t) are urm˘atoarele propriet˘ a¸ti generale: i. Este o funct¸ie complex˘ a, adic˘a Ψ : D → C , unde D este domeniul coordonatelor q, iar C este corpul numerelor complexe [adic˘ a Ψ(q; t) este definit˘ a ˆın D ¸si are valori ˆın C]. ii. Setul tuturor funct¸iilor de stare posibile constituie un spat¸iu Hilbert 2 , notat Hq ¸si numit spat¸iul Hilbert (de funct¸ii) al st˘ arilor sistemului. iii. Produsul scalar ˆıntre dou˘a funct¸ii de stare Ψ1 (q; t) ¸si Ψ2 (q; t) este, prin definit¸ie (se trateaz˘ a formal toate coordonatele ca fiind continue) Z (1.1) (Ψ1 , Ψ2 ) = df q Ψ∗1 (q; t) Ψ2 (q; t) ; D
1 Pentru a nu complica inutil notat ¸iile, ˆın aceast˘ a sect¸iune se vor trata formal coordonatele drept variabile continue; metoda este riguros corect˘ a numai pentru coordonatele de pozit¸ie, deoarece coordonatele de spin sunt variabile discrete. ˆIn Anexa A.1 se prezint˘ a ˆın mod succint propriet˘ a¸tile spat¸iilor Hilbert. 2 Prin definit ¸ie, un spat¸iu Hilbert de funct¸ii este un spat¸iu liniar (sunt definite operat¸iile de adunare ale funct¸iilor ¸si de ˆınmult¸ire a funct¸iilor cu numere complexe), unitar (este definit un produs scalar dintre dou˘ a funct¸ii) ¸si este complet (toate ¸sirurile Cauchy de funct¸ii au limita ˆın acest spat¸iu), astfel ˆıncˆ at un astfel de spat¸iu este infinit dimensional, ˆın sensul c˘ a exist˘ a un set infinit de funct¸ii de baz˘ a, care sunt liniar independente (produsele scalare ale tuturor perechilor de funct¸ii de baz˘ a sunt nule) ¸si orice funct¸ie din spat¸iu se poate scrie ca o combinat¸ie liniar˘ a a acestor funct¸ii de baz˘ a.
3
4
CAPITOLUL 1. FORMALISMUL GENERAL AL MECANICII CUANTICE
dac˘a dou˘a funct¸ii au produsul scalar nul, atunci aceste funct¸ii sunt ortogonale. iv. Fiecare funct¸ie de stare este normat˘a la unitate Z 2 kΨk2 ≡ df q Ψ(q; t) = 1 .
(1.2)
D
v. Dou˘ a funct¸ii de stare care difer˘a numai printr-un factor de faz˘a, adic˘a Ψ(q; t) ¸si Ψ′ (q; t) = e Ψ(q; t) (unde ϕ este o m˘arime real˘a), sunt echivalente din punct de vedere fizic. vi. Dac˘ a { Ψα (q; t) }α este un set de funct¸ii de stare posibile ¸si { cα }α este un set de numere complexe, atunci combinat¸ia liniar˘ a X Ψ(q; t) = cα Ψα (q; t) (1.3) iϕ
α
este de asemenea o stare posibil˘ a a sistemului (principiul superpozit¸iei). Trebuie s˘a se observe c˘ a propriet˘ a¸tile anterioare sunt explicit˘ari ale afirmat¸iei c˘ a funct¸iile de stare apart¸ine unui spat¸iu Hilbert. Principiul 2 (al observabilelor) are dou˘a p˘ art¸i: a) observabilele dinamice ale unui sistem cuantic sunt reprezentate prin operatori 3 definit¸i ˆın spat¸iul Hilbert al st˘ arilor sistemului ¸si ace¸sti operatori sunt liniari, hermitici ¸si au sisteme complete de funct¸ii proprii; b) operatorii observabilelor cu analog clasic se definesc utilizˆand principiul de corespondent¸˘a, iar operatorii observabilelor f˘ ar˘ a analog clasic se postuleaz˘ a 4. Asupra operatorilor asociat¸i observabilelor dinamice (conform Principiului 2) trebuie s˘a se prezinte urm˘atoarele observat¸ii. ˆˆ 1. ˆIn continuare se va considera formal c˘ a m˘arimii dinamice A ˆıi este asociat operatorul A, care este definit ˆın spat¸iul Hilbert (de funct¸ii) al st˘arilor sistemului Hq . ˆ 2. Ecuat¸ia cu valori proprii a operatorului Aˆ are forma ˆ Aˆ uα (q) = aα uα (q) ,
(1.4)
unde aα este o valoare proprie, iar uα (q) este o funct¸ie proprie 5 .
ˆ Conform Principiului 2, este de interes numai cazul cˆ and operatorul Aˆ este liniar ¸si hermitic; atunci ˆın mod automat solut¸iile ecuat¸iei cu valori proprii (1.4) [adic˘ a valorile proprii ¸si funct¸iile proprii] au propriet˘ a¸ti remarcabile, prezentate ˆın continuare. 2a. Setul valorilor proprii ({aα }α – numit spectrul operatorului) este un set de numere reale; ˆın plus acest set este discret sau continuu (pentru simplitate se va considera formal c˘ a spectrul operatorului este discret, ceea ce implic˘ a un indice discret 6 α). 2b. Sistemul funct¸iilor proprii este un set orto-normat ¸si complet ˆın spat¸iul Hilbert al st˘arilor Hq , adic˘a funct¸iile proprii sunt elemente ale spat¸iului Hq , satisfac relat¸ia de orto-normare Z uα , uα′ ≡ df q u∗α (q) uα′ (q) = δα,α′ , (1.5a) D
ˆ ˆ ˆıntr-un spat¸iu Hilbert este o corespondent¸a operator A ˘ ˆıntre funct¸ii ale acestui spat¸iu, adic˘ a ˆın mod explicit ˆ ˆ Ψ(q); operatorul este bine definit dac˘ a se precizeaz˘ a relat¸ia de corespondent¸a ˘ pentru toate Ψ(q) → ΨA (q) = A funct¸iile spat¸iului. Pentru mecanica cuantic˘ a sunt important¸i operatorii liniari ¸si hermitici, care satisfac propriet˘ a¸tile ˆ ˆ ˆ ˆ Ψb (q) , ˆ Ψa (q) + cb A ˆ ca Ψa (q) + cb Ψb (q) = ca A ∀ ca , cb ∈ C & ∀ Ψa (q), Ψb (q) ∈ Hq , A 3 Un
ˆ ˆ ˆ Ψb ) = (A ˆ Ψa , Ψb ) , (Ψa , A
4 Exemplul
∀ Ψa (q), Ψb (q) ∈ Hq .
tipic de observabil˘ a f˘ ar˘ a analog clasic este spinul. simplitate se consider˘ a ˆın mod formal c˘ a spectrul valorilor proprii este nedegenerat (adic˘ a pentru fiecare valoare proprie corespunde o singur˘ a funct¸ie proprie); cazul cˆ and exist˘ a degenerare nu induce complicat¸ii esent¸iale, dar necesit˘ a utilizarea unui indice suplimentar, corespunz˘ ator degener˘ arii, pentru funct¸ia proprie. 6 Cazul spectrului continuu, de¸ si se manipuleaz˘ a formal ˆın mod analog, implic˘ a unele subtilit˘ a¸ti legate de faptul c˘ a riguros vorbind funct¸iile proprii nu mai sunt ˆın spat¸iul Hilbert al st˘ arilor. 5 Pentru
1.1. FUNDAMENTELE MECANICII CUANTICE ONDULATORII
5
(produsul scalar ˆıntre dou˘a funct¸ii proprii se define¸ste ˆın mod similar cu produsul scalar dintre dou˘a funct¸ii de stare) ¸si relat¸ia de completitudine X uα (q) u∗α (q′ ) = δ f (q − q′ ) , (1.5b) α
ator unei perechi de indici (pentru prima relat¸ie), unde δα,α′ este simbolul Kronecker corespunz˘ iar δ f (q − q′ ) ≡ δ(q1 − q1′ ) · · · δ(qf − qf′ ) este funct¸ia Dirac f -dimensional˘a. Datorit˘ a faptului c˘ a satisfac relat¸iile de orto-normare ¸si de completitudine, setul funct¸iilor proprii {uα (q)}α este o baz˘ a ˆın spat¸iul Hq , ceea ce implic˘ a proprietatea c˘ a orice funct¸ie de stare Ψ(q; t) poate fi descompus˘a dup˘a aceast˘a baz˘a (adic˘a se poate exprima ca o combinat¸ie liniar˘a a funct¸iilor proprii, coeficient¸ii fiind numere complexe ¸si sunt numit¸i coeficient¸i Fourier generalizat¸i) X Ψ(q; t) = (1.6a) c(Ψ) α (t) uα (q) , α
iar ace¸sti coeficient¸i Fourier generalizat¸i se obt¸in prin proiectarea funct¸iei de stare pe funct¸ia proprie corespunz˘ atoare c(Ψ) (1.6b) α (t) = uα , Ψ .
ˆIn plus, setul coeficient¸ilor Fourier satisface relat¸ia Parseval (care exprim˘ a completitudinea setului de funct¸ii proprii) X 2 c(Ψ) =1. (1.7) α (t) α
3. Conform Principiului de corespondent¸˘a clasic˘a, dac˘a A este o observabil˘a cu analog clasic, atunci m˘arimea clasic˘ a este o funct¸ie de coordonatele canonice A cl = A(p, q), iar operatorul cuantic este aceea¸si funct¸ie dar ˆın locul coordonatelor canonice sunt operatorii cuantici (de pozit¸ie ˆ ˆˆ ). ˆˆ , q ¸si de impuls) corespondent¸i: Aˆ = A(p Pentru exemplificare se vor prezenta expresiile operatorilor moment cinetic ¸si hamiltonian pentru un sistem constituit din N particule nerelativiste, care au interact¸ii mutuale binare caracterizate de potent¸ialul v(r − r′ ) N
X ˆ ˆˆ j , ˆˆrj × p ˆ= L
(1.8a)
j=1 N
1,N
X 1 X ˆ ˆˆ 2 + ˆ = H p v(ˆˆrj − ˆˆrk ) . j 2m j=1
(1.8b)
j, k j
Principiul 3 (de cuantificare): relat¸iile de comutare ale operatorilor canonici elementari (qˆˆj este operatorul asociat coordonatei de pozit¸ie, iar pˆˆj este operatorul asociat coordonatei de impuls) sunt qˆˆj , qˆˆl = pˆˆj , pˆˆl = ˆˆ0 , qˆˆj , pˆˆl = i~ δjl ˆˆ1 ,
(1.9a) (1.9b)
iar pentru operatorii asociat¸i observabilelor f˘ar˘a analog clasic relat¸iile de comutare se postuleaz˘ a. Relat¸iile de comutare (1.9) trebuie scrise pentru variabilele canonice exprimate ˆın coordonate cartesiene7 ¸si ˆın acest caz se obt¸ine reprezentarea coordonate a acestor operatori (care act¸ioneaz˘ a asupra funct¸iilor de stare) qˆ ˆj = qj , h ∂ pˆ ˆj = , i ∂ qj
(operator multiplicativ) , (operator diferent¸ial) .
7 Dac˘ a se aplic˘ a unor coordonate canonice arbitrare – cum ar fi coordonatele sferice sau cilindrice – atunci operatorii impuls pot fi patologici.
6
CAPITOLUL 1. FORMALISMUL GENERAL AL MECANICII CUANTICE
Principiul 4 (de interpretare statistic˘ a): la m˘asurarea unei observabile, singurele valori ap˘arute sunt valorile proprii ale operatorului asociat, iar probabilitatea de aparit¸ie a unei valori proprii este egal˘a cu modulul p˘ atrat al coeficientului Fourier conjugat funct¸iei proprii corespunz˘atoare acelei valori proprii, coeficient obt¸inut la dezvoltarea funct¸iei de stare a sistemului dup˘a baza funct¸iilor proprii ale operatorului asociat observabilei m˘asurate. Pentru a explicita enunt¸ul se consider˘ a c˘ a sistemul cuantic se afl˘a ˆın starea caracterizat˘ a de ˆˆ funct¸ia de stare Ψ(q; t), iar observabila m˘asurat˘a A este reprezentat˘ a de operatorul A. Conform ˆ discut¸iei anterioare (de la Principiul 2), ecuat¸ia cu valori proprii a operatorului Aˆ este (1.4) ¸si funct¸ia de stare a sistemului are o descompunere ˆın baza proprie a acestui operator de forma (1.6); atunci, Principiul 4 afirm˘ a c˘ a probabilitatea de aparit¸ie a valorii proprii aα este 2 . w(aα ) = c(Ψ) (1.10) α
Se vor semnala cele mai importante consecint¸e ale acestui principiu. 1. Datorit˘ a faptului c˘ a previziunile observat¸iilor sunt numai de natur˘a probabilistic˘a, o caracterizare global˘a a unui set constituit dintr-un num˘ar mare de observat¸ii este dat˘a de valoarea medie; pe baza Principiului 4 se obt¸ine c˘ a valoarea medie a m˘asur˘atorilor efectuate asupra obserˆ ˆ cˆ and starea sistemului este caracterizat˘ a de funct¸ia Ψ(q; t), vabilei reprezentate de operatorul A, are expresia ˆˆ , (1.11) hAiΨ = Ψ, AΨ care este numit˘ a teorema de medie. 2. Utilizˆ and Principiul 4 ¸si efectuˆand operat¸ii logice se obt¸ine semnificat¸ia statistic˘ a a funct¸iei de stare: modulul p˘ atrat al funct¸iei de stare este egal cu densitatea de probabilitate de localizare a sistemului ˆın spat¸iul configurat¸iilor : 2 dw(q; t) = Ψ(q; t) df q . Rezultatul anterior arat˘a caracterul statistic intrinsec al mecanicii cuantice (adic˘a informat¸ia maximal˘ a, conform principiilor mecanicii cuantice, are un caracter probabilistic).
Principiul 5 (de filtrare la operat¸ia de m˘ asurare): Dac˘ a se m˘asoar˘ a observabila A pentru un sistem descris de funct¸ia de stare Ψ(q, t) ¸si se obt¸ine ca rezultat valoarea proprie aα , atunci starea sistemului, imediat dup˘a efectuarea m˘asur˘atorii, este descris˘ a de proiect¸ia funct¸iei de stare anterioare pe sub-spat¸iul valorii proprii obt¸inute prin m˘asur˘atoare ˆ Pˆα Ψ(q; t) Ψ(q; t) → Ψaα (q; t) =
Pˆˆα Ψ(q; t)
(1.12)
ˆ ˆ unde Pˆα este operatorul proiector pe sub-spat¸iul valorii proprii aα , iar Pˆα Ψ(q; t) este norma ˆ ˆ funct¸iei Pˆα Ψ(q; t); proiectorul Pˆα este definit prin act¸iunea sa asupra unei funct¸ii arbitrare din spat¸iul Hilbert al st˘ arilor, Φ(q), prin relat¸ia ˆ Pˆα Φ(q) = uα , Φ uα (q) .
(1.13)
Principiul 6 (de evolut¸ie) este ecuat¸ia de evolut¸ie a funct¸iei de stare (ecuat¸ia Schr¨odinger) i~
∂ ˆˆ Ψ(q; t) , Ψ(q; t) = H ∂t
(1.14)
care este o ecuat¸ie cu derivate part¸iale pentru funct¸ia de stare; se observ˘a c˘ a, similar cazului clasic, evolut¸ia sistemului este determinat˘ a de c˘ atre hamiltonian. Pentru mecanica cuantic˘ a este convenabil s˘a se transforme ecuat¸ia de evolut¸ie ˆıntr-o ecuat¸ie ˆˆ (t, t0 ), care transform˘a operatorial˘ a. Ca urmare, se introduce operatorul de evolut¸ie, notat U funct¸ia de stare init¸ial˘a Ψ(q; t0 ) ˆın funct¸ia de stare evoluat˘a temporal Ψ(q; t), conform relat¸iei (de definit¸ie) ˆˆ Ψ(q; t) = U (t, t0 ) Ψ(q; t0 ) . (1.15)
1.1. FUNDAMENTELE MECANICII CUANTICE ONDULATORII
7
Dac˘ a se ˆınlocuie¸ste definit¸ia (1.15) ˆın ecuat¸ia de evolut¸ie (1.14), observˆand c˘ a dependent¸a de ˆˆ (t, t0 ), rezult˘a o egalitate valabil˘a pentru timp este cont¸inut˘a numai ˆın operatorul de evolut¸ie U orice funct¸ie de stare init¸ial˘a Ψ(q; t0 ), ceea ce implic˘ a egalitatea operatorilor; atunci, rezult˘a ecuat¸ia diferent¸ial˘a a operatorului de evolut¸ie i~
∂ ˆˆ ˆˆ ˆˆ · U (t, t0 ) . U (t, t0 ) = H ∂t
(1.16a)
Este important s˘a se remarce urm˘atoarele propriet˘ a¸ti ale operatorului de evolut¸ie, care se obt¸in direct din definit¸ie. • La momentul init¸ial t = t0 operatorul de evolut¸ie este egal cu operatorul unitate ˆˆ U (t, t0 ) = ˆˆ1 , t=t0
(1.16b)
[dup˘ a cum rezult˘a din relat¸ia (1.15)].
• Operatorul de evolut¸ie este un operator unitar, adic˘a satisface condit¸ia ˆˆ † ˆˆ −1 (t, t0 ) , U (t, t0 ) = U
(1.16c)
[proprietatea rezult˘ a din condit¸ia de conservare a normei funct¸iei de stare (care trebuie s˘ a fie permanent egal˘ a cu unitatea) ˆ† ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Ψ0 = Ψ0 , Ψ0 , ˆ ˆ ·U Ψ, Ψ = U Ψ0 , U Ψ0 = Ψ0 , U
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ † (t, t0 ) · U ˆ ˆ (t, t0 ) · U ˆ † (t, t0 ) = ˆ ceea ce implic˘ aU (t, t0 ) = ˆ 1; analog se arat˘ a egalitatea U 1, astfel c˘ a inversul operatorului de evolut¸ie este egal cu conjugatul hermitic al acestui operator].
• Operatorul de evolut¸ie este un operator liniar
[proprietatea este evident˘ a, conform definit¸iei ¸si a principiului superpozit¸iei].
Principiul 7 (de identitate): particulele identice (ca structur˘ a ¸si propriet˘ a¸ti) sunt absolut indiscernabile. Conform acestui principiu, comportarea a particulelor cuantice este complet diferit˘a de comportarea clasic˘ a (particulele clasice identice sunt discernabile, datorit˘a faptului c˘ a traiectoria clasic˘a a fiec˘ arei particule este bine definit˘ a principial); din contr˘a, ˆın cazul cuantic nu se poate defini o traiectorie (ar fi ˆın contradict¸ie cu relat¸iile de nedeterminare), astfel ˆıncˆ at indiscernabilitatea absolut˘a a particulelor identice are consecint¸e esent¸iale pentru sisteme formate din particule identice care au grade de libertate de translat¸ie; ˆın acest caz exist˘a posibilitatea producerii unor permut˘ari ˆıntre particule, iar st˘ arile rezultate prin aceste permut˘ari trebuie considerate ca aceea¸si stare fizic˘ a. Conform observat¸iei precedente, pentru sisteme constituite din particule identice cu grade de libertate translat¸ionale, sunt valabile urm˘atoarele consecint¸e ale Principiului de identitate: • observabilele sistemului sunt invariante (simetrice) la permut˘ari ale particulelor, • starea sistemului este invariant˘ a fizic la permut˘ari ale particulelor. Ca urmare, funct¸ia de stare a sistemului total trebuie s˘a fie simetric˘ a sau anti-simetric˘ a la permut˘ari ale coordonatelor corespunz˘ atoare particulelor 8 . Pentru a explicita matematic afirmat¸iile anterioare, se va considera un sistem cuantic format din N particule identice, care au grade de libertate de translat¸ie ¸si se alege o permutare π ˆˆ ··· N (care efectueaz˘a si operatorul de permutare corespunz˘ ator Π pentru N obiecte: π = π11 π22 ··· πN ¸ ˆˆ ˆˆ j permutarea π la variabilele unei funct¸ii) Π f (x1 , . . . , xN ) = f (xπ1 , . . . , xπN ) . Atunci, notˆand x totalitatea operatorilor asociat¸i coordonatelor de pozit¸ie, de impuls ¸si de spin ale particulei ” j ”, 8 S-a
ar˘ atat anterior c˘ a funct¸ia de stare este definit˘ a fizic numai pˆ an˘ a la un factor de faz˘ a arbitrar.
8
CAPITOLUL 1. FORMALISMUL GENERAL AL MECANICII CUANTICE
ˆ ˆˆ 1 , . . . , x ˆˆ N ) ¸si operatorul asociat unei m˘arimi dinamice a sistemului total este de forma Aˆ = A(x este invariant la permut˘ari: ˆ ˆˆ ˆˆ (1.17) A = Aˆ . Π Analog, notˆ and coordonatele de pozit¸ie ¸si spin ale particulei ” j ” prin qj , funct¸ia de stare a sistemului total, Ψ(q1 , . . . , qN ; t) ≡ Ψ(q; t) este simetric˘ a sau anti-simetric˘a la permut˘ari ˆˆ Π Ψ(q; t) = ± Ψ(q; t) .
(1.18)
ˆIn teoria cuantic˘ a relativist˘ a (teoria cuantic˘ a a cˆ ampurilor) se poate demonstra teorema spin – statistic˘ a (datorat˘ a lui W. Pauli) 9 : Exist˘a numai dou˘a tipuri de particule, funct¸ie de spinul particulelor, a) particule cu spin ˆıntreg (s = 0, 1, 2, . . .) numite bosoni ¸si b) particule cu spin semi-ˆıntreg (s = 12 , 32 , . . .) numite fermioni; pentru un sistem constituit din bosoni identici funct¸ia de stare este simetric˘ a la permut˘ari ale particulelor, iar pentru un sistem constituit din fermioni identici funct¸ia de stare este anti-simetric˘ a la permut˘ari ale particulelor. ˆIn plus, trebuie s˘a se observe c˘ a pentru sistemele constituite din bosoni sau fermioni identici (care pot efectua translat¸ii), datorit˘ a restrict¸iei asupra funct¸iei de stare (a sistemului total) de a fi simetric˘ a (respectiv anti-simetric˘a) la permut˘ari ale coordonatelor (de pozit¸ie ¸si spin) ale particulelor, rezult˘a c˘ a spat¸iul Hilbert al st˘arilor fizice este numai sub-spat¸iul Hilbert simetric (s) (a) Hq , respectiv sub-spat¸iul Hilbert anti-simetric Hq .
1.2
Formularea general˘ a a mecanicii cuantice
Prin utilizarea propriet˘ a¸tilor matematice ale spat¸iilor Hilbert, se poate formula ˆıntr-o manier˘a mai general˘ a mecanica cuantic˘ a, astfel ˆıncˆ at mecanica ondulatorie s˘a fie o variant˘ a particular˘ a a teoriei generale. Aceast˘a formulare general˘a, datorat˘a ˆın principal lui P.A.M. Dirac, este mai abstract˘ a, dar are avantajul introducerii unor metode specifice teoriei cuantice a sistemelor constituite din mai multe particule identice ¸si teoriei cuantice de cˆamp. ˆIn cadrul acestui formalism general sunt posibile mai multe formul˘ari (sau descrieri) 10 echivalente ale mecanicii cuantice (se vor discuta ulterior cele mai importante formul˘ari: formularea Schr¨odinger, formularea Heisenberg ¸si formularea de interact¸ie, numit˘a de asemenea formularea Dirac). Pentru a asigura o corespondent¸˘a direct˘a cu varianta ondulatorie a mecanicii cuantice se va prezenta init¸ial formularea Schr¨odinger, iar ulterior se vor deduce celelalte formul˘ari. Metoda de expunere va fi similar˘ a cu cea utilizat˘a anterior, pentru mecanica ondulatorie, adic˘a se vor prezenta principiile ¸si principalele consecint¸e ale acestora, f˘ar˘a s˘a se intre ˆın detalii ¸si f˘ar˘a s˘a se discute cazurile care produc dificult˘ a¸ti matematice; de aceea, expunerea va fi foarte simplificat˘ a, astfel ca s˘a rezulte ˆın mod clar numai aspectele esent¸iale ale mecanicii cuantice necesare pentru a construi generalizarea teoriei la sisteme multi-particule. 11 Principala generalizare const˘ a ˆın a ˆınlocui funct¸iile de stare ¸si operatorii care act¸ioneaz˘ a asupra acestor funct¸ii cu vectori abstract¸i ¸si operatori care act¸ioneaz˘ a asupra acestor vectori.
1.2.1
Formularea Schr¨ odinger
Principiul 1 (al st˘ arilor): st˘ arile posibile ale sistemului sunt caracterizate prin vectorul de stare |Ψ(t)i, care este definit ˆıntr-un spat¸iu Hilbert abstract H, numit spat¸iul Hilbert al st˘ arilor cuantice ale sistemului. 12 9 Dac˘ a
se consider˘ a numai teoria cuantic˘ a nerelativist˘ a, atunci teorema spin – statistic˘ a trebuie postulat˘ a. ˆın limba englez˘ a este picture; din nefericire, ˆın multe lucr˘ ari scrise ˆın limba romˆ an˘ a este utilizat termenul reprezentare, ˆın loc de formulare (sau descriere). Termenul “reprezentare” este nefericit, deoarece acest cuvˆ ant este utilizat ˆın mecanica cuantic˘ a cu alt˘ a semnificat¸ie, cum se va ar˘ ata ulterior; astfel mecanica ondulatorie este varianta ˆın care se utilizeaz˘ a formalismul Schr¨ odinger ¸si reprezentarea coordonate. 11 De fapt, se va utiliza maxim posibil textul anterior (cel corespunz˘ ator prezent˘ arii succinte a fundamentelor mecanicii ondulatorii) tocmai pentru a evident¸ia caracterul unitar al mecanicii cuantice. 12ˆ In Anexa matematic˘ a A.5 se prezint˘ a principalele propriet˘ a¸ti ale spat¸iilor Hilbert care sunt interesante pentru mecanica cuantic˘ a. 10 Termenul
˘ A MECANICII CUANTICE 1.2. FORMULAREA GENERALA
9
Este necesar s˘a se evident¸ieze urm˘atoarele propriet˘ a¸ti esent¸iale ale vectorului de stare |Ψ(t)i: i. Pentru notarea vectorilor de stare se utilizeaz˘a metoda lui Dirac, care include simbolul vectorului (ˆın cazul de fat¸˘ a Ψ) ˆın interiorul semnelor | i; aceast˘a notat¸ie are avantaje pentru mecanica cuantic˘ a (produce simplific˘ ari), dar sunt cazuri cˆ and induce ambiguit˘ a¸ti, de aceea este evitat˘a ˆın literatura de matematic˘a pur˘a (unde se utilizeaz˘a notat¸ia cu litere groase); din fericire aceste cazuri patologice nu apar ˆın problemele curente ale mecanicii cuantice, astfel c˘ a notat¸ia Dirac este foarte mult utilizat˘a ˆın literatura de fizic˘a. ii. Spre deosebire de mecanica ondulatorie, unde funct¸ia de stare depindea ˆın mod explicit de coordonatele de pozit¸ie, ˆın cazul formalismului general vectorul de stare nu prezint˘ a ˆın mod explicit decˆ at o dependent¸˘ a parametric˘a de timp. iii. Produsul scalar dintre doi vectori (|ψi ¸si |φi) ai spat¸iului Hilbert H, se noteaz˘ a ˆın felul urm˘ator: |ψi, |φi = hψ | φi . (1.19) not
Aceast˘a notat¸ie Dirac utilizeaz˘ a 2 tipuri de vectori 13 : vectorii init¸iali (numit¸i vectori ket ) |ψi ¸si conjugat¸ii lor (numit¸i vectori bra) hψ| ; de asemenea, se observ˘a c˘ a se utilizeaz˘a o singur˘a bar˘ a vertical˘ a la mijloc, comun˘ a celor 2 vectori. 14 iv. Fiecare vector de stare are norma unitate: kΨk2 ≡ hΨ | Ψi = 1 . v. Dac˘ a { |Ψα (t)i }α este un set de vectori de stare posibili ¸si { cα }α este un set de numere complexe, atunci combinat¸ia liniar˘ a |Ψ(t)i =
X α
cα |Ψα (t)i
(1.20)
este de asemenea o stare posibil˘ a a sistemului (principiul superpozit¸iei). Principiul 2 (al observabilelor) are dou˘a p˘ art¸i: a) observabilele dinamice ale unui sistem cuantic sunt reprezentate prin operatori 15 definit¸i ˆın spat¸iul Hilbert al st˘ arilor sistemului ¸si ace¸sti operatori sunt liniari, hermitici ¸si au sisteme complete de funct¸ii proprii; b) operatorii observabilelor cu analog clasic se definesc utilizˆand principiul de corespondent¸˘a, iar operatorii observabilelor f˘ ar˘ a analog clasic se postuleaz˘ a 16 . Asupra operatorilor asociat¸i observabilelor dinamice (conform Principiului 2) trebuie s˘a se prezinte urm˘atoarele observat¸ii. ˆ 1. ˆIn continuare se va considera formal c˘ a m˘arimii dinamice A ˆıi este asociat operatorul A, care este definit ˆın spat¸iul Hilbert (abstract) al st˘arilor sistemului H; se observ˘a c˘ a notat¸ia Dirac difer˘a de notat¸ia standard din matematic˘a prin utilizarea simbolului ˆ, plasat deasupra literei operatorului. 2. Ecuat¸ia cu valori proprii a operatorului Aˆ are forma Aˆ |uα i = aα |uα i ,
(1.21)
unde aα este o valoare proprie, iar |uα i este un vectorul propriu asociat 17 . Conform Principiului 2, este de interes numai cazul cˆ and operatorul Aˆ este liniar, hermitic ¸si cu un sistem complet de vectori proprii; atunci ˆın mod automat solut¸iile ecuat¸iei cu valori proprii (1.21) [adic˘ a valorile proprii ¸si vectorii proprii] au propriet˘ a¸ti remarcabile, prezentate ˆın continuare. 13 Denumirile bra ¸ si ket provin din limba englez˘ a unde “paranteza” este numit˘ a “braket”; prin urmare, bra este partea stˆ ang˘ a, iar ket este partea dreapt˘ a a cuvˆ antului braket. 14 Riguros vorbind vectorii bra sunt dualii vectorilor ket, introdu¸ si prin intermediul produsului scalar ca operat¸ie liniar˘ a; totu¸si, aceast˘ a definit¸ie riguroas˘ a are dezavantajul pierderii intuitivit˘ a¸tii, astfel c˘ a este suficient s˘ a se considere vectorii bra ca simplii conjugat¸i ai vectorilor ket, f˘ ar˘ a s˘ a se utilizeze probleme de dualitate. 15 Un operator A ˆ ˆın spat¸iu Hilbert este o corespondent¸a ˘ ˆıntre vectorii acestui spat¸iu, adic˘ a ˆın mod explicit cu ˆ |Ψi. notat¸ia Dirac: |Ψi → |ΨA i = A 16 Exemplul tipic de observabil˘ a f˘ ar˘ a analog clasic este spinul. 17 Pentru simplitate se consider˘ a ˆın mod formal c˘ a spectrul valorilor proprii este nedegenerat (adic˘ a pentru fiecare valoare proprie corespunde un singur vector propriu); cazul cˆ and exist˘ a degenerare nu induce complicat¸ii esent¸iale, dar necesit˘ a utilizarea unui indice suplimentar, corespunz˘ ator degener˘ arii, pentru vectorul propriu.
10
CAPITOLUL 1. FORMALISMUL GENERAL AL MECANICII CUANTICE
2a. Setul valorilor proprii ({aα }α – numit spectrul operatorului) este un set de numere reale; ˆın plus acest set este discret sau continuu (pentru simplitate se va considera formal c˘ a spectrul operatorului este discret, ceea ce implic˘ a c˘ a α este un indice discret) 18 . 2b. Sistemul vectorilor proprii este un set orto-normat ¸si complet ˆın spat¸iul Hilbert al st˘arilor H, adic˘a vectorii proprii satisfac relat¸ia de orto-normare h uα | uα′ i = δα,α′ , ¸si relat¸ia de completitudine
X α
Pˆα ≡
X α
(1.22a)
| uα ih uα | = ˆ1 ,
(1.22b)
unde ˆ1 este operatorul unitate ˆın spat¸iul Hilbert H, iar Pˆα = | uα ih uα | este proiectorul pe sub-spat¸iul generat de vectorul propriu | uα i. Proiectorul Pˆα pe sub-spat¸iul generat de vectorul propriu | uα i are act¸iunea asupra unui vector arbitrar |ψi din spat¸iul Hilbert H dat˘ a de relat¸ia general˘ a pentru un proiector: Pˆα | ψ i = h uα | ψ i| uα i = | uα ih uα | | ψ i = | uα ih uα | ψ i ,
Demonstrat¸ie:
de unde rezult˘ a, ˆın mod direct c˘ a Pˆα = | uα ih uα | .
Datorit˘ a faptului c˘ a satisfac relat¸iile de orto-normare ¸si de completitudine, setul vectorilor proprii {|uα i}α este o baz˘ a ˆın spat¸iul H, ceea ce implic˘ a proprietatea c˘ a orice vector de stare |Ψ(t)i poate fi descompus dup˘a aceast˘a baz˘ a (adic˘a se poate exprima ca o combinat¸ie liniar˘a a vectorilor proprii, coeficient¸ii fiind numere complexe ¸si sunt numit¸i coeficient¸i Fourier generalizat¸i) X |Ψ(t)i = c(Ψ) (1.23a) α (t) |uα i ; α
ace¸sti coeficient¸i Fourier generalizat¸i se obt¸in prin proiectarea vectorului de stare pe vectorul propriu corespunz˘ ator c(Ψ) (1.23b) α (t) = huα |Ψi . Demonstrat¸ie: Se efectueaz˘a produsul scalar dintre un vector propriu |uα i ¸si vectorul de stare |Ψ(t)i, descompus ˆın baza {|uα i}α , conform relat¸iei (1.23a) ¸si se utilizeaz˘ a proprietatea de liniaritate a produsului scalar, apoi relat¸ia de orto-normare a vectorilor proprii: X (Ψ) X (Ψ) X (Ψ) cα′ (t) δα,α′ = c(Ψ) cα′ (t) huα |uα′ i = cα′ (t) |uα′ i = huα |Ψi = huα | α (t) ; α′
α′
α′
adic˘ a s-a obt¸inut rezultatul cerut.
ˆIn plus, setul coeficient¸ilor Fourier satisface relat¸ia Parseval (care exprim˘ a completitudinea setului de funct¸ii proprii) X 2 c(Ψ) =1. (1.24) α (t) α
Demonstrat¸ie: Se expliciteaz˘a suma modulelor p˘atrate ale coeficient¸ilor Fourier generalizat¸i cu ajutorul relat¸iei (1.23a) X X (Ψ) 2 X (Ψ) ∗ (Ψ) cα (t) = hΨ|uα i huα |Ψi , cα (t) cα (t) = α
α
α
apoi se utilizeaz˘ a liniaritatea produsului scalar, extr˘ agˆ andu-se vectorul de stare (atˆ at bra, cˆ at ¸si ket) ˆın exteriorul sumei ¸si apoi se utilizeaz˘ a relat¸ia de completitudine (1.22b), astfel c˘ a rezult˘ a o n X X (Ψ) 2 cα (t) = hΨ| | uα ih uα | |Ψi = hΨ| ˆ 1 |Ψi = hΨ|Ψi = 1 , α
α
unde ultima egalitate s-a obt¸inut luˆ and datorit˘ a condit¸iei de normare a vectorului de stare.
18 Cazul
spectrului continuu, de¸si se manipuleaz˘ a formal ˆın mod analog, implic˘ a unele subtilit˘ a¸ti legate de faptul c˘ a riguros vorbind vectorii proprii nu mai sunt ˆın spat¸iul Hilbert al st˘ arilor.
˘ A MECANICII CUANTICE 1.2. FORMULAREA GENERALA
11
3. Conform Principiului de corespondent¸˘a clasic˘a, dac˘a A este o observabil˘a cu analog clasic, atunci m˘arimea clasic˘ a este o funct¸ie de coordonatele canonice A cl = A(p, q), iar operatorul cuantic este aceea¸si funct¸ie dar ˆın locul coordonatelor canonice sunt operatorii cuantici (de pozit¸ie ˆ ). ¸si de impuls) corespondent¸i: Aˆ = A(ˆ p, q Pentru exemplificare se vor prezenta expresiile operatorilor moment cinetic ¸si hamiltonian pentru un sistem constituit din N particule nerelativiste, care au interact¸ii mutuale binare caracterizate de potent¸ialul v(r − r′ ) ˆ= L
N X j=1
ˆ = H
ˆrj × p ˆj ,
(1.25a)
1,N N X 1 2 X ˆ + v(ˆrj − ˆrk ) . p 2m j j=1
(1.25b)
j, k j
Se observ˘ a similitudinea cu expresiile corespondente din mecanica ondulatorie, reprezentate prin relat¸iile (1.8). Principiul 3 (de cuantificare): relat¸iile de comutare ale operatorilor canonici elementari exprimat¸i ˆın coordonate cartesiene (ˆ qj este operatorul asociat coordonatei de pozit¸ie, iar pˆj este operatorul asociat coordonatei de impuls) sunt (1.26a) qˆj , qˆl = pˆj , pˆl = ˆ0 , ˆ (1.26b) qˆj , pˆl = i~ δjl 1 ,
iar pentru operatorii asociat¸i observabilelor f˘ar˘a analog clasic relat¸iile de comutare se postuleaz˘ a. Se va ar˘ ata ulterior (cˆand se va discuta reprezentarea coordonate de pozit¸ie) c˘ a operatorii abstract¸i ai coordonatelor de pozit¸ie ¸si de impuls au expresiile cunoscute din mecanica ondulatorie. Principiul 4 (de interpretare statistic˘ a): la m˘asurarea unei observabile, singurele valori ap˘arute sunt valorile proprii ale operatorului asociat, iar probabilitatea de aparit¸ie a unei valori proprii este egal˘a cu modulul p˘ atrat al coeficientului Fourier conjugat vectorului propriu corespunz˘ator acelei valori proprii, acest coeficient fiind obt¸inut la dezvoltarea vectorului de stare a sistemului dup˘a baza vectorilor proprii ai operatorului asociat observabilei m˘asurate. Pentru a explicita enunt¸ul se consider˘ a c˘ a sistemul cuantic se afl˘a ˆın starea caracterizat˘ a de ˆ Conform vectorul de stare |Ψ(t)i, iar observabila m˘asurat˘a A este reprezentat˘ a de operatorul A. discut¸iei anterioare (de la Principiul 2), ecuat¸ia cu valori proprii a operatorului Aˆ este (1.21) ¸si funct¸ia de stare a sistemului are o descompunere ˆın baza proprie a acestui operator de forma (1.23); atunci, Principiul 4 afirm˘ a c˘ a probabilitatea de aparit¸ie a valorii proprii aα este 2 . w(aα ) = c(Ψ) (1.27) α
Se observ˘ a c˘ a principiul se enunt¸˘ a identic ca ˆın cazul mecanicii ondulatorii; atunci valoarea medie ˆ cˆ a m˘asur˘atorilor efectuate asupra observabilei reprezentate de operatorul A, and starea sistemului este caracterizat˘ a de vectorul de stare |Ψ(t)i, are expresia ˆ hAiΨ = |Ψi , A|Ψi ≡ hΨ| Aˆ |Ψi , (1.28)
care este numit˘ a teorema de medie.
Principiul 5 (de filtrare la operat¸ia de m˘ asurare): dac˘a se m˘asoar˘ a observabila A pentru un sistem descris de vectorul de stare |Ψ(t)i ¸si se obt¸ine ca rezultat valoarea proprie aα , atunci starea sistemului, imediat dup˘a efectuarea m˘asur˘atorii, este descris˘ a de proiect¸ia vectorului de stare anterior pe sub-spat¸iul valorii proprii obt¸inute prin m˘asur˘atoare Pˆα |Ψ(t)i
|Ψ(t)i → |Ψaα (t)i =
Pˆα |Ψ(t)i
(1.29)
unde Pˆα = |uα ihuα | este operatorul
pe sub-spat¸iul valorii proprii aα ¸si a fost definit ˆın
proiector demonstrat¸ia relat¸iei (1.22b), iar Pˆα |Ψ(t)i este norma vectorului Pˆα |Ψ(t)i.
12
CAPITOLUL 1. FORMALISMUL GENERAL AL MECANICII CUANTICE
Principiul 6 (de evolut¸ie) stabile¸ste ecuat¸ia de evolut¸ie (Schr¨odinger) pentru vectorul de stare ∂ ˆ |Ψ(t)i , |Ψ(t)i = H (1.30) i~ ∂t care este o ecuat¸ie diferent¸ial˘a ˆın raport cu timpul pentru vectorul de stare |Ψ(t)i. ˆIn mod similar cu mecanica ondulatorie este convenabil s˘a se transforme ecuat¸ia de evolut¸ie ˆ (t, t0 ), care ˆıntr-o ecuat¸ie operatorial˘ a. Prin urmare, se introduce operatorul de evolut¸ie, notat U transform˘ a vectorul de stare init¸ial |Ψ(t0 )i ˆın vectorul de stare evoluat temporal |Ψ(t)i, conform relat¸iei (de definit¸ie) ˆ (t, t0 ) |Ψ(t0 )i . |Ψ(t)i = U (1.31) Dac˘ a se ˆınlocuie¸ste definit¸ia (1.31) ˆın ecuat¸ia de evolut¸ie (1.30), observˆand c˘ a dependent¸a de ˆ (t, t0 ), rezult˘a o egalitate valabil˘a pentru timp este cont¸inut˘a numai ˆın operatorul de evolut¸ie U orice vector de stare init¸ial |Ψ(t0 )i, ceea ce implic˘ a egalitatea operatorilor; atunci, rezult˘a ecuat¸ia diferent¸ial˘a a operatorului de evolut¸ie i~
∂ ˆ ˆ ·U ˆ (t, t0 )|Ψ(t0 )i U (t, t0 )|Ψ(t0 )i = H ∂t
=⇒
i~
∂ ˆ ˆ ·U ˆ (t, t0 ) . (1.32a) U (t, t0 ) = H ∂t
Este important s˘a se remarce urm˘atoarele propriet˘ a¸ti ale operatorului de evolut¸ie, care se obt¸in direct din definit¸ie. • La momentul init¸ial t = t0 operatorul de evolut¸ie este egal cu operatorul unitate ˆ (t, t0 ) U = ˆ1 , t=t0
(1.32b)
[Proprietatea rezult˘ a ˆın mod direct din relat¸ia (1.31).]
• Operatorul de evolut¸ie este un operator unitar, adic˘a satisface condit¸ia ˆ −1 (t, t0 ) = U ˆ † (t, t0 ) , U
(1.32c)
[Proprietatea rezult˘ a din condit¸ia de conservare a normei vectorului de stare (care trebuie s˘ a fie permanent egal˘ a cu unitatea) ˆ (t, t0 )|Ψ(t0 )i , U ˆ (t, t0 )|Ψ(t0 )i = hΨ(t0 )|U ˆ † (t, t0 ) · U ˆ (t, t0 )|Ψ(t0 )i hΨ(t) | Ψ(t)i = U = hΨ(t0 ) | Ψ(t0 )i,
ˆ † (t, t0 ) · U ˆ (t, t0 ) = ˆ ˆ (t, t0 ) · U ˆ † (t, t0 ) = ˆ ceea ce implic˘ aU 1; analog se arat˘ a egalitatea U 1, astfel c˘ a inversul operatorului de evolut¸ie este egal cu conjugatul hermitic al acestui operator.]
• Inversul operatorului de evolut¸ie este egal cu operatorul de evolut¸ie avˆand argumentele temporale inversate: ˆ −1 (t1 , t2 ) = U ˆ (t2 , t1 ) . U (1.32d) [Proprietatea este evident˘ a din definit¸ia operatorului de evolut¸ie (1.31).]
• Operatorul de evolut¸ie satisface proprietatea grupal˘ a: ˆ (t1 , t2 ) · U ˆ (t2 , t3 ) = U ˆ (t1 , t3 ) . U
(1.32e)
[Proprietatea este evident˘ a din definit¸ia operatorului de evolut¸ie (1.31).]
• Operatorul de evolut¸ie este un operator liniar.
[Proprietatea este evident˘ a, conform definit¸iei ¸si a principiului superpozit¸iei].
Dac˘ a sistemul cuantic considerat este izolat, situat¸ia frecvent˘ a ˆın problemele concrete de mecanic˘ a cuantic˘ a, atunci acest sistem este conservativ ¸si hamiltonianul nu depinde de timp. ˆIn acest caz ecuat¸ia de evolut¸ie (cu condit¸ia init¸ial˘a) are solut¸ia n o ˆ (t, t0 ) = exp −i (t − t0 )H ˆ ≡ e− ~i (t−t0 )Hˆ . U ~
(1.33)
˘ A MECANICII CUANTICE 1.2. FORMULAREA GENERALA
13
Demonstrat¸ie: Se dezvolt˘a ˆın serie Taylor operatorul de evolut¸ie fat¸a˘ de valoarea t = t0 , adic˘a ˆ (t, t0 ) = U
∞ X 1 ∂n ˆ U (t, t0 ) (t − t0 )n ; n n! ∂t t=t0 n=0
derivatele operatorului de evolut¸ie se calculeaz˘ a utilizˆ and ecuat¸ia Schr¨ odinger (1.30), ˆımpreun˘ a cu condit¸ia init¸ial˘ a (1.32b); atunci se obt¸in ˆın mod succesiv relat¸iile ∂ ˆ −i ˆ ˆ −i ˆ ˆ −i ˆ U (t, t0 ) H · U (t, t0 ) H·1= H = = ∂t ~ ~ ~ t=t0 t=t0 ∂ −i ˆ ˆ −i ˆ ∂ ˆ ∂∂ ˆ ∂2 ˆ U (t, t ) U (t, t ) H · U (t, t ) H U (t, t ) = = = 0 0 0 0 ∂t2 ∂t ∂t ∂t ~ ~ ∂t t=t0 t=t0 t=t0 t=t0 −i 2 ˆ = H ~ .. . −i n ∂n ˆ ˆ ; U (t, t ) H = 0 ∂tn ~ t=t0
ˆın consecint¸˘ a, seria Taylor a operatorului de evolut¸ie devine seria de definit¸ie a unui operator exponent¸ial, definit˘ a prin relat¸ia (A.29) ˆ (t, t0 ) = U
∞ ∞ n n −i o X X 1 −i ˆ 1 −i ˆ n ˆ . H (t − t0 )n = H(t − t0 ) = exp (t − t0 )H n! ~ n! ~ ~ n=0 n=0
Principiul 7 (de identitate): particulele identice (ca structur˘ a ¸si propriet˘ a¸ti) sunt absolut indiscernabile. Se observ˘ a c˘ a acest principiu are acelea¸si consecint¸e ca ˆın cazul mecanicii ondulatorii, astfel c˘ a nu este necesar s˘a se repete textul anterior, cu except¸ia p˘ art¸ilor esent¸iale. Astfel, pentru sisteme constituite din particule identice cu grade de libertate translat¸ionale, sunt valabile urm˘atoarele consecint¸e ale Principiului de identitate: • observabilele sistemului sunt invariante (simetrice) la permut˘ari ale particulelor, • starea sistemului este invariant˘ a fizic la permut˘ari ale particulelor.
Prin urmare, vectorul de stare a sistemului total trebuie s˘a fie simetric sau anti-simetric la permut˘ari ale coordonatelor corespunz˘ atoare particulelor.
ˆIn teoria cuantic˘ a relativist˘ a (teoria cuantic˘ a a cˆ ampurilor) se poate demonstra teorema spin – statistic˘ a (datorat˘ a lui W. Pauli) Exist˘a numai dou˘a tipuri de particule, funct¸ie de spinul particulelor, a) particule cu spin ˆıntreg (s = 0, 1, 2, . . .) numite bosoni ¸si b) particule cu spin semi-ˆıntreg (s = 12 , 32 , . . .) numite fermioni; pentru un sistem constituit din bosoni identici vectorul de stare este simetric la permut˘ari ale particulelor, iar pentru un sistem constituit din fermioni identici vectorul de stare este anti-simetric la permut˘ari ale particulelor. ˆIn plus, trebuie s˘a se observe c˘ a pentru sistemele constituite din bosoni sau fermioni identici (care pot efectua translat¸ii), datorit˘a restrict¸iei asupra vectorului de stare (al sistemului total) de a fi simetric (respectiv anti-simetric) la permut˘ari ale coordonatelor (de pozit¸ie ¸si spin) ale particulelor, rezult˘a c˘ a spat¸iul Hilbert al st˘arilor fizice este numai sub-spat¸iul Hilbert simetric H(s) , respectiv sub-spat¸iul Hilbert anti-simetric H(a) . Se va ar˘ ata ulterior c˘ a tratarea sistemelor de particule identice, ˆın conformitate cu principiul de identitate, se face mai convenabil prin a¸sa numita metod˘ a a cuantific˘ arii secunde. Concluzie asupra formul˘ arii Schr¨ odinger Deoarece deosebirile ˆıntre diferitele formul˘ari ale mecanicii cuantice se refer˘ a la modul de considerare ¸si descriere a evolut¸iei temporale a sistemului, se recapituleaz˘ a rezultatele fundamentale ale formul˘arii Schr¨odinger: i. Vectorul de stare |Ψ(t)i cont¸ine toat˘a evolut¸ia dinamic˘ a a sistemului.
14
CAPITOLUL 1. FORMALISMUL GENERAL AL MECANICII CUANTICE
ii. Operatorii asociat¸i observabilelor Aˆ nu au variat¸ie temporal˘a datorat˘a evolut¸iei dinamice (altfel spus: ace¸sti operatori nu au dependent¸˘a temporal˘a intrinsec˘ a); totu¸si, este posibil s˘a se considere operatori cu dependent¸a˘ temporal˘a datorat˘a condit¸iilor externe variabile ˆın timp (aceasta este o dependent¸˘ a temporal˘ a extrinsec˘ a). Dac˘ a se consider˘ a un sistem izolat, atunci toate observabilele sistemului sunt atemporale extrinsec, ceea ce corespunde la operatori atemporali. Este necesar s˘a se evident¸ieze c˘ a principiile mecanicii cuantice (varianta generalizat˘a) sunt ˆın mod esent¸ial identice ˆın toate formul˘arile, cu except¸ia evolut¸iei temporale; prin urmare, numai Principiul 6 (de evolut¸ie) se modific˘a la trecerea de la formularea Schr¨odinger la alt˘ a formulare (Heisenberg, sau Dirac). Formul˘ ari ale mecanicii cuantice Dup˘a cum rezult˘a din Principiul 4 (de interpretare statistic˘a) al mecanicii cuantice, m˘arimile matematice utilizate de teoria cuantic˘ a (adic˘a vectorii de stare ¸si operatorii observabilelor) nu sunt m˘arimi care rezult˘a direct din comparat¸ia dintre teorie ¸si experient¸˘ a. De fapt, m˘arimile cu semnificat¸ie fizic˘a direct˘a sunt numai valorile proprii ale operatorilor (asociat¸i observabilelor dinamice) ¸si modulele p˘ atrate ale coeficient¸ilor Fourier (coeficient¸ii de dezvoltare ai vectorului de stare dup˘a sistemele complete de vectori proprii ai operatorilor asociat¸i observabilelor). Explicitare: A → Aˆ
Aˆ |uα i = aα |uα i X |Ψi = cα |uα i , α
(1.34a) cα = huα |Ψi
(1.34b)
unde semnificat¸ie fizic˘ a au numai m˘arimile aα ¸si |cα |2 . Prin definit¸ie, o formulare ˆınseamn˘ a o alegere determinat˘ a a operatorilor asociat¸i observabilelor, a vectorilor de stare ¸si a legilor de evolut¸ie; condit¸ia impus˘ a oric˘arei formul˘ari este ca s˘a produc˘a acelea¸si previziuni fizice ca ¸si formularea Schr¨odinger: a) operatorii asociat¸i observabilelor trebuie s˘a aib˘ a acela¸si spectru de valori proprii ca ¸si operatorii corespondent¸i din formularea Schr¨odinger; b) modulul produselor scalare dintre vectorul de stare ¸si vectorii proprii ai observabilelor s˘a fie egali cu m˘arimile corespondente din formularea Schr¨odinger. Aceste dou˘a condit¸ii sunt ˆındeplinite de o transformare unitar˘a (adic˘a transformare realizat˘a ˆ simultan˘a a vectorilor de stare ¸si a operatorilor asociat¸i observade operatorul unitar, notat R) bilelor din formularea Schr¨odinger: ˆ · Aˆ · R ˆ† Aˆ → AˆR = R ˆ |Ψi |Ψi → |ΨR i = R ˆ†
ˆ†
ˆ·R =R ·R ˆ = ˆ1 R
(1.35a) (1.35b) (1.35c)
Demonstrat¸ie: Ecuat¸ia cu valori proprii a operatorului Schr¨odinger Aˆ este dat˘a de relat¸ia (1.34a); ˆ se obt¸ine: prin aplicarea la stˆ anga a operatorului unitar de transformare R, ˆ |uα i = R ˆ aα |uα i ; ˆ A R
dar operatorul de transformare este liniar, deoarece a fost definit ca unitar ¸si apoi utilizˆ and proprietatea de unitaritate (1.35c), ecuat¸ia precedent˘ a se rescrie ˆın forma: ˆ · Aˆ · R ˆ† · R ˆ |uα i = aα R ˆ |uα i , R care, conform definit¸iilor m˘ arimilor transformate (1.35), este echivalent˘ a cu ecuat¸ia ˆR |uR,α i = aα |uR,α i ; A
dar aceasta este, prin definit¸ie ecuat¸ia cu valori proprii a operatorului transformat AˆR . Prin urmare, ˆR : s-au obt¸inut urm˘ atoarele rezultate pentru ecuat¸ia cu valori proprii a operatorului transformat A a) valorile proprii ale operatorului transformat sunt identice cu valorile proprii ale operatorului Schr¨ odinger (aR,α = aα ); b) vectorii proprii ai operatorului transformat rezult˘ a prin transformarea unitar˘ a a vectorilor proprii ˆ |uα i. ai operatorului Schr¨ odinger, dup˘ a aceea¸si regul˘ a ca ¸si vectorul de stare, adic˘ a: |uR,α i = R
˘ A MECANICII CUANTICE 1.2. FORMULAREA GENERALA
15
ˆ † ; atunci Conform relat¸iei de conjugare a vectorilor (din “ket” ˆın “bra”) se obt¸ine huR,α | = huα | R coeficientul Fourier al vectorului de stare transformat (|ΨR i) fat¸˘ a de vectorul propriu transformat (|uR,α i) este (Ψ ) ˆ† R ˆ |Ψi = huα | R ˆ† · R ˆ |Ψi = huα |Ψi = c(Ψ) cR,αα ≡ huR,α |ΨR i = huα | R , α
adic˘ a s-a obt¸inut invariant¸a coeficientului Fourier prin transformarea unitar˘ a. Se observ˘ a c˘ a ambele condit¸ii de echivalent¸˘ a fizic˘ a a formul˘ arilor au fost demonstrate.
1.2.2
Formularea Heisenberg
Formularea Heisenberg se define¸ste, din punct de vedere fizic, drept formularea ˆın care • vectorii de stare sunt atemporali ¸si • toat˘ a evolut¸ia dinamic˘ a este cont¸inut˘ a ˆın operatorii asociat¸i observabilelor. Prin urmare, aceast˘a formulare se obt¸ine din formularea Schr¨odinger prin transformarea unitar˘ a realizat˘a de inversul operatorului de evolut¸ie Schr¨odinger: ˆ H (t) = U ˆ −1 (t, t0 ) = U ˆ † (t, t0 ) = U ˆ (t0 , t) . R
(1.36)
Atunci, conform relat¸iei generale (1.35b), se obt¸ine expresia vectorului de stare |ΨH i ˆın formularea Heisenberg: ˆ H (t) |Ψ(t)i = U ˆ (t0 , t) |Ψ(t)i = |Ψ(t0 )i ; |ΨH i ≡ R (1.37a) se observ˘ a c˘ a vectorul de stare Heisenberg coicide cu vectorul de stare Schr¨odinger la momentul init¸ial t = t0 . ˆIn mod analog, din relat¸ia general˘a (1.35a), rezult˘a expresia operatorului asociat unei observabile AˆH (t) ˆın formularea Heisenberg: ˆ H (t) · Aˆ · R ˆ † (t) = U ˆ † (t, t0 ) · Aˆ · U ˆ (t, t0 ) = U ˆ (t0 , t) · Aˆ · U ˆ (t, t0 ) ; AˆH (t) = R H
(1.37b)
ˆ este atemporal), utilizˆand expresia (1.33) a ˆın cazul unui sistem conservativ (hamiltoniantl H operatorului de evolut¸ie, rezult˘a forma mai explicit˘a a unui operator Heisenberg: i i ˆ ˆ AˆH (t) = e ~ (t−t0 )H · Aˆ · e− ~ (t−t0 )H .
(1.37c)
La fel ca ¸si pentru vectorii de stare, operatorii observabilelor ˆın formularea Heisenberg coincid cu operatorii corespondent¸i ˆın formularea Schr¨odinger la momentul init¸ial t = t0 : AˆH (t0 ) = Aˆ , ˆ (t, t0 ) satisface condit¸ia init¸ial˘a (1.32b). deoarece operatorul de evolut¸ie U Se vor prezenta cele mai importante consecint¸e ale definit¸iei formul˘arii Heisenberg. 1) Din rezultatele anterioare se observ˘a c˘ a ˆın formularea Schr¨odinger evolut¸ia dinamic˘ a era integral cont¸inut˘a ˆın vectorul de stare, iar ˆın formularea Heisenberg aceast˘a evolut¸ie este transferat˘a integral ˆın operatorii asociat¸i observabilelor; de asemenea, la momentul init¸ial (t0 ) cele dou˘a formul˘ari coincid (atˆ at vectorii de stare, cˆ at ¸si operatorii asociat¸i observabilelor, precum ¸si vectorii lor proprii sunt egali ˆın cele dou˘a formul˘ari). 2) ˆIn cazul sistemului conservativ (care este singurul caz interesant pentru problemele uzuale) operatorul de evolut¸ie are expresia (1.33), deci acesta este o funct¸ie de hamiltonianul sistemului ˆ (t, t0 ) = e− ~i (t−t0 )Hˆ ); deoarece un operator comut˘a totdeauna cu funct¸iile operatoriale de (U ˆ f (A)] ˆ = 0 ⇒ Aˆ · f (A) ˆ = f (A) ˆ · Aˆ ), rezult˘a c˘ acela¸si operator (adic˘ a [A, a operatorul hamiltonian este acela¸si atˆat ˆın formularea Schr¨odinger, cˆ at ¸si ˆın formularea Heisenberg: ˆ · e− ~i (t−t0 )Hˆ = H ˆ . ˆ H (t) ≡ e ~i (t−t0 )Hˆ · H H
(1.38)
16
CAPITOLUL 1. FORMALISMUL GENERAL AL MECANICII CUANTICE
3) Pe baza ecuat¸iei diferent¸iale a operatorului de evolut¸ie (1.32a), se obt¸ine ecuat¸ia diferent¸ial˘a ˆın raport cu timpul a unui operator Heisenberg (numit˘a ecuat¸ia de evolut¸ie Heisenberg), ˆın cazul uzual cˆ and operatorul Schr¨odinger este atemporal ¸si sistemul este conservativ 19 : i~
∂ ˆ ˆ , AH (t) = AˆH (t) , H ∂t
(1.39)
ˆ este comutatorul dintre operatorul observabil˘a Heisenberg ¸si hamiltonian. unde [AˆH (t) , H] Demonstrat¸ie: Se utilizeaz˘a definit¸ia operatorilor Heisenberg (1.37b) i~
∂ ˆ ∂ ˆ† ˆ (t, t0 ) AH (t) = i~ U (t, t0 ) · Aˆ · U ∂t ∂t ∂ † ˆ (t, t0 ) · A ˆ·U ˆ (t, t0 ) + U ˆ † (t, t0 ) · A ˆ · i~ ∂ U ˆ (t, t0 ) ; = i~ U ∂t ∂t
pe de alt˘ a parte, prin utilizarea ecuat¸iei diferent¸iale a operatorului de evolut¸ie (1.32a), se obt¸ine ∂ ˆ ˆ ·U ˆ (t, t0 ) , U (t, t0 ) = H ∂t n o† ∂ ˆ ∂ ˆ† ˆ ·U ˆ (t, t0 ) † = − U ˆ † (t, t0 ) · H ˆ , U (t, t0 ) = − i~ U (t, t0 ) = − H i~ ∂t ∂t i~
(ultima egalitate a fost obt¸inut˘ a datorit˘ a propriet˘ a¸tii de conjugare adjunct˘ a a produsului de opeˆ ·U ˆ )† = U ˆ† · H ˆ† = U ˆ† · H ˆ ). ratori ¸si a faptului c˘ a hamiltonianul este un operator hermitic: (H Prin ˆınlocuirea celor dou˘ a derivate ale operatorului de evolut¸ie ˆın prima ecuat¸ie ¸si utilizarea propriet˘ a¸tii c˘ a hamiltonianul comut˘ a cu operatorul de evolut¸ie (rezultat adv˘ arat numai pentru sisteme conservative), rezult˘ a i~
∂ ˆ ˆ † (t, t0 ) · H ˆ ·A ˆ·U ˆ (t, t0 ) + U ˆ † (t, t0 ) · A ˆ·H ˆ ·U ˆ (t, t0 ) U (t, t0 ) = − U ∂t ˆ ·U ˆ † (t, t0 ) · A ˆ·U ˆ (t, t0 ) + U ˆ † (t, t0 ) · A ˆ·U ˆ (t, t0 ) · H ˆ = −H ˆ ·A ˆH (t) + A ˆH (t) · H ˆ = −H
Se va ar˘ ata ulterior c˘ a formularea natural˘a a mecanicii cuantice pentru sisteme multi-particule este formularea Heisenberg.
1.2.3
Formularea de interact¸ie (Dirac)
Se consider˘ a cazul cˆ and hamiltonianul sistemului este sum˘a de 2 termeni: ˆ =H ˆ0 + H ˆ′ , H
(1.40)
ˆ 0 este numit hamiltonianul de baz˘ unde H a (acesta este ˆın mod uzual un operator atemporal ˆ ′ este numit hamiltonianul de interact¸ie (sau de perturbat¸ie). ˆIn general, dac˘a intrinsec) 20 ¸si H este prezent numai hamiltonianul de baz˘a atunci se obt¸ine o problem˘ a cu solut¸ie cunoscut˘a, dar ad˘augarea hamiltonianului de interact¸ie face problema foarte complicat˘ a. 21 Formularea de interact¸ie (numit˘ a, de asemenea, formularea Dirac) este definit˘ a fizic drept formularea de tip Heisenberg corespunz˘ atoare cazului cˆ and hamiltonianul sistemului se reduce la hamiltonianul de baz˘ a. 19 Cazul mai general, cˆ and operatorul observabil˘ a Schr¨ odinger are o dependent¸˘ a explicit˘ a de timp, conduce la o ecuat¸ie diferent¸ial˘ a similar˘ a, dar cu un termen suplimentar; ˆın plus, dac˘ a sistemul nu este conservativ, atunci hamiltonianul Heisenberg nu coicide cu hamiltonianul Schr¨ odinger. ˆIn cazul general ecuat¸ia Heisenberg are forma ∂ ˆ ˆH (t) , H ˆ H (t) + i~ ∂ A ˆ (t) , AH (t) = A i~ H ∂t ∂t ∂ ˆ ˆ † (t, t0 )· ∂ A · U(t, ˆ (t) = U ˆ t0 ) este transformata Heisenberg pentru derivata temporal˘ A a a operatorului unde H ∂t ∂t Schr¨ odinger. 20 Adic˘ ˆ 0 ) nu depinde de timp. a operatorul Schr¨ odinger corespunz˘ ator hamiltonianului de baz˘ a (H 21ˆ In cazul teoriri cuantice a sistemelor muti-particule (many-body) hamiltonianul de baz˘ a descrie sistemul de particule f˘ ar˘ a interact¸ii mutuale (particule libere), iar hamiltonianul de interact¸ie corespunde p˘ art¸ii datorate interact¸iilor mutuale, sau interact¸iilor particulelor sistemului cu cˆ ampuri externe.
˘ A MECANICII CUANTICE 1.2. FORMULAREA GENERALA
17
Conform definit¸iei ¸si propriet˘ a¸tilor formul˘arii Heisenberg, operatorul unitar de transformare satisface condit¸ia ˆ I (t) = U ˆ −1 (t, t0 ) = U ˆ † (t, t0 ) = U ˆ0 (t0 , t) , R (1.41) 0 0 ˆ0 (t, t0 ) este operatorul de evolut¸ie al sistemului cu hamiltonianul redus la hamiltonianul unde U ˆ0 (t, t0 ) satisface ecuat¸ia diferent¸ial˘a de tip (1.32a) de baz˘ a; prin urmare, U i~
∂ ˆ ˆ0 · U ˆ0 (t, t0 ) , U0 (t, t0 ) = H ∂t
(1.42a)
ˆımpreun˘ a cu condit¸ia init¸ial˘a de tip (1.32b) ˆ0 (t, t0 ) U
t=t0
= ˆ1 .
(1.42b)
ˆ 0 este ˆın mod uzual un operator atemporal (ˆın formularea Schr¨odinger), Deoarece hamiltonianul H ˆ0 (t, t0 ), reprezentat˘ atunci solut¸ia ecuat¸iei diferent¸iale a operatorului de evolut¸ie liber U a prin relat¸iile (1.42), este similar˘ a cu expresia dat˘a de relat¸ia (1.33): n o ˆ0 (t, t0 ) = exp −i (t − t0 )H ˆ 0 ≡ e− ~i (t−t0 )Hˆ 0 . U (1.43) ~ Prin urmare, conform relat¸iei generale (1.35), vectorul de stare ¸si operatorul asociat unei observabile arbitrare, ˆın formularea Dirac, se obt¸in din vectorul de stare ¸si operatorul observabilei ˆ I (t): din formularea Schr¨odinger, prin transformarea unitar˘ a, realizat˘a de operatorul unitar R i
ˆ
ˆ I (t) |Ψ(t)i = U ˆ † (t, t0 ) |Ψ(t)i = e ~ (t−t0 )H0 |Ψ(t)i , |ΨI (t)i ≡ R 0 ˆ I (t) · Aˆ · R ˆ † (t) = U ˆ † (t, t0 ) · Aˆ · U ˆ0 (t, t0 ) = e AˆI (t) = R 0 I
i ~
ˆ0 (t−t0 )H
(1.44a) · Aˆ · e
− ~i
ˆ0 (t−t0 )H
.
(1.44b)
Se vor prezenta principalele consecint¸e ale definit¸iei anterioare pentru formularea de interact¸ie. 1) Ecuat¸ia diferent¸ial˘ a a operatorilor. Pe baza ecuat¸iei diferent¸iale a operatorului de evolut¸ie (1.32a), se obt¸ine ecuat¸ia diferent¸ial˘a ˆın raport cu timpul a unui operator de interact¸ie ˆ (numit˘ a ecuat¸ia de evolut¸ie Heisenberg liber˘ a ), ˆın cazul uzual cˆ and operatorul Schr¨odinger (A) ˆ este atemporal ¸si sistemul de baz˘ a este conservativ (adic˘a H0 este atemporal) i~
∂ ˆ ˆ0 , AI (t) = AˆI (t) , H ∂t
(1.45)
ˆ 0 ] este comutatorul dintre operatorul observabil˘a Dirac ¸si hamiltonianul de baz˘a. unde [AˆI (t) , H Demonstrat¸ie: Este identic˘a cu demonstrat¸ia pentru ecuat¸ia de evolut¸ie Heisenberg, dac˘a se ˆH (t) prin A ˆI (t), U ˆ (t, t0 ) prin U ˆ0 (t, t0 ) ¸si H ˆ prin H ˆ 0. efectueaz˘ a substitut¸iile: A Se utilizeaz˘ a definit¸ia operatorilor de interact¸ie (1.44b) i~
∂ ˆ ∂ ˆ† ˆ·U ˆ0 (t, t0 ) AI (t) = i~ U0 (t, t0 ) · A ∂t ∂t ∂ † ˆ (t, t0 ) · Aˆ · U ˆ0 (t, t0 ) + U ˆ0† (t, t0 ) · Aˆ · i~ ∂ U ˆ0 (t, t0 ) ; U = i~ ∂t 0 ∂t
pe de alt˘ a parte, prin utilizarea ecuat¸iei diferent¸iale a operatorului de evolut¸ie (1.42a), se obt¸ine ∂ ˆ ˆ0 · U ˆ0 (t, t0 ) , U0 (t, t0 ) = H ∂t n o† ∂ ˆ† ∂ ˆ ˆ0 · U ˆ0 (t, t0 ) † = − U ˆ † (t, t0 ) · H ˆ0 , i~ U0 (t, t0 ) = − i~ U0 (t, t0 ) = − H 0 ∂t ∂t i~
(ultima egalitate a fost obt¸inut˘ a datorit˘ a propriet˘ a¸tii de conjugare adjunct˘ a a produsului de operaˆ0 · U ˆ 0 )† = U ˆ† ·H ˆ† = U ˆ† ·H ˆ 0 ). Prin tori ¸si a faptului c˘ a hamiltonianul este un operator hermitic: (H 0 0 0 ˆınlocuirea celor dou˘ a derivate ale operatorului de evolut¸ie ˆın prima ecuat¸ie ¸si utilizarea propriet˘ a¸tii ˆ0 (t, t0 ) = e− ~i (t−t0 )Hˆ 0 , c˘ a hamiltonianul de baz˘ a comut˘ a cu operatorul de evolut¸ie liber, deoarece U rezult˘ a i~
∂ ˆ ˆ † (t, t0 ) · H ˆ0 · A ˆ·U ˆ0 (t, t0 ) + U ˆ † (t, t0 ) · A ˆ·H ˆ0 · U ˆ0 (t, t0 ) U0 (t, t0 ) = − U 0 0 ∂t ˆ ·U ˆ0† (t, t0 ) · A ˆ·U ˆ0 (t, t0 ) + U ˆ0† (t, t0 ) · Aˆ · U ˆ0 (t, t0 ) · H ˆ0 = −H ˆ 0 · AˆI (t) + A ˆI (t) · H ˆ0 = −H
18
CAPITOLUL 1. FORMALISMUL GENERAL AL MECANICII CUANTICE
2) Ecuat¸ia de evolut¸ie a vectorului de stare. Prin utilizarea ecuat¸iei diferent¸iale a opeˆ0 (t, t0 ), adic˘a ecuat¸ia (1.42a) ¸si a ecuat¸iei de evolut¸ie a vectorului de ratorului de evolut¸ie liber U stare Schr¨odinger, ecuat¸ia (1.30), se obt¸ine ecuat¸ia de evolut¸ie a vectorului de stare ˆın formularea de interact¸ie (numit˘ a ecuat¸ia Schwinger-Tomonaga): i~
∂ ˆ ′ (t) |ΨI (t)i , |ΨI (t)i = H I ∂t
(1.46)
ˆ ′ · e− ~i (t−t0 )Hˆ 0 este hamiltonianul de interact¸ie (perturbat¸ie) ˆın ˆ ′ (t) = e ~i (t−t0 )Hˆ 0 · H unde H I formularea Dirac. Demonstrat¸ie: Vectorul de stare Dirac |ΨI (t)i este corelat cu vectorul de stare Schr¨odinger |Ψ(t)i ˆ † (t, t0 ) |Ψ(t)i, astfel ˆıncˆ prin relat¸ia (1.44a): |ΨI i = U at rezult˘ a c˘ a derivata temporal˘ a a vectorului 0 de stare Dirac satisface condit¸ia: n ∂ o ∂ ˆ0† (t, t0 ) |Ψ(t)i + U ˆ0† (t, t0 ) i~ ∂ |Ψ(t)i ; i~ |ΨI (t)i = i~ U ∂t ∂t ∂t
ˆ0† (t, t0 ) satisface ecuat¸ia dar conjugatul operatorului de evolut¸ie liber U i~
n ∂ o† ∂ ˆ† ˆ0 · U ˆ0 (t, t0 ) † = − U ˆ0 (t, t0 ) = − H ˆ0† (t, t0 ) · H ˆ0 , U0 (t, t0 ) = − i~ U ∂t ∂t
iar vectorul de stare Schr¨ odinger satisface ecuat¸ia (1.30) i~
∂ ˆ |Ψ(t)i = (H ˆ0 + H ˆ ′ ) |Ψ(t)i ; |Ψ(t)i = H ∂t
prin substituirea acestor dou˘ a derivate ˆın prima ecuat¸ie, se obt¸ine: o n ∂ ˆ0† (t, t0 ) (H ˆ0 + H ˆ ′ ) |Ψ(t)i . ˆ0† (t, t0 ) · H ˆ 0 |Ψ(t)i + U |ΨI (t)i = − U i~ ∂t
ˆ 0 se simplific˘ Se observ˘ a c˘ a termenii care cont¸in H a, astfel c˘ a ecuat¸ia anterioar˘ a devine i~
∂ ˆ † (t, t0 ) · H ˆ ′ |Ψ(t)i = U ˆ † (t, t0 ) · H ˆ′ · U ˆ0 (t, t0 ) · U ˆ † (t, t0 ) |Ψ(t)i = H ˆ I′ (t) |ΨI (t)i ; |ΨI (t)i = U 0 0 0 ∂t
adic˘ a s-a obt¸inut ecuat¸ia Schwinger-Tomonaga.
3) Operatorul de evolut¸ie Dirac se introduce analog cu operatorul de evolut¸ie din formularea Schr¨odinger [vezi relat¸ia (1.31)], adic˘a efectueaz˘a transformarea vectorului de stare Dirac de la un moment oarecare (t′ ) 22 la un moment ulterior (t): ˆI (t, t′ ) |ΨI (t′ )i . |ΨI (t)i = U
(1.47)
Dac˘ a se ˆınlocuie¸ste definit¸ia (1.47) ˆın ecuat¸ia de evolut¸ie (1.46), observˆand c˘ a dependent¸a de timp ˆI (t, t′ ), rezult˘a o egalitate valabil˘a pentru orice este cont¸inut˘a numai ˆın operatorul de evolut¸ie U vector de stare init¸ial |ΨI (t′ )i, ceea ce implic˘ a egalitatea operatorilor; atunci, rezult˘a ecuat¸ia diferent¸ial˘a a operatorului de evolut¸ie i~
∂ ˆ ˆ I′ (t) · U ˆI (t, t′ ) . UI (t, t′ ) = H ∂t
Conform defint¸iei (1.47), operatorul de evolut¸ie Dirac satisface condit¸ia init¸ial˘a ˆI (t, t′ ) U = ˆ1 . t=t′
(1.48)
(1.49)
Solut¸ia ecuat¸iei operatoriale pentru operatorul de evolut¸ie Dirac, adic˘a ecuat¸ia (1.48) cu condit¸ia init¸ial˘a (1.49), este mult mai complicat˘ a decˆat ecuat¸ia similar˘ a pentru operatorul de evolut¸ie Schr¨odinger al sistemului conservativ, care este descris˘ a de relat¸ia (1.32a). Principala dificultate ˆ ′ (t) = e ~i (t−t0 )Hˆ 0 · H ˆ ′ · e− ~i (t−t0 )Hˆ 0 este dependent ˆın mod const˘a ˆın faptul c˘ a operatorul H I ˆ ′ este atemporal explicit de timp, chiar dac˘ a hamiltonianul de interact¸ie (sau de perturbat¸ie) H 22 Pentru obt ¸inerea cazului general, s-a ales ca moment anterior t′ , care poate coicide cu momentul init¸ial t0 , utilizat anterior pentru definirea transform˘ arilor unitare, sau poate fi diferit de acesta.
˘ A MECANICII CUANTICE 1.2. FORMULAREA GENERALA
19
ˆ 0 ¸si hamiltonian ˆın formularea Schr¨odinger, deoarece ˆın general operatorii hamiltonian de baz˘a H ′ ˆ de interact¸ie (perturbat¸ie) H nu comut˘a. Prin urmare, este convenabil s˘a se transforme ecuat¸ia diferent¸ial˘a (1.48) ˆıntr-o ecuat¸ie integral˘a, care poate fi rezolvat˘a ˆın mod iterativ; atunci, prin integrarea ecuat¸iei (1.48) ˆıntre momentele temporale t′ ¸si t, se obt¸ine Z i t ′ ′ ′ ˆ ′ (t1 ) · U ˆI (t1 , t′ ) ; ˆ ˆ dt1 H UI (t, t ) − UI (t , t ) = − I ~ t′
Rezultatul anterior, combinat cu condit¸ia init¸ial˘a (1.49), conduce la ecuat¸ia integral˘a de tip Voltera Z t ˆI (t, t′ ) = ˆ1 − i ˆ I′ (t1 ) · U ˆI (t1 , t′ ) . U (1.50) dt1 H ~ t′ Solut¸ia exuat¸iei (1.50) se obt¸ine ca o serie operatorial˘ a Z Z ∞ n t t X 1 −i ′ ˆ (t1 ) · · · H ˆ ′ (tn ) , ˆI (t, t′ ) = dt1 · · · dtn T H (1.51) U I I n! ~ t′ t′ n=0 unde T[. . .] este operatorul de ordonare cronologic˘ a Dyson, care ordoneaz˘a operatorii ˆın ordine descresc˘atoare cronologic˘ a, de la stˆ anga la dreapta T Aˆ1 (t1 ) Aˆ2 (t2 ) · · · Aˆn (tn ) = Aˆπ¯1 (tπ¯1 ) Aˆπ¯1 (tπ¯1 ) · · · Aˆπ¯n (tπ¯n ) tπ ¯n ¯ 2 >···>tπ ¯ 1 >tπ X ˆ ˆ = θ(tπ1 − tπ2 ) · · · θ(tπn−1 − tπn ) Aπ1 (tπ1 ) Aπ2 (tπ2 ) · · · Aˆπn (tπn ) ; π
ˆın relat¸ia precedent˘ a Aˆj (tj ) j=1,n este un set de operatori asociat¸i unor observabile ale sistemului 1 2 ··· n ··· n ¯ = π¯1 π¯2 ··· a cuantic, Π = π1 π2 ··· πn este o permutare, iar Π π ¯ n este permutarea care realizeaz˘ 1 2 ordonarea cronologic˘ a. Demonstrat¸ie:
Solut¸ia ecuat¸iei integrale (1.50) se poate obt¸ine prin metoda iterativ˘ a, adic˘ a solut¸ia de ordinul n este dat˘ a de solut¸ia de ordinul inferior, conform ecuat¸iei integrale Z i t ˆ (n) (t, t′ ) = ˆ ˆ I′ (t1 ) · U ˆ (n−1) (t1 , t′ ) . U 1 − dt1 H I I ~ t′ Ca urmare, se obt¸in urm˘ atoarele rezultate: 0) Solut¸ia de ordinul 0 este ˆ (0) (t, t′ ) = ˆ U 1. I 1) Solut¸ia de ordinul 1 este i ˆ (1) (t, t′ ) = ˆ 1− U I ~
Z
t
i ˆ I′ (t1 ) · U ˆ (0) (t1 , t′ ) = ˆ dt1 H 1− I ~ t′
Z
t t′
ˆ I′ (t1 ) . dt1 H
2) Solut¸ia de ordinul 2 este i ˆ (2) (t, t′ ) = ˆ U 1− I ~
Z
t
ˆ I′ (t1 ) · U ˆ (1) (t1 , t′ ) dt1 H I Z i i t1 ˆ I′ (t1 ) · ˆ ˆ I′ (t2 ) =ˆ 1− dt1 H dt2 H 1− ~ t′ ~ t′ 2 Z t Z t1 Z t −i −i ˆ I′ (t1 ) H ˆ I′ (t2 ) . ˆ I′ (t1 ) + dt2 H dt1 dt1 H =ˆ 1+ ~ t′ ~ t′ t′ t′ Z t
Termenul de ordinul 2 se poate exprima ˆın form˘ a simetric˘ a astfel: Z t1 Z t ˆ I′ (t1 ) H ˆ I′ (t2 ) Jˆ2 (t, t′ ) ≡ dt2 H dt1 t′ t′ Z t Z t1 Z t Z t2 1 ˆ I′ (t1 ) H ˆ I′ (t2 ) + ˆ I′ (t2 ) H ˆ I′ (t1 ) dt1 dt2 H dt2 dt1 H = 2 t′ t′ t′ t′ Z t Z t Z t Z t 1 ˆ I′ (t1 ) H ˆ I′ (t2 ) + ˆ I′ (t2 ) H ˆ I′ (t1 ) dt1 = dt2 θ(t1 − t2 ) H dt2 dt1 θ(t2 − t1 ) H 2 t′ t′ t′ t′ Z t Z t n o 1 ˆ I′ (t1 ) H ˆ I′ (t2 ) + θ(t2 − t1 ) H ˆ I′ (t2 ) H ˆ I′ (t1 ) ; dt1 dt2 θ(t1 − t2 ) H = 2 t′ t′
20
CAPITOLUL 1. FORMALISMUL GENERAL AL MECANICII CUANTICE se observ˘ a c˘ a expresia operatorial˘ a din interiorul parantezelor acolade este, prin definit¸ie, produsul cronologic al celor doi hamiltonieni de interact¸ie n o ˆ I′ (t1 ) · H ˆ I′ (t2 )] = θ(t1 − t2 ) H ˆ I′ (t1 ) H ˆ I′ (t2 ) + θ(t2 − t1 ) H ˆ I′ (t2 ) H ˆ I′ (t1 ) T[H ( ˆ I′ (t1 ) · H ˆ I′ (t2 ) , dac˘ H a t1 > t2 , = ′ ′ ˆ ˆ HI (t2 ) · HI (t1 ) , dac˘ a t1 < t2 . Ca urmare a rezultatului precedent, solut¸ia de ordinul 2 se exprim˘ a ˆın forma Z t1 Z 2Z t ′ −i t ˆ I (t1 ) · H ˆ I′ (t2 ) . ˆ I′ (t1 ) + 1 −i ˆ (2) (t, t′ ) = ˆ dt2 T H dt1 dt1 H U 1+ I ~ t′ 2 ~ ′ ′ t t n) Prin induct¸ie matematic˘ a se obt¸ine expresia solut¸iei de ordinul n; dac˘ a solut¸ia de ordinul n − 1 este 2 Z t Z t1 Z −i t ˆ I′ (t1 ) H ˆ I′ (t2 ) + . . . ˆ I′ (t1 ) + −i ˆ (n−1) (t, t′ ) = ˆ dt2 H dt dt H U 1 + 1 1 I ~ t′ ~ t′ t′ n−1 Z t Z tn−2 −i ˆ I′ (t1 ) · · · H ˆ I′ (tn−1 ) , dt1 · · · dtn−1 H + ~ t′ t′ atunci termenul de ordinul n are expresia Z i t (n) ′ ˆ ˆ I′ (t1 ) · U ˆ (n−1) (t1 , t′ ) ˆ UI (t, t ) = 1 − dt1 H I ~ t′ Z t Z −i t1 i ˆ I′ (t1 ) ˆ ˆ I′ (t2 ) + . . . dt1 H dt2 H 1+ =ˆ 1− ~ t′ ~ t′ n−1 Z t1 Z tn−1 −i ′ ′ ˆ ˆ dt2 · · · dtn HI (t2 ) · · · HI (tn ) + ~ t′ t′ 2 Z t Z t1 Z t −i ˆ I′ (t1 ) H ˆ I′ (t2 ) + . . . ˆ I′ (t1 ) + −i dt1 dt2 H dt1 H =ˆ 1+ ~ t′ ~ t′ t′ n Z t Z t1 Z tn−1 −i ˆ I′ (t1 ) H ˆ I′ (t2 ) · · · H ˆ I′ (tn ) , + dt1 dt2 · · · dtn H ~ t′ t′ t′ ceea ce confirm˘ a corectitudinea expresiei propuse pentru termenul general iterativ. ˆIn expresia precedent˘ a se simetrizeaz˘ a termenul de ordinul n, ˆın mod similar cu operat¸iile efectuate anterior pentru termenul de ordinul 2: Z t Z t1 Z tn−1 ˆ I′ (t1 ) H ˆ I′ (t2 ) · · · H ˆ I′ (tn ) Jˆn (t, t′ ) ≡ dt1 dt2 · · · dtn H t′
=
1 n!
t′
XZ (n!)
π
t′
t t′
dtπ1
Z
tπ 1
t′
dtπ2 · · ·
Z
tπn−1
t′
ˆ I′ (tπn ) , ˆ I′ (tπ2 ) · · · H ˆ I′ (tπ1 ) H dtπn H
ultima expresie a operatorului Jˆn (t, t′ ) s-a obt¸inut prin considerarea tuturor celor n! posibilit˘ a¸ti de redefinire a variabilelor de integrare cu ajutorul tuturor permut˘ arilor posibile; ˆın continuare se extind limitele de integrare, prin introducerea funct¸iilor Heaviside ¸si apoi se observ˘ a c˘ a integralele se pot efectua ˆın orice ordine, astfel ˆıncˆ at este valabil˘ a identitatea Z t Z t Z t Z t dtπ1 · · · dtπn f (tπ1 , . . . , tπn ) = dt1 · · · dtn f (tπ1 , . . . , tπn ) , t′
t′
t′
t′
rezultˆ and egalit˘ a¸tile succesive urm˘ atoare: Jˆn (t, t′ ) =
Z t Z t (n!) Z 1 X t ˆ I′ (tπn ) ˆ I′ (tπ2 ) · · · H ˆ I′ (tπ1 ) H dtπ1 dtπ2 · · · dtπn θ(tπ1 − tπ2 ) · · · θ(tπn−1 − tπn ) H n! π t′ t′ t′
=
1 n!
1 = n!
Z Z
t
dt1 t′ t
dt1 t′
Z Z
t t′
dt2 · · ·
t t′
dt2 · · ·
Z
t
dtn
t′
Z
t
t′
(n!) X π
ˆ I′ (tπn ) ˆ I′ (tπ2 ) · · · H ˆ I′ (tπ1 ) H θ(tπ1 − tπ2 ) · · · θ(tπn−1 − tπn ) H
′ ˆ I (t1 ) · · · H ˆ I′ (tn ) , dtn T H
˘ A MECANICII CUANTICE 1.2. FORMULAREA GENERALA
21
unde ultima egalitate s-a obt¸inut prin utilizarea definit¸iei produsului cronologic operatorial. Ultima expresia a operatorului Jˆn (t, t′ ) se substituie ˆın formula solut¸iei de ordinul n ¸si rezult˘ a la limita n → ∞ formula (1.51).
ˆIn mod formal se poate scrie solut¸ia operatorului de evolut¸ie Dirac ca ordonarea cronologic˘ a a operatorului exponent¸ial o n −i Z t ′′ ˆ ′ ′′ ′ ˆ dt HI (t ) , (1.52) UI (t, t ) = T exp ~ t′ deoarece seria din relat¸ia (1.51) se poate interpreta ca dezvoltarea Taylor a funct¸iei exponent¸iale ordonat˘a cronologic. Totu¸si, solut¸ia operatorului de evolut¸ie Dirac, exprimat˘ a ca serie iterativ˘ a cu operatorul de ordonare cronologic˘ a nu este interesant˘ a pentru aplicat¸iile uzuale ale teoriei cuantice a sistemelor multi-particule, cu except¸ia unor probleme speciale; ˆın consecint¸˘a nu se va face apel la relat¸ia (1.52). 4) Exprimarea operatorului de evolut¸ie Dirac prin operatori de evolut¸ie Schr¨ odinger este dat˘ a de urm˘atoarea relat¸ie: ˆI (t, t′ ) = U ˆ † (t, t0 ) · U ˆ (t, t′ ) · U ˆ0 (t′ , t0 ) . U 0
(1.53)
Demonstrat¸ie: Se utilizeaz˘a leg˘atura ˆıntre vectorii de stare Dirac ¸si Schr¨odinger, dat˘a de relat¸ia (1.44a) ¸si evolut¸ia vectorului de stare Schr¨ odinger prin relat¸ia (1.31); prin urmare, se obt¸in ˆın mod succesiv relat¸iile urm˘ atoare: ˆ † (t, t0 ) |Ψ(t)i = U ˆ † (t, t0 ) · U ˆ (t, t′ ) |Ψ(t′ )i = U ˆ † (t, t0 ) · U ˆ (t, t′ ) · U ˆ0 (t′ , t0 ) |ΨI (t′ )i , |ΨI (t)i = U 0 0 0 ˆ0 (t′ , t0 ) |ΨI (t′ )i. unde ultima egalitate s-a obt¸inut prin inversarea relat¸iei (1.44a): |Ψ(t′ )i = U Atunci, prin compararea ultimului rezultat cu formula de definit¸ie a operatorului de evolut¸ie Dirac, dat˘ a de relat¸ia (1.47), se obt¸ine ˆ0† (t, t0 ) · U ˆ (t, t′ ) · U ˆ0 (t′ , t0 ) |ΨI (t′ )i = U ˆI (t, t′ ) |ΨI (t′ )i ; U deoarece vectorul |ΨI (t′ )i este arbitrar, putˆ and fi orice vector din spat¸iul Hilbert al st˘ arilor sistemului, rezult˘ a egalitatea operatorial˘ a (1.53).
Din relat¸ia (1.53), prin alegerea t′ = t0 , se obt¸ine rezultatul ˆI (t, t0 ) = U ˆ † (t, t0 ) · U ˆ (t, t0 ) , U 0
(1.54)
ˆ0 (t0 , t0 ) = ˆ deoarece U 1. 5) Relat¸ia ˆıntre formul˘ arile Heisenberg ¸si Dirac. Pe baza definit¸iilor vectorilor de stare ¸si operatorilor observabile ale formul˘arii Heisenberg ¸si ale formul˘arii Dirac ˆın raport cu formularea Schr¨odinger se obt¸in relat¸iile ˆıntre vectorii de stare ¸si ˆıntre operatorii observabilelor corespunz˘ atori formul˘arilor Heisenberg ¸si Dirac: ˆ † (t, t0 ) |ΨI (t)i , |ΨH i = U I ˆ ˆ ˆI (t, t0 ) ; AH (t) = U † (t, t0 ) · AˆI (t) · U I
(1.55a) (1.55b)
Se observ˘ a c˘ a operatorul unitar de transformare ˆıntre m˘arimile formul˘arii Heisenberg ¸si formul˘arii ˆ H→I (t) = U ˆ † (t, t0 ). Dirac este inversul operatorului de evolut¸ie Dirac R I Demonstrat¸ie: Se utilizeaz˘a definit¸ia operatorului de evolut¸ie Dirac, dat˘a de formula (1.47) ¸si relat¸ia dintre vectorii de stare Schr¨ odinger ¸si Dirac (1.44a) ˆI (t, t0 ) |ΨI (t0 )i = U ˆI (t, t0 ) U ˆ0† (t0 , t0 ) |Ψ(t0 )i ; |ΨI (t)i = U ˆ † (t0 , t0 ) = ˆ dar operatorul de evolut¸ie liber satisface condit¸ia init¸ial˘ a (1.42b), astfel ˆıncˆ at U 1, iar 0 conform relat¸iei (1.37a) vectorii de stare Schr¨ odinger ¸si Heisenberg coincid la momentul init¸ial t0 , astfel c˘ a relat¸ia precedent˘ a devine ˆI (t, t0 ) |ΨH i ; |ΨI (t)i = U
22
CAPITOLUL 1. FORMALISMUL GENERAL AL MECANICII CUANTICE atunci, prin inversare se obt¸ine relat¸ia (1.55a). Pentru a determina relat¸ia ˆıntre operatorii corespondent¸i Heisenberg ¸si Dirac se utilizeaz˘ a relat¸iile lor de definit¸ie prin leg˘ aturile cu operatorul Schr¨ odinger, date de formulele (1.37b) ¸si (1.44b): ˆH (t) = R ˆ H (t) · A ˆ·R ˆ † (t) = U ˆ † (t, t0 ) · A ˆ·U ˆ (t, t0 ) , A H ˆI (t) = R ˆ I (t) · Aˆ · R ˆ † (t) = U ˆ0† (t, t0 ) · A ˆ·U ˆ0 (t, t0 ) ; A I
ultima relat¸ie se poate inversa, exprimˆ andu-se operatorul Schr¨ odinger prin operatorul corespondent ˆ=U ˆ0 (t, t0 ) · Aˆ · U ˆ † (t, t0 ), astfel ˆıncˆ Dirac A a t prin substituire ˆın prima relat¸ie se obt¸ine leg˘ atura 0 dintre operatorii Heisenberg ¸si Dirac ˆH (t) = U ˆ † (t, t0 ) · U ˆ0 (t, t0 ) · A ˆ·U ˆ † (t, t0 ) · U ˆ (t, t0 ) . A 0 Pe de alt˘ a parte, conform relat¸iei (1.54), produsele de operatori de evolut¸ie Schr¨ odinger se exprim˘ a ˆ † (t, t0 ) · U ˆ0 (t, t0 ) = U ˆ † (t, t0 ) ¸si U ˆ † (t, t0 ) · U ˆ (t, t0 ) = U ˆI (t, t0 ); prin operatori de evolut¸ie Dirac U 0 I atunci rezult˘ a relat¸ia (1.55b).
1.2.4
Observat¸ii generale asupra formul˘ arilor anterioare
Rezultatele obt¸inute anterior pentru cele 3 formul˘ari importante ale mecanicii cuantice (Schr¨odinger, Heisenberg ¸si Dirac) conduc la urm˘atoarele concluzii: i. ˆIn formularea Schr¨odinger evolut¸ia dinamic˘ a a sistemului este integral cont¸inut˘a ˆın vectorul de stare, iar operatorii asociat¸i observabilelor sunt independent¸i de timp pentru un sistem izolat (dac˘ a sistemul nu este izolat, atunci este posibil ca unii operatori care descriu cuplaje externe ale sistemului s˘a aib˘ a o dependent¸˘ a temporal˘a, dar aceast˘a dependent¸˘a nu este dat˘a de evolut¸ia intrinsec˘ a a sistemului); ˆın formularea Heisenberg vectorii de stare sunt atemporali ¸si operatorii ata¸sat¸i observabilelor cont¸in ˆıntreaga evolut¸ie a sistemului (se observ˘a c˘ a formularea Heisenberg este mai adecvat˘a pentru compararea cu mecanica clasic˘a, ˆın care referent¸ialul este fix ¸si m˘arimile dinamice evolueaz˘ a ˆın timp); formularea de interact¸ie (Dirac) este o formulare intermediar˘ a ˆıntre cele dou˘a formul˘ari anterioare, deoarece operatorii evolueaz˘ a ˆın timp ca operatori Heisenberg liberi, iar vectorul de stare evolueaz˘ a ca un vector de stare Schr¨odinger cu un hamiltonian de interact¸ie. ii. Cele 3 formul˘ari sunt legate prin transform˘ari unitare ale vectorilor de stare ¸si ale operatorilor asociat¸i observabilelor; la momentul init¸ial (t0 ) cele de formul˘ari coincid. iii. Formul˘arile Schr¨odinger, Heisenberg ¸si Dirac produc descrieri echivalente ale sistemului cuantic; totu¸si se va ar˘ ata ulterior c˘ a pentru teoria sistemelor cuantice constituite din particule identice este mai avantajos s˘a se utilizeze formularea Heisenberg, iar pentru dezvoltarea unei metode perturbat¸ionale este necesar˘ a utilizarea relat¸iilor dintre formul˘arile Heisenberg ¸si Dirac.
1.3
Reprezent˘ ari ale mecanicii cuantice
ˆIn sect¸iunea precedent˘ a, cˆ and s-au prezentat formul˘arile principale ale mecanicii cuantice, s-a considerat c˘ a st˘ arile sistemului sunt descrise prin vectori abstract¸i ¸si m˘arimile dinamice ale sistemului sunt descrise prin operatori abstract¸i, definit¸i ˆıntr-un spat¸iu Hilbert. O reprezentare a vectorilor ¸si a operatorilor dintr-un spat¸iu Hilbert se realizeaz˘a utilizˆand coeficient¸ii Fourier ai vectorilor ¸si elementele de matrice ale operatorilor fat¸˘a de o baz˘a a acestui spat¸iu Hilbert. ˆIn continuare se vor prezenta cele mai importante reprezent˘ ari ale mecanicii cuantice, ˆın mod succint ¸si f˘ ar˘ a s˘a se utilizeze rat¸ionamente riguroase. Se va insista ˆın mod deosebit asupra reprezent˘ arii coordonate de pozit¸ie, care este formalismul mecanicii ondulatorii standard.
1.3.1
Reprezent˘ ari discrete ¸si continue (trat˘ ari generale)
Pentru simplitatea expunerii se vor prezenta init¸ial reprezent˘ arile discrete ¸si continue pentru cazurile cele mai simple; generaliz˘ arile nu aduc aspecte calitative noi, dar introduc complicat¸ii matematice ¸si implic˘ a probleme subtile, care fac dificil˘a ˆınt¸elegerea not¸iunilor de baz˘a.
˘ 1.3. REPREZENTARI ALE MECANICII CUANTICE
23
Reprezentarea discret˘ a (cazul simplu) 1. Se consider˘ a c˘ a spat¸iul Hilbert al st˘arilor sistemului cuantic H are o baz˘a num˘arabil˘a, alc˘ atuit˘ a din setul de vectori cu indice discret 23 E = | en i n=1,2,...,∞ . Acest sistem de vectori ai bazei este considerat orto-normat ¸si este un sistem complet (deoarece ace¸sti vectori constituie o baz˘a a spat¸iului Hilbert); atunci, ace¸sti vectori de baz˘a satisfac relat¸ia de orto-normare, similar˘ a cu relat¸ia (1.22a) h en | em i = δn,m ,
(1.56)
¸si relat¸ia de completitudine, similar˘ a cu relat¸ia (1.22b) X n
Pˆn ≡
X n
| en ih en | = ˆ1 .
(1.57)
unde Pˆn = | en ih en | este proiectorul pe sub-spat¸iul 1-dimensional generat de vectorul de baz˘a | en i. 2. ˆIn raport cu aceast˘a baz˘ a un vector oarecare din spat¸iul Hilbert, notat | Φ i, se descompune ˆın mod similar cu formula (1.23a) |Φi =
X n
Φn | e n i ,
(1.58a)
unde coeficientul Fourier Φn are expresie similar˘ a cu formula (1.23b) Φn = h e n | Φ i .
(1.58b)
Este necesar s˘a se observe c˘ a | Φ i este un vector arbitrar din spat¸iul Hilbert H, putˆand fi sau un vector de stare, sau un vector propriu. Demonstrarea cea mai simpl˘ a a formulelor (1.58) se obt¸ine prin utilizarea direct˘ a a relat¸iei de completitudine (1.57) |Φi = ˆ 1 |Φi =
nX n
o X | en ih en | Φ i , | en ih en | | Φ i = n
care arat˘ a avantajele formale ale notat¸iei Dirac.
Se observ˘ a c˘ a setul coeficient¸ilor Fourier ai vectorului poate fi organizat ca o matrice coloan˘ a (infinit˘ a) Φ1 Φ2 ∞ | Φ i −→ Φ = Φn n=1 ≡ . (1.59) .. Φ∞
Vectorul bra conjugat este
hΦ| =
X n
Φ∗n h en | ,
unde Φ∗n = h Φ | en i ,
(1.60)
ceea ce implic˘ a asocierea unei matrici linie (infinit˘a) h Φ | −→ Φ† =
Φ∗n
∞
n=1
≡ Φ∗1 , Φ∗2 , . . . , Φ∗∞ .
(1.61)
23 Pentru simplitate se va utiliza un singur indice discret; totu¸ si, ˆın majoritatea situat¸iilor interesante este necesar s˘ a se considere indici multipli.
24
CAPITOLUL 1. FORMALISMUL GENERAL AL MECANICII CUANTICE
3. Operat¸iile vectorilor corespund la operat¸ii similare ale matricilor asociate. i. Combinat¸ia liniar˘ a (adunarea ¸si multiplicarea cu numere) |Ψi = λ|Φi + λ′ |Φ′ i =
adic˘a |Ψi =
P
n
X n
X λhen |Φi + λ′ hen |Φ′ i |en i |en ihen | λ|Φi + λ′ |Φ′ i = n
≡
X n
λ Φn + λ′ Φ′n |en i
(1.62)
Ψn |en i, cu coeficientul Ψn = λ Φn + λ′ Φ′n ; rezultatul se poate scrie matricial: |Ψi = λ|Φi + λ′ |Φ′ i −→ Ψ = λ Φ + λ′ Φ′
(1.63)
ii. Produsul scalar dintre 2 vectori nX on X o X X hΦ|Ψi = Φ∗n hen | Ψm |em i = Φ∗n Ψm hen |em i = Φ∗n Ψm δn,m n
m
n,m
n,m
=
X
Φ∗n Ψn ,
(1.64)
n
care de asemenea, se poate scrie ca produs matricial hΦ|Φi = Φ† · Ψ ,
(1.65)
unde Φ† = [Φ∗1 , Φ∗2 , . . . , Φ∗∞ ] este matricea linie definit˘ a de relat¸ia (1.61). 4. ˆIn mod similar vectorilor, un operator Aˆ are elementele de matrice ˆın baza E Anm = | en i , Aˆ | em i ≡ h en | Aˆ | em i ,
(1.66)
astfel c˘ a acestui operator ˆıi corespunde matricea p˘ atratic˘ a (infinit˘a) format˘a din elementele ˆın raport cu tot¸i vectorii bazei
ˇ = Aˆ −→ A
Anm
∞
n,m=1
A11 A21 ≡ . ..
A∞1
A12 A22 .. . A∞2
... ...
A1∞ A2∞ .. .
(1.67)
... . . . A∞∞
Operatorul conjugat hermitic are elementele de matrice corelate cu elementele de matrice ale operatorului init¸ial, prin relat¸ia ∗ (A† )nm = h en | Aˆ† | em i = h em | Aˆ | en i = (Amn )∗ ,
(1.68)
ceea ce ˆınseamn˘ a c˘ a matricea sa este conjugata hermitic a matricii operatorului init¸ial (adic˘a transpusa ¸si conjugata complex):
ˇ† = Aˆ† −→ A
A∗mn
∞
n,m=1
A∗11 A∗12 ≡ . ..
A∗1∞
A∗21 A∗22 .. . A∗2∞
... ...
A∗∞1 A∗∞2 .. .
(1.69)
... . . . A∗∞∞
Operatorul Aˆ se poate exprima, ˆın mod formal, cu ajutorul matricii sale, prin introducerea relat¸iei de completitudine: nX o nX o X X ˆ m ihem | = Aˆ = ˆ1 · Aˆ · ˆ 1= |en ihen | Aˆ · |em ihem | = |en ihen |A|e |en iAnm hem | n
m
n,m
n,m
(1.70)
˘ 1.3. REPREZENTARI ALE MECANICII CUANTICE
25
5. Operat¸iile dintre operatori corespund la operat¸ii similare ˆıntre matricile asociate: i. Combinat¸ia liniar˘ a de operatori ˆ + λ′ B ˆ ′ −→ C ˇ = λB ˇ + λ′ B ˇ′ Cˆ = λ B
(1.71)
′ deoarece Cnm = λ Bnm + λ′ Bnm . ii. Produsul operatorilor corespunde la ˆınmult¸irea matricial˘a
pentru c˘ a Dnm =
P∞
ˆ = Aˆ · B ˆ −→ D ˇ =A ˇ ·B ˇ , D
k=1
(1.72)
Ank Bkm .
Demonstrat¸ie: Se utilizeaz˘a pentru ambii operatori reprezentarea formal˘a (1.70), iar apoi relat¸ia de orto-normare (1.56) ˆ = D
nX n,k
=
o on X X |en iAnk hek |el iBlm hem | |el iBlm hem | = |en iAnk hek |
X
n,k,l,m
l,m
|en i Ank δk,l Blm hem | =
X
n,m
n,k,l,m
|en i
nX k
o X Ank Blm hem | ≡ |en iDnm hem | . n,m
(Se observ˘ a ˆınc˘ a o dat˘ a avantajele notat¸iei Dirac la manipul˘ ari formale.)
iii. Act¸iunea unui operator asupra unui vector corespunde la ˆınmult¸irea matricilor asociate:
deoarece (ΨA )n =
P
ˇ ·Ψ , |ΨA i = Aˆ |Ψi −→ ΨA = A m
(1.73)
Anm Ψm .
Demonstrat¸ie: Se utilizeaz˘a reprezentarea (1.70) pentru operator ¸si (1.58a) pentru vector ˆ |Ψi = |ΨA i = A =
nX
n,m
X
n,m,k
adic˘ a |ΨA i =
P
n (ΨA )n
oX X Anm Ψk |en ihem |ek i Ψk |ek i = |en iAnm hem | k
Anm Ψk |en iδm,k =
|en i, unde (ΨA )n =
P
m
XnX n
Anm Ψm .
m
n,m,k
o Anm Ψm |en i
6. Concluzie Din prezentarea anterioar˘ a au rezultat urm˘atoarele concluzii: i. prin utilizarea unei baze vectorii sunt complet determinat¸i prin coeficient¸ii ˆın raport cu vectorii bazei, iar operatorii sunt de asemenea complet determinat¸i prin elementele de matrice ˆın raport cu vectorii bazei; ii. setul coeficient¸ilor unui vector ket are structura unei matrici coloan˘ a (respectiv matrice linie pentru un vector bra), iar setul elementelor de matrice ale unui operator definesc o matrice p˘ atratic˘ a; iii. operat¸iile cu vectori ¸si operatori sunt echivalente cu operat¸ii de acela¸si tip efectuate cu matricile reprezentative (vectoriale ¸si operatoriale); iv. matricile vectorilor ¸si operatorilor abstract¸i constituie o reprezentare a acestor m˘arimi, deoarece elementele de matrice sunt numere complexe; v. formularea primar˘ a a mecanicii cuantice ˆın varianta abstract˘a are avantajul c˘ a poate fi reprezentat˘ a pe orice baz˘ a (alegerea bazei de reprezentare este dependent˘ a de specificul problemei studiate); pe de alt˘ a parte, sunt multe situat¸ii cˆ and rat¸ionamentele efectuate cu m˘arimile abstracte sunt mai facile, deoarece nu apar propriet˘ a¸ti particulare care nu sunt importante pentru respectivul rat¸ionament. Pentru generalizarea mecanicii cuantice la sisteme de particule identice reprezent˘ arile discrete nu sunt interesante; totu¸si, din punct de vedere pedagogic, o reprezentare discret˘ a este convenabil˘ a, deoarece nu apar complicat¸ii matematice specifice reprezent˘ arilor continue.
26
CAPITOLUL 1. FORMALISMUL GENERAL AL MECANICII CUANTICE
Reprezentarea continu˘ a (cazul simplu) 1. Se consider˘ a c˘ a spat¸iul Hilbert al st˘arilor cuantic H are o baz˘a, alc˘ atuit˘a din sistemului setul de vectori cu indice continuu 24 F = | fν i ν∈D (unde D este un interval al axei reale, sau ˆıntreaga ax˘ a real˘ a). ˆIn mod analog cazului discret, acest sistem de vectori ai bazei este considerat orto-normat ¸si este un sistem complet (deoarece ace¸sti vectori constituie o baz˘a a spat¸iului Hilbert); totu¸si, apar complicat¸ii matematice considerabile, deoarece se poate ar˘ata c˘ a vectorii bazei continue nu au norm˘ a finit˘ a, astfel c˘ a strict vorbind nu apart¸in spat¸iului Hilbert al st˘arilor cuantice H. Rezolvarea problemei nu este simpl˘a ¸si necesit˘a generaliz˘ari ¸si construct¸ii matematice complicate; de aceea se vor prezenta rezultatele utilizˆand argumente formale cˆ at mai asem˘ an˘atoare cu cazul discret, dar f˘ ar˘a rigurozitate. Relat¸ia de ortonormare, se modific˘a astfel ˆıncˆ at s˘a se includ˘a norma infinit˘a a fiec˘ arui vector al bazei, prin utilizarea funct¸iei Dirac (ˆın locul simbolului Kronecker) h fν | fν ′ i = δ(ν − ν ′ ) ;
(1.74)
relat¸ia de completitudine are similarit˘ a¸ti cu cazul discret, dar trebuie s˘a se fac˘a sumarea continu˘ a, care este o integral˘a ˆın raport cu indicele Z Z dν Pˆν ≡ dν | fν ih fν | = ˆ1 . (1.75) D
D
unde Pˆν = | fν ih fν | este proiectorul pe sub-spat¸iul 1-dimensional generat de vectorul de baz˘a | fν i. 2. ˆIn raport cu aceast˘a baz˘ a un vector oarecare din spat¸iul Hilbert, notat | Φ i, se descompune ˆın mod similar cu formula cazului discret Z dν Φ(ν) | fν i , (1.76a) |Φi = D
unde coeficientul Fourier devine o funct¸ie de indicele continuu, Φ(ν), ¸si are expresia (similar cazului discret) Φ(ν) = h fν | Φ i . (1.76b) Demonstrat¸ia simpl˘ a a formulelor (1.76) se poate face ˆın mod formal analog cazului discret, prin utilizarea relat¸iei de completitudine (1.75) Z Z o nZ dν | fν ih fν | | Φ i = dν | fν ih fν | Φ i ≡ |Φi = ˆ 1 |Φi = dν Φ(ν) | fν i . D
D
D
ˆIn cazul prezent setul coeficient¸ilor de descompunere a vectorului ˆın raport cu baza continu˘ a este o funct¸ie de indice Φ(ν), iar setul valorilor acestei funct¸ii poate fi considerat ˆın mod formal ca o matrice continu˘ a coloan˘ a (pentru a asigura similitudinea cu cazul discret). Analog, un vector bra va avea descompunerea Z Z hΦ| = dν h Φ(ν) | fν i h fν | ≡ dν Φ∗ (ν) h fν | , (1.77) D
D
∗
iar setul valorilor funct¸iei Φ (ν) se poate considera o matrice linie infinit˘a (continu˘ a). 3. Operat¸iile vectorilor corespund la operat¸ii similare cu funct¸iile de descompunere F . i. Combinat¸ia liniar˘ a (adunarea ¸si multiplicarea cu numere) Z Z |Ψi = λ|Φi + λ′ |Φ′ i = dν |fν ihfν | λ|Φi + λ′ |Φ′ i = dν λhfν |Φi + λ′ hfν |Φ′ i |fν i D ZD ≡ dν λ Φ(ν) + λ′ Φ′ (ν) |fν i (1.78) D
24 Pentru
simplitate se va utiliza un singur indice continuu; totu¸si, ˆın majoritatea situat¸iilor interesante este necesar s˘ a se considere indici multipli (dintre ace¸sti indici unii pot fi discret¸i).
˘ 1.3. REPREZENTARI ALE MECANICII CUANTICE
27
R adic˘a |Ψi = D dν Ψ(ν)|fν i, cu coeficientul Ψ(ν) = λ Φ(ν) + λ′ Φ′ (ν). ii. ii. Produsul scalar dintre 2 vectori se exprim˘ a prin integrala componentelor Z nZ on Z o Z hΦ|Ψi = dν Φ∗ (ν)hfν | dν ′ Φ∗ (ν) Ψ(ν ′ )hfν |fν ′ i dν dν ′ Ψ(ν ′ )|fν ′ i = D D D D Z Z Z ′ ∗ ′ ′ dν Φ∗ (ν) Ψ(ν) , (1.79) dν Φ (ν) Ψ(ν ) δ(ν − ν ) = dν = D
D
D
ˆIn acest caz notat¸ia matricial˘a nu aduce avantaje, astfel ˆıncˆat se vor omite variantele continue ale expresiilor matriciale.
4. ˆIn mod similar vectorilor, un operator Aˆ are elementele de matrice ˆın baza continu˘ aF ′ (1.80) A(ν, ν ) = | fν i , Aˆ | fν ′ i ≡ h fν | Aˆ | fν ′ i ,
astfel c˘ a acestui operator ˆıi corespunde matricea p˘ atratic˘ a continu˘ a, format˘a din elementele ˆın raport cu tot¸i vectorii bazei. Cu ajutorul acestei matrici continue se poate scrie ˆın mod formal operatorul ˆın mod similar cu expresia cazului discret (1.70), utilizˆand relat¸ia de completitudine (1.75) Z nZ o nZ o Z ˆ ν ′ ihfν ′ | Aˆ = ˆ 1 · Aˆ · ˆ 1= dν |fν ihfν | Aˆ dν ′ |fν ihfν |A|f dν dν ′ |fν ′ ihfν ′ | = D D D D Z Z dν ′ |fν iA(ν, ν ′ )hfν ′ | . (1.81) dν = D
D
5. Operat¸iile dintre operatori corespund la operatii similare ˆıntre matricile (continue) asociate: i. Combinat¸ia liniar˘ a de operatori ˆ + λ′ B ˆ ′ −→ C(ν, ν ′ ) = λ B(ν, ν ′ ) + λ′ B ′ (ν, ν ′ ) , Cˆ = λ B (1.82) rezultatul fiind evident. ii. Produsul operatorilor corespunde la ˆınmult¸irea matricial˘a continu˘ a, care este o integrare dup˘a indicele bazei Z ˆ = Aˆ · B ˆ −→ D(ν, ν ′ ) = dν ′′ A(ν, ν ′′ ) B(ν ′′ , ν ′ ) , (1.83) D D
Demonstrat¸ie: Se utilizeaz˘a reprezentarea formal˘a (1.81), ˆımpreun˘a cu relat¸ile de orto-normare (1.74) de completitudine (1.75) Z Z Z Z ˆ =A ˆ·B ˆ= D dν dν1 |fν iA(ν, ν1 )hfν1 | · dν ′ |fν1′ iB(ν1′ , ν ′ )hfν ′ | dν1′ D D D D Z Z Z Z = dν dν ′ dν1 dν1′ |fν iA(ν, ν1 )hfν1′ |fν1′ iB(ν1′ , ν ′ )hfν ′ | ZD ZD ZD ZD ′ = dν dν1 dν1′ |fν iA(ν, ν1 ) δ(ν1 − ν1′ ) B(ν1′ , ν ′ )hfν ′ | dν D D D D Z Z Z Z o nZ ′ = dν dν1 A(ν, ν1 ) B(ν1 , ν ′ ) hfν ′ | ≡ dν |fν i dν dν ′ |fν iD(ν, ν ′ )hfν ′ | . D
D
D
D
D
iii. Act¸iunea unui operator asupra unui vector corespunde la ˆınmult¸irea matricilor continue asociate: Z ˆ dν ′ A(ν, ν ′ )Ψ(ν ′ ) . (1.84) |ΨA i = A |Ψi −→ ΨA (ν) = D
Demonstrat¸ie: Se utilizeaz˘a reprezentarea (1.81) pentru operator ¸si reprezentarea (1.76a) pentru vector
Z
Z
Z dν ′ |fν iA(ν, ν ′ )hfν ′ | dν ′′ Ψ(ν ′′ ) | fν ′′ i D Z ZD ZD ′′ ′ ′ = dν |fν iA(ν, ν )Ψ(ν ′′ ) hfν ′ | fν ′′ i dν dν D D D Z Z Z = dν dν ′ dν ′′ |fν iA(ν, ν ′ )Ψ(ν ′′ ) δ(ν ′ − ν ′′ ) D ZD n DZ Z o ′ = dν A(ν, ν ′ )Ψ(ν ′′ ) |fν i ≡ dν dν Φ(ν)|fν i .
ˆ |Ψi = |ΨA i = A
dν
D
D
D
28
CAPITOLUL 1. FORMALISMUL GENERAL AL MECANICII CUANTICE
Reprezentant¸ii funct¸ionali ai vectorilor ¸si operatorilor. Anterior s-a ar˘atat c˘ a ˆın raport cu o baz˘ a continu˘ a, vectorii sunt caracterizat¸i complet prin funct¸ii coeficient¸i (matrici continue coloan˘ a sau linie) ¸si operatorii sunt caracterizat¸i complet prin matrici p˘ atratice continue; relat¸iile vectoriale ¸si operatoriale sunt reprezentate prin relat¸iile corespondente matriciale continue. Reprezentarea matricial˘a continu˘ a are avantajul similitudinii formale cu cazul discret (care este mai simplu), dar are dezavantajul lipsei de intuitivitate; ca urmare, este mai convenabil s˘a se considere funct¸iile coeficient¸i ca fiind reprezentant¸ii algebrici ai vectorilor ¸si s˘a se introduc˘a operatori funct¸ionali care s˘a ofere reprezentarea act¸iunii operatorilor asupra vectorilor. Ca urmare, se va considera c˘ a un vector ket |Ψi este reprezentat prin funct¸ia Ψ(ν), iar vectorul bra conjugat este reprezentat prin conjugata complex˘a a funct¸iei, adic˘a prin Ψ∗ (ν). Un operator abstract Aˆ este definit prin act¸iunea sa asupra vectorilor, iar reprezentantul s˘au funct¸ional va fi un operator asupra funct¸iilor ce reprezint˘ a vectorii. Conform celor enunt¸ate anterior rezult˘a urm˘atoarea construct¸ie logic˘ a: i. operatorul abstract Aˆ realizeaz˘ a corespondent¸a vectorilor |Ψi −→ |ΨA i = Aˆ |Ψi; ii. vectorul |Ψi este reprezentat de funct¸ia Ψ(ν) = hfν |Ψi ¸si transformatul s˘au |ΨA i este reprezentat de funct¸ia ΨA (ν) = hfν |ΨA i; atunci, operatorul abstract Aˆ este reprezentat de opeˆ ˆ at se realizeaz˘ a corespondent¸a ΨA (ν) = Aˆν Ψ(ν) (adic˘a operatorul ratorul funct¸ional Aˆν , astfel ˆıncˆ funct¸ional este corespondentul ˆın spat¸iul de funct¸ii a operatorului abstract). Pe baza expunerii anterioare ¸si a relat¸iei (1.84) rezult˘a c˘ a operatorul funct¸ional are urm˘atoarea act¸iune asupra funct¸iilor: Z ˆ Aˆν Ψ(ν) ≡ ΨA (ν) = dν ′ A(ν, ν ′ ) Ψ(ν ′ ) , (1.85) D
adic˘a acest operator funct¸ional este ˆın mod formal un operator integral. ˆIn majoritatea cazurilor interesante pentru mecanica cuantic˘ a matricea continu˘ a a operatorilor A(ν, ν ′ ) este singular˘a, fiind exprimat˘ a prin funct¸ii Dirac, sau derivate ale fuct¸iei Dirac, astfel ˆıncˆ at operatorul funct¸ional respectiv este un operator multiplicativ, sau un operator diferent¸ial. Este important s˘a se remarce faptul c˘ a operatorii funct¸ionali satisfac relat¸ii similare cu operatorii abstract¸i pe care ˆıi reprezint˘ a: i. combinat¸ia liniar˘ a ˆˆ ′ ˆ ˆ′ ˆ + λ′ B ˆ ′ −→ Cˆˆν = λ B Cˆ = λ B ν + λ Bν ,
(1.86)
ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ = Aˆ · B ˆ −→ D D ν = Aν Bν .
(1.87)
[rezultatul este evident]. ii. produsul operatorial
ˆ are matricea egal˘ Demonstrat¸ie: Operatorul produs D a cu integrala produsului matricilor operatorilor din produs, conform relat¸iei (1.83) Z D(ν, ν ′ ) = dν ′′ A(ν, ν ′′ ) B(ν ′′ , ν ′ ) ; D
ˆ act¸ioneaz˘ pe de alt˘ a parte, operatorul funct¸ional care reprezint˘ a operatorul produs D, a asupra unei funct¸ii oarecare (reprezentantul unui vector) conform relat¸iei (1.85) Z ˆ ˆ ν Ψ(ν) = D dν ′ D(ν, ν ′ ) Ψ(ν ′ ) . D
′
Utilizˆ and expresia matricii D(ν, ν ), rezultatul anterior devine Z Z Z Z ˆ ˆ ν Ψ(ν) = D dν ′ dν ′′ A(ν, ν ′′ ) B(ν ′′ , ν ′ ) Ψ(ν ′ ) = dν ′′ A(ν, ν ′′ ) dν ′ B(ν ′′ , ν ′ ) Ψ(ν ′ ) ; D
D
D
D
ˆ ˆν act¸ionˆ dar, conform relat¸iei (1.85) ultima integral˘ a define¸ste operatorul funct¸ional B and asupra funct¸iei Ψ(ν): Z ˆ ˆν Ψ(ν) ≡ ΨB (ν) , dν ′ B(ν ′′ , ν ′ ) Ψ(ν ′ ) = B D
˘ 1.3. REPREZENTARI ALE MECANICII CUANTICE
29
ˆ ˆ ν Ψ(ν) se exprim˘ astfel ˆıncˆ at D a ˆın forma Z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ν Ψ(ν) = ˆν Ψ(ν) , D dν ′′ A(ν, ν ′′ ) ΨB (ν) = Aˆν ΨB (ν) = Aˆν B D
ˆ ˆν . Deoarece unde s-a f˘ acut apel din nou la relat¸ia (1.85) pentru definit¸ia operatorului funct¸ional A funct¸ia Ψ(ν) este arbitrar˘ a rezult˘ a egalitatea operatorial˘ a cerut˘ a.
ˆIn concluzie, este necesar s˘a se fac˘a urm˘atoarea observat¸ie: prin alegerea unei reprezent˘ ari, vectorii abstract¸i sunt reprezentat¸i prin funct¸ii ¸si operatorii abstract¸i sunt reprezentat¸i prin operatori funct¸ionali, iar ˆıntre setul de vectori-operatori abstract¸i ¸si reprezentant¸ii lor funct¸ionali este un izomorfism (adic˘ a o corespondent¸a˘ biunivoc˘ a, care conserv˘ a relat¸iile ˆıntre m˘arimile corespondente). Datorit˘ a propriet˘ a¸tilor anterioare ale m˘arimilor de reprezentare (funct¸ii ¸si operatori funct¸ionali) rezult˘a c˘ a spat¸iul de funct¸ii reprezentative este un spat¸iu Hilbert, notat Hν care este izomorf cu spat¸iul Hilbert abstract al st˘arilor sistemului cuantic H.
1.3.2
Reprezentarea coordonatelor de pozit¸ie
Reprezentarea coordonatelor de pozit¸ie este reprezentarea ˆın care baza este setul vectorilor proprii ai operatorilor de pozit¸ie ai particulelor 25 . Cazul 1-dimensional Pentru simplitate se va considera cazul cel mai simplu, cˆ and sistemul cuantic studiat cont¸ine o singur˘a particul˘ a (f˘ ar˘ a structur˘ a intern˘a) care evolueaz˘ a ˆıntr-un spat¸iu 1-dimensional nelimitat; atunci sistemul posed˘a numai 1 grad de libertate translat¸ional (pe axa Ox), iar localizarea particulei (dat˘ a de coordonata x) este caracterizat˘ a de operatorul pozit¸iei qˆx = x ˆ. Operatorul de pozit¸ie are ecuat¸ia cu valori proprii de forma x ˆ |xi = x |xi ,
(1.88)
unde x este valoarea proprie ¸si |xi este vectorul propriu al coordonatei de pozit¸ie pentru particul˘ a. Studiul matematic al acestei ecuat¸ii implic˘ a dificult˘a¸ti importante, astfel c˘ a, se vor prezenta rezultatele interesante pentru teoria cuantic˘ a, f˘ar˘a motivat¸ii riguroase ¸si considerˆ andu-se numai situat¸iile simple (care sunt realizate frecvent), dar f˘ar˘a s˘a se considere cazuri speciale. Spectrul valorilor proprii x este continuu, domeniul de valori ale coordonatei x fiind ˆıntreaga ax˘ a real˘ a, dac˘ a particula evolueaz˘ a ˆın spat¸iul nelimitat (cazul cel mai simplu). Ca urmare, baza este continu˘ a, astfel ˆıncˆ at relat¸iile de orto-normare ¸si completitudine au urm˘atoarea form˘a: Z
R
h x | x′ i = δ(x − x′ ) , dx | x ih x | = ˆ1 .
(1.89a) (1.89b)
Se observ˘ a c˘ a se pot aplica rezultatele generale ale subsect¸iunii precedente, considerˆ and indicele continuu ν fiind ˆın cazul de fat¸˘ a valoarea coordonatei de pozit¸ie x. Un vector care caracterizeaz˘a particula (vectorul de stare sau un vector propriu al unei observabile a particulei) se reprezint˘ a ˆın forma Z dx ψ(x) | x i , unde ψ(x) = h x | ψ i . (1.90) |ψi = R
Funct¸ia ψ(x) se nume¸ste funct¸ie de stare dac˘a |ψi este de vectorul de stare, sau funct¸ie proprie dac˘a |ψi este un vector propriu. Produsul scalar dintre doi vectori |ψi ¸si |ψ ′ i se reprezint˘ a conform relat¸iei (1.79) Z h ψ | ψ′ i = dx ψ(x)∗ ψ ′ (x) . (1.91) R
25ˆ Intr-o
tratare mai general˘ a se include spinul ca o m˘ arime dinamic˘ a complementar˘ a coordonatelor de pozit¸ie; totu¸si exist˘ a deosebiri esent¸iale ˆıntre coordonatele de pozit¸ie (cu spectru continuu) ¸si coordonatele de spin (cu spectru discret). Ca urmare, ˆın discut¸ia din aceast˘ a subsect¸iune se va neglija coordonata de spin a particulelor.
30
CAPITOLUL 1. FORMALISMUL GENERAL AL MECANICII CUANTICE
Operatorii fundamentali pentru particula 1-dimensional˘a sunt operatorul coordonat˘ a de pozit¸ie qˆx = xˆ ¸si operatorul coordonat˘ a de impuls pˆx (ace¸stia sunt operatorii asociat¸i coordonatelor canonice ale particulei). Orice alt˘ a observabil˘a dinamic˘ a a particulei (cu except¸ia spinului, care ˆıns˘ a se neglijeaz˘ a) se exprim˘ a ca funct¸ie de observabilele fundamentale xˆ ¸si pˆx . ˆIn cazul prezent baza este continu˘ a ¸si indicele este coordonata de pozit¸ie x (adic˘a sunt valabile rezultatele reprezent˘ arii continue simple cu substitut¸ia ν → x); prin urmare, reprezentarea coordonatei de pozit¸ie implic˘ a funct¸ii cu variabila x ¸si operatori funct¸ionali asupra acestor funct¸ii. Datorit˘ a faptului c˘ a baza operatorului de pozit¸ie este constituit˘ a din vectorii proprii, rezult˘a c˘ a matricea operatorului coordonat˘a de pozit¸ie are urm˘atoarea form˘a: x(x′ , x′′ ) ≡ h x′ | x ˆ | x′′ i = x′′ h x′ | x′′ i = x′ δ(x′ − x′′ ) ;
(1.92)
se observ˘ a c˘ a matricea operatorului x ˆ este singular˘a. Atunci, conform relat¸iei (1.85), act¸iunea ˆˆx este operatorului funct¸ional al coordonatei de pozit¸ie x Z Z ˆ x ˆx ψ(x) = dx′ x(x, x′ ) ψ(x′ ) = dx′ x δ(x − x′ ) ψ(x′ ) = x ψ(x) , (1.93) R
R
adic˘a operatorul coordonat˘a de pozit¸ie este un operator multiplicativ ˆˆx = x . x
(1.94)
Pentru cel˘ alalt operator fundamental al sistemului, deducerea expresiei matricii sale ˆın baza coordonate de pozit¸ie necesit˘ a utilizarea relat¸iei de comutare fundamentale, care este dat˘a de Principiului 3 prin relat¸ia (1.26) (1.95) x ˆ , pˆx = i~ ˆ1 . Utilizˆand relat¸ia de comutare se obt¸ine matricea operatorului coordonat˘a de impuls ˆın baza coordonatei de pozit¸ie px (x′ , x′′ ) ≡ h x′ | pˆx | x′′ i =
~ ∂ δ(x′ − x′′ ) ; i ∂ x′
(1.96)
Demonstrat¸ie: Ca etap˘ a preliminar˘ a se deduce relat¸ia de comutare a operatorului coordonat˘ a de pozit¸ie x ˆ cu o funct¸ie de operatorii de pozit¸ie ¸si de impuls F (ˆ x, pˆx ) : ∂F (ˆ x, px ) x ˆ , F (ˆ x, pˆx ) − = i~ . ∂px px = p ˆx
Pentru a obt¸ine relat¸ia de comutare precedent˘ a se efectueaz˘ a dezvoltarea ˆın serie Taylor a funct¸iei F (ˆ x, pˆx ) ˆın raport cu variabila impuls: ∞ X x, px ) 1 ∂ n F (ˆ pˆn F (ˆ x, pˆx ) = x n! ∂pn x px = p ˆx n=0
¸si se efectueaz˘ a comutatorul, luˆ and ˆın considerare ca un operator comuta cu orice funct¸ie de acest operator, astfel c˘ a r˘ amˆ an numai comutatorii dintre operatorul de pozit¸ie ¸si operatorii puteri ale impulsului: ∞ X 1 ∂ n F (ˆ x, px ) x ˆ , F (ˆ x, pˆx ) − = x ˆ , pˆn x − ; n n! ∂px px = p ˆx n=0 n−1 n a rezult˘ a prin metoda induct¸iei matematice se obt¸ine x ˆ , pˆx − = n i~ pˆx , astfel c˘
x ˆ , F (ˆ x, pˆx )
−
=
∞ ∞ X X x, px ) ∂ n F (ˆ x, px ) 1 1 ∂ n F (ˆ n−1 n i~ p ˆ = i~ pˆn−1 x x n n n! ∂p (n − 1)! ∂p x x p = p ˆ p = p ˆ x x x x n=1 n=0 ∞ X 1 ∂ m ∂F (ˆ x, px ) = i~ pˆm x m m! ∂p ∂p x x px = p ˆx m=0 ∂F (ˆ x, px ) = i~ , ∂px px = p ˆx
care este relat¸ia de comutare propus˘ a anterior.
˘ 1.3. REPREZENTARI ALE MECANICII CUANTICE
31
Se consider˘ a funct¸ia operatorial˘ a de impuls ¸si dependent˘ a de parametrul real ξ: i ˆ S(ξ) ≡ e− ~ ξ pˆx ;
pe baza relat¸iei de comutare discutate anterior se obt¸ine comutatorul dintre operatorul de pozit¸ie ˆ x ˆ ¸si funct¸ia operatorial˘ a S(ξ): ˆ i ∂ − ~i ξp ∂ S(ξ) ˆ ˆ = ξ e− ~ ξ pˆx = ξ S(ξ) . = i~ e x ˆ , S(ξ) = i~ − ∂p ∂p p=p ˆx Rezultatul precedent se poate rescrie ˆın forma ˆ ˆ x ˆ x ˆ S(ξ) − S(ξ) ˆ = ξ S(ξ) astfel ˆıncˆ at se obt¸ine
=⇒
ˆ ˆ x ˆ S(ξ) = S(ξ) x ˆ+ξˆ 1 ,
ˆ x′ = x′ + ξ S(ξ) ˆ x′ , x ˆ S(ξ)
ˆ x′ este un vector propriu al operatorului coordonat˘ ceea ce arat˘ a c˘ a S(ξ) a de pozit¸ie corespunz˘ ator ˆ valorii proprii x′ + ξ (adic˘ a S(ξ) se comport˘ a ca un operator de translat¸ie). Dac˘ a se face alegerea ˆ ˆ |xi = |x + ξi. |xi = S(x) |0i, atunci rezult˘ a: S(ξ) ˆ ˆın baza proprie a operatorului Pe baza rezultatelor anterioare se obt¸ine matricea operatorului S(ξ) de pozit¸ie:
′ ˆ x′′ = x′ x′′ = δ(x′ − x′′ − ξ) ; x S(ξ)
dac˘ a se alege o valoare infinitezimal˘ a δξ, atunci operatorul de translat¸ie se poate aproxima cu dezvoltarea Taylor de ordinul 1 i i ˆ 1 − δξ pˆx + O δξ 2 S(δξ) = e− ~ δξ pˆx = ˆ ~
astfel ˆıncˆ at elementul de matrice devine
′′ ′ ′′ i
′
ˆ x = x x − δξ x′ pˆx x′′ + O δξ 2 . x S(δξ) ~
Atunci, luˆ and ˆın considerare c˘ a acest ′′de
element matrice este egal cu funct¸ia Dirac, conform ˆ x = δ(x′ − x′′ − δξ), rezult˘ expresiei generale obt¸inute anterior, x′ S(δξ) a elementul de matrice al operatorului impuls ˆın baza coordonate de pozit¸ie:
′ ′′ ~ δ(x′ − x′′ − δξ) − δ(x′ − x′′ ) ~ ∂ x pˆx x = + O δξ −−−→ δ(x′ − x′′ ) , δξ→0 i ∂x′ i − δξ
adic˘ a rezultatul cerut.
Se observ˘ a c˘ a ¸si ˆın acest caz matricea operatorului studiat este singular˘a (apare derivata funct¸iei Dirac); atunci, utilizˆand relat¸ia (1.85) ¸si propriet˘ a¸tile generale ale funct¸iei Dirac se obt¸ine operatorul funct¸ional al coordonatei de impuls: Z ~ ∂ ~ ∂ δ(x − x′ ) ψ(x′ ) = ψ(x) , (1.97) dx′ pˆ ˆx ψ(x) = i ∂x i ∂x R adic˘a operatorul coordonat˘a de pozit¸ie este un operator diferent¸ial ~ ∂ pˆˆx = . i ∂x
(1.98)
A¸sa cu s-a ment¸ionat anterior, toate m˘arimile dinamice observabile ale sistemului clasic sunt funct¸ii de cele 2 variabile canonice fundamentale: variabila de pozit¸ie qx = x ¸si variabila de impuls px , adic˘a m˘arimea dinamic˘ a A este de forma: A = A(x, px ); conform principiului de corespondent¸˘ a, operatorul asociat m˘arimii dinamice este aceea¸si funct¸ie dar variabilele canonice sunt substituite de c˘ atre operatorii canonici fundamentali: Aˆ = A(ˆ x, pˆx ). Operatorul funct¸ional ˆˆ ˆ Ax care este reprezentantul operatorului A ˆın reprezentarea coordonatei de pozit¸ie, se obt¸ine din matricea operatorului Aˆ ˆın baza {|xi}x , conform relat¸iei generale (1.85): Z ˆ dx′ hx|A|x′ i Ψ(x′ ) ; (1.99) Aˆx Ψ(x) = R
32
CAPITOLUL 1. FORMALISMUL GENERAL AL MECANICII CUANTICE
Se poate ar˘ ata, pe baza rezultatelor anterioare, c˘ a matricea operatorului Aˆ ˆın baza {|xi}x se exprim˘ a ˆın termeni de funct¸ii Dirac: ~ ∂ δ(x − x′ ) , hx|A|x′ i ≡ A(x, x′ ) = A x δ(x − x′ ), i ∂x astfel ˆıncˆ at integrala din formula (1.99) se efectueaz˘a ˆın mod direct ¸si se obt¸ine ˆ ˆˆ, pˆˆx = A x, ~ ∂ . Aˆx = A x i ∂x
26
(1.100)
Ca exemplu, hamiltonianul particulei cu masa m ¸si interact¸ionˆ and cu un cˆ amp extern static, interact¸ia fiind descris˘ a prin energia potent¸ial˘a v(x) are forma: 1 ~ ∂ 2 −~2 ∂ 2 ˆ ˆ ˆ x = 1 pˆ H ˆ = + v(x) = ˆ2x + v x + v(x) . 2m 2m i ∂ x 2m ∂ x2
Cazul 3-dimensional pentru sistem multiparticule
Rezultatele precedente pentru cazul sistemului particul˘ a 1-dimensional˘a se generalizeaz˘ a ˆın mod direct la situat¸ia mai general˘ a cˆ and sistemul cont¸ine N particule care pot evolua ˆıntr-un spat¸iu 3-dimensional corespunz˘ ator domeniului D (dac˘ a domeniul este nelimitat atunci D = R3 , iar dac˘a domeniul este finit cu volumul V atunci D = DV ). Se vor prezenta numai rezultatele, f˘ar˘a argument˘ ari, care ar complica inutil expunerea. Coordonatele de pozit¸ie ale sistemului sunt descrise prin operatorii de pozit¸ie ai particulelor {ˆr1 , ˆr2 , . . . , ˆrN }, unde ˆrj = (ˆ xj , yˆj , zˆj ) ≡ (ˆ x1j , x ˆ2j , x ˆ3j ) este operatorul vectorial de pozit¸ie al ˆ particulei “ j ”. In spat¸iul Hilbert al st˘arilor sistemului operatorii de pozit¸ie ai particulelor au ecuat¸ii cu valori proprii de forma x ˆaj |xaj i = xaj |xaj i ,
(a = 1, 2, 3; j = 1, 2, . . . , N )
(1.101)
unde valorile proprii xaj sunt numere reale, adic˘a spectrele operatorilor de pozit¸ie sunt continue. Conform Principiului 3, relat¸ia (1.26), tot¸i operatorii de pozit¸ie sunt reciproc comutabili: 0; prin urmare, setul operatorilor de pozit¸ie admite un sistem comun de vectori [x ˆaj , x ˆa′ j ′ ] = ˆ proprii | x1 , y1 , z1 ; . . . ; xN , yN , zN i ≡ {|r1 , . . . , rN i}, astfel ˆıncˆ at ecuat¸iile cu valori proprii ale operatorilor de pozit¸ie ai particulelor sunt de forma xˆaj | x1 , y1 , z1 ; . . . ; xN , yN , zN i = xaj | x1 , y1 , z1 ; . . . ; xN , yN , zN i ,
(a = 1, 2, 3; j = 1, 2, . . . , N )
sau ˆın notat¸ie vectorial˘a (mai concis˘a) ˆrj | r1 , . . . , rN i = rj | r1 , . . . , rN i ,
(j = 1, 2, . . . , N ) .
(1.102)
Este necesar s˘a se observe c˘ a fiecare vector propriu | r1 , . . . , rN i are norm˘a infinit˘a. Setul de vectori proprii {|r1 , . . . , rN i} este ales ca baz˘a a spat¸iului Hilbert al st˘arilor sistemului N -particule; ca urmare, relat¸iile de orto-normare ¸si de completitudine au urm˘atoarele forme, care sunt generalizarea relat¸iilor (1.89): h r1 , . . . , rN | r′1 , . . . , r′N i = δ 3 (r1 − r′1 ) · · · δ 3 (rN − r′N ) , Z Z d3 r1 · · · d3 rN | r1 , . . . , rN ih r1 , . . . , rN | = ˆ1 ; D
(1.103a) (1.103b)
D
Se observ˘ a c˘ a ˆın cazul studiat vectorii de baz˘a sunt caracterizat¸i de N indici vectoriali (care sunt vectorii de pozit¸ie ai particulelor), adic˘a 3N indici reali. Prin utilizarea bazei {|r1 , . . . , rN i}, vectorii sistemului (vectori proprii sau vectori de stare) au descompunerile caracterizate de funct¸ii coeficient¸i dependente de N variabile vectoriale, conform generaliz˘ arii relat¸iei (1.90) prin utilizarea relat¸iei de completitudine (1.103b) Z Z (1.104) d3 r1 · · · d3 rN Φ(r1 , . . . , rN ) | r1 , . . . , rN i , |Φi = D
26 Se
D
vor omite calculele matematice care sunt de tipul celor utilizate anterior pentru obt¸inerea formulelor (1.93) ¸si (1.97), deoarece aceste calcule sunt destul de lungi ¸si implic˘ a propriet˘ a¸ti ale funct¸iei Dirac.
˘ 1.3. REPREZENTARI ALE MECANICII CUANTICE
33
unde funct¸ia coeficient Φ(r1 , . . . , rN ) = h r1 , . . . , rN |Φi este reprezentantul vectorului |Φi. Se observ˘ a c˘ a produsul scalar dintre 2 vectori este realizat ˆın spat¸iul de funct¸ii reprezentative prin intergrarea multipl˘a a funct¸iilor corespunz˘ atoare, ˆın acord cu generalizarea relat¸iei (1.91) Z Z hΦ|Φ′ i = d3 r1 · · · d3 rN Φ∗ (r1 , . . . , rN ) Φ′ (r1 , . . . , rN ) . (1.105) D
D
Operatorii funct¸ionali care reprezint˘ a operatorii abstract¸i sunt definit¸i prin act¸iunea lor asupra funct¸iilor care reprezint˘ a vectori, conform relat¸iei Z Z ˆ d3 r′1 · · · d3 r′N h r1 , . . . , rN | Aˆ | r′1 , . . . , r′N i Φ(r′1 , . . . , r′N ) , (1.106) Aˆ{r} Φ(r1 , . . . , rN ) = D
D
care este generalizarea relat¸iei (1.85), valabil˘a ˆın cazul simplu cu un singur indice continuu. Datorit˘ a faptului c˘ a baza de reprezentare este constituit˘ a din vectorii proprii ai operatorilor de pozit¸ie, rezult˘a c˘ a ace¸sti operatori au matrici singulare (exprimate prin produse de funct¸ii Dirac) h r1 , . . . , rN | ˆrj | r′1 , . . . , r′N i = rj δ 3 (r1 − r′1 ) · · · δ 3 (rN − r′N ) ,
(j = 1, . . . , N ) ;
(1.107)
ca urmare, prin aplicarea relat¸iei generale (1.106), rezult˘a c˘ a act¸iunea acestor operatori de pozit¸ie asupra funct¸iilor ce reprezint˘ a vectori este multiplicativ˘a ˆ ˆrj{r} Φ(r1 , . . . , rN ) = rj Φ(r1 , . . . , rN ) ,
(1.108)
adic˘a operatorul funct¸ional de pozit¸ie a unei particule este operatorul vectorial multiplicativ ˆˆrj{r} = rj . Se observ˘ a c˘ a rezultatele sunt generaliz˘arile relat¸iilor (1.92) – (1.94). Operatorii funct¸ionali care reprezint˘ a impulsurile particulelor se construiesc ˆın mod analog cazului particul˘ a 1-dimensional˘ a, prin generalizarea relat¸iilor (1.96) – (1.98); astfel, din relat¸iile de comutare (1.26) [x ˆaj , pˆa′ j ′ ] = i~ δaa′ δjj ′ ˆ1 , rezult˘a c˘ a singurii operatori necomutabili sunt operatorii asociat¸i coordonatelor canonice conjugate de pozit¸ie ¸si impuls (adic˘ ax ˆaj ¸si pˆaj ): [ xˆaj , pˆaj ] = i~ ˆ1. Consecint¸a relat¸iilor de comutare ˆıntre operatorii de pozit¸ie ¸si de impuls este c˘ a matricea unui operator coordonat˘a de impuls ˆın baza coordonate de pozit¸ie este de forma paj (r1 , . . . , rN ; r′1 , . . . , r′N ) ≡ h r1 , . . . , rN | pˆaj | r′1 , . . . , r′N i ~ ∂ ′ ′ δ(x1 − x′1 ) δ(y1 − y1′ ) δ(z1 − z1′ ) · · · δ(xN − x′N ) δ(yN − yN ) δ(zN − zN ); = i ∂ xaj rezultatul anterior se exprim˘ a condensat ˆın notat¸ie vectorial˘a: ˆ j | r′1 , . . . , r′N i pj (r1 , . . . , rN ; r′1 , . . . , r′N ) ≡ h r1 , . . . , rN | p ~ = ∇j δ 3 (r1 − r′1 ) · · · δ 3 (rN − r′N ) , i
(1.109)
unde ∇j este operatorul “nabla” ˆın raport cu coordonatele de pozit¸ie ale particulei “ j ”. Atunci, prin utilizarea relat¸iei generale (1.106), se obt¸ine act¸iunea operatorului funct¸ional asociat impulsului unei particule ca operator diferent¸ial (vectorial) ~ ˆ ˆ j{r} Φ(r1 , . . . , rN ) = ∇j Φ(r1 , . . . , rN ) , p i
(1.110)
~ ˆ ˆ j{r} = ∇j . adic˘a p i ˆIn cazul m˘arimi dinamice arbitrare a sistemului, operatorul corespunz˘ ator este construit din m˘arimea clasic˘ a, cu ajutorul principiului de corespondent¸˘a, astfel c˘ a rezult˘a o funct¸ie de operatorii de pozit¸ie ¸si de impuls ai particulelor (care sunt operatori fundamentali) ˆ 1, . . . , p ˆN ) ; Aˆ = A(ˆr1 , . . . , ˆrN ; p
34
CAPITOLUL 1. FORMALISMUL GENERAL AL MECANICII CUANTICE
ˆ ˆ {r} corespunz˘ ator operatorului abstract Aˆ se construie¸ste analog cazului operatorul funct¸ional A [a se vedea relat¸ia (1.100)], astfel c˘ a se obt¸ine ˆˆ ˆˆ N {r} ) = A(r1 , . . . , rN ; ~ ∇1 , . . . , ~ ∇N ) . (1.111) ˆ ˆr1{r} , . . . , ˆ ˆ 1{r} , . . . , p ˆrN {r} ; p A {r} = A(ˆ i i Din prezentarea anterioar˘ a rezult˘a c˘ a mecanica cuantic˘ a ˆın varianta ondulatorie este un formalism particular al mecanicii cuantice, anume este formularea Schr¨odinger ˆın reprezentarea coordonatelor de pozit¸ie. Este important˘ a observat¸ia c˘ a reprezentarea coordonatelor de pozit¸ie nu este singura reprezentare continu˘ a a mecanicii cuantice; o alt˘ a reprezentare continu˘ a remarcabil˘a este reprezentarea coordonatelor de impuls, care prezint˘ a multe similitudini cu precedenta. Totu¸si se va omite discut¸ia asupra acestei reprezent˘ ari, deoarece singura reprezentare interesant˘ a pentru generalizarea teoriri cuantice la sisteme multi-particul˘a este reprezentarea coordonatelor de pozit¸ie. De asemenea, trebuie s˘a se remarce c˘ a particulele cuantice au, al˘aturi de gradele de libertate translat¸ionale (reprezentate de pozit¸iile ¸si impulsurile particulelor), ˆın plus exist˘a grade de libertate interne reprezentate de spinii particulelor (care au valori proprii discrete). Pentru a nu complica discut¸ia se omite prezentarea complex˘a a sistemelor de particule cu translat¸ii ¸si spin.
Capitolul 2
Descrierea st˘ arilor ¸si observabilelor sistemelor multi-particule 2.1
Observat¸ii generale
Mecanica cuantic˘ a standard este formulat˘a init¸ial ˆın Cuantificarea I-a, conform c˘ areia starea sistemului este caracterizat˘ a de un set complet de m˘arimi, care descriu st˘arile individuale ale particulelor sistemului. Totu¸si, pentru sisteme constituite dintr-un num˘ar mare de particule identice (eventual num˘ arul de particule poate fi variabil) – metoda Cuantific˘arii I-a este neconvenabil˘ a, deoarece este foarte complicat˘ a ¸si excesiv de detaliat˘ a. Ca urmare, apare necesitatea reformul˘arii descrierii st˘arilor sistemului, numit˘a uzual metoda Cuantific˘ arii a II-a: • se consider˘ a init¸ial c˘ a interact¸iile mutuale (dintre particule) sunt absente, astfel c˘ a sistemul este constituit din particule independente: – se introduc st˘ ari uni-particul˘a, – se exprim˘ a starea sistemului multi-particule, prin numerele de ocupare pe st˘ari uniparticul˘ a, – se exprim˘ a observabilele sistemului prin operatori elementari (de creare ¸si anihilare) pe st˘ ari uni-particul˘ a; • se introduce ulterior interact¸ia mutual˘a prin tehnica adiabatic˘a – ca urmare, se calculeaz˘a propriet˘ a¸tile sistemului (cu interact¸ii mutuale) prin metode de aproximat¸ie (perturbative, self-consistente, etc.).
2.2 2.2.1
Descrierea sistemului N -particule ˆın Cuantificarea I-a Condit¸ii
Se consider˘ a un sistem constituit din N particule identice, independente (ulterior se va introduce interact¸ia mutual˘a) ¸si nererativiste; ca urmare, exist˘a 2 tipuri de grade de libertate uni-particul˘ a: – grade de libertate de translat¸ie, – grade de libertate de de spin. Init¸ial se utilizeaz˘ a formularea Schr¨ odinger, conform c˘ areia evolut¸ia sistemului este cont¸inut˘ a numai ˆın vectorii de stare, iar operatorii caracteristici (asociat¸i observabilelor, sau operatorii speciali) sunt intrinsec atemporali. [ ulterior se va trece la alte formul˘ari echivalente: Heisenberg, Dirac ]. 35
36
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE
2.2.2
Definirea operatorilor sistemului
1. Pentru particula a : Aˆ(a) este operatorul asociat unei observabile a acestei particule, definit ˆın spat¸iul Hilbert al st˘ arilor particulei H(a) . Observat¸ii: i. Aˆ(a) : H(a) → H(a) (este un operator definit ˆın spat¸iul Ha ), ii. particulele sunt identice, astfel c˘ a a, • toate spat¸iile Hilbert uni-particul˘a {H(a) }a=1,N au aceea¸si structur˘ • tot¸i operatorii uni-particul˘ a {Aˆ(a) }a=1,N au acela¸si tip de act¸iune (pentru toate particulele). 2. Pentru sistemul total (constituit din N particule): i. Spat¸iul Hilbert al st˘ arilor este produsul direct al spat¸iilor Hilbert ale st˘arilor uni-particul˘a: HN =
N M
H(a) .
(2.1a)
a=1
Observat¸ie: spat¸iile Hilbert uni-particul˘a se consider˘ a disjuncte ∀ a, b = 1, N H(a) ∩ H(b) = ∅ , a 6= b
(2.1b)
(unde s-a notat prin ∅ mult¸imea vid˘a); atunci descompunerea spat¸iului Hilbert total ˆın sub-spat¸ii Hilbert uni-particul˘ a este posibil˘ a numai dac˘a se consider˘ a particulele independente. ii. Observabilele uni-particul˘ a se definesc prin prelungirea operatorilor Aˆ(a) ˆın spat¸iul Hilbert total HN , prin efectuarea produsului direct cu operatori unitate pe sub-spat¸iile Hilbert corespunz˘atoare celorlalte particule ale sistemului total: Aˆ(a) −→ Aˆa = ˆ 1(1) ⊗ · · · ⊗ ˆ1(a−1) ⊗ Aˆ(a) ⊗ ˆ1(a+1) ⊗ · · · ⊗ ˆ1(N ) . (2.2) Observat¸ii: • Aˆa este un operator definit ˆın spat¸iul HN ; ca urmare Aˆ(a) este restrict¸ia lui Aˆa la sub-spat¸iul particulei a, adic˘a H(a) ; • setul de operatori uni-particul˘ a pentru particule diferite {Aˆa }a=1,N este constituit din operatori reciproc comutabili: (2.3) Aˆa , Aˆb = ˆ0 , ∀ a, b = 1, N . −
iii. Operatorul total asociat unei observabile de tip uni-particul˘a este suma operatorilor corespunz˘atori particulelor sistemului: N X Aˆa . (2.4) AˆN = a=1
iv. Prin generalizare se introduce operatorul bi-particul˘a, care act¸ioneaz˘ a asupra st˘arilor unei perechi de particule (un astfel de operator descrie interact¸ia mutual˘a dintre particule) Bˆ(a,b) : H(a) ⊗ H(b) → H(a) ⊗ H(b) ,
adic˘a Bˆ(a,b) este un operator definit ˆın spat¸iul Hilbert produs H(a) ⊗ H(b) . Se efectueaz˘ a extensia operatorului Bˆ(a,b) la spat¸iul Hilbert al sistemului total HN (prin includerea operatorilor unitate pe toate sub-spat¸iile corespunz˘ atoare celorlalte particule ale sistemului) Bˆab =
N n O
c=1 (c6=a,b)
o ˆ1(c) ⊗ Bˆ(a,b) .
Pe baza definit¸iilor anterioare, operatorul total asociat unei observabile de tip bi-particul˘a are urm˘atoarea expresie general˘ a 1,N X ˆN = 1 B Bˆab , (2.5) 2 a,b
unde Bˆab este operatorul din HN corespunz˘ ator perechii de particule a ¸si b.
2.2. DESCRIEREA SISTEMULUI N -PARTICULE ˆIN CUANTIFICAREA I-A
2.2.3
37
St˘ ari proprii uni-particul˘ a (st˘ ari impuls-spin)
Starea proprie a unui sistem cuantic – este caracterizat˘ a de setul valorilor proprii ale unui sistem complet de observabile comutabile ¸si este descris˘ a de vectorul propriu comun sistemului de observabile comutabile. Observat¸ie: sistemul vectorilor proprii comuni ai unui sistem complet de observabile comutabile este o baz˘ a a spat¸iului Hilbert al st˘arilor sistemului cuantic. Cazul sistemului uni-particul˘ a (particul˘a liber˘a simpl˘a): – gradele de libertate ale particulei sunt: de translat¸ie ¸si de spin; ca urmare, are loc factorizarea spat¸iului Hilbert uni-particul˘ a: (a) H(a) = H(a) r + Hs ,
(2.6)
(a)
(a)
unde Hr este sub-spat¸iul Hilbert al st˘arilor de translat¸ie (spat¸iale) ¸si Hs este sub-spat¸iul Hilbert al st˘arilor de spin. Un sistem complet de observabile comutabile (care caracterizeaz˘a starea de translat¸ie-spin) este constituit din operatorii componentelor cartesiene de impuls ¸si operatorul proiect¸iei spinului pe o direct¸ie: ˆ (a) ; sˆ(a) { pˆ(a) ˆ(a) ˆ(a) ˆ(a) x , p y , p z ; s z } ≡ {p z } (a)
(a)
ˆ (a) este operatorul impuls al particulei (cu act¸iune ˆın Hr ), iar sˆz este operatorul comunde p (a) ponentei spinului particulei (cu act¸iune ˆın Hs ). Ecuat¸iile cu valori proprii ale observabilelor caracteristice au formele urm˘atoare: (a) 1. ˆIn Hr este ecuat¸ia cu valori proprii a impulsului (a) (a) (a) pˆα uk = ~ kα uk , (α = x, y, z) =⇒
(a) (a) ˆ (a) uk = ~ k uk . p
(2.7)
Observat¸ii: (a) (a) a satisface relat¸iile de ortoeste o baz˘ a ˆın sub-spat¸iul Hilbert Hr , astfel c˘ • uk normare ¸si de ˆınchidere: (a) (a) Zuk uk′ = δ(k, k′ ) , P (a) (a) (2.8) (a) u u = ˆ1r , k
k
k
unde
– δ(k, k′ ) este simbolul Kronecker δk,k′ ˆın cazul cˆ and impulsul are spectru discret, sau este funct¸ia Dirac δ(k − k′ ) ˆın cazul cˆ and impulsul are spectru continuu de valori proprii, Z P este sumare (pantru spectru discret), sau integrare (pentru spectru continuu), – k
(a) ˆ(a) este operatorul unitate ˆın sub-spat¸iul Hr ; – 1 r
• vectorul de und˘a k = (kx , ky , kz ) are valori discrete, sau continue, dependente de condit¸iile la limit˘ a spat¸iale. (a) 2. ˆIn Hs este ecuat¸ia cu valori proprii a componentei spinului (a) χ , (σ ∈ {−s, . . . , s}) . = ~ σ χ(a) sˆ(a) σ z σ
(2.9)
Observat¸ii: (a) (a) este o baz˘a ˆın sub-spat¸iul Hilbert Hs , astfel c˘ a satisface relat¸iile de • χσ σ=−s,s orto-normare ¸si de ˆınchidere: (
(a) (a) χσ χσ′ = δσ,σ′ , (2.10) P (a) (a) (a) χσ = ˆ1s , σ χσ
38
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE
Comasarea rezultatelor precedente pentru spat¸iul Hilbert uni-particul˘a total (st˘ ari de translat¸ie ¸si spin): deoarece spat¸iul Hilbert al unei particule este produsul direct de spat¸ii Hilbert disjuncte de (a) (a) translat¸ie ¸si de spin, conform relat¸iei (2.6), H(a) = Hr + Hs , se efectueaz˘a urm˘atoarele operat¸ii: (a)
ˆ (a) ¸si sˆz ˆın spat¸iul total H(a) : • se prelungesc operatorii p ( (a) (a) ˆ ˆ (a) ⊗ ˆ1s , P ≡p (a) (a) (a) ˆ r ⊗ sˆs ; Sˆz ≡1 • se construie¸ste baza din H(a) prin produs direct al bazelor din sub-spat¸ii: (a) (a) (a) ϕ χσ . kσ = uk
(2.11)
(2.12)
Atunci rezult˘a urm˘atoarele consecint¸e:
• ecuat¸iile cu valori proprii ale operatorilor prelungit¸i ˆın spat¸iul total H(a) sunt de forma ˆ (a) ϕ(a) = ~k ϕ(a) , P (2.13a) kσ kσ (a) (a) Sˆz(a) ϕkσ = ~σ ϕkσ ; (2.13b) •
(a) ϕ este o baz˘ a a spat¸iului H(a) , astfel ˆıncˆ at relat¸iile de orto-normare ¸si completitudine kσ au urm˘atoarele forme
(a) (a) (a) (a) (a) (a) ϕkσ ϕk′ σ′ = uk uk′ χσ χσ′ = δ(k, k′ ) δσ,σ′ , (2.14a) Z Z X X (a) (a) X (a) (a) X
u = ˆ1(a) χ(a) ϕ ˆ(a) uk ⊗ χ(a) ϕkσ = (2.14b) σ r ⊗ 1s . σ k kσ k
σ
σ
k
Sunt necesare urm˘atoarele observat¸ii asupra rezultatelor precedente:
• este convenabil˘ a utilizarea unei notat¸ii condensate pentru impuls-spin: q ≡ (k, s), astfel ˆıncˆ at vectorul propriu impuls-spin al unei particule se noteaz˘ a ˆın forma: (a) (a) ϕ = ϕkσ ; (2.15) q iar relat¸iile de orto-normare ¸si completitudine (2.14) ale bazei proprii devin (a) (a) Zϕq ϕq′ = δ(q, q ′ ) , P (a) (a) = ˆ1(a) ; ϕq ϕq
(2.16)
q
• sistemul total este constituit din particule identice; ca urmare, operatorii uni-particul˘a (impuls ¸si spin) au acela¸si spectru (pentru toate particulele) (a) ˆ p (k) (a) (σ) sˆs atunci nu este necesar s˘a se evident¸ieze prin notat¸ie explicit˘a indicele particulei “ a “ la valorile spectrului impuls-spin; • descompunerea vectorului de stare uni-particul˘a |ψ (a) (t)i ∈ H(a) ˆın baza proprie Z (a) X (a) (a) ψ (t) = cq (t) ϕq ,
(2.17)
q
(a) (a) unde coeficientul Fourier generalizat este cq (t) = ϕq ψ (a) (t) ;
• rezultatele anterioare se pot generaliza pentru urm˘atoarele situat¸ii mai complexe: – micro-sisteme complexe (molecule/atomi cu structur˘ a intern˘a);
– particule aflate ˆın cˆ ampuri externe (de exemplu: electroni de conduct¸ie ˆın st˘ari Bloch).
2.2. DESCRIEREA SISTEMULUI N -PARTICULE ˆIN CUANTIFICAREA I-A
2.2.4
39
Reprezentarea coordonatelor pentru o particul˘ a
A. Reprezentarea vectorilor ¸si operatorilor unui sistem cuantic Se vor relua ˆın mod succint, problemele prezentate ˆın capitolul anterior relativ la reprezent˘ ari cuantice, introducˆand unele generaliz˘ari necesare pentru situat¸iile care vor fi studiate ˆın teoria cuantic˘ a a sistemelor multi-particule. Se consider˘ a un sistem arbitrar S, iar spat¸iul Hilbert al st˘arilor sale va fi notat HN ; cuantic a) a spat¸iului HN , atunci vectorii dac˘a sistemul de vectori |αi α este o baz˘a (discret˘a sau continu˘ setului satisfac relat¸iile de orto-normare ¸si de completitudine generalizate: ′ hα|α i = δ(α, α′ ) , Z P (2.18) |αihα| = ˆ1 ; α
ˆın relat¸iile (2.18) s-au utilizat notat¸ii formale, care includ atˆat cazul discret, cˆ at ¸si cazul continuu: a) pentru cazul cˆ and α este indice discret simbolurile comune au semnificat ¸iile urm˘atoare: Z P P ′ = α (sumare peste valorile indicelui discret); δ(α, α ) = δα,α′ (simbolul Kronecker) ¸si α
b) pentru cazul cˆ and α este indice continuu Z simbolurile comune au semnificat¸iile urm˘atoare: Z P ′ ′ = dα (integrare peste valorile indicelui continuu). δ(α, α ) = δ(α − α ) (funct¸ia Dirac) ¸si α
Se vor proiecta vectorii ¸si operatorii pe baza specificat˘ a, obt¸inˆandu-se reprezentant¸ii algebrici (funct¸iile ¸si operatorii funct¸ionali) fat¸˘a de baza aleas˘ a. 1) Reprezentarea vectorilor : ϕ ∈ HN
Z Z X X ϕ = ϕα α , α ϕ α ≡
=⇒
(2.19)
α
α
unde ϕα = α ϕ este coordonata vectorului | ϕ i ˆın raport cu elementul | α i al bazei. Se observ˘a c˘ ¸˘a de o baz˘ a specificat˘ a, fiecare vector este determinat complet prin setul coordonatelor a fat a a vectorului fat¸˘ a de baza aleas˘ a. ϕα α ; acesta este reprezentarea algebric˘ 2) Reprezentarea operatorilor ϕ ∈ HN −→ A
Aˆ ϕ = ϕA ≡ φ ∈ HN ; not
(2.20)
adic˘a un operator este o corespondent¸˘a ˆıntre elementele unui spat¸iu (ˆın cazul prezent este o corespondent¸˘ a ˆıntre vectori din spat¸iul Hilbert al st˘arilor cuantice). ˆˆ ator operatorului Se define¸ste operatorul algebric (operatorul funct¸ional), notat Aα corespunz˘ ˆ ˆın baza |αi , prin relat¸ia ˆıntre componentele vectorilor: abstract A, α Aˆ ϕ = φ
=⇒
ˆ Aˆα ϕα = φα ;
(2.21)
explicitarea operatorului algebric:
Z Z o X ′
nX φα = α φ = α Aˆ ϕ = α Aˆ α Aˆ α ϕα′ = ϕα′ α′ α
(2.22)
α
(ultima egalitate s-a obt¸inut pe baza linearit˘a¸tii operatorului Aˆ ¸si a produsului scalar); luˆand ˆın considerare relat¸iile (2.21) ¸si (2.22), se obt¸ine: Z X
′ ˆ (2.23) α Aˆ α ϕα′ , Aˆα ϕα = α
adic˘a ˆın mod formal: reprezentantul algebric al unui operator abstract este un operator integral/matricial, avˆand nucleul egal cu matricea operatorului ˆın baza specificat˘ a.
40
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE 3) Cazul bazei continue (se particularizeaz˘a rezultatele anterioere): Z | ϕ i = dα ϕ(α) | α i , ϕ(α) = h α | ϕ i , Z ˆˆ ˆ A | ϕ i = | ϕA i =⇒ Aα ϕ(α) = ϕA (α) = dα′ A(α, α′ ) ϕ(α′ )
(2.24) (2.25)
unde A(α, α′ ) = h α | Aˆ | α′ i. B. Definirea bazei coordonate Se va face ˆın mod similar cu definirea bazei proprii impuls-spin. i. Operatorii pentru coordonatele pozit¸ie-spin ale unei particule sunt: ( (a) ˆr(a) = x ˆ(a) , yˆ(a) , zˆ(a) [ operatori ˆın Hr ] (a) (a) (a) (a) ˆs(a) = sˆx , sˆy , sˆz [ operatori ˆın Hs ] Observat¸ii:
• ˆr(a) este operatorul (vectorial) conjugat canonic cu operatorul impuls (al aceleia¸si particule) ˆ (a) ; ca urmare, ˆr(a) ¸si p ˆ (a) sunt operatori incompatibili (ceea ce va face ca baza coordonate p ¸si baza proprie s˘a fie incompatibile, dar complementare); (a) (a) (a) • operatorii coordonate de spin sˆx , sˆy , sˆz nu comut˘a ˆıntre ei, astfel c˘ a ace¸stia sunt (a)
operatori incompatibili (se va alege operatorul sˆz pentru definirea st˘arii cu coordonata de spin specificat˘ a); (a) (a) este un sistem complet de observabile compatibile ˆın spat¸iul Hilbert 1-particul˘ a • ˆr , sˆz H(a) (deoarece ˆr(a) este un sistem complet de observabile compatibile ˆın subspat¸iul pozit¸iilor (a) (a) 1-particul˘ a Hr , iar sˆz este un sistem complet de observabile compatibile – de fapt este o (a) singur˘a observabil˘a – ˆın subspat¸iul spinului 1-particul˘ a Hr ); ca urmare, se va alege baza coordonatelor 1-particul˘ a ca sistemul vectorilor proprii ai operatorilor vector de pozit¸ie ¸si (a) proiect¸ia spinului pe axa Oz: ˆr(a) , sˆz .
ii. Ecuat¸iile cu valori proprii ale operatorilor bazei de reprezentare: • pentru operatorul vector de pozit¸ie: ˆr(a) r(a) = r(a) r(a) ,
(a)
( ˆın Hr ) ;
(2.26)
Observat¸ii:
– valorile proprii ale coordonatelor de pozit¸ie (x(a) , y (a) , z (a) ) sunt numere reale care variaz˘ a continuu; atunci valoarea proprie vectorial˘a r(a) ∈ D are spectru continuu; – setul vectorilor proprii ai coordonatelor de pozit¸ie r(a) r este o baz˘a pentru sub(a)
spat¸iul Hilbert uni-particul˘a Hr ; atunci sunt satisf˘acute relat¸iile de orto-normare ¸si de completitudine:
(a) (a) (a) (a) r1 r2 (2.27a) = δ 3 (r1 − r2 ) , Z
(2.27b) d3 r(a) r(a) r(a) = ˆ1(a) r ; D
• pentru operatorul proiect¸ie a spinului: (a) s sˆ(a) = ~s(a) s(a) , z
(a)
( ˆın Hs ) ;
(2.28)
Observat¸ii:
– valorile proprii ale proiect¸iei spinului constituie un spectru discret: s(a) ∈ {−s, . . . , s} (2s + 1 valori);
2.2. DESCRIEREA SISTEMULUI N -PARTICULE ˆIN CUANTIFICAREA I-A – setul vectorilor proprii ai coordonatelor de spin (a)
41
(a) s este o baz˘a pentru subs
spat¸iul Hilbert uni-particul˘a Hs ; atunci sunt satisf˘acute relat¸iile de orto-normare ¸si de completitudine:
(a) (a) = δs(a) ,s(a) , (2.29a) s1 s2 1
2
s X (a) (a) s s = ˆ1(a) s ;
(2.29b)
s(a) =−s
(a) sunt baze identice (cont¸in aceia¸si – seturile de vectori proprii de spin s(a) ¸si χσ (a) vectori, care sunt vectorii proprii ai operatorului proiect¸ie a spinului sˆz , iar valorile proprii sunt acelea¸si, adic˘a σ = s), dar ele sunt utilizate ˆın mod diferit; s(a) este (a) o baz˘ a de reprezentare, iar χσ este o baz˘a proprie (datorit˘ a rolului lor diferit au fost introduse cu notat¸ii diferite).
iii. Luˆand ˆın considerare c˘ a spat¸iul Hilbert total al unei particule este produsul spat¸iului Hilbert (a) (a) de pozit¸ii ¸si al spat¸iului Hilbert de spin (H(a) = Hr + Hs ) rezult˘a c˘ a baza coordonatelor pentru spat¸iului Hilbert total este produsul direct al bazelor sub-spat¸iilor componente (la fel ca ˆın cazul bazei proprii); atunci, un vector al bazei totale (pozit¸ii-spin 1-particul˘ a) este de forma (a) (a) (a) (a) (a) s x , = r , s ≡ r not
iar setul acestor vectori x(a) x este baza de reprezentare a spat¸iului Hilbert pentru st˘arile 1-particul˘ a. Ca urmare vectorii acestei baze satisfac relat¸iile de orto-normare ¸si de completitudine:
(a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) = δ 3 (r1 − r2 ) · δs(a) ,s(a) ≡ δ(x1 , x2 ) , (2.30a) s1 s2 = r1 r2 x1 x2 2 1 Z Z s X X (a) (a) (a) (a)
s x ˆ(a) ˆ(a) . (2.30b) s = ˆ1(a) x = d3 r(a) r(a) r(a) ⊗ r ⊗ 1s = 1
D
s(a) =−s
x(a)
C. Reprezentarea vectorilor 1. Vectorul de stare pentru particula “ a “ este: ψ (a) ∈ H(a) ; utilizˆand baza coordonate (definit˘a anterior) x(a) x , se descompune acest vector de stare ˆın raport cu aceast˘a baz˘a: Z Z s X (a) X (a) (a) (a)
(a) (a) (a) (a) (a) r , s ψ ; r , s ψ = d3 r(a) x x ψ = D
x(a)
(2.31a)
s(a) =−s
coeficientul de dezvoltare este funct¸ia de stare a particulei “ a “
ψ (a) (x(a) ) ≡ ψ (a) (r(a) , s(a) ) = r(a) , s(a) ψ (a) .
(2.31b)
Observat¸ii:
• vectorul de stare ψ (a) este reprezentat printr-o funct¸ie ψ (a) (x(a) );
• produsul scalar al funct¸iilor de reprezentare este egal cu produsul scalar al vectorilor corespondent¸i: Z Z X
(a) (a) (a) (a) X (a) (a) ∗ (a) (a) = ψ (a) φ(a) ; x φ ψ x ψ (x ) φ (x ) = ψ (a) , φ(a) ≡ x(a)
x(a)
(2.32) ultima egalitate s-a obt¸inut dup˘a utilizarea relat¸iei de completitudine a vectorilor bazei de coordonate (2.30b); (a)
• funct¸iile de stare sunt elemente ale unui spat¸iu Hilbert de funct¸ii ψ (a) (x(a) ) ∈ Hx spat¸iul Hilbert de reprezentare sau spat¸iul Hilbert algebric).
(numit
42
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE 2. Reprezentarea bazei proprii (baza proprie este baza impuls-spin) Z Z (a) X (a) (a) (a) X (a) (a) (a) ϕ ; ϕq (x ) x ≡ x x ϕq = q
(2.33)
x(a)
x(a)
unde coeficientul de dezvoltare (care este o funct¸ie de coordonatele pozit¸ie-spin x(a) ) este numit funct¸ia de baz˘ a proprie (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a)
(a) (a) (a) ). s χσ = uk (r(a) ) χ(a) = r , s ϕk,σ = r uk ϕ(a) ) = x(a) ϕ(a) σ (s q (x q (2.34) Observat¸ii (asupra funct¸iei de baz˘ a proprie 1-particul˘ a): • pentru particule identice uk (r) ¸si χσ (s) sunt funct¸ii identice pentru toate particulele, numai variabilele sunt specifice particulelor (r(a) , s(a) ); prin urmare, se va omite indicele particulei “ a “ la funct¸ii, adic˘a ˆın continuare se va utiliza notat¸ia: u(a) (r(a) ) = uk (r(a) ) k (a) (a) not (2.35) ϕ(a) (x ) = ϕ (x ) −→ q q (a) not χ(a) ) = χσ (s(a) ) σ (s not
• explicitarea funct¸iilor proprii (spat¸ial˘a ¸si spinorial˘ a):
1 1 e ik·r = √ e ik·r 3/2 V R (2π) V χσ (s) = hs|χσ i = δs,σ (spinor) . uk (r) = hr|uk i =3
(und˘a plan˘ a) ;
(2.36) (2.37)
Funct¸iile spat¸iale uk (r) sunt funct¸ile proprii ale impulsului particulei (unde plane); ˆın cazul cˆ and spat¸iul este nelimitat (D = R3 ) atunci aceste funct¸ii au norma infinit˘a, iar constanta de normare se alege ˆın sens Dirac, ceea ce produce factorul (2π)3/2 ; cˆ and spat¸iul este limitat la domeniul finit de volum V atunci funct ¸ iile proprii au norma finit˘ a , astfel ˆıncˆ at constanta √ de normare se alege V . D. Reprezentarea operatorilor Se va discuta reprezentarea operatorilor de tip uni-particul˘a ¸si de tip bi-particul˘a. 1) Operatori uni-particul˘ a Se consider˘ a un operator asociat cu particula “ a “, notat A(a) ¸si care act¸ioneaz˘ a asupra vectorilor din spat¸iul Hilbert H(a) , ˆın concordant¸˘a cu prezentarea f˘acut˘ a la ˆınceputul acestei sect¸iuni. Conform definit¸iei, operatorul A(a) are act¸iunea de tipul (a) (2.38) Aˆ(a) ψ (a) = ψA = φ(a) .
Pentru a obt¸ine reprezentantul operatorului ˆın baza coordonate pozit¸ie-spin, se efectueaz˘a descompunerile vectorilor din relat¸ia precedent˘ a ˆın aceast˘a baz˘a: Z (a) X (a) (a) (a) ψ , (2.39a) ψ (x ) x = (a)
x Z (a) X (a) (a) (a) φ ; φ (x ) x =
(2.39b)
x(a)
prin definit¸ie, reprezentantul algebric (ˆın baza coordonate) a operatorului abstract, este corespondent¸a ˆıntre funct¸iile care reprezint˘ a vectorii (din relat¸ia operatorial˘ a): (a) ˆ (a) (a) Aˆ(a) (x ) = ψA (x(a) ) = φ(a) (x(a) ) . x ψ
ˆ(a) Pe baza relat¸iilor (2.39) – (2.40) se deduce act¸iunea operatorului algebric Aˆx : Z
X (a) (a) (a) (a) (a) ˆ x Aˆ x x ψ ; Aˆx(a) ψ (a) (x(a) ) = φ(a) (x(a) ) = x(a) Aˆ(a) ψ (a) = x(a)
(2.40)
(2.41)
2.2. DESCRIEREA SISTEMULUI N -PARTICULE ˆIN CUANTIFICAREA I-A utilizˆand numai notat¸ii funct¸ionale, act¸iunea operatorului se exprim˘ a ˆın forma Z X (a) (a) ˆ A(a) (x(a) , x1 ) ψ (a) (x1 ) , Aˆx(a) ψ (a) (x(a) ) =
43
(2.42)
(a) x1
ˆ(a) adic˘a: operatorului abstract Aˆ(a) ˆıi corespunde operatorul algebric (funct¸ional) Aˆx care este un operator integral (sau matricial), avˆand nucleul egal cu matricea operatorului abstract ˆın baza coordonate: (a)
(a) . (2.43) A(a) (x(a) , x1 ) = x(a) Aˆ(a) x1
Observat¸ii asupra operatorilor algebrici uni-particul˘a:
• explicitare ˆın baza pozit¸ii-spin (se omite indicele particulei a ): ˆ Aˆr,s ψ(r, s) =
Z
D
d3 r′
s X
h r, s | Aˆ | r′ , s′ i ψ(r′ , s′ ) ;
(2.44)
s′ =−s
ˆ(a) ˆ(a) • ψ (a) (x(a) ) ∈ Hx ¸si Aˆx ψ (a) (x(a) ) = φ(a) (x(a) ) ∈ Hx , adic˘a Aˆx este un operator definit ˆın spat¸iul Hilbert de reprezentare Hx (care este un spat¸iu de funct¸ii); • elementele de matrice ale operatorului ˆın baza proprie se pot exprima prin elementele funct¸ionale (funct¸ii ¸si operatori funct¸ionali de reprezentare) (pentru simplitate se omite, indicele particulei a) ˆ q′ i = hϕq |A|ϕ
Z X Z X x
x′
ˆ ′ ihx′ |ϕq ′ i = hϕq |xihx|A|x
Z X x
=
Z X x
ϕ∗q (x)
Z X x′
A(x, x′ ) ϕq′ (x′ )
ˆ ˆ ϕ∗q (x) Aˆx ϕq′ (x) = ϕq , Aˆ ϕq′ ; (2.45)
[ penultima egalitate s-a obt¸inut prin utilizarea definit¸iei operatorului algebric (ca operator integral); ultima egalitate exprim˘ a produsul scalar ˆın spat¸iul funct¸iilor dependente de coordonatele de pozit¸ie ¸si spin ]. Cazuri particulare. i. Operator independent de spin (adic˘a operatorul are act¸iune numai asupra coordonatelor de ˆ ˆ ˆ ˆ pozit¸ie): Aˆr,s = Aˆr ⊗ ˆ 1s (ˆ 1s este operatorul funct¸ional unitate ˆın spat¸iul spinului). Exemple: • Vectorul de pozit¸ie ˆr ⇒ hr′ | ˆr | r′′ i = δ(r′ − r′′ ) (operator integral cu nucleu singular); atunci operatorul funct¸ional este ˆˆr = r (operator multiplicativ). ~ ∇ δ(r′ − r′′ ) (operator integral cu nucleu singular); atunci i ~ ˆ ˆ = ∇ (operator diferent¸ial). operatorul funct¸ional este p i
ˆ ⇒ hr′ | p ˆ | r′′ i = • Impulsul p
ˆ ) (funct¸ie de operatorii vector de pozit¸ie ¸si • Observabil˘a dinamic˘ a cu analog clasic Aˆ = A(ˆr, p ˆ impuls); atunci, operatorul funct¸ional este de forma Aˆr = A(r, ~i ∇) (operator multiplicativ ¸si diferent¸ial). ii. Operator de spin (independent de coordonatele de pozit¸ie): ˆ ˆs (unde ˆ ˆr ⊗ Aˆ ˆ Aˆr,s = ˆ 1 1r este operatorul funct¸ional unitate ˆın spat¸iul pozit¸iilor). ˆ Observat¸ie: Aˆs este un operator matricial, pentru c˘ a sub-spat¸iul de spin este discret.
44
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE
2. Operatori bi-particul˘ a Se consider˘ a un operator bi-particul˘a, notat Bˆ(ab) , care act¸ioneaz˘ a ˆın perechea de spat¸ii Hilbert uni-particul˘ a H(a) ¸si H(b) : (ab) (ab) (2.46) Bˆ(ab) ψ (ab) = ψB , unde ψ (ab) , φ(ab) ∈ H(a) ⊗ H(b) . ≡ φ
ˆIn spat¸iul Hilbert produs direct H(a) ⊗ H(b) baza coordonate pozit¸ii-spini este x(a) , x(b) = (a) (b) x x ; ca urmare, se efectueaz˘a descompunerile vectorilor bi-particul˘a ˆın raport cu aceast˘a baz˘ a: Z Z (ab) X X (ab) (a) (b) (a) (b) x ,x ψ ψ x ,x , (2.47a) = (b)
(a)
x Z xZ (ab) X X (ab) (a) (b) (a) (b) x ,x φ ; x ,x φ =
(2.47b)
x(a) x(b)
atunci, reprezentantul algebric (operatorul funct¸ional) al operatorului bi-particul˘a are urm˘atoarea act¸iune (prin definit¸ie): ˆ(a,b) Bˆx(a) ,x(b) ψ (ab) x(a) , x(b) = φ(ab) x(a) , x(b) .
(2.48)
Act¸iunea explicit˘ a a operatorului algebric se obt¸ine prin metoda similar˘ a cu cea utilizat˘a pentru operatorul uni-particul˘ a:
ˆ(a,b) Bˆx(a) ,x(b) ψ (ab) x(a) , x(b) = x(a) , x(b) φ(ab)
= x(a) , x(b) Bˆ(ab) ψ (ab) Z Z X X
(a) (b) (ab) (a) (b) (a) (b) (ab) x ,x , x1 , x1 ψ x , x Bˆ = 1 1 (a)
x1
(b)
x1
ˆ(a,b) astfel c˘ a Bˆx(a) ,x(b) are urm˘atoarea act¸iune asupra unei funct¸ii bi-particule:
Z Z X X (a) (b) (ab) (a) (b) (ab) (a) (b) ˆ(a,b) x ,x x1 , x1 ; ψ x , x Bˆ Bˆx(a) ,x(b) ψ (ab) x(a) , x(b) = 1 1 (a)
x1
(2.49)
(b)
x1
adic˘a: reprezentatntul algebric al unui operator bi-particul˘a (ˆın reprezentarea coordonatelor de pozit¸ie-spin) este un operator dublu integral (care act¸ioneaz˘a asupra funct¸iilor de 2 variabile), avˆand nucleul egal cu matricea operatorului ˆın baza coordonatelor de pozit¸ie-spin (rezultatul este generalizarea cazului uni-particul˘ a). Explicitare (se noteaz˘ a ˆın mod explicit coordonatele de pozit¸ie ¸si spin, dar se omit indicii particulelor a ¸si b): ˆ Bˆr,s;r′ ,s′ ψ(r, s; r′ , s′ ) =
Z
d3 r1 D
Z s X
s1 =−s
d3 r′1
D
s X
h r, s; r′ , s′ | Bˆ | r1 , s1 ; r′1 , s′1 i ψ(r1 , s1 ; r′1 , s′1 ) .
s′1 =−s
(2.50) Cazul particular interesant, care apare ˆın cazul sistemelor ne-relativiste, este atunci cˆ and operatorii bi-particul˘a sunt operatori dependent¸i de coordonatele de pozit¸ie (cu eventual˘a dependent¸˘a de spini), dar sunt independent¸i de impulsuri: Bˆ(ab) = R(ˆr(a) , ˆr(b) ) · S(ˆs(a) , ˆs(b) ) ; atunci, matricea operatorului ˆın baza coordonate de pozit¸ie-spini este de forma urm˘atoare ˆ r, ˆr′ ) | r1 , r′ i hs, s′ | S(ˆ ˆ s, ˆs′ ) |s1 , s′ i h r, s; r′ , s′ | Bˆ | r1 , s1 ; r′1 , s′1 i = h r, r′ | R(ˆ 1 1 = δ 3 (r − r1 ) δ 3 (r′ − r′1 ) R(r, r′ ) Ss,s1 ;s′ ,s′1 ;
2.2. DESCRIEREA SISTEMULUI N -PARTICULE ˆIN CUANTIFICAREA I-A
45
act¸iunea operatorului se obt¸ine prin substituirea expresiei particulare a elementului de matrice ˆın expresia general˘ a (2.50) ¸si dup˘a efectuarea integralelor simple se obt¸ine s X ˆ Bˆr,s;r′ ,s′ ψ(r, s; r′ , s′ ) =
s X
s1 =−s s′1 =−s
R(r, r′ ) Ss,s1 ;s′ ,s′1 ψ(r1 , s1 ; r′1 , s′1 ) ,
ˆ adic˘a Bˆr,s;r′ ,s′ este un operator multiplicativ ˆın raport cu coordonatele de pozit¸ie ¸si operator matricial ˆın raport cu coordonatele de spin. (a) (b) ˆIn cazul special, cˆ and operatorul nu depinde de spini, adic˘a S(ˆs(a) , ˆs(b) ) = ˆ1s ⊗ ˆ1s , matricea de spin se simplific˘ a la cazul banal ˆ s, ˆs′ ) |s1 , s′ i = δs,s1 δs′ ,s′ , Ss,s1 ;s′ ,s′1 ≡ hs, s′ | S(ˆ 1 1 astfel ˆıncˆ at operatorul bi-particul˘a se reduce la un operator multiplicativ de coordonate: ˆ Bˆr,s;r′ ,s′ ψ(r, s; r′ , s′ ) = R(r, r′ ) ψ(r1 , s1 ; r′1 , s′1 ) . Observat¸ie: din punct de vedere fizic, operatorii bi-particul˘a interesant¸i corespund energiilor de interact¸ie dintre perechi de particule; ˆın cazul nerelativist interact¸iile sunt instantanee, ceea ce implic˘ a independent¸a de impulsuri a energiei de interact¸ie.
2.2.5
Starea sistemului multi-particule
Se consider˘ a init¸ial un sistem constituit din N particule identice ¸si independente (f˘ ar˘a interact¸ii mutuale). Situat¸ia considerat˘ a implic˘ a urm˘atoarele consecint¸e importante: i. deoarece particulele sistemului sunt independente, atunci spat¸iul Hilbert al st˘arilor sistemului total este decompozabil ˆın sub-spat¸ii Hilbert uni-particul˘a HN =
N M
H(a) ;
a=1
ii. deoarece particulele sunt identice rezult˘a c˘ a • sub-spat¸iile Hilbert uni-particul˘a H(a) au structur˘ a identic˘ a; • tipurile de st˘ ari proprii uni-particul˘a (numite ¸si moduri uni-particul˘ a ) sunt acelea¸si, pentru toate particulele, ceea ce implic˘ a faptul c˘ a (a) a) vectorul propriu ϕq depinde de particula a numai prin spat¸iul de definit¸ie; b) funct¸ia proprie ϕq (x(a) ) depinde de particula a numai prin variabila x(a) .
Datorit˘ a factoriz˘ arii spat¸iului Hilbert total ˆın sub-spat¸ii uni-particule, bazele spat¸iului total se pot alege ca produse directe de baze uni-particul˘a (adic˘a fiecare vector al bazei spat¸iului total este produs direct de vectori ai bazelor uni-particul˘a).
a) Baza proprie ˆın spat¸iul total HN : elementele bazei sunt produse directe de vectori proprii (impuls-spin) uni-particul˘ a: ) q 1 , . . . , q N = ϕ(1) ; (2.51) · · · ϕ(N qN q1
setul tuturor acestor vectori proprii constituie a a sistemului N -particule (baz˘ a baza proprie liber˘ de st˘ari proprii impuls-spin): q 1 , . . . , q N {q ,...,q } . 1 N Prin utilizarea propriet˘ a¸tilor de orto-normare ¸si completitudine ale bazelor uni-particule, cont¸inute ˆın relat¸iile (2.16), se obt¸in ˆın mod direct relat¸iile de orto-normare ¸si completitudine ale bazei proprii totale:
q 1 , . . . , q N q ′1 , . . . , q ′N = δ(q 1 , q ′1 ) · · · δ(q N , q ′N ) , (2.52a) Z Z X X
q 1 , . . . , q N q 1 , . . . , q N = ˆ1N , ··· (2.52b) q1
qN
unde ˆ 1N = ˆ 1(1) ⊗ · · · ⊗ ˆ 1(N ) este operatorul unitate ˆın spat¸iul Hilbert total HN .
46
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE
b) Baza de reprezentare ˆın spat¸iul total HN (coordonate de pozit¸ii ¸si spini): elementele bazei sunt produse directe de vectori ai bazei coordonate (pozit¸ie-spin) uni-particul˘a: (1) x , . . . , x(N ) = x(1) · · · x(N ) ; (2.53) setul tuturor acestor vectori constituie baza de reprezentare a sistemului N -particule (pozit¸ii spini): x(1) , . . . , x(N ) {x(1) ,...,x(N ) } . Prin utilizarea propriet˘ a¸tilor de orto-normare ¸si completitudine ale bazelor uni-particule, cont¸inute ˆın relat¸iile (2.30), se obt¸in ˆın mod direct relat¸iile de orto-normare ¸si completitudine ale bazei de reprezentare totale: (N ) (1) (N ) (N ) (1) (N ) x(1) xb , . . . , xb = δ(x(1) − xb ) , a , . . . , xa a − xb ) · · · δ(xa Z Z X X
x(1) , . . . , x(N ) x(1) , . . . , x(N ) = ˆ1N . ···
x(1)
(2.54a) (2.54b)
x(N )
c) Funct¸ii de stare ˆIn cazul mai general, cˆ and sistemul cont¸ine particule identice, dar cu interact¸ii mutuale, se consider˘ a c˘ a st˘ arile acestui sistem sunt caracterizate de vectori definit¸i ˆın acela¸si spat¸iu Hilbert HN ca ¸si pentru sistemul f˘ ar˘ a interact¸ii; altfel spus, se consider˘ a cˆ a interact¸iile mutuale nu introduc grade de libertate suplimentare. Atunci baza proprie liber˘a q 1 , . . . , q N {q ,...,q } ¸si baza de 1 N reprezentare x(1) , . . . , x(N ) ale sistemului de particule independente se pot utiliza (1) (N ) {x
}
,...,x
¸si pentru sistemul cu interact¸ii 1 . Se descompune vectorul de stare a sistemului total |ΨN (t)i ˆın baza proprie liber˘a (a sistemului f˘ar˘a interact¸ii) q 1 , . . . , q N (q ,...,q ) prin utilizarea formal˘a a relat¸iei de completitudine (2.52) 1
N
|ΨN (t)i =
Z X
···
q1
Z X
cq 1 ,...,qN (t) |q 1 , . . . , qN i ,
(2.55)
qN
unde coeficientul Fourier generalizat este cq1 ,...,qN (t) = hq 1 , . . . , q N |ΨN (t)i. ˆIn mod analog se descompune vectorul de stare a sistemului total |ΨN (t)i ˆın baza de repre zentare (a sistemului f˘ ar˘ a interact¸ii) q 1 , . . . , q N {q ,...,q prin utilizarea formal˘a a relat¸iei de }
1
completitudine (2.54)
|ΨN (t)i =
Z X
···
Z X
x(N )
x(1)
ΨN (x(1) , . . . , x(N ) ) x(1) , . . . , x(N ) ,
unde ΨN (x(1) , . . . , x(N ) ) = x(1) , . . . , x(N ) ΨN (t) este funct¸ia de stare a sistemului (= proiect¸ia vectorului de stare ˆın baza coordonate de pozict¸ie ¸si spin). Dac˘ a se utilizeaz˘ a descompunerea anterioar˘ a a vectorului de stare pe baza proprie liber˘a, descris˘ a de relat¸ia (2.55), se obt¸ine pentru funct¸ia de stare a sistemului expresia urm˘atoare:
ΨN (x(1) , . . . , x(N ) ; t) = x(1) , . . . , x(N ) ΨN (t) Z Z nX X o
cq1 ,...,qN (t) q 1 , . . . , q N = x(1) , . . . , x(N ) ··· =
Z X q1
···
Z X qN
qN
q1
cq 1 ,...,qN (t) x(1) , . . . , x(N ) q 1 , . . . , q N ;
(2.56)
dar produsul scalar, dintre un vector al bazei proprii libere ¸si un vector al bazei de reprezentare pentru sistemul total, se factorizeaz˘ a ˆın produse scalare pe subspat¸iile uni-particul˘a (conform 1 Evident c˘ a ˆın acest caz baza proprie liber˘ a (a sistemului f˘ ar˘ a interact¸ie) nu mai cont¸ine vectori proprii ai unei observabile pentru sistemul cu interact¸ii.
2.2. DESCRIEREA SISTEMULUI N -PARTICULE ˆIN CUANTIFICAREA I-A
47
definit¸iilor vectorilor celor dou˘a baze ale sistemului total):
(1) n (1) (N ) on o ϕq · · · ϕq x , . . . , x(N ) q 1 , . . . , q N = x ··· x N 1 (N )
(1) ϕqN = x ϕq 1 · · · x = ϕq1 (x(1) ) · · · ϕq N (x(N ) ) ,
unde s-a facut apel la definit¸ia funct¸iilor proprii uni-particul˘a, conform relat¸iilor (2.34) – (2.35). Prin ˆınlocuirea rezultatului precedent ˆın expresia (2.56) se obt¸ine exprimarea funct¸iei de stare a sistemului N -particule ˆın termeni de funct¸ii proprii (impuls-spin) uni-particul˘a: Z Z X X (2.57) cq1 ,...,qN (t) ϕq1 (x(1) ) · · · ϕqN (x(N ) ) . ··· ΨN (x(1) , . . . , x(N ) ; t) = qN
q1
Este necesar s˘a se observe c˘ a, ˆın conformitate cu Principiului indiscernabilit˘ a¸tii particulelor identice, funct¸ia de stare a sistemului N -particule are propriet˘ a¸ti de simetrie la operat¸ii de permut˘ari ale particulelor; exist˘a 2 situat¸ii, determinate de tipul particulelor: 1. bosoni (particule cu spin ˆıntreg) – cˆ and funct¸ia de stare ΨN (x(1) , . . . , x(N ) ; t) este simetric˘ a la permut˘ari ale particulelor; 2. fermioni (particule cu spin semi-ˆıntreg) – cˆ and funct¸ia de stare ΨN (x(1) , . . . , x(N ) ; t) este anti-simetric˘ a la permut˘ari ale particulelor. Din examinare expresiei (2.57) a funct¸iei de stare, se observ˘a c˘ a o permutare a particulelor (de exemplu: a ↔ b) este echivalent˘ a cu o permutare a indicilor proprii (impuls-spin), adic˘a q a ↔ q b ; ca urmare a condit¸iei de simetrie (anti-simetrie) impus˘ a funct¸iei de stare, coeficient¸ii Fourier trebuie s˘a fie – simetrici la permut˘ari ale indicilor, pentru sisteme bosonice, – anti-simetrici la permut˘ari ale indicilor, pentru sisteme fermionice. Ca un caz particular, se va considera un sistem de particule independente (f˘ ar˘a interact¸ii) aflat ˆıntr-o stare proprie (impulsuri-spini) ˆın care cele N particule se afl˘a fiecare int-o stare proprie; atunci setul st˘ arilor proprii este {q1 , q 2 , . . . , q N }. Datorit˘ a identit˘ a¸tii particulelor, nu se poate considera c˘ a o anumit˘ a particul˘ a sa afl˘a ˆınt-o anumit˘a stare, ci trebuie combinate toate posibilit˘ a¸tile ˆın care fiecare particul˘ a poate ocupa o anumit˘a stare, adic˘a trebuie s˘a se construiasc˘a funct¸ia de stare a sistemului, de tip (2.57), formˆandu-se toate permut˘arile ˆıntre cele N particule ale sistemului; ca urmare, funct¸ia de stare proprie a sistemului considerat (f˘ ar˘a interact¸ii mutuale) este de forma (se omite notarea variabilei temporale, deoarece s-a considerat o stare proprie a sistemului) Ψq1 ,q2 ,...,qN (x(1) , . . . , x(N ) ) =
N! X π
cqπ1 ,...,qπN · ϕqπ1 (x(1) ) · · · ϕqπ (x(N ) ) . N
unde π este o permutare a setului 1, 2, . . . , N (num˘arul de permut˘ari este NN = N !)
1 π: π1
2 π2
... N . . . πN
1. Cazul bosonic: coeficient¸ii cqπ1 ,...,qπN sunt simetrici la permut˘ari ale indicilor ¸si egali, astfel c˘ a se obt¸ine funct¸ia de stare simetrizat˘ a: N!
X 1 (1) ϕq π1 (x(1) ) · · · ϕq π (x(N ) ) , Ψ(S) , . . . , x(N ) ) = p Q q 1 ,q 2 ,...,qN (x N N ! α (na !) π
unde nα este num˘ arul de aparit¸ii a st˘arii 1-particul˘ a ϕq α (x) ˆın setul de st˘ari ϕq 1 (x), . . . , ϕq N (x) ; q Y factorul N ! (na !) rezult˘a din condit¸ia ca funct¸ia de stare proprie s˘a fie normat˘a la unitate. α
48
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE Demonstrat¸ie: (S) Ψ(S) q 1 ,...,qN , Ψq1 ,...,q N =
N!
1 Q
α (na !)
Z N X N! n Y N! X X π
π′
a=1 q
|
a
ϕ∗qπa (x(a) ) ϕqπ′ (x(a) ) a
{z
= δq π ,q ′ a π
a
}
o
;
dar sumarea peste permut˘ arile π ′ produce termeni egali, deoarece fiecare tip de stare ϕ∗qα apare N! Y X nα ! ; apoi sumarea peste permut˘ arile δqπ1 ,qπ′ · · · q πN , q π′ = de nα ori, astfel c˘ a rezult˘ a: π′
N
1
α
π produce N ! termeni egali, astfel c˘ a funct¸ia de stare simetrizat˘ a este normat˘ a (S) Ψq(S) , Ψ = 1 . q1 ,...,q N 1 ,...,q N
2. Cazul fermionic: coeficient¸ii cqπ1 ,...,qπN sunt anti-simetrici la permut˘ari ale indicilor (adic˘a pot fi egali sau s˘a difere prin semn), astfel c˘ a se obt¸ine N!
1 X Ψq1 ,q 2 ,...,qN (x(1) , . . . , x(N ) ) = √ (−1)σπ ϕq π1 (x(1) ) · · · ϕq π (x(N ) ) , N N! π
unde σπ este paritatea permut˘arii π; ˆın acest caz fiecare stare uni-particul˘a apare celQmult o √ singur˘a dat˘ a, astfel c˘ a factorul de normare este simplu N ! (adic˘a nu mai apare termenul α nα !). Se observ˘ a c˘ a ˆın cazul fermionic suma peste permut˘ari coincide cu definit¸ia determinantului din algebra liniar˘ a; ca urmare, funct¸ia de stare proprie fermionic˘a se poate re-scrie ˆın forma ϕq (x(1) ) ϕq (x(2) ) . . . ϕq (x(N ) ) 1 1 1 (1) (2) (N ) 1 ϕq2 (x ) ϕq2 (x ) . . . ϕq2 (x ) (1) (N ) Ψq 1 ,q2 ,...,qN (x , . . . , x ) = √ .. .. .. N ! . . ... . ϕq (x(1) ) ϕq (x(2) ) . . . ϕq (x(N ) ) N N N
numit determinant Slater. Rezultatul precedent arat˘a c˘ a sistemul nu poate cont¸ine mai multe particule aflate ˆın aceeia¸si stare proprie, deoarece dac˘a mai mult¸i indici q sunt egali, atunci determinantul Slater cont¸ine mai multe linii identice ¸si astfel are valoarea nul˘a; aceast˘a proprietate este ˆın concordant¸˘ a cu principiul de excluziune Pauli. d) Concluzii asupra metodei Cuantific˘arii I-a: Formalismul standard al mecanicii cuantice (numit formalismul Cuantific˘ arii I-a) este convenabil numai pentru descrierea st˘ arilor unui sistem cuantic constituit dintr-un num˘ar mic de particule (identice sau diferite); totu¸si pentru sisteme constituite din multe particule identice, acest formalism devine foarte complicat din punct de vedere matematic (prin operat¸iile de simetrizare/anti-simetrizare a funct¸iei de stare), iar pe de alt˘ a parte acest formalism este excesiv de detaliat (deoarece ofer˘ a informat¸ii care nu sunt interesante). Datorit˘ a identit˘ a¸tii fizice a st˘arilor care difer˘a prin permut˘ari ale particulelor, este convenabil s˘a se renunt¸e la reprezentarea coordonatelor de pozit¸ie-spin pentru interpretarea fizic˘a a teoriei, adic˘a s˘ a se renunt¸e la utilizarea funct¸iilor de stare. Ca urmare a observat¸iilor anterioare, rezult˘a necesitatea reformul˘arii descrierilor st˘arilor ¸si observabilelor sistemului cuantic, astfel ˆıncˆ at i. se includ˘ a ˆın mod automat efectele identit˘ a¸tii particulelor (exprimate anterior prin propriet˘ a¸ti de simetrie ale funct¸iei de stare), ii. s˘a se descrie st˘ arile ¸si observabilele sistemului numai utilizˆand informat¸ia util˘a. Formalismul mecanicii cuantice adptat sistemelor constituite din multe particule identice este numit formalismul Cuantific˘ arii II ; ˆın acest caz descrierea sistemului se face prin specificarea : • tipurilor de st˘ ari proprii uniparticul˘ a posibile (numite moduri) |ϕq i • numerele de particule pe fiecare mod nq (numite numere de ocupare).
Prezentarea detaliat˘ a a formalismului Cuantific˘arii II necesit˘a un spat¸iu de prezentare considerabil, astfel c˘ a se vor ar˘ ata, ˆın sect¸iunea urm˘atoare, numai principalele rezultate, f˘ar˘a o argumentare riguroas˘a.
2.3. DESCRIEREA SISTEMULUI MANY-BODY ˆIN CUANTIFICAREA II
2.3
49
Descrierea sistemului many-body ˆın Cuantificarea II
A¸sa cum s-a specificat anterior, se vor prezenta principalele rezultate, cu demonstrat¸ii simplificate, dar se vor discuta mai detaliat aspecte aplicative importante.
2.3.1
Formalismul numerelor de ocupare
Se consider˘ a init¸ial un sistem constituit din particule identice, f˘ar˘a interact¸ii mutuale; ca urmare se pot defini ¸si determina st˘arile proprii uni-particul˘a |ϕq i.2 Pe baza discut¸iei f˘ acute anterior, rezult˘a c˘ a principiul identit˘ a¸tii particulelor cuantice introduce dificult˘ a¸ti matematice considerabile cˆ and se aplic˘ a metoda standard a mecanicii cuantice (numit˘ a Cuantificarea I) la sisteme constituite din particule identice; de fapt imposibilitatea fizic˘a de a face distinct¸ie ˆıntre st˘ ari descrise de vectori care difer˘a numai prin permut˘ari ale particulelor sistemului, conduce la concluzia c˘ a este suficient s˘a se cunoasc˘a numai urm˘atoarele date: 1. Care sunt st˘ arile uni-particul˘ a posibile ale sistemului (acestea au fost definite anterior f˘ar˘a s˘a fie necesar s˘a se ia ˆın considerare existent¸a principiului de identitate); aceste st˘ari uniparticul˘ a sunt caracterizate prin indicele impuls-spin q = (k, σ). 2. Cˆ ate particule exist˘a pe fiecare stare uni-particul˘a; num˘arul de particule care au starea q se nume¸ste num˘ ar de ocupare a st˘arii uni-particul˘a, notat prin nq . Prin urmare, nu are important¸˘ a care particul˘ a se afl˘a pe o anumit˘a stare uni-particul˘a, ci numai cˆ ate particule sunt pe aceast˘a stare, f˘ar˘a s˘a se specifice care sunt aceste particule (deoarece particulele sunt absolut identice ¸si indiscernabile). Datorit˘ a propriet˘ a¸tilor de simetrie/anti-simetrie ale vectorilor de stare la permut˘ari ale particulelor, este necesar s˘a se defineasc˘ a o ordonare a modurilor uni-particul˘a {q}. Este important s˘a se observe c˘ a mult¸imea st˘ arilor proprii uniparticul˘ a {|ϕq i}q este ˆın general o mult¸ime infinit˘a, eventual continu˘ a (part¸ial sau total). Totu¸si mult¸imea indicilor {q} se poate ordona, astfel ˆıncˆ at se va utiliza scrierea simbolic˘ a pentru ordonarea indicilor : {q} −→ {qα , q β , . . . , q ω } . ord
Prin urmare, starea sistemului liber (f˘ ar˘a interact a prin setul ¸ii mutuale) este caracterizat˘ numerelor de ocupare pe fiecare mod uni-particul˘a: nq q .
a. Baza numerelor de ocupare Conform discut¸iei anterioare, o stare a sistemului multi-particule este caracterizat˘ a complet prin numerele de ocupare pe toate st˘ arile uni-particul˘a posibile, iar vectorul corespunz˘ ator acestei st˘ari este notat prin ord O {n} = |nq , nq , . . . , nq i = |nq i . (2.58) ω β α q
Observat¸ii:
• Se vor utiliza urm˘atoarele notat¸ii condensate: {n} = nqα , nqβ , . . . , nqω un set de numere de ocupare (pe toate modurile uni-particul˘a); n = ansamblul tuturor seturilor de numere de ocupare posibile.
• Valorile posibile pentru numerele de ocupare pe un mod uni-particul˘a sunt: nq = 0, 1, 2, . . . , ∞ (pentru bosoni), nq = 0, 1 (pentru fermioni).
• Starea de vid este descris˘ a de vectorul | Oi = | 0qα , 0qβ , . . . , 0qω i = |{nq = 0}i;
(aceasta este starea sistemului f˘ar˘a nici o particul˘ a pe fiecare mod uni-particul˘a; adic˘a toate numerele de ocupare sunt nule: nq = 0 , ∀ q). Observat¸ie: starea de vid nu este vectorul nul al spat¸iului Hilbert | Oi 6= |∅i.
2 Ulterior se va introduce interact ¸ia mutual˘ a ˆıntre particule; atunci, st˘ arile proprii uni-particul˘ a libere nu mai genereaz˘ a st˘ ari proprii ale istemului cu interact¸ii, dar aceste st˘ ari uni-particulc˘ a libere r˘ amˆ an o baz˘ a de st˘ ari.
50
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE
Spat¸iul generat de setul tuturor vectorilor bazei numerelor de ocupare |{n}i n are propriet˘ a¸tile urm˘atoare. P • Vectorul |{n}i implic˘ a un sistem cu N = q nq particule. P • Setul de vectori cu suma numerelor de ocupare constant˘ a q nq = N este o baz˘a ˆın spat¸iul Hilbert al st˘ arilor sistemului cu N particule (deoarece fiecare vector |{n}i este un vector propriu al sistemului N -particule, iar setul tuturor acestor vectori este un sistem complet de vectori ˆın spat¸iul HN ). • Setul de vectori |{n}i n implic˘ a st˘ari ale sistemelor cu toate numerele de particule posibile: N = 0, 1, 2, . . . , ∞; prin urmare, spat¸iul generat de acest set total este reuniunea spat¸iilor Hilbert ale st˘ arilor cu toate numerele de particule posibile, numit spat¸iul Fock (notat F): F=
∞ M
HN ;
N =0
este important s˘a se observe c˘ a spat¸iul Fock fiind suma direct˘a de spat¸ii Hilbert ale sistemelor cu toate numerele de particule posibile, rezult˘a c˘ a spat¸iul Fock are o structur˘ a de spat¸iu Hilbert. Mai exact, se va utiliza spat¸iul Fock simetric F(S) pentru bosoni ¸si spat¸iul Fock anti-simetric F(A) pentru fermioni. • Conform rezultatelor anterioare, |{n}i n este o baz˘a a spat¸iului Fock F, iar relat¸iile de ortonornare ¸si completitudine au urm˘atoarele forme: Y h{n}|{n}i = δ{n},{n′ } ≡ δnq ,n′q , (2.59a) q
X {n}
|{n}ih{n}| = ˆ1F =
∞ M
ˆ1N .
(2.59b)
N =0
• Se observ˘ a c˘ a spat¸iul Fock este decompozabil ˆın subspat¸ii Fock corespunz˘ atoare tuturor modurilor uni-particul˘ a: M F= Fq q
unde Fq este subspat¸iul Fock asociat modului q (acesta nu este un spat¸iu Hilbert uniparticul˘ a, ci poate cont¸ine mai multe particule, dar toate aflˆandu-se ˆın starea q).
Se observ˘ a c˘ a setul tuturor vectorilor numerelor de ocupare pe modul uni-particul˘a q, adic˘a {|nq i} este o baz˘ a ˆın spat¸iul Fock Fq , care este asociat modului q; atunci sunt valabile urm˘atoarele relat¸ii de orto-normare ¸si de completitudine: X nq
hnq |n′q i = δnq ,n′q ,
|nq ihnq | = ˆ1q .
(2.60a) (2.60b)
• Utilizarea spat¸iului Fock ¸si a bazei numerelor de ocupare pentru a descrie st˘arile cuantice ale unui sistem cu num˘ arul de particule variabil este numit formalismul numerelor de ocupare, care este o variant˘ a a Metodei Cuantific˘ arii II. • Formalismul numerelor de ocupare poate fi aplicat pentru a descrie st˘arile unui sistem cu N particule P (N este fixat); totu¸si, ˆın acest caz apar dificult˘a¸ti matematice, generate de condit¸ia q nq = N (care este o restrict¸ie asupra seturilor de numere de ocupare). ˆIn acest caz setul {n}i P nq =N este o baz˘a a spat¸iului Hilbert HN , satisf˘acˆand urm˘atoarea q
relat¸ie de completitudine
(
X′
P {n} q nq =N )
|{n}ih{n}| = ˆ1N ,
(relat¸ia de orto-normare r˘amˆ ane evident cea general˘a).
(2.61)
2.3. DESCRIEREA SISTEMULUI MANY-BODY ˆIN CUANTIFICAREA II
51
b. Descompunerea vectorului de stare Prin utilizarea bazei numerelor de ocupare pentru spat¸iul Hilbert HN , vectorul de stare |ΨN (t)i se descompune astfel: X′ |ΨN (t)i = f ({n}; t) |{n}i , (2.62) (
P {n} q nq =N )
unde f ({n}; t) = h{n}|ΨN (t)i este reprezentantul vectorului de stare ˆın baza numerelor de ocupare (coeficientul Fourier generalizat). Este necesar s˘a se ment¸ioneze c˘ a este posibil s˘a se deduc˘ a relat¸iile ˆıntre reprezentarea coordonate (Cuantificarea I) ¸si reprezentarea numerelor de ocupare (Cuantificarea II); rat¸ionamentele sunt complexe ¸si rezultatele sunt complicate. Ca urmare se vor prezenta numai cele mai importante relat¸ii ˆıntre Cuantificarea I ¸si Cuantificarea II. c. Operatori elementari Deoarece ˆın metoda Cuantific˘ arii II starea sistemului este caracterizat˘ a prin numerele de ocupare a st˘arilor uni-particul˘ a, atunci evolut¸ia st˘arii implic˘ a modific˘ari ale valorilor numerelor de ocupare; ca urmare, se introduc operatorii care act¸ioneaz˘ a asupra bazei numerelor de ocupare ¸si care modific˘a valorile acestor numere de ocupare pe st˘ari uni-particule, ace¸sti operatori fiind numit¸i operatori elementari ˆın spat¸iul numerelor de ocupare. c1) Cazul bosonic A. Baza de st˘ari (a) Se consider˘ a st˘ arile proprii 1-particul˘ a |ϕq i, definite prin formula (2.15) ¸si care satisfac relat¸iile de orto-normare ¸si de completitudine (2.16), astfel ˆıncˆ at setul tuturor acestor vectori proprii (a) (a) a ˆın spat¸iul Hilbert al st˘arilor particulei “a”, H1 . |ϕq q constituie o baz˘ Pentru sistemul cu N particule st˘arile proprii se obt¸in construind produse directe de vectori proprii corespunz˘ atori st˘ arilor proprii ale particulelor componente, adic˘a vectori de tipul (1) (2) (1) (2) ) ) ϕq , ϕq , . . . , ϕ(N ; = ϕq1 ϕq2 · · · ϕ(N qN qN 1 2
(1) (2) (N ) se observ˘ a c˘ a setul de vectori ϕq 1 , ϕq 2 , . . . , ϕqN {q} este o baz˘a ˆın spat¸iul Hilbert al st˘arilor unui sistem cu N particule, HN . ˆIn cazul unui sistem de N bosoni identici vectorii st˘arilor proprii trebuie s˘a satisfac˘ a condit¸ia de simetrie ˆın raport cu permut˘arile particulelor, astfel ˆıncˆ at sunt posibile numai st˘ari simetrizate: 1,N X! (S) Φq ···q = Sˆ+ ϕ(1) , . . . , ϕ(N ) = √1 ϕ(1) , . . . , ϕ(N ) , q1 qN q πN q π1 1 N N! π ··· N unde π = π11 π22 ··· este o permutare a setului de N particule. πN Deoarece ˆın cazul bosonic este posibil ca s˘a existe mai multe particule ˆın aceea¸ si stare uniparticul˘ a, se consider˘ a c˘ a starea |ϕq i apare de nq ori ˆın setul |ϕq1 i, · · · , |ϕq N i ; ca urmare, (S) a vectorul simetrizat Φq1 ···qN este caracterizat prin numerele de ocupare ale st˘arilor 1-particul˘ X nα , nβ , . . . , nω , care satisfac condit¸ia nq = N . q
Prin utilizarea numerelor de ocupare se obt¸ine urm˘atoarea relat¸ie de normare a vectorului propriu simetrizat:
(S)
(S)
Y
Φq ···q 2 ≡ Φ(S) nq ! . (2.63) q 1 ···q N Φq 1 ···q N = 1 N q
Demonstrat¸ie:
Se efectueaz˘ a ˆın mod direct produsul scalar al vectorului simetrizat cu el ˆınsu¸si: (1)
(S) 1 X X (1) ϕq , . . . , ϕ(N) Φq1 ···qN Φ(S) ϕqπ , . . . , ϕ(N) q 1 ···qN = qπ q π′ ′ π1 1 N N! π N π′ (1)
1 X X (1) (1) ϕq ϕqπ ϕqπ′ · · · ϕ(1) = qπ π′ 1 N N! π 1 N π′ X X 1 δqπ1 ,qπ′ · · · δqπN ,qπ′ ; = 1 N N! π ′ π
52
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE sumarea peste permut˘ arile π ′ produce termeni egali:
P π′
δqπ1 ,qπ′ · · · δqπN ,qπ′ = 1
N
Q
nq ! iar sumarea
q
ulterioar˘ a peste permut˘ arile π este banal˘ a, producˆ and factorul N ! (= num˘ arul de termeni), astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: Y Y
(S) 1 XY 1 N! nq ! = Φq1 ···qN Φ(S) nq ! = nq ! . q 1 ···q N = N! π N! q q q
Pe baza propriet˘ a¸tii precedente se define¸ste vectorul de baz˘a simetrizat ¸si normat X (S) ϕ(1) · · · ϕ(N ) , Φq ···q = q 1 q πN q π1 Q 1 N N ! q nq ! π q nq !
. . . , nq , . . . = q 1 Q
(2.64)
care este considerat un vector al bazei numere de ocupare, deoarece prin simetrizare rezult˘a c˘ a acest vector este caracterizat numai de c˘ atre numerele de ocupare pe st˘arile 1-particul˘ a posibile. Setul tuturor vectorilor anteriori (pentru toate numerele de ocupare posibile) constituie baza nu∞ M (S) merelor de ocupare | . . . , nq , . . .i {n} , care este o baz˘a ˆın spat¸iul Fock simetric F(S) = HN ; N =0
ca urmare, sunt valabile relat¸iile de orto-normare ¸si de completitudine: hnα , nβ , . . . , nω | n′α , n′β , . . . n′ω i = δnα ,n′α δnβ ,n′β · · · δnω ,n′ω , ∞ ∞ ∞ X X X ··· |nα , nβ , . . . , nω ihnα , nβ , . . . , nω | = ˆ1F(S) . nα =0 nβ =0
(2.65)
nω =0
B. Operatori elementari ˆIn spat¸iul Fock simetric se introduc, ca operatori elementari, operatorii de creare ¸si de anihilare, care act¸ioneaz˘ a asupra bazei numerelor de ocupare; astfel, operatorul de creare a unei particule pe starea 1-particul˘ a |ϕq i este definit prin relat¸ia: p ˆb† | . . . , nq , . . .i = 1 + nq | . . . , nq + 1, . . .i , (2.66a) q iar operatorul de anihilare a unei particule pe aceea¸si stare 1-particul˘ a are, prin definit¸ie, urm˘atoarea act¸iune asupra unui vector al bazei numere de ocupare: ˆbq | . . . , nq , . . .i = √nq | . . . , nq − 1, . . .i .
(2.66b)
Prin intermediul operatorilor de creare ¸si de anihilare se define¸ste operatorul num˘ ar de particule pe starea 1-particul˘ a |ϕq i prin relat¸ia: n ˆ q = ˆb†q ˆbq ,
(2.67)
astfel ˆıncˆ at act¸iunea sa asupra unui vector al bazei numere de ocupare este n ˆ q | . . . , nq , . . .i = nq | . . . , nq , . . .i .
(2.68)
Demonstrat¸ie: Conform definit¸iei, operatorul de creare ˆb†q act¸ionˆ and asupra vectorului | . . . , nq , . . .i ˆıl transform˘ a ˆın vectorul | . . . , nq + 1, . . .i, adic˘ a acesta creaz˘ a o particul˘ a pe modul |ϕq i, l˘ asˆ and nemodificate ˆ b† q
numerele de particule pe celelalte moduri: | . . . , nq , . . .i −→ | . . . , nq + 1, . . .i; ca urmare, act¸iunea sa este definit˘ a prin relat¸ia: ˆb†q | . . . , nq , . . .i = c(+) nq | . . . , nq + 1, . . .i , (+)
a ulterior din ecuat¸ia cu valori proprii a num˘ arului de particule. unde constanta cnq va fi determinat˘ Pe baza definit¸iei anterioare, elementul de matrice a operatorului de creare, ˆın baza numerelor de ocupare este: Y ′ (+) δn′q ,nq . h. . . , n′q , . . . | ˆb†q | . . . , nq , . . .i = c(+) nq h. . . , nq , . . . | . . . , nq + 1, . . .i = cnq δn′q ,nq +1 q′ (6=q)
2.3. DESCRIEREA SISTEMULUI MANY-BODY ˆIN CUANTIFICAREA II
53
Prin conjugare complex˘ a se obt¸ine elementul de matrice al operatorului conjugat hermitic (deoarece ˆ ∗ = hφ|Aˆ† |ψi): hψ|A|φi h. . . , n′q , . . . | ˆb†q | . . . , nq , . . .i∗ = h. . . , nq , . . . | ˆbq | . . . , n′q , . . .i Y Y ∗ (+) ∗ δnq ,n′q ; δn′q ,nq = cn′ −1 δnq ,n′q −1 δn′q ,nq +1 = c(+) nq q′ (6=q)
q
q′ (6=q)
din relat¸ia precedent˘ a ¸si utilizˆ and relat¸ia de completitudine a bazei numerelor de ocupare, se obt¸ine act¸iunea operatorului ˆbq asupra unui vector al bazei numerelor de ocupare: X ˆbq | . . . , nq , . . .i = | . . . , n′q , . . .ih. . . , n′q , . . . | ˆbq | . . . , nq , . . .i {n′ }
= c(−) nq | . . . , nq − 1, . . .i ,
(+) ∗ (−) a c˘ a ˆbq se comport˘ a ca un operator de anihilare pe unde cnq = cn′ −1 . Rezultatul precedent arat˘ q
starea 1-particul˘ a |ϕq i, deoarece distruge o particul˘ a pe acest mod, l˘ asˆ and nemodificate numerele ˆ bq
de particule pe celelalte moduri: | . . . , nq , . . .i −→ | . . . , nq − 1, . . .i . Pe baza rezultatelor anterioare, operatorul n ˆ q ≡ ˆb†q ˆbq are urm˘ atoarea act¸iune asupra unui vector al bazei numere de ocupare: (−) (+) ˆ† n ˆ q | . . . , nq , . . .i = ˆb†q ˆbq | . . . , nq , . . .i = c(−) nq bq | . . . , nq − 1, . . .i = cnq cnq−1 | . . . , nq , . . .i , de unde rezult˘ a c˘ a | . . . , nq , . . .i este un vector propriu al operatorului n ˆ q ; atunci, dac˘ a se alege ca valoare proprie num˘ arul de ocupare, se obt¸ine condit¸ia: (+) 2 (+) = nq . cn =⇒ c(−) nq cnq−1 = nq q−1 (+)
a urm˘ atoarele expresii pentru coeficient¸i: Se poate alege coeficientul cnq ca fiind real ¸si rezult˘ √ √ (+) (+) (−) cnq = 1 + nq ¸si cnq = cnq −1 = nq ; ca urmare, se obt¸in relat¸iile (2.66) ¸si (2.68).
Prin utilizarea act¸iunilor de definit¸ie ale operatorilor elementari, rezult˘a relat¸iile de comutare ale operatorilor elementari: 3 ˆbq , ˆbq′ (2.69a) = ˆ0 = ˆb†q , ˆb†q ′ − , − † ˆbq , ˆb ′ ˆ (2.69b) q − = δq,q ′ 1F(S) . Demonstrat¸ie:
• Prima relat¸ie de comutare, pentru cazul q ′ = q este banal˘ a, deoarece orice operator comut˘ a cu el ˆınsu¸si: ˆbq , ˆbq = ˆbq ˆbq − ˆbq ˆbq = ˆ 0. −
Pentru cazul q ′ 6= q, se verific˘ a prima relat¸ie de comutare prin act¸iunea comutatorului asupra unui vector al bazei numere de ocupare: ˆbq ˆbq′ | . . . , nq , . . . , nq′ , . . .i = √nq′ ˆbq | . . . , nq , . . . , nq′ − 1, . . .i √ = nq′ nq | . . . , nq − 1, . . . , nq′ − 1, . . .i , ˆbq′ ˆbq | . . . , nq , . . . , nq′ , . . .i = √nq ˆbq′ | . . . , nq − 1, . . . , nq′ , . . .i √ = nq nq′ | . . . , nq − 1, . . . , nq′ − 1, . . .i ,
de unde rezult˘ a: ˆbq , ˆbq′ | . . . , nq , . . . , nq′ , . . .i = ˆbq ˆbq′ − ˆbq′ ˆbq | . . . , nq , . . . , nq′ , . . .i = |∅i ,
at ˆbq , ˆbq′ = ˆ 0. Se observ˘ a c˘ a rezultatul pentru orice vector | . . . , nq , . . . , nq′ , . . .i, astfel ˆıncˆ a propriet˘ a¸tii de simetrie a este independent de ordonarea st˘ arilor 1-particul˘ a |ϕq i ¸si |ϕq′ i, datorit˘ vectorului | . . . , nq , . . . , nq′ , . . .i. 3 Este posibil s˘ a se procedeze invers: se postuleaz˘ a relat¸iile de comutare ale operatorilor elementari ¸si pe baza acestor relat¸ii se construesc act¸iunile operatorilor de creare ¸si de anihilare asupra vectorilor bazei numere de ocupare.
54
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE • A doua relat¸ie de comutare se obt¸ine direct din prima, prin conjugare hermitic˘ a:
ˆbq , ˆbq′
†
= ˆbq ˆbq′ − ˆbq′ ˆbq
de unde rezult˘ a ˆb†q , ˆb†q′ = ˆ 0.
†
= ˆb†q′ ˆb†q − ˆb†q ˆb†q′ = − ˆb†q , ˆb†q′ ,
• Pentru a treia relat¸ie de comutare este necesar s˘ a se considere ˆın mod separat cazurile cˆ and q ′ 6= q ′ (indiferent de ordonarea st˘ arilor) ¸si q = q . Dac˘ a q ′ 6= q, atunci act¸iunile produselor de operatori asupra unui vector al bazei numerelor de ocupare sunt: p ˆbq ˆb† ′ | . . . , nq , . . . , nq′ , . . .i = 1 + nq ′ ˆbq | . . . , nq , . . . , nq′ + 1, . . .i q q = (1 + nq′ ) nq | . . . , nq − 1, . . . , nq′ + 1, . . .i , ˆb† ′ ˆbq | . . . , nq , . . . , nq′ , . . .i = √nq ˆb† ′ | . . . , nq − 1, . . . , nq′ , . . .i q q q = nq (1 + nq′ ) | . . . , nq − 1, . . . , nq′ + 1, . . .i , astfel c˘ a se obt¸ine o act¸iune nul˘ a a comutatorului: ˆbq , ˆb† ′ | . . . , nq , . . . , nq′ , . . .i = ˆbq ˆb† ′ − ˆb† ′ ˆbq | . . . , nq , . . . , nq′ , . . .i = |∅i , q q q
arilor este pentru orice vector | . . . , nq , . . . , nq′ , . . .i ¸si astfel acest comutator este nul (ordonarea st˘ arbitrar˘ a). Dac˘ a q ′ = q, atunci se obt¸in urm˘ atoarele rezultate: p ˆbq ˆb†q | . . . , nq , . . .i = 1 + nq ˆbq | . . . , nq + 1, . . .i ˆb†q
= (1 + nq ) | . . . , nq , . . .i , ˆbq | . . . , nq , . . .i = √nq ˆb†q | . . . , nq − 1, . . .i = nq | . . . , nq , . . .i ;
atunci act¸iunea comutatorului este: ˆbq , ˆb†q | . . . , nq , . . .i = ˆbq ˆb†q − ˆb†q ˆbq | . . . , nq , . . .i = | . . . , nq , . . .i , ceea ce arat˘ a c˘ a acest operator este egal cu operatorul unitate.
Prin utilizarea rezultatelor prezentate anterior se poate demonstra urm˘atoarea proprietate: N X (a) (a) ϕq ϕq l ¸si operatorul din Cuantificarea II Lema 1: operatorul din Cuantificarea I j a=1
ˆb† ˆbq sunt echivalent¸i qj l
N X (a) (a) ϕq ϕq a=1
Demonstrat¸ie:
ˆb† ˆbq . qj l
⇐⇒
l
j
(2.70)
Se consider˘ a un vector al bazei numere de ocupare, care descrie o stare cu N particule ¸si este definit prin formula (2.64): |nα , . . . , nω i P
q nq =N
= q = q
N! N!
1 Q 1 Q
q
nq !
X (1) ϕq · · · ϕ(N) qπ π 1
N
π
X (π ) ϕq 1 . . . ϕq(πnα ) · · · ϕq(πN −nω ) . . . ϕq(πN ) α ω α ω | | {z } {z } q nq ! π nα
nω
(ultima expresie s-a obt¸inut pe baza observat¸iei c˘ a permutarea indicilor de stare este echivalent˘ a cu permutarea particulelor). Pentru a evalua rezultatele act¸iunilor celor doi operatori specificat¸i de Lema 1 este necesar s˘ a se considere ˆın mod separat cazurile q j 6= q l (indiferent de ordonarea st˘ arilor) ¸si q j = q l .
2.3. DESCRIEREA SISTEMULUI MANY-BODY ˆIN CUANTIFICAREA II
55
• ˆIn cazul q j 6= q l act¸iunea operatorului din Cuantificarea I asupra vectorului bazei numere de ocupare (specificat anterior) este: N X (a) (a) ϕq ϕql · | . . . , nqj , . . . , nql , . . .i j a=1
=
N X (1) X (N) (a) (a) 1 ϕq ϕq · · · ϕ(a) ϕql · q Q qπa · · · ϕqπ π1 j N N ! n ! π a=1 q q
= q
N!
1 Q
N XX (1) (a) (a) ϕq · · · ϕ(a) ϕql ϕqπa · · · ϕ(N) qj qπ π1 N | {z } q nq ! π a=1 = δq l ,q π
a
(se observ˘ a c˘ a proprietatea de simetrie bosonic˘ a permite scrierea vectorilor proprii 1-particul˘ a ˆın orice ordonare). Deoarece vectorul | . . . , nql , . . .i cont¸ine nql st˘ ari |ϕql i, rezult˘ a c˘ a setul indicilor de stare 1-particul˘ a q 1 , . . . , q N cont¸ine nql aparit¸ii pentru q l ; atunci, sumarea peste particule produce factorul nql : N X . . . δql ,qπa . . . = . . . nql . . . , astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: a=1
N X (a) (a) ϕq ϕql . . . , nqj , . . . , nql , . . . = q j a=1
N!
1 Q
q
nq !
X (1) ϕq nql · · · ϕ(N) · · · ϕ(a) qπ qj π π
1
N
q πa =qj
.
observ˘ a c˘ a vectorul obt¸inut corespunde la o stare cu N particule ˆın care s-a f˘ acut substitut¸ia: Se(a) ϕq −→ ϕ(a) ; atunci, prin simetrizare se obt ¸ ine vectorul bazei numere de ocupare, care rezult˘ a q j l n n →n +1 qj qj din vectorul init¸ial, cu transform˘ arile nql → nql − 1 .
ˆIn consecint¸˘ a, vectorul obt¸inut prin simetrizare, conform definit¸iei (2.64), este: X (1) ϕq · · · ϕ(a) · · · ϕ(N) qj qπ π1 N π
=
s
q πa =qj
N ! (nqj + 1)! (nql − 1)!
Y
q(6=q j ,ql )
nq ! . . . , nqj + 1, . . . , nql − 1, . . . ,
astfel ˆıncˆ at combinat¸ia factorilor de normare produce rezultatul q
nql Q N ! nqj ! nql ! q(6=qj ,ql ) nq !
s
N ! (nqj + 1)! (nql − 1)!
Y
nq ! =
q(6=qj ,q l )
q (nqj + 1) nql .
Ca urmare, se obt¸ine urm˘ atorul rezultat: N X (a) (a) q ϕq ϕql . . . , nqj , . . . , nql , . . . = (nqj + 1) nql | . . . , nqj + 1, . . . , nql − 1, . . .i . j a=1
Pe de alt˘ a parte, act¸iunea operatorilor elementari asupra aceluia¸si vector produce acela¸si rezultat ca ˆın cazul anterior: q ˆb†q ˆbq | . . . , nq , . . . , nq , . . .i = (nq + 1) nq | . . . , nq + 1, . . . , nq − 1, . . .i ; j l j l l j l j prin urmare, este valabil˘ a egalitatea: N X (a) (a) ϕq ϕql · | . . . , nqj , . . . , nql , . . .i = ˆb†qj ˆbql | . . . , nqj , . . . , nql , . . .i , j a=1
pentru orice vector al bazei numerelor de ocupare care satisface relat¸ia vector corespunde la o stare cu N particule).
P
q
nq = N (adic˘ a acest
56
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE • Cazul q j = q l se trateaz˘ a ˆın mod similar cu cazul precedent: N N X X X (1) (a) (a) (a) (a) (N) 1 ϕq ϕq · | . . . , nq , . . .i = ϕq ϕqj · q Q ϕ · · · ϕ(a) q q πa · · · ϕq π j j j j π1 N N ! q nq ! π a=1 a=1
= q
N!
1 Q
N XX (1) (a) (a) ϕq ϕqj ϕqπa · · · ϕ(N) · · · ϕ(a) ; qj qπ π1 N | {z } q nq ! π a=1 = δq j ,q π
a
deoarece vectorul | . . . , nqj , . . .i cont¸ine nqj st˘ ari |ϕqj i, rezult˘ a c˘ a setul indicilor de stare 1-particul˘ a q 1 , . . . , q N cont¸ine nqj aparit¸ii pentru q j ; atunci, sumarea peste particule produce factorul nqj : N X . . . δqj ,qπa . . . = . . . nqj . . . , astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: a=1
N X (1) X (a) (a) (a) ϕq ϕq · · · ϕ(N) . . . , nq , . . . = q nql ϕq · · · ϕ q q Q j πN π1 j j j q πa =qj N ! q nq ! π a=1 = nqj . . . , nqj , . . . ,
unde a rezultat din observat¸ia c˘ a (a) expresie vectorul obt¸inut prin act¸iunea operatorului PN ultima (a) ϕqj asupra vectorului . . . , nqj , . . . este vectorul init¸ial multiplicat cu num˘ arul a=1 ϕq j de ocupare a st˘ arii |ϕqj i. Pe de alt˘ a parte, prin act¸iunea operatorului num˘ ar de particule n ˆ qj = ˆb†qj ˆbqj se obt¸ine acela¸si rezultat: ˆb†q ˆbq . . . , nq , . . . = nq . . . , nq , . . . , j j j j j ceea ce conduce la echivalent¸a N X (a) (a) ϕq ϕqj . . . , nqj , . . . = ˆb†qj ˆbqj . . . , nqj , . . . j a=1
pentru orice vector al bazei numere de ocupare, care corespunde la o stare cu N particule.
Observat¸ie: din prezentarea demonstrat¸iei pentru Lema 1, exprimat˘ a prin relat¸ia (2.70), rezult˘a PN (a) (a) c˘ a operatorul din Cuantificarea I, adic˘a a=1 ϕqj ϕqj are act¸iune echivalent˘ a cu operatorul din Cuantificarea II, ˆb†qj ˆbqj ; totu¸si, ace¸sti operatori nu coincid, deoarece operatorul din (S)
Cuantificarea I este definit ˆın spat¸iul Hilbert simetric cu N particule HN , iar operatorul din Cuantificarea II este definit ˆın spat¸iul Fock simetric F(S) .
c2) Cazul fermionic A. Baza de st˘ari (a) Se consider˘ a, la fel ca ˆın cazul bosonic, st˘ari proprii 1-particul˘ a ϕq , definite prin relat¸ia (2.15), (a) iar setul acestor st˘ ari constituie o baz˘a ˆın spat¸iul Hilbert al st˘arilor uni-particul˘a H1 , conform relat¸iilor de orto-normare ¸si de completitudine (2.16); atunci, vectorii de baz˘a pentru st˘ari cu N particule sunt produsele directe (1) (2) ϕ , ϕ , . . . , ϕ(N ) = ϕ(1) ϕ(2) · · · ϕ(N ) . q1
q2
qN
q1
q2
qN
Cˆand sistemul cont¸ine N fermioni identici, atunci vectorii st˘arilor proprii trebuie s˘a satisfac˘ a condit¸ia de anti-simetrie ˆın raport cu permut˘arile particulelor; ca urmare, sunt posibile numai st˘ari anti-simetrizate (iar ordonarea st˘arilor 1-particul˘ a este esent¸ial˘a):
1,N ! (A) 1 X (N ) (N ) Φq ···q = Sˆ− ϕ(1) √ = , . . . , ϕ (−1)σπ ϕ(1) , q q q π1 , . . . , ϕq π 1 N N 1 N N! π ··· N este o permutare a setului de N particule, iar σπ este paritatea acestei unde π = π11 π22 ··· πN permut˘ari. Vectorul propriu anti-simetrizat se poate scrie ca un determinant (analogul determinantului Slater, utilizat pentru funct¸ia proprie corespunz˘ atoare): (N ) (1) · · · ϕq 1 ϕq 1 1,N ! X (N ) (A) 1 . .. , Φq ···q = √1 .. (−1)σπ ϕ(1) q π1 . . . ϕq πN = . 1 N N ! N! π (N ) ϕ(1) · · · ϕq N qN
2.3. DESCRIEREA SISTEMULUI MANY-BODY ˆIN CUANTIFICAREA II
57
de unde rezult˘a c˘ a fiecare tip de stare 1-particul˘ a |ϕq i poate ap˘area cel mult o singur˘a dat˘a. Atunci, numerele de ocupare fermionice sunt n = 0, 1 ¸si ˆın cazul sistemului cu N fermioni, q X aceste numerele satisfac condit¸ia: nq = N . q
Deoarece numerele de ocupare fermionice pot avea numai valorile nq = 0, 1 rezult˘a c˘ a vectorul (A) anti-simetrizat Φq1 ...qN este normat la unitate:
(A) 2 (A) (A)
Φq ···q ≡ Φq ···q Φq ···q = 1 . (2.71) 1 N 1 N 1 N Demonstrat¸ie:
(A)
1 XX (N) (1) Φq1 ···qN Φ(A) (−1)σπ +σπ′ ϕ(1) ϕqπ , . . . , ϕ(N) q 1 ···qN = q π , . . . , ϕq π qπ 1 1 N N N! π π′ (1)
(1) (1)
1 XX ϕq ; (−1)σπ +σπ′ ϕ(1) = q π ϕq π ′ · · · ϕqπ π′ 1 N N! π {z 1 } | | {z N } π′ = δq π ,q ′ 1 π1
= δqπ ,q ′ 1 π1
spre deosebire de cazul bosonic, ˆın cazul fermionic sumarea dup˘ a permut˘ arile π ′ are rezultat banal, deoarece numai permutarea π ′ = π aduce contribut¸ie nenul˘ a, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine:
(A) 1 XX 1 X Φq 1 ···qN Φ(A) (−1)σπ +σπ′ δπ,π′ = 1=1. q 1 ···qN = N! π N ! π ′ π
(A) Vectorul bazei numerelor de ocupare se define¸ste prin vectorul anti-simetrizat Φq1 ···qN
(N ) 1 X . . . , nq , . . . = Φ(A) , (2.72) (−1)σπ ϕ(1) q 1 ···q N = √ q π1 · · · ϕq π N N! π P unde numerele de ocupare au valorile nq = 0, 1 ¸si satisfac condit¸ia q nq = N . ˆIn mod analog cazului bosonic, setul tuturor vectorilor | . . . , nq , . . .i constituie baza {n} ∞ M (A) numerelor de ocupare a spat¸iului Fock anti-simetric F(A) = HN ; ca urmare, sunt valabile N =0
relat¸iile de orto-normare ¸si de completitudine: ′ ′ ′ α , nβ , . . . , nω | nα , nβ , . . . nω i = δnα ,n′α δnβ ,n′β · · · δnω ,n′ω , hnX X X ··· |nα , nβ , . . . , nω ihnα , nβ , . . . , nω | = ˆ1F(A) . nα =0,1 nβ =0,1
(2.73)
nω =0,1
B. Operatori elementari ˆIn spat¸iul Fock anti-simetric se introduc, ˆın mod similar cazului bosonic, operatori de creare ¸si operatori de anihilare pe st˘ ari 1-particul˘ a. Operatorul de creare a unei particule pe starea 1-particul˘ a |ϕq i este definit prin relat¸ia: p (2.74a) a ˆ†q | . . . , nq , . . .i = 1 − nq (−1)Sq | . . . , nq + 1, . . .i , iar operatorul de anihilare a unei particule pe aceea¸si stare 1-particul˘ a are urm˘atoarea act¸iune asupra unui vector al bazei numere de ocupare: √ a ˆq | . . . , nq , . . .i = nq (−1)Sq | . . . , nq − 1, . . .i , (2.74b) X arul de st˘ari 1-particul˘ a ocupate ¸si ordonate ˆınaintea st˘arii |ϕq i. nq′ este num˘ unde Sq ≡ q ′ (
Operatorul num˘ ar de particule pe starea 1-particul˘ a |ϕq i este: n ˆq = a ˆ†q a ˆq ,
(2.75)
iar vectorii bazei numere de ocupare sunt vectori proprii ai acestui operator, conform relat¸iei: n ˆ q | . . . , nq , . . .i = nq | . . . , nq , . . .i .
(2.76)
58
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE Demonstrat¸ie: a ˆ† q
• Operatorul de creare a ˆ†q efectueaz˘ a transformarea | . . . , nq , . . .i −→ | . . . , nq + 1, . . .i, adic˘ a acesta creaz˘ a o particul˘ a pe starea |ϕq i, l˘ asˆ and nemodificate numerele de particule pe celelalte moduri |ϕq i q′ 6=q ; totu¸si, spre deosebire de cazul bosonic, sunt posibile numai 2 situat¸ii: a) dac˘ a starea |ϕq i era neocupat˘ a (adic˘ a nq = 0), atunci se creaz˘ a o particula ˆın aceast˘ a stare a ˆ†q | . . . , 0q , . . .i ∼ | . . . , 1q , . . .i ,
b) dac˘ a starea |ϕq i era ocupat˘ a, atunci operatorul de creare distruge aceast˘ a stare, pentru c˘ a nu pot exista st˘ ari multiplu ocupate (conform principiului de excluziune) a ˆ†q | . . . , 1q , . . .i = |∅i ; condit¸ia de anti-simetrie impune ordonarea st˘ arilor 1-particul˘ a, astfel ˆıncˆ at starea nou creat˘ a este permutat˘ a peste toate st˘ arile ordonate anterior acestei st˘ ari (introducˆ andu-se factorul de semn corespunz˘ ator) ¸si astfel act¸iunea operatorului de creare se poate exprima astfel: Sq a ˆ†q | . . . , nq , . . .i = c(+) | . . . , nq + 1, . . .i , nq (−1) (+)
unde cnq = δnq ,0 . Atunci elementul de matrice a operatorului de creare, ˆın baza numere de ocupare, este Sq h. . . , n′q , . . . | a ˆ†q | . . . , nq , . . .i = c(+) h. . . , n′q , . . . | . . . , nq + 1, . . .i nq (−1) Y Sq δn′q ,nq , = c(+) δn′q ,nq +1 nq (−1) q ′ (6=q)
iar prin conjugare complex˘ a se obt¸ine elementul de matrice al operatorului conjugat hermitic: ˆq | . . . , n′q , . . .i ˆ†q | . . . , nq , . . .i∗ = h. . . , nq , . . . | a h. . . , n′q , . . . | a Y ∗ δn′q ,nq (−1)Sq δn′q ,nq +1 = c(+) nq q ′ (6=q)
=
(+) ∗ cn′ −1 (−1)Sq δnq ,n′q −1 q
Y
δnq ,n′q ;
q ′ (6=q)
ca urmare, prin utilizarea relat¸iei de completitudine, rezult˘ a act¸iunea operatorului a ˆq : X | . . . , n′q , . . .ih. . . , n′q , . . . | a ˆq | . . . , nq , . . .i a ˆq | . . . , nq , . . .i = {n′ }
(−)
(+)
unde cnq = cn′ −1 q
∗
Sq = c(−) | . . . , nq − 1, . . .i , nq (−1)
= δnq −1,0 = δnq ,1 .
Prin urmare, operatorul a ˆq are urm˘ atoarea act¸iune explicit˘ a: a ˆq | . . . , 0q , . . .i = |∅i , a ˆq | . . . , 1q , . . .i = (−1)Sq | . . . , 0q , . . .i ; rezult˘ a c˘ aa ˆq este operatorul de anihilare a unei particule. (±)
Pentru a avea o similitudine cu cazul bosonic se reprezint˘ a coeficient¸ii cnq astfel: ( √ (+) cnq = δnq ,0 = 1 − nq , √ (−) cnq = δnq ,1 = nq , deoarece nq = 0, 1; ca urmare, se obt¸in relat¸iile (2.74). Cu ajutorul rezultatelor anterioare se obt¸ine act¸iunea operatorului num˘ ar de particule asupra unui vector al bazei numere de ocupare: √ ˆ†q | . . . , nq − 1, . . .i n ˆ q | . . . , nq , . . .i = a ˆ†q a ˆq | . . . , nq , . . .i = nq (−1)Sq a p √ = nq 1 − (nq − 1) (−1)2Sq | . . . , nq , . . .i p = nq (2 − nq ) | . . . , nq , . . .i ; p p p deoarece nq = 0, 1, rezult˘ a c˘ a n2q = nq , astfel ˆıncˆ at nq (2 − nq ) = 2nq − n2q = n2q = nq ¸si rezult˘ a ecuat¸ia (2.76).
2.3. DESCRIEREA SISTEMULUI MANY-BODY ˆIN CUANTIFICAREA II
59
Prin utilizarea act¸iunilor de definit¸ie (2.74) ale operatorilor elementari se obt¸in relat¸iile de anticomutare ale acestor operatori: 4 † † (2.77a) ˆq , a ˆq ′ − , a ˆq , a ˆq′ + = ˆ0 = a a ˆq , a ˆ†q′ + = δq,q′ ˆ1F(A) . (2.77b) Demonstrat¸ie:
Spre deosebire de cazul bosonic, pentru fermioni ordonarea st˘ arilor este esent¸ial˘ a, astfel ˆıncˆ at este necesar s˘ a se examineze fiecare anti-comutator ˆın 3 situat¸ii: q < q ′ , q > q ′ ¸si q = q ′ . • Pentru prima relat¸ie de anti-comutare, ˆın cazul q < q ′ , se obt¸in urm˘ atoarele act¸iuni ale produselor de operatori de anihilare: √ a ˆq a ˆq′ | . . . , nq , . . . , nq′ , . . .i = nq′ (−1)Sq′ a ˆq | . . . , nq , . . . , nq′ − 1, . . .i √ = nq′ nq (−1)Sq′ +Sq | . . . , nq − 1, . . . , nq′ − 1, . . .i , √ ˆq′ | . . . , nq − 1, . . . , nq′ , . . .i ˆq | . . . , nq , . . . , nq′ , . . .i = nq (−1)Sq a a ˆ q′ a √ = nq nq′ (−1)Sq′ +Sq −1 | . . . , nq − 1, . . . , nq′ − 1, . . .i , de unde rezult˘ a act¸iunea anti-comutatorului: a ˆq , a ˆq′ | . . . , nq , . . . , nq′ , . . .i ˆq | . . . , nq , . . . , nq′ , . . .i ˆq ′ a = a ˆq a ˆq ′ + a √ = nq nq′ (−1)Sq′ +Sq + (−1)Sq′ +Sq −1 | . . . , nq − 1, . . . , nq′ − 1, . . .i = |∅i .
ˆIn cazul q > q ′ prima relat¸ie de anti-comutare se reduce la cazul precedent prin efectuarea n ′ q →q ˆq . ˆq = a ˆ q′ , a ˆq ′ a , deoarece a ˆq , a ˆq ′ = a ˆq a ˆ q′ + a substitut¸iei q → q′ ˆIn cazul q = q ′ se obt¸ine: √ ˆq | . . . , nq − 1, . . .i ˆ2q | . . . , nq , . . .i = 2 nq (−1)Sq a a ˆq , a ˆq | . . . , nq , . . .i = 2 a p = 2 nq (nq − 1) (−1)2Sq | . . . , nq − 1, . . .i = |∅i ,
deoarece nq = 0, 1 . Din analiza celor 3 cazuri rezult˘ a c˘ a prima relat¸ie de anti-comutare este satisf˘ acut˘ a. • A doua relat¸ie de anti-comutare se reduce la prima, prin conjugare hermitic˘ a: † † † † a ˆq , a ˆ q′ 0. = a ˆ†q a ˆ†q′ + a ˆ†q′ a ˆ†q = a ˆq , a ˆ q′ = ˆ ˆq + a ˆq a ˆq ′ = a ˆ q′ a
• Pentru cazul q < q ′ produsele de operatori care intervin ˆın a ultima relat¸ie de anti-comutare au urm˘ atoarele act¸iuni p ˆq | . . . , nq , . . . , nq′ + 1, . . .i a ˆq a ˆ†q′ | . . . , nq , . . . , nq′ , . . .i = 1 − nq′ (−1)Sq′ a q = (1 − nq′ ) nq (−1)Sq′ +Sq | . . . , nq − 1, . . . , nq′ + 1, . . .i , √ ˆ†q′ | . . . , nq − 1, . . . , nq′ , . . .i a ˆ†q′ a ˆq | . . . , nq , . . . , nq′ , . . .i = nq (−1)Sq a q = nq (1 − nq′ ) (−1)Sq′ +Sq −1 | . . . , nq − 1, . . . , nq′ + 1, . . .i ; ca urmare, rezult˘ a: † a ˆq a ˆq′ | . . . , nq , . . . , nq′ , . . .i = a ˆq a ˆ†q′ + a ˆ†q′ a ˆq | . . . , nq , . . . , nq′ , . . .i q = nq (1 − nq′ ) (−1)Sq′ +Sq + (−1)Sq′ +Sq −1 | . . . , nq − 1, . . . , nq′ + 1, . . .i = |∅i .
4 La fel ca ˆ ın cazul bosonic, este posibil s˘ a se procedeze invers: se postuleaz˘ a relat¸iile de comutare ale operatorilor elementari ¸si pe baza acestor relat¸ii se construesc act¸iunile operatorilor de creare ¸si de anihilare asupra vectorilor bazei numere de ocupare.
60
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE ˆIn cazul q > q ′ ultima relat¸ie de anti-comutare se reduce la cazul precedent prin efectuarea n ′ q →q ˆq . ˆq = a ˆ q′ , a ˆq ′ a a ˆq , a ˆq ′ = a ˆq a ˆ q′ + a substitut¸iei ′ , deoarece q→q
ˆIn cazul q = q ′ ultima relat¸ie de anti-comutare se evalueaz˘ a astfel: p ˆq | . . . , nq + 1, i a ˆq a ˆ†q | . . . , nq , . . .i = 1 − nq (−1)Sq a p = (1 − nq )(nq + 1) (−1)2Sq | . . . , nq , . . .i , √ a ˆ†q a ˆq | . . . , nq , . . .i = nq (−1)Sq a ˆ†q | . . . , nq − 1, . . .i p = nq (2 − nq ) (−1)2Sq | . . . , nq , . . .i ; ca urmare, rezult˘ a:
a ˆq a ˆ†q | . . . , nq , . . .i = a ˆq a ˆ†q + a ˆ†q a ˆq | . . . , nq , . . .i q q = 1 − n2q + 2nq − n2q | . . . , nq , . . .i ;
dar n2q = nq ¸si 1 − n2q = 1 − nq , astfel c˘ a se obt¸ine: atunci rezult˘ a c˘ a a ˆq a ˆ†q = ˆ 1.
p
1 − n2q +
p
2nq − n2q = 1 − nq + nq = 1 ¸si
Prin utilizarea rezultatelor prezentate anterior se poate demonstra urm˘atoarea proprietate (analoag˘a cu Lema 1 bosonic˘a): N X (a) (a) ϕq ϕq l ¸si operatorul din Cuantificarea II Lema 2: operatorul din Cuantificarea I j a=1
a ˆ†q j a ˆql sunt echivalent¸i
N X (a) (a) ϕq ϕq l j a=1
Demonstrat¸ie:
⇐⇒
a ˆ†qj a ˆq l .
(2.78)
Se procedeaz˘ a ˆın mod similar cazului bosonic, adic˘ a se evalueaz˘ a efectul act¸iunilor operatorilor asupra unui vector al bazei numere de ocupare. Un vector al bazei numerelor de ocupare, care descrie o stare cu N particule, este definit de formula (2.72) ¸si se permut˘ a vectorul st˘ arii 1-particul˘ a curente (starea particulei “a”) la extrema stˆ ang˘ a, pentru a putea efectua produse scalare (a) (a+1) 1 X ϕq ϕq | . . . , nq , . . .i = √ (−1)σπ ϕ(1) · · · ϕ(a−1) · · · ϕ(N) qπ qπ qπ πa πa+1 1 a−1 N N! π (1) (a+1) 1 X ϕq ϕq (−1)σπ (−1)Sa ϕ(a) · · · ϕ(a−1) · · · ϕ(N) , = √ q πa qπ qπ π1 π a−1 a+1 N N! π unde Sa =
X
q ′ (
arul de st˘ ari ocupate care sunt ordonate ˆınaintea st˘ arii |ϕqπa i. nq′ este num˘
Se observ˘ a c˘ a anti-simetria vectorului propriu la permut˘ ari ale particulelor face necesar s˘ a se analizeze ˆın mod separat cele 3 situat¸ii posibile pentru operatorul din Cuantificarea I: q j < q l , q j > q l ¸si q j = q l . • Cazul q j < q l : N X (a) (a) ϕq ϕql . . . , nq , . . . j a=1
N X (a) (a) (1) (a+1) 1 X ϕq = √ (−1)σπ ϕql ϕqπa ϕqπ · · · ϕ(a−1) (−1)Sa ϕ(a) · · · ϕ(N) . qπ qj qπ πa+1 1 a−1 N N! π {z } | a=1 = δq l ,q π
a
(1) (N) a dat˘ a, sumarea peste Deoarece fiecare stare P |ϕq i apare ˆın setul |ϕq1 i, . . . , |ϕqN i o singur˘ num˘ arul de particule a · · · produce factorul 1 ¸si rezultul total se obt¸ine prin regula de substitut¸ie
2.3. DESCRIEREA SISTEMULUI MANY-BODY ˆIN CUANTIFICAREA II
61
|ϕql i → |ϕq j i (adic˘ a nql → nql − 1 ¸si nqj → nqj + 1): N X (a) (a) ϕq ϕq . . . , nq , . . . j
l
a=1
(a−1) (a+1) (N) (1) 1 X ϕq ϕq ϕq ϕq (−1)σπ (−1)Sql ϕ(a) · · · · · · . = √ qj πa−1 πa+1 π1 πN q πa =qj N! π
Pentru a forma vectorul corespunz˘ ator noilor numere de ocupare | . . . , nqj + 1, . . . , nql − 1, . . .i se (a)
an˘ a ˆın pozit¸ia care realizeaz˘ a ordonarea st˘ arilor 1-particul˘ a; ca rezultat permut˘ a vectorul |ϕqj i pˆ P Sq j apare factorul de semn (−1) , unde Sqj = q′ (
(a) (a+1) 1 X ϕq ϕq (−1)σπ ϕ(1) · · · ϕ(a−1) · · · ϕ(N) = (−1)Sql +Sqj √ qπ qπ qπ πa+1 j 1 a−1 N N! π {z } qπa =qj | = (−1)
Sql +Sqj
(A) unde Φq1 ···qN
(A) Φq ···q 1 N
ordonare (q)
q j →ql
qj →q l
,
(A) este vectorul propriu anti-simetrizat Φq1 ···qN ˆın care s-a efectuat substi-
tut¸ia |ϕql i → |ϕqj i ; efectul acestei substitut¸ii este modificarea numerelor de ocupare 1-particul˘ a: n nq → nq − 1 care produce factorul √nq = δnq ,1 l l l p l nqj → nqj + 1 care produce factorul 1 − nqj = δnqj ,0 q (A) Atunci rezult˘ a: Φq1 ···qN = nql (1 − nq j ) | . . . , nqj + 1, . . . , nql − 1, . . .i , astfel ˆıncˆ at q j →q l
N X
a=1
(a) (a) q . . . , nq , . . . = nq (1 − nq ) (−1)Sql +Sqj | . . . , nq + 1, . . . , nq − 1, . . .i . ϕq ϕ q j l l j l j
Pe de alt˘ a parte, rezultatul anterior se poate obt¸ine prin act¸iunea operatorilor elementari, conform relat¸iilor (2.74) q S +S a ˆ†qj a ˆql . . . , nq , . . . = nql (1 − nqj ) (−1) ql qj | . . . , nqj + 1, . . . , nql − 1, . . .i , (a) (a) P astfel ˆıncˆ at operatorul N ϕql din Cuantificarea I este echivalent cu operatorul a ˆ†qj a ˆ ql , a=1 ϕq j definit ˆın Cuantificarea II, pentru q j < q l .
• Cazul q j > q l : se procedeaz˘ a ˆın mod similar cazului anterior, astfel c˘ a se obt¸ine: N X (a) (a) ϕq ϕq . . . , nq , . . . j
l
a=1
(a−1) (a+1) (N) (1) 1 X ϕq ϕq ϕq ϕq (−1)σπ (−1)Sql ϕ(a) · · · · · · . = √ qj πa−1 πa+1 π1 πN q πa =qj N! π
Pentru a forma vectorul corespunz˘ ator noilor numere de ocupare | . . . , nql − 1, . . . , nqj + 1, . . .i se (a)
an˘ a ˆın pozit¸ia care realizeaz˘ a ordonarea st˘ arilor 1-particul˘ a; ca rezultat permut˘ a vectorul |ϕqj i pˆ P Sqj −1 arul init¸ial de st˘ ari ocupate apare factorul de semn (−1) , unde Sqj = q′ (
l
a=1
= (−1)
Sql +Sqj −1
= (−1)
Sql +Sqj −1
= (−1)
Sql +Sqj −1
1 X √ (−1)σπ N! π
(A) Φq ···q 1 N q
(a−1) (a) (a+1) (1) (N) ϕq ϕq ϕq ϕq ϕq · · · · · · πa−1 π1 j πa+1 πN {z } qπa =qj | ordonare (q)
qj →q l
nql (1 − nqj ) | . . . , nqj + 1, . . . , nql − 1, . . .i .
62
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE Pe de alt˘ a parte, act¸iunea operatorilor elementari a ˆ†qj ¸si a ˆqj asupra vectorului . . . , nq , . . . produce urm˘ atorul rezultat: √ ˆql . . . , nql − 1, . . . , nqj , . . . a ˆ†qj a ˆql . . . , nqj , . . . , nqj , . . . = nql (−1)Sql a q √ S −1 = nql (−1)Sql 1 − nqj (−1) qj . . . , nql − 1, . . . , nqj + 1, . . . . Se obt¸ine, ca ¸si ˆın cazul anterior, echivalent¸a operatorilor a ˆ†qj a ˆql , definit ˆın Cuantificarea II, pentru q j > q l .
PN
a=1
(a) (a) ϕq ϕql din Cuantificarea I ¸si j
• Cazul q j = q l se trateaz˘ a ˆın mod analog cazurilor anterioare, adic˘ a se permut˘ a la stˆ anga starea care efectueaz˘ a produsul scalar (aceasta este starea |ϕ s i dup˘ a efectuarea sum˘ a rii banale ˆın q i) ¸ P raport cu particulele ( a · · · ) se obt¸ine: N X (a) (a) ϕq ϕq . . . , nq , . . . j
a=1
1 = √ N!
j
X
(−1)σπ (−1)
Sq j
π
(a) (1) (a+1) ϕq ϕq ϕq · · · ϕ(a−1) · · · ϕ(N) qπ qπ j π π1 a−1 a+1 N
q πa =qj
.
(a) an˘ a se obt¸ine ordonarea st˘ arilor 1-particul˘ a, ceea ce produce factorul Se permut˘ a vectorul ϕqj pˆ S a vectorul num˘ ar de particule: (−1) qj , apoi se formeaz˘ N X (a) (a) ϕq ϕq . . . , nq , . . . j
a=1
j
(a) (a+1) 1 2S ϕq ϕq = √ (−1)σπ (−1) qj ϕ(1) · · · ϕ(a−1) · · · ϕ(N) qπ qπ qπ π j 1 a−1 a+1 N q πa =qj | {z } N! π =1 = nq . . . , nq , . . . . X
j
j
Ultimul rezultat este echivalent cu act¸iunea operatorului num˘ ar de particule: nqj . . . , nqj , . . . = n ˆ qj . . . , nqj , . . . = a ˆ†qj a ˆqj . . . , nqj , . . . ; ca urmare, se obt¸ine echivalent¸a ˆıntre operatorul definit ˆın Cuantificarea II, pentru cazul q j = q l .
PN
a=1
(a) (a) ϕq ϕql din Cuantificarea I ¸si a ˆ†qj a ˆ ql , j
Observat¸ie: la fel ca ˆın cazul bosonic, Lema 2 afirm˘ a numai c˘ a operatorul din Cuantificarea II PN (a) (a) a ˆ†q j a ˆql este echivalent cu operatorul din Cuantificarea I a=1 ϕq j ϕq l , ˆın spat¸iul Hilbert al (A)
st˘arilor anti-simetrice N -particule HN ; totu¸si, ace¸sti operatori nu sunt egali deoarece operatorul (A) din Cuantificarea I este definit ˆın HN , iar operatorul din Cuantificarea II este definit ˆın spat¸iul (A) Fock anti-simetric F . c3) Notat¸ie comun˘ a pentru fermioni ¸si bosoni Din prezent˘ arile rezultatelor asupra operatorilor elementari, f˘acute pentru cazurile fermionic ¸si bosonic, se observ˘ a similitudini majore ¸si deosebiri mici; ca urmare este posibil s˘a se exprime aceste rezultate ˆın notat¸ie comun˘ a ambelor cazuri. ˆIn consecint¸˘a, se va utiliza notat¸ia cˆq pentru operatorul elementar (de anihilare), care este ( ˆbq (pentru bosoni) , cˆq = (2.79) a ˆq (pentru fermioni) ; atunci operatorii elementari generali satisfac urm˘atoarele relat¸ii de comutare/anti-comutare: (2.80a) cˆq , cˆ†q ′ ∓ = δq,q ′ ˆ1 , † † (2.80b) cˆq , cˆq ′ ∓ = ˆ0 = cˆq , cˆq′ ∓ ,
ˆ B] ˆ ∓ ≡ Aˆ · B ˆ ∓B ˆ · Aˆ este notat¸ia comun˘ unde [A, a pentru comutator/anti-comutator. Se observ˘a c˘ a relat¸iile (2.80) comaseaz˘a relat¸iile de comutare bosonice (2.69), ˆımpreun˘a cu relat¸iile de anticomutare fermionice (2.77).
2.3. DESCRIEREA SISTEMULUI MANY-BODY ˆIN CUANTIFICAREA II
63
Operatorul num˘ ar de particule pe modul q este definit ˆın termeni de operatori elementari pe modul respectiv n ˆ q = cˆ†q · cˆq ; (2.81a) se observ˘ a c˘ a definit¸ia anterioar˘ a comaseaz˘a definit¸ia bosonic˘a (2.67) ¸si definit¸ia fermionic˘a (2.75). Ecuat¸ia cu valori proprii a num˘ arului de particule este n ˆ q | . . . , nq , . . .i = nq | . . . , nq , . . .i ,
(2.81b)
care generalizeaz˘ a rezultatul bosonic (2.68) ¸si rezultatul fermionic (2.76). Act¸iunile operatorilor elementari asupra vectorilor de baz˘a sunt exprimate prin relat¸iile √ nq | . . . , nq − 1, . . .i , p † Sq cˆq | . . . , nq , . . .i = (±1) 1 ± nq | . . . , nq + 1, . . .i , cˆq | . . . , nq , . . .i = (±1)Sq
(2.82a) (2.82b)
care generalizeaz˘ a definit¸iile bosonic˘a (2.66) ¸si fermionic˘a (2.74). PN (a) (a) De asemenea, relat¸ia de echivalent¸˘a ˆıntre operatorul Cuantific˘arii I a=1 ϕqj ϕql ¸si opea ˆın forma ratorul corespondent din Cuantificarea II a ˆ†qj a ˆql se exprim˘ N X (a) (a) ϕ ϕ ′ q
cˆq† cˆq′ ,
⇐⇒
q
a=1
(2.83)
care generalizeaz˘ a relat¸ia bosonic˘a (2.70) ¸si respectiv relat¸ia fermionic˘a (2.78).
2.3.2
Operatori de cˆ amp
Prin utilizarea notat¸iei comune bosonic˘a-fermionic˘a a operatorilor elementari se poate face o tratare comun˘ a ambelor tipuri de sisteme multi-particule (singura diferent¸˘a este dat˘a de caracterul intrinsec al operatorilor de cˆ amp). Pentru o exprimare cˆ at mai concis˘a se vor utiliza notat¸ii compacte pentru indicii st˘arilor proprii impuls-spin ¸si coordonatelor de pozit¸ie-spin uni-particul˘a: – indice de stare proprie impuls-spin 1-particul˘ a q = (k, σ), – coordonat˘a pozit¸ie-spin 1-particul˘ a x = (r, s); atunci, vectorul propriu 1-particul˘ a ¸si funct¸ia proprie 1-particul˘ a corespunz˘ atoare sunt | q i −→ ϕq (x) = h x | q i = uk (r) χσ (s) . a) Definit¸ia operatorilor de cˆ amp ˆ ˆ † (x) sunt definit¸i prin relat¸iile condensate Operatorul de cˆ amp Ψ(x) ¸si conjugatul s˘au hermitic Ψ ˆ Ψ(x) =
Z X
ϕq (x) cˆq ,
(2.84a)
ϕ∗q (x) cˆ†q .
(2.84b)
q
ˆ † (x) = Ψ
Z X q
Relat¸iile anterioare de definit¸ie ale operatorilor de cˆ amp se pot exprima explicit, utilizˆand relat¸iile (2.34) – (2.35) ale funct¸iilor proprii uni-particul˘a (adic˘a renunt¸area la notat¸ia concis˘a): Z X X X ˆ s) = Ψ(r, uk (r) χσ (s) cˆkσ ≡ χσ (s) ψˆσ (r) , (2.85a) σ
ˆ † (r, s) = Ψ
k Z X X k
σ
σ
u∗k (r) χ∗σ (s) cˆ†kσ ≡
X σ
χ∗σ (s) ψˆσ† (r) ;
(2.85b)
64
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE
relat¸iile anterioare de explicitare introduc componentele de spin ale operatorilor de cˆ amp Z X uk (r) cˆkσ , (2.86a) ψˆσ (r) = k
ψˆσ† (r)
=
Z X
u∗k (r) cˆ†kσ .
(2.86b)
k
Coordonata de spin (s) ¸si indicele de spin (σ) reprezint˘ a acceea¸si m˘arime, conform expresiei spinorului Pauli pentru componenta z a operatorului de spin: χσ (s) = δσ,s ; ca urmare, operatorul de spin (scris ˆın mod explicit) ¸si componenta de spin a operatorului de cˆ amp sunt ˆın corespondent¸a simpl˘a ˆ s) = ψˆσ (r) Ψ(r, ; s=σ
ˆ s) ¸si ψˆσ (r) este modul de se observ˘ a c˘ a singura diferent¸˘ a ˆıntre cei doi operatori de cˆ amp Ψ(r, considerare a variabilei de spin: pentru operatorul de cˆ amp este o coordonat˘a de localizare, iar pentru componenta de spin a operatorului de cˆ amp este un indice de stare. b) Propriet˘ a¸ti ale operatorilor de cˆ amp 1. Relat¸iile de comutare/anti-comutare pentru operatorii de cˆ amp: ˆ ˆ † (x′ ) = δ(x, x′ ) ˆ1 , Ψ(x), Ψ ∓ † ˆ (x) , Ψ ˆ † (x′ ) ˆ ˆ ′) ; = ˆ0 = Ψ Ψ(x) , Ψ(x ∓ ∓
(2.87a) (2.87b)
ˆın mod similar relat¸iile de comutare/anti-comutare pentru componentele de spin ale operatorilor de cˆ amp sunt: ψˆσ (r), ψˆσ† ′ (r′ ) ∓ = δσσ′ δ 3 (r − r′ ) ˆ1 , (2.88a) ψˆσ (r) , ψˆσ′ (r′ ) ∓ = ˆ0 = ψˆσ† (r) , ψˆσ† ′ (r′ ) ∓ ; (2.88b) Relat¸iile de comutare/anti-comutare (2.87) – (2.88) rezult˘a ˆın mod direct din relat¸iile (2.80) pentru operatorii elementari ˆımpreun˘ a cu definit¸iile operatorilor de cˆ amp. Demonstrat¸ie: Pentru prima relat¸ie de comutare/anti-comutare a operatorilor de cˆ amp totali se utilizeaz˘ a defini¸tiile (2.84) ¸si apoi relat¸ia de comutare/anti-comutare (2.80a) a operatorilor elementari: Z Z Z X X X ∗ † ˆ ˆ † (x′ ) = ϕq (x) ϕ∗q (x) ˆ 1; = Ψ(x), Ψ ϕ (x) ϕ ′ (x) c ˆ , c ˆ q q ′ q q ∓ ∓ {z } | ′ q
q
q
= δq,q ′ ˆ 1
utilizˆ and reprezentarea coordonate a vectorilor proprii (2.34) ¸si relat¸ia de completitudine (2.16) se obt¸ine relat¸ia de orto-normare a vectorilor bazei de reprezentare (2.30a), astfel ˆıncˆ at rezult˘ a egalit˘ a¸tile Z Z X X ϕq (x) ϕ∗q (x) = hx|ϕq ihϕ∗q |xi = hx|x′ i = δ(x, x′ ) q
q
justificˆ andu-se relat¸ia (2.87a). Pentru a doua relat¸ie de comutare/anti-comutare a operatorilor de cˆ amp totali se procedeaz˘ a ˆın mod similar, obt¸inˆ andu-se rezultat nul, datorit˘ a relat¸iei (2.80b): Z Z X X ˆ ˆ ′) 0, Ψ(x), Ψ(x = ϕq (x) ϕq′ (x) cˆq , cˆ†q′ ∓ = ˆ ∓ | {z } ′ q q
=ˆ 0
iar ultima relat¸ie (2.87) rezult˘ a ˆın mod direct din conjugarea hermitic˘ a a relat¸iei de comutare/anticomutare precedent˘ a: † † ˆ ˆ ′) ˆ (x), Ψ ˆ † (x′ ) =ˆ 0. = ∓ Ψ(x), Ψ(x Ψ ∓
∓
2.3. DESCRIEREA SISTEMULUI MANY-BODY ˆIN CUANTIFICAREA II
65
Pentru relat¸ia (2.88a) se utilizeaz˘ a relat¸iile (2.86) ¸si apoi relat¸ia de comutare/anti-comutare a operatorilor elementari (2.80a) explicitat˘ a ˆın raport cu indicii de stare 1-particul˘ a Z Z Z X XX uk (r) u∗k (r′ ) ˆ 1; ψˆσ (r), ψˆσ† ′ (r′ ) ∓ = uk (r) u∗k′ (r′ ) cˆkσ , cˆ†k′ σ ′ ∓ = δσ,σ ′ {z } | ′ k
k
k
= δk,k′ δσ,σ′ ˆ 1
apoi utilizeaz˘ a relat¸ia (2.34), urmat˘ a de relat¸ia de completitudine (2.8), astfel ˆıncˆ at rezult˘ a: Z Z X X uk (r) u∗k (r′ ) = hr|uk ihuk |r′ i = hr|r′ i = δ 3 (r − r′ ) k
k
¸si astfel se justific˘ a relat¸ia (2.88a). Comutatorii/anti-comutatorii din relat¸iile (2.88b) sunt nuli, deoarece operatorii elementari satisfac relat¸iile (2.80b): Z X Z X ψˆσ (r), ψˆσ ′ (r′ ) ∓ = uk (r) uk′ (r′ ) cˆkσ , cˆk′ σ ′ ∓ = ˆ 0. | {z } ′ k
k
=ˆ 0
2. Exprimarea operatorilor elementari prin operatori de cˆ amp: Z X ˆ ϕ∗q (x) Ψ(x) , cˆq = cˆ†q
=
Zx X
(2.89a)
ˆ † (x) . ϕq (x) Ψ
(2.89b)
x
Se observ˘ a c˘ a relat¸iile (2.89) sunt inversele relat¸iilor de definit¸ie ale operatorilor de cˆ amp (2.84). Demonstrat¸ie: Produsul scalar al funct¸iilor proprii uni-particul˘a se exprim˘a prin produsul scalar al vectorilor proprii impuls-spin: Z Z X X ∗ ϕq , ϕq′ ≡ ϕq (x) ϕq′ (x) = hq|xi hx|q ′ i = hq|q ′ i ≡ hϕq |ϕq ′ i = δ(q, q ′ ) , x
x
unde s-a utilizat definit¸ia funct¸iilor proprii (2.34) ¸si relat¸ia de completitudine (2.30b). Atunci, utilizˆ and relat¸ia precedent˘ a, produsul scalar dintre funct¸ia proprie ϕq (x) ¸si operatorul de ˆ cˆ amp Ψ(x) este Z Z Z nX Z Z Z o X X X X X ∗ ˆ ˆ ≡ δ(q, q ′ ) cˆq′ ϕq′ (x) cˆq′ = ϕ∗q (x) ϕq′ (x) cˆq′ = = ϕ∗q (x) ϕq , Ψ ϕq (x) Ψ(x) x
x
q′
q′
x
q′
= cˆq , adic˘ a s-a obt¸inut relat¸ia (2.89a); relat¸ia (2.89b) se obt¸ine prin conjugarea hermitic˘ a a relat¸iei precedente.
ˆIn mod similar se deduc relat¸iile de inversare explicite Z cˆk,σ = d3 r u∗k (r) ψˆσ (r) , Z cˆ†k,σ = d3 r uk (r) ψˆσ† (r) . 3. Interpretarea fizic˘ a a operatorilor de cˆ amp se obt¸ine dac˘a se consider˘ a act¸iunea lor asupra vectorilor bazei numere de ocupare; astfel Z Z X X √ ˆ ϕq (x) (±1)sq nq | . . . , nq − 1, . . .i . ϕq (x) cˆq | . . . , nq , . . .i = Ψ(x) |{n}i = q
q
Se observ˘ a c˘ a rezultatul acestei act¸iuni este o superpozit¸ie de st˘ari cu N −1 particule, avˆand fiecare pe cˆ ate un mod (nq − 1) particule, iar coeficient¸ii sunt funct¸iile proprii 1-particul˘ a ϕq (x); atunci,
66
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE
operatorul de cˆ amp transform˘ a starea proprie N -particule |{n}i ˆınt-o stare (N − 1)-particule |Ψ′N −1 (x)i (care nu mai este o stare proprie, deoarece este o superpozit¸ie de st˘ari proprii): ˆ Ψ(x) |{n}i = |Ψ′N −1 (x)i ; ˆ ca urmare, operatorul de cˆ amp Ψ(x) poate fi considerat ca operatorul de anihilare a unei particule cu localizarea ˆın x = (r, s), indiferent de starea proprie q a particulei. ˆIn mod analog se arat˘a c˘ ˆ † (x) este operatorul de creare a unei particule cu localizarea ˆın a Ψ x = (r, s), indiferent de starea proprie q a particulei. De asemenea, componentele de spin ale operatorilor de cˆ amp ψˆσ (r) ¸si ψˆσ† (r) sunt operatorii de anihilare ¸si de creare a unei particule ˆın punctul r ¸si cu num˘arul cuantic al proiect¸iei spinului σ: ψˆσ (r) |ΨN i = |Ψ′N −1 i ,
2.3.3
ψˆσ† (r) |ΨN i = |Ψ′′N +1 i .
Operatori asociat¸i observabilelor
Se vor prezenta principalele rezultate, asupra operatorilor tip uni-particul˘a ¸si bi-particul˘a, valabile pentru ambele tipuri de sisteme (bosoni sau fermioni). Deoarece deducerea expresiilor operatorilor ˆın formalismul Cuantific˘arii II implic˘ a rat¸ionamente complicate, se vor prezenta deduceri simplificate; pe de alt˘ a parte, se vor discuta ˆın mod detaliat propriet˘ a¸tile operatorilor uni-particul˘ a ¸si bi-particul˘a ˆın formalismul Cuantific˘arii II. ˆIn Cuantificarea I sistemul este descris ˆın spat¸iul Hilbert cu num˘ar de particule fixat, iar operatorii asociat¸i observabilelor act¸ioneaz˘ a ˆın acest spat¸iu Hilbert, f˘ar˘a s˘a modifice num˘arul de particule. ˆIn Cuantificarea II sistemul este descris ˆın spat¸iul Fock, putˆand avea un num˘ar variabil de particule, iar operatorii de baz˘ a sunt operatorii elementari (care anihileaz˘a sau creaz˘ a particule pe st˘ari proprii uni-particul˘ a); ca urmare, redefinirea operatorilor asociat¸i observabilelor sistemului ˆın spat¸iul Fock (care este forma Cuantific˘arii II pentru ace¸sti operatori) se face ˆın termeni de ace¸sti operatori elementari, astfel ˆıncˆ at s˘a se conserve num˘arul de particule la act¸iunea operatorilor respectivi. Prin urmare, o m˘arime observabil˘a a sistemului va fi descris˘ a printr-un operator ˆın spat¸iul Hilbert (Cuantificarea I) ¸si aceea¸si m˘arime va fi descris˘ a printr-un operator ˆın spat¸iul Fock (Cuantificarea II); rezult˘a c˘ a fiec˘ arui operator din Cuantificarea I ˆıi corespunde un operator ˆın Cuantificarea II. a) Observabile tip 1-particul˘ a ˆIn formalisnul Cuantific˘ arii I un operator tip uni-particul˘a al sistemului N -particule (bosoni sau fermioni) este un operator definit ˆın spat¸iul Hilbert HN , fiind suma operatorilor corespunz˘ atori fiec˘ arei particule a sistemului, conform relat¸iei (2.4) AˆN =
QI
N X
a=1
Aˆa .
Dup˘a cum rezult˘a din definit¸ia (2.2), Aˆa este extensia operatorului particulei a la spat¸iul Hilbert total HN Aˆ(a) −→ Aˆa = ˆ 1(1) ⊗ · · · ⊗ ˆ1(a−1) ⊗ Aˆ(a) ⊗ ˆ1(a+1) ⊗ · · · ⊗ ˆ1(N ) .
Aˆ(a) este operatorul asociat particulei a, care act¸ioneaz˘ a ˆın sub-spat¸iul Hilbert al st˘arilor acestei particule H(a) ; deoarece particulele sunt identice, rezult˘a c˘ a operatorul Aˆ(a) are aceea¸si act¸iune pentru toate particulele sistemului, astfel c˘ a atunci cˆ and nu va fi necesar˘a specificarea particulei, se va utiliza notat¸ia simpl˘a Aˆ (f˘ ar˘ a indicele particulei). Reprezentantul algebric (operatorul ˆ funct¸ional) Aˆx ˆın reprezentarea coordonatelor de pozit¸ie-spin al operatorului Aˆ este definit prin relat¸iile (2.40) ¸si (2.42), iar elementul de matrice ˆın baza proprie uni-particul˘a (impuls-spin) al operatorului considerat se exprim˘ a ˆın reprezentarea coordonatelor conform relat¸iei (2.45) Z X ˆ ˆ ′ ˆ ˆ ϕ∗q (x) Aˆx ϕq ′ (x) ≡ ϕq , Aˆ ϕq′ ; hq|A|q i ≡ hϕq |A| ϕq ′ i = x
2.3. DESCRIEREA SISTEMULUI MANY-BODY ˆIN CUANTIFICAREA II
67
pentru simplitate se va utiliza notat¸ia mai concis˘a | ϕq i ≡ |qi. Expresia operatorului asociat m˘arimii specificate anterior, ˆın formalismul Cuantific˘arii II, este Z X Z X Aˆ = (2.90) h q | Aˆ | q ′ i cˆ†q cˆq ′ . Q II
q′
q
Demonstrat¸ie: Se utilizeaz˘ a relat¸ia de completitudine (2.16) pentru vectorii proprii uni-particul˘ a, astfel ˆıncˆ at operatorul asociat particulei “a” se exprim˘ a ˆın forma urm˘ atoare: Z Z Z Z X X (a) (a) (a) (a) X X ′ (a) (a) ϕq ϕq′ = q Aˆ q ϕq ϕq′ ; Aˆa = ϕq Aˆa ϕq′ {z } | ′ ′
q q q q ˆ q′ = q A
ˆın consecint¸˘ a, operatorul 1-particul˘ a ˆın Cuantificarea I are expresia AˆN =
QI
N X
a=1
Aˆa =
Z Z X N X (a) (a)
′ X ϕq ϕq′ . q Aˆ q q
a=1
q′
Pe de alt˘ a parte, s-a ar˘ atat (atˆ at ˆın cazul bosonic, cˆ at ¸si ˆın cazul fermionic) c˘ a operatorul (a) PN (din Cuantificarea I) este echivalent cu operatorul cˆq† cˆq′ (din Cuantificarea II), ϕ(a) ϕ q ′ a=1 q conform relat¸iei (2.83); atunci, operatorul din Cuantificarea II care este echivalent operatorului ˆN are expresia (2.90). A
Se observ˘ a c˘ a operatorul Aˆ este o combinat¸ie liniar˘a de produse constituite din perechi operatori a operatorul Aˆ transform˘a un vector N -particul˘a ˆıntr-un alt elementari de tip cˆ†q cˆq ′ , astfel c˘ vector N -particul˘ a. Este necesar s˘a se ia ˆın considerat¸ie urm˘atoarea remarc˘ a: operatorul din ˆ nu este egal cu operatorul din Cuantificarea I (AˆN ), dar ambii reprezint˘ Cuantificarea II (A) a aceea¸si m˘arime fizic˘ a, astfel c˘ a ei sunt echivalent¸i. Luˆand ˆın considerare relat¸iile dintre operatorii de cˆ amp ¸si operatorii elementari, exprimate prin formulele (2.84) ¸si (2.89), se poate exprima ˆın mod echivalent operatorul observabilei tip 1-particul˘ a ˆın Cuantificarea II ˆın termeni de operaratori de cˆamp: Z X ˆ ˆ † (x) Aˆˆx Ψ(x) Aˆ = , (2.91) Ψ Q II
x
ˆ a asupra coordonatelor de pozit¸ie-spin din operatorul de unde operatorul funct¸ional Aˆx act¸ioneaz˘ ˆ cˆ amp Ψ(x), adic˘a asupra funct¸iilor ϕq (x). Demonstrat¸ie: Se exprim˘ a operatorii elementari ˆın termeni de operatori de cˆ amp, conform relat¸iilor(2.89) Z Z Z Z Z Z XX XX X X ˆ † (x) ˆ ′) Aˆ = h q | Aˆ | q ′ i cˆ†q cˆq′ = h q | Aˆ | q ′ i ϕq (x) Ψ ϕ∗q (x′ ) Ψ(x q
q′
q
=
Z X
q′
x
ˆ † (x) Ψ
Z nX Z Z X X x′
x
q
q′
x′
o ˆ ′) . ϕq (x) h q | Aˆ | q ′ i ϕ∗q (x′ ) Ψ(x
Dar m˘ arimea din interiorul parantezelor este elementul de matrice al operatorului pentru o particul˘ a Z Z Z Z XX XX ϕq (x) h q | Aˆ | q ′ i ϕ∗q (x′ ) = hx|qih q | Aˆ | q ′ i hq ′ |x′ i = hx| Aˆ | x′ i ; q
q′
q
q′
ˆ utilizˆ and rezultatul anterior, iar apoi definit¸ia operatorului funct¸ional Aˆx , se obt¸ine Z Z Z X X X ˆ † (x) ˆ ′) = ˆ † (x) Aˆ ˆx Ψ(x) ˆ Aˆ = Ψ hx| Aˆ | x′ iΨ(x Ψ , x
adic˘ a rezultatul cerut.
x′
x
68
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE
Expresia operatorului 1-particul˘ a ˆın termeni de componente de spin ale operatorilor de cˆ amp: Aˆ = ˆ unde Aˆr
σ,σ′
Z
d3 r
−s,s X σ,σ′
ˆ ψˆσ† (r) Aˆr σ,σ′ ψˆσ′ (r) ,
(2.92a)
este matricea de spin a operatorului algebric ˆ Aˆr
σ,σ′
≡
s X
s=−s
ˆ χ∗σ (s) Aˆrs χσ′ (s) .
(2.92b)
ˆIn expresia (2.91) a operatorului A ˆ se exprim˘ a operatorii de cˆ amp prin componentele lor de spin, conform relat¸iei (2.85), iar apoi se efectueaz˘ a sumele dup˘ a variabilele de spin
Demonstrat¸ie:
Aˆ =
Z X
ˆ † (x) Aˆ ˆ ˆx Ψ(x) Ψ =
x
=
Z
Z
s nX X
d3 r
s=−s
d3 r
X σ,σ′
σ
nX o o ˆ χ∗σ (s) ψˆσ† (r) Aˆrs χσ′ (s) ψˆσ′ (r) σ′
s n X o ˆ ψˆσ† (r) χ∗σ (s) Aˆrs χσ′ (s) ψˆσ′ (r) , s=−s
astfel ˆıncˆ at s-a obt¸inut relat¸ia cerut˘a.
Sunt situat¸ii cˆ and este necesar s˘a se separe partea operatorilor de cˆ amp, astfel c˘ a expresia anterioar˘a a operatorului uni-particul˘ a se poate scrie ˆın mod formal astfel Z X ˆ ˆ A = d3 r lim (2.92c) Aˆr σ′ ,σ ψˆσ† ′ (r′ ) ψˆσ (r) , ′ σ,σ′
r →r
unde operatorul funct¸ional a fost extras la stˆanga, dar pentru a evita act¸iunea sa asupra operatorului de cˆ amp ψˆσ† (r), s-a schimbat variabila r, iar pentru simetrie s-au interschimbat indicii de spin. Observat¸ii: ˆ i. Conform definit¸iei (2.92b), matricea de spin a operatorului algebric (funct¸ional) Aˆr σ′ ,σ este o matrice ˆın raport cu indicii de spin (σ ¸si σ ′ ), dar r˘amˆ ane un operator funct¸ional (multiplicativ ¸si/sau diferent¸ial) ˆın raport cu variabila de pozit¸ie r. ii. Deoarece operatorul Aˆ se exprim˘ a ca o integral˘a spat¸ial˘a, se poate introduce densitatea operatorului 1-particul˘ a a ˆ(r), conform relat¸iei de definit¸ie: 5 Z Aˆ = d3 r a ˆ(r) , (2.93a) a ˆ(r) =
−s,s X σ,σ′
ˆ ψˆσ† (r) Aˆr σ,σ′ ψˆσ′ (r) .
(2.93b)
Expresia (2.93b) pentru densitatea operatorului 1-particul˘ a este valabil˘a numai dac˘a operatorul ˆ ˆ algebric Ar nu cont¸ine operat¸ii de derivare ˆın raport cu variabila spat¸ial˘a (situat¸ia este realizat˘a dac˘a operatorul este independent de impuls), dar ˆın cazul general expresia precedent˘ a trebuie simetrizat˘ a, pentru a asigura hermiticitatea operatorului a ˆ(r, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine a ˆ(r) =
−s,s 1 X ˆ† ˆ ψσ (r) Aˆr σ,σ′ ψˆσ′ (r) + h.c. , 2 ′
(2.93c)
σ,σ
unde simbolul “h.c.” desemneaz˘a conjugatul hermitic al operatorului anterior. 5 Trebuie s˘ a se ment¸ioneze c˘ a ˆın situat¸ia cˆ and operatorul algebric cont¸ine operat¸ii de derivare ˆın raport cu variabilele spat¸iale, atunci este necesar s˘ a se simetrizeze expresia operatorului densitate, pentru a avea un operator ˆ simetrizarea nu este absolut necesar˘ hermitic; totu¸si pentru operatorul total A a, deoarece integrarea spat¸ial˘ a asigur˘ a hermiticitatea.
2.3. DESCRIEREA SISTEMULUI MANY-BODY ˆIN CUANTIFICAREA II
69
iii. Cazuri particulare simple (pentru operatorul algebric): • Operator independent de spin (are act¸iune numai asupra coordonatelor de pozit¸ie, adic˘a ˆ ˆ ˆ Aˆrs = Aˆr ⊗ ˆ 1s ; atunci, matricea de spin a operatorului algebric devine o matrice banal˘a s s n X o X ˆ ˆ ˆ ˆ χ∗σ (s) Aˆr ⊗ ˆˆ1s χσ′ (s) = Aˆr σ,σ′ = χ∗σ (s) χσ′ (s) Aˆr = δσ,σ′ Aˆr , s=−s
s=−s
iar operatorul densitate se simplific˘ a la forma urm˘atoare 1 a ˆ(r) = 2
X s
σ=−s
ˆ ψˆσ† (r) Aˆr ψˆσ (r) + h.c.
−−−−−−−−→
a ˆ(r) =
indep. impuls
s X
σ=−s
ˆ ψˆσ† (r) Aˆr ψˆσ (r) . (2.94)
• Operator de spin, independent de coordonatele de pozit¸ie (are act¸iune numai asupra variˆ ˆ ˆ abilelor de spin) Aˆrs = ˆ 1r ⊗ Aˆs ; atunci, matricea de spin a operatorului algebric devine un operator funct¸ional banal, adic˘a o simpl˘a matrice de spin s s o n X X ˆ ˆˆ ˆ ˆ ∗ ˆ ˆ ′ χ∗σ (s) Aˆs χσ′ (s) ˆˆ1r = Aσ,σ′ ˆˆ1r , χσ (s) 1r ⊗ As χσ (s) = Ar σ,σ′ = s=−s
s=−s
iar operatorul densitate se simplific˘ a la forma urm˘atoare a ˆ(r) =
−s,s X σ,σ′
6
ψˆσ† (r) Aσ,σ′ ψˆσ′ (r) .
(2.95)
Exemple remarcabile a) Num˘arul de particule Num˘ arul de particule nu este descris de un operator ˆın Cuantificarea I, pentru c˘ a se consider˘ a sistemul cu num˘ arul de particule precizat ˆınc˘ a de la definirea sistemului; ca urmare, operatorul num˘ar de particule ˆın Cuantificarea II se construie¸ste ˆın mod direct din rezultatele fundamentale. Conform relat¸iei (2.81), operatorul num˘ar de particule pe modul q este n ˆ q = cˆ†q cˆq ; atunci ˆ ) se obt¸ine, prin sumarea (integrarea) pe toate modurile: operatorul num˘ ar total de particule (N Z X ˆ cˆ†q cˆq . (2.96a) N= q
Rezultatul anterior se poate exprima ˆın termeni de operatori de cˆ amp prin formula Z X ˆ † (x) Ψ(x) ˆ ˆ = Ψ , N
(2.96b)
x
sau mai explicit, ˆın termeni de componente de spin ale operatorilor de cˆ amp, prin care se define¸ste ˆ(r) operatorul densitate de particule n Z ˆ = d3 r n ˆ(r) , N (2.96c) X ˆ(r) = n ψˆσ† (r) ψˆσ (r) . (2.96d) σ
Demonstrat¸ie: Exprimarea operatorului 1-particul˘a, forma Cuantific˘arii II, ˆın termeni de operatori de cˆ amp se obt¸ine prin utilizarea relat¸iei (2.91), ˆın care apare operatorul funct¸ional pentru o particul˘ a al observabilei considerate; pe de alt˘ a parte, expresia aceluia¸si operator ˆın termeni de operatori elementari cont¸ine elementul de matrice al operatorului unei particule, conform relat¸iei 6 S-a utilizat relat ¸ia (2.93b), ˆın locul relat¸iei mai generale (2.93c), deoarece ˆın cazul prezent operatorul algebric este un operator banal ˆın sub-spat¸iul coordonatelor de pozit¸ie.
70
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE (2.90). Pentru a obt¸ine operatorul (formal) asociat unei particule pentru cazul studiat, se transform˘ a relat¸ia (2.96a) astfel ˆıncˆ at s˘ a fie de tipul relat¸iei (2.90): Z Z Z Z X Z X † XX X ˆ = ˆ |q ′ i cˆ†q cˆq′ ; N cˆq cˆq = δ(q, q ′ ) cˆ†q cˆq′ ≡ hq| N q
q
q′
q
q′
ˆ are matricea hq| N ˆ |q ′ i = δ(q, q ′ ), ceea ce implic˘ se observ˘ a c˘ a operatorul formal N a operatorul ˆ ˆ unitate ˆın spat¸iul Hilbert 1-particul˘ a N = 1. Atunci, rezult˘ a ˆın mod direct relat¸iile (2.96b) din relat¸ia (2.91) ¸si apoi prin explicitarea coordonatelor de pozit¸ie-spin, se obt¸in relat¸iile (2.96c) ¸si (2.96d).
b) Impulsul (total al sistemului) ˆIn Cuantificarea I operatorul impuls total al sistemului este suma operatorilor impuls pentru fiecare particul˘ a, conform formulei (2.4) ˆ = P
QI
N X
ˆ (a) , P
a=1
ˆ =p ˆ ⊗ ˆ1s , iar unde operatorul impuls al unei particule este un operator independent de spin: P ~ ˆˆ r = ∇. Luˆand reprezentantul algebric al operatorului impuls ˆın reprezentarea coordonate este p i ˆın considerare ecuat¸ia cu valori proprii a impulsului unei particule (2.7) ¸simai general (2.13), ˆ ˆın baza proprie impuls-spin |qi ≡ |k, σi : rezult˘a elementul de matrice al operatorului P ˆ |q ′ i = ~k δ(q, q ′ ) , hq| P
ˆ corespunz˘ deoarece |qi este un vector propriu al operatorului P ator valorii proprii ~k. Atunci, conform relat¸iei generale (2.90), expresia operatorului impuls total al sistemului ˆın formalismul Cuantific˘ arii II este Z X Z X Z X Z X X X † ˆ = ˆ |q ′ i cˆ† · cˆq′ = P ~k c ˆ · c ˆ = ~k n ˆ k,σ . (2.97a) hq| P k,σ q k,σ Q II
q
q′
k
σ
k
σ
Deoarece operatorul impuls este independent de spin, conform relat¸iilor (2.93) – (2.94), expresia impulsului total ˆın Cuantificarea II este Z Z X ~ ˆ = d3 r ˆ (r) . (2.97b) P ψˆσ† (r) ∇ψˆσ (r) ≡ d3 r p i σ ˆ (r) nu poate fi considerat ˆın mod simplu ca fiind egal cu inOperatorul densitate de impuls p tegrandul operatorului impuls total, deoarece acest rezultat nu este un operator hermitic; ca urmare, se simetrizeaz˘a operatorul precedent, conform relat¸iei (2.93c), ¸si se obt¸ine ˆ (r) = p
o ~ X n ˆ† ψσ (r) · ∇ψˆσ (r) − ∇ψˆσ† (r) · ψˆσ (r) . 2i σ
(2.97c)
Demonstrat¸ie: Pentru a obt¸ine un operator densitate hermitic se consider˘ a expresia operatorului impuls (2.97b) ˆın forma modificat˘ a (adaptat˘ a operat¸iei de simetrizare) o XZ 3 n † ˆ = ~ d r ψˆσ (r) ∇ψˆσ (r) + ψˆσ† (r) ∇ψˆσ (r) . P 2i σ Al doilea termen (din interiorul parantezelor acolade) se transform˘ a corespunz˘ ator unei integr˘ ari prin p˘ art¸i, adic˘ a: ψˆσ† (r) ∇ψˆσ (r) = ∇ ψˆσ† (r) ψˆσ (r) − ∇ψˆσ† (r) · ψˆσ (r); ca urmare, operatorul impuls devine Z Z o Xn † ~ X ˆ = d3 r ~ d3 r ∇ ψˆσ† (r) ψˆσ (r) . ψˆσ (r) · ∇ψˆσ (r) − ∇ψˆσ† (r) · ψˆσ (r) + P 2i σ 2i σ
2.3. DESCRIEREA SISTEMULUI MANY-BODY ˆIN CUANTIFICAREA II
71
Termenul al doilea din expresia precedent˘ a a operatorului impuls, care este integrala spat¸ial˘ a a unui gradient operatorial, se poate evalua utilizˆ and descompunerea operatorilor de cˆ amp ˆın operatori elementari, conform relat¸iei (2.86), unde funct¸ia proprie 1-particul˘ a este unda plan˘ a avˆ and expresia dat˘ a de formula (2.36) X 1 uk (r) cˆkσ , uk (r) = √ eik·r ; ψˆσ (r) = V k atunci ˆın gradientul operatorial (din ultima expresie a impulsului) se poate separa partea operatorial˘ a pur˘ a X † X ∗ ′ 1 i(k′ − k) ei(k−k )·r cˆ†k′ σ cˆkσ . ∇ uk′ (r) uk (r) cˆ†k′ σ cˆkσ = ∇ ψˆσ (r) ψˆσ (r) = V ′ ′ k,k
k,k
Pe baza rezultatului precedent ¸si prin utilizarea relat¸iei Fourier discrete (A.32), se obt¸ine estimarea operatorului integral˘ a a divergent¸ei produsului de operatori de cˆ amp, (evident¸iat ˆın expresia transformat˘ a a operatorului impuls) Z Z X ′ 1 ˆσ ≡ ˆ. i(k′ − k) J d3 r ∇ ψˆσ† (r) ψˆσ (r) = d3 r ei(k−k )·r cˆ†k′ σ cˆkσ = 0 V V k,k′ } | V {z = δk,k′
Deoarece al doilea termen din expresia modificat˘ a a operatorului impuls este nul, rezult˘ a c˘ a operatorul impuls este exprimat numai de primul termen, iar acest termen define¸ste un operator hermitic pentru densitate, care are expresia (2.97c).
c) Energia cinetic˘a (total˘a a sistemului) = hamiltonianul sistemului liber ˆIn Cuantificarea I operatorul energie cinetic˘a total˘ a a sistemului este suma operatorilor energie cinetic˘ a pentru fiecare particul˘ a, conform formulei (2.4) Tˆ =
QI
N X
a=1
Tˆ (a) ,
1 2 ˆ ˆ ⊗ 1s este o funct¸ie numai de operatorul impuls ¸si este un operator independent unde Tˆ = p 2m de spin; atunci reprezentantul algebric (ˆın reprezentarea coordonate) a energiei cinetice pentru −~2 2 ˆ o particul˘ a, este operatorul diferent¸ial Tˆr = ∇ . Deoarece energia cinetic˘a este dependent˘ a 2m numai de operatorul impuls, rezult˘a c˘ a vectorii proprii ai impulsului sunt ˆın acela¸si timp vectori proprii energiei cinetice, astfel c˘ a elementul de matrice al operatorului Tˆ ˆın baza proprie impuls spin |qi ≡ |k, σi este ~2 k2 hq| Tˆ |q ′ i = δ(q, q ′ ) ; 2m atunci, conform relat¸iei generale (2.90), expresia operatorului energie cinetic˘a total˘ a a sistemului ˆın Cuantificarea II este Z X 2 2 Z X Z Z X 2 2 X X X ~ k ~ k † cˆk,σ cˆk,σ = n ˆ k,σ . (2.98a) Tˆ = hq| Tˆ |q ′ i cˆ†q cˆq ′ = Q II 2m 2m σ σ q
q′
k
k
Deoarece operatorul energie cinetic˘ a este independent de spin, conform relat¸iilor (2.93) – (2.94), expresia energiei cinetice totale ˆın Cuantificarea II este Z Z X −~2 2 ˆ ψˆσ† (r) Tˆ = d3 r (2.98b) ∇ ψσ (r) ≡ d3 r tˆ(r) . 2m σ Operatorul densitate de energie cinetic˘a tˆ(r) nu poate fi considerat ˆın mod simplu ca fiind egal cu integrandul operatorului impuls total, deoarece acest rezultat nu este un operator hermitic (la fel ca ˆın cazul impulsului); ca urmare, se simetrizeaz˘a operatorul precedent ¸si se obt¸ine ~2 X ˆ† tˆ(r) = ∇ψσ (r) · ∇ψˆσ (r) . 2m σ
(2.98c)
72
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE Demonstrat¸ie: Se procedeaz˘ a ˆın mod similar cu deducerea operatorului densitate de impuls (2.97c); astfel, se efectueaz˘ a o transformare a integrandului corespunz˘ ari prin p˘ art¸i atoare unei integr˘ ψˆσ† (r) ∇2 ψˆσ (r) = ∇ · ψˆσ† (r) ∇ψˆσ (r) − ∇ψˆσ† (r) · ∇ψˆσ (r).
Atunci, operatorul energie cinetic˘ a devine Z 2 XZ ~2 X ~ 3 † ˆ ˆ ˆ d r ∇ψσ (r) · ∇ψσ (r) − d3 r ∇ · ψˆσ† (r) ∇ψˆσ (r) . T = 2m σ 2m σ
ˆIn termenul al doilea se utilizeaz˘ a dezvoltarea operatorilor de cˆ amp ˆın raport cu operatorii elementari pe st˘ ari 1-particul˘ a (2.86) ¸si expresiile undelor plane care reprezint˘ a funct¸iile proprii 1-particul˘ a cu impuls determinat (2.36); atunci integrandul termenului al doilea din expresia precedent˘ a a operatorului energie cinetic˘ a (divergent¸a operatorial˘ a) devine X X 1 i(k−k′ )·r † k · (k′ − k) ∇ · u∗k′ (r) ∇uk (r) cˆ†k′ σ cˆkσ = ∇ · ψˆσ† (r) ∇ψˆσ (r) = e cˆk′ σ cˆkσ . V ′ ′ k,k
k,k
La fel ca ¸si ˆın cazul operatorului impuls, ˆın cazul prezent integrala spat¸ial˘ a a operatorului anterior este operatorul nul, datorit˘ a relat¸iei Fourier discrete (A.32): Z Z X ′ 1 ˆσ ≡ d3 r ei(k−k )·r cˆ†k′ σ cˆkσ = ˆ 0. k · (k′ − k) K d3 r ∇ · ψˆσ† (r) ∇ψˆσ (r) = V V V k,k′ | {z } = δk,k′
Pe baza rezultatului precedent se obt¸ine c˘ a operatorul energie cinetic˘ a cont¸ine numai primul termen (deoarece al doilea termen este nul), ceea ce implic˘ a formula (2.98c) pentru operatorul (hermitic) densitate de energie cinetic˘ a.
d) Spinul (total al sistemului) ˆIn Cuantificarea I operatorul proiect¸ia spinului total al sistemului este suma operatorilor proiect¸ie a spinului pentru fiecare particul˘ a, conform formulei (2.4) Sˆz =
QI
N X
a=1
(a) Sˆz ,
unde operatorul proiect¸ie a spinului pe axa Oz al unei particule este un operator independent de coordonatele de pozit¸ie: Sˆz = ˆ 1r ⊗ sˆz . Luˆand ˆın considerare ecuat¸ia cu valori proprii a componentei spinului unei particule (2.9) ¸si mai general rezult˘a elementul de matrice al (2.13), operatorului Sˆz ˆın baza proprie impuls-spin |qi ≡ |k, σi : hq| Sˆz |q ′ i = ~σ δ(q, q ′ ) ,
deoarece |qi este un vector propriu al operatorului Sˆz corespunz˘ ator valorii proprii ~σ. Atunci, conform relat¸iei generale (2.90), expresia operatorului componenta spinului total al sistemului ˆın Cuantificarea II este Z X Z Z X Z X X X X Sˆz = ~σ cˆ†k,σ · cˆk,σ = ~σ n ˆ k,σ . (2.99a) hq| Sˆz |q ′ i cˆ†q · cˆq′ = Q II
q
q′
k
σ
k
σ
Deoarece operatorul component˘ a a spinului este independent de coordonatele de pozit¸ie (este un operator de spin pur), matricea sa de spin ˆın baza proprie este Sσ,σ′ ≡
s X
s=−s
ˆ sz |χσ′ i = ~σ δσ,σ′ ; χ∗σ (s) Sˆz χσ′ (s) = hχσ |ˆ
atunci, conform relat¸iei generale (2.95), densitatea operatorului component˘ a a spinului total este sˆz (r) =
−s,s X σ,σ′
ψˆσ† (r) Sσ,σ′ ψˆσ′ (r) =
−s,s X
~σ ψˆσ† (r) ψˆσ (r) ,
(2.99b)
σ
iar operatorul component˘ a a spinului total este Z Sˆz = d3 r sˆz (r) .
(2.99c)
2.3. DESCRIEREA SISTEMULUI MANY-BODY ˆIN CUANTIFICAREA II
73
a) Observabile tip 2-particul˘ a ˆIn formalisnul Cuantific˘ arii I un operator tip bi-particul˘a al sistemului N -particule (bosoni sau fermioni) este un operator definit ˆın spat¸iul Hilbert HN , fiind suma operatorilor corespunz˘ atori fiec˘ arei perechi de particule a sistemului, conform relat¸iei (2.5) 1,N
X′ ˆN = 1 B Bˆab ; QI 2 a,b (a6=b)
sumarea se face pe toate perechile de particule (a, b), astfel ˆıncˆ at este necesar factorul 12 pentru a evita repetarea unei perechi de particule cˆ and se sumeaz˘a peste Dup˘ a cum rezult˘a din definit¸ie, Bˆab este extensia operatorului pentru perechea de particule a ¸si b la spat¸iul Hilbert total HN Bˆ(ab)
Bˆab =
−→
N n O
c=1 (c6=a,b)
o ˆ1(c) ⊗ Bˆ(a,b) .
Bˆ(ab) este operatorul asociat perechii de particule a ¸si b, care act¸ioneaz˘ a ˆın produsul direct de sub-spat¸ii Hilbert ale st˘ arilor acestei perechi de particule H(a) ⊗ H(b) ; deoarece particulele sunt identice, rezult˘a c˘ a operatorul Bˆ(ab) are aceea¸si act¸iune pentru toate perechile de particulele ale sistemului, astfel c˘ a nu va fi necesar˘a specificarea particulelor ¸si se va utiliza notat¸ia simpl˘a Bˆ ˆ (f˘ ar˘a indicii particulelor). Reprezentantul algebric (operatorul funct¸ional) Bˆx,x′ ˆın reprezentarea coordonatelor de pozit¸ie-spin al operatorului Bˆ este definit prin relat¸ia (2.49), iar elementul de matrice, ˆın baza proprie bi-particul˘a (impuls-spin), al operatorului considerat se exprim˘ a ˆın reprezentarea coordonatelor conform relat¸iei hq 1 , q ′1 | Bˆ |q 2 , q ′2 i
≡ hϕq 1 |hϕq ′1 | Bˆ | ϕq ′2 i| ϕq 2 i =
Z X Z X x
x′
ˆ ϕ∗q 1 (x) ϕ∗q′1 (x′ ) Bˆx,x′ ϕq ′2 (x′ ) ϕq 2 (x) ;
pentru simplitate se va utiliza notat¸ia mai concis˘a | ϕq i ≡ |qi, la fel cum s-a procedat ˆın cazul operatorilor tip uni-particul˘ a. Expresia operatorului asociat m˘arimii specificate anterior, ˆın formalismul Cuantific˘arii II, este Z Z Z Z 1 XXXX ˆ B = h q 1 , q ′1 | Bˆ | q 2 , q ′2 i cˆ†q1 cˆ†q′ cˆq ′2 cˆq2 . 1 Q II 2 q ′1
q1
(2.100)
q ′2
q2
Demonstrat¸ie: Se generalizeaz˘ a metoda utilizat˘ a anterior pentru deducerea expresiei unui operator tip 1-particul˘ a ˆın Cuantificarea II, adic˘ a se introduce elementul de matrice al operatorului corespunz˘ ator unei perechi de particule cu ajutorul relat¸iei de completitudine a vectorilor proprii 1-particul˘ a (2.16): Bˆab =
Z Z Z Z X X (a) (a) X (b) (b) (a) (a) X (b) (b) ϕq ˆ ϕ ′ ϕ ′ ϕ ϕ ϕ ϕ B ϕ ab q1 q2 q2 1 q′ q′ q q 1
q ′1
q1
=
1
2
2
q′2
q2
Z Z X Z X Z X X (b)
(a) (b) (a) (b) (a) (b) ϕq ϕ ′ ϕq ϕ ′ ; ϕq1 ϕq′ Bˆab ϕq′ ϕ(a) q2 q1 q2 1 2 1 2 {z } | q q′ q′ q 1
1
2
2
ˆ 2 ,q ′ i = hq 1 ,q ′1 |B|q 2
ca urmare, operatorul tip 2-particul˘ a, ˆın Cuantificarea I, se exprim˘ a ˆın urm˘ atoarea form˘ a: 1,N 1,N Z Z Z Z X X ′ ′ (a) (b) (a) (b) 1 XXXX ˆN = 1 ϕq ϕ ′ ϕq ϕ ′ . B Bˆab = hq 1 , q ′1 | Bˆ |q2 , q ′2 i q1 2 1 q2 QI 2 2 a,b (a6=b)
q1
q ′1
q2
q ′2
a,b (a6=b)
74
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE Partea operatorial˘ a a operatorului precedent se prelucreaz˘ a astfel: 1,N 1,N X X ′ (a) (b) (a) (b) ′ (a) (a) (b) (b) ϕq ϕ ′ ϕq ϕ ′ = ϕq ϕq · ϕ ′ ϕ ′ q1
1
a,b (a6=b)
2
q2
1
q1
2
a,b (a6=b)
=
q2
1,N 1,N X (a) (a) (b) (b) X (a) (a) (a) (a) ϕq ϕq ϕq′ ϕ · ϕ ϕ − ϕq2 ϕq′ q2 1 q ′1 1 q′2 2 {z 1 } | a a,b = δq ,q ′ 2 1
=
N N N X X (a) (a) (a) (a) X (b) (b) ϕq ϕq ϕ ′ ϕ ′ − δq ,q′ ϕq′ . ϕq2 · 1 1 q q 2 1 a=1
1
b=1
2
a=1
2
PN (a) (a) Apoi se utilizeaz˘ a relat¸ia de echivalent¸˘ a (2.83) ˆıntre operatorul ϕq′ (din Cuana=1 ϕq † ′ at se obt¸ine operatorul echivalent tificarea I) ¸si operatorul cˆq cˆq (din Cuantificarea II), astfel ˆıncˆ din Cuantificarea II: N N X (a) (a) X (b) (b) ϕq ϕ ′ ϕ ′ − δq ϕq · 1
2
a=1
b=1
q1
q2
′ 2 ,q1
N X (a) (a) ϕq ϕq′ ⇐⇒ cˆ†q1 cˆq2 · cˆ†q′ cˆq′2 − δq2 ,q′1 cˆ†q1 cˆq′2 ; 1 2
a=1
1
ˆın acest operator echivalent se substituie simbolul Kronecker cu comutatorul (ˆın cazul bosonic) sau anti-comutatorul (ˆın cazul fermionic) al operatorilor elementari, conform relat¸iei comune (2.80a), astfel c˘ a rezult˘ a: cˆ†q1 cˆq2 · cˆ†q′ cˆq′2 − δq2 ,q′1 cˆ†q1 cˆq′2 = cˆ†q1 cˆq2 · cˆ†q′ cˆq′2 − cˆ†q1 δq2 ,q′1 cˆq′2 1 1 = cˆ†q1 cˆq2 · cˆ†q′ cˆq′2 − cˆ†q1 cˆq2 , cˆ†q′ ∓ cˆq′2 1
1
= cˆ†q1 cˆq2 · cˆ†q′ cˆq′2 − cˆ†q1 cˆq2 cˆ†q′ ∓ cˆ†q′ cˆq2 cˆq′2 1
1
1
= ± cˆ†q1 cˆ†q′ cˆq2 cˆq′2 1
= cˆ†q1 cˆ†q′ cˆq′2 cˆq2 ; 1
prin substituirea ultimei forme a operatorului echivalent se obt¸ine formula (2.100).
Se observ˘ a c˘ a ˆın acest caz operatorul bi-particul˘a este o combinat¸ie liniar˘a de 2 operatori de creare, ˆımpreun˘ a cu 2 operatori de anihilare, astfel c˘ a se conserv˘ a num˘arul total de particule (rezultat care este ˆın concordant¸˘ a cu act¸iunea operatorului corespondent din Cuantificarea I). ˆIn mod similar cazului uni-particul˘a, operatorii bi-particul˘a ˆın Cuantificarea II se pot exprima ˆın termeni de operatori de cˆ amp Z Z 1 XX ˆ † ˆ ˆ ′ ) Ψ(x) ˆ ˆ † (x′ ) Bˆˆx,x′ Ψ(x B = , (2.101) Ψ (x) Ψ Q II 2 x
x′
ˆ unde operatorul funct¸ional Bˆx,x′ act¸ioneaz˘ a asupra coordonatelor de pozit¸ie-spin din operatorii ˆ ˆ ′ ), adic˘a asupra funct¸iilor ϕq (x); se observ˘a ˆın plus, ordinea ˆın care se scriu de cˆ amp Ψ(x) ¸si Ψ(x operatorii de cˆ amp (aceast˘ a ordine este important˘ a datorit˘a relat¸iilor de comutare bosonice, sau de anti-comutare fermionice). Deducerea relat¸iei (2.101) din relat¸ia (2.100) este similar˘ a (dar mai lung˘ a) cu demonstrat¸ia f˘ acut˘ a anterior pentru relat¸ia (2.91) ˆın cazul operatorilor uni-particul˘a; ca urmare, pentru concizia expunerii prezente, se va renunt¸a la aceast˘a demonstrat¸ie. Expresia precedent˘ a a operatorului bi-particul˘a se poate explicita ˆın termeni de componente de spin ale operatorilor de cˆ amp, utilizˆand relat¸iile de descompunere (2.85), astfel c˘ a se obt¸ine expresia urm˘atoare Z Z −s,s X ˆ ˆ = 1 d3 r d3 r′ (2.102a) ψˆσ† 1 (r) ψˆσ† ′ (r′ ) Bˆr,r′ σ1 ,σ2 ;σ′ ,σ′ ψˆσ2′ (r′ ) ψˆσ2 (r) , B 1 1 2 2 ′ ′ σ1 ,σ1 ,σ2 ,σ2
ˆ unde Bˆr
σ1 ,σ2 ;σ1′ ,σ2′
este matricea de spin a operatorului algebric
ˆ Bˆr,r′
σ1 ,σ2 ;σ1′ ,σ2′
≡
−s,s X s,s′
ˆ χ∗σ1 (s) χ∗σ1′ (s′ ) Bˆrs,r′ s′ χσ2′ (s′ ) χσ2 (s) .
(2.102b)
2.3. DESCRIEREA SISTEMULUI MANY-BODY ˆIN CUANTIFICAREA II
75
Observat¸ii asupra elementelor de matrice ale operatorilor bi-particul˘a 1) Operatorul asociat unei perechi de particule, notat Bˆ (unde se omit indicii particulelor) act¸ioneaz˘ a ˆın spat¸iul Hilbert al st˘ arilor celor 2 particule H ⊗ H′ (care este produsul direct de spat¸ii de st˘ ari uni-particul˘ a); pe de alt˘ a parte, vectorul bazei coordonatelor |x, x′ i = |xi|x′ i este produsul direct dintre vectorul |xi definit ˆın spat¸iul H ¸si vectorul |x′ i definit ˆın spat¸iul H′ ; ˆın mod similar vectorul bazei proprii (impulsuri-spini) |q, q ′ i = |qi|q ′ i este produsul direct dintre vectorul |qi definit ˆın spat¸iul H ¸si vectorul |qi definit ˆın spat¸iul H′ . Atunci, elementul de matrice bi-particul˘a implic˘ a efectuarea operat¸iilor ˆın mod succesiv: ˆıntˆai ˆın spat¸iul H′ , iar apoi ˆın spat¸iul H; explicitare: ˆ , q ′ i = hq | hq ′ |B|q ˆ ′ i |q i , hq 1 , q ′1 |B|q 2 1 1 2 2 2 (se observ˘ a c˘ a expresia din interiorul parantezelor acolade este un produs scalar ˆın spat¸iul Hilbert H′ , iar rezultatul este un operator ˆın spat¸iul Hilbert H). ˆIn mod similar se define¸ste matricea operatorului ˆın baza coordonatelor ˆ 2 , x′ i = hx1 | hx′ |B|x ˆ ′ i |x2 i . hx1 , x′1 |B|x 2 1 2 Relat¸Zia de completitudine a vectorilor bazei de coordonate (2.30b), scris˘a f˘ar˘a indicii particulei P |xihx| = ˆ 1 ; ca urmare, relat¸ia de completitudine pentru spat¸iul produs este este x
Z X Z X x
′
′
|x, x ihx, x | =
x
Z nX
|xihx|
x
Z onX x′
o |x′ ihx′ | = ˆ1H ⊗ ˆ1H′ = ˆ1H⊗H′ .
Atunci, utilizˆand relat¸ia de completitudine bi-particul˘a se obt¸ine reprezentarea coordonate pentru elementul de matrice a operatorului bi-particul˘a: Z Z X Z X Z X X ′ ˆ ′ ˆ 2 , x′2 ihx2 , x′2 |q 2 , q ′2 i ; hq 1 , q ′1 |x1 , x′1 ihx1 , x′1 |B|x hq 1 , q 1 |B|q 2 , q 2 i = x1
x′1
x2
x′2
dar, conform relat¸iei (2.34), hq 1 , q ′1 |x1 , x′1 i = hq 1 |x1 ihq ′1 |x′1 i = ϕ∗q1 (x1 ) ϕ∗q ′1 (x′1 )
hq 2 , q ′2 |x2 , x′2 i = hq 2 |x2 ihq ′2 |x′2 i = ϕ∗q2 (x2 ) ϕ∗q ′2 (x′2 ) , astfel ˆıncˆ at elementul de matrice anterior devine Z Z nX Z Z X o X X ∗ ∗ ′ ′ ˆ ′ ˆ 2 , x′ i ϕ∗ ′ (x′ ) ϕ∗ (x2 ) hx1 , x′1 |B|x ϕq 1 (x1 ) ϕq′1 (x1 ) hq 1 , q 1 |B|q 2 , q 2 i = 2 q2 q2 2 x1
=
x′
Z1 Z X X x1
x2
x′2
ˆˆ ′ ∗ ′ ∗ ϕ∗q 1 (x1 ) ϕ∗q′1 (x′1 ) B x,x ϕq ′2 (x2 ) ϕq 2 (x2 ) ,
(2.103)
x′1
unde pentru ultima egalitate s-a utilizat definit¸ia (2.49) a operatorului funct¸ional bi-particul˘a. 2) ˆIn teoria nerelativist˘ a singurii operatori bi-particul˘a interesant¸i sunt cei care descriu interact¸iile dintre dou˘a particule; ˆın acest caz operatorii pentru 2 particule sunt independent¸i de impulsuri (ceea ce semnific˘a interact¸ie instantanee) ¸si sunt dependent¸i numai de pozit¸ile ¸si spiˆ ˆˆ ˆ r′ )s,s′ (adic˘a Bˆ nii particulelor; ca urmare, operatorul funct¸ional este de forma Bˆrs,r′ s′ = B(r, act¸ioneaz˘ a operatorial ˆın mod nebanal numai asupra coordonatelor de spin). ˆIn acest caz matricea de spin a operatorului, definit˘ a prin relat¸ia (2.102b) este dependent˘ a multiplicativ de coordonate (nu cont¸ine operatori de derivate spat¸ial˘a): ˆ Bˆr,r′ σ
′ ′ 1 ,σ2 ;σ1 ,σ2
=
−s,s X s,s′
ˆ χ∗σ1 (s) χ∗σ1′ (s′ ) Bˆrs,r′ s′ χσ2′ (s′ ) χσ2 (s) = Bσ1 ,σ2 ;σ1′ ,σ2′ (r, r′ ) ,
(2.104a)
iar operatorul bi-particul˘a ˆın Cuantificarea II, cu expresia general˘a (2.102a), are forma simˆ plificat˘ a de faptul c˘ a Bˆ se reduce la o funct¸ie multiplicativ˘a dependent˘ a ce vectorii de pozit¸ie r
76
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE
¸si r′ Z
ˆ= 1 B 2
3
d r
Z
−s,s X
3 ′
d r
Bσ1 ,σ2 ;σ1′ ,σ2′ (r, r′ ) ψˆσ† 1 (r) ψˆσ† ′ (r′ ) ψˆσ2′ (r′ ) ψˆσ2 (r) . 1
σ1 ,σ1′ ,σ2 ,σ2′
(2.104b)
3) Cazul particular simplu: operator independent de spini (r˘amˆ ane un operator multiplicativ ˆın vectorii de pozit¸ie ai particulelor): ˆ Bˆrs,r′ s′ = B(r, r′ ) · ˆˆ1s ⊗ ˆˆ1s′ ; atunci matricea de spin este banal˘a ˆ Bˆr σ
= B(r, r′ ) δσ1 ,σ1′ δσ2 ,σ2′ ,
′ ′ 1 ,σ2 ;σ1 ,σ2
(2.105a)
iar operatorul bi-particul˘a ˆın Cuantificarea II are expresia simpl˘a ˆın termeni de componente de spin ale operatorilor de cˆ amp ˆ= 1 B 2
Z
Z
d r d3 r′ 3
−s,s X
B(r, r′ ) ψˆσ† (r) ψˆσ† ′ (r′ ) ψˆσ′ (r′ ) ψˆσ (r) .
σ,σ′
(2.105b)
ˆ ˆın termeni de operatori elementari (ˆ Pentru a exprima operatorul B ckσ ¸si cˆ†kσ ), trebuie evaluat elementul de matrice ˆın baza proprie, care a fost anterior transformat ˆın termeni de funct¸ii proprii, iar funct¸ia proprie impuls-spin a unei particule este dat˘a de relat¸ia (2.34) Z Z X X ˆˆ ′ ∗ ′ ∗ ˆ 2 , q′ i = ϕ∗q1 (x1 ) ϕ∗q ′1 (x′1 ) B hq 1 , q ′1 |B|q x,x ϕq ′2 (x2 ) ϕq 2 (x2 ) 2 = =
Z
d3 r
X σ
Z
x′1
x1
d3 r′
X σ,σ′
u∗k1 (r) χ∗σ1 (s) u∗k′1 (r′ ) χ∗σ1′ (s′ ) B(r, r′ ) · ˆˆ1s ⊗ ˆˆ1s′ uk′2 (r′ ) χσ2′ (s′ ) uk2 (r) χσ2 (s)
χ∗σ1 (s) χσ2 (s)
X
Z
χ∗σ1′ (s′ ) χσ2′ (s′ )
σ
d3 r
Z
d3 r′ B(r, r′ ) u∗k1 (r) u∗k′1 (r′ ) uk′2 (r′ ) uk2 (r)
= δσ1 σ2 δσ1′ σ2′ B k1 k2 ,k′1 k′2 ,
(2.106a)
unde s-au utilizat relat¸iile de orto-normare a funct¸iilor proprii de spin (2.10) ¸si s-a introdus matricea spat¸ial˘a a operatorului B k1 k2 ,k′1 k′2 (definit˘a cu funct¸iile proprii ale impulsului): B k1 k2 ,k′1 k′2 =
Z
d3 r
Z
d3 r′ B(r, r′ ) u∗k1 (r) u∗k′1 (r′ ) uk′2 (r′ ) uk2 (r) .
(2.106b)
Prin introducerea expresiei (2.106a) pentru elementul de matrice ˆın formula general˘a (2.100) se reduc sumele dup˘a indicii de spini, astfel ˆıncˆ at expresia operatorului bi-particul˘a devine Z X Z X Z X Z X ˆ= 1 h q 1 , q ′1 | Bˆ | q 2 , q ′2 i cˆ†q1 cˆ†q ′ cˆq′2 cˆq2 B 1 2 q1
=
q′1
q2
q ′2
Z Z Z Z 1 XXXX X 2
k1
k′1
k2
k′2
σ,σ′
Bk1 k2 ,k′1 k′2 cˆ†k1 σ cˆ†k′ σ′ cˆk′2 σ′ cˆk2 σ .
(2.106c)
1
4) Se consider˘ a cazul anterior (operator bi-particul˘a independent de spini), cˆ and sistemul este localizat ˆın volumul V ; atunci funct¸iile proprii ale impulsului sunt undele plane cu vectorul de und˘a cuantificat (2.36), astfel c˘ a elementul de matrice Bk1 k2 ,k′1 k′2 devine Bk1 k2 ,k′1 k′2 =
1 V2
Z
V
d3 r
Z
V
′
′
′
d3 r′ B(r, r′ ) e−i(k1 −k2 )·r−i(k1 −k2 )·r .
(2.107a)
2.3. DESCRIEREA SISTEMULUI MANY-BODY ˆIN CUANTIFICAREA II
77
ˆIn plus, se consider˘ a situat¸ia cˆ and operatorul bi-particul˘a depinde de numai de distant¸a relativ˘a dintre particule, ceea ce implic˘ a B(r, r′ ) = B(|r − r′ |); atunci ˆın integrala dubl˘ a a relat¸iei (2.107a) se efectueaz˘ a schimbarea de variabile: r1 = r − r′ r = r1 + r2 =⇒ r2 = r′ r′ = r2 astfel c˘ a ˆın noile variabile, integrala dubl˘ a se factorizeaz˘ a ˆın 2 integrale independente: Z Z ′ ′ ′ 1 d3 r d3 r′ B(|r − r′ |) ei(k2 −k1 )·r+i(k2 −k1 )·r Bk1 k2 ,k′1 k′2 = 2 V ZV ZV ′ ′ 1 = 2 d3 r1 d3 r2 B(|r1 |) ei(k2 −k1 )·r1 +i(k2 −k1 +k2 −k1 )·r2 V V Z V Z ′ ′ 1 1 3 d r1 B(|r1 |) ei(k2 −k1 )·r1 · d3 r′ ei(k2 −k1 +k2 −k1 )·r2 . = V V V V Cele 2 integrale se exprim˘ a ˆın mod natural prin utilizarea teoriei Fourier; astfel, undele plane (funct¸iile proprii ale impulsului pentru sistemul localizat ˆın volumul V ) satisfac relat¸iile de ortonormare ¸si de completitudine Z Z ′ 1 3 ∗ d3 r ei(k−k )·r = δ k,k′ , d r uk′ (r) uk (r) = V V V X 1 X ik·(r−r′ ) ∗ ′ uk (r) uk (r ) = e = δ 3 (r − r′ ) . V k
k
ˆIn cazul localiz˘ arii ˆın domeniul finit (de volum V ), este necesar s˘a se impun˘a condit¸ii la limit˘a periodice pentru undele plane, astfel ˆıncˆ at se obt¸in valori discrete pentru vectorul de und˘a k; prin urmare, se efectueaz˘ a sumarea peste valorile vectorului de und˘a. 7 Datorit˘ a propriet˘ a¸tilor specificate anterior ale undelor plane, se poate efectua dezvoltarea Fourier pentru o funct¸ie dependent˘ a de vectorul de pozit¸ie, iar apoi se poate inversa transformarea Fourier: Z 1 X ik·r ˜ e F (k) =⇒ F˜ (k) = d3 r e−ik·r F (r) . F (r) = V V k
Luˆand ˆın considerare propriet˘ a¸tile Fourier specificate anterior, prima integral˘a din expresia elementului de matrice define¸ste transformata Fourier a funct¸iei B(r), iar a doua integral˘a este egal˘a cu o funct¸ie Dirac; prin urmare, se obt¸ine urm˘atorul rezultat: Bk1 k2 ,k′1 k′2 =
1 ˜ B(k1 − k2 ) δ k1 +k′1 ,k2 +k′2 . V
(2.107b)
Utilizˆand rezultatul anterior, expresia operatorului bi-particul˘a (2.106c), dedus˘a anterior numai ˆın condit¸ia ca operatorul s˘a fie independent de spin, datorit˘a condit¸iilor suplimentare devine ˆ= 1 B 2
X
k1 ,k′1 ,k2 ,k′2
X 1 ˜ 1 − k2 ) δ k +k′ ,k +k′ cˆ† cˆ† ′ ′ cˆk′ σ′ cˆk2 σ ; B(k 1 2 k1 σ k1 σ 1 2 2 V ′ σ,σ
Expresia precedent˘ a se poate exprima mai convenabil introducˆand noi variabile de sumare pentru vectorii de und˘a care s˘a satisfac˘ a ˆın mod automat condit¸ia dat˘a de simbolul Kronecker; astfel, k1 = k k′ = k′ 1 k1 − k2 = k′1 − k′2 = q .
Dup˘a efectuarea schimb˘ arii de variabile specificate, expresia operatorului bi-particul˘a cap˘at˘a urm˘atoarea form˘a X X ˜ ˆ= 1 (2.107c) B(q) cˆ†k,σ cˆ†k′ ,σ′ cˆk′ +q,σ′ cˆk−q,σ . B 2V ′ ′ k,k ,q
7 Demonstrarea
matematice A.3.
σ,σ
unor propriet˘ a¸tilor ale undelor plane pentru cazul unui volum finit V este obiectul Anexei
78
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE
Deoarece funct¸ia B depinde numai de modulul diferent¸ei vectorilor de pozit¸ie, se poate ar˘ata c˘ a transformata sa Fourier depinde numai de modulul vectorului de und˘a: B(r) = B(|r|) ≡ B(r)
=⇒
˜ ˜ ˜ . B(q) = B(|q|) ≡ B(q)
Este important s˘a se evident¸ieze c˘ a operatorii bi-particul˘a uzuali pentru sistemele fermionice ¸si bosonice sunt asociat¸i cu energia de interact¸ie mutual˘a dintre particulele sistemului. 5) Un exemplu remarcabil este hamiltonianul de interact¸ie scalar˘a bi-particul˘a nerelativist˘a: 1,N X ˆ int = Vˆ = 1 Vˆab , H QI 2 a,b (a6=b)
(2) iar Vˆ (ab) este un operator definit ˆın spat¸iul Hilbert bi-particul˘a Hab . Deoarece s-a considerat c˘ a interact¸ia este nerelativist˘ a, rezult˘a c˘ a hamiltonianul de interact¸ie bi-particul˘a este simetric la permut˘arile particulelor (Vˆ (ab) = Vˆ (ba) ) ¸si independent de impulsuri; ca urmare Vˆ (ab) poate depinde numai de operatorii de pozit¸ie ¸si de operatorii de spin. Atunci Vˆ (ab) are urm˘atoarea form˘a general˘ a:
(ab) (ab) Vˆ (ab) = v0 ˆr(a) − ˆr(b) ⊗ ˆ 1(ab) + v1 ˆr(a) − ˆr(b) ⊗ ˆs(a) · ˆs(b) ≡ Vˆ0 + Vˆ1 , s
(ab)
(ab)
unde Vˆ0 este partea independent˘ a de spini ¸si Vˆ1 este partea scalar-dependent˘ a de spini. (ab) ˆ Reprezentantul algebric (operatorul funct¸ional) al operatorului bi-particul˘a V este
ˆss′ = unde ˆˆss · ˆ
ˆ Vˆrs,r′ s′ = v0 (|r − r′ |) ˆˆ1ss′ + v1 (|r − r′ |) ˆˆss · ˆˆss′ ,
X
sˆ ˆα
α=x,y,z
s
sˆ ˆα
s′
, este produsul scalar al operatorilor de spin, iar matricea de
spin a operatorului funct¸ional este X (g) ˆ ′ ′ ′ µ′ + v1 (|r − r |) s · s = v (|r − r |) δ δ vg (|r − r′ |) Sλµ,λ′ µ′ ; Vˆr,r′ 0 λµ λ ′ µ′ ≡ λµ λ ′ ′ λµ,λ µ
g=0,1
ˆ Se observ˘ a c˘ a Vˆr,r′
λµ,λ′ µ′
este un operator multiplicativ ˆın raport cu coordonatele de pozit¸ie,
astfel ˆıncˆ at va fi notat vλµ,λ′ µ′ (r, r′ ). Proprietatea de simetrie la permut˘ari ˆıntre particule implic˘ a relat¸ia vλµ,λ′ µ′ (r, r′ ) = vλµ,λ′ µ′ (r′ , r) . ˆIn cazul particular important cˆ and particulele au spinul s = 12 , matricile de spin sunt sα (α) unde σλµ α=x,y,z sunt matricile Pauli: σ ˇ
(x)
=
0 1
1 0
,
σ ˇ
(y)
λµ
=
=
~ (α) σ , 2 λµ
0 i −i 0
,
σ ˇ
(z)
=
1 0
0 −1
;
ca urmare, produsul scalar al matricilor de spin se exprim˘ a prin matrici Pauli s
· s λµ
λ′ µ′
=
~ 2 X 2
(α)
(α)
σλµ σλ′ µ′ .
α=x,y,z
ˆIn formalismul Cuantific˘ arii II hamiltonianul de interact¸ie se exprim˘ a ˆın termeni de operatori de cˆ amp prin relat¸ia (2.104b), ˆın care este utilizat˘a matricea de spin a operatorului funct¸ional
2.3. DESCRIEREA SISTEMULUI MANY-BODY ˆIN CUANTIFICAREA II ˆ corespunz˘ ator interact¸iei bi-particul˘a Vˆr,r′
λµ,λ′ µ′
79
= vλµ,λ′ µ′ (r, r′ ):
Z Z X 1 3 ˆ d r d3 r′ V = vλµ,λ′ µ′ (r, r′ ) ψˆλ† (r) ψˆλ† ′ (r′ ) ψˆµ′ (r′ ) ψˆµ (r) Q II 2 ′ ′ λ,µ,λ ,µ Z Z X 1 = d3 r d3 r′ v0 (r, r′ ) ψˆλ† (r) ψˆλ† ′ (r′ ) ψˆλ′ (r′ ) ψˆλ (r) 2 ′ λ,λ Z Z X 1 ~2 X (α) (α) + d3 r d3 r′ σλµ σλ′ µ′ ψˆλ† (r) ψˆλ† ′ (r′ ) ψˆµ′ (r′ ) ψˆµ (r) . v1 (r, r′ ) 2 4 ′ ′ α=x,y,z λ,µ,λ ,µ
Elementul de matrice al operatorului bi-particul˘a ˆın baza impuls-spin este
1 ve0 (k1 − k2 ) δk1 +k′1 ,k2 +k′2 δσ1 ,σ2 δσ1′ ,σ2′ k1 σ1 ; k′1 σ1′ Vˆ k2 σ2 ; k′2 σ2′ = V ~2 X 1 (α) ve0 (k1 − k2 ) δk1 +k′1 ,k2 +k′2 σ (α) σ ′ ′ + V 4 α=x,y,z σ1 σ2 σ1 σ2 X 1 (g) = veg (k1 − k2 ) δk1 +k′1 ,k2 +k′2 Sσ1 σ2 ,σ′ σ′ ; 1 2 V g=0,1
atunci hamiltonianul de interact¸ie ˆın Cuantificarea II se exprim˘ a ˆın termeni de operatori elementari, prin relat¸ia (2.100), cu ajutorul elementelor de matrice pentru operatorul bi-particul˘a ˆın baza impuls-spin: Vˆ =
Q II
=
X
(g)
Sσ1 σ2 ,σ′ σ′ 1
g=0,1 σ1 ,σ1′ ,σ2 ,σ2′
1 2V
+
2.3.4
X
X X
k,k′ ,q σ,σ′
1 2V
2
1 X vg (q) cˆ†k,σ1 cˆ†k′ ,σ′ cˆk′ +q,σ2′ cˆk−q,σ2 e 1 2V ′ k,k ,q
ve0 (q) cˆ†k,σ cˆ†k′ ,σ′ cˆk′ +q,σ′ cˆk−q,σ
X
σ1 ,σ1′ ,σ2 ,σ2′
~2 4
X
(α)
σσ′ σ′ σσ(α) 1 σ2 1
α=x,y,z
2
X
k,k′ ,q
veg (q) cˆ†k,σ1 cˆ†k′ ,σ′ cˆk′ +q,σ2′ cˆk−q,σ2 . 1
Relat¸ii de comutare remarcabile
Se vor deduce relat¸iile de comutare ale celor mai interesant¸i operatori, atˆat prin utilizarea operatorilor de cˆ amp, cˆ at ¸si prin utilizarea operatorilor elementari. Aceast˘a prezentare va avea un rol dublu: pe de o parte rezultatele vor fi utilizate ulterior, avˆand deci o important¸˘a intrinsec˘ a, iar pe de alt˘ a parte, metodele utilizate vor ajuta la o mai bun˘a ˆınt¸elegere a propriet˘ a¸tilor operatorilor ¸si a formalismului Cuantific˘ arii II. Operatorii fundamentali ai Cuantific˘arii II (adic˘a operatorii de cˆ amp sau operatorii elementari) satisfac relat¸ii de comutare ˆın cazul bosonic ¸si relat¸ii de anti-comutare ˆın cazul fermionic, iar pe de alt˘ a parte operatorii asociat¸i observabilelor sunt constituit¸i din produse de operatori fundamentali; de aceea, pentru a efectua comutatorii dintre un operator fundamental ¸si un operator asociat unei observabile a sistemului este necesar s˘a se descompun˘ a comutatorul unui operator cu un produs de operatori fie ˆın comutatori, fie ˆın anti-comutatori. Pentru a obt¸ine aceast˘a descompunere se utilizeaz˘ a urm˘atoarea identitate operatorial˘ a, care transform˘a comutatorul unui operator ˆıntr-o sum˘a de comutatori, sau anti-comutatori simpli (dintre operatorul considerat ¸si operatorii component¸i ai produsului operatorial):
ˆ · Cˆ Aˆ , B
−
=
ˆ Aˆ , B
∓
ˆ · Aˆ , Cˆ , · Cˆ ± B ∓
(2.108)
ˆ B] ˆ − ≡ Aˆ · B ˆ −B ˆ · Aˆ este comutatorul, iar [A, ˆ B] ˆ + ≡ Aˆ · B ˆ +B ˆ · Aˆ este anti-comutatorul. unde [A, Demonstrat¸ia acestei identit˘ a¸ti este prezentat˘ a ˆın Anexa A.1 pentru formula (A.9).
80
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE
a) Relat¸ii de comutare operatori de cˆ amp - observabile a1. Dac˘ a Aˆ este un operator uni-particul˘ a asociat unei observabile a sistemului (ˆın acest caz ˆ adic˘a acesta este un operator hermitic), atunci relat¸ia de de comutare cu componentele Aˆ† = A, de spin ale operatorilor de cˆ amp au um˘atoarea form˘a:
ψˆσ (r) , Aˆ ψˆσ† (r) , Aˆ
−
−
=
X
ˆ Aˆr σσ′ ψˆσ′ (r) ,
σ′
=−
(2.109a)
n o† ˆ Aˆr σ′ σ ψˆσ† ′ (r) = − ψˆσ (r) , Aˆ − ,
X σ′
(2.109b)
ˆ unde Aˆr σσ′ este matricea de spin a operatorului algebric, definit˘ a prin relat¸ia (2.92b). Demonstrat¸ie:
Se utilizeaz˘ a expresia (2.92c) a operatorului observabil˘ a uni-particul˘ a ¸si se transform˘ a comutatorul conform identit˘ a¸tii (2.108) Z X ˆ ˆ ]− = ψˆσ (r) , d3 r′ lim ′ Aˆr′′ σ ′ σ ′′ ψˆσ† ′ (r′ ) ψˆσ ′′ (r′′ ) − [ ψˆσ (r) , A ′′ = =
Z
Z
σ ′ ,σ ′′
d3 r′
X
σ ′ ,σ ′′
d3 r′
X
σ ′ ,σ ′′
lim
r′′ →r′
r →r
ˆ Aˆr′′
ˆ lim Aˆr′′
r′′ →r′
σ ′ σ ′′
σ ′ σ ′′
n
ψˆσ (r) , ψˆσ† ′ (r′ ) ψˆσ ′′ (r′′ )
ψˆσ (r), ψˆσ† ′ (r′ )
∓
−
o ψˆσ ′′ (r′′ ) ± ψˆσ† ′ (r′ ) ψˆσ (r), ψˆσ ′′ (r′′ ) ∓
Comutatorii/anti-comutatorii se obt¸in din relat¸iile de comutare fundamentale (2.88); ca urmare, ace¸sti comutatori/anti-comutatori dau urm˘ atoarele rezultate: ( = δσ ′ σ δ 3 (r′ − r) ˆ 1, ψˆσ (r) , ψˆσ† ′ (r′ ) ∓ ′′ ψˆσ (r) , ψˆσ ′′ (r ) ∓ = ˆ 0;
atunci comutatorul init¸ial devine Z X ˆ X ˆ Aˆr σ,σ ′′ ψˆσ ′′ (r) , δσ ′ σ δ 3 (r′ − r) ′′lim ′ Aˆr′′ σ ′ ,σ ′′ ψˆσ ′′ (r′′ ) = [ ψˆσ (r) , Aˆ ]− = d3 r′ σ ′ ,σ ′′
r →r
σ ′′
unde ultima egalitate s-a obt¸inut dup˘ a trecerea la limit˘ a, urmat˘ a de integrarea spat¸ial˘ a ¸si o sumare dup˘ a indicele de spin; astfel s-a justificat primul comutator. Pentru al doilea comutator, se face rat¸ionamentul similar; totu¸si rezultatul se poate obt¸ine ˆın mod ˆ ]− = − [ ψˆσ (r) , A ˆ ]− † . direct din primul rezultat, prin conjugare hermitic˘ a: [ ψˆσ† (r) , A
Se va particulariza rezultatul anterior pentru operatori observabile uni-particul˘ a remarcabili. ˆ este f˘ar˘a corespondent ˆın Cuantificarea I; totu¸si, a¸sa i. Operatorul num˘ ar de particule N cum rezult˘a din relat¸iile (2.96), se poate considera ˆın mod formal, c˘ a operatorul uni-particul˘a ˆ = ˆ1), astfel ˆıncˆ corespunz˘ ator este operatorul unitate (N at matricea de spin a reprezentatului ˆˆ algebric pentru num˘ arul de particule este operatorul-matrice banal N = ˆˆ1 δσσ′ ; atunci, prin σσ′ utilizarea relat¸iilor de comutare generale (2.109), se obt¸ine ˆ ψˆσ (r) , N = ψˆσ (r) , (2.110a) − † † ˆ ˆ ˆ ψσ (r) , N − = − ψσ (r) . (2.110b)
Din relat¸iile de comutare precedente rezult˘a c˘ a operatorul num˘ar de particule comut˘a cu orice operator uni-particul˘ a: ˆ , Aˆ = ˆ0 . N Demonstrat¸ie:
Conform relat¸iilor (2.96c) – (2.96d), operatorul num˘ ar de particule are expresia Z X † ˆ = d3 r N ψˆσ (r) ψˆσ (r) , σ
2.3. DESCRIEREA SISTEMULUI MANY-BODY ˆIN CUANTIFICAREA II
81
ˆ , A] ˆ ˆın forma astfel ˆıncˆ at se exprim˘ a comutatorul [N ˆ , A] ˆ = [N
Z
X
3
d r
σ
ψˆσ† (r) ψˆσ (r) , Aˆ =
Z
X n
d3 r
σ
o ˆ ; ψˆσ† (r) , Aˆ ψˆσ (r) + ψˆσ† (r) ψˆσ (r) , A
prin utilizarea relat¸iilor de comutare (2.109) se exprim˘ a comutatorii operatorilor de cˆ amp cu operatorul observabil˘ a ˆın termeni de matricea de spin a operatorului observabil˘ a: ˆ , A] ˆ = [N
Z
=−
o † X X ˆ Xn ˆ Aˆr σσ ′ ψˆσ ′ (r) Aˆr σσ ′ ψˆσ ′ (r) ψˆσ (r) + ψˆσ† (r) (−1)
d3 r nZ
σ′
σ
d3 r
X σσ ′
ˆ†
= A − Aˆ = ˆ 0,
o† ˆ ψˆσ† (r) Aˆr σσ ′ ψˆσ ′ (r) +
Z
σ′
d3 r
X σσ ′
ˆ ψˆσ† (r) Aˆr σσ ′ ψˆσ ′ (r)
deoarece operatorul observabil˘ a este hermitic.
ˆ are corespondent ˆın Cuantificarea I un operator vectorial indeii. Operatorul impuls total P ~ ˆˆ ∇ δσσ′ ; pendent de spini, astfel c˘ a matricea de spin a operatorului uni-particul˘a este P r σσ′ = i atunci relat¸iile (2.109) conduc la urma˘atoarele rezultate:
~ ∇ ψˆσ (r) , i † ~ ˆ ψˆσ (r) , P = ∇ ψˆσ† (r) . − i ˆ ψˆσ (r) , P
−
=
(2.111a) (2.111b)
iii. Operatorul energie cinetic˘ a total˘ a (hamiltonian liber) Tˆ este similar operatorului impuls total, avˆand ˆın Cuantificarea I un operator scalar independent de spini, iar matricea de −~2 2 ˆ ∇ δσσ′ ; atunci relat¸iile (2.109) conduc la spin a operatorului uni-particul˘ a este Tˆr σσ′ = 2m urma˘atoarele rezultate: −~2 2 ˆ ∇ ψσ (r) , − 2m † ~2 2 ˆ† ∇ ψσ (r) . ψˆσ (r) , Tˆ − = 2m
ψˆσ (r) , Tˆ
=
(2.112a) (2.112b)
iv. Operatorul component˘ a a spinului total Sˆz are ˆın Cuantificarea I un operator dependent ˆ numai de spini, iar matricea operatorului uni-particul˘a este Sˆz σσ′ = ˆˆ1r ~σ δσσ′ ; relat¸iile generale de comutare (1.88) devin ˆın acest caz particular urm˘atoarele relat¸ii:
ψˆσ (r) , Sˆz ψˆσ† (r) , Sˆz
− −
= ~σ ψˆσ (r) ,
(2.113a)
= − ~σ ψˆσ† (r) .
(2.113b)
a2. Prin utilizarea metodei anterioare, ˆın mod repetat, cu ajutorul expresiei (2.102a), se obt¸in comutatorii dintre operatorii de cˆ amp ¸si operatori bi-particul˘ a:
ˆ ψˆσ (r) , B ˆ ψˆσ† (r) , B
−
−
=
Z
d3 r′
X
σ′ ,σ1 ,σ1′
ˆ ψˆσ† ′ (r′ ) Bˆr,r′ σ,σ1 ;σ′ ,σ′ ψˆσ1′ (r′ ) ψˆσ1 (r) , 1
o† ˆ ψˆσ (r) , B − Z X ˆ = − d3 r′ ψˆσ† 1 (r) ψˆσ† ′ (r′ ) Bˆr′ ,r σ′ ,σ′ ;σ,σ1 ψˆσ′ (r′ ) ,
=−
n
σ′ ,σ1 ,σ1′
1
1
(2.114a) (2.114b) (2.114c)
82
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE Demonstrat¸ie: Operatorul bi-particul˘ a are expresia general˘ a ˆın Cuantificarea II dat˘ a de relat¸ia (2.102), astfel ˆıncˆ at comutatorul operatorului de cˆ amp cu operatorul bi-particul˘ a este Z Z h X ˆ ˆσ (r) , 1 d3 r1 d3 r′1 ˆ ψˆσ† 1 (r1 ) ψˆσ† ′ (r′1 ) Bˆr1 ,r′1 σ ,σ ;σ ′ ,σ ′ = ψ ψˆσ (r) , B − 1 2 1 2 1 2 ′ ,σ ,σ ′ σ1 ,σ1 2 2 i × ψˆσ2′ (r′1 ) ψˆσ2 (r1 ) − Z Z X 1 ˆ 3 ′ 3 = Bˆr2 ,r′2 σ ,σ ;σ ′ ,σ ′ lim d r1 d r1 r →r 1 2 1 2 2 1 2 ′ ,σ ,σ ′ r′ →r′ σ1 ,σ1 2 2 2 1 h i × ψˆσ (r) , ψˆσ† 1 (r1 ) ψˆσ† ′ (r′1 ) ψˆσ2′ (r′2 ) ψˆσ2 (r2 ) . 1
−
Comutatorul operatorului de cˆ amp ψˆσ (r) cu cei 4 operatori de amp a bi-particul˘ cˆ ai operatorului ˆ+B ˆ A, ˆ C ˆ ˆ B ˆ C ˆ B ˆC ˆ = A, se descompune ˆın 2 comutatori, conform relat¸iei A, − − − h
ψˆσ (r) , ψˆσ† 1 (r1 ) ψˆσ† ′ (r′1 ) ψˆσ2′ (r′2 ) ψˆσ2 (r2 ) 1
i
−
h i = ψˆσ (r) , ψˆσ† 1 (r1 ) ψˆσ† ′ (r′1 ) ψˆσ2′ (r′2 ) ψˆσ2 (r2 ) 1 − i h † † ′ + ψˆσ1 (r1 ) ψˆσ ′ (r1 ) ψˆσ (r) , ψˆσ2′ (r′2 ) ψˆσ2 (r2 ) , −
1
iar apoi se descompun cei 2 comutatori obt¸inut¸i anterior ˆın comutatori/anti-comutatori fundamentali, prin utilizarea identit˘ a¸tii (2.108): h i i ψˆσ (r) , ψˆσ† 1 (r1 ) ψˆσ† ′ (r′1 ) = ψˆσ (r) , ψˆσ† 1 (r1 ) ± ψˆσ† ′ (r′1 ) ∓ ψˆσ† 1 (r1 ) ψˆσ (r) , ψˆσ† ′ (r′1 ) 1
1
−
1
±
= δσσ1 δ (r − r1 ) ψˆσ† ′ (r′1 ) ∓ ψˆσ† 1 (r1 ) δσσ1′ δ 3 (r − r′1 ) , 1 h i ′ ′ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ψσ (r) , ψσ2′ (r2 ) ψσ2 (r2 ) = ψσ (r) , ψσ2′ (r2 ) ± ψσ2 (r2 ) ∓ ψˆσ2′ (r′2 ) ψˆσ (r) , ψˆσ2 (r2 ) ± 3
−
=0,
unde rezultatul comutatorilor fundamentali este dat de relat¸iile (2.88). Atunci, comutatorul operatorilor de cˆ amp are expresia (se repozit¸ioneaz˘ a operatorul funct¸ional care cont¸ine posibile operat¸ii de derivare, astfel ˆıncˆ at se poate efectua trecerea la limit˘ a): i h ψˆσ (r) , ψˆσ† 1 (r1 ) ψˆσ† ′ (r′1 ) ψˆσ2′ (r′2 ) ψˆσ2 (r2 ) 1 − o n † 3 ′ † ˆ ˆ = δσσ1 δ (r − r1 ) ψσ ′ (r1 ) ∓ ψσ1 (r1 ) δσσ1′ δ 3 (r − r′1 ) ψˆσ2′ (r′2 ) ψˆσ2 (r2 ) , 1
astfel ˆıncˆ at comutatorul init¸ial devine: Z Z X 1 ˆ d3 r1 d3 r′1 = ψˆσ (r) , B − 2 ′
′ σ1 ,σ1 ,σ2 ,σ2
n o δσσ1 δ 3 (r − r1 ) ψˆσ† ′ (r′1 ) ∓ δσσ1′ δ 3 (r − r′1 ) ψˆσ† 1 (r1 ) 1
ˆ × Bˆr1 ,r′1 σ ,σ ;σ ′ ,σ ′ ψˆσ2′ (r′1 ) ψˆσ2 (r1 ) 1 2 1 2 Z X 1 ˆ 3 ′ ψˆσ† ′ (r′1 ) Bˆr,r′1 σ,σ ;σ ′ ,σ ′ ψˆσ2′ (r′1 ) ψˆσ2 (r) = d r1 2 1 2 1 2 ′ ,σ ,σ ′ σ1 2 2 Z X 1 ˆ ∓ ψˆσ† 1 (r1 ) Bˆr1 ,r σ ,σ ;σ ′ ,σ ′ ψˆσ2′ (r) ψˆσ2 (r1 ) d3 r1 1 2 2 | 2 {z } ′ σ1 ,σ2 ,σ2
1 = 2
nZ ∓
Z
ˆ ′ (r) ˆσ (r1 ) ψ = ∓ψ 2 σ 2
3 ′
d r
X
ψˆσ† ′ (r′ )
′ σ ′ ,σ1 ,σ1
d3 r′
X
′ σ ′ ,σ1 ,σ1
ˆ Bˆr,r′
ψˆσ1′ (r ) ψˆσ1 (r) ′
′ σ,σ1 ;σ ′ ,σ1
o ˆ ψˆσ† ′ (r′ ) Bˆr′ ,r σ ′ ,σ ′ ;σ,σ ψˆσ1′ (r′ ) ψˆσ1 (r) , 1
1
unde ˆın primul termen s-a efectuat redefinirea variabilelor de intergrare-sumare (r′1 , σ1′ , σ2 , σ2′ ) → (r′ , σ ′ , σ1 , σ1′ ), iar ˆın al doilea termen s-a efectuat redefinirea variabilelor de intergrare-sumare (r1 , σ1 , σ2′ , σ2 ) → (r′ , σ ′ , σ1 , σ1′ ).
2.3. DESCRIEREA SISTEMULUI MANY-BODY ˆIN CUANTIFICAREA II
83
Deoarece matricea de spin a operatorului funct¸ional bi-particul˘ a este simetric˘ a la permutarea vari ˆ ˆ a c˘ a al doilea termen este egal cu primul, astfel abilelor Bˆr′ ,r σ ′ ,σ ′ ;σ,σ = Bˆr,r′ σ,σ ;σ ′ ,σ ′ , rezult˘ 1
1
1
1
ˆıncˆ at se obt¸ine rezultatul (2.114a).
ˆIn particular, considerˆ and cazul particular pentru hamiltonianul de interact¸ie bi-particul˘a nereˆ lativist Vˆ −→ Vˆrr′ σ1 σ2 ,σ′ σ′ = vσ1 σ2 ,σ1′ σ2′ (r, r′ ) se obt¸in relat¸iile de comutare: 1
ψˆσ (r) , Vˆ
ψˆσ† (r) , Vˆ
−
−
=
2
Z
X
d3 r′
Z
=−
vσσ1 ,σ′ σ1′ (r, r′ ) ψˆσ† ′ (r′ ) ψˆσ1′ (r′ ) ψˆσ1 (r) ,
σ′ ,σ1 ,σ1′
X
d3 r′
=−
Z
vσ′ σ1′ ,σσ1 (r′ , r) ψˆσ† 1 (r) ψˆσ† ′ (r′ ) ψˆσ′ (r′ ) 1
σ′ ,σ1 ,σ1′
d3 r′
X
vσσ1 ,σ′ σ1′ (r, r′ ) ψˆσ† 1 (r) ψˆσ† ′ (r′ ) ψˆσ′ (r′ ) , 1
σ′ ,σ1 ,σ1′
unde ultima egalitate s-a obt¸inut luˆand ˆın considerare simetria potent¸ialului biparticul˘ a ˆın raport cu permutarea particulelor. Pe baza relat¸iilor (2.114) se poate ar˘ata c˘ a operatorul num˘ar de particule comut˘a cu orice operator observabil˘a bi-particul˘a: ˆ,B ˆ = ˆ0 . N Demonstrat¸ie:
Se utilizeaz˘ a expresia operatorului num˘ ar de particule ˆın ¸si termeni de operatori de cˆ amp (2.96) ˆB ˆ, C ˆ = Aˆ B ˆ , Cˆ + Aˆ , C ˆ B: ˆ se descompune comutatorul produsului conform relat¸iei A − − − Z Z o n X X ˆ, B ˆ = d3 r ˆ ψˆσ (r) ; ˆ + ψˆσ† (r) , B N ψˆσ† (r) ψˆσ (r) , Vˆ − = d3 r ψˆσ† (r) ψˆσ (r) , B − − − σ
σ
apoi, prin utilizarea relat¸iilor de comutare (2.114), se obt¸ine: Z Z X Xn † ˆ ˆσ (r) d3 r′ ˆ, B ˆ = d3 r ψˆσ† ′ (r′ ) Bˆr,r′ σ,σ ψ N − −
Z
′ σ ′ ,σ1 ,σ1
σ
d3 r′
X
′ σ ′ ,σ1 ,σ1
′ ′ 1 ;σ ,σ1
ψˆσ1′ (r′ ) ψˆσ1 (r)
o ˆ ψˆσ† 1 (r) ψˆσ† ′ (r′ ) Bˆr′ ,r σ ′ ,σ ′ ;σ,σ ψˆσ ′ (r′ ) ψˆσ (r) ; 1
1
1
se observ˘ a c˘ a prin redenumirea variabilelor de integrare-sumare ¸si utilizarea relat¸iei de simetrie la permut˘ ari pentru matricea de spin a operatorului interact¸ie bi-particul˘ a, al doilea termen devine egal cu primul termen, astfel ˆıncˆ at rezultatul este nul.
b) Relat¸ii de comutare operatori elementari - observabile b1. Pentru o observabil˘ a uni-particul˘ a, operatorul din Cuantificarea II se exprim˘ a ˆın termeni de operatori elementari (pe st˘ ari proprii uni-particul˘a) conform relat¸iei (2.90); atunci rezult˘a comutatorii Z X cˆq , Aˆ − = (2.115a) h q | Aˆ | q ′ i cˆq′ , q′
cˆ†q , Aˆ
−
Z n X o† =− h q ′ | Aˆ | q i cˆ†q′ = − cˆq , Aˆ − , q′
Demonstrat¸ia se realizeaz˘ a utilizˆ and expresia (2.90) a operatorului uni-particul˘ a Z Z X X ˆ = cˆq , cˆq , A h q | Aˆ | q ′ i cˆ†q cˆq′ − q
=
Z Z X X q
q′
q′
h q | Aˆ | q ′ i cˆq , cˆ†q cˆq′ ;
(2.115b)
84
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE prin utilizarea descompunerii (2.108) pentru comutatori cu produse de operatori se obt¸ine:
cˆq , cˆ†q cˆq′
0 = δ(q, q ′ ) cˆq′ ; 1 · cˆq′ ± cˆ†q · ˆ = cˆq , cˆ†q ∓ cˆq′ ± cˆ†q cˆq , cˆq′ ∓ = δ(q, q ′ ) ˆ
atunci, prin substituirea expresiei comutatorului ¸si efectuarea sum˘ arii-integr˘ arii peste valorile q ′ , rezult˘ a (2.115a). Relat¸ia de comutare (2.115b) se deduce ˆın mod analog, sau se utilizeaz˘ a observat¸ia c˘ a acest comutator se poate deduce din precedentul, prin conjugare hermitic˘ a.
Se vor particulariza relat¸iile de comutare generale pentru operatori uni-particul˘a remarcabili. ˆ ˆıi corespunde operatorul Nˆ = ˆ1, astfel ˆıncˆ i. Operatorului num˘ ar de particule N at matricea ˆ | q ′ i = δ(q, q ′ ); ca urmare, rezult˘a urm˘atoarele ˆın baza proprie impuls-spin este banal˘a: h q | N relat¸ii de comutare: ˆ (2.116a) = cˆq ′ , cˆq , N − † † ˆ = − cˆq . (2.116b) cˆq , N − ˆ ˆıi corespunde operatorul P, ˆ iar vectorii proprii impuls-spin ii. Operatorului impuls total P | q i sunt vectorii s˘ai proprii; ca urmare, matricea ˆın baza proprie impuls-spin este diagonal˘ a: ˆ | q ′ i = ~k δ(q, q ′ ) ¸si rezult˘a urm˘atoarele relat¸ii de comutare: hq|P
ˆ cˆq , P ˆ cˆ†q , P
− −
= ~k cˆq′ ,
(2.117a)
= − ~k cˆ†q .
(2.117b)
iii. Operatorul energie cinetic˘ a total˘ a (hamiltonianul sistemului liber) Tˆ are propriet˘ a¸ti si1 ˆ 2; P milare cu impulsul total, deoarece operatorul corespunz˘ ator unei particule este Tˆ = 2m ~2 k2 δ(q, q ′ ), iar atunci elementul de matrice ˆın baza proprie (impuls-spin) este h q | Tˆ | q ′ i = 2m comutatorii cu operatorii elementari au urm˘atoarele expresii: ~2 k2 cˆq′ , 2m † ~2 k2 † cˆq , Tˆ − = − cˆ . 2m q
cˆq , Tˆ
−
=
(2.118a) (2.118b)
iv. Operatorul componentei spinului total Sˆz are corespondent operatorul pentru o particul˘ a ˆ Sz care are drept vectorii proprii impuls-spin {| q i}; atunci elementele de matrice sunt diagonale: h q | Sˆz | q ′ i = ~σ δ(q, q ′ ), iar comutatorii cu operatorii elementari au urm˘atoarele expresii:
cˆq , Sˆz
cˆ†q
, Sˆz
− −
= ~σ cˆq′ , = −~σ
cˆ†q
(2.119a) .
(2.119b)
b2. Pentru un operator bi-particul˘ a, avˆand ˆın Cuantificarea II expresia (2.100), se obt¸in urm˘atoarele rezultate pentru comutatorii cu operatorii fundamentali: Z X Z X Z X ˆ = (2.120a) h q, q ′ | Bˆ | q 1 , q ′1 i cˆ†q′ cˆq′1 cˆq1 , cˆq , B − q′
q1
q ′1
Z X Z X Z n X † o† ˆ ˆ = − cˆq , B h q 1 , q ′1 | Bˆ | q, q ′ i cˆ†q1 cˆ†q′ cˆq ′ = − cˆq , B , − − 1
q′
q1
(2.120b)
q ′1
Demonstrat¸ie: Se utilizeaz˘ a expresia operatorului bi-particul˘ a ˆın termeni de operatori elementari ¸si se separ˘ a partea operatorial˘ a (comutatorul operatorului elementar cu cei 4 operatori elementari provenit¸i de
2.3. DESCRIEREA SISTEMULUI MANY-BODY ˆIN CUANTIFICAREA II
85
la operatorul bi-particul˘ a):
ˆ cˆq , B
−
Z Z Z Z i h 1 XXXX h q 1 , q ′1 | Bˆ | q 2 , q ′2 i cˆ†q1 cˆ†q′ cˆq′2 cˆq2 = cˆq , 1 2 − q ′1
q1
=
q2
Z Z Z Z 1 XXXX
2
q1
q ′1
q2
q ′2
q ′2
h q 1 , q ′1 | Bˆ | q 2 , q ′2 i cˆq , cˆ†q1 cˆ†q′ cˆq′2 cˆq2 − ; 1
comutatorul se descompune ˆın 2 comutatori, iar apoi se continu˘ a descompunerea ˆın comutatori, sau anti-comutatori elementari, care se evalueaz˘ a conform relat¸iilor (2.80):
cˆq , cˆ†q1 cˆ†q′ cˆq′2 cˆq2 1
−
= cˆq , cˆ†q1 cˆ†q′ − cˆq′2 cˆq2 + cˆ†q1 cˆ†q′ cˆq , cˆq′2 cˆq2 − 1 1 n o = cˆq , cˆ†q1 ± cˆ†q′ ∓ cˆ†q1 cˆq , cˆ†q′ ± cˆq′2 cˆq2 1 1 | {z } | {z } = δ(q,q 1 ) ˆ 1
+ cˆ†q1 cˆ†q′
1
= δ(q,q′1 ) ˆ 1
n
o cˆq , cˆq′2 ± cˆq2 ∓ cˆq′2 cˆq , cˆq2 ± | {z } | {z }
=ˆ 0
n o = δ(q, q 1 ) cˆ†q′ ∓ cˆ†q1 δ(q, q ′1 ) cˆq′2 cˆq2 ;
=ˆ 0
1
atunci, prin utilizarea rezultatului precedent se obt¸ine: Z X Z Z X nX ˆ = 1 h q , q ′1 | Bˆ | q 2 , q ′2 i cˆ†q′ cˆq′2 cˆq2 cˆq , B − 1 2 q′1
∓
q2
q′2
Z Z X Z X X q1
q2
q ′2
h q 1 , q | Bˆ | q 2 , q ′2 i cˆ†q1 cˆq′2 cˆq2
o
;
ˆın al doilea termen se permut˘ a ultimii doi operatori elementari, apoi se redenumesc indicii ¸si se utilizeaz˘ a simetria elementului de matrice al operatorului bi-particul˘ a ˆın raport cu permutarea indicilor Z Z X Z X Z Z X Z X X X ∓ h q 1 , q | Bˆ | q 2 , q ′2 i cˆ†q1 cˆq′2 cˆq2 = h q 1 , q | Bˆ | q 2 , q ′2 i cˆ†q1 cˆq2 cˆq′2 | {z } ′ ′ q1
q2
q2
q2
q1
= ∓ˆ cq 2 c ˆq ′ 2
=
q2
Z X Z Z X X q ′1
q2
q ′2
h q , q ′1 | Bˆ | q 2 , q ′2 i cˆ†q′ cˆq′2 cˆq2 ; 1
se observ˘ a c˘ a ˆın urma operat¸iilor efectuate, al doilea termen este egal cu primul, astfel ˆıncˆ at relat¸ia (2.120a) este demonstrat˘ a.
Prin utilizarea relat¸iilor de comutare (2.115), respectiv (2.120), se poate demonstra c˘ a operatorul num˘ar de particule comut˘a cu operatorii observabilelor uni-particul˘a ¸si bi-particul˘a (reg˘asinduse astfel rezultate deduse anterior prin utilizarea operatorilor de cˆ amp, ˆın locul operatorilor elementari):
ˆ , Aˆ = ˆ0 , N ˆ,B ˆ = ˆ0 . N
Operatorul num˘ ar de particule are urm˘atoarea proprietate: orice vector de stare pentru N particule (|ΨN i) este un vector propriu al operatorului num˘ar de particule, conform relat¸iei ˆ |ΨN i = N |ΨN i . N Demonstrat¸ie: Se consider˘ a init¸ial un vector propriu al bazei numerelor de ocupare cu proprietatea c˘ a suma numerelor de ocupare pe toate modurile uni-particul˘ a este N : | . . . , nq , . . .i P n =N ≡ |{n}N i ; q
q
86
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE acest vector propriu al bazei numerelor de ocupare este ˆın mod evident un vector propriu al operatorului num˘ ar de particule, corespunz˘ ator valorii proprii N : X X ˆ {n}N = N n ˆ q | . . . , nq , . . .i P n =N = nq | . . . , nq , . . .i P n =N q
=
q
nX q
q
o nq | . . . , nq , . . .i P
q
q
q nq =N
q
= N {n}N .
Conform relat¸iei (2.61), setul vectorilor |{n}N i este o baz˘ a ˆın spat¸iul Hilbert al st˘ arilor unui sistem cu N particule; atunci orice vector din acest spat¸iu (care poate fi un vector de stare al sistemului N -particule) se poate descompune dup˘ a aceast˘ a baz˘ a: X ΨN = c{n} {n}N . P {n} q nq =N
Utilizˆ and descompunerea precedent˘ a ¸si luˆ and ˆın considerare c˘ a vectorii de baz˘ a sunt vectori proprii ˆ corespunz˘ ai operatorului liniar N ator valorii proprii N (aceea¸si pentru tot¸i vectorii), se obt¸ine: n X X X o ˆ {n}N = ˆ ˆ ΨN = N c{n} N {n}N c{n} N = c{n} {n}N N P {n} q nq =N
P {n} q nq =N
=N
X
P {n} q nq =N
P {n} q nq =N
o = N ΨN . c{n} {n}N
Se utilizeaz˘ a proprietatea precedent˘ a ¸si relat¸ia de comutare a operatorului num˘ar de particule cu operatorul de cˆ amp (2.110a) ˆ −N ˆ ψˆσ (r) = ψˆσ (r) ˆ ψˆσ (r) = ψˆσ (r) N ˆ − ψˆσ (r) ; ˆ ≡ ψˆσ (r) N =⇒ N ψˆσ (r) , N −
atunci, act¸iunea operatorului num˘ ar de particule asupra vectorului ψˆσ (r) |ΨN i este ˆ ψˆσ (r) |ΨN i = ψˆσ (r) N ˆ |ΨN i − ψˆσ (r) |ΨN i = (N − 1) ψˆσ (r) |ΨN i , N
adic˘a vectorul ψˆσ (r) |ΨN i este un vector propriu al lui N , corespunz˘ ator valorii proprii (N − 1); ca urmare ψˆσ (r) |ΨN i = |Ψ′(N −1) i, care este o stare (N − 1)-particule.
2.4 2.4.1
Formul˘ arile Dirac ¸si Heisenberg ˆın Cuantificarea II Observat¸ii preliminare
Anterior, s-a f˘ acut o prezentare general˘a a formalismului Cuantific˘arii II, utilizˆand ˆın mod tacit formularea Schr¨odinger. Se consider˘ a sistemul constituit din N particule identice (bosoni sau fermioni) 8 care au translat¸ii nerelativiste (ˆıntr-o incint˘ a de volum V ) ¸si exist˘a interact¸ii mutuale binare. ˆIn formularea Schr¨odinger hamiltonianul sistemului precizat anterior este ˆ =H ˆ0 + H ˆ1 , H
(2.121)
ˆ 0 = Tˆ este hamiltonianul sistemului liber (operator uni-particul˘a), iar H ˆ 1 = Vˆ este unde H hamiltonianul interact¸iilor mutuale (operator bi-particul˘a). ˆ 0 ), Dac˘ a se consider˘ a sistemul liber (f˘ ar˘a interact¸ii mutuale, cˆand hamiltonianul se reduce la H atunci sunt valabile urm˘atoarele rezultate (care au fost discutate ˆın sect¸iunea precedent˘ a): • baza de st˘ ari 1-particul˘ a este |qi , • baza de operatori elementari (pe st˘ari 1-particul˘ a) este cˆq , cˆ†q .
8 Se poate face o tratare comun˘ a a ambelor tipuri de sisteme, singura diferent¸˘ a formal˘ a fiind semnul din relat¸iile de comutare/anti-comutare fundamentale ale operatorilor elementari, sau ale operatorilor de cˆ amp.
˘ 2.4. FORMULARILE DIRAC S¸I HEISENBERG ˆIN CUANTIFICAREA II
87
Hamiltonianului liber • ˆIn Cuantificarea I este suma operatorilor energie cinetic˘a pentru fiecare particul˘ a a sistemului N X ˆ 0a , ˆ0 = H H QI
a=1
ˆ 0a = Tˆa = P ˆ 2a /(2m); deoarece particulele sunt identice, operatorii H ˆ 0a au acelea¸si unde H propriet˘ a¸ti pentru toate particulele, astfel ˆıncˆ at se va omite indicele de particul˘ a cˆ and se vor evident¸ia propriet˘ a¸ti generale ale acestui operator. ˆ 0 este o funct¸ie de operatorul impuls P, ˆ rezult˘a c˘ Luˆand ˆın considerare c˘ aH a vectorii proprii impuls-spin sunt, de asemenea, vectori proprii ai hamiltonianului liber; atunci, ecuat¸ia cu valori proprii a hamiltonianului liber pentru o particul˘ a este de forma urm˘atoare: ˆ 0 |qi = εq |qi , H ~2 k2 ; rezult˘a c˘ a matricea operatorului hamiltonian liber 1-particul˘ a este unde εq ≡ ~ ωq = 2m ˆ hq|H0 |qi = ~ ωq δq,q ′ . • ˆIn Cuantificarea II hamiltonianul liber este exprimat ˆın termeni de operatori elementari, sau componente de spin ale operatorilor de cˆ amp prin relat¸iile (2.90) ¸si (2.92): ˆ0 = H
Q II
=
Q II
X
~ ωq cˆ†q cˆq ,
(2.122a)
q
Z
d3 r
X σ
2
−~ ∇2 ψˆσ (r) . ψˆσ† (r) 2m
(2.122b)
Este important s˘a se remarce faptul c˘ a rezultatele anterioare, valabile pentru cazul cel mai simplu (cˆand particulele sistemului au translat¸ii libere) se pot generaliza la situat¸ia cˆ and exist˘a ˆın plus o interact¸ie a fiec˘ arei particule cu un cˆ amp extern; ˆın acest ultim caz hamiltonianul sistemului ˆ 0 = Tˆ + U ˆ (unde U ˆ este hamiltonianul de interact¸ie cu cˆ (numit ˆınc˘ a liber ) este H ampul extern). Hamiltonianul liber generalizat este descris de un operator tip uni-particul˘a, dar st˘arile sale proprii (notate q) nu mai sunt st˘ ari proprii de impuls-spin [ q 6= (k, σ)], iar energiile proprii (notate εq ≡ ~ ωq ) nu mai sunt energiile de translat¸ie [ εq 6= ~2 k 2 /(2m)].
2.4.2
Formularea de interact¸ie (Dirac)
1. Definit¸ie: formularea Dirac se obt¸ine din formularea Schr¨odinger prin transformarea unitar˘ a i ˆ ˆ a vectorilor ¸si operatorilor realizat˘a de operatorul unitar RI (t) = exp t H0 , conform definit¸iei ~ generale (1.43), deoarece hamiltonianul liber este atemporal ¸si s-a f˘acut alegerea momentului init¸ial t0 = 0. Atunci, vectorul de stare ¸si operatorii observabilelor se transform˘a conform definit¸iei (1.44) Ψ(t)
−→
Aˆ
−→
ΨI (t) = e ~i tHˆ 0 Ψ(t) ,
AˆI (t) = e
i ~
ˆ0 tH
Aˆ e
− ~i
ˆ0 tH
(2.123a) .
(2.123b)
Operatorii formul˘arii Dirac satisfac ecuat¸ia diferent¸ial˘a (1.45) cu condit¸ia limit˘a c˘ a la momentul init¸ial operatorul Dirac coincide cu operatorul Schr¨odinger; atunci, ˆın cazul prezent ecuat¸ia diferent¸ial˘a ¸si condit¸ia limit˘ a pentru operatorii Dirac sunt urm˘atoarele: i~
∂ ˆ ˆ0 , AI (t) = AˆI (t) , H ∂t AˆI (0) = Aˆ .
(2.124a) (2.124b)
88
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE
2. Operatori elementari Dirac
se obt¸in prin particularizarea relat¸iei generale (2.123b) i
ˆ
i ~
ˆ0 tH
i
ˆ
cˆqI (t) = e ~ tH0 cˆq e− ~ tH0 , cˆ†qI (t)
=e
cˆ†q
e
ˆ0 − ~i tH
(2.125a)
.
(2.125b)
Operatorul elementar Dirac de anihilare cˆqI (t) satisface ecuat¸ia diferent¸ial˘a cu condit¸ia limit˘a (2.124), care ˆın cazul studiat este i~
∂ cˆqI (t) = ~ ωq cˆqI (t) , ∂t cˆqI (0) = cˆq .
(2.126a) (2.126b)
Demonstrat¸ie: Conform ecuat¸iei generale (2.124a), operatorul elementar de anihilare satisface ecuat¸ia diferent¸ial˘ a i~
∂ ˆ0 . cˆqI (t) = cˆqI (t) , H ∂t
ˆ 0 ] se calculeaz˘ Comutatorul [ cˆqI (t), H a ˆın mod explicit prin reducere la comutatorul similar din formularea Schr¨ odinger:
ˆ0 − H ˆ 0 e ~i tHˆ 0 cˆq e− ~i tHˆ 0 ˆ0 − H ˆ 0 cˆqI (t) = e ~i tHˆ 0 cˆq e− ~i tHˆ 0 H ˆ 0 = cˆqI (t) H cˆqI (t) , H i ˆ ˆ0 − H ˆ 0 cˆq e− ~i tHˆ 0 = e ~ tH0 cˆq H i ˆ ˆ 0 e− ~i tHˆ 0 ; = e ~ tH0 cˆq , H
comutatorul operatorilor Schr¨ odinger se obt¸ine utilizˆ and faptul c˘ a hamiltonianul liber este energia cinetic˘ a total˘ a, iar apoi relat¸ia (2.118), astfel ˆıncˆ at rezult˘ a:
2 2 ˆ 0 = cˆq , Tˆ = ~ k cˆq = ~ ωq cˆq ; cˆq , H 2m
atunci, prin substituirea rezultatului pentru comutatorul precedent ˆın expresia init¸ial˘ a, se obt¸ine
ˆ 0 = e ~i tHˆ 0 ~ ωq cˆq′ e− ~i tHˆ 0 = ~ ωq cˆq′ I (t) . cˆqI (t) , H
Ecuat¸ia diferent¸ial˘a (operatorial˘ a) (2.126) are solut¸ia cˆqI (t) = e−i ωq t cˆq .
(2.127)
Demonstrat¸ie: Din ecuat¸ia diferent¸ial˘ a (2.126a) se obt¸ine derivata de ordin arbitrar a operatorului cˆqI (t): ∂ cˆqI (t) = − i ωq cˆqI (t) ∂t
=⇒
∂n cˆqI (t) = (− i ωq )n cˆqI (t) ; ∂ tn
atunci, dezvoltarea ˆın serie Taylor a operatorului conduce la urm˘ atorul rezultat: cˆqI (t) =
∞ ∞ ∞ X X X 1 ∂n 1 1 n n n c ˆ (t) (− i ω ) c ˆ t = (− i ωq t)n cˆq t = qI q q n n! ∂ t n! n! t=0 n=0 n=0 n=0
= e−i ωq t cˆq .
Din rezultatele precedente s-a obt¸inut forma explicit˘a a operatorilor elementari ˆın formularea Dirac: cˆqI (t) = e−i ωq t cˆq , cˆ†qI (t) = e i ωq t cˆ†q ;
˘ 2.4. FORMULARILE DIRAC S¸I HEISENBERG ˆIN CUANTIFICAREA II
89
se observ˘ a c˘ a operatorii elementari Dirac difer˘a de operatorii corespondent¸i Schr¨odinger numai prin exponent¸iala complex˘a, astfel c˘ a din relat¸iile de comutare (2.80) pentru operatorii Schr¨odinger se obt¸in relat¸iile de comutare/anti-comutare pentru operatorii elementari Dirac: ′ (2.128a) cˆqI (t) , cˆ†q′ I (t′ ) ∓ = e−i ωq (t−t ) δ(q, q ′ ) ˆ1 , † † cˆqI (t) , cˆq′ I (t′ ) ∓ = ˆ0 = cˆqI (t) , cˆq ′ I (t′ ) ∓ . (2.128b)
ˆIn particular, relat¸iile de comutare/anti-comutare sincrone (pentru operatorii elementari Dirac) sunt similare cu relat¸iile corespondente pentru operatorii Schr¨odinger (2.80): (2.129a) cˆqI (t) , cˆ†q′ I (t) ∓ = δ(q, q ′ ) ˆ1 , † † (2.129b) cˆqI (t) , cˆq′ I (t) ∓ = ˆ0 = cˆqI (t) , cˆq ′ I (t) ∓ . 3. Operatori de cˆ amp Conform definit¸iei operatorilor Dirac (1.44b), a dependent¸ei temporale a operatorilor elementari Dirac (2.127) ¸si a formei funct¸iilor proprii de impuls (unde plane pentru cazul domeniu spat¸ial limitat la volumul V ) se obt¸in expresiile componentelor de spin ale operatorilor de cˆ amp X
1 X i(k·r−ωq t) uk (r) cˆkσI (t) = √ e cˆkσ , V k k X 1 X −i(k·r−ωq t) † = u∗k (r) cˆ†kσI (t) = √ e cˆkσ . V k k
i i ˆ ˆ ψˆσI (r, t) ≡ e ~ tH0 ψˆσ (r) e− ~ tH0 = i i ˆ ˆ † ψˆσI (r, t) ≡ e ~ tH0 ψˆσ† (r) e− ~ tH0
(2.130a) (2.130b)
Prin utilizarea relat¸iilor de comutare Schr¨odinger (2.88) ¸si a expresiilor (2.130) se obt¸in relat¸iile generale de comutare/anti-comutare ale componentelor de spin pentru operatorii de cˆ amp: 1 X i[k·(r−r′ )−ωq (t−t′ )] ˆ e 1, V k † (r, t) , ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) ∓ ; ψˆσI (r, t) , ψˆσ′ I (r′ , t′ ) ∓ = ˆ0 = ψˆσI
ψˆσI (r, t), ψˆσ† ′ I (r′ , t′ )
∓
= δσσ′
(2.131a) (2.131b)
ˆın particular, relat¸iile de comutare/anti-comutare sincrone sunt similare relat¸iilor corespondente din formularea Schr¨odinger: (2.132a) ψˆσI (r, t), ψˆσ† ′ I (r′ , t) ∓ = δσσ′ δ(r − r′ ) ˆ1 , † (r, t) , ψˆσ† ′ ,I (r′ , t) ∓ ; (2.132b) ψˆσI (r, t) , ψˆσ′ t (r′ , t) ∓ = ˆ0 = ψˆσI Operatorii de cˆ amp totali ˆın formularea Dirac, conform relat¸iilor (2.85), au urm˘atoarele expresii generale X ˆ I (r, s; t) = Ψ χσ (s) ψˆσI (r, t) , (2.133a) σ
ˆ † (r, s; t) = Ψ I
X
† χ∗σ (s) ψˆσI (r, t) .
(2.133b)
σ
4. Observabile Observabilele uni-particule se exprim˘ a ˆın Cuantificarea II, atˆat ˆın termeni de operatori elementari pe st˘ari proprii uni-particul˘ a, cˆ at ¸si ˆın termeni de componente de spin ale operatorilor de cˆ amp. ˆIn formularea Schr¨odinger sunt valabile expresiile (2.90) ¸si respectiv (2.92) XX Aˆ = h q | Aˆ | q ′ i cˆ†q cˆq , Q II
=
Q II
q
Z
q′
d3 r
X σ,σ′
ˆ ψˆσ† (r) Aˆr σ,σ′ ψˆσ′ (r) .
Prin aplicarea transform˘ arii unitare de trecere la formularea Dirac (2.123b) se transform˘a operatorii din spat¸iul Fock (adic˘ a operatorii elementari, respectiv operatorii de cˆ amp, dar funct¸iile de
90
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE
coordonate pozit¸ie-spin ¸si operatorii funct¸ionali asupra acestor funct¸ii r˘amˆ an nemodificat¸i; atunci un operator uni-particul˘ a are urm˘atoarele expresii ˆın Cuantificarea II, formularea Dirac: XX AˆI (t) = h q | Aˆ | q ′ i cˆ†qI (t) cˆqI (t) , (2.134a) Q II
=
Q II
q′
q
Z
d3 r
X σ,σ′
ˆ † ψˆσI (r, t) Aˆr σ,σ′ ψˆσ′ I (r, t) .
(2.134b)
Observabilele bi-particule sunt similare; astfel, ˆın formularea Schr¨odinger un operator bi-particul˘a are expresia (2.100) ˆın termeni de operatori elementari pe st˘ari uni-particul˘a ¸si respectiv (2.102) ˆın termeni de componente de spin ale operatorilor de cˆ amp: XXXX ˆ = 1 h q 1 , q ′1 | Bˆ | q 2 , q ′2 i cˆ†q1 cˆ†q′ cˆq ′2 cˆq2 , B 1 Q II 2 ′ ′ q q q1
1
1 = Q II 2
Z
3
d r
Z
q2
2
−s,s X
3 ′
d r
σ1 ,σ1′ ,σ2 ,σ2′
ˆ ψˆσ† 1 (r) ψˆσ† ′ (r′ ) Bˆr,r′ σ1 ,σ2 ;σ′ ,σ′ ψˆσ2′ (r′ ) ψˆσ2 (r) . 1
1
2
Prin aplicarea transform˘ arii unitare se obt¸ine operatorul ˆın formularea Dirac: XXXX ˆI (t) = 1 h q 1 , q ′1 | Bˆ | q 2 , q ′2 i cˆ†q 1 I (t) cˆ†q′ I (t) cˆq′2 I (t) cˆq 2 I (t) , B 1 Q II 2 ′ ′ q q 1
=
Q II
1 2
Z
q1
d3 r
2
Z
(2.135a)
q2
−s,s X
d3 r′
σ1 ,σ1′ ,σ2 ,σ2′
ˆ ψˆσ† 1 I (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t) Bˆr,r′ σ 1
′ ′ 1 ,σ2 ;σ1 ,σ2
ψˆσ2′ I (r′ , t) ψˆσ2 I (r, t) . (2.135b)
5. Hamiltonianul sistemului Conform definit¸iei anterioare a sistemului, hamiltonianul are dou˘a contribut¸ii, iar ˆın formularea ˆ =H ˆ0 +H ˆ 1 , unde Schr¨odinger acest operator este atemporal fiind exprimat prin relat¸ia (2.121): H ˆ 0 este hamiltonianul sistemului liber (un operator uni-particul˘a), iar H ˆ 1 = Vˆ este hamiltonianul H de interact¸ie ˆıntre particule (un operator bi-particul˘a). Deoarece transformarea unitar˘ a este generat˘a de hamiltonianul sistemului liber, atunci operatorii Schr¨odinger ¸si Dirac sunt egali 9 ˆ 0I (t) ≡ e ~i tHˆ 0 H ˆ 0 e− ~i tHˆ 0 = H ˆ0 . H Hamiltonianul de interact¸ie descrie interact¸ii instantanee ˆıntre particulele sistemului, astfel c˘ a operatorii pentru perechile de particule sunt independent¸i de impulsuri, ceea ce implic˘ a operatori funct¸ionali multiplicativi ˆın coordonatele de pozit¸ie ale particulelor (¸si eventual dependent¸i de spinii particulelor); atunci, hamiltonianul de interact¸ie ˆın formularea Schr¨odinger este de forma (2.104b): 1 Vˆ = 2
Z
d3 r
Z
d3 r′
−s,s X
σ1 ,σ1′ ,σ2 ,σ2′
Vσ1 ,σ2 ;σ1′ ,σ2′ (r, r′ ) ψˆσ† 1 (r) ψˆσ† ′ (r′ ) ψˆσ2′ (r′ ) ψˆσ2 (r) , 1
iar operatorul corespunz˘ ator ˆın formularea Dirac se obt¸ine din precedenta expresie ˆın mod similar cazului general ¸si este dat de relat¸ia (2.135): 1 VˆI (t) = 2
Z
d3 r
Z
d3 r′
−s,s X
σ1 ,σ1′ ,σ2 ,σ2′
Vσ1 ,σ2 ;σ1′ ,σ2′ (r, r′ ) ψˆσ† 1 I (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t) ψˆσ2′ I (r′ , t) ψˆσ2 I (r, t) . 1
(2.136)
9 Dac˘ a se utilizeaz˘ a expresiile (2.122) pentru hamiltonianul sistemului liber ˆın formularea Schr¨ odinger, atunci ˆ 0I (t) = P ~ ωq cˆ† (t) cˆqI (t), respectiv se obt¸in expresii analoage pentru operatorul din formularea Dirac: H q qI R ˆ 0I (t) = d3 r P ψˆ† (r, t) −~2 ∇2 ψˆσI (r, t). Totu¸si, dac˘ H a se expliciteaz˘ a operatorii elementari, conform relat¸iei σ σI 2m (2.127), sau operatorii de cˆ amp, conform relat¸iei (2.130), atunci rezult˘ a simplificarea factorilor temporali ¸si in final se obt¸in expresiile hamiltonianului liber din formularea Schr¨ odinger.
˘ 2.4. FORMULARILE DIRAC S¸I HEISENBERG ˆIN CUANTIFICAREA II
91
Pentru aplicat¸ii ulterioare (dezvoltarea perturbativ˘a a funct¸iilor Green) este convenabil s˘a se introduc˘a notat¸ii 4-dimensionale pozit¸ii-timp, prin analogie cu notat¸iile teoriei relativiste 10 • 4-vectorul spat¸io-temporal: x = (r, t), • integrala 4-dimensional˘ a spat¸io-temporal˘a: Z Z Z 4 3 d x ··· = d r
∞ −∞
dt · · ·
• matricea de spin a potent¸ialului static 2-particul˘ a (neretardat): Uσ1 ,σ2 ;σ1′ ,σ2′ (x, x′ ) = Vσ1 ,σ2 ;σ1′ ,σ2′ (r, r′ ) δ(t − t′ ) Pentru a utiliza notat¸iile 4-dimensionale se consider˘ a integrala temporal˘a a hamiltonianului de interact¸ie al formul˘arii Dirac: Z
∞
ˆ 1I (t) = 1 dt H 2 −∞
=
=
1 2
1 2
Z
∞
dt
−∞
Z
d3 r
× Z
ψˆσ† 1 I (r, t)
× Z
ψˆσ† 1 I (r, t)
d3 r
d4 x
Z Z
∞
Z
−s,s X
d3 r′
σ1 ,σ1′ ,σ2 ,σ2′
ψˆσ† ′ I (r′ , t) 1
dt
−∞
Z
d3 r′
Z
ψˆσ2′ I (r′ , t) ψˆσ2 I (r, t) ∞
−∞
ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) 1 −s,s X
d4 x′
λ,µ,λ′ ,µ′
Vσ1 ,σ2 ;σ1′ ,σ2′ (r, r′ )
dt′
−s,s X
σ1 ,σ1′ ,σ2 ,σ2′
Vσ1 ,σ2 ;σ1′ ,σ2′ (r, r′ ) δ(t − t′ )
ψˆσ2′ I (r′ , t′ ) ψˆσ2 I (r, t)
† (x) ψˆλ† ′ I (x′ ) ψˆµ′ I (x′ ) ψˆµI (x) , (2.137) Uλ,µ;λ′ ,µ′ (x, x′ ) ψˆλI
unde ˆın ultima egalitate s-a f˘ acut redenumirea indicilor de spin: σ1 = λ, σ1′ = λ′ , σ2 = µ, σ2′ = µ′ . 6. Vectorul de stare ¸si operatorul de evolut¸ie Conform rezultatelor generale, vectorul de stare al formul˘arii Dirac se obt¸ine prin transformarea ˆ I (t) din vectorul de stare al formul˘arii Schr¨odinger, conform relat¸iei (1.44a): unitar˘ aR ˆ I (t) |ΨS (t)i = U ˆ † (t, t0 ) |ΨS (t)i = e ~i (t−t0 )Hˆ 0 |ΨS (t)i ; |ΨI (t)i ≡ R 0 atunci rezult˘a ecuat¸ia de evolut¸ie a vectorului de stare Dirac (1.46) i~
∂ ˆ 1I (t) |ΨI (t)i , |ΨI (t)i = H ∂t
numit˘a ecuat¸ia Schwinger-Tomonaga. Este convenabil s˘a se descrie evolut¸ia vectorului de stare prin act¸iunea operatorului de evolut¸ie ˆI (t, t′ ), definit prin relat¸ia (1.47) U ˆI (t, t0 ) |ΨI (t0 )i . |ΨI (t)i = U Operatorul de evolut¸ie pentru vectorul de stare Dirac are urm˘atoarele propriet˘ a¸ti importante:
11
ˆI (t, t′ ) este un operator unitar: U ˆ † (t, t′ ) = U ˆ −1 (t, t′ ); 1. U I I ˆI (t, t′ ) are propriet˘ ˆI (t, t′ ) = U ˆI (t, t′′ ) · U ˆI (t′′ , t′ ); 2. U a¸ti grupale: U 10 Aceste notat ¸ii au fost init¸ial utilizate ˆın electrodinamica cuantic˘ a, care este o teorie manifest relativist˘ a; ulterior, electrodinamica cuantic˘ a a fost generalizat˘ a ca o teorie cuantic˘ a de cˆ amp ¸si teoria many-body a fost construit˘ a ca varianta nerelativist˘ a a teoriei cuantice de cˆ amp. 11 Se vor rescrie rezultatele prezentate anterior ˆ ın Capitolul 1, cu schimb˘ ari minore de notat¸ie: t′ va fi ˆınlocuit ˆ ′ va fi notat H ˆ 1. cu t0 ¸si H
92
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE ˆI (t, t′ ) este legat de operatorul de evolut¸ie Schr¨odinger prin relat¸ia (1.53): 3. U ˆI (t, t′ ) = U ˆ † (t, t0 ) · U ˆS (t, t′ ) · U ˆ0 (t′ , t0 ) ; U 0 ˆI (t, t0 ) satisface ecuat¸ia diferent¸ial˘a (1.48) cu condit¸ia init¸ial˘a (1.49): 4. U i~
∂ ˆ ˆ 1I (t) · U ˆI (t, t0 ) , UI (t, t0 ) = H ∂t ˆI (t0 , t0 ) = Iˆ . U
Ecuat¸ia diferent¸ial˘a cu condit¸ia init¸ial˘a se poate transforma ˆın ecuat¸ia integral˘a (1.50): ˆI (t, t0 ) = Iˆ − i U ~
Z
t
t0
ˆ 1I (t′ ) · U ˆI (t′ , t0 ) , dt′ H
care are solut¸ia perturbativ˘a dat˘a de relat¸ia (1.51): ˆI (t, t0 ) = U
n Z t Z t ∞ X 1 −i ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn ) , dtn T H dt1 · · · n! ~ t0 t0 n=0
unde T[. . .] este operatorul de ordonare cronologic˘ a Dyson, care ordoneaz˘a operatorii ˆın ordine descresc˘atoare cronologic˘ a, de la stˆanga la dreapta. ˆIn cazul cˆ and se consider˘ a operatori elementari, sau operatori de cˆ amp, cu dependent¸˘a temporal˘a, atunci operatorul de ordonare cronologic˘ a T[. . .] este definit ˆın funct¸ie de tipul particulelor (bosoni sau fermioni). Astfel, se consider˘ a setul de operatori elementari, sau operatori de cˆ amp tempo rali (adic˘ a ˆın formularea Dirac, sau ˆın formularea Heisenberg): Aˆ1 (t1 ) , Aˆ2 (t2 ) , . . . , Aˆn (tn ) ; atunci act¸iunea operatorului cronologic asupra produsului de operatori este produsul de operatori reordonat¸i ˆın ordine cronologic˘ a (de la dreapta spre stˆanga), cu factorul de semn al permut˘arii necesare reordon˘arii operatorilor pentru cazul fermionic, dar f˘ar˘a factor de semn ˆın cazul bosonic: , (2.138) T Aˆ1 (t1 ) Aˆ2 (t2 ) . . . Aˆn (tn ) = (±1)σπ Aˆπ1 (tπ1 ) · Aˆπ2 (tπ2 ) · · · · · Aˆπn (tπn ) tπ1 >tπ2 >···>tπn
n a ordonarea cronologic˘ a a operatorilor, unde π este permutarea π = π11 π22 ··· ··· πn care realizeaz˘ σπ este paritatea permut˘arii π, iar semnul “+” corespunde cazului bosonic, ˆın timp ce semnul “−” corespunde cazului fermionic. Se observ˘ a urm˘atoarele propriet˘ a¸ti generale ale operatorului de ordonare cronologic˘ a: i. T este o operat¸ie comutativ˘ a pentru bosoni, dar este o operat¸ie anti-comutativ˘ a pentru fermioni ˆ ′ ) · A(t) ˆ ˆ · B(t ˆ ′) ; T B(t = ± T A(t) (2.139)
ii. T este o operat¸ie distributiv˘ a fat¸˘a de adunare: ˆ Cˆ + D) ˆ = T AˆCˆ + T AˆD ˆ +T B ˆ Cˆ + T B ˆD ˆ ; T (Aˆ + B)(
(2.140)
iii. observabilele (de exemplu hamiltonianul) cont¸in numai produse cu un num˘ ar par de operatori (elementari sau de cˆ amp); ca urmare, permutarea pentru ordonarea cronologic˘ a a operatorilor hamiltonieni de interact¸ie este totdeauna par˘ a: ˆ 1I (tπn ) ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn ) = +H ˆ 1I (tπ1 ) · · · H . (2.141) T H tπ1 >···>tπn
2.4.3
Formularea Heisenberg
Se consider˘ a sistemul definit anterior care cont¸ine N particule cu translat¸ii ˆın volumul V ¸si care au interact¸ii mutuale; atunci hamiltonianul sistemului este atemporal, fiind definit prin relat¸ia (2.121). Formularea Heisenberg a fost definit˘ a anterior, ˆın Capitolul 1 (ˆımpreun˘a cu formularea Dirac, astfel c˘ a se vor prezenta numai principalele rezultate.
˘ 2.4. FORMULARILE DIRAC S¸I HEISENBERG ˆIN CUANTIFICAREA II
93
Vectorul de stare ¸si operatorii observabilelor se obt¸in din formularea Schr¨odinger prin transˆ H (t) = U ˆ −1 (t, t0 ), conform relat¸iei (1.36); ca urmare, relat¸iile ˆıntre vectorii formarea unitar˘ aR de stare ¸si ˆıntre operatorii observabilelor, ˆın cele dou˘a formul˘ari, sunt date de relat¸iile (1.37): ˆ H (t) |Ψ(t)i = U ˆ (t0 , t) |Ψ(t)i = |Ψ(t0 )i , |ΨH i ≡ R ˆ H (t) · Aˆ · R ˆ † (t) = U ˆ † (t, t0 ) · Aˆ · U ˆ (t, t0 ) = U ˆ (t0 , t) · Aˆ · U ˆ (t, t0 ) . AˆH (t) = R H
Rezult˘ a c˘ a vectorul de stare Heisenberg este atemporal, iar operatorii observabilelor cont¸in ˆıntreaga evolut¸ie dinamic˘ a a sistemului; iar ecuat¸ia diferent¸ial˘a a unui operator Heisenberg este (1.39): ∂ ˆ ˆ . AH (t) = AˆH (t) , H i~ ∂t Deoarece s-a considerat c˘ a ˆıntregul hamiltonian al sistemului este atemporal, rezult˘a c˘ a operatorul unitar de transformare (care este inversul operatorului de evolut¸ie al formul˘arii Schr¨odinger) are ˆ H (t) = e ~i (t−t0 )Hˆ . expresia R Operatorii fundamentali ˆın formalismul Cuantific˘arii II, adic˘a operatorii elementari pe st˘arile uni-particul˘ a se obt¸in ˆın formularea Heisenberg din operatorii corespondent¸i ai formul˘arii Schr¨odinger, conform relat¸iei generale (1.37) i
ˆ
i ~
ˆ tH
ˆ
i
cˆqH (t) = e ~ tH cˆq e− ~ tH , cˆ†qH (t)
=e
cˆ†q
e
ˆ − ~i tH
.
(2.142a) (2.142b)
Operatorul de anihilare cˆqH (t) satisface ecuat¸ia diferent¸ial˘a (1.39) cu condit¸ia init¸ial˘a de coincident¸˘a cu operatorul Schr¨odinger i~
∂ ˆ , cˆqH (t) = cˆqH (t) , H ∂t cˆqH (0) = cˆq .
Spre deosebire de operatorii elementari ˆın formularea Dirac, ˆın cazul operatorilor elementari ai formul˘arii Heisenberg nu se poate determina (ˆın general) solut¸ia ecuat¸iei diferent¸iale, deoarece comutatorul dintre operatorul elementar ¸si hamiltonianul total nu produce un rezultat simplu (datorit˘ a hamiltonianului de interact¸ie); ca urmare, expresii explicite ale operatorilor elementari ai formul˘arii Heisenberg nu se pot obt¸ine ˆın general. Consecint¸a absent¸ei unor expresii explicite pentru operatorii elementari ai formul˘arii Heisenberg este absent¸a unor rezultate explicite pentru comutatorii operatorilor elementari Heisenberg. ˆIn mod analog, operatorii de cˆ amp ai formul˘arii Heisenberg sunt definit¸i prin formulele X i i ˆ ˆ uk (r) cˆkσH (t) , (2.143a) ψˆσH (r, t) = e ~ tH ψˆσ (r) e− ~ tH = k
† ψˆσH (r, t)
=e
i ~
ˆ tH
ψˆσ† (r)
e
ˆ − ~i tH
=
X
u∗k (r) cˆ†kσH (t) .
(2.143b)
k
La fel ca ˆın cazul operatorilor elementari, operatorii de cˆ amp ai formul˘arii Heisenberg nu au expresii explicite ˆın cazul general. 12 Pentru aplicat¸ii ulterioare ale teoriei many-body (dezvoltarea de perturbat¸ie a funct¸iilor Green) sunt importante relat¸iile ˆıntre m˘arimile formul˘arilor Heisenberg ¸si Dirac; deoarece aceste relat¸ii au fost discutate anterior, ˆın Capitolul 1, se vor prezenta numai rezultatele: • vectorii de stare sunt legat¸i prin relat¸ia (1.55a): ˆ † (t, t0 ) |ΨI (t)i ; |ΨH i = U I • operatorii observabilelor sunt legat¸i prin relat¸ia (1.55b): ˆ † (t, t0 ) · AˆI (t) · U ˆI (t, t0 ) ; AˆH (t) = U I 12 De fapt, tocmai absent ¸a unor solut¸ii explicite pentru ecuat¸iile diferent¸iale Heisenberg face necesar˘ a dezvoltarea teoriei perturbative.
94
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE ˆI (t, t′ ) ¸si operatorul de evolut¸ie Schr¨odinger U ˆS (t, t′ ) sunt • operatorul de evolut¸ie Dirac U corelat¸i prin formula general˘ a (1.53) ˆI (t, t′ ) = U ˆ † (t, t0 ) · U ˆ (t, t′ ) · U ˆ0 (t′ , t0 ) , U 0 care devine pentru alegerea t′ = t0 relat¸ia (1.54): ˆ (t, t0 ) , ˆI (t, t0 ) = U ˆ † (t, t0 ) · U U 0 ˆ (t, t′ ) este operatorul de evolut¸ie al sistemului f˘ar˘a interact¸ii mutuale (cˆand hamilunde U ˆ0. tonianul se reduce la H
ˆIn concluzie se remarc˘ a urm˘atoarele propriet˘ a¸ti ale formul˘arilor discutate anterior: – la momentul init¸ial (t = t0 ) cele 3 formul˘ari coincid; – algebra operatorilor este invariabil˘ a la transform˘ari unitare; ca urmare, ecuat¸ia cu valori proprii a unui operator are acela¸si spectru de valori proprii ˆın toate formul˘arile, iar vectorii proprii sunt corelat¸i la fel ca vectorii de stare; ˆ 1 ) formularea Dirac coincide – pentru sistemul liber (cˆand sunt absente interact¸iile mutuale H cu formularea Heisenberg; ca urmare, pentru un sistem cu interact¸ii mutuale, operatorii Dirac sunt operatori Heisenberg liberi (adic˘ a operatori Heisenberg ai sistemului cˆ and dispar interact¸iile mutuale).
2.4.4
Dezvoltarea perturbativ˘ a Feynman-Dyson
A. Aplicarea adiabatic˘ a a perturbat¸iei ˆ =H ˆ0 + H ˆ 1 ), pentru care interact¸ia Se consider˘ a sistemul definit anterior (cu hamiltonianul H ˆ 1 ) este considerat˘ ˆ0) mutual˘a (H a o perturbat¸ie; ca urmare, sistemul liber (cu hamiltonianul H este considerat ca fiind sistemul neperturbat. Metoda de aplicare adiabatic˘a a perturbat¸iei este o tehnic˘ a matematic˘a care genereaz˘ a st˘ari proprii ale sistemului cu interact¸ii pornind de la st˘ari proprii ale sistemului liber. a. Enunt¸area problemei Se consider˘ a init¸ial formularea Schr¨odinger: • Pentru sistemul liber se consider˘ a rezolvabil˘a problema ecuat¸iei cu valori proprii a energiei; adic˘a ecuat¸ia ˆ 0 |Φα i = E 0 |Φα i H (2.144) α 0 are solut¸ie cunoscut˘a: Eα , |Φα i α .
ˆ = H ˆ0 + H ˆ 1 ), problema st˘arilor Pentru sistemul cu interact¸ii (cˆand hamiltonianul este H ˆ α i = Eα |Ψα i) nu este rezolvabil˘a. proprii ale energiei (date de solut¸ia ecuat¸iei H|Ψ
• Se introduce interact¸ia ˆın mod adiabatic 13 , adic˘a se ˆınlocuie¸ste hamiltonianul de interact¸ie (operator atemporal) cu un operator temporal care variaz˘ a lent ˆın timp: ˆ H
−→
ˆ (ε) (t) = H ˆ 0 + e−ε|t| H ˆ1 ≡ H ˆ0 + H ˆ (ε) (t) , H S 1S
(2.145)
unde ε > 0 este un parametru pozitiv ¸si mic, numit parametru adiabatic. Se observ˘ a urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: • Prin modificarea hamiltoniamului de interact¸ie s-a transformat problema fizic˘a atemporal˘a ˆıntr-o problem˘ a fictiv˘a dependent˘ a de timp; pentru concizia exprim˘ arii se va utiliza denumirea sistem adiabatic pentru sistemul fictiv care are hamiltonianul modificat adiabatic, fat¸˘ a de hamiltonianul fizic atemporal. 13 Termenul adiabatic a fost introdus ˆ ın fizic˘ a pentru situat¸ii cˆ and schimbul de c˘ aldur˘ a era absent; de fapt, termenul provine din limba greac˘ a, unde adiabatos ˆınseamn˘ a impenetrabil. Datorit˘ a faptului c˘ a procesul adiabatic din termodinamic˘ a se desf˘ a¸sura foarte lent, prin abuz de limbaj, s-a introdus termenul adiabatic pentru cazul cˆ and anumit¸i parametri ai sistemului studiat variaz˘ a foarte lent; aceast˘ a ultim˘ a accept¸iune, din mecanic˘ a, este valabil˘ a ˆın cazul prezent.
˘ 2.4. FORMULARILE DIRAC S¸I HEISENBERG ˆIN CUANTIFICAREA II
95
• La momentele trecut infinit ¸si viitor infinit interact¸ia dispare: ˆ (ε) (t) = H ˆ0 ; lim H S
t→±∞
iar la momentul t = 0 hamiltonianul cont¸ine ˆıntreaga interact¸ie ˆ0 + H ˆ1 = H ˆ . ˆ (ε) (t) = H lim H S
t→0
• Cˆ and se trece la limita parametrului adiabatic nul, dispare dependent¸a temporal˘a ¸si se obt¸ine hamiltonianul fizic: ˆ0 + H ˆ1 = H ˆ ; ˆ (ε) (t) = H lim H S
ε→0
ˆ (ε) (t) pentru o valoare fixat˘ atunci se vor efectua calcule cu hamiltonianul adiabatic H aa S parametrului adiabatic (ε > 0), iar ˆın final se trece la limita ε → 0. (ε)
ˆ (t) reprezint˘ a o problem˘ a cu hamiltonian • Problema sistemului cu hamiltonian adiabatic H S ˆ total dependent de timp, dar hamiltonianul liber (H0 ) r˘amˆ ane atemporal; ca urmare, se va c˘ auta rezolvarea problemei ˆın formularea Dirac. ˆIn formularea Dirac hamiltonianul sistemului devine ˆ (ε) (t) H S
−→
ˆ (ε) (t) = e ~i tHˆ 0 H ˆ0 + H ˆ (ε) (t) , ˆ (ε) (t) e− ~i tHˆ 0 = H H I 1I S
(2.146)
ˆ (ε) (t) = e−ε|t| H ˆ 1I (t). unde H 1I Hamiltonianului adiabatic ˆıi corespunde operatorul de evolut¸ie adiabatic ˆın formularea Dirac ˆ (ε) (t, t′ ), care este operatorul de evolut¸ie Dirac pentru problema sistemului cu hamiltonianul U I ˆ (ε) (t); ca urmare, vectorul de stare Dirac al sistemului adiabatic evolueaz˘ H a ˆın timp conform relat¸iei (ε) ˆ (ε) (t, t0 ) |Ψ(ε) (t0 )i . |ΨI (t)i = U (2.147) I I Operatorul de evolut¸ie Dirac al sistemului adiabatic satisface o ecuat¸ie integral˘a de tipul (1.50), ˆ (ε) (t)); ca urmare, solut¸ia dar corespunz˘ ator hamiltonianului de interact¸ie modificat adiabatic (H 1I perturbativ˘a a ecuat¸iei integrale este de tipul relat¸iei (1.51): n Z t Z t ∞ X (ε) 1 −i ˆ (ε) (tn ) ˆ (t1 ) · · · H dtn T H dt1 · · · 1I 1I n! ~ t0 t0 n=0 n Z t Z t ∞ Pn X 1 −i ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn ) , = dtn e−ε j=1 |tj | T H dt1 · · · n! ~ t0 t0 n=0
ˆ (ε) (t, t0 ) = U I
(2.148)
unde ˆın ultima egalitate s-au extras exponent¸ialele adiabatice (care sunt numere reale) din operatorul de ordonare cronologic˘ a. Conform prezent˘ arii anterioare, ˆın formularea Dirac sistemul adiabatic are urm˘atoarele propriet˘ a¸ti relativ la evolut¸ia temporal˘a: • Sunt importante 2 probleme cu valori proprii ale energiei sistemului fizic: ˆ 0 |Φα i = E 0 |Φα i; – pentru sistemul liber: H α ˆ |Ψα i = Eα |Ψα i. – pentru sistemul cu interact¸ii: H • La momentul init¸ial t0 = −∞ sistemul este liber (f˘ ar˘a interact¸ii) ¸si evolueaz˘ a adiabatic, ajungˆand la momentul final t = 0 s˘a cont¸in˘a ˆıntreaga interact¸ie. • Se consider˘ a c˘ a la momentul init¸ial (t0 = −∞), cˆ and sistemul este liber (pentru acest sistem formul˘arile Dirac ¸si Heisenberg coincid), acest sistem se afl˘a ˆıntr-o stare proprie a energiei |Φ α i; ca urmare, vectorul de stare Dirac init¸ial este acest vector propriu al energiei: |ΨαI (t0 )i t =−∞ = |Φα i. 0
96
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE Ulterior, la momente de timp t > t0 , vectorul de stare al sistemului adiabatic evolueaz˘ a sub act¸iunea operatorului de evolut¸ie Dirac adiabatic: (ε) ˆ (ε) (t, t0 ) |Ψ(ε) (t0 )i ˆ (ε) (t, −∞) |Φα i . |ΨαI (t)i = U (2.149) =U I αI I t0 =−∞
ˆIn final, la momentul t = 0 sistemul cont¸ine ˆıntreaga interact¸ie, iar pe de alt˘ a parte m˘arimile formul˘arilor Dirac ¸si Heisenberg coincid (prin construct¸ie); ca urmare vectorul de stare Heisenberg al sistemului adiabatic este egal cu evoluatul temporal (pˆan˘a la momentul t = 0) al vectorului de stare Dirac: (ε) (ε) ˆ (ε) (0, −∞) |Φα i . |ΨαH i = |ΨαI (0)i = U I
(2.150)
• Atunci se pune problema propriet˘ a¸tilor vectorului evoluat adiabatic dintr-o stare proprie a (ε) sistemului liber, adic˘a vectorul |ΨαH i; mai exact, se pune problema dac˘a acest vector poate fi un vector propriu al hamiltonianului total pentru sistemul fizic. ˆIn plus, utilizarea momentului t0 = −∞, face posibil ca s˘a apar˘a m˘arimi divergente cˆ and se efectueaz˘ a trecerea la limit˘ a ε → 0. R˘ aspunsul la problemele semnalate anterior este dat de teorema Gell-Mann ¸si Low. b. Teorema Gell-Mann ¸si Low Vectorul obt¸inut prin evolut¸ia adiabatic˘a a unui vector propriu al hamiltonianului sistemului liber ¸si care este renormat devine la limita nul˘a a parametrului adiabatic un vector propriu al hamiltonianului total (cu interact¸ie): lim
ε→0+
ˆ (ε) (0, −∞) |Φα i U |Ψα i I ≡ (ε) symb ˆ hΦ α |Ψα i hΦα |U (0, −∞) |Φα i
ˆ , este un vector propriu al lui H
(2.151a)
I
adic˘a, ˆın notat¸ie simbolic˘ a ˆ H
|Ψα i |Ψα i = Eα . hΦα |Ψα i hΦα |Ψα i
(2.151b)
Observat¸ii: i. Vectorul propriu al hamiltonianului sistemului liber |Φα i evolueaz˘ a adiabatic (de la mo(ε) (ε) ˆ mentul t0 = −∞, pˆ an˘a la momentul t1 = 0) c˘ atre vectorul |ΨαH i = UI (0, −∞) |Φα i |Φα i
−→ ad
(ε)
(ε)
ˆ (0, −∞) |Φα i ; |ΨαH i = U I
la limita ε → 0+ , acest vector nu are sens matematic, deoarece cont¸ine o faz˘a divergent˘ a, mai exact Cα (ε) pentru ε ≈ 0 , |ΨαH i ≈ e−i ε |χ(ε) α i, (ε)
unde Cα este o m˘arime independent˘ a de parametrul adiabatic, iar |χα i are limit˘a finit˘a la (ε) anularea parametrului adiabatic: |χα i −→ |χα i (vector finit). Atunci, introducerea numitorului ε→0
(ε)
hΦα |ΨαH i elimin˘ a faza divergent˘ a ˆınainte de trecerea la limit˘a (ε → 0), astfel ˆıncˆ at m˘arimea (ε) ˆ (ε) (0, −∞) |Φα i U |ΨαH i |Ψα i I ≡ −→ (ε) (ε) ε→0 ˆ hΦ α |Ψα i hΦα |UI (0, −∞) |Φα i hΦα |ΨαH i
este un vector bine definit, f˘ ar˘ a faz˘a divergent˘ a; acesta este uzual numit vectorul Gell-Mann ¸si Low. ii. Teorema afirm˘ a ˆın plus c˘ a vectorul Gell-Mann ¸si Low este un vector propriu al hamiltonianului sistemului fizic care cont¸ine interact¸iile mutuale dintre particule. iii. Teorema Gell-Mann ¸si Low este valabil˘a, ˆın mod analog, dac˘a se alege t0 = +∞ (ˆın acest caz evolut¸ia sistemului este inversat˘ a temporal), adic˘a lim
ε→0+
ˆ (ε) (0, +∞) |Φα i U |Ψ+ αi I ≡ + (ε) symb ˆ hΦ |Ψ αi α hΦα |UI (0, +∞) |Φα i
ˆ . este un vector propriu al lui H
˘ 2.4. FORMULARILE DIRAC S¸I HEISENBERG ˆIN CUANTIFICAREA II
97
iv. Cazul interesant este atunci cˆ and vectorul propriu al sistemului liber se alege s˘a fie vectorul st˘ arii fundamentale |Φ0 i; atunci, pentru un sistem nerelativist N -particule, ˆın absent¸a unui cˆ amp magnetic extern, starea fundamental˘ a a sistemului cu interact¸ii (|Ψ0 i) este nedegenerat˘ a ¸si se poate ar˘ ata c˘ a vectorul Gell-Mann ¸si Low este vectorul st˘ arii fundamentale a sistemului cu interact¸ii mutuale. Ca urmare, ˆın acest caz vectorii obt¸inut¸i, fie prin evolut¸ie de la t0 = −∞, fie prin evolut¸ie de la t0 = +∞, sunt echivalent¸i |Ψ− 0i hΦ0 |Ψ− 0i
|Ψ+ 0i , hΦ0 |Ψ+ 0i
⇐⇒
¸si ambii sunt vectori ai st˘ arii fundamentale pentru sistemul cu interact¸ii. Demonstrat¸ie: ˆ 0 − Eα0 ˆ • Se aplic˘ a operatorul (H 1) vectorului de stare Heisenberg evoluatul adiabatic al vectorului propriu Dirac, care este definit prin formula (2.150): (ε) ˆ (ε) (0, −∞) |Φα i ˆ 0 − Eα0 ˆ ˆ 0 − Eα0 ˆ 1) U 1) |ΨαH i = (H (H I
ˆ0 U ˆ (ε) (0, −∞) |Φα i − Eα0 U ˆ (ε) (0, −∞) |Φα i ; =H I I
ˆ 0 corespunz˘ dar |Φα i este vector propriu al hmiltonianului liber H ator valorii proprii Eα0 , astfel ˆıncˆ at al doilea termen se exprim˘ a ˆın mod echivalent astfel: ˆ 0 |Φα i ˆ (ε) (0, −∞) |Φα i = U ˆ (ε) (0, −∞) Eα0 |Φα i = U ˆ (ε) (0, −∞) H Eα0 U I I I ¸si m˘ arimea considerat˘ a init¸ial se exprim˘ a ˆın termeni de comutatorul dintre hamultonianul sistemului liber ¸si operatorul de evolut¸ie adiabatic Dirac: (ε) ˆ0 U ˆ (ε) (0, −∞) H ˆ 0 |Φα i = H ˆ0 , U ˆ (ε) (0, −∞) |Φα i . ˆ (ε) (0, −∞) |Φα i − U ˆ 0 − Eα0 ˆ 1) |ΨαH i = H (H I I I −
ˆ0 , U ˆ (ε) (0, −∞) se evalueaz˘ a utilizˆ and seria de perturbat¸ie (2.148) a operatorului • Comutatorul H I − (ε) ˆ (0, −∞): adiabatic de evolut¸ie Dirac U I
ˆ0 , U ˆ (ε) (0, −∞) H I
−
= =
∞ X
n=0 ∞ X
n=0
1 n! 1 n!
−i ~ −i ~
nZ nZ
0
dt1 · · ·
−∞ 0
dt1 · · ·
−∞
Z
0
dtn e−ε
Pn
j=1 |tj |
−∞
Z
0
dtn e−ε
Pn
j=1 |tj |
−∞
h
i ˆ0 , T H ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn ) H
−
h i ˆ0 , H ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn ) , T H −
ˆ 0 ˆın interiorul ordon˘ unde ˆın ultima egalitate s-a introdus operatorul atemporal H arii cronologice. Comutatorul hamiltonianului liber cu produsul celor n hamiltonieni de interact¸ie se descompune ˆıntr-o sum˘ a de n termeni cont¸inˆ and fiecare un comutator simplu: ˆ0 , H ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn ) H − ˆ 1I (t2 ) · · · H ˆ 1I (tn ) + . . . + H ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn−1 ) H ˆ0 , H ˆ 1I (tn ) ˆ0 , H ˆ 1I (t1 ) H = H − − =
n X
k=1
ˆ 1I (tk+1 ) · · · H ˆ 1I (tn ) ; ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tk−1 ) H ˆ0 , H ˆ 1I (tk ) H H −
dar comutatorul hamiltonianului liber cu hamiltonianul de interact¸ie ˆın formularea Dirac se exprim˘ a cu ajutorul ecuat¸iei de evolut¸ie a operatorilor Dirac (2.124):
ˆ0 , H ˆ 1I (tk ) H
−
= −i~
∂ ˆ H1I (tk ) , ∂tk
astfel ˆıncˆ at produsul cronologic al comutatorului se exprim˘ a ca suma derivatelor temporale ale produsului cronologic constituit din hamiltonieni de interact¸ie: n hX h i i ˆ0 , H ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn ) ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tk−1 ) ~ ∂ H ˆ 1I (tk ) H ˆ 1I (tk+1 ) · · · H ˆ 1I (tn ) = T T H H − i ∂tk k=1
n i ~X ∂ hˆ ˆ 1I (tn ) , T H1I (t1 ) · · · H = i ∂tk k=1
98
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE unde operat¸ia de derivare temporal˘ a se poate extrage ˆın exteriorul ordon˘ arii temporale, deoarece ˆ 1I (tk ), este dependent de un singur termen din produsul hamiltonienilor de interact¸ie, anume H variabila de derivare tk . Se observ˘ a, de asemenea, c˘ a termenul de ordinul 0 din dezvoltarea de perturbat¸ie a operatorului adiabatic de evolut¸ie Dirac este operatorul banal, astfel ˆıncˆ at comutatorul hamiltonianului liber ˆ 0, ˆ cu acest operator este nul: [H 1]− = ˆ 0 ; ca urmare, seria de perturbat¸ie a comutatorului dintre hamiltonianul liber ¸si operatorul adiabatic de evolut¸ie Dirac nu cont¸ine contribut¸ia de ordinul 0. Pe baza rezultatelor anterioare, comutatorul dintre hamiltonianul liber ¸si operatorul adiabatic de evolut¸ie Dirac se exprim˘ a astfel:
ˆ0 , U ˆ (ε) (0, −∞) H I − nZ 0 Z 0 ∞ n i Pn X 1 −i ~X ∂ hˆ ˆ 1I (tn ) ; = T H1I (t1 ) · · · H dt1 · · · dtn e−ε j=1 |tj | n! ~ i k=1 ∂tk −∞ −∞ n=1
deoarece prin deriv˘ arile temporale se obt¸in termenii egali, atunci, prin redenumirea variabilelor temporale de integrare se obt¸ine
ˆ0 , U ˆ (ε) (0, −∞) H I
nZ 0 Z 0 ∞ i Pn X 1 −i ∂ hˆ ~ ˆ 1I (tn ) T H1I (t1 ) · · · H dt1 · · · dtn e−ε j=1 |tj | n n! ~ i ∂tk −∞ −∞ n=1 Z Z ∞ (n−1) 0 0 Pn−1 X −i 1 dt1 · · · dtn−1 e−ε j=1 |tj | =− (n − 1)! ~ −∞ −∞ n=1 Z 0 h i ∂ ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn−1 ) H ˆ 1I (tn ) . × dtn e−ε|tn | T H ∂tn −∞
=
−
Integrala dup˘ a variabila tn se efectueaz˘ a prin metoda integr˘ arii prin p˘ art¸i: Z
0
dtn e−ε|tn |
−∞
Z 0 0 ∂ ˆ ˆ n ) ˆ n) A(tn ) = e εtn A(t − dtn ε e−ε|tn | A(t ∂tn −∞ −∞ Z 0 ˆ ˆ n) , = A(0) −ε dtn e−ε|tn | A(t −∞
adic˘ a ˆın cazul studiat se obt¸ine Z
h i ∂ ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn−1 ) H ˆ 1I (tn ) T H ∂tn −∞ Z 0 h i h i ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn−1 ) H ˆ 1I (0) − ε ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn−1 ) H ˆ 1I (tn ) =T H dtn e−ε|tn | T H 0
dtn e−ε|tn |
Z h i ˆ1 T H ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn−1 ) − ε =H
−∞
0
h i ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn ) , dtn e−ε|tn | T H
−∞
ˆ 1I (0) = H ˆ 1 se aduce init¸ial ˆın pozit¸ia stˆ unde ˆın primul termen H ang˘ a (ˆın interiorul produsului cronologic), iar apoi acest operator atemporal poate fi extras ˆın exteriorul produsului cronologic. Dup˘ a prelucr˘ arile ultimei integrale temporale, comutatorul dintre hamiltonianul liber ¸si operatorul adiabatic de evolut¸ie Dirac devine
ˆ0 , U ˆ (ε) (0, −∞) H I =−
−
(n−1)Z 0 Z 0 Pn−1 −i 1 dt1 · · · dtn−1 e−ε j=1 |tj | (n − 1)! ~ −∞ −∞ n=1 Z 0 n h i h io ˆ1 T H ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn−1 ) − ε ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn ) × H dtn e−ε|tn | T H ∞ X
(n−1)Z
−∞
Z dt1 · · ·
h i 0 Pn−1 −i 1 ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn−1 ) dtn−1 e−ε j=1 |tj | T H (n − 1)! ~ −∞ −∞ n=1 Z Z ∞ (n−1) h i 0 0 Pn X 1 −i ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn ) . +ε dt1 · · · dtn e−ε j=1 |tj | T H (n − 1)! ~ −∞ −∞ n=1
ˆ1 = −H
∞ X
0
˘ 2.4. FORMULARILE DIRAC S¸I HEISENBERG ˆIN CUANTIFICAREA II
99
ˆIn primul termen din ultima expresie a comutatorului se face redenumirea variabilei de sumare n − 1 = m, astfel c˘ a se obt¸ine seria perturbativ˘ a a operatorului adiabatic de evolut¸ie Dirac (2.148): ˆ1 −H
∞ X
n=1
1 (n − 1)!
−i ~
∞ X 1 ˆ1 = −H m! m=0
=
(n−1)Z
0
Z dt1 · · ·
−∞
−i ~
ˆ1 U ˆ (ε) (0, −∞) −H I
m Z
0
Z dt1 · · ·
−∞
0
dtn−1 e−ε
Pn−1
j=1 |tj |
−∞ 0
dtm e−ε
Pm
j=1 |tj |
−∞
h i ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn−1 ) T H
h i ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tm ) T H
.
ˆIn al doilea termen din ultima expresie a comutatorului se prelucreaz˘ a factorul numeric (n−1) n n 1 −i −i ~ 1 n −i = i~ = n, (n − 1)! ~ n! ~ −i n! ~ astfel ˆıncˆ at termenul al doilea se exprim˘ a ˆın forma: Z Z 0 ∞ (n−1) h i 0 Pn X 1 −i ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn ) ε dt1 · · · dtn e−ε j=1 |tj | T H (n − 1)! ~ −∞ −∞ n=1 Z Z ∞ n h i 0 0 Pn X 1 −i ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn ) ; = i~ε dt1 · · · dtn e−ε j=1 |tj | n T H n! ~ −∞ −∞ n=1 ˆın expresia precedent˘ a se observ˘ a c˘ a termenul corespunz˘ ator valorii n = 0 are contribut¸ie nul˘ a, astfel ˆıncˆ at se poate efectua sumarea de la n = 0. Pentru a reduce seria perturbativ˘ a din al doilea termen se introduce constanta de cuplaj variabil˘ a ˆın hamiltonianul de interact¸ie, adic˘ a se consider˘ a ˆ 1 = gˆ H h, unde g este constanta de cuplaj. Ca urmare, se absoarbe factorul n prin operat¸ia de derivare ˆın raport cu constanta de cuplaj: h i h i ˆ 1I (t1 ) · · · h ˆ 1I (tn ) ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn ) = n g n T h nT H i ∂ n hˆ ˆ 1I (tn ) g T h1I (t1 ) · · · h =g ∂g i ∂ hˆ ˆ 1I (tn ) ; =g T H1I (t1 ) · · · H ∂g atunci termenul al doilea devine: nZ 0 Z 0 ∞ h i Pn X 1 −i ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn ) i~ε dt1 · · · dtn e−ε j=1 |tj | n T H n! ~ −∞ −∞ n=0 nZ 0 Z 0 ∞ i Pn X 1 −i ∂ hˆ ˆ 1I (tn ) T H1I (t1 ) · · · H dt1 · · · dtn e−ε j=1 |tj | g = i~ε n! ~ ∂g −∞ −∞ n=0 Z Z ∞ n h i 0 0 Pn ∂ X 1 −i ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn ) = i~ε g dt1 · · · dtn e−ε j=1 |tj | T H ∂g n=0 n! ~ −∞ −∞ = i~ε g
∂ ˆ (ε) U (0, −∞) . ∂g I
Se utilizeaz˘ a expresiile determinate anterior pentru cei doi termeni ai comutatorului, astfel c˘ a se obt¸ine expresia compact˘ a:
ˆ0 , U ˆ (ε) (0, −∞) H I
−
ˆ1 U ˆ (ε) (0, −∞) + i~ε g ∂ U ˆ (ε) (0, −∞) . = −H I ∂g I
• Revenind la expresia init¸ial˘ a se substituie rezultatul precedent pentru comutatorul dintre hamiltonianul liber ¸si operatorul adiabatic de evolut¸ie Dirac: (ε) ˆ 0 − Eα0 ˆ ˆ0 , U ˆ (ε) (0, −∞) H 1 |ΨαH i = H |Φα i I − ˆ (ε) (0, −∞) |Φα i ˆ1 U ˆ (ε) (0, −∞) |Φα i + i~ε g ∂ U = −H I ∂g I ˆ 1 |Ψ(ε) i + i~ε g ∂ |Ψ(ε) i , = −H αH αH ∂g (ε)
(ε)
ˆ (0, −∞) |Φα i. unde ˆın ultima egalitate s-a utilizat relat¸ia (2.150): |ΨαH i = U I
100
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE ˆ = H ˆ0 + H ˆ 1 , relat¸ia anterioar˘ Deoarece hamiltonianul total al sistemului fizic este H a se poate exprima ˆın mod echivalent ˆın urm˘ atoarele forme: (ε) ∂ (ε) ∂ (ε) ˆ − Eα0 ˆ ˆ − Eα0 ˆ |ΨαH i = |∅i , |ΨαH i ⇐⇒ H 1 − i~ε g H 1 |ΨαH i = i~ε g ∂g ∂g
care este numit˘ a relat¸ia fundamental˘ a Gell-Mann ¸si Low, care este valabil˘ a ˆın condit¸iile hipotezei Gell-Mann ¸si Low: teoria perturbat¸iilor are sens ˆın orice ordin. Se observ˘ a c˘ a ˆın relat¸ia fundamental˘ a Gell-Mann ¸si Low nu se poate efectua ˆın mod direct limita (ε) ε → 0, adic˘ a hipoteza |ΨαH i −→ |ΨαH i (= finit) este fals˘ a, deoarece se obt¸ine rezultatul absurd ε→0
(ε) ˆ |ΨαH i = Eα0 |ΨαH i; proprietatea precedent˘ H a poate fi explicat˘ a numai dac˘ a vectorul |ΨαH i nu este bine definit la limita ε → 0.
• Din relat¸ia fundamental˘ a Gell-Mann ¸si Low rezult˘ a 2 consecint¸e importante: 1. Dac˘ a se ˆınmult¸e¸ste scalar relat¸ia fundamental˘ a Gell-Mann ¸si Low cu vectorul bra atunci se obt¸ine: hΦα |
(ε) hΦα |ΨαH i
(ε) ˆ − Eα0 ˆ H 1 |ΨαH i =
hΦα |
(ε) hΦα |ΨαH i
i~ε g
hΦα |
(ε)
hΦα |ΨαH i
,
∂ (ε) |ΨαH i ; ∂g
membrul stˆ ang al ecuat¸iei precedente se prelucreaz˘ a astfel: hΦα |
(ε)
hΦα |ΨαH i
(ε) ˆ − Eα0 ˆ H 1 |ΨαH i =
(ε) 1 ˆ0 + H ˆ 1 − Eα0 ˆ hΦα | H 1 |ΨαH i (ε) hΦα |ΨαH i n o 1 ˆ 0 − Eα0 |Ψ(ε) i + hΦα | H ˆ 1 |Ψ(ε) i = hΦα | H αH αH (ε) hΦα |ΨαH i ˆ 1 |Ψ(ε) i hΦα | H αH , = (ε) hΦα |ΨαH i
unde s-a utilizat ecuat¸ia cu valori proprii a hamiltonianului liber, scris˘ a pentru vectorul bra: ˆ 0 = hΦα | Eα0 ; hΦα | H
membrul drept se poate exprima ca o derivat˘ a logaritmic˘ a: hΦα |
∂ (ε) |ΨαH i = i~ε i~ε g (ε) ∂g hΦα |ΨαH i
g
∂ (ε) hΦα |ΨαH i ∂ ∂g (ε) lnhΦα |ΨαH i , = i~ε g (ε) ∂g hΦα |ΨαH i
deoarece vectorul propriu al sistemului liber este independent de constanta de cuplaj, astfel ˆıncˆ at ∂ hΦα | = 0. ∂g Prin egalarea expresiilor obt¸inute anterior pentru cei doi membrii, rezult˘ a relat¸ia singularit˘ a¸tii : i~ε g
ˆ 1 |Ψ(ε) i hΦα | H ∂ (ε) αH . lnhΦα |ΨαH i = (ε) ∂g hΦα |ΨαH i
Din relat¸ia singularit˘ a¸tii rezult˘ a c˘ a proiect¸ia vectorului Haisenberg al sistemului adiabatic pe vectorul propriu al sistemului liber are o dependent¸˘ a ˆın raport cu parametrul adiabatic, la limita −i (ε) infinitezimal˘ a, de tipul: hΦα |ΨαH i ≈ exp arime independent˘ a de Cα , unde Cα este o m˘ ε→0 ε parametrul adiabatic ε; deoarece vectorul propriu al sistemului liber nu depinde de parametrul (ε) adiabatic, rezult˘ a c˘ a dependent¸a presupus˘ a anterior pentru produsul scalar hΦα |ΨαH i este dato(ε) rat˘ a ˆın mod exclusiv vectorului |ΨαH i, ceea ce implic˘ a proprietatea c˘ a acest vector are un factor −i (ε) de faz˘ a singular la limita anul˘ arii parametrului adiabatic: |ΨαH i −→ e ~ Cα |χα i. ε→0
(ε)
Pentru a verifica hipoteza enunt¸at˘ a anterior asupra comport˘ arii vectorului |ΨαH i la limita ε → 0, se utilizeaz˘ a metoda reducerii la absurd: se consider˘ a hipoteza ca fiind valabil˘ a ¸si se verific˘ a valabilitatea ei din ecuat¸ia singularit˘ a¸tii. ˆIn aceste condit¸ii se observ˘ a c˘ a m˘ arimea din membrul ˆ 1 |Ψ(ε) i hΦα | H αH drept al ecuat¸iei singularit˘ a¸tii este finit˘ a la limita ε → 0, deoarece factorul de faz˘ a (ε) hΦα |ΨαH i (ε) divergent se simplific˘ a, fiind cont¸inut numai ˆın vectorul |ΨαH i: (ε)
ˆ 1 |Ψ i hΦα | H αH (ε)
hΦα |ΨαH i
≡ ∆Eα(ε) (g) −→ ∆Eα (g) = finit ; ε→0
˘ 2.4. FORMULARILE DIRAC S¸I HEISENBERG ˆIN CUANTIFICAREA II
101
atunci ecuat¸ia singularit˘ a¸tii se exprim˘ a ˆın forma i~ε g
∂ (ε) lnhΦα |ΨαH i = ∆Eα(ε) (g) ≈ ∆Eα (g) , ε≈0 ∂g
de unde rezult˘ a (ε)
lnhΦα |ΨαH i =
1 i~ε
Z
(ε)
dg
1 ∆Eα (g) ≈ ε≈0 i~ε g
adic˘ a (ε)
hΦα |ΨαH i ≈ e
Z
dg
−i Cα (g) ε
ε≈0
∆Eα (g) −i ≡ Cα (g) , g ε
,
ceea ce confirm˘ a hipoteza enunt¸at˘ a anterior. (ε) |ΨαH i ∂ ˆ − Eα0 ˆ (numit, de vectorului 2. Se aplic˘ a operatorul Gell-Mann ¸si Low H 1 − i~ε g (ε) ∂g hΦα |ΨαH i asemenea, vectorul Gell-Mann ¸si Low ):
∂ |ΨαH i ˆ − Eα0 ˆ H 1 − i~ε g ∂g hΦα |Ψ(ε) i αH (ε)
(ε)
|ΨαH i
(ε)
|ΨαH i ∂ (ε) (ε) ∂g hΦα |ΨαH i hΦα |ΨαH i n ∂ o (ε) 1 1 1 ∂ (ε) (ε) ˆ − Eα0 ˆ |ΨαH i − i~ε g = H 1 |ΨαH i − i~ε g |ΨαH i (ε) (ε) (ε) ∂g hΦα |Ψ i hΦα |ΨαH i hΦα |ΨαH i ∂g αH ∂ (ε) g hΦα |ΨαH i ∂ (ε) 1 ∂g (ε) ˆ − Eα0 ˆ |ΨαH i H 1 − i~ε g +i~ε = |Ψ i αH (ε) (ε) 2 ∂g hΦα |ΨαH i | hΦ |Ψ i α αH {z } ˆ − Eα0 ˆ = H 1
− i~ε g
=0
n o |Ψ(ε) i ∂ (ε) αH = i~ε g lnhΦα |ΨαH i , (ε) ∂g hΦα |ΨαH i
unde s-a utilizat relat¸ia fundamental˘ a Gell-Mann ¸si Low pentru anularea primului termen. Prin combinarea rezultatelor obt¸inute pentru cele dou˘ a consecint¸e ale relat¸iei fundamentale GellMann ¸si Low, rezult˘ a egalitatea (numit˘ a ecuat¸ia Gell-Mann ¸si Low ):
ˆ 1 |Ψ i |Ψ i hΦα | H ∂ |ΨαH i αH αH ˆ − Eα0 ˆ 1 − i~ε g H = , (ε) (ε) ∂g hΦα |Ψ(ε) i hΦα |ΨαH i hΦα |ΨαH i αH (ε)
(ε)
(ε)
care se poate scrie, ˆın mod echivalent, ˆın forma (ε) n ˆ 1 |Ψ(ε) i o |Ψ(ε) i |ΨαH i hΦα | H ∂ αH αH ˆ − Eα0 ˆ = i~ε g . H 1+ (ε) (ε) ∂g hΦα |Ψ(ε) i hΦα |ΨαH i hΦα |ΨαH i αH
Pe baza rezultatelor precedente se poate efectua trecerea la limit˘ a ε → 0: a) vectorul Gell-Mann ¸si Low are o limit˘ a finit˘ a (¸si bine definit˘ a, f˘ ar˘ a faz˘ a divergent˘ a) (ε)
|ΨαH i
−→
(ε) hΦα |ΨαH i ε→0
|ΨαH i , hΦα |ΨαH i
(ε)
fiindc˘ a |ΨαH i are ca unic˘ a singularitate un factor de faz˘ a divergent, care se simplific˘ a, deoarece acest vector este prezent atˆ at la num˘ ar˘ ator cˆ at ¸si la numitor; b) elementul de matrice normat al hamiltonianului de interact¸ie (ε)
ˆ 1 |Ψ i hΦα | H αH (ε) hΦα |ΨαH i
(ε)
ˆ1 = hΦα | H
|ΨαH i
(ε) hΦα |ΨαH i
−→ ε→0
ˆ1 hΦα | H
ˆ 1 |ΨαH i hΦα | H |ΨαH i ≡ hΦα |ΨαH i hΦα |ΨαH i
are sens la limita anul˘ arii parametrului adiabatic, deoarece se simplific˘ a factorul de faz˘ a divergent;
102
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE c) derivata vectorului Gell-Mann ¸si Low ˆın raport cu constanta de cuplaj este finit˘ a la limita parametrului adiabatic nul: (ε)
g
|ΨαH i ∂ −→ finit ∂g hΦα |Ψ(ε) i ε→0 αH
(ε)
=⇒
i~ε g
|ΨαH i ∂ −→ 0 . ∂g hΦα |Ψ(ε) i ε→0 αH
Atunci prin trecerea la limit˘ a nul˘ a pentru parametrul adiabatic, ecuat¸ia Gell-Mann ¸si Low devine: n ˆ 1 |Ψ(ε) i o |Ψ(ε) i hΦα | H αH αH ˆ − Eα0 ˆ =0, H 1+ (ε) (ε) hΦα |ΨαH i hΦα |ΨαH i care este ecuat¸ia cu valori proprii a hamiltonianului sistemului cu interact¸ii: (ε)
ˆ H
|ΨαH i
(ε) hΦα |ΨαH i
unde
(ε)
= Eα
|ΨαH i
(ε)
hΦα |ΨαH i
,
(ε)
Eα = Eα0 +
ˆ 1 |Ψ i hΦα | H αH
.
(ε)
hΦα |ΨαH i
(ε)
ˆIn concluzie, s-a demonstrat c˘ a Eα este valoare proprie, iar vectorul Gell-Mann ¸si Low ˆ este vector propriu al hamiltonianului total H.
|ΨαH i
(ε)
hΦα |ΨαH i
B. Dezvoltarea ˆın serie de perturbat¸ie Feynman-Dyson Prin utilizarea teoremei Gell-Mann ¸si Low se poate obt¸ine dezvoltarea ˆın serie de perturbat¸ie a produsului cronologic de operatori Heisenberg mediat pe starea fundamental˘ a; seria de perturbat¸ie implic˘ a o sumare de termeni care sunt medii pe starea fundamental˘ a a sistemului liber (f˘ ar˘a interact¸ii mutuale). Teorema Feynman Media pe starea fundamental˘ a (pentru sistemul cu interact¸ii) a produsului cronologic de operatori Heisenberg se exprim˘ a prin medii pe starea fundamental˘ a a sistemului liber de produse cronologice de operatori Dirac, prin relat¸ia urm˘atoare: ˆH (t) · CˆH (t′ ) |Ψ0 i hΨ0 |T B hΨ0 |Ψ0 i Z Z ∞ ∞ X 1 −i n ∞ ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn ) · B ˆI (t) · CˆI (t′ ) |Φ0 i dt1 · · · dtn hΦ0 |T H n! ~ −∞ −∞ = n=0 ∞ . (2.152) Z ∞ X 1 −i m Z ∞ ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tm ) |Φ0 i dtm hΦ0 | T H dt1 · · · m! ~ −∞ −∞ m=0 Demonstrat¸ie: Se consider˘ a cazul cˆ and starea fundamental˘ a a sistemului cu interact¸ii este nedegenerat˘ a (situat¸ia uzual˘ a pentru un sistem de particule nerelativiste); ˆın aceste condit¸ii vectorul Gell-Mann ¸si Low (ε) |Ψ0 i |Ψ0 ε i ≡ , la limita nul˘ a a parametrului adiabatic ε → 0, este vectorul st˘ arii fundamen(ε) hΦ0 |Ψ0 i tale (ˆın formularea Heisenberg). Deoarece vectorul Gell-Mann ¸si Low nu are norma unitate, adic˘ a (ε) (ε) |Ψ0 i hΨ0 | 6= 1, pentru calcului mediei pe starea fundamental˘ a (reprezenhΨ0 ε |Ψ0 ε i = (ε) (ε) hΦ0 |Ψ0 i∗ hΦ0 |Ψ0 i tat˘ a de c˘ atre vectorul Gell-Mann ¸si Low) se ˆımparte elementul de matrice la norma vectorului Gell-Mann ¸si Low ¸si ˆın final se trece la limita nul˘ a pentru parametrul adiabatic, adic˘ a media unei m˘ arimi pe starea fundamental˘ a se calculeaz˘ a cu formula urm˘ atoare: (ε)
hΨ0 |
(ε) ˆ |Ψ0 ε i
hΨ0 | Aˆ |Ψ0 i hΦ0 |Ψ0 i∗ hΨ0 ε | A A 0= = lim = lim (ε) ε→0 ε→0 hΨ0 |Ψ0 i hΨ0 ε |Ψ0 ε i hΨ0 |
ˆ A
(ε)
|Ψ0 i
(ε)
hΦ0 |Ψ0 i
(ε) |Ψ0 i (ε) (ε) hΦ0 |Ψ0 i∗ hΦ0 |Ψ0 i
.
˘ 2.4. FORMULARILE DIRAC S¸I HEISENBERG ˆIN CUANTIFICAREA II
103
(ε) ˆIn expresia precedent˘ au complex) a se observ˘ a c˘ a se pot simplifica factorii hΦ0 |Ψ0 i (¸si conjugatul s˘ (ε) de la num˘ ar˘ atorul ¸si de la numitorul fract¸iei, deoarece prezent¸a vectorului |Ψ0 i la numitor asigur˘ a simplificarea factorului de faz˘ a divergent ˆınainte de trecerea la limita nul˘ a a parametrului adiabatic; atunci, media pe starea fundamental˘ a considerat˘ a anterior se poate scrie mai simplu astfel: (ε) (ε) ˆ ˆ |Ψ0 i
|Ψ0 i hΨ0 | A hΨ0 | A = lim A 0= , (ε) (ε) ε→0 hΨ0 |Ψ0 i hΨ0 |Ψ0 i (ε)
(ε)
ˆ (0, ±∞)|Φ0 i. unde |Ψ0 i = U I Se aplic˘ a rezultatul general obt¸inut anterior pentru produsul cronologic de operatori Heisenberg: (ε) ˆH (t) · C ˆH (t′ ) |Ψ(ε) i ˆH (t) · C ˆH (t′ ) |Ψ0 i
hΨ0 | T B hΨ0 | T B 0 ˆH (t) · C ˆH (t′ ) = lim = T B . (ε) (ε) 0 ε→0 hΨ0 |Ψ0 i hΨ0 |Ψ0 i Pentru explicitare, se face apel la proprietatea de nedegenerare a st˘ arii fundamentale, ceea ce implic˘ a egalitatea vectorilor evoluat¸i adiabatic (din starea fundamental˘ a liber˘ a) atˆ at din trecutul infinit, cˆ at ¸si din viitorul infinit; atunci, ˆın formula precedent˘ a pentru media pe starea fundamental˘ a (ε) ˆ (ε) (0, −∞) |Φ0 i, iar vecse va considera vectorul ket egal cu evoluatul din trecutul infinit |Ψ0 i = U (ε) I (ε) ˆ (0, +∞)|Φ0 i † = hΦ0 | U ˆ (ε)† (0, +∞). torul bra egal cu evoluatul din viitorul infinit hΨ0 | = U I I
Se aplic˘ a alegerea precedent˘ a a vectorilor care reprezint˘ a starea fundamental˘ a pentru produsul scalar de la numitorul formulei pentru media operatorilor ordonat¸i cronologic, astfel ˆıncˆ at rezult˘ a (ε) (ε) ˆ (ε)† (0, +∞) · U ˆ (ε) (0, −∞) |Φ0 i = hΦ0 | U ˆ (ε) (+∞, −∞)|Φ0 i , hΨ0 |Ψ0 i = hΦ0 | U I I I
unde ultima egalitate s-a obt¸inut prin utilizarea propriet˘ a¸tilor grupale ale operatorului de evolut¸ie ˆ (ε)† (0, +∞) · U ˆ (ε) (0, −∞) = U ˆ (ε) (+∞, 0) · U ˆ (ε) (0, −∞) = U ˆ (ε) (+∞, −∞). Dirac adiabatic: U I I I I I Pentru num˘ ar˘ atorul mediei produsului cronologic se observ˘ a c˘ a operatorii Heisenberg se pot exprima prin operatori Dirac, conform relat¸iei (1.55) ¸si cu alegerea t0 = 0, adic˘ a ˆın mod explicit ˆH (t) = U ˆ † (t, 0) AˆI (t) U ˆI (t, 0), iar apoi operatorii de evolut¸ie Dirac (ap˘ A a rut ¸ i prin transformarea I precedent˘ a) se pot reordona ˆın interiorul produsului cronologic (deoarece se permut˘ a un num˘ ar par de operatori bosonici/fermionici), astfel ˆıncˆ at efectul lor total este operatorul unitate, datorit˘ a propriet˘ a¸tilor grupale: † ˆH (t) · C ˆH (t′ ) = T U ˆ (t, 0) B ˆI (t) U ˆI (t, 0) · U ˆ † (t′ , 0) CˆI (t′ ) U ˆI (t′ , 0) T B I I † ˆ (t, 0) U ˆI (t, 0) · U ˆ † (t′ , 0) U ˆI (t′ , 0) · B ˆI (t) C ˆI (t′ ) =T U I I ˆI (0, t) U ˆI (t, 0) · U ˆI (0, t′ ) U ˆI (t′ , 0) ·B ˆI (t) C ˆI (t′ ) =T U | {z } | {z }
=ˆ 1
ˆI (t) · CˆI (t′ ) . =T B
=ˆ 1
ˆIn continuare se procedeaz˘ a ˆın mod similar cu operat¸iile efectuate pentru numitorul mediei produsului cronologic: (ε) (ε) ˆ (ε)† (0, +∞) T B ˆI (t) · C ˆI (t′ ) U ˆ (0, −∞) |Φ0 i ; ˆH (t) · CˆH (t′ ) |Ψ(ε) i = hΦ0 | U hΨ0 | T B 0 I I dac˘ a se consider˘ a operatorii de evolut¸ie Dirac adiabatici and dependent¸a temporal˘ a dat˘ a de ca avˆ ˆ (ε)† (0, +∞) = U ˆ (ε)† (0, t1 ) ˆ (ε) (0, −∞) = U ˆ (ε) (0, t2 ) al doilea argument, atunci U ¸ s i U ; I I I I t1 =+∞ t2 =−∞ ca urmare, se pot introduce operatorii de evolut¸ie Dirac adiabatici ˆın interiorul operatorului de ordonare cronologic˘ a (deoarece t1 = ∞ > t, t′ > t2 = −∞), iar apoi se pot reordona ace¸sti operatori de evolut¸ie (deoarece implic˘ a permut˘ ari de operatori bosonici/fermionici ˆın num˘ ar par) ¸si ˆın final se utilizeaz˘ a compunerea operatorilor de evolut¸ie: (ε)† (ε) ˆ ˆI (t) · CˆI (t′ ) U ˆ (ε) (0, −∞) |Φ0 i ˆH (t) · C ˆH (t′ ) |Ψ(ε) i = hΦ0 | T U (0, +∞) B hΨ0 | T B 0 I I (ε)† ˆ ˆ (ε) (0, −∞) B ˆI (t) · C ˆI (t′ ) |Φ0 i = hΦ0 | T U (0, +∞) U I I (ε) ˆ (+∞, 0) U ˆ (ε) (0, −∞) B ˆI (t) · C ˆI (t′ ) |Φ0 i = hΦ0 | T U I I (ε) ˆ (+∞, −∞) B ˆI (t) · C ˆI (t′ ) |Φ0 i . = hΦ0 | T U I
Prin utilizarea expresiilor anterioare ale num˘ ar˘ atorului ¸si numitorului, se obt¸ine exprimarea mediei (pe starea fundamental˘ a a sistemului cu interact¸ii) a produsului cronologic de operatori Heisenberg
104
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE ˆın termeni de m˘ arimi ale sistemului liber: (ε) ˆH (t) · C ˆH (t′ ) |Ψ(ε) i
hΨ0 | T B 0 ˆH (t) · C ˆH (t′ ) T B = lim (ε) (ε) 0 ε→0 hΨ0 |Ψ0 i (ε) ˆ (+∞, −∞) B ˆI (t) · C ˆI (t′ ) |Φ0 i hΦ0 | T U I = lim ε→0 ˆ (ε) (+∞, −∞)|Φ0 i hΦ0 | U I (ε)
ˆ (+∞, −∞) are expresia dat˘ Operatorul de evolut¸ie U a de seria de perturbat¸ie (2.148), astfel I ˆıncˆ at atˆ at num˘ ar˘ atorul, cˆ at ¸si numitorul mediei anterioare se exprim˘ a prin seriile de perturbat¸ie corespunz˘ atoare; dup˘ a efectuarea trecerii la limit˘ a a parametrului adiabatic (ε → 0) se obt¸ine rezultatul ˆI (+∞, −∞) B ˆI (t) · C ˆI (t′ ) |Φ0 i
hΦ0 | T U ′ ˆ ˆ . T BH (t) · CH (t ) 0 = ˆI (+∞, −∞)|Φ0 i hΦ0 | U ˆIn expresia anterioar˘ a seria de perturbat¸ie a num˘ ar˘ atorului este
ˆI (+∞, −∞) B ˆI (t) · CˆI (t′ ) |Φ0 i hΦ0 | T U nZ ∞ Z ∞ ∞ X 1 −i ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn ) B ˆI (t) · C ˆI (t′ ) |Φ0 i = dt1 · · · dtn hΦ0 | T H n! ~ −∞ −∞ n=0 ≡
∞ X
(BC)(n) ,
n=0
iar pentru numitor seria de perturbat¸ie este ˆI (+∞, −∞)|Φ0 i hΦ0 | U nZ ∞ Z ∞ ∞ ∞ X X 1 −i ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tm ) |Φ0 i ≡ dt1 · · · S (m) . dtm hΦ0 | T H = n! ~ −∞ −∞ m=0 m=0 S-a justificat astfel teorema Feynman, care este rezultatul fundamental pentru dezvoltarea de perturbat¸ie a funct¸iilor Green ˆın formalismul de temperatur˘ a nul˘ a.
ˆIn concluzie, se observ˘ a c˘ a metoda aplic˘ arii adiabatice a perturbat¸iei a permis s˘a se obt¸in˘a exprimarea mediilor pentru sistemul cu interact¸ii mutuale prin m˘arimi ale sistemului f˘ar˘a interact¸ii, ceea ce implic˘ a serii de perturbat¸ie. Dac˘ a se consider˘ a ˆın mod explicit hamiltonianul interact¸iilor mutuale ca operator bi-particul˘a, atunci integrala temporal˘ a a acestui operator este dat˘a de expresia (2.137); prin ˆınlocuirea expresiilor hamiltonienilor de interact¸ie ˆın formula de dezvoltare perturbativ˘a Feynman (2.152), se observ˘ a c˘ a matricile de spin pot fi extrase ˆın exteriorul produsului scalar, astfel c˘ a r˘amˆ an ˆın interiorul acestui produs numai operatorii de cˆ amp. Dup˘a aceste operat¸ii formula de dezvoltare perturbativ˘a explicit˘ a devine: ˆH (t) · CˆH (t′ ) |Ψ0 i hΨ0 |T B = hΨ0 |Ψ0 i
∞ X
(BC)(n)
n=0 ∞ X
,
(2.153a)
S (m)
m=0
unde termenul de perturbat¸ie de ordinul n de la num˘ar˘ator are expresia (BC)(n) =
1 −i n n! 2~ × ×
Z
d4 x1
Z
d4 x′1 · · ·
Z
d4 xn
Z
d4 x′n
−s,s X
λ1 ,µ1 ,λ′1 ,µ′1
Uλ1 ,µ1 ;λ′1 ,µ′1 (x1 , x′1 ) · · · Uλn ,µn ;λ′n ,µ′n (xn , x′n ) hΦ0 | T ψˆλ† 1 I (x1 ) ψˆλ† ′ I (x′1 ) ψˆµ′1 I (x′1 ) ψˆµ1 I (x1 ) · · · 1
···
−s,s X
λn ,µn ,λ′n ,µ′n
ˆI (t) CˆI (t′ ) |Φ0 i , × ψˆλ† n I (xn ) ψˆλ† ′n I (x′n ) ψˆµ′n I (x′n ) ψˆµn I (xn ) B
(2.153b)
˘ 2.4. FORMULARILE DIRAC S¸I HEISENBERG ˆIN CUANTIFICAREA II
105
iar termenul de perturbat¸ie de ordinul m de la numitor are expresia S (m) =
1 −i m m! 2~ × ×
Z
d4 x1
Z
d4 x′1 · · ·
Z
d4 xm
Z
d4 x′m
−s,s X
λ1 ,µ1 ,λ′1 ,µ′1
Uλ1 ,µ1 ;λ′1 ,µ′1 (x1 , x′1 ) · · · Uλm ,µm ;λ′m ,µ′m (xm , x′m ) hΦ0 | T ψˆλ† 1 I (x1 ) ψˆλ† ′ I (x′1 ) ψˆµ′1 I (x′1 ) ψˆµ1 I (x1 ) · · · 1
× ψˆλ† m I (xm ) ψˆλ† ′ I (x′m ) ψˆµ′m I (x′m ) ψˆµm I (xm ) |Φ0 i . m
···
−s,s X
λm ,µm ,λ′m ,µ′m
(2.153c)
106
DESCRIEREA SISTEMELOR MULTI-PARTICULE
Capitolul 3
Formalismul de temperatur˘ a nul˘ a pentru fermioni 3.1 3.1.1
Sistemul de fermioni liberi Definirea sistemului
a) Condit¸ii : Se consider˘ a sistemul constituit din N fermioni identici cu propriet˘ a¸tile – fiecare particul˘ a are masa m ¸si spinul s = 1/2; – particulele efectueaz˘ a translat¸ii nerelativiste ˆın incinta cu volumul V ; 1 – nu exist˘a interact¸ii mutuale ˆıntre particule ¸si nici interact¸ii cu cˆ ampuri externe; 2 – sistemul se afl˘ a ˆın st˘ ari cuantice pure (starea fundamental˘a, sau st˘ari excitate), astfel ˆıncˆ at se utilizeaz˘ a tratarea mecanic˘ a a problemei, f˘ar˘a introducerea unor metode statistice. Se vor utiliza rezultatele din capitolul precedent, particularizate pentru sistemul fermionic studiat. b) Rezultate fundamentale 1. St˘arile proprii ale unei particule sunt st˘ari proprii de impuls ¸si o component˘ a a spinului; astfel vectorul propriu impuls-spin al unei particule este |k, σi = |ki|σi, iar valorile proprii corespunz˘ atoare sunt – pentru impuls pk = ~k, unde valorile componentelor vectorului de und˘a sunt determinate de condit¸iile limit˘ a spat¸iale, – pentru componenta spinului szσ = ~σ, unde num˘arul cuantic al componentei spinului are valorile σ = ±1. ˆIn reprezentarea coordonate, st˘ arile proprii sunt caracterizate de funct¸iile proprii uni-particul˘a (proiect¸ia vectorului propriu pe vectorul bazei de reprezentare pozit¸ii-spin), conform relat¸iilor (2.34) ϕkσ (r, s) = h r, s | ϕk,σ i = uk (r) χσ (s) . Se prezint˘ a cele mai importante propriet˘ a¸ti ale funct¸iilor proprii uni-particul˘a. • Funct¸iile proprii spat¸iale sunt unde plane 1 uk (r) = √ e ik·r . V Deoarece se consider˘ a sistemul omogen spat¸ial, exist˘a simetrie la translat¸ii spat¸iale; ca urmare, se pot impune condit¸ii periodice funct¸iei proprii spat¸iale, rezultˆand valori cuantificate (discrete) pentru componentele impulsului: 1ˆ In general se alege incinta de form˘ a cubic˘ a pentru a impune condit¸ii simple la limit˘ a asupra funct¸iilor proprii ale impulsului, care determin˘ a spectrul valorilor proprii ale impulsului. 2 Se pot include cˆ ampuri externe, dar atunci st˘ arile proprii ale unei particule nu mai sunt st˘ ari proprii ale impulsului; pe de alt˘ a parte, interact¸ia mutual˘ a poate fi introdus˘ a ulterior, prin metoda adiabatic˘ a, conducˆ and la rezultate perturbative.
107
108
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA kα =
2π gα , unde α = x, y, z ¸si gx , gy , gz sunt numere ˆıntregi. L
ˆIn Anexa matematic˘ a A.3 se prezint˘ a deducerea cuantific˘ arii valorilor componentelor cartesiane ale vectorului de und˘ a.
Luˆand ˆın considerat¸ie cuantificarea valorilor proprii ale vectorului de und˘a rezult˘a c˘ a sumarea peste valorile posibile ale vectorului de und˘a devine o integral˘a la limita sistemelor macroscopice (limita termodinamic˘ a), conform relat¸iei de transformare sume-integrale: Z 1 1 X f (k) = d3 kf (k) . LT (2π)3 R3 V k
ˆIn Anexa Matematic˘ a A.3 este prezentatca deducerea relat¸iei precedente, care este formula (A.31).
Demonstrat¸ie:
• Funct¸iile proprii ale componentei spinului sunt din punct de vedere algebric matrici coloan˘ a de ordinul 2 (spinori Pauli), deoarece componenta spinului are 2 valori discrete (s = ±1): χ+1 (s) ≡ η↑ (s) =
χ−1 (s) ≡ η↓ (s) =
1 0
0 1
adic˘a: χ+1 (+1) = 1, χ+1 (−1) = 0 ¸si χ−1 (+1) = 0, χ−1 (−1) = 1; rezultatele precedente se pot scrie ˆın mod condensat utilizˆand simbolul Kronecker: χσ (s) = δσ,s , (σ, s = ±1). Setul funct¸iilor proprii ϕ kσ (r, s) kσ sunt o baz˘a ˆın spat¸iul Hilbert al funct¸iilor uni-particul˘a de pozit¸ii-spin, conform relat¸iilor de orto-normare ¸si completitudine: Z X d3 r ϕ∗kσ (r, s) ϕ k′ σ′ (r, s) = δσσ′ δ kk′ , V
s=±1
X X
k σ=±1
ϕ∗kσ (r, s) ϕ kσ (r′ , s′ ) = δss′ δ(r − r′ ) .
2. Baza de operatori este constituit˘ a din operatorii elementari pe st˘ari 1-particul˘a. ˆIn formularea Schr¨odinger operatorii elementari sunt a ˆ kσ ¸si a ˆ†kσ (ace¸stia sunt operatori fermionici anti-comutativi); componentele de spin ale operatori lor de cˆ amp se exprim˘ a ˆın termeni de operatorii elementari, conform relat¸iilor (2.86): ψˆσ (r) =
X
uk (r) a ˆ kσ ,
k
ψˆσ† (r) =
X
u∗k (r) a ˆ†kσ .
k
ˆIn formularea Dirac (pentru sistemul liber formularea Dirac coincide cu formularea Heisenberg) operatorii elementari au dependent¸˘a temporal˘a simpl˘a, conform relat¸iilor (2.127): a ˆ kσI (t) = e−i ωk t a ˆ kσ , a ˆ†kσI (t) = e i ωk t a ˆ†kσ , iar componentele de spin ale operatorilor de cˆ amp au expresiile date de relat¸iile (2.130): 1 X i(k·r−ωk t) e a ˆkσ , u k (r) a ˆ kσI (t) = √ V k k X 1 X −i(k·r−ωk t) † † ψˆσI (r, t) = u∗k (r) a ˆ†kσI (t) = √ e a ˆ kσ . V k k ψˆσI (r, t) =
X
3.1. SISTEMUL DE FERMIONI LIBERI
109
3. Hamiltonianul (liber): i. ˆIn Cuantificarea I este operatorul tip uni-particul˘a ˆ0 = H
QI
N X j=1
ˆ 0j , H
ˆ 0 = Tˆ = 1 p ˆ 2 ⊗ ˆ1s , unde H 2m
(adic˘a este operatorul energie cinetic˘a, fiind independent de spin). Ca urmare, ecuat¸ia cu valori proprii a energiei pentru o particul˘ a este ˆ 0 |k, σi = εk |k, σi , H ~2 k2 ≡ ~ωk este valoarea proprie a energiei (care este degenerat˘ a, deoarece este 2m independent˘ a de spin σ ¸si de orientarea vectorului de und˘a k). ii. ˆIn Cuantificarea II, hamiltonianul sistemului ˆın formularea Schr¨odinger este dat de relat¸ia (2.122a): XX X ˆ0 = ˆ 0 | k′ , σ ′ i a H h k, σ|H ˆ† a ˆ k′ ,σ′ = εk a ˆ† a ˆ k,σ ;
unde εk =
Q II
k,σ
k,σ k′ ,σ′
k,σ
k,σ
ˆın formularea Dirac (= Heisenberg) hamiltonianul r˘amˆ ane un operator atemporal (pentru c˘ a este egal cu hamiltoniamul din formularea Schr¨odinger: X ˆ 0I (t) = ˆ0 H εk a ˆ† (t) a ˆ k,σI (t) = H k,σI
k,σ
4. Starea fundamental˘a a sistemului de fermioni liberi este, prin definit¸ie, starea corespunz˘ atoare energiei minime posibile a sistemului. Anterior s-a ar˘ atat c˘ a principiul de identitate a particulelor fermionice implic˘ a anti-simetria funct¸iei de stare a sistemului la permut˘ari ale particulelor; ˆın cazul sistemului de particule fermionice f˘ar˘ a interact¸ii aceste particule sunt independente, astfel ˆıncˆ at se pot defini st˘ari uni-particul˘a. Atunci, condit¸ia de anti-simetrie la permut˘ari ale particulelor conduce la Principiul de excluziune: un sistem constituit din fermioni independent¸i are fiecare stare uni-particul˘a ocupat˘a cu cel mult o particul˘ a, sau starea uni-particul˘ a respectiv˘a poate fi neocupat˘a. ˆIn consecint¸˘a, numerele de ocupare pe st˘ arile uni-particul˘ a au numai 2 valori posibile: n kσ = 0, 1. Ca urmare a principiului de excluziune, rezult˘a c˘ a ˆın starea fundamental˘ a (cu energie minim˘a) un sistem fermionic cont¸inˆand N particule, are toate st˘arile uni-particul˘a cu energie mic˘a ocupate ¸si toate st˘ arile cu energie mare sunt neocupate; deoarece energia uni-particul˘a εk este funct¸ie cresc˘ atoate de modulul vectorului de und˘a, rezult˘a c˘ a starea fundamental˘ a a sistemului de fermioni independent¸i este caracterizat˘ a prin urm˘atoarea proprietate: – exist˘a o valoare special˘ a a m˘arimii vectorului de und˘a kF numit˘a vectorul de und˘ a Fermi ¸si corespunz˘ ator energia uni-particul˘ a εF ≡ εkF numit˘a energia Fermi; – toate st˘ arile uni-particul˘ a (k, σ) cu k < kF sunt ocupate; – toate st˘ arile uni-particul˘ a (k, σ) cu k > kF sunt neocupate. ˆIn general energia Fermi este energia uni-particul˘a maxim˘ a a st˘arilor ocupate, cˆ and sistemul se afl˘a ˆın starea fundamental˘ a; ca urmare, ˆın spat¸iul vectorului de und˘a (spat¸iul k) se define¸ste suprafat¸a Fermi prin relat¸ia εk |k|=kF = εF . Pentru cazul studiat (sistem de fermioni liberi, f˘ar˘a ~2 2 k , astfel c˘ a suprafat¸a Fermi este o sfer˘a cˆ ampuri externe) energia Fermi are expresia εF = 2m F cu raza kF (numit˘ a sfera Fermi). Pe baza discut¸iei anterioare rezult˘a c˘ a numerele de ocupare pe st˘ari uni-particul˘a cˆ and sistemul se afl˘a ˆın starea fundamental˘ a sunt descrise de formula n0kσ = θ(kF − |k|), unde θ(x) este funct¸ia treapt˘ a Heaviside. 3 3 Funct ¸ia
Heaviside se define¸ste astfel: θ(x) =
(
1, 0,
dac˘ ax>0, dac˘ ax<0.
110
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Datorit˘ a propriet˘ a¸tii setului numerelor de ocupare, rezult˘a c˘ a vectorul st˘ arii fundamentale este o n O o 0 n O |Φ0 i = {n } = | 1 kσ i ⊗ | 0 kσ i . kσ (k
kσ (k>kF )
Rezultatul anterior se poate scrie ˆın mod echivalent prin act¸iunile operatorilor de creare corespunz˘atori st˘ arilor ocupate Y † Y |Φ0 i = a ˆ kσ |Oi = θ(kF − |k|) a ˆ†kσ |Oi , kσ (k
kσ
unde |Oi este vectorul st˘ arii de vid (care descrie sistemul f˘ar˘a particule). Num˘ arul de und˘a Fermi (kF ) ¸si energia st˘arii fundamentale (E00 ) sunt dependente de densitatea particulelor n = N/V : kF = 3π 2 n E00 =
1/3
3 N εF , 5
, εF =
(3.1) ~2 kF2 2m
.
(3.2)
Demonstrat¸ie: Num˘ arul total de particule ale sistemului este egal cu suma numerelor de ocupare pe toate st˘ arile uni-particul˘ a; sumarea dup˘ a num˘ arul de spin produce factorul 2, iar sumarea dup˘ a vectorul de und˘ a se transform˘ a ˆın integral˘ a (la limita termodinamic˘ a), conform relat¸iei (A.31), rezultˆ and Z XX X 0 V d3 k θ(kF − k) ; θ(kF − k) = 2 n kσ = N= 3 LT (2π) 3 R σ k
kσ
integrala dup˘ a vectorul de und˘ a se efectueaz˘ a ˆın coordonate sferice (k = (k, θ, φ), iar elementul diferent¸ial este d3 k = k2 dk dθ dφ), astfel ˆıncˆ at integralele unghiulare produc factorul 4π, iar integrala dup˘ a modulul vectorului de und˘ a este elementar˘ a Z ∞ Z π Z 2π Z kF Z ∞ 2V V V k3 V 2 2 N= 4π dk k dθ dk k θ(k −k) = dk k2 = 2 F ; dφ θ(k −k) = F F 3 3 2 8π 0 4π π 0 π 3 0 0 0 deci se obt¸ine kF3 = 3π 2 N/V = 3π 2 n. Calculul energiei st˘ arii fundamentale se efectueaz˘ a ˆın mod similar cazului precedent; astfel, energia st˘ arii fundamentale a sistemului este suma contribut¸iilor de la toate st˘ arile uni-particul˘ a ocupate Z 2 2 2 XX ~ k X V ~ εk n0kσ = E00 = θ(kF − k) = 2 d3 k k2 θ(kF − k) ; 3 LT 2m 2m (2π) R3 σ k kσ integrala se efectueaz˘ a ˆın coordonate sferice, iar integralele unghiulare produc din nou factorul 4π Z Z π Z 2π Z ∞ ∞ ~2 V ~2 V 2 2 4π dk k dθ dk k4 θ(kF − k) dφ k θ(k − k) = E00 = F 2m 4π 3 0 2m 4π 3 0 0 0 Z kF ~2 V ~2 V kF5 4 = ; dk k = 2m π 2 0 2m π 2 5 atunci, folosind expresiile anterioare pentru εF ¸si kF , rezult˘ a E00 =
~2 kF2 V kF3 = εF 2m 5π 2
Impulsul total al sistemului ˆın starea fundamental˘ a este nul X XX X P0 = ~k n0kσ = ~k θ(kF − k) = 2 ~k = 0 , σ
kσ
k
3 5
N.
(3.3)
k (k
deoarece pentru fiecare vector k exist˘a vectorul opus corespondent (−k), astfel c˘ a suma fiec˘ arei perechi este nul˘a. ˆIn mod similar, componenta spinului total este nul˘a n X oX X Sz0 = ~σ n0kσ = ~ σ θ(kF − k) = 0 , (3.4) kσ
σ=±1
k
3.1. SISTEMUL DE FERMIONI LIBERI
111
deoarece suma de spin este nul˘a, iar suma dup˘a vectorii de und˘a este finit˘a (de fapt aceast˘a sum˘a este N/2). Este necesar s˘a se remarce faptul c˘ a a considera sistemul ˆın starea fundamental˘ a, corespunde din punctul de vedere al mecanicii statistice cu situat¸ia cˆ and sistemul se afl˘a la temperatura nul˘a; aceasta este explicat¸ia terminologiei formalismul de temperatur˘ a nul˘ a.
3.1.2
St˘ ari excitate ¸si formalismul particul˘ a-gol
1. Reprezentarea excitat¸iilor prin perechi particule - goluri Cˆand sistemul fermionic se afl˘ a ˆın starea fundamental˘ a, toate st˘arile uni-particul˘a cu energie mai mic˘a decˆ at energia Fermi sunt ocupate, iar toate st˘arile uni-particul˘a cu energie mai mare decˆat energia Fermi sunt neocupate. O stare excitat˘ a a sistemului este o stare cu energie mai mare decˆ at energia st˘ arii fundamentale; atunci, se poate considera c˘ a st˘arile excitate se obt¸in din starea fundamental˘ a, prin tranzit¸ii ale particulelor peste sfera Fermi; ˆın acest caz fiecare tranzit¸ie este considerat˘ a o excitat¸ie a sistemului. ˆIn cazul unei excitat¸ii simple o singur˘a particul˘ a efectueaz˘a o tranzit¸ie peste sfera Fermi, iar toate celelalte particule se afl˘ a ˆın st˘ari uni-particul˘a corespunz˘ atoare st˘arii fundamentale a sistemului (adic˘ a ˆın interiorul sferei Fermi). Se observ˘a c˘ a prin tranzit¸ia (ki , σi ) −→ (kf , σf ) ki
kf >kF
s-a creat o particul˘ a ˆın starea (kf , σf ) ¸si s-a anihilat o particul˘ a ˆın starea (ki , σi ); rezultatul este echivalent cu crearea unui gol ˆın starea (ki , σi ). ˆIn figura 3.1 este ilustrat˘a ˆın mod schematic producerea unei excitat¸ii particul˘ a-gol, prin efectuarea unei tranzit¸ii i → f de c˘ atre o particul˘ a a sistemului, aflat init¸ial ˆın starea fundamental˘ a. ε
ε
f
εF
εF
i
Figura 3.1: Reprezentarea schematic˘ a pentru crearea unei exitat¸ii particul˘ a-gol. Init¸ial sistemul se afla ˆın starea fundamental˘ a ¸si fiecare nivel energetic era ocupat cu cˆ ate 2 particule, avˆand spinii opu¸si; ˆın starea final˘a o particul˘ a efectuaz˘a o tranzit¸ie peste nivelul Fermi ¸si se creaz˘ a un gol. Sistemul cu excitat¸ia |kf , σf ip , |ki , σi ig are urm˘atoarele caracteristici: • Impulsul
– particula excitat˘ a are impulsul pp = ~kf , – golul are impulsul pg = −~ki (deoarece este absent¸a unei particule ˆın aceast˘a stare);
112
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA atunci, luˆand ˆın considerare c˘ a ˆın starea fundamental˘ a impulsul total al sistemului este nul, conform relat¸iei (3.3), se poate determina impulsul sistemului (cu particula excitat˘ a ¸si golul) prin reducere la starea fundamental˘ a: X X P= ~k nkσ = ~k + ~kf − ~ki = P0 + pp + pg = pp + pg , kσ
k (k
deoarece P0 = 0; astfel starea cu particula excitat˘ a ¸si golul are un impuls total egal cu impulsul celor 2 excitat¸ii. • Componenta spinului – particula excitat˘ a are componenta spinului sp = ~σf , – golul are componenta spinului sg = −~σi (deoarece este absent¸a unei particule ˆın aceast˘a stare); atunci, luˆand ˆın considerare c˘ a ˆın starea fundamental˘ a componenta spinului total al sistemului este nul, conform relat¸iei (3.4), se poate determina componenta spinului sistemului (cu particula excitat˘ a ¸si golul) prin reducere la starea fundamental˘ a: X X Sz = ~σ nkσ = ~σ + ~σf − ~σi = Sz0 + sp + sg = sp + sg , kσ
k (k
deoarece Sz0 = 0; astfel starea cu particula excitat˘ a ¸si golul are componenta spinului total egal˘a cu componenta spinului celor 2 excitat¸ii. • Energia – particula excitat˘ a are energia εp = εkf , – golul are energia εg = −εki (deoarece este absent¸a unei particule ˆın aceast˘a stare); atunci, luˆand ˆın considerare c˘ a ˆın starea fundamental˘ a energia total˘ a al sistemului este E00 , se poate determina energia sistemului (cu particula excitat˘ a ¸si golul) prin reducere la starea fundamental˘ a: X X E= εk nkσ = εk + εkf − εki = E00 + εp + εg ; kσ
k (k
astfel starea cu particula excitat˘ a ¸si golul are energia egal˘a cu energia celor 2 excitat¸ii ad˘augat˘a la energia st˘ arii fundamentale. Pe baza rezultatelor anterioare, se observ˘a c˘ a sistemul cu un num˘ar mic de excitat¸ii (adic˘a aflat ˆın st˘ari slab excitate) se poate caracteriza ˆın mod convenabil numai prin specificarea – particulelor excitate (aflate ˆın st˘ari peste sfera Fermi) ¸si – golurilor (din interiorul sferei Fermi), iar restul particulelor (din interiorul sferei Fermi) au contribut¸ie banal˘a. 2. Definirea formalismului particul˘ a - gol Pe baza observat¸iilor anterioare asupra st˘arilor slab excitate ale sistemelor fermionice, rezult˘a c˘ a este convenabil s˘a se redefineasc˘ a m˘arimile acestui sistem, pentru a elimina (ˆın mod formal) propriet˘ a¸tile st˘ arii fundamentale. 4 Atunci se redefinesc m˘arimile sistemului fermionic astfel. • Starea fundamental˘ a este considerat˘ a stare de vid (renormat˘ a), avˆand vectorul de stare Y † |Φ0 i = θ(kF − |k|) a ˆ kσ |Oi. kσ
4 Redefinirea
problemei pentru un sistem nerelativist de particule fermionice este similar˘ a cu situat¸ia natural˘ a din electrodinamica cuantic˘ a.
3.1. SISTEMUL DE FERMIONI LIBERI
113
• Nivelele energetice sunt redefinite fat¸˘a de energia Fermi (care este considerat˘ a energie etalon); atunci, energia de excitat¸ie (particul˘a excitat˘ a sau gol) este ~ Ωk = ε k − ε F .
(3.5)
Observat¸ie: conform definit¸iei, energia redefinit˘ a este pozitiv˘a pentru particul˘ a excitat˘ a ¸si negativ˘ a pentru gol: ( > 0 , pentru k > kF (pulsat¸ia particulei) ~ Ωk = ~ ω k − ε F = < 0 , pentru k < kF (pulsat¸ia golului) . (Altfel spus: st˘ arile renormate de particule excitate au energie pozitiv˘ a, iar st˘arile renormate de goluri au energie negativ˘ a.) • Operatorii elementari sunt reconsiderat¸i ca – operatori de particule, pentru k > kF , – operatori de goluri, pentru k < kF . Cu observat¸ia c˘ a un operator de creare/anihilare a unei particule ˆın starea (k, σ) este echivalent operatorului de anihilare/creare de gol ˆın starea (−k, −σ); atunci, operatorii elementari sunt redefinit¸i astfel: ( α ˆ k,σ , pentru k > kF , a ˆ kσ = ˆ† (3.6a) β−k,−σ , pentru k < kF ; ( α ˆ †k,σ , pentru k > kF , † a ˆ kσ = (3.6b) ˆ β−k,−σ , pentru k < kF . Se observ˘ a c˘ a – operatorii α ˆ k,σ ¸si α ˆ †k,σ sunt definit¸i pentru k > kF , fiind operatori elementari de particule (excitate), – operatorii βˆ k,σ ¸si βˆ†k,σ sunt definit¸i pentru k < kF , fiind operatori elementari de goluri. Redefinirea operatorilor elementari are urm˘atoarele consecint¸e importante: i. Relat¸iile de anti-comutare: • pentru k, k ′ > kF : ( α ˆ k,σ , α ˆ †k′ ,σ′ + α ˆ k,σ , α ˆ k′ ,σ′ +
• pentru k, k ′ < kF : (
βˆ k,σ , βˆ†k′ ,σ′ + βˆ k,σ , βˆ k′ ,σ′ +
= a ˆ k,σ , a ˆ†k′ ,σ′ + = δ k,k′ δσ,σ′ ˆ1 = a ˆ k,σ , a ˆ k′ ,σ′ + = ˆ0
† = a ˆ−k,−σ , a ˆ−k′ ,−σ′ + = δ k,k′ δσ,σ′ ˆ1 † = a ˆ−k,−σ , a ˆ†−k′ ,−σ′ + = ˆ0
• pentru k > kF ¸si k ′ < kF : ( α ˆ k,σ , βˆ†k′ ,σ′ + α ˆ k,σ , βˆ k′ ,σ′ +
= a ˆ k,σ , a ˆ−k′ ,−σ′ + = ˆ0 = a ˆ k,σ , a ˆ†−k′ ,−σ′ + = ˆ0
(3.7a)
(3.7b)
(3.7c)
Se observ˘ a c˘ a relat¸iile de anti-comutare se conserv˘ a fat¸˘a de transformarea (redefinirea) operatorilor elementari; ca urmare, aceast˘a transformare este canonic˘a.
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
114
ii. Act¸iunea operatorilor redefinit¸i asupra st˘arii fundamentale: • pentru k > kF
α ˆ k,σ |Φ0 i = a ˆ k,σ
Y
k′ ,σ′
θ(kF − k ′ ) a ˆ†k,σ |Oi = | ∅ i ,
(3.8a)
pentru c˘ a |Φ0 i nu cont¸ine particule cu k > kF ; • pentru k < kF
βˆ k,σ |Φ0 i = a ˆ−k,−σ
Y
k′ ,σ′
θ(kF − k ′ ) a ˆ†k,σ |Oi = | ∅ i ,
(3.8b)
pentru c˘ a |Φ0 i are toate st˘ arile k < kF ocupate (absent¸a golurilor). Ca urmare, starea fundamental˘ a se comport˘ a ca o stare de vid (fat¸˘a de operatorii redefinit¸i). 3. Operatorii num˘ ar de particule ¸si hamiltonianul A. Operatorul num˘ar de particule a fost definit pentru un sistem fermionic prin relat¸iile (2.75) ¸si (2.96a); pentru a exprima acest operator ˆın termeni de operatorii elementari redefinit¸i se separ˘ a st˘arile de particule excitate ¸si st˘ arile de goluri X † X † X † ˆ= a ˆ k,σ a ˆ k,σ . N a ˆ k,σ a ˆ k,σ + a ˆ k,σ a ˆ k,σ = k,σ
k,σ (k>kF )
k,σ (k
Prima sum˘a cont¸ine st˘ arile de goluri (k < kF ), astfel c˘ a se exprim˘ a ˆın termeni de operatori elementari de goluri X † X X X X † † ˆ ˆ1 − βˆ† ˆ1 − a ˆ k,σ a ˆ k,σ = = βˆ−k,−σ βˆ−k,−σ βˆ k,σ βˆ k,σ ; −k,−σ β−k,−σ = k,σ (k
k,σ (k
k,σ (k
k,σ (k
k,σ (k
a doua egalitate a fost obt¸inut˘a prin reordonarea operatorilor de goluri utilizˆand relat¸ia de anti† † † + βˆ−k,−σ βˆ−k,−σ = ˆ1, iar ˆın ultima sum˘a comutare (3.7b) [βˆ−k,−σ , βˆ−k,−σ ]+ ≡ βˆ−k,−σ βˆ−k,−σ s-au redefinit indicii de sumare (−k, −σ) → (k, σ), luˆand ˆın considerare simetria la reflexie a sferei Fermi. ˆIn rezultatul precedent se observ˘a c˘ a prima sum˘a cont¸ine N termeni (num˘arul de st˘ari din interiorul sferei Fermi), astfel c˘ a X θ(kF − k) ˆ1 = N ˆ1 . k,σ
A doua sum˘a din expresia operatorului num˘ar de particule cont¸ine st˘arile de particule excitate (k > kF ), astfel c˘ a se exprim˘ a ˆın termeni de operatori elementari de particule X † X † α ˆ k,σ α ˆ k,σ ; a ˆ k,σ a ˆ k,σ = k,σ (k>kF )
k,σ (k>kF )
se observ˘ a c˘ a ˆın acest caz nu a fost necesar s˘a se reordoneze operatorii. Pe baza rezultatelor precedente operatorul num˘ ar de particule se exprim˘ a ˆın urm˘atoarea form˘a: X † X † ˆ =Nˆ 1− α ˆ k,σ α ˆ k,σ . (3.9a) βˆ k,σ βˆ k,σ + N k,σ (k
k,σ (k>kF )
ˆIn expresia pentru operatorul num˘ ar de particule se observ˘a c˘ a cele dou˘a sum˘ari definesc operatori pe st˘ari de goluri ¸si respectiv pe st˘ ari de particule excitate; ca urmare, se introduc urm˘atoarele definit¸ii: i. operatorul num˘ ar de particule excitate X ˆp = N θ(k − kF ) α ˆ †k,σ α ˆ k,σ ; k,σ
3.1. SISTEMUL DE FERMIONI LIBERI ii. operatorul num˘ ar de goluri ˆg = N
X k,σ
115
θ(kF − k) βˆ†k,σ βˆ k,σ .
Atunci expresia (3.9a) pentru operatorul num˘ar total de particule ale sistemului fermionic devine ˆ = N 1ˆ + N ˆp − N ˆg . N (3.9b) Dac˘ a sistemul fermionic cont¸ine N particule, atunci st˘arile sistemului sunt descrise de vectori de stare definit¸i ˆın spat¸iul Hilbert HN ; ca urmare pentru un vector de stare al sistemului |ΨN i ∈ HN , ˆ are urm˘atoarea act¸iune: operatorul num˘ ar total de particule N ˆ |ΨN i = N |ΨN i . N
Pe de alt˘ a parte, utilizˆand relat¸ia (3.9b), rezult˘a ˆp |ΨN i − N ˆg |ΨN i ; ˆ |ΨN i = N ˆ ˆp − N ˆg |ΨN i = N |ΨN i + N N 1+N
atunci, prin compararea ultimelor dou˘a rezultate se obt¸ine ˆp |ΨN i = N ˆg |ΨN i , N
ˆp ¸si N ˆg au act¸iuni egale ˆın spat¸iul Hilbert HN (num˘arul de particule excitate este egal cu adic˘a N num˘arul de goluri, deoarece sunt create ˆın perechi). B. Hamiltonianul sistemului se prelucreaz˘ a ˆın mod similar cu operatorul num˘ar de particule, prezentat anterior; pentru a exprima acest operator ˆın termeni de operatorii elementari redefinit¸i se separ˘ a st˘ arile de particule excitate ¸si st˘arile de goluri X X X ˆ0 = εk a ˆ†k,σ a ˆ k,σ . εk a ˆ†k,σ a ˆ k,σ + H εk a ˆ†k,σ a ˆ k,σ = k,σ
k,σ (k>kF )
k,σ (k
Prima sum˘a cont¸ine st˘ arile de goluri (k < kF ), astfel c˘ a se exprim˘ a ˆın termeni de operatori elementari de goluri X X X † εk βˆ k,σ βˆ†k,σ , = εk βˆ−k,−σ βˆ−k,−σ εk a ˆ†k,σ a ˆ k,σ = k,σ (k
k,σ (k
k,σ (k
unde pentru ultima egalitate s-a efectuat reindicierea (−k, −σ) → (k, σ), luˆand ˆın considerare faptul c˘ a εk este invariant la aceast˘a operat¸ie; apoi se reordoneaz˘a operatorii elementari, conform relat¸iei de anti-comutare βˆ k,σ βˆ†k,σ = ˆ1 − βˆ†k,σ βˆ k,σ ¸si se exprim˘ a energiile uni-particul˘a εk prin pulsat¸iile de particule sau goluri, conform relat¸iei (3.5): X X X X X εk ˆ εk βˆ k,σ βˆ†k,σ = εk ˆ1 − εk βˆ†k,σ βˆ k,σ = 1− (εF + ~ Ωk ) βˆ†k,σ βˆ k,σ ; k,σ (k
k,σ (k
k,σ (k
k,σ (k
k,σ (k
ˆın expresia precedent˘ a se observ˘ a c˘ a prima sum˘a (care este proport¸ional˘ a cu operatorul unitate) P este energia st˘ arii fundamentale k,σ θ(kF −k) εk = E00 ¸si prima parte din a doua sum˘a (care este P ˆg , proport¸ional˘ a cu energia Fermi) este operatorul num˘ar de goluri k,σ θ(kF − k) βˆ†k,σ βˆ k,σ = N astfel ˆıncˆ at contribut¸ia termenului corespunz˘ ator st˘arilor uni-particul˘a din interiorul sferei Fermi la hamiltonian este X X ˆg + εk a ˆ† a ˆ k,σ = E 0 ˆ1 − εF N (−~ Ωk ) βˆ† βˆ k,σ . 0
k,σ
k,σ (k
k,σ
k,σ (k
A doua sum˘a din expresia hamiltonianului cont¸ine st˘arile de particule excitate (k > kF ), astfel c˘ a se exprim˘ a ˆın termeni de operatori elementari de particule ¸si apoi se exprim˘ a energiile uniparticul˘ a ˆın termeni de pulsat¸ii ale particulelor excitate, conform relat¸iei (3.5) X X X (εF + ~ Ωk ) α ˆ †k,σ α ˆ k,σ εk α ˆ †k,σ α ˆ k,σ = εk a ˆ†k,σ a ˆ k,σ = k,σ (k>kF )
k,σ (k>kF )
k,σ (k>kF )
ˆp + = εF N
X
k,σ (k>kF )
~ Ωk α ˆ †k,σ α ˆ k,σ ;
116
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
se observ˘ a c˘ a ˆın acest caz nu a fost necesar s˘a se reordoneze operatorii ¸si s-a utilizat proprietatea c˘ a prima sum˘a (care este proport¸ional˘ a cu energia Fermi) este operatorul num˘ar de goluri P ˆ† βˆ k,σ = N ˆg . θ(k − k) β F k,σ k,σ Pe baza rezultatelor anterioare se obt¸ine expresia hamiltonianului sistemului fermionic ˆın termeni de operatori elementari pe st˘ari uni-particule corespunz˘ atoare particulelor excitate ¸si golurilor X X ˆp − N ˆg + ˆ 0 = E00 ˆ H 1 + εF N θ(kF − k) (−~ Ωk ) βˆ†k,σ βˆ k,σ + θ(k − kF ) ~ Ωk α ˆ †k,σ α ˆ k,σ . k,σ
k,σ
(3.10a) Este convenabil s˘a se redefineasc˘ a hamiltonianul, astfel ˆıncˆ at s˘a descrie numai excitat¸iile sistemului; astfel, se iau ˆın considerare urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: i. se exclude energia st˘ arii fundamentale, (p) ii. se define¸ste energia particulei excitate ˆın raport cu energia Fermi: εk ≡ εk − εF = ~ Ωk , (g) iii. se define¸ste energia golului ˆın raport cu energia Fermi: εk ≡ −(εk − εF ) = −~ Ωk (se observ˘ a c˘ a εk < εF astfel c˘ a se consider˘ a energia golului o m˘arime pozitiv˘ a), ˆp ¸si N ˆg au act¸iuni egale. iv. ˆın spat¸iul st˘ arilor sistemului cu N particule (HN ) operatorii N Ca urmare se redefine¸ste hamiltonianul prin excluderea energiei st˘arii fundamentale ¸si a termenilor dependent¸i de operatorii numere de excitat¸ii (particule ¸si goluri); atunci se obt¸ine hamiltonianul excitat¸iilor sistemului de fermioni liberi ˆın formalismul particul˘ a-gol: X X (g) (p) † ˆ ˆ ˆ′ ≡ H ˆ0 − E0 ˆ H εk βˆ†k,σ βˆ k,σ + εk α ˆ k,σ α ˆ k,σ . (3.10b) 0 0 1 − εF Np − Ng = k,σ (k
k,σ (k>kF )
4. Operatori elementari ˆın formul˘ ari Dirac Formularea Dirac a fost definit˘ a pentru vectori de stare ¸si pentru operatori ca o transformare ˆ 0 , prin formulele unitar˘ a din formularea Schr¨odinger, generat˘a de hamiltonianul sistemului liber H (2.123); ˆın consecint¸˘ a, operatorii formul˘arii Dirac satisfac ecuat¸ia diferent¸ial˘a cu condit¸ie init¸ial˘a date de relat¸iile (2.124). ˆIn particular, operatorii elementari Dirac sunt definit¸i prin formulele (2.126) ¸si au expresia explicit˘ a dat˘ a de relat¸ia (2.127). Datorit˘ a redefinirii hamiltonianului, se introduce formularea Dirac de excitat¸ii pentru operatori, ca o formulare de tip Dirac, dar generat˘a de hamiltonianul de excitat¸ii (hamiltonianul redefinit); astfel, un operator al acestei formul˘ari este definit prin relat¸ia i i ˆ′ ˆ′ AˆI ′ (t) = e ~ tH0 Aˆ e− ~ tH0
(3.11)
¸si satisface o ecuat¸ie diferent¸ial˘a similar˘ a cu ecuat¸ia (2.124a), adic˘a i~
∂ ˆ ˆ′ AI ′ (t) = AˆI ′ (t) , H 0 − . ∂t
(3.12)
Se observ˘ a c˘ a operatorul Dirac AˆI (t) nu coincide cu operatorul Dirac de excitat¸ie AˆI ′ (t), deoarece hamiltonienii generatori ai transform˘ arilor unitare sunt diferit¸i. ˆIn formalismul particul˘ a-gol exist˘a dou˘a tipuri de operatori elementari: α ˆ k,σ (pentru particule) ¸si βˆ k,σ (pentru goluri). Operatorul elementar pentru goluri ˆın formularea Dirac de excitat¸ie este definit prin formula (3.11), astfel c˘ a satisface ecuat¸ia diferent¸ial˘a i~
∂ ˆ β k,σI ′ (t) = −~ Ωk βˆ k,σI ′ (t) . ∂t
(3.13)
Demonstrat¸ie: Conform relat¸iei (3.12), operatorul elementar de goluri ˆın formularea Dirac de excitat¸ie satisface ecuat¸ia diferent¸ial˘ a i~
− i tHˆ ′ i ˆ′ ∂ ˆ ˆ 0′ ˆ 0′ = e ~ tH0 βˆ k,σ , H e ~ 0; β k,σI ′ (t) = βˆ k,σI ′ (t) , H − − ∂t
3.1. SISTEMUL DE FERMIONI LIBERI
117
comutatorul se evalueaz˘ a prin utilizarea expresiei hamiltonianului de excitat¸ii (3.10b)
ˆ 0′ βˆ k,σ , H
−
=
X
(g)
εk′
k′ ,σ ′ (k′
βˆ k,σ , βˆ†k′ ,σ ′ βˆ k′ ,σ ′
−
+
X
k′ ,σ ′ (k′ >kF )
(p)
εk ′
βˆ k,σ , α ˆ †k′ ,σ ′ α ˆ k′ ,σ ′
−
;
prin utilizarea relat¸iilor de anti-comutare (3.7) ¸si a identit˘ a¸tii operatoriale (2.108), se obt¸in rezultatele pentru comutatori
βˆ k,σ , βˆ†k′ ,σ ′ βˆ k′ ,σ ′ βˆ k,σ , α ˆ †k′ ,σ ′ α ˆ k′ ,σ ′
−
−
= βˆ k,σ , βˆ†k′ ,σ ′ + · βˆ k′ ,σ ′ − βˆ†k′ ,σ ′ · βˆ k,σ , βˆ k′ ,σ ′ +
0 = δ k,k′ δσ,σ ′ βˆ k′ ,σ ′ , 1 · βˆ k′ ,σ ′ − βˆ†k′ ,σ ′ · ˆ = δ k,k′ δσ,σ ′ ˆ ˆ †k′ ,σ ′ · βˆ k,σ , α ˆ k′ ,σ ′ + = βˆ k,σ , α ˆ †k′ ,σ ′ + · α ˆ k′ ,σ ′ − α ˆ †k′ ,σ ′ · ˆ 0 = ˆ 0, =ˆ 0·α ˆ k′ ,σ ′ − α
astfel ˆıncˆ at comutatorul total este
ˆ 0′ βˆ k,σ , H
−
=
X
k′ ,σ ′ (k′
(g) (g) εk′ δ k,k′ δσ,σ ′ βˆ k′ ,σ ′ = εk βˆ k,σ = −~ Ωk βˆ k,σ .
Revenind la derivata operatorului elementar de gol, se obt¸ine rezultatul cerut i~
i ˆ′ i ˆ′ ∂ ˆ β k,σI ′ (t) = e ~ tH0 − ~ Ωk βˆ k,σ e− ~ tH0 = −~ Ωk βˆ k,σI ′ (t) . ∂t
Prin rezolvarea ecuat¸iei diferent¸iale se obt¸in operatorii de anihilare ¸si de creare a unui gol (
βˆ k,σI ′ (t) = e iΩk t βˆ k,σ , βˆ†k,σI ′ (t) = e−iΩk t βˆ†k,σ ,
(Ωk < 0) .
(3.14)
Demonstrat¸ia este similar˘ a cu cea prezentat˘ a pentru justificarea formulei (2.127), astfel c˘ a se va omite repetarea acelor rat¸ionamente. ˆIn mod analog operatorul elementar pentru particule ˆın formularea Dirac de excitat¸ie satisface ecuat¸ia diferent¸ial˘a ∂ i~ (3.15) ˆ k,σI ′ (t) , α ˆ k,σI ′ (t) = ~ Ωk α ∂t iar prin rezolvarea ecuat¸iei diferent¸iale se obt¸in operatorii de anihilare ¸si de creare a unei particule excitate α ˆ k,σI ′ (t) = e−iΩk t α ˆ k,σ , (Ωk > 0) . (3.16) † iΩk t † α ˆ k,σI ′ (t) = e α ˆ k,σ , Demonstat¸iile pentru relat¸iile (3.15) ¸si (3.16) sunt analoage cu demonstrat¸iile pentru formulele corespondente din cazul operatorilor elementari de goluri, adic˘a pentru formulele (3.13) ¸si (3.14); de acea se va omite prezentarea acestor demonstrat¸ii. Pentru a obt¸ine diferent¸ele ˆıntre operatorii elementari Dirac de excitat¸ie ¸si operatorii elementari Dirac (propriu zi¸si) corespondent¸i, se prezint˘ a expresiile operatorilor Dirac, prin particularizarea formulei (2.127): α ˆ k,σ = a ˆ k,σ k>kF βˆ k,σ = a ˆ†
−k,−σ k
−→ −→
α ˆ k,σI (t) = a ˆ k,σI (t) k>kF = e−iωk t α ˆ k,σ , βˆ k,σI (t) = a ˆ†−k,−σI (t) k
prin compararea expresiilor precedente ale operatorilor α ˆ k,σI (t) ¸si βˆ k,σI (t) cu expresiile corespona singura dente ale operatorilor α ˆ k,σI ′ (t) ¸si βˆ k,σI ′ (t), date de relat¸iile (3.14) ¸si (3.16), rezult˘a c˘ diferent¸˘ a este pulsat¸ia: ωk (pentru operatorii Dirac veritabili) este ˆınlocuit˘a prin Ωk (pentru operatorii Dirac de excitat¸ii).
118
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
5. Operatori de cˆ amp ˆIn formularea Schr¨odinger se separ˘ a componentele de spin ale operatorilor de cˆ amp ˆın p˘ art¸i de goluri ¸si p˘ art¸i de particule: X X X (−) (+) † ψˆσS (r) = uk (r) a ˆ k,σ = uk (r) βˆ−k,−σ + uk (r) α ˆ k,σ ≡ ψˆσS (r) + ψˆσS (r) , (3.17) k
† ψˆσS (r) =
X
k (k
u∗k (r) a ˆ†k,σ =
k
X
k (k>kF )
u∗k (r) βˆ−k,−σ +
k (k
X
(−)† (+)† u∗k (r) α ˆ†k,σ ≡ ψˆσS (r) + ψˆσS (r) , (3.18)
k (k>kF )
unde (−) ψˆσS (r) =
X k
(+) ψˆσS (r) =
X k
(−)† ψˆσS (r) =
X k
(+)† ψˆσS (r) =
X k
† θ(kF − k) uk (r) βˆ−k,−σ
este partea creare goluri a operatorului de cˆ amp,
θ(k − kF ) uk (r) α ˆ k,σ
este partea anihilare particule a operatorului de cˆ amp,
θ(kF − k) u∗k (r) βˆ−k,−σ
este partea anihilare goluri a operatorului de cˆ amp,
θ(k − kF ) u∗k (r) α ˆ†k,σ
este partea creare particule a operatorului de cˆ amp.
ˆ ′ se obt¸in compoPrin efectuarea transform˘ arii unitare generat˘a de hamiltonianul excitat¸iilor H 0 nentele de spin ale operatorilor de cˆ amp ˆın formularea Dirac de excitat¸ie: ( (−) (+) ψˆσI ′ (r, t) = ψˆσI ′ (r, t) + ψˆσI ′ (r, t) , (3.19) (+)† (−)† † ψˆσI = ψˆσI ′ (r, t) + ψˆσI ′ (r, t) , ′ (r, t) unde p˘ art¸ile de creare ¸si anihilare pentru goluri ¸si pentru particule au expresiile: operatorul creare de goluri: (−) ψˆσI ′ (r, t) =
X k
† θ(kF − k) uk (r) βˆ−k,−σI ′ (t) =
X
θ(kF − k)
1 i(k·r−Ωk t) ˆ† e β−k,−σ , V
X
θ(k − kF )
1 i(k·r−Ωk t) e α ˆ k,σ , V
X
θ(kF − k)
1 −i(k·r−Ωk t) ˆ β−k,−σ , e V
X
θ(k − kF )
1 −i(k·r−Ωk t) † e α ˆ k,σ . V
k
operatorul anihilare de particule: (+) ψˆσI ′ (r, t) =
X k
θ(k − kF ) uk (r) α ˆ k,σI ′ (t) =
k
operatorul anihilare de goluri: (−)† ψˆσI ′ (r, t) =
X k
θ(kF − k) u∗k (r) βˆ−k,−σI ′ (t) =
k
operatorul creare de particule: (+)† ψˆσI ′ (r, t) =
X k
θ(k − kF ) u∗k (r) α ˆ †k,σI ′ (t) =
k
Sunt importante urm˘atoarele observat¸ii asupra p˘ art¸ilor de creare ¸si anihilare ale operatorilor de cˆ amp: i. ˆIn formalismul particul˘ a-gol operatorii de cˆ amp sunt operatori mic¸sti, fiind decompozabili ˆıntr-o parte de creare ¸si o parte de anihilare, iar descompunerea este unic˘ a. ii. P˘ art¸ile de anihilare ale operatorilor de cˆ amp distrug starea fundamental˘ a: ( (+) ψˆσI ′ (r, t) |Φ0 i = | ∅ i , (3.20) (−)† ψˆσI ′ (r, t) |Φ0 i = | ∅ i .
3.1. SISTEMUL DE FERMIONI LIBERI
119
Demonstrat¸ia este simpl˘a, deoarece ˆın starea fundamental˘ a nu exist˘a nici particule excitate (ˆın exteriorul sferei Fermi), nici goluri (ˆın interiorul sferei Fermi), astfel c˘ a act¸iunile operatorilor de anihilare produc vectorul nul al spat¸iului Fock. (−) (−)† iii. ψˆσI ′ (r, t) ¸si ψˆσI ′ (r, t) sunt operatori de goluri, care au pulsat¸ie negativ˘ a (Ωk < 0), iar (+) (+)† ψˆσI ′ (r, t) ¸si ψˆσI ′ (r, t) sunt operatori de particule, care au pulsat¸ie pozitiv˘ a (Ωk > 0); aceasta este explicat¸ia notat¸iei utilizate pentru ace¸sti operatori. 5 † iv. Operatorii de cˆ amp din formularea Dirac propriu zis˘a (ψˆσI ¸si ψˆσI ) au descompuneri analoage ˆın parte de creare ¸si parte de anihilare pentru particule ¸si pentru goluri, singura diferent¸˘a (fat¸˘a de operatorii Dirac de excitat¸ie) fiind pulsat¸ia: Ωk → ωk . Prin utilizarea expresiilor explicite ¸si a relat¸iilor de anti-comutare pentru operatorii elementari (3.7) rezult˘a urm˘atoarele relat¸ii de anti-comutare pentru p˘ art¸ile de creare sau anihilare de particule sau goluri ale operatorilor de cˆ amp: ′ ′ 1 X θ(kF − k) e i[ k·(r−r )−Ωk (t−t )] ˆ1 , + V k (+) ′ ′ 1 X (+)† ′ ′ ˆ ˆ ψσI ′ (r, t) , ψσ′ I ′ (r , t ) + = δσσ′ θ(k − kF ) e i[ k·(r−r )−Ωk (t−t )] ˆ1 , V k (−) (+) (+) (−) ′ ′ ˆ ˆ ˆ ˆ ψσI ′ (r, t) , ψσ′ I ′ (r , t ) + = 0 = ψσI ′ (r, t) , ψˆσ′ I ′ (r′ , t′ ) + , (−) (−) (+)† (+) ψˆσI ′ (r, t) , ψˆσ′ I ′ (r′ , t′ ) + = ˆ0 = ψˆσI ′ (r, t) , ψˆσ′ I ′ (r′ , t′ ) + ,
(−) (−)† ψˆσI ′ (r, t) , ψˆσ′ I ′ (r′ , t′ )
= δσσ′
(3.21a) (3.21b) (3.21c) (3.21d)
celelalte relat¸ii de anticomutare posibile se obt¸in prin conjugarea hermitic˘a a relat¸iilor precedente. Se observ˘ a c˘ a singurii anti-comutatori nenuli sunt ˆıntre operatorii conjugat¸i. Demonstrat¸ie: Se va justifica ˆın mod succint numai prima relat¸ie de anti-comutare, deoarece restul relat¸iilor de anti-comutare se justific˘ a ˆın mod analog. Deoarece partea de creare de goluri a operatorului de cˆ amp ˆın formularea Dirac de excitat¸ie este X (−) † θ(kF − k) uk (r) βˆ−k,−σI ψˆσI ′ (r, t) = ′ (t) , k
iar partea de anihilare de goluri ˆın formularea Dirac de excitat¸ie se obt¸ine prin conjugare hermitic˘ a din operatorul precedent; atunci anti-comutatorul acestor doi operatori este XX (−) ′ (−)† θ(kF − k) θ(kF − k′ ) uk (r) u∗k′ (r′ ) e−iΩk t+iΩk′ t ψˆσI ′ (r, t) , ψˆσ ′ I ′ (r′ , t′ ) + = k
k′
† × βˆ−k,−σ , βˆ−k′ ,−σ ′ + | {z }
= δσ,σ ′
X k
= δσ,σ ′
X k
=δσ,σ′ δ k,k′
′
θ(kF − k) uk (r) u∗k (r′ ) e−iΩk (t−t ) ′
θ(kF − k) e−i[ k·(r−r
)+Ωk (t−t′ )
Pentru operatorii formul˘arii Dirac propriu zise sunt valabile relat¸ii de anti-comutare similare, cu singura deosebire c˘ a apare ωk ˆın loc de Ωk : ′ ′ 1 X θ(kF − k) e i[ k·(r−r )−ωk (t−t )] ˆ1 , + V k X (+) ′ ′ 1 (+)† ′ ′ θ(k − kF ) e i[ k·(r−r )−ωk (t−t )] ˆ1 , ψˆσI (r, t) , ψˆσ′ I (r , t ) + = δσσ′ V k (−) (+) (−) (+) ′ ′ ψˆσI (r, t) , ψˆσ′ I (r , t ) + = ˆ0 = ψˆσI (r, t) , ψˆσ′ I (r′ , t′ ) + , (−) (−) (+)† (+) ψˆσI (r, t) , ψˆσ′ I (r′ , t′ ) + = ˆ0 = ψˆσI (r, t) , ψˆσ′ I (r′ , t′ ) + .
(−) (−)† ψˆσI (r, t) , ψˆσ′ I (r′ , t′ )
= δσσ′
(3.22a) (3.22b) (3.22c) (3.22d)
Mai exist˘a 6 relat¸ii de anti-comutare, care se obt¸in din precedentele prin conjugare hermitic˘a. 5 De
fapt, notat¸ia provine din electrodinamica cuantic˘ a, unde golurile sunt anti-particule cu energii negative.
120
3.1.3
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Contract¸ii ¸si teorema Wick
A. Produse normale ¸si contract¸ii Se consider˘ a cazul studiat anterior, adic˘a sistemul constituit din fermioni liberi, care este descris ˆın formalismul particul˘ a-gol. S-a ar˘ atat c˘ a formalismul particul˘ a-gol conduce la urm˘atoarele propriet˘ a¸ti importante: • se redefinesc operatorii elementari, ca fiind operatori de particule, sau operatori de goluri, • operatorii de cˆ amp se descompun ˆın mod unic ˆın parte de creare ¸si parte de anihilare (de particule sau goluri), • p˘ art¸ile de anihilare (ale operatorilor de cˆ amp) distrug starea fundamental˘ a a sistemului. A1. Produse ordonate de operatori fermionici Se consider˘ a un set de operatori fermionici dependent¸i de timp: Aˆj (tj ) j=1,2,...,n ; ace¸sti operatori pot fi operatori elementari, sau p˘ art¸i de creare/anihilare ale operatorilor de cˆ amp. Produs T (ordonare cronologic˘ a) 6 Act¸iunea operatorului cronologic asupra produsului de operatori specificat¸i anterior este produsul de operatori reordonat¸i ˆın ordine cronologic˘ a (de la dreapta spre stˆanga), cu factorul de semn al permut˘arii necesare reordon˘arii operatorilor: , (3.23) T Aˆ1 (t1 ) Aˆ2 (t2 ) . . . Aˆn (tn ) = (−1)σπ Aˆπ1 (tπ1 ) · Aˆπ2 (tπ2 ) · · · Aˆπn (tπn ) tπ1 >tπ2 >···>tπn
n a ordonarea cronologic˘ a a operatorilor, unde π este permutarea π = π11 π22 ··· ··· πn care realizeaz˘ iar σπ este paritatea permut˘arii π. Se observ˘ a urm˘atoarele propriet˘ a¸ti generale ale operatorului de ordonare cronologic˘ a: i. T este o operat¸ie anti-comutativ˘ a ˆ ′ ) · A(t) ˆ ˆ · B(t ˆ ′) . T B(t = − T A(t) ii. T este o operat¸ie distributiv˘ a fat¸˘a de adunare: ˆ Cˆ + D) ˆ = T AˆCˆ + T AˆD ˆ +T B ˆ Cˆ + T B ˆD ˆ ; T (Aˆ + B)(
ca urmare, se poate defini produsul cronologic pentru operatorii de cˆ amp totali. iii. Dac˘ a setul de operatori {Aj } cont¸ine operatori cu timpi egali, atunci ordonarea cronologic˘ a p˘ astreaz˘ a ordinea init¸ial˘a a operatorilor care au acela¸si timp; ca urmare, se poate defini produsul cronologic pentru observabile. iv. Produsul cronologic este dependent numai de relat¸iile de ordine ˆıntre timpii operatorilor, dar nu depinde de natura dependent¸ei temporale a operatorilor; ca urmare, produsul cronologic se define¸ste ˆın mod identic pentru operatori Dirac, sau pentru operatori Heisenberg. Produs N (ordonare normal˘ a) Act¸iunea operatorului de ordonare normal˘a asupra produsului de operatori specificat¸i anterior este produsul de operatori reordonat¸i astfel ˆıncˆ at la stˆanga se afl˘a operatorii de creare, iar la dreapta se afl˘ a operatorii de anihilare ¸si se introduce factorul de semn al permut˘arii necesare reordon˘arii operatorilor: ′ · · · Aˆπn′ (3.24) N Aˆ1 Aˆ2 . . . Aˆn = (−1)σπ′ Aˆπ1′ · · · Aˆπk′ · Aˆπk+1 {z } | | {z } op. creare
op. anihilare
n ′ care realizeaz˘ a ordonarea operatorilor, iar σπ′ este paunde π ′ este permutarea π ′ = π11′ π22′ ··· ··· πn ′ ritatea permut˘arii π . Se observ˘ a c˘ a ordonarea normal˘a nu ia ˆın considerare eventuala dependent¸˘a 6 Acest produs cronologic de operatori a fost definit anterior prin relat ¸ia (2.138) pentru cazul general cˆ and sistemul de particule identice putea fi bosonic, sau fermionic. Ca urmare se vor particulariza rezultatele generale pentru cazul fermionic.
3.1. SISTEMUL DE FERMIONI LIBERI
121
temporal˘ a a operatorilor, astfel c˘ a s-a omis s˘a se noteze variabilele temporale ale operatorilor; adic˘a singurul criteriu de reordonare este caracterul operatorului (de creare, sau de anihilare); atunci, ordonarea normal˘ a este aceea¸si pentru operatori indiferent de formularea ˆın care sunt considerat¸i (Schr¨odimger, Heisenberg, sau Dirac). Ca urmare a definit¸iei, operatorul de ordonare normal˘a are urm˘atoarele propriet˘ a¸ti generale: • N este o operat¸ie anti-comutativ˘ a ˆ · B(t ˆ ′) . ˆ ′ ) · A(t) ˆ = − N A(t) N B(t
• N este o operat¸ie distributiv˘ a fat¸˘a de adunare: ˆD ˆ ; ˆ Cˆ + N B ˆ +N B ˆ Cˆ + D) ˆ = N AˆCˆ + N AˆD N (Aˆ + B)(
ca urmare, se poate defini produsul normal pentru operatorii de cˆ amp totali.
• Produsul normal nu efectueaz˘a reordonarea operatorilor de acela¸si tip (adic˘a operatorii de creare r˘amˆ an la ordonarea init¸ial˘a ¸si operatorii de anihilare sunt de asemenea l˘asat¸i ˆın ordonarea init¸ial˘a). • Media pe starea fundamental˘ a a unui produs ordonat normal este nul˘a hΦ0 | N Aˆ1 · · · Aˆn |Φ0 i = 0 .
(3.25)
Demonstrat¸ie:
Conform relat¸iei (3.20), operatorii de anihilare prin act¸iune asupra vectorului ket al st˘ arii fundamental produc vectorul nul: Aˆa |Φ0 i = | ∅ i (adic˘ a distrug starea fundamental˘ a); deoarece conjugatul hermitic al unui operator de anihilare este un operator de creare, prin conjugare hermitic˘ a a relat¸iei precedente se obt¸ine c˘ a operatorii de creare act¸ionˆ and asupra vectorului bra al st˘ arii fundamentale produc, de asemenea, vectorul nul: hΦ0 |Aˆc = h ∅ | (ˆın acest caz se consider˘ a c˘ a operatorul act¸ioneaz˘ a la stˆ anga). Pentru claritate, se va nota cu indice superior tipul operatorului ˆcj (dac˘ ˆaj (dac˘ dup˘ a ordonarea normal˘ a: A a operatorul este de creare) ¸si respectiv A a operatorul este de anihilare). Conform definit¸iei, prin ordonare normal˘ a, tot¸i operatorii de creare sunt permutat¸i la stˆ anga operatorilor de anihilare; ˆın cazul general, cˆ and setul de operatori cont¸ine p operatori de creare ¸si q operatori de anihilare, se obt¸ine ˆ1 · · · A ˆp+q |Φ0 i = (−1)σπ hΦ0 |Aˆcπ · · · A ˆcπ · Aˆaπ hΦ0 | N A · · · Aˆaπq+p |Φ0 i q 1 q+1 ˆcπ | ∅ i = 0 , = (−1)σπ hΦ0 |Aˆcπ1 · · · A q
deoarece Aˆaπq+1 · · · Aˆaπq+p |Φ0 i = | ∅ i. Dac˘ a setul de operatori cont¸ine numai operatori de anihilare, atunci ordonarea normal˘ a nu modific˘ a ordinea init¸ial˘ a a operatorilor, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine ˆın mod direct rezultatul nul: ˆap |Φ0 i = hΦ0 | ∅ i = 0 , ˆp |Φ0 i = hΦ0 |Aˆa1 · · · A hΦ0 | N Aˆ1 · · · A
Dac˘ a setul de operatori cont¸ine numai operatori de creare, atunci de asemenea, ordonarea normal˘ a nu modific˘ a ordinea init¸ial˘ a a operatorilor, iar operatorii de creare produc vectorul nul prin act¸iune la stˆ anga: ˆq |Φ0 i = hΦ0 |Aˆc1 · · · A ˆcq |Φ0 i = h ∅ |Φ0 i = 0 . hΦ0 | N Aˆ1 · · · A
ˆIn continuare se vor aplica propriet˘ a¸tile generale ale produselor cronologice ¸si normale pentru cazul cˆ and se consider˘ a p˘ art¸i de creare/anihilare ale operatorilor de cˆ amp. Pentru concizia exprim˘ arii este convenabil s˘a se utilizeze o notat¸ie simplificat˘ a, care s˘a evident¸ieze numai caracteristicile interesante ale operatorilor: – se utilizeaz˘ a notat¸ia 4-dimensional˘a pentru coordonatele spat¸io-temporale x = (r, t); – se noteaz˘ a printr-un indice general inferior (liter˘a) setul constituit din indicele de spin, indicele de formulare (Heisenberg sau Dirac), indicele de semn al pulsat¸iei (adic˘a indicele pentru
122
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
parte de creare/anihilare) ¸si eventualul indice de conjugare hermitic˘a; (±) (±)† ca urmare, se va nota ψˆb (x) pentru ψˆσI ′ (r, t) sau ψˆσI ′ (r, t). 7 Cu notat¸ia simplificat˘ a precedent˘ a, produsele cronologic ¸si normal pentru 2 operatori p˘ art¸i de creare/anihilare au urm˘atoarele expresii explicite: T ψˆa (x) · ψˆb (x′ ) = θ(t − t′ ) ψˆa (x) · ψˆb (x′ ) − θ(t′ − t) ψˆb (x′ ) · ψˆa (x) ( ψˆa (x) · ψˆb (x′ ) , pentru t > t′ , = (3.26) ′ −ψˆb (x ) · ψˆa (x) , pentru t′ > t ; ( −ψˆb (x′ ) · ψˆa (x) , pentru (a, b) ∈ {(+, −), (+, +†), (−†, −), (−†, +†)} , ′ ˆ ˆ N ψa (x) · ψb (x ) = ˆ ψa (x) · ψˆb (x′ ) , pentru (a, b) ∈ restul 12 perechi (3.27) Se observ˘ a c˘ a singurele produse normale cu inversie (¸si schimbare de semn) sunt de forma Aˆa Aˆc ; ˆın restul cazurilor, cˆ and produsele sunt cu una din formele Aˆc Aˆa , Aˆc Aˆc sau Aˆa Aˆa nu se produce 8 inversie . A2. Contract¸ii de operatori fermionici Prin definit¸ie, contract¸ia a doi operatori este diferent¸a dintre produsul cronologic ¸si produsul normal ale celor doi operatori: ˆ = T Aˆ · B ˆ − N Aˆ · B ˆ . Aˆ B
(3.28)
Se observ˘ a c˘ a operatorii contractat¸i sunt indicat¸i prin linia superioar˘a de contract¸ie. Propriet˘a¸ti generale ale contract¸iilor: ˆ = −B ˆ A; ˆ 1. anti-comutativitate: Aˆ B ˆ + C) ˆ = Aˆ B ˆ + Aˆ C. ˆ 2. distributivitate fat¸˘ a de adunare: Aˆ (B Aceste propriet˘ a¸ti rezult˘a din faptul c˘ a ambele produse (atˆ at produsul cronologic, cˆ at ¸si produsul normal) sunt anti-comutative ¸si distributive fat¸˘a de adunare. Conform definit¸iei, contract¸ia este termenul suplimentar produs la rearanjarea operatorilor prin transformarea produsului cronologic ˆın produs normal: ˆ = N Aˆ · B ˆ + Aˆ B ˆ. T Aˆ · B
Se consider˘ a contract¸ii fundamentale, contract¸iile dintre p˘ art¸ile de creare/anihilare ale operatorilor de cˆ amp; prin evaluare explicit˘ a rezult˘a c˘ a aceste contract¸ii fundamentale sunt proport¸ionale cu anti-comutatorii operatorilor respectivi: ψˆa (x) ψˆb (x′ ) = θ(t − t′ ) ψˆa (x) , ψˆb (x′ ) + ,
pentru produs N cu inversie (4 cazuri) (3.29a)
ψˆa (x) ψˆb (x′ ) = − θ(t′ − t) ψˆa (x) , ψˆb (x′ ) + , pentru produs N f˘ar˘a inversie (12 cazuri) (3.29b) Demonstrat¸ie: Se consider˘ a cazul cˆ and ordonarea normal˘ a a produsului se face cu inversia operatorilor, adic˘ a 7 S-a considerat c˘ a se va lucra cu operatori ˆın formularea Dirac de excitat¸ii, dar notat¸ia este valabil˘ a ¸si pentru operatori Dirac propriu zi¸si sau operatori Heisenberg. 8 Exist˘ a 12 perechi posibile care corespund la absent¸a inversiei pentru ordonarea normal˘ a: ˆa , ˆc A (−, +), (−, −†), (+†, +), (+†, −†) sunt produse de tipul A ˆc , ˆc A (−, −), (−, +†), (+†, −), (+†, +†) sunt produse de tipul A ˆa . ˆa A (+, +), (+, −†), (−†, +), (−†, −†) sunt produse de tipul A
3.1. SISTEMUL DE FERMIONI LIBERI
123
N ψˆa (x) · ψˆb (x′ ) = − ψˆb (x′ ) · ψˆa (x) (acest rezultat este posibil cˆ and ψˆa (x) este un operator de ′ ˆ anihilare, iar ψb (x ) este un operator de creare); atunci contract¸ia celor 2 operatori este ψˆa (x) ψˆb (x′ ) = T ψˆa (x) · ψˆb (x′ ) − N ψˆa (x) · ψˆb (x′ ) = θ(t − t′ ) ψˆa (x) ψˆb (x′ ) − θ(t′ − t) ψˆb (x′ ) ψˆa (x) − (−1) ψˆb (x′ ) ψˆa (x) . Pe baza identit˘ a¸tii matematice θ(x) + θ(−x) = 1 ˆın expresia precedent˘ a se simplific˘ a termenii proport¸ionali cu factorul θ(t′ − t), astfel c˘ a rezult˘ a anti-comutatorul operatorilor: ψˆa (x) ψˆb (x′ ) = θ(t − t′ ) ψˆa (x) ψˆb (x′ ) − θ(t′ − t) ψˆb (x′ ) ψˆa (x) + θ(t − t′ ) ψˆb (x′ ) ψˆa (x) + θ(t′ − t) ψˆb (x′ ) ψˆa (x) = θ(t − t′ ) ψˆa (x) ψˆb (x′ ) + ψˆb (x′ ) ψˆa (x) = θ(t − t′ ) ψˆa (x) , ψˆb (x′ ) + .
Cazul cˆ and ordonarea normal˘ a nu produce inversia operatorilor se trateaz˘ a ˆın mod similar: ψˆa (x) ψˆb (x′ ) = T ψˆa (x) · ψˆb (x′ ) − N ψˆa (x) · ψˆb (x′ ) = θ(t − t′ ) ψˆa (x) ψˆb (x′ ) − θ(t′ − t) ψˆb (x′ ) ψˆa (x) − ψˆa (x) ψˆb (x′ ) = θ(t − t′ ) ψˆa (x) ψˆb (x′ ) − θ(t′ − t) ψˆb (x′ ) ψˆa (x)
− θ(t − t′ ) ψˆa (x) ψˆb (x′ ) − θ(t′ − t) ψˆa (x) ψˆb (x′ ) = −θ(t′ − t) ψˆa (x) ψˆb (x′ ) + ψˆb (x′ ) ψˆa (x) = −θ(t′ − t) ψˆa (x) , ψˆb (x′ ) . +
Dac˘ a se consider˘ a operatorii fundamentali ca fiind p˘ art¸i de creare/anihilare a operatorilor Dirac (propriu zi¸si), atunci relat¸iile de anti-comutare (3.22) arat˘a c˘ a singurii anti-comutatori nenuli sunt (+) (+)† ˆıntre operatorii conjugat¸i hermitic, adic˘a ψˆσI (r, t) ¸si ψˆσ′ I (r′ , t′ ) (pentru care produsul normal, (−) pornind de la ordonarea ˆın care au fost scri¸si anterior, implic˘ a inversie), respectiv ψˆσI (r, t) ¸si (−)† ψˆσ′ I (r′ , t′ ) (pentru care produsul normal, pornind de la ordonarea ˆın care au fost scri¸si anterior, nu implic˘ a inversie); ca urmare, contract¸iile fundamentale pentru operatori Dirac au urm˘atoarele expresii: (+) (+)† (+)† (+) ψˆσI (r, t) ψˆσ′ I (r′ , t′ ) = +θ(t − t′ ) ψˆσI (r, t) , ψˆσ′ I (r′ , t′ ) + ′ ′ 1 X θ(k − kF ) e i[ k·(r−r )−ωk (t−t )] ˆ1 , = θ(t − t′ ) δσσ′ V
(3.30a)
k
(+) (−) (−)† (+)† ψˆσI (r, t) ψˆσ′ I (r′ , t′ ) = − θ(t′ − t) ψˆσI (r, t) , ψˆσ′ I (r′ , t′ ) + ′ ′ 1 X = − θ(t′ − t) δσσ′ θ(kF − k) e i[ k·(r−r )−ωk (t−t )] ˆ1 , V
(3.30b)
k
iar restul contract¸iilor fundamentale sunt nule (exist˘ a 6 perechi distincte de contract¸ii fundamentale nule). Prin utilizarea descompunerilor componentelor de spin totale ale operatorilor de cˆ amp ˆın p˘ art¸i de creare ¸si de anihilare, exprimate prin relat¸iile (3.19), iar apoi utilizˆand proprietatea de distributivitate a contract¸iilor ˆın raport cu adunarea, rezult˘a expresiile contract¸iilor dintre componentele de spin totale ale operatorilor de cˆ amp: ψˆσI (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) = − ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) ψˆσI (r, t) 1 X i[ k·(r−r′ )−ωk (t−t′ )] = δσσ′ e V k × θ(t − t′ ) θ(k − kF ) − θ(t′ − t) θ(kF − k) ˆ1 ,
(3.31a)
ψˆσI (r, t) ψˆσ′ I (r′ , t′ ) = ˆ 0,
(3.31b)
† ψˆσI (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) = ˆ 0.
(3.31c)
124
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA Demonstrat¸ie: Se consider˘ a prima contract¸ie dintre operatorii ψˆσI (r, t) ¸si ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ), care se decompun prin formule similare cu relat¸iile (3.19); atunci contract¸ia ˆıntre ace¸sti operatori se descompune ˆın sum˘ a de contract¸ii ale p˘ art¸ilor de creare/anihilare ale operatorilor de cˆ amp, datorit˘ a distributivit˘ a¸tii operat¸iei de contractare: (+) (+)† (+) (−)† ψˆσI (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) = ψˆσI (r, t) ψˆσ ′ I (r′ , t′ ) + ψˆσI (r, t) ψˆσ ′ I (r′ , t′ )
+ ψˆσI (r, t) ψˆσ ′ I (r′ , t′ ) + ψˆσI (r, t) ψˆσ ′ I (r′ , t′ ) ; (−)
(+)†
(−)
(−)†
prima ¸si ultima contract¸ie au expresiile date de formulele (3.30a) ¸si respectiv (3.30b), iar a doua ¸si a treia contract¸ie sunt nule; ca urmare, contract¸ia operatorilor de cˆ amp considerat¸i init¸ial este X ′ ′ 1 ψˆσI (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) = θ(t − t′ ) δσσ ′ θ(k − kF ) e i[ k·(r−r )−ωk (t−t )] ˆ 1+ˆ 0+ˆ 0 V k ′ ′ 1 X θ(kF − k) e i[ k·(r−r )−ωk (t−t )] ˆ 1, − θ(t − t′ ) δσσ ′ V k astfel ˆıncˆ at se obt¸ine rezultatul cerut.
Contract¸ia ˆıntre operatorii de cˆ amp ψˆσI (r, t) ¸si ψˆσ ′ I (r′ , t′ ) se calculeaz˘ a ˆın mod similar, dar ˆın acest caz toate cele 4 contract¸ii, obt¸inute prin descompuneri, sunt nule (+) (+) (+) (−) ψˆσI (r, t) ψˆσ ′ I (r′ , t′ ) = ψˆσI (r, t) ψˆσ ′ I (r′ , t′ ) + ψˆσI (r, t) ψˆσ ′ I (r′ , t′ ) (−) (+) (−) (−) + ψˆσI (r, t) ψˆσ ′ I (r′ , t′ ) + ψˆσI (r, t) ψˆσ ′ I (r′ , t′ )
=ˆ 0. † † Contract¸ia ψˆσI (r, t) ψˆσ ′ I (r′ , t′ ) se reduce la contract¸ia ψˆσ ′ I (r′ , t′ ) ψˆσI (r, t), datorit˘ a propriet˘ a¸tii de anti-comutativitate. † (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) se obt¸ine ˆın mod similar cu contract¸ia ψˆσI (r, t) ψˆσ ′ I (r′ , t′ ) ¸si este Contract¸ia ψˆσI nul˘ a.
Observat¸ii: i. Contract¸iile operatorilor de cˆ amp sunt de forma ψˆσI (x) ψˆ† ′ (x′ ) = − ψˆ† ′ (x′ ) ψˆσI (x) ∼ ˆ1 , σ I σ I ˆ † ψσI (x) ψˆσ′ I (x′ ) = ψˆσI (x) ψˆσ† ′ I (x′ ) = ˆ0 .
Se observ˘ a c˘ a aceste contract¸ii sunt proport¸ionale cu operatorul unitate (constanta de propor¸tionalitate putˆand fi nul˘a), adic˘a sunt operatori banali. Atunci, se noteaz˘ a valoarea acestor at se pot exprima contract¸iile contract¸ii prin simbolul ψψ ′ (este un num˘ar complex), astfel ˆıncˆ ˆıntre operatori de cˆ amp prin expresia ψˆψˆ′ = ψψ ′ ˆ1. ii. Rezultatele anterioare sunt analoage pentru operatorii Dirac de excitat¸ii, cu singura deosebire asupra pulsat¸iei: ωk se substituie prin Ωk . iii. Expresiile contract¸iilor ˆıntre operatorii de cˆ amp ai formul˘arii Dirac se pot scrie ˆın mod condensat prin introducerea funct¸iei Green cauzale libere, definit˘ a ca media pe starea fundamental˘ a a sistemului fermionic liber pentru produsul cronologic al operatorilor de cˆ amp ˆın formularea Dirac (Heisenberg liber˘ a): hΦ0 | T ψˆσI (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) |Φ0 i 0 ′ ′ . (3.32) Gσσ′ (r, t; r , t ) ≡ − i hΦ0 |Φ0 i Atunci, prin utilizarea propriet˘ a¸tilor contract¸iilor rezult˘a c˘ a funct¸ia Green liber˘a este egal˘a (pˆan˘a la un factor banal) cu contract¸ia operatorilor de cˆ amp care definesc funct¸ia Green: 1 X i[ k·(r−r′ )−ωk (t−t′ )] e G0σσ′ (r, t; r′ , t′ ) = − i δσσ′ V k × θ(t − t′ ) θ(k − kF ) − θ(t′ − t) θ(kF − k) ˆ1 . (3.33)
3.1. SISTEMUL DE FERMIONI LIBERI
125
Demonstrat¸ie: Produsul cronologic al operatorilor de cˆ amp de la num˘ ar˘ ator se transform˘ a ˆın produs normal cu ajutorul contract¸iei operatorilor: T ψˆσI (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) = N ψˆσI (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) + ψˆσI (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) ;
Prin mediere pe starea fundamental˘ a, produsul normal d˘ a rezultat nul hΦ0 | N ψˆσI (r, t) ψˆ† ′ (r′ , t′ ) |Φ0 i = 0 , σ I
conform propriet˘ a¸tii generale a produsului normal, exprimat˘ a prin relat¸ia (3.25). Pe de alt˘ a parte, contract¸ia operatorilor de cˆ amp este proport¸ional˘ a cu operatorul unitate, conform relat¸iei (3.31a): 1, ψˆσI (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) = ψσI (r, t) ψσ† ′ I (r′ , t′ ) ˆ unde valoarea contract¸iei este ψσI (r, t) ψσ† ′ I (r′ , t′ ) = δσσ ′
1 X i[ k·(r−r′ )−ωk (t−t′ )] e θ(t − t′ ) θ(k − kF ) − θ(t′ − t) θ(kF − k) ; V k
atunci, media pe starea fundamental˘ a a contract¸iei este hΦ0 | ψˆσI (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t′ )|Φ0 i = ψσI (r, t) ψσ† ′ I (r′ , t′ ) hΦ0 |Φ0 i . Pe baza rezultatelor precedente se obt¸ine c˘ a funct¸ia Green liber˘ a este legat˘ a de valoarea contract¸iei operatorilor de cˆ amp prin relat¸ia G0σσ ′ (r, t; r′ , t′ ) = − i ψσI (r, t) ψσ† ′ I (r′ , t′ ) .
Se observ˘ a c˘ a definit¸ia funct¸iei Green libere, relat¸ia (3.32), a considerat cazul general cˆ and vectorul st˘ arii fundamentale a sistemului liber are o norm˘a arbitrar˘a (dar finit˘a). Pe baza rezultatelor precedente, contract¸iile fundamentale (ale operatorilor de cˆ amp ˆın formularea Dirac) sunt operatori banali ¸si se exprim˘ a cu ajutorul funct¸iei Green cauzale libere:
ψˆσI (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) = i G0σσ′ (r, t; r′ , t′ ) ˆ1 ,
(3.34a)
ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) ψˆσI (r, t) = − i G0σ′ σ (r′ , t′ ; r, t) ˆ1 ,
(3.34b)
† ψˆσI (r, t) ψˆσ′ I (r′ , t′ ) = ψˆσI (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) = ˆ0 .
(3.34c)
Se definesc urm˘atoarele generaliz˘ ari pentru contract¸iile operatorilor. ˆ = P Q 1ˆ este un operator i. Deoarece contract¸ia unei perechi de operatori de cˆ amp Pˆ Q banal (adic˘ a operatorul este proport¸ional cu operatorul unitate), atunci se poate extrage valoarea numeric˘ a a contract¸iei ˆın exteriorul unui produs normal: ˆR ˆ · · · Zˆ . ˆ Pˆ Q ˆR ˆ · · · Zˆ = P Q N Aˆ · · · O N Aˆ · · · O
(3.35)
ii. ˆIn interiorul unui produs normal, constituit din mai mult¸i operatori, se define¸ste contract¸ia ˆıntre operatori nevecini considerˆ and permutarea (ˆın interiorul produsului normal) care aduce operatorii ˆın pozit¸ii vecine ¸si se introduce factorul de semn corespunz˘ ator parit˘ a¸tii permut˘arii: ˆ Cˆ · · · Pˆ Q ˆR ˆ · · · Zˆ = (−1)σπ N AˆB ˆQ ˆ Cˆ · · · Pˆ R ˆ · · · Zˆ = (−1)σπ BQ N AˆCˆ · · · Pˆ R ˆ · · · Zˆ . N AˆB (3.36) iii. ˆIn interiorul unui produs normal se pot considera contract¸ii multiple; exemplu: ˆ Cˆ · · · Pˆ Q ˆR ˆ · · · Zˆ . N AˆB
(3.37)
126
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
B. Teorema Wick Se consider˘ a un set de operatori dependent¸i de timp Fˆ1 (t1 ) , . . . , Fˆn (tn ) ; este necesar s˘a se precizeze urm˘atoarele propriet˘ a¸ti ale setului de operatori specificat anterior: – rezultatele vor fi valabile, indiferent de tipul dependent¸ei temporale a operatorilor, adic˘a ace¸sti operatori pot fi definit¸i sau ˆın formularea Dirac, sau ˆın formularea Heisenberg; 9 – deoarece se vor aplica operat¸ii de ordonare cronologic˘ a, ordonare normal˘a ¸si contract¸ii (care sunt operat¸ii distributive fat¸˘ a de adunare) se poate considera c˘ a operatorii setului specificat sunt operatori de cˆ amp. Prin utilizarea propriet˘ a¸tilor fundamentale ale produsului cronologic (produs T), produsului normal (produs N) ¸si contract¸iilor se deduc urm˘atoarele identit˘ a¸ti operatoriale: Lema Wick Produsul normal al unui set de operatori, multiplicat la dreapta cu un operator care are timpul anterior timpilor operatorilor din setul aflat ˆın interiorul produsului normal, este egal cu produsul normal al setului de operatori completat la dreapta cu operatorul suplimentar la care se adaug˘a suma produselor normale ale setului de operatori, ˆın care operatorul suplimentar este contractat ˆın mod succesiv cu fiecare operator din setul specificat anterior. ˆ N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) B(t) t
ˆ = N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) B(t) +
j=1
ˆ . N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆj (tj ) · · · Fˆn (tn ) B(t)
(3.38)
Demonstrat¸ie: Se consider˘ a c˘ a setul de operatori din interiorul produsului normal cont¸ine l operatori de creare ¸si m = n − l operatori de anihilare; atunci produsul normal al setului de operatori considerat¸i este N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) = (−1)σπ Fˆπ1 (tπ1 ) · · · Fˆπl (tπl ) Fˆπl+1 (tπl+1 ) · · · Fˆπn (tπn ) | {z } | {z } operatori de creare operatori de anihilare ˆ1 (t′1 ) . . . C ˆl (t′l ) · A ˆm (t′′m ) . . . A ˆ1 (t′′1 ) , ≡ (−1)σπ C
unde
ˆj (t′j ) = Fˆπ (tπ ) , j = 1, l , C j j ˆk (t′′k ) = Fˆπ A n−k+1 (tπn−k+1 ) , k = 1, m .
ˆ este un operator de anihilare (adic˘ ˆ = Aˆ ) se obt¸in relat¸iile: a) ˆIn cazul cˆ and B aB ˆ ˆ1 (t′1 ) · · · Cˆl (t′l ) Aˆm (t′′m ) . . . A ˆ1 (t′′1 ) A(t) ˆ , N Fˆ1 (t1 ) . . . Fˆn (tn ) B(t) = (−1)σπ C σπ ˆ ′ ′ ′′ ′′ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , N F1 (t1 ) . . . Fn (tn ) B(t) = (−1) C1 (t1 ) · · · Cl (tl ) Am (tm ) . . . A1 (t1 ) A(t)
ˆ ˆ ˆ ˆ − Fˆj (tj ) B(t) ˆ Fˆj (tj ) B(t) = T[Fˆj (tj ) B(t)] − N[Fˆj (tj ) B(t)] = Fˆj (tj ) B(t) =ˆ 0, n a ordonarea operatorilor de creare la dreapta; unde Π = π11 π21 ... ... πn este permutarea care realizeaz˘ ˆ este un operator de anihilare. ˆın expresia ultimei contract¸ii s-a luat ˆın considerare c˘ a tj > t ¸si c˘ aB Atunci, lema Wick este banal˘ a, deoarece cele dou˘ a produse normale sunt egale ¸si toate contract¸iile suplimentare sunt nule: ˆ ˆ N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) B(t) = N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) B(t) .
t
ˆ este un operator de creare (adic˘ ˆ=C ˆ ) se obt¸in relat¸iile: b) ˆIn cazul cˆ and B aB ˆ ˆ1 (t′1 ) · · · C ˆl (t′l ) A ˆm (t′′m ) . . . Aˆ1 (t′′1 ) C(t) ˆ N Fˆ1 (t1 ) . . . Fˆn (tn ) B(t) = (−1)σπ C , σπ +m ˆ ′ ′ ′′ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ N F1 (t1 ) . . . Fn (tn ) B(t) = (−1) C1 (t1 ) A(t) · · · Cl (tl ) Am (tm ) . . . A1 (t′′1 ) , ˆ ˆ ˆ Fˆj (tj ) B(t) = T[Fˆj (tj ) B(t)] − N[Fˆj (tj ) B(t)] ( ˆ − Fˆj (tj ) B(t) ˆ = Fˆj (tj ) B(t) =ˆ 0, = ˆ ˆ ˆ ˆ tj >t = Fj (tj ) B(t) + B(t) Fj (tj ) ,
9 Pentru
dac˘ a Fˆj (tj ) = operator de creare , dac˘ a Fˆj (tj ) = operator de anihilare .
aplicat¸ii va fi interesant cazul cˆ and operatorii sunt ˆın formularea Dirac.
3.1. SISTEMUL DE FERMIONI LIBERI
127
Conform rezultatului precedent, contact¸ia dintre un operator al produsului normal ¸si operatorul suplimentar (care este un operator de creare) are proprietatea 10 : ˆj ), atunci contract¸ia este nul˘ – dac˘ a operatorul din produs este un operator de creare (Fˆj = C a: ˆ=ˆ Fˆj B 0; ˆj ), atunci contract¸ia este egal˘ – dac˘ a operatorul din produs este un operator de anihilare (Fˆj = A a ˆ = Fˆj B ˆ ˆ +B ˆ Fˆj , astfel ˆıncˆ ˆ = −B ˆ Fˆj + Fˆj B. cu anti-comutatorul operatorilor: Fˆj B at rezult˘ a Fˆj B ˆ ˆ Folosind proprietatea anterioar˘ a se comut˘ a operatorul suplimentar B(t) ≡ C(t) la stˆ anga, peste ˆ1 (t′′1 ): ultimul operator din produsul ordonat normal A ˆ N Fˆ1 (t1 ) . . . Fˆn (tn ) B(t) ˆ1 (t′1 ) · · · C ˆl (t′l ) A ˆm (t′′m ) . . . A ˆ2 (t′′2 ) A ˆ1 (t′′1 ) C(t) ˆ = (−1)σπ C n o ˆ ˆ1 (t′′1 ) + A ˆ2 (t′′2 ) − C(t) ˆm (t′′m ) . . . A ˆl (t′l ) A ˆ1 (t′′1 ) C(t) ˆ ˆ1 (t′1 ) · · · C A = (−1)σπ C ˆ1 (t′1 ) · · · C ˆl (t′l ) A ˆm (t′′m ) . . . Aˆ2 (t′′2 ) C(t) ˆ ˆ1 (t′′1 ) = (−1)σπ +1 C A
ˆ ˆ1 (t′1 ) · · · Cˆl (t′l ) A ˆm (t′′m ) . . . A ˆ2 (t′′2 ) Aˆ1 (t′′1 ) C(t) ; +(−1)σπ C ˆ ˆ1 (t′′1 ), se ˆın primul termen obt¸inut anterior, prin comutarea operatorului C(t) peste operatorul A ′′ ˆ efectueaz˘ a comutarea acestui operator peste operatorul A2 (t2 ), utilizˆ and aceea¸si metod˘ a ca ˆın cazul precedent: ˆ1 (t′1 ) · · · Cˆl (t′l ) Aˆm (t′′m ) . . . A ˆ3 (t′′3 ) Aˆ2 (t′′2 ) C(t) ˆ ˆ1 (t′′1 ) (−1)σπ +1 C A n o ˆ ˆ2 (t′′2 ) + A ˆ3 (t′′3 ) − C(t) ˆl (t′l ) Aˆm (t′′m ) . . . A ˆ1 (t′1 ) · · · C ˆ2 (t′′2 ) C(t) ˆ A = (−1)σπ +1 C Aˆ1 (t′′1 ) ˆ1 (t′1 ) · · · C ˆl (t′l ) Aˆm (t′′m ) . . . A ˆ3 (t′′3 ) C(t) ˆ ˆ1 (t′′1 ) = (−1)σπ +2 C Aˆ2 (t′′2 ) A
ˆ2 (t′′2 ) C(t) ˆ ˆl (t′l ) A ˆm (t′′m ) . . . Aˆ3 (t′′3 ) A Aˆ1 (t′′1 ) ; +(−1)σπ +1 Cˆ1 (t′1 ) · · · C ˆ se continu˘ a procedeul anterior, efectuˆ and comut˘ arile operatorului C(t) peste tot¸i operatorii de anihilare a produsului ordonat normal, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: ˆ N Fˆ1 (t1 ) . . . Fˆn (tn ) B(t) ˆl (t′l ) A ˆm (t′′m ) . . . A ˆ2 (t′′2 ) A ˆ1 (t′′1 ) C(t) ˆ = (−1)σπ Cˆ1 (t′1 ) · · · C
ˆ2 (t′′2 ) C(t) ˆ ˆ1 (t′′1 ) + . . . ˆ1 (t′1 ) · · · C ˆl (t′l ) A ˆm (t′′m ) . . . A ˆ3 (t′′3 ) A A +(−1)σπ +1 C ˆl (t′l ) Aˆm (t′′m ) . . . A ˆj+1 (t′′j+1 ) A ˆj (t′′j ) C(t) ˆ ˆj−1 (t′′j−1 ) · · · A ˆ1 (t′′1 ) +(−1)σπ +j−1 Cˆ1 (t′1 ) · · · C A ˆ1 (t′1 ) · · · Cˆl (t′l ) Aˆm (t′′m ) C(t) ˆ ˆm−1 (t′′m−1 ) · · · A ˆ1 (t′′1 ) + . . . + (−1)σπ +m−1 C A ˆ1 (t′1 ) · · · C ˆl (t′l ) C(t) ˆ ˆm (t′′m ) . . . A ˆ1 (t′′1 ) +(−1)σπ +m C A
ˆ1 (t′1 ) · · · C ˆl (t′l ) A(t) ˆ A ˆm (t′′m ) . . . A ˆ1 (t′′1 ) = (−1)σπ +m C m X ˆj (t′′j ) C(t) ˆ ˆ1 (t′′1 ) . ˆ1 (t′1 ) · · · C ˆl (t′l ) A ˆm (t′′m ) . . . A ˆj+1 (t′′j+1 ) A Aˆj−1 (t′′j−1 ) · · · A + (−1)σπ +j−1 C j=1
Primul termen al ultimei expresii este un produs de operatori ordonat¸i normal, astfel ˆıncˆ at se poate exprima cu ajutorul operat¸iei de ordonare normal˘ a, revenind la notat¸ia init¸ial˘ a ¸si eliminˆ and ˆ factorul de semn prin permutarea operatorului suplimentar C(t) la extrema dreapt˘ a: ˆ ˆ A ˆm (t′′m ) . . . Aˆ1 (t′′1 ) = N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) B(t) ˆ1 (t′1 ) · · · Cˆl (t′l ) A(t) ; (−1)σπ +m C
al doilea termen al ultimei expresii este sum˘ a de termeni care sunt fiecare un produs de operatori ordonat¸i normal, astfel ˆıncˆ at ¸si ace¸sti termeni se pot exprima mai convenabil prin permutarea ˆ operatorului contractat C(t) la extrema dreapt˘ a: ˆ1 (t′1 ) · · · C ˆl (t′l ) A ˆm (t′′m ) . . . A ˆj+1 (t′′j+1 ) A ˆj (t′′j ) C(t) ˆ ˆ1 (t′′1 ) (−1)σπ +j−1 C Aˆj−1 (t′′j−1 ) · · · A
10 Pentru
ˆ1 (t′1 ) · · · Cˆl (t′l ) A ˆm (t′′m ) . . . Aˆj+1 (t′′j+1 ) A ˆj (t′′j ) A ˆj−1 (t′′j−1 ) · · · Aˆ1 (t′′1 ) C(t) ˆ = (−1)σπ N C .
simplificarea scrierii se omit argumentele temporale
128
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA Prin adunarea rezultatelor precedente se obt¸ine ˆ N Fˆ1 (t1 ) . . . Fˆn (tn ) B(t) ˆ = N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) B(t) +
m X j=1
ˆj (t′′j ) A ˆj−1 (t′′j−1 ) · · · Aˆ1 (t′′1 ) C(t) ˆ ˆ1 (t′1 ) · · · Cˆl (t′l ) A ˆm (t′′m ) . . . Aˆj+1 (t′′j+1 ) A . (−1)σπ N C
Pentru a absorbi factorul de semn datorat permut˘ arilor care realizeaz˘ a ordonarea normal˘ a a operatorilor din setul init¸ial se adaug˘ a contract¸iile nule dintre operatorii de creare ¸si operatorul suplimentar, astfel ˆıncˆ at rezult˘ a: ˆ N Fˆ1 (t1 ) . . . Fˆn (tn ) B(t) ˆ = N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) B(t) +
+
l X
k=1 m X j=1
ˆ1 (t′1 ) · · · Cˆk−1 (t′k−1 ) C ˆk (t′k ) C ˆk+1 (t′k+1 ) · · · C ˆl (t′l ) A ˆm (t′′m ) . . . Aˆ1 (t′′1 ) C(t) ˆ (−1)σπ N C
ˆj (t′′j ) A ˆj−1 (t′′j−1 ) · · · Aˆ1 (t′′1 ) C(t) ˆ ˆ1 (t′1 ) · · · Cˆl (t′l ) A ˆm (t′′m ) . . . Aˆj+1 (t′′j+1 ) A ; (−1)σπ N C
se observ˘ a c˘ a ultimele dou˘ a sume implic˘ a toate contract¸iile posibile ale operatorului suplimentar ˆ ˆ B(t) = C(t) cu tot¸i operatorii produsului normal init¸ial (atˆ at cu operatorii de creare, cˆ at ¸si cu operatorii de anihilare); atunci, se poate elimina restrict¸ia ˆıntre operatorii produsului init¸ial (ca operatori de creare la stˆ anga ¸si operatori de anihilare la dreapta) ¸si se revine la ordonarea init¸ial˘ a a acestor operatori, astfel ˆıncˆ at se absoarbe factorul de semn:
ˆ N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) B(t)
t
ˆ = N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) B(t) +
j=1
ˆ N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆj (tj ) · · · Fˆn (tn ) B(t) ;
se observ˘ a c˘ a rezultatul este identic cu relat¸ia (3.38).
Lema Wick generalizat˘ a Produsul normal al unui set de operatori, care cont¸ine contract¸ii, multiplicat la dreapta cu un operator care are timpul anterior timpilor operatorilor din setul aflat ˆın interiorul produsului normal, este egal cu produsul normal al setului de operatori, cont¸inˆand contract¸iile anterioare, completat la dreapta cu operatorul suplimentar, la care se adaug˘a suma produselor normale ale setului de operatori, care cont¸in de asemenea contract¸iile anterioare ¸si ˆın care operatorul suplimentar este contractat ˆın mod succesiv cu fiecare operator din set care nu fusese inclus ˆıntr-o contract¸ie anterioar˘ a. ˆ N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆk (tk ) · · · Fˆl (tl ) · · · Fˆn (tn ) B(t)
t
ˆ = N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆk (tk ) · · · Fˆl (tl ) · · · Fˆn (tn ) B(t)
+
n X
j=1 (j6=k,l)
ˆ . N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆj (tj ) · · · Fˆk (tk ) · · · Fˆl (tl ) · · · Fˆn (tn ) B(t)
(3.39)
Relat¸ia (3.39) ilustreaz˘ a lema Wick generalizat˘a pentru cazul cel mai simplu, cˆ and produsul normal init¸ial cont¸ine o singur˘a contract¸ie; generalizarea pentru cazul cˆ and produsul normal cont¸ine mai multe contract¸ii este simpl˘a. Demonstrat¸ie: Pentru demonstrarea lemei Wick generalizate argumentele temporale ale operatorilor nu au nici un rol, astfel ˆıncˆ at pentru simplificarea notat¸iei se va omite notarea acestor argumente temporale.
3.1. SISTEMUL DE FERMIONI LIBERI
129
a Se multiplic˘ a egalitatea afirmat˘ a de lema Wick (3.38) cu contract¸ia Fˆk Fˆl , adic˘ ˆ Fˆk Fˆl N Fˆ1 · · · Fˆk−1 Fˆk+1 · · · Fˆl−1 Fˆl+1 · · · Fˆn B t
j
ˆ = Fˆk Fˆl N Fˆ1 · · · Fˆk−1 Fˆk+1 · · · Fˆl−1 Fˆl+1 · · · Fˆn B +Fˆk Fˆl
n X ′
j=1 (j6=k,l
ˆ . N Fˆ1 · · · Fˆj · · · Fˆj−1 Fˆj+1 · · · Fˆl−1 Fˆl+1 · · · Fˆn B
a acestea sunt fie nule, Deoarece contract¸iile operatorilor de cˆ amp Fˆk Fˆl sunt operatori banali (adic˘ fie proport¸ionale cu operatorul unitate) se poate introduce contract¸ia extern˘ a ˆın toate produsele ordonate normal ¸si se permut˘ a operatorii Fˆj ¸si Fˆk ˆın interiorul produsului N pˆ an˘ a la obt¸inerea aranj˘ arii dorite; ˆın fiecare termen se efectueaz˘ a acela¸si num˘ ar de permut˘ ari, astfel ˆıncˆ at se produce acela¸si factor de semn: ˆ (−1)P N Fˆ1 · · · Fˆk · · · Fˆl · · · Fˆn B(t)
t
n X ˆ + ˆ . (−1)P N Fˆ1 · · · Fˆj · · · Fˆk · · · Fˆl · · · Fˆn B = (−1)P N Fˆ1 · · · Fˆk · · · Fˆl · · · Fˆn B j=1 (j6=k,l)
Se simplific˘ a factorul de semn ¸si se obt¸ine egalitatea Wick generalizat˘ a.
Teorema Wick Produsul cronologic al unui set de operatori este egal cu produsul normal al acestui set de operatori la care se adaug˘a suma produselor normale ale setului de operatori care cont¸in toate contract¸iile posibile de operatori: (3.40) T Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) = N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) + CN Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ) ,
unde CN Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ) este suma produselor normale ale setului de operatori cu toate contract¸iile posibile ale operatorilor interiori (se omit argumentale temporale, deoarece sunt f˘ar˘a important¸˘ a pentru ordonarea normal˘a): 1,n X N Fˆ1 · · · Fˆj · · · Fˆl · · · Fˆn CN Fˆ1 , . . . , Fˆn ≡ j,l
+
1,n X 1,n X j,l
k,m (6=j,l)
N Fˆ1 · · · Fˆj · · · Fˆk · · · Fˆl · · · Fˆm · · · Fˆn + · · ·
Demonstrat¸ie: Se consider˘ a init¸ial c˘ a setul de operatori {Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn )} este constituit din p˘ art¸i de creare sau de anihilare ale unor operatori de cˆ amp ¸si se utilizeaz˘ a metoda induct¸iei matematice. Pentru cazul cˆ and sunt n = 2 operatori se utilizeaz˘ a definit¸ia contract¸iei: T Fˆ1 (t1 ) Fˆ2 (t2 ) = N Fˆ1 (t1 ) Fˆ2 (t2 ) + Fˆ1 (t1 ) Fˆ2 (t2 )
= N Fˆ1 (t1 ) Fˆ2 (t2 ) + N Fˆ1 (t1 ) Fˆ2 (t2 ) ,
unde ultima egalitate s-a obt¸inut luˆ and ˆın considerare faptul c˘ a o contract¸ie este un operator banal (adic˘ a este nul sau proport¸ional cu operatorul unitate), astfel ˆıncˆ at se poate include contract¸ia ˆın interiorul operat¸iei de ordonare normal˘ a; ca urmare, s-a obt¸inut rezultatul teoremei Wick pentru cazul n = 2. Se consider˘ a, prin hipotez˘ a c˘ a egalitatea teoremei Wick este valabil˘ a pentru cazul cˆ and sunt n operatori: T Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) = N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) + CN Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn )
130
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA ¸si se efectueaz˘ a operat¸iile corespunz˘ atoare deducerii egalit˘ a¸tii teoremei Wick pentru cazul cˆ and sunt n + 1 operatori. Se alege init¸ial operatorul suplimentar, Fˆn+1 (tn+1 ), cu timpul anterior tuturor timpilor operatoa egalitatea precedent˘ a la dreapta cu rilor din setul init¸ial: tn+1 < tj , (j = 1, n ) ¸si se multiplic˘ operatorul suplimentar: T Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) Fˆn+1 (tn+1 ) tn+1
ˆIn termenul care cont¸ine produsul cronologic operatorul suplimentar se poate include ˆın interiorul operat¸iei de ordonare cronologic˘ a, deoarece acest operator este la dreapta ¸si are timpul cel mai mic: T Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) Fˆn+1 (tn+1 ) = T Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) · Fˆn+1 (tn+1 ) , (tn+1 < tj ) .
ˆIn termenul care cont¸ine produsul normal, operatorul suplimentar se poate include ˆın interiorul operat¸iei de ordonare normal˘ a, conform lemei Wick (3.38): N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) Fˆn+1 (tn+1 ) tn+1
n X = N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) Fˆn+1 (tn+1 ) + N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆj (tj ) · · · Fˆn (tn ) Fˆn+1 (tn+1 ) . j=1
CN Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ) este suma produselor normale ale setului de operatori cu toate contract¸iile posibile ale operatorilor interiori; se consider˘ a un termen din aceast˘ a sum˘ a (s-a ales spre exemplificare cazul cˆ and exist˘ a 2 contract¸ii), multiplicat la dreapta cu operatorul suplimentar, care are timpul mai mic decˆ at timpii tuturor operatorilor din interiorul operat¸iei de ordonare normal˘ a ¸si se aplic˘ a lema Wick generalizat˘ a (3.39): N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆj (tj ) · · · Fˆk (tk ) · · · Fˆl (tl ) · · · Fˆm (tm ) · · · Fˆn (tn ) Fˆn+1 (tn+1 )
tn+1
= N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆj (tj ) · · · Fˆk (tk ) · · · Fˆl (tl ) · · · Fˆm (tm ) · · · Fˆn (tn ) Fˆn+1 (tn+1 ) +
n X ′
N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆj (tj ) · · · Fˆk (tk ) · · · Fˆp (tp ) · · · Fˆl (tl ) · · · Fˆm (tm ) · · · Fˆn (tn ) Fˆn+1 (tn+1 ) ;
p=1 (p6=j,k,l,m)
Se adun˘ a contribut¸ia tuturor termenilor care constituie CN Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ) , conform rezultatului precedent ¸si se obt¸ine: CN Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ) Fˆn+1 (tn+1 ) tn+1
i h – N CN Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ) Fˆn+1 (tn+1 ) este suma termenilor din CN Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ) , ˆın care fiecare termen component este multiplicat la dreapta cu operatorul Fˆn+1 (tn+1 ) ¸si apoi este efectuat˘ a ordonarea normal˘ a; o n n+1 ˆ CN F1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ) , Fˆn+1 (tn+1 ) este suma tuturor termenilor obt¸i– de asemenea, CN a fiecare operator necontractat anterior nut¸i din setul CN Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ) unde se contract˘ cu operatorul suplimentar Fˆn+1 (tn+1 ).
Pe baza rezultatelor anterioare se obt¸ine egalitatea urm˘ atoare: T Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) · Fˆn+1 (tn+1 ) tn+1
n X N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆj (tj ) · · · Fˆn (tn ) Fˆn+1 (tn+1 ) = N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) Fˆn+1 (tn+1 ) + j=1
o i n h n+1 CN Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ) , Fˆn+1 (tn+1 ) . +N CN Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ) Fˆn+1 (tn+1 ) + CN
3.1. SISTEMUL DE FERMIONI LIBERI
131
Se observ˘ a c˘ a ultimii 3 termeni din egalitatea precedent˘ a reprezint˘ a suma produselor normale cu toate contract¸iile posibile efectuate cu operatori ai setului {Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ), Fˆn+1 (tn+1 )} CN Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ), Fˆn+1 (tn+1 ) =
n X j=1
N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆj (tj ) · · · Fˆn (tn ) Fˆn+1 (tn+1 )
i h o n n+1 + N CN Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ) Fˆn+1 (tn+1 ) + CN CN Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ) , Fˆn+1 (tn+1 ) ,
deoarece –
n X j=1
N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆj (tj ) · · · Fˆn (tn ) Fˆn+1 (tn+1 ) cont¸ine tot¸i termenii ˆın care operatorul supli-
mentar Fˆn+1 (tn+1 ) se contract˘ a cu fiecare operator din setul {Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn )}, f˘ ar˘ a s˘ a existe alte contract¸ii; i h a contract¸ii – N CN Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ) Fˆn+1 (tn+1 ) cont¸ine tot¸i termenii ˆın care se efectueaz˘ numai ˆıntre operatori ai setului {Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn )}; o n n+1 CN Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ) , Fˆn+1 (tn+1 ) cont¸ine tot¸i termenii ˆın care operatorii din setul – CN {Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn )} se contract˘ a ˆıntre ei ¸si operatorul suplimentar Fˆn+1 (tn+1 ) este contractat cu operatori din setul anterior care nu fuseser˘ a contractat¸i; atunci, prin adunarea celor 3 contribut¸ii specificate anterior se obt¸ine suma tuturor termenilor care cont¸in toate contract¸iile posibile ale setului de operatori {Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ), Fˆn+1 (tn+1 )}. S-a obt¸inut rezultatul
T Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) · Fˆn+1 (tn+1 )
tn+1
n o = N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) Fˆn+1 (tn+1 ) + CN Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ), Fˆn+1 (tn+1 ) ,
care este egalitatea teoremei lui Wick pentru n + 1 operatori, cu condit¸ia ca operatorul din extrema dreapt˘ a a produsului (ˆın tot¸i termenii) s˘ a aib˘ a timpul mai mic decˆ at timpii celorlalt¸i operatori. Restrict¸ia privind valoarea variabilei temporale a ultimului operator din dreapta se poate ridica prin reordonarea simultan˘ a a operatorilor din tot¸i termenii; ˆın acest caz apare acela¸si factor de semn, care se poate simplifica ulterior. S-a demonstrat teorema Wick pentru cazul cˆ and operatorii considerat¸i sunt p˘ art¸i de creare sau de anihilare ale operatorilor de cˆ amp. Toatu¸si, operat¸iile de ordonare cronologic˘ a, ordonare normal˘ a ¸si contractare sunt toate operat¸ii distributive fat¸˘ a de adunarea operatorial˘ a; ca urmare, teorema Wick este valabil˘ a ˆın cazul mai general cˆ and operatorii considerat¸i {Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn )} sunt operatori de cˆ amp (totali).
Teorema Wick are urm˘atoarea consecint¸˘a foarte important˘ a: media pe starea fundamental˘ a (a sistemului de fermioni liberi) a unui produs cronologic de operatori de cˆ amp ˆın formularea Dirac este egal˘a cu suma tuturor contract¸iilor totale ale operatorilor din setul produsului: hΦ0 | T Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) |Φ0 i = C Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ) hΦ0 |Φ0 i , (3.41)
unde C Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ) este suma tuturor contract¸iilor totale ale setului de operatori din produs. Demonstrat¸ie: Conform teoremei Wick, media pe starea fundamental˘ a a produsului cronologic de operatori este hΦ0 | T Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) |Φ0 i = hΦ0 | N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) |Φ0 i + hΦ0 | CN Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ) |Φ0 i .
Dar media pe starea fundamental˘ a a sistemului fermionic liber a unui produs normal de operatori de cˆ amp este nul, conform relat¸iei (3.25), astfel c˘ a primul termen hΦ0 | N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) |Φ0 i este nul hΦ0 | N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) |Φ0 i = 0 .
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
132
a tipuri de contract¸ii: incomplete ¸si toTermenul al doilea CN Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ) cont¸ine dou˘ tale. Pentru o contract¸ie incomplet˘ a exist˘ a operatori ˆın interiorul produsului normal care nu sunt contractat¸i; de exemplu, se consider˘ a cazul cˆ and exist˘ a 2 contract¸ii ˆıntr-un produs cu n > 2 operatori: hΦ0 | N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆj (tj ) · · · Fˆl (tl ) · · · Fˆk (tk ) · · · Fˆm (tm ) · · · Fˆn (tn ) |Φ0 i = (−1)σ Fj (tj )Fl (tl ) Fk (tk )Fm (tm ) hΦ0 | N Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆp (tp ) · · · Fˆn (tn ) |Φ0 i
p6=j,k,l,m
=0.
Ultima egalitate a ilustrat un produs normal cu 2 contract¸ii, care nu este o contract¸ie total˘ a; deoarece contract¸iile sunt proport¸ionale cu operatorul unitate, atunci valoarea lor (num˘ arul complex) se poate extrage ˆın exteriorul produsului-N, iar ca rezultat r˘ amˆ ane media pe starea fundamental˘ a liber˘ a a unui produs normal de operatori, care este nul. Pentru o contract¸ie total˘ a, tot¸i operatorii sunt perechi de operatori contractat¸i, astfel c˘ a prin extragerea valorilor contract¸iilor r˘ amˆ ane numai operatorul unitate, iar rezultatul medierii produce norma vectorului st˘ arii fundamentale libere: hΦ0 | N Fˆ1 · · · Fˆj · · · Fˆk · · · Fˆl · · · Fˆm · · · Fˆn |Φ0 i = F1 Fj · · · Fk Fl · · · Fm Fn hΦ0 |Φ0 i . Din discut¸ia anterioar˘ a rezult˘ a c˘ a din suma hΦ0 | CN Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ) |Φ0 i sunt nuli tot¸i termenii care nu sunt contract¸ii totale, iar contribut¸ia global˘ a a termenilor contract¸ii totale este hΦ0 | CN Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ) |Φ0 i = C Fˆ1 (t1 ), . . . , Fˆn (tn ) hΦ0 |Φ0 i.
Se observ˘ a c˘ a pentru a fi posibil˘ a o contract¸ie total˘ a nenul˘a este necesar ca num˘arul de operatori de cˆ amp s˘a fie par (n = 2p), astfel ca tot¸i operatorii s˘a poat˘ a forma perechi; mai mult, datorit˘a relat¸iilor (3.34) pentru contract¸iile operatorilor de cˆ amp, este necesar ca produsul de operatori † de cˆ amp s˘a cont¸in˘a un num˘ ar egal de operatori ψˆσI (r, t) ¸si hermiticii conjugat¸i ψˆσI (r, t). Atunci singura situat¸ie care conduce la un rezultat nenul din teorema Wick este de forma hΦ0 | T ψˆ1 · · · ψˆn ψˆ¯1† · · · ψˆn†¯ |Φ0 i = C ψˆ1 · · · ψˆn ψˆ¯1† · · · ψˆn†¯ hΦ0 |Φ0 i X ψ1 ψπ† ¯1 · · · ψn ψπ† n¯ hΦ0 |Φ0 i ; = π
valorile contract¸iilor de forma ψp ψπ† p¯ sunt egale cu funct¸ii Green cauzale libere, conform relat¸iei ψp ψπ† p¯ = i G0 (p, πp¯) . Ca urmare, media pe starea fundamental˘ a a sistemului de fermioni liberi a unui produs constituit dintr-un num˘ ar par de operatori de cˆ amp Dirac, dintre care jum˘atate sunt operatori ψˆσI (r, t), iar cealalt˘ a jum˘ atate sunt operatori hermitic conjugat¸i ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) se exprim˘ a ca o sum˘a de produse de funct¸ii Green libere.
3.2 3.2.1
Funct¸ii Green fermionice Definit¸ii
Se consider˘ a cazul general (fat¸˘ a de sect¸iunea precedent˘a) cˆ and particulele sistemului de fermioni pot avea atˆat interact¸ii mutuale, cˆ at ¸si interact¸ii cu cˆ ampuri externe statice; atunci hamiltonianul sistemului total este ˆ =H ˆ0 + H ˆ1 , H (3.42) ˆ 0 este hamiltonianul sistemului de fermioni liberi, iar H ˆ 1 este hamiltonianul de interact¸ie. unde H Datorit˘ a propriet˘ a¸tilor simple ale sistemului f˘ar˘a interact¸ii, se efectueaz˘a cuantificarea pe st˘ari uni-particul˘ a libere (k, σ); atunci, sunt valabile urm˘atoarele rezultate: – funct¸iile proprii uni-particul˘ a impuls-spin sunt ϕ kσ (r, s); – operatorii elementari pe st˘ ari uni-particul˘a sunt a ˆ kσ ¸si a ˆ†kσ ; P – componenta de spin a operatorului de cˆ amp Schr¨odinger este ψˆσ (r) = u k (r) a ˆkσ , iar ˆın k P formularea Dirac operatorul precedent devine ψˆσI (r, t) = u k (r) a ˆkσI (t) . k
3.2. FUNCT ¸ II GREEN FERMIONICE
133
Ecuat¸iile cu valori proprii ale energiei au urm˘atoarele forme: i. Pentru sistemul liber ˆ 0 |Φα i = E 0 |Φα i , H (3.43a) α aa unde sistemul vectorilor proprii |Φα i α este o baz˘a ˆın spat¸iul Fock FN ; starea fundamental˘ 0 sistemului liber are energia E0 ¸si vectorul de stare (formularea Heisenberg) |Φ0 i. i. Pentru sistemul cu interact¸ii ˆ |Ψα i = Eα |Ψα i , H (3.43b) aa unde sistemul vectorilor proprii |Ψα i α este o baz˘a ˆın spat¸iul Fock FN ; starea fundamental˘ sistemului cu interact¸ii are energia E0 ¸si vectorul de stare (formularea Heisenberg) |Ψ0 i. Conform teoremei Gell-Mann ¸si Low, vectorul |Ψ0 i se poate construi din vectorul |Φ0 i prin aplicarea adiabatic˘a a perturbat¸iei.
Funct¸ii Green uni-particul˘ a 1. Funct¸ia Green uni-particul˘ a cauzal˘ a (numit˘a, de asemenea, propagatorul Feynman) este media pe starea fundamental˘ a a sistemului cu interact¸ii pentru produsul cronologic al operatorilor de cˆ amp ˆın formularea Heisenberg: hΨ0 | T ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i ′ ′ . (3.44) Gσσ′ (r, t; r , t ) ≡ − i hΨ0 |Ψ0 i Se observ˘ a c˘ a funct¸ia Green uni-particul˘a cauzal˘ a are expresii diferite ˆın funct¸ie de relat¸ia dintre argumentele temporale: hΨ0 | ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i ′ ′ ′ − i ≡ G> σσ′ (r, t; r , t ) , pentru t > t hΨ0 |Ψ0 i Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = hΨ0 | ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) ψˆσH (r, t) |Ψ0 i ′ ′ ′ ≡ G< + i σσ′ (r, t; r , t ) , pentru t < t hΨ0 |Ψ0 i ′ ′ ′ ′ ′ < = θ(t − t′ ) G> σσ′ (r, t; r , t ) + θ(t − t) Gσσ′ (r, t; r , t ) .
2. Funct¸iile Green uni-particul˘ a retardat˘ a G(R) ¸si avansat˘ a G(A) se definesc ˆın termeni de anticomutator al operatorilor de cˆ amp: ˆσH (r, t) , ψˆ† ′ (r′ , t′ ) |Ψ0 i hΨ | ψ 0 σ H (R) + , (3.45a) Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) ≡ − i θ(t − t′ ) hΨ0 |Ψ0 i hΨ0 | ψˆσH (r, t) , ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) + |Ψ0 i (A) ′ ′ ′ , (3.45b) Gσσ′ (r, t; r , t ) ≡ + i θ(t − t) hΨ0 |Ψ0 i Se observ˘ a c˘ a funct¸iile Green uni-particul˘a retardat˘ a ¸si avansat˘a se pot exprima cu ajutorul funct¸iilor Green auxiliare G> ¸si G< : (R) ′ ′ ′ ′ < Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = θ(t − t′ ) G> σσ′ (r, t; r , t ) − Gσσ′ (r, t; r , t ) , (A) ′ ′ ′ ′ < Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = − θ(t′ − t) G> σσ′ (r, t; r , t ) − Gσσ′ (r, t; r , t ) . Funct¸ii Green multi-particule Funct¸ia Green bi-particul˘a cauzal˘ a este
′ ′ ′ ′ GII σ1 σ2 ,σ1′ σ2′ (r1 , t1 ; r2 , t2 | r1 , t1 ; r2 , t2 ) hΨ0 | T ψˆσ1 H (r1 , t1 ) ψˆσ2 H (r2 , t2 ) ψˆσ† ′ H (r′2 , t′2 ) ψˆσ† ′ H (r′1 , t′1 ) |Ψ0 i 2 1 ≡ (− i)2 , hΨ0 |Ψ0 i
(3.46)
iar funct¸ia Green n-particul˘ a cauzal˘ a este
Gσn1 ...σn ,σ1′ ...σn′ (r1 , t1 ; . . . ; rn , tn | r′1 , t′1 ; . . . ; r′n , t′n ) hΨ0 | T ψˆσ1 H (r1 , t1 ) · · · ψˆσn H (rn , tn ) ψˆσ† n′ H (r′n , t′n ) · · · ψˆσ† ′ H (r′1 , t′1 ) |Ψ0 i n 1 (3.47) ≡ (− i) hΨ0 |Ψ0 i
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
134
Se observ˘ a ordon˘arile operatorilor de cˆ amp ˆın definit¸iile funct¸iilor Green multi-particule. Majoritatea propriet˘ a¸tilor fizice ale sistemului se obt¸in cu ajutorul funct¸iilor Green uni-particul˘a, iar pe de alt˘ a parte, funct¸iile Green multi-particule au propriet˘ a¸ti complicate; ca urmare, se vor prezenta numai propriet˘ a¸tile importante ale funct¸iilor Green uni-particul˘a.
3.2.2
Propriet˘ a¸ti generale ale funct¸iilor Green uni-particul˘ a
A. Propriet˘ a¸ti de simetrie Teorema 1 (simetria la translat¸ii temporale) Dac˘ a hamiltonianul sistemului este atemporal, atunci funct¸iile Green uni-particul˘a depind de argumentele temporale numai prin diferent¸a lor: ˆ = indep.(t) =⇒ G(γ)′ (r, t; r′ , t′ ) = G(γ)′ (r, t − t′ ; r′ , 0) ≡ G(γ)′ (r, r′ ; t − t′ ) , (γ = x, R, A) . H σσ σσ σσ (3.48) Demonstrat¸ie: Cˆ and hamiltonianul sistemului este atemporal, conform relat¸iei (2.143), operatorul de cˆ amp ˆın i i ˆ ˆ a parte vectorul formularea Heisenberg are expresia ψˆσH (r, t) = e ~ tH ψˆσ (r) e− ~ tH ; pe de alt˘ st˘ arii fundamentale a sistemului este un vector propriu al hamiltonianului, conform ecuat¸iei (3.43b): ˆ |Ψ0 i = E0 |Ψ0 i. Atunci, ˆın componenta G> a funct¸iilor Green se poate explicita dependent¸a H temporal˘ a: ′ ′ ′ ′ ˆ ˆ† hΨ0 |Ψ0 i iG> σσ ′ (r, t; r , t ) = hΨ0 | ψσH (r, t) ψσ ′ H (r , t ) |Ψ0 i
i ′ ˆ i i ′ ˆ i ˆ ˆ = hΨ0 | e ~ tH ψˆσ (r) |e− ~ tH{ze ~ t H} ψˆσ† ′ (r′ ) e− ~ t H |Ψ0 i | | {z } {z } i (t−t′ )H ˆ =e ~
i
E t = e ~ 0 hΨ0 |
=e
i E (t−t′ ) ~ 0
i (t−t′ )H ˆ −~
hΨ0 | ψˆσ (r) e
− i E0 t′ ~ |Ψ0 i
=e
ψˆσ† ′ (r′ ) |Ψ0 i .
ˆIn mod similar se procedeaz˘ a cu cealalt˘ a component˘ a a funct¸iilor Green G< : ′ ′ ′ ′ ˆ ˆ† hΨ0 |Ψ0 i (−i)G< σσ ′ (r, t; r , t ) = hΨ0 | ψσ ′ H (r , t ) ψσH (r, t) |Ψ0 i
′ ′ ˆ i i = e− ~ E0 (t−t ) hΨ0 | ψˆσ† ′ (r′ ) e ~ (t−t )H ψˆσ (r) |Ψ0 i .
Se observ˘ a c˘ a ambele componente au dependent¸a temporal˘ a de tipul t − t′ , iar funct¸iile Green (cauzal˘ a, retardat˘ a ¸si avansat˘ a) sunt exprimate prin funct¸iile G> ¸si G< multiplicate cu funct¸ii ′ ′ Heaviside θ(t − t ) sau θ(t − t); atunci cele 3 funct¸ii Green uni-particul˘ a depind numai de diferent¸a timpilor t − t′ .
Teorema 2 (simetria la translat¸ii spat¸iale) Dac˘ a sistemul este omogen, atunci funct¸iile Green uni-particul˘a depind de argumentele spat¸iale numai prin diferent¸a lor: (γ)
(γ)
(γ)
Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = Gσσ′ (r − r′ , t; 0, t′ ) ≡ Gσσ′ (r − r′ ; t, t′ ) , (γ = c, R, A) .
(3.49)
Demonstrat¸ie: Un sistem omogen are acelea¸si propriet˘ a¸ti ˆın orice punct, astfel c˘ a propriet˘ a¸tile sistemului sunt invariante la operat¸ii de translat¸ie spat¸ial˘ a; deoarece generatorul translat¸iilor spat¸iale este impulsul total al a c˘ a hamiltonianul ¸si impulsul total sunt operatori comutabili: sistemului, atunci rezult˘ ˆIn cazul cˆ ˆ ¸si P ˆ comut˘ ˆ P ˆ ˆ = 0. a nd operatorii H a, atunci ei au un sistem comun de vectori H, − proprii, notat |Ψα i , iar ecuat¸iile cu valori proprii corespunz˘ atoare sunt: ˆ |Ψα i = Eα |Ψα i , H ˆ |Ψα i = P α |Ψα i ; P
ˆın starea fundamental˘ a |Ψ0 i valoarea proprie a energiei sistemului este E0 , iar impulsul total al sistemului are valoarea proprie nul˘ a P 0 = 0. Utilizˆ and proprietatea impulsului total de a fi generatorul translat¸iilor spat¸iale, se poate ar˘ ata c˘ a operatorul de cˆ amp ˆın punctul r se obt¸ine din operatorul de cˆ amp ˆın originea sistemului de axe 0 prin transformarea unitar˘ a i i ˆ ˆ ψˆσ (r) = e− ~ r·P ψˆσ (0) e ~ r·P .
3.2. FUNCT ¸ II GREEN FERMIONICE
135
Justificarea relat¸iei precedente se poate face prin utilizarea identit˘ a¸tii operatoriale Baker-CampbellHausdorff (numit˘ a, de asemenea lema Hadamard) h i ˆ ˆ eAˆ = B ˆ + [B, ˆ A] ˆ + 1 [B, ˆ A], ˆ A ˆ ...A ˆ +··· ˆ A], ˆ A ˆ + 1 [[B, ˆ A], ˆ A], ˆ A ˆ + · · · + 1 ... [B, e−A B 2 3! n! {z } | n
a c˘ arei demonstrat¸ie este prezentat˘ a ˆın Anexa A.1, pentru formula (A.13).
ˆ ¸si ˆ= i r·P Prin aplicarea identit˘ a¸tii Baker-Campbell-Hausdorff la cazul studiat, adic˘ a pentru A ~ ˆ = ψˆσ (0), se obt¸ine: B h i i i ˆ ˆ i ˆ + 1 ψˆσ (0) , i r · P ˆ , i r·P ˆ + ··· e− ~ r·P ψˆσ (0) e ~ r·P = ψˆσ (0) + ψˆσ (0) , r · P ~ 2 ~ ~
Pe de alt˘ a parte, comutatorul operatorului de cˆ amp cu operatorul impuls total a fost calculat anterior, vezi formula (2.111a), 11 astfel c˘ a se obt¸in ˆın mod succesiv urm˘ atoarele rezultate pentru comutatorii din identitatea Baker-Campbell-Hausdorff i ˆ = r · ∇′ ψˆσ (r′ ) ψˆσ (0) , r · P , ~ r′ =0 i h i h i ˆ , i r·P ˆ = r · ∇′ ψˆσ (r′ ) , i r · P ˆ = (r · ∇′ )2 ψˆσ (r′ ) , ψˆσ (0) , r · P ′ ~ ~ ~ r =0 r′ =0 .. . atunci, seria Baker-Campbell-Hausdorff pentru cazul prezent devine dezvoltarea ˆın serie Taylor pentru operatorul de cˆ amp i i ˆ ˆ 1 + (r · ∇′ )2 ψˆσ (r′ ) + · · · = ψˆσ (r) , e− ~ r·P ψˆσ (0) e ~ r·P = ψˆσ (0) + r · ∇′ ψˆσ (r′ ) 2 r′ =0 r′ =0
astfel c˘ a s-a justificat formula de leg˘ atur˘ a ˆıntre operatorul de cˆ amp ˆın punctul r se obt¸ine din operatorul de cˆ amp ˆın originea sistemului de axe 0. Cu ajutorul formulei anterioare, se poate explicita dependent¸a de variabilele spat¸iale ale componentei G> , ˆın mod similar cu operat¸iile efectuate pentru teorema precedent˘ a: ′ ′ ′ ′ ˆ ˆ† hΨ0 |Ψ0 i iG> σσ ′ (r, t; r , t ) = hΨ0 | ψσH (r, t) ψσ ′ H (r , t ) |Ψ0 i i
ˆ
i
ˆ
i
′ ˆ
i
′ ˆ
= hΨ0 | e ~ tH ψˆσ (r) e− ~ tH e ~ t H ψˆσ† ′ (r′ ) e− ~ t H |Ψ0 i
i i i i ′ ˆ i ′ ˆ i ′ ˆ i i ′ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = hΨ0 | e ~ tH e− ~ r·P ψˆσ (0) e ~ r·P e− ~ tH e ~ t H e− ~ r ·P ψˆσ† ′ (0) e ~ r ·P e− ~ t H |Ψ0 i
i i i i i ′ ˆ i ′ ˆ i ′ ˆ i ′ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = hΨ0 | e− ~ r·P e ~ tH ψˆσ (0) e− ~ tH e ~ r·P e− ~ r ·P e ~ t H ψˆσ† ′ (0) e− ~ t H e ~ r ·P |Ψ0 i
i i i ′ ˆ i ′ ˆ ˆ ˆ = hΨ0 | e− ~ r·P ψˆσH (0, t) e ~ r·P e− ~ r ·P ψˆσ† ′ H (0, t′ ) e ~ r ·P |Ψ0 i ;
11 Conform
relat¸iilor generale (2.92) ¸si (2.94), un operator 1-particul˘ a independent de spin se exprim˘ a ˆın forma Z Z X X ˆ ˆ † † ′ ˆ ˆ = d3 r ψˆσ (r) Aˆr ψˆσ (r) = d3 r lim Aˆr ψˆσ (r ) ψσ (r) , A σ
σ
r′ →r
astfel ˆıncˆ at operatorul, impuls total al sistemului, definit prin formula (2.97b), devine Z X ~ ′ ˆ† ′′ ˆ ˆ = d3 r′ P lim ∇ ψσ ′ (r ) ψσ ′ (r′ ) . r′′ →r′ i ′ σ
Se utilizeaz˘ a formula (2.108), ˆın varianta fermionic˘ a, ¸si se transform˘ a comutatorul unui operator cu un produs de alt¸i 2 operatori ˆın anti-comutatori: ˆ, C ˆ ˆ−B ˆ A ˆ, B ˆ ˆ, B ˆC ˆ . C A = A +
−
+
Pe baza rezultatelor precedente se obt¸ine
i ψˆσ (r) , r · Pˆ − = ~
Z
d3 r′
X σ′
† ′′ ˆ ′ lim r · ∇′ ψˆσ (0) , ψˆσ ′ (r ) ψσ ′ (r ) − ;
r′′ →r′
† 3 ′′ ˆ ′ ′′ ˆ ′ comutatorul din expresia anterioar˘ a se reduce la forma: ψˆσ (0) , ψˆσ ′ (r ) ψσ ′ (r ) − = δσ,σ ′ δ (r ) ψσ ′ (r ) astfel ˆıncˆ at comutatorul anterior devine: Z Z i ψˆσ (r) , r · Pˆ − = r · d3 r′ lim ∇′ δ3 (r′ ) ψˆσ (r′ ) = r · d3 r′ δ3 (r′ ) ∇′ ψˆσ (r′ ) = r · ∇′ ψˆσ (r′ ) ′ . r =0 r′′ →r′ ~
136
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA penultima egalitate s-a obt¸inut prin comutarea exponent¸ialelor dependente de hamiltonian cu cele dependente de impulsul total, iar pentru ultima egalitate s-a aplicat definit¸ia operatorilor Heisenberg. ˆIn continuare se consider˘ a act¸iunile operatorilor impuls, astfel c˘ a rezult˘ a i
ˆ
i
ˆ
′ ˆ
i
′ ˆ
i
′ ′ − ~ r·P ˆ e− ~ r ·P} ψˆσ† ′ H (0, t′ ) e ~ r ·P |Ψ0 i hΨ0 |Ψ0 i iG> ψσH (0, t) |e ~ r·P {z σσ ′ (r, t; r , t ) = hΨ0 | e | | {z } {z } i (r−r′ )·P ˆ =e ~
= hΨ0 |
= hΨ0 | ψˆσH (0, t) e
i
′ ˆ
i (r−r′ )·P ˆ ~
′
i
=|Ψ0 i
ψˆσ† ′ H (0, t′ ) |Ψ0 i
;
ˆ
i
i
se observ˘ a c˘ a e ~ r ·P |Ψ0 i = e ~ r ·P0 |Ψ0 i = |Ψ0 i ¸si la fel hΨ0 | e− ~ r·P = e− ~ r·P0 hΨ0 | = hΨ0 |, deoarece P0 = 0. ˆIn mod similar se procedeaz˘ a cu cealalt˘ a component˘ a a funct¸iilor Green G< : ′ ′ ′ ′ ˆ ˆ† hΨ0 |Ψ0 i (−i)G< σσ ′ (r, t; r , t ) = hΨ0 | ψσ ′ H (r , t ) ψσH (r, t) |Ψ0 i i
′
= hΨ0 | ψˆσ† ′ H (0, t′ ) e− ~ (r−r
ˆ )·P
ψˆσH (0, t) |Ψ0 i .
Se observ˘ a c˘ a ambele componente au dependent¸a spat¸ial˘ a de tipul r − r′ , iar funct¸iile Green (cauzal˘ a, retardat˘ a ¸si avansat˘ a) sunt exprimate prin funct¸iile G> ¸si G< multiplicate cu funct¸ii Heaviside θ(t − t′ ) sau θ(t′ − t); atunci cele 3 funct¸ii Green uni-particul˘ a depind numai de diferent¸a vectorilor de pozit¸ie r − r′ .
Teorema 3 (dezvoltare Fourier) Dac˘ a hamiltonianul este atemporal ¸si sistemul este omogen, atunci funct¸iile Green uni-particul˘a depind numai de diferent¸ele variabilelor spat¸io-temporale: (γ)
(γ)
(γ)
Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = Gσσ′ (r − r′ , t − t′ ; 0, 0) ≡ Gσσ′ (r − r′ , t − t′ ) , (γ = c, R, A) ;
(3.50)
ˆın consecint¸˘ a, funct¸iile Green uni-particul˘a sunt dezvoltabile Fourier spat¸io-temporal ˆın mod simplu: Z 1 X ∞ dω i( k·r−ωt) e(γ) (γ) (3.51a) e Gσσ′ (k, ω) , Gσσ′ (r; t) = V −∞ 2π k Z Z ∞ d3 k dω i( k·r−ωt) e(γ) = e Gσσ′ (k, ω) , (γ = c, R, A) , LT R3 (2π)3 −∞ 2π iar transformarea invers˘a este e(γ)′ (k, ω) = G σσ
Z
Z d3 r
∞
−∞
(γ)
dt e−i( k·r−ωt) Gσσ′ (r, t) , (γ = c, R, A) ,
(3.51b)
unde integrarea spat¸ial˘a se face ˆın volumul V , iar la limita termodinamic˘ a (LT) se extinde la ˆıntregul spat¸iu (V → ∞). Aceast˘a teorem˘a este consecint¸a celor dou˘a teoreme anterioare, astfel c˘ a nu sunt necesare justific˘ari suplimentare. Observat¸ii asupra transform˘ arilor Fourier 1) Pentru sistemul de fermioni cu spinul s = 21 , fiecare funct¸ie Green uni-particul˘a (cauzal˘a, retardat˘ a sau avansat˘ a) este o matrice de ordinul 2 ˆın raport cu indicii de spin, iar transformatele lor Fourier au aceea¸si proprietate: h i h i (γ) e (γ) (k, ω) = G(γ)′ (k, ω) G(γ) (r, t) = Gσσ′ (r, t) =⇒ G , (γ = c, R, A) . σσ σ,σ′ =±1
σ,σ′ =±1
Conform teoremei Pauli, un sistem complet ˆın spat¸iul matricilor de ordinul 2 este setul format dim matricea identitate (ˇI2 ) ¸si matricile Pauli σ ˇ (x) , σ ˇ (y) , σ ˇ (z) : 0 1 0 −i 1 0 ˇI2 = 1 0 , σ ˇ (x) = , σ ˇ (y) = , σ ˇ (z) = ; 0 1 1 0 i 0 0 −1
3.2. FUNCT ¸ II GREEN FERMIONICE
137
Pe baza propriet˘ a¸tii matricilor Pauli, matricile transformatelor Fourier ale funct¸iilor Green uniparticul˘ a se exprim˘ a astfel: X (γ) e (γ) (k, ω) = a(γ) (k, ω) ˇI2 + G ˇ (α) b(α) (k, ω) σ α=x,y,z
≡a
(γ)
ˇ , (γ = c, R, A) . (k, ω) ˇI2 + b(γ) (k, ω) · σ
Cazuri particulare: • Dac˘ a sistemul este izotrop, atunci hamiltonianul sistemului este invariant la rotat¸ii ¸si ˆın consecint¸˘ a funct¸ile Green ¸si transformatele lor Fourier sunt scalari, sau pseudo-scalari; ca urmare, transformatele Fourier ale funct¸iilor Green sunt de forma: e (γ) (k, ω) = A(γ) (|k|, ω) ˇI2 + B (γ) (|k|, ω) k · σ ˇ , (γ = c, R, A) , G (α)
ˇ este singura combinatit¸ie scalar˘a (sau pseudo-scalar˘a) pe care deoarece produsul scalar k· σ o poate realiza setul matricilor Pauli considerate ca o matrice vectorial˘a. • Dac˘ a sistemul este izotrop ¸si invariant la reflexii spat¸iale, atunci funct¸iile Green uniparticul˘ a ¸si transformatele lor Fourier sunt m˘arimi scalare, deoarece acestea ar trebui s˘a fie ˇ este un pseudo-scalar, atunci este invariante atˆat la rotat¸ii cˆ at ¸si la reflexii. Deoarece k · σ (γ) necesar ca B(α) (|k|, ω) = 0 ¸si astfel transformatele Fourier ale funct¸iilor Green uni-particul˘a se reduc la forma e (γ) (k, ω) = A(γ) (|k|, ω) ˇI2 , (γ = c, R, A) , G adic˘a matricile sunt diagonale fat¸˘a de indici de spin: (γ)
Gσσ′ (r, t) = δσσ′ G(γ) σ (r, t)
=⇒
e σ(γ) (k, ω) , (γ = c, R, A) ; (3.52a) e (γ)′ (k, ω) = δσσ′ G G σσ
ˆın acest caz se utilizeaz˘ a funct¸ii Green scalare, obt¸inute prin sumarea elementelor diagonale: G(γ) (r, t) =
1 X (γ) G (r, t) 2 σ=±1 σ
=⇒
X e(γ) (k, ω) , (γ = c, R, A) . e (γ) (k, ω) = 1 G G 2 σ=±1 σ
(3.52b)
• Rezultatul precedent este de asemenea valabil pentru un sistem conservativ, omogen, izotrop, cu simetrie la reflexii spat¸iale, care este constituit din particule fermionice cu spinul s; ˆın acest caz funct¸iile Green uni-particul˘a ¸si transformatele lor Fourier sunt diagonale ˆın indicii de spin, astfel ˆıncˆ at se utilizeaz˘a transformatele Fourier ale funct¸iilor Green scalare, definite prin sumarea elementelor diagonale: G(γ) (r, t) =
s X 1 G(γ) (r, t) 2s + 1 σ=−s σσ
=⇒
e(γ) (k, ω) = G
s X 1 e (γ) (k, ω) , (γ = c, R, A) . G 2s + 1 σ=−s σσ
2) Exprimarea funct¸iilor Greeen ˆın termeni de operatori elementari (cazul sistemului omogen). Dac˘ a se consider˘ a c˘ a sistemul este omogen, f˘ar˘a s˘a se ia ˆın considerare eventuala independent¸˘a temporal˘ a a hamiltonianului, atunci conform Teoremei 2 funct¸iile Green depind de diferent¸a (c,R,A) (r − r′ ; t, t′ ); ca urmare, se poate efectua transformarea vectorilor de pozit¸ie ¸si de timpi: Gσσ′ Fourier simpl˘a spat¸ial˘a (se consider˘ a cazul sistemului ˆın volumul V finit): 12 (γ)
Gσσ′ (r − r′ ; t, t′ ) =
1 X ik·(r−r′ ) (γ) e Gσσ′ (k; t, t′ ) , (γ = c, R, A) . V k
12 Se observ˘ a c˘ a ˆın acest caz funct¸iile Green uni-particul˘ a depind ˆın mod separat de cele dou˘ a variabile temporale, astfel ˆıncˆ at pentru transformarea Fourier temporal˘ a este necesar s˘ a se considere o transformare Fourier dubl˘ a (pentru fiecare variabil˘ a temporal˘ a ˆın mod separat).
138
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Pe de alt˘ a parte, componentele de spin ale operatorilor de cˆ amp ˆın formularea Heisenberg sunt definite ˆın termeni de operatori elementari prin relat¸iile generale (2.143), care ˆın cazul fermionic devin X 1 X ik·r e a ˆ kσH (t) ; ψˆσH (r, t) = u k (r) a ˆ kσH (t) = √ V k k se observ˘ a c˘ a operatorul elementar a ˆ kσH (t) poate fi considerat componenta spat¸ial˘a Fourier a operatorului de cˆ amp ψˆσH (r, t). Prin utilizarea descompunerii operatorilor de cˆ amp ˆın operatori elementari se obt¸ine o dezvoltare Fourier spat¸ial˘a dubl˘ a a funct¸iei Green uni-particul˘a cauzal˘ a: hΨ0 | T ψˆσH (r, t) · ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i Gσσ′ (r, t; r , t ) = − i hΨ0 |Ψ0 i X X hΨ0 | T a ˆ kσH (t) · a ˆ†k′ σ′ H (t′ ) |Ψ0 i ′ ′ 1 ; e i(k·r−k ·r ) (−i) = V hΨ0 |Ψ0 i ′ ′
′
k
k
se observ˘ a c˘ a operat¸ia de ordonare cronologic˘ a este liniar˘a, astfel ˆıncˆ at s-au putut extrage sumele ¸si exponent¸ialele Fourier ˆın exteriorul operatorului T. Deoarece s-a considerat c˘ a sistemul este omogen, atunci funct¸ia Green are o dezvoltare Fourier spat¸ial˘a simpl˘a, a¸sa cum s-a ar˘ atat anterior; ˆın aceste condit¸ii, pentru a compara expresia aceleia¸si funct¸ii Green ˆın termeni de operatori elementari, scris˘a ca transformat˘a Fourier spat¸ial˘a dubl˘ a, se va scrie ˆın mod formal transformata Fourier dublu-spat¸ial˘a pentru funct¸ia Green: Gσσ′ (r − r′ ; t, t′ ) =
1 X ik·(r−r′ ) e Gσσ′ (k; t, t′ ) V k
=
′ 1 XX δ k,k′ e ik·(r−r ) Gσσ′ (k; t, t′ ) . V ′
k
k
Atunci, dac˘ a se compar˘a expresiile precedente ale funct¸iei Green pentru sistemul omogen (ca transform˘ ari Fourier dublu-spat¸iale), se obt¸ine hΨ0 | T a ˆ kσH (t) · a ˆ†k′ σ′ H (t′ ) |Ψ0 i = δ k,k′ Gσσ′ (k; t, t′ ) ; (−i) hΨ0 |Ψ0 i prin urmare, rezult˘a expresia transformatei Fourier spat¸iale a funct¸iei Green ˆın termeni de operatori elementari: hΨ0 | T a ˆ kσH (t) · a ˆ†kσ′ H (t′ ) |Ψ0 i ′ Gσσ′ (k; t, t ) = (−i) . (3.53) hΨ0 |Ψ0 i ˆIn cazul cˆ and sistemul este omogen ¸si ˆın plus are hamiltonianul independent de timp ¸si este izotrop, atunci funct¸ia Green depinde de diferent¸a variabilelor temporale ¸si este diagonal˘ a ˆın indici de spini; ca urmare, funct¸ia Green sclar˘a are urm˘atoarea dezvoltare Fourier spat¸ial˘a: s X 1 X ik·r 1 Gσσ (r, t) = e G(r, t) ≡ G(k, t) , 2s + 1 σ=−s V
(3.54a)
k
s s X X hΨ0 | T a ˆ kσH (t) · a ˆ†kσH (0) |Ψ0 i 1 1 . (−i) G(k, t) = Gσσ (k, t) = 2s + 1 σ=−s 2s + 1 σ=−s hΨ0 |Ψ0 i
(3.54b)
Rezultate similare se obt¸in pentru transformatele Fourier spat¸iale ale funct¸iilor Green retardat˘ a ¸si avansat˘ a. B. Reprezentarea Lehmann ¸si propriet˘ a¸ti analitice 1. Formularea problemei Reprezentarea Lehmann este o exprimare formal˘a a funct¸iilor Green, ˆın termeni de m˘arimi ale st˘arilor proprii ale sistemului; aceste m˘arimi proprii nu se pot determina ˆın mod explicit, dar expresiile obt¸inute permit deducerea unor propriet˘ a¸ti generale importante ale funct¸iilor Green.
3.2. FUNCT ¸ II GREEN FERMIONICE
139
Se consider˘ a cazul cˆ and sistemul, constituit din N fermioni cu interact¸ii mutuale, este conservativ (hamiltonianul este atemporal ¸si omogen; ca urmare hamiltonianul sistemului este inˆ, variant la translat¸ii temporale ¸si spat¸iale.13 ˆIn aceste condit¸ii operatorii num˘ar de particule N ˆ ˆ hamiltonian H ¸si impuls total P sunt observabile compatibile (adic˘a operatorii respectivi sunt ˆ au un sistem comun de vectori proprii, ˆ , H, ˆ P} comutabili); atunci setul acestor operatori {N notat {|N, αi}. Ecuat¸iile cu valori proprii pentru operatorii setului specificat anterior sunt: ˆ |N, αi = N |N, αi , N ˆ |N, αi = E (N ) |N, αi , H α
) ˆ |N, αi = P(N P |N, αi . α
Setul vectorilor proprii comuni {|N, αi} este o baz˘a ˆın spat¸iul Fock, conform relat¸iilor de ortonormare ¸si completitudine (scrise ˆın mod formal): h N, α |N ′ , α′ i = δN,N ′ δ(α, α′ ) ,
Z) (N ∞ X X
N =0 α
|N, αihN, α| = ˆ1 .
Starea fundamental˘ a a sistemului este |Ψ0 i = |N, 0i, iar valorile proprii corespunz˘ atoare ale (N ) energiei ¸si impulsului sunt (E0 , P0 = 0). 2. Dezvoltarea formal˘ a a funct¸iilor Green ˆın baza proprie Cele 3 funct¸ii Green uni-particul˘ a au urm˘atoarele expresii hΨ0 | ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i hΨ0 |Ψ0 i † hΨ0 | ψˆσ′ H (r′ , t′ ) ψˆσH (r, t) |Ψ0 i , + i θ(t′ − t) hΨ0 |Ψ0 i hΨ0 | ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i (R) Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = − i θ(t − t′ ) hΨ0 |Ψ0 i † hΨ0 | ψˆσ′ H (r′ , t′ ) ψˆσH (r, t) |Ψ0 i − i θ(t − t′ ) , hΨ0 |Ψ0 i hΨ0 | ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i (A) Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = + i θ(t′ − t) hΨ0 |Ψ0 i † hΨ0 | ψˆσ′ H (r′ , t′ ) ψˆσH (r, t) |Ψ0 i + i θ(t′ − t) . hΨ0 |Ψ0 i Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = − i θ(t − t′ )
Se observ˘ a c˘ a cele 3 funct¸ii Green pot fi exprimate simultan cu urm˘atoarea notat¸ie comun˘ a: (γ)
hΨ0 | ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i hΨ0 |Ψ0 i † ˆ hΨ0 | ψσ′ H (r′ , t′ ) ψˆσH (r, t) |Ψ0 i , θ[λγ(−) (t − t′ )] hΨ0 |Ψ0 i
′ θ[λ(+) Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = − i λ(+) γ γ (t − t )]
− i λγ(−) (+)
unde γ = c, R, A ¸si coeficient¸ii λγ (+)
(−)
¸si λγ
au pentru cele 3 funct¸ii Green urm˘atoarele valori:
(−)
λc = +1 , λc = −1 , pentru funct¸ia Green cauzal˘ a, (−) (+) a, λR = +1 , λR = +1 , pentru funct¸ia Green retardat˘ (+) (−) λA = −1 , λA = −1 . pentru funct¸ia Green avansat˘a . 13 Este posibil s˘ a se deduc˘ a reprezentarea Lehmann ˆın condit¸ii mai generale, cˆ and sistemul este neomogen, dar conservativ (sau chiar neconservativ).
140
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Pentru a efectua dezvoltarea formal˘a a celor dou˘a medii pe starea fundamental˘ a se exprim˘ a operatorii de cˆ amp Heisenberg prin operatori Schr¨odinger localizat¸i ˆın originea axelor de coordonate: i i i i i i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ψˆσH (r, t) = e ~ tH ψˆσ (r) e− ~ tH = e ~ tH e− ~ r·P ψˆσ (0) e ~ r·P e− ~ tH , i ′ ˆ i ′ ˆ i ′ ˆ i ′ ˆ i ′ ˆ i ′ ˆ ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) = e ~ t H ψˆσ† ′ (r′ ) e− ~ t H = e ~ t H e− ~ r ·P ψˆσ† ′ (0) e ~ r ·P e− ~ t H ;
ˆ atunci, prin substituirea operatorilor de cˆ amp ¸si ¸tinˆand cont de comutativitatea operatorilor H ˆ pe de o parte, iar pe de alt˘ cu P a parte luˆand ˆın considerare act¸iunile acestor operatori asupra vectorului st˘ arii fundamentale, primul element de matrice devine: hΨ0 | ψˆσH (r, t) · ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i
i ′ ˆ i i i i ′ ˆ i ′ ˆ i ′ ˆ i ˆ ˆ ˆ ˆ = hN, 0| e ~ tH e− ~ r·P ψˆσ (0) e| ~ r·P e− ~ tH ·{ze ~ t H e− ~ r ·P} ψˆσ† ′ (0) e ~ r ·P e− ~ t H |N, 0i | {z } | {z }
=e
=e
i E (N ) t ~ 0 hN,0|
(N ) i (t−t′ ) ~ E0
=e
hN, 0| ψˆσ (0) e
i [(r−r′ )·P−(t−t ′ )H] ˆ ˆ ~
ˆ ˆ [(r−r )·P−(t−t )H] ′
i ~
′
i
(N ) ′ t
= e − ~ E0
|N,0i
ψˆσ† ′ (0) |N, 0i ;
pentru ultima egalitate s-au utilizat urm˘atoarele rezultate: (N ) (N ) i i i i i ˆ ˆ hN, 0| e ~ tH e− ~ r·P = e ~ E0 t e− ~ r·P0 hN, 0| = e ~ E0 t hN, 0| ¸si la fel (N ) ′ (N ) ′ i i ′ ˆ i ′ ˆ i ′ i e ~ r ·P e− ~ t H |N, 0i = e ~ r ·P0 e− ~ E0 t |N, 0i = e− ~ E0 t |N, 0i, deoarece P0 = 0. ˆIn continuare se introduce relat¸ia de completitudine a setului de vectori proprii ¸si apoi se efectueaz˘ a act¸iunile operatorilor hamiltonian ¸si impuls total asupra acestor vectori, astfel ˆıncˆ at rezult˘a: hΨ0 | ψˆσH (r, t) · ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i i
(N )
= e ~ E0
(t−t′ )
Z) ∞ (N X X ′
=
i
′ ˆ ′ ˆ i hN, 0| ψˆσ (0) e ~ [(r−r )·P−(t−t )H] ψˆσ† ′ (0) |N, 0i (N )
e ~ E0
(t−t′ )
N ′ =0 α
Z) ∞ (N X X
i
′
ˆ
′
ˆ
hN, 0| ψˆσ (0) e ~ [(r−r )·P−(t−t )H] |N ′ , αihN ′ , α|ψˆσ† ′ (0) |N, 0i
′
=
N ′ =0 α
i
′
(N ′ )
e ~ [Pα ·(r−r )−(Eα
(N )
−E0
)(t−t′ )]
hN, 0| ψˆσ (0)|N ′ , αihN ′ , α|ψˆσ† ′ (0) |N, 0i ;
se observ˘ a c˘ a ambele elemente de matrice sunt nenule numai cˆ and N ′ = N +1, deoarece operatorul ′ ˆ ψσ (0) act¸ionˆ and asupra vectorului N -particule ˆıl transform˘a ˆıntr-un vector (N ′ −1)-particule, iar operatorul ψˆσ† ′ (0) act¸ionˆ and asupra vectorului N -particule ˆıl transform˘a ˆıntr-un vector (N + 1)particule: hN, 0| ψˆσ (0) |N ′ , αi = δN ′ ,N +1 hN, 0| ψˆσ (0) |N + 1, αi , hN ′ , α| ψˆσ† ′ (0) |N, 0i = δN ′ ,N +1 hN + 1, α| ψˆσ† ′ (0) |N, 0i . ˆIn consecint¸˘ a, se reduce sumarea dup˘a numerele de particule la valoarea N ′ = N + 1 ¸si se obt¸ine urm˘atoarea expresie a primului element de matrice hΨ0 | ψˆσH (r, t) · ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i (NZ+1) X i (N ) ′ (N +1) −E0 )(t−t′ )] hN, 0| ψˆσ (0)|N + 1, αihN + 1, α|ψˆσ† ′ (0) |N, 0i . = e ~ [Pα ·(r−r )−(Eα α
Al doilea element de matrice se obt¸ine ˆın mod similar, astfel c˘ a se va prezenta direct rezultatul f˘ar˘a deducere: hΨ0 | ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) ψˆσH (r, t) |Ψ0 i Z ′) ∞ (N X X (N ) ′ (N ′ ) ′ i e ~ [Pα ·(r −r)−(Eα −E0 )(t −t)] hN, 0| ψˆσ† ′ (0)|N ′ , αihN ′ , α|ψˆσ (0) |N, 0i ; = N ′ =0 α
3.2. FUNCT ¸ II GREEN FERMIONICE
141
ˆın acest caz elementele de matrice hN, 0| ψˆσ† ′ (0)|N ′ , αi ¸si hN ′ , α|ψˆσ (0) |N, 0i sunt nenule numai cˆ and N ′ = N − 1, astfel c˘ a rezultatul final este urm˘atorul: hΨ0 | ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) ψˆσH (r, t) |Ψ0 i (NZ−1) X (N ) ′ (N −1) i −E0 )(t−t′ )] = e− ~ [Pα ·(r−r )−(Eα hN, 0| ψˆσ† ′ (0)|N − 1, αihN − 1, α|ψˆσ (0) |N, 0i . α
Adunˆand cele dou˘a rezultate pentru elementele de matrice, se obt¸ine expresia dezvolt˘ arii formale pentru cele 3 funct¸ii Green uni-particul˘a (γ = c, R, A): (γ)
(γ)
Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) ≡ Gσσ′ (r − r′ , t − t′ )
′ θ[λ(+) = − i λ(+) γ γ (t − t )] (NZ+1) X i (N ) ′ (N +1) −E0 )(t−t′ )] × e ~ [Pα ·(r−r )−(Eα α
×
hN, 0| ψˆσ (0)|N + 1, αihN + 1, α|ψˆσ† ′ (0) |N, 0i hΨ0 |Ψ0 i
− i λγ(−) θ[λγ(−) (t − t′ )] (NZ−1) X (N ) ′ (N −1) i −E0 )(t−t′ )] × e− ~ [Pα ·(r−r )−(Eα α
×
hN, 0| ψˆσ† ′ (0)|N − 1, αihN − 1, α|ψˆσ (0) |N, 0i . hΨ0 |Ψ0 i
(3.55)
3. Transformatele Fourier spat¸io-temporale ale funct¸iilor Green Conform relat¸iei precedente, (3.55), funct¸iile Green uni-particul˘a depind numai de diferent¸ele coordonatelor de pozit¸ie ¸si timp, astfel ˆıncˆ at se poate efectua o transformare Fourier simpl˘a spat¸io-temporal˘ a; considerˆ and sistemul cont¸inut ˆın volumul finit V , conform formulei (3.51b), transformata Fourier pentru funct¸iile Green uni-particul˘a este Z ∞ Z (γ) 3 e (γ)′ (k, ω) = d r dt e−i( k·r−ωt) Gσσ′ (r, t) G σσ −∞
V
(NZ+1) Z
= −i
X
d3 r e i(Pα /~−k)·r
V
α
× λ(+) γ
Z
∞
−∞
× (NZ−1) Z
−i
X α
− i[ω−(E (N +1) −E (N ) )/~]t α 0 dt θ λ(+) γ t e
hN, 0| ψˆσ (0)|N + 1, αihN + 1, α|ψˆσ† ′ (0) |N, 0i hΨ0 |Ψ0 i
d3 r e−i(Pα /~+k)·r
V
× λγ(−)
Z
∞
−∞
×
(N ) (N −1) −E0 )/~]t dt θ λγ(−) t e− i[ω+(Eα
hN, 0| ψˆσ† ′ (0)|N − 1, αihN − 1, α|ψˆσ (0) |N, 0i , (γ = c, R, A) . hΨ0 |Ψ0 i
Integralele spat¸iale ¸si temporale se calculeaz˘a conform urm˘atoarelor formule: Z I(k) ≡ d3 r e ik·r = V δ k,0 , V Z ∞ ±i ; dτ θ(±τ ) e iωτ = K± (ω) ≡ ω ± iη η→0+ −∞
142
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
pentru ultima egalitate se consider˘ a c˘ a trecerea la limit˘a η → 0+ se face dup˘a efectuarea unei integrale ˆın raport cu variabila ω (adic˘a este o limit˘ a slab˘ a ). Demonstrat¸ia primei integrale este prezentat˘ a ˆın Anexa A.3 corespunz˘ ator formulei (A.32), iar pentru a doua integral˘a justificarea este prezenta˘a ˆın Anexa A.5 corespunz˘ ator formulei (A.46). Cu ajutorul integralelor auxiliare I(k) ¸si K± (ω) se expliciteaz˘ a transformata Fourier a funct¸iilor Green uni-particul˘ a: e (γ)′ (k, ω) G σσ (NZ+1) (N +1) (N ) X Eα − E0 Pα ω − − k λ(+) K = −i I (+) γ λγ ~ ~ α
hN, 0| ψˆσ (0)|N + 1, αihN + 1, α|ψˆσ† ′ (0) |N, 0i hΨ0 |Ψ0 i (NZ−1) (N −1) (N ) X Eα − E0 Pα (−) + k λγ Kλ(−) ω + −i I γ ~ ~ ×
α
hN, 0| ψˆσ† ′ (0)|N − 1, αihN − 1, α|ψˆσ (0) |N, 0i hΨ0 |Ψ0 i
× (NZ+1)
= −i
X
ω−
α
(NZ−1)
−i
i
V δ Pα ,~k
X
(N +1) (N ) Eα −E0
~
i
V δ Pα ,−~k ω+
α
hN, 0| ψˆσ (0)|N + 1, αihN + 1, α|ψˆσ† ′ (0) |N, 0i (+) hΨ0 |Ψ0 i + iλγ η
(N −1) (N ) Eα −E0
~
hN, 0| ψˆσ† ′ (0)|N − 1, αihN − 1, α|ψˆσ (0) |N, 0i (−) hΨ0 |Ψ0 i + iλγ η
unde ˆın ultima expresie se consider˘ a ˆın mod tacit c˘ a este efectuat˘a limita slab˘a η → 0+ . Expresia anterioar˘ a pentru transformata Fourier a funct¸iilor Green uni-particul˘a se scrie ˆın mod concis, prin introducerea urm˘atoarelor notat¸ii condensate: i. datorit˘ a factorilor Kronecker δ Pα ,±~k se efectueaz˘a o sumare part¸ial˘a peste st˘arile α ale sistemului cu (N ± 1) particule, a se va utiliza urm˘atoarea notat¸ie explicit˘a pentru vectorii astfel c˘ proprii rezultat¸i: |N ± 1, αi Pα =±~k ≡ |N ± 1, α, ±ki; ii. elementele de matrice definesc coeficient¸ii de pondere aσσ′ (k, α) = V =V bσσ′ (k, α) = V =V
hN, 0| ψˆσ (0)|N + 1, αihN + 1, α|ψˆσ† ′ (0) |N, 0i hΨ0 |Ψ0 i Pα =~k (N ) ˆ (N +1) (N +1) (N ) hΨ | ψσ (0)|N + 1, Eα , ~kihN + 1, Eα , ~k|ψˆ† ′ (0) |Ψ i 0
σ
0
(N ) (N ) hΨ0 |Ψ0 i
,
hN, 0| ψˆσ† ′ (0)|N − 1, αihN − 1, α| ψˆσ (0)|N, 0i (N ) (N ) Pα =−~k hΨ0 |Ψ0 i (N ) (N −1) (N −1) (N ) hΨ | ψˆ† ′ (0)|N − 1, Eα , −~kihN − 1, Eα , −~k|ψˆσ (0) |Ψ i 0
0
σ
(N )
(N )
hΨ0 |Ψ0 i
(3.56a)
; (3.56b)
iii. diferent¸ele de energie se pot exprima prin energiile de excitat¸ie ale sistemului: (N )
= (Eα(N +1) − E0
(N )
= (Eα(N −1) − E0
Eα(N +1) − E0
Eα(N −1) − E0 (N ′ )
(N ′ )
(N ′ )
(N +1)
) + (E0
(N +1)
(N −1)
) − (E0
(N )
(N )
+1) ) = ǫ(N + µN = ~ ωα(N +1) + µ , α (3.57a)
(N −1)
−1) ) = ǫ(N − µN −1 = ~ ωα(N −1) − µ , α (3.57b)
− E0
− E0
unde Eα − E0 = ǫα este energia unei excitat¸ii a sistemului ce cont¸ine N ′ particule, iar (N ′ +1) (N ′ ) − E0 este potent¸ialul chimic al sistemului cu N ′ particule (energia necesar˘a µN ′ = E0 ad˘aug˘arii unei particule suplimentare ˆın sistem; ˆın cazul cˆ and sistemul cont¸ine un num˘ar mare
3.2. FUNCT ¸ II GREEN FERMIONICE
143
de particule, se poate face aproximat¸ia µN −1 = µN ≡ µ; se observ˘a, de asemenea, c˘ a pulsat¸iile de (N ′ ) (N ′ ) este energia minim˘a a sistemului cu N ′ particule). excitat¸ii ωα sunt pozitive (deoarece E0 Prin utilizarea notat¸iilor condensate. definite anterior, expresia transformatei Fourier a funct¸iilor Green uni-particul˘ a cap˘ at˘a urm˘atoarea form˘a (γ = c, R, A): e(γ)′ (k, ω) = lim G σσ
η→0+
(NX Z+1) α
aσσ′ (k, α) (+)
ω − ωα + µ/~) + iλγ
η
(NZ−1)
+
X α
bσσ′ (k, α) (−)
ω + ωα − µ/~) + iλγ
η
;
(±)
din expresia precedent˘ a (comun˘ a celor 3 funct¸ii Green), prin explicitarea coeficient¸ilor λγ , se obt¸ine reprezentarea Lehmann a funct¸iilor Green uni-particul˘a cauzal˘ a, retardat˘ a ¸si avansat˘a: e σσ′ (k, ω) = lim G
η→0+
e (R)′ (k, ω) = lim G σσ
η→0+
e (A)′ (k, ω) = lim G σσ
η→0+
(N Z+1) X α
(N Z+1) X α
(N Z+1) X α
(NZ−1) X bσσ′ (k, α) aσσ′ (k, α) , + ω − ωα + ωF ) + iη ω + ωα − ωF ) − iη
(3.58a)
X aσσ′ (k, α) bσσ′ (k, α) + ω − ωα + ωF ) + iη ω + ωα − ωF ) + iη
α
(NZ−1) α
(NZ−1)
aσσ′ (k, α) + ω − ωα + ωF ) − iη
X α
bσσ′ (k, α) ω + ωα − ωF ) − iη
,
(3.58b)
,
(3.58c)
unde s-a utilizat notat¸ia ωF = µ/~ (deoarece pentru sistemul f˘ar˘a interact¸ii mutuale, potent¸ialul chimic coincide cu energia Fermi).14 Prin compararea celor 3 expresii se observ˘a c˘ a transformatele Fourier ale funct¸iilor Green uniparticul˘ a, explicitate ˆın sensul reprezent˘ arii Lehmann, difer˘a numai prin factorii de convergent¸˘a infinitezimali (±iη). De asemenea, din definit¸iile coeficient¸ilor ponderi, (3.56), rezult˘a urm˘atoarele relat¸ii de conjugare: ∗ aσσ′ (k, α) = aσ′ σ (k, α) b∗σσ′ (k, α) = bσ′ σ (k, α) ,
astfel ˆıncˆ at transformatele Fourier ale funct¸iilor Green retardat˘ a ¸si avansat˘a satisfac relat¸ia ∗ (R) e(A) e ′ (k, ω) = G G σ′ σ (k, ω) . σσ
4. Consecint¸e ale reprezent˘ arii Lehmann a) Propriet˘a¸ti analitice (ca funct¸ii de variabil˘ a complex˘a) Se consider˘ a ˆın locul pulsat¸iei ω variabila complex˘a z = ω + iγ ¸si se efectueaz˘a continuarea analitic˘a ˆın planul complex a transformatelor Fourier pentru funct¸iile Green uni-particul˘a ˆın e(A)′ (k, ω). e (R)′ (k, ω) ¸si G e σσ′ (k, ω), G reprezentarea Lehmann G σσ σσ Transformata Fourier a funct¸iei Green cauzal˘ a este dat˘a de relat¸ia (3.58a), astfel ˆıncˆ at continuarea sa analitic˘a este (N Z+1) (NZ−1) X X aσσ′ (k, α) bσσ′ (k, α) e Gσσ′ (k, z) = lim ; + η→0+ z − ωα + ωF ) + iη z + ωα − ωF ) − iη α
α
eσσ′ (k, z) are singularit˘a¸ti de tip poli simpli izolat¸i: se observ˘ a c˘ a funct¸ia G ( (−) (N +1) (N +1) zα = ωF + ωα − iη = ~1 εα − iη , (+) (N −1) 1 (N −1) zα = ωF − ωα + iη = ~ εα + iη , (N +1)
(N +1)
unde εα = µ + ~ ωα este energia de excitat¸ie prin ad˘augarea unei particule (N → N + 1), (N −1) (N −1) iar εα = µ − ~ ωα este energia de excitat¸ie prin extragerea unei particule (N → N − 1); 14 Pentru sistemul cu interact ¸ii mutuale starea sistemului nu este decompozabil˘ a ˆın st˘ ari uni-particul˘ a; cel mult ˆın cadrul unor aproximat¸ii de tip cˆ amp mediu se pot considera st˘ ari uni-particul˘ a efective. Atunci ˆın mod riguros nu se poate defini o energie Fermi, dar potent¸ialul chimic este o m˘ arime a sistemului cu sens termodinamic (macroscopic), care exist˘ a indiferent de considerarea interact¸iilor.
144
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA γ = Im(z)
γ = Im(z)
(A)
zα ω = Re(z) ωF
ω = Re(z) ωF (R)
zα
Figura 3.2: Singularit˘ a¸tile transformatelor Fourier ale funct¸iilor Green uni-particul˘a. ˆIn figura eσσ′ (k, z); ˆın figura din dreapta sunt ilustrat¸i din stˆanga sunt ilustrat¸i polii funct¸iei cauzale G (R) polii funct¸iei retardate (zα ) care au fost figurat¸i prin discuri negre, ˆımpreun˘a cu polii funct¸iei (R) avansate (zα ) care au fost figurat¸i prin cruci oblice. eσσ′ (k, z) sunt energiile de excitat¸ie la ad˘augarea, sau la extragerea adic˘a singularit˘a¸tile funct¸iei G unei particule (adic˘ a la crearea unui gol). Se observ˘ a c˘ a polii sunt ˆın vecin˘atatea axei reale ¸si – pentru ω < ωF singularit˘a¸tile sunt deasupra axei reale, – pentru ω > ωF singularit˘a¸tile sunt sub axa real˘a; e σσ′ (k, z) este o funct¸ie meromorf˘a (are singularit˘a¸ti numai poli izolat¸i), dar nu este ca urmare, G o funct¸ie analitic˘a ˆın nici ˆın semiplanul superior Im(z) > 0, nici ˆın semiplanul inferior Im(z) < 0. ˆIn figura 3.2 stˆ eσσ′ (k, z). anga este ilustrat setul singularit˘a¸tilor funct¸iei G (R) e a¸ti similare cu cele ale Transformata Fourier a funct¸iei Green retardat˘ a Gσσ′ (k, z) are propriet˘ transformatei Fourier pentru funct¸ia Green cauzal˘ a, dar singularit˘a¸tile sunt poli simpli localizat¸i sub axa real˘ a: (R) (N ±1) zα = ωF ± ωα − iη ; (R) e atunci, funct¸ia Gσσ′ (k, z) este o funct¸ie meromorf˘a ˆın planul complex, dar este analitic˘a ˆın semiplanul superior Im(z) > 0. ˆIn mod similar, transformata Fourier a funct¸iei Green avansat˘a G e (A)′ (k, z) are propriet˘ a¸ti σσ similare cu cele ale transformatei Fourier pentru funct¸ia Green cauzal˘ a, dar singularit˘a¸tile sunt poli simpli localizat¸i deasupra axei reale: (A) (N ±1) zα = ωF ± ωα + iη ; (A) e ′ (k, z) este o funct¸ie meromorf˘a ˆın planul complex, dar este analitic˘a ˆın seatunci, funct¸ia G σσ miplanul inferior Im(z) > 0. ˆIn figura 3.2 dreapta sunt ilustrate seturile de singularit˘a¸ti ale e(A)′ (k, z). e (R)′ (k, z) ¸si G funct¸iilor G σσ σσ Pe de alt˘ a parte, pentru valori reale ¸si mai mari ca pulsat¸ia Fermi ale variabilei z (adic˘a: e σσ′ (k, z) ¸si z = ω > ωF ) transformatele Fourier ale funct¸iilor Green cauzal˘ a ¸si retardat˘ a [ G (R) e Gσσ′ (k, z) ] au acelea¸si singularit˘a¸ti (provenite de la primii termenii) ¸si difer˘a numai prin factorii de convergent¸˘ a din termenii secunzi, iar aceast˘a diferent¸˘a este f˘ar˘a important¸˘a (deoarece se poate efectua limita η → 0 pentru contribut¸iile din ace¸sti termeni); atunci, se poate considera c˘ a funct¸iile respective sunt egale: e(R)′ (k, z) , eσσ′ (k, z) = G G σσ
(pentru z = ω < ωF ) .
eσσ′ (k, z) = G e(A)′ (k, z) , G σσ
(pentru z = ω < ωF ) .
ˆIn mod similar se poate face discut¸ia pentru valori reale ale variabilei z ¸si mai mici ca pulsat¸ia Fermi; ˆın acest caz transformatele Fourier ale funct¸iilor Green cauzal˘ a ¸si avansat˘a sunt egale:
b) Limita termodinamic˘a La limita termodinamic˘ a (macroscopic˘a) volumul ¸si numerele de particule ale sistemului devin extrem de mari, putˆand fi considerate din punct de vedere matematic ca infinite (totu¸si raportul lor, care este densitatea de particule r˘amˆ ane finit). ˆIn aceste condit¸ii spectrul de energie al
3.2. FUNCT ¸ II GREEN FERMIONICE
145
sistemului devine continuu, astfel ˆıncˆ at sum˘arile dup˘a st˘arile proprii ale sistemului devin integrale dup˘a nivelele energetice. Proprietatea anterioar˘ a se exprim˘ a prin urm˘atoarea relat¸ie: Z Z ∞ X f (Eα ) = dω g(ω) f (~ ω) , LT
α
0
unde g(ω) este densitatea nivelelor de energie (ˆın scara pulsat¸iilor ω). Demonstrat¸ie: Num˘ arul de st˘ ari proprii ale sistemului cu energie (Eα = ~ ωα ) cel mult egal˘ a cu valoarea E = ~ ω este Z Z X X N = 1 = θ(ω − ωα ) ; ωα <ω
α
α
atunci densitatea de st˘ ari, definit˘ a ca derivata num˘ arului de st˘ ari ˆın raport cu pulsat¸ia, este Z Z ∂N (ω) X ∂ θ(ω − ωα ) X = = δ(ω − ωα ) , g(ω) ≡ ∂ω ∂ω α
α
′
deoarece derivata funct¸iei Heaviside este funct¸ia Dirac: θ (x) = δ(x). Se consider˘ a energiile proprii ale sistemului ca fiind pozitive, astfel ˆıncˆ at este valabil˘ a egalitatea banal˘ a Z ∞ dω δ(ω − ωα ) = 1 , 0
cu ajutorul c˘ areia suma dup˘ a energiile proprii se transform˘ a (ˆın mod formal) ˆın integral˘ a dup˘ a pulsat¸ii: Z Z Z ∞ Z ∞ X Z X X f (Eα ) = f (~ ωα ) dω δ(ω − ωα ) = dω δ(ω − ωα ) f (~ωα ) α
0
α
0
=
Z
α
∞
dω f (~ω)
0
Z X
δ(ω − ωα ) =
α
Z
∞
dω f (~ω) g(ω) . 0
Luˆand ˆın considerare relat¸ia de transformare a sumei dup˘a st˘ari proprii ˆın integral˘a dup˘a pulsat¸ii, expresia anterioar˘ a a transformatelor Fourier pentru funct¸iile Green uni-particul˘a devine la limita termodinamic˘ a urm˘atoarea expresie (γ = c, R, A): e (γ)′ (k, ω) = lim G σσ
η→0+
= lim
(N Z+1) X
LT η→0+
Z
0
α ∞
dω
aσσ′ (k, α) (+)
ω − ωα + ωF ) + iλγ η g(ω ′ ) aσσ′ (k, ω ′ ) ′ ω−
ω′
+ ωF ) +
(+) iλγ
(NZ−1)
+
X α
η
+
bσσ′ (k, α) (−)
ω + ωα − ωF ) + iλγ ′
′
g(ω ) bσσ′ (k, ω ) (−)
ω + ω ′ − ωF ) + iλγ
η
η
.
Se definesc coeficient¸ii pondere la limita termodinamic˘ a prin relat¸iile Aσσ′ (k, ω ′ ) = g(ω ′ ) aσσ′ (k, ω ′ ) Bσσ′ (k, ω ′ ) = g(ω ′ ) bσσ′ (k, ω ′ ) astfel c˘ a rezult˘a reprezentarea Lehmann la limita termodinamic˘a pentru transformatele ale funct¸iilor Green uni-particul˘ a: Z ∞ Bσσ′ (k, ω ′ ) Aσσ′ (k, ω ′ ) eσσ′ (k, ω) = lim + , G dω ′ LT η→0+ 0 ω − ω ′ + ωF ) + iη ω + ω ′ − ωF ) − iη Z ∞ Bσσ′ (k, ω ′ ) Aσσ′ (k, ω ′ ) ′ e(R)′ (k, ω) = lim , + G dω σσ LT η→0+ 0 ω − ω ′ + ωF ) + iη ω + ω ′ − ωF ) + iη Z ∞ Aσσ′ (k, ω ′ ) Bσσ′ (k, ω ′ ) (A) ′ e Gσσ′ (k, ω) = lim dω , + LT η→0+ 0 ω − ω ′ + ωF ) − iη ω + ω ′ − ωF ) − iη
Fourier
(3.59a) (3.59b) (3.59c)
Expresiile reprezent˘ arii Lehmann la limita termodinamic˘ a arat˘a c˘a seturile de singularit˘a¸ti de tip poli izolat¸i devin seturi continui de poli (aceast˘a mult¸ime continu˘ a de puncte singulare este o t˘ aietur˘a ˆın planul complex):
146
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA γ
γ
γ e (R)′ (k, z) G σσ
eσσ′ (k, z) G ω
e (A)′ (k, z) G σσ
ω
ωF
ω
ωF
ωF
Figura 3.3: Singularit˘ a¸tile transformatelor Fourier ale funct¸iilor Green uni-particul˘a la limita termodinamic˘ a; figura din stˆ anga ilustreaz˘ a funct¸ia Green cauzal˘ a, figura central˘a ilustreaz˘ a funct¸ia Green retardat˘ a, iar figura din dreapta ilustreaz˘ a funct¸ia Green avansat˘a. • Transformata Fourier a funct¸iei Green cauzale are un set continuu de poli ˆın vecin˘atatea infinitezimal˘a a axei reale; acest set continuu de poli are 2 subseturi: – subsetul de poli continui deasupra axei reale (pentru valori ale pulsat¸iei mai mici decˆat pulsat¸ia Fermi), – subsetul de poli continui sub axa real˘a (pentru valori ale pulsat¸iei mai mari decˆat pulsat¸ia Fermi). • Transformata Fourier a funct¸iei Green retardate are un set continuu de poli ˆın vecin˘atatea infinitezimal˘a a axei reale; acest set continuu de poli are 2 subseturi care se afl˘a ambele sub axa real˘ a. • Transformata Fourier a funct¸iei Green avansate are un set continuu de poli ˆın vecin˘atatea infinitezimal˘a a axei reale; acest set continuu de poli are 2 subseturi care se afl˘a ambele deasupra axei reale. ˆIn figura 3.3 sunt ilustrate singularit˘a¸tile transformatelor Fourier ale funct¸iilor Green uni-particul˘a la limita termodinamic˘ a. c) cazul sistemului izotrop Dac˘ a sistemul este nu numai conservativ ¸si omogen (adic˘a are simetrie ˆın raport cu translat¸iile temporale ¸si spat¸iale), dar ˆın plus este izotrop (adic˘a are simetriile suplimentare la rotat¸ii ¸si reflexii spat¸iale), atunci, conform relat¸iei (3.52), funct¸iile Green uni-particul˘a au matrici de spin diagonale: e(γ) e (γ)′ (k, ω) = δσσ′ G G σσ (k, ω) , (γ = c, R, A) , σσ
¸si se utilizeaz˘ a funct¸ia Green scalar˘ a (cauzal˘a, retardat˘ a, sau avansat˘a): X e (γ) (k, ω) , (γ = c, R, A) ; e(γ) (k, ω) = 1 G G 2 σ=±1 σσ
(s-a considerat cazul uzual cˆ and fermionii au spin s = 1/2). Transformatele Fourier ale funct¸iilor Green scalare se obt¸in din formula comun˘ a celor 3 funct¸ii Green uni-particul˘ a (γ = c, R, A): e (γ) (k, ω) = lim G
η→0+
(NX Z+1) α
1 2
P
σ
aσσ (k, α) (+)
ω − ωα + ωF ) + iλγ
η
(NZ−1)
+
X α
1 2
P
σ bσσ (k, α) (−)
ω + ωα − ωF ) + iλγ
η
;
se definesc coeficient¸ii ponderi corespunz˘ atori funct¸iilor Green scalare prin formulele urm˘atoare 1 X aσσ (k, α) , 2 σ=±1 1 X b(k, α) ≡ bσσ (k, α) ; 2 σ=±1
a(k, α) ≡
3.2. FUNCT ¸ II GREEN FERMIONICE
147
atunci, transformatele funct¸iilor Green scalare, pentru cazul considerat, au urm˘atoarea expresie comun˘ a (γ = c, R, A): e(γ) (k, ω) = lim G
η→0+
(NX Z+1) α
a(k, α) (+)
ω − ωα + ωF + iλγ
η
(NZ−1)
+
X α
b(k, α) (−)
ω + ωα − ωF + iλγ
η
.
(3.60)
Luˆand ˆın considerare expresiile (3.56) ale coeficient¸ilor ponderi aσσ′ (k, α) ¸si bσσ′ (k, α), se obt¸in expresiile pentru cazul funct¸iilor Green scalare: a(k, α) =
(N ) (N +1) (N +1) (N ) , ~kihN + 1, Eα , ~k|ψˆσ† (0) |Ψ0 i V X hΨ0 | ψˆσ (0)|N + 1, Eα (N ) (N ) 2 σ=±1 hΨ0 |Ψ0 i (N ) 2 (N +1) , ~ki V X hΨ0 | ψˆσ (0)|N + 1, Eα , (3.61a) = (N ) (N ) 2 σ=±1 hΨ |Ψ i 0
b(k, α) =
V X 2 σ=±1
(N ) hΨ0 | ψˆσ† (0)|N
0
(N −1)
− 1, Eα
(N −1)
, −~kihN − 1, Eα (N )
(N )
hΨ0 |Ψ0 i 2 (N ) † (N −1) , −~ki V X hΨ0 | ψˆσ (0)|N − 1, Eα . = (N ) (N ) 2 σ=±1 hΨ0 |Ψ0 i
(N )
, −~k|ψˆσ (0) |Ψ0 i
(3.61b)
Se observ˘ a c˘ a pentru cazul izotrop coeficient¸ii ponderi scalari sunt numere reale: a(k, α) ∈ R ¸si b(k, α) ∈ R; ca urmare, rezult˘a relat¸ia de conjugare: (R) e (k, ω) ∗ = G e (A) (k, ω) . G
Dac˘ a se consider˘ a sistemul conservativ, omogen ¸si izotrop la limita termodinamic˘ a, atunci expresiile pentru transformatele Fourier ale funct¸iilor Green uni-particul˘a se obt¸in din expresiile corespomdente ante limit˘ a termodinamic˘ a (adic˘a funct¸iile Green scalare pentru sistemul izotrop) prin transformarea sum˘arilor pe st˘ arile proprii ale sistemului cu integr˘ari ˆın raport cu pulsat¸ia Z ∞ B(k, ω ′ ) A(k, ω ′ ) e(γ) (k, ω) = lim , (3.62) + G dω ′ (+) (−) η→0+ 0 ω − ω ′ + ωF + iλγ η ω + ω ′ − ωF + iλγ η unde (γ = c, R, A) ¸si coeficient¸ii ponderi sunt reali ¸si au expresiile
(N ) 2 (N +1) , ~ki V X hΨ0 | ψˆσ (0)|N + 1, Eα A(k, α) = g(ω) a(k, α) = g(ω) , (N ) (N ) 2 σ=±1 hΨ0 |Ψ0 i (N ) 2 (N −1) , −~ki V X hΨ0 | ψˆσ† (0)|N − 1, Eα . B(k, α) = g(ω) b(k, α) = g(ω) (N ) (N ) 2 σ=±1 hΨ |Ψ i 0
(3.63a)
(3.63b)
0
ˆIn aceast˘a ultim˘a situat¸ie, cˆ and sistemul este conservativ, omogen, izotrop ¸si la limita termodinamic˘a rezult˘a relat¸iile de dispersie pentru transformatele Fourier ale funct¸iilor Green uni-particul˘a retardat˘ a ¸si avansat˘ a: Z e (R) (k, ω ′ )} 1 ∞ ′ Im{G , − dω π −∞ ω − ω′ Z ∞ ′ e (A) e (A) (k, ω)} = + 1 − dω ′ Im{G (k, ω )} . Re{G ′ π −∞ ω−ω
e (R) (k, ω)} = − Re{G
Funct¸ia Green cauzal˘ a are o relat¸ie de dispersie anomal˘a
Z e ω ′ )} 1 ∞ ′ Im{G(k, e Re{G(k, ω)} = − − dω sgn(ω − ω ′ ) , π −∞ ω − ω′
deoarece nu este o funct¸ie analitic˘a ˆın nici unul din semiplanele complexe.
(3.64a) (3.64b)
148
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA Demonstrat¸ie: Se consider˘ a cazul funct¸iei Green retardat˘ a, a c˘ arei transformat˘ a Fourier are expresia Z ∞ B(k, ω ′ ) A(k, ω ′ ) e(R) (k, ω) = lim + ; dω ′ G η→0+ 0 ω − ω ′ − ωF + i η ω + ω ′ − ωF + i η
se extinde integrala dup˘ a pulsat¸ii ¸si apoi se face apel la formula Sohotski-Weierstrass: Z ∞ θ(ω ′ ) B(k, ω ′ ) θ(ω ′ ) A(k, ω ′ ) ′ (R) e + dω G (k, ω) = lim η→0+ −∞ ω − ω ′ − ωF + i η ω + ω ′ − ωF + i η Z ∞ h i 1 = dω ′ θ(ω ′ ) A(k, ω ′ ) P − iπδ(ω − ω ′ − ωF ) ′ ω − ω − ωF −∞ h i 1 ′ ′ ′ + θ(ω ) B(k, ω ) P − iπδ(ω + ω − ωF ) ω + ω ′ − ωF Z Z ∞ ∞ θ(ω ′ ) B(k, ω ′ ) θ(ω ′ ) A(k, ω ′ ) + − dω ′ = − dω ′ ′ −ω ω − ω ω + ω ′ − ωF F −∞ −∞ Z ∞ − iπ dω ′ θ(ω ′ ) A(k, ω ′ ) δ(ω − ω ′ − ωF ) −∞ Z ∞ − iπ dω ′ θ(ω ′ ) B(k, ω ′ ) δ(ω + ω ′ − ωF ) . −∞
ˆIn primele dou˘ a integrale (p˘ art¸i principale ˆın sens Cauchy) se fac schimb˘ ari de variabile Z ∞ Z ∞ θ(ω1 − ωF ) A(k, ω1 − ωF ) θ(ω ′ ) A(k, ω ′ ) =′ − dω1 − dω ′ ′ ω =ω +ω ω − ω − ω ω − ω1 F 1 F −∞ −∞ Z ∞ Z ∞ ′ ′ θ(ω ) B(k, ω ) θ(ωF − ω2 ) B(k, ωF − ω2 ) − dω ′ = − dω2 ; ω + ω ′ − ωF ω2 =ωF −ω′ −∞ ω − ω2 −∞ iar ultimele integrale (care cont¸in funct¸ii Dirac) sunt banale: Z ∞ −iπ dω ′ θ(ω ′ ) A(k, ω ′ ) δ(ω − ω ′ + ωF ) = −iπ θ(ω − ωF ) A(k, ω − ωF ) , −∞ Z ∞ −iπ dω ′ θ(ω ′ ) B(k, ω ′ ) δ(ω + ω ′ − ωF ) = −iπ θ(ωF − ω) B(k, ωF − ω) . −∞
Se redenumesc variabilele de integrare ω1 = ω2 = ω ′ ¸si se adun˘ a rezultatele celor 4 integrale, astfel c˘ a rezult˘ a: Z ∞ θ(ω ′ − ωF ) A(k, ω ′ − ωF ) + θ(ωF − ω ′ ) B(k, ωF − ω ′ ) e (R) (k, ω) = G dω ′ ω − ω′ −∞ − iπ θ(ω − ωF ) A(k, ω − ωF ) + θ(ωF − ω) B(k, ωF − ω) . e (R) (k, ω) sunt Atunci p˘ art¸ile real˘ a ¸si imaginar˘ a ale funct¸iei G Z ∞ θ(ω ′ − ωF ) A(k, ω ′ − ωF ) + θ(ωF − ω ′ ) B(k, ωF − ω ′ ) e (R) (k, ω) = Re G , dω ′ ω − ω′ −∞ e (R) (k, ω) = −iπ θ(ω − ωF ) A(k, ω − ωF ) + θ(ωF − ω) B(k, ωF − ω) ; Im G
din expresiile precedente rezult˘ a ˆın mod direct relat¸ia de dispersie a funct¸iei Green retardate. Relat¸ia de dispersie a funct¸iei Green avansate se deduce ˆın mod analog.
Comportarea asimptotic˘ a e (γ) (k, ω) −→ G
ω→∞
Demonstrat¸ie:
1 , (γ = c, R, A) . ω
(3.65)
Pentru deducerea comport˘ arii asimptotice a transformatelor funct¸iilor Green uni-particul˘ a nu este necesar s˘ a se considere nici cazul izotrop, nici limita termodinamic˘ a; mai mult, de¸si deducerea acestei comport˘ ari asimptotice se poate face plecˆ and de la reprezentarea Lehmann (3.58), totu¸si este
3.2. FUNCT ¸ II GREEN FERMIONICE
149
mai simplu s˘ a se deduc˘ a o reprezentare Lehmann f˘ ar˘ a s˘ a se efectueze ˆın mod explicit transformarea Fourier spat¸ial˘ a, efectuˆ andu-se astfel numai transformarea Fourier temporal˘ a. Conform relat¸iei (3.55), funct¸iile Green uni-particul˘ a pentru sisteme conservative ¸si omogene, de(γ) (γ) pind numai de diferent¸ele coordonatelor spat¸io-temporale Gσσ ′ (r, t; r′ , t′ ) = Gσσ ′ (r − r′ , t − t′ ); ca urmare, expresia comun˘ a a acestor funct¸ii Green se poate scrie ˆın urm˘ atoarea form˘ a: hΨ0 | ψˆσH (∆r, ∆t) ψˆσ† ′ H (0, 0) |Ψ0 i hΨ0 |Ψ0 i † ˆ hΨ0 | ψσ ′ H (∆r, ∆t) ψˆσH (0, 0) |Ψ0 i θ[λ(−) , γ (∆t)] hΨ0 |Ψ0 i
(γ)
θ[λ(+) Gσσ ′ (∆r, ∆t) = − i λ(+) γ γ (∆t)] − i λ(−) γ
Se expliciteaz˘ a elementele de matrice numai ˆın raport cu diferent¸a timpilor, f˘ ar˘ a s˘ a se expliciteze dependent¸ele spat¸iale, utilizˆ and o metod˘ a similar˘ a cu cea folosit˘ a pentru deducerea reprezent˘ arii Lehmann generale. Astfel, se exprim˘ a operatorii de cˆ amp Heisenberg prin operatori Schr¨ odinger, se utilizeaz˘ a relat¸ia de completitudine a spat¸iului Fock ¸si act¸iunea hamiltonianului asupra vectorilor bazei spat¸iului Fock; pentru primul element de matrice rezult˘ a egalit˘ a¸tile urm˘ atoare: i i ˆ ˆ hΨ0 | ψˆσH (∆r, ∆t) ψˆσ† ′ H (0, 0) |Ψ0 i = hΨ0 | e ~ (∆t)H ψˆσ (∆r) e− ~ (∆t)H ψˆσ† ′ (0) |Ψ0 i Z X (N ) i i ˆ = e ~ E0 ∆t hΨ0 | ψˆσ (∆r)|N ′ , αihN ′ , α| e− ~ (∆t)H ψˆσ† ′ (0) |Ψ0 i
N ′ ,α
=
Z X
(N )
i
e ~ (E0
(N ′ )
−Eα
)∆t
N ′ ,α
hΨ0 | ψˆσ (∆r)|N ′ , αihN ′ , α| ψˆσ† ′ (0) |Ψ0 i ;
ˆın mod analog se obt¸ine al doilea element de matrice hΨ0 | ψˆσ† ′ H (0, 0) ψˆσH (∆r, ∆t) |Ψ0 i = =
Z X
N ′ ,α
Z X
i i ˆ ˆ hΨ0 | ψˆσ† ′ (0) |N ′ , αihN ′ , α| e ~ (∆t)H ψˆσ (∆r) e− ~ (∆t)H |Ψ0 i (N ′ )
i
e ~ (Eα
(N )
−E0
N ′ ,α
)∆t
hΨ0 | ψˆσ† ′ (0)|N ′ , αihN ′ , α| ψˆσ (∆r) |Ψ0 i .
Prin utilizarea rezultatelor precedente expresia funct¸iilor Green devine: (γ)
Gσσ ′ (∆r, ∆t) Z n ′ ˆσ (∆r)|N ′ , αihN ′ , α| ψˆ† ′ (0) |Ψ0 i X i (E (N ) −E (N ) )∆t hΨ0 | ψ −~ σ α 0 = (− i)λ(+) θ[λ(+) γ γ (∆t)] e hΨ0 |Ψ0 i N ′ ,α
(N ′ )
i
(Eα ~ −i λ(−) θ[λ(−) γ γ (∆t)] e
(N )
−E0
)∆t
hΨ0 | ψˆσ† ′ (0)|N ′ , αihN ′ , α| ψˆσ (∆r) |Ψ0 i o . hΨ0 |Ψ0 i
Transformata Fourier a funct¸iilor Green este definit˘ a prin relat¸ia e (γ)′ (k, ω) = G σσ
Z
d3 (∆r) V
Z
∞
−∞
(γ)
d(∆t) e−i( k·∆r−ω∆t) Gσσ ′ (∆r, ∆t) ,
astfel ˆıncˆ at prin introducerea expresiei anterioare a funct¸iilor Green se pot explicita integralele temporale: e (γ)′ (k, ω) = G σσ
Z
d3 (∆r) e−ik·∆r V
Z X
N ′ ,α
(− i)λ(+) γ
Z
∞
(N ′ )
i[ω−(Eα d(∆t) θ[λ(+) γ (∆t)] e
(N )
−E0
)/~]∆t
−∞
hΨ0 | ψˆσ (∆r)|N ′ , αihN ′ , α| ψˆσ† ′ (0) |Ψ0 i × hΨ0 |Ψ0 i Z ∞ (N ′ ) (N ) (−) (−) d(∆t) θ[λγ (∆t)] e i[ω+(Eα −E0 )/~]∆t − i λγ −∞
×
hΨ0 | ψˆσ† ′ (0)|N ′ , αihN ′ , α| ψˆσ (∆r) |Ψ0 i . hΨ0 |Ψ0 i
150
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA (±)
Integralele temporale se exprim˘ a cu ajutorul funct¸iei K± (ω) definite anterior, deoarece λγ = ±1: Z ∞ (N ′ ) (N ) ′ (N) −iλ d(∆t) θ[λ(∆t)] e i[ω∓(Eα −E0 )/~]∆t = − i λ Kλ ω ∓ (Eα(N ) − E0 )/~ −∞
=
1
ω∓
(N ′ ) (Eα
(N)
− E0
)/~ + iλη
;
ca urmare, transformatele Fourier ale funct¸iilor Green au urm˘ atoarea expresie: Z e (γ ′ (k, ω) = G d3 (∆r) e−ik·∆r σσ ×
Z X
N ′ ,α
+
V
1
ω−
(N ′ ) (Eα
−
(N) E0 )/~
+
(+) iλγ η
hΨ0 | ψˆσ (∆r)|N ′ , αihN ′ , α| ψˆσ† ′ (0) |Ψ0 i hΨ0 |Ψ0 i
hΨ0 | ψˆσ† ′ (0)|N ′ , αihN ′ , α| ψˆσ (∆r) |Ψ0 i . (N) (−) (N ′ ) hΨ0 |Ψ0 i ω + (Eα − E0 )/~ + iλγ η 1
Expresia anterioar˘ a se poate trece la limita asimptotic˘ a ω → ∞; ˆın acest caz numitorii fract¸iilor se e (γ)′ (k, ω) devine reduc la termenul ω, astfel c˘ aG σσ Z e(γ)′ (k, ω) ≈ 1 G d3 (∆r) e−ik·∆r σσ ω→∞ ω V Z X hΨ0 | ψˆσ (∆r)|N ′ , αihN ′ , α| ψˆσ† ′ (0) |Ψ0 i hΨ0 | ψˆσ† ′ (0)|N ′ , αihN ′ , α| ψˆσ (∆r) |Ψ0 i × + . hΨ0 |Ψ0 i hΨ0 |Ψ0 i N ′ ,α
Se observ˘ a c˘ a ˆın expresia precedent˘ a se poate extrage numitorul ¸si se ia ˆın considerare relat¸ia de completitudine a setului de vectori {|N ′ , αi}N ′ ,α : Z 1 1 (γ) e d3 (∆r) e−ik·∆r Gσσ ′ (k, ω) ≈ ω→∞ ω V hΨ0 |Ψ0 i Z Z X X × hΨ0 | ψˆσ (∆r) |N ′ , αihN ′ , α| ψˆσ† ′ (0) |Ψ0 i + hΨ0 | ψˆσ† ′ (0) |N ′ , αihN ′ , α| ψˆσ (∆r) |Ψ0 i ; N ′ ,α
|
{z
N ′ ,α
}
=1
|
{z
}
=1
ca urmare, m˘ arimea din interiorul parantezelor acolade se reduce la anti-comutatorul operatorilor de cˆ amp a c˘ aror valoare este dat˘ a de relat¸ia (2.88a) fermionic˘ a: † † hΨ0 | ψˆσ (∆r) ψˆ ′ (0) |Ψ0 i + hΨ0 | ψˆ ′ (0) ψˆσ (∆r) |Ψ0 i = hΨ0 | ψˆσ (∆r) , ψˆ† ′ (0) |Ψ0 i σ
σ
σ
+
= δσσ ′ δ(∆r) hΨ0 |Ψ0 i .
e (γ)′ (k, ω) ¸si se obt¸ine comporRezultatul anterior se introduce ˆın expresia precedent˘ a a funct¸iei G σσ tarea asimptotic˘ a a transformatelor Fourier ale funct¸iilor Green uni-particul˘ a: Z 1 e(γ)′ (k, ω) ≈ 1 G δσσ ′ . d3 (∆r) e−ik·∆r δσσ ′ δ(∆r) = σσ ω→∞ ω V ω
Funct¸iile Green scalare sunt definite pentru un sistem izotrop prin relat¸ia (3.52b), astfel c˘ a din rezultatul precedent se obt¸ine urm˘ atoarea comportare asimptotic˘ a a funct¸iilor Green scalare: X (γ) X 1 1 e (γ) (k, ω) = 1 e σ (k, ω) ≈ 1 G G δσσ = . ω→∞ 2 2 σ=±1 ω ω σ=±1
D. Relat¸ii de salt Funct¸ia Green cauzal˘ a uni-particul˘a este definit˘ a prin relat¸ia (3.44), care prin explicitarea ordon˘arii temporale devine: Gσσ′ (r, t; r′ , t′ )
t>t′
Gσσ′ (r, t; r′ , t′ )
t
= −i = +i
hΨ0 | ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i hΨ0 |Ψ0 i † hΨ0 | ψˆ ′ (r′ , t′ ) ψˆσH (r, t) |Ψ0 i σ H
hΨ0 |Ψ0 i
;
3.2. FUNCT ¸ II GREEN FERMIONICE
151
se observ˘ a c˘ a pentru valori egale ale variabilelor temporale (t = t′ ) funct¸ia Green cauzal˘ a nu este bine definit˘ a, fiind discontinu˘ a; ca urmare, saltul funct¸iei Green se definet¸e astfel: ∆Gσσ′ (r; r′ ) ≡ Gσσ′ (r, t; r′ , t + ε) − Gσσ′ (r, t; r′ , t − ε) . (3.66) ε→0+
Prin substituirea expresiilor precedente ale funct¸iei Green cauzale ˆın relat¸ia de salt ¸si trecere la limit˘a (ε → 0) rezult˘a anti-comutatorul sincron al operatorilor de cˆ amp: hΨ0 | ψˆσH (r, t) , ψˆσ† ′ H (r′ , t) + |Ψ0 i ′ ′ ; ∆Gσσ (r; r ) = − i hΨ0 |Ψ0 i
dar anti-comutatorul sincron al operatorilor de cˆ amp Heisenberg se reduce la anti-comutatorul operatorilor corespondent¸i Schr¨odinger: ψˆσH (r, t) , ψˆσ† ′ H (r′ , t) + = ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t) + ψˆσ† ′ H (r′ , t) ψˆσH (r, t) i
ˆ
i
ˆ
i
ˆ
i
ˆ
= e ~ tH ψˆσ (r) e− ~ tH e ~ tH ψˆσ† ′ (r′ ) e− ~ tH
i i i i ˆ ˆ ˆ ˆ + e ~ tH ψˆσ† ′ (r′ ) e− ~ tH e ~ tH ψˆσ (r) e− ~ tH i ˆ i ˆ = e ~ tH ψˆσ (r) ψˆσ† ′ (r′ ) + ψˆσ† ′ (r′ ) ψˆσ (r) e− ~ tH i
ˆ
i
ˆ
= e ~ tH δσ,σ′ δ(r − r′ ) e− ~ tH = δσ,σ′ δ(r − r′ ) . Atunci saltul funct¸iei Green cauzale este ∆Gσσ′ (r; r′ ) = − i δσ,σ′ δ(r − r′ ) .
(3.67a)
Funct¸ia Green retardat˘ a, definit˘ a prin relat¸ia (3.45a), are urm˘atoarea explicitare temporal˘a: hΨ0 | ψˆσH (r, t) , ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) + |Ψ0 i (R) ′ ′ Gσσ′ (r, t; r , t ) ′ = − i , hΨ0 |Ψ0 i t>t Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) ′ = 0 ; t
atunci saltul acestei funct¸ii Green este hΨ0 | ψˆσH (r, t) , ψˆσ† ′ H (r′ , t) + |Ψ0 i ′ ∆Gσσ′ (r; r ) = − i = − i δσ,σ′ δ(r − r′ ) , hΨ0 |Ψ0 i
(3.67b)
rezultat identic cu cel pentru funct¸ia Green cauzal˘ a. ˆIn mod simialar, funct¸ia Green avansat˘a, definit˘ a prin relat¸ia (3.45b), are expresia explicit˘a (A) Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) =0, t>t′ hΨ0 | ψˆσH (r, t) , ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) + |Ψ0 i ′ ′ ; Gσσ′ (r, t; r , t ) ′ = + i hΨ0 |Ψ0 i t
ca urmare se obt¸ine aceea¸si expresia a saltului la valori egale ale variabilelor temporale, ca ¸si pentru cazurile anterioare: (A) (3.67c) ∆Gσσ′ (r; r′ ) = − i δσ,σ′ δ(r − r′ ) .
ˆIn concluzie, cele 3 funct¸ii Green uni-particul˘a, de¸si au definit¸ii diferite, totu¸si au salturi egale ˆın punctul de discontinuitate.
3.2.3
Funct¸ia Green cauzal˘ a liber˘ a (uni-particul˘ a)
Sistemul de fermioni liberi a fost studiat anterior, astfel c˘ a se vor utiliza rezultatele respective. Funct¸iile Green uni-particul˘ a (cauzal˘a, retardat˘ a ¸si avansat˘a) se pot determina ˆın mod explicit prin mai multe metode de deducere. Se vor prezenta 2 metode echivalente pentru calculul funct¸iei
152
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Green cauzale: utilizarea rezultatelor obt¸inute pentru contract¸iile componentelor de cˆ amp ¸si metoda de evaluare direct˘a din definit¸iile funct¸iilor Green ˆın termeni de p˘ art¸i de creare ¸si de anihilare ale operatorilor de cˆ amp. Se observ˘a c˘ a relat¸iile generale ale sistemului fermionic cu posibile interact¸ii mutuale sunt valabile, de asemenea, pentru sistemul liber, dar apar unele particularit˘ a¸ti: ˆın aceast˘a situat¸ie vectorul st˘arii fundamentale (notat ˆın general prin |Ψ0 i) se noteaz˘ a prin |Φ0 i, iar operatorii Heisenberg devin operatori Dirac. a. Metoda contract¸iilor Funct¸ia Green cauzal˘ a liber˘ a se define¸ste prin relat¸ia general˘a (3.44) particularizat˘ a la cazul sistemului liber hΦ0 | T ψˆσI (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) |Φ0 i . (3.68) G0σσ′ (r, t; r′ , t′ ) ≡ − i hΦ0 |Φ0 i Produsul cronologic al operatorilor de cˆ amp, de la num˘ar˘ator, se transform˘a ˆın produs normal cu ajutorul contract¸iei operatorilor: T ψˆσI (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) = N ψˆσI (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) + ψˆσI (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) ;
Prin mediere pe starea fundamental˘ a, produsul normal d˘ a rezultat nul hΦ0 | N ψˆσI (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) |Φ0 i = 0 ,
conform propriet˘ a¸tii generale a produsului normal, exprimat˘ a prin relat¸ia (3.25). Pe de alt˘ a parte, contract¸ia operatorilor de cˆ amp este proport¸ional˘ a cu operatorul unitate, conform relat¸iei (3.31a): ψˆσI (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) = ψσI (r, t) ψσ† ′ I (r′ , t′ ) ˆ1 , unde valoarea contract¸iei este ψσI (r, t) ψσ† ′ I (r′ , t′ ) = δσσ′
1 X i[ k·(r−r′ )−ωk (t−t′ )] θ(t − t′ ) θ(k − kF ) − θ(t′ − t) θ(kF − k) ; e V k
atunci, media pe starea fundamental˘ a a contract¸iei este hΦ0 | ψˆσI (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t′ )|Φ0 i = ψσI (r, t) ψσ† ′ I (r′ , t′ ) hΦ0 |Φ0 i . Pe baza rezultatelor precedente se obt¸ine c˘ a funct¸ia Green liber˘a este legat˘ a de valoarea contract¸iei a expresia operatorilor de cˆ amp prin relat¸ia G0σσ′ (r, t; r′ , t′ ) = − i ψσI (r, t) ψσ† ′ I (r′ , t′ ) , astfel c˘ funct¸iei Green cauzale libere este −i X i[ k·(r−r′ )−ωk (t−t′ )] G0σσ′ (r, t; r′ , t′ ) = δσσ′ e θ(t−t′ ) θ(k −kF )−θ(t′ −t) θ(kF −k) ; (3.69) V k
explicitare:
G0σσ′ (r, t; r′ , t′ ) =
= ′ δσσ′
t>t
= ′ δσσ′
t>t
′ ′ −i X e i[ k·(r−r )−ωk (t−t )] , V
k (k>kF )
−i X ′ ′ e i[ k·(r−r )−ωk (t−t )] , V k (k
Din relat¸ia anterioar˘ a rezult˘a c˘ a funct¸ia Green cauzal˘ a liber˘a este diagonal˘ a ˆın indicii de spin ¸si depinde numai de diferent¸ele coordonatelor de pozit¸ie-timp, astfel ˆıncˆ at se poate efectua o dezvoltare Fourier spat¸io-temporal˘ a simpl˘a, conform relat¸iilor (3.51): G0σσ′ (r, t; r′ , t′ ) = δσσ′ G0 (r − r′ , t − t′ ) Z 1 X ∞ dω i[ k·(r−r)−ω(t−t′ )] e 0 = δσσ′ e G (k, ω) . V −∞ 2π k
3.2. FUNCT ¸ II GREEN FERMIONICE
153
Transformata Fourier a funct¸iei Green cauzal˘ a liber˘a are expresia e 0 (k, ω) = G
Demonstrat¸ie:
1 . ω − ωk + i η sgn(k − kF ) η→0+
(3.70)
Se efectueaz˘ a transformarea Fourier, conform relat¸iei generale (3.51b) ¸si se substituie expresia (3.69) pentru G0σσ ′ (r, t; r′ , t′ ): Z
Z ∞ d3 r dt e−i( k·r−ωt) G0σσ ′ (r, t) V −∞ Z Z ∞ = d3 r dt e−i( k·r−ωt)
e 0σσ ′ (k, ω) = G
V
−∞
−i X i( k′ ·r−ωk′ t) × e θ(t) θ(k′ − kF ) − θ(−t) θ(kF − k′ ) V k′ Z ∞ Z Xn ′ ′ 1 d3 r e i(k −k)·r dt θ(t) e i(ω−ωk′ )t θ(k − kF ) = −i V V −∞ ′ k Z Z ∞ o ′ 1 − θ(kF − k′ ) d3 r e i(k −k)·r dt θ(−t) e−i(ω−ωk′ )t V V −∞ integralele spat¸iale ¸si cele temporale se efectueaz˘ a ˆın mod similar cu metoda utilizat˘ a pentru deducerea reprezent˘ arii Lehmann, adic˘ a
Z
∞ −∞
Z
′
d3 r e i(k
−k)·r
V
= I(k′ − k) = V δ k′ ,k ,
dt θ(±t) e i(ω−ωk′ )t = K± (ω − ωk′ ) =
ca urmare se obt¸ine urm˘ atorul rezultat: e 0σσ ′ (k, ω) = −i G
Xn ′ θ(k − kF ) δ k′ ,k
i
ω − ω + iη k′ n θ(k − k ) θ(kF − k) o F = , + ω − ωk + i η ω − ωk − i η η→0+ k′
±i ; ω − ωk′ ± i η η→0+
− θ(kF − k′ ) δ k′ ,k
o −i ′ ω − ωk − i η η→0+
care este echivalent cu expresia (3.70).
b. Metoda deducerii directe) Se expliciteaz˘ a operat¸ia de ordonare cronologic˘ a ˆın formula de definit¸ie a funct¸iei Green pentru sistemul liber, dat˘ a de formula (3.68), astfel c˘ a rezult˘a: G0σσ′ (r, t; r′ , t′ )
hΦ0 | T ψˆσI (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) |Φ0 i = −i hΦ0 |Φ0 i −i = θ(t − t′ ) hΦ0 | ψˆσI (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) |Φ0 i hΦ0 |Φ0 i − θ(t′ − t) hΦ0 | ψˆ† ′ (r′ , t′ ) ψˆσI (r, t) |Φ0 i . σ I
Operatorii de cˆ amp ˆın formularea Dirac au descompuneri similare cu operatorii corespondent¸i din formularea Schr¨odinger ˆın p˘ art¸i de goluri ¸si p˘ art¸i de particule, conform relat¸iilor (3.17) – (3.18): i i ˆ ˆ (+) (−) ψˆσI (r, t) = e ~ tH0 ψˆσS (r) e− ~ tH0 = ψˆσI (r, t) + ψˆσI (r, t) , i i ˆ ˆ (−)† (+)† † † ψˆσI (r, t) = e ~ tH0 ψˆσS (r) e− ~ tH0 = ψˆσI (r, t) + ψˆσI (r, t) .
Pe de alt˘ a parte, aceste descompuneri sunt similare cu cele corespunz˘ atoare operatorilor de cˆ amp ˆın formularea Dirac de excitat¸ie, date de formulele (3.19); ca urmare, p˘ art¸ile de de creare ¸si
154
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
anihilare pentru goluri ¸si pentru particule au expresiile: 1 X (−) † ψˆσI (r, t) = (operatorul creare de goluri) , θ(kF − k) e i(k·r−ωk t) βˆ−k,−σ V k 1 X (+) θ(k − kF ) e i(k·r−ωk t) α ˆk,σ (operatorul anihilare de particule) , ψˆσI (r, t) = V k 1 X (−)† ψˆσI (r, t) = θ(kF − k) e−i(k·r−ωk t) βˆ−k,−σ (operatorul anihilare de goluri) , V k X 1 (+)† ψˆσI (r, t) = θ(k − kF ) e−i(k·r−ωk t) α ˆ †k,σ (operatorul creare de particule) . V k
Conform definit¸iilor, p˘ art¸ile de goluri ¸si de particule ale operatorilor de cˆ amp au urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: i. p˘ art¸ile de anihilare ale operatorilor de cˆ amp distrug starea fundamental˘ a: ( (+) ψˆσI (r, t) |Φ0 i = | ∅ i , (−)† ψˆσI (r, t) |Φ0 i = | ∅ i , relat¸iile precedente fiind similare cu relat¸iile (3.20); ii. ace¸sti operatori satisfac relat¸iile de anti-comutare (3.22). Se efectueaz˘ a descompunerile operatorilor de cˆ amp, astfel ˆıncˆ at prima medie din expresia de definit¸ie a funct¸iei Green pentru sistemul liber devine: (−)† (−) (+)† (+) hΦ0 | ψˆσI (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) |Φ0 i = hΦ0 | ψˆσI (r, t) + ψˆσI (r, t) ψˆσ′ I (r′ , t′ ) + ψˆσ′ I (r′ , t′ ) |Φ0 i (+)† (+) = hΦ0 | ψˆσI (r, t) ψˆσ′ I (r′ , t′ ) |Φ0 i
(−)† deoarece operatorii de goluri precedent¸i distrug starea fundamental˘ a ψˆσ′ I (r′ , t′ ) |Φ0 i = | ∅ i ¸si (−) hΦ0 | ψˆσI (r, t) = h∅|; apoi se utilizeaz˘a relat¸ia de anti-comutare (3.22b) pentru operatorii de particule, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine (+)† (+) (+) (+)† hΦ0 | ψˆσI (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) |Φ0 i = hΦ0 | ψˆσI (r, t) , ψˆσ′ I (r′ , t′ ) − ψˆσ′ I (r′ , t′ ) ψˆσI (r, t) |Φ0 i ′ ′ 1 X θ(k − kF ) e i[ k·(r−r )−ωk (t−t )] 1ˆ , hΦ0 |Φ0 i , = δσσ′ V k
deoarece anti-comutatorul este un operator banal, iar al doilea termen este nul, pentru c˘ a (+) ψˆσI (r, t) |Φ0 i = | ∅ i. ˆIn mod similar se evalueaz˘ a a doua medie din expresia de definit¸ie a funct¸iei Green pentru sistemul liber: (−) (−)† (+) (+)† hΦ0 | ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) ψˆσI (r, t) |Φ0 i = hΦ0 | ψˆσ′ I (r′ , t′ ) + ψˆσ′ I (r′ , t′ ) ψˆσI (r, t) + ψˆσI (r, t) |Φ0 i (−)† (−) = hΦ0 | ψˆσ′ I (r′ , t′ ) ψˆσI (r, t) |Φ0 i ;
se observ˘ a c˘ a ˆın acest caz operatorii de psarticule precedent¸i distrug starea fundamental˘ a, deoa(+−) (+)† rece ψˆσI (r, t) |Φ0 i = | ∅ i ¸si hΦ0 | ψˆσ′ I (r′ , t′ ) = h∅|. Apoi se utilizeaz˘a relat¸ia de anti-comutare (3.22a) pentru operatorii de goluri ¸si se obt¸ine (−)† (−)† (−) (−) hΦ0 | ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) ψˆσI (r, t) |Φ0 i = hΦ0 | ψˆσ′ I (r′ , t′ ) , ψˆσI (r, t) − ψˆσI (r, t) ψˆσ′ I (r′ , t′ ) |Φ0 i ′ ′ 1 X = δσσ′ θ(kF − k) e i[ k·(r−r )−ωk (t−t )] ˆ1 , hΦ0 |Φ0 i ; V k
ˆın ultima expresie anti-comutatorul este un operator banal, iar al doilea termen este nul, pentru (−)† c˘ a ψˆσ′ I (r′ , t′ ) |Φ0 i = | ∅ i. Pe baza rezultatelor anterioare se obt¸ine expresia funct¸iei Green a sistemului liber: −i X i[ k·(r−r′ )−ωk (t−t′ )] G0σσ′ (r, t; r′ , t′ ) = δσσ′ θ(t−t′ ) θ(k −kF )−θ(t′ −t) θ(kF −k) , (3.71) e V k
3.2. FUNCT ¸ II GREEN FERMIONICE
155
care este identic˘ a cu formula (3.69). ˆIn continuare se obt¸ine transformata Fouriei a funct¸iei Green libere, G e0 (k, ω), prin acelea¸si operat¸ii ca ˆın metoda contract¸iilor (prezentat˘ a anterior), rezultˆand expresia (3.70). c. Funct¸iile Green libere retardat˘ a ¸si avansat˘ a ˆIn mod similar cu funct¸ia Green cauzal˘ a liber˘a se deduc expresiile funct¸iilor Green libere retardat˘ a ¸si avansat˘ a. Rezultatele cele mai simple sunt pentru transformatele Fourier spat¸io-temporale, care au expresiile urm˘atoare: e0 R′ (k, ω) = δσσ′ G σσ
3.2.4
e0σσA′ (k, ω) = δσσ′ G
1 ω − ωk + i η 1 ω − ωk − i η
, η→0+ . η→0+
(3.72a) (3.72b)
Interpretarea fizic˘ a a funct¸iei Green cauzale
A. Funct¸ia Green cauzal˘ a ˆın spat¸iul pozit¸ii-timp Funct¸ia Green cauzal˘ a uni-particul˘ a are expresii diferite, ˆın funct¸ie de relat¸ia dintre variabilele temporale, dup˘a cum rezult˘a din definit¸ie, (3.44): hΨ0 | ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i , pentru t > t′ , − i hΨ0 |Ψ0 i Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = hΨ0 | ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) ψˆσH (r, t) |Ψ0 i , pentru t < t′ . + i hΨ0 |Ψ0 i
Pentru a obt¸ine interpretarea fizic˘ a a expresiilor precedente se utilizeaz˘a urm˘atoarele condit¸ii:
• Se lucreaz˘ a ˆın formularea Dirac (care este formularea Heisenberg pentru sistemul liber); atunci – |Φ0 i este vectorul st˘ arii fundamentale a sistemului liber (cˆand formularea Heisenberg coincide cu formularea Dirac), – |Ψ0 i este vectorul st˘ arii fundamentale a sistemului cu interact¸ii (ˆın formularea Heisenberg). • Se consider˘ a init¸ial c˘ a sistemul este liber (f˘ ar˘a interact¸ii mutuale) ¸si se introduce interact¸ia mutual˘a prin metoda adiabatic˘a: – la momentul init¸ial t = ±∞ sistemul este liber ¸si evolueaz˘ a (ˆınainte sau ˆınapoi) c˘ atre momentul final t = 0, cˆ and sistemul cont¸ine ˆıntreaga interact¸ie; ˆ (ε) (t1 , t2 ) este dependent de parametrul adiabatic ε, care trece – operatorul de evolut¸ie U I la limita nul˘a ˆın rezultatele finale. – conform teoremei Gell-Mann ¸si Low vectorul st˘arii fundamentale a sistemului liber (considerat ca vector de stare a sistemului adiabatic la momentul init¸ial t = ±∞) evolueaz˘ a ˆın mod adiabatic (pˆan˘a la momentul final t = 0) c˘ atre vectorul Gell-Mann ¸si Low, care este vectorul st˘arii fundamentale a sistemului cu interact¸ii: (t0 =±∞) → (t1 =0)
|Φ0 i −−−−−−−−−−−−→ ad.
ˆ (ε) (0, ±∞)|Φ0 i U |Ψ0 i I ≡ lim . ˆ (ε) (0, ±∞)|Φ0 i hΦ0 |Ψ0 i ε→0+ hΦ0 |U I
– Relat¸iile ˆıntre operatorii formul˘arii Heisenberg ¸si operatorii corespondent¸i ai formul˘arii Dirac adiabatic˘a sunt urm˘atoarele ˆ (ε) (t, 0) ˆ (ε) (0, t) AˆIε (t) U AˆH (t) = U I I
=⇒
ˆ (ε) (0, t) . ˆ (ε) (t, 0) AˆH (t) U AˆIε (t) = U I I
156
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Cazul t > t′ : Vectorul st˘ arii fundamentale, la momentul t′ este evoluatul adiabatic de la momentul t0 = 0 al vectorului Gell-Mann ¸si Low: (ε)
(ε)
(ε)
(ε)
(ε)
ˆ (t′ , 0) |Ψ (0)i = U ˆ (t′ , 0) |Ψ i , |Ψ0I (t′ )i = U I 0I I 0H (ε)
unde |Ψ0H i este vectorul Gell-Mann ¸si Low ˆınainte de efectuarea limitei ε → 0, adic˘a (ε)
|Ψ0H i =
(ε) ˆ (ε) (0, ±∞)|Φ0 i U |Ψ0 i I ≡ . (ε) ˆ (ε) (0, ±∞)|Φ0 i hΦ0 |U hΦ |Ψ i 0 0 I
Se adaug˘a o particul˘ a la momentul t′ ˆın punctul r′ cu spinul σ ′ ; atunci vectorul de stare se modific˘a sub act¸iunea operatorului de cˆ amp de creare ψˆσ† ′ (r′ ): (ε)
|Ψ0I (t′ )i
−→
(ε)
(ε)
|ΨI (r′ , σ ′ ; t′ )i = ψˆσ† ′ Iε (r′ , t′ ) |Ψ0I (t′ )i
ˆ (ε) (t′ , 0) |Ψ(ε) i ˆ (ε) (0, t′ ) · U ˆ (ε) (t′ , 0) ψˆ† ′ (r′ , t′ ) U =U I σ H {z I } 0H |I =ˆ 1
=
ˆ (ε) (t′ , 0) U I
(ε) |Ψ0H i
ψˆσ† ′ H (r′ , t′ )
.
Evolut¸ia temporal˘ a (de la momentul t′ pˆ an˘a la momentul t) a st˘arii cu particula suplimentar˘ a este dat˘a de vectorul (ε) ˆ (ε) (t, t′ ) |Ψ(ε) (r′ , σ ′ ; t′ )i = U ˆ (ε) (t, t′ ) U ˆ (ε) (t′ , 0) ψˆ† ′ (r′ , t′ ) |Ψ(ε) i |ΨI (r′ , σ ′ ; t′ → t)i = U I I 0H |I {z I } σH (ε)
ˆ (t,0) =U I
ˆ (ε) (t, 0) ψˆ† ′ (r′ , t′ ) |Ψ(ε) i . =U I σ H 0H
Pe de alt˘ a parte, vectorul de stare al sistemului la momentul t, dac˘a la acest moment se adaug˘a o particul˘ a suplimentar˘ a ˆın punctul r ¸si cu spinul σ (sistemul aflˆandu-se anterior ˆın starea fundamental˘ a) este (ε) (ε) † ˆ (ε) (t, 0) |Ψ(ε) i ˆ (ε) (0, t) · U ˆ (ε) (t, 0) ψˆ† (r, t) U (r, t) |Ψ0I (t)i = U |ΨI (r, σ; t)i = ψˆσI I σH ε {z I } 0H |I =ˆ 1
ˆ (ε) (t, 0) ψˆ† (r, t) |Ψ(ε) i ; =U 0H I σH
ca urmare vectorul bra conjugat vectorului ket precedent este (ε)
(ε)
(ε)
ˆ (o, t) . hΨI (r, σ; t)| = hΨ0H | ψˆσH (r, t) U I Pe baza rezultatelor anterioare se poate deduce amplitudinea de probabilitate ca particula suplimentar˘ a, creat˘ a la momentul t′ ˆın (r′ , σ ′ ) s˘a ajung˘a la momentul t ˆın (r, σ): aceasta este proiect¸ia (ε) ′ (ε) vectorului |ΨI (r , σ ′ ; t′ → t)i pe vectorul |ΨI (r, σ; t)i (ˆın plus, deoarece vectorul de stare nu este normat, se ˆımparte la norma sa ¸si ˆın final se efectueaz˘a limita adiabatic˘a nul˘a) 15 (ε) (ε) hΨI (r, σ; t)|ΨI (r′ , σ ′ ; t′ → t)i ; Pp (r′ , σ ′ ; t′ ) → (r, σ; t) = lim (ε) (ε) ε→0+ hΨ0I (t)|Ψ0I (t)i
ˆın expresia amplitudinii de probabilitate precedente se ˆınlocuiesc vectorii de stare Dirac prin expresiile legate de vectorul st˘ arii fundamentale (Heisenberg), apoi se simplific˘ a operatorii de evolut¸ie conform propriet˘ a¸tii grupale: (ε) ˆ (ε) (t, 0) ψˆ† ′ (r′ , t′ ) |Ψ(ε) i ˆ (ε) (o, t) · U hΨ0H | ψˆσH (r, t) U 0H I σ H I Pp (r′ , σ ′ ; t′ ) → (r, σ; t) = lim (ε) ˆ (ε) (ε) (ε) ε→0+ ˆ hΨ0H | UI (0, t) · UI (t, 0) |Ψ0H i (ε) (ε) ˆ hΨ0H | ψσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0H i ; = lim (ε) (ε) ε→0+ hΨ0H | |Ψ0H i 15 Amplitudinea de probabiliate a unui eveniment P(e) determin˘ a probabilitatea de realizare a acestui eveniment p(e), conform relat¸iei generale din mecanica cuantic˘ a: p(e) = |P(e)|2 . Pe de alt˘ a parte, dac˘ a sistemul se afl˘ a ˆın starea descris˘ a prin vectorul de stare |Ψi, atunci amplitudinea de probabilitate ca s˘ a fie realizat˘ a starea descris˘ a de vectorul |Φi este P(Ψ → Φ) = hΦ|Ψi.
3.2. FUNCT ¸ II GREEN FERMIONICE
157
(ε)
apoi se substituie vectorul de stare |Ψ0H i prin expresia Gell-Mann ¸si Low, se simplific˘ a termenii de la numitori hΦ0 |Ψ(ε) i ¸si ˆın final se trece la limita nul˘a pentru parametrul adiabatic, astfel ˆıncˆ at rezult˘a (ε)
hΨ0 |
(ε) hΨ0 |Φ0 i Pp (r′ , σ ′ ; t′ ) → (r, σ; t) = lim ε→0+
=
ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) (ε)
hΨ(ε) |
|Ψ0 i
(ε)
|Ψ(ε) i
(ε)
hΦ0 |Ψ0 i
(ε)
hΨ0 |Φ0 i hΦ0 |Ψ0 i
hΨ0 | ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t′ )|Ψ0 i ; hΨ0 |Ψ0 i
expresia final˘a a amplitudinii de probabilitate pentru propagarea unei particule suplimentare (r′ , σ ′ ; t′ ) → (r, σ; t) este identic˘ a cu expresia funct¸iei Green cauzale pentru cazul t > t′ , astfel ˆıncˆ at este valabil˘a egalitatea: Pp (r′ , σ ′ ; t′ ) → (r, σ; t) = i Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) ′ . t>t
Cazul t < t′ : Se trateaz˘ a ˆın mod similar cu cazul anterior. Vectorul st˘arii fundamentale, la momentul t este evoluatul adiabatic de la momentul t0 = 0 al vectorului Gell-Mann ¸si Low: (ε)
(ε)
(ε)
(ε)
(ε)
ˆ (t, 0) |Ψ i , ˆ (t, 0) |Ψ (0)i = U |Ψ0I (t)i = U 0H I 0I I (ε)
a un unde |Ψ0H i este vectorul Gell-Mann ¸si Low ˆınainte de efectuarea limitei ε → 0. Se creaz˘ gol la momentul t ˆın punctul r cu spinul σ; atunci vectorul de stare se modific˘a sub act¸iunea operatorului de cˆ amp de anihilare ψˆσ (r): (ε)
|Ψ0I (t)i
−→
(ε)
(ε)
| ΨI (r, σ; t)i = ψˆσIε (r, t) |Ψ0I (t)i
ˆ (ε) (t, 0) |Ψ(ε) i ˆ (ε) (0, t) · U ˆ (ε) (t, 0) ψˆσH (r, t) U =U I I {z I } 0H | =ˆ 1
ˆ (ε) (t, 0) ψˆσH (r, t) |Ψ(ε) i . =U 0H I
Evolut¸ia temporal˘ a (de la momentul t pˆ an˘a la momentul t′ ) a st˘arii cu golul creat este dat˘a de vectorul (ε) ˆ (ε) (t′ , t) | Ψ(ε) (r, σ; t)i = U ˆ (ε) (t′ , t) U ˆ (ε) (t, 0) ψˆσH (r, t) |Ψ(ε) i | ΨI (r, σ; t → t′ )i = U I I 0H {z I } |I (ε)
ˆ (t′ ,0) =U I
ˆ (ε) (t′ , 0) ψˆσH (r, t) |Ψ(ε) i . =U 0H I
Pe de alt˘ a parte, vectorul de stare al sistemului la momentul t′ , dac˘a la acest moment se creaz˘ a un gol ˆın punctul r′ ¸si cu spinul σ ′ (sistemul aflˆandu-se anterior ˆın starea fundamental˘ a) este (ε) (ε) ˆ (ε) (t′ , 0) ψˆσ′ H (r′ , t′ ) U ˆ (ε) (0, t′ ) · U ˆ (ε) (t′ , 0) |Ψ(ε) i | ΨI (r′ , σ ′ ; t′ )i = ψˆσ′ Iε (r′ , t′ ) |Ψ0I (t)i = U I {z I } 0H |I =ˆ 1
=
ˆ (ε) (t′ , 0) U I
ψˆσ′ H (r , t ) ′
′
(ε) |Ψ0H i
;
ca urmare vectorul bra conjugat vectorului ket precedent este (ε) (ε) ˆ (ε) (o, t) . h ΨI (r′ , σ ′ ; t′ )| = hΨ0H | ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) U I
Pe baza rezultatelor anterioare se poate deduce amplitudinea de probabilitate ca golul, creat la momentul t ˆın (r, σ) s˘a ajung˘a la momentul t′ ˆın (r′ , σ ′ ): aceasta este proiect¸ia vectorului
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
158 (ε)
(ε)
| ΨI (r, σ; t → t′ )i pe vectorul | ΨI (r′ , σ ′ ; t′ )i (ˆın plus, deoarece vectorul de stare nu este normat, se ˆımparte la norma sa ¸si ˆın final se efectueaz˘a limita adiabatic˘a nul˘a) (ε)
(ε)
h ΨI (r′ , σ ′ ; t′ )| ΨI (r, σ; t → t′ )i ; Pg (r, σ; t) → (r′ , σ ′ ; t′ ) = lim (ε) (ε) ε→0+ h Ψ0I (t)| Ψ0I (t)i
ˆın expresia amplitudinii de probabilitate precedente se ˆınlocuiesc vectorii de stare Dirac prin expresiile legate de vectorul st˘ arii fundamentale (Heisenberg), apoi se simplific˘ a operatorii de evolut¸ie conform propriet˘ a¸tii grupale: (ε) ˆ (ε) (o, t′ ) · U ˆ (ε) (t′ , 0) ψˆσH (r, t) |Ψ(ε) i hΨ0H | ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) U I I 0H Pg (r, σ; t) → (r′ , σ ′ ; t′ ) = lim (ε) ˆ (ε) ε→0+ ′) · U ˆ (ε) (t′ , 0) |Ψ(ε) i (0, t hΨ0H | U 0H I I (ε) ˆ† (ε) ′ ′ ˆ hΨ0H | ψσ′ H (r , t ) ψσH (r, t) |Ψ0H i = lim ; (ε) (ε) ε→0+ hΨ0H | |Ψ0H i (ε)
a termenii apoi se substituie vectorul de stare |Ψ0H i prin expresia Gell-Mann ¸si Low, se simplific˘ de la numitori hΦ0 |Ψ(ε) i ¸si ˆın final se trece la limita nul˘a pentru parametrul adiabatic, astfel ˆıncˆ at rezult˘a (ε)
Pg (r, σ; t) → (r′ , σ ′ ; t′ ) = lim
ε→0+
hΨ0 |
(ε) hΨ0 |Φ0 i
ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) ψˆσH (r, t) hΨ(ε) | (ε)
(ε)
|Ψ0 i
|Ψ(ε) i
(ε)
hΦ0 |Ψ0 i
(ε)
hΨ0 |Φ0 i hΦ0 |Ψ0 i † ′ ′ ˆ ˆ hΨ0 | ψσ′ H (r , t ) ψσH (r, t)|Ψ0 i ; = hΨ0 |Ψ0 i
expresia final˘a a amplitudinii de probabilitate pentru propagarea unui gol (r, σ; t) → (r′ , σ ′ ; t′ ) este identic˘ a cu expresia funct¸iei Green cauzale pentru cazul t < t′ , astfel ˆıncˆ at este valabil˘a egalitatea: . Pg (r, σ; t) → (r′ , σ ′ ; t′ ) = −i Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) t
ˆIn concluzie, funct¸ia Green uni-particul˘a cauzal˘ a este propagatorul unei particule suplimentare (fat¸˘ a de starea fundamental˘ a) pentru t > t′ ¸si este propagatorul unui gol (creat ˆın starea fundamental˘ a) pentru t < t′ ( = −i Pp (r′ , σ ′ ; t′ ) → (r, σ; t) pentru t > t′ , ′ ′ Gσσ′ (r, t; r , t ) = (3.73) = +i Pg (r, σ; t) → (r′ , σ ′ ; t′ ) pentru t < t′ ;
datorit˘a acestei propriet˘ a¸ti funct¸ia Green cauzal˘ a este numit˘a propagatorul Feynman. Se observ˘a c˘ a se poate interpreta, ˆın mod convent¸ional, propagarea golului ca fiind echivalent˘ a cu propagarea unei particule inversat˘ a temporal. A. Funct¸ia Green cauzal˘ a ˆın spat¸iul impuls-timp Se poate face o discut¸ie analoag˘a pentru transformata Fourier spat¸ial˘a a funct¸iei Green cauzale (cazul sistemului omogen): hΨ0 | T a ˆ kσH (t) · a ˆ†kσH (t′ ) |Ψ0 i ′ Gσσ (k; t, t ) = (−i) hΨ0 |Ψ0 i hΨ0 | a ˆ kσH (t) · a ˆ†kσH (t′ ) |Ψ0 i = −i Pp (k, σ; t′ → t) dac˘a t > t′ , − i hΨ |Ψ i 0 0 (3.74) = hΨ | a ˆ† (t′ ) · a ˆ kσH (t) |Ψ0 i ′ ′ + i 0 kσH = i Pg (k, σ; t → t ) dac˘a t < t ; hΨ0 |Ψ0 i unde Pp (k, σ; t′ → t) este amplitudinea probabilit˘ a¸tii de propagare a unei particule ˆın starea proprie (k, σ), de la momentul t′ pˆ an˘a la momentul t, iar Pg (k, σ; t → t′ ) este amplitudinea probabilit˘ a¸tii de propagare a unui gol ˆın starea proprie (k, σ), de la momentul t pˆ an˘a la t′ .
3.2. FUNCT ¸ II GREEN FERMIONICE
159
Im(z) Conform reprezent˘ arii Lehmann, transformata Fourier spat¸ioe ω temporal˘ a a funct¸iei Green cauzale Gσσ (k, ω) este o funct¸ie meA z A romorf˘a ˆın planul complex al variabilei pulsat¸ie (ω → z = ω + iγ), γA avˆand poli izolat¸i deasupra axei reale pentru ω < ωF ¸si poli izolat¸i sub axa real˘ a pentru ω > ωF . ˆIn cazul utiliz˘arii bazei de st˘ari ωF Re(z) γR exacte ale sistemului, singularit˘a¸tile funct¸iei Green sunt localizate ˆın vecin˘atatea infinitezimal˘a a axei reale. Totu¸si ˆın cazurile zR ωR sistemelor cu interact¸ii mutuale nu se pot determina st˘arile proprii ale sistemului, astfel ˆıncˆ at reprezentarea Lehmann exact˘a nu poate fi obt¸inut˘a practic. ˆIn aceste situat¸ii singura posibilitate Figura 3.4: Singularit˘ a¸ti ale de a obt¸ine informat¸ii utile asupra sistemului este s˘a se efectueze funct¸iei Green G(k, e z). aproximat¸ii; ca rezultat al unei metode de aproximat¸ie transformata Fourier a funct¸iei Green cauzal˘ a este de asemenea o funct¸ie meromorf˘a (ˆın planul complex al variabilei z = ω + iγ), dar polii se afl˘ a la distant¸e finite de axa real˘a. Se consider˘ a cazul elementar al unei perechi de poli, situat¸ie prezentat˘ a ˆın figura 3.4: • zA = ωA + i γA , unde ωA < ωF ¸si γA > 0 (pol situat deasupra axei reale ¸si la stˆanga pulsat¸iei Fermi); • zR = ωR − i γR , unde ωR > ωF ¸si γR > 0 (pol situat sub axa real˘a ¸si la dreapta pulsat¸iei Fermi). (Cazul cˆ and exist˘a mai multe perechi de poli se reduce la cazul elementar, prin tratarea fiec˘ arei perechi ˆın mod separat.) Pentru simplificarea discut¸iei se va considera cazul sistemului izotrop, astfel ˆıncˆ at funct¸iile Green uni-particul˘ a sunt diagonale ˆın indicii de spin, ceea ce permite s˘a se utilizeze funct¸iile Green scalare. Interpretarea fizic˘ a a singularit˘a¸tilor funct¸iei Green este dat˘a de urm˘atoarea teorem˘a: Teorema Galitski - Migdal: Dac˘ a polii funct¸iei Green sunt aproape de axa real˘a (dar la distant¸e finite) ¸si se consider˘ a momente de timp suficient de mari, atunci transformata Fourier spat¸ial˘a a funct¸iei Green cauzale G(k, t) descrie propagarea amortizat˘ a a unei particule (pentru timpi pozitivi) sau propagarea amortizat˘ a a unui gol (pentru timpi negativi), cu energia egal˘a cu partea real˘ a a polului ¸si constanta de amortizare egal˘a cu partea imaginar˘a a polului. Explicitarea teoremei Galitski - Migdal: • Conform ipotezei, transformata Fourier spat¸io-temporal˘a a funct¸iei Green cauzale (contie z) are ca singularit˘a¸ti polii simpli nuat˘ a analitic ˆın planul complex al pulsat¸iei) G(k, e z A ) ≡ aA , – zA (deasupra axei reale) cu reziduul Res G(k, e z R ) ≡ aR . – zR (sub axa real˘ a) cu reziduul Res G(k,
• Condit¸iile de apropiere fat¸˘ a de axa real˘a ¸si de timpi suficient de lungi se exprim˘ a prin inegalit˘a¸tile urm˘atoare: 1 1 , , ωR − ωF ≫ ωF − ωA ≫ |t| | t| & 1 1 γR ≪ γA ≪ ; . |t| |t| (Adic˘ a magnitudinea timpilor este determinat˘ a de m˘arimile polilor.)
• Pentru timpi suficient de mari (ˆın sensul inegalit˘a¸tilor anterioare) transformata Fourier spat¸ial˘a a funct¸iei Green cauzal˘ a G(k, t) are urm˘atoarele expresii asimptotice: e zR ) e−izR t = −i aR e−iωR t−γR t , G(k, t) ≈ − i Res G(k, t>0 e zA ) e−izA t = +i aA e−iωA t−γA |t| . G(k, t) ≈ + i Res G(k, t<0
160
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Deoarece transformata Fourier spat¸ial˘a a funct¸iei Green cauzale G(k, t) este propagatorul unei particule (pentru timpi pozitivi), sau propagatorul unui gol (pentru timpi negativi) ˆın starea proprie de impuls-spin (k, σ), rezult˘a urm˘atoarea consecint¸˘a important˘ a a teoremei GalitskiMigdal: i. propagatorul unei particule, adic˘a amplitudinea de probabilitate ca o particul˘ a, creat˘ a la momentul t0 = 0 ˆıntr-o stare proprie impuls-spin uni-particul˘a (k, σ), s˘a se propage ˆın aceea¸si stare pˆ an˘a la momentul t, are expresia Pp (k, σ; 0 → t) = aR e−iωR t−γR t ,
(t > 0) ;
(3.75a)
ii. propagatorul unui gol, adic˘a amplitudinea de probabilitate ca un gol, creat la momentul t < 0 ˆıntr-o stare proprie impuls-spin uni-particul˘a (k, σ), s˘a se propage ˆın aceea¸si stare pˆ an˘a la momentul t′ = 0, are expresia Pg (k, σ; t → 0) = aA e−iωA t−γA |t| ,
(t < 0) .
(3.75b)
Se observ˘ a c˘ a evolut¸ia particulei sau a golului ˆıntr-o stare proprie uni-particul˘a este amortizat˘ a, avˆand energia ¸si constanta de amortizare date de p˘ art¸ile real˘a ¸si imaginar˘a ale polului funct¸iei e ω) continuat˘ Green G(k, a analitic ˆın planul complex. Prin urmare, un sistem cu interact¸ii are excitat¸ii elementare de tip uni-particul˘a (particul˘a suplimentar˘a sau gol) cu timp de viat¸˘a finit (adic˘a acestea sunt st˘ ari instabile, sau cel mult metastabile). Pe de alt˘ a parte, teorema Galitski-Migdal nu este ˆın contradict¸ie cu reprezentarea Lehmann exact˘ a. ˆIn cazul reprezent˘ arii Lemann exacte, se utilizeaz˘a st˘ari proprii ale sistemului cu interact¸ii (f˘ ar˘a s˘a se pun˘a problema posibilit˘ a¸tii de determinare efectiv˘a a acestor st˘ari, se consider˘ a numai faptul c˘ a aceste st˘ ari exist˘a fizic) ¸si se obt¸ine c˘ a transformata Fourier spat¸io-temporal˘a a funct¸iei Green cauzale are poli ˆın vecin˘atatea infinitezimal˘a a axei reale; ca urmare, teorema Galitski-Migdal interpreteaz˘ a acest rezultat c˘ a reprezint˘ a st˘ari particul˘ a (sau gol) cu constant˘ a de amortizare infinitezimal˘a, adic˘a timpi de viat¸˘a infinit de lungi, ceea ce corespunde la st˘ari stabile. Rezultatul anterior este ˆın concordant¸˘a cu ipoteza init¸ial˘a c˘ a aceste st˘ari sunt efectiv st˘ari proprii (deci stabile, f˘ ar˘ a amortizare) ale sistemului. Demonstrat¸ie: • Dup˘ a cum s-a ar˘ atat anterior, cˆ and s-au discutat consecint¸ele reprezent˘ arii Lehmann asupra propriet˘ a¸tilor analitice ale transformatelor Fourier pentru funct¸iile Green uni-particul˘ a, transformata Fourier a funct¸iei Green cauzal˘ a este practic egal˘ a cu transformata Fourier a funct¸iei Green avansat˘ a la frecvent¸e mici ¸si de asemenea, aceast˘ a transformat˘ a Fourier a funct¸iei Green cauzal˘ a este egal˘ a cu transformata Fourier a funct¸iei Green retardate la frecvent¸e mari: ( e (A) (k, ω) , pentru ω < ωF , G e G(k, ω) = e G(R) (k, ω) , pentru ω > ωF . Transformata Fourier a funct¸iei Green avansate, continuat˘ a analitic ˆın planul complex al frecvent¸ei e (A) (k, z) este o funct¸ie analitic˘ G a ˆın semiplanul inferior Imz < 0 ¸si este o funct¸ie meromorf˘ a ˆın semiplanul superior Imz > 0 (unde poate avea un set de poli simpli ¸si izolat¸i deasupra axei reale). ˆIn mod analog transformata Fourier a funct¸iei Green retardat˘ a, continuat˘ a analitic ˆın planul come(R) (k, z) este o funct¸ie analitic˘ plex al frecvent¸ei G a ˆın semiplanul superior Imz > 0 ¸si este o funct¸ie meromorf˘ a ˆın semiplanul inferior Imz < 0 (unde poate avea un set de poli simpli ¸si izolat¸i sub axa real˘ a).
Ca urmare a relat¸iilor specificate anterior ˆıntre transformatele Fourier ale funct¸iilor Green uniparticul˘ a, polii transformatei Fourier a funct¸iei Green cauzal˘ a, care au partea real˘ a mai mic˘ a decˆ at frecvent¸a Fermi, sunt egali cu polii corespondent¸i ai transformatei Fourier pentru funct¸ia Green avansat˘ a ¸si polii transformatei Fourier a funct¸iei Green cauzal˘ a, care au partea real˘ a mai mare decˆ at frecvent¸a Fermi, sunt egali cu polii corespondent¸i ai transformatei Fourier pentru funct¸ia e (A) (k, z) are un singur pol Green retardat˘ a. Pentru simplitatea expunerii se consider˘ a cazul cˆ and G e (R) (k, z) are, de asemenea, un singur pol (zR = ωk − iγk ). Cazul general, cˆ (zA = ωk + iγk ) ¸si G and exist˘ a seturi de poli, se trateaz˘ a ˆın mod analog, deoarece se poate efectua analiza similar˘ a pentru fiecare pol ˆın mod separat. Funct¸ia Green cauzal˘ a depinde numai de diferent¸a coordonatelor de pozit¸ie ¸si timp, astfel ˆıncˆ at poate fi transformat˘ a Fourier spat¸io-temporal, conform relat¸iei (3.51), sau numai spat¸ial, conform
3.2. FUNCT ¸ II GREEN FERMIONICE relat¸iei (3.54):
161
XZ ∞ 1 dω i(k·r−ωt e e G(k, ω) , V 2π −∞ k G(r, t) = 1 X e ik·r G(k, t) ; V k
din rezultatele precedente se obt¸ine relat¸ia ˆıntre cele dou˘ a transformate Fourier: Z ∞ dω −iωt e G(k, t) = e G(k, ω) . −∞ 2π
e Transformata Fourier spat¸io-temporal˘ a a funct¸iei Green cauzal˘ a G(k, ω) se poate ˆınlocui cu trans(A) e formata Fourier a funct¸iei Green avansat˘ a G (k, ω) la frecvent¸e mici ¸si se poate ˆınlocui cu transe (R) (k, ω) la frecvent¸e mari; atunci relat¸ia ˆıntre transformata Fourier a funct¸iei Green retardat˘ aG formatele Fourier se exprim˘ a astfel: Z ωF Z ∞ dω −iωt e (R) dω −iωt e (A) G(k, t) = e G (k, ω) + e G (k, ω) . ωF 2π −∞ 2π
Motivat¸ia pentru exprimarea transformatei Fourier spat¸iale a funct¸iei Green cauzal˘ a G(k, t) prin transformatele Fourier spat¸io-temporale ale funct¸iilor Green avansat˘ a ¸si retardat˘ a este bazat˘ a pe faptul c˘ a se vor efectua integralele ˆın planul complex ¸si se vor utiliza propriet˘ a¸tile analitice ale e (A) (k, z) ¸si G e (R) (k, z), care sunt mai simple decˆ funct¸iilor G at propriet˘ a¸tile analitice ale funct¸iei e G(k, z), deoarece aceste dou˘ a funct¸ii sunt analitice fiecare ˆın unul dintre semiplanele frecvent¸ei ca variabil˘ a complex˘ a. Prin urmare, se va exprima transformata Fourier a funct¸iei Green prin integralele efectuate ˆın planul complez al variabilei z: Z ωF Z ∞ dz −izt e (R) dz −izt e (A) G(k, t) = e G (k, z) + e G (k, z) . ωF 2π −∞ 2π De asemenea, este necesar s˘ a se observe c˘ a efectuarea integralelor specificate anterior se face ˆın mod diferit pentru valorile pozitive (t > 0) ¸si pentru valorile negative (t < 0) ale variabilei temporale, deoarece factorul exponent¸ial e−izt = e−iωt eγt are comportarea determinat˘ a de semnul variabilei temporale pe cercul de la infinit din planul complex |z| → ∞.
• Pentru valori pozitive ale variabilei temporale t > 0, factorul exponent¸ial este −izt = −i(ω + iγ)t = −iωt + γt , ceea ce implic˘ a convergent¸a integralelor numai ˆın semi-planul inferior Imz < 0; ca urmare se vor deforma contururile de integrare, astfel ˆıncˆ at s˘ a se utilizeze semicercul de la infinit al semi-planului inferior (vezi Anexa matematic˘ a A.5). e (A) (k, z), care este olomorf˘ Integrala cu frecvent¸e mici cont¸ine funct¸ia G a ˆın semi-planul inferior; ca urmare, se poate deforma conturul de integrare z = −∞ → ωF , conform figurii 3.5, devenind arcul de cerc de la infinit C1′ ˆımpreun˘ a cu semi-dreapta paralel˘ a cu axa imaginar˘ a (ωF − i∞) → ωF : Z ωF Z Z ωF dz −izt e (A) dz −izt e (A) dz −izt e (A) e G (k, z) = e G (k, z) + e G (k, z) . 2π 2π 2π ′ −∞ C1 ωF −i∞
γ (A)
zk
ωF ω (R)
zk C1′
C2′
Figura 3.5: Contururile de integrare pentru cazul t > 0.
162
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA ˆIn integrala pe arcul de cerc de la infinit C1′ funct¸ia G e (A) (k, z) satisface proprietatea asimptotic˘ a (3.65), astfel ˆıncˆ at integrala este nul˘ a, conform lemei Jordan (vezi Anexa matematic˘ a A.5): Z Z dz −izt e (A) dz −izt 1 e G (k, z) ≈ e =0; |z|→∞ ′ 2π 2π |z| ′ C1 C1 ca urmare prima integral˘ a se reduce la integrarea pe semi-dreapta paralel˘ a cu axa imaginar˘ a: Z ωF Z ωF dz −izt e (A) dz −izt e (A) e G (k, z) = e G (k, z) . 2π 2π ωF −i∞ −∞
Integrala cu frecvent¸e mari cont¸ine o funct¸ie meromorf˘ a ˆın semi-planul inferior, care are un pol simplu ˆın punctul zR = ωk − iγk (γk > 0); atunci integrala se evalueaz˘ a cu ajutorul teoremei reziduurilor (vezi Anexa matematic˘ a A.5): port¸iunea z = ωF → ∞ de pe semiaxa real˘ a pozitiv˘ a este substituit˘ a prin conturul obt¸inut prin completarea semi-dreptei specificate anterior cu arcul de cerc C2′ ˆımpreun˘ a cu semi-dreapta paralel˘ a cu axa imaginar˘ a z = (ωF − i∞) → ωF , obt¸inˆ andu-se conturul ˆınchis C2 (care este parcurs ˆın sens negativ) ¸si apoi se scad contribut¸iile suplimentare, ad˘ augate anterior pentru a obt¸ine conturul ˆınchis din jurul polului: Z ∞ dz −izt e (R) e G (k, z) ωF 2π I Z Z ωF dz −izt e (R) dz −izt e (R) dz −izt e (R) = e G (k, z) − e G (k, z) − e G (k, z) . 2π 2π 2π ′ C2 C2 ωF −i∞
ˆIn ultima relat¸ie prima integral˘ a este egal˘ a cu reziduul integrandului cu semn schimbat (deoarece contutrul este parcurs ˆın sens negativ): I (R) dz −izt e (R) e(R) (k, z) = −i e−izR t Res G e (k, zR ) ; e G (k, z) = −i Res e−izt G zR C2 2π
a doua integral˘ a din relat¸ia specificat˘ a anterior se efectueaz˘ a pe arcul de cerc de la infinit C2′ , (R) e unde funct¸ia G (k, z) satisface proprietatea asimptotic˘ a (3.65), astfel ˆıncˆ at integrala este nul˘ a, conform lemei Jordan: Z Z dz −izt e (A) dz −izt 1 e G (k, z) ≈ e =0; |z|→∞ C ′ 2π |z| C ′ 2π 2
2
ca urmare integrala la frecvent¸e mari se reduce la reziduul polului din care se scade integrarea pe semi-dreapta paralel˘ a cu axa imaginar˘ a: Z ∞ Z ωF (R) dz −izt e(R) dz −izt e (R) e (k, zR ) − e G (k, z) = −i e−izR t Res G e G (k, z) . ωF 2π ωF −i∞ 2π
Adunˆ and contribut¸iile celor dou˘ a integrale se obt¸ine urm˘ atoarea expresie pentru transformata Fourier a funct¸iei Green cauzale la valori pozitive ale variabilei temporale: Z ωF (R) dz −izt e (R) e (k, zR ) − e(A) (k, z) . G(k, t) = −i e−izR t Res G e G (k, z) − G 2π t>0 ωF −i∞ • Pentru valori negative ale variabilei temporale t < 0, factorul exponent¸ial este −izt = −i(ω + iγ)t = −iωt − γ|t| ,
ceea ce implic˘ a convergent¸a integralelor numai ˆın semi-planul superior Imz > 0; ca urmare se vor deforma contururile de integrare, astfel ˆıncˆ at s˘ a se utilizeze semicercul de la infinit al semi-planului superior. e (R) (k, z), care este olomorf˘ Integrala de frecvent¸e mari cont¸ine funct¸ia G a ˆın semi-planul superior; ca urmare, se poate deforma conturul de integrare z = ωF → ∞, conform figurii 3.6, devenind arcul de cerc de la infinit C2′′ ˆımpreun˘ a cu semi-dreapta paralel˘ a cu axa imaginar˘ a ωF → (ωF + i∞): Z
∞ ωF
dz −izt e (R) e G (k, z) = 2π
Z
dz −izt e (R) e G (k, z) + ′′ 2π C2
Z
ωF +i∞
ωF
dz −izt e (R) e G (k, z) . 2π
3.2. FUNCT ¸ II GREEN FERMIONICE
163
γ
C1′′
C2′′ (A)
zk
ωF
ω (R) zk
Figura 3.6: Contururile de integrare pentru cazul t < 0. ˆIn integrala pe arcul de cerc de la infinit C2′′ funct¸ia G e (R) (k, z) satisface proprietatea asimptotic˘ a (3.65), astfel ˆıncˆ at integrala este nul˘ a, conform lemei Jordan: Z Z dz −izt e (R) dz −izt 1 e G (k, z) ≈ e =0; |z|→∞ ′ 2π 2π |z| ′′ C2 C2
ca urmare integrala cu frecvent¸e mari se reduce la integrarea pe semi-dreapta paralel˘ a cu axa imaginar˘ a: Z ωF +i∞ Z ∞ dz −izt e (R) dz −izt e(R) e G (k, z) = e G (k, z) . 2π 2π ωF ωF
Integrala cu frecvent¸e mici cont¸ine o funct¸ie meromorf˘ a ˆın semi-planul superior, care are un pol simplu ˆın punctul zA = ωk + iγk (γk > 0); atunci integrala se evalueaz˘ a cu ajutorul teoremei reziduurilor: port¸iunea z = −∞ → ωF de pe semiaxa real˘ a este substituit˘ a prin conturul obt¸inut prin completarea semi-dreptei specificate anterior cu arcul de cerc C1′′ ˆımpreun˘ a cu semi-dreapta paralel˘ a cu axa imaginar˘ a z = ωF → (ωF + i∞), obt¸inˆ andu-se conturul ˆınchis C1 (care este parcurs ˆın sens pozitiv) ¸si apoi se scad contribut¸iile suplimentare, ad˘ augate anterior pentru a obt¸ine conturul ˆınchis din jurul polului: Z ωF dz −izt e (A) e G (k, z) −∞ 2π Z Z ωF +i∞ I dz −izt e (A) dz −izt e (A) dz −izt e(A) e G (k, z) − e G (k, z) − e G (k, z) . = 2π 2π 2π ′′ C1 C1 ωF
ˆIn ultima relat¸ie prima integral˘ a este egal˘ a cu reziduul integrandului: I (R) dz −izt e (A) e (A) (k, z) = i e−izA t Res G e (k, zA ) ; e G (k, z) = i Res e−izt G zA C1 2π a doua integral˘ a din relat¸ia specificat˘ a anterior se efectueaz˘ a pe e (A) (k, z) satisface proprietatea asimptotic˘ unde funct¸ia G a (3.65), conform lemei Jordan: Z Z dz −izt e (R) dz −izt e G (k, z) ≈ e |z|→∞ ′′ 2π 2π ′′ C1 C1
arcul de cerc de la infinit C1′′ , astfel ˆıncˆ at integrala este nul˘ a, 1 =0; |z|
ca urmare prima integral˘ a se reduce reziduul polului din care se scade integrarea pe semi-dreapta paralel˘ a cu axa imaginar˘ a: Z ωF Z ωF +i∞ (A) dz −izt e(A) dz −izt e (A) e (k, zA ) − e G (k, z) = i e−izA t Res G e G (k, z) . 2π 2π ωF −∞
Adunˆ and contribut¸iile celor dou˘ a integrale se obt¸ine urm˘ atoarea expresie pentru transformata Fourier a funct¸iei Green cauzale la valori negative ale variabilei temporale: Z ωF +i∞ (A) dz −izt e (R) e (A) (k, z) . e (k, zA ) + G(k, t) e G (k, z) − G = i e−izA t Res G 2π t<0 ωF
164
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA • Anterior s-au transformat integralele care definesc transformata Fourier spat¸ial˘ a a funct¸iei Green, astfel ˆıncˆ at s-au obt¸inut urm˘ atoarele rezultate: Z ωF (R) dz −izt e (R) e (k, zR ) − e(A) (k, z) , G(k, t) = −i e−izR t Res G e G (k, z) − G t>0 ωF −i∞ 2π Z ωF +i∞ dz −izt e(R) e (A) (k, zA ) + e (A) (k, z) , G(k, t) = i e−izA t Res G e G (k, z) − G 2π t<0 ωF
care sunt independente de pozit¸iile polilor ¸si de m˘ arimea variabilei temporale. ˆIn continuare se va ar˘ ata c˘ a pentru poli apropiat¸i de axa real˘ a ¸si valori suficient de mari pentru variabila temporal˘ a contribut¸iile integralelor pe semidreptele paralele cu axa imaginar˘ a sunt neglijabile, astfel ˆıncˆ at r˘ amˆ an numai contribut¸iile reziduurilor. Mai exact, dac˘ a sunt satisf˘ acute condit¸iile |εk − υ| |t| ≡ |ωk − ωF | |t| ≫ 1 & γk |t| ≪ 1 , ~ (unde ωk este partea real˘ a ¸si γk este m˘ arimea p˘ art¸ii imaginare a polului pentru transformata Fourier a funct¸iei Green avansate sau retardate), atunci rezult˘ a Z ω F (R) dz −izt e(R) −izR t e (A) (k, z) e (k, zR ) , e G (k, z) − G ≪ e Res G ωF −i∞ 2π t>0 Z ω +i∞ F (A) dz e(R) (k, z) − G e (A) (k, z) e (k, zA ) . e−izt G ≪ e−izA t Res G 2π ωF t<0
• Pentru a demonstra prima inegalitate se analizeaz˘ a integrala pe semi-dreapta paralel˘ a cu axa imaginar˘ a ¸si situat˘ a ˆın semi-planul inferior, cˆ and se consider˘ a valori pozitive pentru variabila temporal˘ a (t > 0): Z ωF dz −izt e (R) e (A) (k, z) e G (k, z) − G 2π ωF −i∞ Z (R) −i 0 e (k, ωF − iγ) − G e (A) (k, ωF − iγ) = dγ e−i(ωF −iγ)t G 2π ∞ Z (R) i −iωF t ∞ e (k, ωF − iγ) − G e (A) (k, ωF − iγ) e dγ e−γt G = 2π 0 unde s-a luat ˆın considerare proprietatea z = ωF − iγ pe traiectoria de integrare.
Pentru port¸iunea din traiectoria de integrare aflat˘ a departe de axa real˘ a, adic˘ a pentru valori mari ale variabilei de integrare (γ ≫ 1) se pot utiliza expresiile asimptotice ale transformatelor Fourier pentru funct¸iile Green avansat˘ a ¸si retardat˘ a, conform relat¸iei (3.65), astfel ˆıncˆ at integrandul are o valoare neglijabil˘ a: (R) e (k, ωF − iγ) − G e (A) (k, ωF − iγ) e−γt G ≈ e−γt |z|≫1
1 1 − −→ 0 ; ωF − iγ ωF − iγ
prin urmare, contribut¸ia dominant˘ a la integral˘ a provine de la port¸iunea de traiectorie aflat˘ a ˆın vecin˘ atatea axei reale (adic˘ a γ < γk ). ˆIn acest caz se aproximeaz˘ a integrala la contribut¸ia port¸iunii dominate ¸si se utilizeaz˘ a expresia asimptotic˘ a a integrandului pentru regiunea considerat˘ a: Z ∞ Z ∞ Z γk Z γk dγ f0 (γ) ≈ dγ f (γ) ≈ dγ f (γ) ≈ dγ f0 (γ) , 0
0
0
0
(R) e (k, ωF − iγ) − G e (A) (k, ωF − iγ) , iar f (γ) ≈ f0 (γ) este expresia aproxiunde f (γ) ≡ e−γt G γ≪γk
mativ˘ a a integrandului pentru valori mici ale variabilei γ; se observ˘ a c˘ a se poate extinde integrala la valori mari ale variabilei, ˆın hipoteza c˘ a funct¸ia de aproximat¸ie pentru integrand f0 (γ) este neglijabil˘ a pentru valori mari ale variabilei γ. Funct¸ia de aproximat¸ie f0 (γ) pentru valori mici ale variabilei γ se determin˘ a astfel: e (R) (k, z) prin dezvoltarea Laurent de ordin minim ˆın – pentru γ < γk se poate aproxima G vecin˘ atatea polului s˘ au zR = ωk − iγk : (R)
e (R) (k, z) ≈ ak , G z − zR
(R)
unde ak
(R) e (k, zR ) ; ≡ Res G
3.2. FUNCT ¸ II GREEN FERMIONICE
165
e(A) (k, z) se determin˘ – aproximat¸ia pentru funct¸ia G a din aproximat¸ia precedent˘ a a funct¸iei (R) e retardate G (k, z), prin utilizarea relat¸iei de conjugare ˆın cazul cˆ and frecvent¸a este real˘ a: (R) e (A) (k, ω) = G e (k, ω) ∗ ; deoarece reziduul transformatei Fourier a funct¸iei Green retarG (R) date este un num˘ ar real (ak ∈ R), rezult˘ a urm˘ atoarea aproximat¸ie pentru transformata Fourier a funct¸iei Green avansate: (R) n a(R) o∗ (R) ak k e (A) (k, ω) = G e (k, ω) ∗ ≈ G = ∗ ω − zR ω − zR
(R)
e (A) (k, z) = ak G ; ∗ z − zR
=⇒
– prin utilizarea aproximat¸iilor anterioare pentru cele dou˘ a transformate Fourier ale funct¸iilor Green retardat˘ a ¸si avansat˘ a, se obt¸ine expresia aproximat¸iei pentru funct¸ia integrand: (R) e (k, ωF − iγ) − G e (A) (k, ωF − iγ) f (γ) ≡ e−γt G (R) (R) n o ak ak ≈ e−γt − (ωF − iγ) − (ωk − iγk ) (ωF − iγ) − (ωk + iγk ) o n 1 1 −γt (R) − =e ak (ωF − ωk − iγ) + iγk (ωF − ωk − iγ) − iγk −2iγk −γt (R) =e ak (ωF − ωk − iγ)2 + γk2 −2iγk (R) ≡ f0 (γ) , ≈ e−γt ak (ωF − ωk )2 unde ultima aproximat¸ie a fost efectuat˘ a luˆ and ˆın considerare hipoteza init¸ial˘ a: ωF − ωk ≫ γk > γ. Pe baza rezultatului precedent se obt¸ine aproximat¸ia integralei ˆın condit¸iile hipotezelor formulate init¸ial (adic˘ a |(ωk − ωF )t| ≫ 1 ¸si γk |t| ≪ 1): Z ωF Z ∞ dz −izt e (R) −2iγk (R) e (A) (k, z) ≈ i e−iωF t e G (k, z) − G dγ e−γt ak 2π 2π (ω − ω k )2 F ωF −i∞ 0 Z ∞ 1 (R) γk = ak dγ e−γt e−iωF t π (ωF − ωk )2 0 | {z } = 1/t
1 (R) γk t = ak e−iωF t π (ωF − ωk )2 γk t 1 (R) e i(εk −µ)t/~+γk t . = ak e−i(εk /~−iγk )t π (ωF − ωk )2
Pe baza expresiei aproximative a integralei se obt¸ine: Z ω 1 F dz −izt e (R) γk t (R) e (A) (k, z) e G (k, z) − G ≈ ak e−i(εk /~−iγk )t e γk t 2 π (ω − ω ) F k ωF −i∞ 2π t>0 (R) ≪ ak e−i(εk /~−iγk )t , deoarece, conform hipotezelor enunt¸ate init¸ial, este valabil˘ a relat¸ia Prin urmare s-a obt¸inut inegalitatea cerut˘ a pentru cazul t > 0.
γk t 1 e γk t ≪ 1. π (ωF − ωk )2
• Inegalitatea corespunz˘ atoare cazului t < 0 se obt¸ine ˆın mod analog situat¸iei precedente.
3.2.5
Ecuat¸ia de evolut¸ie pentru funct¸ia Green uni-particul˘ a cauzal˘ a
Funct¸ia Green cauzal˘ a uni-particul˘a este definit˘ a prin relat¸ia (3.44) hΨ0 | T ψˆσH (r, t) · ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i . Gσσ′ (r, t; r , t ) = − i hΨ0 |Ψ0 i ′
′
Deoarece se vor efectua operat¸ii de derivare ˆın raport cu variabilele funct¸iei Green Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ), care este constituit˘ a din m˘arimi ale formul˘arii Heisenberg, este necesar s˘a se ia ˆın considerare
166
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
ecuat¸iile diferent¸iale ale vectorilor ¸si ale operatorilor acestei formul˘ari, conform relat¸iilor (1.37) ¸si (1.39): ∂ |ΨH i = 0 , ∂t ∂ ˆ ˆ ˆ AH (t) = AˆH (t) , H = Aˆ , H (t) , i~ − − H ∂t i~
unde comutatorul operatorului Aˆ xu hamiltonianul se poate evalua ˆın formularea Schr¨odinger, conform definit¸iei (1.37c) a operatorului Heisenberg:
ˆ AˆH (t) , H
−
ˆ −H ˆ · e ~i tHˆ Aˆ e− ~i tHˆ ˆ −H ˆ · AˆH (t) = e ~i tHˆ Aˆ e− ~i tHˆ · H = AˆH (t) · H i ˆ ˆ −H ˆ Aˆ e− ~i tHˆ . = e ~ tH Aˆ H
Pe de alt˘ a parte, prin efectuarea comutatorilor implicat¸i de derivatele operatorilor de cˆ amp se va genera funct¸ia Green bi-particul˘a cauzal˘ a, care este definit˘ a prin relat¸ia (3.46) ′ ′ ′ ′ GII σ1 σ2 ,σ1′ σ2′ (r1 , t1 ; r2 , t2 | r1 , t1 ; r2 , t2 ) hΨ0 | T ψˆσ1 H (r1 , t1 ) · ψˆσ2 H (r2 , t2 ) · ψˆσ† ′ H (r′2 , t′2 ) · ψˆσ† ′ H (r′1 , t′1 ) |Ψ0 i 2 1 ≡− . hΨ0 |Ψ0 i
Pentru a deduce ecuat¸ia de evolut¸ie a funct¸iei Green cauzale este necesar s˘a se defineasc˘ a hamiltonianul sistemului (care va fi utilizat pentru explicitarea ecuat¸iilor diferent¸iale ale operatorilor de cˆ amp). Se consider˘ a situat¸ia general˘ a cˆ and particulele sistemului au interact¸ii mutuale (care sunt interact¸ii binare, dependente eventual de spini) ¸si de asemenea, interact¸ioneaz˘ a cu un cˆ amp extern (aceste interact¸ii pot fi dependente de spini); atunci hamiltonianul sistemului este constituit din 3 termeni: ˆ = Tˆ + U ˆ + Vˆ , H ˆ este hamiltonianul de unde Tˆ este hamiltonianul cinetic (hamiltonianul perticulelor libere), U cuplaj cu cˆ ampul extern ¸si Vˆ este hamiltonianul interact¸iilor mutuale dintre particule. ˆIn formalismul Cuantific˘ arii II operatorii component¸i ai hamiltoniamului au urm˘atoarele expresii (ˆın termeni de operatori de cˆ amp ¸si ˆın formularea Schr¨odinger): i. hamiltonianul cinetic este definit prin relat¸ia (2.122b) Z X −~2 2 ˆ ˆ0 = ∇ ψσ (r) , Tˆ = H d3 r ψˆσ† (r) 2m V σ ii. hamiltonianul de cuplaj cu un cˆ aP mp extern este descris de un operator tip uni-particul˘a, N care ˆın Cuantificarea I are forma UˆN = j=1 u(ˆ rj , ˆsj ); atunci, pe baza expresiei generale pentru operatori uni-particul˘ a (2.92), se obt¸ine forma operatorului ˆın Cuantificarea II: Z X ˆ = d3 r U ψˆ† (r) uσσ′ (r) ψˆσ′ (r) , σ
V
σ,σ′
iii. hamiltonianul interact¸iilor mutuale dintre particule (considerate binare, statice ¸si eventual dependente de spini) este descris de formula (2.136) Z Z X 1 Vˆ = Vσ1 ,σ2 ;σ1′ ,σ2′ (r, r′ ) ψˆσ† 1 (r) ψˆσ† ′ (r′ ) ψˆσ2′ (r′ ) ψˆσ2 (r) . d3 r d3 r′ 1 2 V V ′ ′ σ1 ,σ1 ,σ2 ,σ2
Se utilizeaz˘ a expresiile anterioare ale p˘ art¸ilor de hamiltonian ¸si relat¸iile de comutare (2.112), (2.109), (2.114) i~
∂ ˆ ψσ (r) = ψˆσ (r) , ∂t = ψˆσ (r) ,
ˆ H
(t) ˆσ (r) , Vˆ ˆ + ψ (t) ; Tˆ − + ψˆσ (r) , U − − − H
H
3.2. FUNCT ¸ II GREEN FERMIONICE
167
apoi, se transform˘ a operatorii de cˆ amp rezultat¸i ˆın operatori ai formul˘arii Heisenberg, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine forma explicit˘ a a ecuat¸iei diferent¸iale a operatorului de cˆ amp: X ∂ ˆ −~2 2 ˆ i~ ψσ (r) = ∇ ψσH (r, t) + uσσ′ (r) ψˆσ′ H (r, t) ∂t 2m ′ σ Z X 3 ′ Vσ,σ1 ;σ′ ,σ1′ (r, r′ ) ψˆσ† ′ H (r′ , t) ψˆσ1′ H (r′ , t) ψˆσ1 H (r, t) . (3.76) + d r V
σ′ ,σ1 ,σ1′
Pentru a obt¸ine derivata temporal˘a a funct¸iei Green cauzale se utilizeaz˘a relat¸ia general˘a de derivare temporal˘ a a unui produs cronologic de operatori fermionici (elementari sau de cˆ amp): i h ∂ ˆ ∂ ˆ ′) . ˆ · B(t ˆ ′ ) = i~ δ(t − t′ ) A(t) ˆ , B(t) ˆ · B(t T A(t) + T i~ A(t) i~ + ∂t ∂t Demonstrat¸ie: Se utilizeaz˘ a definit¸ia explicit˘ a a produsului cronologic exprimat ˆın termeni de funct¸ii Heaviside: ˆ · B(t ˆ ′ ) = θ(t − t′ ) A(t) ˆ · B(t ˆ ′ ) − θ(t′ − t) B(t ˆ ′ ) · A(t) ˆ ; T A(t)
atunci derivata ˆın raport cu variabila t este n ′ ′ ∂ ˆ ˆ ′ ) = i~ ∂ θ(t − t ) A(t) ˆ · B(t ˆ ′ ) − ∂ θ(t − t) B(t ˆ ′ ) · A(t) ˆ T A(t) · B(t i~ ∂t ∂t ∂t o ∂ ˆ ˆ ′ ) − θ(t′ − t) B(t ˆ ′ ) · ∂ A(t) ˆ A(t) · B(t + θ(t − t′ ) ∂t ∂t ˆ · B(t ˆ ′ ) + δ(t′ − t) B(t ˆ ′ ) · A(t) ˆ = i~ δ(t − t′ ) A(t) n o ∂ ˆ ˆ ′ ) − i~ θ(t′ − t) B(t ˆ ′ ) · ∂ A(t) ˆ + i~ θ(t − t′ ) A(t) · B(t ∂t ∂t ′ ′ ′ ˆ ˆ ˆ ˆ = i~ δ(t − t ) A(t) · B(t ) + B(t ) · A(t) o n ∂ ˆ ˆ ′ ) − θ(t′ − t) B(t ˆ ′ ) · i~ ∂ A(t) ˆ A(t) · B(t + θ(t − t′ ) i~ ∂t ∂t i h ∂ ′ ′ ′ ˆ ˆ ˆ ˆ A(t) · B(t ) , = i~ δ(t − t ) A(t) , B(t ) + + T i~ ∂t adic˘ a se obt¸ine relat¸ia cerut˘ a. Se observ˘ a c˘ a pentru obt¸inerea rezultatului precedent s-au utilizat urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti ale funct¸iei Dirac: ∂ θ(t − t′ ) = δ(t − t′ ) , ∂t δ(t′ − t) = δ(t − t′ ) .
Prin utilizarea identit˘ a¸tii operatoriale precedente se obt¸ine urm˘atoarea expresie pentru derivata temporal˘ a a produsului cronologic de operatori de cˆ amp: ∂ ˆ i~ T ψσH (r, t) · ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) = i~ δ(t − t′ ) ψˆσH (r, t) , ψˆσ† ′ H (r′ , t) + ∂t i h ∂ ψˆσH (r, t) · ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) . + T i~ ∂t ˆIn primul termen anti-comutatorul sincron al operatorilor de cˆ amp Heisenberg se reduce la anticomutatorul corespondent al operatorilor de cˆ amp Schr¨odinger, care are rezultatul dat de relat¸ia (2.88a) fermionic˘ a: ψˆσH (r, t) , ψˆσ† ′ H (r′ , t) + = ψˆσH (r, t) · ψˆσ† ′ H (r′ , t) + ψˆσ† ′ H (r′ , t) · ψˆσH (r, t) i ˆ i ˆ i ˆ i ˆ = e ~ tH ψˆσ (r) e− ~ tH · e ~ tH ψˆσ† ′ (r′ ) e− ~ tH
i ˆ i ˆ i ˆ i ˆ + e ~ tH ψˆσ† ′ (r′ ) e− ~ tH · e ~ tH ψˆσ (r) e− ~ tH i ˆ i ˆ = e ~ tH ψˆσ (r) ψˆσ† ′ (r′ ) + ψˆσ† ′ H (r′ , t) ψˆσH (r, t) e− ~ tH i ˆ i ˆ = e ~ tH ψˆσ (r) , ψˆσ† ′ (r′ ) + e− ~ tH i
ˆ
i
ˆ
= e ~ tH δσσ′ δ(r − r′ ) ˆ1 e− ~ tH = δσσ′ δ(r − r′ ) ˆ1 .
168
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Al doilea termen se transform˘ a luˆand ˆın considerare ecuat¸ia diferent¸ial˘a a operatorului de cˆ amp ¸si apoi proprietatea de liniaritate a operatorului de ordonare cronologic˘ a i h ∂ ψˆσH (r, t) · ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) T i~ ∂t hn −~2 X =T ∇2 ψˆσH (r, t) + uσλ′ (r) ψˆλ′ H (r, t) 2m ′ λ Z o i X + d3 r′′ Vσ,µ;λ′ ,µ′ (r, r′′ ) ψˆλ† ′ H (r′′ , t) ψˆµ′ H (r′′ , t) ψˆµH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) V
λ′ ,µ,µ′
X −~ uσλ′ (r) T ψˆσH (r, t) ψˆλ† ′ H (r′ , t′ ) ∇2 T ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) + 2m λ′ Z X + d3 r′′ Vσ,µ;λ′ ,µ′ (r, r′′ ) T ψˆλ† ′ H (r′′ , t) ψˆµ′ H (r′′ , t) ψˆµH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) 2
=
V
λ′ ,µ,µ′
X −~ ∇2 T ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) + uσλ′ (r) T ψˆσH (r, t) ψˆλ† ′ H (r′ , t′ ) 2m λ′ Z X − d3 r′′ Vσ,µ;λ′ ,µ′ (r, r′′ ) T ψˆµH (r, t) ψˆµ′ H (r′′ , t) ψˆλ† ′ H (r′′ , t) ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) , 2
=
V
λ′ ,µ,µ′
unde ˆın interiorul ultimului operator de ordonare cronologic˘ a s-a efectuat o permutare impar˘a a operatorilor de cˆ amp. Pe baza rezultatelor anterioare se obt¸ine derivata temporal˘a a funct¸iei Green cauzal˘ a uniparticul˘ a: hΨ0 | T ψˆσH (r, t) · ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i ∂ ∂ ′ ′ Gσσ′ (r, t; r , t ) = i~ (− i) i~ ∂t ∂t hΨ0 |Ψ0 i ∂ ˆ −i hΨ0 | i~ T ψσH (r, t) · ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i = hΨ0 |Ψ0 i ∂t −i = hΨ0 | i~ δ(t − t′ ) ψˆσH (r, t) , ψˆσ† ′ H (r′ , t) + |Ψ0 i hΨ0 |Ψ0 i i h ∂ −i ψˆσH (r, t) · ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i ; hΨ0 | T i~ + hΨ0 |Ψ0 i ∂t apoi, prin introducerea expresiilor determinate anterior pentru anti-comutator ¸si pentru derivata produsului cronologic, se obt¸ine rezultatul urm˘ator: i~
∂ Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) ∂t −i hΨ0 | i~ δ(t − t′ ) δσσ′ δ(r − r′ ) ˆ1 |Ψ0 i = hΨ0 |Ψ0 i n −~2 X −i + hΨ0 | ∇2 T ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) + uσλ′ (r) T ψˆσH (r, t) ψˆλ† ′ H (r′ , t′ ) hΨ0 |Ψ0 i 2m λ′ Z X o Vσ,µ;λ′ ,µ′ (r, r′′ ) T ψˆµH (r, t) ψˆµ′ H (r′′ , t) ψˆλ† ′ H (r′′ , t) ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i − d3 r′′ V
λ′ ,µ,µ′
hΨ0 | T ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i −~2 2 = ~ δσσ′ δ(r − r ) δ(t − t ) + ∇ (−i) 2m hΨ0 |Ψ0 i h i † ′ ′ ˆ ˆ hΨ0 | T ψσH (r, t) ψλ′ H (r , t ) |Ψ0 i X + uσλ′ (r) (−i) hΨ0 |Ψ0 i λ′ Z ′′ ′′ ′ ′ ˆ ˆ ′ ˆ† ˆ† X 3 ′′ ′′ hΨ0 | T ψµH (r, t) ψµ H (r , t) ψλ′ H (r , t) ψσ′ H (r , t ) |Ψ0 i +i d r Vσ,µ;λ′ ,µ′ (r, r ) ; hΨ0 |Ψ0 i V ′ ′ ′
λ ,µ,µ
′
3.2. FUNCT ¸ II GREEN FERMIONICE
169
se observ˘ a c˘ a s-au format ˆın membrul drept al relat¸iei precedente, funct¸ii Green cauzale uniparticul˘ a ¸si bi-particul˘a, astfel ˆıncˆ at derivata funct¸iei Green se exprim˘ a ˆın forma: i~
∂ Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) ∂t = ~ δσσ′ δ(r − r′ ) δ(t − t′ ) + −i
Z
V
3 ′′
d r
X
λ′ ,µ,µ′
X −~2 2 ∇ Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) + uσλ′ (r) Gλσ′ (r, t; r′ , t′ ) 2m ′ λ
′′
Vσ,µ;λ′ ,µ′ (r, r
′′ ′ ′ ′′ + ) GII µµ′ ,σ′ λ′ (r, t; r , t| r , t ; r , t ) ,
unde s-a utilizat notat¸ia t+ = t + η , (η → 0+ ), pentru a indica ordonarea init¸ial˘a a operatorilor de cˆ amp sincroni, cˆ and operatorul de creare se afla init¸ial la stˆanga. Astfel s-a obt¸inut ecuat¸ia de evolut¸ie a funct¸iei Green cauzale uni-particul˘ a: ∂ 2 X ~ (3.77a) uσλ′ (r) Gλσ′ (r, t; r′ , t′ ) + ∇2 Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) − i~ ∂t 2m ′ λ Z X ′′ ′ ′ ′′ + Vσ,µ;λ′ ,µ′ (r, r′′ ) GII = ~ δσσ′ δ(r − r′ ) δ(t − t′ ) − i d3 r′′ µµ′ ,σ′ λ′ (r, t; r , t| r , t ; r , t ) . V
λ′ ,µ,µ′
Se observ˘ a c˘ a ecuat¸ia de evolut¸ie a funct¸iei Green cauzal˘ a uni-particul˘a este o ecuat¸ie diferent¸ial˘a ˆın raport cu coordonatele spat¸io-temporale (ˆın raport cu timpul este o ecuat¸ie diferent¸ial˘a de ordinul 1), iar ˆın membrul drept apare termenul singular exprimat prin funct¸ii Dirac spat¸io-temporale (proprietate caracteristic˘ a pentru funct¸iile Green ˆın general) ¸si suplimentar apare funct¸ia Green cauzal˘ a bi-particul˘a (multiplicat˘ a cu potent¸ialul de interact¸ie dintre dou˘a particule). ˆIn mod analog (dar calculele sunt considerabil mai lungi) se poate obt¸ine ecuat¸ia de evolut¸ie pentru funct¸ia Green cauzal˘ a bi-particul˘a; ˆın acest caz ecuat¸ia diferent¸ial˘a este dependent˘ a de funct¸ia Green cauzal˘ a 3-particule. Procedeul poate continua (de¸si devine extrem de complex din punctul de vedere matematic) ¸si ecuat¸ia de evolut¸ie a funct¸iei Green cauzale n-particule este dependent˘ a de toate funct¸iile Green cauzale de ordin inferior, dar ¸si de funct¸ia Green cauzal˘ a (n + 1)-particule; prin urmare, se obt¸ine un lant¸ de ecuat¸ii diferent¸iale cuplate de ordin infinit. De aceea se poate determina funct¸ia Green uni-particul˘a ca solut¸ie a ecuat¸iei de evolut¸ie, numai dac˘a se efectueaz˘a o aproximare, astfel ca lant¸ul de ecuat¸ii de evolut¸ie succesive s˘a se opreasc˘a la un anumit ordin (de preferint¸˘ a cˆ at mai mic). Metoda de aproximare depinde de caracteristicile sistemelor particulare considerate, astfel c˘ a nu se poate considera o metod˘ a general˘a de aproximare. ˆIn plus, este necesar s˘a se observe c˘ a ecuat¸ia de evolut¸ie fiind o ecuat¸ie diferent¸ial˘a ˆın raport cu timpul, este necesar s˘a se precizeze condit¸iile la limit˘a temporale; aceste condit¸ii sunt relat¸iile de salt (3.67). Ecuat¸ia de evolut¸ie se simplific˘ a ˆın cazul particular cˆ and interact¸iile (externe ¸si interne) sunt independente de spini; atunci matricile de spin ale potent¸ialelor de interact¸ie sunt diagonale ˆın indicii de spin uσλ (r) = δσ,λ u(r) , Vσ,µ;λ′ ,µ′ (r, r′′ ) = δσ,µ δλ′ ,µ′ v(r, r′′ ) ;
ca rezultat ecuat¸ia de evolut¸ie a funct¸iei Green cauzale uni-particul˘a se simplific˘ a la urm˘atoarea form˘a: n ∂ o ~2 2 i~ + ∇ − u(r) Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) ∂t 2m Z X ′′ ′ ′ ′′ + v(r, r′′ ) GII = ~ δσσ′ δ(r − r′ ) δ(t − t′ ) − i d3 r′′ σλ,σ′ λ (r, t; r , t| r , t ; r , t ) . (3.77b) V
λ
Rezultatul precedent se simplific˘ a mai mult ˆın cazul sistemului liber, cˆ and interact¸iile sunt absente; atunci se consider˘ a potent¸iale nule, u(r) = 0 ¸si V(r, r′′ ) = 0, obt¸inˆandu-se ecuat¸ia de evolut¸ie pentru funct¸ia Green cauzal˘ a uni-particul˘ a liber˘ a: n ∂ o 2 ~ i~ (3.78) + ∇2 G0σσ′ (r, t; r′ , t′ ) = ~ δσσ′ δ(r − r′ ) δ(t − t′ ) . ∂t 2m (Evident, ecuat¸ia precedent˘ a se poate deduce ˆın mod direct prin metoda utilizat˘a la deducerea ecuat¸iei generale.)
170
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
3.2.6
Relat¸iile dintre funct¸iile Green ¸si observabile
Se va ar˘ ata c˘ a mediile pe starea fundamental˘ a a sistemului se pot exprima ˆın termeni de funct¸ii Green cauzale. A. Observabile 1-particul˘ a ˆIn Cuantificarea II ¸si ˆın formularea Schr¨odinger, operatorul asociat unei observabile 1-particul˘ a este de forma (2.92) – (2.93), ceea ce conduce la expresia urm˘atoare ˆın formularea Heisenberg: AˆH (t) =
Z
V
3
d r
−s,s X σ,σ′
ˆ ψˆσ† ′ H (r, t) Aˆr σ′ ,σ ψˆσH (r, t) = ≡
Z
V
Z
d3 r lim ′
r →r
X σ,σ′
ˆ Aˆr
σ′ ,σ
ψˆσ† ′ H (r′ , t) ψˆσH (r, t)
d3 r a ˆH (r, t) ,
V
unde a ˆH (r, t) este densitatea operatorului 1-particul˘ a (este posibil ca acest operator s˘a fie nehermitic, conform relat¸iilor (2.93) ): a ˆH (r, t) = lim ′
r →r
X
ˆ Aˆr σ′ ,σ ψˆσ† ′ H (r′ , t) ψˆσH (r, t) .
σ,σ′
Media pe starea fundamental˘ a a sistemului pentru densitatea observabilei 1-particul˘ a este
a ˆ(r, t)
0
=
hΨ0 | a ˆH (r, t) |Ψ0 i ; hΨ0 |Ψ0 i
(3.79)
ˆ a numai asupra coordonatelor de deoarece operatorul algebric (funct¸ional) Aˆr σ′ ,σ act¸ioneaz˘ pozit¸ie ¸si a indicilor de spini ai operatorilor de cˆ amp, dar nu afecteaz˘a vectorii de stare, rezult˘a c˘ a se poate extrage acest operator algebric ˆın exteriorul produsului scalar (al operat¸iei de mediere) ¸si rezult˘a ′ ˆ† ˆ X ˆ
ˆr ′ hΨ0 | ψσ′ H (r , t) ψσH (r, t) |Ψ0 i . A a ˆ(r, t) 0 = lim σ ,σ ′ r →r hΨ0 |Ψ0 i ′ σ,σ
Media produsului de operatori de cˆ amp sincroni se poate exprima ca un produs cronologic ψˆσ† ′ H (r′ , t) ψˆσH (r, t) = −T ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t+ ) , (unde t+ = t + ε , ε → 0+ ) astfel c˘ a se obt¸ine funct¸ia Green uni-particul˘ a cauzal˘ a hΨ0 | T ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t+ ) |Ψ0 i hΨ0 | ψˆσ† ′ H (r′ , t) ψˆσH (r, t) |Ψ0 i =− = − i Gσ′ σ (r, t; r′ , t+ ) ; hΨ0 |Ψ0 i hΨ0 |Ψ0 i atunci, densitatea operatorului observabil˘a 1-particul˘ a are expresia: X
ˆ a ˆ(r, t) 0 = − i lim Aˆr σ,σ′ Gσ′ σ (r, t; r′ , t+ ) . ′ r →r
(3.80a)
σ,σ′
Cazuri particulare: ˆ ˆ at formula (3.80a) devine • operator independent de spini Aˆr σ′ ,σ = δσ,σ′ Aˆr , astfel ˆıncˆ
a ˆ(r, t)
0
ˆ X = − i lim Aˆr Gσσ (r, t; r′ , t+ ) . ′ r →r
(3.80b)
σ
ˆ • operator independent de coordonate (adic˘a operator pur de spin) Aˆr σ′ ,σ = Aσσ′ ˆˆ1r , astfel c˘ a rezult˘a a sumare pe indicii de spini (se poate efectua limita r′ → r, deoarece nu exist˘a operat¸ii de derivare spat¸ial˘a) X
a ˆ(r, t) 0 = − i (3.80c) Aσ,σ′ Gσ′ σ (r, t; r, t+ ) . σ,σ′
3.2. FUNCT ¸ II GREEN FERMIONICE
171
Utilizˆand expresia mediei densit˘ a¸tii observabilei, se obt¸ine media observabilei 1-particul˘ a Z Z X ˆ
d3 r a(r, t) 0 = − i d3 r lim A(t) 0 = Aˆr σ,σ′ Gσ′ σ (r, t; r′ , t+ ) . (3.81) ′ r →r
V
V
σ,σ′
Exemple remarcabile P ˆ(r) = σ ψˆσ† (r) ψˆσ (r), conform • densitatea de particule: este reprezentat˘ a de operatorul n relat¸iei (2.96), astfel c˘ a operatorul algebric (funct¸ional) corespunz˘ ator este operatorul uniˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ tate (Nrs = 1rs ) ¸si matricea sa de spin este Nr σ′ ,σ = δσσ′ 1r ; ˆın acest caz densitatea medie de particule se obt¸ine fie prin particularizarea formulei (3.80b), fie prin particularizarea formulei (3.80c), astfel c˘ a rezult˘a X
ˆ(r, t) 0 = − i n Gσσ (r, t; r, t+ ) ; (3.82) σ
P • densitatea de spin: este reprezentat˘ a de operatorul sˆz (r) = σ ~ σ ψˆσ† (r) ψˆσ (r), conform relat¸iei (2.99), astfel c˘ a operatorul algebric (funct¸ional) corespunz˘ ator este un operator pur ˆ ˆ ˆ ˆr · sˆ ˆs ) ¸si matricea sa de spin este Sˆr ′ = ~ σ δσσ′ ˆˆ1r ; ˆın acest caz de spin (Sˆrs = 1 σ ,σ
densitatea medie de spin se obt¸ine prin particularizarea formulei (3.80b) X
sz (r, t) 0 = − i ~ σ Gσσ (r, t; r, t+ ) ;
(3.83)
σ
• hamiltonianul cinetic: are operatorul algebric rezultat din relat¸ia (2.98), fiind un operator −~2 2 ˆ independent de spini; prin urmare, matricea de spin este Tˆr σ′ ,σ = δσσ′ ∇ , astfel 2m ˆıncˆ at energia cinetic˘ a medie (ˆın starea fundamental˘ a a sistemului) este Z X −~2
T 0 = − i d3 r lim ∇2 Gσσ (r, t; r′ , t+ ) . (3.84) r′ →r 2m V σ A. Observabile 2-particul˘ a Se va considera numai cazul cˆ and operatorul algebric este un operator multiplicativ ˆın coordonatele de pozit¸ie (putˆ and avea dependent¸˘a de spini), adic˘a nu cont¸ine operat¸ii de derivare spat¸ial˘a; situat¸ia este ilustrat˘a de hamiltonianul interact¸iilor mutuale, iar aceste interact¸ii ˆın cazul nerelativist sunt instantanee, adic˘a independente de impulsuri. Expresia ˆın Cuantificarea II a unei observabile 2-particul˘ a este dat˘a (ˆın formularea Schr¨odinger) prin relat¸ia (2.102), astfel ˆıncˆ at operatorul corespunz˘ ator ˆın formularea Heisenberg este ˆH (t) = 1 B 2
Z
3
d r
V
Z
3 ′
d r
V
−s,s X
σ1 ,σ1′ ,σ2 ,σ2′
ˆ ψˆσ† 1 H (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t) Bˆr,r′ σ1 ,σ2 ;σ′ ,σ′ ψˆσ2′ H (r′ , t) ψˆσ2 H (r, t) ; 1
1
2
iar ˆın cazul considerat operatorul funct¸ional este un operator multiplicativ ˆın raport cu variabilele ˆ ′ spat¸iale: Bˆr,r′ a a siste′ ′ = Bσ ,σ ;σ ′ ,σ ′ (r, r ). Valoarea medie, pe starea fundamental˘ σ1 ,σ2 ;σ1 ,σ2
1
2
1
2
mului, pentru observabila 2-particul˘ a B este definit˘ a la fel ca ˆın cazul observabilei 1-particul˘ a, adic˘a
ˆ B(t)
0
ˆH (t) |Ψ0 i hΨ0 | B hΨ0 |Ψ0 i Z Z 1 = d3 r d3 r′ 2 V V =
X
σ1 ,σ1′ ,σ2 ,σ2′
×
Bσ1 ,σ2 ;σ1′ ,σ2′ (r, r′ )
hΨ0 | ψˆσ† 1 H (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t) ψˆσ2′ H (r′ , t) ψˆσ2 H (r, t) |Ψ0 i 1
hΨ0 |Ψ0 i
.
172
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Produsul operatorilor de cˆ amp de la num˘ar˘ator se pot aranja astfel ˆıncˆ at ca s˘a se obt¸in˘a ordonarea cronologic˘ a care define¸ste funct¸ia Green cauzal˘ a bi-particul˘a: ψˆσ† 1 H (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t) ψˆσ2′ H (r′ , t) ψˆσ2 H (r, t) = T ψˆσ2 H (r, t) ψˆσ2′ H (r′ , t) ψˆσ† ′ H (r′ , t+ ) ψˆσ† 1 H (r, t+ ) , 1
1
ˆın relat¸ia precedent˘ a s-au introdus valori crescute ˆın mod infinitezimal la unele variabile temporale (t → t+ = t + ε , ε → 0+ ) pentru a ment¸ine ordonarea init¸ial˘a a operatorilor de cˆ amp. Atunci media pe starea fundamental˘ a a produsului de operatori de cˆ amp este egal˘a cu funct¸ia Green cauzal˘ a bi-particul˘a: hΨ0 | ψˆσ† 1 H (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t) ψˆσ2′ H (r′ , t) ψˆσ2 H (r, t) |Ψ0 i 1
=
hΨ0 |Ψ0 i hΨ0 | T ψˆσ2 H (r, t) ψˆσ2′ H (r′ , t) ψˆσ† ′ H (r′ , t+ ) ψˆσ† 1 H (r, t+ ) |Ψ0 i 1
hΨ0 |Ψ0 i
′ + ′ + = − GII σ2 σ2′ ,σ1 σ1′ (r, t; r , t| r, t ; r , t ) ;
prin urmare, media pe starea fundamental˘ a a unei observabile 2-particul˘ a se exprim˘ a (ˆın cazul general) prin funct¸ia Green cauzal˘ a bi-particul˘a: Z Z X
−1 ′ + ′ + Bσ1 ,σ2 ;σ1′ ,σ2′ (r, r′ ) GII d3 r d3 r′ B(t) 0 = σ2 σ2′ ,σ1 σ1′ (r, t; r , t| r, t ; r , t ) . (3.85) 2 V V ′ ′ σ1 ,σ1 ,σ2 ,σ2
Cazul particular interesant pentru observabilele bi-particule este hamiltonianul interact¸iilor mutuale dintre particulele sistemului; ˆın acest˘ a situat¸ie, relat¸ia general˘a precedent˘ a devine Z Z X
−1 ′ + ′ + V (t) 0 = Vσ1 ,σ2 ;σ1′ ,σ2′ (r, r′ ) GII d3 r d3 r′ σ2 σ2′ ,σ1 σ1′ (r, t; r , t| r, t ; r , t ) 2 V V ′ ′ σ1 ,σ1 ,σ2 ,σ2 Z XZ X −1 ′ + ′ + = d3 r d3 r′ Vσ,µ;λ′ ,µ′ (r, r′ ) GII µµ′ ,σλ′ (r, t; r , t| r, t ; r , t ) . 2 V V ′ ′ σ λ ,µ,µ
Datorit˘ a ecuat¸iei de evolut¸ie a funct¸iei Green cauzale uni-particul˘a, media hamiltonianului de interact¸ie se poate exprima numai prin funct¸ia Green uni-particul˘a; acesta este un caz except¸ional, deoarece, ˆın general o observabil˘a 2-particul˘ a nu se poate exprima prin funct¸ia Green uniparticul˘ a. Totu¸si, media hamiltonianului de interact¸ie se poate obt¸ine ˆın termeni de funct¸ia Green uniparticul˘ a, ˆın mod echivalent, f˘ ar˘ a utilizarea ecuat¸iei de evolut¸ie (3.77a). Pentru simplitate, se consider˘ a cazul cˆ and sunt absente interact¸iile externe ¸si pa baza ecuat¸iei diferent¸iale a operatorului de cˆ amp (3.76) se obt¸ine Z ∂ X −~2 2 ˆ + ∇ ψσ1 H (r, t) Vσ1 ,σ2 ;σ1′ ,σ2′ (r, r′ ) ψˆσ† ′ H (r′ , t) ψˆσ2′ H (r′ , t) ψˆσ2 H (r, t) = i~ d3 r′ 1 ∂t 2m V ′ ′ σ2 ,σ1 ,σ2
apoi se utilizeaz˘ a expresia precedent˘ a ¸si formula (2.136) pentru hamiltonianul de interact¸ie, astfel ˆıncˆ a se exprim˘ a Vˆ similar unui operator uni-particul˘a Z Z X 1 3 ˆ Vσ1 ,σ2 ;σ1′ ,σ2′ (r, r′ ) ψˆσ† 1 (r) ψˆσ† ′ (r′ ) ψˆσ2′ (r′ ) ψˆσ2 (r) d r d3 r′ V = 1 2 V V σ1 ,σ1′ ,σ2 ,σ2′ Z Z X X 1 Vσ1 ,σ2 ;σ1′ ,σ2′ (r, r′ ) ψˆσ† ′ (r′ ) ψˆσ2′ (r′ ) ψˆσ2 (r) = d3 r ψˆσ† 1 (r) d3 r′ 1 2 V V ′ ′ σ1 σ1 ,σ2 ,σ2 Z ∂ X † 1 −~2 2 ˆ = + ∇ ψσ1 H (r, t) d3 r ψˆσ1 H (r, t) i~ 2 V ∂t 2m σ1 Z ∂ X −~2 2 ˆ 1 ˆ† (r′ , t′ ) . T ψ (r, t) · ψ i~ + ∇ d3 r lim = σ H 1 σ 1 2 V ∂t 2m r′ →r σ ′ + t →t
3.2. FUNCT ¸ II GREEN FERMIONICE
173
Atunci media pe starea fundamental˘ a a hamiltonianului de interact¸ie devine Z ∂ X E
~2 2 D ˆ −i ˆ† (r′ , t′ ) ; T ψ (r, t) · ψ i~ + ∇ d3 r lim V (t) 0 = σ H 1 σ 1 2 V ∂t 2m r′ →r σ ′ + t →t
dar media produsului cronologic al operatorilor de cˆ amp este funct¸ia Green uni-particul˘a, astfel c˘ a se obt¸ine Z ∂ X
~2 2 −i (3.86) i~ + ∇ Gσσ (r, t; r′ , t′ ) . d3 r lim V (t) 0 = 2 V ∂t 2m r′ →r σ ′ + t →t
Rezultatul remarcabil al ultimei realat¸ii este posibilitatea de a exprima energia st˘arii fundamentale a sistemului cu interact¸ii ˆın termeni de funct¸ia Green cauzal˘ a uni-particul˘a Z 2 X −i ∂ ~ E0 = (3.87) i~ − ∇2 Gσσ (r, t; r′ , t′ ) . d3 r lim ′ 2 V ∂t 2m r →r σ ′ + t →t
Demonstrat¸ie: Pe baza relat¸iilor (3.84) ¸si (3.86) se obt¸ine
E0 = H 0 = T 0 + V 0 = − i
Z
+
=
−i 2
X
d3 r V
σ
−i 2
Z
Z
V
d3 r V
d3 r
lim ′
r →r t′ →t+
X σ
X σ
−~2 2 ∇ Gσσ (r, t; r′ , t+ ) 2m
lim ′
r →r t′ →t+
lim ′
r →r t′ →t+
i~
i~
~2 ∂ + ∇2 Gσσ (r, t; r′ , t′ ) ∂t 2m
∂ ~2 − ∇2 Gσσ (r, t; r′ , t′ ) . ∂t 2m
adic˘ a s-a obt¸inut relat¸ia cerut˘ a.
C. Cazul sistemului conservativ ¸si omogen ˆIn cazul cˆ and sistemul este conservativ ¸si omogen, atunci funct¸ia Green uni-particul˘a depinde numai de diferent¸a coordonatelor de pozit¸ie-timp, astfel ˆıncˆat se poate efectua o transformare Fourier spat¸io-temporal˘ a simpl˘a, conform relat¸iei (3.51) Z 1 X ∞ dω i[ k·(r−r′ )−ω(t−t′ )] e ′ ′ ′ ′ Gσσ′ (r, t; r , t ) = Gσσ′ (r − r , t − t ) = e Gσσ′ (k, ω) ; V −∞ 2π k
atunci, expresiile anterioare ale mediilor pe starea fundamental˘ a pentru observabilele sistemului cap˘at˘a forme mai convenabile. a. Num˘ arul de particule Num˘ arul de particule ale sistemului se obt¸ine din expresia densit˘ a¸tii, dat˘a de formula (3.82) Z
ˆ(r, t) 0 N= d3 r n V Z X Gσσ (r, t; r′ , t′ ) = − i d3 r lim ′ V
σ
r →r t′ →t+η
Z 1 X ∞ dω i[ k·(r−r′ )−ω(t−t′ )] e e Gσσ (k, ω) = −i d r lim r′ →r V −∞ 2π V σ t′ →t+η k X 1 X Z ∞ dω Z ′ ′ e σσ (k, ω) ; d3 r lim e ik·(r−r ) ′ lim e−iω(t−t ) G = −i ′ r →r t →t+η V −∞ 2π V σ Z
3
X k
integrala spat¸ial˘a produce volumul V , iar limita temporal˘a produce factorul de convergent¸˘a caracterizat prin parametrul η : Z Z ik·(r−r′ ) d3 r = V , d3 r lim e = ′ V
r →r
V
′
lim e−iω(t−t ) = lim e iωη . ′
t →t+η
η→0+
174
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Prin urmare, rezult˘a urm˘atoarea expresie a num˘arului de particule ˆın termeni de transformata Fourier a funct¸iei Green cauzale: X Z ∞ dω X eσσ (k, ω) , e iωη N = − i lim G (3.88) η→0+ −∞ 2π σ k
care la limita termodinamic˘ a devine
N = − i lim V LT
η→0+
Z
d3 k 3 R3 (2π)
Z
dω iωη X e e Gσσ (k, ω) . −∞ 2π σ ∞
b. Energia st˘ arii fundamentale Se obt¸ine din formula (3.87) prin transform˘ari similare cu cazul precedent: Z ∂ X −i ~2 2 E0 = − ∇ Gσσ (r, t; r′ , t′ ) d3 r i~ lim 2 V ∂t 2m r′ →r σ t′ →t+ Z Z ∂ X ~2 2 1 X ∞ dω i[ k·(r−r′ )−ω(t−t′ )] e −i − ∇ e Gσσ (k, ω) i~ d3 r = lim 2 V ∂t 2m V r′ →r −∞ 2π σ t′ →t+ k Z Z ∂ ~2 2 ik·(r−r′ ) −iω(t−t′ ) X e −i 1 X ∞ dω e i~ Gσσ (k, ω) ; − ∇ e d3 r lim = 2 V ∂t 2m r′ →r −∞ 2π V σ ′ + k
t →t
dup˘a efectuarea operat¸iilor de deriv˘ari spat¸iale ¸si temporale, se poate trece la limit˘a ¸si apoi se efectueaz˘ a integrala spat¸ial˘a, astfel c˘ a rezult˘a urm˘atoarele egalit˘a¸ti Z ∂ ~2 2 ik·(r−r′ ) −iω(t−t′ ) i~ d3 r lim e − ∇ e ∂t 2m r′ →r V ′ + t →t Z ~2 k 2 ik·(r−r′ ) −iω(t−t′ ) e e ~ ω + d3 r lim = 2m r′ →r V ′ + t →t Z ′ ′ ~2 k 2 d3 r lim e ik·(r−r ) ′lim+ e−iω(t−t ) = ~ω + ′ →r r 2m t →t V ~2 k 2 = ~ω + V e iωη . 2m η→0+
Atunci, se substituie reazultatul precedent ¸si rezult˘a expresia energiei st˘arii fundamentale a sistemului ˆın termeni de transformat˘a Fourier a funct¸iei Green cauzale uni-particul˘a X Z ∞ dω ~2 k 2 X e −i lim e iωη ~ ω + Gσσ (k, ω) , (3.89) E0 = 2 η→0+ 2m −∞ 2π σ k
care la limita termodinamic˘ a devine Z Z ∞ −i d3 k ~2 k 2 X e dω iωη E0 = lim V e ~ ω + Gσσ (k, ω) . 3 LT 2 η→0+ 2m R3 (2π) −∞ 2π σ
D. Teorema Pauli
Se consider˘ a un sistem fizic, avˆand hamiltonianul ˆ =H ˆ 0 + Vˆ , H ˆ 0 este hamiltonianul sistemului liber (f˘ unde H ar˘a interact¸ii) ¸si Vˆ este hamiltonianul de interact¸ie; atunci, ecuat¸iile cu valori proprii ale sistemului liber ¸si ale sistemului cu interact¸ii sunt: ˆ 0 Ψ0α = Eα0 Ψ0α , H ˆ |Ψα i = Eα Ψα . H
3.2. FUNCT ¸ II GREEN FERMIONICE
175
Se consider˘ a un sistem auxiliar, asociat sistemului fizic, care are o constant˘ a de cuplaj (notat˘ a λ) variabil˘ a; atunci, hamiltonianul acestui sistem este ˆ ˆ 0 + λ Vˆ ≡ H ˆ 0 + Vˆ (λ) , H(λ) =H iar ecuat¸ia cu valori proprii ale energiei are urm˘atoarea form˘a: ˆ Ψα (λ) = Eα (λ) Ψα (λ) . H(λ)
Se observ˘ a c˘ a sistemul auxiliar devine sistemul liber la limita cˆ and constanta de cuplaj este nul˘a (λ = 0) ¸si acest sistem auxiliar devine sistemul cu interact¸ii pentru valoarea unitate a constantei de cuplaj (λ = 1); ˆın consecint¸˘a, solut¸iile ecuat¸iei cu valori proprii ale sistemului auxiliar ({Eα (λ), |Ψα (λ)i}α ) devin solut¸iile sistemului liber ({Eα0 , |Ψ0α i}α ) pentru λ → 0 ¸si respectiv solut¸iile sistemului cu interact¸ii ({Eα , |Ψα i}α ) la limita λ → 1. Teorema Pauli afirm˘ a urm˘atoarea proprietate: Energia st˘ arii fundamentale a sistemului cu interact¸ii difer˘a de energia st˘arii fundamentale a sistemului f˘ ar˘ a interact¸ii prin integrala ˆın raport cu constanta de cuplaj a mediei pe starea fundamental˘ a a hamiltonianului de interact¸ie considerate pentru sistemul auxiliar:
Z 1 dλ Ψ0 (λ) Vˆ (λ) Ψ0 (λ) 0
. (3.90) E0 = E0 + Ψ0 (λ) Ψ0 (λ) 0 λ Demonstrat¸ie:
Se consider˘ a ecuat¸ia cu valori proprii a energiei pentru sistemul auxiliar ˆ H(λ) |Ψα (λ)i = Eα (λ) |Ψα (λ)i
ˆ atunci elementul de matrice al hamiltonianului de interact¸ie hΨα (λ)|H(λ)|Ψ α (λ)i pentru sistemul auxiliar este exprimat prin valoarea proprie a energiei corespunz˘ atoare vectorului propriu ales ˆ hΨα (λ)|H(λ)|Ψ α (λ)i = Eα (λ) hΨα (λ)|Ψα (λ)i ; ca urmare, valoarea proprie a energiei se poate rescrie ˆın urm˘ atoarea form˘ a Eα (λ) =
ˆ hΨα (λ)|H(λ)|Ψ α (λ)i . hΨα (λ)|Ψα (λ)i
Se efectueaz˘ a derivarea ˆın raport cu constanta de cuplaj a energiei proprii a sistemului auxiliar, luˆ and ˆın considerare relat¸ia precedent˘ a: ∂ Eα (λ) ∂ 1 1 ∂ ˆ ˆ = hΨα (λ)|H(λ)|Ψ α (λ)i + hΨα (λ)|H(λ)|Ψα (λ)i ∂λ hΨα (λ)|Ψα (λ)i ∂ λ ∂ λ hΨα (λ)|Ψα (λ)i n ∂hΨ (λ)| ∂|Ψα (λ)i 1 α ˆ ˆ = H(λ)|Ψ α (λ)i + hΨα (λ)|H(λ) hΨα (λ)|Ψα (λ)i ∂λ ∂λ {z } | {z } | = Eα (λ)|Ψα (λ)i
+ hΨα (λ)|
= Eα (λ)hΨα (λ)|
o
ˆ ˆ ∂ H(λ) hΨα (λ)|H(λ)|Ψ α (λ)i ∂ hΨα (λ)|Ψα (λ)i ; |Ψα (λ)i − 2 ∂ λ hΨ ∂λ α (λ)|Ψα (λ)i | {z } ˆ =V
prin utilizarea ecuat¸iei cu valori proprii ale energiei ¸si observˆ and c˘ a derivata hamiltonianului este egal˘ a cu hamiltonianul de interact¸ie al sistemului fizic, expresia precedent˘ a devine n ∂ Eα (λ) ∂hΨα (λ)| 1 ∂|Ψα (λ)i = Eα (λ)|Ψα (λ)i + Eα (λ)hΨα (λ) ∂λ hΨα (λ)|Ψα (λ)i ∂λ ∂λ o E (λ) hΨ (λ)|Ψ (λ)i ∂ α α α hΨα (λ)|Ψα (λ)i + hΨα (λ)| Vˆ |Ψα (λ)i − hΨα (λ)|Ψα (λ)i2 ∂λ n ∂hΨ (λ)| Eα (λ) ∂|Ψα (λ)i o α = |Ψα (λ)i + hΨα (λ) hΨα (λ)|Ψα (λ)i | ∂λ ∂λ {z } = ∂∂λ hΨα (λ)|Ψα (λ)i
∂ Eα (λ) hΨα (λ)| Vˆ |Ψα (λ)i − hΨα (λ)|Ψα (λ)i hΨα (λ)|Ψα (λ)i hΨα (λ)|Ψα (λ)i ∂ λ hΨα (λ)| Vˆ |Ψα (λ)i = , hΨα (λ)|Ψα (λ)i +
176
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA unde ultima egalitate s-a obt¸inut prin reducerea termenilor egali care cont¸ineau derivata normei vectorului propriu. Atunci se integreaz˘ a rezultatul precedent ˆın raport cu constanta de cuplaj Z 1 Z 1 hΨα (λ)| Vˆ |Ψα (λ)i ∂ Eα (λ) = ; dλ dλ ∂λ hΨα (λ)|Ψα (λ)i 0 0 dar membrul stˆ ang se reduce la diferent¸a energiilor proprii pentru sistemul fizic: Z 1 ∂ Eα (λ) dλ = Eα (1) − Eα (0) = Eα − Eα0 , ∂λ 0 ˆın membrul drept se formeaz˘ a hamiltonianul de interact¸ie al sistemului auxiliar Vˆ (λ) = λ Vˆ : Z
0
1
dλ
hΨα (λ)| Vˆ |Ψα (λ)i = hΨα (λ)|Ψα (λ)i
Z
1 0
dλ hΨα (λ)|λ Vˆ |Ψα (λ)i λ hΨα (λ)|Ψα (λ)i
astfel c˘ a ˆın final se obt¸ine urm˘ atoarea egalitate: Z 1 Z 1 dλ hΨα (λ)|Vˆ (λ) |Ψα (λ)i dλ (λ) Eα − Eα0 = ≡ Vλ α . hΨα (λ)|Ψα (λ)i 0 λ 0 λ
Rezultatul teoremei Pauli se obt¸ine considerˆ and starea fundamental˘ a (care este o stare proprie a sistemului): α = 0.
Consecint¸e ale teoremei Pauli: i. Teorema Pauli permite calculul energiei st˘arii fundamentale a sistemului cu interact¸ii dac˘a se pot evalua elementele de matrice ale hamiltonianului de interact¸ie hΨα (λ)|Vˆ (λ) |Ψα (λ)i pentru toate valorile constantei de cuplaj λ ∈ [0, 1]. ii. Dac˘ a se consider˘ a sistemul f˘ ar˘ a interact¸ii externe, atunci Vˆ corespunde interact¸iilor mutuale dintre particule (interact¸ii binare); pentru sistemul auxiliar funct¸ia Green cauzal˘ a uni-particul˘a (λ) ′ ′ corespunz˘ atoare valorii λ a constantei de cuplaj, se noteaz˘ a prin Gσσ (r, t; r , t ); atunci, prin aplicarea teoremei Pauli ¸si a formulei (3.86) pentru exprimarea energiei de interact¸ie medie pe starea fundamental˘ a a sistemului cu constanta de cuplaj λ, se obt¸ine: Z 1 Z Z 1 ∂ X dλ −i ~2 2 (λ) dλ (λ) 0 Vλ 0 = i~ + ∇ Gσσ (r, t; r′ , t′ ) ; d3 r lim E0 − E0 = 2 V ∂t 2m r′ →r 0 λ 0 λ σ ′ + t →t
(3.91a) ˆın cazul sistemului omogen, efectuˆand transformarea Fourier pentru funct¸ia Green, rezult˘a Z 1 X Z ∞ dω dλ −i ~2 k 2 X e(λ) 0 E0 − E0 = lim e iωη ~ ω − Gσσ (k, ω) , (3.91b) 2 η→0+ 2m 0 λ −∞ 2π σ k
respectiv la limita termodinamic˘ a E0 −
E00
=
LT
Z
0
1
dλ −i lim V λ 2 η→0+
Z
d3 k 3 R3 (2π)
Z
~2 k 2 X e(λ) dω iωη e ~ω − Gσσ (k, ω) ; 2m −∞ 2π σ ∞
se observ˘ a diferent¸a de semn la termenul cinetic fat¸˘a de formula (3.89), deoarece formulele (3.86) ¸si (3.87) pentru energia de interact¸ie ¸si respectiv pentru energia total˘ a difer˘a prin semnul termenului cinetic.
3.3. CALCULUL PERTURBAT ¸ IONAL AL FUNCT ¸ IEI GREEN CAUZALE
3.3
177
Calculul perturbat¸ional al funct¸iei Green cauzale
Anterior s-au prezentat propriet˘ a¸tile generale importante ale funct¸iilor Green, ˆın particular funct¸ia Green uni-particul˘ a cauzal˘ a. Dac˘ a se consider˘ a sistemul f˘ar˘a interact¸ii, atunci este posibil s˘a se deduc˘ a ˆın mod explicit funct¸iile Green uni-particul˘a (numite funct¸ii Green libere). Totu¸si, cˆ and se consider˘ a sisteme cu interact¸ii mutuale ˆıntre particule, atunci calculul direct al funct¸iilor Green este imposibil; ca urmare, este necesar s˘a se considere metoda perturbat¸ional˘ a de evaluare a funct¸iei Green cauzal˘ a uni-particul˘a, ca o serie cu termeni exprimat¸i prin medii ale sistemului liber. ˆIn continuare se va considera un sistem fermionic nerelativist, ˆın care particulele au interact¸ii mutuale binare (eventual dependente de spini), dar ˆın absent¸a unor cˆ ampuri externe. 16 Atunci, hamiltonianul sistemului este ˆ =H ˆ0 + H ˆ 1 ≡ Tˆ + Vˆ , H
ˆ 0 ≡ Tˆ este hamiltonianul liber (adic˘a hamiltonianul cinetic) ¸si H ˆ 1 ≡ Vˆ este hamiltonianul unde H de interact¸ie, definit prin formulele (2.104b) ¸si (2.136) adaptate.
3.3.1
Funct¸ia Green ˆın spat¸iul coordonate-timp
A. Exprimarea perturbat¸ional˘ a a funct¸iei Green cauzale Funct¸ia Green cauzal˘ a uni-particul˘a este definit˘ a prin relat¸ia (3.44) hΨ0 | T ψˆσH (r, t) · ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i ′ ′ , Gσσ′ (r, t; r , t ) = − i hΨ0 |Ψ0 i adic˘a este media pe starea fundamental˘ a a produsului cronologic de operatori de cˆ amp (ˆın formularea Heisenberg). Conform teoremei Feynman, reprezentat˘ a prin relat¸ia (2.152), se poate exprima aceast˘a medie a produsului cronologic de operatori printr-o serie (infinit˘a) ˆın care intervin numai m˘arimi ale sistemului liber; prin adaptarea formulei Feynman la cazul funct¸iei Green ˆ = ψˆσ (r) ¸si Cˆ = ψˆ† ′ (r′ ), se obt¸ine cauzale uni-particul˘ a, adic˘a punˆand B σ hΨ0 |T ψˆσH (r, t) · ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i ′ ′ = Gσσ′ (r, t; r , t ) = − i hΨ0 |Ψ0 i
∞ X
n=0
(n)
Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) ∞ X
,
S (m)
m=0 (n)
unde termenii de perturbat¸ie de la num˘ar˘ator Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) ¸si numitor S (m) au expresiile Z Z ∞ −i −i n ∞ (n) ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn ) ψˆσI (r, t) ψˆ† ′ (r′ , t′ ) |Φ0 i Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = dt1 · · · dtn hΦ0 | T H σ I n! ~ −∞ −∞ Z ∞ −i mZ ∞ 1 ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tm ) |Φ0 i ; dt1 · · · dtm hΦ0 | T H S (m) = m! ~ −∞ −∞
dac˘a se expliciteaz˘ a hamiltonienii de interact¸ie, conform relat¸iei (2.136) ¸si se utilizeaz˘a (pentru concizia exprim˘ arii) notat¸ia 4-dimensional˘a conform relat¸iei (2.137), atunci seriile de perturbat¸ie sunt de tipul (2.153) Z Z Z Z X X −i −i n (n) Gσσ′ (x, x′ ) = ··· d4 x1 d4 x′1 · · · d4 xn d4 x′n n! 2~ ′ ′ ′ ′ λ1 ,µ1 ,λ1 ,µ1
× ×
λn ,µn ,λn ,µn
Uλ1 ,µ1 ;λ′1 ,µ′1 (x1 , x′1 ) · · · Uλn ,µn ;λ′n ,µ′n (xn , x′n ) hΦ0 | T ψˆλ† 1 I (x1 ) ψˆλ† ′ I (x′1 ) ψˆµ′1 I (x′1 ) ψˆµ1 I (x1 ) · · · 1
× ψˆλ† n I (xn ) ψˆλ† ′ I (x′n ) ψˆµ′n I (x′n ) ψˆµn I (xn ) ψˆσI (x) ψˆσ† ′ I (x′ ) |Φ0 i , n
16 Este
posibil s˘ a se deduc˘ a seria de perturbat¸ie pentru cazuri mai complexe (interact¸ii multiple, interact¸ii cu un sistem bosonic), sau pentru cazul cˆ and exist˘ a cˆ ampuri externe; totu¸si prezentarea acestor situat¸ii suplimentare ar m˘ ari ˆın mod considerabil spat¸iul necesar unei expuneri inteligibile.
178
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA S (m) =
1 −i m m! 2~ × ×
Z
d4 x1
Z
d4 x′1 · · ·
Z
d4 xm
Z
X
d4 x′m
λ1 ,µ1 ,λ′1 ,µ′1
···
X
λm ,µm ,λ′m ,µ′m
Uλ1 ,µ1 ;λ′1 ,µ′1 (x1 , x′1 ) · · · Uλm ,µm ;λ′m ,µ′m (xm , x′m ) hΦ0 | T ψˆλ† 1 I (x1 ) ψˆλ† ′ I (x′1 ) ψˆµ′1 I (x′1 ) ψˆµ1 I (x1 ) · · · 1
× ψˆλ† m I (xm ) ψˆλ† ′m I (x′m ) ψˆµ′m I (x′m ) ψˆµm I (xm ) |Φ0 i .
Termenii de perturbat¸ie prezentat¸i anterior cont¸in produse cronologice cu un num˘ar par de operatori de cˆ amp (ˆın formularea Dirac) mediate pe starea fundamental˘ a liber˘a; conform teoremei Wick, reprezentat˘ a prin relat¸ia (3.41), aceste medii de produse cronologice sunt egale cu suma tuturor contract¸iilor totale ale operatorilor de cˆ amp component¸i, notat˘a C{· · · }. Prin urmare, cele 2 serii de perturbat¸ie se rescriu astfel: Z Z Z Z X X −i −i n (n) 4 4 ′ 4 ′ ··· d x1 d x1 · · · d xn d4 x′n Gσσ′ (x, x ) = n! 2~ ′ ′ ′ ′ λ1 ,µ1 ,λ1 ,µ1
× ×
S
(m)
U (x1 , x′1 ) · · · † C ψˆλ1 I (x1 ), ψˆλ† ′ I (x′1 ), 1 λ1 ,µ1 ;λ′1 ,µ′1
λn ,µn ,λn ,µn
Uλn ,µn ;λ′n ,µ′n (xn , x′n )
ψˆµ′1 I (x′1 ), ψˆµ1 I (x1 ), . . . ,
× ψˆλ† n I (xn ), ψˆλ† ′n I (x′n ), ψˆµ′n I (x′n ), ψˆµn I (xn ), ψˆσI (x), ψˆσ† ′ I (x′ ) hΦ0 |Φ0 i , (3.92a)
1 −i m = m! 2~
Z
4
d x1
Z
d4 x′1
···
Z
4
d xm
Z
d4 x′m
X
λ1 ,µ1 ,λ′1 ,µ′1
···
X
λm ,µm ,λ′m ,µ′m
× Uλ1 ,µ1 ;λ′1 ,µ′1 (x1 , x′1 ) · · · Uλm ,µm ;λ′m ,µ′m (xm , x′m ) × C ψˆλ† 1 I (x1 ), ψˆλ† ′ I (x′1 ), ψˆµ′1 I (x′1 ), ψˆµ1 I (x1 ), . . . , 1
× ψˆλ† m I (xm ), ψˆλ† ′ I (x′m ), ψˆµ′m I (x′m ), ψˆµm I (xm ) hΦ0 |Φ0 i . m
(3.92b)
Observat¸ii asupra formulelor de perturbat¸ie (3.92): i. Contract¸iile ˆıntre operatorii de cˆ amp sunt nenule numai dac˘a perechea de operatori cont¸ine un operator de creare ¸si un operator de anihilare (ˆın acest caz contract¸ia este egal˘a cu funct¸ia Green liber˘ a), conform relat¸iilor (3.34): ψˆσI (x) ψˆσ† ′ I (x′ ) = − ψˆσ† ′ I (x′ ) ψˆσI (x) = i G0σσ′ (x, x′ ) ˆ1 , † ψˆσI (x) ψˆσ′ I (x′ ) = ψˆσI (x) ψˆσ† ′ I (x′ ) = ˆ0 .
ii. Tot¸i termenii de perturbat¸ie cont¸in ca factor comun norma st˘arii fundamentale libere hΦ0 |Φ0 i, care astfel se simplific˘ a din expresia perturbativ˘a a funct¸iei Green iii. S-a exprimat funct¸ia Green cauzal˘ a (definit˘a prin operatori Heisenberg mediat¸i pe starea fundamental˘ a cu interact¸ie) prin seria de perturbat¸ie care cont¸ine operatori Dirac mediat¸i pe starea fundamental˘ a liber˘ a; ca rezultat, fiecare termen de perturbat¸ie cont¸ine o combinat¸ie de funct¸ii Green libere ¸si potent¸iale de interact¸ie. Expresiile termenilor de perturbat¸ie de ordin inferior Termenii de la numitor S (m) au urm˘atoarele expresii ˆın primele 2 ordine de perturbat¸ie: i. Termenul de ordin 0 este banal (pentru c˘ a nu cont¸ine operatori de cˆ amp) S (0) = hΦ0 |Φ0 i . ii. Termenul de ordinul 1 cont¸ine 2 perechi de operatori de cˆ amp, asfel c˘ a sunt posibile 2 tipuri de contract¸ii totale (se omite subscriptul “1”, deoarece este inutil): Z Z X † −i S (1) = d4 x d4 x′ (x) ψˆλ† ′ I (x′ ) ψˆµ′ I (x′ ) ψˆµI (x) hΦ0 |Φ0 i , Uλ,µ;λ′ ,µ′ (x, x′ ) C ψˆλI 2~ ′ ′ λ,µ,λ ,µ
3.3. CALCULUL PERTURBAT ¸ IONAL AL FUNCT ¸ IEI GREEN CAUZALE
179
iar contract¸ia total˘ a are urm˘atoarele contribut¸ii nenule † ˆ C ψ (x) ψˆ† ′ (x′ ) ψˆµ′ I (x′ ) ψˆµI (x) λI
λI
† † (x) ψλ† ′ I (x′ ) ψµ′ I (x′ ) ψµI (x) + ψλI (x) ψλ† ′ I (x′ ) ψµ′ I (x′ ) ψµI (x) = ψλI
= − i G0µλ′ (x, x′ ) i G0µ′ λ (x′ , x) + i G0µλ (x, x) i G0µ′ λ′ (x′ , x′ ) ; prin urmare, termenul de ordinul 1 se exprim˘ a ˆın urm˘atoarea form˘a: (1) S (1) = Sa(1) + Sb hΦ0 |Φ0 i ,
unde cele 2 contribut¸ii la termenul de ordinul 1 sunt Z Z X −i d4 x d4 x′ Uλ,µ;λ′ ,µ′ (x, x′ ) G0µλ′ (x, x′ ) G0µ′ λ (x′ , x) , Sa(1) = 2~ λ,µ,λ′ ,µ′ Z Z X i (1) Sb = d4 x d4 x′ Uλ,µ;λ′ ,µ′ (x, x′ ) G0µλ (x, x) G0µ′ λ′ (x′ , x′ ) . 2~ ′ ′
(3.93a)
(3.93b) (3.93c)
λ,µ,λ ,µ
iii. Termenul de ordinul 2 cont¸ine 2 × 4 = 8 operatori de cˆ amp (4 perechi de operatori de cˆ amp) Z Z Z Z X X 1 −i 2 d4 x1 d4 x′1 d4 x2 d4 x′2 S (2) = 2 2~ ′ ′ ′ ′ λ1 ,µ1 ,λ1 ,µ1 λ2 ,µ2 ,λ2 ,µ2
× ×
Uλ1 ,µ1 ;λ′1 ,µ′1 (x1 , x′1 ) Uλ2 ,µ2 ;λ′2 ,µ′2 (x2 , x′2 ) C ψˆλ† 1 I (x1 ) ψˆλ† ′ I (x′1 ) ψˆµ′1 I (x′1 ) ψˆµ1 I (x1 ) 1
× ψˆλ† 2 I (x2 ) ψˆλ† ′ I (x′2 ) ψˆµ′2 I (x′2 ) ψˆµ2 I (x2 ) hΦ0 |Φ0 i 2
Prin aplicarea teoremei Wick se obt¸in 4! = 24 termeni (dintre care unii sunt egali); ˆın acest caz este dificil s˘a se obt¸in˘a prin calcul analitic direct setul de termeni. ˆIn ordinele superioare situat¸ia se complic˘ a foarte mult (de exemplu, ˆın ordinul 3 apar 6! = 720 termeni). (n) Termenii de la num˘ ar˘ ator Gσσ′ (x, x′ ) sunt mai complicat¸i, deoarece este prezent˘ a o pereche de operatori de cˆ amp ˆın plus. Ca urmare, se prezint˘ a expresiile pentru primele 2 ordine de perturbat¸ie: i. Termenul de ordinul 0 cont¸ine o singur˘a contract¸ie, astfel c˘ a se obt¸ine funct¸ia Green liber˘a: (0) Gσσ′ (x, x′ ) = − i C ψˆσI (x) ψˆσ† ′ I (x′ ) hΦ0 |Φ0 i = − i ψσI (x) ψσ† ′ I (x′ ) hΦ0 |Φ0 i = G0σσ′ (x, x′ ) hΦ0 |Φ0 i ,
(3.94)
ii. Termenul de ordinul 1 cont¸ine 4 + 2 = 6 operatori de cˆ amp (se omit subscripte la indicii de spin, deoarece sunt inutili): Z Z X −i (1) ′ 4 Gσσ′ (x, x ) = − i d x1 d4 x′1 Uλ,µ;λ′ ,µ′ (x1 , x′1 ) 2~ ′ ′ λ,µ,λ ,µ † † ′ ˆ ˆ × C ψλI (x1 ) ψλ′ I (x1 ) ψˆµ′ I (x′1 ) ψˆµI (x1 ) ψˆσI (x) ψˆσ† ′ I (x′ ) hΦ0 |Φ0 i ,
deoarece sunt 3 perechi de operatori de cˆ amp, contract¸ia total˘ a cont¸ine 3! = 6 contribut¸ii nenule: † † † ′ ′ ′ C ψˆ (x ) ψˆ ′ (x ) ψˆµ′ I (x ) ψˆµI (x ) ψˆσI (x) ψˆ ′ (x ) λI
1
λI
1
1
1
σ I
o n † † (x1 ) ψλ† ′ I (x′1 ) ψµ′ I (x′1 ) ψµI (x1 ) + ψλI (x1 ) ψλ† ′ I (x′1 ) ψµ′ I (x′1 ) ψµI (x1 ) ψσI (x) ψσ† ′ I (x′ ) = ψλI
n o † (x1 ) ψλ† ′ I (x′1 ) ψµ′ I (x′1 ) ψµI (x1 ) ψσ† ′ I (x′ ) + ψλ† ′ I (x′1 ) ψµ′ I (x′1 ) ψµI (x1 ) ψσ† ′ I (x′ ) + ψσI (x) ψλI
n o † † (x1 ) ψµ′ I (x′1 ) ψµI (x1 ) ψσ† ′ I (x′ ) − ψσI (x) ψλ† ′ I (x′1 ) ψλI (x1 ) ψµ′ I (x′1 ) ψµI (x1 ) ψσ† ′ I (x′ ) + ψλI n o = − i G0µ′ λ (x′1 , x1 ) i G0µλ′ (x1 , x′1 ) + i G0µλ (x1 , x1 ) i G0µ′ λ′ (x′1 , x′1 ) i G0σσ′ (x, x′ ) n o +i G0σλ (x, x1 ) − i G0µ′ λ′ (x′1 , x′1 ) i G0µσ′ (x1 , x′ ) + i G0µλ′ (x1 , x′1 ) i G0µ′ σ′ (x′1 , x′ ) n o −i G0σλ′ (x, x′1 ) − i G0µ′ λ (x′1 , x1 ) i G0µσ′ (x1 , x′ ) + i G0µλ (x1 , x1 ) i G0µ′ σ′ (x′1 , x′ ) ;
180
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
ca urmare, termenul de ordinul 1 se exprim˘ a prin urm˘atoarea form˘a: n (1d) (1c) (1b) (1a) (1) Gσσ′ (x, x′ ) = Gσσ′ (x, x′ ) + Gσσ′ (x, x′ ) + Gσσ′ (x, x′ ) + Gσσ′ (x, x′ ) o (1e) (1f ) + Gσσ′ (x, x′ ) + Gσσ′ (x, x′ ) hΦ0 |Φ0 i ,
unde cele 6 contribut¸ii au urm˘atoarele expresii: Z Z X (1a) 4 ′ 0 ′ −i d x1 d4 x′1 Uλ,µ;λ′ ,µ′ (x1 , x′1 ) G0µλ′ (x1 , x′1 ) G0µ′ λ (x′1 , x1 ) Gσσ′ (x, x ) = Gσσ′ (x, x ) 2~ ′ λ,µ,λ ,µ′ Z Z X i (1b) Uλ,µ;λ′ ,µ′ (x1 , x′1 ) G0µλ (x1 , x1 ) G0µ′ λ′ (x′1 , x′1 ) Gσσ′ (x, x′ ) = G0σσ′ (x, x′ ) d4 x1 d4 x′1 2~ ′ λ,µ,λ ,µ′ Z Z X −i 4 (1c) Gσσ′ (x, x′ ) = d x1 d4 x′1 Uλ,µ;λ′ ,µ′ (x1 , x′1 ) G0σλ (x, x1 ) G0µσ′ (x1 , x′ ) G0µ′ λ′ (x′1 , x′1 ) 2~ ′ λ,µ,λ ,µ′ Z Z X i (1d) Gσσ′ (x, x′ ) = d4 x1 d4 x′1 Uλ,µ;λ′ ,µ′ (x1 , x′1 ) G0σλ (x, x1 ) G0µλ′ (x1 , x′1 ) G0µ′ σ′ (x′1 , x′ ) 2~ ′ λ,µ,λ ,µ′ Z Z X i (1e) d4 x1 d4 x′1 Uλ,µ;λ′ ,µ′ (x1 , x′1 ) G0σλ′ (x, x′1 ) G0µ′ λ (x′1 , x1 ) G0µσ′ (x1 , x′ ) Gσσ′ (x, x′ ) = 2~ ′ λ,µ,λ ,µ′ Z Z X −i 4 (1f ) Gσσ′ (x, x′ ) = d x1 d4 x′1 Uλ,µ;λ′ ,µ′ (x1 , x′1 G0σλ′ (x, x′1 ) G0µ′ σ′ (x′1 , x′ ) G0µλ (x1 , x1 ). 2~ ′ ′
(3.95a)
(3.95b) (3.95c) (3.95d) (3.95e) (3.95f) (3.95g)
λ,µ,λ ,µ
Din expresiile contribut¸iilor precedente rezult˘a urm˘atoarele observat¸ii: (1b) (1a) a ˆın funct¸ia Green liber˘a G0σσ′ (x, x′ ) ¸si termenii de – Gσσ′ (x, x′ ) ¸si Gσσ′ (x, x′ ) se factorizeaz˘ ordinul 1 ai numitorului: (1a)
Gσσ′ (x, x′ ) = Sa(1) G0σσ′ (x, x′ ) , (1)
(1b)
Gσσ′ (x, x′ ) = Sb
G0σσ′ (x, x′ ) .
– deoarece (x; λ, µ) ¸si (x′ ; λ′ , µ′ ) sunt variabile interne (de integrare/sumare) rezult˘a c˘ a urm˘atoarele contribut¸ii sunt egale (1c)
(1f )
(1d)
(1e)
Gσσ′ (x, x′ ) = Gσσ′ (x, x′ ) , Gσσ′ (x, x′ ) = Gσσ′ (x, x′ ) . iii. Termenul de ordinul 2 cont¸ine 2 × 4 + 2 = 10 operatori de cˆ amp (5 perechi de operatori de cˆ amp) Z Z Z Z X X −i −i n (2) 4 4 ′ 4 ′ d x1 d x1 · d x2 d4 x′2 Gσσ′ (x, x ) = n! 2~ ′ ′ ′ ′ λ1 ,µ1 ,λ1 ,µ1 λ2 ,µ2 ,λ2 ,µ2
× ×
Uλ1 ,µ1 ;λ′1 ,µ′1 (x1 , x′1 ) · C ψˆλ† 1 I (x1 ) ψˆλ† ′ I (x′1 ) 1
Uλ2 ,µ2 ;λ′2 ,µ′2 (x2 , x′2 )
ψˆµ′1 I (x′1 ) ψˆµ1 I (x1 )
× ψˆλ† 2 I (x2 ) ψˆλ† ′ I (x′2 ) ψˆµ′2 I (x′2 ) ψˆµ2 I (x2 ) ψˆσI (x) ψˆσ† ′ I (x′ ) hΦ0 |Φ0 i ; 2
ˆın acest caz prin aplicarea teoremei Wick se obt¸in 5! = 120 termeni (dintre care unii sunt egali). Este evident c˘ a deducerea direct˘a (prin calcul analitic) este extrem de dificil˘a pentru a obt¸ine termenii de ordine superioare. Din acest motiv se utilizeaz˘a metoda propus˘ a de Feynman: – se efectueaz˘ a o analiz˘a general˘ a a seriei de perturbat¸ie, evident¸iind posibilit˘a¸tile de aranjare analitic˘a a elementelor componente ale termenilor de perturbat¸ie (adic˘a funct¸iile Green libere ¸si potent¸ialele de interact¸ie), – se estimeaz˘ a num˘ arul de termeni egali ai fiec˘ arei expresii distincte a seriei de perturbat¸ie, – se asociaz˘a elemetelor constitutive fiec˘ arei p˘ art¸i din termenii perturbat¸ionali o imagine diagramatic˘ a, ceea ce faciliteaz˘ a foarte mult determinarea formelor analitice ale termenilor de perturbat¸ie.
3.3. CALCULUL PERTURBAT ¸ IONAL AL FUNCT ¸ IEI GREEN CAUZALE
181
Funct¸ii Green cu timpi egali Prin definit a uni-particul˘a cu valori egale pentru variabilele temporale, ¸ie, funct¸ia Green cauzal˘ G0σσ′ (x, x′ ) t=t′ , este ambigu˘ a fat¸a˘ de ordonarea cronologic˘ a (de fapt, funct¸ia Green cauzal˘ a uni-particul˘ a este discontinu˘ a pentru timpi egali); ca urmare, cˆand se efectueaz˘a contractarea operatorilor de cˆ amp cu timpi egali ¸si apoi se interpreteaz˘ a contract¸ia ca fiind egal˘a cu funct¸ia Green, atunci este necesar s˘a se p˘ astreze ordinea init¸ial˘a a operatorilor de cˆ amp. Pentru a clarifica modul de ordonare corect pentru operatorii de cˆ amp cu timpi egali, se consider˘ a expresiile init¸iale din seria de perturbat¸ie, ˆınainte de aplicarea teoremei Wick; astfel, se observ˘a c˘ a o pereche de operatori de cˆ amp (creare-anihilare) cu timpi egali poate ap˘area numai cu operatori provenind din acela¸si hamiltonian de interact¸ie. Pentru concretizare se consider˘ a un hamiltonian de interact¸ie ¸si contract¸iile posibile ale operatorilor s˘ai: Z Z Z ∞ X 1 † 4 ˆ d x d4 x′ (x) ψˆλ† ′ I (x′ ) ψˆµ′ I (x′ ) ψˆµI (x) U(x, x′ )λ,µ;λ′ ,µ′ ψˆλI dt H1I (t) = 2 −∞ ′ ′ λ,µ,λ ,µ
−→
ψλ† (x) ψλ† ′ (x′ ) ψµ′ (x′ ) ψµ (x)
&
ψλ† (x) ψλ† ′ (x′ ) ψµ′ (x′ ) ψµ (x)
−→
ψλ† (x) ψλ† ′ (x′ ) ψµ′ (x′ ) ψµ (x)
&
ψλ† (x) ψλ† ′ (x′ ) ψµ′ (x′ ) ψµ (x)
Se observ˘ a c˘ a toate contract¸iile efectuate cu operatori ai hamiltonianului de interact¸ie considerat au acela¸si timp, fie ˆın mod explicit (cˆand au acelea¸si variabile spat¸io-temporale x), fie datorit˘a potent¸ialului de interact¸ie instantanee Uλ,µ;λ′ ,µ′ (x, x′ ) = Vλ,µ;λ′ ,µ′ (r, r′ ) δ(t − t′ ). ˆIn toate cazurile contract¸iile implic˘ a operatorul de creare la stˆanga ¸si operatorul de anihilare la dreapta; atunci, pentru a putea aplica ˆın mod automat contractarea corect˘a, cu p˘ astrarea ordinii init¸iale a operatorilor, se prefer˘ a s˘a se diferent¸ieze timpii astfel ˆıncˆ at s˘a fie aranjat operatorul de creare la stˆanga, adic˘a s˘a aib˘ a un timp infinitezimal mai mare: ψσ† ′ (x′ ) · · · ψσ (x) t′ =t = ψσ† ′ (x′ ) · · · ψσ (x) t′ =t+ = −i G0σσ′ (x, x′ ) t′ =t+ · · ·
Observat¸ie: funct¸ia Green cauzal˘ a uni-particul˘a liber˘a cu ambele variabile spat¸io-temporale egale este reductibil˘ a la densitatea de particule a sistemului f˘ar˘a interact¸ii: G0σσ′ (x, x) ≡ G0σσ′ (r, t; r, t+ ) = +i
hΦ0 |ψˆσ† ′ (r, t+ )ψˆσ (r, t)|Φ0 i = i δσ,σ′ n0σ (r) 0 , hΦ0 |Φ0 i
(3.96)
iar pentru un sistem omogen ¸si izotrop densitatea de particule cu o anumit˘a component˘ a a spinului este constant˘ a (se consider˘ a cazul cˆ and particulele au num˘arul de spin s = 12 ):
0 1 1 N . nσ (r) 0 = h n i0 = 2 2 V Teorema Brueckner (ˆın limba englez˘ a linked cluster expansion) Seria de perturbat¸ie a funct¸iei Green de la num˘ar˘ator, Gσσ′ (x, x′ ) cont¸ine 2 tipuri de termeni: • termeni nelegat¸i care sunt decompozabili ˆın produse independente formate din
– o parte care cont¸ine operatorii de cˆ amp externi ψˆσ (x) ¸si ψˆσ† ′ (x′ ) (ˆın plus exist˘a posibile contribut¸ii de la hamiltonieni de interact¸ie), – o parte care cont¸ine numai contribut¸ii de la hamiltonienii de interact¸ie (dar nu cont¸ine contribut¸ia operatorilor de cˆ amp externi);
• termeni legat¸i care nu sunt decompozabili ˆın produse independente. Teorema Brueckner afirm˘ a urm˘atoarele: termenii nelegat¸i se factorizeaz˘ a, astfel ˆıncˆ at contribut¸ia lor total˘ a este egal˘a cu seria de perturbat¸ie de la numitor S c ′ Gσσ′ (x, x′ ) = S Gσσ ′ (x, x ) , c ′ unde Gσσ ¸ia total˘ a a termenilor legat¸i. ′ (x, x ) este contribut
(3.97)
182
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA Demonstrat¸ie: Pentru a obt¸ine factorizarea afirmat˘ a de teorema Brueckner nu este necesar s˘ a se expliciteze hamiltonienii de perturbat¸ie (dar se ¸tine seama de faptul c˘ a ace¸sti hamiltonieni de perturbat¸ie sunt integrale spat¸io-temporale ¸si sum˘ ari de spini ai produselor dintre potent¸ialul de interact¸ie ¸si operatori de cˆ amp). Atunci, termenul de la numitorul expresiei perturbative are urm˘ atoarea form˘ a general˘ a: Z Z ∞ ∞ X 1 −i m ∞ ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tm ) |Φ0 i dt1 · · · dtm hΦ0 | T H m! ~ −∞ −∞ m=0 Z ∞ Z ∞ ∞ X m 1 −i ˆ 1I (t1 ), . . . , H ˆ 1I (tm ) hΦ0 |Φ0 i , = dt1 · · · dtm C H m! ~ −∞ −∞ m=0
S=
ˆ 1I (t1 ), . . . , H ˆ 1I (tm ) este suma unde, prin aplicarea teoremei Wick pentru produsul cronologic, C H contract¸iilor totale ale operatorilor de cˆ amp din setul hamiltonienilor de interact¸ie specificat¸i, multiplicate cu produse de potent¸iale de interact¸ie (care sunt ¸si matrici de spin), iar ˆın plus se efectueaz˘ a integr˘ ari spat¸io-temporale ¸si sum˘ ari de spini. ˆIn mod similar termenul de la num˘ ar˘ atorul seriei perturbative este Z Z ∞ ∞ X −i −i n ∞ ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn ) ψˆσI (x) ψˆ† ′ (x′ ) |Φ0 i dt1 · · · dtn hΦ0 | T H σ I n! ~ −∞ −∞ n=0 Z Z ∞ ∞ ∞ X −i −i n ˆ 1I (t1 ), . . . , H ˆ 1I (tn ), ψˆσI (x), ψˆ† ′ (x′ ) hΦ0 |Φ0 i . = dt1 · · · dtn C H σ I n! ~ −∞ −∞ n=0
Gσσ ′ (x, x′ ) =
ˆIn expresia precedent˘ a se separ˘ a ˆın setul C · · · } termenii legat¸i ¸si cei nelegat¸i de operatorii de cˆ amp externi ψˆσ ¸si ψˆσ† ′ ; se observ˘ a c˘ a exist˘ a urm˘ atoarele elemente de leg˘ atur˘ a: – contract¸ii ˆıntre operatori de cˆ amp (este singura leg˘ atur˘ a ˆıntre operatori din hamiltonieni de interact¸ie diferit¸i, sau ˆıntre operatori din hamiltonieni de ˆınteract¸ie ¸si operatorii externi); – matricile potent¸iale de interact¸ie, ˆımpreun˘ a cu integr˘ ari spat¸io-temporale ¸si sum˘ ari de spini (este leg˘ atura ˆıntre operatori de cˆ amp din acela¸si hamiltonian de interact¸ie). Atunci un termen legat cont¸ine toate elementele unui set de hamiltonieni de interact¸ie (ˆımpreun˘ a cu operatorii externi); se va nota suma tuturor contract¸iilor totale legate, ˆımpreun˘ a cu operat¸iile suplimentare (multiplic˘ ari cu potent¸iale de interact¸ie, sum˘ ari ¸si integr˘ ari) prin ˆ 1I (t1 ), . . . , H ˆ 1I (tp ), ψˆσI (x), ψˆ† ′ (x′ ) , Cc H σ I
ˆın expresia precedent˘ a s-a considerat c˘ a termenul anterior include toate elementele unui set de p hamiltonieni de interact¸ie. Pentru termenul de ordinul n (de la num˘ ar˘ ator), dac˘ a se consider˘ a un termen legat de ordinul p, atunci – r˘ amˆ an nelegat¸i de operatorii externi tot¸i termenii din (n − p) hamiltonieni de interact¸ie,
– deoarece hamiltonienii interni difer˘ a ˆın termenii perturbat¸ionali numai prin variabile interne (care sunt variabile de sumare-integrare), rezult˘ a c˘ a pentru o alegere p hamiltonieni de interact¸ie legat¸i ¸si (n − p) hamiltonieni de interact¸ie nelegat¸i, se produc Nn,p = Cnp termeni egali (ca efect al integr˘ arilor temporale), unde Cnp este num˘ arul de combin˘ ari pentru n obiecte luate cˆ ate p. Pe baza observat¸iilor precedente ¸si ¸tinˆ and cont de faptul c˘ a termenii legat¸i pot avea ordinele p = 1, 2, . . . , n, se factorizeaz˘ a integrala temporal˘ a multipl˘ a a termenului perturbat¸ional de ordinul n de la num˘ ar˘ ator astfel: Z ∞ Z ∞ ˆ 1I (t1 ), . . . , H ˆ 1I (tn ), ψˆσI (x), ψˆ† ′ (x′ ) dt1 · · · dtn C H σ I −∞
=
−∞
n X
Cnp
p=0
×
Z
Z
∞
Z dt1 · · ·
−∞
∞
dtp+1 · · ·
−∞
Z
∞
∞
ˆ 1I (t1 ), . . . , H ˆ 1I (tp ), ψˆσI (x), ψˆ† ′ (x′ ) dtp Cc H σ I
−∞
ˆ 1I (tp+1 ), . . . , H ˆ 1I (tn ) . dtn C H
−∞
3.3. CALCULUL PERTURBAT ¸ IONAL AL FUNCT ¸ IEI GREEN CAUZALE
183
Se utilizeaz˘ a rezultatul anterior, astfel ˆıncˆ at seria perturbat¸ional˘ a de la num˘ ar˘ ator se exprim˘ a prin separarea termenilor legat¸i de termenii nelegat¸i: Z Z ∞ ∞ X −i −i n ∞ ˆ 1I (t1 ), . . . , H ˆ 1I (tn ), ψˆσI (x), ψˆ† ′ (x′ ) hΦ0 |Φ0 i dt1 · · · dtn C H σ I n! ~ −∞ −∞ n=0 Z ∞ Z ∞ ∞ n X X n −i −i n! ˆ 1I (t1 ), . . . , H ˆ 1I (tp ), ψˆσI (x), ψˆ† ′ (x′ ) = dt1 · · · dtp Cc H σ I n! ~ p! (n − p)! −∞ −∞ n=0 p=0 Z ∞ Z ∞ ˆ 1I (tp+1 ), . . . , H ˆ 1I (tn ) hΦ0 |Φ0 i . × dtp+1 · · · dtn C H
Gσσ ′ (x, x′ ) =
−∞
−∞
Expresia precedent˘ a se factorizeaz˘ a prin utilizarea urm˘ atoarei identit˘ a¸ti matematice:
∞ X ∞ ∞ n ∞ ∞ X X X X ap ap+m n! am 1 nX a An Bb−p = Ap Bm = Ap Bm ; n! p! (n − p)! p! m! p! m! p=0 r=0 p=0 p=0 m=0 n=0
atunci se obt¸ine Gσσ ′ (x, x′ ) =
Z ∞ X −i −i p p=0
×
∞
dt1 · · ·
p!
~
∞ X
Z −i −i m
m=0
m!
−∞
~
∞
Z
∞
ˆ 1I (t1 ), . . . , H ˆ 1I (tp ), ψˆσI (x), ψˆ† ′ (x′ ) dtp Cc H σ I
−∞
Z dt′1 · · ·
−∞
∞
ˆ 1I (t′1 ), . . . , H ˆ 1I (t′m ) hΦ0 |Φ0 i . dt′m C H
−∞
Se observ˘ a c˘ a suma dup˘ a m este identic˘ a cu dezvoltarea perturbativ˘ a a numitorului (adic˘ a S), iar sumarea dup˘ a p este de tipul seriei de la num˘ ar˘ ator, ˆın care se consider˘ a numai termenii legat¸i; astfel s-a obt¸inut rezultatul afirmat de teorem˘ a.
Din demonstrat¸ia teoremei Brueckner rezult˘a expresia contribut¸iei totale a termenilor legat¸i: c ′ Gσσ ′ (x, x ) =
Z ∞ X −i −i p p=0
p!
~
∞
dt1 · · ·
−∞
Z
∞
ˆ 1I (t1 ), . . . , H ˆ 1I (tp ), ψˆσI (x), ψˆ† ′ (x′ ) . dtp Cc H σ I
−∞
Teorema Brueckner simplific˘ a ˆın mod considerabil seria de perturbat¸ie pentru funct¸ia Green cauzal˘ a uni-particul˘ a, deoarece termenii nelegat¸i de la num˘ar˘ator se factorizeaz˘ a ¸si se simplific˘ a cu numitor, ca rezultat r˘amˆ anˆand numai contribut¸ia termenilor legat¸i; atunci, seria de perturbat¸ie a funct¸iei Green este de forma (3.92a), considerˆ andu-se c˘ a exist˘a contribut¸ii numai de la termeni legat¸i: ∞ X (n) c ′ Gσσ′ (x, x′ ) = Gσσ Gσσ′ (x, x′ ) , (3.98a) ′ (x, x ) = n=0
unde termenul perturbat¸ional de ordinul n (explicitat pentru interact¸ie bi-particul˘a) are expresia Z Z Z Z X X −i −i n (n) ′ 4 4 ′ 4 Gσσ′ (x, x ) = ··· d x1 d x1 · · · d xn d4 x′n n! 2~ ′ ′ ′ ′ λ1 ,µ1 ,λ1 ,µ1
× Uλ1 ,µ1 ;λ′1 ,µ′1 (x1 , x′1 ) · · · Uλn ,µn ;λ′n ,µ′n (xn , x′n ) × Cc ψˆ† (x ), ψˆ† ′ (x′ ), ψˆµ′ I (x′ ), ψˆµ I (x ), . . . , λ1 I
1
λ1 I
1
1
1
1
λn ,µn ,λn ,µn
1
o × ψˆλ† n I (xn ), ψˆλ† ′ I (x′n ), ψˆµ′n I (x′n ), ψˆµn I (xn ), ψˆσI (x), ψˆσ† ′ I (x′ ) . n
(3.98b)
B. Diagrame Feynman ˆın spat¸iul coordonate-timp Metoda diagramatic˘ a a fost introdus˘a ˆın electrodinamica cuantic˘ a de c˘ atre Feynman ¸si apoi a fost generalizat˘a ˆın teoria cuantic˘ a a cˆ ampurilor ¸si adaptat˘ a cazului nerelativist pentru teoria cuantic˘ a a sistemelor multi-particule (ˆın englez˘ a many-body). Diagrama este o imagine asociat˘a fiec˘ arui termen din seria de perturbat¸ie pentru o m˘arime fizic˘a; ca urmare, tipul diagramelor (ca structur˘ a topologic˘a ¸si ca interpretare fizic˘a) este dependent de urm˘atorii factori: – m˘arimea calculat˘ a (funct¸ie Green, funct¸ie de corelat¸ie, energie), – tipul particulelor, – tipul interact¸iilor.
184
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Se vor prezenta diagramele Feynman pentru funct¸ia Green cauzal˘ a uni-particul˘a asociat˘a unui sistem de fermioni nerelativi¸sti ¸si cu interact¸ii binare statice. 1. Elementele fundamentale de corespondent¸˘a sunt constituite din limiile particul˘ a ¸si liniile de interact¸ie, conform urm˘atorului tabel de corespondent¸˘a: x σ = G0σσ′ (x, x′ ) – linia fermionic˘ a reprezint˘ a funct¸ia Green cauzal˘ a liber˘ a: 6 x′ σ′ λ′ x′ µ′
λ – linia de interact¸ie reprezint˘ a potent¸ialul de interact¸ie: xI µ
I
= Uλ,µ;λ′ ,µ′ (x, x′ )
(la linia de interact¸ie s-au figurat ¸si linille particul˘ a care sunt legate de capetele liniei de interact¸ie, dar aceste linii particulca cu fac parte din elementul de diagram˘ a numit linie de interact¸ie); se efectueaz˘ a integr˘ari peste coordonatele spat¸io-temporale interne ¸si sum˘ari peste indicii de spin interni. Ca rezultat, fiecare termen din seria de perturbat¸ie a funct¸iei Green se poate figura cu o diagram˘ a ¸si reciproc fiecare diagram˘ a (cu topologie corect˘a) reprezint˘ a un termen posibil din seria de perturbat¸ie a funct¸iei Green cauzale. 2. Exemple • Funct¸ia Green liber˘ a cu variabile egale: G0σσ′ (x, x) = G0σσ′ (r, t; r, t+ ) −→ linie fermionic˘a ˆınchis˘ a (loop simplu) σ
x σ′
• Termenii de ordinul 1 pentru S, conform relat¸iilor (3.93): Sa(1) =
−i 2~
Z
d4 x
Z
d4 x′
X
Uλ,µ;λ′ ,µ′ (x, x′ )
X
Uλ,µ;λ′ ,µ′ (x, x′ )
−→ x
λ,µ,λ′ ,µ′
λ
λ′
µ
µ′
x′
× G0µλ′ (x, x′ ) G0µ′ λ (x′ , x)
(1) Sb
i = 2~
Z
4
d x
Z
d4 x′
−→
λ,µ,λ′ ,µ′
λ
λ′
µ
µ′
x′
x
× G0µλ (x, x) G0µ′ λ′ (x′ , x′ )
Observat¸ie: diagramele corespunz˘ atoare termenilor seriei de la numitor (pentru S) se numesc diagrame de vid. • Termenii de ordinul 1 pentru num˘ar˘atorul funct¸iei Green sunt dat¸i de relat¸iile (3.95): x σ
(1a)
(1)
Gσσ′ (x, x′ ) = Sa G0σσ′ (x, x′ )
−→
λ
λ′
µ
µ′
x1
x′1
x′ σ′ x σ (1b)
(1)
Gσσ′ (x, x′ ) = Sb
G0σσ′ (x, x′ )
−→
x1 x′
σ′
λ
λ′
µ
µ′
x′1
3.3. CALCULUL PERTURBAT ¸ IONAL AL FUNCT ¸ IEI GREEN CAUZALE x
(1c)
Gσσ′ (x, x′ ) =
−i 2~
Z
d4 x1
Z
X
d4 x′1
λ,µ,λ′ ,µ′
−→
(1f )
Gσσ′ (x, x′ ) =
−i 2~
d4 x1 ×
Z
d4 x′1
X
λ,µ,λ′ ,µ′
G0σλ′ (x, x′1 )
(1d) Gσσ′ (x, x′ )
i = 2~
4
d x1
Z
d4 x′1
−→
λ,µ,λ′ ,µ′
(1e)
i 2~
Z
d4 x1
Z
d4 x′1
X
λ,µ,λ′ ,µ′
µ
µ′
σ′
x
σ
x′1
λ′
λ
µ′
µ
x′ x
σ′ σ
−→ Uλ,µ;λ′ ,µ′ (x1 , x′1 )
× G0σλ (x, x1 ) G0µλ′ (x1 , x′1 ) G0µ′ σ′ (x′1 , x′ )
Gσσ′ (x, x′ ) =
λ′
x′1
x1
Uλ,µ;λ′ ,µ′ (x1 , x′1 )
G0µ′ σ′ (x′1 , x′ ) G0µλ (x1 , x1 )
X
λ
x′
x1 Z
σ
Uλ,µ;λ′ ,µ′ (x1 , x′1 )
× G0σλ (x, x1 ) G0µσ′ (x1 , x′ ) G0µ′ λ′ (x′1 , x′1 )
Z
x1
185
λ′
x′1
µ′
x′
σ′
x
σ
x′1
λ′ µ′
−→ Uλ,µ;λ′ ,µ′ (x1 , x′1 )
λ µ
x1
λ µ
× G0σλ′ (x, x′1 ) G0µ′ λ (x′1 , x1 ) G0µσ′ (x1 , x′ )
x′ σ′ Observat¸ii: i. G(1a) ¸si G(1b) au diagrame nelegate (adic˘a diagramele corespunz˘ atoare cont¸in unit˘ a¸ti nelegate de restul diagramei prin linii particul˘ a sau de interact¸ie); conform teoremei Brueckner, contribut¸ia diagramelor nelegate se factorizeaz˘ a ¸si astfel se reduce termenul de vid. ii. G(1c) ¸si G(1f ) au diagrame (legate) topologic identice (expresiile analitice sunt echivalente); ace¸sti termeni reprezint˘ a interact¸ia direct˘a de ordinul minim. iii. G(1d) ¸si G(1e) au diagrame (legate) topologic identice (expresiile analitice sunt echivalente); ace¸sti termeni reprezint˘ a interact¸ia de schimb de ordinul minim. iv. Pe baza rezultatelor precedente, funct¸ia Green ˆın aproximat¸ia de ordinul 1, se scrie astfel: G = G0 + G(1) = G0 + 2 G(1c) + G(1d) . I
• Termenii de ordinul 2 pentru funct¸ia Green sunt reprezentat¸i prin 10 tipuri topologic distincte de diagrame legate, fiecare diagram˘ a avˆand multiplicitate (corespund la mai mult¸i termeni analitici egali); ˆın figura 3.7 sunt ilustrate toate diagramele topologic distincte de ordinul 2.
186
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Datorit˘ a multiplicit˘a¸tilor diagramelor, nu s-au indicat coordonatele de pozit¸ie-timp sau indicii de spin.
Figura 3.7: Diagramele de ordinul 2 pentru funct¸ia Green 3. Factorul diagramei Variabilele interne (coordonatele de pozit¸ie-timp ¸si indicii de spin se integreaz˘a/sumeaz˘a, astfel ˆıncˆ at sunt permutabile; ca urmare, apar factori multiplicativi pentru fiecare tip de integral˘a (topologic distinct˘ a), datorit˘ a permut˘arilor posibile ale variabilelor interne. O diagram˘ a de ordinul n cont¸ine urm˘atoarele elemente: – 2 variabile externe (x ¸si x′ ), c˘ arora le corespund 2 puncte externe; – 2n variabile interne, c˘ arora le corespund 2n puncte interne (numite vertexuri); – 2n + 1 funct¸ii Green libere, c˘ arora le corespund 2n + 1 linii particul˘ a (dintre care 2 linii sunt legate de punctele externe, iar restul 2n − 1 sunt linii interne); – n potent¸iale de interact¸ie, c˘ arora le corespund n linii de interact¸ie. Factorul de multiplicitate al unei diagrame se determin˘a din urm˘atoarele contribut¸ii. • Exist˘a contribut¸ii identice de la toate diagramele topologic identice care difer˘a numai prin permut˘ari ale variabilelor hamiltonienilor de interact¸ie (variabilele interne), adic˘a (xj , λj , µj ; x′j , λ′j , µ′j ) j=1,...,n . Aceasta corespunde la permut˘ari ˆıntre hamiltonienii de ˆ 1I (tj )}; deoarece fiecare hamiltonian de interact¸ie cont¸ine 4 operatori de cˆ interact¸ie {H amp (num˘ ar par), rezult˘a c˘ a la permut˘ari ˆıntre ace¸sti hamiltonieni de interact¸ie nu apare factor de semn (ˆın produsul cronologic). Num˘ arul de permut˘ari ˆıntre n hamiltonieni de interact¸ie este n!, astfel ˆıncˆ at factorul de multiplicitate al diagramei de ordinul n fat¸˘a de permut˘ ari ˆıntre hamiltonienii de interact¸ie este (n)
fH = n! . • Exist˘a contribut¸ie identic˘ a de la toate diagramele topologic identice care difer˘a numai prin permut˘ari ale variabilelor unui hamiltonian de interact¸ie, adic˘a (xj , λj , µj ) ↔ (x′j , λ′j , µ′j ): † (x) ψλ† ′ I (x′ ) ψµ′ I (x′ ) ψµI (x) Uλ,µ;λ′ ,µ′ (x, x′ ) ψλI
† = Uλ′ ,µ′ ;λ,µ (x′ , x) ψλ† ′ I (x′ ) ψλI (x) ψµI (x) ψµ′ I (x′ ) ,
pentru c˘ a potent¸ialul de interact¸ie este simetric la permut˘ari ¸si se efectueaz˘a 2 anti-comut˘ari ale operatorilor de cˆ amp, care produc factorul de semn total = (−1)2 = 1. Deoarece num˘ arul de permut˘ari ˆın interiorul celor n hamiltonieni de interact¸ie este 2n , rezult˘a c˘ a factorul de multiplicitate al diagramei de ordinul n fat¸˘a de permut˘ ari interne ˆın hamiltonienii de interact¸ie este: fp(n) = 2n .
3.3. CALCULUL PERTURBAT ¸ IONAL AL FUNCT ¸ IEI GREEN CAUZALE x
187
x
x1 x′1
xb xa xn x′n x′
xl
x′
Figura 3.8: Topologia liniilor fermionice pentru o bucl˘ a. Deoarece liniile de interact¸ie nu au nici un rol ˆın rat¸ionamentul prezent, s-au ilustrat ˆın mod incomplet aceste linii de interact¸ie. ˆIn partea stˆ ang˘ a este cazul unei diagrame f˘ar˘a bucle (un singur ¸sir de linii fermionice succesive), iar ˆın partea dreapt˘ a s-a format o bucl˘ a prin mutarea unor linii fermionice. • fiecare linie fermionic˘ a (care reprezint˘ a o funct¸ie Green liber˘a) provine dintr-o contract¸ie a
unei perechi de operatori de cˆ amp (anihilare-creare) ψψ † = iG0 , astfel c˘ a are o contribut¸ie cu factorul i; deoarece diagrama cont¸ine 2n + 1 linii fermionice (interne ¸si externe), atunci factorul complex al diagramei de ordinul n este fc(n) = i2n+1 = (−1)n i .
• Fiecare bucl˘ a fermionic˘ a ˆınchis˘ a (numit˘a loop) implic˘ a un num˘ar impar de contract¸ii invera fermionic˘a introduce un sate (init¸ial contract¸iile apar ˆın forma ψψ † ); atunci, fiecare bucl˘ factor de semn fat¸˘ a de cazul f˘ar˘a bucle. Prin urmare, factorul de semn al diagramei fat¸˘a de num˘ arul de bucle (loop) este (n)
fL
= (−1)L ,
L = num˘arul de bucle .
Demonstrat¸ie: Factorul de semn al buclelor provine din produsul cronologic (mai exact, din ordonarea efectuat˘ a la contract¸ia operatorilor); de aceea, acest factor de semn este independent de matricea potent¸ialului de interact¸ie ¸si de permut˘ arile ˆıntre diferit¸ii hamiltonieni de interact¸ie. ˆIn consecint¸˘ a, se consider˘ a ˆın mod detaliat numai partea operatorial˘ a din termenul de ordinul n, care prin contract¸ii, determin˘ a topologia liniilor fermionice. Pornind de la ordonarea init¸ial˘ a a operatorilor de cˆ amp (cei cont¸inut¸i ˆın setul de operatori de interact¸ie urmat¸i de perechea de operatori externi), se aduce ˆın fiecare set de 4 operatori cont¸inut¸i ˆıntr-un hamiltonian de interact¸ie ultimul operator pe pozit¸ia a II-a; apoi operatorul extern de anihilare se comut˘ a la stˆ anga peste tot¸i operatorii provenit¸i din hamiltonienii de interact¸ie, astfel ˆıncˆ at s˘ a ajung˘ a pe prima pozit¸ie din stˆ anga; deoarece toate aceste operat¸ii implic˘ a un num˘ ar par de permut˘ ari, atunci factorul de semn este +1 ¸si operat¸iile specificate anterior sunt ilustrate prin urm˘ atoarele formule (pentru simplitate s-a specificat fiecare operator de cˆ amp intern printr-un indice, iar operatorii externi s-au notat f˘ ar˘ a indici): † † Cc ψˆ1 ψˆ1′ ψˆ1′ ψˆ1 · ψˆ2† ψˆ2†′ ψˆ2′ ψˆ2 · · · ψˆn† ψˆn† ′ ψˆn′ ψˆn · ψˆψˆ† = Cc ψˆ1† ψˆ1 ψˆ1†′ ψˆ1′ · · · ψˆn† ψˆn ψˆn† ′ ψˆn′ · ψˆψˆ† = Cc ψˆψˆ† ψˆ1 ψˆ†′ ψˆ1′ · · · ψˆn† ψˆn ψˆ† ′ ψˆn′ ψˆ† 1
1
n
a) ˆIn cazul absent¸ei buclelor, diagrama este constituit˘ a din un ¸sir de linii fermionice succesive (de la x pˆ an˘ a la x′ ; liniile de interact¸ie leag˘ a diferitele puncte interne din linia fermionic˘ a, dar prezent¸a lor este f˘ ar˘ a important¸˘ a ˆın discut¸ia prezent˘ a. Situat¸ia este ilustrat˘ a ˆın figura 3.8, partea stˆ ang˘ a. S ¸ irul de linii fermionice succesive se obt¸ine dac˘ a se formeaz˘ a contract¸iile ˆın mod succesiv la ultima ordonare obt¸inut˘ a anterior: Cc {· · · } −→ ψ ψ1† ψ1 ψ1†′ ψ1′ · · · ψl† ψl ψl†′ ψl′ · · · ψn† ψn ψn† ′ ψn′ ψ †
188
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA Se observ˘ a c˘ a toate contract¸iile sunt de forma ψψ † = iG0 ; ca urmare, factorul de semn este ˆın acest caz: fL = +1. b) Se consider˘ a acum cazul cu o bucl˘ a fermionic˘ a: aceast˘ a situat¸ie se poate obt¸ine din cazul anterior, prin extragerea punctelor xa , xb , . . . , xl din ¸sirul anterior de puncte; atunci, r˘ amˆ an n − l puncte interne pe ¸sirul de linii x′ → x (linia principal˘ a) ¸si 1 bucl˘ a cu l puncte. Se observ˘ a c˘ a exist˘ a leg˘ aturi ˆıntre linia principal˘ a ¸si bucl˘ a, realizate prin linii de interact¸ie (pentru c˘ a diagrama este legat˘ a ), dar aceste linii de interact¸ie sunt f˘ ar˘ a nici un rol ˆın discut¸ia prezent˘ a. Este convenabil s˘ a se reindicieze punctele interne {1, 2, . . . , n} asfel ˆıncˆ at – pe linia principal˘ a sunt punctele: {1, . . . , m} (m = n − l);
– pe bucl˘ a sunt punctele {1′ , . . . , l′ }.
Deoarece linia principal˘ a se formeaz˘ a prin contract¸iile succesive ale operatorilor primului set (cu m puncte legate de punctele externe), iar bucla se formeaz˘ a prin contract¸iile operatorilor din al doilea set (cu l puncte legate numai ˆıntre ele), atunci setul de contract¸ii este de urm˘ atorul tip (se noteaz˘ a contract¸iile operatorilor pe linia principal˘ a cu linie de leg˘ atur˘ a deasupra ¸si contract¸iile operatorilor din bucl˘ a cu linie de leg˘ atur˘ a dedesupt): Cc {· · · } = ψ ψ1† ψ1 ψ2† ψ2 · · ·
ψj† ψj ψ1†′ ψ1′ ψk† ψk · · ·
ψl†′ ψl′ · · ·
† ψm ψm ψ † ;
(se observ˘ a c˘ a s-au evident¸iat punctele 1, 2, j, k, m de pe linia principal˘ a ¸si punctele 1′ , l′ din bucl˘ a). Se comut˘ a operatorii contractat¸i astfel ˆıncˆ at s˘ a se separe cele dou˘ a grupuri (linia principal˘ a ¸si bucla); se observ˘ a c˘ a aceast˘ a operat¸ie implic˘ a o permutare par˘ a astfel c˘ a nu se introduce factor de semn. Ca rezultat se obt¸ine: Cc {· · · } = ψ ψ1† ψ1 ψ2† ψ2 · · ·
ψj† ψj ψk† ψk · · ·
···
† ψm ψm ψ † · ψ1†′ ψ1′ ψ2†′ ψ2′ · · ·
ψl†′ ψl′ .
Se observ˘ a c˘ a primul termen (care produce linia fermionic˘ a principal˘ a) are factorul de semn +1, deoarece toate contract¸iile sunt de tipul ψ ψ † ; al doilea termen (care produce bucla) necesit˘ a comutarea primului operator din stˆ anga peste tot¸i ceilalt¸i operatori, astfel ca s˘ a ajung˘ a ˆın pozit¸ia din dreapta: ψ1†′ ψ1′ ψ2†′ ψ2′ · · · ψl†′ ψl′ = − ψ1′ ψ2†′ ψ2′ · · · ψl†′ ψl′ ψ1†′ deoarece permutarea este impar˘ a, apare factorul de semn −1.
ˆIn concluzie, s-a ar˘ atat c˘ a la formarea unei bucle se introduce un factor de semn (−1); generalizarea pentru cazul cˆ and sunt prezente L bucle este evident˘ a.
Pe baza rezultatelor anterioare se obt¸ine factorul total al unei diagrame de ordinul n pentru funct¸ia Green (n) (n) (n) fj = fH fp(n) fc(n) fLj = n! 2n (−1)n i (−1)Lj . 4. Termenul de ordinul n din seria de perturbat¸ie a funct¸iei Green Conform relat¸iei (3.98b), termenul de ordinul n are expresia Z Z Z Z −i −i n (n) Gσσ′ (x, x′ ) = d4 x1 d4 x′1 · · · d4 xn d4 x′n n! 2~
X
λ1 ,µ1 ,λ′1 ,µ′1
× Uλ1 ,µ1 ;λ′1 ,µ′1 (x1 , x′1 ) · · · Uλn ,µn ;λ′n ,µ′n (xn , x′n ) × Cc ψˆ† (x ), ψˆ† ′ (x′ ), ψˆµ′ I (x′ ), ψˆµ I (x ), . . . , λ1 I
1
λ1 I
1
1
1
1
···
X
λn ,µn ,λ′n ,µ′n
1
× ψˆλ† n I (xn ), ψˆλ† ′ I (x′n ), ψˆµ′n I (x′n ), ψˆµn I (xn ), ψˆσI (x), ψˆσ† ′ I (x′ ) . n
ˆIn expresia precedent˘ a se observ˘ a urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: i. Prin efectuarea contract¸iilor totale Cc {· · · } se obt¸ine un set de termeni, iar fiecare termen se poate reprezenta diagramatic print-un set de linii fermionice; dac˘a se consider˘ a integr˘arile spat¸iotemporale ¸si sum˘arile de spini, atunci rezult˘a un set de termeni care au imagini diagramatice de tipul sistem de linii fermionice ¸si de interact¸ie legate. Conform discut¸iei precedente, exist˘a
3.3. CALCULUL PERTURBAT ¸ IONAL AL FUNCT ¸ IEI GREEN CAUZALE
189
un subset de termeni distinct¸i analitic, ceea ce corespunde la diagrame topologic diferite, iar fiecare termen distinct are oanumit˘ a multiplicitate. Ca urmare, se vor considera numai termenii (n) distinct¸i, indiciat¸i prin j, care au factori de multiplicitate determinat¸i anterior fj ; se va nota (n,j)
expresia analitic˘a a tipului de diagram˘ a j prin Dσσ′ (x, x′ | x1 λ1 µ1 , . . . , xn λn µn ). ii. Dac˘ a se combin˘ a factorul diagramei de tipul j cu factorul general al termenului perturba¸tional de ordinul n, atunci rezult˘a: i n −i −i n (n) −i −i n · fj = · n! 2n (−1)n i (−1)Lj = (−1)Lj , n! 2~ n! 2~ ~ care este factorul efectiv al termenului de tip j pentru ordinul n. Pe baza observat¸iilor precedente, temenul de ordinul n din seria de perturbat¸ie a funct¸iei Green se poate scrie ˆın mod condensat, astfel: (n)
Gσσ′ (x, x′ ) =
(n) X i n
~
j
×
(−1)Lj
(n,j) Dσσ′ (x, x′
Z
d4 x1
Z
d4 x′1 · · ·
Z
d4 xn
Z
d4 x′n
X
λ1 ,µ1 ,λ′1 ,µ′1
···
| x1 λ1 µ1 , . . . , xn λn µn ) .
X
λn ,µn ,λ′n ,µ′n
(3.99a)
Pentru o exprimare compact˘ a se introduce notat¸ia prescurtat˘ a a coordonatelor de pozit¸ie-timpspin interne: – x, ≡ (x1 , λ1 ,Zµ1 ), . . .Z, (xn , λn , µn ) Z (adic˘a setul tuturor coordonatelor interne); Z λ, µ Z –
d4 x1
d4 x′1 · · ·
coordonatele X interne), X ··· – λ1 ,µ1 ,λ′1 ,µ′1
d4 x′n · · · ≡
d4 xn
λn ,µn ,λ′n ,µ′n
··· ≡
X
(λ,µ)
d8n x · · · (setul integralelor spat¸io-temporale peste
· · · (setul sum˘arilor de spini interni).
Atunci, expresia termenului perturbat¸ional de ordinul n al funct¸iei Green, dat˘a de relat¸ia (3.99a), se scrie ˆın mod condensat astfel: (n) Gσσ′ (x, x′ )
=
(n) X i n j
~
Lj
(−1)
Z
d8n x
X
(λ,µ)
(n,j)
Dσσ′ (x, x′ | x, λµ) .
(3.99b)
4. Regulile Feynman pentru construct¸ia diagramatic˘a a seriei de perturbat¸ie a funct¸iei Green Pe baza discut¸iei anterioare se pot obt¸ine termenii de perturbat¸ie ai funct¸iei Green utilizˆand metoda diagramatic˘ a init¸iat˘ a de Feynman. Prin aceast˘a metod˘a se stabile¸ste un set de reguli topologice de construct¸ie grafic˘ a (diagramatic˘a) ¸si reguli de corespondent¸˘a analitic˘a pentru diagrame. Ca rezultat, se obt¸in termenii de perturbat¸ie ai funct¸iei Green f˘ar˘a s˘a se mai efectueze deducerea analitic˘a, prin aplicarea direct˘a a teoremei Wick ¸si apoi identificarea termenilor egali. 1. Se figureaz˘ a toate diagramele legate ¸si topologic distincte de ordinul n. Elementele unei diagrame sunt: x – linie fermionic˘ a = funct¸ie Green liber˘a x′
σ
6
= G0σσ′ (x, x′ )
σ′
λ – linie de interact¸ie = matricea potent¸ialului de interact¸ie xI µ
λ′ x′ µ′
I
= Uλ,µ;λ′ ,µ′ (x, x′ )
Topologia diagramelor este dat˘a prin urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: – diagrama este legat˘ a (puncte legate prin linii particul˘ a ¸si linii de interact¸ie) ¸si are 2 puncte externe; ( incident x′ 6σ′ – punctele externe sunt legate de restul diagramei prin linii particul˘ a x σ emergent 6
190
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
– exist˘a 2n puncte interne (un punct intern este numit vertex )
λ I x µ
(se observ˘ a c˘ a un vertex este intersect¸ia unei linii particul˘ a incidente, unei linii particul˘ a emergente ¸si a unei linii de interact¸ie; – exist˘a urm˘atoarele linii: 2n + 1 linii particul˘ a (2 linii externe ¸si 2n − 1 linii interne), n linii de interact¸ie; – structura general˘ a topologic˘a a diagramei este ilustrat˘a ˆın figura urm˘atoare: x σ unde partea intern˘a, numit˘a insert¸ie de self-energie este legat˘ a de liniile externe prin 2 puncte ¸si cont¸ine ˆın interior: x1 λ1 * 2 puncte externe (x1 , λ1 ) ¸si (x′n , λ′n ) legate de liniile externe, * 1 linie fermionic˘a principal˘a (x1 → x′n ), care se poate reduce la un punct dac˘a (x1 , λ1 ) = (x′n , λ′n ), x′n µ′n * ramificat¸ii cu linii de interact¸ie ¸si bucle fermionice legate de linia principal˘a prin linii de interact¸ie. x′ σ′ 2. Se efectueaz˘ a corespondent¸a analitic˘a a diagramei; ca rezultat se obt¸ine expresia analitic˘a (n,j) (n) ′ Dσσ′ (x, x |x, λµ) ¸si factorul diagramei fj = ( ~i )n (−1)Lj . 3. Se efectueaz˘ a (pentru fiecare tip de diagram˘ a) – integr˘ coordonatele interne (sunt 2n integrale 4-dimensionale) Z arile peste Z Z Zspat¸io-temporale Z d4 x′1 · · ·
d4 x1
d4 xn
d4 x′n · · · ≡
d8n x · · ·
– sum˘arile de spin interni Xpeste indiciiX X(sunt 4n sume): ···. ··· ··· ≡ λ1 ,µ1 ,λ′1 ,µ′1
λn ,µn ,λ′n ,µ′n
(λ,µ)
4. Se sumeaz˘a tot¸i termenii de ordinul n (provenit¸i de la toate diagramele de ordinul n topologic distincte) ¸si se obt¸ine termenul perturbat¸ional de ordinul n al funct¸iei Green, conform relat¸iei (3.99b): (n) Gσσ′ (x, x′ )
=
(n) X i n j
~
Lj
(−1)
Z
d8n x
X
(λ,µ)
(n,j)
Dσσ′ (x, x′ |x, λµ) .
5. Interpretarea funct¸iei Green cu timpi egali (exist˘ a 2 situat¸ii): – bucl˘ a simpl˘a λ
x
µ
= G0λµ (x, x) = G0λµ (r, t; r, t+ ) ;
– linie fermionic˘ a cu capetele legate de o linie de interact¸ie x
λ µ
= Uλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) G0λµ (x, x′ ) = Vλµ,λ′ µ′ (r, r′ ) δ(t − t′ ) G0λµ (r, t; r′ , t+ ) . λ′
x′
µ′
Observat¸ii: i. Regulile Feynman ofer˘ a o scriere unic˘ a a diagramelor corespunz˘atoare termenilor din seria de perturbat¸ie a funct¸iei Green (fiecare diagram˘ a corespunde la o expresie unic determinat˘ a de regulile Feynman); ca urmare, se obt¸ine o procedur˘a simpl˘a de a calcula termenii seriei de perturbat¸ie a funct¸iei Green.
3.3. CALCULUL PERTURBAT ¸ IONAL AL FUNCT ¸ IEI GREEN CAUZALE
191
ii. Funct¸ia Green cauzal˘ a liber˘ a (ˆın spat¸iul coordonate de pozit¸ie-timp) G0σσ′ (r, t; r;′ , t′ ) are ′ expresii distincte pentru t > t ¸si t < t′ ; deoarece fiecare contribut¸ie la termenul perturbat¸ional de ordinul n cont¸ine 2n + 1 funct¸ii Green libere ¸si 2n integrale temporale, rezult˘a un num˘ar mare de posibilit˘ a¸ti la integr˘arile temporale (situat¸ia devine complicat˘ a ˆın ordinele superioare de perturbat¸ie). De aceea, pentru sistemele conservative ¸si omogene este preferabil s˘a se efectueze e 0 ′ (k, ω), care are o expresie unic˘ a fat¸˘a de calculul transformatei Fourier a funct¸iei Green G σσ variabila ω. iii. ˆIn cazul cˆ and interact¸iile mutuale sunt independente de spini apar simplific˘ ari; regulile Feynman simplificate sunt similare cu cele prezentate la pagina 207 pentru diagramele din spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a, care permit deducerea seriei de perturbat¸iepentru transformata Fourier (spat¸iotemporal˘ a) a funct¸iei Green cauzale 1-particul˘ a. C. Self-energia ¸si ecuat¸ia Dyson A¸sa cum s-a evident¸iat anterior, structura topologic˘a general˘a unei diagrame de ordinul n pentru funct¸ia Green implic˘ a • 2 linii externe (x, σ ′ → x′n , µ′n & x1 , λ1 → x, λ) • o parte intern˘a (numit˘ a insert¸ia de self-energie) – legat˘ a de liniile externe prin punctele (x1 , λ1 ¸si x′n , σn′ ), – cont¸ine o linie principal˘a, de la (x′n , σn′ ) pˆ an˘a la (x1 , λ1 ); aceast˘a linie principal˘a se poate reduce la un punct, dac˘a (x′n , σn′ ) ≡ (x1 , λ1 ); ˆın plus, exist˘a ramificat¸ii (adic˘a bucle fermionice legate de linia principal˘a prin linii de interact¸ie); insert¸ia de self-energie pentru diagrama de ordinul n, tipul j (ˆıntre punctele specificate an(n,j) terior) se noteaz˘ a prin Mλ1 µ′ (x1 , x′n ); totu¸si, ˆın majoritatea lucr˘arilor despre teoria cuantic˘ a n a sistemelor multi-particule, self-energia se noteaz˘ a prin Σ, ˆın loc de M . Atunci, contribut¸ia j a termenului de ordinul n (unde n ≥ 1) se scrie ˆın urm˘atoarea form˘a: Z Z X (n,j) (n,j) ′ 4 Gσσ′ (x, x ) = d x1 d4 x′n G0σλ1 (x, x1 ) Mλ1 µ′ (x1 , x′n ) G0µ′n σ′ (x′n , x′ ) n
λ1 ,µ′n
x
σ
x1
λ1
¸si are reprezentarea diagramatic˘ a
(n, j) x′n
µ′n
x′ σ′ Luˆand ˆın considerare c˘ a termenul de ordinul 0 este funct¸ia Green liber˘a (G(0) = G0 ) ¸si redenumind variabilele interne din expresia anterioar˘ a (x′n , µ′n ) = (x′1 , µ′1 ), se obt¸ine pentru funct¸ia Green expresia Gσσ′ (x, x′ ) =
(n) ∞ X X
n=0
(n,j)
Gσσ′ (x, x′ )
j
= G0σσ′ (x, x′ ) +
(n) ∞ X X
(n,j)
Gσσ′ (x, x′ )
n=1 j
=
G0σσ′ (x, x′ )
+
(n) Z ∞ X X
d x1
4
d4 x′1
4
n=1 j
=
G0σσ′ (x, x′ )
+
Z
d x1
Z
Z
d4 x′1
X
λ1 ,µ′1
X
λ1 ,µ′1
(n,j)
G0σλ1 (x, x1 ) Mλ1 µ′ (x1 , x′1 ) G0µ′1 σ′ (x′1 , x′ ) 1
(n) ∞ X nX
G0σλ1 (x, x1 )
n=1 j
o (n,j) Mλ1 µ′ (x1 , x′1 ) G0µ′1 σ′ (x′1 , x′ ) 1
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
192
Suma tuturor insert¸iilor de self-energie se nume¸ste self-energia total˘ a (n) ∞ X X (n,j) Mλ1 µ′ (x1 , x′1 ) ≡ Mλ1 µ′1 (x1 , x′1 ), care este reprezentat˘ a prin diagrama
x1
λ1
1
x′1 µ′1 Ca urmare, prin sumarea tuturor p˘ art¸ilor interne din termenii perturbat¸ionali, se poate scrie funct¸ia Green ˆın urm˘atoarea form˘a: n=1
G
σσ′
j
′
(x, x ) =
G0σσ′ (x, x′ )
+
Z
4
d x1
Z
d4 x′1
X
G0σλ1 (x, x1 ) Mλ1 λ′1 (x1 , x′1 ) G0λ′1 σ′ (x′1 , x′ ) . (3.100)
λ1 ,λ′1
Pentru a obt¸ine reprezentarea diagramatic˘ a a relat¸iei precedente, se utilizeaz˘a urm˘atoarele imagini diagramatice: x • funct¸ia Green (exact˘a) Gσσ′ (x, x′ )
σ
−→ reprezentare diagramatic˘ a: x′ σ′ x
• funct¸ia Green liber˘ a G0σσ′ (x, x′ )
σ
−→ reprezentare diagramatic˘ a: x′ σ′
• self-energia Mλ1 µ′1 (x1 , x′1 )
x1
λ1
x′1
µ′1
−→ reprezentare diagramatic˘ a:
atunci, relat¸ia (3.100) are reprezentarea diagramatic˘ a ilustrat˘a ˆın figura 3.9. Se observ˘a c˘ a pe diagram˘ a integr˘arile ¸si sum˘arile peste variabilele interne sunt sub-ˆınt¸elese. x
x
σ
σ
=
x′
σ′
x
σ
x1
λ1
x′1
µ′1
x′
σ′
+
x′
σ′
Figura 3.9: Imaginea diagramatic˘ a a exprim˘ arii funct¸iei Green prin self-energia total˘ a.
Clasificarea insert¸iilor de self-energie: i. insert¸ie proprie de self-energie (numit˘a de asemenea, insert¸ie irreductibil˘ a de self-energie) este o insert¸ie de self-energie nedecompozabil˘a ˆın insert¸ii de self-energie prin eliminarea unei linii fermionice (adic˘ a dac˘ a se elimin˘ a una dintre liniile fermionice ale diagramei ce reprezint˘ a o insert¸ie proprie de self-energie, rezult˘a o diagram˘ a care nu este constituit˘ a din 2 insert¸ii de self-energie independente); ii. insert¸ie reductibil˘ a de self-energie este o insert¸ie de self-enegie care este decompozabil˘a ˆın 2 insert¸ii de self-enegie prin eliminarea unei linii fermionice.
3.3. CALCULUL PERTURBAT ¸ IONAL AL FUNCT ¸ IEI GREEN CAUZALE
193
Exemple: – insert¸ii irreductibile de self-energie cu ordinul 1
M (1d)
−→
M (1s)
;
−→
(toate insert¸iile de self-energie cu ordinul 1 sunt irreductibile) – insert¸ii irreductibile de self-energie cu ordinul 2
;
;
;
;
;
;
– insert¸ii reductibile de self-energie cu ordinul 2
;
;
;
;
(s-au figurat liniile fermionice care pot fi eliminate, fiind intersectate printr-o linie ondulat˘ a). Observat¸ii: i. Nu exist˘a insert¸ii reductibile de self-energie cu ordinul 1, dar pentru ordinele superioare (n ≥ 2) insert¸iile de self-energie sunt fie irreductibile, fie reductibile. ii. Ca structur˘ a topologic˘a, o insert¸ie reductibil˘ a de self-energie este constituit˘ a din m ≥ 2 p˘ art¸i (care sunt insert¸ii irreductibile, sau reductibile de self-energie) legate prin linii fermionice. Reprezentarea diagramatic˘ a a cazului cˆ and insert¸ia reductibil˘a este constituit˘ a din 2 insert¸ii irreductibile:
, unde o insert¸ie irreductibil˘ a este reprezentat˘ a prin diagrama
.
Prin repetarea rat¸ionamentului anterior, rezult˘a c˘ a orice insert¸ie reductibil˘ a de self-energie este o ˆın¸siruire de insert¸ii irreductibile de self-energie, legate prin linii fermionice.
194
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Self-energia proprie (notat˘ a M ∗ ) este suma tuturor insert¸iilor irreductibile de self-enegie (pentru toate ordinele perturbat¸ionale): x σ ∞ X X ∗(n,j) ∗ ′ Mσσ′ (x, x′ ) −→ reprezentare diagramatic˘ a: Mσσ ′ (x, x ) = n=1
j
x′ σ′ Seria self-energiei: self-energia total˘ a este egal˘a cu suma tuturor repetit¸iilor posibile de selfenergii proprii (legate prin funct¸ii Green libere = linii fermionice): Z Z X ∗ ∗ ′ (x, x1 ) G0λ1 λ′1 (x1 , x′1 ) Mλ∗′1 σ′ (x′1 , x′ ) Mσλ Mσσ′ (x, x′ ) = Mσσ d4 x1 d4 x′1 ′ (x, x ) + 1 +
Z
Z
Z
λ1 ,λ′1
Z
d4 x1 d4 x′1 d4 x2 d4 x′2
X X
λ1 ,λ′1
∗ (x, x1 ) G0λ1 λ′1 (x1 , x′1 ) Mλ∗′1 λ2 (x′1 , x2 ) Mσλ 1
λ2 ,λ′2
× G0λ2 λ′2 (x2 , x′2 ) Mλ∗′2 σ′ (x′2 , x′ ) + · · · ;
x
x
σ
(3.101)
σ
=
reprezentare diagramatic˘ a: x
′
σ
+ x
′
′
σ
′
x
σ
x1
λ1
x′1
λ′1
x′
σ′
x
σ
x1
λ1
x′1
λ′1
+
+ ... x′2 λ′2 x′2
λ′2
x′
σ′
Demonstrat¸ie: Conform definit¸iei, self-energia total˘ a este suma tuturor insert¸iilor de self-energie Mσσ ′ (x, x′ ) =
(n) ∞ X X
n=1
(n,j)
Mσσ ′ (x, x′ ) .
j
Fiecare termen M (n,j) este fie reductibil, fie irreductibil: – dac˘ a termenul este irreductibil, atunci acesta contribuie ˆın mod direct la self-energia proprie ∗(n,j) (n,j) M ∗ , adic˘ a Mσσ ′ (x, x′ ) = Mσσ ′ (x, x′ ); – dac˘ a termenul este reductibil, atunci acesta se descompune ˆıntr-o parte irreductibil˘ a ¸si o parte (irreductibil˘ a sau reductibil˘ a), iar aceste p˘ art¸i sunt legate cu o linie fermionic˘ a. Explicitarea situat¸iei cˆ and termenul este reductibil: Z Z X ∗(m,i) (n−m,l) ′ r(n,j) (n,j) (x1 , x′ ) , Mσλ (x, x1 ) G0λλ′ (x1 , x′1 ) Mλ′ σ ′ Mσσ ′ (x, x′ ) ≡ Mσσ ′ (x, x′ ) = d4 x1 d4 x′1 λ,λ′
x
σ
x
σ
x1
σ1
x′1
′ σ1
=
ceea ce corespunde la diagrama ′
x
σ
′
x′ σ ′ (Evident partea irreductibil˘ a este de ordinul m < n .)
3.3. CALCULUL PERTURBAT ¸ IONAL AL FUNCT ¸ IEI GREEN CAUZALE
195
Se face separarea termenilor irreductibili de termenii reductibili: Mσσ ′ (x, x′ ) =
(n) ∞ X X
n=1
∗(n,j)
Mσσ ′
(x, x′ ) +
(n) ∞ X X
n=2
j
r(n,j)
Mσσ ′
(x, x′ ) .
j
Primul termen, care cont¸ine suma tuturor insert¸iilor irreductibile, este egal cu sef-energia proprie (n) ∞ X X
n=1
∗(n,j)
′ ∗ (x, x′ ) = Mσσ ′ (x, x ) .
Mσσ ′
j
ˆIn al doilea termen, care cont¸ine suma tuturor insert¸iilor reductibile, se face separarea unei p˘ art¸i irreductibile din fiecare insert¸ie, conform procedurii prezentate anterior: (n) ∞ X X
n=2
r(n,j)
Mσσ ′
(x, x′ ) =
Z X ∗(m,i) (n−m,l) ′ (x1 , x′ ) ; Mσλ (x, x1 ) G0λλ′ (x1 , x′1 ) Mλ′ σ ′ d4 x1 d4 x′1
(n) Z ∞ X X
λ,λ′
n=2 i,l∈j
j
apoi se observ˘ a c˘ a sumarea init¸ial˘ a se descompune ˆın 2 sum˘ ari independendente: (n) ∞ X X
n=2 i,l∈j
f (m, i) g(n − m, l) =
(m) ∞ X X
m=1
i
f (m, i)
(p) ∞ X X p=1
l
g(n − m, l)
adic˘ a (n) ∞ X X
n=2
r(n,j)
Mσσ ′
(x, x′ )
j
=
Z
=
Z
=
Z
Z (n) ∞ X XX ∗(m,i) (n−m,l) ′ (x1 , x′ ) Mσλ (x, x1 ) G0λλ′ (x1 , x′1 ) Mλ′ σ ′ d4 x1 d4 x′1 λ,λ′ n=2 i,l∈j
Z
d4 x1 d4 x′1 Z
(m) ∞ (p) ∞ X X X XX
λ,λ′ m=1
d4 x1 d4 x′1
i
p=1
(m) ∞ X Xn X
λ,λ′
m=1
∗(m,i)
Mσλ
(p,l)
(x, x1 ) G0λλ′ (x1 , x′1 ) Mλ′ σ ′ (x′1 , x′ )
l
∗(m,i)
Mσλ
(p) ∞ X o nX o (p,l) Mλ′ σ ′ (x′1 , x′ ) . (x, x1 ) G0λλ′ (x1 , x′1 ) p=1
i
l
Se observ˘ a c˘ a prima sumare este egal˘ a cu self-energia proprie, iar a doua sumare cont¸ine atˆ at termeni irreductibili, cˆ at ¸si termeni reductibili (de fapt, suma acestor termeni este egal˘ a cu selfenergia total˘ a); atunci expresia anterioar˘ a se exprim˘ a ˆın mod condensat astfel: (n) ∞ X X
n=2
j
r(n,j)
Mσσ ′
(x, x′ ) =
Z
Z X ∗ Mσλ (x, x1 ) G0λλ′ (x1 , x′1 ) Mλ′ σ ′ (x′1 , x′ ) . d4 x1 d4 x′1 λ,λ′
Adunˆ and cele dou˘ a rezultate anterioare, se obt¸ine urm˘ atoarea ecuat¸ie a self-energiei Z Z X ∗ ∗ ′ ′ (x, x ) + d4 x1 d4 x′1 Mσσ ′ (x, x′ ) = Mσσ Mσλ (x, x1 ) G0λλ′ (x1 , x′1 ) Mλ′ σ ′ (x′1 , x′ ) . λ,λ′
Se repet˘ a procedeul anterior pentru self-energia total˘ a din interiorul integralei, astfel c˘ a rezult˘ a expresia Z Z X ∗ ∗ ′ Mσλ (x, x1 ) G0λ1 λ′1 (x1 , x′1 ) ′ (x, x ) + d4 x1 d4 x′1 Mσσ ′ (x, x′ ) = Mσσ 1 λ1 ,λ′1
Z Z o n X Mλ∗′1 λ2 (x′1 , x2 ) G0λ2 λ′2 (x2 , x′2 )Mλ′2 σ ′ (x′2 , x′ ) ; × Mλ∗′1 σ ′ (x′1 , x′ ) + d4 x2 d4 x′2 λ2 ,λ′2
apoi se continu˘ a procedeul anterior ¸si se obt¸ine seria infinit˘ a care reprezint˘ a ecuat¸ia self-energiei (3.101).
196
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Self-energia satisface urm˘atoarea ecuat¸ie Z Z X ′ ∗ ′ 4 ∗ ′ Mσσ (x, x ) = Mσσ′ (x, x ) + d x1 d4 x′1 Mσλ (x, x1 ) G0λλ′ (x1 , x′1 ) Mλ′ σ′ (x′1 , x′ ) ,
(3.102)
λ,λ′
numit˘a ecuat¸ia Dyson pentru self-energie; se observ˘a c˘ a ecuat¸ia Dyson pentru self-energie este o ecuat¸ie integral˘a dependent˘ a de self-energia proprie. Reprezentarea diagramatic˘ a a ecuat¸iei Dyson pentru self-energie este ilustrat˘a ˆın figura 3.10. Demonstrarea ecuat¸iei Dyson pentru energie a fost f˘acut˘ a anterior, cˆ and s-a dedus seria selfenergiei, astfel ˆıncˆ at se evit˘ a repetit¸ia.
x
x
σ
σ
= ′
x
+ ′
x
σ′
σ′
x
σ
x1
λ1
x′1
λ′1
x′
σ′
Figura 3.10: Ecuat¸ia Dyson pentru self-energie.
Ecuat¸ia Dyson pentru funct¸ia Green (numit˘a simplu ecuat¸ia Dyson) Z Z X ′ 0 ′ 4 G0σλ1 (x, x1 ) Mλ∗1 λ′1 (x1 , x′1 ) Gλ′1 σ′ (x′1 , x′ ) . Gσσ′ (x, x ) = Gσσ′ (x, x ) + d x1 d4 x′1
(3.103)
λ1 ,λ′1
Demonstrat¸ie: Se exprim˘ a funct¸ia Green prin self-energia total˘ a ¸si apoi se utilizeaz˘ a ecuat¸ia Dyson pentru selfenergie: Z Z X 0 Gσλ1 (x, x1 ) Mλ1 λ′1 (x1 , x′1 ) G0λ′1 σ ′ (x′1 , x′ ) Gσσ ′ (x, x′ ) = G0σσ ′ (x, x′ ) + d4 x1 d4 x′1 Z
d4 x1
d4 x2 d4 x′2
X
= G0σσ ′ (x, x′ ) + +
Z
Z
λ2 ,λ′2
Z
λ1 ,λ′1
d4 x′1
X
λ1 ,λ′1
n G0σλ1 (x, x1 ) Mλ∗1 λ′1 (x1 , x′1 )
o Mλ∗1 λ2 (x1 , x2 ) G0λ2 λ′2 (x2 , x′2 ) Mλ′2 λ′1 (x′2 , x′1 ) G0λ′1 σ ′ (x′1 , x′ ) ;
se efectueaz˘ a sum˘ arile-integr˘ arile ˆın mod separat Z Z X 0 Gσλ1 (x, x1 ) Mλ∗1 λ′1 (x1 , x′1 ) G0λ′1 σ ′ (x′1 , x′ ) Gσσ ′ (x, x′ ) = G0σσ ′ (x, x′ ) + d4 x1 d4 x′1 +
Z
d4 x 1
Z
d4 x′1
Z
Z
d4 x2 d4 x′2
λ1 ,λ′1
X X
λ1 ,λ′1 λ2 ,λ′2
× G0σλ1 (x, x1 ) Mλ∗1 λ2 (x1 , x2 ) G0λ2 λ′2 (x2 , x′2 ) Mλ′2 λ′1 (x′2 , x′1 ) G0λ′1 σ ′ (x′1 , x′ ) , ˆın ultimul termen se face schimbarea de variabile interne: (122′ 1′ ) → (11′ 22′ ): Z
Z Z Z X X 0 Gσλ1 (x, x1 )Mλ∗1 λ2 (x1 , x2 )G0λ2 λ′2 (x2 , x′2 )Mλ′2 λ′1 (x′2 , x′1 )G0λ′1 σ ′ (x′1 , x′ ) d4 x1 d4 x′1 d4 x2 d4 x′2 λ1 ,λ′1 λ2 ,λ′2
Z Z Z Z X X 0 Gσλ1 (x, x1 )Mλ∗1 λ′1 (x1 , x′1 )G0λ′1 λ2 (x′1 , x2 )Mλ2 λ′2 (x2 , x′2 )G0λ′2 σ ′ (x′2 , x′ ) = d4 x1 d4 x′1 d4 x2 d4 x′2 λ1 ,λ′1 λ2 ,λ′2
3.3. CALCULUL PERTURBAT ¸ IONAL AL FUNCT ¸ IEI GREEN CAUZALE
197
atunci, se poate da factor comun din integrale, astfel c˘ a se obt¸ine Z Z X G0σλ1 (x, x1 ) Mλ∗1 λ′1 (x1 , x′1 ) Gσσ ′ (x, x′ ) = G0σσ ′ (x, x′ ) + d4 x1 d4 x′1 λ1 ,λ′1
Z Z o n X 0 Gλ′1 λ2 (x′1 , x2 ) Mλ2 λ′2 (x2 , x′2 ) G0λ′2 σ ′ (x′2 , x′ ) ; × G0λ′1 σ ′ (x′1 , x′ ) + d4 x2 d4 x′2 λ2 ,λ′2
m˘ arimea din interiorul parantezelor acolade este funct¸ia Green, conform relat¸iei (3.100) ¸si ˆın consecint¸˘ a, rezult˘ a ecuat¸ia Dyson.
Reprezentarea diagramatic˘ a a acestei ecuat¸ii este ilustrat˘a ˆın figura 3.11. x
x
σ
σ
= x′
x
σ
x1
λ1
x′1
λ′1
x′
σ′
+ x′
σ′
σ′
Figura 3.11: Ecuat¸ia Dyson pentru funct¸ia Green. Observat¸ii asupra ecuat¸iei Dyson. i. Ecuat¸ia Dyson (pentru funct¸ia Green) este o ecuat¸ie integral˘a, avˆand ca nucleu self-energia proprie multiplicat˘ a cu funct¸ia Green liber˘a. ii. Dac˘ a se aplic˘ a ˆın mod iterativ ecuat¸ia Dyson, rezult˘a exprimarea funct¸iei Green ca o serie infinit˘a cu termeni avˆand succesiuni self-energii proprii legate prin funct¸ii Green libere; este convenabil s˘a se justifice rezultatul pe cale diagramatic˘ a:
=
+
+
+
+
....
Prin urmare, ecuat¸ia Dyson implic˘ a o sumare pe toate clasele de diagrame irreductibile (¸si iterate ˆın num˘ ar infinit). iii. Dac˘ a se consider˘ a o aproximare pentru self-energia proprie, atunci prin intermediul ecuat¸iei Dyson se efectueaz˘ a o sumare pe o clas˘a infinit˘a de diagrame (care cont¸in un num˘ar arbitrar de iterat¸ii ale self-energiei proprii). De exemplu, se consider˘ a aproximat¸ia de ordinul 1 pentru self-energia proprie M ∗ : M ∗ ≈ M1∗ =
+
atunci, aproximat¸ia Dyson pentru funct¸ia Green este reprezentat˘ a ˆın figura 3.12. Pe baza reprezent˘ arii diagramatice, ilustrat˘a ˆın Figura 3.12, rezult˘a c˘ a, ˆın aproximat¸ia de ordinul 1 pentru self-enegia proprie, sunt valabile urm˘atoarele propriet˘a¸ti ale termenilor perturbat¸ionali pentru funct¸ia Green cauzal˘ a 1-particul˘ a:
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
198
1 =
+
1
=
+
1
....
+ 1
≈
+
+
≈
+
+
1
1
+
+
+
(1)
G0
+
(2)
G1
G1
Figura 3.12: Aproximat¸ia Dyson pentru funct¸ia Green, cˆ and se consider˘ a aproximat¸ia de ordinul 1 pentru self-energia proprie. (1)
– termenul perturbat¸ional de ordinul 1, G1 , este exact ; (2)
– termenul perturbat¸ional de ordinul 2, G1 , este o aproximat¸ie. Din exemplul precedent, se observ˘ a c˘ a aproximat¸ia de ordinul m pentru self-energia proprie (M ∗ ) conduce, prin intermediul ecuat¸iei Dyson, la o serie de perturbat¸ie pentru funct¸ia Green, ˆın care – termenii de ordinele n ≤ m sunt exact¸i, – termenii de ordinele n ≥ m sunt aproximat¸i, deoarece ace¸sti termeni nu cont¸in contribut¸ia p˘ art¸ilor irreductibile de ordinele m′ > m la self-energia proprie. iv. Utilitatea ecuat¸iei Dyson const˘a, ˆın primul rˆand, ˆın faptul c˘ a genereaz˘ a o serie de aproximat¸ie de ordin infinit pentru funct¸ia Green. v. Prin compararea ecuat¸iei Dyson (3.103) cu expresia funct¸iei Green ˆın termeni de self-energia total˘ a (3.100), rezult˘a urm˘atoarea identitate: Z
3.3.2
d4 x′1
X
λ1 ,λ′1
Mλ1 λ′1 (x1 , x′1 ) G0λ′1 σ′ (x′1 , x′ ) =
Z
d4 x′1
X
λ1 ,λ′1
Mλ∗1 λ′1 (x1 , x′1 ) Gλ′1 σ′ (x′1 , x′ ) .
Funct¸ia Green ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a
A. Observat¸ii preliminare Funct¸ia Green liber˘ a G0σσ′ (r, t; r′ , t′ ) are expresii diferite pentru t > t′ ¸si t < t′ ; ca urmare, apar dificult˘a¸ti la calculul integraleleor temporale, atunci cˆ and se expliciteaz˘ a termenii perturbat¸ionali ai funct¸iei Green (exacte). ˆIn cazul sistemelor conservative (omogene sau neonogene spat¸ial) hamiltonianul sistemului H ˆ este atemporal, astfel ˆıncˆ at funct¸ia Green (liber˘a ¸si exact˘ a) depinde numai de diferent¸a variabilelor a¸ti este posibilitatea de temporale Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = Gσσ′ (r, t−t′ ; r′ , 0); consecint¸a acestei propriet˘
3.3. CALCULUL PERTURBAT ¸ IONAL AL FUNCT ¸ IEI GREEN CAUZALE
199
a efectua o transformare Fourier temporal˘a simpl˘a, rezultˆand o transformat˘a Fourier dependent˘ a de o singur˘a frecvent¸˘ a: Gσσ′ (r, r′ ; ω). Cazul mai particular, dar ˆıntˆ alnit ˆın mod frecvent ˆın aplicat¸ii importante, este atunci cˆ and sistemul este atˆat conservativ, cˆ at ¸si omogen; atunci, conform relat¸iei (3.51), funct¸ia Green depinde numai de diferent¸ele variabilelor spat¸io-temporale, astfel ˆıncˆat se poate efectua o transformare Fourier spat¸io-temporal˘ a simpl˘a: Z 1 X ∞ dω i( k·r−ωt) e Gσσ′ (r; t) = e Gσσ′ (k, ω) , V −∞ 2π k Z ∞ Z dω i( k·r−ωt) e d3 k e Gσσ′ (k, ω) , = LT R3 (2π)3 −∞ 2π iar transformarea Fourier invers˘a este Z Z e σσ′ (k, ω) = d3 r G
∞
dt e−i( k·r−ωt) Gσσ′ (r, t) ,
−∞
unde integrarea spat¸ial˘a se face ˆın volumul V , iar la limita termodinamic˘ a (LT) se extinde la ˆıntregul spat¸iu (V → ∞). ˆIn cazul particular al sistemului liber, transformata Fourier a funct¸iei Green libere are o expresie simpl˘a fat¸˘ a de variabila ω 1 e 0σσ′ (k, ω) = δσ,σ′ G , ω − ωk + i η sgn(k − kF ) η→0+
conform relat¸iei (3.70). Pentru simplificarea formulelor este convenabil s˘a se utilizeze notat¸ii 4-dimensionale (se va considera limita termodinamic˘ a): Z Z Z ∞ • 4-coordonata x ≡ (r, t) ¸si integrala corespunz˘ atoare d4 x . . . = d3 r dt . . . ; R3
Z
Z
−∞
Z ∞ d k d k dω . . . = ... ; 4 3 (2π) R3 (2π) −∞ 2π pentru potent¸ialul de interact¸ie se va utiliza notat¸ia alternativ˘a a 4-impulsului q ≡ (q, ν) ;
• 4-impulsul k ≡ (k, ω) ¸si integrala corespunz˘ atoare
4
3
• produsul scalar 4-dimensional k · r = k · r − ωt. Utilizˆand notat¸ia 4-dimensional˘ a, se definesc funct¸ii Dirac corespunz˘ atoare: Z Z Z ∞ d3 r d4 x ik·x dt i(k·r−ωt) δ 4 (k) ≡ δ 3 (k) δ(ω) = e , e ≡ 3 (2π)4 R3 (2π) −∞ 2π Z Z Z ∞ d4 k ik·x d3 k dω i(k·r−ωt) e ; e ≡ δ 4 (x) ≡ δ 3 (r) δ(t) = 3 (2π)4 −∞ 2π R3 (2π) de asemenea, se scriu dezvolt˘ arile Fourier 4-dimensionale (la limita termodinamic˘ a) pentru funct¸ia Green ¸si matricea potent¸ialului de interact¸ie: Z d4 k ik·(x−x′ ) e e Gσσ′ (k) , Gσσ′ (x, x′ ) = Gσσ′ (x − x′ ) = (2π)4 Z 4 d q iq·(x−x′ ) e Uλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = Vλµ,λ′ µ′ (r − r′ ) δ(t − t′ ) = Uλµ,λ′ µ′ (x − x′ ) = e Uλµ,λ′ µ′ (q) ; (2π)4 eσσ′ (k) = G
Ueλµ,λ′ µ′ (q) =
Z
Z
d4 x e−ik·x Gσσ′ (x) , d4 x e−iq·x Uλµ,λ′ µ′ (x)=
Z
Z
∞
dt e−iq·r−νt Vλµ,λ′ µ′ (r) δ(t) −∞ Z Z ∞ 3 d r e−iq·r Vλµ,λ′ µ′ (r) = dt e iνt δ(t) ; 3 |R {z } | −∞ {z } R3
d3 r
e =V λµ,λ′ µ′ (q)
=1
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
200
se observ˘ a c˘ a transformata Fourier spat¸io-temporal˘a a matricii potent¸ialului de interact¸ie este independent˘ a de frecvent¸a ν, depinzˆ and numai de vectorul de und˘a q eλµ,λ′ µ′ (q) , Ueλµ,λ′ µ′ (q) ≡ Ueλµ,λ′ µ′ (q, ν) = V
deoarece s-a considerat o interact¸ie static˘a. Pentru a obt¸ine transformatele Fourier ale termenilor de perturbat¸ie pentru funct¸ia Green se utilizeaz˘a propriet˘ a¸tile de convolut¸ie ale transformatelor Fourier: P1: Z Z 4 d x1 · · · d4 xn F0 (x − x1 ) F1 (x1 − x2 ) · · · Fn−1 (xn−1 − xn ) Fn (xn − x′ ) Z d4 k ik·(x−x′ ) e e F0 (k) Fe1 (k) · · · Fen (k) ; (3.104a) = (2π)4 P2:
Z
d4 x1 · · ·
Z
d4 xn F1 (x1 − x2 ) F2 (x2 − x3 ) · · · Fn−1 (xn−1 − xn ) Fn (xn − x1 ) Z = δ 4 (0) d4 k Fe1 (k) Fe2 (k) · · · Fen (k) ;
(3.104b)
P3: Z d4 x F1 (x1 − x) F2 (x − x2 ) · · · F3 (x − x3 ) Z 4 Z 4 Z 4 d k2 d k3 d k1 (2π)4 δ 4 (−k1 + k2 + k3 ) e ik1 ·x1 Fe1 (k1 ) e ik2 ·x2 Fe2 (k2 ) e ik3 ·x3 Fe3 (k3 ) . = (2π)4 (2π)4 (2π)4
Demonstrat¸ia propriet˘ a¸tilor de convolut¸ie anterioare ale transformatelor Fourier 4-dimensionale este prezentat˘ a ˆın Anexa A.4 pentru relat¸iile (A.38)
B. Construct¸ia diagramelor pentru transformatele Fourier ale funct¸iei Green Seria de perturbat¸ie a funct¸iei Green (forma analitic˘a) este dat˘a de formula (3.99) ′
Gσσ′ (x, x ) =
(n) ∞ X X i n
n=0 j
~
Lj
(−1)
Z
d8n x
X
(λ,µ)
(n,j)
Dσσ′ (x, x′ | x, λµ) ≡
(n) ∞ X X
(n,j)
Gσσ′ (x, x′ ) .
n=0 j
(n,j)
Termenul de ordinul n ¸si tipul j, care este notat prin Gσσ′ (x, x′ ) are o diagram˘ a cu structura topologic˘a ilustrat˘a ˆın figura al˘ aturat˘ a. Propriet˘a¸ti topologice ale diagramei: • 2 puncte externe (x, σ) ¸si (x′ , σ ′ ), care sunt legate de restul diagramei prin 2 linii externe: (x′ , σ ′ ) → (x′n , λ′n ) ¸si (x1 , λ1 ) → (x, σ) ; • partea intern˘a (insert¸ia de self-energie , care cont¸ine
– 2 vertexuri externe (x1 , λ1 ) ¸si (x′n , λ′n ), legate de liniile externe
– cont¸ine ˆın interior 1 linie principal˘ a (x′1 , λ′n ) → (x1 , λ1 ) (eventual re′ dus˘ a la un punct, dac˘ a xn ≡ x1 ) ¸si eventuale ramificat¸ii (bucle fermionice legate de linia principal˘a prin linii de interact¸ie), ˆımpreun˘a cu linii de interact¸ie ˆıntre puncte interne. Propriet˘a¸ti Fourier ale elementelor de diagrame: x′ λ Z d4 k ik·(x−x′ ) e 0 – linie particul˘ a −→ G0λµ′ (x, x′ ) = e Gλµ′ (k) ; 6 (2π)4 ′ x µ
x
σ
x1
λ1
x′n
µ′n
x′
σ′
3.3. CALCULUL PERTURBAT ¸ IONAL AL FUNCT ¸ IEI GREEN CAUZALE
=⇒ se observ˘ a c˘ a
(
201 ′
– punctul incident x′ 6µ′ contribuie cu factorul e−ik·x , – punctul emergent λ′ x′ µ′
λ – linie de interact¸ie xI µ
I
x
λ
6
contribuie cu factorul e ik·x ;
−→ Uλ,µ;λ′ ,µ′ (x, x′ ) =
Z
d4 q iq·(x−x′ ) e e Uλ,µ;λ′ ,µ′ (q) (2π)4 ′
=⇒ se observ˘ a c˘ a linia de interact¸ie contribuie cu factorul e iq·(x−x ) ; x1 – vertex (= punct intern)
µ1
I x
λ µ
λ3 x µ3 3
I x2 λ2 este legat de alte 3 puncte (interne sau externe) prin 2 linii particul˘a ¸si o linie de interact¸ie =⇒ contribut¸ia dependent˘ a de x a celor 3 puncte: G0µ1 λ (x1 , x) e−ik·x ′ G0µλ2 (x, x2 ) e ik ·x e iq·x Uλ,µ;λ3 ,µ3 (x, x3 )
Deoarece o variabil˘ a a unui vertex (cazul variabilei x ˆın exemplul considerat) este variabil˘ a intern˘a, se efectueaz˘ a integrarea peste aceast˘a variabil˘ a; conform propriet˘ a¸tii P3, rezultatul integr˘arii este producerea unei funct¸ii Dirac Z Z ′ d4 x G0µ1 λ (x1 , x) G0µλ2 (x, x2 ) Uλ,µ;λ3 ,µ3 (x, x3 ) ∼ d4 x e i(−k+k +q)·x = (2π)4 δ 4 (k − k′ − q) . Demonstrat¸ie: Z
d4 x G0µ1 λ (x1 , x) G0µλ2 (x, x2 ) Uλ,µ;λ3 ,µ3 (x, x3 ) Z Z Z 4 ′ ′ d4 k ik·(x1 −x) e 0 d k e 0µλ (k′ ) = d4 x e G (k) · e ik ·(x−x2 ) G µ λ 1 2 (2π)4 (2π)4 Z d4 q iq·(x−x′ ) e × e Uλ,µ;λ3 ,µ3 (q) (2π)4 Z 4 ′ Z Z d k d4 q i(k·x1 −k′ ·x2 −q·x3 ) e 0 d4 k e 0µλ (k′ ) Ueλ,µ;λ ,µ (q) e Gµ1 λ (k) G = 3 3 2 (2π)4 (2π)4 (2π)4 Z ′ × d4 x e i(−k+k +q)·x) | {z } = (2π)4 δ(k−k′ −q)
Deoarece exist˘a integralele dup˘a cele trei 4-impulsuri, prezent¸a funct¸iei Dirac produce relat¸ia de conservare k = k′ + q ; atunci, se observ˘ a c˘ a se poate reinterpreta elementul de diagram˘ a corespunz˘ ator unui vertex: – liniile de particule ¸si liniile de interact¸ie au asociate fiecare cˆ ate un 4-impuls orientat, – cele trei 4-impulsuri asociate unui vertex satisfac relat¸ia de conservare; rezultatul este ilustrat ˆın figura din dreapta.
µ1
kIλ k′ µ λ2
q
λ3 µ3
Efectuarea transform˘arilor Fourier pentru funct¸iile Green libere ¸si pentru potent¸ialele de interact¸ie dintr-un termen perturbat¸ional de ordinul n al funct¸iei Green. i. Diagrama asociat˘a termenului G(n,j) are urm˘atoarele elemente: • Np = 2n + 1 linii particul˘ a (2 linii externe ¸si 2n − 1 linii interne), Ni = n linii de interact¸ie;
fiecare linie (particul˘a/interact¸ie), prin transformare Fourier, introduce o integral˘a peste 4-impuls, atunci num˘ arul total de 4-impulsuri introduse prin transform˘ari Fourier este
202
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA e0 ¸si Ue au aceia¸si Nk = Np + Ni = 3n + 1; pe de alt˘ a parte, transformatele Fourier G 0 indici de spini ca G ¸si U; prin urmare, transformarea Fourier nu are nici un efect asupra indicilor de spini.
• Nv = 2n vertexuri (¸si 2 puncte externe); deoarece integralele peste coordonatele xj ale vertexurilor afecteaz˘a numai exponent¸ialele transform˘arilor Fourier, dar nu afecteaz˘a trase0 ¸si Ue), rezult˘a Nc = 2n relat¸ii de conservare ale 4-impulsurilor ˆın formatele Fourier (G fiecare vertex, exprimate prin funct¸ii Dirac.
ii. Pentru un sistem conservativ ¸si omogen funct¸ia Green este transformabil˘a Fourier, conform relat¸iei (3.51) Z d4 k ik·(x−x′ ) e e Gσσ′ (k) , Gσσ′ (x, x′ ) = (2π)4 iar aceast˘a proprietate general˘ a este valabil˘a pentru fiecare termen din seria de perturbat¸ie, adic˘a Z d4 k ik·(x−x′ ) e (n,j) (n,j) Gσσ′ (x, x′ ) = e Gσσ′ (k) . (2π)4
Conform observat¸iilor anterioare, dup˘a efectuarea urm˘atoarelor operat¸ii: – transform˘ arile Fourier pentru funct¸iile Green libere ¸si potent¸ialele de interact¸ie, – integr˘arile peste coordonatele vertexurilor, – integr˘arile part¸iale peste 4-impulsuri, astfel ˆıncˆ at s˘a se elimine toate funct¸iile Dirac (care reprezint˘ a relat¸iile de conservare), (i) se obt¸ine o expresie a termenului G(n,j) , care cont¸ine Nk = (3n + 1) − 2n = (n + 1) 4-impulsuri independente. (n,j) Pe de alt˘ a parte, Gσσ′ (x, x′ ) depinde de coordonata x numai prin factorul e ik·x , care provine din funct¸ia Green reprezentat˘ a prin linia extern˘a emergent˘ a G0σλ1 (x, x1 ); de asemenea, acest ′ termen perturbat¸ional depinde de coordonata x′ numai prin factorul e−ik·x , care provine din funct¸ia Green reprezentat˘ a prin linia extern˘a incident˘ a G0λ′n σ′ (x′n x′ ). Totu¸si, forma final˘a a termenului perturbat¸ional discutat implic˘ a o transformare Fourier simpl˘a, ceea ce conduce la egalitatea 4-vectorilor externi: kin = kout ≡ k. Atunci num˘arul total de 4-impulsuri independente (i) (Nk = n + 1) trebuie interpretat astfel: – exist˘a N (int) = n 4-impulsuri interne, – exist˘a un singur 4-impuls extern, care este 4-impulsul general al transformatei Fourier pentru funct¸ia Green. Ca urmare a analizei precedente, rezult˘a c˘ a termenul perturbat¸ional al transformatei Fourier (n,j) (int) e = n integrale dup˘a 4-impulsurile interne indepenpentru funct¸ia Green Gσσ′ (k), cont¸ine N dente. e0 , U) e conserv˘ iii. Deoarece transform˘ arile Fourier (G0 , U) −→ (G a indicii de spin, rezult˘a invariant¸a relat¸iilor reciproce ˆıntre funct¸iile Green libere - potent¸iale de interact¸ie ¸si transformatele lor Fourier corespondente. De aceea, se poate transpune metoda diagramatic˘ a asociat˘a termenilor perturbat¸ionali din spat¸iul coodonatelor pozit¸ie-timp, la o metod˘ a diagramatic˘ a similar˘ a asociat˘a transformatelor Fourier spat¸io-temporale pentru termenii perturbat¸ionali corespondent¸i; acestea se vor numi diagrame Feynman ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a. Elementele diagramelor: σ n linia fermionic˘ a reprezint˘ a e 0 ′ (k) =G – σσ k 6 transformata Fourier a funct¸iei Green cauzal˘ a liber˘ a: σ′
–
n
linia de interact¸ie reprezint˘ a transformata Fourier a potent¸ialul de interact¸ie:
Iλ µ
q
λ′ µ′
I
= Ueλ,µ;λ′ ,µ′ (q)
Diagramele ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a au aceea¸si structur˘ a topologic˘ a cu diagramele corespondente din spat¸iul coordonatelor, ceea ce implic˘ a expresii corespondente pentru formulele analitice ale diagramelor: (n,j) e (n,j) Dσσ′ (x, x′ | x, λµ) −→ D σσ′ (k | q, λµ) ;
3.3. CALCULUL PERTURBAT ¸ IONAL AL FUNCT ¸ IEI GREEN CAUZALE (n,j)
203
(n,j)
e ′ (k | q, λµ) are expresie analoag˘a cu D ′ (x, x′ | x, λµ) dar elementele diagramelor adic˘a D σσ σσ (liniile particul˘ a ¸si de interact¸ie) sunt re-interpretate ¸si integr˘arile peste variabilele interne sunt diferite. Conform observat¸iilor precedente, termenul perturbat¸ional al funct¸iei Green determin˘a transformata sa Fourier astfel: Z i n X (n,j) (n,j) Lj ′ (−1) Dσσ′ (x, x′ | x, λµ) Gσσ′ (x, x ) = d8n x ~ (λ,µ) Z 4n Z d q X e (n,j) d4 k ik·(x−x′ ) i n Lj Dσσ′ (k | q, λµ) , (−1) e = 4 (2π) ~ (2π)4n (λ,µ)
unde q este setul 4-impulsurilor interne, iar
Z
d4n q · · · este integrala multipl˘a (de ordin 4n)
peste toate cele n 4-impulsuri interne; rezultatul anterior este echivalent cu expresia componentei Fourier a termenului perturbat¸ional: Z 4n i n d q X e (n,j) Lj e (n,j) Dσσ′ (k| q, λµ) . (−1) G (k) = ′ σσ ~ (2π)4n (λ,µ)
iv. Funct¸ia Green liber˘ a cu timpi egali este realizat˘a ˆın 2 situat¸ii (dup˘a cum s-a ar˘atat anterior): – linie particul˘ a ˆınchis˘ a λ
x
µ
= G0λµ (x, x) = G0λµ (r, t; r, t+ ) ;
– linie fermionic˘ a cu capetele legate de o linie de interact¸ie x
λ µ
= Uλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) G0λµ (x, x′ ) = Vλµ,λ′ µ′ (r, r′ ) δ(t − t′ ) G0λµ (r, t; r′ , t+ ) . λ′ ′
x
µ′
Deoarece t+ = t + η , η → 0+ , transformarea Fourier a funct¸iei Green libere cu timpi egali este de forma: Z 3 Z ∞ d k dω i[k·(r−r′ )−ω(t−t′ )] e 0 0 ′ + 0 ′ + e Gσσ′ (k, ω) Gσσ′ (r, t; r , t ) = Gσσ′ (r − r , t − t ) = (2π)3 −∞ 2π Z d4 k iωη ik·(r−r′ ) e0 e e G . = ′ (k) σσ (2π)4 t′ =t, η→0+
Cˆand se efectueaz˘ a transformarea Fourier a termenului perturbat¸ional pentru funct¸ia Green, rezult˘a posibilitatea realiz˘ arii integralelor peste coordonatele interne spat¸io-temporale (acestea sunt integrale de exponent¸iale), care produc funct¸ii Dirac ce exprim˘ a relat¸ii de conservare ale 4-impulsurilor ˆın vertexuri; totu¸si, aceste operat¸ii nu afecteaz˘a factorul e iωη . Atunci, se poate considera c˘ a transformata Fourier a funct¸iei Green libere cu timpi egali include factorul exponent¸ial specificat anterior: e 0 ′ (k) G0σσ′ (r, t; r′ , t+ ) −→ e iωη G . σσ tr.F.
η→0+
Ca urmare a observat¸iilor precedente, rezult˘a regulile Feymnan ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a.
Regulile Feynman pentru diagramele din spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a (adic˘a regulile Feynman pentru construct¸ia termenilor de perturbat¸ie ai transformatelor Fourier ale funct¸iei Green) 1. Se figureaz˘ a toate diagramele legate ¸si topologic distincte de ordinul n. Elementele unei diagrame sunt:
204
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
a)
n
linia fermionic˘ a reprezint˘ a transformata Fourier a funct¸iei Green cauzal˘ a liber˘ a:
σ
6k σ′
e 0 ′ (k) =G σσ
Observat¸ie: funct¸ia Green liber˘ a cu timpi egali (realizat˘ a fie prin linia fermionic˘a ˆınchis˘ a, fie prin linia fermionic˘ a cu capetele legate de o linie de interact¸ie) corespunde urm˘atoarei e 0 ′ (k) . transformate Fourier: e iωη G σσ η→0+
n
q ′ I λµ λµ′ = Ueλ,µ;λ′ ,µ′ (q) I Observat¸ie: deoarece potent¸ialul de interact¸ie este static, rezult˘a c˘ a transformata sa Fourier eλµ,λ′ µ′ (q). este independent˘ a de frecvent¸˘ a: Ueλµ,λ′ µ′ (q) ≡ Ueλµ,λ′ µ′ (q, ν) = V b)
linia de interact¸ie reprezint˘ a transformata Fourier a potent¸ialul de interact¸ie:
Topologia diagramelor este dat˘ a prin urm˘atoarele propriet˘ a¸ti:
– fiecare diagram˘ a ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a are topologie identic˘ a cu diagrama corespondent˘ a din spat¸iul coordonate de pozit¸ie-timp; – diagrama este legat˘ a (puncte legate prin linii particul˘ a ¸si linii de interact¸ie) ¸si are 2 puncte ( externe; σ′ incident k 6 – punctele externe sunt legate de restul diagramei prin linii particul˘ a σ emergent k 6 k λ q – exist˘a 2n puncte interne (un punct intern este numit vertex ) ′ Iµ k – exist˘a urm˘atoarele linii: 2n + 1 linii particul˘ a (2 linii externe ¸si 2n − 1 linii interne), n linii de interact¸ie; – structura general˘ a topologic˘a a diagramei este ilustrat˘a ˆın figura urm˘atoare: σ
k λ1
k µ′n
k
unde partea intern˘a, numit˘a insert¸ie de self-energie este legat˘ a de liniile externe prin 2 puncte ¸si cont¸ine ˆın interior: – 1 linie fermionic˘a principal˘a, avˆand 4-impulsul k (este posibil ca linia fermionic˘ a principal˘a s˘a se reduc˘a la un punct), – ramificat¸ii cu linii de interact¸ie ¸si bucle legate de linia principal˘a prin linii de interact¸ie.
σ′
2. Se atribuie pentru fiecare linie fermionic˘a ¸si de interact¸ie cˆ ate un 4-impuls; consecint¸a integr˘arilor peste coordonatele de pozit¸ie-timp ¸si a relat¸iilor de conservare ale 4-impulsurilor (exprimate prin funct¸ii Dirac), rezult˘a e0 ; – liniile fermionice externe au 4-impulsul general al transformatei Fourier G
– 4-impulsurile liniilor interne (fermionice ¸si de interact¸ie) satisfac relat¸ii de conservare ˆın fiecare vertex; ca urmare, num˘ arul de 4-impulsuri interne independente este n.
3. Se efectueaz˘ a corespondent¸a analitic˘a a diagramei, astfel c˘ a rezult˘a e(n,j) – expresia analitic˘a a setului de linii particul˘ a ¸si de interact¸ie D σσ′ (k | q, λµ), i n (n) (−1)Lj (acest factor este identic cu factorul corespondent – factorul diagramei fj = ~ pentru diagramele din spat¸iul coordonatelor pozit¸ie-timp). 4. Se efectueaz˘ a (pentru fiecare tip de diagram˘ a) – integr˘ari peste 4-impulsurile interne independente (sunt n integrale 4-dimensionale) Z
d4 q1 ··· (2π)4
Z
d4 qn ... ≡ (2π)4
Z
d4n q ... (2π)4n
3.3. CALCULUL PERTURBAT ¸ IONAL AL FUNCT ¸ IEI GREEN CAUZALE
205
– sum˘ari peste indicii de spini interni (sunt 4n sum˘ari) X X X ... . ··· ... ≡ λ1 λ′1 µ1 µ′1
λn λ′n µn µ′n
(λ,µ)
5. Se sumeaz˘a tot¸i termenii de ordinul n (provenit¸i de la toate diagramele topologic distincte); ca rezultat se obt¸ine termenul perturbat¸ional de ordinul n al transformatei Fourier a funct¸iei Green cauzale uni-particul˘ a: e (n)′ (k) = G σσ
(n) X i n j
~
(−1)Lj
Z
d4n q X e (n,j) Dσσ′ (k | q, λµ) . (2π)4n
(3.105)
(λ,µ)
Se observ˘ a urm˘atoarele propriet˘ a¸ti ale analizei diagramatice ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a: – regulile Feynman conduc la o scriere unic˘ a a termenilor perturbat¸ionali pentru transformata Fourier a funct¸iei Green; e este mai simplu decˆat – calculul diagramatic pentru transformata Fourier a funct¸iei Green G calculul funct¸iei Green G, deoarece integralele dup˘a frecvent¸e nu trebuie descompuse ˆın 2 subintegrale, ca ˆın cazul integralelor temporale. Cazul interact¸iilor independente de spini ˆIn acest caz m˘arimile caracteristice ale sistemului au matrici diagonale ˆın indicii de spini; ca urmare, funct¸ia Green liber˘ a ¸si potent¸ialul de interact¸ie au transformate Fourier de forma e 0 ′ (k) = δσσ′ G e0 (k) , G σσ e . Ueλµ,λ′ µ′ (q) = δλµ δλ′ µ′ U(q)
Propriet˘a¸tile de diagonalitate ale funct¸iei Green ¸si ale matricii potent¸ialului de interact¸ie au urm˘atoarea interpretare diagramatic˘ a: σ
e0 ′ (k) =G σσ
k 6 σ
I λµ
′
q
egalitatea indicilor de spini de la capete, dat˘a de simbolul Kronecker δσσ′
egalitatea indicilor de spini din ambele capete, dat˘a de egalita= Ueλ,µ;λ′ ,µ′ (q) tea indicilor de spini de la capete, dat˘a de simbolurile Kronecker δλµ ¸si δλ′ µ′ . I
λ′ µ′
Lem˘a: factorul introdus de buclele fermionice este L fL = (−1)(2s + 1) ,
unde s este num˘ arul cuantic de spin al particulelor ¸si L este num˘arul de bucle fermionice. Demonstrat¸ie: ˆIn cazul studiat este de interes numai efectul sum˘ arilor peste indicii de spin, astfel ˆıncˆ at efectele contract¸iilor ¸si integr˘ arilor sunt neinteresante; prin urmare, se va nota numai partea din termenul perturbat¸ional care implic˘ a indicii de spini, f˘ ar˘ a s˘ a se noteze restul operat¸iilor. Prin contract¸ii se obt¸in funct¸ii Green libere, astfel ˆıncˆ at sumele dup˘ a indicii de spini cont¸in un produs de funct¸ii Green libere ¸si potent¸iale de interact¸ie. a) Cazul cˆ and diagrama nu are bucle fermionice (L = 0). ˆIn aceast˘ a situat¸ie toate punctele se afl˘ a pe linia fermionic˘ a, iar liniile de interact¸ie leag˘ a diferite puncte interne. ˆIn figura 3.13, imaginea din stˆ anga, este ilustrat˘ a diagrama corespunz˘ atoare termenului perturbat¸ional considerat. Partea interesan˘ a, a expresiei acestui termen perturbat¸ional, este de forma: X e 0 (k) δµ λ′ G e 0 (k1 ) · · · δµ λ′ G e 0 (k2n−1 ) δµ′ σ ′ G e 0 (k) δσλ1 G S= n n 1 1 n λ,µ
e 1 ) δλ′ µ′ δλ µ U(q e 2 ) · · · δλn µn δλ′ µ′ Ue(qn−1 ) δλ′ µ′ δλ′ µ′ U(q e n) . × δλ1 µ1 δλ′j µ′j U(q l l n n 1 1 1 1 k k
206
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA σ
σ
λ1 µ1
λ1 µ1
λ′1
µ′′ 2
µ′1
λ′′ 2 µ′′ 1 λ′′ 1 λ′′ l ′′ µl λ′n
λ′n ′ σ′ µn
σ′
µ′n
Figura 3.13: Efectul sum˘arilor de spini Se grupeaz˘ a simbolurile Kronecker ¸si se extrag termenii scalari (transformatele Fourier ale funct¸iilor Green libere ¸si potent¸ialelor de interact¸ie); apoi se efectueaz˘ a sum˘ arile de spin din produsul simbolurilor Kronecker; deoarece num˘ arul de sum˘ ari de spini este Ns = 4n, iar num˘ arul de simboluri Kronecker este Nδ = (2n + 1) + 2n = 4n + 1, se obt¸ine X X e0 · U} e δσλ δλ µ δµ λ′ δλ′ µ′ · · · δλn µn δµ λ′ δλ′ µ′ δµ′ σ ′ {G ··· S= 1
λ1 µ1 λ′1 µ′1
1 1
1
1
1 1
n n
n n
n
λ1 µ1 λ′1 µ′1
e 0 · Ue} , = δσσ ′ {G
e0 · U} e produsul transformatelor Fourier ale funct¸iilor Green ¸si potent¸ialelor unde s-a notat prin {G de interact¸ie. Se observ˘ a c˘ a ˆın acest caz efectul sum˘ arilor peste indicii de spini este banal. b) Cazul cˆ and diagrama are L = 1 bucle.
Se consider˘ a c˘ a aceast˘ a diagram˘ a s-a obt¸inut din precedenta prin extragerea l puncte de pe linia principal˘ a ¸si formarea unei bucle cu aceste puncte; atunci, pe linia principal˘ a sunt Np = 2+(2n−l) puncte, iar bucla are Nb = l puncte. Liniile de interact¸ie leag˘ a diferite puncte interne, fie situate pe linia principal˘ a, fie situate pe bucl˘ a, fie legˆ and un punct de pe linia principal˘ a de un alt punct de pe bucl˘ a; pentru problema factorului de spin nu are important¸˘ a modul cum sunt aranjate liniile de interact¸ie. Partea interesant˘ a este dat˘ a numai de modul cum se sumeaz˘ a simbolurile Kronecher ˆın raport cu indicii de spin. ˆIn mod similar cazului precedent, se scrie numai partea din expresia analitic˘ a a diagramei care implic˘ a sum˘ arile de spin; ˆın cazul prezent, dup˘ a rearanj˘ ari astfel ca s˘ a se separe simbolurile Kronecker corespunz˘ atoare liniei principale, de cele corespunz˘ atoare buclei (ˆın plus, s-au redenumit indicii de spin din bucl˘ a), partea dependent˘ a de spin are forma urm˘ atoare: X ′ δσλ1 δλ1 µ1 δµ1 λ′1 δλ′1 µ′1 · · · δλ′n µ′n δµ′n σ ′ · S = λ,µ
e 0 · Ue} ; × δµ′′1 λ′′1 δλ′′1 µ′′2 δµ′′2 λ′′2 · · · δµ′′l λ′′l δλ′′l µ′′1 {G
se observ˘ a c˘ a se factorizeaz˘ a sum˘ arile de spin ˆın parte corespunz˘ atoate liniei principale ¸si parte corespunz˘ atoare buclei: X′ δσλ1 δλ1 µ1 δµ1 λ′1 δλ′1 µ′1 · · · δλ′n µ′n δµ′n σ ′ · S′ = λ1 ,µ1 ,...,λ′n ,µ′n
×
X
′′ ′′ ′′ λ′′ 1 ,µ1 ,...,λl ,µl
e0 · U} e δµ′′1 λ′′1 δλ′′1 µ′′2 δµ′′2 λ′′2 · · · δµ′′l λ′′l δλ′′l µ′′1 {G
e0 · U} e , ≡ Sp′ Sb′ {G X′ unde prima sumare implic˘ a numai indicii de spin ai liniei principale.
Sum˘ arile de spin pe linia principal˘ a sunt similare cazului precedent, astfel ˆıncˆ at rezultatul final este un simbol Kronecker: X′ δσλ1 δλ1 µ1 δµ1 λ′1 δλ′1 µ′1 · · · δλ′n µ′n δµ′n σ ′ = δσσ ′ ; Sp′ = λ1 ,µ1 ,...,λ′n ,µ′n
3.3. CALCULUL PERTURBAT ¸ IONAL AL FUNCT ¸ IEI GREEN CAUZALE
207
sum˘ arile pe bucl˘ a cont¸in 2l sume pe un produs de 2l simboluri Kronecker, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine Sb′ =
X
′′ ′′ ′′ λ′′ 1 ,µ1 ,...,λl ,µl
δµ′′1 λ′′1 δλ′′1 µ′′2 δµ′′2 λ′′2 · · · δµ′′l λ′′l δλ′′l µ′′1 =
s X
δλ′′1 λ′′1 = 2s + 1 .
λ′′ 1 =−s
Atunci, ˆıntreaga sumare peste indicii de spini produce rezultatul e 0 · U} e . S ′ = δσσ ′ (2s + 1) {G
ˆIn mod analog, pentru o diagram˘ a cu L bucle, rezultatul sum˘ arilor dup˘ a indicii de spin este: ′ SL =
X λ,µ
e0 · U} e . {. . .} = δσσ ′ (2s + 1)L {G
Anterior, cˆ and s-au prezentat regulile Feynman ˆın spat¸iul coordonatelor de pozit¸ie-timp, s-a ar˘ atat c˘ a fiecare bucl˘ a produce un factor de semn (−1), deoarece formarea buclei implic˘ a o contract¸ie inversat˘ a a operatorilor de cˆ amp. ˆIn concluzie, fiecare termen perturbat¸ional al funct¸iei Green este diagonal ˆın indicii de spin ¸si factorul total al unei bucle (dup˘ a efectuarea sum˘ arilor peste indicii de spin) este fb = (−1)(2s + 1); L atunci, pentru o diagram˘ a cu L bucle, factorul total este fL = (−1)(2s + 1) .
Regulile Feynman simplificate (omiterea indicilor de spini) 1. Este similar˘ a cu prima regul˘ a (general˘ a), dar diagramele nu au inclu¸si indicii de spin; atunci semnificat¸ia elementelor de diagram˘ a este: linie particul˘ a
linie de interact¸ie
e 0 (k) =G
k 6 q
I
e = U(q) I
2. Este identic˘ a cu regula a doua (general˘ a). 3. Corespondent¸a analitic˘a a diagramei este dat˘a de expresia produsului de transformate Fourier ale funct¸iilor Green libere (corespunz˘atoare liniilor particul˘ a) ¸si ale potent¸ialelor (n,j) e de interact¸ie (corespunz˘atoare liniilor de interact¸ie): D (k | q); factorul diagramei este i n Lj (n,j) f = − (2s + 1) . ~ 4. Se efectueaz˘ a integr˘arile peste 4-impulsurilor interne independente: Z
d4 q1 ··· (2π)4
Z
d4 qn ... ≡ (2π)4
Z
d4n q ... (2π)4n
5. Se sumeaz˘a tot¸i termenii de ordinul n (provenit¸i de la toate diagramele topologic distincte); ca rezultat se obt¸ine termenul perturbat¸ional de ordinul n al transformatei Fourier a funct¸iei Green cauzale uni-particul˘ a: e(n,j) G σσ′ (k) = δσσ′
(n) X i n j
~
Lj (−1)(2s + 1)
Z
d4n q e (n,j) D (k | q) . (2π)4n
Observat¸ie: s-au prezentat simplific˘ arile asupra seriei de perturbat¸ie pentru transformata Fourier a funct¸iei Green ˆın cazul cˆ and interact¸iile sunt independente de spini; simplific˘ ari analoage se produc, de asemenea, pentru seria de perturbat¸ie (¸si corespunz˘ ator pentru diagramele asociate) a funct¸iei Green ˆın spat¸iul coordonatelor pozit¸ie-timp.
208
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
C. Self-energia ¸si ecuat¸ia Dyson ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a Observat¸ie preliminar˘ a: rezultatele se pot obt¸ie prin 2 metode echivalente: a) deducerea direct˘a ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a (analog metodei utilizate anterior ˆın spat¸iul pozit¸ii-timp); b) transformarea Fourier a rezultatelor din spat¸iul pozit¸ii-timp. Existent¸a rezultatelor similare pentru self-energie, atˆat ˆın spat¸iul pozit¸ii-timp, cˆ at ¸si ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a, este datorat propriet˘ a¸tii diagramelor asociate termenilor perturbat¸ionali, care au aceea¸si structur˘ a topologic˘ a ˆın cele dou˘a spat¸ii. ˆIn vederea unei prezent˘ ari explicite, se va utiliza metoda deducerii directe a self-energiei ¸si apoi a ecuat¸iei Dyson ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a. 1. Definit¸ia self-energiei (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a) σ
k λ
(n, j)
Structura general˘ a topologic˘a a diagramelor de ordinul n este de tipul: ′
λ
k σ′
e (n,j) ceea ce corespunde la expresia analitic˘a: G σσ′ (k) =
X
λ,λ′
e 0 (k) M f(n,j) e0 G σλ λλ′ (k) Gλ′ σ′ (k) ;
partea intern˘a din diagram˘ a (legat˘a de punctele externe prin 2 linii particul˘ a) este numit˘a insert¸ie (n,j) f de self-energie (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a), notat˘a prin Mλλ′ (k). Se observ˘a c˘ a, datorit˘a conserv˘ arii 4-impulsului ˆın vertexuri, insert¸ia de self-energie are 4-impulsul extern. Pe baza definit¸iei anterioare, transformata Fourier a funct¸iei Green rezult˘a prin sumarea tuturor termenilor de perturbat¸ie, luˆand ˆın considerare c˘ a termenul de ordinul 0 este transformata Fourier a funct¸iei Green libere: eσσ′ (k) = G
(n) ∞ X X
n=0
j
e (n,j) G σσ′ (k)
e0 ′ (k) + =G σσ
(n) ∞ X X X
n=1 j
λ,λ′
e0 (k) M f(n,j) e0 G σλ λλ′ (k) Gλ′ σ′ (k) .
Self-energia (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a) se define¸ste ca suma tuturor insert¸iilor de self-enegie ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a (pentru toate ordinele teoriei perturbat¸iilor): fλλ′ (k) = M
(n) ∞ X X
n=1 j
f(n,j) M λλ′ (k) ;
atunci, transformata Fourier a funct¸iei Green se exprim˘ a ˆın termeni de funct¸ia Green liber˘a ¸si self-energie (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a): X e0λ′ σ′ (k) . e0σλ (k) M fλλ′ (k) G e0σσ′ (k) + eσσ′ (k) = G (3.106a) G G λ,λ′
Pentru reprezentarea diagramatic˘ a a relat¸iei (3.106a) se utilizeaz˘a imaginile diagramatice : σ
e σσ′ (k) transformata Fourier a funct¸iei Green exacte G
−→
e0 ′ (k) transformata Fourier a funct¸iei Green libere G σσ
−→
k σ′ σ
k σ′
3.3. CALCULUL PERTURBAT ¸ IONAL AL FUNCT ¸ IEI GREEN CAUZALE
209
λ
fλλ′ (k) self-energia ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a M
−→
k
λ′
Atunci, ecuat¸ia (3.106a) are reprezentarea diagramatic˘ a ilustrat˘a ˆın figura 3.14. σ
σ
σ
k λ
k
=
k
+
k λ′
k σ′
σ′
σ′
Figura 3.14: Imaginea diagramatic˘ a a exprim˘ arii transformatei Fourier a funct¸iei Green prin self-energia total˘ a. Deoarece funct¸ia Green liber˘ a (¸si de asemenea, transformata sa Fourier) este diagonal˘ a ˆın 0 0 e e indicii de spin Gσσ′ (k) = δσσ′ G (k), rezult˘a c˘ a se pot efectua ˆın mod banal sum˘arile de spin ˆın relat¸ia (3.106a), astfel ˆıncˆ at aceast˘a relat¸ie devine e 0 (k) . e 0 (k) + G e 0 (k) M fσσ′ (k) G eσσ′ (k) = δσσ′ G G
(3.106b)
fσσ′ (k) este Pe baza relat¸iei (3.106) se poate ar˘ata c˘ a self-energia ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a M transformata Fourier a self-energiei (ˆın spat¸iul pozit¸ii-timp). Demonstrat¸ie:
Se efectueaz˘ a transformarea Fourier urmat˘ a de utilizarea relat¸iei (3.106a) Z 4 d k ik·(x−x′ ) e Gσσ ′ (x, x′ ) = e Gσσ ′ (k) (2π)4 Z o X 0 d4 k ik·(x−x′ ) n e 0 e0λ′ σ ′ (k) e σλ (k) M fλλ′ (k) G G = e Gσσ ′ (k) + 4 (2π) λ,λ′ Z 4 X d k ik·(x−x′ ) e 0 e 0λ′ σ ′ (k) . fλλ′ (k) G e Gσλ (k) M = G0σσ ′ (x − x′ ) + 4 (2π) ′ λ,λ
Integrala dup˘ a 4-impuls, care cont¸ine self-energia (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a) se poate transforma utilizˆ and propriet˘ a¸tile de convolut¸ie ale transformatei Fourier, exprimate prin proprietatea P1, a a funct¸iei pentru cazul n = 2, cˆ and se alege F0 = G0σλ , F1 = Mλλ′ (transformata Fourier invers˘ 0 f Mλλ′ ) ¸si F2 = Gλ′ σ ′ : Z Z Z 4 d k ik·(x−x′ ) e 0 e 0λ′ σ ′ (k) = d4 x1 d4 x2 G0σλ (x−x1 ) Mλλ′ (x1 −x2 ) G0λ′ σ ′ (x2 −x′ ) . fλλ′ (k) G e G (k) M σλ (2π)4 Pe de alt˘ a parte, expresia funct¸iei Green ˆın termeni de self-energie este dat˘ a de relat¸ia (3.100) Z Z X d4 x1 d4 x′1 G0σλ (x, x1 ) Mλλ′ (x1 , x′1 ) G0λ′ σ ′ (x′1 , x′ ) , Gσσ ′ (x, x′ ) = G0σσ ′ (x, x′ ) + λ,λ′
astfel ˆıncˆ at, din compararea rezultatului anterior cu relat¸ia (3.100), se obt¸ine c˘ a pentru sisteme omogene self-energia depinde numai de diferent¸a coordonatelor spat¸io-temporale, fiind dezvoltabil˘ a Fourier ˆın mod simplu: Z 4 d k ik·(x1 −x′1 ) f Mλλ′ (x1 , x′1 ) = Mλλ′ (x1 − x′1 ) = e Mλλ′ (k) . (2π)4
210
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA σ
k λ1
σ
k σ
σ
k σ
λ1
=
k
′
σ
k λ′1
+
′
λ′1
k
+
k
+ ...
λ2
k
k
λ′2
σ′
k σ′
Figura 3.15: Reprezentarea diagramatic˘ a a exprim˘ arii self-energiei ˆın termeni de self-energie proprie ¸si funct¸ii Green libere. 2. Clasificarea insert¸iilor de self-energie Insert¸iile de self-energie se clasific˘a ˆın reductibile ¸si irreductibile, ˆın mod analog cu situat¸ia din cazul spat¸iului pozit¸ii-timp, deoarece structurile topologice ale diagramelor ˆın spat¸iile impulsfrecvent¸˘a ¸si pozit¸ii-timp sunt identice. Self-energia proprie (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a) este suma tuturor insert¸iilor irreductibile de self-energie: f∗ ′ (x) = M σσ
(n) ∞ X X
n=1 j
f∗(n,j) M (x) , σσ′ σ
k .
¸si are reprezentarea diagramatic˘ a prin imaginea al˘aturat˘ a σ
′
Analog cazului din spat¸iul pozit¸ii-timp, structura topologic˘a general˘a a insert¸iilor reductibile de energie este o succesiune de insert¸ii irreductibile de self-energie • toate cu acela¸si 4-impuls k, • legate prin linii particul˘ a (care au de asemenea, acela¸si 4-impuls) k. Proprietatea anterioar˘ a este consecint¸a direct˘a a conserv˘arilor de 4-impuls ˆın fiecare vertex. ˆIn figura din dreapta este reprezentat˘ a o insert¸ie reductibil˘ a de self-energie care este decompozabil˘a ˆın 3 insert¸ii irreductibile de self-energie.
k k k k k
3. Ecuat¸ia Dyson pentru self-energie Pe baza observat¸iilor anterioare ¸si procedˆand ˆın mod similar cu deducerea prezentat˘ a pentru cazul spat¸iului pozit¸ii-timp, se obt¸ine expresia self-energiei ˆın termeni de funct¸ii Green libere ¸si self-energii proprii: f∗ ′ (k) + fλλ′ (k) = M M λλ +
X
X
λ1 ,λ′1
λ1 ,λ′1 ,λ2 ,λ′2
e 0 ′ (k) M f∗′ ′ (k) f∗ (k) G M λλ1 λ1 λ1 λ1 λ
e 0 ′ (k) M f∗′ ′ (k) + . . . e0 ′ (k) M f∗′ (k) G f∗ (k) G M λλ1 λ2 λ2 λ2 λ λ1 λ1 λ1 λ2
(3.107)
adic˘a: self-energia este egal˘a cu suma tuturor repetit¸iilor posibile de self-energii proprii, legate prin funct¸ii Green libere (toate m˘arimile au acela¸si 4-impuls). Reprezentarea diagramatic˘ a a relat¸iei (3.107) este ilustrat˘a ˆın figura 3.15.
3.3. CALCULUL PERTURBAT ¸ IONAL AL FUNCT ¸ IEI GREEN CAUZALE
211
Prin utilizare recursiv˘ a a relat¸iei (3.107), se obt¸ine ∗ fλλ fλλ′ (k) = M M ′ (k) n o X X e 0 ′ (k) M f∗ (k) G f∗′ ′ (k) + e0 ′ (k) M f∗′ ′ (k) + . . . f∗′ (k) G + M M λλ1 λ1 λ1 λ1 λ λ2 λ2 λ2 λ λ1 λ2 λ1 ,λ′1
λ2 ,λ′2
dar cantitatatea din interiorul parantezelor acolate a relat¸iei precedente este egal˘a cu self-energia, conform relat¸iei (3.107), astfel c˘ a se obt¸ine ecuat¸ia Dyson pentru self-energie ∗ fλλ fλλ′ (k) = M M ′ (k) +
X
λ1 ,λ′1
∗ e 0 ′ (k) M fλ′ λ′ (k) . fλλ (k) G M λ1 λ1 1 1
(3.108)
Sunt importante urm˘atoarele observat¸ii asupra ecuat¸iei Dyson pentru self-energie: – Reprezentarea diagramatic˘ a a ecuat¸iei Dyson pentru self-energie ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a este ilustrat˘a ˆın figura 3.16. λ
k λ
λ
k
λ1
=
k
λ′
+
k λ′1
λ′
k ′
λ
Figura 3.16: Reprezentarea diagramatic˘ a a ecuat¸iei Dyson pentru self-energie ˆın spat¸iul impulsfrecvent¸˘ a. – Ecuat¸ia Dyson pentru self-energie ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a este o ecuat¸ie algebric˘a (matricial˘a) pentru self-energia total˘ a, ˆın termeni de self-energia proprie ¸si funct¸ia Green liber˘a 17 . e = M fσσ′ , Dac˘ a se introduc matricile de spin pentru self-energie ¸si pentru funct¸ia Green liber˘a: M e∗ = M f∗ ′ ¸si G e0 = G e0 ′ , atunci ecuat¸ia Dyson pentru self-energie are urm˘atoarea exprimare M σσ σσ matricial˘a: e e ∗ (k) + M e ∗ (k) · G e 0 (k) · M(k) e M(k) =M
=⇒
care are solut¸ia
e ∗ (k) · G e 0 (k) · M(k) e e ∗ (k) , I−M =M
e e ∗ (k) · G e 0 (k) −1 · M e ∗ (k) . M(k) = I−M 4. Ecuat¸ia Dyson pentru transformata Fourier a funct¸iei Green are urm˘atoarea expresie e0σσ′ (k) + e σσ′ (k) = G G
X λ,λ′
∗ e0σλ (k) M fλλ e G ′ (k) Gλ′ σ ′ (k) .
(3.109)
Demonstrat¸ie: Se exprim˘ a transformata Fourier a funct¸iei Green ˆın termeni de self-energie, conform relat¸iei 17ˆ In spat¸iul pozit¸ii-timp ecuat¸ia Dyson era o ecuat¸ie integral˘ a ¸si matricial˘ a, dar prin transformarea Fourier convolut¸ia s-a transformat ˆın produs.
212
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA (3.106), iar apoi se utilizeaz˘ a ecuat¸ia Dyson pentru self-energie, reprezentat˘ a prin relat¸ia (3.108) X e 0λ′ σ ′ (k) e 0σλ (k) M fλλ′ (k) G e 0σσ ′ (k) + e σσ ′ (k) = G G G λ,λ′
e 0σσ ′ (k) + =G
e 0σσ ′ (k) + =G +
X
λ,λ′
X
λ,λ′
X X
λ,λ′ λ1 ,λ′1
n o X ∗ ∗ e 0σλ (k) M fλλ fλλ (k) G e0λ λ′ (k) M fλ′ λ′ (k) G e 0λ′ σ ′ (k) G ′ (k) + M 1 1 1 1 λ1 ,λ′1
∗ e 0λ′ σ ′ (k) e 0σλ (k) M fλλ G ′ (k) G
∗ e 0σλ (k) M fλλ e 0λ λ′ (k) M fλ′ λ′ (k) G e0λ′ σ ′ (k) ; G ′ (k) G 1 1 1
ˆın ultimul termen se redenumesc indicii de spin interni (λ1 , λ′1 , λ′ ) → (λ′ , λ1 , λ′1 ), astfel c˘ a se pot regrupa ultimii 2 termeni, care produc funct¸ia Green, conform relat¸iei (3.106): o n X 0 X 0 ∗ e 0λ′ σ ′ (k) e σλ (k) M fλλ′ (k) G e σλ (k) M fλλ e 0σσ ′ (k) + e 0σσ ′ (k) + e σσ ′ (k) = G G G ′ (k) G G λ,λ′
λ,λ′
=
e 0σσ ′ (k) G
+
X
λ,λ′
e 0σλ (k) G
∗ fλλ M ′ (k)
e λ′ σ ′ (k) . G
Observat¸ii asupra ecuat¸iei Dyson pentru transformata Fourier a funct¸iei Green. i. Reprezentarea diagramatic˘ a a ecuat¸iei (3.109) este ilustrat˘a ˆın figura 3.17. σ
σ
σ λ1
=
k
k
+
k
k
λ′1 σ′
σ′
σ′
k
Figura 3.17: Reprezentarea diagramatic˘ a a ecuat¸iei Dyson pentru transformata Fourier a funct¸iei Green. ii. Ecuat¸ia Dyson pentru transformata Fourier a funct¸iei Green este o ecuat¸ie algebric˘ a e = G eσσ′ , e (matricial˘ a ˆın indicii de spini) pentru funct¸ia G(k). Utilizˆand matricile de spini G ∗ 0 e0 I ¸si M e∗ = M f ′ atunci ecuat¸ia Dyson pentru transformata Fourier a e0 = G e δσσ′ = G G σσ funct¸iei Green are urm˘atoarea exprimare matricial˘a: e e 0 (k) + G e 0 (k) · M e ∗ (k) · G(k) e e0 (k) I + G e0 (k) M e ∗ (k) · G(k) e G(k) =G =G h 1 i e ∗ (k) · G(k) e =⇒ I−M =I, e 0 (k) G
care are solut¸ia
e G(k) =
h
1
e0 (k) G
e ∗ (k) I−M
i−1
.
(3.110)
iii. Prin compararea expresiilor transformatei Fourier a funct¸iei Green, date de relat¸iile (3.106) ¸si (3.106), rezult˘a urm˘atoarea egalitate: X X ∗ e 0λ′ σ′ (k) = fλλ′ (k) G fλλ e M M (3.111) ′ (k) Gλ′ σ ′ (k) . λ′
λ′
5. Consecint¸ele ecuat¸iei Dyson pentru sisteme cu interact¸ii independente de spini Dac˘ a interact¸iile mutuale dintre particulele sistemului sunt independente de spini, atunci toate e f∗′ ′ (k) = δλ′ σ′ G e λ′ σ′ (k) = δλ′ σ′ G(k) e∗ (k). ¸si M matricile de spini sunt diagonale; ˆın acest caz G λσ Ecuat¸ia Dyson (3.109) devine o ecuat¸ie scalar˘a: e e 0 (k) + G e 0 (k) M f∗ (k) G(k) e G(k) =G
3.3. CALCULUL PERTURBAT ¸ IONAL AL FUNCT ¸ IEI GREEN CAUZALE care are solut¸ia e G(k) =
e 0 (k) G = e0 (k) M f∗ (k) 1−G
1 1 e 0 (k) G
213
.
f∗ (k) −M
Luˆand ˆın considerare c˘ a transformata Fourier a funct¸iei Green liber˘a are expresia (3.70) 1 e0 (k, ω) = G , ω − ωk + i η sgn(k − kF ) η→0+
rezult˘a c˘ a transformata Fourier a funct¸iei Green exacte, ca solut¸ie a ecuat¸iei Dyson, are expresia: 1 e , (3.112) G(k, ω) = ∗ f ω − ωk − M (k, ω) + i η sgn(k − kF ) η→0+
6. Interpretarea self-energiei ˆın sensul teoremei Galitski-Migdal Conform teoremei Galitski-Migdal, dac˘a transformata Fourier a funct¸iei Green cauzal˘ a unie z) are singularit˘a¸ti poli simpli particul˘ a prelungit˘a analitic ˆın planul complex al pulsat¸iei G(k, zk = ωk + iγk apropiat¸i de axa real˘ a, atunci ace¸sti poli cont¸in caracteristicile st˘arilor excitate ale sistemului de tip st˘ ari cuasi-particule (sau cuasi-goluri) metastabile; astfel, partea real˘a a polului este legat˘ a de energia cuasi-particulei εk = ~ ω k , iar partea imaginar˘a a polului este legat˘ a de timpul de viat¸˘ a al cuasi-particulei (inversul constantei de amortizare) τk = 1/γk . Conform expresiei transformatei Fourier a funct¸iei Green, ca solut¸ie a ecuat¸iei Dyson, relat¸ia (3.112), ecuat¸ia pentru polii transformatei Fourier a funct¸iei Green este f∗ (k, z) + i η sgn(k − kF ) z − ωk − M =0; (3.113) η→0+
se observ˘ a c˘ a factorul de convergent¸˘a nu are nici un rol ˆın ecuat¸ia (3.113), astfel ˆıncˆ at ecuat¸ia pentru determinarea polului se rescrie ˆın forma f∗ (k, ω k + iγk ) = 0 . (ω k + iγk ) − ωk − M
Dac˘ a se consider˘ a polii aproape de axa real˘a, atunci γk ≪ ωk , ¸si ˆın consecint¸˘a, p˘ art¸ile real˘a ¸si imaginar˘ a ale polilor se obt¸in ˆın mod aproximativ din urm˘atoarele ecuat¸ii: ∗ f (k, ω k ) = 0 , ω k − ωk − Re M (3.114a) ∗ f Im M (k, ω k ) γk = . (3.114b) ∂ f∗ (k, ω) 1− Re M ∂ω ω=ω k Demonstrat¸ie:
Se dezvolt˘ a self-energia ˆın serie Taylor, aproximat¸ia de ordinul 1, ˆın jurul valorii ω k , iar apoi se separ˘ a p˘ art¸ile real˘ a ¸si imaginar˘ a: f∗ (k, ω k + iγk ) = M f∗ (k, ω k ) + iγk ∂ M f∗ (k, ω) M + ... ω=ωk ∂ω ∗ ∗ f (k, ω k ) f (k, ω k ) + i Im M = Re M h ∂ i ∗ ∗ ∂ f (k, ω) f (k, ω) + iγk Re M + i Im M + ... ω=ωk ω=ωk ∂ω ∂ω i h f∗ (k, ω) f∗ (k, ω k ) − γk ∂ Im M = Re M ω=ωk ∂ω i h ∂ f∗ (k, ω) f∗ (k, ω k ) + γk Re M + ... + i Im M ω=ωk ∂ω
Atunci, prin substituirea expresiei aproximate a self-energiei ˆın ecuat¸ia polilor ¸si separarea p˘ art¸ilor real˘ a ¸si imaginar˘ a, rezult˘ a sistemul de ecuat¸ii: ∗ ∗ f (k, ω k ) + γk ∂ Im M f (k, ω) ω k − ωk − Re M + ... = 0 , ω=ωk ∂ω ∗ ∗ f (k, ω k ) − γk ∂ Re M f (k, ω) γk − Im M + ... = 0 . ω=ωk ∂ω
214
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA Sistemul de ecuat¸ii precedent se aproximeaz˘ a luˆ and ˆın considerare c˘ a partea imaginar˘ a a polului at rezult˘ a ecuat¸iile este mic˘ a ˆın raport cu partea real˘ a (γk ≪ ω k ), astfel ˆıncˆ ∗ f (k, ω k ) = 0 , ω k − ωk − Re M h i ∗ ∗ ∂ f (k, ω) f (k, ω k ) = 0 , γk 1 − Re M − Im M ω=ωk ∂ω
care sunt echivalente cu sistemul (3.114).
Se observ˘ a c˘ a prima ecuat¸ie a sistemului (3.114) este o ecuat¸ie pentru partea real˘a a polului ω k , iar cea de a doua ecuat¸ie permite obt¸inerea p˘ art¸ii imaginare a polului γk , dac˘a s-a determinat anterior partea real˘ a a acestui pol. D. Energia st˘ arii fundamentale pentru sistem conservativ ¸si omogen Se consider˘ a cazul cˆ and sistemul este conservativ ¸si omogen (din punct de vedere spat¸ial), iar interact¸iile sunt independente de spini. Atunci funct¸ia Green ¸si self-energia sunt diagonale ˆın indicii de spini, iar aceast˘a proprietate este valabil˘a de asemenea, pentru transformatele lor e ω) ¸si Fourier; ca urmare, se va nota simplu partea scalar˘a a transformatelor Fourier prin G(k, f respectiv M (k, ω), iar sum˘arile dup˘a indicii de spin produc factorul (2s + 1): s X
σ=−s
eσσ (k, ω) = G
s X
σ=−s
e ω) = (2s + 1) G(k, e ω) . δσσ G(k,
Transformata Fourier a funct¸iei Green exacte, ca solut¸ie a ecuat¸iei Dyson, are expresia (3.112): e ω) = G(k,
1 f∗ (k, ω) + i η sgn(k − kF ) ω − ωk − M
η→0+
,
unde ωk este pulsat¸ia corespunz˘ atoare energiei unei particule libere, care este definit˘ a conform ~2 k2 . relat¸iei ~ ωk = εk = 2m Energia st˘ arii fundamentale a sistemului se poate calcula, fie prin utilizarea indirect˘ a a ecuat¸iei de evolut¸ie pentru funct¸ia Green, fie cu ajutorul teoremei Pauli. a) Metoda utiliz˘arii indirecte a ecuat¸iei de evolut¸ie pentru funct¸ia Green Energia st˘ arii fundamentale a sistemului are la limita termodinamic˘ a expresia dat˘a de relat¸ia (3.87), care prin efectuarea sum˘arii peste indicii de spin ¸si a substituirii transformatei Fourier a funct¸iei Green, devine: Z
Z ∞ ~2 k 2 X e d3 k dω iωη ~ ω + e Gσσ (k, ω) 3 2m R3 (2π) −∞ 2π σ Z Z ∞ −i d3 k (~ ω + ~ ωk ) dω iωη = lim (2s + 1) V e . 3 η→0+ ∗ f 2 (2π) 2π 3 ω − ωk − M (k, ω) + i η sgn(k − kF ) R −∞
−i E0 = lim V LT 2 η→0+
Fract¸ia din ultima expresie se poate transforma astfel:
(~ ω + ~ ωk ) ∗ f ω − ωk − M (k, ω) + i η sgn(k − kF ) f∗ (k, ω) + i ηk + 2 ωk + M f∗ (k, ω) − i ηk ω − ωk − M =~ f∗ (k, ω) + i ηk ω − ωk − M n o f∗ (k, ω) 2 ωk + M i ηk =~ 1+ − f∗ (k, ω) + i ηk f∗ (k, ω) + i ηk ω − ωk − M ω − ωk − M ~ f∗ e ω) , e ω) − i ~ ηk G(k, (k, ω) G(k, = ~ + 2 ~ ωk + M 2
3.3. CALCULUL PERTURBAT ¸ IONAL AL FUNCT ¸ IEI GREEN CAUZALE
215
e ω). Deoarece unde s-a notat ηk ≡ η sgn(k−kF ) ¸si s-a utilizat din nou expresia (3.112) pentru G(k, e ultimul termen are contribut¸ie nul˘a i~ηk G(k, ω) → 0, integrala dup˘a pulsat¸ie devine: Z ∞ (~ ω + ~ ωk ) dω iωη e lim ∗ η→0+ −∞ 2π f ω − ωk − M (k, ω) + i η sgn(k − kF ) Z ∞ Z ∞ dω iωη ~ f∗ dω iωη e ω) ; = ~ lim ~ ωk + M (k, ω) G(k, e + 2 lim e η→0+ −∞ 2π η→0+ −∞ 2π 2 Primul termen este nul, deoarece integrala este egal˘a cu funct¸ia Dirac de argument nenul: Z ∞ dω iωη e = lim δ(η) = 0 , lim η→0+ η→0+ −∞ 2π astfel ˆıncˆ at expresia energiei st˘ arii fundamentale devine Z Z ∞ d3 k ~ f∗ dω iωη e ω) E0 = − i(2s + 1)V lim εk + M (k, ω) G(k, e 3 η→0+ R3 (2π) 2 −∞ 2π Z ~ f∗ e d4 k iωη εk + M = − i(2s + 1)V lim e (k) G(k) . 4 η→0+ (2π) 2
(3.115)
a) Metoda utiliz˘arii teoremei Pauli Prin utilizarea teoremei Pauli rezult˘a diferent¸a dintre energiile st˘arilor fundamentale ale sistemului cu interact¸ie ¸si sistemului liber, dat˘a de relat¸ia (3.91b), care limita termodinamic˘ a devine: Z Z ∞ Z 1 ~2 k 2 X e(λ) d3 k dω iωη dλ −i ~ ω − lim V e Gσσ (k, ω) . E0 − E00 = 3 LT 0 λ 2 η→0+ 2m R3 (2π) −∞ 2π σ
Se procedeaz˘ a ˆın mod similar cu cazul precedent, adic˘a se efectueaz˘a sumarea peste indicii de spin ¸si se utilizeaz˘ a expresia (3.112) pentru transformata Fourier a funct¸iei Green (corespunz˘atoare unei constante de cuplaj λ), astfel ˆıncˆ at funct¸ia integrand devine: ~2 k 2 X e (λ) Gσσ (k, ω) ~ω − 2m σ
e (λ) = ~(ω − ωk ) (2s + 1) G σσ (k, ω) ω − ωk = (2s + 1) ~ ∗ f ω − ωk − Mλ (k, ω) + i η sgn(k − kF ) h i f∗ (k, ω) M i ηk λ = (2s + 1) ~ 1 + − f∗ (k, ω) + i ηk f∗ (k, ω) + i ηk ω − ωk − M ω − ωk − M λ i λ h e (λ) (k, ω) f∗ (k, ω) G e(λ) (k, ω) − i ηk G = (2s + 1) ~ 1 + M λ h i fλ∗ (k, ω) G e(λ) (k, ω) , = (2s + 1) ~ 1 + M
f∗ (k, ω) este self-energia proprie pentru sistemul cu constanta de cuplaj λ, s-a utilizat unde M λ e(λ) (k, ω) se notat¸ia η sgn(k − kF ) ≡ ηk ¸si apoi s-a luat ˆın considerare faptul c˘ a termenul ηk G anuleaz˘ a la limita η → 0. Prin substituirea rezultatului anterior ˆın expresia diferent¸ei de energii ale st˘arilor fundamentale, se obt¸ine: Z 1 Z ∞ Z dλ d3 k h dω iωη 2s + 1 0 lim V e ~ E0 − E0 = − i 3 η→0+ 2 λ (2π) 3 0 −∞ 2π R Z ∞ i dω iωη f∗ e (λ) (k, ω) + lim e ~ Mλ (k, ω) G η→0+ −∞ 2π Z Z ∞ Z 1 d3 k dω iωη f∗ dλ 2s + 1 e(λ) (k, ω) , V lim e ~ Mλ (k, ω) G = −i 3 η→0 2 + R3 (2π) −∞ 2π 0 λ
216
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
deoarece termenul lim
η→0+
Z
∞
dω iωη e = lim δ(η) = 0, funct¸ia Dirac avˆand ˆın acest caz arguη→0+ −∞ 2π
mentul nenul. Ca rezultat, energia st˘ arii fundamentale a sistemului cu interact¸ii se poate exprima ˆın urm˘atoarea form˘a: Z 1 Z Z ∞ 2s + 1 d3 k dλ dω iωη f∗ e(λ) (k, ω) E0 = E00 − i V lim e ~ Mλ (k, ω) G 3 η→0+ 0 λ 2 R3 (2π) −∞ 2π Z Z 1 d4 k iωη f∗ dλ 2s + 1 0 e(λ) (k) . e ~ Mλ (k) G (3.116a) V lim = E0 − i η→0+ 0 λ 2 (2π)4
Observat¸ii asupra relat¸iei (3.116a): f∗ (k) G e(λ) (k) = M fλ (k) G e 0 (k), astfel ˆıncˆ i. Conform relat¸iei (3.111), are loc egalitatea M at λ energia st˘ arii fundamentale se poate exprima ˆın termeni de self-energia total˘ a a sistemului cu constanta de cuplaj variabil˘ a: E0 = E00 − i
2s + 1 V lim η→0+ 2
Z
1
0
dλ λ
Z
d4 k iωη f e 0 (k) . e ~ Mλ (k) G (2π)4
ii. Diferent¸a energiilor st˘ arilor fundamentale pentru sistemul cu interact¸ii, respectiv sistemul liber, se poate exprima astfel: E0 −
E00
i~ V = 2
unde
Z
1 0
dλ − (2s + 1) lim η→0+ λ
(λ) δE0
Z
d4 k iωη f e 0 (k) ≡ e Mλ (k) G (2π)4
2s + 1 = −i V lim η→0+ 2
(λ)
Z
Z
1
0
dλ (λ) δE0 , (3.116b) λ
d4 k iωη f e0 (k) . e ~ Mλ (k) G (2π)4
Termenul δE0 are interpretarea diagramatic˘ a ilustrat˘a ˆın figura din dreapta. Se observ˘ a urm˘atoarele caracteristici: – factorul −(2s + 1) apare datorit˘ a existent¸ei buclei formate din linia particul˘ a ¸si self-enegia total˘ a, ˆımpreun˘ a cu independent¸a de spini a interact¸iilor; – diagrama considerat˘ a ˆın acest caz are o topologie diferit˘a de topologia diagramelor pentru funct¸iile Green, deoarece nu exist˘a punctele externe.
(3.116c)
k
k
E. Aproximat¸ia de ordinul 1 pentru funct¸ia Green ¸si consecint¸e Se consider˘ a cazul cˆ and interact¸iile mutuale dintre particule sunt statice ¸si independente de spini; atunci este convenabil s˘a se utilizeze regulile Feynman simplificate ¸si s˘a se lucreze direct cu m˘arimile sclare (funct¸ii Green, potent¸ialul de interact¸ie ¸si self-energia). De asemenea, se consider˘ a sistemul conservativ ¸si omogen, astfel ˆıncˆ at se vor utiliza transformatele Fourier ale funct¸iilor Green (pentru concizia exprim˘ ari se vor denumi simplu funct¸ii Green). ˆIn aproximat¸ia de ordinul 1, funct¸ia Green (partea scalar˘a) este e 0 (k) + G e (1) (k) , e G(k) ≈G 1
e0 (k) este funct¸ia Green liber˘ e (1) (k), are 2 contribut¸ii, conform unde G a, iar termenul de ordinul 1, G expresiilor (3.95): e(1) (k) = G e(1d) (k) + G e (1s) (k) , G
e(1d) (k) este termenul de ordinul 1 pentru interact¸ia direct˘a, iar G e (1s) (k) este termenul de unde G ordinul 1 pentru interact¸ia de schimb. Se vor deduce expresiile celor 2 termeni de ordinul 1 ai funct¸ei Green, prin utilizarea metodei diagramatice. Diagramele celor 2 termeni sunt ilustrate ˆın figura 3.18, unde diagrama din stˆanga corespunde termenului direct, iar diagrama din dreapta corespunde termenului de schimb.
3.3. CALCULUL PERTURBAT ¸ IONAL AL FUNCT ¸ IEI GREEN CAUZALE
217
k k q=0
k
k′
k′
q
k
Figura 3.18: Diagramele termenilor de ordinul 1 pentru funct¸ia Green. • Din diagrama termenului direct rezult˘a expresia Z 4 ′ d k e i (1d) e0 (k) G e 0 (k) e iω′ η G e0 (k′ ) e U(0) G G (k) = − (2s + 1) lim η→0+ ~ (2π)4 Z 4 ′ ′ −i d k 0 e e 0 (k′ ) · G e 0 (k) e = G (k) · e iω η G (2s + 1) U(0) lim η→0+ ~ (2π)4 e 0 (k) · M f(1d) (k) · G e 0 (k) , ≡G f(1d) (k) este self-energia de ordinul 1 pentru interact¸ia direct˘a: unde M Z 4 ′ ′ d k f(1d) (k) = −i (2s + 1) U(0) e 0 (k′ ) . e M e iω η G lim η→0+ ~ (2π)4
• ˆIn mod similar, din diagrama termenului de schimb rezult˘a expresia Z 4 ′ d k e e0 (k) G e0 (k) e iω′ η G e0 (k′ ) e (1s) (k) = i lim U(k − k′ ) G G 4 ~ η→0+ (2π) Z 4 ′ ′ d k e e0 (k) · i lim e0 (k′ ) · G e0 (k) =G U (k − k′ ) e iω η G ~ η→0+ (2π)4 e0 (k) · M f(1s) (k) · G e 0 (k) , ≡G f(1s) (k) este self-energia de ordinul 1 pentru interact¸ia de schimb: unde M Z 4 ′ ′ d k e f(1s) (k) = i lim e0 (k′ ) . M U(k − k′ ) e iω η G 4 ~ η→0+ (2π)
(3.117a)
(3.117b)
(3.118a)
(3.118b)
Prin ˆınsumarea rezultatelor precedente rezult˘a termenul total de ordinul 1 pentru funct¸ia Green: e (1) (k) = G e0 (k) · M f(1) (k) · G e0 (k) , G
unde self-energia de ordinul 1 este
f(1) (k) = M f(1d) (k) + M f(1s) (k) M Z 4 ′ ′ d k i e 0 (k′ ) − (2s + 1) U(0) e e − k′ ) . e iω η G + U(k lim = 4 ~ η→0+ (2π)
Deoarece s-a considerat interact¸ia dintre particule ca fiind static˘a, rezult˘a c˘ a transformata Fourier a potent¸ialului de interact¸ie este independent˘ a de frecvent¸˘a (a¸sa cum s-a ar˘atat anterior cˆ and e ω) = V(q); e s-au prezentat propriet˘ a¸tile generale ale transform˘arii Fourier): Ue(q) ≡ V(q, atunci, prin explicitare fat¸˘ a de impulsul 3-dimensional ¸si frecvent¸˘a, self-energia are expresia Z 3 ′ Z ∞ d k dω ′ iω′ η e 0 ′ ′ i (1) e e − k′ ) f lim e G (k , ω ) − (2s + 1) V(0) + V(k M (k, ω) = ~ η→0+ (2π)3 −∞ 2π Z 3 ′ Z ∞ i d k dω ′ iω′ η e 0 ′ ′ e e − k′ ) lim = − (2s + 1) V(0) + V(k e G (k , ω ) . η→0+ −∞ 2π ~ (2π)3
218
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Integrala dup˘a pulsat¸ii (frecvent¸e) are urm˘atorul rezultat: Z ∞ dω iωη e 0 e G (k, ω) = i θ(kF − k) . lim η→0+ −∞ 2π
(3.119)
Demonstrat¸ie: Se utilizeaz˘a expresia transformatei Fourier a funct¸iei Green libere (3.70), astfel
ˆıncˆ at se obt¸ine Z lim η→0+
Z
θ(kF − k) o dω iωη n θ(k − kF ) e + ω − ωk + i η ω − ωk − i η −∞ 2π Z ∞ dω e iωη = θ(k − kF ) lim η→0+ −∞ 2π ω − ωk + i η Z ∞ e iωη dω . + θ(kF − k) lim η→0+ −∞ 2π ω − ωk − i η
∞
dω iωη e 0 e G (k, ω) = lim η→0+ −∞ 2π
∞
Integralele dup˘ a frecvent¸e sunt exprimate de formula (1) J± (a)
≡ lim
η→0+
Z
∞
dω e iωη = −∞ 2π ω − a ± i η
(
0, i,
pentru + , pentru − ,
care este demonstrat˘ a ˆın Anexa matematic˘ a A.5, pentru formula (A.47); atunci, prin utilizarea rezultatelor pentru integrala dup˘ a frecvent¸˘ a, se obt¸ine: Z ∞ dω iωη e 0 (1) (1) e G (k, ω) = θ(k − kF ) J+ (ωk ) + θ(kF − k) J− (ωk ) = i θ(kF − k) , lim η→0+ −∞ 2π
adic˘ a rezultatul cerut.
Prin utilizarea relat¸iei (3.119), self-energia de ordinul 1 devine: Z d3 k′ f(1) (k, ω) = e e − k′ ) . ~M (2s + 1) V(0) − V(k 3 k′
(3.120)
Observat¸ii asupra self-energiei ˆın aproximat¸ia de ordinul 1: i. Self-energia (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a) ˆın aproximat¸ia de ordinul 1 este independent˘ a de (1) (1) f f frecvent¸˘a (pulsat¸ie): M (k, ω) = M (k). ii. Partea din self-energie corespunz˘ atoare interact¸iei directe este Z Z d3 k′ d3 k′ (1d) f e e ~M (k, ω) = (2s + 1) V(0) = V(0) (2s + 1) 3 3 k′
e = V(0)
N e = V(0) n. V
iii. Partea din self-energie corespunz˘ atoare interact¸iei de schimb este Z d3 k′ e f(1s) (k, ω) = − V(k − k′ ) . ~M 3 (2π) ′ k
iv. Deoarece potent¸ialul de interact¸ie dintre particule este dependent numai de distant¸a dintre aceste particule (V(r − r′ ) = V(|r − r′ |)), rezult˘a c˘ a transformata sa Fourier este o m˘arime real˘a e (V(q) ∈ R) ¸si ˆın consecint¸˘ a, self-energia (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a) ˆın aproximat¸ia de ordinul 1, este o m˘arime real˘ a, dependent˘ a numai de vectorul de und˘a k. Consecint¸e ale aproximat¸iei de ordinul 1 Funct¸ia Green ˆın aproximat¸ia de ordinul 1 este n 0 2 o e0 (k) + ~ M f(1) (k, ω) G e (k) eσσ′ (k) ≈ δσσ′ G , G 1
(3.121)
3.3. CALCULUL PERTURBAT ¸ IONAL AL FUNCT ¸ IEI GREEN CAUZALE
219
1. Propriet˘a¸tile st˘ arilor excitate se deduc cu ajutorul teoremei Galitski-Migdal, considerˆ and ecuat¸ia singularit˘a¸tilor funct¸iei Green (3.113) f∗ (k, z) = 0 ; z − ωk − M
ˆın cazul aproximat¸iei de ordinul 1, self-energia este self-energie proprie (nu exist˘a insert¸ii reducf(1)∗ (k, ω) = M f(1) (k). tibile de self-enegie ˆın ordinul 1): M Se observ˘ a c˘ a self-energia, ˆın aproximat¸ia de ordinul 1, este independent˘ a de frecvent¸˘a, astfel c˘ a ecuat¸ia singularit˘a¸tilor funct¸iei Green ˆın ordinul 1 devine:
cu solut¸ia
f(1) (k) = 0 , z − ωk − M f(1) (k) . zk = ωk + M
Rezultatul anterior arat˘a c˘ a solut¸ia este real˘ a, astfel ˆıncˆ at se obt¸in urm˘atoarele caracteristici ale excitat¸iilor elementare: • energia (este partea real˘ a a polului) f(1) (k) ǫk = ~ Re(zk ) = ~ ωk + ~ M Z e = εk + n V(0) −
k′
d3 k′ ve(k − k′ ) ; (2π)3
(3.122a)
• constanta de amortizare (este partea imaginar˘a a polului) γk = 0, adic˘a timpul de viat¸˘a al excitat¸iei este 1 τk = =∞. (3.122b) γk Se observ˘ a c˘ a, ˆın aproximat¸ia de ordinul 1, st˘arile excitate se comport˘ a ca st˘ ari stabile (sunt neamortizate), la fel ca st˘ arile particulelor reale. 2. Num˘ arul de particule pentru sistemul ˆın starea fundament˘ a este exprimat ˆın termeni de funct¸ie Green prin relat¸ia (3.88) X X Z ∞ dω e σσ (k, ω) e iωη G N = − i lim η→0+ −∞ 2π σ k Z Z ∞ d3 k dω iωη X e = − i lim V e Gσσ (k, ω) . 3 η→0+ LT R3 (2π) −∞ 2π σ
Conform ecuat¸iei Dyson, transformata Fourier a funct¸iei Green este dat˘a de relat¸ia (3.112), astfel ˆıncˆ at num˘ arul mediu de particule este Z ∞ Z 1 dω iωη X d3 k e N = − i lim V ; 3 ∗ (k, ω) + i η sgn(k − k ) η→0+ f ω − ω − M −∞ 2π R3 (2π) η→0+ k F σ
ˆın aproximat¸ia de ordinul 1 self-energia este independent˘ a de frecvent¸˘a, astfel ˆıncˆ at, dup˘a sumarea banal˘a ˆın raport cu indicii de spini, rezult˘a: Z ∞ Z e iωη dω d3 k lim N = − i (2s + 1) V . 3 η→0+ (1) f (2π) 2π 3 ω − ωk − M (k) + i η sgn(k − kF ) η→0+ −∞ R
Integrala dup˘a frecvent¸e se calculeaz˘a explicitˆand factorul de semn ¸si apoi utilizˆand expresia f(1) (k), conform energiei excitat¸iilor elementare ˆın ordinul 1, adic˘a ǫk = ~ Re(zk ) = ~ ωk + ~ M relat¸iei (3.122a): Z ∞ Z ∞ e iωη e iωη dω dω = θ(k − kF ) lim η→0+ −∞ 2π ω − ǫk /~ + i η f(1) (k) + i η sgn(k − kF ) −∞ 2π ω − ωk − M Z ∞ e iωη dω ; + θ(kF − k) lim η→0+ −∞ 2π ω − ǫk /~ − i η
220
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
prin utilizarea reprezent˘ arii integrale a funct¸iei Heaviside, cele 2 integrale dup˘a frecvent¸e dau rezultatele Z ∞ e iωη dω (1) =0, J+ (εk /~) ≡ lim η→0+ −∞ 2π ω − ǫk /~ + i η Z ∞ e iωη dω (1) J+ (εk /~) ≡ lim =i, η→0+ −∞ 2π ω − ǫk /~ − i η a¸sa cum s-a ar˘ atat anterior, la demonstrarea relat¸iei (3.119) ¸si s-a demonstrat ˆın Anexa matematic˘ a A.3; atunci, pe baza rezultatelor precedente, se obt¸ine Z
d3 k (1) (1) θ(k − kF ) J+ (εk /~) + θ(kF − k) J− (εk /~) 3 (2π) R3 Z d3 k θ(k − kF ) · 0 + θ(kF − k) · i = − i (2s + 1) V 3 (2π) R3 Z d3 k = (2s + 1) V 3 k
N = − i (2s + 1) V
(3.123)
Pentru cazul cˆ and particulele au spinul s = 21 , rezult˘a m˘arimea vectorului Fermi pentru sistemul cu interact¸ii, ˆın aproximat¸ia de ordinul 1 1/3 N 1/3 kF = 3π 2 = 3π 2 n , V
care este egal cu m˘arimea impulsului Fermi pentru sistemul f˘ar˘a interact¸ii, conform relat¸iei (3.1). Explicat¸ia rezultatului precedent este urm˘atoarea: – conform relat¸iei (3.122a), energiile st˘arilor excitate ale sistemului ˆın aproximat¸ia de ordinul 1 difer˘a de energiile particulelor sistemului liber numai prin self-energia de ordinul 1, care este o funct¸ie numai de vectorul de und˘a; ca urmare, exist˘a o corespondent¸˘a biunivoc˘ a ˆıntre energia particulei libere ¸si energia de excitat¸ie a sistemului (ˆın aproximat¸ia de ordinul 1) pentru o valoare a vectorului de und˘a; – vectorul Fermi are m˘arimea dat˘ a numai de num˘arul de nivele energetice ocupate cˆ and sistemul se afl˘ a ˆ ın starea fundamental˘ a , deoarece este valabil˘ a expresia (ante limita termodinamic˘ a): P P P N = σ k θ(kF − k) = (2s + 1) k θ(kF − k); – deoarece s-a considerat num˘ arul de particule ca fiind acela¸si atˆat pentru sistemul liber, cˆ at ¸si pentru sistemul cu interact¸ii, rezult˘a c˘ a ambele sisteme au acela¸si num˘ar de nivele energetice ocupate ˆın st˘ arile lor fundamentale; – atunci rezult˘a c˘ a cele dou˘a valori pentru m˘arimile vectorilor Fermi trebuie s˘a fie egale. 3. Energia st˘ arii fundamentale (ˆın aproximat¸ia de ordinul 1) se deduce ˆın mod similar cu deducerea precedent˘ a a num˘ arului de particule. Astfel, prin utilizarea expresiei (3.115) ¸si a transformatei Fourier pentru funct¸ia Green ca solut¸ie a ecuat¸iei Dyson, conform relat¸iei (3.112), se obt¸ine urm˘atoarea expresie pentru energia st˘arii fundamentale a sistemului: Z
d3 k 3 R3 (2π)
Z
∞
~ f∗ dω iωη e ω) εk + M (k, ω) G(k, e η→0+ 2 −∞ 2π ~ f∗ Z ∞ Z εk + M (k, ω) dω iωη d3 k 2 e = − i(2s + 1) V lim η→0+ R3 (2π)3 −∞ 2π f∗ (k, ω) + i η sgn(k − kF ) ω − ωk − M
E0 = − i(2s + 1) V lim
3.3. CALCULUL PERTURBAT ¸ IONAL AL FUNCT ¸ IEI GREEN CAUZALE
221
ˆIn aproximat¸ia de ordinul 1 self-energia este independent˘ f∗ (k, ω) ≈ M f(1) (k), a de frecvent¸˘a M astfel c˘ a se poate efectua integrala dup˘a frecvent¸˘a ˆın mod similar cazului precedent: ~ f(1) (k) εk + M dω iωη 2 E0 = − i(2s + 1) V lim e η→0+ f(1) (k) + i η sgn(k − kF ) ω − ωk − M −∞ 2π Z Z ∞ d3 k e iωη ~ f(1) dω = − i(2s + 1) V (k) lim εk + M 3 η→0+ −∞ 2π ω − ω − M f(1) (k) + i η sgn(k − kF ) 2 R3 (2π) k Z 3 ~ f(1) d k εk + M (k) i θ(kF − k) . = − i(2s + 1) V 3 2 R3 (2π) Z
d3 k 3 R3 (2π)
Z
∞
Atunci, energia st˘ arii fundamentale a sistemului cu interact¸ii, ˆın aproximat¸ia de ordinul 1, este Z ~ f(1) d3 k εk + M (k) . (3.124) E0 = (2s + 1) V 3 (2π) 2 (k
X X σ
k (k
εk +
~ f(1) M (k) ; 2
deoarece energia unei st˘ ari excitate a sistemului (ˆın aproximat¸ia de ordinul 1), conform relat¸iei f(1) (k), atunci energia st˘arii fundamentale a sistemului cu interact¸ii (3.122a), este ǫk = εk + ~ M nu este egal˘a cu suma energiilor st˘ arilor excitate X X X X f(1) (k) . E0 6= εk + ~ M ǫk = σ
k (k
σ
k (k
Explicat¸ia este urm˘atoarea: f(1) (k), termenul εk corespunde - ˆın expresia energiilor excitat¸iilor sistemului ǫk = εk + ~ M f(1) (k) corespunde efectului interact¸iilor dintre energiei unei particule libere, iar termenul ~ M particule asupra unei excitat¸ii; – deoarece excitat¸iile sistemului se comport˘ a ca particule, rezult˘a c˘ a energiile corespunz˘ atoare pot fi tratate ca energii de particule; f(1) (k) poate fi considerat ca – conform interpret˘ arii excitat¸iilor ca particule, termenul ~ M energia de interact¸ie dintre dou˘a particule care reprezint˘ a excitat¸ii; – atunci energia total˘ a a sistemului va fi suma enegiilor particulelor libere la care se adaug˘a suma energiilor de interact¸ie dintre perechile de particule; – ca urmare apare factorul 1/2 corespunz˘ ator num˘arului de perechi de particule Np = N/2.
222
3.4 3.4.1
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Polarizarea ¸si interact¸ia efectiv˘ a Definit¸ii ¸si propriet˘ a¸ti ˆın spat¸iul pozit¸ii-timp
Metoda diagramatic˘ a permite sum˘ari peste clase de diagrame, utilizˆand ecuat¸ii de tip Dyson (utilizare iterativ˘ a a unor p˘ art¸i de diagrame), astfel ˆıncˆ at este necesar s˘a se defineasc˘ a p˘ art¸i de diagrame dintre diferite vertexuri (puncte interne ale diagramelor). A. Polarizarea La prezentarea f˘ acut˘ a pentru funct¸ia Green s-a definit insert¸ia de self-energie x σ ca partea de diagram˘ a dintre 2 vertexuri, care este legat˘ a de restul diagramei a ca prin 2 linii particul˘ a; self-energia total˘ a, notat˘a Mσσ′ (x, x′ ), a fost definit˘ suma tuturor insert¸iilor de self-energie topologic distincte ¸si a fost reprezentat˘ a x′ σ′ diagramatic prin imaginea ilustrat˘a ˆın figura din dreapta. ˆIn mod similar se define¸ste insert¸ia de polarizare ca fiind partea de diagram˘ a aflat˘a ˆıntre 2 vertexuri ¸si legat˘ a de restul diagramei prin 2 linii de interact¸ie. O insert¸ie de polarizare de (n,j) ordinul n (ˆın sensul teoriei perturbat¸iilor) ¸si tipul j (ca topologie) se noteaz˘ a prin Πλµ,λ′ µ′ (x, x′ ), unde (λ, µ) sunt indicii de spin ai matricii potent¸ialului de interact¸ie pentru punctul x ¸si (λ′ , µ′ ) sunt indicii de spin ai matricii potent¸ialului de interact¸ie pentru punctul x′ : (n,j) Πλµ,λ′ µ′ (x, x′ )
−→
λ µ
x
(n, j) x′
λ′ µ′
Polarizarea total˘ a se define¸ste ca suma tuturor insert¸iilor de polarizare topologic distincte: ′
Πλµ,λ′ µ′ (x, x ) =
(n) ∞ X X
n=0
j
(n,j) Πλµ,λ′ µ′ (x, x′ )
−→
λ µ
x
x′
λ′ µ′
Observat¸ii asupra topologiei polariz˘ arii: – fiecare insert¸ie de polarizare are diagrama legat˘ a construit˘a ˆıntre 2 vertexuri ¸si conectat˘a de restul diagramei prin 2 linii de interact¸ie (externe) la fiecare vertex; – liniile de interact¸ie sunt considerate ca linii externe pentru insert¸ia de polarizare, deci nu sunt incluse ˆın insert¸ia de polarizare considerat˘ a; – topologia unui vertex este definit˘ a ca intersect¸ia dintre ( 1 linie particul˘ a incident˘ a, λ I x µ ; 1 linie particul˘ a emergent˘ a, −→ 1 linie de interact¸ie ca urmare, la fiecare vertex extern, insert¸ia de polarizare cont¸ine 2 linii particul˘ a (ca linii interne); – ordinul insert¸iei de polarizare este egal cu num˘arul de linii de interact¸ie interne. Exemple de insert¸ii de polarizare (pentru simplitate se omit indicii de spini ¸si coordonatele punctelor): – ordinul 0:
– ordinul 1:
˘ 3.4. POLARIZAREA S ¸ I INTERACT ¸ IA EFECTIVA
223
Clasificarea insert¸iilor de polarizare (se face analog cu clasificarea insert¸iilor de self-energie): i. insert¸ie reductibil˘ a de polarizare este o insert¸ie de polarizare decompozabil˘a ˆın 2 insert¸ii de polarizare prin eliminarea unei linii de interact¸ie interne; ii. insert¸ie irreductibil˘ a de polarizare este o insert¸ie de polarizare nedecompozabil˘a ˆın 2 insert¸ii de polarizare prin eliminarea vreunei linii de interact¸ie interne. Exemple: – insert¸ii de polarizare irreductibile sunt insert¸ia de polarizare de ordinul 0 ¸si primele 5 insert¸ii de polarizare de ordinul 1, figurate anterior; – insert¸ii de polarizare reductibile de ordinul 0 nu exist˘a, iar ˆın ordinul 1 numai ultima insert¸ie de polarizare figurat˘a anterior este reductibil˘ a, dup˘a cum se poate constata din figura al˘aturat˘ a, deoarece prin eliminarea liniei de interact¸ie interne, se formeaz˘a 2 insert¸ii de polarizare de ordinul 0. ˆIn mod similar cu cazul self-energiei, structura topologic˘a a unei insert¸ii de polarizare reductibile este de tipul urm˘ator: insert¸ia de polarizare este constituit˘ a din m ≥ 2 p˘ art¸i irreductibile, care sunt legate prin linii de interact¸ie; ˆın figura de mai jos este ilustrat cazul cˆ and s-a considerat m = 3 (pentru simplitate, s-au omis indicii de spin ¸si coordonatele punctelor):
∗(n,j)
= Πλµ,λ′ µ′ (x, x′ ).
unde o insert¸ie de polarizare irreductibil˘ a este figurat˘a ca
Polarizarea proprie este suma tuturor insert¸iilor irreductibile de polarizare Π∗λµ,λ′ µ′ (x, x′ ) =
(n) ∞ X X
∗(n,j)
Πλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) ,
(3.125)
n=0 j
fiind figurat˘a ca Π∗λµ,λ′ µ′ (x, x′ )
λ µ
−→
′
x′µλ′
x
.
Ecuat¸ia polariz˘ arii se obt¸ine din definit¸ia polariz˘arii totale, ca suma tuturor insert¸iilor de polarizare (atˆ at irreductibile, cˆ at ¸si reductibile) Πλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) =
(n) ∞ X X
(n,j)
Πλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) .
(3.126)
n=0 j (n,j)
Se observ˘ a c˘ a fiecare termen Πλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) este fie irreductibil, fie reductibil: a) dac˘ a termenul este irreductibil, atunci acest termen contribuie ˆın mod direct la polarizarea proprie Π∗ : (n,j) ∗(n,j) Πλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = Πλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) ; irred
b) dac˘ a termenul este reductibil, atunci se descompune ˆıntr-o parte irreductibil˘ a (de ordinul m ¸si tipul i) ¸si o parte care poate fi sau irreductibil˘ a, sau reductibil˘ a (de ordinul n − m ¸si tipul l), iar aceste 2 p˘ art¸i sunt legate cu o linie de interact¸ie: (n,j)
r(n,j)
Πλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = Πλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) red Z Z X = d4 x1 d4 x′1
∗(m,i)
λ1 ,λ′1 ,µ1 ,µ′1
(n−m,l)
Πλµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Uλ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 ) Πλ′ µ′ ,λ′ µ′ (x′1 , x′ ) , 1
1
iar aceast˘a ultim˘a situat¸ie (cazul reductibil) are urm˘atoarea reprezentare diagramatic˘ a: λ µ
x
x′
λ′ ′
µ
=
λ µ
x
x1λ1
µ1
λ′1 ′ x1 µ′1
x′
λ′ µ′
ˆIn suma de definit¸ie a polariz˘ arii totale, reprezentat˘ a de relat¸ia (3.126), se face separarea termenilor irreductibili de termenii reductibili: Πλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) =
(n) ∞ X X
n=0 j
∗(n,j)
Πλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) +
(n) ∞ X X
n=0
j
r(n,j)
Πλµ,λ′ µ′ (x, x′ )
224
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Primul termen (suma insert¸iilor de polarizare irreductibile) este prin definit¸ie polarizarea proprie (n) ∞ X X
n=0
∗(n,j)
Πλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = Π∗λµ,λ′ µ′ (x, x′ ) ;
j
al doilea termen cont¸ine insert¸ii de polarizare reductibile, astfel c˘ a se pot extrage insert¸iile irreductibile conforn descompunerii precedente, iar apoi se poate suma ˆın mod separat pe insert¸iile irreductibile ¸si pe restul insert¸iilor, deoarece sumarea total˘ a se efectueaz˘a ˆın toate ordinele teoriei perturbat¸iilor: (n) ∞ X X
n=0
r (n,j)
Πλµ,λ′ µ′ (x, x′ )
j
=
(n) Z ∞ X X
4
d x1
n=0 j
=
Z
d4 x1
× =
Z
Z
d4 x′1
p=0
d4 x1
X
d4 x′1
λ1 ,λ′1 ,µ1 ,µ′1
X
λ1 ,λ′1 ,µ1 ,µ′1
(p) ∞ X nX
Z
Z
l
d4 x′1
∗(m,i)
1
(m) ∞ X nX m=0
(n−m,l)
Πλµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Uλ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 ) Πλ′ µ′ ,λ′ µ′ (x′1 , x′ )
i
1
o ∗(m,i) Πλµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Uλ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 )
o (p,l) Πλµ,λ1 µ1 (x′1 , x′ ) X
λ1 ,λ′1 ,µ1 ,µ′1
Π∗λµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Uλ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 ) Π′λ′1 µ′1 ,λ′ µ′ (x′1 , x′ ) ,
unde ˆın ultima egalitate s-a utilizat definit¸ia polariz˘arii proprii (pentru prima sumare), iar a doua (p) ∞ X X (p,l) ′ ′ ′ a termenul Πλµ,λ1 µ1 (x, x1 ). Se observ˘a c˘ sumare a fost notat˘a prin Πλ′ µ′ ,λ′ µ′ (x1 , x ) = 1
1
p=0
Π′λ′ µ′ ,λ′ µ′ (x′1 , x′ ) 1 1
l
cont¸ine o sumare infinit˘a (ˆın toate ordinele teoriei perturbat¸iilor) de insert¸ii reductibile, sau irreductibile de polarizare, astfel c˘ a acest termen are propriet˘ a¸tile polariz˘arii totale (de fapt, se poate ar˘ ata c˘ a acest termen este egal cu polarizarea total˘ a). Atunci, prin adunarea rezultatelor precedente, rezult˘a c˘ a polarizarea total˘ a se poate scrie ˆın forma Πλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = Π∗λµ,λ′ µ′ (x, x′ ) Z Z + d4 x1 d4 x′1
X
λ1 ,λ′1 ,µ1 ,µ′1
Π∗λµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Uλ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 ) Π′λ′1 µ′1 ,λ′ µ′ (x′1 , x′ ) .
Se repet˘a procedeul anterior pentru termenul Π′λ′ µ′ ,λ′ µ′ (x′1 , x′ ), prin extragerea p˘ art¸ilor irre1 1 ductibile ¸si apoi sumarea lor separat˘ a, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine o separare complet˘ a a termenilor irreductibili, obt¸inˆandu-se o serie infinit˘a: Πλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = Π∗λµ,λ′ µ′ (x, x′ ) Z Z + d4 x1 d4 x′1
X
λ1 ,λ′1 ,µ1 ,µ′1
Π∗λµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Uλ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 ) Π∗λ′1 µ′1 ,λ′ µ′ (x′1 , x′ )
+ ...
(3.127)
care este ecuat¸ia polariz˘ arii totale. Conform rezultatului precedent, polarizarea total˘ a este egal˘a cu suma tuturor repetit¸iilor de polariz˘ari proprii, legate prin potent¸iale de interact¸ie (leg˘aturile se realizeaz˘ a prin integrale dup˘a coordonatele spat¸io-temporale ¸si prin sum˘ari dup˘a indicii de spin). Imaginea diagramatic˘ a a ecuat¸iei polariz˘arii este ilustrat˘a ˆın figura de mai jos (pentru simplificarea exprim˘ arii s-au omis coordonatele spat¸io-temporale ¸si indicii de spin): =
+
+
+ ....
˘ 3.4. POLARIZAREA S ¸ I INTERACT ¸ IA EFECTIVA
225
Prin utilizarea recursiv˘ a a ecuat¸iei polariz˘arii se obt¸ine ecuat¸ia Dyson pentru polarizare Πλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = Π∗λµ,λ′ µ′ (x, x′ ) Z Z + d4 x1 d4 x′1
X
λ1 ,λ′1 ,µ1 ,µ′1
Π∗λµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Uλ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 ) Πλ′1 µ′1 ,λ′ µ′ (x′1 , x′ ) , (3.128)
care are urm˘atoarea imagine diagramatic˘ a: λ µ
x
λ′ µ′
x′
λ µ
=
x′
x
λ′ µ′
+
λ µ
λ
x1 µ11
x
λ′1 µ′1
x′1
x′
λ′ µ′
Demonstrat¸ie: Se efectueaz˘ a transformarea ecuat¸iei polariz˘ arii prin extragere de factor comun ˆın termenii de ordine n ≥ 1: Πλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = Π∗λµ,λ′ µ′ (x, x′ ) Z Z + d4 x1 d4 x′1 +
Z
d4 x1
Z
X
λ1 ,λ′1 ,µ1 ,µ′1
Π∗λµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Uλ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 ) Π∗λ′1 µ′1 ,λ′ µ′ (x′1 , x′ )
Z Z d4 x′1 d4 x2 d4 x′2
X
λ1 ,λ′1 ,µ1 ,µ′1 λ2 ,λ′2 ,µ2 ,µ′2
Π∗λµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Uλ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 )
× Π∗λ′1 µ′1 ,λ2 µ2 (x′1 , x2 ) Uλ2 µ2 ,λ′2 µ′2 (x2 , x′2 ) Π∗λ′2 µ′2 ,λ′ µ′ (x′2 , x′ ) + ... = Π∗λµ,λ′ µ′ (x, x′ ) Z Z + d4 x1 d4 x′1
X
λ1 ,λ′1 ,µ1 ,µ′1
Π∗λµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Uλ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 )
n × Π∗λ′1 µ′1 ,λ′ µ′ (x′1 , x′ ) Z Z X 4 + d x2 d4 x′2 + ...
=
o
Π∗λ′1 µ′1 ,λ2 µ2 (x′1 , x2 ) Uλ2 µ2 ,λ′2 µ′2 (x2 , x′2 ) Π∗λ′2 µ′2 ,λ′ µ′ (x′2 , x′ )
λ2 ,λ′2 ,µ2 ,µ′2
Π∗λµ,λ′ µ′ (x, x′ ) +
Z
d4 x1
Z
d4 x′1
X
λ1 ,λ′1 ,µ1 ,µ′1
Π∗λµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Uλ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 ) Π∗λ′1 µ′1 ,λ′ µ′ (x′1 , x′ ) ,
unde ultima egalitate s-a obt¸inut deoarece cantitatea din interorul parantezelor acolade este egal˘ a cu polarizarea total˘ a, conform relat¸iei (3.127).
Din prezentarea anterioar˘ a rezult˘a c˘ a polarizarea are propriet˘ a¸ti similare cu self-energia. B. Interact¸ia efectiv˘ a Interact¸ia efectiv˘ a este, prin definit¸ie, suma tuturor p˘ art¸ilor legate de diagrame, aflate ˆıntre 2 vertexuri ¸si conectate de aceste vertexuri prin 2 linii de interact¸ie; aceste linii (de leg˘ atur˘a cu vertexurile externe) sunt considerate linii interne, adic˘a sunt incluse ˆın interact¸ia efectiv˘a. Observat¸ii generale asupra interact¸iei efective: i. Notat¸ie ¸si reprezentare diagramatic˘ a: Vλ,µ;λ′ ,µ′ (x, x′ )
−→
λ xI µ
λ′ x′ µ′
I
ii. Conform definit¸iei, ˆın ordinul minim (ordinul 1) interact¸ia efectiv˘a este potent¸ialul interac¸tiei fizice bi-particul˘a (care este reprezentat prin linia de interact¸ie); ˆın ordinele superioare (n ≥ 2) se includ toate insert¸iile de polarizare legate de vertexurile extreme prin 2 linii de interact¸ie.
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
226
Atunci, interact¸ia efectiv˘ a este exprimat˘ a ˆın termeni de polarizare total˘ a ¸si are urm˘atoarea reprezentare diagramatic˘ a: x
λ
λ′
µ
′
µ
x′
=
x
λ
λ′
µ
′
µ
x′
+
x
λ1
λ
x1
µ1
µ
x′1
λ′1
λ′
µ′1
µ′
x′
iar, pe baza regulilor Feynman, se obt¸ine corespondent¸a analitic˘a: Vλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = Uλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) Z Z + d4 x1 d4 x′1
X
λ1 ,λ′1 ,µ1 ,µ′1
Uλµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Πλ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 ) Uλ′1 µ′1 ,λ′ µ′ (x′1 , x′ ) . (3.129)
iii. Interact¸ia efectiv˘ a este rezultatul sum˘arii peste o clas˘a de diagrame (ˆın mod analog cu funct¸ia Green exact˘ a, care este reprezentat˘ a printr-o linie particul˘ a “efectiv˘ a”). Pe baza analogiei formale cu funct¸ia Green, interact¸ia fizic˘a bi-particul˘a (din seria de perturbat¸ie) este interpretat˘a ca “interact¸ie liber˘ a”: Uλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = V0λµ,λ′ µ′ (x, x′ ). iv. Utilitatea folosirii interact¸iei efective: se permite introducerea unor aproximat¸ii asupra unor p˘ art¸i de diagrame ¸si ˆın anumite condit¸ii se poate interpreta ca o interact¸ie bi-particul˘a care include efectul interact¸iilor cu restul particulelor sistemului. Ecuat¸ia Dyson pentru interact¸ia efectiv˘a: Vλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = V0λµ,λ′ µ′ (x, x′ ) Z Z + d4 x1 d4 x′1
X
λ1 ,λ′1 ,µ1 ,µ′1
V0λµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Π∗λ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 ) Vλ′1 µ′1 ,λ′ µ′ (x′1 , x′ ) , (3.130)
iar imaginea diagramatic˘ a este: x
λ
λ′
µ
µ′
x′
=
x
λ
λ′
µ
µ′
x′
+
x
λ
λ1
µ
µ1
x1
x′1
λ′1
λ′
µ′1
µ′
x′
Demonstrat¸ie: Se utilizeaz˘ a ecuat¸ia interact¸iei efective (3.129), ˆın care se ˆınlocuie¸ste polarizarea prin ecuat¸ia Dyson corespunz˘ atoare: Vλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = Uλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) + = Uλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) + Z
Z
d4 x 1 d4 x 1
+
Z
×
Uλ′1 µ′1 ,λ′ µ′ (x′1 , x′ )
d4 x2
d4 x′2
Z
d4 x1
Z
d4 x′1
Z
Z
X
d4 x′1
X
λ1 ,λ′1 ,µ1 ,µ′1
d4 x′1
X
λ1 ,λ′1 ,µ1 ,µ′1
Uλµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Πλ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 ) Uλ′1 µ′1 ,λ′ µ′ (x′1 , x′ ) n Uλµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Π∗λ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 )
Π∗λ1 µ1 ,λ2 µ2 (x1 , x2 ) Uλ2 µ2 ,λ′2 µ′2 (x2 , x′2 ) Πλ′2 µ′2 ,λ′1 µ′1 (x′2 , x′1 )
λ2 ,λ′2 ,µ2 ,µ′2
= Uλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) + +
Z
Z
Z
d4 x 1
d4 x2
Z
Z
d4 x′1
d4 x′2
X
λ1 ,λ′1 ,µ1 ,µ′1
X
o
Uλµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Π∗λ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 ) Uλ′1 µ′1 ,λ′ µ′ (x′1 , x′ ) X
Uλµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Π∗λ1 µ1 ,λ2 µ2 (x1 , x2 )
λ1 ,λ′1 ,µ1 ,µ′1 λ2 ,λ′2 ,µ2 ,µ′2
× Uλ2 µ2 ,λ′2 µ′2 (x2 , x′2 ) Πλ′2 µ′2 ,λ′1 µ′1 (x′2 , x′1 ) Uλ′1 µ′1 ,λ′ µ′ (x′1 , x′ ) ; ˆın ultima sum˘ a se redenumesc indicii (atˆ at pentru coordonatele spat¸io-temporale, cˆ at ¸si pentru
˘ 3.4. POLARIZAREA S ¸ I INTERACT ¸ IA EFECTIVA
227
spini): (1, 2, 2′ , 1′ ) −→ (1, 1′ , 2, 2′ ), astfel c˘ a se poate extrage factorul comun al ultimilor 2 termeni Vλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = Uλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) + +
Z
d4 x2
Z
d4 x′2
Z
d4 x1
Z
X
d4 x′1
X
λ1 ,λ′1 ,µ1 ,µ′1
n Uλµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Π∗λ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 ) Uλ′1 µ′1 ,λ′ µ′ (x′1 , x′ )
o Uλ′1 µ′1 ,λ2 µ2 (x′1 , x2 ) Πλ2 µ2 ,λ′2 µ′2 (x2 , x′2 ) Uλ′2 µ′2 ,λ′ µ′ (x′2 , x′ ) .
λ2 ,λ′2 ,µ2 ,µ′2
Se observ˘ a c˘ a m˘ arimea din interiorul parantezelor acolade este egal˘ a cu interact¸ia efectiv˘ a, conform ecuat¸iei (3.129); atunci, rezult˘ a ecuat¸ia Dyson pentru interact¸ia efectiv˘ a.
Observat¸ii: – este posibil˘ a o deducere direct˘a a ecuat¸iei Dyson prin utilizarea exclusiv˘ a a metodei diagramatice; – ecuat¸ia Dyson pentru interact¸ia efectiv˘a este o ecuat¸ie integral˘a (ˆın raport cu coordonatele spat¸io-temporale) ¸si matricial˘a (ˆın raport cu indicii de spini), avˆand nucleul proport¸ional cu polarizarea proprie; – se observ˘ a o similitudine formal˘a ˆıntre ecuat¸iile Dyson pentru funct¸ia Green ¸si pentru interact¸ia efectiv˘ a: pentru funct¸ia Green termenul exterior integralei este funct¸ia Green liber˘a ¸si nucleul este proport¸ional cu self-enegia proprie, iar pe de alt˘ a parte, pentru interact¸ia efectiv˘a termenul exterior integralei este interact¸ia liber˘a ¸si nucleul este proport¸ional cu polarizarea proprie. Problema factorului diagramelor pentru polarizare Anterior s-au dedus regulile de corespondent¸˘a analitic˘a a diagramelor pentru seria de perturbat¸ie a funct¸iei Green. ˆIn acest caz linia particul˘ a corespunde unei funct¸ii Green libere ¸si linia de interact¸ie corespunde unui potent¸ial de interact¸ie bi-particul˘a; deoarece fiecare hamiltonian de i interact¸ie (care produce o linie de interact¸ie) cont¸ine factorul , rezult˘a c˘ a un termen pertur~ i n (n,j) bat¸ional de ordinul n are factorul general fG = (−1)Lj . Pentru self-energie regulile de ~ corespondent¸˘ a diagramatic˘ a sunt acelea¸si ca ¸si pentru funct¸ia Green, deci factorul general al unei (n,j) (n,j) diagrame pentru self-energie este fM = fG (la fel ca pentru funct¸ia Green). Atunci cˆ and s-a definit interact¸ia efectiv˘a ˆın termeni de interact¸ie liber˘a ¸si polarizare, s-a considerat c˘ a linia de interact¸ie (atˆ at cea efectiv˘a, cˆ at ¸si cea liber˘a) reprezint˘ a potent¸ialul de i interact¸ie corespunz˘ ator, f˘ ar˘ a factorul ; ca urmare, acest factor este inclus ˆın polarizare. Pentru ~ explicitare se consider˘ a diagrama de definit¸ie a interact¸iei efective (pentru simplificarea expunerii s-au omis coordonatele spat¸io-temporale, indicii de spini ¸si s-a notat ˆın mod simbolic operat¸ia total˘ a corespunz˘ atoare integr˘arilor ¸si sum˘arilor din ultimul termen):
= V
+ U
Z P
U ΠU i 2
i i ~ ~ ~ Se observ˘ a c˘ a atˆat termenul V, cˆ at ¸si termenul U avuseser˘a init¸ial factorul hamiltonianului de i 2 i interact¸ie , iar termenul cu integrale-sume avusese din acelea¸si motive factorul , deoarece ~ ~ i exist˘a 2 linii de interact¸ie libere ˆın exteriorul polariz˘arii. Deoarece factorul este eliminat la ~ corespondent¸a analitic˘a a diagramei pentru interact¸ia efectiv˘a, rezult˘a c˘ a la termenul cu integralei sume r˘amˆ ane un factor care se include ˆın definit¸ia analitic˘a a polariz˘arii; prin urmare, factorul ~ general al unei diagrame de polarizare este factorul calculat dup˘a regulile Feynman ¸si multiplicat i cu : ~ i (n,j) i n+1 (n,j) (−1)Lj . = = fG fΠ ~ ~
228
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
C. Tensorul funct¸ie dielectric˘ a generalizat˘ a ˆIn spat¸iul coordonatelor de pozit¸ie-timp, tensorul funct¸ie dielectric˘a generalizat˘a este un tensor de ordinul 2 ˆın raport cu perechi de indici de spin, astfel c˘ a o component˘ a a sa este notat˘a κλµ,λ′ µ′ (x, x′ ); ca urmare, tensorul funct¸ie dielectric˘a generalizat˘a este K(x, x′ ) = κλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) λ,µ,λ′ ,µ′ =−s,...,s .
Prin definit¸ie, inversul tensorului funct¸ie dielectric˘a generalizat˘a (numit de asemenea, tensorul funct¸iei de r˘aspuns) exprim˘ a leg˘ atura dintre interact¸ia efectiv˘a ¸si interact¸ie liber˘a, conform relat¸iei Z X ′′ ′ ′′ Vλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = d4 x′′ κ−1 (3.131) λµ,λ′′ µ′′ (x, x ) Uλ′′ µ′′ ,λ′ µ′ (x , x ) . λ′′ ,µ′′
Din relat¸ia de definit¸ie (3.131), rezult˘a c˘ a tensorul funct¸ie dielectric˘a generalizat˘a caracterizeaz˘a modificarea interact¸iei bi-particul˘a datorit˘a efectului interact¸iilor celor dou˘a particule cu restul particulelor sistemului, a¸sa numita polarizare a sistemului 18 . Inversul tensorului funct¸ie dielectric˘a generalizat˘a se poate determina pe baza relat¸iei de definit¸ie (3.131) ¸si exprimˆ and interact¸ia efectiv˘a ˆın termeni de interact¸ie liber˘a ¸si polarizare total˘ a, conform relat¸iei (3.129): Vλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = Uλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) + =
Z
d4 x′1 Z
Xn
λ′1 ,µ′1
+ d4 x1 ≡
Z
d4 x′1
X
λ′1 ,µ′1
d4 x1
Z
d4 x′1
X
λ1 ,λ′1 ,µ1 ,µ′1
Uλµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Πλ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 ) Uλ′1 µ′1 ,λ′ µ′ (x′1 , x′ )
δλλ′1 δµµ′1 δ 4 (x − x′1 )
λ1 ,µ1
X
Z
o Uλµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Πλ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 ) Uλ′1 µ′1 ,λ′ µ′ (x′1 , x′ )
′ ′ ′ ′ ′ κ−1 λµ,λ′ µ′ (x, x1 ) Uλ1 µ1 ,λ′ µ′ (x1 , x ) , 1
1
de unde rezult˘a ′ 4 ′ ′ ′ κ−1 λµ,λ′ µ′ (x, x1 ) = δλλ1 δµµ1 δ (x − x1 ) + 1
1
Z
d4 x1
X
λ1 ,µ1
Uλµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Πλ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 ) .
(3.132)
Prin utilizarea ecuat¸iei Dyson pentru polarizare, se obt¸ine ecuat¸ia Dyson pentru inversul tensorului funct¸ie dielectric˘a generalizat˘a: 4 ′ ′ κ−1 λµ,λ′ µ′ (x, x ) = δλλ′ δµµ′ δ (x − x ) Z Z X + d4 x1 d4 x′1
λ1 ,µ1 ,λ′1 ,µ′1
(3.133) ′ ′ Uλµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Π∗λ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 ) κ−1 λ′ µ′ ,λ′ µ′ (x1 , x ) . 1
1
18 Terminologia utilizat˘ a provine din cazul comport˘ arii sistemelor electrizabile sub act¸iunea fort¸elor electrostatice; dac˘ a se consider˘ a sisteme omogene ¸si izotrope, atunci relat¸ia dintre potent¸ialul electrostatic pentru 2 sarcini punctuale aflate ˆın vid ¸si localizate ˆın punctele r ¸si respectiv r′ ¸si potent¸ialul acelor sarcini aflate ˆıntr-un mediu dielectric (¸si localizate ˆın acelea¸si puncte), cˆ and sunt prezente sarcini suplimentare (care interact¸ioneaz˘ a cu sarcinile considerate init¸ial), este V0 (r, r′ ) , V (r, r′ ) = ε unde ε este permitivitatea electric˘ a relativ˘ a a mediului. Rezultatul se generalizeaz˘ a pentru cazul mediilor anizotrope, cˆ and permitivitatea dielectric˘ a relativ˘ a devine un tensor, cˆ at ¸si pentru cazul mai general cˆ and relat¸ia precedent˘ a devine nelocal˘ a (atunci apare integrarea spat¸ial˘ a). Este necesar totu¸si, s˘ a se observe c˘ a permitivitatea dielectic˘ a relativ˘ a utilizat˘ a ˆın electostatic˘ a nu coincide cu funct¸ia dielectic˘ a utilizat˘ a ˆın teoria sistemelor multiparticule, deoarece permitivitatea dielectic˘ a este un tensor cu componente cartesiene, iar funct¸ia dielectric˘ a este un tensor ˆın indicii de spin. O explicat¸ie fizic˘ a a funct¸iei dielectice se obt¸ine ˆın mod natural prin utilizarea teoriei r˘ aspunsului liniar al sistemului de particule la o mic˘ a perturbat¸ie extern˘ a.
˘ 3.4. POLARIZAREA S ¸ I INTERACT ¸ IA EFECTIVA
229
Demonstrat¸ie: Inversul tensorului funct¸ie dielectric˘ a generalizat˘ a are expresia (3.132) Z X 4 ′ ′ Uλµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Πλ1 µ1 ,λ′ µ′ (x1 , x′ ) ; d4 x1 κ−1 λµ,λ′ µ′ (x, x ) = δλλ′ δµµ′ δ (x − x ) + λ1 ,µ1
dar polarizarea total˘ a se poate exprima cu ajutorul ecuat¸iei Dyson pentru polarizare Πλ1 µ1 ,λ′ µ′ (x1 , x′ ) = Π∗λ1 µ1 ,λ′ µ′ (x1 , x′ ) Z Z X + d4 x2 d4 x3 =
Z
λ2 ,µ2 ,λ3 ,µ3
4
d x2 n
X
Π∗λ1 µ1 ,λ2 µ2 (x1 , x2 ) Uλ2 µ2 ,λ3 µ3 (x2 , x3 ) Πλ3 µ3 ,λ′ µ′ (x3 , x′ )
Π∗λ1 µ1 ,λ2 µ2 (x1 , x2 )
λ2 ,µ2
× δλ2 λ′ δµ2 µ′ δ 4 (x2 − x′ ) + =
Z
d4 x 2
X
Z
d4 x3
X
λ3 ,µ3
Uλ2 µ2 ,λ3 µ3 (x2 , x3 ) Πλ3 µ3 ,λ′ µ′ (x3 , x′ )
′ Π∗λ1 µ1 ,λ2 µ2 (x1 , x2 ) κ−1 λ2 µ2 ,λ′ µ′ (x2 , x ) ,
λ2 ,µ2
unde ultima egalitate s-a obt¸inut cu ajutorul relat¸iei (3.132).
3.4.2
o
Definit¸ii ¸si propriet˘ a¸ti ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a
Polarizarea, interact¸ia efectiv˘ a ¸si funct¸ia dielectric˘a generalizat˘a ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a se obt¸in din m˘arimile corespondente din spat¸iul pozit¸ii-timp, prin transform˘ari Fourier; ca urmare definit¸iile ¸si propriet˘ a¸tile m˘arimilor specificate (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a) sunt similare cu cele din spat¸iul pozit¸ii-timp, care au fost prezentate anterior. e A. Polarizarea (Π) Insert¸ia de polarizare este definit˘ a ca partea legat˘ a de diagram˘ a (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a), care este aflat˘a ˆıntre 2 vertex ¸si este legat˘ a de restul diagramei prin 2 linii de interact¸ie (considerate drept linii externe, deci nef˘acˆand parte din insert¸ia de polarizare considerat˘ a). Observat¸ii. i. Definit¸ia insert¸iei de polarizare este similar˘ a cu cea pentru m˘arimea corespondent˘ a din spat¸iul pozit¸ii-timp; ca urmare, topologia diagramelor pentru insert¸iile de polarizare ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a este identic˘ a cu topologia diagramelor pentru insert¸iile de polarizare corespondente ˆın spat¸iul pozit¸ii-timp. O insert¸ie de polarizare (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a) de ordinul n e (n,j)′ ′ (q) ¸si se reprezint˘ ¸si specia j se noteaz˘ a prin simbolul Π a diagramatic astfel: λµ,λ µ q
λ
µ
(n, j)
λ′
q
′
µ
ii. Clasificarea insert¸iilor de polarizare ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a este identic˘ a cu clasificarea insert¸iilor de polarizare ˆın spat¸iul pozit¸ii timp: • insert¸ie irreductibil˘ a – care nu poate fi descompus˘a ˆın 2 insert¸ii de polarizare prin eliminarea vreunei linii de interact¸ie interne, • insert¸ie reductibil˘ a – care poate fi descompus˘a ˆın 2 insert¸ii de polarizare (irreductibile sau reductibile) prin eliminarea unei liniii de interact¸ie interne. iii. O insert¸ie de polarizare reductibil˘ a are diagrama constituit˘ a dintr-o ˆın¸siruire de insert¸ii de polarizare irreductibile, legate prin linii de interact¸ie; datorit˘a condit¸iei de conservare a 4impulsului ˆın fiecare vertex, toate elementele (liniile de interact¸ie ale leg˘ aturilor ¸si insert¸iile irreductibile de polarizare) au acela¸si 4-impuls. ˆIn figura de mai jos este ilustrat cazul cˆ and descompunerea se face ˆın m = 3 insert¸ii irreductibile.
= q
q q
q q
q
Polarizarea (total˘ a) este suma tuturor insert¸iilor de polarizare posibile (ˆıntre 2 vertexuri):
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
230
e λµ,λ′ µ′ (q) = Π
(n) ∞ X X
n=0
j
e (n,j)′ ′ (q) Π λµ,λ µ
q
−→
λ
λ′
µ
µ′
q
Polarizarea proprie este suma tuturor insert¸iilor irreductibile de polarizare posibile (ˆıntre 2 vertexuri): (n) ∞ X X q λ λ′ q e ∗(n,j)′ ′ (q) −→ e ∗ ′ ′ (q) = Π Π ′ λµ,λ µ λµ,λ µ n=0
µ
j
µ
e ∗ ′ ′ (q) ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a e λµ,λ′ µ′ (q) ¸si polarizarea proprie Π Polarizarea total˘ a Π λµ,λ µ ′ ′ sunt transformatele Fourier ale polariz˘arii totale Πλµ,λ µ (x, x′ ) ¸si respectiv ale polariz˘arii proprii Π∗λµ,λ′ µ′ (x, x′ ) din spat¸iul pozit¸ii-timp: Z 4 d q iq·(x−x′ ) e Πλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = Πλµ,λ′ µ′ (x − x′ ) = (3.134a) e Πλµ,λ′ µ′ (q) , (2π)4 Z 4 d q iq·(x−x′ ) e ∗ Π∗λµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = Π∗λµ,λ′ µ′ (x − x′ ) = e Πλµ,λ′ µ′ (q) , (3.134b) (2π)4 Proprietatea anterioar˘ a este o consecint¸˘a direct˘a a propriet˘ a¸tilor de convolut¸ie pentru transformarea Fourier. Ecuat¸ia polariz˘ arii ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a (adic˘a exprimarea polariz˘arii totale ˆın termeni de polarizarea proprie) are urm˘atoarea expresie: X e ∗ ′ ′ (q) + e λµ,λ′ µ′ (q) = Π e e∗ e∗ Π Π λµ,λ µ λµ,λ1 µ1 (q) Uλ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (q) Πλ′1 µ′1 ,λ′ µ′ (q) + . . . , (3.135) λ1 ,µ1 ,λ′1 ,µ′1
adic˘a: polarizarea total˘ a este egal˘a cu suma tuturor repetit¸iilor de polariz˘ari proprii legate prin potent¸iale de interact¸ie (leg˘aturile se realizeaz˘ a prin multiplicare matricial˘a ˆın raport cu indicii de spin), iar toate elementele avˆand acela¸si 4-impuls. Reprezentarea diagramatic˘ a a relat¸iei (3.135) este dat˘a ˆın figura de mai jos: q
q
=
q
q
q
+
q
q
q
q
q
+ ....
q
Demonstrat¸ia pentru ecuat¸ia polariz˘ arii, exprimat˘ a prin relat¸ia (3.135), se poate efectua ˆın 2 moduri: a) fie se utilizeaz˘ a metoda de deducere direct˘a ˆın mod similar celei efectuate ˆın cazul corespondent pentru spat¸iul pozit¸ii-timp, b) fie se efectueaz˘ a transformarea Fourier a relat¸iei (3.127). Pentru concizia prezent˘ arii se omite deducerea relat¸iei (3.135), considerˆ and c˘ a demonstrat¸ia este facil˘a. Ecuat¸ia Dyson pentru polarizare (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a) este X e λµ,λ′ µ′ (q) = Π e ∗λµ,λ′ µ′ (q) + e ∗λµ,λ µ (q) Ueλ µ ,λ′ µ′ (q) Π e λ′ µ′ ,λ′ µ′ (q) Π Π (3.136) 1 1 1 1 1 1 1 1 λ1 ,µ1 ,λ′1 ,µ′1
¸si are reprezentarea diagramatic˘ a ilustrat˘a ˆın figura de mai jos: λ µ
λ′ µ′
=
λ µ
λ′ µ′
+
λ µ
λ1 λ′1 µ1 q µ′1
λ′ µ′
q q q q ˆIn mod similar cu ecuat¸ia (3.135), demonstrat¸ia ecuat¸iei Dyson pentru polarizare ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a, se poate realiza prin 2 metode echivalente: a) se efectueaz˘ a deducerea direct˘a utilizˆand ˆın mod recursiv ecuat¸ia polariz˘arii (3.135), similar cu metoda utilizat˘a anterior ˆın spat¸iul pozit¸ii-timp pentru deducerea relat¸iei corespondente (3.127); b) se efectueaz˘ a transformarea Fourier a ecuat¸iei Dyson pentru polarizare ˆın spat¸iul pozit¸iitimp (3.127). Pentru concizia prezent˘ arii, analog cazului precedent, se omite deducerea relat¸iei (3.136), considerˆ and c˘ a demonstrat¸ia este facil˘ a.
˘ 3.4. POLARIZAREA S ¸ I INTERACT ¸ IA EFECTIVA
231
e B. Interact¸ia efectiv˘ a (V) Interact¸ia efectiv˘ a (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a) este, prin definit¸ie, suma tuturor p˘ art¸ilor de diagrame legate, aflate ˆıntre 2 vertexuri ¸si avˆand partea intern˘a conectat˘a la aceste vertexuri prin 2 linii de interact¸ie (considerate linii interne ale interact¸iei efective). Observat¸ii: e λµ,λ′ µ′ (q) 1. Notat¸ie ¸si reprezentare diagramatic˘ a: V
Iλ µ
−→
q
λ′ µ′
I
e λµ,λ′ µ′ (q) este transformata Fourier a interact¸iei efective (din spat¸iul pozit¸ii-timp): 2. V Z 4 d q iq·(x−x′ ) e Vλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = Vλµ,λ′ µ′ (x − x′ ) = e Vλµ,λ′ µ′ (q) . (2π)4
3. Exprimarea interact¸iei efective prin polarizarea total˘ a (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a): X e λµ,λ′ µ′ (q) = Ueλµ,λ′ µ′ (q) + e λ µ ,λ′ µ′ (q) Ueλ′ µ′ ,λ′ µ′ (q) , (3.137) V Ueλµ,λ1 µ1 (q) Π 1 1 1 1 1 1 λ1 ,µ1 ,λ′1 ,µ′1
iar reprezentarea diagramatic˘ a este ilustrat˘a ˆın figura urm˘atoare. λ
λ′
µ
′
q
µ
=
λ
λ′
µ
′
q
µ
+
λ µ
q
λ1
λ′1
µ1
µ′1
λ′
q
µ′
q Demonstrat¸ia pentru ecuat¸ia polariz˘arii, exprimat˘ a prin relat¸ia (3.137), se poate efectua ˆın 2 moduri: a) fie se utilizeaz˘ a metoda de deducere direct˘a ˆın mod similar celei efectuate ˆın cazul corespondent pentru spat¸iul pozit¸ii-timp, b) fie se efectueaz˘ a transformarea Fourier a relat¸iei (3.129). Pentru concizia prezent˘ arii se omite deducerea relat¸iei (3.137), la fel ca ˆın cazurile precedente, considerˆ and c˘ a demonstrat¸ia este facil˘a. Ecuat¸ia Dyson pentru interact¸ia efectiv˘ a (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a): X e e λµ,λ′ µ′ (q) = Ueλµ,λ′ µ′ (q) + e∗ V Ueλµ,λ1 µ1 (q) Π (3.138) λ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (q) Vλ′1 µ′1 ,λ′ µ′ (q) , λ1 ,µ1 ,λ′1 ,µ′1
iar reprezentarea diagramatic˘ a este ilustrat˘a ˆın figura urm˘atoare. λ′
λ µ
q
′
µ
=
λ′
λ µ
q
′
µ
+
λ µ
q
λ1
λ′1
µ1
µ′1
λ′
q
µ′
q Demonstrat¸ia pentru ecuat¸ia Dyson, exprimat˘ a prin relat¸ia (3.138), se poate efectua ˆın 2 moduri: a) fie se utilizeaz˘ a metoda de deducere direct˘a ˆın mod similar celei efectuate ˆın cazul corespondent pentru spat¸iul pozit¸ii-timp, b) fie se efectueaz˘ a transformarea Fourier a relat¸iei (3.130). Pentru concizia prezent˘ arii se omite deducerea relat¸iei (3.137), la fel ca ¸si ˆın cazurile precedente, deoarece se consider˘ a c˘ a demonstrat¸ia este facil˘a. Consecint¸e ale ecuat¸iei Dyson pentru interact¸ia efectiv˘a: i. Ecuat¸ia Dyson este o ecuat¸ie algebric˘a, fiind o ecuat¸ie matricial˘a ˆın raport cu indicii de spin; se observ˘ a c˘ a prin transformarea Fourier ecuat¸ia integral˘a a devenit o ecuat¸ie algebric˘a, ceea ce este un mare avantaj al utiliz˘arii spat¸iului impuls-frecvent¸˘a, fat¸˘a de spat¸iul pozit¸ii-timp. Aceea¸si proprietate o are ¸si ecuat¸ia Dyson pentru polarizare (3.136). Dac˘ a se introduc matricile de spin pentru potent¸ialele de interact¸ie ¸si polarizare U(q) ≡ Ueλµ,λ′ µ′ (q) , e λµ,λ′ µ′ (q) , V(q) ≡ V ∗ e λµ,λ′ µ′ (q) , P(q) ≡ Π
232
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
atunci ecuat¸ia Dyson (3.138) se exprim˘ a ˆın mod compact ca o ecuat¸ie matricial˘a: V(q) = U(q) + U(q) · P(q) · V(q) =⇒ I − U(q) · P(q) · V(q) = U(q) ,
care are solut¸ia
−1 V(q) = I − U(q) · P(q) · U(q) .
(3.139)
Trebuie s˘a se remarce c˘ a o ecuat¸ie similar˘ a se poate scrie pentru matricea polariz˘arii, astfel c˘ a prin rezolvarea ecuat¸iei (3.136) ˆın exprimarea explicit˘a matricial˘a, rezult˘a solut¸ia: P(q) = P∗ (q) + P∗ (q) · U(q) · P(q)
=⇒
−1 ∗ P(q) = I − P∗ (q) · U(q) · P (q) .
ii. S-a ar˘ atat anterior (la prezentarea metodei diagramatice ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a), c˘ a transformata Fourier a potent¸ialului interact¸iei bi-particul˘a este independent de frecvent¸˘a Ueλµ,λ′ µ′ (q) = Ueλµ,λ′ µ′ (q, ν) = veλµ,λ′ µ′ (q), deoarece s-a considerat interact¸ia static˘a (adic˘a ine 0 ′ (k, ω) depinde de frecvent¸˘a, stantanee). Totu¸si, transformata Fourier a funct¸iei Green libere G σσ ∗ e astfel ˆıncˆ at polarizarea proprie Πλµ,λ′ µ′ (q, ν) depinde, de asemenea, de frecvent¸˘a (deoarece diagrama unei insert¸ii de polarizare cont¸ine cel put¸in 2 linii particul˘ a); atunci, datorit˘a ecuat¸iei Dyson pentru interact¸ia efectiv˘ a (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a), rezult˘a c˘ a potent¸ialul interact¸iei e λµ,λ′ µ′ (q, ν); acest rezultat se poate intere λµ,λ′ µ′ (q) = V efective este dependent de frecvent¸˘ a: V preta ˆın sensul c˘ a interact¸ia efectiv˘ a nu este o interact¸ie instantanee. C. Tensorul funct¸ie dielectric˘ a generalizat˘ a (e κ−1 ) ˆIn spat¸iul pozit¸ii-timp tensorul funct¸ie dielectric˘a generalizat˘a este definit prin relat¸ia integral˘a (3.131); prin efectuarea transform˘ arii Fourier se obt¸ine relat¸ia corespondent˘ a ˆın spat¸iul impulsfrecvent¸˘a, care este o relat¸ie simpl˘a (multiplicativ˘a ¸si matricial˘a): 19 X e λµ,λ′ µ′ (q) = e ′′ ′′ ′ ′ V κ e−1 (3.140a) λµ,λ′′ µ′′ (q) Uλ µ ,λ µ (q) ; λ′′ ,µ′′
dac˘a se introduce matricea tensorului funct¸ie dielectric˘a generalizat˘a (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a) K(q) = κ eλµ,λ′ µ′ (q) , atunci relat¸ia (3.140a) se scrie, utilizˆand notat¸ii matriciale, ˆın mod mai compact: V(q) = K−1 (q) · U(q) . (3.140b) Prin utilizarea notat¸iei matriciale, din solut¸ia ecuat¸iei Dyson pentru interact¸ia efectiv˘a, relat¸ia −1 (3.139), V(q) = I − U(q) · P(q) · U(q), rezult˘a c˘ a tensorul funct¸ie dielectric˘a generalizat˘a este K(q) = I − U(q) · P(q) ,
(3.141a)
adic˘a ˆın notat¸ie explicit˘ a cu indicii de spini κλµ,λ′ µ′ (q) = δλλ′ δµµ′ −
X
λ′′ ,µ′′
e ∗λ′′ µ′′ ,λ′ µ′ (q) . Ueλµ,λ′′ µ′′ (q) Π
(3.141b)
Rezultatul (3.141b) se putea obt¸ine, ˆın mod echivalent, prin efectuarea transform˘arii Fourier a relat¸iei corespondente din spat¸iul pozit¸ii-timp, adic˘a din relat¸ia (3.132). D. Cazul interact¸iei independente de spini Dac˘ a interact¸iile bi-particul˘a sunt independente de spini, atunci matricea de spin a potent¸ialului de interact¸ie bi-particul˘a este diagonal˘ a ˆın indicii de spin ¸si ˆın consecint¸˘a, transformata sa Fourier este, de asemenea, diagonal˘ a ˆın indicii de spin: Uλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = δλ,µ δλ′ ,µ′ U(x, x′ )
=⇒
Ueλµ,λ′ µ′ (q) = δλ,µ δλ′ ,µ′ Ue(q) ;
exist˘a o simplificare suplimentar˘ a, datorat˘a faptului c˘ a transformata Fourier a potent¸ialul de e e ν) = e interact¸ie este independent de frecvent¸˘a: U(q) ≡ U(q, v (q). 19 Se
observ˘ a c˘ a similitudinea cu definit¸ia electrodinamic˘ a clasic˘ a se realizeaz˘ a ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a.
˘ 3.4. POLARIZAREA S ¸ I INTERACT ¸ IA EFECTIVA
233
De asemenea, funct¸ia Green liber˘a ¸si transformata sa Fourier sunt diagonale ˆın indicii de spini: e0 ′ (q) = δσ,σ′ G e 0 ′ (q) . G0σσ′ (x, x′ ) = δσ,σ′ G0 (x, x′ ) =⇒ G σσ σσ Deoarece polarizarea proprie este construit˘a ˆın termeni de funct¸ii Green libere ¸si potent¸iale de interact¸ie (care au ambele matrici de spin diagonale), rezult˘a c˘ a ¸si polarizarea proprie este diagonal˘ a ˆın indicii de spini: Π∗λµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = δλ,µ δλ′ ,µ′ Π∗ (x, x′ )
=⇒
e ∗λµ,λ′ µ′ (q) = δλ,µ δλ′ ,µ′ Π e ∗ (q) . Π
Rezultatul este valabil, de asemenea, pentru polarizarea total˘ a. Atunci rezult˘a c˘ a toate matricile de spini sunt diagonale (inclusiv interact¸ia efectiv˘a), astfel ˆıncˆ at relat¸iile matriciale devin simple relat¸ii scalare. Ecuat¸ia Dyson pentru interact¸ia efectiv˘a, (3.138), devine e e e ∗ (q)V(q) V(q) = ve(q) + ve(q) Π ,
cu solut¸ia
e V(q) =
ve(q) . e ∗ (q) 1 − ve(q) Π
(3.142)
Relat¸ia (3.140) pentru definit¸ia funct¸iei dielectrice generalizate devine: e V(q) =
1 ve(q) , κ e(q)
astfel ˆıncˆ at prin comparat¸ie cu solut¸ia ecuat¸iei Dyson, se obt¸ine e ∗ (q) . κ e(q) = 1 − ve(q) Π
(3.143)
Rezultatul precedent se putea obt¸ine ˆın mod direct din expresia matricial˘a (3.141). Pe de alt˘ a parte, ecuat¸ia Dyson pentru polarizare (3.136), devine ˆın cazul independent¸ei de spin a interact¸iilor, ecuat¸ia scalar˘ a e e ∗ (q) + Π e ∗ (q) ve(q) Π(q) e Π(q) =Π ,
care are solut¸ia
e Π(q) =
e ∗ (q) Π . e ∗ (q) 1−e v (q) Π
Se observ˘ a c˘ a din relat¸ia (3.143) se poate exprima polarizarea proprie ˆın termeni de funct¸ia dielectric˘a generalizat˘a κ(q) e ∗ (q) = 1 − e , Π ve(q)
astfel ˆıncˆ at polarizarea total˘ a se poate exprima, de asemenea, ˆın termeni de funct¸ia dielectric˘a generalizat˘a: i 1 1−e κ(q) 1 h 1 e Π(q) = = −1 . (3.144) κ e(q) ve(q) ve(q) κ e(q)
3.4.3
Calculul polariz˘ arii de ordinul minim (ordinul 0)
Polarizarea de ordinul 0 ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a, pentru cazul cˆ and interact¸iile sunt indee 0 (q) ≡ Π e 0 (q, ν) ¸si este definit˘ pendente de spini, este notat˘a prin Π a prin diagrama q k+q
k
q
k = (k, ω) q = (q, ν)
234
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Pentru a obt¸ine corespondent¸a analitic˘a a diagramei polariz˘arii de ordinul 0 este necesar s˘a se determine factorul diagramei; conform regulilor Feynman ¸si a discut¸iei anterioare privind factorul suplimentar a diagramelor de polarizare, ˆın cazul prezent factorul diagramei este fΠ0 =
i (−1) (2s + 1) , ~
unde: • factorul (−1) provine de la bucla fermionic˘a din diagram˘ a; • factorul (2s + 1) provine de la sumarea dup˘a indicii de spin, conform regulilor Feynman simplificate (pentru interact¸ii independente de spini); i • factorul este termenul suplimentar pentru diagramele de polarizare. ~ Atunci, expresia analitic˘a a polariz˘arii de ordinul 0 (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a) este Z i d4 k e 0 0 0 e e e0 (k + q) Π (q, ν) ≡ Π (q) = (−1) (2s + 1) G (k) G ~ (2π)4 Z Z ∞ d3 k −i dω e 0 e0 (k + q, ω + ν) . G (k, ω) G (2s + 1) = 3 ~ (2π) 3 R −∞ 2π
(3.145)
Luˆand ˆın considerare expresia transformatei Fourier a funct¸iei Green libere h θ(k − k ) θ(kF − k) i F 0 e + G (k, ω) = ω − ωk + iη ω − ωk − iη η→0+
¸si apoi efectuˆand integralele dup˘a frecvent¸˘a, se obt¸ine Z o n 2s + 1 1 d3 k −1 0 e Π (q, ν) = θ(kF − k) θ(|k + q| − kF ) + , 3 ~ ν + ωq,k − iη ν + ωq,k + iη η→0+ R3 (2π) (3.146) unde ωq,k ≡ ω k+q − ω k . Demonstrat¸ie: Produsul celor 2 funct¸ii Green libere se descompune ˆın sum˘ a de 4 termeni: e0 (k, ω) G e0 (k + q, ω + ν) G h θ(k − k ) θ(kF − k) ih θ(|k + q| − kF ) θ(kF − |k + q|) i F + + = ω − ω k + iη ω − ω k − iη (ω + ν) − ω k+q + iη (ω + ν) − ω k+q − iη η→0+ h θ(k − kF ) θ(|k + q| − kF ) θ(k − kF ) θ(kF − |k + q|) = + (ω − ω k + iη)(ω + ν − ω k+q + iη) (ω − ω k + iη)(ω + ν − ω k+q − iη) i θ(kF − k) θ(|k + q| − kF ) θ(kF − k) θ(kF − |k + q|) + + . (ω − ω k − iη)(ω + ν − ω k+q + iη) (ω − ω k − iη)(ω + ν − ω k+q − iη) η→0+
Cele 4 integrale ˆın raport cu frecvent¸a se efectueaz˘ a prin introducerea factorului de convergent¸˘ a eiωη ¸si utilizarea teoriei funct¸iilor de variabile complexe; ˆın Anexa matematic˘ a A.4 este prezen(2) tat˘ a deducerea funct¸iei Jλ,µ (a, b), care realizeaz˘ a evaluarea integralelor dup˘ a frecvent¸e specificate anterior, prin formula (A.48): Z ∞ dω 1 (2) Jλ,µ (a, b) ≡ −∞ 2π (ω − a + iλη)(ω − b + iµ η) η→0+ Z ∞ eiωτ dω = lim η→0+ −∞ 2π (ω − a + iλη)(ω − b + iµ η) τ →0+
=0, = 0 , i = = b − a + iη i = a − b + iη
, η→0+ , η→0+
pentru λ = +1 & µ = +1 , pentru λ = −1 & µ = −1 , pentru λ = +1 & µ = −1 , pentru λ = −1 & µ = +1 ,
˘ 3.4. POLARIZAREA S ¸ I INTERACT ¸ IA EFECTIVA
235
Atunci, polarizarea de ordinul 0 (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a) se scrie ˆın forma Z d3 k e 0 (q, ν) = −i (2s + 1) Π 3 ~ R3 (2π) Z ∞ dω 1 × θ(k − kF ) θ(|k + q| − kF ) −∞ 2π (ω − ω k + iη)(ω + ν − ω k+q + iη) Z ∞ 1 dω + θ(k − kF ) θ(kF − |k + q|) 2π (ω − ω + iη)(ω + ν − ω k+q − iη) k −∞ Z ∞ 1 dω + θ(kF − k) θ(|k + q| − kF ) −∞ 2π (ω − ω k − iη)(ω + ν − ω k+q + iη) Z ∞ dω 1 + θ(kF − k) θ(kF − |k + q|) 2π (ω − ω − iη)(ω + ν − ω − iη) k k+q −∞ η→0+ Z d3 k n −i (2) (2s + 1) θ(k − kF ) θ(|k + q| − kF ) J++ (ω k , ω k+q − ν) = 3 ~ R3 (2π) (2)
+ θ(k − kF ) θ(kF − |k + q|) J+− (ω k , ω k+q − ν) (2)
+ θ(kF − k) θ(|k + q| − kF ) J−+ (ω k , ω k+q − ν)
o (2) + θ(kF − k) θ(kF − |k + q|) J−− (ω k , ω k+q − ν) ; (2)
ˆın continuare se utilizeaz˘ a expresiile (A.48) pentru funct¸iile Jλ,µ (a, b), astfel c˘ a se obt¸ine:
Z d3 k 2s + 1 θ(k − kF ) θ(kF − |k + q|) θ(kF − k) θ(|k + q| − kF ) 0 e Π (q, ν) = − + . 3 ~ ν − (ω k+q − ω k ) − iη ν − (ω k+q − ω k ) + iη R3 (2π) η→0+
Prin schimbarea de variabil˘ a k → k′ = −(k + q) ¸si apoi folosind faptul c˘ a pulsat¸ia depinde numai de modulul vectorului de und˘ a: ω k = ω|k| , se transform˘ a prima integral˘ a astfel: Z
Z
d3 k′ θ(| − k′ − q| − kF ) θ(kF − | − k′ |) 3 ν − (ω−k′ − ω−k′ −q ) − 2iη R3 (2π) Z 3 ′ d k θ(|k′ + q| − kF ) θ(kF − |k′ |) = 3 ν + (ω k′ +q − ω k′ ) − 2iη R3 (2π) Z 3 d k θ(kF − k) θ(|k + q| − kF ) , = 3 ν + (ω k+q − ω k ) − 2iη R3 (2π)
d3 k θ(k − kF ) θ(kF − |k + q|) = 3 ν − (ω k+q − ω k ) − 2iη R3 (2π)
unde ˆın ultima egalitate s-a redenumit variabila de integrare: k′ → k . Atunci, rezult˘ a urm˘ atoarea expresie a polariz˘ arii de ordinul 0: Z d3 k e 0 (q, ν) = (2s + 1) Π θ(kF − k) θ(|k + q| − kF ) 3 ~ R3 (2π) n o −1 1 × + , ν + (ω k+q − ω k ) − iη ν − (ω k+q − ω k ) + iη η→0+
se observ˘ a c˘ a rezultatul anterior este identic cu relat¸ia (3.146), dac˘ a se utilizeaz˘ a notat¸ia concis˘ a: ωq,k ≡ ω k+q − ω k .
Observat¸ii asupra expresiei (3.146): i. Dac˘ a se expliciteaz˘ a pulsat¸iile, arunci m˘arimea ωq,k are urm˘atoarea expresie: ω q,k =
q2 1 ~ ~ ~ 1 k·q+ ; ε k+q − ε k = (k + q)2 − (k)2 = ~ ~ 2m 2m m 2
ii. Dac˘ a ˆın relat¸ia (3.146) se aduc la numitorul comun cele dou˘a fract¸ii din interiorul parantezelor acolade, se obt¸ine urm˘atoarea expresie echivalent˘ a pentru polarizarea de ordinul 0: Z 2s + 1 2(ωq,k − iη) o d3 k 0 e Π (q, ν) = θ(kF − k) θ(|k + q| − kF ) 2 ; 3 ~ ν − (ωq,k − iη)2 η→0+ R3 (2π) expresia anterioar˘ a arat˘a urm˘atoarele propriet˘ a¸ti ale polariz˘arii de ordinul 0:
236
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
e 0 (q, ν) este funct¸ie par˘ e 0 (q, ν) = Π e 0 (q, −ν), astfel ˆıncˆ • Π a ˆın raport cu frecvent¸a: Π at este suficient s˘a se studieze numai cazul cˆ and frecvent¸a este pozitiv˘ a ν > 0;
• la frecvent¸e foarte mari polarizarea de ordinul 0 are urm˘atoarea expresie asimptotic˘a: Z 1 d3 k e 0 (q, ν) ≈ 1 2s + 1 θ(kF − k) θ(|k + q| − kF ) (2ωq,k) ∼ 2 . Π 3 ν→∞ ν 2 ~ ν R3 (2π)
iii. Prin utilizarea formulei Sohotski-Weierstrass 1 1 ∓ iπ δ(ω) , (limit˘ a slab˘a) , =P lim η→0+ ω ± iη ω 1 unde P este partea principal˘a ˆın sens Cauchy a integralei, se poate efectua separarea p˘ art¸ii ω reale de partea imaginar˘ a a (transformatei Fourier) a polariz˘arii de ordinul 0; astfel cantitatea din interiorul parantezelor acolade se scrie ˆın forma 1 −1 + ν + ωq,k − iη ν + ωq,k + iη i h i h 1 1 + iπ δ(ν + ωq,k) + P − iπ δ(ν − ωq,k ) =− P ν + ωq,k ν − ωq,k 1 1 =P − − iπ δ(ν − ωq,k) + δ(ν + ωq,k ) ν − ωq,k ν + ωq,k 2ω q,k − iπ δ(ν − ωq,k ) + δ(ν + ωq,k ) , =P 2 2 ν − ωq,k
e 0 (q, ν) are expresia astfel c˘ aΠ Z d3 k e 0 (q, ν) = 2s + 1 Π θ(kF − k) θ(|k + q| − kF ) 3 ~ R3 (2π) n 2ω o q,k , − iπ δ(ν − ω ) + δ(ν + ω ) × P 2 q,k q,k 2 ν − ωq,k
din care rezult˘a p˘ art¸ile real˘ a ¸si imaginar˘a: Z 3 0 e (q, ν) = 2s + 1 − d k θ(kF − k) θ(|k + q| − kF ) 2 ωq,k , Re Π (3.147a) 2 3 ~ ν 2 − ωq,k R3 (2π) Z 0 2s + 1 d3 k e θ(kF − k) θ(|k + q| − kF ) δ(ν − ωq,k ) + δ(ν + ωq,k ) . Im Π (q, ν) = −π 3 ~ R3 (2π) (3.147b) A. Calculul p˘ art¸ii reale Partea real˘ a a transformatei Fourier pentru polarizarea de ordinul 0 are expresia (3.147a), unde este prezent un produs de 2 funct¸ii Heaviside; este convenabil s˘a se transforme aceast˘a expresie astfel ˆıncˆ at s˘a r˘amˆ an˘a numai o singur˘a funct¸ie Heaviside; pentru a realiza aceast˘a condit¸ie se utilizeaz˘ a proprietatea θ(x) + θ(−x) = 1, astfel c˘ a a doua funct¸ie Heaviside se ˆınlocuie¸ste prin complementara ei: θ(|k + q| − kF ) = 1 − θ(kF − |k + q|) ¸si expresia p˘ art¸ii reale se descompune ˆın 2 integrale: Z 0 2s + 1 d3 k 2 ωq,k e θ(kF − k) 2 Re Π (q, ν) = − 2 3 ~ ν − ωq,k R3 (2π) Z 2 ωq,k 2s + 1 d3 k − θ(kF − k) θ(kF − |k + q|) 2 − 2 3 ~ (2π) ν − ωq,k 3 R Dac˘ a se efectueaz˘ a schimbarea de variabil˘ a k → k′ = −(k+q), atunci m˘arimea ωq,k se transform˘a astfel: ωq,k ≡ ω k+q − ω k = ω−k′ − ω−k′ −q = ω k′ − ω k′ +q = −ωq,k′ ;
˘ 3.4. POLARIZAREA S ¸ I INTERACT ¸ IA EFECTIVA
237
atunci, efectuˆand schimbarea de variabil˘ a specificat˘ a anterior, ˆın integrala celui de al doilea termen, se obt¸ine: Z d3 k′ 2 ωq,k −2 ωq,k′ d3 k θ(k − k) θ(k − |k + q|) θ(kF − |k′ + q|) θ(kF − k ′ ) 2 = − F F 2 2 3 2 3 (2π) ν − ω (2π) ν − ωq,k ′ R3 R3 q,k Z 3 d k 2 ωq,k =−− θ(kF − |k + q|) θ(kF − k) 2 2 3 (2π) ν − ωq,k 3 R
Z −
se observ˘ a c˘ a prin schimbarea de variabil˘ a integrala a devenit egal˘a cu opusa sa, astfel c˘ a aceast˘a integral˘a este nul˘a. Din rezultatul anterior, expresia p˘ art¸ii reale se reduce la primul termen, care se rescrie revenind la fract¸ii simple: Z 3 0 e (q, ν) = 2s + 1 − d k θ(kF − k) 2 ωq,k Re Π 2 3 ~ ν 2 − ωq,k R3 (2π) Z o n 2s + 1 1 d3 k 1 = θ(k − k) − − F 3 ~ ν − ωq,k ν + ωq,k R3 (2π) ) ( Z d3 k 1 1 2s + 1 , θ(kF − k) − − = 3 ~ q2 q2 ~ ~ R3 (2π) k·q+ k·q+ ν− ν+ m 2 m 2
~ q2 k·q+ . m 2 Integrala se efectueaz˘ a ˆın coordonate sferice, alegˆand axa polar˘a paralel˘ a cu vectorul q (adic˘a qkOz): 3 d k = k 2 dk sin θ dθ dφ , k = (k, θ, φ) −→ k · q = k q cos θ ;
unde ˆın ultima form˘a s-a ˆınlocuit ωq,k prin expresia explicit˘a: ωq,k =
atunci, partea real˘ a este exprimat˘ a prin integrala tripl˘ a: Z π Z 2π Z kF 0 2s + 1 1 2 e dφ Re Π (q, ν) = − dk k − dθ sin θ ~ (2π)3 0 0 0 ( ) 1 1 × ; − ~ ~ q2 q2 ν− ν+ k q cos θ + k q cos θ + m 2 m 2 deoarece integrandul este independent de coordonata azimutal˘a (φ), rezult˘a c˘ a integrala corespunz˘atoare este banal˘a, producˆand rezultatul 2π, iar pentru coordonata polar˘a se efectueaz˘a schimbarea de variabil˘ a cos θ = u, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: ) (Z Z 1 Z kF 1 0 2s + 1 1 du −m du 2 e (q, ν) = Re Π +− − (2π) − dk k q mν ~ (2π)3 ~ k q −1 u + q − mν −1 u + 0 + 2k ~kq 2k ~kq Integralele ˆın raport cu variabila u se efectueaz˘a prin metode elementare, deoarece sunt de urm˘atorul tip: Z a−ε Z 1 Z 1 du du du = lim + − ε→0 u−a u−a −1 −1 u − a a+ε = lim ln − ε − ln − 1 − a + + ln 1 − a − ln ε ε→0 1 − a . = ln 1 + a
Se observ˘ a c˘ a partea principal˘a a integralei, ˆın sens Cauchy, produce acela¸si rezultat ca ¸si integrala obi¸snuit˘ a, deoarece este o singularitate logaritmic˘ a, care se auto-anihileaz˘a. Ca urmare, partea
238
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
integralelor ˆın raport cu variabila u produce urm˘atorul rezultat: 1 q2 1 q2 mν mν 1+ 1+ Z 1 Z 1 − + du du k 2 ~q k 2 ~q + − = ln + ln − 2 2 mν mν q q −1 u + −1 u + −1 + 1 q − mν −1 + 1 q + mν − + 2k ~kq 2k ~kq k 2 ~q k 2 ~q q2 q2 mν mν = ln k + − − − ln − k + 2 ~q 2 ~q q2 q2 mν mν + ln k + + + − ln − k + . 2 ~q 2 ~q
Atunci, dup˘a efectuarea integralelor ˆın raport cu variabilele unghiulare, expresia transformatei Fourier a polariz˘ arii de ordinul 0 se reduce la o sum˘a integrale simple ˆın raport cu modulul vectorului de und˘a 0 e (q, ν) Re Π Z kF Z kF q2 q2 2s + 1 m mν mν = dk k ln k + − − dk k ln k − + − − − ~ 4π 2 ~ q 2 ~q 2 ~q 0 0 Z kF Z kF q2 q2 mν mν − − dk k ln k + + + + − dk k ln k − 2 ~q 2 ~q 0 0 Z kF Se observ˘ a c˘ a cele 4 integrale r˘amase sunt de tipul − dk k ln k + α ; atunci, o evaluare explicit˘a 0
a acestui tip de integral˘a conduce la urm˘atorul rezultat: Z kF α2 k 2 − 2 α kF k 2 − α2 ln kF + α + ln α − F . − dk k ln k + α = F 2 2 4 0 Demonstrat¸ie:
Primitiva funct¸iei considerate este F(k) =
Z
dk k ln k + α
¸si se calculeaz˘ a utilizˆ and metoda de integrare prin p˘ art¸i; se face urm˘ atoarea alegere dk du = u = ln k + α k+α =⇒ 2 dv = k dk v= k 2 R R astfel ˆıncˆ at, formula de integrare prin p˘ art¸i du v = u v − dv u devine ˆın cazul prezent Z dk k2 k2 ln k + α − ; F(k) = 2 k+α 2 integrala se efectueaz˘ a prin metode elementare, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: Z 2 2 k2 − 2 α k k −α F(k) = dk k ln k + α = ln k + α − . 2 4 Integrala parte principal˘ a, ˆın sens Cauchy, este prin definit¸ie Z −α−ε Z kF Z − dk k ln k + α = lim dk k ln k + α + 0
ε→0
0
kF
−α+ε
dk k ln k + α
;
prin utilizarea primitivei, determinat˘ a anterior, se separ˘ a termenul care corespunde p˘ art¸ii principale a integralei ˆın sens Cauchy: Z kF − dk k ln k + α = lim F(−α − ε) − F(0) + F(kF ) − F(−α + ε) ε→0 0 = F(kF ) − F(0) + lim F(−α − ε) − F(−α + ε) ; ε→0
˘ 3.4. POLARIZAREA S ¸ I INTERACT ¸ IA EFECTIVA
239
termenii corespunz˘ atori limitelor integralei totale produc urm˘ atorul rezultat: F(kF ) − F(0) =
k2 − 2 α k kF2 − α2 α2 ln kF + α − F + ln α , 2 4 2
iar termenii care cont¸in parametrul infinitezimal dau contribut¸ie nul˘ a: lim F(−α − ε) − F(−α + ε)
ε→0
n (−α + ε)2 − α2
(−α + ε)2 − 2 α (−α + ε) ln (−α + ε) + α − ε→0 2 4 (−α − ε)2 − 2 α (−α − ε) o (−α − ε)2 − α2 ln (−α − ε) + α + − 2 4 n ε(ε − 2 α) 3 α2 − 4 α ε + ε2 3 α2 + 4 α ε + ε2 o ε(ε + 2 α) = lim ln ε − − ln − ε − ε→0 2 4 2 4 = lim 2 α ε ln ε + 1 = 0 . = lim
ε→0
Atunci, prin adunarea rezultatelor precedente, se obt¸ine rezultatul afirmat anterior.
Se observ˘ a c˘ a, ˆın expresia p˘ art¸ii reale a polariz˘arii de ordinul 0, cei 4 termeni pot fi grupat¸i cˆ ate 2, astfel ˆıncˆ at apar sume part¸iale de tipul urm˘ator: Z kF Z kF −− dk k ln k + α + − dk k ln k − α 0
0
h k 2 − α2 α2 k 2 − 2 α kF i =− F ln kF + α + ln α − F 2 2 4 h k 2 − α2 2 2 α k + 2 α kF i ln kF − α + ln α − F + F 2 2 4 k − α kF2 − α2 F = ln − α kF 2 kF + α α α2 1 − α/kF 2 1 , − 1 − 2 ln = kF 2 k 1 + α/kF kF F
unde integralele ˆınlocuite prin rezultatele obt¸inute anterior. Atunci, prin ˆınlocuirea para qau fost mν metrului α cu , se obt¸ine: ± 2 ~q 2 0 e (q, ν) = 2s + 1 m kF Re Π 2 ~ 4π ~ q q 1 − 1h q i 2 mν 2k qF × 1− ln − 2 2k ~k q F F 1 + 2k qF 1 − q mν 2 i 1h 2k qF ln + + 1− 1 + 2 2kF ~kF q 2k F
mν q mν ~kF q mν − 2kF − ~kF q − ~kF q mν + q mν ~kF q − + mν 2kF ~kF q + ~kF q −
2s + 1 m kF kF = ~ 4π 2 ~ q q mν 1 − − q h i q 1 mν 2 2k ~kF q qF × − ln + 1− − mν 1 + 2 2kF ~kF q kF − 2kF ~kF q q mν 1 − + h i 2 1 q mν 2kF ~kF q + 1− ln + mν , q 1 + 2 2kF ~kF q + 2k ~k q F
F
240
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
sau expresia echivalent˘ a, care este mai convenabil˘ a q mν 1 − − h i 0 kF q mν 2 2kF ~kF q e (q, ν) = (2s + 1) m kF 1 − ln −1 + − Re Π q mν 1 + 4π 2 ~2 2q 2kF ~kF q − 2kF ~kF q q mν 1 − + h i 2 q mν kF 2kF ~kF q 1− ln + + q mν . 1 + 2q 2kF ~kF q + 2k ~k q F
F
(3.148a)
Deoarece expresia anterioar˘ a este complicat˘ a, se prefer˘ a o exprimare adimensionalizat˘ a; atunci se introduc urm˘atoarele variabile adimensionale: q , kF ν ν νe = = ; 2 ωF ~ kF2 /m qe =
prin utilizarea variabilelor adimensionale rezult˘a
mν qe νe q ± = ± 2kF ~kF q 2 qe
astfel ˆıncˆ at expresia p˘ art¸ii reale a polariz˘arii se rescrie ˆın forma adimensionalizat˘ a:
unde
o n 0 e (q, ν) = (2s + 1) m kF − 1 + 1 F qe − νe + 1 F qe + νe Re Π , 4π 2 ~2 2 qe 2 qe 2 qe 2 qe
(3.148b)
1 + x (3.148c) F (x) ≡ (1 − x2 ) ln , 1−x este funct¸ia caracteristic˘ a a polariz˘ arii. Expresia p˘ art¸ii reale a polariz˘arii se simplific˘ a ˆın urm˘atoarele cazuri asimptotice: 1. Limita frecvent¸elor foarte mici ν → 0 (adic˘a νe ≪ qe); ˆın acest caz se obt¸ine 1 − q 2 0 (2s + 1) m kF kF q 2kF e (q, 0) = Re Π (3.149a) 1− −1 + ln , q 2 2 1 + 4π ~ q 2kF 2k F
sau ˆın notat¸ie adimensional˘ a:
n 0 e (q, 0) = (2s + 1)mkF − 1 + Re Π 2 2 4π ~ (2s + 1)mkF n = −1+ 4π 2 ~2
qe2 1 − qe/2 o 1 1− ln qe 4 1 + qe/2 1 qeo (2s + 1)mkF ≡ g(e q) , F qe 2 2π 2 ~2
(3.149b)
unde g(e q ) este funct¸ia caracteristic˘ a a polariz˘arii de ordinul 0 la limita frecvent¸ei nule: g(x) ≡
1 x2 2 − x 1 x 1 −1 =− + 1− ln + F . 2 2x 2 2 2x 4 2+x
Funct¸ia g(x) are urm˘atoarele expresii asimptotice: g(x) ≈ −1 + O(x2 ) ,
1 x−2 ln g(x) ≈ − + 2 4 4 g(x) ≈ − 2 , 3x
h |x − 2| i 4
pentru x ≪ 1 , ,
pentru |x − 2| ≪ 1 , pentru x ≫ 1 .
(3.149c)
˘ 3.4. POLARIZAREA S ¸ I INTERACT ¸ IA EFECTIVA 2. Limita vectorilor de und˘a foarte mici (q → 0, sau mai exact qe ≪ νe) 2 2 0 e (q, ν) ≈ (2s + 1)mkF 2 qe 1 + 3 qe . Re Π 2 2 2 q→0 4π ~ 3 νe 5 νe2
241
(3.150)
3. Limita concertat˘a a vectorilor ¸si frecvent¸elor foarte mici, dar cu raport finit, adic˘a q → 0 νe ¸si ν → 0, dar ≡ x = fixat; ˆın acest caz se obt¸ine qe h 0 q i e (q, ν) ≈ (2s + 1)mkF − 2 + νe ln 1 + νe/e Re Π 4π 2 ~2 qe 1 − νe/e q 1 + x i (2s + 1)mkF (2s + 1)mkF h − 2 + x ln π f (x) , ≡ ≡− 2 2 4π ~ 1−x 4π 2 ~2
(3.151a)
unde f (x) este definit˘ a prin formula
f (x) ≡ B. Calculul p˘ art¸ii imaginare
2 x 1 + x 1 − ln . π 2 1−x
(3.151b)
Partea imaginar˘ a a transformatei Fourier pentru polarizarea de ordinul 0 are expresia (3.147b): Z 0 d3 k e (q, ν) = −π 2s + 1 Im Π θ(kF − k) θ(|k + q| − kF ) δ(ν − ωq,k ) + δ(ν + ωq,k ) ; 3 ~ R3 (2π)
Pentru a calcula partea imaginar˘ a a polariz˘arii de ordinul 0 se face apel la urm˘atoarele observat¸ii: e 0 (q, −ν) = Π e 0 (q, ν) (adic˘a funct¸ia este par˘ i. s-a ar˘ atat anterior c˘ aΠ a ˆın raport cu frecvent¸a), astfel ˆıncˆ at este suficient s˘a se studieze doar domeniul de valori pentru frecvent¸e pozitive (ν > 0); ii. efectul celor dou˘a funct¸ii Heaviside este de a limita domeniul de integrare pentru vectorul de und˘a conform condit¸iilor: |k| < kF ¸si |k + q| > kF ; dar datorit˘a condit¸iilor precedente, se ~ (k + q)2 − k 2 > 0, astfel ˆıncˆ at pentru frecvent¸e pozitive are obt¸ine: ωq,k = ω k+q − ω k = 2m contribut¸ie nenul˘a numai prima funct¸ie Dirac δ(ν − ωq,k). Pe baza observat¸iilor anterioare, rezult˘a c˘ a expresia p˘ art¸ii imaginare a polariz˘arii de ordinul 0, pentru frecvent¸e pozitive este: Z 0 d3 k 2s + 1 e θ(kF − k) θ(|k + q| − kF ) δ(ν − ωq,k ) Im Π (q, ν) = −π 3 ~ ν>0 R3 (2π) Pentru a evalua integrala dup˘a vectorul de und˘a se expliciteaz˘ a argumentul funct¸iei Dirac ωq,k =
~ q2 k·q+ m 2
=⇒
h q ~ q 2 i m mν q δ − −k· δ(ν − ωq,k ) = δ ν − k·q+ = , m 2 ~q ~q 2 q
1 unde ultima egalitate s-a obt¸inut utilizˆand proprietatea funct¸iei Dirac δ(ax) = δ(x). a Atunci, expresia p˘ art¸ii imaginare a polariz˘arii de ordinul 0 devine: Z mν q 0 (2s + 1)m q 3 e . (3.152) Im Π (q, ν) =− − − k · d k θ(k − k) θ(|k + q| − k ) δ F F 8π 2 ~2 q R3 ~q 2 q ν>0 Dac˘ a se alege originea axelor de coordonate (ˆın spat¸iul vectorului de und˘a) ˆın originea vectorului k ¸si axa polar˘ a Oz paralel˘ a cu vectorul q, atunci rezultatul integr˘arii ˆın raport cu vectorul de und˘a se obt¸ine luˆand ˆın considerare efectul funct¸iilor Heaviside ¸si Dirac:
• funct¸ia θ(kF − k) implic˘ a integrarea numai ˆın interiorul sferei de raz˘ a kF centrat˘a ˆın origine, definit˘ a prin ecuat¸ia |k| ≤ kF ; se va nota acest domeniu prin int S(kF , 0); • funct¸ia θ(|k + q| − kF ) implic˘ a integrarea numai ˆın exteriorul sferei de raz˘ a kF centrat˘a ˆın punctul cu vectorul de pozit¸ie −q, definit˘ a prin ecuat¸ia |k + q| ≥ kF ; se va nota acest domeniu prin ext S(kF , −q);
242
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA q q q mν q implic˘ a integrare pe planul definit prin ecuat¸ia k · = −k· − ; ~q 2 q q ~q 2 acest plan este situat fat¸˘ a de origine la distant¸a (care este lungimea perpendicularei din mν q q q mν q punct pe plan) d = − ¸si are normala n = ; se va nota acest plan prin Π , − . ~q 2 q q ~q 2
• funct¸ia δ
mν
−
ˆIn figura 3.19 este ilustrat un plan definit prin ecuat¸ia r · n = d. Conform propriet˘ a¸tilor specificate anterior, integrala din formula (3.152) este egal˘a cu integrala din funct¸ia Dirac pe domeniul permis de funct¸iile Heaviside D = int S(kF , 0) ∩ ext S(kF , −q) Z mν q q d3 k θ(kF − k) θ(|k + q| − kF ) δ I(q, ν) ≡ − −k· ~q 2 q 3 ZR mν q q − −k· d3 k δ = ~q 2 q D = A Π∩D , adic˘a I(q, ν) este egal˘a cu aria port¸iunii din planul Π aflat˘a ˆın interiorul domeniului D. Prin urmare, calculul integralei I(q, ν) se poate obt¸ine prin metode geometrice (ˆın locul integr˘arii directe). Exist˘a 2 situat¸ii diferite: 1. q > 2kF =⇒ sferele S(kF , 0) ¸si S(kF , −q) sunt disjuncte (distant¸a dintre centrele lor este mai mare decˆ at suma razelor sferelor); 2. q < 2kF =⇒ sferele S(kF , 0) ¸si S(kF , −q) se intersecteaz˘ a (distant¸a dintre centrele lor este mai mic˘a decˆ at suma razelor sferelor). 1. Cazul q > 2kF Condit¸ia ca intersect¸ia planului Π cu domeniul permis de funct¸iile Heaviside D s˘a fie nevid˘ a (adic˘a Π ∩ D 6= ∅) este ca acest plan s˘a intersecteze sfera S(kF , 0); aceast˘a situat¸ie se realizeaz˘ a dac˘a distant¸a planului pˆ a n˘ a la origine este mai mic˘ a decˆ a t raza sfere (care este egal˘ a cu modulul mν q vectorului Fermi): d = − < kF . ˆIn figura 3.20 este desenat˘a o sect¸iune central˘a prin cele ~q 2 2 sfere, ˆımpreun˘ a cu planul Π (sferele sunt reprezentate prin cercuri, iar planul printr-o dreapt˘ a). Intersect¸ia planului Π cu sfera S(kF , 0) este discul circular cu raza q r = kF2 − d2 =
s
kF2 −
mν ~q
−
q 2 2
atunci, aria acestui disc [care este egal˘a cu valoarea integralei I(q, ν) ] este h mν q 2 i A Π∩D = π r2 = π kF2 1 − . − ~qkF 2kF
z p
n
d r 0 x
y
Figura 3.19: Ilustrarea planului definit prin normala ¸si distant¸a pˆan˘a ˆın origine.
˘ 3.4. POLARIZAREA S ¸ I INTERACT ¸ IA EFECTIVA
243
q
ΠM
r d
kF
Π
k O
S(kF , 0) Πm
q
kF
−q
S(kF , −q)
Figura 3.20: Sect¸iunea central˘ a prin sferele ¸si planul definite de integrala p˘ art¸ii imaginare a polariz˘ arii de ordinul 0. Pozit¸iile extreme ale planului Π sunt reprezentate prin linii punctate ¸si sunt denumite ΠM , respectiv Πm . Intersect¸ia planului Π cu sfera S(kF , 0) este reprezentat˘ a prin linia groas˘ a, dar ˆın spat¸iu aceast˘a intersect¸ie este un disc circular. mν q ˆIn cazul cˆ and − ≥ kF , planul Π este fie deasupra planului ΠM , fie sub planul Πm , ~q 2 astfel ˆıncˆ at intersect¸ia planului Π cu sfera S(kF , 0) este vid˘a (Π∩D = ∅), iar aria corespunz˘ atoare este nul˘a: A Π∩D = 0. Prin ˆınsumarea rezultatelor precedente, se obt¸ine valoarea integralei pentru cazul considerat: mν h mν q 2 i q πkF2 1 − , pentru − − <1 ~qkF 2kF 2kF F ~qk I(q, ν) = q mν q>2kF 0 , pentru − >1. ~qkF 2kF
2. Cazul q < 2kF ˆIn acest caz, domeniul permis de funct¸iile Heaviside D este reprezentat ˆın figura 3.21 prin partea neha¸surat˘ a. Condit¸ia ca planul Π s˘a aib˘ a intersect¸ie nenul˘a cu domeniul D (adic˘a Π ∩ D 6= ∅) este ca planul s˘a fie situat sub planul Π1 ¸si deasupra planului Π3 , reprezentat¸i ˆın figura 3.21; aceast˘a situat¸ie impune ca distant¸a de la origine la planul Π s˘a satisfac˘ a condit¸ia: −
mν q q < − < kF . 2 ~q 2
mν q q < − implic˘ a ν > 0, astfel ˆıncˆ at aceast˘a condit¸ie este 2 ~q 2 automat ˆındeplinit˘ a prin considerarea frecvent¸elor pozitive (ν > 0). Pe de alt˘ a parte, din examinarea figurii 3.22, se observ˘a c˘ a exist˘a 2 subcazuri:
Se observ˘ a c˘ a condit¸ia inferioar˘a: −
1. situat¸ia cˆ and planul π este aflat ˆıntre planele Π1 ¸si Π2 , ceea ce implic˘ a inegalit˘a¸tile −(q − kF ) <
mν q − < kF ; ~q 2
2. situat¸ia cˆ and planul π este aflat ˆıntre planele Π2 ¸si Π3 , ceea ce implic˘ a inegalit˘a¸tile −
q mν q < − < −(q − kF ) . 2 ~q 2
244
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA q Π1 S(kF , 0) O q
q/2
q − kF Π2 Π3
kF
q/2 kF
O′ S(kF , −q)
Figura 3.21: Ilustrarea domeniului D care este reprezentat prin partea neha¸surat˘ a; de asemenea, s-au reprezentat diferitele distant¸e care determin˘a sub-domeniile ¸si ariile care sunt egale cu valoarea integralei. 2a. Sub-cazul cˆand planul Π este deasupra planului Π2 ˆIn aceast˘a situat¸ie sunt satisf˘acute urm˘atoarele inegalit˘a¸ti: q ( <2, q < 2kF kF q mν =⇒ − < kF −(q − kF ) < 1 − q < mν − q <1. ~q 2 kF ~qkF 2kF
Din figura 3.22 stˆ anga, se observ˘ a c˘ a intersect¸ia planului Π cu domeniul permis D este intersect¸ia acestui plan cu interiorul sferei S(kF , 0) [adic˘ a Π ∩ D = Π ∩ S(kF , 0)], care este discul circular cu raza s q mν q 2 2 − r = kF − d2 = kF2 − ~q 2 atunci, aria acestui disc [care este egal˘a cu valoarea integralei I(q, ν) ] este h mν q 2 i A Π∩D = π r2 = π kF2 1 − . − ~qkF 2kF
Se observ˘ a c˘ a acest sub-caz are acelea¸si formule analitice ca ¸si cazul 1. 2b. Sub-cazul cˆand planul Π este sub planului Π2 ˆIn aceast˘a situat¸ie sunt satisf˘acute urm˘atoarele inegalit˘a¸ti: q ( <2, q < 2kF kF mν mν q q =⇒ q q q − < −(q − kF ) − < < − . <1− 2 ~q 2 2kF ~qkF 2kF kF
Din figura 3.22 dreapta, se observ˘ a c˘ a intersect¸ia planului Π cu domeniul permis D este intersect¸ia acestui plan cu interiorul sferei S(k a F , 0) ¸si ˆın acela¸si timp cu exteriorul sferei S(kF , −q) [adic˘ Π ∩ D = Π ∩ S(kF , 0) ∩ S(kF , −q) ], iar rezultatul este coroana circular˘a cu razele p rM = p kF2 − d2 , rm = kF2 − d21 , unde d este distant¸a de la centrul sferei S(kF , 0) la planul Π ¸si d1 este distant¸a de la centrul sferei S(kF , −q) la planul Π. Conform figurii 3.22 dreapta, cele dou˘a distant¸e sunt mν q q mν d= − = − , ~q 2 2 ~q q mν + ; d1 = q − d = ~q 2
˘ 3.4. POLARIZAREA S ¸ I INTERACT ¸ IA EFECTIVA
245
q
q ΠM
d
kF
O
k
Π S(kF , 0) d
Πm q
kF
O
k
kF
O′ −q S(kF , −q)
ΠM Π
q d1
S(kF , 0)
Πm kF O′ −q S(kF , −q)
Figura 3.22: Sect¸iunea central˘ a prin sfere ¸si planul de intersect¸ie ˆın cazul sferelor intersectabile. Figura din dreapta arat˘a o situat¸ie tipic˘ a cˆ and planul intersecteaz˘ a numai sfera superioar˘a; figura din stˆanga ilustreaz˘ a o situat¸ie cˆ and planul intersecteaz˘ a ambele sfere. atunci, aria acestei coroane circulare [care este egal˘a cu valoarea integralei I(q, ν) ] este h mν mν h mν q 2 i q 2 i 2 2 − π kF2 − = 2π − + . = π kF2 − A Π∩D = π rM − π rm ~q 2 ~q 2 ~ mν q ˆIn cazul cˆ − > kF , and planul Π este deasupra planului Π1 , din figura 3.21, adic˘a ~q 2 intersect¸ia este vid˘a ¸si aria corespunz˘ atoare este nul˘a A Π∩D = 0; ultimul caz posibil, cˆ and mν q q planul Π este sub planul Π3 , din figura 3.21, adic˘a − < − , corespunde de asemenea ~q 2 2 unei intersect¸ii vide, dar inegalitatea anterioar˘ a implic˘ a frecvent¸e negative, astfel ˆıncˆ at aceast˘a situat¸ie nu necesit˘ a s˘a fie luat˘a ˆın considerare ˆın mod separat. Prin ˆınsumarea rezultatelor precedente, se obt¸ine valoarea integralei pentru acest al doilea caz: mν q >1, − 0 , pentru ~qkF 2k F h mν i 2 q q q mν , pentru 1 − <1, − < − I(q, ν) = πkF2 1 − ~qkF 2kF kF ~qkF 2kF q<2kF q q −q mν mν 2π < 1− < − . , pentru ~ 2kF ~qkF 2kF kF
ˆIn concluzie, luˆand ˆın considerare toate posibilit˘a¸tile, se obt¸ine urm˘atoarea expresie a p˘ art¸ii imaginare pentru polarizarea de ordinul 0: 0 e (q, ν) Im Π ν>0 mν q − ≥1, 0 dac˘a ~qkF 2kF mν q h q i − ∈ 1 − ,1 ~qkF 2kF kF & q < 2k , h mν (2s + 1)m q 2 i 2 − 1 − dac˘ a − k = F mν 8π~2 q ~qkF 2kF q ∈ − 1, 1 − ~qkF 2kF & q > 2k , q h −q q i mν ∈ − , 1− 2mν (2s + 1)m ~qkF 2kF 2kF 2kF dac˘a − 8π~2 q ~ & q < 2k .
(3.153)
246
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA f (e ν)
1 qe
f (e ν) qe > 2
qe < 2
2 − qe
νe νe qe2 qe2 qe2 qe2 qe2 − qe + qe qe − qe + 2 2 2 2 2 Figura 3.23: Graficele funct¸iei f (e ν ) pentru cele dou˘a cazuri: qe > 2 la stˆanga ¸si respectiv qe < 2 la dreapta. Prin utilizarea acelora¸si notat¸ii adimensionale, ca cele folosite anterior la exprimarea p˘ art¸ii reale, adic˘a q , kF mν ν = , νe = 2 ωF ~ kF2 qe =
se obt¸ine expresia adimensionalizat˘ a a p˘ art¸ii imaginare pentru polarizarea de ordinul 0 la frecvent¸˘a pozitiv˘ a (ν > 0): νe qe2 i νe qe (2s + 1)mkF h 1 − , dac˘ a ∈ (−1, 1) , − − = − 8π~2 qe qe 2 qe 2 = qe>2 νe qe = 0 , dac˘a − ≥ 1 ; qe 2 0 νe qe2 i νe qe e (q, ν) = (2s + 1)mkF h Im Π 1 − , dac˘ a ∈ (1 − qe), 1] , = − − − 8π~2 qe qe 2 qe 2 h qe i (2s + 1)mkF νe qe = = − ∈ − 2 ν e , dac˘ a − , (1 − q e ) , qe<2 8π~2 qe qe 2 2 νe qe = 0 , dac˘a − ≥ 1 . qe 2 (3.154) Pentru a obt¸ine o reprezentare grafic˘ a a rezultatului precedent, este convenabil s˘a se utilizeze funct¸ia adimensional˘ a de frecvent¸˘ a (la o valoare fixat˘ a a vectorului de und˘a) f (e ν) ≡
0 −8π~2 e (q, ν) Im Π (2s + 1)mkF
din expresiile cont¸inute ˆın relat¸ia (3.154), rezult˘a urm˘atoarele expresii explicite pentru funct¸ia f (e ν ): νe = 1 − − qe = qe>2 = 0 , 1 f (e ν) = = 2 νe , qe νe = = 1− − qe<2 qe = 0 ,
qe2 1 , 2 qe qe2 1 , 2 qe
qe2 qe2 − qe < νe < + qe , 2 2 2 qe2 qe − qe & νe > + qe ; dac˘a νe < 2 2
dac˘a
dac˘a 0 < νe < qe −
qe2 , 2
qe2 qe2 < νe < qe + , 2 2 2 qe . dac˘a νe > qe + 2
dac˘a qe −
3.5. FUNCT ¸ II DE CORELAT ¸ IE PENTRU DENSITATEA DE PARTICULE
247
ˆIn mod similar cu prezentarea p˘ art¸ii reale, se obt¸in expresiile asimptotice ale p˘ art¸ii imaginare ale polariz˘ arii de ordinul 0. 1. Limita frecvent¸elor foarte mici ν → 0 (adic˘a νe ≪ qe); ˆın acest caz se obt¸ine 0 e (q, 0) = 0 . Im Π (3.155) 2. Limita vectorilor de und˘a foarte mici (q → 0, sau mai exact qe ≪ νe) 0 e (q, ν) = 0 . Im Π
(3.156)
3. Limita concertat˘a a vectorilor ¸si frecvent¸elor foarte mici, dar cu raport finit, adic˘a q → 0 νe ¸si ν → 0, dar ≡ x = fixat; ˆın acest caz se obt¸ine qe νe >1, dac˘a 0 0 , qe e (q, ν) ≈ (3.157) Im Π − (2s + 1)mkF νe , dac˘a νe < 1 . 4π~2 qe qe qe C. Rezumatul expresiilor asimptotice
Luˆand ˆın considerare expresiile asimptotice pentru partea real˘a (3.149) – (3.151) ¸si cele pentru partea imaginar˘ a (3.155) – (3.157), rezult˘a urm˘atoarele expresii asimptotice totale ale transformatei Fourier pentru polarizarea de ordinul 0:
unde:
e 0 (q, 0) = (2s + 1)mkF g(e q) , Π 4π 2 ~2 2 e 0 (q, ν) ≈ (2s + 1)mkF 2 qe , Π q→0 4π 2 ~2 3 νe2 e 0 (q, ν) ≈ − (2s + 1)mkF π f νe + i θ 1 − νe νe , Π q,ν→0 4π 2 ~2 qe qe qe
(3.158a) (3.158b) (3.158c)
x2 1 − x/2 1 1− ln , x 4 1 + x/2 x 1 + x 2 1 − ln f (x) = , π 2 1−x conform relat¸iilor (3.149c) ¸si respectiv (3.151b). g(x) = −1 +
3.5 3.5.1
Funct¸ii de corelat¸ie pentru densitatea de particule Funct¸ii de corelat¸ie pentru densit˘ a¸ti de observabile uni-particul˘ a
ˆ conform Se consider˘ a cazul general corespunz˘ ator la dou˘a observabile uni-particul˘a Aˆ ¸si B; relat¸iei generale (2.93a), cele dou˘a observabile uni-particul˘a sunt decompozabile ˆın densit˘ a¸ti: Z Aˆ = d3 r a ˆ(r) , Z ˆ = d3 r ˆb(r) , B
unde operatorii densit˘ a¸ti ale observabilelor, a ˆ(r) ¸si ˆb(r), ˆın formularea Schr¨odinger, se exprim˘ a ˆın ˆˆ termeni de operatori de cˆ amp conform relat¸iei (2.93b), dac˘a operatorul algebric (Ar ¸si respectiv ˆˆ Br ) nu cont¸ine operat¸ii de derivare spat¸ial˘a: a ˆ(r) =
−s,s X σ,σ′
ˆb(r) =
−s,s X σ,σ′
ˆ ψˆσ† (r) Aˆr σ,σ′ ψˆσ′ (r) ,
ˆ ψˆσ† (r) Bˆr σ,σ′ ψˆσ′ (r) ;
248
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
ˆın cazul mai general, cˆ and operatorii algebrici cont¸in operat¸ii de derivare spat¸ial˘a, pentru a avea operatori hermitici care s˘a reprezinte densit˘ a¸tile de observabile, este necesar s˘a se defineasc˘ a densit˘ a¸tile observabilelor astfel: a ˆ(r) =
−s,s X σ,σ′
ˆb(r) =
−s,s X σ,σ′
o 1 n ˆ† ˆ ψσ (r) Aˆr σ,σ′ ψˆσ′ (r) + h.c. , 2
o 1 n ˆ† ˆ ψσ (r) Bˆr σ,σ′ ψˆσ′ (r) + h.c. , 2
unde prin “h.c.” se ˆınt¸elege conjugatul hermitic al operatorului anterior. Mediile pe starea fundamental˘ a a sistemului (cu interact¸ii) pentru densit˘ a¸tile uni-particul˘a definite anterior sunt
hΨ0 | a ˆ(r) |Ψ0 i , a(r) 0 ≡ hΨ0 |Ψ0 i
hΨ0 | ˆb(r) |Ψ0 i b(r) 0 ≡ ; hΨ0 |Ψ0 i
se definesc operatorii fluctuat¸ii ale densit˘ a¸tilor prin relat¸iile:
δˆ a(r) = a ˆ(r) − a(r) 0 ˆ1 ,
δˆb(r) = ˆb(r) − b(r) ˆ1 . 0
Operatorii Heisenberg pentru fluctuat¸iile de densit˘ a¸ti ale operatorilor uni-particul˘a considerat¸i se obt¸in conform relat¸iei generale (1.50), ˆın care se alege t0 = 0: i
ˆ
i
ˆ
δˆ aH (r, t) = e ~ tH δˆ a(r) e− ~ tH i ˆ i ˆ δˆbH (r, t) = e ~ tH δˆb(r) e− ~ tH .
Funct¸iile de corelat¸ie importante asociate fluctuat¸iilor densit˘ a¸tilor de observabile uni-particul˘a se definesc ˆın mod analog cu funct¸iile Green; astfel funct¸ia de corelat¸ie cauzal˘ a pentru fluctuat¸iile ˆ densit˘ a¸tilor de observabile uni-particul˘a δˆ a(r) ¸si δ B(r) este hΨ0 |T δˆ aH (r, t) · δˆbH (r′ , t′ ) |Ψ0 i ′ ′ Cab (r, t; r , t ) ≡ (−i) ; (3.159a) hΨ0 |Ψ0 i (R)
(A)
ˆın mod similar se definesc funct¸iile de corelat¸ie retardat˘ a Cab ¸si avansat˘ a Cab pentru operatorii specificat¸i anterior: hΨ0 | δˆ aH (r, t) , δˆbH (r′ , t′ ) − |Ψ0 i (R) ′ ′ ′ Cab (r, t; r , t ) ≡ (−i) θ(t − t ) , (3.159b) hΨ0 |Ψ0 i hΨ0 | δˆ aH (r, t) , δˆbH (r′ , t′ ) − |Ψ0 i (A) ′ ′ ′ . (3.159c) Cab (r, t; r , t ) ≡ (+i) θ(t − t) hΨ0 |Ψ0 i Se observ˘ a c˘ a funct¸ia de corelat¸ie cauzal˘ a este definit˘ a ˆın termeni de produs cronologic al operatorilor fluctuat¸ii ale densit˘ a¸tilor observabilelor, ˆın timp ce funct¸iile de corelat¸ie retardat˘ a ¸si avansat˘a sunt definite ˆın termeni de comutator al acelor operatori. De¸si se pot obt¸ine unele propriet˘ a¸ti pentru cazul general al funct¸iilor de corelat¸ie, situat¸ia cea mai interesant˘ a pentru aplicat¸ii este corespunz˘ atoare fluctuat¸iilor densit˘ a¸tii de particule; ca urmare, se vor prezenta ˆın detaliu principalele propriet˘ a¸ti ale acestor funct¸ii de corelat¸ie particulare.
3.5.2
Funct¸ii de corelat¸ie pentru densitatea de particule
A. Definit¸ii ¸si propriet˘ a¸ti generale Operatorul densitate de particule a fost definit prin relat¸ia (2.96) X ˆ(r) = ψˆσ† (r) ψˆσ (r) ; n σ
3.5. FUNCT ¸ II DE CORELAT ¸ IE PENTRU DENSITATEA DE PARTICULE
249
ˆ(r) = n ˆ† (r), astfel ˆıncˆ se observ˘ a c˘ a operatorul este hermitic, n at nu este necesar˘a operat¸ia suplimentar˘ a de simetrizare. Operatorul Heisenberg (pentru densitatea de particule) este definit conform relat¸iei generale pentru alegerea t0 = 0: i
ˆ
i
ˆ
ˆH (r, t) = e ~ tH n ˆ(r) e− ~ tH . n Densitatea medie (a num˘ arului de particule) pe starea fundamental˘ a este
ˆH (r, t)|Ψ0 i hΨ0 | n ; n(r, t) 0 = hΨ0 |Ψ0 i
se observ˘ a c˘ a densitatea medie de particule este independent˘ a de timp n(r, t) 0 = n(r) 0 , deoarece i ˆ i ˆ ˆ(r) e− ~ tH |Ψ0 i = hΨ0 | n ˆ(r)|Ψ0 i . ˆH (r, t)|Ψ0 i = hΨ0 | e ~ tH n hΨ0 | n
Operatorul fluctuat¸ie pentru densitatea de particule este definit ˆın formul˘arile Schr¨odinger ¸si Heisenberg prin relat¸iile
ˆ(r) − n(r) 0 ˆ1 , δˆ n(r) ≡ n
i ˆ i ˆ ˆH (r, t) − n(r) 0 ˆ1 . n(r) e− ~ tH = n δˆ nH (r, t) = e ~ tH δˆ
Funct¸ia de corelat¸ie cauzal˘ a pentru fluctuat¸iile numerelor de particule (numit˘a, de asemenea propagatorul de polarizare) este definit˘ a prin relat¸ia: hΨ0 | T δˆ nH (r, t) · δˆ nH (r′ , t′ ) |Ψ0 i ′ ′ ; (3.160a) Cn (r, t; r , t ) ≡ −i hΨ0 |Ψ0 i ˆın mod similar, funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ a pentru fluctuat¸iile numerelor de particule este definit˘ a astfel: hΨ0 | δˆ nH (r, t) , δˆ nH (r′ , t′ ) − |Ψ0 i (R) ′ ′ ′ Cn (r, t; r , t ) ≡ −i θ(t − t ) . (3.160b) hΨ0 |Ψ0 i Observat¸ii asupra definit¸iilor: i. Este posibil s˘a se defineasc˘ a funct¸ia de corelat¸ie avansat˘a, dar aceasta nu este util˘a ˆın majoritatea aplicat¸iilor, astfel ˆıncˆ at, pentru concizia expunerii se renunt¸˘a la prezentarea acestei funct¸ii suplimentare. ii. Funct¸iile de corelat¸ie pentru densitatea num˘arului de particule au definit¸ii analoage cu funct¸iile Green (dar exist˘a deosebiri ˆın natura operatorilor utilizat¸i), astfel ˆıncˆ at exist˘a propriet˘ a¸ti similare ˆıntre aceste funct¸ii de corelat¸ie ¸si propriet˘ a¸ti corespondente ale funct¸iilor Green. iii. O deosebire important˘ a a funct¸iilor de corelat¸ie pentru fluctuat¸iile densit˘ a¸tii de particule, fat¸˘a de funct¸iile Green, const˘ a ˆın faptul c˘ a operatorul fluctuat¸ie a densit˘ a¸tii δˆ n cont¸ine un num˘ar par de operatori de cˆ amp, astfel ˆıncˆ at operatorul de ordonare cronologic˘ a T nu introduce factor de semn. iv. Comutatorul operatorilor fluctuat¸ii de densitate este egal cu comutatorul operatorilor densitate de particule, deoarece diferent¸a dintre ace¸sti operatori este un operator banal (proport¸ional cu operatorul unitate, care deci comut˘a cu orice operator):
ˆH (r′ , t′ ) − n(r) 0 ˆ1 − ˆH (r, t) − n(r) 0 ˆ1 , n δˆ nH (r, t) , δˆ nH (r′ , t′ ) − = n ˆH (r, t) , n ˆH (r′ , t′ ) − ; = n
ca urmare, funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ a se poate defini ˆın mod echivalent, utilizˆand densit˘ a¸tile de particule, ˆın locul fluctuat¸iilor acestor densit˘ a¸ti.
Propriet˘ a¸ti generale 1. Cazul sistemului conservativ ¸si omogen, atunci hamiltonianul sistemului este atemporal ¸si invariant la translat¸ii spat¸iale; ca urmare, funct¸iile de corelat¸ie (cauzal˘a ¸si retardat˘ a) pentru fluctuat¸iile densit˘ a¸tii de particule depind numai de diferent¸ele coordonatelor spat¸io-temporale Cn (r, t; r′ , t′ ) = Cn (r − r′ , t − t′ ; 0, 0) ,
Cn(R) (r, t; r′ , t′ ) = Cn(R) (r − r′ , t − t′ ; 0, 0) ;
250
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
atunci, este posibil˘ a o transformare Fourier spat¸io-temporal˘a simpl˘a: Z 1 X ∞ dω i[ k·(r−r′ )−ω(t−t′ )] e e Cn (k, ω) Cn (r, t; r′ , t′ ) = V −∞ 2π k Z ∞ Z d3 k dω i[ k·(r−r′ )−ω(t−t′ )] e e Cn (k, ω) , = LT R3 (2π)3 −∞ 2π Z 1 X ∞ dω i[ k·(r−r′ )−ω(t−t′ )] e (R) Cn(R) (r, t; r′ , t′ ) = e Cn (k, ω) V −∞ 2π k Z ∞ Z d3 k dω i[ k·(r−r′ )−ω(t−t′ )] e(R) = e Cn (k, ω) . 3 LT R3 (2π) −∞ 2π
(3.161a)
(3.161b)
Demonstrat¸ia este analoag˘ a cu cea prezentat˘ a pentru funct¸iile Green, formulele (3.49) – (3.50).
2. Reprezentarea Lehmann (pentru sistem conservativ ¸si omogen): conform definit¸iilor, funct¸iile de corelat¸ie cauzal˘ a ¸si retardat˘ a au urm˘atoarele expresii explicite ˆın raport cu operat¸iile suplimentare din definit¸ii (ordonare temporal˘ a sau comutator): hΨ0 | δˆ nH (r, t) δˆ nH (r′ , t′ ) |Ψ0 i hΨ0 |Ψ0 i hΨ0 | δˆ nH (r′ , t′ ) δˆ nH (r, t) |Ψ0 i , − i θ(t′ − t) hΨ0 |Ψ0 i hΨ0 | δˆ nH (r, t) δˆ nH (r′ , t′ ) |Ψ0 i Cn(R) (r, t; r′ , t′ ) = − i θ(t − t′ ) hΨ0 |Ψ0 i ′ ′ hΨ | δˆ n nH (r, t) |Ψ0 i 0 H (r , t ) δˆ + i θ(t − t′ ) . hΨ0 |Ψ0 i Cn (r, t; r′ , t′ ) = − i θ(t − t′ )
Se observ˘ a c˘ a cele dou˘a expresii precedente se pot comasa ˆın urm˘atoarea expresie comun˘ a: n ′ ′ c hΨ0 | δˆ nH (r, t) δˆ nH (r , t ) |Ψ0 i ( ) CnR (r, t; r′ , t′ ) = − i θ(t − t′ ) hΨ0 |Ψ0 i hΨ0 | δˆ nH (r′ , t′ ) δˆ nH (r, t) |Ψ0 i o , (3.162) ± θ ∓ (t′ − t) hΨ0 |Ψ0 i
unde semnul superior corespunde funct¸iei de corelat¸ie cauzal˘a, iar semnul inferior corespunde funct¸iei de corelat¸ie retardat˘ a. Deducerea reprezent˘ arii Lehmann pentru funct¸iile de corelat¸ie ale densit˘ a¸tii de particule: Deducerea este asem˘ an˘ atoare cu cea f˘ acut˘ a pentru funct¸iile Green uni-particul˘ a. ˆIn condit¸iile cˆ ˆ operatorul and sistemul este conservativ ¸si omogen, rezult˘ a c˘ a hamiltonianul H, ˆ ¸si operatorul num˘ ˆ sunt un sistem de observabile compatibile, impuls total P ar de particule N astfel ˆıncˆ at ace¸sti operatori au un sistem comun de vectori proprii, notat prin |N, Eα , Pα i , care constituie o baz˘ a ˆın spat¸iul Fock, conform relat¸iei h N, Eα , Pα |N ′ , Eα′ , Pα′ i = δN,N ′ δ(α, α′ ) Z (N) ∞ X X |N, Eα , Pα ihN, Eα , Pα | = ˆ 1;
N=0 α
Ecuat¸iile cu valori proprii ale energiei ¸si impulsului total sunt ˆ |N, Eα , Pα i = Eα |N, Eα , Pα i , H
ˆ |N, Eα , Pα i = Pα |N, Eα , Pα i ; P
pentru starea fundamental˘ a |N, E0 , P0 i ≡ |Ψ0 i, valoarea proprie a energiei este E0 (energia st˘ arii fundamentale), iar valoarea proprie a impulsului este nul˘ a P0 = 0. Se expliciteaz˘ a dependent¸a spat¸io-temporal˘ a a operatorului fluctuat¸ie de densitate
i ˆ i i ˆ ˆ i ˆ ˆH (r, t) − n(r) 0 ˆ 1 = e ~ tH e− ~ r·P ˆ δˆ nH (r, t) = n 1 n(0) e ~ r·P e ~ tH − n 0 ˆ
i r·P i tH ˆ − i r·P ˆ ˆ i tH ˆ ˆ(0) − n 0 ˆ =e~ e ~ 1 e~ e~ n i
ˆ
i
ˆ
i
ˆ
i
ˆ
n(0) e ~ r·P e ~ tH , ≡ e ~ tH e− ~ r·P δˆ
3.5. FUNCT ¸ II DE CORELAT ¸ IE PENTRU DENSITATEA DE PARTICULE
251
unde s-a utilizat proprietatea a a sistemului, care implic˘ a o densitate de
de omogenitate
spat¸ial˘ particule constant˘ a: n(r, t) 0 = n(r) 0 = n 0 .
ˆIn elementul de matrice de la num˘ ar˘ atorul primului termen se expliciteaz˘ a operatorii fluctuat¸ie de densitate ¸si apoi se utilizeaz˘ a ecuat¸iile cu valori proprii ale energiei ¸si impulsului pe starea fundamental˘ a: hΨ0 | δˆ nH (r, t) δˆ nH (r′ , t′ ) |Ψ0 i ˆ
i
i
ˆ
i
ˆ
ˆ
i
i ′ ˆ
i
′ ˆ ·P
n(0) e ~ r·P e− ~ tH · e ~ t H e− ~ r = hΨ0 | e ~ tH e− ~ r·P δˆ ′
i
i
′
ˆ
i
ˆ
i
′ ˆ
i ′ ˆ
δˆ n(0) e ~ r ·P e− ~ t H |Ψ0 i
n(0) e− ~ (t−t )H e ~ (r−r)·P δˆ n(0) |Ψ0 i ; = e ~ E0 (t−t ) hΨ0 | δˆ
apoi se introduce relat¸ia de completitudine ˆın interiorul elementului de matrice ¸si se face apel la ecuat¸iile cu valori proprii ale energiei ¸si impulsului: hΨ0 | δˆ nH (r, t) δˆ nH (r′ , t′ ) |Ψ0 i Z ′) ∞ (N X X ′ ′ ˆ i i i ˆ n(0) e− ~ (t−t )H e ~ (r−r)·P |N ′ , Eα , Pα ihN ′ , Eα , Pα | δˆ n(0) |Ψ0 i e ~ E0 (t−t ) hΨ0 | δˆ = N ′ =0 α
Z ) ∞ (N X X ′
=
N ′ =0 α
i
′
i
′
n(0) |N ′ , Eα , Pα ihN ′ , Eα , Pα | δˆ n(0) |Ψ0 i . e− ~ (Eα −E0 )(t−t ) e ~ Pα ·(r−r ) hΨ0 | δˆ
Deoarece operatorul densitate de particule (¸si de asemenea operatorul fluctuat¸ie a densit˘ a¸tii de particule) are elemente de matrice nenule numai pentru vectori corespunz˘ atori la numere de particule egale, rezult˘ a n(0) |Ψ0 i∗ ∼ δN ′ ,N , n(0) |N ′ , Eα , Pα i = hN ′ , Eα , Pα | δˆ hΨ0 | δˆ astfel c˘ a elementul de matrice considerat anterior se simplific˘ a ˆın urm˘ atoarea form˘ a: nH (r′ , t′ ) |Ψ0 i = nH (r, t) δˆ hΨ0 | δˆ
Z (N) X α
2 ′ ′ i i e− ~ (Eα −E0 )(t−t ) e ~ Pα ·(r−r ) hΨ0 | δˆ n(0) |N, Eα , Pα i .
ˆIn mod similar se obt¸ine pentru elementul de matrice de la num˘ ar˘ atorul celui de-al doilea termen, expresia hΨ0 | δˆ nH (r′ , t′ ) δˆ nH (r, t) |Ψ0 i =
Z (N) X α
2 ′ ′ i i e ~ (Eα −E0 )(t−t ) e− ~ Pα ·(r−r ) hΨ0 | δˆ n(0) |N, Eα , Pα i .
Atunci, pe baza rezultatelor anterioare, s-a obt¸inut descompunerea funct¸iilor de corelat¸ie ˆın baza proprie energie-impuls: (Rc )
Cn
2 Z n (N) X n(0) |N, Eα , Pα i i (E −E )(t−t′ ) i P ·(r−r′ ) hΨ0 | δˆ ′ −~ α α 0 ~ θ(t − t ) e (r, t; r , t ) = − i e hΨ0 |Ψ0 i α 2 i ′ ′ hΨ0 | δˆ n(0) |N, Eα , Pα i o i ± θ ∓ (t′ − t) e ~ (Eα −E0 )(t−t ) e− ~ Pα ·(r−r ) . hΨ0 |Ψ0 i ′
′
Se observ˘ a c˘ a cele dou˘ a funct¸ii de corelat¸ie depind numai de diferent¸a coordonatelor spat¸iotemporale (c) (c) CnR (r, t; r′ , t′ ) = CnR (r − r′ , t − t′ ) , astfel ˆıncˆ at se pot efectua transform˘ ari Fourier spat¸io-temporale simple: Z Z ∞ c (c) en(R) (k, ω) = C d3 r dt e−i( k·r−ωt) CnR (r, t) V
−∞
X
2 Z Z ∞ hΨ0 | δˆ n(0) |N, Eα , Pα i d3 r e i(Pα /~−k)·r dt θ(t) e− i[ω−(Eα −E0 )/~]t = −i hΨ0 |Ψ0 i V −∞ α 2 Z Z ∞ hΨ0 | δˆ n(0) |N, Eα , Pα i d3 r e−i(Pα /~+k)·r dt θ(∓t) e− i[ω+(Eα −E0 )/~]t ; ± hΨ0 |Ψ0 i V −∞ Z (N)
252
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA integralele spat¸ial˘ a ¸si temporal˘ a se calculeaz˘ a pe baza formulelor stabilite la deducerea relat¸iilor (3.56) – (3.58) pentru reprezentarea Lehmann a funct¸iilor Greem 1-particul˘ a: Z I(k) ≡ d3 r e ik·r = V δ k,0 , V Z ∞ ±i , K± (ω) ≡ dτ θ(±τ ) e iωτ = ω ± iη η→0+ −∞
astfel ˆıncˆ at expresiile funct¸iilor de corelat¸ie devin: c
en(R) (k, ω) = − i C
2 Z (N) X hΨ0 | δˆ n(0) |N, Eα , Pα i hΨ0 |Ψ0 i
α
− Z (N,k)
=
X
V
α
Z (N,−k)
−
X
2 hΨ0 | δˆ n(0) |N, Eα , Pα i hΨ0 |Ψ0 i
2 hΨ0 | δˆ n(0) |N, Eα , ~ki hΨ0 |Ψ0 i V
α
V δ Pα ,~k
V
ω− 2 hΨ0 | δˆ n(0) |N, Eα , −~ki hΨ0 |Ψ0 i
i Eα − E0 ω− + iη ~
i δ Pα ,−~k Eα − E0 ω+ ∓ iη η→0+ ~ 1 Eα − E0 + iη η→0+ ~ 1 , Eα − E0 ω+ ∓ iη η→0+ ~
care este o reprezentare Lehmann pentru funct¸iile de corelat¸ie ale fluctuat¸iilor de densitate, cauzal˘ a ¸si retardat˘ a.
Pe baza rezultatului precedent se pot scrie reprezent˘ arile Lehmann ale funct¸iilor de corelat¸ie pentru fluctuat¸iile de densitate, cauzal˘ a ¸si retardat˘ a, ˆın forma: Z Z (N,−k) (N,k) X X B(k, α) A(k, α) en (k, ω) = , (3.163a) − C (k) (k) ω − ωα + iη ω + ωα − iη η→0+ α α Z Z (N,k) (N,−k) X X A(k, α) B(k, α) (R) en (k, ω) = C − , (3.163b) (k) (k) ω − ωα + iη ω + ωα + iη η→0+ α
α
(k)
unde coeficient¸ii de pondere A(k, α), B(k, α) ¸si pulsat¸iile proprii ωα sunt definit¸i prin expresiile 2 hΨ0 | δˆ n(0) |N, Eα , ~ki A(k, α) = V , hΨ0 |Ψ0 i 2 hΨ0 | δˆ n(0) |N, Eα , −~ki B(k, α) = V , hΨ0 |Ψ0 i Eα − E0 ωα(k) = >0. ~ ±k
(3.164a) (3.164b) (3.164c)
Expresiile anterioare ale reprezent˘ arii Lehmann se pot scrie ˆın mod formal ca integrale dup˘a frecvent¸e, prin utilizarea relat¸iei Z (N,±k) X α
f (α, ±k; ωα(k) ) =
Z
Z (N,±k) dω ′ X f (α, ±k; ω ′ ) 2π δ ω ′ − ωα(k) ; −∞ 2π ∞
α
atunci, rezult˘a reprezent˘ arile Lehmann echivalente: Z ∞ ′ n an (k, ω ′ ) bn (k, ω ′ ) o dω en (k, ω) = , − C ω − ω ′ + iη ω − ω ′ − iη η→0+ −∞ 2π Z ∞ ′ n dω an (k, ω ′ ) bn (k, ω ′ ) o en(R) (k, ω) = C , − ω − ω ′ + iη ω − ω ′ + iη η→0+ −∞ 2π
(3.165a) (3.165b)
3.5. FUNCT ¸ II DE CORELAT ¸ IE PENTRU DENSITATEA DE PARTICULE
253
unde noile ponderi sunt legate de precedent¸ii coeficient¸i de pondere prin relat¸iile 2 Z (N,k) X hΨ0 | δˆ n(0)|N, Eα , ~ki Eα − E0 , V 2π δ ω ′ − A(k, α) 2π δ ω ′ − ωα(k) = hΨ0 |Ψ0 i ~
Z (N,k)
an (k, ω ′ ) =
X α
α
(3.166a)
Z (N,−k)
Z (N,−k)
bn (k, ω ′ ) =
X α
X V B(k, α) 2π δ ω ′ + ωα(k) = α
2 hΨ0 | δˆ n(0)|N, Eα , −~ki hΨ0 |Ψ0 i
Eα − E0 . 2π δ ω ′ + ~
(3.166b)
Consecint¸e ale reprezent˘ arilor Lehmann. i. Propriet˘ a¸tile analitice (ca funct¸ii de variabil˘ a complex˘a) se obt¸in ˆın mod analog cu propriet˘ a¸tile corespondente ale funct¸iilor Green (care au fost prezentate anterior). Astfel, se efectueaz˘ a prelungirea analitic˘a a frecvent¸ei (pulsat¸iei) ˆın planul complex: ω → z = ω + iγ. Din expresiile (3.163) rezult˘a: en (k, z) are poli simpli, deasupra ¸si • transformata Fourier a funct¸iei de corelat¸ie cauzal˘ a C sub axa real˘ a (ˆın vecin˘atatea infinitezimal˘a): (−)
* zα
(+)
* zα
(k)
= ωα − η (de la primul termen), (−k)
= ωα
+ η (de la al doilea termen);
en (k, z) este o funct¸ie meromorf˘a ˆın planul complex al variabilei z; ca urmare, C
en(R) (k, z) are poli simpli numai sub • transformata Fourier a funct¸iei de corelat¸ie retardat˘ aC (±) (±k) axa real˘ a (ˆın vecin˘atatea infinitezimal˘a): zα = ± ωα − η; en(R) (k, z) este o funct¸ie olomorf˘ ca urmare, C a ˆın semiplanul superior Im{z} > 0 ¸si este o funct¸ie meromorf˘ a ˆın semiplanul inferior Im{z} < 0.
Din expresia de definit¸ie (3.164c)
(±k) ~ ωα(±k) = Eα(N,±k) − E0N ≡ ǫα ,
rezult˘a c˘ a aceasta este energia de excitat¸ie pentru st˘ari N -particule, avˆand impulsul ±k ¸si cuplate de starea fundamental˘ a a sistemului prin fluctuat¸iile de densitate ale particulelor. Se observ˘a c˘ a, spre deosebire de excitat¸iile sistemului evident¸iate de reprezent˘ arile Lehmann ale funct¸iilor Green uni-particul˘ a (cˆand excitat¸iile sistemului erau de tipul particul˘ a-gol), ˆın cazul excitat¸iilor evident¸iate de funct¸iile de corelat¸ie ale fluctuat¸iilor de densitate aceste excitat¸ii reprezint˘ a st˘ari colective ale sistemului N -particule. ii. Relat¸ia ˆıntre funct¸iile de corelat¸ie cauzal˘ a ¸si retardat˘ a pentru fluctuact¸iile densit˘ a¸tii de particule se obt¸ine prin deducerea relat¸iilor ˆıntre p˘ art¸ile lor reale ¸si imaginare. Pentru obt¸inerea p˘ art¸ilor real˘ a ¸si imaginar˘a ale funct¸iilor de corelat¸ie considerate, se observ˘a c˘ a ponderile A(k, α) ¸si B(k, α), respectiv an (k, ω ′ ) ¸si bn (k, ω ′ ), sunt m˘ arimi reale, dup˘a cum rezult˘a din relat¸iile (3.164) ¸si respectiv (3.166). Deoarece funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ a are polii numai sub axa real˘a, atunci expresia (3.165b) se poate rescrie ˆın forma echivalent˘ a: Z ∞ ′ dω an (k, ω ′ ) − bn (k, ω ′ ) (R) e ; Cn (k, ω) = lim η→0+ −∞ 2π ω − ω ′ + iη
se separ˘ a p˘ art¸ile real˘ a ¸si imaginar˘ a, prin utilizarea formulei Sohotski-Weierstrass 20 1 1 lim ∓ iπ δ(ω) , =P η→0+ ω ± iη ω Z ∞ ′ ′ ′ e(R) (k, ω) = − dω an (k, ω ) − bn (k, ω ) − i 1 an (k, ω ′ ) − bn (k, ω ′ ) , C n ′ ω−ω 2 −∞ 2π 20 Formula
Sohotski-Weierstrass a fost prezentat˘ a ˆın Anexa matematic˘ a A.2.
254
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
asfel c˘ a rezult˘a
Z ∞ ′ ′ ′ e (R) (k, ω)} = − dω an (k, ω ) − bn (k, ω ) , Re{C n ′ ω−ω −∞ 2π 1 en(R) (k, ω)} = − an (k, ω ′ ) − bn (k, ω ′ ) . Im{C 2
(3.167a) (3.167b)
Funct¸ia de corelat¸ie cauzal˘ a nu este o funct¸ie analitic˘a ˆın nici unul dintre semiplanele complexe, astfel ˆıncˆ at prin utilizarea formulei Sohotski-Weierstrass ˆın relat¸ia (3.165a), urmat˘ a de separarea p˘ art¸ilor real˘ a ¸si imaginar˘ a, se obt¸ine Z ∞ ′ 1 dω an (k, ω ′ ) − bn (k, ω ′ ) e − i an (k, ω ′ ) + bn (k, ω ′ ) , Cn (k, ω) = − ′ 2π ω − ω 2 −∞
de unde rezult˘a
Z ∞ ′ dω an (k, ω ′ ) − bn (k, ω ′ ) e Re{Cn (k, ω)} = − ω − ω′ −∞ 2π en (k, ω)} = − 1 an (k, ω ′ ) + bn (k, ω ′ ) . Im{C 2
(3.167c) (3.167d)
Eα − E0 > 0, se observ˘a c˘ a ponderile an (k, ω) ¸si bn (k, ω), definite prin relat¸iile ~ (3.166), satisfac condit¸iile: ( (k) an (k, ω) ∼ δ ω − ωα an (k, ω) ∼ θ(ω) =⇒ (k) bn (k, ω) ∼ θ(−ω) bn (k, ω) ∼ δ ω + ωα (k)
Deoarece ωα =
adic˘a an (k, ω) este nenul numai pentru frecvent¸e pozitive, iar bn (k, ω) este nenul numai pentru frecvent¸e negative. Din compararea expresiilor p˘ art¸ilor reale, (3.167a) ¸si (3.167c), rezult˘a c˘ a cele dou˘a funct¸ii de corelat¸ie au p˘ art¸i reale egale: (R) en (k, ω) ; en (k, ω) = Re C (3.168a) Re C
pentru p˘ art¸ile imaginare, din compararea expresiilor (3.167b) ¸si (3.167d), ˆımpreun˘a cu utilizarea propriet˘ a¸tilor de anulare ale ponderilor an (k, ω) ¸si bn (k, ω), se obt¸ine: (R) 1 e = − a (k, ω) = Im C (k, ω) , n n ω>0 en (k, ω) = ω>0 2 Im C en(R) (k, ω) = − 1 bn (k, ω) = −Im C ; ω<0
2
ω<0
atunci relat¸ia global˘a ˆıntre p˘ art¸ile imaginare ale funct¸iilor de corelat¸ie considerate este (R) en (k, ω) = sgn(ω) Im C e (k, ω) , Im C (3.168b) n
adic˘a p˘ art¸ile imaginare sunt egale pentru frecvent¸e (pulsat¸ii) pozitive ¸si difer˘a prin semn pentru frcvent¸e (pulsat¸ii) negative. iii. Relat¸iile de dispersie se obt¸in din expresiile precedente pentru p˘ art¸ilor reale ¸si imaginare ale celor dou˘a funct¸ii de corelat¸ie. ˆIn cazul funct¸iei de corelat¸ie retardat˘ a, din relat¸iile (3.167a) ¸si (3.167b) rezult˘a relat¸ia de dispersie ˆıntre partea real˘ a ¸si partea imaginar˘a a acestei funct¸ii de corelat¸ie (ˆın sensul KramersKronig): (R) Z en (k, ω ′ ) (R) 1 ∞ ′ Im C e Re Cn (k, ω) = − − dω . (3.169a) π −∞ ω − ω′
Pentru funct¸ia de corelat¸ie cauzal˘ a p˘ art¸ile real˘a ¸si imaginar˘a au expresiile (3.167c) ¸si (3.167d); ˆın acest caz nu se poate deduce o relat¸ie de dispersie normal˘a ˆıntre p˘ art¸ile real˘a ¸si imaginar˘a; totu¸si, luˆand ˆın considerare relat¸iile (3.168) ˆıntre cele dou˘a funct¸ii de corelat¸ie, se poate obt¸ine o relat¸ie de dispersie anomal˘ a: Z ∞ ′ en (k, ω ′ ) sgn(ω ) Im C 1 ′ en (k, ω) = − − dω . (3.169b) Re C π −∞ ω − ω′
3.5. FUNCT ¸ II DE CORELAT ¸ IE PENTRU DENSITATEA DE PARTICULE
255
3. Relat¸ii de simetrie pentru funct¸ia de corelat¸ie cauzal˘a: rezult˘a din definit¸ia (3.160a) hΨ0 | T δˆ nH (r, t) · δˆ nH (r′ , t′ ) |Ψ0 i ′ ′ Cn (r, t; r , t ) ≡ −i hΨ0 |Ψ0 i ¸si prin luarea ˆın considerat¸ie a faptului c˘ a operatorul de ordonare cronologic˘ a nu introduce factor de semn la reordonarea operatorilor fluctuat¸ii de densitate δˆ nH (r, t); atunci, rezult˘a relat¸ia de simetrie Cn (r, t; r′ , t′ ) = Cn (r′ , t′ ; r, t) . (3.170) ˆIn cazul unui sistem conservativ ¸si omogen spat¸ial, cˆ and funct¸ia de corelat¸ie pentru fluctuat¸iile de densitate depinde numai de diferent¸a coordonatelor spat¸io-temporale Cn (r, t; r′ , t′ ) = Cn (r − r′ , t − t′ ) , proprietatea de simetrie, evident¸iat˘ a anterior, devine Cn (r, t; r′ , t′ ) = Cn ( r − r′ , |t − t′ |) . B. Calculul perturbat¸ional al funct¸iei de corelat¸ie cauzale
Funct¸ia de corelat¸ie cauzal˘ a pentru fluctuat¸iile densit˘ a¸tii de particule se poate calcula perturbativ, utilizˆand metode diagramatice de vizualizare a termenilor de perturbat¸ie, datorit˘a relat¸iei cu polarizarea total˘ a, conform teoremei Hubbard. Teorema Hubbard
Cn (x, x′ ) = ~
X σ,σ′
Πσσ,σ′ σ′ (x, x′ ) ≡ ~ Π(x, x′ ) ,
(3.171)
unde x ≡ (r, t), iar Π(x, x′ ) este urma de spin a polariz˘arii totale ˆıntre punctele x ¸si x′ . Demonstrat¸ie:
ˆ ˆH (x) − n(x) 0 1, Operatorul fluctuat¸ie de densitate (ˆın formularea Heisenberg) este δˆ nH (x) = n
ˆ a¸tii de particule ˆın unde nH (x) este operatorul densitate de particule, iar n(x) 0 este media densit˘ starea fundamental˘ a: X † ˆH (x) = ψˆσH (x) ψˆσH (x) , n σ
hΨ0 | ˆ nH (x) |Ψ0 i ; n(x) 0 = hΨ0 |Ψ0 i
deoarece termenii care cont¸in medii pe starea fundamental˘ a implic˘ a operatori banali (proport¸ionali cu operatorul unitate), operat¸ia de ordonare temporal˘ a a produsului de 2 operatori fluctuat¸ii de densitate act¸ioneaz˘ a nebanal numai asupra operatorilor densitate de particule, atunci se separ˘ a produsele cu operatori densitate de ceilalt¸i termeni (produse de medii pe starea fundamental˘ a sau produse cu o medie pe starea fundamental˘ a ¸si un operator densitate) ¸si se obt¸ine rezultatul
′ ˆH (x′ ) − n(x′ ) 0 ˆ 1 1 n T δˆ nH (x) · δˆ nH (x ) = T ˆ nH (x) − n(x) 0 ˆ
′
′ ′ ˆH (x) + n(x) 0 n(x′ ) 0 ˆ ˆH (x ) − n(x ) 0 n ˆH (x) · ˆ 1 nH (x ) − n(x) 0 n =T n
′
′
′ ′ ˆH (x) + n(x) 0 n(x ) 0 ˆ ˆH (x ) − n(x ) 0 n ˆH (x) · ˆ 1. nH (x ) − n(x) 0 n =T n
Atunci, funct¸ia de corelat¸ie a fluctuat¸iilor de densitate se poate scrie ˆın forma hΨ0 |T δˆ nH (x) · δˆ nH (x′ ) Ψ0 i iCn (x, x′ ) = hΨ0 |Ψ0 i hΨ0 |ˆ ˆH (x) · ˆ hΨ0 |T n nH (x′ ) Ψ0 i
nH (x′ )|Ψ0 i ′ hΨ0 |ˆ nH (x)|Ψ0 i − n(x) 0 = − n(x ) 0 hΨ0 |Ψ0 i hΨ0 |Ψ0 i hΨ0 |Ψ0 i | | {z } {z }
= n(x′ )
hΨ0 |Ψ0 i + n(x) 0 n(x′ ) 0 hΨ0 |Ψ0 i | {z } =1
ˆH (x) · ˆ nH (x ) Ψ0 i
hΨ0 |T n = − n(x) 0 n(x′ ) 0 . hΨ0 |Ψ0 i
′
0
= n(x)
0
256
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA Se efectueaz˘ a dezvoltarea perturbativ˘ a pentru mediile pe starea fundamental˘ a, a operatorilor Heisenberg ¸si apoi se aplic˘ a teorema Wick, urmat˘ a de separarea termenilor legat¸i de cei nelegat¸i, ˆın mod similar cu operat¸iile efectuate pentru demonstrarea teoremei Brueckner, ˆın cazul seriei de perturbat¸ie a funct¸iei Green cauzal˘ a uni-particul˘ a. Pentru media densit˘ a¸tii de particule pe starea fundamental˘ a, prin aplicarea teoremei Feynman (2.152), se obt¸ine:
ˆH (x) |Ψ0 i hΨ0 | n n(x) 0 = hΨ0 |Ψ0 i Z Z ∞ ∞ 1 X 1 −i n ∞ ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn ) · n ˆH (x) |Φ0 i dt1 · · · = dtn hΦ0 | T H S n=0 n! ~ −∞ −∞ Z Z ∞ ∞ ∞ 1 X 1 −i n ˆ 1I (t1 ) , · · · , H ˆ 1I (tn ) , n ˆH (x) hΦ0 |Φ0 i , = dt1 · · · dtn C H S n=0 n! ~ −∞ −∞
ˆI (+∞, −∞)|Φ0 i, iar ultima egalitate s-a obt¸inut prin aplicare teoremei Wick, unde S = hΦ0 | U C{· · · } fiind suma tuturor contract¸iilor produse cu operatorii considerat¸i ˆın interiorul parantezelor acolade. Apoi, se realizeaz˘ a separarea termenilor legat¸i, prin contract¸ii, ˆıntre operatori de cˆ amp ˆ 1I (tj ), de ˆI (x) (adic˘ din n a punctul extern) de operatori de cˆ amp din hamiltonienii de interact¸ie H termenii nelegat¸i de punctul extern (ˆın mod analog cu operat¸ia f˘ acut˘ a la demonstrarea teoremei Brueckner), iar termenii nelegat¸i dau o contribut¸ie total˘ a egal˘ a cu numitorul S, astfel ˆıncˆ at r˘ amˆ ane numai contribut¸ia termenilor legat¸i de punctul extern: Z Z ∞ ∞
1 X 1 −i p ∞ ˆ 1I (t1 ), · · · , H ˆ 1I (tp ) , ˆ n(x) 0 = dt1 · · · nH (x) dtp Cc H S p=0 p! ~ −∞ −∞ Z Z ∞ ∞ X 1 −i r ∞ ˆ 1I (t1 ), · · · , H ˆ 1I (tr ) hΦ0 |Φ0 i dt1 · · · dtr Cc H × r! ~ −∞ −∞ p=0 {z } | =S
Z Z ∞ ∞ X 1 −i p ∞ ˆ 1I (t1 ), · · · , H ˆ 1I (tp ) , ˆ = dt1 · · · nH (x) , dtp Cc H p! ~ −∞ −∞ p=0
ˆ 1I (t1 ), · · · , H ˆ 1I (tp ) , n ˆH (x) este suma tuturor contract¸iilor totale ale operatorilor de unde Cc H cˆ amp din hamiltonienii de interact¸ie, iar 2 operatori de cˆ amp ai hamiltonienilor de interact¸ie sunt † contractat¸i fiecare cu unul dintre operatorii de cˆ amp externi ψˆσH (x) ¸si ψˆσH (x). ˆIn mod similar se procedeaz˘ a cu media pe starea fundamental˘ a a produsului cronologic de operatori densitate de particule, ˆın care pentru ˆınceput se aplic˘ a teorema Feynman de dezvoltare perturbativ˘ a, apoi se efectueaz˘ a contract¸iile ˆıntre operatorii de cˆ amp ¸si se aplic˘ a teorema Wick prin care r˘ amˆ an numai contract¸iile totale, iar apoi se separ˘ a termenii nelegat¸i de cei legati de punctele externe x ¸si x′ : ˆH (x′ ) Ψ0 i nH (x) · n hΨ0 |T ˆ hΨ0 |Ψ0 i Z Z ∞ ∞ 1 X 1 −i n ∞ ˆ 1I (t1 ) · · · H ˆ 1I (tn ) · ˆ ˆH (x′ ) |Φ0 i = dt1 · · · dtn hΦ0 | T H nH (x) · n S n=0 n! ~ −∞ −∞ Z Z ∞ ∞ ∞ X 1 1 −i n ˆ 1I (t1 ), · · · , H ˆ 1I (tn ) , n ˆH (x) , ˆ = dt1 · · · dtn C H nH (x′ ) hΦ0 |Φ0 i S n=0 n! ~ −∞ −∞ Z ∞ Z ∞ ∞ X p 1 −i 1 ˆ 1I (t1 ), · · · , H ˆ 1I (tp ) , ˆ dt1 · · · nH (x) , ˆ nH (x′ ) dtp Cc H = S p=0 p! ~ −∞ −∞ Z Z ∞ ∞ ∞ X 1 −i r ˆ 1I (t1 ), · · · , H ˆ 1I (tr ) hΦ0 |Φ0 i dt1 · · · dtr Cc H × r! ~ −∞ −∞ p=0 | {z } =S
Z Z ∞ ∞ X 1 −i p ∞ ˆ 1I (t1 ), · · · , H ˆ 1I (tp ) , ˆ dt1 · · · nH (x) , ˆ nH (x′ ) , dtp Cc H = p! ~ −∞ −∞ p=0
ˆ 1I (t1 ), · · · , H ˆ 1I (tp ) , ˆ ˆH (x′ ) este suma tuturor contract¸iilor totale ¸si legate, care nH (x) , n unde Cc H ˆın plus sunt legate de punctele externe x ¸si x′ ; se observ˘ a c˘ a ˆın toate ordinele de perturbat¸ie apar 2 tipuri de termeni:
3.5. FUNCT ¸ II DE CORELAT ¸ IE PENTRU DENSITATEA DE PARTICULE
257
– termeni legat¸i de ambii operatori densitate de particule ˆ nH (x) ¸si ˆ nH (x′ ) [= termeni total legat¸i], – termeni legat¸i separat cu operatorul ˆ nH (x) (pe de o parte) ¸si cu operatorul ˆ nH (x′ ) (pe de alt˘ a parte), astfel ˆıncˆ at ace¸sti termeni sunt factorizabili ˆın produs de 2 p˘ art¸i independente. Atunci se efectueaz˘ a separarea termenilor total legat¸i de termenii factorizabili ¸si se face resumarea fiec˘ arui set de termeni: ˆH (x) · ˆ nH (x′ ) Ψ0 i hΨ0 |T n hΨ0 |Ψ0 i Z Z ∞ ∞ X 1 −i p ∞ ˆ 1I (t1 ), · · · , H ˆ 1I (tp ) , n ˆH (x) , n ˆH (x′ ) = dt1 · · · dtp C′′c H p! ~ −∞ −∞ p=0 Z ∞ Z ∞ ∞ X p 1 −i ˆ 1I (t1 ), · · · , H ˆ 1I (tp ) , ˆ dt1 · · · dtp C′c H nH (x) , ˆ nH (x′ ) . + p! ~ −∞ −∞ p=0
ˆ 1I (t1 ), · · · , H ˆ 1I (tp ) , ˆ unde C′′c H nH (x) , ˆ nH (x′ ) este suma tuturor contract¸iilor total legate de am ˆ 1I (t1 ), · · · , H ˆ 1I (tp ) , ˆ bele puncte externe, iar C′c H nH (x) , ˆ nH (x′ ) este suma contract¸iilor legate ¸si factorizabile. Termenul factorizabil cont¸ine produse de independente (atˆ at prin contract¸ii, cˆ at ¸si prin integr˘ ari temporale), astfel ˆıncˆ at se poate separa ˆıntr-un produs de 2 p˘ art¸i independente: Z Z ∞ ∞ X 1 −i p ∞ ˆ 1I (t1 ), · · · , H ˆ 1I (tp ) , n ˆH (x) , n ˆH (x′ ) dt1 · · · dtp C′c H p! ~ −∞ −∞ p=0 Z ∞ p ∞ X 1 −i p X r Z ∞ ˆ 1I (t1 ), · · · , H ˆ 1I (tr ) , ˆ = Cp dt1 · · · dtr C′c H nH (x) · p! ~ −∞ −∞ p=0 r=0 Z ∞ Z ∞ ˆ 1I (tr+1 ), · · · , H ˆ 1I (tp ) , n ˆH (x′ ) ; × dtr+1 · · · dtp C′c H −∞
−∞
pe baza identit˘ a¸tii utilizate anterior la demonstrarea teoremei Brueckner p p ∞ X ∞ ∞ ∞ X X X X 1 r p−r 1 r 1 s p! 1 pX r Cp Ar Bp−r = a a a Ar Bp−r = a Ar · a Bs , p! p! r! (p − r)! r! s! p=0 r=0 r=0 s=0 r=0 p=0
se separ˘ a suma anterioar˘ a ˆın 2 sume independente: Z Z ∞ ∞ X 1 −i p ∞ ˆ 1I (t1 ), · · · , H ˆ 1I (tp ) , n ˆH (x) , n ˆH (x′ ) dt1 · · · dtp C′c H p! ~ −∞ −∞ p=0 Z Z ∞ ∞ ∞ X 1 −i r ˆ 1I (t1 ), · · · , H ˆ 1I (tr ) , ˆ dt1 · · · nH (x) · dtr Cc H = r! ~ −∞ −∞ r=0 | {z }
= n(x)
×
∞ X s=0
|
Z 1 −i s
s!
~
= n(x) n(x) ,
∞
dt1 · · ·
−∞
Z
∞
ˆ 1I (t1 ), · · · , H ˆ 1I (ts ) , ˆ nH (x′ ) dts Cc H
−∞
{z
= n(x′ )
}
unde ultima egalitate s-a obt¸inut observˆ and c˘ a fiecare din cele 2 sume sunt egale cu media pe starea fundamental˘ a a densit˘ a¸tii de particule. Atunci media produsului cronologic de operatori densitate de particule se scrie ˆın forma: ˆH (x) · ˆ nH (x′ ) Ψ0 i hΨ0 |T n hΨ0 |Ψ0 i Z Z ∞ ∞ X
1 −i p ∞ ˆ 1I (t1 ), · · · , H ˆ 1I (tp ) , n ˆH (x) , n ˆH (x′ ) + n(x) n(x) . dt1 · · · dtp C′′c H = p! ~ −∞ −∞ p=0
258
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA Pe baza rezultatului precedent se obt¸ine c˘ a funct¸ia de corelat¸ie cauzal˘ a pentru fluctuat¸iile densit˘ a¸tii de particule se reduce la suma termenilor complet legat¸i de cele 2 puncte externe:
ˆH (x) · ˆ hΨ0 |T n nH (x′ ) Ψ0 i
− n(x) 0 n(x′ ) 0 iCn (x, x′ ) = hΨ0 |Ψ0 i Z Z ∞ ∞ X 1 −i p ∞ ˆ 1I (t1 ), · · · , H ˆ 1I (tp ) , ˆ = dt1 · · · dtp C′′c H nH (x) , ˆ nH (x′ ) . p! ~ −∞ −∞ p=0 Prin explicitarea hamiltonienilor de interact¸ie ¸si a operatorilor densitate de particule ˆın termeni de operatori de cˆ amp se obt¸ine o expresie similar˘ a cu cea corespunz˘ atoare funct¸iei Green (3.98): Z Z Z Z ∞ X X X −i −i p X ··· Cn (x, x′ ) = d4 x1 d4 x′1 · · · d4 xp d4 x′p p! 2~ ′ ′ ′ p=0 ′ ′ σ,σ
×U
λ1 ,µ1 ,λ1 ,µ1
(x1 , x′1 )
λp ,µp ,λp ,µp
(xp , x′p )
··· U † † ˆ ˆ × Cc ψλ1 I (x1 ) , ψλ′ I (x′1 ) , ψˆµ′1 I (x′1 ) , ψˆµ1 I (x1 ) , . . . , λ1 ,µ1 ;λ′1 ,µ′1
λp ,µp ;λ′p ,µ′p
1
× ψˆλ† p I (xp ) , ψˆλ† ′ I (x′p ) , ψˆµ′p I (x′p ) , ψˆµp I (xp ) , p o † × ψˆσI (x) , ψˆσI (x) , ψˆσ ′ I (x′ ) , ψˆσ† ′ I (x′ ) ;
spre deosebire de funct¸ia Green, ˆın cazul prezent apar 2 + 2 = 4 operatori de cˆ amp externi ¸si sunt 2 puncte externe. Se efectueaz˘ a reprezentarea diagramatic˘ a a termenilor de perturbat¸ie pentru funct¸ia de corelat¸ie a fluctuat¸iilor de densitate Cn : i. diagramele cont¸in urm˘ atoarele elemente: x – linia fermionic˘ a reprezint˘ a funct¸ia Green cauzal˘ a liber˘ a: x′
σ
6
– linia de interact¸ie reprezint˘ a potent¸ialul de interact¸ie: xI µ λ
= G0σσ ′ (x, x′ )
σ′
λ′ µ′
x′ = Uλ,µ;λ′ ,µ′ (x, x′ ) I
ii. Topologia unei diagrame de ordinul p are urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti: – 4p + 4 operatori de cˆ amp (jum˘ atate din ei sunt operatori de creare ¸si cealalt˘ a jum˘ atate sunt operatori de anihilare), care produc prin contract¸ii 2p + 2 linii particul˘ a (dintre acestea, 2 + 2 sunt linii externe ¸si 2(p − 1) sunt linii interne);
– p potent¸iale de interact¸ie, care produc p linii de interact¸ie; – 2p vertexuri ¸si 2 puncte externe.
Se observ˘ a c˘ a diagrama considerat˘ a este similar˘ a cu diagrama unei insert¸ii de polarizare. Pentru a determina relat¸ia ˆıntre funct¸ia de corelat¸ie pentru fluctuat¸iile densit˘ a¸tii de particule ¸si polarizare este necesar s˘ a se determine factorul multiplicativ al unei diagrame. Pentru un termen perturbat¸ional de ordinul p al unei diagrame pentru funct¸ia de corelat¸ie a fluctuat¸iilor de densitate sunt urm˘ atoarele contribut¸ii la factorul multiplicativ: (p)
– factorul de multiplicitate fat¸a ˘ de permut˘ ari ˆıntre hamiltonienii de interact¸ie este fH = p!, – factorul de multiplicitate fat¸˘ a de permut˘ ari interne ˆın fiecare hamiltonian de interact¸ie este (p) fπ = 2p , (p)
– factorul dat de liniile particul˘ a este fG = i2p+2 = (−1)p+1 , (p)
– factorul dat de buclele fermionice este fL = (−1)L ; (p)
atunci, luˆ and ˆın considerare factorul general al unui termen de ordinul p, care este f0 rezult˘ a factorul total al diagramei pentru funct¸ia de corelat¸ie: (p,j)
fC
(p)
= f0
(p)
(p)
(p)
· fH fπ(p) fG fL =
ip+1 (−1)L ; ~p
=
−i −i p , p! 2~
3.5. FUNCT ¸ II DE CORELAT ¸ IE PENTRU DENSITATEA DE PARTICULE
259
pe de alt˘ a parte, la pagina 228 s-a stabilit factorul multiplicativ al unei diagrame de polarizare ca fiind i p+1 (p,j) fΠ = (−1)L ; ~ atunci rezult˘ a urm˘ atoarea relat¸ie ˆıntre factorii multiplicativi corespondent¸i: (p,j)
fC
(p,j)
= ~ fΠ
.
ˆIn final, luˆ and ˆın considerare c˘ a Cn ¸si Π sunt descrise prin acela¸si tip de diagrame, dar indicii de spin la fiecare punct extern sunt egali ¸si se sumeaz˘ a peste valorile lor, pentru a obt¸ine funct¸ia de corelat¸ie, rezult˘ a urm˘ atoarea relat¸ie: Cn (x, x′ ) =
(p) ∞ X XX
σ,σ ′ p=0
=
X
j
(p,j)
fC
Z
d8p x
~ Πσσ,σ ′σ ′ (x, x′ ) ,
X
Pσσ,σ ′σ ′ (x, x′ ; λ, µ)
λ,µ
σ,σ ′ ′
unde Pσσ,σ ′ σ ′ (x, x ; λ, µ) este expresia diagramei pentru polarizare (sau pentru funct¸ia de corelat¸ie); adic˘ a s-a obt¸inut relat¸ia afirmat˘ a de teorema Hubbard.
C. Funct¸ia de corelat¸ie cauzal˘ a pentru fluctuat¸iile densit˘ a¸tii de particule ˆın cazul sistemului liber Dac˘ a se considera˘a sistemul f˘ ar˘ a interact¸ii mutuale ˆıntre particule (adic˘a sistemul liber ), atunci formularea Heisenberg este identic˘ a cu formularea Dirac, astfel ˆıncˆ at definit¸ia funct¸iei de corelat¸ie pentru fluctuat¸iile densit˘ a¸tii de particule este: hΦ0 | T δˆ nI (x) · δˆ nI (x′ ) |Φ0 i 0 ′ . (3.172) Cn (x, x ) ≡ −i hΦ0 |Φ0 i Produsul operatorilor fluctuat¸ii de densitate se pot exprima ˆın termeni de operatori densitate ¸si medii pe starea fundamental˘ a a densit˘ a¸tii, a¸sa cu s-a procedat ˆın demonstrat¸ia teoremei Hubbard:
ˆI (x) · n ˆI (x′ ) − n(x) 0 n ˆI (x′ ) − n(x′ ) 0 n ˆI (x) + n(x) 0 n(x′ ) 0 ˆ1 , δˆ nI (x) · δˆ nI (x′ ) = n astfel ˆıncˆ at funct¸ia de corelat¸ie a fluctuat¸iilor de particule devine:
ˆI (x) · n ˆI (x′ ) |Φ0 i
hΦ0 | T n − n(x) 0 n(x′ ) 0 . i Cn0 (x, x′ ) = hΦ0 |Φ0 i
Dar media densit˘ a¸tii pe starea fundamental˘ a se exprim˘ a prin funct¸ia Green cu timpi egali: † X
ˆI (x) |Φ0 i X hΦ0 | ψˆσI (x) ψˆσI (x) |Φ0 i hΦ0 | n n(x) 0 = = = −i Gσσ (x, x+ ) . hΦ0 |Φ0 i hΦ |Φ i 0 0 σ σ
Produsul cronologic de operatori densitate se transform˘a, conform teoremei Wick, ˆın sum˘a de contract¸ii totale, care sunt egale cu funct¸ii Green libere: † ˆI (x) · n ˆI (x′ ) |Φ0 i X hΦ0 | T ψˆσI hΦ0 | T n (x) ψˆσI (x) · ψˆσ† ′ I (x′ ) ψˆσ′ I (x′ ) |Φ0 i = hΦ0 |Φ0 i hΦ0 |Φ0 i σ,σ′ X † = C ψˆσI (x) , ψˆσI (x) , ψˆσ† ′ I (x′ ) , ψˆσ′ I (x′ ) σ,σ′
=
X σ,σ′
=
X σ,σ′
=
X σ,σ′
ψσ† (x)ψσ (x)ψσ† ′ (x′ )ψσ′ (x′ ) + ψσ† (x)ψσ (x)ψσ† ′ (x′ )ψσ′ (x′ )
(−i)G0σσ′ (x, x′ ) iG0σ′ σ (x′ , x) +
X X (−i)G0σσ (x, x) (−i)G0σ′ σ′ (x′ , x′ ) σ
G0σσ′ (x, x′ ) · G0σ′ σ (x′ , x) + n(x) 0 n(x′ ) 0
= (2s + 1) G0 (x, x′ ) G0 (x′ , x) + n(x) 0 n(x′ ) 0 ,
σ′
260
˘ NULA ˘ PENTRU FERMIONI CAPITOLUL 3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
unde ultima egalitate s-a obt¸inut luˆand ˆın considerare proprietatea funct¸iei Green libere, care este diagonal˘ a ˆın indicii de spin: G0σσ′ (x, x′ ) = δσσ′ G0 (x, x′ ). Atunci, rezult˘a expresia funct¸iei de corelat¸ie a fluctuat¸iilor de densitate pentru sistemul liber, ˆın termeni de funct¸ii Green libere: Cn0 (x, x′ ) = −i (2s + 1) G0 (x, x′ ) G0 (x′ , x) .
(3.173)
Din rezultatul precedent, prin utilizarea teoremei Hubbard, rezult˘a polarizarea de ordinul 0: Π0 (x, x′ ) =
−i 1 0 Cn (x, x′ ) = (2s + 1) G0 (x, x′ ) G0 (x′ , x) . ~ ~
(3.174)
Deoarece sistemul liber este conservativ ¸si omogen din punct de vedere spat¸ial, rezult˘a c˘ a se pot efectua transform˘ ari Fourier spat¸io-temporale simple pentru funct¸ia de corelat¸ie a fluctuat¸iilor de densitate, respectiv pentru polarizarea liber˘a. ˆIn Subsect¸iunea 3.4.3 s-a dedus expresia transformatei Fourier a funct¸iei de corelat¸ie de ordinul 0. D. Observat¸ii finale Rezultatele generale prezentate anterior asupra funct¸iei de corelat¸ie pentru fluctuat¸iile de densitate se simplific˘ a ˆın urm˘atoarele cazuri particulare importante: i. dac˘ a sistemul este conservativ ¸si omogen, atunci este convenabil s˘a se efectueze transform˘ari Fourier spat¸io-temporale, deoarece expresiile transformatelor Fourier sunt mai simple; ii. ˆın cazul cˆ and interact¸iile dintre particulele sistemului sunt independente de spin, atunci se pot utiliza regulile Feynman simplificate, astfel c˘ a dispar toate propriet˘ a¸tile matriciale ˆın raport cu indicii de spin. Funct¸ia de corelat¸ie cauzal˘ a pentru fluctuat¸iile densit˘ a¸tii de particule poate fi calculat˘ a perturbativ, iar termenii de perturbat¸ie au imagine diagramatic˘ a, fiind legat¸i ˆın mod direct de polarizare. Spre deosebire de funct¸ia precedent˘ a, funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ a a fluctuat¸iilor de densitate nu poate fi calculat˘ a perturbativ, astfel ˆıncˆ at aceast˘a funct¸ie de corelat¸ie se determin˘a prin relat¸ia sa cu funct¸ia de corelat¸ie cauzal˘ a; pe de alt˘ a parte, funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ a are o important¸˘ a fizic˘ a, deoarece aceast˘a m˘arime intervine ˆın expresiile r˘aspunsului linear al sistemului la perturbat¸ii slabe care sunt cuplate prin densitatea particulelor.
Capitolul 4
Formalismul de temperatur˘ a nul˘ a pentru bosoni 4.1 4.1.1
Formularea problemei Sistemul bosonic ˆın starea fundamental˘ a
Se consider˘ a un sistem constituit din N particule bosonice nerelativiste avˆand masa m ¸si f˘ar˘a spin (s = 0); sistemul se afl˘ a ˆın incinta cubic˘a cu latura L, adic˘a volumul incintei este V = L3 . Limita termodinamic˘ a se obt¸ine pentru N N →∞ = n fixat ¸si finit. dar V →∞ V Sistemul liber (f˘ ar˘ a interact¸ii) este gazul bosonic ideal, care are urm˘atoarele propriet˘ a¸ti. i. Starea uni-particul˘ a este caracterizat˘ a de vectorul de und˘a k, iar o stare pur˘a a ˆıntregului sistem este caracterizat˘ a prin numerele de particule aflate pe fiecare stare uni-particul˘a (nk care sunt numerele de ocupare); ca urmare, vectorul de stare al sistemului este | . . . , nk , . . .i. ii. Operatorii elementari de anihilare ˆb k ¸si de creare ˆb†k pe st˘ari uni-particul˘a satisfac relat¸iile de comutare (2.69): ( ˆb k , ˆb† ′ = δ ′ ˆ1 , k − k,k ˆb k , ˆb k′ = ˆb†k , ˆb†k′ − = ˆ0 ; − act¸iunile operatorilor elementari asupra unui vector de stare corespunz˘ ator la numere de ocupare determinate sunt date de relat¸iile (2.66): ˆb k | . . . , nk , . . .i = √n k | . . . , nk − 1, . . .i , ˆb† | . . . , nk , . . .i = √n k + 1 | . . . , nk + 1, . . .i . k
iii. Dac˘ a sistemul se afl˘ a la limita termodinamic˘ a ¸si la temperaturi suficient de joase (adic˘a pentru T < Tc , unde Tc este temperatura critic˘a a gazului bosonic ideal considerat) starea fundamental˘ a uni-particul˘ a (care are vectorul de und˘a cu valoare nul˘a k = 0, ceea ce corespunde st˘arii de repaus) este macroscopic ocupat˘a, adic˘a num˘arul mediu de particule care se afl˘a ˆın repaus este aproape egal cu num˘ artul total de particule: N0 . N . Cˆand sistemul se afl˘a la temperatura nul˘a (T = 0), atunci acest sistem se afl˘a ˆın starea fundamental˘ a, care pentru gazul bosonic ideal corespunde la situat¸ia ˆın care toate particulele se afl˘a ˆın starea fundamental˘ a uni-particul˘ a (adic˘ a sunt ˆın repaus): n0 = N , n k = 0 , k 6= 0 ; ca urmare, vectorul st˘ arii fundamentale a gazului bosonic ideal este Φ0 (N ) = N , 0 , 0 , . . . . 261
(4.1)
262
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Conform relat¸iilor generale, operatorii elementari au urm˘atoarele act¸iuni asupra vectorului st˘arii fundamentale, definit˘ a prin formula (4.1): √ ˆb0 | Φ0 (N ) i = N | Φ0 (N − 1) i , √ ˆb† | Φ0 (N ) i = N + 1 | Φ0 (N + 1) i ; 0 ˆb k | Φ0 (N ) i = | ∅ i , pentru k 6= 0 ˆb† | Φ0 (N ) i = |N, 0, . . . , 1k , . . .i .
(4.2a) (4.2b)
k
Exist˘a deosebiri fundamentale ˆıntre propriet˘ a¸tile gazului ideal fermionic ¸si ale gazului ideal bosonic la temperatura nul˘a (cˆand sistemele se afl˘a ˆın st˘arile lor fundamentale). • Gazul ideal fermionic are starea fundamental˘ a starea Fermi ˆın care toate st˘arile uni-particul˘a cu energii mici sunt ocupate (ε0k < ǫF ), iar toate celelalte st˘ari uni-particul˘a cu energii mari (ε0k > ǫF ) sunt neocupate: n k = θ(kF − k);
St˘arile excitate sunt descrise ˆın mod convenabil prin formalismul particul˘ a-gol (care este o transformare canonic˘a a operatorilor din descrierea sistemului numai ˆın termeni de particule); atunci este posibil s˘a se separe p˘ art¸ile de creare ¸si p˘art¸ile de anihilare ale operatorilor de cˆ amp, astfel ˆıncˆ at se pot defini contract¸ii ¸si se poate deduce teorema Wick, deoarece operatorii de anihilare redefinit¸i (de particul˘ a excitat˘ a ¸si de gol) distrug starea fundamental˘ a a sistemului.
Deoarece numerele de ocupare pe st˘ari uni-particul˘a au valorile nk = 0, 1 rezult˘a c˘ a fiecare mod uni-particul˘ a are o contribut¸ie la m˘arimile termodinamice ale sistemului proport¸ional˘ a cu inversul num˘ arului de particule (1/N ). • Gazul ideal bosonic are starea fundamental˘ a realizat˘a ca o condensare total˘ a pe modul uniparticul˘ a fundamental (toate particulele se afl˘a ˆın starea uni-particul˘a fundamental˘ a ¸si nu exist˘a particule cu st˘ ari excitate), astfel ˆıncˆ at num˘arul de ocupare pe st˘ari uni-particul˘a este: n k = N δk,0 . ˆIn acest caz este imposibil s˘a se introduc˘a formalismul particul˘ a-gol ¸si nu se pot descompune operatorii de cˆ amp ˆın p˘ art¸i de creare ¸si p˘ art¸i de anihilare; ca urmare, nu se pot defini contract¸ii ¸si exist˘a operatori elementari care nu anihileaz˘a starea fundamental˘ a a sistemului (anume ˆb0 ). Consecint¸a direct˘a a acestor propriet˘ a¸ti este imposibilitatea formul˘arii unei teoreme de tip Wick. Sistemul cu interact¸ii ˆın starea fundamental˘ a are propriet˘ a¸ti asem˘ an˘atoare cu sistemul liber; ˆın acest caz modul fundamental (k = 0) are contribut¸ie macroscopic˘ a, iar toate modurile excitate (k 6= 0) au contribut¸ii invers proport¸ionale cu num˘arul de particule (∼ 1/N ), analog cazului fermionic. Deoarece nu se poate formula o teorem˘a de tip Wick, nu este posibil s˘a se aplice teoria perturbat¸iilor prin simpl˘a analogie cu cazul fermionic; ca urmare, este necesar s˘a se reformuleze problema pentru a putea utiliza teoria perturbat¸iilor la aplicarea interact¸iei. Reformularea problemei ia ˆın considerare proprietatea specific˘ a sistemelor bosonice, pentru care este necesar s˘a se considere 2 tipuri de moduri uni-particul˘a: modul fundamental (k = 0) ¸si modurile excitate (k 6= 0); ˆın plus este necesar s˘a se ia ˆın considerare faptul c˘ a sistemul bosonic efectueaz˘a tranzit¸ia de faz˘a corespunz˘ atoare condens˘ arii la o temperatur˘a finit˘a (Tc ) numai la limita termodinamic˘ a, astfel ˆıncˆ at pentru construct¸ia unei metode perturbative adaptat˘ a la sistemul bosonic este necesar s˘a se efectueze limita termodinamic˘ a. Pe baza observat¸iilor precedente se va construi metoda perturbativ˘a bosonic˘a prin urm˘atoarea procedur˘a: i. se separ˘ a modul uni-particul˘ a fundamental fat¸˘a de celelalte moduri uni-particul˘a (modurile excitate); ii. se introduc operatori elementari intensivi pe modul fundamenntal (adic˘a adaptat¸i situat¸iei cˆ and modul fundamental are ocupare macroscopic˘ a); iii. se trece la limita termodinamic˘ a; iv. se aplic˘ a teoria perturbat¸iilor pentru modurile excitate.
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI
4.1.2
263
Aproximat¸ia Bogoliubov
A. Operatori elementari intensivi (pe modul fundamental) sunt definit¸i astfel: 1 ξˆ ≡ √ ˆb0 , V 1 ξˆ† ≡ √ ˆb†0 , V
(4.3a) (4.3b)
Pe baza definit¸iei anterioare, operatorii elementari intensivi asociat¸i modului uni-particul˘a fundamental, au urm˘atoarele propriet˘ a¸ti importante. 1. Relat¸ia de comutare: 1 (4.4) ξˆ , ξˆ† − = ˆ1 = ˆ0 . V LT 2. Act¸iunile asupra vectorului st˘arii fundamentale: r √ N ˆ ξ Φ0 (N ) = Φ0 (N − 1) = n Φ0 (N ) , (4.5a) LT V r √ N + 1 Φ0 (N + 1) = n Φ0 (N ) , (4.5b) ξˆ† Φ0 (N ) = LT V
Observat¸ii: ˆ ˆ† a. La limita termodinamic˘ a operatorii a starea intensivi ξ ¸si ξ sunt comutabili ¸si nu modific˘ fundamental˘ a (a sistemului liber) Φ0 (N ) . b. ˆIn cazul sistemului cu interact¸ii mutuale ˆıntre particule, exist˘a particule pe moduri excitate cˆ and sistemul se afl˘ a ˆın starea fundamental˘ a Ψ0 (N ) (care este un efect al interact¸iilor); media pe starea fundamental˘ a (cu interact¸ie) a produsului de operatori elementari intensivi este: N0
1
Ψ0 (N ) ˆb†0 ˆb0 Ψ0 (N ) = ≡ n0 , Ψ0 (N ) ξˆ† ξˆ Ψ0 (N ) = V V
(4.6)
unde n0 < n ≡ N/V (densitatea total˘ a de particule). c. Operatorii de cˆ amp se descompun ˆın parte condensat˘ a ¸si parte excitat˘ a: ˆ ψ(r) =
X′ eik·r X eik·r 1 √ ˆb k = √ ˆb0 + √ ˆb k ; V V V k k (k6=0)
luˆand ˆın considerare definit¸ia (4.3) ¸si introducˆand partea excitat˘ a a operatorului de cˆ amp ϕ(r) ˆ ≡
X′ eik·r √ ˆb k , V k
(4.7)
(k6=0)
se obt¸ine
ˆ ψ(r) = ξˆ + ϕ(r) ˆ ,
(4.8)
care este descompunerea operatorului de cˆ amp. B. Aproximat¸ia Bogoliubov consider˘ a c˘ a operatorii elementari intensivi ai modului fundamental sunt operatori banali: √ (4.9) ξˆ ≈ ξˆ† ≈ n0 ˆ1 .
Observat¸ii asupra aproximat¸iei Bogoliubov: i. aceast˘a aproximat¸ie este valabil˘a la limita termodinamic˘ a ¸si la temperatur˘a nul˘a (T = 0), cˆ and are loc condensarea bosonic˘a ¸si sistemul poate prezenta numai excitat¸ii slabe; ii. aproximat¸ia Bogoliubov implic˘ a o tratare simplificat˘ a a modului fundamental (se neglijeaz˘ a fluctuat¸iile num˘ arului de ocupare), dar modurile excitate sunt tratate exact; iii. cuantificarea sistemului este efectuat˘a pe baza liber˘ a (care este o baz˘a complet˘ a), dar sistemul poate avea interact¸ii mutuale; iv. la temperatura nul˘a (T = 0) sistemul liber are toate particulele condensate: n0 = n, dar sistemul cu interact¸ii are particule excitate, astfel ˆıncˆ at n0 < n.
264
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
C. Consecint¸e ale aproximat¸iei Bogoliubov C1. Operatorul de cˆ amp are descompunerea (4.8), astfel ˆıncˆ at prin aproximat¸ia (4.9) acest operator devine: √ ˆ ψ(r) = ξˆ + ϕ(r) ˆ = n0 ˆ1 + ϕ(r) ˆ . (4.10) Observat¸ie: integrala spat¸ial˘a a p˘ art¸ii excitate a operatorului de cˆ amp, definit˘ a prin relat¸ia (4.7), este nul˘a: Z X′ √ X′ 1 Z √ V δk,0 ˆb k = ˆ0 . d3 r ϕ(r) ˆ = d3 r eik·r ˆb k = V V V k k {z } | (k6=0)
(k6=0)
= V δk,0
C2. Operatorul num˘ ar de particule este definit prin formulele (2.96), adaptate la cazul spinului nul; se utilizeaz˘ a aproximat¸ia (4.10) pentru operatorii de cˆ amp ¸si se ia ˆın considerare anularea integralei spat¸iale a p˘ art¸ii excitate a operatorului de cˆ amp, astfel c˘ a se obt¸ine: Z Z √ √ ˆ ˆ= d3 r d3 r ψˆ† (r) ψ(r) ≈ N n0 ˆ1 + ϕˆ† (r) n0 ˆ1 + ϕ(r) ˆ V V Z Z Z Z √ 3 † 3 ˆ 3 ˆ ; d r ϕˆ (r) + d r ϕ(r) + d3 r ϕˆ† (r) ϕ(r) = n0 d r 1 + n0 ˆ V V V V | | {z } {z } | {z } =V
=ˆ 0
=ˆ 0
integrala produsului de p˘ art¸i excitate ale operatorilor de cˆ amp se reduce la operatori elementari: Z Z X′ † X′ 1 ′ ˆb ˆb k , d3 r ϕˆ† (r) ϕ(r) ˆ = d3 r ei(k−k )·r ˆb†k′ ˆb k = k V V V ′ k k,k {z } | ′ (k6=0) (k,k 6=0)
= δk,k′
iar astfel operatorul num˘ ar de particule se exprim˘ a numai cu ajutorul operatorilor elementari pe st˘arile excitate: X′ † ˆb ˆb k ≡ N ˆ0 + N ˆ′ , ˆ ≈ N0 ˆ1 + (4.11) N k k (k6=0)
ˆ ≈ N0 ˆ1 este operatorul num˘ar de unde s-a utilizat identitatea: n0 V = N0 ; ˆın relat¸ia (4.11) N Z X † ′ ˆ ˆ ˆ b bk = d3 r ϕˆ† (r) ϕ(r) ˆ particule condensate (aproximat ca un operator banal), iar N = k
k (k6=0)
V
este operatorul num˘ ar de particule excitate. Se observ˘ a c˘ a rezultatul (4.11) s-ar fi putut obt¸ine ˆın mod direct, f˘ar˘a utilizarea operatorilor de cˆ amp, adic˘a prin exprimarea operatorului num˘ar de particul˘ a ˆın termeni de operatori elementari: ˆ= N
X k
ˆb† ˆb k = ˆb† ˆb0 + 0 k
X′
ˆb† ˆb k = N ˆ0 + N ˆ′ . k
k (k6=0)
C3. Hamiltonianul sistemului liber (hamiltonianul cinetic) se obt¸ine din formula general˘a (2.98), adaptat˘ a la cazul spinului nul, ˆın care se efectueaz˘a aproximat¸ia Bogoliubov (4.10) pentru operatorii de cˆ amp, ˆın mod similar cu tratarea anterioar˘a a operatorului num˘ar de particule: Z Z −~2 2 √ √ −~2 2 ˆ Hˆ0 = Tˆ = d3 r ψˆ† (r) n0 ˆ1 + ϕˆ† (r) n0 ˆ1 + ϕ(r) ˆ ∇ ψ(r) ≈ d3 r ∇ 2m 2m V V Z 2 √ −~ d3 r = n0 ˆ1 + ϕˆ† (r) ∇2 ϕ(r) ˆ 2m V Z Z √ −~2 2 −~2 2 ∇ ϕ(r) ˆ + d3 r ϕˆ† (r) ∇ ϕ(r) ˆ = n0 d3 r 2m 2m V V
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI
265
Integralele se efectueaz˘ a utilizˆand descompunerea Fourier a p˘art¸ilor de excitat¸ie ale operatorilor de cˆ amp (4.7): Z X′ ~ 2 k 2 1 Z X′ 1 Z −~2 2 −~2 2 ik·r ˆ √ √ bk = ∇ ϕ(r) ˆ = ∇ e d3 r d3 r d3 r eik·r ˆb k 2m 2m 2m V V V V V k k {z } | (k6=0)
(k6=0)
= V δk,0
X′ ~ 2 k 2 √ = V δk,0 ˆb k = ˆ0 ; 2m k (k6=0)
Z
−~2 2 ∇ ϕ(r) ˆ = d r ϕˆ (r) 2m V 3
†
=
X′ 1 Z ′ −~2 2 ik·r ˆ† ˆ ∇ e b k′ b k d3 r e−ik ·r V V 2m ′
k,k (k,k′ 6=0)
X′ ~ 2 k 2 1 Z ′ d3 r ei(k−k )·r ˆb†k′ ˆb k 2m V V k,k′ {z } | ′
(k,k 6=0)
=
X′
= V δk,k′
ε0k ˆb†k ˆb k ,
k (k6=0)
~2 k 2 unde ε0k = este energia unei particule libere. Ca urmare a rezultatelor anterioare, hamilto2m nianul cinetic al sistemului are expresia: Z X′ −~2 2 d3 r ϕˆ† (r) Tˆ = ∇ ϕ(r) ˆ = (4.12) ε0k ˆb†k ˆb k , 2m V k (k6=0)
adic˘a Tˆ are contribut¸ie numai de al modurile uni-particul˘a excitate, deoarece energia st˘arii fun damentale uni-particul˘ a este nul˘a: ε0k k=0 = 0. Se observ˘ a c˘ a rezultatul (4.12) s-ar fi putut obt¸ine ˆın mod direct, f˘ar˘a utilizarea operatorilor de cˆ amp, adic˘a prin exprimarea operatorului hamiltonian cinetic ˆın termeni de operatori elementari: X′ X′ X ε0k ˆb†k ˆb k = ε00 ˆb†0 ˆb0 + ε0k ˆb†k ˆb k = ε0k ˆb†k ˆb k . Tˆ = k
k (k6=0)
k (k6=0)
C4. Hamiltonianul de interact¸ie corespunde interact¸iilor mutuale de tip bi-particul˘a, avˆand expresia de tipul (2.105); se substituie operatorii de cˆ amp prin aproximat¸ia (4.10) ¸si se dezvolt˘ a expresia ˆın produse de p˘ art¸i necondensate ale operatorilor de cˆ amp (prin dezvoltarea celor 4 operatori de cˆ amp se obt¸in 16 termeni): Z Z 1 3 ˆ ′ ) ψ(r) ˆ ˆ V = d r d3 r′ v(r − r′ ) ψˆ† (r) ψˆ† (r′ ) ψ(r 2 V V Z Z √ √ √ √ 1 ˆ ′) ˆ d3 r d3 r′ v(r − r′ ) ≈ n0 ˆ1 + ϕˆ† (r) n0 ˆ1 + ϕˆ† (r′ ) n0 ˆ1 + ϕ(r n0 ˆ1 + ϕ(r) 2 V V Z Z Z 3/2 Z n20 n0 3 3 ′ ′ ˆ 3 = d r d r v(r − r ) 1 + d r d3 r′ v(r − r′ ) ϕˆ† (r) + ϕˆ† (r′ ) + ϕ(r) ˆ + ϕ(r ˆ ′) 2 V 2 V V V Z Z † n0 3 3 ′ ′ † ′ d r d r v(r − r ) ϕˆ (r) ϕˆ (r ) + ϕˆ† (r) ϕ(r ˆ ′ ) + ϕˆ† (r) ϕ(r) ˆ + 2 V V + ϕˆ† (r′ ) ϕ(r ˆ ′ ) + ϕˆ† (r′ ) ϕ(r) ˆ + ϕ(r ˆ ′ ) ϕ(r) ˆ Z √ Z n0 ˆ ′ ) + ϕˆ† (r) ϕˆ† (r′ ) ϕ(r) ˆ + ϕˆ† (r) ϕ(r ˆ ′ ) ϕ(r) ˆ d3 r d3 r′ v(r − r′ ) ϕˆ† (r) ϕˆ† (r′ ) ϕ(r + 2 V V Z Z 1 + ϕˆ† (r′ ) ϕ(r ˆ ′ ) ϕ(r) ˆ + d3 r d3 r′ v(r − r′ ) ϕˆ† (r) ϕˆ† (r′ ) ϕ(r ˆ ′ ) ϕ(r) ˆ . 2 V V
266
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
ˆIn dezvoltarea precedent˘ a a hamiltonianului de interact¸ie dup˘a p˘ art¸ile excitate ale operatorilor de cˆ amp, s-au obt¸inut termeni de ordinele 0, 1, 2, 3, ¸si 4 ˆın produse de p˘ art¸i excitate ale operatorilor de cˆ amp. Termenii celor 5 ordine specificate anterior au urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: • Ordinul 0 este un operator banal care are coreficientul Z Z n20 d3 r d3 r′ v(r − r′ ) ≡ E0 . 2 V V • Ordinul 1 cont¸ine 4 termeni care sunt nuli, deoarece integrala spat¸ial˘a a p˘ art¸ii excitate a unui operator de cˆ amp este nul˘a; se expliciteaz˘ a primul termen: Z Z Z Z d3 r d3 r′ v(r − r′ ) ϕˆ† (r) = d3 r1 v(r1 ) d3 r2 ϕˆ† (r2 ) = ˆ0 , V V V {z } |V =ˆ 0
(unde integrala dubl˘ a s-a decuplat prin schimbarea de variabile r1 = r − r′ , r2 = r′ ), iar pentru ceilalt¸i 3 termeni explicit˘arile sunt similare.
• Ordinul 2 cont¸ine 6 termeni, care se pot grupa ˆın 4 tipuri: Z Z n0 ˆ ′ ) ϕ(r) ˆ ≡ Vˆ1 , d3 r d3 r′ v(r − r′ ) ϕ(r 2 V V Z Z n0 d3 r d3 r′ v(r − r′ ) ϕˆ† (r) ϕˆ† (r′ ) ≡ Vˆ2 , 2 V Z ZV Z Z n0 n0 1 3 d r d3 r′ v(r − r′ ) ϕˆ† (r) ϕ(r ˆ ′) = d3 r d3 r′ v(r − r′ ) ϕˆ† (r′ ) ϕ(r) ˆ ≡ Vˆ3 , 2 V 2 2 Z ZV ZV ZV n0 1 n0 3 3 ′ ′ † 3 d r d r v(r − r ) ϕˆ (r) ϕ(r) ˆ = d r d3 r′ v(r − r′ ) ϕˆ† (r′ ) ϕ(r ˆ ′ ) ≡ Vˆ4 ; 2 V 2 V 2 V V tipurile Vˆ1 ¸si Vˆ2 cont¸in cˆ ate un termen, iar tipurile Vˆ3 ¸si Vˆ4 cont¸in cˆ ate 2 termeni. • Ordinul 3 cont¸ine 4 termeni care se pot grupa ˆın 2 tipuri (fiecare tip cont¸ine 2 termeni): Z Z √ Z √ Z n0 n0 ˆ ′) = ˆ d3 r d3 r′ v(r − r′ ) ϕˆ† (r) ϕˆ† (r′ ) ϕ(r d3 r d3 r′ v(r − r′ ) ϕˆ† (r) ϕˆ† (r′ ) ϕ(r) 2 V 2 V V V 1 ≡ Vˆ5 , 2 Z Z √ Z √ Z n0 n0 3 ′ ′ † ′ 3 3 ˆ ) ϕ(r) ˆ = ˆ ′ ) ϕ(r) ˆ d r d r v(r − r ) ϕˆ (r) ϕ(r d r d3 r′ v(r − r′ ) ϕˆ† (r′ ) ϕ(r 2 V 2 V V V 1 ≡ Vˆ6 . 2 • Ordinul 4 cont¸ine un singur termen: Z Z 1 3 d r d3 r′ v(r − r′ ) ϕˆ† (r) ϕˆ† (r′ ) ϕ(r ˆ ′ ) ϕ(r) ˆ ≡ Vˆ7 . 2 V V Pe baza rezultatelor precedente hamiltonianul de interact¸ie se scrie ca sum˘a de 8 termeni: (4.13) Vˆ = E0 ˆ 1 + Vˆ1 + Vˆ2 + Vˆ3 + Vˆ4 ) + Vˆ5 + Vˆ6 + Vˆ7 . Este convenabil s˘a se efectueze o reprezentare diagramatic˘ a a termenilor hamiltonianului de interact¸ie; astfel se definesc urm˘atoarele elemente: r r′ ∗ = v(r − r′ ) linie de interact¸ie, r
∗
∗
= ϕ(r) ˆ
√ 1 = ξˆ ≈ n0 ˆ
¸si ¸si
r
= ϕˆ† (r)
p˘ art¸i de linii particul˘ a ˆın stare excitat˘ a,
√ = ξˆ ≈ n0 ˆ1
p˘ art¸i de linii particul˘ a ˆın stare condensat˘ a.
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI
267
Atunci termenii hamiltonianului de interact¸ie au urm˘atoarele expresii analitice ¸si reprezent˘ ari diagramatice: Z Z n2 −→ rI (4.14a) E0 ˆ1 = 0 d3 r d3 r′ v(r − r′ ) r′ 2 V V I Z Z n0 (4.14b) Vˆ1 = ˆ ′ ) ϕ(r) ˆ −→ rI d3 r d3 r′ v(r − r′ ) ϕ(r r′ 2 V V I Z Z n0 Vˆ2 = (4.14c) d3 r d3 r′ v(r − r′ ) ϕˆ† (r) ϕˆ† (r′ ) −→ rI r′ 2 V V I Z Z Vˆ3 = n0 d3 r d3 r′ v(r − r′ ) ϕˆ† (r′ ) ϕ(r) ˆ −→ rI (4.14d) r′ V V I Z Z (4.14e) Vˆ4 = n0 d3 r d3 r′ v(r − r′ ) ϕˆ† (r) ϕ(r) ˆ −→ rI r′ V V I Z Z √ Vˆ5 = n0 d3 r d3 r′ v(r − r′ ) ϕˆ† (r) ϕˆ† (r′ ) ϕ(r) (4.14f) ˆ −→ rI r′ V V I Z Z √ (4.14g) ˆ ′ ) ϕ(r) ˆ −→ rI Vˆ6 = n0 d3 r d3 r′ v(r − r′ ) ϕˆ† (r) ϕ(r r′ V V I Z Z 1 Vˆ7 = ˆ ′ ) ϕ(r) ˆ −→ rI d3 r d3 r′ v(r − r′ ) ϕˆ† (r) ϕˆ† (r′ ) ϕ(r (4.14h) r′ 2 V V I C5. Hamiltonianul sistemului (ˆın aproximat¸ia Bogoliubov) este suma dintre hamiltonianul liber (cinetic), avˆand expresia (4.12), ¸si hamiltonianul de interact¸ie, care are expresia (4.13): 7 X ˆ =H ˆ 0 + Vˆ = E0 ˆ1 + Tˆ + Vˆj , (4.15) H j=1
unde ˆın ultima expresie s-a separat termenul operator banal din hamiltonianul de interact¸ie. Se observ˘ a urm˘atoarele consecint¸e ale hamiltonianului definit prin formula (4.15). • Energia st˘ arii fundamentale a sistemului este E0 , fiind astfel deplasat˘ a fat¸˘a de energia st˘arii fundamentale a sistemului liber (care este nul˘a); prin efectuarea schimb˘ arii de variabile r1 = r − r′ , r2 = r′ integrala dubl˘ a din formula (4.14a) se factorizeaz˘ a, astfel ˆıncˆat se obt¸ine c˘ a energia st˘ arii fundamentale a sistemului cu interact¸ii este proport¸ional˘ a cu transformata Fourier a potent¸ialului de interact¸ie (la valoarea nul˘a a vectorului de und˘a) ¸si cu p˘ atratul num˘ arului de particule condensate: Z Z Z Z n2 N2 n2 E0 = 0 d3 r d3 r′ v(r − r′ ) = 0 d3 r1 v(r1 ) d3 r2 = 0 ve(0) . (4.16) 2 V 2 V 2V V {z } | V {z } | =v e(0)
=V
• Comutatorul operatorului num˘ar de particule cu hamiltonianul (ˆın aproximat¸ia Bogoliubov) nu este nul : ˆ,H ˆ 6= ˆ0 , (4.17) N − deoarece arul de particule excitate nu comut˘a cu termenii hamiltonianului de interact¸ie: num˘ ′ ˆ , Vˆj 6= ˆ 0. Totu¸si, la tratarea exact˘ a (cˆand operatorii corespunz˘ atori st˘arii fundamenN −
tal˘ a uni-particul˘ a, adic˘a operatorii condensat¸i, nu sunt aproximat ¸i prin operatori banali) ˆ,H ˆ operatorul num˘ ar de particule comut˘a cu hamiltonianul: N = ˆ0. −
Datorit˘ a faptului c˘ a num˘ arul de particule nu comut˘a cu hamiltonianul (ˆın aproximat¸ia Bogoliubov) rezult˘a c˘ a num˘ arul de particule (ale sistemului bosonic cu interact¸ii) nu se conserv˘ a ; ca urmare, se poate considera numai o conservare ˆın medie a num˘arului de particule:
(4.18) N = N0 + N ′ ,
unde h. . .i = hΨ0 | . . . |Ψ0 i este media pe starea fundamental˘ a a sistemului cu interact¸ii mutuale. Relat¸ia (4.18) este o condit¸ie suplimentar˘ a pentru num˘arul de particule N ; aceast˘a
268
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA condit¸ie suplimentar˘ a introduce dificult˘a¸ti ˆın studierea propriet˘ a¸tilor sistemului considerat ˆın aproximat¸ia Bogoliubov. Pentru a elimina aceste dificult˘a¸ti se utilizeaz˘a formalismul grand-canonic (cˆand sistemul este ˆın contact cu un rezervor de particule care impune o valoare fixat˘ a pentru potent¸ialul chimic), ˆın locul formalismului canonic (cˆand sistemul este ˆınchis, astfel ˆıncˆ at num˘ arul de particule este constant).
C6. Starea de vid Pentru sistemul de bosoni liberi (f˘ ar˘ a interact¸ii mutuale) starea fundamental˘ a este realizat˘a cˆ and toate particulele sunt condensate (adic˘a se afl˘a ˆın starea fundamental˘ a uni-particul˘a), astfel ˆıncˆ at vectorul de stare corespunz˘ ator este: |Φ0 (N )i = |N, 0, 0, . . .i, adic˘a num˘arul de ocupare a unei st˘ari uni-particul˘ a este n0k = N δ k,0 . Prin aproximat a operatorii elementari pe modul fundamental uni-particul˘a √¸ia Bogoliubov se elimin˘ 1), dar se p˘ astreaz˘ a operatorii elementari pe modurile uni-particul˘a excitate (ˆb0 ≈ ˆb†0 ≈ N ˆ ˆb k , ˆb† ; Ca urmare, operatorii elementari de anihilare excitat¸i distrug starea fundamental˘ a k k liber˘a a sistemului, conform relat¸iei (4.2): ˆb k | Φ0 (N ) i = | ∅ i ,
∀ k 6= 0 .
Rezultatul precedent este analog cu proprietatea esent¸ial˘a a st˘arii fundamentale a sistemului de fermioni liberi, care este considerat˘ a stare de vid fermionic˘a. Pe baza similitudinii cu cazul fermionic, se define¸ste starea de vid a sistemului bosonic ˆın aproximat¸ia Bogoliubov ca fiind starea fundamental˘ a a sistemului bosonic liber: 0 ≡ Φ0 (N ) .
(4.19)
Observat¸ii: i. Se poate face o analogie ˆıntre sistemele fermionice ¸si sistemele bosonice: • Pentru fermioni se poate construi formalismul particul˘ a-gol, care este o transformare canonic˘ a urmat˘ a de o renormare. ˆIn acest caz se introduce starea de vid ¸si se efectueaz˘a separarea operatorilor de cˆ amp ˆın parte de creare ¸si parte de anihilare (prin act¸iunile asupra st˘arii de vid); ca urmare, se poate defini operatorul de ordonare normal˘a ¸si operat¸ia de contract¸ie operatorial˘ a, astfel ˆıncˆ at se poate deduce teorema Wick, care permite construirea seriilor de perturbat¸ie ˆın sens Feynman-Dyson. • Pentru bosoni nu se poate aplica ˆın mod direct metoda utilizat˘a la sistemele fermionice, dar prin aproximat¸ia Bogoliubov se poate introduce o stare de vid, astfel ˆıncˆ at se poate deduce o teorem˘ a de tip Wick care asigur˘a construct¸ia unei teorii de perturbat¸ie analoag˘a cazului fermionic. ii. Energia medie pe starea de vid (starea fundamental˘ a a sistemului liber) este egal˘a cu deplasarea energiei st˘ arii fundamentale datorit˘ a interact¸iilor mutuale dintre particulele sistemului (pentru sistemul f˘ ar˘ a interact¸ii mutuale energia st˘arii fundamentale este nul˘a):
ˆ 0 = E0 . 0 H
Demonstrat¸ie:
(4.20)
Conform relat¸iei (4.15), media hamiltonianului pe starea fundamental˘ a a sistemului liber este n o X ˆ 1 + Tˆ + h0|H|0i = hΦ0 (N )| E0 ˆ Vˆj |Φ0 (N )i j=1,7
X hΦ0 (N )| Vˆj |Φ0 (N )i = E0 hΦ0 (N ) | Φ0 (N )i + hΦ0 (N )| Tˆ |Φ0 (N )i + {z } | {z } j=1,7 | {z } | =1
= E0 .
=0
=0
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI
4.1.3
269
Descrierea grand-canonic˘ a a sistemului bosonic ˆın aproximat¸ia Bogoliubov
S-a ar˘ atat anterior c˘ a ˆın aproximat¸ia Bogoliubov num˘arul de particule ale sistemului nu este constant, astfel ˆıncˆ at este convenabil s˘a se utilizeze formalismul grand-canonic, ˆın care sistemul este ˆın contact cu un rezervor de particule, care fixeaz˘a valoarea potent¸ialului chimic µ. Hamiltonianul grand-canonic al sistemului este definit prin relat¸ia: ˆ ≡H ˆ − µN ˆ . K
(4.21)
A. Tratarea exact˘ a a sistemului (f˘ ar˘a utilizarea aproximat¸iei Bogoliubov) implic˘ a urm˘atoarele considerat¸ii. i. Operatorii num˘ ar de particule ¸si hamiltonian definesc hamiltonianul grand-canonic: ˆ =N ˆ0 + N ˆ′ N ˆ = (Tˆ + Vˆ ) − µ(N ˆ0 + N ˆ ′) . =⇒ K ˆ ˆ ˆ H =T +V ˆ ¸si H ˆ comut˘a: N ˆ,H ˆ ˆ este o observabil˘a ii. Operatorii exact¸i N = ˆ0, astfel ˆıncˆ at N − conservativ˘ a. Consecint¸a comut˘arii anterioare este c˘ a hamiltonianul grand-canonic comut˘a cu operatorul num˘ ar de particule: ˆ,N ˆ K = ˆ0 ; − ˆ ˆın atunci este posibil s˘a se separe problema cu valori proprii a hamiltonianului grand-canonic K sub-spat¸ii corespunz˘ atoare la numere de particule specificate HN . iii. Ecuat¸ia cu valori proprii a hamiltonianului grand-canonic este de forma: ˆ |Ψj i = Kj |Ψj i ; K dac˘a se consider˘ a sub-spat¸iul num˘ arului de particule N , adic˘a HN , atunci ecuat¸ia cu valori proprii a hamiltonianului grand-canonic devine: ( ˆ |Ψj (N )i = Kj (µ, V, N ) |Ψj (N )i K ˆ − µN ˆ ) |Ψj (N )i = Ej (V, N ) − µ N |Ψj (N )i (H astfel ˆıncˆ at valoarea proprie este
Kj (µ, V, N ) = Ej (V, N ) − µ N .
(4.22)
Observat¸ii asupra valorii proprii Kj (µ, V, N ): • Deoarece µ este potent¸ialul chimic, atunci cˆ and sistemul se afl˘a limita termodinamic˘ a ¸si este ˆın starea fundamental˘ a (care corespunde la temperatura nul˘a) este valabil˘a relat¸ia ∂E0 (V, N ) ∂E(V, N ) ; (4.23) = µ T =0 = ∂N ∂N T =0 aceasta este o ecuat¸ie pentru num˘arul de particule N (T = 0, V, µ), adic˘a se determin˘a sub-spat¸iul HN care satisface relat¸ia termodinamic˘ a.
• Dac˘ a |Ψ0 (N )i este vectorul st˘arii fundamentale (ˆın sub-spat¸iul HN ), atunci K0 (µ, V, N ) ≡ E0 (V, N ) − µ N = min. pentru o valoare fixat˘ a a num˘arului de particule N ; condit¸ia de minim ˆın raport cu N este ∂E0 (V, N ) ∂K0 (µ, V, N ) = −µ=0, ∂N ∂N iar aceast˘a condit¸ie ˆımpreun˘ a cu ecuat¸ia num˘arului de particule N (T = 0, V, µ) (4.23), implic˘ a faptul c˘ a valoarea proprie fundamental˘ a K0 (µ, V, N ) are un minim absolut. Vectorul st˘ arii fundamentale a hamiltonianului grand-canonic ˆın sub-spat¸iul HN (0,V,µ) este |Ψ0 (µ)i ≡ |Ψ0 (N )i N =N (T =0,V,µ) , astfel ˆıncˆ at valoarea proprie corespunz˘ atoare este ˆ |Ψ0 (µ)i = min. K0 (µ, V, N ) = hΨ0 (µ)| K
270
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
iv. Potent¸ialul grand-canonic al sistemului la temperatura nul˘a este definit prin relat¸ia: Ω(T = 0, V, µ) = (E − T S − µ N ) T =0 = (E − µ N ) T =0 = K0 (µ, V, N ) min ;
ca urmare, se obt¸ine condit¸ia termodinamic˘ a de minimizare a potent¸ialului termodinamic: ˆ |Ψ0 (µ)i = min. Ω(T = 0, V, µ) = hΨ0 (µ)| K
(4.24)
Observat¸ie: dac˘ a se efectueaz˘ a operat¸ia de derivare a potent¸ialului grand-canonic ˆın raport cu potent¸ialul chimic, utilizˆand expresia anterioar˘ a, atunci se obt¸ine: ∂ ∂Ω(T, V, µ) ˆ |Ψ0 (µ)i hΨ0 (µ)| K =− − ∂µ ∂µ T =0 ˆ −∂ K ∂hΨ0 (µ)| ˆ ˆ ∂|Ψ0 (µ)i ; = hΨ0 (µ)| K |Ψ0 (µ)i + hΨ0 (µ)| K |Ψ0 (µ)i − ∂µ ∂µ ∂µ ˆın expresia precedent˘ a primul termen este egal cu num˘arul mediu de particule hΨ0 (µ)|
ˆ
−∂ K ˆ |Ψ0 (µ)i = N , |Ψ0 (µ)i = hΨ0 (µ)| N ∂µ
iar al doilea termen, prin utilizarea ecuat¸iei cu valori proprii a hamiltonianului grand-canonic ¸si a propriet˘ a¸tii vectorilor proprii de a avea norm˘a constant˘ a, este nul ∂|Ψ0 (µ)i ∂hΨ0 (µ)| ˆ ˆ K |Ψ0 (µ)i + hΨ0 (µ)| K ∂µ ∂µ ∂hΨ0 (µ)| ∂|Ψ0 (µ)i = K0 (µ, V, N ) min |Ψ0 (µ)i + hΨ0 (µ)| ∂µ ∂µ ∂ hΨ0 (µ)|Ψ0 (µ)i = K0 (µ, V, N ) min ∂µ =0, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine relat¸ia termodinamic˘ a: −
∂Ω(T, V, µ) = N . ∂µ T =0
Prin tratarea exact˘ a a problemei (cˆand ˆb0 ¸si ˆb†0 sunt considerat¸i operatori bosonici nebanali) exist˘a 2 descrieri posibile pentru st˘ arile sistemului: a) descrierea canonic˘a (ˆın care num˘arul de particule este fixat), avˆand ca operator principal ˆ hamiltonianul H, b) descrierea grand-canonic˘ a (ˆın care potent¸ialul chimic este fixat), avˆand ca operator prinˆ cipal hamiltonianul grand-canonic K. Totu¸si, descrierea grand-canonic˘ a este mai avantajoas˘ a, deoarece este aplicabil˘a ˆın cazul cˆ and sistemul este tratat ˆın aproximat¸ia Bogoliubov (atunci num˘arul de particule nu mai este constant). B. Tratarea sistemului ˆın aproximat¸ia Bogoliubov B1. Hamiltonianul grand-canonic Operatorii num˘ ar de particule ¸si hamiltonian sunt aproximat¸i prin formulele (4.11) ¸si (4.15) ˆ ≈N ˆ0 + N ˆ′ , N ˆ ≈ E0 ˆ1 + Tˆ + H
7 X
Vˆj ,
j=1
astfel ˆıncˆ at hamiltonianul grand-canonic, definit prin formula (4.21), devine: ˆ ′) + ˆ ≈K ˆ B = (E0 − µ N ) ˆ1 + (Tˆ − µ N K ˆ 0′ + K ˆ 1′ , ≡ K ˆ1 + K 0
7 X
Vˆj
j=1
(4.25a)
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI
271
unde ˆın ultima form˘a a hamiltonianului grand-canonic s-au separat termenul operator banal K 0 ˆ1, ˆ ′ ¸si operatorii nediagonali K ˆ′: operator tip uni-particul˘ a (diagonal) K 0 1 K 0 ≡ E0 − µ N , ˆ ′ ≡ Tˆ − µ N ˆ′ = K 0 ˆ′ ≡ K 1
7 X
X′ k
(ε0k − µ) ˆb†k ˆb k =
Z
−~2 ∇2 − µ ϕ(r) ˆ , d3 r ϕˆ† (r) 2m V
Vˆj .
j=1
Se observ˘ a c˘ a descompunerea hamiltonianul grand-canonic (4.25) se poate interpreta ˆın 2 moduri echivalente: ˆ 0 ≡ K 0 ˆ1 + K ˆ ′ ¸si parte de interact¸ie nebanal˘ ˆ′: i. descompunere ˆın parte liber˘ aK aK 0 1 ˆB = K ˆ0 + K ˆ′ ; K 1
(4.25b)
ˆ′ ≡ K ˆ′ + K ˆ′: ii. descompunere ˆın parte banal˘a K 0 ˆ1 ¸si parte nebanal˘ aK 0 1 ˆ′ . ˆ B = K 0 ˆ1 + K K
(4.25c)
B2. Formularea Heisenberg grand-canonic˘ a (aproximat˘ a) este definit˘ a ˆın mod analog cu formularea Heisenberg canonic˘a (propriu zis˘a), dar rolul hamiltonianului este luat de hamiltonianul grand-canonic aproximat ¸si nu implic˘ a o evolut¸ie real˘a a sistemului; ca urmare, un operator Heisenberg grand-canonic este definit prin formula: ˆbK (t) ≡ e ~i tKˆ B ˆbS e− ~i tKˆ B ,
(4.26a)
unde ˆbS este operatorul ˆın formularea Schr¨odinger. Se observ˘a c˘ a trecerea de la formularea Schr¨odinger la formularea Heisenberg grand-canonic˘a este o transformare unitar˘ a cu generatorul ˆ B . Dac˘ K a se ia ˆın considerare descompunerea (4.25c) a hamiltonianului grand-canonic, rezult˘a c˘ a partea banal˘a a hamiltonianului grand-canonic nu contribuie la transformarea unitar˘ a considerat˘a: ˆbK (t) ≈ e ~i t(K 0 ˆ1+Kˆ ′ ) ˆbS e− ~i t(K 0 ˆ1+Kˆ ′ ) = e ~i tKˆ ′ ˆbS e− ~i tKˆ ′ , (4.26b) deoarece operatorul banal K0 ˆ 1 comut˘a cu orice operator. ˆIn particular, operatorul de cˆ amp Heisenberg grand-canonic este: − i tKˆ √ i ˆ ψˆK (r, t) = e ~ tK ξˆ + ϕ(r) ˆ e ~ ≈ n0 ˆ1 + ϕˆK (r, t) ,
(4.27)
unde partea condensat˘ a a fost aproximat˘a conform relat¸iei (4.9), astfel c˘ a nu depinde de coordonatele de pozit¸ie ¸si timp. ˆ B este un operator hermitic, care Hamiltonianul grand-canonic ˆın aproximat¸ia Bogoliubov K are un sistem complet de vectori proprii; ecuat¸ia sa cu valori proprii are urm˘atoarea expresie: ˆ B |Ψi e =K e |Ψi e . K
Vectorul st˘ arii fundamentale al hamiltonianului grand-canonic ˆın aproximat¸ia Bogoliubov este ˆ B |Oi = K e 0 |Oi), iar acest vector are urm˘atoarele propriet˘ notat prin |Oi (adic˘ aK a¸ti importante: i. |Oi este diferit de vectorul st˘arii fundamentale a hamiltonianului grand-canonic exact, ˆ B 6= K; ˆ notat anterior prin |Ψ0 i, deoarece K ii. hamiltonianul grand-canonic ˆın aproximat¸ia Bogoliubov nu comut˘a cu operatorul num˘ar ˆB , N ˆ ˆ; ˆ = 6 de particule ( K 0), astfel c˘ a |Oi nu este un vector propriu al operatorului N − iii. mediile p˘ art¸ilor excitate ale operatorilor de cˆ amp pe starea fundamental˘ a a hamiltonianului grand-canonic ˆın aproximat¸ia Bogoliubov sunt nule: hO| ϕˆK (r, t) |Oi = hO| ϕˆ†K (r, t) |Oi = 0 .
(4.28)
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
272
Demonstrat¸ie: Operatorul impuls total al sistemului este definit prin relat¸ia (2.97), care devine ˆın cazul prezent X′ X ˆ = ~ k ˆb†k ˆb k ; ~ k ˆb†k ˆb k = P k (k6=0)
k
se observ˘ a c˘ a starea condensat˘ a are contribut¸ie nul˘ a, astfel ˆıncˆ at operatorul impuls nu este afectat de aproximat¸ia Bogoliubov (care modific˘ a numai operatorii condensat¸i); ca urmare, comutatorii impulsului cu operatorii elementari condensat¸i (f˘ ar˘ a aproximat¸ia Bogoliubov) sunt nuli: ˆ , ˆb0 =ˆ 0, P − † ˆ ˆ 0. P , b0 − = ˆ
Deoarece a √ aproximat¸ia Bogolibov ˆınlocuie¸ste operatorii condensat¸i prin operatori banali (adic˘ ˆb0 ≈ N0 ˆ 1), rezult˘ a c˘ a relat¸iile de comutare anterioare sunt valabile, de asemenea, ˆın aproximat¸ia Bogolibov; ˆın consecint¸˘ a operatorul impuls total are acelea¸si relat¸ii de comutare atˆ at cu operatorul exact cˆ at ¸si cu aproximat¸ia sa, adic˘ a aproximat¸ia Bogoliubov nu afecteaz˘ a propriet˘ a¸tile de invariant¸˘ a la translat¸ii ale sistemului. Consecint¸a direct˘ a a propriet˘ a¸tii anterioare este comutabilitatea operatorilor impuls ¸si hamiltonian grand-canonic ˆın aproximat¸ia Bogoliubov: ˆ,K ˆB =ˆ 0, P −
ceea ce implic˘ a faptul c˘ a ace¸sti operatori au un sistem comun de vectori proprii. ˆIn particular, vectorul st˘ arii fundamentale a hamiltonianului grand-canonic aproximat, adic˘ a |Oi, este de asemenea vector propriu al impulsului, avˆ and valoarea proprie nul˘ a (P0 = 0): ˆ |Oi = |∅i ; P ˆın consecint¸˘ a, |Oi este invariant la translat¸ii spat¸iale.
Comutatorii impulsului cu operatorii elementari corespunz˘ atori st˘ arilor excitate au urm˘ atoarele expresii: n o X′ X′ ˆ ˆb† ~ k′ ˆb†k′ ˆb k′ , ˆb†k − + ˆb†k′ , ˆb†k − ˆb k′ = ~ k ˆb†k , ~ k′ ˆb†k′ ˆb k′ , ˆb†k − = P, k − = | {z } | {z } k′ k′ (k6=0)
(k6=0)
ˆ ˆb k P,
−
=
X′
k′ (k6=0)
′
~ k ˆb†k′ ˆb k′ , ˆb k
−
=
X′
k′ (k6=0)
= δk′ ,k ˆ 1
=ˆ 0
n o ~ k′ ˆb†k′ ˆb k′ , ˆb k − + ˆb†k′ , ˆb k − ˆb k′ = −~ k ˆb k . | {z } | {z } =ˆ 0
=−δk′ ,k ˆ 1
Se aplic˘ a operatorii din relat¸iile de comutare anterioare asupra vectorului st˘ arii fundamentale a hamiltonianului grand-canonic aproximat ¸si rezult˘ a: ˆ ˆb† − ˆb† P ˆ |Oi = ~ k ˆb† |Oi , ˆ ˆb† |Oi = ~ k ˆb† |Oi , P P k k k k k =⇒ ˆ ˆb k − ˆb† P ˆ |Oi = −~ k ˆb k |Oi , ˆ ˆb k |Oi = −~ k ˆb k |Oi ; P P k
rezultatele precedente arat˘ a c˘ a ˆb†k |Oi ≡ |φ k i este un vector propriu al impulsului corespunz˘ ator vaˆ lorii proprii ~ k, iar b k |Oi ≡ |φ−k i este de asemenea un vector propriu al impulsului corespunz˘ ator valorii proprii −~ k. Pe baza rezultatelor anterioare se poate evalua media pe starea fundamental˘ a aproximat˘ a |Oi a p˘ art¸ii excitate a operatorului de cˆ amp: i
ˆ
i
ˆ
hO| ϕ ˆK (r, t) |Oi = hO| e ~ tKB ϕ(r) ˆ e− ~ tKB |Oi =
X′ eik·r i ˆ i ˆ √ hO| e ~ tKB ˆb k e− ~ tKB |Oi | | {z } {z } V k i tK f 0
= hO| e ~
f − i tK 0 |Oi ~
=e
X′ eik·r √ hO| ˆb k |Oi V k ik·r X′ e √ hO | φ−k i = 0 , = V k =
unde ultima egalitate s-a obt¸inut pe baza ortogonalit˘ a¸t ii dintre vectorii |Oi ¸si | φ−k i, care sunt ambii vectori proprii ai impulsului corespunz˘ atori la valori proprii diferite. ˆIn mod similar se arat˘ a anularea m˘ arimii hO| ϕ ˆ†K (r, t) |Oi.
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI
273
B3. Formularea Dirac grand-canonic˘ a (aproximat˘ a) se bazeaz˘ a pe descompunerea (4.25b) a hamiltonianului grand-canonic ˆın aproximat¸ia Bogoliubov: ˆ ≈K ˆB = K ˆ0 + K ˆ 1′ , K unde ˆ0 = K0 ˆ ˆ ′) = K 0 ˆ ˆ ′ este partea de baz˘a a hamiltonianului grand-canonic, K 1 + (Tˆ − µ N 1+K 0 X ˆ′ = Vˆj este partea de interact¸ie (de perturbat¸ie) a hamiltonianului grand-canonic, care K j=1,7
cont¸ine numai termenii nebanali ai hamiltonianului de interact¸ie, deoarece termenul banal (E0 ) este inclus ˆın partea de baz˘ a. Operatorii formul˘arii Dirac grand-canonice sunt definit¸i ˆın mod similar cu operatorii formul˘arii Dirac canonice (propriu zise) prin substituirea hamiltonianului de baz˘a cu hamiltonianul grandcanonic de baz˘ a: ˆbK (t) ≡ e ~i tKˆ 0 ˆbS e− ~i tKˆ 0 . (4.29a) 0
Se observ˘ a c˘ a transformarea operatorilor din formularea Schr¨odinger la formularea Dirac grandcanonic˘a este o transformare unitar˘ a, avˆand ca generator partea de baz˘a a hamiltonianului grandˆ 0 ; deoarece operatorul K ˆ 0 este suma dintre un operator banal (K 0 ˆ1) ¸si un operator canonic K ˆ ′ ) rezult˘a c˘ nebanal (K a numai partea nebanal˘ a contribuie la operatorii formul˘arii Dirac grandcanonice ˆbK (t) = e ~i t(K 0 ˆ1+Kˆ 0′ ) ˆbS e− ~i t(K 0 ˆ1+Kˆ 0′ ) = e ~i tKˆ 0′ ˆbS e− ~i tKˆ 0′ , (4.29b) 0 deoarece operatorii banali comut˘a cu orice alt operator. ˆIn particular, operatorii de cˆ amp ˆın formularea Dirac grand-canonic˘a au expresia: − i tKˆ 0 √ i ˆ ψˆK0 (r, t) = e ~ tK0 ξˆ + ϕ(r) ˆ e ~ ≈ n0 ˆ1 + ϕˆK0 (r, t) ,
(4.30)
unde partea condensat˘ a a fost aproximat˘a conform relat¸iei (4.9), astfel c˘ a nu depinde de coordonatele de pozit¸ie ¸si timp. Din definit¸ia (4.29) rezult˘a ecuat¸ia diferent¸ial˘a ¸si condit¸ia la limit˘a (condit¸ia init¸ial˘a) pentru un operator din formularea Dirac grand-canonic˘a (cazul cˆ and operatorul formul˘arii Schr¨odinger este atemporal): i ˆ ∂ ˆ ˆ 0 e− ~i tKˆ 0 , bK0 (t) = e ~ tK0 ˆbS , K − ∂t ˆbK (t) = ˆbS . 0
i~
t=0
Demonstrat¸ie:
(4.31a) (4.31b)
Prin efectuarea deriv˘ arii temporale ˆın relat¸ia (4.29a) se obt¸ine: i~
i ˆ ∂ ~i tKˆ 0 ˆ − ~i tKˆ 0 ∂ ˆ ˆ 0 ˆbS e− ~i tKˆ 0 + e ~i tKˆ 0 ˆbS K ˆ 0 e− ~i tKˆ 0 = − e ~ tK0 K bK (t) = i ~ bS e e ∂t 0 ∂t i ˆ ˆ 0 e− ~i tKˆ 0 . = e ~ tK0 ˆbS , K
−
Condit¸ia init¸ial˘ a se verific˘ a ˆın mod direct, deoarece operatorul unitar de transformare devine i ˆ operatorul unitate la momentul init¸ial: e ~ tK0 t=0 = ˆ 1.
Pentru partea excitat˘ a a operatorului de cˆ amp ecuat¸ia diferent¸ial˘a (4.31a) devine i~
−~2 ∂ ϕˆK0 (r, t) = ∇2 − µ ϕˆK0 (r, t) . ∂t 2m
Demonstrat¸ie: Conform ecuat¸iei (4.31), ecuat¸ia diferent¸ial˘ a a p˘ art¸ii excitate a operatorului de cˆ amp este: i~
i ˆ ∂ ˆ 0 e− ~i tKˆ 0 . ϕ ˆK0 (r, t) = e ~ tK0 ϕ(r) ˆ ,K − ∂t
(4.32)
274
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA Partea de baz˘ a a hamiltonianului grand-canonic are urm˘ atoarea expresie ˆın termeni de operatori de cˆ amp: ˆ 0 = K0 ˆ K 1+ = K0 ˆ 1+
Z
Z
d3 r′ ϕ ˆ† (r′ ) V
d3 r′ V
lim
r′′ →r′
−~2
2m −~2 2m
∇2r′ − µ ϕ(r ˆ ′)
∇2r′′ − µ ϕ ˆ† (r′ ) ϕ(r ˆ ′′ ) ;
ˆ 0 se evalueaz˘ atunci, comutatorul dintre operatorii ϕ(r) ˆ ¸si K a prin descompunere ˆın comutatori fundamentali: Z −~2 2 3 ′ ˆ0 ∇ ′′ − µ ϕ(r) ˆ ,ϕ ˆ† (r′ ) ϕ(r ˆ ′′ ) − = ϕ(r) ˆ ,K d r lim r − ′′ →r′ r 2m V Z −~2 o n = d3 r′ ′′lim ′ ˆ ,ϕ ˆ† (r′ ) − ϕ(r ˆ ′′ ) ∇2r′′ − µ ϕ ˆ† (r′ ) ϕ(r) ˆ , ϕ(r ˆ ′′ ) − + ϕ(r) r →r 2m V | {z } | {z } =
= =
Z
Z
=ˆ 0
V
d3 r′ δ(r − r′ ) ′′lim ′
V
d3 r′ δ(r − r′ )
r →r
−~2 2m
−~2
2m ∇2r − µ ϕ(r) ˆ .
−~2 2m
∇2r′′
= δ(r−r′ ) ˆ 1
− µ ϕ(r ˆ ′′ )
∇2r′ − µ ϕ(r ˆ ′)
Pe baza rezultatului anterior, ecuat¸ia diferent¸ial˘ a init¸ial˘ a devine: i~
−~2 −~2 i ˆ i ˆ ∂ ϕˆK0 (r, t) = e ~ tK0 ∇2r − µ ϕ(r) ˆ e− ~ tK0 = ∇2r − µ ϕˆK0 (r, t) , ∂t 2m 2m
care este rezultatul (4.32).
ˆIn mod similar, ecuat¸ia diferent¸ial˘a a unui operator elementar (pe o stare excitat˘ a) este i~ Demonstrat¸ie:
∂ ˆ b kK0 (t) = ε0k − µ ˆb kK0 (t) . ∂t
(4.33)
Ecuat¸ia diferent¸ial˘ a a operatorului elementar ˆb kK0 (t) se obt¸ine prin particularizarea ecuat¸iei (4.31): i~
i ˆ ∂ ˆ ˆ 0 e− ~i tKˆ 0 . b kK0 (t) = e ~ tK0 ˆb k , K − ∂t
Hamiltonianul grand-canonic de baz˘ a, exprimat ˆın termeni de operatori elementari, are expresia: ˆ 0 = K0 ˆ K 1+
X′
k′ (k6=0)
ε0k′ − µ ˆb†k′ ˆb k′ ,
astfel ˆıncˆ at comutatorul din ecuat¸ia diferent¸ial˘ a specificat˘ a anterior se evalueaz˘ a ˆın felul urm˘ ator:
ˆb k , K ˆ0
−
=
X′
k′ (k6=0)
=
X′
k′ (k6=0)
=
ε0k
ε0k′ − µ ˆb k , ˆb†k′ ˆb k′ −
n o ˆb k , ˆb† ′ ˆb k , ˆb k′ ˆ ′ ˆ† ε0k′ − µ k − b k + b k′ − | | {z } {z }
− µ ˆb k .
= δk,k′ ˆ 1
=ˆ 0
Atunci ecuat¸ia diferent¸ial˘ a devine: i~
i ˆ i ˆ ∂ ˆ b kK0 (t) = e ~ tK0 ε0k − µ ˆb k e− ~ tK0 = ε0k − µ ˆb kK0 (t) , ∂t
care este rezultatul (4.33).
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI
275
Se observ˘ a c˘ a operatorii elementari satisfac o ecuat¸ie diferent¸ial˘a cu condit¸ie init¸ial˘a de tipul (2.126), astfel ˆıncˆ at solut¸ia este de tipul (2.127): ˆb kK (t) = e− ~i (ε0k −µ)t ˆb k . 0
(4.34a)
Cu ajutorul solut¸iei precedente se obt¸ine expresia p˘ art¸ii excitate a operatorului de cˆ amp ˆın formularea Dirac grand-canonic˘ a: ϕˆK0 (r, t) =
X′ eik·r 1 X′ ik·r− i (ε0k −µ)t ˆ ~ √ ˆb kK0 (t) = √ bk . e V V k k
(k6=0)
(4.34b)
(k6=0)
Pe de alt˘ a parte, hamiltonianul grand-canonic de baz˘a comut˘a cu operatorul num˘ar de particule: ˆ′ ˆ ′ ) , (N0 ˆ1 + N ˆ ′) ˆ0 , N ˆ = ˆ0 ; (4.35) = Tˆ , N = K0 ˆ 1 + (Tˆ − µ N K − − −
ˆ 0 au num˘ar de particule N fixat (se observ˘a c˘ ˆın consecint¸˘ a, st˘ arile proprii ale operatorului K a ˆ B ¸si necomutabilitatea dintre hamiltonianul grand-canonic total ˆın aproximat¸ia Bogoliubov K ˆ provine numai de la termenul de interact¸ie K ˆ 1′ ). operatorul num˘ arul de particule N Starea fundamental˘ a a sistemului liber cu N particule este definit˘ a ca stare de vid bosonic |Φ0 (N )i ≡ |0i, prin relat¸ia (4.19), deoarece este distrus˘ a de operatorii elementari de anihilare ai st˘arilor uni-particul˘ a excitate, conform relat¸iei (4.2): ˆb k |0i = |∅i. Atunci vectorul st˘arii de vid ˆ 0 = K 0 ˆ1 + (Tˆ − µ N ˆ ′ ): bosonic este vector propriu al hamiltonianului grand-canonic liber K o n X′ ˆ 0 |0i = (E0 − µ N0 ) ˆ1 + (4.36) (ε0k − µ) ˆb†k ˆb k |0i = (E0 − µ N0 ) |0i , K k (k6=0)
de unde rezult˘a c˘ a valoarea proprie fundamental˘ a a hamiltonianului grand-canonic liber este K 0 = E0 − µ N0 .
(4.37)
B4. Relat¸ia ˆıntre formul˘ arile Heisenberg ¸si Dirac grand-canonice Transform˘ a rile vectorilor de stare ¸si ale operatorilor carefac trecerile de la formularea Schr¨odinger |ΨS (t)i, ˆbS la formul˘arile Heisenberg grand-canonic˘a |ΨK (t)i, ˆbK (t) ¸si Dirac grand-canonic˘a |ΨK0 (t)i, ˆbK0 (t) sunt definite prin urm˘atoarele formule:
|ΨS (t)i, ˆbS
−→
−→
|ΨK (t)i
ˆbK (t)
ˆbK (t) 0
|ΨK0 (t)i
ˆ
i
= e ~ tK |ΨS (t)i , ˆ
ˆ
= e ~ tK ˆbS e− ~ tK ; i
i
i
ˆ
=
e ~ tK0 |ΨS (t)i ,
=
e ~ tK0 ˆbS e− ~ tK0 ; i
ˆ
i
ˆ
Din relat¸iile precedente se obt¸ine relat¸ia direct˘a dintre operatorul ˆın formularea Heisenberg grandcanonic˘a ¸si operatorul corespondent ˆın formularea Dirac grand-canonic˘a: ˆbS = e− ~i tKˆ 0 ˆbK (t) e ~i tKˆ 0 0
=⇒
ˆbK (t) = e ~i tKˆ 0 e− ~i tKˆ 0 ˆbK (t) e ~i tKˆ 0 e− ~i tKˆ 0 . 0
Prin analogie cu formalismul canonic se introduce operatorul de evolut¸ie Dirac grand-canonic ˆK (t, t0 ) ≡ e ~i tKˆ 0 e− ~i (t−t0 )Kˆ e− ~i t0 Kˆ 0 , U
(4.38)
care este analogul operatorului canonic definit prin relat¸ia (1.53). Cu ajutorul operatorului ˆK (t, t0 ), relat¸ia dintre operatorii Heisenberg ¸si Dirac grand-canonici devine: U ˆbK (t) = U ˆK (t, 0) . ˆK (0, t) ˆbK0 (t) U
(4.39)
276
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Operatorul de evolut¸ie Dirac grand-canonic are urm˘atoarele propriet˘ a¸ti importante. ˆ 1. UK (t, t0 ) este un operator unitar ˆ † (t, t0 ) = U ˆ −1 (t, t0 ) ; U K K
(4.40)
ˆK (t, t0 ) are proprietatea grupal˘ 2. U a: ˆ ˆK (t2 , t3 ) = U ˆK (t1 , t3 ) ; UK (t1 , t2 ) · U
(4.41)
ˆK (t, t0 ) satisface condit¸ia init¸ial˘a 3. U ˆK (t, t) = ˆ1 ; U
(4.42)
ˆK (t, t0 ) satisface ecuat¸ia diferent¸ial˘a 4. U i~
∂ ˆ ′ ˆK (t, t0 ) . ˆ 1K (t) U UK (t, t0 ) = K 0 ∂t
(4.43)
Demonstrat¸ie: Se efectueaz˘ a derivarea temporal˘ a a operatorului de evolut¸ie Dirac grad-canonic definit prin formula (4.38): i~
i ˆ ∂ ˆ ˆ 0 ) e− ~i (t−t0 )Kˆ e− ~i t0 Kˆ 0 + e ~i tKˆ 0 K ˆ e− ~i (t−t0 )Kˆ e− ~i t0 Kˆ 0 UK (t, t0 ) = e ~ tK0 (−K ∂t i ˆ ˆ −K ˆ 0 e−i ~i tKˆ 0 · e ~i tKˆ 0 e− ~i (t−t0 )Kˆ e− ~i t0 Kˆ 0 = e ~ tK0 K {z } |
ˆ K (t,t0 ) =U
=e
i tK ˆ0 ~
ˆ 1′ K
it K ˆ −~ 0 0
e
ˆK (t, t0 ) , U
ˆ ≈K ˆB = K ˆ0 + K ˆ 1′ ; rezultatul unde ˆın ultima egalitate s-a luat ˆın considerare relat¸ia (4.25b) K este echivalent relat¸iei (4.43).
Ecuat¸ia diferent¸ial˘a (4.43) cu condit¸ia init¸ial˘a (4.42) sunt formal similare cu ecuat¸ia (1.48) ˆımpreun˘ a cu condit¸ia (1.49), care conduc la ecuat¸ia integral˘a (1.50), astfel ˆıncˆ at ecuat¸ia diferent¸ial˘a ¸si condit¸ia init¸ial˘a specificate anterior sunt echivalente cu ecuat¸ia integral˘a Z i t ′ ˆ′ ˆK (t′ , t0 ) . ˆ ˆ (4.44) dt K1K0 (t′ ) U UK (t, t0 ) = 1 − ~ t0 5. Ecuat¸ia integral˘a (4.44) se poate rezolva prin metoda perturbativ˘a ˆın mod similar cu ecuat¸ia (1.50), rezultˆand o serie perturbativ˘a de tipul (1.51): Z t Z ∞ X ′ 1 −i n t ′ ˆ 1K ˆ 1K (t1 ) . . . K ˆ (tn ) . (4.45) dtn T K UK (t, t0 ) = dt1 . . . 0 0 n! ~ t0 t0 n=0 Observat¸ii: rezultatele anterioare sunt analoage cu cele din formalismul canonic (utilizat pentru ˆK (t, t0 ) nu reprezint˘ sistemele fermionice); totu¸si operatorul de evolut¸ie Dirac bosonic U a un operator de evolut¸ie temporal˘ a pentru st˘arile sistemului bosonic. Rezultatele anterioare conduc la o analogie formal˘a ˆıntre formul˘arile canonice (Heisenberg ¸si Dirac) pentru sistemele fermionice ¸si formul˘arile grand-canonice corespondente (Heisenberg ¸si Dirac) pentru sistemele P bosonice; ˆın consecint¸˘a, se poate efectua introducerea interact¸iei pentru ˆ 1′ = Vˆj ) prin metoda adiabatic˘a ˆın mod similar cu metoda utilizat˘a ˆın sistemul liber (K j=1,7
Subsect¸iunea 2.4.4:
• la momentul t = −∞ sistemul este f˘ar˘a interact¸ii ¸si se afl˘a ˆın starea fundamental˘ a |0i, • se introduce ˆın mod adiabatic interact¸ia astfel ˆıncˆ at la momentul t = 0 sistemul cont¸ine ˆıntreaga interact¸ie mutual˘a ¸si se afl˘a ˆın starea fundamental˘ a |Oi.
Ca urmare se obt¸ine un rezultat analog teoremei Gell-Mann ¸si Low, care a fost exprimat prin relat¸ia (2.151), dar ˆın prezent acest rezultat este reformulat pentru condit¸ii grand-canonice bosonice: ˆK (0 ± ∞)| 0 i |Oi U , (4.46) = ˆK (0 ± ∞)| 0 i h0|Oi h0|U
ˆ care este vectorul st˘ arii fundamentale a hamiltonianului grand-canonic K.
4.2. FUNCT ¸ II GREEN
277
B5. Potent¸ialul termodinamic grand-canonic Formalismul grand-canonic este utilizat deoarece ˆın aproximat¸ia Bogoliubov num˘arul de particule ale sistemului (N ) nu este constant; dac˘a sistemul se afl˘a ˆın starea fundamental˘ a (adic˘a la temperatura nul˘a) ¸si este la limita termodinamic˘ a (adic˘a este un sistem macroscopic), atunci potent¸ialul grand-canonic este media pe starea fundamental˘ a a hamiltonianului grand-canonic: Ω(T = 0, V, N ) =
ˆ hO|K|Oi . hO|Oi
(4.47)
ˆ cont¸in parametrul N0 , atunci acest parametru Deoarece expresiile vectorului |Oi ¸si operatorului K se determin˘a din condit¸ia de minim a potent¸ialului termodinamic: ∂ Ω(T = 0, V, µ; N0 ) =0, ∂N0
(4.48)
care este o ecuat¸ie cu solut¸ia N0 (V, µ). Dac˘ a se utilizeaz˘ a expresia (4.47) pentru potent¸ialul termodinamic grand-canonic, unde haˆ =H ˆ − µN ˆ = (Tˆ + Vˆ ) − µ(N0 ˆ1 + N ˆ ′ ) ¸si se ia ˆın considerare miltonianul grand-canonic este K proprietatea c˘ a vectorul st˘ arii fundamentale (cu interact¸ie) are norma hO|Oi independent˘ a de parametrul N0 , atunci se obt¸ine: ˆ
∂K
∂ Vˆ O O O − µ O ˆ ∂ hO|K|Oi ∂Ω ∂N0 0
∂N = = , = ∂N0 ∂N0 hO|Oi hO|Oi O O
de unde rezult˘a condit¸ia
4.2
∂ Vˆ O O ∂N0 µ= . hO|Oi
(4.49)
Funct¸ii Green
4.2.1
Definit¸ii
Funct¸ia Green uni-particul˘ a cauzal˘ a (pentru un sistem de bosoni f˘ar˘a spini) se define¸ste ˆın mod similar cazului fermionic: † hO| T ψˆK (r, t) ψˆK (r′ , t′ ) |Oi ′ ′ , (4.50) G(r, t; r , t ) ≡ −i hO|Oi unde T . . . este operatorul de ordonare cronologic˘ a bosonic, a c˘ arui act¸iune asupra unui produs de operatori elementari (sau operatori de cˆ amp) este ˆ ′ ) = θ(t − t′ ) ˆb(t) · B(t ˆ ′ ) + θ(t′ − t) B(t) ˆ · ˆb(t′ ) , T ˆb(t) · B(t (adic˘a nu se introduc factori de semn la reordonarea operatorilor). ˆIn aproximat¸ia Bogolibov funct¸ia Green are forma G(r, t; r′ , t′ ) ≈ −i n0 + G′ (r, t; r′ , t′ ) , unde G′ (r, t; r′ , t′ ) este funct¸ia Green necondensat˘a: hO| T ϕˆK (r, t) ϕˆ†K (r′ , t′ ) |Oi ′ ′ ′ . G (r, t; r , t ) ≡ −i hO|Oi Demonstrat¸ie: Prin utilizarea aproximat¸iei Bogoliubov pentru operatorii de cˆ amp (4.10) se obt¸ine √ √ † T ψˆK (r, t) ψˆK (r′ , t′ ) ≈ T 1+ϕ ˆK (r, t) 1+ϕ ˆ†K (r′ , t′ ) n0 ˆ n0 ˆ √ ˆ†K (r′ , t′ ) + T ϕ ˆK (r, t) ϕ ˆ†K (r′ , t′ ) ; 1 + n0 ϕˆK (r, t) + ϕ = n0 ˆ
(4.51)
(4.52)
278
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA atunci, funct¸ia Green se obt¸ine prin medierea pe starea fundamental˘ a a produsului cronologic anterior: hO| T ϕˆK (r, t) ϕ ˆ†K (r′ , t′ ) |Oi √ hO| ϕ ˆK (r, t)|Oi hO| ϕˆ†K (r, t)|Oi + ; G(r, t; r′ , t′ ) ≈ −i n0 −i n0 −i hO|Oi hO|Oi hO|Oi datorit˘ a condit¸iei (4.28) termenii liniari ˆın p˘ art¸ile excitate ale operatorilor de cˆ amp se anuleaz˘ a: hO| ϕ ˆK (r, t)|Oi = 0 ¸si hO| ϕ ˆ†K (r, t)|Oi = 0, astfel ˆıncˆ at rezult˘ a relat¸ia (4.51).
Datorit˘ a neconserv˘ arii num˘ arului de particule (consecint¸˘a a aproximat¸iei Bogolibov) se introduc funct¸iile Green uni-particul˘ a anomale: hO| T ϕˆK (r, t) ϕˆK (r′ , t′ ) |Oi ′ ′ ′ G12 (r, t; r , t ) ≡ −i , (4.53a) hO|Oi † hO| T ϕˆK (r, t) ϕˆ†K (r′ , t′ ) |Oi . (4.53b) G′21 (r, t; r′ , t′ ) ≡ −i hO|Oi Se observ˘ a c˘ a funct¸iile Green anomale sunt specifice sistemelor bosonice care prezint˘ a fenomenul de condensare, dar nu au corespondent fermionic. Este convenbil s˘a se utilizeze notat¸ia 4-vectorial˘a x = (r, t) ¸si s˘a se trateze simultan funct¸iile Green uni-particul˘ a prin utilizarea notat¸iei matriciale Beliaev; astfel se define¸ste cˆ ampul matricial ˆ K (x) ≡ ϕˆ†K (r, t) Φ (4.54a) ϕˆK (r, t) ˆ 1K (x) = ϕˆK (x) ¸si Φ ˆ 2K (x) = ϕˆ† (x); care este o matrice coloan˘ a de ordinul 2, cu elementele Φ K cˆ ampul matriceal conjugat este reprezentat de matricea linie de ordinul 2: ˆ † (x) ≡ ϕˆ† (r, t) Φ K K
ϕˆK (r, t) .
(4.54b)
Funct¸ia Green matricial˘a este definit˘ a ˆın termeni de cˆ ampuri matriciale: G′ (x, x′ ) ≡ −i
ˆ K (x) Φ ˆ † (x′ ) |Oi hO| T Φ K . hO|Oi
(4.55)
Se observ˘ a c˘ a funct¸ia Green matricial˘a este o matrice p˘ atrat˘ a de ordinul 2: ˆ αK (r, t) Φ ˆ † (r′ , t′ ) |Oi hO| T Φ ′ βK ′ ′ ′ ′ ′ ; G (x, x ) = Gαβ (x, x ) α,β=1,2 =⇒ Gαβ (x, x ) ≡ −i hO|Oi explicitare:
hO| T ϕˆK (x) ϕˆ†K (x′ ) |Oi ≡ −i hO|Oi † hO| T ϕˆK (x) ϕˆK (x′ ) |Oi ′ ′ G22 (x; x ) ≡ −i hO|Oi hO| T ϕˆK (x) ϕˆK (x′ ) |Oi ′ ′ G12 (x; x ) ≡ −i hO|Oi † hO| T ϕˆK (x) ϕˆ†K (x′ ) |Oi ′ ′ G21 (x; x ) ≡ −i hO|Oi G′11 (x; x′ )
Adic˘a matricea funct¸iei Green bosonice este ′ ′ G ′′(x; x ′) ∗ G′ (x, x′ ) = − G (x; x )
≡ G′ (x; x′ ) ,
(4.56a)
≡ G′ (x′ ; x) ,
(4.56b)
≡ G′′ (x; x′ ) ,
(4.56c)
∗ ≡ − G′′ (x; x′ ) .
G′′ (x; x′ ) ; G′ (x′ ; x)
(4.56d)
(4.57)
se observ˘ a c˘ a elementele diagonale ale matricii G′ (x, x′ ) sunt funct¸ia Green normal˘a, iar elementele nediagonale sunt funct¸iile Green anomale.
4.2. FUNCT ¸ II GREEN
4.2.2
279
Propriet˘ a¸ti generale
Elementul de matrice al funct¸iei Green bosonice are urm˘atoarea expresie explicit˘a: G′αβ (r, t; r′ , t′ ) o −i n ˆ αK (r, t) Φ ˆ † (r′ , t′ )|Oi + θ(t′ − t) hO| Φ ˆ † (r′ , t′ ) Φ ˆ αK (r, t)|Oi θ(t − t′ ) hO| Φ = βK βK hO|Oi ′ ′> ′ ′ ′ ′< ′ ′ ≡ θ(t − t ) Gαβ (r, t; r , t ) + θ(t − t) Gαβ (r, t; r , t ) . (4.58) Se vor evident¸ia propriet˘ a¸tile importante ale funct¸iilor Green bosonice uni-particul˘a din formalismul de temperatur˘a nul˘a, care prezint˘ a similitudini cu propriet˘a¸tile funct¸iilor Green uni-particul˘a fermionice. A. Propriet˘ a¸ti de simetrie A1. Teorema de invariant¸˘ a temporal˘ a: dac˘a hamiltonianul grand-canonic este invariant la translat¸ii temporale, atunci funct¸iile Green uni-particul˘a depind numai de diferent¸a coordonatelor temporale: ˆ ≡H ˆ − µN ˆ = atemporal K
G′αβ (r, t; r′ , t′ ) = G′αβ (r, t − t′ ; r′ , 0) .
=⇒
(4.59)
Demonstrat¸ie: Operatorii de cˆ amp ˆın formularea Heisenberg grand-canonic˘ a sunt definit¸i prin formula ˆ α (r) e− ~i tKˆ B , ˆ αK (r, t) = e ~i tKˆ B Φ Φ iar vectorul st˘ arii fundamentale |Oi este vector propriu al hamiltonianului grand-canonic (aproˆ B |Oi = K e 0 |Oi; atunci, mediile pe starea fundamental˘ ximat): K a ale produselor de operatori de cˆ amp, care apar ˆın definit¸ia (4.58) a funct¸iilor Green, au urm˘ atoarele dependent¸e explicite ˆın raport cu coordonatele temporale: ˆ αK (r, t) Φ ˆ † (r′ , t′ )|Oi = hO| e ~i tKˆ B Φ ˆ α (r) e− ~i tKˆ B · e ~i t hO| Φ βK
′ ˆ KB
′
ˆ † (r′ ) e− ~i t Kˆ B |Oi Φ β
′ i e ˆ α (r) e− ~i (t−t′ )Kˆ B Φ ˆ † (r′ ) |Oi , = e ~ K0 (t−t ) hO| Φ β
ˆ † (r′ , t′ ) Φ ˆ α (r) e− ~i tKˆ B |Oi ˆ † (r′ ) e− ~i t′ Kˆ B · e ~i tKˆ B Φ ˆ αK (r, t)|Oi = hO| e ~i t′ Kˆ B Φ hO| Φ β βK ′
′
i e ˆ † (r′ ) e ~i (t−t )Kˆ B Φ ˆ α (r) |Oi ; = e− ~ K0 (t−t ) hO| Φ β
se observ˘ a c˘ a cele dou˘ a elemente de matrice care cont¸in coordonatele temporale (t ¸si t′ ), depind numai de diferent¸a t − t′ .
A2. Teorema de invariant¸˘ a spat¸ial˘ a: dac˘a sistemul este omogen din punct de vedere spat¸ial, atunci funct¸iile Green uni-particul˘ a depind numai de diferent¸a vectorilor de pozit¸ie: ˆ = invariant la translat¸ii spat¸iale K
=⇒
G′αβ (r, t; r′ , t′ ) = G′αβ (r − r′ , t; 0, t′ ) .
(4.60)
Demonstrat¸ie: ˆIn demonstrat¸ia formulei (3.49), care constituie teorema de invariant¸˘ a spat¸ial˘ a a funct¸iilor Green ˆın ˆ este generatorul translat¸iilor cazul fermionic, s-a ar˘ atat c˘ a operatorul impuls total al sistemului n P o −i ˆ sistemului, iar operatorul de translat¸ii spat¸iale este Tˆ (r) = exp P · r ; atunci, translat¸ia ~ spat¸ial˘ a a vectorilor ¸si operatorilor se obt¸ine ca o transformare unitar˘ a realizat˘ a de operatorul Tˆ (r): | 0 i −→ | r i = Tˆ (r) | 0 i , ˆb(0) −→ ˆb(r) = Tˆ (r) ˆb(0) Tˆ † (r) .
ˆIn particular, pentru operatorii de cˆ amp este valabil˘ a urm˘ atoarea relat¸ie: ˆ ˆ ˆ α (0) e ~i r·P ˆ α (r) = e− ~i r·P Φ . Φ
Dac˘ a sistemul este omogen din punct de vedere spat¸ial, atunci acesta este invariant la translat¸ii ˆ ˆ comut˘ ˆ,P =ˆ 0. Pe de alt˘ a ¸si astfel hamiltonianul grand-canonic K a cu operatorul impuls: K −
280
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA parte, a¸sa cu s-a ar˘ atat la demonstrarea relat¸iilor (4.28), operatorul impuls nu cont¸ine operatori elementari condensat¸i, astfel ˆıncˆ at aproximat¸ia Bogolibov nu afecteaz˘ a propriet˘ a¸tile de invariant¸˘ a la translat¸ii ale sistemului; ca urmare, hamiltonianul grand-canonic ˆ ın aproximat ¸ ia Bogoliubov ˆ B comut˘ ˆB , P ˆ = ˆ 0 ¸si astfel cei doi operatori au K a, de asemenea, cu operatorul impuls: K − un sistem de vectori proprii comuni. Atunci, vectorul st˘ arii fundamentale Bogolibov |Oi este un ˆ corespunz˘ vector propriu pentru operatorul P, ator valorii proprii nule: ˆ |Oi = | ∅ i , P
( P0 = 0 ) .
Se aplic˘ a proprietatea anterioar˘ a pentru explicitarea elementelor de matrice din expresiile funct¸iilor Green, care sunt dependente de vectorii de pozit¸ie: ′ ˆ ·P
i ˆ ˆ ˆ αK (r, t) Φ ˆ † (r′ , t′ )|Oi = hO| e− ~i r·P ˆ αK (0, t) e ~i r·P hO| Φ Φ · e− ~ r βK i (r−r′ )·P ˆ −~
ˆ αK (0, t) e = hO| Φ ˆ † (r′ , t′ ) Φ ˆ αK (r, t)|Oi = hO| e hO| Φ βK
i r′ ·P ˆ ~
i r′ ·P ˆ −~
ˆ † (0, t′ ) e Φ βK i
′
ˆ † (0, t′ ) e ~ (r−r = hO| Φ βK
ˆ )·P
′ ˆ ·P
ˆ † (0, t′ ) e ~i r Φ βK
ˆ † (0, t′ ) |Oi Φ βK
·e
i r·P ˆ ~
|Oi
,
ˆ ˆ αK (0, t) e− ~i r·P Φ |Oi
ˆ αK (0, t) |Oi ; Φ
se observ˘ a c˘ a cele dou˘ a elemente de matrice care cont¸in vectorii de pozit¸ie (r ¸si r′ ), depind numai ′ de diferent¸a r − r .
A3. Teorema de transformare Fourier dac˘a sistemul este conservativ (se afl˘a ˆın condit¸ii externe atemporale) ¸si este omogen din punct de vedere spat¸ial, atunci funct¸iile Green depind numai de diferent¸ele coordonatelor spat¸io-temporale G′αβ (r, t; r′ , t′ ) = G′αβ (r − r′ , t − t′ ; 0, 0) , astfel ˆıncˆ at sunt posibile transform˘ ari Fourier spat¸io-temporale simple: Z 1 X′ ∞ dω ik·(r−r′ )−iω(t−t′ ) e′ G′αβ (r − r′ , t − t′ ) = e Gαβ (k, ω) V −∞ 2π =
LT
Z
k (k6=0)
d3 k 3 R3 (2π)
Z
∞
dω ik·(r−r′ )−iω(t−t′ ) e ′ e Gαβ (k, ω) ; −∞ 2π
iar transformarea Fourier invers˘a este dat˘a de relat¸ia: Z ∞ Z 3 e′ (k, ω) = d r dt e−ik·r+iωt G′αβ (r, t) . G αβ V
(4.61a)
(4.61b)
−∞
Demonstrat¸ie:
Rezultatul teoremei prezente se obt¸ine ˆın mod direct prin aplicarea celor dou˘ a teoreme anterioare ¸si apoi utilizˆ and definit¸iile transform˘ arii Fourier.
A4. Exprimarea funct¸iilor Green cu operatori elementari Pentru o exprimare condensat˘ a se introduce matricea coloan˘ a a operatorilor elementari (ˆın mod similar cu matricea coloan˘ a a operatorilor de cˆ amp): ˆ ˆ k ≡ b†k , B ˆb k
(4.62)
ˆ k,1 = ˆb k ¸si B ˆ k,2 = ˆb† . care este o matrice de ordinul 2, cu elementele B k Prin utilizarea descompunerii (4.7) a operatorului de cˆ amp ¸si a definit¸iei (4.54) se obt¸ine descompunerea matricial˘a ϕˆK (r, t) =
X′ eik·r √ ˆb kK (t) V k
(k6=0)
=⇒
ˆ K (r, t) = Φ
X′ eik·r ˆ kK (t) . √ B V k
(k6=0)
(4.63)
4.2. FUNCT ¸ II GREEN
281
Se consider˘ a cazul cˆ and sistemul este omogen din punct de vedere spat¸ial, f˘ar˘a s˘a se fac˘a hipoteze cu privire la comportarea sistemului ˆın raport cu translat¸iile temporale; atunci, conform teoremei de invariant¸˘ a la translat¸ii spat¸iale, funct¸iile Green depind numai de diferent¸a vectorilor de pozit¸ie, astfel ˆıncˆ at se poate efectua transformarea Fourier spat¸ial˘a simpl˘a a funct¸iei Green matriciale: G′αβ (r, t; r′ , t′ ) = G′αβ (r − r′ , t; 0, t′ ) = =
1 X′ ik·(r−r′ ) ′ Gαβ (k; t, t′ ) e V k (k6=0)
1 X′ i(k·r−k′ ·r′ ) ′ e δk,k′ Gαβ (k; t, t′ ) , V ′ k,k (k6=0)
′
a parte, prin unde Gαβ (k; t, t′ ) este transformata spat¸ial˘a a funct¸iei Green matriciale. Pe de alt˘ substituirea operatorilor de cˆ amp prin dezvolt˘ arile ˆın operatori elementari (4.63), se obt¸ine G′αβ (r, t; r′ , t′ )
ˆ K (r, t) Φ ˆ †K (r′ , t′ ) |Oi hO| T Φ = −i hO|Oi ˆ kK (t) B ˆ †k′ K (t′ ) |Oi hO| T B 1 X′ i(k·r−k′ ·r′ ) = . e (−i) V hO|Oi ′ k,k (k6=0)
Se egaleaz˘ a cele dou˘a expresii echivalente ale funct¸iei Green ¸si se ia ˆın considerare proprietatea 1 sistemului de funct¸ii Fourier uk (r) ≡ √ eik·r , care este un sistem liniar independent, astfel c˘ a V rezult˘a egalitatea: ˆ kK (t) B ˆ † ′ (t′ ) |Oi hO| T B ′ kK = δk,k′ Gαβ (k; t, t′ ) , (−i) hO|Oi din care rezult˘a ˆ kK (t) B ˆ † (t′ ) |Oi hO| T B kK , hO|Oi 1 X′ ik·(r−r′ ) ′ G′αβ (r, t; r′ , t′ ) = e Gαβ (k; t, t′ ) . V
′
Gαβ (k; t, t′ ) = (−i)
(4.64a) (4.64b)
k (k6=0)
A5. Paritatea funct¸iilor Green anomale Funct¸iile Green anomale sunt simetrice ˆın raport cu permutarea coordonatelor spat¸io-temporale hO| T ϕˆK (x) ϕˆK (x′ ) |Oi ′ ′ = G′12 (x′ , x) , (4.65a) G12 (x, x ) = −i hO|Oi hO| T ϕˆK (x) ϕˆK (x′ ) |Oi = G′21 (x′ , x) ; (4.65b) G′21 (x, x′ ) = −i hO|Oi ˆın consecint¸˘ a, transformatele Fourier spat¸io-temporale sunt funct¸ii pare ˆın raport cu setul coordonatelor impuls-frecvent¸˘ a:
Demonstrat¸ie:
e′ (−k, −ω) = G e ′ (k, ω) , G αβ αβ
(α, β) = (12), (21) .
(4.66)
Paritatea funct¸iilor Green anomale ˆın raport cu permutarea coordonatelor spat¸io-temporale rezult˘ a direct din definit¸ia produsului cronologic bosonic, care nu introduce factor de semn la permut˘ arile operatorilor. Pentru a exprima ˆın mod condensat formulele care implic˘ a transform˘ arile Fourier spat¸io-temporale, este convenabil s˘ a se utilizeze, la fel ca ˆın cazul fermionic, notat¸ii 4-dimensionale pentru impulsfrecvent¸˘ a: k ≡ (k, ω), la fel ca notat¸ia pentru pozit¸ie-timp x ≡ (r, t); atunci relat¸ia de paritate
282
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA ˆın spat¸iul pozit¸ii-timp este: G′αβ (x, x′ ) = G′αβ (x − x′ ) = G′αβ (x′ − x), iar aceast˘ a proprietate se repercuteaz˘ a asupra transformatei Fourier: e ′αβ (k) = G
Z
d4 x e−ik·x G′αβ (x) =
Z
d4 x e−ik·x G′αβ (−x) =
Z
′
e ′αβ (−k) , d4 x eik·x G′αβ (x′ ) = G
unde s-a efectuat schimbarea de variabil˘ a x′ = x; rezultatul este relat¸ia (4.66).
B. Reprezentarea Lehmann B1. Se consider˘ a c˘ a sistemul este omogen (din punct de vedere spat¸ial) ¸si se afl˘a ˆın condit¸ii externe atemporale; ca urmare, hamiltonianul grand-canonic (atˆ at cel exact, cˆ at ¸si cel ˆın aproximat¸ia Bogolibov) este invariant la translat¸ii spat¸iale ¸si temporale. Deoarece funct¸iile Green sunt definite ˆın aproximat¸ia Bogolibov, pentru reprezent˘ arile Lehmann ale acestor funct¸ii Green va fi interesant numai hamiltonianul grand-canonic ˆın aproximat a ¸ia Bogoliubov. Luˆand ˆın considerare c˘ ˆB , P ˆ ]− = ˆ0, rezult˘a c˘ hamiltonianul grand-canonic ¸si impulsul total comut˘ a K a ace¸ s ti operatori au un set comun de vectori proprii, notat |npi n,p , care este un sistem complet ˆın spat¸iul Fock al sistemului; ecuat¸iile cu valori proprii ale operatorilor specificat¸i anterior au urm˘atoarele forme: ˆ | np i = p | np i , P ˆ B | np i = Kn,p | np i , K iar relat¸iile de orto-normare ¸si completitudine ale sistemului de vectori proprii comuni sunt X n,p
h np | n′ p′ i = δn,n′ δp,p , | np ih np | = ˆ1 .
B2. Pe baza propriet˘ a¸tilor specificate anterior se efectueaz˘a descompunerea elementelor de matrice ale funct¸iilor Green, care sunt cont¸inute ˆın formula (4.58). Astfel primul element de matrice se prelucreaz˘ a ˆın modul urm˘ator: i. se utilizeaz˘ a definit¸ia operatorilor de cˆ amp ˆın formularea Heisenberg grand-canonic˘a ¸si transformarea unitar˘ a de translat¸ie spat¸ial˘a, ˆ B ¸si P ˆ asupra st˘arii fundamentale |Oi, ii. se utilizeaz˘ a act¸iunile operatorilor K iii. se introduce relat¸ia de completitudine a bazei |npi n,p ¸si se utilizeaz˘a ecuat¸iile cu valori ˆ B ¸si P. ˆ proprii ale operatorilor K Ca urmare a operat¸iilor specificate anterior, se obt¸in urm˘atoarele egalit˘a¸ti: ˆ αK (r, t) Φ ˆ † (r′ , t′ )|Oi hO| Φ βK
i i ′ ˆ i ′ ˆ i i ˆ ˆ ˆ ˆ − i tK ˆ ˆ − i t′ K ˆ r·P ˆ † (0) e ~i r′ ·P e ~ B e ~ t K B e− ~ r · P Φ e ~ B |Oi = hO| e ~ tKB e− ~ r·P Φ α (0) e ~ β ′ i ˆ − i (t−t′ )K ˆB ˆ † ˆ α (0) e ~i (r−r′ )·P Φβ (0) |Oi e ~ = e ~ K0 (t−t ) hO| Φ ′ X ′ ˆ ′ ˆ i i i K (t−t ) (r−r )· P − (t−t )K B ˆ † (0) |Oi ˆ α (0) e ~ = e~ 0 | np ih np | Φ e ~ hO| Φ β
=
X n,p
n,p
e
′ i ~ K0 (t−t )
′ ′ i i ˆ α (0) | np ih np | Φ ˆ † (0) |Oi . e ~ p·(r−r ) e− ~ Knp (t−t ) hO| Φ β
ˆIn mod similar se obt¸ine expresia celui de-al doilea element de matrice: ˆ † (r′ , t′ ) Φ ˆ αK (r, t)|Oi hO| Φ βK X i ′ ′ ′ i i ˆ † (0) | np ih np | Φ ˆ α (0) |Oi . = e ~ K0 (t −t) e ~ p·(r −r) e− ~ Knp (t −t) hO| Φ β n,p
4.2. FUNCT ¸ II GREEN
283
Atunci, pe baza celor dou˘a rezultate precedente, din formula (4.58), se obt¸ine: G′αβ (r, t; r′ , t′ ) o −i n ˆ αK (r, t) Φ ˆ † (r′ , t′ )|Oi + θ(t′ − t) hO| Φ ˆ † (r′ , t′ ) Φ ˆ αK (r, t)|Oi θ(t − t′ ) hO| Φ = βK βK hO|Oi n X ′ ′ i −i i ˆ α (0) | np ih np | Φ ˆ † (0) |Oi θ(t − t′ ) e− ~ (Knp −K0 )(t−t ) e ~ p·(r−r ) hO| Φ = β hO|Oi n,p o ′ ′ i i ˆ † (0) | np ih np | Φ ˆ α (0) |Oi , + θ(t′ − t) e ~ (Knp −K0 )(t−t ) e− ~ p·(r−r ) hO| Φ β
sau, echivalent, ˆın exprimare matricial˘a ¸si evident¸iind ˆın mod direct dependent¸a funct¸iilor Green numai de diferent¸ele coordonatelor spat¸io-temporale (ceea ce este ˆın concordant¸˘a cu rezultatele generale exprimate prin teorema de transformare Fourier): Xn ˆ ˆ† ′ − ~i (Knp −K0 )(t−t′ ) ~i p·(r−r′ ) hO| Φ(0) | np ih np | Φ (0) |Oi e G (r − r , t − t ) = −i θ(t − t ) e hO|Oi n,p ′
′
′
′
+ θ(t − t) e
′ i ~ (Knp −K0 )(t−t )
e
ˆ † (0) | np ih np | Φ(0) ˆ |Oi o , hO|Oi (4.67)
− ~i p·(r−r′ ) hO| Φ
B3. ˆIn expresia (4.67) se efectueaz˘a transformarea Fourier spat¸io-temporal˘a simpl˘a (notat¸ie matricial˘a): Z Z ∞ d3 k dω ik·(r−r′ )−iω(t−t′ ) e ′ G′ (r − r′ , t − t′ ) = e G (k, ω) 3 LT R3 (2π) −∞ 2π Z ∞ Z e ′ (k, ω) = d3 r dt e−ik·r+iωt G′ (r, t) . =⇒ G V
−∞
Pentru obt¸inerea expresiei generale a transformatei Fourier a matricii funct¸iei Green, se utilizeaz˘a expresia (4.67), iar integralele spat¸iale ¸si temporale se efectueaz˘a cu ajutorul formulelor Z I(k) ≡ d3 r e ik·r = V δ k,0 , V Z ∞ ±i dτ θ(±τ ) e iωτ = K± (ω) ≡ , ω ± iη η→0+ −∞ care au fost demonstrate ˆın Anexa matematic˘a A.3 prin formula (A.32), respectiv ˆın Anexa matematic˘a A.5 prin formula (A.46); ca urmare, se obt¸ine e ′ (k, ω) G =
X hO| Φ(0) ˆ ˆ † (0) |Oi Z | np ih np | Φ hO|Oi
n,p
+
=V
†
ˆ (0) | np ih np | Φ(0) ˆ hO| Φ |Oi hO|Oi
n
−
i ~ (p−k)·r
d re |V {z
= V δp,k
}
(−i)
Z
∞
1
dt θ(t) e i[ω− ~ (Knp −K0 )]t −∞ {z } | 1 [Knp −K0 ] = J+ ω− ~
Z ∞ 1 i dt θ(−t) e i[ω+ ~ (Knp −K0 )]t d3 r e− ~ (p+k)·r (−i) −∞ {z } |V | {z } = V δp,−k
Z
X hO| Φ(0) ˆ ˆ † (0) |Oi | n, k ih n, k | Φ hO|Oi
3
1 = J− ω+ ~ [Knp −K0 ]
ω−
1 − K0 ) + i η
1 ~ (Kn,p
ˆ (0) | n, −k ih n, −k | Φ(0) ˆ 1 hO| Φ |Oi , hO|Oi ω − ~1 (Kn,−p − K0 ) − i η †
care este reprezentarea Lehmann a funct¸iilor Green uni-particul˘a bosonice.
(4.68)
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
284
Explicitare pe componentele matricii, conform relat¸iilor (4.56): e′ (k, ω) = V G e′ (k, ω) = V G 12 e′ (k, ω) = V G 21
X hO| ϕ(0) ˆ | n, k ih n, k | ϕˆ† (0) |Oi hO|Oi
n
−
1 ω − ~1 (Kn,p − K0 ) + i η
hO| ϕˆ† (0) | n, −k ih n, −k | ϕ(0) ˆ |Oi 1 1 hO|Oi ω − ~ (Kn,−p − K0 ) − i η
X hO| ϕ(0) ˆ | n, k ih n, k | ϕ(0) ˆ |Oi hO|Oi
n
1 ω − ~1 (Kn,p − K0 ) + i η
,
,
1 hO| ϕˆ (0) | n, −k ih n, −k | ϕ ˆ (0) |Oi − hO|Oi ω − ~1 (Kn,−p − K0 ) − i η
−
hO| ϕ(0) ˆ | n, −k ih n, −k | ϕ(0) ˆ |Oi 1 hO|Oi ω − ~1 (Kn,−p − K0 ) − i η
X hO| ϕˆ† (0) | n, k ih n, k | ϕˆ† (0) |Oi hO|Oi
n
†
†
ω−
1 − K0 ) + i η
1 ~ (Kn,p
.
Observat¸ii asupra reprezent˘ arii Lehmann: i. Toate funct¸iile Green uni-particul˘a au acelea¸si singularit˘a¸ti ˆın planul complex rezultat prin prelungirea analitic˘a a frecvent¸ei ω → z ∈ C: ± zn,k =
1 (Kn,±k − K0 ) ± i η ≡ ωn,±k ± i η , ~
care sunt poli simpli; frecvent¸ele rezonante ωn,±k = ~1 (Kn,±k −K0 ) constituie spectrul excitat¸iilor elementare ale sistemului. ii. Reziduurile ˆın poli ai transformatelor Fourier ale funct¸iilor Green au urm˘atoarele expresii: ′ e (k, ω) Res G
± z=zn,k
′ e (k, ω) ± Res G 12 z=z
n,k
′ e (k, ω) ± Res G 21 z=z
n,k
hO| ϕ(0) n, ±ki 2 ˆ =V ∈R, hO|Oi n, ±kihn, ±k ϕ(0) n, ±ki hO| ϕ(0) ˆ ˆ , =V hO|Oi hO| ϕˆ† (0) n, ±kihn, ±k ϕˆ† (0) n, ±ki =V . hO|Oi
se observ˘ a c˘ a reziduurile Green anomale sunt corelate prin operat¸ia de conjugare com funct¸iilor e′21 (k, ω) ∗ . e ′12 (k, ω) = Res G plex˘a: Res G
4.2.3
Funct¸ia Green liber˘ a
Cˆand sistemul este liber, atunci sunt absente interact¸iile mutuale ˆıntre particulele X sistemului; ˆ 1 = E0 ˆ1 + Vˆ este nul ca urmare, hamiltonianul de interact¸ie, descris prin formula (4.15), H j=1,7
¸si formul˘arile Heisenberg ¸si Dirac sunt identice. ˆIn aceste condit¸ii hamiltonianul grand-canonic (ˆın aproximat¸ia Bogoliubov), descris ˆın general prin formulele (4.25), este ˆ 0 = −µ N0 ˆ1 + K ˆ ′ = −µ N0 ˆ1 + (Tˆ − µ N ˆ ′) , ˆ0 = K K 0 B iar starea fundamental˘ a liber˘ a, conform definit¸iei (4.19) |Φ0 (N )i = | 0 i, este stare de vid. Prin particularizarea definit¸iei generale (4.55), funct¸ia Green matricial˘a (parte necondensat˘a) uni-particul˘ a a sistemului liber este ˆ †K (x′ ) | 0 i ˆ K0 (x) Φ h0|T Φ 0 G (x, x ) ≡ −i ; h0|0i 0
′
(4.69)
4.2. FUNCT ¸ II GREEN
285
explicitare: h 0 | T ϕˆK0 (r, t) ϕˆ†K0 (r′ , t′ ) | 0 i , G (r, t; r , t ) ≡ −i h0|0i h 0 | T ϕˆK0 (r, t) ϕˆK0 (r′ , t′ ) | 0 i 0 ′ ′ , G12 (r, t; r , t ) ≡ −i h0|0i † h 0 | T ϕˆK0 (r, t) ϕˆ†K0 (r′ , t′ ) | 0 i G021 (r, t; r′ , t′ ) ≡ −i . h0|0i 0
′
′
Prin calcul direct se obt¸ine expresia p˘ art¸ii necondensate a funct¸iei Green cauzale uni-particul˘a libere: −i X′ ik·(r−r′ ) − i (ε0k −µ)(t−t′ ) θ(t − t′ ) . (4.70) G0 (r, t; r′ , t′ ) = e e ~ V k (k6=0)
Demonstrat¸ie: Prin explicitarea operat¸iei de ordonare cronologic˘ a, expresia de definit¸ie a funct¸iei Green libere devine: o −i n ˆ†K0 (r′ , t′ ) | 0 i+θ(t−t′) h 0 | ϕ ˆ†K0 (r′ , t′ ) ϕ ˆK0 (r, t) | 0 i . θ(t−t′ ) h 0 | ϕ ˆK0 (r, t) ϕ G0 (r, t; r′ , t′ ) = h0|0i Dar conform relat¸iei (4.34b) p˘ art¸ile necondensate ale operatorilor de cˆ amp ˆın formularea Dirac grand-canonic˘ a au expresiile 1 X′ ik·r− ~i (ε0k −µ)t ˆ e ϕ ˆK0 (r, t) = √ bk , V k (k6=0)
ϕˆ†K0 (r′ , t′ )
= ϕ ˆK0 (r′ , t′ )
∗
1 X′ −ik·r′ + ~i (ε0k −µ)t′ ˆ† e bk , = √ V k (k6=0)
iar operatorii de anihilare necondensat¸i distrug starea fundamental˘ a, conform relat¸iei (4.2): ˆb k | 0 i = | ∅ i . Atunci elemente de matrice din expresia de definit¸ie a funct¸iei Green, pe baza rezultatelor precedente, au expresiile urm˘ atoare: ˆ†K0 (r′ , t′ ) | 0 i = h0|ϕ ˆK0 (r, t) ϕ
1 V
h0|ϕ ˆ†K0 (r′ , t′ ) ϕ ˆK0 (r, t) | 0 i =
1 V
X′
′
·r′ )
0 0 ′ i e− ~ [(εk −µ)t−(εk′ −µ)t ] h 0 | ˆb k ˆb†k′ | 0 i ,
′
·r′ )
0 0 ′ i e− ~ [(εk −µ)t−(εk′ −µ)t ] h 0 | ˆb†k′ ˆb k | 0 i ;
ei(k·r−k
k,k′ (k,k′ 6=0)
X′
ei(k·r−k
k,k′ (k,k′ 6=0)
cu ajutorul relat¸iei de comutare fundamental˘ a a operatorilor elementari ¸si utilizˆ and proprietatea (4.2) a operatorilor de anihilare se obt¸ine: 1 + ˆb†k′ ˆb k | 0 i = δk,k′ h 0 | 0 i , h 0 | ˆb k ˆb†k′ | 0 i = h 0 | δk,k′ ˆ h 0 | ˆb†k′ ˆb k | 0 i = 0 .
Ca urmare, elementele de matrice ale funct¸iei Green devin: h0|ϕ ˆK0 (r, t) ϕˆ†K0 (r′ , t′ ) | 0 i =
1 X′ ik·(r−r′ ) − ~i (ε0k −µ)(t−t′ ) e e h0|0i , V k (k6=0)
h0|ϕ ˆ†K0 (r′ , t′ )
ϕ ˆK0 (r, t) | 0 i = 0 ;
atunci, prin substituirea expresiilor precedente ale elementelor de matrice ˆın formula de definit¸ie explicit˘ a a funct¸iei Green, rezult˘ a expresia (4.70).
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
286
Observat¸ii: i. Funct¸ia Green cauzal˘ a liber˘ a este proport¸ional˘ a cu funct¸ia Heaviside pentru prima variabil˘ a temporal˘ a mai mare: G0 (r, t; r′ , t′ ) ∼ θ(t − t′ ); ca urmare, lipse¸ste termenul corespunz˘ ator propag˘arii inversate temporal, care ar fi proport¸ional cu θ(t′ − t). Rezult˘ a c˘ a funct¸ia Green cauzal˘ a bosonic˘a liber˘ a cont¸ine numai propagarea ˆınainte temporal˘a, ceea ce implic˘ a absent¸a propag˘ arii unui gol (deosebire fat¸˘ a de cazul fermionic). ii. Expresia (4.70) arat˘a c˘ a funct¸ia Green cauzal˘ a liber˘a depinde numai de deferent¸ele coordonatelor spat¸iale ¸si temporale G0 (r, t; r′ , t′ ) = G0 (r − r′ , t − t′ ); atunci se poate efectua transformarea Fourier spat¸io-temporal˘ a simpl˘a, iar transformata Fourier are expresia: e0 (k, ω) = G
Demonstrat¸ie:
1 . ω − ~1 (ε0k − µ) + i η
(4.71)
Se utilizeaz˘ a definit¸ia transformatei Fourier, expresia (4.70) a funct¸iei Green cauzale ¸si expresiile integralelor I(k) ¸si K± (ω), care au fost folosite anterior pantru deducerea reprezent˘ arii Lehmann, astfel c˘ a se obt¸ine: Z Z ∞ e 0 (k, ω) = G d3 r dt e−ik·r+iωt G0 (r, t) V −∞ Z ∞ X′ 1 Z 3 i(k′ −k)·r 0 1 d re (−i) dt θ(t) ei ω− ~ (εk′ −µ) t = V −∞ k′ | V {z } | {z } (k′ 6=0) =δ ′ 1 [ε0 −µ] = J+ ω− ~ ′
k ,k
k
=
X′
k′ (k′ 6=0)
δk′ ,k
i (−i) , ω − 1~ (ε0k′ − µ) + i η
iar ultima expresie conduce direct la rezultatul (4.71).
Funct¸iile Green anomale libere sunt nule: G012 (r, t; r′ , t′ ) o −i n θ(t − t′ ) h 0 | ϕˆK0 (r, t) ϕˆK0 (r′ , t′ ) | 0 i +θ(t − t′ ) h 0 | ϕˆK0 (r′ , t′ ) ϕˆK0 (r, t) | 0 i = | {z } {z } | h0|0i =0
=0
=0,
G021 (r, t; r′ , t′ ) o −i n θ(t − t′ ) h 0 | ϕˆ†K0 (r, t) ϕˆ†K0 (r′ , t′ ) | 0 i +θ(t − t′ ) h 0 | ϕˆ†K0 (r′ , t′ ) ϕˆ†K0 (r, t) | 0 i = h0|0i | | {z } {z } =0
=0
=0.
Ca urmare, matricea funct¸iei Green liber˘a uni-particul˘a este diagonal˘ a: " # 0 e0 (k) G (x − x′ ) 0 G 0 0 ′ 0 e (k) = G (x, x ) = =⇒ G e0 (−k) . 0 G0 (x′ − x) 0 G
4.2.4
(4.72)
Relat¸ia dintre funct¸ia Green ¸si observabile
Se va ar˘ ata c˘ a mediile unor observabile importante pe starea fundamental˘ a a sistemului se pot exprima ˆın termeni de funct¸ie Green uni-particul˘a, ˆın mod asem˘ an˘ator cazului fermionic, dar prin formule mai complicate, deoarece se utilizeaz˘a aproximat¸ia Bogolibov. A. Observabile 1-particul˘ a Operatorul asociat unei observabile de tip uni-particul˘a, ˆın termeni de operatori de cˆ amp, se exprim˘ a prin formulele (2.92) – (2.93), adaptate cazului cˆ and spinul este nul, din care rezult˘a urm˘atoarea expresie pentru operatorul din formularea grand-canonic˘a: Z Z ˆ ˆ † ′ † ˆbK (t) = d3 r lim (r , t) ψˆK (r, t) . Aˆr ψˆK d3 r ψˆK (r, t) Aˆr ψˆK (r, t) = ′ V
V
r →r
4.2. FUNCT ¸ II GREEN
287
Media pe starea fundamental˘ a (ˆın aproximat¸ia Bogoliubov) a observabilei specificate anterior este Z † ′
hO| ˆbK (t) |Oi ˆˆ hO| ψˆK (r , t) ψˆK (r, t) |Oi d3 r lim = A A 0= r r′ →r hO|Oi hO|Oi V Z † ′ ′ ˆˆ hO| ψˆK (r , t ) ψˆK (r, t) |Oi A d3 r lim lim = , r r′ →r t′ →t+ hO|Oi V unde ˆın ultima egalitate s-a introdus timpul infinitezimal crescut, t+ , pentru a asigura ordonarea cronologic˘ a a operatorilor de cˆ amp; atunci, media produsului de operatori de cˆ amp este egal˘a cu funct¸ia Green cauzal˘ a, conform definit¸iei (4.50), astfel ˆıncˆ at media observabilei uni-particul˘a devine: Z
ˆ d3 r lim lim Aˆr i G(r, t; r′ , t′ ) . A 0= ′ r →r t′ →t+
V
Datorit˘ a aproximat¸iei Bogoliubov, se utilizeaz˘a funct¸ia Green necondensat˘a, conform relat¸iei ˆ (4.51) ¸si se ia ˆın considerare faptul c˘ a operatorul funct¸ional Aˆr nu cont¸ine operat¸ii de derivare temporal˘ a, astfel ˆıncˆ at se poate efectua trecerea la limit˘a t → t+ ; ca urmare, expresia precedent˘ a se rescrie ˆın urm˘atoarea form˘a echivalent˘ a: Z
ˆ (4.73) Aˆr n0 + i G′ (r, t; r′ , t+ ) . A 0= d3 r lim ′ V
r →r
Observat¸ii: i. Rezultatul este analog cazului fermionic, dar se face separarea p˘ art¸ii condensate (care nu are corespondent fermionic). ii. ˆIn cazul cˆ and sistemul este omogen, se poate exprima media precedent˘ a prin transformata Fourier a funct¸iei Green necondensate: Z Z h i
1 X′ ∞ dω ik·(r−r′ )−iω(t−t′ ) e ′ ˆ 3 ˆ n + i d r lim A A 0= e G (k, ω) 0 r V r′ →r V −∞ 2π ′ + k (k6=0)
t →t
Z Z ′ ′ i X′ ∞ dω iωη e′ ˆ ˆ ˆ = V Ar n0 + e G (k, ω) d3 r lim Aˆr eik·(r−r )−iω(t−t ) . ′ V 2π r →r −∞ V ′ k (k6=0)
t →t
Exemple remarcabile: • Operatorul num˘ ar de particule este definit prin formula (2.96): Z ˆ ˆ= d3 r ψˆ† (r) ψ(r) , N V
ˆ astfel ˆıncˆ at operatorul funct¸ional este Nˆr = ˆˆ1; atunci num˘arul mediu de particule ˆın starea fundamental˘ a este Z Z
ˆ + 3 ˆ (4.74a) d r Nr n0 + i G(r, t; r, t ) = N0 + d3 r i G(r, t; r, t+ ) . N 0= V
V
ˆIn cazul sistemului omogen rezultatele precedente se pot exprima mai convenabil ˆın termeni de transformat˘a Fourier a funct¸iei Green: Z Z
i X′ ∞ dω iωη e′ N 0 = N0 + e G (k, ω) d3 r V V −∞ 2π k (k6=0)
= N0 + i
X′ Z
k (k6=0)
= N0 + iV
LT
Z
∞
dω iωη e ′ e G (k, ω) −∞ 2π
d3 k 3 R3 (2π)
Z
∞
dω iωη e ′ e G (k, ω) . −∞ 2π
(4.74b)
(4.74c)
288
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA Se observ˘ a c˘ a funct¸ia Green necondensat˘a depinde parametric de potent¸ialul chimic µ ¸si de num˘ arul de particule condensate N0 (prin intermediul hamiltonianului grand-canonic ˆ arul mediu de particule va depinde, de asemenea, de ace¸sti parametri:
K); atunci, num˘ a expresie, prin inversare, se obt¸ine potent¸ialul N 0 = N (T = 0, V, µ; N0 ), iar din acest˘ chimic la temperatura nul˘a: µ T =0 (V, N ; N0 ).
• Hamiltonianul cinetic este definit prin formula (2.98): Z −~2 2 ˆ ˆ ∇ ψ(r) , d3 r ψˆ† (r) T = 2m V
−~2 2 ˆ ∇ ; atunci, energia cinetic˘a medie ˆın starea astfel ˆıncˆ at operatorul funct¸ional este Tˆr = 2m fundamental˘ a este Z Z
−~2 2 −~2 2 3 ′ + 3 d r lim T 0= ∇ n + i G(r, t; r , t ) = d r lim ∇ i G(r, t; r′ , t+ ) . 0 r′ →r 2m r′ →r 2m V V (4.75a) Se observ˘ a c˘ a partea condensat˘ a nu are contribut¸ie, deoarece energia unei particule condensate este nul˘a (ε00 = 0). ˆIn cazul sistemului omogen rezultatele precedente se pot exprima mai convenabil ˆın termeni de transformat˘a Fourier a funct¸iei Green: Z Z
−~2 2 ik·(r−r′ )−iω(t−t′ ) i X′ ∞ dω iωη e′ e G (k, ω) d3 r lim ∇ e ; T 0= V r′ →r 2m −∞ 2π V ′ k (k6=0)
t →t
dar ˆın ultima integral˘a se efectueaz˘a operat¸ia de derivare ¸si apoi se poate face trecerea la limit˘ a (prin care exponent¸iala devine unitatea): Z Z −~2 2 ik·(r−r′ )−iω(t−t′ ) ~2 k 2 ~2 k 2 3 3 d r lim ∇ e = V ; d r = 2m V 2m r′ →r 2m V ′ t →t
ca urmare, se obt¸ine:
T
0
=i
X′ Z
k (k6=0)
Z
∞
~2 k 2 dω iωη e ′ e G (k, ω) , 2m −∞ 2π
d3 k = iV 3 LT R3 (2π)
Z
∞
~2 k 2 dω iωη e′ e G (k, ω) . 2m −∞ 2π
(4.75b)
(4.75c)
B. Energia potent¸ial˘ a medie (pe starea fundamental˘ a)
B1. Operatorul hamiltonian de interact¸ie, ˆın aproximat¸ia Bogoliubov, este dat de formula (4.13): Vˆ = E0 ˆ 1 + Vˆ1 + Vˆ2 + Vˆ3 + Vˆ4 ) + Vˆ5 + Vˆ6 + Vˆ7 ;
pentru a deduce expresia energiei potent¸iale medii (pe starea fundamental˘ a) se observ˘a c˘ a metoda utilizat˘a anterior pentru sistemele fermionice (adic˘a exprimarea energiei potent¸iale medii ˆın termeni de funct¸ie Green cauzal˘ a bi-particul˘a, urmat˘ a de deducerea ecuat¸iei diferent¸iale a funct¸iei Green cauzal˘ a uni-particul˘ a, pentru a exprima ˆın final energia potent¸ial˘a medie ˆın termeni de funct¸ie Green cauzal˘ a uni-particul˘ a) este neconvenabil˘ a (¸si dificil˘a), deoarece: i. hamiltonianul de interact¸ie (ˆın aproximat¸ia Bogoliubov) nu este un operator 2-particul˘ a, ii. ecuat¸ia de evolut¸ie a funct¸iei Green cauzale este complicat˘ a; ca urmare, este mai convenabil s˘a se utilizeze o metod˘ a artificial˘a, bazat˘a pe ecuat¸ia diferent¸ial˘a a p˘ art¸ii necondensate a operatorului de cˆ amp. B2. Ecuat¸ia diferent¸ial˘a (de evolut¸ie) a produsului de p˘ art¸i necondensate conjugate ale operatorilor de cˆ amp este Z ∂ ~2 2 i~ d3 r lim + ∇ + µ ϕˆ†K (r′ , t′ ) ϕˆK (r, t) r ′ ∂t 2m r →r V ′ t →t
= 2 Vˆ2K (t) + Vˆ3K (t) + Vˆ4K (t) + 2 Vˆ5K (t) + Vˆ6K (t) + 2 Vˆ7K (t) ,
(4.76)
4.2. FUNCT ¸ II GREEN
289
unde VˆjK (t) j=1,7 sunt termenii hamiltonianului de interact¸ie ˆın aproximat¸ia Bogolibov, definit¸i prin formulele (4.14). Demonstrat¸ie: Partea necondensat˘ a a operatorului de cˆ amp ˆın formularea Heisenberg grand-canonic˘ a este definit˘ a prin particularizarea formulei (4.26a): i
ˆ
i
ˆ
ˆ e− ~ tK , ϕ ˆK (r, t) = e ~ tK ϕ(r) de unde rezult˘ a ecuat¸ia diferent¸ial˘ a a acestui operator i~
i ˆ ∂ ˆ e− ~i tKˆ . ˆ ˆ ,K ϕˆK (r, t) = ϕˆK (r, t) , K = e ~ tK ϕ(r) − − ∂t
Hamiltonianul grand-canonic ˆın aproximat¸ia Bogoliubov este definit prin formula (4.25) ˆ = K0 ˆ ˆ 0′ + K ˆ 1′ , K 1+K unde K 0 = E0 − µ N0 , Z −~2 ′ ˆ K0 = d3 r′ ϕˆ† (r′ ) ∇2r′ − µ ϕ(r ˆ ′) , 2m V ˆ 1′ = K
7 X
Vˆj ;
j=1
termenii operatoriali ai hamiltonianului de interact¸ie (ˆın aproximat¸ia Bogoliubov) au expresiile (4.14b) – (4.14h): Z Z n0 ˆ ′′ ) ϕ(r ˆ ′) , d3 r′ d3 r′′ v(r′ − r′′ ) ϕ(r Vˆ1 = 2 V V Z Z n0 d3 r′ d3 r′′ v(r′ − r′′ ) ϕ ˆ† (r′ ) ϕ ˆ† (r′′ ) , Vˆ2 = 2 V V Z Z ˆ ′) , Vˆ3 = n0 d3 r′ d3 r′′ v(r′ − r′′ ) ϕˆ† (r′′ ) ϕ(r V V Z Z 3 ′ ˆ d3 r′′ v(r′ − r′′ ) ϕˆ† (r′ ) ϕ(r ˆ ′) , V4 = n0 d r V V Z Z √ 3 ′ ˆ ˆ† (r′ ) ϕ ˆ† (r′′ ) ϕ(r ˆ ′) , V5 = n0 d r d3 r′′ v(r′ − r′′ ) ϕ V V Z Z √ Vˆ6 = n0 d3 r′ d3 r′′ v(r′ − r′′ ) ϕ ˆ† (r′ ) ϕ(r ˆ ′′ ) ϕ(r ˆ ′) , V V Z Z 1 Vˆ7 = d3 r′ d3 r′′ v(r′ − r′′ ) ϕ ˆ† (r′ ) ϕ ˆ† (r′′ ) ϕ(r ˆ ′′ ) ϕ(r ˆ ′) . 2 V V Deoarece partea operatorial banal˘ a a hamiltonianului grand-canonic comut˘ a cu orice operator, rezult˘ a c˘ a relat¸ia de comutare a p˘ art¸ii necondensate a operatorului de cˆ amp cu hamiltonianul ˆ 0′ ¸si Vˆj : grand-canonic se descompune ˆın comutatorii cu termenii K j=1,7
ˆ ϕ(r) ˆ ,K
−
7 X ˆ 0′ = ϕ(r) ˆ ,K + ϕ(r) ˆ , Vˆj − . − j=1
Comutatorii din relat¸ia precedent˘ a se evalueaz˘ a pe baza relat¸iilor de comutare dintre p˘ art¸ile necondensate ale operatorilor de cˆ amp:
ϕ(r) ˆ , ϕ(r ˆ ′)
ϕ(r) ˆ ,ϕ ˆ† (r′ )
− −
† 0, = ϕ ˆ (r) , ϕ ˆ† (r′ ) − = ˆ = δ(r − r′ ) ˆ 1.
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
290
Atunci comutatorii anteriori produc urm˘ atoarele rezultate: Z −~2 n 3 ′ † ′ 2 ˆ 0′ = ϕ(r) ˆ ,K d r ϕ(r) ˆ , ϕ ˆ (r ) ∇ ′ − µ ϕ(r ˆ ′) r − − V {z } 2m | = δ(r−r′ ) ˆ 1
+ϕ ˆ† (r′ )
=
ϕ(r) ˆ , Vˆ1
−
=
Z
n0 2
d3 r′
V
Z
−~2 2m
∇2r
− µ ϕ(r) ˆ ,
d3 r′′ v(r′ − r′′ )
V
n
ϕ(r) ˆ , Vˆ2
−
n0 2
Z
d3 r′
= n0
Z
d3 r′ v(r − r′ ) ϕˆ† (r′ ) ,
=
V
ϕ(r) ˆ , Vˆ3
−
= n0
Z
= n0
ϕ(r) ˆ , Vˆ4
−
= n0
V
V
ϕ(r) ˆ , Vˆ5
−
d3 r′
V
=
d3 r′′ v(r′ − r′′ )
Z
V
√
n0
Z
3 ′
d r
V
=
√
n0
Z
d3 r′
V
=
√
n0
Z
V
ϕ(r) ˆ , Vˆ6
−
=
√
n0
Z
Z
V
V
=ˆ 0
= δ(r−r′ ) ˆ 1
n
d3 r′′ v(r′ − r′′ )
d3 r′ v(r − r′ ) ϕ(r) ˆ ,
=ˆ 0
o ˆ† (r′′ ) ϕ(r) ˆ ,ϕ ˆ† (r′ ) − ϕ(r) ˆ ,ϕ ˆ† (r′′ ) − ϕˆ† (r′ ) + ϕ | {z } {z } |
n
d3 r′ v(r − r′ ) ϕ(r ˆ ′) ,
Z
Z
Z
V
V
= n0
d3 r′
Z
d3 r′′ v(r′ − r′′ )
V
V
Z
=ˆ 0
o ϕ(r) ˆ , ϕ(r ˆ ′′ ) − ϕ(r ˆ ′ ) + ϕ(r ˆ ′′ ) ϕ(r) ˆ , ϕ(r ˆ ′) − | | {z } {z }
=ˆ 0,
o ϕ(r) ˆ , ϕ(r ˆ ′) − ∇2r′ − µ 2m {z } |
−~2
= δ(r−r′ ) ˆ 1
o ϕ(r) ˆ ,ϕ ˆ† (r′ ) − ϕ(r ˆ ′′ ) + ϕ ˆ† (r′ ) ϕ(r) ˆ , ϕ(r ˆ ′′ ) − | | {z } {z } = δ(r−r′ ) ˆ 1
=ˆ 0
o ˆ ′) + ϕ ˆ† (r′ ) ϕ(r) ˆ , ϕ(r ˆ ′) − ϕ(r) ˆ ,ϕ ˆ† (r′ ) − ϕ(r | {z } {z } |
n
= δ(r−r′ ) ˆ 1
d3 r′′ v(r′ − r′′ )
n
d3 r′′ v(r′ − r′′ )
n
=ˆ 0
ϕ(r) ˆ ,ϕ ˆ† (r′ ) ϕ ˆ† (r′′ )
−
o + ϕˆ† (r′ ) ϕ ˆ† (r′′ ) ϕ(r) ˆ , ϕ(r ˆ ′) − | {z } =ˆ 0
|
ϕ(r) ˆ ,ϕ ˆ† (r′ ) − ϕ ˆ† (r′′ ) {z } = δ(r−r′ ) ˆ 1
o + ϕˆ† (r′ ) ϕ(r) ˆ , ϕˆ† (r′′ ) − ϕ(r ˆ ′) | {z }
d3 r′ v(r − r′ ) ϕ ˆ† (r′ ) ϕ(r) ˆ + Z
d3 r′ V
Z
V
d3 r′′ v(r′ − r′′ )
√
n
n0
Z
= δ(r−r′′ ) ˆ 1
V
d3 r′ v(r − r′ ) ϕ ˆ† (r′ ) ϕ(r ˆ ′) ,
ϕ(r) ˆ ,ϕ ˆ† (r′ ) − ϕ(r ˆ ′′ ) ϕ(r ˆ ′) | {z } = δ(r−r′ ) ˆ 1
o +ϕ ˆ (r′ ) ϕ(r) ˆ , ϕ(r ˆ ′′ ) ϕ(r ˆ ′) − {z } | †
=
√
n0
ϕ(r ˆ ′)
Z
=ˆ 0
3 ′
V
′
′
d r v(r − r ) ϕ(r ˆ ) ϕ(r) ˆ ,
4.2. FUNCT ¸ II GREEN
ϕ(r) ˆ , Vˆ7
−
291 1 2
Z
1 = 2
Z
=
=
Z
d3 r′ V
d3 r′ V
Z
Z
V
V
d3 r′′ v(r′ − r′′ )
n
d3 r′′ v(r′ − r′′ )
n
ϕ(r) ˆ , ϕˆ† (r′ ) ϕ ˆ† (r′′ )
−
ϕ(r ˆ ′′ ) ϕ(r ˆ ′)
o + ϕˆ† (r′ ) ϕ ˆ† (r′′ ) ϕ(r) ˆ , ϕ(r ˆ ′′ ) ϕ(r ˆ ′) − | {z }
|
=ˆ 0
ϕ(r) ˆ ,ϕ ˆ† (r′ ) {z = δ(r−r′ ) ˆ 1
−
}
ϕ ˆ† (r′′ )
o ˆ ′′ ) ϕ(r ˆ ′) + ϕˆ† (r′ ) ϕ(r) ˆ , ϕˆ† (r′′ ) − ϕ(r {z } | = δ(r−r′′ ) ˆ 1
V
d3 r′ v(r − r′ ) ϕ ˆ† (r′ ) ϕ(r ˆ ′ ) ϕ(r) ˆ .
Cu ajutorul rezultatelor anterioare, ecuat¸ia diferent¸ial˘ a a p˘ art¸ii necondensate a operatorului de cˆ amp devine: Z Z n −~2 i ˆ ∂ ˆ ′) i~ ˆ† (r′ ) + n0 d3 r′ v(r − r′ ) ϕ(r ϕˆK (r, t) = e ~ tK ∇2r − µ ϕ(r) ˆ + n0 d3 r′ v(r − r′ ) ϕ ∂t 2m V V Z Z √ ˆ d3 r′ v(r − r′ ) ϕ(r) ˆ + n0 d3 r′ v(r − r′ ) ϕˆ† (r′ ) ϕ(r) + n0 V V Z Z √ √ + n0 d3 r′ v(r − r′ ) ϕ ˆ† (r′ ) ϕ(r ˆ ′ ) + n0 d3 r′ v(r − r′ ) ϕ(r ˆ ′ ) ϕ(r) ˆ V V Z o i ˆ + d3 r′ v(r − r′ ) ϕ ˆ† (r′ ) ϕ(r ˆ ′ ) ϕ(r) ˆ e− ~ tK V Z −~2 d3 r′ v(r − r′ ) ϕ ˆ†K (r′ , t) ∇2r − µ ϕˆK (r, t) + n0 = 2m V Z Z d3 r′ v(r − r′ ) ϕ ˆK (r, t) d3 r′ v(r − r′ ) ϕ ˆK (r′ , t) + n0 + n0 V V Z Z √ √ + n0 d3 r′ v(r − r′ ) ϕ ˆ†K (r′ , t) ϕ ˆK (r, t) + n0 d3 r′ v(r − r′ ) ϕ ˆ†K (r′ , t) ϕ ˆK (r′ , t) V V Z Z √ ˆK (r, t) + n0 d3 r′ v(r − r′ ) ϕˆK (r′ , t) ϕˆK (r, t) + d3 r′ v(r − r′ ) ϕˆ†K (r′ , t) ϕˆK (r′ , t) ϕ V
V
ϕˆ†K (r, t)
Prin multiplicare la stˆ anga cu operatorul ¸si integrare spat¸ial˘ a a ecuat¸iei precedente, se obt¸ine Z ∂ d3 r ϕ ˆ†K (r, t) i~ ϕˆK (r, t) ∂t V Z Z Z −~2 3 2 3 † d r d3 r′ v(r − r′ ) ϕˆ†K (r, t) ϕ ˆ†K (r′ , t) ∇r − µ ϕ ˆK (r, t) + n0 = d rϕ ˆK (r, t) 2m V V {z } | V + n0 | +
+
+
+
√
√
n0
n0
n0
d3 r
Z
d3 r
Z
d3 r
V
|
|
Z
V
V
√ Z
d3 r
V
Z
V
|
|
Z
d3 r V
Z
V
d3 r′ v(r − r′ ) ϕ ˆ†K (r, t) ϕ ˆK (r′ , t) + n0 {z } |
Z Z Z
Z
d3 r
V
ˆ3 =V
V
d3 r′ v(r − r′ ) ϕˆ†K (r, t) ϕ ˆ†K (r′ , t) ϕ ˆK (r, t) {z }
Z
V
ˆ2 =2V
d3 r′ v(r − r′ ) ϕ ˆ†K (r, t) ϕ ˆK (r, t) {z } ˆ4 =V
ˆ5 =V
V
d3 r′ v(r − r′ ) ϕˆ†K (r, t) ϕ ˆ†K (r′ , t) ϕ ˆK (r′ , t) {z } ˆ5 =V
V
d3 r′ v(r − r′ ) ϕ ˆ†K (r, t) ϕ ˆK (r′ , t) ϕ ˆK (r, t) {z } ˆ6 =V
d3 r′ v(r − r′ ) ϕ ˆ†K (r, t) ϕˆ†K (r′ , t) ϕˆK (r′ , t) ϕˆK (r, t) , {z } ˆ7 =2V
iar rezultatul precedent este echivalent cu relat¸ia (4.76).
292
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
B3. Prin conjuarea hermitic˘ a a ecuat¸iei (4.76) se obt¸ine ecuat¸ia diferent¸ial˘a (de evolut¸ie) adjunct˘ a: Z ~2 2 ∂ + ∇ + µ ϕˆ†K (r′ , t′ ) ϕˆK (r, t) − i~ d3 r lim ′ r ′ ∂t 2m r′ →r V ′ t →t
= 2 Vˆ1K (t) + Vˆ3K (t) + Vˆ4K (t) + Vˆ5K (t) + 2 Vˆ6K (t) + 2 Vˆ7K (t) ,
(4.77)
Demonstrat¸ie: Se efectueaz˘ a conjugarea hermitic˘ a a membrului stˆ ang al ecuat¸iei (4.76) ¸si se obt¸ine: Z ∗ ∂ 2 ~ 2 † ′ ′ d3 r lim i~ + ∇ + µ ϕ ˆ (r , t ) ϕ ˆ (r, t) K r K ∂t 2m r′ →r V t′ →t Z ∂ ~2 2 = d3 r lim − i~ + ∇r + µ ϕ ˆ†K (r, t) ϕˆK (r′ , t′ ) ′ ∂t 2m r →r V t′ →t Z ~2 2 ∂ ∇r′ + µ ϕ ˆ†K (r′ , t′ ) ϕ ˆK (r, t) , = d3 r lim − i~ ′ + ′ ∂t 2m r →r V ′ t →t
unde ultima egalitate s-a obt¸inut prin schimbarea de variabile (r, r′ ) → (r′ , r). Pe de alt˘ a parte operatorii din membrul drept al ecuat¸iei (4.76) se transform˘ a prin conjugare hermitic˘ a astfel: † 2 Vˆ2K (t) + Vˆ3K (t) + Vˆ4K (t) + 2 Vˆ5K (t) + Vˆ6K (t) + 2 Vˆ7K (t) = 2 Vˆ1K (t) + Vˆ3K (t) + Vˆ4K (t) + Vˆ5K (t) + 2 Vˆ6K (t) + 2 Vˆ7K (t) ; ca urmare, se obt¸ine relat¸ia (4.77).
B4. Suma celor dou˘a ecuat¸ii diferent¸iale (de evolut¸ie), adic˘a (4.76) ¸si (4.77), produce ecuat¸ia Z 1 ∂ VˆK (t) ∂ ~2 2 ∂ 2 3 ∇r + ∇r′ + 2 µ ϕˆ†K (r′ , t′ ) ϕˆK (r, t) = 2 VˆK (t) − n0 i~ , − ′ + d r lim ′ 2 V ∂t ∂t 2m ∂ n0 r →r ′ t →t
(4.78)
Demonstrat¸ie: Se sumeaz˘ a relat¸iile (4.76) ¸si (4.77) ¸si se obt¸ine: Z ~2 2 ∂ ~2 2 ∂ ϕ ˆ†K (r′ , t′ ) ϕ ˆK (r, t) + ∇ + µ + − i~ + ∇ ′ + µ i~ d3 r lim r r ∂t 2m ∂t′ 2m r′ →r V ′ t →t
= 2 Vˆ1K (t) + 2 Vˆ2K (t) + 2 Vˆ3K (t) + 2 Vˆ4K (t) + 3 Vˆ5K (t) + 3 Vˆ6K (t) + 4 Vˆ7K (t) Termenii potent¸iali din membrul drept al egalit˘ a¸tii precedente se pot exprima ˆın mod condensat prin operatorul hamiltonian de interact¸ie 1 + Vˆ1K (t) + Vˆ2K (t) + Vˆ3K (t) + Vˆ4K (t) + Vˆ5K (t) + Vˆ6K (t) + Vˆ7K (t) Vˆ = E0 ˆ ¸si a derivatei sale ˆın raport cu densitatea de particule n0 ; pentru aceasta se observ˘ a c˘ a termenii hamiltonianului de interact¸ie au urm˘ atoarele dependent¸e ˆın raport cu densitatea de particule n0 : – E0 ∼ n20 , – Vˆ1 , Vˆ2 , Vˆ3 , Vˆ4 ∼ n0 , 3/2 – Vˆ5 , Vˆ6 ∼ n , 0
– Vˆ7 este independent de n0 ; atunci este valabil˘ a urm˘ atoarea identitate: 2 Vˆ − n0
∂ Vˆ 1 + 2 (Vˆ1 + Vˆ2 + Vˆ3 + Vˆ4 ) + 2 (Vˆ5 + Vˆ6 ) + 2 Vˆ7 = 2 E0 ˆ ∂n0 1 1 + (Vˆ1 + Vˆ2 + Vˆ3 + Vˆ4 ) + (Vˆ5 + Vˆ6 ) − 2 E0 ˆ 2 3 = (Vˆ1 + Vˆ2 + Vˆ3 + Vˆ4 ) + (Vˆ5 + Vˆ6 ) + 2 Vˆ7 , 2
astfel c˘ a rezult˘ a relat¸ia (4.78).
4.2. FUNCT ¸ II GREEN
293
B5. Se efectueaz˘ a medierea relat¸iei (4.78) pe starea fundamental˘a (aproximat˘a) a sistemului, conform definit¸iei
hO| ˆbK (t) |Oi , A 0≡ hO|Oi astfel c˘ a se obt¸ine urm˘atoarea egalitate:
∂V 2 V 0 − n0 ∂n0 0 Z ~2 2 hO| ϕˆ†K (r′ , t′ ) ϕˆK (r, t) |Oi ∂ ∂ 1 2 3 + 2 µ ∇ + ∇ + i~ − ; d r lim = ′ r r 2 V ∂t ∂t′ 2m hO|Oi r′ →r ′ t →t
media produsului de p˘ art¸i necondensate ale operatorilor de cˆ amp este egal˘a cu funct¸ia Green necondensat˘a pentru cazul cˆ and t′ > t, conform definit¸iei (4.52), astfel ˆıncˆ at egalitatea anterioar˘a devine relat¸ia dintre media energiei potent¸iale ¸si funct¸ia Green:
∂V 2 V 0 − n0 ∂ n0 0 Z ∂ ∂ ~2 2 1 3 2 − d r lim ∇r + ∇r′ + 2 µ i G′ (r, t; r′ , t′ ) . + = i~ (4.79) 2 V ∂t ∂t′ 2m r′ →r t′ →t+
C. Energia medie ¸si potent¸ialul grand-canonic C1. Potent¸ialul termodinamic grand-canonic la limita temperaturii nule este egal cu media pe starea fundamental˘ a a hamiltonianului grand-canonic, conform relat¸iei (4.47):
Ω(T = 0, V, µ) = K 0 = H 0 − µ N 0 = T 0 + V 0 − µ N 0 ;
ˆın aproximat¸ia Bogoliubov valorile medii au dependent¸˘a parametric˘a de num˘arul de particule condensate N0 , iar condit¸ia de echilibru se exprim˘ a prin minimizarea potent¸ialului grand-canonic ˆın raport cu acest num˘ ar de particule condensate, conform relat¸iei (4.48), din care rezult˘a formula de reprezentare a potent¸ialului chimic, exprimat˘ a prin relat¸ia (4.49): 1 ∂V ∂V = . (4.80) µ(T = 0, V ; N0 ) = ∂N0 V ∂n0 C2. Energia medie ˆın starea fundamental˘ a se obt¸ine prin medierea hamiltonianului:
E≡ H 0= T 0+ V 0.
Termenii component¸i ai energiei medii se exprim˘ a ˆın termeni de funct¸ia Green necondensat˘a ˆın modul urm˘ator: • num˘ arul mediu de particule este exprimat prin formula (4.74a), din care rezult˘a integrala spat¸ial˘a a funct¸iei Green: Z Z
3 + d3 r i G(r, t; r, t+ ) = N 0 − N0 ; N 0 = N0 + d r i G(r, t; r, t ) =⇒ V
V
• energia cinetic˘ a medie este exprimat˘ a prin formula (4.75a): Z
−~2 2 d3 r lim T 0= ∇ i G(r, t; r′ , t+ ) ; r′ →r 2m V
• energia potent¸ial˘a medie rezult˘a din formula (4.79): Z
1 ~2 2 ∂ ∂ 2 V 0= i G′ (r, t; r′ , t′ ) ∇ + ∇ + i~ − d3 r lim ′ r r ′ 4 V ∂t ∂t 2m r′ →r t′ →t+ Z ∂V 1 3 + µ d r i G(r, t; r, t ) + n0 ; + 2 ∂ n0 0 V
294
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA ˆın al doilea termen din formula precedent˘ a media derivatei hamiltonianului de interact¸ie este exprimat˘ a prin potent¸ialul chimic, conform relat¸iei (4.80) ¸si integrala spat¸ial˘a a funct¸iei Green se exprim˘ a prin numerele de particule, astfel ˆıncˆ at acest termen se exprim˘ a numai ˆın termeni de num˘ arul mediu de particule: Z N0
∂V = µ N 0 − N0 + V µ=µ N 0; µ d3 r i G(r, t; r, t+ ) + n0 ∂ n0 0 V V ca urmare, energia potent¸ial˘a medie are expresia Z
1 1 ~2 2 ∂ ∂ 2 3 i G′ (r, t; r′ , t′ ) + µ N 0 . V 0= ∇r + ∇r′ i~ − ′ + d r lim 4 V ∂t ∂t 2m 2 r′ →r ′ + t →t
Pe baza rezultatelor anterioare se obt¸ine urm˘atoarea expresie a energiei medii: Z 1 1 ∂ −~2 ∂ 2 2 E= µ N 0+ i G′ (r, t; r′ , t′ ) . 3 ∇ − ∇ + i~ − d3 r lim ′ r r ′ 2 4 V ∂t ∂t 2m r′ →r ′ +
(4.81)
t →t
C3. Potent¸ialul grand-canonic se obt¸ine din expresia precedent˘ a a energiei medii:
Ω T =0 = H 0 − µ N 0 Z 1 ∂ −~2 −1 ∂ 2 2 i G′ (r, t; r′ , t′ ) . 3 ∇ − ∇ + i~ µ N 0+ − = d3 r lim ′ r r ′ 2 4 V ∂t ∂t 2m r′ →r ′ + t →t
(4.82)
C4. ˆIn cazul sistemului omogen din punct de vedere spat¸ial ¸si conservativ este convenabil s˘a se efectueze transformarea Fourier spat¸io-temporal˘a ¸si astfel integrala din formulele (4.81) – (4.82) devine: Z ∂ ∂ −~2 2 2 i~ d3 r lim i G′ (r, t; r′ , t′ ) 3 ∇ − ∇ + − ′ r r ′ ∂t ∂t 2m r′ →r V t′ →t+ Z 1 X′ ∞ dω e ′ i G (k, ω) = V −∞ 2π k (k6=0)
×
Z
V
n ∂ o ′ ′ ∂ −~2 2 i~ 3 ∇r − ∇2r′ e−ik·(r−r )+iω(t−t ) ; − ′ + ∂t ∂t 2m r →r ′ +
d3 r lim ′ t →t
integrala spat¸ial˘a din expresia precedent˘ a conduce la urm˘atorul rezultat Z o n ∂ ′ ′ ∂ −~2 2 2 e−ik·(r−r )+iω(t−t ) 3 ∇ − ∇ i~ + d3 r lim − ′ r r ′ ′ ∂t ∂t 2m r →r V t′ →t+ Z n o n ~2 ~2 k 2 o iωη d3 r ~(ω + ω) + = e , (3 k 2 − k 2 ) eiωη = 2V ~ ω + 2m 2m V astfel c˘ a integrala init¸ial˘a devine: Z ∂ −~2 2 ∂ 2 3 i G′ (r, t; r′ , t′ ) 3 ∇r − ∇r′ − ′ + i~ d r lim ∂t ∂t 2m r′ →r V t′ →t+ X′ Z ∞ dω n ~2 k 2 o iωη e ′ ~ω + e G (k, ω) = 2i 2m −∞ 2π k (k6=0)
= 2iV
LT
Z
d3 k 3 R3 (2π)
Z
~2 k 2 o iωη e′ dω n ~ω + e G (k, ω) . 2m −∞ 2π ∞
˘ PENTRU FUNCT 4.3. TEORIA PERTURBAT ¸ IONALA ¸ IILE GREEN BOSONICE
295
Pe baza rezultatului precedent se obt¸in expresiile energiei medii ¸si potent¸ialului grand-canonic:
Ω T =0
4.3 4.3.1
Z
Z ∞ ~2 k 2 o iωη e ′ d3 k dω n ~ω + e G (k, ω) , 3 2m R3 (2π) −∞ 2π Z Z ∞ −1 ~2 k 2 o iωη e′ iV d3 k dω n ~ ω + e = G (k, ω) . µN + 2 2 R3 (2π)3 −∞ 2π 2m
E=
iV 1 µN + 2 2
(4.83a) (4.83b)
Teoria perturbat¸ional˘ a pentru funct¸iile Green bosonice Probleme preliminare
A. S-a ar˘ atat anterior c˘ a funct¸ia Green necondensat˘a G′ (x, x′ ) permite deducerea urm˘atoarelor caracteristici ale sistemului bosonic aflat ˆın starea fundamental˘a: i. valorile medii (ˆın starea fundamental˘ a cu interact¸ii) ale observabilelor remarcabile, ii. spectrul excitat¸iilor elementare (din reprezentarea Lehmann). La temperatura nul˘a este prezent fenomenul de condensare bosonic˘a, astfel ˆıncˆ at este necesar s˘a se aplice aproximat¸ia Bogoliubov, ˆın care se consider˘ a o tratare macroscopic˘ a a modului uni-particul˘ a condensat, dar modurile uni-particul˘a excitate sunt tratate exact; ca urmare, se utilizeaz˘ a formalismul grand-canonic ¸si se introduc funct¸ii Green anomale. Prin aceast˘a metod˘ a se poate trata problema necondensat˘a ˆın mod analog cazului fermionic. Funct¸ia Green (necondensat˘ a) ˆın spat¸iul pozit¸ii-timpi cont¸ine numai termenul de propagare temporal˘ a direct˘a , deoarece G0 (r, t; r′ , t′ ) ∼ θ(t − t′ ); ca urmare, este absent termenul de propagare inversat˘ a temporal (de tip gol). ˆIn spat¸iul impuls-frecvent¸˘a, transformata Fourier spat¸iotemporal˘ a a funct¸iei Green are expresia (4.71) e′ (k, ω) = G
1 , ω − ωk0 + i η
ωk0 ≡
1 0 (ε − µ) . ~ k
Funct¸iile Green anomale pentru sistemul liber sunt nule: G012 = G021 = 0. B. Teoria de dezvoltare perturbativ˘a pentru funct¸iile Green se construie¸ste ˆın mod similar cu cazul fermionic. i. Se consider˘ a init¸ial (la momentul t = −∞) sistemul f˘ar˘a interact¸ii (adic˘a sistemul liber), care se afl˘ a ˆın starea fundamental˘ a pentru N particule: |0i = |Φ0 (N )i. ii. Se introduce interact¸ia mutual˘a ˆıntre particule prin metoda adiabatic˘a, astfel ˆıncˆ at la momentul t = 0 sistemul are ˆıntreaga interact¸ie; atunci, se poate deduce, prin argumente similare cu cele utilizate ˆın cazul fermionic, teorema Gell-Mann ¸si Low ˆın varianta grand-canonic˘a (4.46), conform c˘ areia vectorul st˘ arii fundamentale a sistemului f˘ar˘a interact¸ii, |0i evolueaz˘ a adiabatic c˘ atre vectorul st˘ arii fundamentale a sistemului cu interact¸ii: |0i
−→
ˆ (ε) (0, −∞) |0i U |Oi K ≡ lim . ˆ (ε) (0, −∞) |0i h0|Oi ε→0 h0| U K
iii. Deoarece relat¸ia ˆıntre operatorul ˆın formularea Heisenberg grand-canonic˘a ¸si operatorul ˆın formularea Dirac grand-canonic˘ a este (4.39) ˆbK (t) = U ˆK (t, 0) , ˆK (0, t) · ˆbK0 (t) · U unde operatorul de evolut¸ie Dirac are expresia (4.45) ˆK (t, t0 ) = U
Z t Z ∞ X ′ 1 −i n t ′ ˆ 1K ˆ 1K (t1 ) . . . K (tn ) , dtn T K dt1 . . . 0 0 n! ~ t0 t0 n=0
296
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
rezult˘a seria de perturbat¸ie de tip Feynman-Dyson analoag˘a cazului fermionic (2.152): ˆK (t) · CˆK (t′ ) |Oi hO|T B hO|Oi Z ∞ ∞ X 1 −i nZ ∞ ′ ′ ˆ ˆ′ ˆ ˆ dtn h0|T K dt1 · · · 1K0 (t1 ) · · · K1K0 (tn ) · BK0 (t) · CK0 (t ) |0i n! ~ −∞ −∞ = n=0 . Z ∞ Z ∞ X 1 −i m ∞ ′ ′ ˆ ˆ dtm h0|T K1K0 (t1 ) · · · K1K0 (tm ) |0i dt1 · · · m! ~ −∞ −∞ m=0
(4.84)
C. Pentru un set de p˘ art¸i necondensate ale operatorilor de cˆ amp se definesc produsele ordonate (cronologic ¸si normal) ˆın mod similar cazului fermionic: • produsul cronologic reordoneaz˘ a operatorii astfel ˆıncˆ at argumentele temporale scad de la stˆanga spre dreapta: (4.85a) T ϕˆ1 (t1 ) · · · ϕˆn (tn ) = ϕˆπ1 (tπ1 ) · · · ϕˆπn (tπn ) tπ >···>tπ , 1
n
• produsul normal reordoneaz˘ a operatorii, astfel ˆıncˆ at tot¸i operatorii de anihilare sunt la dreapta operatorilor de creare (se omit argumentele temporale, deoarece ˆın cazul prezent acestea sunt nesemnificative): (4.85b) N ϕˆ1 · · · ϕˆn = ϕˆπ1 · · · ϕˆπl · ϕˆπl+1 · · · ϕˆπn . | {z } | {z } op. creare
op. anihilare
Observat¸ii asupra produselor cronologic ¸si normal: i. la ordon˘arile T ¸si N, operatorii de cˆ amp bosonici sunt comutativi; ii. operatorii de anihilare distrug starea fundamental˘ a (a sistemului f˘ar˘a interact¸ii) ϕ(r) ˆ |0i =
X′ eik·r √ ˆb k | 0 i = | ∅ i ; V k
(k6=0)
ca urmare, media pe starea fundamental˘ a liber˘a a produsului normal de operatori Dirac grandcanonici este nul˘a: h 0 | N ϕˆ1 · · · ϕˆn | 0 i = 0 .
Contract¸ia unei perechi de p˘ art¸i necondensate ale operatorilor de cˆ amp este, prin definit¸ie, diferent¸a dintre produsul cronologic ¸si produsul normal ale perechii de operatori considerate: ϕˆ1 ϕˆ2 ≡ T ϕˆ1 ϕˆ2 − N ϕˆ1 ϕˆ2 .
(4.86)
Contract¸iile fundamentale ˆıntre p˘ art¸ile necondensate ale operatorilor de cˆ amp Dirac grandcanonici sunt: ϕˆK0 (r, t) ϕˆK0 (r′ , t′ ) = ϕˆ†K0 (r, t) ϕˆ†K0 (r′ , t′ ) = ˆ0 ,
(4.87a)
ϕˆK0 (r, t) ϕˆ†K0 (r′ , t′ ) = i G0 (r, t; r′ , t′ ) ˆ1 ,
(4.87b)
ϕˆ†K0 (r, t) ϕˆK0 (r′ , t′ ) = i G0 (r′ , t′ ; r, t) ˆ1 .
(4.87c)
Demonstrat¸ie: P˘ art¸ile necondensate ale operatorilor de cˆ amp, ˆın formularea Dirac grand-canonic˘ a, sunt date formula (4.34b): 1 X′ ik·r− ~i (ε0k −µ)t ˆ e ϕˆK0 (r, t) = √ bk , V k (k6=0)
1 X′ −ik·r+ ~i (ε0k −µ)t ˆ† e bk ; ϕˆ†K0 (r, t) = √ V k (k6=0)
˘ PENTRU FUNCT 4.3. TEORIA PERTURBAT ¸ IONALA ¸ IILE GREEN BOSONICE
297
atunci, comutatorii ˆıntre operatorii specificat¸i anterior produc urm˘ atoarele rezultate:
ˆK0 (r′ , t′ ) ϕ ˆK0 (r, t) , ϕ
ϕ ˆ†K0 (r, t) , ϕ ˆ†K0 (r′ , t′ )
ˆ†K0 (r′ , t′ ) ϕ ˆK0 (r, t) , ϕ
−
−
−
=
=
=
1 V 1 V 1 V
X′
′
ei(k·r+k
i [(ε0 −µ)t+(ε0 −µ)t′ ] ·r′ )− ~ k k′
k,k′ (k,k′ 6=0)
X′
′
e−i(k·r+k
i [(ε0 −µ)t+(ε0 −µ)t′ ] ·r′ )+ ~ k k′
k,k′ (k,k′ 6=0)
X′
′
e−i(k·r−k
i [(ε0 −µ)t−(ε0 −µ)t′ ] ·r′ )+ ~ k k′
k,k′ (k,k′ 6=0)
=
ˆb k , ˆb k′
ˆb† , ˆb† ′ k k
ˆb k , ˆb† ′ k
−
=ˆ 0,
−
=ˆ 0,
−
1 X′ −ik·(r−r′ )+ ~i (ε0k −µ)(t−t′ ) ˆ e 1. V k (k6=0)
Prin explicitarea produselor cronologice ¸si normale, urmat˘ a de utilizarea relat¸iilor de comutare precedente, se obt¸in contract¸iile fundamentale: ˆK0 (r, t) ˆK0 (r′ , t′ ) + θ(t′ − t) ϕˆK0 (r′ , t′ ) ϕ ˆK0 (r, t) ϕ ˆK0 (r′ , t′ ) = θ(t − t′ ) ϕ ϕˆK0 (r, t) ϕ ˆK0 (r′ , t′ ) − θ(t − t′ ) + θ(t′ − t) ϕ ˆK0 (r, t) ϕ 0, ˆK0 (r′ , t′ ) − = ˆ = θ(t′ − t) ϕ ˆK0 (r, t) , ϕ ϕˆ†K0 (r, t) ϕ ˆ†K0 (r′ , t′ ) = θ(t − t′ ) ϕ ˆ†K0 (r, t) ϕ ˆ†K0 (r′ , t′ ) + θ(t′ − t) ϕˆ†K0 (r′ , t′ ) ϕ ˆ†K0 (r, t) † − θ(t − t′ ) + θ(t′ − t) ϕ ˆK0 (r, t) ϕ ˆ†K0 (r′ , t′ ) 0, ˆK0 (r′ , t′ ) − = ˆ = θ(t′ − t) ϕ ˆK0 (r, t) , ϕ ˆ†K0 (r′ , t′ ) + θ(t′ − t) ϕˆ†K0 (r′ , t′ ) ϕ ˆK0 (r, t) ˆ†K0 (r′ , t′ ) = θ(t − t′ ) ϕ ˆK0 (r, t) ϕ ϕˆK0 (r, t) ϕ † − θ(t − t′ ) + θ(t′ − t) ϕ ˆK0 (r, t) ϕ ˆK0 (r′ , t′ ) ˆK0 (r′ , t′ ) − = θ(t − t′ ) ϕ ˆK0 (r, t) , ϕ 1 X′ −ik·(r−r′ )+ ~i (ε0k −µ)(t−t′ ) ˆ = θ(t − t′ ) 1 = i G0 (r, t; r′ , t′ ) ˆ 1, e V k (k6=0)
ϕˆ†K0 (r, t) ϕ ˆK0 (r′ , t′ )
ˆ†K0 (r, t) = θ(t − t ) ϕ ˆ†K0 (r, t) ϕ ˆK0 (r′ , t′ ) + θ(t′ − t) ϕˆK0 (r′ , t′ ) ϕ † − θ(t − t′ ) + θ(t′ − t) ϕ ˆK0 (r, t) ϕ ˆK0 (r′ , t′ ) = θ(t′ − t) ϕ ˆK0 (r′ , t′ ) , ϕˆK0 (r, t) − 1 X′ −ik·(r′ −r)+ ~i (ε0k −µ)(t′ −t) ˆ = θ(t′ − t) 1 = i G0 (r′ , t′ ; r, t) ˆ 1. e V k
′
(k6=0)
Rezultatele precedente justific˘ a formulele (4.87).
ˆIn concluzie, contact¸iile ˆıntre operatori de acela¸si tip (ambii de creare, sau ambii de anihilare) sunt nule, iar contract¸iile dintre operatori de tip diferit sunt operatori banali avˆand coeficient¸ii funct¸ii Green libere. Pe baza propriet˘ a¸tilor generale ale contract¸iilor se poate deduce consecint¸a teoremei Wick ˆın cazul bosonic: Media pe starea fundamental˘ a liber˘a a produsului cronologic de p˘art¸i necondensate ale operatorilor de cˆ amp ˆın formularea Dirac grand-canonic˘a este proport¸ional˘ a cu suma tuturor contract¸iilor totale ale setului de operatori considerat¸i: (4.88) h 0 | T Fˆ1 (t1 ) · · · Fˆn (tn ) | 0 i = C F1 (t1 ), . . . , Fn (tn ) h 0 | 0 i ,
unde Fj (tj ) este partea necondensat˘a a unui operator de cˆ amp (de creare, sau de anihilare) ˆın formularea Dirac grand-canonic˘ a,1 iar C · · · este suma tuturor contract¸iilor totale ale setului de operatori aflat¸i ˆıntre parantezele acolade. 1 Adic˘ a
Fj (tj ) = ϕ ˆK0 (rj , tj ), sau Fj (tj ) = ϕ ˆ†K (rj , tj ). 0
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
298
Demonstrarea teoremei Wick pentru cazul bosonic, precum ¸si a consecint¸ei specificate anterior, este similar˘ a cu demonstrat¸ia pentru cazul fermionic, care a condus la relat¸ia (3.41), astfel c˘ a se omite prezentarea acestei demonstrat¸ii pentru a evita repetit¸iile simple.
Se observ˘ a c˘ a rezultatele generale bosonice pentru p˘ art¸ile necondensate ale operatorilor de cˆ amp sunt analoage cu rezultatele corespondente fermionice ˆın formalismul particul˘ a-gol; ca urmare, se va putea construi o teorie perturbativ˘a cu imagine diagramatic˘ a ˆın cazul bosonic, prin analogie cu cazul fermionic (totu¸si ˆın cazul bosonic apar complicat¸ii suplimentare, datorit˘a funct¸iilor Green anomale). ˆ ′ este definit prin D. Hamiltonianul grand-canonic de interact¸ie ˆın aproximat¸ia Bogoliubov K 1 formula (4.25) ¸si relat¸iile (4.13) – (4.14); este convenabil s˘a se utilizeze o notat¸ie condensat˘ a, ˆ ′ se scrie ˆın urm˘atoarea form˘a: astfel ˆıncˆ at K 1 ˆ′ = K 1
7 X
7 Z X
Vˆj =
V
j=1
j=1
d3 r
Z
V
ˆ ′ ), ϕ(r) ˆ , d3 r′ v(r − r′ ) Pj ϕˆ† (r), ϕˆ† (r′ ), ϕ(r
unde Pj ϕˆ† (r), ϕˆ† (r′ ), ϕ(r ˆ ′ ), ϕ(r) ˆ este un produs de 2 operatori (pentru Vˆ1 , Vˆ2 , Vˆ3 ¸si Vˆ4 ), sau ˆ ˆ de 3 operatori (pentru V5 ¸si V6 ), sau de 4 operatori (pentru Vˆ7 ), conform definit¸iilor (4.14) ale √ termenilor Vˆj (de asemenea, Pj {. . .} este proport¸ional cu puteri ale m˘arimii n0 ). ˆIn dezvoltarea perturbativ˘a apare integrala temporal˘a a hamiltonianului de interact¸ie ˆın formularea Dirac, iar aceasta se poate exprima mai simetric introducˆand ˆın mod artificial a doua integral˘a temporal˘ a: Z ∞ ˆ ′ (t) dt K 1K0 −∞
=
7 Z X j=1
=
dt
−∞
7 Z X j=1
∞
∞
dt
−∞
Z
Z
Z ˆ ′ , t), ϕ(r, ˆ t) d r d3 r′ v(r − r′ ) Pj ϕˆ† (r, t), ϕˆ† (r′ , t), ϕ(r 3
V
V
V
Z 3 d r
∞
dt
−∞
′
Z
V
ˆ ′ , t′ ), ϕ(r, ˆ t) ; d3 r′ v(r − r′ ) δ(t − t′ ) Pj ϕˆ† (r, t), ϕˆ† (r′ , t′ ), ϕ(r
expresia precedent˘ a se exprim˘ a ˆın mod condensat prin utilizarea notat¸iei artificiale 4-dimensionale x = (r, t) ¸si U(x, x′ ) = v(r − r′ ) δ(t − t′ ), care a fost folosit˘a de asemenea, ˆın cazul fermionic; atunci se obt¸ine: Z
∞ −∞
′ ˆ 1K (t) = dt K 0
7 Z X j=1
4
d x
Z
d4 x′ U(x, x′ ) Pj ϕˆ† (x), ϕˆ† (x′ ), ϕ(x ˆ ′ ), ϕ(x) ˆ .
(4.89)
ˆIn expresiile precedente s-a utilizat notat¸ia simplificat˘ ˆ pentru a simplifica fora ϕˆK0 (x) ≡ ϕ(x), mulele, deoarece argumentul 4-dimensional al operatorului de cˆamp (x) arat˘a ˆın mod indirect c˘ a operatorul este ˆın formularea Dirac. ˆIn continuare se va utiliza ˆın mod consecvent aceast˘a notat¸ie simplificat˘ a.
4.3.2
Analiza diagramatic˘ a ˆın spat¸iul pozit¸ii-timp
A. Seriile de perturbat¸ie pentru funct¸iile Green Conform definit¸iei (4.52) ¸si dezvolt˘ arii perturbative Feynman-Dyson bosonic˘a (4.84), funct¸ile Green necondensate (norma˘a ¸si anomale) au urm˘atoarea serie de perturbat¸ie aprioric˘a hO| T ϕˆK (r, t) ϕˆ†K (r′ , t′ ) |Oi ′ ′ ′ Gαβ (r, t; r , t ) = −i = hO|Oi
∞ X
n=0
(n)
Gαβ (r, t; r′ , t′ ) ∞ X
m=0
S (m)
≡
Gαβ (r, t; r′ , t′ ) , S (4.90)
˘ PENTRU FUNCT 4.3. TEORIA PERTURBAT ¸ IONALA ¸ IILE GREEN BOSONICE unde S
(m)
299
Z Z ∞ ′ 1 −i m ∞ ′ ˆ 1K ˆ 1K (t1 ) · · · K (tm ) | 0 i dt1 . . . dtm ( 0 |T K = 0 0 m! ~ −∞ Z Z −∞ Z XZ 1 −i n X 4 = d x1 d4 x′1 · · · d4 xm d4 x′m U(x1 , x′1 ) · · · U(xm , x′m ) m! ~ j1 jn † † ′ ′ × h 0 |T Pj1 ϕˆ (x1 ), ϕˆ (x1 ), ϕ(x ˆ 1 ), ϕ(x ˆ 1 ) · · · Pjn ϕˆ† (xm ), ϕˆ† (x′m ), ϕ(x ˆ ′m ), ϕ(x ˆ m) | 0 i , (4.91a)
(n)
Gαβ (r, t; r′ , t′ ) Z Z ∞ ′ −i −i n ∞ ′ ˆ † (r′ , t′ ) | 0 i ˆ αK0 (r, t) Φ ˆ 1K ˆ 1K (t1 ) · · · K (tn ) Φ dt1 . . . dtn ( 0 |T K = βK0 0 0 n! ~ −∞ Z Z −∞ Z XZ 1 −i n X = d4 x1 d4 x′1 · · · d4 xn d4 x′n U(x1 , x′1 ) · · · U(xn , x′n ) n! ~ j1 jn † † ′ ′ × h 0 |T Pj1 ϕˆ (x1 ), ϕˆ (x1 ), ϕ(x ˆ 1 ), ϕ(x ˆ 1 ) · · · Pjn ϕˆ† (xn ), ϕˆ† (x′n ), ϕ(x ˆ ′n ), ϕ(x ˆ n) ˆ † (r′ , t′ ) | 0 i . ˆ αK0 (r, t) Φ (4.91b) ×Φ βK0
Observat¸ii asupra dezvolt˘ arii perturbat¸ionale: i. Termenii de perturbat¸ie sunt exprimat¸i prin medii pe starea fundamental˘ a liber˘a a produselor cronologice de operatori de cˆ amp necondensat¸i ˆın formularea Dirac; atunci, se poate aplica consecint¸a teoremei Wick (varianta bosonic˘a), astfel ˆıncˆ at ace¸sti termeni perturbat¸ionali se exprim˘ a prin funct¸ii Green libere. Ca urmare, se poate utiliza analogia cu cazul fermionic ¸si se poate construi imaginea diagramatic˘ a a seriei de perturbat¸ie. ii. ˆIn mod similar cu cazul fermionic, este valabil˘a varianta bosonic˘a a teoremei Brueckner : termenul de la num˘ ar˘ atorul formulei de dezvoltare perturbativ˘a Gαβ (r, t; r′ , t′ ) se factorizeaz˘ a ˆın (c) ′ ′ termeni legat¸i Gαβ (r, t; r , t ) ¸si termenii nelegat¸i, care sunt egali cu numitorul S c Gαβ (x, x′ ) = Gαβ (x, x′ ) · S .
(4.92)
Demonstrat¸ia este identic˘ a cu cea prezentat˘ a ˆın cazul fermionic, pentru rezultatul (3.97), astfel c˘ a se va omite repetit¸ia.
Teorema Brueckner simplific˘ a deducerea seriei de perturbat¸ie efective pentru funct¸iile Green bosonice, deoarece singura contribut¸ie la seria de perturbat¸ie provine de la termenii legat¸i, pentru c˘ a termenii nelegat¸i ai num˘ ar˘ atorului se simplific˘ a cu numitorul; ca urmare, seria de perturbat¸ie efectiv˘ a pentru una dintre funct¸iile Green bosonice este de forma: c G′αβ (x, x′ ) = Gαβ (x, x′ ) =
∞ X
(n)
Gαβ (x, x′ ) ,
(4.93a)
n=0
unde termenul perturbat¸ional de ordinul n are expresia Z Z Z XZ 1 −i n X (n) d4 xn d4 x′n U(x1 , x′1 ) · · · U(xn , x′n ) d4 x1 d4 x′1 · · · Gαβ (x, x′ ) = n! ~ jn j1 n ˆ ′1 ), ϕ(x ˆ 1 ) , · · · , Pjn ϕˆ† (xn ), ϕˆ† (x′n ), ϕ(x × Cc Pj1 ϕˆ† (x1 ), ϕˆ† (x′1 ), ϕ(x ˆ ′n ), ϕ(x ˆ n) o ˆ † (x′ ) . ˆ αK0 (x), Φ (4.93b) ×Φ βK0
La fel ca ˆın cazul fermionic, Cc {. . .} desemneaz˘a suma tuturor contract¸iilor totale ¸si legate ale setului de operatori aflat¸i ˆın interiorul parantezelor acolade. B. Termenii perturbat¸ionali de ordin inferior (n ≤ 2)
Termenul perturbat¸ional total de ordinul n pentru un element al funct¸iei Green matriciale are expresia (4.93b), care se poate scrie ˆın mod condensat astfel: Z ∞ Z c
′ −i −i n ∞ (n) ′ ′ ˆ† ˆ ˆ′ ˆ dtn T K Gαβ (x, x ) = dt1 . . . 1K0 (t1 ) . . . K1K0 (tn ) ΦαK0 (x) ΦβK0 (x ) 0 . n! ~ −∞ −∞ (4.94)
300
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Hamiltonianul grand-canonic de interact¸ie este suma celor 7 termeni nebanali ai hamiltonianului de interact¸ie (canonic), conform definit¸iilor (4.25): ˆ ′ (t) = K 1K0
7 X
VˆjK0 (t) ;
j=1
Pentru a facilita analiza perturbat¸ional˘ a se utilizeaz˘a reprezentarea diagramatic˘ a a termenilor hamiltonianului de interact¸ie conform observat¸iei prezentate la introducerea expresiilor (4.14); astfel se definesc urm˘atoarele elemente: x x′ = U(x, x′ ) linie de interact¸ie, ∗ x = ϕˆ† (x) p˘ art¸i de linii particul˘ a ˆın stare excitat˘ a, = ϕ(x) ˆ ¸si ∗ x √ ˆ √ ∗ = ξˆ ≈ n0 1 ¸si = ξˆ ≈ n0 1ˆ p˘ art¸i de linii particul˘ a ˆın stare condensat˘ a. Atunci, conform relat¸iilor (4.14), termenii hamiltonianului de interact¸ie au urm˘atoarele expresii analitice ¸si reprezent˘ ari diagramatice: Z Z √ 2 1 ˆ ′ ) ϕ(x) ˆ −→ xI n0 U(x, x′ ) ϕ(x d4 x d4 x′ Vˆ1K0 (t) = x′ 2 I 1 Vˆ2K0 (t) = 2 Vˆ3K0 (t) =
Z
Z
Vˆ4K0 (t) = n0
Z √ 2 n0 d x d4 x′ ϕˆ† (x) ϕˆ† (x′ ) U(x, x′ )
−→
xI
x′ I
Z √ √ ˆ n0 d4 x d4 x′ ϕˆ† (x′ ) n0 U(x, x′ ) ϕ(x)
−→
xI
x′ I
Z
−→
xI
x′ I
√ Vˆ5K0 (t) = n0
4
Z √ √ ˆ d x d4 x′ ϕˆ† (x) n0 U(x, x′ ) n0 ϕ(x) 4
Z
Z √ ˆ d3 x d3 x′ ϕˆ† (x) ϕˆ† (x′ ) U(x, x′ ) n0 ϕ(x)
−→
xI
x′ I
Z
Z √ ˆ ′ ) U(x, x′ ) ϕ(x) ˆ n0 d x d3 x′ ϕˆ† (x) ϕ(x
−→
xI
x′ I
Z d4 x d4 x′ ϕˆ† (x) ϕˆ† (x′ ) U(x, x′ ) ϕ(x ˆ ′ ) ϕ(x) ˆ
−→
V
√ Vˆ6K0 (t) = n0
V
1 Vˆ7K0 (t) = 2
Z
V
3
V
xI x′ I Potent¸ialul de interact¸ie ˆın notat¸ia 4-dimensional˘a are expresia U(x, x′ ), astfel ˆıncˆ at satisface relat¸ia de simetrie: U(x, x′ ) = U(x′ , x). B1. Funct¸ia Green normal˘ a G′ (x, x′ ) 0. ˆIn ordinul 0 se obt¸ine funct¸ia Green liber˘a:
G(0) (x, x′ ) = − i T ϕˆK0 (x) ϕˆ†K0 (x′ ) 0 = G0 (x, x′ ) .
(4.95)
1. ˆIn ordinul 1 operatorii ordonat¸i cronologic includ hamiltonianul de interact¸ie, care implic˘ a 7 termeni: Z
′ −i ∞ ˆ 1K (t1 ) ϕˆK0 (x) ϕˆ† (x′ ) c G(1) (x, x′ ) = − i dt1 T K K0 0 0 ~ −∞ Z 7 7 X c X
−1 ∞ (1) Gj (x, x′ ) = dt1 T VˆjK0 (t1 ) ϕˆK0 (x) ϕˆ†K0 (x′ ) 0 ≡ ~ −∞ j=1 j=1
˘ PENTRU FUNCT 4.3. TEORIA PERTURBAT ¸ IONALA ¸ IILE GREEN BOSONICE
301
Prin utilizarea expresiilor (4.14) pentru termenii hamiltonianului de interact¸ie, rezult˘a c˘ a numai (1) (1) contribut¸iile G3 (x, x′ ) ¸si G4 (x, x′ ) sunt nenule, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: (1)
(1)
G(1) (x, x′ ) = G3 (x, x′ ) + G4 (x, x′ ) ,
(4.96a)
unde cei doi termeni au urm˘atoarele expresii cu reprezent˘ arile diagramatice corespunz˘ atoare: x (1)
G3 (x, x′ ) =
1 ~
Z
d4 x
Z
d4 x′ G0 (x, x1 ) U(x1 , x′1 ) G0 (x′1 , x′ ) n0 −→ x1
x′1 x′
(4.96b)
x (1) G4 (x, x′ )
1 = ~
Z
4
d x
Z
d4 x′ G0 (x, x1 ) U(x1 , x′1 ) G0 (x1 , x′ ) n0 −→ x1
x′1
x′
(4.96c) Este important s˘a se remarce c˘ a termenii ¸si sunt nuli deoarece hamiltonienii de interact¸ie corespondent¸i (Vˆ1 , Vˆ2 , Vˆ5 ¸si Vˆ6 ) implic˘ a neconservarea num˘arului de particule, fiindc˘a ace¸stia nu cont¸in perechi de operatori de cˆ amp necondensat¸i conjugat¸i; pe de alt˘ a parte (1) termenul G7 are contribut¸ie nul˘a, deoarece implic˘ a propagatori de goluri, care sunt absent¸i ˆın cazul bosonic. (1) G1 ,
(1) G2 ,
(1) G5
(1) G6
Demonstrat¸ie: 1. Termenul produs de partea Vˆ1 a hamiltonianului de interact¸ie are contribut¸ie nul˘ a, deoarece Vˆ1 cont¸ine 2 operatori de anihilare, astfel ˆıncˆ at prin aplicarea teoremei Wick bosonice rezult˘ a termeni care au fiecare cˆ ate o contract¸ie ˆıntre 2 operatori de anihilare: Z Z c
−1 (1) G1 (x, x′ ) = ˆK0 (x) ϕˆ†K0 (x′ ) 0 ˆK0 (x′1 ) · ϕ ˆK0 (x1 ) ϕ d4 x1 d4 x′1 U(x1 , x′1 ) n0 T ϕ 2~ Z Z n −1 ˆK0 (x) · ϕˆK0 (x′1 ) ϕ ˆ†K0 (x′ ) d4 x1 d4 x′1 U(x1 , x′1 ) n0 ϕ ˆK0 (x1 ) ϕ = 2~ o +ϕ ˆ†K0 (x′ ) · ϕ ˆK0 (x1 ) ϕ ˆK0 (x) ϕˆK0 (x′1 ) =0.
2. Termenul produs de partea Vˆ2 a hamiltonianului de interact¸ie are contribut¸ie nul˘ a (ˆın mod similar cu termenul precedent), deoarece Vˆ2 cont¸ine 2 operatori de creare, astfel ˆıncˆ at prin aplicarea teoremei Wick bosonice rezult˘ a termeni care au fiecare cˆ ate o contract¸ie ˆıntre 2 operatori de creare: Z Z c
−1 (1) ˆ†K0 (x1 ) ϕ ˆ†K0 (x′1 ) · ϕ ˆK0 (x) ϕˆ†K0 (x′ ) 0 d4 x1 d4 x′1 U(x1 , x′1 ) n0 T ϕ G2 (x, x′ ) = 2~ Z Z n −1 = d4 x1 d4 x′1 U(x1 , x′1 ) n0 ϕ ˆ†K0 (x1 ) ϕ ˆK0 (x) · ϕˆ†K0 (x′1 ) ϕ ˆ†K0 (x′ ) 2~ o ˆ†K0 (x1 ) ϕ ˆ†K0 (x′ ) · ϕ ˆ†K0 (x) ϕˆK0 (x′1 ) +ϕ =0.
3. Termenul produs de partea Vˆ3 a hamiltonianului de interact¸ie se reduce la un produs de 2 contract¸ii nenule, care sunt egale cu produsul a dou˘ a funct¸ii Green libere: Z Z c
−1 (1) ˆ†K0 (x′ ) 0 d4 x1 d4 x′1 U(x1 , x′1 ) n0 T ϕˆ†K0 (x1 ) ϕˆK0 (x′1 ) · ϕˆK0 (x) ϕ G3 (x, x′ ) = ~ Z Z −1 = ˆ†K0 (x′ ) ˆK0 (x) ϕ d4 x1 d4 x′1 U(x1 , x′1 ) n0 ϕ ˆ†K (x1 ) ϕˆK0 (x′1 ) ϕ ~ {z } | 0 =
1 ~
Z
d4 x1
Z
= iG0 (x,x1 ) iG0 (x′1 ,x′ )
d4 x′1 U(x1 , x′1 ) n0 G0 (x, x1 ) G0 (x′1 , x′ ) ;
302
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA se observ˘ a c˘ a s-a obt¸inut formula (4.96b), care are interpretarea diagramatic˘ a figurat˘ a anterior. 4. Termenul produs de partea Vˆ4 a hamiltonianului de interact¸ie se reduce la un produs de 2 contract¸ii nenule, care sunt egale cu produsul a dou˘ a funct¸ii Green libere (ˆın mod similar cu termenul precedent): Z Z c
−1 (1) ˆ†K0 (x′ ) 0 d4 x1 d4 x′1 U(x1 , x′1 ) n0 T ϕˆ†K0 (x1 ) ϕˆK0 (x1 ) · ϕˆK0 (x) ϕ G4 (x, x′ ) = ~ Z Z −1 4 = ˆ†K0 (x′ ) ˆK0 (x) ϕ d x1 d4 x′1 U(x1 , x′1 ) n0 ϕ ˆ†K (x1 ) ϕˆK0 (x1 ) ϕ ~ | 0 {z } =
1 ~
Z
d4 x1
Z
= iG0 (x,x1 ) iG0 (x1 ,x′ )
d4 x′1 U(x1 , x′1 ) n0 G0 (x, x1 ) G0 (x1 , x′ ) ;
se observ˘ a c˘ a s-a obt¸inut formula (4.96c), iar interpretarea diagramatic˘ a a fost figurat˘ a anterior. 5. Termenul produs de partea Vˆ5 a hamiltonianului de interact¸ie are contribut¸ie nul˘ a, deoarece media produsului cronologic cont¸ine un num˘ ar impar de operatori de cˆ amp (3 operatori de creare ¸si 2 operatori de anihilare), astfel ˆıncˆ at prin aplicarea teoremei Wick bosonice r˘ amˆ ane un operator de creare neˆımperechiat, care produce rezultatul total nul: Z Z c √ † −1 (1) G5 (x, x′ ) = ˆK0 (x) ϕˆ†K0 (x′ ) 0 = 0 . ˆK0 (x1 ) ϕ ˆ†K0 (x′1 ) ϕ ˆK0 (x′1 ) · ϕ d4 x1 d4 x′1 U(x1 , x′1 ) n0 T ϕ ~
6. Termenul produs de partea Vˆ6 a hamiltonianului de interact¸ie are contribut¸ie nul˘ a (ˆın mod similar cu cazul precedent), deoarece media produsului cronologic cont¸ine un num˘ ar impar de operatori de cˆ amp (2 operatori de creare ¸si 3 operatori de anihilare), astfel ˆıncˆ at prin aplicarea teoremei Wick bosonice r˘ amˆ ane un operator de anihilare neˆımperechiat, care produce rezultatul total nul: Z Z c √ † −1 (1) G6 (x, x′ ) = ˆK0 (x) ϕˆ†K0 (x′ ) 0 = 0 . ˆK0 (x1 ) · ϕ ˆK0 (x1 ) ϕ ˆK0 (x′1 ) ϕ d4 x1 d4 x′1 U(x1 , x′1 ) n0 T ϕ ~ 7. Termenul produs de partea Vˆ7 a hamiltonianului de interact¸ie cont¸ine 3 perechi de operatori de cˆ amp ¸si este similar cu termenul corespondent din cazul fermionic; ca urmare, prin aplicarea teoremei Wick, se obt¸in 2 termeni care cont¸in fiecare cˆ ate 3 funct¸ii Green libere: Z Z c
−1 (1) G7 (x, x′ ) = ˆK0 (x) ϕˆ†K0 (x′ ) 0 ˆK0 (x1 ) · ϕ ˆK0 (x′1 ) ϕ d4 x1 d4 x′1 U(x1 , x′1 ) T ϕˆ†K0 (x1 ) ϕˆ†K0 (x′1 ) ϕ 2~ Z Z i d4 x1 d4 x′1 U(x1 , x′1 ) G0 (x, x1 ) G0 (x′1 , x′1 ) G0 (x1 , x′ ) = 2~ Z Z i + d4 x1 d4 x′1 U(x1 , x′1 ) G0 (x, x1 ) G0 (x1 , x′1 ) G0 (x1 , x′ ) 2~ (1)
(1)
≡ G7d (x, x′ ) + G7s (x, x′ ) ;
cei 2 termeni au urm˘ atoarele imagini diagramatice
(1)
G7d (x, x′ ) =
&
(1)
G7s (x, x′ ) =
care sunt similare cazului fermionic. Diagramele precedente arat˘ a c˘ a funct¸ia Green interioar˘ a are timpi egali, ceea ce implic˘ a propagarea unei perechi particul˘ a-gol; deoarece ˆın cazul bosonic nu exist˘ a propagare de goluri, ace¸sti 2 termeni sunt nuli.
2. ˆIn ordinul 2 operatorii ordonat¸i cronologic includ produsul a 2 hamiltonieni de interact¸ie, care implic˘ a 7 × 7 = 49 termeni: Z Z ∞ c
′ −i −i 2 ∞ (2) ′ ′ ˆ 1K ˆ 1K (t1 ) K G (x, x ) = dt1 (t2 ) ϕˆK0 (x) ϕˆ†K0 (x′ ) 0 dt2 T K 0 0 2 ~ −∞ −∞ Z ∞ Z ∞ 1,7 X 2 c
−i −i dt1 dt2 T VˆjK0 (t1 ) VˆlK0 (t2 ) ϕˆK0 (x) ϕˆ†K0 (x′ ) 0 = 2 ~ −∞ −∞ j,l
≡
1,7 X j,l
(2)
Gjl (x, x′ ) .
˘ PENTRU FUNCT 4.3. TEORIA PERTURBAT ¸ IONALA ¸ IILE GREEN BOSONICE
303
Prin utilizarea expresiilor (4.14) pentru termenii hamiltonianului de interact¸ie, rezult˘a c˘ a numai 8 termeni ai funct¸iei Green de ordinul 2 sunt nenuli, iar ace¸stia cont¸in 3 perechi de termeni egali: (2) (2) (2) (2) (2) (2) G12 = G21 , G34 = G43 ¸si G56 = G65 ; ca urmare, se obt¸ine: (1) (1) (1) (1) (1) (1) G(2) (x, x′ ) = G12 (x, x′ ) + G21 (x, x′ ) + G34 (x, x′ ) + G43 (x, x′ ) + G56 (x, x′ ) + G65 (x, x′ ) (1) (1) + G33 (x, x′ ) + G44 (x, x′ ) , (4.97a)
ˆIn relat¸ia anterioar˘ a primele 3 perechi de funct¸ii Green, grupate ˆın interiorul parantezelor acolade, (2) (2) (2) (2) (2) (2) cont¸in termeni egali: G12 (x, x′ ) = G21 (x, x′ ), G34 (x, x′ ) = G43 (x, x′ ), G56 (x, x′ ) = G65 (x, x′ ); ultimii 2 termeni (care sunt, de asemenea inclu¸si ˆın interiorul parantezelor acolade , sunt ˆıns˘ a (2) (2) ′ ′ distinct¸i G33 (x, x ) 6= G44 (x, x ). Cele 3 perechi de termeni egali au urm˘atoarele expresii cu reprezent˘ arile diagramatice corespunz˘ atoare: (2)
(2)
G12 (x, x′ ) + G21 (x, x′ ) Z Z Z Z 1 = 2 d4 x1 d4 x′1 d4 x2 d4 x′2 G0 (x, x1 ) U(x1 , x′1 ) n0 G0 (x2 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) n0 G0 (x′2 , x′ ) ~ x x′2
x2 −→
;
(4.97b)
x′1
x1
x′ (2)
(2)
G34 (x, x′ ) + G43 (x, x′ ) Z Z Z Z 1 4 4 ′ 4 = 2 d x1 d x1 d x2 d4 x′2 G0 (x, x1 ) U(x1 , x′1 ) n0 G0 (x′1 , x2 ) U(x2 , x′2 ) n0 G0 (x2 , x′ ) ~ Z Z Z Z 1 + 2 d4 x1 d4 x′1 d4 x2 d4 x′2 G0 (x, x1 ) U(x1 , x′1 ) n0 G0 (x1 , x2 ) U(x2 , x′2 ) n0 G0 (x′2 , x′ ) ~ x x x′1
x1 −→
x1
x′1
x2
x′2
+ x′2
x2
;
x′ (2)
(4.97c)
x′
(2)
G56 (x, x′ ) + G65 (x, x′ ) Z Z Z Z √ √ i = 2 d4 x1 d4 x′1 d4 x2 d4 x′2 G0 (x, x1 ) n0 U(x1 , x′1 ) G0 (x1 , x′2 ) G0 (x′1 , x2 ) U(x2 , x′2 ) n0 G0 (x′2 , x′ ) ~ Z Z Z Z √ √ i + 2 d4 x1 d4 x′1 d4 x2 d4 x′2 G0 (x, x1 ) n0 U(x1 , x′1 ) G0 (x1 , x2 ) G0 (x′1 , x′2 ) U(x2 , x′2 ) n0 G0 (x′2 , x′ ) ~ x x
−→
x′1
x1
x2
x′2
x1
x′1
x2
x′2
+
x′
;
x′
(4.97d)
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
304
de asemenea, cei 2 termeni distinct¸i au urm˘atoarele expresii cu reprezent˘ arile diagramatice respective: Z Z Z Z 1 (2) G33 (x, x′ ) = 2 d4 x1 d4 x′1 d4 x2 d4 x′2 G0 (x, x1 ) U(x1 , x′1 ) n0 G0 (x′1 , x2 ) U(x2 , x′2 ) n0 G0 (x′2 , x′ ) ~ x x′1
x1 −→
;
(4.97e)
x′2
x2
x′ (2) G44 (x, x′ )
Z Z Z Z 1 4 4 ′ 4 = 2 d x1 d x1 d x2 d4 x′2 G0 (x, x1 ) U(x1 , x′1 ) n0 G0 (x1 , x2 ) U(x2 , x′2 ) n0 G0 (x2 , x′ ) ~ x
−→
x1
x′1
x2
x′2
.
(4.97f)
x′ Demonstrat¸ie: Pentru a simplifica discut¸ia se elimin˘ a din start termenii care sunt nuli deoarece nu cont¸in un num˘ ar egal de operatori de creare ¸si de anihilare, astfel ˆıncˆ at nu se pot forma contract¸ii totale ˆın sensul teoremei Wick; astfel rezult˘ a urm˘ atorii 36 de termeni a priori nuli: (2)
G11 (x, x′ ) , (2)
G31 (x, x′ ) , (2) G41 (x, x′ ) , (2) G51 (x, x′ ) , (2) G61 (x, x′ ) , (2) G71 (x, x′ ) ,
(2) G22 (x, x′ ) (2) G32 (x, x′ ) (2) G42 (x, x′ ) (2) G52 (x, x′ ) (2) G62 (x, x′ ) (2) G72 (x, x′ )
, , , , , ,
(2)
(2)
G14 (x, x′ ) , (2) G24 (x, x′ ) ,
(2)
G54 (x, x′ ) , (2) G64 (x, x′ ) ,
G13 (x, x′ ) , (2) G23 (x, x′ ) ,
G53 (x, x′ ) , (2) G63 (x, x′ ) ,
(2)
(2)
G15 (x, x′ ) , (2) G25 (x, x′ ) , (2) G35 (x, x′ ) , (2) G45 (x, x′ ) , (2) G55 (x, x′ ) , (2)
G75 (x, x′ ) ,
(2)
G16 (x, x′ ) , (2) G26 (x, x′ ) , (2) G36 (x, x′ ) ; (2) G46 (x, x′ ) ; (2) G66 (x, x′ ) (2) G76 (x, x′ )
, .
(2)
G17 (x, x′ ) ; (2) G27 (x, x′ ) ;
(2)
G57 (x, x′ ) ; (2) G67 (x, x′ ) ;
Prin excluderea termenilor care nu cont¸in un num˘ ar egal de operatori de cˆ amp conjugat¸i, r˘ amˆ an de analizat urm˘ atorii 13 termeni: (2)
G12 (x, x′ ), (2) G47 (x, x′ ) ;
(2)
G21 (x, x′ ) ; (2) G56 (x, x′ ),
(2)
G33 (x, x′ ), (2) G65 (x, x′ ) ;
(2)
G34 (x, x′ ), (2) G73 (x, x′ ),
(2)
G37 (x, x′ ) ; (2) G74 (x, x′ ),
(2)
G43 (x, x′ ), (2) G77 (x, x′ ) .
(2)
G44 (x, x′ ),
Prin considerarea simetriei potent¸ialului de interact¸ie ˆın raport cu permutarea variabilelor, se (2) (2) (2) (2) obt¸in urm˘ atoarele 5 perechi de termeni egali: G12 (x, x′ ) = G21 (x, x′ ), G34 (x, x′ ) = G43 (x, x′ ), (2) (2) (2) (2) (2) (2) ′ ′ ′ ′ ′ ′ G56 (x, x ) = G65 (x, x ), G37 (x, x ) = G73 (x, x ) ¸si G47 (x, x ) = G74 (x, x ); ca urmare, r˘ amˆ an numai 8 termeni distinct¸i, posibil nenuli: (2)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
G12 (x, x′ ), G34 (x, x′ ), G56 (x, x′ ), G37 (x, x′ ), G47 (x, x′ ), G33 (x, x′ ), G44 (x, x′ ), G77 (x, x′ ). Dintre ace¸sti 8 termeni este posibil ca s˘ a fie unii nuli, datorit˘ a condit¸iei de absent¸˘ a a golurilor ˆın cazul bosonic. Condit¸ia de absent¸˘ a a golurilor implic˘ a interdict¸ia urm˘ atoarelor tipuri de contract¸ii: 1. coordonatele spat¸io-temporale ale operatorilor corespund la acela¸si punct ϕ ˆ† (x) ϕ(x), ˆ care se reprezint˘ a diagramatic printr-o linie de particul˘ a necondensat˘ a ˆınchis˘ a:
;
2. operatorii contractat¸i au acela¸si timp, prin faptul c˘ a imaginea diagramatic˘ a a contract¸iei (funct¸ia Green liber˘ a) este reprezentat˘ a prin linia particul˘ a cu capetele legate de o linie de ˆ† (x) ϕ(x ˆ ′) = interact¸ie: U(x, x′ ) ϕ
;
˘ PENTRU FUNCT 4.3. TEORIA PERTURBAT ¸ IONALA ¸ IILE GREEN BOSONICE
305
3. pereche de contact¸ii reprezentate prin linii particul˘ a ˆıntre 2 puncte: ϕˆ† (x) ϕ(x) ˆ ϕ ˆ† (x′ ) ϕ(x ˆ ′) =
;
4. pereche de contract¸ii inversate ˆıntre perechi de puncte legate prin linii de interact¸ie: ϕ ˆ† (x2 ) ϕ(x ˆ ′2 ) ϕ ˆ† (x′1 ) ϕ(x ˆ 1) = ϕ ˆ† (x2 ) ϕ(x ˆ 3) ϕ ˆ† (x1 ) ϕ(x ˆ 1) = Ca urmare, singurele contract¸ii permise ˆıntre perechi de puncte (de condit¸ia de absent¸˘ a a golurilor bosonice) sunt de tipul: ϕ ˆ† (x2 ) ϕ ˆ† (x′2 ) ϕ(x ˆ 1 ) ϕ(x ˆ ′1 ) = Cei 8 termeni distinct¸i posibili nenuli se evalueaz˘ a prin utilizarea teoremei Wick bosonice astfel. 1. Termenii corespunz˘ atori p˘ art¸ilor Vˆ1 ¸si Vˆ2 ale hamiltonianului de interact¸ie sunt (2)
(2)
G12 (x, x′ ) = G21 (x, x′ ) Z ∞ Z c
−i −i 2 ∞ ˆ†K0 (x′ ) 0 dt2 T Vˆ1K0 (t1 ) Vˆ2K0 (t2 ) ϕˆK0 (x) ϕ dt1 = 2 ~ −∞ −∞ Z Z Z Z i 1 4 4 ′ 4 d4 x′2 n20 U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) d x = d x d x 2 1 1 2 ~2 4 c
ˆ†K0 (x′ ) 0 . ˆ†K0 (x2 ) ϕ ˆ†K0 (x′2 ) · ϕ ˆK0 (x) ϕ ˆK0 (x′1 ) · ϕ × T ϕ ˆK0 (x1 ) ϕ
Prin aplicarea teoremei Wick, media produsului cronologic se reduce la funct¸ii Green libere (se ret¸in numai termenii legat¸i ): c
ˆ†K0 (x2 ) ϕ ˆ†K0 (x′2 ) · ϕ ˆK0 (x) ϕˆ†K0 (x′ ) 0 ˆK0 (x′1 ) · ϕ T ϕ ˆK0 (x1 ) ϕ = ϕ(x ˆ 1 ) ϕ(x ˆ ′1 ) ϕ ˆ† (x2 ) ϕˆ† (x′2 ) ϕ(x) ˆ ϕ ˆ† (x′ ) + ϕ(x ˆ 1 ) ϕ(x ˆ ′1 ) ϕ ˆ† (x2 ) ϕ ˆ† (x′2 ) ϕ(x) ˆ ϕˆ† (x′ )
ˆ 1 ) ϕ(x ˆ ′1 ) ϕˆ† (x2 ) ϕ ˆ† (x′2 ) ϕ(x) ˆ ϕ ˆ† (x′ ) + ϕ(x ˆ 1 ) ϕ(x ˆ ′1 ) ϕ ˆ† (x2 ) ϕˆ† (x′2 ) ϕ(x) ˆ ϕ ˆ† (x′ ) + ϕ(x = iG0 (x, x2 ) iG0 (x′1 , x′2 ) iG0 (x1 , x′ ) + iG0 (x, x2 ) iG0 (x1 , x′2 ) iG0 (x′1 , x′ ) + iG0 (x, x′2 ) iG0 (x′1 , x2 ) iG0 (x1 , x′ ) + iG0 (x, x′2 ) iG0 (x1 , x2 ) iG0 (x′1 , x′ ) . Se substituie rezultatul precedent ˆın expresia p˘ art¸ii considerate a funct¸iei Green ¸si pe baza relat¸iilor de simetrie rezult˘ a c˘ a cei 4 termeni sunt egali, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: (2)
(2)
G12 (x, x′ ) = G21 (x, x′ ) Z Z Z Z i 4 4 ′ 4 d4 x′2 n20 U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) d x d x d x = 2 1 1 8 ~2 × iG0 (x, x2 ) iG0 (x′1 , x′2 ) iG0 (x1 , x′ ) + iG0 (x, x2 ) iG0 (x1 , x′2 ) iG0 (x′1 , x′ ) + iG0 (x, x′2 ) iG0 (x′1 , x2 ) iG0 (x1 , x′ ) + iG0 (x, x′2 ) iG0 (x1 , x2 ) iG0 (x′1 , x′ ) Z Z Z Z 1 4 4 ′ 4 = d4 x′2 n20 U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) G0 (x, x1 ) G0 (x′1 , x2 ) G0 (x′2 , x′ ) ; d x d x d x 2 1 1 2 ~2 atunci, suma celor 2 termeni egali (G012 ¸si G021 ) are expresia ¸si imaginea diagramatic˘ a date de relat¸ia (4.97b). 2. Termenii corespunz˘ atori p˘ art¸ilor Vˆ3 ¸si Vˆ4 ale hamiltonianului de interact¸ie sunt (2)
(2)
G34 (x, x′ ) = G43 (x, x′ ) Z Z ∞ c
−i −i 2 ∞ = dt1 ˆ†K0 (x′ ) 0 dt2 T Vˆ3K0 (t1 ) Vˆ4K0 (t2 ) ϕˆK0 (x) ϕ 2 ~ −∞ −∞ Z Z Z Z i 4 4 ′ 4 d4 x′2 n20 U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) = d x d x d x 2 1 1 2 ~2 c
† ˆ†K0 (x′ ) 0 . ˆK0 (x) ϕ ˆ†K0 (x2 ) ϕ ˆK0 (x2 ) · ϕ × T ϕ ˆK0 (x1 ) ϕ ˆK0 (x′1 ) · ϕ
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
306
ˆIn mod similar cazului anterior, se aplic˘ a teorema Wick pentru media produsului cronologic, astfel ˆıncˆ at termenii legat¸i se exprim˘ a prin funct¸ii Green libere (ˆın acest caz exist˘ a numai 2 termeni legat¸i): c
† ˆK0 (x) ϕˆ†K0 (x′ ) 0 ˆ†K0 (x2 ) ϕ ˆK0 (x2 ) · ϕ T ϕ ˆK0 (x1 ) ϕ ˆK0 (x′1 ) · ϕ ˆ† (x1 ) ϕ(x ˆ ′1 ) ϕ ˆ† (x2 ) ϕ(x ˆ 2 ) ϕ(x) ˆ ϕ ˆ† (x′ ) + ϕ ˆ† (x1 ) ϕ(x ˆ ′1 ) ϕ ˆ† (x2 ) ϕ(x ˆ 2 ) ϕ(x) ˆ ϕˆ† (x′ ) =ϕ = iG0 (x, x1 ) iG0 (x′1 , x2 ) iG0 (x2 , x′ ) + iG0 (x, x2 ) iG0 (x2 , x1 ) iG0 (x′1 , x′ ) . Se substituie rezultatul precedent ˆın expresia p˘ art¸ii considerate a funct¸iei Green, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: (2)
(2)
G34 (x, x′ ) = G43 (x, x′ ) Z Z Z Z i 4 4 ′ 4 d4 x′2 n20 U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) d x d x d x = 2 1 1 8 ~2 × iG0 (x, x1 ) iG0 (x′1 , x2 ) iG0 (x2 , x′ ) + iG0 (x, x2 ) iG0 (x2 , x1 ) iG0 (x′1 , x′ ) Z Z Z Z 1 4 4 ′ 4 = d4 x′2 n20 U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) G0 (x, x1 ) G0 (x′1 , x2 ) G0 (x2 , x′ ) d x d x d x 2 1 1 2 ~2 Z Z Z Z 1 4 4 ′ 4 + d4 x′2 n20 U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) G0 (x, x2 ) G0 (x2 , x1 ) G0 (x′1 , x′ ) ; d x d x d x 2 1 1 2 ~2 atunci, dup˘ a interschimbarea variabilelor interne ˆın a doua integral˘ a cuadrupl˘ a, suma celor 2 termeni egali (G034 ¸si G043 ) are expresia ¸si imaginea diagramatic˘ a date de relat¸ia (4.97c). 3. Termenul corespunz˘ ator p˘ art¸ii Vˆ3 a hamiltonianului de interact¸ie este Z ∞ Z c
−i −i 2 ∞ (2) ˆ†K0 (x′ ) 0 dt2 T Vˆ3K0 (t1 ) Vˆ3K0 (t2 ) ϕˆK0 (x) ϕ dt1 G33 (x, x′ ) = 2 ~ −∞ −∞ Z Z Z Z i 4 4 ′ 4 d4 x′2 n20 U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) d x = d x d x 2 1 1 2 ~2 c
† ˆ†K0 (x′ ) 0 . ˆK0 (x) ϕ ˆ†K0 (x2 ) ϕ ˆK0 (x′2 ) · ϕ × T ϕ ˆK0 (x1 ) ϕ ˆK0 (x′1 ) · ϕ
ˆIn mod similar cazurilor anterioare, se aplic˘ a teorema Wick pentru media produsului cronologic, astfel ˆıncˆ at termenii legat¸i se exprim˘ a prin funct¸ii Green libere (ˆın acest caz exist˘ a numai 2 termeni legat¸i): c
† ˆK0 (x) ϕˆ†K0 (x′ ) 0 ˆ†K0 (x2 ) ϕ ˆK0 (x′2 ) · ϕ T ϕ ˆK0 (x1 ) ϕ ˆK0 (x′1 ) · ϕ =ϕ ˆ† (x1 ) ϕ(x ˆ ′1 ) ϕ ˆ† (x2 ) ϕ(x ˆ ′2 ) ϕ(x) ˆ ϕ ˆ† (x′ ) + ϕ ˆ† (x1 ) ϕ(x ˆ ′1 ) ϕ ˆ† (x2 ) ϕ(x ˆ ′2 ) ϕ(x) ˆ ϕˆ† (x′ ) = iG0 (x, x1 ) iG0 (x′1 , x2 ) iG0 (x′2 , x′ ) + iG0 (x, x2 ) iG0 (x′2 , x1 ) iG0 (x′1 , x′ ) . Se substituie rezultatul precedent ˆın expresia p˘ art¸ii considerate a funct¸iei Green, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: (2)
(2)
G34 (x, x′ ) = G43 (x, x′ ) Z Z Z Z i 4 4 ′ 4 d4 x′2 n20 U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) d x d x d x = 2 1 1 8 ~2 × iG0 (x, x1 ) iG0 (x′1 , x2 ) iG0 (x′2 , x′ ) + iG0 (x, x2 ) iG0 (x′2 , x1 ) iG0 (x′1 , x′ ) Z Z Z Z 1 d4 x1 d4 x′1 d4 x2 d4 x′2 n20 U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) G0 (x, x1 ) G0 (x′1 , x2 ) G0 (x′2 , x′ ) = 2 ~2 Z Z Z Z 1 4 4 ′ 4 + d x1 d x1 d x2 d4 x′2 n20 U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) G0 (x, x2 ) G0 (x′2 , x1 ) G0 (x′1 , x′ ) ; 2 ~2
atunci, dup˘ a interschimbarea variabilelor interne ˆın a doua integral˘ a cuadrupl˘ a, datorit˘ a simetriei potent¸ialului de interact¸ie la permutarea coordonatelor, cei doi termeni sunt egali, astfel ˆıncˆ at G033 are expresia ¸si imaginea diagramatic˘ a date de relat¸ia (4.97e). 4. Termenul corespunz˘ ator p˘ art¸ii Vˆ4 a hamiltonianului de interact¸ie este Z Z ∞ c
−i −i 2 ∞ (2) G44 (x, x′ ) = dt1 ˆ†K0 (x′ ) 0 dt2 T Vˆ4K0 (t1 ) Vˆ4K0 (t2 ) ϕˆK0 (x) ϕ 2 ~ −∞ −∞ Z Z Z Z i 4 4 ′ 4 d4 x′2 n20 U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) = d x d x d x 2 1 1 2 ~2 c
† ˆ†K0 (x′ ) 0 . ˆK0 (x) ϕ ˆ†K0 (x2 ) ϕ ˆK0 (x2 ) · ϕ × T ϕ ˆK0 (x1 ) ϕ ˆK0 (x1 ) · ϕ
˘ PENTRU FUNCT 4.3. TEORIA PERTURBAT ¸ IONALA ¸ IILE GREEN BOSONICE
307
ˆIn mod similar cazurilor anterioare, se aplic˘ a teorema Wick pentru media produsului cronologic, astfel ˆıncˆ at termenii legat¸i se exprim˘ a prin funct¸ii Green libere (ˆın acest caz exist˘ a numai 2 termeni legat¸i): c
† ˆK0 (x) ϕˆ†K0 (x′ ) 0 ˆ†K0 (x2 ) ϕ ˆK0 (x2 ) · ϕ T ϕ ˆK0 (x1 ) ϕ ˆK0 (x1 ) · ϕ
=ϕ ˆ† (x1 ) ϕ(x ˆ 1) ϕ ˆ† (x2 ) ϕ(x ˆ 2 ) ϕ(x) ˆ ϕ ˆ† (x′ ) + ϕ ˆ† (x1 ) ϕ(x ˆ 1) ϕ ˆ† (x2 ) ϕ(x ˆ 2 ) ϕ(x) ˆ ϕ ˆ† (x′ ) = iG0 (x, x1 ) iG0 (x1 , x2 ) iG0 (x2 , x′ ) + iG0 (x, x2 ) iG0 (x2 , x1 ) iG0 (x1 , x′ ) .
Se substituie rezultatul precedent ˆın expresia p˘ art¸ii considerate a funct¸iei Green, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: (2)
(2)
G34 (x, x′ ) = G43 (x, x′ ) Z Z Z Z i 4 4 ′ 4 d4 x′2 n20 U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) = d x d x d x 2 1 1 8 ~2 × iG0 (x, x1 ) iG0 (x1 , x2 ) iG0 (x2 , x′ ) + iG0 (x, x2 ) iG0 (x2 , x1 ) iG0 (x1 , x′ ) Z Z Z Z 1 4 4 ′ 4 d4 x′2 n20 U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) G0 (x, x1 ) G0 (x1 , x2 ) G0 (x2 , x′ ) d x d x d x = 2 1 1 2 ~2 Z Z Z Z 1 4 4 ′ 4 d4 x′2 n20 U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) G0 (x, x2 ) G0 (x2 , x1 ) G0 (x1 , x′ ) ; d x d x + d x 2 1 1 2 ~2 atunci, dup˘ a interschimbarea variabilelor interne ˆın a doua integral˘ a cuadrupl˘ a, cei doi termeni sunt egali, astfel ˆıncˆ at G044 are expresia ¸si imaginea diagramatic˘ a date de relat¸ia (4.97f). 5. Termenii corespunz˘ atori p˘ art¸ilor Vˆ5 ¸si Vˆ6 ale hamiltonianului de interact¸ie sunt (2)
(2)
G56 (x, x′ ) = G65 (x, x′ ) Z Z ∞ c
−i −i 2 ∞ = dt1 ˆK0 (x) ϕˆ†K0 (x′ ) 0 dt2 T Vˆ5K0 (t1 ) Vˆ6K0 (t2 ) ϕ 2 ~ −∞ −∞ Z Z Z Z √ √ i 4 4 ′ 4 d4 x′2 n0 U(x1 , x′1 ) n0 U(x2 , x′2 ) d x d x d x = 2 1 1 2 ~2 c
† ˆK0 (x) ϕˆ†K0 (x′ ) 0 . ˆ†K0 (x′2 ) ϕ ˆK0 (x′2 ) · ϕ ˆK0 (x1 ) · ϕˆ†K0 (x2 ) ϕ × T ϕ ˆK0 (x1 ) ϕˆK0 (x′1 ) ϕ
ˆIn cazul prezent produsul cronologic cont¸ine 4 operatori de creare ¸si 4 operatori de anihilare, astfel ˆıncˆ at deducerea prin metoda analitic˘ a este foarte laborioas˘ a, deoarece exist˘ a 4! = 24 de termeni obt¸inut¸i prin aplicarea direct˘ a a teoremei Wick bosonic˘ a; dintre ace¸sti termeni trebuie exclu¸si aceia care corespund la diagrame nelegate ¸si de asemenea, termenii care implic˘ a propagare de goluri. Datorit˘ a motivelor expuse anterior, este convenabil s˘ a se deduc˘ a termenii care au contribut¸ie la aceast˘ a parte a funct¸iei Green utilizˆ and metoda diagramatic˘ a: – se figureaz˘ a diagramele care reprezint˘ a cele dou˘ a p˘ art¸i ale hamiltonianului de interact¸ie (ˆın cazul prezent sunt Vˆ5 ¸si Vˆ6 ), ˆımpreun˘ a cu diagramele care reprezint˘ a cˆ ampurile externe (adic˘ a ϕ(x) ˆ ¸si ϕˆ† (x); – se combin˘ a elementele diagramatice anterioare, astfel ˆıncˆ at s˘ a se obt¸in˘ a diagrame legate ¸si f˘ ar˘ a propagare de goluri. Atunci, se obt¸ine urm˘ atorul rezultat diagramatic: x x1
x
x
x1
x′1
x1
x′1
x2
x′2
x2
x′2
x′1
0
† ϕ1 ϕ1′ ϕ1 ϕ†2 ϕ†2′ ϕ2′ ϕϕ† c =
= x2
+
x′2 x′
x′
c
x′
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
308
Pe baza rezultatului precedent se obt¸ine expresia mediei produsului cronologic ˆın termeni de funct¸ii Green libere:
† c T ϕ ˆ (x1 ) ϕ(x ˆ ′1 ) ϕ(x ˆ 1) · ϕ ˆ† (x2 ) ϕ ˆ† (x′2 ) ϕ(x ˆ ′2 ) · ϕ(x) ˆ ϕ ˆ† (x′ ) 0 =ϕ ˆ† (x1 ) ϕ(x ˆ ′1 ) ϕ(x ˆ 1 ) ϕˆ† (x2 ) ϕ ˆ† (x′2 ) ϕ(x ˆ ′2 ) ϕ(x) ˆ ϕˆ† (x′ )
ˆ† (x1 ) ϕ(x ˆ ′1 ) ϕ(x ˆ 1 ) ϕˆ† (x2 ) ϕ ˆ† (x′2 ) ϕ(x ˆ ′2 ) ϕ(x) ˆ ϕ ˆ† (x′ ) +ϕ = iG0 (x, x1 ) iG0 (x1 , x′2 ) iG0 (x′1 , x2 ) iG0 (x′2 , x′ ) + iG0 (x, x1 ) iG0 (x1 , x2 ) iG0 (x′1 , x′2 ) iG0 (x′2 , x′ ) . Se substituie rezultatul anterior ˆın expresia p˘ art¸ii considerate a funct¸iei Green, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: (2)
(2)
G56 (x, x′ ) = G65 (x, x′ ) Z Z Z Z √ √ i 4 4 ′ 4 = d4 x′2 n0 U(x1 , x′1 ) n0 U(x2 , x′2 ) d x d x d x 2 1 1 2 ~2 × G0 (x, x1 ) G0 (x1 , x′2 ) G0 (x′1 , x2 ) G0 (x′2 , x′ ) + G0 (x, x1 ) G0 (x1 , x2 ) G0 (x′1 , x′2 ) G0 (x′2 , x′ ) ;
a date de atunci, suma celor 2 termeni egali (G056 ¸si G065 ) are expresia ¸si imaginea diagramatic˘ relat¸ia (4.97d). 6. Termenii corespunz˘ atori p˘ art¸ilor Vˆ3 ¸si Vˆ7 ale hamiltonianului de interact¸ie sunt (2)
(2)
G37 (x, x′ ) = G73 (x, x′ ) Z ∞ Z c
−i −i 2 ∞ = ˆ†K0 (x′ ) 0 dt2 T Vˆ3K0 (t1 ) Vˆ7K0 (t2 ) ϕˆK0 (x) ϕ dt1 2 ~ −∞ −∞ Z Z Z Z n0 i 1 4 4 ′ 4 d4 x′2 d x d x d x U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) = 2 1 1 2 ~2 4 2 c
ˆ†K0 (x′ ) 0 . ˆK0 (x) ϕ ˆ†K0 (x2 ) ϕ ˆ†K0 (x′2 ) ϕ ˆK0 (x′2 ) ϕˆK0 (x2 ) · ϕ ˆK0 (x′1 ) · ϕ × T ϕ ˆK0 (x1 ) ϕ
Se observ˘ a c˘ a produsul cronologic cont¸ine 4 operatori de creare ¸si 4 operatori de anihilare, astfel ˆıncˆ at este convenabil s˘ a se determine rezultatul acestei m˘ arimi cu ajutorul metodei diagramatice; ca urmare, media acestui produs se obt¸ine din combinarea elementelor diagramatice aflate ˆın interiorul parantezelor drepte, cu condit¸iile ca s˘ a se obt¸in˘ a diagrame legate ¸si f˘ ar˘ a propag˘ ari de goluri: x
0
† ϕ1 ϕ1′ ϕ†2 ϕ†2′ ϕ2′ ϕ2 ϕ ϕ† c =
x1
x′1
x2
x′2
x′
c
Se observ˘ a c˘ a este imposibil s˘ a se construiasc˘ a o diagram˘ a legat˘ a ¸si f˘ ar˘ a propagatori de goluri cu elementele anterioare; atunci, media produsului cronologic considerat este nul˘ a ¸si astfel termenii corespunz˘ atori ai funct¸iei Green sunt nuli: (2)
(2)
G37 (x, x′ ) = G73 (x, x′ ) = 0 . 7. Termenii corespunz˘ atori p˘ art¸ilor Vˆ4 ¸si Vˆ7 ale hamiltonianului de interact¸ie sunt (2)
(2)
G47 (x, x′ ) = G74 (x, x′ ) Z Z ∞ c
−i −i 2 ∞ dt1 ˆ†K0 (x′ ) 0 dt2 T Vˆ4K0 (t1 ) Vˆ7K0 (t2 ) ϕˆK0 (x) ϕ = 2 ~ −∞ −∞ Z Z Z Z n0 i 1 4 4 ′ 4 d4 x′2 d x d x = d x U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) 2 1 1 2 ~2 4 2 c
ˆ†K0 (x′ ) 0 . ˆK0 (x) ϕ ˆ†K0 (x2 ) ϕ ˆ†K0 (x′2 ) ϕ ˆK0 (x′2 ) ϕˆK0 (x2 ) · ϕ ˆK0 (x1 ) · ϕ × T ϕ ˆK0 (x1 ) ϕ
˘ PENTRU FUNCT 4.3. TEORIA PERTURBAT ¸ IONALA ¸ IILE GREEN BOSONICE
309
Se observ˘ a c˘ a produsul cronologic cont¸ine 4 operatori de creare ¸si 4 operatori de anihilare, astfel ˆıncˆ at este convenabil s˘ a se determine rezultatul acestei m˘ arimi cu ajutorul metodei diagramatice (la fel ca ˆın cazul precedent); ˆın consecint¸˘ a, media acestui produs se obt¸ine din combinarea elementelor diagramatice aflate ˆın interiorul parantezelor drepte, cu condit¸iile ca s˘ a se obt¸in˘ a diagrame legate ¸si f˘ ar˘ a propag˘ ari de goluri: x
0
† ϕ1 ϕ1 ϕ†2 ϕ†2′ ϕ2′ ϕ2 ϕ ϕ† c =
x1
x′1
x2
x′2
x′
c
Se observ˘ a c˘ a este imposibil s˘ a se construiasc˘ a o diagram˘ a legat˘ a ¸si f˘ ar˘ a propagatori de goluri cu elementele anterioare; atunci, media produsului cronologic considerat este nul˘ a ¸si astfel termenii corespunz˘ atori ai funct¸iei Green sunt nuli: (2)
(2)
G47 (x, x′ ) = G74 (x, x′ ) = 0 . 8. Termenul corespunz˘ ator p˘ art¸ii Vˆ7 a hamiltonianului de interact¸ie este Z ∞ Z c
−i −i 2 ∞ (2) G77 (x, x′ ) = ˆ†K0 (x′ ) 0 ˆK0 (x) ϕ dt2 T Vˆ7K0 (t1 ) Vˆ7K0 (t2 ) ϕ dt1 2 ~ −∞ −∞ Z Z Z Z i 1 4 4 ′ 4 d4 x′2 U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) d x = d x d x 2 1 1 2 ~2 4
† ˆK0 (x2 ) ˆ†K0 (x2 ) ϕ ˆ†K0 (x′2 ) ϕ ˆK0 (x′2 ) ϕ ˆK0 (x1 ) · ϕ × T ϕ ˆK0 (x1 ) ϕˆ†K0 (x′1 ) ϕˆK0 (x′1 ) ϕ c † ′ ˆK0 (x ) 0 . ×ϕ ˆK0 (x) ϕ
ˆIn acest caz analiza direct˘ a este mai dificil˘ a decˆ at ˆın cazurile anterioare, deoarece sunt prezent¸i 5 operatori de anihilare ¸si 5 operatori de creare. Totu¸si, o simplificare considerabil˘ a se produce, deoarece acest termen cont¸ine numai contribut¸ii necondensate ¸si are coresponent fermionic; ca urmare, se produc acelea¸si diagrame ca cele din cazul fermionic. Exist˘ a 10 tipuri de diagrame fermionice de ordinul 2 legate; pentru a testa existent¸a propagatorilor de goluri se figureaz˘ a aceste diagrame cu liniile de interact¸ie orizontale:
Se observ˘ a c˘ a toate diagramele anterioare cont¸in propagatori de goluri, astfel ˆıncˆ at contibut¸ia fiec˘ arui termen este nul˘ a; prin urmare (2)
G77 (x, x′ ) = 0 .
310
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
B2. Funct¸iile Green anomale G′′ (x, x′ ) ¸si G′′′ (x, x′ ) Conform aproximat¸iei Bogoliubov exist˘a dou˘a funct¸ii Green anomale, care sunt corelate prin relat¸iile de definit¸ie (4.56): hO| T ϕˆK (x) ϕˆK (x′ ) |Oi ′′ ′ = G′12 (x, x′ ) , G (x, x ) = −i hO|Oi ∗ hO| T ϕˆ†K (x) ϕˆ†K (x′ ) |Oi ′′′ ′ = G′21 (x, x′ ) = − G′′ (x, x′ ) . G (x, x ) = −i hO|Oi
Conform relat¸iei generale de dezvoltare perturbativ˘a (4.94), prima funct¸ie Green anomal˘a are urm˘atoarea expresie pentru termenul perturbat¸ional de ordinul n: Z Z ∞ c
′ 1 −i n ∞ ′′(n) ′ ˆ′ ˆ ˆK0 (x) ϕˆK0 (x′ ) 0 . dt1 . . . dtn T K G (x, x ) = 1K0 (t1 ) . . . K1K0 (tn ) ϕ n! ~ −∞ −∞
Din formula precedent˘ a rezult˘a expresiile termenilor perturbat¸ionali de ordin inferior. 0. Termenul de ordinul 0 este nul: c
G′′(0) (x, x′ ) = −i T ϕˆK0 (x) ϕˆK0 (x′ ) 0 = 0 .
(4.98)
1. ˆIn ordinul 1, din cele 7 contribut¸ii posibile, exist˘a un singur termen nenul, anume cel provenit din partea Vˆ2 a hamiltonianului de interact¸ie:
G′′(1) (x, x′ ) =
1 ~
Z
d4 x
Z
d4 x′ G0 (x, x1 ) G0 (x′ , x′1 ) U(x1 , x′1 ) n0 −→
x
x′
x1
x′1 (4.99)
Demonstrat¸ie: Conform relat¸iei de dezvoltare perturbativ˘ a (4.94), termenul de ordinul 1 este constituit din contribut¸ia celor 7 p˘ art¸i ale hamiltonianului de interact¸ie: Z c
′ −i ∞ ˆ 1K (t1 ) ϕ G′′ (1) (x, x′ ) = −i ˆK0 (x′ ) 0 ˆK0 (x) ϕ dt1 T K 0 ~ −∞ Z 7 7 X c X
−1 ∞ ′′ (1) = ˆK0 (x) ϕˆK0 (x′ ) 0 ≡ dt1 T VˆjK0 (t1 ) ϕ Gj (x, x′ ) . ~ −∞ j=1 j=1 Din examinarea expresiilor termenilor hamiltonianului de interact¸ie, rezult˘ a c˘ a exist˘ a numai un singur termen care satisface condit¸ia ca s˘ a se obt¸in˘ a contract¸ii totale nenule, prin aplicarea teoremei Wick bosonice: Vˆ2 . Atunci, aproximat¸ia de ordinul 1 a primei funct¸ii Green anomale este ′′ (1)
G′′ (1) (x, x′ ) = G2 =
−1 2~
Z
(x, x′ ) Z c
† ˆK0 (x′ ) 0 . ˆK0 (x1 ) ϕˆ†K0 (x′1 ) ϕ ˆK0 (x) ϕ d4 x1 d4 x′1 n0 U(x1 , x′1 ) T ϕ
Media produsului cronologic se descompune ˆın contract¸ii, care sunt egale cu funct¸ii Green libere c
† ˆK0 (x′ ) 0 = ϕ T ϕ ˆK0 (x1 ) ϕˆ†K0 (x′1 ) ϕ ˆK0 (x) ϕ ˆ† (x1 ) ϕˆ† (x′1 ) ϕ(x) ˆ ϕ(x ˆ ′) + ϕ ˆ† (x1 ) ϕˆ† (x′1 ) ϕ(x) ˆ ϕ(x ˆ ′) = iG0 (x, x1 ) iG0 (x′ , x′1 ) + iG0 (x, x′1 ) iG0 (x′ , x1 ) . ′′ (1)
Prin substituirea rezultatului precedent ˆın expresia funct¸iei G2 (x, x′ ) se obt¸ine Z Z 1 ′′ (1) d4 x1 d4 x′1 n0 U(x1 , x′1 ) G0 (x, x1 ) G0 (x′ , x′1 ) + G0 (x, x′1 ) G0 (x′ , x1 ) ; G2 (x, x′ ) = 2~
dar cei doi termeni din expresia precedent˘ a sunt egali, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine rezultatul (4.99).
˘ PENTRU FUNCT 4.3. TEORIA PERTURBAT ¸ IONALA ¸ IILE GREEN BOSONICE
311
2. ˆIn ordinul 2 se obt¸in 5 contribut¸ii nenule distincte: ′′(2)
G′′(2) (x, x′ ) = G′′(2) (x, x′ ) + Gb a
′′(2)
(x, x′ ) + G′′(2) (x, x′ ) + Gd c
(x, x′ ) + G′′(2) (x, x′ ) , e
(4.100a)
unde termenii component¸i au urm˘atoarele expresii ¸si imagini diagramatice: Z Z Z Z 1 ′ 4 ′ 4 4 ′ 0 0 ′ ′ ′ 0 ′ ′ 4 G′′(2) (x, x ) = d x d x d x a 1 1 2 d x2 G (x, x1 ) G (x , x2 ) n0 U(x1 , x1 ) n0 U(x2 , x2 ) G (x2 , x1 ) ~2 (4.100b) Z Z Z Z 1 ′′(2) ′ 4 4 ′ 4 4 ′ 0 0 ′ ′ ′ 0 ′ Gb (x, x ) = 2 d x1 d x1 d x2 d x2 G (x, x2 ) G (x , x1 ) n0 U(x1 , x1 ) n0 U(x2 , x2 ) G (x2 , x′1 ) ~ (4.100c) x x′ x x′ ′′(2) Ga (x, x′ )
=
′′(2) Gd (x, x′ )
1 ~2
1 = 2 ~
Z
=
Z
; x′2
x2
Z
4
Z
d4 x′1
d x1
4
Z
d x2
(4.100d)
d4 x′2
0
0
G (x, x2 ) G (x
′
, x1 ) n0 U(x1 , x′1 ) n0
U(x2 , x′2 ) G0 (x2 , x′1 )
x
(4.100e) x′
x′ x′2
x2
=
,
x′1
x1
G′′(2) (x, x′ ) = e
′′(2) Ge (x, x′ )
x′1
x1
Z Z Z d4 x1 d4 x′1 d4 x2 d4 x′2 G0 (x, x1 ) G0 (x′ , x2 ) n0 U(x1 , x′1 ) n0 U(x2 , x′2 ) G0 (x2 , x′1 )
x ′′(2) Gc (x, x′ )
,
′′(2) Gb (x, x′ )
x′1
x1
G′′(2) (x, x′ ) = c
x′2
x2
=
1 ~2
Z
′′(2) Gd (x, x′ )
=
x′1
x1 x2
Z Z Z d4 x1 d4 x′1 d4 x2 d4 x′2 G0 (x, x1 ) G0 (x′ , x′1 ) U(x1 , x′1 )
× G0 (x1 , x2 ) G0 (x′1 , x′2 ) U(x2 , x′2 )
x
x′
x1
x′1
x2
x′2
; x′2
(4.100f)
.
Demonstrat¸ie: ˆIn ordinul 2 operatorii ordonat¸i cronologic includ produsul a 2 hamiltonieni de interact¸ie, care implic˘ a 7 × 7 = 49 termeni: Z ∞ Z c
′ −i −i 2 ∞ ′ ˆ 1K (t1 ) K ˆ 1K G′′(2) (x, x′ ) = ˆK0 (x′ ) 0 (t2 ) ϕ ˆK0 (x) ϕ dt2 T K dt1 0 0 2 ~ −∞ −∞ Z ∞ Z 1,7 X c
−i −i 2 ∞ = ˆK0 (x) ϕˆK0 (x′ ) 0 dt2 T VˆjK0 (t1 ) VˆlK0 (t2 ) ϕ dt1 2 ~ −∞ −∞ j,l ≡
1,7 X j,l
′′(2)
Gjl (x, x′ ) .
312
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA Se procedeaz˘ a ˆın mod analog cu tratarea efectuat˘ a anterior pentru funct¸ia Green normal˘ a, adic˘ a se transform˘ a mediile produselor cronologice de operatori necondensat¸i ˆın contract¸ii totale, care se reduc la funct¸ii Green libere; ˆın cazul prezent condit¸ia de a forma contract¸ii totale nemule, produce numai urm˘ atorii termeni nenuli (s-a luat ˆın considerare proprietatea de simetrie): ′′(2)
G23
′′(2)
= G32
,
′′(2)
G24
′′(2)
= G42
,
′′(2)
G27
′′(2)
= G72
,
′′(2)
G55
.
1. Termenii corespunz˘ atori p˘ art¸ilor Vˆ2 ¸si Vˆ3 ale hamiltonianului de interact¸ie sunt ′′(2)
′′(2)
G23 (x, x′ ) = G32 (x, x′ ) Z ∞ Z c
−i −i 2 ∞ ˆK0 (x) ϕˆ†K0 (x′ ) 0 dt2 T Vˆ2K0 (t1 ) Vˆ3K0 (t2 ) ϕ dt1 = 2 ~ −∞ −∞ Z Z Z Z i 1 4 4 ′ 4 = d4 x′2 n20 U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) d x d x d x 2 1 1 2 ~2 4 c
† ˆK0 (x′ ) 0 . ˆK0 (x) ϕ × T ϕ ˆK0 (x1 ) ϕ ˆ†K0 (x′1 ) · ϕ ˆ†K0 (x2 ) ϕˆK0 (x′2 ) · ϕ
Prin aplicarea teoremei Wick, media produsului cronologic se reduce la funct¸ii Green libere (se ret¸in numai termenii legat¸i ¸si f˘ ar˘ a contract¸ii ˆıntre operatori conjugat¸i cu timpi egali, care se reduc la propagatori de goluri): c
† ˆK0 (x) ϕˆK0 (x′ ) 0 T ϕ ˆK0 (x1 ) ϕ ˆ†K0 (x′1 ) · ϕ ˆ†K0 (x2 ) ϕ ˆK0 (x′2 ) · ϕ
=ϕ ˆ† (x1 ) ϕ ˆ† (x′1 ) ϕˆ† (x2 ) ϕ(x ˆ ′2 ) ϕ(x) ˆ ϕ(x ˆ ′) + ϕ ˆ† (x1 ) ϕ ˆ† (x′1 ) ϕˆ† (x2 ) ϕ(x ˆ ′2 ) ϕ(x) ˆ ϕ(x ˆ ′) ˆ† (x1 ) ϕˆ† (x′1 ) ϕ ˆ† (x2 ) ϕ(x ˆ ′2 ) ϕ(x) ˆ ϕ(x ˆ ′) + ϕ ˆ† (x1 ) ϕˆ† (x′1 ) ϕ ˆ† (x2 ) ϕ(x ˆ ′2 ) ϕ(x) ˆ ϕ(x ˆ ′) +ϕ
= iG0 (x, x2 ) iG0 (x′2 , x′1 ) iG0 (x′ , x1 ) + iG0 (x, x2 ) iG0 (x′2 , x1 ) iG0 (x′ , x′1 ) + iG0 (x, x1 ) iG0 (x′2 , x′1 ) iG0 (x′ , x2 ) + iG0 (x, x′1 ) iG0 (x′2 , x1 ) iG0 (x′ , x2 ) . ′′(2)
Se substituie rezultatul precedent ˆın expresia p˘ art¸ii G23 a funct¸iei Green ¸si pe baza relat¸iilor de simetrie a potent¸ialului de interact¸ie rezult˘ a c˘ a primii doi termeni sunt egali ¸si ultimii doi termeni sunt de asemenea egali, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: ′′(2)
′′(2)
G23 (x, x′ ) = G23 (x, x′ ) Z Z Z Z i 4 4 ′ 4 = d4 x′2 n20 U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) d x d x d x 2 1 1 8 ~2 × iG0 (x, x2 ) iG0 (x′1 , x′2 ) iG0 (x1 , x′ ) + iG0 (x, x2 ) iG0 (x1 , x′2 ) iG0 (x′1 , x′ )
+ iG0 (x, x′2 ) iG0 (x′1 , x2 ) iG0 (x1 , x′ ) + iG0 (x, x′2 ) iG0 (x1 , x2 ) iG0 (x′1 , x′ ) Z Z Z Z 1 4 4 ′ 4 = d4 x′2 n20 U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) G0 (x, x1 ) G0 (x′1 , x2 ) G0 (x′2 , x′ ) d x d x d x 2 1 1 2 ~2 Z Z Z Z 1 4 4 ′ 4 d4 x′2 n20 U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) G0 (x, x1 ) G0 (x′1 , x2 ) G0 (x′2 , x′ ) ; d x d x + d x 2 1 1 2 ~2 ′′(2)
′′(2)
a sumei atunci, suma celor 2 termeni egali (G23 ¸si G23 ) are expresia ¸si imaginea diagramatic˘ ′′(2) ′′(2) Ga + Gb , conform cu relat¸iile (4.100b) ¸si (4.100c). 2. Termenii corespunz˘ atori p˘ art¸ilor Vˆ2 ¸si Vˆ4 ale hamiltonianului de interact¸ie se trateaz˘ a ˆın mod similar cu termenii anteriori; astfel ˆın cazul prezent ace¸sti termeni au expresiile de definit¸ie urm˘ atoare: ′′(2)
′′(2)
G24 (x, x′ ) = G42 (x, x′ ) Z Z ∞ c
−i −i 2 ∞ = dt1 ˆK0 (x) ϕˆ†K0 (x′ ) 0 dt2 T Vˆ2K0 (t1 ) Vˆ4K0 (t2 ) ϕ 2 ~ −∞ −∞ Z Z Z Z i 1 4 4 ′ 4 d4 x2 n20 U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) d x d x = d x 2 1 1 2 ~2 4 c
† ˆK0 (x′ ) 0 . ˆK0 (x) ϕ × T ϕ ˆK0 (x1 ) ϕ ˆ†K0 (x′1 ) · ϕ ˆ†K0 (x2 ) ϕˆK0 (x2 ) · ϕ
Prin aplicarea teoremei Wick, media produsului cronologic se reduce la funct¸ii Green libere (se ret¸in numai termenii legat¸i ¸si f˘ ar˘ a contract¸ii ˆıntre operatori conjugat¸i cu timpi egali, care se reduc
˘ PENTRU FUNCT 4.3. TEORIA PERTURBAT ¸ IONALA ¸ IILE GREEN BOSONICE
313
la propagatori de goluri): c
† ˆK0 (x) ϕˆK0 (x′ ) 0 T ϕ ˆK0 (x1 ) ϕ ˆ†K0 (x′1 ) · ϕ ˆ†K0 (x2 ) ϕ ˆK0 (x2 ) · ϕ
=ϕ ˆ† (x1 ) ϕ ˆ† (x′1 ) ϕˆ† (x2 ) ϕ(x ˆ 2 ) ϕ(x) ˆ ϕ(x ˆ ′) + ϕ ˆ† (x1 ) ϕ ˆ† (x′1 ) ϕˆ† (x2 ) ϕ(x ˆ ′2 ) ϕ(x) ˆ ϕ(x ˆ ′) ˆ† (x1 ) ϕˆ† (x′1 ) ϕ ˆ† (x2 ) ϕ(x ˆ 2 ) ϕ(x) ˆ ϕ(x ˆ ′) + ϕ ˆ† (x1 ) ϕˆ† (x′1 ) ϕ ˆ† (x2 ) ϕ(x ˆ 2 ) ϕ(x) ˆ ϕ(x ˆ ′) +ϕ = iG0 (x, x2 ) iG0 (x2 , x′1 ) iG0 (x′ , x1 ) + iG0 (x, x2 ) iG0 (x2 , x1 ) iG0 (x′ , x′1 ) + iG0 (x, x1 ) iG0 (x2 , x′1 ) iG0 (x′ , x2 ) + iG0 (x, x′1 ) iG0 (x2 , x1 ) iG0 (x′ , x2 ) . ′′(2)
Se substituie rezultatul precedent ˆın expresia p˘ art¸ii G24 a funct¸iei Green ¸si pe baza relat¸iilor de simetrie a potent¸ialului de interact¸ie rezult˘ a c˘ a primii doi termeni sunt egali ¸si ultimii doi termeni sunt de asemenea egali, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: ′′(2)
′′(2)
G24 (x, x′ ) = G24 (x, x′ ) Z Z Z Z i 4 4 ′ 4 = d4 x′2 n20 U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) d x d x d x 2 1 1 8 ~2 × iG0 (x, x2 ) iG0 (x′1 , x2 ) iG0 (x1 , x′ ) + iG0 (x, x2 ) iG0 (x1 , x2 ) iG0 (x′1 , x′ )
+ iG0 (x, x2 ) iG0 (x′1 , x2 ) iG0 (x1 , x′ ) + iG0 (x, x2 ) iG0 (x1 , x2 ) iG0 (x′1 , x′ ) Z Z Z 1 = d4 x1 d4 x′1 d4 x2 d4 x′2 n20 U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) G0 (x, x1 ) G0 (x′1 , x2 ) G0 (x2 , x′ ) 2 ~2 Z Z Z Z 1 4 4 ′ 4 d4 x′2 n20 U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) G0 (x, x1 ) G0 (x′1 , x2 ) G0 (x2 , x′ ) ; d x d x d x + 2 1 1 2 ~2 Z
′′(2)
′′(2)
a sumei atunci, suma celor 2 termeni egali (G24 ¸si G24 ) are expresia ¸si imaginea diagramatic˘ ′′(2) ′′(2) Gc + Gd , conform cu relat¸iile (4.100d) ¸si (4.100e). 3. Termenii corespunz˘ atori p˘ art¸ilor Vˆ2 ¸si Vˆ7 ale hamiltonianului de interact¸ie au expresia de definit¸ie: ′′(2)
′′(2)
G27 (x, x′ ) = G72 (x, x′ ) Z Z ∞ c
−i −i 2 ∞ = dt1 ˆK0 (x) ϕˆ†K0 (x′ ) 0 dt2 T Vˆ2K0 (t1 ) Vˆ7K0 (t2 ) ϕ 2 ~ −∞ −∞ Z Z Z Z i 1 4 4 ′ 4 d4 x2 n0 U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) d x d x = d x 2 1 1 2 ~2 4 c
ˆK0 (x′ ) 0 . ˆK0 (x) ϕ ˆK0 (x2 ) · ϕ × T ϕˆ†K0 (x1 ) ϕ ˆ†K0 (x′1 ) · ϕˆ†K0 (x2 ) ϕ ˆ†K0 (x′2 ) ϕ ˆK0 (x′2 ) ϕ
ˆIn acest caz produsul cronologic cont¸ine 4 operatori de creare ¸si 4 operatori de anihilare, astfel ˆıncˆ at este convenabil s˘ a se determine rezultatul acestei m˘ arimi cu ajutorul metodei diagramatice; astfel, media acestui produs se obt¸ine din combinarea elementelor diagramatice aflate ˆın interiorul parantezelor drepte, cu condit¸iile ca s˘ a se obt¸in˘ a diagrame legate ¸si f˘ ar˘ a propag˘ ari de goluri: x′
x1
x2
x
x′1
x′2
=
x′
x
x1
x′1
x2
x′2
+
x′
x
x1
x′1
x2
x′2
+
x′
x
x1
x′1
x2
x′2
+
x′
x
x1
x′1
x2
x′2
c
Se observ˘ a c˘ a cei 4 termeni sunt egali, deoarece potent¸ialul de interact¸ie este simetric la permutarea ′′(2) ′′(2) variabilelor; ca urmare, suma celor doi termeni egali (G27 ¸si G72 ) are expresia ¸si imaginea ′′(2) diagramatic˘ a a termenului Ge , conform cu relat¸ia (4.100f).
314
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA 4. Termenul corespunz˘ ator p˘ art¸ii Vˆ5 a hamiltonianului de interact¸ie este Z Z ∞ c
−i −i 2 ∞ (2) dt1 ˆK0 (x) ϕˆK0 (x′ ) 0 dt2 T Vˆ5K0 (t1 ) Vˆ5K0 (t2 ) ϕ G55 (x, x′ ) = 2 ~ −∞ −∞ Z Z Z Z n0 i 1 4 4 ′ 4 d4 x′2 d x d x d x = U(x1 , x′1 ) U(x2 , x′2 ) 2 1 1 2 ~2 4 2 c
† ˆK0 (x) ϕˆK0 (x′ ) 0 . ˆ†K0 (x′2 ) ϕ ˆK0 (x′2 ) · ϕ × T ϕ ˆK0 (x1 ) ϕˆ†K0 (x′1 ) ϕ ˆK0 (x′1 ) · ϕˆ†K0 (x2 ) ϕ
ˆIn acest caz produsul cronologic cont¸ine 4 operatori de creare ¸si 4 operatori de anihilare, astfel ˆıncˆ at este convenabil s˘ a se determine rezultatul acestei m˘ arimi cu ajutorul metodei diagramatice (la fel ca ˆın cazul precedent); atunci, media acestui produs se obt¸ine din combinarea elementelor diagramatice aflate ˆın interiorul parantezelor drepte, cu condit¸iile ca s˘ a se obt¸in˘ a diagrame legate ¸si f˘ ar˘ a propag˘ ari de goluri:
0
† † ϕ1 ϕ1′ ϕ1′ ϕ†2 ϕ†2′ ϕ2′ ϕ ϕ′ c =
x′
x
x1
x′1
x2
x′2
c Se observ˘ a c˘ a este imposibil s˘ a se construiasc˘ a o diagram˘ a legat˘ a ¸si f˘ ar˘ a propagatori de goluri cu elementele anterioare; ca urmare, media produsului cronologic considerat este nul˘ a ¸si astfel acest (2) termen al funct¸iei Green este nul: G55 (x, x′ ) = 0 .
A doua funct¸ie Green anomal˘a are urm˘atoarea expresie pentru termenul perturbat¸ional de ordinul n: Z ∞ Z
′ c 1 −i n ∞ ˆ′ ˆ G′′′(n) (x, x′ ) = ˆ†K0 (x) ϕˆ†K0 (x′ ) 0 dtn T K dt1 . . . 1K0 (t1 ) . . . K1K0 (tn ) ϕ n! ~ −∞ −∞ ¸si este legat˘ a de prima funct¸ie Green anomal˘a prin relat¸ia (4.56): ∗ G′′′ (x, x′ ) ≡ G′21 (x, x′ ) = − G′′ (x′ , x) .
Atunci se pot utiliza rezultatele obt¸inute anterior pentru prima funct¸ie Green anomal˘a, astfel ˆıncˆ at se vor prezenta expresiile termenilor perturbativi de ordine inferioare, ˆımpreun˘a cu imaginile lor diagramatice, f˘ ar˘ a s˘a se repete deducerile corespunz˘ atoare. 0. Termenul de ordinul 0 este nul:
c G′′′(0) (x, x′ ) = −i T ϕˆ†K0 (x) ϕˆ†K0 (x′ ) 0 = 0 .
(4.101)
1. ˆIn ordinul 1, din cele 7 contribut¸ii posibile, exist˘a un singur termen nenul, anume cel provenit din partea Vˆ1 a hamiltonianului de interact¸ie: Z
c −1 ∞ dt1 T Vˆ1K0 (t1 ) ϕˆ†K0 (x) ϕˆ†K0 (x′ ) 0 G′′′(1) (x, x′ ) = ~ −∞ =
1 ~
Z
d4 x
Z
d4 x′ n0 U(x1 , x′1 ) G0 (x1 , x) G0 (x′ , x′1 ) −→
x1
x′1
x
x′
(4.102)
˘ PENTRU FUNCT 4.3. TEORIA PERTURBAT ¸ IONALA ¸ IILE GREEN BOSONICE
315
2. ˆIn ordinul 2 se obt¸in 5 contribut¸ii nenule distincte: ′′′(2)
G
−i −i 2 (x, x ) = 2 ~ ′
=
Z
∞
dt1
−∞
G′′′(2) (x, x′ ) a
+
Z
∞
c
′ ˆ′ ˆ ˆ†K0 (x) ϕˆ†K0 (x′ ) 0 dt2 T K 1K0 (t1 ) K1K0 (t2 ) ϕ
−∞ ′′′(2) Gb (x, x′ )
′′′(2)
+ G′′′(2) (x, x′ ) + Gd c
(x, x′ ) + G′′′(2) (x, x′ ) , (4.103a) e
unde termenii component¸i au urm˘atoarele expresii ¸si imagini diagramatice: G′′′(2) (x, x′ ) = a ′′′(2)
Gb
(x, x′ ) =
′′′(2) Ga (x, x′ )
1 ~2
Z
1 ~2
Z
Z Z Z d4 x1 d4 x′1 d4 x2 d4 x′2 G0 (x1 , x) G0 (x2 , x′ ) n0 U(x1 , x′1 ) n0 U(x2 , x′2 ) G0 (x′1 , x′2 ) Z
Z
(4.103b)
Z
d4 x1 d4 x′1 d4 x2 d4 x′2 G0 (x2 , x) G0 (x1 , x′ ) n0 U(x′1 , x1 ) n0 U(x2 , x′2 ) G0 (x′1 , x′2 )
x1
(4.103c) x′2
x2
,
= x′1
′′′(2)
Gd
(x, x′ ) =
′′′(2) Gc (x, x′ )
=
x′
1 ~2
Z
1 ~2
Z
; x′1 x′
x
Z Z Z d4 x1 d4 x′1 d4 x2 d4 x′2 G0 (x1 , x) G0 (x2 , x′ ) n0 U(x′1 , x1 ) n0 U(x2 , x′2 ) G0 (x′1 , x2 ) Z
Z
(4.103d)
Z
d4 x1 d4 x′1 d4 x2 d4 x′2 G0 (x2 , x) G0 (x1 , x′ ) n0 U(x′1 , x1 ) n0 U(x2 , x′2 ) G0 (x′1 , x2 )
x1
(4.103e)
x2
=
, x′2
x′1 x G′′′(2) (x, x′ ) = e
′′′(2) Ge (x, x′ )
x′2
x2 x1
x G′′′(2) (x, x′ ) = c
′′′(2) Gb (x, x′ )
1 ~2
Z
′′′(2) Gd (x, x′ )
;
= x′1
x1
x′ Z
x′2
x2
x′
x
Z Z d4 x1 d4 x′1 d4 x2 d4 x′2 G0 (x1 , x) G0 (x′1 , x′ ) U(x1 , x′1 )
× G0 (x2 , x1 ) G0 (x′2 , x′1 ) U(x2 , x′2 )
x1
x′1
x2
x′2
=
(4.103f)
.
x x′ Contribut¸iile la termenul de ordinul 2 au urm˘atoarele semnificat¸ii: ′′′(2)
′′′(2)
=⇒
G13 (x, x′ ) + G31 (x, x′ ) = G′′′(2) (x, x′ ) + Gb a
′′′(2)
′′′(2)
=⇒
G14 (x, x′ ) + G41 (x, x′ ) = G′′′(2) (x, x′ ) + Gd c
′′′(2)
′′′(2)
=⇒
G17 (x, x′ ) + G71 (x, x′ ) = G′′′(2) (x, x′ ) . e
G13 (x, x′ ) = G31 (x, x′ ) G14 (x, x′ ) = G41 (x, x′ ) G17 (x, x′ ) = G71 (x, x′ )
′′′(2)
′′′(2)
′′′(2)
(x, x′ )
′′′(2)
′′′(2)
′′′(2)
(x, x′ )
′′′(2)
′′′(2)
Se observ˘ a c˘ a exist˘a o analogie complementar˘ a ˆıntre expresiile ¸si imaginile diagramatice ale termenilor perturbativi corespondent¸i pentru cele dou˘a funct¸ii Green anomale.
316
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
C. Regulile Feynman pentru funct¸iile Green bosonice ˆın spat¸iul pozit¸ii-timp Pe baza rezultatelor obt¸inute pentru termenii de ordin inferior ¸si utilizˆand, de asemenea, corespondent¸a cu teoria perturbativ˘a din formalismul fermionic de temperatur˘a nul˘a, rezult˘a urm˘atoarele reguli pentru construct¸ia diagramatic˘ a a seriilor de perturbat¸ie pentru funct¸iile Green uni-particul˘ a bosonice. 1. Elementele unei diagrame sunt: x – linie particul˘ a necondensat˘a =
– linie particul˘ a condensat˘ a=
– linie de interact¸ie = xI
6
= G0 (x, x′ )
x′ I
= U(x, x′ )
x′ .. .. √ .. ..6 = n0 .. .
2. Topologia diagramelor este dat˘ a prin urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: – diagrama este legat˘ a (puncte legate prin linii particul˘ a ¸si linii de interact¸ie) ¸si are 2 puncte externe (x ¸si x′ ); ( incident 6 x′ – punctele externe sunt legate de restul diagramei prin linii particul˘ a x emergent 6 xI (se observ˘ a c˘ a un vertex este intersect¸ia unei linii particul˘ a incidente, unei linii particul˘ a emergente ¸si a unei linii de interact¸ie; – exist˘a 2n puncte interne (un punct intern este numit vertex )
– exist˘a urm˘atoarele linii: • n linii de interact¸ie,
• 2n + 1 + c/2 linii particul˘ a (dintre care sunt 2 linii externe de particule necondensate), iar c este num˘ arul de linii de particule condensate (acestea sunt ˆın num˘ar par); adic˘a diagrama cont¸ine – c linii particul˘ a condensate, – 2 linii particul˘ a necondensate externe, – 2n − 1 − c/2 linii particul˘ a necondensate interne.
Condit¸ii topologice generale ale diagramelor (pentru funct¸ia Green normal˘a ¸si pentru func¸tiile Green anomale): – diagrama este legat˘ a, – num˘ arul total de linii incidente este egal cu num˘arul total de linii emergente, – liniile particul˘ a necondensate au numai propagare temporal˘a direct˘a, ceea ce semnific˘a absent¸a propagatorilor de goluri [deoarece G0 (r, t; r′ , t′ ) ∼ θ(t − t′ )].
Ca urmare a propriet˘ a¸tilor generale evident¸iate anterior, structurile topologice ale termenilor celor 3 funct¸ii Green bosonice au urm˘atoarele forme: x
x G′(n) (x, x′ ) =
; x′
G′′(n) (x, x′ ) =
x′ ;
G′′′(n) (x, x′ ) =
. x
x′
˘ PENTRU FUNCT 4.3. TEORIA PERTURBAT ¸ IONALA ¸ IILE GREEN BOSONICE
317
Absent¸a propag˘ arii temporale inversate implic˘ a eliminarea unei clase de diagrame care erau prezente ˆın formalismul fermionic; ca urmare • nu exist˘a contract¸ii ˆın interiorul hamitonienilor de interact¸ie Vˆ , atunci cˆ and se aplic˘ a teorema Wick bosonic˘a pentru exprimarea termenilor de perturbat¸ie prin funct¸ii Green libere; • nu exist˘a contribut¸ii ˆın care linia particul˘ a necondensat˘a s˘a fie o linie inchis˘ a, sau s˘a aib˘ a ambele capete unite prin aceea¸si linie de interact¸ie; • apar numai diagramele care au toate liniile particul˘ a necondensate avˆand numai propagarea temporal˘ a direct˘a (fat¸˘a de integrarea temporal˘a intern˘a). Atunci rezult˘a c˘ a pentru funct¸ia Green normal˘a bosonic˘a G′ (x, x′ ) toate diagramele fermionice de primele 2 ordine sunt nule. 3. Factorul diagramei de ordinul n este f (n) =
i n ~
(−i)c/2 ,
(4.104)
unde c este num˘ arul de linii bosonice condensate. Demonstrat¸ie: Termenul de ordinul n al funct¸iei Green matriciale este (n)
Gαβ (x, x′ ) =
1 −i n n! ~
Z
∞
dt1 . . .
−∞
Z
∞ −∞
′ ′ ˆ βK (x′ ) c . ˆ 1K (t1 ) . . . K ˆ 1K ˆ αK0 (x) Φ (tn ) Φ dtn T K 0 0 0 0
Se observ˘ a c˘ a se pot efectua urm˘ atoarele operat¸ii care las˘ a invariant˘ a expresia funct¸iei Green: ′ ˆ 1K (tj ) – Setul celor n hamiltonieni de interact¸ie ordonat¸i cronologic K pot fi aran0
j=1,n
jat¸i ˆın n! moduri diferite ¸si produc contribut¸ii egale; ca urmare, apare factorul multiplicativ ˆın raport cu permut˘ arile hamiltonienilor de interact¸ie: (n)
fK = n! (rezultatul este analog cazului fermionic ¸si este valabil numai pentru diagrame legate). X7 ˆ 1′ = – Hamiltonianul de interact¸ie are 7 termeni: K Vˆj ; ace¸sti termeni au urm˘ atoaj=1
rele propriet˘ a¸ti ˆın raport cu permut˘ arile variabilelor interne: ˆ ˆ ˆ ∗ termenii V1 , V2 ¸si V7 sunt simetrici ˆın raport cu permutarea variabilelor interne x ⇆ x′ ¸si astfel au un coeficient = 12 , ∗ termenii Vˆ3 , Vˆ4 Vˆ5 ¸si Vˆ6 sunt asimetrici ˆın raport cu permutarea variabilelor interne x ⇆ x′ ¸si astfel au un coeficient = 1; a variabilele interne, rezult˘ a c˘ a terdeoarece ace¸sti termeni Vˆj j=1,7 sunt integrat¸i dup˘ menii simetrici dau 2 contribut¸ii egale, astfel ˆıncˆ at dispare factorul = 21 ˆın rezultatul final; ˆın consecint¸˘ a, fiecare integral˘ a topologic distinct˘ a are factorul unitate (n)
fV
=1.
– Fiecare linie de particul˘ a necondensat˘ a este o funct¸ie Green liber˘ a: iG0 , care introduce factorul complex = i; deoarece num˘ arul de linii necondensate este Nn = 2n + 1 − c/2 (unde c este num˘ arul de linii condensate), rezult˘ a factorul complex fc(n) = i2n+1−c/2 = (−1)n i (−i)c/2 . Pe baza observat¸iilor anterioare rezult˘ a factorul total al unei diagrame de ordinul n: 1 −i n (n) (n) (n) −i n · fK fV fc = (−i)c/2 . f (n) = n! ~ ~
4. Se efectueaz˘ a integr˘arile peste variabilele interne, astfel ˆıncˆ at expresia termenului perturbat¸ional de ordinul n al funct¸iei Gren este (n)
G
′
(x, x ) =
(n) X j
(n) fj
Z
d8n x′ D(n,j) (x′ | x, x′ ) ,
unde D(n,j) (x′ | x, x′ ) este expresia analitic˘a a diagramei de ordinul n ¸si tipul j.
(4.105)
318
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
4.3.3
Analiza diagramatic˘ a ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a
A. Observat¸ii preliminare Pentru sisteme conservative ¸si omogene (din punct de vedere spat¸ial) funct¸iile Green uniparticul˘ a depind numai de diferent¸ele coordonatelor spat¸iale ¸si temporale, astfel ˆıncˆ at se poate efectua transformarea Fourier spat¸io-temporal˘a simpl˘a, conform relat¸iei (4.61a): Z 1 X′ ∞ dω ik·(r−r′ )−iω(t−t′ ) e′ e Gαβ (k, ω) G′αβ (r − r′ , t − t′ ) = V −∞ 2π =
LT
Z
k (k6=0)
d3 k 3 R3 (2π)
sau ˆın notat¸ie 4-dimensional˘ a G′αβ (x
′
−x) =
LT
Z
Z
∞
dω ik·(r−r′ )−iω(t−t′ ) e ′ e Gαβ (k, ω) , −∞ 2π
d4 k −k·(x−x′ ) e′ e Gαβ (k) . (2π)4
Pentru funct¸ia Green liber˘ a expresia transformatei Fourier este (4.71) e0 (k, ω) = G
1 , ω − ωk0 + i η
ωk0 ≡
1 0 (ε − µ) . ~ k
ˆIn mod similar cu cazul fermionic se analizeaz˘a comportarea 4-impulsulrilor ˆın vertexuri, la transformarea Fourier; totu¸si ˆın cazul bosonic situat¸ia este mai complicat˘ a, deoarece exist˘a 4 tipuri de vertexuri, ˆın funct¸ie de tipul liniilor de particule (necondensate sau condensate): , , , . I I I I Se observ˘ a c˘ a prin transformarea Fourier, liniile legate de un vertex au urm˘atoarele contribut¸ii: Z x d4 k k·(x− ·) e0 e G (k), = G0 (x, ·) = • linie particul˘ a necondenstat˘ a incident˘ a (2π)4 Z d4 k −k·(x− ·) e 0 0 • linie particul˘ a necondenstat˘ a emergent˘ a e G (k), = G (·, x) = (2π)4 x • linie particul˘ a condensat˘ a (incident˘ a sau emergent˘ a) • linie de interact¸ie
x
= U(x, ·) =
Z
=
√
n0 −→ 4-impuls nul,
d4 q q·(x− ·) e e U(q) . (2π)4
Deoarece se efectueaz˘ a integrarea spat¸io-temporal˘a pentru coordonatele fiec˘ arui vertex (acestea Z sunt coordonate interne) d4 x . . ., rezult˘a conservarea 4-impulsului ˆın fiecare vertex (ˆın mod
analog cazului fermionic). Se observ˘ a c˘ a o linie necondensat˘a are 4-impulsul nenul (k 6= 0), pe cˆ and o linie condensat˘ a are 4-impulsul nul (k = 0); ca urmare, o linie de interact¸ie nu poate lega 3 linii condensate ¸si o singur˘a linie necondensat˘a, adic˘a urm˘atoarele elemente de diagrame sunt imposibile: I
I I I Pe de alt˘ a parte, s-a ar˘ atat anterior c˘ a hamiltonianul de interact¸ie nu cont¸ine aceste tipuri de termeni. La fel ca ˆın cazul fermionic 4-impulsurile externe sunt egale ¸si fixate: kin = kout = k. e ′ (k) are seria de perturbat¸ie cu termenii analogi Transformata Fourier a unei funct¸ii Grenn G αβ funct¸iei Green din spat¸iul pozit¸ii-timp G′αβ (x − x′ ), iar diagramele corespunz˘ atoare sunt topologic identice.
˘ PENTRU FUNCT 4.3. TEORIA PERTURBAT ¸ IONALA ¸ IILE GREEN BOSONICE
319
B. Regulile Feynman ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a Pe baza analogiei cu cazul fermionic se prezint˘ a ˆın mod succint regulile Feynman pentru diagramele asociate termenilor perturbativi ai funct¸iilor Green uni-particul˘a bosonice ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a. 1. Se figureaz˘ a toate diagramele legate ¸si topologic distincte de ordinul n care au urm˘atoarele elemente: • linie de interact¸ie I
q
e = ve(q) = U(q) I
• linie particul˘ a necondensat˘a
• linie particul˘ a condensat˘ a
e0 (k) =G
6k
60
=
√ n0
2. Topologia unei diagrame de ordinul n este identic˘ a cu topologia diagramei corespondente din spat¸iul pozit¸ii-timp, fiind caracterizat˘ a prin urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: • diagrama cont¸ine n linii de interact¸ie, c linii de particule condensate ¸si 2n + 1 − c/2 linii de particule necondensate, • diagrama este legat˘ a, nu cont¸ine linii de goluri ¸si num˘arul de linii incidente este egal cu num˘ arul de linii emergente. 3. Fiecare linie (de particul˘ a necondensat˘a sau de interact¸ie) are asociat un 4-impuls, iar liniile de particul˘ a condensat˘ a au 4-impuls nul; aceste 4-impulsuri satisfac urm˘atoarele condit¸ii: • ˆın fiecare vertex este satisf˘acut˘ a condit¸ia de conservare a 4-impulsurilor,
• pe liniile externe 4-impulsurile sunt egale (pentru funct¸iile Green anomale 4-impulsurile externe sunt opuse); ca urmare, structurile generale ale termenilor pentru funct¸iile Green corespund la urm˘atoarele diagrame: k e ′ (k) = G
−k
k e′′ (k) = G
k
e ′′′ (k) = G
. k
−k
• Se efectueaz˘ a integr˘arile pentru toate 4-impulsurile interne independente. 4. Factorul total al unei diagrame de ordinul n ¸si care cont¸ine c linii de particule condensate este acela¸si ca ˆın cazul diagramelor din spat¸iul pozit¸ii-timp, adic˘a: f (n) =
i n ~
(−i)c/2 .
5. Termenul perturbat¸ional de ordinul n al unei funct¸ii Green (normale sau anomale) se obt¸ine
(n)
e(n) (k) = G αβ
X j
(n)
fj
Z
d4n q (n) D (k | q) , (2π)4n j
unde Dj (k | q) este expresia analitic˘a a diagramei.
320
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
C. Exemple: funct¸iile Green de ordine inferioare A1.
Funct¸ia Green normal˘ a ˆın ordinul 2 se exprim˘ a ˆın forma urm˘atoare: e′ (k) = G e (0) (k) + G e (1) (k) + G e (2) (k) + . . . G
(4.106)
unde termenii primelor 2 ordine perturbative au urm˘atoarele expresii ¸si imagini diagramatice: e(0) (k) = G
e(1) (k) = G
e0 (k) ; =G
k
k
(4.107)
k
k
q=0
+ k
k
√ 2 i e √ n0 G e 0 (k) + i (−i) G e 0 (k) √n0 U(k) e 0 (k) G e0 (k) U(0) e n0 (−i) G ~ ~ 0 e (k) ; e0 (k) n0 ve(0) + ve(k) G =G ~ =
k
k
k e(2) (k) = G
+
−k
k
q=0
k k
k
+
k
k
k +
k
+
k
+
k−q k
i 2
k
q
k k
k
q q
k
k q=0
k
k
k
k
q=0
k
(4.108)
+
k+q
−q q
k+q k
n e 0 (k) ve2 (k) G e0 (−k) + ve(k) ve(0) G e 0 (k) + ve(k) ve(0) G e0 (k) (−i)2 n20 G ~ o e0 (k) e0 (k) + e e0 (k) G + ve2 (k) G v 2 (0) G Z 4 n i 2 d q e0 (k) e0 (k − q) G e0 (q) + (−i) n0 G ve2 (k) G ~ (2π)4 o e0 (k + q) G e0 (−q) G e 0 (k) + ve(q) ve(k + q) G 2h i n 0 e0 (−k) + 2 e e 0 (k) + ve2 (k) G e0 (k) + ve2 (0) G e 0 (k) e v (k) ve(0) G = G (k) 20 ve2 (k) G ~ Z 4 h i i n0 d q 2 0 0 0 0 e0 (k) . e e e e + 2 ve (k) G (k − q) G (q) + ve(q) ve(k + q) G (k + q) G (−q) G ~ (2π)4 (4.109)
=
˘ PENTRU FUNCT 4.3. TEORIA PERTURBAT ¸ IONALA ¸ IILE GREEN BOSONICE A2.
321
Prima funct¸ie Green anormal˘ a exprimat˘ a perturbat¸ional ˆın ordinul 2 este e′′ (k) = G e ′′(0) (k) + G e′′(1) (k) + G e′′(2) (k) + . . . G
(4.110)
unde, ˆın acest caz, termenii primelor 2 ordine perturbative au expresiile ˆımpreun˘a cu imaginile diagramatice urm˘atoare: e′′(0) (k) = 0 ; G e′′(1) (k) = G
(4.111) −k
k
k
e 0 (−k) ; e 0 (k) n0 ve(k) G =G ~
(4.112)
−k e′′(2) (k) = G
k
+
e 0 (k) =G
−k
k
+
−k
k
q=0
A3.
k
k
−k k
+
k
k
k −k
k
+
k
k
k−q
q k−q
k
q=0 −k
−k −k + q
i n20 h 2 e0 (−k) + ve2 (k) G e0 (−k) + ve(k) ve(0) G e0 (−k) + ve(k) ve(0) G e0 (k) v e (k) G ~2 Z i n0 d4 q 0 0 e e e0 (−k) . + 2 ve(q) ve(k − q) G (k − q) G (−k + q) G (4.113) ~ (2π)4
A doua funct¸ie Green anormal˘ a ˆın ordinul 2 este e′′′ (k) = G e ′′′(0) (k) + G e′′′(1) (k) + G e ′′′(2) (k) + . . . G
(4.114)
unde termenii primelor 2 ordine perturbative au urm˘atoarele expresii ¸si imagini diagramatice: e ′′′(0) (k) = 0 ; G e ′′′(1) (k) = G
(4.115)
k k
−k
e0 (−k) ; e0 (k) n0 ve(k) G =G ~
(4.116)
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
322
−k e ′′′(2) (k) = G
k
−k
+
−k
k
k −k
k +
k −k
q=0
4.3.4
q=0
−k
k−q +
k
k−q
−k k
e0 (k) =G
k
k
k +
−k
−k + q
q
−k
k
i n20 h 2 e0 (−k) + ve2 (k) G e0 (−k) + e e0 (−k) + ve(k) ve(0) G e 0 (k) v e (k) G v (k) v e (0) G ~2 Z i n0 d4 q e0 (k − q) G e0 (−k + q) G e 0 (−k) . v e (q) v e (k − q) G (4.117) + 2 ~ (2π)4
Ecuat¸ii Dyson-Beliaev
A. Observat¸ii preliminare Seriile de perturbat¸ie ale funct¸iilor Green uni-particul˘a bosonice (normal˘ a ¸si anomale) ˆın ordinele inferioare (n ≤ 2) se exprim˘ a diagramatic ˆın forma G′ ≡
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+...
G′′ ≡
=
+
+
+
+
+
+...
G′′′ ≡
=
+
+
+
+
+
+...
Observat¸ie: pentru concizia exprim˘ arii s-a omis notarea coordonatelor spat¸io-temporale ˆın diagramele reprezentative. Fenomenul de condensare bosonic˘a are ca efect neconservarea num˘arului de particule; ca urmare, ˆın diagramele termenilor perturbat¸ionali ai funct¸iilor Green liniile particulelor necondensate pot avea ˆıntreruperi ˆın vertexuri, continuˆ andu-se cu linii de particule condendate (deosebire fat¸˘a de cazul fermionic).
˘ PENTRU FUNCT 4.3. TEORIA PERTURBAT ¸ IONALA ¸ IILE GREEN BOSONICE
323
B. Self-energiile Beliaev (normal˘ a ¸si anomale) Structura topologic˘a a diagramelor pentru funct¸iile Green bosonice uni-particul˘a permite introducerea self-energiei ˆın mod analog cazului fermionic, pentru c˘ a tot¸i termenii diagramatici au 2 linii externe, dar apar m˘arimi anomale f˘ar˘a analog fermionic. Prin urmare, se definesc urm˘atoarele m˘arimi: • insert¸ia de self-energie este o parte a diagramei legat˘ a de restul diagramei prin 2 linii de particul˘ a necondensate, • insert¸ie proprie (irreductibil˘a) de self-energie este o insert¸ie de self-energie care nu poate fi descompus˘a ˆın dou˘a insert¸ii de self-energie prin eliminarea unei linii de particul˘ a necondensat˘ a, • insert¸ie reductibil˘ a de self-energie este o insert¸ie de self-energie decompozabil˘a ˆın dou˘a insert¸ii de self-energie prin eliminarea unei linii de particul˘ a necondensat˘a, • self-energia este suma tuturor insert¸iilor de self-energie (self-energia este notat˘a M ), • self-energia proprie este suma tuturor insert¸iilor proprii de self-energie (self-energia proprie este notat˘a M ∗ ). Insert¸iile de self-energie pentru funct¸ia Green normal˘a ˆın primele 2 ordine perturbat¸ionale sunt urm˘atoarele (ˆın diagrame insert¸iile de self-energie s-au evident¸iat prin linii ˆıntrerupte):
• ˆın ordinul 1 sunt numai insert¸ii proprii
• ˆın ordinul 2, primele 5 diagrame cont¸in insert¸ii de self-energie reductibile
• ˆın ordinul 2, ultimele 2 diagrame cont¸in insert¸ii proprii de self-energie
Exist˘a 3 tipuri de insert¸ii de self-energie (ˆın funct¸ie de caracteristicile liniilor externe): 1. insert¸ie normal˘ a M11 are urm˘atoarele linii externe: - linie particul˘ a necondensat˘a incident˘ a, - linie particul˘ a necondensat˘a emergent˘ a, - 2 linii particul˘ a condensate;
M11 =
2. insert¸ie anomal˘ a de prima specie M12 are urm˘atoarele linii externe: - 2 linii particul˘ a necondensate emergente, - 2 linii particul˘ a condensate;
M12 =
3. insert¸ie anomal˘ a de specia a doua M21 are urm˘atoarele linii externe: - 2 linii particul˘ a necondensate incidente, - 2 linii particul˘ a condensate;
M21 =
324
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Insert¸iile irreductibile ˆın primele 2 ordine perturbat¸ionale: • insert¸ii normale – ordinul 1
1
=
– ordinul 2
2
=
=
+
=
+
• insert¸ii anomale de prima specie – ordinul 1
1
=
– ordinul 2
2
=
• insert¸ii anomale de specia a doua – ordinul 1
1
=
– ordinul 2
2
=
Pe baza rezultatelor precedente se obt¸in self-energiile proprii normal˘a ¸si anomale ˆın aproximat¸ia de ordinul 2:
∗ • M11 ≡
∗ • M12 ≡
=
=
+
+
+
+
+ ...
+ ...
˘ PENTRU FUNCT 4.3. TEORIA PERTURBAT ¸ IONALA ¸ IILE GREEN BOSONICE
∗ • M21 ≡
+
=
325
+ ...
∗ Observat¸ie: self-energiile proprii Mαβ nu cont¸in liniile particule condensate (¸si nu se efectueaz˘a integr˘ari peste coordonatele punctelor externe); totu¸si, liniile particulelor condensate ¸si factorul diagramei sunt incluse.
C. Ecuat¸iile Dyson-Beliaev Datorit˘ a faptului c˘ a ˆın cazul bosonic sunt 4 funct¸ii Green uni-particul˘a (2 funct¸ii normale ¸si 2 funct¸ii anomale), generalizarea ecuat¸iei Dyson fermionice la cazul bosonic implic˘ a un set de ecuat¸ii cuplate ˆın termeni de funct¸ii Green ¸si self-energii proprii. Este convenabil s˘a se utilizeze metoda diagramatic˘ a, pentru enunt¸area ¸si demonstrarea ecuat¸iilor Dyson bosonice, numite ecuat¸ii Dyson-Beliaev. Cele 4 funct¸ii Green se figureaz˘ a astfel:
G′11 =
G′21 =
G′12 =
G′22 =
unde, conform relat¸iilor de definit¸ie a funct¸iei Green matriciale (4.56), elementele precedente au urm˘atoarele semnificat¸ii (pentru cazul cˆ and se consider˘ a spat¸iul pozit¸ii-timp): • G′11 (x, x′ ) = G′ (x, x′ ) este funct¸ia Green normal˘a direct˘a, • G′22 (x′ , x) = G′ (x, x′ ) este funct¸ia Green normal˘a inversat˘ a, • G′12 (x, x′ ) = G′′ (x, x′ ) este funct¸ia Green anomal˘a de prima specie, ∗ • G′21 (x, x′ ) = − G′′ (x, x′ ) este funct¸ia Green anomal˘a de specia a doua;
de asemenea, pentru cele 3 self-energii proprii s-au definit anterior simbolurile diagramatice:
∗ M11 =
∗ M12 =
∗ M21 =
∗ ∗ ∗ unde M11 este self-energia proprie normal˘a, iar M12 ¸si M21 sunt self-energiile anomale. Este important s˘a se remarce c˘ a elementele diagramatice anterioare, atˆat pentru funct¸iile Green, cˆ at ¸si pentru self-energiile proprii sunt valabile fie ˆın spat¸iul pozit¸ii-timp, fie ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a; ˆın cazul cˆ and aceste elemente de diagrame se refer˘a la spat¸iul pozit¸ii-timp atunci se introduc coordonatele punctelor, iar dac˘a respectivele elemente de diagrame se refer˘a la spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a, atunci fiecare linie particul˘ a necondensat˘a sau de interact¸ie are un 4-impuls care satisface condit¸ile de conservare ˆın vertexurile la care este legat˘ a linia respectiv˘a (se va ar˘ ata ulterior, c˘ a self-energia ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a are un 4-impuls general, la fel ca ˆın cazul fermionic).
326
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Cu ajutorul elementelor de diagrame anterioare, ecuat¸iile Dyson-Beliaev au urm˘atoarea form˘a (rezultat valabil atˆat ˆın spat¸iul pozit¸ii-timp, cˆ at¸si ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a):
=
+
=
+
=
+
=
+
+
+
Demonstrat¸ie: Pentru concizia expunerii se va prezenta deducerea ecuat¸iilor Dyson-Beliaev cu metoda diagramatic˘ a ¸si se va limita seria de perturbat¸ia la aproximat¸ia de ordinul 2; este posibil s˘ a se generalizeze rezultatele pentru ˆıntraga serie de perturbat¸ie (ˆın toate ordinele), ˆın mod similar cu deducerea ecuat¸iei Dyson fermionice, dar expunerea general˘ a este foarte lung˘ a, astfel ˆıncˆ at va fi omis˘ a. Funct¸iile Green (normal˘ a ¸si anomale) au seriile de perturbat¸ie (ˆın aproximat¸ia de ordinul 2) prezentate diagramatic la pagina 322. Se figureaz˘ a din nou aceste diagrame efectuˆ and urm˘ atoarele modific˘ ari (care produc diagrame echivalente cu diagramele init¸iale: i. se separ˘ a termenul de ordinul 0, ii. se extrag liniile externe, care se dau factori comuni la un set de diagrame reprezentˆ and insert¸iile de self-energie, iii. la insert¸iile de self-energie se figureaz˘ a complet liniile particul˘ a necondensate, dar se omit s˘ aget¸ile de pe liniile de interact¸ie (deoarece nu sunt semnificative), iv. la insert¸iile de self-energie se figureaz˘ a cu linii scurte liniile de particule condensate, v. se grupeaz˘ a termenii astfel ˆıncˆ at s˘ a se poat˘ a suma ˆın mod convenabil insert¸iile de self-energie. Ordinul perturbat¸ional al unei insert¸ii de self-energie este indicat ˆın interiorul diagramei respective (pentru ordinul 2 se utilizeaz˘ a cifra roman˘ a “II”, iar pentru setul primelor 2 ordine se utilizeaz˘ a cifra arab˘ a “2”). Calculele se vor efectua considerˆ and ˆın mod consecvent aproximat¸ia maxim˘ a ˆın
˘ PENTRU FUNCT 4.3. TEORIA PERTURBAT ¸ IONALA ¸ IILE GREEN BOSONICE
327
ordinul 2, astfel ˆıncˆ at toate contribut¸iile posibile avˆ and ordine perturbat¸ionale superioare se vor omite ˆın mod sistematic. 0. Funct¸iile Green ˆın aproximat¸ia de ordinul 1 au urm˘ atoarele diagrame = 1
+
= 1
+
= 1
iar diagramele de ordinul 1 pentru self-energii sunt 1 =
1 =
1 =
+
1. Funct¸ia Green normal˘ a (ˆın aproximat¸ia de ordinul 2) are urm˘ atoarele contribut¸ii, care sunt ilustrate diagramatic:
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
ˆIn diagrama precedent˘ a cele 3 grup˘ ari de insert¸ii de self-energii sunt egale cu termenul de ordinul 1, termenul de ordinul 2 ¸si succesiunea de 2 termeni de ordinul 1 ai self-energiei normale: +
=
I
+
=
II
I +
+
+
= I
Atunci, suma celor 3 termeni din interiorul parantezelor drepte, ˆımpreun˘ a cu liniile externe produc urm˘ atoarele rezultate:
I
I
I
I + II +
=
=
2 +
I
2 +
=
2
I
I
unde ultimul rezultat s-a obt¸inut luˆ and ˆın considerare definit¸ia diagramatic˘ a a funct¸iei Green normale ˆın ordinul 1: = 1
+ I
Pe de alt˘ a parte, ultimul termen al diagramei funct¸iei Green normale cont¸ine self-energia anomal˘ a de prima specie ¸si funct¸ia Green anomal˘ a de specia a doua (ambele ˆın ordinul 1):
=
1 =
1
1 1
ˆIn final, pe baza rezultatelor obt¸inute pentru termenii al doilea ¸si al treilea, funct¸ia Green normal˘ a (ˆın aproximat¸ia de ordinul 2) are diagrama:
= 2
+
2 1
+
1 1
care este diagrama corespunz˘ atoare primei ecuat¸ii Dyson-Beliaev.
328
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA 2. Funct¸ia Green anomal˘ a de prima specie (ˆın aproximat¸ia de ordinul 2) are urm˘ atoarele contribut¸ii, care sunt ilustrate diagramatic:
=
+
+
+
+
+
Primul termen este constituit dintr-o funct¸ie Green liber˘ a, suma celor dou˘ a insert¸ii de self-energie normale de ordinul 1 ¸si funct¸ia Green anomal˘ a de prima specie ˆın ordinul 1:
+
=
=
1
1
1 1
Al doilea termen are 2 p˘ art¸i; prima parte are self-energia anomal˘ a de prima specie ˆın ordinul 2: +
=
2
partea a doua este constituit˘ a din self-energia anomal˘ a de prima specie ˆın ordinul 1 ¸si din self-enegia normal˘ a ˆın ordinul 1 legat˘ a de o funct¸ie Green liber˘ a: +
=
I
I
Atunci al doilea termen are urm˘ atoarea contribut¸ie diagramatic˘ a:
2
+
I
=
I
2 1
Adunˆ and cele dou˘ a contribut¸ii se obt¸ine diagrama pentru a doua ecuat¸ie Dyson-Beliaev. 3. Funct¸ia Green anomal˘ a de specia a doua (ˆın aproximat¸ia de ordinul 2) are urm˘ atoarele contribut¸ii, care sunt ilustrate diagramatic:
=
+
+
+
+
+
Primul termen este constituit dintr-o funct¸ie Green liber˘ a, suma celor dou˘ a insert¸ii de self-energie normale de ordinul 1 ¸si funct¸ia Green anomal˘ a de a doua specia ˆın ordinul 1:
+
=
=
1
1
1 1
Al doilea termen are 2 p˘ art¸i; prima parte are self-energia anomal˘ a de specia a doua ˆın ordinul 2: +
=
2
partea a doua este constituit˘ a din self-energia anomal˘ a de specia a doua ˆın ordinul 1 ¸si din selfenegia normal˘ a ˆın ordinul 1 legat˘ a de o funct¸ie Green liber˘ a:
+
=
I
I
Atunci al doilea termen are urm˘ atoarea contribut¸ie diagramatic˘ a:
2
+
I
I
=
2 1
Adunˆ and cele dou˘ a contribut¸ii se obt¸ine diagrama pentru a treia ecuat¸ie Dyson-Beliaev.
˘ PENTRU FUNCT 4.3. TEORIA PERTURBAT ¸ IONALA ¸ IILE GREEN BOSONICE
329
Explicitare ˆın spat¸iul pozit¸ii-timp
G′11 (x, x′ ) = G0 (x, x′ ) + +
Z
Z
d4 x1 4
d x1
Z
Z
∗ d4 x′1 G0 (x1 , x′1 ) M11 (x1 , x′1 ) G′11 (x′1 , x′ ) ∗ d4 x′1 G0 (x1 , x′1 ) M12 (x1 , x′1 ) G′21 (x′1 , x′ ) ,
x
x
x
+
x1
+
;
x′1
x′
x′
x x1
=
cu reprezentarea diagramatic˘ a
(4.118a)
x′1
x′ G′11 (x, x′ ) = G0 (x, x′ ) + +
Z
Z
d4 x1 4
d x1
Z
Z
x′
∗ (x1 , x′1 ) G′11 (x′1 , x′ ) d4 x′1 G0 (x1 , x′1 ) M11 ∗ d4 x′1 G0 (x1 , x′1 ) M12 (x1 , x′1 ) G′21 (x′1 , x′ ) ,
x
x
x x1
=
cu reprezentarea diagramatic˘ a
(4.118b)
x1
+
;
x′1
x′1
x′ x′ G′11 (x, x′ )
0
′
= G (x, x ) + +
Z
Z
4
d x1 d4 x1
Z
Z
x′
∗ d4 x′1 G0 (x1 , x′1 ) M11 (x1 , x′1 ) G′11 (x′1 , x′ ) ∗ d4 x′1 G0 (x1 , x′1 ) M12 (x1 , x′1 ) G′21 (x′1 , x′ ) ,
x
(4.118c)
x
x x1
=
cu reprezentarea diagramatic˘ a
x1
+
x′
x′1
x′ G′11 (x, x′ )
0
′
= G (x, x ) + +
Z
Z
4
d x1 d4 x1
Z
Z
;
x′1 x′
∗ d4 x′1 G0 (x1 , x′1 ) M11 (x1 , x′1 ) G′11 (x′1 , x′ ) ∗ d4 x′1 G0 (x1 , x′1 ) M12 (x1 , x′1 ) G′21 (x′1 , x′ ) ,
x x
x
=
cu reprezentarea diagramatic˘ a x′
(4.118d) x
x1
+
x1
+
.
x′1
x′ x′
x′1 x′
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
330
Rezultatele anterioare se pot exprima ˆın mod condensat utilizˆand notat¸ii matriciale: • conform definit¸iei (4.57), funct¸ia Green matricial˘a (care include atˆat funct¸iile Green normale, cˆ at ¸si funct¸iile Green anomale) este ′ G (x; x′ ) G′12 (x; x′ ) G′ (x, x′ ) = , G′21 (x; x′ ) G′ (x′ ; x) adic˘a G′11 (x; x′ ) = G′ (x; x′ ) ¸si G′22 (x; x′ ) = G′ (x′ ; x); • funct¸ia Green liber˘ a matricial˘a, conform relat¸iei (4.72), este 0 G (x − x′ ) 0 0 ′ G (x, x ) = ; 0 G0 (x′ − x) • ˆın spiritul definit¸iilor precedente se introduce matricea self-energtiei proprii: ∗ ∗ M11 (x; x′ ) M12 (x; x′ ) M∗ (x, x′ ) = , ∗ ∗ M21 (x; x′ ) M11 (x′ ; x)
(4.119)
∗ ∗ adic˘a M22 (x; x) = M11 (x′ ; x).
Atunci, ecuat¸iile Dyson bosonice ˆın spat¸iul pozit¸ii-timp (4.118), numite ˆın mod uzual ecuat¸iille Dyson-Beliaev, se exprim˘ a ˆın mod condensat ˆın forma matricial˘a Z Z G′ (x, x′ ) = G0 (x, x′ ) + d4 x1 d4 x′1 G0 (x, x1 ) M∗ (x1 , x′1 ) G′ (x′1 , x′ ) . (4.120) D. Ecuat¸ii Dyson-Beliaev ˆın spat¸iul impulsului Se consider˘ a c˘ a sistemul studiat este conservativ ¸si omogen, astfel ˆıncˆ at sunt posibile transform˘arile Fourier spat¸io-temporale simple pentru funct¸iile Green ¸si self-energii: # " Z e′ (k) G e ′12 (k) d4 k ik·(x−x′ ) e ′ G ′ ′ ′ ′ ′ e e Gαβ (k) =⇒ G (k) = e ′ Gαβ (x, x ) = Gαβ (x − x ) = e′ (−k) , (2π)4 G21 (k) G " # Z e 0 (k) d4 k ik·(x−x′ ) e 0 G 0 0 ′ 0 ′ 0 e (k) = Gαβ (x, x ) = Gαβ (x − x ) = e Gαβ (k) =⇒ G e0 (−k) , (2π)4 0 G # " Z f∗ (k) M f∗ (k) d4 k ik·(x−x′ ) f∗ M ∗ ∗ ′ ∗ ′ 11 12 f e Mαβ (k) =⇒ M (k) = f∗ Mαβ (x, x ) = Mαβ (x − x ) = f∗ (k) . (2π)4 M21 (k) M 22
∗ ∗ Dup˘a cum rezult˘a din definit¸ia (4.119), M22 (x, x′ ) = M11 (x′ , x), astfel c˘ a prin transformare Fourier f∗ (k) = M f∗ (−k). se obt¸ine M 22 11 Elementele matricilor anterioare se reprezint˘ a diagramatic astfel:
k
e ′ (k) = k • G
,
e 0 (k) = • G k
,
e′ (k) = G 12
• M (k) =
−k
f∗ (k) M 12
=
e′ (−k) = −k ; G
, k
;
−k
k ,
k
e′ (k) = G 21
,
e0 (−k) = G −k
k f∗
−k
−k ,
−k
f∗ (k) M 21
=
, k
f∗
M (−k) =
. −k
˘ PENTRU FUNCT 4.3. TEORIA PERTURBAT ¸ IONALA ¸ IILE GREEN BOSONICE
331
Prin transformarea Fourier a ecuat¸iei (4.120) se obt¸ine forma matricial˘a a ecuat¸iilor Dyson-Beliaev ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a: e ′ (k) = G e 0 (k) + G e 0 (k) · M f ∗ (k) · G e ′ (k) . G
(4.121)
Prin explicitarea elementelor de matrice se obt¸in ecuat¸iile Dyson-Beliaev explicite ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a: ∗ ∗ e′ (k) = G e 0 (k) + G e 0 (k) M f11 e ′ (k) + G e0 (k) M f12 e′21 (k) , (k) G G (k) G
cu reprezentarea diagramatic˘ a
k
=
k
(4.122a) k
+
k
+
; −k
k k ∗ ∗ e′12 (k) = G e 0 (k) M f11 e ′12 (k) + G e0 (k) M f12 e′ (−k) , G (k) G (k) G
k
(4.122b) k
=
cu reprezentarea diagramatic˘ a
k
+
; −k
k −k −k ′ 0 ∗ ′ 0 ∗ ′ e e f e e f e G21 (k) = G (−k) M21 (k) G (k) + G (−k) M11 (−k) G21 (k) ,
(4.122c)
−k
−k
=
cu reprezentarea diagramatic˘ a
−k
−k
+
;
−k k
k k e ′ (−k) = G e 0 (−k) + G e 0 (−k) M f∗ (−k) G e ′ (−k) + G e0 (−k) M f∗ (k) G e ′ (k) , G 11 21 12
(4.122d)
−k
cu reprezentarea diagramatic˘ a
−k
=
−k
+
−k
+ −k
. k −k (4.122e)
Observat¸ie: ecuat¸iile Dyson-Beliaev sunt un set de ecuat¸ii cuplate, iar solut¸ia iterativ˘ a este setul dezvolt˘ arilor perturbative pentru funct¸iile Green bosonice uni-particul˘a. Solut¸ia ecuat¸iilor Dyson-Beliaev ˆın termeni de self-energiile proprii se obt¸ine ˆın mod convenabil prin utilizarea relat¸iilor matriciale; astfel ecuat¸ia (4.121) se rescrie ˆın forma
care are solut¸ia
e 0 (k) · M f ∗ (k) · G e ′ (k) = G e 0 (k) , I−G
e ′ (k) = I − G e 0 (k) · M f ∗ (k) −1 · G e 0 (k) . G
(4.123)
332
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
e 0·M f ∗ ; astfel Pentru determinarea solut¸iei explicite este necesar s˘a se obt¸in˘a inversa matricii I − G matricea studiat˘a este: # # " " 0 e (k) f∗ (k) M f∗ (k) 1 0 G 0 M 0 ∗ 11 12 e (k) · M f (k) = I−G − e 0 (k) · M f∗ (k) M f∗ (−k) 0 1 0 G 21 11 " # e0 (k) M f∗ (k) e 0 (k) M f∗ (k) 1−G −G 11 12 = e 0 (−k) M f∗ (k) 1 − G e 0 (−k) M f∗ (−k) ; −G 21 11 determinantul acestei matrici este: e 0 (k) · M f ∗ (k) ∆ ≡ det I − G ∗ ∗ ∗ ∗ e 0 (−k) M f11 e 0 (k) M f12 e0 (−k) M f21 e 0 (k) M f11 (k) G (k) = 1−G (k) 1 − G (−k) − G 0 0 e (k) G e (−k) =G hM f∗ (k) i f∗ (−k) M 1 11 f∗ (k) M f∗ (−k) − M f∗ (k) M f∗ (k) ; + M − − 11 × 11 11 12 21 e0 (k) G e 0 (−k) e 0 (k) e 0 (−k) G G G
ca urmare, inversa matricii specificate anterior este " f∗ (−k) e0 (−k) M 1 1−G −1 11 e 0 (k) · M f ∗ (k) I−G = e 0 (−k) M f∗ (k) ∆ G 21
# e0 (k) M f∗ (k) G 12 e 0 (k) M f∗ (k) . 1−G 11
Atunci solut¸ia ecuat¸iei Dyson-Beliaev matriciale este " # e′ (k) G e ′ (k) G ′ 12 e (k) ≡ G e′ (k) G e′ (−k) G 21 # " " # e0 (−k) M f∗ (−k) e 0 (k) M f∗ (k) e 0 (k) 1 1−G G G 0 11 12 = · ∗ ∗ e 0 (−k) e 0 (−k) M f21 e0 (k) M f11 ∆ 0 G G (k) 1−G (k) o e 0 (k) G e0 (−k) e0 (k) G e0 (−k) n G 1 G ∗ ∗ f f − M11 (−k) M12 (k) e0 (−k) ∆ ∆ G = . o n 0 0 0 0 e (k) G e (−k) e (k) G e (−k) 1 G G ∗ ∗ f f − M11 (−k) M21 (k) 0 e ∆ ∆ G (−k) (4.124)
Pentru exprimarea succint˘ a a funct¸iilor Green, deduse din relat¸ia (4.124), se observ˘a c˘ a inversa transformatei Fourier a funct¸iei Green libere este 1 e0 (k) G
≡
1 e 0 (k, ω) G
=ω−
1 0 εk − µ + i η , ~
conform relat¸iei (4.71); de asemenea, se introduc urm˘atoarele m˘arimi 1 f∗ f∗ (−k) , M11 (k) + M 11 2 1 f∗ ∗ f11 A(k) ≡ M11 (k) − M (−k) , 2 S(k) ≡
de unde rezult˘a
∗ ∗ f11 f11 M (k) M (−k) = S 2 (k) − A2 (k) .
(4.125a) (4.125b)
(4.126)
Se observ˘ a c˘ a funct¸iile Green depind de m˘arimea D(k) ≡ =
−∆ 0 e e0 (−k) G (k) G
hM ∗ f∗ (k) i f11 M (−k) −1 ∗ ∗ ∗ ∗ f11 f11 f12 f21 − M (k) M (−k) − M (k) M (k) ; + − 11 0 0 0 0 e e e e G (k) G (−k) G (k) G (−k)
˘ PENTRU FUNCT 4.3. TEORIA PERTURBAT ¸ IONALA ¸ IILE GREEN BOSONICE
333
cu ajutorul m˘arimilor S(k) ¸si A(k) se exprim˘ a m˘arimea D(k) ˆın forma: 2 2 f∗ (k, ω) M f∗ (k, ω) . D(k, ω) = ω − A(k, ω) + ~1 ε0k − µ − S(k, ω) + M 12 21
(4.127)
Pe baza rezultatelor anterioare se obt¸in expresiile funct¸iilor Green bosonice ˆın termeni de selfenergiile proprii: −1 f∗ (−k) +M 11 0 (−k) e ω+ G e′ (k, ω) = G = −∆ 0 e e0 (−k) G (k) G
1 ~
ε0k − µ + S(k, ω) − A(k, ω) , D(k, ω)
f∗ f∗ e′ (k, ω) = − M12 (k, ω) = −M12 (k, ω) , G 12 D(k, ω) −∆ 0 0 e e G (k) G (−k)
f∗ f∗ e′ (k, ω) = − M21 (k, ω) = −M21 (k, ω) . G 21 D(k, ω) −∆ e 0 (k) G e 0 (−k) G
(4.128)
(4.129)
(4.130)
E. Observat¸ii asupra transformatelor Fourier ale self-energiilor E1. Expresiile ˆın ordinul minim (adic˘a ordinul 1) se obt¸in utilizˆand aproximat¸iile de ordinul 1 ale funct¸iilor Green ¸si ale ecuat¸iilor Dyson-Beliaev. i. Funct¸ia Green normal˘ a ˆın aproximat¸ia de ordinul 1 are expresia dat˘a de relat¸iile (4.107) ¸si (4.108): 0 e (k) . e (1) (k) ≈ G e 0 (k) + G e0 (k) n0 ve(0) + ve(k) G G 1 ~ Pe de alt˘ a parte, prima ecuat¸ie Dyson (4.122a) este
e ′ (k) = G e 0 (k) + G e 0 (k) M f∗ (k) G e′ (k) + G e0 (k) M f∗ (k) G e ′ (k) . G 11 12 21
Deoarece ordinul minim al self-energiei este ordinul 1, rezult˘a c˘a ˆın al doilea ¸si al treilea termen cele dou˘a funct¸ii Green (normal˘ a ¸si anomal˘a) trebuie s˘a fie considerate ˆın ordinul 0; conform relat¸iei (4.108) funct¸ia Green normal˘a ˆın ordinul 0 este funct¸ia Green liber˘a, iar conform relat¸iei (4.115) a doua funct¸ie Green anomal˘a ˆın ordinul 0 este nul˘a: e ′ (k) ≈ G e0 (k) , G 0
e ′21 (k) ≈ 0 . G 0
Atunci ˆın relat¸ia (4.122a), aproximat˘a la ordinul 1, numai al doilea termen contribuie la selfenergie (pentru c˘ a al treilea termen este nul), astfel c˘ a rezult˘a: f∗ (k) ≈ n0 ve(0) + ve(k) . M 11 1 ~
(4.131)
ii. Prima funct¸ie Green anomal˘a ˆın aproximat¸ia de ordinul 1 are expresia dat˘a de relat¸iile (4.111) ¸si (4.112): e 0 (−k) . e(1) (k) ≈ G e0 (k) n0 ve(k) G G 12 1 ~
Pe de alt˘ a parte, a doua ecuat¸ie Dyson (4.122b) este
e′ (k) = G e 0 (k) M f∗ (k) G e′ (k) + G e0 (k) M f∗ (k) G e′ (−k) . G 12 11 12 12
Deoarece ordinul minim al self-energiei este ordinul 1, rezult˘a c˘a cele dou˘a funct¸ii Green (normal˘ a ¸si anomal˘a) trebuie s˘a fie considerate ˆın ordinul 0; conform relat¸iei (4.108) funct¸ia Green normal˘a
334
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
ˆın ordinul 0 este funct¸ia Green liber˘ a, iar conform relat¸iei (4.112) prima funct¸ie Green anomal˘a ˆın ordinul 0 este nul˘a: e′ (−k) ≈ G e 0 (−k) , G 0
e′ (k) ≈ 0 . G 12 0
Atunci ˆın relat¸ia (4.122b), aproximat˘a la ordinul 1, numai al doilea termen contribuie la selfenergie (pentru c˘ a primul termen este nul), astfel c˘ a rezult˘a: n0 ∗ f12 ve(k) . M (k) ≈ 1 ~
(4.132)
iii. A doua funct¸ie Green anomal˘a ˆın aproximat¸ia de ordinul 1 are expresia dat˘a de relat¸iile (4.115) ¸si (4.116): e0 (−k) n0 ve(k) G e(1) (k) ≈ G e0 (k) . G 21 1 ~ Pe de alt˘ a parte, a treia ecuat¸ie Dyson (4.122c) este e′ (k) = G e 0 (−k) M f∗ (k) G e′ (k) + G e0 (−k) M f∗ (−k) G e′ (k) . G 21 21 11 21
Deoarece ordinul minim al self-energiei este ordinul 1, rezult˘a c˘a cele dou˘a funct¸ii Green (normal˘ a ¸si anomal˘a) trebuie s˘a fie considerate ˆın ordinul 0, la fel ca ˆın cazurile anterioare; conform relat¸iei (4.108) funct¸ia Green normal˘ a ˆın ordinul 0 este funct¸ia Green liber˘a, iar conform relat¸iei (4.115) a doua funct¸ie Green anomal˘a ˆın ordinul 0 este nul˘a: e0 (k) , e ′ (k) ≈ G G 0
e ′ (k) ≈ 0 . G 21 0
Atunci ˆın relat¸ia (4.122b), aproximat˘ a la ordinul 1, numai primul termen contribuie la self-energie (pentru c˘ a al doilea este nul), astfel c˘ a rezult˘a: n0 ∗ f21 ve(k) . M (k) ≈ 1 ~
(4.133)
Se observ˘ a c˘ a cele 3 self-energii proprii ˆın ordinul 1 sunt independente de frecvent¸˘a: f∗ (k) ≈ n0 ve(0) + ve(k) , ~M 11 1
f∗ (k) ≈ n0 e ~M v (k) 12 1
f∗ (k) . ≈ ~M 21 1
E2. Teorem˘ a:
self-energiile anomale ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a sunt egale ∗ ∗ f21 f21 M (k) = M (k) .
Demonstrat¸ie:
(4.134)
Diagramele pentru transformatele Fourier ale funct¸iilor Green anomale ˆın primele dou˘ a ordine de peturbat¸ie, conform relat¸iilor (4.112), (4.113), (4.116) ¸si (4.117) sunt:
k
−k
e ′12 (k) ≈ G 0
k e ′12 (k) ≈ G 1
−k
k
−k
k
−k
k
−k
k
−k
˘ PENTRU FUNCT 4.3. TEORIA PERTURBAT ¸ IONALA ¸ IILE GREEN BOSONICE
e ′21 (k) ≈ G
335
0
k
−k
e ′21 (k) ≈ G 1
k
−k
k
−k
k
−k
k
−k
k
−k
Din rezultatele precedente se observ˘ a c˘ a diagramele primelor 2 ordine de perturbat¸ie pentru prima e ′12 (k) sunt identice cu diagramele primelor 2 ordine de perturbat¸ie pentru funct¸ie Green anomal˘ aG e ′21 (k); deoarece inversarea diagramelor implic˘ a doua funct¸ie Green anomal˘ aG a inversarea tuturor liniilor de particule necondensate (liniile de interact¸ie sunt simetrice la inversare), aceast˘ a operat¸ie se obt¸ine prin substitut¸iile k → −k; atunci este valabil˘ a egalitatea (cel put¸in pentru primele 2 ordine ale teoriei perturbat¸iilor): ∗ ∗ f12 f21 M (k) = M (−k) . Rezultatul precedent se poate generaliza pentru toate ordinele perturbat¸ionale, astfel ˆıncˆ at este valabil pentru self-energiile anomale exacte.
Pe de alt˘ a parte, conform relat¸iilor (4.65), funct¸iile Green anomale sunt simetrice la permutarea argumentelor: G′12 (x, x′ ) = G′12 (x′ , x) , G′21 (x, x′ ) = G′21 (x′ , x) , de unde rezult˘ a c˘ a transformatele lor Fourier sunt funct¸ii pare, conform relat¸iilor (4.66): e ′12 (k) = G e ′12 (−k) , G
e ′21 (k) = G e ′21 (−k) . G
Din solut¸ia ecuat¸iilor Dyson-Beliaev, (4.129) – (4.130), rezult˘ a c˘ a transformatele Fourier ale selfenergiilor anomale sunt corelate de transformatele Fourier ale funct¸iilor Green anomale prin funct¸ia D(k): ∗ f12 e ′12 (k) , M (k) = −D(k) G
∗ f21 e ′21 (k) . M (k) = −D(k) G
Deoarece funct¸ia D(k) este par˘ a, D(−k) = D(k), rezult˘ a paritatea transformatelor Fourier ale self-energiilor anomale ∗ ∗ f12 f12 M (−k) = M (k) ,
∗ ∗ f21 f21 M (−k) = M (k) .
Atunci combinˆ and ultimul rezultat cu relat¸ia anterioar˘ a, se obt¸ine:
adic˘ a s-a obt¸inut relat¸ia (4.134).
4.3.5
∗ ∗ ∗ f12 f21 f21 M (k) = M (−k) = M (k) ,
Relat¸ia Hugenholtz-Pines pentru potent¸ialul chimic
Potent¸ialul chimic se poate reprezenta ca media derivatei hamiltonianului de interact¸ie ˆın raport cu num˘ arul de particule condensate, conform relat¸iei (4.49):
∂ Vˆ O O ∂N0 µ= . hO|Oi
336
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Prin utilizarea seriei de perturbat¸ie de tip Feynman-Dyson, la fel ca ˆın relat¸ia (4.84), se obt¸ine seria de perturbat¸ie pentru potent¸ialul chimic: Z Z ∞ ∞ X ′ ∂ VˆK0 1 −i n ∞ ˆ ˆ ′ (tn ) · (0) |0i (t ) · · · K dt1 · · · dtn h0|T K 1 1K0 1K0 n! ~ ∂N0 −∞ −∞ n=0 . µ= Z ∞ Z ∞ X ′ 1 −i m ∞ ′ ˆ ˆ dtm h0|T K1K0 (t1 ) · · · K1K0 (tm ) |0i dt1 · · · m! ~ −∞ −∞ m=0 ˆIn seria de perturbat¸ie a potent¸ialului chimic efectueaz˘a urm˘atoarele operat¸ii: • se aplic˘ a teorema Wick bosonic˘a, astfel c˘ a se obt¸ine reprezentarea diagramatic˘ a pentru termenii de perturbat¸ie, • se aplic˘ a varianta bosonic˘a a teoremei Brueckner, prin care se realizeaz˘ a anihilarea termenilor nelegat¸i cu numitorul. ˆIn urma efectu˘arii operat¸iilor precedente se obt¸ine seria de perturbat¸ie efectiv˘a a potent¸ialului chimic: Z Z ∞ ∞ X
′ ∂ VˆK0 1 −i n ∞ ˆ′ ˆ (0) 0 c , (4.135) dt1 · · · dtn 0 T K µ= 1K0 (t1 ) · · · K1K0 (tn ) · n! ~ ∂N0 −∞ −∞ n=0
ˆın care apar numai termenii corespunz˘ atori diagramelor legate. Din expresia perturbativ˘a a potent¸ialului chimic se obt¸ine teorema Hugenholtz-Pines: f∗ (0) − ~ M f∗ (0) , µ = ~M 11 12
(4.136)
prin care potent¸ialul chimic se exprim˘ a ˆın termeni de self-energii proprii. Demonstrat¸ie: Se va prezenta deducerea relat¸iei Hugenholtz-Pines utilizˆ and aproximat¸ia de ordin minim (ordinul 0) a teoriei perturbat¸iilor. Atunci
∂ Vˆ
ˆ 0 = 1 0 ∂V 0 . µ ≈ 0 0 ∂N0 V ∂n0
Hamiltonianul de interact¸ie este constituit din 8 termeni, conform relat¸iilor (4.13) – (4.14): 1+ Vˆ = E0 ˆ
7 X
Vˆj ,
j=1
iar ace¸sti termeni au urm˘ atoarele dependent¸e ˆın raport cu densitatea de particule condensate: – E0 ∼ n20 , – Vˆ1 ∼ Vˆ2 ∼ Vˆ3 ∼ Vˆ4 ∼ n0 , √ – Vˆ5 ∼ Vˆ6 ∼ n0 , – Vˆ7 este independent de n0 ; atunci derivata hamiltonianului de interact¸ie este 1 ∂ Vˆ 1 1 + (Vˆ1 + Vˆ2 + Vˆ3 + Vˆ4 ) + (Vˆ5 + Vˆ6 ) , 2 E0 ˆ = ∂n0 n0 2
iar potent¸ialul chimic ˆın aproximat¸ia de ordinul 0 este µ≈ 0
1 ˆ 1 ˆ 2 E0 0 0 + 0 (V1 + Vˆ2 + Vˆ3 + Vˆ4 ) 0 + 0 (V5 + Vˆ6 ) 0 . N0 N0 N0
Expresiile (4.13) ale termenilor hamiltonianului de interact¸ie arat˘ a c˘ a tot¸i termenii nebanali sunt ordonat¸i normal, astfel c˘ a mediile acestor termeni pe starea fundamental˘ a liber˘ a sunt nule:
0 Vˆj 0 = 0 , j = 1, 7 ;
4.4. GAZUL BOSONIC CU INTERACT ¸ II SLABE
337
pe de alt˘ a parte, termenul banal (care are media nenul˘ a) care coeficientul Z 2 Z N2 n E0 = 0 d3 r d3 r′ v(r − r′ ) = 0 ve(0) . 2 2V
Cu rezultatele precedente se obt¸ine urm˘ atoarea expresie a potent¸ialului chimic (ˆın ordinul 0): µ≈ 0
2 N02 ve(0) = n0 ve(0) . N0 2 V
Rezultatul anterior se coreleaz˘ a cu expresiile (4.131) ¸si (4.132) ale transformatelor Fourier pentru self-energiile proprii ˆın ordinul 1, astfel c˘ a rezult˘ a formula (4.136). Se poate ar˘ ata c˘ a teorema Hugenholtz-Pines este valabil˘ a ˆın toate ordinele teoriei perturbat¸iilor, dar demonstrat¸ia cazului general este foarte laborioas˘ a, astfel c˘ a va fi omis˘ a.
4.4 4.4.1
Gazul bosonic cu interact¸ii slabe Condit¸ii
Se consider˘ a un sistem de bosoni rarefiat (cu densitate n mic˘a) ¸si cu interact¸ii slabe (se consider˘ a cazul cˆ and interact¸iile sunt repulsive sau atractive ¸si au raza de act¸iune a0 ). ˆIn condit¸iile enunt¸ate potent¸ialul de interact¸ie v(r) este nesingular, deci are o transformat˘a Fourier regulat˘ ae v (q); atunci condit¸iile de rarefiere ¸si de interact¸ii slabe se exprim˘a prin relat¸ia ~2 1 . ve(0) ≪ m a20 n0 Datorit˘ a faptului c˘ a interact¸iile mutuale sunt slabe, se poate utiliza tratarea perturbat¸ional˘ a ˆın ordinul 1.
4.4.2
Rezultatele teoriei perturbat¸iilor ˆın ordinul 1
Transformatele Fourier ale self-energiilor au expresiile (4.131) ¸si (4.132)-(4.133): ∗ f11 ~M (k) ≈ n0 ve(0) + ve(k) , 1
∗ ∗ f12 f21 ~M (k) = ~ M (k) ≈ n0 e v (k) . 1
Coeficient¸ii S(k, ω) ¸si A(k, ω), definit¸i prin relat¸iile (4.125) au urm˘atoarele expresii ˆın ordinul 1: 1 f∗ ∗ ∗ f11 f11 M11 (k, ω) + M (k, ω) = M (k, ω) ≈ n0 ve(0) + ve(k) , 1 2 1 f∗ f∗ (k, ω) ≈ 0 . A(k, ω) ≡ M11 (k, ω) − M 11 1 2 S(k, ω) ≡
(4.137) (4.138)
Potent¸ialul chimic, datorit˘ a teoremei Hugenholtz-Pines (4.136) este (ˆın aproximat¸ia de ordinul 1): ∗ ∗ f11 f12 µ = ~M (0) − ~ M (0) ≈ n0 ve(0) . (4.139) 1
Din rezultatele precedente se obt¸ine aproximat¸ia de ordinul 1 pentru coeficientul D(k, ω), definit prin relat¸ia (4.127): 2 2 f∗ (k, ω) M f∗ (k, ω) D(k, ω) ≡ ω − A(k, ω) + ~1 ε0k − µ − S(k, ω) + M 12 21 1 2 ≈ ω 2 − 2 ε0k + 2 n0 ve(0) ε0k . 1 ~
ˆIn expresia precedent˘ a m˘arimea dependent˘ a numai de vectorul de und˘a este q 2 2 q Ek ≡ ε0k + n0 ve(k) − n0 ve(k) = ε0k ε0k + 2 n0 ve(k) , astfel ˆıncˆ at expresia (4.140) devine: D(k, ω) ≈ ω 2 − 1
1 ~2
Ek2 .
(4.140)
(4.141)
338
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Pe baza rezultatelor anterioare transformatele Fourier ale funct¸iilor Green, care au expresiile generale (4.128) – (4.129), cap˘ at˘a urm˘atoarele expresii ˆın aproximat¸ia de ordinul 1 v (k) ω + ~1 ε0k + n0 e ω + ~1 ε0k − µ + S(k, ω) − A(k, ω) ′ e ≈ G (k, ω) = , (4.142) 1 D(k, ω) ω 2 − ~12 Ek2 −1 f∗ e ′ (k, ω) = −M21 (k, ω) ≈ ~ n0 ve(k) . G 12 D(k, ω) 1 ω 2 − ~12 Ek2
(4.143)
ˆIn expresiile funct¸iilor Green este convenabil s˘a se efectueze descompunerea ˆın termeni cu cˆ ate un singur pol, conform reprezent˘ arilor Lehmann (4.68), adic˘a s˘a se rescrie expresiile (4.142) – (4.143) ˆın forma: e′ (k, ω) = G
e′12 (k, ω) = G
a(k) ω−
1 ~ Ek
ω−
1 ~ Ek
+ iη
c(k) + iη
+ +
b(k) ω−
1 ~ Ek
ω−
1 ~ Ek
d(k)
−iη −iη
, ;
prin operat¸ii algebrice simple se determin˘a coeficient¸ii descompunerilor Lehmann: a(k) = u2k ,
b(k) = −vk2 ,
c(k) = −uk vk ,
d(k) = uk vk ,
unde coeficient¸ii uk ¸si vk au expresiile: uk ≡ vk ≡
s
s
ε0k + n0 ve(k) 1 + , 2 Ek 2 ε0k + n0 ve(k) 1 − . 2 Ek 2
(4.144a) (4.144b)
Atunci, funct¸iile Green ˆın aproximat¸ia de ordinul 1 au urm˘atoarele expresii de tip Lehmann: e ′ (k, ω) ≈ G
−
vk2 1 ~ Ek
, +iη ω − −iη ω− −uk vk uk vk e ′12 (k, ω) ≈ e ′21 (k, ω) ; G + =G 1 1 ω − 1 Ek + i η E − i η ω − ~ ~ k 1
4.4.3
u2k 1 ~ Ek
(4.145) (4.146)
Consecint¸e ale funct¸iilor Green
A. Spectrul excitat¸iilor elementare se obt¸ine din reprezentarea Lehmann, ˆın care polii funct¸iilor Green uni-particul˘ a sunt egali cu energiile excitat¸iilor elementare; adic˘a polii specificat¸i anterior sunt de forma zk = ~1 (Knk − K0 )± i η, iar atunci energia de excitat¸ie este εk = Knk − K0 . ˆIn cazul prezent, din formulele (4.145) – (4.146), se obt¸ine expresia energiei de excitat¸ie q εk = Ek ≡ ε0k ε0k + 2 n0 ve(k) , (4.147)
Z ~2 k 2 este energia unei particule libere, iar ve(k) = d3 r eik·r v(r) este transformata 2m Fourier a potent¸ialului de interact¸ie bi-particul˘a. Expresia (4.147) a energiei excitat¸iei elementare se poate aproxima ˆın cele dou˘a cazuri asimptotice: lungimi de und˘a mari (k → 0) ¸si lungimi de und˘a mici (k → ∞).
unde ε0k =
• ˆIn limita lungimilor de und˘a mari (k → 0), din formula (4.147) se obt¸ine: r r i ~2 k 2 h ~2 k 2 n0 ve(0) Ek = + 2 n0 ve(k) ≈ ~ k . k→0 2m 2m m
(4.148)
4.4. GAZUL BOSONIC CU INTERACT ¸ II SLABE
339
Observat¸ii: – relat¸ia de dispersie (la limita lungimilor de und˘a mari) este liniar˘a (de tip fononic): ωk = unde c este viteza caracteristic˘ a: c≡
1 Ek ≈ c k , k→0 ~
(4.149)
r
(4.150)
n0 ve(0) ; m
– expresia vitezei caracteristice (c) arat˘a c˘ a teoria este definit˘ a numai pentru cazul cˆ and transformata Fourier a potent ¸ ialului de interact ¸ ie este pozitiv˘ a pentru argument nul: Z ve(0) ≡ d3 r v(r), ceea ce implic˘ a interact¸ie repulsiv˘ a;
– viteza caracteristic˘ a (c) a fost dedus˘a ˆın mod formal din expresia spectrului de excitat¸ii uni-particul˘ a; pe de alt˘ a parte, dac˘a se efectueaz˘a studiul r˘aspunsului liniar al sistemului se obt¸in excitat¸ii colective de tip unde sonore, astfel ˆıncˆat c este viteza sunetului ˆın gazul bosonic (adic˘ a viteza de propagare a undelor de compresie).
Expresia vitezei sunetului ˆın gazul bosonic este similar˘ a cu viteza sunetului de zero ˆıntr-un gaz fermionic neutru, la limita cuplajului puternic: 2 r ~2 n0 ve(0) . , pentru ve(0) ≫ c0 ≈ m m kF
• Limita lungimilor de und˘a mici (k → ∞) este interesant˘ a pentru cazul cˆ and interact¸ia este repulsiv˘ a ¸si cu raz˘ a scurt˘ a de act¸iune, adic˘a sunt satisf˘acute condit¸iile: ve(0) > 0 ,
n0 ve(0) ≪
~2 ; m a0
ˆın aceast˘a situat¸ie condit¸ia lungimilor de und˘a mici este: r ~2 k 2 m n0 e v (0) . ≫ 2 n0 ve(k) =⇒ k≫ 2m ~2
(4.151)
ˆIn condit¸iile specificate anterior spectrul de energie al excitat¸iilor elementare are urm˘atoarea form˘a asimptotic˘a (la lungimi de und˘a mici): r i ~2 k 2 ~2 k 2 h ~2 k 2 Ek = + 2 n0 e v (k) ≈ + n0 ve(k) . (4.152) k→∞ 2m 2m 2m Observat¸ie: spectrul excitat¸iilor este de tip uni-particul˘a (spectru p˘ atratic ˆın raport cu ~2 k 2 ¸si vectorul de und˘a), fiind constituit ca suma dintre energia unei particule libere ε0k = 2m ′ un termen suplimentar ε ≡ n0 ve(k), care este datorat interact¸iilor cu particulele condensate.
B. Num˘ arul de particule necondensate se obt¸ine ˆın termeni de transformata Fourier a funct¸iei Green normale, pe baza relat¸iei (4.74c): Z Z ∞
d3 k dω iωη e ′ e G (k, ω) . N 0 = N0 + iV 3 LT R3 (2π) −∞ 2π
ˆIn aproximat¸ia de ordinul 1 funct¸ia Green are expresia (4.145), astfel ˆıncˆ at integrala dup˘a frecvent¸˘ a devine: Z ∞ Z ∞ Z ∞ dω dω iωη e′ eiωη eiωη dω 2 − v ; e G (k, ω) ≈ u2k k 1 1 1 −∞ 2π ω − ~ Ek − i η −∞ 2π −∞ 2π ω − ~ Ek + i η 2ˆ In Capitolul 9 din partea a treia a acestei lucr˘ ari se va prezenta teoria r˘ aspunsului liniar ¸si ˆın particular se va discuta sunetul de zero ˆıntr-un gaz fermionic neutru.
340
˘ NULA ˘ PENTRU BOSONI CAPITOLUL 4. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
Cele dou˘a integrale dup˘a frecvent¸˘ a, obt¸inute anterior, sunt de tipul integralelor K± (ω), care au fost discutate la deducerea reprezent˘ arilor Lehmann ¸si care sunt justificate ˆın Anexa matematic˘a A.3 pentru formula (A.46); atunci rezult˘a: Z ∞ eiωη dω = K+ (Ek /~) = 0 , 1 −∞ 2π ω − ~ Ek + i η Z ∞ eiωη dω = K− (Ek /~) = i ; 1 −∞ 2π ω − ~ Ek − i η atunci integrala dup˘a frecvent¸˘ a a funct¸iei Green este Z ∞ dω iωη e ′ e G (k, ω) ≈ −i vk2 , 1 −∞ 2π iar densitatea de particule necondensate devine:
N′ N − N0 n ≡ = ≈ 1 V V ′
Z
d3 k 2 v . 3 k R3 (2π)
(4.153)
Observat¸ii asupra densit˘ a¸tii de particule necondensate. • Conform relat¸iei (4.153), vk2 = f (k) este funct¸ia de distribut¸ie (dup˘a impuls) a particulelor necondensate, pentru cazul cˆ and interact¸iile mutuale sunt slabe (astfel ˆıncˆ at s˘a fie valabil˘ a aproximat¸ia perturbat¸ional˘ a de ordinul 1) ¸si cˆ and sistemul bosonic se afl˘a ˆın starea fundamental˘ a. • Explicitare, conform relat¸iei (4.144b) f (k) ≡
vk2
ε0k + n0 ve(k) 1 ε0k + n0 ve(k) 1 q − = = −1 . 2 Ek 2 2 ε0k ε0k + 2 n0 ve(k)
(4.154)
• Comportarea asimptotic˘a la lungimi de und˘a mari (adic˘a la valori mici ale impulsului): r n0 ve(k) 1 1 m n0 ve(k) 1 p ∼ , (4.155) −1 ≈ f (k) ≈ 2 2 0 k→0 2 2 ~ k k εk 2 n0 ve(k) ceea ce implic˘ a o cre¸stere nelimitat˘ a a funct¸iei de distribut¸ie f (k) la limita k → 0; din punct de vedere fizic aceast˘a comportare a funct¸iei de distribut¸ie pentru particulele necondensate corespunde unei ocup˘ari macroscopice a st˘arii fundamentale uni-particul˘a, care este starea condensat˘ a.
• La limita interact¸iei neglijabile ve(k) → 0, funct¸ia de distribut¸ie necondensat˘a devine: 1 ε0k q f (k) ≈ −1 =0, (4.156) 2 ε0 )2 k
adic˘a se obt¸ine rezultatul gazului bosonic ideal: la temperatura nul˘a toate particulele se afl˘a ˆın starea condensat˘ a (N = N0 ), astfel ˆıncˆ at nu exist˘a particule necondensate (N ′ = 0).
Din rezultatele anterioare asupra funct¸iei de distribut¸ie pentru particulele necondensate f (k), rezult˘a c˘ a interact¸ia mutual˘a dintre particule modific˘a starea fundamental˘ a a sistemului bosonic, astfel ˆıncˆ at exist˘a particule necondensate la temperatura nul˘a (cˆand sistemul se afl˘a ˆın starea fundamental˘ a).
Capitolul 5
Teoria cˆ ampului la temperatur˘ a finit˘ a 5.1
Introducere
Se consider˘ a un sistem de particule identice, bosoni sau fermioni, ˆın condit¸ii de echilibru termodinamic. ˆIn formalismul Cuantific˘arii a II-a sistemele pot avea un num˘ar variabil de particule, astfel ˆıncˆ at este natural s˘a se considere distribut¸ia statistic˘ a grand-canonic˘a, cˆ and sistemul este ˆın contact cu un rezervor termic ¸si de particule, care este caracterizat prin temperatura T ¸si potent¸ialul chimic µ (se utilizeaz˘ a notat¸ia β ≡ 1/(kB T ), unde kB este constanta Boltzmann); atunci cunt valabile urm˘atoarele rezultate: – hamiltonianul grand-canonic ˆ ≡H ˆ − µN ˆ , K (5.1) – funct¸ia de partit¸ie grand-canonic˘a
– operatorul statistic grand-canonic
ˆ Z = Tr e−β K , ̺ˆ =
1 −β Kˆ e , Z
(5.2)
(5.3)
– media grand-canonic˘ a a unei observabile
A = Tr ̺ˆ · Aˆ ,
(5.4)
– relat¸ia termodinamic˘ a fundamental˘ a (expresia statistic˘ a a potent¸ialului grand-canonic Ω) Ω(T, µ, V ) =
−1 ln Z , β
(5.5)
de unde se poate scrie operatorul statistic ˆın forma ˆ
̺ˆ = e β Ω e−β K .
(5.6)
Pentru a construi serii de perturbat¸ie pentru diferite m˘arimi este convenabil s˘a se defineasc˘ a formul˘ari speciale pentru operatori, ˆın care s˘a apar˘a hamiltonianul grand-canonic ˆın locul hamilˆ tonianului propriu-zis ¸si s˘a se ˆınlocuiasc˘a exponent¸ialele complexe e±itH/~ cu exponent¸iale reale ˆ e±τ K/~ ; acest mod de a defini formul˘ari pentru operatori este numai un artificiu matematic care va permite construirea unor serii de perturbat¸ie, dar nu reprezint˘ a evolut¸ii temporale. Ca urmare, se definesc formul˘ ari temice numai pentru operatori, f˘ar˘a s˘a se defineasc˘ a vectori de stare pentru aceste formul˘ari. 341
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
342
Formularea Heisenberg termic˘ a (altfel numit˘a formularea Heisenberg-Matsubara) define¸ste operatori dependent¸i parametric de variabila real˘a τ (numit pseudo-timp) prin formula: τ ˆ τ ˆ AˆK¯ (τ ) ≡ e ~ K Aˆ e− ~ K .
(5.7)
Din definit¸ia anterioar˘ a rezult˘a urm˘atoarele consecint¸e: τ
ˆ
• Pentru parametru real τ ∈ R, operatorul exponent¸ial e ~ K nu este un operator unitar, astfel † † ˆıncˆ at: Aˆ†K¯ (τ ) = AˆK¯ (−τ ) 6= AˆK¯ (τ ) .
• Dac˘ a se consider˘ a un parametru imaginar τ = it, atunci operatorul de transformare devine unitar; mai mult, dac˘ a se substituie hamiltonianul grand-canonic cu hamiltonianul propriuˆ → H), ˆ atunci rezult˘a formularea Heisenberg. zis (K • Ecuat¸ia diferent¸ial˘a, cu condit¸ia init¸ial˘a: ~
∂ ˆ ˆ , AˆK¯ (τ ) AK¯ (τ ) = K , − ∂τ AˆK¯ (0) = Aˆ .
(5.8a) (5.8b)
Demonstrat¸ie: ~
∂ ˆ ˆ =K ˆ ·A ˆK¯ (τ ) − A ˆ · e τ~ Kˆ Aˆ e− ~τ Kˆ − e τ~ Kˆ Aˆ e− ~τ Kˆ · K ˆK¯ (τ ) · K ˆ . A ¯ (τ ) = K ∂τ K
Observat¸ie:
ˆ , AˆK¯ (τ ) K
−
=
ˆ , Aˆ K
− K ¯
.
• ˆIn particular, operatorii de cˆ amp Heisenberg termici sunt definit¸i prin formulele: τ ˆ τ ˆ ψˆσK¯ (r, τ ) = e ~ K ψˆσ (r) e− ~ K ,
(5.9a)
τ ˆ τ ˆ ψˆσ† K¯ (r, τ ) = e ~ K ψˆσ† (r) e− ~ K .
(5.9b)
Formularea Dirac termic˘ a (altfel numit˘a formularea Dirac-Matsubara). Se consider˘ a hamiltonianul decompozabil ˆın 2 p˘ art¸i: ˆ =H ˆ0 + H ˆ′ , H ˆ 0 este hamiltonianul sistemului liber (acesta este un operator uni-particul˘a), unde ˆın mod uzual H ˆ ′ = Vˆ este hamiltonianul de interact¸ie (un operator bi-particul˘a pentru interact¸ii mutuale, iar H sau un operator uni-particul˘ a pentru interact¸ii cu cˆ ampuri externe); atunci, hamiltonianul grandcanonic se descompune ˆın mod similar: ( ˆ0 = H ˆ 0 − µN ˆ , K ′ ′ ˆ = (H ˆ 0 − µN ˆ) + H ˆ ≡K ˆ0 + K ˆ K =⇒ (5.10) ′ ′ ˆ =H ˆ = Vˆ . K Operatorul Dirac termic este definit prin formula: τ ˆ τ ˆ AˆK¯ 0 (τ ) ≡ e ~ K0 Aˆ e− ~ K0 ,
(5.11)
¸si satisface ecuat¸ia diferent¸ial˘a, cu condit¸ia init¸ial˘a: ~
∂ ˆ ˆ 0 , AˆK¯ (τ ) , AK¯ 0 (τ ) = K 0 − ∂τ AˆK¯ (0) = Aˆ . 0
(5.12a) (5.12b)
ˆIn particular, se definesc operatorii de cˆ amp Dirac termici ψˆσK¯ 0 (r, τ ) ¸si ψˆσ† K¯ 0 (r, τ ), ˆın mod analog cu operatorii Heisenberg termici. Operatorul caracteristic Dirac termic este definit prin formula: ˆ τ ′ ) ≡ e τ~ Kˆ 0 e− τ −τ ~ U(τ,
′
ˆ K
τ′
ˆ
e− ~ K 0 ;
(5.13)
ˆ τ ′ ) este analogul formal al operatorului de evolut¸ie Dirac U ˆI (t, t′ ), se observ˘ a c˘ a operatorul U(τ, conform relat¸iei (1.66).
5.1. INTRODUCERE
343
Sunt importante urm˘atoarele propriet˘ a¸ti ale operatorului caracteristic Dirac termic: • Propriet˘a¸ti grupale:
(
ˆ −1 (τ1 , τ2 ) = U(τ ˆ 2 , τ1 ) , U ˆ 1 , τ2 ) · U(τ ˆ 2 , τ3 ) = U(τ ˆ 1 , τ3 ) . U(τ
(5.14a)
ˆ † (τ1 , τ2 ) = U(−τ ˆ ˆ −1 (−τ1 , −τ2 ) 6= U ˆ −1 (τ1 , τ2 ) . U 2 , −τ1 ) = U
(5.14b)
• Este un operator ne-unitar:
• Satisface condit¸ia limit˘ a:
ˆ τ ) = ˆ1 . U(τ,
(5.14c)
• Satisface ecuat¸ia diferent¸ial˘a: ~
∂ ˆ ˆ τ ′) . ˆ ′¯ (τ ) · U(τ, U(τ, τ ′ ) = −K K0 ∂τ
(5.14d)
Demonstrat¸ie:
~
′ ′ τ −τ ′ τ −τ ′ τ ˆ ∂ ˆ ˆ 0 e− ~ Kˆ e− τ~ Kˆ 0 − e τ~ Kˆ 0 K ˆ e− ~ Kˆ e− τ~ Kˆ 0 U(τ, τ ′ ) = e ~ K0 K ∂τ τ −τ ′
′
τ ˆ ˆ 0 − K) ˆ e− τ~ Kˆ 0 e τ~ Kˆ 0 e− ~ Kˆ e− τ~ Kˆ 0 ; = e ~ K0 (K {z } {z } | |
ˆ = U(τ,τ 0)
ˆ ′ (τ ) = −K ¯ K0
• Ecuat¸ia diferent¸ial˘a, ˆımpreun˘ a cu condit¸ia limit˘a sunt echivalente cu ecuat¸ia integral˘a Z τ ˆ ′ , τ0 ) , ˆ τ0 ) = ˆ1 − 1 ˆ ′¯ (τ ′ ) · U(τ (5.14e) dτ ′ K U(τ, K0 ~ τ0 care este o ecuat¸ie integral˘a de tip Voltera. ˆ ′ = Vˆ este un operator m˘arginit, astfel ˆıncˆ • ˆIn situat¸iile fizice hamiltonianul de interact¸ie K at ecuat¸ia integral˘a are solut¸ia iterativ˘ a ˆ τ0 ) = U(τ,
Z τ Z ∞ X ′ 1 −1 n τ ˆ ′¯ (τn ) , ˆ ¯ (τ1 ) · · · K dτn Tτ K dτ1 · · · K0 K0 n! ~ τ0 τ0 n=0
(5.14f)
unde Tτ · · · este operatorul de ordonare cronologic˘ a termic (ˆın raport cu parametrul real τ , definit ˆın mod analog cu operatorul de ordonare cronologic˘ a Dyson: , Tτ Aˆ1 (τ1 ) · Aˆ2 (τ2 ) · · · Aˆn (τn ) = (±1)σπ Aˆπ1 (τπ1 ) · Aˆπ2 (τπ2 ) · · · Aˆπn (τπn ) τπ1 >τπ2 >···>τπn
n amp, Π = π1,1 , π22,, ..., unde Aˆ1 , . . . , Aˆn sunt operatori elementari, sau operatori de cˆ ..., πn este permutarea care realizeaz˘ a ordonare cronologic˘ a, σπ este paritatea permut˘arii, iar semnul + este pentru bosoni ¸si semnul − este pentru fermioni; ˆ ′ cont¸in un num˘ operatorii K ar par de operatori de cˆ amp, astfel ˆıncˆ at factorul de semn este pozitiv ˆın toate situat¸iile: (±1)σπ = +1.
Consecint¸e ale definit¸iei operatorului caracteristic Dirac termic 1. Relat¸ia ˆıntre operatorii termici Heisenberg ¸si Dirac: ˆ 0) . ˆ τ ) · AˆK¯ (τ ) · U(τ, AˆK¯ (τ ) = U(0, 0
(5.15)
Demonstrat¸ie: ˆ este definit prin relat¸ia (5.11), de unde, prin Operatorul termic Dirac asociat operatorului A inversare se obt¸ine: ˆ e− ~τ Kˆ 0 ˆK¯ (τ ) = e ~τ Kˆ 0 A A 0
=⇒
ˆ = e− τ~ Kˆ 0 A ˆK¯ (τ ) e τ~ Kˆ 0 ; A 0
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
344
ˆ ˆın relat¸ia de definit¸ie a operatorului termic Heisenberg (5.7), atunci, prin ˆınlocuirea operatorului A rezult˘ a: ˆK¯ (τ ) = e ~τ Kˆ Aˆ e− ~τ Kˆ A τ ˆ
τ ˆ
τ ˆ
τ ˆ
ˆK¯ (τ ) e ~ K0 e− ~ K ; = e ~ K e− ~ K0 A 0 dar conform definit¸iei (5.13), produsele exponent¸ialelor din relat¸ia precedent˘ a sunt τ ˆ τ ˆ ˆ τ) , e ~ K e− ~ K0 = U(0, τ ˆ
τ ˆ
ˆ 0) , e ~ K0 e− ~ K = U(τ, astfel c˘ a rezult˘ a relat¸ia (5.15).
2. Exprimarea operatorului statistic ˆın funct¸ie de operatorul statistic al sistemului liber: ˆ 0) . ̺ˆ = e β(Ω−Ω0 ) ̺ˆ0 U(~β,
(5.16)
Demonstrat¸ie: Operatorul statistic grand-canonic al sistemului cu interact¸ii poate fi scris ˆın forma (5.6) ̺ˆ =
ˆ 1 −β Kˆ e = e β Ω e−β K ; Z
ˆın mod similar, pentru sistemul liber (f˘ ar˘ a interact¸ii) operatorul statistic grand-canonic este ̺ˆ0 =
ˆ 1 −β Kˆ 0 e = e β Ω0 e−β K0 , Z0
de unde exponent¸iala grand-canonic˘ a a sistemului liber se scrie ˆın termeni de operatorul statistic corespondent: ˆ e−β K0 = e−β Ω0 ̺ˆ0 . Pe de alt˘ a parte, operatorul caracteristic Dirac termic la valori τ1 = ~β ¸si τ2 = 0, conform relat¸iei de definit¸ie (5.13), este: ˆ ˆ ˆ U(~β, 0) = e β K0 e−β K
=⇒
ˆ ˆ ˆ ˆ 0) ; e−β K = e−β K0 U(~β, 0) = e−β Ω0 ̺ˆ0 U(~β,
atunci, operatorul statistic grand-canonic al sistemului cu interact¸ii devine: ˆ ˆ ˆ ˆ ̺ˆ = e β Ω e−β K = e−β Ω e β K0 U(~β, 0) = e−β Ω e−β Ω0 ̺ˆ0 U(~β, 0) ,
adic˘ a relat¸ia cerut˘ a.
3. Dezvoltarea perturbativ˘a a potent¸ialului grand-canonic: e−β(Ω−Ω0 ) =
Z Z ~β ∞ X
′ 1 −1 n ~β ˆ ′¯ (τn ) ˆ ¯ (τ1 ) · · · K , dτ1 · · · dτn Tτ K K0 K0 0 n! ~ 0 0 n=0
unde Ω0 este potent¸ialul grand-canonic al sistemului liber ¸si grand-canonic˘ a a sistemului liber.
...
0
(5.17)
= Tr ̺ˆ0 . . . este media
Demonstrat¸ie: Potent¸ialul grand-canonic al sistemului cu interact¸ii este legat de funct¸ia de partit¸ie grand-canonic˘ a, conform relat¸iei (5.5), care are expresia de definit¸ie (5.2), iar exponent¸iala grand-canonic˘ a se poate scrie ˆın termeni de operatorul caracteristic termic, conform demonstrat¸iei anterioare pentru formula (5.16): n o n o ˆ ˆ ˆ e−βΩ = Z = Tr e−β K = Tr e−β K0 U(~β, 0) ; se ˆınlocuie¸ste operatorul caracteristic termic prin seria sa de perturbat¸ie (5.14f) e−βΩ =
Z Z ~β ∞ n X ′ o ˆ 1 −1 n ~β ˆ ¯ (τ1 ) · · · K ˆ ′¯ (τn ) ; dτ1 · · · dτn Tr e−β K0 Tτ K K0 K0 n! ~ 0 0 n=0
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
345 ˆ
deoarece operatorul statistic grand-canonic al sistemului liber este ̺ˆ0 = e β Ω0 e−β K0 , integrandul se poate scrie ˆın termeni de medie grand-canonic˘ a liber˘ a: n n ′ o ′ o ˆ ′ ′ ˆ K¯ (τ1 ) · · · K ˆK ˆ K¯ (τ1 ) · · · K ˆK = e−β Ω0 Tr ̺ˆ0 Tτ K Tr e−β K0 Tτ K ¯ 0 (τn ) ¯ 0 (τn ) 0 0
′ ′ ˆ K¯ (τ1 ) · · · K ˆK , = e−β Ω0 Tτ K ¯ 0 (τn ) 0 0 astfel ˆıncˆ at rezult˘ a relat¸ia cerut˘ a.
4. Valorile medii grand-canonice se pot exprima ˆın mod echivalent, fie utilizˆand operatori ai formul˘arii Schr¨odinger (fizice), fie utilizˆand operatori Heisenberg termici:
A = Tr ̺ˆ · Aˆ = Tr ̺ˆ · AˆK¯ (τ ) . (5.18) Demonstrat¸ie:
τ ˆ
a cu Rezultatul este datorat faptului c˘ a operatorul de transformare Heisenberg termic e ~ K comut˘ ˆ −β K operatorul statistic ̺ˆ = e /Z ¸si apoi propriet˘ a¸tii urmei (trace) a unui produs de operatori de a fi invariant˘ a la permut˘ ari circulare ale operatorilor: o n n o n o
ˆ = Tr 1 e−β Kˆ e− τ~ Kˆ e τ~ Kˆ A ˆ = Tr 1 e−β Kˆ A ˆ = Tr 1 e−β Kˆ e ~τ Kˆ A ˆ e− ~τ Kˆ A = Tr ̺ˆ A Z Z Z ˆK¯ (τ ) . = Tr ̺ˆ A
ˆIn mod similar se obt¸ine rezultatul analog pentru mediile grand-canonice ale sistemului liber:
(5.19) A 0 = Tr ̺ˆ0 · Aˆ = Tr ̺ˆ0 · AˆK¯ 0 (τ ) .
5.2 5.2.1
Funct¸ii Green-Matsubara Definit¸ii ¸si propriet˘ a¸ti generale
A. Definit¸ii Funct¸iile Green-Matsubara se definesc ˆın mod similar cu funct¸iile Green cauzale ale formalismului fermionic de temperatur˘a nul˘a, dar ˆın acest caz se utilizeaz˘a operatori Heisenberg termici ¸si medierea este grand-canonic˘ a. Funct¸ia Green-Matsubara 1-particul˘ a este
(5.20) Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) ≡ − Tτ ψˆσK¯ (r, τ ) · ψˆ† ′ ¯ (r′ , τ ′ ) . σ K
Din definit¸ia precedent˘ a rezult˘a urm˘atoarele explicit˘ari: Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) = − Tr ̺ˆ Tτ ψˆσK¯ (r, τ ) · ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) h ˆ = −e βΩ θ(τ − τ ′ ) Tr e−β K ψˆσK¯ (r, τ ) · ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) i ˆ ± θ(τ ′ − τ ) Tr e−β K ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) · ψˆσK¯ (r, τ ) > ′ ′ = − e βΩ Tr e−β Kˆ ψˆσK¯ (r, τ ) · ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) ≡ Gσσ ′ (r, τ ; r , τ ) ′ τ >τ = < ′ ′ = ∓ e βΩ Tr e−β Kˆ ψˆ† ′ ¯ (r′ , τ ′ ) · ψˆσK¯ (r, τ ) ≡ Gσσ ′ (r, τ ; r , τ ) σ K ′ τ <τ
unde semnul superior este valabil ˆın cazul bosonic, iar semnul inferior este valabil ˆın cazul fermionic. Prin generalizare, funct¸ia Green-Matsubara bi-particul˘ a se define¸ste prin relat¸ia urm˘atoare: GσII1 σ2 ,σ1′ σ2′ (r1 , τ1 ; r2 , τ2 |r′1 , τ1′ ; r′2 , τ2′ )
≡ (−1)2 Tτ ψˆσ1 K¯ (r1 , τ1 )ψˆσ2 K¯ (r2 , τ2 )ψˆσ† ′ K¯ (r′2 , τ2′ )ψˆσ† ′ K¯ (r′1 , τ1′ ) . 2
1
(5.21)
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
346
B. Propriet˘ a¸ti generale ale funct¸iei Green-Matsubara uni-particul˘ a 1. Invariant¸a la translat¸ii ale pseudo-timpului: Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) = Gσσ′ (r, τ − τ ′ ; r′ , 0) ≡ Gσσ′ (r, r′ ; τ − τ ′ ) ;
(5.22)
se observ˘ a c˘ a funct¸ia Green-Matsubara uni-particul˘a depinde numai de diferent¸a celor dou˘a variabile pseudo-temporale. Demonstrat¸ie: Aceast˘ a proprietate rezult˘ a ˆın mod direct din definit¸ia operatorilor Heisenberg termici ¸si comutativitatea ˆıntre operatorul statistic cu operatorul exponent¸ial Heisenberg termic. Pentru partea τ > τ ′ se obt¸in egalit˘ a¸tile urm˘ atoare: ˆ > ′ ′ βΩ Gσσ Tr e−β K ′ (r, τ ; r , τ ) = − e ˆ = − e βΩ Tr e−β K ˆ = − e βΩ Tr e−β K ˆ = − e βΩ Tr e−β K
ψˆσ K¯ (r, τ ) · ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) ′
′
τ ˆ τ ˆ τ ˆ τ ˆ e ~ K ψˆσ (r) e− ~ K · e ~ K ψˆσ† ′ (r′ ) e− ~ K τ −τ ′ ˆ τ −τ ′ ˆ e ~ K ψˆσ (r) e− ~ K · ψˆσ† ′ (r′ ) ψˆσ K¯ (r, τ − τ ′ ) · ψˆσ† ′ K¯ (r′ , 0) ;
ˆın mod similar, se arat˘ a pentru partea τ < τ ′ aceea¸si proprietate: ˆ < ′ ′ βΩ Gσσ Tr e−β K ′ (r, τ ; r , τ ) = ∓ e ˆ = ∓ e βΩ Tr e−β K ˆ = ∓ e βΩ Tr e−β K ˆ = ∓ e βΩ Tr e−β K
ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) · ψˆσ K¯ (r, τ ) τ′ ˆ
τ′ ˆ
τ ˆ
τ ˆ
e ~ K ψˆσ† ′ (r′ ) e− ~ K · e ~ K ψˆσ (r) e− ~ K τ −τ ′ ˆ τ −τ ′ ˆ ψˆσ† ′ (r′ ) · e ~ K ψˆσ (r) e− ~ K ψˆσ† ′ K¯ (r′ , 0) · ψˆσ K¯ (r, τ − τ ′ ) ;
atunci, funct¸ia Green-Matsubara are proprietatea cerut˘ a.
2. Relat¸ia de salt: ∆Gσσ′ (r, r′ ) ≡ lim Gσσ′ (r, r′ ; η) − Gσσ′ (r, r′ ; −η) = −δσ,σ′ δ 3 (r − r′ ) . η→0+
(5.23)
Demonstrat¸ie:
Se utilizeaz˘ a expresiile celor dou˘ a p˘ art¸i ale funct¸iei Green-Matsubara ¸si apoi comutatorul bosonic, sau anti-comutatorul fermionic, al operatorilor de cˆ amp ˆın formularea Schr¨ odinger, exprimat¸i prin relat¸ia (2.88): > ′ < ′ ∆Gσσ ′ (r, r′ ) = Gσσ ′ (r, r ; 0) − Gσσ ′ (r, r ; 0) ˆ ˆ = − e βΩ Tr e−β K ψˆσ K¯ (r, 0) · ψˆσ† ′ K¯ (r′ , 0) ± e βΩ Tr e−β K ψˆσ† ′ K¯ (r′ , 0) · ψˆσ K¯ (r, τ ) = − Tr ̺ˆ ψˆσ (r) , ψˆσ† ′ (r′ ) ∓
= − Tr{ˆ ̺} δσ,σ ′ δ 3 (r − r′ ) = −δσ,σ ′ δ 3 (r − r′ ) ,
deoarece operatorul statistic are urma unitate Tr{ˆ ̺} = 1.
3. Proprietatea de periodicitate: Gσσ′ (r, τ ; r′ , 0) = τ ∈(0,~β) = Gσσ′ (r, 0; r′ , τ ′ ) ′ τ ∈(0,~β)
± Gσσ′ (r, τ ; r′ , ~β) , ± Gσσ′ (r, ~β; r′ , τ ′ ) ,
( + → bosoni unde: − → fermioni
(5.24)
adic˘a funct¸ia Green-Matsubara pentru bosoni este periodic˘ a ˆın raport cu fiecare variabil˘ a pseudotemporal˘ a, iar funct¸ia Green-Matsubara pentru fermioni este anti-periodic˘ a ˆın raport cu fiecare variabil˘ a pseudo-temporal˘ a, iar pentru ambele cazuri perioada pseudo-temporal˘a este ∆τ = ~β.
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
347
Demonstrat¸ie: ˆIn primul caz prima variabil˘ a pseudo-temporal˘ a este mai mare (τ > τ ′ = 0) ¸si se permut˘ a ˆın mod circular operatorii, astfel ˆıncˆ at operatorul cu timpul mic s˘ a ajung˘ a ˆın stˆ anga (acest operator are pseudo-timpul nul, astfel ˆıncˆ at devine operator Schr¨ odinger): ˆ > ′ βΩ Gσσ ′ (r, τ ; r′ , 0) = Gσσ Tr e−β K ψˆσ K¯ (r, τ ) · ψˆσ† ′ K¯ (r′ , 0) ′ (r, τ ; r , 0) = − e τ ∈(0,~β)
ˆ = − e βΩ Tr ψˆσ† ′ (r′ ) e−β K ψˆσ K¯ (r, τ ) ;
ˆ ˆ apoi se introduce la stˆ anga operatorul unitate ˆ 1 = e−β K e β K ¸si se interpreteaz˘ a operatorul exponen¸tial grand-canonic ca un operator de transformare Heisenberg termic˘ a cu pseudo-timpul τβ = ~β: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ψˆσ† ′ (r′ ) e−β K = e−β K e β K ψˆσ† ′ (r′ ) e−β K = e−β K ψˆσ† ′ K¯ (r′ , ~β) ;
atunci, funct¸ia Green-Matsubara devine: ˆ Gσσ ′ (r, τ ; r′ , 0) = − e βΩ Tr e−β K ψˆσ† ′ K¯ (r′ , ~β) ψˆσ K¯ (r, τ ) τ ∈(0,~β)
ˆ = − e βΩ (±1) Tr e−β K Tτ ψˆσ K¯ (r, τ ) ψˆσ† ′ K¯ (r′ , ~β) = ± Gσσ ′ (r, τ ; r′ , ~β) ,
unde ˆın a doua egalitate s-a introdus factorul de semn bosonic-fermionic, deoarece operatorul din stˆ anga are pseudo-timpul mai mare. ˆIn al doilea caz prima variabil˘ a pseudo-temporal˘ a este mai mic˘ a (0 = τ < τ ′ ) ¸si se efectueaz˘ a operat¸ii similare primului caz, adic˘ a init¸ial se permut˘ a ˆın mod circular operatorii, astfel ˆıncˆ at operatorul cu pseudo-timpul nul (care se poate considera operator ˆın formularea Schr¨ odinger) s˘ a fie la stˆ anga, apoi se transform˘ a operatorul din stˆ anga ˆın operator Heisenberg termic cu pesudotimpul τβ = ~β ¸si se observ˘ a c˘ a ˆın ultima situat¸ie operatorii sunt ordonat¸i cronologic: ˆ < ′ ′ βΩ Gσσ ′ (r, 0; r′ , τ ′ ) = Gσσ Tr e−β K ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) ψˆσ K¯ (r, 0) ′ (r, 0; r , τ ) = ∓ e τ ′ ∈(0,~β)
ˆ = ∓ e βΩ Tr ψˆσ (r) e−β K ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) ˆ ˆ ˆ = ∓ e βΩ Tr e−β K e β K ψˆσ (r) e−β K ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) ˆ = ∓ e βΩ Tr e−β K ψˆσ K¯ (r, ~β) ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ )
= ± Gσσ ′ (r, ~β; r′ , τ ′ ) .
Consecint¸e al propriet˘ a¸tii de periodicitate ¸si invariant¸˘a la translat¸ii pseudo-temporale: ( Gσσ′ (r, τ ; r′ , 0) ′ = Gσσ′ (r, τ ; r , 0) ′ τ ∈(0,~β) ′ ± Gσσ′ (r, τ ; r′ , ~β) = ± Gσσ (r, τ − ~β; r , 0) =⇒ Gσσ′ (r, r′ ; τ ) = ± Gσσ′ (r, r′ ; τ − ~β) , τ ∈(0,~β) ( Gσσ′ (r, −τ ′ ; r′ , 0) ′ ′ ′ (r, 0; r , τ ) G = σσ τ ′ ∈(0,~β) ± Gσσ′ (r, ~β; r′ , τ ′ ) = ± Gσσ′ (r, ~β − τ ′ ; r′ , 0) =⇒ Gσσ′ (r, r′ ; τ ) = ± Gσσ′ (r, r′ ; τ + ~β) ; τ ∈(−~β,0)
Din rezultatele precedente se obt¸in relat¸iile de periodicitate ˆın raport cu diferent¸a variabilelor pseudo-temporale: Gσσ′ (r, r′ ; 0+ ) = ±Gσσ′ (r, r′ ; −~β) (5.25) Gσσ′ (r, r′ ; 0− ) = ±Gσσ′ (r, r′ ; ~β) sau ˆın mod echivalent Gσσ′ (r, r′ ; −~β + τ )
τ →0+
= Gσσ′ (r, r′ ; ~β − τ )
τ →0+
,
(5.26)
adic˘a: funct¸ia Green-Matsubara este periodic˘ a la limitele intervalului pseudo-temporal (pentru ambele cazuri, atˆat bosoni, cˆ at ¸si fermioni); dar pe de alt˘ a parte, funct¸ia Green-Matsubara este periodic˘ a (respectiv anti-periodic˘ a) fat¸˘a de fiecare variabil˘ a pseudo-temporal˘a.
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
348
Pe baza propriet˘ a¸tii anterioare, rezult˘a teorema de dezvoltare ˆın serie Fourier : ∞
1 X −iωn (τ −τ ′ ) G σσ′ (r, r′ ; ωn ) , e ~β n=−∞ Z ~β ′ dτ e iωn (τ −τ ) Gσσ′ (r, r′ ; τ ) , G σσ′ (r, r′ ; ωn ) =
Gσσ′ (r, r′ ; τ − τ ′ ) =
(5.27a) (5.27b)
0
unde frecvent¸ele (pulsat¸iile) ωn au expresiile 2π n ωn = ~β 2π n + 12 ~β
bosoni , (5.27c) fermioni .
Demonstrat¸ie:
Se definesc frecvent¸ele (pulsat¸iile) bosonico-fermionice apriorice prin formula ωn ≡
πn , ~β
n∈Z
¸si se consider˘ a variabila pseudo-temporal˘ a definit˘ a ˆın intervalul τ ∈ (−~β, ~β). Cu m˘ arimile precedente se construiesc funct¸iile Fourier : πn
un (τ ) = e i ~β τ = e i ωn τ , care sunt o baz˘ a ˆın spat¸iul funct¸iilor periodice de variabila τ , conform relat¸iilor de orto-normare ¸si completitudine: Z ~β un , un′ ≡ dτ u∗n (τ ) un′ (τ ) = 2~β δn,n′ , −~β ∞ X
n=−∞
u∗n (τ ) un′ (τ ′ ) = 2~β δ(τ − τ ′ ) .
Demonstrarea relat¸iei de orto-normare se realizeaz˘ a prin calcul direct: Z ~β Z ~β Z ~β ′ iπ dτ e ~β (n −n)τ ; dτ u∗n (τ ) un′ (τ ) = dτ e i(ωn′ −ωn )τ = −~β
−~β
−~β
ˆın cazul n = n′ integrala este banal˘ a: Z ~β ′ iπ dτ e ~β (n −n)τ −~β
n=n′
=
Z
~β
dτ = 2~β , −~β
iar ˆın cazul n 6= n′ integrala d˘ a rezultatul nul: Z ~β h i ′ ′ iπ (n′ −n)τ ~β iπ (n′ −n)τ 1 ~β e iπ(n−n ) − e−iπ(n−n ) = 0 . e ~β = iπ = dτ e ~β ′ ′ ′ iπ(n − n ) n6=n −~β (n − n ) −~β ~β
Relat¸ia de completitudine rezult˘ a din urm˘ atoarea identitate matematic˘ a: ∞ X
e2πinx = δ(x) ,
n=−∞
pentru x ∈ (−1, 1) ;
atunci, se obt¸in egalit˘ a¸tile succesive: ∞ X
n=−∞
u∗n (τ ) un′ (τ ′ ) =
∞ X
n=−∞
2iπ n(τ ′ −τ )
e 2~β
=δ
τ′ − τ 2~β
= 2~β δ(τ − τ ′ ) ,
1 1 δ(−x) = δ(x). a a Luˆ and ˆın considerare c˘ a funct¸ia Green-Matsubara este periodic˘ a cu perioada ∆τ = 2~β se poate restrˆ ange domeniul diferent¸ei de pseudo-timpi la intervalul − ~β, ~β , astfel ˆıncˆ at prin utilizarea unde ultima egalitate s-a obt¸inut utilizˆ and formula δ(−ax) =
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
349
relat¸iei de completitudine a sistemului de funct¸ii Fourier, rezult˘ a formula de dezvoltare Fourier general˘ a: Z ~β Gσσ ′ (r, r′ ; τ ) = dτ ′ δ(τ − τ ′ ) Gσσ ′ (r, r′ ; τ ′ ) −~β
Z ~β ∞ 1 X ∗ un (τ ) dτ ′ un′ (τ ′ ) Gσσ ′ (r, r′ ; τ ′ ) 2~β n=−∞ −~β Z ∞ 1 X −iωn τ 1 ~β ′ iωn τ ′ e dτ e = Gσσ ′ (r, r′ ; τ ′ ) ~β n=−∞ 2 −~β =
≡
∞ 1 X −iωn τ G σσ ′ (r, r′ ; ω n ) , e ~β n=−∞
unde transformata Fourier (general˘ a) a funct¸iei Green-Matsubara este Z ~β 1 G σσ ′ (r, r′ ; ω n ) = dτ e iωn τ Gσσ ′ (r, r′ ; τ ) 2 −~β Z 0 Z ~β 1 dτ e iωn τ Gσσ ′ (r, r′ ; τ ) + = dτ e iωn τ Gσσ ′ (r, r′ ; τ ) . 2 −~β 0 Prin luarea ˆın considerat¸ie a propriet˘ a¸tii de periodicitate/anti-periodicitate a funct¸iei Greena se transform˘ a ˆıntr-o form˘ a similar˘ a Matsubara Gσσ ′ (r, r′ ; τ ) ± Gσσ ′ (r, r′ ; τ + ~β), prima integral˘ cu a doua integral˘ a, prin schimbarea de variabil˘ a τ → τ ′ = τ + ~β Z 0 Z 0 dτ e iωn τ Gσσ ′ (r, r′ ; τ + ~β) dτ e iωn τ Gσσ ′ (r, r′ ; τ ) = ± −~β
−~β
−iω n ~β
= ±e
Z
~β
0
dτ e iωn τ Gσσ ′ (r, r′ ; τ ) ;
deoarece ω n ~β = πn, expresia transformatei Fourier generale devine: Z ~β 1 1 ± e−iπn dτ e iωn τ Gσσ ′ (r, r′ ; τ ) . G σσ ′ (r, r′ ; ω n ) = 2 0
Cazul bosonic corespunde semnului +, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: ( 1 , pentru n = num˘ ar par , 1 1 + e−iπn = 2 0 , pentru n = num˘ ar impar ,
iar frecvent¸ele (pulsat¸iile) bosonice sunt pare:
ωn ≡ ω 2n =
2π n; ~β
ˆın acest caz transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara se exprim˘ a ˆın forma Z ~β = ar par) dτ e iωn τ Gσσ ′ (r, r′ ; τ ) , pentru n = 2n′ (num˘ G σσ ′ (r, r′ ; ω n ) = 0 =0, pentru n = 2n′ + 1 (num˘ ar impar) . Cazul fermionic corespunde semnului −, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: ( 0 , pentru n = num˘ ar par , 1 1 − e−iπn = 2 1 , pentru n = num˘ ar impar ,
iar frecvent¸ele (pulsat¸iile) fermionice sunt impare: ωn ≡ ω 2n+1 =
π (2n + 1) ; ~β
ˆın acest caz transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara se exprim˘ a ˆın forma ′ pentru n = 2n (num˘ ar par) = 0 , Z ~β G σσ ′ (r, r′ ; ω n ) = = ar impar) . dτ e iωn τ Gσσ ′ (r, r′ ; τ ) , pentru n = 2n′ + 1 (num˘ 0
ˆIn concluzie, transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara se poate obt¸ine ˆın mod convenabil prin integrarea pe intervalul pseudo-temporal 0, ~β , iar ˆın acest caz frecvent¸ele bosonice sunt pare ¸si frecvent¸ele fermionice sunt impare.
350
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
4. Cazul sistemului omogen, din punct de vedere spat¸ial (se subˆınt¸elege c˘ a sistemul este ¸si ˆ invariant la translat¸ii spat¸iale; atunci conservativ), implic˘ a un hamiltonian grand-canonic K procedˆand ˆın mod similar cu tratarea funct¸iilor Green fermionice ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a, rezult˘a c˘ a funct¸ia Green-Matsubara depinde numai de diferent¸a coordonatelor de pozit¸ie (¸si de diferent¸a coordonatelor pseudo-temporale): Gσσ′ (r, r′ ; τ − τ ′ ) = Gσσ′ (r − r′ ; τ − τ ′ ) ; ca urmare, funct¸ia Green-Matsubara are o dezvoltare Fourier spat¸ial˘a ¸si pseudo-temporal˘a simpl˘a: Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) = Gσσ′ (r − r′ ; τ − τ ′ ) ∞ 1 X 1 X ik·(r−r′ )−iωn (τ −τ ′ ) e e Gσσ′ (k, ωn ) , = V ~β n=−∞
(5.28)
k
unde transformata Fourier este dat˘ a de relat¸ia Z ~β Z d3 r dτ e−ik·r+iωn τ Gσσ′ (r, τ ) . Geσσ′ (k, ωn ) = V
(5.29)
0
Observat¸ii: i. Frecvent¸ele funt¸iei Green-Matsubara sunt pare pentru bosoni ¸si impare pentru fermioni 2π n bosoni , ~β ωn = 2π n + 12 fermioni . ~β ii. ˆIn cazul limitei termodinamice, sumarea dup˘a vectorul de und˘a devine o integrare: Z d3 k 1 X ... ... = LT R3 (2π)3 V k
5. ˆIn cazul sistemului izotrop ¸si cu interact¸ii independente de spin, funct¸ia Green-Matsubara este diagonal˘ a ˆın indicii de spin: Gσσ′ (r, τ ; r′ τ ′ ) = δσσ′ G(r, τ ; r′ τ ′ ) .
5.2.2
(5.30)
Ecuat¸ia diferent¸ial˘ a a funct¸iei Green-Matsubara
A. Se consider˘ a cazul general cˆ and sistemul are interact¸ii mutuale binare ¸si interact¸ii cu un cˆ amp extern; atunci, hamiltonianul grand-canonic al sistemului este: ˆ = H ˆ0 + U ˆ + Vˆ − µN ˆ , K (5.31) unde
ˆ 0 este hamiltonianul cinetic • H ˆ0 = H
Z
d3 r
X σ
−~2 2 ˆ ψˆσ† (r) ∇ ψσ (r) , 2m r
ˆ este hamiltonianul de interact¸ie cu cˆ • U ampul extern (se consider˘a interact¸ia de tip uniparticul˘ a ¸si dependent˘ a de spin): Z X ˆ U = d3 r ψˆσ† (r) uσσ′ (r) ψˆσ′ (r) , σ,σ′
• Vˆ este hamiltonianul de interact¸ie mutual˘a bi-particul˘a, dependent de spini: Z Z X 1 3 ˆ V = d r d3 r′ ψˆλ† (r) ψˆλ† ′ (r′ ) Vλµ,λ′ µ′ (r, r′ ) ψˆµ′ (r′ )ψˆµ (r) , 2 ′ ′ λ,λ ,µ,µ
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
351
ˆ este operatorul num˘ • N ar de particule: Z X ˆ = d3 r N ψˆσ† (r) ψˆσ (r) . σ
B. Ecuat¸ia diferent¸ial˘a a operatorului de cˆ amp Heisenberg termic se obt¸ine prin particularizarea ecuat¸iei generale (5.8) ¸si luˆand ˆın considerare observat¸ia ulterioar˘ a acestei ecuat¸ii generale: ~
∂ ˆ ˆ , ψˆσK¯ (r, τ ) ˆ , ψˆσ (r) ψσK¯ (r, τ ) = K = K (τ ) − − K ¯ ∂τ
Comutatorul operatorului de cˆ amp cu hamiltonianul grand-canonic se obt¸ine din rezultatele anterioare (2.112), (2.109), (2.114) ¸si (2.110): ˆ , ψˆσ (r) ˆ , ψˆσ (r) + Vˆ , ψˆσ (r) − µ N ˆ , ψˆσ (r) K = Tˆ , ψˆσ (r) − + U , − − − − unde
~2 2 ˆ ∇ ψσ (r) , − 2m r X ˆ , ψˆσ (r) =− U uσλ (r) ψˆλ (r) −
Tˆ , ψˆσ (r)
=
λ
Vˆ , ψˆσ (r)
ˆ , ψˆσ (r) N
Z
d3 r′′
−
=−
−
= − ψˆσ (r) .
X
µ,λ′ ,µ′
ψˆλ† ′ (r′′ ) Vσµ,λ′ µ′ (r, r′′ ) ψˆµ′ (r′′ )ψˆµ (r)
Atunci, ecuat¸ia diferent¸ial˘a a operatorului de cˆ amp este: ~
~2 X ∂ ˆ ψσK¯ (r, τ ) = ∇2r + µ ψˆσK¯ (r, τ ) − uσλ (r) ψˆλK¯ (r, τ ) ∂τ 2m λ Z X 3 ′′ − d r Vσµ,λ′ µ′ (r, r′′ ) ψˆλ† ′ K¯ (r′′ , τ ) ψˆµ′ K¯ (r′′ , τ ) ψˆµK¯ (r, τ ) .
(5.32)
µ,λ′ ,µ′
C. Pentru a obt¸ine ecuat¸ia diferent¸ial˘a a funct¸iei Green-Matsubara se utilizeaz˘a rezultatul deriv˘arii unui produs cronologic de operatori: n o ∂ ˆ ) B(τ ˆ ′ ) ∓ θ(τ ′ − τ ) B(τ ˆ ′ ) A(τ ˆ ) ˆ ) B(τ ˆ ′ ) = ∂ θ(τ − τ ′ ) A(τ Tτ A(τ ∂τ ∂τ n o ˆ ) B(τ ˆ ′ ) ∓ B(τ ˆ ′ ) A(τ ˆ ) = δ(τ − τ ′ ) A(τ
n o ˆ ) ˆ ∂ A(τ ˆ ′ ) ± θ(τ ′ − τ ) ∂ A B(τ ˆ ′) + θ(τ − τ ′ ) B(τ ∂τ ∂τ h ∂ A(τ i ˆ ) ˆ ) , B(τ ˆ ) + Tτ ˆ ′) . = δ(τ − τ ′ ) A(τ B(τ ∓ ∂τ
Atunci, derivata funct¸iei Green-Matsubara este ~
n o ∂ ∂ Gσσ′ (r, τ ; r′ τ ′ ) = − ~ Tr ̺ˆ Tτ ψˆσK¯ (r, τ ) · ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) ∂τ ∂τ n o ∂ = − Tr ̺ˆ ~ Tτ ψˆσK¯ (r, τ ) · ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) n ∂τ o = − Tr ̺ˆ ~ δ(τ − τ ′ ) ψˆσK¯ (r, τ ) , ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ) ∓ io n h ∂ ψˆ ¯ (r, τ ) σK ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) . − Tr ̺ˆ Tτ ~ ∂τ
ˆIn primul termen se extrage ˆın exteriorul urmei operatoriale factorul ~ δ(τ − τ ′ ), iar comutatorul sincron al operatorilor de cˆ amp Heisenberg termici se reduce la comutatorul operatorilor de cˆ amp
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
352
corespondent¸i ai formul˘arii Schr¨odinger fizice: τ ˆ τ ˆ ψˆσK¯ (r, τ ) , ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ) ∓ = e ~ K ψˆσ (r) , ψˆσ† ′ (r′ ) ∓ e− ~ K τ
ˆ
τ
ˆ
= e ~ K δσσ′ δ 3 (r − r′ ) ˆ1 e− ~ K = δσσ′ δ 3 (r − r′ ) 1ˆ ,
astfel ˆıncˆ at primul termen devine: n o − Tr ̺ˆ ~ δ(τ − τ ′ ) ψˆσK¯ (r, τ ) , ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ) ∓ = −~ δ(τ − τ ′ ) δσσ′ δ 3 (r − r′ ) Tr{̺ˆ} = −~ δσσ′ δ 3 (r − r′ ) δ(τ − τ ′ ) ,
unde s-a utilizat proprietatea de normare a operatorului statistic Tr{̺ˆ} = 1. ˆIn al doilea termen se utilizeaz˘ a ecuat¸ia diferent¸ial˘a a operatorului de cˆ amp, dedus˘a anterior: io h ∂ ψˆ ¯ (r, τ ) n σK ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) − Tr ̺ˆ Tτ ~ ∂τ h ~2 n io = − Tr ̺ˆ Tτ ∇2r + µ ψˆσK¯ (r, τ ) ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) h X2m n io + Tr ̺ˆ Tτ uσλ (r) ψˆλK¯ (r, τ ) ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) λ
hZ n io X + Tr ̺ˆ Tτ d3 r′′ Vσµ,λ′ µ′ (r, r′′ ) ψˆλ† ′ K¯ (r′′ , τ ) ψˆµ′ K¯ (r′′ , τ ) ψˆµK¯ (r, τ ) ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) µ,λ′ ,µ′
h io n ~2 ∇2r + µ Tr ̺ˆ Tτ ψˆσK¯ (r, τ ) ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) =− 2m h io n X + uσλ (r) Tr ̺ˆ Tτ ψˆλK¯ (r, τ ) ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) +
Z
λ
d3 r′′
X
µ,λ′ ,µ′
h io n Vσµ,λ′ µ′ (r, r′′ ) Tr ̺ˆ Tτ ψˆλ† ′ K¯ (r′′ , τ ) ψˆµ′ K¯ (r′′ , τ ) ψˆµK¯ (r, τ ) ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) ;
ˆın ultima hegalitate primii 2 termeni io cont¸in funct¸ia Green-Matsubara uni-particul˘a n = −Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ), iar al treilea termen cont¸ine funct¸ia Tr ̺ˆ Tτ ψˆσK¯ (r, τ ) ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) Green-Matsubara bi-particul˘a Tr ̺ˆ Tτ ψˆλ† ′ K¯ (r′′ , τ ) ψˆµ′ K¯ (r′′ , τ ) ψˆµK¯ (r, τ ) ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) = ± Tr ̺ˆ Tτ ψˆµK¯ (r, τ ) ψˆµ′ K¯ (r′′ , τ ) ψˆλ† ′ K¯ (r′′ , τ + ) ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) II ′′ ′ ′ ′′ + = ± Gµσ ), ′ ,µ′ λ′ (r, τ ; r , τ |r , τ ; r , τ
astfel ˆıncˆ at acest al doilea termen devine: io h ∂ ψˆ ¯ (r, τ ) n σK ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) − Tr ̺ˆ Tτ ~ ∂τ ~2 X 2 = ∇r + µ Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) − uσλ (r) Gλσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) 2m λ Z X 3 ′′ ′′ II ± d r Vσµ,λ′ µ′ (r, r ) Gµσ′ ,µ′ λ′ (r, τ ; r′′ , τ |r′ , τ ′ ; r′′ , τ + ); . µ,λ′ ,µ′
Prin ˆınsumarea rezultatelor anterioare se obt¸ine ecuat¸ia diferent¸ial˘a a funct¸iei Green-Matsubara uni-particul˘ a: ~
∂ Gσσ′ (r, τ ; r′ τ ′ ) = −~ δσσ′ δ 3 (r − r′ ) δ(τ − τ ′ ) ∂τ ~2 X + ∇2r + µ Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) − uσλ (r) Gλσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) 2m λ Z X II ′′ ′ ′ ′′ + ± d3 r′′ Vσµ,λ′ µ′ (r, r′′ ) Gµσ ), ′ ,µ′ λ′ (r, τ ; r , τ |r , τ ; r , τ µ,λ′ ,µ′
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
353
sau forma echivalent˘ a ∂ 2 X −~ 2 ~ + ∇r − µ Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) + (5.33) uσλ (r) Gλσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) ∂τ 2m λ Z X 3 ′ ′ II ′′ ′ ′ ′′ + = −~ δσσ′ δ (r − r ) δ(τ − τ ) ± d3 r′′ Vσµ,λ′ µ′ (r, r′′ ) Gµσ ). ′ ,µ′ λ′ (r, τ ; r , τ |r , τ ; r , τ µ,λ′ ,µ′
ˆIn cazul sistemului liber (absent¸a interact¸iilor mutuale ¸si a cˆ ampului extern), ecuat¸ia diferent¸ial˘a devine: ∂ −~2 2 0 ′ ′ 3 ′ ′ + ∇r − µ Gσσ (5.34) ~ ′ (r, τ ; r , τ ) = − ~ δσσ ′ δ (r − r ) δ(τ − τ ) . ∂τ 2m
5.2.3
Relat¸ia dintre funct¸iile Green-Matsubara ¸si observabile
Se va ar˘ ata c˘ a, ˆın mod similar formalismului fermionic de temperatur˘a nul˘a, mediile grandcanonice ale observabilelor sistemului se pot exprima ˆın termeni de funct¸ii Green-Matsubara. A. Observabil˘ a uni-particul˘ a este reprezentat˘ a de un operator (formularea Schr¨odinger), avˆand forma dat˘ a de relat¸ia (2.92), astfel ˆıncˆ at operatorul Heisenberg termic are expresia: Z Z X X † ˆ ˆ AˆK¯ (τ ) = d3 r ψˆσ′ K¯ (r, τ ) Aˆr σ′ ,σ ψˆσK¯ (r, τ ) = d3 r lim Aˆr σ′ ,σ ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ) ψˆσK¯ (r, τ ) . ′ σ,σ′
σ,σ′
r →r
Atunci, media grand-canonic˘ a a observabilei uni-particul˘a se obt¸ine cu ajutorul funct¸iei GreenMatsubara ˆın forma urm˘atoare: Z X ˆ
A = ∓ d3 r lim lim+ (5.35) Aˆr σ′ ,σ Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) . ′ ′ r →r τ →τ
σ,σ′
Demonstrat¸ie: Se utilizeaz˘ a definit¸ia mediei grand-canonice ˆın forma (5.18) ¸si apoi se substituie expresia operatorului uni-particul˘ a ˆın formularea Heisenberg termic˘ a
ˆ = Tr ̺ˆ A ˆK¯ (τ ) A = Tr ̺ˆ A Z X ˆ lim Aˆr σ ′ ,σ Tr ̺ˆ ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ) ψˆσ K¯ (r, τ ) ; = d3 r ′ σ,σ ′
r →r
pentru a introduce ordonarea cronologic˘ a, cerut˘ a de definit¸ia funct¸iei Green-Matsubara, se m˘ are¸ste ˆın mod infinitezimal pseudo-timpul primului operator de cˆ amp: Tr ̺ˆ ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ) ψˆσ K¯ (r, τ ) = lim Tr ̺ˆ ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) ψˆσ K¯ (r, τ ) τ ′ →τ + = ± lim Tr ̺ˆ Tτ ψˆσ K¯ (r, τ ) ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) τ ′ →τ +
= ∓ lim Gσσ ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) ; τ ′ →τ +
ˆın final, prin substituirea ultimului rezultat ˆın formula mediei grand-canonice, se obt¸ine expresia (5.35).
Cazuri particulare remarcabile: – operator independent de spini
A =∓
Z
X ˆˆr d3 r lim A Gσσ (r, τ ; r′ , τ + ) ; ′ r →r
σ
– operator dependent numai de variabilele de spin Z X
A = ∓ d3 r Aσ′ σ Gσσ′ (r, τ ; r, τ + ) . σ,σ′
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
354
Exemple: i. num˘ arul mediu de particule
N =∓
Z
d3 r
X
Gσσ (r, τ ; r, τ + ) ;
(5.36a)
~ σ Gσσ′ (r, τ ; r, τ + ) ;
(5.36b)
σ
ii. componenta de spin medie
Sz = ∓
Z
d3 r
X σ,σ′
iii. energia cinetic˘ a medie
T =∓
Z
d3 r lim ′
r →r
X −~2 σ
2m
∇2r Gσσ (r, τ ; r′ , τ + ) .
(5.36c)
B. Observabil˘ a bi-particul˘ a (cazul cˆ and operatorul este multiplicativ ˆın coordonatele de pozit¸ie, adic˘a nu cont¸ine operat¸ii de derivare spat¸ial˘a) este reprezentat˘ a ˆın formularea Schr¨odinger prin operatorul, dat de relat¸ia (2.104), astfel ˆıncˆ at operatorul Heisenberg termic este Z Z X ˆ = 1 d3 r d3 r′ B Bλµ,λ′ µ′ (r, r′ ) ψˆλ† K¯ (r, τ ) ψˆλ† ′ K¯ (r′ , τ ) ψˆµ′ K¯ (r′ , τ ) ψˆµK¯ (r, τ ) . 2 ′ ′ λ,µ,λ ,µ
Valoarea medie a observabilei se poate exprima ˆın termeni de funct¸ia Green-Matsubara biparticul˘ a astfel: Z Z X
1 II ′ + ′ + B = d3 r d3 r′ Bλµ,λ′ µ′ (r, r′ ) Gµµ ;r ,τ ) . (5.37) ′ ,λλ′ (r, τ ; r , τ | r, τ 2 ′ ′ λ,µ,λ ,µ
Demonstrat¸ie: Conform definit¸iei media observabilei considerate se exprim˘ a ˆın termeni de operatorul Heisenberg termic:
ˆ = Tr ̺ˆ B ˆK¯ (τ ) B = Tr ̺ˆ B Z Z X 1 = Bλµ,λ′ µ′ (r, r′ ) d3 r d3 r′ 2 λ,µ,λ′ ,µ′ † ˆ × Tr ̺ˆ ψλK¯ (r, τ ) ψˆλ† ′ K¯ (r′ , τ ) ψˆµ′ K¯ (r′ , τ ) ψˆµK¯ (r, τ ) ; apoi se fac reordon˘ ari ale operatorilor de cˆ amp pentru a forma funct¸ia Green-Matsubara biparticul˘ a Tr ̺ˆ ψˆλ† K¯ (r, τ ) ψˆλ† ′ K¯ (r′ , τ ) ψˆµ′ K¯ (r′ , τ ) ψˆµK¯ (r, τ ) = + Tr ̺ˆ ψˆλ† ′ K¯ (r′ , τ ) ψˆλ† K¯ (r, τ ) ψˆµK¯ (r, τ ) ψˆµ′ K¯ (r′ , τ ) = Tr ̺ˆ ψˆµK¯ (r, τ ) ψˆµ′ K¯ (r′ , τ ) ψˆ† ′ ¯ (r′ , τ + ) ψˆ† ¯ (r, τ + ) λ K
λK
II ′ + ′ + = Gµµ ′ ,λλ′ (r, τ ; r , τ | r, τ ; r , τ ) ;
atunci, prin substituirea ultimului rezultat ˆın expresia mediei observabilei bi-particul˘ a se obt¸ine relat¸ia (5.37).
Cazul particular interesant este cˆ and se consider˘ a energia de interact¸ie mutual˘a medie Z Z X
1 II ′ + ′ + d3 r d3 r′ Vλµ,λ′ µ′ (r, r′ ) Gµµ ;r ,τ ) ; V = ′ ,λλ′ (r, τ ; r , τ | r, τ 2 ′ ′ λ,µ,λ ,µ
ˆın situat¸ia cˆ and sistemul este izolat (nu exist˘a cˆ ampuri externe), prin utilizarea ecuat¸iei diferent¸iale a funct¸iei Green-Matsubara uni-particul˘a [adic˘ a ecuat¸ia (5.33) cu uσλ (r) = 0], se poate elimina funct¸ia Green-Matsubara bi-particul˘a, astfel ˆıncˆ at s˘a se exprime energia de interact¸ie mutual˘a
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
355
medie numai ˆın termeni de funct¸ia Green-Matsubara uni-particul˘a; astfel, expresia precedent˘ aa energiei de interact¸ie se scrie in forma Z Z X X
±1 II ′′ ′ ′′ ′ V = d3 r lim lim (±1) d3 r′′ Vλµ,λ′ µ′ (r, r′′ ) Gµµ ′ ,λλ′ (r, τ ; r , τ | r, τ ; r , τ ) ; ′ ′ + r →r τ →τ 2 ′ ′ λ
µ,λ ,µ
dar, pe baza ecuat¸iei diferent¸iale a funct¸iei Green-Matsubara (5.33), ultima integral˘a din relat¸ia precedent˘ a este Z X II ′′ ′ ′′ ′ (±1) d3 r′′ Vλµ,λ′ µ′ (r, r′′ ) Gµµ ′ ,λλ′ (r, τ ; r , τ | r, τ ; r , τ ) µ,λ′ ,µ′
= ~
−~2 2 ∂ + ∇r − µ Gλλ (r, τ ; r′ , τ ′ ) + ~ δλλ δ 3 (r − r′ ) δ(τ − τ ′ ) ; ∂τ 2m
ca urmare, energia de interact¸ie medie devine Z o n ∂ X
±1 −~2 2 ′ ′ 3 ′ ′ V = + ∇ − µ G (r, τ ; r , τ ) + ~ δ δ (r − r ) δ(τ − τ ) . ~ d3 r lim λλ λλ r 2 ∂τ 2m r′ →r ′ + λ τ →τ
Deoarece ˆınainte de trecererea la limit˘a cele 2 funct¸ii Dirac spat¸io-pseudo-temporale sunt nule, rezult˘a urm˘atoarea expresie a mediei energiei de interact¸ie: Z ∂ X
±1 −~2 2 ~ + ∇ − µ Gσσ (r, τ ; r′ , τ ′ ) . (5.38) d3 r lim lim V = r r′ →r τ ′ →τ + 2 ∂τ 2m σ Pe de alt˘ a parte, energia de interact¸ie, care este un operator 2-particul˘ a ¸si se exprim˘ a prin produse de 4 operatori de cˆ amp, se poate reduce la o expresie care cont¸ine numai produse de 2 operatori de cˆ amp, similar unui operator 1-particul˘ a; este important s˘a se evident¸ieze c˘ a aceast˘a proprietate este posibil˘ a numai pentru energia de interact¸ie bi-particul˘a ¸si numai dac˘a hamiltonianul sistemului cont¸ine doar operatori 1-particul˘ a ¸si 2-particul˘ a (de fapt, singurul operator 2-particul˘ a din hamiltonian trebuie s˘a fie hamiltonianul de interact¸ie). 1 Pentru simplitate se va considera c˘ a este absent cˆ ampul extern (uσσ′ (r) = 0); atunci, se poate obt¸ine rezultatul specificat anterior dac˘a se separ˘ a operatorul stˆ ang din expresia hamiltonianului de interact¸ie Z Z X 1 d3 r d3 r′ ψˆλ† (r) ψˆλ† ′ (r′ ) Vλµ,λ′ µ′ (r, r′ ) ψˆµ′ (r′ ) ψˆµ (r) Vˆ = 2 ′ ′ λ,λ ,µ,µ Z Z X X † 1 = d3 r ψˆσ† (r) · d3 r′ ψˆλ′ (r′ ) Vλµ,λ′ µ′ (r, r′ ) ψˆµ′ (r′ ) ψˆµ (r) ; 2 ′ ′ σ λ ,µ,µ
apoi se utilizeaz˘ a ecuat¸ia diferent¸ial˘a a operatorului de cˆ amp (5.32), unde s-a considerat c˘ a este a rezult˘a absent cˆ ampul extern, uσσ′ (r) = 0, astfel c˘ Z X − d3 r′′ Vσµ,λ′ µ′ (r, r′′ ) ψˆλ† ′ K¯ (r′′ , τ ) ψˆµ′ K¯ (r′′ , τ ) ψˆµK¯ (r, τ ) µ,λ′ ,µ′
∂ ~2 2 − ∇r − µ ψˆσK¯ (r, τ ) . = ~ ∂τ 2m
Ca urmare, operatorul VˆK¯ (τ ) se exprim˘ a ˆın forma Z ∂ X † ~2 2 −1 − ∇r − µ ψˆσK¯ (r, τ ) ψˆσK¯ (r, τ ) ~ d3 r VˆK¯ (τ ) = 2 ∂τ 2m σ Z n X −1 ~2 2 ∂ = − ∇ − µ ψˆσ† K¯ (r′ , τ ′ ) ψˆσK¯ (r, τ ) . d3 r ~ lim lim r r′ →r τ ′ →τ 2 ∂τ 2m σ 1 Situat ¸ia este similar˘ a cu cea discutat˘ a ˆın cazul sistemelor fermionice ˆın formalismul de temperatur˘ a nul˘ a, prezentat ˆın Subsect¸iunea 3.2.6.
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
356
ˆIn vederea introducerii funct¸iei Green uni-particul˘a se exprim˘a produsele operatorilor de cˆ amp, ψˆσ† K¯ (r′ , τ ′ ) ψˆσ′ K¯ (r, τ ), ca produse ordonate cronologic cu operatorul de creare, ψˆσ† K¯ (r′ , τ ′ ), la dreapta 2 astfel c˘ a se obt¸ine urm˘atoarea expresie pentru hamiltonianul de interact¸ie Z n ∂ X ~2 2 ∓1 ~ − ∇ − µ T ψˆσK¯ (r, τ )ψˆσ† K¯ (r′ , τ ′ ) ; d3 r lim lim VˆK¯ (τ ) = r ′ ′ + r →r τ →τ 2 ∂τ 2m σ
atunci, luˆand ˆın considerat¸ie definit¸ia funct¸iei Green-Matsubara, (5.20), energia medie de interact¸ie se exprim˘ a ˆın forma Z D n ∂ X
∓1 E ~2 2 ˆ ¯ (r, τ )ψˆ† ¯ (r′ , τ ′ ) V = − ∇ − µ T ψ ~ d3 r lim lim σK σK r′ →r τ ′ →τ + 2 ∂τ 2m r σ Z n ∂ X ∓1 ~2 2 = ~ − ∇ − µ Gσσ (r, τ ; r′ τ ′ ) . d3 r lim lim r r′ →r τ ′ →τ + 2 ∂τ 2m σ care este identic˘ a cu relat¸ia (5.38). C. Energia medie (cazul absent¸ei interact¸iilor externe) Prin combinarea relat¸iilor (5.36a) ¸si (5.38) rezult˘a energia medie a sistemului ˆın termeni de funct¸ia Green-Matsubara uni-particul˘ a:
E = T + V Z i X h −~2 ∂ 1 ~2 2 2 − ~ ∇ + + ∇ + µ Gσσ (r, τ ; r′ , τ ′ ) = ∓ d3 r lim lim r r′ →r τ ′ →τ + 2m 2 ∂τ 2m r σ Z X 2 ∂ −~ ∓1 −~ + ∇2 + µ d3 r lim lim = Gσσ (r, τ ; r′ , τ ′ ) . (5.39) r′ →r τ ′ →τ + 2 ∂τ 2m r σ 5. Potent¸ialul grand-canonic (teorema Peierls) Se procedeaz˘ a ˆın mod similar cu teorema Pauli din formalismul de temperatur˘a nul˘a, prin introducerea unei constante de cuplaj variabil˘ a. Astfel, se introduce hamiltonianul auxiliar ˆ ˆ0 + λ H ˆ1 , H(λ) =H care implic˘ a hamiltonianul grand-canonic auxiliar ˆ ˆ0 − N ˆ) + λH ˆ1 ≡ K ˆ0 + λ K ˆ1 = K ˆ0 + K ˆ 1 (λ) . K(λ) = (H Se observ˘ a c˘ a acest hamiltonian grand-canonic auxiliar satisface urm˘atoarele condit¸ii asimptotice: ˆ ˆ 0 , adic˘a la limita constantei de cuplaj nul˘a se obt¸ine hamiltonianul grand-canonic i. K(0) =K al sistemului liber; ˆ ˆ0 + K ˆ 1 = K, ˆ adic˘a la limita constantei de cuplaj unitate se obt¸ine hamiltonianul ii. K(1) =K grand-canonic al sistemului cu interact¸ie. Funct¸ia de partit¸ie grand-canonic˘ a a sistemului auxiliar are expresia ∞ ∞ nX n o X 1 (−β)n ˆ ˆ ˆ 0 + λK ˆ 1 )n Zλ = Tr e−β K(λ) = Tr = − β K(λ) Tr (K n! n! n=0 n=0
¸si potent¸ialul grand-canonic corespunz˘ ator se obt¸ine din funct¸ia de partit¸ie anterioar˘ a conform relat¸iei generale −1 ln Zλ . Ωλ = β Pe baza rezultatelor anterioare se obt¸ine derivata potent¸ialului grand-canonic ˆın raport cu constanta de cuplaj:
2 Operat ¸ia
∞ ∂Ωλ −1 1 ∂Zλ −1 X (−β)n ∂ ˆ 0 + λK ˆ 1 )n ; = = Tr (K ∂λ β Zλ ∂λ βZλ n=0 n! ∂λ
de ordonare cronologic˘ a specificat˘ a introduce o schimbare de semn ˆın cazul fermionic.
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
357
derivata urmei pentru puterea unui operator se exprim˘ a ˆın mod compact, pe baza propriet˘ a¸tii de invariant¸˘ a a urmei la permut˘ari circulare ale operatorilor din produs: o n o n n∂ A(λ) ˆ ˆ o ˆ ∂ ˆ ∂ A(λ) Aˆn−2 (λ) + . . . + Tr Aˆn−1 (λ) ∂ A(λ) Aˆn−1 (λ) + Tr A(λ) Tr Aˆn (λ) = Tr ∂λ ∂λ ∂λ ∂λ n ˆ o ∂ A(λ) = n Tr Aˆn−1 (λ) , ∂λ
astfel ˆıncˆ at pentru potent¸ialul grand-canonic considerat anterior, se obt¸ine: ∞ −1 X (−β)n ∂Ωλ ˆ 0 + λK ˆ 1 )n−1 K ˆ1 = n Tr (K ∂λ βZλ n=0 n!
=
n X (−β)n o −1 ˆ 0 + λK ˆ 1 )n−1 K ˆ1 Tr (K βZλ (n − 1)! n=1 ∞
∞ o n X ˆ λ )m (−β K −1 ˆ1 Tr (−β) K βZλ m! m=0 o n 1 ˆ ˆ = Tr e−β Kλ K 1 . Zλ
=
ˆ
Pe de alt˘ a parte, operatorul statistic grand-canonic al sistemului auxiliar este ̺ˆλ = e−β Kλ /Zλ , astfel ˆıncˆ at derivata potent¸ialului grand-canonic se exprim˘ a ˆın termeni de medie grand-canonic˘a o o n n
∂ Ωλ ˆ 1 = 1 Tr ̺ˆλ λK ˆ 1 = 1 K1 (λ) . = Tr ̺ˆλ K λ ∂λ λ λ
Prin integrarea ˆın raport cu constanta de cuplaj variabil˘ a a relat¸iei precedente se obt¸ine: = Ωλ λ=1 − Ωλ λ=0 = Ω − Ω0 Z 1 ∂ Ωλ = dλ Z 1 Z 1 ∂λ dλ
dλ
0 K1 (λ) λ = H1 (λ) λ , = 0 λ 0 λ
unde s-a ¸tinut cont de faptul c˘ a pentru λ = 1 sistemul auxiliar devine sistemul cu interact¸ia fizic˘a, iar pentru λ = 0 sistemul auxiliar devine sistemul liber. Rezultatul precedent se exprim˘ a ˆın mod echivalent ˆın forma teoremei Peierls: Ω = Ω0 +
Z
0
unde:
1
dλ
H1 (λ) λ , λ
(5.40)
• Ω(T, µ, V ) este potent¸ialul grand-canonic al sistemului cu interact¸ii, avˆand hamiltonianul ˆ =K ˆ0 + K ˆ 1; grand-canonic K • Ω0 (T, µ, V ) este potent¸ialul grand-canonic al sistemului liber, avˆand hamiltonianul grandˆ 0; canonic K ˆ 1 (λ) = λH ˆ 1 = λVˆ este hamiltonianul de interact¸ie multiplicat cu constanta de cuplaj • H variabil˘ a (adic˘ a este hamiltonianul de interact¸ie al sistemului auxiliar); • h. . .iλ este media grand-canonic˘a calculat˘ a cu operatorul statistic al sistemului auxiliar ̺ˆλ . Se observ˘ a c˘ a rezultatul afirmat de teorema Peierls este analogul teoremei Pauli (3.90). Dac˘ a se adapteaz˘a relat¸ia (5.38) pentru sistemul auxiliar, atunci energia de interact¸ie medie a acestui sistem este Z ∂ X
−~2 2 ±1 (λ) ~ + ∇ − µ Gσσ (r, τ ; r′ , τ ′ ) , d3 r lim lim H1 (λ) λ = r r′ →r τ ′ →τ + 2 ∂τ 2m σ
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
358 (λ)
unde Gσσ (r, τ ; r′ , τ ′ ) este funct¸ia Green-Matsubara pentru sistemul auxiliar. Atunci, pe baza teoremei Peierls, potent¸ialul grand-canonic al sistemului cu interact¸ii se exprim˘ a ˆın urm˘atoarea form˘a: Z 1 Z ∂ X dλ ±1 −~2 2 (λ) Ω = Ω0 + + ∇ − µ Gσσ (r, τ ; r′ , τ ′ ) . (5.41) ~ d3 r lim lim r r′ →r τ ′ →τ + 2 ∂τ 2m 0 λ σ E. Cazul sistemului omogen din punct de vedere spat¸ial, permite transformarea Fourier a funct¸iei Green-Matsubara, conform relat¸iei (5.28), astfel ˆıncˆ at mediile grand-canonice se pot exprima mai simplu ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a (discret˘a). Num˘ arul mediu de particule se obt¸ine din relat¸ia (5.36a), ˆın care τ + = τ + η (unde η → 0+ ): Z X
N = ∓ d3 r Gσσ (r, τ ; r, τ + ) V
=∓
σ
Z
d3 r V | {z } =V
=∓
X k
= ∓V
LT
X
lim
σ
η→0+
Z
lim
η→0+
1 X 1 X iωn η e e Gσσ (k, ωn ) V ~β n k
1 X iωn η X e e Gσσ (k, ωn ) , ~β n σ
d3 k 3 R3 (2π)
lim
η→0+
1 X iωn η X e e Gσσ (k, ωn ) . ~β n σ
(5.42a) (5.42b)
Energia medie se obt¸ine ˆın mod analog, din relat¸ia (5.39): Z X
∓1 ∂ −~2 2 − ~ + ∇ + µ d3 r lim lim Gσσ (r, τ ; r′ , τ ′ ) E = r′ →r τ ′ →τ + 2 ∂τ 2m r σ ∓1 1 X 1 X X e = Gσσ (k, ωn ) 2 V ~β n σ k Z ′ ′ ∂ −~2 2 − ~ + ∇ + µ e ik·(r−r )−iωn (τ −τ ) ; lim × d3 r lim r ′ →r ′ + r ∂τ 2m τ →τ V
dup˘a efectuarea deriv˘arilor se pot efectua trecerile la limit˘a, astfel ˆıncˆ at integrala spat¸ial˘a devine: Z 2 ′ ′ ∂ −~ 2 d3 r lim lim − ~ + ∇r + µ e ik·(r−r )−iωn (τ −τ ) ′ →r τ ′ →τ r ∂τ 2m V Z 2 2 ′ ′ ~ k = d3 r i~ωn + + µ e ik·(r−r )−iωn (τ −τ ) ′ 2m r = r , τ ′ =τ +η V Z 2 2 ~ k + µ e iωn η d3 r . = i~ωn + 2m | V{z } =V
Atunci se obt¸in urm˘atoarele expresii pentru energia medie: X
∓1 X ~2 k 2 1 X iωn η E = i~ωn + +µ lim e Geσσ (k, ωn ) , η→0+ ~β 2 2m n σ k Z X ~2 k 2 1 X iωn η d3 k ∓V lim i~ω + + µ e = Geσσ (k, ωn ) . n 3 LT 2 2m R3 (2π) η→0+ ~β n σ
(5.43a) (5.43b)
ˆIn mod similar cu calculul energiei medii se trateaz˘a potent¸ialul grand-canonic, obt¸inut prin utilizarea teoremei Peierls: Z 1 X ~2 k 2 1 X iωn η dλ 1 X i~ωn − +µ lim e Geσσ (k, ωn ) , (5.44a) Ω = Ω0 ∓ 2m 0 λ 2 k η→0+ ~β n σ Z Z 1 X 1 X iωn η ~2 k 2 d3 k dλ V (λ) lim i~ωn − +µ e = Ω0 ∓ Geσσ (k, ωn ) . (5.44b) 3 η→0 LT λ 2 (2π) ~β 2m + 3 R 0 n σ
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
359
Se observ˘ a c˘ a singura diferent¸˘ a formal˘a ˆıntre energia medie ¸si potent¸ialul grand-canonic este semnul termenului cinetic; evident, potent¸ialul grand-canonic implic˘a ˆın mod suplimentar integrarea dup˘a constanta de cuplaj ¸si utilizeaz˘a funct¸ia Green-Matsubara corespunz˘ atoare constantei de cuplaj variabil˘ a.
5.2.4
Funct¸ia Green-Matsubara pentru sistemul liber
A. Calcului direct Se consider˘ a sistemul constituit din particule nerelativiste identice, f˘ar˘a interact¸ii (bosoni sau fermioni) ¸si plasat ˆın incinta cu volumul V ˆın st˘ari de echilibru corespunz˘ atoare condit¸iilor externe grand-canonice (temperatur˘a ¸si potent¸ial chimic fixate de c˘ atre un rezervor extern); ˆın aceste condit¸ii se pot defini st˘ ari uni-particul˘a, care au urm˘atoarele caracteristici: • hamiltonianul (operatorul algebric ˆın reprezentarea coordonatelor de pozit¸ie-spin) −~2 2 ˆ ˆ ∇ (este hamiltonianul de translat¸ie, independent de spin); H r = 2m r • funct¸ii de stare (ˆın reprezentarea coordonatelor de pozit¸ie-spin), conform relat¸iei (2.34) e ik·r ϕkσ (r, s) = χσ (s) ≡ uk (r) χσ (s); V • energia (de translat¸ie) εk =
~2 k 2 ≡ ~ωk ; 2m
• operatori elementari cˆ kσ (de anihilare) ¸si cˆ†kσ (de creare). Observat¸ie: formalismul particul˘ a-gol nu este util pentru descrierea st˘arilor de echilibru ale sistemului aflat la temperatur˘a finit˘a. X ˆ 0 = Tˆ = Hamiltonianul sistemului (ˆın Cuantificarea II) este H εk cˆ†kσ cˆ kσ , iar hamiltoniak,σ
nul grand-canonic, conform relat¸iilor (2.96) ¸si (2.122), este X ˆ0 = H ˆ0 − N ˆ = K (εk − µ) cˆ†kσ cˆ kσ . k,σ
Operatorii de cˆ amp (componente de spin) ˆın formularea Schr¨odinger sunt definit¸i ˆın termeni de operatori elementari pe st˘ arile uni-particul˘a, conform relat¸iilor (2.86): 1 X ik·r ψˆσ (r) = √ e cˆ kσ V k
&
1 X −ik·r † ψˆσ† (r) = √ e cˆ kσ . V k
Operatorul num˘ ar de particule pe o stare uni-particul˘a este n ˆ kσ = cˆ†kσ cˆ kσ , fiind definit prin relat¸ia (2.81) ¸si are urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: • ecuat¸ia cu valori proprii este dat˘a de relat¸ia (2.82) n ˆ kσ {n} = n kσ {n} ;
• valorile proprii (numerele de particule posibile pe st˘ari uni-particul˘a specificate) sunt – n kσ = 0, 1, . . . , ∞ (pentru bosoni),
– n kσ = 0, 1 (pentru fermioni); • setul vectorilor proprii {n} constituie o baz˘a ˆın spat¸iul Fock (numit˘a baza numerelor de ocupare), conform relat¸iilor (2.59);
• hamiltonianul grand-canonic se poate exprima mai compact ˆın termeni de operatori numere de particule X ˆ0 = K (εk − µ) n ˆ kσ . k,σ
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
360
Media grand-canonic˘ a a unei m˘arimi caracteristice a sistemului este
1 ˆ Tr e−β K0 Aˆ , A 0 = Tr ̺ˆ0 Aˆ = Z0
1 −β Kˆ 0 ˆ unde Z0 = Tr e−β K0 este funct¸ia de partit¸ie a sistemului (liber) ¸si ̺ˆ0 = este operae Z0 torul statistic grand-canonic al sistemului (liber). Funct¸ia de partit¸ie a sistemului liber se calculeaz˘a prin evaluare ˆın baza numerelor de ocupare, cˆ and se obt¸ine factorizarea ˆın funct¸ii de partit¸ie asociate fiec˘ arui tip de stare uni-particul˘a: −β P (ε −µ) nˆ −β Kˆ 0 X
k kσ k,σ {n} e {n} Z0 = Tr e = {n}
=
X
e−β
P
k,σ
(εk −µ) nkσ
{n}
=
YnX nkσ
k,σ
(kσ)
unde Z0
e−β (εk −µ) nkσ
o
≡
Y k,σ
(kσ)
Z0
,
este funct¸ia de partit¸ie grand-canonic˘a asociat˘a modului uni-particul˘a (k, σ). (kσ)
• Pentru bosoni Z0 se calculeaz˘a luˆand ˆın considerare valorile posibile ale numerelor de ocupare nkσ = 0, 1, 2, . . . , ∞; ca urmare, se obt¸ine o progresie geometric˘ a ∞ X
rn =
n=0
1 1−r
a c˘ arei rat¸ie r = e−β (εk −µ) trebuie s˘a fie subunitar˘ a (aceast˘a condit¸ie implic˘ a valori negative pentru potent¸ialul chimic) ¸si se obt¸ine: (kσ) Z0
=
∞ X
e−β (εk −µ) nkσ =
nkσ =0
1 . 1 − e−β (εk −µ)
• Pentru fermioni numerele de ocupare pot avea numai 2 valori (nkσ = 0, 1) astfel ˆıncˆ at funct¸ia de partit¸ie uni-mod este X (kσ) = Z0 e−β (εk −µ) nkσ = 1 + e−β (εk −µ) . nkσ =0,1
Cele dou˘a situat¸ii se pot comasa prin urm˘atoarea expresie comun˘ a: ∓1 (kσ) , Z0 = 1 ∓ e−β (εk −µ)
unde semnul superior “–” corespunde cazului bosonic, iar semnul inferior “+” corespunde cazului fermionic. Valoarea medie grand-canonic˘ a a num˘arului de particule pe modul uni-particul˘a (k, σ) se calculeaz˘a cu formula general˘ a ¸si evaluˆ and urma operatorial˘ a ˆın baza numerelor de ocupare, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine factorizarea similar˘ a cu cea obt¸inut˘a la calcului funct¸iei de partit¸ie: P
1 1 X
ˆ nkσ 0 = {n} e−β k′ ,σ′ (εk′ −µ) nˆ k′ σ′ n ˆ kσ {n} ˆ kσ = Tr e−β K0 n Z0 Z0 {n}
1 X −β Pk′ ,σ′ (εk′ −µ) nk′ σ′ nkσ e = Z0 {n} Y X X ′ 1 = e−β (εk′ −µ) nk′ σ′ e−β (εk −µ) nkσ nkσ Z0 ′ ′ n n k ,σ
=
1
(kσ)
Z0
X nkσ
k′ σ′
e−β (εk −µ) nkσ nkσ ,
kσ
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
361
unde ultima egalitate s-a obt¸inut prin utilizarea factoriz˘ arii funct¸iei de partit¸ie ˆın contribut¸ii Q (kσ) a de simplificarea contribut¸iilor (factorizate) pe toate mouni-mod (Z0 = k,σ Z0 ), urmat˘ durile diferite de modul interesant [adic˘ a (k′ , σ ′ ) 6= (k, σ)]. Luˆand ˆın considerare expresia de P (kσ) definit¸ie a funct¸iei de partit¸ie a modului interesant (Z0 = nkσ e−β (εk −µ) nkσ ), se observ˘a c˘ a num˘ ar˘ atorul rezultatului precedent este egal cu derivata aceste funct¸ii de partit¸ie uni-mod ˆın raport cu potent¸ialul chimic entropic βµ: X
e−β (εk −µ) nkσ nkσ =
nkσ
(kσ) X ∂ ∂ Z0 ; e−β (εk −µ) nkσ = ∂(βµ) n ∂(βµ) kσ
atunci, valoarea medie a num˘ arului de ocupare devine: (kσ) (kσ)
∂ ln Z0 ∂ 1 ∂ Z0 = = (∓1) ln 1 ∓ e−β (εk −µ) , nkσ 0 = (kσ) ∂(βµ) ∂(βµ) ∂(βµ) Z 0
sau, prin efectuarea deriv˘arii si a simplific˘ arilor se obt¸ine:
nkσ 0 =
1 ≡ n0kσ , e β (εk −µ) ∓ 1
(5.45)
care este funct¸ia de distribut¸ie Bose-Einstein pentru bosoni (semnul superior) ¸si respectiv funct¸ia de distribut¸ie Fermi-Dirac pentru fermioni (semnul inferior). Media grand-canonic˘ a a produsului de operatori elementari se calculeaz˘a ˆın mod asem˘ an˘ator cu calcului precedent pentru num˘ arul mediu de ocupare. Pentru produsul operator de creare + operator de anihilare se obt¸ine: P
† 1 X
1 ˆ Tr e−β K0 cˆ†kσ cˆk′ σ′ = ckσ ck′ σ′ 0 = {n} e−β k′′ ,σ′′ (εk′′ −µ) nˆ k′′ σ′′ cˆ†kσ cˆk′ σ′ {n} Z0 Z0 {n}
1 X −β Pk′′ ,σ′′ (εk′′ −µ) nk′′ σ′′
e {n} cˆ†kσ cˆk′ σ′ {n} . = Z0 {n}
Elementul de matrice al produsului de operatori elementari are expresii diferite ˆın funct¸ie de relat¸ia ˆıntre st˘ arile uni-particul˘ a ale operatorilor elementari considerat¸i. • Dac˘ a cele dou˘a st˘ ari uni-particul˘a sunt diferite (k′ , σ ′ ) 6= (k, σ), atunci operatorul cˆk′ σ′ distruge o particul˘ a pe starea (k′ , σ ′ ) ˆın vectorul ket (din dreapta), iar operatorul cˆ†kσ prin act¸iune la stˆ anga distruge o particul˘ a pe starea (k, σ) ˆın vectorul bra (din stˆanga), conform relat¸iilor (2.83); ca urmare, se obt¸ine
. . . , nkσ , . . . , nk′ σ′ , . . . cˆ†kσ cˆk′ σ′ . . . , nkσ , . . . , nk′ σ′ , . . . {n} cˆ†kσ cˆk′ σ′ {n} = ′ ′ (k ,σ )6=(k,σ)
√ √ = (±1)Skσ nkσ (±1)Sk′ σ′ nk′ σ′
× . . . , nkσ − 1, . . . , nk′ σ′ , . . . . . . , nkσ , . . . , nk′ σ′ − 1, . . .
=0,
deoarece vectorii obt¸inut¸i sunt ortogonali. • Dac˘ a cele dou˘a st˘ ari sunt identice (k′ , σ ′ ) ≡ (k, σ), atunci produsul operatorilor elementari este egal cu operatorul num˘ ar de particule cˆ†kσ cˆkσ = n ˆ kσ , astfel ˆıncˆ at prin utilizarea ecuat¸iei cu valori proprii (2.82) ¸si a norm˘arii la unitate a vectorilor bazei numere de ocupare, rezult˘a: †
cˆ cˆkσ . . . , nkσ , . . . {n} cˆ†kσ cˆk′ σ′ {n} = . . . , n , . . . kσ kσ (k′ ,σ′ )≡(k,σ)
= {n} n ˆ kσ {n} = nkσ .
Cele dou˘a rezultate precedente se pot exprima ˆımpreun˘a ˆın forma:
{n} cˆ†kσ cˆk′ σ′ {n} = δ k,k′ δσ,σ′ nkσ ,
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
362
astfel ˆıncˆ at media produsului de operatori elementari considerat¸i anterior devine:
† 1 X −β Pk′′ ,σ′′ (εk′′ −µ) nk′′ σ′′ e δ k,k′ δσ,σ′ nkσ = δ k,k′ δσ,σ′ n0kσ . cˆkσ cˆk′ σ′ 0 = Z0
(5.46)
{n}
Pentru cel˘ alalt produs, operator de anihilare + operator de creare, se obt¸ine rezultatul prin utilizarea relat¸iei de comutare/anti-comutare a operatorilor elementari prin care se obt¸ine produsul considerat anterior:
1 1 ˆ ˆ ckσ c†k′ σ′ 0 = Tr e−β K0 cˆkσ cˆ†k′ σ′ = Tr e−β K0 δk,k′ δσ,σ′ ˆ1 ± cˆ†k′ σ′ cˆkσ Z0 Z0 1 1 ˆ ˆ Tr e−β K0 ± Tr e−β K0 cˆ†k′ σ′ cˆkσ ; = δk,k′ δσ,σ′ Z0 Z0 se observ˘ a c˘ a primul termen din relat¸ia precedent˘ a se simplific˘a datorit˘a condit¸iei de normare a operatorului statistic liber 1 ˆ Tr e−β K0 = Tr ̺ˆ0 = 1 , Z0
iar al doilea termen se reduce la rezultatul primului produs de operatori elementari, care a fost discutat anterior:
1 ˆ Tr e−β K0 cˆ†k′ σ′ cˆkσ = c†k′ σ′ ckσ 0 = δk,k′ δσ,σ′ n0kσ ; Z0
atunci se obt¸ine urm˘atorul rezultat pentru acest al doilea tip de produs de operatori elementari:
(5.47) ckσ c†k′ σ′ 0 = δk,k′ δσ,σ′ (1 ± n0kσ ) .
Pentru sistemul liber operatorii formul˘arii Heisenberg termice coincid cu operatorii formul˘arii Dirac termice, fiind definit¸i prin relat¸ia (5.7) τ ˆ τ ˆ AˆK¯ 0 (τ ) ≡ e ~ K0 Aˆ e− ~ K0
¸si satisf˘acˆand ecuat¸ia diferent¸ial˘a cu condit¸ia limit˘a (5.8): ~
∂ ˆ ˆ 0 , Aˆ ˆ 0 , AˆK¯ (τ ) = K AK¯ 0 (τ ) = K ¯ 0 (τ ) , 0 − K − ∂τ AˆK¯ (0) = Aˆ . 0
Pentru operatorul elementar cˆkσ se evalueaz˘ a comutatorul cu hamiltonianul grand-canonic pe baza relat¸iilor de comutare (2.118) ¸si (2.116): ˆ , cˆkσ = −εk cˆkσ + µ cˆkσ = −(εk − µ) cˆkσ ; ˆ 0 , cˆkσ = Tˆ , cˆkσ − µ N K − − −
ca urmare, operatorul Heisenberg termic cˆkσK¯ 0 (τ ) satisface urm˘atoarea ecuat¸ie diferent¸ial˘a cu condit¸ia limit˘ a ~
∂ ˆ 0 , cˆkσ ˆ 0 , cˆkσK¯ (τ ) ˆkσK¯ 0 (τ ) , = K cˆkσK¯ 0 (τ ) = K ¯ 0 (τ ) = −(εk − µ) c 0 − K − ∂τ cˆkσK¯ 0 (0) = cˆkσ ,
care are solut¸ia cˆkσK¯ 0 (τ ) = e−ωk τ cˆkσ ,
unde ω k ≡ ωk − µ/~ =
εk − µ . ~
(5.48a)
ˆIn mod analog se obt¸ine dependent¸a pseudo-temporal˘a a celuilalt operator elementar ˆın formularea Heisenberg termic˘ a: (5.48b) cˆ†kσK¯ 0 (τ ) = e ωk τ cˆ†kσ .
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
363
Operatorii de cˆ amp ˆın formularea Heisenberg liber˘a (adic˘a Dirac) termic˘ a se obt¸in pe baza rezultatelor precedente: 1 X ik·r−ωk τ 1 X ik·r e cˆ kσK¯ 0 (τ ) = √ e ψˆσK¯ 0 (r, τ ) = √ cˆ kσ , V k V k 1 X −ik·r+ωk τ † 1 X −ik·r † cˆ kσ . e cˆ kσK¯ 0 (τ ) = √ e ψˆσ† K¯ 0 (r, τ ) = √ V k V k
(5.49a) (5.49b)
Funct¸ia Green-Matsubara a sistemului liber are, prin definit¸ie, urm˘atoarea expresie: 0 ′ ′ Gσσ ˆ0 Tτ ψˆσK¯ 0 (r, τ ) ψˆσ† K¯ 0 (r′ , τ ′ ) ′ (r, τ ; r , τ ) = − Tr ̺ = − θ(τ − τ ′ ) Tr ̺ˆ0 ψˆσK¯ 0 (r, τ ) ψˆσ† K¯ 0 (r′ , τ ′ ) ∓ θ(τ ′ − τ ) Tr ̺ˆ0 ψˆσ† K¯ 0 (r′ , τ ′ ) ψˆσK¯ 0 (r, τ ) .
Prima urm˘a operatorial˘ a (medie grand-canonic˘a) se evalueaz˘ a prin utilizarea expresiilor operatorilor de cˆ amp Heisenberg termici (5.49), ¸si apoi a mediei grand-canonice a produsului de operatori elementari (5.47), astfel ˆıncˆ at rezult˘a: 1 X i(k·r−k′ ·r′ )−(ωk τ −ωk′ τ ′ ) Tr ̺ˆ0 cˆkσ cˆ†k′ σ′ Tr ̺ˆ0 ψˆσK¯ 0 (r, τ ) ψˆσ† K¯ 0 (r′ , τ ′ ) = e V ′ k,k
1 X i(k·r−k′ ·r′ )−(ωk τ −ωk′ τ ′ ) = δk,k′ δσ,σ′ (1 ± n0kσ ) e V ′ k,k
1 X ik·(r−r′ )−ωk (τ −τ ′ ) e = (1 ± n0kσ ) δσ,σ′ ; V k
Cea de-a doua urm˘a operatorial˘ a se evalueaz˘ a ˆın mod similar ce precedenta, prin utilizarea expresiilor operatorilor de cˆ amp Heisenberg termici (5.49), ¸si apoi a mediei grand-canonice a produsului de operatori elementari (5.46), astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: 1 X i(k·r−k′ ·r′ )−(ωk τ −ωk′ τ ′ ) Tr ̺ˆ0 cˆ†k′ σ′ cˆkσ e Tr ̺ˆ0 ψˆσ† K¯ 0 (r′ , τ ′ ) ψˆσK¯ 0 (r, τ ) = V ′ k,k
1 X i(k·r−k′ ·r′ )−(ωk τ −ωk′ τ ′ ) = δk,k′ δσ,σ′ n0kσ e V ′ k,k
1 X ik·(r−r′ )−ωk (τ −τ ′ ) 0 = e nkσ δσ,σ′ ; V k
Pe baza rezultatelor anterioare se obt¸ine expresia funct¸iei Green-Matsubara ˆın spat¸iul pozit¸iipseudo-timpi: 0 ′ ′ Gσσ ′ (r, τ ; r , τ ) = δσ,σ ′
−1 X ik·(r−r′ )−ωk (τ −τ ′ ) θ(τ − τ ′ ) (1 ± n0kσ ) ± θ(τ ′ − τ ) n0kσ . (5.50) e V k
Se observ˘ a c˘ a funct¸ia Green-Matsubara liber˘a este de forma 0 0 ′ ′ ′ ′ Gσσ ′ (r, τ ; r , τ ) = δσ,σ ′ G (r − r , τ − τ ) ,
adic˘a satisface propriet˘ a¸tile generale de simetrie ale funct¸iei Green-Matsubara, iar partea scalar˘a este −1 X ik·r−ωk τ e G 0 (r, τ ) = θ(τ ) (1 ± n0kσ ) ± θ(−τ ) n0kσ . V k
Datorit˘ a dependent¸ei de diferent¸ele coordonatelor spat¸iale ¸si diferent¸a pseudo-timpilor funct¸ia Green-Matsubara liber˘ a este dezvoltabil˘ a Fourier, conform relat¸iei generale (5.28): 0 ′ ′ Gσσ ′ (r, τ ; r τ ) =
∞ 1 X 1 X ik·(r−r′ )−iωn (τ −τ ′ ) e0 e Gσσ′ (k, ωn ) . V ~β n=−∞ k
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
364
Transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara liber˘a se calculeaz˘a cu formula general˘a (5.29) 0 Geσσ ′ (k, ωn ) =
=
Z
3
d r
~β 0 dτ e−ik·r+iωn τ Gσσ ′ (r, τ )
0
V
Z
Z
d3 r
V
Z
~β
dτ e−ik·r+iωn τ δσσ′
0
−1 X ik′ ·r−ωk′ τ θ(τ ) (1 ± n0k′ σ ) ± θ(−τ ) n0k′ σ e V ′ k
X 1 Z ′ = δσσ′ (−1) d3 r e i(k −k)·r V V k′ Z ~β Z × (1 ± n0k′ σ ) dτ θ(τ ) e(iωn −ωk′ )τ ± n0k′ σ 0
~β
dτ θ(−τ ) e
(iωn −ωk′ )τ
0
;
Cele 3 integrale care apar ˆın expresia anterioar˘ a se evalueaz˘ a astfel: 1. Z ′ 1 d3 r e i(k −k)·r = δ k,k′ , V V
a¸sa cu s-a ar˘ atat la deducerea reprezent˘ arii Lehmann pentru funct¸iile Green uni-particul˘a ˆın formalismul fermionic de temperatur˘a nul˘a, prin funct¸ia I(k); 2. Z ~β Z ~β e(iωn −ωk′ )~β − 1 e(iωn −ωk′ )τ τ =~β (iωn −ωk′ )τ = ; dτ θ(τ ) e = dτ e(iωn −ωk′ )τ = iωn − ω k′ τ =0 iωn − ωk′ 0 0 3.
Z
~β
dτ θ(−τ ) e(iωn −ωk′ )τ = 0 ,
0
pentru c˘ a funct¸ia Heaviside θ(−τ ) este nul˘a pe intervalul de integrare, care implic˘ a numai valori pozitive ale pseudo-timpului. Atunci, prin includerea rezultatelor integr˘arilor se obt¸ine: e(iωn −ωk )~β − 1 0 0 Geσσ ′ (k, ωn ) = δσσ ′ (−1)(1 ± nkσ ) iωn − ω k 1 0 = δσσ′ (1 ± nkσ ) 1 − e iωn ~β e−ωk ~β ; iωn − ω k
Num˘ arul mediu de particule pe o stare uni-particul˘a n0kσ este funct¸ia de distribut¸ie Bose-Einstein sau Fermi-Dirac, astrfel c˘ a rezult˘a: n0kσ =
1 e β(εk −µ)
∓1
=⇒
1 ± n0kσ =
1 e β(εk −µ) e β~ωk = , = β~ω k ∓ 1 e 1 ∓ e−β~ωk ∓1
e β(εk −µ)
a parte, ωn = (π/~β)n, unde n este par pentru bosoni ¸si impar unde ωk = (εk − µ)/~; pe de alt˘ pentru fermioni, astfel ˆıncˆ at ( e iπ2n = +1 bosoni iωn ~β e = =⇒ e iωn ~β = ±1 . e iπ(2n+1) = −1 fermioni Atunci, prin considerarea celor 2 observat¸ii precedente, rezult˘a (1 ± n0kσ ) 1 − e(iωn −ωk )~β =
1 1 − (±1) e−ωk ~β = 1 , −β~ω k 1∓e
astfel ˆıncˆ at expresia final˘a pentru transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara uni-particul˘a corespunz˘ atoare sistemului liber este
unde ω k ≡ (εk − µ)/~.
0 Geσσ ′ (k, ωn ) = δσσ ′
1 , iωn − ωk
(5.51)
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
365
B. Rezolvarea ecuat¸iei diferent¸iale Ecuat¸ia diferent¸ial˘a a funct¸iei Green-Matsubara pentru sistemul liber este relat¸ia (5.34)
~
−~2 2 ∂ 0 3 ′ ′ ′ ′ + ∇r − µ Gσσ ′ (r, τ ; r , τ ) = − ~ δσσ ′ δ (r − r ) δ(τ − τ ) . ∂τ 2m
Pentru rezolvarea acestei ecuat¸ii se utilizeaz˘a metoda transform˘arii Fourier, observˆand c˘ a ambii membrii ai ecuat¸iei diferent¸iale depind numai de diferent¸ele coordonatelor spat¸iale ¸si diferent¸a pseudo-timpilor. ˆIn membrul stˆ ang se efectueaz˘ a transformarea Fourier a funct¸iei Green-Matsubara liber˘a, conform relat¸iei (5.28): 0 ′ ′ Gσσ ′ (r, τ ; r , τ ) =
∞ 1 X 1 X ik·(r−r′ )−iωn (τ −τ ′ ) e0 e Gσσ′ (k, ωn ) , V ~β n=−∞ k
astfel ˆıncˆ at membrul stˆ ang al ecuat¸iei diferent¸iale devine:
~
∞ ∂ −~2 2 1 X 1 X ik·(r−r′ )−iωn (τ −τ ′ ) 0 ′ ′ + ∇r − µ Gσσ (r, τ ; r , τ ) = e ′ ∂τ 2m V ~β n=−∞ k ~2 k 2 0 × − i~ ωn + − µ Geσσ ′ (k, ωn ) . 2m
Pentru membrul drept se face apel la reprezent˘ ari Fourier ale funct¸iilor Dirac spat¸ial˘a ¸si pseudo-temporal˘ a. • Se utilizeaz˘ a urm˘atoarea identitate matematic˘a ∞ X
e 2πi x n = δ(x) ,
n=∞
pentru x ∈ (−1, 1) ; 2π n, se obt¸ine ~β 1 τ′ − τ = = δ(τ − τ ′ ); δ ~β ~β
atunci, pentru (τ − τ ′ ) ∈ (−~β, ~β) ˆın cazul bosonic ¸si cˆ and ωn = −τ 2π 1 X 2πi τ ′~β 1 X −iωn (τ −τ ′ ) 1 X −i ~β n(τ −τ ′ ) n = e = e e ~β n ~β n ~β n
pentru cazul fermionic cu acela¸si interval pseudo-temporal (τ − τ ′ ) ∈ (−~β, ~β) ¸si cˆ and 2π 1 (n + 2 ), se obt¸ine ωn = ~β ′ iπ ′ −τ 2π 1 X −i ~β 1 X −iωn (τ −τ ′ ) e− ~β (τ −τ ) X 2πi τ ~β (n+ 12 )(τ −τ ′ ) n e = e e = ~β n ~β n ~β n τ′ − τ iπ 1 − ~β (τ −τ ′ ) δ e = = δ(τ − τ ′ ) , ~β ~β
unde pentru ultima egalitate s-a utilizat identitatea f (x) δ(x − x0 ) = f (x0 ) δ(x − x0 ). Se observ˘ a c˘ a pentru ambele cazuri se obt¸ine acela¸si rezultat : 1 X −iωn (τ −τ ) e = δ(τ − τ ′ ) . ~β n
• Pentru funct¸ia Dirac spat¸ial˘a se utilizeaz˘a identitatea Z ∞ dk ikx e = δ(x) , −∞ 2π de unde rezult˘a δ 3 (r − r′ ) =
Z
d3 k ik·(r−r′ ) e 3 R3 (2π)
=
ante LT
1 X ik·(r−r′ ) e . V k
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
366
Atunci membrul drept al ecuat¸iei diferent¸iale are urm˘atoarea transformare Fourier: 1 X 1 X ik·(r−r′ )−iωn (τ −τ ′) − ~ δσσ′ δ 3 (r − r′ ) δ(τ − τ ′ ) = e (−~ δσσ′ ) . V ~β n k
Se substituie reprezent˘ arile Fourier pentru ambii membrii ai ecuat¸iei diferent¸iale, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine ∞ 1 X 1 X −ik·(r−r′ )−iωn (τ −τ ′ ) ~2 k 2 0 − µ Geσσ e − i~ωn + ′ (k, ωn ) V ~β n=−∞ 2m k 1 X 1 X ik·(r−r′ )−iωn (τ −τ ′ ) e (−~ δσσ′ ) . = V ~β n k
Deoarece sistemul Fourier este ortonormat, rezult˘a egalitatea coeficient¸ilor Fourier ~2 k 2 0 − i~ωn + − µ Geσσ ′ (k, ωn ) = −~ δσσ ′ , 2m astfel ˆıncˆ at se obt¸ine 1 0 Geσσ ′ (k, ωn ) = δσσ ′ , 1 ~2 k 2 −µ iωn − ~ 2m care este echivalent˘ a cu relat¸ia (5.51). C. Mediile grand-canonice ale observabilelor remarcabile pentru sistemul liber Se utilizeaz˘ a rezultatele generale obt¸inute anterior pentru num˘arul mediu de particule ¸si energia medie ˆın cazul unui sistem arbitrar ¸si se particularizeaz˘a aceste rezultate pentru sistemul liber, avˆand expresii explicite pentru funct¸ia Green-Matsubara liber˘a. C1. Calculul cu funct¸ia Green-Matsubara ˆın spat¸iul pozit¸ii-pseudo-timp Num˘ arul mediu de particule se obt¸ine din relat¸ia general˘a (5.36), care ˆın cazul sistemului liber devine Z Z X X
0 N 0 = ∓ d3 r Gσσ (r, τ ; r, τ + ) = ∓ d3 r δσ,σ G 0 (0, −η) ; σ
σ
Funct¸ia Green-Matsubara liber˘ a ˆın spat¸iul pozit¸ii-pseudo-timp are expresia (5.50), care pentru situat¸ia prezent˘ a devine: −1 X ω η 0 −1 X −1 X ωk η (1 ± n0k ) θ(−η) ± n0k θ(η) = e e k nk −→ (±n0k ) , G 0 (0, −η) = η→0 V V V k
k
k
deoarece θ(−η) = 0, θ(η) = 1 ¸si se poate efectua trecerea la limit˘a η → 0; ca urmare num˘arul mediu de particule este Z X
−1 X X N 0 = ∓ d3 r (±n0k ) = n0k . (5.52) V σ k
k,σ
Energia medie se obt¸ine ˆın mod similar, pe baza relat¸iei generale (5.39), ˆın care funct¸ia GreenMatsubara liber˘ a are expresia (5.50): Z X ∂
±1 ~2 2 0 + ∇ − µ ~ d3 r lim lim Gσσ (r, τ ; r′ , τ ′ ) E = r r′ →r τ ′ →τ 2 ∂τ 2m σ Z ∂ ±1 X ~2 2 3 = + ∇ − µ ~ d r lim lim r r′ →r τ ′ →τ 2 σ ∂τ 2m −1 X ik·(r−r′ )−ωk (τ −τ ′ ) × δσ,σ θ(τ − τ ′ ) (1 ± n0kσ ) ± θ(τ ′ − τ ) n0kσ e V k Z ∂ X ′ ′ ±1 ~2 2 −1 = ~ lim lim + ∇ − µ e ik·(r−r )−ωk (τ −τ ) θ(τ − τ ′ ) ± n0kσ ; d3 r r ′ ′ r →r τ →τ 2 V ∂τ 2m k,σ
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
367
se efectueaz˘ a operat¸iile de derivare, iar apoi se pot face trecerile la limit˘a r′ → r ¸si τ ′ → τ + η (unde ˆın final η → 0+ ), astfel ˆıncˆ at rezult˘a: ′ ′ ~2 2 ∂ + ∇r − µ e ik·(r−r )−ωk (τ −τ ) θ(τ − τ ′ ) ± n0kσ r →r τ →τ ∂τ 2m ∂ θ(τ − τ ′ ) ~2 k 2 ik·(r−r′ )−ω k (τ −τ ′ ) ′ 0 − ~ω k − = lim lim e − µ θ(τ − τ ) ± nkσ + ~ r′ →r τ ′ →τ 2m ∂τ i h 0 ωk η = lim e (−~ω k − εk − µ) θ(−η) ± nkσ + ~ δ(η) lim lim ′ ′
~
η→0+
= −2 εk (±n0k ) ,
unde pentru ultima egalitate s-a f˘ acut apel la urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: θ(−η) = 0, δ(η) = 0 ¸si −~ωk − εk − µ = −εk + µ − εk − µ = −2 εk . Atunci, prin utilizarea rezultatului anterior, energia medie devine: Z X
±1 X −1 (−2) εk (±n0k ) = d3 r εk n0k . (5.53) E = 2 V V k,σ
k,σ
C2. Calculul cu funct¸ia Green-Matsubara ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a Num˘ arul mediu de particule se obt¸ine din relat¸ia general˘a (5.42) ˆın care se utilizeaz˘a expresia transformatei Fourier a funct¸iei Green-Matsubara liber˘a (5.51): X
N =∓ lim k
η→0+
X 1 1 X iωn η X e0 1 X iωn η X e e δσσ Gσσ (k, ωn ) = ∓ lim η→0+ ~β ~β n iω n − ωk n σ σ k
=∓
X k,σ
lim
η→0+
1 X e iωn η . ~β n iωn − ωk
(5.54)
Energia medie se obt¸ine ˆın mod similar din relat¸ia general˘a (5.43)
∓1 X E = lim η→0+ 2 k ∓1 X = lim η→0+ 2 k ∓1 X lim = η→0+ 2 k,σ
X 1 X iωn η ~2 k 2 0 +µ Geσσ (k, ωn ) e i~ωn + ~β n 2m σ X 1 1 X iωn η e δσσ i~ωn + εk + µ ~β n iω n − ωk σ 1 X iωn η i~ωn + εk + µ ; e ~β n iωn − ω k
dar fract¸ia din expresia precedent˘ a se transform˘a astfel: i~ωn + εk + µ 2 εk iωn + (εk + µ)/~ 2 εk /~ =~+ =~ . =~ 1+ iωn − ω k iωn − (εk − µ)/~ iωn − ω k iωn − ω k
Atunci, energia medie devine
∓1 X 2 εk i 1 X iωn η h ~+ lim e E = η→0+ ~β 2 iωn − ωk n k,σ
∓~ X 1 X iωn η X εk 1 X iωn η = ; lim e ∓ e lim η→0+ ~β η→0+ ~β 2 iωn − ω k n n k,σ
k,σ
primul termen din expresia precedent˘ a este nul, deoarece lim
η→0+
1 X iωn η e = lim δ(−η) = 0 , η→0+ ~β n
astfel ˆıncˆ at expresia final˘a pentru energia medie este: X
E =∓ εk lim k,σ
η→0+
1 X e iωn η . ~β n iωn − ω k
(5.55)
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
368
C3. Suma dup˘ a frecvent¸e Din compararea rezultatelor obt¸inute ˆın spat¸iul pozit¸ii-pseudo-timp (5.52) – (5.53) cu rezultatele corespondente obt¸inute ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a (5.54) – (5.55) se obt¸ine urm˘atoatea relat¸ie: lim
η→0+
1 X iωn η e0 ∓1 1 X e iωn η , = ∓n0kσ = β~ω e G (k, ωn ) = lim k ∓ 1 η→0+ ~β ~β n iω − ω e n k n
(5.56)
numit˘a suma dup˘ a frecvent¸e a funct¸iei Green-Matsubara. Aceast˘a sum˘a dup˘a frecvent¸e se poate demonstra prin calcul direct, fiind un caz particular al urm˘atoarei egalit˘a¸ti matematice:
1 X e iωn η 1 lim = , β~x0 η→0+ ~β iω − x 1 ∓ e n 0 n
unde
Demonstrat¸ie:
2π pentru ωn = ~β n
−→ −
pentru ωn = 2π n + 1 −→ + 2 ~β
(5.57)
Pentru demonstrarea regulilor de sumare se vor utilza variante ale teoremei Jordan din teoria funct¸iilor de variabil˘ a complex˘ a, care este discutat˘ a ˆın Anexa matematic˘ a A.5. • Metoda de deducere a regulilor de sumare este urm˘ atoarea:
se determin˘ a o funct¸ie auxiliar˘ a de variabil˘ a complex˘ a, care satisface condit¸iile – suma reziduurilor funct¸iei este seria din regula de sumare, – integrala ˆın planul complex a funct¸iei auxiliare este calculabil˘ a.
2π n, iar seria (ˆınainte de trecerea la limit˘ a) este • ˆIn cazul bosonic frecvent¸ele sunt pare ωn = ~β 1 X e iωn η . ~β n iωn − x0
Sη = Funct¸ia auxiliar˘ a este
f (z) =
1 e ~βz
Aceast˘ a funct¸ie are urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti:
eηz . − 1 z − x0
– f (z) este o funct¸ie meromorf˘ a cu poli simpli: zx = x 0 ~βzn = i2πn
−→
zn = i
2π n = iωn . ~β
– Reziduurile funct¸iei ˆın poli sunt: Res f (zx ) =
e ηx −1
e ~βx
Res f (zn ) = (z − zn ) f (z)
z→zn
iωn η
=
= (z − zn )
e , ~β(iωn − x0 )
eηz e ηzn = e~βz − 1 z − x0 z→zn ~β e~βzn (zn − x) 1
unde pentru ultimul reziduu s-a calculat limita cu regula l’Hˆ opital ¸si s-a utilizat egalitatea ~βzn = i2πn . Din rezultatul precedent se obt¸ine X n
1 X e iωn η = Sη . Res f (zx ) = ~β n iωn − x
Se alege drept traiectorie de integrare, cercul centrat ˆın originea planului complex ¸si cu raza R, notat CR ; ˆın figura 5.1 este ilustrat cercul pe care se efectueaz˘ a integrarea ¸si sunt figurat¸i polii din
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
369 Imz
zn = iωn
C
zx = x0
Rez
Figura 5.1: Traiectoria de integrare pentru stabilirea regulii de sumare ˆın cazul bosonic. interior. Atunci integrala funct¸iei pe conturul ˆınchis C este egal˘ a cu suma reziduurilor din interior, astfel ˆıncˆ at la limita cercului de raz˘ a infinit˘ a se obt¸ine: lim
R→∞
I
∞ n e ηx0 h o X i Res f (zn ) = 2πi ~βx dz f (z) = 2πi Res f (zx ) + + Sη . e −1 CR n=−∞
Pe de alt˘ a parte, prin aplicarea lemei Jordan se arat˘ a c˘ a integrala precedent˘ a se anuleaz˘ a la limita cercului de raz˘ a infinit˘ a: I dz f (z) = 0 ; lim R→∞
CR
ˆın consecint¸˘ a se obt¸ine suma seriei din regula de sumare (ˆınainte de trecerea la limit˘ a η → 0): e ηx0 + Sη = 0 e~βx0 − 1
=⇒
Sη =
e ηx0 . 1 − e~βx0
Pentru a ar˘ ata c˘ a integrala pe cercul CR se anuleaz˘ a la limita R → ∞ se procedeaz˘ a astfel. – Funct¸ia f (z) se exprim˘ a ˆın mod explicit ˆın raport cu p˘ art¸ile real˘ a ¸si imaginar˘ a ale variabilei complexe z = x + iy f (z) ≡
1 e~βz
eηz eηx eiηy = ~βx i~βy . − 1 z − x0 e e − 1 (x − x0 + iy)
Din expresia precedent˘ a se observ˘ a c˘ a funct¸ia f (z) are comport˘ ari diferite la infinit (ˆın planul complex) ˆın funct¸ie de semnul p˘ art¸ii reale a variabilei, adic˘ a x; ca urmare integrala pe cercul C se descompune ˆın integrala pe semicercul pentru care x > 0 ¸si integrala pe semicercul pentru care x < 0: I Z Z dz f (z) = dz f (z) + dz f (z) . + CR
CR
− CR
– Pe semicercul cu valori pozitive pentru x se prelucreaz˘ a funct¸ia f (z) astfel: f (z) =
1 1 e−(~β−η)z ≡ g1 (z) e−λ1 z , z − x0 1 − e−~νz
1 1 ¸si λ1 = ~β − η > 0. z − x0 1 − e−~νz + Se observ˘ a c˘ a funct¸ia g1 (z) se comport˘ a pe semicercul CR , la valori mari ale razei, ˆın forma: 1 1 1 1 1 1 g1 (z) = 1 ≈ ; = < z − x0 1 − e−~νz z − x0 1 − e−~βx e−i~βy |z| 1 − e−i~βy |z|
unde g1 (z) ≡
+ ca urmare, funct¸ia g1 (z) converge uniform c˘ atre valoarea nul˘ a pe semicercul CR , cˆ and raza cre¸ste la infinit (R → ∞). Atunci, conform lemei Jordan varianta II (prezentat˘ a ˆın Anexa matematic˘ a A.5), integrala tinde la zero: Z dz g1 (z) e−λ1 z −→ 0 . +
CR
R→∞
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
370
– Pe semicercul cu valori negative pentru x funct¸ia f (z) se prelucreaz˘ a ˆın mod similar: f (z) =
1 1 e ηz ≡ g2 (z) e−λ2 z , z − x0 e ~νz − 1
1 1 ¸si λ2 = η > 0. z − x0 e ~νz − 1 − Se observ˘ a c˘ a funct¸ia g2 (z) se comport˘ a pe semicercul CR , la valori mari ale razei, ˆın forma: 1 1 1 1 1 1 g2 (z) = 1 ≈ ; = < ~νz ~βx i~βy z − x0 e −1 z − x0 e e −1 |z| e i~βy − 1 |z| unde g2 (z) ≡
− ca urmare, funct¸ia g2 (z) converge uniform c˘ atre valoarea nul˘ a pe semicercul CR , cˆ and raza cre¸ste la infinit (R → ∞). Atunci, conform lemei Jordan varianta I (prezentat˘ a ˆın Anexa matematic˘ a A.5), integrala tinde la zero: Z dz g2 (z) e−λ2 z −→ 0 . R→∞
− CR
ˆIn concluzie, deoarece pe ambele semicercuri integralele tind c˘ atre valori nule, integrala total˘ a devine nul˘ a cˆ and raza cercului cre¸ste la valoarea infinit˘ a. 2π n + 12 , iar seria (ˆınainte de trecerea la limit˘ a) • ˆIn cazul fermionic frecvent¸ele sunt impare ωn = ~β este 1 X e iωn η Sη = . ~β n iωn − x0 Funct¸ia auxiliar˘ a este
h(z) =
1 e~βz
Aceast˘ a funct¸ie are urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti:
eηz . + 1 z − x0
– h(z) este o funct¸ie meromorf˘ a cu poli simpli: zx = x 0
−→
~βzn = iπ(2n + 1)
zn = i
2π (n + 12 ) = iωn . ~β
– Reziduurile funct¸iei ˆın poli sunt: Res h(zx ) =
e ηx −1
e~βx
Res h(zn ) = (z − zn ) h(z)
z→zn
= (z − zn )
iωn η
=−
e , ~β(iωn − x0 )
eηz e ηzn = e~βz + 1 z − x0 z→zn ~β e~βzn (zn − x) 1
unde pentru ultimul reziduu s-a calculat limita cu regula l’Hˆ opital ¸si s-a utilizat egalitatea ~βzn = i2π(n + 21 ), astfel ˆıncˆ at e~βzn = −1. Din rezultatul precedent se obt¸ine X n
1 X e iωn η = −Sη . Res h(zx ) = − ~β n iωn − x
Se alege drept traiectorie de integrare, cercul centrat ˆın originea planului complex ¸si cu raza R, notat CR ; ˆın figura 5.2 este ilustrat cercul pe care se efectueaz˘ a integrarea ¸si sunt figurat¸i polii din interior. Atunci integrala funct¸iei pe conturul ˆınchis C este egal˘ a cu suma reziduurilor din interior, astfel ˆıncˆ at la limita cercului de raz˘ a infinit˘ a se obt¸ine: I ∞ o n e ηx0 h X i − Sη . Res h(zn ) = 2πi ~βx dz h(z) = 2πi Res h(zx ) + lim R→∞ C e +1 R n=−∞ Pe de alt˘ a parte, prin aplicarea lemei Jordan se arat˘ a c˘ a integrala precedent˘ a se anuleaz˘ a la limita cercului de raz˘ a infinit˘ a: I dz h(z) = 0 ; lim R→∞
CR
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
371 Imz
zn = iωn
C
zx = x0
Rez
Figura 5.2: Traiectoria de integrare pentru stabilirea regulii de sumare ˆın cazul fermionic. Demonstrat¸ia este similar˘ a cu cea din cazul bosonic, astfel c˘ a se omite prezentarea acestui caz. ˆın consecint¸˘ a se obt¸ine suma seriei din regula de sumare (ˆınainte de trecerea la limit˘ a η → 0): e ηx0 − Sη = 0 +1
e~βx0
5.2.5
=⇒
Sη =
e ηx0 . 1 + e~βx0
Calculul perturbat¸ional al funct¸iei Green-Matsubara
A. Contract¸ii termice ¸si teorema Bloch-De Dominicis Contract¸ia termic˘ a dintre doi operatori Dirac termici este, prin definit¸ie, media grand-canonic˘a liber˘a a produsului cronologic termic al operatorilor Dirac termici considerat¸i:
ˆK¯ (τ ′ )] . ˆK¯ (τ ′ )] = Tr ̺ˆ0 Tτ [ AˆK¯ (τ ) B A(τ ) B(τ ′ ) = Tτ [ AˆK¯ 0 (τ ) B (5.58) 0 0 0 0 def.
Se observ˘ a c˘ a definit¸ia contract¸iei termice este similar˘ a cu definit¸ia valorii contract¸iei din formalismul de temperatur˘a nul˘a fermionic, adic˘a:
ˆ |Ψ0 i − hΨ0 | N[Aˆ B ˆ ]|Ψ0 i = hΨ0 | T[Aˆ B] ˆ |Ψ0 i = T[Aˆ B] ˆ . AB = hΨ0 | T[Aˆ B] 0 Conform definit¸iei, contract¸iile termice au urm˘atoarele propriet˘ a¸ti (care sunt similare cu propriet˘ a¸tile contract¸iilor din formalismul de temperatur˘a nul˘a): 1. distributivitate fat¸˘ a de adunare, 2. dac˘ a se consider˘ a operatori elementari (sau operatori de cˆ amp), atunci contract¸ia este comutativ˘a pentru operatori bosonici ¸si respectiv anti-comutativ˘a pentru operatori fermionici. Operatorii elementari ˆın formularea Dirac termic˘ a au expresiile (5.48) cˆkσK¯ 0 (τ ) = e−ωk τ cˆkσ εk − µ , ωk = ; cˆ†kσK¯ 0 (τ ) = e ωk τ cˆ†kσ ~
atunci, utilizˆand valorile medii grand-canonice pentru produse ale operatorilor elementari, date de relat¸iile (5.46) – (5.47) se obt¸in valorile contract¸iilor operatorilor elementari: ckσ (τ ) ck′ σ′ (τ ′ ) = Tr ̺ˆ0 Tτ [ cˆkσK¯ 0 (τ ) cˆk′ σ′ K¯ 0 (τ ′ ) ]
′ = e−ωk τ −ωk′ τ θ(τ − τ ′ ) c kσ c k′ σ′ 0 ± θ(τ ′ − τ ) c k′ σ′ c kσ 0 | {z } {z } | =0
=0
=0;
(5.59a)
c†kσ (τ ) c†k′ σ′ (τ ′ ) = Tr ̺ˆ0 Tτ [ cˆ†kσK¯ 0 (τ ) cˆ†k′ σ′ K¯ 0 (τ ′ ) ]
′ = e−ωk τ −ωk′ τ θ(τ − τ ′ ) c†kσ c†k′ σ′ 0 ± θ(τ ′ − τ ) c†k′ σ′ c†kσ 0 | {z } {z } | =0
=0;
=0
(5.59b)
372
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA ckσ (τ ) c†k′ σ′ (τ ′ ) = Tr ̺ˆ0 Tτ [ cˆkσK¯ 0 (τ ) cˆ†k′ σ′ K¯ 0 (τ ′ ) ]
′ = e−ωk τ −ωk′ τ θ(τ − τ ′ ) c kσ c†k′ σ′ 0 ± θ(τ ′ − τ ) c†k′ σ′ c kσ 0 | {z } {z } | = δk,k′ δσσ′ e−ωk
(τ −τ ′ )
= δk,k′ δσσ′ (1±n0kσ )
(1 ± n0kσ ) θ(τ − τ ′ ) ± n0kσ θ(τ ′ − τ ) ;
c†kσ (τ ) ck′ σ′ (τ ′ ) = Tr ̺ˆ0 Tτ [ cˆ†kσK¯ 0 (τ ) cˆk′ σ′ K¯ 0 (τ ′ ) ]
′ = e−ωk τ −ωk′ τ θ(τ − τ ′ ) c†kσ c k′ σ′ 0 ± θ(τ ′ − τ ) | {z } = δk,k′ δσσ′ e−ωk (τ −τ
′
)
= δk,k′ δσσ′ n0kσ
= δk,k′ δσσ′ n0kσ
(5.59c)
c k′ σ′ c†kσ 0 | {z }
= δk,k′ δσσ′ (1±n0kσ )
n0kσ θ(τ − τ ′ ) ± (1 ± n0kσ ) θ(τ ′ − τ ) ;
(5.59d)
Deoarece operatorii de cˆ amp ˆın formularea Heisenberg termic˘ a se exprim˘ a ˆın termeni de operatori elementari, conform relat¸iilor (5.49), prin utilizarea contract¸iilor operatorilor elementari, se obt¸in contract¸iile operatorilor de cˆ amp: ψσ (r, τ ) ψσ′ (r′ , τ ′ ) =
1 X i(k·r+k′ ·r′ ) ckσ (τ ) ck′ σ′ (τ ′ ) = 0 , e V ′
(5.60a)
k,k
ψσ† (r, τ ) ψσ† ′ (r′ , τ ′ ) =
1 X −i(k·r+k′ ·r′ ) † e ckσ (τ ) c†k′ σ′ (τ ′ ) = 0 , V ′
(5.60b)
k,k
ψσ (r, τ ) ψσ† ′ (r′ , τ ′ ) =
1 X i(k·r−k′ ·r′ ) e ckσ (τ ) c†k′ σ′ (τ ′ ) V ′ k,k
=
δσσ′ X ik·(r−r′ )−ωk (τ −τ ′ ) (1 ± n0kσ ) θ(τ − τ ′ ) ± n0kσ θ(τ ′ − τ ) , e V k
(5.60c)
1 X i(−k·r+k′ ·r′ ) † ψσ† (r, τ ) ψσ′ (r′ , τ ′ ) = ckσ (τ ) ck′ σ′ (τ ′ ) e V ′ k,k
δσσ′ X −ik·(r−r′ )+ωk (τ −τ ′ ) 0 = nkσ θ(τ − τ ′ ) ± (1 ± n0kσ ) θ(τ ′ − τ ) , e V k
(5.60d)
Pe de alt˘ a parte, ultimile 2 contract¸ii se reduc la funct¸ii Green-Matsubara, ceea ce se verific˘a ¸si prin compararea expresiilor din relat¸iile (5.60c) – (5.60d) cu expresia (5.50): 0 ′ ′ ψσ (r, τ ) ψσ† ′ (r′ , τ ′ ) = Tr ̺ˆ0 Tτ ψˆσK¯ 0 (r, τ ) ψˆσ† K¯ 0 (r′ , τ ′ ) = − Gσσ ′ (r, τ ; r , τ ) , ψσ† (r, τ ) ψσ′ (r′ , τ ′ ) = Tr ̺ˆ0 Tτ ψˆσ† K¯ 0 (r, τ ) ψˆσK¯ 0 (r′ , τ ′ ) = ∓ Gσ0′ σ (r′ , τ ′ ; r, τ ) .
(5.61a) (5.61b)
Din relat¸iile (5.60) – (5.61) se observ˘a urm˘atoarea proprietate a contract¸iilor operatorilor de cˆ amp: – contract¸iile ˆıntre operatori de cˆ amp de acela¸si tip (ambii sunt operatori de anihilare, sau ambii sunt operatori de creare) sunt nule; – contract¸iile ˆıntre operatori de cˆ amp de tip diferit (unul este operator de anihilare, iar cel˘ alalt este operator de creare) sunt egale, pˆ an˘a la un semn, cu funct¸ia Green-Matsubara. Important¸a contract¸iilor termice este relevat˘a de urm˘atoarea teorem˘a, care st˘a la baza calculului de perturbat¸ie: Teorema Bloch – De Dominicis (numit˘a de asemenea Teorema Wick termic˘ a) Media grand-canonic˘ a pe sistemul liber a unui produs cronologic de operatori de cˆ amp ˆın formularea Dirac termic˘ a este egal cu suma tuturor contract¸iilor termice totale ale operatorilor din respectivul produs:
ˆ a ), B(τ ˆ b ), . . . , Z(τ ˆ z) , ˆ a ) · B(τ ˆ b ) · · · Z(τ ˆ z ) ] = C A(τ (5.62) Tτ [ A(τ 0
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
373
unde ˆ ˆ ˆ amp ˆın formularea Dirac termic˘ a (ˆın num˘ar par),
A(τa ), B(τb ), . . . , Z(τz ) sunt operatori de cˆ · · · 0 = Tr{̺ˆ0 · · · } este media grand-canonic˘a pe sistemul liber, C{· · · } este suma tuturor contract¸iilor termice totale ale operatorilor de cˆ amp component¸i. Observat¸ii: • ˆIn operat¸ia de sumare peste toate contract¸iile posibile C{· · · }, la aducerea operatorilor contractat¸i ˆın pozit¸ii vecine (prin permut˘ari peste operatorii intermediari) – operatorii bosonici sunt comutativi, – operatorii fermionici sunt anti-comutativi. • Operat¸iile de ordonare cronologic˘ a Tτ [· · · ] ¸si contractare total˘ a C{· · · } sunt operat¸ii distributive. • Teorema Bloch - De Dominicis este analoag˘a cu teorema Wick mediat˘a pe starea fundamental˘ a. Demonstrat¸ie: • Se consider˘ a relat¸ii ˆıntre operatorii elementari pentru cazul particular cˆ and τ > τ ′ ; ˆın aceste condit¸ii se obt¸in urm˘ atoarele rezultate: – Din relat¸iile (5.59) rezult˘ a contract¸iile ˆıntre operatorii elementari: ckσ (τ ) ck′ σ ′ (τ ′ ) = c†kσ (τ ) c†k′ σ ′ (τ ′ ) = 0 , ckσ (τ ) c†k′ σ ′ (τ ′ ) = δk,k′ δσσ ′ e−ωk (τ −τ
′
)
c†kσ (τ ) ck′ σ ′ (τ ′ ) = δk,k′ δσσ ′ e−ωk (τ −τ
′
)
(1 ± n0kσ ) , n0kσ ;
ˆın expresiile anterioare apar m˘ arimile e β~ωk 1 1 = β~ω = k ∓ 1 e β~ωk ∓ 1 e 1 ∓ e−β~ωk 1 ∓1 = β~ω = k ∓ 1 e 1 ∓ e β~ωk
(1 ± n0kσ ) = 1 ± n0kσ
astfel ˆıncˆ at se pot scrie contract¸iile precedente ˆın forma ckσ (τ ) ck′ σ ′ (τ ′ ) = c†kσ (τ ) c†k′ σ ′ (τ ′ ) = 0 , ckσ (τ ) c†k′ σ ′ (τ ′ ) = δk,k′ δσσ ′ e−ωk (τ −τ
′
)
c†kσ (τ ) ck′ σ ′ (τ ′ ) = δk,k′ δσσ ′ e−ωk (τ −τ
′
)
1 , 1 ∓ e−β~ωk ∓1 . 1 ∓ e β~ωk
– Operatorii elementari ˆın descrierea Dirac termic˘ a au expresiile (5.48) (
cˆkσ K¯ 0 (τ ) = e−ωk τ cˆkσ , cˆ†kσ K¯ (τ ) = e ωk τ cˆ†kσ ; 0
din care rezult˘ a relat¸iile de comutare
cˆkσ K¯ 0 (τ ) , cˆk′ σ ′ K¯ 0 (τ ′ ) cˆkσ K¯ 0 (τ ) ,
∓
∓
cˆ†k′ σ ′ K¯ (τ ′ ) ∓ 0
cˆ†kσ K¯ (τ ) , cˆk′ σ ′ K¯ 0 (τ ′ ) 0
0, = cˆ†kσ K¯ (τ ) , cˆ†k′ σ ′ K¯ (τ ′ ) ∓ = ˆ 0
0
−ω k (τ −τ ′ )
= δk,k′ δσσ ′ e
ˆ 1,
= ∓ δk,k′ δσσ ′ e−ωk (τ −τ
′
)
ˆ 1,
unde s-au utilizat relat¸iile de comutare ale operatorilor elementari ˆın formularea Schr¨ odinger (2.80).
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
374
– Prin compararea expresiilor anterioare ale contract¸iilor (pentru cazul τ > τ ′ ) ¸si ale relat¸iilor de comutare, rezult˘ a: ∓ τ >τ ′ † cˆkσ K¯ (τ ) , cˆ†k′ σ ′ K¯ (τ ′ ) ∓ τ >τ ′ 0 0 cˆkσ K¯ 0 (τ ) , cˆ†k′ σ ′ K¯ (τ ′ ) ∓ τ >τ ′ 0 † cˆkσ K¯ (τ ) , cˆk′ σ ′ K¯ 0 (τ ′ ) ∓ τ >τ ′
cˆkσ K¯ 0 (τ ) , cˆk′ σ ′ K¯ 0 (τ ′ )
0
1=ˆ 0, = 1 ∓ e−β~ωk ckσ (τ ) ck′ σ ′ (τ ′ ) ˆ † β~ωk † ′ ˆ = 1∓e ckσ (τ ) ck′ σ ′ (τ ) 1 = ˆ 0, = 1 ∓ e−β~ωk ckσ (τ ) c†k′ σ ′ (τ ′ ) ˆ 1, β~ωk † ′ ˆ = 1∓e ckσ (τ ) ck′ σ ′ (τ ) 1 .
– Operatorii elementari ˆın formularea Dirac termic˘ a comut˘ a cu operatorul statistic al sistemului ˆ liber ̺ˆ0 = e−β K0 /Z0 conform relat¸iilor: τ ˆ
ˆ
ˆ
τ ˆ
cˆkσ K¯ 0 (τ ) ̺ˆ0 = e ~ K0 cˆkσ e− ~ K0
τ ˆ e−β K0 τ~ Kˆ 0 β Kˆ 0 e−β K0 ˆ = e e cˆkσ e− ~ K0 e−β K0 | {z } Z0 Z0
=c ˆkσK ¯ (~β) 0
ˆ0 −β K
=
e
Z0 −β~ωk
=e τ ˆ
ˆ
τ ˆ
cˆ†kσ K¯ (τ ) ̺ˆ0 = e ~ K0 cˆ†kσ e− ~ K0 0
e−β~ωk e |
τK ˆ ~ 0
ˆ
cˆkσ e−β K0 {z }
=c ˆkσK ¯ (τ ) 0
̺ˆ0 cˆkσ K¯ 0 (τ ) ,
ˆ
e−β K0 e−β K0 τ~ Kˆ 0 β Kˆ 0 † − ~τ Kˆ 0 −β Kˆ 0 e e cˆkσ e = e Z0 Z0 | {z } † ¯ (~β) kσK 0
=c ˆ
ˆ
=
e−β K0 β~ωk ~τ Kˆ 0 † −β Kˆ 0 e cˆkσ e e Z0 {z } | † ¯ (τ ) kσK 0
=c ˆ
= e β~ωk ̺ˆ0 cˆ†kσ K¯ (τ ) . 0
– Rezultatele anterioare se pot exprima ˆın notat¸ie condensat˘ a, astfel ˆıncˆ at s˘ a se includ˘ a ambele tipuri de operatori (atˆ at de anihilare, cˆ at ¸si de creare) prin acelea¸si formule; astfel se introduc ( cˆkσ α ˆj = , (notat¸ie comun˘ a pentru operatorii elementari) cˆ†kσ ( −1 , pentru cˆkσ λj = +1 , pentru cˆ†kσ ωj = ω ¯k ; atunci operatorii elementari ˆın formularea Dirac termic˘ a se scriu ( ) cˆkσ K¯ 0 (τ ) = e−ωk τ cˆkσ α ˆ j (τ ) = = e λ j ωj τ α ˆj cˆ†kσ K¯ (τ ) = e ωk τ cˆ†kσ 0
¸si relat¸iile de comutare/anti-comutare precedente se scriu 1, α ˆ j (τ ) , α ˆ l (τ ′ ) ∓ = 1 ∓ e λj ~βωj αj (τ ) αl (τ ′ ) ˆ ′ τ >τ
α ˆ j (τ ) ̺ˆ0 = e λj β~ωj ̺ˆ0 α ˆ j (τ ) .
ˆIn mod similar se exprim˘ a prin notat¸ie comun˘ a operatorii de cˆ amp: ( ϕk (r) , pentru cˆkσ χj = ϕ∗k (r) , pentru cˆ†kσ X ˆ ϕk (r) cˆkσ K¯ 0 (τ ) X ψσ K¯ 0 (r, τ ) = k ˆ X χj α ˆ j (τ ) . = A(τ ) = † † ∗ ˆ ϕk (r) cˆkσ K¯ (τ ) j ψσ K¯ 0 (r, τ ) = 0 k
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
375
• Cu ajutorul relat¸iilor condensate prezentate anterior se poate demonstra teorema Bloch – De Dominicis; pentru aceasta se observ˘ a c˘ a este suficient s˘ a se considere cazul cˆ and operatorii sunt ordonat¸i ˆın raport cu variabilele pseudo-temporale, adic˘ a s˘ a se presupun˘ a c˘ a ˆın relat¸ia (5.62) sunt satisf˘ acute inegalit˘ a¸tile: τa ≥ τb ≥ · · · ≥ τz , deoarece ˆın caz contrar se efectueaz˘ a permut˘ ari ˆın ambii membrii ai egalit˘ a¸tii (5.62) pentru a obt¸ine ordon˘ arile dorite ¸si apare acela¸si factor de semn, care se poate simplifica ulterior; ca urmare, membrul stˆ ang ale relat¸iei (5.62) se scrie ˆın urm˘ atoarea form˘ a:
ˆ a ) · B(τ ˆ b ) · · · Z(τ ˆ z ) ] = A(τ ˆ a ) · B(τ ˆ b ) · · · Z(τ ˆ z) Tτ [ A(τ 0 0 X ˆ jz (τz ) . χja χjb . . . χjz Tr ̺ˆ0 α ˆ ja (τa ) α ˆ jb (τb ) · · · α = ja ,jb ,··· ,jz
• Comutatorul/anti-comutatorul dintre doi operatori elementari este ˆ j (τ ) , ˆ j ′ (τ ′ ) α ˆ j (τ ) α ˆ j ′ (τ ′ ) ∓ α α ˆ j (τ ) , α ˆ j ′ (τ ′ ) ∓ ≡ α
de unde rezult˘ a, pentru cazul cˆ and τ > τ ′ , exprimarea comut˘ arii celor doi operatori cu ajutorul contract¸iei dintre ace¸sti operatori: ˆ j (τ ) ˆ j ′ (τ ′ ) α ˆ j (τ ) , α ˆ j ′ (τ ′ ) ∓ ± ∓α α ˆ j (τ ) α ˆ j ′ (τ ′ ) = α = 1 ∓ e λj ~βωj αj (τ ) αl (τ ′ ) ˆ ˆ j (τ ) . 1 ± ∓α ˆ j ′ (τ ′ ) α
Se aplic˘ a rezultatul precedent pentru comutarea primului operator elementar din stˆ anga, adic˘ a α ˆ ja (τa ) peste vecinul s˘ au din dreapta α ˆ jb (τb ): ˆ jc (τc ) · · · α Tr ̺ˆ0 α ˆ ja (τa ) α ˆ jz (τz ) ˆ jb (τb ) α ˆ jc (τc ) · · · α ˆ jz (τz ) = 1 ∓ e λja ~βωja Tr ̺ˆ0 αja (τa ) αjb (τb ) α ˆ ja (τa ) α ˆ jc (τc ) · · · α ± Tr ̺ˆ0 α ˆ jb (τb ) α ˆ jz (τz ) ;
se continu˘ a operat¸ie anterioar˘ a ¸si se comut˘ a ˆın mod succesiv operatorul α ˆ ja (τa ) c˘ atre dreapta, peste tot¸i ceilalt¸i operatori elementari, astfel ˆıncˆ at rezult˘ a nz termeni (unde nz este num˘ arul de operatori elementari din setul considerat): ˆ jc (τc ) · · · α ˆ jz (τz ) Tr ̺ˆ0 α ˆ ja (τa ) α ˆ jb (τb ) α = 1 ∓ e λja ~βωja Tr ̺ˆ0 αja (τa ) αjb (τb ) α ˆ jc (τc ) · · · α ˆ jz (τz ) ˆ jb (τb ) αja (τa ) αjc (τc ) · · · α ± 1 ∓ e λja ~βωja Tr ̺ˆ0 α ˆ jz (τz ) ˆ jc (τc ) · · · α ˆ jy (τy ) αja (τa ) αjz (τz ) ˆ jb (τb ) α + . . . + (±1)nz −2 1 ∓ e λja ~βωja Tr ̺ˆ0 α ˆ jc (τc ) · · · α ˆ jz (τz ) α +(±1)nz −1 Tr ̺ˆ0 α ˆ jb (τb ) α ˆ ja (τa ) ;
ˆın ultimul termen obt¸inut anterior se utilizeaz˘ a proprietatea de invariant¸˘ a a urmei operatoriale ˆın raport cu o permutare circular˘ a a produsului de operatori, astfel ˆıncˆ at operatorul α ˆ ja (τa ) s˘ a ajung˘ a la stˆ anga, iar apoi se efectueaz˘ a comutarea acestui operator cu operatorul statistic ̺ˆ0 : ˆ jc (τc ) · · · α ˆ jz (τz ) α ˆ ja (τa ) = Tr α ˆ jc (τc ) · · · α Tr ̺ˆ0 α ˆ jb (τb ) α ˆ ja (τa ) ̺ˆ0 α ˆ jz (τz ) ˆ jb (τb ) α ˆ jc (τc ) · · · α ˆ ja (τa ) α ˆ jz (τz ) ˆ jb (τb ) α = e λja β~ωja Tr ̺ˆ0 α ¸si se observ˘ a c˘ a s-a obt¸inut o urm˘ a operatorial˘ a identic˘ a cu urma operatorial˘ a init¸ial˘ a.
Prin utilizarea ultimului rezultat se obt¸ine: ˆ jc (τc ) · · · α Tr ̺ˆ0 α ˆ ja (τa ) α ˆ jz (τz ) ˆ jb (τb ) α = 1 ∓ e λja ~βωja Tr ̺ˆ0 αja (τa ) αjb (τb ) α ˆ jc (τc ) · · · α ˆ jz (τz ) ˆ jb (τb ) αja (τa ) αjc (τc ) · · · α ± 1 ∓ e λja ~βωja Tr ̺ˆ0 α ˆ jz (τz ) ˆ jc (τc ) · · · α ˆ jy (τy ) αja (τa ) αjz (τz ) ˆ jb (τb ) α + . . . + (±1)nz −2 1 ∓ e λja ~βωja Tr ̺ˆ0 α ˆ jc (τc ) · · · α ˆ ja (τa ) α ˆ jz (τz ) . ˆ jb (τb ) α +(±1)nz −1 e λja β~ωja Tr ̺ˆ0 α
Pentru a avea un rezultat nenul (al egalit˘ a¸tii Bloch – De Dominicis) este necesar ca num˘ arul operatorilor de anihilare s˘ a fie egal cu num˘ arul operatorilor de creare, adic˘ a s-a presupus c˘ a num˘ arul de operatori nz este par ; ca urmare, factorul de semn al ultimului termen din relat¸ia anterioar˘ a este (±1)nz −1 = ±1. De asemenea, se utilizeaz˘ a definit¸ia contract¸iei pentru operatori nevecini ¸si se
376
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA rearanjeaz˘ a operatorii contractat¸i din interiorul urmelor operatoriale, astfel ˆıncˆ at ace¸sti operatori s˘ a fie ˆın aceea¸si ordonare ca ˆın situat¸ia init¸ial˘ a; atunci factorul de semn este absorbit ˆın operat¸ia de reordonare ¸si egalitatea anterioar˘ a devine: ˆ jc (τc ) · · · α Tr ̺ˆ0 α ˆ ja (τa ) α ˆ jz (τz ) ˆ jb (τb ) α ˆ jc (τc ) · · · α ˆ jz (τz ) = 1 ∓ e λja ~βωja Tr ̺ˆ0 αja (τa ) αjb (τb ) α ˆ jz (τz ) + 1 ∓ e λja ~βωja Tr ̺ˆ0 αja (τa ) α ˆ jb (τb ) αjc (τc ) · · · α ˆ jc (τc ) · · · αjz (τz ) + . . . + 1 ∓ e λja ~βωja Tr ̺ˆ0 αja (τa ) α ˆ jb (τb ) α ˆ jc (τc ) · · · α ˆ ja (τa ) α ˆ jz (τz ) . ˆ jb (τb ) α ± e λja β~ωja Tr ̺ˆ0 α
Se trece ultimul termen ˆın membrul stˆ ang ¸si se observ˘ a c˘ a cele dou˘ a urme operatoriale sunt identice, at se obt¸ine: iar ˆın membrul drept se extrage factorul comun 1 ∓ e λja ~βωja , astfel ˆıncˆ ˆ jc (τc ) · · · α ˆ ja (τa ) α ˆ jz (τz ) ˆ jb (τb ) α 1 ∓ e λja ~βωja Tr ̺ˆ0 α n λja ~βωja ˆ jc (τc ) · · · α ˆ jz (τz ) = 1∓e Tr ̺ˆ0 αja (τa ) αjb (τb ) α + Tr ̺ˆ0 αja (τa ) α ˆ jz (τz ) ˆ jb (τb ) αjc (τc ) · · · α o + . . . + Tr ̺ˆ0 αja (τa ) α ˆ jc (τc ) · · · αjz (τz ) ˆ jb (τb ) α ;
se simplific˘ a factorul comun al ambilor membri ¸si se obt¸ine n ˆ jc (τc ) · · · α ˆ jz (τz ) ˆ jc (τc ) · · · α Tr ̺ˆ0 α ˆ ja (τa ) α ˆ jz (τz ) = Tr ̺ˆ0 αja (τa ) αjb (τb ) α ˆ jb (τb ) α + Tr ̺ˆ0 αja (τa ) α ˆ jz (τz ) + . . . ˆ jb (τb ) αjc (τc ) · · · α o + Tr ̺ˆ0 αja (τa ) α ˆ jc (τc ) · · · αjz (τz ) ˆ jb (τb ) α ;
• ˆIn fiecare termen din membrul drept, care cont¸ine o contract¸ie, se extrage contract¸ia ˆın exteriorul urmei operatoriale Tr ̺ˆ0 . . . ¸si rezult˘ a un termen analog celui init¸ial, dar care cont¸ine nz − 2 operatori; apoi se repet˘ a procedeul pˆ an˘ a la obt¸inerea contract¸iilor totale (situat¸ia este posibil˘ a, pentru c˘ a s-a presupus c˘ a nz este un num˘ ar par). ˆIn final, partea necontractat˘ at media a este Tr ̺ˆ0 = 1, pentru fiecare termen considerat, astfel ˆıncˆ grand-canonic˘ a a produsului de operatori elementari ordonat¸i pseudo-cronologic este egal˘ a cu suma tuturor contract¸iilor totale posibile ˆıntre operatorii elementari ai setului considerat: ˆ jc (τc ) · · · α ˆ jc (τc ) , · · · , α Tr ̺ˆ0 α ˆ ja (τa ) α ˆ jz (τz ) = C α ˆ jz (τz ) . ˆ jb (τb ) α ˆ ja (τa ) , α ˆ jb (τb ) , α
• Pe baza rezultatului anterior se revine la media grand-canonic˘ a a produsului de operatori de cˆ amp (considerat¸i ordonat¸i pseudo-cronologic) ¸si pe baza propriet˘ a¸tii de distributivitate a operat¸iei ce contract¸ie se obt¸ine: X
ˆ a ) · B(τ ˆ b ) · · · Z(τ ˆ z) ] = ˆ jz (τz ) χja χjb . . . χjz Tr ̺ˆ0 α ˆ ja (τa ) α ˆ jb (τb ) · · · α Tτ [ A(τ 0 ja ,jb ,...,jz
=
X
ja ,jb ,...,jz
=C
nX ja
care este egalitatea (5.62).
ˆ jz (τz ) χja χjb . . . χjz C α ˆ ja (τa ) , α ˆ jb (τb ) , · · · , α
χja α ˆ ja (τa ) ,
X jb
ˆ jb (τb ) , · · · , χjb α
ˆ a ), B(τ ˆ b ), · · · , Z(τ ˆ z) , = C A(τ
X jz
χjz α ˆ jz (τz )
o
B. Analiza diagramatic˘ a ˆın spat¸iul pozit¸ii-pseudo-timpi B1. Dezvoltarea perturbativ˘a a funct¸iei Green-Matsubara uni-particul˘a Se consider˘ a un sistem constituit din particule identice (bosoni sau fermioni) cu interact¸ii mutuale; atunci, hamiltonianul sistemului este decompozabil ˆın parte liber˘a ¸si parte de interact¸ie: ˆ =H ˆ 0 + Vˆ , iar hamiltonianul grand-canonic, definit prin relat¸ia (5.10), are aceea¸si proprietate: H ˆ ≡H ˆ − µN ˆ =K ˆ 0 + Vˆ ; K
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
377
ˆ genereaz˘ hamiltonianul grand-canonic al sistemului cu interact¸ii (K) a formularea Heisenberg ˆ 0 ) genereaz˘ termic˘ a pentru operatori, conform relat¸iei (5.7), iar hamiltonianul sistemului liber (K a formularea Dirac termic˘ a pentru operatori, conform relat¸iei (5.11). Operatorul caracteristic Dirac termic U(τ, τ ′ ), definit prin formula (5.13), determin˘a relat¸ia ˆıntre operatorii corespondent¸i formul˘arilor Heisenberg ¸si Dirac termice, conform relat¸iei (5.15): ˆ 0) . ˆ τ ) · Aˆ ¯ (τ ) · U(τ, AˆK¯ (τ ) = U(0, K0 Dezvoltarea perturbativ˘a pentru m˘arimile caracteristice sistemului, ˆın formalismul de temperatur˘ a finit˘a, este determinat˘ a de seria perturbativ˘a a operatorului caracteristic Dirac dat˘a de relat¸ia (5.14): Z τ Z ∞ X 1 −1 n τ ˆ τ0 ) = dτn Tτ VˆK¯ 0 (τ1 ) · · · VˆK¯ 0 (τn ) . dτ1 · · · U(τ, n! ~ τ0 τ0 n=0 Operatorul statistic al sistemului cu interact¸ii (ˆ ̺) se exprim˘ a ˆın termeni de operatorul statistic al sistemului liber (ˆ ̺0 ) ¸si de operatorul caracteristic Dirac termic prin relat¸ia (5.16) ˆ 0) , ̺ˆ = e β(Ω−Ω0 ) ̺ˆ0 U(~β, unde Ω este potent¸ialul grand-canonic al sistemului cu interact¸ii, iar Ω0 este potent¸ialul grandcanonic al sistemului liber. O consecint¸˘ a important˘ a a dezvolt˘ arii perturbative pentru operatorul caracteristic Dirac termic (5.14) este seria de perturbat¸ie a potent¸ialului grand-canonic (5.17): Z ~β Z ∞ X
1 −1 m ~β e−β(Ω−Ω0 ) = dτm Tτ VˆK¯ 0 (τ1 ) · · · VˆK¯ 0 (τm ) 0 . dτ1 · · · m! ~ 0 0 m=0 Seria de perturbat¸ie pentru un produs cronologic de 2 operatori Heisenberg termici este dat˘a de teorema Feynman-Matsubara: ˆK¯ (τ ) · CˆK¯ (τ ′ )] Tr ̺ˆ Tτ [B (5.63) ′ τ,τ ∈[0,~β]
Z ~β Z ∞ X 1 −1 n ~β ˆK¯ (τ ) CˆK¯ (τ ′ ) , dτn Tr ̺ˆ0 Tτ VˆK¯ 0 (τ1 ) · · · VˆK¯ 0 (τn ) · B dτ1 · · · = eβ(Ω−Ω0 ) 0 0 n! ~ 0 0 n=0
unde pseudo-timpii τ ¸si τ ′ sunt definit¸i ˆın intervalul [ 0, ~β ]. Demonstrat¸ie simplificat˘ a:
ˆIn interiorul produsului cronologic operatorii Heisenberg termici se pot transforma ˆın operatori Dirac termici, conform relat¸iei (5.15) ˆ τ) B ˆ 0) · U(0, ˆ τ ′) C ˆ ′ , 0) ] ˆK¯ (τ ) · CˆK¯ (τ ′ ) ] = Tτ [ U(0, ˆK¯ (τ ) U(τ, ˆK¯ (τ ′ ) U(τ Tτ [ B 0 0 ˆ τ ) U(τ, ˆ 0) · B ˆ τ ′ ) U(τ ˆ ′ , 0) · C ˆK¯ (τ ) · U(0, ˆK¯ (τ ′ ) ] = Tτ [ U(0, 0
0
ˆK¯ (τ ) C ˆK¯ (τ ′ ) ] , = Tτ [ B 0 0
unde operatorii caracteristici cont¸in un num˘ ar par de operatori de cˆ amp, astfel ˆıncˆ at nu s-au introdus factori de semn la permut˘ ari ¸si apoi s-a utilizat proprietatea grupal˘ a a operatorului caracteristic ˆ τ ) U(τ, ˆ 0) = U(0, ˆ 0) = ˆ Dirac termic: U(0, 1. Atunci, media grand-canonic˘ a a produsului cronologic de operatori Heisenberg se poate exprima prin m˘ arimi corespondente ale sistemului liber, utilizˆ and rezultatul anterior ¸si relat¸ia (5.16): ˆK¯ (τ ) · CˆK¯ (τ ′ )] ˆ ˆK¯ (τ ) · C ˆK¯ (τ ′ ) ] ; Tr ̺ˆ Tτ [B = e β(Ω−Ω0 ) Tr ̺ˆ0 U(~β, 0) Tτ [ B 0 0 ′ τ,τ ∈[0,~β]
′
deoarece ~β > τ, τ , se poate introduce operatorul caracteristic Dirac termic ˆın interiorul produsului cronologic (la stˆ anga): ˆK¯ (τ ) · CˆK¯ (τ ′ )] ˆ ˆK¯ (τ ) · C ˆK¯ (τ ′ ) ] , Tr ̺ˆ Tτ [B = e β(Ω−Ω0 ) Tr ̺ˆ0 Tτ [ U(~β, 0) B 0 0 τ,τ ′ ∈[0,~β]
apoi se substituie acest operator prin seria sa perturbativ˘ a (5.14) ¸si se obt¸ine formula (5.63).
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
378
Dac˘ a se combin˘ a formula Feynman-Matsubara (5.63) cu formula de dezvoltare perturbativ˘a a potent¸ialului grand-canonic (5.17), se obt¸ine ˆK¯ (τ ) · CˆK¯ (τ ′ )] Tr ̺ˆ Tτ [B ′ τ,τ ∈[0,~β]
Z Z ~β ∞ X 1 −1 n ~β ˆK¯ (τ ) CˆK¯ (τ ′ ) dτ1 · · · dτn Tr ̺ˆ0 Tτ VˆK¯ 0 (τ1 ) · · · VˆK¯ 0 (τn ) · B 0 0 n! ~ 0 0 . = n=0 Z Z ~β ∞ ~β X 1 −1 m ˆ ˆ dτ1 · · · dτm Tr ̺ˆ0 Tτ VK¯ 0 (τ1 ) · · · VK¯ 0 (τm ) m! ~ 0 0 m=0
Funct¸ia Green-Matsubara uni-particul˘a, definit˘ a prin formula Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) = − Tr ̺ˆ Tτ ψˆσK¯ (r, τ ) · ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) ,
ˆ = ψˆ ¸si Cˆ = ψˆ† : se dezvolt˘ a ˆın serie de perturbat¸ie utilizˆand teorema Feynman-Matsubara cu B Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) Z ∞ X 1 −1 n =−
≡
n! n=0
∞ X
n=0
~
~β
0
dτ1 · · ·
Z
~β
0
dτn Tr ̺ˆ0 Tτ VˆK¯ 0 (τ1 ) · · · VˆK¯ 0 (τn ) ψˆσK¯ 0 (r, τ ) ψˆσ† ′ K¯ 0 (r′ , τ ′ )
Z Z ~β ∞ X 1 −1 m ~β dτ1 · · · dτm Tr ̺ˆ0 Tτ VˆK¯ 0 (τ1 ) · · · VˆK¯ 0 (τm ) m! ~ 0 0 m=0
(5.64)
(n)
G σσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) ∞ X
m=0
.
S (m)
Se observ˘ a c˘ a rezultatul este analog cu dezvoltarea perturbativ˘a a funct¸iei Green cauzal˘ a fermionic˘a ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a. ˆIn cazul cˆ and interact¸iile mutuale sunt bi-particul˘a, statice (nerelativiste) ¸si sunt absente cˆ ampuri externe, hamiltonianul de interact¸ie este de forma (ca operator Schr¨odinger) Z Z X 1 Vˆ = Vλµ,λ′ µ′ (r, r′ ) ψˆλ† (r) ψˆλ† ′ (r′ ) ψˆµ′ (r′ ) ψˆµ (r) , d3 r d3 r′ 2 ′ ′ λ,µ,λ ,µ
iar integrala pseudo-temporal˘ a, care intervine ˆın seria de perturbat¸ie, este Z ~β dτ · · · VˆK¯ 0 (τ ) 0
=
1 2
1 = 2
Z Z
Z Z d3 r d3 r′
~β
dτ
0
Z Z 3 3 ′ d r d r
0
X
· · · Vλµ,λ′ µ′ (r, r′ ) ψˆλ† K¯ 0 (r, τ ) ψˆλ† ′ K¯ 0 (r′ , τ ) ψˆµ′ K¯ 0 (r′ , τ ) ψˆµK¯ 0 (r, τ )
λ,µ,λ′ ,µ′ ~β
dτ
Z
~β
dτ ′ 0
X
λ,µ,λ′ ,µ′
· · · Vλµ,λ′ µ′ (r, r′ ) δ(τ − τ ′ )
× ψˆλ† K¯ 0 (r, τ ) ψˆλ† ′ K¯ 0 (r′ , τ ′ ) ψˆµ′ K¯ 0 (r′ , τ ′ ) ψˆµK¯ 0 (r, τ ) ;
(5.65a)
ˆın manier˘ a similar˘ a cu formalismul fermionic de temperatut˘ a nul˘a este convenabil s˘a se introduc˘a o notat¸ie concis˘a, analoag˘a notat¸iei 4-dimensionale: Z
x ≡ (r, τ ) Z Z d4 x . . . ≡ d3 r
~β
dτ . . .
0
Uλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) ≡ Vλµ,λ′ µ′ (r, r′ ) δ(τ − τ ′ )
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
379
atunci, integrala anterioar˘ a a hamiltonianului de interact¸ie se scrie ˆın mod compact Z Z Z ~β X 1 d4 x d4 x′ · · · Uλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) ψˆλ† K¯ 0 (x) ψˆλ† ′ K¯ 0 (x′ ) ψˆµ′ K¯ 0 (x′ ) ψˆµK¯ 0 (x) dτ · · · VˆK¯ 0 (τ ) = 2 0 ′ ′ λ,µ,λ ,µ
(5.65b) Cu ajutorul notat¸iei pseudo 4-dimensional˘a termenii de perturbat¸ie de la num˘ar˘atorul ¸si respectiv numitorul funct¸iei Green-Matsubara se scriu ˆın mod explicit, ˆın cazul interact¸iei bi-particul˘a: Z Z Z Z X X −1 −1 n (n) · · · d4 xn d4 x′n d4 x1 d4 x′1 Uλ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 ) G σσ′ (x, x′ ) = n! 2~ λn ,µn ,λ′n ,µ′n λ1 ,µ1 ,λ′1 ,µ′1
† † × · · · Uλn µn ,λ′n µ′n (xn , x′n ) Tτ [ ψˆλ1 K¯ 0 (x1 ) ψˆλ′ K¯ 0 (x′1 ) ψˆµ′1 K¯ 0 (x′1 ) ψˆµ1 K¯ 0 (x1 ) 1 † † ′ ′ ˆ ˆ ˆ ˆ × · · · ψλn K¯ 0 (xn ) ψλ′ K¯ 0 (xn ) ψµ′n K¯ 0 (xn ) ψµn K¯ 0 (xn ) · ψˆσK¯ 0 (x) ψˆσ† ′ K¯ 0 (x′ ) ] 0 , n
S (m) =
1 −1 m m! 2~
Z
d4 x1
Z
X
d4 x′1
λ1 ,µ1 ,λ′1 ,µ′1
···
Z
d4 xm
Z
d4 x′m
X
λm ,µm ,λ′m ,µ′m
Uλ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 )
× · · · Uλm µm ,λ′m µ′m (xm , x′m ) Tτ [ ψˆλ† 1 K¯ 0 (x1 ) ψˆλ† ′ K¯ 0 (x′1 ) ψˆµ′1 K¯ 0 (x′1 ) ψˆµ1 K¯ 0 (x1 ) 1 × · · · ψˆλ† m K¯ 0 (xm ) ψˆλ† ′ K¯ 0 (x′m ) ψˆµ′m K¯ 0 (x′m ) ψˆµm K¯ 0 (xm ) ] 0 , m
unde s-a utilizat notat¸ia Tr ̺ˆ0 · · · = · · · 0 pentru media grand-canonic˘a pe sistemul liber. ˆIn continuare se utilizeaz˘ a teorema Bloch – De Dominicis (5.62), prin care mediile grandcanonice ale produselor cronologice termice se transform˘a ˆın suma tuturor contract¸iilor totale ale operatorilor component¸i, astfel ˆıncˆ at termenii perturbat¸ionali de la num˘ar˘atorul ¸si numitorul seriei de perturbat¸ie a funct¸iei Green-Matsubara devin: Z Z Z Z X X −1 −1 n (n) G σσ′ (x, x′ ) = d4 x1 d4 x′1 · · · d4 xn d4 x′n Uλ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 ) n! 2~ ′ ′ ′ ′ λn ,µn ,λn ,µn λ1 ,µ1 ,λ1 ,µ1 † † ′ ′ × · · · Uλn µn ,λ′n µ′n (xn , xn ) C ψˆλ1 K¯ 0 (x1 ) , ψˆλ′ K¯ 0 (x1 ) , ψˆµ′1 K¯ 0 (x′1 ) , ψˆµ1 K¯ 0 (x1 ) , 1 × . . . , ψˆλ† n K¯ 0 (xn ) ψˆλ† ′ K¯ 0 (x′n ) , ψˆµ′n K¯ 0 (x′n ) , ψˆµn K¯ 0 (xn ) , ψˆσK¯ 0 (x) , ψˆσ† ′ K¯ 0 (x′ ) , n
(5.66a)
S
(m)
1 −1 m = m! 2~
Z
4
d x1
Z
d4 x′1
X
λ1 ,µ1 ,λ′1 ,µ′1
···
Z
4
d xm
Z
d4 x′m
X
λm ,µm ,λ′m ,µ′m
Uλ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 )
× · · · Uλm µm ,λ′m µ′m (xm , x′m ) C ψˆλ† 1 K¯ 0 (x1 ) , ψˆλ† ′ K¯ 0 (x′1 ) , ψˆµ′1 K¯ 0 (x′1 ) , ψˆµ1 K¯ 0 (x1 ) , 1 × . . . , ψˆλ† m K¯ 0 (xm ) , ψˆλ† ′ K¯ 0 (x′m ) , ψˆµ′m K¯ 0 (x′m ) , ψˆµm K¯ 0 (xm ) . m
(5.66b)
Prin compararea rezultatelor precedente (5.66), cu termenii perturbat¸ionali ai funct¸iei Green uniparticul˘ a cauzal˘ a din formalismul de temperatur˘a nul˘a (3.92), se obt¸ine urm˘atoarea concluzie: – seria de perturbat¸ie pentru funct¸ia Green-Matsubara uni-particul˘a este de acela¸si tip cu seria de perturbat¸ie pentru funct¸ia Green uni-particul˘a cauzal˘ a din formalismul de temperatur˘a nul˘a fermionic; – structura algebric˘a a teoremei Bloch – De Dominicis este identic˘ a cu structura algebric˘a a teoremei Wick (adic˘ a ˆın ambele cazuri se obt¸in contract¸ii ˆıntre acela¸si tip de operatori de cˆ amp); – contract¸iile termice ale operatorilor de cˆ amp se exprim˘ a prin funct¸ii Green-Matsubara libere (sau sunt nule), ˆın mod analog contract¸iilor corespondente din formalismul fermionic de temperatur˘a nul˘a, cˆ and contract¸iile nenule se reduc la funct¸ii Green cauzale libere; – atunci se poate stabili o corespondent¸˘a direct˘a ˆıntre elementele analitice ale termenilor perturbat¸ionali din relat¸iile (5.66) ¸si (3.92): • fiec˘ arei contract¸ii termice nenule ψλK¯ 0 (x) ψλ† ′ K¯ 0 (x′ ), care se reduce la o funct¸ie Green0 ′ Matsubara liber˘ a −Gλλ ıi corespunde contract¸ia fermionic˘a ψλI (x) ψλ† ′ I (x′ ), care se ′ (x, x ), ˆ reduce la o funct¸ie Green cauzal˘ a liber˘a i G0λλ′ (x, x);
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
380
• fiec˘ arui potent¸ial de interact¸ie termic Uλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) ≡ Vλµ,λ′ µ′ (r, r′ ) δ(τ − τ ′ ) ˆıi corespunde poatent¸ialul de interact¸ie sincron Uλµ,λ′ µ′ (x, x) ≡ Vλµ,λ′ µ′ (r, r′ ) δ(t − t′ );
Z Z Z ~β dτ . . . ˆıi corespunde inte• fiec˘ arei integr˘ari spat¸io-pseudo-temporale d4 x . . . ≡ d3 r 0 Z Z Z ∞ grarea spat¸io-temporal˘ a d4 x . . . ≡ d3 r dτ . . . −∞
• sum˘arile dup˘a indicii de spin sunt identice ˆın cele dou˘a cazuri; • factorului numeric
−1 n ~
ˆıi corespunde factorul
−i n ~
;
• factorul general al funct¸iei Green-Matsubara (−1) are corespondentul (−i) la funct¸ia Green fermionic˘ a cauzal˘ a. Pe baza concluziei precedente rezult˘a c˘ a termenii de perturbat¸ie ai funct¸iei Green-Matsubara admit o interpretare diagramatic˘ a analoag˘a cu interpretarea diagramatic˘ a a termenilor de perturbat¸ie pentru funct¸ia Green cauzal˘ a fermionic˘a din formalismul de temperatur˘a nul˘a: a) elementele unei diagrame termice sunt – linia particul˘ a, care reprezint˘ a o funct¸ie Green-Matsubara liber˘a, – linia de interact¸ie, care reprezint˘ a matricea potent¸ialului de interact¸ie termic; b) topologia unei diagrame pentru seria de perturbat¸ie a funct¸iei Green-Matsubara este identic˘ a cu topologia diagramei pentru termenul de perturbat¸ie corespondent al funct¸iei Green cauzale fermionice din formalismul de temperatur˘a nul˘a. Consecint¸a important˘ a a analogiei dintre seriile de perturbat¸ie pentru funct¸iile Green-Matsubara ¸si respectiv Green fermionic˘ a la temperatura nul˘a, este teorema Brueckner termic˘ a: Termenii perturbat¸ionali de la num˘ar˘ator sunt de 2 tipuri: termeni legat¸i ¸si termeni care cont¸in p˘ art¸i nelegate (termeni decompozabili); contribut¸ia total˘ a a p˘ art¸ilor nelegate se factorizeaz˘ a ¸si aceast˘a contribut¸ie este egal˘a cu numitorul, astfel ˆıncˆ at contribut¸ia efectiv˘ a la funct¸ia Green-Matsubara este dat˘a numai de termenii legat¸i de la num˘ ar˘ ator: G
σσ′
′
(x, x ) ≡
∞ X
n=0
(n)
(c)
G σσ′ (x, x′ ) = G σσ′ (x, x′ ) · S ,
(c)
unde G σσ′ (x, x′ ) este contribut¸ia total˘ a a termenilor perturbat¸ionali legat¸i ¸si S =
(5.67) ∞ X
m=0
S (m) este
numitorul din relat¸ia (5.64). Prin utilizarea teoremei Brueckner termice seria de perturbat¸ie a funct¸iei Green-Matsubara (5.64) se reduce numai la contribut¸ia termenilor perturbat¸ionali legat¸i de la num˘ar˘ator Gσσ′ (x, x′ ) =
∞ X
n=0
(n)
Gσσ′ (x, x′ ) ,
(5.68a)
unde termenul perturbat¸ional de ordinul n efectiv este constituit numai din contribut¸ii legate: (n)
(n,c)
Gσσ′ (x, x′ ) = G σσ′ (x, x′ ) Z Z ~β c −1 −1 n ~β dτ1 · · · dτn Tr ̺ˆ0 Tτ VˆK¯ 0 (τ1 ) · · · VˆK¯ 0 (τn ) ψˆσK¯ 0 (r, τ ) ψˆσ† ′ K¯ 0 (r′ , τ ′ ) 0 = n! ~ Z0 Z Z 0 Z X X −1 −1 n 4 = d x1 d4 x′1 · · · d4 xn d4 x′n Uλ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 ) n! 2~ ′ ′ ′ ′ λn ,µn ,λn ,µn λ1 ,µ1 ,λ1 ,µ1 † † ′ ′ × · · · Uλn µn ,λ′n µ′n (xn , xn ) Cc ψˆλ1 K¯ 0 (x1 ) , ψˆλ′ K¯ 0 (x1 ) , ψˆµ′1 K¯ 0 (x′1 ) , ψˆµ1 K¯ 0 (x1 ) , 1 × . . . , ψˆλ† n K¯ 0 (xn ) ψˆλ† ′ K¯ 0 (x′n ) , ψˆµ′n K¯ 0 (x′n ) , ψˆµn K¯ 0 (xn ) , ψˆσK¯ 0 (x) , ψˆσ† ′ K¯ 0 (x′ ) ; (5.68b) n
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
381
atoare termenilor ˆın ultima egalitate Cc . . .} este suma tuturor contract¸iilor totale corespunz˘ legat¸i (connected ˆın limba englez˘ a). Regulile Feynman pentru construct¸ia diagramatic˘a a seriei de perturbat¸ie a funct¸iei Green-Matsubara permit s˘a se obt¸in˘a termenii de perturbat¸ie ai funct¸iei Green-Matsubara utilizˆand metoda diagramatic˘a init¸iat˘ a de Feynman. Aceast˘a metod˘ a stabile¸ste un set de reguli topologice de construct¸ie grafic˘ a (diagramatic˘a) ¸si reguli de corespondent¸˘a analitic˘a pentru diagrame. Ca rezultat, se obt¸in termenii de perturbat¸ie ai funct¸iei Green-Matsubara f˘ar˘a s˘a se mai efectueze deducerea analitic˘a prin aplicarea direct˘a a teoremei Bloch – De Dominicis ¸si apoi identificarea termenilor egali. Deoarece deducerea regulilor Feynman pentru diagramele funct¸iei Green-Matsubara este similar˘a cu deducerea regulilor Feynman pentru funct¸ia Green cauzal˘ a din formalismul fermionic de temperatur˘a nul˘a, se utilizeaz˘ a analogia specificat˘ a anterior ¸si se prezint˘ a aceste reguli Feynman f˘ar˘a repetarea deducerii lor. 1. Se figureaz˘ a toate diagramele legate ¸si topologic distincte de ordinul n. Elementele unei diagrame sunt: x – linie fermionic˘ a = funct¸ie Green-Matsubara liber˘a x′
σ
6 σ′
λ – linie de interact¸ie = matricea potent¸ialului de interact¸ie xI µ
0 ′ = Gσσ ′ (x, x ) ,
λ′ x′ µ′
I
= Vλ,µ;λ′ ,µ′ (x, x′ )
Topologia diagramelor este dat˘a prin urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: – diagrama este legat˘ a (puncte legate prin linii particul˘ a ¸si linii de interact¸ie) ¸si are 2 puncte externe; ( incident x′ 6σ′ – punctele externe sunt legate de restul diagramei prin linii particul˘ a x σ emergent 6 – exist˘a 2n puncte interne (un punct intern este numit vertex )
xI λµ
(se observ˘ a c˘ a un vertex este intersect¸ia unei linii particul˘ a incidente, unei linii particul˘ a emergente ¸si a unei linii de interact¸ie; – exist˘a urm˘atoarele linii: 2n + 1 linii particul˘ a (2 linii externe ¸si 2n − 1 linii interne), n linii de interact¸ie; – structura general˘ a topologic˘a a diagramei este ilustrat˘a ˆın figura urm˘atoare: x σ unde partea intern˘a, numit˘a insert¸ie de self-energie, este legat˘ a de x1
λ1
x′n
µ′n
x′
σ′
liniile externe prin 2 puncte ¸si cont¸ine ˆın interior: – 1 linie particul˘ a principal˘a (x1 → x′1 ) – ramificat¸ii cu linii de interact¸ie ¸si bucle legate de linia principal˘ a prin linii de interact¸ie; este posibil ca cele 2 puncte externe ale insert¸iei s˘a coincid˘a (adic˘a x1 = x′1 ), iar insert¸ia de self-energie s˘a cont¸in˘a numai o ramificat¸ie, legat˘ a de punctul extern print-o linie de interact¸ie.
2. Se efectueaz˘ a corespondent¸a analitic˘a a diagramei; ca rezultat se obt¸ine expresia anali(n,j) (n,j) tic˘ a Dσσ′ (x, x′ |x1 λ1 µ1 , . . . , xn λn µn ) ≡ Dσσ′ (x, x′ |x, λµ), unde s-a utilizat notat¸ia concis˘a pentru setul tuturor variabilelor interne (x, λµ) ≡ {(x1 λ1 µ1 ), . . . , (xn λn µn )}. 3. Factorul diagramei se calculeaz˘a ˆın mod similar cu metoda utilizat˘a ˆın formalismul fermionic de temperatur˘a nul˘a (exist˘ a deosebiri minore): (n)
• factorul de multiplicitate la permut˘ari ˆıntre hamiltonienii de interact¸ie: fΠ = n! ;
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
382
• factorul de multiplicitate la permut˘ari ˆın interiorul fiec˘ arui hamiltonian de interact¸ie (n) fp = 2n ; (n)
• factorul de semn produs de fiecare funct¸ie Green-Matsubara fG = (−1)2n−1 = −1 ; (n)
• factorul de semn dat de buclele (linii particule ˆınchise) fL = (±1)L , unde semnul “+” corespunde sistemului bosonic ¸si semnul “–” corespunde sistemului fermionic; −1 −1 n (n) ; • factorul aprioric (dat de dezvoltarea analitic˘a de perturbat¸ie) f0 = n! 2~
adunˆ and contribut¸iile precedente la factorul aprioric se obt¸ine −1 n (n) (n) (n) (n) (n) fj = f0 · fΠ · fp(n) · fG · fL = (±1)Lj . ~ 4. Se efectueaz˘ a (pentru fiecare tip de diagram˘ a)
– integr˘arile peste interne (exist˘ a 2n integrale 4Z coordonatele Z Zspat¸io-pseudo-temporale Z Z 4 4 ′ 4 4 ′ 8n dimensionale): d x1 d x1 · · · d xn d xn · · · ≡ d x··· – sum˘ interni (exist˘ a 4n sume): X de spin X Xarile peste indicii ··· ···. ··· ≡ λ1 ,µ1 ,λ′1 ,µ′1
λn ,µn ,λ′n ,µ′n
(λ,µ)
5. Se sumeaz˘a tot¸i termenii de ordinul n (provenit¸i de la toate diagramele de ordinul n topologic distincte) ¸si se obt¸ine termenul perturbat¸ional de ordinul n al funct¸iei Green-Matsubara: (n) Gσσ′ (x, x′ )
=
(n) X −1 n j
~
Lj
(±1)
Z
d8n x
X
(λ,µ)
(n,j)
Dσσ′ (x, x′ | x, λµ) .
(5.69)
6. Interpretarea funct¸iei Green-Matsubara liber˘a cu pseudo-timpi egali (exist˘ a 2 situat¸ii): – bucl˘ a simpl˘a λ
x
µ
0 0 = Gλµ (x, x) = Gλµ (r, τ ; r, τ + ) ;
– linie fermionic˘ a cu capetele legate de o linie de interact¸ie x
λ µ 0 0 (r, τ ; r′ , τ + ) . (x, x′ ) = Vλµ,λ′ µ′ (r, r′ ) δ(τ − τ ′ ) Gλµ = Uλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) Gλµ λ′
′
x
µ′
ˆIn ambele cazuri (cˆand pseudo-timpii au valori egale) funct¸ia Green-Matsubara liber˘a se consider˘ a cu al doilea pseudo-timp infinitesimal mai mare: 0 ′ 0 + Gσσ = Gσσ ). (5.70) ′ (x, x ) ′ (r, τ ; r, τ ′ τ =τ
ˆIn cazul cˆ and interact¸iile sunt independente de spini regulile Feynman diagramatice se simplific˘ a (ˆın mod similar cu situat¸ia din formalismul fermionic de temperatur˘a nul˘a). Diagramele se simplific˘ a pentru c˘ a nu se mai noteaz˘ a indicii de spin ¸si se consider˘ a ˆın mod direct rezultatele sum˘arilor dup˘a indicii de spin. 1. Diagramele r˘amˆ an cu aceea¸si topologie, dar corespondent¸a analitic˘a a elementelor unei diagrame se simplific˘ a: – linia particul˘ a este funct¸ia Green-Matsubara scalar˘a liber˘a G 0 (x, x′ ); – linia de interact¸ie este potent¸ialul de interact¸ie U(x, x′ ).
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
383
2. Corespondent¸a analitic˘a a diagramei se simplific˘ a prin faptul c˘ a nu mai apar indicii de spin ¸si se noteaz˘ a prin D(n,j) (x, x′ | x); 3. Factorul diagramei se amplific˘a prin includerea contribut¸iei sum˘arilor de spin, astfel c˘ a se −1 n L (n) ± (2s + 1) , unde L este num˘arul de bucle (linii particul˘ a ˆınchise); obt¸ine: fj = ~ motivat¸ia este identic˘ a cu cea prezentat˘ a ˆın formalismul fermionic de temperatur˘a nul˘a, astfel ˆıncˆ at se omite repetarea ei. 4. Se efectueaz˘ a integr˘arile peste coordonatele spat¸iale ¸si pseudo-temporale interne (dar nu se mai efectueaz˘ a sum˘arile peste indicii de spin, deoarece aceste sum˘ari au fost realizate atunci cˆ and s-a calculat factorul diagramei). 5. Prin sumarea tuturor diagramelor topologic distincte, se obt¸ine termenul perturbat¸ional de ordinul n al funct¸iei Green-Matsubara: Z (n) X Lj −1 n (n) Gσσ′ (x, x′ ) = δσσ′ − (2s + 1) d8n x D(n,j) (x, x′ |x) . (5.71) ~ j 6. Funct¸ia Green-Matsubara liber˘a cu pseudo-timpi egali se interpreteaz˘ a ca avˆand al doilea pseudo-timp infinitezimal mai mare (adic˘a regula general˘a r˘amˆ ane neschimbat˘a prin considerarea cazului simplificat cˆ and interact¸iile sunt independente de spini). Observat¸ii: – Regulile Feynman ofer˘ a o scriere unic˘ a a diagramelor corespunz˘atoare termenilor din seria de perturbat¸ie a funct¸iei Green-Matsubara (fiecare diagram˘a corespunde la o expresie unic determinat˘a de regulile Feynman); ca urmare, se obt¸ine o procedur˘a simpl˘a de a calcula termenii seriei de perturbat¸ie a funct¸iei Green-Matsubara. 0 ′ ′ – Funct¸ia Green-Matsubara cauzal˘ a liber˘a (ˆın spat¸iul pozit¸ie-pseudo-timp) Gσσ ′ (r, τ ; r; , τ ) ′ ′ are expresii distincte pentru τ > τ ¸si τ < τ , conform formulei (5.50); deoarece fiecare contribut¸ie la termenul perturbat¸ional de ordinul n cont¸ine 2n + 1 funct¸ii Green-Matsubara libere ¸si 2n integrale pseudo-temporale, rezult˘a un num˘ar mare de posibilit˘a¸ti la integr˘arile pseudo-temporale (situat¸ia devine complicat˘ a ˆın ordinele superioare de perturbat¸ie). De aceea, pentru sistemele conservative ¸si omogene este preferabil s˘a se efectueze calculul transformatei Fourier a funct¸iei 0 a fat¸˘a de variabila ωn , conform formulei (5.51). Green Geσσ ′ (k, ωn ), care are o expresie unic˘
Exemplu de aplicare a regulilor Feynman pentru construct¸ia diagramatic˘ a a termenilor perturbat¸ionali pentru funct¸ia Green-Matsubara: aproximat¸ia de ordinul 1 ˆın cazul interact¸iei independente de spini. Deoarece diagramele pentru funct¸ia Green-Matsubara sunt topologic identice cu diagramele pentru funct¸ia Green cauzal˘ a fermionic˘a ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a, se utilizeaz˘a rezultatele determinate anterior pentru sisteme fermionice; atunci, rezult˘a c˘ a termenii perturbat¸ionali de ordinul 1 sunt descri¸si prin termenul interact¸iei directe ¸si termenul interact¸iei de schimb ale c˘ aror diagrame sunt reprezentate ˆın figura 5.3. Conform regulilor Feynman, aplicate pentru diagrama din figura 5.3 stˆ anga, termenul interact¸iei directe are expresia: Z Z −1 d4 x1 d4 x′1 U(x1 , x′1 ) G 0 (x, x1 ) G 0 (x′1 , x′1 ) G 0 (x1 , x′ ) G (1d) (x, x′ ) = ±(2s + 1) ~ Z Z 2s + 1 4 0 = d x1 G (x, x1 ) (∓1) d4 x′1 U(x1 , x′1 ) G 0 (x′1 , x′1 ) G 0 (x1 , x′ ) ~ Z Z Z 2s + 1 4 δ (x1 − x′1 ) d4 x′′ U(x1 , x′′ ) G 0 (x′′ , x′′ ) G 0 (x′1 , x′ ). = d4 x1 d4 x′1 G 0 (x, x1 ) (∓1) ~ (5.72a) ˆIn mod similar, termenul interact¸iei de schimb se obt¸ine cu ajutorul regulilor Feynman aplicate pentru diagrama din dreapta a figurii 5.3: Z Z −1 (1s) ′ 4 G (x, x ) = d x1 d4 x′1 U(x, x′ ) G 0 (x, x1 ) G 0 (x1 , x′1 ) G 0 (x′1 , x′ ) ~ Z Z −1 U(x, x′ ) G 0 (x1 , x′1 ) G 0 (x′1 , x′ ) . (5.72b) = d4 x1 d4 x′1 G 0 (x, x1 ) ~
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
384 x
x
y y′
y
y′
x′
x′
Figura 5.3: Diagramele pentru termenul interact¸iei directe (ˆın stˆanga) ¸si pentru termenul interact¸iei de schimb (ˆın dreapta). Contribut¸ia perturbat¸ional˘ a la funct¸ia Green-Matsubara ˆın ordinul 1 se obt¸ine prin adunarea celor dou˘a contribut¸ii evident¸iate anterior: G (1) (x, x′ ) = G (1d) (x, x′ ) + G (1s) (x, x′ ) Z Z = d4 x1 d4 x′1 G 0 (x, x1 ) M(1) (x1 , x′1 ) G 0 (x′1 , x′ ) ,
(5.73a)
unde M(1) (x1 , x′1 ) este self-energia ˆın aproximat¸ia de ordinul 1, care are expresia Z 1 M(1) (x1 , x′1 ) = (∓1)(2s + 1) δ 4 (x1 − x′1 ) d4 x′′ U(x1 , x′′ ) G 0 (x′′ , x′′ ) − U(x1 , x′1 ) G 0 (x1 , x′1 ) . ~ (5.73b) Expresia precedent˘ a pentru self-energia de ordinul 1 are urm˘atoarea expresie explicit˘a ˆın termeni de vectori de pozit¸ie ¸si pseudo-timpi: ~ M(1) (r1 , τ1 ; r′1 , τ1′ ) 3
′
′
= ∓δ (r − r ) δ(τ − τ ) (2s + 1)
Z
3 ′′
d r
Z
′′ dτ ′′ v(r1 , r′′ ) δ(τ1 − τ ′′ ) G 0 (r′′ , τ ′′ ; r′′ , τ+ )
−v(r1 , r′1 ) δ(τ1 − τ1′ ) G 0 (r1 , τ1 ; r′1 , τ1+ ) Z n = δ(τ1 − τ1′ ) ∓ δ 3 (r1 − r′1 ) (2s + 1) d3 r′′ v(r1 , r′′ ) G 0 (r′′ , τ1 , r′′ , τ1+ ) o − v(r1 , r′1 ) G 0 (r1 , τ1 ; r′1 , τ1+ ) . B2. Self-energia ¸si ecuat¸ia Dyson Deoarece topologia diagramelor din formalismul de temperatur˘a finit˘a este identic˘ a cu topologia diagramelor din formalismul fermionic de temperatur˘a nul˘a, se obt¸in rezultate identice pentru self-energie (difer˘ a numai natura m˘arimilor). ˆIn consecint¸˘a, se vor prezenta numai rezultatele, f˘ar˘a demonstrat¸ie, pentru a nu repeta rat¸ionamentele anterioare. • insert¸ia de self-energie este partea din diagrama pentru funct¸ia Geen-Matsubara aflat˘a ˆın interiorul liniilor externe (liniile externe nu fac parte din insert¸ia de self-energie). Clasificare: – insert¸ii irreductibile de self-energie, – insert¸ii reductibile de self-energie. • Self-energia total˘ a este suma tuturor insert¸iilor de self-energie (ˆın toate ordinele teoriei x1 λ1 a: perturbat¸iilor): Mλ1 µ′1 (x1 , x′1 ) −→ reprezentare diagramatic˘ x′1
µ′1
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
385
Self-energia proprie este suma tuturor insert¸iilor irreductibile de self-energie (ˆın toate ordix1 λ1 nele teoriei perturbat¸iilor): M∗λ1 µ′ (x1 , x′1 ) −→ reprezentare diagramatic˘ a: 1
x′1
µ′1
• Funct¸ia Green-Matsubara se exprim˘ a ˆın termeni de self-energia total˘ a prin urm˘atoarea relat¸ie: G
σσ′
′
0 ′ Gσσ ′ (x, x )
(x, x ) =
+
Z
4
d x1
Z
d4 x′1
X
λ1 ,λ′1
0 (x, x1 ) Mλ1 λ′1 (x1 , x′1 ) Gλ0′1 σ′ (x′1 , x′ ) , Gσλ 1
(5.74) a c˘ arei deducere este similar˘ a cu deducerea relat¸iei (3.100) ˆın formalismul fermionic de temperatur˘a nul˘a. Imaginea diagramatic˘ a a relat¸iei (5.74) este ilustrat˘a ˆın figura 5.4. x
x
σ
σ
=
x′
x
σ
x1
λ1
x′1
µ′1
x′
σ′
+
x′
σ′
σ′
Figura 5.4: Imaginea diagramatic˘ a a exprim˘ arii funct¸iei Green-Matsubara prin self-energia total˘ a.
• Seria self-energiei: ′
M∗σσ′ (x, x′ )
Mσσ′ (x, x ) =
+
Z
4
Z
+
Z
Z
d4 x′1
d x1
4
d x1
Z
X
d4 x′1
λ1 ,λ′1
Z
d x2 d4 x′2 4
M∗σλ1 (x, x1 ) Gλ01 λ′1 (x1 , x′1 ) M∗λ′1 σ′ (x′1 , x′ )
X X
λ1 ,λ′1
λ2 ,λ′2
M∗σλ1 (x, x1 ) Gλ01 λ′1 (x1 , x′1 )
× M∗λ′1 λ2 (x′1 , x2 ) Gλ02 λ′2 (x2 , x′2 ) M∗λ′2 σ′ (x′2 , x′ ) + · · · ;
(5.75)
adic˘a: self-energia total˘ a este egal˘a cu suma tuturor repetit¸iilor posibile de self-energii proprii (legate prin funct¸ii Green-Matsubara libere = linii particul˘a); reprezentarea diagramatic˘a este ilustrat˘a ˆın figura urm˘atoare:
x
x
σ
σ
= ′
x
σ
′
+ ′
x
σ
′
x
σ
x1
λ1
x′1
λ′1
x′
σ′
x
σ
x1
λ1
x′1
λ′1
+
+ ... x′2 λ′2 x′2
λ′2
x′
σ′
386
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
• Ecuat¸ia Dyson pentru self-energie: Z Z X 0 ′ ′ ′ Mσσ′ (x, x′ ) = M∗σσ′ (x, x′ ) + d4 x1 d4 x′1 M∗σλ (x, x1 ) Gλλ ′ (x1 , x1 ) Mλ′ σ ′ (x1 , x ) , λ,λ′
(5.76)
care are urm˘atoarea imaginea diagramatic˘ a:
x
x
σ
σ
= ′
x
σ
+ ′
x
′
σ
′
x
σ
x1
λ1
x′1
λ′1
x′
σ′
• Ecuat¸ia Dyson pentru funct¸ia Green-Matsubara: Z Z X ′ 0 ′ 4 0 Gσσ′ (x, x ) = Gσσ′ (x, x ) + d x1 d4 x′1 (x, x1 ) M∗λ1 λ′1 (x1 , x′1 ) Gλ′1 σ′ (x′1 , x′ ) , (5.77) Gσλ 1 λ1 ,λ′1
a c˘ arei imagine diagramatic˘ a este ilustrat˘a ˆın figura 5.5. x
x
σ
σ
= x′
σ′
x
σ
x1
λ1
x′1
λ′1
x′
σ′
+ x′
σ′
Figura 5.5: Ecuat¸ia Dyson pentru funct¸ia Green-Matsubara. Demonstrat¸iile pentru relat¸iile (5.74) – (5.77) sunt similare cu demonstrat¸iile pentru relat¸iile corespondente din formalismul de temperatur˘a nul˘a, astfel ˆıncˆ at se omite prezentarea lor, pentru a evita repetit¸ii banale. C. Analiza diagramatic˘ a ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a C1. Transformarea Fourier pentru seria de perturbat¸ie a funct¸iei Green-Matsubara uni-particul˘a Se consider˘ a cazul sistemelor omogene din punct de vedere spat¸ial, cu interact¸ii mutuale biparticul˘ a ¸si ˆın absent¸a cˆ ampurilor externe. Transformarea Fourier pentru funct¸ia Green-Matsubara este definit˘ a prin relat¸ia (5.28): Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) =
LT
Z
∞ d3 k 1 X ik·(r−r′ )−iωn (τ −τ ′ ) e e Gσσ′ (k, ωn ) , 3 R3 (2π) ~β n=−∞
unde frecvent¸ele (pulsat¸iile) au expresia 2π ωn = n, bosoni , ~β 2π ωn = n + 21 , fermioni . ~β
Transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara liber˘a are expresia (5.51): 0 Geσσ ′ (k, ωn ) = δσσ ′
1 , iωn − ωk
ω k ≡ (εk − µ)/~ .
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
387
Se efectueaz˘ a ˆın mod similar transformarea Fourier pentru potent¸ialul de interact¸ie termic Uλµ,λ′ µ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) = vλµ,λ′ µ′ (r − r′ ) δ(τ − τ ′ ): Z 1 X iq·(r−r′ ) d3 q iq·(r−r′ ) e veλµ,λ′ µ′ (q) , vλµ,λ′ µ′ (r − r′ ) = e veλµ,λ′ µ′ (q) = LT R3 (2π)3 V k
pentru τ, τ ′ ∈ [0, ~β]
=⇒
(τ − τ ′ ) ∈ [−~β, ~β]
=⇒
δ(τ − τ ′ ) =
∞ 1 X −iνn (τ −τ ′ ) e , ~β n=−∞
unde dezvoltarea ˆın serie Fourier pentru funct¸ia Dirac a fost dedus˘a la pagina 365, cˆ and s-a obt¸inut transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara prin metoda rezolv˘ arii ecuat¸iei diferent¸iale (s-a notat prin νn frecvent¸a bosonic˘a/fermionic˘a). Atunci, din rezultatele precedente se obt¸ine: Z ∞ d3 q 1 X iq·(r−r′ )−iνn (τ −τ ′ ) Uλµ,λ′ µ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) = (5.78) e veλµ,λ′ µ′ (q) . LT R3 (2π)3 ~β n=−∞
Din expresia (5.78) a transform˘ arii Fourier pentru potent¸ialul de interact¸ie rezult˘a c˘ a transfore a de frecvent¸˘a. mata Fourier Uλµ,λ′ µ′ (q, νn ) = veλµ,λ′ µ′ (q) este independent˘
C2. Efectuarea transform˘arii Fourier spat¸ial˘a (continu˘a) ¸si pseudo-temporal˘a (discret˘a) pentru toate elementele dintr-un termen de perturbat¸ie a funct¸iei Green-Matsubara. Un termen de ordinul n din seria de perturbat¸ie a funct¸iei Green-Matsubara are forma (5.69) Z −1 n X (n,j) (n,j) (±1)Lj d8n x Dσσ′ (x, x′ | x, λµ) , Gσσ′ (x, x′ ) = ~ (λ,µ)
(n,j)
a ¸si linii de unde Dσσ′ (x, x′ | x, λµ) este expresia analitic˘a a elementelor diagramei (linii particul˘ (n,j) a cu interact¸ie). Termenul de ordinul n ¸si tipul j, care este notat prin Gσσ′ (x, x′ ) are o diagram˘ structura topologic˘a ilustrat˘a ˆın figura al˘aturat˘ a. Propriet˘a¸ti topologice ale diagramei: x
• 2 puncte externe (x, σ) ¸si (x′ , σ ′ ), care sunt legate de restul diagramei prin 2 linii externe: (x′ , σ ′ ) → (x′1 , λ′1 ) ¸si (x1 , λ1 ) → (x, σ) ; • partea intern˘a (insert¸ia de self-energie, care cont¸ine:
– 2 vertexuri externe (x′1 , λ1 ) ¸si (x′1 , λ′1 ), legate de liniile externe
σ
x1
λ1
x′n
µ′n
– cont¸ine ˆın interior 1 linie principal˘ a (x′1 , λ′1 ) → (x1 , λ1 ) (eventual re′ dus˘ a la un punct, dac˘ a x1 ≡ x1 ) ¸si posibile ramificat¸ii (bucle fermionice x′ σ′ legate de linia principal˘a prin linii de interact¸ie), ˆımpreun˘a cu linii de interact¸ie ˆıntre puncte interne. Num˘ arul total de linii particul˘ a interne este Np = (2n − 1), iar num˘arul total de linii de interact¸ie (care sunt incluse ˆın insert¸ia de self-energie) este Ni = n. Ca urmare, num˘arul total de linii (particul˘a ¸si de interact¸ie) este Nl = 2 + (2n − 1) + n = 3n + 1, ceea ce implic˘ a (3n + 1) transform˘ ari Fourier. Propriet˘a¸ti Fourier ale elementelor de diagrame: x λ Z 3 d k 0 ′ – linie particul˘ a −→ Gλµ ′ (x, x ) = 6 (2π)3 x′ µ′ ( – punctul incident x′ 6µ′ =⇒ se observ˘ a c˘ a x λ – punctul emergent 6 λ – linie de interact¸ie xI µ
∞ 1 X ik·(r−r′ )−iωn (τ −τ ′ ) e0 e Gλµ′ (k, ωn ) ; ~β n=−∞ ′
′
contribuie cu factorul e−ik·r +iωn τ , contribuie cu factorul e ik·r−iωn τ .
λ′ x′ µ′
I
−→ Uλ,µ;λ′ ,µ′ (x, x′ ) =
Z
∞ d3 q 1 X iq·(r−r′ )−iνn (τ −τ ′ ) e e Uλ,µ;λ′ ,µ′ (q); (2π)3 ~β n=−∞
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
388
=⇒ se observ˘ a c˘ a
(
λ – punctul stˆ ang xI µ – punctul drept
′
′
contribuie cu factorul e−ik·r +iνn τ , λ′ x′ µ′
contribuie cu factorul e ik·r−iνn τ .
I Deoarece transform˘ arile Fourier sunt urmate de integr˘ari peste coordonatele interne ale celor 2n vertexuri, este important s˘a se determine efectele integr˘arii peste coordonatele unui vertex. x1 µ1 λ3 I x3 x λ – vertex (= punct intern) µ
µ3
I x2 λ2 este legat de alte 3 puncte (interne sau externe) prin 2 linii particul˘a ¸si o linie de interact¸ie ⇒ contribut¸ia dependent˘ a de x ≡ (r, τ ) ˆın vertex: Gµ01 λ (r1 , τ1 ; r, τ ) e−ik·r+iωn τ ′ 0 Gµλ (r, τ ; r2 , τ2 ) e ik ·r−iωn τ 2 e iq·r−iνn τ Uλ,µ;λ3 ,µ3 (r, τ ; r3 , τ3 )
Pentru a obt¸ine efectele integr˘arii peste variabilele interne, este convenabil s˘a se introduc˘a funct¸ia vertex (de ordinul 0) 3 Γµ01 ,λ2 ,λ3 µ3 (r1 , τ1 ; r2 , τ2 |r3 , τ3 ) Z Z ~β X 3 0 dτ (r, τ ; r2 , τ2 ) Uλµ,λ3 µ3 (r, τ ; r3 , τ3 ) . = d r Gµ01 λ (r1 , τ1 ; r, τ ) Gµλ 2 0
(5.79)
λ′ ,µ′
Luˆand ˆın considerare contribut¸iile funct¸iilor Green-Matsubara ¸si a potent¸ialului de interact¸ie la variabilele vertexului (r, τ ), ˆın urma integr˘arii spat¸iale ¸si pseudo-temporale peste coordonatele vertexului, se obt¸ine Z Z ~β ′ Γ 0 ∼ d3 r e i(−k+k +q)·r dτ e−i(−ωn +ωn′ +νn′′ )τ = (2π)3 δ(−k + k′ + q) ~β δ−ωn +ωn′ +νn′′ , 0
astfel ˆıncˆ at rezult˘a conservarea impulsului ¸si frecvent¸ei ˆın fiecare vertex: −k + k′ + q = 0 −ωn + ωn′ + νn′′ = 0 . Consecint¸ele relat¸iilor de conservare impuls-frecvent¸˘a ˆın vertexuri:
k, ωn i. Diagrama p˘ art¸ii de vertex ˆın spat¸iul (k, ωn )
q, νn′′
k′ , ωn′ ii. Impulsul-frecvent¸a liniei de interact¸ie: q = k − k′ ,
νn′′ = ωn − ωn′ =
2π (n − n′ ) ; ~β
(5.80)
se observ˘ a c˘ a frecvent¸a liniei de interact¸ie este par˘ a, adic˘a este o frecvent¸˘a bosonic˘a ˆın ambele situat¸ii (atˆ at pentru bosoni, cˆ at ¸si pentru fermioni). iii. Num˘ arul relat¸iilor de conservare este egal cu num˘arul de vertexuri, adic˘a Nv = 2n; rezult˘a atunci c˘ a num˘ arul de impulsuri-frecvent¸e independente, rezultate ˆın urma integr˘arilor spat¸io-pseudo-temporale, urmate de aplicarea relat¸iilor de conservare impuls-frecvent¸˘a rezultate, este Nqν = (3n + 1) − 2n = n + 1. Dintre aceste n + 1 impulsuri-frecvent¸e independente trebuie s˘a se separe impulsul-frecvent¸a general˘ a a transform˘arii Fourier pentru funct¸ia Green-Matsubara, deoarece rezultatul transform˘ arilor Fourier pentru funct¸iile Green-Matsubara libere ¸si pentru potent¸ialele de interact¸ie, urmate de integr˘arile peste coordonatele spat¸iale ¸si pseudo-temporale ale vertexurilor, iar apoi eliminarea a 2n impulsuri-frecvent¸e interne prin aplicarea relat¸iilor de conservare, se obt¸ine funct¸ia Green-Matsubara ˆın forma (5.28): Z ∞ d3 k 1 X ik·(r−r′ )−iωn (τ −τ ′ ) e ′ ′ ′ Gσσ (r, τ ; r , τ ) = e Gσσ′ (k, ωn ) ; LT R3 (2π)3 ~β n=−∞ 3 Pentru
aplicat¸ii avansate, ˆın special teoria renorm˘ arii, se introduc funct¸ii vertex de ordin superior.
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
389
prin urmare, liniile particul˘ a legate de punctele externe au acela¸si impuls-frecvent¸˘ a k, ωn , care este impuls-frecvent¸a general˘ a a transform˘arii Fourier. Atunci, num˘arul de impulsuri-frecvent¸e interne independente este Nint = n. Transformata Fourier pentru funct¸ia Green-Matsubara liber˘a cu pseudo-timpi egali este definit˘ a prin relat¸ia (5.70) 0 ′ 0 + Gσσ = Gσσ ); ′ (x, x ) ′ (r, τ ; r, τ ′ τ =τ
aceast˘a situat¸ie apare diagramatic pentru o bucl˘ a simpl˘a
capetele legate de o linie de interact¸ie
, sau pentru o linie particul˘ a cu
.
Atunci, transformarea Fourier se efectueaz˘a luˆand ˆın considerare c˘ a pseudo-timpii se afl˘a ˆın relat¸ia τ − τ+ = −η (unde ˆın final se efectueaz˘a trecerea la limit˘a η → 0+ ): Z ∞ d3 k 1 X ik·(r−r′ )−iωn (τ −τ+ ) e0 0 ′ ′ Gσσ′ (r, τ ; r , τ ) ′ = e Gσσ′ (k, ωn ) 3 τ =τ R3 (2π) ~β n=−∞ Z ∞ d3 k 1 X ik·(r−r′ )−iωn (τ −τ ′ ) iωn η e0 = e e G (k, ω ) ; ′ n σσ 3 τ =τ ′ R3 (2π) ~β n=−∞
ca urmare, transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara cu pseudo-timpi egali are factorul de convergent¸˘ a e iωn η : 0 ′ ′ 0 Gσσ −→ e iωn η Geσσ (5.81) ′ (r, τ ; r , τ ) ′ (k, ωn ) . ′ τ =τ
C3. Regulile Feynman pentru diagrame ale funct¸iei Green-Matsubara ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a 1. Se figureaz˘ a toate diagramele legate ¸si topologic distincte de ordinul n. Elementele unei diagrame sunt: a)
n
linia particul˘ a reprezint˘ a transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara cauzal˘ a liber˘ a:
σ
e0 k, ωn = Gσσ′ (k, ωn ) 6 σ′
Observat¸ie: funct¸ia Green-Matsubara liber˘a cu pseudo-timpi egali (realizat˘ a fie prin linia particul˘ a ˆınchis˘ a, fie prin linia particul˘ a cu capetele legate de o linie de interact¸ie) cores punde urm˘atoarei transformate Fourier: e iωn η Ge0 ′ (k, ωn ) . σσ
η→0+
n
q, ν ′ linia de interact¸ie reprezint˘ a I λµ n λµ′ = Ueλ,µ;λ′ ,µ′ (q, νn ) transformata Fourier a potent¸ialul de interact¸ie: I Observat¸ie: deoarece potent¸ialul de interact¸ie este static, rezult˘a c˘ a transformata sa Fourier este independent˘ a de frecvent¸˘a: Ueλµ,λ′ µ′ (q, νn ) = veλµ,λ′ µ′ (q). b)
Topologia diagramelor este dat˘a prin urm˘atoarele propriet˘ a¸ti:
– fiecare diagram˘ a ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a are topologie identic˘ a cu diagrama corespondent˘ a din spat¸iul coordonate de pozit¸ie-pseudo-timp; – diagrama este legat˘ a (puncte legate prin linii particul˘ a ¸si linii de interact¸ie) ¸si are 2 puncte ′ ( externe; σ′ incident˘ a k , ωn′ 6 – punctele externe sunt legate de restul diagramei prin linii particul˘ a
emergent˘ a k, ωn
– exist˘a 2n puncte interne (un punct intern este numit vertex )
k, ωn q, νn′′ Iλµ ′ k′ , ωn
σ
6
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
390
– exist˘a urm˘atoarele linii: 2n + 1 linii particul˘ a (2 linii externe ¸si 2n − 1 linii interne), n linii de interact¸ie; – structura general˘ a topologic˘a a diagramei este ilustrat˘a ˆın figura urm˘atoare: σ
k, ωn λ1
k, ωn µ′n
k, ωn σ′
unde partea intern˘a, numit˘a insert¸ie de self-energie este legat˘ a de liniile externe prin 2 puncte ¸si cont¸ine ˆın interior: – 1 linie fermionic˘a principal˘a, avˆand 4-impulsul k, ωn , – ramificat¸ii cu linii de interact¸ie ¸si bucle legate de linia principal˘a prin linii de interact¸ie; este posibil ca cele 2 puncte externe ale insert¸iei s˘a coincid˘a, iar insert¸ia de self-energie s˘a cont¸in˘a numai o ramificat¸ie, legat˘ a de punctul extern printr-o linie de interact¸ie.
2. Se atribuie pentru fiecare linie particul˘ a ¸si fiecare linie de interact¸ie cˆ ate un impuls-frecvent¸˘a; consecint¸a integr˘arilor peste coordonatele de pozit¸ie ¸si pseudo-timp, urmate de utilizarea relat¸iilor de conservare ale impulsurilor ¸si frecvent¸elor (exprimate prin funct¸ii Dirac), produc urm˘atoarele rezultate: – liniile particul˘ a externe au impulsul ¸si frecvent¸a generale ale transformatei Fourier Ge0 ;
– impulsurile ¸si frecvent¸ele liniilor interne (particul˘a ¸si de interact¸ie) satisfac relat¸ii de conservare ˆın fiecare vertex; ca urmare, num˘arul de impulsuri-frecvent¸e interne independente este n.
3. Se efectueaz˘ a corespondent¸a analitic˘a a diagramei, astfel c˘ a rezult˘a: e (n,j) – expresia analitic˘a a setului de linii particul˘ a ¸si de interact¸ie D σσ′ (k, ωn | qν, λµ), unde s-au introdus urm˘atoarele notat¸ii concise: q este setul impulsurilor interne independente, ν este setul frecvent¸elor interne independente, λµ este setul indicilor de spin interni. −1 n (n) (±1)Lj (acest factor este identic cu factorul corespondent – factorul diagramei fj = ~ pentru diagramele din spat¸iul coordonatelor pozit¸ie-pseudo-timp). 4. Se efectueaz˘ a (pentru fiecare tip de diagram˘ a) – integr˘ari peste impulsurile interne independente ¸si sum˘ari peste frecvent¸ele interne (sunt n integrale 3-dimensionale ¸si n sum˘ari) Z 3 Z 3 Z X d q1 1 X d qn 1 X d3n q n . . . · · · . . . ≡ (2π)3 ~β n (2π)3 ~β n ~β (2π)3 1
n
ν
– sum˘ari peste indicii de spini interni (sunt 4n sum˘ari) X X X ... . ··· ... ≡ λ1 λ′1 µ1 µ′1
λn λ′n µn µ′n
(λ,µ)
5. Se sumeaz˘a tot¸i termenii de ordinul n (provenit¸i de la toate diagramele topologic distincte); ca rezultat se obt¸ine termenul perturbat¸ional de ordinul n al transformatei Fourier a funct¸iei Green-Matsubara uni-particul˘ a: (n) Geσσ′ (k, ωn ) =
(n) X −1 n j
~
Z X X (n,j) d3n q e ′ (k, ωn | qν, λµ) . n D (±1)Lj σσ ~β (2π)3 (λ,µ)
(5.82)
ν
Se observ˘ a urm˘atoarele propriet˘ a¸ti ale analizei diagramatice ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a: – regulile Feynman conduc la o scriere unic˘ a a termenilor perturbat¸ionali pentru transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara; – calculul diagramatic pentru transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara Ge este mai simplu decˆ at calculul funct¸iei Green-Matsubara G, deoarece sum˘arile dup˘a frecvent¸e nu trebuie descompuse ˆın 2 p˘ art¸i, ca ˆın cazul integralelor pseudo-temporale.
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
391
ˆIn cazul cˆ and sistemul cont¸ine interact¸ii independente de spini apar simplific˘ ari, deoarece se pot efectua sum˘arile dup˘a indicii de spin ˆın manier˘a general˘a ¸si se obt¸in regulile Feynman simplificate: 1. Figurarea diagramelor sa face la fel ca ˆın cazul general, dar nu se mai noteaz˘ a indicii de spin; ca urmare, linia particul˘ a cu impuls-frecvent¸a (k, ωn ) reprezint˘ a transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara liber˘a scalar˘a Ge0 (k, ωn ), iar linia de interact¸ie cu impuls-frecvent¸a (q, νn ) reprezint˘ a transformata Fourier a potent¸ialului de interact¸ie ve(q). 2. Atribuirea impulsurilor ¸si frecvent¸elor pe liniile interne se face la fel ca ˆın cazul general.
e (n,j) (k, ωn | qν), adic˘a 3. Expresia analitic˘a a setului de linii particul˘ a ¸si de interact¸ie este D nu mai apar indicii de spini; factorul multiplicativ aldiagramei include rezultatul general n Lj −1 (n) ± (2s + 1) , unde Lj este al sum˘arilor dup˘a indicii de spin, astfel ˆıncˆ at fj = ~ num˘ arul de bucle formate din linii particule, semnul pozitiv corespunde cazului bosonic, iar semnul negativ corespunde cazului fermionic (ˆın plus, apare simbolul Kronecker pentru indicii de spin externi δσσ′ ).
4. Se efectueaz˘ a integr˘arile peste coordonatele interne ¸si sum˘arile peste frecvent¸ele interne; nu se mai efectueaz˘ a sum˘arile de spin, deoarece efectele acestor sum˘ari au fost introduse ˆın factorul multiplicativ general. 5. Prin sumarea tuturor termenilor corespunz˘ atori diagramelor topologic distincte de ordinul n, se obt¸ine contribut¸ia perturbat¸ional˘ a de ordinul n la transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara: (n,j) Geσσ′ (k, ωn ) = δσσ′
(n) X −1 n
~
j
Z Lj X ± (2s + 1)
C4. Self-energia ¸si ecuat¸ii Dyson Rezultatele se pot obt¸ine prin 2 metode echivalente:
ν
d3n q e (n,j) (k, ωn | qν) . n D ~β (2π)3
(5.83)
1. deducerea direct˘a ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a, ˆın mod analog cu deducerea realizat˘a anterior ˆın spat¸iul pozit¸ii-pseudo-timp; 2. transformarea Fourier a rezultatelor din spat¸iul pozit¸ii-pseudo-timp. Rat¸ionamentele sunt analoage cu cele prezentate anterior la formalismul fermionic de temperatur˘a nul˘a; atunci, se vor prezenta numai rezultatele, f˘ar˘a demonstrat¸ii (pentru a elimina repetit¸iile). Deoarece se consider˘ a sistemul conservativ ¸si omogen, rezult˘a c˘ a self-energia (ˆın spat¸iul pozit¸iipseudo-timpi) depinde numai de diferent¸a coordonatelor spat¸iale ¸si pseudo-temporale, astfel ˆıncˆ at este posibil˘ a o transformare Fourier simpl˘a (se consider˘ a limita termodinamic˘ a): M
σσ′
Z
∞ d3 k 1 X ik·(r−r′ )−iωn (τ −τ ′ ) f (r, τ ; r , τ ) = e Mσσ′ (k, ωn ) . 3 R3 (2π) ~β n=−∞ ′
′
(5.84)
Transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara se exprim˘ a ˆın termeni de funct¸ia Green-Matsubara liber˘ a ¸si self-energie (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a): X 0 0 fλλ′ (k, ωn ) Ge0′ ′ (k, ωn ) . Geσσ′ (k, ωn ) = Geσσ Geσλ (k, ωn ) M (5.85a) ′ (k, ωn ) + λ σ λ,λ′
Deoarece funct¸ia Green-Matsubara liber˘a (¸si de asemenea, transformata sa Fourier) este diagonal˘ a 0 0 e ′ ˆın indicii de spin Geσσ (k, ω ) = δ G (k, ω ), rezult˘ a c˘ a se pot efectua ˆ ın mod banal sum˘ a rile ′ n σσ n de spin ˆın relat¸ia (5.85a), astfel ˆıncˆ at aceast˘a relat¸ie devine fσσ′ (k, ωn ) Ge0 (k, ωn ) . Geσσ′ (k, ωn ) = δσσ′ Ge0 (k, ωn ) + Ge0 (k, ωn ) M
(5.85b)
Pentru reprezentarea diagramatic˘ a a relat¸iei (5.85a) se utilizeaz˘a imaginile diagramatice :
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
392
σ
transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara exact˘ a Geσσ′ (k, ωn )
−→
0 transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara libere Geσσ ′ (k, ωn )
−→
k, ωn σ′ σ
k, ωn σ′
λ
fλλ′ (k, ωn ) self-energia ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a M
k, ωn
−→ λ′
Atunci, ecuat¸ia (5.85a) are reprezentarea diagramatic˘ a ilustrat˘a ˆın figura 5.6. σ
σ
σ
k, ωn λ
k, ωn
=
k, ωn
+
k, ωn λ′
k, ωn σ′
σ′
σ′
Figura 5.6: Imaginea diagramatic˘ a a exprim˘ arii transformatei Fourier a funct¸iei Green-Matsubara prin self-energia total˘ a ¸si transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara liber˘a. Self-energia proprie (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a) este suma tuturor insert¸iilor irreductibile de σ
k, ωn
self-energie ¸si are reprezentarea diagramatic˘ a prin imaginea σ
′
Expresia self-energiei ˆın termeni de funct¸ii Green libere ¸si self-energii proprii este dat˘a de egalitatea urm˘atoare: X f∗λλ′ (k, ωn ) + fλλ′ (k, ωn ) = M f∗ ′ ′ (k, ωn ) f∗λλ (k, ωn ) Ge0 ′ (k, ωn ) M M M λ1 λ1 λ1 λ 1 +
X
λ1 ,λ′1
f∗ ′ ′ (k, ωn ) + . . . f∗ ′ (k, ωn ) Ge0 ′ (k, ωn ) M f∗ (k, ωn ) Ge0 ′ (k, ωn ) M M λλ1 λ2 λ2 λ2 λ λ1 λ1 λ1 λ2
λ1 ,λ′1 ,λ2 ,λ′2
(5.86)
adic˘a: self-energia este egal˘a cu suma tuturor repetit¸iilor posibile de self-energii proprii, legate prin funct¸ii Green libere (toate m˘arimile au acela¸si 4-impuls). Reprezentarea diagramatic˘ a a relat¸iei (5.86) este ilustrat˘a ˆın figura 5.7. Ecuat¸ia Dyson pentru self-energie este urm˘atoarea ecuat¸ie: X fλ′ λ′ (k, ωn ) ; f∗ ′ (k, ωn ) + fλλ′ (k, ωn ) = M f∗ (k, ωn ) Ge0 ′ (k, ωn ) M M M (5.87) λλ λλ1 λ1 λ1 1 λ1 ,λ′1
se observ˘ a c˘ a, spre deosebire de ecuat¸ia Dyson ˆın spat¸iul pozit¸ii-pseidotimpi, ˆın cazul prezent ecuat¸ia Dyson este o ecuat¸ie algebric˘a (natricial˘a). Reprezentarea diagramatic˘ a a ecuat¸iei Dyson pentru self-energie (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a) este ilustrat˘a ˆın figura 5.8. Ecuat¸ia Dyson pentru transformata Fourier a funct¸iei Green are forma urm˘atoare: X 0 0 f∗λλ′ (k, ωn ) Geλ′ σ′ (k, ωn ) ; Geσσ′ (k, ωn ) = Geσσ Geσλ (k, ωn ) M (5.88) ′ (k, ωn ) + λ,λ′
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
393 σ
k, ωn σ
λ1
k, ωn σ
σ
k, ωn σ
λ1
=
k, ωn
′
σ
k, ωn λ′1
+
λ′1
′
k, ωn
+
k, ωn
+ ...
λ2
k, ωn
k, ωn
λ′2
σ′
k, ωn σ′
Figura 5.7: Reprezentarea diagramatic˘ a a exprim˘ arii self-energiei ˆın termeni de self-energie proprie ¸si funct¸ii Green-Matsubara liber˘a. la fel ca ˆın cazul precedent, aceasta este o ecuat¸ie algebric˘a (matricial˘ a). Dac˘ a se ia ˆın considerare faptul c˘ a funct¸ie Green-Matsubara liber˘a este diagonal˘ a ˆın indicii de spini, atunci ecuat¸ia Dyson (5.88) se simplific˘ a X f∗σλ (k, ωn ) Geλσ′ (k, ωn ) . Geσσ′ (k, ωn ) = Ge0 (k, ωn ) δσσ′ + Ge0 (k, ωn ) M λ
Reprezentarea diagramatic˘ a a ecuat¸iei (5.88) este ilustrat˘a ˆın figura 5.9. Prin compararea expresiilor transformatei Fourier a funct¸iei Green, date de relat¸iile (5.85) ¸si (5.88), rezult˘a urm˘atoarea egalitate: X X fλλ′ (k, ωn ) Ge0′ ′ (k, ωn ) = f∗ ′ (k, ωn ) Geλ′ σ′ (k, ωn ) . M M (5.89) λσ λλ λ′
λ′
Ecuat¸ia Dyson pentru transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara este o ecuat¸ie algebric˘ a e = Geσσ′ , e ωn ). Utilizˆand matricile de spini G (matricial˘ a ˆın indicii de spini) pentru funct¸ia G(k, ∗ e∗ = M f ′ atunci ecuat¸ia Dyson pentru transformata Fourier a e 0 = Ge0 δσσ′ = Ge0 I ¸si M G σσ funct¸iei Green are urm˘atoarea exprimare matricial˘a:
care are solut¸ia h e G(k, ωn ) =
e e 0 (k, ωn ) + G e 0 (k, ωn ) · M e ∗ (k, ωn ) · G(k, e G(k, ωn ) = G ωn ) 0 0 ∗ e e e e = G (k, ωn ) I + G (k, ωn ) M (k, ωn ) · G(k, ωn ) i h 1 e ∗ (k, ωn ) · G(k, e I−M ωn ) = I , =⇒ Ge0 (k, ωn ) 1
Ge0 (k, ωn )
e ∗ (k, ωn ) I−M
i−1
h i−1 e ∗ (k, ωn ) = I − Ge0 (k, ωn ) M Ge0 (k, ωn ) .
(5.90)
λ
k, ωn λ
λ
k, ωn λ′
=
λ1
k, ωn λ′
+
k, ωn λ′1
k, ωn ′
λ
Figura 5.8: Reprezentarea diagramatic˘ a a ecuat¸iei Dyson pentru self-energie ˆın spat¸iul impulsfrecvent¸˘ a.
394
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA σ
σ
σ λ1
k, ωn =
k, ωn k, ωn
k, ωn + λ′1
σ′
σ′
σ′
k, ωn
Figura 5.9: Reprezentarea diagramatic˘ a a ecuat¸iei Dyson pentru transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara.
Consecint¸ele ecuat¸iei Dyson pentru sisteme cu interact¸ii independente de spini Dac˘ a interact¸iile mutuale dintre particulele sistemului sunt independente de spini, atunci toate matricile de spini sunt diagonale (atˆ at funct¸ia Green-Matsubara, cˆ at ¸si delf-energia proprie); ˆın e ωn ) ¸si M f∗ ′ ′ (k, ωn ) = δλ′ σ′ Ge∗ (k, ωn ). Ecuat¸ia Dyson (5.88) acest caz Geλ′ σ′ (k, ωn ) = δλ′ σ′ G(k, λσ devine o ecuat¸ie scalar˘ a: care are solut¸ia
e ωn ) = Ge0 (k, ωn ) + Ge0 (k, ωn ) M f∗ (k, ωn ) G(k, e ωn ) G(k,
e ωn ) = G(k,
Ge0 (k, ωn ) = f∗ (k, ωn ) 1 − Ge0 (k, ωn ) M
1 1 Ge0 (k, ωn )
.
(5.91)
f∗ (k, ωn ) −M
Luˆand ˆın considerare c˘ a transformata Fourier a funct¸iei Green liber˘a are expresia (5.51) 1 , iωn − ωk
Ge0 (k, ωn ) =
rezult˘a c˘ a transformata Fourier a funct¸iei Green exacte, ca solut¸ie a ecuat¸iei Dyson, are expresia: e ωn ) = G(k,
1 iωn −
1 ~ (εk
f∗ (k, ωn ) − µ) − M
.
(5.92)
Se observ˘ a c˘ a expresia funct¸iei Green-Matsubara este similar˘ a cu expresia funct¸iei Green cauzal˘ a din formalismul fermionic de temperatur˘a nul˘a, reprezentat˘ a prin formula (3.112); totu¸si, ˆın cazul prezent, singularit˘a¸tile funct¸iei Green-Matsubara nu au interpretare de st˘ari cuasi-particule (ˆın sensul teoremei Galitski-Migdal), deoarece frecvent¸ele sunt imaginare ¸si discrete. C4. Observabilele sistemului exprimate ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a Pentru simplitate, se consider˘ a cazul cˆ and interact¸iile dintre particule sunt independente de spini; de asemenea, se va considera sistemul ˆın limita termodinamic˘ a. ˆIn acest caz, dup˘a cum s-a ar˘atat anterior, trasformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara este diagonal˘ a ˆın indicii de spin ¸si are partea scalar˘ a dat˘ a de relat¸ia (5.92): Geσσ′ (k, ωn ) = δσσ′
1 iωn −
1 ~ (εk
f∗ (k, ωn ) − µ) − M
,
~2 k 2 este energia unei particule libere. 2m 1) Num˘ arul mediu de particule se determin˘a din relat¸ia general˘a (5.42), care devine: Z
d3 k 1 X iωn η X e N = ∓V lim e Gσσ (k, ωn ) 3 R3 (2π) η→0+ ~β n σ Z 1 X e iωn η d3 k lim , (5.93) = ∓(2s + 1)V 3 1 f∗ (k, ωn ) R3 (2π) η→0+ ~β n iωn − ~ (εk − µ) − M
unde εk =
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
395
sau echivalent ˆınainte de limita termodinamic˘ a X 1 X
e ωn ) e iωn η G(k, . N = ∓(2s + 1) ~β n η→0+ k
2) Energia medie se obt¸ine ˆın mod similar din formula (5.43) Z X
∓V ~2 k 2 1 X iωn η d3 k i~ω + lim + µ e Geσσ (k, ωn ) E = n 2 R3 (2π)3 η→0+ ~β n 2m σ Z iωn + ~1 (εk + µ) 2s + 1 d3 k 1 X iωn η =∓ lim V e ~ ; 3 f∗ (k, ωn ) 2 iωn − 1 (εk − µ) − M R3 (2π) η→0+ ~β n ~
dar integrandul se prelucreaz˘ a astfel:
iωn + ~1 (εk + µ) 1 X iωn η e ~ η→0+ ~β f∗ (k, ωn ) iωn − ~1 (εk − µ) − M n o f∗ (k, ωn ) 1 X iωn η n 2εk + ~ M = lim ~+ e η→0+ ~β f∗ (k, ωn ) iωn − ~1 (εk − µ) − M n f∗ (k, ωn ) 2εk + ~ M 1 X iωn η , e = lim η→0+ ~β f∗ (k, ωn ) iωn − ~1 (εk − µ) − M n lim
deoarece primul termen este nul ˆınainte de trecerea la limit˘a: ~
1 X iωn η e = ~ δ(−η) = 0 . ~β n
Atunci energia medie are expresia:
E = ∓(2s + 1) V
Z
f∗ (k, ωn ) εk + ~2 M d3 k 1 X iωn η lim e , 3 f∗ (k, ωn ) iωn − ~1 (εk − µ) − M R3 (2π) η→0+ ~β n
(5.94)
sau echivalent ˆınainte de limita termodinamic˘ a h i X X
~ f∗ 1 e ωn ) εk + M (k, ωn ) e iωn η G(k, E = ∓(2s + 1) . ~β n 2 η→0+ k
3) Potent¸ialul grand-canonic se obt¸ine printr-un calcul similar cu cel realizat pentru energia medie, din formula (5.44): Z
Z
X 1 X iωn η ~2 k 2 d3 k (λ) lim i~ωn − +µ e Geσσ (k, ωn ) 3 η→0 (2π) ~β 2m + 3 R 0 n σ Z Z 1 1 X iωn η d3 k i~ωn − (εk − µ) dλ V lim (2s + 1) e ; = Ω0 ∓ 3 1 η→0 f∗ (k, ωn ) λ 2 (2π) ~β + 3 iωn − (εk − µ) − M R 0 n
Ω = Ω0 ∓
1
dλ V λ 2
λ
~
ˆın acest caz, integrandul se prelucreaz˘ a ˆın mod similar cazului precedent:
1 X iωn η i~ωn − (εk − µ) e 1 η→0+ ~β f∗ (k, ωn ) iωn − ~ (εk − µ) − M n λ o f∗ (k, ωn ) 1 X iωn η n ~M λ = lim ~+ e η→0+ ~β f∗ (k, ωn ) iωn − 1 (εk − µ) − M n lim
~
λ
f∗ (k, ωn ) ~M 1 X iωn η λ e = lim 1 η→0+ ~β f∗ (k, ωn ) iω − (ε − µ) − M n n λ ~ k X 1 f∗ (k, ωn ) Ge(λ) (k, ωn ) , e iωn η ~ M = lim λ η→0+ ~β n
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
396
unde s-a utilizat din nou egalitatea (ˆınainte de trecerea la limit˘a) ~
1 X iωn η e = ~ δ(−η) = 0 . ~β n
Atunci, se obt¸ine urm˘atoarea expresie a potent¸ialului grand-canonic: Ω = Ω0 ∓
2s + 1 V 2
Z
1
0
dλ λ
Z
1 X iωn η f∗ d3 k lim e ~ Mλ (k, ωn ) Ge(λ) (k, ωn ) ; 3 R3 (2π) η→0+ ~β n
(5.95a)
dac˘a se utilizeaz˘ a identitatea (5.90), atunci potent¸ialul grand-canonic se poate exprima ˆın mod echivalent ˆın urm˘atoarea form˘a: 2s + 1 V Ω = Ω0 ∓ 2
Z
1
0
dλ λ
Z
1 X iωn η f d3 k lim e ~ Mλ (k, ωn ) Ge0 (k, ωn ) ; 3 R3 (2π) η→0+ ~β n
(5.95b)
se observ˘ a c˘ a ˆın ultima expresie a potent¸ialului grand-canonic dependent¸a de constanta de cuplaj fλ (k, ωn ). variabil˘ a este cont¸inut˘a numai ˆın self-energia total˘ aM
C5. Aproximat¸ia de ordinul 1 pentru funct¸ia Green-Matsubara (cazul interact¸ii independente de spin) Aproximat¸ia de ordinul 1 pentru funct¸ia Green-Matsubara, ˆın spat¸iul pozit¸ii-pseudo-timp, a fost discutat˘ a anterior, iar expresiile analitice ale termenilor de ordinul 1 sunt date de formulele (5.72). ˆIn spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a, aproximat¸ia de ordinul 1 pentru transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara este e ωn ) ≈ Ge0 (k, ωn ) + Ge(1d) (k, ωn ) + Ge(1s (k, ωn ) , G(k,
(5.96)
1
unde Ge(1d) (k, ωn ) este termenul interact¸iei directe ¸si Ge(1s (k, ωn ) este termenul interact¸iei de schimb; ˆın figura 5.10 sunt ilustrate diagramele corespunz˘ atoare aproximat¸iei de ordinul 1. Prin utilizarea regulilor Feynman simplificate (deoarece se consider˘ a c˘ a interact¸iile sunt independente de spini) se obt¸in din diagrame expresiile analitice ale celor 2 termeni de ordinul 1. Astfel, termenul interact¸iei directe are expresia: Z
d3 k′ 1 X −1 e0 (k, ωn ) e iωn′ η Ge0 (k′ , ωn′ ) Ge0 (k, ωn ) v e (0) G 3 ~ η→0+ R3 (2π) ~β n′ Z d3 k′ 1 X iωn′ η e0 ′ 2s + 1 lim ve(0) e G (k , ωn′ ) · Ge0 (k, ωn ) = Ge0 (k, ωn ) · (∓1) 3 ~ R3 (2π) η→0+ ~β ′
Ge(1d) (k, ωn ) = ±(2s + 1)
n
f(1d) (k, ωn ) · Ge0 (k, ωn ) . ≡ Ge0 (k, ωn ) · M
k, ωn k, ωn k, ωn
=
k, ωn
+
q=0 νn = 0 k, ωn
k′ , ωn′
+ k′ , ω ′ n
k − k′ ωn − ωn′ k, ωn
Figura 5.10: Diagramele aproximat¸iei de ordinul 1 pentru funct¸ia Green-Matsubara
5.2. FUNCT ¸ II GREEN-MATSUBARA
397
Termenul interact¸iei de schimb se obt¸ine ˆın mod analog: Z d3 k′ 1 X −1 Ge(1s) (k, ωn ) = ve(k − k′ ) Ge0 (k, ωn ) e iωn′ η Ge0 (k′ , ωn′ ) Ge0 (k, ωn ) 3 (2π) ~β ~ η→0+ 3 R n′ Z 1 X iωn′ η e0 ′ d3 k′ −1 ve(k − k′ ) lim e G (k , ωn′ ) · Ge0 (k, ωn ) = Ge0 (k, ωn ) · 3 η→0+ ~β ~ R3 (2π) ′ n
f(1s) (k, ωn ) · Ge0 (k, ωn ) . ≡ Ge0 (k, ωn ) · M
Pe baza rezultatelor precedente, transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara ˆın aproximat¸ia de ordinul 1 este: f(1) (k, ωn ) Ge0 (k, ωn ) , e ωn ) ≈ Ge0 (k, ωn ) M (5.97) G(k, 1
unde self-energia de ordinul 1 este
f(1) (k, ωn ) = M f(1d) (k, ωn ) + M f(1s) (k, ωn ) M Z i 1 1 X iωn′ η e0 ′ d3 k′ h ′ = ∓ (2s + 1) v e (0) − v e (k − k ) lim e G (k , ωn′ ) ; 3 η→0 ~ R3 (2π) + ~β ′ n
suma dup˘a frecvent¸e care apare ˆın expresia precedent˘ a a fost discutat˘ a anterior, fiind descris˘ a prin relat¸ia (5.56): lim
η→0+
∓1 1 X e iωn η 1 X iωn η e0 = β~ω e G (k, ωn ) = lim = ∓n0kσ , k ∓ 1 η→0+ ~β ~β n iω − ω e n k n
unde n0kσ este num˘ arul de ocupare a st˘arii uni-particul˘a (cazul sistemului liber). Atunci rezult˘a urm˘atoarea expresie a transformatei Fourier pentru self-energia de ordinul 1: Z i d3 k′ h 1 ′ (1) f (2s + 1) v e (0) ± v e (k − k ) n0kσ . (5.98) M (k, ωn ) = ~ R3 (2π)3
Din relat¸ia precedent˘ a se observ˘ a c˘ a ˆın aproximat¸ia de ordinul 1 (aproximat¸ia minim˘a) transforf(1) (k, ωn ) = M f(1) (k). mata Fourier a self-energiei este independent˘ a de frecvent¸˘a: M Consecint¸e ale aproximat¸iei de ordinul 1: 1) Num˘ arul mediu de particule se obt¸ine din relat¸ia (5.93) ˆın care se utilizeaz˘a aproximat¸ia de ordinul 1 pentru self-energie Z
d3 k 1 X e iωn η N ≈ ∓(2s + 1)V lim ; 3 1 1 f(1) (k) R3 (2π) η→0+ ~β n iωn − ~ (εk − µ) − M dar, deoarece self-energia ˆın aproximat¸ia de ordinul 1 este independent˘ a de frecvent¸˘a, suma dup˘a frecvent¸e se calculeaz˘a cu formula (5.57) lim
η→0+
1 X e iωn η ∓1 1 = β~x = ~β n iωn − x 1 ∓ e β~x e ∓1
¸si se obt¸ine lim
η→0+
e iωn η ∓1 1 X = . (1) (k)−µ] f 1 β[ε +~ M (1) f (k) ~β n iωn − (εk − µ) − M e k ∓1 ~
Ca urmare, num˘ arul mediu de particule este Z
1 d3 k N = (2s + 1)V 3 f(1) (k)−µ] β[ε +~ M (2π) k 3 e ∓1 R X 1 . = (2s + 1) f(1) (k)−µ] β[εk +~M ante LT ∓1 k e
(5.99a) (5.99b)
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
398
Din expresia num˘ arului mediu de particule, se observ˘a c˘ a se pot introduce numere de ocupare pe (1) st˘ari efective uni-particul˘ a nkσ , conform relat¸iei X (1)
X (1) N = nkσ = (2s + 1) nkσ , k,σ
unde
k
1
(1)
=
1
, ±1 care se exprim˘ a prin distribut¸ia Bose-Einstein sau Fermi-Dirac cu energia efectiv˘a uni-particul˘a nkσ =
f(1) (k)−µ] e β[εk +~M
∓1
(1)
e β[εk −µ]
(1) f(1) (k) . εk ≡ εk + ~ M
2) Energia medie se obt¸ine din relat¸ia (5.94) ˆın care se utilizeaz˘a aproximat¸ia de ordinul 1 pentru self-energie (care este independent˘ a de frecvent¸˘a), ˆın mod analog metodei utilizate anterior pentru num˘ arul mediu de particule: Z
f(1) (k) εk + ~2 M 1 X iωn η d3 k lim e 3 f(1) (k) iωn − ~1 (εk − µ) − M R3 (2π) η→0+ ~β n Z 1 X ~ f(1) e iωn η d3 k (k) lim εk + M = ∓(2s + 1) V ; 3 1 η→0+ ~β f(1) (k) 2 R3 (2π) n iωn − (εk − µ) − M
E = ∓(2s + 1) V
~
suma dup˘a frecvent¸e este identic˘ a cu cea din cazul precedent, astfel c˘ a rezult˘a Z
1 ~ f(1) i d3 k h M (k) ε + E = (2s + 1) V k 3 (1) (k)−µ] f β[ε +~ M 2 e k ∓1 R3 (2π) Xh ~ f(1) i 1 = (2s + 1) εk + M (k) . f(1) (k)−µ] ante LT 2 e β[εk +~M ∓1
(5.100a) (5.100b)
k
Se observ˘ a c˘ a, la fel ca ˆın cazul precedent, se pot utiliza numerele de ocupare pe st˘ari uni-particul˘a efective, astfel ˆıncˆ at energia medie se rescrie ˆın forma: Xh
Xh ~ f(1) i (1) ~ f(1) i (1) (k) nkσ = (2s + 1) (k) nkσ . εk + M E = εk + M 2 2 k,σ
k
Expresia precedent˘ a a energiei medii este analoag˘a cu rezultatul similar din formalismul fermionic de temperatur˘ a nul˘ a, reprezentat prin formula (3.124); ca urmare factorul 21 al self-energiei din i h f(1) (k) are aceea¸si explicat¸ie ca ˆın cazul anterior (adic˘a ˆın formalismul fermionic expresia εk + ~ M 2
de temperatur˘a nul˘a).
5.3. FUNCT ¸ II GREEN TERMICE DE TIMP REAL
5.3
399
Funct¸ii Green termice de timp real
5.3.1
Definit¸ii ¸si propriet˘ a¸ti generale
Funct¸iile Green termice de timp real sunt generalizarea direct˘a a funct¸iilor Green fermionice din formalismul de temperatur˘a nul˘a ¸si au fost introduse de Martin ¸si Schwinger. 4 Operatorul statistic grand-canonic al sistemului este definit prin formula (5.3) ̺ˆ =
1 −β Kˆ ˆ e = e βΩ e−β K , Z
ˆ =H ˆ − µN ˆ este hamiltonianul grand-canonic, Z = Tr e−β Kˆ este funct¸ia de partit¸ie unde K −1 grand-canonic˘ a ¸si Ω = ln Z este potent¸ialul grand-canonic. β Formularea Heisenberg grand-canonic˘a se define¸ste pentru operatori ˆın mod similar cu formularea Heisenberg standard: i ˆ i ˆ (5.101) AˆK (t) ≡ e ~ tK Aˆ e− ~ tK . Sunt necesare urm˘atoarele observat¸ii asupra formul˘arii Heisenberg grand-canonice: i ˆ i. Operatorul de transformare e ~ tK este un operator unitar ¸si ˆın consecint¸˘a transformatul con† jugatului unui operator este egal cu conjugatul transformatului operatorului Aˆ†K (t) = AˆK (t) . ii. Comparat¸ia ˆıntre operatorii Heisenberg grand-canonic ¸si Heisenberg termic rezult˘a ˆın mod direct din definit¸iile acestor operatori: ( i ˆ i ˆ AˆK (t) = e ~ tK Aˆ e− ~ tK , 1 1 ˆ ˆ AˆK¯ (τ ) = e ~ τ K Aˆ e− ~ τ K ; din relat¸iile precedente se obt¸ine c˘ a, ˆın mod formal operatorul Heisenberg grand-canonic AˆK (t) devine operatorul Heisenberg-Matsubara AˆK¯ (τ ) prin substitut¸ia it → τ ; totu¸si, aceast˘a transformare este pur formal˘a, deoarece operatorii Heisenberg grand-canonici au timpi reali t ∈ R, iar operatorii Heisenberg termici au, de asemenea, pseudo-timpi reali τ ∈ [ 0 , ~β ]. ˆ =H ˆ − µN ˆ este constituit din operatori comuiii. Deoarece hamiltonianul grand-canonic K ˆ ˆ ˆ tabili H, N ]− = 0, rezult˘a c˘ a operatorul Heisenberg grand-canonic se poate exprima ˆın forma: i i i ˆ i ˆ ˆ ˆ AˆK (t) = e ~ tH e− ~ µtN Aˆ e ~ µtN e− ~ tH .
• Dac˘ a Aˆ este operatorul asociat unei observabile, atunci acest operator comut˘a cu operatorul ˆ N ˆ ]− = ˆ0 ¸si se obt¸ine: num˘ ar de particule [A, i ˆ i ˆ AˆK (t) = e ~ tH Aˆ e− ~ tH = AˆH (t) ,
adic˘a operatorul Heisenberg grand-canonic coincide cu operatorul Heisenberg standard. ˆ • Operatorul de cˆ amp nu comut˘a cu operatorul num˘ar de particule: ψˆσ (r), N = ψˆσ (r), − conform relat¸iei (2.110); atunci, prin utilizarea relat¸iei Baker-Campbell-Hausdorff, se obt¸ine i i i ˆ ˆ e− ~ µtN ψˆσ (r) e ~ µtN = e ~ µt ψˆσ (r) ,
astfel ˆıncˆ at operatorii Heisenberg grand-canonic ¸si Heisenberg standard sunt legat¸i prin relat¸ia: i ˆ i i i ˆ i i ˆ i ˆ i ˆ ˆ ψˆσK (r, t) = e ~ tH e− ~ µtN ψˆσ (r) e ~ µtN e− ~ tH = e ~ µt e ~ tH ψˆσ (r) e− ~ tH = e ~ µt ψˆσH (r, t) .
iv. Formularea Heisenberg grand-canonicc˘ a nu define¸ste o evolut¸ie dinamic˘ a a sistemului, spre deosebire de formularea Heisenberg canonic˘a, care este o formulare veritabil˘a a mecanicii cuantice, ˆın sensul c˘ a ofer˘ a o descriere a evolut¸iei dinamice a sistemului cuantic, echivalent˘ a cu descrierea Schr¨odinger. 4 Deoarece propriet˘ a¸tile acestor funct¸ii au fost studiate de c˘ atre Zubarev, ˆın unele lucr˘ ari aceste funct¸ii sunt numite funct¸ii Green-Zubarev.
400
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
Funct¸iile Green termice de timp real se definesc ˆın mod similar cu funct¸iile Green fermionice ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a, prin substituirea mediei pe starea fundamental˘ a a produselor de operatori Heisenberg (standard) cu media grand-canonic˘a a produselor similare de operatori de cˆ amp Heisenberg grand-canonici: • funct¸ia Green termic˘ a (de timp real) uni-particul˘a cauzal˘ a Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) ≡ − i Tr ̺ˆ T ψˆσK (r, t) · ψˆσ† ′ K (r′ , t′ ) ,
• funct¸ia Green termic˘ a (de timp real) uni-particul˘a retardat˘ a (R) Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) ≡ − i θ(t − t′ ) Tr ̺ˆ ψˆσK (r, t) , ψˆσ† ′ K (r′ , t′ ) ∓ ,
• funct¸ia Green termic˘ a (de timp real) uni-particul˘a avansat˘a (A) Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) ≡ + i θ(t′ − t) Tr ̺ˆ ψˆσK (r, t) , ψˆσ† ′ K (r′ , t′ ) ∓ .
(5.102a)
(5.102b)
(5.102c)
Asupra definit¸iilor precedente sunt necesare urm˘atoarele observat¸ii: i. Funct¸iile Green termice (de timp real) retardat˘ a ¸si avansat˘a se definesc prin comutatorul operatorilor de cˆ amp ˆın cazul bosonic ¸si prin anti-comutatorul operatorilor de cˆ amp ˆın cazul fermionic. ii. T . . . este operatorul de ordonare cronologic˘ a, care a fost definit la relat¸ia (2.138). iii. Operatorul statistic grand-canonic ̺ˆ are dependent¸˘a parametric˘a de temperatur˘a ¸si ˆ care este generatorul transform˘arii potent¸ialul chimic (T, µ), iar hamiltonianul grand-canonic K, Heisenberg grand-canonice, depinde de asemenea, de potent¸ialul chimic (µ); ca urmare, funct¸iile Green termice uni-particul˘ a de timp real au dependent¸˘a parametric˘a de temperatur˘a ¸si de potent¸ialul chimic (T, µ). iv. Dac˘ a se compar˘a definit¸ia funct¸iei Green termice de timp real uni-particul˘a cauzal˘ a (5.102a) cu definit¸ia funct¸iei Green-Matsubara uni-particul˘a (5.20), se observ˘a c˘ a ˆın mod formal relat¸ia ˆıntre aceste dou˘a funct¸ii este i Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) −→ − Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) , it→τ , it′ →τ ′
totu¸si, dup˘a cum se va ar˘ ata ulterior, relat¸ia ˆıntre aceste dou˘a funct¸ii se exprim˘ a mai convenabil ˆın alt˘ a form˘a. v. Cele 3 funct¸ii Green termice de timp real, definite anterior, au urm˘atoarele expresii ˆın form˘a explicitat˘a ˆın raport cu ordon˘arile operatorilor de cˆ amp: iGσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = θ(t − t′ ) Tr ̺ˆ ψˆσK (r, t) ψˆσ† ′ K (r′ , t′ ) ± θ(t′ − t) Tr ̺ˆ ψˆσ† ′ K (r′ , t′ ) ψˆσK (r, t) , (5.103a) † (R) † ′ ′ ˆ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ˆ ˆ ˆ iGσσ′ (r, t; r , t ) = θ(t − t ) Tr ̺ˆ ψσK (r, t) ψσ′ K (r , t ) ∓ θ(t − t ) Tr ̺ˆ ψσ′ K (r , t ) ψσK (r, t) , (5.103b) (A) † † iGσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = −θ(t′ − t) Tr ̺ˆ ψˆσK (r, t) ψˆσ′ K (r′ , t′ ) ± θ(t′ − t) Tr ̺ˆ ψˆσ′ K (r′ , t′ ) ψˆσK (r, t) , (5.103c) unde semnele superioare sunt pentru bosoni ¸si semnele inferioare sunt pentru fermioni. Luˆand ˆın considerat¸ie c˘ a cele 3 funct¸ii Green se exprim˘ a prin acelea¸si medii grand-canonice, se utilizeaz˘a o notat¸ie comun˘ a, similar˘ a cu cea utilizat˘a anterior pentru funct¸iile Green fermionice ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: (−) < > (γ) ′ ′ ′ ′ (−) ′ (+) ′ iGσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = λ(+) γ θ λγ (t − t ) Gσσ′ (r, t; r , t ) ∓ λγ θ λγ (t − t ) Gσσ′ (r, t; r , t ) , (5.104a) < ′ ′ ′ ′ unde funct¸iile Green termice de timp real G> (r, t; r , t ) ¸ s i respectiv G (r, t; r , t ) sunt definite ′ ′ σσ σσ prin expresiile ′ ′ ˆ ψˆσK (r, t) ψˆσ† ′ K (r′ , t′ ) , (5.104b) G> σσ′ (r, t; r , t ) ≡ Tr ̺ † < ′ ′ ′ ′ G ′ (r, t; r , t ) ≡ Tr ̺ˆ ψˆ ′ (r , t ) ψˆσK (r, t) , (5.104c) σσ
σ K
5.3. FUNCT ¸ II GREEN TERMICE DE TIMP REAL
401
(±)
iar coeficient¸ii {λγ } sunt definit¸i ˆın tabelul urm˘ator: (+)
(−)
λc = +1 , λc = −1 , pentru funct¸ia Green cauzal˘ a, (+) (−) λR = +1 , λR = +1 , pentru funct¸ia Green retardat˘ a, (−) (+) λA = −1 , λA = −1 , pentru funct¸ia Green avansat˘a ; indicele γ se refer˘ a la cele 3 funct¸ii Green termice de timp real uni-particul˘a specificate anterior, adic˘a γ = c, R, A. Funct¸ia Green termic˘ a de timpi reali bi-particul˘a cauzal˘ a este definit˘ a prin relat¸ia: ′ ′ ′ ′ GII σ1 σ2 ;σ1′ σ2′ (r1 , t1 ; r2 , t2 |r1 , t1 ; r2 , t2 ) o n ≡ (−i)2 Tr ̺ˆ T ψˆσ1 K (r1 , t1 ) ψˆσ2 K (r2 , t2 ) ψˆσ† ′ K (r′2 , t′2 ) ψˆσ† ′ K (r′1 , t′1 ) . 2
1
(5.105)
Funct¸iile Green termice de timp real uni-particul˘a (cauzal˘a, retardat˘ a ¸si avansat˘a) au propriet˘ a¸ti generale similare cu funct¸iile Green corespondente din formalismul fermionic de temperatur˘ a nul˘a ¸si aceste propriet˘ a¸ti se exprim˘ a prin urm˘atoarele teoreme. ˆ este atemporal, atunci Teorema 1: dac˘ a sistemul este conservativ, adic˘a hamiltonianul H ˆ hamiltonianul grand-canonic K este invariant la translat¸ii temporale ¸si ˆın consecint¸˘a funct¸iile Green termice de timp real uni-particul˘a depind de diferent¸a variabilelor temporale: (γ)
(γ)
Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = Gσσ′ (r, t − t′ ; r′ , 0) ,
unde: γ = c, R, A .
(5.106)
Teorema 2: dac˘ a sistemul este omogen din punct de vedere spat¸ial, adic˘a hamiltonianul ˆ este invariant la translat¸ii spat¸iale, atunci hamiltonianul grand-canonic K ˆ este, de asemenea, H invariant la translat¸ii spat¸iale ¸si ˆın consecint¸˘a funct¸iile Green termice de timp real uni-particul˘a depind de diferent¸a coordonatelor spat¸iale: (γ)
(γ)
Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = Gσσ′ (r − r′ , t; , 0, t′ ) ,
unde: γ = c, R, A .
(5.107)
ˆ este invariant la rotat¸ii ¸si Teorema 3: dac˘ a sistemul este izotrop, adic˘a hamiltonianul H ˆ reflexii spat¸iale, atunci hamiltonianul grand-canonic K are, de asemenea, aceast˘a proprietate ¸si ˆın consecint¸˘ a funct¸iile Green termice de timp real uni-particul˘a sunt diagonale ˆın indicii de spin: (γ)
′ ′ Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = δσσ′ G(γ) σσ (r, t; r , t ) ,
unde: γ = c, R, A .
(5.108)
Demonstrat¸iile celor 3 teoreme enunt¸ate anterior sunt analoage cu teoremele similare din cazul fermionic ˆın formalismul de temperatur˘ a nul˘ a, astfel ˆıncˆ at se omite repetarea (cu mici schimb˘ ari a demonstrat¸iilor corespunz˘ atoare.
Se va studia cazul cel mai simplu cˆ and sistemul este conservativ, omogen ¸si izotrop; ˆın aceste condit¸ii funct¸iile Green termice de timp real uni-particul˘a sunt de forma: (γ)
′ ′ Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = δσσ′ G(γ) σσ (r − r , t − t ) ,
unde: γ = c, R, A ;
(5.109)
ca urmare, funct¸iile Green termice de timp real uni-particul˘a scalare sunt transformabile Fourier ˆın varianta spat¸io-temporal˘ a simpl˘a: s X 1 G(γ) (r − r′ , t − t′ ) 2s + 1 σ=−s σσ Z 1 X ∞ dω ik·(r−r′ )−iω(τ −t′ ) e (γ) = e G (k, ω) V −∞ 2π k Z Z ∞ d3 r dω ik·(r−r′ )−iω(τ −t′ ) e (γ) = e G (k, ω) , 3 LT R3 (2π) −∞ 2π
G(γ) (r − r′ , t − t′ ) ≡
iar transformarea Fourier invers˘a este definit˘ a de relat¸ia Z ∞ Z e (γ) (k, ω) = dt e−ik·r+iωt G(γ) (r, t) , d3 r G V
−∞
unde: γ = c, R, A .
(5.110a) (5.110b)
(5.111)
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
402
5.3.2
Reprezentarea Lehmann ¸si consecint¸e
Se consider˘ a cazul cˆ and sistemul este conservativ, omogen ¸si izotrop; ˆın aceast˘a situat¸ie funct¸iile Green termice de timp real uni-particul˘a sunt diagonale ˆın indicii de spin, astfel ˆıncˆ at se pot utiliza funct ¸ iile Green corespondente scalare, iar operatorii num˘ a r de particule, impuls total ˆ , P, ˆ H ˆ constituie un sistem de observabile compatibile (care admit un sistem ¸si hamiltonian N comun de vectori proprii). ˆ , P, ˆ H ˆ se noteaz˘ Sistemul vectorilor proprii comuni ai operatorilor N a {|N, αi}, astfel ˆıncˆ at ecuat¸iile cu valori proprii ale operatorilor din setul specificat anterior sunt: ˆ |N, αi = N |N, αi , N ˆ |N, αi = Pα |N, αi , P H ˆ |N, αi = Eα(N ) |N, αi ; atunci, |N, αi este de asemenea vector propriu al hamiltonianului grand-canonic, conform ecuat¸iei cu valori proprii ˆ |N, αi = H ˆ − µN ˆ |N, αi = Eα(N ) − µN |N, αi K ≡ Kα(N ) |N, αi ,
(N )
(N )
unde Kα ≡ Eα − µN . Este important s˘a se observe c˘ a setul de vectori proprii specificat anterior {|N, αi}N =0,...∞; α este o baz˘ a ˆın spat¸iul Fock, deoarece sunt satisf˘acute urm˘atoarele relat¸ii de ortonormare ¸si de completitudine: h N, α | N ′ , α′ i = δN,N ′ δ(α, α′ ) ,
(N Z) ∞ X X
N =0 α
| N, α ih N, α | = ˆ1 ,
astfel ˆıncˆ at se pot utiliza dezvolt˘ ari ˆın raport cu aceast˘a baz˘a. Printr-o reprezentare de tip Lehmann se utilizeaz˘a baza |N αi N,α pentru a extrage sub form˘a exponent¸ialca dependent¸ele spat¸iale ¸si temporale ale operatorilor de cˆ amp, iar apoi se efectueaz˘ a transform˘ arile Foirier spat¸io-temporale. 5 Conform argument˘ arii prezentate la demonstrarea reprezent˘ arii Lehmann pentru cazul fermionic ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a 6 , se poate extrage dependent¸a temporal˘a ¸si spat¸ial˘a a operatorului de cˆ amp ˆın termeni exponent¸iali: i ˆ i ˆ i ˆ i ˆ i ˆ i ˆ ψˆσK (r, t) = e ~ Kt ψˆσ (r) e− ~ Kt = e ~ Kt e− ~ P·r ψˆσ (0) e ~ P·r e− ~ Kt .
Pe baza rezultatelor precedente se exprim˘ a funct¸ia Green termic˘ a de timp real scalar˘a (cauzal˘a, retardat˘ a sau avansat˘ a) ˆın forma: 1 X i G(γ) σσ (r, t; 0, 0) 2s + 1 σ 1 X † (+) = λ(+) Tr ̺ˆ ψˆσK (r, t) ψˆσK (0, t) γ θ λγ t 2s + 1 σ † 1 X Tr ̺ˆ ψˆσK (0, t) ψˆσK (r, t) . ∓ λγ(−) θ λγ(−) t 2s + 1 σ
iG(γ) (r, t) =
ˆIn prima medie caracteristic˘ a a expresiei precedente se expliciteaz˘ a operatorii, se evalueaz˘ a urma ˆ ¸si P ˆ operatorial˘ a ˆın baza {|N, αi}, se utilizeaz˘a ecuat¸iile cu valori proprii ale operatorilor K 5 Situat ¸ia este similar˘ a cu cazul fermionic ˆın formalismul de temperatur˘ a nul˘ a, astfel ˆıncˆ at metoda de studiu va fi asem˘ an˘ atoare cu metoda utilizat˘ a anterior pentru cazul fermionic ˆın formalismul de temperatur˘ a nul˘ a cˆ and sistemul este conservativ, omogen ¸si izotrop. 6 Adic˘ a se utilizeaz˘ a definit¸ia operatorilor ˆın formularea Heisenberg ¸si relat¸ia de translat¸ie spat¸ial˘ a realizat˘ a de operatorul unitar acre are drept generator operatorul impuls total al sistemului.
5.3. FUNCT ¸ II GREEN TERMICE DE TIMP REAL
403
(pentru simplificarea scrierii se noteaz˘ a valorile proprii ale hamiltonianului grand-canonic prin Kα , deoarece la sum˘arile peste indicele α se indic˘a num˘arul de particule corespunz˘ ator): 1 X † Tr ̺ˆ ψˆσK (r, t) ψˆσK (0, t) 2s + 1 σ =
o n e−β Kˆ i i ˆ i ˆ i ˆ 1 X ˆ e ~ Kt e− ~ P·r ψˆσ (0) e ~ P·r e− ~ Kt ψˆσ† (0) Tr 2s + 1 σ Z
(N Z) ∞ e−β Kˆ i Kt i ˆ i ˆ 1 XX X
i ˆ ˆ = e ~ e− ~ P·r ψˆσ (0) e ~ P·r e− ~ Kt ψˆσ† (0) N, α N, α 2s + 1 σ Z {z | } N =0 α =
1 Z
i
i
e−βKα e ~ Kα e− ~ Pα ·r hN,α|
(N Z) ∞ i ˆ i ˆ 1 X X X 1 −βKα i Kα − i Pα ·r
N, α ψˆσ (0) e ~ P·r e− ~ Kt ψˆσ† (0) N, α , e ~ e~ e = 2s + 1 σ Z N =0 α
apoi se introduce relat¸ia de completitudine ˆıntre operatorii de cˆamp ¸si se utilizeaz˘a din nou ecuat¸iile cu valori proprii ale energiei ¸si impulsului total, astfel ˆıncˆ at rezult˘a: 1 X † Tr ̺ˆ ψˆσK (r, t) ψˆσK (0, t) 2s + 1 σ
(N Z) ∞ i ˆ i ˆ 1 X X X 1 −βKα i Kα − i Pα ·r
N, α ψˆσ (0) ˆ1 e ~ P·r e− ~ Kt ψˆσ† (0) N, α e ~ e~ e = 2s + 1 σ Z N =0 α
(N Z) ∞ 1 X X X 1 −βKα i Kα t − i Pα ·r e~ e = e ~ 2s + 1 σ Z N =0 α ′
(N Z ) ∞ X X iˆ
i ˆ
× N, α ψˆσ (0) N ′ , α′ e ~ P·r e− ~ Kt N ′ , α′ ψˆσ† (0) N, α | {z } N ′ =0 α′
=e
′
iP ·r ~ α′
i
e− ~ Kα′ t hN ′ ,α′ |
(N (N Z) X Z ) ∞ X ∞ X X 1 −βKα ~i (Kα −Kα′ )t − ~i (Pα −Pα′ )·r = e e e Z ′ N =0 α
N =0 α′
1 X
N, α ψˆσ (0) N ′ , α′ N ′ , α′ ψˆσ† (0) N, α ; × 2s + 1 σ
elementele de matrice ale operatorilor de cˆ amp sunt complex conjugate ¸si au valori nenule numai pentru cazul cˆ and N ′ = N + 1, astfel c˘ a rezult˘a:
1 X
N, α ψˆσ (0) N ′ , α′ N ′ , α′ ψˆσ† (0) N, α 2s + 1 σ 2 1 X
= N, α ψˆσ (0) N ′ , α′ 2s + 1 σ 2 1 X
= δN ′ ,N +1 N, α ψˆσ (0) N + 1, α′ ; 2s + 1 σ
atunci, prima medie caracteristic˘ a are urm˘atoarea expresie: 1 X † Tr ̺ˆ ψˆσK (r, t) ψˆσK (0, t) 2s + 1 σ
(N Z ) (NZ+1) ∞ 2 1 X X X −βKα ~i (Kα −Kα′ )t − ~i (Pα −Pα′ )·r 1 X
= e e e N, α ψˆσ (0) N + 1, α′ . Z 2s + 1 σ N =0 α
α′
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
404
ˆIn mod similar se prelucreaz˘ a cea de-a doua medie caracteristic˘ a: X † 1 Tr ̺ˆ ψˆσK (0, t) ψˆσK (r, t) 2s + 1 σ
o n e−β K i ˆ i ˆ i ˆ i ˆ 1 X ψˆσ† (0) e ~ Kt e− ~ P·r ψˆσ (0) e ~ P·r e− ~ Kt Tr 2s + 1 σ Z ˆ
=
′
(N (N Z) Z ) ∞ X ∞ ˆ X
1 X X X ′ ′ e−β K ˆ† i ˆ ˆ N, α N, α e ~i Kt = e− ~ P·r ψσ (0) N ,α 2s + 1 σ ′ Z N =0
×ψˆσ (0) e
i ˆ ~ P·r
α′
e
ˆ − ~i Kt ′
′ ′ N ,α
N =0 α
(N Z ) ∞ (N Z) ∞ i i 1 X X X X X 1 −βKα′ ′ ′ ˆ† = e N , α ψσ (0) N, α e ~ Kα t e− ~ Pα ·r 2s + 1 σ ′ Z N =0
α′
N =0 α
iˆ
i ˆ × N, α ψˆσ (0) N ′ , α′ e ~ P·r e− ~ Kt ;
din rezultatul precedent se obt¸ine: 1 X † Tr ̺ˆ ψˆσK (r, t) ψˆσK (0, t) 2s + 1 σ ′
(N (N Z) X Z ) ∞ X ∞ X X 1 −βKα′ i (Kα −Kα′ )t − i (Pα −Pα′ )·r e ~ e e~ = Z ′ N =0 α
N =0
α′
1 X
× N, α ψˆσ (0) N ′ , α′ N ′ , α′ ψˆσ† (0) N, α 2s + 1 σ | {z } 2 ˆσ (0)|N +1,α′ i = δN ′ ,N +1 hN,α|ψ
(N Z ) (NZ+1) ∞ 2 1 X X X −βKα′ i (Kα −Kα′ )t − i (Pα −Pα′ )·r 1 X
= e ~ e e~ N, α ψˆσ (0) N + 1, α′ . Z 2s + 1 σ N =0 α
α′
Prin luarea ˆın considerare a rezultatelor precedente, se obt¸ine expresia funct¸iilor Green termice de timp real scalare (cauzal˘a, retardat˘ a, sau avansat˘a): (γ)
iG
(N Z ) (NZ+1) ∞ 2 i i 1 X X X 1 X
(r, t) = N, α ψˆσ (0) N + 1, α′ e ~ (Kα −Kα′ )t e− ~ (Pα −Pα′ )·r Z 2s + 1 σ N =0 α α′ o n −βKα (+) (5.112) ∓ λγ(−) θ λγ(−) t e−βKα′ , unde γ = c, R, A . × λ(+) γ θ λγ t e
Transformata Fourier se calculeaz˘a cu formula (5.111): Z ∞ Z 3 (γ) e d r dt e−ik·r+iωt G(γ) (r, t) G (k, ω) = V
=
−∞
(N Z ) (NZ+1)
Z ∞ 2 1 X X X 1 X
1 d3 r e−i[k+ ~ (Pα −Pα′ )]·r N, α ψˆσ (0) N + 1, α′ Z 2s + 1 σ V N =0 α
α′
(+) Z ∞ n i[ ω+(Kα −K ′ )/~ ] t λγ α × e−βKα dt θ λ(+) γ t e i −∞ (−) Z ∞ o λγ dt θ λγ(−) t e i[ ω+(Kα −Kα′ )/~ ] t ∓ e−βKα′ i −∞
Integrala spat¸ial˘a ¸si integralele temporale sunt de acela¸si tip cu cele ˆıntˆ alnite la construct¸ia reprezent˘ arilor Lehmann pentru funct¸iile Green uni-particul˘a ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a; ca urmare, se prezint˘ a ˆın mod direct rezultatele:
5.3. FUNCT ¸ II GREEN TERMICE DE TIMP REAL
405
• integrala spat¸ial˘a este P − P ′ Z 1 α α d3 r e−i[ ~ (Pα −Pα′ )]·r = V δ Pα′ −Pα , ~k ; ≡ I ~ V • integralele temporale sunt de tipul Z ∞ K± (ω) ≡ dτ θ(±τ ) e iωτ = lim −∞
η→0+
±i , ω ± iη
ca urmare, pentru cazul cˆ and λ = ±1, se obt¸ine: Z ∞ λ 1 λi λ = . dτ θ λτ e iωτ = i −∞ i ω + iλη η→0+ ω + iλη η→0+
Atunci, prin utilizarea rezultatelor precedente se obt¸ine reprezentarea Lehmann pentru transformatele Fourier ale funct¸iilor Green termice de timp real uni-particul˘a (cauzal˘a, retardat˘ a ¸si avansat˘ a): (N Z ) (NZ+1) ∞ 2 1 X X X 1 X
(γ) e G (k, ω) = N, α ψˆσ (0) N + 1, α′ V δ Pα′ −Pα , ~k Z 2s + 1 σ N =0 α α′ e−βKα e−βKα′ × ∓ ; Ka − Kα′ Ka − Kα′ (+) (−) ω+ + i λγ η ω + + i λγ η η→0+ ~ ~
(5.113a)
din expresia general˘ a precedent˘ a, prin particularizare, se obt¸in reprezent˘ arile Lehmann pentru cele 3 funct¸ii Green termice de timp real uni-particul˘a: (N Z ) (NZ+1) ∞ 2 V X X X 1 X
e G(k, ω) = δ Pα′ −Pα , ~k N, α ψˆσ (0) N + 1, α′ Z 2s + 1 σ N =0 α α′ e−βKα′ e−βKα ∓ ; (5.113b) × Kα′ − Kα Kα′ − Kα +iη ω − − i η η→0+ ω− ~ ~ (N Z ) (NZ+1) ∞ 2 V X X X 1 X
(R) e G (k, ω) = δ Pα′ −Pα , ~k N, α ψˆσ (0) N + 1, α′ Z 2s + 1 σ N =0 α α′ e−βKα ∓ e−βKα′ × ; (5.113c) Kα′ − Kα ω− + i η η→0+ ~ (N Z ) (NZ+1) ∞ 2 V X X X 1 X
(A) e G (k, ω) = δ Pα′ −Pα , ~k N, α ψˆσ (0) N + 1, α′ Z 2s + 1 σ N =0 α α′ e−βKα ∓ e−βKα′ × . (5.113d) Kα′ − Kα ω− − i η η→0+ ~
Consecint¸e ale reprezent˘ arii Lehmann A. Propriet˘ a¸ti analitice Se consider˘ a cele 3 transformate Fourier ale funct¸iilor Green termice de timp real uni-particul˘a (cauzal˘a, retardat˘ a ¸si avansat˘ a) ˆın forma reprezent˘ arii Lehmann cˆ and frecvent¸a (pulsat¸ia) devine variabil˘ a complex˘a (ω → z = ω + iγ); atunci din relat¸iile (5.113), rezult˘a urm˘atoarele propriet˘ a¸ti analitice ale transformatelor Fourier specificate anterior, ca funct¸ii de variabil˘ a complex˘a:
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
406
e • G(k, z) este o funct¸ie meromorf˘ a ˆın planul complex, avˆand poli simpli zP = ~1 (Kα′ −Kα )±i η 2 e ¸si reziduurile ˆın poli sunt Res G(k, zP ) ∼ hN, α|ψˆσ (0)|N + 1, α′ i .
e (R) (k, z) este o funct¸ie olomorf˘ • G a ˆın semiplanul superior Im(z) > 0 ¸si este o funct¸ie meromorf˘ a ˆın semiplanul inferior Im(z) < 0, avˆand poli simpli zP = ~1 (Kα′ − Kα ) − i η.
e (A) (k, z) este o funct¸ie olomorf˘ • G a ˆın semiplanul inferior Im(z) < 0 ¸si este o funct¸ie meromorf˘ a ˆın semiplanul superior Im(z) > 0, avˆand poli simpli zP = ~1 (Kα′ − Kα ) + i η.
e e (R) (k, z) ¸si G e (A) (k, z) difer˘a numai prin • Expresiile celor 3 transformate Fourier G(k, z), G factorul de convergent¸˘ a infinitezimal (±η).
• Deoarece st˘ arile α′ implic˘ a N ′ = N + 1 particule ¸si impulsul Pα′ = Pα + ~k, atunci diferent¸a valorilor proprii ale hamiltonianului grand-canonic, care apar ˆın expresiile polilor se pot exprima astfel: (N +1) − µ(N + 1) − Eα(N ) − µ N Kα′ − Kα = Eα′ (N +1) − Eα(N ) − µ = Eα′ (N ) (N ) (N +1) (N +1) (N +1) − E0 − Eα(N ) − E0 + E0 −µ = Eα′ − E0 | {z } | {z } | {z } (N +1)
(N )
= ǫ α′
(N +1)
= ǫα′
= ǫα
=µ
) − ǫ(N , α
(N )
unde ǫα este energia de excitat¸ie pe starea α a sistemului cu N particule; atunci, polii transformatelor Fourier ale funct¸iilor Green termice de timp real uni-particul˘a au polii avˆand valori egale cu diferent¸a energiilor de excitat¸ie la ad˘augarea unei particule (s-a neglijat factorul de convergent¸˘ a). • Rezultatele prezente sunt generalizarea direct˘a a reprezent˘ arilor Lehmann din formalismul fermionic de temperatur˘a nul˘a (apar simplific˘ ari, deorece s-au ales funct¸ii Green scalare). B. Funct¸ia pondere se define¸ste prin urm˘atoarea expresie (N Z ) (NZ+1) ∞ 2 V X X X 1 X
ρ(k, ω) ≡ δ Pα′ −Pα , ~k N, α ψˆσ (0) N + 1, α′ Z 2s + 1 σ N =0 α
α′
× e−βKα ∓ e−βKα′
Kα′ − Kα , 2π δ ω − ~
(5.114a)
unde semnul superior (−) este pentru cazul bosonic ¸si semnul inferior (+) este pentru cazul fermionic. Se observ˘ a c˘ a expresia de definit¸ie a funct¸iei pondere se poate exprima ˆıntr-o form˘a echivalent˘ a utilizˆand urm˘atoarea transformare: Kα′ − Kα Kα′ − Kα e−βKα ∓ e−βKα′ 2π δ ω − = e−βKα 1 ∓ e−β(Kα′ −Kα ) 2π δ ω − ~ ~ ′ − Kα K α = e−βKα 1 ∓ e−β~ω 2π δ ω − ; ~
ca urmare, funct¸ia pondere devine:
(N Z ) (NX Z+1) ∞ X X ρ(k, ω) ≡ V δ Pα′ −Pα , ~k N =0 α −βKα
×
e
Z
α′
2 1 X
N, α ψˆσ (0) N + 1, α′ 2s + 1 σ
Kα′ − Kα 1 ∓ e−β~ω 2π δ ω − . ~
(5.114b)
5.3. FUNCT ¸ II GREEN TERMICE DE TIMP REAL
407
Funct¸ia pondere are urm˘atoarele propriet˘ a¸ti importante: i. pentru fermioni este pozitiv˘ a (la orice frecvent¸˘a), iar pentru bosoni are semnul frecvent¸ei (fermioni) ρ(k, ω) ≥ 0( , > 0 , pentru ω > 0 (5.115) , (bosoni) ρ(k, ω) = < 0 , pentru ω < 0 ii. relat¸ia de normare
Z
∞
dω ρ(k, ω) = 1 . −∞ 2π
(5.116)
Demonstrat¸ie: Se efectueaz˘ a integrala temporal˘ a, care este banal˘ a, deoarece este de tipul Z ∞ dω C δ(ω − ω0 ) = C , −∞ 2π (unde C este o m˘ arime independent˘ a de frecvent¸˘ a) Z
(N) Z (N+1) Z ∞ X 2 X X dω 1 X
′ V δ Pα′ −Pα , ~k ρ(k, ω) = N, α ψˆσ (0) N + 1, α 2s + 1 σ −∞ 2π N=0 ∞
α′
α
×
e−βKα
∓
Z
e−βKα′ ; Z
dar ˆın expresia precedent˘ a se pot face urm˘ atoarele substitut¸ii (care sunt operat¸ii inverse fat¸˘ a de cele efectuate la deducerea reprezent˘ arilor Lehmann pentru funct¸iile Green termice de timp real uni-particul˘ a): Z V δ Pα′ −Pα , ~k = d3 r e i[(Pα′ −Pα )/~−k]·r , V
∞
X
2 ′ δN ′ ,N+1 N, α ψˆσ (0) N ′ , α′ N ′ , α′ ψˆσ† (0) N, α N, α ψˆσ (0) N + 1, α = N ′ =0 ∞ X
=
N ′ =0
N, α ψˆσ (0) N ′ , α′ N ′ , α′ ψˆσ† (0) N, α ;
ca urmare, integrala funct¸iei pondere devine:
′
(N) Z ) Z (N Z ∞ X ∞ X X X
i dω 1 X 3 ik·r e ~ (Pα′ −Pα )·r N, α ψˆσ (0) N ′ , α′ d re ρ(k, ω) = 2s + 1 σ V −∞ 2π N=0 ′
Z
∞
N =0
α
α′
e−βKα
e−βKα′ . ∓ × N ′ , α′ ψˆσ† (0) N, α Z Z
ˆIn expresia precedent˘ a se formeaz˘ a elementul de matrice al operatorului de cˆ amp ψˆσ (r), utilizˆ and i P ·r iP −~ ·r ′ α ˆ ˆ de asemenea relat¸ia ψσ (r) = e ψσ (0) e ~ α , care a fost utilizat˘ a anterior pantru deducerea reprezent˘ arilor Lehmann specificate mai sus: i
i i e ~ (Pα′ −Pα )·r N, α ψˆσ (0) N ′ , α′ = N, α e− ~ Pα ·r ψˆσ (0) e ~ Pα′ ·r N ′ , α′
= N, α ψˆσ (r) N ′ , α′ ; atunci, integrala funct¸iei pondere se aduce la urm˘ atoarea form˘ a: Z Z ∞ 1 X dω d3 r e ik·r ρ(k, ω) = 2π 2s +1 σ V −∞ ′
(N) X Z ) −βKα Z (N ∞ X ∞ X X
e × N, α ψˆσ (r) N ′ , α′ N ′ , α′ ψˆσ† (0) N, α Z N=0 ′ N =0
∓
α
α′
′ (N Z ) (N) Z
∞ ∞ X X X e−βKα′ ′ ′ † X
N , α ψˆσ (0) N, α N, α ψˆσ (r) N ′ , α′ ; Z ′ N=0
N =0
α′
α
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
408
ˆın continuare, prin utilizarea relat¸iei de completitudine a bazei |N, αi ¸si a definit¸iei urmei operatoriale exprimat˘ a ˆın aceea¸si baz˘ a, expresia din interiorul parantezelor acolade se transform˘ a astfel: ′
(N (N) Z ) Z ∞ ∞ X X X X ′ ′ ′ ′ † e−βKα
ˆ N , α N , α ψˆσ (0) N, α N, α ψσ (r) Z ′ N=0 N =0
α
α′
′ (N Z )
(N) Z ∞ ∞ X X e−βKα′ ′ ′ † X X
ˆ N, α N, α ψˆσ (r) N ′ , α′ ∓ N , α ψσ (0) Z ′ N=0 N =0 α′
α
(N ′ )
(N) Z
Z −βK ′ ∞ X −βKα ∞ X X X α
e e = N, α ψˆσ (r) ψˆσ† (0) N, α ∓ N ′ , α′ ψˆσ† (0) ψˆσ (r) N ′ , α′ Z Z N=0 α N ′ =0 α′ n o n o = Tr ̺ˆ ψˆσ (r) ψˆσ† (0) ∓ Tr ̺ˆ ψˆσ† (0) ψˆσ (r) n o = Tr ̺ˆ ψˆσ (r) , ψˆσ† (0) ∓ = δ 3 (r) Tr ̺ˆ = δ 3 (r) ,
unde s-au obt¸inut ultimele egalit˘ a¸ti luˆ and ˆın considerare relat¸ia de comutare/anti-comutare a operatorilor de cˆ amp ˆın formularea Schr¨ odinger ¸si condit¸ia de normare a operatorului statistic Tr{ˆ ̺} = 1. Prin utilizarea rezultatului precedent, integrala funct¸iei pondere devine: Z
Z 1 X dω d3 r e ik·r δ 3 (r) = 1 , ρ(k, ω) = 2s + 1 σ V −∞ 2π {z } | {z } | ∞
=1
care este relat¸ia cerut˘ a.
=1
iii. Transformata Hilbert a unei funct¸ii reale f (x), este funct¸ia de variabil˘ a complex˘a Hf (z) definit˘ a prin formula: Z ∞ dx f (x) ; Hf (z) = −∞ 2π z − x atunci transformata Hilbert a funct¸iei pondere este Θ(k, z) ≡
Z
∞
dω ′ ρ(k, ω ′ ) ; ′ −∞ 2π z − ω
(5.117a)
ˆın particular, dac˘ a se consider˘ a c˘ a variabila este real˘a, (z → ω ∈ R), atunci transformata Hilbert se define¸ste ca parte principal˘a ˆın sens Cauchy a integralei: Z ∞ dω ′ ρ(k, ω ′ ) . Θ(k, ω) ≡ − ′ −∞ 2π ω − ω
(5.117b)
C. Exprimarea funct¸iilor Green termice de timp real prin funct¸ia pondere Transformatele Fourier ale funct¸iilor Green termice de timp real uni-particul˘a, ˆın reprezentarea Lehmann (5.113), se exprim˘ a prin funct¸ia pondere, utilizˆand egalitatea 1 = ω−x
Z
∞
1 dω ′ . 2π δ(ω ′ − x) ω − ω′ −∞ 2π
Transformatele Fourier ale funct¸iilor Green termice de timp real uni-particul˘a retardat˘ a ¸si avansat˘ a se exprim˘ a ˆın termeni de transformate Hilbert a funct¸iei pondere, conform relat¸iilor: e (R) (k, ω) = Θ(k, ω + iη) G , (5.118a) η→0+ e (A) (k, ω) = Θ(k, ω − iη) G . (5.118b) η→0+
5.3. FUNCT ¸ II GREEN TERMICE DE TIMP REAL
409
Demonstrat¸ie: Pentru funct¸ia retardat˘ a, exprimat˘ a prin relat¸ia (5.113c), se obt¸ine: (N) Z Z (N+1) ∞ 2 V X X X 1 X
(R) ′ e G (k, ω) = δ Pα′ −Pα , ~k N, α ψˆσ (0) N + 1, α Z N=0 2s + 1 σ α α′ 1 × e−βKα ∓ e−βKα′ Kα′ − Kα ω− + i η η→0+ ~ (N+1) (N) Z Z Z ∞ ∞ ′ 2 1 X
dω V X X X ′ δ Pα′ −Pα , ~k = N, α ψˆσ (0) N + 1, α 2s + 1 σ −∞ 2π Z N=0 α α′ 1 Kα′ − Kα −βKα −βKα′ ′ × e ∓e 2π δ ω − ~ ω − ω ′ + i η η→0+ Z ∞ dω ′ ρ(k, ω ′ ) = ′ −∞ 2π ω + iη − ω η→0+ = Θ(k, ω + iη) , η→0+
unde ultimile egalit˘ a¸ti s-au obt¸inut prin aplicarea definit¸iei funct¸iei pondere (5.114) ¸si a transformatei sale Hilbert (5.117). Pentru transformata Fourier a funct¸iei Green termice de timp real avansat˘ a se procedeaz˘ a ˆın mod analog, deoarece singura diferent¸a este semnul factorului de convergent¸˘ a.
Transformata Fourier a funct¸iei Green termic˘ a de timp real uni-particul˘a cauzal˘ a se exprim˘ a ˆın termeni de funct¸ia pondere prin relat¸ia Z ∞ o n 1 β~ω ′ ±1 dω ′ e − iπ coth δ(ω − ω ′ ) , (5.119) ρ(k, ω ′ ) P G(k, ω) = ′ ω−ω 2 −∞ 2π 1 unde P desemneaz˘a partea principal˘a ˆın sens Cauchy a integralei precedente, iar semnul ω − ω′ superior corespunde cazului bosonic ¸si semnul inferior cazului fermionic. Demonstrat¸ie: e Se utilizeaz˘ a reprezentarea Lehmann pentru funct¸ia G(k, ω), (5.113b)
(N) Z Z (N+1) ∞ 2 1 X
V X X X ′ e δ Pα′ −Pα , ~k G(k, ω) = N, α ψˆσ (0) N + 1, α Z N=0 2s + 1 σ α′
α
e−βKα e−βKα′ × ∓ ; Kα′ − Kα Kα′ − Kα ω− ω− +iη − i η η→0+ ~ ~ m˘ arimea din interiorul parantezelor acolade se transform˘ a ˆın concordant¸˘ a cu formula BakerCampbell-Hausdorff ¸si apoi se separ˘ a partea real˘ a de partea imaginar˘ a: e−βKα′ e−βKα ∓ K ′ − Kα K ′ − Kα ω− α + iη ω− α − iη ~ " ~! −βKα
=e
P
−βKα′
∓e
−βKα
= e
1
ω− " P
Kα′ − Kα ~
− iπδ
1 ω−
Kα′ − Kα ~
−βKα′
∓e
= e−βKα ∓ e−βKα′
ω− P
ω−
Kα′ − Kα ~
Kα′ − Kα ~
!
1 K ′ − Kα ω− α ~
!#
1
+ iπδ
1
P
(
!
1
ω−
Kα′ − Kα ~ −βKα
− iπ e !
!#
−βKα′
±e
β~ω ±1 δ − iπ coth 2
1
δ ω−
!
Kα′ − Kα ~ !)
1 Kα′ − Kα ω− ~
.
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
410
Atunci, prin substituirea rezultatului precedent ¸si utilizarea identit˘ a¸tii Z ∞ dω ′ 2π δ(ω ′ − x) g(ω − ω ′ ) g(ω − x) = −∞ 2π se obt¸ine (N) Z Z (N+1) ∞ 2 V X X X 1 X
′ e G(k, ω) = δ Pα′ −Pα , ~k N, α ψˆσ (0) N + 1, α Z N=0 2s + 1 σ α α′ ! !) ( 1 β~ω ±1 1 −βKα −βKα′ δ − iπ coth × e ∓e P K ′ − Kα K ′ − Kα 2 ω− α ω− α ~ ~ (N+1) (N) Z ∞ Z Z ∞ 2 dω ′ V X X X 1 X
′ = δ Pα′ −Pα , ~k N, α ψˆσ (0) N + 1, α 2s + 1 σ −∞ 2π Z N=0 α
α′
o β~ω ′ ±1 K ′ − Kα n 1 P δ ω − ω′ . − iπ coth × e−βKα ∓ e−βKα′ 2πδ ω − α ′ ~ ω−ω 2
ˆIn ultima expresie se utilizeaz˘ a definit¸ia funct¸iei pondere (5.114a), astfel ˆıncˆ at se obt¸ine ˆın final relat¸ia (5.119).
D. Relat¸ii de dispersie Pentru funct¸ia Green termic˘ a de timp real retardat˘ a se utilizeaz˘a expresia (5.118) ¸si se separ˘ a partea real˘ a de partea imaginar˘ a cu ajutorul formulei Baker-Campbell-Hausdorf: Z ∞ dω ′ ρ(k, ω ′ ) (R) e G (k, ω) = Θ(k, ω + iη) = ′ η→0+ −∞ 2π ω − ω + iη η→0+ Z ∞ n 1 o dω ′ ′ , − iπδ ω − ω = ρ(k, ω ′ ) P ω − ω′ −∞ 2π
astfel ˆıncˆ at p˘ art¸ile real˘ a ¸si imaginar˘ a au urm˘atoarele expresii: Z ∞ ′ ′ (R) e (k, ω) = − dω ρ(k, ω ) = Θ(k, ω) , Re G ′ −∞ 2π ω − ω (R) e (k, ω) = − 1 ρ(k, ω) ; Im G 2 ca urmare rezult˘a relat¸ia de dispersie normal˘a (R) Z e (k, ω) (R) 1 ∞ ′ Im G e . Re G (k, ω) = − − dω π −∞ ω − ω′
Pentru funct¸ia Green termic˘ a de timp real avansat˘a se obt¸ine ˆın mod analog Z ∞ (A) dω ′ ρ(k, ω ′ ) e Re G (k, ω) = − = Θ(k, ω) , ′ −∞ 2π ω − ω (A) e (k, ω) = + 1 ρ(k, ω) ; Im G 2 ca urmare rezult˘a, de asemenea, relat¸ia de dispersie normal˘a (A) Z e (k, ω) (A) 1 ∞ ′ Im G e . Re G (k, ω) = + − dω π −∞ ω − ω′
(5.120)
(5.121)
Pentru funct¸ia Green termic˘ a de timp real cauzal˘ a se obt¸in p˘ art¸ile real˘a ¸si imaginar˘a din relat¸ia (5.119): Z ∞ dω ′ ρ(k, ω ′ ) e = Θ(k, ω) , (5.122a) Re G(k, ω) = − ′ −∞ 2π ω − ω 1 β~ω ′ ±1 e ω) = − Im G(k, ρ(k, ω) ; (5.122b) coth 2 2
5.3. FUNCT ¸ II GREEN TERMICE DE TIMP REAL
411
ca urmare, rezult˘a relat¸ia de dispersie anomal˘a Z e ω) β~ω ′ ±1 1 ∞ ′ Im G(k, e tanh , Re G(k, ω) = − − dω π −∞ ω − ω′ 2
(5.123)
numit˘a relat¸ia de dispersie Landau (semnul superior este pentru cazul bosonic, iar semnul inferior este pentru cazul fermionic). E. Relat¸ii ˆıntre transformatele Fourier ale funct¸iilor Green termice de timp real P˘ art¸ile reale ale transformatelor Fourier pentru cele 3 funct¸ii Green termice de timp real sunt egale (A) (R) e (k, ω) = Θ(k, ω) , e (k, ω) = Re G e (5.124a) ω) = Re G Re G(k,
iar p˘ art¸ile imaginare au expresiile
β~ω ′ ±1 1 e ρ(k, ω) , coth ω) = − Im G(k, 2 2 (R) e (k, ω) = − 1 ρ(k, ω) , Im G 2 (A) 1 e (k, ω) = + ρ(k, ω) . Im G 2
(5.124b) (5.124c) (5.124d)
Din relat¸iile anterioare se obt¸ine urm˘atoarea expresie a transformatei Fourier a funct¸iei Green termic˘ a de timp real cauzal˘ a ˆın termeni de funct¸ii Green termice de timp real retardat˘ a ¸si avansat˘ a: e (R) (k, ω) G e (A) (k, ω) G e G(k, ω) = + , (5.125) 1 ∓ e−β~ω 1 ∓ e β~ω unde semnul superior este pentru cazul bosonic, iar semnul inferior este pentru cazul fermionic. Demonstrat¸ie: Se utilizeaz˘ a urm˘ atoarea identitate matematic˘ a: ±1 1 ± e−x a−b a+b x =a−b = + , a − b coth 2 1 ∓ e−x 1 ∓ e−x 1 ∓ ex pentru urm˘ atoarea alegere
a≡P
1 , ω − ω′
b ≡ iπ δ(ω − ω ′ ) ,
x ≡ β~ω ;
atunci, prin utilizarea relat¸iei Baker-Campbell-Hausdorff, rezult˘ a 1 1 a−b=P , − iπ δ(ω − ω ′ ) = ω − ω′ ω − ω′ + i η 1 1 a+b=P , + iπ δ(ω − ω ′ ) = ω − ω′ ω − ω′ − i η
iar identitatea considerat˘ a anterior devine 1 1 1 1 1 β~ω ′ ±1 δ(ω − ω ′ ) = + . − iπ coth P ′ ω−ω 2 1 ∓ e−β~ω ω − ω ′ + i η 1 ∓ e β~ω ω − ω ′ − i η
Transformata Fourier a funct¸iei Green termic˘ a de timp real cauzal˘ a are expresia (5.119), care prin utilizarea rezultatului anterior, devine Z ∞ o n dω ′ 1 1 1 1 e G(k, ω) = ρ(k, ω ′ ) + 1 ∓ e−β~ω ω − ω ′ + i η 1 ∓ e β~ω ω − ω ′ − i η −∞ 2π Z ∞ Z ∞ ′ ′ 1 ρ(k, ω ) ρ(k, ω ′ ) 1 dω dω ′ = + −β~ω ′ β~ω ′ 1∓e 1∓e −∞ 2π ω − ω + i η −∞ 2π ω − ω − i η 1 1 e (R) (k, ω) + e (A) (k, ω) , G G = 1 ∓ e−β~ω 1 ∓ e β~ω
unde ultima egalitate a fost obt¸inut˘ a prin considerarea expresiilor (5.118), care exprim˘ a transformatele Fourier ale funct¸iilor Green termice de tipm real retardat˘ a ¸si avansat˘ a ˆın termeni de funct¸ie pondere.
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
412
F. Comportarea asimptotic˘ a la frecvent¸e mari, a transformatelor Fourier pentru cele 3 funct¸ii Green termice de timp real este
Demonstrat¸ie:
e (c,R,A) (k, ω) −→ 1 . G |ω|→∞ ω
(5.126)
Transformatele Fourier ale funct¸iilor Green retardat˘ a ¸si avansat˘ a au expresiile date de relat¸iile (5.118), care la frecvent¸e mari devin: Z Z ∞ 1 ∞ dω ′ 1 dω ′ ρ(k, ω ′ ) e (R,A) (k, ω) = ρ(k, ω ′ ) = , ≈ G ′ ω −∞ 2π ω − ω ± iη η→0+ |ω|→∞ ω −∞ 2π unde ultima egalitate s-a obt¸inut cu ajutorul condit¸iei de normare a funct¸iei pondere (5.116).
Transformata Fourier a funct¸iei Green cauzale se exprim˘ a ˆın termeni de transformate Fourier ale funct¸iilor Green retardat˘ a ¸si avansat˘ a prin relat¸ia (5.125), care la limita asimptotic˘ a devine: e (R) (k, ω) ≈ 1 , ≈ G 1 1 (R) (A) ω→∞ ω e e e G(k, ω) = G (k, ω) + G (k, ω) = ≈ G 1 ∓ e−β~ω 1 ∓ e β~ω e (A) (k, ω) ≈ 1 . ω→−∞ ω
G. Relat¸ia ˆıntre funct¸ia Green-Matsubara ¸si funct¸ia Green termic˘ a de timp real Pentru a obt¸ine relat¸ia ˆıntre funct¸ia Green-Matsubara uni-particul˘a ¸si funct¸ia Green termic˘ a de timp real uni-particul˘ a cauzal˘ a se utilizeaz˘a reprezent˘ arile Lehmann ale acestor funct¸ii. G1. Reprezentarea Lehmann pentru funct¸ia Green-Matsubara Deoarece s-a determinat anterior reprezentarea Lehmann pentru funct¸ia Green termic˘ a de timp real uni-particul˘ a cauzal˘ a, se va prezenta ˆın continuare deducerea reprezent˘ arii Lehmann pentru funct¸ia Green-Matsubara uni-particul˘a; deoarece aceast˘a deducere este asem˘ an˘atoare cu cea specificat˘ a anterior, se va face o prezentare succint˘ a, pentru a omite unele repetit¸ii. Pentru simplificarea expunerii se va considera cazul cˆ and sistemul este izotrop, astfel ˆıncˆ at se pot utiliza funct¸iile Green scalare. Baza ˆın care se vor evalua urmele operatoriale este baza proprie comun˘ a a operatorilor num˘ar ˆ , P, ˆ H), ˆ care este constituit˘ de particule, impuls total ¸si hamiltonian (N a din setul vectorilor |N, αi; atunci sunt valabile ecuat¸iile cu valori proprii comune acestor operatori comutabili: ˆ N, α = N N, α , N ˆ N, α = Eα(N ) N, α , H ˆ N, α = Pα N, α . P
Operatorul de cˆ amp ˆın formularea Heisenberg-Matsubara este corelat cu operatorul de cˆ amp ˆın formularea Schr¨odinger corespunz˘ ator coordonatei de pozit¸ie plasatca ˆın originea axelor de doordonate, conform formulei τ ˆ i ˆ i ˆ τ ˆ τ ˆ τ ˆ ψˆσK¯ (r, τ ) = e ~ K ψˆσ (r) e− ~ K = e ~ K e− ~ P·r ψˆσ (0) e ~ P·r e− ~ K .
Din definit¸ia general˘ a a funct¸iei Green-Matsubara (5.20), rezult˘a c˘ a funct¸ia Green-Matsubara scalar˘a este 1 X Gσσ (r, τ ; 0, 0) 2s + 1 σ n o 1 X (−1) Tr ̺ˆ Tτ ψˆσK¯ (r, τ ) ψˆσ† K¯ (0, 0) = 2s + 1 σ n o θ(−τ ) X n o θ(τ ) X =− Tr ̺ˆ ψˆσK¯ (r, τ ) ψˆσ† K¯ (0, 0) ∓ Tr ̺ˆ ψˆσ† K¯ (0, 0) ψˆσK¯ (r, τ ) . 2s + 1 σ 2s + 1 σ
G(r, τ ) =
Cele 2 medii grand-canonice se evalueaz˘ a ˆın mod similar cu calculul analog efectuat pentru deducerea reprezent˘ arii Lehmann a funct¸iei G(k, ω), adic˘a se evalueaz˘ a urma operatorial˘ a ˆın
5.3. FUNCT ¸ II GREEN TERMICE DE TIMP REAL
413
baza {|N, αi}, se introduce relat¸ia de completitudine a acestei baze ¸si se utilizeaz˘a ecuat¸iile cu ˆ H}. ˆ , P, ˆ Astfel, prima medie are urm˘atoarea explicitare: valori proprii ale operatorilor {N n o 1 X Tr ̺ˆ ψˆσK¯ (r, τ ) ψˆσ† K¯ (0, 0) 2s + 1 σ =
o n e−β Kˆ τ i ˆ i ˆ τ ˆ 1 X ˆ e ~ K e− ~ P·r ψˆσ (0) e ~ P·r e− ~ K ψˆσ† K¯ (0, 0) Tr 2s + 1 σ Z
(N Z) ∞ ˆ τ ˆ i ˆ 1 X X X e−β K τ~ Kˆ − ~i P·r ˆ e ψˆσ (0) e ~ P·r e− ~ K = e hN, α| 2s + 1 σ Z N =0 α
×
′ (N Z )
∞ X X
N ′ =0 α′
|N ′ , α′ ihN ′ , α′ | ψˆσ† K¯ (0, 0) |N, αi ′
(N (N Z) X Z ) −βKα ∞ X ∞ X X i i τ τ e = e ~ Kα e− ~ Pα ·r e ~ Pα′ ·r e− ~ Kα′ Z ′ N =0 α
×
N =0 α′
X
1 2s + 1
σ
hN, α| ψˆσ (0) |N ′ , α′ i hN ′ , α′ | ψˆσ† K¯ (0, 0) |N, αi | {z } 2 ˆσ (0) |N +1,α′ i = δN ′ ,N +1 hN,α| ψ
(N Z ) (NZ+1) ∞ 2 1 X X X −βKα τ (Kα −Kα′ ) − i (Pα −Pα′ )·r 1 X = e ~ hN, α| ψˆσ (0) |N + 1, α′ i ; e~ e Z 2s + 1 σ N =0
α
α′
ˆın mod similar se prelucreaz˘ a a doua medie grand-canonic˘a: n o X 1 Tr ̺ˆ ψˆσ† K¯ (0, 0) ψˆσK¯ (r, τ ) 2s + 1 σ
n e−β K o τ ˆ 1 X i ˆ i ˆ τ ˆ ψˆσ† K¯ (0, 0) e ~ K e− ~ P·r ψˆσ (0) e ~ P·r e− ~ K Tr 2s + 1 σ Z ˆ
=
′
(N Z ) ∞ ˆ 1 X X X ′ ′ e−β K ˆ† i ˆ τ ˆ = ψσK¯ (0, 0) e ~ K e− ~ P·r hN , α | 2s + 1 σ Z ′ N =0 α′
×
=
(N Z)
∞ X X
N =0 α
i
×
τ
ˆ
′
(N (N Z) X Z ) −βK ′ ∞ X ∞ X X α e
N =0 α
ˆ
|N, αihN, α| ψˆσ (0) e ~ P·r e− ~ K |N ′ , α′ i
N ′ =0 α′
Z
τ
i
i
τ
e ~ Kα e− ~ Pα ·r e ~ Pα′ ·r e− ~ Kα′
1 X hN, α| ψˆσ (0) |N ′ , α′ i hN ′ , α′ | ψˆσ† K¯ (0, 0) |N, αi 2s + 1 σ | {z } 2 ′ ˆ = δN ′ ,N +1 hN,α| ψσ (0) |N +1,α i
(N Z ) (NZ+1) ∞ 2 1 X X X −βKα′ τ (Kα −Kα′ ) − i (Pα −Pα′ )·r 1 X = e ~ hN, α| ψˆσ (0) |N + 1, α′ i ; e e~ Z 2s + 1 σ N =0 α
α′
Din rezultatele precedente se obt¸ine expresia funct¸iei Green-Matsubara (ˆın spat¸iul pozit¸ii-pseudotimp): (N Z ) (NZ+1) ∞ 2 τ i 1 X X X 1 X hN, α| ψˆσ (0) |N + 1, α′ i e ~ (Kα −Kα′ ) e− ~ (Pα −Pα′ )·r G(r, τ ) = Z 2s + 1 σ N =0 α α′ o n (5.127) × − θ(τ ) e−βKα ∓ θ(−τ ) e−βKα′ .
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
414
Transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara se obt¸ine din formula general˘a (5.29) Z ~β Z e ωn ) = d3 r dτ e−ik·r+iωn τ G(r, τ ) G(k, V
=
0 (N Z ) (NZ+1)
Z ∞ 2 i 1 X X X 1 X hN, α| ψˆσ (0) |N + 1, α′ i d3 r e− ~ (Pα −Pα′ −~k)·r Z 2s + 1 σ V N =0 α
α′
Z × e−βKα (−1)
~β
dτ θ(τ ) e
(iωn +
Kα −K ′ α ~
)τ
0
∓e
Z
~β
−βKα′
dτ θ(−τ ) e
(iωn +
Kα −K ′ α ~
0
)τ
;
integralele care apar ˆın expresia precedent˘ a produc urm˘atoarele rezultate Z i d3 r e− ~ (Pα −Pα′ +~k)·r = I ~1 (Pα − Pα′ + ~k = V δ Pα′ −Pα , ~k , Z
V
~β
dτ θ(−τ ) e(iωn +
Kα −K ′ α ~
)τ
Kα −K ′ α ~
)τ
=0,
0
Z
~β
dτ θ(τ ) e
(iωn +
Kα −K ′ α
0
e(iωn + ~ )τ = Kα − Kα′ iωn + ~ 1 = α′ iωn + Kα −K ~ =
~β 0
n o Kα −K ′ α e(iωn + ~ )~β − 1
± e−β(Kα′ −Kα ) − 1 iωn +
Kα −Kα′ ~
,
unde ultima egalitate s-a obt¸inut deoarece eiωn ~β = ±1; ca urmare, transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara devine: (N Z ) (NZ+1) ∞ 2 1 X X X 1 X e G(k, ωn ) = hN, α| ψˆσ (0) |N + 1, α′ i V δ Pα′ −Pα , ~k Z 2s + 1 σ N =0 α
α′
× e−βKα (−1)
± e−β(Kα′ −Kα ) − 1 iωn +
Kα −Kα′ ~
(N Z ) (NZ+1) ∞ 2 e−βKα ∓ e−βKα′ V X X X 1 X . = hN, α| ψˆσ (0) |N + 1, α′ i δ Pα′ −Pα , ~k α′ Z 2s + 1 σ iωn + Kα −K N =0 ~ ′ α
α
(5.128)
Se introduce funct¸ia pondere prin aceea¸si metod˘ a ca cea utilizat˘a la deducerea reprezent˘ arii Lehmann precedente ¸si se utilizeaz˘ a definit¸ia (5.114a): (N Z ) (NX Z+1) ∞ X ′ X 2 dω V 1 X e ωn ) = G(k, hN, α| ψˆσ (0) |N + 1, α′ i δ Pα′ −Pα , ~k 2s + 1 σ −∞ 2π Z
Z
∞
× =
Z
∞
e
−βKα
∓ e
iωn −
dω ′ V −∞ 2π Z
N =0 α α′ −βKα′
Kα′ − Kα 2π δ ω ′ − ~
Kα −Kα′ ~ (N Z ) (NX Z+1) ∞ X X
N =0 α
× e−βKα ∓ e−βKα
δ Pα′ −Pα , ~k
α′
′
2 1 X hN, α| ψˆσ (0) |N + 1, α′ i 2s + 1 σ
Kα′ − Kα 1 2π δ ω ′ − , ~ iωn − ω ′
astfel ˆıncˆ at se obt¸ine reprezentarea Lehmann pentru funct¸ia Green-Matsubara: Z ∞ dω ′ ρ(k, ω ′ ) e ωn ) = . G(k, ′ −∞ 2π iωn − ω
(5.129)
5.3. FUNCT ¸ II GREEN TERMICE DE TIMP REAL
415
G2. Consecint¸e ale reprezent˘ arii Lehmann pentru funct¸ia Green-Matsubara i. Din relat¸ia (5.129) rezult˘a c˘ a transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara este egal˘a cu transformata Hilbert a funct¸iei pondere pentru frecvent¸e imaginare: e ωn ) = Θ(k, iωn ) . G(k,
(5.130)
ii. Funct¸ia pondere se poate determina din transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara prin urm˘atoarea relat¸ie: n o e ωn ) e ωn ) ρ(k, ω) = − i lim G(k, − G(k, . (5.131) η→0+
iωn =ω−i η
iωn =ω+i η
Demonstrat¸ie:
Se utilizeaz˘ a exprimarea transformatei Fourier a funct¸iei Green-Matsubara prin funct¸ia pondere, conform relat¸iei (5.129): n o e ωn ) e ωn ) lim G(k, − G(k, η→0+
iωn =ω−i η
iωn =ω+i η
) Z ∞ ρ(k, ω ) ρ(k, ω ′ ) dω ′ dω − = lim ′ ′ η→0+ −∞ 2π ω − i η − ω −∞ 2π ω + i η − ω Z ∞ o n 1 1 dω ′ ; ρ(k, ω ′ ) − = lim ′ ′ η→0+ −∞ 2π ω − ω − iη ω − ω + iη (Z
∞
′
′
m˘ arimea din interiorul parantezelor acolade se prelucreaz˘ a cu ajutorul identit˘ a¸tii Baker-CampbellHausdorff n h 1 o i h 1 i 1 1 = P − + iπ δ(ω − ω ′ ) − P − iπδ(ω − ω ′ ) ′ ′ ′ ′ ω − ω − iη ω − ω + iη η→0+ ω−ω ω−ω = i 2π δ(ω − ω ′ ) ;
ca urmare, se obt¸ine lim
η→0+
n
e ωn ) G(k,
iωn =ω−i η
e ωn ) − G(k,
iωn =ω+i η
care este echivalent˘ a cu relat¸ia (5.131).
o
=
Z
∞
dω ′ ρ(k, ω ′ ) i 2π δ(ω − ω ′ ) = i ρ(k, ω) , −∞ 2π
iii. Dup˘ a ce s-a determinat funct¸ia pondere cu relat¸ia (5.131), se pot obt¸ine transformatele Fourier ale funct¸iilor Green termice de timp real retardat˘ a ¸si avansat˘a prin transformarea Hilbert (5.118) Z ∞ dω ′ ρ(k, ω ′ ) e (R A) (k, ω) = G , ′ −∞ 2π ω − ω ± i η iar apoi se poate obt¸ine transformata Fourier a funct¸iei Green termice de timp real cauzal˘ a prin utilizarea relat¸iei (5.125). Se observ˘ a c˘ a metoda de determinare a funct¸iilor Green termice de timp real din transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara, folosind funct¸ia pondere, este echivalent˘ a cu regula de substitut¸ie: R ) (k, ω) = Θ(k, ω ± i η) , e (A e ωn ) = Θ(k, iωn ) (5.132) G G(k, −→ iωn =ω±iη
adic˘a cu efectuarea prelungirii analitice a transformatei Hilbert pentru funct¸ia pondere cu frecvent¸˘a complex˘a Θ(k, z), de pe axa imaginar˘a pe axa real˘a.
G3. Prelungirea analitic˘ a a funct¸iei Green-Matsubara Observat¸ie preliminar˘ a: funct¸ia Green-Matsubara se poate calcula perturbativ prin metoda diagramatic˘ a, dar aceast˘a m˘arime nu are semnificat¸ie fizic˘a direct˘a; pe de alt˘ a parte, funct¸iile Green termice de timp real au semnificat¸ie fizic˘a, fiind generalizarea direct˘a a funct¸iilor corespondente din formalismul fermionic de temperatur˘a nul˘a, dar nu pot fi determinate prin utilizarea direct˘a a teoriei perturbat¸iilor. Atunci, conform propriet˘ a¸tilor specificate anterior, se calculeaz˘a prin metoda perturbativ˘a diagramatic˘ a funct¸ia Green-Matsubara ¸si apoi, prin utilizarea relat¸iei dintre aceast˘a funct¸ie ¸si funct¸iile Green termice de timp real, se obt¸in expresiile acestor ultime funct¸ii.
416
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
Efectuarea prelungirii analitice: i. Se calculeaz˘a prin metoda perturbativ˘a transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara e ωn ), iar apoi se utilizeaz˘ e ωn ) = Θ(k, iωn ) ¸si se obt¸ine transformata G(k, a relat¸ia (5.130) G(k, Hilbert a funct¸iei pondere Θ(k, z) pentru ¸sirul de valori discrete pe axa imaginar˘a (zn = iωn ). ii. Se efectueaz˘ a prelungirea analitic˘a a funct¸iei Θ(k, z) ˆın planul complex (z ∈ C). Totu¸si, prelungirea analitic˘a a unei funct¸ii determiγ nat˘a init¸ial pe un set discret de puncte, nu este ˆın general unic˘a, astfel z = ω + iγ ˆıncˆ at este necesar s˘a se utilizeze condit¸ii suplimentare, care s˘a asigure iωn unicitatea. De exemplu, pentru funct¸ia Θ(k, iωn ) sunt cel put¸in 2 prelungiri analitice posibile, anume Θ(k, z) ¸si Θ′ (k, z) = Θ(k, z) e2π(z/ωn )p (unde p este un num˘ ar ˆıntreg arbitrar); se observ˘a c˘ a cele dou˘a funct¸ii coincid ω pe setul de valori discrete de pe axa imaginar˘a Θ′ (k, iωn ) = Θ(k, iωn ), dar aceste funct¸ii sunt diferite ˆın toate celelalte puncte din planul complex (deci ele sunt diferite pe axa real˘a). Pentru a obt¸ine prelungirea analitic˘a corect˘a se utilizeaz˘a condit¸ia asimptotic˘a Z 1 ∞ dω ′ 1 Θ(k, z) ≈ ρ(k, ω ′ ) = , z |z|→∞ z −∞ 2π unde ultima egalitate s-a obt¸inut datorit˘a condit¸iei de normare a funct¸iei pondere (5.116); prin utilizarea condit¸iei asimptorice se obt¸ine o determinare unic˘ a a prelungirii analitice pentru funct¸ia Θ(k, z). iii. Dup˘ a ce s-a determinat funct¸ia Θ(k, z), se obt¸in transformatele Fourier ale funct¸iilor Green R ) (k, ω) = Θ(k, ω ±i η). e (A termice de timp real retardat˘ a ¸si avansat˘a, cu ajutorul relat¸iei (5.118): G Se observ˘ a c˘ a setul operat¸iilor efectuate anterior are ca efect global prelungirea analitic˘a a funct¸iei Green-Matsubara din setul de puncte discrete de pe axa imaginar˘a pˆ an˘a ˆın vecin˘atatea infinitezimal˘a a axei reale, a¸sa cum se arat˘a ˆın figura de mai sus.
5.3.3
Ecuat¸iile diferent¸iale ale funct¸iilor Green termice de timp real
Pentru funct¸ia Green termic˘ a de timp real uni-particul˘a cauzal˘a deducerea ecuat¸iei diferent¸iale este similar˘ a cu deducerea ecuat¸iei diferent¸iale a funct¸iei Green-Matsubara uni-particul˘a, care a fost prezentat˘ a ˆın Sect¸iunea 5.2.2, deoarece se poate efectua substitut¸ia τ → it; pentru celelalte dou˘a funct¸ii Green termice de timp real, adic˘a retardat˘ a ¸si avansat˘a, nu exist˘a corespondent ˆın formalismul Matsubara. A. Se consider˘ a cazul general cˆ and sistemul are interact¸ii mutuale binare ¸si interact¸ii cu un cˆ amp extern; atunci, hamiltonianul grand-canonic al sistemului este: ˆ = Tˆ + U ˆ + Vˆ − µN ˆ , K unde
ˆ 0 este hamiltonianul cinetic • H Tˆ =
Z
d3 r
X σ
−~2 2 ˆ ψˆσ† (r) ∇ ψσ (r) , 2m r
ˆ este hamiltonianul de interact¸ie cu cˆ • U ampul extern (se consider˘a interact¸ia de tip uniparticul˘ a ¸si dependent˘ a de spin): Z X ˆ = d3 r U ψˆσ† (r) uσσ′ (r) ψˆσ′ (r) , σ,σ′
• Vˆ este hamiltonianul de interact¸ie mutual˘a bi-particul˘a, dependent de spini: Z Z X 1 3 ˆ d r d3 r′ ψˆλ† (r) ψˆλ† ′ (r′ ) Vλµ,λ′ µ′ (r, r′ ) ψˆµ′ (r′ )ψˆµ (r) , V = 2 ′ ′ λ,λ ,µ,µ
5.3. FUNCT ¸ II GREEN TERMICE DE TIMP REAL
417
ˆ este operatorul num˘ • N ar de particule: Z X ˆ N = d3 r ψˆσ† (r) ψˆσ (r) . σ
B. Ecuat¸ia diferent¸ial˘a a unui operator Heisenberg grand-canonic se obt¸ine din definit¸ia (5.101) i ˆ i ˆ AˆK (t) = e ~ Kt Aˆ e− ~ Kt ∂ ˆ AˆK (t) + AˆK (t) K ˆ = AˆK (t) , K ˆ ˆ K] ˆ − (t) ; = [A, =⇒ i~ AˆK (t) = −K K − ∂t
atunci ecuat¸ia diferent¸ial˘a a operatorului de cˆ amp Heisenberg grand-canonic este ∂ ˆ ˆ i~ ψˆσK (r, t) = ψˆσK (r, t) , K = ψˆσ (r) , K (t) − − K ∂t
Comutatorul operatorului de cˆ amp cu hamiltonianul grand-canonic se obt¸ine din rezultatele anterioare (2.112), (2.109), (2.114) ¸si (2.110): ˆ ˆ ˆ ψˆσ (r) , K = ψˆσ (r) , Tˆ + ψˆσ (r) , U + ψˆσ (r) , Vˆ − µ ψˆσ (r) , N , −
−
−
−
−
unde
−~2 2 ˆ ∇ ψσ (r) , − 2m r X ˆ = uσλ (r) ψˆλ (r) ψˆσ (r) , U −
ψˆσ (r) , Tˆ
ψˆσ (r) , Vˆ
ˆ ψˆσ (r) , N
=
− −
=
Zλ
X
d3 r′′
µ,λ′ ,µ′
= ψˆσ (r) .
ψˆλ† ′ (r′′ ) Vσµ,λ′ µ′ (r, r′′ ) ψˆµ′ (r′′ ) ψˆµ (r)
Prin urmare, ecuat¸ia diferent¸ial˘a a operatorului de cˆ amp este: −~2 X ∂ ∇2r − µ ψˆσK (r, t) + uσλ (r) ψˆλK (r, t) i~ ψˆσK (r, t) = ∂t 2m λ Z X + d3 r′′ Vσµ,λ′ µ′ (r, r′′ ) ψˆλ† ′ K (r′′ , t) ψˆµ′ K (r′′ , t) ψˆµK (r, t) . µ,λ′ ,µ′
C. Pentru a obt¸ine ecuat¸ia diferent¸ial˘a a funct¸iei Green termic˘a de timp real cauzal˘ a se utilizeaz˘a rezultatul deriv˘arii unui produs cronologic de operatori: n o ∂ ˆ ˆ B(t ˆ ′ ) ∓ θ(t′ − t) B(t ˆ ′ ) A(t) ˆ ˆ ′ ) = ∂ θ(t − t′ ) A(t) Tt A(t) B(t ∂t ∂t n o ˆ B(t ˆ ′ ) ∓ B(t ˆ ′ ) A(t) ˆ = δ(t − t′ ) A(t) o n ˆ ˆ ∂ A(t) ˆ ′ ) ± θ(t′ − t) ∂ A B(t ˆ ′) B(t + θ(t − t′ ) ∂t ∂t h ∂ A(t) i ˆ ˆ , B(t) ˆ ˆ ′) . = δ(t − t′ ) A(t) + T B(t t ∓ ∂t
Atunci, derivata funct¸iei Green este i~
n o ∂ ∂ Gσσ′ (r, t; r′ t′ ) = i~ (−i) Tr ̺ˆ Tt ψˆσK (r, t) · ψˆσ† ′ K (r′ , t′ ) ∂t ∂t n o ∂ = Tr ̺ˆ ~ Tt ψˆσK (r, t) · ψˆσ† ′ K (r′ , t′ ) n ∂t o = Tr ̺ˆ ~ δ(t − t′ ) ψˆσK (r, t) , ψˆσ† ′ K (r′ , t) ∓
io n h ∂ ψˆ (r, t) σK ψˆσ† ′ K (r′ , t′ ) . − i Tr ̺ˆ Tt i~ ∂t
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
418
ˆIn primul termen se extrage ˆın exteriorul urmei operatoriale factorul ~ δ(t − t′ ), iar comutatorul sincron al operatorilor de cˆ amp Heisenberg grand-canonici se reduce la comutatorul operatorilor de cˆ amp corespondent¸i ai formul˘arii Schr¨odinger fizice: t ˆ t ˆ ψˆσK (r, t) , ψˆσ† ′ K (r′ , t) ∓ = e ~ K ψˆσ (r) , ψˆσ† ′ (r′ ) ∓ e− ~ K t
ˆ
t
ˆ
= e ~ K δσσ′ δ 3 (r − r′ ) ˆ1 e− ~ K = δσσ′ δ 3 (r − r′ ) 1ˆ ,
astfel ˆıncˆ at primul termen devine: n o Tr ̺ˆ ~ δ(t − t′ ) ψˆσK (r, t) , ψˆσ† ′ K (r′ , t) ∓ = ~ δ(t − t′ ) δσσ′ δ 3 (r − r′ ) Tr{̺ˆ} = ~ δσσ′ δ 3 (r − r′ ) δ(t − t′ ) ,
unde s-a utilizat proprietatea de normare a operatorului statistic Tr{̺ˆ} = 1. ˆIn al doilea termen se utilizeaz˘ a ecuat¸ia diferent¸ial˘a a operatorului de cˆ amp, dedus˘a anterior: io h ∂ ψˆ (r, t) n σK ψˆσ† ′ K (r′ , t′ ) −i Tr ̺ˆ Tt i~ ∂t h −~2 io n ∇2r − µ ψˆσK (r, t) ψˆσ† ′ K (r′ , t′ ) = −i Tr ̺ˆ Tt 2m n io hX −i Tr ̺ˆ Tt uσλ (r) ψˆλK (r, t) ψˆσ† ′ K (r′ , t′ ) λ
hZ n io X −i Tr ̺ˆ Tt d3 r′′ Vσµ,λ′ µ′ (r, r′′ ) ψˆλ† ′ K (r′′ , t) ψˆµ′ K (r′′ , t) ψˆµK (r, t) ψˆσ† ′ K (r′ , t′ ) µ,λ′ ,µ′
h io n ∇2r − µ Tr ̺ˆ Tt ψˆσK (r, t) ψˆσ† ′ K (r′ , t′ ) 2m h io n X −i uσλ (r) Tr ̺ˆ Tt ψˆλK (r, t) ψˆσ† ′ K (r′ , t′ )
= −i
−~2
Zλ h io n X Vσµ,λ′ µ′ (r, r′′ ) Tr ̺ˆ Tt ψˆλ† ′ K (r′′ , t) ψˆµ′ K (r′′ , t) ψˆµK (r, t) ψˆσ† ′ K (r′ , t′ ) ; −i d3 r′′ µ,λ′ ,µ′
ˆın ultima primii 2 termeni a de timp real uni-particul˘a h io cont¸in funct¸ia Green termic˘ n egalitate −i Tr ̺ˆ Tt ψˆσK (r, t) ψˆσ† ′ K (r′ , t′ ) = Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ), iar al treilea termen cont¸ine funct¸ia Green termic˘ a de timp real bi-particul˘a Tr ̺ˆ Tt ψˆλ† ′ K (r′′ , t) ψˆµ′ K (r′′ , t) ψˆµK (r, t) ψˆσ† ′ K (r′ , t′ ) = ± Tr ̺ˆ Tt ψˆµK (r, t) ψˆµ′ K (r′′ , t) ψˆλ† ′ K (r′′ , t+ ) ψˆσ† ′ K (r′ , t′ ) ′′ ′ ′ ′′ + = ± (−i)2 GII µσ′ ,µ′ λ′ (r, t; r , t|r , t ; r , t ) ,
astfel ˆıncˆ at acest al doilea termen devine: n h ∂ ψˆ (r, t) io σK −i Tr ̺ˆ Tt i~ ψˆσ† ′ K (r′ , t′ ) ∂t −~2 X = ∇2r − µ Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) + uσλ (r) Gλσ′ (r, t; r′ , t′ ) 2m λ Z X 3 ′′ ′′ II ∓i d r Vσµ,λ′ µ′ (r, r ) Gµσ′ ,µ′ λ′ (r, t; r′′ , t|r′ , t′ ; r′′ , t+ ); . µ,λ′ ,µ′
Prin ˆınsumarea rezultatelor anterioare se obt¸ine ecuat¸ia diferent¸ial˘a a funct¸iei Green termic˘ a de
5.3. FUNCT ¸ II GREEN TERMICE DE TIMP REAL
419
tinp real cauzal˘ a uni-particul˘ a: i~
∂ Gσσ′ (r, t; r′ t′ ) = ~ δσσ′ δ 3 (r − r′ ) δ(t − t′ ) ∂t −~2 X + ∇2r − µ Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) + uσλ (r) Gλσ′ (r, t; r′ , t′ ) 2m λ Z X 3 ′′ ′′ II ∓i d r Vσµ,λ′ µ′ (r, r ) Gµσ′ ,µ′ λ′ (r, t; r′′ , t | r′ , t′ ; r′′ , t+ ) , µ,λ′ ,µ′
sau forma echivalent˘ a ∂ X ~2 2 + ∇r + µ Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) − (5.133) uσλ (r) Gλσ′ (r, t; r′ , t′ ) i~ ∂t 2m λ Z X ′′ ′ ′ ′′ + = ~ δσσ′ δ 3 (r − r′ ) δ(t − t′ ) ∓ i d3 r′′ Vσµ,λ′ µ′ (r, r′′ ) GII µσ′ ,µ′ λ′ (r, t; r , t | r , t ; r , t ). µ,λ′ ,µ′
ˆIn cazul sistemului cu interact¸ii independente de spin potent¸ialele de interact¸ie (mutual˘a ¸si extern˘a) sint independente de indicii de spin: Vσµ,λ′ µ′ (r, r′′ ) = δλ,µ δλ′ ,µ′ v(r, r′′ ) , uσλ (r) = δσ,λ u(r) ; ca urmare, ecuat¸ia diferent¸ial˘a anterioar˘ a se simplific˘ a la urm˘atoarea form˘a: n ∂ o ~2 2 i~ + ∇r − u(r) + µ Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) (5.134) ∂t 2m Z X ′′ ′ ′ ′′ + = ~ δσσ′ δ 3 (r − r′ ) δ(t − t′ ) ∓ i d3 r′′ v(r, r′′ ) GII σλ,σ′ λ (r, t; r , t|r , t ; r , t ) . λ
ˆIn cazul sistemului liber (absent¸a interact¸iilor mutuale Vσµ,λ′ µ′ (r, r′′ ) = 0 ¸si a cˆ ampului extern uσλ (r) = 0), ecuat¸ia diferent¸ial˘a devine: ∂ ~2 2 + ∇r + µ G0σσ′ (r, t; r′ , t′ ) = ~ δσσ′ δ 3 (r − r′ ) δ(t − t′ ) . i~ ∂t 2m
(5.135)
Din ecuat¸iile precedente se obt¸in urm˘atoarele observat¸ii: i. Ecuat¸iile diferent¸iale pentru funct¸ia Green termic˘ a de timp real cauzal˘ a sunt similare cu ecuat¸iile corespondente din formalismul fermionic de temperatur˘a nul˘a, dup˘a cum rezult˘a prin compararea ecuat¸iilor (5.133)–(5.135) cu ecuat¸iile (3.77)–(3.78). ii. Pentru sistemul cu interact¸ii mutuale ecuat¸ia diferent¸ial˘a a funct¸iei Green termic˘ a de timp real cauzal˘ a uni-particul˘ a este dependent˘ a de funct¸ia Green termic˘ a de timp real cauzal˘ a bi-particul˘a; procedˆ and ˆın mod similar cu deducerea ecuat¸iei (5.133), se poate deduce ecuat¸ia diferent¸ial˘a a funct¸iei Green termice de timp real cauzal˘ a n-particul˘a, care va fi dependent˘ a de funct¸ia Green similar˘ a (n + 1)-particul˘a; ca urmare, se obt¸ine un sistem infinit de ecuat¸ii cuplate care cont¸ine funct¸iile Green termice de timp real cauzale pentru toate numerele de particule posibile. D. Pentru funct¸iile Green termice de tinp real retardat˘ a ¸si avansat˘a (uni-particule) se obt¸in ˆın mod analog, urm˘atoarele ecuat¸ii diferent¸iale:
i~
R X ~2 2 ∂ (A) (R A) ′ ′ ′ ′ + ∇r + µ Gσσ uσλ (r) Gλσ ′ (r, t; r , t ) − ′ (r, t; r , t ) ∂t 2m λ Z X 3 ′ ′ 3 ′′ Vσµ,λ′ µ′ (r, r′′ ) (∓i) θ ± (t − t′ ) = ~ δσσ′ δ (r − r ) δ(t − t ) + d r µ,λ′ ,µ′
n o × Tr ̺ˆ ψˆλ† ′ K (r′′ , t) ψˆµ′ K (r′′ , t) ψˆµK (r, t) , ψˆσ† ′ K (r′ , t′ ) ∓ .
(5.136)
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
420
5.3.4
Relat¸ia dintre funct¸iile Green termice de timp real ¸si observabile
Se va ar˘ ata c˘ a, ˆın mod similar formalismului Matsubara, mediile grand-canonice ale observabilelor sistemului se pot exprima ˆın termeni de funct¸ii Green termic˘ a de timp real. Deoarece se consider˘ a sistemul studiat ˆın condit¸ii grand-canonice, se utilizeaz˘a operatori Heisenberg grand-canonici, definit¸i prin relat¸ia (5.7) ˆ ˆ − i Kt ˆ ˆ K (t) ≡ e ~i Kt Ωe ~ ; Ω
operatorul statistic grand-canonic este 1 −β Kˆ e , Z
̺ˆ =
conform relat¸iei (5.3), iar media grand-canonic˘a a observabilei Ω se exprim˘ a conform relat¸iei standard (5.4) prin operatorul Schr¨odinger, sau echivalent prin operatorul Heisenberg grandcanonic
ˆ = Tr ̺ˆ Ω ˆ K (t) , Ω = Tr ̺ˆ Ω
unde ultima s-a obt¸inut deoarece operatorul statistic comut˘a cu hamiltonianul grand egalitate ˆ ˆ = 0. canonic: ̺ˆ , K −
A. Observabila uni-particul˘ a este reprezentat˘ a de un operator (formularea Schr¨odinger), avˆand forma dat˘ a de relat¸ia (2.92), astfel ˆıncˆ at operatorul Heisenberg grand-canonic are expresia: Z Z X † X ˆ ˆ AˆK (t) = d3 r ψˆσ′ K (r, t) Aˆr σ′ ,σ ψˆσK (r, t) = d3 r lim Aˆr σ′ ,σ ψˆσ† ′ K (r′ , t) ψˆσK (r, t) . ′ σ,σ′
σ,σ′
r →r
Atunci, media grand-canonic˘ a a observabilei uni-particul˘a se obt¸ine cu ajutorul funct¸iei Green termic˘ a de timp real ˆın forma urm˘atoare: Z X ˆ
A = ± i d3 r lim lim+ (5.137) Aˆr σ′ ,σ Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) . ′ ′ r →r t →t
σ,σ′
Demonstrat¸ie: Se utilizeaz˘ a definit¸ia mediei grand-canonice ˆın forma echivalent˘ a evident¸iat˘ a anterior ¸si apoi se substituie expresia operatorului uni-particul˘ a ˆın formularea Heisenberg grand-canonic˘ a
ˆ = Tr ̺ˆ AˆK (t) A = Tr ̺ˆ A Z X ˆ lim Aˆr σ ′ ,σ Tr ̺ˆ ψˆσ† ′ K (r′ , t) ψˆσK (r, t) ; = d3 r ′ σ,σ ′
r →r
pentru a introduce ordonarea cronologic˘ a, cerut˘ a de definit¸ia funct¸iei Green termic˘ a de timp real, se m˘ are¸ste ˆın mod infinitezimal timpul primului operator de cˆ amp: Tr ̺ˆ ψˆσ† ′ K (r′ , t) ψˆσK (r, t) = lim Tr ̺ˆ ψˆσ† ′ K (r′ , t′ ) ψˆσK (r, t) t′ →t+ = ± lim Tr ̺ˆ Tt ψˆσK (r, t) ψˆ† ′ (r′ , t′ ) σ K
t′ →t+
′
′
= ± i lim Gσσ ′ (r, t; r , t ) ; t′ →t+
ˆın final, prin substituirea ultimului rezultat ˆın formula mediei grand-canonice, se obt¸ine expresia (5.137).
Cazuri particulare remarcabile: – operator independent de spini
A = ±i
Z
ˆˆ X d3 r lim A Gσσ (r, t; r′ , t+ ) ; r ′ r →r
σ
5.3. FUNCT ¸ II GREEN TERMICE DE TIMP REAL
421
– operator dependent numai de variabilele de spin Z X
A = ± i d3 r Aσ′ σ Gσσ′ (r, t; r, t+ ) . σ,σ′
Exemple: i. num˘ arul mediu de particule
N = ±i
Z
d3 r
X
Gσσ (r, t; r, t+ ) ;
(5.138a)
~ σ Gσσ′ (r, t; r, t+ ) ;
(5.138b)
σ
ii. componenta de spin medie
Sz = ± i
Z
d3 r
X σ,σ′
iii. energia cinetic˘ a medie
T = ±i
Z
d3 r lim ′
r →r
X −~2 σ
2m
∇2r Gσσ (r, t; r′ , t+ ) .
(5.138c)
B. Observabil˘ a bi-particul˘ a (cazul cˆ and operatorul este multiplicativ ˆın coordonatele de pozit¸ie, adic˘a nu cont¸ine operat¸ii de derivare spat¸ial˘a) este reprezentat˘ a prin operatorul ˆın formularea Schr¨odinger, dat de relat¸ia (2.104), astfel ˆıncˆ at operatorul Heisenberg grand-canonic este Z Z X 1 † 3 ˆ B= d r d3 r′ Bλµ,λ′ µ′ (r, r′ ) ψˆλK (r, t) ψˆλ† ′ K (r′ , t) ψˆµ′ K (r′ , t) ψˆµK (r, t) . 2 ′ ′ λ,µ,λ ,µ
Valoarea medie a observabilei se poate exprima ˆın termeni de funct¸ia Green termic˘ a de timp real bi-particul˘a: Z Z X
−1 ′ + ′ + d3 r d3 r′ Bλµ,λ′ µ′ (r, r′ ) GII (5.139) B = µµ′ ,λλ′ (r, t; r , t | r, t ; r , t ) . 2 ′ ′ λ,µ,λ ,µ
Demonstrat¸ie: Conform definit¸iei media observabilei considerate se exprim˘ a ˆın termeni de operatorul Heisenberg grand-canonic:
ˆ = Tr ̺ˆ B ˆK (t) B = Tr ̺ˆ B Z Z X 1 = Bλµ,λ′ µ′ (r, r′ ) d3 r d3 r′ 2 λ,µ,λ′ ,µ′ × Tr ̺ˆ ψˆ† (r, t) ψˆ† ′ (r′ , t) ψˆµ′ K (r′ , t) ψˆµK (r, t) ; λK
λ K
apoi se fac reordon˘ ari ale operatorilor de cˆ amp pentru a forma funct¸ia Green termic˘ a de timp real bi-particul˘ a † Tr ̺ˆ ψˆλK (r, t) ψˆλ† ′ K (r′ , t) ψˆµ′ K (r′ , t) ψˆµK (r, t) † = + Tr ̺ˆ ψˆλ† ′ K (r′ , t) ψˆλK (r, t) ψˆµK (r, t) ψˆµ′ K (r′ , t) = Tr ̺ˆ ψˆµK (r, t) ψˆµ′ K (r′ , t) ψˆ† ′ (r′ , t+ ) ψˆ† (r, t+ ) λ K
λK
′ + ′ + = − GII µµ′ ,λλ′ (r, t; r , t| r, t ; r , t ) ;
atunci, prin substituirea ultimului rezultat ˆın expresia mediei observabilei bi-particul˘ a se obt¸ine relat¸ia (5.139).
Cazul particular interesant este cˆ and se consider˘ a energia de interact¸ie mutual˘a medie Z Z X
−1 ′ + ′ + V = d3 r d3 r′ Vλµ,λ′ µ′ (r, r′ ) GII µµ′ ,λλ′ (r, t; r , t| r, t ; r , t ) ; 2 ′ ′ λ,µ,λ ,µ
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
422
ˆın situat¸ia cˆ and sistemul este izolat (nu exist˘a cˆ ampuri externe), prin utilizarea ecuat¸iei diferen¸tiale a funct¸iei Green termic˘ a de timp real uni-particul˘a [adic˘ a ecuat¸ia (5.133) cu uσλ (r) = 0], se poate elimina funct¸ia Green termic˘ a de timp real bi-particul˘a, astfel ˆıncˆ at s˘a se exprime energia de interact¸ie mutual˘a medie numai ˆın termeni de funct¸ia Green termic˘ a de timp real uni-particul˘a Z Z X X
±i 3 ′′ ′ ′′ + V = d r lim lim (∓i) d3 r′′ Vλµ,λ′ µ′ (r, r′′ ) GII µµ′ ,λλ′ (r, t; r , t| r, t r , t ) ′ ′ r →r t →t 2 ′ ′ λ µ,λ ,µ {z } | 2 = i~
=
±i 2
Z
d3 r
X λ
lim lim ′ ′
r →r t →t
n
i~
∂ ~ 2 ∂t + 2m ∇r +µ
Gλλ (r,t;r′ ,t′ )−~ δλλ δ 3 (r−r′ ) δ(t−t′ )
o ~2 2 ∂ + ∇r + µ Gλλ (r, t; r′ , t′ ) − ~ δλλ δ 3 (r − r′ ) δ(t − t′ ) . ∂t 2m
Deoarece ˆınainte de trecerea la limit˘ a cele 2 funct¸ii Dirac spat¸io-temporale sunt nule, rezult˘a urm˘atoarea expresie a mediei energiei de interact¸ie: Z ∂ X
±i ~2 2 V = + ∇ + µ Gσσ (r, t; r′ , t′ ) . (5.140) d3 r i~ lim lim r r′ →r t′ →t 2 ∂t 2m σ C. Energia medie (cazul absent¸ei interact¸iilor externe) Prin combinarea relat¸iilor (5.138c) ¸si (5.140) rezult˘a energia medie a sistemului ˆın termeni de funct¸ia Green termic˘ a de timp real uni-particul˘a:
E = T + V Z h −~2 i X 1 ∂ ~2 2 i~ ∇2r + + ∇r + µ = ± i d3 r lim lim Gσσ (r, t; r′ , t′ ) ′ ′ r →r t →t 2m 2 ∂t 2m σ Z ∂ X 2 −~ ±i + ∇2 + µ d3 r lim lim i~ Gσσ (r, t; r′ , t′ ) . (5.141) = r′ →r t′ →t 2 ∂t 2m r σ 5. Potent¸ialul grand-canonic
unde:
se obt¸ine din teorema Peierls (5.40) Z 1 dλ
Ω = Ω0 + H1 (λ) λ , 0 λ
• Ω(T, µ, V ) este potent¸ialul grand-canonic al sistemului cu interact¸ii, avˆand hamiltonianul ˆ =K ˆ0 + K ˆ 1; grand-canonic K • Ω0 (T, µ, V ) este potent¸ialul grand-canonic al sistemului liber, avˆand hamiltonianul grandˆ0 canonic K ˆ 1 (λ) = λH ˆ 1 = λVˆ este hamiltonianul de interact¸ie multiplicat cu constanta de cuplaj • H variabil˘ a (adic˘ a este hamiltonianul de interact¸ie al sistemului auxiliar); • h. . .iλ este media grand-canonic˘ a calculat˘ a cu operatorul statistic al sistemului auxiliar ̺ˆλ . Dac˘ a se adapteaz˘a relat¸ia (5.140) pentru sistemul auxiliar, atunci energia de interact¸ie medie a acestui sistem este Z ∂ X
~2 2 ±i ′ ′ + ∇ + µ G(λ) H1 (λ) λ = d3 r i~ lim lim r σσ (r, t; r , t ) , r′ →r t′ →t 2 ∂t 2m σ (λ)
unde Gσσ (r, t; r′ , t′ ) este funct¸ia Green termic˘ a de timp real pentru sistemul auxiliar. Atunci, pe baza teoremei Peierls, potent¸ialul grand-canonic al sistemului cu interact¸ii se exprim˘ a ˆın urm˘atoarea form˘a: Z Z 1 ∂ X ~2 2 dλ ± i ′ ′ + ∇r + µ G(λ) (5.142) i~ d3 r lim lim Ω = Ω0 + σσ (r, t; r , t ) . ′ ′ r →r t →t λ 2 ∂t 2m 0 σ
5.3. FUNCT ¸ II GREEN TERMICE DE TIMP REAL
423
E. Cazul sistemului omogen din punct de vedere spat¸ial, permite transformarea Fourier a funct¸iei Green termic˘ a de timp real, conform relat¸iei (5.110), astfel ˆıncˆ at mediile grand-canonice se pot exprima mai simplu ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a. Num˘ arul mediu de particule se obt¸ine din relat¸ia (5.138a), ˆın care t+ = t + η (unde η → 0+ ):
N = ±i = ±i
Z
d3 r
V
Z
Gσσ (r, t; r, t+ )
σ
d3 r V | {z } =V
X
X σ
lim
η→0+
Z
Z 1 X ∞ dω iωη e Gσσ (k, ω) e V −∞ 2π k
dω iωη X e e Gσσ (k, ω) , η→0+ −∞ 2π σ k Z Z ∞ d3 k dω iωη X e lim e = ±iV Gσσ (k, ω) . 3 LT R3 (2π) η→0+ −∞ 2π σ = ±i
X
lim
∞
(5.143a) (5.143b)
Energia medie se obt¸ine ˆın mod analog, din relat¸ia (5.141): Z X ∂
±i −~2 2 E = + ∇ + µ i~ d3 r lim lim Gσσ (r, t; r′ , t′ ) r r′ →r t′ →t 2 ∂t 2m σ ±i 1 X 1 XX e Gσσ (k, ω) = 2 V ~β n σ k Z ∂ ′ ′ −~2 2 + ∇r + µ e ik·(r−r )−iω(t−t ) ; i~ × d3 r lim lim ′ ′ r →r t →t ∂t 2m V dup˘a efectuarea deriv˘arilor se pot efectua trecerile la limit˘a, astfel ˆıncˆ at integrala spat¸ial˘a devine: Z ∂ ′ ′ −~2 2 i~ d3 r lim lim + ∇ + µ e ik·(r−r )−iω(t−t ) r ′ →r t′ →t r ∂t 2m V Z ′ ′ ~2 k 2 + µ e ik·(r−r )−iω(t−t ) ′ = d3 r ~ω + 2m r = r , t′ =t+η V Z 2 2 ~ k = ~ω + + µ e iωη d3 r . 2m V | {z } =V
Atunci se obt¸in urm˘atoarele expresii pentru energia medie:
X
±i X ~2 k 2 1 X iωη e σσ (k, ω) , E = ~ω + +µ lim e G η→0+ ~β 2 2m n σ k Z X 1 X iωη d3 k ~2 k 2 ±iV e σσ (k, ω) . lim +µ e G ~ω + = 3 LT 2 2m R3 (2π) η→0+ ~β n σ
(5.144a) (5.144b)
ˆIn mod similar cu calculul energiei medii se trateaz˘a potent¸ialul grand-canonic, obt¸inut prin utilizarea teoremei Peierls: Z 1 X ~2 k 2 1 X iωη dλ i X e σσ (k, ω) , ~ω − +µ lim e G (5.145a) Ω = Ω0 ± 2m 0 λ 2 k η→0+ ~β n σ Z 1 Z X 1 X iωη ~2 k 2 d3 k dλ V e (λ) (k, ω) . (5.145b) lim G ~ω − + µ = Ω0 ± i e σσ 3 LT 2m 0 λ 2 R3 (2π) η→0+ ~β n σ
Se observ˘ a c˘ a singura diferent¸˘ a formal˘a ˆıntre energia medie ¸si potent¸ialul grand-canonic este semnul termenului cinetic; evident, potent¸ialul grand-canonic implic˘ a ˆın mod suplimentar integrarea dup˘a constanta de cuplaj ¸si utilizeaz˘a funct¸ia Green termic˘ a de timp real corespunz˘ atoare constantei de cuplaj variabil˘ a.
424
5.3.5
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
Funct¸iile termice de timp real libere uni-particul˘ a
A. Deducere din funct¸ia Green-Matsubara Transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara uni-particul˘a corespunz˘ atoare sistemului liber este dat˘a de relat¸ia (5.51) 1 0 , Geσσ ′ (k, ωn ) = δσσ ′ iωn − ωk 0 a c˘ a Geσσ a ˆın indicii de spin, iar partea unde ω k ≡ (εk − µ)/~; se observ˘ ′ (k, ωn ) este diagonal˘ 1 0 scalar˘a este Geσσ . ′ (k, ωn ) = iωn − ω k Atunci, pe baza relat¸iei (5.131) ¸si apoi prin utilizarea lemei Baker-Campbell-Hausdorff, se obt¸ine funct¸ia pondere a sistemului liber: n o ρ 0 (k, ω) = − i lim Ge0 (k, ωn ) − Ge0 (k, ωn ) η→0+ iωn =ω−i η iωn =ω+i η o n 1 1 − = − i lim η→0+ ω − i η − ω k ω + i η − ωk 1 o n 1 + iπ δ(ω − ω k ) − P + iπ δ(ω − ω k ) = −i P ω − ωk ω − ωk = 2π δ(ω − ωk ) . (5.146) Transformatele Fourier ale funct¸iilor Green termice de timp real retardat˘ a ¸si avansat˘a pentru sistemul liber, se obt¸in cu ajutorul funct¸iei pondere, prin utilizarea relat¸iilor (5.118) Z ∞ Z ∞ dω ′ ρ(k, ω ′ ) dω ′ 2π δ(ω ′ − ω k ) (R A) e G0 (k, ω) = = ′ ω − ω ′ ± i η η→0+ −∞ 2π ω − ω ± i η η→0+ −∞ 2π 1 , (5.147) = ω − ωk ± i η η→0+
unde semnul superior corespunde funct¸iei retardate, iar semnul inferior funct¸iei avansate. Transformata Fourier a funct¸iei Green termic˘ a de timp real cauzal˘ a pentru sistemul liber se determin˘a din rezultatul precedent, cu ajutorul relat¸iei (5.125): e (R) e (A) e 0 (k, ω) = G (k, ω) + G (k, ω) G 1 ∓ e−β~ω 1 ∓ e β~ω n o 1 1 1 1 = , + 1 ∓ e−β~ω ω − ω k + i η 1 ∓ e β~ω ω − ω k − i η η→0+
(5.148)
unde semnul superior corespunde cazului bosonic, iar semnul inferior cazului fermionic. Dac˘ a ˆın expresia precedent˘ a se utilizeaz˘a lema Baker-Campbell-Hausdorff, atunci se obt¸ine n n 1 o o 1 1 1 e 0 (k, ω) = P P − iπ δ(ω − − iπ δ(ω − G ω ) + ω ) k k 1 ∓ e−β~ω ω − ωk 1 ∓ e β~ω ω − ωk o o n n 1 1 1 1 1 P δ(ω − ω k ) ; + iπ + − = −β~ω β~ω −β~ω β~ω 1∓e 1∓e ω − ωk 1∓e 1∓e
dar prin prelucr˘ ari algebrice simple se obt¸in urm˘atoarele expresii pentru cele dou˘a cantit˘ a¸ti din interiorul parantezelor acolade: 1 1 + =1, 1 ∓ e−β~ω 1 ∓ e β~ω 1 1 β~ω ±1 ; − = coth 1 ∓ e−β~ω 1 ∓ e β~ω 2
ca urmare, transformata Fourier a funct¸iei Green termice de timp real are expresia 1 β~ω ±1 e 0 (k, ω) = P + iπ coth δ(ω − ω k ) . G ω − ωk 2
(5.149)
Rezultatul precedent se putea obt¸ine ˆın mod direct, f˘ar˘a s˘a se determine ˆın prealabil funct¸iile e (A) (k, ω), dar utilizˆand expresia (5.146) a funct¸iei pondere liber˘a ¸si formula (5.119). e (R) (k, ω) ¸si G G 0 0
5.3. FUNCT ¸ II GREEN TERMICE DE TIMP REAL
425
e (A) (k, ω), se pot e (R) (k, ω) ¸si G Se observ˘ a, de asemenea, c˘ a funct¸iile retardat˘ a ¸si avansat˘a, G 0 0 obt¸ine din funct¸ia Green-Matsubara prin prelungire analitic˘a direct˘a, deoarece transformata Hilbert a funct¸iei pondere pentru frecvent¸e imaginare este egal˘a cu transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara, conform relat¸iei generale (5.130): Ge0 (k, ωn ) = Θ0 (k, iωn ) =
1 ; iωn − ωk
prelungirea analitic˘a de maxim˘ a simplitate pentru funct¸ia Θ0 (k, iωn ) Θ0 (k, z) =
1 z − ωk
Θ0 (k, z)
≈
satisface condit¸ia asimptotic˘a |z|→∞
1 , z
astfel ˆıncˆ at prelungirea analitic˘a aleas˘ a anterior este cea corect˘a; atunci transformatele Fourier ale funct¸iilor Green de timp real retardat˘ a ¸si avansat˘a (pentru sistemul liber) se obt¸in cu ajutorul relat¸iei (5.118): R 1 e (A) (k, ω) = Θ0 (k, ω ± i η) = G , 0 ω ± i η − ωk
care este rezultatul (5.147).
B. Deducerea direct˘ a Metoda de deducere este similar˘ a cu cea utilizat˘a pentru a obt¸ine funct¸ia Green-Matsubara a sistemului liber. Se consider˘ a sistemul constituit din particule nerelativiste identice, f˘ar˘a interact¸ii (bosoni sau fermioni) ¸si plasat ˆın incinta cu volumul V ˆın st˘ari de echilibru corespunz˘ atoare condit¸iilor externe grand-canonice (temperatur˘a ¸si potent¸ial chimic fixate de c˘ atre un rezervor extern); ˆın aceste condit¸ii se pot defini st˘ ari uni-particul˘a, care au urm˘atoarele caracteristici: • hamiltonianul (operatorul algebric ˆın reprezentarea coordonatelor de pozit¸ie-spin) 2 ˆ ˆ r = −~ ∇2r (este hamiltonianul de translat¸ie, independent de spin); H 2m • funct¸ii de stare (ˆın reprezentarea coordonatelor de pozit¸ie-spin), conform relat¸iei (2.34) e ik·r ϕkσ (r, s) = χσ (s) ≡ uk (r) χσ (s); V • energia (de translat¸ie) εk =
~2 k 2 ≡ ~ωk ; 2m
• operatori elementari cˆ kσ (de anihilare) ¸si cˆ†kσ (de creare). X ˆ 0 = Tˆ = Hamiltonianul sistemului (ˆın Cuantificarea II) este H εk cˆ†kσ cˆ kσ , iar hamiltonianul k,σ
grand-canonic, conform relat¸iilor (2.96) ¸si (2.122), este ˆ0 = H ˆ0 − N ˆ = K
X k,σ
(εk − µ) cˆ†kσ cˆ kσ .
ˆIn mod similar cu deducerea expresiilor operatorilor elementari ˆın formularea Dirac (sau altfel spus, formularea Heisenberg pentru sistemul liber), se obt¸in expresiile operatorilor elementari ˆın formularea Dirac grand-canonic˘ a, care sunt similare cu formulele (2.127): cˆkσK0 (t) = e−i ωk t cˆk , unde ω k = (εk − µ)/~.
&
cˆ†kσK0 (t) = e i ωk t cˆ†k ,
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
426
Operatorii de cˆ amp (componente de spin) ˆın formularea Schr¨odinger sunt definit¸i ˆın termeni de operatori elementari pe st˘ arile uni-particul˘a, conform relat¸iilor (2.86); ca urmare, operatorii de cˆ amp ˆın formularea Dirac grand-canonic˘a au expresii similare cu cele din relat¸iile (2.130): 1 X ik·r−iωk t cˆ kσ ψˆσK0 (r, t) = √ e V k
&
1 X −ik·r+iωk t † † ψˆσK cˆ kσ . (r, t) = √ e 0 V k
Conform definit¸iei generale (5.102) – (5.103) adaptate la cazul studiat, funct¸ia Green termic˘ a de timp real cauzal˘ a uni-particul˘ a pentru sistemul liber are expresia G0σσ′ (r, t; r′ , t′ )
= − i θ(t − t′ ) Tr ̺ˆ0 ψˆσK0 (r, t) ψˆσ† ′ K0 (r′ , t′ ) ∓ i θ(t′ − t) Tr ̺ˆ0 ψˆσ† ′ K0 (r′ , t′ ) ψˆσK0 (r, t) i 1 X i(k·r−k′ ·r′ )−i(ω k t−ωk′ t′ ) h = − i θ(t − t′ ) Tr ̺ˆ0 cˆkσ cˆ†k′ σ′ ∓ i θ(t′ − t) Tr ̺ˆ0 cˆkσ cˆ†k′ σ′ ; e V ′ k,k
mediile grand-canonice ale produselor operatorilor de cˆ amp au expresiile (5.146) ¸si respectiv (5.147): (
Tr ̺ˆ0 cˆ†k′ σ′ cˆkσ = cˆ†kσ cˆk′ σ′ 0 = δ k,k′ δσ,σ′ n0kσ ,
Tr ̺ˆ0 cˆkσ cˆ†k′ σ′ = ckσ c†k′ σ′ 0 = δk,k′ δσ,σ′ (1 ± n0kσ ) ;
ca urmare, funct¸ia Green termic˘ a de timp real cauzal˘ a pentru sistemul liber are urm˘atoarea expresie: i 1 X ik·(r−r′ )−iω k (t−t′ ) h e G0σσ′ (r, t; r′ , t′ ) = δσ,σ′ − i θ(t − t′) (1 ± n0kσ ) ∓ i θ(t′ − t) n0kσ . (5.150) V k
Se observ˘ a c˘ a funct¸ia Green G0 este diagonal˘ a ˆın indicii de spin ¸si depinde numai de diferent¸ele coordonatelor de pozit¸ie ¸si timpi: G0σσ′ (r, t; r′ , t′ ) = δσ,σ′ G0 (r − r′ , t − t′ ) ; ca urmare, se efectueaz˘ a transformarea Fourier, conform relat¸iei generale (5.111): Z ∞ Z e 0 (k, ω) = d3 r dt e−ik·r+iωt G0 (r, t) G V −∞ Z Z ∞ i 1 X ik′ ·r−iωk′ t h = d3 r dt e−ik·r+iωt e − i θ(t) (1 ± n0k′ σ ) ∓ i θ(−t) n0k′ σ V ′ V −∞ k Z Z ∞ n X 1 ′ d3 r e i(k −k)·r (1 ± n0k′ σ )(−i) dt θ(t) ei(ω−ωk′ )t = V V −∞ ′ k Z ∞ o 0 ∓ nk ′ σ i dt θ(−t) ei(ω−ωk′ )t ; −∞
integralele care apar ˆın expresia precedent˘ a produc urm˘atoarele rezultate: Z ′ 1 d3 r e i(k −k)·r = I k′ − k = δk′ ,k , V Z ∞ V 1 , (−i) dt θ(t) ei(ω−ωk′ )t = −i K+ (ω − ω k′ ) = ω − ω k′ + i η η→0+ −∞ Z ∞ 1 i dt θ(−t) ei(ω−ωk′ )t = i K− (ω − ωk′ ) = . ω − ωk′ − i η η→0+ −∞
Atunci, prin utilizarea rezultatelor precedente, se obt¸ine urm˘atoarea expresie pentru transformata Fourier a funct¸iei Green termice de timp real cauzal˘ a a sistemului liber: 1 1 0 0 0 e ; ∓ nkσ G (k, ω) = (1 ± nkσ ) ω − ωk + i η ω − ω k − i η η→0+
5.3. FUNCT ¸ II GREEN TERMICE DE TIMP REAL
427
deoarece num˘ arul mediu de particule are expresia n0kσ =
1 1 = β~ω , k ∓ 1 e e β(εk −µ) ∓ 1
rezult˘a 1 1 = , e β~ωk ∓ 1 1 ∓ e−β~ωk ∓ 1 ∓1 1 = β~ω = ; k ∓ 1 e 1 ∓ e β~ωk
1 ± n0kσ = 1 ± ∓n0kσ
ca urmare, se obt¸ine urm˘atoarea expresie pentru transformata Fourier a funct¸iei Green termic˘ a de timp real cauzal˘ a e 0 (k, ω) = G
n
o 1 1 1 1 , + 1 ∓ e−β~ωk ω − ω k + i η 1 ∓ e β~ωk ω − ω k − i η η→0+
care este echivalent˘ a cu relat¸ia (5.148). Funct¸ia Green termic˘ a de timp real retardat˘ a se obt¸ine din relat¸ia (5.102b)
(R)0 Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) ≡ − i θ(t − t′ ) Tr ̺ˆ ψˆσK (r, t) , ψˆσ† ′ K (r′ , t′ ) ∓ n o 1 X i(k·r−k′ ·r′ )−i(ωk t−ωk′ t′ ) = (−i) θ(t − t′ ) Tr ̺ˆ0 cˆkσ , cˆ†k′ σ′ ∓ ; e V ′ k,k
dar comutatorul bosonic (respectiv anti-comutatorul fermionic) ˆıntre operatorii elementari se evalueaz˘ a conform relat¸iilor standard (2.80), astfel c˘ a rezult˘a n o Tr ̺ˆ0 cˆkσ , cˆ†k′ σ′ ∓ = δk,k′ δσ,σ′ Tr ̺ˆ0 = δk,k′ δσ,σ′ ,
deoarece Tr ̺ˆ0 = 1, conform condit¸iei de normare a operatorului statistic. Atunci, funct¸ia Green termic˘ a de timp real retardat˘ a pentru sistemul liber are expresia (R)0
Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = δσ,σ′
1 X ik·(r−r′ )−iωk (t−t′ ) e (−i) θ(t − t′ ) . V k
ˆIn mod similar se obt¸ine expresia funct¸iei Green termic˘ a de timp real avansat˘a pentru sistemul liber 1 X ik·(r−r′ )−iω k (t−t′ ) (A)0 Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = δσ,σ′ (+i) θ(t′ − t) . e V k
Se observ˘ a c˘ a ambele funct¸ii Green sunt diagonale ˆın indicii de spin ¸si depind numai de diferent¸ele vectorilor de pozit¸ie ¸si timpilor, iar p˘ art¸ile scalare pot fi scrie cu expresia comun˘ a urm˘atoare: 1 X ik·(r−r′ )−iωk (t−t′ ) (R) (R) (∓i) θ ± (t − t) ; e G0A (r, t; r′ , t′ ) ≡ G0A (r − r′ , t − t′ ) = V k
prin urmare, aceste funct¸ii admit transform˘ari Fourier spat¸io-temporale simple, conform relat¸iei (5.111): R e (A) (k, ω) = G 0
=
Z
Z
d3 r V 3
d r V
Z
∞
−∞ ∞
Z
−∞
( R) dt e−ik·r+iωt G0A (r, t)
X 1 Z ′ d3 r e i(k −k)·r = V V ′ k
1 X ik′ ·r−iωk′ t e (∓i) θ(±t) V ′ k Z ∞ dt θ(±t) e i(ω−ωk′ )t . (∓i)
dt e−ik·r+iωt
−∞
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
428
Integralele spat¸ial˘a ¸si temporal˘ a se calculeaz˘a prin metodele prezentate la deducerea reprezent˘ arii Lehmann pentru funct¸iile Green fermionice ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a: Z ′ d3 r e−i(k −k)·r = δk,k′ , Z ∞ V ∓i 1 = ; dt θ(±t) e i(ω−ωk′ )t = (∓i) (∓i) ω − ω k′ ± i η ω − ω k′ ± i η −∞ ˆın final, dup˘a substituirea expresiilor precedente ale integralelor ¸si efectuarea unor operat¸ii algebrice banale, se obt¸ine R 1 e (A) (k, ω) = , G 0 ω − ω k′ ± i η η→0+ care este identic˘ a cu rezultatul (5.147).
5.4
Polarizarea ¸si interact¸ia efectiv˘ a termice
5.4.1
Definit¸ii ¸si propriet˘ a¸ti ˆın spat¸iul pozit¸ii-pseudo-timpi
Polarizarea termic˘ a ¸si interact¸ia efectiv˘a termic˘ a se definesc prin elemente ale diagramelor asociate termenilor perturbativi pentru formalismul Matsubara, iar definit¸iile ¸si propriet˘ a¸tile fundamentale sunt similare cu cele din formalismul fermionic de temperatur˘a nul˘a. Pentru a evita repetit¸iile inutile, se va utiliza similitudiea specificat˘ a anterior cu prezentarea din Sect¸iunea 3.4, astfel ˆıncˆ at ˆın aceast˘a sect¸iune se vor prezenta numai rezultatele importante, f˘ar˘a demonstrat¸ii. A. Polarizarea termic˘ a i. Insert¸ia de polarizare termic˘ a se define¸ste ca partea dintr-o diagram˘ a (tip Matsubara) situat˘a ˆıntre 2 vertexuri ¸si legat˘ a de restul diagramei prin 2 linii particul˘ a (considerate ca linii externe); insert¸iile de polarizare termic˘ a se clasific˘a ˆın insert¸ii irreductibile (care nu se pot diviza ˆın insert¸ii de polarizare prin eliminarea unei linii de interact¸ie interne) ¸si insert¸ii de polarizare reductibile (care se pot diviza ˆın insert¸ii de polarizare prin eliminarea unei linii de interact¸ie). ii. Polarizarea total˘ a termic˘ a, notat˘a Π este suma tuturor insert¸iilor de polarizare termice (ˆın toate ordinele teoriei perturbat¸iilor); imaginea diagramatic˘ a este figurat˘a astfel: λ µ
λ′ µ′
x′
x
= Π λµ,λ′ µ′ (x, x′ )
iii. Polarizarea termic˘ a proprie, notat˘a Π ∗ este suma tuturor insert¸iilor irreductibile de polarizare termice (ˆın toate ordinele teoriei perturbat¸iilor); imaginea diagramatic˘ a este figurat˘a astfel: λ µ
x′
x
λ′ µ′
= Π ∗λµ,λ′ µ′ (x, x′ )
iv. Seria polariz˘ arii termice: polarizarea termic˘ a total˘ a este egal˘a cu suma tuturor repetit¸iilor posibile de polariz˘ ari termice proprii legate prin linii de interact¸ie (din punct de vedere analitic leg˘ aturile se realizeaz˘ a prin integr˘ari dup˘a coordonatele de pozit¸ie-timp ¸si sum˘ari dup˘a indicii de spin): Π λµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = Π ∗λµ,λ′ µ′ (x, x′ ) Z Z 4 + d x d4 x′
X
λ1 ,µ1 ,λ′1 ,µ′1
Π ∗λµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Vλ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 ) Π ∗λ′1 µ′1 ,λ′ µ′ (x′1 , x′ )
+ ...
(5.151)
Reprezentarea diagramatic˘ a este ilustrat˘a ˆın figura urm˘atoare: λ µ
x
x′
λ′ µ′
=
λ µ
x
x′
λ′ µ′
+
λ µ
x
λ1 µ1
x1
λ′1 ′ x µ′1 1
x′
λ′ µ′
+ ...
v. Ecuat¸ia Dyson pentru polarizarea termic˘ a se obt¸ine ˆın mod analog cu rezultatul similar
˘ TERMICE 5.4. POLARIZAREA S ¸ I INTERACT ¸ IA EFECTIVA
429
din teoria fermionic˘ a de temperatur˘a nul˘a: Π λµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = Π ∗λµ,λ′ µ′ (x, x′ ) +
Z
Z
d4 x
(5.152) d4 x′
X
Π ∗λµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Vλ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 ) Π λ′1 µ′1 ,λ′ µ′ (x′1 , x′ )
λ1 ,µ1 ,λ′1 ,µ′1
Reprezentarea diagramatic˘ a este ilustrat˘a ˆın figura urm˘atoare: λ µ
x
x′
λ′ µ′
λ µ
=
x′
x
λ′ µ′
λ µ
+
λ
x1 µ11
x
λ′1 µ′1
x′1
x′
λ′ µ′
B. Interact¸ia efectiv˘ a termic˘ a Interact¸ia efectiv˘ a termic˘ a se define¸ste ca suma tuturor p˘ art¸ilor de diagrame legate (ˆın formalismul Matsubara) care se afl˘ a ˆıntre 2 vertexuri ¸si sunt legate de aceste vertexuri prin linii de interact¸ie (considerate ca p˘ art¸i interne ale interact¸iei efective). Notat¸ie ¸si reprezentare diagramatic˘ a: Vλ,µ;λ′ ,µ′ (x, x′ )
−→
λ′ x′ µ′
xI λµ
I
Conform definit¸iei, interact¸ia efectiv˘a termic˘ a se exprim˘ a cu ajutorul polariz˘arii termice, prin relat¸ia Vλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = Uλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) +
Z
d4 x1
(5.153)
Z
d4 x′1
X
λ1 ,λ′1 ,µ1 ,µ′1
Uλµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Π λ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 ) Uλ′1 µ′1 ,λ′ µ′ (x′1 , x′ ),
care are urm˘atoarea reprezentare diagramatic˘ a: x
λ
λ′
µ
µ′
x′
=
x
λ
λ′
µ
µ′
x′
+
x
λ
λ1
µ
µ1
x1
x′1
λ′1
λ′
µ′1
µ′
x′
Se define¸ste interact¸ia efectiv˘ a termic˘ a liber˘a (sau de ordinul zero) ca fiind interact¸ia bi-particul˘a ˆın formalismul Matsubara: V0λµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = Uλµ,λ′ µ′ (x, x′ ). Ecuat¸ia Dyson pentru interact¸ia efectiv˘ a termic˘ a are expresia Vλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = V0λµ,λ′ µ′ (x, x′ ) +
Z
d4 x1
Z
(5.154) d4 x′1
X
V0λµ,λ1 µ1 (x, x1 ) Π ∗λ1 µ1 ,λ′1 µ′1 (x1 , x′1 ) Vλ′1 µ′1 ,λ′ µ′ (x′1 , x′ ),
λ1 ,λ′1 ,µ1 ,µ′1
corespunzˆ and la urm˘atoarea reprezentare diagramatic˘ a: x
λ
λ′
µ
′
µ
x′
=
x
λ
λ′
µ
′
µ
x′
+
x
λ µ
λ1 µ1
x1
x′1
λ′1
λ′
µ′1
µ′
x′
Observat¸ii: i. Interact¸ia liber˘ a are pseudo-timpul introdus ˆın mod artificial, deoarece aceast˘a dependent¸˘a este singular˘a: V0λµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = Uλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = vλµ,λ′ µ′ (r, r′ ) δ(τ − τ ′ ). ii. Interact¸ia efectiv˘ a termic˘ a are o dependent¸˘a nesingular˘ a ˆın raport cu pseudo-timpii: a nu este interpreVλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = Vλµ,λ′ µ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ); ca urmare, interact¸ia efectiv˘a termic˘ tabil˘ a ca o interact¸ie fizic˘ a (deosebire fat¸˘a de formalismul de temperatur˘a nul˘a). iii. Conform definit¸iei interact¸iei efective termice (5.153), polarizarea termic˘ a se calculeaz˘a cu regulile de corespondent¸˘ a diagramatic˘ a ale funct¸iilor Green-Matsubara, dar se adaug˘a factorul −1 multiplicativ suplimentar ; argumentarea este identic˘ a cu cea prezentat˘ a ˆın formalismul de ~ temperatur˘a nul˘a.
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
430
iv. Relat¸ia dintre interact¸ia efectiv˘a termic˘ a ¸si interact¸ia efectiv˘ a termic˘ a liber˘a define¸ste funct¸ia dielectric˘ a generalizat˘ a termic˘ a K(x, x′ ) = κλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) , care este un tensor ˆın raport cu indicii de spin: Z X 0 ′ ′′ ′′ ′ Vλµ,λ′ µ′ (x, x ) = d4 x′′ κ−1 (5.155a) λµ,λ′′ µ′′ (x, x ) Vλ′′ µ′′ ,λ′ µ′ (x , x ) λ′′ ,µ′′
=⇒
′
V(x, x )
Z
d4 x′′ K−1 (x, x′′ ) · U(x′′ , x′ ) ,
(5.155b)
unde V(x, x′ ) = Vλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) este matricea despin a interact¸iei efective termice ¸si U(x, x′ ) = V0λµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = Uλµ,λ′ µ′ (x, x′ ) este matricea de spin a interact¸iei efective libere termice.
5.4.2
Definit¸ii ¸si propriet˘ a¸ti ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a
Polarizarea ¸si interact¸ia efectiv˘ a termice ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a se obt¸in din m˘arimile corespondente din spat¸iul pozit¸ii-pseudo-timp, prin transform˘ari Fourier, conform formulelor generale (pentru simplitate se consider˘ a limita termodinamic˘ a): Z d3 q 1 X iq·(r−r′ )−iνn (τ −τ ′ ) f (5.156) e Π λµ,λ′ µ′ (q, νn ) , Π λµ,λ′ µ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) = 3 R3 (2π) ~β n Z d3 q 1 X iq·(r−r′ )−iνn (τ −τ ′ ) e Vλµ,λ′ µ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) = (5.157) Vλµ,λ′ µ′ (q, νn ) . e 3 R3 (2π) ~β n
Se va utiliza o prezentare succint˘ a, analoag˘a cu cea f˘acut˘ a anterior pentru self-enegia termic˘ a (formalismul Matsubara); ca urmare se vor utiliza notat¸ii matriciale ˆın raport cu indicii de spin: f λµ,λ′ µ′ (q, νn ) , e νn ) = Π P(q, e e λµ,λ′ µ′ (q, νn ) , V(q, νn ) = V 0 e e U(q, νn ) = V λµ,λ′ µ′ (q, νn ) . Atunci sunt valabile urm˘atoarele rezultate (scrise ˆın notat¸ie matricial˘a): i. Seria polariz˘ arii termice
e νn ) = P e ∗ (q, νn ) + P e∗ (q, νn ) · V(q, e e∗ (q, νn ) + . . . P(q, νn ) · P
(5.158)
e νn ) = P e ∗ (q, νn ) + P e ∗ (q, νn ) · V(q, e e νn ) , P(q, νn ) · P(q,
(5.159)
ii. Ecuat¸ia Dyson pentru polarizarea termic˘ a
care are urm˘atoarea reprezentare diagramatic˘ a λ′ µ′
λ µ
=
λ′ µ′
λ µ
q, νn
λ′1 µ′1 q, νn
λ′ µ′
λ1 µ1
λ µ
+
q, νn
q, νn
q, νn
Solut¸ia ecuat¸iei Dyson pentru polarizarea termic˘ a (ˆın notat¸ie matricial˘a) este : −1 ∗ e νn ) = I − P e ∗ (q, νn ) · V(q, e e (q, νn ) . P(q, νn ) ·P
(5.160)
iii. Ecuat¸ia de definit¸ie a interact¸iei efective termice este
e e e e νn ) · U(q, e V(q, νn ) = U(q, νn ) + U(q, νn ) · P(q, νn ) ,
(5.161)
avˆand urm˘atoarea imagine diagramatic˘ a: λ′
λ µ
q, νn
′
µ
=
λ′
λ µ
q, νn
′
µ
+
λ µ
q, νn
λ1
λ′1
µ1
µ′1
q, νn
λ′
q, νn
µ′
˘ TERMICE 5.4. POLARIZAREA S ¸ I INTERACT ¸ IA EFECTIVA
431
iii. Ecuat¸ia Dyson a interact¸iei efective termice este e e e e ∗ (q, νn ) · V(q, e V(q, νn ) = U(q, νn ) + U(q, νn ) · P νn ) ,
(5.162)
care are urm˘atoarea imagine diagramatic˘ a: λ′
λ µ
q, νn
′
µ
=
λ′
λ µ
q, νn
′
µ
+
λ µ
q, νn
λ1
λ′1
µ1
µ′1
λ′
q, νn
µ′
q, νn Solut¸ia ecuat¸iei Dyson pentru interact¸ia efectiv˘a termic˘ a (ˆın notat¸ie matricial˘a) este e e e ∗ (q, νn ) −1 · U(q, e V(q, νn ) = I − U(q, νn ) · P νn ) .
(5.163)
Se observ˘ a c˘ a transformata Fourier a interact¸iei efective termice libere este independent˘ a de frecvent¸˘ a, conform relat¸iei (5.78); totu¸si, conform solut¸iei ecuat¸iei Dyson (5.163), transformata e λµ,λ′ µ′ (q, νn ) depinde de frecvent¸a discret˘ a νn , datorit˘a Fourier a interact¸iei efective termice V e λµ,λ′ µ′ (q, νn ) nu poate fi interpretat˘a transformatei Fourier a polariz˘ arii termice; ca urmare, V ca o interact¸ie fizic˘ a ¸si este numai un obiect auxiliar, util pentru calculul de perturbat¸ie. e iv. Tensorul funct¸ie dielectric˘a termic˘ a generalizat˘a (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a) K(q, νn ) se define¸ste ca transformata Fourier a tesorului K(r, τ ) ¸si expresia sa rezult˘a din relat¸ia cu interact¸ia efectiv˘ a termic˘ a e e −1 (q, νn ) · U(q, e V(q, νn ) = K νn ) ; (5.164) din compararea relat¸iilor (5.163) cu (5.164) rezult˘a urm˘atoarea expresie a tensorului funct¸ie dielectric˘a termic˘ a generalizat˘a ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a: e e e ∗ (q, νn ) . K(q, νn ) = I − U(q, νn ) · P
(5.165)
ˆIn cazul particular important cˆ and intersct¸iile mutuale dintre particule sunt independente de e νn ), P e ∗ (q, νn ), V(q, e e spini, matricile de spin corespunz˘ atoare P(q, νn ) ¸si U(q, νn ) devin matrici diagonale, astfel ˆıncˆ at toate relat¸iile anterioare se reduc la relat¸ii scalare: • solut¸ia ecuat¸iei Dyson pentru polarizare este: f νn ) = Π(q,
∗
f (q, νn ) Π ; ∗ f (q, νn ) 1 − ve(q) Π
(5.166)
• solut¸ia ecuat¸iei Dyson pentru interact¸ia efectiv˘a termic˘ a este e V(q, νn ) =
ve(q) ; f ∗ (q, νn ) 1 − ve(q) Π
(5.167)
• funct¸ia dielectric˘a termic˘ a generalizat˘a are expresia
∗
Observat¸ii:
f (q, νn ) . κ(q, νn ) = 1 − ve(q) Π e
(5.168)
• Deoarece interact¸ia efectiv˘ a termic˘ a nu are semnificat¸ie fizic˘a, atunci nici funct¸ia dielectric˘a termic˘ a nu admite o interpretare fizic˘a direct˘a; ambele m˘arimi sunt ˆıns˘ a utilizate ˆın mod indirect pentru a obt¸ine prin calcul perturbativ m˘arimi fizice, dup˘a cum se va ar˘ata ulterior. f νn ), includ factorul multipli• Polarizarea termic˘ a Π(x, x′ ) ¸si transformata sa Fourier Π(q, cativ suplimentar (2s + 1), datorat sum˘arilor dup˘a indicii de spin ai punctelor externe; motivat¸ia acestei propriet˘ a¸ti este identic˘ a cu motivat¸ia propriet˘ a¸tii analoage a polariz˘arii ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a.
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
432
5.4.3
Calcului polariz˘ arii termice de ordinul zero
f 0 (q, νn ) este analogul Transformata Fourier a polariz˘ arii termice de ordinul zero, notat˘a Π e 0 (q, ν) din formalismul fermionic formalismului Matsubara pentru polarizarea de ordinul zero Π de temperatur˘a nul˘a, care a fost prezentat˘ a ˆın Subsect¸iunea 3.4.3. Atunci, diagrama polariz˘ arii termice de ordinul zero este q, νn k, ωn′
q + k, νn + ωn′
q, νn Pentru a obt¸ine corespondent¸a analitic˘a a diagramei polariz˘arii termice de ordinul 0 este necesar s˘a se determine factorul diagramei; conform regulilor Feynman-Matsubara ¸si a discut¸iei anterioare privind factorul suplimentar a diagramelor de polarizare, ˆın cazul prezent factorul diagramei este −1 0 = fΠ (±1) (2s + 1) , ~ unde: • factorul (±1) provine de la bucla format˘a din liniile particul˘ a din diagram˘ a; • factorul (2s + 1) provine de la sumarea dup˘a indicii de spin, conform regulilor FeynmanMatsubara simplificate (pentru interact¸ii independente de spini); −1 • factorul este termenul suplimentar pentru diagramele de polarizare. ~ Atunci, expresia analitic˘a a polariz˘arii termice de ordinul 0 (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a) este Z d3 k 1 X e0 f0 (q, νn ) = ∓ 2s + 1 G (k, ωn′ ) Ge0 (k + q, νn + ωn′ ) Π 3 ~β ~ (2π) 3 R ′ n
Luˆand ˆın considerare expresia transformatei Fourier a funct¸iei Green-Matsubara libere (5.51) 0 Geσσ ′ (k, ωn ) = δσσ ′
1 ≡ δσσ′ Ge0 (k, ωn ) iωn − ω k
¸si apoi efectuˆand sum˘arile dup˘a frecvent¸e, se obt¸ine
n0k − n0k+q 1 X e0 , G (k, ωn′ ) Ge0 (k + q, νn + ωn′ ) = ∓ ~β ′ i νn − ω k,q
(5.169)
n
1 ~2 k 2 este energia proprie a unei particule libere, n0k = β(ε −µ) este num˘arul 2m e k ∓1 mediu grand-canonic de ocupare pe o stare uni-particul˘a (semnul superior corespunde cazului bosonic, iar semnul inferior corespunde cazului fermionic), iar ω k,q = ~1 εq+k − εk . unde εk =
Demonstrat¸ie:
Prin utilizarea identit˘ a¸tii 1 1 1 1 1 , = − x−a x−b a−b x−a x−b
suma dup˘ a frecvent¸e a produsului de funct¸ii Green-Matsubara devine: 1 X e0 G (k, ωn′ ) Ge0 (k + q, νn + ωn′ ) ~β ′ n 1 X 1 1 = ~β ′ iωn′ − ω k i(νn + ωn′ ) − ω q+k n n o 1 1 1 1 X − = ~β ′ ω k − (ω q+k − iνn ) iωn′ − ω k iωn′ − (ω q+k − iνn ) n 1 1 1 X 1 X 1 − . = iνn − (ω q+k − ω k ) ~β ′ iωn′ − ω k ~β ′ iωn′ − (ω q+k − iνn ) n
n
˘ TERMICE 5.4. POLARIZAREA S ¸ I INTERACT ¸ IA EFECTIVA
433
2π n, iar frecvent¸a liniei particul˘ a ωn′ este fie ~β bosonic˘ a, fie fermionic˘ a; se observ˘ a c˘ a sumele dup˘ a frecvent¸e nu sunt bine definite, din punct de vedere matematic ¸si atunci se introduc factori de convergent¸˘ a, astfel ˆıncˆ at expresia anterioar˘ a devine:
Frecvent¸a liniei de interact¸ie este bosonic˘ a νn =
1 X e0 G (k, ωn′ ) Ge0 (k + q, νn + ωn′ ) ~β ′ n 1 1 X 1 X e iωn η e iωn η = − lim lim . iνn − (ω q+k − ω k ) η→0+ ~β ′ iωn′ − ω k η→0+ ~β ′ iωn′ − (ω q+k − iνn ) n
n
Cele dou˘ a sume dup˘ a frecvent¸e se evalueaz˘ a ˆın conformitate cu regula de sumare (5.56): lim
η→0+
1 1 X e iωn η ∓1 = = ∓ n0k = ~β ′ iωn′ − ω k 1 ∓ e β~ωk 1 ∓ e β(εk −µ) ∓ 1 n
∓1 1 X e iωn η 1 = β(ε lim = = ∓n0q+k , β~(ωq+k −iνn ) q+k −µ) e−iβ~νn ∓ 1 η→0+ ~β ′ − (ω q+k − iνn ) iω 1 ∓ e e n n′ unde ultima egalitate s-a obt¸inut luˆ and ˆın considerare c˘ a β~νn = 2πn; atunci, prin substituirea ultimelor rezultate ˆın expresia init¸ial˘ a, se obt¸ine n0k − n0q+k 1 X e0 G (k, ωn′ ) Ge0 (k + q, νn + ωn′ ) = ∓ , ~β ′ iνn − (ω q+k − ω k ) n
iar ultima expresie este echivalent˘ a cu formula (5.169), deoarece ω q+k − ω k =
1 1 1 εq+k − µ − εk − µ = εq+k − εk = ω k,q . ~ ~ ~
Cu ajutorul formulei (5.169) se obt¸ine expresia transformatei Fourier a polariz˘arii termice de ordinul zero: Z 0 d3 k n0q+k − n0k f (q, νn ) = − 2s + 1 . (5.170) Π 3 ~ R3 (2π) iνn − ω k,q Din expresia precedent˘ a rezult˘a urm˘atoarele propriet˘ a¸ti generale ale polariz˘arii termice de ordinul zero: f 0 (q, νn ) este o funct¸ie par˘ 1. Π a ˆın raport cu impulsul q ¸si cu frecvent¸a νn : (
0
0
0
f (−q, νn ) = Π f (q, νn ) , Π 0 0 f f Π (q, −νn ) = Π (q, νn ) ;
f (q, νn ) are urm˘atoarea comportare asimptotic˘a la frecvent¸e mari: 2. Π 0
f (q, νn ) Π
≈
|νn |→∞
2(2s + 1) (~νn )2
Z
d3 k 0 n (1 − n0q+k ) (εk − εq+k ) . 3 k (2π) 3 R
(5.171a)
(5.171b)
Demonstrat¸ie:
Se transform˘ a num˘ ar˘ atorul expresiei (5.170) n0q+k − n0k = n0q+k − n0q+k n0k + n0q+k n0k − n0k = n0q+k 1 − n0k − n0k 1 − n0q+k ;
f 0 (q, νn ) se exprim˘ ca urmare, Π a prin diferent¸a dintre 2 integrale similare: Z
0
0
d3 k nq+k − nk 3 iν − ω n k,q R3 (2π) Z Z 0 0 3 n n0k 1 − n0q+k d k d3 k 2s + 1 q+k 1 − nk − ; =− 3 3 ~ iνn − ~1 (εq+k − εk ) iνn − ~1 (εq+k − εk ) R3 (2π) R3 (2π)
f 0 (q, νn ) = − 2s + 1 Π ~
434
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA ˆIn prima integral˘ a se efectueaz˘ a schimbarea de variabil˘ a k → k′ = −(k+q) ¸si se observ˘ a c˘ a εk ¸si n0k sunt ambele dependente numai de modulul vectorului de und˘ a |k|; ˆın consecint¸˘ a, prima integral˘ a devine Z Z n0−k′ 1 − n0−k′ −q n0q+k 1 − n0k d3 k′ d3 k = 3 3 iνn − ~1 (εq+k − εk ) iνn − 1~ (ε−k′ − ε−k′ −q ) R3 (2π) R3 (2π) Z n0k 1 − n0k+q d3 k = , 3 iνn − 1~ (εk + εk+q ) R3 (2π) unde ultima egalitate s-a obt¸inut prin redenumirea variabilei de integrare k′ → k. Se substituie rezultat precedent ˆın expresia init¸ial˘ a, care se reduce la o singur˘ a integral˘ a ¸si dup˘ a operat¸ii algebrice simple se obt¸ine Z o n d3 k 0 1 1 0 f 0 (q, νn ) = − 2s + 1 − n 1 − n Π k k+q 3 ~ iνn + ~1 (εk+q − εk ) iνn − ~1 (εk+q − εk ) R3 (2π) Z 0 0 d3 k nk 1 − nk+q εk+q − εk = − 2 (2s + 1) 2 2 . 3 (2π) iνn + εk+q − εk R3
f 0 (q, νn ) este o funct¸ie par˘ Din expresia precedent˘ a rezult˘ a c˘ a Π a ˆın raport cu frecvent¸a ¸si de asemenea, se obt¸ine ˆın mod direct comportarea asimptotic˘ a (5.171b). f 0 (q, νn ) la inversarea vectorului de und˘ Se testeaz˘ a comportarea funct¸iei Π a, conform expresiei (5.170) ˆın care se efectueaz˘ a schimbarea de variabil˘ a de integrare k → k′ = k − q: f 0 (−q, νn ) = − 2s + 1 Π ~ =−
2s + 1 ~
=−
2s + 1 ~
Z
n0k−q − n0k d3 k 3 iνn − 1~ (εk−q − εk ) R3 (2π)
Z
n0k+q − n0k d3 k 3 −iνn − ~1 (εk+q − εk ) R3 (2π)
Z
n0k′ − n0k′ +q d3 k′ 3 iνn − 1~ (εk′ − εk′ +q ) R3 (2π)
f 0 (q, −νn ) ; =Π
dar, ˆın rezultatul precedent prin utilizarea propriet˘ a¸tii de paritate ˆın raport cu frecvent¸a, care a fost justificat˘ a anterior, se obt¸ine proprietatea de paritate ˆın raport cu vectorul de und˘ a.
Din expresia (5.170) se observ˘ a c˘ a integrala ˆın raport cu vectorul de und˘a nu se poate efectua ˆın 0 f (q, νn ) numai mod analitic exact; ca urmare, este posibil s˘a se obt¸in˘a expresii analitice pentru Π ˆın cazuri asimptotice, cˆ and numerele medii de ocupare pe st˘ari uni-particul˘a n0k se pot aproxima ˆın mod convenabil. Expresii aproximative asimptotice se pot obt¸ine ˆın dou˘a situat¸ii limit˘a: 1. limita clasic˘ a (cˆand sistemul bosonic sau fermioni se comport˘ a ca un gaz ideal nedegenerat); 2. limita puternic degenerat˘ a, cˆ and rezultatele sunt diferite pentru bosoni ¸si pentru fermioni. A. Limita clasic˘ a Conform rezultatelor mecanicii statistice aplicate la gaze cuantice ideale, sistemele de particule identice cuantice f˘ ar˘ a interact¸ii mutuale (bosonice sau fermionice) tind s˘a se comporte ca sisteme clasice la temperaturi (T ) mari ¸si concentrat¸ii de particule (n = N/V ) mici; ˆın aceste condit¸ii potent¸ialul chimic are valori negative foarte mari, astfel ˆıncˆ at este satisf˘acut˘ a condit¸ia βµ ≈ −∞ ; ca urmare, mediile grand-canonice ale numerelor de particule pe st˘ari uni-particul˘a (exprimate ˆın mod exact prin funct¸iile de distribut¸ie Bose-Einstein, respectiv Fermi-Dirac) se pot aproxima prin funct¸ia de distribut¸ie clasic˘ a Maxwell-Boltzmann: n0k =
1 ≈ e βµ e−βεk . e β(εk −µ) ∓ 1
˘ TERMICE 5.4. POLARIZAREA S ¸ I INTERACT ¸ IA EFECTIVA
435
Prin utilizarea aproximat¸iei clasice (Maxwell-Boltzmann) pentru mediile grand-canonice ale numerelor de ocupare, se poate determina concentrat¸ia total˘ a de particule (la limita termodinamic˘ a) Z Z Z 3 2s + 1 ~2 k 2 d k 0 2s + 1 βµ 1 X 0 nk ≈ e d3 k e−β 2m . nk = (2s + 1) d3 k e βµ e−βεk = n= 3 3 3 LT V (2π) R3 (2π) R3 R3 (2π) k,σ
Integrala dup˘a vectorul de und˘a se efectueaz˘a ˆın coordonate sferice, deoarece integrandul depinde numai de modulul vectorului de und˘a, fiind independent de coordonatele unghiulare ale vectorului de und˘a: Z Z Z Z d3 k e−β
~2 k 2 2m
∞
=
R3
π
dk k 2
0
2π
dθk
0
β~2
2
dϕk e− 2m k ;
0
integralele unghiulare produc rezultatul total 2 · 2π = 4π iar integralar radial˘a se reduce la funct¸ia 2m −1/2 2m 2 1 Gamma-Euler prin substitut¸ia x = k , ceea ce implic˘ a dk = x dx, astfel ˆıncˆ at β~2 2 ~2 β se obt¸ine urm˘atorul rezultat: r 3/2 3/2 √ Z Z 2 k2 2m 2m ∞ π 2m 1 2m 1/2 −x 3 −β ~2m 3 = 4π Γ( 2 ) = 2π 2 . dx x e = 2π 2 d k e 2 2 2 ~ β ~ β 0 ~ β ~ β 2 R3 Integrala calculat˘ a anterior se exprim˘ a ˆın mod concis, prin introducerea lungimii de und˘ a termice r 2πh2 β , λ≡ m astfel ˆıncˆ at integrala devine
Z
d3 k e−β
~2 k 2 2m
R3
=
(2π)3 , λ3
iar concentrat¸ia de particule (la limita clasic˘a) este n ≈ e βµ
2s + 1 . λ3
Rezultatul precedent permite s˘a se efectueaze transformarea expresiilor din reprezentarea grandcanonic˘ a (ˆın care se utilizeaz˘ a variabilele temperatura T , potent¸ialul chimic µ ¸si volumul V ) ˆın reprezentarea canonic˘ a (ˆın care se utilizeaz˘a variabilele temperatura T , num˘arul de particule N ¸si volumul V ); aceast˘a transformare se realizeaz˘ a prin eliminarea potent¸ialului chimic ca funct¸ie de temperatur˘a ¸si concentrat¸ia de particule, care la limita clasic˘a are expresia e βµ ≈
n λ3 . 2s + 1
Pentru a obt¸ine expresia polariz˘ arii termice de ordinul zero la limita clasic˘a este necesar s˘a se ia ˆın considerare urm˘atoarele observat¸ii: i. Conform condit¸iilor specificate anterior pentru limita clasic˘a se obt¸ine c˘ a e βµ ≪ 1, astfel ˆıncˆ at mediile grand-canonice ale numerelor de ocupare, exprimate prin distribut¸ia MaxwellBaoltzmann, au valori foarte mici n0k ≈ e βµ e−βεk =
n λ3 −βεk e ≪1. 2s + 1
ii. Frecvent¸ele termice ale polariz˘arii au expresia νl =
2π l; deoarece limita clasic˘a implic˘ a ~β
2π 2πkB T = este proport¸ional˘ a cu temperatura ¸si astfel ~β ~ aceasta este, de asemenea, foarte mare; ˆın consecint¸˘a frecvent¸ele nenule au valori foarte mari, spre deosebire de frecvent¸a nul˘a. Aceast˘a proprietate implic˘a trat˘ari deosebite pentru expresiile 0 f (q, νn ) ˆın cele 2 cazuri diferite: frecvent¸e aproximative ale polariz˘ arii termice de ordinul zero Π nenule (care au valori foarte mari) ¸si frecvent¸a nul˘a.
temperaturi mari, atunci m˘arimea
A1. Cazul frecvent¸elor nenule ˆIn aceast˘a situat¸ie, deoarece frecvent¸ele au valori foarte mari, se poate utiliza expresia asimptotic˘a
436
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
(5.171b), ˆın care mediile numerelor de ocupare pe st˘ari uni-particul˘a n0k au valori foarte mici, ceea ce implic˘ a aproximat¸ia 1 − n0q+k ≈ 1 ¸si de asemenea se expliciteaz˘ a energiile uni-particul˘a ~2 k 2 ~2 (k + q)2 ~2 2 εk − εk+q = q + 2 k · q ; ca urmare se obt¸ine expresia − =− 2m 2m 2m Z 0 d3 k 0 2(2s + 1) f nk (1 − n0q+k ) (εk − εq+k ) Π (q, νl ) ≈ 3 (~νl )2 l6=0 νl ≫1 R3 (2π) Z d3 k 0 −~2 2 2(2s + 1) q +2k· q nk ≈ 2 3 ~ 2 νl (2π) 2m 3 R Z Z d3 k 0 ~2 q 2 2(2s + 1) d3 k 0 −2 n n k·q . − = 2 2 (2s + 1) k 3 3 k ~ νl 2m ~2 νl2 R3 (2π) R3 (2π) ˆIn expresia precedent˘ a se observ˘ a c˘ a integralele au urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: Z d3 k 0 (2s + 1) nk = n , 3 R3 (2π) Z d3 k 0 n k·q =0 , 3 k R3 (2π) unde ultima integral˘a este nul˘a, deoarece integrandul este o funct¸ie impar˘a ˆın raport cu variabila de integrare, iar intervalul de integrare este simetric. Ca urmare, polarizarea termic˘ a de ordinul zero cu frecvent¸e nenule, la limita clasic˘a, are expresia aproximativ˘ a 0 −2 f (q, νl ) Π ≈ (5.172a) 2 n εq , l6=0 νl ≫1 ~2 νl
~2 q 2 este energia st˘ arii uni-particul˘a cu vectorul de und˘a q. Expresia precedent˘ a se unde εq = 2m poate rescrie ˆın forme echivalente prin explicitarea frecvent¸elor ¸si a energiei uni-particul˘a, repectiv prin utilizarea lungimii de und˘a termic˘ a: (λq)2 1 n ~βq 2 1 2 = nβ ; n ε = q 2 ~ 2 νl m 2π l2 (2π)3 l2
ca urmare, rezult˘a urm˘atoarele expresii echivalente pentru polarizarea termic˘ a de ordinul zero cu frecvent¸˘a nenul˘a ¸si ˆın limita clasic˘ a: 0 f (q, νl ) Π
≈ −
l6=0 cl
n ~βq 2 1 (λq)2 1 = − nβ . 2 m 2π l (2π)3 l2
(5.172b)
A2. Cazul frecvent¸ei nule ˆIn aceast˘a situat¸ie din formula (5.170) se obt¸ine pentru νn = 0: 0 f (q, 0) = 2s + 1 Π ~
Z
d3 k n0q+k − n0k = (2s + 1) 3 ω k,q R3 (2π)
Z
d3 k n0q+k − n0k . 3 ε k+q − εk R3 (2π)
(5.173)
Se observ˘ a c˘ a integrandul are singularit˘a¸ti, astfel ˆıncˆ at este neceesar s˘a se considere integrala ca parte principal˘a ˆın sens Cauchy; atunci, polarizarea termic˘ a de ordinul zero cu frecvent¸˘a nul˘a ¸si ˆın limita clasic˘ a se descompune ˆın dou˘a integrale ˆın sens Cauchy: Z Z n0q+k 0 d3 k d3 k n0k f Π (q, 0) = (2s + 1) − ; −− 3 3 R3 (2π) εk+q − εk R3 (2π) εk+q − εk prima integral˘a, prin schimbarea variabilei de integrare k → k′ = −(k + q) devine egal˘a (pˆan˘a la semn) cu a doua integral˘a Z Z Z n0q+k n0−k′ d3 k d3 k′ n0k d3 k = − − = − ; − 3 3 3 R3 (2π) εk+q − εk R3 (2π) ε−k′ − ε−k′ −q R3 (2π) εk+q − εk
˘ TERMICE 5.4. POLARIZAREA S ¸ I INTERACT ¸ IA EFECTIVA
437
0
f (q, 0) se rescrie ˆın forma ca urmare Π
Z 3 0 n0k f (q, 0) = − 2(2s + 1)− d k Π . 3 R3 (2π) εk+q − εk
~2 2 ˆIn continuare se expliciteaz˘ q + 2 k · q , iar apoi a energiile uni-particul˘a εk+q − εk = 2m se utilizeaz˘ a coordonatele sferice pentru vectorul de und˘a k = (k, θk , ϕk ), luˆand axa polar˘a pe direct¸ia vectorului q, deoarece n0k = n0k depinde numai de modulul vectorului de und˘a; ca urmare, integrala devine Z Z d3 k n0k d3 k n0k 2m − = − 3 ~2 R3 (2π)3 q 2 + 2 k · q R3 (2π) εk+q − εk Z ∞ Z π Z 2π n0k 2m 1 2 − dk k dθ sin θ = 2 dϕk 2 k k 3 ~ (2π) 0 q + 2 k q cos θk 0 | 0 {z } = 2π
Z ∞ 0 Z π 1 2m 1 2 nk − dk k dθk sin θk q . = 2 2 ~ (2π) 0 2kq 0 + cos θk 2k
Se efectueaz˘ a schimbarea de variabil˘ a u = cos θk , ceea ce permite integrarea ˆın raport cu variabila unghiular˘ a polar˘ a: Z ∞ Z 1 Z n0k 1 2m 1 d3 k 1 0 = 2 − dk k nk du − q 3 2 ~ (2π) 2 q 0 R3 (2π) εk+q − εk −1 u+ 2 k Z ∞ m 1 + q/(2k) ; = − dk k n0k ln 4π 2 ~2 q 0 1 − q/(2k)
apoi, prin substituirea expresiei corespunz˘ atoare aproximat¸iei clasice pentru media num˘arului de nλ3 − β~2 k2 0 e 2m , se obt¸ine: ocupare pe st˘ ari uni-particul˘ a nk ≈ 2s + 1 Z ∞ Z 2 2 2k + q nλ3 n0k m d3 k k − β~ . 2m ln = − dk k e − 3 4π 2 ~2 q 2s + 1 0 2k − q R3 (2π) εk+q − εk
Pe baza rezultatului precedent se scrie polarizarea termic˘ a de ordinul zero la frecvent¸˘a nul˘a ¸si ˆın limita clasic˘ a, ˆın forma: Z ∞ 2 2 2k + q 0 m n λ3 k − β~ f . 2m ln Π (q, 0) = − − dk k e 2 π 2 ~2 q 0 2k − q
Integrala din relat¸ia precedent˘ a poate fi calculat˘ a numai prin analiz˘a numeric˘a astfel ˆıncˆ at este necesar s˘a se efectueze adimensionalizarea acestei integrale; adimensionalizarea natural˘a, din punct de vedere fizic, este urm˘atoarea: r m x2 x β~2 2 k = =⇒ k= x= ; 2m 4π 2π~2 β λ atunci integrala devine: Z ∞ Z ∞ 2k + q β~2 2 = 1 − dx x e−x2 /(4π) ln 2x + λq . − dk k e− 2m k ln 2 2k − q λ 0 2x − λq 0
Prin utilizarea rezultatului anterior se obt¸ine expresia polariz˘arii termice de ordinul zero cu frecvent¸a nul˘a, ˆın limita clasic˘ a: Z ∞ 2x + λq 0 1 x2 f (q, 0) = − m n λ − dx x e− 4π (5.174) Π ln 2x − λq . 2 π 2 ~2 q 0
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
438
Relat¸ia precedent˘ a se exprim˘ a mai convenabil prin introducerea funct¸iei de polarizare adimensional˘ a clasic˘ a: Z ∞ 2x + y 2 1 1 ; − dx x e− 4π x ln (5.175) ϕ(y) ≡ πy 0 2x − y
se observ˘ a urm˘atoarele expresii asimptotice ale funct¸iei ϕ(y): ϕ(y) −→ 1 , y→0
ϕ(y) −→
y≫1
8π . y2
f 0 (q, 0) ˆın forma: Cu ajutorul funct¸iei ϕ(y) se exprim˘ aΠ
deoarece
m β = 2. 2 2π~ λ
2 0 f (q, 0) = − m n λ ϕ(λq) = −n β ϕ(λq) , Π 2 2 π ~2
(5.176)
B. Limita puternic degenerat˘ a ˆın cazul fermionic Conform rezultatelor generale ale mecanicii statistice aplicate pentru gaze cuantice ideale, aceast˘a situat¸ie este realizat˘a la temperaturi (T ) foarte mici ¸si concentrat¸ii de particule (n = N/V ) mari; atunci potent¸ialul chimic al sistemului fermionic este pozitiv ¸si finit, astfel ˆıncˆ at la limita temperaturii nule devine energia Fermi (εF ) ¸si este valabil˘a relat¸ia urm˘atoare: βµ . βεF ≈ +∞. Conform condit¸iei anterioare, media grand-canonic˘a a num˘arului de ocupare pe st˘ari uni-particul˘a (funct¸ia de distribut¸ie Fermi-Dirac) tinde c˘ atre funct¸ia treapt˘ a Heaviside la limita temperaturii nule: 1 ≈ θ(εF − εk ) = θ(kF − k) , n0k = β(ε −µ) e k +1 unde ultima egalitate s-a obt¸inut deoarece εF =
~2 kF2 ~2 k 2 ¸si εk = , astfel ˆıncˆ at cele dou˘a funct¸ii 2m 2m
Heaviside considerate mai sus au acelea¸si valori.7 Polarizarea termic˘ a de ordinul zero pentru sistemul fermionic puternic degenerat este descris˘ a prin formula (5.170), ˆın care se aproximeaz˘ a numerele medii de ocupare prin expresiile lor asimptotice, conform discut¸iei precedente Z
d3 k n0q+k − n0k 3 R3 (2π) iνn − ω k,q Z n0q+k − n0k d3 k . = −(2s + 1) 3 q2 ~2 R3 (2π) k·q+ i~νn − m 2
f 0 (q, νn ) = − 2s + 1 Π ~
Este necesar s˘a se observe c˘ a substituirea direct˘a a expresiilor asimptotice pentru numerele medii de ocupare (ceea ce este echivalent cu a considera ˆın mod direct cazul temperaturii nule) conduce la rezultate eronate; de fapt, este necesar s˘a se considere cazul temperaturilor foarte coborˆate, ceea ce implic˘ a utilizarea aproximat¸iei prin funct¸ia Heaviside pentru numerele medii de ocupare pe st˘ari uni-particul˘ a se poate efectua dup˘a ce s-a obt¸inut o aproximare a diferent¸ei n0q+k − n0k . Se observ˘ a c˘ a integrala din formula (5.170) nu poate fi estimat˘a ˆın mod analitic pentru valori arbitrare ale vectorului de und˘a q; totu¸si, limita valorilor mici (q → 0) poate fi tratat˘a ˆın mod analitic, iar aceast˘a situat¸ie este interesant˘ a pentru unele aplicat¸ii. La limita q → 0 diferent¸a numerelor medii de ocupare se poate aproxima prin dezvoltarea Taylor de ordinul 1, iar apoi se poate efectua aproximat¸ia de degenerare puternic˘a pentru funct¸ia Fermi-Dirac: n0q+k − n0k ≈ q · ∇k n0k ≈ q · ∇k θ(kF − k) = q ·
k d q·k θ(kF − k) = − δ(kF − k) , k dk k
7 Limita puternic degenerat˘ a ˆın cazul bosonic implic˘ a fenomenul de condensare Bose-Einstein, care este o tranzit¸ie de faz˘ a, astfel c˘ a apar complicat¸ii considerabile; ca urmare se va omite discutarea acestui caz.
˘ TERMICE 5.4. POLARIZAREA S ¸ I INTERACT ¸ IA EFECTIVA
439
dθ(x) = δ(x). Prin utilizarea unde ultima egalitate s-a obt¸inut luˆand ˆın considerare proprietatea dx aproximat¸iei anterioare se obt¸ine expresia asimptotic˘a a polariz˘arii termice de ordinul zero, pentru sistemul fermionic puternic degenerat ¸si la limita valorilor mici ale vectorului de und˘a: f (q, νn ) Π 0
q→0
≈
T &0
≈
q·k δ(kF − k) k q2 ~2 k·q+ i~νn − m 2 q · k Z δ(kF − k) d3 k k (2s + 1) . 3 ~2 R3 (2π) i~νn − k·q m Z
d3 k (2s + 1) 3 R3 (2π)
Integrala se efectueaz˘ a ˆın coordonate sferice [ k = (k, θk , ϕk ) ⇒ d3 k = k 2 dk sin θk dθk dϕk ], alegˆand axa polar˘ a pe direct¸ia vectorului de und˘a q: f (q, νn ) Π 0
q→0
≈
T &0
≈ ≈
q k cos θk δ(kF − k) k dk k 2 dθk sin θk dϕk ~2 0 0 0 i~νn − q k cos θk m Z 2π Z π Z ∞ 2s + 1 2 q cos θk δ(kF − k) dϕk dθk sin θk dk k (2π)3 0 ~2 0 i~νn − q k cos θk 0 m Z q cos θk 2s + 1 π 2 2π ; dθk sin θk kF (2π)3 0 ~2 q kF cos θk i~νn − m
2s + 1 (2π)3
Z
Z
∞
Z
π
2π
integrala r˘amas˘ a se transform˘ a cu schimbarea de variabil˘ a θk → u = cos θk , astfel ˆıncˆ at se obt¸ine Z 1 m νn u 2s + 1 m kF 1 2s + 1 m kF f 0 (q, νn ) R du , (5.177) Π ≈ − ≡ − m νn 2 π 2 ~2 2 −1 2 π 2 ~2 ~ kF q q→0 T &0 u−i ~ kF q unde funct¸ia R(x) este definit˘ a prin integrala 1 R(a) ≡ 2
Z
1
du
−1
u . u − ia
(5.178a)
Prin transform˘ ari algebrice simple se poate obt¸ine expresia analitic˘a a funct¸iei R(a) ˆın termeni de prin funct¸ii elementare: Z 1 Z 0 1 u u R(a) = + du du 2 u − ia u − ia −1 0 Z 1 Z 1 1 u u = + du du 2 u − ia u + ia 0 0 Z 1 u u 1 + du = 2 0 u − ia u + ia Z 1 u2 = du 2 u + a2 0 Z 1 a2 = du 1 − 2 u + a2 0 1 (5.178b) = 1 − a arctan ; a Se observ˘ a c˘ a funct¸ia R(a) satisface condit¸ia asimptotic˘a: R(a) −→ 1 . a→0
440
5.5 5.5.1
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
Funct¸ii de corelat¸ie pentru densitatea de particule Funct¸ii de corelat¸ie pentru densit˘ a¸ti de observabile uni-particul˘ a
Funct¸iile de corelat¸ie ˆın formalismul de temperatur˘a finit˘a se definesc ˆın mod analog cu m˘arimile corespondente din formalismul de temperatur˘a nul˘a; totu¸si ˆın cazul prezent se pot introduce dou˘a tipuri diferite de funct¸ii de corelat¸ie: de tip Matsubara ¸si de tip timp real. Pentru definirea funct¸iilor de corelat¸ie se consider˘ a dou˘a observabile uni-particul˘a, exprimate ca integrale spat¸iale ale operatorilor densit˘ a¸ti corespondente (ˆın formularea Schr¨odinger): Z Z 3 ˆ ˆ A= d ra ˆ(r) , & B = d3 r ˆb(r) ; se definesc operatorii densit˘ a¸ti pentru cele dou˘a observabile considerate anterior, ˆın formul˘arile termic˘ a Matsubara ¸si grand-canonic˘ a (de tip real) 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(r) e− ~ τ K , ˆK¯ (r, τ ) = e ~ τ K a ˆbK¯ (r, τ ) = e ~ τ K ˆb(r) e− ~ τ K , a & ˆ i ˆ i ˆ i ˆ i ˆ a ˆK (r, t) = e ~ tK a ˆ(r) e− ~ tK ; bK (r, t) = e ~ tK ˆb(r) e− ~ tK .
Mediile grand-canonice ale densit˘ a¸tilor de observabile se pot exprima ˆın mod echivalent, fie ˆın formularea Schr¨odinger, sau ˆın formularea termic˘ a Matsubara, sau ˆın formulare grand-canonic˘a ˆ −β K de timp real (deoarece operatorul statistic ̺ˆ = e /Z comut˘a cu operatorii de transformare):
a(r) = Tr ̺ˆ a ˆ(r) = Tr ̺ˆ a ˆK¯ (r, τ ) = Tr ̺ˆ a ˆK (r, t) ,
b(r) = Tr ̺ˆ a ˆ(r) = Tr ̺ˆ ˆb ¯ (r, τ ) = Tr ̺ˆ ˆbK (r, t) . K
ˆIn mod similar cu formalismul de temperatur˘a nul˘a, se definesc operatorii fluctuat¸ii de densitate (ˆın formul˘arile Matsubara ¸si grand-canonic˘a de timp real) pentru cele dou˘a observabile considerate anterior:
aK¯ (r, τ ) = a ˆK¯ (r, τ ) − a(r) ˆ1 , δˆ δˆbK¯ (r, τ ) = ˆbK¯ (r, τ ) − b(r) ˆ1 , &
ˆ δˆ aK (r, t) = a ˆK (r, t) − a(r) ˆ1 ; δ bK (r, t) = ˆbK (r, t) − b(r) ˆ1 .
Cu ajutorul operatorilor fluctuat¸ii de densitate introdu¸si anterior, se definesc funct¸iile de corelat¸ie corespunz˘ atoare: – funct¸ia de corelat¸ie termic˘ a (Matsubara): aK¯ (r, τ ) · δˆbK¯ (r′ , τ ′ ) ; (5.179) Cab (r, τ ; r′ , τ ′ ) = − Tr ̺ˆ Tτ δˆ – funct¸ia de corelat¸ie termic˘ a cauzal˘ a (de timp real): Cab (r, t; r′ , t′ ) = − i Tr ̺ˆ T δˆ aK (r, t) · δˆbK (r′ , t′ ) ;
(5.180a)
– funct¸ia de corelat¸ie termic˘ a retardat˘ a (de timp real):
(R) Cab (r, t; r′ , t′ ) = − i θ(t − t′ ) Tr ̺ˆ δˆ aK (r, t) , δˆbK (r′ , t′ ) − ;
(5.180b)
– funct¸ia de corelat¸ie termic˘ a avansat˘a (de timp real):
(A) Cab (r, t; r′ , t′ ) = + i θ(t′ − t) Tr ̺ˆ δˆ aK (r, t) , δˆbK (r′ , t′ ) − .
(5.180c)
Se observ˘ a c˘ a funct¸iile de corelat¸ie cauzale (Matsubara ¸si de timp real) sunt definite ˆın termeni de produse cronologice ale operatorilor fluctuat¸ii ale densit˘ a¸tilor observabilelor, ˆın timp ce funct¸iile de corelat¸ie retardat˘ a ¸si avansat˘ a sunt definite ˆın termeni de comutator al acelor operatori. De¸si de pot obt¸ine unele propriet˘ a¸ti pentru cazul general al funct¸iilor de corelat¸ie, totu¸si la fel ca ˆın cazul formalismului de temperatur˘a nul˘a, situat¸ia cea mai interesant˘ a pentru aplicat¸ii este corespunz˘ atoare fluctuat¸iilor densit˘ a¸tii de particule; ca urmare, se vor prezenta ˆın detaliu principalele propriet˘ a¸ti ale acestor funct¸ii de corelat¸ie particulare.
5.5. FUNCT ¸ II DE CORELAT ¸ IE PENTRU DENSITATEA DE PARTICULE
5.5.2
441
Funct¸ii de corelat¸ie pentru densitatea de particule
A. Definit¸ii ¸si propriet˘ a¸ti generale Operatorul densitate de particule, ˆın formularea Schr¨odinger, a fost definit prin relat¸ia (2.96) X ˆ(r) = n ψˆσ† (r) ψˆσ (r) ; σ
cu ajutorul operatorului precedent se definesc urm˘atoarele m˘arimi: i. operatorii densitate de particule ˆın formul˘arile Matsubara ¸si grand-canonic˘a de timp real prin formulele standard: X † 1 1 ˆ ˆ ˆ(r) e− ~ τ K = ˆK¯ (r, τ ) = e ~ τ K n ψˆσK¯ (r, τ ) ψˆσK¯ (r, τ ) , n σ
ˆK (r, t) = e n
i ˆ ~ tK
ˆ(r) e n
ˆ − ~i tK
=
X
† ψˆσK (r, t) ψˆσK (r, t) .
σ
ii. media grand-canonic˘ a a densit˘ a¸tii de particule:
ˆ(r) = Tr ̺ˆ n ˆK¯ (r, τ ) ≡ n(r, τ ) , n(r) = Tr ̺ˆ n
ˆK (r, t) ≡ n(r, t) , = Tr ̺ˆ n
(indep. τ ) , (indep. t) ;
iii. operatorii fluctuat¸ie pentru densitatea de particule (ˆın formul˘arile Matsubara ¸si grandcanonic˘a de timp real):
ˆK¯ (r, τ ) − n(r, τ ) ˆ1 , δˆ nK¯ (r, τ ) = n
ˆK¯ (r, t) − n(r, t) ˆ1 . δˆ nK (r, t) = n
Funct¸iile de corelat¸ie pentru densitatea de particule au definit¸iile obt¸inute prin particularizarea cazului general: a) funct¸ia de corelat¸ie termic˘ a (Matsubara) Cn (r, τ ; r′ , τ ′ ) ≡ − Tr ̺ˆ Tτ δˆ nK¯ (r, τ ) · δˆ nK¯ (r′ , τ ′ ) , (5.181) b) funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ a de timp real
′ ′ ′ C(R) ˆ δˆ nK (r, t) , δˆ nK (r′ , t′ ) − ; n (r, t; r , t ) ≡ − i θ(t − t ) Tr ̺
(5.182)
(A)
c) se pot defini funct¸iile de corelat¸ie cauzal˘ a Cn (r, t; r′ , t′ ) ¸si avansat˘a Cn (r, t; r′ , t′ ) de timpi reali, ˆın mod similar cu funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ a, dar nu sunt utile pentru majoritatea aplicat¸iilor interesante, astfel ˆıncˆ at se omite prezentarea acestor funct¸ii de corelat¸ie suplimentare. Se observ˘ a c˘ a definit¸iile funct¸iilor de corelat¸ie pentru densitatea de particule sunt analoage cu definit¸iile funct¸iei Green-Matsubara, respectiv cu definit¸iile funct¸iilor Green termice de timp real; pe de alt˘ a parte se observ˘ a similitudiea cu definit¸iile funct¸iilor de corelat¸ie pentru densitatea de particule din formalismul fermionic de temperatur˘a nul˘a. De asemenea, este necesar s˘a se observe c˘ a operatorul fluctuat¸ie de densitate δˆ n(r, τ ) cont¸ine un num˘ar par de operatori de cˆ amp (la pseudo-timpi egali), astfel ˆıncˆ at operatorul de ordonare cronologic˘ a Tτ nu introduce factorul de semn (deosebire fat¸˘ a de funct¸ia Green-Matsubara). Propriet˘ a¸ti generale 1. Cazul sistemului conservativ ¸si omogen, atunci hamiltonianul sistemului este atemporal ¸si invariant la translat¸ii spat¸iale; aceast˘a proprietate are urm˘atoarele consecint¸e: • Funct¸ia de corelat¸ie Matsubara depinde numai de diferent¸a vectorilor de pozit¸ie ¸si de diferent¸a pseudo-timpilor; ˆın plus, aceast˘a funct¸ie de corelat¸ie este periodic˘ a ˆın raport cu diferent¸a pseudo-timpilor, avˆand perioada ∆τ = 2~β: Cn (r, τ ; r′ , τ ′ ) = Cn (r − r′ , τ − τ ′ ; 0, 0) , ′
′
′
′
Cn (r − r , τ − τ ) = Cn (r − r , τ − τ ± 2~β) ;
(5.183a) (5.183b)
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
442
ca urmare, aceast˘a funct¸ie de corelat¸ie admite urm˘atoarea dezvoltare Fourier: 1 X 1 X ik·(r−r′ )−iωn (τ −τ ′ ) e e Cn (k, ωn ) , V ~β n k Z d3 k 1 X ik·(r−r′ )−iωn (τ −τ ′ ) e = e Cn (k, ωn ) , LT R3 (2π)3 ~β n
Cn (r, τ ; r′ , τ ′ ) =
unde ωn =
(5.184a) (5.184b)
2π n (frecvent¸e bosonice). ~β
Demonstrat¸ia este similar˘ a cu cea prezentat˘ a pentru funct¸ia Green-Matsubara, astfel c˘ a se omite repetit¸ia.
• Funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ a de timp real depinde numai de diferent¸a vectorilor de pozit¸ie ¸si de diferent¸a timpilor: ′ ′ (R) ′ ′ C(R) n (r, t; r , t ) = Cn (r − r , t − t ) ;
ca urmare, aceast˘a funct¸ie de corelat¸ie admite urm˘atoarea dezvoltare Fourier: Z 1 X ∞ dω ik·(r−r′ )−iω(t−t′ ) e ′ ′ Cn (r, t; r , t ) = e Cn (k, ω) , V −∞ 2π k Z ∞ Z d3 k dω ik·(r−r′ )−iω(t−t′ ) e = e Cn (k, ω) , LT R3 (2π)3 −∞ 2π
(5.185)
(5.186a) (5.186b)
Demonstrat¸ia este similar˘ a cu cea prezentat˘ a pentru funct¸ia Green termic˘ a de timp real, astfel ˆıncˆ at, de asemenea, se omite repetit¸ia.
2. Reprezentarea Lehmann (pentru sistem conservativ ¸si omogen): se utilizeaz˘a metode similare cu cele utilizate pentru deducerea funct¸iei Green-Matsubara, respectiv pentru deducerea funct¸iilor Green termice de timp real. ˆIn condit¸iile cˆ ˆ operatorul and sistemul este conservativ ¸si omogen, rezult˘a c˘ a hamiltonianul H, ˆ ¸si operatorul num˘ ˆ sunt un sistem de observabile compatibile, impuls total P ar de particule N astfel ˆıncˆ at ace¸sti operatori au un sistem comun de vectori proprii, notat prin |N, αi , care constituie o baz˘ a ˆın spat¸iul Fock, conform relat¸iilor h N, α |N ′ , α′ i = δN,N ′ δ(α, α′ )
Z) (N ∞ X X
N =0 α
|N, αihN, α| = ˆ1 ;
Ecuat¸iile cu valori proprii ale energiei ¸si impulsului total sunt ˆ |N, αi = Eα |N, αi , H ˆ |N, αi = Pα |N, αi ; P ˆ =H ˆ − µN ˆ: din aceste ecuat¸ii rezult˘a ecuat¸ia cu valori proprii a hamiltonianului grand-canonic K ˆ |N, αi = Kα |N, αi , K
unde Kα = Eα − µ N .
2a. Reprezentarea Lehmann pentru funct¸ia de corelat¸ie termic˘ a (Matsubara) Funct¸ia de corelat¸ie a fluctuat¸iilor densit˘ a¸tii de particule termic˘ a este definit˘ a prin relat¸ia (5.181), care prin explicitarea operatorului de ordonare cronologic˘ a devine: Cn (r, τ ; r′ , τ ′ ) = − θ(τ − τ ′ ) Tr ̺ˆ δˆ nK¯ (r, τ ) δˆ nK¯ (r′ , τ ′ ) − θ(τ ′ − τ ) Tr ̺ˆ δˆ nK¯ (r′ , τ ′ ) δˆ nK¯ (r, τ ) .
5.5. FUNCT ¸ II DE CORELAT ¸ IE PENTRU DENSITATEA DE PARTICULE
443
Cele dou˘a medii grand-canonice se evalueaz˘ a conform urm˘atoarei metode: ˆ
• se expliciteaz˘ a operatorul statistic ̺ˆ = e−β K /Z ¸si operatorii fluctuat¸ii de densitate 1
ˆ
1
ˆ
1
ˆ
i
ˆ
i
ˆ
1
ˆ
n(r) e− ~ τ K = e ~ τ K e− ~ r·P δˆ n(0) e ~ r·P e− ~ τ K ; δˆ nK¯ (r, τ ) = e ~ τ K δˆ • se evalueaz˘ a urma operatorial˘ a ˆın baza proprie comun˘ a |N, αi ; • se utilizeaz˘ a relat¸ia de completitudine a bazei |N, αi ;
• se utilizeaz˘ a ecuat¸iile cu valori proprii ale hamiltonianului grand-canonic ¸si impulsului total.
Prin aplicarea metodei specificate anterior pentru prima medie grand-canonic˘a se obt¸ine: nK¯ (r′ , τ ′ ) Tr ̺ˆ δˆ nK¯ (r, τ ) δˆ n e−β Kˆ o i i 1 1 ′ ˆ i ′ ˆ i ′ ˆ 1 ′ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ = Tr n(0) e ~ r·P e− ~ τ K · e ~ τ K e− ~ r ·P δˆ n(0) e ~ r ·P e− ~ τ K · e ~ τ K e− ~ r·P δˆ Z Z) (N ∞ X X e−β Kˆ
′ ˆ ′ ˆ i i 1 1 ˆ ˆ n(0) e ~ (r−r )·P e− ~ (τ −τ )K = · e ~ τ K e− ~ r·P δˆ N, α Z N =0 α
Z ) ∞ (N X X ′ ′ ′ ′ 1 ′ ˆ i ′ ˆ N , α N , α δˆ × n(0) e ~ r ·P e− ~ τ K N, α ′
N ′ =0 α′
Z ) ∞ (N Z) ∞ (N 1 X X X X −βKα 1 τ Kα − i r·Pα
= e ~ e~ N, α δˆ n(0) N ′ , α′ e Z N =0 α N ′ =0 α′ i ′ 1 ′ ′ ′
1 i n(0) N, α e ~ P·r e− ~ Kα τ × e ~ Pα′ ·(r−r ) e− ~ Kα′ (τ −τ ) N ′ , α′ δˆ Z ) ∞ (N Z ′) ∞ (N 2 1 X X X X −βKα 1 (τ −τ ′ )(Kα −Kα′ ) − i (Pα −Pα′ )·(r−r′ )
e ~ N, α δˆ n(0) N ′ , α′ = e~ e Z | {z } N =0 N ′ =0 ′
α′
α
=
∼ δN,N ′
Z ) (N ∞ 2 ′ ′ i 1 1 X X
n(0) N, α′ e−βKα e ~ (Kα −Kα′ )(τ −τ ) e− ~ (Pα −Pα′ )·(r−r ) ; N, α δˆ Z N =0 α,α′
A doua medie grand-canonic˘ a se obt¸ine ˆın mod similar (de fapt se poate observa c˘ a acest termen se obt¸ine direct din primul prin permutarea {r, τ } ↔ {r′ , τ }): ˆK¯ (r′ , τ ′ ) Tr ̺ˆ δˆ nK¯ (r, τ ) n Z ) (N ∞ 2 ′ ′ 1 X X
i 1 = n(0) N, α′ e−βKα e ~ (Kα −Kα′ )(τ −τ ) e− ~ (Pα −Pα′ )·(r −r) N, α δˆ Z N =0 α,α′
=
Z ) (N ∞ 2 ′ ′ 1 i 1 X X
n(0) N, α′ e−βKα′ e ~ (Kα −Kα′ )(τ −τ ) e− ~ (Pα −Pα′ )·(r−r ) , N, α δˆ Z N =0 α,α′
unde ultima egalitate s-a obt¸inut prin redenumirea indicilor de sumare α ↔ α′ . Pe baza rezultatelor precedente pentru cele dou˘a medii grand-canonice, se obt¸ine dezvoltarea funct¸iei de corelat¸ie Matsubara a fluctuat¸iilor de densitate (ˆın spat¸iul pozit¸ii pseudo-timp): Cn (r, τ ; r′ , τ ′ ) =
Z ) (N ∞ 2 1 ′ ′ −1 X X
i n(0) N, α′ e ~ (Kα −Kα′ )(τ −τ ) e− ~ (Pα −Pα′ )·(r−r ) N, α δˆ Z
×
N =0 α,α′
e−βKα θ(τ − τ ′ ) + e−βKα′ θ(τ ′ − τ ) .
(5.187)
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
444
Se observ˘ a c˘ a expresia precedent˘ a a funct¸iei de corelat¸ie Matsubara pentru fluctuat¸iile de densitate are dependent¸a afirmat˘ a de relat¸ia (5.183a), astfel ˆıncˆ at are o transformat˘a Fourier spat¸iopseudo-temporal˘ a simpl˘a: Z ~β Z 3 e dτ e−ik·r+iωn τ Cn (r, τ ) d r Cn (k, ωn ) = 0
V
−1 = Z
∞ X
Z ) Z (N X 2
′ n(0) N, α d3 r e i[(Pα′ −Pα )/~−k]·r N, α δˆ V
N =0 α,α′
Z × e−βKα
0
Z dτ θ(τ ) e [iωn −(Kα′ −Kα )/~]τ + e−βKα′
~β
dτ θ(−τ ) e [iωn −(Kα′ −Kα )/~]τ ;
~β
0
integrala spat¸ial˘a ¸si cele 2 integrale pseudo-temporale produc urm˘atoarele rezultate: Z d3 r e i[(Pα′ −Pα )/~−k]·r = V δPα′ −Pα ,~k , Z
V
~β
dτ θ(−τ ) e [iωn −(Kα′ −Kα )/~]τ = 0 ,
0
Z
~β
dτ θ(τ ) e [iωn −(Kα′ −Kα )/~]τ =
0
h i 1 iωn ~β −β(Kα′ −Kα ) e e − 1 iωn − ~1 (Kα′ − Kα ) h i 1 −β(Kα′ −Kα ) = e − 1 , iωn − ~1 (Kα′ − Kα )
unde ultima egalitate s-a obt¸inut deoarece e iωn ~β = e i2πn = 1. Ca urmare, s-a obt¸inut reprezentarea Lehmann a funct¸iei de corelat¸ie Matsubara pentru fluctuat¸iile de particule: Z ) (N ∞ 2 −V X X
e n(0) N, α′ δ Pα′ −Pα ,~k Cn (k, ωn ) = N, α δˆ Z N =0 α,α′
× e−βKα
1
iωn −
1 ′ ~ (Kα
− Kα )
h
i e−β(Kα′ −Kα ) − 1 ;
(5.188a)
expresia precedent˘ a se exprim˘ a mai convenabil ca o integral˘a ˆın raport cu o frecvent¸˘a suplimentar˘ a: Z ∞ Z ) (N ∞ 2 dω ′ V X X
Cen (k, ωn ) = n(0) N, α′ δ Pα′ −Pα ,~k N, α δˆ −∞ 2π Z N =0 α,α′
× e−βKα
h
i 1 Kα′ − Kα , 1 − e−β(Kα′ −Kα ) 2π δ ω ′ − ~ iωn − ω ′
adic˘a ca integral˘a a funct¸iei pondere:
Cen (k, ωn ) =
Z
∞
dω ′ ~∆n (k, ω ′ ) , iωn − ω ′ −∞ 2π
(5.188b)
unde funct¸ia pondere are expresia ~∆n (k, ω ′ )
Z ) (N ∞ i h 2 V X X
= n(0) N, α′ δ Pα′ −Pα ,~k e−βKα 1 − e−β(Kα′ −Kα ) N, α δˆ Z N =0 α,α′
Kα′ − Kα × 2π δ ω ′ − ~ Z ) (N ∞ X i h X 2 ′ Kα′ − Kα V
. n(0) N, α′ δ Pα′ −Pα ,~k e−βKα 1 − e−β~ω 2π δ ω ′ − = N, α δˆ Z ~ N =0 α,α′
(5.189)
5.5. FUNCT ¸ II DE CORELAT ¸ IE PENTRU DENSITATEA DE PARTICULE
445
2b. Reprezentarea Lehmann pentru funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ a de timp real Funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ a a fluctuat¸iilor densit˘ a¸tii de particule este definit˘ a prin relat¸ia (5.182), care prin explicitarea comutatorului devine: h i ′ ′ ′ C(R) ˆ δˆ nK (r, t) δˆ nK (r′ , t′ ) − Tr ̺ˆ δˆ nK (r′ , t′ ) δˆ nK (r, t) . n (r, t; r , t ) = − i θ(t − t ) Tr ̺
Cele dou˘a medii grand-canonice se evalueaz˘ a prin aceea¸si metod˘ a ca ¸si ˆın cazul precedent, dar ˆın acest caz operatorul fluctuat¸ie de densitate este i
ˆ
i
ˆ
i
ˆ
i
ˆ
i
ˆ
i
ˆ
δˆ nK (r, τ ) = e ~ τ K δˆ n(r) e− ~ τ K = e ~ τ K e− ~ r·P δˆ n(0) e ~ r·P e− ~ τ K . Prin aplicarea metodei specificate anterior pentru prima medie grand-canonic˘a se obt¸ine: Tr ̺ˆ δˆ nK (r, t) δˆ nK (r′ , t′ ) o n e−β Kˆ i i i ˆ i ′ ˆ i ′ ˆ i ′ ˆ i ′ ˆ i ˆ ˆ ˆ n(0) e ~ r·P e− ~ tK · e ~ t K e− ~ r ·P δˆ n(0) e ~ r ·P e− ~ t K · e ~ tK e− ~ r·P δˆ = Tr Z Z (N ∞ X X)
e−β Kˆ ′ ˆ ′ ˆ i ˆ i i i ˆ · e ~ tK e− ~ r·P δˆ N, α = n(0) e ~ (r−r )·P e− ~ (t−t )K Z N =0 α
Z) ∞ (N X X ′ ′ ′ ′ i ′ ˆ i ′ ˆ N , α N , α δˆ × n(0) e ~ r ·P e− ~ t K N, α ′
N ′ =0 α′
Z ) ∞ (N Z) ∞ (N 1 X X X X −βKα i tKα − i r·Pα
e ~ N, α δˆ n(0) N ′ , α′ = e~ e Z N =0 α N ′ =0 α′ i ′ ′ ′ ′
i i i × e ~ Pα′ ·(r−r ) e− ~ Kα′ (t−t ) N ′ , α′ δˆ n(0) N, α e ~ P·r e− ~ Kα t Z ) ∞ (N Z ′) ∞ (N 2 1 X X X X −βKα i (t−t′ )(Kα −Kα′ ) − i (Pα −Pα′ )·(r−r′ )
e~ e e ~ N, α δˆ n(0) N ′ , α′ = Z {z } | N =0 N ′ =0 ′
α′
α
=
∼ δN,N ′
Z ) (N ∞ 2 ′ ′ 1 X X
i i n(0) N, α′ e−βKα e ~ (Kα −Kα′ )(t−t ) e− ~ (Pα −Pα′ )·(r−r ) ; N, α δˆ Z N =0 α,α′
A doua medie grand-canonic˘ a se obt¸ine ˆın mod similar (de fapt se poate observa c˘ a acest termen se obt¸ine direct din primul prin permutarea {r, t} ↔ {r′ , t}): Tr ̺ˆ δˆ nK (r, t) δˆ nK (r′ , t′ ) Z ) (N ∞ 2 ′ ′ i i 1 X X
n(0) N, α′ e−βKα e ~ (Kα −Kα′ )(t −t) e− ~ (Pα −Pα′ )·(r −r) = N, α δˆ Z N =0 α,α′
=
Z ) (N ∞ 2 ′ ′ i i 1 X X
n(0) N, α′ e−βKα′ e ~ (Kα −Kα′ )(t−t ) e− ~ (Pα −Pα′ )·(r−r ) , N, α δˆ Z N =0 α,α′
unde ultima egalitate s-a obt¸inut prin redenumirea indicilor de sumare α ↔ α′ . Pe baza rezultatelor anterioare pentru cele dou˘a medii grand-canonice, se obt¸ine dezvoltarea funct¸iei de corelat¸ie retardate a fluctuat¸iilor de densitate (ˆın spat¸iul pozit¸ii-timp): ′ ′ C(R) n (r, t; r , t )
Z ) (N ∞ 2 i ′ ′ i 1 X X
n(0) N, α′ e ~ (Kα −Kα′ )(t−t ) e− ~ (Pα −Pα′ )·(r−r ) = N, α δˆ Z N =0 α,α′
× (−i) θ(t − t′ ) e−βKα − e−βKα′ .
(5.190)
Se observ˘ a c˘ a expresia precedent˘ a a funct¸iei de corelat¸ie retardate pentru fluctuat¸iile de densitate depinde numai de diferent¸a vectorilor de pozit¸ie ¸si de diferent¸a variabilelor temporale, ˆın
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
446
concordant¸˘ a cu relat¸ia (5.183b), astfel ˆıncˆ at are o transformat˘a Fourier spat¸io-temporal˘a simpl˘a, care este inversa formulelor (5.186): Z Z ∞ 3 (R) e Cn (k, ω) = d r dt e−ik·r+iωt C(R) n (r, t) −∞
V
=
1 Z
Z ) Z (N X 2
n(0) N, α′ d3 r e i[ (Pα′ −Pα )/~−k ]·r N, α δˆ
∞ X
V
N =0 α,α′
× e−βKα − e−βKα′ (−i)
Z
∞
dt θ(t) e i[ ω−(Kα′ −Kα )/~ ] t ;
−∞
integrala spat¸ial˘a ¸si integrala temporal˘a produc urm˘atoarele rezultate: Z P ′ − P α α − k = V δPα′ −Pα ,~k , d3 r e i[ (Pα′ −Pα )/~−k ]·r = I ~ Z ∞ V Kα′ − Kα 1 . dt θ(t) e i[ ω−(Kα′ −Kα )/~ ] t = −i K+ ω − (−i) = 1 ′ ~ (K ω − α − Kα ) + i η −∞ ~ Ca urmare, s-a obt¸inut reprezentarea Lehmann a funct¸iei de corelat¸ie retardat˘ a pentru fluctuat¸iile de particule: Z ) (N ∞ X X 2
′ e (R) (k, ω) = V N, α δˆ n (0) N, α C δ Pα′ −Pα ,~k n Z N =0 α,α′
× e−βKα
h
1 − e−β(Kα′ −Kα )
i
ω−
1 ′ ~ (Kα
1 ; − Kα ) + i η
(5.191a)
expresia precedent˘ a se exprim˘ a mai convenabil ca o integral˘a ˆın raport cu o frecvent¸˘a suplimentar˘ a (la fel ca ¸siRˆın cazul funct¸iei de corelat ¸ ie Matsubara), prin introducerea funct ¸ iei Dirac ¸ s i utilizarea R identit˘ a¸tii dx f (x) δ(x − x0 ) = dx f (x0 ) δ(x − x0 ): e(R) (k, ω) = C n
Z ) (N ∞ 2 dω ′ V X X
n(0) N, α′ δ Pα′ −Pα ,~k N, α δˆ −∞ 2π Z
Z
∞
N =0 α,α′
× e−βKα
h
i Kα′ − Kα 1 1 − e−β(Kα′ −Kα ) 2π δ ω ′ − . ~ ω − ω′ + i η
Expresia integral˘a precedent˘ a arat˘a c˘ a funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ a pentru fluctuat¸iile densit˘ a¸tii de particule se poate exprima ˆın termeni de integral˘a a funct¸iei pondere, definit˘ a anterior prin relat¸ia (5.189): Z ∞ dω ′ ~∆n (k, ω ′ ) e(R) (k, ω) = . (5.191b) C n ′ −∞ 2π ω − ω + i η Din expresia (5.191) rezult˘a c˘ a prelungirea analitic˘a a transformatei Fourier a funct¸iei de corelat¸ie e (R) retardat˘ a pentru fluctuat¸iile densit˘ a¸tii de particule (ˆın planul complex al frecvent¸ei) C n (k, z) este o funct¸ie meromorf˘ a, avˆand poli simpli (N )
zα,α′ = ~1 (Kα′ − Kα ) − i η ≡ ωαα′ − i η , (N )
(N )
(N )
unde ~ ωαα′ = Kα′ − Kα urm˘atoarele propriet˘ a¸ti:
(N )
(N )
= Eα′ − Eα
este energia de tranzit¸ie ˆıntre st˘ari α → α′ care au
• sunt legate prin fluctuat¸iile densit˘ a¸tii de particule (δˆ n), • au impulsurile totale corelate prin relat¸ia Pα′ = Pα + ~k, • corespund la acela¸si num˘ ar de particule (N = N ′ ).
5.5. FUNCT ¸ II DE CORELAT ¸ IE PENTRU DENSITATEA DE PARTICULE
447
2c. Consecint¸e ale reprezent˘ arii Lehmann pentru funct¸iile de corelat¸ie 1. Propriet˘a¸ti ale funct¸iei pondere, definit˘ a prin relat¸ia (5.189): • Funct¸ia pondere este real˘ a ¸si are semnul frecvent¸ei (pulsat¸iei): ∆n (k, ω) > 0 , pentru ω > 0 , ∆n (k, ω) ∈ R ∆n (k, ω) < 0 , pentru ω < 0 . Proprietatea este evident˘ a, conform expresiei de definit¸ie (5.189), deoarece termenul (1 − e−β~ω ) are acela¸si semne ca ¸si ω.
• Funct¸ia pondere este impar˘a ˆın raport cu setul tuturor variabilelor ∆n (−k, −ω) = −∆n (k, ω) . Demonstrat¸ie: Se exprim˘ a funct¸ia pondere ˆın forma echivalent˘ a formulei de definit¸ie Z ∞ (N) 2 V X X
n(0) N, α′ e−βKα − e−βKα′ δ Pα′ −Pα ,~k · 2π δ ω − ∆n (k, ω) = N, α δˆ ~Z N=0 α,α′
Kα′ −Kα ; ~
atunci, prin inversarea variabilelor se obt¸ine ∆n (−k, −ω) =
Z ∞ (N) 2 V X X
n(0) N, α′ e−βKα − e−βKα′ N, α δˆ ~Z N=0 α,α′
Kα′ −Kα ~
× δ Pα′ −Pα ,−~k 2π δ − ω − | {z {z } | = δ Pα −P ′ ,~k α
=
= δ ω−
Kα −K ′ α ~
}
Z ∞ (N) 2 V X X
′ n(0) N, α e−βKα′ − e−βKα δ Pα′ −Pα ,~k 2π δ ω − N, α δˆ ~Z N=0 α,α′
Kα′ −Kα , ~
iar ultima expresie difer˘ a numai prin semn de formula utilizat˘ a init¸ial pentru funct¸ia pondere.
• Funct¸ia pondere satisface o condit¸ie de normare nul˘a: Z ∞ dω ∆n (k, ω) = 0 . −∞ 2π
(5.192)
Demonstrat¸ie: Se utilizeaz˘ a expresia funct¸iei pondere folosit˘ a ˆın demonstrat¸ia propriet˘ a¸tii precedente ¸si se realizeaz˘ a integrarea dup˘ a frecvent¸˘ a (pulsat¸ie), care este banal˘ a: Z
∞
dω ∆n (k, ω) = −∞ 2π
Z
Z ∞ (N) 2 dω V X X
n(0) N, α′ e−βKα − e−βKα′ N, α δˆ −∞ 2π ~Z N=0 ∞
α,α′
K −K × δ Pα′ −Pα ,~k 2π δ ω − α′ ~ α Z ∞ (N) e−βKα 2 1 X X
e−βKα′ = n(0) N, α′ V δ Pα′ −Pα ,~k ; − N, α δˆ ~ N=0 Z Z α,α′
ˆın ultima expresie se introduce integrala spat¸ial˘ a prin identitatea Z i V δ Pα′ −Pα ,~k = d3 r e ~ (Pα′ −Pα −~k)·r V
¸si se utilizeaz˘ a faptul c˘ a elementele de matrice fluctuat¸ie de densitate sunt diago ale operatorului
a rezult˘ a identitatea nale ˆın raport cu numerele de particule, N, α δˆ n(0) N ′ , α′ ∼ δN,N ′ , astfel c˘
2
n(0) N, α′ = N, α δˆ n(0) N, α′ N, α′ δˆ n(0) N, α N, α δˆ X
= N, α δˆ n(0) N ′ , α′ N ′ , α′ δˆ n(0) N, α ; N′
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
448
ca urmare a observat¸iilor precedente, se obt¸ine Z
∞
1 dω ∆n (k, ω) = ~ −∞ 2π
Z
d3 r e−ik·r V
Z Z X (N) (N) ∞ ∞ X X X
N=0
′ α N =0
i
e ~ (Pα′ −Pα )·r
α′
e−βKα e−βKα′ × N, α δˆ n(0) N ′ , α′ N ′ , α′ δˆ n(0) N, α − Z Z Z h i 1 3 −ik·r = d re Tr ̺ˆ δˆ n(r) δˆ n(0) − Tr ̺ˆ δˆ n(0) δˆ n(r) , ~ V
unde ultima egalitate s-a obt¸inut prin utilizarea ecuat¸iiilor cu valori proprii ale impulsului ¸si hamiltonianului grand-canonic, iar apoi a relat¸iei de completitudine a bazei proprii comune. Se observ˘ a c˘ a diferent¸a urmelor operatoriale este egal˘ a cu comutatorul operatorilor, care este nul: ˆ(r) , ˆ Tr ̺ˆ δˆ n(r) δˆ n(0) − Tr ̺ˆ δˆ n(0) δˆ n(r) = Tr ̺ˆ δˆ n(r) , δˆ n(0) − = Tr ̺ˆ n n(0) − = ˆ 0, astfel c˘ a se obt¸ine rezultatul (5.192).
• La limita termodinamic˘ a funct¸ia pondere are expresia ∆n (k, ω) =
Z) ∞ (N 2 1 X X
n(0) N, α′ e−βKα 1 − e−β~ω N, α δˆ ~Z N =0 α,α′
× (2π)3 δ k −
Pα′ −Pα ~
2π δ ω −
Kα′ −Kα ~
.
(5.193)
Expresia funct¸iei pondere la limita termodinamic˘ a se obt¸ine direct din expresia de definit¸ie (5.189), ˆın care se efectueaz˘ a limita termodinamic˘ a: P −P V δ Pα′ −Pα ,−~k = (2π)3 δ k − α′ ~ α . LT
2. Relat¸ia ˆıntre transformata Fourier a funct¸iei de corelat¸ie termic˘ a Matsubara Cen (k, ωn ) ¸si trans(R) e formata Fourier a funct¸iei de corelat¸ie retardat˘ a de timp real Cn (k, ω) se obt¸ine din comparat¸ia reprezent˘ arilor Lehmann ˆın termeni de funct¸ie pondere, reprezentate prin relat¸iile (5.188) ¸si respectiv (5.191): Z ∞ dω ′ ~∆n (k, ω ′ ) e , Cn (k, ωn ) = iωn − ω ′ −∞ 2π Z ∞ dω ′ ~∆n (k, ω ′ ) e(R) (k, ω) = . C n ′ −∞ 2π ω − ω + i η
Se observ˘ a c˘ a ambele funct¸ii de corelat¸ie se exprim˘ a cu transformata Hilbert a funct¸iei pondere Z ∞ dω ′ ∆n (k, ω ′ ) F (k, z) ≡ ; (5.194) z − ω′ −∞ 2π atunci rezult˘a Cen (k, ωn ) = ~ F (k, iωn ) , e (R) (k, ω) = ~ F (k, ω + i η) . C n
(5.195a) (5.195b)
Se observ˘ a c˘ a situat¸ia prezent˘ a este similar˘ a cu problema relat¸iei ˆıntre funct¸ia Green retardat˘ a de timp real ¸si funct¸ia Green termic˘ a Matsubara, mai exact relat¸iile (5.195a) ¸si (5.195b) sunt similare cu relat¸iile (5.130) ¸si respectiv (5.118); atunci, prin analogie cu relat¸ia (5.131) se obt¸ine funct¸ia pondere din funct¸ia de corelat¸ie termic˘ a (Matsubara) a fluctuat¸iilor de densitate, conform relat¸iei urm˘atoare: ~ ∆n (k, ω) = − i lim Cen (k, ωn ) iωn =ω−iη − Cen (k, ωn ) iωn =ω+iη . (5.196) η→0+
Demonstrat¸ia relat¸iei (5.196) este identic˘ a cu demonstrat¸ia relat¸iei (5.131) ˆın care se efectueaz˘ a e ωn ) → Cen (k, ωn ) ¸si ρ(k, ω) → ~ ∆n (k, ω); ca urmare, se omite repeurm˘ atoarele substitut¸ii: G(k, tarea acestei demonstrat¸ii.
5.5. FUNCT ¸ II DE CORELAT ¸ IE PENTRU DENSITATEA DE PARTICULE
449
Pe baza rezultatelor precedente se obt¸ine transformata Fourier a funct¸iei de corelat¸ie retardat˘ a en(R) (k, ω) prin prelungirea analitic˘a a transformatei Fourier a funct¸iei de corelat¸ie de timp real C termic˘ a Matsubara Cen (k, ωn ), ceea ce implic˘ a urm˘atoarea procedur˘a: i. Se consider˘ a cunoscut˘a expresia funct¸iei Cen (k, ωn ) (se va ar˘ata ulterior c˘ a aceast˘a m˘arime se poate determina prin calcul perturbat¸ional ˆın varianta Matsubara). ii. Pe baza relat¸iei (5.195a), adic˘a Cen (k, ωn ) = ~ F (k, iωn ), se obt¸ine setul de valori ale transformatei Hilbert pentru funct¸ia pondere pe ¸sirul discret de valori situate pe axa imaginar˘a zn = iωn ). iii. Se efectueaz˘ a prelungirea analitic˘a a funct¸iei F (k, z) ˆın planul complex al frecvent¸ei. iv. Transformata Fourier a funct¸iei de corelat¸ie retardat˘ a de timp real pentru fluctuat¸iile de e (R) densitate C ¸ine, conform relat¸iei (5.195b), din valorile funct¸iei F (k, z) ˆın vecin˘atatea n (k, ω) se obt infinitezimal˘a a axei reale. v. Conform teoriei funct¸iilor de variabil˘ a complex˘a, dac˘a se cunosc valorile unei funct¸ii pe un set discret de puncte din planul γ complex, atunci prelungirea sa analitic˘a ˆın ˆıntregul plan complex z = ω + iγ nu este unic˘ a ¸si pentru a avea o anumit˘a prelungire analitic˘a este necesar s˘a se precizeze o condit¸ie suplimentar˘ a. ˆIn cazul preiωn zent transformata Hilbert a funct¸iei pondere satisface urm˘atoarea condit¸ie asimptotic˘a F (k, z) −→ 0 .
(5.197)
|z|→∞
ω
Demonstrat¸ie: Conform definit¸iei (5.194), expresia asimptotic˘ a a funct¸iei F (k, z) la valori mari ale modulului frecvent¸ei complexe este Z 1 ∞ dω ′ ∆n (k, ω ′ ) ; F (k, z) ≈ |z|→∞ z −∞ 2π dar integrala din expresia precedent˘ a este nul˘ a, conform condit¸iei de normare a funct¸iei pondere exprimat˘ a prin relat¸ia (5.192).
vi. Prelungirea analitic˘a definit˘ a anterior este ilustrat˘a ˆın figura de mai sus. B. Calculul perturbat¸ional al funct¸iei de corelat¸ie Matsubara Funct¸ia de corelat¸ie termic˘ a Matsubara pentru fluctuat¸iile densit˘ a¸tii de particule se poate calcula perturbativ, utilizˆand metode diagramatice de vizualizare a termenilor de perturbat¸ie, datorit˘ a relat¸iei cu polarizarea termic˘ a total˘ a, conform teoremei Hubbard termic˘ a (numit˘a, de asemenea teorema Hubbard-Matsubara). B1. Teorema Hubbard-Matsubara X Cn (x, x′ ) = ~ Π σσ,σ′ σ′ (x, x′ ) ≡ ~ Π(x, x′ ) ,
(5.198)
σ,σ′
unde x ≡ (r, τ ), iar Π(x, x′ ) este urma de spin a polariz˘arii termice totale ˆıntre punctele x ¸si x′ . Demonstrat¸ie: Demonstrat¸ia este analoag˘ a cazului din formalismul fermionic de temperatur˘ a nul˘ a, corespunz˘ ator demonstrat¸iei pentru relat¸ia (3.171), deoarece analiza perturbativ˘ a cu imagine diagramatic˘ a este similar˘ a. Operatorul fluctuat¸ie de densitate
de particule (ˆın formularea Heisenberg-Matsubara) este, prin ˆK¯ (x) − n(x) ˆ ˆK¯ (x) este operatorul densitate de particule, iar n(x) definit¸ie δˆ nK¯ (x) = n 1, unde n este media grand-canonic˘ a a densit˘ a¸tii de particule: X † ˆ nK¯ (x) = ψˆσ K¯ (x) ψˆσ K¯ (x) , σ
n(x) = Tr ̺ˆ ˆ nK¯ (x) ;
450
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA deoarece termenii care cont¸in medii pe starea fundamental˘ a implic˘ a operatori banali (proport¸ionali cu operatorul unitate), operat¸ia de ordonare temporal˘ a a produsului de 2 operatori fluctuat¸ii de densitate act¸ioneaz˘ a nebanal numai asupra operatorilor densitate de particule, atunci se separ˘ a produsele cu operatori densitate de ceilalt¸i termeni (produse de medii pe starea fundamental˘ a sau produse cu o medie pe starea fundamental˘ a ¸si un operator densitate) ¸si se obt¸ine rezultatul
nK¯ (x) · δˆ Tτ δˆ nK¯ (x′ ) = Tτ ˆ nK¯ (x) − n(x) ˆ 1 ˆ nK¯ (x′ ) − n(x′ ) ˆ 1
′
′ ′ ˆ ˆK¯ (x) + n(x) n(x′ ) 1 nK¯ (x) · ˆ nK¯ (x ) − n(x) ˆ = Tτ ˆ nK¯ (x ) − n(x ) n
′
′ ′ ′ ˆK¯ (x) + n(x) n(x ) ˆ = Tτ ˆ nK¯ (x) · ˆ nK¯ (x ) − n(x) ˆ nK¯ (x ) − n(x ) n 1.
Atunci, funct¸ia de corelat¸ie a fluctuat¸iilor de densitate se poate scrie ˆın forma nK¯ (x) · δˆ − Cn (x, x′ ) = Tr ̺ˆ Tτ δˆ nK¯ (x′ )
ˆK¯ (x) ˆK¯ (x′ ) − n(x) Tr ̺ˆ ˆ = Tr ̺ˆ Tτ ˆ nK¯ (x) · n nK¯ (x′ ) − n(x′ ) Tr ̺ˆ n | {z } {z } |
+ n(x) n(x ) Tr ̺ˆ | {z } ′
= hn(x′ )i
= hn(x)i
=1
ˆK¯ (x′ ) − n(x) n(x′ ) . = Tr ̺ˆ Tτ ˆ nK¯ (x) · n
Se efectueaz˘ a dezvoltarea perturbativ˘ a pentru mediile grand-canonice, conform teoremei FeynmanMatsubara, a operatorilor Heisenberg-Matsubara ¸si apoi se aplic˘ a teorema Wick termic˘ a (BlochDe Dominicis), urmat˘ a de separarea termenilor legat¸i de cei nelegat¸i, ˆın mod similar cu operat¸iile efectuate pentru demonstrarea teoremei Brueckner termice, ˆın cazul seriei de perturbat¸ie a funct¸iei Green-Matsubara uni-particul˘ a. Pentru media grand-canonic˘ a a densit˘ a¸tii de particule, prin aplicarea teoremei Feynman-Matsubara (5.63), se obt¸ine:
n(x) = Tr ̺ˆ ˆ nK¯ (x) ˆ ˆ τ) n ˆ 0) ˆK¯ 0 (x) U(τ, 0) · U(0, = e β(Ω−Ω0 ) Tr ̺ˆ0 U(~β, ˆ ˆ 0) ˆK¯ 0 (x) U(τ, = e β(Ω−Ω0 ) Tr ̺ˆ0 U(~β, τ) n Z Z ~β ∞ X ′ 1 −1 n ~β β(Ω−Ω0 ) ′ ˆ K¯ (τ1 ) · · · K ˆK ˆK¯ 0 (x) =e dτ1 · · · dτn Tr ̺ˆ0 Tτ K ¯ 0 (τn ) · n 0 n! ~ 0 0 n=0 Z ~β Z ~β ∞ X n ′ 1 −1 ′ ˆ K¯ (τ1 ), · · · K ˆK dτ1 · · · dτn C K nK¯ 0 (x) = e β(Ω−Ω0 ) ¯ 0 (τn ), ˆ 0 n! ~ 0 0 n=0 ultima egalitate s-a obt¸inut prin aplicare teoremei Bloch-De Dominicis, C{· · · } fiind suma tuturor contract¸iilor produse cu operatorii considerat¸i ˆın interiorul parantezelor acolade. Apoi, se ˆK¯ 0 (x) (adic˘ realizeaz˘ a separarea termenilor legat¸i, prin contract¸ii, ˆıntre operatori de cˆ amp din n a ˆ ′¯ (τj ), de termenii nelegat¸i punctul extern) de operatori de cˆ amp din hamiltonienii de interact¸ie K K0 de punctul extern (ˆın mod analog cu operat¸ia f˘ acut˘ a la demonstrarea teoremei Brueckner), iar termenii nelegat¸i dau o contribut¸ie total˘ a egal˘ a cu numitorul e−β(Ω−Ω0 ) , astfel ˆıncˆ at r˘ amˆ ane numai contribut¸ia termenilor legat¸i de punctul extern: Z Z ~β ∞ X
′ 1 −1 p ~β ′ ˆ K¯ (τ1 ), · · · , K ˆK n(x) = e β(Ω−Ω0 ) dτ1 · · · nK¯ 0 (x) dτp Cc K ¯ 0 (τp ) , ˆ 0 p! ~ 0 0 p=0 Z Z ∞ ~β ~β X 1 −1 r ′ ′ ˆ K¯ (τ1 ), · · · , K ˆK dτ1 · · · dτr Cc K × ¯ 0 (τr ) hΦ0 |Φ0 i 0 r! ~ 0 0 p=0 {z } | = e−β(Ω−Ω0 )
Z Z ~β ∞ X ′ 1 −1 p ~β ′ ˆ K¯ (τ1 ), · · · , K ˆK = dτ1 · · · nK¯ 0 (x) , dτp Cc K ¯ 0 (τp ) , ˆ 0 p! ~ 0 0 p=0
′ ˆ ¯ (τ1 ), · · · , K ˆ ′¯ (τp ) , n ˆK¯ 0 (x) este suma tuturor contract¸iilor totale ale operatorilor de unde Cc K K0 K0 cˆ amp din hamiltonienii de interact¸ie, iar 2 operatori de cˆ amp ai hamiltonienilor de interact¸ie sunt contractat¸i fiecare cu unul dintre operatorii de cˆ amp externi ψˆσ† K¯ (x) ¸si ψˆσ K¯ 0 (x). 0
ˆIn mod similar se procedeaz˘ a cu media grand-canonic˘ a a produsului cronologic de operatori densitate de particule, ˆın care pentru ˆınceput se aplic˘ a teorema Feynman-Matsubara de dezvoltare
5.5. FUNCT ¸ II DE CORELAT ¸ IE PENTRU DENSITATEA DE PARTICULE
451
perturbativ˘ a, apoi se efectueaz˘ a contract¸iile ˆıntre operatorii de cˆ amp ¸si se aplic˘ a teorema Wick termic˘ a (Bloch – De Dominicis) prin care r˘ amˆ an numai contract¸iile totale, iar apoi se separ˘ a termenii nelegat¸i de cei legati de punctele externe x ¸si x′ : ˆK¯ (x) · ˆ Tr ̺ˆ Tτ n nK¯ (x′ ) Z Z ~β ∞ X ′ 1 −1 n ~β ′ ˆ K¯ (τ1 ) · · · K ˆK ˆK¯ 0 (x) · ˆ = e β(Ω−Ω0 ) dτ1 · · · dτn Tr ̺ˆ0 Tτ K nK¯ 0 (x′ ) ¯ 0 (τn ) · n 0 n! ~ 0 0 n=0 Z Z ∞ ~β ~β X 1 −1 n ′ ′ ˆ K¯ (τ1 ), · · · , K ˆK ˆK¯ 0 (x) , n ˆK¯ 0 (x′ ) dτ1 · · · dτn C K = e β(Ω−Ω0 ) ¯ 0 (τn ) , n 0 n! ~ 0 0 n=0 Z ~β Z ~β ∞ X p ′ 1 −1 ˆ ¯ (t1 ), · · · , K ˆ ′¯ (tp ) , ˆ = e β(Ω−Ω0 ) dt1 · · · nK¯ 0 (x) , ˆ dtp Cc K nK¯ 0 (x′ ) K0 K0 p! ~ 0 0 p=0 Z Z ∞ ~β X 1 −1 r ~β ′ ′ ˆ K¯ (τ1 ), · · · , K ˆK × dτ1 · · · dτr Cc K ¯ 0 (τr )} 0 r! ~ 0 0 p=0 {z } | =
∞ X p=0
Z 1 −1 p
p!
~
~β
0
dτ1 · · ·
Z
= e−β(Ω−Ω0 )
′ ′ ˆ K¯ (τ1 ), · · · , K ˆK ˆK¯ 0 (x) , ˆ dτp Cc K nK¯ 0 (x′ ) , ¯ 0 (τp ) , n 0
~β
0
′ ˆ ¯ (τ1 ), · · · , K ˆ ′¯ (τp ) , n ˆK¯ 0 (x) , n ˆK¯ 0 (x′ ) este suma tuturor contract¸iilor totale ¸si legate, unde Cc K K0 K0 care ˆın plus sunt legate de punctele externe x ¸si x′ ; se observ˘ a c˘ a ˆın toate ordinele de perturbat¸ie apar 2 tipuri de termeni: ˆK¯ (x′ ) [= termeni total – termeni legat¸i de ambii operatori densitate de particule ˆ nK¯ (x) ¸si n legat¸i], ˆK¯ (x) (pe de o parte) ¸si cu operatorul n ˆK¯ (x′ ) (pe de alt˘ – termeni legat¸i separat cu operatorul n a parte), astfel ˆıncˆ at ace¸sti termeni sunt factorizabili ˆın produs de 2 p˘ art¸i independente. Atunci se efectueaz˘ a separarea termenilor total legat¸i de termenii factorizabili ¸si se face resumarea fiec˘ arui set de termeni: ˆK¯ (x′ ) Tr ̺ˆ Tτ ˆ nK¯ (x) · n Z Z ~β ∞ X ′ 1 −1 p ~β ′ ˆ K¯ (τ1 ), · · · , K ˆK ˆK¯ 0 (x) , ˆ dτ1 · · · dτp C′′c K nK¯ 0 (x′ ) = ¯ 0 (τp ) , n 0 p! ~ 0 0 p=0 Z Z ~β ∞ X ′ 1 −i p ~β ′ ˆ K¯ (τ1 ), · · · , K ˆK ˆK¯ 0 (x′ ) . + dt1 · · · dtp C′c K nK¯ 0 (x) , n ¯ 0 (τp ) , ˆ 0 p! ~ 0 0 p=0 ′ ˆ ¯ (τ1 ), · · · , K ˆ ′¯ (τp ) , n ˆK¯ 0 (x) , n ˆK¯ 0 (x′ ) este suma tuturor contract¸iilor total legate de unde C′′c K K0 K0 ˆ ′¯ (τ1 ), · · · , K ˆ ′¯ (τp ) , ˆ ˆK¯ 0 (x′ ) este suma contract¸iilor ambele puncte externe, iar C′c K nK¯ 0 (x) , n K0 K0 legate ¸si factorizabile. Termenul factorizabil cont¸ine produse de independente (atˆ at prin contract¸ii, cˆ at ¸si prin integr˘ ari temporale), astfel ˆıncˆ at se poate separa ˆıntr-un produs de 2 p˘ art¸i independente: Z Z ~β ∞ X ′ 1 −1 p ~β ′ ˆ K¯ (τ1 ), · · · , K ˆK ˆK¯ 0 (x′ ) dτ1 · · · dτp C′c K nK¯ 0 (x) , n ¯ 0 (τp ) , ˆ 0 p! ~ 0 0 p=0 Z ~β p ∞ X 1 −1 p X r Z ~β ′ ′ ˆ K¯ (τ1 ), · · · , K ˆK Cp dτ1 · · · dτr C′c K nK¯ 0 (x) · = ¯ 0 (τr ) , ˆ 0 p! ~ 0 0 r=0 p=0 Z ~β Z ~β ′ ′ ˆ K¯ (τr+1 ), · · · , K ˆK ˆK¯ (x′ ) ; × dτr+1 · · · dτp C′c K ¯ (τp ) , n 0
0
0
0
0
pe baza identit˘ a¸tii utilizate anterior la demonstrarea teoremei Brueckner p p ∞ X ∞ ∞ ∞ X X X X 1 r p−r 1 r 1 s p! 1 pX r Cp Ar Bp−r = a a a Ar Bp−r = a Ar · a Bs , p! p! r! (p − r)! r! s! p=0 r=0 r=0 s=0 r=0 p=0
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
452
se separ˘ a suma anterioar˘ a ˆın 2 sume independente: Z Z ~β ∞ X ′ 1 −1 p ~β ′ ˆ K¯ (τ1 ), · · · , K ˆK ˆK¯ 0 (x) , n ˆK¯ 0 (x′ ) dτ1 · · · dτp C′c K ¯ 0 (τp ) , n 0 p! ~ 0 0 p=0 Z ~β Z ~β ∞ X r ′ 1 −1 ′ ˆ K¯ (τ1 ), · · · , K ˆK = dτ1 · · · nK¯ 0 (x) · dτr Cc K ¯ 0 (τr ) , ˆ 0 r! ~ 0 0 r=0 {z } |
= n(x)
×
∞ X s=0
|
Z 1 −1 s
s!
~
~β
0
dτ1 · · ·
Z
~β
0
′ ′ ˆ K¯ (τ1 ), · · · , K ˆK nK¯ 0 (x′ ) dτs Cc K ¯ 0 (τs ) , ˆ 0 {z
}
= hn(x′ )i
= n(x) n(x′ ) ,
unde ultima egalitate s-a obt¸inut observˆ and c˘ a fiecare din cele 2 sume sunt egale cu media pe starea fundamental˘ a a densit˘ a¸tii de particule. Atunci media produsului cronologic de operatori densitate de particule se scrie ˆın forma: ˆK¯ 0 (x) · ˆ nK¯ 0 (x′ ) Tr ̺ˆ Tτ n Z Z ~β ∞ X ′
1 −1 p ~β ′ ˆ K¯ (τ1 ), · · · , K ˆK ˆK¯ 0 (x′ ) + n(x) n(x′ ) . = dτ1 · · · dτp C′′c K nK¯ 0 (x), n ¯ 0 (τp ), ˆ 0 p! ~ 0 0 p=0 Pe baza rezultatului precedent, se obt¸ine c˘ a funct¸ia de corelat¸ie Matsubara pentru fluctuat¸iile densit˘ a¸tii de particule, se reduce la suma termenilor complet legat¸i de cele 2 puncte externe:
ˆK¯ (x) · n ˆK¯ (x′ ) − n(x) n(x′ ) − Cn (x, x′ ) = Tr ̺ˆ Tτ n Z Z ~β ∞ X ′ 1 −1 p ~β ′ ˆ K¯ (τ1 ), · · · , K ˆK dτ1 · · · dτp C′′c K nK¯ 0 (x) , ˆ nK¯ 0 (x′ ) . = ¯ 0 (τp ) , ˆ 0 p! ~ 0 0 p=0 Prin explicitarea hamiltonienilor de interact¸ie ¸si a operatorilor densitate de particule ˆın termeni de operatori de cˆ amp se obt¸ine o expresie similar˘ a cu cea corespunz˘ atoare funct¸iei Green-Matsubara (5.68b): Cn (x, x′ ) =
Z Z Z Z ∞ XX −1 −1 p d4 x1 d4 x′1 · · · d4 xp d4 x′p p! 2~ ′ p=0
σ,σ
X
λ1 ,µ1 ,λ′1 ,µ′1
× Vλ1 ,µ1 ;λ′1 ,µ′1 (x1 , x′1 ) · · · Vλp ,µp ;λ′p ,µ′p (xp , x′p ) × Cc ψˆλ† 1 K¯ 0 (x1 ) , ψˆλ† ′ K¯ 0 (x′1 ) , ψˆµ′1 K¯ 0 (x′1 ) , ψˆµ1 K¯ 0 (x1 ) , . . . ,
···
X
λp ,µp ,λ′p ,µ′p
1
× ψˆλ† p K¯ 0 (xp ) , ψˆλ† ′ K¯ 0 (x′p ) , ψˆµ′p K¯ 0 (x′p ) , ψˆµp K¯ 0 (xp ) , p o † ˆ ˆ × ψσ K¯ (x) , ψσ K¯ 0 (x) , ψˆσ† ′ K¯ (x′ ) , ψˆσ ′ K¯ 0 (x′ ) ; 0
0
spre deosebire de funct¸ia Green-Matsubara, ˆın cazul prezent apar 2 + 2 = 4 operatori de cˆ amp externi ¸si sunt 2 puncte externe. Se efectueaz˘ a reprezentarea diagramatic˘ a a termenilor de perturbat¸ie pentru funct¸ia de corelat¸ie Matsubara Cn (x, x′ ): i. diagramele cont¸in urm˘ atoarele elemente: σ
x – linia fermionic˘ a reprezint˘ a funct¸ia Green-Matsubara liber˘ a: ′
6 σ
x – linia de interact¸ie reprezint˘ a potent¸ialul de interact¸ie: xI µ λ
λ′ µ′
′
0 ′ = Gσσ ′ (x, x )
x′ = Vλ,µ;λ′ ,µ′ (x, x′ ) I
5.5. FUNCT ¸ II DE CORELAT ¸ IE PENTRU DENSITATEA DE PARTICULE
453
ii. topologia unei diagrame de ordinul p are urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti: – 4p + 4 operatori de cˆ amp (jum˘ atate din ei sunt operatori de creare ¸si cealalt˘ a jum˘ atate sunt operatori de anihilare), care produc prin contract¸ii 2p + 2 linii particul˘ a (dintre acestea, 2 + 2 sunt linii externe ¸si 2(p − 1) sunt linii interne); – p potent¸iale de interact¸ie, care produc p linii de interact¸ie; – 2p vertexuri ¸si 2 puncte externe; se observ˘ a c˘ a diagrama considerat˘ a este similar˘ a cu diagrama unei insert¸ii de polarizare. Pentru a determina relat¸ia ˆıntre funct¸ia de corelat¸ie pentru fluctuat¸iile densit˘ a¸tii de particule ¸si polarizare este necesar s˘ a se determine factorul multiplicativ al unei diagrame. Pentru un termen perturbat¸ional de ordinul p al unei diagrame pentru funct¸ia de corelat¸ie a fluctuat¸iilor de densitate sunt urm˘ atoarele contribut¸ii la factorul multiplicativ: (p)
– factorul de multiplicitate fat¸˘ a de permut˘ ari ˆıntre hamiltonienii de interact¸ie este fK¯ = p! , – factorul de multiplicitate fat¸˘ a de permut˘ ari interne ˆın fiecare hamiltonian de interact¸ie este (p) fπ = 2p , (p)
– factorul dat de liniile particul˘ a este fG = (−1)2p+2 = 1, (p)
– factorul dat de buclele formate cu linii particul˘ a este fL = (±1)L , unde semnul superor corespunde cazului bosonic ¸si semnul inferior corespunde cazului fermionic; (p)
atunci, luˆ and ˆın considerare factorul general al unui termen de ordinul p, adic˘ a f0 rezult˘ a factorul total al diagramei pentru funct¸ia de corelat¸ie: (p,j)
fC
(p)
= f0
(p)
(p)
(p)
· fK¯ fπ(p) fG fL = −
−1 p ~
=
−1 −1 p , p! 2~
(±1)Lj ;
pe de alt˘ a parte, la pagina 429 s-a stabilit factorul multiplicativ al unei diagrame de polarizare ca fiind −1 p+1 (p,j) fΠ = (−1)Lj ; ~ atunci rezult˘ a urm˘ atoarea relat¸ie ˆıntre factorii multiplicativi corespondent¸i: (p,j)
fC
(p,j)
= ~ fΠ
.
ˆIn final, luˆ and ˆın considerare c˘ a Cn ¸si Π sunt descrise prin acela¸si tip de diagrame, dar indicii de spin la fiecare punct extern sunt egali ¸si se sumeaz˘ a peste valorile lor, pentru a obt¸ine funct¸ia de corelat¸ie, rezult˘ a urm˘ atoarea relat¸ie: Cn (x, x′ ) = =
(p) ∞ X XX
σ,σ ′ p=0
X
(p,j)
fC
j
Z
d8p x
~ Π σσ,σ ′σ ′ (x, x′ ) ,
X
Pσσ,σ ′σ ′ (x, x′ ; λ, µ)
λ,µ
σ,σ ′
unde Pσσ,σ ′ σ ′ (x, x′ ; λ, µ) este expresia diagramei pentru polarizare (sau pentru funct¸ia de corelat¸ie); adic˘ a s-a obt¸inut relat¸ia afirmat˘ a de teorema Hubbard-Matsubara.
ˆIn cazul cˆ and interact¸iile mutuale dintre particule sunt independente de spini, polarizarea este o matrice diagonal˘ a ˆın indicii de spin Π λµ,λ′ µ′ (x, x′ ) = δλ,λ′ δµ,µ′ Π(x, x′ ); ca urmare, se lucreaz˘a cu regulile Feynman-Matsubara simplificate, ceea ce implic˘ a omiterea sistematic˘ a a indicilor de spin ¸si redefinirea factorului de bucle formate din linii particul˘ a: (±1)Lj −→
Lj , ± (2s + 1)
iar relat¸ia dintre funct¸ia de corelat¸ie Matsubara a fluctuat¸iilor de densitate ¸si polarizarea termic˘ a este Cn (x, x′ ) = ~ Π(x, x′ ) . (5.199)
454
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
B.2 Relat¸ii pentru transformatele Fourier Se consider˘ a cazul sistemului conservativ ¸si omogen, cˆ and se pot efectua transform˘ari Fourier simple, astfel ˆıncˆ at este mai convenabil s˘a se utilizeze transformatele Fourier. Dac˘ a se efectueaz˘ a transform˘ arile Fourier pentru funct¸ia de corelat¸ie Matsubara a fluctuat¸iilor de densitate, conform relat¸iei (5.184) ¸si pentru polarizarea termic˘ a, conform relat¸iei (5.156), atunci relat¸ia Hubard-Matsubara (5.198) se exprim˘ a ˆın mod similar pentru transformatele Fourier Cen (k, ωn ) = ~
X σ,σ′
f ωn ) . f σσ,σ′ σ′ (k, ωn ) ≡ ~ Π(k, Π
(5.200a)
ˆIn continuare se va considera cazul particular cˆ and interact¸iile dintre particule sunt independente de spini, astfel ˆıncˆ at se poate lucra direct cu p˘ art¸ile scalare ale matricilor de spin; ˆın aceast˘a situat¸ie relat¸ia precedent˘ a devine: f ωn ) . Cen (k, ωn ) = ~ Π(k,
(5.200b) ∗
f (k, ωn ), din care se obt¸ine polariEste convenabil s˘a se utilizeze polarizarea termic˘ a proprie Π zarea termic˘ a total˘ a ca solut¸ie a ecuat¸iei Dyson (5.166): f ωn ) = Π(k,
∗
f (k, ωn ) Π . ∗ f (k, ωn ) 1−e v (k) Π
Transformata Fourier a funct¸iei de corelat¸ie Matsubara se exprim˘ a prin transformata Hilbert a funct¸iei pondere cu frecvent¸˘ a imaginar˘a, conform relat¸iilor (5.188b) ¸si (5.195): Z ∞ dω ′ ~∆n (k, ω ′ ) Cen (k, ωn ) = = ~ F (k, iωn ) ; iωn − ω ′ −∞ 2π
atunci, datorit˘ a relat¸iei Hubbard-Matsubara ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a (5.200b), rezult˘a c˘ a transformata Fourier a polariz˘ arii este egal˘a cu transformata Hilbert a funct¸iei pondere Z ∞ dω ′ ∆n (k, ω ′ ) f ωn ) = 1 Cen (k, ωn ) = Π(k, = F (k, iωn ) . ′ ~ −∞ 2π iωn − ω
Deoarece polarizarea termic˘ a proprie are o reprezentare Lehmann de acela¸si tip ca ¸si polarizarea ∗ f total˘ a, atunci Π (k, ωn ) se poate exprima ca transformat˘a Hilbert a funct¸iei pondere ireductibil˘a F ∗ (k, ωn ) cu frecvent¸˘ a imaginar˘ a: Z ∞ ∗ dω ′ ∆∗n (k, ω ′ ) f = F ∗ (k, iωn ) (5.201) Π (k, ωn ) = ′ −∞ 2π iωn − ω
unde ∆∗n (k, ω) este funct¸ia pondere irreductibil˘ a. Se observ˘ a c˘ a funct¸ia pondere irreductibil˘ a are propriet˘ a¸ti similare cu funct¸ia pondere total˘ a ∆n (k, ω), adic˘a este real˘ a, impar˘a ¸si satisface condit¸ia de normare nul˘a:
Z
∞
∆∗n (k, ω) ∗ ∆n (−k, −ω)
∈R,
= −∆n (k, ω) ,
dω ∗ ∆n (k, ω) = 0 , −∞ 2π
(5.202a) (5.202b) (5.202c)
deoarece aceste propriet˘ a¸ti sunt consecint¸e directe ale reprezent˘ arii Lehmann. Metoda de construct¸ie a funct¸iei de corelat¸ie retardat˘ a pentru fluctuat¸iile densit˘ a¸tii de particule: f ∗ (k, ωn ). i. Se determin˘a perturbativ-diagramatic transformata Fourier a polariz˘arii proprii Π ii. Conform relat¸iei (5.201) transformata Hilbert a funct¸iei pondere ireductibile cu frecvent¸e discrete ¸si imaginare este egal˘a cu transformata Fourier a polariz˘arii proprii, determinate anterior: ∗ f (k, ωn ). F ∗ (k, iωn ) = Π
5.5. FUNCT ¸ II DE CORELAT ¸ IE PENTRU DENSITATEA DE PARTICULE
455
iii. Se determin˘a transformata Hilbert a polariz˘arii irreductibile ˆın ˆıntregul plan complex al frecvent¸ei (iωn → z = ω + iγ), obt¸inˆandu-se funct¸ia de polarizare complex˘ a F ∗ (k, z); condit¸ia suplimentar˘ a care asigur˘a unicitatea prelungirii analitice este condit¸ia asimptotic˘a: F ∗ (k, z) −→ 0 , |z|→∞
care rezult˘a din condit¸ia de normare nul˘a a funct¸iei pundere irreductibile (5.202c). iv. Transformata Hilbert a funct¸iei pondere totale cu frecvent¸˘a imaginar˘a este egal˘a cu polarizarea termic˘ a total˘ a care se poate exprima prin transformata Hilbert a funct¸iei pondere irreductibile, ca solut¸ie a ecuat¸iei Dysom(5.166): f ωn ) = F (k, iωn ) = Π(k,
∗
f (k, ωn ) F ∗ (k, iωn ) Π = ; ∗ 1 − ve(k) F ∗ (k, iωn ) f (k, ωn ) 1−e v (k) Π
(5.203)
atunci, prin prelungire analitic˘a se obt¸ine transformata Hilbert a funct¸iei pondere totale, ca funct¸ie de frecvent¸˘ a complex˘a: F (k, z) =
F ∗ (k, z) . 1−e v (k) F ∗ (k, z)
(5.204)
v. Conform relat¸iei (5.195b), transformata Fourier a funct¸iei de corelat¸ie retardate pentru fluctuat¸iile densit˘ a¸tii de particule, se exprim˘ a prin transformata Hilbert a funct¸iei pondre totale pentru frecvent¸a ˆın vecin˘atatea infinitezimal˘a superioar˘a a axei reale, astfel ˆıncˆ at rezult˘a: F ∗ (k, ω + i η) e(R) (k, ω) = ~ F (k, ω + i η) C =~ . (5.205) n ∗ 1 − ve(k) F (k, ω + i η) η→0+ η→0+
Observat¸ie: rezultatul anterior se poate exprima ˆın mod condensat prin regula de substitut¸ie: (R) e (R) (k, ω) = ~ Π(k, f ωn ) f (k, ω) , C ≡ ~Π (5.206) n iωn →ω+iη
f unde Π
(R)
(k, ω) este numit˘ a polarizarea retardat˘ a ¸si se poate considera ca o solut¸ie de tip Dyson: F ∗ (k, ω + i η) f (R) (k, ω) = Π . (5.207) ∗ 1 − ve(k) F (k, ω + i η) η→0+
C. Calculul funct¸iilor de corelat¸ie (Matsubara ¸si retardat˘ a) ˆın ordinul zero
1. Funct¸ia de corelat¸ie termic˘a (Matsubara) de ordinul zero (adic˘a pentru sistemul f˘ar˘a interact¸ii) este legat˘ a ˆın mod direct de polarizarea termic˘ a prin relat¸ia Hubbard-Matsubara; atunci, transformatele lor Fourier sunt corelate prin relat¸ia (5.200), particularizat˘ a cazului prezent: 0
f (k, ωn ) . Cen(0) (k, ωn ) = ~ Π
Deoarece anterior, ˆın Subsect¸iunea 5.4.3 a fost prezentat calculul transformatei Fourier a polariz˘arii termice de ordinul zero, ˆın continuare se vor recapitula numai rezultatele importante. • Expresia general˘ a este (5.170)
• Expresii asimptotice:
Cen(0) (q, νn ) = − (2s + 1)
Z
d3 k n0q+k − n0k . 3 R3 (2π) iνn − ω k,q
– limita clasic˘ a este dat˘ a de relat¸ia (5.172) pentru frecvent¸e nenule ¸si respectiv de relat¸ia (5.176) pentru frecvent¸a nul˘a: (λq)2 1 , −~nβ l6≈ =0 (2π)3 l2 (0) Cen (k, νl ) ≈ ≈ − ~ n β ϕ(λq) , l=0
unde funct¸ia de polarizare clasic˘a ϕ(y) este definit˘ a prin formula (5.175);
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
456
– limita puternic degenerat˘ a, ˆın cazul fermionic ¸si pentru valori mici ale vectorului de und˘a, este dat˘ a de formula (5.177): Cen(0) (k, νn )
q→0
≈−
2s + 1 m kF m νn , R 2 π 2 ~2 ~ kF q
unde funct¸ia R(a) este definit˘ a prin formula (5.178). 2. Funct¸ia de corelat¸ie retardat˘a de ordinul zero (adic˘a pentru sistemul f˘ar˘a interact¸ii) are transformata Fourier corelat˘ a ˆın mod direct de polarizarea retardat˘a prin relat¸iile (5.205) – (5.206), particularizate cazului prezent: e (R) 0 (q, ω) = ~ Π f C n
(R) 0
(q, ω) = ~ F 0 (q, ω + i η)
η→0+
;
(5.208a)
deoarece transformata Hilbert a funct¸iei pondere cu frecvent¸e imaginare este corelat˘ a ˆın mod direct de transformata Fourier a funct¸iei de corelat¸ie Matsubara pentru fluctuat¸iile de densitate, conform relat¸iei (5.195a) particularizat˘ a la cazul prezent ~ F 0 (q, iωn ) = Cen(0) (q, ωn ) ,
atunci se utilizeaz˘ a regula de substitut¸ie iνn → ω + iη ˆın formula (5.170), astfel ˆıncˆ at rezult˘a expresia general˘ a a transformatei Fourier a funct¸iei de corelat¸ie retardat˘ a pentru fluctuat¸iile de densitate: Z n0k − n0q+k d3 k e(R) 0 (q, ω) = (2s + 1) . (5.208b) C n 1 3 R3 (2π) ω − ~ εq+k − εk + i η Anterior, cˆ and s-a discutat polarizarea termic˘ a de ordinul zero, s-a ar˘atat c˘ a integrala din formula (5.170) nu poate fi calculat˘ a analitic ˆın mod exact, astfel ˆıncˆ at s-au obt¸inut numai expresii aproximative corespunz˘ atoare la diferite cazuri asimptotice. Din acest motiv, nu este convenabil s˘a se utilizeze relat¸iile aproximative obt¸inute pentru polarizarea termic˘ a de ordinul zero ¸si s˘a se efectueze prelungiri analitice ˆın planul complex al frecvent¸ei; ca urmare, se va transforma expresia general˘a (5.208b) ¸si se vor obt¸ine aproximat¸iile corespunz˘ atoare cazurilor asimptotice interesante. Se observ˘ a c˘ a integrala din formula (5.208) se poate descompune ˆın diferent¸a a dou˘a integrale similare: Z Z n0q+k d3 k n0k d3 k e (R) 0 (q, ω) = (2s + 1) . − C n 1 1 3 3 R3 (2π) ω − ~ εq+k − εk + i η R3 (2π) ω − ~ εq+k − εk + i η
ˆIn prima integral˘a se efectueaz˘ a schimbarea variabilei de integrare k = k′ + q/2 , iar apoi se ia ˆın considerare c˘ a mediile grand-canonice ale numerelor de ocupare pe st˘ari uni-particul˘a n0k ¸si energiile st˘ arilor uni-particul˘ a εk depind ambele numai de modulul vectorului de und˘a, astfel ˆıncˆ at rezult˘a: Z
d3 k 3 R3 (2π) ω −
1 ~
n0k = εq+k − εk + i η
=
Z
Z
d3 k′ 3 R3 (2π) ω −
1 ~
n0−(k′ +q/2)
ε−k′ + 12 q − ε−k′ − 21 q + i η
d3 k′ 0 nk ′ + 1 q 3 2 ω+ R3 (2π)
1 ~
1 . εk′ + 21 q − εk′ − 12 q + i η
ˆIn mod similar se transform˘ a a doua integral˘a, ˆın care se efectueaz˘a schimarea de variabilei de integrare k = k′ − q/2: Z
d3 k 3 R3 (2π) ω −
n0q+k 1 ~
εq+k − εk
Z
n0k′ + 1 q d3 k′ 2 = 1 3 +iη R3 (2π) ω − ~ εk′ + 12 q − εk′ − 12 q + i η Z 1 d3 k′ 0 nk ′ + 1 q . = 1 3 2 (2π) 1 1 3 ω − ε ′ R ~ k + q − εk′ − q + i η 2
2
5.5. FUNCT ¸ II DE CORELAT ¸ IE PENTRU DENSITATEA DE PARTICULE
457
Diferent¸a energiilor uni-particul˘ a din expresiile numitorilor integranzilor anteriori se expliciteaz˘ a 2 2 ~ ~ ~ 1 1 1 ε 1 − εk− 21 q = k + 2q − k − 2 q = k · q; ¸si produc urm˘atorul rezultat: ~ k+ 2 q 2m 2m m atunci, prin adunarea expresiilor celor dou˘a integrale ¸si redenumind variabila de integrare k′ → k, se obt¸ine: Z d3 k 0 1 1 (R) 0 e Cn (q, ω) = (2s + 1) . − n ~ ~ 3 k+ 21 q k·q+iη ω − m k· q+iη ω+ m R3 (2π)
M˘ arimea din interiorul parantezelor acolade se transform˘a ˆın pe baza lemei Baker-CampbellHausdorff: ω+
1 1 − ~ · q+iη ω − m k·q+iη ~ ~ 1 1 −iπ δ ω + k· q −P −iπ δ ω − k·q ; =P ~ ~ m m ω + mk · q ω− m k·q ~ mk
ca urmare, se separ˘ a partea real˘ a de parte imaginar˘a a transformatei Fourier a funct¸iei de corelat¸ie retardat˘ ade ordinul zero h Z i d3 k 0 1 1 e (R) 0 (q, ω) = (2s + 1) C −P n P 1 n k+ q ~ ~ 3 2 ω + mk · q ω − mk · q R3 (2π) h i ~ ~ −iπ δ ω + k·q −δ ω − k· q . m m
Atunci p˘ art¸ile real˘ a ¸si imaginar˘ a ale transformatei Fourier a funct¸iei de corelat¸ie retardat˘ a de ordinul zero au urm˘atoarele expresii generale Z (R) 0 1 d3 k 0 1 e − , (5.209a) n Re Cn (q, ω) = (2s + 1) − 3 k+ 21 q ~ ~ R3 (2π) ω+ k·q ω− k·q m m Z 3 (R) 0 ~ ~ d k 0 e n k · q − δ ω − k · q . (5.209b) δ ω + Im C (q, ω) = π (2s + 1) 1 n k+ 2 q 3 m m R3 (2π) Expresiile anterioare nu pot fi explicitate prin expresii analitice exacte, astfel ˆıncˆ at este necesar s˘a se considere cazuri asimptotice, cˆ and se obt¸in expresii aproximative.
Limita clasic˘a implic˘ a temperaturi mari ¸si densit˘ a¸ti mici de particule; ˆın aceste condit¸ii mediile grand-canonice ale numerelor de ocupare pe st˘ari uni-particul˘a (care sunt exprimate prin funct¸iile de distribut¸ie Bose-Einstein, respectiv Fermi-Dirac) sunt aproximate prin expresia clasic˘a (descris˘ a de funct¸ia de distribut¸ie Maxwell-Boltzmann) [a se vedea prezentarea de la pagina 435]: n λ3 −βεk e , 2s + 1 p unde n ≡ N/V este concentrat¸ia de particule ¸si λ ≡ 2π~2 β/m este lungimea de und˘a termic˘ a. Deoarece ˆın cazul prezent expresiile p˘ art¸ilor real˘a ¸si imaginar˘a sunt dependente de n0k ≈ e βµ e−βεk =
n0k+ 1 q ≈ 2
n q 2 o ~2 n λ3 k+ , exp − β 2s + 1 2m 2
rezult˘a c˘ a este convenabil s˘a se efectueze integralele ˆın coordonate cilindrice, luˆand axa polar˘a paralel˘ a cu vectorul q: k = k⊥ + kz , astfel ˆıncˆ at rezult˘a k · q = kz q , q 2 q 2 2 = k⊥ + kz2 + , k+ 2 2 3 2 d k = d k⊥ dkz = k⊥ dk⊥ dφk dkz .
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA
458
2a. Prin utilizarea coordonatelor cilindrice expresia (5.209a) pentru partea real˘a devine: Z Z ∞ 2 (R) 0 2s + 1 2 2 1 nλ3 − β~ 2 e e 2m [k⊥ +(kz + 2 q) ] Re C (q, ω) = d k dkz ⊥− n 3 (2π) R2 2s + 1 −∞ 1 1 × − ~ ~ ω+ m ω− m kz q kz q 3 Z β~2 2 nλ d2 k⊥ e− 2m k⊥ = 3 (2π) R2 Z ∞ 2 2 1 1 1 − β~ (k + q) z 2 ; − × − dkz e 2m ~ ~ kz q kz q ω+ m ω− m −∞ integrala peste coordonatele perpendiculare ale vectorului de und˘a se reduce la o integral˘a ele2 2 mentar˘ a prin substitut¸ia ζ = ~2mβ k⊥ : Z
2
R2
d k⊥ e
2
2 − β~ 2m k⊥
= 2π
Z
∞ 0
2
dk⊥ k⊥ e
2 − β~ 2m k⊥
m = 2π 2 ~ β
Z
0
∞
dζ e−ζ =
(2π)2 ; λ2
integrala peste componenta paralel˘ a a vectorului de und˘a se simplific˘ a prin schimbarea de variabil˘ a r r ~2 β 2m ~2 β 1 1 2 q 2 ξ = kz + q (kz + q) =⇒ ξ = =⇒ kz = ξ− , 2 2m 2 2m 2 ~ β 2 astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: Z ∞ β~2 2 1 − dkz e− 2m (kz + 2 q) −∞
1
−
1
~ ~ qkz qkz ω+ m ω− m Z ∞ 1 2m 1 −ξ 2 r r − dξ e = − ~2 β −∞ ~q 2m ~q 2m 1 1 ξ − ξ − q q ω+ ω + 2 2 m ~2 β m ~2 β Z ∞ 2 1 1 m −r − dξ e−ξ r = 2 2 ~ q −∞ ~ β mω 1 ~ β mω 1 − 2q +ξ − 2q −ξ 2m ~q 2m ~q Z ∞ m 1 1 −ξ 2 r . = −r − dξ e ~ q −∞ ~ω ~ω mβ ω mβ ω +ξ −ξ − − 2 q 2m 2 q 2m
r
Pe baza rezultatelor precedente se obt¸ine urm˘atoarea expresie a p˘ art¸ii reale: Z ∞ (R) 0 2 nλ3 (2π)2 m 1 e Re C (q, ω) = − dξ e−ξ r n 3 2 (2π) λ ~q ~ω mβ ω −∞ +ξ − 2 q 2m Z ∞ 2 1 . − − dξ e−ξ r ~ω mβ ω −∞ −ξ − 2 q 2m
Integralele ˆın raport cu variabila ξ nu se pot rezolva ˆın mod simplu prin funct¸ii elementare, astfel ˆıncˆ at se introduce funct¸ia special˘ a Φ(x) numit˘a funct¸ia de dispersie real˘ a pentru plasm˘ a Z ∞ 2 1 e−ξ Φ(x) ≡ √ − dξ ; π −∞ x − ξ Sunt importante urm˘atoarele propriet˘ a¸ti ale funct¸iei Φ(x): • Φ(x) este o funct¸ie impar˘ a
Φ(−x) = − Φ(x) ,
(5.210)
5.5. FUNCT ¸ II DE CORELAT ¸ IE PENTRU DENSITATEA DE PARTICULE
459
• Φ(x) are urm˘atoarele expresii asimptotice ≈ 2 x 1 − 23 x2 + . . . , pentru x ≪ 1 , Φ(x) ≈ ≈ 1 1 + 1 + . . . , pentru x ≫ 1 . x 2 x2
Atunci, dup˘a efectuarea unor operat¸ii algebrice simple, se obt¸ine urm˘atoarea expresie pentru partea real˘ a a transformatei Fourier a funct¸iei de corelat¸ie retardat˘ a liber˘a: r r r (R) 0 n mβ mβ h ω mβ h ω ~q i ~q i e Re C (q, ω) = − Φ − − Φ − . (5.211) − + n q 2 2 q 2m 2 q 2m
2b. Partea imaginar˘ a se evalueaz˘ a ˆın mod similar, prin transformarea expresiei (5.209b): Z Z ∞ (R) 0 2 2 1 2s + 1 nλ3 − β~2 [k⊥ 2 e Im C (q, ω) = π e 2m +(kz + 2 q) ] d k dkz ⊥ n 3 (2π) R2 2s + 1 −∞ o n ~ ~ kz q − δ ω − m kz q × δ ω− m Z ∞ Z mω 2 2 2 2 1 nλ3 m − β~ 2 − β~ k ⊥ 2m 2m (kz + 2 q) δ − k dk e d k e =π · z z ⊥ (2π)3 R2 ~q ~q −∞ Z ∞ mω β~2 2 1 − . dkz e− 2m (kz + 2 q) δ + kz ~q −∞
Integrala peste coordonatele perpendiculare ale vectorului de und˘a este identic˘ a cu integrala corespondent˘ a din expresia p˘ art¸ii reale, astfel ˆıncˆ at rezultatul este: Z ∞ Z Z ∞ 2 2 2 2 (2π)2 m 2 − β~ k⊥ − β~ k⊥ 2m 2m , d k⊥ e dζ e−ζ = = 2π dk⊥ k⊥ e = 2π 2 ~ β 0 λ2 R2 0 iar integralele peste coordonata paralel˘ a a vectorului de und˘a se reduc ˆın mod simplu, datorit˘a prezent¸ei funct¸iei Dirac: Z ∞ mω n β~2 mω β~2 2 1 q 2 o dkz e− 2m (kz + 2 q) δ ± ∓ kz = exp − − ~q 2m ~q 2 −∞ n β~2 m2 ω 2 q2 mω o = exp − ; − ± 2 2 2m ~ q 4 ~
atunci, partea imaginar˘ a a transformatei Fourier a funct¸iei de corelat¸ie retardate pentru fluctuat¸iile de densitate devine: o nλ m − β~2 m22 ω22 − q2 n − β~2 mω (R) 0 β~2 mω 2m 4 e ~ q e Im Cn (q, ω) = e 2m ~ − e 2m ~ 2 ~q β~ω n ~2 q 2 o np m ω2 . (5.212) sinh + =− 2πmβ exp − β q 2 q2 4m2 2 (R) 0 e n (q, ω) este o funct¸ie impar˘a ˆın raport cu frecvent¸a ω. Se observ˘ a c˘ a partea imaginar˘ a Im C 2c. Se particularizeaz˘a rezultatele anterioare ˆın urm˘atoarele cazuri asimptotice interesante. • Limita frecvent¸ei nule ω → 0: (R) 0 e Re C (q, ω) n
dar
r
ω=0
r r mβ ~q mβ mβ ~q Φ −Φ − 2 2 2m 2 2m r r mβ ~q n mβ = −2 ; Φ q 2 2 2m n =− q
r
λq mβ ~q = √ ¸si se introduce funct¸ia caracteristic˘ a 2 2m 4 π √ 2 π x g(x) ≡ , Φ √ x 4 π
(5.213)
460
ˆ ˘ FINITA ˘ CAPITOLUL 5. TEORIA CAMPULUI LA TEMPERATURA care are urm˘atoarele comport˘ ari asimptotice: x2 , ≈ 1− x≪1 24π g(x) ≈ 8π 8π ≈ 2 1+ 2 ; x≫1 x x
ca urmare, partea real˘ a (la limita frecvent¸ei nule) are urm˘atoarea expresie aproximativ˘ a (R) 0 e Re C (q, 0) = − ~ n β g λ q . n
(5.214a)
Partea imaginar˘ a (la limita frecvent¸ei nule) este nul˘a:
(R) 0 e Im C (q, 0) = 0 . n
(5.214b)
• Limita vectorilor de und˘a ¸si frecvent¸elor foarte mici, adic˘a ˆın cazul cˆ and se consider˘ a q → 0, β~ω ≪ 1, dar q/ω → finit. Atunci, ˆın expresia p˘ art¸ii reale funct¸ia Φ(x) se poate aproxima prin dezvoltarea Taylor ˆın ordinul 1 r r r mβ h ω r mβ h ω ~ q i ~ q i mβ ~ q ′ mβ ω + − Φ −Φ ≈2 ; Φ 2 q 2m 2 q 2m 2 2m 2 q pentru valori mari ale argumentului funct¸ia Φ(x) ¸si derivata sa au urm˘atoarele expresii asimptotice: Φ(x) ≈
x≫1
1 1 + 3 + ... x 2x
=⇒
Φ′ (x) ≈
x≫1
3 −1 1 + + . . . ; x2 2x2
ca urmare, partea real˘ a a transformatei Fourier pentru funct¸ia de corelat¸ie reatardat˘a are urm˘atoarea expresie aproximativ˘ a: (R) 0 n q2 3 q2 e Re C (q, ω) ≈ 1+ . n 2 mω β m ω2
(5.215a)
ˆIn expresia p˘ art¸ii imaginare (5.212), sunt valabile aproximat¸iile exp
n
−β
n m ω2 m ω2 o ~2 q 2 o ≈ exp − β + 2 q2 4m2 2 q2 β~ω β~ω ≈ sinh , 2 2
astfel c˘ a rezult˘a urm˘atoarea expresie aproximativ˘ a
n (R) 0 nβ~ω p mω 2 o e Im C (q, ω) ≈ − 2π m β exp − β . n 2q 2q 2
(5.215b)
UNIVERSITATEA din BUCURES ¸ TI ˘ FACULTATEA de FIZICA ˘ TEORETICA ˘ ¸si MATEMATICI CATEDRA de FIZICA
Radu Paul LUNGU
˘ TEORIA CUANTICA A SISTEMELOR DE PARTICULE IDENTICE Volumul II
BUCURES¸TI - 2011 -
Partea II
Probleme speciale
1
Aplicarea metodelor funct¸iilor Green pentru studiul sistemelor fizice Metode de aproximat¸ie Teoria perturbat¸ional˘ a Feynman permite evaluarea funct¸iilor Green (precum ¸si a funct¸iilor de corelat¸ie) ˆın orice ordin al potent¸ialului de interact¸ie; ca urmare, se obt¸in m˘arimile observabile, care sunt valori medii pe starea fundamental˘ a (ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a), sau medii grand-canonice (ˆın formalismul de temperatur˘a finit˘a). Totu¸si ˆın general seriile de perturbat¸ie nu se pot calcula exact, astfel ˆıncˆ at este necesar s˘a se utilizeze metode de aproximat¸ie; exist˘a mai multe metode de aproximat¸ie, a c˘ aror valabilitate depinde de propriet˘ a¸tile specifice ale sistemului particular considerat. Cele mai importante metode de aproximat¸ie sunt urm˘atoarele. 1. Aproximat¸ii de ordin inferior ˆın care se ret¸in din seria de perturbat¸ie numai contribut¸iile de ordin cel mult 1 (sau cel mult 2) la self-energia proprie; totu¸si, pentru majoritatea situat¸iilor interesante din punct de vedere fizic, aceast˘a aproximat¸ie este insuficient˘ a ¸si este necesar s˘a se includ˘ a clase de termeni superiori din seria de perturbat¸ie, care au contribut¸ia dominant˘ a. 2. Aproximat¸ii pe clase infinite de diagrame. • Aproximat¸ia self-consistent˘ a (numit˘a uzual aproximat¸ia Hartree-Fock ) consider˘ a numai diagramele care sunt topologic echivalente cu diagramele de ordinul 1, dar ˆın care se utilizeaz˘ a funct¸ii Green efective. Aceast˘a aproximat¸ie este satisf˘ac˘atoare pentru sisteme cu interact¸ii slabe ¸si cu raz˘ a scurt˘ a de act¸iune. • Aproximat¸ia inelar˘ a (numit˘a ˆın mod uzual aproximat¸ia fazelor aleatoare) consider˘ a c˘ a este necesar s˘a se ret¸in˘a numai clasa de diagrame inelare, care sunt considerate diagramele dominante ˆın fiecare ordin al teoriei perturbat¸iilor. Aceast˘a aproximat¸ie este justificat˘a pentru interact¸ii cu raz˘ a lung˘ a de act¸iune, cum este interact¸ie coulombian˘ a pentru sistemul electonilor liberi din solidele cristaline. • Aproximat¸ia diagramelor scar˘ a (termenul englez este ladder approximation) ˆın care se ret¸ine din seria de perturbat¸ie numai clasa diagramelor scar˘ a, care sunt considerate diagramele termenilor dominant¸i ˆın fiecare ordin al teoriei perturbat¸iilor. Aproximat¸ia este valabil˘a pentru sisteme cu interact¸ii puternice ¸si cu raz˘ a scurt˘ a de act¸iune, cum este cazul nucleonilor din nucleul atomic. Este important s˘a se remarce c˘ a metoda adecvat˘a de aproximare este determinat˘ a de tipul interact¸iilor dintre particulele sistemului considerat. De asemenea, trebuie s˘a se observe c˘ a metodele de aproximare pe clase infinite de diagrame implic˘ a reinterpretarea acestor clase infinite de diagrame ca m˘arimi efective (sau altfel spus, ca m˘ arimi renormate). 3
4
Metode speciale Al˘aturi de metodele de aproximat¸ie, sunt utilizate metode speciale: • Metoda transform˘ arii canonice ˆın care se aproximeaz˘ a ˆın mod adecvat hamiltonianul sistemului ¸si apoi se efectueaz˘ a o transformare canonic˘a a operatorilor elementari, astfel ˆıncˆ at hamiltonianul transformat s˘a devin˘ a diagonal ˆın raport cu operatorii elementari transformat¸i; ˆın general aceast˘a metod˘ a produce rezultate echivalente cu aproximat¸ii perturbative de ordin inferior, dar este mai simpl˘a, din punct de vedere matematic ¸si conceptual, decˆat metoda perturbativ˘a ¸si ˆın plus se pot obt¸ine rezultate care nu rezult˘a din aplicarea teoriei perturbat¸iilor ˆın ordin finit. • Metoda ecuat¸iei de mi¸scare ˆın care se construiesc operatori adecvat¸i care au ca efect crearea ¸si anihilarea unor excitat¸ii elementare ale sistemului studiat; metoda permite obt¸inerea spectrului de excitat¸ii de un anumit tip pentru o clas˘a de sisteme simple. • Teoria r˘ aspunsului liniar deduce comportarea unui sistem ˆın condit¸iile ˆın care se consider˘a o interact¸ie suplimentar˘ a cu un sistem extern, iar aceast˘a interact¸ie poate fi considerat˘ a suficient de slab˘a; ˆın aceste condit¸ii se obt¸in m˘arimi caracteristice ale sistemului perturbat ˆın termeni de m˘arimi ale sistemului neperturbat. ˆIn general aceast˘a metod˘ a se utilizeaz˘a ˆımpreun˘ a cu metode de aproximat¸ie, pentru a obt¸ine comportarea sistemului neperturbat. • Teoria cˆ ampurilor cuplate (aplicat˘ a la sistemul electron-fonon) este adaptarea nerelativist˘a a metodei interact¸iei electroni-fotoni din Electrodinamica Cuantic˘ a. ˆIn cazul prezent se consider˘ a sistemul electronilor de valent¸˘a ai unui solid cristalin, care interact¸ioneaz˘ a cu ionii ret¸elei cristaline aflate ˆın vibrat¸ie; atunci sistemul electronic se descrie ˆın termeni de un cˆ amp fermionic, iar ret¸eaua cristalin˘ a (aproximat˘a ca un mediu elastic continuu) este descris˘ a de un cˆ amp bosonic, iar cele dou˘a cˆ ampuri sunt cuplate prin interact¸ia electronifononi. Rezultatele obt¸inute pentru sistemul electroni-fononi se pot adapta pentru alte situat¸ii, cˆ and exist˘a un cuplaj ˆıntre un sub-sistem fermionic ¸si un sub-sistem bosonic.
Capitolul 6
Aproximat¸ia Hartree-Fock 6.1
Aproximat¸ia Hartree-Fock ˆın teoria sistemelor multiparticule
Pentru un sistem cu multe particule, dar f˘ar˘a interact¸ii mutuale (eventual sunt posibile interact¸ii cu cˆ ampuri externe) este posibil s˘a se defineasc˘ a st˘ ari uni-particul˘ a ¸si s˘a se aplice ˆın mod direct formalismul Cuantific˘arii II. Pentru un sistem cu multe particule ¸si cu interact¸ii mutuale ˆıntre aceste particule nu este posibil ˆın principiu s˘a se defineas˘a ˆın mod riguros st˘ari uni-particul˘a, doarece starea fiec˘ arei particule este determinat˘ a de st˘ arile celorlalte particule. Aproximat¸ia Hartree-Fock este bazat˘a pe urm˘atoarele hipoteze: • exist˘a st˘ ari uni-particul˘ a efective, • influent¸a interact¸iilor mutuale dintre particule se poate aproxima cu un potent¸ial extern mediu (considerat un potent¸ial efectiv), • se efectueaz˘ a o tratare self-consistent˘ a: – starea uni-particul˘ a efectiv˘a este determinat˘ a de potent¸ialul efectiv, – potent¸ialul efectiv este determinat de st˘arile uni-particul˘a efective. Ca urmare a hipotezelor enunt¸ate anterior, rezult˘a urm˘atoarele consecint¸e: • aproximat¸ia Hartree-Fock este o aproximat¸ie uni-particul˘a self-consistent˘ a; • energia uni-particul˘ a efectiv˘ a este egal˘a cu energia uni-particul˘a liber˘a la care se adaug˘a energia medie a interact¸iei efective cu celelelte particule. Deoarece diagramele asociate termenilor perturbativi pentru formalismul fermionic de temperatur˘ a nul˘a ¸si pentru formalismul Matsubara de temperatur˘a finit˘a sunt topologic identice, se va prezenta formularea diagramatic˘ a a aproximat¸iei Hartree-Fock pentru ambele formalisme ˆın mod unitar; de aceea, se vor prezenta argumentele generale ¸si diagramele corespunz˘ atoare, f˘ar˘a s˘a se specifice detaliile care constituie diferent¸a dintre cele dou˘a formalisme (adic˘a se vor omite coordonatele asociate vertexurilor). Pentru formularea diagramatic˘ a a aproximat¸iei self-consistente (Hartree-Fock) se iau ˆın considerare urm˘atoarele argumente: • energia asociat˘a unei st˘ ari uni-particul˘a este ǫ = ǫ0 + M ∗ , unde ǫ0 este energia st˘arii uniparticul˘ a ˆın sistemul f˘ ar˘ a interact¸ii mutuale ¸si self-emergia proprie M ∗ exprim˘ a efectul interact¸iilor mutuale (acesta este un rezultat general al teoriei perturbative); • aproximat¸ia uni-particul˘ a implic˘ a o aproximat¸ie de ordin minim pentru self-energia proprie, astfel ˆıncˆ at self-energia este reprezentat˘ a prin cele 2 diagrame de ordinul 1: M∗ ≈
+
; 5
6
CAPITOLUL 6. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK • condit¸ia de self-consistent¸˘ a implic˘ a s˘a se considere toate combinat¸iile cu contribut¸ii de ordinul 1, prin utilizarea ecuat¸iei Dyson.
Ca urmare, aproximat¸ia Hartree-Fock pentru funct¸ia Green exact˘ a se obt¸ine din ecuat¸ia Dyson, ˆın care self-energia este aproximat˘a la diagramele de ordinul 1 cu linii particul˘ a efective (adic˘a renormate prin ecuat¸ia Dyson); aceea rezult˘a sistemul de ecuat¸ii Hartree-Fock (ecuat¸ii self-consistente), care este constituit din a) ecuat¸ia Dyson cu self-energia Hartree-Fock, reprezentat˘a diagramatic ˆın figura 6.1,
=
+
=
+
+
+
....
+
Figura 6.1: Reprezentarea diagramatic˘ a a ecuat¸iei Hartree-Fock pentru funct¸ia Green. b) ecuat¸ia self-energiei Hartree-Fock, care este self-energia de ordinul 1 cu linii particul˘ a efective, reprezentat˘ a ˆın figura 6.2.
HF
+
≈
+
=
+
+
+
+
+ ...
+
Figura 6.2: Reprezentarea diagramatic˘ a a ecuat¸iei pentru self-energia Hartree-Fock.
...
6.2. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK ˆIN FORMALISMUL T = 0
6.2 6.2.1
7
Aproximat¸ia Hartree-Fock ˆın formalismul fermionic de temperatur˘ a nul˘ a Condit¸ii
Se consider˘ a un sistem de fermioni care au urm˘atoarele interact¸ii • interact¸ii externe de tip uni-particul˘a, statice ¸si independente de spin, potent¸ialul extern uni-particul˘ a fiind u(r); • interact¸ii mutuale bi-particule, statice ¸si independente de spini, potent¸ialul intern bi-particul˘ a fiind v(r − r′ ). ˆ 0 (constituit Atunci, hamiltonianul sistemului este decompozabil ˆın parte de tip uni-particul˘a H ˆ1 din hamiltonianul cinetic ¸si hamiltonianul interact¸iilor externe) ¸si parte de tip bi-particul˘a H (constituit din hamiltonianul interact¸iilor interne): o n −~2 XZ ˆ ∇2 + u(r) ψˆσ (r) , H = d3 r ψˆσ† (r) 0 2m V σ ˆ ˆ ˆ H = H0 + H1 , Z XZ 3 H ˆ1 = 1 d r d3 r′ v(r − r′ ) ψˆσ† (r) ψˆσ† ′ (r′ ) ψˆσ′ (r′ ) ψˆσ (r) . 2 ′ V V σ,σ
Observat¸ii: i. s-a efectuat Cuantificarea II pe st˘ari uni-particul˘a libere (ale sistemului f˘ar˘a interact¸ii mutuale); ii. deoarece interact¸iile (interne ¸si externe) sunt independente de spini, atunci funct¸ia Green are matricea diagonal˘ a ˆın indicii de spin Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = δσ,σ′ G(r, t; r′ , t′ ); iii. este posibil s˘a se generalizeze rezultatele pentru cazul cˆ and interact¸iile sunt dependente de spini.
6.2.2
Determinarea funct¸iei Green libere
Anterior s-a determinat funct¸ia Green pentru sistemul fermionic f˘ar˘a interact¸ii, atˆat interne, cˆ at ¸si externe; rezultatul a fost exprimat prin formulele (3.69) – (3.70). Totu¸si, ˆın prezent se consider˘ a o situat¸ie mai general˘ a, cˆ and sistemul nu are interact¸ii interne, dar exist˘a interact¸ii cu un cˆ amp extern; ca urmare, se va determina expresia funct¸iei Green uni-particul˘a cauzal˘ a ˆın termeni de funct¸ii proprii uni-particul˘a ˆın prezent¸a cˆ ampului extern. Operatorul algebric corespunz˘ ator hamiltonianului uni-particul˘a liber˘a este −~2 2 ˆˆ ∇ + u(r) H 0 = 2m
(6.1)
ˆˆ iar ecuat¸ia cu valori proprii a operatorului H 0 este ˆˆ 0 0 0 H 0 ϕj (r) = ǫj ϕj (r) ;
(6.2)
se consider˘ a c˘ a este posibil s˘a se determine solut¸ia ecuat¸iei cu valori proprii anterioare {ǫj0 , ϕ0j (r)} ¸si sistemul funct¸iilor proprii {ϕ0j (r)}j este un sistem complet ˆın spat¸iul funct¸iilor de variabila r, fiind numit baza liber˘ a. Ca urmare, se efectueaz˘ a Cuantificarea II pe baza liber˘a, adic˘a se dezvolt˘ a operatorii de cˆ amp ˆın aceast˘a baz˘ a: X ϕ0j (r) a ˆjσ ; (6.3) ψˆσ (r) = j
atunci, utilizˆand ecuat¸ia cu valori proprii (6.2), hamiltonianul liber este diagonal ˆın raport cu operatorii elementari X ˆ0 = ǫj0 a ˆ†jσ a ˆjσ , (6.4) H j,σ
8
CAPITOLUL 6. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK
iar operatorul de cˆ amp ˆın formularea Dirac (formularea Heisenberg liber˘a) are expresia X i 0 i ˆ i ˆ ϕ0j (r) e− ~ ǫj t a ˆjσ . ψˆσI (r, t) ≡ e ~ tH0 ψˆσ (r) e− ~ tH0 =
(6.5)
j
Funct¸ia Green liber˘ a uni-particul˘ a cauzal˘ a, definit˘ a conform relat¸iei (3.44) adaptat˘ a la cazul sistemului liber, care are vectorul st˘ arii fundamentale |Φ0 i, se expliciteaz˘ a prin utilizarea descompunerii operatorilor de cˆ amp (6.5) † hΦ0 |T ψˆσI (r, t) ψˆσI (r′ , t′ ) |Φ0 i 0 ′ ′ Gσσ′ (r, t; r , t ) = − i hΦ0 |Φ0 i X 0 0 ′ i 0 0∗ ′ = −i ϕj (r) ϕj ′ (r ) e− ~ (ǫj t−ǫj′ t ) j,j ′
n hΦ0 | a ˆ†j ′ σ′ a ˆjσ |Φ0 i o hΦ0 | a ˆjσ a ˆ†j ′ σ′ |Φ0 i ; − θ(t′ − t) × θ(t − t′ ) hΦ0 |Φ0 i hΦ0 |Φ0 i
procedˆand ˆın mod similar cu deducerea formulei (3.71), se arat˘a c˘ a mediile pe starea fundamental˘ a a produselor de operatori elementari sunt hΦ0 | a ˆjσ a ˆ†j ′ σ′ |Φ0 i hΦ0 |Φ0 i
hΦ0 | a ˆ†j ′ σ′ a ˆjσ |Φ0 i hΦ0 |Φ0 i
= δσ,σ′ δj,j ′ 1 − θ(ǫF0 − ǫj0 ) , = δσ,σ′ δj,j ′ θ(ǫF0 − ǫj0 ) .
unde ǫF0 este energia Fermi a sistemului liber. Atunci se obt¸ine expresia funct¸iei Green ˆın termeni de funct¸ii ¸si valori proprii ale energiei uni-particul˘a: G0σσ′ (r, t; r′ , t′ ) = − i δσ,σ′
X
ϕ0j (r) ϕ0j ∗ (r′ )
e
− ~i ǫ0j (t−t′ )
j
(6.6) ′ 0 0 ′ 0 0 θ(t − t ) θ(ǫj − ǫF ) − θ(t − t) θ(ǫF − ǫj ) .
ˆIn cazul cˆ and este absent cˆ ampul extern funct¸iile proprii sunt und plane ¸si indicele st˘arilor uniparticul˘ a este vectorul de und˘a, astfel ˆıncˆ at formula (6.6) devine identic˘ a cu formula (3.69). Deoarece funct¸ia Green este diagonal˘ a ˆın indicii de spin ¸si depinde numai de diferent¸a coordonatelor temporale 1 G0σσ′ (r, t; r′ , t′ ) = δσσ′ G0 (r, r′ ; t − t′ ), este convenabil s˘a se lucreze cu partea scalar˘a care se poate transforma Fourier ˆın raport cu variabila temporal˘a: Z ∞ dω −iω(t−t′ ) ˜˜ 0 G0 (r, r′ ; t − t′ ) = G (r, r′ ; ω) . e −∞ 2π Transformata Fourier temporal˘ a a funct¸iei Green este Z ∞ ˜ ˜ 0 (r, r′ ; ω) = G dt e iωt G0 (r, r′ ; t) −∞
=
X
n
ϕ0j (r) ϕ0j ∗ (r′ )
j
θ(ǫj0
−
ǫF0 )
1 i
− θ(ǫj0 − ǫF0 )
1 i
Z
∞
−∞
Z
0
dt θ(t) e i(ω−ǫj /~)t
∞
−∞
o 0 dt θ(−t) e i(ω−ǫj /~)t .
Integralele temporale sunt de tipul K± (ω) ≡ 1 Prezent ¸a
Z
∞
−∞
dt θ(±t) e iωt =
±i , ω ± iη η→0+
cˆ ampului extern face ca sistemul s˘ a fie neomogen din punct de vedere spat¸ial, astfel ˆıncˆ at funct¸ia Green depinde ˆın mod separat de cei doi vectori de pozit¸ie; ca urmare, ˆın acest caz nu se poate efectua o transformare Fourier spat¸ial˘ a simpl˘ a.
6.2. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK ˆIN FORMALISMUL T = 0
9
fiind justificate ˆın Anexa matematic˘a A.5 cu formula (A.46) (aceste integrale au fost utilizate la deducerea reprezent˘ arilor Lehmann pentru funct¸iile Green uni-particul˘a ˆın formalismul fermionic de temperatur˘a nul˘a); ca urmare cele dou˘a integrale temporale produc urm˘atoarele rezultate:
Z
Z
∞
−∞ ∞
−∞
0 dt θ(t) e i(ω−ǫj /~)t = K+ ω − ~1 ǫj0 = lim
η→0+
0 dt θ(−t) e i(ω−ǫj /~)t = K− ω − ~1 ǫj0 = lim
η→0+
i ω−
1 0 ~ ǫj
+iη
,
−i ; ω − ~1 ǫj0 − i η
ˆın consecint¸˘ a, se obt¸ine urm˘atoarea expresie a transformatei Fourier temporale pentru funct¸ia Green cauzal˘ a liber˘ a: X θ(ǫj0 − ǫF0 ) θ(ǫF0 − ǫj0 ) ˜ 0 0∗ ′ 0 ′ ˜ ϕj (r) ϕj (r ) G (r, r ; ω) = lim . + η→0+ ω − ~1 ǫj0 + i η ω − ~1 ǫj0 − i η j
(6.7)
Din expresia precedent˘ a se poate determina concentrat¸ia de particule ˆın starea fundamental˘ a, prin utilizarea formulei (3.82):
ˆ(r) n
0
= −i
X σ
G0σσ (r, r; −η) Z
∞
dω iωη ˜˜ 0 G (r, r; ω) e −∞ 2π X ϕ0 (r) 2 = − i (2s + 1) lim j
= − i (2s + 1)
η→0+
Z × θ(ǫj0 − ǫF0 )
j
∞
e iωη dω + θ(ǫF0 − ǫj0 ) 1 0 −∞ 2π ω − ~ ǫj + i η
Z
∞
dω e iωη 1 0 −∞ 2π ω − ~ ǫj − i η
;
cele dou˘a integrale dup˘a frecvent¸˘ a sunt discutate ˆın Anexa matematic˘a A.5, cu formula (A.47): lim
η→0+
Z
∞
dω e iωτ (1) ≡ J± (a) = ∓i θ(∓1) , −∞ 2π ω − a ± i η
astfel ˆıncˆ at cele dou˘a integrale produc urm˘atoarele rezultate: Z
∞
dω −∞ 2π ω − Z ∞ dω −∞ 2π ω −
e iωη (1) = J+ ( ~1 ǫj0 ) = 0 , 1 0 + i η ǫ ~ j e iωη (1) = J− ( ~1 ǫj0 ) = i . 1 0 ~ ǫj − i η
Pe baza rezultatelor precedente se obt¸ine urm˘atoarea expresie a concentrat¸iei de particule ˆın starea fundamental˘ a: X
0 ϕ0j (r) 2 θ(ǫF0 − ǫj0 ) . ˆ (r) 0 = (2s + 1) (6.8) n j
Dac˘ a sistemul cont¸ine N particule, atunci prin integrarea concentrat¸iei de particule peste volumul sistemului rezult˘a Z Z X X 2
0 ˆ (r) 0 = (2s + 1) θ(ǫF0 − ǫj0 ) , θ(ǫF0 − ǫj0 ) d3 r ϕ0j (r) = (2s + 1) d3 r n N= V
j
V
j
unde ultima Z egalitate s-a obt¸inut prin utilizarea condit¸iei de normare a funct¸iei proprii uni 2 particul˘ a d3 r ϕ0j (r) = 1, iar aceast˘a relat¸ie permite determinarea energiei Fermi ǫF0 , dac˘a V
se folose¸ste o metod˘ a aproximativ˘ a de sumare dup˘a st˘arile proprii.
10
6.2.3
CAPITOLUL 6. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK
Explicitarea analitic˘ a a ecuat¸iilor Hartree-Fock
A. Self-energia ˆın aproximat¸ia Hartree-Fock are expresia dat˘a de corespondent¸a analitic˘a a diagramei din figura 6.2; ˆın cazul sistemului fermionic aflat ˆın starea fundamental˘ a rezultatul anterior se particularizeaz˘a astfel: x ∗ MHF (x, x′ ) ≡
x
=
HF
x x′
x′′
+
. x′
′
x
Prin utilizarea regulilor de corespondent¸˘a diagramatic˘ a din formalismul fermionic de temperatur˘ a nul˘a particularizate pentru cazul cˆ and interact¸iile sunt independente de spini, se obt¸ine expresia self-energiei ˆın aproximat¸ia Hartree-Fock, din diagrama precedent˘ a: ∗ ′ ′ MHF σσ′ (r, t; r , t ) Z Z ∞ i dt′′ v(r − r′′ ) δ(t − t′′ ) G(r′′ , r′′ ; −η) δ 3 (r − r′ ) δ(t − t′ ) = (−1) (2s + 1) δσ,σ′ d3 r′′ ~ V −∞ i + δσ,σ′ v(r − r′ ) δ(t − t′ ) G(r, r′ ; −η) ~ Z in = δσ,σ′ δ(t − t′ ) − (2s + 1) δ 3 (r − r′ ) d3 r′′ v(r − r′′ ) G(r′′ , r′′ ; −η) ~ V o ′ ′ + v(r − r ) G(r, r ; −η) ;
din expresia precedent˘ a rezult˘a c˘ a self-energia ˆın aproximat¸ia Hartree-Fock este diagonal˘ a ˆın indicii de spin ¸si este singular˘a ˆın raport cu variabilele temporale ∗ ′ ′ ′ ∗ ′ MHF σσ′ (r, t; r , t ) = δσ,σ′ δ(t − t ) MHF (r, r ) ,
(6.9)
iar partea dependent˘ a de vectorii de pozit¸ie are expresia Z o n i ∗ MHF (r, r′ ) = − (2s + 1) δ 3 (r − r′ ) d3 r′′ v(r − r′′ ) G(r′′ , r′′ ; −η) + v(r − r′ ) G(r, r′ ; −η) ~ V (6.10a) Z Z ∞ n i dω iωη ˜˜ ′′ , r′′ ; ω) = e − (2s + 1) δ 3 (r − r′ ) d3 r′′ v(r − r′′ ) G(r ~ −∞ 2π V o ˜˜ r′ ; ω) , + v(r − r′ ) G(r, (6.10b)
unde ultima egalitate s-a obt¸inut efectuˆand transformarea Fourier temporal˘a a funct¸iei Green. B. Ecuat¸ia Dyson a fost reprezentat˘ a diagramatic ˆın figura 6.1 pentru cazul general; atunci funct¸ia Green rezult˘a din diagrama x x x x1 G(x, x′ ) ≡
care are urm˘atoarea corespondent¸˘ a analitic˘a: G(r, t; r′ , t′ ) = G0 (r, t; r′ , t′ ) Z Z ∞ Z Z + d3 r1 dt1 d3 r′1 −∞
V 0
V
−∞
V
= G (r, r′ ; t − t′ ) Z Z Z + d3 r1 d3 r′1 V
∞
∞
−∞
=
+
HF
,
x′1 x′
x′
x′
∗ dt′1 G0 (r, t; r1 , t1 ) δ(t1 − t′1 ) MHF (r1 , r′1 ) G(r′1 , t′1 ; r′ , t′ )
∗ dt1 G0 (r, r1 ; t − t1 ) MHF (r1 , r′1 ) G(r′1 , r′ ; t′1 − t′ ) ;
6.2. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK ˆIN FORMALISMUL T = 0
11
prin transformare Fourier temporal˘ a se obt¸ine expresia a ecuat¸iei Dyson ˆın aproximat¸ia HartreeFock: Z Z ˜ ˜ ˜˜ 0 (r, r ; ω) M ∗ (r , r′ ) G(r ˜˜ ′ , r′ ; ω) . ′ 0 ′ 3 ˜ ˜ G(r, r ; ω) = G (r, r ; ω) + d r1 d3 r′1 G (6.11) 1 HF 1 1 1 V
V
Observat¸ie: ecuat¸iile Hartree-Fock sunt constituite din sistemul ecuat¸iilor (6.10) ¸si (6.11), iar acestea sunt un sistem de ecuat¸ii cuplate pentru transformata Fourier temporal˘a a funct¸iei Green ˜˜ r′ ; ω) ¸si pentru partea spat¸ial˘a a self-energiei Hartree-Fock M ∗ (r, r′ ). G(r, HF Metoda de rezolvare a sistemului de ecuat¸ii Hartree-Fock este urm˘atoarea: ˜˜ r′ ; ω) ˆın sistemul • se descompune transformata Fourier temporal˘a a funct¸iei Green G(r, funct¸iilor uni-particul˘ a efective (self-consistente); • se transform˘ a sistemul de ecuat¸ii Hartree-Fock ˆıntr-un sistem de ecuat¸ii self-consistente pentru funct¸iile uni-particul˘ a efective; • se rezolv˘ a sistemul de ecuat¸ii self-consistente prin metoda iterativ˘ a.
6.2.4
Forma uni-particul˘ a a ecuat¸iilor Hartree-Fock
Hipoteza existent¸ei st˘ arilor uni-particul˘a efective implic˘ a urm˘atoarele consecint¸e: – exist˘a funct¸ii proprii uni-particul˘a efective ϕj(r) cu energiile proprii corespunz˘ atoare ǫj ; – setul funct¸iilor proprii uni-particul˘a efective ϕj (r) j constituie un sistem orto-normat ¸si complet, adic˘a este o baz˘ a ˆın spat¸iul de funct¸ii dependente de vectorul de pozit¸ie r; – exist˘a o energie uni-particul˘ a efectiv˘a, numit˘a energia Fermi self-consistent˘ a ǫF , care este energia maxim˘ a a st˘ arilor uni-particul˘a efective ocupate cˆ and sistemul se afl˘a ˆın starea fundamental˘ a; ˜ ˜ r′ ; ω) a sistemului cu interact¸ii mutuale (aproximate prin interact¸ii par– funct¸ia Green G(r, ˜˜ 0 (r, r′ ; ω), ticul˘ a – cˆ amp efectiv produs de celelalte particule) are forma funct¸iei Green libere G care este descris˘ a de formula (6.7). Atunci se transpun expresiile deduse anterior pentru sistemul liber, la cazul sistemului cu interact¸ii efective: • concentrat¸ia medie de particule cˆ and sistemul se afl˘a ˆın starea fundamental˘ a are expresia analoag˘a formulei (6.8) X
ϕj (r) 2 θ(ǫF − ǫj ) , ˆ(r) 0 = (2s + 1) (6.12) n j
de unde rezult˘a ecuat¸ia pentru determinarea energiei Fermi efective: Z X
ˆ(r) 0 = (2s + 1) θ(ǫF − ǫj ) ; d3 r n N= V
j
• transformata Fourier temporal˘a a funct¸iei Green are expresie similar˘ a cu formula (6.7) X θ(ǫj − ǫF ) θ(ǫF − ǫj ) ˜ ∗ ′ ′ ˜ ϕj (r) ϕj (r ) G(r, r ; ω) = lim . (6.13) + η→0+ ω − ~1 ǫj + i η ω − ~1 ǫj − i η j Pentru a obt¸ine forma uni-particul˘ a a ecuat¸iilor Hartree-Fock se utilizeaz˘a ecuat¸ia diferent¸ial˘a a funct¸iei Green libere (ˆın prezent¸a interact¸iilor cu cˆ ampul extern), obt¸inut˘a din ecuat¸ia (3.77b) pentru cazul cˆ and nu exist˘a interact¸ii mutuale V (r, r′ ) = 0:
i~
∂ ˆ ˆ 0 G0 (r, t; r′ , t′ ) = ~ δ 3 (r − r′ ) δ(t − t′ ) , −H ∂t −~2 2 ˆˆ ∇ + u(r) ; H 0 = 2m r
12
CAPITOLUL 6. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK
prin transformarea Fourier temporal˘ a se obt¸ine ecuat¸ia diferent¸ial˘a a transformatei Fourier a funct¸iei Green libere: ˆ ˜ ˜ 0 (r, r′ ; ω) = ~ δ 3 (r − r′ ) , Lˆr G (6.14a) ˆ unde Lˆr este numit operatorul rezolvent al funct¸iei Green libere
~2 2 ˆˆ ˆ Lˆr = ~ ω − H ∇ − u(r) . 0 = ~ω + 2m r
(6.14b)
ˆ Dac˘ a se aplic˘ a operatorul Lˆr ecuat¸iei Dyson ˆın aproximat¸ia Hartree-Fock (6.11) ¸si se ia ˆın consiiderare ecuat¸ia diferent¸ial˘a a transformatei Fourier pentru funct¸ia Green liber˘a, se obt¸ine Z Z ˆ ˜ ˜˜ 0 (r, r ; ω) M ∗ (r , r′ ) G(r ˜˜ ′ , r′ ; ω) ˜ ˜ r′ ; ω) = Lˆ ˆr G ˜ 0 (r, r′ ; ω) + d3 r1 d3 r′ Lˆˆr G Lˆr G(r, 1 HF 1 1 1 1 V Z V ˜˜ ′ , r′ ; ω) . ∗ (r, r′1 ) G(r = ~ δ 3 (r − r′ ) + d3 r′1 MHF 1 V
Rezultatul precedent se transform˘ a ˆın ecuat¸ia st˘arilor proprii efective prin urm˘atoarele operat¸ii: • se exprim˘ a funct¸ia Dirac ˆın termeni de funct¸ii proprii efective cu ajutorul relat¸iei de completitudine X ϕj (r) ϕ∗j (r′ ) ; δ 3 (r − r′ ) = j
• ˆın expresia (6.13) a funct¸iei Green efective se pot neglija factorii de convergent¸˘a, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine ˜˜ r′ ; ω) = ~ X ϕ (r) ϕ∗ (r′ ) G(r, j j j
Xˆ 1 1 ˆ ˜˜ Lˆr ϕj (r) ϕ∗j (r′ ) r′ ; ω) = ~ =⇒ Lˆr G(r, ; ~ω − ǫj ~ω − ǫj j
ca urmare, transformata ecuat¸iei Dyson devine: ~
Xˆ Lˆr ϕj (r) ϕ∗j (r′ ) j
=~
X j
1 ~ω − ǫj
ϕj (r) ϕ∗j (r′ ) + ~
XZ j
V
∗ d3 r′′ ~ MHF (r, r′′ ) ϕj (r′′ ) ϕ∗j (r′ )
1 , ~ω − ǫj
care este echivalent˘ a cu expresia Z X 1 1 ˆ 3 ′′ ∗ ′′ ′′ ˆ Lr ϕj (r) − d r ~ MHF (r, r ) ϕj (r ) − ϕj (r) ϕ∗j (r′ ) = 0 . ~ω − ǫ ~ω − ǫ j j V j Deoarece sistemul funct¸iilor proprii uni-particul˘a efective {ϕj (r)}j este un sistem liniar independent, rezult˘a c˘ a expresia din interiorul parantezelor acolade din egalitatea precedent˘ a este nul˘a, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: Z h i ~2 2 ∗ ~ω + (r, r′′ ) ϕj (r′′ ) − ~ω − ǫj ϕj (r) = 0 , ∇r − u(r) ϕj (r) − d3 r′′ ~ MHF 2m V
ˆ unde s-a explicitat operatorul rezolvent Lˆr . Dup˘a transform˘ari algebrice simple se obt¸ine relat¸ia Z i h −~2 ∗ 2 (r, r′ ) ϕj (r′ ) = ǫj ϕj (r) , (6.15) ∇ + u(r) ϕj (r) + d3 r′ ~ MHF 2m r V
care este ecuat¸ia cu valori proprii pentru st˘ arile efective uni-particul˘ a. ˆIn relat¸ia precedent˘ a se obsev˘ a c˘ a ecuat¸ia Dyson s-a transformat ˆıntr-o ecuat¸ie integrodiferent¸ial˘a cu valori proprii pentru energie, iar self-energia Hartree-Fock act¸ioneaz˘ a ca un poten¸tial static ¸si nelocal.
6.2. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK ˆIN FORMALISMUL T = 0
13
Pentru a obt¸ine expresia explicit˘a a self-energiei Hartree-Fock ˆın termeni de funct¸ii proprii uni-particul˘ a se efectueaz˘ a transformarea Fourier invers˘a utilizˆand relat¸ia (6.13) Z ∞ dω iωη ˜˜ ′ G(r, r ; −η) = G(r, r′ ; ω) e −∞ 2π Z ∞ X dω e iωη ∗ ′ ϕj (r) ϕj (r ) θ(ǫj − ǫF ) = 1 −∞ 2π ω − ~ ǫj + i η j Z ∞ e iωη dω ; + θ(ǫF − ǫj ) 1 −∞ 2π ω − ~ ǫj + i η cele dou˘a integrale dup˘a frecvent¸˘ a sunt de tipul celor care au fost discutate la deducerea expresiei (6.8), astfel ˆıncˆ at se repet˘a rezultatele: Z ∞ dω e iωη =0, 1 −∞ 2π ω − ~ ǫj + i η Z ∞ e iωη dω =i 1 −∞ 2π ω − ~ ǫj − i η ¸si ˆın final se obt¸ine G(r, r′ ; −η) = i
X j
θ(ǫF − ǫj ) ϕj (r) ϕ∗j (r′ ) .
Se substituie expresia funct¸iei Green, obt¸inut˘a anterior, ˆın relat¸ia (6.10a) Z ∗ ~MHF (r, r′ ) = − i (2s + 1) δ 3 (r − r′ ) d3 r′′ v(r − r′′ ) G(r′′ , r′′ ; −η) + i v(r − r′ ) G(r, r′ ; −η) V Z X ϕj (r′′ ) 2 θ(ǫF − ǫj ) = δ 3 (r − r′ ) d3 r′′ v(r − r′′ ) (2s + 1) V
′
− v(r − r )
X j
j
ϕj (r) ϕ∗j (r′ )
θ(ǫF − ǫj ) ;
(6.16a)
expresia precedent˘ a se poate scrie mai condensat luˆand ˆın considerare relat¸ia (6.12), care define¸ste concentrat¸ia medie de particule ˆın starea fundamental˘ a efectiv˘a: Z X
∗ ~MHF (r, r′ ) = δ 3 (r−r′ ) d3 r′′ v(r−r′′ ) n(r′′ ) 0 − v(r−r′ ) ϕj (r) ϕ∗j (r′ ) θ(ǫF −ǫj ) . (6.16b) V
Se observ˘ a c˘ a self-energia
∗ MHF
j
are 2 termeni:
• termenul interact¸iei directe, care implic˘ a un potent¸ial local, deoarece este prezent˘ a funct¸ia Dirac δ 3 (r − r′ ) ¸si care provine din diagrama
,
• termenul interact¸iei de schimb, care implic˘ a un potent¸ial nelocal, dearece nu are are o dependent¸˘ a singular˘a ˆın diferent¸a vectorilor de pozit¸ie r − r′ , iar acest termen provine din diagrama
.
ˆIn concluzie, s-a obt¸inut forma uni-particul˘a a ecuat¸iilor Hartree-Fock, exprimate prin relat¸iile (6.15) ¸si (6.16); solut¸ia acestui sistem de ecuat¸ii cuplate este setul de funct¸ii proprii uni-particul˘a efective ¸si energiile proprii efective uni-particul˘a corespondente {ǫj , ϕj (r)}j . Este necesar s˘a se remarce faptul c˘ a sistemul ecuat¸iilor specificate anterior implic˘a o problem˘ a foarte complicat˘ a din punct de vedere analitic pentru majoritatea situat¸iilor interesante din punct de vedere fizic, astfel ˆıncˆ at este necesar˘ a o rezolvare aproximativ˘ a prin metode iterative (adic˘a se alege o solut¸ie de start ¸si se construiesc ˆın mod succesiv solut¸ii de ordin superior).
14
CAPITOLUL 6. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK
6.2.5
Energia st˘ arii fundamentale
Se consider˘ a c˘ a problema Hartree-Fock este rezolvat˘a, adic˘a sunt cunoscute funct¸iile ¸si energiile proprii uni-particul˘ a efective {ǫj , ϕj (r)}j ; atunci, energia st˘arii fundamentale se poate determina ˆın termeni de funct¸ia Green efectiv˘a prin generalizarea relat¸iei (3.87) E0 =
−i 2
Z
d3 r
V
X
lim ′
r →r σ t′ →t+
n
i~
o ~2 2 ∂ − ∇ + u(r) Gσσ (r, t; r′ , t′ ) ; ∂t 2m
se efectueaz˘ a sumarea banal˘a dup˘a indicii de spin ¸si se substituie funct¸ia Green prin transformarea sa temporal˘ a Z
n ∂ o ~2 2 i~ − ∇ + u(r) G(r, r′ ; t − t′ ) ∂t 2m r →r V t′ →t+ Z n ∂ o Z ∞ dω ′ −i ~2 2 ˜˜ r′ ; ω) ; = i~ (2s + 1) d3 r lim − ∇ + u(r) e−iω(t−t ) G(r, ′ 2 ∂t 2m 2π r →r V −∞
−i (2s + 1) E0 = 2
d3 r lim ′
t′ →t+
dup˘a efectuarea deriv˘arii temporale se poate efectua trecerea la limit˘a t − t′ = −η ¸si se substituie transformata temporal˘ a a funct¸iei Green prin formula (6.13), astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: E0 =
−i (2s + 1) 2
Z
V
Z
o ~2 2 dω iωη n ~ω − e ∇ + u(r) 2m r →r −∞ 2π η→0+ X θ(ǫF − ǫj ) θ(ǫj − ǫF ) ∗ ′ ; + ϕj (r) ϕj (r ) × ω − ~1 ǫj + i η ω − ~1 ǫj − i η j
d3 r lim ′
∞
apoi se efectueaz˘ a derivatele spat¸iale, urmate de trecerea la limit˘a r′ → r ¸si de utilizarea ecuat¸iei cu valori proprii efective (6.15), rezultˆand urm˘atoarele expresii: Z ∞ o XZ ~2 2 −i dω iωη n ~ω − (2s + 1) d3 r ϕ∗j (r) lim e ∇ + u(r) ϕj (r) η→0+ −∞ 2π 2 2m V j θ(ǫj − ǫF ) θ(ǫF − ǫj ) + × 1 ω − ~ ǫj + i η ω − ~1 ǫj − i η Z ∞ XZ −i dω iωη = (2s + 1) e d3 r ϕ∗j (r) lim η→0 2 + V −∞ 2π j Z o θ(ǫ − ǫ ) n θ(ǫF − ǫj ) j F ∗ + (r, r′ ) ϕj (r′ ) × ~ ω ϕj (r) + ǫj ϕj (r) − d3 r′ ~ MHF ω − ~1 ǫj + i η ω − ~1 ǫj − i η V Z Z ∞ h θ(ǫ − ǫ ) θ(ǫF − ǫj ) i 2s + 1 X 3 ∗ dω iωη j F + = −i e (~ω + ǫj ) d r ϕj (r) ϕj (r) lim η→0+ −∞ 2π 2 ω − ~1 ǫj + i η ω − ~1 ǫj − i η j V Z ∞ Z dω iωη h θ(ǫj − ǫF ) θ(ǫF − ǫj ) i 3 ′ ∗ ′ ′ − d r ~ MHF (r, r ) ϕj (r ) lim . + e η→0+ −∞ 2π ω − ~1 ǫj + i η ω − ~1 ǫj − i η V
E0 =
ˆIn ultima expresie a energiei st˘ arii fundamentale integralele ˆın raport cu frecvent¸ele se calculeaz˘a pe baza formulelor utilizate anterior: Z
∞
dω iωη e = δ(η) = 0 , pentru η 6= 0 , −∞ 2π ( Z ∞ 0 , pentru semnul superior (+) , e iωη dω ≡ K± (a) = 2π ω − a ± i η i , pentru semnul inferior (–) . −∞
6.2. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK ˆIN FORMALISMUL T = 0
15
Atunci, dup˘a operat¸ii algebrice banale, se obt¸ine: Z Z n o 2s + 1 X ∗ d3 r ϕ∗j (r) ϕj (r) 2 ǫj i θ(ǫF − ǫj ) − d3 r′ ~ MHF (r, r′ ) ϕj (r′ ) i θ(ǫF − ǫj ) E0 = − i 2 V V j Z X 2 θ(ǫF − ǫj ) ǫj d3 r ϕj (r) = (2s + 1) |V {z } =1 Z Z 2s + 1 X ∗ θ(ǫF − ǫj ) d3 r d3 r′ ~ MHF (r, r′ ) ϕ∗j (r) ϕj (r′ ) . − 2 V V j j
Se observ˘ a c˘ a energia st˘ arii fundamentale ˆın aproximat¸ia Hartree-Fock are dou˘a contribut¸ii: (1)
(mf)
E0 = E0 + E0 unde
(1)
E0
= (2s + 1)
X j
,
(6.17a)
θ(ǫF − ǫj ) ǫj ,
(6.17b)
este suma energiilor uni-particul˘ a efective pe st˘arile ocupate, iar Z Z 2s + 1 X (mf) ∗ E0 =− (r, r′ ) ϕ∗j (r) ϕj (r′ ) , θ(ǫF − ǫj ) d3 r d3 r′ ~ MHF 2 V V j
(6.17c)
este contribut¸ia la energia sistemului datorat˘a interact¸iilor dintre particule; dac˘a se expliciteaz˘ a self-energia Hartree-Fock, comform formulei (6.16), atunci termenul energiei datorat interact¸iilor devine Z Z
−1 (mf) = E0 d3 r d3 r′ v(r − r′ ) n(r) 0 n(r′ ) 0 2 V Z V Z X 2s + 1 ϕ∗j (r) ϕ∗l (r′ ) ϕj (r′ ) ϕl (r) , (6.17d) d3 r d3 r′ v(r − r′ ) + 2 V V j,l (ǫj ,ǫl <ǫF )
unde primul termen corespunde energiei interact¸iei directe, iar al doilea termen corespunde energiei interact¸iei de schimb. Este important s˘a se remarce faptul c˘ a relat¸iile (6.15) – (6.17) au fost deduse anterior elabor˘arii teoriei cuantice a sistemelor multi-particule (many-body), prin metode variat¸ionale ale mecanicii cuantice standard (adic˘ a ˆın formalismul Cuantific˘arii I); de fapt, aproximat¸ia prezent˘ a ar putea s˘a se numeasc˘a simplu aproximat¸ia self-consistent˘ a de ordin minimal, iar denumirea aproximat¸ia Hartree-Fock este datorat˘a numai faptului c˘ a rezultatele aproximat¸iei self-consistente de ordin minimal (ˆın teoria many-body) coincid cu rezultatele aproximat¸iei Hartree-Fock din mecanica cuantic˘ a standard.
6.2.6
Cazul sistemului f˘ ar˘ a interact¸ii externe
Dac˘ a sistemul fermionic nu are interact¸ii externe, atunci ˆın rezultatele anterioare potent¸ialul extern este nul u(r) = 0 ¸si se obt¸in urm˘atoarele rezultate particulare: • hamiltonianul uni-particul˘ a liber˘a se reduce la termenul cinetic, astfel ˆıncˆ at operatorul −~2 2 ˆˆ funct¸ional (reprezentantul algebric) este H0 = ∇ ; 2m • ecuat¸ia cu valori proprii pentru energia unei particule libere este −~2 2 0 ∇ ϕk (r) = ǫk0 ϕ0k (r) , 2m
care are solut¸ia
1 1 ϕ0k (r) = √ e ik·r = e ik·r , 3 LT (2π) V 2 ǫ 0 = ~ k 2 ; k 2m
16
CAPITOLUL 6. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK • sistemul este omogen din punct de vedere spat¸ial (adic˘a are proprietatea de invariant¸˘a la translat¸ii spat¸iale), astfel ˆıncˆ at funct¸ia Green ¸si self-energia depind numai de diferent¸a vectorilor de pozit¸ie ¸si se pot efectua transform˘arile Fourier spat¸iale simple: ˜ ˜˜ − r′ , ω) = 1 X e ik·(r−r′ ) G(k, e ω) ˜ r′ ; ω) = G(r G(r, V k Z d3 k ik·(r−r′ ) e e G(k, ω) , = LT R3 (2π)3 1 X ik·(r−r′ ) f∗ ∗ ∗ MHF (r, r′ ; ω) = MHF (r − r′ ; ω) = e MHF (k, ω) V k Z d3 k ik·(r−r′ ) f∗ e MHF (k, ω) . = LT R3 (2π)3
Ecuat¸ia cu valori proprii pentru energia self-consistent˘ a (6.15) devine Z −~2 2 ∗ ∇ ϕk (r) + d3 r′ ~ MHF (r, r′ ) ϕk (r′ ) = ǫk ϕk (r) , 2m V care, prin metoda transform˘ arii Fourier spat¸iale, are solut¸ia f∗ (k) , ǫk = ǫk0 + ~ M HF
ǫk0 =
~2 k 2 , 2m
1 ϕk (r) = √ e ik·r ; V
(6.18a) (6.18b)
se observ˘ a c˘ a funct¸iile proprii uni-particul˘a efective sunt acelea¸si ca ¸si funct¸iile proprii uniparticul˘ a libere, adic˘a undele plane ϕk (r) = ϕ0k (r). Transformata Fourier a self-energiei Hartree-Fock, descris˘ a de formula (6.16), este Z ∗ f∗ (k) = d3 r e−ik·r ~ MHF (r) ~M HF V
Z Z o n ik′ ·r
V 3 ′ e θ(ǫF − ǫk′ ) d k d3 r e−ik·r δ 3 (r) d3 r′ v(r − r′ ) n(r′ ) − v(r) 3 (2π) R3 V V V Z Z Z 3 ′ ′ d k θ(ǫF − ǫk′ ) d3 r′ e i(k −k)·r v(r′ ) , d3 r′ v(r′ ) n − = 3 (2π) 3 R |V | V {z } {z } =
Z
=e v (k′ −k)
=e v (0)
unde ˆın ultima egalitate s-a utilizat definit¸ia transformatei Fourier a potent¸ialului de interact¸ie ¸si s-a luat ˆın considerare faptul c˘ a omogenitatea spat¸ial˘a a sistemului implic˘ a o concentrat¸ie constant˘ a de particule; ca urmare expresia transformatei Fourier a self-energiei Hartree-Fock este Z d3 k′ ∗ f (6.19) v (k′ − k) θ(ǫF − ǫk′ ) . e ~ MHF (k) = e v (0) n − 3 R3 (2π) Se observ˘ a c˘ a expresia transformatei Fourier a self-energiei ˆın aproximat¸ia Hartree-Fock este identic˘ a cu expresia contribut¸iei perturbat¸ionale de ordinul 1 la self-energie, dat˘a de formula (3.120); rezultatul anterior este datorat faptului c˘ a funct¸iile proprii uni-particul˘a libere coincid cu funct¸iile proprii uni-particul˘ a self-consistente. Energia st˘ arii fundamentale (ˆın aproximat¸ia Hertree-Fock) este dat˘a de formulele (6.17), particularizate pentru cazul prezent; ca urmare, energia st˘arii fundamentale este constituit˘ a din doi termeni (1) (mf) E0 = E0 + E0 , unde energia corespunz˘ atoare st˘ arilor uni-particule efective este X (1) θ(ǫF − ǫj ) ǫj E0 = (2s + 1) j
= (2s + 1)
V (2π)3
Z
R3
d3 k θ(ǫF − ǫk ) ǫk ,
˘ FINITA ˘ 6.3. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK LA TEMPERATURA
17
iar energia datorat˘a interact¸iilor pe st˘arile efective este Z Z 2s + 1 X (mf) ∗ (r, r′ ) ϕ∗j (r) ϕj (r′ ) θ(ǫF − ǫj ) d3 r d3 r′ ~ MHF =− E0 2 V V j Z Z Z −ik·(r−r′ ) 2s + 1 V 3 3 3 ′ ∗ ′ e =− ; d k θ(ǫ − ǫ ) d r d r ~ M (r − r ) F k HF 2 (2π)3 R3 V V V integralele spat¸iale se transform˘ a cu schimbarea de variabile (r, r′ ) → (R = r + r′ , r = r − r′ ), astfel c˘ a integrala peste variabila R este banal˘a ¸si produce rezultatul V , iar integrala peste variabila r produce transformata Fourier a self-energiei Hartree-Fock: Z
V
d3 r
Z
′
V
∗ d3 r′ ~ MHF (r − r′ )
1 e−ik·(r−r ) = V V
Z
d3 R
V
Z
V
∗ ∗ fHF d3 r e−ik·r ~MHF (r) = ~ M (k) ;
atunci, termenul corespunz˘ ator interact¸iilor este Z 2s + 1 V (mf) f∗ (k) . E0 =− d3 k θ(ǫF − ǫk ) ~ M HF 2 (2π)3 R3
Ca urmare, energia st˘ arii fundamentale a sistemului ˆın aproximat¸ia Hartree-Fock este: Z 1 f∗ d3 k θ(ǫF − ǫk ) ǫk − ~ M E0 = (2s + 1)V HF (k) 3 2 R3 (2π) Z 0 1 d3 k f∗ (k) , θ(ǫF − ǫk ) ǫk + ~ M = (2s + 1)V HF 3 2 R3 (2π)
(6.20)
unde ultima egalitate s-a obt¸inut prin utilizarea expresiei (6.18a) pentru energiile uni-particul˘a efective.
6.3 6.3.1
Aproximat¸ia Hartree-Fock la temperatur˘ a finit˘ a Rezultate generale
A. Observat¸ii generale Se consider˘ a un sistem de particule identice (bosoni sau fermioni) care au urm˘atoarele tipuri de interact¸ii: i. interact¸ii externe de tip uni-particul˘a, scalare ¸si independente de spin, avˆand potent¸ialul de interact¸ie uni-particul˘ a u(r); ii. interact¸ii mutuale interne de tip bi-particul˘a, scalare ¸si independente de spini, descrise de potent¸ialul bi-particul˘a v(r − r′ ). Acest sistem este considerat la limita termodinamic˘ a ¸si se afl˘a ˆın st˘ari de echilibru macroscopic, fiind ˆın contact cu un rezervor termic ¸si de particule care are temperatura T (se utilizeaz˘a m˘arimea β = 1/(kB T )) ¸si potent¸ialul chimic µ. Pentru construct¸ia aproximat¸iei Hartree-Fock ˆın cadrul formalismului many-body de temperatur˘a finit˘a, se utilizeaz˘ a similitudinea analitic˘a ¸si diagramatic˘ a ˆıntre funct¸iile Green cauzale fermionice din formalismul de temperatur˘a nul˘a cu funct¸iile Green-Matsubara din formalismul de temperatur˘a finit˘a; ca urmare aproximat¸iile Hartree-Fock ˆın cele dou˘a formalisme sunt similare ¸si pe baza acestei similitudini se obt¸in unele rezultate ˆın mod direct, f˘ar˘a a face repet˘ari banale. B. Funct¸ia Green-Matsubara liber˘ a Ecuat¸ia cu valori proprii pentru st˘arile uni-particul˘a libere este identic˘ a cu relat¸ia (6.2) ˆˆ 0 0 0 H 0 ϕj (r) = ǫj ϕj (r) ¸si se consider˘ a c˘ a solut¸ia {ǫj0 , ϕ0j (r)} este cunoscut˘a.
18
CAPITOLUL 6. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK
Se definesc operatorii elementari (bosonici sau fermionici) pe st˘arile uni-particul˘a libere cˆjσ ¸si se construiesc operatorii de cˆ amp prin dezvoltarea pe st˘arile uni-particul˘a libere, ˆın mod similar cu formula (6.3) X ϕ0j (r) cˆjσ ; ψˆσ (r) = j
operatorul de cˆ amp ˆın formularea Dirac-Matsubara, definit prin relat¸ia general˘a (5.11), are urm˘atoarea expresie explicit˘ a X X 0 τ τ ˆ τ ˆ ϕ0j (r) e− ~ (ǫj −µ) cˆjσ , ϕ0j (r) cˆjσK¯ 0 (τ ) = ψˆσK¯ 0 (r, τ ) ≡ e ~ K ψˆσ (r) e− ~ K = j
j
unde operatorul elementar ˆın formularea Dirac-Matsubara are expresia de tipul formulei (5.48): 0 τ cˆjσK¯ 0 (τ ) = e− ~ (ǫj −µ) cˆjσ . Funct¸ia Green-Matsubara liber˘ a este definit˘ a prin particularizarea formulei (5.20), din care se obt¸in egalit˘a¸tile 0 ′ ′ Gσσ ˆ0 Tτ ψˆσK¯ 0 (r, τ ) ψˆσ† ′ K¯ 0 (r′ , τ ′ ) ′ (r, τ ; r , τ ) = − Tr ̺ = −θ(τ − τ ′ ) Tr ̺ˆ0 ψˆσK¯ 0 (r, τ ) ψˆσ† ′ K¯ 0 (r′ , τ ′ ) ∓ θ(τ − τ ′ ) Tr ̺ˆ0 ψˆσ† ′ K¯ 0 (r′ , τ ′ ) ψˆσK¯ 0 (r, τ ) X ′ τ −~ (ǫ0j −µ)+ τ~ (ǫ0j′ −µ) ′ = −θ(τ − τ ′ ) ϕ0j (r) ϕ0∗ Tr ̺ˆ0 cˆjσ cˆ†j ′ σ′ j ′ (r ) e j,j ′
∓ θ(τ ′ − τ )
X j,j ′
′ τ −~ (ǫ0j −µ)+ τ~ (ǫ0j′ −µ) ′ ϕ0j (r) ϕ0∗ Tr ̺ˆ0 cˆ†j ′ σ′ cˆjσ . j ′ (r ) e
Mediile grand-canonice ale produselor de operatori elementari se exprim˘ a ˆın termeni de numere 1 0 medii de ocupare pe st˘ ari uni-particul˘a nj = β(ǫ0 −µ) , conform relat¸iilor (5.46) ¸si (5.47) e j ∓1 Tr ̺ˆ0 cˆ†j ′ σ′ cˆjσ = δσ,σ′ δj,j ′ n0j , Tr ̺ˆ0 cˆjσ cˆ†j ′ σ′ = δσ,σ′ δj,j ′ (1 ± n0j ) ;
ca urmare, se obt¸ine:
0 ′ ′ Gσσ ′ (r, τ ; r , τ ) X ′ 0 −1 ′ ~ (τ −τ )(ǫj −µ) − θ(τ − τ ′ ) 1 ± n0j ∓ θ(τ ′ − τ ) n0j , (6.21) ϕ0j (r) ϕ0∗ = δσ,σ′ j (r ) e j
unde ˆın relat¸iile precedente semnul superior corespunde cazului bosonic, iar semnul inferior corespunde cazului fermionic. Se observ˘ a c˘ a funct¸ia Green-Matsubara liber˘a este diagonal˘a ˆın indicii de spin ¸si depinde numai de diferent¸a coordonatelor pseudo-temporale 2 ; atunci, se efectueaz˘a transformarea Fourier (discret˘a), definit˘ a prin relat¸iile (5.27) 0 0 ′ ′ ′ ′ Gσσ ′ (r, τ ; r , τ ) = δσ,σ ′ G (r, r ; τ − τ ) = δσ,σ ′
1 X −iωn (τ −τ ′ ) ˜˜0 G (r, r′ ; ωn ) . e ~β n
Transformata Fourier pseudo-temporal˘a a funct¸iei Green-Matsubara se obt¸ine ˆın mod similar cu formula (5.51) 3 ˜0 (r, r′ ; ωn ) ≡ G˜
Z
0
~β
dτ e iωn τ G 0 (r, r′ ; τ ) =
X j
′ ϕ0j (r) ϕ0∗ j (r )
iωn − ~1 (ǫj0 − µ)
(6.22)
2 Prezent ¸a cˆ ampului extern produce, ˆın general, neomogenitatea spat¸ial˘ a a sistemului, astfel ˆıncˆ at funct¸ia GreenMatsubara depinde ˆın mod separat de cei doi vectori de pozit¸ie. 3 Singura deosebire este substitut ¸ia funct¸iilor ¸si valorilor proprii uni-particul˘ a εk → ǫj0 , ϕk (r) → ϕ0j (r).
˘ FINITA ˘ 6.3. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK LA TEMPERATURA
19
C. Explicitarea analitic˘ a a ecuat¸iilor Hartree-Fock Deoarece interact¸iile sunt statice ¸si independente de spini, funct¸ia Green-Matsubara este diagonal˘a ˆın raport cu indicii de spin ¸si depinde numai de diferent¸a coordonatelor pseudo-temporale, astfel ˆıncˆ at se poate efectua transformarea Fourier discret˘ a (5.27) ˆın mod similar cu funct¸ia GreenMatsubara liber˘ a: 1 X −iωn (τ −τ ′ ) ˜˜ G(r, r′ ; ωn ) . e Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) = δσ,σ′ G(r, r′ ; τ − τ ′ ) = δσ,σ′ ~β n
A. Self-energia ˆın aproximat¸ia Hartree-Fock are expresia dat˘a de corespondent¸a analitic˘a a diagramei din figura 6.2; ˆın cazul sistemului (bosonic sau fermionic) aflat ˆıntr-o stare de echilibru ˆın condit¸ii grand-canonice rezultatul anterior se particularizeaz˘a astfel: x M∗HF (x, x′ ) ≡
x
=
HF
x
x′′
x′
+ x′
′
x
Prin utilizarea regulilor de corespondent¸˘a diagramatic˘ a din formalismul de temperatur˘a finit˘a particularizate pentru cazul cˆ and interact¸iile sunt independente de spini, se obt¸ine expresia selfenergiei ˆın aproximat¸ia Hartree-Fock, din diagrama precedent˘a: M∗HF σσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ )
Z Z ~β −1 3 ′′ ′ (±1) (2s + 1) δσ,σ d r dτ ′′ v(r − r′′ ) δ(τ − τ ′′ ) G(r′′ , r′′ ; −η) δ 3 (r − r′ ) δ(τ − τ ′ ) = ~ V 0 −1 + δσ,σ′ v(r − r′ ) δ(τ − τ ′ ) G(r, r′ ; −η) ~ Z in ± (2s + 1) δ 3 (r − r′ ) d3 r′′ v(r − r′′ ) G(r′′ , r′′ ; −η) = δσ,σ′ δ(τ − τ ′ ) ~ V o ′ ′ + v(r − r ) G(r, r ; −η) ;
din expresia precedent˘ a rezult˘a c˘ a self-energia ˆın aproximat¸ia Hartree-Fock este diagonal˘ a ˆın indicii de spin ¸si este singular˘a ˆın raport cu variabilele pseudo-temporale M∗HF σσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) = δσ,σ′ δ(τ − τ ′ ) M∗HF (r, r′ ) , iar partea dependent˘ a de vectorii de pozit¸ie are expresia Z ~M∗HF (r, r′ ) = ∓(2s + 1) δ 3 (r − r′ ) d3 r′′ v(r − r′′ ) G(r′′ , r′′ ; −η) − v(r − r′ ) G(r, r′ ; −η) V
Z 1 X iωn η n ˜˜ ′′ , r′′ ; ω ) 3 ′ = − (2s + 1) δ (r − r ) d3 r′′ v(r − r′′ ) G(r e n ~β n V o ˜˜ r′ ; ω ) , + v(r − r′ ) G(r, n
(6.23a)
(6.23b)
unde ultima egalitate s-a obt¸inut efectuˆand transformarea Fourier pseudo-temporal˘a a funct¸iei Green-Matsubara. B. Ecuat¸ia Dyson a fost reprezentat˘ a diagramatic ˆın figura 6.1 pentru cazul general; atunci funct¸ia Green-Matsubara rezult˘a din diagrama x x x x1
=
G(x, x′ ) ≡
+
HF
x′1 x′
x′
x′
,
20
CAPITOLUL 6. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK
care are urm˘atoarea corespondent¸˘ a analitic˘a: G(r, τ ; r′ , τ ′ ) = G 0 (r, τ ; r′ , τ ′ ) Z Z ~β Z Z + d3 r1 dτ1 d3 r′1 V
0
V
0
= G 0 (r, r′ ; τ − τ ′ ) Z Z Z + d3 r1 d3 r′1 V
~β
V
∞ −∞
dτ1′ G 0 (r, t; r1 , τ1 ) δ(τ1 − τ1′ ) M∗HF (r1 , r′1 ) G(r′1 , τ1′ ; r′ , τ ′ ) dτ1 G 0 (r, r1 ; τ − τ1 ) M∗HF (r1 , r′1 ) G(r′1 , r′ ; τ1′ − τ ′ ) ;
prin transformare Fourier pseudo-temporal˘a se obt¸ine expresia a ecuat¸iei Dyson ˆın aproximat¸ia Hartree-Fock: Z Z ˜˜ ′ , r′ ; ω ) . ˜˜ r′ ; ω ) = G˜ 3 0 ′ ˜ d r (6.24) G(r, (r, r ; ω ) + d3 r′1 G˜˜0 (r, r1 ; ωn ) M∗HF (r1 , r′1 ) G(r 1 n n n 1 V
V
Observat¸ie: ecuat¸iile Hartree-Fock sunt constituite din sistemul ecuat¸iilor (6.10) ¸si (6.11), care sunt un sistem de ecuat¸ii cuplate pentru transformata Fourier temporal˘a a funct¸iei Green˜ ˜ r′ ; ωn ) ¸si pentru partea spat¸ial˘a a self-energiei Hartree-Fock M∗ (r, r′ ). Matsubara G(r, HF Metoda de rezolvare a sistemului de ecuat¸ii Hartree-Fock este similar˘ a cu cea prezentat˘ a anterior pentru formalismul fermionic de temperatur˘a nul˘a: ˜˜ r′ ; ω ) ˆın • se descompune transformata Fourier temporal˘a a funct¸iei Green-Matsubara G(r, n sistemul funct¸iilor uni-particul˘ a efective (self-consistente); • se transform˘ a sistemul de ecuat¸ii Hartree-Fock ˆıntr-un sistem de ecuat¸ii self-consistente pentru funct¸iile uni-particul˘ a efective; • se rezolv˘ a sistemul de ecuat¸ii self-consistente prin metoda iterativ˘ a. D. Ecuat¸iile Hartree-Fock uni-particul˘ a Se utilizeaz˘ a o metod˘ a similar˘ a cu cea prezentat˘ a pentru formalismul de temperatur˘a nul˘a. Pe baza hipotezei existent¸ei st˘ arilor uni-particul˘a efective se consider˘ a funct¸iile proprii ϕj (r) ¸si energiile proprii ǫj corespunz˘ atoare acestor st˘ari efective; ˆın plus se presupune c˘ a setul funct¸iilor proprii efective {ϕj (r)}j este un sistem ortonormat ¸si complet ˆın spat¸iul funct¸iilor dependente de vectorul de pozit¸ie. Hipoteza precedent˘ a are drept consecint¸a direct˘a proprietatea transformatei Fourier a funct¸iei Green-Matsubara (ˆın cadrul aproximat¸iei Hartree-Fock) de a avea o expresie similar˘ a cu transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara liber˘a (6.22): Z ~β X ϕj (r) ϕ∗j (r′ ) ˜ ′ ˜ . (6.25) G(r, r ; ωn ) ≡ dτ e iωn τ G(r, r′ ; τ ) = iωn − ~1 (ǫj − µ) 0 j Dup˘a cum rezult˘a din formula (6.23a), self-energia ˆın aproximat¸ia Hartree-Fock depinde de funct¸ia Green-Matsubara cu pseudo-timpi cuasi-egali: G(r, r′ ; τ − τ ′ ) τ −τ ′ =−η ; aceast˘a funct¸ie GreenMatsubara se obt¸ine prin efectuarea transform˘arii Fourier inverse: G(r, r′ ; −η) =
X 1 X iωn η ˜ 1 X e iωn η ˜ r′ ; ωn ) = . ϕj (r) ϕ∗j (r′ ) G(r, e ~β n ~β n iωn − ~1 (ǫj − µ) j
Suma dup˘a frecvent¸e se calculeaz˘a cu ajutorul regulii de sumare (5.57) 1 1 1 X e iωn η = = ∓ β(ǫ −µ) = ∓nj , ~β n iωn − ~1 (ǫj − µ) 1 ∓ eβ(ǫj −µ) e j ∓1 unde nj este num˘ arul mediu de ocupare a st˘arii uni-particul˘a efectiv˘a (funct¸ia Bose-Einstein sau funct¸ia Fermi-Dirac); atunci, se obt¸ine: X ϕj (r) ϕ∗j (r′ ) nj . G(r, r′ ; −η) = ∓ j
˘ FINITA ˘ 6.3. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK LA TEMPERATURA
21
ˆIn particular, pentru cazul cˆ and vectorii de pozit¸ie coincid, se obt¸ine concentrat¸ia medie de particule, conform relat¸iei (5.36): X X
ϕj (r) 2 nj . n(r) = ∓ Gσσ (r, τ ; r, τ + ) = ∓(2s + 1) G(r, r; −η) = (2s + 1) σ
j
Prin utilizarea rezultatelor precedente se obt¸ine expresia uni-particul˘a a self-energiei: Z ~ M∗HF (r, r′ ) = ∓(2s + 1) δ 3 (r − r′ ) d3 r′′ v(r − r′′ ) G(r′′ , r′′ ; −η) − v(r − r′ ) G(r, r′ ; −η) Z V X 3 ′ ϕj (r′′ ) 2 nj = (2s + 1) δ (r − r ) d3 r′′ v(r − r′′ ) V
′
± v(r − r )
X
ϕj (r)
j
ϕ∗j (r′ )
nj .
(6.26)
j
Pentru a obt¸ine ecuat¸ia Hartree-Fock a st˘arilor uni-particul˘a efective, se utilizeaz˘a ecuat¸ia diferent¸ial˘a a funct¸iei Green-Matsubara libere, care obt¸ine prin generalizarea relat¸iei (5.34), ad˘augˆ and contribut¸ia cˆ ampului extern: ∂ −~2 2 0 3 ′ ′ ′ ′ ~ + ∇r + u(r) − µ Gσσ ′ (r, τ ; r , τ ) = − ~ δσσ ′ δ (r − r ) δ(τ − τ ) ; ∂τ 2m
prin efectuarea transform˘ arii Fourier pseudo-temporale rezult˘a ecuat¸ia ˆ Lˆr G˜˜0 (r, r′ ; ωn ) = ~ δ(r − r′ ) ,
(6.27)
ˆ unde Lˆr este operatorul rezolvent, definit prin formula i h −~2 ˆ ∇2 + u(r) − µ . Lˆr ≡ i ~ ωn − 2m
(6.28)
Se aplic˘ a operatorul rezolvent ecuat¸iei Dyson (6.24): Z Z ˆ ˆˆ ˜ ˆ ˜ ˜˜ ′ , r′ ; ω ) 0 ′ ′ 3 ˜ ˆ ˜ Lr G(r, r ; ωn ) = Lr G (r, r ; ωn ) + d r1 d3 r′1 Lˆr G˜˜0 (r, r1 ; ωn ) M∗HF (r1 , r′1 ) G(r n 1 | {z } {z } | V V = ~ δ 3 (r−r′ )
= ~ δ 3 (r − r′ ) +
Z
V
= ~ δ 3 (r−r1 )
˜˜ ′ , r′ ; ω ) ; d3 r′1 ~ M∗HF (r, r′1 ) G(r n 1
se utilizeaz˘ a relat¸ia de completitudine a funct¸iilor proprii efective pentru exprimarea funct¸iei Dirac ¸si se substituie transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara prin formula (6.25), astfel ˆıncˆ at exprersia precedent˘ a devine X ˆ ˜˜ ϕj (r) ϕ∗j (r′ ) + Lˆr G(r, r′ ; ωn ) = ~ j
=~
X j
Z
ϕ∗j (r′ ) i~ωn − (ǫj − µ)
d3 r′1 ~ M∗HF (r, r′1 )
X
ϕj (r′1 ) ϕ∗j (r′ )
iωn − ~1 (ǫj − µ) Z n o i~ωn − (ǫj − µ) ϕj (r) + d3 r′1 ~ M∗HF (r, r′1 ) ϕj (r′1 ) ; V
j
V
pe de alt˘ a parte, act¸iunea operatorului rezolvent asupra transformatei Fourier a funct¸iei GreenMatsubara efective se poate exprima utilizˆand formula (6.25), astfel ˆıncˆ at operatorul rezolvent act¸ioneaz˘ a asupra funct¸iei proprii efective ϕj (r): X ˆ ˜ ˆr ˜ r′ ; ωn ) = Lˆ Lˆr G(r,
j ϕ∗j (r′ )
ϕj (r) ϕ∗j (r′ ) iωn −
n
1 ~ (ǫj
− µ)
=
X j
ϕ∗j (r′ ) iωn −
1 ~ (ǫj
− µ)
o X ~2 2 i~ωn + =~ ∇r − u(r) + µ ϕj (r) . i~ωn − (ǫj − µ) 2m j
ˆ Lˆr ϕj (r)
22
CAPITOLUL 6. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK
ˆ ˜˜ r′ ; ωn ) ¸si se ia ˆın considerare faptul c˘ a sisSe egaleaz˘ a cele dou˘a expresii obt¸inute pentru Lˆr G(r, temul funct¸iilor proprii efective este un sistem liniar independent, astfel ˆıncˆ at coeficient¸ii funct¸iei proprii ϕ∗j (r′ ) din ambii membrii ai egalit˘a¸tii sunt egali; ca urmare, se obt¸ine ecuat¸ia:
i~ωn − (ǫj − µ) ϕj (r) +
Z
~2 2 ∇r − u(r) + µ ϕj (r) ; d3 r′1 ~ M∗HF (r, r′1 ) ϕj (r′1 ) = i~ωn + 2m V
ˆın relat¸ia precedent˘ a se efectueaz˘ a operat¸ii algebrice banale, rezultˆand ecuat¸ia Hartree-Fock pentru funct¸iile proprii efective: n −~2 2m
Z o ∇2r + u(r) ϕj (r) + d3 r′1 ~ M∗HF (r, r′1 ) ϕj (r′1 ) = ǫj ϕj (r) .
(6.29)
V
Observat¸ii asupra rezultatelor obt¸inute: i. Funct¸iile proprii ¸si energiile efective {ϕj (r), ǫj }j se determin˘a prin rezolvarea sistemului de ecuat¸ii cuplate (6.26) ¸si (6.29). ii. Teoria Hartree-Fock este valabil˘a pentru sistemele fermionice la orice temperatur˘a, dar pentru sistemele bosonice este necesar ca temperatura s˘a fie superioar˘a temperaturii critice, astfel ˆıncˆ at sistemul bosonic s˘a nu fie ˆıntr-o stare condensat˘ a. iii. Deoarece ecuat¸iile Hartree-Fock uni-particul˘a au dependent¸˘a parametric˘a de temperatur˘a, rezult˘a c˘ a solut¸iile {ϕj (r), ǫj }j depind de temperatur˘a; ca urmare, numerele medii de ocupare pe st˘arile uni-particul˘ a efective nj (exprimate prin funct¸ia de distribut¸ie Bose-Einstein sau FermiDirac) depind de temperatur˘a atˆat ˆın mod direct (prin expresia funct¸iei de distribut¸ie), cˆ at ¸si indirect (prin energia uni-particul˘ a efectiv˘a ǫj ). E. Energia medie Media grand-canonic˘ a a energiei sistemului se determin˘a din relat¸ia (5.39) generalizat˘a pentru includerea efectului cˆ ampului extern:
∓1 E = 2
Z
d3 r lim lim ′ ′
r →r τ →τ
−~
X ∂ −~2 2 + ∇r + u(r) + µ Gσσ (r, τ ; r′ , τ ′ ) . ∂τ 2m σ
Se efectueaz˘ a operat¸ii similare cu cele prezentate anterior pentru cazul formalismului fermionic de temperatur˘a nul˘a ¸si se obt¸ine urm˘atorul rezultat: Z Z X
2s + 1 X nj d3 r d3 r′ ~ M∗HF (r, r′ ) ϕj (r) ϕ∗j (r′ ) ǫ j nj − E (T, V, µ) = (2s + 1) 2 V V j j
(1) (mf) ≡ E + E , (6.30)
unde termenul corespunz˘ ator energiilor uni-particul˘a este
E
(1)
= (2s + 1)
X
ǫ j nj
j
¸si termenul corespunz˘ ator interact¸iilor efective este Z Z
(mf) 2s + 1 X 3 E =− nj d r d3 r′ ~ M∗HF (r, r′ ) ϕj (r) ϕ∗j (r′ ) 2 V V j Z Z X 2s + 1 =− nj nl d3 r d3 r′ v(r − r′ ) 2 V V j,l n o 2 2 × (2s + 1) ϕj (r) ϕl (r′ ) ± ϕ∗j (r) ϕl (r) ϕ∗l (r′ ) ϕj (r′ ) ;
ˆın ultima expresie s-a substituit self-energia Hartree-Fock prin rezultatul (6.26), iar semnul superior corespunde cazului bosonic, ˆın timp ce semnul inferior corespunde cazului fermionic.
˘ FINITA ˘ 6.3. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK LA TEMPERATURA
23
F. Cazul sistemului f˘ ar˘ a interact¸ii externe Dac˘ a este absent ccˆampul extern, atunci u(r) = 0 ¸si operatorul algebric corespunz˘ ator hamil2 −~ ˆ ˆ0 = ∇2 ; ca urmare, st˘arile uni-particul˘a libere au urm˘atoarele tonianului uni-particul˘ a este H 2m expresii pentru funct¸iile proprii ¸si pentru energii: 1 ϕ0 (r) = √ e ik·r , V 2 ~ k2 . ǫk0 = 2m Consecint¸a fizic˘ a important˘ a a absent¸ei cˆ ampului extern este faptul c˘ a sistemul devine omogen din punct de vedere spat¸ial, astfel ˆınˆat funct¸ia Green-Matsubara ¸si self-energia Hartree-Fock depind numai de diferent¸a vectorilor de pozit¸ie: G(r, r′ ; τ − τ ′ ) = G(r − r′ ; τ − τ ′ ) M∗HF (r, r′ ) = M∗HF (r − r′ ) ;
=⇒
˜˜ r′ ; ω ) = G(r ˜˜ − r′ ; ω ) , G(r, n n
atunci, ˆın cazul prezent se pot efectua transform˘ari Fourier spat¸iale simple, astfel c˘ a rezultatele se simplific˘ a ˆın mod considerabil. Prin utilizarea transform˘ arii Fourier spat¸iale, ecuat¸ia Hartree-Fock pentru funct¸iile proprii efective (6.29) produce urm˘atoarea solut¸ie: 1 ϕk (r) = √ e ik·r , V 0 f∗HF (k) . ǫ k = ǫk + ~ M
(6.31a) (6.31b)
Se utilizeaz˘ a solut¸ia de tip und˘a plan˘ a pentru funct¸iile proprii ale st˘arilor efective ¸si atunci transformata Fourier pseudo-temporal˘a a self-energiei Hartree-Fock, avˆand expresia dat˘a de formula (6.26), devine Z X 1 X 1 ′ ∗ ′ 3 ′ nk ± v(r − r′ ) e ik·(r−r ) nk ~ MHF (r − r ) = (2s + 1) δ (r − r ) d3 r′′ v(r − r′′ ) V V V k k X 1 X ′ 1 ik·(r−r′ ) 3 ′ nk ± v(r − r ) e nk , = (2s + 1) δ (r − r ) ve(0) V V k
unde
Z
V
d3 r′′ v(r − r′′ ) =
Z
V
k
d3 r′ v(r′ ) = ve(0) este transformata Fourier a potent¸ialului bi-par-
ticul˘ a la valoare nul˘a a vectorului de und˘a. Atunci, transformata Fourier spat¸ial˘a a self-energiei Hartree-Fock se obt¸ine din expresia precedent˘ a: Z f∗HF (k) = d3 r ~ M∗HF (r) (6.32a) ~M V Z ′ 1 X 1 X = (2s + 1) ve(0) nk ′ ± nk ′ d3 r e i(k −k)·r v(r) V ′ V ′ k k |V {z } o 1 Xn = (2s + 1) e v (0) ± e v (k − k′ ) nk′ ; V ′
=v e(k−k′ )
(6.32b)
k
Z d3 k′ 1 X . . . astfel ˆıncˆ at expresia . . . −→ limita termodinamic˘ a se obt¸ine prin substitut¸ia 3 V ′ R3 (2π) k precedent˘ a devine Z o d3 q n ∗ f ~ MHF (k) = (2s + 1) v e (0) ± v e (k − q) nq , (6.32c) 3 R3 (2π) unde, pentru simplificarea notat¸iei s-a redenumit variabila de integrare k′ → q.
24
CAPITOLUL 6. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK
Se observ˘ a c˘ a transformata Fourier a self-energiei Hartree-Fock este independent˘ a de frecvent¸˘a, deoarece self-energia Hertree-Fock ˆın spat¸iul pozit¸ii-pseudo-timpi depinde de variabilele pseudo-temporale numai prin funct¸ia Dirac, conform relat¸iei (6.23). Energia medie a sistemului se obt¸ine prin adaptarea expresiei (6.30) pentru solut¸ia (6.31): Z Z X
2s + 1 X E = (2s + 1) ǫ k nk − nk d3 r d3 r′ ~ M∗HF (r, r′ ) ϕk (r) ϕ∗k (r′ ) 2 V V k k X f∗ (k) nk = (2s + 1) ǫk0 + ~ M HF k
2s + 1 X nk − 2 k
Z
3
d r
V
Z
V
d3 r′ ~ M∗HF (r − r′ )
1 −ik·(r−r′ ) e ; V
integrala spat¸ial˘a dubl˘ a din al doilea termen se efectueaz˘a cu schimbarea de variabile {r, r′ } → {R = (r + r′ ), r = (r − r′ )}, astfel ˆıncˆ at integrala dup˘a noua variabil˘ a R este banal˘a, iar integrala dup˘a noua variabil˘ a r produce transformata Fourier a self-energiei Hartree-Fock: Z Z Z Z ′ 1 1 d3 R d3 r e−ik·r ~ M∗HF (r) d3 r d3 r′ ~ M∗HF (r − r′ ) e−ik·(r−r ) = V V V V V V ∗ f = ~ M (k) . HF
Atunci se obt¸ine expresia energiei medii ˆın aproximat¸ia Hartree-Fock pentru sistemul omogen
X X f∗ (k) nk − 2s + 1 f∗ (k) E = (2s + 1) ǫk0 + ~ M nk ~ M HF HF 2 k k X ~ f∗ = (2s + 1) ǫk0 + M HF (k) nk 2 k Z d3 k 0 ~ f∗ = (2s + 1) V ǫk + MHF (k) nk . 3 LT 2 R3 (2π)
(6.33a) (6.33b)
Observat¸ii generale: i. Energia uni-particul˘ a efectiv˘ a ǫk ¸si num˘arul mediu de ocupare corespondent nk sunt corelate prin ecuat¸iile self-consistente (6.31) – (6.32), ˆımpreun˘a cu expresia funct¸iei de distribut¸ie uniparticul˘ a pe st˘ arile efective (Bose-Einstein sau Fermi-Dirac). ii. Num˘ arul mediu de particule se obt¸ine prin integrarea concentrat¸iei peste volumul sistemului Z Z X X
ϕk (r) 2 nk = (2s + 1) N (T, V, µ) = d3 r n(r) = d3 r (2s + 1) nk V
V
k
k
= (2s + 1) V
LT
Z
d3 k nk . 3 R3 (2π)
Dac˘ a se consider˘ a cunoscut num˘ arul de particule ale sistemului (adic˘a hN i → N ), atunci relat¸ia precedent˘ a devine o ecuat¸ie pentru potent¸ialul chimic µ (care este cont¸inut ˆın expresia num˘arului mediu de ocupare nk ), cu solut¸ia µ(T, V, N ). ~2 k 2 ; ca urmare, iii. Pentru o particul˘ a liber˘ a energia corespunz˘ atoare are expresia ǫk0 = 2m masa particulei se obt¸ine prin derivarea energiei ˆın raport cu vectorul de und˘a ∂ ǫk0 ~2 k = ∂k m
=⇒
1 1 ∂ ǫk0 = 2 . m ~ k ∂k
Rezultatul precedent se poate transpune pentru st˘arile uni-particul˘a efective ale aproximat¸iei Hartree-Fock, cˆ and spectrul energiei uni-particule efective este dat de formula (6.31b): f∗ (k) ; ǫk = ǫk0 + ~ M HF
deoarece transformata Fourier a self-energiei este independent˘ a de frecvent¸˘a ¸si depinde numai de f∗ (k) = M f∗ (|k|), atunci, prin dezvoltarea ˆın serie Taylor pˆ modulul vectorului de und˘a M an˘a HF HF
˘ FINITA ˘ 6.3. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK LA TEMPERATURA
25
ˆın ordinul 1 a transformatei Fourier a self-energiei, rezult˘a o expresie de tipul celei valabile pentru o particul˘ a liber˘ a ~2 k 2 , ǫk = ǫ0 + 2m∗ unde energia minim˘ a ǫ0 ¸si masa efectiv˘a m∗ sunt definite prin expresiile urm˘atoare: f∗ (0) , ǫ0 = ~ M HF
(6.34a)
f∗ (k) 1 1 ∂ ǫk 1 1 ∂M HF = 2 = + . ∗ m ~ k ∂k m ~k ∂k
6.3.2
(6.34b)
Gazul bosonic imperfect
A. Condit¸ii Se consider˘ a un sistem constituit din particule bosonice identice, avˆand urm˘atoarele caracteristici: • particulele au masa m ¸si num˘ arul de spin s = 0 (particule f˘ar˘a spin) ¸si efectueaz˘a translat¸ii nerelativiste ˆın incinta de volum V ; • exist˘a interact¸ii mutuale ˆıntre particulele sistemului de tip bi-particul˘a, cu raz˘ a scurt˘ a de act¸iune a ¸si intensitate slab˘a, potent¸ialul de interact¸ie fiind cu simetrie sferic˘a v(r); • gazul bosonic satisface condit¸iile de slab˘a neidealitate (adic˘a este un gaz bosonic imperfect): – densitate mic˘a, adic˘a este satisf˘acut˘ a condit¸ia: n a3 ≪ 1,
– potent¸ial slab (atractiv sau repulsiv), ceea ce implic˘ a urm˘atoarea condit¸ie: 2 ~ ve(0) ≪ ; ma2 n
• sistemul este macroscopic (adic˘a este considerat la limita termodinamic˘ a) ¸si se afl˘a ˆıntr-o stare de echilibru corespunz˘ atoare unei temperaturi supra-critice T & Tc (adic˘a ˆın stare normal˘ a, dar apropape de condit¸ia critic˘a). 4 Condit¸iile anterioare de slab˘a neidealitate se justific˘a astfel: se observ˘a c˘ a sistemul are o lungime microscopic˘ a standard a (raza de act¸iune a potent¸ialului de interact¸ie) ¸si o lungime caracteristic˘ a V 1/3 1 = 1/3 ; atunci condit¸ia de rarefiere se poate exprima ˆın forma l= N n l ≫ a =⇒
1 ≫ a3 =⇒ n a3 ≪ 1 . n
Deoarece potent¸ialul de interact¸ie are raza de act¸iune a (adic˘a v(r) ≈ 0 pentru r > a), rezult˘a urm˘atoarea aproximat¸ie pentru transformata Fourier: Z Z d3 r v(r) ≈ a3 v , d3 r e−ik·r v(r) =⇒ v (0) = e ve(k ≡ V
V
a a; deoarece se consider˘ a c˘ a interact¸iile mutuale unde v este media potent¸ialului ˆın sfera de raz˘ dintre particulele sistemului sunt atractive. 1 Pe de alt˘ a parte corespunz˘ ator lungimii a ˆıi corespunde vectorul de und˘a cu m˘arimea ka ≈ , a ~ ~2 ka ; atunci potent¸ialul ≈ astfel ˆıncˆ at se poate defini energia cinetic˘a caracteristic˘ a εa = m ma2 este slab atractiv dac˘ a este satisf˘acut˘ a condit¸ia |v| < εa . Din rezultatele precedente se obt¸ine urm˘atoarea condit¸ie: 2 2 ve(0) ≈ a3 v < a3 εa ≈ a3 ~ ≪ 1 ~ , 2 ma n m a2
care este condit¸ia ca potent¸ialul s˘a fie slab (atractiv sau repulsiv).
4 Gazul bosonic ideal prezint˘ a fenomenul de condensare Bose-Einstein la temperaturi suficient de coborˆ ate (T < Tc ); deoarece gazul bosonic slab neideal are interact¸ii slabe, atunci rezult˘ a c˘ a acesta are o comportare similar˘ a cu gazul ideal corespondent.
26
CAPITOLUL 6. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK
Gazul bosonic ideal posed˘a prin 2 energii caracteristice: i. energia termic˘ a: ǫT = kB T , ~2 2/3 n . ii. energia de zero: ǫ0 = 2m Teoria general˘ a a gazului bosonic ideal arat˘a c˘ a la temperaturi suficient de coborˆ ate (pentru o densitate de particule ment¸inut˘a constant˘ a) se produce fenomenul numit condensarea bosonic˘ a cˆ and o fract¸ie macroscopic finit˘a de particule se afl˘a pe starea fundamental˘ a uni-particul˘ a (care este starea de repaus); temperatura sub care se produce condensarea bosonic˘a este numit˘a temperatur˘a critic˘ a Tc0 . De asemenea, ˆın cazul condens˘ arii bosonice potent¸ialul chimic al sistemului se anuleaz˘a sub temperatura cri tic˘ a: µ(T, n) a este pre= ǫk k=0 = 0. ˆIn figura al˘aturat˘
µ kB T
clasic
Tc0
T
T ≤Tc
bosonic zentat graficul calitativ al potent¸ialului chimic al gazului bosonic ideal ca funct¸ie de temperatur˘a (la densitate constant˘ a de particule) ¸si este comparat cu graficul calitativ al potent¸ialul chimic pentru gazului clasic ideal. Temperatura critic˘ a a gazului bosonic ideal se poate calcula ˆın mod exact, dar se poate obt¸ine o estimare considerˆ and c˘ a ˆınceputul condens˘ arii bosonice corespunde situat¸iei cˆ and cele dou˘a energii caracteristice ale sistemului sunt comparabile: ǫT ≈ ǫ0
kB Tc0 ≈
=⇒
~2 2/3 n . 2m
Gazul bosonic imperfect (slab neideal) are propriet˘ a¸ti analoage cu gazul ideal; ca urmare, exist˘a fenomenul de condensare bosonic˘a ˆın prezent¸a interact¸iilor mutuale ¸si temperatura critic˘ a este apropriat˘a de temperatura critic˘a a gazului ideal (Tc ≈ Tc0 ). Totu¸si apar complicat¸ii suplimentare fat¸˘ a de cazul ideal, deoarece spectrul energiilor uni-particul˘a efective depinde de temperatur˘a: ǫk (T ). Se va utiliza aproximat¸ia Hartree-Fock pentru a determina spectrul energiilor uni-particul˘a efective ¸si temperatura de condensare. B. Rezultate generale ale aproximat¸iei Hartree-Fock Se listeaz˘ a rezultatele importante deduse anterior ˆın cazul aproximat¸iei Hartree-Fock la temperatur˘a finit˘a, pentru cazul cˆ and particulele nu au spin (s = 0) ¸si este absent cˆ ampul extern (adic˘a u(r) = 0). i. Funct¸iile proprii ¸si energiile proprii ale st˘arilor uni-particul˘a efective sunt date de relat¸iile (6.31): 1 ϕk (r) = √ e ik·r , V 0 f∗ (k) , ǫ k = ǫk + ~ M HF
~2 k 2 , iar transformata Fourier a self-energiei Hartree2m Fock are expresia dat˘ a de formula (6.32c): Z o d3 q n f∗HF (k) = v e (0) + v e (q − k) nq . ~M 3 R3 (2π)
unde energia particulei libere este ǫk0 =
ii. Numerele medii de ocupare a st˘arilor uni-particul˘a efective sunt date de funct¸ia de −1 distribut¸ie Bose-Einstein nq = exp[β(ǫq − µ)] − 1 , iar concentrat¸ia de particule este hni(T, µ) =
Z
d3 k n ; 3 k R3 (2π)
se observ˘ a c˘ a hni(T, µ) este constant˘ a ˆın spat¸iu, deoarece sistemul este omogen.
˘ FINITA ˘ 6.3. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK LA TEMPERATURA
27
Rezultatele precedente arat˘a c˘ a pentru a obt¸ine rezultatele specificate anterior este necesar s˘a efectueze urm˘atoarele operat¸ii: i. se determin˘a o aproximat¸ie pentru transformata Fourier a potent¸ialului de interact¸ie ve(q), corespunz˘ atoare condit¸iilor specificate anterior (gaz slab neideal); ii. se determin˘a transformata Fourier a self-enegiei, din care rezult˘a spectrul energiilor uniparticul˘ a efective; iii. se determin˘a numerele medii de ocupare pe st˘ari uni-particul˘a, iar apoi concentrat¸ia total˘ a de particule; iv. se efectueaz˘ a comparat¸ia cu rezultatul corespondent al gazului bosonic ideal ˆın starea critic˘a, de unde rezult˘a temperatura critic˘a. C. Calculul aproximativ a transformatei Fourier pentru potent¸ialul de interact¸ie Conform hipotezelor init¸iale, interact¸ia bi-particul˘a are simetrie sferic˘a ¸si raz˘ a scurt˘ a de act¸iune; ca urmare, potent¸ialul de interact¸ie v(r) se aproximeaz˘ a ca fiind nenul numai la distante inferioare razei de act¸iune (a): ( 6= 0 (finit mic) , pentru r < a , v(r) = v(r) = ≈ 0 (nul) , pentru r > a . Transformata Fourier a potent¸ialului de interact¸ie implic˘ a integrala spat¸ial˘a, care se reduce la integrarea ˆın interiorul sferei de act¸iune a interact¸iei: Z Z ve(q) = d3 r e−iq·r v(r) ≈ d3 r e−iq·r v(r) . V
r
Se observ˘ a c˘ a transformatele Fourier ale potent¸ialului de interact¸ie satisfac inegalitatea Z Z ve(q) = d3 r e−iq·r v(r) < d3 r v(r) = ve(0) , V
V
astfel ˆıncˆ at este suficient s˘a se considere numai componente Fourier corespunz˘ atoare la valori mici ale vectorului de und˘a, exprimate prin condit¸ia: |q · r| < qa ≪ 1 (integrarea se aproximeaz˘a la interiorul sferei de raz˘ a a). Conform observat¸iei precedente se dezvolt˘ a ˆın serie Taylor exponent¸iala transform˘ arii Fourier ¸si se ret¸in termenii de ordin minim (adic˘a pˆ an˘a ˆın ordinul 2, deoarece se va ar˘ ata c˘ a termenul de ordinul 1 are contribut¸ie nul˘a), iar integrala se efectueaz˘a ˆın coordonate sferice r = (r, θ, ϕ), alegˆand axa polar˘a paralel˘ a cu vectorul de und˘a q: Z 1 ve(q) ≈ d3 r v(r) 1 − iq · r − (q · r)2 + . . . 2 r
Integrala dup˘a coordonata azimutal˘a ϕ este banal˘a (produce factorul 2π), iar integrala dup˘a coordonata polar˘ a se simplific˘ a prin schimbarea de variabil˘ a θ → u = cos θ, astfel ˆıncˆ at rezult˘a Z a Z 1 n o 1 ve(q) ≈ 2π dr r2 v(r) du 1 − iqru − q 2 r2 u2 + . . . 2 0 −1 Z a n o 1 = 2π dr r2 v(r) 2 − q 2 r2 + . . . 3 0 Z a Z a 2 q 4π dr r4 v(r) . = 4π dr r2 v(r) − 6 0 0 Ultimile dou˘a integrale se aproximeaz˘ a astfel: Z a Z 4π d3 r v(r) ≈ ve(0) , dr r2 v(r) = r
0
28
CAPITOLUL 6. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK
atunci rezult˘a urm˘atoarea aproximat¸ie pentru transformata Fourier a potent¸ialului de interact¸ie ˆın condit¸ii de slab˘a neidealitate: h i 1 ve(q) ≈ ve(0) 1 − q 2 a2 . (6.35) 6 D. Spectrul de excitat¸ii efective uni-particul˘ a
Transformata Fourier a self-energiei Hartree-Fock se obt¸ine prin utilizarea aproximat¸iei precedente (6.35) ˆın formula general˘ a corespunz˘ atoare cazului s = 0: Z n o 3 d q f∗ (k) = ve(0) + ve(q − k) nq ~M HF 3 (2π) 3 R Z d3 q 1 ≈ ve(0) 1 + 1 − (k − q)2 a2 nq 3 (2π) 6 3 R | {z } 2 k2 6
= 2− a
2 2
2
− a 6q + q3 k·q
Z Z Z a2 k 2 a2 a2 d3 q d3 q d3 q 2 ≈ ve(0) 2 − n − n q + n (k · q) ; q q q 3 6 6 R3 (2π)3 3 R3 (2π)3 R3 (2π)
prima integral˘a define¸ste concentrat¸ia de particule, iar a treia integral˘a este nul˘a, deoarece integrandul este o funct¸ie impar˘a: Z d3 q n =n, 3 q R3 (2π) Z d3 q nq (k · q) = 0 . 3 R3 (2π)
Ca urmare transformata Fourier a self-energiei Hartree-Fock ˆın condit¸ii de slab˘a neidealitate are urm˘atoare expresie aproximativ˘ a: Z o a2 n ve(0) n a2 d3 q 2 ∗ f − n q ~ MHF (k) ≈ ve(0) 2 n − k2 , (6.36) q 6 R3 (2π)3 6
unde s-au regrupat termenii dup˘a puterile vectorului de und˘a, astfel ˆıncˆ at expresia rezultant˘ a f∗ (k) = a + b k 2 . este de tipul M HF Aproximat¸ia de slab˘a neidealitate a energiilor uni-particul˘a efective se obt¸ine prin utilizarea aproximat¸iei (6.36): f∗HF (k) ǫ k = ǫk0 + ~ M Z o o n n ve(0) ~2 n a2 d3 q 2 2 1 − + k2 . n q m a ≈ ve(0) 2 n − q 6 R3 (2π)3 2m 3 ~2
Rezultatul precedent se poate exprima ˆın form˘a similar˘ a cu energia unei particule libere avˆand etalonul de energie nenul: ~2 k 2 ǫ k ≈ ǫ0 + , (6.37) 2m∗ unde energia de zero ǫ0 ¸si masa efectiv˘a m∗ au expresiile urm˘atoare: Z Z o o n n a2 q2 a2 d3 q d3 q 2 , (6.38a) = 2 n e v (0) 1 − ǫ0 ≡ ve(0) 2 n − n q q 6 R3 (2π)3 12 n R3 (2π)3 eβ(ǫq −µ) − 1 o 1 ne v (0) 1n 2 1 − . (6.38b) ≡ m a m∗ m 3 ~2 Se observ˘ a c˘ a energiile uni-particul˘ a efective sunt similare cu energiile uni-particul˘a libere, iar interact¸ia slab˘a cu raz˘ a scurt˘ a de act¸iune, ˆın cadrul aproximat¸iei Hartree-Fock, are urm˘atoarele efecte asupra acestui spectru de excitat¸ii efective uni-particul˘a: – deplasarea energiei de zero uni-particul˘a (dependent˘ a de temperatur˘a); – modificarea masei efective (valoarea este independent˘ a de temperatur˘a); ˆın plus, aceast˘a contribut¸ie este datorat˘a termenului de schimb. Se observ˘ a, de asemenea, c˘ a aceast˘a corect¸ie la masa efectiv˘a este mic˘a, deoarece s-a presupus n |e v (0)| m a2 ≪ 1. init¸ial c˘ a potent¸ialul bi-particul˘a este slab, conform condit¸iei ~2
˘ FINITA ˘ 6.3. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK LA TEMPERATURA
29
E. Temperatura critic˘ a ˆIn cazul gazului ideal, temperatura critic˘a se obt¸ine din condit¸ia ca potent¸ialul chimic s˘a se anuleze (adic˘ a s˘a devin˘ a egal cu energia minim˘a uni-particul˘a): µ(Tc0 ) = 0; ca urmare, rezult˘a condit¸ia echivalent˘ a: ~2 k 2 . β(ε0k − µ) T 0 = βc0 c 2m Concentrat¸ia de particule, estimat˘a la temperatura critic˘a, este Z
4π 1 d3 k n= 0= 0 3 β(εk −µ) 3 (2π) (2π) T 3 e −1 c R
Z
0
∞
dk k 2
1 , 2 2o ~ k −1 exp βc0 2m n
unde integrala s-a efectuat ˆın coordonate sferice, iar variabilele unghiulare au produs factorul 4π, deoarece integrandul este independent de aceste variabile. Integrala peste coordonata modul k β 0 ~2 se efectueaz˘ a prin schimbarea de variabil˘ a x = c k 2 , astfel ˆıncˆ at se obt¸ine 2m Z 4π 1 2m 3/2 ∞ x1/2 1 2m 3/2 3 3 Γ 2 Z 2 , n= dx x = 3 2 0 (2π) 2 ~ βc e −1 4π 2 ~2 βc0 0
unde Γ(α) este funct¸ia Gamma-Euler de specia II, iar Z(a) este funct¸ia Riemann, definite prin relat¸iile 5 Z ∞ dx e−x xα−1 , Γ(α) ≡ 0
∞ X 1 Z(a) ≡ . a p p=1
Considerˆ and c˘ a este cunoscut˘a concentrat¸ia particulelor, se obt¸ine temperatura critic˘a Tc0
4π 2 = 3 Γ 2 Z
3
2
2/3
~2 n2/3 . 2 m kB
ˆIn cazul gazului slab neideal starea critic˘a se obt¸ine atunci cˆ and potent¸ialul chimic devine egal cu energia minim˘ a a st˘ arilor uni-particul˘a efective µ(Tc ) = ǫ0 (Tc ); ca urmare rezult˘a condit¸ia h i ~2 k 2 ~2 k 2 β(ǫk − µ) Tc = βc ǫ0 (Tc ) + − µ(T ) = β , c c 2m∗ 2m∗
care este un rezultat similar cu cel obt¸inut pentru gazul ideal. Atunci, concentrat¸ia de particule se obt¸ine, de asemenea, ˆın mod similar cu cazul gazului ideal: Z Z ∞ d3 k 1 1 4π n= dk k 2 = n ~2 k 2 o 3 eβ(ǫk −µ) − 1 T 3 (2π) (2π) 3 c R 0 −1 exp βc 2m∗ Z 4π 1 2m∗ 3/2 ∞ x1/2 = dx x 3 2 (2π) 2 ~ βc e −1 0 ∗ 3/2 1 2m = (6.39) Γ 32 Z 23 ; 4π 2 ~2 βc
prin inversare ˆın raport cu temperatura critic˘a, considerˆ and concentrat¸ia de particule ca fiind cunoscut˘a, rezult˘a 2/3 2 2/3 4π 2 ~ n Tc = . (6.40) 2 m∗ kB Γ 32 Z 23 5 Calculul
integralei precedente este prezentat ˆın lucr˘ arile standard de mecanic˘ a statistic˘ a.
30
CAPITOLUL 6. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK
Prin compararea temperaturilor critice pentru gazul slab neideal ¸si pentru gazul ideal, rezult˘a deplasarea temperaturii critice de condensare, datorit˘a interact¸iilor mutuale ∆Tc ne v(0) ma3 Tc − Tc0 m − 1 = − . ≡ = Tc0 Tc0 m∗ 3 ~2
(6.41)
Rezultatul precedent conduce la urm˘atoarele concluzii: i. conform condit¸iei de slab˘a neidealitate deplasarea temperaturii de condensare este foarte mic˘a: ∆Tc ≪ Tc0 ; ii. ˆın cazul interact¸iilor atractive v(r) < 0, astfel ˆıncˆ at temperatura critic˘a cre¸ste: Tc > Tc0 ; iii. ˆın cazul interact¸iilor repulsive v(r) > 0, astfel ˆıncˆ at temperatura critic˘a scade: Tc < Tc0 ; iv. ˆın cazul interact¸iilor punctuale, adic˘a cu raz˘ a nul˘a de act¸iune, a = 0, temperatura critic˘a este identic˘ a cu cea a gazului ideal: Tc = Tc0 .
6.3.3
Gazul fermionic imperfect la temperaturi mici
A. Condit¸ii Se consider˘ a sistemul constituit din particule fermionice identice, care are urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: • particulele au masa m ¸si num˘ arul de spin s = 21 ; • particulele au interact¸ii mutuale slabe (astfel ˆıncˆ at se poate aplica aproximat¸ia HartreeFock); • nu exist˘a cˆ ampuri externe, astfel ˆıncˆ at sistemul este omogen din punct de vedere spat¸ial; • sistemul este macroscopic (adic˘ a se consider˘ a limita termodinamic˘ a) ¸si se afl˘a intr-o stare de echilibru macroscopic corespunz˘ atoare unei temperaturi joase T & 0 . Observat¸ii generale asupra aproximat¸iei Hartre-Fock la temperatur˘a finit˘a: e ωn ) depinde de temperatur˘a prin • transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara G(k, π dou˘a moduri: datorit˘ a frecvent¸ei ωn = (2n + 1) ¸si datorit˘a transformatei Fourier a ~β f∗ (k), fiindc˘ self-energiei M a este o solut¸ie a ecuat¸iei Dyson HF e ωn ) = Ge0 (k, ωn ) + Ge0 (k, ωn ) M f∗ (k) G(k, e ωn ) ; G(k, HF
• transformata Fourier a self-energiei f∗ (k) = ~M HF
Z
d3 q 1 X iωn η e ωn ) , 2e v(0) − ve(k − q) G(q, e 3 ~β (2π) 3 R n
este independent˘ a de frecvent¸˘ a, dar depinde indirect de temperatur˘a;
f∗ (k) depinde indirect de temperatur˘a (datorit˘ • energia uni-particul˘ a efectiv˘ a ǫk = ǫk0 +~ M a HF self-energiei); 1 depinde de temperatur˘a, atˆat ˆın mod direct, eβ(ǫk −µ) + 1 cˆ at ¸si ˆın mod indirect (prin intermediul energiei uni-particul˘a).
• num˘ arul mediu de ocupare nk =
Datorit˘ a faptului c˘ a aproximat¸ia Hartree-Fock implic˘ a manipularea self-consistent˘ a a unui set de ecuat¸ii cuplate, dependent¸a de temperatur˘a a m˘arimilor caracteristice sistemului fermionic este foarte complicat˘ a.
˘ FINITA ˘ 6.3. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK LA TEMPERATURA
31
B. Metoda Luttinger pentru temperaturi joase La temperaturi joase, se poate obt¸ine ˆın mod aproximativ o dependent¸˘a efectiv˘a de temperatur˘ a prin metoda Luttinger: i. se define¸ste sistemul fictiv (asociat sistemului fizic), care are spectrul excitat¸iilor uniparticul˘ a efective, notat prin ǫk (0), identic cu spectrul spectrul excitat¸iilor uni-particul˘a efective ale sistemului fizic la temperatura nul˘a: f∗ (k, 0) , ǫk (0) = ǫk0 + ~ M HF
(6.42)
f∗ (k, 0) este transformata Fourier a self-energiei Hartree-Fock pentru sistem fizic la unde ~ M HF temperatura nul˘a (T = 0); ii. se definesc m˘arimile caracteristice ale sistemului fictiv, adic˘a num˘arul mediu de ocupare pe o stare uni-particul˘ a efectiv˘a nk (T ) ¸si transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara e G(k, ωn , 0) prin spectrul excitat¸iilor de la temperatura nul˘a ǫk (0). Conform definit¸iilor anterioare se obt¸in urm˘atoarele caracteristici ale sistemului fictiv. • Num˘ arul mediu de particule este
nk (T ) =
1 eβ(ǫk (0)−µ)
+1
;
(6.43)
se observ˘ a c˘ a nk (T ) are numai dependent¸a explicit˘a de temperatur˘a, deoarece s-a considerat spectul de excitat¸ii ǫk (0). La limita temperaturii nule se obt¸ine urm˘atoarele rezultate: nk (T ) −→ nk (0) = θ ǫF − ǫk (0) = θ(kF − k) , T →0
∂ nk (T ) −→ δ ǫF − ǫk (0) = δ(kF − k) ; ∂ ǫk (0) T →0
deoarece energia ǫk (0) este o funct¸ie de vectorul de und˘a, iar energia Fermi este o energie uni-particul˘ a efectiv˘ a particular˘ a, rezult˘a c˘ a funct¸iile Heaviside ¸si Dirac se pot exprima prin vectorii de und˘a corespunz˘ atorii energiilor uni-particul˘a efective. • M˘ arimea vectorului de und˘a Fermi se obt¸ine ca funct¸ie de concentrat¸ia particulelor ˆın mod similar cu cazul gazului ideal: Z Z d3 k 2V k3 2V N = 2V n (0) = 4π F d3 k θ(kF − k) = k 3 3 3 (2π) R3 (2π) 3 R3 (2π) N 1/3 . =⇒ kF = 3π 2 V • Transformata Fourier a self-energiei Hartree-Fock la temperatura nul˘a se obt¸ine prin particularizarea formulei (6.32c) Z o d3 q n f∗ (k, 0) = ~M 2 v e (0) ± v e (k − q) nq (0) HF 3 R3 (2π) Z o d3 q n = 2 v e (0) ± v e (k − q) θ(kF − q) . (6.44) 3 R3 (2π) • Prin utilizarea rezultatului precedent, spectrul de excitat¸ii uni-particul˘a efective la temperatur˘ a nul˘a se rescrie ˆın forma Z o ~2 k 2 d3 q n ǫk (0) = 2 ve(0) ± ve(k − q) θ(kF − q) , + 3 2m R3 (2π) astfel ˆıncˆ at energia Fermi efectiv˘a are expresia Z o d3 q n ~2 kF2 2 v e (0) ± v e (k − q) θ(kF − q) . + ǫF = ǫkF (0) = F 3 2m R3 (2π)
(6.45)
32
CAPITOLUL 6. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK e ωn , 0) se obt¸ine ca solut¸ie a ecuat¸iei • Transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara G(k, Dyson e ωn , 0) = Ge0 (k, ωn ) + Ge0 (k, ωn ) M f∗HF (k, 0) G(k, e ωn , 0) G(k, e ωn , 0) = G(k,
=⇒
1
1
Ge0 (k, ωn )
f∗ (k, 0) −M HF
;
transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara liber˘a are expresia (5.51) Ge0 (k, ωn ) =
1
iωn −
1 0 ~ (ǫk
− µ)
fiind astfel dependent˘ a de temperatur˘a numai prin intermediul frecvent¸ei. Prin ˆınlocuirea expresiei transformatei Fourier a funct¸iei Green-Matsubara libere ˆın solut¸ia ecuat¸iei Dyson, scris˘a anterior, ¸si apoi utilizˆand definit¸ia energiei uni-particul˘a efectiv˘a la temperatur˘a nul˘a ǫk (0), se obt¸ine e ωn , 0) = G(k,
1 f∗ (k, 0) iωn − ~1 (ǫk0 − µ) − M HF
=
1 . iωn − ~1 [ ǫk (0) − µ ]
(6.46)
f∗ (k, T ), G(k, e ωn , T ) Pentru sistemul fizic se vor utiliza urm˘atoarele notat¸ii: ǫk (T ), nk , M HF pentru a face distinct¸ie de m˘arimile correspondente ale sistemului fictiv. Deoarece se urm˘are¸ste deducerea m˘arimilor caracteristice ale sistemului fizic la temperaturi joase, se vor efectua aproximat¸ii de ordinul minim (adic˘a ordinul 1) pentru diferent¸ele dintre m˘arimile corespondente ale sistemului real ¸si ale sistemului fictiv. C. Dezvoltarea transformatei Fourier a funct¸iei Green-Matsubara Ecuat¸iile Dyson pentru sistemul fizic ¸si pentru sistemul fictiv sunt de acela¸si tip, astfel ˆıncˆ at se pot transforma ˆın modul urm˘ator: f∗ . f∗ Ge =⇒ 1 = 1 − M Ge = Ge0 + Ge0 M Ge Ge0
Rezultatul precedent se particularizeaz˘a pentru sistemul fizic ¸si pentru sistemul fictiv: 1 1 f∗ (k, T ) , = −M 0 e e G(k, ωn , T ) G (k, ωn ) 1 1 f∗ (k, 0) ; = −M 0 e e G(k, ωn , 0) G (k, ωn )
prin efectuarea diferent¸ei dintre cele dou˘a relat¸ii precedente, se obt¸ine 1 1 f∗HF (k, 0) − M f∗HF (k, T ) . − =M e e G(k, ωn , T ) G(k, ωn , 0)
Relat¸ia precedent˘ a se rescrie ˆın urm˘atoarea form˘a echivalent˘ a: ∗ ∗ e ωn , T ) = G(k, e ωn , 0) + M f (k, T ) − M f (k, 0) G(k, e ωn , T ) G(k, e ωn , 0) . G(k, HF
HF
Se efectueaz˘ a trecerea la limit˘ a numai a temperaturii care apare ˆın mod explicit ˆın expresia transformatei Fourier a funct¸iei Green-Matsubara, dar se ment¸ine constant˘ a frecvent¸a (adic˘a nu se ia ˆın considerare dependent¸a de temperatur˘a a frecvent¸ei) pentru transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara fizice: e ωn , T ) −→ G(k, e ωn , 0) , ωn = constant ; G(k, T →0
atunci, aproximat¸ia de ordinul 1 (la temperaturi foarte joase) implic˘ a egalitatea aproximativ˘ a ∗ e ωn , T ) ≈ G(k, e ωn , 0) + M f (k, T ) − M f∗ (k, 0) G(k, e ωn , 0) 2 , G(k, (6.47) HF HF deoarece diferent¸a transformatelor Fourier ale self-energiilor este o m˘arime mic˘a de ordinul 1, aste ωn , T ) ≈ G(k, e ωn , 0) in termenul din membrul drept. Relat¸ia (6.42) este aproximat¸ia fel ˆıncˆ at G(k, transformatei Fourier a funct¸iei Green-Matsubara la temperaturi foarte joase, fiind consecint¸a ecuat¸iei Dyson.
˘ FINITA ˘ 6.3. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK LA TEMPERATURA
33
D. Aproximat¸ia pentru self-energie Transformata Fourier a self-energiei are expresia de la pagina 30 (a prezentului volum) adaptat˘ a notat¸iei prezente f∗ (k, T ) = ~M HF
Z
1 X iωn η d3 q e ωn , T ) ; 2 v e (0) − v e (k − q) e G(q, 3 ~β n R3 (2π)
se utilizeaz˘ a aproximat¸ia (6.47) pentru transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara, astfel ˆıncˆ at suma dup˘a frecvent¸e devine: 1 X iωn η e e G(q, ωn , T ) ~β n X ∗ 1 X iωn η e e ωn , 0) 2 fHF (q, T ) − M f∗HF (q, 0) 1 ≈ e G(q, ωn , 0) + M e iωn η G(q, ~β n ~β n
Prin utilizarea expresiei transformatei Fourier a funct¸iei Green-Matsubara fictive (6.46) ¸si a regulii de sumare (5.57), cele dou˘a sume dup˘a frecvent¸˘a se exprim˘ a ˆın termeni de numere medii de ocupare ale sistemului fictiv: 1 1 X iωn η e 1 X e iωn η = = nq (T ) , e G(q, ωn , 0) = 1 ~β n ~β n iωn − ~ [ ǫq (0) − µ ] 1 + eβ[ǫq (0)−µ] 2 1 X 1 X iωn η e e iωn η G(q, ωn , 0) = e 2 ~β n ~β n iωn − ~1 [ ǫq (0) − µ ] ∂ 1 X e iωn η ∂nq (T ) =~ . =~ 1 ∂ǫq (0) ~β n iωn − ~ [ ǫq (0) − µ ] ∂ǫq (0) Atunci, suma anterioar˘ a dup˘a frecvent¸e se obt¸ine prin adunarea rezultatelor precedente: 1 X iωn η e f∗HF (q, T ) − ~ M f∗HF (q, 0) ∂nq (T ) . e G(q, ωn , T ) ≈ nq (T ) + ~ M ~β n ∂ǫq (0)
Se ˆınlocuie¸ste rezultatul anterior ˆın expresia transformatei Fourier a self-energiei Hartree-Fock ¸si se obt¸ine urm˘atoarea ecuat¸ie: f∗HF (k, T ) = ~M
Z
o n d3 q f∗HF (q, T ) − ~ M f∗HF (q, 0) ∂nq (T ) ; 2 v e (0) − v e (k − q) n (T ) + ~ M q 3 ∂ǫq (0) R3 (2π)
ecuat¸ia precedent˘ a se exprim˘ a mai simetric prin utilizarea expresiei (6.44) pentru transformata Fourier a self-enegiei fictive: Z
d3 q 2 ve(0) − ve(k − q) 3 R3 (2π) n o f∗ (q, T ) − ~ M f∗ (q, 0) ∂nq (T ) . × nq (T ) − nq (0) + ~ M HF HF ∂ǫq (0)
f∗HF (k, T ) − ~ M f∗HF (k, 0) = ~M
(6.48)
Se observ˘ a c˘ a relat¸ia (6.48) este o ecuat¸ie integral˘a de tip Voltera pentru diferent¸a transformatelor Fourier ale self-energiilor; deoarece aceast˘a diferent¸˘a, precum ¸si diferent¸a numerelor medii de ocupare este foarte mic˘a la temperaturi joase, se efectueaz˘a o rezolvare iterativ˘ a: 1. aproximat¸ia de ordinul 0 este
f∗ (k, T ) − ~ M f∗ (k, 0) = ~M HF HF 0
Z
d3 q 2e v (0) − e v (k − q) nq (T ) − nq (0) ; 3 R3 (2π)
34
CAPITOLUL 6. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK
2. aproximat¸ia de ordinul 1 este f∗HF (k, T ) − ~ M f∗HF (k, 0) ~M 1 Z d3 q 2e v(0) − ve(k − q) = 3 (2π) 3 R n o f∗ (q, T ) − ~ M f∗ (q, 0) ∂nq (T ) × nq (T ) − nq (0) + ~ M HF HF 0 ∂ǫ (0) q Z 3 d q 2e v(0) − ve(k − q) = 3 R3 (2π) Z n o ∂nq (T ) d3 q′ ′ ′ (T ) − nq′ (0) . 2 v e (0) − v e (q − q ) n × nq (T ) − nq (0) + q ∂ǫq (0) R3 (2π)3
Se consider˘ a c˘ a aproximat¸ia de ordinul 1 este suficient˘ a la temperaturi foarte joase, astfel ˆıncˆ at rezult˘a urm˘atoarea expresie a transformatei Fourier pentru self-energia Hartree-Fock: Z d3 q f∗ (k, T ) − ~ M f∗ (k, 0) ≈ 2 ve(0) − ve(k − q) ~M HF HF 3 R3 (2π) Z n o ∂nq (T ) d3 q′ × nq (T ) − nq (0) + 2 ve(0) − ve(q − q′ ) nq′ (T ) − nq′ (0) . (6.49) 3 ∂ǫq (0) R3 (2π) E. Media hamiltonianului grand-canonic
Media hamiltonianului grand-canonic se descompune ˆın energia medie ¸si num˘arul mediu de particule:
K(T, V, µ) ≡ K = (H − µN ) = E − µ N ;
energia medie ¸si num˘ arul mediu de particule se obt¸in din relat¸iile (5.43b) ¸si respectiv (5.42b), particularizate pentru cazul fermionic, ˆın termeni de transformat˘a Fourier a funct¸iei GreenMatsubara: Z X
V ~2 k 2 1 X iωn η d3 k i~ω + E = lim + µ e Geσσ (k, ωn ) n 2 R3 (2π)3 η→0+ ~β n 2m σ Z ~2 k 2 1 X iωn η d3 k e ωn ) , i~ωn + lim =V + µ G(k, e 3 2m R3 (2π) η→0+ ~β n Z
d3 k 1 X iωn η X e N =V lim e Gσσ (k, ωn ) 3 R3 (2π) η→0+ ~β n σ Z d3 k 1 X iωn η e = 2V lim e G(k, ωn ) ; 3 R3 (2π) η→0+ ~β n
cu rezultatele precedente ¸si luˆand ˆın considerare c˘ a ˆın cazul studiat transformata Fourier a funct¸iei e ωn ) se noteaz˘ e ωn , T ), se obt¸ine urm˘atoarea expresie pentru Green-Matsubara G(k, a prin G(k, media hamiltonianului grand-canonic Z d3 k 1 X iωn η ~2 k 2 e ωn , T ) . K(T, V, µ) = V lim i~ω + − µ G(k, e n 3 2m R3 (2π) η→0+ ~β n
Se utilizeaz˘ a aproximat¸ia (6.47) pentru transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara, astfel ˆıncˆ at media hamiltonianului grand-canonic devine Z 1 X iωn η ~2 k 2 d3 k lim − µ e i~ω + K(T, V, µ) ≈ V n 3 2m R3 (2π) η→0+ ~β n n ∗ o e ωn , 0) + M f (k, T ) − M f∗ (k, 0) G(k, e ωn , 0) 2 × G(k, HF HF Z 3 X d k 1 ~2 k 2 e ωn , 0) =V lim − µ G(k, e iωn η i~ωn + 3 η→0+ ~β 2m R3 (2π) n X ∗ ~2 k 2 e ωn , 0) 2 fHF (k, T ) − M f∗HF (k, 0) lim 1 − µ G(k, e iωn η i~ωn + + M η→0+ ~β 2m n
˘ FINITA ˘ 6.3. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK LA TEMPERATURA
35
Cele dou˘a sume dup˘a frecvent¸e produc urm˘atoarele rezultate: ~2 k 2 1 X iωn η e ωn , 0) i~ωn + − µ G(k, e η→0+ ~β 2m n f∗ (k, 0) nk (T ) , = 2 ǫk (0) − µ − ~ M HF 1 X iωn η ~2 k 2 e ωn , 0) 2 lim i~ωn + − µ G(k, e η→0+ ~β 2m n o n f∗ (k, 0) ∂nk (T ) . = ~ nk (T ) + 2 ǫk (0) − µ − ~ M HF ∂ǫk (0) lim
Demonstrat¸ie:
Transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara pentru sistemul fictiv are expresia (6.46) e ωn , 0) = G(k,
1 , iωn − ~1 [ ǫk (0) − µ ]
iar energia proprie efectiv˘ a a sistemului fictiv are expresia (6.42): ǫk (0) =
~2 k2 f∗HF (k, 0) ≡ ǫk0 + ~ M f∗HF (k, 0) ; + ~M 2m
atunci se efectueaz˘ a urm˘ atoarea transformare: n o n o f∗HF (k, 0) . i~ωn + ǫk0 − µ = ~ iωn + ~1 (ǫk0 − µ) = ~ iωn − ~1 [ǫk (0) − µ] + 2 1~ [ǫk (0) − µ] − M Prima sum˘ a se prelucreaz˘ a astfel: lim
η→0+
~2 k2 1 X iωn η e ωn , 0) e − µ G(k, i~ωn + ~β n 2m
= ~ lim
η→0+
= ~ lim
f∗HF (k, 0) 1 X iωn η iωn − ~1 [ǫk (0) − µ] + 2 ~1 [ǫk (0) − µ] − M e 1 ~β n iωn − ~ [ ǫk (0) − µ ]
η→0+
X 1 X iωn η 1 e iωn η f∗HF (k, 0) lim 1 e + 2 ~ [ǫk (0) − µ] − M η→0+ ~β ~β n iωn − ~1 [ ǫk (0) − µ ] n
cele dou˘ a sume dup˘ a frecvent¸e produc rezultatele S1 ≡ lim
η→0+
S2 ≡ lim
η→0+
1 X iωn η e = δ(η) = 0 , ~β n
1 X 1 e iωn η = = nk (T ) ; 1 ~β n iωn − ~ [ ǫk (0) − µ ] 1 + eβ(ǫk (0)−µ)
ca urmare, prima sum˘ a este lim
η→0+
1 X iωn η ~2 k2 e ωn , 0) = 2 1 ǫk (0) − µ − M f∗HF (k, 0) nk (T ) , − µ G(k, e i~ωn + ~ ~β n 2m
adic˘ a rezultatul afirmat anterior.
A doua sum˘ a se prelucreaz˘ a ˆın mod analog: lim
η→0+
1 X iωn η ~2 k2 e ωn , 0) 2 e − µ G(k, i~ωn + ~β n 2m
= ~ lim
η→0+
= ~ lim
f∗HF (k, 0) 1 X iωn η iωn − ~1 [ǫk (0) − µ] + 2 ~1 [ǫk (0) − µ] − M e 2 1 ~β n iωn − [ ǫk (0) − µ ]
η→0+
~
e iωn η 1 X 1 ~β n iωn − ~ [ ǫk (0) − µ ]
f∗HF (k, 0) lim + 2 ~1 [ǫk (0) − µ] − M
η→0+
1 X e iωn η ; 2 ~β n iωn − ~1 [ ǫk (0) − µ ]
36
CAPITOLUL 6. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK ˆın acest al doilea caz prima sum˘ a este S2 = nk (T ), care a fost evaluat˘ a anterior, iar a doua sum˘ a (notat˘ a S3 ) se exprim˘ a prin derivata lui S2 : S3 ≡ lim
η→0+
e iωn η 1 X e iωn η ∂nk (T ) ∂ 1 X =~ ; 2 = ~ 1 1 ~β n ∂ǫk (0) ~β n iωn − ~ [ ǫk (0) − µ ] ∂ǫk (0) iωn − ~ [ ǫk (0) − µ ]
ca urmare, acest˘ a a doua sum˘ a este egal˘ a cu X 1 ~2 k2 e ωn , 0) 2 lim − µ G(k, e iωn η i~ωn + η→0+ ~β 2m n o n f∗HF (k, 0) ∂nk (T ) , = ~ nk (T ) + 2 ~1 ǫk (0) − µ − M ∂ǫk (0)
care este rezultatul afirmat anterior.
Pe baza rezultatelor anterioare se obt¸ine urm˘atoarea expresie a mediei hamiltonianului grandcanonic Z d3 k f∗HF (k, 0) nk (T ) K(T, V, µ) ≈ V 2 ǫk (0) − µ − ~ M 3 (2π) 3 R ∂nk (T ) i h ∗ ∗ ∗ f f f . + ~ MHF (k, T ) − ~ MHF (k, 0) nk (T ) + 2 ǫk (0) − µ − ~ MHF (k, 0) ∂ǫk (0)
Expresia precedent˘ a devine mai convenabil˘ a dac˘a se scade media hamiltonianului grand-canonic la limita temperaturii nule Z d3 k f∗ (k, 0) nk (0) , K(0, V, µ) ≈ V 2 ǫk (0) − µ − ~ M HF 3 R3 (2π) f∗ (k, T ) − M f∗ (k, 0) care cont¸ine numai primul termen, deoarece M = 0. HF HF T =0 Ca urmare, se consider˘ a diferent¸a celor do˘a medii ale hamiltonianului grand-canonic: Z d3 k f∗HF (k, 0) nk (T ) − nk (0) 2 ǫk (0) − µ − ~ M K(T, V, µ) − K(0, V, µ) ≈ V 3 R3 (2π) ∂nk (T ) i h ∗ ∗ ∗ f f f + ~ MHF (k, T ) − ~ MHF (k, 0) nk (T ) + 2 ǫk (0) − µ − ~ MHF (k, 0) . ∂ǫk (0)
Este convenabil s˘a se regrupeze termenii expresiei precedente astfel:
K(T, V, µ) − K(0, V, µ) Z d3 k f∗HF (k, 0) nk (T ) − nk (0) 2 ǫk (0) − µ − ~ M ≈V 3 (2π) R3 f∗ (k, T ) − ~ M f∗ (k, 0) nk (T ) + ~M HF HF i h f∗HF (k, T ) − ~ M f∗HF (k, 0) 2 ǫk (0) − µ − ~ M f∗HF (k, 0) ∂nk (T ) + ~M ∂ǫk (0) Z d3 k =V 2 ǫk (0) − µ nk (T ) − nk (0) 3 R3 (2π) Z d3 k f∗ f∗ (k, 0) nk (T ) ~ MHF (k, T ) − ~ M +V HF 3 R3 (2π) Z i d3 k f∗ f∗ (k, 0) 2 ǫk (0) − µ ∂nk (T ) +V ~ M (k, T ) − ~ M HF HF 3 ∂ǫk (0) R3 (2π) Z o n 3 d k f∗HF (k, 0) nk (T ) − nk (0) + ~ M f∗HF (k, T ) − ~ M f∗HF (k, 0) ∂nk (T ) . −V ~M 3 ∂ǫk (0) R3 (2π)
Se poate ar˘ ata c˘ a ˆın aproximat¸ia temperaturilor joase, ultimii 3 termeni produc rezultat nul, astfel ˆıncˆ at r˘amˆ ane numai primul termen: Z d3 k 2 ǫk (0) − µ nk (T ) − nk (0) . (6.50) K(T, V, µ) − K(0, V, µ) ≈ V 3 R3 (2π)
˘ FINITA ˘ 6.3. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK LA TEMPERATURA
37
Demonstrat¸ie: ˆIn termenul al doilea se utilizeaz˘ a ecut¸ia (6.48), care este ecuat¸ia integral˘ a a transformatei Fourier a self-energiei Hartree-Fock la temperaturi joase, ¸si se efectueaz˘ a aproximat¸ia nk (T ) ≈ nk (0): Z d3 k f∗ f∗HF (k, 0) nk (T ) ~ MHF (k, T ) − ~ M V 3 R3 (2π) Z Z d3 q d3 k 2 ve(0) − e v (k − q) ≈V 3 3 (2π) (2π) R3 R3 n o f∗HF (q, T ) − ~ M f∗HF (q, 0) ∂nq (T ) nk (0) × nq (T ) − nq (0) + ~ M ∂ǫq (0) Z Z d3 k d3 q 2 ve(0) − e v (k − q) nk (0) =V 3 3 R3 (2π) R3 (2π) o n f∗HF (q, T ) − ~ M f∗HF (q, 0) ∂nq (T ) ; × nq (T ) − nq (0) + ~ M ∂ǫq (0)
dar integrala dup˘ a variabila q este transformata Fourier a self-energiei la limita temperaturii nule Z d3 k f∗HF (q, 0) , 2e v (0) − ve(k − q) nk (0) = M 3 R3 (2π)
conform relat¸iei (6.44); atunci expresia termenului al doilea devine Z d3 k f∗ f∗HF (k, 0) nk (T ) ~ MHF (k, T ) − ~ M V 3 (2π) 3 R Z o n d3 q f∗ f∗HF (q, T ) − ~ M f∗HF (q, 0) ∂nq (T ) , MHF (q, 0) nq (T ) − nq (0) + ~ M ≈V 3 ∂ǫq (0) R3 (2π)
iar aceast˘ a expresie este identic˘ a pˆ an˘ a la semn cu expresia termenului al patrulea; ca urmare, termenii al doilea ¸si al patrulea se anihileaz˘ a reciproc (aproximativ). Pentru al treilea termen se observ˘ a c˘ a num˘ arul mediu de ocupare pe st˘ ari uni-particul˘ a (funct¸ia de distribut¸ie Fermi-Dirac) la temperaturi foarte joase se aproximeaz˘ a prin funct¸ia treapt˘ a Heaviside, iar derivata sa ˆın raport cu enegia se aproximeaz˘ a prin funct¸ia Dirac centrat˘ a pe potent¸ialul chimic care este ˆın vecin˘ atatea energiei Fermi; ca urmare, este valabil˘ a aproximat¸ia ∂nq (T ) ≈ δ µ − ǫq (0) . ∂ǫq (0)
Atunci, termenul al treilea se aproximeaz˘ a la temperaturi joase ˆın felul urm˘ ator: Z i d3 k f∗ f∗HF (k, 0) 2 ǫk (0) − µ ∂nk (T ) ~ MHF (k, T ) − ~ M V 3 ∂ǫk (0) R3 (2π) Z d3 k f∗ f∗HF (k, 0) 2 ǫk (0) − µ δ µ − ǫk (0) = 0 , ~ MHF (k, T ) − ~ M ≈V 3 (2π) 3 R deoarece (x − a)δ(x − a) = 0.
ˆIn concluzie, s-a ar˘ atat c˘ a utilizˆ and aproximat¸iile corespunz˘ atoare temperaturilor joase, termenul al doilea ¸si termenul al patrulea se anihileaz˘ a reciproc, iar termenul al treilea este nul; ca urmare singura contribut¸ie nenul˘ a este dat˘ a de primul termen.
Din formula (6.50) se observ˘ a c˘ a singura corect¸ie pentru media hamiltonianului grand-canonic la temperaturi joase (fat¸˘ a de media corespondent˘ a la temperatura nul˘a) provine de la redistribuirea statistic˘ a a particulelor pe nivelele de energie ǫk (0); aceste nivele de enegie corespund temperaturii nule ¸si sunt determinate de interact¸iile ˆın starea fundamental˘ a a sistemului. G. Propriet˘ a¸tile termodinamice Media hamiltonianului grand-canonic este legat˘ a de potent¸ialul grand-canonic prin intermediul entropiei (S), conform definit¸iilor celor dou˘a m˘arini:
K = E − µ N =⇒ K = Ω + T S ; Ω= E −T S−µ N
38
CAPITOLUL 6. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK
deoarece potent¸ialul grand-canonic are forma diferent¸ial˘a dΩ = − S dT − P dV − µ dN , rezult˘a urm˘atoarea relat¸ie termodinamic˘ a: ∂S ∂K ∂Ω ∂S +S +T = =T ; ∂ T V,µ ∂ T V,µ ∂ T V,µ ∂ T V,µ | {z } = −S
ca urmare, se poate determina entropia sistemului din cunoa¸sterea mediei hamiltoniamului grandcanonic. Din expresia aproximativ˘ a a mediei hamiltonianului grand-canonic la temperaturi joase (6.50), rezult˘a urm˘atoarea expresie a entropiei ca ecuat¸ie de stare ˆın reprezentarea grand-canonic˘a: h dk i 1 2 k2 V kB T . (6.51) S(T, V, µ) ≈ dǫk ǫk =µ T &0 3 Demonstrat¸ie:
Derivata entropiei ˆın raport cu temperatura (ˆın condit¸ii grand-canonice, cˆ and volumul ¸si potent¸ialul chimic sunt ment¸inute constante) se exprim˘ a utilizˆ and relat¸ia anterioar˘ a cu media hamiltonianului grand-canonic (K) ¸si relat¸ia (6.50): Z ∂ nk (T ) ∂S d3 k T 2 ǫ (0) − µ =V ; k 3 ∂ T V,µ ∂T R3 (2π) µ
derivata num˘ arului mediu de ocupare a st˘ arilor uni-particule pentru sistemul fictiv se obt¸ine din formula (6.43)
∂ nk (T ) ∂T
µ
ǫk (0) − µ β(ǫk (0)−µ) e ǫk (0) − µ 1 ∂ 1 kB T 2 , = = 2 = 2 ǫ ∂T eβ(ǫk (0)−µ) + 1 4 k T k (0) − µ B eβ(ǫk (0)−µ) + 1 cosh2 2kB T
unde pentru ultima egalitate s-a utilizat identitatea (ex
1 ex 1 = 2 = x . + 1)2 ex/2 + e−x/2 4 cosh2 2
Ca urmare, expresia init¸ial˘ a devine o integral˘ a cu integrandul dependent numai de energia ǫk (0), care depinde numai de modulul vectorului de und˘ a k ; ca urmare, se utilizeaz˘ a coordonatele sferice de integrare (ˆın acest caz integr˘ arile peste coordonatele unghiulare produc factorul 4π): 2 Z ǫk (0) − µ ∂S d3 k V T = ǫk (0) − µ ∂ T V,µ 2 kB T 2 R3 (2π)3 cosh2 2kB T 2 Z ∞ ǫk (0) − µ V 4π 2 = . dk k ǫk (0) − µ 2 kB T 2 (2π)3 0 cosh2 2kB T ˆIn ultima integral˘ a este convenabil s˘ a se inverseze variabila de integrare: ǫk (0) → k(ǫk ), astfel c˘ a se obt¸ine 2 Z ∞ ǫk − µ ∂S V dk(ǫk ) T = dǫk . k2 (ǫk ) ∂ T V,µ 4π 2 kB T 2 ǫ0 cosh2 ǫk − µ dǫk 2kB T Integrandul ultimei expresii are urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti: dk(ǫk ) este lent variabil˘ a ˆın raport cu variabila ǫk ; dǫk – restul integrandului se comport˘ a la temperaturi joase ca o funct¸ie Dirac: 2 ǫk − µ f (ǫk ) ≈ 4(ǫk − µ)2 e−(ǫk −µ)/(kB T ) ∼ δ(ǫk − µ) , ǫk − µ T≈ &0 cosh2 2kB T
– funct¸ia k2 (ǫk )
adic˘ a este o funct¸ie cu un maxim foarte ascut¸it la ǫk = µ ¸si are valori neglijabile ˆın rest.
˘ FINITA ˘ 6.3. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK LA TEMPERATURA
39
ˆIn aceste condit¸ii se poate extrage ˆın exteriorul integralei funct¸ia lent variabil˘ a, calculat˘ a pentru valoarea maximului, astfel ˆıncˆ at rezult˘ a: 2 Z ∞ h ǫk − µ V dk(ǫk ) i ∂S 2 = dǫk . k (ǫ ) T k ∂ T V,µ 4π 2 kB T 2 dǫk ǫk =µ ǫ0 cosh2 ǫk − µ 2kB T ǫk − µ ˆIn integrala r˘ amas˘ a se face schimbarea de variabil˘ a ǫk → ξ = ¸si se observ˘ a c˘ a noua limit˘ a 2kB T ǫ0 − µ inferioar˘ a a integralei se poate aproxima astfel: ≈ −∞, deoarece ǫ0 < µ T =0 = ǫF ¸si T → 0; kB T ca urmare se obt¸ine: 2 Z ∞ Z ∞ Z ∞ 2 ǫk − µ ξ 2 dξ π2 ξ dξ 3 3 dǫ (2kB T )3 , ≈ (2k = BT ) k = (2kB T ) 2 2 ǫ − µ ǫ0 −µ cosh ξ k 6 2 cosh ξ ǫ0 cosh −∞ kB T 2kB T Z ∞ 2 π2 ξ dξ = . unde ultima egalitate s-a obt¸inut deoarece 2 6 −∞ cosh ξ Ca urmare a evalu˘ arii aproximative a integralei, derivata entropiei ˆın raport cu temperatura, ˆın condit¸ii grand-canonice ¸si la temperaturi joase, devine: h 1 dk(ǫk ) i ∂S 2 ; ≈ V kB k2 (ǫk ) ∂ T V,µ 3 dǫk ǫk =µ
din relat¸ia precedent˘ a se observ˘ a c˘ a derivata entropiei ˆın raport cu temperatura este independent˘ a de temperatur˘ a ¸si pe de alt˘ a parte entropia satisface condit¸ia S(T, V, µ) −→ 0, conform Principiului T →0
III al termodinamicii, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine rezultatul exprimat de relat¸ia (6.51).
Rezultatul anterior corespunde exprim˘ arii entropiei ˆın variabile grand-canonice (T, V, µ); totu¸si pentru corespondent¸a cu rezultatele experimentale, este necesar s˘a se obt¸in˘a expresia entropiei ˆın variabile canonice S(T, V, N ), ceea ce implic˘ a eliminarea potent¸ialului chimic prin num˘arul de particule: N (µ) → µ(N ). Pentru a realiza trecerea de la variabilele grand-canonice la variabilele canonice se iau ˆın considerare urm˘atoarele propriet˘ a¸ti ale gazului fermionic imperfect la temperaturi joase: • spectul de excitat¸ii la temperatura nul˘a este dat de relat¸ia (6.42): f∗HF (k, 0) , ǫk (0) = ǫk0 + ~ M
~2 k 2 ¸si transformata Fourier a self-energiei Hartree2m Fock la temperatura nul˘a este dat˘a de formula (6.44): Z o d3 q n f∗HF (k, 0) = 2 v e (0) ± v e (k − q) θ(kF − q) ; ~M 3 R3 (2π)
unde energia particulei libere este ǫk0 =
• energia Fermi este energia maxim˘ a a st˘arilor uni-particul˘a efective ocupate la temperatura nul˘a, astfel ˆıncˆ at este aceea¸si m˘arime, atˆat pentru sistemul fizic, cˆ at ¸si pentru sistemul fictiv, fiind exprimat˘ a de formula (6.45): Z o d3 q n ~2 kF2 2 v e (0) ± v e (k − q) θ(kF − q) ; + ǫF = ǫkF (0) = F 3 2m R3 (2π)
• deoarece spectrul energiilor pentru st˘arile uni-particul˘a efective este similar cu spectrul energiilor pentru st˘ arile uni-particul˘a libere (ambele sunt funct¸ii p˘ atratice ˆın raport cu vectorul de und˘a), se poate defini masa efectiv˘ a prin formula (6.34b) f∗ (k) 1 1 ∂ ǫk 1 1 ∂M HF = 2 = + , ∗ m ~ k ∂k m ~k ∂k
ceea ce echivaleaz˘ a gazul fermionic imperfect cu un gaz fermionic ideal fictiv;
40
CAPITOLUL 6. APROXIMAT ¸ IA HARTREE-FOCK • num˘ arul de particule ale sistemului se poate exprima ˆın termeni de vectorul de und˘a Fermi, la limita termodinamic˘ a, ˆın mod similar cu cazul gazului fermionic ideal: Z Z d3 k 2V k3 2V N = 2V n (0) = 4π F d3 k θ(kF − k) = k 3 3 3 (2π) R3 (2π) 3 R3 (2π) N 1/3 . =⇒ kF = 3π 2 V
Pe baza rezultatelor specificate anterior se obt¸ine urm˘atoarea transformare: h
k2
m∗ kF dk i kF2 k2 = = 2F = F 2 , dǫk dǫk ǫk =µ ~ ~ kF ∗ dk kF m
f∗ (k) 1 1 ∂M 1 HF = + este masa efectiv˘a pentru energia Fermi. ∗ mF m ~kF ∂k kF Datorit˘ a transform˘ arii precedente formula grand-canonic˘a a entropiei (6.51) devine expresia canonic˘a 2 V kB m∗F kF S(T, V, N ) ≈ T ; 3 ~2 T &0 unde
Rezultatul anterior se poate scrie ˆın mod echivalent prin utilizarea expresiei modulului vectorului 3π 2 de und˘a Fermi V = 3 N : kF S(T, V, N ) ≈ N T &0
π 2 2 m∗ 2 k T . 2 ~2 kF2 B
(6.52)
Observat¸ii ¸si consecint¸e: i. Entropia este proport¸ional˘ a cu temperatura (S ∼ T ); ca urmare capacitatea caloric˘ a isobar˘a este egal˘a cu entropia ∂S =S. (6.53) CV ≡ T ∂ T V,N ii. Entropia ¸si capacitatea caloric˘ a isocor˘ a pentru gazul fermionic imperfect la temperaturi joase au expresii formal identice cu expresiile corespondente pentru gazul ideal, dac˘a se efectueaz˘a substitut¸ia: m → m∗ . iii. M˘ arimile termodinamice ale gazului fermionic imperfect la temperaturi joase (adic˘a entropia, capacitatea caloric˘ a isocor˘ a, energia medie, sau potent¸ialul grand-canonic) sunt determinate numai de spectrul de excitat¸ii uni-particul˘a ale sistemului la temperatura nul˘a. Conform unei teoreme datorate lui Luttinger, rezultatul este valabil ˆın toate ordinele teoriei perturbat¸iilor. Explicat¸ie rezultatului Luttinger este datorat˘a propriet˘ a¸tii transformatei Fourier a self-energiei f∗ (k) de a fi independent˘ Hartree-Fock M a de frecvent ¸ ˘a; ca urmare, spectrul de excitat¸ii uniHF particul˘ a self-consistente are numai o deplasare uniform˘a fat¸˘a de spectrul particulelor libere.
Capitolul 7
Aproximat¸ia fazelor aleatoare 7.1
Sistemul electronic ˆın modelul “jellium”
A. Formularea modelului Se consider˘ a sistemul constituit din urm˘atoarele p˘ art¸i: • N electroni care au urm˘atoarele propriet˘ a¸ti intrinseci: – masa m, – num˘ arul cuantic de spin s = 1/2, – sarcina q = −e,
– prezint˘ a interact¸ii mutuale coulombiene.
• fond de sarcin˘a pozitiv˘ a uniform distribuit˘ a, care asigur˘a neutralitatea electric˘a ¸si care constituie o aproximare grosier˘a a ret¸elei ionice; • sistemul este plasat ˆıntr-o incint˘ a cubic˘a cu latura L, avˆand volumul V = L3 ; se va efectua trecerea la limit˘ a L → ∞ ˆın rezultatele finale, pentru a realiza limita termodinamic˘ a. Sistemul electronic are densitate mare, adic˘a este satisf˘acut˘a condit¸ia n≡
N > nd , V
unde nd este densitatea de degenerare pentru gazul fermionic ideal. Observat¸ii: modelul formulat anterior (numit ˆın mod uzual modelul jellium aproximeaz˘ a sistemul electroni de conduct¸ie + ret¸eaua ionic˘ a ˆın metale; totu¸si acest model este foarte simplificat, deoarece se neglijeaz˘ a: i. structura ¸si dinamica ret¸elei ionice (care este aproximat˘a ca un fond uniform ¸si inert), ii. interact¸iile electronice de spin (magnetice), iii. interact¸iile ˆıntre electroni ¸si ioni. B. Hamiltonianul efectiv 1. Exprimare init¸ial˘a ˆın Cuantificarea I, formularea Schr¨odinger ¸si reprezentarea coordonatelor (pentru a asigura corespondent¸a clasic˘a direct˘a): ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ H =H el + Hf + Hel−f ,
(7.1)
unde ˆ ˆ • H el este hamiltonianul electronic ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ el = Tˆ H el + Vel =
X N j=1
1,N
1 ˆ 2 1 X′ e2 ˆˆ1 ˆj + p r 2m 2 |rj − rl | j,l
41
⊗ ˆˆ1s ;
(7.2a)
42
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE ˆˆ a pozitiv˘ a, reprezentat prin energia de interact¸ie • H f este hamiltonianul fondului de sarcin˘ mutual˘a electrostatic˘ a a distribut¸iei de sarcin˘a cu densitatea ρ(r) = +e n(r): ˆ ˆf = 1 H 2
Z
d3 r
Z
d3 r′
V
V
ρ(r) ρ(r) ˆˆ 1r ⊗ ˆˆ1s ; |r − r′ |
(7.2b)
ˆˆ el−f este hamiltonianul interact¸iei dintre electroni ¸si fondul de sarcin˘a pozitiv˘ • H a: N
X ˆ ˆ el−f = H j=1
Z
d3 r
V
−e ρ(r) ˆˆ 1r ⊗ ˆˆ1s . |r − rj |
(7.2c)
Observat¸ii: • Fondul se sarcin˘a pozitiv˘ a este tratat ca un sistem clasic; mai mult, deoarece fondul de sarcin˘a este uniform, atunci densitatea sa de sarcin˘a este constant˘ a: ρ(r) = +e n. • Deoarece interact¸ia electrostatic˘a (coulombian˘ a) are raz˘ a lung˘ a de act¸iune, rezult˘a c˘ a termenii individuali ai hamiltonianului dau fiecare contribut¸ie divergent˘ a la limita termodinamic˘ a (N → ∞, V → ∞ dar N/V → n = constant); ca urmare, se ˆınlocuie¸ste interact¸ia coulonbian˘ a pur˘ a prin interact¸ia coulombian˘ a ecranat˘ a: qi qj qi qj −→ e−α|ri −rj | ; |ri − rj | |ri − rj |
α → 0 (ˆın final) ;
prezent¸a factorului de ecranare (α) asigur˘a sensul matematic pentru expresiile coulombiene ˆın etapele intermediare de calcul ¸si se obt¸ine o compensare explicit˘a a termenilor care ar deveni divergent¸i la limita termodinamic˘ a (aceast˘a proprietate este o consecint¸˘a a condit¸iei de neutralitate electric˘a). Metoda de trecere la limit˘ a se efectueaz˘a ˆın 2 etape: 1. se efectueaz˘ a limita termodinamic˘ a L → ∞, 2. se elimin˘ a ecranarea: α → 0.
• Datorit˘ a faptului c˘ a toate interact¸iile sunt independente de spin, se renunt¸˘a la evident¸ierea spat¸iului spinului (ceea ce implic˘ a omiterea operatorului unitate ˆˆ1s ˆın acest spat¸iu). Ca urmare a observat¸iilor anterioare, termenii hamiltonianului se rescriu astfel: 1,N
N
X 1 X′ e−α|rj −rl | ˆˆ ˆ ˆˆ 2 + 1 ˆ el (α) = p e2 H 1r , j 2m 2 |rj − rl | j=1 j,l Z Z ′ e−α|r−r | ˆˆ ˆ ˆ f (α) = 1 d3 r d3 r′ e2 n2 1r ≡ Ef (α) ˆˆ1r , H ′| 2 V |r − r V N Z X e−α|r−rj | ˆˆ ˆ ˆ el−f = d3 r (−e) e n H 1r ≡ Eel−f (α) ˆˆ1r . |r − r | j V j=1
(7.3a) (7.3b) (7.3c)
Termenii corespunz˘ atori fondului sunt operatori banali, iar p˘art¸ile lor non-operatoriale, Ef (α) ¸si Eel−f (α) se pot explicita prin efectuarea integralelor peste coordonatele de pozit¸ie ale fondului pozitiv. Pentru termenul Ef (α) se efectueaz˘a schimbarea de variabile (r, r′ ) → (R = r − r′ , r = r′ ), astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: Ef (α) =
1 2
Z
d3 r V
Z
V
′
d3 r′ e2 n2
e2 n2 e−α|r−r | = ′ |r − r | 2
Z
d3 r V
Z
V
d3 R
e−αR ; R
7.1. SISTEMUL ELECTRONIC ˆIN MODELUL “JELLIUM” Z
prima integral˘a este banal˘a:
43
d3 r = V , iar a doua integral˘a se efectueaz˘a ˆın coordonate V
sferice, deoarece integrandul depinde numai de modulul vectorului R (ˆın acest caz integralele peste variabilele unghiulare produc factorul 4π): Z Z Z ∞ e−αR e−αR e−αR 4π Γ(2) 3 3 d R d R dR R2 ≈ = 4π = 4π 2 = 2 , R R R α α 3 V R 0 unde Γ(2) = 1 este integrala Eulerian˘ a de specia II. Atunci, termenul Ef (α) are urm˘atoarea expresie: 4π e2 N 2 ; (7.4a) Ef (α) = 2 α2 V se observ˘ a c˘ a acest termen este divergent la limita anul˘arii parametrului de ecranare Ef (α) −→ ∞ , α→0 V datorit˘ a faptului c˘ a interact¸ia electrostatic˘a are raz˘ a lung˘ a de act¸iune. Termenul Eel−f (α) se trateaz˘ a ˆın mod asem˘ an˘ator termenului precedent: astfel integrala se efectueaz˘ a prin schimbarea de variabil˘ a r → R = r − r′ , urmat˘ a de extinderea integralei de la volumul V la ˆıntregul spat¸iu ¸si efectuarea integralei rezultante prin utilizarea coordonatelor sferice (deoarece integrandul depinde numai de modulul vectorului R: Eel−f (α) =
N Z X j=1
d3 r (−e) e n
V
N Z X e−α|r−rj | e−α|r−rj | = − e2 n d3 r |r − rj | |r − rj | j=1 V
= − e2 n = − e2
N Z X j=1
d3 R
R3
e−αR R
4π N N 2 ; V α
adic˘a Eel−f (α) are expresia
4π e2 N 2 . α2 V Din comparat¸ia rezultatelor (7.4a) ¸si (7.4b), se observ˘a c˘ a urm˘atoarea relat¸ie: Eel−f (α) = −
(7.4b)
Eel−f (α) = − 2Ef (α) ; ca urmare, cei doi termeni care implic˘ a contribut¸ia fondului pozitiv produc urm˘atorul rezultat total n o 2 2 ˆ ˆ ˆ el−f (α) = Ef (α) + Eel−f (α) ˆˆ1r = − 4π e N ˆˆ1r . ˆ f (α) + H H 2 2α V ˆIn concluzie, adunˆ and rezultatele precedente, se obt¸ine expresia hamiltonianului sistemului cu ecranare (Cuantificarea I, formularea Schr¨odinger, reprezentarea coordonatelor) N
1,N
X′ X 1 e−α|rj −rl | ˆˆ 4π e2 N 2 ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ 2 + 1 ˆ el−f (α) = ˆ f (α) + H ˆ el (α) + H e2 p 1r − 1r . (7.4c) H(α) =H j 2m 2 |rj − rl | 2 α2 V j=1 j,l
2. Exprimare ˆın Cuantificarea I, formularea Schr¨odinger dar ˆın mod abstract (f˘ ar˘a o reprezentare precizat˘ a) se obt¸ine din rezultatul precedent: ˆ ˆ el (α) + H ˆ f (α) + H ˆ el−f (α) = H(α) =H
1,N N X 1 2 1 X′ 2 e−α|ˆrj −ˆrl | 4π e2 N 2 ˆ ˆj + 1r p e − 2m 2 |ˆrj − ˆrl | 2 α2 V j=1 j,l
ˆ0 (α) , ≡ Tˆ + Vˆ (α) + U unde cei 3 termeni ai hamiltonianului precedent sunt:
(7.5)
44
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE • Tˆ =
N X 1 2 ˆ j este operatorul energie cinetic˘a a electronilor iar acesta este un operator p 2m j=1
de tip uni-particul˘ a; 1,N
1 X′ 2 e−α|ˆrj −ˆrl | e este operatorul hamiltonian corespunz˘ ator interact¸iei coulom• Vˆ (α) = 2 |ˆrj − ˆrl | j,l
biene ecranate dintre electroni, iar acesta este un operator bi-particul˘ a; 2
2
ˆ0 (α) = − 4π e N ˆ • U 1r ≡ U0 (α) ˆ1r este partea din hamiltonianul sistemului dependent˘ a de 2 α2 V fondul pozitiv, iar acesta este un operator banal (proport¸ional cu operatorul unitate). 3. Exprimare ˆın Cuantificarea II, formularea Schr¨odinger Baza de cuantificare este dat˘ a de st˘ arile uni-particul˘a libere, indiciate prin (k, σ): • funct¸ia de stare uni-articul˘a liber˘a este
eik·r ϕkσ (r, s) = √ χσ (s) ≡ r, s k, σ , V
• operatorii elementari pe starea (k, σ) sunt a ˆkσ ¸si a ˆ†kσ (operatori fermionici). Operatorul energie cinetic˘ a a electonilor, ˆın Cuantificarea II, se obt¸ine din formula general˘a (2.98a), adaptat˘ a la cazul prezent: XX
X ~2 k 2 † 1 2 ′ ′ † ˆ k , σ a k, σ p ˆkσ a ˆ k′ σ ′ = a ˆ a ˆkσ , QII 2m 2m kσ ′ ′
Tˆ =
k,σ k ,σ
(7.6)
k,σ
deoarece elementul de matrice al hamiltonianului cinetic uni-particul˘a ˆın baza uni-particul˘a liber˘a 1 2 ′ ′
~2 k 2 ˆ k , σ = δk,k′ δσ,σ′ p . (care este baza sa proprie) este k, σ 2m 2m
Operatorul energie potent¸ial˘a de interact¸ie coulombian˘ a ecranat˘a dintre electroni se obt¸ine din formula general˘ a (2.100), adaptat˘ a la cazul prezent: † 1 X X X X
ˆk2 σ2 , ˆ†k′ σ′ a ˆk1 σ1 a ˆk′2 σ2′ a Vˆ (α) = k1 σ1 ; k′1 σ1′ vˆα k2 σ2 ; k′2 σ2′ a 1 1 QII 2 ′ ′ ′ ′ k1 ,σ1 k1 ,σ1 k2 ,σ2 k2 ,σ2
unde vˆα este hamiltonianul bi-particul˘a corespunz˘ ator interact¸iei coulombiene ecranate: ′
vˆα = e2
e−α|ˆr−ˆr | . |ˆr − ˆr′ |
Deoarece operatorul vˆα este multiplicativ ˆın operatorii de pozit¸ie, fiind ˆın acela¸si timp independent de operatorii de impuls ¸si de spin, atunci rezult˘a c˘ a operatorul energie potent¸ial˘a de interact¸ie coulombian˘ a ecranat˘a dintre electroni se exprim˘ a mai simplu conform relat¸iei (2.107c), adaptat˘ a la situat¸ia prezent˘ a: 1 X X Vˆ (α) = ˆk−q σ , veα (q) a ˆ†k σ a ˆ†k′ σ′ a ˆk′ +q σ′ a 2V ′ ′
(7.7a)
k,k ,q σ,σ
unde veα (q) este transformata Fourier a potent¸ialului coulombian ecranat vα (r) = e2 arat˘a prin calcul direct c˘ a veα (q) are urm˘atoarea expresie: veα (q) =
4π e2 . + α2
q2
e−αr . Se r
7.1. SISTEMUL ELECTRONIC ˆIN MODELUL “JELLIUM”
45
Demonstrat¸ie: Transformata Fourier spat¸ial˘ a se efectueaz˘ a ˆın coordonate sferice, alegˆ and axa polar˘ a paralel˘ a cu vectorul q, iar apoi notˆ and u = cos θ: Z ∞ Z π Z Z 2π e−αr veα (q) = d3 r e−iq·r v(r) = e2 dr r 2 dθ sin θ dϕ e−iqr cos θ r R3 0 0 0 Z ∞ Z 1 = e2 2π dr r e−αr du e−iqru 0 −1 Z ∞ 1 −iqr e − eiqr = 2π e2 dr r e−αr −iqr 0 2 Z ∞ 2π i e = dr e(−α−iq)r − e(−α+iq)r q 0 4π e2 1 2π i e2 1 = 2 − . = q α + iq α − iq q + α2
ˆIn expresia (7.7a) se separ˘ a termenii corespunz˘ atori transferului de impuls nul (q = 0) de restul termenilor care implic˘ a transferuri de impulsuri nenule (q 6= 0): Vˆ (α) = Vˆ 0 (α) + Vˆ ′ (α) .
(7.7b)
unde Vˆ 0 (α) corespunde la q = 0 1 XX Vˆ 0 (α) = veα (0) a ˆ†k σ a ˆ†k′ σ′ a ˆk σ , ˆ k′ σ ′ a 2V ′ ′ k,k σ,σ
iar Vˆ ′ (α) corespunde la q 6= 0:
1 X X′ X Vˆ ′ (α) = veα (q) a ˆ†k σ a ˆ†k′ σ′ a ˆk′ +q σ′ a ˆk−q σ . 2V ′ ′ q k,k
(7.7c)
σ,σ
ˆIn termenul Vˆ 0 (α) se comut˘a operatorul elementar a ˆ†k′ σ′ ; ˆk σ la stˆanga peste operatorii a ˆk′ σ′ ¸si a atunci, prin utilizarea relat¸iilor de anti-comutare (2.77), rezult˘a egalit˘a¸tile urm˘atoare: ˆk σ = − ˆa†k σ a ˆ†k′ σ′ a ˆk σ a ˆ k′ σ ′ a ˆ†k σ a ˆ†k′ σ′ a ˆ k′ σ ′ a
ˆk σ a ˆ†k′ σ′ a ˆ k′ σ ′ = − ˆa†k σ δk,k′ δσ,σ′ ˆ1 − a
ˆ†k σ a ˆk σ + a ˆ†k σ a ˆk σ · a ˆ†k′ σ′ a = − δk,k′ δσ,σ′ a ˆ k′ σ ′ ′ ′ ′ ′ ˆk σ + n ˆk σ n ˆk σ ; = − δk,k δσ,σ n ˆ: ca urmare, Vˆ 0 (α) se exprim˘ a ˆın termeni de operatorul num˘ar de particule N o n X X X 1 veα (0) − n ˆk σ + n ˆk σ n ˆ k′ σ ′ Vˆ 0 (α) = 2V ′ ′ k,σ
k,σ
k ,σ
1 4π e2 ˆ +N ˆ2 . = −N 2 2V α
(7.7d)
Pe baza rezultatelor precedente se obt¸ine expresia hamiltonianului pentru sistemul cu interact¸ii coulombiene ecranate ˆın Cuantificarea II ˆ ˆ0 (α) H(α) = Tˆ + Vˆ (α) + U QII
=
X ~2 k 2 † 1 X X′ X 4π e2 † ′ a a ˆ a ˆ† ˆk−q σ a ˆ ′ a ˆkσ a ˆkσ + 2 + α2 k σ k′ σ′ k +q σ 2m 2V q ′ ′ q k,k
k,σ
σ,σ
ˆ2 − N ˆ 4π e N 4π e2 N 2 ˆ + 1. − 2 2α V 2 α2 V 2
(7.8)
Sistemul electronic cont¸ine un num˘ar de particule N = constant (din punct de vedere fizic); ca urmare, este necesar s˘a se restrˆang˘a spat¸iul Fock la spat¸iul Hilbert cu N particule, adic˘a HN .
46
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
Atunci, efectuˆand aceast˘a restrict¸ie, operatorul num˘ar de particule devine un operator banal: ˆ =Nˆ N 1 (ˆın HN ). Ca urmare, restrict¸ia operatorului hamiltonian la spat¸iul Hilbert HN este: X ~2 k 2 † 1 X X′ X 4π e2 ˆ ′ a a ˆ† a ˆ† a ˆ ′ ˆk−q σ a ˆkσ a ˆkσ + H(α) = 2 + α2 k σ k′ σ′ k +q σ 2m 2V q HN ′ ′ q σ,σ k,k k,σ {z } | {z } | = Tˆ 2
+
ˆ ′ (α) =V
2
2
2
4π e N − N ˆ 4π e N ˆ 1− 1 2 V 2 α2 V } |2 α {z =−
= Tˆ + Vˆ ′ (α) −
4π e2 N 2 α2 V
ˆ 1
4π e2 N ˆ 1. 2 α2 V
Se efectueaz˘ a trecerea la limit˘ a termodinamic˘ a (pentru o constant˘ a de ecranare α finit˘a)1 ; atunci se consider˘ a limita ˆ H(α) Tˆ + Vˆ ′ (α) 4π e2 N ˆ Tˆ + Vˆ ′ (α) (7.9) = − 1 −→ ; V V 2 α2 V 2 V →∞ V LT
se observ˘ a c˘ a la limita termodinamic˘ a dispare termenul banal, care devenea divergent la limita ecran˘arii nule, astfel ˆıncˆ at r˘amˆ an numai termenii finit¸i pentru limita α → 0. Dup˘a efectuarea limitei termodinamice se face trecerea la limita nul˘a a ecran˘arii electrostatice (α → 0); ca urmare, hamiltoniamul sistemului este constituit numai din termenul cinetic ¸si din termenul interact¸iei coulombiene cu transfer de impuls nenul: ˆ = Tˆ + Vˆ ′ , H
(7.10)
unde Tˆ =
X
ε0k a ˆ†kσ a ˆkσ ,
ε0k =
k,σ
1 X X′ X Vˆ ′ = ve(q) a ˆ†k σ a ˆ†k′ σ′ a ˆk′ +q σ′ a ˆk−q σ , 2V ′ ′ q k,k
σ,σ
ve(q) =
~2 k 2 , 2m
(7.11a)
4π e2 . q2
(7.11b)
Concluzie: i. S-a justificat utilizarea artificil˘ a a potent¸ialului coulombian ecranat, deoarece se obt¸in expresii bine definite (din punct de vedere matematic) ˆın toate etapele intermediare de calcul, iar ˆın final, dup˘a efectuarea limitei termodinamice, dispar toate divergent¸ele datorate caracterului interact¸iei coulombiene de a avea raz˘ a lung˘ a de act¸iune; dup˘a efectuarea limitei termodinamice se poate efectua limita ecran˘ arii electrostatice nule, pentru a reveni la sistemul fizic. ii. Condit¸ia de neutralitate electric˘a (care implic˘ a introducerea fondului de sarcin˘a pozitiv˘ a) conduce la anihilarea reciproc˘ a a termenilor interact¸iei coulombiene dintre electroni cu transfer de impuls nul (q = 0), ˆımpreun˘ a cu interact¸iile electrostatice dintre electroni ¸si fondul de sarcin˘a pozitiv˘ a, precum ¸si interact¸ia mutual˘a electrostatic˘a a acestui fond pozitiv; ca urmare, hamiltonianul sistemului se reduce la hamiltonianul electronic, care nu cont¸ine termeni q = 0. ˆIn consecint¸˘ a, ˆın analiza diagramatic˘ a care reprezint˘ a seria de perturbat¸ie nu apar diagrame care s˘a cont¸in˘a linii de interact¸ie cu impuls nul. iii. Deoarece interact¸ia coulombian˘ a are raz˘ a lung˘ a de act¸iune, rezult˘a urm˘atoarele particularit˘a¸ti ale seriei de perturbat¸ie pentru m˘arimile fizice: • analiza diagramatic˘ a de ordin inferior (n ≤ 2) este insuficient˘ a ¸si ˆın plus apar m˘arimi divergente; • aproximat¸ia Hartree-Fock conduce la rezultate nefizice; • este necesar s˘a se includ˘ a ˆın seria de perturbat¸ie o clas˘a (de ordin infinit) de diagrame dominante, pentru a obt¸ine aproximat¸ii satisf˘ac˘atoare. 1 Limita termodinamic˘ a implic˘ a cre¸sterea concertat˘ a a tuturor m˘ arimilor extensive ale sistemului, cu condit¸ia ˆ ca rapoartele lor s˘ a r˘ amˆ an˘ a constante; ca urmare, ˆın cazul prezent N , V ¸si H(α) tind la valori infinite astfel ˆıncˆ at ˆ raportul H(α)/V are relevant¸˘ a termodinamic˘ a, fiind considerat densitatea volumic˘ a de hamiltonian.
˘ EFECTIVA ˘ ˆIN APROXIMAT 7.2. INTERACT ¸ IA COULOMBIANA ¸ IA RPA
7.2
47
Interact¸ia coulombian˘ a efectiv˘ a ˆın aproximat¸ia RPA
A. Introducere aproximat¸iei RPA prin self-energie Dup˘ a cum s-a dedus anterior, termenii de perturbat¸ie nu cont¸in diagrame cu linii de interact¸ie care au impuls nul; ca urmare. se vor estima termenii care contribuie ˆın fiecare ordin al teoriei perturbat¸iilor la transformata Fourier a self-energiei proprii pentru a obt¸ine contribut¸iile dominante, luˆand ˆın considerare diagramele corespondente permise (pentru modelul jellium). Pentru primele 2 ordine ale teoriei perturbat¸iilor diagramele irreductibile au fost prezentate la pagina 192, din volumul 1, Capitolul 3. Ordinul 1:
exist˘a a priori 2 diagrame (de interact¸ie direct˘a ¸si de interact¸ie de schimb). ;
a) Termenul corespunz˘ ator interact¸iei directe are diagrama
se observ˘ a c˘ a linia de interact¸ie implic˘ a un impuls nul, astfel ˆıncˆ at acest termen trebuie exclus. b) Termenul corespunz˘ ator interact¸iei de schimb are diagrama ilustrat˘a ˆın dreapta; prin utilizarea regulilor de corespondent¸˘a analitic˘a, se obt¸ine expresia contribut¸iei de ordinul 1 la transformata Fourier a self-energiei proprii f∗(1) (k, ω) = M f∗(1s) (k, ω) M Z ∞ Z i dω ′ iω′ η e0 ′ ′ d3 k′ ′ = v e (k − k ) e G (k , ω ) . ~ R3 (2π)3 −∞ 2π Integrala dup˘a frecvent¸˘ a se calculeaz˘a cu ajutorul formulei (3.119): Z ∞ dω ′ iω′ η e0 ′ ′ e G (k , ω ) = i θ(kF − k ′ ) , 2π −∞
k k′
(7.12)
k − k′ k
iar apoi se efectueaz˘ a schimbarea de variabil˘ a k′ → q = k − k′ ¸si se efectueaz˘a integrala tripl˘ a ˆın coordonate sferice, astfel ˆıncˆ at rezult˘a: Z d3 k′ f∗(1) (k, ω) = i M ve(k − k′ ) i θ(kF − k ′ ) ~ R3 (2π)3 Z −1 d3 q θ kf − |k − q| ve(q) = 3 ~ R3 (2π) Z Z π Z 2π p −1 4π e2 ∞ 1 2 2 = dq q dθ sin θ dϕ 2 θ kF − k 2 + q 2 − 2kq cos θ 3 ~ (2π) 0 q 0 0 Z ∞ Z 1 2 p −1 4π e du θ kF − k 2 + q 2 − 2kqu , dq (2π) = ~ (2π)3 −1 0
unde ultima egalitate s-a obt¸inut prin schimbarea de variabil˘ a cos η = u ¸si faptului c˘ a integrandul este independent de unghiul azimutal ϕ, ceea ce produce integrala banal˘a egal˘a cu 2π. Se 1 observ˘ a c˘ a integrala r˘amas˘ a este finit˘ a, deoarece factorul posibil divergent 2 , care provine de la q 4π e2 transformata Fourier a potent¸ialului coulombian e v (q) = , este simplificat de c˘ atre m˘asura q2 de integrare d3 q = q 2 dq sin θdθ dϕ. ˆIn concluzie, contribut¸ia perturbat¸ional˘ a de ordinul 1 la transformata Fourier a self-energiei proprii este dat˘a numai de termenul de schimb ¸si este finit˘a. Ordinul 2: exist˘a a priori 6 diagrame irreductibile, dintre care 3 diagrame cont¸in linii de interact¸ie cu impuls nul ¸si celelalte 3 diagrame cont¸in linii de interact¸ie cu impulsuri nenule. a) Cele 3 diagrame cu liniile de interact¸ie de impuls nul sunt ilustrate ˆın figurile de mai jos:
48
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
Conform discut¸ie din sect¸iunea precedent˘ a, aceste 3 diagrame trebuie excluse pentru modelul jellium. b) Diagramele care nu cont¸in linii de interact¸ie cu impuls nul sunt ilustrate mai jos: k k k q k−p k−q
k−p
p q
p k−q−p k−q
k−p p
q k−q−p
k−q
q k k k ¸si ace¸stia sunt singurii termeni care au contribut¸ie ˆın ordinul 2; atunci transformata Fourier a self-energiei ˆın ordinul 2 este obt¸inut˘a prin adunarea contribut¸iilor celor 3 diagrame precedente: f∗(2) (k, ω) = M f(2r) (k, ω) + M f(2b) (k, ω) + M f(2c) (k, ω) . M
(7.13)
Observat¸ie: f∗(2) (k, ω) sunt, ˆın mod formal, de acela¸si ordin fat¸˘a de constanta de Cele 3 contribut¸ii la M 2 cuplaj e ; totu¸si posibilele divergent¸e produse de potent¸ialul coulombian conduce la diferent¸e considerabile de m˘arime ˆıntre termenii divergent¸i ¸si cei finit¸i. De aceea este necesar s˘a se evalueze pentru fiecare dintre cei 3 termeni specificat¸i anterior dac˘a sunt finit¸i, sau diverg. Pentru detectarea caracterului finit sau divergent al unui termen se iau ˆın considerare urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: • transformata Fourier a potent¸ialului coulombian este independent˘ a de frecvent¸˘a ¸si este 4π e2 ; invers proport¸ional˘ a cu p˘ atratul vectorului de und˘a: ve(q) = q2 • transformata Fourier a funct¸iei Green libere are expresia (3.70), adic˘a e 0 (k, ω) = G
1 1 = . ω − ωk + i η θ(k − kF ) ω − ωk ± i η
Ca urmare, integralele dup˘a frecvent¸e ale produselor de transformate Fourier de funct¸ii Green libere sunt funct¸ii lent variabile de impulsuri ¸si nu sunt divergente; totu¸si, integralele dup˘a impulsuri (vectori de und˘a) pot cont¸ine divergent¸e, produse de transformata Fourier a potent¸ialului de interact¸ie. b1) Contribut¸ia diagramei din stˆ anga, numit˘a diagrama inelar˘ a de ordinul 2 se obt¸ine prin transpunerea analitic˘a direct˘a a elementelor diagramei: Z Z i 2 2 0 d4 q d4 p (2r) e (k − q) G e0 (p) G e0 (p + q) f (−2) ve(q) G M (k, ω) = 4 4 ~ R4 (2π) R4 (2π) Z Z 2 d3 p d3 q 2 = 2 v e (q) 3 ~ R3 (2π)3 R3 (2π) Z ∞ ′ Z ∞ ′′ dω dω e 0 e 0 (p, ω ′′ ) G e0 (p + q, ω ′′ + ω ′ ) ; × G (k − q, ω − ω ′ ) G 2π −∞ −∞ 2π
integrala dubl˘ a dup˘a frecvent¸e a produsului celor 3 transformate Fourier de funct¸ii Green libere este o m˘arime finit˘a: Z Z ∞ dω ′ ∞ dω ′′ e 0 e 0 (p, ω ′′ ) G e0 (p + q, ω ′′ + ω ′ ) ≡ J2r (p, q; k, ω) , G (k + q, ω − ω ′ ) G 2π 2π −∞ −∞ astfel ˆıncˆ at termenul inelar de ordinul 2 devine Z 2 2 Z 1 3 f(2r) (k, ω) = 2 (4π e ) d q d3 p J2r (p, q; k, ω) . M ~2 (2π)6 R3 q 4 R3
˘ EFECTIVA ˘ ˆIN APROXIMAT 7.2. INTERACT ¸ IA COULOMBIANA ¸ IA RPA
49
Integrala dup˘a variabila p nu produce divergent¸e, astfel ˆıncˆ at numai integrala dup˘a variabila q trebuie s˘a fie explicitat˘a; se utilizeaz˘a coordonatele sferice ¸si se noteaz˘ a integr˘arile peste variabilele unghiulare prin Z Z π Z 2π 2 d Ωq . . . = dθ sin θ dϕ . . . 4π
0
0
astfel ˆıncˆ at rezult˘a Z Z Z 2 (4π e2 )2 ∞ (2r) 2 2 1 f M (k, ω) = 2 d Ωq dq q 4 d3 p J2r (p, q; k, ω) ~ (2π)6 0 q 4π R3 Z 2 (4π e2 )2 ∞ 1 (7.14a) = 2 dq 2 F2r (q; k, ω) , 6 ~ (2π) q 0 Z Z 2 d Ωq unde F2r (q; k, ω) ≡ d3 p J2r (p, q; k, ω) este finit˘a; rezultatul anterior arat˘a c˘ a in4π
R3
tegrandul la valori mici ale impulsului se comport˘ a divergent (invers proport¸ional cu p˘ atratul (2r) f impulsului), ceea ce implic˘ a divergent¸a infra-ro¸sie a termenului inelar: M (k, ω) este divergent˘ a. b2) Contribut¸ia diagramei centrale, care este o diagram˘ a de schimb, se obt¸ine ˆın mod similar cu precedenta: i 2 Z
Z d4 q d4 p e0 (k − q) G e 0 (k − q − p) G e0 (k − p) ve(q) ve(p)G 4 4 ~ R4 (2π) R4 (2π) Z ∞ Z Z Z −1 dω ′ ∞ dω ′′ d3 q d3 p = 2 v e (q) v e (p) ~ R3 (2π)3 R3 (2π)3 −∞ 2π −∞ 2π 0 ′ e0 e e0 (k − p, ω − ω ′′ ) ; (7.14b) × G (k − q, ω − ω ) G (k − q − p, ω − ω ′ − ω ′′ ) G
f(2b) (k, ω) = M
la fel ca ˆın cazul anterior, integralele dup˘a frecvent¸e produc o funct¸ie finit˘a Z
∞
dω ′ −∞ 2π
Z
∞
dω ′′ e 0 e0 (k−q−p, ω −ω ′ −ω ′′ ) G e 0 (k−p, ω −ω ′′ ) ≡ J2b (p, q; k, ω) . G (k−q, ω −ω ′ ) G −∞ 2π
ˆIn cazul prezent este necesar s˘a se expliciteze ˆın coordonate sferice ambele integrale dup˘a impulf(2b) (k, ω) devine: suri, astfel ˆıncˆ at termenul M f(2b) (k, ω) = −1 M ~2 −1 = 2 ~
Z Z ∞ Z Z (4π e2 )2 ∞ 2 2 1 2 1 d Ω dq q dp p d2 Ωp J2b (p, q; k, ω) q (2π)6 0 q2 0 p2 4π 4π Z ∞ Z (4π e2 )2 ∞ dp F2b (q, p; k, ω) , (7.14c) dq (2π)6 0 0
R R a unde F2b (q, p; k, ω) ≡ 4π d2 Ωq 4π d2 Ωp J2b (p, q; k, ω) este finit˘a; rezultatul precedent arat˘a c˘ (2b) f termenul M (k, ω) este finit (deci nedivergent). b3) Contribut¸ia diagramei din dreapta, care este, de asemenea, o diagram˘ a de schimb, se obt¸ine ˆın mod similar cu precedenta: i 2 Z
Z d4 q d4 p e0 (k − q) G e0 (k − q − p) G e 0 (k − q) ei(ω−ω′ −ω′′ )η ve(q) ve(p)G 4 4 ~ R4 (2π) R4 (2π) Z ∞ Z Z Z −1 dω ′ ∞ dω ′′ d3 q d3 p v e (q) v e (p) = 2 ~ R3 (2π)3 R3 (2π)3 −∞ 2π −∞ 2π 0 2 0 ′ i(ω−ω ′ −ω ′′ )η e (k − q, ω − ω ) G e (k − q − p, ω − ω ′ − ω ′′ ) ; G (7.14d) ×e
f(2c) (k, ω) = M
la fel ca ˆın cazul anterior, integralele dup˘a frecvent¸e produc o funct¸ie finit˘a Z
∞
dω ′ −∞ 2π
Z
∞
2 0 dω ′′ i(ω−ω′ −ω′′ )η e 0 e (k− q− p, ω − ω ′ − ω ′′ ) ≡ J2c (p, q; k, ω) . G (k− q, ω − ω ′ ) G e −∞ 2π
50
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
ˆIn cazul prezent este necesar s˘a se expliciteze ˆın coordonate sferice ambele integrale dup˘a impulsuri f(2c) (k, ω) devine: (la fel ca ˆın cazul precedent), astfel ˆıncˆ at termenul M f(2c) (k, ω) = −1 M ~2 −1 = 2 ~
Z Z ∞ Z Z (4π e2 )2 ∞ 2 2 1 2 1 d Ω dq q dp p d2 Ωp J2c (p, q; k, ω) q (2π)6 0 q2 0 p2 4π 4π Z ∞ Z (4π e2 )2 ∞ dp F2c (q, p; k, ω) , (7.14e) dq (2π)6 0 0
R R a unde F2c (q, p; k, ω) ≡ 4π d2 Ωq 4π d2 Ωp J2c (p, q; k, ω) este finit˘a; rezultatul precedent arat˘a c˘ f(2c) (k, ω) este finit (deci nedivergent), la fel ca ¸si termenul precedent. termenul M ˆIn concluzie, pentru termenii de ordinul 2: f(2r) este divergent, datorit˘ i. M a prezent¸ei termenului ve2 (q); (2b) (2c) f f ii. M ¸si M sunt finite, datorit˘a prezent¸ei termenului e v (q) ve(p). (2r) f Se observ˘ a c˘ a sursa divergent¸ei ˆın M este faptul c˘ a ambele linii de interact¸ie au acela¸si transfer de impuls (q). Ordinul 3: exist˘a o singur˘a diagram˘ a care are toate cele 3 linii de interact¸ie cu acela¸si transfer de impuls (q), anume diagrama inelar˘ a de ordinul 3, reprezentat˘ a ˆın figura de mai jos k q p′ + q k−q
f(3r) (k, ω) = M
p′
q p+q
p
q k f(2r) (k, ω), rePrin utilizarea unei metode similare cu cea realizat˘a la estimare termenului M zult˘a c˘ a diagrama prezent˘ a are urm˘atoarea comportare: Z Z 1 3 d3 p′ J3r (q, p, p′ ; k, ω) d q 6 d p ~ (2π)12 q R3 R3 R3 i 3 (−2)(4π e2 )3 Z ∞ 1 dq 4 F3f (q; k, ω) , = ~ (2π)12 q 0
f(3r) (k, ω) = M
i 3 (−2)(4π e2 )3 Z
3
unde J3r (q, p, p′ ; k, ω) ¸si F3r (q; k, ω) sunt funct¸ii finite (nedivergente). 2 f(3r) (k, ω), integrandul la valori mici ale Ca urmare, pentru termenul inelar de ordinul 3, M 1 impulsului este proport¸ional cu 4 , deci acest termen este divergent. q Toate celelalte diagrame de ordinul 3 care contribuie la self-energia proprie pentru modelul jellium corespund fie la termeni convergent¸i, fie la termeni mai slab divergent¸i decˆat termenul inelar; adic˘a tot¸i ace¸sti termeni au comport˘ ari de tipul f(3j) (k, ω) ∼ M
Z
0
∞
dq
1 F3j (q; k, ω) , q 2l
l = 0, 1 &
F3j (q; k, ω) = finit .
Ca urmare, termenul dominant pentru ordinul 3 este termenul inelar, fiind cel mai divergent dintre tot¸i termenii de ordinul 3. 2 Se observ˘ a c˘ a J3r (q, p, p′ ; k, ω) este rezultatul integr˘ arilor peste frecvent¸e al produsului celor 5 transformate Fourier de funct¸ii Green libere, iar F3f (q; k, ω) este Z Z Z d3 p′ J3r (q, p, p′ ; k, ω) . d3 p d2 Ωq F3r (q; k, ω) = 4π
R3
R3
˘ EFECTIVA ˘ ˆIN APROXIMAT 7.2. INTERACT ¸ IA COULOMBIANA ¸ IA RPA
51
Ordinul n: exist˘a o singur˘a diagram˘ a care are toate cele n linii de interact¸ie cu acela¸si transfer de impuls (q), anume diagrama inelar˘ a de ordinul n, care este ilustrat˘a ˆın figura urm˘atoare: k q
q q f(nr) (k, ω) = M
k−q
q q
q k ˆIn mod analog cu cazurile anterioare, se arat˘a c˘ a acest termen are comportarea de urm˘atorul tip: Z ∞ 1 f(nr) (k, ω) ∼ Fnr (q; k, ω) = finit . M dq 2(n−1) Fnr (q; k, ω) , q 0
Ca urmare, termenul inelar de ordinul n (pentru transformata Fourier a self-energiei) are o divergent¸˘ a infra-ro¸sie (care se produce la limita valorilor mici ale vectorului de und˘a ˆın raport cu care se efectueaz˘ a integrarea) de tipul q −2(n−1) . Tot¸i ceilalt¸i termeni (de ordinul n) sunt fie convergent¸i, fie mai slab divergent¸i (adic˘a au divergent¸e infra-ro¸sii de tipul q −m , unde m < 2(n − 1)); ca urmare termenul inelar este termenul dominant pentru ordinul al teoriei perturbat¸iilor.
Concluzie (pentru seria de perturbat¸ie a transformatei Fourier a self-energiei proprii): ˆın fiecare ordin al teoriei perturbat¸iilor, termenul repezentat de diagrama inelar˘a este termenul dominant, avˆand divergent¸a maxim˘ a. B. Aproximat¸ia fazelor aleatoare (RPA) Conform estim˘arii efectuate anterior pentru termenii de perturbat¸ie a transformatei Fourier a self-energiei proprii, rezult˘a c˘ a o aproximat¸ie rezonabil˘a (care ia ˆın considerare termenii dominant¸i ¸si neglijeaz˘ a restul termenilor) este urm˘atoarea: Se consider˘ a numai termenii inelari ˆın toate ordinele teoriei perturbat¸iilor. Aceast˘a aproximat¸ie este numit˘ a aproximat¸ia fazelor aleatoare (ˆın limba englez˘ a este numit˘a Random Phase Approximation, ceea ce explic˘a prescurtare utilizat˘a ˆın mod uzual: RPA). Conform prezent˘ arii f˘ acute, aceast˘a aproximat¸ie s-ar putea denumi aproximat¸ia inelar˘ a (ˆın englez˘ a termenul este ring approximation). Aproximat¸ia fazelor aleatoare a fost propus˘ a de c˘ atre Bohm ¸si Pines ˆınainte de elaborarea teoriei many-body ¸si a implicat alte considerat¸ii asupra trat˘arii interact¸iei coulombiene ˆın modelul jelium; anume, considerˆ and excitat¸iile colective ale gazului electronic, s-a evident¸iat caracterul dominant al modului colectiv ˆın care se consider˘ a fazele de oscilat¸ie ca fiind aleatoare. Ulterior s-au obt¸inut rezultatele fizice ale aproximat¸iei fazelor aleatoare prin metodele teoriei many-body, utilizˆand aproximat¸ia inelar˘a (ring approximat¸ion); acesta este motivul pentru care aproximat¸ia inelar˘a este denumit˘a ˆın mod curent aproximat¸ia fazelor aleatoare (RPA); altfel spus, aproximat¸ia fazelor aleatoare (ˆın sensul Bohm-Pines) ¸si aproximat¸ia inelar˘a (introdus˘ a prin argumente diagramatice) au motivat¸ii aparent diferite, dar conduc la rezultate identice. Dac˘ a se adun˘ a numai termenii inelari, ˆın toate ordinele teoriei perturbat¸iei (n ≥ 2), atunci se obt¸ine a¸sa numita self-energie inelar˘ a, a c˘ arei transformat˘a Fourier este f∗(r) (k, ω) = M
∞ X
n=2
f(nr) (k, ω) ; M
52
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
rezultatul precedent are urm˘atoarea reprezentare diagramatic˘ a:
=
RPA
+
+ ...
+
Se observ˘ a c˘ a termenii inelari implic˘ a cel put¸in 2 linii de interact¸ie, ceea ce corespunde la termeni perturbativi cu ordinul cel put¸in 2; deoarece termenul de ordinul 1 la self-energie nu este inclus ˆın self-energia inelar˘a, atunci self-energia proprie ˆın aproximat¸ia RPA este egal˘a cu suma dintre f(1s) (k, ω) ¸si self-energia inelar˘a self-energia de ordinul 1 corespunz˘ atoare interact¸iei de schimb M ∗(r) f M (k, ω) : f∗ (k, ω) ≈ M f(1s) (k, ω) + M f∗(r) (k, ω) ; M
(7.15a)
RPA
reprezentarea diagramatic˘ a a relat¸iei precedente este ilustrat˘a ˆın figura urm˘atoare k
k
+
≈
RPA
+ ... ≡ k − q
+
k
q
k
Din diagrama precedent˘ a se observ˘a c˘ a self-energia ˆın aproximat¸ia RPA se poate exprima ˆın mod echivalent prin aproximat¸ia RPA pentru interat¸ia efectiv˘a f∗ (k) ≈ M
RPA
Z
d4 q i e e0 (k − q) , V RPA (q) G 4 R4 (2π) ~
(7.15b)
e RPA (q), este suma tuturor termenilor cont¸inˆand unde interact¸ia efectiv˘ a ˆın aproximat¸ia RPA, V ˆın¸siruiri de polariz˘ arilor de ordinul 0, legate prin linii de interact¸ie cu acela¸si transfer de impuls q, a¸sa cum este ilustrat ˆın figura urm˘atoare: q q q
≈
RPA
q
+
q
+
+ ...
q q Pe de alt˘ a parte, definit¸ia general˘ a a transformatei Fourier a interact¸iei efective, rezultat˘ a din aplicarea iterativ˘ a ˆın ordin infinit a ecuat¸iei Dyson (3.138), implic˘ a urm˘atoarea reprezentare
˘ EFECTIVA ˘ ˆIN APROXIMAT 7.2. INTERACT ¸ IA COULOMBIANA ¸ IA RPA
53
diagramatic˘ a: q q q
≈
q
RPA
+
q
+
+ ...
q q Atunci, prin compararea ultimelor dou˘a figuri, care ilustreaz˘ a reprezentarea diagramatic˘ aa transformatei Fourier a interact¸iei efective ˆın aproximat¸ia RPA, rezult˘a c˘ a ˆın aceast˘a aproximat¸ie polarizarea proprie este egal˘a cu polarizarea de ordinul 0: e ∗ (q, ω) ≈ Π e 0 (q, ω) . Π RPA
(7.16)
Pe baza rezultatului precedent se obt¸ine expresia interact¸iei efective ˆın aproximat¸ia RPA, ca solut¸ie a ecuat¸iei Dyson, conform relat¸iei generale (3.142) e RPA (q, ω) = V
ve(q) ve(q) = ; ∗ e e 0 (q, ω) 1−e v (q) Π 1 − ve(q) Π RPA (q, ω)
(7.17)
deoarece interact¸ia efectiv˘ a se poate exprima ˆın termeni de funct¸ie dielectric˘a generalizat˘a, conform definit¸iei (3.140) ˆın varianta scalar˘a e RPA (q, ω) = V
1 ve(q) , κ e(r) (q, ω)
rezult˘a funct¸ia dielectric˘a generalizat˘a ˆın aproximat¸ia RPA, ˆın acord cu formula general˘a (3.143): e 0 (q, ω) . κ e(r) (q, ω) = 1 − ve(q) Π
(7.18)
Observat¸ii asupra expresiei transformatei Fourier a interact¸iei efective ˆın aproximat¸ia RPA: 4π e2 are o q2 3 singularitate la limita impulsului nul (singularitate infra-ro¸sie) ¸si este independent˘ a de frecvent¸˘ a; deoarece transformata Fourier a polariz˘arii de ordinul 0 depinde de frecvent¸˘a, rezult˘a c˘ a ¸si transformata Fourier a potent¸ialului de interact¸ie efectiv˘a ˆın aproximat¸ia RPA e RPA (q, ω) depinde de frecvent¸˘a ¸si posibilele sale sigularit˘ V a¸ti sunt mai slabe decˆat ˆın cazul potent¸ialului coulombian pur.
• Transformata Fourier a potent¸ialului de interact¸ie coulombian˘ a pur˘a ve(q) =
• Rezultatul aproximat¸iei RPA (aproximat¸ia inelar˘a) este ret¸inerea numai a diagramelor dominante ˆın fiecare ordin al teoriei perturbat¸iilor, astfel ˆıncˆ at toate liniile de interact¸ie au acela¸si 4-impuls q = (q, ω) , ceea ce se poate interpreta ca o necorelare ˆıntre impulsuri; aceast˘a proprietate se reg˘ ase¸ste ˆın hipoteza fazelor aleatoare, introdus˘a anterior de Bohm ¸si Pines. e 0 (q, ω), a fost calculat˘ Transformata Fourier a polariz˘ arii de ordinul 0, Π a ˆın Subsect¸iunea 3.4.3 0 0 0 e (q, ω) = Re Π e (q, ω) + Im Π e (q, ω) , unde partea real˘a are rezultˆand o m˘arime complex˘a Π expresia dat˘ a de formula (3.148), iar partea imaginar˘a are expresia dat˘a de formula (3.154); cele dou˘a expresii specificate anterior sunt formule complicate, astfel ˆıncˆ at se obt¸in rezultate relevante numai ˆın cazuri asimptotice. 3 Terminologia este ˆ ımprumutat˘ a din electrodinamica cuantic˘ a, unde regiunea de frecvent¸e mici este numit˘ a infra-ro¸sie, iar regiunea de frecven mari este numit˘ a ultra-violet˘ a ; ca urmate, o singularitate la ω = 0 este numit˘ a singularitate infra-ro¸sie, iar o singularitate la ω = ∞ este numit˘ a singularitate ultra-violet˘ a.
54
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
Deoarece transformata Fourier a potent¸ialului coulombian pur ve(q) este o m˘arime real˘a, atunci din relat¸ia (7.18), rezult˘a p˘ art¸ile real˘a ¸si imaginar˘a ale funct¸iei dielectrice generalizate ˆın aproximat¸ia RPA: ( (r) 0 e (q, ω) , Re κ e (q, ω) = 1 − e v (q) Re Π (r) 0 (7.19) e (q, ω) . Im κ e (q, ω) = − ve(q) Im Π
Pentru a realiza o comparat¸ie a interact¸iei efective ˆın aproximat¸ia RPA cu interact¸ia coulombian˘ a, se consider˘ a expresiile interact¸iei efective la limita static˘ a, ceea ce corespunde pentru transformata sa Fourier, la limita frecvent¸ei nule (ω = 0). Conform rezultatelor prezentate ˆın Subsect¸iunea 3.4.3, la limita frecvent¸ei nule transformata Fourier a polariz˘ arii de ordinul 0 are pentru partea real˘a ¸si pentru partea imaginar˘a expresiile date de formulele (3.149) ¸si respectiv (3.155): ReΠ e 0 (q, 0) = − mkF g q , (7.20) π 2 ~2 kF 0 e Im Π (q, 0) = 0 , unde g(x) este funct¸ia caracteristic˘ a pentru polarizarea static˘a, definit˘ a prin formula (3.149c): x2 1 − x/2 1 1 1− ln ; g(x) = − + 2 2x 4 1 + x/2
pentru cazul prezent este important˘ a comportarea asimptotic˘a a funct¸iei g(x) la limita nul˘a a variabilei: g(x) −→ 1 . x→0
Pe baza rezultatelor anterioare se obt¸ine expresia transformatei Fourier a interact¸iei efective ˆın aproximat¸ia RPA la frecvent¸˘ a nul˘a 4π e2 ve(q) 4π e2 q2 e RPA (q, 0) = q , V = = e 0 (q, 0) mkF q 4π e2 2 g 1−e v (q) Π q 2 + qTF 1+ 2 2 g kF π ~ kF q2
unde qTF este vectorul de und˘a Thomas-Fermi: r qTF ≡
4 m e2 kF . π ~2
(7.21)
(7.22a)
Vectorul Tomas-Fermi se poate exprima ˆın mod echivalent ˆın urm˘atoarele moduri: ~2 kF2 ¸si expresia vectorului de 2m 3 2 und˘a Fermi ˆın termeni de concentrat¸ia particulelor kF = 3π n, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine
• se utilizeaz˘ a energia Fermi a sistemului f˘ar˘a interact¸ii ε0F =
qTF =
s
6π e2 n ; ε0F
(7.22b)
• dac˘ a se utilizeaz˘ a unit˘ a¸tile Hartree: – raza Bohr a0 =
~2 , m e2
– distant¸a inter-particul˘ a r0 = zultˆand din relat¸ia
r 3
3 V , care este raxa volumului per particul˘ a, re4π N
V 4π 3 = v0 = r ; N 3 0
– lungimea adimensional˘ a caracteristic˘ a (numit˘a parametrul Wigner-Seitz ) rs ≡ (aceasta este caracteristica adimensional˘ a pentru concentrat¸ia de electroni);
r0 a0
˘ EFECTIVA ˘ ˆIN APROXIMAT 7.2. INTERACT ¸ IA COULOMBIANA ¸ IA RPA
55
atunci vectorul de und˘a Fermi se exprim˘ a ˆın forma 1 N 1/3 9π 1/3 1 ≡ , = kF = 3π 2 V 4 r0 αs r0
unde αs ≡
ca urmare, vectorul de und˘a Thomas-Fermi devine r 4 αs qTF = kF rs . π
4 1/3 ≈ 0.52 ; 9π
(7.22c)
Din expresia (7.21) rezult˘a c˘ a efectul fondului de sarcin˘a pozitiv˘ a combinat cu efectul interact¸iilor mutuale electronice conduc la modificarea legii Coulomb pentru interact¸ia electrostatic˘a dintre electroni, iar deosebirile ˆıntre transformatele Fourier ale potent¸ialelor de interact¸ie sunt esent¸iale la valori mici ale vectorului de und˘a ve(q) =
4π e2 q2
e RPA (q, 0) = V
−→
4π e2 q ; 2 g q 2 + qTF kF
domeniul ˆın care interact¸ia electrostatic˘a este modificat˘a ˆın mod esent¸ial poate fi exprimat˘ a prin condit¸ia r qTF q 4 αs ≪ = rs ; kF kF π ca urmare, ˆın cazul sistremului de electroni puternic degenerat (cˆand rs ≈ 0) exist˘a o valoare natural˘a pentru limita superioar˘ a a vectorului de und˘a corespunz˘ atoare domeniului de modific˘ari qc √ ≈ rs . esent¸iale ale legii Coulomb (ˆın englez˘ a aceast˘a valoare limit˘a se nume¸ste cut-off ): kF Deoarece ˆın domeniul de modific˘ a aqri esent¸iale ale legii Coulomb (q < qc ) funct¸ia caracteristic˘ satisface condit¸ia asimptotic˘a g ≈ g(0) = 1, rezult˘a urm˘atoarea expresie asimptotic˘a a kF transformatei Fourier a potent¸ialului efectiv e RPA (q, 0) ≈ V
q
4π e2 4π e2 −→ 2 . 2 + qTF q→0 qTF
q2
(7.23)
Din expresia precedent˘ a rezult˘a urm˘atoarele observat¸ii: • la limita vectorului de und˘a nul transformata Fourier a interact¸iei efective este finit˘a: 2 e RPA (q, 0) −→ 4π e finit (deosebire esent¸ial˘a fat¸˘a de cazul interact¸iei coulombiene pure, V 2 q→0 q TF 4π e2 cˆ and ve(q) = −→ ∞); q 2 q→0
• ˆın regiunea asimptotic˘a transformata Fourier a potent¸ialului interact¸iei efective are expresia 4π e2 e RPA (q, 0) ≈ , care prin extrapolarea pentru toate valorile vectorului de und˘a, V q
e−qTF r . r
(7.24)
Demonstrat¸ie: Se consider˘ a c˘ a transformata Fourier a potent¸ialului interact¸iei efective ar avea expresia e RPA (q) = V
4π e2 2 + qTF
q2
pentru toate valorile vectorului de und˘ a ¸si c˘ a este independent˘ a de frecvent¸˘ a; atunci potent¸ialul interact¸iei efective corespunz˘ atoare (ˆın spat¸iul pozit¸iilor) se obt¸ine prin transformarea Fourier Z d3 q iq·r e e VRPA (q) . VRPA (r) = 3 R3 (2π)
56
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE e RPA (q) depinde numai de modulul vectorului de und˘ Deoarece V a, se efectueaz˘ a integrala transformatei Fourier ˆın coordonate sferice q = q, θ, φ), cu alegerea axei polare paralel˘ a cu vectorul de pozit¸ie r; integrala dup˘ a unghiul azimutal (φ) este banal˘ a, producˆ and factorul 2π, iar integrala dup˘ a unghiul polar se simplific˘ a prin schimbarea de variabil˘ a θ → u = cos θ, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine Z ∞ Z π Z 2π 2 1 4π e VRPA (r) = dq q 2 dθ sin θ dφ e iqr cos θ 2 2 (2π)3 0 q + qTF 0 0 Z Z 1 q2 4π e2 2π ∞ e iqru dq 2 = 2 3 (2π) q + qTF −1 0 Z e2 ∞ 1 iqr q2 −iqr = e − e dq 2 2 π 0 q + qTF iqr Z ∞ Z ∞ 2 e q q iqr −iqr = e − e ; dq 2 dq 2 2 iπr q + qTF q 2 + qTF 0 0 a doua integral˘ a se transform˘ a cu schimbarea de variabil˘ a q → q¯ = −q: Z −∞ Z −∞ Z ∞ q¯ q q −iqr −i¯ qr e = e = − e−iqr , d¯ q dq 2 dq 2 2 2 2 q + qTF q¯2 + qTF q + qTF 0 0 0 unde ˆın ultima egalitate s-a revenit la notat¸ia variabilei de integrare prin q. Atunci, prin adunarea celor dou˘ a integrale rezult˘ a: Z ∞ e2 q VRPA (r) = e iqr dq 2 2 i π r −∞ q + qTF Im(q)
Integrala precedent˘ a pe axa real˘ a se calculeaz˘ a utilizˆ and teorema reziduurilor din teoria funct¸iilor de variabil˘ a complex˘ a. Astfel, se introduce variabila complex˘ a z = q + iγ ¸si se prelunge¸ste analitic inq2 tegrandul f (q) = 2 e iqr ˆın planul complex; 2 q + qTF se observ˘ a c˘ a prin prelungirea analitic˘ a, exponentul devine iqr → i(q + iγ)r = iqr − γr, astfel c˘ a acesta se anuleaz˘ a pe semicercul superior. Atunci se consider˘ a integrala pe conturul ˆınchis C+ constituit din axa real˘ a continuat˘ a cu semiplanul superior, care este ilustrat ˆın figura din dreapta.
I=
I
C+
dz
z e irz ≡ 2 z 2 + qTF
iq Re(q) −iq I
dz f (z) C+
Pe de o parte integrala precedent˘ a se descompune ˆın integrala pe axa real˘ a la care se adaug˘ a + integrala pe semicercul de la infinit (C∞ ): Z Z ∞ z q iqr e + e irz ; dz 2 I= dq 2 2 2 + q + q z + q C∞ −∞ TF TF conform lemei Jordan, prezentat˘ a la demonstrarea formulei (5.57), integrala pe semicercul superior este nul˘ a Z z dz 2 e irz = 0 , 2 + z + qTF C∞ z deoarece funct¸ia g(z) = 2 se anuleaz˘ a pe semicercul superior de raz˘ a infinit˘ a; ca urmare, 2 z + qTF integrala pe conturul C+ se reduce la integrala pe axa real˘ a Z ∞ q I= e iqr . dq 2 2 q + qTF −∞ Pe de alt˘ a parte, integrala pe conturul ˆınchis C+ este egal˘ a cu suma reziduurilor funct¸iei care sunt localizate ˆın interiorul acestui contur, conform teoremei reziduurilor a lui Cauchy: I X z e irz I≡ = 2πi dz 2 Res f (zj ) ; 2 z + q C+ TF j (zj ∈int{C+ })
˘ 7.3. ENERGIA STARII FUNDAMENTALE PENTRU MODELUL JELLIUM
57
ˆın cazul prezent funct¸ia f (z) are numai 2 poli simpli z = ± i qTF , astfel ˆıncˆ at ˆın interiorul conturului ˆınchis C+ se afl˘ a numai polul simplu z+ = + i qTF , iar reziduul corespunz˘ ator este 1 Res f (z+ ) = lim (z − z+ ) f (z) = e−qTF r ; z→z+ 2
ca urmare, integrala considerat˘ a este Z ∞ I= dq −∞
1 q e iqr = 2πi e−qTF r , 2 q 2 + qTF 2
iar potent¸ialul considerat are expresia: VRPA (r) =
e2 1 e2 −qTF r 2πi e−qTF r = e , iπr 2 r
care este rezultatul cerut.
7.3 7.3.1
Energia st˘ arii fundamentale pentru modelul jellium ˆın condit¸ii de degenerare puternic˘ a Metoda Brueckner ¸si Gell-Mann (utilizarea self-energiei)
A. Formularea problemei Se consider˘ a sistemul electronic ˆın modelul jellium ¸si cu constanta de cuplaj (a interact¸iei coulonbiene) variabil˘ a: e2λ = λ e2 (unde 0 ≤ λ ≤ 1); atunci, conform teoremei Pauli, energia st˘arii fundamentale a sistemului cu interact¸ii se exprim˘ a prin formulele (3.115): Z
1
dλ δEλ , 0 λ Z 2s + 1 d4 k iωη f e 0 (k) , δEλ = −i e ~ Mλ (k) G V lim η→0+ 2 (2π)4
E0 − E00 =
k
k
unde E00 este energia st˘ arii fundamentale a sistemului f˘ar˘a interact¸ii. Se ob(λ) serv˘ a c˘ a termenul δE0 are interpretarea diagramatic˘ a ilustrat˘a ˆın figura din dreapta.
2s + 1 = 1, 2 iar self-energia total˘ a se obt¸ine din self-energia proprie, conform relat¸iei (3.107), particularizat˘ a pentru cazul cˆ and interact¸iile sunt independente de spini: Se observ˘ a, de asemenea, c˘ a electronii au num˘arul de spin s =
1 2,
astfel ˆıncˆ at
fλ (k) = M fλ∗ (k) + M fλ∗ (k) G e 0λ (k) M fλ∗ (k) + . . . M
fλ (k) B. Self-energia M S-a ar˘ atat anterior c˘ a i. ˆın fiecare ordin al teoriei perturbat¸iilor termenii inelari sunt dominant¸i adic˘a au divergent¸a maxim˘ a; ii. suma termenilor inelari se condenseaz˘a ˆın interact¸ia efectiv˘a cu aproximat¸ia RPA; iii. termenii ne-inelari se pot considera corect¸ii (fat¸˘a de aproximat¸ia RPA). Ca urmare, se separ˘ a ˆın seria de perturbat¸ie total˘ a a self-energiei proprii termenul de ordinl 1 (n,r) f f(1,s) (k), termenii inelari M aror sum˘a este (k) n , a c˘ (corespunz˘ator interact¸iei de schimb) M λ λ (r) f (k), ¸si restul termenilor de ordine n ≥ 2, care nu sunt inelari ¸si a c˘ self-energia inelar˘a M aror λ ∗′ f sum˘a este parte ne-inelar˘ a a self-energiei M (k): λ
fλ∗ (k) = M
∞ X
n=1
X(n) j
f∗(n,j) (k) = M f(1,s) (k) + M λ λ
∞ X
n=2
f(n,r) (k) + M λ
∞ X X (n)
n=2
f(1,s) (k) + M f∗(r) (k) + M fλ∗′ (k) . =M λ λ
j (j6=r)
f∗(n,j) (k) M λ
(7.25)
58
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
Aproximat¸ia efectuat˘a de Brueckner ¸si Gell-Mann pentru self-energie este urm˘atoarea: – se consider˘ a drept termenii principali din seria de perturbat¸ie a self-energiei termenul de ordinul 1 ¸si setul termenilor inelari (ˆın toate ordinele teoriei perturbat¸iilor), ceea ce constituie aproximat¸ia RPA (aproximat¸ia fazelor aleatoare, sau altfel spus, aproximat¸ia inelar˘a), – din restul termenilor neinelari, se iau ˆın considerare numai termenii neinelari de ordin minim (adic˘a de ordinul n = 2), iar ace¸sti termeni sunt considerat¸i corect¸ii la aproximat¸ia RPA. Atunci aproximat¸ia inelar˘a a self-energiei este: ′
f∗ (k) ≈ M f(1,s) (k) + M f∗(r) (k) + M f∗(2 ) (k) . M λ λ λ λ
(7.26)
ˆIn cadrul aceleia¸si aproximat¸ii se consider˘ a self-energia total˘ a, ret¸inˆand numai corect¸ia neinelar˘ a de ordinul 2 (dar neglijˆ and restul contribut¸iilor neinelare): fλ (k) = M fλ∗ (k) + M fλ∗ (k) G e0λ (k) M fλ∗ (k) + . . . M ′ f(1,s) (k) + M f∗(r) (k) + M f∗(2 ) (k) + M f(1,s) (k) + . . . G e0 (k) M f(1,s) (k) + . . . + . . . ≈ M λ λ λ λ λ λ ′ f(1,s) (k) + M f∗(r) (k) + M f∗(2 ) (k) + M f(1,s) (k) G e0λ (k) M f(1,s) (k) , ≈M λ λ λ λ λ
adic˘a
′
fλ (k) ≈ M f(1,s) (k) + M f∗(r) (k) + M f(2 ) (k) , M λ λ λ
unde
′
(7.27)
′
f(2 ) (k) = M f∗(2 ) (k) + M f(1,s) (k) G e 0 (k) M f(1,s) (k) M λ λ λ λ λ
este corect¸ia neinelar˘ a de ordinul 2. Termenii care apar ˆın aproximat¸ia self-energiei totale (7.27) au urm˘atoarele reprezent˘ ari diagramatice, conform discut¸iei prezentate ˆın subsect¸iunea precedent˘ a: • Termenul de ordinul 1 (corespunz˘ator interact¸iei de schimb) este f(1,s) (k) −→ M λ
.
• Termenul inelar este
f∗(r) (k) −→ M λ
RPA
=
+
k
=
k−q q
+
+ ...
k
−
k−q q
k k ceea ce corespunde analitic la expresia Z 0 d4 q e RPA f∗(r) (k) = i e (k − q) . M Vλ (q) − veλ (q) G λ 4 ~ R4 (2π)
(7.28)
˘ 7.3. ENERGIA STARII FUNDAMENTALE PENTRU MODELUL JELLIUM
59
• Corect¸ia de ordinul 2 este constituit˘ a din cei 2 termeni de schimb ai self-energiei de ordif(2,b) (k) ¸si M f(2,c) (k), definit¸i prin relat¸ia (7.13), ˆımpreun˘a cu termenul rezultat prin nul 2, M λ λ f(2,a) (k) ≡ M f(1,s) (k) G e 0 (k) M f(1,s) (k): act¸iunea repetat˘a a self-energiei de ordinul 1: M λ λ λ λ
′
f(2 ) (k) = M f(2,b) (k)+ M f(2,c) (k)+ M f(2,a) (k) −→ M λ λ λ λ
+
+
C. Energia st˘ arii fundamentale (integrarea dup˘ a constanta de cuplaj) Prin utilizarea aproximat¸iei (7.27) pentru self-energie, se obt¸ine aproximat¸ia corespunz˘ atoare pentru contribut¸ia la energia st˘ arii fundamentale a unei valori pentru constanta de cuplaj variabil˘ a: Z d4 k iωη f e 0 (k) δEλ = −i V lim e ~ Mλ (k) G η→0+ R4 (2π)4 Z Z d4 k iωη f∗(r) d4 k iωη f(1,s) e 0 (k) − i V e0 (k) e ~ M (k) G e ~ Mλ (k) G = −i V λ 4 4 (2π) (2π) 4 4 R R Z d4 k iωη f(2′ ) 0 e (k) e ~ Mλ (k) G −iV 4 R4 (2π) (1)
(2′ )
(r)
≡ δEλ + δEλ + δEλ
.
(7.29)
Cele 3 contribut¸ii la δEλ au urm˘atoarele reprezent˘ ari diagramatice: • Termenul de ordinul 1 este (1)
δEλ
−→
• Termenul inelar este (r)
δEλ
−→
−
=
+
+
=
• Termenul corectiv are 3 contibut¸ii, corespunz˘ atoare p˘ art¸ilor self-energiei: (2′ ) (2b) (2c) (2a) δEλ = δEλ + δEλ + δEλ :
(2b)
−→
(2c)
−→
δEλ
δEλ
+ ...
60
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
(2a)
δEλ
−→
=
(2a)
(2c)
Se observ˘ a c˘ a ultimii 2 termeni sunt egali δEλ = δEλ , deoarece prin deformarea di(2a) agramei asociate termenului δEλ , dar p˘ astrˆandu-se topologia nemodificat˘a, se obt¸ine (2c) diagrama asociat˘a termenului δEλ . Prin efectuarea integralei ˆın raport cu constanta de cuplaj se obt¸ine contribut¸ia interact¸iei la energia st˘ arii fundamentale, conform teoremei Pauli: Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 dλ dλ dλ dλ (1) (r) (2′ ) (1) (r) (2′ ) 0 δEλ = δEλ + δEλ + δEλ ≡ E0 + E0 + E0 . E0 − E0 = 0 λ 0 λ 0 λ 0 λ Pentru a efectua integr˘arile dup˘a constanta de cuplaj ˆın cei 3 termeni precedent¸i, se observ˘a c˘ a ˆın (j) diagramele asociate termenilor δEλ o linie de interact¸ie liber˘a reprezint˘ a transformata Fourier a potent¸ialului de interact¸ie coulombian cu constanta de cuplaj la o valoare intermediar˘ a: veλ (q) =
4π e2λ 4π e2 = λ 2 = λ ve(q) ; 2 q q
ca urmare, fiecare linie de interact¸ie liber˘a contribuie cu variabila de integrare cu factorul λ. Conform observat¸iei precedente se efectueaz˘a integr˘arile dup˘a constanta de cuplaj ˆın felul urm˘ator. • Termenul de ordinul 1 cont¸ine numai o singur˘a linie de interact¸ie liber˘a, astfel ˆıncˆ at este valabil˘a relat¸ia (1) δEλ = λ δE (1) , unde δE (1) este expresia termenului corespunz˘ ator constantei de cuplaj fizice λ = 1; ca urmare, rezult˘a: Z 1 Z 1 dλ dλ (1) (1) (1) (1) E0 = δEλ = λ δE1 = δE1 λ λ 0 0 Z d4 k iωη f(1,s) e 0 (k) . (7.30a) e ~M (k) G ≡ −i V 4 R4 (2π)
• Cei 3 termeni corectivi de ordinul 2 (dintre care termenul 2a este egal cu termenul 2c) cont¸in fiecare cˆ ate 2 linii de interact¸ie libere, ceea ce implic˘ a un factor general λ2 ; atunci, rezult˘a pentru corect¸ia energiei Z 1 Z 1 dλ 1 1 dλ 2 (2′ ) (2′ ) (2′ ) (1) (2b) (2c) E0 = δEλ = λ δE1 = δE1 = δE1 + δE1 ; 2 2 0 λ 0 λ
adic˘a, ˆın mod explicit Z Z −i d4 k iωη f(2c) d4 k iωη f(2b) (2′ ) 0 e e0 (k). (7.30b) E0 = e ~ M (k) G (k)−i V e ~M (k) G V 4 4 2 R4 (2π) R4 (2π)
• Termenul inelar implic˘ a integrarea transformatei Fourier a self-energiei inelare (RPA) ˆın raport cu constanta de cuplaj: Z 1 Z Z 1 d4 k iωη f∗(r) dλ dλ (r) (r) e 0 (k) ; δEλ = (−i) V e ~ Mλ (k) G E0 = 4 0 λ R4 (2π) 0 λ
prin utilizarea expresiei transformatei Fourier a potent¸ialului interact¸iei efective ˆın aproximat¸ia RPA, ca solut¸ie a ecuat¸iei Dyson dat˘a de formula (7.17) dar adaptat˘ a la cazul constantei de cuplaj variabile, rezult˘a e RPA (q, ω) − veλ (q) = V λ
e 0 (q, ω) veλ (q) vλ (q) Π e − veλ (q) = veλ (q) , e 0 (q, ω) e 0 (q, ω) 1−e vλ (q) Π 1 − veλ (q) Π
˘ 7.3. ENERGIA STARII FUNDAMENTALE PENTRU MODELUL JELLIUM
61
astfel ˆıncˆ at transformata Fourier a self-energiei proprii ˆın aproximat¸ia RPA, dat˘a de formula (7.28), devine: Z 0 d4 q e RPA i ∗(r) e (k − q) f Vλ (q) − veλ (q) G Mλ (k) = ~ R4 (2π)4 Z e 0 (q, ω) i d4 q λ2 ve2 (q) Π e0 (k − q) ; = G e 0 (q, ω) ~ R4 (2π)4 1 − λ ve(q) Π e 0 (q, ω) este independent˘ se observ˘ a c˘ a transformata Fourier a polariz˘arii de ordinul zero Π a de constanta de cuplaj, deoarece diagrama corespunz˘ atoare nu cont¸ine linii de interact¸ie.
Prin substituirea expresiei precedente a transformatei Fourier a self-energiei proprii ˆın aproximat¸ia RPA, ˆın expresia energiei corespunz˘ atoare se obt¸ine: (r)
E0
Z Z e 0 (q, ω) d4 k iωη i d4 q λ2 ve2 (q) Π dλ e0 (k − q) G e 0 (k) G e ~ (−i) V 4 e 0 (q, ω) ~ R4 (2π)4 1 − λ ve(q) Π R4 (2π) 0 λ Z Z 1 e 0 (q, ω) Z d4 q d4 k iωη e 0 λ ve2 (q) Π e0 (k) ; =V e G (k − q) G dλ 4 e 0 (q, ω) R4 (2π)4 1 − λ ve(q) Π R4 (2π) 0
=
Z
1
ˆın ultima integral˘a (care cont¸ine produsul transformatelor Fourier ale funct¸iilor Green libere) se efectueaz˘ a schimbarea de variabil˘ a k → k′ = k − q (adic˘a k = k′ + q ¸si ω = ω ′ + ν), urmat˘ a de definit¸ia transformatei Fourier a polariz˘arii de ordinul 0, dat˘a de formula (3.145), astfel c˘ a rezult˘a: Z Z −~ iνη e 0 d4 k′ iω′ η e 0 ′ e 0 ′ d4 k iωη e0 0 iνη e e G (k − q) G (k) = e e G (k ) G (k + q) = e Π (q) . 4 4 (2π) (2π) 2i 4 4 R R (r)
Conform rezultatului anterior, partea inelar˘a a energiei st˘arii fundamentale E0 (r) E0
−~ = V 2i
devine:
Z
Z e0 d4 q iνη 1 e 0 (q, ω) λ ve(q) Π (q, ω) ; e dλ v e (q) Π 4 e 0 (q, ω) 1 − λ ve(q) Π R4 (2π) 0
integrala dup˘a constanta de cuplaj se efectueaz˘a prin schimbarea de variabil˘ a de integrare e 0 (q, ω) ¸si utilizarea urm˘atoarei identit˘ λ → x = λ ve(q) Π a¸ti Z Z n o n 1 o x = − x + ln(1 − x) , = − dx 1 − dx 1−x 1−x astfel c˘ a rezult˘a urm˘atoarea expresie a p˘ art¸ii inelare a energiei st˘arii fundamentale: Z o i~ d4 q iνη n (r) e 0 (q, ω) + ln 1 − ve(q) Π e 0 (q, ω) E0 = − V . (7.30c) v e (q) Π e 4 2 R4 (2π)
Rezultatul precedent se exprim˘ a mai compact prin utilizarea expresiei funct¸iei dielectrice e 0 (q, ω), astfel generalizate ˆın aproximat¸ie RPA, dat˘a de formula (7.18): κ e(r) (q) = 1 − e v(q) Π c˘ a se obt¸ine expresia Z (r) o d4 q n i~ (r) ; (7.30d) 1−κ e(r) (q) + ln κ e (q) E0 = − V 4 2 R4 (2π) se observ˘ a c˘ a ˆın ultima formul˘a s-a omis factorul de convergent¸˘a e iνη , deoarece integrandul este bine definit la limita η → 0.
D. Energia de corelat¸ie Conform rezultatelor obt¸inute ˆın paragraful precedent, energia st˘arii fundamentale a sistemului este (r) (1) (7.31) E0 = E00 + E0 + E0 + E0′ . Primii doi termeni din formula (7.31) au urm˘atoarea semnificat¸ie:
62
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE • E00 este energia st˘ arii fundamentale a sistemului f˘ar˘a interact¸ii, cˆ and hamiltonianul cont¸ine ˆ 0 = Tˆ): numai termenul cinetic (H E00 =
ˆ 0 |Φ0 i hΦ0 |H ; hΦ0 |Φ0 i
(1)
• E0 este contribut¸ia perturbativ˘a de ordinul 1, a c˘ arei expresie este dat˘a de formula (7.30a). Pe de alt˘ a parte, energia st˘ arii fundamentale a sistemului cu interact¸ii este exprimat˘ a (ˆın cazul general) ˆın termeni de funct¸ia Green ¸si self-energia proprie prin formula (3.115); dac˘a se efectueaz˘a aproximat¸ia de ordinul 1, atunci ˆın formula (3.115) se fac urm˘atoarele ˆınlocuiri: e e0 (k) G(k) → G
f∗ (k) → M f(1,s) (k) , M
f(1,d) (k) este absent ˆın modelul jellium datorit˘a (termenul corespunz˘ ator interact¸iei directe M condit¸iei de neutralitate electric˘a); ca urmare, formula (3.115) ˆın aproximat¸ia de ordinul 1 devine: Z ~ f∗ e d4 k iωη εk + M e (k) G(k) E0 = − i(2s + 1)V lim η→0+ (2π)4 2 Z ~ f(1,s) e 0 d4 k iωη e εk + M (k) G (k) ≈ − i 2 V lim 1 η→0+ (2π)4 2 Z Z d4 k iωη d4 k iωη f(1,s) 0 e e 0 (k) = − i 2 V lim G (k) + (− i) V lim e ε e ~M (k) G k η→0+ η→0+ (2π)4 (2π)4
ˆIn expresia precedent˘ a primul termen este egal cu energia st˘arii fundamentale a sistemului f˘ar˘a interact¸ii Z ˆ d4 k iωη e0 (k) = hΦ0 |H0 |Φ0 i = E00 , G e ε − i 2 V lim k η→0+ (2π)4 hΦ0 |Φ0 i (1)
iar al doilea termen este egal cu contribut¸ia perturbativ˘a de ordinul 1, E0 , deoarece expresia este identic˘ a cu formula (7.30a): Z d4 k iωη f(1,s) e0 (k) = E (1) . e ~M (k) G −i V 0 4 (2π) 4 R Deoarece aproximat¸ia de ordinul 1 pentru energia st˘arii fundamentale a sistemului cu interact¸ii este egal˘a cu media hamiltonianului total al sistemului pe starea fundamental˘ a a sistemului liber (conform rezultatelor generale ale teoriei perturbat¸iilor stat¸ionare): E0 ≈ 1
ˆ 0i ˆ 0 |Φ0 i hΦ0 |Vˆ ′ |Φ0 i hΦ0 |H|Φ hΦ0 |H = + , hΦ0 |Φ0 i hΦ0 |Φ0 i hΦ0 |Φ0 i (1)
rezult˘a c˘ a termenul de ordinul 1, E0 , este egal cu energia de interact¸ie mediat˘a pe starea fundamental˘ a liber˘ a: hΦ0 |Vˆ ′ |Φ0 i (1) . E0 = hΦ0 |Φ0 i
Ca urmare a prezent˘ arii anterioare, rezult˘a c˘ a primii doi termeni din formula (7.31) reprezint˘ a media hamiltonianului total al sistemului pe starea fundamental˘ a a sistemului liber: (1)
E00 + E0
=
ˆ 0i hΦ0 |H|Φ . hΦ0 |Φ0 i
(7.32)
ˆ 0i hΦ0 |H|Φ , hΦ0 |Φ0 i
(7.33a)
Energia de corelat¸ie se define¸ste prin relat¸ia: Ecor ≡ E0 −
˘ 7.3. ENERGIA STARII FUNDAMENTALE PENTRU MODELUL JELLIUM
63
adic˘a este termenul suplimentar care trebuie ad˘augat la media hamiltonianului pe starea fundamental˘ a liber˘ a (sau ˆın mod echivalent energia st˘arii fundamentale ˆın aproximat
¸ia de ordinul 1) pentru a obt¸ine energia st˘ arii fundamentale a sistemului cu interact¸ii: E0 = H 0 + Ecor . Din relat¸ia (7.31) rezult˘a c˘ a ˆın aproximat¸ia Brueckner ¸si Gell-Mann energia de corelat¸ie este (r)
(r)
(2′ )
Ecor = E0 + E0′ ≈ E0 + E0
.
(7.33b)
E. Evaluarea termenilor perturbativi Observat¸ie preliminar˘ a: pentru compararea m˘arimii termenilor este convenabil s˘a se scrie expresiile finale ale diferit¸ilor termeni ˆın form˘a adimensional˘ a; ca urmare, se utilizeaz˘a urm˘atoarele m˘arimi standard (ˆın raport cu care se realizeaz˘ a adimensionalizarea): 4 ~2 este aleas˘ a etalonul de lungime, astfel c˘ a rezult˘a me2 r 3 N – distant¸a inter-particul˘ a r0 = 3 , 4π V r0 (parametrul Wigner-Seitz), – lungimea adimensional˘ a caracteristic˘ a rs = a0
• raza Bohr a0 =
• vectorul de und˘a Fermi kF este ales etalonul pentru vectorii de und˘ a ¸si satisface relat¸ia 4 1/3 1 1 kF = ≈ 0.521... este parametrul sau echivalent a0 kF = , unde αs = αs r0 αs rs 9π vectorului de und˘a Fermi; r 4αs ca urmare, vectorul Thomas-Fermi se exprim˘ a ˆın forma qTF = kF rs ; π • energia Bohr εB =
e2 este aleas˘ a etalonul de energie; ca urmare, rezult˘a: 2 a0
– energia Fermi a sistemului liber adimensionalizat˘ a este εF εB
~2 2 kF 2 1 a0 2 ~2 2 1 = = 2m2 = a0 k = a k = 2 ; 0 F F m e2 αs r0 e αs rs 2 a0
– energia per particul˘ a adimensionalizat˘ a este ε≡ E1. Ordinul 0
E . N εB
corespunde energiei st˘arii fundamentale a sistemului f˘ar˘a interact¸ii E00 =
ˆ 0 |Φ0 i hΦ0 |H ; hΦ0 |Φ0 i
~2 k 2 ˆ 0 = P εk n ˆ kσ (unde energia uni-particul˘a este εk = hamiltonianul sistemului liber este H k,σ 2m ¸si media pe starea fundamental˘ a a num˘arului de ocupare pe stare uni-particul˘a este funct¸ia FermiDirac la temperatur˘a nul˘a, care devine funct¸ia Heaviside: hΦ0 | n ˆ kσ |Φ0 i = θ(kF − k) ; hΦ0 |Φ0 i ca urmare, se obt¸ine: E00 =
X k,σ
4 Marimile
εk
V hΦ0 | n ˆ kσ |Φ0 i X = εk θ(kF − k) = 2 LT hΦ0 |Φ0 i (2π)3 k,σ
Z
R3
d3 k εk θ(kF − k) .
utilizate pentru adimensionalizare sunt unit˘ a¸tile Hartree, prezentate anterior cu formulele (7.22).
64
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
Integrala dup˘a vectorul de und˘a se efectueaz˘a ˆın coordonate sferice k = (k, θ, φ), deoarece integrandul depinde numai de modulul vectorului de und˘a; ca urmare, integralele unghiulare sunt banale ¸si produc factorul 4π, astfel c˘ a rezult˘a: E00
V 4π =2 (2π)3
Z
kF
dk k 2
0
~2 k 2 N V ~2 kF2 V ~2 kF2 3 V 0 ǫ 3π 2 = 2 = k = = 2m π 2m 5 5π 2 2m F 5π 2 F V
3 5
ε0F N ,
unde vectorul de und˘a Fermi (kF ) are expresia (3.1); se observ˘a c˘ a rezultatul a fost obt¸inut anterior la deducerea formulei (3.2). Prin adimensionalizare se obt¸ine: ǫ0 ≡
3 ε0F 3 1 2.21 E00 = = ≈ 2 . N εB 5 εB 5 α2s rs2 rs
(7.34)
Se observ˘ a c˘ a termenul de ordinul 0 (corespunz˘ator sistemului f˘ar˘a interact¸ii este invers propor1 ¸tional cu p˘ atratul parametrului Wigner-Seitz: ǫ0 ∼ 2 . rs E2. Ordinul 1 se obt¸ine din formula (7.30a), unde transformata Fourier a self-energiei de ordinul 1 corespunz˘ atoare interact¸iei de schimb are expresia (3.118b): Z d4 k iωη f(1,s) (1) e 0 (k) e ~M (k) G E0 = −i V 4 (2π) 4 R Z Z 4 ′ ′ d4 k iωη e0 i d k e e0 (k′ ) = −i V e G (k) ~ U(k − k′ ) e iω η G lim 4 4 η→0 (2π) ~ (2π) 4 + R Z ∞ Z Z ∞ Z d3 k dω iωη e 0 dω ′ iω′ η e 0 ′ ′ d3 k′ ′ =V v e (k − k ) e G (k, ω) e G (k , ω ) ; 3 3 R3 (2π) −∞ 2π −∞ 2π R3 (2π)
integralele dup˘a frecvent¸e se calculeaz˘a conform relat¸iei (3.119): Z ∞ dω iωη e 0 lim e G (k, ω) = i θ(kF − k) , η→0+ −∞ 2π
astfel ˆıncˆ at termenul de ordinul 1 are expresia Z Z d3 k′ d3 k (1) ve(k − k′ ) θ(kF − k) θ(kF − k ′ ) . E0 = − V 3 3 R3 (2π) R3 (2π) Prin schimbarea de variabile q = k − k′ , p = k − 21 q ,
=⇒
k = p + 21 q , k′ = p − 21 q ,
expresia termenului de ordinul 1 devine Z Z d3 q d3 p (1) ve(q) θ(kF − p + 21 q ) θ(kF − p − 12 q ) E0 = − V 3 3 (2π) (2π) 3 3 R R Z Z −V 3 d3 p θ(kF − p + 12 q ) θ(kF − p − 21 q ) . d q v e (q) = 6 (2π) R3 R3
Integrala dup˘a variabila p este egal˘a cu volumul domeniului aflat ˆın interiorul intersect¸iei sferei a kF ¸si centrat˘a ˆın de raz˘ a kF ¸si centrat˘a ˆın punctul avˆand vectorul de pozit¸ie 12 q cu sfera de raz˘ punctul avˆand vectorul de pozit¸ie − 21 q; ˆın figura 7.1 este ilustrat domeniul de integrare. Prin metode standard de integrare se obt¸ine volumul domeniului considerat: Z Vq ≡ d3 p θ(kF − p + 12 q ) θ(kF − p − 21 q ) R3
=
3 q q 1 q 3 i 4π 3 h θ 1− . + kF 1 − 3 2 2 kF 2 2 kF 2 kF
˘ 7.3. ENERGIA STARII FUNDAMENTALE PENTRU MODELUL JELLIUM
65
kF q q p− 2 2 p q q p+ 2 2 kF
p +
p+
1 2 1 2
q ≤ kF q ≤ kF
Figura 7.1: Domeniul de integrare pentru termenul de ordinul 1.
Pe baza rezultatului precedent termenul de ordinul 1 se reduce la integrala dup˘a variabila q, care se efectueaz˘ a ˆın coordonate sferice, deoarece integrandul este dependent numai de modulul variabilei de integrare: (1) E0
Z −V 3 q q 1 q 3 i 4π e2 4π 3 h 3 = 1 − θ 1 − + k d q F (2π)6 R3 q2 3 2 2 kF 2 2 kF 2 kF Z ∞ q 3 i h 3 q q 4π 1 1 −V 2 2 3 1 − θ 1 − 4π 4π e dq q + k = F (2π)6 3 q2 2 2 kF 2 2 kF 2 kF 0 Z q/(2kF ) h i −V 2 3 3 q q 3 1 = dq 1 − ; e kF + 3 3π 2 2 kF 2 2 kF 0
integrala r˘amas˘ a se efectueaz˘ a ˆın mod convenabil prin schimbarea de variabil˘ a q → x = q/(2kF ): Z
0
q/(2kF )
Z 1 h 1 q 3 i 3 q = 2kF + dx 1 − 32 x + 21 x3 = 2kF 1 − dq 1 − 2 2 kF 2 2 kF 0
3 4
+
1 8
=
3 4
kF .
Atunci termenul de ordinul 1 are expresia (1)
E0
=
−V e2 3 3 2 kF kF = − e kF N , 4π 3 4π
(7.35a)
N unde pentru ultima egalitate s-a utilizat expresia vectorului de und˘a Fermi: kF3 = 3π 2 . V Prin adimensionalizare se obt¸ine: (1)
ǫ1 ≡
1 3 e2 kF −0.916 E0 3 3 =− ≈ ; a0 kF = − =− N εB 4π e2 2π 2π αs rs rs 2 a0
(7.35b)
se observ˘ a c˘ a termenul de ordinul 1 este invers proport¸ional cu parametrul Wigner-Seitz: ǫ1 ∼ E3. Termenul inelar se obt¸ine din expresia (7.30d) (r) E0
Z (r) o d4 q n i~ (r) 1 − κ e (q) + ln κ e (q) =− V 4 2 R4 (2π) Z Z ∞ 3 (r) o i~ d q dν n (r) =− V . 1 − κ e (q, ν) + ln κ e (q, ν) 3 2 R3 (2π) −∞ 2π
1 . rs
66
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
Este convenabil s˘a se adimensionalizeze expresia anterioar˘ a prin utilizarea variabilelor adimenq ν sionale q˜ ≡ ¸si ν˜ ≡ : kF 2 ωF i~ Z ∞ (r) n − V k3 2 ω Z (r) o E0 F 3 (r) F 2 ˜ = d q d˜ ν 1 − κ e (˜ q , ν ˜ ) + ln κ e (˜ q , ν ˜ ) ǫr ≡ N εB e2 (2π)3 2π R3 −∞ N 2 a0 Z ∞ Z n (r) o 1 3 3 ˜ , d q d˜ ν 1−κ e(r) (˜ q, ν˜) + ln κ e (˜ q, ν˜) = −i 2 2 2 16π αs rs R3 −∞
unde factorul numeric din fat¸a integralei s-a obt¸inut prin urm˘atoarele transform˘ari algebrice: N 2 1 1 3π V ε0F 3 1 kF3 ~ ωF = = . (2π)4 N εB (2π)4 N εB 16 π 2 α2s rs2 V V Pentru a simplifica expresia energiei inelare adimensionalizate ǫr se observ˘a c˘ a m˘arimea ǫr este real˘ a, dar funct¸ia dielectric˘a generalizat˘a e κ(r) (˜ q, ν˜) este o m˘arime complex˘a; ca urmare, se separ˘ a partea real˘ a ¸si partea imaginar˘ a a integrandului, luˆand ˆın considerat¸ie identitatea matematic˘a p y ln(x + iy) = ln x2 + y 2 + i arctan : x n (r) o (r) n Im κ e(r) o e(r) + arctan = 1 − Re κ e(r) + ln κ e + i − Im κ 1−κ e(r) + ln κ e ; Re κ e(r)
din condit¸ia de realitate a energiei inelare, rezult˘a c˘ a partea real˘a a integrandului este nul˘a ¸si se obt¸ine Z ∞ Z 3 1 Im e κ(r) (˜ q, ν˜) 3 (r) ˜ . ǫr = d q d˜ ν − Im κ e (˜ q, ν˜) + arctan 16π 2 α2s rs2 R3 Re κ e(r) (˜ q, ν˜) −∞
Funct¸ia dielectric˘a generalizat˘a κ e(r) (q, ν) este dependent˘ a numai de modulele argumentelor, deoarece ( e 0 (q, ν) = Π e 0 (q, |ν|) , Π e 0 (q, ν) = κ κ e(r) (q, ν) = 1 − ve(q) Π e(r) (q, |ν|) , unde ve(q) = ve(q) ; ca urmare, rezult˘a relat¸ia Z Z ∞ Z ˜ d3 q d˜ νF κ e(r) (˜ q, ν˜) = 4π R3
−∞
0
∞
d˜ q q˜2 2
Z
0
∞
d˜ νF κ e(r) (˜ q , ν˜) .
Pe baza rezultatului precedent se obt¸ine urm˘atoarea expresie a energiei inelare: Z ∞ Z ∞ 3 1 Im κ e(r) (˜ q , ν˜) 2 (r) ǫr = d˜ q q ˜ d˜ ν arctan − Im κ e (˜ q , ν ˜ ) . 2π α2s rs2 0 Re κ e(r) (˜ q , ν˜) 0
(7.36)
Observat¸ii:
• S-a ar˘ atat c˘ a tratarea perturbativ˘a a interact¸iei coulombiene conduce la termeni divergent¸i ˆın fiecare ordin de perturbat¸ie, iar termenii inelari sunt maxim divergent¸i; totu¸si, din punct de vedere fizic rezultatele finale trebuie s˘a fie finite, astfel ˆıncˆ at este de a¸steptat ca suma termenilor maxim divergent¸i s˘a fie finit˘a. Ca urmare, se va determina comportarea dominant˘ a a energiei dat˘ a de termenii inelari, ǫr , la limita gazului electronic puternic degenerat, cˆ and concentrat¸ia de electroni este foarte mare, ceea ce implic˘ a limita rs → 0. • Polarizarea de ordinul 0 a fost calculat˘ a ˆın Subsect¸iunea 3.4.3, iar expresiile rezultante sunt date de formulele (3.148) pentru partea real˘a ¸si respectiv (3.154) pentru partea imaginar˘a. Dac˘ a se utilizeaz˘ a exprimarea adimensional˘ a, atunci polarizarea de ordinul 0 se poate scrie ˆın forma e 0 (q, ν) = − mkF ΠR (˜ q , ν˜) + ΠI (˜ q , ν˜) , Π 2 2 π ~
˘ 7.3. ENERGIA STARII FUNDAMENTALE PENTRU MODELUL JELLIUM
67
unde ΠR (˜ q , ν˜) ¸si ΠI (˜ q , ν˜) sunt p˘ art¸ile real˘a ¸si imaginar˘a adimensionale. Ca urmare funct¸ia dielectric˘a adimensionalizat˘ a ˆın aproximat¸ia RPA se scrie astfel: 4π e2 mkF ΠR (˜ q , ν˜) + ΠI (˜ q , ν˜) 2 2 2 2 π ~ kF q˜ q 2 1 TF ΠR (˜ q , ν˜) + ΠI (˜ q , ν˜) , = 1+ 2 kF q˜
e 0 (q, ν) ve(q) = 1 + e(r) (q, ν) = 1 − Π κ iar p˘ art¸ile real˘ a ¸si imaginar˘ a sunt
q 2 1 (r) TF Re e κ (˜ q , ν˜) = 1 + ΠR (˜ q , ν˜) , kF q˜2 (r) qTF 2 1 ΠI (˜ q , ν˜) ; Im e κ (˜ q , ν˜) = kF q˜2
de asemenea, se observ˘ a c˘ a
q
TF
kF
2
=
4 αs rs . π
• Pentru a extrage partea dominant˘ a a interact¸iei coulombiene se ¸tine seama de proprietatea c˘ a ˆın aproximat¸ia RPA, interact¸ia efectiv˘a difer˘a ˆın mod esent¸ial de interact¸ia coulombian˘ a pur˘ a la valori foarte mici ale vectorului de und˘a; mai exact, domeniul ˆın care modific˘arile qTF √ and potent¸ialul efectiv la limita static˘a sunt esent¸iale este dat de condit¸ia q˜ < ≈ rs , cˆ kF este finit, conform relat¸iei (7.23), iar potent¸ialul coulombian diverge: 2 e RPA (q, 0) ≈ 4π e , V 2 qTF
v (q) = e
pentru q˜ <
√ rs ,
4π e2 −→ ∞ . q 2 q→0
Atunci, se presupune c˘ a se obt¸ine contribut¸ia dominant˘ a de la domeniul de modific˘ari esent¸iale ¸si se face separarea integralei dup˘a modului vectorului de und˘a ˆın 2 integrale astfel: – se alege o valoare de t˘ aiere (ˆın englez˘ a este termeul cut-off ) q˜c , pentru vectorul de und˘a, care este foarte mic˘a (˜ qc ≪ 1), dar superioar˘a valorii care define¸ste domeniul √ dominant, adic˘a q˜c > rs ; Z ∞ Z ∞ Z q˜c d˜ q . . . astfel ˆıncˆ at prima inted˜ q... + – se descompune integrala d˜ q... = 0
0
q˜c
gral˘ a cont¸ine partea dominant˘ a ¸si care produce divergent¸ele din termenii individuali de perturbat¸ie.
Ca urmare a observat¸iilor precedente, se separ˘ a energia inelar˘a, dat˘a de formula (7.36) ˆın 2 termeni: ǫr = ǫr′ + ǫr′′ , (7.37a) unde Im κ e(r) (˜ q , ν˜) (r) − Im κ e (˜ q , ν ˜ ) , Re κ e(r) (˜ q , ν˜) 0 0 Z ∞ Z ∞ 3 1 Im κ e(r) (˜ q , ν˜) 2 (r) ǫr′′ = d˜ q q ˜ d˜ ν arctan − Im κ e (˜ q , ν ˜ ) . 2π α2s rs2 q˜c Re κ e(r) (˜ q , ν˜) 0 ǫr′ =
1 3 2 2π αs rs2
Z
q˜c
d˜ q q˜2
Z
∞
d˜ ν
arctan
(7.37b) (7.37c)
Se observ˘ a c˘ a termenul ǫr′ cont¸ine divergent¸a infra-ro¸sie, dar termenul ǫr′′ nu cont¸ine divergent¸e √ (este analitic ˆın raport cu rs , adic˘a se poate dezvolta ˆın serie de puteri ale parametrului WignerSeitz rs ); ca urmare, se va deduce comportarea termenului ǫ′r . Pentru a evalua expresia (7.37b) se utilizeaz˘a expresiile asimptotice ale polariz˘arii de ordinul 0 pentru vectori de und˘a foarte mici ¸si frecvent¸e proport¸ionale cu vectorii de und˘a (˜ q ≈ 0 ¸si ν˜ = x q˜), dar constanta de proport¸ionalitate poate avea o valoare arbitrar˘a, adic˘a x ∈ (0, ∞), astfel ˆıncˆ at
68
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
aproximat¸ia este valabil˘a pentru frecvent¸e arbitrare; atunci, partea real˘a ¸si partea imaginar˘a ale transformatei Fourier a polariz˘ arii au expresiile asimptotice (3.151) ¸si respectiv (3.157): 1 − ν˜/˜ q π 1 ν˜ ln = f (x) , ΠR (˜ q , ν˜) ≈ 1 − 2 q˜ 1 + ν˜/˜ q 2 π ν˜ π ν˜ = x θ(1 − x) . θ 1− ΠI (˜ q , ν˜) ≈ 2 q˜ q˜ 2 Din expresiile asimptotice ale p˘ art¸ilor real˘a ¸si imaginar˘a ale transformatei Fourier a polariz˘arii de ordinul 0 se obt¸in urm˘atoarele consecint¸e: • p˘ art¸ile real˘ a ¸si imaginar˘ a ale funct¸iei dielectrice generalizate au urm˘atoarele expresii asimptotice ˆın cazul specificat anterior: (r) 1 π 1 4 f (x) = 2 q˜2 + 2 αs rs f (x) , Re κ e (˜ q , ν˜) ≈ 1 + αs rs 2 π q˜ 2 q˜ (r) 4 1 π 1 Im κ e (˜ q , ν˜) ≈ αs rs 2 x θ(1 − x) = 2 2 αs rs x θ(1 − x) ; π q˜ 2 q˜
• arctangenta raportului p˘ art¸ilor imaginar˘a ¸si real˘a ale funct¸iei dielectrice generalizate are urm˘atoarea expresia asimptotic˘a arctan
Im κ e(r) (˜ q , ν˜) 2 αs rs x θ(1 − x) ≈ arctan 2 (r) q˜ + 2 αs rs f (x) Re κ e (˜ q , ν˜) 2 αs rs x = arctan 2 , x<1 q ˜ + 2 αs rs f (x) ( = = 0 , dac˘a q˜2 + 2 αs rs f (x) > 0 , = x>1 = π , dac˘a q˜2 + 2 αs rs f (x) < 0 ,
• integrala dup˘a frecvent¸˘ a se transform˘a ˆın integral˘a dup˘a parametrul de proport¸ionalitate x, conform relat¸iei urm˘atoare: Z ∞ Z ∞ d˜ ν F (˜ q , ν˜) = q˜ dx F (˜ q , q˜ x) . 0
0
Luˆand ˆın considerare observat¸iile precedente, se prelucreaz˘a expresia termenului dominant ǫ′r astfel: Z ∞ Z q˜c 2 αs rs x θ(1 − x) 2 αs rs x θ(1 − x) 3 2 d˜ q q ˜ q ˜ dx arctan − ǫr′ = 2π α2s rs2 0 q˜2 + 2 αs rs f (x) q˜2 0 Z 1 Z q˜c 6 2 αs rs x 2 αs rs x = − d˜ q q˜3 dx arctan 2 4π α2s rs2 0 q ˜ + 2 α r f (x) q˜2 s s 0 Z ∞ Z q˜c 6 d˜ q q˜3 + dx π θ − q˜2 − 2 αs rs f (x) 2 4π αs rs 0 1 ≡ ǫr′(a) + ǫr′(b) ,
′(a)
(7.38)
′(b)
unde ǫr este primul termen ¸si cont¸ine singularitatea infra-ro¸sie, iar ǫr este al doilea termen, care nu cont¸ine singularit˘a¸ti. ′(a) Deoarece se urm˘are¸ste evident¸ierea singularit˘a¸tii dominante, se studiaz˘a termenul ǫr : Z 1 Z q˜c λx 6 λx 3 ′(a) − 2 , d˜ q q˜ ǫr = dx arctan 2 π λ2 0 q˜ + λ f (x) q˜ 0
π qTF 2 ∼ e2 . Se efectueaz˘a dezvoltarea ˆın serie de puteri ˆın raport 2 kF cu parametrul λ, ceea ce este echivalent cu dezvoltarea ˆın serie dup˘a constanta de cuplaj (e2 ),
unde λ ≡ 2 αs rs =
˘ 7.3. ENERGIA STARII FUNDAMENTALE PENTRU MODELUL JELLIUM pentru a obt¸ine seria de perturbat¸ie a termenilor maxim divergent¸i: λx λ f (x) i−1 λx λx λ xh arctan 2 1+ − 2 − 2 = arctan q˜ + λ f (x) q˜ q˜2 q˜2 q˜ h i −1 λx λ f (x) λx ≈ 2 1+ + O(λ3 ) − 2 q˜ q˜2 q˜ h i λx λ f (x) λx ≈ 2 1− + O(λ3 ) − 2 q˜ q˜2 q˜ λ2 x f (x) ≈− + O(λ3 ) , q˜4
69
(7.39)
unde s-a utilizat dezvoltarea de ordinul 1 pentru arctangent˘ a: arctan(x) ≈ x + O(x3 ). ′(a) Atunci, se obt¸ine urm˘atoarea serie de puteri, ˆın raport cu parametrul λ, a termenului ǫr : ǫr′(a) =
6 π λ2
Z
d˜ q q˜3
0 q˜c
Z
0
1
dx
−
λ2 x f (x) 3 + O(λ ) q˜4
Z d˜ q 1 dx x f (x) + O(λ3 ) q˜ 0 0 q˜c i Z 1 6h ln q˜ dx x f (x) + O(λ3 ) . =− π 0 0 6 =− π
Z
q˜c
(7.40)
Observat¸ie: dezvoltarea ˆın serie de puteri ˆın raport cu parametrul λ arat˘a c˘ a termenul de ordinul minim are divergent¸˘ a logaritmic˘ a infra-ro¸sie (care era rezultatul a¸steptat); totu¸si, prin sumarea tuturor termenilor perturbat¸ionali ar trebui s˘a se anihileze divergent¸a (pentru c˘ a interact¸ia efec√ tiv˘a nu cont¸ine divergent¸e pentru q˜ < rs . Pentru evitarea singularit˘a¸tii artificiale (introdus˘a de dezvoltarea ˆın serie de perturbat¸ie) se procedeaz˘ a astfel: √ i. se introduce un parametru de t˘ aiere (cut-off) natural: q˜m = rs (care este valoarea minim˘a a num˘ arului de und˘a adimensional); ii. se consider˘ a c˘ a comportarea dominant˘ a este dat˘a de termenul de ordin minim (al seriei de perturbat¸ie) evaluat˘ a cu parametrul de t˘ aiere natural. ′(a) Conform observat¸iei precedente, se ˆınlocuie¸ste formula (7.40) pentru termenul ǫr cu formula ǫr′(a)
q˜c i Z 1 √ 6h ≈− ln q˜ √ dx x f (x) + O( rs ) π rs 0 √ 6 q˜c 2 = − ln √ 1 − ln 2 + O( rs ) π rs 3π rs √ 2 = 2 1 − ln 2 ln 2 + O( rs ) , π q˜c
(7.41)
unde s-a utilizat expresia integralei ˆın raport cu variabila x : Z
0
1
2 dx x f (x) = π
Z
0
1
2 1 − x x = 1 − ln 2 . dx x 1 − ln 2 1+x 3π ′(a)
Din formula (7.41) rezult˘a c˘ a termenul ǫr are o divergent¸˘a logaritmic˘ a la limita rs → 0; pe de ′′ ′(b) alt˘ a parte, termenii ǫr ¸si ǫr nu sunt divergent¸i la limita rs → 0. ˆIn concluzie, energia inelar˘a are urm˘atoarea expresie ˆın condit¸ia cˆ and parametrul Wigner-Seitz este foarte mic (rs ≪ 1): ǫr = ǫr′ + ǫr′′ = ǫr′(a) + ǫr′(b) + ǫr′′ √ 2 2 = 2 1 − ln 2 ln rs + O( rs ) − 2 1 − ln 2 ln q˜c2 + ǫr′(b) (˜ qc ) + ǫr′′ (˜ qc ) . π π
(7.42)
Calculele detaliate efectuate de Brueckner ¸si Gell-Mann au ar˘atat c˘ a ǫr nu depinde de parametrul de t˘ aiere artificial q˜c , deoarece aceast˘a m˘arime se reduce ˆın final.
70
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
Ca urmare energia inelar˘a adimensional˘ a are urm˘atoarea expresie dominant˘ a la limita valorilor foarte mici ale parametrului Wigner-Seitz: 2 (7.43) ǫr ≈ 2 1 − ln 2 ln rs + C = 0.0622 ln rs + C , π unde C este un termen constant. Se observ˘a c˘ a ǫr nu are o expresie analitic˘a ˆın raport cu parametrul rs , astfel ˆıncˆ at nu este posibil˘a o dezvoltare ˆın serie de puteri rs pentru energia inelar˘a. (2′ )
E4. Termenii neinelari (corect¸iile de ordinul 2) sunt reprezentat¸i prin E0 contribut¸ii, conform relat¸iei (7.30)
, care are 2
1 (2b) (2c) δE + δE1 . 2 1 Prima contribut¸ie se obt¸ine din expresia (7.14b) pentru self-energia corespunz˘ atoare: Z −iV d4 k iωη f∗(2b) 1 (2b) (2b) e0 (k) e ~M (k) G E0 = δE1 = 4 2 2 R4 (2π) Z Z Z iV d4 q d4 k iωη d4 p e0 (k − q) G e0 (k − q − p) G e 0 (k − p) G e 0 (k) ; = e v (q) ve(p) G e 4 4 4 2~ R4 (2π) R4 (2π) R4 (2π) (2′ )
E0
=
prin schimbarea de variabil˘ a p → k − q − p se obt¸ine expresia echivalent˘ a: Z Z Z iV d4 q d4 k iωη d4 p (2b) e0 (k − q) G e0 (p) G e 0 (p + q) G e0 (k) . E0 = e ve(q) ve(k− q− p) G 4 4 4 2~ R4 (2π) R4 (2π) R4 (2π)
ˆIn continuare se expliciteaz˘ a integralele 4-dimensionale ¸si se separ˘ a integralele dup˘a frecvent¸e: Z ∞ Z Z Z 3 3 3 iV dω iωη d k d q d p (2b) E0 = v (q) ve(k − q − p) e e 2~ R3 (2π)3 R3 (2π)3 R3 (2π)3 −∞ 2π Z ∞ Z dω ′ ∞ dω ′′ e0 e 0 (k − q, ω − ω ′ ) G e 0 (p, ω ′′ ) G e0 (q + p, ω ′ + ω ′′ ) G (k, ω) G × −∞ 2π −∞ 2π Z ∞ Z Z Z d3 k d3 q d3 p dω ′ iV v e (q) v e (k − q − p) = 2~ R3 (2π)3 R3 (2π)3 R3 (2π)3 −∞ 2π Z ∞ Z ∞ ′′ ′′ dω dω iωη e 0 e0 (k − q, ω − ω ′ ) e 0 (p, ω ′′ ) G e 0 (p + q, ω ′′ + ω ′ ) e G (k, ω) G e iω η G × −∞ 2π −∞ 2π Z ∞ Z Z Z iV d3 k dω ′ d3 q d3 p ≡ v e (q) v e (k − q − p) J2 (k, −q, −ω ′ ) J2 (p, q, ω ′ ) , 3 3 3 2~ R3 (2π) R3 (2π) R3 (2π) 2π −∞ unde ˆın ultima integral˘a dup˘a frecvent¸a ω ′′ s-a introdus factorul de convergent¸˘a eiω dup˘a frecvent¸ele ω, respectiv ω ′′ , definesc funct¸iile J2 (k1 , k2 , ν): Z ∞ dω iωη e0 e0 (k1 + k2 , ν + ω) . e G (k1 , ν) G J2 (k1 , k2 , ν) ≡ −∞ 2π
′′
η
¸si integralele
Integrala dup˘a frecvent¸˘ a a produsului de dou˘a funct¸ii Green libere J2 (k1 , k2 , ν) a fost evaluat˘a la calculul transformatei Fourier a polariz˘arii de ordinul 0, iar rezultatul este cont¸inut ˆın demonstrat¸ia formulei (3.145): θ(kF − k1 ) θ(|k1 + k2 | − kF ) θ(k1 − kF ) θ(kF − |k1 + k2 |) − . J2 (k1 , k2 , ν) = i ν − ωk1 +k2 + ωk1 + i η ν − ωk1 +k2 + ωk1 − i η Atunci, ultima integral˘a dup˘a frecvent¸˘a devine Z ∞ dω ′ J2 (k, −q, −ω ′ ) J2 (p, q, ω ′ ) −∞ 2π Z ∞ dω ′ θ(kF − k) θ(|k − q| − kF ) θ(k − kF ) θ(kF − |k − q|) = i − ν − ωk−q + ωk + i η ν − ωk−q + ωk − i η −∞ 2π θ(kF − p) θ(|p + q| − kF ) θ(p − kF ) θ(kF − |p + q|) ; − ×i ν − ωp+q + ωp + i η ν − ωp+q + ωp − i η
˘ 7.3. ENERGIA STARII FUNDAMENTALE PENTRU MODELUL JELLIUM
71
expresia precedent˘ a se descompune ˆın fract¸ii simple, prin metoda utilizat˘a la demonstrarea for(1) mulei (3.145) ¸si apoi se consider˘ a integrale de tipul J± (a), astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: Z ∞ dω ′ J2 (k, −q, −ω ′ ) J2 (p, q, ω ′ ) −∞ 2π i = θ(kF − k) θ(|k − q| − kF ) θ(p − kF ) θ(kF − |p + q|) (ωp+q − ωp ) + (ωk−q − ωk ) i . + θ(k − kF ) θ(kF − |k − q|) θ(kF − p) θ(|p + q| − kF ) (ωk−q − ωk ) + (ωp+q − ωp ) (2b)
Pe baza rezultatului precedent expresia termenului E0 devine: Z Z Z V ve(q) ve(k − q − p) d3 k d3 q d3 p (2b) E0 = 3 3 2~ R3 (2π) R3 (2π) R3 (2π)3 (ωp+q − ωp ) + (ωk−q − ωk )
× θ(kF − k) θ(|k − q| − kF ) θ(p − kF ) θ(kF − |p + q|) Z Z Z V v (q) ve(k − q − p) e d3 k d3 q d3 p + 3 3 2~ R3 (2π) R3 (2π) R3 (2π)3 (ωp+q − ωp ) + (ωk−q − ωk ) × θ(k − kF ) θ(kF − |k − q|) θ(kF − p) θ(|p + q| − kF ) ;
ˆın ambii termeni se face schimbarea de variabile p → −p; q → −q, astfel c˘ a se obt¸ine: Z Z Z V ve(q) ve(k + q + p) d3 k d3 q d3 p (2b) E0 = 3 3 3 2~ R3 (2π) R3 (2π) R3 (2π) (ωp+q − ωp ) + (ωk+q − ωk ) × θ(kF − k) θ(|k + q| − kF ) θ(p − kF ) θ(kF − |p + q|) Z Z Z v (q) ve(k + q + p) e d3 k d3 q d3 p V + 3 3 2~ R3 (2π) R3 (2π) R3 (2π)3 (ωp+q − ωp ) + (ωk+q − ωk ) × θ(k − kF ) θ(kF − |k + q|) θ(kF − p) θ(|p + q| − kF ) ;
apoi, ˆın al doilea termen se face schimbarea de variabil˘ a k ↔ p, astfel c˘ a acest termen devine identic cu primul; ca urmare, se obt¸ine: Z Z Z V ve(q) ve(k + q + p) d3 k d3 q d3 p (2b) E0 = 3 3 3 ~ R3 (2π) R3 (2π) R3 (2π) (ωp+q − ωp ) + (ωk+q − ωk ) × θ(kF − k) θ(|k + q| − kF ) θ(p − kF ) θ(kF − |p + q|) .
ˆIn expresia precedent˘ a se expliciteaz˘ a potent¸ialul interact¸iei coulombiene ¸si numitorul (ωp+q − ωp ) + (ωk+q − ωk ) = astfel c˘ a rezult˘a
(2b)
E0
~ 2 ~ h (p + q)2 − p2 + (k + q)2 − k2 ] = q + q · (k + p) 2m 2m
4π e2 4π e2 V 1 q 2 |q + k + p|2 = d3 k d3 q d3 p 9 ~ (2π) R3 ~ 2 R3 R3 q + q · (k + p) 2m × θ(kF − k) θ(|k + q| − kF ) θ(p − kF ) θ(kF − |p + q|) Z Z Z m e4 θ(kF − k) θ(|k + q| − kF ) θ(p − kF ) θ(kF − |p + q|) 3 3 =V . d3 p d q d k 2 2 2 32 π ~ R3 R3 R3 q2 q + k + p q 2 + q · (k + p) Z
Z
Z
Expresia precedent˘ a se exprim˘ a cu variabilele adimensionale: k = kF k′ , q = kF q′ , p = kF p′ , astfel ˆıncˆ at rezult˘a: Z Z Z θ(1 − k ′ ) θ(|k′ + q′ | − 1) θ(p′ − 1) θ(1 − |p′ + q′ |) m e4 (2b) 3 3 ′ 3 ′ k d k d q d3 p′ ; E0 = V 2 F 7 2 32 π ~ R3 R3 R3 (q ′ )2 + q′ · (k′ + p′ ) (q ′ )2 q′ + k′ + p′
72
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
factorul din fat¸a parantezei se transform˘a ˆın felul urm˘ator: V
m e4 e2 3 kF3 = N, 7 2 5 32 π ~ 16 π 2 a0
astfel ˆıncˆ at rezult˘a termenul adimensionalizat: (2b)
ǫ(2b) ≡
E0
e2 2a0 Z Z Z 3 d3 q′ θ(1 − k ′ ) θ(p′ − 1) 3 ′ = d k d3 p′ 2 . 5 ′ 2 16 π R3 (q ) |k′ +q′ |>1 |p′ +q′ |<1 (q ′ )2 + q′ · (k′ + p′ ) q′ + k′ + p′ (7.44) N
Calcule numerice (efectuate de Onsager) arat˘a c˘ a termenul corectiv de ordinul 2, ǫ(2b) , este nesingular (este o constant˘ a). A doua contribut¸ie E02c este dat˘ a de formula (7.30b): Z −iV d4 k iωη f∗(2c) (2c) (2c) e0 (k) E0 = δE1 = e ~M (k) G 4 2 (2π) 4 R Z Z Z iV d4 q d4 k iωη d4 p e 0 (k − q) G e0 (k − q − p) G e 0 (k − p) G e 0 (k) ; = e ve(q) ve(p) G 4 4 4 2~ R4 (2π) (2π) (2π) 4 4 R R
prin schimbarea de variabile p → q − p ¸si q → k − q se obt¸ine expresia echivalent˘ a: Z Z Z d4 k iωη d4 q d4 p iV (2c) e 0 (q) G e0 (p) G e0 (q) G e 0 (k) e ve(k − q) ve(q − p) G E0 = 4 4 4 2~ R4 (2π) (2π) (2π) 4 4 R R Z Z Z d3 k iV d3 q d3 p v (k − q) ve(q − p) e = 2~ R3 (2π)3 R3 (2π)3 R3 (2π)3 Z ∞ Z ∞ Z ∞ 2 dω iωη e 0 dω ′ e0 dω ′′ e0 × G (p, ω ′′ ) G (q, ω ′ ) ; e G (k, ω) −∞ 2π −∞ 2π −∞ 2π
ultima integral˘a dup˘a frecvent¸a ω ′ este nul˘a: Z ∞ Z ∞ dω ′ e0 dω ′ n θ(q − kF ) θ(kF − q) o2 ′ 2 G (q, ω ) = + ω ′ − ωq + i η ω ′ − ωq − i η −∞ 2π −∞ 2π Z ∞ Z ∞ 1 1 dω ′ dω ′ = θ(q − kF ) 2 + θ(kF − q) 2 ′ ′ 2π 2π −∞ −∞ ω − ωq + i η ω − ωq − i η ω′ =∞ ω′ =∞ 1 1 = θ(q − kF ) ′ + θ(k − q) F ′ ω − ωq + i η ω′ =−∞ ω − ωq − i η ω′ =−∞ =0; (2c)
ca urmare, termenul E0
este nul.
F. Recapitularea rezultatelor ¸si concluzii Pe baza rezultatelor anterioare, energia st˘arii fundamentale a sistemului electronic ˆın modelul jellium are urm˘atoarea expresie adimensional˘ a: ǫ≡
E0 = ǫ0 + ǫ1 + ǫr + ǫ2 + ǫ ′ , e2 N 2 a0
unde 3 9π 2/3 1 , conform relat¸iei (7.34), este energia medie (pe starea fundamental˘ a) a 5 4 rs2 (0) sistemului de electroni liberi, adic˘a E0 = hH0 i0 ;
• ǫ0 =
˘ 7.3. ENERGIA STARII FUNDAMENTALE PENTRU MODELUL JELLIUM
73
−3 9π 1/3 1 , conform relat¸iei (7.35), este energia medie a interact¸iei coulombiene 2π 4 rs (1) (pe starea fundamental˘ a a sistemului de electroni liberi), adic˘a E0 = h V i0 ;
• ǫ1 =
2 1 − ln 2 ln rs + C, conform relat¸iei (7.43), este contribut¸ia inelar˘a, care este π2 dominant˘ a la limita densit˘ a¸tilor mari (rs → 0);
• ǫr ≈
(b)
• ǫ2 = ǫ2 = const. este contribut¸ia de ordinul 2 neinelar˘ a; • ǫ ′ este contribut¸ia neinelar˘ a de ordine superioare (n ≥ 3). Primii 2 termeni din expresia energiei st˘arii fundamentale produc energia medie a sistemului electronic ˆın modelul jellium pe starea fundamental˘ a a sistemului liber (|Φ0 i): (0)
(1)
E0 + E0
=
hΦ0 |(H0 + V )|Φ0 i = hHi0 , hΦ0 |Φ0 i
iar energia de corelat¸ie Ecor este contribut¸ia suplimentar˘ a la energia st˘arii fundamentale exacte, conform relat¸iei (7.31): E0 = hHi0 + Ecor ; ca urmare energia de corelat¸ie adimensional˘ a este ǫcor ≡
Ecor = ǫr + ǫ2 + ǫ ′ . e2 N 2a0
ˆIn expresia precedent˘ a a energiei de corelat¸ie (adimensional˘a) se remarc˘ a urm˘atoarele: i. termenul inelar ǫr are divergent¸˘a logaritmic˘ a la limita densit˘ a¸tilor mari (rs → 0); ii. termenul neinelar de ordinul 2 este o constant˘ a; iii. termenul neinelar pentru ordinele superioare ǫ ′ cont¸ine contribut¸ii divergente, dar mai slabe ca ale ale termenilor inelari, iar suma acestor termeni este de tipul ǫ ′ ∼ O rs ln rs , conform estim˘arilor efectuate de DuBois; ca urmare, contribut¸ia total˘ a a termenilor neinelari este convergent˘ a.
7.3.2
Metoda Hubbard (utilizarea funct¸iei de corelat¸ie a densit˘ a¸tii de particule)
A. Exprimarea energiei potent¸iale de interact¸ie prin funct¸ia de corelat¸ie a densit˘ a¸tii de particule Hamiltonianul interact¸iilor coulombiene dintre electroni, exprimat ˆın termeni de operatori de cˆ amp, are expresia de tipul formulei (2.105b), fiind un operator bi-particul˘a independent de spini: Z Z X 1 Vˆ = d3 r d3 r′ v(r − r′ ) ψˆσ† (r) ψˆσ† ′ (r′ ) ψˆσ′ (r′ ) ψˆσ (r) ; 2 V V ′ σ,σ
ˆın consecint¸˘ a, energia potent¸ial˘a de interact¸ie medie pe starea fundamental˘ a (a sistemului cu interact¸ii) este:
X Ψ0 |ψˆσ† (r) ψˆ† ′ (r′ ) ψˆσ′ (r′ ) ψˆσ (r)|Ψ0 i σ
d r d r v(r − r ) Ψ0 |Ψ0 i V V σ,σ′ E D X ˆ† (r, t) ψˆ† ′ (r′ , t) ψˆσ′ H (r′ , t) ψˆσH (r, t) Ψ0 Ψ ψ 0 σH σ H Z Z 1 σ,σ′
, = d3 r d3 r′ v(r − r′ ) 2 V Ψ0 |Ψ0 V
1 V 0= 2
Z
3
Z
3 ′
′
unde ˆın ultima egalitate s-au introdus operatorii de cˆ amp ˆın formularea Heisenberg la acela¸si timp.
74
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
Pentru a exprima energia potent¸ial˘a de interact¸ie medie ˆın termeni de funct¸ie de corelat¸ie pentru fluctuat¸iile de densitate de particule, se transform˘a produsul operatorilor de cˆ amp, prin utilizarea relat¸iilor de anti-comutare, ˆın operatori densitate de particule: X † ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t) ψˆσ′ H (r′ , t) ψˆσH (r, t) σ,σ′
=− =− =
X σ,σ′
X σ,σ′
X
† ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t) ψˆσH (r, t) ψˆσ′ H (r′ , t)
n o † (r, t) ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t) − δσ,σ′ δ 3 (r − r′ ) ˆ1 ψˆσH (r, t) ψˆσH
† ψˆσH (r, t) ψˆσH (r, t)
X σ′
σ
ψˆσ† ′ H (r′ , t) ψˆσ′ H (r′ , t) − δ 3 (r − r′ )
ˆH (r, t) n ˆH (r′ , t) − δ 3 (r − r′ ) n ˆH (r, t) ; =n
X
† ψˆσH (r, t) ψˆσH (r, t)
σ
atunci media p˘ art¸ii operatoriale din expresia anterioar˘ a a energiei de interact¸ie medie se exprim˘ a ˆın urm˘atoarea form˘a: E D X † Ψ0 ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t) ψˆσ′ H (r′ , t) ψˆσH (r, t) Ψ0 σ,σ′
Ψ0 |Ψ0
ˆH (r′ , t)|Ψ0 Ψ0 |ˆ nH (r, t) n Ψ0 |ˆ nH (r, t)|Ψ0 3 ′
= − δ (r − r ) Ψ0 |Ψ0 Ψ0 |Ψ0
ˆH (r, t) 0 . ˆH (r, t) n ˆH (r′ , t) 0 − δ 3 (r − r′ ) n = n
Pe de alt˘ a parte, funct¸ia de corelat¸ie cauzal˘ a a fluctuat¸iilor densit˘ a¸tii de particule este definit˘ a prin formula (3.160):
Ψ0 |T δnH (r, t) δnH (r′ , t′ ) |Ψ0
= − T δnH (r, t) δnH (r′ , t′ ) 0 ; Cn (r, t; r′ , t′ ) = − i Ψ0 |Ψ0
ca urmare, media produsului densit˘ a¸tilor de particule la acela¸si timp, se poate exprima prin funct¸ia de corelat¸ie a fluctuat¸iilor de densitate, cum s-a procedat la demonstrarea relat¸iei (3.171):
ˆH (r, t) 0 n ˆH (r′ , t) 0 ˆH (r, t) n ˆH (r′ , t) 0 = δˆ nH (r, t) δˆ nH (r′ , t) 0 + n n
ˆH (r, t) 0 n ˆH (r′ , t) 0 . = i Cn (r, t; r′ , t− ) + n
Atunci, energia potent¸ial˘a medie (pe starea fundamental˘ a a sistemului cu interact¸ii) devine: Z Z n o
1 ˆH (r, t) 0 . ˆH (r′ , t) 0 −δ 3 (r−r′ ) n ˆH (r, t) 0 n d3 r d3 r′ v(r−r′ ) i Cn (r, t; r′ , t− )+ n V 0= 2 V V (7.45) ˆIn cazul unui sistem omogen, din punct de vedere spat¸ial, densitatea medie de particule este
ˆH (r, t) 0 = n, iar expresia precedent˘ constant˘ a: n a a energiei de interact¸ie medie cap˘at˘a o form˘a mai simpl˘a: Z Z n o
1 3 V 0= d r d3 r′ v(r − r′ ) i Cn (r, t; r′ , t) + n2 − n δ 3 (r − r′ ) ; 2 V V
ˆın acest caz funct¸ia de corelat¸ie a fluctuat¸iilor de densitate este simetric˘ a ˆın raport cu variabilele Cn (r, t; r′ , t′ ) = Cn (r′ , t′ ; r, t), astfel ˆıncˆ at nu este necesar s˘a se efectueze modificarea infinitezimal˘a a celei de-a doua variabil˘ a spat¸ial˘a (adic˘a t− → t). Este convenabil s˘a se separe contribut¸ia de ordin minim (care este ordinul 1) de contribut¸iile de ordine superioare ale teoriei perturbat¸iilor, prin utilizarea funct¸iei de corelat¸ie a fluctuat¸iilor de densitate asociat˘a sistemului f˘ ar˘ a interact¸ii mutuale:
Φ0 |T δnI (r, t) δnI (r′ , t′ ) |Φ0 0 ′ ′
; Cn (r, t; r , t ) = − i Φ0 |Φ0
˘ 7.3. ENERGIA STARII FUNDAMENTALE PENTRU MODELUL JELLIUM
75
deoarece Cn0 (r, t; r′ , t′ ) este independent˘ a ˆın raport cu potent¸ialul de interact¸ie, se obt¸ine Z Z n o
1 d3 r d3 r′ v(r − r′ ) i Cn0 (r, t; r′ , t) + n2 − n δ 3 (r − r′ ) V 0= 2 V V Z Z n o i 3 + d r d3 r′ v(r − r′ ) Cn (r, t; r′ , t) − Cn0 (r, t; r′ , t) . 2 V V
Observat¸ii: i. ˆIn primul termen expresia din interiorul parantezelor acolade este independent˘ a de poten¸tialul de interact¸ie, astfel ˆıncˆ at acest termen este contribut¸ia de ordinul 1, ˆın sensul teoriei perturbat¸iilor; ca urmare, al doilea termen este contribut¸ia ordinelor superioare (n ≥ 2). ii. Separarea anterioar˘ a a contribut¸iei perturbative de ordinul 1 este posibil˘a numai pentru sisteme omogeme, deoarece ˆın cazul unui sistem neomogen densitatea medie hn(r)i cont¸ine contribut¸ii ˆın toate ordinele teoriei perturbat¸iilor. iii. Contribut¸ia de ordinul 1 este egal˘a cu media hamiltonianului de interact¸ie pe starea fundamental˘ a a sistemului f˘ ar˘ a interact¸ii: Z Z n o Ψ |Vˆ |Ψ 1 0 0 3 3 ′ ′ 0 ′ 2 3 ′ = h V i00 . d r d r v(r − r ) i Cn (r, t; r , t) + n − n δ (r − r ) =
2 V Ψ0 |Ψ0 V Pe baza rezultatelor anterioare, energia de interact¸ie medie (pe starea fundamental˘ a a sistemului cu interact¸ii) se exprim˘ a ˆın forma: Z Z n o i 0 3 h V i0 = h V i0 + d r d3 r′ v(r − r′ ) Cn (r, t; r′ , t) − Cn0 (r, t; r′ , t) . (7.46) 2 V V
Este important s˘a se remarce c˘ a rezultatul precedent este valabil pentru o interact¸ie mutual˘a ˆıntre particule de tip binar ¸si independent˘ a de spini (nu neap˘ arat interact¸ia coulombian˘ a). B. Exprimarea energiei de corelat¸ie prin polarizare Conform teoremei Pauli, exprimat˘ a prin relat¸ia (3.90), energia st˘arii fundamentale a sistemului cu interact¸ii se exprim˘ a prin integrala ˆın raport cu constanta de cuplaj variabil˘ a: Z 1 dλ
E0 = E00 + Ψ0 (λ) λ Vˆ Ψ0 (λ) . 0 λ
ˆIn expresia precedent˘ a se observ˘ a urm˘atoarele: i. energia st˘ arii fundamentale a sistemului f˘ar˘a interact¸ii E00 se poate exprima ca valoarea medie a hamiltonianului liber
ˆ 0 Φ0
0 Φ0 H 0 E0 = = H0 0 ; Φ0 Φ0 ii. media hamiltonianului cu constanta de cuplaj variabil˘ a se poate exprima cu formula (7.46) adaptat˘ a la cazul prezent:
Z Z n o λ Vˆ Φ0
Φ i 0 Ψ0 (λ) λ Vˆ Ψ0 (λ) = + d3 r d3 r′ vλ (r − r′ ) Cn(λ) (r, t; r′ , t) − Cn0 (r, t; r′ , t) , 2 V Φ0 Φ0 V (λ)
unde Cn0 (r, t; r′ , t) este independent˘ a de constanta de cuplaj, iar Cn (r, t; r′ , t) este funct¸ia de corelat¸ie a fluctuat¸iilor de densitate pentru sistemul cu constanta de cuplaj avˆand valoarea λ. Cu ajutorul rezultatelor anterioare, se exprim˘ a energia st˘arii fundamentale a sistemului cu interact¸ii ˆın forma: Z Z Z 1 n o
0 i
0 dλ 3 3 ′ ′ (λ) ′ 0 ′ λ V 0+ d r d r vλ (r − r ) Cn (r, t; r , t) − Cn (r, t; r , t) E0 = H0 0 + 2 V V 0 λ Z o i Z 1 dλ Z n n o
0 0 = H0 0 + V 0 + d3 r d3 r′ vλ (r − r′ ) Cn(λ) (r, t; r′ , t) − Cn0 (r, t; r′ , t) ; 2 0 λ V V
76
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
deoarece suma primilor 2 termeni este media pe starea fundamental˘ a liber˘a a hamiltonianului
0 0 0 total H0 0 + V 0 = H 0 , atunci, energia de corelat¸ie este
0 i Ecor ≡ E0 − H 0 = 2
Z
0
1
dλ λ
Z
V
Z n o d3 r d3 r′ vλ (r − r′ ) Cn(λ) (r, t; r′ , t) − Cn0 (r, t; r′ , t) . (7.47) V
Deoarece sistemul este omogen ¸si conservativ, este convenabil s˘a se efectueze transform˘arile Fourier spat¸io-temporale pentru funct¸iile de corelat¸ie ale fluctuat¸iilor de densitate, conform relat¸iei (3.161): Z Z ∞ d3 q dω i[q·(r−r′ )−ω(t−t′ )] e(λ) (λ) ′ ′ Cn (r, t; r t ) = e Cn (q, ω) , 3 (2π) 3 R −∞ 2π Z Z ∞ d3 q dω i[q·(r−r′ )−ω(t−t′ )] e0 Cn0 (r, t; r′ t′ ) = e Cn (q, ω) ; 3 (2π) R3 −∞ 2π
ca urmare, energia de corelat¸ie devine: Z Z Z Z Z ∞ ′ d3 q dω e(λ) i 1 dλ 0 3 e C (q, ω) − C (q, ω) λ d r d3 r′ v(r − r′ ) e iq·(r−r ) Ecor = n n 2 0 λ R3 (2π)3 −∞ 2π V V Z 1 Z Z ∞ (λ) iV d3 q dλ dω e (q, ω) − C e 0 (q, ω) , = λ ve(q) C n n 2 0 λ R3 (2π)3 −∞ 2π
unde ultima egalitate s-a obt¸inut prin efectuarea integralei spat¸iale duble cu schimbarea de variabile: (r, r′ ) → (R = r − r′ , r′ ) Z Z Z Z 3 ′ 3 ′ ′ iq·(r−r′ ) 3 d r = d3 R v(R) e iq·R = V e v (q) . d r d r v(r − r ) e V
V
V
V
Conform teoremei Hubbard (3.171), funct¸ia de corelat¸ie cauzal˘ a a fluctuat¸iilor de densitate este proport¸ional˘ a cu polarizarea, astfel c˘ a sunt valabile relat¸iile: en(λ) (q, ω) = ~ Π e (λ) (q, ω) , C en0 (q, ω) = ~ Π e 0 (q, ω) ; C
ca urmare, energia de corelat¸ie are urm˘atoarea expresie ˆın termeni de polarizare: Z 1 Z Z ∞ (λ) d3 q dλ dω i~V e (q, ω) − Π e 0 (q, ω) . λ ve(q) Π Ecor = 3 2 0 λ R3 (2π) −∞ 2π
(7.48)
Expresia energiei de corelat¸ie se poate scrie ˆın mod echivalent ˆın urm˘atoarele forme: e 0 (q, ω) = ve(q) ¸si V e (λ) (q, ω) = λ ve(q); atunci i. Se introduce interact¸ia efectiv˘ a de ordinul 0: V 0 (λ) (λ) e (q, ω) − Π e 0 (q, ω) = V e (q, ω) Π e (λ) (q, ω) − λ ve(q) Π e 0 (q, ω) ; este valabil˘a relat¸ia λ e v (q) Π 0 pe de alt˘ a parte, interact¸ia efectiv˘ a se exprim˘ a ˆın termeni de polarizare total˘ a, conform relat¸iei (3.137), sau ˆın termeni de polarizare proprie, prin ecuat¸ia Dyson, conform relat¸iei (3.138): e e 0 (q, ω) + V e 0 (q, ω) Π(q, e 0 (q, ω) , e V(q, ω) = V ω) V ∗ e e 0 (q, ω) + V e 0 (q, ω) Π e (q, ω) V(q, e V(q, ω) = V ω) ;
din aceste relat¸ii se obt¸ine relat¸ia
e 0 (q, ω) = Π e e e ∗ (q, ω) V(q, Π(q, ω) V ω) ,
iar energia de corelat¸ie se poate scrie astfel: Z 1 Z Z ∞ d3 q dλ i~V dω e (λ) e 0 (q, ω) Π e ∗(λ) (q, ω) − λ V e 0 (q, ω) , V (q, ω) Π Ecor = 3 2 0 λ R3 (2π) −∞ 2π
(7.49)
e ∗(0) (q, ω) = Π e 0 (q, ω) (polarizarea proprie de ordinul 0 este unde s-a utilizat proprietatea: Π polarizarea liber˘ a).
˘ 7.3. ENERGIA STARII FUNDAMENTALE PENTRU MODELUL JELLIUM
77
ii. Rezultatul anterior se poate exprima ˆın termeni de funct¸ia dielectric˘a generalizat˘a:
astfel ˆıncˆ at
κ e(q, ω) =
e 0 (q, ω) V e ∗ (q, ω) , = 1 − ve(q) Π e V(q, ω)
e 1 e (λ) (q, ω) Π e ∗(λ) (q, ω) = V0 (q, ω) Π e ∗(λ) (q, ω) = V 1−κ e(λ) (q, ω) . (λ) (λ) κ e (q, ω) κ e (q, ω)
Atunci, energia de corelat¸ie devine: Z 1 Z Z ∞ o i~V 1 d3 q dλ dω n e 0 (q, ω) Π e 0 (q, ω) . − 1 − λ V Ecor = 2 0 λ R3 (2π)3 −∞ 2π κ e(λ) (q, ω)
(7.50)
C. Aproximat¸ia inelar˘ a (RPA)
Observat¸ii preliminare: i. Conform modelului jellium, efectul fondului de sarcin˘a pozitiv˘ a (la limita termodinamic˘ a) este absent¸a termenilor corespunz˘ atori transferului nul de impuls (q = 0) ˆın hamiltonianul efectiv; ca urmare, diagramele care reprezint˘ a termenii perturbat¸ionali nu cont¸in linii de interact¸ie cu impuls nul. ii. Termenii de ordin inferior pentru polarizarea proprie au urm˘atoarele diagrame:
e∗ = Π e0 → • ordinul 0 cont¸ine 1 termen: Π 0 e ∗1 = Π e∗ + Π e∗ + Π e ∗ reprezentat¸i prin diagramele urm˘atoare: • ordinul 1 cont¸ine 3 termeni: Π 1b 1b 1b
+
+
Exist˘a 2 termeni irreductibili de ordinul 1 suplimentari, care sunt exclu¸si, deoarece cont¸in linii de interact¸ie cu impuls nu ¸si care sunt reprezentat¸i prin diagramele de mai jos:
+
Polarizarea total˘ a se obt¸ine prin ˆınsumarea tuturor repetit¸iilor de polarizare proprii legate prin linii de interact¸ie, conform relat¸iei (3.135): e e ∗ (q) + Π e ∗ (q) V e0 (q) Π e ∗ (q) + Π e ∗ (q) V e0 (q) Π e ∗ (q) V e0 (q) Π e ∗ (q) + . . . Π(q) =Π
unde polarizarea proprie este suma termenilor de perturbat¸ie:
e ∗ (q) = Π e ∗0 (q) + Π e ∗1 (q) + Π e ∗2 (q) + . . . ≡ Π e 0 (q) + Π e ∗1 (q) + Π e ∗s (q) , Π
e ∗ (q) este suma termenilor de ordine superioare. iar Π s
78
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
ˆIn seria perturbat¸ional˘ a a polariz˘ arii se grupeaz˘ a termenii dup˘a ordinul de perturbat¸ie ¸si se evident¸iaz˘ a ˆın fiecare ordin termenul inelar: 0 0 e e (q) + Π e ∗1 (q) + Π e ∗s (q) + Π e (q) + Π e ∗1 (q) + Π e ∗s (q) 2 V e0 (q) Π(q) = Π 0 e (q) + Π e ∗ (q) + Π e ∗ (q) 3 V e 2 (q) + . . . + Π 1 s 0 0 2 0 2 2 0 ∗ e e e e e (q) V e (q) + . . . + . . . = Π (q) + Π (q) V0 (q) + Π1 (q) + Π 0 0 n n−1 e (q) V e ...+ Π (q) + . . . + . . . 0
(7.51)
e 0 (q) + Π e 1 (q) + Π e 2 (q) + . . . + Π e n−1 (q) + . . . ≡Π
Se poate efectua o analiz˘a similar˘ a cu cea prezentat˘ a pentru self-energie (ˆın cadrul metodei Brueckner ¸si Gell-Mann), pentru a estima m˘arimea termenilor care contribuie la seria de perturbat¸ie a polariz˘ arii. Din aceast˘a analiz˘a se obt¸ine c˘ a ˆın fiecare ordin de perturbat¸ie termenul inelar este dominant (are divergent¸a maxim˘ a) ˆın raport cu tot¸i ceilalt¸i termeni de acela¸si ordin; justificarea este similar˘ a cu cea prezentat˘ a anterior pentru self-energie ¸si aceast˘a proprietate este datorat˘a caracterului interact¸iei coulombiene de a avea raz˘ a lung˘ a de act¸iune. Termenul inelar de ordinul n are urm˘atoarea expresie ¸si reprezentare diagramatic˘ a
e r,n (q) = Π e 0 (q) n+1 V e n (q) → Π 0
Aproximat¸ia inelar˘ a (numit˘ a ˆın mod frecvent aproximat¸ia fazelor aleatoare (RPA)) consider˘ a numai termenii inelari pentru polarizare, iar termenii neinelari sunt considerat¸i corect¸ii ¸si se ret¸in numai corect¸iile de ordin inferior. Ca urmare, polarizarea ˆın aproximat¸ia RPA, are expresia e e 0 (q) + Π(q) =Π
∞ X
n=1
e r,n (q) + Π
(l) ∞ X X l=1
j
e nr,lj (q) ≡ Π e 0 (q) + Π e r (q) + Π e nr (q) , Π
(7.52)
P P(l) P e e e nr (q) = ∞ e r (q) = ∞ Π si Π unde Π j Πnr,lj (q) este suma l=1 n=1 r,n (q) este termenul inelat total ¸ tuturor termenilor neinelari de ordine l ≥ 1. Se observ˘ a c˘ a termenul inelar total se poate exprima cu interact¸ia efectiv˘a RPA:
e r (q) = Π e 0 (q) V eRPA (q) Π e 0 (q) Π
−→
e0 (q) V . e e 0 (q) V0 (q) Π Energia de corelat¸ie se obt¸ine din relat¸ia (7.48), ˆın care se utilizeaz˘a aproximat¸ia RPA pentru polarizare (termenii neinelari se ret¸in numai ˆın ordinul 1):
eRPA (q) = unde V
e (λ) (q, ω) − Π e 0 (q, ω) = Π e (λ) (q) + Π e (λ) (q) ≈ Π e (λ) (q) + Π e (λ) (q) ; Π r nr r 1
˘ 7.3. ENERGIA STARII FUNDAMENTALE PENTRU MODELUL JELLIUM
79
atunci rezult˘a urm˘atoarea expresie a energiei de corelat¸ie: Ecor
Z
Z
Z ∞ (λ) d3 q dω e (q, ω) − Π e 0 (q, ω) λ ve(q) Π 3 (2π) 2π 3 0 R −∞ Z 1 Z Z ∞ i~V d3 q dλ dω e (λ) (q, ω) = λ ve(q) Π r 3 2 0 λ R3 (2π) −∞ 2π Z 1 Z Z ∞ i~V d3 q dλ dω e (λ) (q, ω) + . . . + λ ve(q) Π 1 3 2 0 λ R3 (2π) −∞ 2π i~V = 2
1
dλ λ
(r) (2) ≡ Ecor + Ecor + ...
(7.53)
(r)
unde Ecor este termenul inelar, care este termenul dominant (deoarece cont¸ine contribut¸ia cea mai (2) divergent˘ a ˆın fiecare ordin al teoriei perturbat¸iilor), iar Ecor este termenul neinelar de ordinul 2 (care este ordinul minim) ¸si acest ultim termen este considerat o corect¸ie. D. Demonstrarea echivalent¸ei ˆıntre rezultatul Hubbard ¸si rezultatul Brueckner Conform relat¸iei (7.53) partea inelar˘a a energiei de corelat¸ie este Z
Z
Z ∞ d3 q dω e (λ) (q, ω) λ ve(q) Π r 3 (2π) 2π 3 R 0 −∞ 0 Z Z Z ∞ e (q, ω) 2 λ ve(q) Π i~V d3 q dω 1 dλ = λ ve(q) , e 0 (q, ω) 2 R3 (2π)3 −∞ 2π 0 λ 1 − λ ve(q) Π
(r) Ecor =
i~V 2
1
dλ λ
unde s-a utilizat expresia polariz˘ arii inelare
e (λ) (q, ω) = Π e 0 (q, ω) V e (λ) (q, ω) Π e 0 (q, ω) = Π r RPA
e (λ) (q, ω) 0 V 0 e (q, ω) 2 . Π (λ) e (q, ω) Π e 0 (q, ω) V 0
Integrala ˆın raport cu constanta de cuplaj este elementar˘ a Z
0
1
0 n e (q, ω) 2 o λ ve(q) Π dλ e 0 (q, ω) + ln ve(q) Π e 0 (q, ω) , λ ve(q) = − ve(q) Π e 0 (q, ω) λ 1 − λ ve(q) Π
astfel ˆıncˆ at partea inelar˘a a energiei de corelat¸ie are urm˘atoarea expresie: Z Z ∞ o −i~V d3 q dω n (r) e 0 (q, ω) + ln ve(q) Π e 0 (q, ω) Ecor = . ve(q) Π 3 2 R3 (2π) −∞ 2π
(7.54)
Se observ˘ a c˘ a rezultatul Hubbard pentru partea inelar˘a a energiei de corelat¸ie este identic cu rezultatul Brueckner ¸si Gell-Mann, dat de formula (7.30c); coincident¸a analitic˘a a rezultatelor este confirmat˘a de diagramele corespunz˘ atoare:
(r)
i. pentru rezultatul Hubbard Ecor =
(r)
ii. pentru rezultatul Brueckner Ecor =
er Π
=
fr M
=
Se observ˘ a c˘ a cele dou˘a diagrame sunt topologic echivalente, astfel c˘ a acestea corespund la aceea¸si expresie analitic˘a.
80
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
Termenul principal de corect¸ie, care este de ordinul 2 pentru energie, are 3 contribut¸ii, deoarece sunt 3 diagrame topologic distincte pentru polarizarea proprie de ordinul 1, astfel ˆıncˆ at din relat¸ia (7.53), se obt¸ine: (2) Ecor
i~V = 2
Z
1
0
Z
d3 q 3 R3 (2π)
Z
∞
dω e (λ) (q, ω) λ ve(q) Π 1 2π −∞
Z Z ∞ d3 q dλ dω e (λ) (q, ω) λ ve(q) Π 1b 3 0 λ R3 (2π) −∞ 2π Z 1 Z Z ∞ i~V d3 q dλ dω e (λ) (q, ω) + λ ve(q) Π 1c 3 2 0 λ R3 (2π) −∞ 2π Z 1 Z Z ∞ i~V d3 q dλ dω e (λ) (q, ω) + λ ve(q) Π 1a 3 2 0 λ R3 (2π) −∞ 2π
i~V = 2
Z
dλ λ
1
(2b) (2c) (2a) = Ecor + Ecor + Ecor .
(2b)
(2c)
(7.55)
(2a)
Cei 3 termeni au diagrame echivalente topologic cu termenii E0 , E0 ¸si E0 prezentat¸i anterior ˆın cadrul metodei Brueckner ¸si Gell-Mann; echivalent¸a topologic˘a a diagramelor termenilor corespondent¸i este ar˘ atat˘a mai jos:
(2b)
• Ecor =
(2c)
• Ecor =
(2a)
• Ecor =
=
=
=
(2b)
;
(2c)
=0;
(2a)
=0.
= E0
= E0
= E0
Deoarece echivalent¸a topologic˘a a diagramelor implic˘ a expresii analitice corespondente identice, rezult˘a c˘ a cele dou˘a metode (Hubbard, respectiv Brueckner ¸si Gell-Mann) sunt echivalente, deoarece produc acelea¸si rezultate pentru energia st˘arii fundamentale a sistemului de electroni ˆın modelul jellium.
˘ FINITA ˘ 7.4. GAZUL ELECTRONIC LA TEMPERATURA
7.4
81
Gazul electronic la temperatur˘ a finit˘ a
7.4.1
Condit¸ii ¸si formularea modelului
Sistemul studiat este modelul jellium pentru electroni, utilizat ˆın sect¸iunile anterioare ¸si care este constituit din 2 subsisteme: i. sistemul de electroni (fiecare electron are masa m, num˘arul de spin s = 1/2 ¸si sarcina electric˘a q = −e) care au interact¸ii mutuale coulombiene; ii. fondul de sarcin˘a pozitiv˘ a uniform distribuit˘ a ˆın spat¸iu (densitatea de sarcin˘a este egal˘a ˆın m˘arime cu densitatea medie de sarcin˘a electronic˘ a ¸si este constant˘ a); ca urmare, concentrat¸ia medie de electroni este constant˘ a, fiind egal˘a cu n(r) = n. A¸sa cu s-a evident¸iat ˆın Sect¸iunea 7.1 acest model aproximeaz˘a ˆın mod grosier modelul unui metal, dar neglijeaz˘ a structura dinamic˘ a a ret¸elei ionice ¸si interact¸iile de spin electronice; fondul de sarcin˘a pozitiv˘ a, datorat ret¸elei ionice, asigur˘a neutralitatea electric˘a a sistemului. Spre deosebire de sect¸iunea precedent˘ a, ˆın cazul prezent se va considera sistemul ˆın condit¸ii de echilibru termodinamic, corespunz˘ ator unei temperaturi finite; de¸si situat¸iile fizice implic˘ a condit¸ii externe canonice (cˆand sistemul este ˆın contact cu un termostat, astfel ˆıncˆ at temperatura, volumul ¸si num˘ arul de particule sunt fixate), totu¸si pentru simplificarea calculelor ¸si utilizarea teoriei perturbat¸iilor cu formalismului Matsubara, se va considera c˘ a sistemul este ˆın condit¸ii grand-canonice (cˆand sistemul este ˆın contact cu un rezervor termic ¸si de particule, astfel ˆıncˆ at temperatura, potent¸ialul chimic ¸si volumul sunt fixate); deoarece la limita termodinamic˘ a rezultatele ansamblului statistic grand-canonic sunt echivalente cu rezultatele corespondente ale ansamblului statistic canonic, ˆın formulele finale grand-canonice se va elimina potent¸ialul chimic ˆın termeni de num˘ arul particulelor sistemului, astfel c˘ a se vor obt¸ine rezultate canonice. Deducerea propriet˘ a¸tilor termodinamice ale sistemului se va face prin aplicarea aproximat¸iei RPA pentru self-energie, ˆın mod similar cu metoda Brueckner ¸si Gell-Mann din formalismul de temperatur˘a nul˘a; aceast˘a metod˘ a a fost utilizat˘a init¸ial de c˘ atre Montroll ¸si Ward. Conform modelului “jellium” hamiltonianul sistemului este dat de relat¸ia (7.1), rescris˘a ˆın Cuantificarea II: ˆ =H ˆ el + H ˆf + H ˆ el−f , H ˆ el este hamiltonianul sistemului de electroni (include termenul cinetic ¸si termenul inteunde H ˆ f este hamiltonianul fondului de sarcin˘a pozitiv˘ ract¸iilor mutuale coulombiene), H a (corespunde ˆ el−f este hamiltointeract¸iei electrostatice pentru distribut¸ia continu˘ a de sarcin˘a a fondului) ¸si H nianul de interact¸ie electrostatic˘ a dintre sistemul de electroni ¸si fondul de sarcin˘a pozitiv˘ a. Dup˘a cum s-a ar˘ atat ˆın Sect¸iunea 7.1, condit¸ia de neutralitate electric˘a are drept consecint¸˘a anihilarea reciproc˘ a (la limita termodinamic˘ a) a termenilor corespunz˘ atori fondului de sarcin˘a pozitiv˘ a, interact¸iei dintre fondul pozitiv ¸si electroni ¸si partea din interact¸ia coulombian˘ a electronic˘ a cu transfer de impuls nul; ca urmare, hamiltonianul efectiv al sistemului este constituit numai din termenul cinetic electronic ¸si termenul de interact¸ie coulombian˘ a dintre electroni cu transfer de impuls nenul, dup˘a cum rezult˘a din formula (7.11): X 1 X X′ X ˆ = ˆk−q σ , ve(q) a ˆ†k σ a ˆ†k′ σ′ a ˆk′ +q σ′ a H ε0k a ˆ†kσ a ˆkσ + 2V ′ ′ q k,σ
k,k
σ,σ
unde:
• st˘ arile uni-particul˘ a de baz˘ a (pe care se efectueaz˘a cuntificarea operatorilor) sunt st˘ari proprii ale electronilor liberi (k, σ), care sunt caracterizate prin funct¸iile de stare ψk,σ (r, s) ¸si energie ε0k : e ik·r ψk,σ (r, s) = ϕk (r) χσ (s) = √ χσ (s) , V 2 2 ~ k ; ε0k = 2m pe aceste st˘ ari se definesc operatorii elementari a ˆkσ ¸si a ˆ†kσ ; • e v (q) =
4π e2 este transformata Fourtier a potent¸ialului de interact¸ie coulombian˘ a; q2
82
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE •
X′
... =
X
. . . este sumarea pentru toate valorile nenule ale transferului de impuls; ca
q (q6=0)
q
urmare, hamiltonianul efectiv nu cont¸ine termeni cu transformate Fourier ale potent¸ialului coulombian care au transfer de impuls nul ve(q) , ceea ce corespunde la absent¸a diagraq=0
melor reprezentative termenilor de perturbat¸ie, care s˘a cont¸in˘a linii de interact¸ie cu impuls nul.
Potent¸ialul grand-canonic al sistemului se obt¸ine prin utilizarea teoremei Peierls, reprezentat˘ a prin relat¸ia (5.95): Ω(T, V, µ) = Ω0 (T, V, µ) +
Z
1
0
dλ V λ (2π)3
Z
d3 k
R3
1 X iωn η f∗ e ~ Mλ (k, ωn ) Ge(λ) (k, ωn ) , ~β n
2s + 1 f∗ (k, ωn ) ¸si Ge(λ) (k, ωn ) sunt transformatele unde factorul de spin este banal = 1, iar M λ 2 Fourier pentru self-energie ¸si respectiv funct¸ia Green-Matsubara pentru sistemul cu potent¸ialul de interact¸ie coulombian˘ a vλ (r) = λ v(r), ceea ce corespunde la constanta de cuplaj e2λ = λ e2 . Pe baza teoremei Peierls se poate evalua potent¸ialul grand-canonic al sistemului Ω printro serie de puteri ˆın constanta de cuplaj λ; totu¸si, apar dificult˘a¸ti similare cu cele ˆıntˆ alnite ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a: i. termenul de ordinul 1 este insuficient, mai mult aproximat¸ia de ordinul 1 self-consistent˘ a (Hartree-Fock) produce rezultate termodinamice incorecte; ii. termenul de ordinul 2 cont¸ine contribut¸ii divergente; ii. termenii de ordin superior cont¸in fiecare cˆ ate un temen maxim divergent. Ca urmare, nu este posibil s˘a se aproximeze seria de perturbat¸ie la un ordin finit ¸si este necesar s˘a se izoleze clasa de termeni maxim divergent¸i astfel ˆıncˆ at s˘a se efectueze sumarea tuturor termenilor din aceast˘a clas˘ a; numai ˆın acest fel este posibil ca s˘a se obt¸in˘a o contribut¸ie finit˘a pentru suma termenilor dominant¸i. ˆIn expresia potent¸ialului grand-canonic este convenabil s˘a se includ˘ a toate contribut¸iile constantei de cuplaj ˆın self-energie; pentru a realiza aceast˘a proprietate se exprim˘ a transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara ˆın 2 moduri echivalente: fie ˆın termeni de self-energia proprie conform ecuat¸iei Dyson (5.88), fie ˆın termeni de self-energia total˘ a conform relat¸iei (5.85) fλ (k, ωn ) Ge0 (k, ωn ) , Ge(λ) (k, ωn ) = Ge0 (k, ωn ) + Ge0 (k, ωn ) M
f∗λ (k, ωn ) Ge(λ) (k, ωn ) ; Ge(λ) (k, ωn ) = Ge8 (k, ωn ) + Ge0 (k, ωn ) M
din relat¸iile precedente rezult˘a:
f∗λ (k, ωn ) Ge(λ) (k, ωn ) = M fλ (k, ωn ) Ge0 (k, ωn ) , M
unde transformata Fourier a self-energiei totale se exprim˘ a ˆın termeni de transformatele Fourier ale self-energiei proprii ¸si ale funct¸iei Green-Matsubara liber˘a: fλ (k, ωn ) = M f∗λ (k, ωn ) + M f∗λ (k, ωn ) Ge0 (k, ωn ) M f∗λ (k, ωn ) + . . . M ∞ X ∗ f∗λ (k, ωn ) fλ (k, ωn ) Ge0 (k, ωn ) ]l , =M M l=0
de unde rezult˘a
fλ (k, ωn ) Ge0 (k, ωn ) = M
∞ X l=1
f∗ (k, ωn ) Ge0 (k, ωn ) ]l . M λ
pe baza rezultatelor precedente, expresia potent¸ialului grand-canonic devine: Ω(T, V, µ) = Ω0 (T, V, µ) +
Z
0
1
dλ V λ (2π)3
Z
R3
d3 k
1 X iωn η f e ~ Mλ (k, ωn ) Ge0 (k, ωn ) . ~β n
(7.56)
˘ FINITA ˘ 7.4. GAZUL ELECTRONIC LA TEMPERATURA
7.4.2
83
Evaluarea self-energiei
f ωn ) ˆın primele ordine Se vor evalua contribut¸iile la transformata Fourier a self-energiei M(k, de perturbat¸ie pentru a evident¸ia posibilele divergent¸e ¸si m˘arimea relativ˘a a acestor contribut¸ii. Pentru simplitate se va utiliza urm˘atoarea notat¸ie: i. frecvent¸ele fermionice (impare) se noteaz˘ a prin ωn , ii. frecvent¸ele bosonice (pare) se noteaz˘ a prin νn . I. Ordinul 1 Transformata Fourier a self-energiei are numai contribut¸ia termenului de schimb, deoarece termenul interact¸iei directe cont¸ine linia de interact¸ie cu impuls nul, astfel ˆıncˆ at aceast˘a contribut¸ie direct˘a trebuie exclus˘ a, conform consecint¸elor condit¸iei de neutralitate electric˘a; atunci, din formula (5.98) ˆın care se exclude termenul direct, rezult˘a: k, ωn Z −1 d3 q k − q ∗(1) f f∗(1) (k) = M (k, ωn ) → ve(k − q) n0q = M q, ωn′ ~ R3 (2π)3 ωn − ωn′ k, ωn Pentru o constant˘ a de cuplaj λ, se obt¸ine: veλ (q) = λ ve(q) =⇒ (este independent˘ a de frecvent¸˘ a). Atunci contribut¸ia de ordinul 1 la potent¸ialul grand-canonic este: Ω1 (T, V, µ) = V
f∗(1) (k, ωn ) = λ M f∗(1) (k) M λ
Z d3 k 1 X iωn η 1 dλ f∗(1) (k) Ge0 (k, ωn ) λ ~M e 3 0 λ R3 (2π) ~β n | {z }
Z
=1
Z
X d3 k f∗(1) (k) 1 =V ~ M e iωn η Ge0 (k, ωn ) 3 ~β n R3 (2π) Z d3 k f∗(1) (k) n0 , ~M =V k 3 (2π) 3 R
unde suma dup˘a frecvent¸˘ a s-a efectuat utilizˆand relat¸ia de sumare (5.56):
1 X iωn η e0 1 X e iωn η 1 e G (k, ωn ) = = n0k . = ~β n ~β n iωn − ~1 (εk − µ) 1 + eβ(εk −µ)
Se introduce expresia transformatei Fourier a self-energiei de ordinul 1 ¸si se obt¸ine: Ω1 (T, V, µ) = − V
Z
d3 k 3 R3 (2π)
Z
d3 q ve(k − q) n0q n0k . 3 (2π) 3 R
(7.57)
Dac˘ a se utilizeaz˘ a aproximat¸ia de ordinul 1, adic˘a Ω ≈ Ω0 +Ω1 , iar apoi se expliciteaz˘ a integralele (ˆın cazul asimptotic al temperaturilor joase) ¸si se elimin˘ a potent¸ialul chimic ˆın termeni de num˘arul particulelor, conform relat¸iilor termodinamice: N (T, V, µ) = −
∂Ω ∂µ
=⇒
µ(T, V, N ) ,
T,V
atunci se obt¸ine pentru capacitatea caloric˘ a isocor˘ a a sistemului urm˘atoarea comportare la temperaturi joase: T , CV ∼ − T ≥0 ln T care este ˆın contradict¸ie cu principiile termodinamicii; rezultatul anterior arat˘a c˘ a aproximat¸ia de ordinul 1 este insuficient˘ a ¸si astfel este necesar s˘a se examineze termenii de ordine superioare.
84
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
II. Ordinul 2 ˆIn ordinul 2 exist˘a 6 contribut¸ii distincte, dintre care urm˘atoarele 3 contribut¸ii, reprezentate diagramatic mai jos
+
+
trebuie excluse, deoarece cont¸in linii de interact¸ie cu transfer de impuls nul. Ca urmare r˘amˆ an numai urm˘atoarele 3 contribut¸ii reprezentate prin diagramele k, ωn k, ωn k, ωn q, νl p + q, ′ ωm + νl k − q, p + q, ′ ω n − νl ω m + νl
k, ωn
′ p, ωm
+ q, νl
q, νl
k − p − q, ′ ωn − ωm − νl
+
′ p, ωm
k − q, ω n − νl
q, νl q − p, ′ νl − ω m
′ p, ωm
k − q, ω n − νl
q, νl k, ωn
k, ωn
care au urm˘atoarea corepondent¸˘ a analitic˘a:
unde
f∗(2) (k, ωn ) = M f∗(2r) (k, ωn ) + M f∗(2b) (k, ωn ) + M f∗(2c) (k, ωn ) M
Z Z −1 2 2 d3 q d3 p 1 X 1 X ∗(2r) f (−1) 2 ve(q) M (k, ωn ) = 3 3 ~ ~β m R3 (2π) R3 (2π) ~β l
′ ′ × Ge0 (k − q, ωn − νl ) Ge0 (p − q, ωm − νl ) Ge0 (p, ωm ) Z Z 3 3 2 −2 d q d p = 2 ve(q) 3 3 ~ R3 (2π) R3 (2π) 1 X e0 ′ ′ × G (k − q, ωn − νl ) Ge0 (p − q, ωm − νl ) Ge0 (p, ωm ), (~β)2 l,m −1 2 Z d3 q Z d3 p 1 X 1 X ∗(2b) f ve(q) ve(k − p − q) M (k, ωn ) = 3 3 ~ ~β m R3 (2π) R3 (2π) ~β
(7.58a)
l
′ ′ × Ge0 (k − q, ωn − νl ) Ge0 (p − q, ωm − νl ) Ge0 (p, ωm ) Z Z 3 3 1 d q d p ve(q) ve(k − p − q) = 2 3 ~ R3 (2π) R3 (2π)3 1 X e0 ′ ′ × G (k − q, ωn − νl ) Ge0 (p − q, ωm − νl ) Ge0 (p, ωm ), (~β)2 l,m 2 Z d3 q Z d3 p 1 X 1 X f∗(2c) (k, ωn ) = −1 M ve(k − q) ve(q − p) 3 3 ~ ~β m R3 (2π) R3 (2π) ~β
(7.58b)
l
′ ′ × Ge0 (q, νl ) e iωm η Ge0 (p, ωm ) Ge0 (q, νl ) Z Z 1 d3 q d3 p ve(k − q) ve(q − p) = 2 3 ~ R3 (2π) R3 (2π)3 2 ′ 1 X iωm η e0 ′ × e G (p, ωm ) Ge0 (q, νl ) . 2 (~β)
l,m
(7.58c)
˘ FINITA ˘ 7.4. GAZUL ELECTRONIC LA TEMPERATURA
85
Observat¸ii: ′ η f∗(2c) (k, ωn ) s-a introdus factorul de convergent¸˘a e iωm i. La termenul M , deoarece linia par0 ′ e ticul˘ a care reprezint˘ a funct¸ia Green-Matsubara G (p, ωm ) are ambele capete legate prin aceea¸si linie de interact¸ie. f∗(2) (k, ωn ), sunt ii. Cele 3 contribut¸ii la transformata Fourier a self-energiei ˆın ordinul 2, M ˆın mod formal de acela¸si ordin ˆın raport cu constanta de cuplaj (adic˘a tot¸i cei 3 termeni sunt proport¸ionali cu λ2 ∼ e4 ); totu¸si, se va ar˘ata c˘ a termenul inelar este mult mai mare decˆat cei f∗(2r) (k, ωn ) ≫ M f∗(2b) (k, ωn ) & M f∗(2c) (k, ωn ), deoarece termenul inelar doi termeni neinelari: M este divergent, iar termenii neinelari sunt finit¸i. f∗(2r) , M f∗(2b) ¸si M f∗(2c) ), sumele dup˘a frecvent¸e implic˘ iii. ˆIn fiecare dintre cei 3 termeni (M a 0 combinat¸ii de funct¸ii de distribut¸ie Fermi-Dirac (nk ), astfel c˘ a funct¸iile sumand sunt lent variabile la impulsuri p ¸si q mici. iv. Transformata Fourier a potent¸ialului de interact¸ie coulombian este divergent˘ a la impulsuri 4π e2 e2 −→ ∞; ca urmare, cei 3 termeni considerat¸i anterior pot → ve(q) = mici: v(r) = r q 2 q→0 avea divergent¸e infra-ro¸sii (la impulsuri mici q → 0).
Evaluarea integranzilor ˆın domeniul infra-ro¸su (q → 0) este bazat˘a pe observat¸ia c˘ a sumele dup˘a frecvent¸e produc funct¸ii lent variabile ˆın raport cu impulsurile, astfel ˆıncˆ at comportarea dominant˘ a este dat˘ a de transformatele Fourier ale potent¸ialelor de interact¸ie coulombiene; atunci se obt¸in urm˘atoarele rezultate: • pentru termenul inelar f∗(2r) ∼ M
Z
d3 q ve2 (q) Sr (q) ∼ e4
Z
0
∞
dq q 2
1 S(q) ∼ q4
Z
∞
dq
0
1 q2
adic˘a acest termen are divergent¸˘a infra-ro¸sie;
f∗(2b) • pentru termenul de schimb M Z Z ∗(2b) 3 f M ∼ d q d3 p ve(q) ve(k − q − p) Sb (q, p) Z ∞ Z ∞ 1 ∼ e4 Sb (q, p) dq q 2 dp p2 q 2 |k − q − p|2 0 0 Z ∞ Z ∞ p2 ∼ dq dp |k − q − p|2 0 0 adic˘a acest termen este finit (nedivergent); f∗(2c) • pentru termenul de schimb M Z Z f∗(2c) ∼ d3 q d3 p ve(k − q) ve(q − p) Sc (q, p) M Z ∞ Z ∞ 1 1 ∼ e4 Sc (q, p) dq q 2 dp p2 2 |k − q| |q − p|2 0 0 Z ∞ Z ∞ q 2 p2 ∼ dq dp |k − q|2 |q − p|2 0 0 adic˘a acest termen este, de asemenea, finit (nedivergent). Concluzii asupra termenilor de ordinele 1 ¸si 2: i. termenul de ordinul 1 este finit, dar aproximat¸ia de ordinul 1 conduce la rezultate nefizice; f∗(2b) ¸si M f∗(2c) ) sunt ii. ˆın ordinul 2 exist˘a 3 contribut¸ii, dintre care termenii de schimb (M f∗(2r) ) este divergent; finit¸i, dar termenul inelar (M iii. sursa divergent¸ei ˆın termenul inelar de ordinul 2 este prezent¸a aceluia¸si transfer de impuls (q) pe ambele linii de interact¸ie (la cei doi termeni de schimb liniile de interact¸ie au transferuri de impuls diferite); iv. analiza efectuat˘a ˆın primele 2 ordine de perturbat¸ie arat˘a c˘a este necesar s˘a se considere un set infinit de termeni perturbat¸ionali ˆın toate ordinele teoriei perturbat¸iilor.
86
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
III. Aproximat¸ia inelar˘ a (RPA) Conform observat¸iilor precedente se vor estima posibilii termeni divergent¸i ˆın ordinele superioare teoriei perturbat¸iilor. ˆIn ordinul 3 exist˘a o singur˘a diagram˘ a care are toate cele 3 linii de interact¸ie cu acela¸si transfer de impuls (q), anume diagrama termenului inelar de ordinul 3, care este reprezentat˘ a mai jos: k
q p′ + q
f∗(3r) (k, ωn ) = M
k−q
p′ ∼ e6
q p+q
p
Z
d3 q
1 q6
q k Acesta este termenul cu divergent¸˘ a maxim˘ a, deoarece tot¸i ceilalt¸i termeni de ordinul 3 sunt fie mai put¸in divergent¸i, fie sunt convergent ¸ i (adic˘ a finit¸i), adic˘a tot¸i ace¸sti termeni au comportarea Z 1 6 3 analitic˘a de tipul ∼ e d q 2m , (m = 0, 1, 2) . q ˆIn ordinul n, ˆın mod similar, exist˘a o singur˘a diagram˘ a care are toate liniile de interact¸ie cu acela¸si transfer de impuls (q), anume diagrama termenului inelar de ordinul n k
q
q q f∗(nr) (k, ωn ) = M
k−q
∼ e6
q
Z
d3 q
1 q 2n
q k q Acesta este termenul cu divergent¸˘ a maxim˘ a; tot¸i ceilalt¸i termeni de ordinul n sunt fie mai slab divergent ¸ i, fie convergent ¸ i (adic˘ a finit ¸ i), iar comportarea analitic˘a a acestor termeni este de tipul Z 1 ∼ e2n d3 q 2m , (m = 0, 1, . . . , n − 1) . q Prin urmare, ˆın fiecare ordin al teoriei perturbat¸iilor (ˆın raport cu constanta de cuplaj) termenul inelar are divergent¸a maxim˘ a, deci este termenul dominant. Aproximat¸ia inelar˘ a (RPA) consider˘ a numai termenii inelari pentru toate ordinele n ≥ 2, iar termenii ne-inelari sunt considerat¸i corect¸ii, fiind ret¸inut¸i numai termenii neinelari de ordin inferior (adic˘ a ordinul 2); ca urmare, conform aproximat¸iei inelare (RPA), self-energia proprie este tratat˘a astfel: f∗ = M
∞ X
n=1
∞ X ∗(2r) ∗(2b) ∗(2c) ∗(n) ∗(1) f∗(nr) + M f∗(n′ ) f f f f f M +M +M + M =M + M n=3
f∗(1) + M f∗(2b) + M f∗(2c) + ≈M
∞ X
n=2
f∗(nr) . M
ˆIn ultima egalitate suma termenilor inelari este self-energia total˘ a a diagramelor inelare: ∞ X
n=2
f∗(nr) ≡ M f∗(r) , M
f∗(n′ ) ) au fost neglijat¸i. iar termenii ne-inelari de ordine n ≥ 3 (adic˘a M
(7.59)
˘ FINITA ˘ 7.4. GAZUL ELECTRONIC LA TEMPERATURA
87
IV. Expresia self-energiei ¸si interact¸iei efective inelare (RPA) Conform definit¸iei anterioare transformata Fourier a self-energiei inelare (RPA) este reprezentat˘ a prin suma urm˘atoarelor diagrame:
f∗(r) (k, ωn ) = M
∞ X
n=2
f∗(r) (k, ωn ) −→ M
RPA
=
+
+ ...
+
La fel ca ¸si ˆın cazul formalismului de temperatur˘a nul˘a, transformata Fourier a self-energiei inelare se exprim˘ a ˆın mod compact prin utilizarea transformatei Fourier a interact¸iei efective ˆın e (r) (q, νn ), care este definit˘ aproximat¸ia inelar˘a (RPA) V a prin suma urm˘atoarelor diagrame: q
q q
e (r) (q, νn ) −→ V
q
=
+
q
+
+ ...
q q
e (r) (q, νn ) este suma tuturor succesiunilor de polariz˘ari de ordinul 0, legate prin linii de adic˘a V interact¸ie care au acela¸si transfer de impuls (q). ˆIn termeni de interact¸ie efectiv˘ a RPA, transformata Fourier a self-energiei inelare se exprim˘ a prin urm˘atoarele diagrame: f∗(r) (k, ωn ) ≡ M RPA
=
+
k
=
+
+ ...
k
k−q q k
−
k−q q k
iar diagramelor precedente le corespunde urm˘atoarea expresie analitic˘a f∗(r) (k, ωn ) = −1 M ~
Z
d3 q 1 X e (r) e 0 (q, νl ) Ge0 (k − q, ωn − νl ) . V (q, νl ) − V 3 ~β (2π) 3 R
(7.60)
l
Pentru a obt¸ine expresia interact¸iei efective ˆın aproximat¸ia RPA este necesar s˘a se utilizeze e 0 (q, νn ), care a fost studiat˘a ˆın mod transformata Fourier a polariz˘ arii termice de ordinul 0, Π detaliat ˆın Subsect¸iunea 5.4.3.
88
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE q, νn k + q, νn + ω l
Polarizarea termic˘ a de ordinul 0 ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a are diagrama k, ωl
q, νn care corespunde urm˘atoarei expresii analitice: Z 0 2 d3 k 1 X e0 f Π (q, νn ) = G (k, ωn′ ) Ge0 (k + q, νn + ωn′ ) . ~ R3 (2π)3 ~β ′ n
Prin efectuarea sum˘arii dup˘a frecvent¸˘a se obt¸ine expresia (5.170) Z 0 2s + 1 d3 k n0q+k − n0k f Π (q, νn ) = − , 3 ~ R3 (2π) iνn − ω k,q 1
este funct¸ia de distribut¸ie Fermi-Dirac ¸si ω k,q ≡ ~1 (εk+q − εk ). +1 ˆIn expresia precedent˘ a a polariz˘ arii de ordinul 0 ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a integrala dup˘a vectorul de und˘a (impuls) nu se poate efectua exact, ci sunt posibile numai evalu˘ ari aproximative ˆın dou˘a cazuri asimptotice: limita clasic˘a (temperaturi ridicate) ¸si limita puternic degenerat˘ a (temperaturi joase. Totu¸si, din formula (5.170) rezult˘a propriet˘ a¸ti generale ale polariz˘arii de ordinul 0, exprimate prin formulele (5.171): 0 f (q, νn ) este o funct¸ie par˘ P1. Π a ˆın raport cu impulsul q ¸si cu frecvent¸a νn : unde n0k =
eβ(εk −µ)
(
0
0
f (−q, νn ) = Π f (q, νn ) , Π 0 0 f f (q, νn ) ; Π (q, −νn ) = Π
f 0 (q, νn ) are urm˘atoarea comportare asimptotic˘a la frecvent¸e mari: P2. Π Z 0 d3 k 0 2(2s + 1) f n (1 − n0q+k ) (εk − εq+k ) . Π (q, νn ) ≈ 3 k |νn |→∞ (~νn )2 R3 (2π)
Interact¸ia efectiv˘ a ˆın aproximat¸ia inelar˘a (RPA) se define¸ste ca suma tuturor termenilor corespunz˘atori diagramelor ˆın care liniile de interact¸ie coulombiene se ˆın¸siruie, fiind legate prin polariz˘ari de ordinul 0, ceea ce corespunde din punct de vedere analitic la urm˘atoarea expresie: 0
e (r) (q, νn ) = V e 0 (q, νn ) + V e 0 (q, νn ) Π f (q, νn ) V e 0 (q, νn ) V
0 0 e 0 (q, νn ) Π e 0 (q, νn ) Π e 0 (q, νn ) + . . . f (q, νn ) V f (q, νn ) V +V 0 0 e 0 (q, νn ) + V e 0 (q, νn ) Π f (q, νn ) V e 0 (q, νn ) + V e 0 (q, νn ) Π f (q, νn ) V e 0 (q, νn ) + . . . =V
0 e 0 (q, νn ) + V e 0 (q, νn ) Π e (r) (q, νn ) , f (q, νn ) V =V
unde ultima egalitate s-a obt¸inut observˆand c˘ a m˘arimea din interiorul parantezelor este egal˘a cu interact¸ia efectiv˘ a ˆın aproximat¸ia RPA; rezultatul obt¸inut anterior este ecuat¸ia Dyson pentru ∗ 0 f (q, νn ) ≈ Π f (q, νn ). interact¸ia efectiv˘ a cu aproximarea RPA pentru polarizare: Π RPA
Solut¸ia ecuat¸iei Dyson pentru interact¸ia efectiv˘a ˆın aproximat¸ia RPA este e (r) (q, νn ) = V
ca urmare, se obt¸ine:
e 0 (q, νn ) V
0
e 0 (q, νn ) Π f (q, νn ) 1−V
e (r) (q, νn ) − V e 0 (q, νn ) = V
ve(q)
0
f (q, νn ) 1 − ve(q) Π
=
ve(q)
0
f (q, νn ) 1 − ve(q) Π
;
0
− ve(q) =
f (q, νn ve2 (q) Π 0
f (q, νn ) 1−e v (q) Π
,
(7.61)
˘ FINITA ˘ 7.4. GAZUL ELECTRONIC LA TEMPERATURA
89
astfel ˆıncˆ at transformata Fourier a self-energiei ˆın aproximat¸ia RPA, avˆand expresia (7.60), devine: Z d3 q 1 X e (r) −1 ∗(r) e 0 (q, νl ) Ge0 (k − q, ωn − νl ) f V (q, νl ) − V M (k, ωn ) = ~ R3 (2π)3 ~β l
Z
0 f (q, νn ) −1 d q 1 X ve2 (q) Π = Ge0 (k − q, ωn − νl ) . ~ R3 (2π)3 ~β f 0 (q, ν ) 1 − ve(q) Π 3
l
(7.62)
n
V. Self-energia total˘ a ˆın aproximat¸ia RPA Transformata Fourier a self-energiei proprii ˆın aproximat¸ia RPA este dat˘a de formula (7.59): f∗ ≈ M f∗(1) + M f∗(2b) + M f∗(2c) + M f∗(r) . M RPA
Transformata Fourier a self-energiei totale se obt¸ine prin sumarea termenilor care cont¸in toate ˆın¸siruirile de self-energii proprii legate prin linii particul˘ a (adic˘a funct¸ii Green-Matsubara libere); ˆın aproximat¸ia inelar˘a (RPA) se ret¸in numai termenul inelar (care este termenul dominant) ¸si termenii neinelari de ordine inferioare (1 ¸si 2), care sunt considerat¸i corect¸ii; ca urmare, rezult˘a (pentru concizia exprim˘ arii se omite scrierea argumentelor ale funct¸iilor ˆın relat¸iile urm˘atoare): f=M f∗ + M f∗ Ge0 M f∗ + . . . M ∗(1) ∗(1) ∗(1) f f f f∗(2b) + M f∗(2c) + M f∗(r) + M + ... + ... + . . . Ge0 M ≈ M +M f∗(2b) + M f∗(2c) + M f∗(r) ; f∗(1) + M f∗(1) Ge0 M f∗(1) +M ≈M {z } | f∗(2a) ≡M
atunci, transformata Fourier a self-energiei totale ˆın aproximat¸ia inelar˘a (RPA) are expresia: f ωn ) = M f∗(1) (k, ωn ) + M f∗(2a) (k, ωn ) + M f∗(2b) (k, ωn ) + M f∗(2c) (k, ωn ) + M f∗(r) (k, ωn ) , M(k, RPA
(7.63)
care corespunde la urm˘atoarea reprezentare diagramatic˘ a:
≈
7.4.3
+
+
+
+
RPA
Potent¸ialul grand-canonic ˆın aproximat¸ia inelar˘ a (RPA)
Conform aproximat¸iei RPA pentru self-energie, din relat¸ia (7.56) rezult˘a expresia corespunz˘ atoare pentru potent¸ialul grand-canonic ˆın aproximat¸ia RPA: Z Z 1 1 X iωn η f(r) dλ V 3 e ~ Mλ (k, ωn ) Ge0 (k, ωn ) , d k Ω(T, V, µ) = Ω0 (T, V, µ) + 3 ~β n R3 0 λ (2π) adic˘a, prin utilizarea expresiei (7.63) pentru self-energie, rezult˘a urm˘atoarea descompunere a potent¸ialului grand-canonic:
Ω(T, V, µ) = Ω0 (T, V, µ) + Ω1 (T, V, µ) + Ω2a (T, V, µ) + Ω2b (T, V, µ) + Ω2c (T, V, µ) + Ωr (T, V, µ) . (7.64) Pentru evaluarea termenilor din relat¸ia precedent˘ a se observ˘a c˘ a integrarea ˆın raport cu constanta de cuplaj pentru potent¸ialul grand-canonic este de tipul Z 1 dλ Ωλ , Ω − Ω0 = 0 λ
90
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
unde Ωλ are expresia ¸si reprezentarea diagramatic˘ a urm˘atoare
Ωλ = V
Z
d3 k 1 X iωn η f(r) e ~ Mλ (k, ωn ) Ge0 (k, ωn ) 3 R3 (2π) ~β n
−→
Atunci, termenii din expresia (7.64) au urm˘atoarele reprezent˘ ari diagramatice:
• Ω1 =
• Ω2a =
=
• Ω2b =
• Ω2c =
• Ωr =
=
−
+
+
+ ...
Observat¸ii: i. Datorit˘ a echivalent¸ei topologice a diagramelor rezult˘a c˘ a termenii corespondent¸i sunt egali: Ω2a = Ω2c .
˘ FINITA ˘ 7.4. GAZUL ELECTRONIC LA TEMPERATURA
91
ii. Sistemul liber (f˘ ar˘ a interact¸ii mutuale ˆıntre particule) este un gaz fermionic ideal, pentru care este cunoscut˘a expresia potent¸ialului grand-canonic: Ω0 =
−2 −1 X V ln 1 + e−β(εk −µ) = LT β β k,σ
Z
R3
d3 k ln 1 + e−β(εk −µ) . 3 (2π)
iii. La evaluarea termenilor de ordine superioare (n ≥ 1) se consider˘ a liniile de interact¸ie ca avˆand constanta de cuplaj variabil˘ a (e vλ = λ ve) ¸si se efectueaz˘a integrarea dup˘a constanta de cuplaj. Deoarece termenul de ordinul 1 cont¸ine 1 linie de interact¸ie, rezult˘a = λ Ω1
Ω1λ
(λ=1)
=⇒
Ω1 =
Z
1
0
dλ ; Ω1λ = Ω1 λ (λ=1)
termenii de ordinul 2 cont¸in 2 linii de interact¸ie, astfel ˆıncˆ at rezult˘a: Ω2λ
= λ Ω2 2
(λ=1)
=⇒
Ω2 =
Z
0
1
1 dλ Ω2λ = Ω2 . λ 2 (λ=1)
Evaluarea termenilor Se vor deduce expresiile termenilor potent¸ialului grand-canonic din formula (7.64), prin efectuarea complet˘ a a sumelor dup˘a frecvent¸e, dar integralele dup˘a vectorii de und˘a (impulsuri) se pot estima numai ˆın cazurile asimptotice (cazul clasic ¸si cazul puternic degenerat). A. Termenul de ordinul 1 a fost evaluat anterior ¸si rezultatul este exprimat prin formula (7.57): Z Z d3 k d3 q ve(k − q) n0q n0k . (7.65) Ω1 (T, V, µ) = − V 3 3 (2π) (2π) 3 3 R R B. Primul termen de ordinul 2, Ω2b , se prelucreaz˘ a prin efectuarea integralei dup˘a constanta de cuplaj conform observat¸iei prezentate anterior, iar apoi se expliciteaz˘ a utilizˆand expresia selfenergiei corespunz˘ atoare (7.58b) Z
d3 k 3 R3 (2π) Z V d3 k = 2~ R3 (2π)3 1 X × (~β)3
Ω2b =
V 2
n,l,m
1 X iωn η f∗(2b) e ~M (k, ωn ) Ge0 (k, ωn ) ~β n Z Z d3 q d3 p ve(q) ve(k − p − q) 3 3 R3 (2π) R3 (2π)
′ ′ e iωn η Ge0 (k − q, ωn − νl ) Ge0 (p − q, ωm − νl ) Ge0 (p, ωm ) Ge0 (k, ωn ) ;
dup˘a efectuarea sum˘arilor peste frecvent¸e, se obt¸ine expresia Ω2b =
V 2
Z
Z Z ve(q) ve(k − p − q) d3 k d3 q d3 p 3 3 3 R3 (2π) R3 (2π) R3 (2π) εp+q + εk−q − εp − εk h i 0 0 0 × np+q (1 − np )(nk − n0k−q ) − n0k (1 − n0k−q )(n0p+q − n0p ) .
(7.66)
Demonstrat¸ie: Sumele dup˘ a frecvent¸e se calculeaz˘ a pe baza relat¸iei de sumare (5.169) particularizat˘ a pentru cazul fermionic: S(k, k + q; νn ) ≡
n0k − n0k+q n0k − n0k+q 1 X e0 G (k, ωn′ ) Ge0 (k + q, νn + ωn′ ) = = , ~β ′ i νn − ω k,q i νn − ~1 (εk+q − εk ) n
92
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE Astfel pentru termenul Ω2b sumele dup˘ a frecvent¸e se grupeaz˘ a astfel ˆıncˆ at s˘ a se formeze sume de tipul S(k, k + q; νn ):
o on 1 X 1 X n 1 X iωn η e0 Ge0 (p, ωm ) Ge0 (p + q, ωm + νl ) e G (k, ωn ) Ge0 (k − q, ωn − νl ) ~β ~β n ~β m l 1 X S(k, k − q; −νl ) S(p, p + q; νl ) = ~β
S2b ≡
l
n0k − n0k−q n0p − n0p+q 1 X = 1 ~β l −i νl − ~ (εk−q − εk ) i νl − ~1 (εp+q − εp ) 1 1 1 X . = (n0p − n0p+q )(n0k−q − n0k ) ~β l i νl − ~1 (εp+q − εp ) i νl − 1~ (εk − εk−q ) ˆIn suma r˘ amas˘ a se descompune produsul ˆın fract¸ii simple, conform identit˘ a¸tii 1 1 1 1 1 , = − a−b c−d b−c a−b c−d
iar apoi se introduce ˆın fiecare sum˘ a factorul de convergent¸˘ a e iνl η ¸si se aplic˘ a regula de sumare (5.56) particularizat˘ a pentru cazul fermionic: lim
η→0+
1 X iωn η e0 e iωn η 1 X 1 = n0kσ ; e G (k, ωn ) = lim = β(ε −µ) 1 k η→0+ ~β ~β n e +1 iω − (ε − µ) n k ~ n
ca urmare, rezult˘ a
1 X 1 1 ~β l i νl − ~1 (εp+q − εp ) i νl − 1~ (εk − εk−q ) 1 X 1 X e iνl η e iνl η 1 − = 1 ~β (εp+q − εp ) − ~1 (εk − εk−q ) ~β l i νl − 1~ (εp+q − εp ) i νl − 1~ (εp+q − εp ) ~ l 1 1 ~ − . = (εp+q − εp ) − (εk − εk−q ) 1 − eβ(εp+q −εp ) 1 − eβ(εk −εk−q ) Dar ˆın expresia obt¸inut˘ a fract¸iile cu exponent¸iale se pot exprima ˆın termeni de funct¸ii Fermi-Dirac: eβ(εk −µ) =
1 1 − n0k −1= , 0 nk n0k
asfel ˆıncˆ at rezult˘ a: 1 1−
eβ(εk −εp )
=
1 1−
eβ(εk −µ)
e−β(εp −µ)
=
n0k (1 − n0p ) 1 = 0 0 0 nk (1 − n0p ) − n0p (1 − n0k ) 1 − nk np 1− 0 0 nk 1 − np =
n0k (1 − n0p ) ; n0k − n0p
ca urmare ultima sum˘ a ˆın raport cu frecvent¸a are expresia 1 X 1 1 ~β l i νl − ~1 (εp+q − εp ) i νl − 1~ (εk − εk−q ) n n0 (1 − n0 ) n0k (1 − n0k−q ) o ~ p+q p − . = 0 0 (εp+q − εp ) − (εk − εk−q ) np+q − np n0k − n0k+q Atunci, prin substituirea rezultatului precedent ˆın expresia considerat˘ a init¸ial, se obt¸ine: S2b = (n0p − n0p+q ), (n0k−q − n0k ) =
~ (εp+q − εp ) − (εk − εk−q )
n n0 (1 − n0 ) n0k (1 − n0k−q ) o ~ p+q p − 0 0 (εp+q − εp ) − (εk − εk−q ) np+q − np n0k − n0k+q h i n0p+q (1 − n0p ) (n0k − n0k+q ) − n0k (1 − n0k−q ) (n0p+q − n0p ) .
Expresia precedent˘ a a sumelor dup˘ a frecvent¸e S2b produce rezultatul cerut, adic˘ a (7.66), pentru termenul Ω2b .
˘ FINITA ˘ 7.4. GAZUL ELECTRONIC LA TEMPERATURA
93
C. Urm˘atorii doi termeni de ordinul 2, care sunt egali, Ω2c = Ω2a se prelucreaz˘ a ˆın mod similar cu termenul discutat anterior (Ω2b ), prin utilizarea expresiei (7.58c) pentru self-energie: Z
d3 k 3 R3 (2π) Z d3 k V = 2~ R3 (2π)3 1 X × (~β)3
Ω2c = Ω2a =
V 2
n,l,m
1 X iωn η f∗(2c) e ~M (k, ωn ) Ge0 (k, ωn ) ~β n Z Z d3 q d3 p ve(k − q) ve(q − p) 3 3 R3 (2π) R3 (2π) 2 ′ ′ e iωn η+iωm η Ge0 (p, ωm ) Ge0 (q, νl ) Ge0 (k, ωn ) ;
dup˘a efectuarea sum˘arilor peste frecvent¸e, se obt¸ine expresia Ω2c + Ω2a
Z
d3 k = −βV 3 R3 (2π)
Z
d3 q 3 R3 (2π)
Demonstrat¸ie:
Z
d3 p ve(k − q) ve(q − p) n0k n0p n0q (1 − n0q ) . (7.67) 3 R3 (2π)
Sumele dup˘ a frecvent¸e se factorizeaz˘ a ˆın 3 sume independente: S2c =
2 ′ 1 X iωm 1 X e0 1 X iωn η e0 η e0 ′ e G (k, ωn ) e G (p, ωm ) G (q, νl ) ≡ S1 (k) S1 (p) S2 (q) . ~β n ~β m ~β l
Sumele cu o singur˘ a funct¸ie Green-Matsubara (adic˘ a S1 (k) ¸si S1 (p)) se efectueaz˘ a ˆın mod direct pe baza relat¸iei de sumare (5.56), particularizat˘ a cazului fermionic: S1 (k) ≡
1 X iωn η e0 e iωn η 1 X 1 e G (k, ωn ) = = = n0k . ~β n ~β n iωn − ~1 (εk − µ) η→0 1 + eβ(εk −µ) η→0
Pentru suma cu p˘ atratul funct¸iei Green-Matsubara se introduce factorul de convergent¸˘ a e iωn η S2 (q) ≡
2 1 X e0 1 X e iωn η , G (q, νl ) = 1 2 ~β ~β [iν − (ε q − µ)] η→0 l ~ l l
iar suma rezultat˘ a se reduce la derivata sumei S1 (q):
1 X e iωn η 1 1 1 X iωn η ∂ ∂ 1 X e iωn η ∂ = e = = ~β l [iνl − x]2 η→0 ~β l ∂x iνl − x η→0 ∂x ~β l iνl − x η→0 ∂x 1 + eβ~x h i 1 1 ~β eβ~x = − ~β − ; =− β~x β~x β~x 2 1+e 1+e (1 + e ) ca urmare S2 (q) se exprim˘ a ˆın termeni de funct¸ii Fermi-Dirac: S2 (q) = − ~β
h
1 1 + eβ(εq −µ)
−
1 (1 + eβ(εq −µ) )2
i
n 2 o = − ~β n0q − n0q = − ~β n0q 1 − n0q .
Pe baza rezultatelor anterioare sumele dup˘ a frecvent¸e produc urm˘ atorul rezultat: S2c = n0k n0p (−~β) n0q 1 − n0q ,
astfel ˆıncˆ at, prin substituire ˆın expresia init¸ial˘ a a termenului Ω2c se obt¸ine Z Z d3 q d3 p d3 k ve(k − q) e v(q − p) n0k n0p (−~β) n0q 1 − n0q 3 3 3 R3 (2π) R3 (2π) R3 (2π) Z Z Z d3 q d3 p V d3 k = −β ve(k − q) ve(q − p) n0k n0p n0q 1 − n0q , 2 R3 (2π)3 R3 (2π)3 R3 (2π)3
Ω2c = Ω2a =
V 2~
Z
care este rezultatul (7.67).
94
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
D. Termenul inelar se obt¸ine prin utilizarea expresiei (7.62) pentru transformata Fourier a self-energiei inelare: Z Z 1 d3 k 1 X iωn η f(r) dλ V e ~ Mλ (k, ωn ) Ge0 (k, ωn ) Ωr = 3 ~β λ (2π) 3 R 0 n Z 1 Z Z 3 dλ d k d3 q = −V 3 3 0 λ R3 (2π) R3 (2π) f0 (q, νl ) 1 X iωn η λ2 ve2 (q) Π Ge0 (k − q, ωn − νl ) Ge0 (k, ωn ) e 0 (~β)2 f 1 − λ ve(q) Π (q, νl ) n,l 0 Z Z f (q, νl ) λ ve2 (q) Π d3 q 1 X 1 dλ = −V 0 3 f (q, νl ) 0 R3 (2π) ~β l 1 − λ ve(q) Π Z d3 k 1 X iωn η e0 × e G (k, ωn ) Ge0 (k − q, ωn − νl ) . 3 R3 (2π) ~β n ×
Integrala-sum˘ a a produsului de funct¸ii Green-Matsubara este egal˘a cu polarizarea termic˘ a de ordinul 0, conform definit¸iei din Subsect¸iunea 5.4.3: Z d3 k 1 X iωn η e0 ~ f0 ~ f0 (−q, −νl ) = Π (q, νl ) , e G (k, ωn ) Ge0 (k − q, ωn − νl ) = Π 3 ~β (2π) 2 2 3 R n
unde ultima egalitate s-a obt¸inut datorit˘a propriet˘ a¸tii de paritate a transformatei Fourier a polariz˘arii de ordinul 0. Pe baza rezultatului anterior termenul inelar devine: 0 Z Z f (q, νl ) ~ 0 d3 q 1 X 1 λ ve2 (q) Π f (q, νl ) Π Ωr = − V dλ 0 3 f (q, νl ) 2 R3 (2π) ~β l 0 1 − λ ve(q) Π 0 Z Z f (q, νl ) 0 d3 q 1 X 1 λ ve(q) Π V~ f (q, νl ) dλ . v (q) Π e =− 0 2 R3 (2π)3 ~β f (q, νl ) 0 1 − λv e(q) Π l
Integrala ˆın raport cu constanta de cuplaj λ se efectueaz˘a cu ajutorul schimb˘ arii de variabil˘ a 0 f x = λ ve(q) Π (q, νl ) ¸si utilizˆand identitatea Z
0
x1
x dx =− 1−x
Z
0
x1
1−
1 dx = − x1 − ln(1 − x1 ) ; 1−x
ca urmare, se obt¸ine urm˘atoarea expresie a termenului inelar: Z h io 0 0 V~ d3 q 1 X n f (q, νl ) + ln 1 − ve(q) Π f (q, νl ) Ωr = ve(q) Π . 3 2 R3 (2π) ~β
(7.68)
l
E. Observat¸ii generale: i. Expresiile anterioare pentru termenii Ω1 , Ω2b , Ω2a = Ω2c ¸si Ωr sunt valabile pentru un potent¸ial de interact¸ie bi-particul˘a arbitrar v(r); proprietatea potent¸ialului coulombian de a avea raz˘ a lung˘ a de act¸iune a fost utilizat˘a numai pentru a justifica aproximat¸ia inelar˘a (RPA). ii. Pentru a explicita complet termenii potent¸ialului grand-canonic, considerat¸i anterior, este necesar s˘a se efectueze integralele dup˘a impulsuri ¸si s˘a se utilizeze expresia potent¸ialului coulombian. Totu¸si calculele analitice nu sunt posibile decˆat prin efecuarea unor aproximat¸ii corespunz˘atoare cazurilor asimptotice: – limita clasic˘ a (gazul electronic nedegenerat), – limita puternic degenerat˘ a (la temperaturi joase). iii. Se va utiliza dezvoltarea ˆın serie de puteri ˆın raport cu constanta de cuplaj e2 ; ca urmare, termenul de ordinul 1 este Ω1 ∼ e2 , termenul de ordinul 2 este Ω2 ∼ e4 , dar se va ar˘ata c˘ a termenul inelar are termenul dominant ∼ e3 ; ca urmare, acest termen este neanalitic ˆın raport 3/2 cu constanta de cuplaj, deoarece e3 = e2 .
˘ FINITA ˘ 7.4. GAZUL ELECTRONIC LA TEMPERATURA
7.4.4
95
Limita clasic˘ a
A. Condit¸iile limitei clasice Anterior, ˆın Subsect¸iunea 5.4.3 pentru calculul polariz˘arii termice de ordinul 0, s-a f˘acut o prezentare detaliat˘ a a condit¸iior clasice ¸si aproximat¸iilor corespunz˘ atoare, astfel ˆıncˆ at se vor relua numai rezultatele importante, f˘ ar˘ a justific˘ari, pentru a evita repetit¸iile. Sistemul electronic se afl˘ a ˆın condit¸ii cuasi-clasice la temperaturi (T ) mari ¸si densit˘ a¸ti (n) mici, cˆ and funct¸ia de distribut¸ie cuantic˘ a Fermi-Dirac se poate aproxima cu funct¸ia de distribut¸ie clasic˘a Maxwell-Boltzmann: n0p =
1 1+
eβ(εp −µ)
≈ e−β(εp −µ) ;
din relat¸ia precedent˘ a rezult˘a condit¸ia necesar˘a limitei clasice: βµ ≈ −∞. ~2 k 2 Spectrul energiilor uni-particul˘ a libere este εk = , astfel ˆıncˆ at concentrat¸ia total˘ a a 2m particulelor pentru sistemul liber este Z 2 d3 p 0 np ≈ 3 eβµ , n=2 3 λ R3 (2π) unde λ este lungimea de und˘ a termic˘ a, definit˘ a prin formula s r 2π~2 2π~2 β= . λ= m mkB T B. Evaluarea polariz˘ arii termice de ordinul 0 Transformata Fourier a polariz˘ arii termice de ordinul zero se poate obt¸ine analitic ˆın mod exact pˆ an˘a la o integral˘a dup˘a vectorul de und˘a, conform relat¸iei (5.170) 0 f (q, νl ) = − 2 Π ~
Z
n0q+k − n0k d3 k . 1 3 R3 (2π) iνl − ~ (εq+k − εk )
2π l, rezult˘a c˘ a ˆın limita clasic˘a frecvent¸ele nenule ~β au valori foarte mari, spre deosebire de frecvent¸a nul˘a; ca urmare, se obt¸in expresii diferite pentru transformata Fourier a polariz˘arii de ordinul 0 ˆın cazul frcvent¸elor nenule (l 6= 0) fat¸˘a cazul frecvent¸ei nule (l = 0). ˆIn cazul frecvent¸elor nenule s-a obt¸inut anterior expresia (5.172) pentru transformata Fourier a polariz˘ arii termice de ordinul 0 ˆın limita clasic˘a: Deoarece frecvent¸ele termice au expresia νl =
0 f (q, νl ) Π
≈ −
l6=0 cl
(λq)2 1 n ~βq 2 1 = − nβ . m 2π l2 (2π)3 l2
ˆIn cazul frecvent¸ei nule transformata Fourier a polariz˘arii termice de ordinul 0, ˆın limita clasic˘a, are expresia (5.176): 2 0 f (q, 0) = − m n λ ϕ(λq) = −n β ϕ(λq) , Π 2 π 2 ~2
unde ϕ(y) este funct¸ia de polarizare adimensional˘ a clasic˘ a, definit˘ a prin formula (5.175): Z ∞ 2x + y 2 1 1 ; − dx x e− 4π x ln ϕ(y) ≡ πy 0 2x − y
se observ˘ a urm˘atoarele expresii asimptotice ale funct¸iei ϕ(y): ϕ(y) −→ 1 , y→0
ϕ(y) −→
y≫1
8π . y2
96
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
C. Evaluarea termenului inelar al potent¸ialului grand-canonic Termenul inelar al potent¸ialului grand-canonic are expresia (7.68) ¸si ˆın aceast˘a expresie se efectueaz˘a separarea contribut¸iei de frecvent¸˘a nul˘a fat¸˘a de contribut¸ia cu frecvent¸e nenule: Z h io 0 0 d3 q 1 X n V~ f (q, νl ) + ln 1 − ve(q) Π f (q, νl ) v e (q) Π Ωr = 2 R3 (2π)3 ~β l Z n h io 3 d q V f0 (q, ν0 ) + ln 1 − ve(q) Π f 0 (q, ν0 ) v e (q) Π = 2β R3 (2π)3 ∞ Z h io V X d3 q n f0 (q, νl ) + ln 1 − ve(q) Π f 0 (q, νl ) + v e (q) Π 3 2β R3 (2π) l=−∞ (l6=0)
≡ Ω0r + Ω′r .
1) Contribut¸ia cu frecvent¸e nenule se simplific˘ a prin utilizarea propriet˘ a¸tii de paritate a trans0 0 f (q, −νl ) = Π f (q, νl ), astfel formatei Fourier a polariz˘ arii de ordinul 0 ˆın raport cu frecvent¸a: Π ˆıncˆ at se obt¸ine: ∞ Z h io 0 0 d3 q n V X f (q, νl ) + ln 1 − ve(q) Π f (q, νl ) ve(q) Π Ω′r = 3 2β R3 (2π) l=−∞ (l6=0)
=
∞ Z h io 0 0 V X d3 q n f (q, νl ) + ln 1 − e f (q, νl ) v e (q) Π v (q) Π . 3 β R3 (2π) l=1
Expresia precedent˘ a a termenului Ω′r conduce la urm˘atoarele consecint¸e:
4π e2 , iar transforq2 mata Fourier a polariz˘ arii termice de ordinul 0 ˆın limita clasic˘a ¸si la frecvent¸e nenule are 2 2 2 f 0 (q, νl ) ≈ − ~ β n q , rezult˘a c˘ expresia aproximativ˘ aΠ a produsul lor este (2π)2 m l2
• Deoarece transformata Fourier a potent¸ialului coulombian este ve(q) =
0
f (q, νl ) ≈ − ve(q) Π
4π e2 β 2 ~2 n 1 , (2π)2 m l2
adic˘a este independent de vectorul de und˘a q; ca urmare, termenul Ω′r are integrandul finit la limita q → 0, deci nu cont¸ine divergent¸˘a infra-ro¸sie.
Pe de alt˘ a parte, s-a evident¸iat anterior c˘ a fiecare termen al seriei de perturbat¸ie inelare pentru potent¸ialul grand-canonic cont¸ine o divergent¸˘a infra-ro¸sie (adic˘a sunt divergent¸i la limita q → 0; atunci, partea dominant˘ a, care cont¸ine divergent¸˘a infra-ro¸sie este Ω0R (contribut¸ia ce frecvent¸a nul˘a). • Prin dezvoltarea ˆın serie de puteri a integrandului ˆın raport cu constanta de cuplaj (e2 ) se determin˘a contribut¸ia perturbat¸ional˘ a de ordin minim a termenului de frecvent¸e nenule 0 ′ 2 f Ωr ; deoarece ve ∼ e ¸si Π este independent de e2 , rezult˘a urm˘atoarea dezvoltare ˆın serie de puteri e2 a integrandului (pentru simplificarea scrierii se omit variabilele funct¸iilor) : 0
f + ln 1 − ve Π f ve Π
0
0 0 0 0 f − ve Π f + 1 ve Π f 2 + 1 ve Π f 3 + ... = ve Π 2 3 0 2 0 3 1 1 f f = − ve Π − + ... ve Π 2 3
0
f ∼ e2 . ca urmare, Ω′r are contribut¸ia minimal˘a de ordinul 2 (adic˘a Ω′r ∼ e4 ), deoarece e vΠ
2) Contribut¸ia de frecvent¸˘ a nul˘a are expresia Z h io 0 0 V d3 q n 0 f f Ωr = ; ve(q) Π (q, ν0 ) + ln 1 − ve(q) Π (q, ν0 ) 2β R3 (2π)3 ν0 =0
˘ FINITA ˘ 7.4. GAZUL ELECTRONIC LA TEMPERATURA
97
ˆın acest caz transformata Fourier a polariz˘arii de ordinul 0 are expresia aproximativ˘ a (5.176), astfel ˆıncˆ at rezult˘a 2 0 f (q, ν0 ) ≈ − 8π e β eβµ ϕ(λq) , ve(q) Π 2 q λ3 iar integrandul este dependent numai de modului vectorului de und˘a ¸si se pot efectua integralele unghiulare ˆın mod banal: Z ∞ Z d3 q F (q) = 4π dq q 2 F (q) . R3
0
Cu aceste observat¸ii termenul de frecvent¸˘a nul˘a Ω0r
Ω0r
devine:
Z ∞ h V 4π 8π e2 β βµ 8π e2 β βµ 2 = dq q − 2 3 e ϕ(λq) + ln 1 + 2 3 e ϕ(λq) 2β (2π)3 0 q λ q λ 3 V 8 e 2π β βµ 3/2 = e 4π 2 β λ3 λ r r Z ∞ h 2πβ βµ 2πβ βµ 1 1 2 dx x − 2 ϕ 2e × e x + ln 1 + 2 ϕ 2e e x , x λ x λ 0
unde ultima egalitate s-a obt¸inut prin schimbarea de variabil˘ a 1 8π e2 β βµ e = 2 q 2 λ3 x
=⇒
2e q= λ
r
2πβ βµ e . λ
Pe baza rezultatelor precedente, expresia p˘ art¸ii de frecvent¸˘a nul˘a a potent¸ialului grand-canonic inelar (la limita clasic˘ a) are urm˘atoarea expresie integral˘a: q q r 2πβ βµ ϕ 2e 2πβ eβµ x Z ∞ e x ϕ 2e 3/2 λ λ 2 β − . eβµ dx x2 ln 1 + Ω0r ≈ 2e3 V π λ3 x2 x2 0 (7.69) Consecint¸e ale rezultatului precedent: • Ω0r cont¸ine constanta de cuplaj e2 , atˆat ca factor extern (e3 ), cˆ at ¸si ˆın argumentul funct¸iei de polarizare adimensional˘ a ϕ(λq). • Ω0r are integrandul cu singularitate infra-ro¸sie, astfel ˆıncˆ at este termenul dominant din partea inelar˘a Ωr . • Pentru determinarea seriei de puteri ˆın raport cu constanta de cuplaj (e2 ) a termenului Ω0r este necesar s˘a se examinezed seria de puteri a funct¸iei de polarizare adimensional˘ a: r r 2πβ 2πβ βµ βµ ϕ 2e e x = ϕ(0) + 2e e x ϕ′ (0) + . . . λ λ = 1 + O(e) , adic˘a se poate efectua aproximat¸ia r 2πβ ϕ 2e eβµ x ≈ 1 , λ iar termenii neglijat¸i au contibut¸ia ∼ e4 ˆın Ω0r .
Atunci, termenul Ω0r are urm˘atoarea comportare ˆın raport cu constanta de cuplaj: Ω0r
r Z β 2 βµ 3/2 ∞ 1 1 2 + O(e4 ) . e ln 1 + ≈ 2e V dx x − π λ3 x2 x2 0 3
(7.70)
98
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE • Integrala din expresia (7.70) se efectueaz˘a prin metode elementare utilizˆand metoda de integrare prin p˘ art¸i: 1 1 2 dx u = ln 1 + 2 − 2 =⇒ du = 3 2 , x x x (x + 1) x3 dv = x2 dx =⇒ v = ; 3 atunci se obt¸ine Z ∞ 1 1 x3 h 1 1 ln 1 + 2 − 2 dx x2 ln 1 + 2 − 2 = x x 3 x x 0
i ∞ 2 Z ∞ dx π − =− , 2 3 0 x +1 3 0
deoarece primul termen rezultat la integrarea prin p˘ art¸i este nul, iar ultima integral˘a este Z ∞ π dx ∞ = arctan x = . 2 2 0 0 x +1
Ca urmare, termenul inelar de frecvent¸˘a nul˘a (ˆın limita clasic˘a) are urm˘atoarea comportare dominanant˘ a ˆın raport cu constanta de cuplaj: r 2π 3 β 2 βµ 3/2 0 Ωr ≈ − + O(e4 ) . (7.71) e e V 3 π λ3
Se observ˘ a c˘ a Ω0r ∼ e3 , adic˘a este neanalitic ˆın raport cu constanta de cuplaj (e2 ).
ˆIn concluzie termenul inelar (ˆın limita clasic˘a) este dominat de partea cu frecvent¸˘a nul˘a ¸si are urmat˘ atoarea expresie aproximati˘a (ˆın raport cu constanta de cuplaj): r 2π 3 β 2 βµ 3/2 0 ′ + O(e4 ) . e e V Ωr = Ωr + Ωr ≈ − 3 π λ3 D. Evaluarea termenilor neinelari de ordin inferior 1) Termenii de ordinul 2, adic˘a Ω2b ¸si Ω2c = Ω2a au dezvolt˘ ari ˆın serie de puteri ale constantei de cuplaj dominate de termenul de ordinul 2, adic˘a seriile de puteri sunt proport¸ionale cu e4 (Ω2x = O(e4 )); prin urmare, ace¸sti termeni de ordinul 2 sunt corect¸ii ˆın raport cu termenul inelar (care este dominant), astfel ˆıncˆ at nu este necesar˘a evaluarea lor explicit˘a ˆın prima aproximat¸ie. 2) Termenul de ordinul 1 are expresia (7.65), care la limita clasic˘a devine Z Z d3 k d3 q Ω1 (T, V, µ) = − V ve(k − q) n0q n0k 3 3 R3 (2π) R3 (2π) Z Z 4π e2 d3 q d3 k e−β(εk −µ) e−β(εq −µ) ≈ −V 3 3 2 R3 (2π) (k − q) R3 (2π) Z Z 2 2 ~2 d3 q e−β 2m (k +q ) d3 k 2 2βµ ; = −4π e V e 3 3 (k − q)2 R3 (2π) R3 (2π) se adimensionalizeaz˘a integrala dubl˘ a prin schimbarea de variabile r r β~2 β~2 x= k & y= q 2m 2m astfel c˘ a se obt¸ine 2
Ω1 = −4π e V e
2βµ
2m 2 Z β~2
d3 x 3 R3 (2π)
Z
2
2
(4π)3 I 2 d3 y e−(x +y ) ≡ − e V e2βµ , 3 (x − y)2 λ4 R3 (2π)
unde I este integrala dubl˘ a adimensional˘ a: Z Z 2 2 d3 y e−(x +y ) d3 x . I≡ 3 3 (x − y)2 R3 (2π) R3 (2π)
(7.72)
˘ FINITA ˘ 7.4. GAZUL ELECTRONIC LA TEMPERATURA
99
Observat¸ii: • Ω1 ∼ e2 , adic˘a termenul de ordinul 1 este proport¸ional cu constanta de cuplaj (a¸sa cum era de a¸steptat); ca urmare acest termen are comportarea dominant˘ a de ordin minim ˆın constanta de cuplaj (deoarece Ωr ∼ e3 , Ω2 ∼ e4 ¸si termenii superiori neinelari sunt proport¸ionali cu puteri mai mari ale constantei de cuplaj e2 ). Ca urmare, analiza formal˘a ˆın sensul teoriei perturbat¸iilor (adic˘ a dezvoltarea ˆın serie de puteri ale constantei de cuplaj) ar induce supozit¸ia c˘ a termenul de ordinul 1 ar fi termenul dominant. • Totu¸si, prin utilizarea expresiilor (7.71) ¸si (7.72), se poate estima ˆın mod direct raportul dintre p˘ art¸ile dominante ale termenului de ordinul 1 ¸si termenului inelar: (4π)3 I 2 √ 1 √ r e V e2βµ 48 π 5/2 I λ e 2 βµ 4 λ p 3/2 n 2 Ω1 λ r √ √ ∼ p nλ = = = λ , 2 Ωr βe2 βe 2 βe 2π 3 β 2 βµ 3/2 e e V 3 π λ3
unde s-a eliminat potent¸ialul chimic prin densitatea de particule, conform relat¸iei clasice eβµ = n λ3/2 . Pentru a estima ordinul de m˘arime al raportului specificat anterior se utilizeaz˘a urm˘atoarele m˘arimi energetice: ~2 n2/3 , m – potent¸ialul coulombian mediu v ∼ e2 n1/3 , – energia Fermi εF ∼
– energia termic˘ a medie per particul˘ a εT ∼ kB T =
1 ; β
ca urmare, se obt¸ine
Ω1 ≈ Ωr
s
v u 2 3/2 2 3/2 ~ n u~ n r u 2 n ~ β εF εF u m m ≪1, =u = t β e2 m v εT 1 e2 n1/3 β
unde raportul considerat este foarte mic, deoarece la limita clasic˘a energia Fermi este neglijabil˘ a ˆın raport cu energia termic˘ a ¸si de asemenea energia Fermi este mic˘a ˆın raport cu energia coulombian˘ a. ˆIn concluzie, din discut¸ia anterioar˘ a rezult˘a c˘ a termenul de ordinul 1 este neglijabil fat¸˘a de termenul inelar, ˆın condit¸ii de clasicitate: Ω1 ≪ Ωr . Prin adunarea rezultatelor anterioare se obt¸ine c˘ a termenul inelar domin˘ a toate celelalte contribut¸ii datorate interact¸iilor ˆın potent¸ialul grand-canonic dac˘a sunt satisf˘acute condit¸iile de clasicitate: Ω − Ω0 = Ω1 + Ω2b + 2 Ω2c + Ωr ≈ Ωr . (7.73) cl.
Termenul de ordinul 0, corespunzˆ and sistemului f˘ar˘a interact¸ii coulombiene, se calculeaz˘a ˆın mod direct din expresia cuantic˘ a ˆın care se aplic˘ a aproximat¸ia clasic˘a: Z Z −2 V −2 V d3 k d3 k −β −~2 k2 +βµ −β(εk −µ) 2m ≈ ln 1 + e e Ω0 = ; 3 3 β β R3 (2π) R3 (2π)
integrala se efectueaz˘ a ˆın coordonate sferice, cˆ and integr˘arile unghiulare sunt banale ¸si produc β~2 2 k : factorul 4π, iar apoi se face schimbarea de variabil˘ aζ= 2m Z ∞ Z 2 k2 V eβµ 1 2m 3/2 ∞ 2V eβµ 2V 2 −β −~ 2m = − 4π Ω0 = − dk k e dζ ζ 1/2 e−ζ = − 3 eβµ , 2 β 2 ~2 β β (2π)3 π βλ 0 0
100
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
unde, pentru a obt¸ine ultimul rezultat s-a utilizat definit¸ia integralei euleriene de specia a II-a √ Z ∞ π 1/2 −ζ 3 , dζ ζ e =Γ 2 = 2 0 ¸si definit¸ia lungimii de und˘a termice, care implic˘ a relat¸ia
2m 3/2 ~2 β
termenul de ordinul 0 are urm˘atoarea expresie ˆın limita clasic˘a: Ω0 ≈ −
=
(4π)3/2 . Prin urmare, λ3
2V βµ e . βλ3
(7.74)
E. Propriet˘ a¸ti termodinamice Pe baza rezultatelor anterioare se obt¸ine potent¸ialul grand-canonic al sistemului ˆın limita clasic˘a, cˆ and sunt dominant¸i numai termenul de ordinul 0 ¸si termenul inelar, iar ace¸sti termeni au expresiile (7.74) ¸si (7.71): r β 2 βµ 3/2 2V βµ 2π 3 cl cl Ω(T, V, µ) ≈ Ω0 + Ωr = − 3 e − + O(e4 ) e e V cl. βλ 3 π λ3 h 2 √ e2 β 3/2 βµ/2 i 2V 2π , (7.75) ≈ − 3 eβµ 1 + e λ β 3 λ3 r 2π~2 β . unde λ = m Rezultatele termodinamice se obt¸in din forma diferent¸ial˘a a potent¸ialului grand-canonic dΩ = −S dT − P dV − N dµ , ˆımpreun˘ a cu relat¸ia Euler Ω = −P V , unde S este entropia ¸si P este presiunea sistemului. 1. Potent¸ialul chimic µ(T, V, N ) se obt¸ine din ecuat¸ia termodinamic˘ a de stare grand-canonic˘ a a num˘ arului de particule: √ 3 2 2 2π 3 p 3 2V ∂Ω βµ βe + = e V β β e 2 βµ N (T, V, µ) = − ∂µ βλ3 3 λ9/2 2 h √ e2 β 3/2 βµ/2 i 2V . (7.76) = 3 eβµ 1 + 2π e λ λ Din rezultatul anterior se obt¸ine ecuat¸ia potent¸ialului chimic: √ e2 β 3/2 βµ/2 i−1 λ3 N h eβµ ≈ 1 + 2π ; e 2V λ
deoarece ˆın condit¸ii clasice potent¸ialul chimic este foarte negativ, adic˘a este satisf˘acut˘ a condit¸ia eβµ ≪ 1, atunci ecuat¸ia precedent˘ a se poate rezolva prin metoda iterativ˘ a: • aproximat¸ia de ordinul 0 este
eβµ ≈ 0
λ3 N , 2V
care este expresia clasic˘ a a gazului ideal; • aproximat¸ia de ordinul 1 este e
βµ
r √ e2 β 3/2 βµ/2 i−1 √ e2 β 3/2 λ3 N i−1 λ3 N h λ3 N h 1 + 2π e ≈ 1 + 2π ≈ 0 2V λ 2V λ 2V 0 i √ λ3 N h 3/2 1 − π e2 β n1/3 ≈ ; 2V
considerˆ and drept suficient˘ a aproximat¸ia de ordinul 1, rezult˘a urm˘atoarea expresie a poten¸tialului chimic: 3h √ e2 n1/3 2/3 nλ . (7.77) 1− π µ ≈ kB T ln 2 kB T
˘ FINITA ˘ 7.4. GAZUL ELECTRONIC LA TEMPERATURA
101
2. Presiunea, ca ecuat¸ie de stare grand-canonic˘a, se obt¸ine prin derivarea potent¸ialului termodinamic ˆın raport cu volumul, sau ˆın mod echivalent prin ˆımp˘art¸irea la volum (datorit˘ a relat¸iei Euler satisf˘acut˘ a de potent¸ialul grand-canonic): P (T, V, µ) = −
h 2 √ e2 β 3/2 βµ/2 i 2 Ω(T, V, µ) 2π . e = 3 eβµ 1 + V λ β 3 λ3
Pentru a obt¸ine ecuat¸ia de stare a presiunii ˆın forma canonic˘a, adic˘a P (T, V, N ), se elimin˘ a potent¸ialul chimic conform rezultatului anterior. Se observ˘a c˘a potent¸ialul chimic apare ˆın formula precedent˘ a ˆın 2 locuri, atˆat ˆın exteriorul parantezei, cˆ at ¸si ˆın interiorul parantezei (unde este cont¸inut ˆın termenul de corect¸ie); pentru a satisface ˆın mod consecvent aproximat¸ia de ordinul 1 (care a fost utilizat˘a anterior la determinarea potent¸ialului chimic) se utilizeaz˘a pentru potent¸ialul chimic aproximat¸ia de ordinul 1 ˆın exteriorul parantezei ¸si aproximat¸tia de ordinul 0 ˆın interiorul parantezei: h i 2 βµ 2 √ e2 β 3/2 βµ/2 2π (T, V, N ) 1 + e (T, V, N ) e λ3 β 3 λ3 1 0 r i h √ 2√ 2 λ3 N e2 β 3/2 λ3 N 2 1/3 3/2 1+ 1− π e βn = 3 2π λ β 2V 3 λ3 2V i h i h √ √ 2 N 3/2 3/2 1+ = 1 − π e2 β n1/3 π e2 β n1/3 βV 3 3/2 i nh 1√ , ≈ π e2 β n1/3 1− β 3
P (T, V, N ) =
unde ultimul rezultat s-a obt¸inut prin efectuarea consecvent˘ a a aproximat¸iei de ordinul 1, ¸tinˆand seama c˘ a m˘arimea e2 β n1/3 este foarte mic˘a ˆın condit¸ii de clasicitate. Pe baza rezultatului precedent se obt¸ine presiunea gazului electronic ˆın condit¸ii de clasicitate (aproximat¸ia de ordinul 1): √ 2 3/2 i h π e n P (T, V, N ) ≈ n kB T 1 − . 3 kB T
(7.78)
Observat¸ie: expresia presiunii dat˘ a de formula (7.78) coincide cu ecuat¸ia Debye–H¨ uckel pentru gaze clasice ionizate 5 i. termenul dominant este presiunea gazului clasic ideal (care este descris˘ a de ecuat¸ia Clapeyron – Mendeleev), ii. termenul de corect¸ie este negativ, ceea ce implic˘ a o presiune a gazului electronic mai mic˘a decˆat a gazului neutru, datorit˘ a efectelor de repulsie electrostatic˘a. 3. Entropia se obt¸ine prin derivarea potent¸ialului ˆın raport cu temperatura: S=−
∂Ω(T, V, µ) ; ∂T
calculele sunt similate cu cele realizate pentru temperatur˘a, dar expresiile intermediare sunt mai complicate, astfel ˆıncˆ at se prezint˘ a numai rezultatul final: capacitatea caloric˘ a isocor˘ a a sistemului este (ˆın limita clasic˘ a) 6 CV,N
∂S =T ∂T
V,N
√ 3 1/3 3/2 i h 3 π e n . = N kB 1 + 2 2 kB T
(7.79)
5 Teoria Debye–H¨ uckel pentru gaze clasice ionizate va fi prezentat˘ a ˆın Capitolul 9 Sect¸iunea 9.3, ˆın cadrul ecran˘ arii gazului electronic. 6 De fapt, deducerea expresiei capacit˘ a¸t ii calorice isocore se obt¸ine mai simplu dac˘ a se utilizeaz˘ a potent¸ialul termodinamic grand-canonic entropic (funct¸ia Krammers) Υ(T, V, µ/T ) = −Ω/T , deoarece aceasta are forma Υ = −U dβ + βP dV + N d(βµ), astfel ˆıncˆ at energia intern˘ a U se obt¸ine prin derivarea funct¸iei diferent¸ial˘ a d kB Krammers ˆın raport cu parametrul β ˆın condit¸ii cˆ and V ¸si βµ sunt constante; ca urmare operat¸iile de derivare sunt mai facile.
102
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
4. Observat¸ii generale asupra comport˘ arii termodinamice ˆın condit¸ii de clasicitate: i. Corect¸iile dominante fat¸˘ a de rezultatul sistemului ideal sunt proport¸ionale cu e3 ; rezultatul nu poate fi obt¸inut prin aproximarea la un ordin finit al teoriei perturbat¸iilor, deoarece seria de perturbat¸ie este o serie de puteri ˆın potent¸ialul de interact¸ie, care este proport¸ional˘ a cu constanta de cuplaj ve ∼ e2 . Ca urmare rezultatul aproximat¸iei RPA este o sumare peste o clas˘a infinit˘a de termeni perturbat¸ionali ¸si rezultatul este o funct¸ie neanalitic˘ a ˆın constanta de cuplaj, deoarece nu este o putere ˆıntreag˘ a a constantei de cuplaj: e3 = (e2 )3/2 . ii. Condit¸iile de valabilitate ale aproximat¸iei clasice sunt:
eβµ ≈
e2 n1/3 kB T
3/2
≪1
3/2 1 2π ~2 n2/3 nλ ≪1 = 2 2 m kB T
=⇒
e2 n1/3 ≪ kB T ,
=⇒
~2 n2/3 ≪ bB T . m
Pentru interpretarea fizic˘ a a condit¸iilor anterioare se introduce distant¸a medie inter-particul˘ a N N r, care este definit˘ a ˆın termeni de concentrat¸ia particulelor: n ≡ = ; atunci, rezult˘a V Nr 1 r = n−1/3 ¸si de asemenea vectorul de und˘a mediu k ≡ = n1/3 ; cu m˘arimile definite anterior se r introduc urm˘atoarele energii caracteristice sistemului: ~2 2/3 ~2 k ≈ n , – energia cinetic˘ a medie (care este de ordinul energiei Fermi) ε ≈ m m 2 e ≈ e2 n1/3 , – energia potent¸ial˘a (de interact¸ie coulombian˘ a) medie: v ≈ r – energia termic˘ a εT = kB T ; atunci condit¸iile de clasicitate anterioare devin: ε ≪ εT , v ≪ εT . Rezultatul precedent arat˘a c˘ a aproximat¸ia clasic˘a este valabil˘a la tempreraturi (T ) mari ¸si concentrat¸ii de particule (n) mici.
7.4.5
Limita temperaturilor joase
A. Observat¸ii preliminare Studiul propriet˘ a¸tilor termodinamice ale sistemului electronic ˆın modelul “jellium” la temperaturi joase ¸si la limita temperaturii nule a fost f˘acut de c˘ atre Kohn ¸si Luttinger. Funct¸ia de distribut¸ie a electronilor pe st˘ari uni-particul˘a este funct¸ia Fermi-Dirac, care la temperaturi suficient de coborˆ ate se poate aproxima prin funct¸ia treapt˘ a Heaviside: n0k =
1 ≈ θ(µ − εk ) , eβ(εk −µ) + 1 T &0
iar potent¸ialul chimic se poate reprezenta ˆın mod similar cu energia Fermi, adic˘a ca o energie uni-particul˘ a corespunz˘ atoare vectorului de und˘a cu modulul k0 : µ≡
~2 k02 . 2m
La limita temperaturii nule (T → 0) potent¸ialul chimic devine energia Fermi ¸si vectorul de und˘a corespunz˘ ator devine vectorul de und˘a Fermi: µ = εF , T =0 1/3 = kF = 3π 2 n . k0 T =0
Expresiile generale ale termenilor de perturbat¸ie pentru potent¸ialul grand-canonic, adic˘a Ω1 , Ω2b , Ω2c = Ω2a ¸si Ωr care sunt date de formulele (7.65) – (7.68) se pot particulariza pentru limita temperaturilor foarte joase, cˆ and funct¸iile de distribut¸ie Fermi-Dirac se pot aproxima prin funct¸ii
˘ FINITA ˘ 7.4. GAZUL ELECTRONIC LA TEMPERATURA
103
Heaviside corespunz˘ atoare. Totu¸si, termenul inelar Ωr , care este dominant, necesit˘a o evaluare special˘ a. Pentru a efectua sumele dup˘a frecvent¸e ˆın expresiile termenilor perturbativi ai potent¸ialului grand-canonic se observ˘ a c˘ a la limita temperaturilor foarte coborˆate aceste frecventt¸e se anuleaz˘a: 2π 2π n= kB T n −→ 0; ca urmare, sumele dup˘a frecvent¸e se pot aproxima prin integrale, νn = T →0 ~β ~ conform relat¸iei Z ∞ ∞ 1 X 1 f (νn ) ≈ dν f (ν) . T →0 2π −∞ ~β n=−∞ Demonstrat¸ie: Variat¸ia elementar˘ a a frecvent¸ei Matsubara νn (care este discret˘ a) corespunde la o variat¸ie a 2π 2π ∆n = , iar aceast˘ a variat¸ie este foarte indicelui ˆıntreg cu o unitate ∆n = 1, adic˘ a ∆ν = ~β ~β mic˘ a la limita temperaturilor coborˆ ate, putˆ and fi considerat˘ a ca infinitezimal˘ a pentru temperaturi suficient de mici; atunci, suma dup˘ a frecvent¸˘ a se transform˘ a astfel: Z ∞ ∞ ∞ 1 X 1 X ~β 1 X 1 f (νn ) = dν f (ν) , ∆ν f (νn ) = f (ν) ∆ν −→ T →0 2π −∞ ~β n=−∞ ~β n=−∞ 2π 2π ν deoarece la limit˘ a se obt¸ine suma riemannian˘ a.
B. Evaluarea termenului inelar Ωr Termenul inelar are expresia general˘a dat˘a de formula (7.68), iar la limita temperaturilor joase se aproximeaz˘ a suma dup˘a frecvent¸e cu integrala: Z
h io d3 q 1 X n f 0 (q, νl ) + ln 1 − ve(q) Π f0 (q, νl ) ve(q) Π 3 R3 (2π) ~β l Z Z ∞ h io 0 0 V~ d3 q dν n f (q, ν) + ln 1 − ve(q) Π f (q, ν) ve(q) Π . = 3 2 R3 (2π) −∞ 2π
Ωr (T ≥ 0, V, µ) =
V~ 2
Observat¸ie: termenul inelar Ωr are divergent¸˘a infra-ro¸sie (pentru q → 0); ca urmare, se efectueaz˘a 0 f (q, νl ), ˆın mod exact la valori mici ale vectorului de und˘a evaluarea polariz˘ arii de ordinul 0, Π (adic˘a ˆın partea dominant˘ a a integrandului), dar este suficient˘a o evaluare aproximativ˘ a la valori mari ale vectorului de und˘a. Pentru a realiza estimarea polariz˘arii de ordinul 0 ˆın mod satisf˘ac˘ator 0 f (q, νl ) ˆın mod exact la limita q → 0 ¸si apoi se extrapoleaz˘ se calculeaz˘a expresia lui Π a rezultatul precedent pentru orice valori ale vectorului de und˘a q. Transformata Fourier a polariz˘ arii termice de ordinul 0 a fost studiat˘a ˆın Subsect¸iunea 5.4.3 ¸si la limita vectorului de und˘a foarte mic (¸si a temperaturii foarte coborˆate) s-a obt¸inut expresia (5.178a) 0 mkB mν f (q, ν) , ≈ − 2 2R Π π ~ ~k0 q T →0 q→0 1 unde funct¸ia R(x) este definit˘ a prin relat¸ia (5.178b): R(x) = 1 − x arctan . x Se observ˘ a c˘ a la limita q → 0 se obt¸ine 2 2 0 f (q, ν) ≈ 4π e −mkB R mν = − 4π e mkB R mν . ve(q) Π q2 π 2 ~2 ~k0 q π 2 ~2 q 2 ~k0 q
Pe baza rezultatului precedent se efectueaz˘a urm˘atoare adimensionalizare a variabilelor de integrare: mν ~k0 q q ζ= k0
x=
~k0 q x, m
(pentru ν)
−→
ν=
(pentru q)
−→
q = k0 ζ ;
104
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
cu aceast˘a adimensionalizare rezultatul anterior devine: 0
f (q, ν) ≈ − ve(q) Π q→0
4me2 1 R(x) . π~2 k0 ζ 2
ˆIn expresia (7.68) a termenului inelar se efectueaz˘a integralele peste coordonatele unghiulare ale vectorului de und˘a, ¸tinˆand cont de faptul c˘ a integrandul depinde numai de modulul vectorului de und˘a (atunci integralele unghiulare sunt banale ¸si produc factorul 4π) ¸si apoi se trece la variabilele de integrare adimensionale Z Z ∞ h io 0 0 V~ d3 q dν n f (q, ν) + ln 1 − e f (q, ν) Ωr (T ≥ 0, V, µ) = v e (q) v (q) Π Π 2 R3 (2π)3 −∞ 2π Z ∞ Z ∞ Z n 4πe2 0 h io 2 V~ 2 f (q, ν) + ln 1 − 4πe Π f0 (q, ν) = Π dν dq q dω q 2(2π)4 −∞ q2 q2 0 (4π) | {z } = 4π
Z ∞ Z ∞ V ~ k05 = dζ ζ 3 dx (2π)3 m −∞ 0 h io n 4π e2 2 2 2 f0 (k0 ζ, ~ k0 ζ x) + ln 1 − 4π e Π f 0 (k0 ζ, ~ k0 ζ x) Π . × k02 ζ 2 m k02 ζ 2 m
Se caut˘ a obt¸inerea termenului dominant din Ωr (ˆın sensul seriei de perturbat¸ie (seria de puteri fat¸˘a de constanta de cuplaj e2 ); dar integrandul este divergent la limita q → 0 (adic˘a ζ → 0), astfel ˆıncˆ at este imposibil˘ a o dezvoltare ˆın serie de puteri ale constantei de cuplaj e2 . ˆIn aceste condit¸ii se utilizeaz˘ a metoda de t˘ aiere a singularit˘a¸tii (numit˘a prin influent¸˘a din limba englez˘ a, metoda de cut-off ): i. Se alege o valoare foarte mic˘a pentru parametrul de t˘ aiere ζ0 (unde ζ0 ≪ 1). ii. Se desparte integrala in partea corespunz˘ atoare valorilor foarte mici a vectorului de und˘a (adic˘a ζ < ζ0 ) ¸si partea corespunz˘ atoare restului de valori ale vectorului de und˘a (adic˘a ζ > z0 ): Z ∞ Z ∞ Z ζ0 dζ . . . dζ . . . + dζ . . . = 0
0
ζ0
iii. Partea corespunz˘ atoare valorilor mici (ζ < ζ0 ) constituie contribut¸ia dominant˘ a, deoarece cont¸ine singularitatea infra-ro¸sie (ζ → 0); ca urmare, ˆın aceast˘a regiune se utilizeaz˘a expresia exact˘ a asimptotic˘a pentru polarizarea de ordinul 0: 2 0 0 f (q, ν) = Π f k0 ζ, ~ k0 ζ x ≈ − m k0 R(x) ; Π m π 2 ~2 se observ˘ a c˘ a expresia asimptotic˘a este independent˘ a de variabila care produce singularitatea, adic˘a ζ. iv. ˆIn partea corespunz˘ atoare valorilor mari (ζ > ζ0 ) integrandul este nesingular, astfel ˆıncˆ at se poate efectua dezvoltarea ˆın serie de puteri fat¸˘a de constanta de cuplaj e2 ; ˆın aceat caz, termenul dominant este termenul de ordin minim. Ca urmare a observat¸iilor anterioare, se descompune termenul inelar ˆın parte singular˘a Ω′r ¸si parte nesingular˘ a Ω′′r : Ωr = Ω′r + Ω′′r , (pentru T ≥ 0) , (7.80) 2 2 2 4πe f 0 ~k ζ 4me unde ˆın termenul Ω′r se utilizeaz˘ a formula asimptotic˘a 2 2 Π k0 ζ, 0 x = − 2 R(x); k0 ζ m π~ k0 ζ 2 ca urmare cei doi termeni au urm˘atoarele expresii: Z ∞ Z ∞ n h ~ k02 ζ i 4π e2 f 0 ~ k02 ζ o 4π e2 f 0 V ~ k05 3 k ζ, k ζ, ln 1 − Π Π Ω′r = x + x dζ ζ dx 0 0 (2π)3 m −∞ k02 ζ 2 m k02 ζ 2 m 0 Z ∞ Z ζ0 n h i o 4me2 4me2 V ~ k05 R(x) − R(x) , (7.81a) dζ ζ 3 ln 1 + 2 dx ≈ 3 2 2 2 (2π) m −∞ π~ k0 ζ π~ k0 ζ 0 Z ∞ Z ∞ n h V ~ k05 ~ k02 ζ i 4π e2 f 0 ~ k02 ζ o 4π e2 f 0 ′′ 3 Ωr = Π Π x + x . k ζ, k ζ, dζ ζ dx ln 1 − 0 0 2 2 (2π)3 m −∞ k0 ζ 2 m k0 ζ 2 m ζ0 (7.81b)
˘ FINITA ˘ 7.4. GAZUL ELECTRONIC LA TEMPERATURA
105
B1. Evaluarea termenului divergent Ω′r : Prin extimarea integralei dup˘a vectorul de und˘a adimensional ζ se obt¸ine urm˘atoare expresie, care evident¸iaz˘ a comportarea dominant˘ a a acestui termen ~2 k05 (2π)3 m
Ω′r = V
Z
∞
dx
−∞
n 1o 1 4 2 + O(e6 ) , e A (x) − 2 ln ζ0 + ln e2 A(x) − 4 2
(7.82)
unde funct¸ia A(x) este definit˘ a prin relat¸ia A(x) ≡
1 o 4m n 4m . 1 − x arctan R(x) = 2 2 π ~2 k0 π ~2 k0 x
Demonstrat¸ie: Prin introducerea funct¸iei A(x) integrala dup˘ a vectorul de und˘ a adimensional ζ a termenului Ω′r devine: Z
ζ0
0
Z ζ0 n h i o Z ζ0 h 4me2 4me2 e2 A(x) i 2 3 dζ ζ 3 ln 1+ 2 −e A(x) R(x) − R(x) = dζ ζ . dζ ζ ln 1+ π~ k0 ζ 2 π~2 k0 ζ 2 4 0 0
ˆIn expresia precedent˘ a ultima integral˘ a este elementar˘ a, iar prima integral˘ a se efectueaz˘ a prim metoda de integrare prin p˘ art¸i:
e2 A(x) i u = ln 1 + ζ2 dv = ζ 3 dζ h
astfel ˆıncˆ at integrala devine: Z
ζ0 0
−→
2 e2 A(x) dζ du = − ζ ζ 2 + e2 A(x) v = 1 ζ4 , 4
h e2 A(x) i dζ ζ 3 ln 1 + 4 ζ Z h 2 4 e A(x) i 0 ζ 2 dζ ζ e2 A(x) ζ0 = 0 ln 1 + + 2 2 4 ζ 2 ζ + e2 A(x) 0 0 Z h h ζ4 e2 A(x) i e2 A(x) i e2 A(x) ζ0 ζ4 ζ 2 dζ = 0 ln 1 + ln 1 + . − lim + 2 2 2 ζ→0 4 4 ζ0 ζ 2 ζ + e2 A(x) 0
Ultimii doi termeni din expresia precedent˘ a produc urm˘ atoarele rezultate lim
ζ→0
h h e2 A(x) i −1 e2 A(x) i ζ4 ζ4 ln 1 + ln ζ 4 ln ζ = 0 , = lim = ζ→0 4 4 ζ2 ζ2 2 Z ζ0 Z ζ0 Z ζ0 ζ2 e2 A(x) h ζ02 + e2 A(x) i ζ 2 dζ ζ dζ 2 ; = = 0 − ln ζ dζ − e A(x) 2 2 2 2 ζ + e A(x) ζ + e A(x) 2 2 e2 A(x) 0 0 0
ca urmare, integrala anterioar˘ a devine: Z
ζ0 0
h h h e2 A(x) i ζ4 e2 A(x) i e2 A(x) 2 e4 A2 (x) ζ02 i dζ ζ 3 ln 1 + + = 0 ln 1 + . ζ − ln 1 + 0 4 4 ζ02 4 4 e2 A(x)
Pe baza rezultatului precedent integrala dup˘ a vectorul de und˘ a adimensional are urm˘ atoarea expresie: Z
0
ζ0
n h i o 4me2 4me2 dζ ζ 3 ln 1 + R(x) − R(x) 2 2 2 2 π~ k0 ζ π~ k0 ζ h h e2 A(x) i e2 A(x) 2 e4 A2 (x) ζ 2 i e2 A(x) 2 ζ04 − ln 1 + ζ0 − ln 1 + 2 0 ζ0 + = 2 4 ζ0 4 4 e A(x) 2 h h e4 A2 (x) e2 A(x) i ζ2 i ζ04 ζ2 . = ln 1 + − ln 1 + 2 0 − 2 0 2 4 2 4 e A (x) ζ0 e A(x) e A(x)
ˆIn rezultatul precedent se evident¸iaz˘ a caracterul divergent¸ei, deoarece se consider˘ a c˘ a m˘ arimea
106
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE e2 A(x)/ζ02 este foarte mic˘ a, astfel ˆıncˆ at termenii din rezultatul precedent se aproximeaz˘ a astfel: h i h i 2 2 4 2 2 2 2 ζ e A(x) ζ0 e A(x) ζ0 ζ ln 1 + 2 0 − ln 1 + = − 2 0 e4 A2 (x) ζ02 e A(x) e2 A(x) e A(x) ζ02 e2 A(x) ζ 2 2 1 e2 A(x) 2 0 + O − = e2 A(x) 2 ζ02 ζ02 2 1 e A(x) = − +O , 2 ζ02 h h e2 A(x) i e2 A(x) i ln 1 + ≈ ln = 2 ln(ζ0 ) − ln e2 A(x) . 2 ζ0 ζ02
Se substituie aproximat¸iile anterioare ˆın expresia rezultat˘ a din integrala dup˘ a vectorul de und˘ a adimensional, astfel c˘ a se obt¸ine expresia dominant˘ a a acestei integrale: Z ζ0 n h i o 4me2 4me2 dζ ζ 3 ln 1 + R(x) − R(x) π~2 k0 ζ 2 π~2 k0 ζ 2 0 2 4 2 2 e A(x) 1 e A (x) − 2 ln(ζ ) + ln e A(x) − +O ≈ 0 4 2 ζ02 4 2 e A (x) 1 = ln e2 A(x) − − 2 ln(ζ0 ) + O(e6 ) ; 4 2
rezultatul anterior produce ˆın mod direct formula (7.82).
Observat¸ii: i. Ω′r nu este o funct¸ie analitic˘ a ˆın raport cu constanta de cuplaj e2 , pentru c˘ a apare 2 dependent¸a logaritmic˘ a ln(e ); ca urmare, nu se poate obt¸ine caracterul logaritmic al divergent¸ei prin dezvoltarea termenului ˆın serie de puteri ale constantei de cuplaj ¸si trunchierea acestei serii la un ordin finit. Rζ ii. Rezultatul (7.82) arat˘a c˘ a integrala dup˘a modulul vectorului de und˘a adimensional 0 0 . . . este finit˘a, pentru orice valoare a parametrului de t˘ aiere ζ0 ; totu¸si, dac˘a s-ar fi efectuat dezvoltarea ˆın serie dup˘a constanta de cuplaj, atunci fiecare termen din seria de perturbat¸ie obt¸inut˘a cont¸ine o divergent¸˘ a infra-ro¸sie: Z ζ0 n h e2 A(x) i e2 A(x) o − dζ ζ 3 ln 1 + ζ2 ζ2 0 2 3 Z ζ0 n 2 1 e2 A(x) 1 e2 A(x) e2 A(x) o 3 e A(x) dζ ζ = − + + . . . − ζ2 2 ζ2 3 ζ2 ζ2 0 Z ζ0 Z ζ0 Z ζ0 4 2 2n n 6 3 e A (x) e A (x) dζ dζ dζ n e A (x) =− + . . . + (−1) + 3 2n−3 2 ζ 3 n 0 0 ζ 0 ζ ζ0 ζ0 ζ0 2n n 6 3 4 2 e A (x) −2 e A (x) n e A (x) −(2n − 3) + . . . + (−1) ln(ζ) + =− . 2 2(n−1) 2 3 ζ0 0 n ζ0 0 0
iii. Comportarea divergent˘ a a termenilor individuali din seria de perturbat¸ie este analoag˘a cazului clasic (limita temperaturilor mari), dar exist˘a o deosebire: termenul dominant (care este proport¸ional cu e4 ) are divergent¸˘ a logaritmic˘ a la limita temperaturii nule, dar are divergent¸˘a lininar˘ a la limita temperaturii ˆınalte. iv. ˆIn expresia (7.82) termenii dominant¸i au urm˘atoarele divergent¸e: – termenul proprot¸ional cu e4 ln(e2 ) este termenul principal, – termenii proport¸ionali cu e4 sunt corect¸iile de ordin minim. B2. Evaluarea termenului nesingular Ω′′r :
~ k02 ζ 4π e2 f0 k ζ, Π x nu 0 k02 ζ 2 m este singular˘a, deoarece ˆın acest caz regiunea infra-ro¸sie este exclus˘a: ζ > ζ0 ; ca urmare, se poate efectua dezvoltarea ˆın serie de perturbat¸ie (adic˘a ˆın serie de puteri ˆın raport cu constanta de cuplaj e2 ) ¸si se ret¸ine termenul de ordin minim ca fiind termenul dominant:
Acest termen este definit prin formula (7.81b), unde m˘arimea y ≡
ln(1 − y) + y = −y −
y2 y2 − . . . + y = − + O(y 3 ) . 2 2
˘ FINITA ˘ 7.4. GAZUL ELECTRONIC LA TEMPERATURA
107
Prin aproximat¸ia anterioar˘ a expresia (7.81b) devine: Z Z ∞ n h ~ k02 ζ i 4π e2 f0 ~ k02 ζ o 4π e2 f0 V ~2 k05 ∞ 3 k ζ, k ζ, ln 1 − Π Π x + x dζ ζ dx Ω′′r = 0 0 2 2 (2π)3 m −∞ k0 ζ 2 m k0 ζ 2 m ζ0 Z Z ∞ h 2 ~ k02 ζ i2 V ~2 k05 ∞ 3 −1 4π e f 0 + O(e6 ) Π x k ζ, dζ ζ dx ≈ 0 (2π)3 m −∞ 2 k02 ζ 2 m ζ0 Z ∞ Z ~2 k05 ~ k02 ζ i2 −8π 2 e4 ∞ dζ h f 0 =V + O(e6 ) . (7.83) Π x k ζ, dx 0 (2π)3 m −∞ k04 m ζ0 ζ
Se observ˘ a c˘ a la limita parametrului de t˘ aiere nul (ζ → 0), transformata Fourier a polariz˘arii termice de ordinul 0 devine 2 0 0 f k0 ζ, ~ k0 ζ x −→ Π f (0, ν) = − mk0 R(x) ; Π ζ→0 m π 2 ~2
atunci se separ˘ a partea corespunz˘ atoare vectorului de und˘a foarte mic, prin introducerea unui parametru de t˘ aiere suplimentar ζ1 , astfel ˆıncˆ at Ω′′r se rescrie ˆın forma: Z ζ1 Z ∞ Z ∞ ~2 k05 dζ h f 0 ~ k02 ζ i2 ~ k02 ζ i2 −8π 2 e4 dζ h f 0 ′′ Ωr ≈ V + Π k0 ζ, Π k0 ζ, x x dx (2π)3 m −∞ k04 m m ζ1 ζ ζ0 ζ + O(e6 ) .
ˆIn prima integral˘a se poate efectua aproximat¸ia asimptotic˘a pentru limita vectorului de und˘a nul, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine o divergent¸˘a logaritmic˘ a ˆın raport cu parametrul de t˘ aiere ζ0 : Z ζ1 Z ζ1 ζ ~ k02 ζ i2 dζ m2 k 2 m2 k 2 dζ h f0 1 Π k0 ζ, ; x = 4 40 R2 (x) ln ≈ 4 40 R2 (x) ζ m π ~ ζ π ~ ζ 0 ζ0 ζ0
a doua integral˘a este nesingular˘ a astfel ˆıncˆ at se separ˘ a ˆın termenul Ω′′r partea divergent˘ a ˆın raport cu parametrul ζ0 : Z ∞ ~2 k05 m2 k 2 m2 k 2 −8π 2 e4 Ω′′r ≈ V − 4 40 R2 (x) ln(ζ0 ) + 4 40 R2 (x) ln(ζ1 ) dx 4 3 (2π) m −∞ k0 π ~ π ~ Z ∞ h i 2 2 ~ k0 ζ dζ f 0 Π k0 ζ, + x + O(e6 ) ζ m ζ1 Z ∞ ~2 k05 e4 A2 (x) e4 A2 (x) =V ln(ζ ) + ln(ζ1 ) dx − 0 (2π)3 m −∞ 4 4 Z ~ k02 ζ i2 −8π 2 e4 ∞ dζ h f 0 k ζ, Π x + O(e6 ) ; + 0 k04 m ζ1 ζ
se observ˘ a c˘ a primul termen din parantez˘ a are o singularitate de tipul e4 ln(ζ0 ), iar ceilalt¸i 2 termeni sunt nedivergent¸i ˆın raport cu ζ0 ¸si sunt proport¸ionali cu puteri superioare ale constantei de cuplaj (adic˘ a e4 , e6 , . . . ); de asemenea, primul termen, Ω′′r are divergent¸a ˆın raport cu ζ0 identic˘ a ¸si cu semn schimbat cu divergent¸a lui Ω′r , astfel ˆıncˆ at aceast˘a divergent¸˘a logaritmic˘ a ˆın raport cu parametrul de t˘ aiere dispare ˆın expresia total˘ a a termenului inelar. B3. Expresia termenilor dominant¸i din Ωr : Prin ˆınsumarea expresiilor (7.82) ¸si (7.83) pentru Ω′r ¸si respectiv Ω′′r se obt¸ine expresia contribut¸iei dominante la termenul inelar total Ωr = Ω′r + Ω′′r ~2 k05 =V (2π)3 m
Z
∞
−∞
dx lim
ζ0 →0
1o e4 A2 (x) n − 2 ln ζ0 + ln e2 A(x) − 4 2 i h 2 4 Z ∞ 2 2 8π e ~ k0 ζ dζ f 0 − Π k0 ζ, x + O(e6 ) k04 m ζ0 ζ
108
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
Dup˘a cum s-a ar˘ atat anterior, ultimul termen (care este datorat lui Ω′′r ) cont¸ine o contribut¸ie care anihileaz˘a partea divergent˘ a logaritmic din Ω′r ˆımpreun˘a cu o parte nedivergent˘ a ˆın raport cu parametrul de t˘ aiere ζ0 ; ca urmare, se grupeaz˘ a termenii dependent¸i de parametrul de t˘ aiere, astfel ˆıncˆ at termenul inelar devine: 4 2 Z ∞ 1o e A (x) n 2 ~2 k05 ln e A(x) − dx Ωr = V (2π)3 m −∞ 4 2 4 2 2 4 Z ∞ ~ k02 ζ i2 dζ h f 0 8π e e A (x) k ζ, Π ln ζ0 + x + O(e6 ) . − lim 0 ζ0 →0 4 k04 ζ m ζ0 4m R(x), atunci termenul dependent de parametrul de t˘ aiere se exprim˘ a ˆın π~2 k0 mod condensat astfel: 4 2 Z ~ k02 ζ i2 8π 2 e4 ∞ dζ h f 0 e A (x) Π k0 ζ, ln ζ0 + x lim ζ0 →0 4 k04 m ζ0 ζ Z ~ k02 x i2 π 4 ~4 ∞ dζ h f 0 8m2 e4 2 Π k0 ζ, ζ ; = lim 2 4 2 R (x) ln(ζ0 ) + 2 2 ζ0 →0 π ~ k0 m k0 ζ0 ζ m
Deoarece A(x) =
atunci, termenul inelar se exprim˘ a ˆın urm˘atoarea form˘a: 4 2 Z ∞ 1 o 4π m2 e4 ~2 k05 e A (x) n 2 Ωr = V ln e A(x) − + I(x) + O(e6 ) , dx (2π)3 m −∞ 4 2 3 ~4 k02
unde funct¸ia I(x) este dependent˘ a de parametrul de t˘ aiere: Z ~ k02 x i2 π 4 ~4 ∞ dζ h f 0 6 2 Π k0 ζ, I(x) = − 3 lim R (x) ln(ζ0 ) + 2 2 ζ . π ζ0 →0 m k0 ζ0 ζ m
(7.84)
(7.85)
Observat¸ii: i. Calculul termenului inelar Ωr s-a redus la estimarea integralei dup˘a frecvent¸a adimensioZ ∞
nalizat˘a
dx . . ., unde integrandul este exprimat prin funct¸iile A(x) ¸si I(x).
−∞
ii. Funct¸ia I(x) care cont¸ine parametrul de t˘ aiere este finit˘ a, deoarece divergent¸a logaritmic˘ a ˆın raport cu acest parametru de t˘ aiere, care apare ˆın ambii termeni ai funct¸iei I(x), se anihileaz˘a reciproc; aceast˘a proprietate se evident¸iaz˘ a ˆın mod direct efectuˆand aproximarea integrandului ˆın vecin˘atatea parametrului de t˘ aiere (considerat ca fiind foarte mic), a¸sa cu s-a procedat la studiul efectuat anterior pentru termenul Ω′′r : Z
∞
ζ0
dζ h f 0 ~ k02 ζ i2 Π k0 ζ, x ζ m Z ∞ Z ζ1 dζ hf 0 ~ k02 ζ i2 ~ k02 ζ i2 dζ h f 0 + Π k0 ζ, Π k0 ζ, x x = m m ζ1 ζ ζ0 ζ Z ∞ dζ h f 0 m2 k 2 ~ k02 ζ i2 m2 k 2 Π k0 ζ, x = − 4 40 R2 (x) ln(ζ0 ) + 4 40 R2 (x) ln(ζ1 ) + π ~ π ~ m ζ1 ζ
ca urmare, funct¸ia I(x) devine m2 k 2 6 π 4 ~4 m2 k 2 I(x) = − 3 lim R2 (x) ln(ζ0 ) + 2 2 − 4 40 R2 (x) ln(ζ0 ) + 4 40 R2 (x) ln(ζ1 ) π ζ0 →0 m k0 π ~ π ~ Z ∞ h 2 dζ f 0 ~ k0 x i2 + Π k0 ζ, ζ m ζ1 ζ Z ~ k02 x i2 π 4 ~4 ∞ dζ h f 0 6 2 Π k0 ζ, ζ . = − 3 lim R (x) ln(ζ1 ) + 2 2 π ζ0 →0 m k0 ζ1 ζ m iii. Termenul dominant din Ωr este proport¸ional cu e4 ¸si cu e4 ln e.
˘ FINITA ˘ 7.4. GAZUL ELECTRONIC LA TEMPERATURA
109
C. Evaluarea termenilor neinelari de ordin inferior Aproximat¸ia temperaturilor joase (T ≥ 0) implic˘ a aproximarea funct¸iei de distribut¸ie Fermi-Dirac prin limita sa la temperatur˘a nul˘a, adic˘a funct¸ia Heaviside: n0k ≈ θ(µ − εk ); ˆın aceste condit¸ii termenii neinelari de ordinele 1 ¸si 2, adic˘a Ω0 , Ω1 , Ω2b ¸si Ω2c = Ω2a au urm˘atoarele expresii aproximative: • Termenul de ordinul 0 corespunde gazului fermionic ideal ¸si se calculeaz˘a prin metode standard (metoda Sommerfeld de aproximare a integralelor fermionice la temperaturi joase), prezentate ˆın lucr˘arile de mecanic˘ a statistic˘ a: Z d3 k 2V ln 1 + e−β(εk −µ) Ω0 = − 3 β R3 (2π) i 2 V 2m 3/2 h 2 5/2 π 2 =− 2 kB T µ1/2 + . . . µ + 2 3π ~ 5 4 i 5π 2 kB T 2 2V 2m 3/2 5/2 h 1 + . (7.86a) + . . . µ =− 15π 2 ~2 8 µ • Termenul de ordinul 1 are expresia general˘a (7.65), care la limita temperaturilor joase devine Z Z d3 q d3 k ve(k − q) n0q n0k Ω1 (T, V, µ) = − V 3 3 (2π) (2π) 3 3 R R Z Z d3 k d3 q ≈ −V ve(k − q) θ(µ − εq ) θ(µ − εk ) 3 3 R3 (2π) R3 (2π) Z d3 k ≡ −V f θ(µ − εk ) , (7.86b) 3 k R3 (2π) unde fk ≡
Z
d3 q v (k − q) θ(µ − εq ) . e 3 R3 (2π)
• Cei 2 termeni egali de ordinul 2 (Ω2a = Ω2c ) au expresia general˘a (7.67), iar aceast˘a expresie la limita temperaturilor joase se aproximeaz˘ a astfel: Ω2a + Ω2c
Z
Z Z d3 k d3 q d3 p ve(k − q) ve(q − p) n0k n0p n0q (1 − n0q ) 3 3 3 (2π) (2π) (2π) 3 3 3 R R R Z Z Z d3 q d3 p d3 k ≈ −βV v e (k − q) θ(µ − ε ) ve(q − p) θ(µ − εp ) δ(µ − εq ) k 3 3 3 R3 (2π) R3 (2π) R3 (2π) Z d3 q 2 f δ(µ − εq ) , (7.86c) ≡ −βV 3 q R3 (2π) = −βV
unde fq a fost definit˘ a anterior, iar aproximat¸ia de temperaturi joase pentru funct¸ia de distribut¸ie Fermi-Dirac implic˘ a β nq (1 − nq ) = −
∂n0q ∂δ(µ − εq ) ≈− = δ(µ − εq ) . ∂εq ∂εq
• Termenul Ω2b are expresia general˘a (7.66) Z Z Z V ve(q) e v (k − p − q) d3 k d3 q d3 p Ω2b = 3 3 3 2 R3 (2π) R3 (2π) R3 (2π) εp+q + εk−q − εp − εk h i × n0p+q (1 − n0p )(n0k − n0k−q ) − n0k (1 − n0k−q )(n0p+q − n0p ) .
(7.86d)
Observat¸ii asupra termenilor dominant¸i ai seriei de perturbat¸ie: i. Pentru evaluarea termenilor neinelari de ordinele 1 ¸si 2 (adic˘a Ω1 , Ω2b ¸si Ω2c ) este necesar s˘a se efectueze calcule numerice; rezultatele arat˘a c˘ a ace¸sti termeni nu sunt divergent¸i (sunt finit¸i).
110
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
ii. Conform expresiilor anterioare, termenii de perturbat¸ie dominant¸i ai potent¸ialului grandcanonic la temperaturi joase, au urm˘atoarele dependent¸e principale ˆın raport cu constanta de cuplaj (e v ∼ e2 ): Ω0 ∼ e 0 Ω1 ∼ e 2 Ω2a & Ω2c ∼ e4 Ωr ∼ e4 ln e & e4 (ˆın plus exist˘a termeni superiori ∼ e2n unde n ≥ 3. iii. Potent¸ialul grand-canonic ˆın aproximat¸ia RPA este constituit din termenul corespunz˘ ator sistemului f˘ ar˘ a interact¸ii, care este gazul fermionc ideal (Ω0 ), termenul de ordinul 1 (Ω1 ), termenii neinelari de ordinul 2 (Ω2b ¸si Ω2a = Ω2c ) ¸si termenul inelar (Ωr ): Ω(T, V, µ) ≈ Ω0 + Ω1 + Ω2a + 2 Ω2c + Ωr . D. Propriet˘ a¸ti termodinamice la temperaturi joase D1. Trecerea de la reprezentarea grand-canonic˘ a la reprezentarea canonic˘ a Observat¸ie: • Metoda perturbativ˘a pentru funct¸ia Green-Matsubara utilizeaz˘a ansamblul statistic grandcanonic, deoarece metoda Cuantific˘arii II este asocoat˘a cu spat¸iul Fock, care implic˘ a un num˘ ar variabil de particule; ca urmare, potent¸ialul termodinamic natural pentru metoda Matsubara este potent¸ialul grand-canonic Ω(T, V, µ), care are urm˘atoarea form˘a diferent¸ial˘a: dΩ = −S dT − P dV − N dµ, astfel ˆıncˆ at num˘arul de particule rezult˘a din ecuat¸ia de stare ∂Ω . N (T, V, µ) = − ∂µ T,V • Pe de alt˘ a parte, sistemul studiat (ˆın cazul prezent este gazul electronic ˆın modelul jellium) se afl˘ a din punct de vedere fizic ˆın condit¸ii canonice, cˆ and num˘arul de particule este fixat; ca urmare, potent¸ialul termodinamic natural al sistemului este energia liber˘a F (T, V, N ) = Ω T, V, µ(T, V, N ) + N µ(T, V, N ) ,
iar trecerea de la reprezentarea termodinamic˘ a grand-canonic˘a la reprezentarea termodinamic˘a canonic˘a se obt¸ine prin inversarea ecuat¸iei de stare a num˘arului de particule, din care rezult˘a potent¸ialul chimic: N (T, V, µ) → µ(T, V, N ).
La temperaturi foarte coborˆ ate (T ≥ 0) potent¸ialul chimic al sistemului este ˆın vecin˘atatea energiei Fermi (care este valoarea potent¸ialului chimic la temperatur˘a nul˘a): µ ≈ µ0 −→ εF ; T →0
deoarece prin metoda perturbativ˘a, considerat˘ a anterior, s-a obt¸inut potent¸ialul grand-canonic ca serie de puteri ˆın raport cu constanta de cuplaj e2 , se consider˘ a de asemenea dezvoltarea potent¸ialului chimic in serie de puteri e2 : µ = µ0 + µ1 + µ2 + . . . ,
(7.87)
unde µn ∼ e2n . Conform observat¸iilor anterioare, se deduce expresia num˘arului de particule prin derivarea potent¸ialului grand-canonic ˆın raport cu potent¸ialul chimic ∂Ω0 ∂Ω1 h ∂Ω2b ∂Ω2c ∂Ωr ∂Ω − ≈− − − +2 . N =− ∂µ ∂µ ∂µ ∂µ ∂µ ∂µ
Se efectueaz˘ a dezvoltarea Taylor a potent¸ialului chimic fat¸˘a de valoarea de la temperatura nul˘a, ret¸inˆandu-se termenii pˆ an˘a ˆın ordinul 2 (adic˘a e4 ):
• deoarece termenul de ordinul 0 al potent¸ialului grand-canonic Ω0 este independent de constanta de cuplaj, atunci dezvoltarea Taylor se efectueaz˘a pˆ an˘a ˆın ordinul 2 ∂3Ω ∂2Ω 1 ∂Ω0 ∂Ω0 0 0 + (µ − µ0 ) + (µ − µ0 )2 + ... = 2 ∂µ ∂µ µ0 ∂µ µ0 2 ∂µ3 µ0 3 ∂2Ω ∂Ω 1 0 0 2 ∂ Ω0 + (µ1 + µ2 ) + ; (µ ) ≈ 1 ∂µ µ0 ∂µ2 µ0 2 ∂µ3 µ0
˘ FINITA ˘ 7.4. GAZUL ELECTRONIC LA TEMPERATURA
111
• termenul de ordinul 1 al potent¸ialului grand-canonic este liniar ˆın constanta de cuplaj, astfel ˆıncˆ at dezvoltarea Taylor a potent¸ialului chimic se efectueaz˘a numai pˆ an˘a ˆın ordinul 1 ∂2Ω 2 ∂ Ω1 ∂Ω1 ∂Ω1 ∂Ω1 1 + (µ − µ0 ) + µ + . . . ≈ ; = 1 ∂µ ∂µ µ0 ∂µ2 µ0 ∂µ µ0 ∂µ2 µ0 • termenii de ordinul 2 ai potent¸ialului grand-canonic sunt p˘ atratici ˆın constanta de cuplaj, astfel c˘ a se ret¸ine numai dezvoltarea Taylor de ordinul 0 a potent¸ialului chimic ∂Ω ∂Ω2c ∂Ω2b ∂Ω2b 2c +2 + ... +2 = ∂µ ∂µ ∂µ µ0 ∂µ µ0 • termenul inelar cont¸ine termeni corespunz˘ atori tuturor ordinelor de perturbat¸ie, astfel c˘ a se ret¸ine numai termenul de ordinul 0 ˆın raport cu potent¸ialul chimic ∂Ω ∂Ωr r + ... = ∂µ ∂µ µ0 Se adun˘ a rezultatele anterioare ¸si se ordoneaz˘a dup˘a puterile constantei de cuplaj ∂2Ω 3 ∂Ω ∂2Ω 1 ∂Ω0 1 1 0 2 ∂ Ω0 − N =− + (µ1 + µ2 ) + µ1 + (µ1 ) ∂µ µ0 ∂µ2 µ0 2 ∂µ3 µ0 ∂µ µ0 ∂µ2 µ0 ∂Ω ∂Ω ∂Ω2b r 2c − − +2 ∂µ µ0 ∂µ µ0 ∂µ µ0 2 ∂Ω ∂Ω ∂ Ω0 0 1 − µ1 =− + ∂µ µ0 ∂µ2 µ0 ∂µ µ0 | {z } | {z } ∼ e0
− µ2 |
∂2Ω
0 ∂µ2 µ0
+ O(e6 ) .
+
∼ e2 2 3 µ1 ∂ Ω 0 2 ∂µ3 µ
0
+ µ1
∂2Ω
1 ∂µ2 µ0
∼ e4
{z & e4
+
∂Ω 2b
∂µ
µ0
+2
∂Ω 2c
∂µ
µ0
ln e
+
∂Ω r
∂µ
µ0
}
(7.88)
Deoarece num˘ arul de particule este independent de constanta de cuplaj (N ∼ e0 ), se egaleaz˘a termenii cu puteri egale ale constantei de cuplaj din expresia precedent˘ a, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine sistemul de ecuat¸ii pentru termenii Taylor ai potent¸ialului chimic: ∂Ω 0 N =− ∂µ µ0 ∂2Ω ∂Ω 0 1 + 0 = µ1 ∂µ2 µ0 ∂µ µ0 ∂2Ω ∂2Ω ∂Ω ∂Ω ∂Ω µ21 ∂ 3 Ω0 1 0 2c r 2b + 2 + + + µ + 0 = µ2 1 ∂µ2 µ0 2 ∂µ3 µ0 ∂µ2 µ0 ∂µ µ0 ∂µ µ0 ∂µ µ0 .. . Din sistemul de ecuat¸ii anterior se obt¸in urm˘atoarele rezultate: • Num˘ arul de particule este dat de prima ecuat¸ie ∂Ω 0 , N =− ∂µ µ0
(7.89)
din care se obt¸ine aproximat¸ia de ordinul 0 pentru potent¸ialul chimic µ0 (N ) (acest termen este identic cu potent¸ialul chimic al gazului fermionic ideal);
• din a doua ecuat¸ie se obt¸ine corect¸ia de ordinul 1 pentru potent¸ialul chimic ∂Ω 1
∂µ µ µ1 = − 2 0 , ∂ Ω0 ∂µ2 µ0
(7.90)
112
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE unde relat¸ia (7.90) produce expresia µ1 (µ0 ), iar prin utilizarea rezultatului anterior µ0 (N ) se obt¸ine expresia canonic˘a a corect¸iei de ordinul 1 µ1 (N );
• din a treia ecuat¸ie rezult˘a corect¸ia de ordinul 2 pentru potent¸ialul chimic h µ2 ∂ 3 Ω ∂2Ω ∂Ω ∂Ω i ∂Ω −1 1 0 2c r 2b 1 , + 2 + + µ + µ2 = 2 1 2 ∂µ3 µ0 ∂µ2 µ0 ∂µ µ0 ∂µ µ0 ∂µ µ0 ∂ Ω0 ∂µ2 µ0 (7.91) totu¸si se va vedea c˘ a termenul de corect¸ie µ2 nu este necesar pentru a obt¸ine energia liber˘a F ˆın aproximat¸ia e4 . Dup˘a rezolvarea sistemului de ecuat¸ii precedente ¸si apoi trecerea la variabile canonice, se obt¸ine expresia potent¸ialului chimic µ(T, V, N ) = µ0 (T, V, N ) + µ1 (T, V, N ) + µ2 (T, V, N ) + . . . D2. Determinarea energiei libere F (T, V, N ) Potent¸ialul canonic, adic˘a energia liber˘a (F ), se obt¸ine din potent¸ialul grand-canonic (Ω) F = Ω+ µN , unde se efectueaz˘ a trecerea de la variabile grand-canonice (T, V, µ) la variabile canonice (T, V, N ); pentru a realiza transformarea variabilelor se efectueaz˘a dezvoltarea ˆın serie de puteri ale constantei de cuplaj pentru potent¸ialul grand-canonic ¸si pentru potent¸ialul chimic: F = Ω0 + Ω1 + Ω2b + 2 Ω2c + Ωr + µ0 + µ1 + µ2 + . . . N .
(7.92)
Termenii potent¸ialului grand-canonic se dezvolt˘ a ˆın serie Taylor ˆın jurul potent¸ialului chimic de temperatur˘a nul˘a ¸si se ret¸in numai contribut¸iile pˆ an˘a ˆın ordinul 2 fat¸˘a de constanta de cuplaj (adic˘a e4 ); ca urmare, Ω0 se dezvolt˘ a ˆın ordinul 2, Ω1 se dezvolt˘ a ˆın ordinul 1, iar termenii de ordinul 2, precum ¸si termenul inelar se consider˘ a ˆın ordinul 0: ∂Ω
∂2Ω 1 0 + ... (µ − µ0 )2 ∂µ µ0 2 ∂µ2 µ0 ∂Ω h ∂Ω µ2 ∂ 2 Ω 0 i 0 0 , + µ2 + 1 ≈ Ω0 (µ0 ) + µ1 ∂µ µ0 ∂µ µ0 2 ∂µ2 µ0 ∂Ω ∂Ω 1 1 Ω1 (µ) = Ω1 (µ0 ) + (µ − µ0 ) + . . . ≈ Ω1 (µ0 ) + µ1 , ∂µ µ0 ∂µ µ0 Ω2b (µ) ≈ Ω2b (µ0 ) , Ω2c (µ) ≈ Ω2c (µ0 ) , Ω0 (µ) = Ω0 (µ0 ) + (µ − µ0 )
0
+
Ωr (µ) ≈ Ωr (µ0 ) .
Pe baza dezvolt˘ arilor ˆın serie anterioare, potent¸ialul energia liber˘a are urm˘atoarea serie de perturbat¸ie: i h i h ∂Ω 0 + Ω1 (µ0 ) + µ1 N F (T, V, N ) ≈ Ω0 (µ0 ) + µ0 N + µ1 ∂µ µ0 ∂Ω h ∂Ω i 2 2 ∂ Ω µ 0 1 0 + µ2 + 1 + Ω (µ ) + Ω (µ ) + Ω (µ ) + µ N + µ 2b 0 2c 0 r 0 2 1 ∂µ µ0 2 ∂µ2 µ0 ∂µ µ0 6 + O(e ) ≡ F0 (T, V, N ) + F1 (T, V, N ) + F2 (T, V, N ) + O(e6 ) ,
(7.93)
˘ FINITA ˘ 7.4. GAZUL ELECTRONIC LA TEMPERATURA
113
unde termenii de perturbat¸ie ai energiei libere au urm˘atoarele expresii: F0 (T, V, N ) = Ω0 (µ0 ) + µ0 N , (7.94a) i h ∂Ω 0 + N = Ω1 (µ0 ) , (7.94b) F1 (T, V, N ) = Ω1 (µ0 ) + +µ1 ∂µ µ0 h ∂Ω ∂Ω i h µ2 ∂ 2 Ω i 0 1 0 + Ω (µ ) + 2 Ω (µ ) + Ω (µ ) + µ F2 (T, V, N ) = 1 + N + µ 2b 0 2c 0 r 0 2 1 2 ∂µ2 µ0 ∂µ µ0 ∂µ µ0 ∂Ω 2 1 # " ∂µ µ0 ; (7.94c) = Ωr (µ0 ) + Ω2b (µ0 ) + 2 Ω2c (µ0 ) − 2 ∂ Ω0 2 ∂µ2 µ0 pentru rezultatul (7.94b) ¸si pentru rezultatul (7.94c) s-a utilizat ecuat¸ia potent¸ialului chimic de ∂Ω 0 + N = 0, iar ˆın plus pentru rezultatul (7.94c) ordinul 0, adic˘a relat¸ia (7.89), astfel ˆıncˆ at ∂µ µ0 s-a utilizat ecuat¸ia potent¸ialului chimic de ordinul 1, adic˘a relat¸ia (7.90), astfel ˆıncˆ at µ2 ∂ 2 Ω 1
2
0 + ∂µ2 µ0
µ1
1
∂µ
∂Ω 2 1
∂Ω
µ0
1 ∂µ µ = − 2 0 . 2 ∂ Ω0 ∂µ2 µ0
Observat¸ii asupra seriei de perturbat¸ie a energiei libere: • termenul de ordinul 0, adic˘a F0 (T, V, N )), este energia liber˘a a gazului fermionic ideal; • datorit˘ a relat¸iei (7.89), care este ecuat¸ia potent¸ialului chimic ˆın ordinul 0, termenul de corect¸ie µ1 nu apare ˆın aproximat¸ia de ordinul 1 a energiei libere, adic˘a F1 (T, V, N ), iar din acela¸si motiv termenul de corect¸ie µ2 nu apare ˆın aproximat¸ia de ordinul 2 a energiei libere, adic˘a F2 (T, V, N ); • rezultatele sunt valabile la temperaturi joase, dar la limita temperaturii nule apar simplific˘ ari. Expresia termenului de ordinul 2 pentru energia liber˘a, adic˘a F2 (T, V, N ) cu expresia (7.94c), se simplific˘ a datorit˘ a Teoremei Kohn – Luttinger: ∂Ω 2 1
2 Ω2c (µ0 ) −
∂µ µ0 ∂2Ω ≈ 0 . 0 2 ∂µ2 µ0
(7.95)
Demonstrat¸ie: Termenii Ω2a (µ) ¸si Ω1 (µ) au expresiile de temperaturi joase date de relat¸ia (7.86c) ¸si respectiv (7.86b): Z d3 q 2 f δ(µ − εq ) , 2 Ω2a (µ) = − β V 3 q R3 (2π) Z d3 q f θ(µ − εq ) , Ω1 (µ) = − V 3 k R3 (2π) unde fq ≡
Z
d3 k ve(k − q) θ(µ − εk ) . 3 R3 (2π)
Prin substituirea expresiei funct¸iei fq se obt¸ine pentru termenul de ordinul 1 expresia: Z Z d3 k d3 q ve(k − q) θ(µ − εk ) θ(µ − εq ) , Ω1 (µ) = − V 3 3 R3 (2π) R3 (2π)
114
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE astfel ˆıncˆ at derivata sa ˆın raport cu potent¸ialul chimic este Z Z h ∂θ(µ − ε ) ∂Ω1 d3 k ∂θ(µ − εq ) i d3 q k = −V ve(k − q) θ(µ − εq ) + θ(µ − εk ) 3 3 ∂µ ∂µ ∂µ R3 (2π) R3 (2π) Z Z d3 k d3 q =V v (k − q) θ(µ − εk ) δ(µ − εq ) e 3 3 R3 (2π) R3 (2π) Z Z d3 q d3 k ve(q − k) θ(µ − εq ) δ(µ − εk ) +V 3 3 R3 (2π) R3 (2π) Z d3 q = 2V f δ(µ − εq ) , 3 q R3 (2π) unde ultima egalitate s-a obt¸inut observˆ and c˘ a cei doi termeni anterioari sunt egali ¸si apoi utilizˆ and definit¸ia funct¸iei fq . Pe de alt˘ a parte, termenul de ordinul 0, la temperaturi joase se reduce la contribut¸ia de ordin minim ˆın raport cu potent¸ialul chimic, conform relat¸iei (7.86a) 2V 2m 3/2 5/2 µ , Ω0 ≈ − 15π 2 ~2 astfel ˆıncˆ at derivata sa de ordinul 2 ˆın raport cu potent¸ialul chimic este Z ∂ 2 Ω0 2 V 2m 3/2 1/2 d3 q ≈ − δ(µ − εq ) ; µ = −2 V 2 2 2 3 ∂µ (2π) ~ R3 (2π)
rezultatul anterior se verific˘ a ˆın mod direct astfel: Z ∂Ω0 ∂N 0 ∂ ∂ X 0 ∂ 2V ∂ 2 Ω0 − = − = − = − d3 q θ(µ − εq ) n = − q ∂µ2 ∂µ ∂µ ∂µ ∂µ q ∂µ (2π)3 R3 Z d3 q = −2 V δ(µ − εq ) . 3 R3 (2π)
Atunci, utilizˆ and rezultatele precedente, se obt¸ine
2 Ω2c (µ0 ) −
∂Ω1 2
∂µ µ0 ∂ 2 Ω0 2 ∂µ2 µ0
2 d3 q f δ(µ − ε ) q 3 q 1 d3 q 2 R3 (2π) ≈ −V fq δ(µ − εq ) − Z 3 3 2 d q R3 (2π) δ(µ − εq ) −2 V 3 (2π) R3 Z 2 Z d3 q 2 d3 q Z fq δ(µ − εq ) fq δ(µ − εq ) 3 3 d3 q R3 (2π) R3 (2π) = −V δ(µ − εq ) . − Z Z 3 3 3 (2π) R3 d q d q δ(µ − ε ) δ(µ − ε ) q q 3 3 R3 (2π) R3 (2π)
Z
−V
Z
Pentru exprimarea condensat˘ a a expresiei anterioare se define¸ste media unei m˘ arimi F (q) pe suprafat¸a Fermi prin relat¸ia Z d3 q F (q) δ(µ − εq ) 3
3 (2π) F (q) F ≡ R Z 3 d q δ(µ − εq ) 3 R3 (2π) ¸si se ia ˆın considerare identitatea Z
√ µ 2m 3/2 d3 q δ(µ − ε ) = , q 3 2 (2π) ~2 R3 (2π)
care a fost justificat˘ a anterior; atunci se obt¸ine:
2 Ω2c (µ0 ) −
∂Ω1 2
√ √
2 o µ µ 2m 3/2 n 2 2m 3/2 2 ∂µ µ0 = − V ≡ − V − f f ∆ fq , q F q F 2 2 2 ∂ 2 Ω0 (2π) ~ (2π) ~2 2 ∂µ2 µ0
˘ FINITA ˘ 7.4. GAZUL ELECTRONIC LA TEMPERATURA unde ∆2 fq ≡ neperturbat˘ a.
115
2
2 atratic˘ a medie a m˘ arimii fq pe suprafat¸a Fermi fq F − fq F este deviat¸ia p˘
~2 q2 ˆIn cazul prezent suprafat¸a Fermi neperturbat˘ ¸si potent¸ialul de interact¸ie a este sferic˘ a εF (q) = 2m 4π e2 dintre particule este coulombian ve(q) = , astfel c˘ a rezult˘ a pentru m˘ arimea fq o deviat¸ie q2 2 p˘ atratic˘ a medie pe suprafat¸a Fermi nul˘ a: ∆ fq = 0; ca urmare se obt¸ine egalitatea (7.95) ˆın mod aproximativ.
Pe baza teoremei Kohn-Luttinger se obt¸ine urm˘atoarea form˘a simplificat˘ a pentru energia liber˘a: F = F0 + F1 + F2 , unde F0 = Ω0 (µ0 ) + µ0 N , F1 = Ω1 (µ0 ) , F2 = Ωr (µ0 ) + Ω2b (µ0 ) , iar potent¸ialul chimic de ordinul 0 se determin˘a din condit¸ia N = −
∂Ω 0
. ∂µ µ0 Este important s˘a se remarce c˘ a pentru m˘arimile termodinamice, rezultate prin deriv˘ari ale potent¸ialului termodinamic (energia liber˘a), se obt¸in integrale care nu pot fi explicitate ˆın mod analitic, astfel ˆıncˆ at este necesar s˘a se utilizeze analiza numeric˘a. E. Energia st˘ arii fundamentale La limita temperaturii nule starea de echilibru termodinamic a sistemului devine starea cuantic˘ a fundamental˘ a; ˆın acest caz starea de echilibru termodinamic, care ˆın general este o stare cuantic˘ a mixt˘a, devine o stare cuantic˘ a pur˘ a. La temperatura nul˘a energia liber˘a a sistemului devine energia st˘arii fundamentale: F = hEi − T S −→ E0 ; T →0
atunci, utilizˆand rezultatele anterioare obt¸inute pentru energia liber˘a la temperaturi joase, se obt¸ine urm˘atoarea expresie pentru energia st˘arii fundamentale: E(0, V, N ) = F (0, V, N ) = F0 (0, V, N ) + F1 (0, V, N ) + F2 (0, V, N ) , unde potent¸ialul chimic de ordinul 0 este energia Fermi: µ0 T =0 = ε0F . Evaluarea termenilor de dezvoltare ˆın serie de puteri ale constantei de cuplaj (e2 ): i. Termenul de ordinul 0 este energia st˘arii fundamentale a gazul fermionic ideal la T = 0 E0 = F0 (0, V, N ) = Ω0 (0, V, ε0F N ) =
3 0 ε N. 5 F
(7.96)
ii. Termenul de ordinul 1 se obt¸ine din relat¸ia (7.86b): E1 = F1 (0, V, N ) =
Ω1 (0, V, ε0F )
Z d3 k d3 q ve(k − q) θ(ε0F − ǫq ) θ(ε0F − ǫk ) = −V 3 3 (2π) (2π) 3 3 R R Z Z 3 d3 k θ(ε0F − ǫq ) θ(ε0F − ǫk ) d q 2 . = − 4π e V 3 3 k − q 2 R3 (2π) R3 (2π) Z
Integrala dubl˘ a din expresia precedent˘ a pentru E1 a fost calculat˘ a anterior ¸si s-a obt¸inut rezultatul (7.35a) 3 2 e2 kF4 =− e kF N . (7.97) E1 = − 2 V (2π)3 4π
116
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
Termenul de ordinul 1, E1 , provine de la interact¸ia coulombian˘ a de schimb (ˆın ordinul 1) ¸si este egal cu media hamiltonianului de interact¸ie pe starea fundamental˘a liber˘a: E1 =
ˆ 1 |Φ0 i hΦ0 |H . hΦ0 |Φ0 i
iii. Termenii de ordin superior ˆın aproximat¸ia RPA cont¸in termenul inelar ¸si corect¸ia neinelar˘ a de ordinul 2 E2 = F (0, V, N ) = Ωr (0, V, N ) + Ω2b (0, V, N ) , iar acest termen este contribut¸ia dominant˘ a la energia de corelat¸ie; de fapt, contribut¸ia dominant˘ a la energia de corelat¸ie provine ˆın primul rˆand de la partea infra-ro¸sie (adic˘a de impuls mic) a termenului inelar Ωr . Este convenabil s˘a se utilizeze variabile adimensionale, la fel ca la tratarea anterioar˘ a ˆın, cadrul formalismului de temperatur˘a nul˘a; ca urmare se introduc urm˘atoarele m˘arimi: 4π 3 r = V , astfel ˆıncˆ at i. distant¸a inter-particul˘ a medie r0 , care este definit˘ a prin relat¸ia N 3 0 3 V 1/3 rezult˘a r0 = ; 4π N ~2 ; ii. raza Bohr (introdus˘ a de interact¸ia coulombian˘ a ) a0 = me2 me2 3 1/3 r0 ; = 2 iii. raza adimensional˘ a (parametrul Wigner-Seitz) rs = a0 ~ 4πn e2 iv. energia caracteristic˘ a per particul˘ a (introdus˘a de interact¸ia coulombian˘ a): ǫ = . 2 a0 Atunci energia de corelat¸ie se exprim˘ a ˆın forma E2 = Ecor = N
e2 ǫcor , 2 a0
(7.98)
unde ǫcor este energia de corelat¸ie adimensional˘ a per particul˘ a, iar aceasta se exprim˘ a ˆın termeni de rs . Atunci energia de corelat¸ie adimensional˘ a per particul˘ a este ǫcor ≡
2 a0 2 a0 2 a0 (2) Ecor = Ωr (0, V, N ) + Ω2b (0, V, N ) = ǫ(r) cor + ǫcor ; N e2 N e2 N e2
(7.99a)
(r)
prin evalu˘ ari numerice (efectuate de Gell-Mann ¸si Brueckner pentru ǫcor ¸si respectiv de Onsager (2) pentru ǫcor ) s-au obt¸inut urm˘atoarele rezultate: ( (r) ǫcor = 0, 0622 ln rs − 0, 141 + O(rs ln rs ) , (2) ǫcor = 0.048 ; ca urmare, energia de corelat¸ie adimensional˘ a per particul˘ a este ǫcor = 0, 0622 ln rs − 0, 094 + O(rs ln rs ) .
(7.99b)
Observat¸ii finale: i. Dac˘ a se iau ˆın considerare rezultatele pentru termenii de ordinul 0 ¸si ordinul 1, conform relat¸iilor (7.34) ¸si respectiv (7.35b) 2, 21 2 a0 ǫ0 ≡ N e2 E0 = r2 , s 0, 916 ǫ1 ≡ 2 a02 E1 = − , Ne rs
atunci se obt¸ine urm˘atoarea expresie pentru energia st˘arii fundamentale a sistemului de electroni ˆın modelul jellium: E
T =0
=N
i e2 h 2, 21 0, 916 − + 0, 0622 ln rs − 0, 094 + O(rs ln rs ) . 2 2 a0 rs rs
(7.100)
˘ FINITA ˘ 7.4. GAZUL ELECTRONIC LA TEMPERATURA
117
ˆIn cazul metalelor gazul electronic are densit˘ a¸ti foarte mari, astfel ˆıncˆ at parametrul Wigner-Seitz are valori foarte mici (rs ≪ 1); ca urmare, termenul dominant este cel corespunz˘ ator sistemului f˘ar˘a interact¸ii ǫ0 (care exprim˘ a energia cinetic˘a), urmat de termenul de ordinul 1 corespunz˘ ator interact¸iei coulombiene de schimb ǫ1 . ii. Rezultatele pentru energia de corelat¸ie obt¸inute ˆın cadrul formalismului de temperatur˘a finit˘a cu trecerea la limita temperaturii nule sunt echivalente cu rezultatele corespondente obt¸inute ˆın cadrul formalismului de temperatur˘a nul˘a. iii. Teorema Kohn-Luttinger este un caz particular al teoremei Luttinger-Ward, care este o teorem˘ a mai general˘ a, valabil˘a pentru sisteme fermionice cu spinul s = 1/2: dac˘a suprafat¸a Fermi neperturbat˘ a este sferic˘a ¸si interact¸iile sunt invariante la rotat¸ii spat¸iale, atunci limita de temperatur˘a nul˘a a formalismului de temperatur˘a finit˘a produce rezultate identice cu formalismul de temperatur˘a nul˘a. iv. Comparat¸ie ˆıntre limita temperaturilor joase ¸si limita clasic˘a: • aproximat¸ia temperaturilor joase este valabil˘a la densit˘ a¸ti mari, cˆ and energia coulombian˘ a medie (per particul˘ a) este mic˘a fat¸˘a de energia cinetic˘a medie per particul˘ a (v ≪ ε0F ), de unde rezult˘a condit¸ia: ~2 2/3 n ; e2 n1/3 ≪ m • aproximat¸ia clasic˘ a implic˘ a temperaturi mari ¸si este valabil˘a la densit˘ a¸ti mici, cˆ and energia coulombian˘ a medie (per particul˘ a) este mic˘a fat¸˘a de energia termic˘ a (v ≪ εT ), de unde rezult˘a condit¸ia: e2 n1/3 ≪ kB T . Se observ˘ a c˘ a ˆın ambele cazuri energia coulombian˘ a medie este mic˘a fat¸˘a de energia caracteristic˘ a a sistemului.
118
CAPITOLUL 7. APROXIMAT ¸ IA FAZELOR ALEATOARE
Capitolul 8
Aproximat¸ia scar˘ a 8.1
Gaze fermionice imperfecte la temperatur˘ a nul˘ a
Se consider˘ a un gaz fermionic cu densitate mic˘a de particule (adic˘a diluat) ¸si cu interact¸ii mutuale repulsive puternice ¸si cu raz˘ a scurt˘ a de act¸iune (adic˘a aproximativ particulele sunt sfere rigide); acest sistem este numit gaz fermionic imperfect. Datorit˘ a caracterului potent¸ialului de interact¸ie, se poate considera interact¸ia ˆıntre dou˘a particule ale sistemului ca o ciocnire potent¸ial˘a de tip sfer˘a rigid˘ a. De¸si potent¸ialul este puternic, totu¸si este posibil ca amplitudinile de ˆımpr˘ a¸stiere s˘a fie mici, astfel ˆıncˆ at s˘a fie aplicabil˘a teoria perturbat¸iilor. Cazurile fizice pentru care se poate aplica modelul de gaz fermionic imperfect sunt: – He3 lichid (interact¸iile ˆıntre atomi sunt de tip ciocniri sfere rigide), – nucleul atomic (potent¸ialul nuclear este puternic repulsiv ¸si cu raz˘ a scurt˘ a de act¸iune).
8.1.1
Ciocnirea (ˆımpr˘ a¸stierea) pe o sfer˘ a rigid˘ a
Se consider˘ a dou˘a particule identice avˆand masele m ¸si a c˘ aror interact¸ie este descris˘ a printr-un potent¸ial repulsiv, puternic ¸si cu raz˘ a scurt˘ a de act¸iune; se aproximeaz˘ a potent¸ialul de interact¸ie ˆın forma: ( v0 , 0 ≤ r ≤ a , v(r) = 0, r>a. Observat¸ie: dac˘ a se consider˘ a interact¸ia de tip sfere rigide, atunci potent¸ialul devine singular: v0 → ∞. Graficul potent¸ialului de interact¸ie este ilustrat ˆın figura din dreapta.
v(r) v0
a
r
A. Problema de ˆımpr˘ a¸stiere ˆın spat¸iul coordonatelor Problema a dou˘a particule aflate ˆın interact¸ie mutual˘a este echivalent˘ a cu 2 probleme independente: 1. particula Centrului de Mas˘ a, care este o particul˘ a liber˘a, avˆand caracteristicile: • masa mCM = 2 m,
• vectorul de pozit¸ie rCM = 12 (r1 + r2 ), • impulsul pCM = p1 + p2 ;
2. particula redus˘ a, care este o particul˘ a ˆın mi¸scare ˆın raport cu Centrul de Mas˘a sub act¸iunea potent¸ialului bi-particul˘a, avˆand caracteristicile: • masa mr = m/2,
• vectorul de pozit¸ie r = r1 − r2 , • impulsul p = p1 − p2 .
119
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
120
Se observ˘ a c˘ a problema particulei CM este o problem˘ a banal˘a, astfel ˆıncˆ at singura problem˘ a interesant˘ a este problema particulei reduse. Ecuat¸ia cu valori proprii a energiei pentru particule redus˘a este: n −~2
2 mr
o ∇2 + v(r) ψ(r) = ǫ ψ(r) .
Prin introducerea notat¸iilor ~2 2 k , 2 mr ~2 u(r) , v(r) ≡ 2 mr ǫ≡
ecuat¸ia cu valori proprii anterioar˘ a devine mai simpl˘a: ∇2 + |k|2 ψk (r) = u(r) ψk (r) .
(8.1)
Deoarece se caut˘ a solut¸ii ale ecuat¸iei cu valori proprii anterioare de tip ciocnire (ˆımpr˘ a¸stiere), se utilizeaz˘a metoda funct¸iei Green divergente. (+)
A1. Funct¸ia Green divergent˘ a Gk (r, r′ ) este definit˘ a prin ecuat¸ia diferent¸ial˘a ¸si comportarea asimptotic˘a: (+) ∇2 + |k|2 Gk (r, r′ ) = − δ 3 (r − r′ ) , (+) Gk (r, r′ ) ∼ r→∞
e
i k |r−r′ |
(8.2a)
.
(8.2b)
Din ecuat¸ia (8.2a), ˆımpreun˘ a cu condit¸ia asimptotic˘a (8.2b), rezult˘a expresia funct¸iei Green divergente: ′ 1 e i k |r−r | (+) . (8.3) Gk (r, r′ ) = 4π |r − r′ | Demonstrat¸ie: (+)
Din condit¸iile de definit¸ie (8.2), rezult˘ a c˘ a funct¸ia Green divergent˘ a Gk (r, r′ ) este dependent˘ a numai de diferent¸a vectorilor de pozit¸ie, astfel c˘ a aceasta se poate reprezenta prin transformare Fourier simpl˘ a: Z d3 p ip·(r−r′ ) e (+) (+) (+) Gk (r, r′ ) = Gk (r − r′ ) = e Gk (p) . (2π)3
Prin transformarea Fourier a celor doi membri ai ecuat¸iei diferent¸iale (8.2a) se obt¸ine: Z (+) d3 p ip·(r−r′ ) 2 2 ′ e (+) (p) , ∇ + |k| Gk (r, r ) = e (− p2 + k2 ) G k (2π)3 Z d3 p ip·(r−r′ ) − δ 3 (r − r′ ) = e (−1) ; (2π)3 atunci, prin egalarea coeficient¸ilor Fourier corespondent¸i, rezult˘ a: e (+) (p) = G k
1 . p2 − k 2
e (+) (p) nu este corect Este necesar s˘ a se observe c˘ a expresia precedent˘ a a transformatei Fourier G k definit˘ a, deoarece are poli pe axa real˘ a: p0 = ±k ¸si astfel transformarea Fourier nu se poate efectua; de aceea se deplaseaz˘ a ˆın mod infinitezimal polii de pe axa real˘ a, astfel ˆıncˆ at transformata Fourier a funct¸iei Green divergente se rescrie ˆın urm˘ atoarea form˘ a: e (+) (p) = G k
1 . p2 − k 2 − i η
(Sunt posibile 4 moduri de a deplasa cei doi poli de pe axa real˘ a; se va ar˘ ata c˘ a alegerea precedent˘ a va conduce la comportarea asimptotic˘ a de tip divergent.)
˘ NULA ˘ 8.1. GAZE FERMIONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
121
z+ −k
p
k
z−
Figura 8.1: Conturul de integrare pentru deducerea funct¸iei Green divergente. Prin alegerea f˘ acut˘ a anterior se efectueaz˘ a integrarea transform˘ arii Fourier ˆın coordonate sferice, alegˆ and axa polar˘ a pe direct¸ia vectorului r − r′ : Z 1 d3 p ip·(r−r′ ) (+) e Gk (r − r′ ) = (2π)3 p2 − k 2 − i η Z ∞ Z π Z 2π ′ 1 1 2 = ; dp p dθ sin θ dϕ eip|r−r | cos θ 2 3 (2π) 0 p − k2 − i η 0 0 integrala dup˘ a unghiul azimutal este banal˘ a, producˆ and rezultatul 2π, iar integrala dup˘ a unghiul polar se efectueaz˘ a prin schimbarea de variabil˘ a u = cos θ, astfel c˘ a r˘ amˆ ane numai integrala radial˘ a: Z ∞ Z 1 ′ 2π p2 (+) Gk (r − r′ ) = dp 2 du eip|r−r |u 3 2 (2π) 0 p − k − i η −1 Z ∞ ip|r−r′ | ′ 1 p = e − e−ip|r−r | dp 2 (2π)2 i|r − r′ | 0 p − k2 − i η Z ∞ Z ∞ 1 p p ip|r−r′ | −ip|r−r′ | = e − e . dp dp (2π)2 i|r − r′ | p2 − k 2 − i η p2 − k 2 − i η 0 0 ˆIn cea de-a doua integral˘ a se face schimbarea de variabil˘ a p′ = −p, astfel c˘ a se obt¸ine: Z ∞ Z 0 ′ ′ p p dp 2 e−ip|r−r | = − eip|r−r | ; dp 2 p − k2 − i η p − k2 − i η 0 −∞ ca urmare, cele dou˘ a integrale radiale se sumeaz˘ a ¸si rezult˘ a integrala peste ˆıntreaga ax˘ a real˘ a: Z ∞ ′ 1 p (+) Gk (r − r′ ) = eip|r−r | dp 2 (2π)2 i|r − r′ | −∞ p − k2 − i η Integrala se efectueaz˘ a utilizˆ and teoria funct¸iilor de variabil˘ a complex˘ a ¸si se consider˘ a prelungirea analitic˘ a a funct¸iei integrand ˆın planul complex: f (z) ≡
z eirz ; z 2 − k2 − η
aceast˘ a funct¸ie are 2 poli simpli: z± = ±(k + i η) ¸si tinde la valoarea nul˘ a pe semicercul superior de raz˘ a infinit˘ a, deoarece exponentul este: irz = ir(p + iγ) = irp − rγ −→ −∞ , |z|→∞
dac˘ a Im(z) = γ > 0 .
Se efectueaz˘ a integrarea funct¸iei f (z) pe conturul ˆınchis C constituit din axa real˘ a ¸si semicercul superior de raz˘ a infinit˘ a (C+ ), dup˘ a cum este ilustrat ˆın figura 8.1; conform lemei Jordan integrala
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
122
pe semicercul de la infinit este nul˘ a, astfel ˆıncˆ at integrala ce conturul C se reduce la integrala pe axa real˘ a: I Z ∞ Z Z ∞ p dz f (z) = dp f (p) + dz f (z) = eipr ; dp 2 2 − iη p − k C −∞ C+ −∞ pe de alt˘ a parte, conform teoremei Cauchy, integrala pe conturul C este egal˘ a cu reziduul funct¸iei f (z) din interiorul conturului de integrare, adic˘ a ˆın polul z+ : I 1 dz f (z) = 2πi Res f (z+ ) ] = 2πi eikr . 2 C Atunci, integrala pe axa real˘ a este Z ∞
dp
−∞
p eipr = πi eikr , p2 − k 2 − i η
rezultˆ and formula (8.3).
A2. Deoarece ˆın cazul ˆımpr˘ a¸stierii unei particule funct¸ia de stare are dou˘a componente: una care descrie fluxul incident ¸si a doua care descrie particulele ˆımpr˘ a¸stiate, atunci solut¸ia divergent˘ a a ecuat¸iei cu valori proprii satisface urm˘atoarea ecuat¸ie integral˘a, exprimat˘ a ˆın termeni de funct¸ia Green divergent˘ a: Z (+) (+) (+) ψk (r) = eik·r − d3 r′ Gk (r, r′ ) u(r′ ) ψk (r′ ) . (8.4) Demonstrat¸ie: Metoda funct¸iei Green pentru exprimarea solut¸iei unei ecuat¸ii diferent¸iale neomogene se formuleaz˘ a ˆın general astfel: – se consider˘ a operatorul diferent¸ial Lˆx cu care se define¸ste ecuat¸ia Lˆx y(x) = f (x) , unde f (x) este o funct¸ie cunoscut˘ a; – se define¸ste funct¸ia Green a operatorului Lˆx , notat˘ a G(x, x′ ), prin ecuat¸ia diferent¸ial˘ a singular˘ a Lˆx G(x, x′ ) = −δ(x − x′ ) , unde δ(x) este funct¸ia Dirac;
– solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei diferent¸iale neomogene este suma dintre solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei diferent¸iale omogene asociate ¸si o solut¸ie particular˘ a a ecuat¸iei neomogene, care se exprim˘ a ˆın termeni de funct¸ia Green a operatorului y(x) = y (0) (x) + y (G) (x) , unde Lˆx y (0) (x) = 0 , Z y (G) (x) = − dx′ G(x, x′ ) f (x′ ) . Se verific˘ a prin calcul direct c˘ a y (G) (x) este o solut¸ie particular˘ a a ecuat¸iei diferent¸iale: Z Z Lˆx y (G) (x) = − dx′ Lˆx G(x, x′ ) f (x′ ) = dx′ δ(x − x′ ) f (x′ ) = f (x) . Se aplic˘ a metoda expus˘ a anterior pentru obt¸inerea solut¸iei ecuat¸iei cu valori proprii (8.1), astfel c˘ a se scrie solut¸ia general˘ a ˆın forma: (0)
(G)
ψk (r) = ψk (r) + ψk (r) ; ecuat¸ia omogen˘ a
(0) ∇2 + |k|2 ψk (r) = 0
are solut¸ia general˘ a o combinat¸ie liniar˘ a de exponent¸iale tip unde plane (0)
ψk (r) = c1 eik·r + c2 e−ik·r ,
˘ NULA ˘ 8.1. GAZE FERMIONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
123
iar solut¸ia particular˘ a se exprim˘ a cu ajutorul funct¸iei Green (G)
ψk (r) = −
Z
d3 r′ Gk (r, r′ ) u(r′ ) ψk (r′ ) .
Pentru situat¸ia fizic˘ a corespunz˘ atoare ˆımpr˘ a¸stierii particulei se alege solut¸ia general˘ a omogen˘ a de tip und˘ a plan˘ a incident˘ a, ceea ce implic˘ a alegerea c1 = 1 ¸si c2 = 0, iar solut¸ia particular˘ a se alege de tip und˘ a divergent˘ a ˆımpr˘ a¸stiat˘ a, ceea ce implic˘ a alegerea funct¸iei Green ca fiind funct¸ia Green divergent˘ a ; astfel se obt¸ine formula (8.4).
Observat¸ii asupra relat¸iei (8.4): i. Deoarece ecuat¸ia (8.1) cont¸ine ˆın membrul drept funct¸ia necunoscut˘ a, atunci relat¸ia (8.4) este o ecuat¸ie integral˘a pentru funct¸ia proprie divergent˘ a. ii. Considerˆ and c˘ a potent¸ialul de ˆımpr˘ a¸stiere are raz˘ a finit˘a de act¸iune, rezult˘a c˘ a funct¸ia proprie divergent˘ a (numit˘ a funct¸ia de ˆımpr˘ a¸stiere) are urm˘atoarea form˘a asimptotic˘a: (+)
ψk (r) ≈ eik·r + f (k′ , k) r→∞
eikr , r
(8.5a)
r unde k′ ≡ k = k er ¸si f (k′ , k) este amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere k → k′ , definit˘ a prin urm˘atoarea r formul˘a: Z ′ ′ −1 (+) ′ f (k , k) = d3 r′ e−ik ·r u(r′ ) ψk (r′ ) . (8.5b) 4π Demonstrat¸ie: La distant¸e foarte mari de centru de ˆımpr˘ a¸stiere (cˆ and r ≫ r ′ ) se poate face aproximat¸ia |r − r′ | = astfel c˘ a rezult˘ a
p
r · r′ r r 2 − 2r · r′ + (r ′ )2 ≈ r 1 − 2 = r − · r′ , r r
r ′ · r = k r − k′ · r′ . r Atunci relat¸ia (8.4), ˆın care s-a explicitat funct¸ia Green divergent˘ a, se aproximeaz˘ a asimptotic astfel: k |r − r′ | ≈ k r − k
(+)
ψk (r) = eik·r − ≈ eik·r +
Z
′
1 e i k |r−r | (+) u(r′ ) ψk (r′ ) 4π |r − r′ | Z ′ ′ −1 (+) d3 r′ e−ik ·r u(r) ψk (r′ ) , 4π
d3 r′
eikr r
adic˘ a s-a obt¸inut rezultatul exprimat prin relat¸iile (8.5).
iii. Ecuat¸ia integral˘a (8.4) se rezolv˘ a prin metoda iterativ˘ a, care conduce la o serie de perturbat¸ie ˆın raport cu potent¸ialul de interact¸ie. Aproximat¸ia de ordin minim este aproximat¸ia de ordinul 1 (numit˘ a aproximat¸ia Born), care produce urm˘atoarea expresie a amplitudinii de ˆımpr˘ a¸stiere: Z Z ′ ′ ′ ′ ′ −1 −1 −1 u e(k′ − k) , (8.6) d3 r′ e−ik ·r u(r) eik·r = d3 r′ e−i(k −k)·r u(r) = f (k′ , k) = 4π 4π 4π
adic˘a amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere ˆın aproximat¸ia Born este proport¸ional˘ a cu transformata Fourier a potent¸ialului de interact¸ie. iv. ˆIn teoria ciocnirilor se utilizeaz˘a o metod˘ a echivalent˘ a metodei perturbative, anume analiza ˆın unde part¸iale. v. ˆIn cazul limit˘ a cˆ and interact¸ia este de tip sfer˘ a rigid˘ a, atunci v0 → ∞; ˆın acest caz aproximat¸ia Born nu este valabil˘a, metoda undelor part¸iale nu este convenabil˘ a, astfel ˆıncˆ at este necesar s˘a se efectueze tratarea exact˘ a obt¸inut˘a prin luarea ˆın considerare a tuturor ordinelor teoriei perturbat¸iilor.
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
124
B. Problema de ˆımpr˘ a¸stiere ˆın spat¸iul impulsului Se efectueaz˘ a transform˘ arile Fourier pentru funct¸ia de ˆımpr˘ a¸stiere, pentru potent¸ialul de interact¸ie ¸si pentru funct¸ia Green divergent˘ a: Z Z d3 p ip·r e(+) (+) e(+) (p) = d3 r e−ip·r ψ (+) (r) , ψ (p) =⇒ ψ e ψk (r) = k k k 3 R3 (2π) Z Z 3 d p ip·r u(r) = e u e(p) =⇒ u e(p) = d3 r e−ip·r u(r) , 3 R3 (2π) Z 1 d3 p ip·(r−r′ ) e (+) (+) e (+) (p) = Gk (r, r′ ) = e Gk (p) =⇒ G . k 3 2 p − k2 − i η R3 (2π) B1. Ecuat¸ia integral˘a pentru transformata Fourier a funct¸iei de ˆımpr˘ a¸stiere este Z 3 d q 1 (+) (+) u e(p) ψek (p − q) . ψek (p) = (2π)3 δ 3 (k − p) − 2 p − k 2 − i η R3 (2π)3
(8.7)
Demonstrat¸ie:
Se efectueaz˘ a transformarea Fourier a ecuat¸iei integrale (8.4): Z Z n o (+) (+) (+) ψek (p) = d3 r e−ip·r eik·r − d3 r′ Gk (r, r′ ) u(r′ ) ψk (r′ ) Z Z Z (+) (+) = d3 r ei(k−p)·r − d3 r d3 r′ e−ip·r Gk (r, r′ ) u(r′ ) ψk (r′ ) ;
ˆın expresia precedent˘ a primul termen se reduce la funct¸ia Dirac Z d3 r ei(k−p)·r = (2π)3 δ 3 (k − p) ,
iar ˆın al doilea termen se efectueaz˘ a transform˘ arile Fourier ale m˘ arimilor dependente de pozit¸ii ¸si apoi se fac integr˘ arile spat¸iale care produc funct¸ii Dirac, astfel ˆıncˆ at ˆın final r˘ amˆ ane numai o singur˘ a integral˘ a: Z Z (+) (+) d3 r d3 r′ e−ip·r Gk (r, r′ ) u(r′ ) ψk (r′ ) Z Z Z Z Z d3 p1 ip1 ·(r−r′ ) e (+) d3 p2 ip2 ·r′ d3 p3 ip3 ·r′ e(+) = d3 r d3 r′ e−ip·r e G (p ) e u e (p ) e ψk (p3 ) 1 2 k 3 3 3 R3 (2π) R3 (2π) R3 (2π) Z Z Z Z Z ′ d3 p2 d3 p3 e (+) d3 p1 (+) d3 r′ ei(−p1 +p2 +p3 )·r = Gk (p1 ) u e(p2 ) ψek (p3 ) d3 r ei(p1 −p)·r 3 3 3 R3 (2π) R3 (2π) R3 (2π) {z } | {z } | =
Z
R3
= (2π)3 δ 3 (p1 −p)
= (2π)3 δ 3 (p2 +p3 −p1 )
3
d q e (+) (+) G (p) u e(q) ψek (p − q) . (2π)3 k
Comasˆ and rezultatele anterioare se obt¸ine relat¸ia (8.7).
Observat¸ie: funct¸iile neperturbate, care sunt unde plane ψk0 (r) = eik·r k , sunt un sistem complet (ˆın spat¸iul funct¸iilor de variabila r), deoarece sunt sistemul de funct¸ii Fourier; ca urmare, este valabil˘a relat¸ia de completitudine: Z Z d3 k 0 d3 k ik·(r−r′ ) 0∗ ′ ψ (r) ψ (r ) = e = δ 3 (r − r′ ) . k k 3 3 R3 (2π) R3 (2π)
Dac˘ a potent¸ialul de interact¸ie nu produce st˘ari legate, situat¸ie care este ˆındeplinit˘a ˆın cazul (+) ˆımpr˘ a¸stierilor, atunci setul funct¸iilor de ˆımpr˘ a¸stiere ψk (r) k sunt, de asemenea, un sistem complet (ˆın spat¸iul funct¸iilor de variabila r), astfel ˆıncˆ at este satisf˘acut˘ a relat¸ia de completitudine urm˘atoare: Z d3 k (+) (+) ∗ ψk (r) ψk (r′ ) = δ 3 (r − r′ ) ; (8.8a) 3 R3 (2π) (+) ˆın acest caz transformatele Fourier ale funct¸iilor de ˆımpr˘ a¸stiere ψek (p) k , sunt un sistem complet (ˆın spat¸iul funct¸iilor de variabila p) conform relat¸iei de completitudine urm˘atoare: Z d3 k e(+) (+) ∗ ψk (p) ψek (p′ ) = δ 3 (p − p′ ) . (8.8b) 3 R3 (2π)
˘ NULA ˘ 8.1. GAZE FERMIONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
125
Demonstrat¸ie: Se efectueaz˘ a transform˘ arile Fourier inverse pentru funct¸iile de ˆımpr˘ a¸stiere ¸si se utilizeaz˘ a relat¸ia de completitudine (8.8a) ¸si apoi relat¸ia de completitudine a funct¸iilor Fourier: Z Z Z Z ′ ′ d3 k d3 k e(+) (+) ∗ 3 −ip·r (+) e(+) ∗ (p′ ) = d r e ψ (r) d3 r′ eip ·r ψk′ (r′ ) ψ (p) ψ k k k 3 3 R3 (2π) R3 (2π) Z Z Z ′ ′ d3 k (+) (+) ∗ ψk (r) ψk (r′ ) = d3 r d3 r′ e−ip·r+ip ·r 3 R3 (2π) | {z } =
adic˘ a s-a obt¸inut relat¸ia cerut˘ a.
Z
= (2π)3 δ 3 (r−r′ )
′
d3 r e−i(p−p
)·r
= δ 3 (p − p′ ) ,
B2. Amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere ˆın spat¸iul impulsului este Z d3 q (+) u e(q) ψek (k′ − q) . fe(k′ , k) ≡ −4 π f (k′ , k) = 3 (2π) 3 R
(8.9)
Demonstrat¸ie:
Se utilizeaz˘ a definit¸ia (8.5b), apoi se efectueaz˘ a transform˘ arile Fourier ale m˘ arimilor dependente de coordonatele de pozit¸ie, iar ˆın final se efectueaz˘ a integrala spat¸ial˘ a care produce funct¸ia Dirac, astfel ˆıncˆ at rezultatul final cont¸ine o singur˘ a integral˘ a: Z ′ ′ (+) fe(k′ , k) = d3 r′ e−ik ·r u(r′ ) ψk (r′ ) Z Z Z ′ ′ d3 q iq·r′ d3 q′ iq′ ·r′ e(+) ′ = d3 r′ e−ik ·r e u e (q) e ψk (q ) 3 3 R3 (2π) R3 (2π) Z Z Z ′ ′ ′ d3 q′ d3 q (+) u e(q) ψek (q′ ) d3 r′ ei(q+q −k )·r = 3 3 R3 (2π) R3 (2π) {z } | =
Z
= (2π)3 δ 3 (q+q′ −k′ )
3
R3
rezultatul este relat¸ia (8.9).
d q (+) u e(q) ψek (k′ − q) ; (2π)3
(+) B3. Relat¸ia dintre transformatele Fourier ale funct¸iei de ˆımpr˘ a¸stiere ψek (p) ¸si ale amplitudinii de ˆımpr˘ a¸stiere fe(k′ , k) se obt¸ine din relat¸iile (8.7) ¸si (8.9): (+) ψek (p) = (2π)3 δ 3 (k − p) −
fe(p, k) . p2 − k 2 − i η
B4. Ecuat¸ia integral˘a pentru amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere este Z d3 q u e(k′ − q) e fe(k′ , k) = u e(k′ − k) + f (q, k) . 3 2 2 R3 (2π) k − q − i η
(8.10)
(8.11)
• Demonstrat¸ie:
ˆIn expresia (8.9) se substituie transformata Fourier a funct¸iei de ˆımpr˘ a¸stiere prin formula (8.10), iar apoi se face schimbarea de variabil˘ a q′ = k − q Z d3 q (+) fe(k′ , k) = u e(q) ψek (k′ − q) 3 R3 (2π) Z o n d3 q fe(k′ − q, k) u e(q) (2π)3 δ 3 (k − k′ + q) − ′ = 3 2 2 (k − q) − k − i η R3 (2π) Z ′ 3 e e(q) f (k − q, k) d q u =u e(k′ − k) − 3 (k′ − q)2 − k 2 − i η R3 (2π) Z e(k′ − q′ ) fe(q′ , k) d3 q′ u , =u e(k′ − k) − 3 (q′ )2 − k2 − i η R3 (2π) adic˘ a s-a obt¸inut relat¸ia (8.11).
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
126
Observat¸ii asupra ecuat¸iei (8.11): i. Ecuat¸ia integral˘a a transformatei Fourier a amplitudinii de ˆımpr˘ a¸stiere permite determinarea amplitudinii de ˆımpr˘ a¸stiere ˆın funct¸ie de potent¸ialul de interact¸ie ¸si independent de funct¸ia de ˆımpr˘ a¸stiere ψek (p). ii. Amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere este definit˘ a chiar pentru cazul cˆ and potent¸ialul este singular (exemplu: sfera rigid˘ a), cˆ and nu se poate defini funct¸ia de ˆımpr˘ a¸stiere. iii. Ecuat¸ia integral˘a (8.11) se rezolv˘ a prin metoda iterativ˘ a ¸si se obt¸ine seria de perturbat¸ie (ˆın raport cu potent¸ialul de interact¸ie) a amplitudinii de ˆımpr˘ a¸stiere; la limita potent¸ialului singular fiecare termen din seria de perturbat¸ie este divergent (separat), dar suma termenilor este convergent˘ a. iv. Conform definit¸iei amplitudinii de ˆımpr˘ a¸stiere fe(k′ , k) rezult˘a egalitatea ˆın m˘arime a celor doi vectori de und˘a: |k′ | = k; totu¸si, ecuat¸ia integral˘a (8.11) necesit˘a s˘a se considere valori arbitrare pentru vectorii de und˘a, deci k ′ 6= k. B5. Prin eliminarea potent¸ialului de interact¸ie se obt¸ine ecuat¸ia intrinsec˘ a a amplitudinii de ˆımpr˘ a¸stiere: Z 1 1 d3 k e ′ ∗ ′ e∗ (p′ , k) e e . (8.12) f (p, k) f − f (p, p ) − f (p , p) = 3 k 2 − p2 + i η k 2 − (p′ )2 − i η R3 (2π) Demonstrat¸ie:
Prin utilizarea relat¸iei (8.9) pentru transformata Fourier a amplitudinii de ˆımpr˘ a¸stiere ¸si apoi a relat¸iei de completitudine (8.8b) a setului de transformate Fourier ale funct¸iilor de ˆımpr˘ a¸stiere se obt¸ine transformata Fourier a potent¸ialului de interact¸ie: Z Z Z d3 k e d3 k d3 q (+)∗ e(+)∗ (p′ ) = f (p, k) ψ u e(q) ψek (p − q) · ψek (p′ ) k 3 3 3 R3 (2π) R3 (2π) R3 (2π) Z Z d3 q d3 k e (+)∗ = u e (q) ψk (p − q) ψek (p′ ) 3 3 R3 (2π) R3 (2π) {z } | = (2π)3 δ 3 (p−q−p′ )
′
ˆIn expresia precedent˘ a se substituie (8.10), astfel c˘ a rezult˘ a Z d3 k u e(p − p′ ) = 3 (2π) R3 Z 3 d k = 3 (2π) 3 R
=u e(p − p ) .
transformata Fourier a funct¸iei de ˆımpr˘ a¸stiere prin relat¸ia
(+)∗ fe(p, k) ψek (p′ )
n fe(p, k) (2π)3 δ 3 (k − p′ ) −
= fe(p, p′ ) −
Z
o fe∗ (p′ , k) (p′ )2 − k2 + i η
d3 k fe(p, k) fe∗ (p′ , k) ; 3 (p′ )2 − k 2 + i η R3 (2π)
deoarece potent¸ialul de interact¸ie u(r) este o m˘ arime real˘ a, rezult˘ a c˘ a transformata sa Fourier satisface relat¸ia u e∗ (p′ − p) = u e(p − p′ ); atunci, utilizˆ and reprezentarea anterioar˘ a a transformatei Fourier a potent¸ialului de interact¸ie prin transformata Fourier a amplitudinii de ˆımpr˘ a¸stiere, se obt¸ine Z Z d3 k fe(p, k) fe∗ (p′ , k) d3 k fe(p, k) fe∗ (p′ , k) e∗ (p′ , p) + fe(p, p′ ) + = f , 3 k 2 − (p′ )2 − i η 3 k 2 − p2 + i η R3 (2π) R3 (2π)
iar rezultatul obt¸inut este echivalent cu formula (8.12).
ˆIn cazul cˆ and potent¸ialul de interact¸ie are simetrie sferic˘a v(r) = v(r) ¸si dac˘a |p| = |p′ |, atunci din relat¸ia (8.12) rezult˘a teorema optic˘ a generalizat˘ a: ZZ −p ∗ ′ 2 e e f (p, k) f (p , k) d Ω , (8.13) Im fe(p, p′ ) = k 16 π 2 k=p=p′ Σk unde Σk este sfera unitate din spat¸iul vectorului de und˘a k, iar d2 Ωk = sin θk dθk dϕk este elementul infinitezimal al unghiului solid.
˘ NULA ˘ 8.1. GAZE FERMIONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
127
Demonstrat¸ie: Dac˘ a vectorii de und˘ a au m˘ arimi egale (|p| = |p′ |), atunci prin utilizarea formulei SohotskiWeierstrass 1 1 lim ∓ iπ δ(ω) , (limit˘ a slab˘ a) , =P η→0+ ω ± iη ω
membrul drept al relat¸iei (8.12) este o m˘ arime imaginar˘ a, deoarece p˘ art¸ile principale ale integralelor se simplific˘ a: Z
1 1 d3 k e e∗ (p′ , k) f (p, k) f − 3 k 2 − p2 + i η k 2 − p2 − i η R3 (2π) Z 3 1 1 d k e 2 2 2 2 e∗ (p′ , k) P f (p, k) f − iπ δ(k − p ) − P − iπ δ(k − p ) = 3 k 2 − p2 k 2 − p2 R3 (2π) Z d3 k e = f (p, k) fe∗ (p′ , k) (−2iπ) δ(k2 − p2 ) . 3 (2π) R3
ˆIn continuare se descompune funct¸ia Dirac conform relat¸iei δ(k2 − p2 ) = 1 δ(k − p) + δ(k + p) 2p ¸si se efectueaz˘ a integrala ˆın coordonate sferice Z
d3 k e 1 1 f (p, k) fe∗ (p′ , k) 2 − 2 3 2 2 k − p + iη k − p − iη R3 (2π) Z Z π Z 2π −2iπ ∞ 1 2 = dk k dθk sin θk δ(k − p) + δ(k + p) ; dϕk fe(p, k) fe∗ (p′ , k) (2π)3 0 2p 0 0
funct¸ia Dirac δ(k + p) are contribut¸ie nul˘ a, deoarece suportul s˘ au k = −p este ˆın exteriorul intervalului de integrare, astfel ˆıncˆ at integrala radial˘ a se efectueaz˘ a cu ajutorul funct¸iei Dirac δ(k − p): Z
1 1 d3 k e f (p, k) fe∗ (p′ , k) 2 − 2 3 2 2 k − p + iη k − p − iη R3 (2π) Z ∞ Z π Z 2π −i = dk k2 dθk sin θk dϕk fe(p, k) fe∗ (p′ , k) δ(k − p) 8π 2 p 0 0 0 Z Z 2π −i 2 π p dθk sin θk dϕk fe(p, k) fe∗ (p′ , k) = 2 8π p k=p=p′ 0 ZZ 0 −ip d2 Ωk fe(p, k) fe∗ (p′ , k) . = 8π 2 k=p=p′ Σk
Dac˘ a potent¸ialul are simetrie sferic˘ a ¸si vectorii de und˘ a au m˘ arimi egale, atunci transformata Fourier a amplitudinii de ˆımpr˘ a¸stiere depinde numai de m˘ arimea ¸si orientarea reciproc˘ a a celor doi vectori de und˘ a: fe(p, p′ ) = fe(p, p · k); ca urmare, rezult˘ a relat¸ia de simetrie: fe(p, p′ ) = fe(p′ , p). Atunci, membrul stˆ ang al relat¸iei (8.12) devine: fe(p, p′ ) − fe∗ (p′ , p) = fe(p, p′ ) − fe∗ (p, p′ ) = 2i Im fe(p, p′ ) .
Prin egalarea expresiilor obt¸inute anterior pentru cei doi membrii ai relat¸iei (8.12) se obt¸ine teorema opetic˘ a generalizat˘ a, reprezentat˘ a de relat¸ia (8.13).
C. Seria de perturbat¸ie pentru amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere C1. Dezvoltarea perturbativ˘a a funct¸iei de ˆımpr˘ a¸stiere se obt¸ine din ecuat¸ia integral˘a (8.4) (+)
ψk (r) = eik·r −
Z
(+)
(+)
d3 r′ Gk (r, r′ ) u(r′ ) ψk (r′ ) ,
prin rezolvare iterativ˘ a (+) [n]
ψk
(r) = eik·r −
Z
(+)
(+) [n−1]
d3 r′ Gk (r, r′ ) u(r′ ) ψk
(r′ ) .
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
128
Atunci se obt¸in ˆın mod succesiv termenii de perturbat¸ie: (+)
ψk (r) ≈ eik·r , 0
(+) ψk (r) ≈ 1
e
ik·r
−
= eik·r − (+) ψk (r) ≈ 2
e
ik·r
−
= eik·r −
Z
Z
Z
Z
Z
(+)
(+) [0]
(+)
′
(+)
(+) [1]
d3 r′ Gk (r, r′ ) u(r′ ) ψk
(r′ )
d3 r′ Gk (r, r′ ) u(r′ ) eik·r , d3 r′ Gk (r, r′ ) u(r′ ) ψk
n ′ (+) d3 r′ Gk (r, r′ ) u(r′ ) eik·r ′
(+)
(r′ ) Z o ′′ (+) − d3 r′′ Gk (r′ , r′′ ) u(r′′ ) eik·r
d3 r′ Gk (r, r′ ) u(r′ ) eik·r Z ′′ (+) (+) + d3 r′ d3 r′′ Gk (r, r′ ) u(r′ ) Gk (r′ , r′′ ) u(r′′ ) eik·r , Z (+) (+) ψk (r) ≈ eik·r − d3 r1 Gk (r, r1 ) u(r1 ) eik·r1 n Z Z (+) (+) + d3 r1 d3 r2 Gk (r, r1 ) u(r1 ) Gk (r1 , r2 ) u(r2 ) eik·r2 · · · Z Z (+) (+) + (−1)n d3 r1 . . . d3 rn Gk (r, r1 ) u(r1 ) . . . Gk (rn−1 , rn ) u(rn ) eik·rn . =e
ik·r
− Z
C2. Dezvoltarea perturbativ˘a pentru amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere se obt¸ine din relat¸ia (8.5b) ˆın care funct¸ia de ˆımpr˘ a¸stiere este exprimat˘ a prin seria de perturbat¸ie dedus˘a anterior: Z ′ (+) fe(k′ , k) = d3 r e−ik ·r u(r) ψk (r) Z Z n ′ (+) = d3 r e−ik ·r u(r) eik·r − d3 r1 Gk (r, r1 ) u(r1 ) eik·r1 Z Z o (+) (+) + d3 r1 d3 r2 Gk (r, r1 ) u(r1 ) Gk (r1 , r2 ) u(r2 ) eik·r2 · · · astfel rezult˘a seria Born pentru amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere: Z Z Z ′ ′ (+) fe(k′ , k) = d3 r1 e−ik ·r1 u(r1 ) eik·r1 − d3 r1 d3 r2 e−ik ·r1 u(r1 ) Gk (r1 , r2 ) u(r2 ) eik·r2 Z Z Z ′ (+) (+) 3 3 + d r1 d r2 d3 r3 e−ik ·r1 u(r1 ) Gk (r1 , r2 ) u(r2 ) Gk (r2 , r3 ) u(r3 ) eik·r3 + . . . Z Z ′ (+) (+) + (−1)n+1 d3 r1 · · · d3 rn e−ik ·r1 u(r1 ) Gk (r1 , r2 ) u(r2 ) . . . Gk (rn−1 , rn ) u(rn ) eik·rn + ...
(8.14)
Seria Born se poate reprezenta diagramatic, ˆın mod similar cu funct¸ia Green; astfel, se introduc urm˘atoarele elemente diagramatice: • liniile externe
• linie intern˘a
• vertex u(r) =
eik·r =
e−ik·r = (+)
Gk (r, r′ ) =
rI
k r k r k
r′
6 r
˘ NULA ˘ 8.1. GAZE FERMIONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
129
Pentru corespondent¸a analitic˘a a unei diagrame se efectueaz˘a urm˘ Z atoarele operat¸ii: i. se integreaz˘ a peste coordonatele interne ale vertexurilor d3 r . . .
ii. factorul diagramei de ordinul n este fn = (−1)n+1 . Primii termeni de perturbat¸ie ai seriei Born au urm˘atoarele expresii ¸si diagrame corespondente: Z ′ (1) ′ e f (k , k) = d3 r1 e−ik ·r1 u(r1 ) eik·r1 k′
−→
fe(2) (k′ , k) = −
Z
3
d r1
Z
3
d r2 e
−ik′ ·r1
(+) u(r1 ) Gk (r1 , r2 )
k u(r2 ) eik·r2 k′
−→
fe(3) (k′ , k) =
Z
d3 r1
Z
d3 r2
Z
k k
′
(+)
(+)
d3 r3 e−ik ·r1 u(r1 ) Gk (r1 , r2 ) u(r2 ) Gk (r2 , r3 ) u(r3 ) eik·r3 k′ k −→ k k
Atunci seria de perturbat¸ie pentru amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere are reprezentarea diagramatic˘ a ilustrat˘a ˆın figura 8.2. Observat¸ii asupra seriei Born pentru amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere: i. Diagramele care ilustreaz˘ a termenii de perturbat¸ie ai amplitudinii de ˆımpr˘ a¸stiere biparticul˘ a nu sunt diagrame Feynman, dar constituie un mod de reprezentare a termenilor perturbativi. ii. Seria de perturbat¸ie are sens numai pentru ciocnirea bi-particul˘a cu potent¸ial finit de interact¸ie. Pentru ciocnirea de tip sfere rigide, seria de perturbat¸ie nu are sens, deoarece fiecare termen perturbativ fe(n) (k′ , k) este infinit (ˆın fiecare ordin); totu¸si problema se rezolv˘ a ˆın mod indirect astfel: se alege un potent¸ial de interact¸ie u0 finit, se efectueaz˘a calculele pentru seria de perturbat¸ie ¸si se face sumarea seriei; apoi se trece la limita u0 → ∞ rezultatul final, astfel c˘ a amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere este finit˘ a. k′ k′
k
′
k fe(k′ , k) =
+
k
k
+
.. .
+ ... +
+ ...
k
k k
k k
Figura 8.2: Dezvoltarea de perturbat¸ie pentru amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere bi-particul˘a, ˆın absent¸a altor particule.
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
130
8.1.2
Aproximat¸ia diagramelor scar˘ a pentru gazul fermionic imperfect
A. Observat¸ii preliminare Anterior s-a discutat ciocnirea dintre dou˘a particule ˆın absent¸a altor particule. Gazul fermionic imperfect este un ansamblu de particule fermionice care au densitate mic˘a (gaz rarefiat) ¸si interact¸ii mutuale repulsive cu potent¸ialul singular (de tip sfere rigide); ca urmare, parametrul caracteristic a sistemului este kF a, unde vectorul de und˘a Fermi este dependent numai de densitatea particulelor (kF ∼ n1/3 ), iar a este lungimea de ciocnire (raza de act¸iune a interact¸iei); condit¸ia de gaz imperfect se exprim˘ a ˆın forma: kF a ≪ 1 . Deoarece gazul fermionic imperfect are diferent¸e mici fat¸˘a de gazul fermionic ideal, se poate face hipoteza c˘ a energia st˘ arii fundamentale a sistemului este de forma unei serii de puteri ˆın raport cu parametrul caracteristic i ~2 kF2 h E0 A + B (kF a) + C (kF a)2 + . . . , kF a ≪ 1 . (8.15) ≈ N 2m Pe de alt˘ a parte, energia st˘ arii fundamentale a unui sistem fermionic conservativ ¸si omogen este exprimat˘ a ˆın termeni de funct¸ia Green ¸si de self-energia proprie prin formula (3.115): Z Z ∞ d3 k ~ f∗ dω iωη e ω) , E0 = − i(2s + 1)V lim εk + M (k, ω) G(k, e η→0+ R3 (2π)3 −∞ 2π 2
~2 k 2 ; ca urmare, seria de puteri a energiei st˘arii fundamentale (E0 ) implic˘ a o serie de 2m ∗ f puteri corespondent˘ a pentru self-energia proprie (M ). Pe baza observat¸iilor anterioare se poate formula o metod˘ a de tratare aproximativ˘ a pentru sistemul studiat (gazul fermionic rarefiat cu interact¸ii bi-particul˘a singulare): i. ˆın aproximat¸ia de ordinul 0 se consider˘ a perechile de particule care au interact¸ii de tip ciocniri bi-particul˘a; ii. se introduce efectul celorlalte particule (asupra perechii considerate) ca un fond multiparticul˘ a (de tip mediu ambiant) asupra funct¸iei de ˆımpr˘ a¸stiere bi-particul˘a. Se constat˘a totu¸si, c˘ a aproximat¸ia de ordinul 1 este insuficient˘ a cˆ and potent¸ialul de ciocnire devine singular; ca urmare, este necesar s˘a se considere o clas˘a selectat˘a de termeni perturbat¸ionali care sunt dominant¸i ¸si aceast˘a clas˘ a trebuie s˘a cont¸in˘a contribut¸ii de la toate ordinele de perturbat¸ie. Criteriul de selectare a termenilor dominant¸i este urm˘atorul: diagrama unui termen dominant trebuie s˘a reprezinte act¸iunea repetat˘a a interact¸iei asupra liniei particul˘ a (analog diagramelor din seria Born). Diagramele selectate corespund termenilor dominant¸i ˆın condit¸ia kF a ≪ 1, iar aceast˘a aproximat¸ie conduce la o expresie corect˘a pentru energia st˘arii fundamentale (E0 /N ) ˆın ordinul 2 (ˆın raport cu parametrul kF a), a¸sa cu se va ar˘ata ulterior.
unde εk =
B. Aproximat¸ia diagramelor scar˘ a ¸si interact¸ia efectiv˘ a Conform observat¸iilor prezentate ˆın subsect¸iunea precedent˘ a, ˆın seria de perturbat¸ie pentru self-energie se vor ret¸ine ambele diagrame de ordinul 1, dar ˆın toate ordinele superioare (n ≥ 2) se vor ret¸ine numai diagramele care corespund la act¸iunea repetat˘a a interact¸iei asupra liniei particul˘ a, dup˘a modelul diagramelor pentru seria Born; aceast˘a select¸ie este numit˘a aproximat¸ia scar˘ a (ˆın limba englez˘ a ladder approximation). Ca urmare, se prezint˘ a diagramele termenilor perturbat¸ionali pentru self-energia proprie ˆın cadrul aproximat¸iei scar˘a: f∗ (1) (k) = • ordinul 1 (exact): ~M
k
k′
k
+
f∗ (2) (k) = • ordinul 2 (aproximat): ~M
k′
k
k k
k k′
k
+
k′ k
˘ NULA ˘ 8.1. GAZE FERMIONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
131
k
k
.. .
f∗ (n) (k) = • ordinul n (aproximat): ~M
k
.. . k′
+
′
k
k
Sumarea diagramelor precedente se efectueaz˘a ˆın mod condensat prin introducerea interact¸iei efective (ˆın aproximat¸ia scar˘ a): k1
k2
̥(k1 , k2 ; k3 , k4 ) =
=
k3
+
+
+ ...
+
k4
Observat¸ii asupra interact¸iei efective ˆın aproximat¸ia scar˘a: • Interact¸ia efectiv˘ a ̥ este amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere generalizat˘a pentru prezent¸a fondului multi-particule. • Interact¸ia efectiv˘ a a aproximat¸iei scar˘a ̥ este diferit˘a de interact¸ia efectiv˘a bi-particul˘a V; cele dou˘a m˘arimi coincid numai ˆın ordinul 0, iar m˘arimea ̥ nu este reductibil˘ a la polarizare. • Prin utilizarea interact¸iei efective a aproximat¸iei scar˘a, self-energia proprie (ˆın aproximat¸ia scar˘ a) se exprim˘ a diagramatic astfel k f∗ (k) ≡ ~M
k k′
= k
k′
k
+
k
k
ceea ce corespunde la urm˘atoarea expresie analitic˘a: Z
Z
d4 k′ e0 ′ G (k ) ̥(k′ , k; k, k′ ) ; 4 R4 (2π) (8.16) ˆın expresia precedent˘ a primul termen corespunde interact¸iei directe, iar al doilea termen corespunde interact¸iei de schimb. f∗ (k) = −(2s + 1)i ~M
d4 k′ e 0 ′ G (k ) ̥(k, k′ ; k, k′ ) + i 4 R4 (2π)
• Diagrama de schimb pentru self-energia proprie s-a obt¸inut pe baza observat¸iei c˘ a perechile de diagrame de schimb se pot transforma ˆın diagrame topologic echivalente astfel: k
′
k
k′
k
=
;
k′
k k
k′
k′ k
k
k k
k
=
: k′
;
:
=
k k
k
.
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
132
Conform definit¸iei diagramatice anterioare, interact¸ia efectiv˘a ˆın aproximat¸ia scar˘a este exprimat˘ a analitic prin urm˘atoarea serie de perturbat¸ie: Z i d4 q iω1 η e 0 (k1 − q) G e 0 (k2 + q) ve(k1 − k3 − q) + . . . ̥(k1 , k2 ; k3 , k4 ) = e ve(k1 − k3 ) + ve(q) G ~ R4 (2π)4 Z i nZ d4 q d4 qn 1 e 0 (k1 − q1 ) . . . G e 0 (k2 + qn ) e · · · ve(q1 ) G v (k1 − k3 − qn ) + 4 ~ R4 (2π)4 R4 (2π) + ... (8.17) unde argumentele kj j=1,2,3,4 satisfac relat¸ia de conservare: k1 + k2 = k3 + k4 . Demonstrat¸ie:
Pentru a utiliza ˆın condit¸ii de sigurant¸˘ a regulile diagramatice Feynman, se deduc prin metoda diagramatic˘ a expresiile termenilor perturbat¸ionali ai funct¸iei Green uni-particul˘ a ˆın cadrul aproximat¸iei scar˘ a, din care rezult˘ a expresiile corespunz˘ atoare ale termenilor pentru self-energia proprie, prin utilizarea relat¸iei: X 0 e (n) ′ (k) = e0 e σ,λ (k) M f∗ (n) (k) G e0µ,σ ′ (k) = G e 0 (k) M f∗ (n) G G λ,µ σ,σ σ,σ ′ (k) G (k) . λ,µ
Conform aproximat¸iei scar˘ a, ˆın fiecare ordin al teoriei perturbat¸iilor exist˘ a 2 contribut¸ii: contribut¸ia direct˘ a ¸si contribut¸ia de schimb: e s,(n) e d,(n) e (n) ′ (k) = G G σ,σ ′ (k) + Gσ,σ ′ (k) . σ,σ
• ˆIn ordinul 1 funct¸ia Green are urm˘ atoarele diagrame σ
k e(1) ′ (k) = G σ,σ
λ µ
σ
q=0
λ′ µ′
k′
+
k
λ′ µ′
k σ′
k
k′ k−k
λ µ
′
≡
σ′
e d,(1) e s,(1) G σ,σ ′ (k) + Gσ,σ ′ (k) .
Prin utilizarea regulilor Feynman de corespondent¸˘ a analitic˘ a a diagramelor, rezult˘ a urm˘ atoarele expresii analitice ale celor 2 termeni de ordinul 1: Z d4 k′ iω′ η X i e0 (k) δµ,σ ′ G e 0 (k) e 0 (k) δλ,µ δλ′ ,µ′ ve(0) δλ′ ,µ′ G e d,(1) δσ,λ G e (k) = (−1) G ′ σ,σ ~ R4 (2π)4 ′ ′ λ,µ,λ ,µ Z d4 k′ iω′ η e 0 (k′ ) · G e 0 (k) ; e 0 (k) · δσ,σ ′ (−1)(2s + 1) i e ve(0) G =G ~ R4 (2π)4 Z d4 k′ iω′ η X e 0 (k) δµ,σ ′ G e 0 (k) e 0 (k) δλ,µ δλ′ ,µ′ ve(k′ − k) δλ′ ,µ′ G e s,(1)′ (k) = i δσ,λ G G e σ,σ ~ R4 (2π)4 ′ ′ λ,µ,λ ,µ Z d4 k′ iω′ η i e 0 (k′ ) · G e 0 (k) . e 0 (k) · δσ,σ ′ e v (k′ − k) G e =G ~ R4 (2π)4
Atunci termenul de ordinul 1 pentru funct¸ia Green este Z o i d4 k′ iω′ η n (1) 0 e e e 0 (k′ ) + ve(k′ − k) G e 0 (k′ ) · G e 0 (k) ; ′ Gσ,σ ′ (k) = G (k) · δσ,σ e − (2s + 1) ve(0) G 4 ~ R4 (2π) din rezultatul anterior se obt¸ine self-energia proprie de ordinul 1: Z 0 ′ d4 k′ iω′ η e (k ) . f∗ (1)′ (k) = δσ,σ ′ i e − (2s + 1) ve(0) · +e v(k′ − k) G M σ,σ 4 ~ R4 (2π)
• ˆIn ordinul 2 sunt urm˘ atoarele diagrame pentru funct¸ia Green: σ
σ
k
k q
λ1 µ1
e(2) ′ (k) G σ,σ
q µ′1
λ′1
λ′2
µ′2
k′ + q
= k−q
λ2 µ2
−q
k
k′
+
µ′1
k′ − q
λ2 µ2
k σ′
λ1 µ1
λ′1
k′
λ′2
k′ − k − q σ′
k+q µ′2
e s,(2) e d,(2) ≡ G σ,σ ′ (k) + Gσ,σ ′ (k) .
˘ NULA ˘ 8.1. GAZE FERMIONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
133
Prin utilizarea regulilor Feynman de corespondent¸˘ a analitic˘ a a diagramelor, rezult˘ a urm˘ atoarele expresii analitice ale celor 2 termeni de ordinul 2: i 2Z d4 k′ Z d4 q X e0 (k) δλ ,µ δλ′ ,µ′ ve(q) δµ′ ,λ′ G e 0 (k′ + q) ed,(2) δσ,λ1 G (k) = (−1) G 1 1 σ,σ ′ 4 4 1 1 1 2 ~ R4 (2π) R4 (2π) ′ ′ λ1 ,µ1 ,λ1 ,µ1 λ2 ,µ2 ,λ′2 ,µ′2
e 0 (k′ ) δλ ,µ δλ′ ,µ′ ve(q) δµ ,λ G e 0 (k − q) δµ ,σ ′ G e 0 (k) × δλ′1 ,µ′2 G 2 2 1 2 2 2 2 2Z d4 k′ Z d4 q e 0 (k) · δσ,σ ′ (−1)(2s + 1) i =G ~ R4 (2π)4 R4 (2π)4 0 ′ 0 ′ e e e 0 (k − q) · G e0 (k) ; ×e v (q) G (k + q) G (k ) ve(−q) G Z Z 2 X d4 k′ d4 q e s,(2)′ (k) = i e0 (k) δλ ,µ δλ′ ,µ′ ve(q) δµ ,λ′ G e 0 (k + q) G δσ,λ1 G 1 1 σ,σ 1 2 4 4 1 1 ~ R4 (2π) R4 (2π) ′ ′ λ1 ,µ1 ,λ1 ,µ2 λ2 ,µ2 ,λ′2 ,µ′2
e 0 (k′ ) δµ′ ,λ G e 0 (k′ − q) δλ ,µ δλ′ ,µ′ e e0 (k) × δµ′1 ,λ′1 G v (k′ − k − q) δµ2 ,σ ′ G 1 2 1 2 2 2 Z Z 2 d4 k′ d4 q e 0 (k) · δσ,σ ′ i =G 4 4 ~ R4 (2π) R4 (2π) e 0 (k + q) G e 0 (k′ ) G e 0 (k′ − q) ve(k′ − k − q) · G e 0 (k) . ×e v (q) G
Atunci termenul de ordinul 2 pentru funct¸ia Green este 2Z d4 k′ Z d4 q n e 0 (k′ + q) G e 0 (k′ ) ve(q) G e 0 (k − q) e (2) ′ (k) = G e 0 (k) · δσ,σ ′ i − (2s + 1) ve(q) G G σ,σ ~ R4 (2π)4 R4 (2π)4 o e 0 (k + q) G e 0 (k′ ) G e 0 (k′ − q) ve(k′ − k − q) G e 0 (k) · G e 0 (k) ; + ve(q) G din rezultatul anterior se obt¸ine self-energia proprie de ordinul 2: 2Z d4 k′ Z d4 q n e 0 (k′ + q) G e 0 (k′ ) ve(q) G e 0 (k − q) f∗ (2)′ (k) = δσ,σ ′ i − (2s + 1) ve(q) G M σ,σ ~ R4 (2π)4 R4 (2π)4 o e 0 (k + q) G e 0 (k′ ) G e 0 (k′ − q) ve(k′ − k − q) G e 0 (k) . + ve(q) G
• ˆIn ordinul n sunt urm˘ atoarele diagrame pentru funct¸ia Green: k k − q1 e(n) ′ (k) = G σ,σ
q1 k′ − q 1
k + q1 q2 .. .
k − qn
q1
k + qn
k′
k + q1
.. ′ . k
+ k′ − q n
qn k
q2
k
k
k + qn
e s,(n) e d,(n) ≡ G σ,σ ′ (k) + Gσ,σ ′ (k) .
k′ − k − qn
Prin utilizarea regulilor Feynman de corespondent¸˘ a analitic˘ a a diagramelor, rezult˘ a urm˘ atoarea expresie analitic˘ a pentru termenul interact¸iei directe de ordinul n: Z i nZ d4 k′ Z d4 q X d4 qn−1 X 1 e 0σ,λ (k) veλ ,µ ;λ′ ,µ′ (q1 ) e d,(n) G ··· · · · G (k) = (−1) 1 1 1 1 1 σ,σ ′ 4 ~ R4 (2π)4 R4 (2π)4 (2π) 4 R ′ ′ ′ ′ λ1 ,µ1 ,λ1 ,µ1 λn ,µn ,λn ,µn
e 0µ ,σ ′ (k) − q1 ) + q1 ) · · · veλn ,µn ;λ′n ,µ′n (−qn−1 ) G n Z 4 i nZ d4 k′ Z d4 q d q n−1 1 e 0 (k) · δσ,σ ′ (−1)(2s + 1) =G ··· 4 4 4 ~ R4 (2π) R4 (2π) R4 (2π) 0 ′ 0 0 ′ 0 e (k ) G e (k − q1 ) G e (k + q1 ) · · · ve(−qn−1 ) · G e (k) ; ×e v (q1 ) G ×
e 0λ′ ,µ′ (k′ ) G 1 n
e 0µ ,λ (k G 1 2
e 0µ′ ,λ′ (k′ G 1 2
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
134
ˆın mod similar se obt¸ine expresia analitic˘ a pentru termenul interact¸iei de schimb de ordinul n: e s,(n)′ (k) = G σ,σ
i nZ ~
d4 k′ 4 R4 (2π)
Z
d4 q1 ··· 4 R4 (2π)
Z
d4 qn−1 4 R4 (2π)
X
···
X
e 0σ,λ (k) veλ ,µ ;λ′ ,µ′ (q1 ) G 1 1 1 1 1
λ1 ,µ1 ,λ′1 ,µ′1 λn ,µn ,λ′n ,µ′n
e 0µ ,σ ′ (k) − q1 ) · · · veλn ,µn ;λ′n ,µ′n (k′ − k − qn−1 ) G + q1 ) n Z 4 i nZ d4 k′ Z d4 q d q n−1 1 e 0 (k) · δσ,σ ′ ··· =G 4 4 4 ~ R4 (2π) R4 (2π) R4 (2π) 0 ′ 0 0 ′ ′ e (k ) G e (k + q1 ) G e (k − q1 ) · · · ve(k − k − qn−1 ) · G e 0 (k) ; × ve(q1 ) G ×
e 0λ′ ,µ′ (k′ ) G 1 n
e0µ ,λ (k G 1 2
e 0µ′ ,λ′ (k′ G 1 2
ca urmare, termenul de ordinul n pentru funct¸ia Green este
Z nZ d4 k′ Z d4 q d4 qn−1 1 e (n) ′ (k) = G e0 (k) · δσ,σ ′ i · · · G σ,σ 4 4 4 ~ R4 (2π) R4 (2π) R4 (2π) n 0 ′ 0 0 ′ e (k ) G e (k − q1 ) G e (k + q1 ) · · · ve(−q × − (2s + 1)e v (q1 ) G n−1 ) o 0 ′ 0 0 ′ ′ e (k ) G e (k + q1 ) G e (k − q1 ) · · · ve(k − k − qn−1 ) · G e 0 (k) , + ve(q1 ) G
iar din rezultatul anterior se obt¸ine self-energia proprie de ordinul n:
Z i nZ d4 k′ Z d4 q d4 qn−1 1 f∗ (n) ′ M ··· σ,σ ′ (k) = δσ,σ 4 4 4 ~ R4 (2π) R4 (2π) R4 (2π) n e 0 (k′ ) G e 0 (k − q ) G e0 (k′ + q ) · · · ve(−q × − (2s + 1)e v (q1 ) G 1 1 n−1 ) o e 0 (k′ ) G e 0 (k + q1 ) G e 0 (k′ − q1 ) · · · ve(k′ − k − qn−1 ) . + ve(q1 ) G
Self-energia proprie total˘ a se obt¸ine prin ˆınsumarea contribut¸iilor perturbat¸ionale ¸si este convenabil s˘ a se separe termenii direct¸i de termenii de schimb: f∗ (k) = M f∗(d) (k) + M f∗(s) (k) , M
unde termenul corespunz˘ ator interact¸iei directe este
Z 4 Z 4 ′ n ′ d q f∗(d) (k) = −(2s + 1)i d k G e 0 (k′ ) eiω η ve(0) + i e 0 (k − q) ve(−q) G e 0 (k′ + q) ~M ve(q) G (2π)4 ~ (2π)4 Z 4 o i nZ d4 q d qn 1 e 0 (k − q1 ) · · · ve(−qn ) G e 0 (k′ + qn ) + . . . , · · · v (q1 ) G e + ... + 4 4 ~ (2π) (2π)
iar termenul corespunz˘ ator interact¸iei de schimb are expresia:
Z 4 i d4 k′ e 0 ′ n iω′ η d q ′ e 0 (k + q) ve(k′ − k − q) G e 0 (k′ − q) G (k ) e v e (k − k ) + ve(q) G (2π)4 ~ (2π)4 Z 4 o i nZ d4 q d qn 1 e 0 (k + q1 ) · · · ve(k′ − k − qn ) G e0 (k′ − qn ) + . . . · · · ve(q1 ) G + ... + 4 4 ~ (2π) (2π)
f∗(d) (k) = i ~M
Z
Prin comparat¸e cu relat¸ia (8.16) ¸si diagrama corespondent˘ a, rezult˘ a expresiile interact¸iei efective a aproximat¸iei scar˘ a ˆın 2 cazuri particulare: Z 4 d q i e 0 (k − q) ve(−q) G e 0 (k′ + q) ve(q) G ~ (2π)4 Z 4 i nZ d4 q d qn 1 e 0 (k − q1 ) · · · ve(−qn ) G e 0 (k′ + qn ) + . . . · · · ve(q1 ) G +... + ~ (2π)4 (2π)4 Z 4 ′ i d q e 0 (k + q) ve(k′ − k − q) G e 0 (k′ − q) ̥(k′ , k; k, k′ ) = eiω η ve(k − k′ ) + ve(q) G ~ (2π)4 Z 4 i nZ d4 q d qn 1 e 0 (k + q ) · · · e e 0 (k′ − q ) + . . . · · · ve(q1 ) G v (k′ − k − qn ) G + ... + 1 n ~ (2π)4 (2π)4 ̥(k, k′ ; k, k′ ) = eiω
′
η
ve(0) +
Din cele dou˘ a expresii particulare precedente se obt¸ine prin generalizare direct˘ a formula (8.17).
˘ NULA ˘ 8.1. GAZE FERMIONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
135
C. Ecuat¸ia Bethe-Salpeter Din expresia perturbativ˘a a interact¸iei efective, pentru aproximat¸ia scar˘a (8.17), rezult˘a ecuat¸ia integral˘a a acestei interact¸ii efective: Z d4 q i e0 (k1 − q) G e0 (k2 + q) ̥(k1 − q, k2 + q; k3 , k4 ) , ve(q) G ̥(k1 , k2 ; k3 , k4 ) = ve(k1 − k3 ) + ~ R4 (2π)4 (8.18) numit˘a ecuat¸ia Bethe-Salpeter (ˆın aproximat¸ia scar˘a). Demonstrat¸ie: ˆIn expresia perturbativ˘ a a interact¸iei efective pentru aproximat¸ia scar˘ a se separ˘ a termenul de ordin minim (adic˘ a de ordinul 1) ¸si pentru tot¸i ceilalt¸i termeni de ordine superioare se extrage factorul comun maximal: ̥(k1 , k2 ; k3 , k4 ) =e v (k1 − k3 ) +
i ~
Z
d4 q 1 e 0 (k1 − q1 ) G e 0 (k2 + q1 ) ve(k1 − k3 − q1 ) ve(q1 ) G (2π)4
i 2Z d4 q Z d4 q 1 2 e 0 (k1 − q1 ) G e 0 (k2 + q1 ) ve(q2 − q1 ) v(q1 ) G e ~ (2π)4 (2π)4 e 0 (k1 − q2 ) G e 0 (k2 + q2 ) ve(k1 − k3 − q2 ) ×G Z Z 4 i n d4 q d qn 1 e 0 (k1 − q ) G e0 (k2 + q ) ve(q − q ) · · · ve(q1 ) G + 1 1 2 1 ~ (2π)4 (2π)4 e 0 (k1 − q2 ) G e 0 (k2 + q2 ) . . . e e 0 (k1 − qn ) G e 0 (k2 + qn ) ve(k1 − k3 − qn ) ×G v(qn − qn−1 ) G
+
+ ...
Z 4 d q1 i e 0 (k1 − q1 ) G e 0 (k2 + q1 ) ve(q1 ) G =e v (k1 − k3 ) + ~ (2π)4 Z 4 i d q2 e 0 (k1 − q2 ) G e 0 (k2 + q2 ) ve(k1 − k3 − q2 ) ve(q2 − q1 ) G × ve(k1 − k3 − q1 ) + ~ (2π)4 Z 4 i n−1Z d4 q d qn 2 e 0 (k1 − q2 ) G e0 (k2 + q2 ) . . . + · · · ve(q2 − q1 ) G ~ (2π)4 (2π)4
e 0 (k1 − qn ) G e 0 (k2 + qn ) ve(k1 − k3 − qn ) + . . . × ve(qn − qn−1 ) G
Z i d4 q e 0 (k1 − q) G e 0 (k2 + q) =e v (k1 − k3 ) + ve(q) G ~ (2π)4 Z 4 d q2 i e 0 (k1 − q2 ) G e 0 (k2 + q2 ) e × ve(k1 − q − k3 ) + v (q2 − q) G e v (k1 − k3 − q2 ) ~ (2π)4 Z Z i n−1 d4 q d4 q n 2 e0 (k1 − q2 ) G e 0 (k2 + q ) . . . ··· ve(q2 − q) G + 2 4 ~ (2π) (2π)4
e 0 (k1 − qn ) G e 0 (k2 + qn ) ve(k1 − k3 − qn ) + . . . × ve(qn − qn−1 ) G
Z i d4 q e 0 (k1 − q) G e 0 (k2 + q) =e v (k1 − k3 ) + ve(q) G ~ (2π)4 Z 4 i d q1 e 0 (k1 − q − q ) G e 0 (k2 + q + q ) ve(k1 − k3 − q − q ) v (q1 ) G e × ve(k1 − q − k3 ) + 1 2 2 ~ (2π)4 Z Z 4 i n−1 d4 q d qn−1 1 e 0 (k1 − q − q2 ) G e 0 (k2 + q + q2 ) . . . ··· ve(q1 ) G + 4 ~ (2π) (2π)4
e 0 (k1 − q − qn ) G e 0 (k2 + q + qn ) ve(k1 − k3 − q − qn−1 ) + . . . × ve(qn−1 − qn−2 ) G
,
unde ˆın ultima egalitate s-au efectuat schimb˘ arile de variabile qj → qj−1 + q .
Se observ˘ a c˘ a m˘ arimea din interiorul parantezelor acolade a ultimei expresii este egal˘ a cu seria de perturbat¸ie a interact¸iei efective pentru aproximat¸ia scar˘ a ̥(k1 − q, k2 + q; k3 , k4 ), conform relat¸iei (8.17), astfel ˆıncˆ at se obt¸ine relat¸ia (8.18).
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
136 Observat¸ii asupra ecuat¸iei Bethe-Salpeter:
• Imaginea diagramatic˘ a a ecuat¸iei (8.18) este urm˘atoarea k1 k1
k2 k1
= k3 k3
k1 − k3
q
k1 − q
k2
+
k2 k2 − q
k4
k4 k3
k4
• ecuat¸ia Bethe-Salpeter este o ecuat¸ie integral˘a pentru interact¸ia efectiv˘a ̥(k1 , k2 ; k3 , k4 ) (de fapt ecuat¸ia Bethe-Salpeter este analogul ecuat¸iei Dyson pentru funct¸ia Green 2-particul˘ a); • rezolvarea iterativ˘ a a ecuat¸iei Bethe-Salpeter produce seria de perturbat¸ie pentru interact¸ie efectiv˘ a ̥(k1 , k2 ; k3 , k4 ). D. Funct¸ia de ˆımpr˘ a¸stiere bi-particul˘ a efectiv˘ a D1. Interact¸ia efectiv˘ a pentru aproximat¸ia scar˘a ̥(k1 , k2 ; k3 , k4 ) este analogul amplitudinii de ′ e ˆımpr˘ a¸stiere f (k , k) ˆın cazul cˆ and ciocnirea bi-particul˘a se produce ˆın prezent¸a fondului multiparticul˘ a; atunci este convenabil s˘a se transforme ecuat¸ia Bethe-Salpeter ˆın analogie cu ecuat¸iile caracteristice ale ciocnirii bi-particul˘a, adic˘a ecuat¸iile care implic˘a amplitudinea de ciocnire (8.9) ¸si funct¸ia de ˆımpr˘ a¸stiere (8.10): Z
d3 q u e(q) ψek (k′ − q) , 3 R3 (2π) e0k (p) fe(p, k) . ψek (p) = (2π)3 δ 3 (k − p) − G
fe(k′ , k) =
Ca urmare, se transform˘ a ecuat¸ia Bethe-Salpeter astfel:
Z i d4 q e0 (k1 − q) G e0 (k2 + q) ̥(k1 − q, k2 + q; k3 , k4 ) ̥(k1 , k2 ; k3 , k4 ) = ve(k1 − k3 ) + ve(q) G ~ R4 (2π)4 Z n d4 q = v e (q) (2π)4 δ 4 (k1 − k3 − q) 4 R4 (2π) o i e0 e0 (k2 + q) ̥(k1 − q, k2 + q; k3 , k4 ) , (k1 − q) G + G ~
de unde rezult˘a:
Z
d4 q ve(q) Q(k1 − q, k2 + q; k3 , k4 ) , 4 R4 (2π) i e0 e 0 (k2 ) ̥(k1 , k2 ; k3 , k4 ) , Q(k1 , k2 ; k3 , k4 ) = (2π)4 δ 4 (k1 − k3 ) + G (k1 ) G ~ ̥(k1 , k2 ; k3 , k4 ) =
(8.19a) (8.19b)
unde Q(k1 , k2 ; k3 , k4 ) este funct¸ia de ˆımpr˘ a¸stiere bi-particul˘ a efectiv˘ a (ˆın prezent¸a fondului multiparticul˘ a), care este generalizarea funct¸iei de ˆımpr˘ a¸stiere ψek (p). D2. Din relat¸iile de definit¸ie (8.19) rezult˘a ecuat¸ia integral˘a a funct¸iei de ˆımpr˘ a¸stiere biparticul˘ a efectiv˘ a Q(k1 , k2 ; k3 , k4 ) = (2π)4 δ 4 (k1 − k3 ) +
i e0 e 0 (k2 ) G (k1 ) G ~
Z
d4 q ve(q) Q(k1 − q, k2 + q; k3 , k4 ) . 4 R4 (2π) (8.20)
˘ NULA ˘ 8.1. GAZE FERMIONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
137
D3. Funct a¸stiere bi-particul˘a efectiv˘a Q(k1 , k2 ; k3 , k4 ) este dependent˘ a de 4-impulsu ¸ia de ˆımpr˘ at exist˘a numai rile kj j=1,2,3,4 care satisfac relat¸ia de conservare: k1 + k2 = k3 + k4 , astfel ˆıncˆ trei 4-impulsuri independente; ca urmare, este convenabil s˘a se redefineasc˘ a variabilele, astfel ˆıncˆ at s˘a se utilizeze 4-impulsuri independente. Astfel se introduc urm˘atoarele variabile: • 4-impulsul Centrului de Mas˘ a: P ≡ k1 + k2 = k3 + k4 , • 4-impulsurile relative p ≡ 12 k1 − k2 ¸si p′ ≡ 21 k3 − k4 ;
atunci, 4-impulsurile init¸iale se exprim˘ a ˆın termeni de noile variabile astfel: k1 = k2 = k3 = k4 =
1 2 1 2 1 2 1 2
P+p, P−p,
P + p′ , P − p′ .
ˆIn noile variabile funct¸ia de ˆımpr˘ a¸stiere bi-particul˘a efectiv˘a este: Q(k1 , k2 ; k3 , k4 ) = Q
1 2
P + p, 21 P − p; 12 P + p′ , 21 P − p′ ;
se introduce funct¸ia de ciocnire redus˘ a ca fiind egal˘a cu integrala funct¸iei de ˆımpr˘ a¸stiere efective ˆın raport cu frecvent¸a relativ˘a: Z ∞ dp0 χ(p, p′ ; P) ≡ Q 21 P + p, 12 P − p; 12 P + p′ , 21 P − p′ , (8.21) −∞ (2π) unde 4-impulsul relativ este p = (p, p0 ). Deoarece transformata Fourier a potent¸ialului de interact¸ie este independent˘ a de frecvent¸˘a, ecuat¸ia integral˘a a funct¸iei de ˆımpr˘ a¸stiere bi-particul˘a efective (8.20) se exprim˘ a ˆın termeni de funct¸ia de ciocnire redus˘ a: Q 21 P + p, 12 P − p; 12 P + p′ , 21 P − p′ 0 1 i e0 1 e = (2π)4 δ 4 (p − p′ ) + G 2 P+p G 2 P−p ~ Z d4 q ve(q) Q 12 P + p − q, 12 P − p + q; 21 P + p′ , 21 P − p′ × 4 R4 (2π) 0 1 i e0 1 e = (2π)4 δ 4 (p − p′ ) + G 2 P+p G 2 P−p ~ Z Z dq0 d3 q v e (q) Q 12 P + p − q, 21 P − p + q; 12 P + p′ , 21 P − p′ × 3 −∞ 2π R3 (2π) Z 0 1 i e0 1 d3 q e ve(q) χ(p − q, p′ ; P) . (8.22) G P + p P − p = (2π)4 δ 4 (p − p′ ) + G 2 2 3 ~ R3 (2π)
D4. Ecuat¸ia integral˘a a funct¸iei de ciocnire reduse se obt¸ine din ecuat¸ia (8.21), ˆın care se substituie funct¸ia de ciocnire efectiv˘a bi-particul˘a prin relat¸ia (8.22): Z ∞ dp0 ′ Q 21 P + p, 12 P − p; 12 P + p′ , 21 P − p′ χ(p, p ; P) = (2π) −∞ Z ∞ 0 1 i e0 1 dp0 e (2π)4 δ 4 (p − p′ ) + G = P+p G P−p 2 2 ~ −∞ (2π) Z d3 q ′ v e (q) χ(p − q, p ; P) × 3 R3 (2π) Z ∞ 0 1 dp0 e 0 1 i e G 2 P + p, 21 P0 + p0 G = (2π)3 δ 3 (p − p′ ) + P − p, 21 P0 − p0 2 ~ −∞ (2π) Z d3 q ve(q) χ(p − q, p′ ; P, P0 ) . (8.23) × 3 R3 (2π)
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
138 Funct¸ia Green liber˘ a are expresia (3.70)
e 0 (k, ω) = θ(k − kF ) + θ(kF − k) , G ω − ωk + iη ω − ωk − iη
astfel ˆıncˆ at integrala dup˘a frecvent¸˘ a a produsului de funct¸ii Green libere se poate explicita: Z ∞ i dp0 e0 1 e 0 ( 1 P − p, 1 P0 − p0 ) G ( 2 P + p, 21 P0 + p0 ) G 2 2 ~ −∞ (2π) Z ∞ θ | 21 P + p| − kF θ kF − | 12 P + p| i dp0 = + 1 ~ −∞ (2π) 12 P0 + p0 − ω 1 P+p + iη 1 2 P0 + p0 − ω 2 P+p − iη 2 θ | 12 P − p| − kF θ kF − | 21 P − p| × 1 + 1 1 1 2 P0 − p0 − ω 2 P−p + iη 2 P0 − p0 − ω 2 P−p − iη −i = θ | 12 P + p| − kF θ | 21 P − p| − kF ~ Z ∞ dp0 1 × 1 1 −∞ (2π) p0 + 2 P0 − ω 21 P+p + iη p0 − 2 P0 + ω 21 P−p − iη + θ | 12 P + p| − kF θ |kF − 12 P − p| Z ∞ dp0 1 × 1 (2π) p0 + 2 P0 − ω 21 P+p + iη p0 − 21 P0 + ω 21 P−p + iη −∞ + θ |kF − 12 P + p| θ | 12 P − p| − kF Z ∞ 1 dp0 × 1 (2π) 1 − iη p0 − 21 P0 + ω 21 P−p − iη p + P − ω 0 −∞ 2 0 2 P+p + θ kF − | 12 P + p| θ kF − | 12 P − p| Z ∞ 1 dp0 × ; 1 1 −∞ (2π) p0 + 2 P0 − ω 21 P+p − iη p0 − 2 P0 + ω 21 P−p + iη (2)
integralele dup˘a frecvent¸a p0 se efectueaz˘a cu funct¸ia J±,± (a, b), care este prezentat˘ a ˆın Anexa matematic˘a A.5 prin formula (A.48): 0 pentru (+, +) ¸si (−, −) , Z ∞ i 1 dp0 = b − a + i η pentru (+, −) , (2π) (p − a ± i η)(p − b ± i η) 0 0 −∞ i pentru (−, +) ; a −b+iη
ca urmare, produc rezultat nenul numai prima ¸si ultima integral˘a, astfel ˆıncˆ at rezult˘a: Z ∞ i dp0 e 0 1 e0 ( 1 P − p, 1 P0 − p0 ) G ( 2 P + p, 12 P0 + p0 ) G 2 2 ~ −∞ (2π) −i i = θ | 21 P + p| − kF θ | 12 P − p| − kF 1 1 ~ 1 1 2 P0 − ω 2 P+p − − 2 P0 + ω 2 P−p + 2iη i 1 1 + θ kF − | 2 P + p| θ kF − | 2 P − p| − 21 P0 + ω 12 P−p − 12 P0 − ω 21 P−p + 2iη θ | 21 P + p| − kF θ | 12 P − p| − kF θ kF − | 12 P + p| θ kF − | 12 P − p| = − . ~P0 − ε01 P+p + ε01 P−p + iη ~P0 − ε01 P+p + ε01 P−p − iη 2
2
2
2
Rezultatul precedent se poate interpreta din punct de vedere fizic, prin introducerea unor m˘arimi specifice unei perechi de particule (sau goluri); astfel se introduc: – energia unei perechi ˆın sistemul Centrului de Mas˘ a E = ~ P0 −
~2 P2 , 2M
M = 2m ,
(8.24a)
˘ NULA ˘ 8.1. GAZE FERMIONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
139
– funct¸ia num˘ ar de perechi N (P, p) ≡ 1 − n01 P+p + n01 P−p , 2
2
n0k = θ(kF − k) .
Din definit¸ie rezult˘a urm˘atoarele valori ale funct¸iei num˘ar de perechi (se noteaz˘ a p1 ≡ ¸si p2 ≡ 21 P − p): pentru p1 > kF & p2 > kF , 1 , N (P, p) = −1 , pentru p1 < kF & p2 < kF , 0, pentru p1 > kF & p2 < kF , sau p1 < kF & p2 > kF ;
(8.24b) 1 2
P+p
de asemenea, suma energiilor perechii (care apare la numitorul integrale funct¸iilor Green libere) se exprim˘ a ˆın forma: ε01 P+p + ε01 P−p = 2
2
~2 2m
1 2
P+p
2
+
~2 2m
1 2
P−p
2
=
~2 2 ~2 2 ~2 2 P + p = ~ P0 − E + p . 2M m m
Cu ajutorul m˘arimilor corespunz˘ atoare unei perechi de particule (goluri) produsul funct¸iilor Green libere devine: Z i ∞ dp0 e0 1 e 0 ( 1 P − p, 1 P0 − p0 ) G ( 2 P + p, 12 P0 + p0 ) G 2 2 ~ −∞ (2π) n01 P+p n01 P−p 1 − n01 P+p 1 − n01 P−p 2 2 2 2 − = 2 2 ~P0 − ~ P0 − E + ~m p2 + iη ~P0 − ~ P0 − E + ~m p2 − iη 1 , pentru p1 > kF & p2 > kF , ~2 2 E − m p + iη −1 = , pentru p1 > kF & p2 > kF , ~2 2 E − m p − iη 0, pentru p1 > kF & p2 < kF , sau p1 < kF & p2 > kF ;
se observ˘ a c˘ a cele 3 variante evident¸iate anterior se pot exprima ˆın mod condensat astfel: Z ∞ i N (P, p) dp0 e 0 1 e0 ( 1 P − p, 1 P0 − p0 ) = G ( 2 P + p, 21 P0 + p0 ) G . 2 2 ~ −∞ (2π) ~2 2 E − p + iη N (P, p) m
Atunci ecuat¸ia integral˘a pentru funct¸ia de ciocnire redus˘a χ(p, p′ ; P), (8.23), se exprim˘ a ˆın urm˘atoarea form˘a: Z d3 q N (P, p) ve(q) χ(p − q, p′ ; P, P0 ) . χ(p, p′ ; P, P0 ) = (2π)3 δ 3 (p − p′ ) + 2 3 (2π) ~ 2 3 E − p + iη N (P, p) R m (8.25) Se observ˘ a c˘ a ˆın ultima form˘a, ecuat¸ia integral˘a pentru χ(p, p′ ; P) este analogul ecuat¸iei (8.7) a funct¸iei de ˆımpr˘ a¸stiere a sistemului cu 2 particule; totu¸si, apar complicat¸ii suplimentare ˆın ecuat¸ia (8.25), fat¸˘ a de ecuat¸ia (8.7), datorit˘a restrict¸iilor impuse de principiul fermionic de excluziune, care impune restrict¸ii asupra st˘ arilor intermediare permise, iar aceste restrict¸ii sunt prezente ˆın termenul funct¸ie num˘ ar de perechi N (P, p). Interact¸ia efectiv˘ a pentru aproximat¸ia scar˘a se exprim˘ a mai convenabil ˆın termeni de funct¸ia de ciocnire redus˘ a, utilizˆand relat¸iile (8.19) ¸si (8.21): Z d4 q ve(q) Q(k1 − q, k2 + q; k3 , k4 ) ̥(k1 , k2 ; k3 , k4 ) ≡ 4 R4 (2π) Z d4 q = ve(q) Q( 12 P + p, 12 P − p; 12 P + p′ , 21 P − p′ ) 4 R4 (2π) Z ∞ Z dp0 d3 q ve(q) Q( 21 P + p − q, 21 P − p + q; 12 P + p′ , 12 P − p′ ) = 3 −∞ (2π) R3 (2π) Z d3 q ve(q) χ(p − q, p′ ; P) , = 3 R3 (2π)
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
140 adic˘a s-a obt¸inut relat¸ia ̥(p, p′ ; P, P0 ) =
Z
d3 q ve(q) χ(p − q, p′ ; P, P0 ) ; 3 (2π) 3 R
(8.26)
se observ˘ a c˘ a relat¸ia (8.26) este analoag˘a relat¸iei (8.9), astfel c˘ a se poate evident¸ia urm˘atoarea e ¸si m˘arimile caracanalogie ˆıntre m˘arimile caracteristice ale ciocnirii bi-particul˘a simple (fe ¸si ψ) teristice ale interact¸iei bi-particul˘a din sistemul fermionic, ˆın aproximat¸ia scar˘a (̥ ¸si χ): ( fe(k′ , k) → ̥(p, p′ ; P, P0 ) , ψek (p) → χ(p − q, p′ ; P, P0 ) .
8.1.3
Ecuat¸iile integrale Galitski
Anterior s-au obt¸inut ecuat¸ii pentru interact¸ia efectiv˘a ̥ ˆın funct¸ie de potent¸ialul de interact¸ie inter-particul˘ a v; totu¸si rezultatele anterioare nu mai au sens cˆ and se efectueaz˘a trecerea la limita v0 → ∞ (care corespunde cazului sfere rigide). Pentru a obt¸ine rezultate cu sens matematic la limita specificat˘ a anterior se utilizeaz˘a metoda Galitski: se rescriu ecuat¸iile pentru m˘arimile caracteristice (χ ¸si ̥ ˆın funct¸ie de amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere bi-particul˘a ˆın vid, eliminˆ and astfel potent¸ialul de interact¸ie. Aproximat¸ia de ordin minim este aproximat¸ia Born (de ordinul 1); ˆın acest caz interact¸ia efectiv˘a (pentru aproximat¸ia scar˘ a) este ̥(0) (k1 , k2 ; k3 , k4 ) = ve(k1 − k3 ) = ve(k1 − k3 ) ,
iar amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere, conform ecuat¸iei (8.6), este Z ′ ′ m fe(1) (k′ , k) = d3 r′ e−i(k −k)·r u(r) = u e(k′ − k) = 2 ve(k′ − k) ; ~
din relat¸iile precedente, ˆın sesul metodei Galitski, se elimin˘ a potent¸ialul de interact¸ie ve(k′ − k), (0) (1) rezultˆand relat¸ia direct˘a ̥ − fe , adic˘a proport¸ionalitatea celor dou˘a m˘arimi: ̥(0) ∼ fe(1) .
Corect¸iile de ordine superioare provin ˆın mod explicit de la fondul multi-particul˘a. ˆIn continuare este convenabil s˘a se simplifice notat¸iile, astfel c˘a se exprim˘ a potent¸ialul de interact¸ie ¸si energia total˘ a a unei perechi de particule (goluri) ˆın forma: 2 v(r) = ~ u(r) , m 2 E= ~ ǫ. m A. Aproximat¸ia Galitski de ordinul 0 A1.
Se consider˘ a c˘ a funct¸ia num˘ ar de particule este banal˘a: N (P, p) ≈ 1 .
(8.27)
Aceast˘a aproximat¸ie implic˘ a ambele impulsuri p1 ¸si p2 mai mari decˆat impulsul Fermi: p1 > kF ¸si p2 > kF , ceea ce semnific˘a st˘ ari virtuale cu perechi de particule (absent¸a golurilor); rezultatul este corect la limita gazului foarte rarefiat (kF → 0). A2. Pentru aproximat¸ia anterioar˘ a (8.27), funct¸ia de ciocnire redus˘a, notat˘a χ0 , satisface ecuat¸ia integral˘a (8.25) ˆın care N = 1: Z 1 d3 q ′ 3 3 ′ χ0 (p, p ; P, P0 ) = (2π) δ (p − p ) + v (q) χ0 (p − q, p′ ; P, P0 ) . e 3 ~2 2 R3 (2π) E − p + iη m Prin utilizarea notat¸iilor concise, ecuat¸ia precedent˘ a se rescrie ˆın forma: Z 3 d q (ǫ − p2 + iη) χ0 (p, p′ ; P, P0 ) − u e(q) χ0 (p − q, p′ ; P, P0 ) = (ǫ − p2 + iη) (2π)3 δ 3 (p − p′ ) . 3 R3 (2π) (8.28)
˘ NULA ˘ 8.1. GAZE FERMIONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
141
A3. Funct¸ia de ˆımpr˘ a¸stiere bi-particul˘a ˆın vid satisface ecuat¸ia integral˘a (8.7), care se rescrie ˆın urm˘atoarea form˘a echivalent˘ a: Z d3 q (+) (+) u e(p) ψek (p − q) = (k 2 − p2 + iη) (2π)3 δ 3 (k − p) ; (k 2 − p2 + iη) ψek (p) − 3 (2π) 3 R
ˆın acest caz membrul drept al ecuat¸iei este nul, datorit˘a identit˘ a¸tii (x − a) δ(x − a) = 0 (factorul infinitezimal iη se poate trece la limita nul˘a); ca urmare ecuat¸ia precedent˘ a devine: Z 3 d q (+) (+) (k 2 − p2 + iη) ψek (p) − u e(p) ψek (p − q) = 0 . (8.29) 3 R3 (2π) (+) Din compararea ecuat¸iilor (8.28) ¸si (8.29), rezult˘a c˘ a χ0 ¸si ψek satisfac ecuat¸ii de acela¸si tip, cu deosebirea c˘ a ecuat¸ia pentru χ0 este neomogen˘ a (cu membrul drept singular), pe cˆ and ecuat¸ia (+) pentru ψek este omogen˘a. Datorit˘ a similitudinii specificate anterior solut¸ia ecuat¸iei (8.28) pentru (+) χ0 se poate exprima ˆın termeni de ψek , f˘ar˘a s˘a apar˘a potent¸ialul de interact¸ie: Z d3 k ǫ − p ′ 2 + iη e(+) (+)∗ ′ ψk (p) ψek (p′ ) . (8.30) χ0 (p, p ; P, P0 ) = 3 ǫ − k 2 + iη (2π) 3 R
Demonstrat¸ie:
Se substituie solut¸ia (8.30) ˆın ecuat¸ia (8.28): Z (ǫ − p2 + iη) χ0 (p, p′ ; P, P0 ) − Z
d3 q u e(q) χ0 (p − q, p′ ; P, P0 ) 3 (2π) R3
d3 k ǫ − p ′ 2 + iη e(+) (+)∗ ψk (p) ψek (p′ ) 3 ǫ − k 2 + iη R3 (2π) Z Z d3 q d3 k ǫ − p ′ 2 + iη e(+) (+)∗ − u e (q) ψk (p − q) ψek (p′ ) ; 3 3 ǫ − k 2 + iη R3 (2π) R3 (2π)
= (ǫ − p2 + iη)
ˆın al doilea termen se inverseaz˘ a ordinea de integrare ¸si se utilizeaz˘ a ecuat¸ia (8.29): Z Z d3 q d3 k ǫ − p ′ 2 + iη e(+) (+)∗ u e(q) ψk (p) ψek (p′ ) 3 3 ǫ − k 2 + iη R3 (2π) R3 (2π) Z Z d3 q d3 k ǫ − p ′ 2 + iη (+) (+)∗ = u e(q) ψek (p − q) · ψek (p′ ) 3 2 3 (2π) ǫ − k + iη (2π) 3 3 R R Z d3 k ǫ − p ′ 2 + iη 2 (+) (+)∗ = (k − p2 + iη) ψek (p) ψek (p′ ) . 3 ǫ − k 2 + iη R3 (2π)
Dup˘ a transformarea precedent˘ a, cei doi termeni ai membrului drept din ecuat¸ia init¸ial˘ a se pot comasa sub o singur˘ a integral˘ a, rezultˆ and urm˘ atoarea expresie: Z d3 q (ǫ − p2 + iη) χ0 (p, p′ ; P, P0 ) − u e(q) χ0 (p − q, p′ ; P, P0 ) 3 R3 (2π) Z d3 k ǫ − p ′ 2 + iη ǫ − p ′ 2 + iη 2 (+) (+)∗ 2 2 ψek (p) ψek (p′ ) . (ǫ − p + iη) − (k − p + iη) = 3 ǫ − k2 + iη ǫ − k2 + iη R3 (2π)
M˘ arimea din interiorul parantezelor acolade se transform˘ a luˆ and ˆın considerare faptul c˘ a parametrul infinitezimal iη este neglijabil, astfel c˘ a se obt¸ine: (ǫ − p2 + iη)
ǫ − p ′ 2 + iη ǫ − p ′ 2 + iη 2 ǫ − p ′ 2 + iη − (k − p2 + iη) = (ǫ − k2 ) = ǫ − p ′ 2 + iη ; 2 2 ǫ − k + iη ǫ − k + iη ǫ − k2 + iη
ca urmare, ˆın membrul drept se extrage ˆın exteriorul integralei rezultatul operat¸iilor algebrice din interiorul parantezelor acolade ¸si se utilizeaz˘ a relat¸ia de completitudine a funct¸iilor de ˆımpr˘ a¸stiere (8.8b): Z d3 q u e(q) χ0 (p − q, p′ ; P, P0 ) (ǫ − p2 + iη) χ0 (p, p′ ; P, P0 ) − 3 R3 (2π) Z d3 k e(+) (+)∗ = (ǫ − p ′ 2 + iη) ψk (p) ψek (p′ ) 3 R3 (2π) = (ǫ − p ′ 2 + iη) (2π)3 δ 3 (p − p′ ) .
Se observ˘ a c˘ a s-a obt¸inut ecuat¸ia (8.28), astfel c˘ a s-a verificat valabilitatea solut¸iei (8.30).
142
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
A4. Expresia funct¸iei de ciocnire redus˘a χ0 ˆın termeni de funct¸ia de ˆımpr˘ a¸stiere bi-particul˘a ˆın (+) vid ψek , reprezentat˘ a prin relat¸ia (8.30), se poate transforma ˆınt-o expresie echivalent˘ a ˆın care s˘a apar˘a amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere fe(k′ , k); pentru aceasta ˆın membrul drept al relat¸iei (8.30) (+)∗ se substituie funct¸ia ψek (p′ ) utilizˆand relat¸ia (8.10): Z d3 k ǫ − p ′ 2 + iη e(+) (+)∗ ′ χ0 (p, p ; P, P0 ) = ψk (p) ψek (p′ ) 3 ǫ − k 2 + iη (2π) 3 R Z n fe∗ (p′ , k) o d3 k ǫ − p ′ 2 + iη e(+) 3 3 ′ ψ (p) (2π) δ (k − p ) − = k 3 ǫ − k 2 + iη p ′ 2 − k2 + i η R3 (2π) Z 3 ′2 d k ǫ − p + iη (+) = ψep′ (p) − ψe (p) fe∗ (p′ , k) ; 3 2 ′ 2 − k 2 + iη) k R3 (2π) (ǫ − k + iη)(p prin transform˘ ari algebrice elementare se descompune fract¸ia din expresia precedent˘ a ǫ − p ′ 2 + iη −1 −1 = + ′2 , 2 ′ 2 2 2 (ǫ − k + iη)(p − k + iη) ǫ − k + iη p − k 2 + iη astfel c˘ a rezult˘a urm˘atoarea expresie a funct¸iei χ0 ˆın termeni de ψek ¸si fe∗ : Z o 1 1 d3 k n (+) (+) ψek (p) fe∗ (p′ , k) . (8.31) + ′2 χ0 (p, p′ ; P, P0 ) = ψep′ (p) + 3 2 2 (2π) ǫ − k + iη p − k + iη 3 R A5. Interact¸ia efectiv˘ a (pentru aproximat¸ia scar˘a ¸si cu aproximat¸ia Galitski de ordinul 0) rezult˘a din expresia (8.31) a funct¸iei de ciocnire, conform relat¸iei generale (8.26): ̥0 (p, p′ ; P, P0 ) Z d3 q = ve(q) χ0 (p − q, p′ ; P, P0 ) 3 R3 (2π) Z n ~2 d3 q (+) ψep′ (p − q) = u e (q) m R3 (2π)3 Z o d3 k 1 1 e(+) (p − q) fe∗ (p′ , k) + ψ + k 3 ǫ − k 2 + iη p ′ 2 − k 2 + iη R3 (2π) Z 2 Z 3 ~ d q (+) = u e(q) ψep′ (p − q) 3 m R3 R3 (2π) Z Z d3 q d3 k 1 1 (+) ∗ ′ e e + u e(q) ψk (p − q) f (p , k) ; + ′2 3 ǫ − k 2 + iη p − k 2 + iη R3 (2π)3 R3 (2π)
potent¸ialul de interact¸ie se elimin˘ a prin utilizarea relat¸iei (8.9) Z d3 q (+) u e(q) ψek (k′ − q) , fe(k′ , k) = 3 R3 (2π)
astfel c˘ a rezult˘a expresia interact¸iei efective numai ˆın termeni de amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere bi-particul˘a ˆın vid Z m 1 d3 k 1 ′ e(p, p′ )+ ̥ (p, p ; P, P ) = f fe(p, k) fe∗ (p′ , k) , (8.32) + 0 0 3 ǫ − k 2 + iη ~2 k 2 − p ′ 2 − iη R3 (2π)
numit˘a prima ecuat¸ie Galitski. Observat¸ii asupra primei ecuat¸ii Galitski: i. Prima ecuat¸ie Galitski este expresia interact¸iei efective ̥0 (ˆın aproximat¸ia Galitski de ordinul 0) ˆın termeni de amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere fe, fiind independent˘ a de potent¸ialul de ˆımpr˘ a¸stiere; ca urmare, rezultatul este valabil inclusiv la limita potent¸ialului de interact¸ie singular (v0 → ∞). ii. Interact¸ia efectiv˘ a ̥0 depinde de energia total˘ a a unei perechi de particule: ~2 m m P . ǫ ≡ 2 E = 2 ~ P0 − ~ ~ 4m
˘ NULA ˘ 8.1. GAZE FERMIONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
143
ˆIn cazul particular cˆ and ǫ = p ′ 2 , atunci integrandul devine nul ¸si se obt¸ine m ̥0 (p, p′ ; P, P0 ) = fe(p, p′ ) ; ~2
totu¸si, pentru problema studiat˘a este interesant cazul cˆ and ǫ 6= p ′ 2 . iii. Pentru ciocniri elastice bi-particul˘a ˆın vid impulsul ˆın modul se conserv˘ a: |p| = |p′ |; dar pentru problema studiat˘a este necesar˘a expresia amplitudinii de ˆımpr˘ a¸stiere fe(p, p′ ) pentru toate ′ valorile impulsurilor p ¸si p . B. Metoda Galitski exact˘ a B1. Se va transforma ecuat¸ia integral˘a pentru funct¸ia de ciocnire reduas˘ a χ astfel ˆıncˆ at s˘a fie (+) exprimat˘ a numai ˆın termeni de m˘arimi ale ˆımpr˘ a¸stierii bi-particul˘a ˆın vid (adic˘a ψek ¸si fe), prin eliminarea potent¸ialului de interact¸ie v, ˆın mod analog cu operat¸iile efectuate ˆın aproximat¸ia Galitski de ordinul 0, dar f˘ ar˘ a s˘a se presupun˘a valoarea unitate (N = 1) pentru funct¸ia num˘ar de particule. Relat¸ia general˘ a se va exprima ˆın mod convenabil utilizˆand solut¸ia aproximat¸iei Galitski de ordinul 0. B2. Ecuat¸ia funct¸iei de ˆımpr˘ a¸stiere reduse se obt¸ine din ecuat¸ia (8.25) ˆın care se utilizeaz˘a parametrii simplificat¸i: ′
3
3
N (P, p)
′
χ(p, p ; P) = (2π) δ (p − p ) +
2
Z
d3 q ve(q) χ(p − q, p′ ; P) 3 R3 (2π)
~ 2 p + iη N (P, p) m Z d3 q N (P, p) 3 3 ′ u e(q) χ(p − q, p′ ; P) . = (2π) δ (p − p ) + ǫ − p2 + iη N (P, p) R3 (2π)3 E−
Integrala din relat¸ia precedent˘ a se reduce la interact¸ia efectiv˘a, conform relat¸iei (8.26): Z
d3 q m u e(q) χ(p − q, p′ ; P) = 2 3 (2π) ~ 3 R
Z
m d3 q v (q) χ(p − q, p′ ; P) = 2 ̥(p, p′ ; P) ; e 3 (2π) ~ 3 R
ca urmare, ecuat¸ia anterioar˘ a se rescrie ˆın forma: χ(p, p′ ; P) = (2π)3 δ 3 (p − p′ ) +
N (P, p) m ̥(p, p′ ; P) . ǫ − p2 + iη N (P, p) ~2
Atunci, se transform˘ a algebric relat¸ia (8.25), astfel ˆıncˆ at s˘a fie similar˘ a cu ecuat¸ia integral˘a (8.28): Z d3 q 1 u e(q) χ(p − q, p′ ; P) 2 ǫ − p + iη R3 (2π)3 N (P, p) m 1 = (2π)3 δ 3 (p − p′ ) + ̥(p, p′ ; P) . − ǫ − p2 + iη N (P, p) ǫ − p2 + iη ~2
χ(p, p′ ; P) −
(8.33)
¸si se ia ˆın considerare relat¸ia (8.28), care se poate exprima ˆın urm˘atoarea form˘a echivalent˘ a: χ0 (p, p′ ; P) −
1 ǫ − p2 + iη
Z
d3 q u e(q) χ0 (p − q, p′ ; P) = (2π)3 δ 3 (p − p′ ) ; 3 R3 (2π)
atunci, solut¸ia ecuat¸iei integrale (8.33) este
χ(p, p′ ; P) = χ0 (p, p′ ; P) Z d3 k m 1 N (P, k) + χ0 (p, k; P) ̥(k, p′ ; P) . − 3 2 2 ǫ − k + iη N (P, k) ǫ − k + iη ~2 R3 (2π) (8.34)
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
144 Demonstrat¸ie:
Se substituie solut¸ia posibil˘ a (8.34) ˆın ecuat¸ia (8.33), luˆ and ˆın considerare ecuat¸ia aproximat¸iei de ordinul 0 Z 1 d3 q χ(p, p′ ; P) − u e(q) χ(p − q, p′ ; P) ǫ − p2 + iη R3 (2π)3 Z N (P, k) 1 d3 k m χ (p, k; P) − ̥(k, p′ ; P) = χ0 (p, p′ ; P) + 0 3 ǫ − k2 + iη N (P, k) ǫ − k2 + iη ~2 R3 (2π) Z 1 d3 q − u e (q) χ0 (p − q, p′ ; P) ǫ − p2 + iη R3 (2π)3 Z im h N (P, k) 1 d3 k ′ χ (p − q, k; P) − ̥(k, p ; P) + 0 3 ǫ − k2 + iη N (P, k) ǫ − k2 + iη ~2 R3 (2π) Z 3 1 d q ′ ′ = χ0 (p, p ; P) − u e(q) χ0 (p − q, p ; P) ǫ − p2 + iη R3 (2π)3 Z Z d3 k 1 d3 q + χ (p, k; P) − u e (q) χ (p − q, k; P) 0 0 3 ǫ − p2 + iη R3 (2π)3 R3 (2π) i h m 1 N (P, k) − ̥(k, p′ ; P) ; × ǫ − k2 + iη N (P, k) ǫ − k2 + iη ~2 conform ecuat¸iei integrale satisf˘ acute de χ0 , cantit˘ a¸tile din interiorul celor dou˘ a grupuri de paranteze acolade se reduc la funct¸ii Dirac, astfel c˘ a se obt¸ine: Z 1 d3 q χ(p, p′ ; P) − u e(q) χ(p − q, p′ ; P) 2 ǫ − p + iη R3 (2π)3 Z im h 1 d3 k N (P, k) 3 3 (2π) δ (p − k) − ̥(k, p′ ; P) = (2π)3 δ 3 (p − p′ ) + 3 ǫ − k2 + iη N (P, k) ǫ − k2 + iη ~2 R3 (2π) im h 1 N (P, p) − ̥(p, p′ ; P) , = (2π)3 δ 3 (p − p′ ) + ǫ − p2 + iη N (P, p) ǫ − p2 + iη ~2 adic˘ a formula (8.34) verific˘ a ecuat¸ia (8.33).
B3. Pe baza relat¸iei (8.26), din rezultatul precedent pentru funct¸ia de ciocnire χ se obt¸ine ecuat¸ia interact¸iei efective ̥: Z d3 q ve(q) χ(p − q, p′ ; P, P0 ) ̥(p, p′ ; P) = 3 (2π) 3 R Z d3 q = v e (q) χ0 (p − q, p′ ; P) 3 (2π) 3 R Z im h d3 k 1 N (P, k) ′ + χ0 (p − q, k; P) ̥(k, p ; P) − 3 ǫ − k2 + iη N (P, k) ǫ − k2 + iη ~2 R3 (2π) Z d3 q ve(q) χ0 (p − q, p′ ; P) = 3 R3 (2π) | {z } Z
= ̥0 (p,p′ ;P)
3
d k + 3 R3 (2π)
Z
d3 q ve(q) χ0 (p − q, k; P) 3 3 (2π) |R {z } = ̥0 (p,k;P)
im 1 N (P, k) ̥(k, p′ ; P) ; − × ǫ − k2 + iη N (P, k) ǫ − k2 + iη ~2 h
ca urmare, rezult˘a ecuat¸ia a doua Galitski: ̥(p, p′ ; P) = ̥0 (p, p′ ; P) Z im h d3 k 1 N (P, k) + ̥ (p, k; P) ̥(k, p′ ; P) . − 0 3 ǫ − k2 + iη N (P, k) ǫ − k2 + iη ~2 R3 (2π) (8.35)
˘ NULA ˘ 8.1. GAZE FERMIONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
145
Observat¸ii asupra ecuat¸iilor Galitski: i. Prima ecuat¸ie Galitski (8.32) este o ecuat¸ie integral˘a a interact¸iei efective ˆın aproximat¸ia Galitski de ordinul 0, ̥0 , ˆın funct¸ie de amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere ˆın vid fe, iar a doua ecuat¸ie Galitski (8.35) este o ecuat¸ie integral˘a pentru interact¸ia efectiv˘a exact˘ a ̥ ˆın termeni de interact¸ia efectiv˘ a de ordinul 0, ̥0 ; prin urmare, ecuat¸iile Galitski sunt un set de dou˘a ecuat¸ii integrale cuplate, din care rezult˘a interact¸ia efectiv˘a ̥ ˆın termeni de amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere fe. Deoarece ˆın ambele ecuat¸ii s-a eliminat potent¸ialul de interact¸ie, atunci este posibil s˘a se considere trecerea la limita potent¸ialului singular (v0 → ∞), adic˘a ecuat¸iile Galitski sunt valabile pentru limita sferelor rigide; evident, ˆın acest caz limit˘a este necesar s˘a se determine amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere. ii. Solut¸ia ecuat¸iilor Galitski este interact¸ia efectiv˘a ̥ exprimat˘ a ˆın termeni de amplitudinea f∗ (ˆın aproximat¸ia de ˆımpr˘ a¸stiere fe; atunci, conform relat¸iei (8.11), se obt¸ine self-energia proprie M scar˘a), din care rezult˘a cantit˘ a¸ti fizice ale sistemului (energia st˘arii fundamentale ¸si spectrul excitat¸iilor elementare). iii. Ecuat¸iile Galitski permit determinarea analitic˘a aproximativ˘ a a solut¸iei numai ˆın cazuri asimptotice; cazul asimptotic interesant este gazul fermionic rarefiat. C. Limita ecuat¸iilor Galitski pentru gaze rarefiate C1. Dup˘ a cum s-a ar˘ atat anterior, pentru rezolvarea ecuat¸iilor Galitski este necesar s˘a se cunoasc˘a amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere corespunz˘ atoare interact¸iei bi-particul˘a ˆın vid. ˆIn cazul cˆ and interact¸ia bi-particul˘a este o ciocnire elastic˘ a, atunci este convenabil s˘a se determine amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere prin metoda defazajelor 1 . Conform metodei defazajelor, amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere se exprim˘ a ˆın termeni de m˘arimea impulsului k ¸si unghiul de ˆımpr˘ a¸stiere θ, prin formula: f (k, θ) =
∞ ∞ X X 2l + 1 iδl e sin δl Pl (cos θ) ≡ fl (k, θ) , k l=0
l=0
unde – cei doi vectori de und˘a (impulsuri) au m˘arimi egale, deoarece s-a considerat ˆımpr˘ a¸stierea elastic˘ a: |k| = |k′ | ≡ k; – unghiul dintre vectorii de und˘a k ¸si k′ este θ; – amplitudinea a¸stiere este fe(k, k′ ) = −4π f ((k, k′ ) ≡ −4π f (k, θ); de ˆımpr˘ – defazajele δl l=0,1,2,... au urm˘atoarele expresii: δ0 (k) = −k a , (k a)2l+1 δl (k) = , l = 1, 2, . . . ; (2l + 1)!! (2l − 1)!!
– raza de act¸iune a interact¸iei bi-particul˘a este a; – Pl (x) este polinomul Legendre de ordinul l. Termenii seriei de defazaje au urm˘atoarele expresii la limita k a ≪ 1: • l = 0 (und˘ a-s)
1 4π 4π fe0 (k, k′ ) = −4π eiδ0 sin δ0 P0 (cos θ) ≈ − (1 + iδ0 ) δ0 = − (−ka)(1 − ika) ; k k k la limita k → 0 se obt¸ine: fe0 (k, k′ ) ≈ 4πa(1 − ika).
• l = 1 (und˘ a-p)
12π 3 (1 + iδ1 ) δ1 cos θ fe1 (k, k′ ) = −4π eiδ1 sin δ1 P1 (cos θ) ≈ − k k (−ka)3 i 12π (−ka)3 h 1−i cos θ ; =− k 3 3 h (−ka)3 i 4π cos θ (ka)3 1 − i . la limita k → 0 se obt¸ine: fe1 (k, k′ ) ≈ − k 3
1 Metoda defazajelor este una dintre problemele fundamentale ale teoriei ciocnirilor din mecanica cuantic˘ a standard; ca urmare, se consider˘ a c˘ a aceast˘ a chestiune este cunoscut˘ a ¸si se utilizeaz˘ a numai principalele rezultate.
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
146 • l≥1
2l + 1 iδl e sin δl Pl (cos θ) fel (k, k′ ) = −4π k h i (k a)2l+1 (k a)2l+1 2l + 1 1+i ; Pl (cos θ) ≈ − 4π k (2l + 1)!! (2l − 1)!! (2l + 1)!! (2l − 1)!! la limita k → 0 se obt¸ine: fel (k, k′ ) ∼ (ka)2l+1 .
Din rezultatele anterioare se obt¸ine c˘ a ˆın limita k → 0 termenul l = 0 (unda-s) este dominant, iar amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere are urm˘atoarea expresie aproximativ˘ a: fe(k, k′ ) ≈ fe0 (k, k′ ) = 4πa(1 − ika) + O(k 2 a3 ) . (8.36) k=k′
Este important s˘a se remarce c˘ a rezultatul precedent este valabil chiar cˆ and k′ 6= k, dac˘a ambii ′ vectori de und˘a sunt foarte mici (k & k → 0). C2. Condit¸ia de gaz rarefiat este: kF a ≪ 1 . Atunci se face hipoteza: Ecuat¸iile Galitski se pot dezvolta ˆın serii de puteri ˆın raport cu parametrul kF a. Demonstrat¸ie: • Pentru 12 P ± k > kF , adic˘ a dac˘ a ambii vectori de und˘ a (impulsuri) p1 = 12 P + k ¸si p1 = 12 P − k sunt superiori vectorului de und˘ a Fermi (ceea ce ˆınseamn˘ a c˘ a ambele st˘ ari sunt de particule) rezult˘ a c˘ a funct¸ia num˘ ar de perechi este N (P, k) = 1. ˆIn aceste condit¸ii m˘ arimea caracteristic˘ a din a doua ecuat¸ie Galitski este nul˘ a: h
ǫ−
i 1 N (P, k) =0; − 2 + iη N (P, k) ǫ − k + iη N(P,k)=1
k2
deoarece ˆın acest caz integrandul, din membrul drept al celei de-a doua ecuat¸ie Galitski, este nul rezult˘ a c˘ a interact¸ia efectiv˘ a exact˘ a coincide cu interat¸ia efectiv˘ a ˆın aproximat¸ia Galitski de ordinul 0: ̥ = ̥0 . Din rat¸ionamentul anterior rezult˘ a c˘ a interact¸ia efectiv˘ a exact˘ a ̥ difer˘ a de interact¸ia efectiv˘ a ˆın aproximat¸ia Galitski de ordinul 0, ̥0 , numai dac˘ a 12 P ± k < kF (conform celei de-a doua ecuat¸ie Galitski). and N (P, k) 6= 1 ¸si ̥ 6= ̥0 ), atunci domeniul • Pe de alt˘ a parte, dac˘ a se consider˘ a 12 P ± k < kF (cˆ de interes este ǫ ≈ εF (adic˘ a k ≈ kF ); ˆın aceste condit¸ii, din ecuat¸ia a doua Galitski ̥(p, p′ ; P) − ̥0 (p, p′ ; P) Z i m h N (P, k) d3 k 1 = ̥0 (p, k; P) − ̥(k, p′ ; P) 3 2 2 ǫ − k + iη N (P, k) ǫ − k + iη ~2 R3 (2π)
se poate deduce urm˘ atoarea estimare:
̥ − ̥0 ∼ kF3 ̥0
m 1 m ̥ = kF 2 ̥0 ̥ ; kF2 ~2 ~
atunci, variat¸ia relativ˘ a a interact¸iei efective este m ̥ − ̥0 ∼ kF 2 ̥0 ≈ kF fe , ̥ ~
unde ultima egalitate (aproximativ˘ a) s-a obt¸inut din prima ecuat¸ie Galitski ˆın aproximat¸ia ǫ ≈ p ′ 2 , m adic˘ a: 2 ̥0 ≈ fe. Expresia precedent˘ a, la limita k → 0, devine ~ ̥ − ̥0 ∼ kF 4πa ∼ kF a ≪ 1 . ̥
• Rezultatele anterioare arat˘ a c˘ a ̥ ≈ ̥0 , cu o corect¸ie de ordinul kF a, ceea ce implic˘ a posibilitatea dezvolt˘ arii ˆın serie de puteri ˆın raport cu parametrul kF a.
˘ NULA ˘ 8.1. GAZE FERMIONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
147
C3. Interact¸ia efectiv˘ a ̥ este necesar˘a, din punct de vedere fizic, numai pentru calculul selfenergiei (ˆın aproximat¸ia scar˘ a), conform relat¸iei (8.16): Z Z d4 k′ e 0 ′ d4 k′ e0 ′ ′ ′ f∗ (k) = −(2s + 1) i ~M G (k ) ̥(k, k ; k, k ) + i G (k ) ̥(k′ , k; k, k′ ) . 4 4 (2π) (2π) 4 4 R R
Pe de alt˘ a parte, interact¸ia efectiv˘a ̥(k1 , k2 ; k3 , k4 ) = ̥(p, p′; P), ˆın ecuat¸iile Galitski, este exprimat˘ a prin variabilele P ≡ k1 + k2 = k3 + k4 , p ≡ 12 k1 − k2 ¸si p′ ≡ 21 k3 − k4 ; ca urmare, ˆın noile variabile, funct¸iile ̥ interesante sunt ̥ k, k′ ; k, k′ = ̥ 21 (k − k′ ) , 12 (k − k′ ) ; k + k′ = ̥(q, q; P) , ̥(k′ , k; k, k′ ) = ̥ 21 (k′ − k) , 12 (k − k′ ) ; k + k′ = ̥(−q, q; P) , unde q =
1 2
(k − k′ ).
C4. Pe baza observat¸iilor anterioare se efectueaz˘a dezvoltarea ˆın serie la limita kF a ≪ 1 ˆın prima ecuat¸ie Galitski (8.32) pentru interact¸ia efectiv˘a interesant˘ a, ˆın care se utilizeaz˘a formula Sohotski-Weierstrass ¸si aproximat¸ia (8.36) pentru amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere: Z m d3 k 1 1 e(q, q) + fe(q, k) fe∗ (q, k) ̥ (q, q; P) = f + 0 3 ǫ − k 2 + iη ~2 k 2 − q 2 − iη R3 (2π) ≈ 4πa − 4πia2 q + . . . qa≪1 Z i 1 d3 k h 1 2 2 4πa − 4πia2 q + . . . 2 + iπ δ(k − q ) + + P 3 2 2 2 ǫ − k + iη k −q R3 (2π) Z Z 3 1 1 d3 k d k = 4πa − 4πia2 q + (4πa)2 + − 3 2 3 2 2 R3 (2π) k − q R3 (2π) ǫ − k + iη Z 3 d k + iπ δ(k 2 − q 2 ) + . . . 3 R3 (2π) Ultima integral˘a se efectueaz˘ a pe baza descompunerii funct¸iei Dirac ¸si utilizˆand coordonatele sferice (integralele unghiulare sunt banale ¸si produc factorul 4π): Z Z ∞ d3 k iπ 4π i i 2 2 2 iπ δ(k − q ) = q = q; dk k 2 δ(k − q) + δ(k + q) ] = 3 3 2 q (2π) 0 4π q 4π R3 (2π)
atunci interact¸ia efectiv˘ a considerat˘ a anterior devine: Z Z 1 1 d3 k iq d3 k m 2 2 +... ̥ (q, q; P) = 4πa − 4πia q + (4πa) + + − 0 3 2 3 2 2 ~2 4π R3 (2π) k − q R3 (2π) ǫ − k + iη
ˆın membrul drept al egalit˘a¸tii precedente, al doilea termen anihileaz˘a ultimul termen, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine aproximat¸ia primei ecuat¸ii Galitski la limita kF a ≪ 1: Z 1 o m 1 d3 k n 2 + O(q 2 a3 ) . (8.37) ̥ (q, q; P) = 4πa + (4πa) +P 2 0 2 3 2 2 ~ (2π) ǫ − k + iη k − q 3 R Se observ˘ a c˘ a termenul 4πa este dominant, iar integrala este o mic˘a corect¸ie. Pentru a doua ecuat¸ie Galitski se observ˘a c˘ a la limita kF a ≪ 1, interact¸ia efectiv˘a exact˘ a difer˘a de aproximat¸ia de ordinul 0 prin termenul de corect¸ie, conform hipotezei de dezvoltare ˆın serie: ̥(q, q; P) = ̥0 (q, q; P) + O(kF a) ;
ca urmare, ˆın membrul drept al ecuat¸iei (8.35) se poate substitui ̥ prin ̥0 , deoarece integrala din membrul drept al acestei ecuat¸ii este de ordinul kF a: m m ̥(q, q; P) ≈ 2 ̥0 (q, q; P) ~2 ~ Z im h d3 k m 1 N (P, k) + ̥ (q, k; P) ̥0 (k, q; P) ; − 0 3 2 ǫ − k 2 + iη N (P, k) ǫ − k 2 + iη ~2 R3 (2π) ~
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
148
atunci, se poate utiliza forma aproximativ˘ a a primei ecuat¸ii Galitski, (8.37), pentru ̥0 ¸si se ret¸ine ˆın integral˘a numai termenul dominant (deoarece integrala este un termen corectiv): Z 1 i m 1 d3 k h 2 + . . . ̥(q, q; P) ≈ 4πa + (4πa) + P 3 ǫ − k 2 + iη ~2 k2 − q2 R3 (2π) Z i h 3 N (P, k) 1 d k 4πa + . . . 4πa + . . . − + 3 2 2 ǫ − k + iη N (P, k) ǫ − k + iη R3 (2π) Z h 1 3 d k 1 = 4πa + (4πa)2 + P 3 ǫ − k 2 + iη k2 − q2 R3 (2π) i 1 N (P, k) − + O(q 2 a3 ) ; + ǫ − k 2 + iη N (P, k) ǫ − k 2 + iη
se observ˘ a c˘ a primul termen ¸si ultimul termen ai integrandului se reduc, astfel c˘ a din aproximat¸ia celei de-a doua ecuat¸ii Galitski, rezult˘a urm˘atoarea expresie a interact¸iei efective (pentru aproximat¸ia scar˘ a) la limita kF a ≪ 1 (cˆand amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere este de tip und˘a-s): Z 1 i d3 k h N (P, k) ~2 +O(q 2 a3 ) . (8.38) 4πa 1+4πa +P 2 ̥(q, q; P) ≈ 3 ǫ − k 2 + iη N (P, k) m k − q2 R3 (2π)
Conform rezultatului anterior, interact¸ia efectiv˘a ̥(q, q; P) depinde numai de m˘arimea vectorului q, astfel ˆıncˆ at rezult˘a ce-a de-a doua funct¸ie interesant˘ a (pentru self-energie): ̥(−q, q; P) ≈ ̥(q, q; P) . qa→0
(8.39)
Se observ˘ a c˘ a ˆın cazul limit˘ a s-au obt¸inut expresii ale interact¸iei efective ̥ ˆın funct¸ie numai de m˘arimi cunoscute.
8.1.4 A.
Self-energia ˆın aproximat¸ia scar˘ a ¸si la limita kF a ≪ 1
Self-energia ˆın aproximat¸ia scar˘ a are expresia dat˘a de formula (8.16): Z o d4 k′ e 0 ′ n ′ ′ ′ ′ f∗ (k) = i G (k ) − (2s + 1) ̥(k, k ; k, k ) + ̥(k , k; k, k ) ~M 4 R4 (2π) Z o 4 ′ d k e0 ′ n =i G (k ) − (2s + 1) ̥(q, q; P) + ̥(−q, q; P) , 4 R4 (2π)
unde P ≡ k + k′ ¸si q ≡ 21 (k − k′ ). ˆIn aproximat¸ia undelor lungi (kF a ≪ 1) cele dou˘a interact¸ii efective sunt egale ̥(q, q; P) = ̥(−q, q; P), conform relat¸iei (8.39), astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: Z d4 k′ e0 ′ f∗ (k) ≈ − i 2s ~M G (k ) ̥(q, q; P) . (8.40) 4 R4 (2π)
Conform rezultatelor obt¸inute pentru interact¸ia efectiv˘a, se utilizeaz˘a expresia aproximativ˘ a (8.38) ¸si se obt¸ine seria de puteri ˆın raport cu raza de act¸iune a interact¸iei (a) pˆ an˘a ˆın ordinul 2: Z ∞ Z dω ′ e 0 ′ ′ d3 k′ f∗ (k, ω) ≈ − i 2s G (k , ω ) ̥(q, q; P, P0 ) ~M 3 −∞ 2π R3 (2π) Z Z d3 k′ ∞ dω ′ iω′ η e0 ′ ′ ≈ − i 2s e G (k , ω ) 3 R3 (2π) −∞ 2π Z i d3 k′′ h N (P, k′′ ) ~2 1 ; 4πa 1 + 4πa +P × 3 ǫ − (k ′′ )2 + iη N (P, k′′ ) m (k ′′ )2 − q 2 R3 (2π) ′
se observ˘ a c˘ a s-a introdus factorul de convergent¸˘a eiω η , deoarece aproximat¸ia utilizat˘a a produs o interact¸ie efectiv˘ a independent˘ a de frecvent¸˘a ¸si astfel integrala dup˘a frecvent¸˘a implic˘ a numai Z∞ ′ dω e 0 ′ ′ G (k , ω ), iar aceast˘a integral˘a nu are sens matematic bine funct¸ia Green liber˘ a, adic˘a 2π
definit.
−∞
˘ NULA ˘ 8.1. GAZE FERMIONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
149
Se separ˘ a termenii primelor 2 ordine, astfel c˘ a rezult˘a:
unde
f∗ (k, ω) ≈ ~M f∗ (k, ω) + ~M f∗ (k, ω) + . . . ~M 1 2 Z
Z d3 k′ ∞ dω ′ iω′ η e 0 ′ ′ e G (k , ω ) , 3 R3 (2π) −∞ 2π Z Z d3 k′ ∞ dω ′ iω′ η e 0 ′ ′ ~2 2 ∗ f (4πa) e G (k , ω ) ~M2 (k, ω) = − i 2s 3 m R3 (2π) −∞ 2π Z i 1 d3 k′′ h N (P, k′′ ) × + P . 3 ǫ − (k ′′ )2 + iη N (P, k′′ ) (k ′′ )2 − q 2 R3 (2π) f1∗ (k, ω) = − i 2s ~M
B.
(8.41)
~2 4πa m
(8.42a)
(8.42b)
Prin calcul direct se obt¸ine pentru termenul de ordinul 1 urm˘atoarea expresie: f1∗ (k, ω) ≈ ~M
~2 kF2 4 2s (kF a) . 2m 3π
(8.43)
f∗ (k, ω) este o constant˘ Se observ˘ a c˘ a termenul de ordinul 1 M a (independent˘ a de k ¸si ω). 1 Demonstrat¸ie:
Pentru a efectua integralele din formula (8.42a) se utilizeaz˘ a expresia funct¸iei Green libere (3.70) e 0 (k, ω) = θ(k − kF ) + θ(kF − k) , G ω − ωk + i η ω − ωk − i η
ωk ≡
¸si integralele caracteristice dup˘ a frecvent¸˘ a ( Z ∞ 0, eiωη dω K± (a) ≡ = i, −∞ 2π ω − a ± iη
1 0 ~ 2 ε = k ~ k 2m
pentru + pentru −
care au fost justificate ˆın Anexa matematic˘ a A.5 cu formula (A.46). Atunci din formula (8.42a) rezult˘ a egalit˘ a¸tile Z 3 ′ Z ∞ 2 d k θ(kF − k) o dω ′ iω′ η n θ(k − kF ) f1∗ (k, ω) = − i 2s ~ 4πa e + ~M 3 m ω − ωk + i η ω − ωk − i η −∞ 2π R3 (2π) Z ∞ Z 2 3 ′ iω ′ η ′ ~ d k e dω = − i 2s θ(k′ − kF ) 4πa 3 ′ − ω + iη m (2π) 2π ω 3 k −∞ R {z } | (1)
= J+ (ωk ) = 0
+ θ(kF − k′ )
Z
′
∞
eiω η dω ′ ′ −∞ 2π ω − ωk − iη {z } |
(1)
~2 4πa m
Z
= J− (ωk ) = i
d3 k′ θ(kF − k′ ) 3 R3 (2π) Z kF 4π 4π kF3 ~2 ~2 4πa 4πa , dk k2 = 2s = 2s 3 m (2π) 0 m (2π)3 3 = 2s
iar ultimul rezultat este echivalent cu formula (8.43).
C.
Pentru termenul de ordinul 2 calculele sunt mai complexe ¸si se obt¸ine urm˘atoarea expresie: ~2 kF2 32 π 2 2s (kF a)2 2m kF4 Z Z d3 k′′ θ(k ′ − kF ) θ(kF − 12 P + k′′ ) θ(kF − 12 P − k′′ ) d3 k′ × m 3 3 R3 (2π) R3 (2π) ω + q 2 − 12 k 2 − (k ′′ )2 − iη ~ θ(kF − k ′ ) θ( 21 P + k′′ − kF ) θ( 21 P − k′′ − kF ) 1 ′ . + + θ(kF − k ) P m (k ′′ )2 − q 2 ω + q 2 − 12 k 2 − (k ′′ )2 + iη ~ (8.44)
f∗ (k, ω) = ~M 2
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
150 Demonstrat¸ie:
Se substituie expresia funct¸ieie Green libere ˆın formula (8.42b) ¸si astfel rezult˘ a dou˘ a integrale dup˘ a frecvent¸˘ a: Z Z 2 θ(kF − k′ ) o d3 k′ ∞ dω ′ iω′ η n θ(k′ − kF ) f2∗ (k, ω) = − i 2s ~ (4πa)2 ~M + e 3 ′ m ω − ωk + i η ω − ωk ′ − i η R3 (2π) −∞ 2π Z i 3 ′′ h ′′ 1 d k N (P, k ) × +P 3 ǫ − (k ′′ )2 + iη N (P, k′′ ) ′′ )2 − q 2 (2π) (k 3 R Z Z d3 k′ d3 k′′ ~2 = − i 2s (4πa)2 3 3 m R3 (2π) R3 (2π) Z ∞ h i iω ′ η ′ N (P, k′′ ) e 1 dω + P × θ(k′ − kF ) ′′ 2 ′′ (k′′ )2 − q 2 −∞ 2π ω − ωk′ + i η ǫ − (k ) + iη N (P, k ) Z ∞ h i ′′ ′ iω ′ η N (P, k ) dω e 1 + θ(kF − k′ ) + P ′′ 2 ′′ (k′′ )2 − q 2 −∞ 2π ω − ωk′ − i η ǫ − (k ) + iη N (P, k ) Z 2 3 ′ Z 3 ′′ ~ d k d k ≡ − i 2s (4πa)2 3 3 m (2π) (2π) 3 3 R R n o × θ(k′ − kF ) F+ (k′ , k′′ ; k, ω) + θ(kF − k′ ) F− (k′ , k′′ ; k, ω) , unde funct¸iile F± (k′ , k′′ ; k, ω) sunt integrale dup˘ a frecvent¸˘ a Z ∞ h i iω ′ η ′ N (P, k′′ ) e 1 dω +P . F± (k′ , k′′ ; k, ω) ≡ ′′ 2 ′′ ′′ 2 2 (k ) − q −∞ 2π ω − ωk′ ± i η ǫ − (k ) + iη N (P, k )
Pentru a explicita funct¸iile F± se observ˘ a c˘ a urm˘ atoarele m˘ arimi sunt independente de frecvent¸˘ a: N (P, k′′ ) = N (k + k′ , k′′ ) , 1 q = (k − k′ ) ; 2 pe de alt˘ a parte, energia unei perechi de particule ǫ este dependent˘ a de frecvent¸a ω ′ : ~2 2 m 1 m ~P0 − P = (ω + ω ′ ) − (k + k′ )2 . 2 ~ 4m ~ 4 De asemenea, se vor utiliza integralele caracteristice de specia a II-a 0, pentru (+, +) & (−, −) Z ∞ iωη 1 e dω (2) J±,± (a, b) ≡ = a − b + iη , pentru (−, +) −∞ 2π (ω − a ± iη)(ω − b ± iη) 1 , pentru (+, −) b − a + iη ǫ=
care au fost justificate ˆın Anexa matenatic˘ a A.5 cu formula (A.48).
Deoarece funct¸ia num˘ ar de perechi N (P, k) are numai valorile 0, 1 ¸si −1 se descompune funct¸ia F+ ˆın integrale dup˘ a frecvent¸˘ a caracteristice: Z ∞ ′ h i N (P, k′′ ) eiω η 1 dω ′ +P F+ (k′ , k′′ ; k, ω) ≡ ′′ 2 ′′ ′′ 2 2 (k ) − q −∞ 2π ω − ωk′ + i η ǫ − (k ) + iη N (P, k ) ′′ Z ∞ iω ′ η ′ N (P, k ) e dω = m/~ −∞ 2π (ω − ω ′ + i η) ω ′ − ω − ~ (k + k′ )2 − ~ (k ′ )2 + iη N (P, k′′ ) k 4m m Z ∞ ′ eiω η dω ′ 1 + P ; ′′ 2 2 ′ (k ) − q −∞ 2π ω − ωk + i η (2)
prima integral˘ a se reduce la integrala caracteristic˘ a J±,± (a, b): Z ∞ ′ dω ′ eiω η ~ ~ ′′ 2 −∞ 2π (ω − ω ′ + i η) ω ′ − ω − (k + k′ )2 − (k ) + iη N (P, k′′ ) k 4m m = 0, N=0 = J (2) ω ′ , −ω − ~ (k + k′ )2 + 4(k′′ )2 = 0 , k 4m = N=1 +,+ ~ i (2) ′ , −ω − ω ; = J (k + k′ )2 + 4(k′′ )2 = k +,− ~ N=−1 4m ′ 2 −ω + (k + k ) + 4(k′′ )2 − ωk′ + iη 4m
˘ NULA ˘ 8.1. GAZE FERMIONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
151
(1)
a: a doua integral˘ a se reduce la integrala caracteristic˘ a J+ (a), care este nul˘ Z
′
∞
eiω η dω ′ (1) = J+ (ωk′ ) = 0 . −∞ 2π ω − ωk′ + i η
Conform rezultatelor anterioare funct¸ia F+ (k′ , k′′ ; k, ω) are expresia F+ (k′ , k′′ ; k, ω) =
~ N (P, k) δN,−1 m
−i ; ~ ω− (k + k′ )2 + 4(k′′ )2 + ωk′ − iη 4m
expresia precedent˘ a se poate rescrie ˆıntr-o form˘ a echivalent˘ a pe baza urm˘ atoarelor argumente: δN(P,k′′ ),−1 = θ kF − 21 P + k′′ θ kF − 12 P − k′′ , ~ 1 ~ (k − k′ )2 − 21 k2 − (k′′ )2 ; (k + k′ )2 + 4(k′′ )2 = ωk ′ − 4m m 2 ca urmare se obt¸ine: F+ (k′ , k′′ ; k, ω) =
~ m
i ~ 2 ω+ q − m
1 2
k2 − (k′′ )2 − iη
θ kF − 12 P + k′′ θ kF − 12 P − k′′ .
Funct¸ia F− se calculeaz˘ a prin aceea¸si metod˘ a ca cea utilizat˘ a anterior, adic˘ a se transform˘ a integrala dup˘ a frecvent¸˘ a ˆın integrale caracteristice: F− (k′ , k′′ ; k, ω) ≡ =
N (P, k′′ ) m/~
Z
Z
∞
h i N (P, k′′ ) eiω η dω ′ 1 + P ′′ 2 ′′ (k′′ )2 − q 2 −∞ 2π ω − ωk′ − i η ǫ − (k ) + iη N (P, k ) ′
∞
eiω
dω ′ −∞ 2π
′η
~ ~ ′ 2 (ω − ωk′ − i η) ω ′ − ω − (k + k′ )2 − (k ) + iη N (P, k′′ ) 4m m Z ∞ ′ eiω η 1 dω ′ P ; + (k′′ )2 − q 2 −∞ 2π ω − ωk′ − i η (2)
prima integral˘ a se reduce la integrala caracteristic˘ a J±,± (a, b): Z
∞
dω ′ −∞ 2π
eiω
(ω − ωk′ − i η) ω ′ − ω −
′
η
~ ~ ′′ 2 (k + k′ )2 − (k ) + iη N (P, k′′ ) 4m m
= 0, N=0 i = J (2) ω ′ , −ω − ~ (k + k′ )2 + 4(k′′ )2 = , k ~ 4m = N=1 −,+ ′ )2 + 4(k ′′ )2 + iη ′ + ω − ω (k + k k 4m ~ (2) = J−,− ωk′ , −ω − (k + k′ )2 + 4(k′′ )2 = 0 ; N=−1 4m (1)
a: a doua integral˘ a se reduce la integrala caracteristic˘ a J− (a), care este nenul˘ Z
∞
′
dω ′ eiω η (1) = J− (ωk′ ) = i . −∞ 2π ω − ωk′ + i η
Conform rezultatelor anterioare funct¸ia F− (k′ , k′′ ; k, ω) are expresia F− (k′ , k′′ ; k, ω) =
~ N (P, k) δN,1 m
1 i +i P ; ′′ 2 2 ~ (k ) − q ω− (k + k′ )2 + 4(k′′ )2 + ωk′ + iη 4m
expresia precedent˘ a se poate rescrie ˆıntr-o form˘ a echivalent˘ a pe baza urm˘ atoarelor argumente: 1 δN(P,k′′ ),1 = θ 2 P + k′′ − kF θ 12 P − k′′ − kF , ~ ~ 1 ωk ′ − (k − k′ )2 − 21 k2 − (k′′ )2 ; (k + k′ )2 + 4(k′′ )2 = 4m m 2
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
152 ca urmare se obt¸ine: F− (k′ , k′′ ; k, ω) =
i θ 21 P + k′′ − kF θ 12 P − k′′ − kF ~ 2 1 2 ω+ q − 2 k − (k′′ )2 + iη m 1 +iP . ′′ 2 2 (k ) − q
~ m
Pe baza expresiilor obt¸inute pentru funct¸iile F± rezult˘ a termenul de ordinul 2 al self-energiei: Z 3 ′ Z 3 ′′ 2 d k d k f2∗ (k, ω) = − i 2s ~ (4πa)2 ~M 3 3 m (2π) (2π) 3 3 R 1 R i θ kF − 2 P + k′′ θ kF − 21 P − k′′ × θ(k′ − kF ) m ω + q 2 − 21 k2 − (k′′ )2 − iη ~ i h i θ 1 P + k′′ − kF θ 1 P − k′′ − kF 1 ′ 2 2 ; + θ(kF − k ) +iP m (k′′ )2 − q 2 ω + q 2 − 21 k2 − (k′′ )2 + iη ~ se observ˘ a c˘ a ultima expresie este echivalent˘ a cu formula (8.44).
8.1.5
Spectrul excitat¸iilor elementare tip uni-particul˘ a
A. Observat¸ii preliminare Conform ecuat¸iei Dyson (cazul interact¸iilor independente de spini), transformata Fourier a funct¸iei Green uni-particul˘ a are expresia (3.112): e ω) = G(k,
ω−
1 ~
1 f∗ (k, ω) ε0k + ~ M
f∗ (k, ω) este self-energia proprie unde ˆın cazul prezent ε0k este energia unei particule libere ¸si M (care este evaluat˘ a ˆın aproximat¸ia scar˘a): ~2 k 2 , 2m f∗ (k, ω) = M f∗ (k, ω) + M f∗ (k, ω) . M 1 2 ε0k =
Ecuat¸ia excitat¸iilor de tip uni-particul˘a este dat˘a de ecuat¸ia polilor funct¸iei Green, conform relat¸iei (3.113): 1 0 f∗ (k, z) = 0 , z− εk + ~ M ~ care are solut¸ia (ˆın general complex˘a): zk = ωk + i γk ; conform teoremei Galitski-Migdal partea real˘a a solut¸iei este energia unei excitat¸ii εk = ~ ωk ¸si partea imaginar˘a este inversul timpului de viat¸˘a al excitat¸iei τk = 1/γk . B. Solut¸ia aproximativ˘ a pentru ecuat¸ia excitat¸iilor elementare Conform aproximat¸iei scar˘ a ¸si aproximat¸iei undelor lungi ˆın ordinul 2, ecuat¸ia excitat¸iilor elementare este ~ 2 f∗ f∗ z− k − M1 − M2 (k, z) = 0 , 2m f1∗ , este o m˘arime constant˘ unde termenul de ordinul 1, M a ¸si proport¸ional˘ a cu parametrul kF a, f2∗ (k, z), are o expresie complicat˘ conform relat¸iei (8.43), iar termenul de ordinul 2, M a, conform relat¸iei (8.44), fiind proport¸ional˘ a cu (kF a)2 . Deoarece s-a considerat anterior aproximat¸ia de ordinul 2 ˆın raport cu parametrul kF a, ref2∗ (k, zk ) trebuie s˘a fie utilizat cu zult˘a c˘ a ˆıntr-un calcul consecvent de aproximare, termenul M aproximat¸ia de ordinul 0 (ˆın raport cu parametru kF a) pentru polul funct¸iei Green zk . Ecuat¸ia excitat¸iilor ˆın ordinul 0 (ˆın raport cu parametru kF a) implic˘ a neglijarea total˘ a a self-energiei, astfel c˘ a se obt¸ine: 1 ~ 2 1 k ; z − ε0k ≈ 0 =⇒ zk0 = ε0k = ωk0 = 0 ~ ~ 2m
˘ NULA ˘ 8.1. GAZE FERMIONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
153
ca urmare, ˆın cadrul aproximat¸iei considerate, termenul de ordinul 2 al self-energiei se aproximeaz˘a astfel: f∗ (k, z) ≈ M f∗ (k, ω 0 ) . M 2 2 k Deoarece prin aproximat¸ia efectuat˘a anterior rezult˘a o self-energie (ˆın primele dou˘a ordine) care nu depinde de frecvent¸˘ a, atunci ecuat¸ia excitat¸iilor elementare (ˆın cadrul acestei aproximat¸ii) are solut¸ia: f1∗ + M f2∗ (k, ωk0 ) . zk ≈ ωk0 + M (8.45) II
f∗ sunt m˘arimi reale, dar M f∗ (k, ω 0 ) este o m˘arime complex˘a; ca urmare, Se observ˘ a c˘ a ωk0 ¸si M 1 2 k 1 solut¸ia ecuat¸iei excitat¸iilor elementare este o m˘arime complex˘a: zk ≈ ~1 εk + i , unde energia τk εk ¸si timpul de viat¸˘ a τk ale unei excitat¸ii elementare sunt date de formulele urm˘atoare: f∗ + Re ~ M f∗ (k, ω 0 ) , εk = ~ Re zk = ~ωk0 + ~ M 1 2 k 1 f∗ (k, ω 0 ) . = Im zk = Im ~ M 2 k τk Cu ajutorul formulei (8.44) se poate evalua termenul de ordinul 2 al self-energiei pentru frecvent¸a ω = ωk0 : ~2 kF2 32 π 2 2s (kF a)2 2m kF4 Z Z d3 k′ d3 k′′ θ(k ′ − kF ) θ(kF − 12 P + k′′ ) θ(kF − 21 P − k′′ ) × m 0 3 3 R3 (2π) R3 (2π) ω + q 2 − 12 k 2 − (k ′′ )2 − iη ~ k θ(kF − k ′ ) θ( 21 P + k′′ − kF ) θ( 21 P − k′′ − kF ) 1 ′ . + + θ(k − k ) P F m 0 (k ′′ )2 − q 2 ωk + q 2 − 21 k 2 − (k ′′ )2 + iη ~
f2∗ (k, ωk0 ) = ~M
ˆIn expresia precedent˘ a se observ˘ a c˘ a numitorii se simplific˘ a datorit˘a egalit˘a¸tii ωk0 − 12 k 2 = 0, iar apoi se efectueaz˘ a separarea p˘ art¸ilor real˘a ¸si imaginar˘a prin utilizarea formulei SohotskiWeierstrass: ~2 kF2 32 π 2 2s (kF a)2 2m kF4 Z Z d3 k′′ d3 k′ θ(k ′ − kF ) θ(kF − | 12 P + k′′ |) θ(kF − | 12 P − k′′ |) × 3 3 (2π) (2π) 3 3 R R h i 1 2 ′′ 2 + iπ δ q − (k ) × P 2 q − (k ′′ )2 + θ(kF − k ′ ) θ(| 21 P + k′′ | − kF ) θ(| 12 P − k′′ | − kF ) h i 1 1 ′ 2 ′′ 2 × P 2 − θ(k − k ) P − iπ δ q − (k ) ; F q − (k ′′ )2 q 2 − (k ′′ )2
f∗ (k, ω 0 ) = ~M 2 k
atunci rezult˘a expresiile p˘ art¸ilor real˘a ¸si imaginar˘a: f2∗ (k, ωk0 ) Re ~M Z Z d3 k′ d3 k′′ ~2 kF2 32 π 2 2 2s (k a) θ(k ′ − kF ) θ(kF − | 12 P + k′′ |) θ(kF − | 21 P − k′′ |) = F 3 3 2m kF4 (2π) (2π) 3 3 R R 1 ′′ ′′ ′ ′ 1 1 , + θ(kF − k ) θ(| 2 P + k | − kF ) θ(| 2 P − k | − kF ) − θ(kF − k ) P 2 q − (k ′′ )2 f2∗ (k, ωk0 ) Im ~M Z Z ~2 kF2 32 π 3 d3 k′ d3 k′′ 2 = θ(k ′ − kF ) θ(kF − | 12 P + k′′ |) θ(kF − | 21 P − k′′ |) 2s (kF a) 3 3 2m kF4 R3 (2π) R3 (2π) − θ(kF − k ′ ) θ(| 12 P + k′′ | − kF ) θ(| 12 P − k′′ | − kF ) δ q 2 − (k ′′ )2 .
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
154
Este convenabil ca ˆın formulele precedente s˘a se efectueze adimensionalizarea integralelor; astfel se k , care implic˘ a urm˘atoarele introduc vectori de und˘a (variabile de integrare) adimensionali κ ≡ kF relat¸ii de transformare: Z Z d3 k . . . = kF3 d3 κ . . . θ(k) = θ(κ) 1 δ(k 2 ) = 2 δ(κ2 ) ; kF
de asemenea, se utilizeaz˘ a definit¸iile P ≡ k+k′ ¸si q ≡ rezultate:
1 2
(k−k′ ). Ca urmare, se obt¸in urm˘atoarele
2 2 f2∗ (k, ωk0 ) = ~ kF (kF a)2 I1 (κ) , Re ~M 2m 2 2 ~ f2∗ (k, ωk0 ) = kF (kF a)2 I2 (κ) , Im ~M 2m
(8.46a) (8.46b)
unde I1 (κ) ¸si I2 (κ) sunt integrale adimensionale: Z Z d3 κ′ d3 κ′′ I1 (κ) ≡ 32 π 2 2s θ(κ′ − 1) θ(1 − | 21 (κ + κ′ ) + κ′′ |) θ(1 − | 12 (κ + κ′ ) − κ′′ |) 3 3 (2π) (2π) 3 3 R R ′ 1 + θ(1 − κ ) θ(| 2 (κ + κ′ ) + κ′′ | − 1) θ(| 12 (κ + κ′ ) − κ′′ | − 1) − θ(1 − κ′ )
1 , (8.46c) 1 ′ 2 ′′ 2 4 (κ + κ ) − (κ ) Z Z d3 κ′ d3 κ′′ 3 I2 (κ) ≡ 32 π 2s θ(κ′ − 1) θ(1 − | 21 (κ + κ′ ) + κ′′ |) θ(1 − | 12 (κ + κ′ ) − κ′′ |) 3 3 R3 (2π) R3 (2π) ′ ′ ′′ ′ ′′ 1 1 − θ(1 − κ ) θ(| 2 (κ + κ ) + κ | − 1) θ(| 2 (κ + κ ) − κ | − 1) δ 14 (κ + κ′ )2 − (κ′′ )2 . ×P
(8.46d)
Pe baza rezultatelor anterioare se obt¸in expresiile aproximative pentru energia ¸si timpul de viat¸˘a ale excitat¸iilor elementare: k ~2 k 2 ~2 kF2 4 ~2 kF2 + 2s (kF a) + (kF a)2 I1 , 2m 2m 3π 2m kF k ~k 2 1 . ≈ F (kF a)2 I2 τk 2m kF εk ≈
(8.47a) (8.47b)
Este important s˘a se evident¸ieze c˘ a integralele I1 (κ) ¸si I2 (κ) necesit˘a analiz˘a numeric˘a, deoarece nu de pot efectua ˆın mod analitic. C. Explicitarea solut¸ie ˆın vecin˘ atatea nivelului Fermi (s = 1/2) C1. Timpul de viat¸˘ a al unei excitat¸ii din vecin˘atatea nivelului Fermi (cˆand k ≈ kF ) se determin˘a din formula (8.47b) dac˘ a se obt¸ine o estimare pentru integrala I2 (κ); ˆın cazul κ ≈ 1 se poate obt¸ine o expresie aproximativ˘ a a acestei integrale (pentru s = 21 ): I2 (κ) ≈
κ≈1
2 (1 − κ)2 sgn(1 − κ) , π
rezultat obt¸inut de Galitski. Atunci timpul de viat¸˘a al unei excitat¸ii elementare este τk ≈
k≈kF
~kF2 2m
(kF
a)2
2
1
k 2 1− sgn(kF − k) π kF
.
(8.48)
˘ NULA ˘ 8.1. GAZE FERMIONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
155
Observat¸ii: i. rezultatul este ˆın concordant¸a˘ cu reprezentarea Lehman, care prevede c˘ a zk ∼ sgn(kF − k); ii. τk ∼ 1 2 −→ ∞ , adic˘a ˆın apropierea nivelului Fermi excitat¸iile de tip uni-particul˘a k 1−
k→kF
kF sunt meta-stabile, ceea ce permite interpretarea loc ca fiind cuasi-particule; 1 iii. τk ∼ , ceea ce arat˘a c˘ a interact¸iile produc un efect ˆın ordinul 2. (kF a)2
C2. Energia Fermi (εF ) se obt¸ine din condit¸ia de schimbare de semn pentru partea imaginar˘a a polilor funct¸iei Green: 1 =0 =⇒ kF , τk k=kF εF = εk k=kF . Relat¸ia (8.47a), pentru cazul s = 12 , produce urm˘atoare expresie pentru energia Fermi: εF =
i ~2 k 2 h 4 1+ (kF a) + I1 (1) (kF a)2 ; 2m 3π
integrala I1 (1) a fost evaluat˘ a de Galitski, care a obt¸inut rezultatul: I1 (1) = astfel c˘ a energia Fermi (ˆın aproximat¸ia Galitski de ordinul 2) este εF =
4 (11 − 2 ln 2), 15 π 2
i 4 ~2 k 2 h 4 2 1+ . (11 − 2 ln 2) (k a) (kF a) + F 2m 3π 15 π 2
(8.49)
C3. Spectrul de energie pentru excitat¸iile de tip uni-particul˘a ˆın vecin˘atatea nivelului Fermi (k ≈ kF ) se obt¸ine din relat¸ia (8.47a); deoarece energia Fermi este energia uni-particul˘a pentru vectorul de und˘a Fermi (εF = εk k=k ) ¸si s-a presupus c˘ a starea considerat˘ a este ˆın vecin˘atatea F nivelului Fermi (k ≈ kF ), rezult˘a c˘ a se poate efectua dezvoltarea Taylor ˆın ordinul 1 pentru energia uni-particul˘ a: ~2 kF ∂ εk (k − kF ) + . . . (8.50) εk ≈ εF + (k − kF ) + . . . ≡ εF + ∂ k kF m∗ unde
m∗ ≡ este masa efectiv˘ a pentru cuasi-particule. Din relat¸ia (8.47a) se obt¸ine
~2 kF , ∂ εk ∂ k kF
(8.51)
∂ εk ~2 k ~2 kF2 1 ′ k , I = + (kF a)2 ∂k m 2m kF 1 kF
astfel ˆıncˆ at masa efectiv˘ a (pentru st˘ari ˆın vecin˘atatea nivelului Fermi ¸si ˆın aproximat¸ia kF a ≪ 1) este i h m ~2 kF 1 2 = (k a) I (1) . m∗ ≈ 2 ≈ m 1 − F 1 2 ~2 kF ~ kF 1 + 21 (kF a)2 I1 (1) kF a≪1 ′ 2 + (kF a) I1 (1) m 2m Galitski a efectuat evaluare pentru integrala I1′ (1) ¸si a obt¸inut rezultatul: I1′ (1) = −
16 (7 ln 2 − 1) ; 15 π 2
ca urmare, masa efectiv˘ a a cuasi-particulelor (ˆın vecin˘atatea nivelului Fermi) este h 8 (7 ln 2 − 1) (kF a)2 . m∗ ≈ m 1 + 2 15 π
(8.52)
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
156
Observat¸ii: i. expresia masei efective este valabil˘a ˆın aproximat¸ia de ordinul 2 (ˆın raport cu parametrul kF a); ii. formula (8.52) nu cont¸ine termenul liniar ˆın parametrul kF a, deoarece termenul de ordinul 1 f∗ este o constant˘ al self-energiei M a; 1 iii. rezultatele sunt valabile numai ˆın limita kF a ≪ 1.
8.1.6
Energia st˘ arii fundamentale
Energia st˘ arii fundamentale a unui sistem conservativ ¸si omogen este dat˘a de formula (3.115), ˆın care funct¸ia Green (exact˘a) are expresia (3.112) ca solut¸ie a ecuat¸iei Dyson: Z ∞ Z ~ f∗ dω iωη d3 k e ω) εk + M (k, ω) G(k, e E0 = − i(2s + 1)V lim 3 η→0+ R3 (2π) 2 −∞ 2π = − i(2s + 1)V lim
η→0+
Z
d3 k 3 R3 (2π)
Z
∞
dω iωη e −∞ 2π
εk +
~ f∗ M (k, ω) 2
1 f∗ (k, ω) ω − εk + ~ M ~
.
ˆIn cazul prezent self-energia este utilizat˘a ˆın aproximat¸ia de ordinul 2 (ˆın raport cu parametrul f∗ (k, ω) ≈ M f∗ + M f∗ (k, ω 0 ); ca urmare, din ecuat¸ia excitat¸iilor elementare, kF a) ¸si are expresia M 1 2 k f∗ (k, ω) ≈ ε0 +~ M f∗ + M f∗ (k, ω 0 ) = ~ zk = εk +~/τk , unde ~/τk ≈ η sgn(kF −k). se obt¸ine: ε0k +~ M 1 2 k k Atunci expresia energiei st˘ arii fundamentale se poate aproxima ˆın forma Z Z ∞ d3 k 1 0 e iωη dω E0 = − i(2s + 1) V . (ε + ε ) k k 1 3 R3 (2π) 2 −∞ 2π ω − ~ εk − iη ( kF − k) (1)
Integrala dup˘a frecvent¸˘ a este o integral˘a de tip J± (a), astfel ˆıncˆ at se obt¸ine Z
∞
dω −∞ 2π ω −
1 ~
e iωη = i θ(kF − k) ; εk − iη ( kF − k)
ca urmare, rezult˘a (s = 21 ) Z
d3 k (ε0k + εk ) θ(kF − k) 3 (2π) 3 R 2 2 Z k ~2 kF2 4 ~2 kF2 ~ k d3 k 2 + (k a) + (k a) I 2 θ(kF − k) =V F F 1 3 2m 2m 3π 2m kF R3 (2π) Z Z Z k 2 d3 k ~2 kF2 4 d3 k d3 k 2 2 , =V k + + (k a) I (k a) F F 3 3 1 k 2m kF k
E0 = V
unde penultima egalitate s-a obt¸inut prin utilizarea expresiei explicite pentru spectrul de energie al particulei libere ε0k ¸si spectrul energetic al unei excitat¸ii elementare εk , care este dat de formula (8.47a). Atunci integralele se efectueaz˘a ˆın coordonate sferice ¸si produc urm˘atoarele rezultate: Z
k
Z
k
Z
4π d3 k 2 k = (2π)3 (2π)3
Z
0
kF
dk k 4 =
1 kF5 , 2π 2 5
Z kF d3 k 4π 1 kF3 2 = , dk k = 3 (2π)3 0 2π 2 3 k
ˆIn consecint¸˘ a, prin utilizarea aproximat¸iei kF ≈
6 π 2 N 1/3 N 1/3 = 3 π2 , 2s + 1 V V
˘ NULA ˘ 8.1. GAZE FERMIONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA se obt¸ine E0 ≈
157
Z o 2 3 1 ~2 kF2 n 3 N + (kF a) + dκ κ2 I1 (κ) (kF a)2 . 2m 5 3π 2 0
Integrala r˘amas˘ a din ultima relat¸ie a fost evaluat˘a de Galitski ¸si are urm˘atorul rezultat: Z
1
dκ κ2 I1 (κ) =
0
2 4 (11 − 2 ln 2) ; 3 35 π 2
ca urmare, energia st˘ arii fundamentale (ˆın aproximat¸iile specificate anterior) are expresia: E0 ≈ N
o 2 4 ~2 kF2 n 3 2 + O(kF3 a3 ) , (11 − 2 ln 2) (k a) + (kF a) + F 2m 5 3 π 35 π 2
(8.53)
numit˘a formula Galitski. Observat¸ii: i. Rezultatul Galitski (care este o aproximat¸ie de ordinul 2 ˆın raport cu parametrul kF a) este de tipul hipotezei propuse init¸ial, care a fost reprezentat˘ a prin formula (8.15): i E0 ~2 kF2 h ≈ A + B (kF a) + C (kF a)2 + . . . , N 2m
kF a ≪ 1 ;
3 2 4 (11 − 2 ln 2). ,B= ¸si C = 5 3π 35π 2 ii. Aproximat¸ia de ordinul 1 s-ar fi putut obt¸ine, ˆın mod echivalent, cu aproximat¸ia HartreeFock ¸si aproximat¸ia Born.
ˆın acest caz constantele A, B ¸si C au valorile: A =
Demonstrat¸ie: • La limita lungimilor de und˘ a lungi (k & k′ ≈ 0 ¸si kF → 0) amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere este descris˘ a aproximativ de unda-s: f (k, k′ ) =
−1 4π
Z
′
d3 r e−ik
·r
(+)
u(r) ψk (r) =
∞ X 2l + 1 iδl e sin δl Pl (cos θ) ≈ f0 (k, k′ ) ≈ −a . k→0 2 l=0 (+)
Aproximat¸ia Born implic˘ a o funct¸ie de ˆımpr˘ a¸stiere de tip und˘ a plan˘ a ψk (r) ≈ eik·r , astfel c˘ a amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere devine proport¸ional˘ a cu transformata Fourier a potent¸ialului de interact¸ie: Z ′ −1 −m −1 ′ d3 r u(r) ei(k−k )·r = u e(k − k′ ) = ve(k − k′ ) . fB (k, k ) = 4π 4π 4π~2
Din comparat¸ia expresiei amplitudinii de ˆımpr˘ a¸stiere ca und˘ a-s cu expresia dat˘ a de aproximat¸ia Born, se obt¸ine c˘ a transformata Fourier a potent¸ialului de interact¸ie este constant (ˆın limita con4π~2 siderat˘ a): ve(k − k′ ) ≈ v e (0) ≈ a. k,k′ →0 m
• Pe de alt˘ a parte, self-energia proprie ˆın aproximat¸ia Hartree-Fock are expresia Z 3 ′ Z 3 ′h i d k d k ∗ ′ ′ ′ fHF ~M (k, ω) = n ve(0)− v e (k −k) θ(k −k ) = (2s+1) v e (0)−e v (k −k) θ(kF −k′ ) . F (2π)3 (2π)3 Atunci, energia st˘ arii fundamentale, ˆın aproximat¸ia Hartree-Fock este Z d3 k 0 1 f∗ E0 = (2s + 1) V εk + ~ MHF (k) θ(kF − k) 3 HF 2 R3 (2π) Z Z i 1 d3 k′ h d3 k ~2 k2 ′ ′ + = (2s + 1) V (2s + 1) v e (0) − v e (k − k) θ(k − k ) θ(kF − k) F 3 2m 2 R3 (2π)3 R3 (2π) Z Z Z i d3 k′ h 1 d3 k d3 k ~2 k2 ′ + ; (2s + 1) v e (0) − v e (k − k) = (2s + 1) V 3 2m 2 k
ˆın condit¸ia kF → 0, transformata Fourier a potent¸ialului de interact¸ie devine ve(k′ − k) ≈ e v (0), astfel ˆıncˆ at paranteza care provenea din expresia self-energiei se reduce la o constant˘ a: (2s + 1) e v (0) − e v (k′ − k) ≈ 2s ve(0).
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
158
ˆIn aceste condit¸ii expresia energiei st˘ arii fundamentale devine: E0 = (2s + 1) V HF
Z
k
1 d3 k ~2 k2 + (2π)3 2m 2
Z
k
d3 k (2π)3
Z
k′
d3 k′ 2s ve(0) (2π)3
.
Integralele din expresia precedent˘ a se efectueaz˘ a ˆın coordonate sferice, deoarece integralele unghiulare sunt banale ¸si produc factorul 4π:
1 2
Z kF ~2 4π ~2 1 kF5 d3 k ~2 k2 = , dk k4 = 3 3 2m 2m (2π) 0 2m 2π 2 5 k
Z
k
ca urmare, rezult˘ a expresia
E0 = (2s + 1) V
h 1 k3 i2 ~2 1 kF5 F . + (2s + 1) V s ve(0) 2 2m 2π 5 2π 2 3
ˆIn formula precedent˘ a a energiei st˘ arii fundamentale se utilizeaz˘ a expresia vectorului de und˘ a Fermi 6π 2 N 1/3 kF = ¸si consecint¸a aproximat¸iei Born pentru transformata Fourier a potent¸ialului 2s + 1 V 4π~2 a; atunci, primul termen se transform˘ a astfel: de interact¸ie ve(0) ≈ m (2s + 1) V
~2 1 kF5 ~2 kF2 3 = N , 2 2m 2π 5 2m 5
iar al doilea termen devine: (2s + 1) V s ve(0)
h 1 k3 i2 ~2 kF2 2s + 1 ~2 kF2 2 2s 2 2s F = V kF3 kF a = N kF a . 2 2 2π 3 2m 6π 3π 2m 3π
Pe baza rezultatelor precedente se obt¸ine expresia energiei st˘ arii fundamentale (la limita undelor lungi) ˆın forma: ~2 kF2 3 2 2s E0 ≈ N + kF a , 2m 5 3π
care coincide cu formula Galitski aproximat˘ a la ordinul 1, cˆ and se consider˘ a s= aproximat¸ia Galitski se obt¸ine ˆın plus termenul de ordinul 2.
1 ; 2
totu¸si, prin
Interpretarea termenilor din formula Galitski: (0)
(1)
(2)
E0 = E0 + E0 + E0 + . . . . (0)
• E0
=N
~2 kF2 2m
3 5
=N
3 5
εF este energia sistemului f˘ar˘a interact¸ii mutuale,
~2 kF2 2 (kF a) este energia de interact¸ie pentru ciocniri ˆınainte (direct˘a ¸si de 2m 3 π schimb) ale unei particule cu restul particulelor, la limita lungimilor de und˘a foarte mari (cˆand este valabil˘a aproximat¸ia und˘a-s pentru amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere), (1)
• E0
= N
~2 kF2 C (kF a)2 este corect¸ia la termenul de ordinul 1, datorat˘a principiului de 2m excluziune (care implic˘ a restrict¸ii pentru st˘arile ˆımpr˘ a¸stiate. (2)
• E0
=N
ˆIn concluzie, se observ˘ a c˘ a aproximat¸ia de ordinul 2 (care a condus la formula Galitski) include efectele ciocnirilor bi-particul˘a, iar termenii de ordin superior (n ≥ 3) ar include efectele ciocnirilor multiple.
˘ NULA ˘ 8.1. GAZE FERMIONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
8.1.7
159
Justificarea aproximat¸iei scar˘ a
Aproximat¸ia scar˘ a se poate rezuma prin setul de diagrame pentru interact¸ia efectiv˘a ̥ ¸si pentru self-energie M :
̥=
=
+
+
+
+...
M=
=
+
+
+
+...
+
+
+
+
+...
adic˘a, prin sumarea diagramelor se obt¸ine:
=
+
Observat¸ii generale asupra aproximat¸iei scar˘a: • Aproximat¸ia scar˘ a ret¸ine o clas˘a de diagrame pentru care 2 particule (sau goluri) interact¸ioneaz˘ a ˆın mod repetat; aceasta este o adaptare a diagramelor Born la formalismul diagramelor Feynman. • Proprietatea general˘ a a diagramelor pentru aproximat¸ia scar˘a este urm˘atoarea: liniile de interact¸ie au liniile particul˘ a, la ambele capete, orientate ˆın acela¸si sens; ca urmare, exist˘a o singur˘a linie particul˘ a ˆın direct¸ie descendent˘ a, care reprezint˘ a un gol creat la prima interact¸ie (ˆıntre particula incident˘ a ¸si particula excitat˘ a) ¸si care este anihilat la ultima interact¸ie. • Aproximat¸ia scar˘ a descrie contribut¸ia dominant˘ a pentru procesele de ciocnire (ˆımpr˘ a¸stiere) bi-particul˘a (ofer˘a rezultate corecte ˆın ordinul 2 fat¸˘a de parametrul caracteristic de ciocnire kF a). Diagrame omise prin aproximat¸ia scar˘a: • ordinul 1: nu exist˘a, • ordinul 2: sunt diagramele cu 2 goluri
=
;
;
• ordinul 3: diagrama reprezentativ˘a omis˘ a este
;
=
;
(cont¸ine 2 linii descendente);
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
160
aceast˘a diagram˘ a este analogul diagramei din aproximat¸ia scar˘a
• clasa de diagrame analoage cu diagramele scar˘a, ¸si care sunt diagramele dominante omise, este ilustrat˘a ˆın figura 8.3, unde se efectueaz˘a de asemenea sumarea diagramelor.
+
+...
+ ... +
+...
+...
+
+...
+ ... +
+...
+...
.. ..
=
+
+ ...
+ ...
=
Figura 8.3: Clasa de diagrame analoage diagramelor scar˘a, care sunt diagramele dominante omise. Pentru diagramele dominante omise, se observ˘a c˘ a exist˘a 2 linii descendente, ceea ce corespunde la prezent¸a unei particule intermediare ¸si 2 goluri (adic˘a un gol suplimentar, fat¸˘a de cazul diagramelor scar˘ a); ca urmare aceste diagrame descriu procese de ciocnire cu 3 particule (ˆın und˘a-s) ¸si procese de ciocniri bi-particul˘a ˆın und˘a-p, rezultˆand o contribut¸ie proport¸ional˘ a cu (kF a)3 . Restul diagramelor omise (nedominante) cont¸in N ≥ 3 linii descendente, astfel ˆıncˆ at contribut¸ia lor este proport¸ional˘ a cu (kF a)N +1 . Se poate face o estimare analitic˘a pentru contribut¸ia diagramelor omise, ˆın raport cu diagramele aproximat¸iei scar˘ a. 1. Diagramele scar˘ a cont¸in numai linii de interact¸ie corespunz˘ atoare proceselor de ciocnire ˆınainte, care astfel au la ambele capete linii particul˘ a ˆın acela¸si sens (ˆın sus), a¸sa cum este ilustrat ˆın figura al˘aturat˘ a.
p1
p1 + q
q
p2
p2 + q
˘ NULA ˘ 8.1. GAZE FERMIONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
161
Port¸iunea de diagram˘ a ilustrat˘a are urm˘atoarea expresie: Z d4 q i (r) e 0 (p1 + q) G e0 (p2 − q) u e(q) G I (p1 , p2 ) = ~ R4 (2π)4 Z ∞ Z i d3 q dω e 0 e 0 (p2 − q, ω2 − ω) . = u e(q) G (p1 + q, ω1 + ω) G ~ R3 (2π)3 −∞ 2π (2)
Se efectueaz˘ a integrala dup˘a frecvent¸˘a cu ajutorul funct¸iei Jλ,µ (a, b), care este prezentat˘ a ˆın Anexa matematic˘a A.5 cu formula (A.48); deoarece funct¸iile Green au variabila q ≡ (q, ω) cu semne opuse, rezultatul integr˘arii dup˘a frecvent¸˘a este o sum˘a de 2 termeni Z ∞ dω e 0 e0 (p2 − q, ω2 − ω) = Ip(r) (p1 + q, p2 − q) + Ig(r) (p1 + q, p2 − q) , G (p1 + q, ω1 + ω) G 2π −∞ unde cei doi termeni sunt proport¸ionali cu combinat¸ii ale funct¸iei de distribut¸ie fermionic˘a pentru goluri: n0p = θ(kF − |p|): Ip(r) (p1 + q, p2 − q) ∼ 1 − n0p1 +q 1 − n0p2 −q ,
Ig(r) (p1 + q, p2 − q) ∼ n0p1 +q n0p2 −q ;
datorit˘ a prezent¸ei funct¸iilor de distribut¸ie de particule (1 − n0p ) ¸si de goluri (n0p ), rezult˘a c˘ a (r)
termenul Ip
(r)
implic˘ a 2 particule ¸si termenul Ig
implic˘ a 2 goluri.
2. Diagramele ne-scar˘ a cont¸in linii de interact¸ie corespunz˘ atoare ciocnirilor ˆınapoi, care astfel au capete linii particul˘ a cu sensuri opuse, a¸sa cum este ilustrat ˆın figura al˘aturat˘ a.
p1
q
p2
p1 + q p2 + q Port¸iunea de diagram˘ a ilustrat˘a are urm˘atoarea expresie: Z i d4 q e 0 (p1 + q) G e0 (p2 + q) I (o) (p1 , p2 ) = u e(q) G ~ R4 (2π)4 Z ∞ Z i d3 q dω e 0 e 0 (p2 + q, ω2 + ω) . = u e (q) G (p1 + q, ω1 + ω) G ~ R3 (2π)3 2π −∞ (2)
Se efectueaz˘ a integrala dup˘a frecvent¸˘a cu ajutorul funct¸iei Jλ,µ (a, b), adic˘a la fel ca ˆın cazul precedent; deoarece funct¸iile Green au variabila q ≡ (q, ω) cu acela¸si semn, rezultatul integr˘arii dup˘a frecvent¸˘ a este o sum˘a de 2 termeni Z ∞ dω e 0 (o) (o) e0 (p2 + q, ω2 + ω) = Ipg G (p1 + q, ω1 + ω) G (p1 + q, p2 + q) + Igp (p1 + q, p2 + q) , −∞ 2π unde ˆın acest caz cei doi termeni sunt proport¸ionali cu urm˘atoarele combinat¸ii ale funct¸iei de distribut¸ie fermionic˘ a pentru goluri: n0p = θ(kF − |p|): (o) Ipg (p1 + q, p2 + q) ∼ 1 − n0p1 +q n0p2 −q , (o) Igp (p1 + q, p2 + q) ∼ n0p1 +q 1 − n0p2 −q ;
a ambii datorit˘ a prezent¸ei funct¸iilor de distribut¸ie de particule (1 − n0p) ¸si de goluri (n0p ), rezult˘a c˘ termeni implic˘ a o particul˘ a ¸si un gol. Factorii n0p = θ(kF − p) (funct¸ia de distribut¸ie pentru goluri) introduc restrict¸ii la integrarea dup˘a vectorii de und˘a; pentru gazul fermioni foarte rarefiat (kF ∼ n1/3 → 0) domeniul sferei Fermi este foarte mic (raza sferei kF este mic˘a), astfel ˆıncˆ at prezent¸a fiec˘ arui factor de goluri (n0p ) reduce valoarea termenului, fat¸˘a de valoarea corespunz˘ atoare termenului similar dar pentru o particul˘ a. Prin urmare, termenii cu valoare maxim˘ a cont¸in un num˘ar minim de goluri; doarece toate diagramele de ordine n ≥ 1 cont¸in cel put¸in o linie de gol, rezult˘a c˘ a diagramele dominante (ˆın cazul fizic considerat) sunt diagramele cu un singur gol, adic˘a diagramele scar˘a.
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
162
8.1.8
Aplicabilitatea teoriei Galitski ¸si generaliz˘ ari
f∗ (k) este evaluat˘a cu Teoria Galitski este inconsecvent˘ a, pentru c˘ a self-energia proprie M 0 e e funct¸ii Green libere G (k), dar ar fi trebuit s˘a se utilizeze funct¸ii Green exacte G(k); prin urmare, o teorie riguroas˘a ar trebui s˘a fie o aproximat¸ie scar˘a self-consistent˘ a (ˆın sensul Hartree-Fock). Aproximat¸ia scar˘ a self-consistent˘ a este bazat˘a pe urm˘atoarele ecuat¸ii: • ecuat¸ia self-energiei f∗ (k) = i ~M
Z
d4 q e G(q) − (2s + 1)̥(k, q; k, q) + ̥(q, k; k, q) , 4 (2π) 4 R
cu reprezentarea diagramatic˘ a
=
+
• ecuat¸ia Bethe-Salpeter i ̥(p1 , p2 ; p3 , p4 ) = e v (p1 −p3 )+ ~
Z
d4 q e 1 −q) G(p e 2 +q) ̥(p1 −q, p2 +q; p3 , p4 ) , ve(q) G(p 4 R4 (2π)
care are reprezentarea diagramatic˘ a urm˘atoare
=
• ecuat¸ia Dyson
+
e e0 (q) + G e0 (q) M f∗ (k) G(k) e G(q) =G ,
cu reprezentarea diagramatic˘ a
=
+
Rezultatele sistemului de ecuat¸ii self-consistemte sunt similare cu rezultatele teoriei Galitski, dar ˆın locul energiei particulei libere ε0k apare energia efectiv˘a uni-particul˘a (ˆın sensul Hartree-Fock) εk ¸si de asemenea apar dependent¸e suplimentare de frecvent¸e. Se observ˘ a c˘ a sistemul ecuat¸iilor self-consistente implic˘ a o dependent¸˘a a self-energiei de funct¸ia Green exact˘ a ¸si o dependent¸˘ a a funct¸iei Green exact˘ a de self-energie; ca urmare, teoria selfconsistent˘ a implic˘ a calcule mult mai laborioase decˆat teoria Galitski. Rezultatele ale aproximat¸iei scar˘ a self-consistente sunt valabile ˆın teoria nucleului ¸si ˆın teoria supra-fluidit˘ a¸tii lichidului He3 .
˘ NULA ˘ 8.2. GAZE BOSONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
8.2 8.2.1
163
Gaze bosonice imperfecte la temperatur˘ a nul˘ a Condit¸ii ¸si aproximat¸ii fundamentale
A. Condit¸ii Se consider˘ a un gaz bosonic diluat, particulele avˆand interact¸ii mutuale repulsive ¸si singulare (de tip sfere rigide). Pentru a modela interact¸ia de tip sfere rigide se procedeaz˘ a la v(r) fel ca ˆın cazul fermionic, adic˘a se consider˘ a un potent¸ial nesingular, de tipul ( v0 , 0 ≤ r ≤ a , v0 v(r) = 0, r>a. care are graficul dat ˆın figura al˘ aturat˘ a. Pentru a obt¸ine potent¸ialul singular, se efectueaz˘ a trecerea la limit˘a v0 → ∞. r a Situat¸ia prezent˘ a fiind similar˘ a cu cea analizat˘ a anterior pentru gazul fermionic, atunci ambele sisteme prezint˘ a unele propriet˘ a¸ti comune; ca urmare se vor evident¸ia, prin repetit¸ie, principalele caracteristici ale problemei gazului bosonic cu interact¸ii singulare. i. Singurul parametru caracteristic a sistemului este n a3 , unde n este densitatea gazului, iar a este raza de act¸iune a interact¸iei bi-particul˘a; atunci, condit¸ia de gaz diluat se exprim˘ a ˆın forma: n a3 ≪ 1 , care este analogul condit¸iei fermionice kF a ≪ 1. ii. Potent¸ialul inter-particul˘ a v(r) este singular (la limita sferelor rigide), astfel ˆıncˆ at transformata Fourier ve(q) nu este definit˘ a. ˆIn acest caz teoria perturbat¸iilor trunchiat˘a la ordine inferioare este inaplicabil˘a ¸si atunci este necesar s˘a se considere setul termenilor dominant¸i pentru toate ordinele teoriei perturbat¸iilor; de asemenea, este necesar s˘a se elimine transformata Fourier a potent¸ialului de interact¸ie ve(q) prin amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere, care este finit˘a, ˆınainte de trecerea la limita potent¸ialului singular. Dup˘a eliminarea termenului ve(q) se poate trece la limita v0 → ∞. B. Problema ciocnirii bi-particul˘ a Rezultatele prezentate ˆın prima sect¸iune a acestui capitol asupra ciocnirilor bi-particul˘a sunt independente de tipul particulelor (fermioni sau bosoni); atunci, se vor reproduce numai rezultatele esent¸iale, f˘ ar˘ a argument˘ ari. A. Se transform˘ a problema ciocnirii bi-particul˘a ˆın problema redus˘a ˆın care se consider˘ a ˆımpr˘ a¸stierea particulei reduse pe potent¸ialul de interact¸ie inter-particul˘ a; atunci, particula redus˘a ~2 are masa mr = m/2, vectorul de pozit¸ie r = r1 − r2 ¸si se utilizeaz˘a notat¸ia v(r) ≡ u(r). 2mr B. Problema de ˆımpr˘ a¸stiere ˆın spat¸iul pozit¸iilor este caracterizat˘ a prin urm˘atoarele elemente: i. ecuat¸ia cu valori proprii a energiei este ecuat¸ia (8.1): ∇2 + |k|2 ψk (r) = u(r) ψk (r) . ii. Funct¸ia Green divergent˘ a are expresia (8.3): e(+) (p) = G k
1 p2 − k 2 − i η
′
=⇒
(+) Gk (r, r′ )
1 e i k |r−r | = . 4π |r − r′ |
iii. Ecuat¸ia funct¸iei de ˆımpr˘ a¸stiere divergente este relat¸ia (8.4): Z (+) (+) (+) ψk (r) = eik·r − d3 r′ Gk (r, r′ ) u(r′ ) ψk (r′ ) ;
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
164
ca urmare, funct¸ia de ˆımpr˘ a¸stiere are comportarea asimptotic˘a (+)
ψk (r) ≈ eik·r + f (k′ , k) r→∞
eikr , r
r unde k′ ≡ k = k er ¸si f (k′ , k) este amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere k → k′ r Z ′ ′ −1 −1 (+) ′ u e(k′ − k) , d3 r′ e−ik ·r u(r′ ) ψk (r′ ) ≈ f (k , k) = Born 4π 4π
conform relat¸iilor (8.5).
C. Problema de ˆımpr˘ a¸stiere ˆın spat¸iul impulsului cont¸ine urm˘atoarele rezultate importante pentru problema construct¸iei aproximat¸iei scar˘a ˆın cazul sistemului multi-particule. i. Funct¸ia de ˆımpr˘ a¸stiere satisface ecuat¸ia integral˘a (8.7): Z 1 d3 q (+) (+) ψek (p) = (2π)3 δ 3 (k − p) − 2 u e(p) ψek (p − q) . p − k 2 − i η R3 (2π)3 ii. Amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere este legat˘ a de funct¸ia de ˆımpr˘ a¸stiere prin relat¸ia (8.9): Z d3 q (+) u e(q) ψek (k′ − q) . fe(k′ , k) ≡ −4 π f (k′ , k) = 3 R3 (2π)
iii. Din relat¸iile precedente se elimin˘ a funct¸ia de ˆımpr˘ a¸stiere ˆın termeni de amplitudiea fe(k′ , k) conform relat¸iei (8.10) (+) ψek (p) = (2π)3 δ 3 (k − p) −
p2
fe(p, k) , − k2 − i η
¸si rezult˘a ecuat¸ia integral˘a a amplitudinii de ˆımpr˘ a¸stiere (8.11): Z d3 q u e(k′ − q) e fe(k′ , k) = u e(k′ − k) + f (q, k) . 3 2 2 R3 (2π) k − q − i η
Prin eliminarea potent¸ialului de interact¸ie rezult˘a ecuat¸ia intrinsec˘ a a amplitudinii de ˆımpr˘ a¸stiere (8.12): Z 1 1 d3 k e . f (p, k) fe∗ (p′ , k) 2 − 2 fe(p, p′ ) − fe∗ (p′ , p) = 3 2 ′ 2 k − p + i η k − (p ) − i η R3 (2π) (+) iv. Sistemul de funct¸ii de ˆımpr˘ a¸stiere ψk (r) k , precum ¸si sistemul transformatelor Fou (+) rier ale acestor funct¸ii ψe (p) , sunt sisteme complete, conform relat¸iilor (8.8): k
Z
k
3
d k (+) (+) ∗ ψ (r) ψk (r′ ) = δ 3 (r − r′ ) , (2π)3 k Z d3 k e(+) (+) ∗ ψk (p) ψek (p′ ) = δ 3 (p − p′ ) . 3 (2π) 3 R R3
v. Seria de perturbat¸ie pentru amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere (numit˘a seria Born) este dat˘a de relat¸ia (8.14): fe(k′ , k) Z Z Z ′ (+) 3 ik·r1 3 −ik′ ·r1 − d r1 d3 r2 e−ik ·r1 u(r1 ) Gk (r1 , r2 ) u(r2 ) eik·r2 u(r1 ) e = d r1 e Z Z Z ′ (+) (+) + d3 r1 d3 r2 d3 r3 e−ik ·r1 u(r1 ) Gk (r1 , r2 ) u(r2 ) Gk (r2 , r3 ) u(r3 ) eik·r3 + . . . Z Z ′ (+) (+) n+1 3 + (−1) d r1 · · · d3 rn e−ik ·r1 u(r1 ) Gk (r1 , r2 ) u(r2 ) . . . Gk (rn−1 , rn ) u(rn ) eik·rn + ...
Seria Born se poate reprezenta diagramatic, ˆın mod similar cu funct¸ia Green, a¸sa cum s-a ar˘atat ˆın detaliu ˆın cazul fermionic; astfel, se introduc urm˘atoarele elemente diagramatice:
˘ NULA ˘ 8.2. GAZE BOSONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
• liniile externe
165
k r k r
eik·r =
e−ik·r =
r′ • linie intern˘a
• vertex u(r) =
(+) Gk (r, r′ )
k
=
6 r
rI
Pentru corespondent¸a analitic˘a a unei diagrame se efectueaz˘a urm˘ Z atoarele operat¸ii: i. se integreaz˘ a peste coordonatele interne ale vertexurilor d3 r . . .
ii. factorul diagramei de ordinul n este fn = (−1)n+1 . Atunci seria de perturbat¸ie pentru amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere are reprezentarea diagramatic˘ a ilustrat˘a ˆın figura urm˘atoare: k′ k′
k
′
k fe(k′ , k) =
+
k
k
+
.. .
+ ... +
+ ...
k
k k
k k
Observat¸ii asupra seriei de perturbat¸ie Born: – seria de perturbat¸ie are sens numai pentru o ciocnire bi-particul˘a care are un potent¸ial de interact¸ie finit; – pentru o ciocnire de tip sfer˘a rigid˘ a (pentru care potent¸ialul de interact¸ie este singular) seria de perturbat¸ie nu are sens, deoarece amplitudinea de ˆımpr˘a¸stiere este infinit˘a ˆın fiecare ordin perturbativ. Deoarece amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere trebuie s˘a fie finit˘a inclusiv ˆın cazul unei ciocniri de tip sfer˘a rigid˘ a, este necesar s˘a se utilizeze urm˘atoarea procedur˘a: • se formuleaz˘ a problema de ciocnire cu un potent¸ial nesingular ¸si se efectueaz˘a calculul de perturbat¸ie, urmat de sumarea seriei termenilor dominant¸i; • se elimin˘ a potent¸ialul de interact¸ie ˆın termeni de amplitudine de ˆımpr˘ a¸stiere; • se efectueaz˘ a trecerea la limita potent¸ialului de interact¸ie singular ˆın rezultatul final (care este independent de acest potent¸ial, ˆın mod explicit).
8.2.2 A.
Aproximat¸ia diagramelor scar˘ a pentru gazul bosonic imperfect
Aproximat¸ia valabil˘a pentru un gaz bosonic rarefiat, care are interact¸ii mutuale puternice: – ˆın ordinul 0 se consider˘ a perechi de particule cu interact¸ii de tip ciocniri (ˆımpr˘ a¸stieri) binare; – ˆın ordinele superioare (n ≥ 1) se introduce efectul celorlalte particule (asupra perechii init¸ial considerate) ca un fond multi-particul˘a; acest efect este evident¸iat prin modificarea funct¸iei de ˆımpr˘ a¸stiere bi-particul˘a). Pentru a include efectul fondului de particule se selecteaz˘a o clas˘a de diagrame dominante ¸si se efectueaz˘ a sumarea peste termenii dominant¸i (ˆın toate ordinele perturbat¸ionale; ca urmare, se obt¸in rezultate corecte ˆın ordinul 2 fat¸˘a de parametrul caracteristic mic n a3 . Criteriul de selectare a diagramelor este urm˘atorul: se consider˘ a diagrame dominante acelea ˆın care are loc act¸iunea repetat˘a a interact¸iei asupra liniei particul˘ a, ˆın mod analog cu cazul seriei Born; ca urmare, diagramele dominante vor cont¸ine un num˘ar minim de linii de particule condensate (adic˘a Nc = 2).
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
166
B. Conform definit¸iilor (4.57) din teoria Bogoliubov, gazul bosonic este caracterizat de funct¸ia Green normal˘ a (G′ ) ¸si funct¸iile Green anomale (G′′ ≡ G′12 ¸si G′′′ ≡ G′21 ). Pentru primele 2 ordine de perturbat¸ie funct¸ia Green normal˘a (ˆın spat¸iul impulsului) are expresiile generale descrise prin formulele (4.107) – (4.109), iar funct¸iile Green anomale (de asemenea ˆın spat¸iul impulsului) au expresiile date prin formulele (4.111) – (4.113) ¸si (4.115) – (4.117); reprezent˘ arile diagramatice ale termenilor perturbat¸ionali ˆın primele 2 ordine pentru funct¸iile Green specificate anterior au fost figurate ˆın Sect¸iunea 4.3.3. Conform observat¸iilor evident¸iate anterior, ˆın cazul gazului bosonic rarefiat ¸si cu interact¸ii singulare cele 3 funct¸ii Green au urm˘atoarele diagrame dominante. • Funct¸ia Green normal˘ a are o singur˘a diagram˘ a dominant˘ a pentru ordinul 1: k e′
G (k) ≈ I
k k
se observ˘ a c˘ a exist˘a o diagram˘ a de ordinul 1 omis˘ a: k ˆIn ordinul 2 exist˘a 2 diagrame dominante pentru funct¸ia Green normal˘a k
k e ′ (k) ≈ G
+
II
k
k
se observ˘ a c˘ a exist˘a 5 diagrame de ordinul 2 omise: k
k
k
k k
k
;
k
;
k
;
k
;
−k
. k
k
k
k
k
• Funct¸ia Green anormal˘ a de prima specie are o singur˘a diagram˘ a pentru ordinul 1, care este diagram˘ a dominant˘ a: e ′′ (k) ≈ G
k
−k
I
se observ˘ a c˘ a nu exist˘a diagrame de ordinul 1 omis˘ a. ˆIn ordinul 2 exist˘a o singur˘a diagram˘ a dominant˘ a pentru funct¸ia Green anormal˘ a de prima specie k e ′′ (k) ≈ G II
−k
˘ NULA ˘ 8.2. GAZE BOSONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
167
ˆın acest caz se observ˘ a c˘ a exist˘a 4 diagrame de ordinul 2 omise: −k
k −k
;
k
−k
k
k
−k
;
−k
k
;
k −k
• Funct¸ia Green anormal˘ a de specia a doua are o singur˘a diagram˘ a pentru ordinul 1, care este diagram˘ a dominant˘ a: e ′′′ (k) ≈ G I
−k
k
se observ˘ a c˘ a nu exist˘a diagrame de ordinul 1 omis˘ a. ˆIn ordinul 2 exist˘a o singur˘a diagram˘ a dominant˘ a pentru funct¸ia Green anormal˘ a de prima specie
e ′′′ (k) ≈ G II
−k
k
ˆın acest caz se observ˘ a c˘ a exist˘a 4 diagrame de ordinul 2 omise:
k
−k
; −k
k
; −k
k
−k
; −k
k
k −k
k
Se observ˘ a c˘ a diagramele dominante (de tipul diagramelor din seria Born) sunt similare cu diagramele aproximat¸iei scar˘ a pentru gazul fermionic, dar ˆın cazul bosonic nu exist˘a linii de goluri, ceea ce produce simplific˘ ari. Prin generalizare se obt¸in diagramele de ordinul n ˆın aproximat¸ia scar˘a, pentru cele 3 funct¸ii Green: k
k
.. .
e′ (k) ≈ G n
k
+
−k
k
.. .
e ′′ (k) ≈ &G n
k
.. .
.. .
e′′′ (k) ≈ &G n
k
−k
C. Conform prezent˘ arii generale a ecuat¸iilor Dyson-Beliaev pentru un gaz bosonic, efectuat˘a ˆın Subsect¸iunea 4.3.4, sunt necesare 3 tipuri de self-energii pentru a exprima funct¸iile Green (norf∗ (k) = transformata Fourier a self-energiei normale ¸si M f∗ (k) ˆımpreun˘a cu mal˘a ¸si anomale): M 11 12
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
168
f∗ (k) = transformatele Fourier ale self-energiilor anomale. Pe baza rezultatelor precedente asuM 21 pra termenilor dominant¸i pentru funct¸iile Green, ˆın cazul unui gaz bosonic diluat ¸si cu interact¸ii puternice, rezult˘a c˘ a aproximat¸ia scar˘a pentru self-energii se realizeaz˘ a prin urm˘atoarele diagrame:
∗ f11 (k) ≈ M
≡
+
+ ... +
+
.. .
+ ...
+
+
+
+ ... +
.. .
+ ...
f∗ (k) ≈ M 12
≡
+
+
+ ... +
.. .
+ ...
∗ f21 M (k) ≈
≡
+
+
+ ... +
.. .
+ ...
D. Setul diagramelor pentru self-energii ˆın aproximat¸ia scar˘a se pot suma ˆın mod convenabil, prin introducerea interact¸iei efective a aproximat¸iei scar˘ a, ̥(k1 , k2 ; k3 , k4 ), care este definit˘ a la
˘ NULA ˘ 8.2. GAZE BOSONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
169
fel ca ˆın cazul fermionic; ca urmare, ̥ este reprezentat˘ a diagramatic prin suma urm˘atoarelor diagrame: k1 ̥(k1 , k2 ; k3 , k4 ) ≡
k2 =
k3
+
+
+
+ ...
k4
ˆIn termeni de interact¸ie efectiv˘ a self-energiile, ˆın aproximat¸ia scar˘a, sunt reprezentate prin urm˘atoarele diagrame: k
k
+
≡ k
k k
−k
k
−k
≡
≡
Diagramele precedente au corespondent¸ele analitice reprezentate prin relat¸iile: f∗ (k) = n0 ̥(k, 0; k, 0) + n0 ̥(k, 0; 0, k) , M 11 f∗ (k) = n0 ̥(k, −k; 0, 0) , M 12
∗ f21 M (k) = n0 ̥(0, 0; k, −k) .
(8.54a) (8.54b) (8.54c)
Observat¸ii asupra diagramelor pentru self-energii: i. Diagramele pentru interact¸ia efectiv˘a ̥ nu cont¸in liniile externe. fαβ ) nu cont¸in liniile externe necondensate, dar ii. Diagramele pentru self-energiile proprii (M f cont¸in liniile externe condensate; ca urmare, Mαβ are factorul suplimentar n0 (fat¸˘a de cazul fermionic), deoarece sunt prezente 2 linii de particule condensate. iii. La fel ca ˆın cazul fermionic, interact¸ia efectiv˘a ̥(k1 , k2 ; k3 , k4 ) are variabilele ˆın concordant¸˘a cu relat¸ia de conservare a 4-impulsului: k1 + k2 = k3 + k4 . Interact¸ia efectiv˘ a ̥ are diagrame topologic identice cu m˘arimea analoag˘a din cazul fermionic; ca urmare, se obt¸ine seria de perturbat¸ie de tipul relat¸iei (8.17): Z d4 q i e 0 (k1 − q) G e 0 (k2 + q) ve(k1 − k3 − q) + . . . ve(q) G ̥(k1 , k2 ; k3 , k4 ) = ve(k1 − k3 ) + ~ R4 (2π)4 Z i nZ d4 q d4 qn 1 e 0 (k1 − q1 ) . . . G e 0 (k2 + qn ) e + · · · ve(q1 ) G v (k1 − k3 − qn ) 4 ~ R4 (2π)4 R4 (2π) + ... La fel ca ˆın cazul fermionic, seria de perturbat¸ie a interact¸iei efective ̥ conduce la ecuat¸ia Bethe-
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
170 Salpeter (8.18): i ̥(k1 , k2 ; k3 , k4 ) = ve(k1 − k3 ) + ~
Z
d4 q e0 (k1 − q) G e0 (k2 + q) ̥(k1 − q, k2 + q; k3 , k4 ) , ve(q) G 4 R4 (2π)
care are imagine diagramatic˘ a ilustrat˘a ˆın figura urm˘atoare (diagrama este identic˘ a, din punct de vedere topologic, cu cea fermionic˘ a): k1 k2 q k1 k2 k1 k2 k1 − q k2 − q k1 − k3
=
+
k3 k3
k4
k4 k3
k4
Deoarece 4-impulsului total satisface relat¸ia de conservare (k1 + k2 = k3 + k4 ), este convenabil s˘a se utilizeze, la fel ca ˆın cazul fermionic, numai 3 variabile de tip 4-impuls: P = k1 + k2 , p = 1 (k1 − k2 ) , ′ 21 p = 2 (k3 − k4 ) ;
atunci interact¸ia efectiv˘ a se exprim˘ a numai ˆın termeni de 3 variabile independente (la fel ca ˆın cazul fermionic): ̥(k1 , k2 ; k3 , k4 ) = ̥( 21 P + p, 21 P − p; 12 P + p′ , 21 P − p′ ) ≡ ̥(p, p′ ; P) . E. Funct¸ia de ˆımpr˘ a¸stiere bi-particul˘a efectiv˘a Q(k1 , k2 ; k3 , k4 ) este definit˘ a ˆın mod identic cu m˘arimea analoag˘a din cazul fermionic, adic˘a prin relat¸iile (8.19): Z
d4 q ve(q) Q(k1 − q, k2 + q; k3 , k4 ) , 4 R4 (2π) i e0 e0 (k2 ) ̥(k1 , k2 ; k3 , k4 ) ; Q(k1 , k2 ; k3 , k4 ) = (2π)4 δ 4 (k1 − k3 ) + G (k1 ) G ~ ̥(k1 , k2 ; k3 , k4 ) =
ca urmare, rezult˘a ecuat¸ia integral˘a a m˘arimii Q, care este identic˘ a cu ecuat¸ia (8.20): i e0 e 0 (k2 ) (k1 ) G Q(k1 , k2 ; k3 , k4 ) = (2π) δ (k1 − k3 ) + G ~ 4 4
Z
d4 q ve(q) Q(k1 − q, k2 + q; k3 , k4 ) . 4 R4 (2π)
De asemenea, este convenabil s˘a se defineasc˘ a funct¸ia de ciocnire redus˘a χ(p, p′ ; P) prin relat¸ia (8.21) Z ∞ dp0 Q( 12 P + p, 21 P − p; 12 P + p′ , 21 P − p′ ) , χ(p, p′ ; P) ≡ −∞ (2π) unde 4-impulsul relativ este p = (p, p0 ); atunci relat¸ia dintre funct¸ia de ˆımpr˘ a¸stiere bi-particul˘a efectiv˘a ¸si funct¸ia de ciocnire redus˘ a este identic˘ a cu relat¸ia fermionic˘a (8.22): Q( 21 P + p, 21 P − p; 12 P + p′ , 12 P − p′ )
i e0 1 e 0 ( 1 P − p) = (2π) δ (p − p ) + G ( 2 P + p) G 2 ~ 4
4
′
Z
d3 q ve(q) χ(p − q, p′ ; P) . 3 R3 (2π)
Funct¸ia de ciocnire redus˘ a satisface urm˘atoarea ecuat¸ie integral˘a: Z d3 q 1 ′ 3 3 ′ u e(q) χ(p−q, p′ ; P, P0 ) . (8.55) χ(p, p ; P, P0 ) = (2π) δ (p−p )+ 3 2m 3 (2π) R 2 ǫ − 2 µ − p + iη ~
˘ NULA ˘ 8.2. GAZE BOSONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
171
Demonstrat¸ie: Prin eliminarea funct¸iei bi-particul˘ a de ˆımpr˘ a¸stiere efectiv˘ a Q cu ajutorul relat¸iilor (8.21) ¸si (8.22), rezult˘ a urm˘ atoarea ecuat¸ie integral˘ a pentru funct¸ia de ciocnire redus˘ a: Z ∞ dp 0 χ(p, p′ ; P) = Q( 12 P + p, 21 P − p; 21 P + p′ , 12 P − p′ ) −∞ (2π) Z ∞ i e0 1 dp0 e 0 ( 1 P − p) ( 2 P + p) G (2π)4 δ 4 (p − p′ ) + G = 2 ~ −∞ (2π) Z d3 q ′ × v e (q) χ(p − q, p ; P) 3 R3 (2π) Z ∞ i dp0 e 0 1 e 0 ( 1 P − p, 1 P0 − p0 ) = (2π)3 δ 3 (p − p′ ) + G ( 2 P + p, 12 P0 + p0 ) G 2 2 ~ −∞ (2π) Z 3 d q ve(q) χ(p − q, p′ ; P, P0 ) . × 3 (2π) 3 R
Funct¸ia Green liber˘ a bosonic˘ a are expresia (4.71) e 0 (k, ω) = G
1 , ω − ~1 (ε0k − µ) + iη
care arat˘ a c˘ a, spre deosebire de cazul fermionic, nu exist˘ a contribut¸ia de goluri; atunci integrala ˆın raport cu frecvent¸a a produsului de funct¸ii Green libere este Z i ∞ dp0 e 0 1 e0 ( 1 P − p, 1 P0 − p0 ) G ( 2 P + p, 12 P0 + p0 ) G 2 2 ~ −∞ 2π Z ∞ i 1 1 dp0 = ~ −∞ 2π 12 P0 + p0 − 1~ ε0P/2+p − µ + iη 12 P0 − p0 − 1~ ε0P/2−p − µ + iη Z 1 1 −i ∞ dp0 . = ~ −∞ 2π 12 P0 + p0 − ~1 ε0P/2+p − µ + iη p0 − 12 P0 + ~1 ε0P/2−p − µ − iη Aceast˘ a integral˘ a se efectueaz˘ a pe baza formulei (A.48) Z ∞ 1 1 i dω (2) = J+− (−a, −b) = , 2π ω + a + iη ω + b − iη a − b + iη −∞
astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: Z ∞ 1 i dp0 e 0 1 e 0 ( 1 P − p, 1 P0 − p0 ) = G ( 2 P + p, 21 P0 + p0 ) G . 2 2 ~ −∞ 2π ~P0 − ε0P/2+p − ε0P/2−p + 2µ + iη M˘ arimile de la numitorul ultimei expresii se prelucreaz˘ a pe baza urm˘ atoarelor relat¸ii: ~2 2m
2 2 ~2 1 ~2 2 ~2 2 +p − P−p = P + p , 2 2m 4m m ~2 ~2 2 P ≡ ǫ, E = ~P0 − 4m m astfel ˆıncˆ at numitorul expresiei specificate devine ~2 2 2m ~2 ~P0 − ε0P/2+p − ε0P/2−p + 2µ + iη = E − ǫ − p2 − 2 µ + iη ; p + 2µ + iη = m m ~ atunci, prin substituirea rezultatului precedent ˆın expresia init¸ial˘ a, se obt¸ine formula (8.55). ε0P/2+p − ε0P/2−p =
1 P 2
Observat¸ie: ecuat¸ia (8.55) este o ecuat¸ie integral˘a pentru funct¸ia de ciocnire redus˘a bosonic˘a χ ¸si este de acela¸si tip ca ecuat¸ia analoag˘a fermionic˘a (8.25), dar apar deosebiri: • num˘ arul de perechi particul˘ a-gol fermionice N (P, p) = 0, 1, −1 ˆın cazul bosonic (unde nu exist˘a goluri) devine N = 1; • energia perechii fermionice E, ˆın cazul bosonic implic˘ a potent¸ialul chimic: E → E + 2µ.
Dac˘ a se utilizeaz˘ a regulile de substitut¸ie N → 1 ¸si E → E + 2µ, atunci toate consecint¸ele ecuat¸iei fermionice (8.25) se pot transpune gazului bosonic. Consecint¸a rezultatelor precedente este posibilitatea exprim˘ arii interact¸iei efective ̥ prin funct¸ia de ciocnire redus˘ a χ, ˆın mod identic cu relat¸ia (8.26): Z d3 q ve(q) χ(p − q, p′ ; P, P0 ) ; (8.56) ̥(p, p′ ; P, P0 ) = 3 R3 (2π)
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
172
8.2.3
Ecuat¸iile Galitski bosonice
A. Ecuat¸iile Galitski fermionice sunt consecint¸e directe ale ecuat¸iilor integrale pentru funct¸ia redus˘a de ciocnire χ, (8.25), pentru funct¸ia de ˆımpr˘ a¸stiere ψk (r), (8.29) ¸si ale relat¸iei dintre interact¸ia efectiv˘ a ̥ ¸si funct¸ia de ciocnire redus˘a χ (8.26); ca urmare, se obt¸in dou˘a ecuat¸ii cuplate: i. prima ecuat¸ie Galitski (8.32) corespunde aproximat¸iei Galitski de ordinul 0, care implic˘ a absent¸ei golurilor (cˆand funct¸ia num˘ ar de perechi este N = 1) ¸si exprim˘ a solut¸ia pentru interact¸ia efectiv˘a aproximat˘ a ̥0 ˆın termeni de amplitudine de ˆımpr˘ a¸stiere bi-particul˘a ˆın vid fe; ii. a doua ecuat¸ie Galitski (8.35) corespunde cazului exact (cˆand funct¸ia num˘ar de perechi N poate lua oricare valoare permis˘ a de definit¸ie) ¸si este o ecuat¸ie integral˘a pentru interact¸ia efectiv˘a exact˘ a ̥ ˆın termeni de interact¸ia efectiv˘a aproximat˘a ̥0 . Deoarece prin metoda Galitski s-a eliminat potent¸ialul de interact¸ie bi-particul˘a v(r) prin amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere bi-particul˘a ˆın vid fe, rezult˘a c˘ a este posibil s˘a se considere trecerea la limita potent¸ialului de interact¸ie singular (v0 → ∞), adic˘a s˘a se obt¸in˘a interact¸ia efectiv˘a ̥ la limita cazului sfere rigide, prin considerarea expresiei corespunz˘ atoare a amplitudinii de ˆımpr˘ a¸stiere. B. Cazul bosonic se rezolv˘ a utilizˆand analogia stabilit˘a anterior cu cazul fermionic, pe baza comparat¸iei ˆıntre relat¸iile (8.25) fermionic˘a ¸si (8.55) bosonic˘a; ca urmare, rezultatele bosonice se pot obt¸ine ˆın mod direct din rezultatele corespondente fermionice cu regula de substitut¸ie: ( N = 0, ±1 −→ N = 1 , 2m ǫ −→ ǫ + 2 µ . ~ Atunci, considerˆ and c˘ a funct¸ia num˘ ar de particule are numai valoarea banal˘a (N = 1), rezult˘a c˘ a prima ecuat¸ie Galitski devine o ecuat¸ie exact˘ a pentru sistemul bosonic, astfel ˆıncˆ at nu mai apare a doua ecuat¸ie Galitski (aceast˘ a simplificare este consecint¸a absent¸ei golurilor pentru sistemul bosonic). Ca urmare, ecuat¸ia Galitski bosonic˘ a este identic˘ a cu ecuat¸ia (8.32) ˆın care se consider˘ a interact¸ia efectiv˘ a exact˘ a ¸si se utilizeaz˘a regula de substitut¸ie pentru energia redus˘a ǫ: Z m d3 k 1 1 ′ ′ e fe(p, k) fe∗ (p′ , k) . ̥(p, p ; P, P0 ) = f (p, p ) + + 2 3 2m ~2 k − p ′ 2 − iη R3 (2π) 2 ǫ + 2 µ − k + iη ~ (8.57) C. Pentru gazul bosonic rarefiat este satisf˘acut˘ a condit¸ia n1/3 a ≪ 1, care este echivalent˘ a cu condit¸ia de rarefiere a gazului fermionic (kF a ≪ 1), deoarece kF ∼ n1/3 . Atunci se poate repeta analiz˘a f˘ acut˘ a pentru deducerea relat¸iei (8.38), astfel ˆıncˆ at amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere ˆın condit¸ia gazului bosonic rarefiat este fe(k, k′ ) ≈ fe0 (k, k′ ) = 4πa(1 − ika) + O(k 2 a3 ) ,
adic˘a unda-s este dominant˘ a la limita k & k ′ → 0. Atunci un calcul similar cu cel f˘ acut pentru deducerea rezultatului (8.38) conduce la expresia aproximativ˘ a a interact¸iei efective pentru aproximat¸ia scar˘a la limita gazului bosonic rarefiat: m ̥(p, p′ ; P, P0 ) ≈ 4π a + O(pa2 ) , ~2
8.2.4
(pa ≪ 1 & p′ a ≪ 1) .
(8.58)
Self-energiile ˆın aproximat¸ia scar˘ a ¸si limita undelor lungi
Self-energia normal˘ a ¸si self-energiile anomale, ˆın aproximat¸ia scar˘a se exprim˘ a ˆın termeni de interact¸ia efectiv˘ a ̥ prin relat¸iile (8.54): ∗ f11 M (k) = n0 ̥(k, 0; k, 0) + ̥(k, 0; 0, k) , f∗ (k) = n0 ̥(k, −k; 0, 0) , M 12
∗ f21 M (k) = n0 ̥(0, 0; k, −k) .
˘ NULA ˘ 8.2. GAZE BOSONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
173
Datorit˘ a condit¸iei de conservare pentru 4-impulsuri, interact¸ia efectiv˘a se exprim˘ a ˆın termeni de 4-impulsuri independente astfel: ̥(k1 , k2 ; k3 , k4 ) ≡ ̥(p, p′ ; P), unde P = k1 +k2 , p = 12 (k1 −k1 ), p′ = 21 (k3 − k4 ). Atunci, cele 4 funct¸ii G care apar ˆın expresiile self-energiilor devin: ̥(k, 0; k, 0) = ̥( 21 k, 12 k; k) , ̥(k, 0; 0, k) = ̥( 12 k, − 12 k; k) , ̥(k, −k; 0, 0) = ̥(k, 0; 0) , ̥(0, 0; k, −k) = ̥(0, k; 0) .
Pe baza rezultatelor anterioare se obt¸in expresiile aproximative ale self-energiilor la limita undelor lungi (ka ≪ 1): 2 f∗ (k) = n0 ̥( 1 k, 1 k; k) + ̥( 1 k, − 1 k; k) ≈ n0 8πa ~ , M 11 2 2 2 2 m 2 ~ f∗ (k) = n0 ̥(k, 0; 0) ≈ n0 4πa , M 12 m 2 ~ ∗ f21 . M (k) = n0 ̥(0, k; 0) ≈ n0 4πa m
(8.59a) (8.59b) (8.59c)
Din expresiile precedente se observ˘a c˘ a ˆın aproximat¸ia scar˘a ¸si la limita undelor lungi, cele 3 self-energii sunt constante.
8.2.5
Potent¸ialul chimic (ˆın aproximat¸ia scar˘ a)
Potent¸ialul chimic al gazului bosonic ˆın aproximat¸ia scar˘a se exprim˘ a cu ajutorul funct¸iilor Green anomale, prin relat¸ia Z ′ i d4 q e 12 (q) + G e ′21 (q) µ ≈ n0 ve(0) + ve(q) G (8.60) 4 ladder 2 R4 (2π) Demonstrat¸ie:
Pentru un gaz bosonic potent¸ialul chimic se determin˘ a din seria de perturbat¸ie (4.135): Z Z ∞ ∞ X
′ ∂ VˆK0 1 −i n ∞ ′ ˆ 1K (t1 ) · · · K ˆ 1K µ= dt1 · · · (tn ) dtn 0 T K (0) 0 c . 0 0 n! ~ ∂N0 −∞ −∞ n=0
ˆIn aproximat¸ia scar˘ a termenii dominant¸i implic˘ a urm˘ atoarele procese: se excit˘ a 2 particule (din modul condensat), are loc o interact¸ie repetat˘ a ˆıntre perechea de particule, iar ˆın final cele 2 particule se dezexcit˘ a ¸si revin ˆın modul condensat; atunci, seria diagramelor corespunz˘ atoare termenilor dominant¸i este seria interact¸iei efective pentru aproximat¸ia scar˘ a:
+
+
+
+ ...
Pe baza observat¸iei anterioare se ret¸in din seria general˘ a de perturbat¸ie numai termenii corespunz˘ atori interact¸iei scar˘ a (se separ˘ a termenul de ordinul 0, care are o comportare special˘ a): Z Z ∞ ∞
′
∂ VˆK0 X ∂ VˆK0 (0) 1 −i n ∞ ′ 0 ˆ 1K (t1 ) · · · K ˆ 1K 0 + dt1 · · · . (tn ) dtn 0 T K 0 0 0 c,l ladder ∂N0 n! ~ ∂N0 −∞ −∞ n=1
µ ≈
Termenul de ordinul 0 a fost evaluat ˆın mod exact la demonstrat¸ia pentru formula (4.136): µ(0) =
D ∂ VˆK E 0 0 0 = n0 ve(0) . ∂N0
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
174
Pentru a evalua contribut¸iile termenilor de ordine superioare (n ≥ 1) ˆın aproximat¸ia scar˘ a, se ia ˆın considerare structura diagramatic˘ a a termenilor care compun hamiltonianul de interact¸ie ˆ 1′ = – Hamiltonianul de interact¸ie grand-canonic este constituit din 7 termeni K
7 X
Vˆj , unde
j=1
termenii Vˆj j=1,7 sunt definit¸i analitic ¸si diagramatic prin formulele (4.14). a c˘ a diagrama de ordinul n – Pe baza structurii diagramatice a termenilor Vˆj j=1,7 , se observ˘ a aproximat¸iei scar˘ a pentru interact¸ia efectiv˘ a trebuie s˘ a cont¸in˘ a numai urm˘ atorii termeni: ∗ un termen Vˆ2 pentru excitarea unei perechi de particule (din modul condensat), ∗ (n − 1) termeni Vˆ7 pentru cele (n − 1) interact¸ii repetate ˆıntre perechea de particule, ∗ un termen Vˆ1 pentru dezexcitarea celor 2 particule (pe modul condensat).
– Hamiltonianul canonic de interact¸ie se descompune ˆın 8 termeni, dup˘ a cum rezult˘ a din relat¸ia 7 X 1+ (4.13): Vˆ = E0 ˆ Vˆj , iar ultimul termen Vˆ7 este independent de densitatea particulelor j=1
condensate n0 ; atunci, derivata hamiltonianului de interact¸ie canonic ˆın raport cu num˘ arul de particule condensate este 1 ∂ Vˆ 1 1 + (Vˆ1 + Vˆ2 + Vˆ3 + Vˆ4 ) + (Vˆ5 + Vˆ6 ) , 2 E0 ˆ = ∂N0 N0 2
rezultat care a fost justificat ˆın demonstrat¸ia pentru formula (4.136). Atunci, utilizˆ and din nou reprezent˘ arile diagramatice ale termenilor de interact¸ie, rezult˘ a c˘ a diagramele scar˘ a pen∂ Vˆ tru potent¸ialul chimic au de la factorul contribut¸ii numai de la termenii Vˆ1 ¸si Vˆ2 . ∂N0 ˆIn concluzie, diagrama scar˘ a de ordinul n pentru potent¸ialul chimic, se realizeaz˘ a cu urm˘ atoarele elemente: ∂ Vˆ contribuie cu un termen Vˆ1 sau Vˆ2 , ∂N0 ˆ 1′ contribuie fiecare cu cˆ – (n − 1) factori K ate un termen Vˆ7 , ′ ˆ 1 contribuie cu un termen Vˆ2 sau Vˆ1 . – un factor K – factorul
Ca urmare seria de perturbat¸ie a potent¸ialului chimic, ˆın aproximat¸ia scar˘ a devine: Z Z ∞ ∞ ∞
′ 1 X 1 −i n ′ ˆ 1K (t1 ) · · · K ˆ 1K dt1 · · · µ ≈ n0 ve(0) + (tn ) Vˆ1 (0) + Vˆ2 (0) 0 c,l ; dtn 0 T K 0 0 N0 n=1 n! ~ −∞ −∞ doarece termenii Vˆ1 ¸si Vˆ2 au expresiile (4.14b) ¸si respectiv (4.14c) Z Z n0 Vˆ1 = d3 r d3 r′ v(r − r′ ) ϕ(r) ˆ ϕ(r ˆ ′) , 2 V V Z Z n0 d3 r d3 r′ v(r − r′ ) ϕ ˆ† (r) ϕ ˆ† (r′ ) , Vˆ2 = 2 V V
rezult˘ a c˘ a seria de perturbat¸ie anterioar˘ a se poate explicita ˆın mod part¸ial la urm˘ atoarea form˘ a: Z Z 1 d3 r d3 r′ v(r − r′ ) µ − n0 ve(0) ≈ 2V V V X Z Z ∞ ∞
′ 1 −i n ∞ ′ ˆ 1K (t1 ) · · · K ˆ 1K dt1 · · · (tn ) ϕˆK0 (r, 0) ϕˆK0 (r′ , 0) 0 c,l dtn 0 T K × 0 0 n! ~ −∞ −∞ n=1 Z ∞ Z ∞ ∞ X n
′ 1 −i ′ † † ′ ˆ 1K (t1 ) · · · K ˆ 1K 0 + dt1 · · · (t ) ϕ ˆ (r, 0) ϕ ˆ (r , 0) dtn 0 T K . n K0 K0 0 0 c,l n! ~ −∞ −∞ n=1
Pe de alt˘ a parte, funct¸iile Green anomale sunt definite prin formula general˘ a (4.94) Z Z ∞ ∞ X −i −i n ∞ c
′ ′ ˆ 1K (t1 ) . . . K ˆ 1K G′12 (x, x′ ) = dt1 . . . (tn ) ϕ ˆK0 (x) ϕˆK0 (x′ ) 0 dtn T K 0 0 n! ~ −∞ −∞ n=1 Z Z ∞ ∞ ∞ X
′ c −i −i n ′ ˆ 1K (t1 ) . . . K ˆ 1K dt1 . . . (tn ) ϕ ˆ†K0 (x) ϕˆ†K0 (x′ ) 0 dtn T K G′21 (x, x′ ) = 0 0 n! ~ −∞ −∞ n=1
˘ NULA ˘ 8.2. GAZE BOSONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
175
¸si nu au contribut¸ie de ordinul 0; atunci, seria de perturbat¸ie a potent¸ialului chimic se exprim˘ a ˆın termeni de aceste funct¸ii Green anomale: Z Z ′ 1 e12 (r, 0; r′ , 0) + i G e ′12 (r, 0; r′ , 0) d3 r d3 r′ v(r − r′ ) i G µ − n0 ve(0) ≈ 2V V V Z Z Z Z i 3 e ′12 (r − r′ , 0) + e ′21 (r − r′ , 0) . = d r d3 r′ v(r − r′ ) G d3 r d3 r′ v(r − r′ ) G 2V V V V V Integralele spat¸iale se transform˘ a ˆın integrale Fourier, conform relat¸iilor Z Z Z Z e ′ij (r − r′ , 0) = V e ′ij (r′′ , 0) = V d3 r d3 r′ v(r − r′ ) G d3 r′′ v(r′′ ) G V
V
V
astfel ˆıncˆ at se obt¸ine rezultatul (8.60).
d4 q e ′ij (q) , ve(q) G 4 R4 (2π)
Din examinarea termenului de ordinul 0 al potent¸ialului chimic rezult˘a c˘ a, ˆın aproximat¸ia scar˘a potent¸ialul chimic se poate exprima prin interact¸ia efectiv˘a de argumente nule: µ ≈ n0 ̥(0, 0; 0, 0) ; ladder
(8.61)
atunci, ˆın limita lungimilor de und˘a mari, conform rezultatului (8.58), se obt¸ine: µ ≈ n0 4πa ladder
~2 . m
(8.62)
Se observ˘ a c˘ a rezultatul este ˆın concordant¸˘a cu teorema Hugenholz-Pines, reprezentat˘ a prin f∗ (0) − ~ M f∗ (0). formula (4.136): µ = ~ M 11 12
8.2.6
Funct¸iile Green ˆın aproximat¸ia scar˘ a
Anterior, ˆın Subsect¸iunea 4.4.2, s-au determinat funct¸iile Green bosonice ˆın cazul general, acestea fiind descrise prin formulele (4.128) pentru funct¸ia Green normal˘a ¸si respectiv (4.129) pentru funct¸ia Green anomal˘a 1 0 e′ (k, ω) = ω + ~ εk − µ + S(k, ω) − A(k, ω) , G D(k, ω) ∗ f e′ (k, ω) = −M12 (k, ω) , G 12 D(k, ω) unde funct¸iile auxiliare S(k), A(k) ¸si D(k) sunt definite prin formulele (4.125) ¸si (4.127): 1 f∗ ∗ f11 M11 (k) + M (−k) , 2 1 f∗ ∗ f11 A(k) ≡ M11 (k) − M (−k) , 2 2 2 f∗ (k, ω) M f∗ (k, ω) . D(k, ω) = ω − A(k, ω) + ~1 ε0k − µ − S(k, ω) + M 12 21 S(k) ≡
ˆIm cazul ˆın care se consider˘ a aproximat¸ia scar˘a ¸si limita undelor lungi (ka ≪ 1), atunci ˆın subsect¸iunile anterioare s-au determinat aproximativ self-energiile proprii, cu formulele (8.59), ¸si potent¸ialul chimic, cu formula (8.62): f∗ (k) ≈ 8πa n0 ~ , M 11 m ~ ∗ ∗ f12 f21 , M (k) = M (k) ≈ 4πa n0 m ~2 . µ ≈ 4πa n0 m Prin particularizarea formulelor generale la cazul gazului bosonic rarefiat ¸si cu interact¸ii singulare (tip sfere rigide), cˆ and se utilizeaz˘ a aproximat¸ia scar˘a ¸si limita undelor lungi, se obt¸in urm˘atoarele
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
176 expresii pentru funct¸iile Green: u2k 1 ~ Ek
e ′ (k, ω) ≈ G
vk2 1 ~ Ek
−
, +iη ω − −iη ω− −uk vk uk vk e ′ (k, ω) ≈ e ′ (k, ω) , G + ≈G 12 21 1 ω − ~ Ek + i η ω − ~1 Ek − i η
unde s-au utilizat urm˘atoarele notat¸ii r Ek ≡
~2 ~2 k 2 ~2 k 2 , + 8πa n0 2m 2m m
v u ~2 k 2 u + 4πa n0 t 2m uk ≡ 2 Ek v u ~2 k 2 u + 4πa n0 t 2m vk ≡ 2 Ek
Demonstrat¸ie:
(8.63a) (8.63b)
(8.64a)
~2 m +1 , 2
(8.64b)
~2 m −1 . 2
(8.64c)
Prin utilizarea expresiilor aproximative pentru self-energii ¸si pentru potent¸ialul chimic se obt¸in urm˘ atoarele rezultate pentru funct¸iile auxiliare S(k) ¸si A(k): S(k) ≈ 8πa n0
~2 , m
A(k) ≈ 0 ; cu rezultatele precedente se deduc expresiile aproximative pentru funct¸ia D(k) ¸si pentru num˘ ar˘ atorul funct¸iei Green normale: 1 ~2 k2 ~2 k2 ~2 D(k) ≈ ω 2 − 2 , + 8πa n0 ~ 2m 2m m ~2 1 ~2 k2 . + 4πa n0 ω + ~1 ε0k − µ + S(k, ω) − A(k, ω) ≈ ω + 2 ~ 2m m Atunci rezult˘ a expresiile corespunz˘ atoare pentru funct¸iile Green:
1 ~2 k2 ~2 + 4πa n0 2 ~ 2m m e ′ (k, ω) ≈ G , 2 2 2 2 ~ k ~2 1 ~ k ω2 − 2 + 8πa n0 ~ 2m 2m m −1 ~2 4πa n0 ~ m e ′12 (k, ω) = G e ′21 (k, ω) ≈ . G 2 2 2 2 1 ~ k ~2 ~ k ω2 − 2 + 8πa n0 ~ 2m 2m m ω+
ˆIn expresiile funct¸iilor Green este convenabil s˘ a se efectueze descompunerea ˆın termeni cu cˆ ate un singur pol, conform reprezent˘ arilor Lehmann (4.68), adic˘ a s˘ a se rescrie expresiile ˆın forma: e ′ (k, ω) = G
e′12 (k, ω) = G
a(k) b(k) + , ω − ~1 Ek + i η ω − ~1 Ek − i η d(k) c(k) + ; ω − ~1 Ek + i η ω − ~1 Ek − i η
prin operat¸ii algebrice simple se determin˘ a coeficient¸ii descompunerilor Lehmann: a(k) = u2k ,
b(k) = −vk2 ,
c(k) = −uk vk ,
d(k) = uk vk ,
unde coeficient¸ii uk ¸si vk au expresiile (8.64); atunci rezult˘ a formulele (8.63).
Observat¸ie: rezultatele sunt similare cu cele ale gazului bosonic cu interact¸ii slabe, reprezentate de formulele (4.41) – (4.46); corespondent¸a formulelor se realizeaz˘ a cu regula de substitut¸ie: ~2 ve(0) → 4πa . m
˘ NULA ˘ 8.2. GAZE BOSONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
8.2.7
177
M˘ arimile fizice ¸si corect¸iile de ordin minim
A. Num˘ arul de particule
se obt¸ine din formula general˘a bosonic˘a (4.74c) Z Z ∞ d3 k dω iωη e ′ e G (k, ω) ; N = N0 + iV 3 R3 (2π) −∞ 2π
la limita lungimilor de und˘a mici transformata Fourier a funct¸iei Green este descris˘ a de formula (8.63a), astfel ˆıncˆ at integrala dup˘a frecvent¸˘a se poate efectua ˆın mod explicit cu ajutorul funct¸iei ( Z ∞ eiωη 0 , pentru + , dω (1) J± (a) ≡ = 2π ω − a ± iη i , pentru − ; −∞ prin urmare, se obt¸ine Z ∞ Z ∞ Z ∞ dω eiωη eiωη dω dω iωη e ′ 2 2 − vk = −i vk2 . e G (k, ω) ≈ uk 1 1 −∞ 2π ω − ~ Ek − iη −∞ 2π ω − ~ Ek + iη −∞ 2π
Se extrapoleaz˘ a rezultatul precedent pentru toate valorile vectorului de und˘a k, ceea ce este o mic˘a eroare ˆın condit¸ia de gaz rarefiat (n a3 ≪ 1); atunci densitatea de particule necondensate este Z N′ d3 k 2 N − N0 ′ n ≡ v . = ≡ 3 k V V R3 (2π) Rezult˘ a c˘ a vk2 este funct¸ia de distribut¸ie a particulelor necondensate ˆın spat¸iul impulsului (la temperatura nul˘a); rezultatul este similar cu cel obt¸inut pentru gazul bosonic cu interact¸ii slabe, reprezentat prin formula (4.153). Prin utilizarea expresiilor (8.64) se poate evalua ˆın mod explicit densitatea particulelor necondensate, utilizˆand variabila de integrare ˆın coordonate sferice (integralele unghiulare sunt banale ¸si produc factorul 4π)): ~2 ( ~2 k 2 ) + 4πa n 0 d k 1 2m ′ m −1 n = 3 Ek R3 (2π) 2 Z
3
~2 k 2 ~2 ) + 4πa n0 2 2m m dk k r −1 ~2 k 2 ~2 k 2 ~2 0 + 8πa n0 2m 2m m Z ∞ k 2 + 8πan0 1 2 dk k p = −1 ; 4π 2 0 k 2 (k 2 + 16πan0 )
1 4π = (2π)3 2
Z
∞
(
ka ¸si se obt¸ine 8πn0 a3 Z (8πn0 a3 )3/2 ∞ y2 − 1 2 p n′ = . dy y − 1 4π 2 y 2 (y 2 + 2) 0 {z } |
se efectueaz˘ a schimarea de variabil˘ ay=√
√ = 3/ 2
Prin urmare, se obt¸ine rezultatul urm˘ator:
3/2 8 . n′ ≈ √ n0 a 3 π
Observat¸ie: fract¸ia de particule necondensate este n′ 8 n0 p ≈ √ n 0 a3 ≪ 1 ; n 3 π n
prin urmare, aproape toate particulele sunt condensate:
iar erorile sunt de ordinul na3 .
n0 ≈ n , 3/2 8 n′ ≈ √ na ≪n, 3 π
(8.65)
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
178
B. Energia sistemului ˆın starea fundamental˘ a se obt¸ine din formula general˘a bosonic˘a (4.83): Z Z ∞ ~2 k 2 o iωη e′ iV d3 k dω n 1 ~ω + e G (k, ω) ; E = µN + 3 2 2 R3 (2π) −∞ 2π 2m
Integrala dup˘a frecvent¸˘ a se evalueaz˘ a prin aceea¸si metod˘ a ca ˆın cazul anterior, utilizˆand expresia (8.63) pentru funct¸ia Green ˆın aproximat¸ia scar˘a ¸si la limita undelor lungi: Z
~2 k 2 o iωη e ′ dω n ~ω + e G (k, ω) 2m −∞ 2π Z ∞ Z ∞ ω + ~1 ε0k ω + ~1 εk dω iωη dω iωη 2 = ~u2k − ~v e e k 1 ω − ~ Ek + iη ω − ~1 Ek − iη −∞ 2π −∞ 2π Z ∞ Z eiωη dω iωη Ek + ε0k ∞ dω 2 = ~uk e + 1 ~ −∞ 2π −∞ 2π ω − ~ Ek + iη | {z } | {z } ∞
= δ(η) = 0
− ~vk2
Z
∞
dω iωη Ek − e − ~ −∞ 2π | {z } = δ(η) = 0
= i(Ek −
ε0k )vk2
.
ε0k
Z
=0
∞
eiωη dω 1 −∞ 2π ω − ~ Ek − iη {z } |
=i
Se extrapoleaz˘ a rezultatul precedent pentru toate valorile vectorului de und˘a, la fel ca ˆın cazul precedent (eroarea este de ordinul na3 ≪ 1), astfel c˘ a energia sistemului este V 1 µN + 2 2
Z
V 1 = µN + 2 2
Z
E=
d3 k (Ek − ε0k ) vk2 3 R3 (2π) ~2 k 2 1 d3 k E − k 3 2m 2 R3 (2π)
~2 ( ~2 k 2 ) + 4πa n0 2m m −1 ; Ek
se utilizeaz˘ a coordonatele sferice, deoarece integralele unghiulare sunt banale ¸si produc factorul 4π, astfel c˘ a rezult˘a ) ( r Z ∞ 2 2 2 2 k 2 ~2 k 2 1 ~ k ~ V 4π ~ E = µN + − + 4πa n0 dk k 2 2 2 (2π)3 0 2m 2m 2m m ~2 ~2 k 2 + 4πa n0 2m m − 1 × r 2 2 2 2 2 ~ k ~ k + 4πa n0 ~ 2m 2m m Z ∞ o p n k 2 + 8πan0 1 1 ~2 √ = µN + V 2 dk k 2 k 2 − k k 2 + 16πan0 − 1 ; 2 8π 2m 0 k k 2 + 16πan0 prin schimbarea de variabil˘ ay=√
k se adimensionalizeaz˘a integrala: 8πan0
~2 1 (8πn0 a)3/2 E = µN + V 2 16π 2 m
Z
|
0
∞
dy y 2 y 2 − y
p y 2 + 1 p −1 . y2 + 2 y y2 + 2 {z }
√ = −8/(15 2)
prin urmare, rezult˘a urm˘atoarea expresie aproximativ˘ a pentru energia st˘arii fundamentale a gazului bosonic: √ √ E 1 64 π ~2 1 64 π ~2 5/2 ≈ µn − (n0 a) ≈ µn − (n a)5/2 . (8.66) V 2 15 m 2 15 m
˘ NULA ˘ 8.2. GAZE BOSONICE IMPERFECTE LA TEMPERATURA
179
C. Evaluarea corect¸iilor de ordin minim pentru m˘ arimi macroscopice Calculul efectuat anterior a produs contribut¸ia dominant˘ a la m˘arimile fizice: • potent¸ialul chimic, formula (8.62), µ ≈ 4π n0 a
~2 (ordinul 0), m
3/2 8 (ordinul 1), • densitatea de particule necondensate, formula (8.65), n′ ≈ √ n a 3 π √ E 1 64 π ~2 • energia st˘ arii fundamentale, formula (8.66), ≈ µn − (n a)5/2 (ordinul 1). V 2 15 m Ca urmare, este necesar s˘a se determine corect¸iile minime pentru potent¸ialul chimic ¸si pentru energia st˘ arii fundamentale, pentru a determina alte m˘arimi termodinamice ale sistemului. C1. Aceste corect¸ii de ordin minim se pot obt¸ine prin metoda termodinamic˘ a (HugenholtzPines): deoarece corect¸iile sunt de ordinul parametrului caracteristic mic n a3 , se presupune c˘ a potent¸ialul chimic corectat fat¸˘ a de formula (8.62), are expresia µ ≈ 4π n0 a
√ ~2 1 + α n a3 , m
(8.67)
unde α este un coeficient numeric care va fi determinat ulterior prin relat¸ia termodinamic˘ a dintre energie ¸si potent¸ialul chimic. Se substituie expresia anterioar˘ a a potent¸ialului chimic ˆın formula energiei (8.66), care devine: √ o √ 64 π ~2 ~2 n · 4π n a 1 + α n a3 − (n a)5/2 2 m 15 m n h io 32 ~2 2 3 1/2 an 1 + α − √ na ; = V 2π m 15 π
E≈V
n1
din expresia precedent˘ a se obt¸ine potent¸ialul chimic, conform relat¸iei termodinamice: µ=
∂E ∂N
=
V,T =0
h 1/2 i 32 1 ∂E ~2 5 . α− √ n a3 = 4π na 1+ V ∂n m 4 15 π
Comparat¸ia ultimei expresii a potent¸ialului chimic cu formula (8.67) conduce la ecuat¸ia coeficientului α: 5 32 32 α= α− √ =⇒ α= √ . 4 15 π 3 π
Dup˘a determinarea coeficientului α se obt¸in expresiile corectate ale energiei ¸si ale potent¸ialului chimic (numite ecuat¸iile Lee-Yang): n 1/2 o 128 ~2 E = 2π a n 2 1 + √ n a3 , V m 15 π ~2 32 √ 3 µ ≈ 4π na . a n0 1 + √ m 3 π
(8.68a) (8.68b)
Observat¸ii: i. corect¸ia de ordin minim (Hugengoltz-Pines) este proport¸ional˘ a cu r˘ad˘acina p˘ atrat˘ a a pa√ 3 at aceast˘a corect¸ie este neanalitic˘ a ¸si deci nu se poate rametrului caracteristic ( n a ), astfel ˆıncˆ obt¸ine prin calcul perturbat¸ional ˆın ordin finit; ii. corect¸iile de ordin superior la energia st˘arii fundamentale sunt descrise de formula WuHugenholtz: n 4 √ 1/2 o 128 ~2 E +8 = 2π a n 2 1 + √ n a3 π − 3 n a3 ln(n a3 ) + O n a3 . V m 3 15 π
˘ CAPITOLUL 8. APROXIMAT ¸ IA SCARA
180
C2. Din rezultatele precedente se pot obt¸ine m˘arimi termodinamice ale sistemului, cum sunt presiunea ¸si viteza sunetului (pentru gazul bosonic rarefiat ¸si cu interact¸ii de tip sfer˘a rigid˘ a). i. Presiunea (la temperatura nul˘a) rezult˘a din relat¸ia termodinamic˘ a √ −1 ~2 2 128 3 N a3 ∂E = − 2π N a − √ P =− ∂V N,T =0 m V 15 π 2 V 5/2 n 1/2 o 64 ~2 . (8.69) a n 2 1 + √ n a3 = 2π m 5 π ii. Conform teoriei clasice a undelor sonore ˆıntr-un fluid 2 p˘ atratul vitezei sunetului este egal cu derivata presiunii ˆın raport cu densitatea ˆın mod adiabatic (adic˘a la entropie constant˘ a) ∂P c2 = ; ∂ρm S
densitatea masic˘a (ρm ) este determinat˘ a de desitatea de particule (n) prin relat¸ia ρm = m n, iar la temperatura nul˘a entropia sistemului ave valoarea nul˘a, S = 0, astfel ˆıncˆ at rezult˘a c˘ a p˘ atratul vitezei sunetului se obt¸ine din derivata presiunii ˆın raport cu densitatea de particule: c2 =
n 1/2 o ~2 64 5 1 ∂P n a3 ≈ 4π an 1 + √ m ∂n m 5 π 4
¸si astfel viteza sunetului (la temperatura nul˘a ¸si ˆın cadrul aproximat¸iilor specificate anterior) este: r h 1/2 i 8 ~2 . (8.70) a n 1 + √ n a3 c ≈ 4π m π Observat¸ii: a) Din formula (8.70) rezult˘a o condit¸ia de stabilitate a sistemului: parametrul a trebuie s˘a fie pozitiv (adic˘ a interact¸ia mutual˘a s˘a fie repulsiv˘a); pentru o valoare negativ˘ a a parametrului a (adic˘a interact¸ie atractiv˘ a) se obt¸ine colapsarea sistemului. b) Conform consecint¸elor generale ale reprezent˘ arii Lehmann, din expresia aproximativ˘ a a funct¸iei Green (8.63a), rezult˘a c˘ a Ek definit˘ a prin relat¸ia (8.64a), cont¸ine spectrul excitat¸iilor elementare ale sistemului bosonic rarefiat; atunci din expresia energiei de excitat¸ie Ek se obt¸ine la limita lungimilor de und˘a mari (k → 0) urm˘atoarea aproximat¸ie: r r ~2 k 2 ~2 k 2 ~2 ~2 Ek = ≈ ~k 4π + 8πa n0 an . 2m 2m m m Prin urmare, luˆand ˆın considerare formula (8.70), rezult˘a Ek ≈ c · ~k , k→0
(8.71)
adic˘a spectrul excitat¸iilor elementare este un spectru fononic avˆand viteza egal˘a cu viteza de propagare a sunetului.
2ˆ In Sect¸iunea 9.4 se prezint˘ a ˆın mod succint teoria clasic˘ a a undelor sonore ˆın gaze ¸si se deduce formula vitezei sunetului (9.114).
Capitolul 9
Teoria r˘ aspunsului liniar 9.1 9.1.1
Cazul fermionic ˆın formalismul de temperatur˘ a nul˘ a R˘ aspunsul liniar al sistemului la o perturbat¸ie extern˘ a (cazul general)
A. Sistemul neperturbat Se consider˘ a un sistem fermionic cu interact¸ii mutuale statice; atunci, hamiltonianul sistemului ˆ =H ˆ 0 + Vˆ . este atemporal: H Se utilizeaz˘ a formularea Heisenberg (neperturbat˘ a) ˆ ΨH = e ~i Ht ΨS (t) ,
i ˆ i ˆ AˆH (t) = e ~ Ht AˆS e− ~ Ht ;
ˆın relat¸iile de definit¸ie ale formul˘arii Heisenberg, vectorul de stare Heisenberg ΨH ¸si operatorul Schr¨odinger AˆS sunt atemporali. Media observabilei A pe starea Ψ (medie neperturbat˘ a) este
ΨH AˆH (t) ΨH
. A(t) 0 = Ψ H Ψ H
(9.1)
B. Sistemul perturbat Se consider˘ a sistemul anterior, dar se introduce ˆın mod suplimentar o interact¸ie cu un sistem extern, care este aplicat˘ a la momentul t0 ¸si care este suficient de slab˘a (ˆın intensitate) astfel ˆıncˆ at s˘a fie valabil˘a aproximat¸ia perturbat¸ional˘ a de ordinul 1. Hamiltonianul de cuplaj cu sistemul extern ˆın formularea Schr¨odinger, numit hamiltonian de perturbat¸ie, este Z Z 3 ˆ ex (t) = d3 r w(r, t) gˆS (r) , (9.2) d r θ(t − t ) u(r, t) g ˆ (r) ≡ H 0 S S V
V
unde u(r, t) este potent¸ialul de perturbat¸ie, iar gˆS (r) este operatorul densitate a m˘arimii de cuplaj; de asemenea, s-a introdus potent¸ialul efectiv de perturbat¸ie w(r, t) = θ(t − t0 ) u(r, t). Atunci, hamiltonianul total a sistemului ˆın prezent¸a perturbat¸iei (ˆın formularea Schr¨odinger) este: ˆ Stotal (t) = H ˆ +H ˆ Sex (t) . H (9.3) Pentru studiul sistemului perturbat este convenabil s˘a se utilizeze formularea Heisenberg neperturbat˘ a (care este ˆın acela¸si timp formularea Dirac perturbat˘ a), adic˘a se consider˘ a hamiltonianul ˆ ¸si hamiltonianul de perturbat¸ie este H ˆ ex (t). Se vor nota vectorul de stare de baz˘ a ca fiind H S ¸si operatorii asociat¸i observabilelor cu indicele “H”, dar relat¸iile utilizate vor fi de tipul corespunz˘ator unei formul˘ari Dirac. ˆH (t, t0 ), avˆand Operatorul de evolut¸ie pentru vectorul de stare al sistemului perturbat este U seria de perturbat¸ie (1.51), iar aceast˘a serie de perturbatt¸ie se poate aproxima ˆın ordinul 1, 181
˘ CAPITOLUL 9. TEORIA RASPUNSULUI LINIAR
182
deoarece s-a considerat c˘ a hamiltonianul de perturbat¸ie este suficient de mic: Z t Z ∞ X ex 1 −i n t ˆ (t1 ) · · · H ˆ ex (tn ) ˆ dtn T H dt1 · · · UH (t, t0 ) = H H n! ~ t0 t0 n=0 Z t i ˆ ex (t′ ) , dt′ H ≈ˆ 1− H ~ t0
(9.4)
ˆ ex (t) este operatorul ˆın formularea Heisenberg neperturbat˘ unde H a: H i ˆ ex ˆH ˆ Sex (t) e− ~i tHˆ . H (t) = e ~ tH H
(9.5)
Descrierea st˘ arii sistemului la momente ulterioare aplic˘ arii perturbat ¸iei (adic˘a la t > t0 ) se rea din starea alizeaz˘ a cu vectorul de stare ˆın formularea Dirac perturbat˘ a ΨH (t) , care evolueaz˘ init¸ial˘a (cˆand s-a aplicat perturbatt¸ia), conform relat¸iei (1.47): ˆH (t, t0 ) ΨH , ˆH (t, t0 ) ΨH (t0 ) = U ΨH (t) (9.6) =U t>t0
unde ultima egalitate s-a obt¸inut prin luarea ˆın considerat¸ie a faptului c˘ a la momentele de timp t ≤ t0 sistemul este neperturbat. Media observabilei A pe starea perturbat˘ a ΨH (t) este, prin definit¸ie
ΨH (t) AˆH (t) ΨH (t)
= A(t) ex t>t0 ΨH (t) ΨH (t) †
ˆ (t, t0 ) AˆH (t) U ˆH (t, t0 ) ΨH ΨH U H = , †
ˆ (t, t0 ) U ˆH (t, t0 ) ΨH ΨH U H
unde ˆın ultima egalitate s-a ˆınlocuit vectorul de stare perturbat ΨH (t) prin expresia (9.6). Se transform˘ a expresia precedent˘ a ˆın termeni de medii ale sistemului neperturbat, prin efectuarea aproximat¸iei liniare ˆın raport cu hamiltonianul de perturbat¸ie: • num˘ ar˘ atorul expresiei precedente pentru valoarea medie a observabilei devine: †
ˆ (t, t0 ) AˆH (t) U ˆH (t, t0 ) ΨH ΨH U H Z Z n n
i t ′ ˆ ex ′ o ˆ i t ′ ˆ ex ′ o ≈ ΨH ˆ 1− dt HH (t ) AH (t) ˆ1 − dt HH (t ) ΨH ~ t0 ~ t0 Z t o n
i ˆ ex (t′ ) − H ˆ ex (t′ ) AˆH (t) ΨH ≈ ΨH AˆH (t) − dt′ AˆH (t) H H H ~ t0 Z i o n
i t ′hˆ ex ′ ˆH Ψ H ; ˆ (t ) dt AH (t) , H ≈ ΨH AH (t) − ~ t0 −
ˆH (t, t0 ) este unitar: • numitorul se simplific˘ a deoarece operatorul de evolut¸ie U †
ˆ (t, t0 ) U ˆH (t, t0 ) ΨH = ΨH ΨH . ΨH U H
Atunci, rezult˘a aproximat¸ia liniar˘ a pentru media perturbat˘ a a observabilei considerate: Z t i h i
ˆ ex (t′ ) ΨH ΨH AˆH (t) ΨH − dt′ ΨH AˆH (t) , H H
~ t0 −
≈ A(t) ex ; t>t0 I Ψ H Ψ H
(9.7)
rezultatul anterior arat˘a c˘ a r˘ aspunsul liniar al sistemului (adic˘a deviat¸ia mediei observabilei ˆın prezent¸a unei perturbat¸ii slabe) se exprim˘ a prin media comutatorului pe starea neperturbat˘ a:
Z ˆ ex (t′ ) ΨH
−i t ′ ΨH AˆH (t) , H H −
≈ δ A(t) ≡ A(t) ex − A(t) 0 dt . (9.8) t>t0 I ~ t>t0 ΨH ΨH t 0
˘ NULA ˘ 9.1. CAZUL FERMIONIC ˆIN FORMALISMUL DE TEMPERATURA
9.1.2
183
Exprimarea r˘ aspunsului liniar prin funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ a
and init¸ial sistemul neperturbat se afla ˆın starea fundamental˘ a, adic˘a Se a cazul cˆ consider˘ ΨH = Ψ0 , iar m˘arimea observat˘a este operatorul densitate a m˘arimii de cuplaj Aˆ = gˆ(r), care apare ˆın expresia hamiltonianului de perturbat¸ie (9.2) Z Z ˆ Sex (t) = H d3 r θ(t − t0 ) u(r, t) gˆS (r) ≡ d3 r w(r, t) gˆS (r) . V
V
Atunci, conform relat¸iei (9.8), r˘aspunsul liniar al sistemului pentru densitatea m˘arimii de cuplaj este: Z
Z t d3 r′ θ(t′ − t0 ) u(r′ , t′ ) gˆH (r′ , t′ ) − Ψ0 Ψ g ˆ (r, t) , 0 H
−i V
δ g(r, t) = dt′ ~ t0 Ψ 0 Ψ 0
Z Z t Ψ0 gˆH (r, t) , gˆH (r′ , t′ ) − Ψ0 −i 3 ′ ′ ′ ′ ′
= d r dt θ(t − t0 ) u(r , t ) . (9.9) ~ V Ψ0 Ψ0 t0
ˆIn expresia precedent˘ a se poate extinde integrala temporal˘a la ˆıntreaga ax˘ a real˘a Z
t t0
′
′
′
dt θ(t − t0 ) F (t ) =
Z
t −∞
′
′
′
dt θ(t − t0 ) F (t ) =
Z
∞
−∞
dt′ θ(t − t′ ) θ(t′ − t0 ) F (t′ )
¸si media pe starea fundamental˘ a a comutatorului se poate exprima cu ajutorul funct¸iei de corelat¸ie retardat˘ a pentru m˘arimea g, definit˘ a prin relat¸ia:
gH (r, t) , δˆ gH (r′ , t′ ) − Ψ0 Ψ0 δˆ (R) ′ ′ ′
; (9.10) Cg (r, t; r , t ) ≡ − iθ(t − t ) Ψ 0 Ψ 0
deoarece operatorul fluctuat¸ie a m˘arimii g este δˆ g(r) ≡ gˆ(r) − g(r) ˆ1, rezult˘a identitatea
δˆ gH (r, t) , δˆ gH (r′ , t′ )
−
= gˆH (r, t) , gˆH (r′ , t′ ) − ,
astfel ˆıncˆ at funct¸ia de corelat¸ie anterioar˘ a se poate scrie ˆın mod echivalent astfel:
Ψ0 gˆH (r, t) , gˆH (r′ , t′ ) − Ψ0 (R) ′ ′ ′
Cg (r, t; r , t ) ≡ − iθ(t − t ) . Ψ 0 Ψ 0
Ca urmare a observat¸iilor precedente, r˘aspunsul liniar pentru densitatea m˘arimii de cuplaj devine:
Z Z ∞ Ψ0 gˆH (r, t) , gˆH (r′ , t′ ) − Ψ0
−i 3 ′ ′ ′ ′ ′
d r dt θ(t − t) θ(t − t0 ) u(r , t ) δ g(r, t) = ~ V Ψ 0 Ψ 0 −∞
Z Z ∞ Ψ0 gˆH (r, t) , gˆH (r′ , t′ ) − Ψ0 1 3 ′ ′ ′ ′
, = d r dt w(r , t ) (−i) θ(t − t) ~ V Ψ0 Ψ0 −∞
unde ultima egalitate s-a obt¸inut prin utilizarea definit¸iei potent¸ialului efectiv de perturbat¸ie: w(r, t) = θ(t − t0 ) u(r, t); apoi se face apel la expresia echivalent˘ a a funct¸iei de corelat¸ie retardat˘ a a m˘arimii g ¸si atunci r˘aspunsul liniar al sistemului se exprim˘ a ˆın urm˘atoarea form˘a: Z Z ∞
1 3 ′ δ g(r, t) = d r dt′ w(r′ , t′ ) Cg(R) (r, t; r′ , t′ ) . (9.11a) ~ V −∞
Observat¸ii: i. Relat¸ia precedent˘ a se exprim˘ a ˆın notat¸ie condensat˘ a 4-dimensional˘a astfel: Z
1 d4 x′ w(x′ ) Cg(R) (x; x′ ) . δ g(x) = ~ V
(9.11b)
˘ CAPITOLUL 9. TEORIA RASPUNSULUI LINIAR
184
ii. R˘ aspunsul liniar al sistemului se exprim˘ a prin funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ a, care este calculabil˘ a prin propriet˘ a¸ti ale sistemului neperturbat. ˆIn cazul cˆ and sistemul este omogen (din punct de vedere spat¸ial) ˆın absent¸a perturbat¸iei, se poate efectua transformarea Fourier spat¸io-temporal˘a simpl˘a: Z d4 k ik·(x−x′ ) e(R) (R) ′ (R) ′ e Cg k) , Cg (x; x ) = Cg (x − x ) = 4 R4 (2π) Z d4 k ik·x w(x) = e w(k) e , 4 R4 (2π) Z
d4 k ik·x f e δ hgi(k) ; δ g(x) = 4 R4 (2π)
ca urmare, relat¸ia (9.11) devine
f δ hgi(k) =
1 e (R) C (k) w(k) e . ~ g
(9.12)
Susceptibilitatea generalizat˘a (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a) se define¸ste ca raportul dintre transformatele Fourier ale funct¸iei de r˘aspuns ¸si potent¸ialului de perturbat¸ie:
atunci pe baza relat¸iei (9.12), se obt¸ine
χ eg (k) =
χ eg (k) =
f δ hgi(k) ; w(k) e
1 e(R) C (k) . ~ g
(9.13a)
(9.13b)
Prin utilizarea notat¸iei necondensate, relat¸ia (9.12) are forma f δ hgi(k, ω) =
1 e (R) C (k, ω) w(k, e ω) , ~ g
(9.14)
iar transformarea Fourier a funct¸iei de r˘aspuns este Z Z ∞ d3 k dω ik·r−iωt f δhg(r, t)i = e δ hgi(k, ω) . 3 (2π) 3 R −∞ 2π
Cazuri particulare de perturbat¸ii
a) Perturbat¸ie static˘ a Se consider˘ a c˘ a perturbat¸ia a fost aplicat˘a la momentul t0 = −∞; atunci potent¸ialul de perturbat¸ie efectiv este w(r, t) = θ(t + ∞) u(r) , (9.15) iar transformata sa Fourier este Z
Z
∞
dt e−ik·r+iωt w(r, t) V −∞ Z Z ∞ d3 r e−ik·r u(r) dt eiωt θ(t + ∞) =
w(k, e ω) =
d3 r
−∞
V
= 2π δ(ω) u e(k) ,
(9.16)
unde ultima egalitate s-a obt¸inut deoarece integrala spat¸ial˘a define¸ste transformata Fourier a potent¸ialului u(r), iar ˆın integrala temporal˘a funct¸ia Heaviside este egal˘a cu unitatea, astfel ˆıncˆ at integrala r˘amas˘ a este funct¸ia Dirac: Z ∞ Z ∞ dt eiωt θ(t + ∞) = dt eiωt = 2π δ(ω) . −∞
−∞
˘ NULA ˘ 9.1. CAZUL FERMIONIC ˆIN FORMALISMUL DE TEMPERATURA Atunci, din relat¸ia (9.14) rezult˘a r˘aspunsul liniar al sistemului la perturbat¸ia static˘a: Z ∞ Z dω ik·r−iωt f d3 k e δ hgi(k, ω) δhg(r, t)i = 3 (2π) 3 −∞ 2π R Z Z ∞ 1 e(R) dω ik·r−iωt d3 k e 2π δ(ω) u e(k) C = g (k, ω) 3 (2π) 2π ~ −∞ R3 Z d3 k ik·r e(R) (k, 0) . e u e(k) C = g 3 R3 (2π)
185
(9.17)
Se observ˘ a c˘ a r˘aspunsul liniar al sistemului δhg(r)i este atemporal, deoarece s-a considerat c˘ a perturbat¸ia este static˘a.
b) Perturbat¸ie impulsiv˘ a ˆIn aceast˘a situat¸ie perturbat¸ia este un puls aplicat la momentul t0 = 0; pentru simplitate se poate alege cazul particular cˆ and pulsul este periodic ˆın spat¸iu, adic˘a are urm˘atoarea expresie: w(r, t) = w0 eiq·r δ(t) .
(9.18)
Cazul general cˆ and pulsul are o dependent¸˘a spat¸ial˘a arbitrar˘a se reduce la cazul periodic spat¸ial, prin analiz˘a Fourier spat¸ial˘a, deoarece toate relat¸iile care descriu r˘aspunsul liniar al sistemului la o mic˘a perturbat¸ie sunt liniare ˆın raport cu potent¸ialul de perturbat¸ie. Pentru potent¸ialul considerat anterior transformata Fourier este Z Z ∞ 3 w(k, e ω) = d r dt e−ik·r+iωt w(r, t) V −∞ Z ∞ Z iωt = w0 dt e δ(t) d3 r e−i(q−k)·r −∞
V
= w0 (2π)3 δ 3 (q − k) ,
(9.19)
unde ultima egalitate s-a obt¸inut deoarece integrala temporal˘a este unitatea, iar integrala spat¸ial˘a este funct¸ia Dirac 3-dimensional˘ a. Prin utilizarea relat¸iei (9.14) se obt¸ine r˘aspunsul liniar al sistemului pentru cazul perturbat¸iei impulsive ¸si periodic˘ a spat¸ial: Z Z ∞ d3 k dω ik·r−iωt f δhg(r, t)i = e δ hgi(k, ω) 3 (2π) 3 R −∞ 2π Z Z ∞ 1 e (R) d3 k dω ik·r−iωt (k, ω) e w0 (2π)3 δ 3 (q − k) C = 3 ~ g −∞ 2π R3 (2π) Z ∞ dω −iωt 1 e(R) C (k, ω) . (9.20) e = w0 eiq·r ~ g −∞ 2π
9.1.3
Cazul perturbat¸iei cuplate prin densitatea de particule
Se consider˘ a situat¸ia important˘ a din punct de vedere fizic cˆ and densitatea de cuplaj este ˆ(r), adic˘a hamiltonianul de perturbat¸ie este densitatea de particule: gˆ(r) = n Z Z 3 ˆ ex (t) = ˆ(r) . ˆ d3 r w(r, t) n (9.21) d r θ(t − t ) u(r, t) n (r) ≡ H 0 S V
V
Atunci, conform relat¸iei generale (9.11), r˘aspunsul liniar al sistemului pentru densitatea particulelor este Z Z ∞ Z Z ∞
3 ′ ′ 1 (R) ′ ′ ′ ′ 3 ′ δ n(r, t) = d r dt Cn (r, t; r , t ) w(r , t ) = d r dt′ Π(R) (r, t; r′ , t′ ) w(r′ , t′ ) , ~ V −∞ V −∞ (9.22a) deoarece funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ a a fluctuat¸iilor de densitate este legat˘ a de polarizarea (R) retardat˘ a printr-o relat¸ie de tip Hubbard: Cn (r, t; r′ , t′ ) = ~ Π(R) (r, t; r′ , t′ ).
˘ CAPITOLUL 9. TEORIA RASPUNSULUI LINIAR
186
ˆIn mod similar, din relat¸ia (9.14), rezult˘a transformata Fourier a r˘aspunsului linear pentru densitatea de particule f δ hni(k, ω) =
1 e (R) e (R) (k, ω) w(k, C (k, ω) w(k, e ω) = Π e ω) . ~ n
(9.22b)
Observat¸ii asupra funct¸iilor de corelat¸ie pentru fluctuat¸iile de densitate ¸si polariz˘arilor (cauzale ¸si retardate): i. Funct¸iile de corelat¸ie pentru fluctuat¸iile de densitate (retardat˘a ¸si cauzal˘ a) au fost definite prin relat¸iile (3.161)
Ψ0 δˆ nH (x) , δˆ nH (x′ ) − Ψ0 (R) ′ ′
Cn (x; x ) ≡ − i θ(t − t ) Ψ0 Ψ0
ˆH (x) , n ˆH (x′ ) − Ψ0 Ψ0 n ′
= − i θ(t − t ) , Ψ0 Ψ0
nH (x) · δˆ nH (x′ ) Ψ0 Ψ0 T δˆ ′
. Cn (x; x ) ≡ − i Ψ 0 Ψ 0
Corespunz˘ ator funct¸iilor de corelat¸ie precedente li se asociaz˘a polariz˘arile retardat˘ a ¸si cauzal˘ a, prin relat¸ii de tip Hubbard (3.171): Cn(R) (x; x′ ) = ~ Π(R) (x; x′ ) , Cn (x; x′ ) = ~ Π(x; x′ ) . Este important de observat c˘ a polarizarea cauzal˘ a (¸si funct¸ia de corelat¸ie corespondent˘ a) se poate calcula perturbativ ¸si termenii corespunz˘ atori au imagine diagramatic˘ a; pe de alt˘ a parte, funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ a (¸si polarizarea retardat˘ a) sunt legate ˆın mod direct de r˘aspunsul liniar ˆın densitate, dar nu pot fi calculate prin metode perturbative standard. Ca urmare, sunt importante relat¸iile ˆıntre cele dou˘a funct¸ii de corelat¸ie (respectiv ˆıntre polariz˘ari). ii. A¸sa cum s-a ar˘ atat ˆın Sect¸iunea 3.4, polarizarea este legat˘ a de interact¸ia efectiv˘a ¸si de funct¸ia dielectric˘a generalizat˘a. ˆIn spat¸iul impuls-frecvent¸˘a inversul funct¸iei dielectrice generalizate se define¸ste prin relat¸ia (3.140), adaptat˘ a la cazul interact¸iei independente de spini e 1 1 V(k) = , ≡ ∗ e e κ e(k) 1 − Π (k) ve(k) V0 (k)
unde ultima egalitate s-a obt¸inut prin utilizarea solut¸iei ecuat¸iei Dyson (3.142), astfel ˆıncˆ at rezult˘a e ∗ (k) ve(k) , κ e(k) = 1 − Π
conform relat¸iei (3.143). Polarizarea total˘ a se obt¸ine ˆın termeni de funct¸ia dielectric˘a generalizat˘a conform relat¸iei (3.144): e Π(k) =
i e ∗ (k) 1−κ e(k) 1 1 h 1 Π = = −1 . e ∗ (k) ve(k) ve(k) κ e(k) ve(k) κ e(k) 1−Π
iii. ˆIn mod similar se define¸ste funct¸ia dielectric˘a generalizat˘a retardat˘ a: h i 1 1 e(R) e ∗ (k) = 1 Cn (k) = Π − 1 ; ~ ve(k) κ e(R) (k)
(9.23)
ca urmare, r˘aspunsul liniar ˆın densitate exprimat prin relat¸ia (9.22b), se poate exprima ˆın mod echivalent ˆın termeni de funct¸ia dielectric˘a generalizat˘a retardat˘ a: f e (R) (k, ω) w(k, δ hni(k, ω) = Π e ω) =
i 1 w(k, e ω) h −1 . (R) ve(k) κ e (k, ω)
(9.24)
˘ NULA ˘ 9.1. CAZUL FERMIONIC ˆIN FORMALISMUL DE TEMPERATURA
187
iv. M˘ arimile retardate (funct¸ia de corelat¸ie pentru fluctuat¸ia de densitate, polarizarea ¸si funct¸ia dielectric˘a generalizat˘a) se obt¸in din funct¸iile cauzale corespondente, pe baza relat¸iilor (3.168): ( ( (R) (R) en (k, ω) = Re C en (k, ω) e (k, ω) = Re Π(k, e Re C Re Π ω) (R) =⇒ (R) e (k, ω) = sgn(ω) Im Π(k, e en (k, ω) en (k, ω) = sgn(ω) Im C Im Π ω) Im C (9.25) deoarece transformata Fourier a potent¸ialului coulombian este real˘a (e v (k) ∈ R), din relat¸ia (3.143) rezult˘a (R) Re κ e (k, ω) = Re e κ(k, ω) (9.26) Im κ e(R) (k, ω) = sgn(ω) Im e κ(k, ω) .
Deoarece se poate determina perturbativ funct¸ia dielectric˘a generalizat˘a (cauzal˘a) e κ(k, ω), atunci cu ajutorul relat¸iilor (9.26) se obt¸ine funct¸ia dielectric˘a generalizat˘a retardat˘ aκ e(R) (k, ω) cu care se exprim˘ a r˘aspunsul liniar al sistemului pentru densitatea de particule. Din formula (9.24) rezult˘a c˘ a singularit˘a¸tile transformatei Fourier a polariz˘arii retardate e (R) (k, ω), respectiv zerourile funct¸iei dielectrice generalizate retardate κ Π e(R) (k, ω), dau energia ¸si timpul de viat¸˘ a ale st˘ arilor excitate (numite excitat¸ii colective) ale sistemului care sunt cuplate ˆ(r); justificarea este similar˘ cu starea fundamental˘ a prin operatorul densitate de particule n a cu cea dat˘ a de teorema Galitski-Migdal. Cazuri particulare
a. Perturbat¸ie static˘ a ˆIn acest caz r˘aspunsul liniar ˆın densitate al sistemului este dat de formula (9.17), care ˆın situat¸ia prezent˘ a devine Z Z d3 k ik·r 1 e(R) d3 k ik·r e (R) (k, 0) e u e (k) C (k, 0) = e u e(k) Π δhn(r, t)i = 3 3 ~ n R3 (2π) R3 (2π) Z o 1 d3 k ik·r u e(k) n = e − 1 , (9.27) 3 ve(k) κ e(R) (k, 0) R3 (2π) adic˘a distribut¸ia de particule este static˘a.
b. Perturbat¸ie impulsiv˘ a R˘ aspunsul liniar pentru densitatea sistemului ˆın aceast˘a situat¸ie rezult˘a din formula (9.20) Z ∞ Z ∞ dω −iωt 1 e (R) dω −iωt e (R) δhn(r, t)i = w0 eiq·r Cn (q, ω) = w0 eiq·r e e Π (q, ω) ~ −∞ 2π −∞ 2π Z o w0 eiq·r ∞ dω −iωt n 1 − 1 . (9.28) = e (R) ve(q) −∞ 2π κ e (q, ω)
Conform observat¸iei prezentate anterior, excitat¸iile colective ale sistemului, produse de perturbat¸ia impulsiv˘ a, au caracteristicile (energie ¸si timp de viat¸˘a) rezultate din polii transformatei Fourier a polariz˘ arii retardate (sau ˆın mod echivalent, din zerourile funct¸iei dielectrice generalizate retardat˘ a): e (R) (q, zq ) = ∞ Π ⇐⇒ κ e(R) (q, zq ) = 0 , iar ecuat¸ia precedent˘ a are solut¸ia
z q = Ωq − i γ q ;
ˆın acest caz excitat¸ia colectiv˘ a produs˘a de perturbat¸ia cu vectorul de und˘a q are caracteristicile: – energia este ǫq = ~Ωq , – constanta de amortizare este γq , care corespunde la timpul de viat¸˘a τq = γq−1 . Din relat¸ia (3.143) rezult˘a c˘ a funct¸ia dielectric˘a generalizat˘a (cauzal˘a), ˆın spat¸iul impuls∗ e frecvent¸˘ a este κ e(q, ω) = 1 − Π (q, ω) ve(q), iar transformata Fourier a potent¸ialului coulombian este real˘ a ve(q) ∈ R; atunci, din relat¸iile (9.26) se obt¸ine: ( (R) ∗ e (q, ω) , Re κ e (q, ω) = Re κ e(q, ω) = 1 − ve(q) Re Π (R) ∗ e (q, ω) . Im κ e (q, ω) = sgn(ω) Im κ e(q, ω) = − sgn(ω) ve(q) Im Π
˘ CAPITOLUL 9. TEORIA RASPUNSULUI LINIAR
188
Pe baza rezultatelor anterioare se obt¸ine ecuat¸ia excitat¸iilor colective ∗ ∗ e (q, Ωq − iγq ) − sgn(ω) ve(q) Im Π e (q, Ωq − iγq ) = 0 ; 1 − ve(q) Re Π
(9.29)
dac˘a se presupune c˘ a amortizarea este slab˘a (adic˘a γq ≪ Ωq ), deoarece acesta este singurul caz interesant din punct de vedere fizic, atunci se obt¸ine urm˘atoarea solut¸ie a ecuat¸iei (9.29) ∗ e (q, Ωq ) = 1 , (9.30a) ve(q) Re Π ∗ e (q, ω) Im Π . (9.30b) γq ≈ ∂ ∗ e Re Π (q, ω) ω=Ωq ∂ω
Se observ˘ a c˘ a ecuat¸ia (9.30a) are ca solut¸ie energia Ωq , iar apoi se obt¸ine constanta de amortizare γq din formula (9.30b) cumoscˆand solut¸ia ecuat¸iei precedente.
9.2 9.2.1
Formalismul de temperatur˘ a finit˘ a R˘ aspunsul liniar al sistemului la o perturbat¸ie extern˘ a (cazul general)
A. Sistemul neperturbat Se consider˘ a un sistem (fermionic sau bosonic) cu interact¸ii mutuale statice ˆıntre particule; ˆ =H ˆ 0 + Vˆ , unde H ˆ 0 este hamiltonianul cinetic ¸si Vˆ este atunci hamiltonianul sistemului este: H ˆ este atemporal ¸si comut˘a hamiltonianul de interact¸ie. Se observ˘ a c˘ a hamiltonianul sistemului H ˆ: H ˆ,N ˆ ˆ0. cu operatorul num˘ ar de particule N = − Pentru a utiliza formalismul Cuantific˘arii II ˆın mod natural se consider˘ a sitemul ˆın condit¸ii externe grand-canonice (adic˘ a sistemul studiat este ˆın contact cu un rezervor termic ¸si de parˆ = H ˆ − µN ˆ , iar operatorul statistic al ticule); ca urmare, hamiltonianul grand-canonic este K sistemului (neperturbat) are expresia general˘a ̺ˆ0 =
1 −β(H−µ ˆ ˆ) N e , Z0
ˆ ˆ unde Z0 = Tr e−β(H−µN ) este suma de stare (funct¸ia de partit¸ie) grand-canonic˘a a sistemului. Este convenabil s˘a se utilizeze formularea Heisenberg neperturbat˘ a, ˆın care operatorii asociat¸i observabilelor au expresia i ˆ i ˆ (9.31) AˆH (t) = e ~ Ht AˆS e− ~ Ht ; atunci media grand-canonic˘ a a observabilei A (numit˘a medie neperturbat˘ a) este exprimabil˘ a fie ˆın formalismul Schr¨odinger, fie ˆın mod echivalent ˆın formalismul Heisenberg
(9.32) A 0 = Tr ̺ˆ0 AˆS = Tr ̺ˆ0 AˆH (t) , ˆ deoarece operatorul statistic comut˘a cu hamiltonianul: ̺ˆ0 , H = ˆ0. −
B. Sistemul perturbat Se consider˘ a, ˆın mod similar cu situat¸ia discutat˘ a anterior ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a fermionic, c˘ a sistemul considerat anterior are o interact¸ie suplimentar˘ a cu un sistem extern, iar aceast˘a interact¸ie suplimentar˘ a este aplicat˘a la momentul t0 ¸si este suficient de slab˘a, astfel ˆıncˆ at s˘a fie valabil˘a aproximat¸ia de ordinul 1 ˆın raport cu hamiltonianul de perturbat¸ie. ˆIn aceste condit¸ii hamiltonianul de perturbat¸ie (ˆın formularea Schr¨odinger) este de tipul considerat ˆın formula (9.2) Z Z 3 ex ˆ d3 r w(r, t) gˆS (r) , (9.33) d r θ(t − t0 ) u(r, t) gˆS (r) ≡ HS (t) = V
V
unde u(r, t) este potent¸ialul de perturbat¸ie, iar gˆS (r) este operatorul densitate a m˘arimii de cuplaj; de asemenea, s-a introdus potent¸ialul efectiv de perturbat¸ie w(r, t) = θ(t − t0 ) u(r, t).
˘ FINITA ˘ 9.2. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
189
Atunci, hamiltonianul total a sistemului ˆın prezent¸a perturbat¸iei (ˆın formularea Schr¨odinger) este: ˆ total (t) = H ˆ +H ˆ ex (t) . H S S Ecuat¸ia de evolut¸ie a operatorului statistic (ecuat¸ia Liouville-von Neumann) exprimat˘ a cu operatori ai formul˘arii Schr¨odinger) este i~
total ∂ ˆ ̺ˆS (t) = H (t) , ̺ˆS (t) − . S ∂t
(9.34)
Pentru studiul sistemului perturbat este convenabil s˘a se utilizeze formularea Heisenberg neperturbat˘ a (care este ˆın acela¸si timp formularea Dirac perturbat˘ a), adic˘a se consider˘ a hamilˆ ¸si hamiltonianul de perturbat¸ie este H ˆ ex (t). Se vor nota vectorul de tonianul de baz˘ a ca fiind H S stare ¸si operatorii asociat¸i observabilelor cu indicele “H”, dar relat¸iile utilizate vor fi de tipul corespunz˘ator unei formul˘ari Dirac, la fel ca ˆın cazul formalismului de temperatur˘a nul˘a, prezentat anterior. Ca urmare a observat¸iei precedente, hamiltonianul de cuplaj ¸si operatorul statistic ˆın formularea Heisenberg neperturbat˘ a au urm˘atoarele expresii: i ˆ ˆ ex ˆ Sex (t) e− ~i Ht ˆH , H (t) = e ~ Ht H i ˆ ~ Ht
̺ˆH (t) = e
̺ˆS (t) e
ˆ − ~i Ht
(9.35a)
;
(9.35b)
Dac˘ a se consider˘ a c˘ a sistemul ˆınainte de aplicarea perturbat¸iei se afla ˆın stare de echilibru termodinamic, avˆand operatorul statistic ̺ˆ0 , atunci dup˘a aplicarea perturbat¸iei operatorul statistic satisface urm˘atoarea ecuat¸ie de evolut¸ie cu condit¸ia init¸ial˘a −i ˆ ex ∂ HH (t) , ̺ˆH (t) − , ̺ˆH (t) = ∂t ~ ̺ˆH (t0 ) = ̺ˆ0 .
(9.36a) (9.36b)
Demonstrat¸ie: Se deriveaz˘ a operatorul statistic ˆın formularea Heisenberg, definit prin relat¸ia (9.35b), ˆın raport cu variabila temporal˘ a, iar apoi se utilizeaz˘ a ecuat¸ia Liouville-von Neumann: o ni i ˆ i ˆ i ˆ ∂ ∂ ˆ ˆ ̺ˆS (t) − ̺ˆS (t) i H ˆ e− ~i Ht ̺ˆH (t) = e ~ Ht ̺ˆS (t) e− ~ Ht + e ~ Ht H ∂t ∂t ~ ~ n −i o − i Ht i ˆ ˆ ˆ +H ˆ Sex (t) , ̺ˆS (t) + i H ˆ , ̺ˆS (t) = e ~ Ht e ~ H − − ~ ~ i ˆ −i ˆ ˆ Sex (t) , ̺ˆS (t) e− ~i Ht H = e ~ Ht − ~ −i ˆ ex = HH (t) , ̺ˆH (t) − , ~
adic˘ a s-a obt¸inut ecuat¸ia (9.36a).
Condit¸ia init¸ial˘ a se verific˘ a ˆın mod direct luˆ and ˆın considerare faptul c˘ a operatorul statistic de ˆ =ˆ 0 ; ca urmare, se obt¸ine: echilibru comut˘ a cu hamiltonianul neperturbat: ̺ˆ0 , H − i ˆ
i ˆ
i ˆ
i ˆ
̺ˆH (t0 ) = e ~ Ht0 ̺ˆS (t0 ) e− ~ Ht0 = e ~ Ht0 ̺ˆ0 e− ~ Ht0 = ̺ˆ0 .
Ecuat¸ia diferent¸ial˘a cu condit¸ia init¸ial˘a (9.36) este echivalent˘a cu ecuat¸ia integral˘a i ̺ˆH (t) = ̺ˆ0 − ~
Z
t
t0
ex ′ ˆ (t ) , ̺ˆH (t′ ) ; dt′ H H −
(9.37)
ecuat¸ia integral˘a (9.37) se poate rezolva prin metoda iterativ˘ a ¸si ˆın aproximat¸ia de ordinul 1 (liniar˘ a ˆın hamiltonianul de perturbat¸ie) astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: ̺ˆH (t) ≈ ̺ˆ0 − I
i ~
Z
t
t0
ex ′ ˆ (t ) , ̺ˆ0 . dt′ H H −
(9.38)
˘ CAPITOLUL 9. TEORIA RASPUNSULUI LINIAR
190
Media grand-canonic˘ a a observabilei A, cˆ and sistemul se afl˘a ˆın prezent¸a perturbat¸iei, are expresia:
= Tr ̺ˆH (t) AˆH (t) ; A(t) ex t>t0
ˆın aproximat¸ia liniar˘ a pentru operatorul statistic expresia mediei grand-canonice devine: Z
ex ′ i t ′ ˆ H (t ) , ̺ˆ0 AˆH (t) ≈ Tr ̺ˆ0 AˆH (t) − A(t) ex dt Tr H − ~ t0 t>t0 I Z t
i ˆ ex (t′ ) = A(t) 0 − ; (9.39) dt′ Tr ̺ˆ0 AˆH (t) , H H − ~ t0
expresia integrandului din relat¸ia (9.39) s-a obt¸inut efectuˆand permut˘ari circulare ale operatorilor ˆın interiorul urmei operatoriale: ex ′ ex ′ ex ′ ˆ ˆH ˆ H (t ) ̺ˆ0 AˆH (t) − ̺ˆ0 H ˆ H (t ) , ̺ˆ0 AˆH (t) = Tr H (t ) AH (t) Tr H − ex ′ ex ′ ˆ ˆH ˆH (t ) − H (t ) AH (t) . = Tr ̺ˆ0 AˆH (t) H Din relat¸ia (9.39) rezult˘a deviat¸ia mediei unei observabile ˆın prezent¸a perturbat¸iei slabe (adic˘a r˘aspunsul liniar al sistemului): Z
−i t ′ ex ′ ˆH (t ) − . (9.40) dt Tr ̺ˆ0 AˆH (t) , H ≈ δ A(t) ≡ A(t) ex − A(t) 0 t>t0 I ~ t>t0 t0 Se observ˘ a c˘ a s-a exprimat r˘aspunsul liniar al sistemului prin media neperturbat˘ a (rezultatul este analog cu cel din formalismul de temperatur˘a nul˘a).
9.2.2
Exprimarea r˘ aspunsului liniar prin funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ a
Se consider˘ a cazul particular cˆ and observabila este densitatea m˘arimii de cuplaj, Aˆ = gˆ(r), iar hamiltonianul de perturbat¸ie are expresia (9.33), ceea ce implic˘ a pentru formularea Heisenberg neperturbat˘ a urm˘atoarea expresie: Z Z ex ˆH H (t) = d3 r θ(t − t0 ) u(r, t) gˆH (r, t) ≡ d3 r w(r, t) gˆH (r, t) . V
V
ˆIn acest caz se obt¸ine r˘aspunsul liniar pentru densitatea m˘arimii de cuplaj, prin particularizarea relat¸iei (9.40): Z Z
−i t ′ d3 r′ w(r′ , t′ ) gˆH (r′ , t′ ) − dt Tr ̺ˆ0 gˆH (r, t) , δ g(r, t) = ~ t0 V Z Z t −i = d3 r′ (9.41) dt′ θ(t′ − t0 ) u(r′ , t′ ) Tr ̺ˆ0 gˆH (r, t) , gˆH (r′ , t′ ) − . ~ V t0 La fel ca ˆın cazul formalismului de temperatur˘a nul˘a, se transform˘a expresia precedent˘ a prin extinderea integralei temporale peste ˆıntreaga ax˘ a real˘a, conform identit˘ a¸tii Z t Z ∞ Z t ′ ′ ′ ′ ′ ′ dt θ(t − t0 ) F (t ) = dt θ(t − t0 ) F (t ) = dt′ θ(t − t′ ) θ(t′ − t0 ) F (t′ ) , t0
−∞
−∞
astfel c˘ a se obt¸ine urm˘atoarea expresie Z Z ∞
1 3 ′ δ g(r, t) = d r dt′ θ(t′ − t0 ) u(r′ , t′ ) (−i) θ(t − t′ ) Tr ̺ˆ0 gˆH (r, t) , gˆH (r′ , t′ ) − ~ V −∞ Z Z ∞ 1 d3 r′ = dt′ w(r′ , t′ ) (−i) θ(t − t′ ) Tr ̺ˆ0 gˆH (r, t) , gˆH (r′ , t′ ) − . ~ V −∞
Formula precedent˘ a pentru r˘aspunsul liniar se poate exprima cu ajutorul funct¸iei de corelat¸ie retardat˘ a a fluctuat¸iilor m˘arimii de cuplaj g, definit˘ a prin particularizarea relat¸iei (5.180): ′ ′ ′ gK (r, t) , δˆ gK (r′ , t′ ) − , (9.42a) C(R) ˆ0 δˆ g (r, t; r , t ) ≡ (−i) θ(t − t ) Tr ̺
˘ FINITA ˘ 9.2. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
191
unde operatorii sunt definit¸i ˆın formularea grand-canonic˘a i ˆ i ˆ AˆK (t) ≡ e ~ Kt AˆS e− ~ Kt .
(R)
Funct¸ia de corelat¸ie Cg (r, t; r′ , t′ ) se poate transforma prin substituirea operatorilor deviat¸ie grand-canonici δˆ gK (r, t) cu operatorii corespondent¸i ˆın formularea Heisenberg gˆH (r, t): ′ ′ ′ (9.42b) C(R) ˆ0 gˆH (r, t) , gˆH (r′ , t′ ) − . g (r, t; r , t ) = (−i) θ(t − t ) Tr ̺ Demonstrat¸ie:
ˆ = H ˆ − µN ˆ este constituit din operatori Operatorul generator a formul˘ arii grand-canonice K ˆ ˆ ˆ comutabili [H , N ]− = 0, astfel ˆıncˆ at operatorul din formularea grand-canonic˘ a se poate scrie astfel: i ˆ ˆ ˆ ˆK (t) = e ~i Ht ˆS e ~i µNˆ t e− ~i Kt A e− ~ µN t A ; Deoarece operatorul gˆ(r) este o observabil˘ a, rezult˘ a c˘ a acest operator comut˘ a cu operatorul num˘ ar ˆ ]− = ˆ de particule: [ˆ g (r) , N 0; ca urmare, operatorul gˆ(r) are ˆın formul˘ arile grand-canonic˘ a ¸si Heisenberg expresii egale i ˆ
i ˆ
i ˆ
i
ˆ
i
ˆ
i ˆ
i ˆ
i ˆ
gˆK (r, t) ≡ e ~ Kt gˆS (r) e− ~ Kt = e ~ Ht e− ~ µN t gˆS (r) e ~ µN t e− ~ Kt = e ~ Ht gˆS (r) e− ~ Kt = gˆH (r, t) . Pe de alt˘ a parte, operatorul deviat¸ie al m˘ arimii de cuplaj este definit astfel: δˆ g (r) ≡ gˆ(r) − hg(r)iˆ 1, adic˘ a difer˘ a de operatorul de cuplaj printr-un operator banal (proport¸ional cu operatorul unitate; ca urmare, comutatorul deviat¸iilor este egal cu comutatorul operatorilor de cuplaj: δˆ gK (r, t) , δˆ gK (r′ , t′ ) − = gˆK (r, t) , gˆK (r′ , t′ ) − = gˆH (r, t) , gˆH (r′ , t′ ) − .
Pe baza observat¸iilor anterioare rezult˘ a ˆın mod direct forma echivalent˘ a a funct¸iei de corelat¸ie dat˘ a de relat¸ia (9.42b).
Pe baza echivalent¸ei formulelor (9.42a) ¸si (9.42b) pentru funct¸ia de corelat¸ie a m˘arimii de cuplaj, rezult˘a c˘ a r˘aspunsul liniar ala sistemului pentru aceast˘a m˘arime de cuplaj se exprim˘ a ˆın termeni de funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ a astfel: Z Z ∞
1 (r, t; r′ , t′ ) . (9.43) δ g(r, t) = d3 r′ dt′ w(r′ , t′ ) C(R) ~ g V −∞
Rezultatul anterior se exprim˘ a mai simplu ˆın notat¸ie condensat˘a 4-dimensional˘a: Z
1 δ g(x) = d4 x′ w(x) C(R) (x; x′ ) ; ~ g
se observ˘ a c˘ a, la fel ca ˆın cazul formalismului de temperatur˘a nul˘a, r˘aspunsul liniar se exprim˘ a prin funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ a a m˘arimii de cuplaj, iar aceast˘a funct¸ie de corelat¸ie este calculabil˘ a prin propriet˘ a¸ti ale sistemului neperturbat. ˆIn situat¸ia cˆ and sistemul este omogen ˆın absent¸a perturbat¸iei se produc simplific˘ ari importante, deoarece se pot efectua transform˘ari Fourier spat¸io-temporale (pentru simplitate se utilizeaz˘a notat¸ii 4-dimensionale): Z d4 x ik·(x−x) e(R) ′ (R) ′ Cg (k) , e C(R) (x; x ) = C (x − x ) = g g 4 R4 (2π) Z d4 x ik·x w(x) = e w(k) e , 4 R4 (2π) Z d4 x ik·x f δhg(x)i = e δ hgi(k) ; 4 R4 (2π)
atunci, transformata Fourier a relat¸iei (9.43) pentru r˘aspunsul lininar este f δ hgi(k) =
1 e(R) C (k) w(k) e . ~ g
(9.44)
˘ CAPITOLUL 9. TEORIA RASPUNSULUI LINIAR
192
La fel ca ˆın cazul formalismului de temperatur˘a nul˘a, se poate introduce susceptibilitatea generalizat˘ a pentru m˘arimea de cuplaj χ eg (k) ≡
f 1 e(R) δ hgi(k) (k) . = C w(k) e ~ g
Prin utilizarea notat¸iilor detaliate pentru variabilele de impuls-frecvent¸˘a, transformarea Fourier ¸si r˘aspunsul liniar corespunz˘ ator au urm˘atoarele forme: Z Z ∞ d3 k dω ik·r−iωt f δhg(r, t)i = e δ hgi(k, ω) 3 R3 (2π) −∞ 2π 1 e (R) f (k, ω) w(k, e ω) . δ hgi(k, ω) = C ~ g Cazuri particulare de perturbat¸ii
a) Perturbat¸ie static˘ a Se consider˘ a c˘ a perturbat¸ia a fost aplicat˘a la momentul t0 = −∞; atunci potent¸ialul de perturbat¸ie efectiv este w(r, t) = θ(t + ∞) u(r) .
Prin acelea¸si operat¸ii matematice cu cele efectuate ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a, pentru a obt¸ine formula (9.16), ˆın cazul prezent se obt¸ine pentru transformata sa Fourier a potent¸ialului efectiv expresia w(k, e ω) = 2π δ(ω) u e(k) .
Atunci, din relat¸ia (9.44) se obt¸ine r˘aspunsul liniar fat¸˘a de m˘arimea de cuplaj prin efectuarea transform˘ arii Fourier: Z ∞ Z d3 k dω ik·r−iωt f e δ hgi(k, ω) δhg(r, t)i = 3 (2π) 3 −∞ 2π R Z Z ∞ 1 e(R) d3 k dω ik·r−iωt e 2π δ(ω) u e(k) C = g (k, ω) 3 (2π) 2π ~ R3 −∞ Z d3 k ik·r e(R) (k, 0) . e u e(k) C (9.45) = g 3 R3 (2π)
b) Perturbat¸ie impulsiv˘ a ˆIn aceast˘a situat¸ie perturbat¸ia este un puls aplicat la momentul t0 = 0; la fel ca ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a se poate efectua descompunerea Fourier spat¸ial˘a a perturbat¸iei impulsive, astfel ˆıncˆ at pentru simplitate se consider˘ a componenta Fourier cu vectorul de und˘a q: w(r, t) = w0 eiq·r δ(t) . Pentru potent¸ialul considerat anterior transformata Fourier se obt¸ine prin acelea¸si operat¸ii matematice cu cele efectuate pentru formula (9.19), astfel ˆıncˆ at rezult˘a: w(k, e ω) = w0 (2π)3 δ 3 (q − k) ,
Prin utilizarea relat¸iei (9.43) se obt¸ine r˘aspunsul liniar al sistemului pentru cazul perturbat¸iei impulsive ¸si periodic˘ a spat¸ial: Z Z ∞ d3 k dω ik·r−iωt f δhg(r, t)i = e δ hgi(k, ω) 3 R3 (2π) −∞ 2π Z ∞ Z 1 e (R) d3 k dω ik·r−iωt (k, ω) e w0 (2π)3 δ 3 (q − k) C = 3 ~ g −∞ 2π R3 (2π) Z ∞ dω −iωt 1 e (R) = w0 eiq·r C (k, ω) . (9.46) e ~ g −∞ 2π
Se observ˘ a c˘ a s-au obt¸inut rezultate formal identice cu cele pentru formalismul de temperatur˘a nul˘a.
˘ FINITA ˘ 9.2. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
9.2.3
193
Cazul perturbat¸ie cuplat˘ a prin densitatea de particule
Se consider˘ a situat¸ia important˘ a din punct de vedere fizic cˆ and densitatea de cuplaj este ˆ(r); aceast˘a situat¸ia a fost, de asemenea, considerat˘ densitatea de particule: gˆ(r) = n a anterior ˆın cadrul formalismului de temperatur˘a nul˘a, astfel ˆıncˆ at la temperatur˘a finit˘a se obt¸in rezultate similare cu cele anterioare. Hamiltonianul de perturbat¸ie este dat de formula (9.21) Z Z 3 ˆ ex (t) = ˆ(r) . ˆ d3 r w(r, t) n d r θ(t − t ) u(r, t) n (r) ≡ H 0 S V
V
Atunci, conform relat¸iei generale (9.43), r˘aspunsul liniar al sistemului pentru densitatea particulelor este Z Z ∞ Z Z ∞
3 ′ ′ ′ ′ ′ 3 ′ ′ 1 (R) d r dt′ Π (R) (r, t; r′ , t′ ) w(r′ , t′ ) , C (r, t; r , t ) w(r , t ) = d r dt δ n(r, t) = ~ n V −∞ V −∞ (9.47a) deoarece funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ a a fluctuat¸iilor de densitate este legat˘ a de polarizarea (R) a retardat˘ a printr-o relat¸ie de tip Hubbard: Cn (r, t; r′ , t′ ) = ~ Π (R) (r, t; r′ , t′ ); se observ˘a c˘ rezultatul anterior este similar cu cel din formula (9.22a). De asemenea, din relat¸ia (9.44), rezult˘a transformata Fourier a r˘aspunsului liniar pentru densitatea de particule f δ hni(k, ω) =
1 e(R) e (R) (k, ω) w(k, C (k, ω) w(k, e ω) = Π e ω) . ~ n
(9.47b)
Rezultatul precedent este analogul formulei (9.22b). Observat¸ii asupra funct¸iilor de corelat¸ie pentru fluctuat¸iile de densitate ¸si polariz˘arile corespondente: • R˘ aspunsul liniar al sistemului pentru densitatea de particule se exprim˘ a, conform relat¸iilor (9.47), prin funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ a a fluctuat¸iilor de densitate, care a fost definit˘ a prin formula (5.182): ′ ′ ′ C(R) ˆ0 δˆ nK (r, t) , δˆ nK (r′ , t′ ) − n (r, t; r , t ) = − i θ(t − t ) Tr ̺ ˆH (r, t) , n ˆH (r′ , t′ ) − ; = − i θ(t − t′ ) Tr ̺ˆ0 n acestei funct¸ii de corelat¸ie i se asociaz˘a polarizarea retardat˘ a, prin relat¸ia de tip Hubbard: ′ ′ (R) C(R) (r, t; r′ , t′ ) . n (r, t; r , t ) = ~ Π
• ˆIn formalismul de temperatur˘a finit˘a se poate obt¸ine seria de perturbat¸ie pentru funct¸ia de corelat¸ie a fluctuat¸iilor de densitate ˆın sensul Matsubara, care a fost definit˘ a prin formula (5.181) ¸si care este corelat˘ a de polarizarea termic˘ a prin teorema Hubbard (5.198): Cn (r, τ ; r′ , τ ′ ) = − Tr ̺ˆ0 Tτ δˆ nK¯ (r, τ ) · δˆ nK¯ (r′ , τ ′ ) − = ~ Π(r, τ ; r′ , τ ′ ) .
Cˆ and sistemul este omogen se pot efectua transform˘ari Fourier spat¸io-pseudotemporale, conform relat¸iilor (5.156) pentru polarizare, respectiv (5.184) pentru funct¸ia de corelat¸ie, f n (k, ωn ). astfel c˘ a rezult˘a relat¸ia (5.200) ˆıntre transformatele Fourier: Cen (k, ωn ) = ~ Π
• Funct¸ia de corelat¸ie Matsubara, Cn (r, τ ; r′ , τ ′ ) sau transformata sa Fourier Cen (k, ωn ) se pot calcula prin metode perturbative cu ilustrare diagramatic˘ a, dar funct¸ia de corelat¸ie retar(R) dat˘ a Cn (r, t; r′ , t′ ) nu poate fi calculat˘ a prin metodele standard ale teoriei perturbat¸iilor; ca urmare, este necesar s˘a se utilizeze relat¸iile ˆıntre aceste dou˘a funct¸ii de corelat¸ie, sau relat¸iile ˆıntre polariz˘ arile corespondente. Este convenabil s˘a se determine prin calcul perturbativ polarizarea proprie (ˆın spat¸iul ∗ f (k, ωn ), iar apoi prin utilizarea metodei de prelungire analitic˘a reimpuls-frecvent¸˘ a), Π zult˘a transformata Hilbert a funct¸iei pondere irreductibile F ∗ (k, z), din condit¸ia (5.201): ∗ f (k, ωn ). F ∗ (k, iωn ) = Π
˘ CAPITOLUL 9. TEORIA RASPUNSULUI LINIAR
194
Ecuat¸ia Dyson pentru polarizarea total˘ a ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a, are solut¸ia (5.166), iar aceast˘a solut¸ie se exprim˘ a prin transformata Hilbert a funct¸iei pondere irreductibile, conform relat¸iei (5.203): f ωn ) = Π(k,
∗
f (k, ωn ) Fe ∗ (k, iωn ) Π = ; ∗ f (k, ωn ) 1 − ve(k) Fe ∗ (k, iωn ) 1 − ve(k) Π
din rezultatul precedent, prin prelungire analitic˘a, conform relat¸iei (5.207), se obt¸ine polarizarea retardat˘ a: Fe ∗ (k, ω + iη) (R) e f . (9.48) Π (k, ω) = Π(k, ωn ) = ∗ e iωn →ω+iη 1 − ve(k) F (k, ω + iη) η→0+
Cazuri particulare
a. Perturbat¸ie static˘ a ˆIn acest caz r˘aspunsul liniar ˆın densitate al sistemului este dat de formula (9.45), care ˆın situat¸ia prezent˘ a devine Z Z d3 k ik·r 1 e (R) d3 k ik·r e (R) (k, 0) , e u e (k) C (k, 0) = e u e(k) Π (9.49) δhn(r, t)i = n 3 3 ~ R3 (2π) R3 (2π) unde transformata Fourier a polariz˘ arii retardate la frecvent¸˘a nul˘a se obt¸ine prin prelungire analitic˘a, cu formula (9.48) e (R) (k, 0) = Π
Fe ∗ (k, iη) . 1 − ve(k) Fe ∗ (k, iη) η→0+
(9.50)
b. Perturbat¸ie impulsiv˘ a R˘ aspunsul liniar pentru densitatea sistemului cˆ and se consider˘a pulsul periodic spat¸ial cu vectorul de und˘a q, rezult˘a din formula (9.46) Z ∞ Z ∞ dω −iωt 1 e (R) dω −iωt e (R) δhn(r, t)i = w0 eiq·r Cn (q, ω) = w0 eiq·r e e Π (q, ω) . (9.51) ~ −∞ 2π −∞ 2π
ˆIn aceast˘a situat¸ie, la fel ca ˆın cadrul formalismului de temperatur˘a nul˘a, pulsul extern produce excitat¸ii ale sistemului care se comport˘ a ca moduri colective; excitat¸iile colective ale sistemului, produse de perturbat¸ia impulsiv˘ a, au caracteristicile (energie ¸si timp de viat¸˘a) rezultate din polii transformatei Fourier a polariz˘ arii retardate:
iar ecuat¸ia precedent˘ a are solut¸ia
e (R) (q, zq ) = ∞ , Π z q = Ωq − i γq ;
ˆın acest caz excitat¸ia colectiv˘ a produs˘a de perturbat¸ia cu vectorul de und˘a q are caracteristicile: – energia este ǫq = ~Ωq , – constanta de amortizare este γq , care corespunde la timpul de viat¸˘a τq = γq−1 . Din relat¸ia (9.48) se obt¸ine ecuat¸ia excitat¸iilor colective: 1 − ve(k) Fe∗ (q, zq ) = 0 ;
(9.52)
deoarece transformata Fourier a potent¸ialului coulombian este o m˘arime real˘a ve(q) ∈ R, atunci rezult˘a sistemul de ecuat¸ii v (q) Re F ∗ (q, Ωq − iγq ) = 1 , e (9.53a) ∗ Im F (q, Ωq − iγq ) = 0 . (9.53b)
˘ 9.3. RASPUNSUL LINIAR AL SISTEMULUI ELECTRONIC CU DENSITATE MARE
195
Dac˘ a se presupune c˘ a amortizarea este slab˘a (adic˘a γq ≪ Ωq ), deoarece acesta este singurul caz interesant din punct de vedere fizic, atunci se obt¸ine urm˘atoarea solut¸ie a ecuat¸iei (9.52) ve(q) Re F ∗ (q, Ωq ) = 1 , (9.54a) ∗ Im F (q, ω) γq ≈ . (9.54b) ∂ Re F ∗ (q, ω) ω=Ωq ∂ω
Se observ˘ a c˘ a ecuat¸ia (9.54a) are ca solut¸ie energia Ωq , iar apoi se obt¸ine constanta de amortizare γq din formula (9.54b) cunoscˆ and solut¸ia ecuat¸iei precedente (situat¸ia este similar˘ a cu cea din formalismul de temperatur˘a nul˘a).
9.3
R˘ aspunsul liniar al sistemului electronic cu densitate mare
9.3.1
Ecranarea gazului electronic
Se consider˘ a sistemul de electroni cu interact¸ii coulombiene ¸si plasat ˆın fondul de sarcin˘a pozitiv˘ a uniform˘a, acesta fiind modelul jellium care a fost prezentat ˆın Sect¸iunea 7.1; se va considera cazul cˆ and sistemul electronic are densitate de particule suficient de mare, astfel ˆıncˆ at s˘a fie valabil˘a aproximat¸ia fazelor aleatoare (RPA), prezentat˘a ˆın Sect¸iunea 7.2. Suplimentar fat¸˘a de modelul jellium se adaug˘a o sarcin˘a punctual˘a extern˘a pozitiv˘ a Q = +Ze ¸si fix˘ a, plasat˘a ˆın punctul r0 = 0; aceast˘a sarcin˘a extern˘a creaz˘ a o perturbat¸ie electrostatic˘a cu potent¸ialul −Z e2 . u(r) = r Se va discuta r˘aspunsul sistemului de electroni la perturbat¸ia creat˘ a de sarcina extern˘a static˘a, atˆat la temperatura nul˘a, cˆ at ¸si la temperatur˘a finit˘a; se va evident¸ia faptul c˘ a acest r˘aspuns al sistemului implic˘ a o ecranare a sarcinii externe. A. Teoria la temperatur˘ a nul˘ a R˘ aspunsul liniar al sistemului la o perturbat¸ie static˘a ¸si cuplat˘ a prin densitatea de particule este descris˘ a de formula (9.27) Z Z o d3 k ik·r u 1 d3 k ik·r e(k) n e (R) (k, 0) = e u e (k) Π e δhn(r, t)i = − 1 . 3 3 ve(k) κ e(R) (k, 0) R3 (2π) R3 (2π)
ˆIn cazul studiat rezultatul general precedent se particularizeaz˘a astfel:
• Potent¸ialul interact¸iei interparticul˘a v(r) ¸si potent¸ialul interact¸iei externe u(r) sunt ambele coulombiene e2 r −Z e2 u(r) = r v(r) =
de unde rezult˘a
−→ −→
4π e2 , k2 4π e2 u e(k) = −Z 2 , k ve(k) =
u e(k) = −Z . ve(k)
• Funct¸ia dielectric˘a generalizat˘a ˆın aproximat¸ia fazelor aleatoare este dat˘a de formula (7.18) e 0 (k, ω) , κ e(k, ω) ≈ κ eRPA (k, ω) = 1 − ve(k) Π RPA
iar p˘ art¸ile real˘ a ¸si imaginar˘ a ale funct¸iei dielectrice generalizate retardat˘ a sunt date de formulele (9.26) (R) Re e κ (k, ω) = Re κ e(k, ω) (R) Im e κ (k, ω) = sgn(ω) Im κ e(k, ω) ;
˘ CAPITOLUL 9. TEORIA RASPUNSULUI LINIAR
196
la limita frecvent¸ei nule funct¸ia dielectric˘a generalizat˘a ˆın aproximat¸ia RPA este real˘a, conform relat¸iilor (7.20) ¸si (7.21), astfel c˘ a funct¸ia dielectric˘a generalizat˘a retardat˘ a la frecvent¸˘ a nul˘a este: κ e(R) (k, 0) ≈ κ eRPA (k, 0) = 1 +
k 2 qTF g , k2 kF
unde qTF este vectorul de und˘a Thomas-Fermi definit prin formula (7.22), iar funct¸ia g(x) este funct¸ia caracteristic˘ a polariz˘arii de ordinul 0, definit˘ a prin expresia (3.149) 1 1 x2 2 − x , g(x) ≡ − 1− ln 2 2x 4 2 + x
¸si avˆand urm˘atoarele expresii asimptotice g(x) ≈ −1 + O(x2 ) ,
1 x−2 ln g(x) ≈ − + 2 4 4 g(x) ≈ − 2 , 3x
h |x − 2| i 4
pentru x ≪ 1 , pentru |x − 2| ≪ 1 ,
,
pentru x ≫ 1 .
Atunci se obt¸ine urm˘atoarea expresie ˆın aproximat¸ia RPA: k k 2 qTF 2 g q g TF 1 1−κ e (k, 0) k2 kF kF −1= ≈− 2 k =− k. κ e(R) (k, 0) κ(R) (k, 0) e qTF 2 g 1+ 2 g k 2 + qTF k kF kF (R)
Pe baza observat¸iilor precedente se obt¸ine formula care descrie modificarea distribut¸iei electronice ˆın aproximat¸ia RPA:
δhn(r)i ≈ Z RPA
Z
3
R3
d k ik·r e (2π)3
k kF k. 2 g k 2 + qTF kF 2 qTF g
(9.55)
Consecint¸e ale formulei (9.55) a. Sarcina indus˘ a Densitatea de sarcin˘a indus˘a de perturbat¸ia punctual˘a extern˘a este
δρ(r) = −e δhn(r)i ≈ −e Z RPA
Z
3
d k ik·r e 3 R3 (2π)
k kF k. 2 2 k + qTF g kF 2 qTF g
Din rezultatul precedent se deduce sarcina total˘ a indus˘a
δQ =
Z
V
d3 r δρ(r) ≈ −e Z RPA
Z
3
d k ik·r e 3 R3 (2π)
k Z kF d3 r eik·r ; k V 2 g k 2 + qTF kF 2 qTF g
la limita termodinamic˘ a (V → ∞) integrala spat¸ial˘a este egal˘a cu funct¸ia Dirac Z d3 r eik·r −→ (2π)3 δ 3 (k) , V
V →∞
(9.56)
˘ 9.3. RASPUNSUL LINIAR AL SISTEMULUI ELECTRONIC CU DENSITATE MARE
197
astfel ˆıncˆ at, luˆand ˆın considerare c˘ a g(0) = 1, sarcina total˘ a indus˘a este k d3 k ik·r q 2 g(0) kF e δQ ≈ −e Z (2π)3 δ 3 (k) = −e Z TF 2 g(0) = −e Z = −Q , 3 qTF k R3 (2π) 2 2 k + qTF g kF (9.57) ceea ce implic˘ a ecranare total˘ a la distant¸e mari de sarcina perturbatoare. 2 qTF g
Z
b. Comparat¸ie cu rezultatul teoriei semi-clasice Thomas-Fermi Teoria Thomas-Fermi prevede urm˘atoarea expresie a modific˘arii distribut¸iei de densitate electronic˘ a, produs˘ a de sarcina extern˘a perturbatoare 1 δhn(r)iTF ≈ Z
Z
2 d3 k ik·r qTF e ; 2 3 k 2 + qTF R3 (2π)
prin efectuarea integralei dup˘a vectorul de und˘a rezult˘a δhn(r)iTF ≈
(9.58a)
2
2 Z qTF e−qTF r . 4π r
(9.58b)
Din comparat¸ia expresiei semi-clasice Thomas-Fermi (9.58b) cu expresia cuantic˘ a dat˘a de aproximat¸ia RPA (9.55) se observ˘ a c˘ a cele dou˘a expresii sunt echivalente numai dac˘a este posibil˘a k ≈ g(0) = 1; condit¸ia precedent˘ a s-ar putea realiza dac˘a la transformarea aproximarea: g kF Fourier contribut¸ia dominant˘ a provine de la vectorii de und˘a mici (k ≪ kF ). Totu¸si, se va ar˘ata c˘ a aproximat¸ia RPA produce rezultatul Langer-Vasko, care nu este reductibil la rezultatul aproximat¸iei Thomas-Fermi. c. Formula Langer-Vasko Se efectueaz˘ a transformata Fourier definit˘ a de formula (9.55) prin utilizarea coordonatelor sferice k = (k, θ, ϕ), luˆand axa polar˘ a pe direct¸ia vectorului r; integrala dup˘a coordonata azimutal˘a (ϕ) este banal˘a ¸si produce factorul 2π, iar integrala dup˘a coordonata polar˘a se simplific˘ a prin schimbarea de variabil˘ a u = cos θ, astfel ˆıncˆ at rezult˘a: k d k ik·r kF δhn(r)i ≈ Z e k 3 RPA R3 (2π) 2 g k 2 + qTF kF k 2 Z π Z 2π Z ∞ qTF g 2π kF ikr cos θ 2 =Z dθ sin θ e dϕ dk k k (2π)3 0 0 0 2 g k 2 + qTF kF k 2 Z ∞ Z 1 qTF g 2π kF 2 =Z dk k du eikru k (2π)3 0 −1 2 g k 2 + qTF kF k k 2 2 Z ∞ Z ∞ qTF g qTF g Z kF kF −ikr dk eikr k − dk e k = 2 k k ; 4π ir 0 0 2 2 2 2 k + qTF g k + qTF g kF kF Z
3
2 qTF g
1 Teoriile semi-clasice care descriu sistemul electronic, adic˘ a teoria Thomas-Fermi, teoria Debye-H¨ uckel ¸si teoria Langmuir sunt prezentate la sfˆ ar¸situl acestei sect¸iuni. 2 Calculul integralei se efectueaz˘ a ˆın mod convenabil prin utilizarea teoriei funct¸iilor de variabil˘ a complex˘ a, a¸sa cu se va ar˘ ata la prezentarea teoriei Thomas-Fermi, care va fi f˘ acut˘ a la sfˆ ar¸situl acestei sect¸iuni.
˘ CAPITOLUL 9. TEORIA RASPUNSULUI LINIAR
198
a doua integral˘a se transform˘ a luˆand ˆın considerare proprietatea de paritate a funct¸iei g(x), adic˘a g(−x) = g(x): Z
0
∞
k − k 2 Z −∞ qTF g kF kF dk e−ikr k dk e−ikr k k = − k 0 2 g 2 g k 2 + qTF k 2 + qTF kF kF k 2 Z 0 qTF g kF ikr dk e k =− k . −∞ 2 g k 2 + qTF kF 2 qTF g
Pe baza propriet˘ a¸tii precedente rezult˘a urm˘atoarea expresie a distribut¸iei electronice: k Z ∞ Z Z kF ikr ≡ dk e k dk F (k) , δhn(r)i = k 4π 2 ir −∞ 4π 2 ir −∞ 2 2 k + qTF g kF Z
unde
∞
2 qTF g
k kF F (k) ≡ eikr k k. 2 2 k + qTF g kF
(9.59a)
2 qTF g
(9.59b)
k are o singularitate kF logaritmic˘ a la k = ±2 kF . Ca urmare se efectueaz˘a urm˘atoarele operat¸ii: i. se izoleaz˘ a singularitatea prin transformarea integrandului k2 F (k) = eikr k 1 − k ; 2 2 k + qTF g kF
Pentru efectuarea integralei din formula (9.59a) se observ˘a c˘ a funct¸ia g
ii. se redefine¸ste funct¸ia g(x), pentru a deplasa singularit˘a¸tile de pe axa real˘a: k 1 k k 2 2kF − k F 1− ln g ≡ − kF 2 2k 4 kF2 2kF + k
↓ k 1 k k2 1 (2kF − k)2 + η 2 F gη 1− ≡ − ln kF 2 2k 4 kF2 2 (2kF + k)2 + η 2 η→0+ 1 (2kF − k)(2kF + k) 1 (2kF + iη − k)(2kF − iη − k) = − ln ; 2 8kF k 2 (2kF + iη + k)(2kF − iη + k) η→0+
iii. se efectueaz˘ a integrala ˆın planul complex cu variabila z = k + iγ, astfel ˆıncˆ at funct¸ia integrand este ) ( z2 irz Fη (z) = e z 1 − z . 2 2 z + qTF gη kF
Pentru a efectua integrala ˆın planul complex se observ˘a urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: a) funct¸ia caracteristic˘ a gη (z/kF ) are urm˘atoarea comportare asimptotic˘a pe cercul de la infinit z 1 gη ∼ ; kF |z|→∞ z 2 b) pentru valorile z = ±2kF ± iη funct¸ia g(z/kF ) are singularit˘ a¸ti esent¸iale;
˘ 9.3. RASPUNSUL LINIAR AL SISTEMULUI ELECTRONIC CU DENSITATE MARE
199
γ
C∞
C2−
C1−
C2+
−2kF + iη
C∞
C1+
2kF + iη
−2kF
k
2kF
−2kF + iη
2kF + iη
Figura 9.1: Conturul de integrare pentru funct¸ia Fη (z). c) funct¸ia integrand tinde uniform la valoarea nul˘a pe semicercul superior cu raz˘ a cresc˘ atoare Fη (z) → 0 , pentru |z| → ∞ ¸si Im z > 0 ;
atunci, pentru a putea aplica lema Jordan, se efectueaz˘a integrarea pe semiplanul superior, unde exist˘a 2 singularit˘a¸ti esent¸iale ale integrandului z1 = 2kF + iη , z2 = −2kF + iη ;
pentru excluderea singularit˘a¸tilor se efectuaz˘a t˘ aieturi ˆın planul complex ¸si atunci este necesar s˘a se determine comportarea funct¸iei integrand Fη (z) pe fet¸ele t˘ aieturilor. Atunci, prin efectuarea integralei ˆın planul complex, pentru valori mari ale distant¸ei fat¸˘a de sarcina perturbatoare (cˆand kF r ≫ 1) se obt¸ine rezultatul Langer-Vasko: Z
∞
−∞
dk F (k)
≈
kF r≫1
2 qTF 2kF2 cos(2kF r) Z . 2 2 2π r3 qTF 4+ 2 2kF
(9.60)
Demonstrat¸ie: Integrala se calculeaz˘ a cu funct¸ia integrand infinitezimal modificat˘ a (pentru a deplasa singularit˘ a¸tile de pe axa real˘ a) ¸si luˆ and ˆın considerare c˘ a funct¸ia integrand modificat˘ a Fη (z) este analitic˘ a ˆın planul complex cu t˘ aieturile legate de singularit˘ a¸tile esent¸iale; se deformeaz˘ a conturul la curba C = C∞ ∪ C1 ∪ C2 , dup˘ a cum este ilustrat ˆın figura 9.1 Z ∞ Z ∞ Z dk F (k) = lim dk Fη (k) = lim dz Fη (z) η→0 −∞ η→0 C −∞ Z Z Z = lim dz Fη (z) + dz Fη (z) + dz Fη (z) . η→0
C∞
C1
C2
˘ CAPITOLUL 9. TEORIA RASPUNSULUI LINIAR
200
Cele 3 integrale se efectueaz˘ a ˆın felul urm˘ ator. Integrala pe semicercul superior cu raza infinit˘ a este nul˘ a, pe baza lemei Jordan, deoarece integrandul este de forma Fη (z) = eirz fη (z), unde funct¸ia fη (z) tinde c˘ atre valoarea nul˘ a pe semicercul superior cu raza tinzˆ and la infinit; atunci se obt¸ine: Z dz Fη (z) = 0 . C∞
and singularitatea esenIntegrala pe conturul C1 , care are port¸iunile verticale C1+ ¸si C1− , ˆınconjurˆ ¸tial˘ a z1 = 2kF + iη, se descompune ˆın integralele corespunz˘ atoare celor 2 p˘ art¸i ale conturului C1 : Z Z Z Z dz Fη (z) = dz Fη (z) − dz Fη (z) = dz Fη+ (z) − Fη− (z) ; + C1
C1
− C1
C1
deoarece funct¸ia integrand Fη (z) are ca parte multiform˘ a funct¸ia gη (z), se expliciteaz˘ a integrala ˆın raport cu aceast˘ a funct¸ie multiform˘ a: Z Z n o −z 2 −z 2 dz Fη (z) = dz eirz z − 2 2 z 2 + qTF gη+ z/kF z 2 + qTF gη− z/kF C1 C1 + Z + 2 qTF gη z/kF − gη z/kF . = dz eirz z 3 2 2 2 gη+ z/kF z + qTF gη+ z/kF z 2 + qTF C1 Pe cele dou˘ a fet¸e ale conturului C1 variabila de integrare este z
C1
= 2kF + iγ, unde γ ∈ (η, ∞);
ca urmare, integrala precedent˘ a se efectueaz˘ a ˆın raport cu variabila γ: Z Z ∞ dz Fη (z) = i dγ eir(2kF +iγ) (2kF + iγ)3 C1
η
h 2kF + iγ 2kF + iγ i 2 gη+ − gη− qTF kF kF ×h 2kF + iγ ih 2kF + iγ i 2 2 (2kF + iγ)2 + qTF gη+ (2kF + iγ)2 + qTF gη− kF kF Z ∞ 2 i2kF r −rγ 3 = i qTF e dγ e (2kF + iγ) η
2kF + iγ 2kF + iγ − gη− kF kF ×h 2kF + iγ ih 2kF + iγ i . + 2 2 (2kF + iγ)2 + qTF gη (2kF + iγ)2 + qTF gη− kF kF gη+
Deoarece se consider˘ a comportarea integralei la distant¸e mari de sarcina perturbatoare, rezult˘ a c˘ a exponent¸iala e−rγ are valori apreciabile numai ˆın vecin˘ atatea limitei inferioare a integralei, astfel ˆıncˆ at se poate face aproximat¸ia pentru restul integrandului cu valoarea de la limita inferioar˘ a: Z Z ∞ 2 dz Fη (z) = i qTF ei2kF r dγ e−rγ C1
η
h 2kF + iγ 2kF + iγ i (2kF + iγ)3 gη+ − gη− kF kF ×h . 2kF + iγ i 2kF + iγ ih 2 2 γ≈η→0 (2kF + iγ)2 + qTF gη− (2kF + iγ)2 + qTF gη+ kF kF
Pentru valori mici ale variabilei γ se obt¸in urm˘ atoarele aproximat¸ii:
2kF + iγ −iγ(4kF + iγ) −γ 2 + η 2 1 −→ 1 , ln = − kF 2 16kF (2kF + iγ) (4kF + iη)2 + η 2 ± γ→0 2 2kF + iγ 2kF + iγ 2kF + iγ −iγ(4kF + iγ) ∆ ln(2kF + iγ − z) ≡ gη+ − gη− =− ∆gη kF kF kF 16kF (2kF + iγ) C1 πγ 4kF + iγ π = γ, −→ 8kF 2kF + iγ γ→0 4kF unde saltul logaritmului este ∆ ln(2kF + iγ − z) = −2πi. gη±
C1
˘ 9.3. RASPUNSUL LINIAR AL SISTEMULUI ELECTRONIC CU DENSITATE MARE
201
Atunci integrala anterioar˘ a, la distant¸e (r) mari, se aproximeaz˘ a astfel: Z
C1
dz Fη (z) ≈
2 i qTF
i2kF r
∞
−rγ
dγ e
3
π γ 4kF
(2kF ) h 1i2 2 (2kF )2 + qTF 2 Z ∞ 2 2 kF2 qTF i2k r dγ γ e−rγ = iπ 2 e F 2 η 4kF2 + qTF /2 = iπ
e
Z
η
2 2 kF2 qTF
4kF2
+
i2k r 2 e F
2 qTF /2
η r + 1 −rγ e . r2
Integrala pe conturul C2 se efectueaz˘ a ˆın mod similar cu integrala precedent˘ a (pe conturul C1 ): Z Z Z Z dz Fη (z) = dz Fη (z) − dz Fη+ (z) − Fη− (z) dz Fη (z) = C2
Z
+ C2
n
− C2
C2
o −z 2 −z 2 = dz eirz z − 2 2 z 2 + qTF gη+ z/kF z 2 + qTF gη− z/kF C2 + Z + 2 qTF gη z/kF − gη z/kF irz 3 ; = dz e z 2 2 2 gη+ z/kF z + qTF gη+ z/kF z 2 + qTF C2 ˆın acest caz pe cele dou˘ a fet¸e ale conturului C2 variabila de integrare este z = −2kF + iγ, unde C2
γ ∈ (η, ∞), astfel ˆıncˆ at integrala precedent˘ a se efectueaz˘ a ˆın raport cu variabila γ: Z Z ∞ dz Fη (z) = i dγ eir(−2kF +iγ) (−2kF + iγ)3 C2
η
h − 2kF + iγ − 2kF + iγ i 2 gη+ qTF − gη− kF kF ×h − 2kF + iγ ih − 2kF + iγ i 2 2 (−2kF + iγ)2 + qTF gη+ (2kF + iγ)2 + qTF gη− kF kF Z ∞ 2 −i2kF r −rγ 3 = i qTF e dγ e (−2kF + iγ) η
− 2kF + iγ − 2kF + iγ − gη− kF kF ×h − 2kF + iγ ih − 2kF + iγ i . 2 2 (−2kF + iγ)2 + qTF gη+ (−2kF + iγ)2 + qTF gη− kF kF gη+
Deoarece se consider˘ a comportarea integralei la distant¸e mari de sarcina perturbatoare, rezult˘ a c˘ a exponent¸iala e−rγ are valori apreciabile numai ˆın vecin˘ atatea limitei inferioare a integralei, la fel ca ˆın cazul precedent, astfel ˆıncˆ at se poate face aproximat¸ia pentru restul integrandului cu valoarea de la limita inferioar˘ a (γ ≈ η → 0): Z ∞ Z 2 dz Fη (z) = i qTF e−i2kF r dγ e−rγ C2
η
h − 2kF + iγ − 2kF + iγ i (2kF + iγ)3 gη+ − gη− kF kF ×h − 2kF + iγ i . − 2kF + iγ ih − + 2 2 2 2 (−2kF + iγ) + qTF gη (−2kF + iγ) + qTF gη kF kF
Pentru valori mici ale variabilei γ se obt¸in urm˘ atoarele aproximat¸ii: gη±
− 2kF + iγ −iγ(4kF − iγ) −γ 2 + η 2 1 −→ 1 , ln = − 2 2 kF 2 16kF (2kF − iγ) (4kF − iη) + η ± γ→0 2 − 2kF + iγ − 2kF + iγ − 2kF + iγ ∆gη ≡ gη+ − gη− kF kF kF iγ(4kF + iγ) = ∆ ln(2kF − iγ + z) 16kF (−2kF + iγ) C2 π πγ 4kF + iγ γ, −→ − =− 8kF 2kF − iγ γ→0 4kF
˘ CAPITOLUL 9. TEORIA RASPUNSULUI LINIAR
202
unde saltul logaritmului este ∆ ln(2kF − iγ + z)
C2
= 2πi.
Atunci integrala anterioar˘ a, la distant¸e (r) mari, se aproximeaz˘ a astfel: Z
C2
dz Fη (z) ≈
2 i qTF
= iπ = iπ
−i2kF r
e
Z
∞
−rγ
dγ e η
2 2 kF2 qTF
(−2kF ) h
−i2kF r 2 e 2 2 4kF + qTF /2 2 2 kF2 qTF
−i2kF r 2 e 2 2 4kF + qTF /2
−π γ 4kF
3
Z
∞
2 (−2kF )2 + qTF
dγ γ e−rγ
1i2 2
η
η r + 1 −rγ e . r2
Prin adunarea contribut¸iilor celor 3 integrale, ˆın cazul distant¸elor mari fat¸˘ a de sarcina perturbatoare, se obt¸ine: Z ∞ 2 2 kF2 qTF i2k r η r + 1 −rγ dk F (k) ≈ lim 0 + iπ e 2 e F η→0 r2 2 2 −∞ 4kF + qTF /2 2 2 kF2 qTF −i2kF r η r + 1 −rγ e + iπ 2 e r2 2 4kF2 + qTF /2 2 qTF 1 2kF2 i2kF r + e−i2kF r = i 4π 2 2 e r2 qTF 4+ 2 2kF
2 qTF 2kF2 cos(2kF r) = i 8π . 2 2 r2 qTF 4+ 2 2kF
Atunci, modificarea densit˘ a¸tii de particule la distant¸e r mari de sarcina perturbatoare este
δhn(r)i =
Z 4π 2 ir
Z
∞ −∞
dk F (k) = ≈
kF r≫1
adic˘ a s-a obt¸inut rezultatul cerut de formula (9.60).
2 qTF 2kF2 Z cos(2kF r) . 2 2 2π r3 qTF 4+ 2 2kF
Observat¸ii asupra rezultatului Langer-Vasko. i. Limita asimptotic˘a a rezultatului cuantic (Langer-Vasko) este calitativ diferit˘a fat¸˘a de rezultatul semi-clasic (Thomas-Fermi): 1 −qTF r • formula Thomas-Fermi δhn(r)i ∼ e implic˘ a o sc˘adere exponent¸ial˘a monoton˘a a r deviat¸iei densit˘ a¸tii electronice; cos(2kF r) implic˘ a o sc˘adere algebric˘a (∼ r−3 ), ˆınsot¸it˘a r3 de oscilat¸ii cu lungimea de und˘a λ = π/kF , numite oscilat¸ii Friedel.
• formula Langer-Vasko δhn(r)i ∼
Rezultatul cuantic este o descriere mai exact˘ a a propriet˘ a¸tilor de r˘aspuns ale sistemului electronic, deoarece se include funct¸ia de distribut¸ie pentru particule ˆın interact¸ie; din contr˘ a, ˆın teoria Thomas-Fermi se consider˘ a electronii ca fiind liberi (f˘ ar˘a interact¸ii). ii. Oscilat¸iile Friedel (oscilat¸ii ale sarcinii de ecranare cu raz˘ a lung˘a de act¸iune) pot fi explicate ˆın mod calitativ pe baza faptului c˘ a suprafat¸a Fermi la temperatur˘a nul˘a este abrupt˘a (discontinu˘ a) ˆın spat¸iul vectorului de und˘a (impulsului) la valoarea q = kF , adic˘a funct¸ia de distribut¸ie electronic˘ a, care este funct¸ia Fermi-Dirac, la temperatur˘a nul˘a este descris˘ a de funct¸ia treapt˘ a Heaviside nq = θ(kF − q), ceea ce face imposibil s˘a se construiasc˘a funct¸ii caracteristice ale sistemului electronic care s˘a fie continue la valori mari ale vectorului de und˘a q > kF .
˘ 9.3. RASPUNSUL LINIAR AL SISTEMULUI ELECTRONIC CU DENSITATE MARE
203
A. Teoria la temperatur˘ a finit˘ a R˘ aspunsul liniar al sistemului la o perturbat¸ie static˘a ¸si cuplat˘ a prin densitatea de particule este descris˘ a de formula (9.49) δhn(r, t)i =
Z
(R) d3 k ik·r f (k, 0) , e u e(k) Π 3 (2π) 3 R (R)
f (k, 0) se obt¸ine din transformata Hilunde polarizarea termic˘ a retardat˘ a de frecvent¸˘a nul˘a Π bert a funct¸iei pondere F (k, iη) cu frecvent¸˘a imaginar˘a infinitezimal˘a, conform relat¸iei (9.50) f Π
(R)
(k, 0) =
F (k, iη) . 1 − ve(k) F (k, iη)
ˆIn cazul studiat rezultatul general precedent se particularizeaz˘a astfel: • Potent¸ialul interact¸iei interparticul˘a v(r) ¸si potent¸ialul interact¸iei externe u(r) sunt ambele coulombiene e2 r −Z e2 u(r) = r v(r) =
de unde rezult˘a
4π e2 , k2 4π e2 u e(k) = −Z 2 , k
−→
ve(k) =
−→
u e(k) = −Z . ve(k)
• Pentru a obt¸ine polarizarea retardat˘ a, conform relat¸iei (9.50), se determin˘a init¸ial polari∗ f zarea termic˘ a proprie Matsubara Π (k, ωn ) prin calcul perturbat¸ional, iar apoi se obt¸ine transformata Hilbert a funct¸iei pondere F (k, z) efectuˆand prelungirea analitic˘a ˆın planul ∗ f (k, ωn ). complex al frecvent¸ei, prin utilizarea condit¸iei F (k, iωn ) = Π Deoarece sistemul considerat este gazul electronic la densit˘ a¸ti mari, atunci este valabil˘a aproximat¸ia fazelor aleatoare (RPA), ceea ce implic˘ a a considera polarizarea proprie ca fiind aproximativ egal˘a cu polarizarea de ordinul 0: ∗
0
f (k, ωn ) ≈ Π f (k, ωn ) , Π RPA
care este descris˘ a de formula (5.170); ca urmare, se obt¸ine: −2 F (k, z) ≈ F (k, z) = RPA ~ 0
Z
n0p+k − n0p d3 p . 1 3 R3 (2π) z − ~ (εp+k − εp )
ˆIn cazul general expresiile care descriu modificarea distribut¸iei elecronice sunt descrise prin integrale care nu se pot evalua analitic ˆın mod exact; ca urmare, este necesar s˘a se efectueze calcule numerice, sau s˘a se considere situat¸ii asimptotice cˆ and integralele se simplific˘ a. Limita clasic˘ a este situat¸ia cˆ and se pot efectua calcule analitice, deoarece p˘ art¸ile real˘a ¸si imaginar˘ a ale funct¸iei F 0 (k, z) au expresiile date de formulele (5.211) ¸si (5.212): r r r mβ h ω 0 mβ mβ h ω n ~q i ~q i Re F (q, ω) = − Φ −Φ + − ~k 2 2 q 2m 2 q 2m β ~ ω r 2 2 sinh ω2 0 + ~4mq2 −β m nβω π 2 q2 2 . mβ e Im F (q, ω) = − k 2 β~ω 2
˘ CAPITOLUL 9. TEORIA RASPUNSULUI LINIAR
204
unde Φ(x) este funct¸ia real˘ a de dispersie pentru plasm˘a, definit˘ a prin formula (5.210) Z ∞ 2 e−ξ 1 Φ(x) ≡ √ − dξ π −∞ x − ξ ˆIn cazul perturbat¸iei statice sunt necesare numai m˘arimi corespunz˘ atoare frecvent¸ei nule; atunci funct¸ia F 0 (k, 0) este descris˘ a de formulele (5.214) Re F 0 (q, 0) = − n β gc λ q , Im F 0 (q, 0) = 0 , r 2π~2 β este lungimea de und˘a termic˘ a ¸si gc (x) este funct¸ia caracteristic˘ a, definit˘ a unde λ ≡ m prin formula (5.213) √ 2 π x , gc (x) ≡ Φ √ x 4 π care are urm˘atoarele comport˘ ari asimptotice: x2 ≈ 1 − , x≪1 24π gc (x) ≈ ≈ 8π 1 + 8π . x≫1 x2 x2
Pe baza observat¸iilor anterioare se obt¸ine polarizarea termic˘ a retardat˘ a ˆın aproximat¸ia RPA ¸si limita clasic˘ a, la frecvent¸˘ a nul˘a: f(R) (k, 0) ≈ Π RPA cl
Fcl0 (k, 0) = 1 − ve(k) Fcl0 (k, 0)
−n β gc (λk) 4π e2 1 + 2 n β gc (λk) k 2 k2 qD gc (λk) =− 2 g (λk) , 4π e2 k 2 + qD c
p unde qD ≡ 4π e2 n β este inversul lungimii de ecranare Debye. Atunci, din formula (9.49) se obt¸ine modificarea distribut¸iei electronice produs˘a se sarcina de perturbat¸ie extern˘a ˆın limita clasic˘ a (¸si ˆın condit¸iile aproximat¸iei RPA): Z 2 qD gc (λk) d3 k ik·r e . (9.61) δhn(r)icl ≈ Z 2 3 2 RPA (2π) k + q R3 D gc (λk) Observat¸ii asupra rezultatului (9.61): i. Rezultatul este asem˘ an˘ator cu cel din cazul temperaturii nule, cˆ and este valabil˘a formula (9.55), dar difer˘a funct¸ia caracteristic˘ a g(x). ii. Sarcina total˘ a indus˘a se obt¸ine prin integrarea expresiei (9.61) peste ˆıntregul spat¸iu: Z Z Z 2 qD gc (λk) d3 k ik·r e δQ = d3 r (−e) δhn(r)icl ≈ − e Z d3 r 2 3 2 RPA (2π) k + q 3 R D gc (λk) Z Z 2 qD gc (λk) d3 k d3 r eik·r = −eZ 3 k 2 + q 2 g (λk) (2π) 3 R D c | {z } = (2π)3 δ 3 (k)
= −eZ
= −e Z ,
2 qD 2 qD
gc (0) gc (0)
(9.62)
unde ultima egalitate s-a obt¸inut pe baza propriet˘ a¸tii gc (0) = 1; se observ˘a c˘ a sarcina total˘ a indus˘a este egal˘a ¸si opus˘ a cu sarcina perturbatoare δQ = −Z e = −Q, ceea ce implic˘ a o ecranare total˘ a la distant¸e mari (la fel ca la temperatur˘a nul˘a).
˘ 9.3. RASPUNSUL LINIAR AL SISTEMULUI ELECTRONIC CU DENSITATE MARE
205
iii. Modificarea distribut¸iei de electronice este maxim˘ a ˆın vecin˘atatea sarcinii perturbatoare, dup˘a cum rezult˘a din inegalit˘a¸tile urm˘atoare: Z Z 2 2 qD gc (λk) qD gc (λk) d3 k ik·r d3 k ik·r e e = Z ≤Z δhn(r)i 2 2 3 2 3 2 (2π) k + q g (λk) (2π) k + q cl,RPA 3 3 c R R D D gc (λk) = δhn(0)i cl,RPA
iv. Comportarea distribut¸iei electronice ˆın vecin˘atatea sarcinii perturbatoare (adic˘a ˆın punctul r = 0), ˆın cadrul aproximat¸iei RPA ¸si la limita clasic˘a se obt¸ine din formula (9.61) Z Z ∞ 2 2 d3 k qD gc (λk) 4π qD gc (λk) 2 δhn(0)icl ≈ Z = Z dk k 2 2 g (λk) 3 2 2 RPA (2π)3 0 k + qD c R3 (2π) k + qD gc (λk) Z ∞ Z ≡ dk f (k) , 2π 2 0
unde integrala s-a efectuat ˆın coordonate sferice k = (k, θ, φ), deoarece integrandul depinde numai de modulul vectorului de und˘a astfel ˆıncˆ at integralele unghiulare sunt banale, producˆand factorul 4π; integrandul din ultima relat¸ie este f (k) ≡ k 2
2 qD gc (λk) 2 g (λk) . k 2 + qD c
Se observ˘ a c˘ a integrandul f (k) nu are singularit˘a¸ti ¸si sunt valabile urm˘atoarele expresii asimptotice: λ2 k 2 2 1− qD 24π ≈ k2 , f (k) ≈ k 2 2 2 k≪qD λ k 2 k 2 + qD 1 − 24π 8π 2 qD 8πq 2 2 λ2 k 2 f (k) ≈ k ≈ 2 D2 ; k≫qD k λ 8π 2 k 2 + qD 2 2 λ k atunci rezult˘a c˘ a m˘arimea δhn(0)icl este finit˘a. v. Comportarea asimptotic˘a la distant¸e mari de sarcina perturbatoare (r → ∞), se obt¸ine prin aproximat¸ia gc (λk) ≈ gc (0) = 1 ;
ˆın acest caz termenii neglijat¸i sunt sunt mici:
termeni neglijat¸i ∼ (λqD )2 ∼
~2 β 2 e nβ ≪ 1 ; m
ca urmare, distribut¸ia electronic˘ a devine Z 2 2 d3 k ik·r qD qD e δhn(r)icl ≈ Z = Z e−qD r , 2 3 RPA k 2 + qD 4π r R3 (2π)
(9.63)
unde integrala ˆın raport cu vectorul de und˘a se efectueaz˘a ca ˆın Sect¸iunea 7.2 pentru demonstrarea formulei (7.24). Rezultatul precedent se interpreteaz˘ a astfel: δhn(r)icl,RPA este o distribut¸ie de sarcin˘a ecra−1 nat˘a, cu lungimea de ecranare egal˘a cu inversul vectorului de und˘a Debye (qD ); rezultatul este 3 similar cu cel produs de teoria semi-clasic˘a Debye-H¨ uckel vi. Comparat¸ie ˆıntre rezultatul teoriei de temperatur˘a nul˘a ¸si cel al teoriei de temperatur˘a finit˘a: – la temperatur˘a nul˘a (T = 0) funct¸ia de distribut¸ie electronic˘ a este o funct¸ie abrupt˘a la q = kF (adic˘ a n0q = θ(kF − q)); ca urmare, distribut¸ia electronic˘ a δhn(r)i are o comportare asimptotic˘a oscilant˘ a; – la temperatur˘ a finit˘a (T > 0) funct¸ia de distribut¸ie electronic˘ a este o funct¸ie lent varia bil˘ a (adic˘ a n0q = eβ(εq −µ) + 1]−1 ); ca urmare, distribut¸ia electronic˘ a δhn(r)i are o comportare asimptotic˘a exponent¸ial˘a. 3 Teoria
Debye-H¨ uckel este prezentat˘ a ˆın mod succint la sfˆ ar¸situl acestei sect¸iuni.
˘ CAPITOLUL 9. TEORIA RASPUNSULUI LINIAR
206
9.3.2
Oscilat¸ii plasmonice ale gazului electronic
Se consider˘ a sistemul de electroni cu interact¸ii coulombiene ¸si plasat ˆın fondul de sarcin˘a pozitiv˘ a uniform˘a, acesta fiind modelul jellium care a fost prezentat ˆın Sect¸iunea 7.1; se va considera cazul cˆ and sistemul electronic are densitate de particule suficient de mare, astfel ˆıncˆ at s˘a fie valabil˘a aproximat¸ia fazelor aleatoare (RPA), prezentat˘a ˆın Sect¸iunea 7.2. Acestui sistem i se aplic˘ a o perturbat¸ie impulsiv˘ a cuplat˘ a prin densitatea de particule, la momentul t0 = 0, iar aceast˘a perturbat¸ie este periodic˘ a spat¸ial, cu vectorul de und˘a q; ˆın aceste condit¸ii potent¸ialul de perturbat¸ie este de tipul considerat ˆın formula (9.18): w(r, t) = w0 eiq·r δ(t). Pulsul perturbat¸iei produce excitarea sistemului electronic (tranzit¸ia pe st˘ari excitate) astfel ˆıncˆ at se obt¸in moduri colective excitate numite oscilat¸ii plasmonice. A. Teoria la temperatur˘ a nul˘ a R˘ aspunsul liniar al sistemului la perturbat¸ia impulsiv˘ a (adic˘a modificarea distribut¸iei electronice) are la temperatura nul˘a expresia general˘a dat˘a de formula (9.28): Z Z ∞ o 1 w0 eiq·r ∞ dω −iωt n dω −iωt e (R) e Π (q, ω) = e −1 . δhn(r, t)i = w0 eiq·r (R) ve(q) κ e (q, ω) −∞ 2π −∞ 2π
Excitat¸iile colective ale sistemului, corespunz˘ atoare st˘arilor legate de starea fundamental˘ a prin fluctuat¸ii de densitate, au m˘arimile caracteristice date de polii polariz˘arii retardate, astfel ˆıncˆ at e (R) (q, ω) = ∞ are solut¸ia zq = Ωq − iγq , unde ~Ωq este energia ¸si γq este constanta de ecuat¸ia Π amortizare a modului colectiv produs de pulsul cu vectorul de und˘a q. ˆIn cazul amortiz˘arii slabe Ωq ¸si γq se obt¸in din sistemul de ecuat¸ii (9.30): ∗ e (q, Ωq ) = 1 , ve(q) Re Π ∗ e (q, ω) Im Π . γq ≈ ∂ e ∗ (q, ω) ω=Ωq Re Π ∂ω
ˆIn cazul prezent, cˆ and sistemul studiat este gazul electronic cu densitate mare ˆın modelul je4π e2 ¸si este valabil˘a llium, potent¸ialul de interact¸ie dintre particule este coulombian ve(q) = q2 aproximat¸ia fazelor aleatoare (RPA), astfel ˆıncˆ at polarizarea proprie se aproximeaz˘ a cu polarizae ∗ (q, ω) ≈ Π e 0 (q, ω). rea de ordinul 0: Π Situat¸ia interesant˘ a fizic corespunde cazului cˆ and pulsul are o lungime de und˘a mare (adic˘a vectorul de und˘a corespondent este foarte mic q ≈ 0); ˆın aceast˘a situat¸ie polarizarea de ordinul 0 are p˘ art¸ile real˘ a ¸si imaginar˘ a (ˆın notat¸ie adimensional˘ a) date de relat¸iile (3.150) ¸si (3.156): 2 2 0 e (q, ν) ≈ 2mkF 2 qe 1 + 3 qe , Re Π 4π 2 ~2 3 νe2 5 νe2 0 qe e (q, ν) = 0 , Im Π dac˘a νe > qe + . 2 Variabilele adimensionale au fost definite prin formulele q , qe ≡ kF m νe ≡ 2 ω , ~kF
astfel ˆıncˆ at pentru trecerea la variabile cu dimensionalitate fizic˘a se utilizeaz˘a relat¸iile: q2 ~k q 2 kF2 ~2 kF2 q 2 qe F = , = = νe2 m2 ω 2 m ω m2 ~2 kF4 2
1 kF3 q 2 n q2 2mkF 2 qe2 = = ; 4π 2 ~2 3 νe2 3π 2 m ω 2 m ω2
˘ 9.3. RASPUNSUL LINIAR AL SISTEMULUI ELECTRONIC CU DENSITATE MARE
207
atunci p˘ art¸ile real˘ a ¸si imaginar˘ a ale polariz˘arii de ordinul 0 au urm˘atoarea form˘a 2 i 2 h 0 e (q, ν) ≈ n q 1 + 3 ~kF q , Re Π 2 mω 5 m ω 0 q2 ~k 2 q e (q, ν) = 0 , + 2 . dac˘a ω > F Im Π m kF 2kF
Pe baza relat¸iilor precedente se obt¸in ecuat¸iile m˘arimilor caracteristice oscilat¸iilor plasmonice cu lungimi de und˘a mari (q ≈ 0): 3 ~kF q 2 i 4π e2 n q 2 h 1 + =1, q 2 m Ω2q 5 m Ωq
γq = 0 ;
(9.64a) (9.64b)
iar ecuat¸iile precedente sunt valabile cu condit¸ia Ωq >
~kF ~ 2 q+ q . m 2m
(9.64c)
Consecint¸e ale ecuat¸iilor pentru oscilat¸iile plasmonice. • Oscilat¸iile plasmonice cu lungimi de und˘a mari sunt neamortizate, deoarece γq = 0 cˆ and este satisf˘acut˘ a condit¸ia (9.64c). • Pentru a exprima relat¸ia de dispersie a oscilat¸iilor plasmonice, adic˘a dependent¸a pulsat¸iei Ωq ˆın raport cu vectorul de und˘a q, este convenabil s˘a se utilizeze frecvent s s ¸a plasmei clasice r 2 2 4πe 6πe 12πe2 m n ¸si vectorul de und˘a Thomas-Fermi qTF = n = n , astfel ωP = m ε0F ~2 kF2 ˆıncˆ at m˘arimile care apar ˆın ecuat¸ia (9.64a) se exprim˘ a ˆın mod condensat astfel: ω 2 4π e2 n q 2 P = , q 2 m Ω2q Ωq ω 2 q 2 ~k q 2 P F =3 ; m ω Ωq qTF pe baza rezultatelor precedente ecuat¸ia (9.64a) devine: ω 2 9 q 2 ωP 2 P 1+ =1, Ωq 5 qTF Ωq
(9.65)
numit˘ a ecuat¸ia de dispersie plasmonic˘ a. Ecuat¸ia (9.65) se rezolv˘ a prin metoda iterativ˘ a ¸si se consider˘a suficient˘ a aproximat¸ia liniar˘a, deoarece s-a presupus q ≪ qTF ; ca urmare se rescrie ecuat¸ia (9.65) ˆın forma 1/2 9 q 2 ωP 2 Ωq = ω P 1 + ; 5 qTF Ωq
(9.66a)
aproximat¸ia de ordinul 0 este Ωq ≈ ω P , 0
iar aproximat¸ia de ordinul 1 (liniar˘ a) este 1/2 9 q 2 9 q 2 ; ≈ ωP 1 + Ωq ≈ ω P 1 + 0 5 qTF 10 qTF
(9.66b)
unde condit¸ia de valabilitate este ωP >
q 2 ~kF ~ q. kF q + ≈ m 2 m
(9.66c)
˘ CAPITOLUL 9. TEORIA RASPUNSULUI LINIAR
208
• Pentru vectori de und˘a mari, cˆ and q nu satisface condit¸ia (9.66c), se produce amortizarea oscilat¸iilor plasmonice (γq > 0). • Rezultatele anterioare sunt valabile numai ˆın cadrul aproximat¸iei fazelor aleatoare (RPA); dac˘ a se includ termeni de corect¸ie de ordin superior (la aproximat¸ia inelar˘a) atunci oscilat¸iile plasmonice devin amortizate, la toate lungimile de und˘a. • Rezultatul clasic (Ωq = ωP ) este valabil la limita q → 0. B. Teoria la temperatur˘ a finit˘ a Modificarea distribut¸iei electronice pentru o perturbat¸ie impulsiv˘ a periodic˘ a spat¸ial este dat˘a de formula general˘ a (9.51) Z ∞ dω −iωt e (R) iq·r e Π (q, ω) , δhn(r, t)i = w0 e −∞ 2π
unde transformata Fourier a polariz˘ arii termice retardate se obt¸ine din prelungirea analitic˘a a transformatei Hilbert pentru funct¸ia pondere, conform relat¸iei (9.48): Fe∗ (q, ω + iη) e (R) (q, ω) = Π(q, f ωn ) . Π = iωn →ω+iη 1 − ve(q) Fe∗ (q, ω + iη) η→0+
Excitat¸iile colective ale sistemului, produse de perturbat¸ia cuplat˘a prin fluctuat¸iile densit˘ a¸tii de particule sunt caracterizate de polii transformatei Fourier a polariz˘arii termice retardate (R) f (q, ωn ), adic˘a din ecuat¸ia Π 1 − ve(q) F ∗ (q, zq ) = 0 ,
care are solut¸ia zq = Ωq − i γq . ˆIn cazul amortiz˘arii slabe ecuat¸ia precedent˘ a conduce la sistemul de ecuat¸ii (9.54): ∗ v (q) Re F (q, Ωq ) = 1 , e Im F ∗ (q, ω) γq ≈ . ∂ ∗ ω=Ω q Re F (q, ω) ∂ω
Pentru cazul sistemului de electroni cu densitate mare este valabil˘a aproximat¸ia fazelor aleatoare (RPA), ceea ce implic˘ a ∗ 0 f (q, ωn ) ≈ Π f (q, ωn ) ; Π RPA
atunci prelungirea analitic˘a a transformatei Hilbert pentru funct¸ia pondere se obt¸ine din relat¸ia (5.208) Z n0p+q − n0p −2 d3 p . F (q, z) ≈ F 0 (q, z) = 3 RPA ~ R3 (2π) z − ~1 ε0p+q − ε0p
Polarizarea termic˘ a retardat˘ a, cu ajutorul c˘ areia se exprim˘a r˘aspunsul liniar al sistemului, ˆın aproximat¸ia fazelor aleatoare (RPA), este e (R) (q, ω) ≈ Π e 0(R) (q, ω) = F 0 (q, ω + iη) , Π RPA
astfel ˆıncˆ at p˘ art¸ile sale real˘ a ¸si imaginar˘a au expresiile (5.209) Z (R) −2 1 1 d3 k 0 e , − Re ΠRPA (q, ω) = n 1 − ~ ~ ~ R3 (2π)3 k+ 2 q ω − m k·q ω+ m k·q Z (R) 2π ~ ~ d3 k 0 e δ ω− Im ΠRPA (q, ω) = n 1 k·q −δ ω+ k·q . ~ R3 (2π)3 k+ 2 q m m
Pentru cazul general, cˆ and temperatura este arbitrar˘a, nu se pot evalua analitic ˆın mod exact integralele cu care se exprim˘ a polarizarea termic˘ a retardat˘ a, astfel ˆıncˆ at este necesar s˘a se efectueze calcule numerice, sau s˘a se considere cazuri asimptotice, cˆ and se pot efectua aproximat¸ii.
˘ 9.3. RASPUNSUL LINIAR AL SISTEMULUI ELECTRONIC CU DENSITATE MARE
209
Cazul interesant este limita clasic˘a, cˆ and p˘ art¸ile real˘a ¸si imaginar˘a ale polariz˘arii termice retardate sunt date de formulele (5.211) ¸si (5.212): r r r mβ h ω (R) mβ mβ h ω n ~q i ~q i e Re ΠRPA (q, ω) ≈ Φ −Φ , + − cl ~q 2 2 q 2m 2 q 2m r β~ω n (R) nβω π ~2 q 2 o m ω2 e , Im Π (q, ω) ≈ − sinh + mβ exp − β RPA cl q 2 2 q2 4m2 2
unde Φ(x) este funct¸ia de dispersie real˘a pentru plasm˘a, definit˘ a prin formula (5.210) Z ∞ 2 1 e−ξ Φ(x) ≡ √ − dξ , π −∞ x − ξ care este o funct¸ie impar˘a Φ(−x) = −Φ(x) ¸si are urm˘atoarele expresii asimptotice: ≈ 2 x 1 − 23 x2 + . . . , pentru x ≪ 1 , Φ(x) ≈ ≈ 1 1 + 1 + . . . , pentru x ≫ 1 . x 2 x2
Pe baza comport˘ arii asimptotice a funct¸iei de dispersie real˘a pentru plasm˘a, expresiile anterioare pentru p˘ art¸ile real˘ a ¸si imaginar˘ a ale polariz˘arii retardate au urm˘atoarele expresii aproximative la limita lungimilor de und˘a mari (adic˘a q ≈ 0 ¸si de asemenea β~ω ≪ 1, care este condit¸ia pentru limita clasic˘ a): (R) n q2 3 q2 e (q, ω) ≈ Re Π 1 + + . . . , RPA cl mω 2 βmω 2 2 (R) nβω q π − βmω e 2q2 . mβ e Im Π (q, ω) ≈ − RPA 2 cl q
(9.67a) (9.67b)
Se aplic˘ a rezultatele anterioare pentru gazul electronic ˆın modelul jellium, cu densitate mare de particule (cˆand este valabil˘a aproximat¸ia RPA), ˆın condit¸ii de clasicitate (temperatur˘a suficient de ridicat˘ a) ¸si supus unei perturbat¸ii impulsive mici, periodic˘ a spat¸ial cu lungime de und˘a mare (astfel ˆıncˆ at amortiz˘arile oscilat¸iilor plasmonice s˘a fie mici). a. Ecuat¸ia de dispersie rezult˘a din relat¸ia (9.54) adaptat˘ a cazului prezent: 0 ve(q) Re F (q, Ωq ) = 1 .
(9.68)
ˆIn mod similar cu cazul temperaturii nule, discutat anterior, este convenabil s˘a se exprima ˆın mod condensat ecuat¸ia (9.68), utilizˆand r expresiile aproximative (9.67) ¸si urm˘atoarele m˘arimi: 4πe2 n, – frecvent¸a plasmei clasice: ωP = p m – lungimea de und˘a Debye: qD = 4πe2 n β ; atunci membrul stˆ ang al ecuat¸iei (9.68) devine: ω2 4π e2 n q 2 3 q2 ω2 q2 1+ + . . . = P2 1 + 3 P2 2 + . . . . ve(q) Re F 0 (q, Ωq ) ≈ 2 2 2 q mΩq βmΩq Ωq Ωq qD
Ca rezultat al operat¸iilor anterioare, relat¸ia de dispersie plasmonic˘ a are urm˘atoarea form˘a aproximativ˘ a: ω 2 q 2 i ω 2 h P P 1+3 + ... = 1 . (9.69) Ωq Ωq qD ˆIn mod similar cu situat¸ia analoag˘a din formalismul de temperatur˘a nul˘a, se rezolv˘ a ecuat¸ia (9.69) prin metoda iterativ˘ a, ˆın aproximat¸ia de ordinul 1, deoarece s-a presupus q ≪ qD ; atunci, ecuat¸ia (9.69) se exprim˘ a ˆın forma: i1/2 h ω 2 q 2 P + ... , Ωq ≈ ω P 1 + 3 Ωq qD
(9.70a)
˘ CAPITOLUL 9. TEORIA RASPUNSULUI LINIAR
210
rezultˆand urm˘atoarele aproximat¸ii succesive: – aproximat¸ia de ordinul 0 este Ωq ≈ ω P ; 0
– aproximat¸ia liniar˘ a (de ordinul 1) este h q 2 i1/2 h 3 q 2 i Ωq ≈ ω P 1 + 3 . ≈ ωP 1 + 1 qD 2 qD
(9.70b)
Observat¸ii: i. rezultatele precedente sunt valabile numai la limita vectorilor de und˘a mici (q ≪ qD ); ii. din comparat¸ia formulei (9.70b) cu formula corespondent˘ a din formalismul de temperatur˘a nul˘a (9.66b), rezult˘a c˘ a cele dou˘a legi de dispersie sunt de acela¸si tip, dar difer˘a coeficientul de corect¸ie. b. Constanta de amortizare mative (9.67):
se obt¸ine din ecuat¸ia (9.54b), utilizˆand expresiile aproxi-
r βmΩ2 q nβΩq π − 0 r − mβ e 2q2 Ω3q − βmΩ2 2q Im F (q, Ωq ) mβ π q 2 ≈ = Ω γq ≈ e 2q ; mβ q 2 2 3 2 2 q 3 q n q ∂ ∂ 1+ Re F 0 (q, Ωq ) ∂Ωq ∂Ωq mΩ2q βmΩ2q
Deoarece se utilizeaz˘ a aproximat¸ia liniar˘a pentru legea de dispersie, rezult˘a c˘ a este suficient˘ a aproximat¸ia de ordinul 0 ˆın expresiile p˘ art¸ilor din constanta de amortizare din formula anterioar˘ a: r r r √ r Ω3q mβ π π mβ Ωq 3 π q Ωq 3 π q 3 = mβ 3 = ≈ , 2 2 q 8 q 8 qD ωP 8 qD βmΩ2q 1 q Ωq 2 1 q 2 = ≈ ; 2q 2 2 qD ωP 2 qD ca urmare, se obt¸ine pentru constanta de amortizare expresia r 2 q 3 π − 12 qq D ωP e . γq ≈ 8 qD
(9.71)
Observat¸ii: i. la limita lungimilor de und˘a mari (q ≪ qD ) rezult˘a o amortizare slab˘a: γq ≪ ωP ≈ Ωq ; ii. la temperatur˘a finit˘a apare o deosebire fat¸˘a de cazul temperaturii nule, deoarece exist˘a amortizare pentru orice lungime de und˘a (la temperatur˘a nul˘a oscilat¸iile plasmonice corespunz˘atoare lungimilor de und˘a mari erau neamortizate).
9.3.3
Modele semi-clasice pentru gazul electronic
Se vor prezenta ˆın mod succint modelele semi-clasice care sunt legate de comportarea gazului electronic ˆın modelul jellium, adic˘a modelul Thomas-Fermi (pentru ecranarea la temperatur˘a nul˘a), modelul Debye-H¨ uckel (pentru comportarea clasic˘a) ¸si modelul Langmuir (pentru oscilat¸iile plasmonice la limita clasic˘ a). A. Teoria Thomas-Fermi Se consider˘ a un sistem de electroni clasici (cu masa m ¸si sarcina qe = −e) f˘ar˘a interact¸ii mutuale (se neglijeaz˘ a interact¸ia electrostatic˘a dintre electroni); acest sistem electronic este plasat ˆın fondul de sarcin˘a pozitiv˘ a uniform˘a care asigur˘a neuralitatea electric˘a a sistemului total, dar ˆın rest este absolut inert ¸si nu joac˘ a nici un rol suplimentar. Din condit¸ia de neutralitate electric˘a rezult˘a c˘ a densitatea de sarcin˘a a fondului pozitiv este ρp = +e n0 , unde n0 = N/V este densitatea medie electronic˘ a. ˆIn mod suplimentar este ad˘augat˘a o sarcin˘a punctual˘a extern˘a de m˘arime Q = Ze, plasat˘a ˆın punctul r0 = 0 ¸si fix˘ a; aceast˘a sarcin˘a extern˘a este considerat˘ a o mic˘a
˘ 9.3. RASPUNSUL LINIAR AL SISTEMULUI ELECTRONIC CU DENSITATE MARE
211
perturbat¸ie astfel ˆıncˆ at se poate aproxima efectul s˘au prin termenii de ordinul 1 (aproximat¸ia liniar˘a). ˆIntregul sistem (electroni + fond + sarcina extern˘a) se afl˘a la echilibru corespunz˘ ator temperaturii nule (T = 0). Dac˘ a se exclude sarcina extern˘a, atunci sistemul de electroni ˆımpreun˘a cu fondul de sarcin˘a pozitiv˘ a este echivalent cu un gaz fermionic ideal (la temperatur˘a nul˘a); ˆın lucr˘arile standard de mecanic˘ a statistic˘ a se arat˘a c˘ a presiunea gazului fermionic ideal la temperatur˘a nul˘a este ~2 2 0 (3π 2 n)2/3 este energia Fermi; ca urmare, P0 = 5 n εF , unde n este densitatea gazului ¸si ε0F = 2m presiunea gazului electronic ˆın absent¸a sarcinii externe este P0 =
(3π 2 )2/3 ~2 5/3 n . 5m
(9.72)
Introducerea sarcinii externe are ca efect redistribuirea spat¸ial˘a a electronilor, astfel ˆıncˆ at densitatea uniform˘a n0 devine o densitate variabil˘ a spat¸ial n(r); pe de alt˘ a parte, fondul de sarcin˘a pozitiv˘ a r˘amˆ ane uniform ˆın spat¸iu. ˆIn aceste condit¸ii rezult˘a urm˘atoarele consecint¸e: • Densitatea de sarcin˘a este
ρ(r) = Z e δ 3 (r) − e n(r) + e n0 = e Z δ 3 (r) − δn(r) ,
(9.73)
unde δn(r) = n(r) − n0 .
• Echilibrul mecanic ˆın interiorul sistemului implic˘ a echilibrul ˆın fiecare punct ˆıntre densit˘ a¸tile de fort¸e fP (r) + fe (r) = 0 , (9.74) unde fP (r) este densitatea de fort¸˘a de presiune ¸si fe (r) este densitatea de fort¸˘a electrostatic˘a. Deoarece se presupune echilibrul local ˆın fiecare punct al sistemului, atunci presiunea este legat˘ a de densitatea particulelor printr-o relat¸ie aproximativ de acela¸si tip ca ˆın absent¸a sarcinii externe, adic˘a aceast˘a relat¸ie este de tipul (9.72): P (r) ≈
5/3 (3π 2 )2/3 ~2 n(r) ; 5m
(9.75)
densitatea fort¸ei de presiune este egal˘a cu opusul gradientului de presiune fP (r) = −∇P (r) ≈ −
2/3 (3π 2 )2/3 ~2 2/3 (3π 2 )2/3 ~2 5 n(r) ∇n(r) ≈ − n0 ∇n(r) , (9.76) 5m 3 3m
unde ˆın ultima egalitate s-a efectuat aproximat¸ia liniar˘a, ceea ce implic˘ a n(r) ≈ n0 , deoarece ∇n(r) este un termen de ordinul 1. Densitatea fort¸ei electrostatice este determinat˘ a de intensitatea cˆ ampului electric E(r) fe (r) = − e n(r) E(r) ≈ e n0 ∇Φ(r) ,
(9.77)
unde E(r) = −∇Φ(r), (Φ(r) este potent¸ialul electrostatic) ¸si s-a efectuat de asemenea aproximat¸ia liniar˘ a n(r) ≈ n0 , deoarece cˆ ampul electrostatic este o perturbat¸ie (efect de ordinul 1). Pe baza rezultatelor precedente ecuat¸ia de echilibru mecanic (9.74) devine −
(3π 2 )2/3 ~2 2/3 n0 ∇n(r) + e n0 ∇Φ(r) ≈ 0 ; 3m
(9.78)
dup˘a operarat¸ii algebrice banale ecuat¸ia precedent˘ a se aduce la forma urm˘atoare: ∇Φ(r) ≈
2 ~2 kF2 1 ∇δn(r) . 3 2m e n0
(9.79)
˘ CAPITOLUL 9. TEORIA RASPUNSULUI LINIAR
212
Ecuat¸ia diferent¸ial˘a a densit˘ a¸tii electronice se obt¸ine din ecuat¸ia potent¸ialului electrostatic ¸si rezultatele anterioare relative la echilibrul densit˘ a¸tilor de fort¸˘a; astfel ecuat¸ia diferent¸ial˘a a potent¸ialului electrostatic este ecuat¸ia Poisson: ∇2 Φ(r) = − 4π ρ(r) = − 4π e Z δ 3 (r) − δn(r) ; (9.80)
pe de alt˘ a parte laplaceanul este egal cu divergent¸a gradientului ¸si se utilizeaz˘a consecint¸a ecuat¸iei de echilibru (9.79): 2 ~2 kF2 1 ∇2 δn(r) . (9.81) ∇2 Φ(r) = ∇ · ∇ Φ(r) ≈ 3 2m e n0 Prin egalarea celor dou˘a expresii ale laplaceanului potent¸ialului electrostatic, date de relat¸iile (9.80) ¸si (9.81), se obt¸ine ecuat¸ia diferent¸ial˘a a densit˘ a¸tii electronice (corespunz˘atoare echilibrului mecanic ¸si electrostatic): − 4π e 3 Z δ (r) − δn(r) ; (9.82) ∇2 δn(r) = 2 2 2 ~ kF 1 3 2m e n0 dar
4π e
6π e2 n0 2 ≡ qTF , ε0F
(9.83) 2 1 3 2m e n0 unde qTF este vectorul de und˘a Thomas-Fermi, conform definit¸iei (7.22), astfel ˆıncˆ at ecuat¸ia (9.82) se exprim˘ a mai simplu astfel: 3 2 Z δ (r) − δn(r) . (9.84) ∇2 δn(r) ≈ − qTF ~2 kF2
=
Ecuat¸ia precedent˘ a se scrie ca o ecuat¸ie diferent¸ial˘a pentru modificarea densit˘ a¸tii electronice 2 2 δn(r) = − Z qTF δ 3 (r) ∇2 δn(r) − qTF
(9.85)
¸si aceast˘a ecuat¸ie are solut¸ia Thomas-Fermi δn(r) =
2 Z qTF e−qTF r , 4π r
(9.86)
care reprezint˘ a ecranarea sarcinii externe. Demonstrat¸ie: Metoda de rezolvare a ecuat¸iei (9.85) este prin transformare Fourier; astfel se efectueaz˘ a dezvolt˘ arile Fourier pentru densitatea electronic˘ a δn(r) ¸si pentru funct¸ia Dirac: Z d3 k ik·r e e δn(k) , δn(r) = 3 R3 (2π) Z d3 k ik·r δ 3 (r) = e . 3 R3 (2π) Prin substituirea transform˘ arilor Fourier ecuat¸ia (9.85) devine Z Z 3 d k ik·r d3 k ik·r 2 2 e 2 e − k − q δn(k) = e − Z qTF ; TF 3 3 R3 (2π) R3 (2π) a egalitatea deoarece sistemul funct¸iilor Fourier eik·r r este un sistem liniar independent, rezult˘ coeficient¸ilor corespunz˘ atori la acela¸si vector de und˘ a k: 2 e 2 − k2 − qTF δn(k) = − Z qTF
=⇒
e δn(k) =
e adic˘ a s-a obt¸inut expresia transformatei Fourier a solut¸iei δn(k).
2 Z qTF , 2 + qTF
k2
Atunci, solut¸ia δn(r) se obt¸ine prin efectuarea integralei ˆın raport cu vectorul de und˘ a, corespunz˘ ator transform˘ arii Fourier definite anterior. Aceast˘ a integral˘ a a fost discutat˘ a ˆın Sect¸iunea 7.2, 2 e RPA (q) = 4π e atunci unde s-a demonstrat formula (7.24): dac˘ a transformata Fourier este V 2 q 2 + qTF 2 e −qTF r funct¸ia este VRPA (r) = e ; ca urmare, prin efectuarea integralei ˆın raport cu vectorul de r und˘ a se obt¸ine solut¸ia Thomas-Fermi.
˘ 9.3. RASPUNSUL LINIAR AL SISTEMULUI ELECTRONIC CU DENSITATE MARE
213
B. Teoria Debye-H¨ uckel Se consider˘ a un sistem de electroni clasici (cu masa m ¸si sarcina qe = −e) f˘ar˘a interact¸ii mutuale (se neglijeaz˘ a interact¸ia electrostatic˘a dintre electroni); acest sistem electronic este plasat ˆın fondul de sarcin˘a pozitiv˘ a uniform˘a care asigur˘a neuralitatea electric˘a a sistemului total, dar ˆın rest este absolut inert ¸si nu joac˘ a nici un rol suplimentar. Din condit¸ia de neutralitate electric˘a rezult˘a c˘ a densitatea de sarcin˘a a fondului pozitiv este ρp = +e n0 , unde n0 = N/V este densitatea medie electronic˘ a. B1. Ecranarea ˆIn mod suplimentar este ad˘augat˘a o sarcin˘a punctual˘a extern˘a de m˘arime Q = Ze, plasat˘a ˆın punctul r0 = 0 ¸si fix˘ a; aceast˘a sarcin˘a extern˘a este considerat˘ a o mic˘a perturbat¸ie astfel ˆıncˆ at se poate aproxima efectul s˘au prin termenii de ordinul 1 (aproximat¸ia liniar˘a). ˆIntregul sistem (electroni + fond + sarcina extern˘a) se afl˘a la echilibru corespunz˘ ator temperaturii T , care este mare fat¸˘ a de temperatura de degenerare a gazului electronic ideal (T ≫ Td ); ca urmare, sistemul electronic se afl˘ a ˆın condit¸ii de clasicitate. Se observ˘a c˘ a modelul Debye-H¨ uckel se afl˘a ˆın condit¸ii similare cu modelul Thomas-Fermi, dar este la temperatur˘a mare, astfel ˆıncˆ at rezult˘a o comportare clasic˘ a. Sarcina extern˘a produce redistribuirea sarcinii electronice, astfel ˆıncˆ at sistemul electronic devine neuniform din punct de vedere spat¸ial, avˆand densitatea n(r); atunci densitatea total˘ a de sarcin˘a este suma densit˘ a¸tilor de sarcini ale celor 3 subsisteme (sarcina extern˘a + sistemul electronic + fondul uniform de sarcin˘a pozitiv˘ a): ρ(r) = Ze δ 3 (r) − e n(r) + e n0 = e Z δ 3 (r) − δn(r) , (9.87)
unde δn(r) = n(r) − n0 ; se observ˘ a c˘ a rezultatul anterior este identic cu cel din modelul ThomasFermi. Distribut¸ia total˘ a de sarcin˘a ρ(r) creaz˘ a un cˆ amp electric descris prin potent¸ialul electrostatic Φ(r); ca urmare, un electron aflat ˆın punctul r are energia potent¸ial˘a u(r) = −eΦ(r). Deoarece s-a presupus c˘ a sarcina extern˘a este o mic˘a perturbat¸ie, atunci la distant¸e mari de aceast˘a sarcin˘a (r → ∞) cˆ ampul electric devine neglijabil de mic ¸si potent¸ialul electrostatic corespunz˘ ator se anuleaz˘a: Φ(r) → 0; ˆın consecint¸˘ a, distribut¸ia de sarcin˘a electronic˘ a departe de sarcina perturbatoare este uniform˘a: n(r) → n0 , pentru r → ∞. Conform hipotezei Debye-H¨ uckel densitatea electronic˘ a este aproximat˘a de distribut¸ia Boltzmann (clasic˘ a) corespunz˘ atoare energiei potent¸iale electrostatice: n(r) ≈ n0 e−βu(r) ,
(9.88)
unde β ≡ 1/(kB T ). ˆIn condit¸ii de clasicitate ¸si pentru o sacin˘ a extern˘a care poate fi considerat˘ a o mic˘a perturbat¸ie, este valabil˘a aproximat¸ia β u(r)| ≪ 1 ;
ca urmare, modificarea distribut¸iei electronice, produs˘a de perturbat¸ia extern˘a, se poate aproxima astfel: δn(r) = n(r) − n0 = n0 e−βu(r) − 1 ≈ − n0 β u(r) = n0 β e Φ(r) . (9.89) Pentru a obt¸ine ecuat¸ia diferent¸ial˘a a densit˘ a¸tii electronice se utilizeaz˘a ecuat¸ia diferent¸ial˘a electrostatic˘ a (ecuat¸ia Poisson) ˆımpreun˘a cu relat¸ia Boltzmann aproximat˘a de formula (9.89). Astfel, ecuat¸ia potent¸ialului electrostatic (ecuat¸ia Poisson) este ∇2 Φ(r) = −4π ρ(r) = −4π e Z δ 3 (r) + δn(r) ; (9.90) Pe de alt˘ a parte, din relat¸ia (9.89) se obt¸ine i h 1 1 δn(r) = ∇2 δn(r) . ∇2 Φ(r) ≈ ∇2 β e n0 β e n0
Prin combinarea ecuat¸iei Poisson cu relat¸ia precedent˘ a se obt¸ine ecuat¸ia diferent¸ial˘a a densit˘a¸tii electronice: (9.91) ∇2 δn(r) ≈ −4πe βen0 Z δ 3 (r) + δn(r) ;
˘ CAPITOLUL 9. TEORIA RASPUNSULUI LINIAR
214
ˆın acest caz termenul de proport¸ionalitate este 2 4πe βen0 = 4πe2 n0 β ≡ qD ,
(9.92)
unde 1/qD este numit˘ a lungimea de ecranare Debye (respectiv qD se nume¸ste vector de und˘a Debye); ca urmare, ecuat¸ia (9.91) se rescrie ˆın urm˘atoarea form˘a: 2 δn(r) = − Z e2 δ 3 (r) . (9.93) ∇2 − qD
Se observ˘ a c˘ a ecuat¸ia (9.93) este de acela¸si tip cu ecuat¸ia corespondent˘ a a teoriei Thomas-Fermi (9.85); mai exact, prin substitut¸ia qD → qTF ecuat¸ia (9.93) devine ecuat¸ia (9.85). Pe baza analogiei evident¸iate anterior, rezult˘a c˘ a solut¸ia ecuat¸iei (9.93) pentru densitatea electronic˘ aa modelului Debye-H¨ uckel este δn(r) ≡ n(r) − n0 =
2 Z qD e−qTF r , 4π r
(9.94)
care reprezint˘ a ecranarea sarcinii externe. B2. Presiunea Se consider˘ a sistemul electronic cu fondul pozitiv uniform, dar f˘ar˘a sarcina extern˘a. ˆIn acest caz se alege unul dintre electroni care se consider˘ a ˆın punctul r0 = 0 ¸si se studiaz˘a modificarea distribut¸iei electronic˘ a datorit˘ a interact¸iilor coulombiene dintre acest electron ¸si ceilalt¸i electroni ai sistemului. Se observ˘ a c˘ a electronul ales poate fi considerat ca avˆand acela¸si rol cu sarcina extern˘a din cazul anterior, astfel ˆıncˆ at se pot utiliza rezultatele anterioare cu efectuarea substitut¸iei Q = +Ze → Q′ = −e (adic˘ a Z → −1). Ca urmare formulele (9.87) – (9.94) sunt valabile, astfel ˆıncˆ at densitatea de sarcin˘a a restului sistemului (f˘ ar˘a sarcina din origine) este obt¸inut˘a din formula (9.94) adaptat˘ a la cazul prezent: 2 e qD e−qTF r . (9.95) 4π r Lucrul necesar pentru a aduce sarcina infinitezimal˘a δq de la infinit ˆın punctul unde se afl˘a electronul etalon este determinat de potent¸ialul electrostatic ˆın punctul etalon creat de distribut¸ia de sarcin˘a ρ′ (r): δW1 = δq Φ(r0 ) ;
ρ′ (r) ≡ − e δn(r) =
r0 =0
potent¸ialul creat de distribut¸ia de sarcin˘a ρ′ (r) ˆın punctul r0 = 0 (la limita termodinamic˘ a V → ∞) este Z Z ∞ Z 2 ρ′ (r) e qD e−qTF r e q2 e−qTF r 2 1 d3 r Φ(0) = = dr r2 = eqD ; = D (4π) d3 r 2 2 r 4π r 4π r qD 3 3 R 0 R ca urmare lucrul pentru a ad˘auga sarcina δq ˆın punctul r0 = 0 este δW1 = δq e qD .
(9.96)
Rat¸ionamentul anterior se poate efectua pentru fiecare electron a sistemului, iar rezultatul (lucrul pentru a ad˘auga sarcin˘a) este independent de pozit¸ia considerat˘ a; atunci lucrul total pentru a m˘ari sarcina fiec˘ aruia dintre cei N electroni cu cantitatea infinitezimal˘a δq = −de este r p 4π N 2 2 e de ; dWN = N dW1 = N qD e (−de) = −N 4πe n0 β e de = −N kB T V
ca urmare, lucrul total efectuat pentru a crea sistemul de sarcini electronice se obt¸ine prin integrarea ˆın raport cu sarcina unui electron: r r Z e Z e 4π N 4π N −N e3 2 Wel = dWN (¯ e) = −N , (9.97) e¯ d¯ e= kB T V 0 3 kB T V 0 acesta fiind lucrul electric al sistemului. Pe de alt˘ a parte, din punct de vedere termodinamic variat¸ia isoterm˘a a energiei libere este egal˘a cu lucrul isoterm efectuat asupra sistemului: ∆F T = W T . (9.98)
˘ 9.3. RASPUNSUL LINIAR AL SISTEMULUI ELECTRONIC CU DENSITATE MARE
215
Demonstrat¸ie: Energia liber˘ a este potent¸ialul termodinamic definit prin relat¸ia F ≡ U − T S, unde U este energia intern˘ a ¸si S este entropia sistemului; pe de alt˘ a parte, Principiului I al termodinamicii se scrie ˆın forma: dU = dW + dQ, unde dQ = T dS este cantitatea de c˘ aldur˘ a, iar dW este lucrul total al sistemului (mecanic, electric, chimic, etc.) atunci rezult˘ a dF = d(U − T S) = (dU − T dS) − S dT = dW − S dT . Din forma diferent¸ial˘ a anterioar˘ a rezult˘ a c˘ a ˆın condit¸ii isoterme (T = constant) variat¸ia energiei libere este egal˘ a cu lucrul isotem total, adic˘ a rezultatul (9.98).
Pe baza rezultatului termodinamic anterior se obt¸ine partea electric˘a a energiei libere: r −N e3 4π N . Fel = Wel = 3 kB T V Deoarece energia liber˘ a are forma diferent¸ial˘a dF = − S dT − P dV + µ dN , rezult˘a c˘ a presiunea se obt¸ine prin derivarea energiei libere ˆın raport cu volumul cˆ and sistemul este ˆınchis (N = const.) ¸si ˆın manier˘ a isoterm˘a: ∂F . P =− ∂V T,N Energia liber˘ a a sistemului este constituit˘ a din partea neelectric˘a ¸si partea electric˘a: F = F0 +Fel ; ca urmare presiunea ˆın sistemul electronic este ∂F0 ∂Fel P =− − ≡ P0 + Pel . (9.99) ∂V T,N ∂V T,N Partea neelectric˘ a a energiei libere corespunde unui sistem ideal neutru, adic˘a un sistem de particule f˘ ar˘ a sarcini ¸si f˘ ar˘ a interact¸ii mutuale; ca urmare, presiunea corespunz˘ atoare este dat˘a de ecuat¸ia Clapeyron-Mendeleev: P0 =
N kB T ≡ n0 kB T . V
Partea electric˘a a presiunii se obt¸ine din formula (9.97): Pel = −
∂Fel ∂V
T,N
=
√ 2 1/3 3/2 Fel π e n0 n0 kB T . =− 2V 3 kB T
(9.100)
Conform rezultatelor precedente, presiunea total˘ a ˆın gazul electronic, conform modelului DebyeH¨ uckel, este √ 2 1/3 3/2 π e n0 n0 kB T . P = P0 + Pel = 1 − 3 kB T C. Teoria Langmuir (pentru oscilat¸iile plasmonice clasice) Se consider˘ a sistemul de electroni ˆımpreun˘a cu fondul uniform de sarcin˘a pozitiv˘ a, conform modelului jellium; ˆın condit¸ii de echilibru distribut¸ia spat¸ial˘a electronic˘ a este uniform˘a cu densiN tatea n0 = , iar densitatea de sarcin˘a a fondului este ρ0P = e n0 . V Dac˘ a se creaz˘ a o mic˘a perturbat¸ie a distribut¸iei electronice δn(r, t) (unde δn ≪ n0 ), atunci sarcina necompensat˘ a are densitatea ρ(r, t) = −e n0 + δn(r, t) + e n0 = − e δn(r, t) , (9.101)
iar aceast˘a sarcin˘a necompensat˘ a creaz˘ a cˆ ampul electric E(r, t); intensitatea cˆ ampului electric este legat˘ a de sarcina necompensat˘ a prin ecuat¸ia Maxwell electrostatic˘a cu surse: div E(r, t) = 4π ρ(r, t) = − 4π e δn(r, t) .
(9.102)
˘ CAPITOLUL 9. TEORIA RASPUNSULUI LINIAR
216
Cˆampul electric, creat prin sarcina de exces, produce o fort¸˘a electric˘a asupra distribut¸iei de sarcin˘a electronic˘ a; datorit˘ a caracterului continuu al distribut¸iei de sarcin˘a electronic˘ a, efectul acestei fort¸e electrice asupra distribut¸iei de sarcin˘a se exprim˘ a ˆın form˘a difertent¸ial˘a (local˘ a) prin teorema de variat¸ie a densit˘ a¸tii de impuls: dπ =f . dt ˆIn relat¸ia precedent˘ a se fac urm˘atoarele aproximat¸ii: • densitatea de impuls este π = ρm v = n m v = m(n0 + δn)v ; ca urmare, derivata temporal˘ a a densit˘ a¸tii de impuls, ˆın aproximat¸ia liniar˘a, devine h ∂(nv) i dπ ∂v =m + (v · ∇)(nv) ≈ m n0 , (9.103) I dt ∂t ∂t unde ultima egalitate s-a obt¸inut aplicˆ and aproximat¸ia liniar˘a; • densitatea de fort¸˘ a este
qE = − e n E ≈ − e n0 E , I V unde ultima egalitate s-a obt¸inut prin aplicarea aproximat¸iei liniare. f=
(9.104)
Atunci, teorema variat¸iei densit˘ a¸tii de impuls are urm˘atoarea form˘a explicit˘a: ∂v ∂v e ≈ − e n0 E =⇒ ≈− E. (9.105) ∂t ∂t m Relat¸ia direct˘a ˆıntre densitatea de sarcin˘a ¸si viteza local˘ a a electronilor se obt¸ine din ecuat¸ia de continuitate a sarcinii electrice: ∂ρel + div ρel v = 0 . (9.106) ∂t Densitatea de sarcin˘a electronic˘ a este ρel (r, t) = − e n(r, t) = − e n0 + δn(r, t) m n0
atunci rezult˘a ˆın aproximat¸ia liniar˘ a: ∂ δn ∂ρel = −e , • ∂t ∂t • div ρel v ≈ − e n0 div(v) ;
ca urmare, ecuat¸ia de continuitate devine
∂ δn ∂ δn − e n0 div(v) ≈ 0 =⇒ ≈ n0 div(v) (9.107) ∂t ∂t Din relat¸iile anterioare (9.102), (9.105) ¸si (9.107) rezult˘a ecuat¸ia diferent¸ial˘a pentru perturbat¸ia densit˘ a¸tii electronice: −e ∂ v 2 ∂ ∂ ∂ δn ∂ δn = = −n0 div − n0 div(v) = −n0 div = E 2 ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t m n0 e n0 e = − 4πe δn ; div E = m m ca urmare, se obt¸ine ecuat¸ia oscilat¸iilor armonice, iar acestea sunt oscilat¸ii plasmonice: −e
∂ 2 δn 4πe2 n0 + δn = 0 . (9.108) ∂ t2 m Pulsat¸ia oscilat¸iilor colective ale distribut¸iei electronice pulsat¸ia plasmonic˘ a clasic˘a) este r 4πe2 n0 . (9.109) ΩP = m Observat¸ii: oscilat¸iile plasmonice ale sistemului electronic sunt oscilat¸ii colective ale densit˘ a¸tii electronice; ˆın acest caz fort¸a de revenire asupra particulelor deplasate fat¸˘a de pozit¸ia de echilibru, provine de la cˆ ampul electric self-consistent, generat de excesul local de sarcin˘a.
9.4. SUNETUL DE ZERO (ˆINTR-UN GAZ FERMIONIC)
9.4
217
Sunetul de zero (ˆıntr-un gaz fermionic)
A. Observat¸ii generale S-a ar˘ atat anterior (la prezentarea oscilat¸iilor plasmei electronice) c˘ a sistemul electronic suport˘ a oscilat¸ii de densitate cu frecvent¸a (pulsat¸ia) apropiat˘ a de valoarea clasic˘a, la valori mici ale vectorului de und˘a ω ≈ ΩP . q→0
ˆIn acest caz oscilat¸iile de densitate sunt moduri colective, iar fort¸a de revenire (asupra particulelor deplasate fat¸˘ a de pozit¸ia de echilibru) provine de la cˆ ampul electric self-consistent, generat de excesul local de sarcin˘a. Problema existent¸ei unor moduri colective ˆın sisteme fermionice neutre la temperatura nul˘a (T = 0) a fost formulat˘a de c˘ atre L.D. Landau. • Se va ar˘ ata c˘ a se produc moduri colective dac˘a interact¸ia mutual˘a ˆıntre particule este repulsiv˘ a ¸si cu raz˘ a scurt˘ a de act¸iune. ˆIn acest caz se produc oscilat¸ii de densitate cu o lege de dispersie liniar˘a ω ≈ c0 q , q→0
numit sunetul de zero. • Sunetul de zero este, din punct de vedere fizic, diferit de sunetul ordinar (chiar dac˘a au legi de dispersie similare). – Sunetul ordinar se propag˘ a numai cˆ and sistemul este ˆın stare de echilibru local; condit¸ia pentru producerea sunetului ordinar este ωτ ≪ 1 , unde τ esre timpul mediu ˆıntre ciocnirile electronice, iar ω este pulsat¸ia oscilat¸iilor. – Sunetul de zero este un mod colectiv sust¸inut de interact¸ia self-consistent˘ a coerent˘ a; ca urmare, apare numai ˆın regimul f˘ar˘a ciocniri, astfel ˆıncˆ at necesit˘a condit¸ia ωτ ≫ 1 . Deoarece se consider˘ a sistemul fermionic la temperatur˘a coborˆat˘a, rezult˘a c˘ a Principiul de excluziune Pauli implic˘ a o limitare drastic˘ a a ciocnirilor posibile. Pentru o frecvent¸˘ a ω fixat˘ a exist˘a o temperatur˘a critic˘a (Tc ) astfel ˆıncˆ at pentru temperaturi coborˆ ate (T < Tc ) sunetul ordinar este puternic atenuat, dar sunetul de zero se propag˘ a liber. La temperatura nul˘a (T = 0) sunetul ordinar nu se propag˘ a, astfel ˆıncˆ at exist˘a numai sunetul de zero. B. Teoria clasic˘ a a undelor sonore ˆın gaze Se consider˘ a un mediu continuu (de tip gaz), care are densitatea de mas˘a ˆın condit¸ii de (m) echilibru ρ0 = m n0 . Se produce o mic˘a perturbat¸ie de densitate: (m)
ρ0
−→
(m)
ρ(m) (r, t) = ρ0
+ δρ(m) (r, t) ,
(m)
unde δρ(m) ≪ ρ0 ; efectul perturbat¸iei de densitate este producerea unei fort¸e de revenire cu densitatea f = −∇P (unde P este presiunea), iar procesul este suficient de rapid pentru a se putea considera ca fiind adiabatic (entropia r˘amˆ ane constant˘ a). Ecuat¸iile generale ale sistemului ˆın aproximat¸ia liniar˘a sunt urm˘atoarele: i. Ecuat¸ia dinamic˘ a de mi¸scare (ecuat¸ia Euler): d (m) ρ v = − grad P ; dt
˘ CAPITOLUL 9. TEORIA RASPUNSULUI LINIAR
218
dar membrul stˆ ang al ecuat¸iei Euler ˆın aproximat¸ia liniar˘a este ∂ d (m) (m) ∂ v ρ v = ρ(m) v + v · ∇ ρ(m) v ≈ ρ0 , 1 dt ∂t ∂t
astfel ˆıncˆ at ecuat¸ia Euler liniarizat˘a are urm˘atoarea form˘a: (m)
ρ0
∂v ≈ − grad P . ∂t
(9.110)
ii. Ecuat¸ia de continuitate: ∂ (m) ρ + div ρ(m) v = 0 ; ∂t (m)
deoarece ρ0 astfel:
este constant˘ a, atunci
∂ ∂ (m) ρ = δρ(m) , iar al doilea termen se liniarizeaz˘ a ∂t ∂t
(m) div ρ(m) v = grad ρ(m) · v + ρ(m) div v ≈ ρ0 div v ; 1
ca urmare, ecuat¸ia de continuitate liniarizat˘a este
∂ (m) δρ(m) ≈ −ρ0 div v . ∂t
(9.111)
iii. Ecuat¸ia de stare a gazului se poate considera ca fiind expresia presiunii ˆın funct¸ie de densitate ¸si entropie: P = P (ρ(m) , S); deoarece se consider˘ a perturbat¸ii mici ale densit˘ a¸tii, se poate dezvolta ˆın serie Taylor ecuat¸ia de stare (la entropie constant˘ a) ¸si aproximat¸ia liniar˘a implic˘ a limitarea la ordinul 1: ∂P (m) (m) δρ(m) . (9.112) P (ρ , S) ≈ P (ρ0 , S) + ∂ ρ(m) S Pe baza ecuat¸iilor precedente se obt¸ine ecuat¸ia diferent¸ial˘a a fluctuat¸iilor de densitate (ˆın aproximat¸ia liniar˘ a): 1 ∂2 ∇2 δρ(m) (r, t) − δρ(m) (r, t) = 0 . (9.113) ∂P ∂ t2 ∂ ρ(m) S Demonstrat¸ie: Se utilizeaz˘ a ecuat¸ia de continuitate ˆın forma (9.111) ∂ ∂ ∂ ∂2 (m) (m) (m) δρ = δρ ≈ div v ; − ρ 0 ∂ t2 ∂t ∂t ∂t apoi m˘ arimea obt¸inut˘ a anterior se transform˘ a prin utilizarea ecuat¸iei Euler ˆın forma (9.110) ∂ (m) ∂ v (m) − ρ0 div v = − div ρ0 ≈ − div − grad P = ∇2 P . ∂t ∂t
Datorit˘ a ecuat¸iei de stare ˆın forma (9.112) presiunii se exprim˘ a prin intermediul lapla laplaceanul ∂P ceanului densit˘ a¸tii de mas˘ a, deoarece este o constant˘ a: ∂ ρ(m) S ∇2 P ≈
∂P ∂ ρ(m)
S
∇2 ρ(m) .
Atunci, luˆ and ˆın considerare rezultatele precedente, se obt¸ine ∂P ∂2 (m) δρ ≈ ∇2 ρ(m) , ∂ t2 ∂ ρ(m) S care este echivalent˘ a cu ecuat¸ia (9.113).
9.4. SUNETUL DE ZERO (ˆINTR-UN GAZ FERMIONIC)
219
Observat¸ii: i. Ecuat¸ia diferent¸ial˘a satisf˘acut˘ a de fluctuat¸ia densit˘ a¸tii δρ(m) (9.113) este ecuat¸ia undelor (d’Alembert), cu viteza de propagare c1 =
s
∂P ∂ ρ(m)
,
(9.114)
S
numit˘a viteza sunetului. ii. Propagarea sunetului ˆın mediul continuu este un proces adiabatic. iii. Dac˘ a se consider˘ a sistemul ca fiind un gaz fermionic ideal la temperatura nul˘a (T = 0), atunci sistemul se afl˘ a ˆın starea fundamental˘ a ¸si are entropia nul˘a (S = 0); ˆın aceste condit¸ii presiunea gazului fermionic ideal este P0 =
2 ~2 (3π 2 )2/3 ~2 (m) 5/3 2 0 n εF = (3π 2 )2/3 n5/3 = , ρ 5 5 2m 5 m8/3
iar viteza sunetului (la temperatur˘a nul˘a) este c1 =
r
~2 5 (m) 2/3 1 = ρ (3π 2 )2/3 8/3 5 3 m
r
1 ~kF vF ~2 (3π 2 n)2/3 = √ = √ , 3m2 3 m 3
unde vF este viteza Fermi. C. Sunetul de zero
Se consider˘ a un gaz fermionic constituit din particule neutre (din punct de vedere electric) ¸si care au interact¸ii mutuale statice de tip bi-particul˘a, cu potent¸ialul v(r); sistemul se afl˘a ˆın starea fundamental˘ a la temperatura nul˘a. Se aplic˘ a sistemului o perturbat¸ie impulsiv˘ a, cuplat˘ a cu densitatea de particule, periodic˘ a spat¸ial ¸si aplicat˘ a la momentul t0 = 0; atunci potent¸ialul extern de perturbat¸ie (ne-electric) este de tipul exprimat prin formula (9.18): w(r, t) = w0 eiq·r δ(t) . Conform rezultatelor generale ale teoriei r˘aspunsului lininar ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a, modificare distribut¸iei de particule datorit˘a unei perturbat¸ii impulsive este dat˘a de formula (9.28): Z δhn(r, t)i = w0 eiq·r
∞
w0 eiq·r dω −iωt e (R) e Π (q, ω) = ve(q) −∞ 2π
Z
o 1 dω −iωt n e . − 1 κ e(R) (q, ω) −∞ 2π ∞
Efectul perturbat¸iei impulsive este s˘a produc˘a o excitare a sistemului, iar spectrul excitat¸iilor colective (ne-plasmonice) este dat de singularit˘a¸tile de tip poli ai transformatei Fourier a polariz˘arii e (R) (q, ω), sau ˆın mod echivalent de zerourile funct¸iei dielectrice generalizate retardate retardate Π (R) κ e (q, ω); ca urmare, ecuat¸ia excitat¸iilor colective (numit˘a de asemenea ecuat¸ia frecvent¸elor rezonante) este e κ(R) (q, Ωq − iγq ) = 0. ˆIn cazul amortiz˘arii slabe (adic˘a γq ≪ Ωq ), frecvent¸a rezinant˘ a (Ωq ) ¸si constanta de amortizare (γq ) se obt¸in prin rezolvarea sistemului de ecuat¸ii (9.30). ˆIn cazul prezent se va determina solut¸ia pentru spectrul excitat¸iilor colective ˆın urm˘atoarele condit¸ii: e ∗ (q, ω) ≈ Π e 0 (q, ω), ceea 1. se utilizeaz˘ a aproximat¸ia de ordinul 0 pentru polarizarea proprie Π ce este echivalent cu aproximat¸ia fazelor aleatoare (RPA); 2. se consider˘ a hipoteza c˘ a legea de dispersie este liniar˘a Ωq ≈ c0 q, adic˘a spectrul excitat¸iilor colective este de tip fononic; 3. se face hipoteza c˘ a amortiz˘arile sunt slabe: γq ≪ Ωq ; 4. se studiaz˘a spectrul de excitat¸ii ˆın limita lungimilor de und˘a mari, adic˘a q → 0.
˘ CAPITOLUL 9. TEORIA RASPUNSULUI LINIAR
220
Expresia polariz˘ arii de ordinul 0 pentru cazul asimptotic q → 0 ¸si ω ∼ q a fost determinat˘ a ˆın Sect¸iunea 3.4, iar rezultatele sunt date de formulele (3.151) ¸si (3.157): 1 + x 0 mkF e (e q , xe q ) = − 2 2 2 − x ln Re Π , 2π ~ 1−x 0 mkF e (e Im Π q , xe q ) = − 2 2 x θ(1 − x) , 2π ~
unde qe ≡ q/kF este vectorul de und˘a adimensionalizat ¸si x este raportul dintre frecvent¸a ¸si num˘arul de und˘a adimensionalizate: x≡
ω kF ω νe = = . qe vF q ~kF2 q m
Prin utilizarea expresiilor asimptotice, ecuat¸iile (9.30) devin: mkF x x + 1 v (q) 2 2 e =1, ln − 1 Ω π ~ 2 x − 1 x= v qq F mkF − x θ(1 − x) 2 2π~ . γq = mk x 1 + x ∂ F −1 ln Ωq ∂ω π 2 ~2 2 1 − x x=
(9.115a)
(9.115b)
vF q
Pentru rezolvarea ecuat¸iilor (9.115) se utilizeaz˘a urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: i. Deoarece Ωq = c0 q ¸si vF = ~kF /m rezult˘a c˘ a variabila x este x=
m Ωq c0 , = ~kF q vF
(9.116)
adic˘a raportul dintre viteza de propagare a excitat¸iei colective considerate (sunetul de zero) ¸si viteza Fermi. ii. Frecvent¸a ω se exprim˘ a ˆın termeni de variabila x, prin relat¸ia ω = vF q x; atunci derivarea ˆın raport cu frecvent¸a devine derivare ˆın raport cu variabila x: ∂ ∂ f (x) ∂ x 1 ′ f (x) = = f (x) . ∂ω ∂x ∂ω vF q Pe baza propriet˘ a¸tii precedente constanta de amortizare, din ecuat¸ia (9.115b) se exprim˘ a ˆın urm˘atoarea form˘a: x θ(1 − x) x θ(1 − x) π π γq = − = − vF q 2 ∂ x x + 1 2 ∂ x x + 1 ln ln +1 +1 ∂ω 2 x−1 ∂ x 2 x − 1 x=c0 /vF x=c0 /vF iii. Din ecuat¸iile (9.115) rezult˘a funct¸ia caracteristic˘ a F (x) ≡
x x + 1 ln +1; 2 x−1
(9.117)
se observ˘ a urm˘atoarele propriet˘ a¸tiale funct¸iei caracteristice: • x = 1 este o singularitate logaritmic˘ a,
• la valori mari ale argumentului funct¸ia are comportarea asimptotic˘a F (x) ≈
x≫1
• pentru x > 1 funct¸ia este monoton descresc˘atoare.
1 , 3 x2
9.4. SUNETUL DE ZERO (ˆINTR-UN GAZ FERMIONIC)
221
1
0.8
F (x)
F (x)
0.6
0.4
π 2 ~2 mkF ve(0)
0.2
0 0
xs
1
2
3
4
5
x Figura 9.2: Graficul funct¸iei caracteristice F (x) ¸si determinarea grafic˘ a a relat¸iei de dispersie pentru sunetul de zero. Graficul funct¸iei caracteristice F (x) este ilustrat ˆın figura 9.2. Luˆand ˆın considerare observat¸iile precedente ¸si faptul c˘ a se studiaz˘a modurile colective ale sistemului ˆın limita lungimilor de und˘a mari, rezult˘a c˘ a ecuat¸iile (9.115) se exprim˘ a mai convenabil ˆın forma: c π 2 ~2 π 2 ~2 1 0 = lim = , (9.118a) F q→0 mkF v vF e(q) mkF e v (0) π x θ(1 − x) γq = − vF q . (9.118b) 2 F ′ (x) x=c0 /vF Consecint¸e ale ecuat¸iilor (9.118).
• Ecuat¸ia (9.118a) are ce solut¸ie viteza sunetului de zero c0 , iar dup˘a determinarea acestei solut¸ii se obt¸ine constanta de amortizare corespunz˘ atoare din ecuat¸ia (9.118b). c0 > 1 se obt¸ine rezultat nul: γq = 0, ceea ce vF semnific˘a o excitat¸ie colectiv˘ a neamortizat˘ a ; ca urmare, sunetul de zero (care corespunde excitat¸iei colective neamortizate) este posibil numai dac˘a c0 > vF .
• Din ecuat¸ia (9.118b) rezult˘a c˘ a pentru x ≡
• Ecuat¸ia pentru legea de dispersie la limita lungimilor de und˘a mari (9.118a) se poate rezolva ˆın mod calitativ prin metoda grafic˘ a, a¸sa cum este ilustrat ˆın figura 9.2. Se observ˘a c˘ a ecuat¸ia Zare solut¸ie xs > 1 numai dac˘a potent¸ialul interact¸iei dintre particule este repulsiv : v (0) = d3 v(r) > 0. e
• Solut¸ia ecuat¸iei pentru legea de dispersie (9.118a) ˆın cazuri asimptotice, cˆ and este posibil s˘a se obt¸in˘a expresii aproximative ale solut¸iilor: a) cuplaj slab, ve(0) ≪
~2 ; ˆın aceast˘a situat¸ie mkF
π 2 ~2 ≫ π2 mkF ve(0)
=⇒
F (x) ≫ 1
=⇒
xs ≥ 1 ;
˘ CAPITOLUL 9. TEORIA RASPUNSULUI LINIAR
222 1 x≥1 2
deoarece F (x) ≈
ln
2 − 1 , atunci se obt¸ine solut¸ia aproximativ˘ a x−1
n h π 2 ~2 io c0 ≈ 1 + 2 exp − 2 +1 ; vF mkf ve(0)
b) cuplaj puternic, ve(0) ≫
~2 ; ˆın aceast˘a situat¸ie mkF
π 2 ~2 ≪ π2 mkF e v (0)
deoarece F (x) ≈
x≫1
(9.119)
=⇒
F (x) ≪ 1
=⇒
xs ≫ 1 ;
1 , atunci se obt¸ine solut¸ia aproximativ˘ a 3 x2 r c0 mkF ve(0) ≈ . vF 3π 2 ~2
(9.120)
Observat¸ii generale: i. Din forma ecuat¸iei (9.118a) pentru c0 rezult˘a c˘ a solut¸ia c0 (e v ) nu este o funct¸ie analitic˘ a ; ca urmare, nu este posibil s˘a se obt¸in˘a expresia c0 (e v ) prin utilizarea exclusiv˘ a a teoriei perturbat¸iilor (ˆın orice ordin finit). Aproximat¸ia de ordinul 0 pentru polarizarea proprie (Π∗ ≈ Π0 ) nu poate fi justificat˘a pe baza teoriei perturbat¸iilor cˆ and potent¸ialul de interact¸ie bi-particul˘a are raz˘ a scurt˘ a de act¸iune. ii. Pentru aproximat¸ii de ordin superior se obt¸in rezultate analoage cu cele anterioare (corespunz˘atoare aproximat¸iei de ordinul 1); ˆın acest caz exist˘a o singularitate logaritmic˘ a a ecuat¸iei c0 de dispersie pentru x ≈ 1 ¸si se modific˘a numai constanta de proport¸ionalitate pentru ; totu¸si vF α c0 . ∼ exp − la limita cuplajului slab se obt¸ine vf ve iii. Legea de dispersie pentru cuplajul puternic, conform relat¸iei (9.120), este: r r mkF ve(0) n Ωq = c0 q ≈ q vF = q ve(0) ; 3π 2 ~2 m Atunci, dac˘ a ve(q) −→ ∞ (adic˘ a ve(0) = ∞), atunci relat¸ia de dispersie are un caracter total q→∞
4π e2 ; ˆın acest caz q2 excitat¸iile colective produse de perturbat¸ii impulsive sunt oscilat¸iile plasmonice (nu sunetul de h q 2 i 9 −→ ωP . Totu¸si rezultatul zero), care au legea de dispersie (9.66b): Ωq ≈ ωP 1 + 10 q→0 qTF plasmonic la limita lungimilor de und˘a mari s-ar s fi putut obt¸ine ˆın mod formal din rezultatul r r n n 4π e2 4π e2 n pentru sunetul de zero: Ωq = q = ve(q) = ωP . =q m m q2 m diferit. Exemplul caracteristic este interact¸ia coulombian˘ a, cˆ and ve(q) =
q→0
q→0
Dac˘ a se compar˘a oscilat¸iile plasmonice cu sunetul de zero, se observ˘a c˘ a sunt similare din punct de vedere fizic (de¸si sunetul de zero implic˘ a o interact¸ie ˆıntre particule neutre, pe cˆ and oscilat¸ia plasmonic˘ a implic˘ a interact¸ia coulombian˘ a), dar cele dou˘a excitat¸ii colective difer˘a prin forma detaliat˘ a a legilor de dispersie la lungimi de und˘a mari. iv. Comparat¸ie ˆıntre sunetul de zero ¸si sunetul ordinar: vF • sunetul ordinar, la temperatura nul˘a (T = 0) are viteza de propagare c1 = √ ; 3
• sunetul de zero are o vitez˘a de propagare dependent˘ a de caracterul cuplajului dintre particulele sistemului (dup˘ a cum rezult˘a din teoria Landau): √ a) pentru cuplaj slab: c0 ≈ vF = 3 c1 ; b) pentru cuplaj puternic: c0 ≈ c1 ;
c) pentru cuplaj arbitrar: c1 < c0 <
√
3 c1 .
Capitolul 10
Transform˘ ari canonice Metoda transform˘ arii canonice este o metod˘ a alternativ˘a fat¸˘a de metoda perturbat¸ional˘ a ¸si aproximat¸iile derivate prin tehnica de perturbat¸ie, iar aceast˘a metod˘ a este aplicabil˘a pentru diferite clase de sisteme. Prin metoda transform˘ arii canonice se efectueaz˘a transform˘ari ale operatorilor elementari, cu condit¸ia conserv˘ arii relat¸iilor de comutare (ˆın cazul bosonic), respectiv a relat¸iilor de anticomutare (ˆın cazul fermionic) care este ˆıns˘ a¸si definit¸ia canonicit˘a¸tii unei transform˘ari, conform conceptelor generale ale mecanicii (clasice sau cuantice); ca urmare, operatorii elementari transformat¸i p˘ astreaz˘ a propriet˘ a¸tile de operatori de creare, sau de anihilare. Pe de alt˘ a parte, prin transformarea canonic˘a a operatorilor se realizeaz˘ a o simplificare a hamiltonianului, astfel ˆıncˆ at problema transformat˘a devine o problem˘ a exact solubil˘ a (eventual dup˘a efectuarea unor aproxim˘ ari suplimentare). Este necesar s˘a se remarce c˘ a metoda transform˘arii canonice este posibil˘a numai pentru o clas˘a particular˘ a de sisteme. Rezultatele pentru aproximat¸ii de ordin inferior sunt intuitive ¸si implic˘ a calcule facile pentru starea fundamental˘ a a sistemului ¸si pentru spectrul excitat¸iilor elementare (ˆın general rezultatele sunt echivalente cu cele obt¸inute prin teoria perturbat¸iilor ˆın ordinul 1, dar metoda transform˘ arii canonice este mult mai direct˘a ¸si mai elegant˘ a decˆat teoria perturbat¸iilor).
10.1
Sisteme bosonice
10.1.1
Condit¸ii
Sistemul studiat este constituit din particule bosonice nerelativiste ¸si f˘ar˘a spin (s = 0); interact¸iile particulelor sistemului sunt binare cu raz˘ a scurt˘ a de act¸iune ¸si de tip sfere rigide. Se consider˘ a c˘ a sistemul are densitate de particule suficient de mic˘a, ca s˘a fie considerat un gaz bosonic imperfect; din punct de vedere macroscopic sistemul este la temperatur˘a nul˘a. Dac˘ a s-ar neglija interact¸iile dintre particule, atunci sistemul ar fi un gaz bosonic ideal, care la temperaturi suficient de coborˆ ate manifest˘ a fenomenul numit condensare bosonic˘ a : o fract¸ie finit˘a a num˘arului de particule se afl˘ a ˆın starea uni-particul˘a fundamental˘ a, iar pe st˘arile uni-particul˘a excitate sunt fract¸ii infinitezimale de particule. ˆIn cazul gazului bosonic imperfect, se presupune c˘ a diferent¸ele fat¸˘ a de cazul ideal sunt mici, adic˘a la temperaturi joase particulele condensate sunt dominante. Deoarece interact¸iile sunt cu raz˘ a scurt˘ a de act¸iune ¸si sistemul este ˆın condit¸ii de densitate mic˘a, rezult˘a c˘ a majoritatea particulelor ocup˘a starea condensat˘ a (starea de impuls nul k = 0), ceea ce ˆınseamn˘ a c˘ a starea condensat˘ a are o ocupare macroscopic˘ a, iar interact¸ia ˆıntre particulele excitate este un efect mic. Sistemul se poate studia prin metoda standard a formalismului de temperatur˘a nul˘a (teoria Beliaev), dar metoda transform˘ arii canonice este mai direct˘a ¸si mai intuitiv˘a pentru a obt¸ine rezultate echivalente cu aproximat¸ia perturbat¸ional˘ a de ordinul 1. Se consider˘ a st˘ arile uni-particul˘ a, pe care se efectueaz˘a cuantificarea sistemului, ca fiind st˘ari 1 libere caracterizate prin funct¸iile proprii egale cu undele plane: uk (r) = √ eik·r ; atunci, opeV ratorii elementari corespunz˘ atori sunt ˆbk ¸si ˆb†k . Se observ˘a c˘ a particulele au spinul nul (s = 0), 223
˘ CAPITOLUL 10. TRANSFORMARI CANONICE
224
astfel c˘ a partea de spin este absent˘ a ˆın funct¸iile de stare ¸si ˆın operatorii elementari. Hamiltonianul sistemului, conform definit¸iei modelului prezent, este constituit din partea ˆ 0 ¸si partea de interact¸ie H ˆ int : cinetic˘a (hamiltonianul liber) H X 1 X ˆ0 + H ˆ int , ˆ = (10.1) ve(q) ˆb†k ˆb†k′ ˆbk′ +q ˆbk−q ≡ H H ε0k ˆb†k ˆbk + 2V ′ k,k ,q
k
unde
ε0k = ve(q) =
~2 k 2 , Z2m
d3 r e−iq·r v(r)
=⇒
V
Operatorul num˘ ar de particule este ˆ = N
X
ˆb† ˆbk . k
ve(−q) = ve(q) .
(10.2)
k
Observat¸ie: formalismul Cuantific˘ arii II necesit˘a utilizarea spat¸iului Fock, ˆın care sistemul are un num˘ar de particule nedeterminat; totu¸si, din punct de vedere fizic, sistemul studiat are un num˘ar de particule N bine determinat ¸si constant. De aceea, pentru a lua ˆın considerare num˘arul fixat de particule cˆ and se utilizeaz˘ a spat¸iul Fock este necesar s˘a se impun˘a o condit¸ie suplimentar˘ a restrictiv˘ a.
10.1.2
Aproximat¸ia Bogoliubov
Deoarece s-a considerat c˘ a sistemul de particule bosonice este rarefiat, rezult˘a urm˘atoarele consecint¸e: • majoritatea particulelor se afl˘ a ˆın starea fundamental˘ a uni-particul˘a; atunci num˘arul de particule din starea fundamental˘ a este de ordinul de m˘arime al num˘arului total de particule N0 . N , iar num˘ arul de particule excitate este foarte mic N ′ ≡ N − N0 ≪ N ; • interact¸iile repetate (adic˘ a interact¸iile multiple) sunt neglijabile ˆın comparat¸ie cu interact¸iile simple (binare); aceast˘a hipotez˘a implic˘ a neglijarea interact¸iilor ˆıntre particulele aflate ˆın st˘ari excitate. Aproximat¸ia Bogoliubov este bazat˘a pe observat¸iile anterioare. 1. Operatorii elementari pe starea fundamental˘ a uni-particul˘a (numit˘a stare condensat˘ a ) sunt aproximat¸i ca operatori banali (adic˘a proport¸ionali cu operatorul unitate): √ ˆb0 ≈ N0 ˆ1 , √ (10.3) ˆb† ≈ N0 ˆ1 . 0 Aproximat¸ia precedent˘ a implic˘ a neglijarea interact¸iilor ˆıntre particulele condensate. Condit¸ia ca num˘ arul total de particule s˘a fie fixat (N = constant) are drept consecint¸˘a c˘ a parametrul N0 se exprim˘ a ˆın termeni de operatorii elementari necondensat¸i prin relat¸ia de conservare: N0 + N ′ = N . ˆ int ) cu n0 = 0, 1 operatori con2. Contribut¸ia termenilor din hamiltonianul de interact¸ie (H ′ densat¸i (adic˘ a n = 3, 4 operatori necondensat¸i) este neglijabil˘ a ; ca urmare, se ret¸in din hamiltonianul de interact¸ie numai termenii care cont¸in n′ = 0, 1, 2 operatori elementari pe st˘ari uni-particul˘ a excitate (operatori necondensat¸i). Aceast˘a aproximat¸ie implic˘ a neglijarea interact¸iilor ˆıntre particulele necondensate, precum ¸si interact¸iile multiple. Observat¸ii: i. Aproximat¸ia Bogoliubov este valabil˘a numai la limita N0 . N ¸si este echivalent˘ a cu aproximat¸ia scar˘ a ˆın ordinul 1, din teoria perturbativ˘a standard. ii. Aproximat¸ia Bogoliubov necesit˘a s˘a se efectueze separarea ˆıntre partea condensat˘ a ¸si partea necondensat˘a din operatorii num˘ ar de particule ¸si hamiltonian, urmat˘ a de tratare aproximativ˘ a pentru p˘ art¸ile necondensate.
10.1. SISTEME BOSONICE
225
A. Aproximarea operatorului num˘ ar de particule Conform primei hipoteze de aproximare Bogolibov (relativ la operatorii elementari pe starea condensat˘ a) se separ˘ a termenii din expresia (10.2) a operatorului num˘ar de particule: X † X′ † ˆ= ˆb ˆbk ˆb ˆbk = ˆb† ˆb0 + N 0 k k k
k
1 X′ ˆ† ˆ bk bk + ˆb†−k ˆb−k . = ˆb†0 ˆb0 + 2 k
Deoarece se consider˘ a num˘ arul de particule fixat, se aproximeaz˘ a operatorul num˘ar total de ˆ ≈ N ˆ1; ca urmare termenul condensat din expresia operatoparticule cu un operator banal: N rului num˘ ar de particule, care este de asemenea un operator banal (conform primei hipoteze de aproximare Bogoliubov), se exprim˘ a utilizˆand relat¸ia de conservare a num˘arului de particule: 1 X′ ˆ† ˆ ˆb† ˆb0 ≈ N0 ˆ ˆ′ . 1 ≈ N ˆ1 − bk bk + ˆb†−k ˆb−k ≡ N ˆ1 − N 0 B1 2
(10.4)
k
B. Aproximarea hamiltonianului ˆ0 + H ˆ int ) care se comport˘ Hamiltonianul cont¸ine 2 termeni (H a diferit; ca urmare, se efectueaz˘ a operat¸iile specificate de hipotezele de aproximare Bogoliubov ˆın mod separat pentru fiecare termen. B1. Hamiltonianul liber Se efectueaz˘ a separarea termenului condensat, ˆın mod similar cu cazul precedent (pentru operatorul num˘ ar de particule): X X′ ˆ0 = ε0k ˆb†k ˆbk . H ε0k ˆb†k ˆbk = ε00 ˆb†0 ˆb0 + k
k
ˆIn acest caz energia unei particule condensate este nul˘a ε0 = 0, astfel ˆıncˆ at este absent˘ a contri0 but¸ia st˘ arii condensate; pe de alt˘ a parte, energia uni-particul˘a (excitat˘a) ε0k este o funct¸ie par˘ a ˆın raport cu vectorul de und˘a (ε0k = ε0k ), astfel ˆıncˆ at se poate simetriza contribut¸ia necondensat˘a, iar hamiltonianul liber devine: X′ ˆ0 = 1 H (10.5) ε0k ˆb†k ˆbk + ˆb†−k ˆb−k . 2 k
Se observ˘ a c˘ a ˆın acest caz nu s-a efectuat nici o aproximat¸ie. B2. Aproximarea hamiltonianului de interact¸ie Se efectueaz˘ a separarea termenilor care cont¸in n0 = 4, 2, 1, 0 operatori elementari condensat¸i (respectiv n′ = 0, 2, 3, 4 operatori elementari necondensat¸i); se observ˘a c˘ a din condit¸ia de conservare a impulsului (care exist˘a pentru sumarea multipl˘a) k+k′ = (k−q)+(k′ +q), rezult˘a absent¸a termenilor cu n′ = 1 operator necondensat (adic˘a lipsesc termenii cu n0 = 3 operatori condensat¸i). Atunci, hamiltonianul de interact¸ie se descompune prin evident¸ierea explicit˘a a termenilor care cont¸in numai operatori condensat¸i ¸si a celor cu n0 = 2 operatori condensat¸i: X ˆ int = 1 v (q) ˆb†k ˆb†k′ ˆbk′ +q ˆbk−q e H 2V ′ k,k ,q
1 = ve(0) ˆb† ˆb† ˆb0 ˆb0 2V 0 0 X′ X′ 1 X′ ve(0) ˆb†0 ˆb†k′ ˆbk′ ˆb0 ve(−k′ ) ˆb†0 ˆb†k′ ˆbk′ ˆb0 + + ve(q) ˆb†0 ˆb†0 ˆbq ˆb−q + 2V ′ ′ q k k X X X′ ′ ′ † ˆ† ˆ ˆ † ˆ† ˆ ˆ † ˆ† ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ve(k) bk b−k b0 b0 ve(k) bk b0 bk b0 + v (0) bk b0 b0 bk + e + k
′ ˆ int +H ,
k
k
(10.6)
˘ CAPITOLUL 10. TRANSFORMARI CANONICE
226
ˆ ′ este partea din hamiltonianul de interact¸ie care cont¸ine termenii cu n′ = 3 ¸si n′ = 4 unde H int ˆ ′ este operatori necondensat¸i. Conform celei de-a doua aproximat¸ie Bogoliubov termenul H int neglijabil. ˆIn continuare se extrag operatorii elementari condensat¸i (care sunt operatori banali) ¸si se aplic˘ a prima aproximat¸ie Bogoliubov pentru operatorii condensat¸i, exprimat˘ a prin relat¸iile (10.3): ˆ int = 1 ve(0) ˆb† ˆb0 2 H 0 2V X′ 2 X′ † 1 ˆ† ˆ X′ † ˆ† † 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ve(k) bk b−k ve(k) bk b−k + b0 b0 b0 2 + v (k) + ve(0) bk bk + b0 e 2V k
k
k
ˆ′ +H int 1 = v (0) N02 ˆ e 1 2V X X′ † ′ 1 † ˆ† † ˆ ′ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ int ; ve(k) bk b−k + bk b−k + H N0 ve(k) + ve(0) bk bk + b−k b−k + + 2V k
k
se observ˘ a c˘ a ˆın ultima egalitate s-a simetrizat al doilea termen datorit˘a propriet˘ a¸tii de paritate a potent¸ialului de interact¸ie ve(−k) = e v (k), astfel ˆıncˆ at este valabil˘a identitatea: 2
X′ k
X′ ve(k) + ve(0) ˆb†k ˆbk + ˆb†−k ˆb−k . ve(k) + e v (0) ˆb†k ˆbk = k
ˆIn continuare se elimin˘ a parametrul N0 cu ajutorul relat¸iei de conservare a num˘arului de particule ˆ ′ , unde N ˆ ′ cont¸ine sum˘a de produse cu 2 operatori elementari necondensat¸i: (10.4): N0 ˆ 1≈Nˆ 1−N X′ † ˆb ˆbk + ˆb† ˆb−k ˆ′ ≡ 1 N k −k 2 k
atunci rezult˘a urm˘atoarele identit˘ a¸ti operatoriale: ˆ′ + N ˆ′ 2 , ˆ ′ 2 = N 2 ˆ1 − 2 N N N02 ˆ 1 ≈ N ˆ1 − N ˆ′ . . . , N0 . . . ≈ N . . . − N
ˆ ′ 2 ¸si N ˆ′ . . . unde {. . .} cont¸ine sume cu produse de 2 operatori necondensat¸i; se observ˘a c˘ a N cont¸in sume cu produse de cˆ ate 4 operatori elementari necondensat¸i. Deoarece ˆın cadrul aproximat¸iei Bogoliubov se neglijeaz˘ a tot¸i termenii cu mai mult de 2 operatori elementari necondensat¸i, ˆ ′ 2 ¸si atunci termenii provenit¸i din aplicarea relat¸iei de conservarea num˘arului de particule N ˆ ′ . . . sunt neglijat¸i, la fel ca termenul H ˆ′ . N int Se ˆınlocuie¸ste parametrul N0 din hamiltonianul de interact¸ie, conform specific˘ arilor precedente, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine n o ˆ′ + N ˆ′ 2 ˆ int = 1 ve(0) N 2 ˆ 1−2N N H 2V X X′ ′ 1 + v (k) ˆb†k ˆb†−k + ˆbk ˆb−k e N ve(k) + ve(0) ˆb†k ˆbk + ˆb†−k ˆb−k + 2V k k X ′ † 1 ˆ ′ X′ † ˆ† † ˆ ′ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ int ve(k) bk b−k + bk b−k + H N ve(k) + ve(0) bk bk + b−k b−k + − 2V k k X′ † 1 1 † 2ˆ ˆb ˆbk + ˆb ˆb−k + 1 ve(0) N ˆ′ 2 = ve(0) N 1 − v (0) N e k −k 2V 2V 2V k X X′ ′ 1 + v (k) ˆb†k ˆb†−k + ˆbk ˆb−k e ve(k) + ve(0) ˆb†k ˆbk + ˆb†−k ˆb−k + N 2V k k X † ′ 1 ˆ ′ X′ ˆ′ ; − ve(k) ˆb†k ˆb†−k + ˆbk ˆb−k + H N ve(k) + ve(0) ˆbk ˆbk + ˆb†−k ˆb−k + int 2V k
k
10.1. SISTEME BOSONICE
227
apoi se grupeaz˘ a termenii analogi ¸si se simplific˘ a termenii proport¸ionali cu ve(0), rezultˆand urm˘atoarea expresie a hamiltonianului de interact¸ie: 2 N X′ ˆ int = N ve(0) ˆ 1+ ve(k) ˆb†k ˆbk + ˆb†−k ˆb−k + ve(k) ˆb†k ˆb†−k + ˆbk ˆb−k H 2V 2V k h 1 i 2 ˆ ′ . . . +H ˆ′ − 1 N ˆ′ ; + ve(0) N int 2V 2V {z } | ˆ ′′ ≡H int
ˆ ′ , definit prin relat¸ia conform observat¸iilor precedente termenul H int
ˆ′ . . . ˆ′ 2 − 1 N ˆ ′′ ≡ 1 ve(0) N H int 2V 2V 1 ′ 2 ˆ = ve(0) N 2V X′ 1 ˆ ′ X′ − ve(k) ˆb†k ˆb†−k + ˆbk ˆb−k N ve(k) + ve(0) ˆb†k ˆbk + ˆb†−k ˆb−k + 2V k
k
cont¸ine sume de produse cu 4 operatori elementari necondensat¸i. ˆ ′ ¸si H ˆ ′′ trebuie s˘a fie neglijat¸i, astfel Conform aproximat¸iei secunde Bogoliubov termenii H int int ˆıncˆ at hamiltonianul de interact¸ie, ˆın aproximat¸ia Bogoliubov, este ne v(0) ˆ 1 X′ † ˆ† † ˆ † ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ B , (10.7) Hint ≈ N ≡H v (k) bk b−k + bk b−k n ve(k) bk bk + b−k b−k + n e 1+ int 2 2 k
unde ˆın expresia precedent˘ a a hamiltonianului de interact¸ie s-a utilizat densitatea de particule n ≡ N/V . B3. Hamiltonianul Bogoliubov Pe baza observat¸iilor anterioare se define¸ste hamiltonianul ˆın aproximat¸ia Bogoliubov ca fiind suma dintre hamiltonianul cinetic ¸si hamiltonianul de interact¸ie aproximat: B ˆB ≡ H ˆ0 + H ˆ int H
=N
o ne v(0) ˆ 1 X′ n 0 1+ εk + n e v(k) ˆb†k ˆbk + ˆb†−k ˆb−k + n ve(k) ˆb†k ˆb†−k + ˆbk ˆb−k . (10.8) 2 2 k
Observat¸ii: ˆ B este obt¸inut prin aplicarea sistematic˘ i. H a a aproximat¸iilor Bogoliubov; termenii neglijat¸i ˆ ′ ¸si H ˆ ′′ , care corespund la interact¸iile particulelor din st˘ari necondensate (ace¸sti termeni sunt H int int cont¸in n′ = 4 operatori elementari necondensat¸i). ˆ B este o form˘a p˘ ii. Hamiltonianul Bogoliubov H atratic˘ a ˆın operatorii elementari; ca urmare, este posibil˘ a o diagonalizare exact˘ a, prin efectuarea unei transform˘ari canonice.
10.1.3
Transformarea canonic˘ a Bogoliubov
A. Definit¸ie Transformarea canonic˘a (ˆın formalismul Cuantific˘arii II) este transformarea liniar˘a a operatorilor ˆk, α ˆ †k , care satisface condit¸iile: 1 elementari ˆbk , ˆb†k → α I. conserv˘ a relat¸iile de comutare (adic˘a este o transformare canonic˘a ˆın sensul general al mecanicii cuantice); ca urmare, operatorii elementari transformat¸i au semnificat¸ia de operatori elementari de creare, respectiv de anihilare pe st˘ari uni-particul˘a efective;
II. se diagonalizeaz˘ a hamiltonianul sistemului, dac˘a acesta este o form˘a p˘ atratic˘ a ˆın operatorii elementari. 1 Metoda transform˘ arii canonice a fost utilizat˘ a pentru prima dat˘ a de c˘ atre T. Holstein ¸si H. Primakoff (1940) pentru sisteme magnetice (teoria undelor de spin).
˘ CAPITOLUL 10. TRANSFORMARI CANONICE
228
ˆIn cazul metodei Boboliubov aplicat˘ ˆ B exprimat prin operatorii a la sistemul bosonic, rezult˘a c˘ aH † elementari transformat¸i α ˆ k ¸si α ˆ k este de tipul unui hamiltonian liber. Ca urmare a observat¸iilor anterioare se consider˘ a transformarea liniar˘a a operatorilor elementari de forma: ( ˆbk = uk α ˆ k − vk α ˆ†−k , (10.9) ˆb† = uk α ˆ †k − vk α ˆ−k ; k coeficient¸ii transform˘ arii canonice uk , vk satisfac condit¸iile: i. sunt reali, ii. sunt dependent¸i numai de modulul vectorului de und˘a k = |k|, iii. sunt determinat¸i de condit¸ia de canonicitate ¸si de condit¸ia de diagonalizare a hamiltonianului aproximat (adic˘ a hamiltonianul Bogoliubov). B. Inversarea transform˘ arii canonice Prin inversarea sistemului de ecut¸ii liniare, ˆın raport cu operatorii transformat¸i se obt¸ine 1 α ˆk = 2 (10.10a) uk ˆbk + vk ˆb†−k , 2 uk − vk 1 (10.10b) uk ˆb†k + vk ˆb−k ; α ˆ†k = 2 2 uk − vk 1 α ˆ −k = 2 uk ˆb−k + vk ˆb†k , (10.10c) uk − vk2 1 (10.10d) uk ˆb†−k + vk ˆbk . α ˆ †−k = 2 2 uk − vk Demonstrat¸ie:
Sistemul de ecuat¸ii (10.9) se exprim˘ a ˆın mod echivalent ˆın ( uk α ˆ k − vk α ˆ †−k = − vk α ˆ k + uk αˆ† −k =
urm˘ atoarea form˘ a: ˆbk , ˆb† ; −k
se observ˘ a c˘ a s-a obt¸inut un sistem liniar de ecuat¸ii pentru operatorii α ˆ k ¸si α ˆ †−k , care se poate rezolva prin metoda determinant¸ilor Krammer. Determinantul sistemului precedent este uk ∆ = −vk
−vk = u2k − vk2 , uk
iar determinanul asociat operatorului α ˆ k este ˆbk −vk = uk ˆbk + vk ˆb† ; ∆α = ˆ† −k b−k uk
ca urmare, operatorul α ˆ k este
α ˆk =
uk ˆbk + vk ˆb†−k ∆α = , ∆ u2k − vk2
care este rezultatul (10.10a). Ceilalt¸i 3 operatori, adic˘ aα ˆ †k , α ˆ −k ¸si α ˆ †−k , se obt¸in prin conjugare hermitic˘ a ¸si respectiv prin transformarea k → −k, ¸tinˆ and cont c˘ a uk ¸si vk sunt coeficient¸i reali ¸si dependent¸i numai de modulul vectorului de und˘ a |k|.
C. Condit¸ia de canonicitate a transform˘ arii Bogoliubov Operatorii elementari ai sistemului bosonic satisfac relat¸iile de comutare standard: ( ˆbk , ˆbk′ = ˆ0 = ˆb†k , ˆb†k′ − , − ˆbk , ˆb† ′ ′ ˆ k − = δk,k 1 .
(10.11)
Dac˘ a se impune condit¸ia ca operatorii rezultat¸i prin transformarea Bogolibov s˘a satisfac˘ a relat¸ii de comutare bosonice standard, atunci rezult˘a c˘ a situat¸ia este posibil˘a numai dac˘a funct¸iile coeficient¸i ai transform˘ arii satisfac relat¸ia u2k − vk2 = 1 .
(10.12)
10.1. SISTEME BOSONICE
229
Demonstrat¸ie: Prin utilizarea expresiilor (10.10) ¸si a relat¸iilor de comutare (10.11) se evalueaz˘ a comutatorii operatorilor transformat¸i; astfel comutatorul dintre doi operatori de anihilare este
α ˆk , α ˆ k′
−
1 u2k − vk2 u2k′ 1 = 2 uk − vk2 u2k′ ˆ; =0 =
1 uk ˆbk + vk ˆb†−k , uk′ ˆbk′ + vk′ ˆb†−k′ − − vk2′ 1 1 1 − uk vk′ δ−k,k′ ˆ uk vk′ δ−k,k′ ˆ − vk2′
ˆ este automat satisf˘ acut˘ a, deci nu introduce se observ˘ a c˘ a relat¸ia de comutare α ˆk , α ˆ k′ − = 0 condit¸ii asupra funct¸iilor coeficient¸i. † 0 se obt¸ine ˆın mod direct prin Relat¸ia de comutare dintre doi operatori de creare α ˆk , α ˆ †k′ − = ˆ conjugarea hermitic˘ a a relat¸iei de comutare anterioare. Relat¸ia de comutare dintre un operator de anihilare ¸si un operator de creare este
α ˆk , α ˆ †k′
−
1 − vk2 1 = 2 uk − vk2 1 = 2 uk − vk2 1 = 2 uk − vk2
=
u2k
u2k′ u2k′ u2k′
1 uk ˆbk + vk ˆb†−k , uk′ ˆb†k′ + vk′ ˆb−k′ − 2 − vk′ 1 1 1 − vk vk′ δ−k,k′ ˆ uk uk′ δ−k,k′ ˆ − vk2′ 2 1 1 uk − vk2 δ−k,k′ ˆ − vk2′
1; δ−k,k′ ˆ
dac˘ a se impune condit¸ia ca relat¸ia de comutare precedent˘ a s˘ a fie ˆın forma standard, adic˘ a 1, α ˆk , α ˆ †k′ − = δ−k,k′ ˆ atunci rezult˘ a urm˘ atoarea egalitate
u2k − vk2 = 1 . Ca urmare s-a obt¸inut condit¸ia de canonicitate a transform˘ arii.
D. Diagonalizarea hamiltonianului Dac˘ a se efectueaz˘ a transformarea canonic˘a a operatorilor elementari, atunci hamiltonianul Bogoliubov cap˘ at˘a urm˘atoarea form˘a: io n X′ h v(0) ˆB = N n e ε0k + n ve(k) vk2 − n ve(k) uk vk ˆ1 + H 2 k i 1 X′ h 0 ˆ †k α ˆk + α ˆ†−k α ˆ −k εk + n ve(k) u2k + vk2 − n ve(k) 2 uk vk α + 2 k i † † 1 X′ h + ˆk α ˆ−k + α ˆk α ˆ −k . − ε0k + n e v(k) 2 uk vk − n e v(k) u2k + vk2 α 2
(10.13)
k
Demonstrat¸ie:
Hamiltonianul Bogoliubov este descris de formula (10.8) o 1 X′ n 0 ˆ B = N n ve(0) ˆ H 1+ εk + n ve(k) ˆb†k ˆbk + ˆb†−k ˆb−k + n ve(k) ˆb†k ˆb†−k + ˆbk ˆb−k . 2 2 k
Se aplic˘ a transformarea canonic˘ a pentru operatorii elementari, astfel ˆıncˆ at primul set de operatori din hamiltonianul Bogoliubov devine ˆb† ˆbk + ˆb† ˆb−k = uk α ˆ †k − vk α ˆ −k uk α ˆ k − vk α ˆ †−k k −k + uk α ˆ †−k − vk α ˆ k uk α ˆ −k − vk α ˆ †k = u2k α ˆ †k α ˆ k − uk vk α ˆ †k α ˆ †−k − uk vk α ˆ −k α ˆ k + vk2 α ˆ −k α ˆ †−k
+ u2k α ˆ †−k α ˆ −k − uk vk α ˆ †−k α ˆ †k − uk vk α ˆk α ˆ −k + vk2 α ˆk α ˆ †k ;
˘ CAPITOLUL 10. TRANSFORMARI CANONICE
230
ˆın ultima expresie se utilizeaz˘ a relat¸iile de comutare ale operatorilor transformat¸i pentru a rescrie produsele 3, 4, 6 ¸si 8: α ˆ −k α ˆk = α ˆk α ˆ −k α ˆ −k α ˆ †−k = 1 + α ˆ †−k α ˆ −k α ˆ †−k α ˆ †k = α ˆ †k α ˆ †−k ˆk ; ˆ †k α α ˆk α ˆ †k = 1 + α ca urmare, dup˘ a regruparea termenilor analogi, se obt¸ine † ˆb† ˆbk + ˆb† ˆb−k = 2 vk2 ˆ ˆk α ˆk + α ˆ †−k α ˆ −k 1 + u2k + vk2 α −k k − 2 uk vk α ˆ †k α ˆ †−k + α ˆk α ˆ −k .
ˆIn mod similar se trateaz˘ a al doilea set de operatori ˆb† ˆb† + ˆbk ˆb−k = uk α ˆ †k − vk α ˆ −k uk α ˆ †−k − vk α ˆk k −k + uk α ˆ k − vk α ˆ †−k uk α ˆ −k − vk α ˆ †k
= u2k α ˆ †k α ˆ †−k − uk vk α ˆ †k α ˆ k − uk vk α ˆ −k α ˆ †−k + vk2 α ˆ −k α ˆk
+ u2k α ˆk α ˆ −k − uk vk α ˆk α ˆ †k − uk vk α ˆ †−k α ˆ −k + vk2 α ˆ †−k α ˆ †k = 2 uk vk ˆ 1 − 2 uk vk α ˆ †k α ˆk + α ˆ †−k α ˆ −k † † + u2k + vk2 α ˆk α ˆ −k + α ˆk α ˆ −k .
Se introduc expresiile operatoriale transformate, astfel ˆıncˆ at hamiltonianul Bogoliubov devine: h X 0 † ′ 1 ˆ B = N n ve(0) ˆ εk + n e v (k) 2 vk2 ˆ 1 + u2k + vk2 α ˆk α ˆk + α ˆ †−k α ˆ −k 1+ H 2 2 k i − 2 uk vk α ˆ †k α ˆ †−k + α ˆk α ˆ −k h + n ve(k) 2 uk vk ˆ 1 − 2 uk vk α ˆ †k α ˆk + α ˆ †−k α ˆ −k † † i + u2k + vk2 α ˆk α ˆ −k + α ˆk α ˆ −k ;
ˆın expresia precedent˘ a se grupeaz˘ a termenii similari ¸si se obt¸ine rezultatul (10.13).
Relat¸ia (10.13) arat˘a c˘ a hamiltonianul Bogoliubov este sum˘a de 3 termeni: primul este un operator banal, al doilea este un operator diagonal ¸si al treilea este un operator nediagonal; ca urmare, se poate impune condit¸ia de diagonalizare, prin anularea coeficientului termenului nediagonal, reprezentat prin operatorii α ˆ †k α ˆ †−k + α ˆk α ˆ −k , adic˘a se impune condit¸ia: − ε0k + n e v (k) 2 uk vk − n e v (k) u2k + vk2 = 0 , (10.14a)
care se poate scrie ˆın mod echivalent ˆın forma: u2k + vk2 =
ε0k + n e v (k) 2 uk vk . ne v(k)
(10.14b)
E. Determinarea coeficient¸ilor transform˘ arii canonice Coeficient¸ii uk ¸si vk se determin˘a din condit¸ia de canonicitate (10.12) ¸si condit¸ia de diagonalizare a hamiltonianului (10.14): u2k − vk2 = 1 ,
2 uk vk n ve(k) = 0 . u2k + vk2 εk + n e v (k)
Este convenabil s˘a se reprezinte ˆın mod parametric solut¸ia, astfel ˆıncˆ at una dintre ecuat¸ii s˘a fie automat satisf˘acut˘ a, iar cealalt˘ a ecuat¸ie s˘a cont¸in˘a o singur˘a necunoscut˘ a; atunci se alege urm˘atoarea reprezentare parametric˘a a solut¸iei uk = cosh ϕk , (10.15a) vk = sinh ϕk .
10.1. SISTEME BOSONICE
231
Se observ˘ a c˘ a alegerea precedent˘ a pentru reprezentarea parametric˘a a coeficient¸ilor are drept implicat¸ie direct˘a c˘ a este automat satisf˘acut˘ a condit¸ia de canonicitate: u2k − vk2 = cosh2 ϕk − sinh2 ϕk = 1 , pentru orice funct¸ie ϕk (adic˘ a s-a ales reprezentarea parametric˘a convenabil˘ a). Se exprim˘ a condit¸ia de diagonalizare ˆın termeni de parametrul ϕk : 2 uk vk = 2 cosh ϕk sinh ϕk = sinh(2 ϕk ) , u2k + vk2 = cosh2 ϕk + sinh2 ϕk = cosh(2 ϕk ) , astfel ˆıncˆ at condit¸ia de diagonalizare devine o ecuat¸ie pentru parametrul ϕk : tanh(2 ϕk ) =
ne v(k) . ε0k + n e v (k)
(10.15b)
F. Consecint¸e ale ecuat¸iei pentru parametrul ϕk
a) Deoarece tangenta hoperbolic˘a are valoare absolut˘a subunitar˘ a (tanh x ∈ [−1, 1]), iar m˘arimile ε0k ¸si n sunt pozitive, atunci ecuat¸ia (10.15b) are urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: i. dac˘ a interact¸ia este repulsiv˘ a (e v (k) > 0), atunci ecuat¸ia are solut¸ie pentru orice valoare a vectorului de und˘a k; ii. dac˘ a interact¸ia este atractiv˘ a (e v (k) < 0), atunci ecuat¸ia are solut¸ie numai pentru vectorii de und˘a k care satisfac condit¸ia: n ve(k) > −ε0k /2.
b) Prin utilizarea ecuat¸iei (10.15b) se exprim˘ a termenii dependent¸i de funct¸iile transform˘arii canonice (adic˘ a uk ¸si vk ) cu ajutorul m˘arimilor caracteristice sistemului (adic˘a ε0k ¸si n ve(k)): 1 = s u2k + vk2 = cosh(2 ϕk ) = q h 1 − tanh2 (2 ϕk ) 1−
2 uk vk =
1
n ve(k) i2 ε0k + n e v (k)
ε0k + n ve(k) = q 2 2 , ε0k + n ve(k) − n e v (k)
ne v (k) 2 ne v(k) u + vk2 = q 2 2 , ε0k + n ve(k) k ε0k + n ve(k) − n e v (k)
ε0k + n ve(k) 2 vk2 = u2k + vk2 u2k − vk2 = q 2 2 − 1 . ε0k + n ve(k) − n e v (k)
(10.16a)
(10.16b)
(10.16c)
Pe baza rezultatelor precedente coeficient¸ii hamiltonianului Bogoliubov generalizat, definit prin relat¸ia (10.13), au urm˘atoarele expresii: i. coeficientul termenului banal (proport¸ional cu operatorul unitate) este 0 εk + n ve(k) vk2 − n ve(k) uk vk 1 1 v (k) ε0k + n e v(k) 2 ne q q = ε0k + n e v (k) − 1 − n v e (k) 2 2 2 2 2 ε0k + n e v (k) − n ve(k) ε0k + n ve(k) − n e v (k) q 2 2 o 1n 0 (10.17a) = εk + n e v (k) − n e v(k) − ε0k + n ve(k) ; 2 ii. coeficientul termenului p˘ atratic (ˆ α†k α ˆk + α ˆ †−k α ˆ −k ) este 0 2 v (k) 2 uk vk εk + n e v (k) uk + vk2 − n e ε0k + n ve(k) ne v (k) = ε0k + n e v(k) q − n ve(k) q 2 2 2 2 ε0k + n e v(k) − n ve(k) ε0k + n e v(k) − n ve(k) q 2 2 = ε0k + n e v(k) − n ve(k) ; (10.17b)
˘ CAPITOLUL 10. TRANSFORMARI CANONICE
232
iii. coeficientul termenului nediagonal (ˆ α†k α ˆk + α ˆ †−k α ˆ −k ) este nul, datorit˘a condit¸iei de diagonalizare (10.14b). G. Hamiltonianul Bogoliubov diagonalizat Prin utilizarea expresiilor (10.17), hamiltonianul Bogoliubov, care este definit prin relat¸ia (10.13), devine: X′ 1 hq 2 2 i v (0) ˆB = N n e + ε0k + n ve(k) − n ve(k) − ε0k + n e v (k) 1ˆ H 2 2 k q 2 2 † 1 X′ 0 + α ˆk α ˆk + α ˆ †−k α ˆ−k ; εk + n e v (k) − n ve(k) 2 k
Se introduc notat¸iile condensate q 0 2 2 Ek ≡ εk + n e v(k) − n ve(k) , X′ 1 hq 2 2 i n ve(0) + ε0k + n ve(k) − n e v (k) − ε0k + n ve(k) ; E0 ≡ N 2 2
(10.18a) (10.18b)
k
ca urmare, luˆand ˆın considerare c˘ a Ek este dependent˘ a numai de modulul vectorului de und˘a, rezult˘a c˘ a hamiltonianul Bogoliubov diagonalizat are urm˘atoarea form˘a: X′ ˆ B = E0 ˆ1 + Ek α ˆ †k α ˆk , (10.19) H k
Interpretarea rezultatelor: i. Relat¸iile de comutare ale operatorilor elementari transformat¸i sunt relat¸ii de comutare bosonice standard, conform condit¸iei de canonicitate, astfel ˆıncˆ at rezult˘a c˘ aα ˆ k ¸si α ˆ †k sunt operatori elementari de anihilare, ¸si respectiv creare, pentru o cuasi-particul˘ a bosonic˘a, care are vectorul ˆk ≡ α de und˘a k; atunci n ˆ †k α ˆ k este operatorul num˘ar de cuasi-particule ˆın starea k. Proprietatea ˆk sunt numere ˆıntregi anterior˘a este justificat˘a de faptul c˘ a valorile proprii ale operatorului n nenegative: nk = 0, 1, 2, . . . , ∞ . ˆ B ) este hamiltoii. Din relat¸ia (10.19) rezult˘a c˘ a hamiltonianul Bogoliubov diagonalizat (H nianul unui sistem de cuasi-particule bosonice independente; ca urmare, Ek este energia unei cuasi-particule (care descrie spectrul excitat¸iilor elementare ale sistemului). iii. Starea fundamental˘ a a sistemului |0i este vectorul st˘arii de vid pentru cuasi-particule; ca urmare, acest vector se define¸ste prin condit¸ia ca tot¸i operatorii de anihilare de cuasi-particule s˘a distrug˘ a aceast˘a stare: α ˆk |0i = |∅i , ∀ k . ˆIn consecint¸˘ a, energia st˘ arii fundamentale a sistemului este ˆ B |0i = E0 , h0|H de unde rezult˘a semnificat¸ia m˘arimii E0 . H. Funct¸ia de distribut¸ie a particulelor (pentru sistemul ˆın starea fundamental˘ a). a) Operatorul num˘ ar de particule excitate, exprimat ˆın termeni de operatori elementari ai cuasi-particulelor, este ˆ k − vk α ˆ †−k n ˆ k = ˆb†k ˆbk = uk α ˆ†k − vk α ˆ −k uk α = u2 α ˆ† α ˆk + v2 α ˆ −k α ˆ † − uk vk αˆ† k α ˆ † − uk vk α ˆ−k α ˆk ; k
k
k
−k
−k
ˆın termenii 2 ¸si 4 se utilizeaz˘ a relat¸iile de comutare α ˆ −k α ˆ †−k = ˆ1 + α ˆ†−k α ˆ −k , α ˆ −k α ˆk = α ˆk α ˆ −k ,
astfel ˆıncˆ at, dup˘a gruparea termenilor, operatorul n ˆ k devine † † 2 † 2 † 2ˆ ˆk α ˆ −k + α ˆk α ˆ −k . ˆk α ˆ k + vk α ˆ −k α ˆ −k − uk vk α n ˆ k = vk 1 + uk α
(10.20)
10.1. SISTEME BOSONICE
233
b) Funct¸ia de distribut¸ie a particulelor, adic˘a num˘arul mediu de particule pe st˘arile uniparticul˘ a, este valoarea medie ˆın starea fundamental˘ a a operatorului num˘ar de particule excitate: ε0k + n e v(k) 1 2 q nk ≡ h0| n ˆ k |0i = vk = 2 2 − 1 , 2 ε0k + n e v(k) − n ve(k)
unde s-a utilizat expresia (10.20) pentru operatorul num˘ar de particule, act¸iunea operatorilor elementari de cuasi-particule asupra st˘arii fundamentale ¸si formula (10.16c). Prin utilizarea notat¸iei condensate (10.18), funct¸ia de distribut¸ie a num˘arului de particule este 1 ε0k + n ve(k) −1 . (10.21) nk = 2 Ek c) Num˘ arul mediu de particule excitate se obt¸ine din relat¸ia de conservare: N ′ ≡ N − N0 =
X′
nk .
(10.22)
k
H. Concluzie Pentru un sistem constituit din bosoni cu spin nul, care au interact¸ii mutuale binare ¸si cu raz˘ a scurt˘ a de act¸iune, fiind ˆın condit¸ii de densitate mic˘a a particulelor, s-a ar˘atat c˘ a prin aproximat¸ia Bogoliubov ¸si transformarea canonic˘a st˘arile slab excitate ale sistemului sunt echivalente cu st˘ari ale unui gaz bosonic ideal, care este constituit din cuasi-particule (adic˘a spectrul de excitat¸ii este de tip uni-particul˘ a). Pentru calcule explicite asupra spectrului de excitat¸ii, energiei st˘arii fundamentale ¸si a num˘arului de particule excitate, este necesar s˘a se precizeze potent¸ialul de interact¸ie bi-particul˘a. Totu¸si chiar dac˘ a se specific˘ a expresia potent¸ialului bi-particul˘a, este necesar s˘a se efectueze aproximat¸ii, cum este aproximat¸ia pseudo-potent¸ialului.
10.1.4
Aproximat¸ia pseudo-potent¸ialului
I. Formularea problemei Pentru sistemul de particule bosonice de tip sfere rigide, cu interact¸ii binare avˆand raz˘ a scurt˘ a de act¸iune ¸si ˆın condit¸ii de diluare, interact¸ia dintre 2 particule se poate aproxima cu o ciocnire, care are transfer de impuls mic (q → 0); ˆın aceste condit¸ii ciocnirile sunt caracterizate de lungimea de ciocnire de und˘a-s (notat˘ a a). Ca urmare, este necesar s˘a se utilizeze rezultatele mecanicii cuantice asupra ciocirilor elastice. Din teoria cuantic˘ a a ciocnirilor elastice (potent¸iale) sunt necesare urm˘atoarele elemente: • amplitudinea de ciocnire f (k′ , k) este exprimabil˘ a ˆın termeni de potent¸ialul bi-particul˘a prin intermediul ecuat¸iei integrale m fe(k′ , k) = 2 ve(k′ − k) + ~
unde fe(k′ , k) ≡ −4π f (k′ , k);
Z
fe(q, k) d3 q m v (k′ − q) 2 e , 3 2 k − q2 + i η R3 (2π) ~
• sect¸iunea eficace de ciocnire
2 dσ = f (θ) , dΩ – pentru particule bosonice satisface condit¸ia de simetrizare, astfel ˆıncˆ at aceasta devine: 2 dσ = f (θ) + f (π − θ) , dΩ
– pentru particule discernabile este:
unde pentru ambele cazuri f (k′ , k) ≡ f (θ);
˘ CAPITOLUL 10. TRANSFORMARI CANONICE
234
• ˆın cazul lungimilor de und˘a mari (k, k ′ → 0), se realizeaz˘ a ciocnirea de tip und˘a-s, astfel ˆıncˆ at amplitudinea de ciocnire devine: f (k′ , k) → a, iar sect¸iunea eficace bosonic˘a este 2 ds → 2a . dΩ
Pentru descrierea interact¸iilor mutuale dintre particulele sistemului bosonic se utilizeaz˘a aproximat¸ia pseudo-potent¸ialului: ve(k) ≈ v(0) ≡ g , (10.23)
unde g este pseudo-potent¸ialul. Determinarea pseudo-potent¸ialului g se obt¸ine din condit¸ia ca acesta s˘a reproduc˘a propriet˘ a¸tile ciocnirii binare ˆın vid (adic˘ a s˘a produc˘a amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere corect˘a); ca urmare, pseudo-potent¸ialul satisface ecuat¸ia integral˘a a amplitudinii de ˆımpr˘ a¸stiere: mg fe(k′ , k) = 2 + ~
Z
d3 q m g fe(q, k) . 3 ~2 k 2 − q 2 + i η R3 (2π)
(10.24)
Ecuat¸ia integral˘a pentru amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere se rezolv˘ a prin metoda iterativ˘ a, astfel ˆıncˆ at solutt¸ia complet˘ a este de forma unei serii de puteri ˆın raport cu pseudo-potent¸ialul g; pentru cazul prezent este suficient s˘a se considere solut¸ia ˆın aproximat¸ia de ordinul 1, ˆımpreun˘a cu aproximat¸ia lungimilor de und˘a mari (k → 0): • solut¸ia ˆın aproximat¸ia de ordinul 1 este
Z i mg 1 d3 q mgh ′ e ; f (k , k) ≈ 2 1 + 2 I ~ ~ R3 (2π)3 k 2 − q 2 + i η
(10.25a)
• aproximat¸ia lungimilor de und˘a mari (k, k ′ → 0) implic˘ a condit¸ia fe(k′ , k) −→ 4π a .
(10.25b)
Prin utilizarea aproximat¸iilor specificate anterior se obt¸ine iterat¸ia pentru pseudo-potent¸ialul g: ordinul 0: ordinul 1:
mg , ~2 Z 1 d3 q m g m g 2 . 4π a ≈ 2 + 2 3 −q 2 + i η ~ ~ (2π) 3 R
4π a ≈
(10.26a) (10.26b)
Observat¸ii: • Integrala ecuat¸iei de ordinul 1 este divergent˘ a: Z Z Z ∞ 1 −1 ∞ 4π d3 q 2 −1 = dq q 2 = dq = −∞ , 3 2 (2π)3 0 q 2π 2 0 R3 (2π) −q + i η iar aceasta este o divergent¸˘ a ultra-violet˘a (adic˘a divergent¸a este dat˘a de valorile mari ale vectorului de und˘a). Divergent¸a ultra-violet˘a este produs˘a ˆın mod artificial de c˘ atre aproximat¸ia: ve(k) ≈ g; ca urmare, pentru a elimina aceast˘a divergent¸˘a se introduce un factor de t˘ aiere (cut-off), notat Q, astfel ˆıncˆ at integrala devine finit˘a: Z
d3 q 1 3 −q 2 + i η (2π) 3 R
−→
Z
4π d3 q −1 = 3 q2 3 (2π) (2π) q
Z
0
Q
dq q 2
−1 −1 = Q. q2 2π 2
• Se va ar˘ ata ulterior c˘ a energia st˘arii fundamentale (E0 ) are aceia¸si divergent¸˘a ultra-violet˘a; ˆın acest caz cele dou˘a expresii cu divergent¸˘a ultra-violet˘a (adic˘a amplitudinea de ˆımpr˘ a¸stiere ˆın aproximat¸ia pseudo-potent¸ialului ¸si energia st˘arii fundamentale) se pot combina pentru a obt¸ine un rezultat finit la limita Q → ∞.
10.1. SISTEME BOSONICE
235
II. Rezultatele hamiltonianului Bogoliubov ˆın aproximat¸ia pseudo-potent¸ialului Se utilizeaz˘ a rezultatele precedente date de aproximat¸ia pseudo-potent¸ialului, pentru descrierea interact¸iei bi-particul˘a, pentru a obt¸ine expresii explicite ale m˘arimilor deduse anterior prin teoria Bogoliubov pentru sisteme bosonice. 1) Spectrul excitat¸iilor elementare (spectrul cuasi-particulelor) Conform relat¸iei (10.18a), ˆın care se efectueaz˘a aproximat¸ia pseudo-potent¸ialului, energia unei cuasi-particule este q 2 2 q 0 2 2 ε0k + n e v (k) − n e v(k) ≈ εk + n g − n g , (10.27) Ek = ~2 k 2 . 2m Expresia anterioar˘ a pentru Ek are urm˘atoarele limite asimptotice:
unde ε0k =
• pentru valori mici ale vectorului de und˘a (k → 0):
s h i1/2 i1/2 h ε0 ε0 2 ε0 h ε0k 2 ε0 i1/2 k k Ek ≈ ng 1 + −1 −1 = ng 2 + = ng 2 k 1 + k ng ng ng ng 2 ng q ε0 ≈ 2 ng ε0k 1 + k ; 4 ng
• pentru valori mari ale vectorului de und˘a (k → ∞): Ek ≈ ε0k
h
1+
h h ng 2 ng 2 i1/2 ng i1/2 ng i 0 0 1 + 2 1 + = ε0k + ng . − = ε ≈ ε k k ε0k ε0k ε0k ε0k
Expresiile anterioare au urm˘atoarele forme explicite: r r ng ~2 k 2 1 ~2 k 2 ≈ 2ng 1+ ≈ ~k , k→0 2m 4ng 2m m Ek ≈ 2 2 ~ k ≈ + ng . k→∞ 2m
Observat¸ii: i. graficul spectrului excitat¸iilor elementare este ilustrat ˆın figura 10.1; ii. spectrul excitat¸iilor elementare este de tipul unui gaz bosonic cu sfere rigide; iii. s-a considerat interact¸ia repulsiv˘a: g ≈ 4πa ~2 /m > 0 ;
(10.28)
0
iv. pentru r valori mici ale vectorului de und˘a (k → 0), se obt¸ine spectru liniar: Ek ≈ c~k, ng unde c = (viteza sunetului). m Ek
ng k Figura 10.1: Graficul pentru spectrul excitat¸iilor elementare bosonice.
˘ CAPITOLUL 10. TRANSFORMARI CANONICE
236
2) Funct¸ia de distribut¸ie a particulelor excitate (pentru cazul cˆ and sistemul se afl˘a ˆın starea fundamental˘ a) se obt¸ine din formula (10.21): ε0k + ng 1 ε0k + ng 1 1 ε0k + n ve(k) q −1 ≈ −1 ≈ nk = 2 2 − 1 ; (10.29) 2 Ek 2 Ek 2 ε0k + n g − n g
formula anterioar˘ a are urm˘atoarele expresii asimptotice: √ mng ng 1 1 r ∼ , (10.30a) nk ≈ −1 ≈ k→0 2 2~k k ng ~k m ng ε0k 1 + 0 εk 1 1 ng ng −2 n2 g 2 1 m2 n 2 g 2 ≈ − 1 = 1 + 1 + 2 − 1 ≈ ∼ 4. = 2 0 0 2 4 k4 ng 0 k→∞ 2 2 ε ε ~ k 4 εk k k ε0k 1 + 2 0 εk (10.30b) Num˘ arul mediu de particule excitate (pentru sistemul ˆın starea fundamental˘ a) este Z X′ V d3 k nk . nk = N′ = LT (2π)3 R3 k
Datorit˘ a comport˘ arilor asimptotice ale funct¸iei de distribut¸ie pentru particulele excitate (adic˘a nk ∼ 1/k pentru k → 0 ¸si nk ∼ 1/k 4 pentru k → ∞), rezult˘a c˘ a integrala este convergent˘ a; atunci, prin explicitare se observ˘ a c˘ a integrandul depinde numai de modulul vectorului de und˘a, astfel ˆıncˆ at integralele unghiulare sunt banale, producˆand factorul total 4π: Z ∞ i V ε0k + ng 1h N′ = −1 4π dk k 2 0 2 2 (2π)3 2 (εk + ng) − (ng) 0 =
V 4π 2
Z
0
∞
dk k 2
ε0k +1 ng −1 . 2 ε0 k +1 −1 ng
ε0 ~2 k 2 Este convenabil s˘a se efectueze schimbarea de variabil˘ a k → y2 ≡ k = , ceea ce implic˘ a ng 2mng r 2mng y; atunci integrala devine: k= ~2 Z h y2 + 1 i V 2mng 3/2 ∞ ′ 2 N = − 1 . dy y 4π 2 ~2 (y + 1)2 − 1 0 √ Integrala adimensional˘ a se calculeaz˘a prin metode standard, fiind egal˘a cu 2/3; se utilizeaz˘a ~2 aproximat¸ia de ordinul 0 pentru pseudo-potent¸ial (g ≈ 4πa ), conform relat¸iei (10.26a), astfel 0 m ˆıncˆ at rezult˘a r √ ′ 3/2 2 8 na3 V 1 8 N 3 1/2 = 8πan = = √ na . (10.31) N N 4π 2 3 3 π 3 π Se observ˘ a c˘ a expresia num˘ arului de particule excitate N ′ nu este analitic˘a ˆın raport cu parametrul a (adic˘a ˆın raport cu pseudo-potent¸ialul g); ca urmare, rezultatul nu se putea obt¸ine ˆın ordin finit al teoriei perturbat¸iilor. 3) Energia st˘ arii fundamentale (a sistemului) este dat˘a de formula (10.18b), ˆın care se opereaz˘ a aproximat¸ia pseudo-potent¸ialului: X′ 1 hq 2 2 i ne v(0) E0 ≡ N + ε0k + n ve(k) − n e v (k) − ε0k + n e v(k) 2 2 k q h 2 2 i ng 1 X′ + =N ε0k + ng − ng − ε0k + ng . 2 2 k
10.1. SISTEME BOSONICE
237
La limita termodinamic˘ a suma dup˘a valorile vectorului de und˘a devine integral˘a, care se adimen~k : sionalizeaz˘ a prin aceea¸si schimbare de variabil˘ a, care a fost utilizat˘a anterior k → y = √ 2mng X′ h q 2 2 i ε0k + ng − ng − ε0k + ng k
= ng
X′ k
s ε0
k
ng
+1
2
−1−
s
ε0
k
ng
+1
2 ~2 k 2 ~2 k 2 +1 −1− +1 d k 2mng 2mng R3 s 2 2 Z ∞ 2 ~2 k 2 V ~ k 2 dk k 4π = ng + 1 + 1 − 1 − (2π)3 2mng 2mng 0 Z ∞ q h 3/2 i 2mng V 2 2 + 1 2 − 1 − y2 + 1 = ng 2 dy y ; y 2π ~2 0
V = ng LT (2π)3
Z
3
atunci, luˆand ˆın considerare c˘ a nV = N , se obt¸ine urm˘atoarea expresie pentru energia st˘arii fundamentale a sistemului: Z hq 2 i g 2mng 3/2 ∞ ng 2 2 2 . (10.32) + 2 y +1 −1− y +1 dy y E0 = N 2 4π ~2 0
Observat¸ie: energia st˘ arii fundamentale, dat˘a de expresia (10.32), are o divergent¸˘a ultra-violet˘a de acela¸si tip ca ecuat¸ia pseudo-potent¸ialului g ˆın ordinul 1. Demonstrat¸ie: • Expresia (10.32) pentru E0 este de forma E0 = N unde IE ≡ F(y) ≡
n ng
+
Z
dy F(y) ,
2
g 2mng 3/2 o IE , 4π 2 ~2
∞
0 p 2 y4 y
+ 2y 2 − y 2 + 1 .
Comportarea ultra-violet˘ a (adic˘ a la valori mari ale argumentului) a integrandului F(y) este r 1 1 2 1 −1 −1 F(y) = y 4 1+ 2 − 1+ 2 + O +O 6 ; ≈ y4 = 4 6 y≫1 y y 2y y 2 y
atunci ˆın integrala IE se separ˘ a contribut¸ia ultra-violet˘ a: Z Y Z ∞ Z ∞ 1 −1 +O 6 IE = ; dy F(y) + dy F(y) ≈ dy Y ≫1 0 2 y 0 Y Z ∞ −1 este divergent˘ a. se observ˘ a c˘ a integrala pentru valorile mari ale argumentului dy 2 Y
• Ecuat¸ia pseudo-potent¸ialului ˆın ordinul 1 este (10.26b) 4πa = unde integrala Ig are expresia
Z
mg mg 2 + Ig , ~2 ~2
1 d3 q . 3 2 R3 (2π) −q + i η Pentru a estima integrala Ig se efectueaz˘ a integr˘ arile unghiulare, care sunt banale, se observ˘ a c˘ a factorul de convergent¸˘ a iη nu are rol pentru aceast˘ a estimare ¸si se utilizeaz˘ a aceea¸si variabil˘ a adimensional˘ a y ca ˆın integrala IE ; ca urmare, se obt¸ine: r Z ∞ Z ∞ Z 4π 1 1 1 −1 2mng ∞ 2 Ig = ≈ ; dq q dq (−1) = 2 dy 3 2 2 (2π) 0 −1 + i η 2π 0 π ~ 2 0 Ig =
˘ CAPITOLUL 10. TRANSFORMARI CANONICE
238
se observ˘ a c˘ a integrala Ig are aceea¸si divergent¸˘ a ultra-violet˘ a ca ¸si integrala IE . Pe baza estim˘ arii precedente, ecuat¸ia pseudo-potent¸ialuli ˆın ordinul 1 se poate scrie ˆın mod formal astfel: r Z Z g 2mng 3/2 ∞ ~2 −1 −1 2mng ∞ m 1 ≡ g + ≈ 4πa . dy dy g + g2 2 2 2 2 2 ~ π ~ 2 2π n ~ 2 I m 0 0 Observat¸ie: aproximat¸ia de ordinul 0 pentru pseudo-potent¸ial este: g ≈ 4πa 0
~2 . m
Concluzii: i. Divergent¸a ultra-violet˘ a se produce de la temenul de perturbat¸ie de ordinul 1 (rezultatul este caracteristic pentru teoria perturbat¸iilor aplicat˘a la gaze bosonice). ii. Divergent¸a ultra-violet˘ a, comun˘ a pentru energia st˘arii fundamentale E0 ¸si pentru pseudopotent¸ial g, apare datorit˘ a utiliz˘arii aproximat¸iei de pseudo-potent¸ial constant: ve(k) ≈ g; pentru potent¸iale realiste: ve(k) −→ 0, astfel ˆıncˆ at E0 ¸si g au expresii convergente. k→∞
Din prezentarea anterioar˘ a rezult˘a c˘ a divergent¸a ultra-violet˘a este artificial˘a ¸si atunci este necesar s˘a se efectueze eliminarea pseudo-potent¸ialului, prin utilizarea ecuat¸iei de ordinul 1 (aceast˘a procedur˘a este o metod˘ a de renormare). Evaluarea energiei st˘ arii fundamentale E0 prin renormare Sawada): Ecuat¸iile formale ale pseudo-potent¸ialului ˆın aproximat¸iile 0 ¸si 1 sunt
(metoda Brueckner ¸si
~2 , 0 m Z g 2mng 3/2 ∞ ~2 −1 g+ 2 ≈ 4πa ; dy 2 2π n ~ 2 1 m 0
g ≈ 4πa
de asemenea, energia st˘ arii fundamentale ˆın termeni de pseudo-potent¸ial are expresia Z g 2mng 3/2 ∞ ng + 2 dy F (y) . E0 = N 2 4π ~2 0
Se formeaz˘ a ecuat¸ia de ordinul 1 a pseudo-potent¸ialului (prin ad˘augarea ¸si sc˘aderea termenului de ordinul 1) ¸si se utilizeaz˘ a aproximat¸ia de ordinul 0 pentru g ˆın coeficient¸ii care multiplic˘a integralele (deoarece ace¸sti coeficient¸i sunt termeni de ordinul 0); ca urmare, se obt¸ine: Z E0 n g 2mng 3/2 ∞ −1 = g+ 2 dy N 2 2π n ~2 2 0 Z Z g 2mng 3/2 ∞ n g 2mng 3/2 ∞ −1 + 2 dy F (y) − dy 2 2 2 4π ~ 2 2π n ~ 2 0 0 Z ~2 g 2mng 3/2 ∞ h 1i n , + 2 dy F (y) + = 4πa 2 m 4π ~2 2 0
unde, ˆın ultima egalitate primul termen s-a obt¸inut prin utilizarea ecuat¸iei pseudo-potent¸ialului ˆın ordinul 1. ˆIn continuare se efectueaz˘ a urm˘atoarele operat¸ii ˆın termenul al doilea: • pe baza ecuat¸iei pseudo-potent¸ialului ˆın ordinul 0, coeficientul integralei este 3/2 g 2mng 3/2 ~2 a 8πna ; = 2 2 4π ~ πm
• integrala este convergent˘ a, deoarece integrandul are urm˘atoarea comportare ultra-violet˘a 1 1 F (y) + ≈ O 2 ; 2 y→∞ y ca urmare, prin efectuarea operat¸iilor standard, rezult˘a valoarea integralei: Z ∞ n Z ∞ h p 1 o 16 1i ≡ dy y 2 y 4 + 2y 2 − y 2 + 1 + = √ . dy F (y) + 2 2 15 2 0 0
10.1. SISTEME BOSONICE
239
Prin luarea ˆın considerare a rezultatelor precedente, se obt¸ine expresia energiei st˘arii fundamentale: 3/2 16 ~2 ~2 a n √ 4πa + 8πna E0 = N 2 m πm 15 2 r 128 na3 2π~2 . (10.33) na 1 + =N m 15 π Observat¸ii: • Prin utilizarea metodei de renormare, se obt¸ine un rezultat finit pentru energia st˘arii fundamentale; ˆın acest caz se utilizeaz˘a aproximat¸ia de ordinul 1 pentru g, ˆın locul aproximat¸iei de ordinul 0. • Rezultatul (10.33) se putea obt¸ine ˆın mod direct cu metoda standard a teoriei perturbat¸iilor (f˘ ar˘ a utilizarea transform˘ arii canonice). • Din expresia (10.31) rezult˘a c˘ a fract¸ia de particule excitate este mic˘a r 8 na3 N′ = ≪1; N 3 π ca urmare, ˆın expresia (10.33) se obt¸ine urm˘atoarea interpretare: 2π~2 – termenul dominant (de ordinul 0) este E0 ≈ N na, 0 m r 128 na3 – termenul este o corect¸ie mic˘a, datorat˘a particulelor excitate. 15 π ˆIn cazul gazului bosonic ideal, starea fundamental˘ a corespunde fenomenului de condensare total˘ a, astfel ˆıncˆ at are energia nul˘a: E00 = 0. Pe baza rezultatelor precedente, se obt¸ine corect¸ia de ordinul 1 la energia st˘arii fundamentale (fat¸˘ a de gazul bosonic ideal): h N′ i π~2 E0 − E00 . =2 na 1+O N m N
(10.34)
• Comparat¸ie cu gazul fermionic corespondent, adic˘a definit prin caracteristicie: – particulele au spinul s = 21 , – particulele sunt sfere rigide, – interact¸iile dintre particule sunt binare ¸si cu raz˘ a scurt˘ a de act¸iune, – sistemul este rarefiat (adic˘a densitatea particulelor este mic˘a). ˆIn condit¸iile enunt¸ate anterior, corect¸ia de ordinul 1 la energia st˘arii fundamentale, fat¸˘a de gazul fermionic ideal, este h N′ i E0 − E00 E0 3 2 ~2 k 2 π~2 , = − ǫ0F = kF a + . . . = (2 − 1) na 1+O N N 5 3π 2m m N unde factorul (2 − 1) are urm˘atoarea interpretare: – factorul 2 provine de la termenul direct, – factorul −1 provine de la termenul de schimb. Se observ˘ a c˘ a ˆın ordinul 1 corect¸iile la energia st˘arii fundamnetale pentru gazul bosonic ¸si pentru gazul fermionic sunt similare; exist˘a diferent¸e numai ˆıntre coeficient¸ii de degenerare, datorit˘ a principiului cuantic de identitate, care impune st˘ari simetrice pentru bosoni ¸si st˘ari anti-simetrice pentru fermioni, la permut˘ari ale particulelor. Corect¸iile de ordinul 1 sunt interpretabile ˆın termeni de potent¸ial optic, din teoria cuantic˘ a a ciocnirilor.
˘ CAPITOLUL 10. TRANSFORMARI CANONICE
240
• Notat¸ie condensat˘ a pentru relat¸iile (10.31) ¸si (10.33): ng 2π~2 na = , 0 2 m r na3 ; λ≡ π γ≡
(10.35a) (10.35b)
atunci energia st˘ arii fundamentale (10.33) ¸si fract¸ia de particule excitate (10.31) au expresiile simple: E0 128 =γ 1+ λ , (10.36a) N 15 ′ 8 N = λ, (10.36b) N 3 unde parametrul λ este foarte mic: λ ≪ 1. III. Estimarea termenilor omi¸si de aproximat¸ia Bogoliubov ˆ ′′ din hamiltonianul sistemului, ˆ ′ ¸si H Aproximat¸ia Bogolibov implic˘ a neglijarea termenilor H int int conform relat¸iei (10.8), ceea ce corespunde din punct de vedere formal la eliminarea termenilor cu n′ = 3, 4 operatori elementari necondensat¸i, iar din punct de vedere fizic, aceast˘a aproximat¸ie semnific˘a neglijarea interact¸iilor dintre particule necondensate. Prin utilizare rezultatelor obt¸inute ˆın cadrul aproximat¸iei pseudo-potent¸ialului, se pot estima efectele termenilor omi¸si, asupra energiei st˘arii fundamentale a sistemului E0 . ˆ ′ este partea din hamiltonian care cont¸ine n′ = 3, 4 operatori elementari • Termenul H int necondensat¸i; ca urmare, acest termen corespunde interact¸iei ˆıntre particulele necondensate. Energia de interact¸ie ˆıntre particulele necondensate se poate estima prin formula: ′ Eint ≈
g N′ , 2V
unde N ′ este num˘ arul de perechi de particule necondensate: N ′ =
N ′ (N ′ − 1) (N ′ )2 ≈ . 2 2
Ca urmare, se obt¸ine: ′ Eint ng N ′ 2 γ 8 2 1 g (N ′ )2 g N N ′ 2 32 = = ≈ = λ = γ λ2 . N N 2V 2 4 V N 4 N 2 3 9
(10.37)
Prin comparat¸ia cu energia st˘ arii fundamentale per particul˘ a, descris˘ a de formula (10.36a), ˆ ′ are o contribut¸ie care corespunde la o corect¸ie de ordin superior rezult˘a c˘ a termenul H int ′ pentru E0 , deoarece Eint ∼ λ2 . ˆ ′′ este partea din hamiltonian care provine din eliminarea parametrului N02 , • Termenul H int prin utilizarea condit¸iei de conservare pentru particule; ca urmare, acest termen cont¸ine n′ = 4 operatori necondensat¸i. ˆIn acest caz energia corespunz˘ atoare este ′′ Eint ≈
g (N ′ )2 , 2V
care este similar˘ a cu termenul anterior: ′′ 1 g 64 Eint ≈ (N ′ )2 = γ λ2 ; N N 2V 9
(10.38)
ˆ ′′ corespunde, de asemenea, la o corect¸ie de ordin ca urmare, contribut¸ia termenului H int superior pentru E0 , deoarece acest termen este proport¸ional cu λ2 . ˆIn concluzie, s-a justificat c˘ ˆ ′ ¸si H ˆ ′′ ), a termenii neglijat¸i din hamiltonianul model (adic˘a H int int corespund la corect¸ii de ordin superior pentru energia st˘arii fundamentale (termeni de ordinul λ2 ¸si termeni de ordine λn , cu n ≥ 3).
10.2. SISTEME FERMIONICE
10.1.5
241
Comentariu asupra aproximat¸iilor de ordine superioare
Anterior s-a utilizat aproximat¸ia pseudo-potent¸ialului ˆın ordinul 1, ˆımpreun˘a cu metoda de renormare, ceea ce a implicat urm˘atoarele operat¸ii: i. hamiltonianul model este hamiltonianul Bogoliubov cu substitut¸ia: ve(k) ≈ g; ii. eliminarea divergent¸elor, prin utilizarea ecuat¸iei pseudo-potent¸ialului ˆın ordinul 1; iii. utilizarea pseudo-potent¸ialului ˆın ordinul 0 ˆın termenii corectivi, care nu sunt divergent¸i. Aproximat¸iile de ordin superior (n ≥ 2) implic˘ a urm˘atoarele modific˘ari: i. utilizarea ecuat¸iei pseudo-potent¸ialului ˆın ordine superioare, prin metoda iterativ˘ a; ii. introducerea ˆın hamiltonianul Bogoliubov de termeni corectivi, care constituie corect¸ii de ordin superior la energia st˘ arii fundamentale a sistemului E0 ; iii. metoda de renormare implic˘ a utilizarea divergent¸elor, prin folosirea ecuat¸iei pseudopotent¸ialului ˆın ordine superioare, dar utilizarea pseudo-potent¸ialului de ordin 0 (g0 ) ˆın termenii corectivi (care nu sunt divergent¸i); eroarea comis˘a este de ordin superior ordinului de corect¸ie considerat. Concluzie Metoda transform˘ arii canonice conduce la o imagine intuitiv˘a ¸si la calcule facile pentru starea fundamental˘ a ¸si st˘ arile slab excitate ale sistemului (ceea ce este echivalent cu aproximat¸ia de ordinul 1 din teoria perturbat¸iilor). Totu¸si, pentru aproximat¸iile de ordine superioare, calculele sunt dificile. Teoria perturbat¸iilor (metoda standard, care este metoda funct¸iilor Green) conduce la rezultate identice cu rezultatele obt¸inute prin metoda transform˘arii canonice (pentru energia st˘arii fundamentale ¸si pentru num˘ arul de particule excitate); coincident¸a rezultatelor este datorat˘a faptului c˘ a ambele metode sunt bazate pe acelea¸si aproximat¸ii fizice. Totu¸si, pentru aproximat¸ii de ordin superior, metoda perturbat¸ional˘ a standard este mai avantajoas˘ a.
10.2
Sisteme fermionice
10.2.1
Condit¸ii
Sistemul studiat este constituit din electroni de valent¸˘a ˆın metale, care sunt particule fermionice nerelativiste cu spinul s = 21 ; electronii au interact¸ii coulombiene repulsive, care sunt interact¸ii directe ˆıntre electroni, ¸si interact¸ii posibil atractive prin intermediul fononilor, care constituie interact¸ii indirecte ˆıntre electroni. Este interesant cazul cˆ and sistemul electronilor de valent¸˘ a poate avea st˘ ari supraconductoare, care sunt descrise de teoria Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS). 2 ˆIn mod similar cazului bosonic, prezentat ˆın sect¸iunea precedent˘ a, se va considera sistemul la limita termodinamic˘ a ¸si la temperatur˘a nul˘a, adic˘a ˆın starea fundamental˘ a. St˘arile uni-particul˘ a libere sunt st˘ari electronice de impuls ¸si proiect¸ia spinului bine determi1 nate; ca urmare, funct¸ia de stare este ψkσ (r, s) = uk (r) χσ (s), unde uk (r) = √ eik·r ¸si χσ (s) V este un spinor Pauli (σ, s = ±1). Energia unei st˘ari uni-particul˘a liber˘a este dependent˘ a numai de 2 2 ~ k . Se introduc operatorii elementari pe st˘arile modulul impulsului (vectorului de und˘a) ε0k = 2m † uni-particul˘ a libere: a ˆkσ ¸si a ˆkσ , iar ace¸sti operatori elementari satisfac relat¸ii de anti-comutare fermionice standard:
a ˆkσ , a ˆ k′ σ ′ a ˆkσ , a ˆ†k′ σ′
+ +
† = ˆ0 = a ˆkσ , a ˆ†k′ σ′ + ,
= δk,k′ δσ,σ′ ˆ1 .
(10.39a) (10.39b)
2ˆ In acest capitol se urm˘ are¸ste prezentarea metodei transform˘ arii canonice, ca o alternativ˘ a la teoria perturbat¸iilor; de aceea, problemele legate de teoriile microscopice, care explic˘ a comportarea sistemelor alese (pentru studiul prin transform˘ arii canonice), sunt ˆın afara subiectului acestui capitol. ˆIn consecint¸a ˘, ˆın acest capitol se omite prezentarea teoriei BCS, care va fi discutat˘ a ˆın volumul urm˘ ator al acestei lucr˘ ari ¸si astfel se preiau ˆın mod direct rezultatele teoriei BCS, care sunt importante pentru utilizarea metodei transform˘ arii canonice ˆın cazul fermionic.
˘ CAPITOLUL 10. TRANSFORMARI CANONICE
242 Operatorii caracteristici ai sistemului sunt • num˘ arul de particule
ˆ= N
XX
XX
ˆ = P
k
• hamiltonianul
(10.40a)
~k a ˆ†kσ a ˆkσ ;
(10.40b)
σ
k
• impulsul
a ˆ†kσ a ˆkσ ;
σ
ˆ =H ˆ0 + H ˆ int . H
(10.40c)
ˆ 0 este hamiltonianul cinetic (al sistemului liber) ¸si H ˆ int este hamiltonianul interacunde H ¸tiilor dintre electroni: XX ˆ0 = H ε0k a ˆ†kσ a ˆkσ , (10.40d) k
ˆ int H
σ
† † −1 X X
= k, k′ vˆ k + q, k′ − q a ˆkσ a ˆ k′ σ ′ a ˆk+q,σ . ˆk′ −q,σ′ a 2V ′ ′
(10.40e)
k,k ,q σ,σ
Conform teoriei BCS interact¸ia efectiv˘a dintre electroni (prin intermediul fononilor) este descris˘ a de un potent¸ial bi-particul˘a nelocal ¸si independent de spini v(r, r′ ), astfel c˘ a matricea potent¸ialului de interact¸ie ˆın raport cu st˘arile electronice libere este Z Z
′ ′ 1 3 (10.41a) d r d3 r′ e−i(k1 ·r+k2 ·r ) v(r, r) ei(k3 ·r+k4 ·r ) . k1 , k2 vˆ k3 , k4 = 2 V V V Din expresia precedent˘ a a elementului de matrice rezult˘a urm˘atoarele relat¸ii de simetrie:
k1 , k2 vˆ k3 , k4 = k2 , k1 vˆ k4 , k3 = − k3 , −k4 vˆ − k1 , −k2
(10.41b) = − k1 , −k2 vˆ − k3 , −k4 ,
unde ultima egalitate s-a obt¸inut pe baza propriet˘ a¸tii v(r, r′ ) = v(−r, −r′ ).
Formalismul Cuantific˘ arii II utilizeaz˘ a spat¸iul Fock, astfel ˆıncˆ at num˘arul de particule ale sistemului este nedeterminat. Totu¸si, din punct de vedere fizic, sistemul studiat are un num˘ar de particule fixat ¸si constant N ; ˆın aceste condit¸ii ar trebui s˘a se impun˘a o condit¸ie suplimentar˘ a restrictiv˘ a, care s˘a implice N = const. Este convenabil s˘a se elimine condit¸ia restrictiv˘ a prin folosirea formalismului grand-canonic de temperatur˘a nul˘a: • se consider˘ a hamiltonianul grand-canonic (ˆın locul hamiltonianului canonic) ˆ ≡H ˆ − µN ˆ, K
(10.42)
unde µ este potent¸ialul chimic, care la T = 0 este energia Fermi εF ; • ecuat¸ia potent¸ialului chimic este condit¸ia ca num˘ de particule s˘a fie num˘arul
a rul mediu ˆ Ψ = N . (fizic) de particule ale sistemului studiat N ≡ Ψ N
Pentru a aplica ˆın mod convenabil transformarea canonic˘a, se efectueaz˘a separarea termenilor din hamiltonianul grand-canonic ˆın p˘ art¸i uni-particul˘a ¸si bi-particul˘a; ˆın plus, se expliciteaz˘ a coordonatele de spini, pentru a face distinct¸ia ˆıntre interact¸ia cu spini paraleli de interact¸ia cu spini anti-paraleli. Conform definit¸iei (10.42) ¸si a expresiilor (10.40) pentru operatorul num˘ar de particule ¸si pentru hamiltonian, se obt¸ine urm˘atoarea expresie a hamiltonianului grand-canonic: ˆ =K ˆ0 + K ˆ int . K
(10.43)
unde partea uni-particul˘ a este ˆ0 = H ˆ0 − µ N ˆ = K =
XX k
X k
σ
† ε0k − µ a ˆkσ a ˆkσ
ε0k − µ
a ˆ†k↑ a ˆk↑ + a ˆ†k↓ a ˆk↓ ,
(10.44)
10.2. SISTEME FERMIONICE
243
iar partea bi-particul˘a este ˆ1 = H ˆ int ≡ K ˆ 1p + K ˆ 1a ; K
(10.45)
ˆ 1p este parte de interact¸ie cu spini paraleli, iar K ˆ 1a este parte de interact¸ie ˆın expresia precedent˘ aK cu spini anti-paraleli. Cele dou˘a p˘ art¸i ale hamiltonianului grand-canonic bi-particul˘a au expresiile: o X
n † † ˆ 1p = −1 ˆk↑ a ˆ k′ ↑ a ˆk′ −q↑ a ˆk+q↑ + a ˆ†k↓ a ˆ†k′ ↓ a ˆk′ −q↓ a ˆk+q↓ , K k, k′ vˆ k + q, k′ − q a 2V ′ k,k ,q
(10.46a)
¸si respectiv o X
n † † ˆ 1a = −1 ˆk↑ a ˆ k′ ↓ a ˆk′ −q↓ a ˆk+q↑ + a ˆ†k↓ a ˆ†k′ ↑ a ˆk′ −q↑ a ˆk+q↓ . k, k′ vˆ k + q, k′ − q a K 2V ′ k,k ,q
(10.46b) Pentru aplicarea convenabil˘ a a transform˘arii canonice este necesar s˘a se efectueze schimb˘ ari ale variabilelor de sumare, astfel ˆıncˆ at operatorii elementari cu spinul ↓ s˘a aib˘ a vector de und˘a cu semn negativ; ca urmare operatorii obt¸inut¸i anterior se transform˘a ˆın modurile urm˘atoare. • Operatorul num˘ ar de particule este descris prin formula (10.40a) ¸si ˆın al doilea termen se face schimbarea de variabil˘ a k → −k, asfel ˆıncˆ at rezult˘a: ˆ = N
XX
a ˆ†kσ a ˆkσ =
σ
k
o Xn † a ˆk↑ a ˆk↑ + a ˆ†k↓ a ˆk↓ k
o Xn † = a ˆk↑ a ˆk↑ + a ˆ†−k↓ a ˆ−k↓ .
(10.47)
k
• Operatorul impuls este descris de formula (10.40b), se efectueaz˘a acelea¸si operat¸ii ca ˆın cazul precedent ¸si rezult˘a expresiiile: ˆ = P
XX
~k a ˆ†kσ a ˆkσ =
σ
k
X k
=
X k
o n ~k a ˆ†k↑ a ˆk↑ + a ˆ†k↓ a ˆk↓
n o ~k a ˆ†k↑ a ˆk↑ − a ˆ†−k↓ a ˆ−k↓ .
(10.48)
• Partea uni-particul˘ a a hamiltonianului grand-canonic este descris˘ a prin formula (10.43) ¸si se efectueaz˘ a schimbarea de variabile k → −k ˆın al doilea termen, luˆand ˆın considerare faptul c˘ a energia uni-particul˘ a depinde numai de modului vectorului de und˘a, astfel ˆıncˆ at rezult˘a: X † ˆ0 = K ε0k − µ a ˆk↑ a ˆk↑ + a ˆ†k↓ a ˆk↓ k
=
X k
ε0k − µ
a ˆ†k↑ a ˆk↑ + a ˆ†−k↓ a ˆ−k↓ .
(10.49)
• Partea interact¸iei paralele bi-particul˘a a hamiltonianului grand-canonic este descris˘ a de formula (10.46a): ˆ 1p = −1 K 2V
X
† † k, k′ vˆ k + q, k′ − q a ˆk↑ a ˆ k′ ↑ a ˆk′ −q↑ a ˆk+q↑ k,k′ ,q
+
X
k,k′ ,q
† † k, k vˆ k + q, k′ − q a ˆk↓ a ˆ k′ ↓ a ˆk′ −q↓ a ˆk+q↓ ′
;
ˆın a doua sum˘a se efectueaz˘ a schimbarea de variabile k → −k, k′ → −k′ , q → −q ¸si se
˘ CAPITOLUL 10. TRANSFORMARI CANONICE
244
utilizeaz˘ a relat¸iile de simetrie ale matricii de interact¸ie (10.41b), astfel c˘ a rezult˘a X
k, k′ vˆ k + q, k′ − q a ˆ†k↓ a ˆ†k′ ↓ a ˆk′ −q↓ a ˆk+q↓ k,k′ ,q
=
X
k,k′ ,q
=
† − k, −k′ vˆ − k − q, −k′ + q a ˆ−k↓ a ˆ†−k′ ↓ a ˆ−k′ +q↓ a ˆ−k−q↓
X
† k, k′ vˆ k + q, k′ − q a ˆ−k↓ a ˆ†−k′ ↓ a ˆ−k′ +q↓ a ˆ−k−q↓ ;
k,k′ ,q
atunci termenul de interact¸ie paralel este o X
n † † ˆ 1p = −1 ˆk↑ a ˆ k′ ↑ a ˆk′ −q↑ a ˆk+q↑ + a ˆ†−k↓ a ˆ†−k′ ↓ a ˆ−k′ +q↓ a ˆ−k−q↓ . k, k′ vˆ k+q, k′ −q a K 2V ′ k,k ,q
(10.50a)
• Partea interact¸iei anti-paralele bi-particul˘a este descris˘ a de formula (10.46b) X
† † ˆ 1a = −1 K k, k′ vˆ k + q, k′ − q a ˆk↑ a ˆ k′ ↓ a ˆk′ −q↓ a ˆk+q↑ 2V ′ k,k ,q X
† † ′ ′ + k, k vˆ k + q, k − q a ˆk↓ a ˆ k′ ↑ a ˆk′ −q↑ a ˆk+q↓ . k,k′ ,q
Prima sum˘a se transform˘ a prin schimbarea de variabil˘ a k′ → −k′ X
† † k, k′ vˆ k + q, k′ − q a ˆk↑ a ˆ k′ ↓ a ˆk′ −q↓ a ˆk+q↑ k,k′ ,q
=
X
† † k, −k′ vˆ k + q, −k′ − q a ˆk↑ a ˆ−k′ ↓ a ˆ−k′ −q↓ a ˆk+q↑ .
k,k′ ,q
A doua sum˘a se transform˘ a prin comutarea operatorilor de creare ¸si de anihilare ˆıntre ei, urmat˘ a de schimbarea de variabile k′ → k, k → −k′ , q → −q X
† † k, k′ vˆ k + q, k′ − q a ˆk↓ a ˆ k′ ↑ a ˆk′ −q↑ a ˆk+q↓ k,k′ ,q
=
X
k,k′ ,q
=
X
k,k′ ,q
=
X
k,k′ ,q
† k, k′ vˆ k + q, k′ − q a ˆ k′ ↑ a ˆ†k↓ a ˆk+q↓ a ˆk′ −q↑
† † − k′ , k vˆ − k′ − q, k + q a ˆk↑ a ˆ−k′ ↓ a ˆ−k′ −q↓ a ˆk+q↑
† † k, −k vˆ k + q, −k′ − q a ˆk↑ a ˆ−k′ ↓ a ˆ−k′ −q↓ a ˆk+q↑ ;
se observ˘ a c˘ a, prin efectuarea schimb˘ arilor de variabile, cele dou˘a sume sunt egale, astfel ˆıncˆ at termenul anti-paralel este X
† † ˆ 1a = −1 k, −k vˆ k + q, −k′ − q a ˆk↑ a ˆ−k′ ↓ a ˆ−k′ −q↓ a ˆk+q↑ . K V ′
(10.50b)
k,k ,q
10.2.2
Transformarea canonic˘ a Bogoliubov-Valatin
A. Definit¸ie Transformarea canonic˘a (ˆın formalismul Cuantific˘arii II) este transformarea liniar˘a a operatorilor † elementari a ˆk↑ , a ˆ†k↑ , a ˆ−k↓ , a ˆ†−k↓ → α ˆk, α ˆ†k , βˆ−k , βˆ−k , care satisface condit¸iile: I. conserv˘ a relat¸iile de comutare (adic˘a este o transformare canonic˘a ˆın sensul general al mecanicii cuantice); ca urmare, operatorii elementari transformat¸i au semnificat¸ia de operatori elementari de creare, respectiv de anihilare pe st˘ari uni-particul˘a efective (st˘ ari de cuasi-particule);
10.2. SISTEME FERMIONICE
245
II. se diagonalizeaz˘ a partea dominant˘ a a hamiltonianului sistemului, dac˘a acesta este o form˘a p˘ atratic˘ a ˆın operatorii elementari. Se observ˘ a c˘ a definit¸ia transform˘ arii canonice ˆın cazul fermionic este similar˘ a cu definit¸ia din cazul bosonic, dar apar complicat¸ii datorit˘a spinului. Ca urmare a observat¸iilor anterioare se consider˘ a transformarea liniar˘a a operatorilor elementari de forma, numit˘ a transformarea canonic˘ a Bogoliubov-Valatin: 3 ( α ˆ k = uk a ˆk↑ − vk a ˆ†−k↓ , (10.51) βˆ−k = uk a ˆ−k↓ + vk a ˆ†k↑ ; coeficient¸ii transform˘ arii canonice uk , vk satisfac condit¸iile: i. sunt reali, ii. sunt dependent¸i numai de modulul vectorului de und˘a k = |k|, iii. sunt determinat¸i de condit¸ia de canonicitate ¸si de condit¸ia de diagonalizare a p˘ art¸ii dominante din hamiltonianul grand-canonic. B. Condit¸iile de canonicitate impun operatorilor elementari transformat¸i condit¸iile ca ace¸stia s˘a satisfac˘ a relat¸ii de anti-comutare fermionice standard; din explicitarea relat¸iilor de anticomutare dintre operatorii elementari transformat¸i rezult˘a urm˘atoarea condit¸ie asupra coeficien¸tilor u2k + vk2 = 1 , (10.52) numit˘a condit¸ia de canonicitate. Demonstrat¸ie: Prin utilizarea definit¸iei (10.51) ¸si a relat¸iilor de anti-comutare (10.39), rezult˘ a urm˘ atoarele relat¸ii de anti-comutare ale noilor operatori elementari: 0, ˆ†−k′ ↓ + = ˆ ˆk′ ↑ − vk′ a ˆk↑ − vk a ˆ†−k↓ , uk′ a α ˆk , α ˆ k′ + = uk a 1 1 + vk vk′ δk,k′ ˆ ˆ−k′ ↓ + = uk uk′ δk,k′ ˆ ˆ†k′ ↑ − vk′ a ˆk↑ − vk a ˆ†−k↓ , uk′ a α ˆk , α ˆ k′ + = uk a 1; = (u2k + vk2 ) δk,k′ ˆ
0, ˆ†k′ ↑ + = ˆ ˆ−k′ ↓ + vk′ a = uk a ˆ−k↓ + vk a ˆ†k↑ , uk′ a 1 1 + vk vk′ δk,k′ ˆ ˆk′ ↑ + = uk uk′ δk,k′ ˆ ˆ†−k′ ↓ + vk′ a ˆ−k↓ + vk a ˆ†k↑ , uk′ a βˆ−k , βˆ−k′ + = uk a
βˆ−k , βˆ−k′
+
1; = (u2k + vk2 ) δk,k′ ˆ
1=ˆ 0, 1 − vk uk′ δk,k′ ˆ ˆ†k′ ↑ + = uk vk′ δk,k′ ˆ ˆ−k′ ↓ + vk′ a = uk a ˆk↑ − vk a ˆ†−k↓ , uk′ a † † † ˆ ˆ ˆk′ ↑ + = 0 . ˆ−k′ ↓ + vk′ a α ˆ k , β−k′ + = uk a ˆk↑ − vk a ˆ−k↓ , uk′ a
α ˆ k , βˆ−k′
+
Din rezultatele precedente se observ˘ a c˘ a relat¸iile de anti-comutare nule sunt automat satisf˘ acute, iar singurii anti-comutatori nenuli (ˆıntre operatorii elementari conjugat¸i) cap˘ at˘ a forma standard dac˘ a este satisf˘ acut˘ a condit¸ia (10.52).
C. Transformarea invers˘ a Relat¸ia de definit¸ie a transform˘ arii canonice (10.51) se consider˘ a ca fiind sistemul de ecuat¸ii pentru operatorii elementari init¸iali ˆın termeni de operatorii elementari transformat¸i; atunci, prin rezolvarea sistemului de ecuat¸ii liniare se obt¸ine transformarea invers˘a: † , a ˆk↑ = uk α ˆk + vk βˆ−k † † a ˆ−k↓ = −vk α ˆ k + uk βˆ−k ;
(10.53a) (10.53b)
3 Este convenabil s˘ a se defineasc˘ a transformarea Bogoliubov-Valatin ˆın termeni de operatorii elementari init¸iali; spre deosebire de prezenta definit¸ie, ˆın cazul bosonic transformarea Bogoliubov s-a definit ˆın termeni de operatorii elementari transformat¸i, dup˘ a cum rezult˘ a din relat¸iile (10.9).
˘ CAPITOLUL 10. TRANSFORMARI CANONICE
246
prin conjugare hermitic˘ a se obnt¸in ceilalt¸i 2 operatori elementari a ˆ†k↑ = uk α ˆ†k + vk βˆ−k , a ˆ−k↓ =
−vk α ˆ †k
+ uk βˆ−k ;
(10.53c) (10.53d)
Demonstrat¸ie: Sistemul de ecuat¸ii echivalent cu definit¸ia (10.51) este ( uk a ˆk↑ − vk a ˆ†−k↓ = α ˆk , uk a ˆ−k↓ + vk a ˆ†k↑ = βˆ−k . Rezolvarea sistemului se efectueaz˘ a utilizˆ and metoda determinant¸ilor Krammer; determinantul principal al sistemului este u −vk ∆ = k = u2k + vk2 = 1 ; vk uk determinantul operatorului a ˆk↑ este
α ˆk ∆↑ = ˆ† β−k
iar determinantul operatorului a ˆ†−k↓ este uk ∆↓ = vk
atunci solut¸ia sistemului considerat este
−vk † = uk α ˆ k + vk βˆ−k , uk
α ˆ k † = −vk α ˆ k + uk βˆ−k ; βˆ† −k
∆↑ † = uk α ˆ k + vk βˆ−k , ∆ ∆↓ † = −vk α ˆ k + uk βˆ−k , = ∆
a ˆk↑ = a ˆ†−k↓ adic˘ a s-a obt¸inut solut¸ia (10.53).
D. Consecint¸e directe ale canonicit˘ a¸tii transform˘ arii D1. α ˆ k ¸si βˆ−k sunt operatori de anihilare pentru cuasi-particulele care descriu st˘arile slab excitate ale sistemului; atunci starea fundamental˘ a a sistemului |0i este stare de vid pentru cuasi-particule. Conform rezultatelor generale ale Cuantific˘arii II, operatorii de anihilare ai cuasi-particulelor distrug starea de vid, ceea ce corespunde la urm˘atoarele condit¸ii: α ˆ k |0i = |∅i , ∀k . (10.54) ˆ β−k |0i = |∅i , Vectorul st˘ arii fundamentale |0i este normat , ceea ce implic˘ a condit¸ia
0 0 = 1 .
Valorile observabilelor sistemului ˆın starea fundamental˘ asunt
ˆ 0 , num˘arul de particule: N = 0 N
ˆ 0 , potent¸ialul grand-canonic: Ω0 = 0 K
ˆ 0 = 0 (K ˆ + µN ˆ ) 0 = Ω0 + µ N . energia: E0 = 0 H
(10.55)
(10.56a) (10.56b) (10.56c)
D2. Pentru determinarea observabilelor transformate (hamiltonianul grand-canonic, num˘arul de particule ¸si impulsul total) este convenabil s˘a se efectueze ordonarea normal˘a a operatorilor elementari existent¸i ˆın expresiile respectivelor observabile; formele ˆın care operatorii elementari transformat¸i sunt ordonat¸i normal au urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: i. permit obt¸inerea direct˘a pentru condit¸iile aproximat¸iilor importante, precum ¸si semnificat¸ia termenilor corespunz˘ atori;
10.2. SISTEME FERMIONICE
247
ii. exist˘a posibilitatea definirii contract¸iilor ¸si apoi utilizarea teoremei Wick. Este important s˘a se observe c˘ a rezultatele finale se pot obt¸ine prin calcul direct (ˆın mod analog cazului bosonic), adic˘a f˘ ar˘ a utilizarea ordon˘arilor normale, dar metoda direct˘a este foarte laborioas˘ a pentru operatorii care cont¸in produse de cel put¸in 4 operatori elementari (cum este ˆ 1 ). cazul p˘ art¸ii bi-particul˘a a hamiltonianului grand-canonic K Pentru a realiza ordonarea normal˘a cu contract¸ii se definesc urm˘atoarele etape: • Se consider˘ a ˆın mod artificial c˘ a operatorii elementari (care sunt definit¸i ˆın formularea Schr¨odinger) c˘ a ar fi operatori Heisenberg ordonat¸i cronologic: pˆ qˆ = pˆ(t + δt) qˆ(t) = T pˆ qˆ t → 0 , δt → 0+ , (10.57a) unde pˆ ¸si qˆ sunt operatori elementari.
• Contract¸ia a doi operatori se define¸ste ca ˆın teoria standard, adic˘a diferent¸a dintre produsul cronologic ¸si produsul normal al operatorilor: pˆ qˆ ≡ T pˆ qˆ − N pˆ qˆ ,
(10.57b)
de unde rezult˘a c˘ a produsul operatorilor este
pˆ qˆ = T pˆ qˆ = N pˆ qˆ + pˆ qˆ .
Observat¸ii:
(10.57c)
i. Contract¸iile operatorilor elementari sunt operatori banali pˆ qˆ = p q ˆ1 ,
ar complex, numit valoarea contract¸iei. unde p q este un num˘
ii. Contract¸iile elementare se calculeaz˘a ˆın mod direct prin mediere pe starea de vid: (
p q 0 0 = p q , 0 pˆ qˆ 0 = 0 T pˆ qˆ 0 − 0 N pˆ qˆ 0 = 0 pˆ qˆ 0 ,
ca urmare
pˆ qˆ = 0 pˆ qˆ 0 ˆ1 .
• Pentru produse de operatori elementari, considerat¸i ˆın mod implicit c˘ a sunt ordonat¸i cronologic, se utilizeaz˘ a teorema Wick. ˆIn cazul prezent sunt interesante numai situat¸iile corespunz˘ atoare pentru produse de n = 2 ¸si n = 4 operatori elementari: pˆ qˆ = N pˆ qˆ + pˆ qˆ , (10.58a) rˆ pˆ qˆ sˆ = N rˆ pˆ qˆ sˆ + N rˆ pˆ qˆ sˆ + N rˆ pˆ qˆ sˆ + N rˆ pˆ qˆ sˆ + N rˆ pˆ qˆ sˆ + N rˆ pˆ qˆ sˆ + N rˆ pˆ qˆ sˆ + N rˆ pˆ qˆ sˆ + N rˆ pˆ qˆ sˆ + N rˆ pˆ qˆ sˆ = N rˆ pˆ qˆ sˆ + rˆ pˆ N qˆ sˆ − rˆ qˆ N pˆ sˆ + rˆ sˆ N pˆ qˆ + pˆ qˆ N rˆ sˆ − pˆ sˆ N rˆ qˆ + qˆ sˆ N rˆ pˆ + rˆ pˆ qˆ sˆ − rˆ qˆ pˆ sˆ + rˆ sˆ pˆ qˆ .
(10.58b)
Contract¸iile elementare interesante sunt urm˘atoarele: a ˆ†k↑ a ˆ k′ ↑
=a ˆ†−k↓ a ˆ−k′ ↓ = δk,k′ vk2 ˆ1 ,
(10.59a)
a ˆ†k↑ a ˆ†−k′ ↓ = a ˆ−k↓ a ˆk′ ↑ = δk,k′ uk vk ˆ1 ,
(10.59b)
a ˆ†k↑ a ˆ−k′ ↓ = a ˆ†−k↓ a ˆk′ ↑ = ˆ0 ,
(10.59c)
=a ˆ†k↑ a ˆ†k′ ↑
= ˆ0 ,
(10.59d)
a ˆ−k↓ a ˆ−k′ ↓ = a ˆ†−k↓ a ˆ†−k′ ↓ = ˆ0 ,
(10.59e)
a ˆk↑ a ˆ k′ ↑
˘ CAPITOLUL 10. TRANSFORMARI CANONICE
248 Demonstrat¸ie:
Se evalueaz˘ a prima contract¸ie prin mediere pe starea fundamental˘ a ¸si utilizarea propriet˘ a¸tii operatorilor de anihilare a cuasi-particulelor de a distruge starea fundamental˘ a:
† a ˆ†k↑ a ˆk′ ↑ = 0 a ˆk↑ a ˆk′ ↑ 0 ˆ 1
† † ˆ 0 ˆ 1 ˆ k′ + vk′ βˆ−k = 0 uk α ˆ k + vk β−k uk′ α n
† †
† ˆ k′ 0 ˆ k βˆ−k′ 0 + vk uk′ 0 βˆ−k α ˆk α ˆ k′ 0 + uk vk′ 0 α = uk uk′ 0 α o
† ˆ 1; + vk vk′ 0 βˆ−k βˆ−k ′ 0 Prima ¸si a treia medie sunt nule, deoarece asupra vectorului ket 0 act¸ioneaz˘ a operatorul de anihilare α ˆ k′ :
† 0 α ˆk α ˆ k′ 0 = 0 ,
ˆ k′ 0 = 0 ; 0 βˆ−k α
de asemenea, a doua medie este nul˘ a, deoarece operatorul de creare α ˆ †k distruge vectorul bra 0 :
† † 0 α ˆ k βˆ−k′ 0 = 0 ;
ˆın al patrulea termen se utilizeaz˘ a relat¸ia de anti-comutare pentru a aduce operatorul de anihilare ˆın pozit¸ia dreapt˘ a, unde acest operator distruge vectorul ket:
† † ˆ 0 = δk,k′ . 1 − βˆ−k = 0 δk,k′ ˆ 0 βˆ−k βˆ−k ′ β−k ′ 0 Prin adunarea rezultatelor anterioare se obtt¸ine prima parte din relat¸ia (10.59a). Celelalte contract¸ii se evalueaz˘ a ˆın mod analog cu evaluarea precedent˘ a.
Produsele normale binare interesante sunt urm˘atoarele: † † ˆ k + vk βˆ−k ˆ †k + vk βˆ−k uk α N a ˆk↑ a ˆk↑ = N uk α
† † ˆ = u2k α ˆ †k βˆ−k + βˆ−k α ˆk , ˆ †k α ˆ k − vk2 βˆ−k β−k + uk vk α † † ˆ k + uk βˆ−k N a ˆ−k↓ a ˆ−k↓ = N − vk α − vk α ˆ †k + vk βˆ−k † † ˆ ˆ †k βˆ−k + βˆ−k α ˆk , β−k + uk vk α = −vk2 α ˆ†k α ˆ k + u2k βˆ−k † † † N a ˆk↑ a ˆ−k↓ = N uk α ˆ k + uk βˆ−k ˆ †k + vk βˆ−k − vk α † † ˆ ˆk , ˆ †k βˆ−k − vk2 βˆ−k α ˆ †k α ˆ k + βˆ−k β−k + u2k α = uk vk α † ˆk + vk βˆ−k ˆ †k + uk βˆ−k uk α N a ˆ−k↓ a ˆk↑ = N − vk α † † ˆ ˆk . ˆ †k βˆ−k + u2k βˆ−k α ˆ †k α ˆ k + βˆ−k β−k − vk2 α = uk vk α
(10.60a)
(10.60b)
(10.60c)
(10.60d)
E. Transformarea hamiltonianului grand-canonic Prin utilizarea metodei de ordonare normal˘a a operatorilor elementari transformat¸i, se separ˘ a termenii hamiltonianului grand-canonic ˆın parte banal˘a (proport¸ional˘ a cu operatorul unitate), parte diagonal˘ a (cu produse de 2 operatori elementari), parte nediagonal˘a (cu produse de 2 operatori elementari) ¸si parte cu produse de 4 operatori elementari. ˆ 0 este descris prin formula (10.48): E1. Termenul uni-particul˘ aK X † ˆ0 = K ε0k − µ a ˆk↑ a ˆk↑ + a ˆ†−k↓ a ˆ−k↓ . k
Se utilizeaz˘ a formula (10.58a) pentru a transforma produsele de operatori elementari ˆın produse normale ¸si contract¸ii, iar apoi cu formulele (10.59) ¸si (10.60) se exprim˘ a rezultatele ˆın termeni de operatori transformat¸i: † a ˆ†k↑ a ˆk↑ = N a ˆk↑ a ˆk↑ + a ˆ†k↑ a ˆk↑ † † † (10.61a) ˆ †k βˆ−k + βˆ−k α ˆ k + vk2 ˆ1 , = u2k α ˆk α ˆ k − vk2 βˆ−k βˆ−k + uk vk α a ˆ†−k↓ a ˆ−k↓ = N a ˆ†−k↓ a ˆ−k↓ + a ˆ†−k↓ a ˆk↑ † 2 † 2 ˆ† ˆ (10.61b) ˆ †k βˆ−k + βˆ−k α ˆ k + vk2 ˆ1 ; = −vk α ˆk α ˆk + uk β−k β−k + uk vk α
10.2. SISTEME FERMIONICE
249
ˆ 0 , ˆın care se grupeaz˘ pe baza rezultatelor anterioare se obt¸ine expresia operatorului K a termenii banal, diagonal ¸si nediagonal: X o n † † ˆ ˆ0 = K ˆ †k βˆ−k + βˆ−k α ˆk . (10.62) 1 + (u2k − vk2 ) α ˆ†k α ˆ k + βˆ−k β−k + 2 uk vk α ε0k − µ 2 vk2 ˆ k
ˆ 1a este descris E2. Termenul bi-particul˘a corespunz˘ ator interact¸iei cu spini anti-paraleli K prin formula (10.50b): X
† † ˆ 1a = −1 k, −k′ vˆ k + q, −k′ − q a ˆk↑ a ˆ−k′ ↓ a ˆ−(k′ +q)↓ a ˆ(k+q)↑ . K V ′ k,k ,q
Acest termen se prelucreaz˘ a astfel: i. se utilizeaz˘ a formula (10.58b) pentru exprimarea produsului de 4 operatori elementari (care ˆ 1a ) apar ˆın expresia hamiltonianului bi-particul˘a corespunz˘ ator interact¸iei cu spini anti-paraleli K prin produse normale ¸si contract¸ii † † ˆ†k↑ a ˆ†−k′ ↓ N a ˆ−(k′ +q)↓ a ˆ(k+q)↑ a ˆ†k↑ a ˆ†−k′ ↓ a ˆ−(k′ +q)↓ a ˆ(k+q)↑ = N a ˆk↑ a ˆ−k′ ↓ a ˆ−(k′ +q)↓ a ˆ(k+q)↑ + a † † +a ˆ†k↑ a ˆ−(k′ +q)↓ N a ˆ−k′ ↓ a ˆ(k+q)↑ + a ˆ†k↑ a ˆ(k+q)↑ N a ˆ−k′ ↓ a ˆ−(k′ +q)↓ † † +a ˆ†−k′ ↓ a ˆ−(k′ +q)↓ N a ˆk↑ a ˆ(k+q)↑ + a ˆ†−k′ ↓ a ˆ(k+q)↑ N a ˆk↑ a ˆ−(k′ +q)↓ † † +a ˆ−(k′ +q)↓ a ˆ(k+q)↑ N a ˆk↑ a ˆ−k′ ↓ + a ˆ†k↑ a ˆ†−k′ ↓ a ˆ−(k′ +q)↓ a ˆ(k+q)↑ ˆ†k↑ a ˆ−(k′ +q)↓ a ˆ†−k′ ↓ a ˆ(k+q)↑ + a ˆ†k↑ a ˆ(k+q)↑ a ˆ†−k′ ↓ a ˆ−(k′ +q)↓ ; +a
ii. conform relat¸iilor (10.59) cele 6 contract¸ii, care apar ˆın expresia precedent˘ a au urm˘atoarele rezultate: a ˆ†k↑ a ˆ†−k′ ↓ = δk,k′ uk vk , a ˆ†k↑ a ˆ−(k′ +q)↓ = 0 , a ˆ†k↑ a ˆ(k+q)↑ = δq,0 vk2 , a ˆ†−k′ ↓ a ˆ−(k′ +q)↓ = δq,0 vk2′ , a ˆ†−k′ ↓ a ˆ(k+q)↑ = 0 , a ˆ−(k′ +q)↓ a ˆ(k+q)↑ = δk,k′ uk+q vk+q ; iii. prin ˆınlocuirea valorilor contract¸iilor anterioare, produsul celor 4 operatori devine: † † a ˆ†k↑ a ˆ†−k′ ↓ a ˆ−(k′ +q)↓ a ˆk+q↑ = N a ˆk↑ a ˆ−k′ ↓ a ˆ−(k′ +q)↓ a ˆ(k+q)↑ + δk,k′ uk vk N a ˆ−(k′ +q)↓ a ˆ(k+q)↑ † † + δq,0 vk2 a ˆ(k+q)↑ N a ˆ−k′ ↓ a ˆ−(k′ +q)↓ + δq,0 vk2′ N a ˆk↑ a ˆk+q↑ † † ˆk↑ a ˆ−k′ ↓ + δk,k′ uk vk uk+q vk+q ˆ1 + δk,k′ uk+q vk+q N a + δq,0 vk2 vk2′ ˆ1 ;
ˆ 1a ¸si se efectueaz˘a simiv. se ˆınlocuie¸ste rezultatul precedent ˆın expresia operatorului K plific˘ arile de sumare produse de simbolurile Kronecker, astfel ˆıncˆat rezult˘a: X
† † o n ˆ 1a = −1 K ˆ−k′ ↓ a ˆ−k′ ↓ + vk2′ N a ˆk↑ a ˆk↑ k, −k′ vˆ k, −k′ vk2 vk2′ ˆ1 + vk2 N a V k,k′ n −1 X
+ k, −k vˆ k′ , −k′ uk vk uk+q vk+q ˆ1 V k,q † † o + uk vk N a ˆ−(k+q)↓ a ˆ(k+q)↑ + uk+q vk+q N a ˆk↑ a ˆ−k↓ X
† † −1 k, −k′ vˆ k + q, −k′ − q N a ˆk↑ a ˆ−k′ ↓ a ˆ−(k′ +q)↓ a ˆk+q↑ ; + V ′ k,k ,q
˘ CAPITOLUL 10. TRANSFORMARI CANONICE
250
ˆ 1a se efectueaz˘a urm˘atoarele operat¸ii: v. ˆın expresia precedent˘ a a operatorului K • ˆın primul termen se redenumesc variabilele de sumare (k, k′ ) → (k′ , k), astfel ˆıncˆ at operatorii elementari s˘a aib˘ a numai indicele k (de fapt, aceast˘a schimbare de variabile se produce numai ˆın al doilea sub-termen); a propriet˘
de asemenea, se utilizeaz˘
a¸tile de simetrie ale matricii de interact¸ie (10.41): k′ , −k vˆ k′ , −k = k, −k′ vˆ k, −k′ ;
• ˆın termenul al doilea se redenumesc variabilele de sumare (k, q) → (k, k′ ), astfel ˆıncˆ at k + q = k′ , ceea ce implic˘ a schimbarea de variabile (k, q) → (k, k′ − q) ˆın primul ¸si ˆın al treilea sub-termen, respectiv schimb˘ arile de variabile (k, q) → (k, k′ − k) → (k′ , k − k′ ) ˆın al doilea sub-termen; de asemenea, se utilizeaz˘a propriet˘ a¸tile de simetrie ale matricii de interact¸ie (10.41); ˆ 1a ; • termenul al treilea se poate considera ca ordonarea normal˘a a ˆıntregului operator K ˆ 1a ˆın care operaatunci, ˆın urma efectu˘arii operat¸iilor specificate anterior, rezult˘a expresia lui K torii elementari au numai indicele k: X
o † † n ˆ 1a = −1 ˆk↑ a ˆk↑ ˆ−k↓ a ˆ−k↓ + vk2′ N a k, −k′ vˆ k, −k′ vk2 vk2′ ˆ1 + vk2′ N a K V k,k′ † † o n −1 X
+ ˆk↑ a ˆ−k↓ ˆ−k↓ a ˆk↑ + uk′ vk′ N a k, −k vˆ k′ , −k′ uk vk uk′ vk′ ˆ1 + uk′ vk′ N a V k,k′ ˆ 1a +N K o
−1 X n
k, −k′ vˆ k, −k′ vk2 vk2′ + k, −k vˆ k′ , −k′ uk vk uk′ vk′ ˆ1 = V k,k′ o † n † −1 X
ˆ−k↓ a ˆ−k↓ ˆk↑ a ˆk↑ + N a k, −k′ vˆ k, −k′ vk2′ N a + V k,k′ n † † o −1 X
ˆ 1a ; + ˆk↑ a ˆ−k↓ + N K ˆ−k↓ a ˆk↑ + N a k, −k vˆ k′ , −k′ uk′ vk′ N a V ′ k,k
vi. ˆın final, se exprim˘ a produsele normale ˆın termeni de operatori elementari transformat¸i, pe baza relat¸iilor (10.60), astfel ˆıncˆ at, dup˘a regruparea termenilor, se obt¸ine:
X n
ˆ 1a = −1 K k, −k′ vˆ k, −k′ vk2 vk2′ + k, −k vˆ k′ , −k′ uk vk uk′ vk′ ˆ1 V k,k′ †
† ˆ ˆk α ˆk + βˆ−k β−k + k, −k′ vˆ k, −k′ vk2′ (u2k − vk2 ) − k, −k vˆ k′ , −k′ uk′ vk′ 2 uk vk α o † †
ˆ k βˆ−k + βˆ−k α ˆk + k, −k′ vˆ k, −k′ vk2′ 2 uk vk + k, −k vˆ k′ , −k′ uk′ vk′ (u2k − vk2 ) α ˆ 1a . (10.63) +N K
ˆIn ultima relat¸ie se observ˘ ˆ 1a prin descompunerea sa ˆın parte a c˘ a s-a exprimat operatorul K banal˘a (primul termen), parte diagonal˘ a (al doilea termen), parte nediagonal˘a (al treilea termen) ¸si parte cu produse de cˆ ate 4 operatori elementari (al paterulea termen, care este produsul normal al operatorului hamiltonian corespunz˘ ator interact¸iilor cu spini anti-paraleli). ˆ 1a este descris prin E3. Termenul bi-particul˘a corespunz˘ ator interact¸iei cu spini paraleli K formula (10.50a): o X
n † † ˆ 1p = −1 ˆk↑ a ˆ k′ ↑ a ˆk′ −q↑ a ˆk+q↑ + a ˆ†−k↓ a ˆ†−k′ ↓ a ˆ−k′ +q↓ a ˆ−k−q↓ . k, k′ vˆ k + q, k′ − q a K 2V ′ k,k ,q
Acest termen se prelucreaz˘ a ˆın mod similar cu termenul precedent (care a corespuns interact¸iei ˆ 1p cont¸ine 2 tipuri cu spini anti-paraleli), dar implic˘ a un num˘ar dublu de sub-termeni (deoarece K de produse cu 4 ioeratori elementari fermionici); ca urmare, se parcurg urm˘atoarele etape: i. se utilizeaz˘ a formula (10.58b) pentru exprimarea primului produs de 4 operatori elementari prin produse normale ¸si contract¸ii, apoi se substituie expresiile contract¸iilor utilizˆand relat¸iile
10.2. SISTEME FERMIONICE
251
(10.59) ¸si se regrupeaz˘ a termenii similari, astfel ˆıncˆ at rezult˘a urm˘atoarele egalit˘a¸ti succesive: a ˆ†k↑ a ˆ†k′ ↑ a ˆ(k′ −q)↑ a ˆ(k+q)↑ † † † ˆ(k′ −q)↑ a ˆ(k+q)↑ − a ˆ k′ ↑ a ˆ(k+q)↑ =N a ˆk↑ a ˆ k′ ↑ a ˆ(k′ −q)↑ a ˆ(k+q)↑ + a ˆ†k↑ a ˆ†k′ ↑ N a ˆ†k↑ a ˆ(k′ −q)↑ N a {z } | {z } | =0
2 = δk,k′ −q vk
† † +a ˆ†k↑ a ˆ(k+q)↑ N a ˆ†k′ ↑ a ˆ(k′ −q)↑ N a ˆk↑ a ˆ(k+q)↑ ˆ k′ ↑ a ˆ(k′ −q)↑ + a | | {z } {z } 2 = δq,0 vk
2 = δq,0 vk ′
† † † ˆk↑ a ˆ k′ ↑ + a ˆ†k′ ↑ a ˆ(k+q)↑ N a ˆ(k′ −q)↑ a ˆ(k+q)↑ N a ˆ†k↑ a ˆ†k′ ↑ a ˆ(k′ −q)↑ a ˆ(k+q)↑ −a ˆk↑ a ˆ(k′ −q)↑ + a {z } {z } | | | {z } | {z } =0
2 = δk′ ,(k+q) vk ′
=0
=0
−a ˆ†k↑ a ˆ(k′ −q)↑ a ˆ†k′ ↑ a ˆ(k+q)↑ + a ˆ†k↑ a ˆ(k+q)↑ a ˆ†k′ ↑ a ˆ(k′ −q)↑ ; {z } | {z } | {z } | {z } | 2 =δ 2 = δk,(k′ −q) vk k′ ,(k+q) vk′
2 = δq,0 vk ′
2 = δq,0 vk ′
† † † † ˆ k′ ↑ a ˆ k′ ↑ =N a ˆk↑ a ˆ k′ ↑ a ˆ(k′ −q)↑ a ˆ(k+q)↑ − δk,(k′ −q) vk2 N a ˆ k′ ↑ a ˆk′ ↑ + δq,0 vk2 N a † † ˆk↑ a ˆk↑ − δk,(k′ +q) vk2 vk2′ ˆ1 + δq,0 vk2 vk2′ ˆ1 + δq,0 vk2′ N a ˆk↑ a ˆk↑ − δk′ ,(k+q) vk2′ N a n o † † ˆk↑ a ˆk↑ 1 + vk2 N a ˆ k′ ↑ a ˆk′ ↑ + vk2′ N a = δq,0 vk2 vk2′ ˆ n † † † † o ˆk↑ a ˆ k′ ↑ a ˆ(k′ −q)↑ a ˆ(k+q)↑ − δq,(k−k′ ) vk2 vk2′ ˆ 1 + vk2 N a ˆ k′ ↑ a ˆk′ ↑ + vk2′ N a ˆk↑ a ˆk↑ + N a
(se observ˘ a c˘ a ultima expresie cont¸ine o sum˘a constituit˘ a din operatori banali, produse nornale de 2 operatori elementari fermionici ¸si produse normale de 4 operatori elementari fermionici); ii. se utilizeaz˘ a aceeea¸si metod˘ a pentru transform˘arile celui de-al doilea produs: a ˆ†−k↓ a ˆ†−k′ ↓ a ˆ−(k′ −q)↓ a ˆ−(k+q)↓ † =N a ˆ−k↓ a ˆ†−k′ ↓ a ˆ−(k′ −q)↓ a ˆ−(k+q)↓ − a ˆ†−k↓ a ˆ†−k′ ↓ N a ˆ−(k′ −q)↓ a ˆ−(k+q)↓ | {z } =0
a†−k↓ −ˆ |
a ˆ−(k′ −q)↓ N {z }
2 = δk,k′ −q vk
a ˆ†−k′ ↓
a ˆ−(k+q)↓ +
a ˆ†−k↓ |
† a ˆ−(k+q)↓ N a ˆ−k′ ↓ a ˆ−(k′ −q)↓ {z }
2 = δq,0 vk
† † +ˆ a†−k′ ↓ a ˆ(k′ −q)↓ N a ˆ†−k′ ↓ a ˆ(−k+q)↓ N a ˆ−k↓ a ˆ−(k+q)↓ − a ˆ−k↓ a ˆ−(k′ −q)↓ | | {z } {z } 2 = δq,0 vk ′
2 = δk′ ,(k+q) vk ′
† a−(k′ −q)↓ a ˆ−(k+q)↓ N a ˆ†−k↓ a ˆ†−k′ ↓ a ˆ−(k′ −q)↓ a ˆ−(k+q)↓ ˆ−k↓ a ˆ†−k′ ↓ + a +ˆ | {z } {z } | {z } | =0
a†−k↓ −ˆ |
{z
2 = δk,(k′ −q) vk
=0
=0
a ˆ−(k′ −q)↓ a ˆ†−k′ ↓ } |
a ˆ−(k+q)↓ + ˆa†−k↓ {z
2 = δk′ ,(k+q) vk ′
}
|
a ˆ−(k+q)↓ a ˆ†−k′ ↓ {z
2 = δq,0 vk ′
} |
a ˆ−(k′ −q)↓ ; {z }
2 = δq,0 vk ′
† † ˆ−k′ ↓ a ˆ−k′ ↓ =N a ˆ†−k↓ a ˆ†−k′ ↓ a ˆ−(k′ −q)↓ a ˆ−(k+q)↓ − δk,(k′ −q) vk2 N a ˆ−k′ ↓ a ˆ−k′ ↓ + δq,0 vk2 N a † † ˆ−k↓ a ˆ−k↓ − δk,(k′ +q) vk2 vk2′ ˆ1 + δq,0 vk2 vk2′ ˆ1 + δq,0 vk2′ N a ˆ−k↓ a ˆ−k↓ − δk′ ,(k+q) vk2′ N a n o † † ˆ−k↓ a ˆ−k↓ 1 + vk2 N a ˆ−k′ ↓ a ˆ−k′ ↓ + vk2′ N a = δq,0 vk2 vk2′ ˆ n o † † − δq,(k−k′) vk2 vk2′ ˆ ˆ−k↓ a ˆ−k↓ 1 + vk2 N a ˆ−k′ ↓ a ˆ−k′ ↓ + vk2′ N a † +N a ˆ−k↓ a ˆ†−k′ ↓ a ˆ−(k′ −q)↓ a ˆ−(k+q)↓
(se observ˘ a c˘ a ultima expresie cont¸ine o sum˘a constituit˘ a din operatori banali, produse nornale de 2 operatori elementari fermionici ¸si produse normale de 4 operatori elementari fermionici, ˆın mod similar cazului anterior);
˘ CAPITOLUL 10. TRANSFORMARI CANONICE
252
ˆ 1p , se reduc sumele datorit˘a iii. se substituie rezultatele anterioare ˆın expresia operatorului K simbolului Kronecker ¸si se grupeaz˘ a termenii similari, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: n X †
ˆ 1p = −1 K ˆk↑ a ˆk↑ ˆ†k′ ↑ a ˆk′ ↑ + vk2′ N a k, k′ vˆ k, k′ vk2 vk2′ ˆ1 + vk2 N a 2V k,k′ o † † + vk2 vk2′ ˆ1 + vk2 N a ˆ−k↓ a ˆ−k↓ ˆ−k′ ↓ a ˆ−k′ ↓ + vk2′ N a † † n −1 X
ˆk↑ a ˆk↑ ˆ k′ ↑ a ˆk′ ↑ + vk2′ N a − k, k′ vˆ k, k′ vk2 vk2′ ˆ1 + vk2 N a 2V k,k′ o † † + vk2 vk2′ ˆ1 + vk2 N a ˆ−k↓ a ˆ−k↓ ˆ−k′ ↓ a ˆ−k′ ↓ + vk2′ N a n † † −1 X
+ ˆk↑ a ˆ k′ ↑ a ˆ(k′ −q)↑ a ˆ(k+q)↑ k, k′ vˆ k + q, k′ − q N a 2V k,k′ ,q † o +N a ˆ−k↓ a ˆ†−k′ ↓ a ˆ−(k′ −q)↓ a ˆ−(k+q)↓ ; iv. ˆın expresia precedent˘ a se efectueaz˘a schimb˘ arile de variabile (k, k′ ) → (k′ , k), ˆın primii doi termeni, astfel ˆıncˆ at tot¸i operatorii elementari s˘a aib˘a indicii k (ca rezultat apare factorul 2), ˆ 1p : iar al treilea termen este ordonarea normal˘a a operatorului K o X n
ˆ 1p = −1 k, k′ vˆ k, k′ − k, k′ vˆ k′ , k vk2 vk2′ ˆ1 K V k,k′ o †
n † 1 X
ˆ 1p ; ˆ−k↓ a ˆ−k↓ + N K ˆk↑ a ˆk↑ + N a k, k′ vˆ k, k′ − k, k′ vˆ k′ , k vk2′ N a + V ′ k,k
v. ˆın final, se exprim˘ a produsele normale ˆın termeni de operatori elementari transformat¸i, pe baza relat¸iilor (10.60), astfel ˆıncˆ at, dup˘a regruparea termenilor, se obt¸ine: n X
ˆ 1p = −1 K k, k′ vˆ k, k′ − k, k′ vˆ k′ , k vk2 vk2′ ˆ1 V k,k′
† ˆ ˆ †k α ˆk + βˆ−k β−k + k, k′ vˆ k, k′ − k, k′ vˆ k′ , k vk2′ (u2k − vk2 ) α
o † ˆ 1p . + k, k′ vˆ k, k′ − k, k′ vˆ k′ , k vk2′ 2 uk vk α ˆ †k βˆ−k + βˆ−k α ˆk + N K
(10.64)
ˆIn ultima relat¸ie se observ˘ ˆ 1p prin descompunerea sa ˆın parte banal˘a a c˘ a s-a exprimat operatorul K † ˆ (primul termen ∼ ˆ 1), parte diagonal˘ a (al doilea termen ∼ α ˆ †k α ˆk + βˆ−k β−k ), parte nediagonal˘a † † ˆ ˆ (al treilea termen ∼ α ˆk α ˆk + β−k β−k ) ¸si parte cu produse de cˆ ate 4 operatori elementari ordonat¸i ˆ 1p ), ˆın mod similar cu expresia (10.62) a operatorului corespunz˘ ator interact¸iei cu normal (N K spini anti-paralali. E4. Hamiltonianul grand-canonic transformat, conform relat¸iilor (10.42) ¸si (10.44), este ˆ =K ˆ0 + K ˆ 1a + K ˆ 1p ; K
(10.65)
ˆ 0 , (10.63) pentru K ˆ 1a ¸si (10.64) pentru K ˆ 1p , iar apoi se se utilizeaz˘ a expresiile (10.62) pentru K grupeaz˘ a termenii similari ˆın parte banal˘a, parte diagonal˘ a, parte nediagonal˘a ¸si parte constituit˘ a din produse de 4 operatori ordonat¸i normal: ˆ = Ω0 ˆ1 + K ˆd + K ˆn + K ˆ′ , K
(10.66)
unde termenii din relat¸ia precedent˘ a au urm˘atoarele expresii ¸si semnificat¸ii: i. Ω0 este partea scalar˘ a a operatorului banal: Xn i o
1 X h
Ω0 = 2(ε0k − µ) − k, k′ vˆ k, k′ − k, k′ vˆ k′ , k + k, −k′ vˆ k, −k′ vk2′ vk2 V ′ k k X
′ − k, −k vˆ k , −k′ uk vk uk′ vk′ ; k,k′
10.2. SISTEME FERMIONICE
253
ˆ d este termenul diagonal ˆın produse de 2 operatori elementari transformat¸i ii. K Xnh i
1 X
ˆd = k, k′ vˆ k, k′ − k, k′ vˆ k′ , k + k, −k′ vˆ k, −k′ vk2′ (u2k − vk2 ) K (ε0k − µ) − V ′ k k o X
† ˆ ˆ †k α ˆ k + βˆ−k β−k ; + k, −k vˆ k′ , −k′ uk′ vk′ 2 uk vk α k′
ˆ n este termenul nediagonal ˆın produse de 2 operatori elementari transformat¸i iii. K ˆn = K
X nh i
1 X
(ε0k − µ) − k, k′ vˆ k, k′ − k, k′ vˆ k′ , k + k, −k′ vˆ k, −k′ vk2′ 2 uk vk V ′ k k o X
′ † − k, −k vˆ k , −k′ uk′ vk′ (u2k − vk2 ) α ˆ †k βˆ−k + βˆ−k α ˆk ; k′
ˆ ′ este termenul constituit din produse de cˆ iv. K ate 4 operatori elementari ordonat¸i normal: ˆ int . ˆ1 = N H ˆ 1p = N K ˆ′ = N K ˆ 1a + N K K Expresiile precedente se simplific˘ a prin introducerea matricii efective de interat¸ie
k, k′ ˆv k, k′ ≡ k, k′ vˆ k, k′ − k, k′ vˆ k′ , k + k, −k′ vˆ k, −k′ ;
(10.67)
ca urmare, termenii precedent¸i se rescriu ˆın forma: Ω0 =
o X nh i 1 X
1 X
2(ε0k − µ) − k, k′ ˆv k, k′ vk2′ vk2 − k, −k vˆ k′ , −k′ uk′ vk′ uk vk , V ′ V ′ k
k
k
X nh i 1 X
ˆd = K (ε0k − µ) − k, k′ ˆv k, k′ vk2′ (u2k − vk2 ) V ′ k k o 1 X
† ˆ †k α ˆ k + βˆ−k βˆ−k , k, −k vˆ k′ , −k′ uk′ vk′ 2 uk vk α + V ′ k X nh i 1 X
0 ˆn = K (εk − µ) − k, k′ ˆv k, k′ vk2′ 2 uk vk V ′ k k o 1 X
† − k, −k vˆ k′ , −k′ uk′ vk′ (u2k − vk2 ) α ˆ †k βˆ−k + βˆ−k α ˆk , V ′
(10.68a)
(10.68b)
(10.68c)
k
Este convenabil s˘a se introduc˘a urm˘atoarele m˘arimi (a c˘ aror semnificat¸ie fizic˘a va fi stabilit˘a ulterior): 1 X
k, −k ˆv k′ , −k′ vk2′ , V ′ k X ′
1 k, −k vˆ k , −k′ uk′ vk′ . ∆k ≡ V ′ ξk ≡ (ε0k − µ) −
(10.69a) (10.69b)
k
Atunci, expresiile (10.68) se rescriu ˆın forma:
o X n 1 X
k, −k ˆv k′ , −k′ vk2′ vk2 − ∆k uk vk , 2 ξk + V ′ k k o Xn † ˆ 2 2 ˆd = ˆ †k α ˆ k + βˆ−k β−k , K ξk (uk − vk ) + ∆k 2 uk vk α Ω0 =
k
ˆn = K
Xn k
o † ξk 2 uk vk − ∆k (u2k − vk2 ) α ˆ †k βˆ−k + βˆ−k α ˆk ,
(10.70a) (10.70b) (10.70c)
˘ CAPITOLUL 10. TRANSFORMARI CANONICE
254 Observat¸ii:
i. Expresia dedus˘a pentru hamiltonianul grand-canonic (10.66) este exact˘ a, adic˘a este obt¸inut˘a f˘ar˘a aproximat¸ii. ii. Condit¸ia de diagonalizare implic˘ a anularea termenului nediagonal ˆ n = ˆ0 , K
(10.71a)
ceea ce revine la condit¸ia de anulare a coeficient¸ilor din formula (10.70c): ξk 2 uk vk − ∆k (u2k − vk2 ) = 0 .
(10.71b)
Atunci hamiltonianul grand-canonic se reduce la suma dintre termenul banal, termenul diagonal ˆ ′ (acest ultim termen se neglijeaz˘ ¸si termenul K a ˆıntr-o prim˘ a aproximat¸ie, contribut¸ia sa fiind considerat˘ a o perturbat¸ie). F. Transformarea operatorilor num˘ ar de particule ¸si impuls Operatorul num˘ ar de particule este descris prin formula (10.46), ˆın care se substituie operatorii elementari prin operatorii elementari transformat¸i, conform relat¸iilor (10.61), iar apoi se grupeaz˘ a termenii similari: o Xn † ˆ = N a ˆk↑ a ˆk↑ + a ˆ†−k↓ a ˆ−k↓ k
=
X nh k
i † † ˆ ˆ †k βˆ−k + βˆ−k α ˆk + vk2 ˆ1 β−k + uk vk α u2k α ˆ †k α ˆ k − vk2 βˆ−k
io h † † ˆ †k βˆ−k + βˆ−k α ˆk + vk2 ˆ1 βˆ−k + uk vk α + − vk2 α ˆ †k α ˆ k + u2k βˆ−k Xn o † † ˆ †k βˆ−k + βˆ−k α ˆk . 1 + (u2k − vk2 ) α ˆ†k α ˆ k + βˆ−k βˆ−k + 2 uk vk α = 2 vk2 ˆ
(10.72)
k
Operatorul impuls este descris prin formula (10.47) ¸si se prelucreaz˘ a ˆın mod analog cu operatorul precedent n o X ˆ = P ~k a ˆ†k↑ a ˆk↑ − a ˆ†−k↓ a ˆ−k↓ k
=
X k
~k
i nh † † ˆ †k βˆ−k + βˆ−k α ˆ k + vk2 ˆ1 u2k α ˆ †k α ˆ k − vk2 βˆ−k βˆ−k + uk vk α
io h † † ˆ ˆ†k βˆ−k + βˆ−k α ˆ k + vk2 ˆ1 β−k + uk vk α − − vk2 α ˆ †k α ˆ k + u2k βˆ−k o n X † = ~k (u2k + vk2 ) α ˆ †k α ˆ k − (u2k + vk2 ) βˆ−k βˆ−k k
=
X k
† † ˆ ~k α ˆk α ˆ k − βˆ−k β−k ,
(10.73a)
unde ultima expresie s-a obt¸inut prin utilizarea condit¸iei de canonicitate (10.52); dac˘a ˆın al doilea termen al expresiei precedente se face schimbarea de variabil˘ a k → −k, atunci se obt¸ine forma simetric˘ a a operatorului impuls: X † ˆ = P ~k α ˆk α ˆ k + βˆk† βˆk . (10.73b) k
G. Concluzii asupra diagonaliz˘ arii hamiltonianului G1. Se consider˘ a c˘ a hamiltonianul grand-canonic al sistemului este exprimat ˆın forma (10.66) ¸si apoi este diagonalizat, prin impunerea condit¸iei (10.71b), care conduce la anularea termenului ˆn = ˆ bi-operatorial nediagonal (K 0), iar ˆın final se neglijeaz˘ a termenul constituit din produse de ˆ ′ ); atunci hamiltonianul grand-canonic al 4 operatori de cˆ amp (adic˘ a se neglijeaz˘ a termenul K ˆ d ) la care se adaug˘a termenul banal: sistemului este redus la partea diagonal˘ a (K ˆd . ˆ 0 ≡ Ω0 ˆ1 + K K
(10.74)
10.2. SISTEME FERMIONICE
255
Pe baza formule.lor (10.70) ¸si (10.73) se observ˘a c˘ a partea diagonal˘ a a hamiltonianului grandcanonic comut˘a cu operatorul impuls: 0 ˆ ,P ˆ K =0. (10.75) −
Pe de alt˘ a parte, ˆıns˘ a operatorul num˘ar de particule nu comut˘a nici cu partea diagonal˘ a a hamiltonianului grand-canonic, nici cu operatorul impuls: 0 ˆ ,N ˆ K 6= 0 , − ˆ,N ˆ 6= 0 . P −
ˆ n = 0, ˆ hamiltonianul grand-canonic G2. Pe baza condit¸iei de diagonalizare (10.71), adic˘a K al sistemului este ˆ = Ω0 ˆ1 + K ˆd + K ˆn + K ˆ′ = K ˆ0 + K ˆ ′; . K (10.76) ˆ′ = N H ˆ int este considerat un hamiltonian de perturbat¸ie ¸si are medie nul˘a pe starea Termenul K ˆ ′ |Oi = 0, deoarece operatorii component¸i sunt ordonat¸i normal; fundamental˘ a a sistemului: hO|K ˆın plus, acest termen descrie interact¸ia ˆıntre cuasi-particule (excitat¸iile sistemului). ˆ ′ ca fiind neglijabil, astfel ˆınc˘ ˆ ≈ K ˆ 0 , iar ˆın Aproximat¸ia de ordinul 0 consider˘ a K at K ′ ˆ aproximat¸ii de ordin superior, se include termenul K ca o perturbat¸ie.
10.2.3
Determinarea coeficient¸ilor transform˘ arii canonice
A. Condit¸iile pentru coeficient¸ii transform˘ arii canonice (uk ¸si vk ) sunt date de condit¸ia de canonicitate (10.52) ¸si de condit¸ia de diagonalizare a p˘ art¸ii 2-operatorial˘ a a hamiltonianului grand-canonic (10.71b): u2k + vk2 = 1 , ξk · 2 uk vk − ∆k · (u2k − vk2 ) = 0 , unde ∆k ¸si ξk sund definite prin formulele (10.69): 1 X
k, −k vˆ k′ , −k′ uk′ vk′ , ∆k ≡ V ′ k 1 X
ξk ≡ (ε0k − µ) − k, −k ˆv k′ , −k′ vk2′ . V ′ k
ˆIn mod similar cazului bosonic, este convenabil s˘a se utilizeze o reprezentare parametric˘a a solut¸iei sistemului (10.52) + (10.71b), astfel ˆıncˆ at una dintre condit¸ii s˘a fie satisf˘acut˘ a ˆın mod automat; atunci, se alege urm˘atoarea reprezentare parametric˘a a solut¸iei: uk = cos χk , (10.77) vk = sin χk ; ˆın acest caz condit¸ia de canonicitate este automat satisf˘acut˘a: u2k + vk2 = cos2 χk + sin2 χk = 1 ,
∀ χk ∈ R .
Ca urmare, condit¸ia de diagonalizare devine ecuat¸ia pentru parametrul χk ; se observ˘a c˘ a se exprim˘ a ˆın mod simplu combinat¸iile coeficient¸ilor care apar ˆın condit¸ia de diagonalizare: u2k − vk2 = cos2 χk − sin2 χk = cos(2χk ) , 2 uk vk = 2 cos χk sin χk = sin(2χk ) ;
atunci ecuat¸ia parametrului χk este ξk · sin(2χk ) = ∆k · cos(2χk )
=⇒
tan(2χk ) =
∆k . ξk
(10.78)
Se observ˘ a c˘ a m˘arimile ∆k ¸si ξk , definite prin formulele (10.69), sunt dependente de coeficient¸ii transform˘ arii canonice (uk ¸si vk ), astfel ˆıncˆ at ecuat¸ia pentru parametrul χk este o ecuat¸ie implicit˘ a (situat¸ia este mai complicat˘ a decˆ at ˆın cazul bosonic); ca urmare, este convenabil s˘a se utilizeze m˘arimile ∆k ¸si ξk ca parametri de baz˘a.
˘ CAPITOLUL 10. TRANSFORMARI CANONICE
256
B. Exprimarea coeficient¸ilor transform˘ arii relat¸iile stabilite anterior:
prin parametrii ∆k ¸si ξk se obt¸ine din
1 ξk 1 =s , =±p 2 u2k − vk2 = cos(2χk ) = p 2 2 2 ξ 1 + tan (2χk ) ∆k k + ∆k 1+ 2 ξk ∆2k ξk2
∆k tan(2χk ) =±p 2 2 uk vk = sin(2χk ) = p = s , 2 ξk + ∆2k 1 + tan (2χk ) ∆2k 1+ 2 ξk
(10.79a)
(10.79b)
unde ˆın ambele relat¸ii precedente se alege semnul “+” sau semnul “–”. Din rezultatele precedente se obt¸in expresiile coeficient¸ilor transform˘arii canonice: 2 uk + vk2 = 1 ,
ξk 2 2 ; uk − vk = ± p 2 ξk + ∆2k
=⇒
±ξk 1 2 p 1 + u = , k 2 ξk2 + ∆2k 1 ±ξk 1− p 2 . vk2 = 2 ξk + ∆2k
(10.80)
C. Ecuat¸iile parametrilor ∆k ¸si ξk (numite ˆın mod uzual ecuat¸iile BCS ) se obt¸in din formulele de definit¸ie (10.69) ¸si rezultatele precedente: 1 X
k, −k vˆ k′ , −k′ uk′ vk′ V ′ k 1 X
±∆k , = k, −k vˆ k′ , −k′ p 2 2V ′ ξk + ∆2k k 1 X
k, −k ˆv k′ , −k′ vk2′ ξk = (ε0k − µ) − V ′ k ±ξk 1 X
0 k, −k ˆv k′ , −k′ 1 − p 2 . = (εk − µ) − 2 2V ′ ξk + ∆k k
∆k =
(10.81a)
(10.81b)
Observat¸ie: ecuat¸iile BCS sunt un sistem de ecuat¸ii integrale cuplate, deoarece la limita termodinamic˘ a sumarea dup˘a valorile vectorului de und˘a devine integral˘a: Z 1 X f (k′ ) = d3 k′ f (k′ ) ; LT R3 V ′ k
de asemenea, pentru rezolvarea sistemului (10.81) este necesar s˘a se precizeze semnul “±” 4 . D. Consecint¸e directe ale ecuat¸iilor BCS (obt¸inute f˘ar˘a rezolvarea ecuat¸iilor). i. Se introduce notat¸ia (se va ar˘ ata ulterior semnificat¸ia fizic˘a a acestei m˘arimi) Ek ≡
q ξk2 + ∆2k ;
(10.82)
ca urmare, formulele (10.80) se exprim˘ a ˆın mod mai condensat 1 1+ 2 1 1− vk2 = 2
u2k =
± ξk , Ek ± ξk ; Ek
(10.83a) (10.83b)
4 Se va ar˘ ata ulterior c˘ a este necesar s˘ a se aleag˘ a semnul “+” pentru a obt¸ine rezultate corecte din punct de vedere fizic.
10.2. SISTEME FERMIONICE
257
de asemenea, formulele (10.79) devin: ± ξk , Ek ± ∆k 2 uk vk = ; Ek
u2k − vk2 =
(10.84a) (10.84b)
ii. ˆIn termeni de noile m˘arimi ξk , ∆k ¸si Ek partea banal˘a a hamiltonianului grand-canonic, descris˘ a prin formula (10.70a), devine: o X n Ω0 = (ε0k − µ) + ξk vk2 − ∆k uk vk k
=
X n k
(ε0k − µ) + ξk
Ek + (± ξk ) ± ∆k o ; − ∆k 2 Ek 2 Ek
(10.85)
ˆın mod similar, partea diagonal˘ a a hamiltonianului grand-canonic, descris˘ a prin formula (10.70b), devine: o Xn † ˆ ˆd = ˆ†k α ˆ k + βˆ−k β−k K ξk (u2k − vk2 ) + ∆k 2 uk vk α k
=±
X k
deoarece
† ˆ †k α ˆ k + βˆ−k βˆ−k , Ek α
ξk (u2k − vk2 ) + ∆k 2 uk vk = ξk
(10.86)
± ξk ± ∆k ξ 2 + ∆2k + ∆k =± k = ± Ek . Ek Ek Ek
Rezultatul (10.86) are urm˘atoarele consecint¸e: • m˘arimea ± Ek reprezint˘ a energia unei quasi-particule (excitat¸ie elementar˘ a a sistemului);
ˆ d necesit˘a alegerea semnului “+”. • condit¸ia de m˘arginire inferioar˘a a termenului K
iii. Spectrul pde energie a cuasi-particulelor (excitat¸iile elementare) este definit prin formula (10.82): Ek = ξk2 + ∆2k unde paranetrii ξk ¸si ∆k sunt definit¸i prin ecuat¸iile BCS (10.81); atunci rezult˘a c˘ a Ek ≥ ∆k ¸si aceast˘a proprietate se interpreteaz˘ a astfel: spectrul de energii ale cuasiparticulelor are o band˘ a interzis˘ a, a c˘ arei m˘arime este ∆Ek = ∆k . iv. Potent¸ialul grand-canonic al sistemului la temperatura nul˘a (¸si la potent¸ialul chimic determninat ˆın mod implicit de num˘arul de particule prezente ˆın sistem) este media operatorului hamiltonian grand-canonic ˆın starea fundamental˘ a a sistemului:
ˆ 0 = 0 Ω0 ˆ1 + K ˆd + K ˆ ′ 0 = Ω0 , (10.87) Ω(T = 0, µ, V ) = 0 K ˆ d , cˆ ˆ ′ , au rezultat deoarece atˆat partea diagonal˘ aK at ¸si partea 4-operatorial˘ a (ordonat˘a normal) K 5 nul asupra st˘ arii fundamentale a sistemului. Pe baza formulei (10.85) se obt¸ine expresia potent¸ialului grand-canonic al sistemului la temperatura nul˘a (cˆand acest sistem se afl˘a ˆın starea fundamental˘ a): o 1 Xn . (10.88) Ω0 = ε0k − µ + ξk (Ek − ξk ) − ∆2k 2 Ek k
v. Operatorul num˘ ar de particule este descris prin formula (10.72) care, prin utilizare noilor parametri, devine Xn o † ˆ † ˆ= N 2 vk2 ˆ 1 + (u2k − vk2 ) α ˆ †k α ˆ k + βˆ−k β−k + 2 uk vk α ˆ†k βˆ−k + βˆ−k α ˆk k
=
X n k
1−
∆k † † o ξk ˆ ξk † † α ˆk α ˆ k + βˆ−k βˆ−k + α ˆ k βˆ−k + βˆ−k α ˆk ; 1+ Ek Ek Ek
(10.89)
5 Se observ˘ a c˘ a partea scalar˘ a a termenului banal din hamiltonianul grand-canonic Ω0 este egal˘ a cu potent¸ialul grand-canonic al sistemului la temperatura nul˘ a, justificˆ andu-se astfel notat¸ia.
˘ CAPITOLUL 10. TRANSFORMARI CANONICE
258
atunci, num˘ arul de particule ˆın starea fundamental˘ a este
6
X ξk X 0 ˆ 0 = = nk , N0 = 0 N 1− Ek
(10.90)
k
k
ξk unde n0k = 1 − este funct¸ia de distribut¸ie a particulelor ˆın starea fundamental˘a. Ek vi. Din rezultatele anterioare se obt¸ine energia st˘arii fundamentale a sistemului:
ˆ 0 = 0 K ˆ 0 + µ 0 N ˆ 0 = Ω0 + µ N 0 , E0 = 0 H
(10.91)
ˆ =H ˆ − µN ˆ. deoarece K
10.2.4
Solut¸iile ecuat¸iior BCS
Ecuat¸iile BCS sunt ecuat¸iile parametrilor care determin˘a transformarea canonic˘a ¸si sunt descrise prin relat¸iile (10.81) pentru alegerea semnului pozitiv: ∆k 1 X
k, −k vˆ k′ , −k′ p 2 , 2V ′ ξk + ∆2k k ξk 1 X
ξk = (ε0k − µ) − k, −k ˆv k′ , −k′ 1 − p 2 . 2 2V ′ ξk + ∆k k
∆k =
Observat¸ii:
(10.92a) (10.92b)
• ecuat¸iile BCS sunt un sistem de ecuat¸ii integrale cuplate, care nu admite o solut¸ie analitic˘a exact˘ a, astfel ˆıncˆ at este necesar s˘a se efectueze aproximat¸ii; • ecuat¸ia parametrului ∆k este numit˘a ecuat¸ia de band˘ a interzis˘ a (sau ecuat¸ia de gap); aceast˘a ecuat¸ie are 2 tipuri de solut¸ii: 1. solut¸ia banal˘a: ∆k = 0, numit˘a uzual solut¸ia normal˘ a (aceast˘a solut¸ie este posibil˘a pentru orice potent¸ial bi-particul˘a, deoarece ecuat¸ia este omogen˘a); 2. solut¸ia nebanal˘ a: ∆k 6= 0, numit˘a uzual solut¸ia supra-conductoare. 1. Solut¸ia normal˘ a ˆIn acest caz se consider˘ a c˘ a parametrul de gap este nul pentru toate st˘arile uni-particul˘a posibile: ∆k = 0 , ∀k . Proprietatea anterioar˘ a are urm˘atoarele consecint¸e: i. Energia unei cuasi-particule, pe baza relat¸iei (10.88), devine ˆın acest caz: q Ek = ξk2 + ∆2k = | ξk | ,
(10.93a)
unde ξk satisface ecuat¸ia (10.92b) pentru ∆k = 0: ξk = (ε0k − µ) −
ξk 1 X
. k, −k ˆv k′ , −k′ 1 − 2V ′ |ξk |
Se observ˘ a urm˘atoarea proprietate ξk 0 = 1− 2 |ξk |
(10.93b)
k
pentru ξk > 0 , pentru ξk < 0 ,
= 2 θ(−ξk ) ;
† ˆ k + βˆ−k βˆ−k , cˆ at ¸si termenii nediagonali act¸iunea asupra st˘ arii fundamentale atˆ at termenii diagonali α ˆ †k α † ˆ ˆ ˆ k dau rezultat nul, astfel ˆıncˆ at r˘ amˆ ane numai contribut¸ia termenului banal (proport¸ional cu β−k + β−k α operatorul unitate). 6 Prin
α ˆ †k
10.2. SISTEME FERMIONICE
259
atunci energia cuasi-particulei este ξk = ǫk − µ , 1 X
ǫk = ε0k − k, −k ˆv k′ , −k′ θ(µ − ǫk′ ) , 2V ′
(10.94a) (10.94b)
k
unde ǫk se observ˘ a c˘ a este energia uni-particul˘a efectiv˘a ˆın aproximat¸ia Hartree-Fock. ii. Relat¸iile (10.84) devin ˆın cazul ∆k = 0: ξk ξk = = sgn(ǫk − µ) , Ek |ξk | ∆k =0; 2 uk vk = Ek
u2k − vk2 =
(10.95a) (10.95b)
ˆın mod analog, relat¸iile (10.83) devin 1 ξk 1 u2k = 1+ = 2 1 + sgn(ǫk − µ) = θ(ǫk − µ) 2 Ek 1 ξk 2 vk = 1− = 21 1 − sgn(ǫk − µ) = θ(µ − ǫk ) 2 Ek
=⇒
uk = θ(ǫk − µ) , vk = θ(µ − ǫk ) .
(10.96)
iii. Transformarea canonic˘a, descris˘ a ˆın cazul general prin relat¸iile (10.51), devine ˆın acest caz: ( a ˆk↑ pentru ǫk > µ , † α ˆ k = uk a ˆk↑ − vk a ˆ−k↓ = (10.97a) −a ˆ†−k↓ pentru ǫk < µ ; ( a ˆ−k↓ pentru ǫk > µ , † ˆ β−k = uk a ˆ−k↓ + vk a ˆk↑ = (10.97b) a ˆ†k↑ pentru ǫk < µ ; adic˘a transformarea canonic˘a este transformarea particule-goluri. iv. Potent¸ialul grand-canonic la temperatur˘a nul˘a, a c˘ arei formul˘a general˘a este (10.88), cap˘at˘a forma mai simpl˘a: Ω0 =
Xn k
o |ξ | − ξ o 1 Xn k k = ; ε0k − µ + ξk ε0k − µ + ξk (Ek − ξk ) − ∆2k 2 Ek 2 |ξk | k
dar |ξk | − ξk = θ(−ξk ) = θ(µ − ǫk ) , 2 |ξk | 1 X
ε0k − µ + ξk = 2 ξk − k, −k ˆv k′ , −k′ θ(µ − ǫk′ ) , 2V ′ k
astfel ˆıncˆ at potent¸ialul grand-canonic la temperatur˘a nul˘a are expresia Ω0 =
o Xn 1 X
2(ǫk − µ) − k, −k ˆv k′ , −k′ θ(µ − ǫk′ ) . 2V ′ k
(10.98)
k
Rezultatul (10.98) este echivalent cu expresia potent¸ialului grand-canonic la temperatur˘a nul˘a ˆın aproximat¸ia Hartree-Fock. 2. Solut¸ia supra-conductoare ˆIn acest caz se consider˘ a parametrul de gap ca fiind nenul (∆k 6= 0), iar situat¸ia corespunde din punct de vedere fizic cu starea supraconductoare a sistemului electronilor de conduct¸ie din metale, care este descris prin modelul BCS.
˘ CAPITOLUL 10. TRANSFORMARI CANONICE
260
A. Aproximat¸ii BCS Conform modelului Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) exist˘a o interact¸ie atractiv˘a ˆıntre perechi de electroni de conduct¸ie care au vectori de und˘a opu¸si ¸si aflat¸i ˆın vecin˘ataea suprafet¸ei Fermi; aceast˘a interact¸ie este un efect indirect al interact¸iei dintre electroni ¸si fononi. 7 ˆIn cadrul teoriei BCS se utilizeaz˘ a urm˘atoarea aproximat¸ie pentru elementele de matrice ale potent¸ialul de interact¸ie: • acestea sunt constante ¸si separabile ˆın vecin˘atatea suprafet¸ei Fermi, • elementele de matrice ale potent¸ialul de interact¸ie sunt nule ˆın rest; pe baza aproximat¸iei prezentate anterior rezult˘a expresia elementelor de matrice ale potent¸ialului de interact¸ie
(10.99) k, −k vˆ k′ , −k′ = g θ ~ ωD − |ξk | θ ~ ωD − |ξk′ | ,
unde ωD este frecvent¸a de t˘ aiere (cut-off) pentru a asigura convergent¸a integralelor; se alege aceast˘a frecvent¸˘ a ca fiind egal˘a cu frecvent¸a Debye, deoarece este satisf˘acut˘ a condit¸ia ~ωD ≫ µ. B. Solut¸ia aproximativ˘ a a ecuat¸iei de gap Ecuat¸ia de gap este dat˘ a de relat¸ia (10.92a), care pentru aproximat¸ia BCS a potent¸ialului de interact¸ie (10.99), devine: ∆k =
X ∆k ∆k′ g 1 X
′| p θ ~ ω − |ξ | k, −k vˆ k′ , −k′ p 2 θ ~ ω − |ξ ≈ . D k D k 2 2 + ∆2 2V ′ 2V ξ + ∆ ξ k k k′ k′ k k′
Ecuat¸ia anterioar˘ a este de forma urm˘atoare:
∆k ≈ ∆ · θ ~ ωD − |ξk | ,
(10.100a)
unde ∆ este o constant˘ a independent˘ a de vectorul k: ∆≡
g X ∆k′ θ ~ ωD − |ξk′ | p 2 . 2V ′ ξk′ + ∆2k′ k
(10.100b)
Datorit˘ a formulei (10.100a), ecuat¸ia constantei de gap ∆ se simplific˘ a la forma: ∆≡
∆ g X θ ~ ωD − |ξk′ | p 2 2 2V ′ ξ k′ + ∆k′ k
=⇒
1=
1 g X θ ~ ωD − |ξk′ | p 2 , 2 2V ′ ξ k′ + ∆k′ k
care este echivalent˘ a, la limita termodinamic˘ a, cu ecuat¸ia Z g 1 2 dk 1 . 1≈ k dξ p 2 2π 2 dǫk ǫk =µ |ξ|≤~ ωD ξ 2 + ∆2
(10.101)
Demonstrat¸ie:
Pentru o funct¸ie f (ξk ) regulat˘ a se poate transforma suma dup˘ a valorile vectorului de und˘ a ˆın integral˘ a, la limita termodinamic˘ a, iar apoi se efectueaz˘ a integrala rezultant˘ a ˆın coordonate sferice, deoarece integralele unghiulare sunt banale ¸si produc factorul total 4π: Z 1 X d3 k f (ξk ) θ(~ ωD − |ξk |) f (ξk ) θ(~ ωD − |ξk |) = 3 V k R3 (2π) Z ∞ 4π = dk k2 f (ξk ) θ(~ ωD − |ξk |) ; (2π)3 0 ˆın continuare se efectueaz˘ a schimbarea de variabil˘ a k → ξ ¸si se ¸tine a ξk = ǫk − µ cont de faptul c˘ ǫk ≈ µ , ¸si ~ ωD ≪ µ, astfel ˆıncˆ at funct¸ia Heaviside θ(~ ωD − |ξk |) implic˘ a |ξk | ≈ 0 ; 7 Interact ¸ia
electron-fonon ¸si teoria BCS pentru supra-conductibilitate vor fi prezentate ulterior.
10.2. SISTEME FERMIONICE
261
ca urmare se obt¸ine: Z dk 1 1 X dξ k2 (ξ) f (ξ) θ(~ ωD − |ξ|) f (ξk ) θ(~ ωD − |ξk |) = V k 2π 2 dξ Z ~ ωD 1 2 dk ≈ dξ f (ξ) k 2π 2 dξ ǫk =µ −~ ωD Z 1 2 dk dξ f (ξ) . k = 2π 2 dξ ǫk =µ
Atunci, rezultatul (10.101) se obt¸ine pentru funct¸ia f (ξ) = p
Se observ˘ a c˘ a
ξ2
|ξ|≤~ ωD
1 . + ∆2
1 2 dk k = N (0) , 2π 2 dǫk ǫk =µ
(10.102)
unde N (0) este densitatea de st˘ ari pentru o proiect¸ie a spinului la suprafat¸a Fermi, iar integrala din formula (10.101) se efectueaz˘ a prin metode elementare: Z
1 dξ p =2 2 ξ + ∆2 |ξ|≤~ ωD
Z
0
~ωD
p ~ωD dξ p = 2 ln ξ + ξ 2 + ∆2 0 ξ 2 + ∆2 o n p = 2 ln ~ ωD + (~ ωD )2 + ∆2 − ln(∆) s !) ( ∆2 ~ ωD 1+ 1+ = 2 ln ∆ (~ ωD )2 ~ω D ≈ 2 ln 2 , ∆
unde ultima egalitate s-a obt¸inut ˆın aproximat¸ia ∆ ≪ ~ ωD . Pe baza rezultatelor precedente se rescrie ecuat¸ia (10.101) ˆın forma ~ω D , 1 ≈ g N (0) ln 2 ∆ iar aceast˘a ecuat¸ie are solut¸ia 1
∆ ≈ 2 ~ ωD e− g N (0) ,
(10.103)
care este expresia teoriei BCS pentru energia benzii interzise (energia de gap). Se observ˘a c˘ a rezultatul este neanalitic ˆın raport cu constanta de cuplaj g; ca urmare, acest rezultat nu s-ar fi putut obt¸ine prin utilizarea teoriei perturbat¸iilor ˆıntr-un ordin finit. C. Spectrul excitat¸iilor elementare este dat de formula (10.82), ˆın care parametrul de gap este descris de formula (10.100): q q Ek = ξk2 + ∆2k ≈ ξk2 + ∆2 θ(~ ωD − |ξk |) =
(p (ǫk − µ)2 + ∆2 |ǫk − µ|
, dac˘a |ǫk − µ| < ~ ωD , , dac˘a |ǫk − µ| > ~ ωD . (10.104)
Observat¸ii: i. Pentru starea normal˘ a (∆ = 0) spectrul de excitat¸ii (care sunt reprezentate de cuasiparticule) este: Ek = | ξk | = | ǫk − µ| . ii. La limita ∆ → 0 spectrul supra-conductor devine spectru normal. iii. Explicat¸ie pentru valoarea pozitiv˘ a a energiei de cuasi-particul˘a (Ek ) dac˘a ǫk < µ: energia se calculeaz˘a fat¸˘ a de nivelul Fermi (µ); ca urmare, starea fundamental˘ a pentru (N − 1) particule la care se adaug˘a un gol (cu energia ǫk < µ) este o excitat¸ie cu energia ∆ǫ = µ − ǫk = |ξk | > 0 . iv. Graficul spectrului de excitat¸ii este prezentat ˆın figura 10.2.
˘ CAPITOLUL 10. TRANSFORMARI CANONICE
262 Ek
supra-conductor
normal
∆ µ − ~ωD µ
µ − ~ωD
ǫk
Figura 10.2: Graficul spectrului excitat¸iilor elementare. D. Coeficient¸ii transform˘ arii canonice au expresiile (10.83), iar acestea ˆın cazul particular prezent devin: 1h i ξ ǫk − µ 1 p k p 1 + 1 + = , pentru |ǫk − µ| < ~ ωD 2 + ∆2 2 ξk2 + ∆2 (ǫk − µ) 1 ξk 2 ( 2 uk = 1+ ≈ i 1 , pentru ǫk > µ + ~ ωD ξk 1 h 1 2 Ek 1 + = 1 + sgn(ǫ − µ) = k 2 |ξk | 2 0 , pentru ǫk < µ − ~ ωD (10.105) 1h i ξk ǫk − µ 1 p p 2 1 − ξ 2 + ∆2 = 2 1 − (ǫk − µ)2 + ∆2 , pentru |ǫk − µ| < ~ ωD 1 ξ k k ( vk2 = 1+ ≈ 1h i 1 ξ 0 , pentru ǫk > µ + ~ ωD 2 Ek k 2 1 − |ξ | = 2 1 − sgn(ǫk − µ) = 1 , pentru ǫ < µ − ~ ω k k D (10.106) Graficele p˘ atratelor coeficient¸ilor transform˘arii canonice u2k ¸si vk2 , ˆın raport cu energia uniparticul˘ a efectiv˘ a ǫk sunt ilustrate ˆın figura 10.3. u2k , vk2 1 u2k
µ
vk2 ǫk
∆
Figura 10.3: Graficele u2k ¸si vk2 ca funct¸ii de ǫk . Funct¸ia de distribut¸ie a particulelor ˆın starea fundamental˘ a este dat˘a de relat¸ia (10.90) n0k = 2 vk2 = 1 −
ξk ; Ek
din formulele (10.106), care descriu m˘arimea vk2 , rezult˘a c˘ a n0k (ǫk ) este o funct¸ie continu˘ a ¸si diferent¸iabil˘ a, avˆand urm˘atoarele expresii aproximative: 2, pentru ǫk < µ − ~ ωD , ǫ − µ k , pentru µ − ~ ωD < ǫk < µ + ~ ωD , (10.107) n0k ≈ 1 − p (ǫk − µ)2 + ∆2 0, pentru ǫk > µ + ~ ωD .
10.2. SISTEME FERMIONICE
263
Pentru starea normal˘ a funct¸ia de distribut¸ie a particulelor ˆın starea fundamental˘ a a sistemului este n0n k = 2 θ(µ − ǫk ) ,
n0k 2
normal
care este o funct¸ie discontinu˘ a. Se observ˘a c˘ a n0s ¸ine din n0n k nu se poate obt k prin aplicarea teoriei perturbat¸iilor. Graficele funct¸iilor de distribut¸ie a particulelor pentru starea supra-conductoare ¸si pentru starea normal˘ a sunt ilustrate ˆın figura 10.4.
supra-conductor µ
ǫk
Figura 10.4: Graficele pentru n0s si n0n k (ǫk ) ¸ k (ǫk ). E. Num˘ arul total de particule (ˆın condit¸ia ca potent¸ialul chimic µ s˘a fie fixat) se obt¸ine din relat¸ia (10.90) N=
X k
n0k = V LT
Z
d3 k 0 nk . 3 R3 (2π)
Se compar˘a num˘ arul de particule cˆ and sistemul este ˆın stare supra-conductoare cu num˘arul de particule cˆ and sistemul este ˆın stare normal˘a, ambele situat¸ii corespunzˆ and la aceea¸si valoare a potent¸ialului chimic: Z d3 k 0s ; nk − n0n Ns − Nn = V k 3 R3 (2π)
deoarece funct¸iile de distribut¸ie ale particulelor pentru cele dou˘a st˘ari sunt practic egale dac˘a 0n |ǫk − µ| > ~ ωD , adic˘a n0s a cum se observ˘a ˆın mod direct din figura 10.4, rezult˘a c˘ a k ≈ nk , dup˘ la integral˘a are contribut¸ie dominant˘ a numai intervalul din vecin˘atatea suprafet¸ei Fermi: ǫk ≈ µ. Atunci diferent¸a numerelor de particule este h Z i h d3 k ξk ξk i p Ns − Nn = V θ(~ ωD − |ξk |) 1 − − 1− 3 |ξk | ξk2 + ∆2 R3 (2π) Z 4π ξk ξk =V −p 2 dk k 2 , 2 (2π) |ξk |≤~ ωD |ξk | ξk + ∆2
unde ultima egalitate s-a obt¸inut prin utilizarea coordonatelor sferice ¸si efectuarea integralelor unghiulare, care sunt banale. Se efectueaz˘a schimbarea de variabil˘ a de integrare: k → ξ, astfel 2 2 dk dξ, iar diferent¸a numerelor de particule ˆıncˆ at se poate aplica aproximat¸ia k dk ≈ k dǫk ǫk =µ devine Z ~ ωD 1 1 1 2 dk p =0, (10.108) k − dξ ξ Ns − Nn ≈ V 2π 2 dǫk ǫk =µ −~ ωD |ξ| ξ 2 + ∆2 unde integrala este nul˘a deoarece integrandul este o funct¸ie impar˘a, iar intervalul de integrare este simetric. Se observ˘ a c˘ a ˆın condit¸ia ca potent¸ialul chimic s˘a fie ment¸inut constant (µ = const.), ceea ce implic˘ a condit¸ii grand-canonice pentru sistemul studiat, tranzit¸ia din starea normal˘a la starea supra-conductoare practic nu modific˘a num˘arul de particule (Nn ≈ Ns ); rezultatul se poate inversa: ˆın condit¸ia cˆ and num˘ arul de particule ale sistemului este constant (adic˘a ˆın acest caz sistemul se afl˘ a ˆın condit¸ii canonice), atunci la tranzit¸ia din starea normal˘a ˆın starea supraµs − µn conductoare, potent¸ialul chimic variaz˘ a ˆın mod neglijabil: ≡ δ ≪ 1. µn F. Energia st˘ arii fundamentale se obt¸ine din expresiile potent¸ialului grand-canonic la temperatura nul˘a (Ω0 ) ¸si ale num˘ arului de particule, conform relat¸iei: E0 = Ω0 + µ N .
˘ CAPITOLUL 10. TRANSFORMARI CANONICE
264
Termenul Ω0 se obt¸ine din formula (10.88), ˆın care se expliciteaz˘ a m˘arimea ε0k − µ cu formula (10.92b): ξk′ 1 X
; k, −k ˆv k′ , −k′ 1 − ε0k − µ = ξk + 2V ′ Ek′ k
atunci se obt¸ine:
1 X n 0 ∆2 o ξk − k (εk − µ) + ξk 1 − 2 Ek Ek k h ξk′ i ξk 1X ∆2 1 X
1− − k = k, −k ˆv k′ , −k′ 1 − 2 ξk + 2 2V ′ Ek′ Ek Ek k k X ′ ξk 1 X
ξ ′ ˆv k , −k′ 1 − p ξk p k = ξk 1 − p 2 + 1 − k, −k 4V ξk + ∆2k ξk2 + ∆2k ξk2′ + ∆2k′ k k,k′
Ω0 =
−
∆2 1X p k . 2 2 ξk + ∆2k k
(10.109)
Se compar˘a energiile st˘ arilor fundamentale pentru cazul faza supra-conductoare ¸si faza normal˘a ale sistemelor cu acela¸si num˘ ar de particule (Ns = Nn ): (s)
(n)
E0 − E0
(s) (n) (s) (n) = Ω0 (µs ) + µs N − Ω0 (µn ) + µs N = Ω0 (µs ) − Ω0 (µn ) + (µs − µn )N .
Deoarece potent¸ialele celor dou˘a faze au valori apropiate (a˘aa cu s-a ar˘atat anterior), se exprim˘ a potent¸ialul chimic al fazei supra-conductoare prin potent¸ialul chimic al fazei normale, conform relat¸iei µs = µn + µn δ (unde δ ≪ 1), iar potent¸ialul grand-canonic al fazei supra-conductoate se dezvolt˘ a ˆın primul ordin al seriei Taylor: (s) Ω0 (µs )
≈
(s) Ω0 (µn )
+
(s)
∂Ω0 ∂µ
µn
(µs − µn ) ;
atunci diferent¸a energiilor st˘ arilor fundamentale este (s) E0
−
(n) E0
≈
(s) Ω0 (µn ) (s)
−
(n) Ω0 (µn )
+
(n)
(s)
∂Ω0 ∂µ
µn
+ N µn δ + O(δ 2 )
= Ω0 (µn ) − Ω0 (µn ) + O(δ 2 ) ,
(10.110)
(s)
unde ultima egalitate s-a obt¸inut deoarece
∂Ω0 ∂µ
= −N , astfel ˆıncˆ at termenul de ordinul 1 ˆın
parametrul mic δ se anuleaz˘ a. Observat¸ii: i. ˆın aproximat¸ia δ ≪ 1 se poate neglija diferent¸a potent¸ialelor chimice pentru fazele supraconductoare ¸si normal˘ a, astfel ˆıncˆ at se pot face calculele ˆın condit¸ia µ = const. ; ii. parametrul de gap este nul ˆın faza normal˘a ¸si are valori apreciabile numai ˆın vecin˘atatea nivelului Fermi: ( 0, starea normal˘a , ∆k = ∆ · θ(~ ωD − |ξk |) , starea supra-conductoare ; (s)
(n)
ca urmare, diferent¸a potent¸ialelor grand-canonice pentru cele dou˘a faze, Ω0 (µn ) − Ω0 (µn ), are contribut¸ie numai de la st˘ ari din vecin˘atatea nivelului Fermi (|ξk | < ~ ωD ); iii. pentru vectori de und˘a k ¸si k′ ˆın vecin˘atatea fuprafet¸ei Fermi, este valabil˘a aproximat¸ia
conform relat¸iei (10.99).
2e v(0) − ve(|k − k′ |) ≈ −g ,
10.2. SISTEME FERMIONICE
265
Pe baza observat¸iei precedente ¸si utilizˆand expresia (10.109), se obt¸in expresiile aproximative ale potent¸ialelor grand-canonice la temperatura nul˘a pentru cele dou˘a faze (potent¸ialul grand(n) (s) canonic al fazei normale Ω0 ¸si potent¸ialul grand-canonic al fazei supra-conductoare Ω0 ): (s)
Ω0 =
X′ k
1 X′ ∆2 p k + Ω′0 , 2 2 2 ξ + ∆ k k k X′ ξk g X′ ξk′ ξk2 1− + Ω′0 , + 1− ξk − = ′| |ξk | 4V |ξ | |ξ k k ′ −
(n)
Ω0
ξk g X′ ξk′ ξ2 p 1− p 2 1 − ξk − p 2 k 2 + 4V ξk + ∆k ξk + ∆2k ξk2′ + ∆2k′ k,k′
(10.111a) (10.111b)
k,k
k
P unde ′k . . . este sumarea pentru valori din vecin˘atatea nivelului Fermi (adic˘a |ξk | < ~ ωD ), iar Ω′0 reprezint˘ a contribut¸iile st˘ arilor uni-particul˘a cu vectori de und˘a care nu sunt ˆın vecin˘atatea nivelului Fermi; conform observat¸iei anterioare, aceste st˘ari dau contribut¸ii egale pentru ambele faze, astfel ˆıncˆ at s-a utilizat notat¸ia comun˘ a Ω′0 . Se observ˘ a c˘ a ˆın limita termodinamic˘ a sumarea peste valorile vectorului de und˘a din vecin˘atatea nivelului Fermi se poate exprima prin integrala X′ k
Z ~ ωD d3 k 4π 2 dk k f (ξk ) = V f (ξk ) θ(~ ωD − |ξk |) ≈ V dξ f (ξ) 3 LT (2π)3 dǫk ǫk =µ −~ ωD R3 (2π) Z ~ ωD dξ f (ξ); , (10.112) = V N (0) Z
−~ ωD
unde N (0) este densitatea de st˘ ari pentru o proiect¸ie a spinului la suprafat¸a Fermi, conform relat¸iei (10.102). Luˆand ˆın considerare rezultatele precedente, reprezentate prin relat¸iile (10.110) – (10.112), se face estimarea diferent¸ei dintre energiile st˘arilor fundamentale ale celor dou˘a faze: (s)
(n)
E0 − E0
(n)
(s)
≈ Ω0 (µn ) − Ω0 (µn ) X ′ ξk g X′ ξk′ ξ2 p 1− p 2 = 1 − ξk − p 2 k 2 + 4V ξk + ∆k ξk + ∆2k ξk2′ + ∆2k′ k,k′ k ∆2 1 X′ p k − + Ω′0 2 + ∆2 2 ξ k k k X ′ g X′ ξk′ ξk ξk2 ′ + Ω0 + 1− 1− − ξk − |ξk | 4V |ξk | |ξk′ | ′ k
k,k
X′ ξ 2 ∆2 ξ2 k − p 2 = −p 2k |ξk | ξk + ∆2 2 ξk + ∆2 k ξk ξk′ g X′ ξk′ ξk 1− p 2 1− + 1− p 2 − 1− 4V |ξk | |ξk′ | ξk + ∆2 ξk′ + ∆2 k,k′ Z ~ ωD ξ2 ∆2 ξ2 dξ − p = V N (0) −p LT |ξ| ξ 2 + ∆2 2 ξ 2 + ∆2 −~ ωD Z ~ ωD Z ~ ωD ξ′ g 2 2 ξ 1− p + 1− p dξ ′ dξ V N (0) 4V (ξ ′ )2 + ∆2 ξ 2 + ∆2 −~ ωD −~ ωD ′ ξ ξ 1− ′ . − 1− |ξ| |ξ | Se observ˘ a c˘ a rezultatul precedent a redus expresia diferent¸ei dintre energiile stcarilor fundamentale ale celor dou˘a faze la evaluarea unor integrale.
˘ CAPITOLUL 10. TRANSFORMARI CANONICE
266
Prima integral˘a se calculeaz˘a prin metode elementare: 2 Z ~ ωD ∆2 ξ2 ξ − p dξ −p |ξ| ξ 2 + ∆2 2 ξ 2 + ∆2 −~ ωD Z ~ ωD Z ~ ωD p Z 1 ∆ ~ ωD 2 2 p dξ ξ + ∆ + =2 dξ ξ − dξ 2 0 ξ 2 + ∆2 0 0 2 h p i ∆2 ~ ωD p p ξ ∆2 ξ 2 2 2 2 2 2 =2 + ξ +∆ + − ln ξ + ξ + ∆ ln ξ + ξ + ∆ 2 2 2 2 0 ~ ωD 2 p ξ ξ − =2 ξ 2 + ∆2 2 2 0 r ∆ 2 = (~ ωD )2 1 − 1 + ; ~ ωD deoarece ∆ ≪ ~ ωD , rezultatul integralei se aproximeaz˘ a astfel: h h ∆ 2 i1/2 1 ∆ 2 i 1 ≈ (~ ωD )2 1 − 1 + ≈ − ∆2 . (~ ωD )2 1 − 1 + ~ ωD 2 ~ ωD 2 A doua integral˘a este nul˘a Z ~ ωD Z ~ ωD ξk ξ′ ξ′ ξ dξ ′ dξ 1− p 1− p 1− ′ − 1− |ξ| |ξ | (ξ ′ )2 + ∆2 ξ 2 + ∆2 −~ ωD −~ ωD Z ~ ωD Z ~ ωD ξ ξ ξ′ ξ′ p dξ ′ − p dξ = +p −p (ξ ′ )2 + ∆2 ξ 2 + ∆2 ξ 2 + ∆2 (ξ ′ )2 + ∆2 −~ ωD −~ ωD ′ ′ ξ ξ ξ ξ + − + |ξ| |ξ ′ | |ξ| |ξ ′ | =0, deoarece integrandul este o funct¸ie impar˘a ˆın raport cu ambele variabile ξ ¸si ξ ′ . Atunci diferent¸a energiilor st˘ arilor fundamentale ale fazelor supra-conductoare ¸si normal˘a este (s)
(n)
E0 − E0
1 ≈ − V N (0) ∆2 . 2
(10.113)
Se observ˘ a c˘ a starea fundamental˘ a a fazei supra-conductoare are energie mai mic˘a decˆat starea (s) (n) fundamental˘ a a fazei normale: E0 < E0 , ceea ce implic˘ a stabilitatea sistemului ˆın starea supraconductoare (starea normal˘ a este instabil˘a).
Capitolul 11
Metoda ecuat¸iei de mi¸scare 11.1
Principiul metodei
A. Se consider˘ a sistemul constituit din multe particule ¸si care este caracterizat prin hamiltoniaˆ prin metoda ecuat¸iei de mi¸scare, propus˘ nul model H; a de Sawada, se obt¸in starea fundamental˘ a ¸si spectrul excitat¸iilor elementare ale sistemului (definit prin hamiltonianul model). B.
ˆ k care satisfac proprietatea Se caut˘ a operatori Ω ˆk , ˆ,Ω ˆk = −~ ωk Ω H −
din care rezult˘a prin conjugare hermitic˘a relat¸ia de comutare ˆ,Ω ˆ† ˆ† , H = +~ ωk Ω k −
k
(11.1a)
(11.1b)
ˆ caracterizat˘ Se consider˘ a o stare proprie a hamiltonianului H, a prin vectorul propriu |Ψα i ¸si valoarea proprie corespondent˘ a Eα ; atunci, ecuat¸ia cu valori proprii a energiei este ˆ |Ψα i = Eα |Ψα i . H
(11.2)
ˆ k , reprezentat˘ Dac˘ a se utilizeaz˘ a proprietatea de definit¸ie a operatorului Ω a prin relat¸iile (11.1), atunci se obt¸ine ( ˆ k |Ψα i , ˆ,Ω ˆk |Ψ i = −~ ωk Ω H − α (11.3) † † ˆ,Ω ˆ ˆ H k − |Ψα i = ~ ωk Ωk |Ψα i . Pe de alt˘ a parte, pe baza ecuat¸iei cu valori proprii (11.2), act¸iunile comutatorilor asupra vectorului propriu al energiei dau urm˘atoarele rezultate: ( ˆ k |Ψα i , ˆ |Ψα i = H ˆΩ ˆ k |Ψα i − Eα Ω ˆΩ ˆ k |Ψα i − Ω ˆk H ˆ,Ω ˆ k |Ψα i = H H − † † † ˆ† ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,Ω ˆ H k − |Ψα i = H Ωk |Ψα i − Ωk H |Ψα i = H Ωk |Ψα i − Eα Ωk |Ψα i ; ca urmare, relat¸iile (11.3) devin
Interpretarea rezultatelor:
ˆ k |Ψα i , ˆ Ω ˆ k |Ψα i = Eα − ~ ωk Ω H † ˆ |Ψα i . ˆ Ω ˆ † |Ψα i = Eα + ~ ωk Ω H k k
(11.4a) (11.4b)
ˆ ˆ† • |Ψ− si |Ψ+ ari proprii ale energiei sistemului, coresα,k i ≡ Ωk |Ψα i ¸ α,k i ≡ Ωk |Ψα i sunt st˘ punz˘ atoare valorilor proprii Eα − ~ ωk ¸si Eα + ~ ωk . ˆ † este operatorul de creare a unei excitat¸ii a sistemului, iar Ω ˆ k este • Da˘ a ωk > 0, atunci Ω k ˆ† operatorul de anihilare a unei excitat¸ii; dac˘a ωk < 0, atunci situat¸ia se inverseaz˘a, adic˘a Ω k ˆ k devine operator de creare pentru excitat¸ii ale sistemului. devine operator de anihilare ¸si Ω 267
268
CAPITOLUL 11. METODA ECUAT ¸ IEI DE MIS¸CARE
• Dac˘ a starea fundamental˘ a a sistemului este descris˘ a prin vectorul |Ψ0 i ¸si are energia E0 , atunci rezult˘a propriet˘ a¸tile: – starea proprie excitat˘ a este descris˘ a prin vectorul de stare |Ψk i ¸si are energia Ek , date de relat¸iile: ˆ † |Ψ0 i , |Ψk i = Ω k Ek = E0 + ~ ωk ; adic˘a |Ψk i este un vector propriu al energiei sistemului, conform ecuat¸iei cu valori ˆ |Ψk i = Ek |Ψk i, iar ~ ωk este energia de excitat¸ie corespunz˘ proprii H atoare;
– deoarece ˆın starea fundamental˘ a sunt absente excitat¸iile, atunci vectorul st˘arii fundamentale satisface condit¸ia ˆ k |Ψ0 i = |∅i , Ω
∀k ,
adic˘a operatorii de anihilare a excitat¸iilor distrug starea fundamental˘ a; aceasta este condit¸ia din care se poate determina vectorul st˘arii fundamentale |Ψ0 i.
ˆIn formularea Heisenberg, operatorul de excitat¸ie Ω ˆ kH (t) este definit prin relat¸ia standard: ˆ k e− ~i tHˆ , ˆ kH (t) ≡ U ˆ † (t, 0) · Ω ˆk · U ˆ (t, 0) = e ~i tHˆ Ω Ω
(11.5)
unde expresia operatorului de evolut¸ie din ultima egalitate este consecint¸a faptului c˘ a s-a considerat hamiltonianul sistemului independent de timp (sistemul este conservativ). Din definit¸ia anterioar˘ a rezult˘a ecuat¸ia diferent¸ial˘a a operatorului de excitat¸ie, care este ecuat¸ia de evolut¸ie Heisenberg (1.39): 1 i~
∂ ˆ ˆ kH (t) . ˆ kH (t) , H ˆ ΩkH (t) = Ω = +~ ωk Ω − ∂t
(11.6)
Deoarece ecuat¸ia (11.6) este de tipul ecuat¸iei (2.124), atunci solut¸ia este ˆ kH (t) = e−iωk t Ω ˆk . Ω
(11.7)
Pe baza rezultatelor precedente se obt¸ine evolut¸ia temporal˘a a vectorului st˘arii excitate (ˆın formularea Schr¨odonger): ˆ (t, 0) |ΨkS (0)i = e− ~i tHˆ |Ψk i = e− ~i Ek t |Ψk i = e− ~i (E0 +~ωk )t Ω ˆ † |Ψ0 i . |ΨkS (t)i = U k
(11.8)
C.
Comentarii: ˆ k , care satisfac exact i. Situat¸ia ideal˘ a corespunde unui sistem pentru care exist˘a operatori Ω † ˆ relat¸iile de comutare (11.1); ca urmare, ˆın acest caz st˘arile |Ψk i ≡ Ωk |Ψ0 i sunt st˘ari stat¸ionare exacte ale sistemului. ii. Situat¸ia uzual˘a corespunde la sisteme pentru care este necesar s˘a se efectueze aproximat¸ii ˆın vederea satisfacerii relat¸iilor de comutare (11.1); aceast˘a operat¸ie implic˘ a ˆın general liniarizarea hamiltonianului, dar aproximat¸ia explicit˘a depinde de caracteristicile intrinseci ale sistemului. ˆIn acest caz |Ψk i ≡ Ω ˆ † |Ψ0 i este o aproximat¸ie pentru o stare excitat˘ a a sistemului; ˆın funct¸ie k de valoarea pulsat¸iei ωk apar 2 situat¸ii: a) ωk ∈ R+ (adic˘ a pulsat¸ia este o m˘arime real˘a pozitiv˘ a); ˆın acest caz |Ψk i este o stare stabil˘a. b) ωk = ωk0 + iγk (adic˘ a pulsat¸ia este o m˘arime complex˘a); conform relat¸iei (11.8), ˆın acest caz vectorul de stare al sistemului evolueaz˘ a ˆın timp conform relat¸iei 0 i ˆ † |Ψ0 i ; |ΨkS (t)i = e γk t e− ~ (E0 +~ωk )t Ω k
(11.9)
dac˘ a γk < 0, atunci |ΨkS (t)i este o stare amortizat˘ a, iar dac˘a γk > 0, atunci |ΨkS (t)i este o stare instabil˘a. 1 Forma simpl˘ a a ecuat¸iei de evolut¸ie pentru operatorii de excitat¸ie ofer˘ a explicat¸ia terminologiei metoda ecuat¸iei de mi¸scare, utilizat˘ a pentru metoda prezent˘ a de tratare a sistemelor multi-particul˘ a.
11.1. PRINCIPIUL METODEI
269
iii. Deoarece metoda ecuat¸iei de mi¸scare se aplic˘ a pentru sisteme descrise ˆın formalismul Cuantific˘ arii II, atunci este convenabil s˘a se utilizeze formularea grand-canonic˘a (ˆın locul formul˘arii canonice). ˆ ¸si Se consider˘ a c˘ a vectorul |Ψα i reprezint˘ a o stare proprie comun˘ a pentru hamiltonian (H) ˆ operatorul num˘ ar de particule (N ), astfel ˆıncˆ at sunt satisf˘acute ecuat¸iile cu valori proprii
ˆ |Ψα i = Eα |Ψα i , H ˆ |Ψα i = N |Ψα i . N
(11.10)
ˆ ≡H ˆ −µN ˆ are dependent¸˘a parametric˘a ˆın raport cu potent¸ialul Hamiltonianul grand-canonic K chimic (µ) ¸si |Ψα i este un vector propriu ˆ |Ψα i = (Eα − µ N ) |Ψα i . K Condit¸iile ecuat¸iei de mi¸scare (11.1) se generalizeaz˘ a la urm˘atoarea form˘a ( ˆ,Ω ˆ† ˆ† H k − = ~ ωk Ωk , † † ˆ,Ω ˆ ˆ N ηk = 0, 1 ; k − = ηk Ωk ,
(11.11)
(11.12a)
atunci rezult˘a ecuat¸ia de comutare a operatorului de excitat¸ie cu hamiltonianul grand-canonic ˆ,Ω ˆ† ˆ† K (11.12b) k − = (~ ωk − µ ηk ) Ωk ;
luˆand ˆın considerare ecuat¸ia cu valori proprii (11.11), se obt¸ine
ˆ,Ω ˆ† K k
−
ˆ Ω ˆ † |Ψα i − (Eα − µN ) Ω ˆ † |Ψα i , |Ψα i = K k k
astfel ˆıncˆ at rezult˘a ecuat¸ia cu valori proprii: † ˆ Ω ˆ † |Ψα i = (Eα + ~ ωk ) − µ(N + ηk ) Ω ˆ |Ψα i , K k k
(11.13)
ˆ † |Ψα i este o stare proprie comun˘ adic˘a Ω a pentru hamiltonian, corespunz˘ ator energiei proprii k Ek = Eα + ~ ωk , ¸si num˘ arului de particule, corespunz˘ ator valorii Nk = N + ηk . ˆ † (specificat anterior) s˘a fie un operator de creare este: Condit¸ia ca operatorul Ω k ~ ωk − µ ηk > 0 ; ˆın cazul nebanal, cˆ and ηk = 1, apar urm˘atoarele situat¸ii: ˆ † este un operator de creare; i. dac˘ a ~ ωk > µ, atunci Ω k ˆ † este un operator de anihilare (deci Ω ˆ k este un operator de creare); ii. dac˘ a ~ ωk < µ, atunci Ω k iii. dac˘ a ~ ωk = µ se obt¸ine o condit¸ie pentru potent¸ialul chimic. Observat¸ie: pentru verificarea condit¸iei (11.1) sau (11.12b), se efectueaz˘a comutatorul operatorului propus ca operator de excitat¸ii, cu hamiltonianul sistemului; ˆın aceast˘a situat¸ie comutatorului cu produse de operatori se descompune ˆın comutatori, sau anti-comutatori, elementari prin utilizarea formulelor (2.108) ˆ ˆ · Aˆ , Cˆ ˆ · Cˆ , · Cˆ + B Aˆ , B = Aˆ , B − − − ˆ · Cˆ ˆ ˆ · Aˆ , Cˆ Aˆ , B = Aˆ , B · Cˆ − B , − + + iar ˆın final se utilizeaz˘ a relat¸iile de anti-comutare fermionice elementare (2.77), sau relat¸iile de comutare bosonice elementare (2.69): ( ( † ˆbk , ˆbk′ = ˆ0 = ˆb†k , ˆb†k′ − , 0= a ˆkσ , a ˆ†k′ σ′ + , a ˆkσ , a ˆ k′ σ ′ + = ˆ − & ˆbk , ˆb† ′ ˆ 1; a ˆkσ , a ˆ†k′ σ′ + = δk,k′ δσ,σ′ ˆ k − = δk,k′ 1 ;
Se va exemplifica metoda ecuat¸iei de mi¸scare, prin deducerea spectrului excitat¸iilor sistemului, pentru cˆ ateva situat¸ii simple.
270
11.2
CAPITOLUL 11. METODA ECUAT ¸ IEI DE MIS¸CARE
Sistemul de fermioni liberi
A. Condit¸ii se consider˘ a un sistem constituit din particule fermionice nerelativiste, fiecare fermion avˆand masa m ¸si spinul s; particulele au mi¸sc˘ari de translat¸ie libere ¸si nu exist˘a interact¸ii mutuale ˆıntre aceste particule. Conform modelului specificat anterior, hamiltonianul sistemului este X ˆ0 = H ε0k a ˆ†kσ a ˆkσ . (11.14) k,σ
Starea fundamental˘ a a sistemului cu N particule este starea Fermi, cˆ and toate st˘arile uni-particul˘a cu energii inferioare energiei Fermi sunt ocupate, iar restul st˘arilor uni-particul˘a (cu energii mari) sunt neocupate; atunci, vectorul st˘ arii fundamentale ¸si energia corespunz˘ atoare sunt: Y |Ψ0N i = a ˆ†kσ |0i ≡ {n0 } , (11.15a) k,σ (ε0k <εF )
E0N =
X
k,σ (ε0k <εF )
ε0k =
X
ε0k n0kσ ,
(11.15b)
k,σ
unde n0kσ = θ(εF − ε0k ) este funct¸ia de distribut¸ie Fermi-Dirac la temperatur˘a nul˘a (cˆand sistemul se afl˘aPˆın starea fundamental˘ a). Condit¸ia ca sistemul s˘a aib˘ a N particule se exprim˘ a prin ecuat¸ia N = k,σ n0kσ , din care rezult˘a energia Fermi εF (N ). St˘arile excitate ale sistemului cu N particule, se obt¸in prin tranzit¸ii ale particulelor din st˘ari cu energie inferioar˘a energiei Fermi pe st˘ari cu energie superioar˘a energiei Fermi: (k, σ) −→ (k + q, σ) ; k
|k+q|>kF
ca urmare, la fiecare tranzit¸ie de tipul specificat anterior, se creaz˘ a o particul˘ a (k + q, σ) ¸si un gol (k, σ), astfel ˆıncˆ at energia de excitare este: ~ ωk,q = ε0|k+q| − ε0|k| .
B. Operatorul creare de excitat¸ie se obt¸ine pe baza observat¸iilor anterioare asupra st˘arilor excitate ale sistemului; ca urmare, se alege operatorul creare de excitat¸ie ca fiind egal cu produsul dintre operatorul de anihilare a unei particule ˆın starea (k, σ), care este ˆın acela¸si timp operator de creare a unui gol, ¸si operatorul de creare a unei particule (k + q, σ): ˆ † ≡ ρˆ† Ω ˆ†(k+q)σ a ˆ kσ . k k,q;σ = a
(11.16)
Pentru a verifica proprietatea operatorului ρˆ†k,q;σ de a fi operator care creaz˘ a o excitat¸ie a sistemului, se evalueaz˘ a comutatorul acestui operator cu hamiltonianul sistemului: X † ˆ , ρˆ† H = ε0k′ a ˆ k′ σ ′ a ˆ†(k+q)σ a ˆ kσ − ; ˆ k′ σ ′ , a k,q;σ − k′ ,σ′
se descompune comutatorul produselor de operatori elementari ˆın anti-comutatori simpli, astfel ˆıncˆ at rezult˘a: n X o † ˆ , ρˆ† H ε0k′ a ˆ†k′ σ′ a ˆ†(k+q)σ − a ˆ kσ + a ˆ†(k+q)σ a ˆ k′ σ ′ a ˆ k′ σ ′ , a ˆ kσ − ˆ k′ σ ′ , a k,q;σ − = k′ ,σ′
=
X
k′ ,σ′
=
X
k′ ,σ′
o n † ˆ k′ σ ′ ˆ†(k+q)σ + a ˆ kσ + a ˆ†(k+q)σ a ˆ k′ σ ′ , a ˆ†k′ σ′ a ˆ k′ σ ′ , a ˆ kσ + a ε0k′ a o n ˆ†k′ σ′ δk′ ,k+q δσ′ ,σ a ˆ kσ + a ˆ†(k+q)σ δk′ ,k δσ′ ,σ a ˆ k′ σ ′ ε0k′ a
ˆ†(k+q)σ a ˆ kσ − ε0k a ˆ†(k+q)σ′ a = ε0|k+q| a ˆ kσ † 0 0 = ε|k+q| − εk ρˆk,q;σ .
(11.17)
11.2. SISTEMUL DE FERMIONI LIBERI
271
Se observ˘ a c˘ a operatorul ρˆ†k,q;σ satisface ˆın mod exact condit¸ia (11.1), astfel c˘ a acesta este un operator de creare de excitat¸ii ale sistemului; st˘arile excitate create de acest operator sunt st˘ari particul˘ a-gol: † |Ψk,q;σ i = ρˆk,q;σ |Ψ0 i , (11.18) ~ ωk,q = ε0|k+q| − ε0|k| . C. Spectrul excitat¸iilor elementare este determinat de energia din relat¸ia (11.18), ˆın care ~2 |k|2 , astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: energia uni-particul˘ a este ε0k = 2m ( k < kF , ~2 2 ~2 2 2 0 0 |k + q| − |k| = q +2 k·q , (11.19) ~ ωk,q = ε|k+q| − ε|k| = 2m 2m |k + q| > kF .
Pentru a obt¸ine domeniul de valori ˆın care exist˘a excitat¸iile particul˘ a-gol ale sistemului se observ˘a urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: ~ ωmax =
~ ωmin =
~2 2 q + 2 kF q , 2m
0 ,
dac˘a q < 2 kF ,
2 ~ q 2 − 2 kF q , dac˘a q > 2 kF . 2m
Atunci, spectrul continuu al excitat¸iilor de tip particul˘ a-gol este determinat de urm˘atoarele condit¸ii: ~ 2 q + 2 kF q , 0 ≤ ωk,q (q) ≤ pentru q < 2 kF : 2m (11.20) ~ 2 ~ 2 pentru q > 2 kF : q − 2 kF q ≤ ωk,q (q) ≤ q + 2 kF q . 2m 2m
ˆIn figura 11.1 este ilustrat graficul domeniului ˆın care se produc excitat¸ii de tip particul˘ a-gol.
w
q1
2k
q2
q
Figura 11.1: Graficul domeniului corespunz˘ ator excitat¸iilor de tip particul˘ a-gol; ˆın planul q − ω ~ 2 q + 2 kF q ¸si domeniul excitat¸iilor de tip particul˘ a-gol este situat ˆıntre curbele ωk,q = 2m ~ 2 q − 2 kF q . ωk,q = 2m
272
CAPITOLUL 11. METODA ECUAT ¸ IEI DE MIS¸CARE
11.3
Sistemul electronic cu interact¸ii coulombiene
A. Condit¸ii se consider˘ a un sistem electronic (fermioni cu spin s = 1/2) care au interact¸ii mutuale coulombiene, astfel ˆıncˆ at pentru a satisface condit¸ia de neutralitate electric˘a este necesar s˘a se introduc˘a fondul uniform de sarcin˘a pozitiv˘ a (modelul jellium). Hamiltonianul model al sistemului este ˆ =H ˆ 0 + Vˆ , H
(11.21a)
ˆ 0 este hamiltonianul sistremului f˘ar˘a interact¸ii (adic˘a hamiltonianul de translat¸ie), iar Vˆ unde H este hamiltonianul interact¸iilor coulombiene dintre particule: X ˆ = H ε0k a ˆ†kσ a ˆ kσ , (11.21b) k,σ
1 X X X′ Vˆ = ve(q) a ˆ†(k1 +q)σ1 a ˆ†(k2 −q)σ2 a ˆ k1 σ1 ; ˆ k2 σ2 a 2V σ ,σ q 1
2
(11.21c)
k1 ,k2
ˆın expresiile anterioare ale p˘ art¸ilor de hamiltonian ε0k este energia uni-particul˘a ¸si ve(q) este transformata Fourier a potent¸ialului coulombian: ~2 k 2 , 2m e2 =⇒ v(r) = r ε0k =
ve(q) ≡
Z
d3 r e−iq·r v(r) =
4π e2 , q2
iar condit¸ia de neutralitate electric˘a impune excluderea termenului cu transfer de impuls nul (q = 0) din hamiltonianul de interact¸ie. B. Excitat¸ii tip particul˘ a
sunt create de operatorul ˆ† = a Ω ˆ†k σ . k
(11.22)
Pentru a verifica proprietatea operatorului a ˆ†k σ de a fi un operator creare de excitat¸ie a sistemului, conform metodei ecuat¸iei de mi¸scare, se evalueaz˘ a comutatorul acestui operator cu hamiltonianul sistemului:
ˆ,a H ˆ†k σ
−
= ε0k a ˆ†kσ +
1 X X X′ ve(q) a ˆ†(k+q)σ a ˆ†(k′ −q)σ′ a ˆ k′ σ ′ . V ′ ′ q σ
Demonstrat¸ie:
(11.23)
k
Se efectueaz˘ a comutatorul dintre operatorul a ˆ†k σ ¸si p˘ art¸ile hamiltonianului, prin metoda de descompunere a comutatorului unui produs de operatori ˆın comutatori (sau anti-comutatori), conform relat¸iilor (2.108), pentru a ajunge s˘ a se exprime rezultatele ˆın termeni de anti-comutatori fermionici standard (2.77). Pentru comutatorul cu hamiltonianul cinetic se obt¸ine: X 0 † ˆ0 , a ˆ†k σ − = ε0k a ˆ†kσ , εk ′ a ˆk′ σ ′ a ˆk′ σ ′ , a H ˆ†k σ − = k′ ,σ ′
deoarece comutatorul este † † ˆk′ σ ′ , a ˆ†k σ + a ˆ†k σ − = − a a ˆk′ σ ′ a ˆk′ σ ′ , a ˆ†k σ + = a ˆ†k′ σ ′ a ˆk′ σ ′ , a ˆk′ σ ′ + a ˆ†kσ δk,k′ δσ,σ ′ . | | {z } {z } =ˆ 0
= δk,k′ δσ,σ′
Pentru comutatorul cu hamiltonianul interact¸iei coulombiene se obt¸ine comutatorul cu produsul de 4 operatori elementari:
Vˆ , a ˆ†k σ
−
=
† 1 X X X′ ve(q) a ˆ(k1 +q)σ1 a ˆ†(k2 −q)σ2 a ˆ k2 σ2 a ˆ k1 σ1 , a ˆ†k σ − ; 2V σ ,σ k ,k q 1
2
1
2
11.3. SISTEMUL ELECTRONIC CU INTERACT ¸ II COULOMBIENE
273
acest comutator se evalueaz˘ a astfel: † a ˆ(k1 +q)σ1 a ˆ†(k2 −q)σ2 a ˆ k2 σ2 a ˆ k1 σ1 , a ˆ†k σ − † ˆ(k1 +q)σ1 a ˆ†(k2 −q)σ2 , a ˆ†k σ − a =a ˆ†(k1 +q)σ1 a ˆ†(k2 −q)σ2 a ˆ k2 σ2 a ˆ k1 σ1 , a ˆ†k σ − + a ˆ k2 σ2 a ˆ k1 σ1 | {z } a ˆ†(k1 +q)σ1
=
a ˆ†(k2 −q)σ2
n
a ˆ k2 σ2 a ˆ k1 σ1 ,
a ˆ†k σ
+
=ˆ 0
− a ˆ k2 σ2 ,
a ˆ†k σ
+
n o =a ˆ†(k1 +q)σ1 a ˆ†(k2 −q)σ2 a ˆ k2 σ2 δk1 ,k δσ1 ,σ − δk2 ,k δσ2 ,σ a ˆ k1 σ1 ;
a ˆ k1 σ1
o
utilizˆ and rezultatul precedent, comutatorul init¸ial devine:
Vˆ , a ˆ†k σ
−
=
n o 1 X X X′ ve(q) a ˆ†(k1 +q)σ1 a ˆ†(k2 −q)σ2 a ˆ k2 σ2 δk1 ,k δσ1 ,σ − δk2 ,k δσ2 ,σ a ˆ k1 σ1 2V σ ,σ q 1
2 k1 ,k2
1 X X′ 1 X X′ ve(q) a ˆ†(k+q)σ a ˆ†(k2 −q)σ2 a ˆ k2 σ2 − ve(q) a ˆ†(k1 +q)σ1 a ˆ†(k−q)σ a ˆ k1 σ1 = 2V 2V q q k2 ,σ2
k1 ,σ1
1 X X′ 1 X X′ = ve(q) a ˆ†(k+q)σ a ˆ†(k′ −q)σ ′ a ˆ k′ σ ′ − v (q) a e ˆ†(k′ −q)σ ′ a ˆ†(k+q)σ a ˆ k′ σ ′ , 2V ′ ′ q 2V ′ ′ q k ,σ
k ,σ
unde ultima egalitate s-a obt¸inut prin redenumirea variabilelor de sumare (k1 , σ1 ) → (k′ , σ ′ ) ¸si (k2 , σ2 ) → (k′ , σ ′ ), ˆımpreun˘ a cu schimbarea variabilei de sumare q → −q utilizˆ andu-se proprietatea transformatei Fourier ve(q) care depinde numai de modulul vectorului de und˘ a. ˆIn final se anticomut˘ a operatorii de creare din al doilea termen, astfel ˆıncˆ at acest termen devine egal cu primul termen: −
1 X X′ 1 X X′ v (q) a e ˆ†(k′ −q)σ ′ a ˆ†(k+q)σ a ˆ k′ σ ′ = ve(q) a ˆ†(k+q)σ a ˆ†(k′ −q)σ ′ a ˆ k′ σ ′ ; 2V ′ ′ q 2V ′ ′ q k ,σ
k ,σ
atunci comutatorul hamiltonianului de interact¸ie cu operatorul de creare are expresia:
Vˆ , a ˆ†k σ
−
=
1 X X′ ve(q) a ˆ†(k+q)σ a ˆ†(k′ −q)σ ′ a ˆ k′ σ ′ . V ′ ′ q k ,σ
Prin adunarea rezultatelor celor 2 comutatori se obt¸ine relat¸ia (11.23):
ˆ,a H ˆ†k σ
−
1 X X′ ˆ0 , a ˆ†kσ + ˆ†k σ − = ε0k a = H ˆ†k σ − + Vˆ , a ve(q) a ˆ†(k+q)σ a ˆ†(k′ −q)σ ′ a ˆ k′ σ ′ . V ′ ′ q
k ,σ
Din rezultatul (11.23) se observ˘ a c˘ a relat¸ia de comutare nu este de tipul cerut de c˘ atre metoda † † ˆ ecuat¸iei de mi¸scare, adic˘a: H , a ˆk σ − 6= ~ ωk a ˆk σ , deoarece apare termenul datorat interact¸iei coulombiene dintre particule, care cont¸ine 3 operatori elementari (corespunz˘ator la crearea a 2 particule ¸si a unui gol). Ca urmare, operatorul a ˆ†k σ nu este un operator de creare a unei excitat¸ii proprii a sistemului (la tratarea exact˘ a). Pentru a obt¸ine operatori de creare de excitt¸ii proprii ale sistemului este necesar s˘a se efectueze operat¸ii de aproximare (care s˘a reduc˘a cei 3 operatori din termenul de interact¸ie la un singur ˆ†. operator), sau s˘a se considere alt˘ a alegere pentru operatorul Ω k Aproximat¸ia cˆ ampului mediu self-consistent (care este numit˘a, de asemenea, aproximat¸ia Hartree-Fock) permite liniarizarea aproximativ˘ a a ecuat¸iei de mi¸scare (11.23). Se consider˘ a media produsului de operatori elementari pe starea fundamental˘ a, care se reduce la funct¸ia Fermi-Dirac de temperatur˘a nul˘a, dac˘a operatorii sunt hermitic conjugat¸i: †
†
ˆ k2 σ2 0 ≡ Ψ0N a a ˆk1 σ1 a (11.24) ˆ k2 σ2 0 Ψ0N = n0k1 δk1 ,k2 δσ1 ,σ2 , ˆk1 σ1 a unde n0k = θ(kF − |k|). Atunci, ˆın termenul coulombian din relat¸ia (11.23) se procedeaz˘ a astfel: i. se separ˘ a termenul corespunz˘ ator valorii q = k′ − k, ii. se anti-comut˘a operatorii din termenul separat, astfel ˆıncˆat operatorul a ˆ†kσ′ s˘a ajung˘a la dreapta,
274
CAPITOLUL 11. METODA ECUAT ¸ IEI DE MIS¸CARE
iii. ˆın subtermenul separat anterior se efectueaz˘a linearizarea prin utilizarea mediei ˆın locul produsului de operatori. Ca urmare se obt¸in egalit˘a¸tile: X X′
k′ ,σ′
q
=
v (q) a e ˆ†(k+q)σ a ˆ†(k′ −q)σ′ a ˆ k′ σ ′
X
k′ ,σ′ (k′ 6=k)
=− =−
ve(|k′ − k|) a ˆ†k′ σ a ˆ†kσ′ a ˆ k′ σ ′ +
X
k′ ,σ′ (k′ 6=k)
X
k′ ,σ′ (k′ 6=k)
+
X
X
k′ (k′ 6=k)
+
X
X′′
q k′ ,σ′ (q6=0,k−k′)
ˆ†kσ′ + ve(|k′ − k|) a ˆ†k′ σ a ˆ k′ σ ′ a
X
X′′
ve(q) a ˆ†(k+q)σ a ˆ†(k′ −q)σ′ a ˆ k′ σ ′
q k′ ,σ′ (q6=0,k−k′ )
ve(q) a ˆ†(k+q)σ a ˆ†(k′ −q)σ′ a ˆ k′ σ ′
X †
† †
† ˆkσ′ ˆkσ′ − ˆ k′ σ a ˆ k′ σ ′ 0 a v (|k′ − k|) a e ˆ†k′ σ a ˆ k′ σ ′ − a ve(|k′ − k|) a ˆ k′ σ a ˆ k′ σ ′ 0 a {z } | k′ ,σ′ = n0k′ δσ,σ′
X′′
q k′ ,σ′ (q6=0,k−k′)
=−
X
ve(q) a ˆ†(k+q)σ a ˆ†(k′ −q)σ′ a ˆ k′ σ ′
ve(|k′ − k|) n0k′ a ˆ†kσ − X′′
q k′ ,σ′ (q6=0,k−k′)
(k′ 6=k)
X
k′ ,σ′ (k′ 6=k)
†
† ˆkσ′ ˆ k′ σ a ˆ k′ σ ′ 0 a ve(|k′ − k|) a ˆ†k′ σ a ˆ k′ σ ′ − a
ve(q) a ˆ†(k+q)σ a ˆ†(k′ −q)σ′ a ˆ k′ σ ′ .
Pe baza rezultatului anterior, comutatorul hamiltonianului cu operatorul testat ca operator de excitat¸ie a ˆ†kσ (11.23), devine
ˆ,a H ˆ†k σ
−
= ε0k a ˆ†kσ − − +
1 X v (|k′ − k|) n0k′ a e ˆ†kσ V ′ k (k′ 6=k)
†
† 1 X ˆkσ′ ˆ k′ σ a ˆ k′ σ ′ 0 a ve(|k′ − k|) a ˆ†k′ σ a ˆ k′ σ ′ − a V ′ ′ k ,σ (k′ 6=k)
1 X V ′ ′
X′′
q k ,σ (q6=0,k−k′)
ve(q) a ˆ†(k+q)σ a ˆ†(k′ −q)σ′ a ˆ k′ σ ′ .
Expresia anterioar˘ a este exact˘ a, fiind obt¸inut˘a f˘ar˘a nici o aproximat¸ie, astfel ˆıncˆ at este echivalent˘ a cu relat¸ia (11.23). Aproximat¸ia cˆ ampului mediu self-consistent (aproximat¸ia Hartree-Fock) implic˘ a neglijarea
† † termenului care cont¸ine fluctuat¸iile a ˆ k′ σ a ˆ k′ σ ′ − a ˆ k′ σ a ˆ k′ σ′ 0 , precum ¸si a ultimului termen; 2 ca urmare, comutatorul anterior este aproximat la forma:
ˆ,a H ˆ†k σ
−
≈
n
ε0k −
o 1 X ˆ†kσ . ve(|k′ − k|) n0k′ a V ′
(11.25)
k (k′ 6=k)
Se observ˘ a c˘ a aproximarea de cˆ amp mediu self-consistent˘ a a relat¸iei (11.23), reprezentat˘ a prin relat¸ia (11.25), este de forma ecuat¸iei de mi¸scare standard, adic˘a are forma ecuat¸iei (11.1):
ˆ,a H ˆ†k σ
−
≈ ~ ωk a ˆ†k σ .
2 Aproximat ¸ia Hartree-Fock a fost prezentat˘ a ˆın Capitolul 6 prin argumente diagramatice, care nu sunt evident echivalente cu operat¸iile de aproximare din sect¸iunea prezent˘ a; utilizarea terminologiei aproximat¸ia Hartree-Fock ˆın sect¸iunea prezent˘ a este motivat˘ a prin rezultatele obt¸inute, care sunt echivalente cu cele din Capitolul 6.
11.3. SISTEMUL ELECTRONIC CU INTERACT ¸ II COULOMBIENE
275
Conform rezultatelor generale ale metodei ecuat¸iei de mi¸scare, spectrul de excitat¸ii este εk ≡ ~ ωk ≈ ε0k − =
1 X ve(|k′ − k|) n0k′ V ′ k (k′ 6=k)
~2 k 2 1 X ve(|k′ − k|) θ(kF − k) . − 2m V ′
(11.26)
k (k′ 6=k)
Se observ˘ a c˘ a rezultatul (11.26) este expresia energiei uni-particul˘a efectiv˘a ˆın aproximat¸ia Hartree-Fock, reprezentat˘ a prin relat¸iile (6.18) – (6.19), din care se exclude termenul de interact¸ie direct˘a (care corespunde la transfer de impuls nul) datorit˘a condit¸iei de neutralitate a modelului “jellium”. C. Excitat¸ii de tip particul˘ a-gol
sunt create de operatorul
ˆ † ≡ ρˆ† Ω ˆ†(k+q)σ a ˆ kσ , k k,q;σ = a
(11.27)
care este operatorul de creare a unei perechi particul˘ a-gol, ¸si care a fost utilizat ˆın exemplul anterior, conform relat¸iei (11.16). Comutatorul hamiltonianului cu operatorul creare de pereche particul˘ a-gol are urm˘atoarea expresie: n ˆ † † 1 X′ ′ 0 0 ˆ , ρˆ† v e (q ) H nq′ a ˆ†(k+q) σ a ˆ(k+q′ ) σ − a ˆ†(k+q−q′ ) σ a ˆkσ e = ε − ε ρ ˆ − k |k+q| k,q;σ − k,q;σ 2V ′ q o † ˆ †′ a ˆ k σ , (11.28) ˆ(k+q′ ) σ − a ˆ†(k+q−q′ ) σ a n +e q ˆ(k+q) σ a
ˆ † este conjugata hermitic˘ n a a transformatei Fourier a operatorului densitate de particule: unde e q ˆ† = e n q
Demonstrat¸ie:
X
X
ρˆ†k′ ,q;σ′ =
k′ ,σ′
a ˆ†(k′ +q′ ) σ′ a ˆ k′ σ ′ .
k′ ,σ′
Operatorul densitate de particule, definit prin relat¸ia (2.96) ˆın termeni de operatori de cˆ amp, se poate exprima prin operatori elementari pe baza relat¸iilor (2.86), unde funct¸iile proprii uniparticul˘ a sunt undele plane: ˆ n(r) =
X σ
X X 1 −ik·r † X 1 −ik′ ·r ˆ √ e √ e ψσ† (r) ψˆσ (r) = a ˆk σ · a ˆk′ σ V V σ k k′ 1 X X i(k−k′ )·r † e a ˆk σ a ˆk′ σ = V ′ σ k,k
1 X iq·r X † = a ˆk′ σ ′ a ˆ(k′ +q) σ ′ , e V q ′ ′ k ,σ
unde ultima egalitate s-a obt¸inut prin schimbarea de variabile k′ − k = q ¸si (k, σ) → (k′ , σ ′ ). Transformarea Fourier a operatorului densitate de particule este definit˘ a prin relat¸ia: ˆ(r) = n
1 X iq·r ˆ e nq ; e V q
ca urmare, se obt¸ine expresia transformatei Fourier X † ˆ e a ˆk′ σ ′ a ˆ(k′ +q) σ ′ , nq = k′ ,σ ′
respectiv conjugata hermitic˘ a:
† ˆ e nq =
X
k′ ,σ ′
a ˆ†(k′ +q) σ ′ a ˆ†k′ σ ′ .
276
CAPITOLUL 11. METODA ECUAT ¸ IEI DE MIS¸CARE ˆ0 Comutatorul operatorului de creare a unei perechi particul˘ a-gol ρˆ†k,q;σ cu hamiltonianul cinetic H a fost calculat anterior, iar rezultatul este formula (11.17): 0 0 † ˆ 0 , ρˆ† ˆk,q;σ . H k,q;σ − = ε|k+q| − εk ρ
Comutatorul operatorului ρˆ†k,q;σ cu hamiltonianul coulombian implic˘ a comutarea produsului de 4 operatori elementari cu produsul de 2 operatori elementari:
Vˆ , ρˆ†k,q;σ
−
=
† 1 X X X′ ve(q ′ ) a ˆ(k1 +q′ )σ1 a ˆ†(k2 −q′ )σ2 a ˆ k2 σ2 a ˆ k1 σ1 , a ˆ†(k+q)σ a ˆ kσ − . 2V σ ,σ k ,k ′ 1
2
1
2
q
Comutatorul celor 4+2 operatori se descompune ˆın anti-comutatori fundamentali, prin aplicarea repetat˘ a a formulelor (2.108): † a ˆ(k1 +q′ )σ1 a ˆ†(k2 −q′ )σ2 a ˆ k2 σ2 a ˆ k1 σ1 , a ˆ†(k+q)σ a ˆ kσ − ˆ k2 σ2 a ˆ k1 σ1 , a ˆ†(k+q)σ a ˆ kσ − =a ˆ†(k1 +q′ )σ1 a ˆ†(k2 −q′ )σ2 a † ˆ k2 σ2 a ˆ k1 σ1 + a ˆ(k1 +q′ )σ1 a ˆ†(k2 −q′ )σ2 , a ˆ†(k+q)σ a ˆ kσ − a n o † † † =a ˆ(k1 +q′ )σ1 a ˆ(k2 −q′ )σ2 ˆ k2 σ2 a ˆ k1 σ1 , a ˆ kσ − ˆ kσ + a ˆ†(k+q)σ a a ˆ k2 σ2 a ˆ k1 σ1 , a ˆ(k+q)σ − a | {z } +
n
|
a ˆ†(k1 +q′ )σ1
a ˆ†(k2 −q′ )σ2 {z
=ˆ 0
,a ˆ†(k+q)σ
a ˆ + − kσ }
a ˆ†(k+q)σ
=ˆ 0
a ˆ†(k1 +q′ )σ1
a ˆ†(k2 −q′ )σ2
,a ˆ kσ
o a ˆ k2 σ2 a ˆ k1 σ1 −
n o =a ˆ†(k1 +q′ )σ1 a ˆ†(k2 −q′ )σ2 a ˆ k2 σ2 a ˆ k1 σ1 , a ˆ†(k+q)σ + − a ˆ k2 σ2 , a ˆ†(k+q)σ + a ˆ k1 σ1 a ˆ kσ | {z } | {z } = δk ,(k+q) δσ1 ,σ 1
+
a ˆ†(k+q)σ
= δk ,(k+q) δσ2 ,σ 2
n o † † ˆ(k2 −q′ )σ2 , a ˆ kσ + − a a ˆ†(k1 +q′ )σ1 a ˆ(k1 +q′ )σ1 , a ˆ kσ + a ˆ†(k2 −q′ )σ2 a ˆ k2 σ2 a ˆ k1 σ1 | {z } | {z } = δ(k −q′ ),k δσ2 ,σ 2
= δ(k +q′ ),k δσ1 ,σ 1
Se introduce rezultatul precedent ˆın expresia comutatorului Vˆ , ρˆ†k,q;σ − ¸si se efectueaz˘ a sum˘ arile banale peste indicii (kj , σj ) ai simbolurilor Kronecker, iar apoi se redenumesc indicii de sumare r˘ ama¸si (kl , σl ) → (k′ , σ ′ ), astfel ˆıncˆ at rezult˘ a: n X 1 X′ ˆ kσ ˆ kσ − a ˆ†(k′ +q′ )σ ′ a ˆ†(k+q−q′ )σ a ˆ k′ σ ′ a a ˆ†(k+q+q′ )σ a ˆ†(k′ −q′ )σ ′ a ˆ k′ σ ′ a Vˆ , ρˆ†k,q;σ − = v (q ′ ) e 2V ′ k′ ,σ ′ q o ˆ(k−q′ )σ ; ˆ†(k+q)σ a ˆ†(k′ −q′ )σ ′ a ˆ k′ σ ′ a +a ˆ†(k+q)σ a ˆ†(k′ −q′ )σ ′ a ˆ(k+q′ )σ a ˆ k′ σ ′ − a
ˆın primul ¸si al patrulea termen se efectueaz˘ a schimbarea de variabil˘ a q′ → −q′ , iar apoi se anticomut˘ a ultimii doi operatori de anihilare din primul termen ¸si primii doi operatori de creare din al patrulea termen, iar dup˘ a aceste operat¸ii se utilizeaz˘ a relat¸iile de anticomutare ˆıntre operatorii elementari din interioarele celor 4 termeni, astfel ˆıncˆ at rezult˘ a: Vˆ , ρˆ†k,q;σ − Xn † 1 X′ = ˆ kσ ˆ kσ − a ˆ†(k′ +q′ )σ ′ a ˆ†(k+q−q′ )σ a ˆ k′ σ ′ a a ˆ(k+q−q′ )σ a ˆ†(k′ +q′ )σ ′ a ˆ k′ σ ′ a v (q ′ ) e 2V ′ ′ ′ k ,σ q o ˆ(k+q′ )σ ˆ†(k+q)σ a ˆ†(k′ +q′ )σ ′ a ˆ k′ σ ′ a +a ˆ†(k+q)σ a ˆ†(k′ −q′ )σ ′ a ˆ(k+q′ )σ a ˆ k′ σ ′ − a Xn 1 X′ = ˆ kσ ˆ†(k′ +q′ )σ ′ a ˆ†(k+q−q′ )σ a ˆ k′ σ ′ a −a ˆ†(k+q−q′ )σ a ˆ†(k′ +q′ )σ ′ a ˆ kσ a ˆ k′ σ ′ − a v (q ′ ) e 2V ′ ′ ′ k ,σ q o ˆ(k+q′ )σ ˆ†(k′ +q′ )σ ′ a ˆ†(k+q)σ a ˆ k′ σ ′ a +a ˆ†(k+q)σ a ˆ†(k′ −q′ )σ ′ a ˆ(k+q′ )σ a ˆ k′ σ ′ + a Xn 1 X′ −a ˆ†(k+q−q′ )σ δ(k′ +q′ ),k δσ ′ ,σ − a v (q ′ ) e ˆ kσ a ˆ†(k+q)σ a ˆ k′ σ ′ = 2V ′ k′ ,σ ′ q ˆ†(k+q−q′ )σ a ˆ k′ σ ′ a −a ˆ†(k′ +q′ )σ ′ δ(k′ +q−q′ ),k′ δσ ′ ,σ − a ˆ kσ +a ˆ†(k+q)σ δ(k+q′ ),(k′ −q′ ) δσ ′ ,σ − a ˆ(k+q′ )σ a ˆ†(k′ −q′ )σ ′ a ˆ k′ σ ′ o ˆ(k+q′ )σ . ˆ†(k+q)σ a ˆ k′ σ ′ a +a ˆ†(k′ +q′ )σ ′ δk′ ,(k+q) δσ ′ ,σ − a
11.3. SISTEMUL ELECTRONIC CU INTERACT ¸ II COULOMBIENE
277
ˆIn continuare se efectueaz˘ a sum˘ arile banale peste indicii simbolurilor Kronecker ¸si se separ˘ a termenii cu 2 operatori de termenii cu 4 operatori:
Vˆ , ρˆ†k,q;σ − n 1 X′ ˆ†(k+q−q′ )σ a ˆ(k−q′ )σ − a ˆ†(k+q)σ a ˆ kσ + a ˆ†(k+q)σ a ˆ kσ + a ˆ†(k+q−q′ )σ a ˆ(k−q′ )σ ve(q ′ ) − a = 2V ′ q X † ˆ†(k+q−q′ )σ a ˆ kσ ˆ†(k′ +q′ )σ ′ a ˆ k′ σ ′ a + a ˆ(k+q−q′ )σ a ˆ kσ a ˆ†(k′ +q)σ a ˆ k′ σ ′ + a k′ ,σ ′
ˆ†(k+q)σ a ˆ(k+q′ )σ ˆ†(k′ +q′ )σ ′ a ˆ k′ σ ′ a −a ˆ†(k+q)σ a ˆ(k+q′ )σ a ˆ†(k′ +q′ )σ ′ a ˆ k′ σ ′ − a
o ;
primul termen (care cont¸ine produse de cˆ ate 2 operatori elementari) este identic nul (deoarece primul subtermen este egal cu al patrulea sub-termen, iar al doilea subtermen este egal cu al treilea subtermen), iar ˆın al doilea termen (care cont¸ine produse de cˆ ate 4 operatori elementari) se at se grupeaz˘ a primul cu al treilea subtermen separ˘ a operatorul ρˆ†k′ ,q;σ ′ = a ˆ†(k′ +q)σ ′ a ˆ k′ σ ′ , astfel ˆıncˆ ¸si al doilea cu al patrulea subtermen:
Vˆ , ρˆ†k,q;σ
−
=
n X † 1 X′ a ˆ(k′ +q)σ a ˆ k′ σ ′ ˆ†(k+q−q′ )σ a ˆ kσ − a ˆ†(k+q)σ a ˆ(k+q′ )σ ve(q ′ ) a 2V ′ k′ ,σ ′ q X † o ˆ†(k+q−q′ )σ a ˆ kσ − a ˆ†(k+q)σ a ˆ(k+q′ )σ a ˆ(k′ +q)σ a ˆ k′ σ ′ a + k′ ,σ ′
n X † −1 X′ ρˆk′ ,q′ ;σ ′ ve(q ′ ) a ˆ†(k+q)σ a ˆ(k+q′ )σ − a ˆ†(k+q−q′ )σ a ˆ kσ = 2V ′ k′ ,σ ′ q X † o ρˆk′ ,q′ ;σ ′ a ˆ†(k+q)σ a ˆ(k+q′ )σ − a ˆ†(k+q−q′ )σ a ˆ kσ . + k′ ,σ ′
P
† ˆ nq este conjugata hermitic˘ a a operatorului transformat˘ a Fourier ρˆ†k′ ,q;σ ′ = e ˆ 0 , ρˆ† a densit˘ a¸tii de particule, astfel ˆıncˆ at rezultatul anterior, ˆımpreun˘ a cu comutatorul H k,q;σ − , care a fost evaluat anterior, produc formula (11.28).
Se observ˘ a c˘ a
k′ ,σ ′
Se observ˘ a c˘ a relat¸ia de comutare (11.28) nu este de tipul cerut de c˘ atre metoda ecuat¸iei de mi¸scare: ˆ , ρˆ† ˆ†k,q;σ ; H k,q;σ − 6= ~ ωk ρ
ca urmare, pentru a obt¸ine excitat¸ii ale sistemului de tipul particul˘ a-gol (adic˘a excitat¸ii create de † operatorul ρˆk,q;σ ), este necesar s˘a se efectueze aproximat¸ii care s˘a conduc˘a la trunchierea sumei dup˘a vectorul de und˘a q′ ¸si s˘a se produc˘a liniarizarea relat¸iei de comutare specificate (ceea ce implic˘ a ˆınlocuirea produsului de operatori elementari a ˆ† a ˆ prin densitatea de particule n). Pe baza observat¸iilor anterioare se introduc urm˘atoarele aproximat¸ii: 1. aproximat¸ia fazelor aleatoare (RPA) (introdus˘a de c˘ atre D. Bohm ¸si D. Pines): transferul ce impuls la tranzit¸ii electronice k → k + q′ implic˘ a o singur˘a valoare: q′ = q, astfel ˆıncˆ at rezult˘a regula de sumare: X′ f (q′ ) ≈ f (q) ; q′
se observ˘ a c˘ a din punct de vedere diagramatic condit¸ia anterioar˘ a implic˘ a considerarea numai a diagramelor inelare; 2. liniarizarea operatorului densitate de particule: n ˆ kσ ≈ n0kσ ˆ1 ; aceast˘a aproximat¸ie implic˘ a neglijarea fluctuat¸iilor de densitate electronic˘ a. Prin utilizarea succesiv˘ a a celor dou˘a aproximat¸ii specificate anterior, se transform˘a comutatorul
278
CAPITOLUL 11. METODA ECUAT ¸ IEI DE MIS¸CARE
hamiltonianului cu operatorul de creare particul˘ a-gol ˆın felul urm˘ator: ˆ ρˆ† ≈ ε0|k+q| − ε0k ρˆ†k,q;σ H, k,q;σ − RPA n o ˆ † ˆ † † 1 ˆ(k+q) σ a ˆ(k+q) σ − a ˆ†k σ a ˆkσ nq a nq + e ˆ†(k+q) σ a ˆ(k+q) σ − a ˆ†k σ a ˆkσ e v (q) a e − 2V o ˆ † ˆ † ve(q) n = ε0|k+q| − ε0k ρˆ†k,q;σ − ˆ (k+q) σ − n ˆ kσ nq n nq + e n ˆ (k+q) σ − n ˆ kσ e 2V ˆ † v e (q) 0 † ≈ ε0|k+q| − ε0k ρˆk,q;σ − n(k+q) σ − n0k σ e nq lin V X † ve(q) 0 n(k+q) σ − n0k σ ρˆk′ ,q;σ′ . (11.29) = ε0|k+q| − ε0k ρˆ†k,q;σ − V ′ ′ k ,σ
Rezultatul aproximativ al comutatorului precedent se poate exprima ˆın sensul ecuat¸iei de mi¸scare (11.1b): ˆ , ρˆ† H ˆ†k,q;σ ; (11.30) k,q;σ − ≈ ~ ω k,q ρ
prin utilizarea relat¸iei (11.29), ecuat¸ia (11.30) devine:
X † ve(q) 0 ρˆk′ ,q;σ′ ≈ ~ ω k,q ρˆ†k,q;σ , n(k+q) σ − n0k σ ε0|k+q| − ε0k ρˆ†k,q;σ − V ′ ′ k ,σ
sau expresia echivalent˘ a ρˆ†k,q;σ ≈
X † n0(k+q) σ − n0k σ ve(q) ρˆ ′ ′ . 0 0 V ~ ω k,q − ε|k+q| − εk ′ ′ k ,q;σ k ,σ
Se efectueaz˘ a sum˘arile peste valorile indicilor (k, σ), astfel c˘ a rezult˘a ecuat¸ia: X k,σ
ρˆ†k,q;σ ≈
X † n0(k+q) σ − n0k σ ve(q) X ρˆ ′ ′ ; 0 0 V ~ ω k,q − ε|k+q| − εk k′ ,σ′ k ,q;σ k,σ
ecuat¸ia precedent˘ a se exprim˘ a mai simplu prin utilizarea operatorului transformat˘a Fourier a densit˘ a¸tii de particule (care este operatorul de creare de perechi particul˘ a-gol cu acela¸si transfer † P P † ˆ = ρˆ† : a ˆ a ˆk σ = n de impuls q pe toate modurile (k, σ): e q
k,σ
(k+q) σ
k,σ
k,q;σ
X n0(k+q) σ − n0k σ ˆ † ≈ ve(q) ˆ†. e e n n q 0 0 V ~ ω k,q − ε|k+q| − εk q k,σ
(11.31)
Ecuat¸ia precedent˘ a se exprim˘ a ˆın mod echivalent ˆın forma:
0 0 ve(q) X n(k+q) σ − n k σ =1, α(ω) ≡ 0 0 V − ε ~ ω − ε k |k+q| k,σ
(11.32)
fiind numit˘ a ecuat¸ia de dispersie pentru constanta dielectric˘ a ˆın aproximat¸ia RPA. M˘ arimea α(ω) este constanta dielectric˘a, iar solut¸ia ecuat¸iei (11.32) ω(q) este este energia (de fapt pulsat¸ia) excitat¸iilor elementare de tip particul˘ a-gol; de asemenea, din ecuat¸ia (11.32), se observ˘a c˘ a solut¸ia ω(q) este dependent˘ a numai de transferul de impuls. Solut¸ia ecuat¸iei de dispersie (11.32) se poate obt¸ine dac˘a se expliciteaz˘ a spectrul energiilor uni-particul˘ a ε0k ¸si funct¸ia de distribut¸ie a particulelor pe st˘arile uni-particul˘a libere n0k σ : ~2 k 2 =⇒ 2m ≈ θ(kF − k) .
ε0k = n0k σ
0 ωk,q ≡ ε0|k+q| − ε0k =
~2 2 q +2k· q , 2m
11.3. SISTEMUL ELECTRONIC CU INTERACT ¸ II COULOMBIENE Atunci constanta dielectric˘a devine: 0 0 v (q) X θ(kF − k) − θ(kF − |k − q|) e ve(q) X n(k+q) σ − n k σ ≈ 2 , α(ω) ≡ 0 0 0 V ~V ω − ωk,q ~ ω − ε|k+q| − εk k k,σ
279
(11.33)
unde ˆın ultima expresie s-a efectuat sumarea ˆın raport cu indicele de spin, deoarece funct¸ia care se sumeaz˘a nu depinde de spin. Observat¸ii: i. Pentru ca o stare excitat˘ a a sistemului s˘a fie fizic˘a, este necesar ca aceast˘a stare s˘a aib˘ a o energie pozitiv˘ a, ceea ce implic˘ a solut¸ii pozitive ale ecuat¸iei (11.32): ω > 0; pe de alt˘ a parte, din relat¸ia (11.33), rezult˘a c˘ a polii constantei dielectrice sunt dat¸i de condit¸ia ω = ωk,q , astfel ˆıncˆ at este necesar ca pulsat¸iile proprii ale sistemului s˘a fie pozitive: ωk,q > 0, ceea ce este posibil numai dac˘ a este satisf˘acut˘ a inegalitatea: |k + q| > |k|. ii. Num˘ ar˘ atorul constantei dielectrice (11.33) are urm˘atoarele valori: pentru k < kF & |k + q| > kF , 1 , θ(kF − k) − θ(kF − |k − q|) = −1 , pentru k > kF & |k + q| < kF , 0, ˆın rest ;
se observ˘ a c˘ a singura situat¸ie interesant˘ a corespunde primului caz, adic˘a: k < kF & |k + q| > kF . iii. Dac˘ a se consider˘ a c˘ a volumul sistemului V este finit, atunci vectorul de und˘a are valori discrete (impuse de condit¸iile la limit˘a pe frontierele domeniului spat¸ial al sistemului), astfel ˆıncˆ at constanta dielectric˘a α(ω) are poli discret¸i. Conform observat¸iilor precedente constanta dielectric˘a are expresia: 2e v(q) X 2e v (q) X 1 1 , (11.34) α(ω) = = 0 ~V ω − ω k,q ~V ~2 2 k k ω− q +2k· q ( kkF )
|k+q|>kF )
de unde rezult˘a urm˘atoarele consecint¸e:
• graficul constantei dielectrice α(ω) are asimptote verticale pentru valorile pulsat¸iei ω cores ~2 2 q +2k·q ; punz˘ atoare polilor: ω = ω 0k,q = 2m • ˆıntre dou˘a asimptote verticale exist˘a o solut¸ie a ecuat¸iei (11.32), notat˘a prin ωeg (q); 4π e2 > 0, astfel ˆıncˆ at ˆıntre dou˘a asimptote q2 verticale funct¸ia α(ω) este momoton descresc˘atoare;
• interact¸ia coulombian˘ a este repulsiv˘a ve(q) =
• valoarea maxim˘ a a pulsat¸iei proprii se obt¸ine ˆın situat¸ia cˆ and vectorul de und˘a k este egal ˆın m˘arime cu vectorul Fermi ¸si este paralel cu vectorul transfer de impuls q : ~2 2 q + 2 kF q ; (11.35a) 2m 0 pentru valori mai mari ale pulsat¸iei (ω > ωmax ) constanta dielectic˘a nu mai are poli; 0 ωmax =
0 • pentru valori ω > ωmax , constanta dielectric˘a este monoton descresc˘atoare, iar ecuat¸ia (11.32) are o solut¸ie suplimentar˘ a ωp (q);
• expresia asimptotic˘a a constantei dielectrice la valori mari ale pulsat¸iei este 2e v(q) 1 X′′ v (q) n e 1 α(ω) ≈0 1= ∼ . ω ~ω ω ω≫ωmax ~ V
(11.35b)
k
Graficul constantei dielectrice ˆın raport cu frecvent¸a, α(ω), pe care sunt evident¸iate solut¸iile ecuat¸iei de dispersie (11.32), este ilustrat ˆın figura 11.2. Din graficul α(ω) rezult˘a c˘ a ecuat¸ia de dispersie (11.32) are dou˘a tipuri de solut¸ii: a) solut¸ii de tip particul˘ a-gol ωeg (q), care au valori ˆın intervalele dintre dou˘a asimptote verticale; b) solut¸ia plasmonic˘ a ωp (q) (se va evident¸ia c˘ a aceasta corespunde la o excitat¸ie colectiv˘a a sistemului de electroni), a c˘ arei valoare este superioar˘a pulsat¸iei proprii maxime (ωp > ωmax ).
280
CAPITOLUL 11. METODA ECUAT ¸ IEI DE MIS¸CARE α(ω)
1
ω 0k,q
ωeg (q)
ωmax
ωp (q)
ω
Figura 11.2: Solut¸ia grafic˘ a pentru ecuat¸ia de dispersie. Discut¸ia solut¸iilor ecuat¸iei de dispersie la limita termodinamic˘ a (V → ∞) a) Solut¸iile electron-gol rezult˘a din observat¸ia c˘ a la limita termodinamic˘ a vectorul de und˘a are un spectru cuasi-continuu, astfel ˆıncˆ at asimptotele verticale au un spectru dens ˆın intervalul 0 < ω < ωmax ; atunci solut¸iile tip electron-gol au valori ˆın vecin˘atatea infinitezimal˘a a pulsat¸iilor proprii: ~ 2 ωeg (q) ≈ ω 0k,q = q +2k· q . (11.36) 2m O stare excitat˘ a a sistemului corespunz˘ atoare acestui tip de solut¸ii este o pereche constituit˘ a dintr-un electron cu vectorul de und˘a k + q ¸si proiect¸ie a spinului σ (unde |k + q| > kF ) ¸si un gol cu vectorul de und˘a k ¸si proiect¸ie a spinului σ (unde |k| < kF ); acest tip de excitat¸ie este identic cu excitt¸iile particul˘ a-gol ale sistemului de fermioni liberi (f˘ ar˘a interact¸ii mutuale coulombiene), care a fost discutat anterior ˆın Sect¸iunea 11.2. Pentru o valoare fixat˘ a a transferului de impuls (q), pulsat¸ia excitat¸iei particul˘ a-gol ωeg (q) are un spectru continuu ωeg (q) ≤ ωmax (q) , ( 0, q < 2 kF , ωeg (q) ≥ ωmin (q) , q > 2 kF .
(11.37a) (11.37b)
~ 2 ~ 2 q + 2 kF q ¸si ωmin (q) = q − 2 kF q ; regiunea din planul q − ω unde ωmax (q) = 2m 2m corespunz˘ atoare excitat¸iilor tip particul˘ a-gol este ilustrat˘a ˆın figura 11.3 prin regiunea ha¸surat˘ a, notat˘a ωeg . b) Solut¸ia plasmonic˘a corespunde din punct de vedere fizic la o excitat¸ie colectiv˘a a sistemului de electroni aflat¸i ˆın interact¸ie mutual˘a coulombian˘ a (oscilat¸iile plasmonice ale gazului electronic cu densit˘ a¸ti mari au fost discutate ˆın Subsect¸iunea 9.3.2); din punct de vedere matematic, aceast˘a solut¸ie satisface condit¸ia: ωp (q) > ωmax (q) .
11.3. SISTEMUL ELECTRONIC CU INTERACT ¸ II COULOMBIENE ω
~ 2 q + 2 kF q 2m
ωp
281
~ 2 q − 2 kF q 2m
ωeg
ωp (0)
q
2 kF Figura 11.3: Spectrul excitat¸iilor elementare.
ˆIn figura 11.3 este ilustrat graficul pulsat¸iei plasmonice ωp (q) (numit˘a legea de dispersie plasmonic˘ a ), care este o funct¸ie monoton creac˘ atoare, avˆand valoare minim˘a ωp (0) ¸si valoare maxim˘ a se obt¸ine la intersect¸ia cu ramura ωmax a domeniului de excitat¸ii electron-gol. ˆIn limita termodinamic˘ a ¸si pentru valori mici ale transferului de impuls (q → 0) constanta dielectric˘a are urm˘atoare expresie asimptotic˘a: α(ω) ≈
q→0
o 4π e2 n n 3 ~kF 2 q 2 4 + O(q ) . 1 + m ω2 5 m ω2
(11.38)
Demonstrat¸ie: Conform relat¸iei (11.33) constanta dielectric˘ a are expresia 2 ve(q) X θ(kF − k) − θ(kF − |k + q|) 0 ~V ω − ωk,q k X X θ(kF − |k + q|) θ(kF − k) 2 ve(q) − ; = V ω − (ε0k+q − ε0k ) ω − (ε0k+q − ε0k )
α(ω) =
k
k
ˆın al doilea termen al expresiei precedente se efectueaz˘ a schimbarea de variabile k → k′ = −(k + q) astfel ˆıncˆ at rezult˘ a X θ(kF − |k + q|) X θ(kF − k′ ) = , 0 0 ω − (ε k+q − ε k ) ω − (ε0k′ − ε0k′ +q ) ′ k k
α
(q & 0)
1
ωmax
ωp
ω
Figura 11.4: Graficul constantei dielectrice ˆın regiunea plasmonic˘a (ω > ωmax ).
282
CAPITOLUL 11. METODA ECUAT ¸ IEI DE MIS¸CARE iar constanta dielectric˘ a are urm˘ atoarea expresie echivalent˘ a: X 1 1 2 ve(q) − θ(kF − k) α(ω) = V ω − (ε0k+q − ε0k ) ω + (ε0k+q − ε0k ) k o 1 1 2 ve(q) X n − . = ~V ω − ω 0k,q ω + ω 0k,q k (k
Deoarece se consider˘ a valori mici ale transferului de impuls (q → 0), atunci pulsat¸ia se poate considera mare (ω ≫ ω 0k,q ) ¸si funct¸ia sumand se poate exprima ca dezvoltare Taylor ˆın ordin minim fat¸˘ a de raportul ω/ω 0k,q : 0 2 o 2 ω 0k,q 2 ω 0k,q ω k,q 2 ω 0k,q n 1 1 1 + ... , − = 2 = 1+ 0 2 ≈ 0 0 0 2 2 2 ω − ω k,q ω + ω k,q ω − (ω k,q ) ω ω ω ω k,q 1− ω iar constanta dielectric˘ a are urm˘ atoarea expresie aproximativ˘ a: 2e v (q) 2 X 0 2 X 0 3 α(ω) ≈ ω + ω + . . . . k,q k,q ~V ω2 k ω4 k (k
(k
Sumele dup˘ a vectorul de und˘ a, care la limita termodinamic˘ a devin integrale, se calculeaz˘ a astfel: a) 2
X
1=N ,
k (k
= 2V
LT
Z
d3 k 2V θ(kF − k) = 4π 3 3 (2π) (2π) R3
Z
kF
dk k2 =
0
V kF3 ; π2 3
b) X
2
ω 0k,q = 2
X
k (k
k (k
X X ~ q2 ~ 2~ ~ 2 1+ k·q= q ·2 ·2 N; q2 + 2 k · q = 2m 2m m 2m k (k
| {z } =N
c) 2
X
(ω 0k,q )3 = 2
k (k
|
{z
}
=0
X ~ 3 2 3 q + 2k · q 2m
k (k
k (k
=
~ 3 X X X (k · q) (k · q)2 + 6 q 4 · 2 (k · q)3 +12 q 2 · 2 8·2 2m k (k
+ q6 · 2
{z
|
X
=0
k (k
=
k (k
}
1
k (k
|
{z
=0
}
~ 3 X (k · q)2 + O(q 6 ) ; 12 q 2 · 2 2m k (k
suma r˘ amas˘ a se evalueaz˘ a prin trecere la limita termodinamic˘ a ¸si se efectueaz˘ a integrala ˆın coordonate sferice: Z kF Z π Z 2π X 2V 2 (k · q)2 = 2 dk k dθ sin θ dϕ q 2 k2 cos2 θ (2π)3 0 0 0 k (k
= =
2V 2π q 2 (2π)3 2V 2π q (2π)3
Z
kF
0 5 k 2 F
dk k4
2 =q 5 3
Z
1
−1 2 k 2 F
5
du u2 k2 2V k3 4π F = q 2 F N . (2π)3 3 5 {z } | =N
11.3. SISTEMUL ELECTRONIC CU INTERACT ¸ II COULOMBIENE
283
unde integrala azimutal˘ a este banal˘ a (produce factorul 2π), iar ˆın integrala polar˘ a s-a f˘ acut schimbarea de variabil˘ a u = cos θ. Prin substituirea expresiilor obt¸inute anterior pentru integrale, rezult˘ a expresia asimptotic˘ a a constantei dielectrice: 2 2 ve(q) 1 ~ q 2 1 ~ 3 2 2 kF 6 12 q q N + N + O(q ) α(ω) ≈ q→0 ~ V ω 2 2m ω 4 2m 5 2 ve(q) 1 ~ q 2 12 ~2 q 2 kF2 = N 1+ + O(q 6 ) ~ V ω 2 2m 4m2 5 ω 2 o 4π e2 n n 3 ~kF 2 q 2 = + O(q 4 ) , 1+ 2 2 mω 5 m ω
unde pentru ultima egalitate s-a explicitat expresia transformatei Fourier a potent¸ialului coulomN 4π e2 ¸si s-a introdus densitatea de particule n = . bian ve(q) = q2 V Se observ˘ a c˘ a s-a obt¸inut rezultatul (11.38).
Pe baza expresiei (11.38) a constantei dielectrice, ecuat¸ia de dispersie (11.32) la limita transferului de impuls mic (q → 0) devine: o 4π e2 n n 3 ~kF 2 q 2 4 1 + + O(q ) ≈1 m ω2 5 m ω2
o 3 ~kF 2 q 2 4π e2 n n 4 1+ + O(q ) . m 5 m ω2 (11.39) Deoarece termenul al doilea din interiorul parantezelor acolade este mic, se utilizeaz˘a metoda iterativ˘ a pentru obt¸inerea solut¸iei. =⇒
ω2 ≈
• Aproximat¸ia de ordinul 0 neglijeaz˘ a acest termen, adic˘a se consider˘ a r 4π e2 n 4π e2 n =⇒ ωP (q) ≈ = ΩP , ω2 ≈ 0 0 m m unde ΩP este frecvent¸a (pulsat¸ia) plasmonic˘ a clasic˘a, conform relat¸iei (9.109). • Aproximat¸ia de ordinul 1 consider˘ a aproximat¸ia de ordinul 0 ˆın termenul mic, astfel ˆıncˆ at rezult˘a: n o o 3 ~kF 2 q 2 3 ~kF 2 q 2 4π e2 n n 4 2 4 1 + 1+ + O(q ) = Ω + O(q ) . ω2 ≈ P 1 m 5 m Ω2P 5 m Ω2P Pentru a exprima ˆın mod condensat termenul corectiv ˆın ordinul 1 (care cont¸ine dependent¸a de vectorul de und˘a a pulsat¸iei) se utilizeaz˘a vectorul de und˘a Thomas-Fermi, definit prin relat¸ia (7.22): s s qTF =
6πe2 n = ε0F
12πe2 mn ~2 kF2
astfel ˆıncˆ at termenul corectiv de ordinul 1 este: 3 ~kF 2 q 2 9 q2 . = 5 m Ω2P 5 qTF Considerˆ and suficient˘ a aproximat¸ia de ordinul 1, relat¸ia (11.39) devine: o n 9 q2 + O(q 4 ) , ωP2 (q) ≈ ΩP 1 + 5 qTF de unde, prin extragere aproximativ˘ a ˆın ordinul 1 a r˘ad˘acinii p˘atrate, rezult˘a n o 9 q2 ωP (q) ≈ ΩP 1 + + O(q 4 ) , 10 qTF care este identic˘ a cu relat¸ia (9.66b).
(11.40)
284
CAPITOLUL 11. METODA ECUAT ¸ IEI DE MIS¸CARE
11.4
Sistemul bosonic supra-fluid
A. Modelul Se consider˘ a un sistem de particule bosonice nerelativiste care au urm˘atoarele caracteristici: – particulele au masa m ¸si spin nul s = 0, – interact¸iile dintre particule sunt binare ¸si au raz˘ a scurt˘ a de act¸iune, – sistemul este foarte diluat (adic˘ a densitatea de particule este mic˘a), – sistemul se afl˘ a la temperatur˘a nul˘a (adic˘a ˆın starea fundamental˘ a), cˆ and are loc fenomenul de condensare bosonic˘a, ceea ce implic˘ a ocuparea macroscopic˘a a st˘arii uni-particul˘a fundamentale k = 0 (care are energia nul˘a ε00 = 0). ˆIn aceste condit¸ii hamiltonianul model al sistemului are expresia ˆ = H
X k
1 X ˆ 0 + Vˆ , ve(q) ˆb†k+q ˆb†k′ −q ˆb k′ ˆb k ≡ H ε0k ˆb†k ˆb k + 2V ′
(11.41)
k,k ,q
~2 k 2 este energia (cinetic˘ a) a unei particule libere ¸si ve(q) = 2m transformata Fourier a potent¸ialului de interact¸ie bi-particul˘a. unde ε0k =
Z
d3 r e−iq·r v(r) este V
B. Aproximat¸ia Bogoliubov este bazat˘a pe observat¸ia c˘ a ˆın starea fundamental˘ a majoritatea particulelor sistemului se afl˘ a ˆın starea uni-particul˘a k = 0 (numit˘a starea uni-particul˘a condensat˘ a), iar ˆın st˘ arile uni-particul˘a excitate (numite st˘ari uni-particul˘a necondensate) se afl˘a un num˘ar mic de particule; ca urmare, se consider˘ a aproximat¸iile Bogoliubov : 1. Operatorii elementari pe starea uni-particul˘a condensat˘ a sunt operatori banali: p ˆb† ≈ ˆb0 ≈ N0 ˆ1 , 0 unde N0 este num˘ arul de particule aflate ˆın starea uni-particul˘a condensat˘ a.
2. Se neglijeaz˘ a interact¸iile ˆıntre particulele necondensate, ceea ce implic˘ a neglijarea termenilor din hamiltonianul de interact¸ie care cont¸in 3 sau 4 operatori elementari necondensat¸i. Atunci, ˆın expresiile operatorilor observabile se separ˘ a termenii cu operatori elementari condensat¸i ¸si se aplic˘ a aproximat¸iile Bogoliubov. B1. Operatorul num˘ ar de particule ˆ= N
X k
prin separarea p˘ art¸ii condensate, are expresia
ˆb† ˆb k = ˆb† ˆb0 + 0 k
X′
k (k6=0)
ˆb† ˆb k ≡ N ˆ0 + N ˆ′ . k
Observat¸ii: • partea condensat˘ a a operatorului num˘ar de particule este un operator banal ˆ0 ≡ ˆb† ˆb0 ≈ N0 ˆ1 ; N 0
(11.42a)
• deoarece se consider˘ a c˘ a sistemul are un num˘ar fixat de particule, rezult˘a c˘ a st˘arile sistemului sunt cont¸inute ˆın spat¸iul Hilbert cu N particule, care este un sub-spat¸iu al spat¸iului Fock; ˆ ≈ N ˆ1 ; ca urmare, operatorul num˘ ar de particule se poate trata ca un operator banal: N • num˘ arul de particule condensate N0 nu este cunoscut a priori, astfel ˆıncˆ at operatorul num˘ar de particule condensate se obt¸ine din relat¸ia de conservare: ˆ −N ˆ ′ = N ˆ1 − ˆ0 ≡ ˆb† ˆb0 = N N 0
X′
k (k6=0)
ˆb† ˆb k k
(11.42b)
11.4. SISTEMUL BOSONIC SUPRA-FLUID
285
B2. Hamiltonianul liber (hamiltonianul cinetic) se descompune ˆın parte condensat˘ a (care este nul˘a, deoarece energia uni-particul˘a corespunz˘ atoare este ε00 = 0) ¸si parte necondensat˘a: X′ X ˆ0 = ε0k ˆb†k ˆb k ; H ε0k ˆb†k ˆb k = ε00 ˆb†0 ˆb0 + | {z } k
=0
k (k6=0)
deoarece energia uni-particul˘ a este dependent˘ a numai de modulul vectorului de und˘a (ε0k = ε0|k| ), se poate simetriza expresia precedent˘ a a hamiltonianului liber: X′ ˆ0 = 1 H (11.43) ε0k ˆb†k ˆb k + ˆb†−k ˆb−k . 2 k (k6=0)
B3. Hamiltonianul de interact¸ie se separ˘ a termenii care cont¸in numai operatori condensat¸i sau 2 operatori condensat¸i de restul termenilor, care cont¸in 3, sau 4 operatori necondensat¸i (adic˘a, ˆın mod echivalent, ace¸sti termeni cont¸in 1 operator condensat, sau nu cont¸in operatori condensat¸i); este necesar s˘a se observe c˘ a la separarea operatorilor condensat¸i ˆın hamiltonianul de interact¸ie nu se obt¸in termeni cu 3 operatori condensat¸i. Pe baza observat¸iei anterioare se descompune hamiltonianul de interact¸ie ˆın modul urm˘ator: 1 X Vˆ = ve(q) ˆb†k+q ˆb†k′ −q ˆb k′ ˆb k 2V k,k′ ,q 1 X′ n 1 ˆ† ˆ† ˆ ˆ b0 b0 b0 b0 + ve(k) ˆb†0 ˆb†0 ˆb k ˆb−k + ve(k) ˆb†0 ˆb†k ˆb0 ˆb k + ve(0) ˆb†0 ˆb†k ˆb k ˆb0 = 2V 2V k (k6=0)
o + ve(0) ˆb†k ˆb†0 ˆb0 ˆb k + ve(k) ˆb†k ˆb†0 ˆb k ˆb0 + ve(k) ˆb†k ˆb†−k ˆb0 ˆb0 + Vˆ ′ ,
unde Vˆ ′ este partea din hamiltonianul de interact¸ie care cont¸ine 3 sau 4 operwtori elementari necondensat¸i (s-a omis explicitarea acestor termeni, deoarece prin aproximat¸ia Bogoliubov aceast˘a parte va fi neglijat˘ a). ˆIn continuare se aplic˘ a prima aproximat¸ie Bogoliubov operatorilor √ † at, dup˘a regruparea termenilor, se obt¸ine: elementari condensat¸i (ˆb0 = ˆb0 = N0 ˆ1), astfel ˆıncˆ o 1 1 X′ n Vˆ = ve(k) 2 ˆb†k ˆb k + ˆb k ˆb−k + ˆb†k ˆb†−k + 2 ve(0) ˆb†k ˆb k + Vˆ ′ ; ve(0) N02 ˆ 1 + N0 ˆ 1 2V 2V k (k6=0)
ˆ0 = N0 ˆ1 prin ˆın expresia precedent˘ a se ˆınlocuie¸ste operatorul num˘ar de particule condensate N relat¸ia (11.42b) ¸si se separ˘ a termenii rezultat¸i care cont¸in 4 operatori elementari necondensat¸i: 2 X ′ † ve(0) ˆb ˆb k Vˆ = Nˆ 1− k 2V k (k6=0)
o X′ n X′ † ˆb ˆb k 1 ve(k) 2 ˆb†k ˆb k + ˆb k ˆb−k + ˆb†k ˆb†−k + 2 e v (0) ˆb†k ˆb k + Vˆ ′ + Nˆ 1− k 2V k (k6=0)
k (k6=0)
=
2 o X′ X′ † ve(0) n 2 ˆ ˆb† ˆb k ˆb ˆb k + N 1−2N k k 2V k (k6=0)
+
k (k6=0)
o N X′ n ve(k) 2 ˆb†k ˆb k + ˆb k ˆb−k + ˆb†k ˆb†−k + 2 ve(0) ˆb†k ˆb k 2V k (k6=0)
− =
o 1 X′ ˆ† ˆ X′ n ve(k) 2 ˆb†k ˆb k + ˆb k ˆb−k + ˆb†k ˆb†−k + 2 e v(0) ˆb†k ˆb k + Vˆ ′ bk bk 2V k (k6=0)
k (k6=0)
N2 N X′ ve(0) ˆ 1+ ve(k) 2 ˆb†k ˆb k + ˆb k ˆb−k + ˆb†k ˆb†−k + Vˆ ′′ + Vˆ ′ , 2V 2V k (k6=0)
286
CAPITOLUL 11. METODA ECUAT ¸ IEI DE MIS¸CARE
unde ultima egalitate s-a obt¸inut luˆand ˆın considerare c˘ a termenii proport¸ionali cu ve(0) dispar, deoarece ace¸stia se anihileaz˘a reciproc, ¸si s-a notat prin Vˆ ′′ suma termenilor produ¸si prin aplicarea relat¸iei (11.42b) care cont¸in 4 operatori elementari necondensat¸i: ve(0) Vˆ ′′ ≡ 2V −
X
′
ˆb† ˆb k k
k (k6=0)
2
o 1 X′ ˆ† ˆ X′ n ve(k) 2 ˆb†k ˆb k + ˆb k ˆb−k + ˆb†k ˆb†−k + 2 ve(0) ˆb†k ˆb k . bk bk 2V k (k6=0)
k (k6=0)
Luˆand ˆın considerare c˘ a transformata Fourier a potent¸ialului de interact¸ie ve(k) depinde numai de modulul vectorului de und˘a, se poate simetriza termenul al doilea din expresia anterioar˘ aa hamiltonianului de interact¸ie, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine: n o N2 N X′ Vˆ = ve(0) ˆ 1+ ve(k) ˆb†k ˆb k + ˆb†−k ˆb−k + ˆb k ˆb−k + ˆb†k ˆb†−k + Vˆ ′ + Vˆ ′′ . (11.44) 2V 2V k (k6=0)
Conform aproximat¸iei a doua Bogoliubov termenii din hamiltonian care cont¸in 3 sau 4 operatori elementari necondensat¸i sunt neglijat¸i, deoarece ace¸sti termeni reprezint˘ a interact¸ii ˆıntre particulele necondensate ale sistemului; ca urmare, hamiltonianul Bogoliubov al sistemului este definit astfel: ˆ B ≡ (H ˆ 0 + Vˆ ) − (Vˆ ′ + Vˆ ′′ ) . H Atunci, pe baza rezultatelor precedente, reprezentate prin formulele (11.43) ¸si (11.44), se obt¸ine expresia hamiltonianului Bogoliubov al sistemului: o 1 X′ n 0 ˆB = N n e v(k) ˆb k ˆb−k + ˆb†k ˆb†−k , (11.45) εk + n e v (k) ˆb†k ˆb k + ˆb†−k ˆb−k + n e v (0) ˆ 1+ H 2 2 k (k6=0)
unde n ≡ N/V este densitatea de particule ale sistemului. C. Comutatorii ecuat¸iilor de mi¸scare nianul Bogoliubov ¸si operatorii elementari:
= ε0k + n e v (k) ˆb†k + n e v (k) ˆb−k , ˆ B , ˆb−k v (k) ˆb†k , = − ε0k + n e v(k) ˆb−k − n e H −
Demonstrat¸ie:
ˆ B , ˆb† H k
se obt¸in efectuˆand comutatorii dintre hamilto-
−
(11.46a) (11.46b)
Comutatorul hamiltonianului (acesta este sum˘ a de produse cu 2 operatori elementari, la care se adaug˘ a un operator banal) se descompune ˆın comutatori simpli, conform relat¸iei (2.108), iar comutatorii simpli au valorile date de relat¸iile de comutare fundamentale bosonice (2.69); se observ˘ a c˘ a numai partea constituit˘ a din produse de 2 operatori elementari a hamiltonianului are contribut¸ie la comutatori, deoarece termenul operator banal comut˘ a cu orice operator. Conform observat¸iei precedente comutatorul din relat¸ia (11.46a) devine:
ˆ B , ˆb† H k
−
=
1 X′ 0 εk′ + n ve(k′ ) ˆb†k′ ˆb k′ + ˆb†−k′ ˆb−k′ , ˆb†k − 2 ′ k (k′ 6=0)
+
1 X′ n ve(k′ ) ˆb k′ ˆb−k′ + ˆb†k′ ˆb†−k′ , ˆb†k − . 2 ′ k (k′ 6=0)
Primul comutator din expresia precedent˘ a se calculeaz˘ a prin metoda expus˘ a anterior, astfel ˆıncˆ at
11.4. SISTEMUL BOSONIC SUPRA-FLUID se obt¸ine:
287
ˆb† ′ ˆb k′ + ˆb† ′ ˆb−k′ , ˆb† k − −k k = ˆb†k′ ˆb k′ , ˆb†k − + ˆb†−k′ ˆb−k′ , ˆb†k − = ˆb†k′ , ˆb†k − ˆb k′ + ˆb†k′ ˆb k′ , ˆb†k − + ˆb†−k′ , ˆb†k − ˆb−k′ + ˆb†−k′ ˆb−k′ , ˆb†k − {z } {z } | | =0
=0
1 · ˆb†−k′ ; 1 + δ−k′ ,k ˆ = ˆb†k′ · δk′ ,k ˆ
al doilea comutator se calculeaz˘ a prin aceea¸si metod˘ a: † † † ˆb k′ ˆb−k′ + ˆb ′ ˆb ′ , ˆb k − k −k = ˆb k′ ˆb−k′ , ˆb†k − + ˆb†k′ ˆb†−k′ , ˆb†k − = ˆb k′ , ˆb†k −ˆb−k′ + ˆb k′ ˆb−k′ , ˆb†k − + ˆb†k′ , ˆb†k − ˆb†−k′ + ˆb†k′ ˆb†−k′ , ˆb†k − | {z } {z } | =0
=0
1 · ˆb−k′ ; 1 + δ k′ ,k ˆ = ˆb k′ · δk′ ,−k ˆ
atunci, prin substituirea rezultatelor precedente pentru cei 2 comutatori ¸si apoi efectuˆ and sum˘ arile banale cu indici Kronecker, se obt¸ine expresia (11.46a). Comutatorul din relat¸ia (11.46b) se calculeaz˘ a ˆın mod similar cu comutatorul din prima relat¸ie: X ′ 1 ˆ B , ˆb−k ε0k′ + n ve(k′ ) ˆb†k′ ˆb k′ + ˆb†−k′ ˆb−k′ , ˆb−k − = H − 2 ′ k (k′ 6=0)
+
1 X′ n ve(k′ ) ˆb k′ ˆb−k′ + ˆb†k′ ˆb†−k′ , ˆb−k − ; 2 ′ k (k′ 6=0)
ˆın acest caz primul comutator produce rezultatul † ˆb ′ ˆb k′ + ˆb† ′ ˆb−k′ , ˆb−k −k k − † † ˆ ˆ ˆ ˆ = b k′ b k′ , b−k − + b−k′ ˆb−k′ , ˆb−k − = ˆb†k′ , ˆb−k −ˆb k′ + ˆb†k′ ˆb k′ , ˆb−,k − + ˆb†−k′ , ˆb−k −ˆb−k′ + ˆb†−k′ ˆb−k′ , ˆb−k − | | {z } {z } =0
=0
1 · ˆb−k′ ; 1 · ˆb k′ − δk′ ,k ˆ = −δk′ ,−k ˆ
iar al doilea comutator are expresia ˆb k′ ˆb−k′ + ˆb† ′ ˆb† ′ , ˆb−k k −k − = ˆb k′ ˆb−k′ , ˆb−k − + ˆb†k′ ˆb†−k′ , ˆb−k − = ˆb k′ , ˆb−k − ˆb−k′ + ˆb k′ ˆb−k′ , ˆb−k − + ˆb†k′ , ˆb−k −ˆb†−k′ + ˆb†k′ ˆb†−k′ , ˆb−k − | {z } {z } | =0
=0
1 · ˆb†k′ ; 1 · ˆb†−k′ − δ k′ ,k ˆ = −δk′ ,−k ˆ
ca urmare, prin substituirea rezultatelor precedente pentru cei 2 comutatori ¸si apoi efectuˆ and sum˘ arile banale cu indici Kronecker, se obt¸ine expresia (11.46b).
D. St˘ arile excitate ale sistemului se obt¸in considerˆ and operatorul de creare a unei st˘ari excitate de forma urm˘atoare: ˆ † = uk ˆb† + vk ˆb−k , (11.47) Ω k k unde coeficient¸ii uk ¸si vk depind numai de modulul vectorului de und˘a |k|. Pe baza relat¸iilor de comutare (11.46) se obt¸ine comutatorul acestui operator de creare a excitat¸iilor cu hamiltonianul Bogoliubov: n o o n † 0 ˆb + n ve(k) ˆb−k + vk − ε0 + n ve(k) ˆb−k − n ve(k) ˆb† ˆB , Ω ˆ† H ε + n v e (k) = u k k k k k − k n o n o † = uk ε0k + n e v(k) − vk n e v (k) ˆb k + uk n ve(k) − vk ε0k + n ve(k) ˆb−k .
(11.48)
288
CAPITOLUL 11. METODA ECUAT ¸ IEI DE MIS¸CARE
Conform metodei ecuat¸iei de mi¸scare, comutatorul operatorului de creare a unei excitat¸ii cu hamiltonianul sistemului trebuie s˘a aib˘ a forma (11.1), ceea ce corespunde ˆın cazul prezent la condit¸ia:
ˆB , Ω ˆ† H k
−
ˆ† = ~ ωk Ω k
= ~ ωk uk ˆb†k + vk ˆb−k .
(11.49)
ˆ † s˘a fie un operator de Prin utilizarea expresiei (11.48) pentru comutator se obt¸ine condit¸ia ca Ω k creare de st˘ ari excitate ale sistemului: o n n o v (k) − vk n ve(k) ˆb†k + uk n e uk ε0k + n e v (k) ˆb−k v (k) − vk ε0k + n e = ~ ωk uk ˆb†k + ~ ωk vk ˆb−k .
(11.50)
Condit¸ia precedent˘ a este considerat˘ a o identitate, iar operatorii elementari ˆb†k ¸si ˆb−k sunt independent¸i; ca urmare, coeficient¸ii fiec˘ arui operator trebuie s˘a fie egali, ceea ce conduce la sistemul de ecuat¸ii liniare pentru coeficient¸ii uk ¸si vk : v(k) = ~ ωk uk , uk ε0k + n ve(k) − vk n e 0 uk n e v (k) − vk εk + n ve(k) = ~ ωk vk ;
(11.51a) (11.51b)
sistemul de ecuat¸ii (11.51) este un sistem omogen, deoarece este echivalent cu sistemul de ecuat¸ii ε0k + n ve(k) − ~ ωk uk − n ve(k) vk = 0 , ne v (k) uk − ε0k + n e v(k) + ~ ωk vk = 0 ;
(11.52a) (11.52b)
ca urmare, condit¸ia de compatibilitate a ecuat¸iilor este ca determinantul sistemului s˘a fie nul: 0 ε + n ve(k) − ~ ωk −n e v(k) k ∆≡ v(k) − ~ ωk n ve(k) − ε0k + n e n 2 2 o 2 + ne v (k) = − ε0k + n e v(k) − ~ ωk =0,
(11.53)
care este o ecuat¸ie pentru energiile st˘ arilor excitate ale sistemului Ek = ~ ωk . Ecuat¸ia (11.53) are solut¸ia q 2 2 0 2 2 Ek2 = ε0k + n ve(k) − n e v (k) =⇒ Ek = εk + n e v (k) − n e v (k) . (11.54)
Se observ˘ a c˘ a expresia energiei st˘ arii excitate a sistemului bosonic ˆın aproximat¸ia Bogoliubov, obt¸inut˘a prin metoda ecuat¸iei de mi¸scare este identic˘ a cu cea obt¸inut˘a prin metoda transform˘arii canonice, care este reprezentat˘ a prin formula (10.18a). De asemenea, din ecuat¸ia (11.52a) se ne v (k) uk = 0 ; ultima relat¸ie este echivalent˘ a cu relat¸iile obt¸ine raportul coeficient¸ilor vk εk + n e v (k) − Ek † † ˆ =α (10.16), dac˘ a se observ˘ a c˘ aΩ ˆk , conform relat¸iei (10.10b) ¸si condit¸iei de canonicitate (10.12). k
11.5
Sistemul fermionic supraconductor
A. Modelul Se consider˘ a un sistem de fermioni cu spin s = 1/2 care se afl˘a ˆın stare supraconductoare (practic sistemul fermionic este realizat de sistemul electronilor de conduct¸ie din metale, cuplat cu ret¸eaua cristalin˘ a prin interact¸ii fononice). Conform teoriei Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) exist˘a o interact¸ie atractiv˘ a ˆıntre perechi de electroni care au impulsurile ¸si spinii opu¸si, adic˘a st˘arile celor doi electroni ai perechii sunt (k, ↑) ¸si (−k, ↓), numite perechi Cooper.
11.5. SISTEMUL FERMIONIC SUPRACONDUCTOR
289
Hamiltonianul sistemului de electroni supraconductori, ˆın cadrul teoriei BCS este X X ˆ BCS = H ˆ k↑ + n ˆ −k↓ + εk n ve(k, k′ ) ˆb†k′ ˆb k ,
3
(11.55)
k,k′
k
unde n ˆ kσ = a ˆ†kσ a ˆ kσ este operatorul num˘ar de particule ˆın starea (kσ) (iar σ =↑, ↓); ˆb k ¸si ˆb† sunt operatorii de anihilare, respectiv de creare a unei perechi Cooper: k ˆb k ≡ a ˆ−k↓ a ˆ k↑
ˆb† = a ˆ†k↑ a ˆ†−k↓ . k
=⇒
B. Relat¸iile de comutare ale operatorilor elementari cu hamiltonianul BCS sunt urm˘atoarele: X ˆ BCS , a ˆ k↑ − (11.56a) ve(k′ , k) a ˆ†−k↓ ˆb k′ , H ˆ k↑ − = −εk a
ˆ BCS , H
a ˆ†k↑ −
ˆ BCS , a H ˆ−k↓
ˆ BCS , a H ˆ†−k↓
k′
=
εk a ˆ†k↑
+
X k′
−
= −εk a ˆ−k↓ −
−
= εk a ˆ†−k↓ +
ve(k, k′ ) ˆb†k′ a ˆ−k↓ ,
X k′
X k′
Demonstrat¸ie:
(11.56b)
v (k′ , k) a e ˆ†k↑ ˆb k′ ,
(11.56c)
ve(k, k′ ) ˆb†k′ a ˆ k↑ .
(11.56d)
Se utilizeaz˘ a metoda de descompunere a comutatorului unui produs de operatori fermionici ˆın anticomutatori fundamentali, conform relat¸iei (2.108), iar apoi se utilizeaz˘ a relat¸iile de anti-comutare fermioni ce fundamentale (2.75). Din relat¸iile (2.75) rezult˘ a c˘ a operatorii cu spin opus ¸si operatorii de acela¸si tip (ambii de creare, sau ambii de anihilare) au anti-comutatorul nul, ceea ce simplific˘ a deducerea relat¸iilor (11.56). 1) Prin utilizarea expresiei hamiltonianului BCS (11.55) primul comutator devine: X X ˆ BCS , a ˆ k↑ − ; ve(k′ , k′′ ) ˆb†k′′ ˆb k′ , a ˆ −k′ ↓ , a ˆ k↑ − + ˆ k′ ↑ , a ˆ k↑ − + n εk ′ n H ˆ k↑ − = k′ ,k′′
k′
comutatorii cont¸inut¸i ˆın expresia precedent˘ a dau urm˘ atoarele rezultate: † † ˆ k′ ↑ , a ˆ k↑ + − a ˆ†k′ ↑ a ˆ k′ ↑ a ˆ k′ ↑ , a ˆ k↑ − = a n ˆ k′ ↑ , a ˆ k↑ − = a ˆ k′ ↑ = − δk′ ,k a ˆ k′ ↑ ; ˆ k′ ↑ , a ˆ k↑ + a | {z } =0
n ˆ −k′ ↓ , a ˆ k↑
−
= a ˆ†−k′ ↓ a ˆ−k′ ↓ , a ˆ k↑
ˆb† ′′ ˆb k′ , a ˆ k↑ k
−
−
† ˆ−k′ ↓ , a ˆ k↑ + a ˆ−k′ ↓ = 0 ; ˆ−k′ ↓ , a ˆ k↑ + − a =a ˆ†−k′ ↓ a {z } | {z } |
=0
=0
ˆ k↑ − ˆb k′ ˆ k↑ − + ˆb†k′′ , a = ˆb†k′′ ˆb k′ , a † ˆ k′′ ↑ a ˆ†−k′′ ↓ , a ˆ k↑ − ˆb k′ = ˆb†k′′ a ˆ−k′ ↓ a ˆ k′ ↑ , a ˆ k↑ − + a o n ˆ−k′ ↓ , a ˆ k↑ + a ˆ k′ ↑ = ˆb†k′′ a ˆ k′ ↑ , a ˆ k↑ + − a ˆ−k′ ↓ a {z } | {z } | =0
=0
o n † † † ˆ−k′′ ↓ ˆb k′ ˆ k′′ ↑ , a ˆ k↑ + a + a ˆ†k′′ ↑ a ˆ−k′′ ↓ , a ˆ k↑ + − a {z } | =0
= − δk′′ ,k a ˆ†−k′′ ↓ ˆb k′ .
Pe baza rezultatelor precedente primul comutator devine: X X ˆ BCS , a ve(k′ , k′′ ) − δk′′ ,k a ˆ−k′′ ↓ ˆb k′ ˆ k′ ↑ + 0 + εk′ − δk′ ,k a H ˆ k↑ − = k′
= − εk a ˆ k↑ −
3 Prezentarea
X k′
k′ ,k′′
ve(k′ , k) a ˆ†−k↓ ˆb k′ ,
detaliat˘ a a modelului BCS se va face ulterior.
290
CAPITOLUL 11. METODA ECUAT ¸ IEI DE MIS¸CARE care este relat¸ia (11.56a). 2) ˆIn mod similar cazului precedent al doilea comutator devine: X X ˆ BCS , a ˆ†k↑ − ; ve(k′ , k′′ ) ˆb†k′′ ˆb k′ , a εk ′ n ˆ k′ ↑ , a ˆ†k↑ − + n ˆ −k′ ↓ , a ˆ†k↑ − + H ˆ†k↑ − = k′ ,k′′
k′
comutatorii cont¸inut¸i ˆın expresia precedent˘ a dau urm˘ atoarele rezultate:
n ˆ k′ ↑ , a ˆ†k↑
−
n ˆ −k′ ↓ , a ˆ†k↑
† † ˆ k′ ↑ , a ˆ†k↑ + a ˆ k′ ↑ , a ˆ†k↑ + − a ˆ†k′ ↑ a = a ˆ k′ ↑ a ˆ k′ ↑ , a ˆ†k↑ − = a ˆ k′ ↑ = δk′ ,k a ˆ†k′ ↑ ; | {z } =0
−
† † ˆ−k′ ↓ , a ˆ†k↑ + a ˆ−k′ ↓ = 0 ; ˆ−k′ ↓ , a ˆ†k↑ + − a ˆ†−k′ ↓ a = a ˆ−k′ ↓ a ˆ−k′ ↓ , a ˆ†k↑ − = a {z } | {z } | =0
ˆb† ′′ ˆb k′ , a ˆ†k↑ k
=0
ˆ†k↑ − + ˆb†k′′ , a ˆ†k↑ − ˆb k′ = ˆb†k′′ ˆb k′ , a † ˆ k′′ ↑ a ˆ†−k′′ ↓ , a ˆ†k↑ − ˆb k′ = ˆb†k′′ a ˆ−k′ ↓ a ˆ k′ ↑ , a ˆ†k↑ − + a o n = ˆb†k′′ a ˆ−k′ ↓ , a ˆ†k↑ + a ˆ k′ ↑ , a ˆ†k↑ + − a ˆ k′ ↑ ˆ−k′ ↓ a | {z }
−
=0
o n † † † ˆ k′′ ↑ , a ˆ†k↑ + a ˆ−k′′ ↓ ˆb k′ ˆ−k′′ ↓ , a ˆ†k↑ + − a + a ˆ†k′′ ↑ a {z } | {z } | =0
=0
= ˆb†k′′ a ˆ−k′ ↓ δk′ ,k .
Pe baza rezultatelor precedente al doilea comutator produce rezultatul: X X ˆ BCS , a ve(k′ , k′′ ) ˆb†k′′ a ˆ−k′ ↓ δk′ ,k εk′ δk′ ,k a ˆ†k′ ↑ + 0 + H ˆ†k↑ − = k′
=
εk a ˆ†k↑
+
X k′
care este relat¸ia (11.56b).
k′ ,k′′
′
ve(k, k )
ˆb† ′ k
a ˆ−k↓ ,
3) Al treilea comutator se prelucreaz˘ a ˆın mod similar cu primii doi comutatori:
ˆ BCS , a H ˆ−k↓
−
X
=
εk ′
k′
n ˆ k′ ↑ , a ˆ†−k↓
X ′↓ , a ˆ−k↓ − ; ve(k′ , k′′ ) ˆb†k′′ ˆb k′ , a + + n ˆ ˆ −k↓ −k − − k′ ,k′′
comutatorii cont¸inut¸i ˆın expresia precedent˘ a dau urm˘ atoarele rezultate:
n ˆ k′ ↑ , a ˆ−k↓
n ˆ −k′ ↓ , a ˆ−k↓
−
† † ˆ k′ ↑ , a ˆ−k↓ + − a = a ˆ k′ ↑ a ˆ k′ ↑ , a ˆ−k↓ − = a ˆ†k′ ↑ a ˆ k′ ↑ , a ˆ−k↓ + a ˆ k′ ↑ = 0 ; | {z } | {z } =0
−
=0
† † ˆ−k′ ↓ , a ˆ−k↓ + − a = a ˆ−k′ ↓ a ˆ−k′ ↓ , a ˆ−k↓ − = a ˆ†−k′ ↓ a ˆ−k′ ↓ , a ˆ−k↓ + a ˆ−k′ ↓ | {z } =0
= −a ˆ−k′ ↓ δk′ ,k ;
ˆb† ′′ ˆb k′ , a ˆ−k↓ k
−
ˆ−k↓ − ˆb k′ ˆ−k↓ − + ˆb†k′′ , a = ˆb†k′′ ˆb k′ , a † ˆ k′′ ↑ a ˆ†−k′′ ↓ , a ˆ−k↓ − ˆb k′ = ˆb†k′′ a ˆ−k′ ↓ a ˆ k′ ↑ , a ˆ−k↓ − + a o n ˆ−k′ ↓ , a ˆ−k↓ + a ˆ k′ ↑ ˆ−k′ ↓ a ˆ k′ ↑ , a ˆ−k↓ + − a = ˆb†k′′ a {z } | {z } | =0
=0
n o † † † ˆ−k′′ ↓ , a ˆ−k↓ + − a ˆ k′′ ↑ , a ˆ−k↓ + a + a ˆ†k′′ ↑ a ˆ−k′′ ↓ ˆb k′ | {z } =0
=a ˆ†k′′ ↑ ˆb k′ δk′′ ,k .
11.5. SISTEMUL FERMIONIC SUPRACONDUCTOR
291
Pe baza rezultatelor precedente al treilea comutator produce rezultatul: X X ˆ BCS , a ve(k′ , k′′ ) a ˆ†k′′ ↑ ˆb k′ δk′′ ,k ˆ−k′ ↓ + εk′ 0 − δk′ ,k a H ˆ−k↓ − = k′
= − εk a ˆ−k↓ +
care este relat¸ia (11.56c).
X k′
k′ ,k′′
′
ve(k , k)
a ˆ†k↑
ˆb k′ ,
4) Al patrulea comutator se prelucreaz˘ a la fel ca ¸si comutatorii precedent¸i: X X ˆ BCS , a ˆ†−k↓ − ; ve(k′ , k′′ ) ˆb†k′′ ˆb k′ , a εk ′ n ˆ k′ ↑ , a ˆ†−k↓ − + n ˆ −k′ ↓ , a ˆ†−k↓ − + H ˆ†−k↓ − = k′ ,k′′
k′
comutatorii cont¸inut¸i ˆın expresia precedent˘ a dau urm˘ atoarele rezultate: † ˆ k′ ↑ , a ˆ†−k↓ + − a ˆ†k′ ↑ a ˆ†k′ ↑ a ˆ k′ ↑ , a ˆ†−k↓ − = a n ˆ k′ ↑ , a ˆ†−k↓ − = a ˆ k′ ↑ , a ˆ†−k↓ + a ˆ k′ ↑ = 0 ; | {z } | {z } =0
n ˆ −k′ ↓ , a ˆ†−k↓
−
=0
† † ˆ−k′ ↓ , a ˆ†−k↓ + − a ˆ−k′ ↓ , a ˆ†−k↓ + a ˆ−k′ ↓ = a ˆ−k′ ↓ a ˆ−k′ ↓ , a ˆ†−k↓ − = a ˆ†−k′ ↓ a {z } | =0
=a ˆ†−k′ ↓ δk′ ,k ;
ˆb† ′′ ˆb k′ , a ˆ†−k↓ k
−
ˆ†−k↓ − + ˆb†k′′ , a ˆ†−k↓ − ˆb k′ = ˆb†k′′ ˆb k′ , a † ˆ k′′ ↑ a ˆ†−k′′ ↓ , a ˆ†−k↓ − ˆb k′ = ˆb†k′′ a ˆ−k′ ↓ a ˆ k′ ↑ , a ˆ†−k↓ − + a n o = ˆb†k′′ a ˆ k′ ↑ , a ˆ†−k↓ + − a ˆ−k′ ↓ a ˆ k′ ↑ ˆ−k′ ↓ , a ˆ†−k↓ + a | {z } =0
n o † † † ˆ−k′′ ↓ , a ˆ†−k↓ + − a ˆ k′′ ↑ , a ˆ†−k↓ + a ˆ−k′′ ↓ ˆb k′ + a ˆ†k′′ ↑ a {z } | {z } | =0
=0
= − ˆb†k′′ a ˆ k′ ↑ δk′ ,k .
Pe baza rezultatelor precedente al treilea comutator produce rezultatul: X X ˆ BCS , a εk′ 0 + δk′ ,k a ˆ†−k′ ↓ + ve(k′ , k′′ ) − ˆb†k′′ a ˆ k′ ↑ δk′ ,k H ˆ†−k↓ − = k′
=
εk a ˆ†−k↓
−
X
care este relat¸ia (11.56d).
k′
k′ ,k′′
′
ve(k, k )
ˆb† ′ k
a ˆ k↑ ,
C. Operatorii de creare a st˘ arilor excitate se obt¸in pe baza expresiilor relat¸iilor de comutare ale operatorilor elementari cu hamiltonianul (ˆın aproximat¸ia Bogoliubov), care sugereaz˘ a c˘ a ace¸sti operatori de creare a excitat¸iilor sunt combinat¸ii liniare de operatori elementari corespunz˘atori perechilor de electroni Cooper, adic˘a: a ˆ†k↑ ¸si a ˆ−k↓ , respectiv a ˆ†−k↓ ¸si a ˆ k↑ ; ca urmare, ˆ† se caut˘ a operatori de creare a excitat¸iilor (adic˘a operatori notat¸i anterior prin Ωk ) de forma: α ˆ †k = uk a ˆ†k↑ + vk a ˆ−k↓ ,
(11.57a)
− vk a ˆ k↑ ,
(11.57b)
βˆ†k
=
uk a ˆ†−k↓
unde coeficient¸ii uk ¸si vk sunt funct¸ii complexe, dar dependente numai de modulul vectorului de und˘a k = |k|. Deoarece operatorii de creare a excitat¸iilor sunt considerat¸i operatori elementari fermionici, atunci setul acestor operatori trebuie s˘a satisfac˘ a relat¸iile de anti-comutare fermionice standard: 0, α ˆk, α ˆ †k′ + = δk,k′ ˆ1 ; α ˆk , α ˆ k′ + = ˆ 0, βˆ k , βˆ†k′ + = δk,k′ ˆ1 ; βˆ k , βˆ k′ + = ˆ 0, α ˆ k , βˆ†k′ + = ˆ0 . α ˆ k , βˆ k′ + = ˆ
292
CAPITOLUL 11. METODA ECUAT ¸ IEI DE MIS¸CARE
Condit¸ia necesar˘ a pentru satisfacerea relat¸iilor de anti-comutare precedente este urm˘atoarea condit¸ie pentru coeficient¸i, numit˘ a condit¸ia de canonicitate: 2 2 uk + vk = 1 . (11.58) Demonstrat¸ie:
Se evalueaz˘ a anti-comutatorii dintre operatorii creare (sau anihilare) de excitat¸ii prin reducere la anti-comutatorii standard (2.69): α ˆk, α ˆ k′ + = u∗k a ˆ k↑ + vk∗ a ˆ†−k↓ , u∗k′ a ˆ k′ ↑ + vk∗′ a ˆ†−k′ ↓ + † † = u∗k u∗k′ a ˆ k↑ , a ˆ k′ ↑ + +u∗k vk∗′ a ˆ k↑ , a ˆ†−k′ ↓ + +vk∗ u∗k′ a ˆ−k↓ , a ˆ k′ ↑ + +vk∗ vk∗′ a ˆ−k↓ , a ˆ†−k′ ↓ + | | | | {z } {z } {z } {z } =ˆ 0
=ˆ 0
=ˆ 0
=ˆ 0
=ˆ 0;
α ˆk, α ˆ †k′ + ˆ−k′ ↓ + ˆ†k′ ↑ + vk′ a = u∗k a ˆ k↑ + vk∗ a ˆ†−k↓ , uk′ a † † ˆ−k↓ , a ˆ†k′ ↑ + +vk∗ vk′ a ˆ−k↓ , a ˆ−k′ ↓ + ˆ k↑ , a ˆ−k′ ↓ + +vk∗ uk′ a ˆ k↑ , a ˆ†k′ ↑ + +u∗k vk′ a = u∗k uk′ a | | | {z } {z } {z } {z } | =ˆ 0
= δk,k′ ˆ 1
=ˆ 0
1; = |uk |2 + |vk |2 δk,k′ ˆ
= δk,k′ ˆ 1
βˆ k , βˆ k′ + = u∗k a ˆ−k↓ − vk∗ a ˆ†k↑ , u∗k′ a ˆ−k′ ↓ − vk∗′ a ˆ†k′ ↑ + † † = u∗k u∗k′ a ˆ−k↓ , a ˆ−k′ ↓ + −u∗k vk∗′ a ˆ−k↓ , a ˆ†k′ ↑ + −vk∗ u∗k′ a ˆ k↑ , a ˆ−k′ ↓ + +vk∗ vk∗′ a ˆ k↑ , a ˆ†k′ ↑ + | | | | {z } {z } {z } {z } =ˆ 0
=ˆ 0
=ˆ 0
=ˆ 0
=ˆ 0;
βˆ k , βˆ†k′ + ˆ k′ ↑ + ˆ†−k′ ↓ − vk′ a = uk a ˆ−k↓ − vk∗ a ˆ†k↑ , uk′ a † † ˆ k↑ , a ˆ†−k′ ↓ + +vk∗ vk′ a ˆ k↑ , a ˆk′ ↑ + ˆ−k↓ , a ˆ k′ ↑ + −vk∗ uk′ a ˆ−k↓ , a ˆ†−k′ ↓ + −u∗k vk′ a = u∗k uk′ a | | | {z } {z } {z } {z } | =ˆ 0
= δk,k′ ˆ 1 2
2
= |uk | + |vk |
= δk,k′ ˆ 1
1; δk,k′ ˆ
α ˆ k , βˆ k′ + = u∗k a ˆ k↑ + vk∗ a ˆ†−k↓ , u∗k′ a ˆ−k′ ↓ − vk∗′ a ˆ†k′ ↑ + † † = u∗k u∗k′ a ˆ k↑ , a ˆ−k′ ↓ + −u∗k vk∗′ a ˆ k↑ , a ˆ†k′ ↑ + +vk∗ u∗k′ a ˆ−k↓ , a ˆ−k′ ↓ + −vk∗ vk∗′ a ˆ−k↓ , a ˆ†k′ ↑ + | | | | {z } {z } {z } {z } =ˆ 0
=
=ˆ 0
(−u∗k
vk∗
+
vk∗
u∗k ) δk,k′
= δk,k′ ˆ 1
= δk,k′ ˆ 1
=ˆ 0
=ˆ 0;
α ˆ k , βˆ†k′ + = u∗k a ˆ k↑ + vk∗ a ˆ†−k↓ , u∗k′ a ˆ†−k′ ↓ − vk∗′ a ˆ k′ ↑ + † † ˆ k↑ , a ˆ k′ ↑ + +vk∗ u∗k′ a ˆ−k↓ , a ˆ†−k′ ↓ + −vk∗ vk∗′ a ˆ−k↓ , a ˆ k′ ↑ + = u∗k u∗k′ a ˆ k↑ , a ˆ†−k′ ↓ + −u∗k vk∗′ a | | | | {z } {z } {z } {z } =ˆ 0
=ˆ 0
=ˆ 0
=ˆ 0
=ˆ 0;
se observ˘ a c˘ a tot¸i anti-comutatorii nenuli sunt satisf˘ acut¸i ˆın mod automat, iar anti-comutatorii nenuli au expresia standard dac˘ a este satisf˘ acut˘ a condit¸ia (11.58).
11.5. SISTEMUL FERMIONIC SUPRACONDUCTOR
293
Relat¸iile de comutare ale operatorilor creare de excitat¸ii cu hamiltonianul (ˆın aproximat¸ia Bogoliubov) se obt¸in pe baza relat¸iilor (11.56): ˆ BCS , α ˆ BCS , a ˆ BCS , a H ˆ †k − = uk H ˆ†k↑ − + vk H ˆ−k↓ − o n o n X X ˆ−k↓ − ve(k′ , k) a ˆ†k↑ ˆb k′ , ˆ†k↑ + v (k, k′ ) ˆb†k′ a e ˆ−k↓ + vk − εk a = u k εk a k′
k′
ˆ BCS , H
βˆ†k −
(11.59a)
a ˆ†−k↓ −
ˆ BCS , a ˆ BCS , ˆ k↑ − − vk H = uk H n o n o X X = u k εk a ˆ†−k↓ − ve(k, k′ ) ˆb†k′ a ˆ k↑ − vk − εk a ˆ k↑ − ve(k′ , k) a ˆ†−k↓ ˆb k′ ; k′
k′
(11.59b)
Dac˘ aα ˆk ¸si βˆk sunt operatorii de anihilare pentru excitat¸iile sistemului, atunci ace¸sti operatori distrug starea fundamental˘ a a sistemului supra-conductor |Ψ0BCS i, deoarece ˆın aceast˘a stare nu exist˘a excitat¸ii ale sistemului: α ˆ k |Ψ0BCS i = |∅i , (11.60) βˆk |Ψ0BCS i = |∅i ;
ˆIn cadrul teoriei BCS se consider˘ a aproximat¸ia prin care operatorii de anihilare ¸si de creare a perechilor Cooper sunt tratat¸i ca operatori banali (ˆın mod similar cu operatorii elementari ai st˘arii condensate din aproximat¸ia Bogoliubov pentru bosoni):
ˆb k ≈ Ψ0 ˆb k Ψ0 ˆ ˆ (11.61a) BCS BCS 1 ≡ Bk 1 ,
∗ˆ ˆb† ≈ Ψ0 ˆb† Ψ0 ˆ (11.61b) BCS BCS 1 ≡ Bk 1 . k
k
Prin efectuarea aproximat¸iei precedente, comutatorii hamiltonianului cu operatorii creare de excitat¸ii, care aveau expresiile (11.59), devin: n o n X o X ˆ BCS , α ˆ†k↑ + uk ve(k′ , k) Bk′ a H ˆ †k − ≈ uk εk + vk ve(k′ , k) Bk∗′ − vk εk a ˆ−k↓ , k′
ˆ BCS , βˆ† H k
−
n
≈ uk εk + vk
X k′
k′
o
ˆ†−k↓ + ve(k′ , k) Bk′ a
n
− uk
X k′
(11.62a) o ˆ k↑ . ve(k′ , k) Bk∗′ + vk εk a (11.62b)
D. Ecuat¸iile de mi¸scare sunt date de comutatorii hamiltonianului cu operatorii creare de excitat¸ii, conform relat¸iilor (11.1): ˆ BCS , α H ˆ †k − = ~ ωk α ˆ †k , (11.63a) † † ˆ ˆ BCS , βˆ H (11.63b) k − = ~ ωk β k .
ˆIn prima ecuat¸ie de mi¸scare, (11.63a), se substituie expresiile operatorului creare de excitat¸ii ¸si ale comutatorului ˆın termeni de operatori elementari electronici, conform relat¸iilor (11.57a) ¸si (11.62a), astfel ˆıncˆ at rezult˘a egalitatea urm˘atoare: o o n X n X ˆ−k↓ ˆ†k↑ + uk ve(k, k′ ) Bk∗′ − vk εk a uk εk + vk ve(k′ , k) Bk′ a k′
=
~ ωk u k a ˆ†k↑
k′
+ vk a ˆ−k↓ ;
deoarece ˆın egalitatea precedent˘ a operatorii elementari a ˆ†k↑ ¸si a ˆ−k↓ sunt independent¸i, rezult˘a egalitatea coeficient¸ilor pentru fiecare operator elementar, ˆın mod separat, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine sistemul de ecuat¸ii: X (11.64a) εk − ~ ωk u k + ve(k′ , k) Bk′ vk = 0 , X k′
k′
′
ve(k, k )
Bk∗′
uk − εk + ~ ωk vk = 0 .
(11.64b)
294
CAPITOLUL 11. METODA ECUAT ¸ IEI DE MIS¸CARE
ˆIn mod similar se procedeaz˘ a cu ecuat¸ia (11.63b), prin utilizarea relat¸iilor (11.57b) ¸si (11.62b), rezultˆand egalitatea: o o n n X X ˆ k↑ ˆ†−k↓ + − uk uk εk + vk ve(k, k′ ) Bk∗′ + vk εk a ve(k′ , k) Bk′ a k′
=
~ ωk u k a ˆ†−k↓
k′
− vk a ˆ k↑ ;
din egalitatea precedent˘ a rezult˘a sistemul de ecuat¸ii X εk − ~ ωk u k + ve(k′ , k) Bk′ vk = 0 , −
X k′
(11.65a)
k′
ve(k, k′ ) Bk∗′ uk + εk + ~ ωk vk = 0 .
(11.65b)
Prin compararea sistemelor de ecuat¸ii (11.64) ¸si (11.65), care reprezint˘ a ecuat¸iile de mi¸scare pentru operatorii creare de excitat¸ii, rezult˘a c˘ a aceste sisteme de ecuat¸ii sunt identice, ceea ce implic˘ a proprietatea c˘ a operatorii α ˆ †k ¸si βˆ†k creaz˘ a excitat¸ii identice. E. Ecuat¸iile coeficient¸ilor Pentru exprimarea succint˘ a a ecuat¸iilor pentru excitat¸ii, adic˘a sistemul (11.64) sau (11.65), se introduce m˘arimea X ∆k ≡ − (11.66) ve(k′ , k) Bk′ ; k′
care se va ar˘ ata ulterior c˘ a exprim˘ a banda interzis˘a din spectrul de excitat¸ii. Ca urmare, sistemul de ecuat¸ii pentru excitat¸ii se rescrie ˆın urm˘atoarea form˘a: εk − ~ ωk uk − ∆k vk = 0 , (11.67) ∆∗k uk + εk + ~ ωk vk = 0 ; deoarece sistemul (11.67) este un sistem de ecuat¸ii liniare omogene, condit¸ia de compatibilitate a sistemului este ca determinantul matricii coeficient¸ilor s˘a fie nul: ε − ~ω −∆k ∆ ≡ k ∗ k (11.68) = ε2k − ~2 ωk2 + |∆k |2 = 0 . ∆k εk + ~ ωk
Condit¸ia precedent˘ a este o ecuat¸ie pentru energia excitat¸iei Ek = ~ ωk , avˆand solut¸ia: q ~ ωk = ε2k + |∆k |2 .
(11.69)
Rezultatul precedent arat˘a c˘ a spectrul excitat¸iilor elementare ale sistemului supraconductor are o band˘a interzis˘ a, pentru c˘ a la limita vectorului de und˘a nul se obt¸ine: r ~2 k 2 2 + |∆k |2 = |∆k | ; (11.70) Ek = k→0 2m
de asemenea, se observ˘ a c˘ a energia de excitat¸ie este superioar˘a energiei unui electron liber: Ek > εk . Ecuat¸iile pentru excitat¸ii (11.67), ˆımpreun˘a cu condit¸ia de canonicitate (11.58), permit determinarea coeficient¸ilor uk ¸si vk . Astfel, din prima ecuat¸ie (11.67) se obt¸ine coeficientul vk ˆın funct¸ie de coeficientul uk : ~ ωk − εk vk = uk , ∆k astfel ˆıncˆ at rezult˘a |vk |2 =
(~ ωk − εk )2 (~ ωk − εk )2 ~ ωk − εk 2 |u | = |uk |2 , |uk |2 = k 2 2 2 |∆k | (~ ωk ) − εk ~ ωk + εk
(11.71)
unde parametrul ∆k s-a eliminat prin utilizarea consecint¸ei condit¸iei (11.60): |∆k |2 = (~ ωk )2 −ε2k . Rezultatul (11.71), ˆımpreuna˘ a cu condit¸ia (11.58) produc urm˘atoarea egalitate: ~ ωk − εk 2 ~ ωk |uk |2 + |vk |2 = 1 =⇒ 1 = |uk |2 1 + . (11.72) = |uk |2 ~ ωk + εk ~ ωk + εk
11.5. SISTEMUL FERMIONIC SUPRACONDUCTOR
295
Din egalitatea precedent˘ a se obt¸in expresiile modulelor p˘ atrate ale coeficient¸ilor ˆın termeni de energia excitat¸iilor: εk 1 1+ , (11.73a) |uk |2 = 2 ~ ωk 1 εk |vk |2 = 1− . (11.73b) 2 ~ ωk De asemenea, se obt¸ine produsul coeficient¸ilor ˆın funct¸ie de parametrul ∆k : uk vk∗ =
∆k −∆k ∆k vk v∗ = − |vk |2 = . εk − ~ ωk k εk − ~ ωk 2 ~ ωk
(11.74)
F. Ecuat¸ia benzii interzise (numit˘a ecuat¸ia de gap) se obt¸ine prin explicitarea parametrului Bk ˆın funct¸ie de care este definit ∆k prin relat¸ia (11.66). Pentru a obt¸ine parametrul Bk este convenabil s˘a se inverseze relat¸iile (11.57), care definesc operatorii elementari de excitat¸ie; atunci se rescriu relat¸iile (11.57) ˆın urm˘atoarea form˘a: α ˆ †k = uk a ˆ†k↑ + vk a ˆ−k↓ ,
βˆ k = −vk∗ a ˆ†k↑ + u∗k a ˆ−k↓ .
Sistemul precedent se poate exprima ˆın mod echivalent, prin utilizarea notat¸iei matriciale: † † † uk vk α ˆk a ˆ k↑ a ˆ k↑ ˇ · ≡ S · = , (11.75) −vk∗ u∗k a ˆ−k↓ a ˆ−k↓ βˆ k ˇ este matricea coeficient¸ilor unde S S≡
uk −vk∗
vk u∗k
.
(11.76)
Se observ˘ a c˘ a matricea coeficient¸ilor are urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: ˇ este o matrice unitar˘ • S a, datorit˘a condit¸iei de canonicitate (11.58): S = |uk |2 + |vk |2 = 1 ; det ˇ
ˇ este • inversa matricii S
∗ u −1 † ˇ ˇ S = S = ∗k vk
−vk uk
.
(11.77a)
(11.77b)
ˇ−1 ¸si apoi se conjug˘a Se inverseaz˘a relat¸ia (11.75), prin multiplicare la stˆanga cu matricea S hermitic rezultatul; ca urmare, se obt¸in urm˘atoarele egalit˘a¸ti matriciale: ∗ † † † ∗ † uk α ˆ k − vk βˆ k α ˆk uk −vk α ˆk a ˆ k↑ −1 ˇ , (11.78a) = ∗ † · ˆ = ∗ =S · ˆ vk uk a ˆ−k↓ βk vk α ˆ k + uk βˆ k βk h i uk vk ˇ= α a ˆ k↑ , a ˆ†−k↓ = α ˆ k , βˆ†k · S ˆ k − vk∗ βˆ†k , vk α ˆ k + u∗k βˆ†k . ˆ k , βˆ†k · ∗ ∗ = uk α −vk uk (11.78b) Se efectueaz˘ a produsul direct dintre matricea coloan˘ a a operatorilor elementari cu conjugata sa hermitic˘ a, care este o matrice linie, astfel ˆıncˆ at se obt¸in operatorii elementari pentru perechea Cooper (ˆb†k , ˆb k ) ¸si operatorii num˘ ar de electroni ˆın st˘ari uni-particul˘a (ˆ n k↑ , n ˆ −k↓ ): 4 " # † h i ˆb† a ˆ†k↑ a ˆ k↑ a ˆ†k↑ a ˆ†−k↓ n ˆ k↑ a ˆ k↑ † k . (11.79) ⊗ a = ˆ ˆ k↑ , a ˆ−k↓ = a ˆ−k↓ a ˆ−k↓ a ˆ k↑ a ˆ−k↓ a ˆ†−k↓ b k ˆ1 − n ˆ −k↓ 4 Produsul direct dintre o matrice coloan˘ a ¸si o matrice linie (ambele avˆ and acela¸si ordin) este prin definit¸ie o matrice p˘ atrat˘ a a ac ad ⊗ c, d = . b bc bd
296
CAPITOLUL 11. METODA ECUAT ¸ IEI DE MIS¸CARE
Pe de alt˘ a parte, se utilizeaz˘ a relat¸iile (11.78) ¸si se efectueaz˘a multiplic˘arile matriciale, rezultˆand exprimarea m˘arimilor din relat¸ia (11.79) ˆın termeni de operatori elementari ai excitat¸iilor: † h i a ˆ k↑ ⊗ a ˆ k↑ , a ˆ†−k↓ a ˆ−k↓ † ˆk ˇ−1 · α ˇ ⊗ α =S ˆ k , βˆ†k · S ˆ βk ∗ † uk α ˆ k − vk βˆ k ⊗ uk α = ∗ † ˆ k − vk∗ βˆ†k , vk α ˆ k + u∗k βˆ†k ˆ vk α ˆ k + uk β k ∗ † ˆ k + u∗k βˆ†k ˆ †k − vk βˆ k vk α u∗k α ˆ k − vk∗ βˆ†k ˆ k − vk βˆ k uk α uk α (11.80) = ˆ k + u∗k βˆ†k vk∗ α ˆ †k + uk βˆ k vk α ˆ k − vk∗ βˆ†k vk∗ α ˆ †k + uk βˆ k uk α Prin compararea rezultatelor din relat¸iile (11.79) ¸si (11.80) se obt¸ine expresia operatorului anihilare de excitat¸ii: † ˆ ˆb k = v ∗ α ˆ k − vk∗ βˆ†k = uk vk∗ α ˆ k − uk vk2 βˆ k βˆ†k . ˆ †k α ˆ k − (vk∗ )2 α ˆ †k βˆ†k + u2k βˆ k α k ˆ k + uk β k uk α
Parametrul Bk se determin˘a prin medierea operatorului ˆb k pe starea fundamental˘ a supra-conductoare ¸si utilizarea propriet˘ a¸tii operatorilor anihilare de excitat¸ii (ˆ α k ¸si βˆ k ) de a distruge starea fundamental˘ a BCS:
Bk ≡ Ψ0BCS ˆb k Ψ0BCS
= Ψ0BCS uk vk∗ α ˆ †k α ˆ k − (vk∗ )2 α ˆ †k βˆ†k + u2k βˆ k α ˆ k − uk vk∗ βˆ k βˆ†k Ψ0BCS † † † 0
= uk vk∗ Ψ0BCS α ˆkα ˆ k Ψ0BCS −(vk∗ )2 Ψ0BCS α ˆ k Ψ0BCS ˆ k βˆ k ΨBCS +u2k Ψ0BCS βˆ k α | | | {z } {z } {z } =0
=0
− uk vk∗ Ψ0BCS βˆ k βˆ†k Ψ0BCS
1 − βˆ†k βˆ k Ψ0BCS = − uk vk∗ Ψ0BCS Ψ0BCS = − uk vk∗ Ψ0BCS ˆ
=0
deoarece starea fundamental˘ a a sistemului este normat˘a la unitate ( Ψ0BCS Ψ0BCS = 1), rezult˘a c˘ a parametru Bk este determinat numai de coeficient¸ii transform˘arii de la operatorii electronici la operatorii de excitat¸ii supra-conductoare: Bk = − uk vk∗ .
(11.81)
Rezultatul precedent, combinat cu formula (11.74) produce relat¸ia ˆıntre parametrul Bk ¸si parametrul de gap ∆k : ∆k Bk = . (11.82) 2 ~ ωk Pe baza relat¸iei precedente Bk − ∆k , formula de definit¸ie a parametrului de gap, (11.66), devine o ecuat¸ie integral˘a explicit˘ a a acestui parametru: ∆k = −
X k′
ve(k′ , k)
∆k′ . 2 ~ ωk ′
(11.83)
Este important s˘a se observe c˘ a ecuat¸ia (11.83) este echivalent˘ a cu ecuat¸ia (10.92a), care a fost obt¸inut˘a prin metoda transform˘ arii canonice. ˆIn Sect¸iunea 10.2 s-a prezentat rezolvarea aproximativ˘ a a ecuat¸iei parametrului de gap, a c˘ arei solut¸ie este dat˘a de formula (10.103); ca urmare, pentru a evita repetit¸iile, ˆın aceast˘a sect¸iune se omite discut¸ia ecuat¸iei parametrului de gap.
Capitolul 12
Fermioni ˆın cˆ amp extern 12.1
Formularea problemei
Se consider˘ a un sistem fermionic constituit din particule nerelativiste cu masa m ¸si spinul s = 1/2, care nu au interact¸ii mutuale (sistem ideal); particulele sistemului interact¸ioneaz˘ a cu un cˆ amp extern (posibil neomogen) ¸si interact¸ia poate implica gradele de libertate de spin. Atunci hamiltonianul de interact¸ie al sistemului cu N particule (ˆın Cuantificarea I) este ˆ ex = H N
QI
N X
u(ˆrj , ˆsj ) ,
j=1
unde ˆrj este operatorul de pozit¸ie ¸si ˆsj este operatorul de spin ale particulei “j”, iar u(rj , sj ) este energia potent¸ial˘a de interact¸ie a particulei “j” cu cˆ ampul extern. Hamiltonianul de interact¸ie al sistemului cu cˆ ampul extern ˆın formalismul Cuantific˘arii II se obt¸ine conform relat¸iei (2.92) Z X ex ˆ H = d3 r (12.1) ψˆσ† (r) uσ,σ′ (r) ψˆσ′ (r) . Q II
V
σ,σ′
P unde uσ,σ′ (r) = s χ∗σ (s) u(r, s) χσ′ (s) este matricea de spin a potent¸ialului de interact¸ie particul˘ a-cˆ amp extern. Un exemplu important este interact¸ia electronilor cu un cˆ amp magnetic extern; ˆın acest caz energia potent¸ial˘a de interact¸ie dintre momentul magnetic de spin al particulei µ = µB σ (unde µB este magnetonul Bohr, iar σ este spinul adimensional) ¸si cˆ ampul magnetic extern H este u(r, s) = − µ · H = − µB H · σ = − µB H σ (z) , unde s-a considerat cˆ ampul H c˘ a este orientat de-a lungul axei Oz; atunci matricea de spin a potent¸ialului de interact¸ie particul˘ a – cˆ amp extern este (z)
uσ, σ′ (r) = − µB H σσ, σ′ , unde σ ˇ
(z)
=
h
(z) σσ,σ′
i
1 0 = 0 −1
(12.2)
este matricea Pauli. ˆIn condit¸iile specificate anterior hamiltonianul sistemului este ˆ =H ˆ0 + H ˆ ex , H ˆ 0 este hamiltonianul sistemului liber, care se reduce la hamiltonianul cinetic unde H Z X −~2 2 ˆ ˆ0 = ∇ ψσ (r) . H d3 r ψˆσ† (r) 2m V σ 297
(12.3)
ˆ CAPITOLUL 12. FERMIONI ˆIN CAMP EXTERN
298
12.2
Formalismul de temperatur˘ a nul˘ a
12.2.1
Funct¸ia Green liber˘ a
Dac˘ a se consider˘ a sistemul fermionic liber, adic˘a este absent cˆampul extern, atunci sunt valabile rezultatele prezentate ˆın Subsect¸iunea 3.1.1; prin urmare, exist˘a st˘ari uni-particul˘a |k, σi (caracterizate prin vectorul impuls ¸si proiect¸ia spinului), iar energia unei st˘ari uni-particul˘a este ~2 2 k . ε0k = 2m ˆ 0 , iar vectorul st˘arii funPentru sistemul liber hamiltonianul se reduce la termenul cinetic H damentale este |Φ0 i (care corespunde st˘arii Fermi). Funct¸ia Green cauzal˘ a uni-particul˘a a sistemului liber este definit˘ a prin formula (3.68) hΦ0 | T ψˆσI (r, t) ψˆσ† ′ I (r′ , t′ ) |Φ0 i G0σσ′ (r, t; r′ , t′ ) ≡ − i , hΦ0 |Φ0 i avˆand expresia explicit˘ a dat˘ a de relat¸ia (3.69) G0σσ′ (r, t; r′ , t′ ) = δσσ′
−i X i[ k·(r−r′ )−ωk (t−t′ )] θ(t − t′ ) θ(k − kF ) − θ(t′ − t) θ(kF − k) ; e V k
din relat¸ia anterioar˘ a rezult˘a c˘ a funct¸ia Green cauzal˘ a liber˘a este diagonal˘ a ˆın indicii de spin ¸si depinde numai de diferent¸ele coordonatelor de pozit¸ie-timp, astfel ˆıncˆ at se poate efectua o dezvoltare Fourier spat¸io-temporal˘ a simpl˘a, conform relat¸iei (3.51): G0σσ′ (r, t; r′ , t′ ) = δσσ′ G0 (r − r′ , t − t′ ) Z 1 X ∞ dω i[ k·(r−r′ )−ω(t−t′ )] e0 e G (k, ω) , = δσσ′ V −∞ 2π k
iar transformata Fourier a funct¸iei Green cauzal˘ a liber˘a are expresia dat˘a de formula (3.70) 1 e0 (k, ω) = G , ω − ωk + i η sgn(k − kF ) η→0+ unde ωk ≡
ε0k ~ 2 = k . ~ 2m
12.2.2
Funct¸ia Green ¸si seria de perturbat¸ie ˆın spat¸iul pozit¸ii-timpi
A. Definit¸ie Funct¸ia Green cauzal˘ a uni-particul˘a a sistemului fermionic cu interact¸ii este definit˘ a prin formula (3.44) hΨ0 | T ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i ′ ′ ′ , Gσσ (r, t; r , t ) ≡ − i hΨ0 |Ψ0 i
i ˆ i ˆ unde AˆH (t) ≡ e ~ tH Aˆ e− ~ tH este operatorul ˆın formularea Heisenberg.
B. Seria de perturbat¸ie Seria de perturbat¸ie a funct¸iei Green cauzal˘ a uni-particul˘a se obt¸ine prin particularizarea ˆ = ψˆσ (r) formulei Feynman-Dyson (2.152) pentru cazul cˆ and operatorii mediat¸i se aleg ca fiind B † ′ ¸si Cˆ = ψˆσ′ (r ), ˆın mod similar cu metoda utilizat˘a ˆın Subsect¸iunea 3.3.1, dar cu deosebirea c˘ a hamiltonianul de perturbat¸ie este modificat:
Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) =
∞ X
n=0
(n)
Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) ∞ X
m=0
S (m)
≡
Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) , S
˘ NULA ˘ 12.2. FORMALISMUL DE TEMPERATURA unde (n)
299
Z Z ∞ ex −i −i n ∞ ˆ (t1 ) · · · H ˆ ex (tn ) ψˆσI (r, t) ψˆ† ′ (r′ , t′ ) |Φ0 i dt1 · · · dtn hΦ0 | T H I I σ I n! ~ −∞ −∞ Z Z ∞ ex 1 −i m ∞ ˆ (t1 ) · · · H ˆ ex (tm ) |Φ0 i ; = dt1 · · · dtm hΦ0 | T H I I m! ~ −∞ −∞
Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = S (m)
Expresiile termenilor perturbativi anteriori se expliciteaz˘ a ˆın mod convenabil prin utilizarea notat¸iei 4-dimensionale care a fost definit˘ a prin relat¸ia (2.137) ¸si se observ˘a c˘ a integrala temporal˘a a hamiltonianului de interact¸ie cu cˆ ampul extern se exprim˘ a ˆın forma Z ∞ Z X ˆ ex (t) = d4 x dt H uλ,µ (x) ψˆλ† (x) ψˆµ (x) ; I −∞
λ,µ
atunci se obt¸ine: (n) Gσσ′ (x, x′ )
S (m)
Z Z X X −i −i n 4 uλ1 ,µ1 (x1 ) · · · uλn ,µn (xn ) ··· d x1 · · · d4 xn = n! ~ λn ,µn λ1 ,µ1 × hΦ0 | T ψˆλ† 1 I (x1 ) ψˆµ1 I (x1 ) · · · ψˆλ† n I (xn ) ψˆµn I (xn ) ψˆσI (x) ψˆσ† ′ I (x′ ) |Φ0 i , Z Z X X 1 −i m = uλ1 ,µ1 (x1 ) · · · uλm ,µm (xm ) ··· d4 x1 · · · d4 xm m! ~ λm ,µm λ1 ,µ1 × hΦ0 | T ψˆλ† 1 I (x1 ) ψˆµ1 I (x1 ) · · · ψˆλ† m I (xm ) ψˆµm I (xm ) |Φ0 i .
(12.4a)
(12.4b)
ˆIn termenii perturbat¸ionali anteriori se transform˘a mediile pe starea fundamental˘ a a produselor cronologice ˆın sume de contract¸ii totale, conform consecint¸ei teoremei Wick (3.4): hΦ0 | T AˆI (ta ) · · · ZˆI (tz ) |Φ0 i = C AˆI (ta ), . . . , ZˆI (tz ) hΦ0 |Φ0 i , unde C{. . .} este suma tuturor contract¸iilor totale ale setului de operatori interiori parantezelor acolade. Contract¸iile ˆıntre operatorii de cˆ amp sunt nenule numai dac˘a perechea de operatori cont¸ine un operator de creare ¸si un operator de anihilare, iar ˆın acest caz contract¸ia este egal˘a cu funct¸ia Green liber˘ a, conform relat¸iilor (3.34): ψˆσI (x) ψˆσ† ′ I (x′ ) = − ψˆσ† ′ I (x′ ) ψˆσI (x) = i G0σσ′ (x, x′ ) ˆ1 , † ψˆσI (x) ψˆσ′ I (x′ ) = ψˆσI (x) ψˆσ† ′ I (x′ ) = ˆ0 .
Pe baza expresiilor generale precedente se obt¸in expresiile explicite ale termenilor perturbat¸ionali cu ajutorul funct¸iei Green libere. Termenii de la numitor (numit¸i termenii de vid ) i. Termenul de ordinul 0 produce rezultatul banal: S (0) = hΦ0 |Φ0 i .
(12.5)
ii. Termenul de ordinul 1 este definit astfel: Z Z X ex −i ∞ ˆ (t1 ) |Φ0 i = −i d4 x1 uλ1 ,µ1 (x1 )hΦ0 | T ψˆλ† 1 I (x1 ) ψˆµ1 I (x1 ) |Φ0 i ; dt1 hΦ0 | T H S (1) = I ~ −∞ ~ λ1 ,µ1
dar media produsului cronologic se reduce, prin contract¸ie, la funct¸ia Green liber˘a hΦ0 | T ψˆλ† 1 I (x1 ) ψˆµ1 I (x1 ) |Φ0 i = ψλ† 1 I (x1 ) ψµ1 I (x1 ) hΦ0 |Φ0 i = − i G0µ1 λ (x1 , x1 ) hΦ0 |Φ0 i ;
ˆın consecint¸˘ a, termenul de ordinul 1 are expresia: Z X −1 S (1) = d4 x1 uλ1 ,µ1 (x1 ) G0µ1 λ1 (x1 , x+ 1 ) hΦ0 |Φ0 i . ~ λ1 ,µ1
(12.6)
ˆ CAPITOLUL 12. FERMIONI ˆIN CAMP EXTERN
300
iii. Termenul de ordinul 2 este definit prin expresia urm˘atoare: Z Z ∞ ex 1 −i 2 ∞ ˆ I (t1 ) H ˆ Iex (t2 ) |Φ0 i dt1 S (2) = dt2 hΦ0 | T H 2 ~ Z−∞ Z−∞ X X 1 −i 2 d4 x1 d4 x2 uλ1 ,µ1 (x1 ) uλ2 ,µ2 (x2 ) = 2 ~ λ1 , µ1 λ2 , µ2 × hΦ0 | T ψˆλ† 1 I (x1 ) ψˆµ1 I (x1 ) ψˆλ† 2 I (x2 ) ψˆµ2 I (x2 ) |Φ0 i ;
media produsului cronologic se reduce, prin aplicarea teoremei Wick, la funct¸ii Green libere hΦ0 | T ψˆλ† 1 I (x1 ) ψˆµ1 I (x1 ) ψˆλ† 2 I (x2 ) ψˆµ2 I (x2 ) |Φ0 i o n = ψλ† 1 I (x1 ) ψµ1 I (x1 ) ψλ† 2 I (x2 ) ψµ2 I (x2 ) + ψλ† 1 I (x1 ) ψµ1 I (x1 ) ψλ† 2 I (x2 ) ψµ2 I (x2 ) hΦ0 |Φ0 i n o + 0 0 0 = (−i) G0µ1 λ1 (x1 , x+ (x , x (x , x ) hΦ0 |Φ0 i ; ) (−i) G (x , x ) i G ) + (−i) G µ2 λ2 2 2 µ1 λ2 1 2 µ2 λ1 2 1 1
ca urmare, termenul de ordinul 2 devine: Z Z X X 1 −1 2 (2) 4 S = d x1 d4 x2 uλ1 ,µ1 (x1 ) uλ2 ,µ2 (x2 ) 2 ~ λ1 , µ1 λ2 , µ2 o n + 0 0 0 (x , x ) hΦ0 |Φ0 i (x , x ) G (x , x ) − G ) G × G0µ1 λ1 (x1 , x+ µ1 λ2 1 2 µ2 λ1 2 1 µ2 λ2 2 2 1 Z Z X X 1 uλ2 ,µ2 (x2 ) G0µ2 λ2 (x2 , x+ uλ1 ,µ1 (x1 ) G0µ1 λ1 (x1 , x+ d4 x2 d4 x1 = 2 2) 1) 2~ λ2 , µ2 λ1 , µ1 Z Z X X 4 4 0 0 − d x1 d x2 uλ1 ,µ1 (x1 ) uλ2 ,µ2 (x2 ) Gµ1 λ2 (x1 , x2 ) Gµ2 λ1 (x2 , x1 ) hΦ0 |Φ0 i . λ1 , µ1 λ2 , µ2
(12.7)
Termenii de la num˘ ar˘ ator i. Termenul de ordinul 0 este banal, pentru c˘ a se reduce ˆın mod direct la funct¸ia Green liber˘a: (0) Gσσ′ (x, x′ ) = − i hΦ0 | T ψˆσI (x) ψˆσ† ′ I (x′ ) |Φ0 i = G0σσ′ (x, x′ ) hΦ0 |Φ0 i .
(12.8)
ii. Termenul de ordinul 1 este definit prin expresia Z ex −i ∞ (1) ′ ′ ˆ I (t1 ) ψˆσI (r, t) ψˆ† ′ (r′ , t′ ) |Φ0 i Gσσ′ (r, t; r , t ) = − i dt1 hΦ0 | T H σ I ~ Z −∞ X −1 uλ1 ,µ1 (x1 ) hΦ0 | T ψˆλ† 1 I (x1 ) ψˆµ1 I (x1 ) ψˆσI (x) ψˆσ† ′ I (x′ ) |Φ0 i ; d4 x1 = ~ λ1 ,µ1
media produsului cronologic se reduce la combinat¸ii de funct¸ii Green libere, prin utilizarea teoremei Wick: hΦ0 | T ψˆλ† 1 I (x1 ) ψˆµ1 I (x1 ) ψˆσI (x) ψˆσ† ′ I (x′ ) |Φ0 i n o = ψλ† 1 I (x1 ) ψµ1 I (x1 ) ψσI (x) ψσ† ′ I (x′ ) + ψλ† 1 I (x1 ) ψµ1 I (x1 ) ψσI (x) ψσ† ′ I (x′ ) hΦ0 |Φ0 i o n 0 0 ′ ′ 0 (x, x ) i G ) i G (x , x ) hΦ0 |Φ0 i ; (x, x ) − (−i) G = (−i) G0µ1 λ1 (x1 , x+ ′ ′ 1 1 µ1 σ σσ σλ1 1 atunci rezult˘a (1)
Gσσ′ (x, x′ ) =
Z −1 4 X uλ1 ,µ1 (x1 ) d x1 ~ λ1 ,µ1 o n 0 0 ′ ′ 0 × G0µ1 λ1 (x1 , x+ 1 ) Gσσ′ (x, x ) − Gσλ1 (x, x1 ) Gµ1 σ′ (x1 , x ) hΦ0 |Φ0 i ,
˘ NULA ˘ 12.2. FORMALISMUL DE TEMPERATURA sau expresia echivalent˘ a Z X −1 (1) 0 ′ uλ1 ,µ1 (x1 ) G0µ1 λ1 (x1 , x+ Gσσ′ (x, x′ ) = d4 x1 1 ) hΦ0 |Φ0 i Gσσ′ (x, x ) ~ λ1 ,µ1 Z X 1 + uλ1 ,µ1 (x1 ) G0σλ1 (x, x1 ) G0µ1 σ′ (x1 , x′ ) hΦ0 |Φ0 i . d4 x1 ~
301
(12.9)
λ1 ,µ1
iii. Termenul de ordinul 2 este Z Z ∞ ex −i −i 2 ∞ (2) ˆ I (t1 ) H ˆ Iex (t2 ) ψˆσI (r, t) ψˆ† ′ (r′ , t′ ) |Φ0 i dt1 dt2 hΦ0 | T H Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = σ I 2 ~ Z−∞ Z−∞ X X −i −i 2 = d4 x1 d4 x2 uλ1 ,µ1 (x1 ) uλ2 ,µ2 (x2 ) 2 ~ λ1 ,µ1 λ2 ,µ2 × hΦ0 | T ψˆλ† 1 I (x1 ) ψˆµ1 I (x1 ) ψˆλ† 2 I (x2 ) ψˆµ2 I (x2 ) ψˆσI (x) ψˆσ† ′ I (x′ ) |Φ0 i .
ˆIn acest caz media produsului cronologic se descompune ˆın sum˘a de 6 termeni cont¸inˆand produse de 3 contract¸ii: hΦ0 | T ψˆλ† 1 I (x1 ) ψˆµ1 I (x1 ) ψˆλ† 2 I (x2 ) ψˆµ2 I (x2 ) ψˆσI (x) ψˆσ† ′ I (x′ ) |Φ0 i n = ψλ† 1 I (x1 ) ψµ1 I (x1 ) ψλ† 2 I (x2 ) ψµ2 I (x2 ) ψσI (x) ψσ† ′ I (x′ ) + ψλ† 1 I (x1 ) ψµ1 I (x1 ) ψλ† 2 I (x2 ) ψµ2 I (x2 ) ψσI (x) ψσ† ′ I (x′ )
+ ψλ† 1 I (x1 ) ψµ1 I (x1 ) ψλ† 2 I (x2 ) ψµ2 I (x2 ) ψσI (x) ψσ† ′ I (x′ ) + ψλ† 1 I (x1 ) ψµ1 I (x1 ) ψλ† 2 I (x2 ) ψµ2 I (x2 ) ψσI (x) ψσ† ′ I (x′ )
=
n
+ ψλ† 1 I (x1 ) ψµ1 I (x1 ) ψλ† 2 I (x2 ) ψµ2 I (x2 ) ψσI (x) ψσ† ′ I (x′ ) o + ψλ† 1 I (x1 ) ψµ1 I (x1 ) ψλ† 2 I (x2 ) ψµ2 I (x2 ) ψσI (x) ψσ† ′ I (x′ ) hΦ0 |Φ0 i
+ 0 0 ′ 0 0 ′ 0 − iG0µ1 λ1 (x1 , x+ 1 )(−i)Gµ2 λ2 (x2 , x2 ) iGσσ′ (x, x ) − iGµ2 λ1 (x2 , x1 ) iGµ1 λ2 (x1 , x2 ) iGσσ′ (x, x )
0 ′ 0 0 ′ 0 0 − iG0µ1 λ1 (x1 , x+ 1 )(−i)Gσλ2 (x, x2 ) iGµ2 σ′ (x2 , x ) − iGµ2 λ1 (x2 , x1 )(−i)Gσλ2 (x, x2 ) iGµ1 σ′ (x1 , x )
o 0 ′ ) i G (x , x ) − iG0σλ1 (x, x1 )(−i)G0µ1 λ2 (x1 , x2 ) iG0µ2 σ′ (x2 , x′ ) + iG0σλ1 (x, x1 ) (−i) G0µ2 λ2 (x2 , x+ ′ 1 µ1 σ 2 × hΦ0 |Φ0 i .
Pe baza rezultatului anterior termenul de ordinul 2 se scrie ˆın forma: (2)
Gσσ′ (x, x′ ) Z Z X X 1 + 4 0 d x1 uλ1 ,µ1 (x1 ) Gµ1 λ1 (x1 , x1 ) d4 x2 uλ2 ,µ2 (x2 ) G0µ2 λ2 (x2 , x+ = 2 2) 2~ λ1 ,µ1 λ2 ,µ2 Z Z X X 4 4 0 0 − d x1 d x2 uλ1 ,µ1 (x1 ) uλ2 ,µ2 (x2 ) Gµ1 λ2 (x1 , x2 ) Gµ2 λ1 (x2 , x1 ) hΦ0 |Φ0 i G0σσ′ (x, x′ ) λ1 ,µ1 λ2 ,µ2
Z Z X X −1 d4 x1 uλ1 ,µ1 (x1 ) G0µ1 λ1 (x1 , x+ ) d4 x2 uλ2 ,µ2 (x2 ) G0σλ2 (x, x2 ) G0µ2 σ′ (x2 , x′ ) + 2 1 2~ λ1 ,µ1 λ2 ,µ2 Z Z X X 0 ′ 0 4 (x, x ) G (x , x ) hΦ0 |Φ0 i (x ) G u uλ2 ,µ2 (x2 ) G0µ2 λ2 (x2 , x+ ) d x + d4 x2 λ1 ,µ1 1 1 µ2 σ′ 1 σλ1 1 2
+
Z
λ1 ,µ1
λ2 ,µ2
Z
X X
1 d4 x1 d4 x2 uλ1 ,µ1 (x1 ) uλ2 ,µ2 (x2 ) 2~2 λ1 ,µ1 λ2 ,µ2 i h × G0σλ1 (x, x1 ) G0µ1 λ2 (x1 , x2 ) G0µ2 σ′ (x2 , x′ ) + G0σλ2 (x, x2 ) G0µ2 λ1 (x2 , x1 ) G0µ1 σ′ (x1 , x′ ) hΦ0 |Φ0 i ;
ˆ CAPITOLUL 12. FERMIONI ˆIN CAMP EXTERN
302
ˆın expresia precedent˘ a se observ˘ a c˘ a prin schimbarea de variabile (x1 , σ1 ) ←→ (x2 , σ2 ) se obt¸in contribut¸ii egale, astfel c˘ a termenul de ordinul 2 se simplific˘ a (2)
Gσσ′ (x, x′ ) Z Z X X 1 + 0 4 uλ2 ,µ2 (x2 ) G0µ2 λ2 (x2 , x+ uλ1 ,µ1 (x1 ) Gµ1 λ1 (x1 , x1 ) d4 x2 d x1 = 2 2) 2~ λ2 ,µ2 λ1 ,µ1 Z Z X X 4 4 0 0 − d x1 d x2 uλ1 ,µ1 (x1 ) uλ2 ,µ2 (x2 ) Gµ1 λ2 (x1 , x2 ) Gµ2 λ1 (x2 , x1 ) hΦ0 |Φ0 i G0σσ′ (x, x′ ) λ1 ,µ1 λ2 ,µ2
Z Z X X −1 + 0 4 uλ1 ,µ1 (x1 ) G0σλ1 (x, x1 ) G0µ2 σ′ (x1 , x′ ) uλ2 ,µ2 (x2 ) Gµ2 λ2 (x2 , x2 )hΦ0 |Φ0 i d4 x1 + 2 d x2 ~ λ1 ,µ1 λ2 ,µ2 Z Z X X 1 + 2 d4 x1 d4 x2 uλ1 ,µ1 (x1 ) uλ2 ,µ2 (x2 ) G0σλ1 (x, x1 ) G0µ1 λ2 (x1 , x2 ) G0µ2 σ′ (x2 , x′ ) hΦ0 |Φ0 i . ~ λ1 ,µ1 λ2 ,µ2
(12.10)
Din comparat¸ia cu expresiile termenilor de la numitor, (12.5) – (12.7), se observ˘a c˘ a termenii de la num˘ar˘ ator, exprimat¸i prin relat¸iile (12.8) – (12.10), se factorizeaz˘ a ˆın urm˘atoarele forme: (0)
Gσσ′ (x, x′ ) = S (0) G0σσ′ (x, x′ ) ,
(1) Gσσ′ (x, x′ ) (2) Gσσ′ (x, x′ )
= =
(1) S Gσσ′ (x, x′ ) (2) S (0) Gσσ′ (x, x′ ) (0)
+ +
(12.11a) S G0σσ′ (x, x′ ) (1) S (1) Gσσ′ (x, x′ ) (1)
,
(12.11b)
+ S (2) G0σσ′ (x, x′ ) ,
(12.11c)
unde s-au introdus notat¸iile: Z X 1 (1) ′ (12.12a) uλ1 ,µ1 (x1 ) G0σλ1 (x, x1 ) G0µ1 σ′ (x1 , x′ ) , d4 x1 Gσσ′ (x, x ) = ~ λ1 ,µ1 Z Z X X 1 (2) ′ 4 Gσσ′ (x, x ) = 2 d x1 d4 x2 uλ1 ,µ1 (x1 ) uλ2 ,µ2 (x2 ) G0σλ1 (x, x1 ) G0µ1 λ2 (x1 , x2 ) G0µ2 σ′ (x2 , x′ ) . ~ λ1 ,µ1 λ2 ,µ2
(12.12b)
Este posibil s˘a se continue procedeul anterior, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine urm˘atoarea form˘a factorizat˘a pentru termenul de ordinul n de la num˘ar˘ator: (n)
(n)
(n−1)
Gσσ′ (x, x′ ) = S (0) Gσσ′ (x, x′ ) + S (1) Gσσ′
(1)
(x, x′ ) + . . . + S (n−1) Gσσ′ (x, x′ ) + S (n) G0σσ′ (x, x′ ) , (12.13a)
(n)
unde termenul Gσσ′ (x, x′ ) are expresia Z Z X X 1 (n) ′ 4 Gσσ′ (x, x ) = n d x1 · · · d4 xn uλ1 ,µ1 (x1 ) . . . uλn ,µn (xn ) ··· ~ λ1 ,µ1
λn ,µn
(12.13b) × G0σλ1 (x, x1 ) G0µ1 λ2 (x1 , x2 ) . . . G0µn−1 λn (xn−1 , xn ) G0µn σ′ (xn , x′ ) ; (n) au expresii mai complicate. totu¸si, termenii de la numitor S n Pe baza expresiilor termenilor de la num˘ar˘ator se obt¸ine factorizarea num˘ar˘atorului (pentru a avea o exprimare concis˘a se omit coordonatele spat¸io-temporale ¸si indicii de spini): G = S (0) G0 + S (0) G(1) + S (1) G0 + S (0) G(2) + S (1) G(1) + S (2) G0 + . . . = S (0) G0 + G(1) + G(2) + . . . + G(n) + . . . + S (1) G0 + G(1) + . . . + G(n−1) + . . . + S (2) G0 + G(1) + . . . + G(n−2) + . . . + . . . ∞ ∞ X X S (m) = G(n) ; (12.14) m=0
n=0
atunci, seria de perturbat¸ie se simplific˘ a prin eliminarea numitorului Gσσ′ (x, x′ ) =
∞ Gσσ′ (x, x′ ) X (n) = Gσσ′ (x, x′ ) , S n=0
(12.15)
(rezultatul este forma particular˘ a a teoremei Brueckner pentru cazul interact¸iei fermionilor cu un cˆ amp extern).
˘ NULA ˘ 12.2. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
303
C. Reprezentarea diagramatic˘ a Expresiile analitice ale termenilor efectivi de perturbat¸ie ai funct¸iei Green, definit¸i prin formulele (12.12) – (12.13), se pot reprezenta diagramatic introducˆand urm˘atoarele elemente: x λ – linia particul˘ a
x′
µ
= G0σσ′ (x, x′ ) ,
– vertex de interact¸ie extern˘a
x
λ µ
= uλµ (x) .
Cu aceste elemente diagramatice, termenii efectivi de perturbat¸ie se reprezint˘ a astfel: x σ x σ (1) (0) ′ ; Gσσ′ (x, x′ ) −→ x1 µλ11 Gσσ′ (x, x ) −→ ′ x′ σ ′ x′ σ x σ
(2)
Gσσ′ (x, x′ )
−→
x
σ
x1
λ1 µ1
; ... x2
λ2 µ2
x′
σ′
(n)
Gσσ′ (x, x′ )
−→
x1
λ1 µ1
x2
λ2 µ2
: xn
λn µn ′
x′ σ Diagramele de acest tip se numesc diagrame arborescente (ˆın limba englez˘ a termenul este tree diagrams). Rezultatele anterioare conduc la urm˘atoarele Reguli Feynman pentru diagramele din spat¸iul pozit¸ii-timpi ale seriei de perturbat¸ie pentru funct¸ia Green cauzal˘ a uni-particul˘a corespunz˘ atoare sistemului de fermioni cu interact¸ii externe: 1. Termenul de perturbat¸ie de ordinul n este reprezentat printr-o singur˘a diagram˘ a (diagram˘a arborescent˘ a), care are urm˘atoarea topologie (ilustrat˘ a prin diagrama anterioar˘ a a terme(n) nului Gσσ′ (x, x′ ): • exist˘a 2 puncte externe care sunt legate printr-un ¸sir de linii particul˘ a continue, • ¸sirul de linii particul˘ a cont¸ine 2 linii externe ¸si n − 1 linii interne, • liniile particul˘ a sunt legate prin n vertexuri de interact¸ie. 2. Elementele diagramei sunt linia particul˘ a, care reprezint˘ a o funct¸ie Green liber˘a, ¸si vertexul de interact¸ie, care reprezint˘ a potent¸ialul de interact¸ie a unei particule cu cˆ ampul extern; prin utilizarea regulilor de corespondent¸˘a pentru elementele diagramei se obt¸ine expresia (n) analitic˘a a diagramei Gσσ′ (x; λ, µ | x, x′ ), unde x ≡ (x1 , x2 , . . . , xn ) este setul coordonatelor spat¸io-temporale interne, iar (λ, µ) ≡ {(λ1 , µ1 ), (λ2 , µ2 ), . . . , (λn , µn )} este setul indicilor de spini interni. 1 . ~n 4. Se efectueaz˘ a integr˘arile peste coordonatele spat¸io-temporale interne Z Z Z 4 4 d x1 · · · d xn . . . ≡ d4n x . . . 3. Factorul diagramei este f (n) =
¸si sum˘arile peste indicii de spini interni X X X ... ≡ ··· ... . λ1 ,µ1
λn ,µn
λ,µ
ˆ CAPITOLUL 12. FERMIONI ˆIN CAMP EXTERN
304
5. Termenul de ordinul n al funct¸iei Green este Z X (n) (n) Gσσ′ (x, x′ ) = f (n) d4n x Gσσ′ (x; λ, µ|x, x′ ) . λ,µ
12.2.3
Funct¸ia Green ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a
A. Definit¸ii Hamiltonianul sistemului este atemporal, astfel ˆıncˆ at sistemul este invariant la translat¸ii temporale; pe de alt˘ a parte ˆıns˘ a, efectul cˆ ampului extern produce (eventual) neomogenitatea spat¸ial˘a a sistemului. Ca urmare, funct¸ia Green depinde de diferent¸a coordonatelor temporale, dar are o posibil˘a dependent¸˘ a separat˘ a de fiecare coordonat˘a spat¸ial˘a, conform relat¸iei generale (3.48): Gσ,σ′ (r, t; r′ , t′ ) = Gσ,σ′ (r, r′ ; t − t′ ) . Datorit˘ a propriet˘ a¸tii anterioare este necesar s˘a se utilizeze (ˆın cazul general neomogen) o transformat˘a Fourier temporal˘ a simpl˘a ¸si dublu spat¸ial˘a: Z 1 X ∞ dω i(k·r−k′ ·r′ )−iω(t−t′ ) f f G σσ′ (k, k′ , ω) e Gσ,σ′ (r, r′ ; t − t′ ) = 2 V 2π −∞ k,k′ Z Z ∞ Z d3 k′ dω i(k·r−k′ ·r′ )−iω(t−t′ ) f d3 k f G σσ′ (k, k′ , ω) , (12.16a) e = LT R3 (2π)3 R3 (2π)3 −∞ 2π
iar transformarea invers˘a este Z Z Z f f G σσ′ (k, k′ , ω) = d3 r d3 r′
∞
′
′
dt e−i(k·r−k ·r )+iωt Gσ,σ′ (r, r′ ; t) .
(12.16b)
−∞
B. Transformarea Fourier a termenilor de perturbat¸ie Dezvoltarea perturbativ˘a a funct¸iei Green ˆın spat¸iul pozit¸ii-timpi este dat˘a de relat¸ia (12.15), astfel ˆıncˆ at prin transformare Fourier se obt¸ine: Gσσ′ (r, r′ ; t − t′ ) =
∞ X
n=0
(n)
Gσσ′ (r, r′ ; t − t′ )
=⇒
∞ (n) X f f f f G σσ′ (k, k′ ; ω) . (12.17) G σσ′ (k, k′ ; ω) = n=0
Pentru a obt¸ine transformatele Fourier ale termenilor perturbat¸ionali se observ˘a c˘ a funct¸ia Green liber˘ a are o transformat˘a Fourier simpl˘a, deoarece depinde numai de diferent¸ele coordonatelor spat¸io-temporale Z Z ∞ d3 k dω ik·(r−r′ )−iω(t−t′ ) e0 0 ′ ′ 0 ′ ′ ′ Gσ,σ′ (r, t; r , t ) = Gσ,σ′ (r − r ; t − t ) = δσσ e G (k, ω) , 3 LT (2π) 3 R −∞ 2π iar potent¸ialul de interact¸ie este atemporal, astfel ˆıncˆ at are numai transformat˘a Fourier spat¸ial˘a Z Z 1 X ik·r d3 q ik·r ′ ′ uσσ′ (r) = e u e (q) =⇒ u e (q) = d3 r e−ik·r uσσ′ (r) . e u eσσ′ (q) = σσ σσ LT R3 (2π)3 V q Ordinul 0 are numai contribut¸ia funct¸iei Green libere, astfel ˆıncˆ at transformata Fourier dublu spat¸ial˘a ¸si simplu temporal˘ a este Z Z Z ∞ (0) ′ ′ f (0) ′ 3 3 ′ f G σσ′ (k, k ; ω) = d r d r dt e−i(k·r−k ·r )+iωt Gσ,σ′ (r, r′ ; t) −∞ Z Z Z ∞ ′ ′ = d3 r d3 r′ dt e−i(k·r−k ·r )+iωt −∞
Z d3 k′′ ∞ dω ′′ ik′′ ·(r−r′ )−iω′′ (t−t′ ) e0 ′′ ′′ e G (k , ω ) × δσσ′ 3 −∞ 2π R3 (2π) Z Z Z Z Z ∞ ′′ d3 k′′ ∞ dω ′′ e0 ′′ ′′ 3 i(k′′ −k)·r 3 ′ i(k′ −k′′ )·r′ = δσσ′ G (k , ω ) d r e d r e dt ei(ω−ω )t 3 R3 (2π) −∞ 2π −∞ Z
˘ NULA ˘ 12.2. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
305
Integralele spat¸iale ¸si temporal˘ a produc funct¸ii Dirac, conform relat¸iilor urm˘atoare: Z ′ d3 r ei(k−k )·r = (2π)3 δ(k − k′ ) , Z ∞ ′ dt ei(ω−ω )t = 2π δ(ω − ω ′ ) ; −∞
utilizˆand rezultatele precedente ¸si proprietatea fundamental˘a a funct¸iei Dirac, se obt¸ine expresia transformatei Fourier pentru termenul de ordinul 0: (0)
f e 0 (k, ω) . f G σσ′ (k, k′ ; ω) = δσ,σ′ (2π)3 δ 3 (k − k′ ) G
(12.18)
Ordinul 1 este descris de formula (12.12a), ˆın care se efectueaz˘a transform˘arile Fourier simple pentru funct¸iile Green libere ¸si apoi se obt¸ine transformata Fourier a potent¸ialului de interact¸ie: (1)
Gσσ′ (r, r′ ; t − t′ ) Z Z ∞ X 1 d3 r1 dt1 G0σλ1 (r, t; r1 , t1 ) uλ1 ,µ1 (r1 ) G0µ1 σ′ (r1 , t1 ; r′ , t′ ) = ~ −∞ λ1 ,µ1 Z Z Z Z ∞ X 1 d3 k1 ∞ dω1 ik1 ·(r−r1 )−iω1 (t−t1 ) e 0 3 = e Gσλ1 (k1 , ω1 ) d r1 uλ1 ,µ1 (r1 ) dt1 3 ~ −∞ 2π R3 (2π) −∞ λ1 ,µ1 Z Z d3 k2 ∞ dω2 ik2 ·(r1 −r′ )−iω2 (t1 −t′ ) e 0 e Gµ1 σ′ (k2 , ω2 ) × 3 −∞ 2π R3 (2π) Z Z Z Z 1 d3 k1 ∞ dω1 d3 k2 ∞ dω2 X e0 e 0µ σ′ (k2 , ω2 ) = Gσλ1 (k1 , ω1 ) G 1 ~ R3 (2π)3 −∞ 2π R3 (2π)3 −∞ 2π λ1 ,µ1 Z Z ∞ ′ ′ × ei(k1 ·r−k2 ·r −ω1 t+ω2 t ) dt1 ei(ω1 −ω2 )t1 d3 r1 ei(k2 −k1 )·r1 uλ1 ,µ1 (r1 ) {z } {z }| | −∞ =
1 ~
Z
R3
3
d k1 (2π)3
Z
dω1 −∞ 2π
3
R3
′
=u eλ1 µ1 (k1 −k2 )
= 2π δ(ω1 −ω2 )
Z
∞
d k2 (2π)3
X
λ1 ,µ1
′
e 0µ σ′ (k2 , ω1 ) e 0σλ (k1 , ω1 ) G G 1 1
× ei(k1 ·r−k2 ·r )−iω1 (t−t ) u eλ1 µ1 (k1 − k2 ) ;
atunci, transformata Fourier dublu spat¸ial˘a ¸si simplu temporal˘a a termenului de ordinul 1 este Z Z Z ∞ (1) ′ ′ f (1) f G σσ′ (k, k′ , ω) = d3 r d3 r′ dt e−i(k·r−k ·r )+iωt Gσ,σ′ (r, r′ ; t) =
Z
d3 r X
Z
λ1 ,µ1
Z
d3 r′
−∞ ∞
Z
−∞
′
e 0σλ (k1 , ω1 ) G 1
1 ~
Z
d3 k1 3 R3 (2π)
Z
∞
dω1 −∞ 2π
Z
d3 k2 3 R3 (2π)
e0µ σ′ (k2 , ω1 ) ei(k1 ·r−k2 ·r′ )−iω1 t u G eλ1 µ1 (k1 − k2 ) 1
Z d3 k2 ∞ dω1 X e0 e 0 ′ (k2 , ω1 ) eλ1 µ1 (k1 − k2 ) G Gσλ1 (k1 , ω1 ) u µ1 σ 3 R3 (2π) −∞ 2π λ ,µ 1 1 Z Z Z ∞ 3 i(k1 −k)·r 3 ′ i(k′ −k2 )·r′ × d re d r e dt ei(ω−ω1 )t . −∞ | {z }| {z }| {z }
1 = ~
d3 k1 3 R3 (2π)
Z
′
dt e−i(k·r−k ·r )+iωt
= (2π)3 δ 3 (k1 −k)
= (2π)3 δ 3 (k2 −k′ )
2π δ(ω1 −ω)
Integralele r˘amase se efectueaz˘ a ˆın mod banal prin utilizarea propriet˘ a¸tii fundamentale a funct¸iilor Dirac, astfel ˆıncˆ at rezult˘a: (1) 1 X e0 f e 0 ′ (k′ , ω) . f eλ1 µ1 (k − k′ ) G Gσλ1 (k, ω) u G σσ′ (k, k′ , ω) = µ1 σ ~ λ1 ,µ1
(12.19)
ˆ CAPITOLUL 12. FERMIONI ˆIN CAMP EXTERN
306
Ordinul 2 este descris de formula (12.12b), ˆın care se efectueaz˘a transform˘arile Fourier simple pentru funct¸iile Green libere ¸si apoi integralele temporale produc funct¸ii Dirac (cu argumente diferent¸ele frecvent¸elor), iar integralelespat¸iale produc transformate Fourier ale potent¸ialelor de interact¸ie (ˆın mod similar cu cazul precedent): (2)
Gσσ′ (r, r′ ; t − t′ ) Z Z ∞ Z Z ∞ X X 1 3 3 dt1 d r2 dt2 G0σλ1 (r, t; r1 , t1 ) uλ1 ,µ1 (r1 ) G0µ1 λ2 (r1 , t1 ; r2 , t2 ) = 2 d r1 ~ −∞ −∞ λ1 ,µ1 λ2 ,µ2
× uλ2 ,µ2 (r2 ) G0µ2 σ′ (r2 , t2 ; r′ , t′ ) Z Z ∞ Z Z ∞ X X 1 = 2 d3 r1 dt1 d3 r2 dt2 uλ1 ,µ1 (r1 ) uλ2 ,µ2 (r2 ) ~ −∞ −∞ λ1 ,µ1 λ2 ,µ2 Z Z d3 k1 ∞ dω1 ik1 ·(r−r1 )−iω1 (t−t1 ) e 0 e Gσλ1 (k1 , ω1 ) × 3 −∞ 2π R3 (2π) Z Z d3 k2 ∞ dω2 ik2 ·(r1 −r2 )−iω2 (t1 −t2 ) e 0 × e Gµ1 λ2 (k2 , ω2 ) 3 R3 (2π) −∞ 2π Z Z d3 k3 ∞ dω3 ik3 ·(r2 −r′ )−iω3 (t2 −t′ ) e 0 e Gµ2 σ′ (k3 , ω3 ) × 3 −∞ 2π R3 (2π) Z Z Z Z Z Z 1 d3 k1 d3 k2 d3 k3 ∞ dω1 ∞ dω2 ∞ dω3 X X e0 = 2 Gσλ1 (k1 , ω1 ) ~ R3 (2π)3 R3 (2π)3 R3 (2π)3 −∞ 2π −∞ 2π −∞ 2π λ1 ,µ1 λ2 ,µ2
e0µ σ′ (k3 , ω3 ) ei(k1 ·r−k3 ·r′ −ω1 t+ω3 t′ ) e 0µ λ (k2 , ω2 ) G ×G 2 1 2 Z ∞ Z ∞ i(ω1 −ω2 )t1 dt2 ei(ω2 −ω3 )t2 dt1 e × −∞ −∞ {z }| {z } | ×
=
= 2π δ(ω1 −ω2 )
Z
= 2π δ(ω2 −ω3 )
Z d3 r1 ei(k2 −k1 )·r1 uλ1 ,µ1 (r1 ) d3 r1 ei(k3 −k2 )·r2 uλ2 ,µ2 (r2 ) | {z }| {z }
1 ~2
Z
3
=u eλ1 µ1 (k1 −k2 )
d k1 3 (2π) 3 R
Z
3
d k2 3 (2π) 3 R
Z
3
d k3 3 (2π) 3 R
Z
=u eλ2 µ2 (k2 −k3 )
dω1 X X e0 eλ1 µ1 (k1 − k2 ) Gσλ1 (k1 , ω1 ) u −∞ 2π ∞
λ1 ,µ1 λ2 ,µ2
e 0 ′ (k3 , ω1 ) ei(k1 ·r−k3 ·r′ )−iω1 (t−t′ ) ; e 0 (k2 , ω1 ) u eλ2 µ2 (k2 − k3 ) G ×G µ2 σ µ1 λ2
cu ajutorul expresiei precedente se obt¸ine transformata Fourier dublu spat¸ial˘a ¸si simplu temporal˘a a termenului de ordinul 2 pentru funct¸ia Green, prin aplicarea definit¸iei date de formula (12.16b): (2)
f f G σσ′ (k, k′ , ω) =
=
Z
Z
×
d3 r 3
Z
Z
d3 r′ 3 ′
d r d r X X
λ1 ,µ1 λ2 ,µ2
Z
∞
−∞ ∞
Z
′
′
′
′
(2)
dt e−i(k·r−k ·r )+iωt Gσ,σ′ (r, r′ ; t) dt e−i(k·r−k ·r )+iωt
−∞
1 ~2
Z
d3 k1 3 R3 (2π)
Z
d3 k2 3 R3 (2π)
Z
d3 k3 3 R3 (2π)
Z
e0µ λ (k2 , ω1 ) u e 0σλ (k1 , ω1 ) u eλ2 µ2 (k2 − k3 ) eλ1 µ1 (k1 − k2 ) G G 1 2 1
e 0µ σ′ (k3 , ω1 ) ei(k1 ·r−k3 ·r′ )−iω1 (t−t′ ) ×G 2 Z Z Z Z 1 d3 k1 d3 k2 d3 k3 ∞ dω1 X X e0 = 2 Gσλ1 (k1 , ω1 ) ~ R3 (2π)3 R3 (2π)3 R3 (2π)3 −∞ 2π λ1 ,µ1 λ2 ,µ2
e 0 ′ (k3 , ω1 ) u eλ2 µ2 (k2 − k3 ) G ×u eλ1 µ1 (k1 − k2 ) µ2 σ Z Z ∞ Z ′ ′ dt ei(ω−ω1 )t . × d3 r ei(k1 −k)·r d3 r′ ei(k −k3 )·r −∞ {z }| {z }| | {z } e0 (k2 , ω1 ) G µ1 λ2
= (2π)3 δ 3 (k1 −k)
= (2π)3 δ 3 (k3 −k′ )
2π δ(ω1 −ω)
∞
dω1 −∞ 2π
˘ NULA ˘ 12.2. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
307
Integralele r˘amase se efectueaz˘ a ˆın mod banal prin utilizarea propriet˘ a¸tii fundamentale a funct¸iilor Dirac, astfel ˆıncˆ at rezult˘a: (2)
f f G σσ′ (k, k′ , ω) Z d3 p X X e 0 1 e 0µ σ′ (k′ , ω) . e 0µ λ (p, ω) u eλ2 µ2 (p − k′ ) G eλ1 µ1 (k − p) G Gσλ1 (k, ω) u = 2 2 1 2 ~ R3 (2π)3 λ1 ,µ1 λ2 ,µ2
(12.20)
Prin generalizarea rezultatelor precedente ¸si utilizˆand formula (12.13b), se obt¸ine transformata Fourier a termenului de ordinul n: Z Z (n) X d3 pn−1 X 1 d3 p1 f ′ e 0 (k, ω) u f · · · eλ1 µ1 (k − p1 ) G · · · G σσ′ (k, k , ω) = n σλ1 3 ~ R3 (2π)3 R3 (2π) λn ,µn
λ1 ,µ1
e 0µ σ′ (k′ , ω) . e0µ λ (p1 , ω) u eλn µn (pn−1 − k′ ) G eλ2 µ2 (p1 − p2 ) . . . u ×G n 1 2
(12.21)
Rezultatele anterioare se pot reprezenta diagramatic prin utilizarea Regulilor Feynman ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a: λ
1. Structura topologic˘a a diagramei pentru termenul de ordinul n este k, ω identic˘ a cu cea a diagramei corespondente din spat¸iul pozit¸ii-timpi, adic˘a λ1 k − p1 µ1 diagram˘ a arborescent˘ a; prin urmare, exist˘a un ¸sir de n + 1 linii particul˘ a legate ˆın n vertexuri, ˆın fiecare vertex exist˘a cˆ ate o linie de interact¸ie extern˘a. p1 , ω p − p 1 2 λ2 ˆIn figura al˘ aturat˘ a este ilustrat˘a diagrama termenului de ordinul n. µ2 2. Elementele diagramelor sunt:
:
λ
• linia particul˘ a
µ
e0 k, ω = Gσσ′ (k, ω) ,
• vertex de interact¸ie extern˘a
λ
q
µ
pn−1 , ω λn µn
=u eλµ (q) .
pn−1 − k′
k′ , ω µ
3. Se atribuie argumente pe linii ¸si vertexuri astfel:
• liniile particul˘ a externe au inpulsurile k (pe linia emergent˘ a) ¸si k′ (pe linia incident˘ a), • liniile particul˘ a interne au impulsurile {pj }j=1,2,...,n−1 , • toate liniile particul˘ a au aceea¸si frecvent¸˘a ω, • liniile de interact¸ie au impulsurile corespunz˘ atoare relat¸iilor de conservare ˆın vertexuri (¸si sunt indepenedente de frecvent¸˘a), • se atribuie indicii de spini. 4.
Factorul diagramei de ordinul n este acela¸si cu cel din cazul diagramelor ˆın spat¸iul 1 pozit¸ii-timpi: f (n) = n ; prin regulile de corespundent¸˘a analitic˘a se obt¸ine expresia diagra~ (n) mei: Dσσ′ (p; λ, µ | k, k′ , ω), unde p ≡ {p1 , . . . , pn−1 } este setul impulsurilor interne, iar (λ, µ) ≡ {(λ1 , µ1 ), (λ2 , µ2 ), . . . , (λn , µn )} este setul indicilor de spini interni. 5. Se efectueaz˘ a integr˘arile peste impulsurile interne Z 3 Z 3 Z 3(n−1) d p1 d pn−1 d p ... · · · . . . ≡ (2π)3 (2π)3 (2π)3(n−1) ¸si sum˘arile peste indicii de spini interni X X X ... ≡ ··· ... . λ1 ,µ1
λn ,µn
λ,µ
6. Termenul de ordinul n al transformatei Fourier pentru funct¸ia Green este Z 3(n−1) X (n) d p f (n) ′ (n) f Dσσ′ (p; λ, µ|k, k′ ; ω) . G σσ′ (k, k ; ω) = f 3(n−1) (2π) λ,µ
ˆ CAPITOLUL 12. FERMIONI ˆIN CAMP EXTERN
308
12.2.4
Ecuat¸ii Dyson
Ecuat¸ia Dyson ˆın spat¸iul pozit¸ii-timpi este Z X 1 ′ 0 ′ d4 x′′ G0σλ (x, x′′ ) uλµ (x′′ ) Gµσ′ (x′′ , x′ ) Gσσ′ (x, x ) = Gσσ′ (x, x ) + ~
(12.22)
λ,µ
¸si are urm˘atoarea reprezentare diagramatic˘ a: x
x
σ
x′
σ
+ x′
σ
x1
λ µ
x′
σ′
σ
= ′
x
σ
′
Demonstrat¸ie: Se utilizeaz˘ a seria de perturbat¸ie a funct¸iei Green (12.15), ˆın care se expliciteaz˘ a termenii conform relat¸iilor (12.12) ¸si (12.13); apoi se extrage factorul comun din termenii de ordine n ≥ 1 ¸si se formeaz˘ a seria funct¸iei Green: Z X 0 1 Gσλ1 (x, x1 ) uλ1 ,µ1 (x1 ) G0µ1 σ ′ (x1 , x′ ) d4 x1 Gσσ ′ (x, x′ ) = G0σσ ′ (x, x′ ) + ~ λ1 ,µ1 Z Z X X 0 1 + 2 d4 x1 d4 x2 Gσλ1 (x, x1 ) uλ1 ,µ1 (x1 ) G0µ1 λ2 (x1 , x2 ) uλ2 ,µ2 (x2 ) G0µ2 σ ′ (x2 , x′ ) ~ λ ,µ λ ,µ 1
+ ...
= G0σσ ′ (x, x′ ) +
1 ~
Z
1
d4 x1
2
2
X
G0σλ1 (x, x1 ) uλ1 ,µ1 (x1 )
λ1 ,µ1
Z n o X 0 1 × G0µ1 σ ′ (x1 , x′ ) + Gµ1 λ2 (x1 , x2 ) uλ2 ,µ2 (x2 ) G0µ2 σ ′ (x2 , x′ ) + . . . ; d4 x 2 ~ λ2 ,µ2
se observ˘ a c˘ a m˘ arimea din interiorul parantezelor acolade este seria de perturbat¸ie a funct¸iei Green, astfel c˘ a s-a obt¸inut relat¸ia (12.22).
ˆIn spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a ecuat¸ia Dyson pentru transformata Fourier a funct¸iei Green are expresia Z 1 d3 p X e 0 f f ′ 3 3 ′ e0 f G σσ′ (k, k , ω) = (2π) δ (k− k ) Gσ,σ′ (k, ω)+ G µσ′ (k, p, ω) Gσλ (k, ω) u eλµ (k− p) f 3 ~ R3 (2π) λ,µ
(12.23)
¸si are urm˘atoarea reprezentare diagramatic˘ a:
k, ω k, ω
k, ω
σ
σ
= k′ , ω
σ′
+ k′ , ω
σ′
λ µ
k′ , ω
σ
k−p σ′
Demonstrat¸ie: Demonstrat¸ia relat¸iei (12.23) se poate face fie prin transformarea Fourier spat¸ial˘ a dubl˘ a ¸si temporal˘ a simpl˘ a a ecuat¸iei Dyson (12.22), fie prin deducere direct˘ a din seria de perturbat¸ie a transformatei Fourier a funct¸iei Green, adic˘ a ˆın mod analog cu deducerea ecuat¸iei Dyson ˆın spat¸iul pozit¸ii-timpi. Deoarece ambele metode sunt similare cu demonstrat¸ii anterioare, pentru a evita repetit¸ii, se omite prezentarea acestei demonstrat¸ii.
12.2.5
Cazul cuplajului cu un cˆ amp magnetic uniform
Se consider˘ a c˘ a sistemul de fermioni cu spin s = 21 interact¸ioneaz˘ a cu un cˆ amp magnetic uniform H ¸si se alege axa Oz de-a lungul acestui cˆ amp magnetic extern; atunci, matricea de
˘ NULA ˘ 12.2. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
309 (z)
spin a potent¸ialului de interact¸ie este dat˘a de formula (12.2): uσ, σ′ (r) = − µB H σσ, σ′ ¸si este independent˘ a de coordonatele de pozit¸ie. Discut¸ia efectuat˘a pentru calculul de perturbat¸ie a funct¸iei Green ˆın spat¸iul pozit¸ii-timpi r˘amˆ ane nemodificat˘a, cu singura simplificare c˘ a matricea de spin a potent¸ialului de interact¸ie este o constant˘ a. ˆIn spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a studiul funct¸iei Green a sistemului se simplific˘ a ˆın mod considerabil, deoarece interact¸ia particulelor cu cˆ ampul magnetic uniform nu altereaz˘a omogenitatea spat¸ial˘a a sistemului. ˆIn consecint¸˘ a, funct¸ia Green depinde, ˆın acest caz, numai de diferent¸ele coordonatelor spat¸io-temporale ¸si astfel este posibil˘a o transformare Fourier simpl˘a: Z ∞ Z dω ik·(r−r′ )−iω(t−t′ ) e d3 k e Gσσ′ (k, ω) ; Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = Gσσ′ (r − r′ , t − t′ ) = 3 LT R3 (2π) −∞ 2π
ˆın notat¸ie 4-dimensional˘ a relat¸ia anterioar˘ a se scrie mai condensat Z d4 k ik·(x−x′ ) e e Gσσ′ (k) . Gσσ′ (x, x′ ) = (2π)4 A. Analiza diagramatic˘ a ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a
Se efectueaz˘ a transformarea Fourier a fiec˘ arui termen din seria de perturbat¸ie a funct¸iei Green ˆın spat¸iul pozit¸ii-timpi, dat˘ a de relat¸ia tip Brueckner (12.15): Z X (n) d4 k ik·(x−x′ ) e (n) (n) e Gσσ′ (k) . Gσσ′ (x, x′ ) = Gσσ′ (x, x′ ) =⇒ Gσσ′ (x, x′ ) = (2π)4 n=0
Pentru termenul de ordinul n se utilizeaz˘a expresia (12.13) ¸si se efectueaz˘a sum˘arile part¸iale ˆın raport cu indicii de spini, luˆand ˆın considerare c˘ a funct¸iile Green libere sunt diagonale ˆın indicii de spini: Z Z X X 1 (n) ′ 4 Gσσ′ (x, x ) = n d x1 · · · d4 xn uλ1 ,µ1 . . . uλn ,µn ··· ~ λ1 ,µ1
λn ,µn
. . . G0µn−1 λn (xn−1 , xn ) G0µn σ′ (xn , x′ ) × X 1 uσµ1 uµ1 µ2 . . . uµn−1 σ′ = n ~ µ ,µ ,...,µ 1 2 n−1 Z Z 4 × d x1 · · · d4 xn G0 (x, x1 ) G0 (x1 , x2 ) . . . G0 (xn−1 , xn ) G0 (xn , x′ ) ; G0σλ1 (x, x1 )
G0µ1 λ2 (x1 , x2 )
ˆın continuare se efectueaz˘ a transform˘arile Fourier pentru funct¸iile Green libere ¸si se utilizeaz˘a proprietatea de convolut¸ie (3.104a) a transform˘arii Fourier: Z Z d4 x1 · · · d4 xn G0 (x, x1 ) G0 (x1 , x2 ) . . . G0 (xn−1 , xn ) G0 (xn , x′ ) Z 4 Z Z Z 4 d kn+1 ikn+1 ·(xn −x′ ) e0 d k1 ik1 ·(x−x1 ) e0 e G (k ) · · · e G (kn+1 ) = d4 x1 · · · d4 xn 1 4 (2π) (2π)4 Z 4 Z 4 d k1 d kn+1 e0 e 0 (kn+1 ) eik1 ·x−ikn+1 ·x′ = · · · G (k1 ) · · · G (2π)4 (2π)4 Z Z × d4 x1 ei(k2 −k1 )·x1 · · · d4 xn ei(kn+1 −kn )·xn {z } | {z } | =
Z
= (2π)4 δ(k2 −k1 )
= (2π)4 δ(kn+1 −kn )
d4 k e 0 n+1 ik·(x−x′ ) G (k) e . (2π)4
Atunci, termenul de ordinul n are expresia Z d4 k ik·(x−x′ ) 1 (n) e Gσσ′ (x, x′ ) = (2π)4 ~n µ
X
1 ,µ2 ,...,µn−1
0 n+1 e (k) ; uσµ1 uµ1 µ2 . . . uµn−1 σ′ G
ˆ CAPITOLUL 12. FERMIONI ˆIN CAMP EXTERN
310
utilizˆand definit¸ia transform˘ arii Fourier rezult˘a c˘ a transformata Fourier a termenului perturba¸tional de ordinul n este e(n)′ (k) = 1 G σσ ~n
unde u ˇ ≡ uσσ′
X
0 n+1 0 n+1 1 e (k) e (k) , (12.24) = n u ˇn σσ′ G uσµ1 uµ1 µ2 . . . uµn−1 σ′ G ~
µ1 ,µ2 ,...,µn−1
σ,σ′ =±1
este matricea de spin a potent¸ialului de interact¸ie.
B. Ecuat¸ia Dyson Pe baza rezultatului anterior se poate deduce ˆın mod direct ecuat¸ia Dyson ˆın spat¸iul impulsfrecvent¸˘a: 0 2 1 X 0 3 e 0 (k) + 1 uσσ′ G e σσ′ (k) = δσσ′ G e (k) + e (k) + . . . G uσλ uλσ′ G ~ ~ λ X 0 n+1 1 e (k) + n + ... uσµ1 uµ1 µ2 . . . uµn−1 σ′ G ~ µ ,µ ,...,µ 1
2
n−1
X e 0 (k) + 1 e 0 (k) = δσσ′ G uσλ G ~ λ o n 0 2 1 X 0 3 1 0 e (k) + e (k) + . . . ; e uλλ′ uλ′ σ′ G × δλσ′ G (k) + uλσ′ G ~ ~ ′ λ
se observ˘ a c˘ a m˘arimea din interiorul parantezelor acolade este seria de perturbat¸ie a transformatei Fourier a funct¸iei Green, astfel c˘ a rezult˘a relat¸ia X e 0 (k) + 1 G e σσ′ (k) = δσσ′ G e 0 (k) eλσ′ (k) , G uσλ G ~
(12.25)
λ
care este ecuat¸ia Dyson pentru transformata Fourier a funct¸iei Green. Este convenabil s˘a se rescrie ecuat¸ia Dyson anterioar˘ a ˆın form˘a matricial˘a: ˇe ˇe e 0 (k) ˇI + 1 G e 0 (k) u G(k) =G ˇ · G(k) . ~
Prin operat¸ii algebrice simple se obt¸ine solut¸ia ˆın forma −1 −1 −1 1 e0 1 ˇ 1 1 ˇ µB H (z) ˇe 0 e ˇ I − uˇ I+ G(k) = G (k) I − G (k) uˇ σ ˇ , = = e0 (k) e0 (k) ~ ~ ~ G G
unde ˆın ultima expresie s-a explicitat matricea de interact¸ie, conform relat¸iei (12.2). Rezultatul anterior arat˘a c˘ a inversa matricii de spin a transformatei Fourier a funct¸iei Green este µB H 1 + 0 e0 (k) ~ 1 ˇ µB H (z) ˇe −1 G ; σ ˇ = G (k) = 1+ 1 µ H B 0 e ~ G (k) 0 − 0 e ~ G (k) deoarece este o matrice diagonal˘ a, inversarea acestei matrici este banal˘a ¸si se obt¸ine: −1 1 µB H 0 + e0 ~ ˇe G (k) −1 , G(k) = 1 µB H 0 − e0 (k) ~ G
adic˘a transformata Fourier a funct¸iei Green este e σσ′ (k) = G
1 µB H σ + 0 e ~ G (k) 1
δσσ′ ;
˘ NULA ˘ 12.2. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
311
ˆın final, prin explicitarea transformatei Fourier a funct¸iei Green libere, conform relat¸iei (3.70), se obt¸ine: 1 e σσ′ (k, ω) = δσσ′ G . (12.26) ω − ~1 ε0k − µB H σ + i η sgn(k − kF ) C. Magnetizarea
Pentru sistemul constituit din N particule, operatorul moment dipolar magnetic este ˆz = M
QI
N X
ˆ (z) m j ,
j=1
(z)
(z)
ˆ j = µB σ ˆj este momentul dipolar magnetic (de spin) al unei particule. unde m ˆIn Cuantificarea II momentul dipolar magnetic al sistemului este operatorul Z Z X † X (z) (z) ˆz = M d3 r ψˆ ′ (r) m ′ ψˆσ (r) = d3 r µB σ ′ ψˆ† ′ (r) ψˆσ (r) . σ
Q II
σ σ
σ σ
σ,σ′
σ
σ,σ′
Media pe starea fundamental˘ a a momentului magnetic dipolar se exprim˘ a ˆın termeni de funct¸ie Green, conform relat¸iei (3.80c) ˆ z |Ψ0 i
hΨ0 |M = −i Mz 0 = hΨ0 |Ψ0 i = −i
Z
Z
d3 r
X
(z)
µB σσσ′ Gσ′ σ (r, t; r, t+ )
σ,σ′
d3 r
X
(z) µB σσσ Gσσ (r, t; r, t+ ) ,
σ
(z) unde ˆın ultima egalitate s-a luat ˆın considerare faptul c˘ a matricea Pauli σ ˇ (z) = σσσ′ este diagonal˘ a. Funct¸ia Green de timpi egali ¸si pozit¸ii identice are transformata Fourier dat˘a de urm˘atoarea formul˘a, conform rezultatelor obt¸inute ˆın Subsect¸iunea 3.2.6: Z 3 Z d k dω e ik·(r−r′ )−iω(t−t′ ) ′ Gσσ′ (r, t; r, t+ ) = (k, ω) e G σσ r′ =r 3 (2π) 2π t′ =t+ Z 3 Z d k dω e = Gσσ′ (k, ω) eiωη ; (2π)3 2π η→0+ atunci media pe starea fundamental˘ a a momentului magnetic dipolar se exprim˘ a ˆın forma: Z X
(z) µB σσσ d3 r Gσσ (r, t; r, t+ ) Mz 0 = −i σ
= −i
X
(z) µB σσσ
σ
Z
d3 r | {z }
Z
d3 k (2π)3
V
Z
Z
Z
dω e Gσσ′ (k, ω) eiωη 2π η→0+
eiωη dω 1 0 − µ H σ + i η sgn(k − k ) η→0 2π ε ω − + B F ~ k σ Z 3 iωη X d k e dω (z) = −i V µB σσσ 1 0 3 2π ω − ~ εk − µB H σ − iη kkF
= −i V
X
(z) µB σσσ
d3 k (2π)3 Z
Integralele dup˘a frecvent¸e se calculeaz˘a cu formula (A.48) din Anexa matematic˘a A.5: ( Z ∞ eiωη 0, dac˘a λ = +1 , dω (1) = Jλ (a) ≡ 2π ω − a + λiη i , dac˘ a λ = −1 . −∞ η→0+
ˆ CAPITOLUL 12. FERMIONI ˆIN CAMP EXTERN
312
Ca urmare, se obt¸ine urm˘atoarea expresie a momentului dipolar magnetic: Z X
d3 k (z) ; Mz 0 = V µB σσσ 3 k
X Mz 0 k3 (z) M≡ = F2 µB σσσ . V 6π σ=±1
(12.27)
Suma elementelor diagonale ale matricii Pauli σ ˇ (z) este nul˘a X (z) σσσ =0, σ=±1
ca urmare, se obt¸ine o magnetizare nul˘a: M = 0. Rezultatul este absurd, deoarece sistemul de fermioni cu interact¸ii magnetice de spin are o magnetizare finit˘a ˆın prezent¸a unui cˆ amp magnetic extern. Explicat¸ia rezultatului negativ obt¸inut anterior este urm˘atoarea: s-a utilizat teoria perturbat¸iilor ˆın care starea neperturbat˘ a este ˆın absent¸a cˆ ampului magnetic, cˆ and sistemul este isotrop; totu¸si, prezent¸a cˆ ampului magnetic distruge isotropia sistemului astfel ˆıncˆ at utilizarea funct¸iilor Green libere (care sunt isotrope) nu poate conduce la o stare anisotrop˘a; adic˘a funct¸ii corespunz˘ atoare unei st˘ari simetrice nu pot descrie o stare asimetric˘a. Se poate ar˘ ata c˘ a prin utilizarea formalismului de temperatur˘a finit˘a se obt¸ine un rezultat corect la limita temperaturii nule, deoarece funct¸iile Green-Matsubara nu sunt isotrope.
12.3
Formalismul de temperatur˘ a finit˘ a
12.3.1
Probleme generale
Se consider˘ a sistemul studiat anterior ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a: fermioni nerelaa cu un cˆ amp extern; ˆın cazul prezent se consider˘ a tivi¸sti cu spin s = 12 , care interact¸ioneaz˘ sistemul ˆın condit¸ii grand-canonice, adic˘a ˆın contact cu un rezervor termic avˆand temperatura T , iar β = 1/(kB T ), ¸si un rezervor de particule avˆand potent¸ialul chimic µ. Ca urmare, se va utiliza formalismul de temperatur˘a finit˘a, care a fost prezentat ˆın Capitolul 5. Hamiltonianul sistemului este ˆ =H ˆ0 + H ˆ ex , H ˆ 0 este hamiltonianul sistemului liber, care se reduce la hamiltonianul cinetic (12.3) unde H ˆ0 = H
Z
d3 r
V
X σ
−~2 2 ˆ ∇ ψσ (r) , ψˆσ† (r) 2m
ˆ ex este hamiltonianul de interact¸ie cu cˆ iar H ampul extern, descris prin formula (12.1) Z X ˆ ex = d3 r H ψˆσ† (r) uσ,σ′ (r) ψˆσ′ (r) . V
σ,σ′
Hamiltonianul grand-canonic este definit conform relat¸iei (5.1) ˆ ≡H ˆ − µN ˆ , K unde operatorul num˘ ar de particule este definit de formula (2.96) Z X ˆ ψˆσ† (r) ψˆσ (r) . d3 r N= V
σ
˘ FINITA ˘ 12.3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
313
ˆ 0 ¸si parte de Este convenabil s˘a se descompun˘ a hamiltonianul grand-canonic ˆın parte liber˘a K ′ ˆ interact¸ie K ˆ =K ˆ0 + K ˆ′ , K unde ˆ0 ≡ H ˆ0 − µ N ˆ = K ˆ′ ≡ H ˆ ex = K
Z
Z
V
d3 r
V
d3 r
X
X
ψˆσ† (r)
σ
−~2 2m
∇2 − µ ψˆσ (r) ,
ψˆσ† (r) uσ,σ′ (r) ψˆσ′ (r) .
σ,σ′
Operatorul statistic grand-canonic al sistemului este definit prin formula (5.2) ̺ˆ =
1 −β Kˆ e , Z
unde funct¸ia de partit¸ie grand-canonic˘a este dat˘a de relat¸ia (5.2)
12.3.2
ˆ Z = Tr e−β K .
Funct¸ia Green-Matsubara liber˘ a
Dac˘ a se consider˘ a sistemul fermionic liber, adic˘a este absent cˆampul extern, atunci sunt valabile rezultatele prezentate ˆın Subsect¸iunea 5.2.4; prin urmare, exist˘a st˘ari uni-particul˘a |k, σi (caracterizate prin vectorul impuls ¸si proiect¸ia spinului), iar energia unei st˘ari uni-particul˘a este ~2 2 ε0k = k ; se va nota ω k ≡ ~1 (ε0k − µ). 2m ˆ 0 ¸si deci hamiltonianul grand-canonic liber este K ˆ 0 , astfel Hamiltonianul sistemului liber este H ˆıncˆ at operatorul statistic grand-canonic liber devine ̺ˆ0 =
1 −β Kˆ 0 , e Z0
unde funct¸ia de partit¸ie grand-canonic˘a liber˘a este ˆ Z0 = Tr e−β K0 .
Funct¸ia Green-Matsubara uni-particul˘a a sistemului liber este definit˘ a prin particularizarea formulei de definit¸ie (5.20) la cazul sistemului liber:
0 ′ ′ ˆ ¯ (r, τ ) · ψˆ† ′ ¯ (r′ , τ ′ ) Gσσ , ′ (r, τ ; r , τ ) ≡ − Tτ ψσ K 0 σ K0 0
τ ˆ τ ˆ unde AˆK¯ 0 ≡ e ~ K0 Aˆ e− ~ K0 este operatorul ˆın formularea Dirac termic˘ a ¸si hAi0 ≡ Tr ̺ˆ0 · Aˆ este media grand-canonic˘ a a m˘arimii A pentru cazul sistemului liber. Calculul direct, efectuat ˆın Subsect¸iunea 5.2.4 conduce la expresia (5.50) pentru funct¸ia GreeMatsubara liber˘ a 0 ′ ′ Gσσ ′ (r, τ ; r , τ ) = δσ,σ ′
−1 X ik·(r−r′ )−ωk (τ −τ ′ ) e θ(τ − τ ′ ) (1 ± n0kσ ) ± θ(τ ′ − τ ) n0kσ ; V k
se observ˘ a c˘ a funct¸ia Green-Matsubara liber˘a este de forma 0 ′ ′ 0 ′ ′ Gσσ ′ (r, τ ; r , τ ) = δσ,σ ′ G (r − r , τ − τ ) ,
adic˘a satisface propriet˘ a¸tile generale de simetrie ale funct¸iei Green-Matsubara, iar partea scalar˘a este −1 X ik·r−ωk τ θ(τ ) (1 ± n0kσ ) ± θ(−τ ) n0kσ . e G 0 (r, τ ) = V k
ˆ CAPITOLUL 12. FERMIONI ˆIN CAMP EXTERN
314
Datorit˘ a dependent¸ei de diferent¸ele coordonatelor spat¸iale ¸si diferent¸a pseudo-timpilor funct¸ia Green-Matsubara liber˘ a este dezvoltabil˘ a Fourier, conform relat¸iei generale (5.28): 0 ′ ′ Gσσ ′ (r, τ ; r τ )
∞ 1 X 1 X ik·(r−r′ )−iωn (τ −τ ′ ) e0 e Gσσ′ (k, ωn ) , = V ~β n=−∞
ωn =
k
2π n + 12 . ~β
Transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara uni-particul˘a corespunz˘ atoare sistemului liber este dat˘a de formula (5.51) 0 Geσσ ′ (k, ωn ) = δσσ ′
12.3.3
1 iωn −
1 ~ (εk
≡ δσσ′ Ge0 (k, ωn ) .
− µ)
Funct¸ia Green-Matsubara ˆın spat¸iul pozit¸ii-pseudo-timpi
A. Definit¸ie Funct¸ia Green-Matsubara uni-particul˘a a sistemului fermionic cu interact¸ii este definit˘ a prin formula (5.20)
Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) ≡ − Tτ ψˆσK¯ (r, τ ) · ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) = − Tr ̺ˆ Tτ ψˆσK¯ (r, τ ) · ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) ,
τ ˆ τ ˆ a, conform definit¸iei unde AˆK¯ (τ ) ≡ e ~ K Aˆ e− ~ K este operatorul ˆın formularea Heisenberg termic˘ dat˘a de relat¸ia (5.7).
B. Seria de perturbat¸ie ˆIn Subsect¸iunea 5.2.5 a fost prezentat calculul de perturbat¸ie pentru funct¸ia Green-Matsubara ˆın cazul mai complex cˆ and sistemul fermionic (sau bosonic) are interact¸ii mutuale de tip biparticul˘ a; ˆın cazul prezent hamiltonianul de interact¸ie corespunde cuplajului cu un cˆ amp extern, astfel c˘ a rezultatele obt¸inute anterior se simplific˘ a. Pe de alt˘ a parte, ˆın Subsect¸iunea 12.2.2 s-a prezentat calculul de perturbat¸ie pentru funct¸ia Green cauzal˘ a a aceluia¸si sistem ca cel prezent, dar ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a; deoarece exist˘a similitudini ˆıntre formalismul de temperatur˘ a finit˘a ¸si formalismul de temperatur˘a nul˘a (aplicate aceluia¸si sistem), se va utiliza aceast˘a similitudine pentru a prezenta calculul de perturbat¸ie al funct¸iei Green-Matsubara ˆın acela¸si mod ca ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a. Seria de perturbat¸ie a funct¸iei Green-Matsubara, rezultat˘ a din adaptarea formulei FeymanDyson la cazul sistemului aflat ˆın condit¸ii grand-canonice, este dat˘a de formula (5.64), care nu depinde de expresia concret˘a a hamiltonianului de interact¸ie:
Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) =
∞ X
n=0
(n)
G σσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) ∞ X
m=0
S (m)
≡
G σσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) , S
unde (n)
Z Z ~β 1 −1 n ~β dτ1 · · · dτn n! ~ 0 0 ′ ˆ ′¯ (τn ) ψˆσK¯ (r, τ ) ψˆ† ′ ¯ (r′ , τ ′ ) , ˆ ¯ (τ1 ) · · · K × Tr ̺ˆ0 Tτ K K0 0 K0 σ K0 Z Z ~β ′ 1 −1 m ~β ˆ ′¯ (τm ) . ˆ ¯ (τ1 ) · · · K = dτ1 · · · dτm Tr ̺ˆ0 Tτ K K0 K0 m! ~ 0 0
G σσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) =
S (m)
Expresiile termenilor perturbativi anteriori se expliciteaz˘ a ˆın mod convenabil prin utilizarea notat¸iei 4-dimensionale care a fost definit˘ a ˆın Subsect¸iunea 5.2.5 Z
x ≡ (r, τ ) Z Z d4 x . . . ≡ d3 r
0
~β
dτ . . .
˘ FINITA ˘ 12.3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
315
¸si se observ˘ a c˘ a integrala pseudo-temporal˘a a hamiltonianului de interact¸ie cu cˆ ampul extern se exprim˘ a ˆın forma Z Z ~β X ˆ ′¯ (τ ) = d4 x dτ K uλ,µ (x) ψˆλ† (x) ψˆµ (x) ; K0 0
λ,µ
atunci termenii perturbat¸ionali se rescriu ˆın mod simplificat: Z Z X X 1 −1 n 4 (n) G σσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) = uλ1 ,µ1 (x1 ) · · · uλn ,µn (xn ) d x1 · · · d4 xn ··· n! ~ λn ,µn λ1 ,µ1
× Tτ ψˆλ† 1 K¯ 0 (x1 ) ψˆµ1 K¯ 0 (x1 ) · · · ψˆλ† n K¯ 0 (xn ) ψˆµn K¯ 0 (xn ) ψˆσK¯ 0 (x) ψˆσ† ′ K¯ 0 (x′ ) 0 , (12.28a) Z Z m
1 −1 d4 x1 · · · d4 xn Tτ ψˆλ† 1 K¯ 0 (x1 ) ψˆµ1 K¯ 0 (x1 ) · · · ψˆλ† n K¯ 0 (xn ) ψˆµn K¯ 0 (xn ) 0 . S (m) = m! ~ (12.28b) ˆIn termenii perturbat¸ionali anteriori se transform˘a mediile grand-canonice a produselor pseudocronologice ˆın sume de contract¸ii totale, conform consecint¸ei teoremei Wick termice (5.62):
ˆ a ), B(τ ˆ b ), . . . , Z(τ ˆ z) , ˆ a ) · B(τ ˆ b ) · · · Z(τ ˆ z ) ] = C A(τ Tτ [ A(τ 0 unde C{. . .} este suma tuturor contract¸iilor termice totale ale setului de operatori interiori parantezelor acolade. Contract¸iile ˆıntre operatorii de cˆ amp sunt nenule numai dac˘a perechea de operatori cont¸ine un operator de creare ¸si un operator de anihilare, iar (ˆın acest caz contract¸ia este egal˘a cu funct¸ia Green-Matsubara liber˘ a), conform relat¸iilor (5.61): ] 0 ′ ˆ ψˆσK¯ 0 (x) ψˆσ† ′ K¯ 0 (x′ ) = − ψˆσ† ′ K¯ 0 (x′ ) ψˆσK¯ 0 (x) = i Gσσ ′ (x, x ) 1 ,
ψˆσK¯ 0 (x) ψˆσ′ K¯ 0 (x′ ) = ψˆσ† K¯ 0 (x) ψˆσ† ′ K¯ 0 (x′ ) = ˆ0 . Pe baza expresiilor generale precedente se obt¸in expresiile explicite ale termenilor perturbat¸ionali cu ajutorul funct¸iei Green-Matsubara libere. Termenii de la numitor i. Termenul de ordinul 0 produce rezultatul banal: S (0) = 1 .
(12.29)
ii. Termenul de ordinul 1 este definit astfel: Z ′ −1 ~β ˆ ¯ (τ1 ) S (1) = dτ1 Tr ̺0 Tτ K K0 ~ 0 Z X −1 = d4 x1 uλ1 ,µ1 (x1 ) Tr ̺0 Tτ ψˆλ† 1 K¯ 0 (x1 ) ψˆµ1 K¯ 0 (x1 ) ; ~ λ1 ,µ1
dar media produsului cronologic se reduce, prin contract¸ie, la funct¸ia Green-Matsubara liber˘a Tr ̺0 Tτ ψˆλ† 1 K¯ 0 (x1 ) ψˆµ1 K¯ 0 (x1 ) = ψλ† 1 K¯ 0 (x1 ) ψµ1 K¯ 0 (x1 ) = Gµ01 λ (x1 , x+ 1);
ˆın consecint¸˘ a, termenul de ordinul 1 are expresia: Z X −1 S (1) = d4 x1 uλ1 ,µ1 (x1 ) Gµ01 λ1 (x1 , x+ 1). ~
(12.30)
λ1 ,µ1
iii. Termenul de ordinul 2 este definit prin expresia urm˘atoare: Z Z ~β ′ 1 −1 2 ~β (2) ˆ ′¯ (τ2 ) ˆ ¯ (τ1 ) K dτ1 dτ2 Tr ̺ˆ0 Tτ K S = K0 K0 2 ~ Z0 Z0 X X 1 −1 2 4 = d x1 d4 x2 uλ1 ,µ1 (x1 ) uλ2 ,µ2 (x2 ) 2 ~ λ1 , µ1 λ2 , µ2 ; × Tr ̺ˆ0 Tτ ψˆλ† 1 K¯ 0 (x1 ) ψˆµ1 K¯ 0 (x1 ) ψˆλ† 2 K¯ 0 (x2 ) ψˆµ2 K¯ 0 (x2 )
ˆ CAPITOLUL 12. FERMIONI ˆIN CAMP EXTERN
316
media produsului cronologic se reduce, prin aplicarea teoremei Wick termice, la funct¸ii GreenMatsubara libere Tr ̺ˆ0 Tτ ψˆλ† 1 K¯ 0 (x1 ) ψˆµ1 K¯ 0 (x1 ) ψˆλ† 2 K¯ 0 (x2 ) ψˆµ2 K¯ 0 (x2 ) = ψλ† 1 K¯ 0 (x1 ) ψµ1 K¯ 0 (x1 ) ψλ† 2 K¯ 0 (x2 ) ψµ2 K¯ 0 (x2 ) + ψλ† 1 K¯ 0 (x1 ) ψµ1 K¯ 0 (x1 ) ψλ† 2 K¯ 0 (x2 ) ψµ2 K¯ 0 (x2 ) + 0 0 0 = Gµ01 λ1 (x1 , x+ 1 ) Gµ2 λ2 (x2 , x2 ) − Gµ2 λ1 (x2 , x1 ) Gµ1 λ2 (x1 , x2 ) ;
ca urmare, termenul de ordinul 2 devine: Z Z X X 1 −1 2 S (2) = d4 x1 d4 x2 uλ1 ,µ1 (x1 ) uλ2 ,µ2 (x2 ) 2 ~ λ1 , µ1 λ2 , µ2 o n + 0 0 0 × Gµ01 λ1 (x1 , x+ 1 ) Gµ2 λ2 (x2 , x2 ) − Gµ2 λ1 (x2 , x1 ) Gµ1 λ2 (x1 , x2 ) Z Z X X 1 + 4 0 uλ2 ,µ2 (x2 ) Gµ02 λ2 (x2 , x+ uλ1 ,µ1 (x1 ) Gµ1 λ1 (x1 , x1 ) d4 x2 = 2 d x1 2) 2~ λ2 , µ2 λ1 , µ1 Z Z X X 1 4 − 2 d x1 d4 x2 uλ1 ,µ1 (x1 ) uλ2 ,µ2 (x2 ) Gµ01 λ2 (x1 , x2 ) Gµ02 λ1 (x2 , x1 ) . (12.31) 2~ λ1 , µ1 λ2 , µ2
Termenii de la num˘ ar˘ ator i. Termenul de ordinul 0 este banal, pentru c˘ a se reduce ˆın mod direct la funct¸ia Green liber˘a: (0) 0 ′ G σσ′ (x, x′ ) = − Tr ̺ˆ0 Tτ ψˆσK¯ 0 (x) ψˆσ† ′ K¯ 0 (x′ ) = Gσσ ′ (x, x ) .
(12.32)
ii. Termenul de ordinul 1 este definit prin expresia (1) G σσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ )
Z ′ −1 ~β ˆ ¯ (τ1 ) ψˆσK¯ (r, τ ) ψˆ† ′ ¯ (r′ , τ ′ ) =− dτ1 Tr ̺ˆ0 Tτ K K0 0 σ K0 ~ 0 Z X 1 uλ1 ,µ1 (x1 ) Tr Tτ ψˆλ† 1 K¯ 0 (x1 ) ψˆµ1 K¯ 0 (x1 ) ψˆσK¯ 0 (x) ψˆσ† ′ K¯ 0 (x′ ) ; d4 x1 = ~ λ1 ,µ1
media produsului pseudo-cronologic se reduce la combinat¸ii de funct¸ii Green-Matsubara libere, prin utilizarea teoremei Wick termice: Tr ̺ˆ0 Tτ ψˆλ† 1 K¯ 0 (x1 ) ψˆµ1 K¯ 0 (x1 ) ψˆσK¯ 0 (x) ψˆσ† ′ K¯ 0 (x′ ) = ψλ† 1 K¯ 0 (x1 ) ψµ1 K¯ 0 (x1 ) ψσK¯ 0 (x) ψσ† ′ K¯ 0 (x′ ) + ψλ† 1 K¯ 0 (x1 ) ψµ1 K¯ 0 (x1 ) ψσK¯ 0 (x) ψσ† ′ K¯ 0 (x′ )
0 0 ′ ′ 0 = − Gµ01 λ1 (x1 , x+ 1 ) Gσσ′ (x, x ) + Gσλ1 (x, x1 ) Gµ1 σ′ (x1 , x ) ;
atunci rezult˘a (1) G σσ′ (x, x′ )
−1 = ~
Z
d4 x1
1 + ~
Z
X
λ1 ,µ1
d4 x1
0 ′ uλ1 ,µ1 (x1 ) Gµ01 λ1 (x1 , x+ 1 ) Gσσ′ (x, x )
X
λ1 ,µ1
0 (x, x1 ) Gµ01 σ′ (x1 , x′ ) . uλ1 ,µ1 (x1 ) Gσλ 1
(12.33)
iii. Termenul de ordinul 2 este Z Z ~β ′ −1 −1 2 ~β (2) ′ ′ ˆ ′¯ (τ2 ) ψˆσK¯ (r, τ ) ψˆ† ′ ¯ (r′ , τ ′ ) ˆ ¯ (τ1 ) K G σσ′ (r, τ ; r , τ ) = dτ1 dτ2 Tr ̺ˆ0 Tτ K K0 0 K0 σ K0 2 ~ 0 0 Z Z X X −1 4 4 = 2 d x1 d x2 uλ1 ,µ1 (x1 ) uλ2 ,µ2 (x2 ) 2~ λ1 ,µ1 λ2 ,µ2 × Tr ̺ˆ0 Tτ ψˆ† ¯ (x1 ) ψˆ ¯ (x1 ) ψˆ† ¯ (x2 ) ψˆ ¯ (x2 ) ψˆ ¯ (x) ψˆ† ′ ¯ (x′ ) . λ1 K0
µ1 K0
λ2 K0
µ2 K0
σ K0
σ K0
˘ FINITA ˘ 12.3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
317
ˆIn acest caz media produsului pseudo-cronologic se descompune ˆın sum˘a de 6 termeni cont¸inˆand produse de 3 contract¸ii: Tr Tτ ψˆλ† 1 K¯ 0 (x1 ) ψˆµ1 K¯ 0 (x1 ) ψˆλ† 2 K¯ 0 (x2 ) ψˆµ2 K¯ 0 (x2 ) ψˆσK¯ 0 (x) ψˆσ† ′ K¯ 0 (x′ ) n = ψλ† 1 K¯ 0 (x1 ) ψµ1 K¯ 0 (x1 ) ψλ† 2 K¯ 0 (x2 ) ψµ2 K¯ 0 (x2 ) ψσK¯ 0 (x) ψσ† ′ K¯ 0 (x′ ) + ψλ† 1 K¯ 0 (x1 ) ψµ1 K¯ 0 (x1 ) ψλ† 2 K¯ 0 (x2 ) ψµ2 K¯ 0 (x2 ) ψσK¯ 0 (x) ψσ† ′ K¯ 0 (x′ )
+ ψλ† 1 K¯ 0 (x1 ) ψµ1 K¯ 0 (x1 ) ψλ† 2 K¯ 0 (x2 ) ψµ2 K¯ 0 (x2 ) ψσK¯ 0 (x) ψσ† ′ K¯ 0 (x′ ) + ψλ† 1 K¯ 0 (x1 ) ψµ1 K¯ 0 (x1 ) ψλ† 2 K¯ 0 (x2 ) ψµ2 K¯ 0 (x2 ) ψσK¯ 0 (x) ψσ† ′ K¯ 0 (x′ ) + ψλ† 1 K¯ 0 (x1 ) ψµ1 K¯ 0 (x1 ) ψλ† 2 K¯ 0 (x2 ) ψµ2 K¯ 0 (x2 ) ψσK¯ 0 (x) ψσ† ′ K¯ 0 (x′ ) o + ψλ† 1 K¯ 0 (x1 ) ψµ1 K¯ 0 (x1 ) ψλ† 2 K¯ 0 (x2 ) ψµ2 K¯ 0 (x2 ) ψσK¯ 0 (x) ψσ† ′ K¯ 0 (x′ )
+ 0 ′ 0 0 ′ 0 0 = − Gµ01 λ1 (x1 , x+ 1 ) Gµ2 λ2 (x2 , x2 ) Gσσ′ (x, x ) + Gµ2 λ1 (x2 , x1 ) Gµ1 λ2 (x1 , x2 ) Gσσ′ (x, x ) 0 ′ 0 0 ′ 0 0 + Gµ01 λ1 (x1 , x+ 1 ) Gσλ2 (x, x2 ) Gµ2 σ′ (x2 , x ) + Gµ2 λ1 (x2 , x1 ) Gσλ2 (x, x2 ) Gµ1 σ′ (x1 , x )
0 ′ 0 0 (x, x1 ) Gµ02 λ2 (x2 , x+ (x, x1 ) Gµ01 λ2 (x1 , x2 ) Gµ02 σ′ x2 , x′ ) − Gσλ − Gσλ 2 ) Gµ1 σ′ (x1 , x ) . 1 1
Pe baza rezultatului anterior termenul de ordinul 2 se scrie ˆın forma: (2)
G σσ′ (x, x′ ) Z Z X X 1 + 4 0 = 2 d x1 uλ1 ,µ1 (x1 ) Gµ1 λ1 (x1 , x1 ) d4 x2 uλ2 ,µ2 (x2 ) Gµ02 λ2 (x2 , x+ 2) 2~ λ1 ,µ1 λ2 ,µ2 Z Z X X 4 4 0 ′ 0 0 − d x1 d x2 uλ1 ,µ1 (x1 ) uλ2 ,µ2 (x2 ) Gµ1 λ2 (x1 , x2 ) Gµ2 λ1 (x2 , x1 ) Gσσ ′ (x, x ) λ1 ,µ1 λ2 ,µ2
Z Z X X −1 0 d4 x1 (x, x2 ) Gµ02 σ′ (x2 , x′ ) uλ1 ,µ1 (x1 ) Gµ01 λ1 (x1 , x+ ) d4 x2 uλ2 ,µ2 (x2 ) Gσλ + 2 1 2 2~ λ1 ,µ1 λ2 ,µ2 Z Z X X 0 ′ 0 4 uλ2 ,µ2 (x2 ) Gµ02 λ2 (x2 , x+ + d4 x2 (x, x ) G (x , x ) (x ) G u ) d x ′ 1 1 λ1 ,µ1 1 1 µ2 σ σλ1 2 λ2 ,µ2
λ1 ,µ1
Z Z X X 1 uλ1 ,µ1 (x1 ) uλ2 ,µ2 (x2 ) + 2 d4 x1 d4 x2 2~ λ1 ,µ1 λ2 ,µ2 i h 0 0 (x, x2 ) Gµ02 λ1 (x2 , x1 ) Gµ01 σ′ (x1 , x′ ) ; (x, x1 ) Gµ01 λ2 (x1 , x2 ) Gµ02 σ′ (x2 , x′ ) + Gσλ × Gσλ 2 1
ˆın expresia precedent˘ a se observ˘ a c˘ a prin schimbarea de variabile (x1 , σ1 ) ←→ (x2 , σ2 ) se obt¸in contribut¸ii egale, astfel c˘ a termenul de ordinul 2 se simplific˘ a (2)
G σσ′ (x, x′ ) Z Z X X 1 + 4 0 = 2 d x1 uλ1 ,µ1 (x1 ) Gµ1 λ1 (x1 , x1 ) d4 x2 uλ2 ,µ2 (x2 ) Gµ02 λ2 (x2 , x+ 2) 2~ λ1 ,µ1 λ2 ,µ2 Z Z X X 4 4 0 ′ 0 0 − d x1 d x2 uλ1 ,µ1 (x1 ) uλ2 ,µ2 (x2 ) Gµ1 λ2 (x1 , x2 ) Gµ2 λ1 (x2 , x1 ) Gσσ ′ (x, x ) λ1 ,µ1 λ2 ,µ2
Z Z X X −1 + 0 4 0 (x, x1 ) Gµ02 σ′ (x1 , x′ ) uλ1 ,µ1 (x1 ) Gσλ uλ2 ,µ2 (x2 ) Gµ2 λ2 (x2 , x2 ) d4 x1 + 2 d x2 1 ~ λ1 ,µ1 λ2 ,µ2 Z Z X X 1 0 + 2 d4 x1 d4 x2 (x, x1 ) Gµ01 λ2 (x1 , x2 ) Gµ02 σ′ (x2 , x′ ) . (12.34) uλ1 ,µ1 (x1 ) uλ2 ,µ2 (x2 ) Gσλ 1 ~ λ1 ,µ1 λ2 ,µ2
ˆ CAPITOLUL 12. FERMIONI ˆIN CAMP EXTERN
318
Din comparat¸ia cu expresiile termenilor de la numitor, (12.29) – (12.31), se observ˘a c˘ a termenii de la num˘ ar˘ ator, exprimat¸i prin relat¸iile (12.32) – (12.24), se factorizeaz˘ a ˆın urm˘atoarele forme: (0)
0 ′ G σσ′ (x, x′ ) = S (0) Gσσ ′ (x, x ) , (1) G σσ′ (x, x′ ) (2) G σσ′ (x, x′ )
(12.35a)
(1)
0 ′ = S (0) Gσσ′ (x, x′ ) + S (1) Gσσ ′ (x, x ) ,
(12.35b)
=
(12.35c)
(2) S (0) Gσσ′ (x, x′ )
+
(1) S (1) Gσσ′ (x, x′ )
0 ′ + S (2) Gσσ ′ (x, x ) ,
unde s-au introdus notat¸iile: Z X 1 (1) 0 Gσσ′ (x, x′ ) = (x, x1 ) Gµ01 σ′ (x1 , x′ ) , d4 x1 (12.36a) uλ1 ,µ1 (x1 ) Gσλ 1 ~ λ1 ,µ1 Z Z X X 1 (2) 0 Gσσ′ (x, x′ ) = 2 d4 x1 d4 x2 (x, x1 ) Gµ01 λ2 (x1 , x2 ) Gµ02 σ′ (x2 , x′ ) . uλ1 ,µ1 (x1 ) uλ2 ,µ2 (x2 ) Gσλ 1 ~ λ1 ,µ1 λ2 ,µ2
(12.36b)
Este posibil s˘a se continue procedeul anterior, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine urm˘atoarea form˘a factorizat˘a pentru termenul de ordinul n de la num˘ar˘ator: (n)
(n−1)
(n)
G σσ′ (x, x′ ) = S (0) Gσσ′ (x, x′ ) + S (1) Gσσ′
(1)
0 ′ (x, x′ ) + . . . + S (n−1) Gσσ′ (x, x′ ) + S (n) Gσσ ′ (x, x ) , (12.37a)
(n)
unde termenul Gσσ′ (x, x′ ) are expresia Z Z X X 1 (n) Gσσ′ (x, x′ ) = n d4 x1 · · · d4 xn ··· uλ1 ,µ1 (x1 ) . . . uλn ,µn (xn ) ~ λ1 ,µ1
×
0 (x, x1 ) Gσλ 1
λn ,µn
Gµ01 λ2 (x1 , x2 )
. . . Gµ0n−1 λn (xn−1 , xn ) Gµ0n σ′ (xn , x′ ) ;
(12.37b)
totu¸si, termenii de la numitor S (n) n au expresii mai complicate. Pe baza expresiilor termenilor de la num˘ar˘ator se obt¸ine factorizarea num˘ar˘atorului (pentru a avea o exprimare concis˘a se omit coordonatele spat¸io-temporale ¸si indicii de spini), la fel ca ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a: G = S (0) G 0 + S (0) G (1) + S (1) G 0 + S (0) G (2) + S (1) G (1) + S (2) G 0 + . . . = S (0) G 0 + G (1) + G (2) + . . . + G (n) + . . . + S (1) G 0 + G (1) + . . . + G (n−1) + . . . + S (2) G 0 + G (1) + . . . + G (n−2) + . . . + . . . X X S (m) G (n) ; = m=0
n=0
atunci, seria de perturbat¸ie se simplific˘ a prin eliminarea numitorului Gσσ′ (x, x′ ) =
∞ G σσ′ (x, x′ ) X (n) = Gσσ′ (x, x′ ) . S n=0
(12.38)
C. Reprezentarea diagramatic˘ a Expresiile analitice ale termenilor efectivi de perturbat¸ie ai funct¸iei Green-Matsubara, definit¸i prin formulele (12.36) – (12.37), se pot reprezenta diagramatic introducˆand urm˘atoarele elemente: x λ 0 ′ = Gσσ – linia particul˘ a ′ (x, x ) , x′ µ – vertex de interact¸ie extern˘a
x
λ µ
= uλµ (x) .
Cu aceste elemente diagramatice, termenii efectivi de perturbat¸ie se reprezint˘ a astfel:
˘ FINITA ˘ 12.3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
x (0)
Gσσ′ (x, x′ )
(2) Gσσ′ (x, x′ )
−→
−→
x
σ
x1
λ1 µ1
x′
σ′
σ (1)
Gσσ′ (x, x′ )
; x′
319
σ
′
x
σ
x1
λ1 µ1
(n)
Gσσ′ (x, x′ )
; ... x2
λ2 µ2
x′
σ′
−→
−→
x
σ
x1
λ1 µ1
x2
λ2 µ2
: xn
λn µn
x′
σ′
Rezultatele anterioare conduc la urm˘atoarele Reguli Feynman pentru diagramele din spat¸iul pozit¸ii-pseudo-timpi ale seriei de perturbat¸ie pentru funct¸ia Green-Matsubara uni-particul˘a corespunz˘atoare sistemului de fermioni cu interact¸ii externe (aceste reguli sunt similare cu cele din formalismul de temperatur˘a nul˘a): 1. Termenul de perturbat¸ie de ordinul n este reprezentat printr-o singur˘a diagram˘ a (diagram˘a arborescent˘ a), care are urm˘atoarea topologie (ilustrat˘ a prin diagrama anterioar˘ a a terme(n) nului Gσσ′ (x, x′ ): • exist˘a 2 puncte externe care sunt legate printr-un ¸sir de linii particul˘ a continue, • ¸sirul de linii particul˘ a cont¸ine 2 linii externe ¸si n − 1 linii interne, • liniile particul˘ a sunt legate prin n vertexuri de interact¸ie. 2. Elementele diagramei sunt linia particul˘ a, care reprezint˘ a o funct¸ie Green-Matsubara liber˘a, ¸si vertexul de interact¸ie, care reprezint˘ a potent¸ialul de interact¸ie a unei particule cu cˆ ampul extern; prin utilizarea regulilor de corespondent¸˘a pentru elementele diagramei se obt¸ine (n) expresia analitic˘a a diagramei Gσσ′ (x; λ, µ | x, x′ ), unde x ≡ (x1 , x2 , . . . , xn ) este setul coordonatelor spat¸io-pseudo-temporale interne, iar (λ, µ) ≡ {(λ1 , µ1 ), (λ2 , µ2 ), . . . , (λn , µn )} este setul indicilor de spini interni. 3. Factorul diagramei este f (n) =
1 . ~n
4. Se efectueaz˘ a integr˘arile peste coordonatele spat¸io-pseudo-temporale interne Z Z Z 4 4 d x1 · · · d xn . . . ≡ d4n x . . . ¸si sum˘arile peste indicii de spini interni X
λ1 ,µ1
···
X
λn ,µn
... ≡
X
... .
λ,µ
5. Termenul de ordinul n al funct¸iei Green-Matsubara este Z X (n) (n) ′ (n) Gσσ′ (x, x ) = f d4n x Gσσ′ (x; λ, µ|x, x′ ) . λ,µ
ˆ CAPITOLUL 12. FERMIONI ˆIN CAMP EXTERN
320
12.3.4
Funct¸ia Green-Matsubara ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a
A. Definit¸ii Hamiltonianul sistemului este atemporal, astfel ˆıncˆ at sistemul este invariant la translat¸ii pseudo-temporale; pe de alt˘ a parte ˆıns˘ a, efectul cˆ ampului extern poate produce neomogenitatea spat¸ial˘a a sistemului. Ca urmare, funct¸ia Green-Matsubara depinde de diferent¸a coordonatelor pseudo-temporale, dar are (ˆın cazul general neomogen) dependent¸˘a separat˘a se fiecare coordonat˘a spat¸ial˘a, conform relat¸iei generale (5.22): Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) = Gσσ′ (r, τ − τ ′ ; r′ , 0) ≡ Gσσ′ (r, r′ ; τ − τ ′ ) Datorit˘ a propriet˘ a¸tii anterioare este necesar s˘a se utilizeze o transformare Fourier discret˘ a pseudotemporal˘ a simpl˘a ¸si o transformare Fourier continu˘ a dublu spat¸ial˘a: ∞ 1 X 1 X i(k·r−k′ ·r′ )−iωn (τ −τ ′ ) e e σσ′ (k, k′ , ωn ) e G V2 ~β n=−∞ k,k′ Z Z ∞ d3 k′ 1 X i(k·r−k′ ·r′ )−iωn (τ −τ ′ ) e d3 k e σσ′ (k, k′ , ωn ) , e G = LT R3 (2π)3 R3 (2π)3 ~β n=−∞
Gσσ′ (r, r′ ; τ − τ ′ ) =
(12.39a)
iar transformarea invers˘a este Z Z Z e ′ 3 3 ′ e G σσ′ (k, k , ωn ) = d r d r
0
~β
′
′
dτ e−i(k·r−k ·r )+iωn τ Gσ,σ′ (r, r′ ; τ ) .
(12.39b)
B. Transformarea Fourier a termenilor de perturbat¸ie Dezvoltarea perturbativ˘a a funct¸iei Green-Matsubara ˆın spat¸iul pozit¸ii-pseudo-timpi este dat˘a de relat¸ia (12.15), astfel ˆıncˆ at prin transformare Fourier se obt¸ine: Gσσ′ (r, r′ ; τ − τ ′ ) =
X
n=0
(n)
Gσσ′ (r, r′ ; τ − τ ′ )
=⇒
X e (n) e e σσ′ (k, k′ ; ωn ) . e σσ′ (k, k′ ; ωn ) = G G n=0
(12.40) Pentru a obt¸ine transformatele Fourier ale termenilor perturbat¸ionali se observ˘a c˘ a funct¸ia Green-Matsubara liber˘ a are o transformat˘a Fourier simpl˘a, deoarece depinde numai de diferent¸ele coordonatelor spat¸io-pseudo-temporale Z ∞ d3 k 1 X ik·(r−r′ )−iωn (τ −τ ′ ) e0 0 ′ ′ 0 ′ ′ e G (k, ωn ) , Gσ,σ′ (r, t; r , τ ) = Gσ,σ′ (r − r ; τ − τ ) = δσσ′ 3 LT R3 (2π) ~β n=−∞ iar potent¸ialul de interact¸ie este atemporal, astfel ˆıncˆ at are numai transformat˘a Fourier spat¸ial˘a Z Z 1 X ik·r d3 q ik·r ′ ′ ′ ′ uσσ (r) = eσσ (q) = d3 r e−ik·r uσσ′ (r) . e u eσσ (q) =⇒ u e u eσσ (q) = LT R3 (2π)3 V q
Ordinul 0 are numai contribut¸ia funct¸iei Green-Matsubara libere, astfel ˆıncˆ at transformata Fourier dublu spat¸ial˘a ¸si simplu pseudo-temporal˘a este Z Z Z ~β (0) ′ ′ f (0) f G σσ′ (k, k′ ; ωn ) = d3 r d3 r′ dτ e−i(k·r−k ·r )+iωn τ Gσ,σ′ (r, r′ ; t) =
Z
d3 r
Z
0
d3 r′
Z
Z
~β
′
′
dτ e−i(k·r−k ·r )+iωn τ
0
∞ d3 p 1 X ip·(r−r′ )−iωm (τ −τ ′ ) e0 × δσσ′ e G (p, ωm ) 3 R3 (2π) ~β m=−∞ Z Z Z Z ~β ∞ d3 p 1 X e0 3 i(k′′ −k)·r 3 ′ i(k′ −p)·r′ = δσσ′ G (p, ω ) d r e d r e dτ ei(ωn −ωm )τ . m 3 R3 (2π) ~βm=−∞ 0
˘ FINITA ˘ 12.3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
321
Integralele spat¸iale produc funct¸ii Dirac ¸si integrala pseudo-temporal˘a produce simbolul Kronecker, conform relat¸iilor urm˘atoare: Z ′ d3 r ei(k−k )·r = (2π)3 δ(k − k′ ) , Z ~β dτ ei(ωn −ωm )τ = ~β δn,m ; 0
utilizˆand rezultatele precedente ¸si proprietatea fundamental˘a a funct¸iei Dirac, se obt¸ine expresia transformatei Fourier pentru termenul de ordinul 0: (0) e e ′ (k, k′ ; ωn ) = δσ,σ′ (2π)3 δ 3 (k − k′ ) Ge0 (k, ωn ) . G σσ
(12.41)
Ordinul 1 este descris de formula (12.35a), ˆın care se efectueaz˘a transform˘arile Fourier simple pentru funct¸iile Green-Matsubara libere ¸si apoi se obt¸ine transformata Fourier a potent¸ialului de interact¸ie: (1)
Gσσ′ (r, r′ ; τ − τ ′ ) Z Z ~β X 1 3 0 d r1 (r, t; r1 , τ1 ) uλ1 ,µ1 (r1 ) Gµ01 σ′ (r1 , τ1 ; r′ , τ ′ ) Gσλ dτ1 = 1 ~ 0 λ1 ,µ1 Z Z Z ~β ∞ X d3 p1 1 X 1 0 (p1 , ωn1 ) d3 r1 eip1 ·(r−r1 )−iωn1 (τ −τ1 ) Geσλ = uλ1 ,µ1 (r1 ) dτ1 1 3 ~β ~ (2π) 3 R 0 n1 =−∞ λ1 ,µ1 Z ∞ ′ ′ d3 p2 1 X × eip2 ·(r1 −r )−iωn2 (τ1 −τ ) Geµ01 σ′ (p2 , ωn2 ) 3 R3 (2π) ~β n2 =−∞ Z Z ∞ ∞ 1 d3 p1 1 X d3 p2 1 X X e0 = Gσλ1 (p1 , ωn1 ) Geµ01 σ′ (p2 , ωn2 ) ~ R3 (2π)3 ~β n =−∞ R3 (2π)3 ~β n =−∞ λ1 ,µ1 1 2 Z Z ~β ′ ′ × ei(p1 ·r−p2 ·r −ωn1 τ +ωn2 τ ) dτ1 ei(ωn1 −ωn2 )τ1 d3 r1 ei(p2 −p1 )·r1 uλ1 ,µ1 (r1 ) {z } {z }| |0 =
Z
1 ~
R3
×e
Z ∞ X
3
d p1 1 (2π)3 ~β
n1 =−∞
=u eλ1 µ1 (p1 −p2 )
= ~β δn1 ,n2
X
3
R3
i(p1 ·r−p2 ·r′ )−iωn1 (τ −τ ′ )
d p2 (2π)3
λ1 ,µ1
0 (p1 , ωn1 ) Geµ01 σ′ (p2 , ωn1 ) Geσλ 1
u eλ1 µ1 (p1 − p2 ) ;
atunci, transformata Fourier dublu spat¸ial˘a ¸si simplu temporal˘a a termenului de ordinul 1 este (1) e e ′ (k, k′ , ωn ) G σσ Z Z Z = d3 r d3 r′
=
Z
3
d r X
λ1 ,µ1
Z
~β
0
3 ′
d r
Z
′
′
(1)
dτ e−i(k·r−k ·r )+iωn τ Gσ,σ′ (r, r′ ; t) ~β
dτ e
−i(k·r−k′ ·r′ )+iωn τ
0
1 ~
Z
d3 p1 3 R3 (2π)
Z
d3 p2 1 3 R3 (2π) ~β ′
∞ X
n1 =−∞
0 eλ1 µ1 (p1 − p2 ) ei(p1 ·r−p2 ·r )−iωn1 τ (p1 , ωn1 ) Geµ01 σ′ (p2 , ωn1 ) u Geσλ 1
Z Z ∞ 1 d3 p1 d3 p2 1 X X e0 eλ1 µ1 (p1 − p2 ) Geµ01 σ′ (p2 , ωn1 ) Gσλ1 (p1 , ωn1 ) u ~ R3 (2π)3 R3 (2π)3 ~β n =−∞ λ1 ,µ1 1 Z Z Z ~β 3 i(p1 −k)·r 3 ′ i(k′ −p2 )·r′ × d re d r e dτ ei(ωn −ωn1 )τ . 0 | {z }| {z }| {z }
=
= (2π)3 δ 3 (p1 −k)
= (2π)3 δ 3 (p2 −k′ )
= ~β δn1 ,n
ˆ CAPITOLUL 12. FERMIONI ˆIN CAMP EXTERN
322
Integralele r˘amase se efectueaz˘ a ˆın mod direct prin utilizarea propriet˘ a¸tii fundamentale a funct¸iilor Dirac, astfel ˆıncˆ at rezult˘a: (1) X e 0 e σσ′ (k, k′ , ωn ) = 1 (k, ωn ) u eλ1 µ1 (k − k′ ) Geµ01 σ′ (k′ , ωn ) . Geσλ G 1 ~
(12.42)
λ1 ,µ1
Ordinul 2 este descris de formula (12.36b), ˆın care se efectueaz˘a transform˘arile Fourier simple pentru funct¸iile Green-Matsubara libere ¸si apoi integralele pseudo-temporale produc simboluri Kronecker, iar integralele spat¸iale produc transformate Fourier ale potent¸ialelor de interact¸ie (ˆın mod similar cu cazul precedent): (2)
Gσσ′ (r, r′ ; τ − τ ′ ) Z Z ~β Z Z ~β X X 1 3 3 0 = 2 d r1 dτ1 d r2 dτ2 (r, t; r1 , τ1 ) uλ1 ,µ1 (r1 ) Gµ01 λ2 (r1 , τ1 ; r2 , τ2 ) Gσλ 1 ~ 0 0 λ1 ,µ1 λ2 ,µ2
× uλ2 ,µ2 (r2 ) Gµ02 σ′ (r2 , τ2 ; r′ , τ ′ ) Z Z ~β Z Z ~β X X 1 dτ1 d3 r2 dτ2 uλ1 ,µ1 (r1 ) uλ2 ,µ2 (r2 ) = 2 d3 r1 ~ 0 0 λ1 ,µ1 λ2 ,µ2 Z ∞ d3 p1 1 X 0 (p1 , ωn1 ) eip1 ·(r−r1 )−iωn1 (τ −τ1 ) Geσλ × 1 3 R3 (2π) ~β n1 =−∞ Z ∞ d3 p2 1 X × eip2 ·(r1 −r2 )−iωn2 (τ1 −τ2 ) Geµ01 λ2 (p2 , ωn2 ) 3 ~β (2π) 3 R n2 =−∞ Z ∞ Z 3 dωn3 ip3 ·(r2 −r′ )−iωn (τ2 −τ ′ ) e0 d p3 3 Gµ2 σ′ (p3 , ωn3 ) e × 3 (2π) 3 −∞ 2π R Z Z Z ∞ ∞ ∞ 1 d3 p1 d3 p2 d3 p3 1 X 1 X 1 X X X e0 = 2 Gσλ1 (p1 , ωn1 ) ~ R3 (2π)3 R3 (2π)3 R3 (2π)3 ~β n =−∞ ~β n =−∞ ~β n =−∞ 1
×
×
×
=
2
λ1 ,µ1 λ2 ,µ2
3
′ ′ Geµ01 λ2 (p2 , ωn2 ) Geµ02 σ′ (p3 , ωn3 ) ei(p1 ·r−p3 ·r −ωn1 τ +ωn3 τ ) Z ~β Z ~β dτ2 ei(ωn2 −ωn3 )τ2 dτ1 ei(ωn1 −ωn2 )τ1 0 0
|
Z
}|
{z
= ~β δn1 ,n2
{z
}
= ~β δn2 ,n3
Z d3 r1 ei(p2 −p1 )·r1 uλ1 ,µ1 (r1 ) d3 r1 ei(p3 −p2 )·r2 uλ2 ,µ2 (r2 ) | {z }| {z }
1 ~2
Z
=u eλ1 µ1 (p1 −p2 )
3
d p1 3 (2π) R3
Z
3
d p2 3 (2π) R3
=u eλ2 µ2 (p2 −p3 )
Z
3
d p3 1 3 ~β (2π) R3
∞ X
X X
0 eλ1 µ1 (p1 − p2 ) (p1 , ωn1 ) u Geσλ 1
n1 =−∞ λ1 ,µ1 λ2 ,µ2
′ ′ eλ2 µ2 (p2 − p3 ) Geµ02 σ′ (p3 , ωn1 ) ei(p1 ·r−p3 ·r )−iωn1 (τ −τ ) ; × Geµ01 λ2 (p2 , ωn1 ) u
cu ajutorul expresiei precedente se obt¸ine transformata Fourier dublu spat¸ial˘a ¸si simplu temporal˘a a termenului de ordinul 2 pentru funct¸ia Green-Matsubara, conform relat¸iei generale (12.39b): (2)
e e ′ (k, k′ , ωn ) = G σσ =
Z
Z
×
d3 r
Z
d3 r′
Z
Z Z d3 r d3 r′ X X
λ1 ,µ1 λ2 ,µ2
~β
0 ~β
′
′
(2)
dτ e−i(k·r−k ·r )+iωn τ Gσ,σ′ (r, r′ ; t) ′
′
dτ e−i(k·r−k ·r )+iωn τ 0
1 ~2
Z
d3 p1 3 R3 (2π)
Z
d3 p2 3 R3 (2π)
Z
∞
d3 p3 1 X 3 R3 (2π) ~βn =−∞ 1
0 eλ2 µ2 (p2 − p3 ) eλ1 µ1 (p1 − p2 ) Geµ01 λ2 (p2 , ωn1 ) u (p1 , ωn1 ) u Geσλ 1 ′
′
× Geµ02 σ′ (p3 , ωn1 ) ei(p1 ·r−p3 ·r )−iωn1 (τ −τ ) ;
˘ FINITA ˘ 12.3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA (2) e e σσ′ (k, k′ , ωn ) = 1 G ~2
Z
d3 p1 3 R3 (2π)
Z
d3 p2 3 R3 (2π)
Z
d3 p3 1 3 R3 (2π) ~β
323 ∞ X
X X
n1 =−∞ λ1 ,µ1 λ2 ,µ2
0 (p1 , ωn1 ) Geσλ 1
u eλ2 µ2 (p2 − p3 ) Geµ02 σ′ (p3 , ωn1 ) ×u eλ1 µ1 (p1 − p2 ) Z Z Z ~β ′ ′ × d3 r ei(p1 −k)·r d3 r′ ei(k −p3 )·r dτ ei(ωn −ωn1 )τ . 0 {z }| {z }| | {z } Geµ01 λ2 (p2 , ωn1 )
= (2π)3 δ 3 (p1 −k)
= (2π)3 δ 3 (p3 −k′ )
= ~β δn1 ,n
Integralele r˘amase se efectueaz˘ a ˆın mod banal prin utilizarea propriet˘ a¸tii fundamentale a funct¸iilor Dirac ¸si a simbolului Kronecker, astfel ˆıncˆ at rezult˘a: (2)
e e ′ (k, k′ , ωn ) G σσ Z 1 d3 p X X e0 = 2 eλ2 µ2 (p − k′ ) Geµ02 σ′ (k′ , ωn ) . eλ1 µ1 (k − p) Geµ01 λ2 (p, ωn ) u Gσλ1 (k, ωn ) u ~ R3 (2π)3 λ1 ,µ1 λ2 ,µ2
(12.43)
Prin generalizarea rezultatelor precedente ¸si utilizˆand formula (12.37), se obt¸ine transformata Fourier a termenului de ordinul n: Z Z (n) X d3 pn−1 X d3 p1 1 e 0 ′ e · · · (k, ωn ) u eλ1 µ1 (k − p1 ) Geσλ · · · G σσ′ (k, k , ωn ) = n 1 3 ~ R3 (2π)3 R3 (2π) λ1 ,µ1
λn ,µn
eλn µn (pn−1 − k′ ) Geµ0n σ′ (k′ , ωn ) . (12.44) eλ2 µ2 (p1 − p2 ) . . . u × Geµ01 λ2 (p1 , ωn ) u
Rezultatele anterioare se pot reprezenta diagramatic prin utilizarea Regulilor Feynman-Matsubara ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a: λ
1. Structura topologic˘a a diagramei pentru termenul de ordinul n este k, ωn identic˘ a cu cea a diagramei corespondente din spat¸iul pozit¸ii-pseudo-timpi, λ1 k − p1 µ1 adic˘a diagrame arborescente; prin urmare, exist˘a un ¸sir de n + 1 linii particul˘ a legate ˆın n vertexuri, ˆın fiecare vertex exist˘a cˆ ate o linie de interact¸ie extern˘a.p1 , ωn p − p 1 2 λ2 ˆIn figura al˘ aturat˘ a este ilustrat˘a diagrama termenului de ordinul n. µ2 2. Elementele diagramelor sunt:
:
λ
• linia particul˘ a
µ
e0 k, ωn= Gσσ′ (k, ωn ) ,
• vertex de interact¸ie extern˘a
λ µ
q
pn−1 , ωn λn µn
=u eλµ (q) .
pn−1 − k′
k′ , ωn µ
3. Se atribuie argumente pe linii ¸si vertexuri astfel:
• liniile particul˘ a externe au impulsurile k (pe linia emergent˘ a) ¸si k′ (pe linia incident˘ a), • liniile particul˘ a interne au impulsurile {pj }j=1,2,...,n−1 , • toate liniile particul˘ a au aceea¸si frecvent¸˘a ωn , • liniile de interact¸ie au impulsurile corespunz˘ atoare relat¸iilor de conservare ˆın vertexuri (¸si sunt indepenedente de frecvent¸˘a), • se atribuie indicii de spini. 4. Factorul diagramei de ordinul n este acela¸si cu cel din cazul diagramelor ˆın spat¸iul pozit¸ii1 pseudo-timpi: f (n) = n ; prin regulile de corespundent¸˘a analitic˘a se obt¸ine expresia diagramei: ~ (n) Dσσ′ (p; λ, µ | k, k′ , ωn ), unde p ≡ {p1 , . . . , pn−1 } este setul impulsurilor interne, iar (λ, µ) ≡ {(λ1 , µ1 ), (λ2 , µ2 ), . . . , (λn , µn )} este setul indicilor de spini interni.
ˆ CAPITOLUL 12. FERMIONI ˆIN CAMP EXTERN
324
5. Se efectueaz˘ a integr˘arile peste impulsurile interne Z 3 Z 3(n−1) Z 3 d pn−1 d p d p1 · · · . . . ≡ ... 3 3 3(n−1) (2π) (2π) (2π) ¸si sum˘arile peste indicii de spini interni X X X ... ≡ ··· ... . λ1 ,µ1
λn ,µn
λ,µ
6. Termenul de ordinul n al transformatei Fourier pentru funct¸ia Green-Matsubara este Z 3(n−1) X (n) d p e (n) ′ (n) e Dσσ′ (p; λ, µ|k, k′ ; ωn ) . G σσ′ (k, k ; ωn ) = f (2π)3(n−1) λ,µ
12.3.5
Ecuat¸ii Dyson
Ecuat¸ia Dyson ˆın spat¸iul pozit¸ii-pseudo-timpi este Z X 1 0 ′ 0 Gσσ′ (x, x′ ) = Gσσ (x, x ) + d4 x′′ Gσλ (x, x′′ ) uλµ (x′′ ) Gµσ′ (x′′ , x′ ) ′ ~
(12.45a)
λ,µ
¸si are urm˘atoarea reprezentare diagramatic˘ a: x
x
σ σ′
σ
x1
λ µ
x′
σ′
σ
= x′
x
+ σ′
x′
Demonstrat¸ie: Se utilizeaz˘ a seria de perturbat¸ie a funct¸iei Green (12.38), ˆın care se expliciteaz˘ a termenii conform relat¸iilor (12.36) ¸si (12.37); apoi se extrage factor comun din termenii de ordine n ≥ 1 ¸si se formeaz˘ a seria funct¸iei Green: Z X 0 1 ′ 0 Gσσ ′ (x, x′ ) = Gσσ Gσλ1 (x, x1 ) uλ1 ,µ1 (x1 ) Gµ0 1 σ ′ (x1 , x′ ) d4 x1 ′ (x, x ) + ~ λ1 ,µ1 Z Z X X 0 1 + 2 d4 x1 d4 x2 Gσλ1 (x, x1 ) uλ1 ,µ1 (x1 ) Gµ0 1 λ2 (x1 , x2 ) uλ2 ,µ2 (x2 ) Gµ0 2 σ ′ (x2 , x′ ) ~ λ1 ,µ1 λ2 ,µ2
+ ...
0 ′ = Gσσ ′ (x, x ) +
1 ~
Z
d4 x1
X
λ1 ,µ1
0 Gσλ (x, x1 ) uλ1 ,µ1 (x1 ) 1
Z n o X 0 1 × Gµ0 1 σ ′ (x1 , x′ ) + Gµ1 λ2 (x1 , x2 ) uλ2 ,µ2 (x2 ) Gµ0 2 σ ′ (x2 , x′ ) + . . . ; d4 x2 ~ λ ,µ 2
2
se observ˘ a c˘ a m˘ arimea din interiorul parantezelor acolade este seria de perturbat¸ie a funct¸iei GreenMatsubara, astfel c˘ a s-a obt¸inut relat¸ia (12.45a).
ˆIn spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a ecuat¸ia Dyson este e e σσ′ (k, k′ , ωn ) = (2π)3 δ 3 (k − k′ ) Ge0 ′ (k, ωn ) G σ,σ Z d3 p X e0 1 e e µσ′ (k, p, ωn ) + Gσλ (k, ωn ) u eλµ (k − p) G ~ R3 (2π)3 λ,µ
¸si are urm˘atoarea reprezentare diagramatic˘ a:
k, ωn σ k, ωn σ
k, ωn σ
= k′ , ωn σ
′
+ k′ , ωn σ
′
λ µ
k−p
k′ , ωn σ′
(12.45b)
˘ FINITA ˘ 12.3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
325
Demonstrat¸ie: Demonstrat¸ia relat¸iei (12.45b) se poate face fie prin transformarea Fourier spat¸ial˘ a dubl˘ a ¸si temporal˘ a simpl˘ a a ecuat¸iei Dyson (12.45a), fie prin deducere direct˘ a din seria de perturbat¸ie a transformatei Fourier a funct¸iei Green, adic˘ a ˆın mod analog cu deducerea ecuat¸iei Dyson ˆın spat¸iul pozit¸ii-pseudo-timpi. Deoarece ambele metode sunt similare cu demonstrat¸ii anterioare, pentru a evita repetit¸ii, se omite prezentarea acestei demonstrat¸ii (la fel ca ¸si ˆın cazul formalismului de temperatur˘ a nul˘ a).
12.3.6
Cazul cuplajului cu un cˆ amp magnetic uniform
a cu un cˆ amp magnetic Se consider˘ a c˘ a sistemul de fermioni cu spin s = 21 interact¸ioneaz˘ uniform H ¸si se alege axa Oz de-a lungul acestui cˆ amp magnetic extern; atunci, matricea de (z) spin a potent¸ialului de interact¸ie este dat˘a de formula (12.2): uσ, σ′ (r) = − µB H σσ, σ′ ¸si este independent˘ a de coordonatele de pozit¸ie. Situat¸ia este similar˘ a cu cazul particular considerat ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a. Discut¸ia efectuat˘a pentru calculul de perturbat¸ie a funct¸iei Green-Matsubara ˆın spat¸iul pozit¸iipseudo-timpi r˘amˆ ane nemodificat˘a, cu singura simplificare c˘ a matricea de spin a potent¸ialului de interact¸ie este o constant˘ a. ˆIn spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a studiul funct¸iei Green-Matsubara a sistemului se simplific˘ a ˆın mod considerabil, deoarece interact¸ia particulelor cu cˆ ampul magnetic uniform nu altereaz˘a omogenitatea spat¸ial˘a a sistemului. ˆIn consecint¸˘a, funct¸ia Green-Matsubara depinde, ˆın acest caz, numai de diferent¸ele coordonatelor spat¸io-pseudo-temporale ¸si astfel este posibil˘a o transformare Fourier simpl˘a: Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) = Gσσ′ (r − r′ , τ − τ ′ ) =
LT
Z
∞ ′ ′ d3 k 1 X eik·(r−r )−iωm (τ −τ ) Geσσ′ (k, ω) . 3 ~β (2π) 3 R m=−∞
A. Analiza diagramatic˘ a ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a Se efectueaz˘ a transformarea Fourier a fiec˘ arui termen din seria de perturbat¸ie a funct¸iei Green-Matsubara ˆın spat¸iul pozit¸ii-pseudo-timpi, dat˘a de relat¸ia tip Brueckner (12.40): Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) =
X
n=0
(n)
Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) (n) Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ )
=⇒
=
Z
∞ ′ ′ d3 k 1 X (n) eik·(r−r )−iωm (τ −τ ) Geσσ′ (k, ωm ) . (2π)3 ~β m=−∞
Pentru termenul de ordinul n se utilizeaz˘a expresia (12.44) ¸si se efectueaz˘a sum˘arile part¸iale ˆın raport cu indicii de spini, luˆand ˆın considerare c˘ a funct¸iile Green-Matsubara libere sunt diagonale ˆın indicii de spini: (n)
Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) =
1 ~n
Z
d3 r1
Z
~β
0
Z Z dτ1 · · · d3 rn
~β
dτn
0
X
λ1 ,µ1
···
0 (r, τ ; r1 , τ1 ) Gµ01 λ2 (r1 , τ1 ; r2 , τ2 ) . . . × Gσλ 1
X
uλ1 ,µ1 . . . uλn ,µn
λn ,µn
× Gµ0n−1 λn (rn−1 , τn−1 ; rn , τn ) Gµ0n σ′ (rn , τn ; r′ , τ ′ ) X 1 uσµ1 uµ1 µ2 . . . uµn−1 σ′ = n ~ µ ,µ ,...,µ 1 2 n−1 Z Z ~β Z Z ~β × d3 r1 dτ1 · · · d3 rn dτn G 0 (r, τ ; r1 , τ1 ) G 0 (r1 , τ1 ; r2 , τ2 ) . . . 0
0
× G (rn−1 , τn−1 ; r, τn ) G (rn , τn ; r′ , τ ′ ) ; 0
0
ˆ CAPITOLUL 12. FERMIONI ˆIN CAMP EXTERN
326
ˆın continuare se efectueaz˘ a transform˘ arile Fourier pentru funct¸iile Green-Matsubara libere ¸si se utilizeaz˘a proprietatea de convolut¸ie a transform˘arii Fourier: Z Z ~β Z Z ~β d3 r1 dτ1 · · · d3 rn dτn G 0 (r, τ ; r1 , τ1 ) G 0 (r1 , τ1 ; r2 , τ2 ) 0
0
. . . G 0 (rn−1 , τn−1 ; rn , τn ) G 0 (rn , τn ; r′ , τ ′ ) Z Z ~β Z Z ~β Z 3 ∞ d k1 1 X eik1 ·(r−r1 )−iωm1 (τ −τ1 ) Ge0 (k1 , ωm1 ) = d3 r1 dτ1 · · · d3 rn dτn 3 ~β (2π) 0 0 m1 =−∞ Z 3 ∞ X ′ ′ d kn+1 1 eikn+1 ·(rn −r )−iωmn+1 (τn −τ ) Ge0 (kn+1 , ωmn+1 ) ··· 3 (2π) ~β m =−∞ n+1 Z 3 Z 3 ∞ ∞ X X d kn+1 1 d k1 1 ··· Ge0 (k1 , ωm1 ) · · · Ge0 (kn+1 , ωmn+1 ) = (2π)3 ~β m =−∞ (2π)3 ~β m =−∞ 1
n+1
i(k1 ·r−kn+1 ·r′ )−i(ωn1 τ −ωnn+1 τ ′
×e Z Z × d3 r1 ei(k2 −k1 )·r1 · · · d3 rn ei(kn+1 −kn )·rn | | {z } {z }
×
=
Z
Z
= (2π)3 δ(k2 −k1 )
|0
~β
= (2π)3 δ(kn+1 −kn )
Z ~β dτ1 ei(ωmn −ωmn+1 )τn dτ1 ei(ωm1 −ωm2 )τ1 · · · {z } {z } |0 = ~β δm2 ,m1
3
= ~β δmn+1 ,mn
n+1 ik·(r−r)−iωm (τ −τ ′ ) d k e0 G (k, ωm ) e . 3 (2π)
Atunci, termenul de ordinul n are expresia Z 3 d k ik·(r−r)−iωm (τ −τ ′ ) (n) Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) = e (2π)3 X n+1 1 × n ; uσµ1 uµ1 µ2 . . . uµn−1 σ′ Ge0 (k, ωm ) ~ µ ,µ ,...,µ 1
2
n−1
utilizˆand definit¸ia transform˘ arii Fourier rezult˘a c˘ a transformata Fourier a termenului perturba¸tional de ordinul n este X n+1 1 (n) uσµ1 uµ1 µ2 . . . uµn−1 σ′ Ge0 (k, ωm ) Geσσ′ (k, ωm ) = n ~ µ ,µ ,...,µ 1
unde u ˇ ≡ uσσ′
σ,σ′ =±1
2
n−1
n+1 1 = n uˇn σσ′ Ge0 (k, ωm ) , ~
(12.46)
este matricea de spin a potent¸ialului de interact¸ie.
B. Ecuat¸ia Dyson Pe baza rezultatului anterior se poate deduce ˆın mod direct ecuat¸ia Dyson ˆın spat¸iul impulsfrecvent¸˘a: 2 1 X 3 1 uσλ uλσ′ Ge0 (k, ωm ) + . . . Geσσ′ (k, ωm ) = δσσ′ Ge0 (k, ωm ) + uσσ′ Ge0 (k, ωm ) + ~ ~ λ X 0 n+1 1 + n + ... uσµ1 uµ1 µ2 . . . uµn−1 σ′ Ge (k, ωm ) ~ µ ,µ ,...,µ 1
2
n−1
1X = δσσ′ Ge0 (k, ωm ) + uσλ Ge0 (k, ωm ) ~ λ n o 2 1 X 3 1 0 × δλσ′ Ge (k, ωm ) + uλσ′ Ge0 (k, ωm ) + uλλ′ uλ′ σ′ Ge0 (k, ωm ) + . . . ; ~ ~ ′ λ
˘ FINITA ˘ 12.3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
327
se observ˘ a c˘ a m˘arimea din interiorul parantezelor acolade este seria de perturbat¸ie a transformatei Fourier a funct¸iei Green, astfel c˘ a rezult˘a relat¸ia X 1 uσλ Geλσ′ (k, ωm ) , Geσσ′ (k, ωm ) = δσσ′ Ge0 (k, ωm ) + Ge0 (k, ωm ) ~
(12.47)
λ
care este ecuat¸ia Dyson pentru transformata Fourier a funct¸iei Green. Este convenabil s˘a se rescrie ecuat¸ia Dyson anterioar˘ a ˆın form˘a matricial˘a: 1 ˇe ˇe ˇ · G(k, ωm ) . G(k, ωm ) = Ge0 (k, ωm ) ˇI + Ge0 (k, ωm ) u ~
Prin operat¸ii algebrice simple se obt¸ine solut¸ia ˆın forma
−1 1 1 ˇe G(k, ωm ) = Ge0 (k, ωm ) ˇI − Ge0 (k, ωm ) uˇ = ~ Ge0 (k, ωm ) 1 = 0 Ge (k, ωm )
ˇI − 1 u ˇ ~
−1
ˇI + µB H σ ˇ (z) ~
−1
,
unde ˆın ultima expresie s-a explicitat matricea de interact¸ie, conform relat¸iei (12.2). Rezultatul anterior arat˘a c˘ a inversa matricii de spin a transformatei Fourier a funct¸iei Green-Matsubara este 1 µB H + 0 µB H (z) ~ 1 ˇ −1 Ge0 (k, ωm ) ˇ 1+ σ ˇ = Ge (k, ωm ) = µB H ; 1 ~ Ge0 (k, ωm ) − 0 ~ Ge0 (k, ωm )
deoarece este o matrice diagonal˘ a, inversarea acestei matrici este banal˘a ¸si se obt¸ine: −1 1 µB H 0 + e0 ~ ˇe −1 , G(k, ωm ) = G (k, ωm ) 1 µB H 0 − 0 e ~ G (k, ωm ) adic˘a transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara este Geσσ′ (k, ωm ) =
1 1 Ge0 (k, ωm )
+
µB H σ ~
δσσ′ ;
ˆın final, prin explicitarea transformatei Fourier a funct¸iei Green-Matsubara libere, conform relat¸iei (5.51), se obt¸ine: 1 . (12.48) Geσσ′ (k, ωm ) = δσσ′ 1 0 i ω m − ~ ε k − µB H σ − µ C. Magnetizarea
Pentru sistemul constituit din N particule, operatorul moment dipolar magnetic este ˆz = M
QI
(z)
N X
ˆ (z) m j ,
j=1
(z)
ˆ j = µB σ ˆj este momentul dipolar magnetic (de spin) al unei particule. unde m ˆIn Cuantificarea II momentul dipolar magnetic al sistemului este operatorul Z Z X † X (z) (z) ˆz = M d3 r ψˆσ′ (r) mσ′ σ ψˆσ (r) = d3 r µB σσ′ σ ψˆσ† ′ (r) ψˆσ (r) . Q II
σ,σ′
σ,σ′
ˆ CAPITOLUL 12. FERMIONI ˆIN CAMP EXTERN
328
A. Media grand-canonic˘ a a momentului magnetic dipolar se exprim˘ a ˆın termeni de funct¸ie Green-Matsubara, conform relat¸iei (5.36b) ˆın care se alege semnul inferior corespunz˘ ator cazului fermionic: Z X
(z) ˆ Mz = Tr ̺ˆ Mz = d3 r µB σσσ′ Tr ̺ˆ ψˆσ† ′ K¯ (r, τ ) ψˆσK¯ (r, τ ) = =
Z
Z
σ,σ′
d3 r
X σ,σ′
d3 r
X σ
(z)
µB σσσ′ Gσ′ σ (r, τ ; r, τ + ) (z) Gσσ (r, τ ; r, τ + ) , µB σσσ
(z) unde ˆın ultima egalitate s-a luat ˆın considerare faptul c˘ a matricea Pauli σ ˇ (z) = σσσ′ este diagonal˘ a. Se efectueaz˘ a transformarea Fourier a funct¸iei Green-Matsubara ¸si se obt¸in egalit˘a¸tile: Z Z 3 ∞ X
d k 1 X ik·(r−r)−iωm (τ −τ ′ ) e (z) e G (k, ω ) Mz = d3 r µB σσσ σσ m ′ 3 (2π) ~β m=−∞ r =r σ τ ′ =τ + Z Z 3 ∞ X 1 X iωm η e d k (z) lim d3 r . e G (k, ω ) = µB σσσ σσ m 3 η→0+ ~β (2π) V m=−∞ σ
Transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara are expresia dat˘a de formula (12.48), astfel ˆıncˆ at suma dup˘a frecvent¸ele fermionice se calculeaz˘a cu formula (5.57) lim
η→0+
∞ ∞ 1 1 X eiωm η 1 X iωm η e = , e Gσσ (k, ωm ) = lim β~ωkσ η→0+ ~β ~β m=−∞ i ω − ω 1 + e m kσ m=−∞
unde s-a notat ωkσ ≡ ~1 ε0k − µB H σ − µ . Ca urmare, se obt¸ine expresia magnetiz˘arii ˆın forma:
(z) X Z d3 k Mz σσσ = µB M≡ 0 V (2π)3 eβ(εk −µB H σ−µ) + 1 σ Z 3 d k 1 1 = µB . − (2π)3 eβ(ε0k −µB H−µ) + 1 eβ(ε0k +µB H−µ) + 1
(12.49)
B. Num˘ arul mediu de particule se calculeaz˘a pe baza formulei (5.36a): Z X
N = d3 r Gσσ (r, τ ; r, τ + ) ; σ
se efectueaz˘ a transformarea Fourier pentru funct¸ia Green-Matsubara ¸si se procedeaz˘ a ˆın mod similar cu cazul precedent: Z ∞ X Z d3 k 1 X
ik·(r−r)−iωm (τ −τ ′ ) e N = d3 r e G (k, ω ) σσ m ′ 3 (2π) ~β m=−∞ r =r σ τ ′ =τ + Z ∞ X Z d3 k 1 X iωm η e lim d3 r e G (k, ω ) = σσ m 3 η→0+ ~β (2π) V m=−∞ σ X Z d3 k 1 . =V 0 3 β(ε −µ H σ−µ) + 1 B (2π) e k σ ˆIn consecint¸˘ a, densitatea de particule este
Z N d3 k 1 1 n≡ . = + V (2π)3 eβ(ε0k −µB H−µ) + 1 eβ(ε0k +µB H−µ) + 1
(12.50)
˘ FINITA ˘ 12.3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
329
C. Ecuat¸ia grand-canonic˘ a a magnetiz˘arii este de forma M = M (β, µ, V ), dar rezultatul interesant din punct de vedere fizic este ecuat¸ia canonic˘a a magnetiz˘arii: M = M (β, N, V ). Pentru a transforma ecuat¸ia grand-canonic˘a ˆın ecuat¸ia canonic˘a se utilizeaz˘a ecuat¸ia grandcanonic˘a a densit˘ a¸tii de particule n = n(β, µ); din aceast˘a ultim˘a ecuat¸ie se obt¸ine potent¸ialul chimic ca funct¸ie de temperatur˘a ¸si de densitatea particulelor, astfel ˆıncˆ at se elimin˘ a potent¸ialul chimic din expresia magnetiz˘arii. Este necesar s˘a se remarce c˘ a eliminarea potent¸ialului chimic ˆın form˘a analitic˘a este posibil˘ a numai prin aproximat¸ii, ˆın cazuri asimptotice; pentru situat¸ii arbitrare este posibil s˘a se obt¸in˘a magnetizarea ˆın condit¸ii canonice numai prin analiz˘a numeric˘a. Pentru a efectua operat¸iile de transformare a ecuat¸iilor grand-canonice ˆın ecuat¸ii canonice este convenabil s˘a se utilizeze integralele fermionice ale mecanicii statistice, pentru care exist˘a metode de calcul bine cunoscute; astfel integrala fermionic˘a de indice ν este Z ∞ εν Jν (β, µ) = dε β(ε−µ)+1 ; e 0 se pot obt¸ine expresii aproximative ˆın urm˘atoarele cazuri asimptotice: i. limita degenerat˘ a (βµ ≫ 1) cˆ and este valabil˘a formula Sommerfeld Jν (β, µ) ≈
π 2 ν(ν + 1) i µν+1 h 1+ ; ν +1 6 (βµ)2
ii. limita clasic˘ a (βµ ≪ 1) Jν (β, µ) ≈
Γ(ν + 1) βµ e , β ν+1
unde Γ(x) este integrala Euler de a doua specie. 1 ˆIn cazul prezent integralele care apar ˆın ecuat¸iile grand-canonice ale magnetiz˘arii ¸si densit˘ a¸tii de particule (12.49) – (12.50) sunt de forma urm˘atoare: Z 3 Z ∞ d k 1 4π k2 = , dk β(ε0 −µ′ ) 0 −µ′ ) 3 3 β(ε (2π) e k (2π) 0 +1 e k +1 unde s-au utilizat coordonatele sferice, deoarece integrandul depinde numai de m˘arimea vectorului ~2 k 2 , de und˘a; de asemenea, s-a utilizat notat¸ia µ′ ≡ µ ± µB x. Energia uni-particul˘a este ε0k = 2m astfel c˘ a integrala precedent˘ a se transform˘a ˆın integral˘a fermionic˘a: Z 3 Z d k 4π 1 2m 3/2 ∞ 1 2m 3/2 1 ε1/2 = = J1/2 (β, µ′ ) . dε 0 0 ′ ′ (2π)3 eβ(εk −µ ) + 1 (2π)3 2 ~2 4π 2 ~2 eβ(εk −µ ) + 1 0 Prin utilizarea integralelor fermionice se obt¸in ecuat¸iile grand-canonice ale magnetiz˘arii ¸si ale densit˘ a¸tii de particule ˆın forma urm˘atoare: o 1 2m 3/2 h J (β, µ + µ H) + J (β, µ − µ H) , B B 1/2 1/2 4π 2 ~2 h o µB 2m 3/2 M= J1/2 (β, µ + µB H) − J1/2 (β, µ − µB H) . 4π 2 ~2 n=
(12.51a) (12.51b)
D. Limita temperaturilor ˆınalte (cazul cuasi-clasic) implic˘ a condit¸ia βµ ≪ 1 . Ecuat¸ia densit˘a¸tii de particule (12.51a) se aproximeaz˘ a astfel: n≈
i Γ( 3 ) 2m 3/2 1 2m 3/2 Γ( 23 ) h β(µ+µB H) 2 e + eβ(µ−µB H) = eβµ cosh(βµB H) . 2 2 3/2 4π ~ 2π 2 ~2 β β
ˆIn mod similar se aproximeaz˘ a ecuat¸ia magnetiz˘arii (12.51b) M≈
i Γ( 23 ) 2m 3/2 βµ µB 2m 3/2 Γ( 32 ) h β(µ+µB H) β(µ−µB H) e sinh(βµB H) . = µ e − e B 4π 2 ~2 2π 2 ~2 β β 3/2
1 Deducerea expresiilor aproximative ale integralelor fermionice ˆ ın cazurile asimptotice este prezentat˘ a ˆın majoritatea lucr˘ arilor generale de Mecanic˘ a Statistic˘ a; ca urmare, se omite prezentarea acestei deduceri ˆın lucrarea prezent˘ a.
ˆ CAPITOLUL 12. FERMIONI ˆIN CAMP EXTERN
330
Atunci, prin eliminarea potent¸ialului chimic se obt¸ine ecuat¸ia canonic˘a a magnetiz˘arii: M ≈ n µB tanh(βµB H) .
(12.52)
Dac˘ a se consider˘ a cˆ ampuri magnetice slabe, atunci este satisf˘acut˘ a condit¸ia β µB H ≪ 1 ¸si magnetizarea devine M ≈ nµB β µB H ; se observ˘ a c˘ a ˆın aceast˘a limit˘ a magnetizarea devine proport¸ional˘ a cu cˆ ampul magnetic, astfel ˆıncˆ at susceptibilitatea magnetic˘a este χ≡
N µ2B M ≈ , H V kB T
(12.53)
care este legea Curie. E. Limita temperaturilor coborˆ ate (cazul degenerat) este realizat ˆın condit¸iile: µ . εF ¸si µB H ≪ εF , unde εF este energia Fermi a sistemului. Atunci, se utilizeaz˘a formula de aproximat¸ie Sommerfeld pentru integralele fermionice ¸si se aplic˘ a ˆın mod consecvent aproximat¸ia de ordinul minim. Densitatea de particule are urm˘atoarea aproximare, rezultat˘ a din relat¸ia (12.51a): 1 2m 3/2 (µ + µB H)3/2 h π 2 3 kB T 2 i 1 + 3 4π 2 ~2 6 4 µ + µB H 2 3/2 h 2 (µ − µB H) π 3 kB T 2 i + 1+ 3 6 4 µ − µB H 2 h 3/2 3/2 ih π 2 kB T 2 i 1 2m 3/2 1 + µ + µ H + µ − µ H ≈ B B 6π 2 ~2 8 µ π 2 kB T 2 i 1 2m 3/2 h 3 µB H 2 ih 1+ ; ≈ µ 1+ 3π 2 ~2 8 µ 8 µ
n≈
la temperatur˘a nul˘a T = 0 ¸si ˆın absent¸a cˆ ampului magnetic H = 0, relat¸ia aproximativ˘ a precedent˘ a devine o relat¸ie exact˘ a: 1 2m 0 3/2 n= ε , 3π 2 ~2 F
unde ε0F este energia Fermi a sistemului f˘ar˘a cˆ amp magnetic. Din rezultatul precedent se obt¸ine expresia energiei Fermi 2/3 ~2 3π 3 n ; (12.54) ε0F = 2m atunci, aproximat¸ia anterioar˘ a pentru densitatea de particule se exprim˘ a ˆın mod echivalent cu ajutorul energiei Fermi: h 3 µB H 2 i2/3 h π 2 kB T 2 i2/3 ε0F ≈ µ 1 + 1+ . 8 µ 8 µ
Prin utilizarea consecvent˘ a a aproximat¸iei de ordin minim, din relat¸ia precedent˘ a rezult˘a poten¸tialul chimic: h π 2 kB T 2 i 1 µB H 2 ih 1− . (12.55) µ ≈ ε0F 1 − 4 µ 12 µ Se aplic˘ a aceea¸si metod˘ a de aproximare ˆın expresia (12.51b) pentru magnetizare
1 2m 3/2 2 3/2 h π 2 kB T 2 i µB H 3/2 µB H 3/2 ih 1+ 1+ − 1− µ 2 2 4π ~ 3 µ µ 8 µ h i 2 2 3/2 1 π kB T 2m 2 3/2 µB H ≈ µB 2 1+ µ 3 4π ~2 3 µ 8 µ i h 2 2 3/2 µB H 2m π kB T 1 µ 1+ . ≈ µB 2 2π ~2 8 µ µ
M ≈ µB
˘ FINITA ˘ 12.3. FORMALISMUL DE TEMPERATURA
331
Prin utilizarea aproximat¸iei anterioare a ecuat¸iei densit˘ a¸tii de particule se obt¸ine 1 2m 3/2 h 3 π 2 kB T 2 ≈ µ 1+ 2 2 2π ~ 8 µ 2
n ; 3 µB H 2 1+ 8 µ
atunci expresia magnetiz˘arii devine la limita cˆ ampului magnetic slab (µB H ≪ ε0F ) µB H µB 3 µB H 2 0 h π 2 kB T 2 i 1 µB H 2 ih 1+ 1− εF 1 − 8 µ 4 µ 12 µ ih i h 2 2 2 2 3 µB 1 µB H π kB T ≈n 1− H 1+ 2 ε0F 12 ε0F 8 ε0F i 2 2 h π kB T 2 3 µB 1+ H. ≈n 0 2 εF 12 ε0F
M≈
3 n 2
(12.56)
Se observ˘ a c˘ a magnetizarea este proport¸ional˘ a cu cˆ ampul magnetic, astfel c˘ a susceptibilitatea magnetic˘a are expresia M π 2 kB T 2 i 3 µ2B h χ≡ 1 + , (12.57) ≈n H 2 ε0F 12 ε0F
care este formula Pauli pentru susceptibilitatea magnetic˘a a unui gaz fermionic degenerat. Din rezultatul precedent se obt¸ine expresia susceptibilit˘a¸tii magnetice la limita temperaturii nule: 3 µ2B ; χ = n T →0 2 ε0F
Se observ˘ a c˘ a s-a obt¸inut o valoare finit˘a (¸si nenul˘a) pentru susceptibilitatea magnetic˘a a sistemului fermionic la temperatur˘a nul˘a; rezultatul este complet diferit de predict¸ia similar˘ a obt¸inut˘a ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a (cˆand se obt¸inea o valoare nul˘a pentru susceptibilitatea magnetic˘ a). ˆIn cazul prezent rezultatul este corect, deoarece s-au utilizat funct¸ii care includ asimetria indus˘a de cˆ ampul magnetic, spre deosebire de formalismul temperaturii nule, unde se utilizau funct¸ii simetrice. Formula Pauli se putea obt¸ine f˘ar˘a utilizarea teoriei perturbat¸iilor ¸si a funct¸iilor GreenMatsubara, deoarece sistemul considerat este ideal (adic˘a nu exist˘a interact¸ii mutuale ˆıntre particule); ca urmare, se poate aplica teoria general˘a a gazelor fermionice ideale, care este prezentat˘ a ˆın majoritatea lucr˘arilor generale de Mecanic˘a Statistic˘a.
332
ˆ CAPITOLUL 12. FERMIONI ˆIN CAMP EXTERN
Capitolul 13
Formalismul cˆ ampurilor cuplate pentru sistemul electroni-fononi 13.1
Modelul sistemului electroni-fononi
13.1.1
Observat¸ii preliminare
A. Anterior, ˆın Sect¸iunea 7.1, s-au prezentat propriet˘ a¸tile sistemului de electroni ˆın modelul “jellium”, care este o aproximat¸ie grosier˘a a sistemului de electroni de conduct¸ie din cristale metalice; acest model consider˘ a c˘ a sistemul este constituit din dou˘a sub-sisteme: – sistemul de electroni (considerat¸i fermioni nerelativi¸sti), care au interact¸ii mutuale coulombiene, – ret¸eaua ionic˘ a, aproximat˘ a ca un fond uniform de sarcin˘a pozitiv˘ a ¸si inert˘ a, care asigur˘a condit¸ia de neutralitate electric˘a a sistemului total. B. O aproximat¸ie de ordin superior este realizat˘a prin considerarea dinamicii ret¸elei ionice ¸si a interact¸iei dintre electroni ¸si modurile de excitat¸ie ale ret¸elei (ˆın modelul cel mai simplu), iar acest model simplu consider˘ a ret¸eaua ca un mediu (continuu) elastic omogen ¸si izotrop. Observat¸ii asupra model˘ arii ret¸elei ionice ca un mediu continuu: • Structura discret˘ a a ret¸elei este neimportant˘ a pentru modurile de excitat¸ie care au lungimi 1 de und˘a mari ˆın raport cu constanta ret¸elei cristaline (adic˘a q ≪ , unde a este constanta a ret¸elei); prin urmare, se poate considera aproximat¸ia: ret¸eaua este un mediu continuu elastic. • Conform teoriei clasice a elasticit˘ a¸tii, excitat¸iile unui mediu elastic sunt de dou˘a tipuri: – unde longitudinale (care sunt deform˘ ari de compresie), – unde transversale (care sunt deform˘ ari de forfecare). Deoarece numai undele longitudinale produc variat¸ii de densitate, care modific˘a interact¸ia coulombian˘ a electroni-ret¸ea, atunci se pot neglija (aproximativ) deformat¸iile de forfecare; ca urmare, se consider˘ a numai excitat¸iile de tip unde longitudinale. • ˆIntr-o tratare fenomenologic˘ a se consider˘ a c˘ a propriet˘ a¸tile elastice ale ret¸elei sunt caracterizate prin modulul de compresie adiabatic B (care este o constant˘ a de material cunoscut˘a); totu¸si, ˆıntr-o tratare mai profund˘a, modulul de compresie adiabatic B este determinat de structura ¸si interact¸iile atomice din ret¸ea (adic˘a B este calculabil printr-un model microscopic). • Conform observat¸iilor anterioare, ret¸eaua este tratat˘a ca un fond uniform de sarcin˘a electric˘ a, care are fluctuat¸ii de densitate de tip unde longitudinale. 333
334
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
• Tratarea exact˘ a a spectrului de excitat¸ii al ret¸elei (chiar ˆın modelul simplificat al undelor longitudinale) este foarte dificil˘ a din punct de vedere matematic; ˆın consecint¸˘a sunt necesare aproximat¸ii suplimentare ¸si cea mai simpl˘a, dar suficient de realist˘a, este aproximat¸ia Debye. Dinamica ret¸elei cristaline ¸si a sistemului de electroni este determinat˘ a de faptul c˘ a masa unui ion este mult mai mare decˆ at masa unui electron: Mion ≫ mel ; ˆın consecint¸˘a este valabil˘a aproximat¸ia adiabatic˘ a (Born-Oppenheimer): • ˆın ordinul 0 sistemul electronic este decuplat de ret¸eaua ionic˘ a; • ˆın ordinul 1 se consider˘ a interact¸ia electroni-ioni ca o mic˘a perturbat¸ie.
Conform aproximat¸iei adiabatice rezult˘a c˘ a problema dinamicii sistemului de electroni aflat¸i ˆın interact¸ie cu ret¸eaua ionic˘ a (¸si avˆand fiecare dinamici proprii) este decompozabil˘a ˆın 2 probleme independente, ˆın aproximat¸ia de ordinul 0: i. Problema electronic˘ a ˆın care sistemul de electroni evolueaz˘ a ˆın cˆ ampul ionilor fic¸si (aflat¸i ˆın pozit¸ii de echilibru); adic˘a este realizat modelul “jellium”, cu ret¸eaua considerat˘ a un fond de sarcin˘a uniform ¸si inert. ii. Problema ionic˘ a ˆın care sistemul de ioni (considerat¸i un mediu elastic) evolueaz˘ a ˆın cˆ ampul electronic mediu. Aproximat¸iile de ordin superior, fat¸˘a de modelul simplu specificat anterior, implic˘ a urm˘atoarele elemente suplimentare: – se consider˘ a moduri de excitat¸ie de tip unde transversale, – se consider˘ a interact¸ii ˆıntre modurile de excitat¸ie ale ret¸elei, – se consider˘ a structura discret˘ a a ret¸elei, ceea ce conduce la aparit¸ia unor tipuri suplimentare de excitat¸ii. Totu¸si modelele mai detaliate de structur˘ a a ret¸elei cristaline conduc la rezultate de acela¸si tip cu cele ale modelului de maxim˘ a simplitate, adic˘a excitat¸iile ret¸elei sunt tratabile ˆın teoria cuantic˘ a prin modelul fononic. Teoria simplificat˘ a ofer˘ a o descriere satisf˘ac˘atoare pentru cristale metalice, care se pot aproxima ca fiind constituite din subsistemul electronilor de valent¸˘a (electroni de conduct¸ie) ¸si sistemul de ioni (care efectueaz˘ a vibrat¸ii armonice).
13.1.2
Dinamica ret¸elei ˆın aproximat¸ia armonic˘ a
A. Tratarea clasic˘ a a dinamicii ret¸elei A1. Conform mecanicii clasice, ret¸eaua este tratat˘a ca un mediu continuu cu densitatea medie de particule n0 constant˘ a ¸si cu densitatea de mas˘a medie ρm = M n0 (unde M este masa unui ion); deoarece se iau ˆın considerare numai excitat¸ii de tip compresii-dilat˘ ari (care realizeaz˘ a undele longitudinale), densitatea de particule ˆıntr-un punct dat r ¸si la un anumit moment de timp t este: n(r, t) = n0 + δn(r, t). Pentru elementul infinitezimal al mediului elastic, care se afl˘a ˆın punctul r cˆ and mediul este la echilibru (adic˘ a nedeformat), se define¸ste vectorul deplasare al acestui element (fat¸˘a de pozit¸ia de echilibru) la momentul temporal t, notat ca u(r, t), prin relat¸ia: r → r′ = r + u(r, t); vectorul deplasare define¸ste cˆ ampul de deformat¸ii al mediului continuu. Prin deformarea mediului se modific˘a pozit¸iile relative ale diferitelor elemente infinitezimale ale mediului elastic; astfel, conform definit¸iei vectorului deplasare, modificarea distant¸ei infinitezimale la deformare, pe o direct¸ie a axelor de coordonate cartesiene, este: ∂uα ∂uα dxα = 1 + dxα ; dxα → dx′α = dxα + ∂xα ∂xα ca urmare, modificarea elementului infinitezimal de volum la deformarea mediului este dV = dx dy dz → dV ′ = dx′ dy ′ dz ′ ∂uy ∂uz ∂ux 1+ 1+ dx dy dz = 1+ ∂x ∂y ∂z ∂uz ∂ux ∂uy dV + + ≈ 1+ ∂x ∂y ∂z = 1 + div u dV ,
13.1. MODELUL SISTEMULUI ELECTRONI-FONONI
335
adic˘a variat¸ia relativ˘a a volumului se exprim˘ a prin divergent¸a vectorului deplasare: dV ′ ≈ 1 + div u . dV Pe baza rezultatelor anterioare se obt¸ine variat¸ia densit˘ a¸tii de particule la deformarea mediului: 1 δV δN δN − − 1 ≈ n = n − 1 ≈ − n0 div u , (13.1) δn = n′ − n0 = 0 0 δV ′ δV δV ′ 1 + div u
unde ultima aproximat¸ie s-a obt¸inut deoarece efectul deformat¸iei este foarte mic, astfel ˆıncˆ at div u ≪ 1. A2. ˆIn mecanica clasic˘ a a mediilor continue se arat˘a c˘ a sunt valabile urm˘atoarele ecuat¸ii ale cˆ ampului de deformat¸ii 1 1 ∂2 u(r, t) − ∇2 u(r, t) = 0 , c2 ∂t2 rot u(r, t) = 0 ,
(13.2a) (13.2b)
B B = este p˘ atratul vitezei sunetului ˆın mediul elastic. Ecuat¸ia (13.2a) este 0 ρm M n0 ecuat¸ia undelor (D’Alembert) ¸si constituie ecuat¸ia de evolut¸ie pentru cˆ ampul de deformat¸ii, iar ecuat¸ia (13.2b) arat˘a c˘ a u(r, t) este un cˆ amp irrotat¸ional, exprimˆ and absent¸a forfec˘arilor.
unde c2 =
Pentru un sistem de particule cu f grade de libertate ¸si coordonate generalizate qj j=1,f dqj sunt funct¸ia dinamic˘ a caracteristic˘ a este funct¸ia Lagrange L(q1 , . . . qf ; q˙1 , . . . q˙f , t), unde q˙j ≡ dt vitezele generalizate; atunci ecuat¸iile de evolut¸ie ale sistemului (numite ecuat¸iile lui Lagrange) se exprim˘ a ˆın termeni de derivate ale funct¸iei Lagrange: d ∂L ∂L − =0, j = 1, f . dt ∂ q˙j ∂ qj A3.
Un mediu continuu se poate trata ˆın mod similar cu un sistem de particule, considerˆ and elementele infinitezimale ale mediului ca fiind analoage particulelor sistemului discret; atunci sumarea dup˘a particule devine integrare spat¸ial˘a ¸si indicierea gradelor de libertate devine continu˘ a. 2 Lagrangeanul cˆ ampului de deformat¸ii corespunz˘ atoare undelor longitudinale se exprim˘ a ca o integral˘a spat¸ial˘a Z ˙ ∇u) , d3 r L0 (u, u, L0 (t) = V
˙ ∇u) este densitatea de lagrangean. ˆIn cadrul teoriei se arat˘a c˘ unde L0 (u, u, a ecuat¸iile de evolut¸ie ale mediului continuu se pot exprima ˆın forma ecuat¸iilor Lagrange # " X ∂L0 d ∂L0 ∂L0 ∂ + =0, (α = 1, 2, 3) , − dt ∂ u˙ α ∂xβ ∂uα ∂uα β=1,2,3 ∂ ∂xβ
unde s-a notat x ≡ x1 , y ≡ x2 ¸si z ≡ x3 , respectiv ux ≡ u1 , uy ≡ u2 ¸si uz ≡ u3 . Pe de alt˘ a parte, ecuat¸ia de evolut¸ie a cˆ ampului de deformat¸ii corespunz˘ ator undelor longitudinale este ecuat¸ia D’Alembert vectorial˘a (13.2a), care se poate rescrie ˆın mod echivalent pe componente prin explicitarea vitezei sunetului: X ∂uα ∂ d M n0 u˙ α − B =0, (α = 1, 2, 3) . dt ∂xβ ∂xβ β=1,2,3
1 Demonstrarea ecuat ¸iilor (13.2) necesit˘ a o detaliere considerabil˘ a a mecanicii mediilor continue, care este ˆın afara obiectului lucr˘ arii prezente; prin urmare, se consider˘ a cunoscute principalele rezultate ale mecanicii mediilor continue, inclusiv argumentele care conduc la ecuat¸iile specificate anterior. 2 Teoria lagrangean˘ a clasic˘ a a cˆ ampului este un capitol al mecanicii mediilor continue, care necesit˘ a un spat¸iu considerabil de mare pentru o prezentare riguroas˘ a; de aceea, din motive de conciziune se va utiliza o variant˘ a simplificat˘ a a teoriei generale ¸si se vor omite demonstrat¸iile pentru ecuat¸iile fundamentale ale acestei teorii.
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
336
Deoarece ecuat¸iile Lagrage trebuie s˘a fie echivalente cu ecuat¸ia D’Alembert vectorial˘a, rezult˘a urm˘atoarele condit¸ii de echivalent¸˘ a: ∂L0 = M n0 u˙ α , ∂ u˙ α ∂uα ∂L0 , = −B (α, β = 1, 2, 3) ; ∂xβ ∂uα ∂ ∂xβ ∂L0 =0 ∂uα condit¸iile de echivalent¸˘ a precedente permit determinarea densit˘ a¸tii de lagrangean, care se poate alege ˆın forma: 2 1,2,3 1,2,3 X 1 1 X ∂uα 2 L0 = M n0 u˙ α − B . 2 2 ∂xβ α α,β
Lagrangeanul cˆ ampului de deformat¸ii se obt¸ine prin integrarea densit˘ a¸tii de lagrangean Z
1 d r L0 = 2 V 3
M n0
1,2,3 X
u˙ 2α
α
−B
1,2,3 X α,β
∂uα ∂xβ
2
.
Este convenabil s˘a se transforme densitatea de lagrangean ˆıntr-o expresie echivalent˘ a; pentru aceasta se exprim˘ a al doilea termen astfel: 1,2,3 X α,β
∂uα ∂xβ
2
=
1,2,3 X β
∂ ∂xβ
1,2,3 X
uα
α
∂uα ∂xβ
−
1,2,3 X α
uα
1,2,3 X β
∂ 2 uα ; ∂x2β
primul termen este divergent¸a unui vector, iar al doilea termen se exprim˘ a prin laplacean: 1,2,3 X α,β
∂uα ∂xβ
2
= div a − u · ∇2 u ,
unde vectorul a are componentele cartesiene aβ =
X
α
uα
∂uα . Atunci lagrangeanul cˆ ampului ∂xβ
de deformat¸ii se exprim˘ a ˆın forma Z M n0 2 u˙ + c2 u · ∇2 u − c2 div a , d3 r L0 = 2 V
unde s-a ˆınlocuit modulul de compresie ˆın termeni de viteza sunetului (B = M n0 c2 ); ultimul termen, care este o divergent¸˘ a, se transform˘a cu ajutorul teoremei Gauss ˆın integrala pe frontiera domeniului, care este nul˘a: Z I d3 r div a = d2 S an = 0 . V
Σ
Prin urmare, lagrangeanul sistemului se poate scrie ˆın urm˘atoarea form˘a Z M n0 2 u˙ + c2 u · ∇2 u , d3 r L0 = 2 V
(13.3a)
iar densitatea de lagrangean este
L0 =
M n0 2 u˙ + c2 u · ∇2 u . 2
(13.3b)
13.1. MODELUL SISTEMULUI ELECTRONI-FONONI
337
A4. Pentru a trece de la formalismul lagrangean la formalismul canonic (hamiltonian), se define¸ste densitatea de impuls canonic π: πα ≡
∂L0 = M n0 u˙ α , ∂ u˙ α
(α = 1, 2, 3)
=⇒
π = M n0 u˙ ;
(13.4)
densitatea de hamiltonian este H0 (π, u) ≡ π · u˙ − L0 =
1 M n 0 c2 π2 − u · ∇2 u , 2 M n0 2
astfel ˆıncˆ at hamiltonianul cˆ ampului de deformat¸ii este Z Z n 1 o M n 0 c2 H0 ≡ d3 r H0 = d3 r π2 − u · ∇2 u . 2 M n0 2 V V A5.
(13.5)
Oscilat¸iile normale longitudinale sunt de forma: uq (r, t) = aq sin q · r − ωq t − αq ,
unde ˆın formula de mai sus sunt necesare urm˘atoarele observat¸ii: i. vectorul amplitudine este paralel cu vectorul de und˘a (condit¸ia de vibrat¸ie longitudinal˘a): q a q = aq , q ii. pulsat¸ia are o lege de dispersie acustic˘a: ωq = c q. iii. se consider˘ a cristalul cubic cu latura L, astfel ˆıncˆ at volumul este V = L3 ; prin aplicarea condit¸iilor de ciclicitate Born – von K´arman se obt¸in valori discrete pentru vectorul de und˘a: 2π gα , (α = 1, 2, 3) , unde gα sunt numere ˆıntregi: gα = 0, ±1, ±2, . . . . qα = L Este convenabil s˘a se utilizeze exprimarea prin exponent¸ial˘a complex˘a, astfel c˘ a uq (r, t) se rescrie ˆın forma o n q n o uq (r, t) = Im aq ei(q·r−ωq t−αq ) = Im dq ei(q·r−ωq t) , q a. unde dq = aq eiαq este coordonata normal˘ Astfel vectorul elongat¸ie normal˘a are expresia: uq (r, t) = −
o i qn dq ei(q·r−ωq t) − d∗q e−i(q·r−ωq t) . 2 q
(13.6)
O vibrat¸ie arbitrar˘a a ret¸elei cristaline se poate considera ca o superpozit¸ie de vibrat¸ii normale, astfel c˘ a vectorul deplasare are expresia: o X −i X qn u(r, t) = Aq uq (r, t) = dq ei(q·r−ωq t) − d∗q e−i(q·r−ωq t) , Aq 2 q q q iar densitatea de impuls canonic se obt¸ine din expresia precedent˘ a: o X −1 qn π(r, t) = M n0 u˙ = dq ei(q·r−ωq t) + d∗q e−i(q·r−ωq t) ; M n0 Aq ωq 2 q q
at hamiltonianul s˘a aib˘ a forma simpl˘a. coeficient¸ii Aq q se determin˘a astfel ˆıncˆ Prin substituirea expresiilor vectorului deplasare ¸si a impulsului canonic ˆın formula (13.5) se obt¸ine hamiltonianul vibrat¸iilor ret¸elei ˆın termeni de coordonate normale: H0 = 1 cu alegerea Aq = √ M n0
s
2~ . V ωq
X 1 ~ ωq dq d∗q + d∗q dq , 2 q
(13.7)
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
338 Demonstrat¸ie:
Se exprim˘ a hamiltonianul numai termeni de vectorul deplasare (ˆın locul impulsului): Z Z o o n n 1 M n0 c2 M n0 π2 − u · ∇2 u = d3 r u˙ 2 − c2 u · ∇2 u . H0 = d3 r 2 M n0 2 2 V V Prin ˆınlocuirea cu expresia (13.6) termenii hamiltonianului devin: u˙ 2 =
′ ′ q · q′ n 1X Aq Aq′ ωq ωq′ dq dq′ ei(q+q )·r−i(ωq +ωq′ )t + d∗q d∗q′ e−i(q+q )·r+i(ωq +ωq′ )t ′ 4 q q ′
q,q
′
+ dq d∗q′ ei(q−q
c2 u · ∇2 u =
)·r−i(ωq −ωq′ )t
′
+ d∗q dq′ e−i(q−q
)·r+i(ωq −ωq′ )t
o
,
′ ′ 1X q · q′ n Aq Aq′ c2 (q ′ )2 dq dq′ ei(q+q )·r−i(ωq +ωq′ )t + d∗q d∗q′ e−i(q+q )·r+i(ωq +ωq′ )t ′ 4 q q q,q′ o ′ ′ − dq d∗q′ ei(q−q )·r−i(ωq −ωq′ )t − d∗q dq′ e−i(q−q )·r+i(ωq −ωq′ )t ;
ca urmare, hamiltonianul devine: H0 =
=
q · q′ M n0 1 X Aq Aq′ 2 4 q q′ q,q′ Z Z i h ′ ′ dq dq′ e−i(ωq +ωq′ )t d3 r ei(q+q )·r +d∗q d∗q′ ei(ωq +ωq′ )t d3 r e−i(q+q )·r × ωq ωq′ − c2 q ′2 | {z } |V {z } {z } |V = (ωq )2 = V δq′ ,−q
= V δq′ ,−q
= V δq′ ,q
= V δq′ ,q
Z Z i h ′ ′ + ωq ωq′ + c2 q ′2 dq d∗q′ e−i(ωq −ωq′ )t d3 r ei(q−q )·r +d∗q dq′ ei(ωq −ωq′ )t d3 r e−i(q−q )·r | {z } |V {z } {z } |V = (ωq )2
M n0 V 4
X q
h
i
A2q (ωq )2 dq d∗q + d∗q dq .
Din ultima expresie a hamiltonianului rezult˘ a formula (13.7) dac˘ a se face alegerea: M n0 V ωq 2 Aq = ~ . 2
Se observ˘ a c˘ a prin utilizarea coordonatelor normale, hamiltonianul vibrat¸iilor ret¸elei a Xse decupleaz˘ ˆın sum˘a de termeni corespunz˘ atori unor oscilatori armonici independent¸i: H0 = Hq ; aceast˘a q
proprietate are urm˘atoarea interpretare fizic˘a: ret¸eaua ˆın vibrat¸ie (tratat˘a ca un mediu elastic continuu) este echivalent˘ a cu un sistem de oscilatori armonici independent¸i. Prin determinarea coeficient¸ilor Aq q , vectorul deplasare ¸si impulsul canonic au urm˘atoarele expresii: s o −i X ~ qn u(r, t) = dq ei(q·r−ωq t) − d∗q e−i(q·r−ωq t) , (13.8a) M n0 q 2V ωq q r o X ~ ωq q n p (13.8b) dq ei(q·r−ωq t) + d∗q e−i(q·r−ωq t) . π(r, t) = − M n0 2V q q B. Cuantificarea vibrat¸iilor ret¸elei B1. Metoda de cuantificare Dirac transform˘a amplitudinile clasice ale vibrat¸iilor normale (adic˘a coordonatele normale) cu operatori elementari (de creare sau de anihilare) pe fiecare mod de vibrat¸ie; astfel fiecare mod de vibrat¸ie clasic (care este echivalent cu un oscilator armonic clasic) devine un oscilator armonic cuantic. Ca urmare, se efectueaz˘a transformarea: dq −→ dˆq , d∗q −→ dˆq† .
13.1. MODELUL SISTEMULUI ELECTRONI-FONONI Operatorii elementari ai modurilor de vibrat¸ie satisfac relat¸ii de comutare bosonice: dˆq , dˆq′ − = dˆq† , dˆq†′ − = ˆ0 , dˆq , dˆq†′ − = δq,q′ ˆ1 .
Ca urmare a cuantific˘ arii modurilor de vibrat¸ie, operatorul hamiltonian al ret¸elei este: X 1 X ˆ0 = ~ ωq dˆq† dˆq + 21 ˆ1 , ~ ωq dˆq dˆq† + dˆq† dˆq = H 2 q q
339
(13.9a) (13.9b)
(13.10)
unde ultima expresie s-a obt¸inut prin utilizarea relat¸iei de comutare (13.9b). Se observ˘a c˘ a hamiltonianul ret¸elei corespunde la un ansamblu de oscilatori liniari armonici independent¸i. Pe baza expresiilor cuantice obt¸inute anterior se poate construi o interpretare cuantal˘ a (fononic˘ a) pentru ret¸eaua cristalin˘ a aflat˘a ˆın vibrat¸ie: • S-a ar˘ atat anterior c˘ a vibrat¸iile ret¸elei cristaline (ˆın aproximat¸ia armonic˘ a) sunt echivalente cu un sistem de oscilatori liniari cuantici independent¸i, asociat¸i fiec˘ arui mod de vibrat¸ie. • Fiecare oscilator armonic (asociat unui mod normal de vibrat¸ie) are hamiltonianul de forma: ˆ q = ~ ωq n ˆ q + 12 ˆ1 , n ˆ q ≡ dˆq† dˆq ; H ca urmare, valorile proprii ale energiei oscilatorului sunt 1 n + = ~ ω εn(q) , nq = 0, 1, 2, . . . q q q 2
• Expresia energiei proprii a unui oscilator armonic cuantic arat˘a c˘ a o stare excitat˘ a a oscilatorului este echivalent˘ a cu un ansamblu de particule bosonice identice (numite fononi); ca urmare, rezultatele pentru vibrat¸iile cuantice ale ret¸elei se interpreteaz˘ a ˆın modul urm˘ator: – un mod de vibrat¸ie normal˘a (caracterizat prin vectorul de und˘a q) este un tip de fononi; – operatorii elementari dˆq ¸si dˆq† se interpreteaz˘ a ca operatori de anihilare ¸si respectiv de creare pentru fononii de tip (q); – operatorul num˘ ar de fononi de tip (q) este n ˆq; – un fonon de tip (q) are energia εq = ~ ωq ¸si impulsul pq = ~ q (aceasta este alegerea cea mai simpl˘a). Sistemul fononic este echivalent cu un gaz bosonic ideal (dac˘ a se neglijeaz˘ a interact¸iile ret¸elei cu sistemul de electroni ¸si se consider˘ a aproximat¸ia armonic˘ a pentru excitat¸iile ret¸elei). Starea sistemului fononic este caracterizat˘ a prin setul numerelor de fononi pe fiecare mod atoare este normal de vibrat¸ie {n} = nq q , iar energia corespunz˘ X E{n} = ~ ωq nq + 21 . q
B2. Pentru a calcula propriet˘ a¸tile termodinamice ale ret¸elei ˆın cadrul modelului prezentat anterior, este necesar s˘a se fac˘a aproximat¸ii asupra spectrului de excitat¸ii fononice. Aproximat¸ia cea mai simpl˘a, dar suficient de realist˘a este aproximat¸ia Debye, care implic˘ a dou˘a hipoteze: 1. spectrul de energie al fononilor este de tip acustic: ωq = c q , 2. exist˘a o frecvent¸˘ a maxim˘ a pentru modurile de vibrat¸ie, numit˘a frecvent¸˘ a Debye: ωq ≤ ωD , iar aceast˘a frecvent¸˘ a Debye se determin˘a din condit¸ia ca num˘arul total de moduri de vibrat¸ie s˘a fie egal cu num˘ arul de grade de libertate ale ret¸elei.
340
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
Pentru a determina frecvent¸a Debye se alege un cristal cubic cu latura L, astfel ˆıncˆ at valorile unei componente a vectorului de und˘a sunt discrete (datorit˘ a condit¸iilor de periodicitate Born2π gα , (α = 1, 2, 3) , unde gα sunt numere ˆıntregi: gα = 0, ±1, ±2, . . . . von K´arman): qα = L Pe baza cuantific˘ arii valorilor vectorului de und˘a rezult˘a transformarea sumelor dup˘a vectorul de und˘a ˆın integrale la limita termodinamic˘ a, dup˘a cum se arat˘a ˆın Anexa matematic˘a A.3: Z X V f (q) = d3 q f (q) ; LT (2π)3 R3 q ˆın cazul prezent integrarea are o limit˘ a superioar˘a ¸si este interesant cazul cˆ and funct¸ia considerat˘ a depinde numai de frecvent¸a de vibrat¸ie, astfel c˘ a ˆın formula general˘a se efectueaz˘a integrarea ˆın coordonate sferice (integralele unghiulare sunt banale ¸si produc factorul 4π), iar apoi se face schimbarea de variabile q → ω = c q: Z Z X V V 3 dq q 2 f (ωq ) 4π d q f (ωq ) = f (ωq ) = 3 LT (2π)3 ω ≤ω (2π) ω ≤ω q D q D q Z ωD V = dω ω 2 f (ω) . (13.11) 2π 2 c3 0 Pentru o ret¸ea cu N ioni, num˘ arul gradelor de libertate este Nf = 3N , care este num˘arul modurilor normale de vibrat¸ie; atunci rezult˘a X 1 = 3N , q
dar, pe de alt˘ a parte, conform regulii de transformare a sumei ˆın integral˘a se obt¸ine Z ωD 3 X V ωD V ; dω ω 2 = 1= 2 3 2 3 2π c 0 2π c 3 q prin egalarea celor dou˘a rezultate se obt¸ine expresia frecvent¸ei Debye: N 1/3 ωD = c 18π 2 . V
(13.12)
Datorit˘ a relat¸iei liniare ωq = c q se poate defini vectorul de und˘ a Debye prin relat¸ia ωD = c qD ¸si astfel transformarea sumelor ˆın integrale, dat˘a de relat¸ia (13.11), se poate scrie ˆın urm˘atoarea form˘a echivalent˘ a: Z qD X V f (ωq ) = dq q 2 f (ωq ) . LT 2π 2 0 q B3. Propriet˘a¸tile termodinamice ale ret¸elei aflate ˆın vibrat¸ie se obt¸in cel mai simplu pe baza interpret˘ arii cuantale a vibrat¸iilor cuantificate, de unde rezult˘a c˘ a aceste propriet˘ a¸ti sunt cele ale sistemului de fononi liberi, care sunt un gaz bosonic ideal. Deoarece fononii nu sunt direct observabili la nivel termodinamic, rezult˘a c˘ a energia intern˘a a sistemului fononic, ca ecuat¸ie termodinamic˘ a fundamental˘ a U(S, V, Nf ), nu depinde de num˘arul fononilor; atunci potent¸ialul chimic al fononilor este nul: ∂U =0. (13.13) µf ≡ ∂Nf S,V Din punct de vedere fizic sistemul fononic, considerat ca un gaz ideal bosonic, se afl˘a ˆın condit¸ii grand-canonice, cu temperatura T , volumul V ¸si potent¸ialul chimic nul µ = 0; atunci se pot aplica rezultatele generale ale mecanicii statistice pentru gaze cuantice ideale, astfel ˆıncˆ at suma de stare grand-canonic˘ a este ˆ ˆ ˆ = Tr e−β H , Zf (T, V, µ = 0) = Tr e−β(H−µN ) µ=0
13.1. MODELUL SISTEMULUI ELECTRONI-FONONI
341
ˆ 0 este hamiltonianul fononilor liberi ¸si β ≡ 1/(kB T ), iar kB este constanta Boltzmann. Se unde H evalueaz˘ a urma operatorial˘ a ˆın baza energiei ¸si utilizˆand aproximat¸ia Debye; deoarece energiile proprii ale sistemului fononic sunt definite prin setul numerelor de ocupare se obt¸ine q≤q q≤q ∞ YD e− 12 β~ωq YD X X . (13.14) e−β~ωq (nq +1/2) = e−βE{n} = Zf (T, V, µ = 0) = 1 − e−β~ωq q q n =0 {n}
q
Potent¸ialul termodinamic natural al sistemului fononic este potent¸ialul grand-canonic, care se obt¸ine din suma de stare q≤qD −1 1 X 1 Ωf (T, V, µ = 0) = ln Zf (T, V, µ = 0) = − β~ωq + ln 1 − e−β~ωq β β q 2 Z qD V 1 2 −β~ωq = − . dq q β~ω + ln 1 − e q 2π 2 β 0 2 (13.15) Prin utilizarea legii de dispersie acustic˘a (ˆın cadrul aproximat¸iei Debye) ωq = c q se pot obt¸ine expresii analitice pentru m˘arimile termodinamice ale gazului fononic, cum sunt energia intern˘a Uf ¸si capacitatea caloric˘ a Cf . Deoarece aceste chestiuni sunt prezentate ˆın mod detaliat ˆın majoritatea manualelor de Mecanic˘a Statistic˘ a, se omite prezentarea formulelor specificate anterior. B4. Formularea Heisenberg pentru fononii liberi define¸ste operatorii dependent¸i de timp prin formula general˘ a (1.37) i ˆ i ˆ AˆH0 (t) = e ~ tH0 Aˆ e− ~ tH0 , ˆ 0 este hamiltonianul sistemului de fononi liberi, definit prin formula (13.10). Se observ˘a unde H c˘ a sistemul fononic este considerat f˘ar˘a cuplaje cu sisteme externe (cum ar fi sistemul electronic) ¸si f˘ar˘a interact¸ii mutuale (adic˘ a ˆın aproximat¸ia armonic˘ a ˆın care fononii se comport˘ a ca un gaz bosonic ideal), astfel c˘ a aceast˘a formulare Heisenberg (pentru operatorii fononici) este identic˘ a cu formularea Dirac pentru sistemul fononic care are interact¸ii (interne sau externe) suplimentare. Din definit¸ie rezult˘a ecuat¸ia diferent¸ial˘a (1.37) ¸si condit¸ia init¸ial˘a pentru un operator fononic ˆın formularea Heisenberg liber˘ a: ∂ ˆ ˆ 0 , AˆH0 (t) i~ , AH0 (t) = − H − ∂t AˆH0 (0) = Aˆ . Prin rezolvarea ecuat¸iei diferent¸iale pentru operatorii elementari rezult˘a solut¸ia: dˆqH0 (t) = e−iωq t dˆq , dˆ† (t) = e iωq t dˆ† . qH0
q
(13.16a) (13.16b)
Demonstrat¸ie: Derivata temporal˘ a a operatorului elementar ˆın formularea Heisenberg liber˘ a, conform ecuat¸iei diferent¸iale, se exprim˘ a prin comutatorul operatorului elementar ¸si hamiltonianul ˆın formularea Schr¨ odinger: i ˆ ∂ ˆ ˆ 0 , dˆqH0 (t) ˆ 0 , dˆq e− ~i tHˆ 0 ; i~ = − e ~ tH0 H dqH0 (t) = − H − − ∂t dar comutatorul operatorilor ˆın formularea Schr¨ odinger se calculeaz˘ a cu ajutorul relat¸iilor de comutare fundamentale fononice (13.9): X 1 ˆ ˆ 0 , dˆq ~ ωq′ dˆq†′ dˆq′ + ˆ = H 1 , dq − = −~ ωq dˆq . − 2 ′ q
Pe baza rezultatelor anterioare se obt¸ine derivata temporal˘ a a operatorului elementar ˆın formularea Heisenberg liber˘ a:
∂ ˆ ∂ ˆ =⇒ dqH0 (t) = ~ ωq dˆqH0 (t) dqH0 (t) = − i ωq dˆqH0 (t) ; ∂t ∂t a ca ˆın problema definit˘ a de se observ˘ a c˘ a operatorul dˆqH0 (t) satisface aceea¸si ecuat¸ie diferent¸ial˘ ecuat¸ia (2.126), astfel ˆıncˆ at solut¸ia este de tipul formulei (2.127). i~
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
342
B5. Prin aplicarea regulii de cuantificare Dirac ˆın formulele (13.8), care definesc vectorul deplasare ¸si impulsul canonic ˆın termeni de coordonate normale, se obt¸in operatorii canonici ai cˆ ampului fononic ˆın formularea Heisenberg (liber˘a): s ~ q n ˆ i(q·r−ωq t) ˆ† −i(q·r−ωq t) o −i X ˆ H0 (r, t) = dq e − dq e u M n0 q 2V ωq q s o −i X ~ q nˆ † = (t) e−iq·r , dqH0 (t) eiq·r − dˆqH 0 M n0 q 2V ωq q r o X ~ ωq q n p ˆ H0 (r, t) = − M n0 π dˆq ei(q·r−ωq t) + dˆq† e−i(q·r−ωq t) 2V q q r o X ~ ωq q n p † −iq·r . dˆqH0 (t) eiq·r + dˆqH (t) e = − M n0 0 2V q q Atunci, operatorii canonici fononici ˆın formularea Schr¨odinger sunt s −i X ~ q n ˆ iq·r ˆ† −iq·r o ˆ (r) = u , dq e − dq e M n0 q 2V ωq q r o X ~ ωq q n p ˆ π(r) = − M n0 dˆq eiq·r + dˆq† e−iq·r . 2V q q
(13.17a) (13.17b)
Pe baza relat¸iilor de comutare ale operatorilor elementari (13.9), se obt¸in relat¸iile de comutare ale operatorilor de cˆ amp uˆα (r) , u ˆβ (r′ ) − = ˆ0 , (α, β = 1, 2, 3) (13.18a) ′ π ˆα (r) , π ˆβ (r ) − = ˆ0 , (α, β = 1, 2, 3) (13.18b) uˆα (r) , π ˆβ (r′ ) − = i~ δα,β δ 3 (r − r′ ) ˆ1 (α, β = 1, 2, 3) . (13.18c) Din expresia clasic˘ a (13.5), prin aplicarea regulii de cuantificare Dirac, se obt¸ine hamiltonianul sistemului fononic, exprimat ˆın termeni de operatori de cˆ amp: Z o n 1 M n 0 c2 ˆ0 = ˆ2 − ˆ · ∇2 u ˆ . π u (13.19) d3 r H 2 M n0 2 V
B6. Operatorul scalar de cˆ amp fononic (ˆın formularea Schr¨odinger) este definit prin relat¸ia: p ˆ (r) . ϕ(r) ˆ ≡ c M n0 div u (13.20)
Din definit¸ia anterioar˘ a rezult˘a urm˘atoarele consecint¸e: i. Expresia operatorului scalar de cˆ amp fononic ˆın termeni de operatori elementari este r X ~ ωq (13.21a) dˆq e iq·r + dˆq† e−iq·r . ϕ(r) ˆ = 2V q Demonstrat¸ie: Se utilizeaz˘ a expresia (13.17a) ˆın definit¸ia operatorului ϕ(r) ˆ ¸si apoi relat¸ia de dispersie fononic˘ a ωq = c q, astfel ˆıncˆ at rezult˘ a: s o √ −i X ~ q n ˆ iq·r ϕ(r) ˆ = c M n0 iq dq e + iq dˆq† e−iq·r M n0 q 2 V ωq q s n o X ~ q dˆq eiq·r + dˆq† e−iq·r =c 2 V ωq q r X ~ ωq ˆ iq·r = dq e + dˆq† e−iq·r , 2V q adic˘ a s-a obt¸inut formula (13.21a).
13.1. MODELUL SISTEMULUI ELECTRONI-FONONI
343
ii. Operatorul scalar de cˆ amp fononic ˆın formularea Heisenberg (liber˘a) este ϕˆH0 (r, t) ≡ e
i ˆ ~ tH0
ϕ(r) ˆ e
ˆ0 − ~i tH
=
X q
=
X q
r
r
~ ωq ˆ † (t) e−iq·r dqH0 (t) e iq·r + dˆqH 0 2V
~ ωq ˆ iq·r−iωq t ˆ† −iq·r+iωq t dq e + dq e . 2V
(13.21b)
iii. Exprimarea operatorului scalar de cˆ amp fononic ˆın termeni de operatori elementari dat˘a de formula (13.21a) implic˘ a o sumare peste valorile vectorului de und˘a; pe de alt˘ a parte, s-a ar˘atat anterior c˘ a este necesar s˘a se aproximeze aceast˘a sumare pentru a obt¸ine rezultate fizice, iar cea mai simpl˘a metod˘ a este aproximat¸ia Debye, care limiteaz˘ a sumarea la valoarea maxim˘ a dat˘a de vectorul Debye. Atunci, se define¸ste operatorul scalar de cˆ amp fononic ˆın aproximat¸ia Debye, prin relat¸ia: r X ~ ωq ˆ iq·r ˆ† −iq·r ϕ(r) ˆ ≈ θ(qD − q) dq e + dq e . (13.21c) D 2V q iv. Conform expresiilor (13.21) operatorul scalar de cˆ amp fononic este un operator hermitic: ϕˆ† (r) = ϕ(r); ˆ atunci ϕ(r) ˆ reprezint˘ a o m˘arime observabil˘a a sistemului fononic. v. Operatorul deviat¸ie de densitate a particulelor (ioni) se exprim˘a ˆın termeni de operatorul scalar de cˆ amp fononic, dup˘a cum rezult˘a din varianta cuantic˘ a a relat¸iei (13.1): − n0 ˆ (r) = √ ϕ(r) ˆ . δˆ n(r) = − n0 div u c M n0
13.1.3
Interact¸ia electron-fonon
A. Tratarea clasic˘ a Sistemul electonic ¸si ret¸eaua ionic˘ a au urm˘atoarele densit˘ a¸ti de sarcini electrice: – densitatea de sarcin˘a electronic˘ a este ρe (r) = − e ne (r), – densitatea de sarcin˘a ionic˘ a este ρb (r) = +Ze n(r) = Ze n0 + δn(r) , unde deviat¸ia de densitate ionic˘ a este determinat˘ a de deformarea ret¸elei, conform relat¸iei (13.1): δn ≈ − n0 div u. Datorit˘ a faptului c˘ a cele dou˘a subsisteme cont¸in sarcini electrice, rezult˘a c˘ a exist˘a o interact¸ie electrostatic˘ a ˆıntre distribut¸ia de sarcin˘a electronic˘ a ¸si distribut¸ia de sarcin˘a ionic˘ a; ca urmare, hamiltonianul de interact¸ie electron-ret¸ea este Z Z Z Z ′ 3 3 ′ ρe (r) ρb (r) 2 3 3 ′ ne (r) n0 + δn(r) He−b = d r d r = −Ze . d r d r |r − r′ | |r − r′ | V V V V Se separ˘ a componenta static˘a ¸si componenta dinamic˘ a ale energiei electrostatice, astfel c˘ a se descompune hamiltonianul de interact¸ie electroni-ret¸ea astfel: 0 He−b = He−b + He−f ,
unde 0 He−b = −Ze2 n0
Z
Z ne (r) d3 r d3 r′ |r − r′ | V V
(13.22a)
(13.22b)
este termenul corespunz˘ ator interact¸iei ˆıntre distribut¸ia electronic˘ a de sarcin˘a ¸si fondul uniform ¸si inert de sarcin˘a pozitiv˘ a (acest termen a fost considerat ˆın modelul “jellium”); al doilea termen He−f = −Ze2
Z
Z ne (r) δn(r) d3 r d3 r′ |r − r′ | V V
(13.22c)
este termenul de interact¸ie ˆıntre distribut¸ia electronic˘ a de sarcin˘a ¸si deviat¸iile de densitate de sarcin˘a ionic˘ a datorate vibrat¸iilor ret¸elei (acest termen reprezint˘ a interact¸ia electron-fonon).
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
344
B. Cuantificarea interact¸iei electron-ret¸ea B1. Dac˘ a se consider˘ a sistemul electroni-ret¸ea conform teoriei cuantice, atunci cele dou˘a subsisteme au urm˘atoarele caracteristici legate de interact¸ia lor mutual˘a: i. Sistemul electronic are operatorul de cˆ amp X ψˆσ (r) = uk (r) a ˆkσ , k
1 unde descompunerea este definit˘ a pe st˘ari uni-electronice libere uk (r) = √ eik·r ; atunci, opeV ratorul densitate de particule (electroni) este X ˆe (r) = ψˆσ† (r) ψˆσ (r) . n σ
ii. Sistemul fononic reprezint˘ a imaginea cuantal˘ a a vibrat¸iilor ret¸elei ˆın aproximat¸ia armonic˘ a; operatorul de cˆ amp fononic (ˆın aproximat¸ia Debye) are expresia r X ~ ωq ˆ iq·r ˆ† −iq·r ϕ(r) ˆ ≈ θ(qD − q) dq e + dq e , D 2V q iar operatorul deviat¸ie de densitate ionic˘ a este − n0 ˆ (r) = √ ϕ(r) ˆ . δˆ n(r) = − n0 div u c M n0 B2. Pentru a obt¸ine hamiltonianul interact¸iei electroni-fononi se utilizeaz˘a m˘arimea clasic˘a (13.22) ˆın care se efectueaz˘ a cuantificarea canonic˘a, conform regulilor de transformare: ˆe (r) , ne (r) −→ n ˆ ; δn(r) −→ δn(r) ca urmare, operatorul hamiltonian de interact¸ie electroni-fononi este Z Z Z X ˆ ˆe (r) δn(r) Ze2 n0 1 3 ′ n 3 d r d r = √ ϕ(r ˆ ′) . d r d3 r′ ψˆσ† (r) ψˆσ (r) ′ ′| |r − r | |r − r c M n0 V V V V σ (13.23) Operatorul hamiltonian de interact¸ie electroni-fononi se poate exprima ˆın mod echivalent ˆın termeni de operatori elementari: r r Z n0 X X ~ ωq 4πe2 † ˆ He−f = (13.24) ˆ†k,σ a ˆk+q,σ dˆq† . a ˆk,σ a ˆk−q,σ dˆq + a 2 c M 2 V q q ˆ e−f = −Ze2 H
Z
3
k,σ
q ≤ qD
Demonstrat¸ie: Dac˘ a se exprim˘ a operatorii de cˆ amp ˆın termeni de operatori elementari, atunci hamiltonianul de interact¸ie electroni-fononi are expresia: Z Z 2 X 1 −ik·r † X 1 ik′ ·r X n0 1 ˆ e−f = Ze √ √ e √ e a ˆkσ a ˆk′ σ H d3 r d3 r′ ′| |r − r c M n0 V V V V σ k k′ r X ′ ~ ωq ˆ iq·r′ × dq e + dˆq† e−iq·r θ(qD − q) 2V q r Z Z ′ ′ ~ ωq Ze2 n0 X X 1 ei(k −k)·r+iq·r θ(qD − q) = √ a ˆ†kσ a ˆk′ σ dˆq d3 r d3 r′ 2V V V |r − r′ | c M n0 σ k,k′ ,q V Z Z ′ ′ ei(k −k)·r−iq·r 1 ; d3 r d3 r′ +a ˆ†kσ a ˆk′ σ dˆq† V V |r − r′ | V
13.1. MODELUL SISTEMULUI ELECTRONI-FONONI
345
integralele duble spat¸iale se decupleaz˘ a cu schimbarea de variabile r1 = r′ , r2 = r − r′ , iar integralele rezultante produc simbolul Kronecker ¸si transformata Fourier a potent¸ialului coulombian: 1 V
Z
Z Z Z ′ 1 4π ei∆k·r2 ei∆k·r±iq·r 3 i(∆k±q)·r1 = δ∆k,±q 2 . = d3 r d3 r′ d r e d3 r2 1 ′| |r − r V r q 2 V V V V
Cu ajutorul rezultatelor precedente se obt¸ine 2 n0 X X ˆ e−f = Ze √ θ(qD − q) H c M n0 k,σ q
r
~ ωq 4π † † ˆq + a ˆq† ′σ d ′σ d a ˆ a ˆ ˆ a ˆ k k kσ kσ 2V q 2
iar expresia precedent˘ a este echivalent˘ a cu formula (13.24).
B3. Expresia dedus˘a anterior din corespondent¸a clasic˘a arat˘a c˘a hamiltonianul de interact¸ie electron-fonon depinde de transformata Fourier a potent¸ialului de interact¸ie coulombian˘ a di4π e2 . Totu¸si, s-a ar˘atat la discut¸ia modelului maxim simplu pentru rect˘a bi-particul˘a: ve(q) = q2 interact¸ia electroni-ret¸ea, care este modelul “jellium”, c˘ a interact¸ia coulombian˘ a efectiv˘a este aproximat˘ a ˆın mod corect prin potent¸ialul interact¸iei efective ˆın aproximat¸ia fazelor aleatoare (RPA), adic˘a diagramele inelare dau contribut¸ia dominant˘ a la m˘arimile fizice. Ca urmare, datorit˘a prezent¸ei fondului de sarcin˘a pozitiv˘ a, potent¸ialul coulombian se aproximeaz˘ a cu potent¸ialul interact¸iei efective ˆın aproximat¸ia fazelor aleatoare:
s
ve(q) =
4π e2 q2
e RPA (q, 0) ≈ V
−→
4π e2 , 2 + qTF
q2
r 6πe2 n 4kF este vectorul de und˘a Thomas-Fermi (a0 este distant¸a medie = ε0F πa0 inter-electronic˘ a ¸si kF este vectorul de und˘a Fermi). Dac˘ a se consider˘ a ret¸eaua ionic˘ a ˆın aproximat¸ia Debye, atunci vectorii de und˘a sunt limitat¸i superior de vectorul Debye, care este comparabil cu vectorul Thomas-Fermi (qD ≈ qTF ∼ n1/3 ) ; 2 eRPA (q) ≈ V eRPA (0) = 4π e . atunci este valabil˘a aproximat¸ia Debye pentru interact¸ia efectiv˘a: V 2 qTF ˆIn concluzie, aproximat¸iile RPA ¸si Debye conduc la urm˘atorul set de substitut¸ii aproximative: unde qTF ≡
ve(q) =
2 4πe2 e RPA (q, 0) ≈ V e RPA (0, 0) = 4πe ; −→ V 2 2 q qTF
(13.25)
atunci, din expresia (13.24) a hamiltonianului de interact¸ie electron-fonon, rezult˘a constanta de cuplaj pentru interact¸ia electron-fonon (ˆın aproximat¸iile RPA ¸si Debye): r r Z n0 4πe2 n0 4πe2 Z ≈ ≡γ. (13.26) γq = 2 c M q2 c M qTF Pe baza aproximat¸iilor RPA ¸si Debye pentru potent¸ialul de interact¸ie, din formula (13.24), rezult˘a urm˘atoarea expresie aproximativ˘ a a hamiltonianului de interact¸ie electroni-fononi: r X X ~ ωq † ˆ e−f ≈ γ H (13.27) ˆ†k,σ a ˆk+q,σ dˆq† . a ˆk,σ a ˆk−q,σ dˆq + a 2V q k,σ
q ≤ qD
B4. Expresia precedent˘ a a hamiltonianului de interact¸ie electroni-fononi se rescrie ˆın termeni de operatori de cˆ amp ˆın forma Z X ˆ He−f ≈ γ d3 r ψˆσ† (r) ψˆσ (r) ϕ(r) ˆ , (13.28) V
care este numit hamiltonianul Fr¨ ohlich.
σ
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
346 Demonstrat¸ie:
Se probeaz˘ a rezultatul afirmat prin relat¸ia (13.28): Z Z X † X X 1 −ik·r † X 1 −ik′ ·r √ e √ e a ˆkσ a ˆk′ σ ψˆσ (r) ψˆσ (r) ϕ(r) ˆ = d3 r d3 r V V V V σ σ k k′ r X ~ ωq ˆ iq·r ˆ† −iq·r θ(qD − q) × dq e + dq e 2V q r Z X X ′ 1 ~ ωq a ˆ†kσ a ˆk′ σ dˆq d3 re−i(k −k+q)·r = 2V V q k,k′ | V {z } q≤qD
=
X X k
q q≤qD
r
1 +a ˆ†kσ a ˆk′ σ dˆq† V |
Z
= δk′ ,k−q
′
d3 re−i(k V {z
−k−q)·r
= δk′ ,k+q
o ~ ωq n † a ˆk,σ a ˆk−q,σ dˆq + a ˆ†kσ a ˆk+q,σ dˆq† , 2V
adic˘ a formula (13.28) este echivalent˘ a cu formula (13.27).
}
C. Hamiltonianul sistemului electroni-ret¸ea Pe baza hipotezelor enunt¸ate anterior asupra modelului constituit din electroni aflat¸i ˆın interact¸ie cu ret¸eaua cristalin˘ a, care se comport˘ a ca un mediu elastic, rezult˘a c˘ a hamiltonianul acestui sistem este ˆ =H ˆ electroni + H ˆ retea + H ˆ el−retea , H (13.29) ˆ electroni este hamiltonianul sistemului de electroni, H ˆ retea este hamiltonianul ret¸elei ¸si unde H ˆ Hel−retea este hamiltonianul de interact¸ie ˆıntre electroni ¸si ret¸ea. Cele 3 contribut¸ii la hamiltonianul total au urm˘atoarele descompuneri: • hamiltonianul electronic este
ˆ electroni = Tˆel + U ˆel , H
(13.30)
ˆel este hamiltonianul interact¸iilor unde Tˆel este hamiltonianul cinetic al electronilor ¸si U coulombiene dintre electroni; • hamiltonianul ret¸elei este decompozabil ˆın dou˘a p˘ art¸i ˆ retea = H ˆ0 + H ˆf , H b
(13.31)
ˆ 0 este hamiltonianul fondului inert de sarcin˘a pozitiv˘ unde H a, corespunz˘ ator ret¸elei ˆın b ˆ f este hamiltonianul excitat¸iilor ret¸elei, care ˆın aproximat¸ia elastic˘ pozit¸ia de echilibru, iar H a sunt vibrat¸ii armonice; • hamiltonianul de interact¸ie electoni-ret¸ea a fost discutat anterior ¸si este descris de formula (13.22a) 0 Hel−retea = He−b + He−f , (13.32) 0 unde He−b este hamiltonianul interact¸iei coulombiene dintre electroni ¸si fondul inert de sarcin˘a pozitiv˘ a ionic˘ a, iar He−f este hamiltonianul de interact¸ie ˆıntre electroni ¸si excitat¸iile ret¸elei (reprezentate ˆın imaginea cuantal˘ a prin fononi).
Se regrupeaz˘ a termenii hamiltonianului total ˆın concordant¸˘a cu modelul “jellium”, care a fost prezentat ˆın Sect¸iunea 7.1: ˆ ˆ ˆ ˆ = Tˆel + U ˆel + H ˆ 0 + H0 (13.33) H b e−b + Hf + He−f ≡ Hel + Hf + He−f ,
care este numit hamiltonianul sistemului ˆın aproximat¸ia Fr¨ ohlich.
13.1. MODELUL SISTEMULUI ELECTRONI-FONONI
347
Hamiltonianul electronic efectiv, ˆın cadrul modelului “jellium” ¸si la limita termodinamic˘ a, se reduce la 2 termeni ˆ el = Tˆel + U ˆel + H ˆ 0 + H0 = H ˆ 0 + Vˆel ; , H b e−b el ˆ 0 = Tˆel este hamiltonianul electronic cinetic ¸si Vˆel este hamiltonianul de interact¸ie couunde H el lombian˘ a electronic˘ a care nu cont¸ine transfer nul de impuls; expresiile celor 2 termeni ˆın funct¸ie de operatorii electronici elementari sunt date prin formulele (7.11): 0 ˆ el H =
X
ε0k a ˆ†kσ a ˆkσ ,
ε0k =
k,σ
1 X X′ X Vˆel = ˆk−q σ , ve(q) a ˆ†k σ a ˆ†k′ σ′ a ˆk′ +q σ′ a 2V ′ ′ q σ,σ
k,k
ve(q) =
~2 k 2 , 2m 4π e2 . q2
Dup˘a cum s-a ar˘ atat ˆın Sect¸iunea 7.2 seria de perturbat¸ie pentru sistemul electronic ˆın modelul “jellium” este dominat˘ a de diagramele inelare, astfel ˆıncˆ at potent¸ialul coulombian pur se ˆınlocuie¸ste prin potent¸ialul interact¸iei efective ˆın aproximat¸ia fazelor aleatoare: ve(q) =
4π e2 q2
−→
e RPA (q, 0) = V
4π e2 . 2 q 2 + qTF
Hamiltonianul fononic a fost discutat anterior, cˆ and s-a prezentat cuantificarea vibrat¸iilor ret¸elei, iar expresia sa ˆın termeni de operatori elementari fononici este formula (13.10), ˆın care se consider˘ a aproximat¸ia Debye: X′ ˆf = H ~ ωq dˆq† dˆq + 21 ˆ1 . (13.34) q q ≤ qD
Hamiltonianul interact¸iei electroni-fononi exprimat ˆın termeni de operatori elementari electronici ¸si fononici, este descris prin formula (13.27) ¸si exprimat ˆın termeni de operatori de cˆ amp este descris de formula (13.28) r Z X X′ ~ ωq † X † † ˆ ˆ ˆ He−f ≈ γ ˆk,σ a ˆk+q,σ dq ≈ γ d3 r a ˆk,σ a ˆk−q,σ dq + a ψˆσ† (r) ψˆσ (r) ϕ(r) ˆ . 2V V q σ k,σ
13.1.4
q ≤ qD
Ecuat¸iile operatorului de cˆ amp fononic
Operatorul de cˆ amp fononic ˆın aproximat¸ia Debye este definit prin formula (13.21c), iar la limita vectorului Debye foarte mare, prin relat¸ia (13.21a): r r X ~ ωq X ~ ωq ˆ iq·r ˆ† −iq·r −→ dq e + dq e dˆq e iq·r + dˆq† e−iq·r . θ(qD − q) ϕ(r) ˆ ≈ qD →∞ D 2V 2V q q Din definit¸ie rezult˘a c˘ a operatorul de cˆ amp fononic este un operator hermitic ϕˆ† (r) = ϕ(r) ˆ ¸si prin utilizarea relat¸iilor de comutare ˆıntre operatorii elementari (13.9), rezult˘a relat¸ia de comutare a operatorului de cˆ amp (ˆın formularea Schr¨odinger): ϕ(r) ˆ , ϕ(r ˆ ′ ) − = ˆ0 . (13.35) Demonstrat¸ie:
Comutatorul operatorilor de cˆ amp fononici se calculeaz˘ a prin utilizarea definit¸iei ¸si apoi reducerea la comutatorii dintre operatorii elementari fononici: r r i X′ ′ ~ ωq′ h ˆ iq·r ˆ† −iq·r ˆ iq·r′ ~ ωq ′ ϕ(r) ˆ , ϕ(r ˆ ) −= dq e + dq e , dq e + dˆq† e−iq·r 2V 2V − q,q′ r o X′ ′ ′ ~ ωq ~ ωq ′ n ˆ δq,q′ e iq·(r−r ) − δq,q′ e−iq·(r−r ) 1 = 2V 2V ′ q,q
=
X′ ~ ωq iq·(r−r′ ) X′ ~ ωq −iq·(r−r′ ) − ; e e 2V 2V q q
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
348
prin efectuarea schimb˘ arii de variabil˘ a q → −q cele dou˘ a sume sunt egale, deoarece frecvent¸a fononic˘ a depinde numai de modulul vectorului de und˘ a, astfel ˆıncˆ at: ω−q = ωq .
Se observ˘ a c˘ a rezultatul precedent este valabil atˆat ˆın aproximat¸ia Debye, cˆ at ¸si la limita vectorului Debye foarte mare. ˆIn aproximat¸ia Fr¨ohlich hamiltonianul sistemului electroni ˆın interact¸ie cu ret¸eaua ionic˘ a este ˆ el depinde numai de operatorii electronici, H ˆ e−f este dependent de dat de formula (13.33), unde H operatorul fononic, conform relat¸iei (13.28), iar hamiltonianul fononic este definit prin formula (13.34), care la limita vectorului Debye foarte mare devine: X X′ ˆf = ~ ωq dˆq† dˆq + 21 ˆ1 −→ ~ ωq dˆq† dˆq + 21 ˆ1 . H qD →∞
q q ≤ qD
q
Operatorul de cˆ amp fononic ˆın formularea Heisenberg se define¸ste prin formula standard: i
ˆ
i
ˆ
ˆ e− ~ tH . ϕˆH (r, t) = e ~ tH ϕ(r) Atunci, derivata temporal˘ a a operatorului de cˆ amp fononic are expresia: r o n X ∂ ~ ωq † i~ (t) e−iq·r ϕˆH (r, t) = ~ ωq dˆqH (t) e iq·r − dˆqH ∂t 2V q q ≤ qD
−→
qD →∞
X q
r
o n ~ ωq † (t) e−iq·r . ~ ωq dˆqH (t) e iq·r − dˆqH 2V
(13.36a)
(13.36b)
Demonstrat¸ie: Din definit¸ie rezult˘ a c˘ a derivata temporal˘ a a operatorului Heisenberg este i~
∂ ˆ ϕˆH (r, t) = ϕˆH (r, t) , H − ∂t i tH ˆ ˆ e− ~i tHˆ = e~ ϕ(r) ˆ ,H − n o − i tHˆ i tH ˆ ˆ ˆf ˆ e−f ~ =e e ~ . ϕ(r) ˆ , Hel − + ϕ(r) ˆ ,H + ϕ(r) ˆ , H − −
Deoarece hamiltonianul electronic nu cont a c˘ a are comutator nul cu ¸ine operatori fononici, rezult˘ ˆ el ˆ operatorul de cˆ amp fononic: ϕ(r) ˆ ,H = 0 . −
Comutatorul dintre hamiltonianul fononic ¸si operatorul de cˆ amp fononic se calculeaz˘ a utilizˆ and expresiile ambilor operatori ˆın termeni de operatori elementari: r n o X′ ′ ′ ~ ωq ˆf = dˆq , dˆq†′ dˆq′ − e iq ·r + dˆq† , dˆq†′ dˆq′ − e−iq ·r ϕ(r) ˆ ,H ~ ωq ′ − 2V | | {z } {z } q,q′ =
X′ q
r
† = − δq,q′ dˆq
= δq,q′ dˆq
n o ~ ωq ~ ωq dˆq e iq·r − dˆq† e−iq·r . 2V
Comutatorul dintre operatorul de cˆ amp fononic ¸si hamiltonianul de interact¸ie electroni-fononi se reduce la comutatorul a doi operatori de cˆ amp fononici ¸si astfel este nul: Z X † ˆ e−f = γ d3 r ϕ(r) ˆ ,H ψˆσ (r) ψˆσ (r) ϕ(r) ˆ , ϕ(r) ˆ =ˆ 0. − − V | {z } σ =ˆ 0
Pe baza rezultatelor anterioare pentru cei 3 comutatori, se obt¸ine r n o i tH i ˆ ˆ X′ ~ ωq ∂ ϕ ˆH (r, t) = e ~ ~ ωq dˆq e iq·r − dˆq† e−iq·r e− ~ tH , i~ ∂t 2V q iar ultima expresie este echivalent˘ a cu formulele (13.36).
13.1. MODELUL SISTEMULUI ELECTRONI-FONONI
349
Din rezultatele anterioare se obt¸in relat¸iile de comutare sincrone ale operatorilor de cˆ amp fononici ˆın aproximat¸ia Debye: = ˆ0 , (13.37a) ϕˆH (r, t) , ϕˆH (r′ , t′ ) − t′ =t n o 1 X′ −iq·(r−r′ ) ∂ ; (13.37b) = − i ~ c2 ∇2r e ϕˆH (r, t) , ′ ϕˆH (r′ , t′ ) − ∂t V q t′ =t q ≤ qD
la limita vectorului Debye foarte mare (qD → ∞) relat¸iile anterioare devin: = ˆ0 , ϕˆH (r, t) , ϕˆH (r′ , t′ ) − t′ =t ∂ ϕˆH (r, t) , ′ ϕˆH (r′ , t′ ) − = − i ~ c2 ∇2r δ 3 (r − r′ ) . ∂t t′ =t
(13.38a) (13.38b)
Demonstrat¸ie:
Primul comutator se reduce ˆın mod direct la comutatorul corespondent al operatorilor de cˆ amp fononici ˆın formularea Sch¨ odinger, care este nul, conform relat¸iei (13.35) i ˆ i ˆ ϕˆH (r, t) , ϕ ˆH (r′ , t′ ) − = ϕ ˆH (r, t) , ϕ ˆH (r′ , t) − = e ~ tH ϕ(r) ˆ , ϕ(r ˆ ′ ) − e− ~ tH = ˆ 0, t′ =t
iar rezultatul este independent de m˘ arimea vectorului Debye.
Al doilea comutator, ˆın cadrul aproximat¸iei Debye, se obt¸ine prin exprimarea operatorilor de cˆ amp ˆın termeni de operatori elementari: ∂ ˆH (r′ , t′ ) − ϕ ˆH (r, t) , ′ ϕ ∂t t′ =t r r i X′ ′ ′ ~ ωq ′ ωq ′ h ˆ ~ ωq † dqH (t) e iq·r + dˆqH (t) e−iq·r , dˆq′ H (t) e iq ·r + dˆq†′ H (t) e−iq ·r . = 2V 2V i − ′ q,q (q,q ′ ≤ qD )
Comutatorul operatorilor elementari se evalueaz˘ a prin utilizarea relat¸iilor (13.9) h i ′ ′ † dˆqH (t) e iq·r + dˆqH (t) e−iq·r , dˆq′ H (t) e iq ·r + dˆq†′ H (t) e−iq ·r − o n i tH i tH ˆ ˆ −iq·(r−r′ ) −~ iq·(r−r′ ) ~ =e e − δq,q′ e − δq,q′ e n o ′ ′ = − δq,q′ eiq·(r−r ) + e−iq·(r−r ) ˆ 1.
Pe baza rezultatului anterior se obt¸ine X′ ~ ω q X′ ~ ω q ′ ′ ∂ ϕ ˆH (r, t) , ′ ϕ ˆH (r′ , t′ ) − i ωq eiq·(r−r ) + i ωq e−iq·(r−r ) ; = ′ ∂t 2 V 2 V t =t q q (q ≤ qD )
(q ≤ qD )
cele dou˘ a sume din relat¸ia precedent˘ a sunt egale, deoarece ˆın a doua sum˘ a se poate face schimbarea de variabil˘ a q → −q ¸si frecvent¸a fononic˘ a r˘ amˆ ane invariant˘ a: ω−q = ωq ; ˆın plus frecvent¸a fononic˘ a are o legea de dispersie ωq = c q, astfel ˆıncˆ at comutatorul operatorilor de cˆ amp fononici este ∂ i ~ c2 X′ 2 −iq·(r−r′ ) ϕ ˆH (r, t) , ′ ϕ ˆH (r′ , t′ ) − = q e . ∂t V t′ =t q (q ≤ qD )
′
′
Pe de alt˘ a parte, este valabil˘ a identitatea: ∇2r e−iq·(r−r ) = − q 2 e−iq·(r−r ) , astfel ˆıncˆ at comutatorul init¸ial devine: n 1 X′ o ′ ∂ ϕ ˆH (r, t) , ′ ϕ ˆH (r′ , t′ ) − = − i ~ c2 ∇2r e−iq·(r−r ) . ′ ∂t V t =t q (q ≤ qD )
Cˆ and se consider˘ a limita qD → ∞ suma din ultima expresie devine funct¸ia Dirac: 1 X −iq·(r−r′ ) e = δ 3 (r − r′ ) . V q
S-au justificat astfel relat¸iile (13.36) ¸si (13.37).
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
350
Operatorul de cˆ amp fononic satisface (ˆın aproximat¸ia Debye) urm˘atoarea ecuat¸ie diferent¸ial˘a (numit˘a ecuat¸ia de evolut¸ie) Z n1 X o X † ′ 1 ∂2 ψˆσH (r′ , t) ψˆσH (r′ , t) ∇2r e−iq·(r−r ) , ∇2 − 2 2 ϕˆH (r, t) = − γ d3 r′ D c ∂ t V V q σ (q ≤ qD )
iar aceast˘a ecuat¸ie la limita vectorului Debye foarte mare devine o nX 1 ∂2 † ∇2 − 2 2 ϕˆH (r, t) = − γ ∇2 ψˆσH (r, t) ψˆσH (r, t) . qD →∞ c ∂ t σ
(13.39a)
(13.39b)
Demonstrat¸ie:
Derivata secund˘ a ˆın raport cu timpul a operatorului de cˆ amp fononic se reduce la comutatorul primei derivate a acestui operator de cˆ amp cu hamiltonianul sistemului, prin utilizarea ecuat¸iei diferent¸iale a unui operator ˆın formularea Heisenberg: i i ∂2 ∂ ∂ 1 h ∂ 1 h ∂ ˆ ˆ H (t) ϕˆH (r, t) = ϕ ˆH (r, t) = ϕ ˆH (r, t) , H = ϕ ˆH (r, t) , H , 2 ∂ t ∂t ∂t i ~ ∂t i ~ ∂t − − unde ultima egalitate s-a obt¸inut luˆ and ˆın considerare faptul c˘ a hamiltonianul ˆın formularea Heiˆ H (t) ≡ e ~i tHˆ H ˆ ˆ e− ~i tHˆ = H. senberg coincide cu hamiltonianul ˆın formularea Schr¨ odinger: H
Hamiltonianul sistemului este constituit din 3 termeni, conform relat¸iei (13.33), astfel c˘ a derivata secund˘ a a operatorului de cˆ amp fononic are 3 contribut¸ii: ∂2 ϕ ˆH (r, t) ∂2t h ∂ h ∂ i i i 1 h ∂ ˆ elH (t) ˆ fH (t) ˆ e−fH (t) . + + ϕ ˆH (r, t) , H ϕ ˆH (r, t) , H ϕ ˆH (r, t) , H = i~ ∂t ∂t ∂t − − −
Deoarece hamiltonianul electronic nu cont¸ine operatori fononici, rezult˘ a c˘ a primul comutator este nul: h ∂ i ˆ elH (t) =ˆ 0. ϕ ˆH (r, t) , H ∂t − Pentru a evalua al doilea comutator se exprim˘ a derivata temporal˘ a a operatorului de cˆ amp ˆın termeni de operatori elementari, conform relat¸iilor (13.36) r o i h ∂ X′ ~ ωq ωq n ˆ fH (t) e−iq·r ˆ fH (t) e iq·r − dˆ† (t) , H ˆ fH (t) = dˆqH (t) , H ϕ ˆH (r, t) , H qH − − ∂t 2V i − q r X′ ~ ωq ωq ~i tHˆ n ˆ ˆ iq·r ˆ† ˆ −iq·r o − ~i tHˆ = ; dq , H f − e − dq , H f − e e e 2V i q comutatorii operatorilor elementari fononici cu hamiltonianul fononic se evalueaz˘ a pe baza relat¸iilor (13.9), astfel ˆıncˆ at rezult˘ a: X ˆf ~ ωq′ dˆq , dˆq†′ dˆq′ + 12 ˆ dˆq , H = 1 − = ~ ωq dˆq , − q′
ˆf dˆq† , H
−
=
X q′
~ ωq′ dˆq† , dˆq†′ dˆq′ +
1 2
ˆ 1
−
= −~ ωq dˆq† .
Ca urmare, se utilizeaz˘ a rezultatele precedente ˆın al doilea comutator ¸si se obt¸ine: r o i ˆ i h ∂ ~ X′ ~ ωq 2 ~i tHˆ n ˆ iq·r ˆ dq e + dˆq† e−iq·r e− ~ tH = ϕ ˆH (r, t) , HfH (t) ωq e ∂t i q 2V − r o 2 X′ ~ ωq 2 n ˆ ~c † q dqH (t) e iq·r + dˆqH (t) e−iq·r ; = i q 2V
ˆın ultima form˘ a a celui de-al doilea comutator se observ˘ a c˘ a vectorul de und˘ a se poate absorbi prin act¸iunea deriv˘ arilor spat¸iale ale exponent¸ialelor r h ∂ i n o ~ c2 X′ ~ ωq † ˆ fH (t) =− ϕ ˆH (r, t) , H ∇2 dˆqH (t) e iq·r + dˆqH (t) e−iq·r ∂t i q 2V − r i ~ c2 2 X′ ~ ωq h ˆ † =− dqH (t) e iq·r + dˆqH (t) e−iq·r ; ∇ i 2V q
13.1. MODELUL SISTEMULUI ELECTRONI-FONONI
351
m˘ arimea din interiorul parantezelor acolade ale ultimei egalit˘ a¸ti este operatorul de cˆ amp fononic, conform relat¸iei (13.21), astfel c˘ a al doilea comutator are urm˘ atorul rezultat i h ∂ ~ c2 2 ˆ fH (t) =− ϕˆH (r, t) , H ∇ ϕ ˆH (r, t) . ∂t i −
Al treilea comutator se evalueaz˘ a prin explicitarea hamiltonianului de interact¸ie ˆın termeni de operatori de cˆ amp, conform relat¸iei (13.28), iar apoi se utilizeaz˘ a faptul c˘ a operatorul de cˆ amp fononic comut˘ a cu operatorii de cˆ amp electronici Z h ∂ h ∂ i i X † ˆ e−f H (t) = γ d3 r′ ψˆσ H (r′ , t) ψˆσ H (r′ , t) ; ϕ ˆH (r, t) , H ϕˆH (r, t) , ϕ ˆH (r′ , t) ∂t ∂t − − V σ ultimul comutator se evalueaz˘ a ˆın aproximat¸ia Debye pe baza relat¸iei (13.37b), astfel c˘ a rezult˘ a: Z i h ∂ n 1 X′ o X † ′ ˆ e−f H (t) ϕˆH (r, t) , H = i~c2 γ ψˆσ H (r′ , t) ψˆσ H (r′ , t) ∇2r d3 r′ e−iq·(r−r ) . ∂t V q − V σ q ≤ qD
Adunˆ and contribut¸iile celor 3 comutatori, ˆın aproximat¸ia Debye, se obt¸ine ∂2 ϕ ˆH (r, t) ∂2t Z i h X′ X † 1 ~ c2 2 2 −iq·(r−r′ ) ′ ′ 2 1 3 ′ ˆ ˆ = ∇ ϕ ˆH (r, t) + i~c γ d r − ψσ H (r , t) ψσ H (r , t) ∇r e , i~ i V q V σ q ≤ qD
iar aceast˘ a ultim˘ a expresie este echivalent˘ a cu relat¸ia (13.39a). Dac˘ a se consider˘ a cazul cˆ and vectorul Debye este foarte mare, atunci al treilea comutator produce rezultatul Z i h ∂ X † ˆ e−f H (t) ϕ ˆH (r, t) , H = i~c2 γ ψˆσ H (r′ , t) ψˆσ H (r′ , t) ∇2r δ 3 (r − r′ ) ; d3 r′ ∂t − V σ conform propriet˘ a¸tilor generale ale funct¸iei Dirac, operat¸ia de derivare se poate transfera la restul integrandului: Z b Z b ∂ ∂ ∂ δ(x − x0 ) = − f (x) δ(x − x0 ) = − f (x) dx , dx f (x) ∂x ∂x ∂x x=x0 a a astfel ˆıncˆ at rezultatul celui de-al treilea comutator este Z h ∂ o i nX ˆ e−f H (t) = i~c2 γ ψˆσ† H (r′ , t) ψˆσ H (r′ , t) δ 3 (r − r′ ) ϕ ˆH (r, t) , H d3 r′ ∇2r′ ∂t − V σ o nX 2 2 † = i~c γ ∇r ψˆσ H (r, t) ψˆσ H (r, t) . σ
Ca urmare, ˆın acest caz derivata secund˘ a a operatorului de cˆ amp fononic este hX i ∂2 1 ~ c2 2 2 2 ˆ† (r, t) ψˆσ H (r, t) ϕ ˆ (r, t) = ∇ ϕ ˆ (r, t) + i~c γ ∇ − ψ , H H r σH qD →∞ i ~ ∂2t i σ iar aceast˘ a ultim˘ a expresie este echivalent˘ a cu relat¸ia (13.39b).
13.1.5
Ecuat¸iile operatorului de cˆ amp electronic
Pentru simplitate se consider˘ a sistemul electronic, descris anterior prin modelul “jellium”, ˆıntr-o aproximat¸ie suplimentar˘ a: anume interact¸iile coulombiene ale electronilor se ˆınlocuiesc cu interact¸ii medii asupra fiec˘ arui electron prin aproximat¸ia Hartree-Fock. Atunci, se pot defini st˘ari uni-particul˘ a efective cu impuls ¸si proiect¸ia spinilor determinate, care au funct¸ii de stare 1 de tipul ψkσ (r, s) = uk (r) χσ (s), unde uk (r) = √ eik·r sunt unde plane ¸si χσ (s) sunt spinori V f∗ (k), Pauli. Energiile st˘ arilor uni-particul˘a efective sunt date de formula (6.18b): εk = ε0k + ~ M HF unde self-energia Hartree-Fock cont¸ine numai termenul de schimb, deoarece termenul interact¸iei directe (care cont¸ine transfer de impuls nul) este anihilat de efectul fondului inert pozitiv.
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
352
Se definesc operatori elementari pe st˘arile uni-particul˘a efective: a ˆk,σ ¸si a ˆ†k,σ ; ca urmare, operatorii de cˆ amp electronici (ˆın aproximat¸ia Hartree-Fock definit˘ a anterior) sunt X ψˆσ (r) = uk (r) a ˆ kσ , k
ψˆσ† (r) =
X
u∗k (r) a ˆ†kσ .
k
Deoarece efectul aproximat¸iei Hartree-Fock este ˆınlocuirea interact¸iei coulombiene bi-particul˘a cu o interact¸ie medie, rezult˘a c˘ a hamiltonianul sistemului electronic se aproximeaz˘ a cu un hamiltonian de tip uni-particul˘ a (cu masa efectiv˘a m∗ ): Z X −~2 2 ˆ † ˆ e = Tˆe + U ˆ′ ≈ ∇ ψσ (r) ; H d3 r ψˆσ† (r) ε a ˆ a ˆ = k k,σ e k,σ HF 2m∗ V k,σ
ca urmare, hamiltonianul sistemului electroni-fononi ˆın aceast˘a aproximat¸ie este: ˆ =H ˆe + H ˆ f0 + H ˆ e−f , H ˆ e−f , este descris de formula (13.28), iar haunde hamiltonianul de interact¸ie electroni-fononi, H ˆ 0 , depinde numai de operatori fononici. miltonianul fononilor liberi, H f ˆIn condit¸iile specificate anterior operatorii de cˆ amp electronici satisfac relat¸ii de anti-comutare standard (2.88) ¸si ecuat¸ia diferent¸ial˘a a operatorului de cˆ amp electronic (ˆın formularea Heisenberg) este −~2 2 ˆ ∂ ˆ (13.40) ψσH (r, t) = ∇ ψσH (r, t) + γ ϕˆH (r, t) ψˆσH (r, t) . i~ ∂t 2m∗ Demonstrat¸ie: Ecuat¸ia diferent¸ial˘ a a unui operator ˆın formularea Heisenberg este dat˘ a de relat¸ia (1.39) i~
− i tHˆ i ˆ ∂ ˆ ˆ ˆ e ~ ψσH (r, t) = ψˆσH (r, t) , H = e ~ tH ψˆσ (r) , H − − ∂t n o − i tHˆ i ˆ ˆ e−f ˆe e ~ + ψˆσ (r) , H = e ~ tH ψˆσ (r) , H , − −
deoarece comutatorul operatorului de cˆ amp electronic cu hamiltonianul fononilor liberi este nul. Comutatorul operatorului de cˆ amp electronic cu hamiltonianul electronic se calculeaz˘ a la fel ca ˆın relat¸ia (2.112) −~2 2 ˆ ˆe = ψˆσ (r) , H ∇ ψσ (r) ; − 2m∗ comutatorul operatorului de cˆ amp electronic cu hamiltonianul de interact¸ie electroni-fononi se calculez˘ a ca ˆın relat¸ia (2.109), luˆ and ˆın considerare proprietatea de comutare a operatorilor electronici cu operatorii fononici, astfel c˘ a se obt¸ine: Z X ˆ e−f ψˆσ (r) , H = γ d3 r′ ψˆσ (r) , ψˆσ† ′ (r′ ) ψˆσ ′ (r′ ) − ϕ(r ˆ ′) − V | {z } ′ σ = δσ,σ′ δ 3 (r−r′ )
= γ ψˆσ (r) ϕ(r ˆ ′) .
Ca urmare, rezult˘ a relat¸ia (13.40).
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
353
13.2
Formalismul cˆ ampurilor cuplate la temperatur˘ a nul˘ a
13.2.1
Funct¸ii Green fononice
A. Definit¸ii Se consider˘ a sistemul de fononi corespunz˘ atori vibrat¸iilor armonice longitudinale ale ret¸elei; st˘arile fononice sunt caracterizate de vectorul de und˘a q ¸si se trateaz˘a sistemul ˆın aproximat¸ia Debye, care implic˘ a o lege de dispersie acustic˘a (ωq = c q) ¸si o valoare maxim˘ a a vectorilor de und˘a (q ≤ qD ), prin vectorul de und˘a Debye. Operatorii elementari pe st˘ arile fononice sunt dˆq ¸si dˆq† , iar operatorul de cˆ amp fononic ˆın formularea Schr¨odinger, este definit prin formula (13.21): r X ~ωq ˆ iq·r ˆ† −iq·r . dq e + dq e ϕ(r) ˆ = θ(qD − q) 2V q Hamiltonianul sistemului electroni-fononi este definit prin formula (13.33), iar pentru sub-sistemul fononic se grupeaz˘ a termenii astfel: ˆ =H ˆ el + H ˆ f + He−f ≡ H ˆ0 + H ˆ′ , H ˆ0 = H ˆ f este hamiltonianul fononilor liberi, iar H ˆ ′ = He−f + H ˆ el este hamiltonianul de unde H cuplaj cu electronii ˆımpreun˘ a cu hamiltonianul electronic; pentru studiul sistemului fononic este neinteresant hamiltonianul electronic, deoarece nu cont¸ine operatori fononici, astfel c˘ a singura ˆ ′ este hamiltonianul de interact¸ie (He−f ). parte interesant˘ a din H Operatorul de cˆ amp fononic ˆın formularea Heisenberg este definit prin formula standard cu ajutorul hamiltonianului total i
ˆ
i
ˆ
ϕˆH (r, t) = e ~ tH ϕ(r) ˆ e− ~ tH . Funct¸ia Green fononic˘ a cauzal˘ a este definit˘ a ca media produsului cronologic de operatori de cˆ amp fononici pe starea fundamental˘ a a sistemului
Ψ0 T ϕˆH (r, t) ϕˆH (r′ , t′ ) Ψ0 ′ ′
, (13.41a) D(r, t; r , t ) ≡ − i Ψ 0 Ψ 0 arii fundamentale a sistemului ˆın formularea Heisenberg. unde Ψ0 este vectorul st˘ Observat¸ii: i. Deoarece operatorul de cˆ amp fononic este hermitic ϕˆ†H (r, t) = ϕˆH (r, t), rezult˘a c˘ a definit¸ia funct¸iei Green fononice este similar˘ a cu definit¸ia funct¸iei Green fermionice. ii. Pentru bosonii masivi, s-a ar˘atat c˘ a funct¸iile Green se definesc ˆın manier˘a modificat˘a (se introduc funct¸ii Green excitate, normal˘a ¸si anomale), deoarece se utilizeaz˘a aproximat¸ia Bogoliubov, pentru a lua ˆın considerare fenomenul de condensare bosonic˘a. iii. Operatorul de cˆ amp fononic este un operator bosonic, astfel c˘ a ordonarea cronologic˘ a nu introduce factor de semn, ceea ce face ca operatorii de cˆ amp fononici s˘a fie comutativi; ˆın consecint¸˘ a, funct¸ia Green fononic˘ a are proprietatea de simetrie: D(r, t; r′ , t′ ) = D(r′ , t′ ; r, t). ˆIn mod similar cazului fermionic, se definesc funct¸iile Green fononice retardat˘ a ¸si avansat˘a:
Ψ0 ϕˆH (r, t) , ϕˆH (r′ , t′ ) − Ψ0
D(R) (r, t; r′ , t′ ) ≡ − i θ(t − t′ ) , (13.41b) Ψ0 Ψ0
Ψ0 ϕˆH (r, t) , ϕˆH (r′ , t′ ) − Ψ0
. (13.41c) D(A) (r, t; r′ , t′ ) ≡ i θ(t′ − t) Ψ0 Ψ0 B. Reprezentarea Lehmann ¸si propriet˘ a¸ti analitice ale funct¸iilor Green fononice
B1. Ce consider˘ a cazul cˆ and sistemul electroni-fononi este conservativ ¸si omogen spat¸ial, ceea ce implic˘ a absent¸a unor cˆ ampuri externe; ˆın aceste condit¸ii hamiltonianul sistemului este atemporal ˆ,P ˆ ]− = ˆ0). Ca urmare, se poate alege ca baz˘a ˆın ¸si comut˘a cu operatorul impuls total ([H
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
354
spat¸iul Fock al st˘ arilor fononice sistemul vectorilor proprii comuni operatorilor hamiltonian ¸si impuls total |{n}i : ˆ {n} = E{n} {n} , H ˆ {n} = P{n} {n} . P
ˆIn particular, pentru starea fundamental˘ a, care implic˘ a absent¸a fononilor (starea de vid fononic˘ a) ecuat¸iile cu valori proprii anterioare devin: ˆ Ψ0 = E0 Ψ0 , H ˆ Ψ0 = 0 Ψ0 . P ˆ este generatorul translat¸iilor spat¸iale, iar hamiltonianul H ˆ Deoarece operatorul impuls total P este generatorul translat¸iilor temporale, rezult˘a c˘ a, la fel ca ˆın cazul fermionic, se poate exprima vectorul de cˆ amp fononic ˆın forma: i
ˆ
i
ˆ
i
ˆ
i
ˆ
i
ˆ
i
ˆ
ˆ e− ~ tH = e ~ tH e− ~ r·P ϕ(0) ˆ e ~ r·P e− ~ tH , ϕˆH (r, t) = e ~ tH ϕ(r) r X ~ωq ˆ dq + dˆq† . unde ϕ(0) ˆ = θ(qD − q) 2V q B2. Funct¸ia Green fononic˘ a cauzal˘ a se expliciteaz˘ a ˆın raport cu ordonarea cronologic˘ a:
Ψ0 ϕˆH (r, t) ϕˆH (r′ , t′ ) Ψ0 Ψ0 ϕˆH (r′ , t′ ) ϕˆH (r, t) Ψ0 ′ ′ ′ ′
i D(r, t; r , t ) = θ(t − t ) + θ(t − t) ; Ψ0 Ψ0 Ψ 0 Ψ 0
Se utilizeaz˘ a descompunerea operatorilor de cˆ amp specificat˘ a anterior ¸si se extrag coordonatele spat¸io-temporale din operatori prin introducerea relat¸iei de completitudine a bazei alese ¸si utilizarea ecuat¸iilor cu valori proprii, astfel ˆıncˆ at primul element de matrice al funct¸ieie Green se prelucreaz˘ a ˆın modul urm˘ator:
Ψ0 ϕˆH (r, t) ϕˆH (r′ , t′ ) Ψ0
i ˆ i i i ˆ i ′ ˆ i ′ ˆ i ′ ˆ i ′ ˆ ˆ ˆ ˆ e ~ r·P e− ~ tH · e ~ t H e− ~ r ·P ϕ(0) ˆ e ~ r ·P e− ~ t H Ψ0 = Ψ0 e ~ tH e− ~ r·P ϕ(0) X
i ˆ
i i i ˆ i ′ ˆ i ′ ˆ ˆ ˆ {n} {n} e ~i t′ Hˆ e− ~i r′ ·Pˆ ϕ(0) = Ψ0 e ~ tH e− ~ r·P ϕ(0) ˆ e ~ r·P e− ~ tH ˆ e ~ r · P e− ~ t H Ψ 0 =e
′ i ~ E0 (t−t )
{n}
X i ′ ′
i ˆ {n} e− ~ E{n} (t−t ) e− ~ P{n} ·(r−r ) {n} ϕ(0) Ψ0 ϕ(0) ˆ Ψ 0 {n}
X 2 ′ ′ i i Ψ0 ϕ(0) ˆ {n} e− ~ (E{n}−E0 )(t−t ) e− ~ P{n} ·(r−r ) = {n}
ˆIn mod similar se obt¸ine cel de-al doilea element de matrice: X 2
′ ′ i i Ψ0 ϕ(0) ˆ {n} e− ~ (E{n} −E0 )(t −t) e− ~ P{n} ·(r −r) . Ψ0 ϕˆH (r′ , t′ ) ϕˆH (r, t) Ψ0 = {n}
Pe baza expresiilor obt¸inute anterior pentru elementele de matrice, rezult˘a funct¸ia Green ˆın forma: 2 X Ψ0 ϕ(0) ˆ {n} ′ ′ i i ′ ′
e ~ P{n} ·(r−r ) θ(t − t′ ) e− ~ (E{n} −E0 )(t−t ) D(r, t; r , t ) = − i Ψ0 Ψ0 {n} ′ ′ i i + e− ~ P{n} ·(r−r ) θ(t′ − t) e ~ (E{n} −E0 )(t−t ) . (13.42)
Se observ˘ a c˘ a funct¸ia Green fononic˘ a depinde numai de diferent¸ele coordonatelor spat¸io-temporale D(r, t; r′ , t′ ) = D(r − r′ , t − t′ ; 0, 0), astfel ˆıncˆ at se poate efectua transformarea Fourier spat¸iotemporal˘ a simpl˘a: Z 1 X ∞ dω iq·(r−r′ )−iω(t−t′ ) e D(r, t; r′ , t′ ) = e D(q, ω) . V q −∞ 2π
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
355
B3. Transformata Fourier a funct¸iei Green fononice rezult˘a din formula (13.42): e D(q, ω) =
Z
Z d r 3
V
∞
dt e−iq·r+iωt D(r, t; 0, 0)
−∞
2 Z Z ∞ X Ψ0 ϕ(0) ˆ {n} 1 1 P{n} ]·r 3 −i[q− ~
dt θ(t) ei[ω− ~ (E{n} −E0 )]t = −i d re Ψ0 Ψ0 −∞ V {n} Z ∞ Z 1 1 dt θ(−t) ei[ω+ ~ (E{n} −E0 )]t . + d3 r e−i[q+ ~ P{n} ]·r V
−∞
Integralele spat¸iale ¸si temporale se calculeaz˘a cu ajutorul formulelor urm˘atoare Z d3 r e ik·r = V δ k,0 , I(k) ≡ ZV∞ ±i K± (ω) ≡ dτ θ(±τ ) e iωτ = , ω ± iη η→0+ −∞
care au fost justificate ˆın Anexa matenmatic˘a prin formulele (A.32) ¸si (A.46). Atunci rezult˘a reprezentarea Lehmann pentru funct¸ia Green fononic˘ a ˆın cazul sistemului finit: X A(q, {n}) B(q, {n}) e D(q, ω) = , (13.43a) + ω − ~1 (E{n} − E0 ) + iη ω + ~1 (E{n} − E0 ) − iη {n}
unde ponderile A(q, {n}) ¸si B(q, {n}) au expresiile
2 Ψ0 ϕ(0) ˆ {n}
A(q, {n}) = V δ~q,P{n} , Ψ0 Ψ0 2 Ψ0 ϕ(0) ˆ {n}
V δ~q,−P{n} B(q, {n}) = Ψ0 Ψ0
(13.43b) (13.43c)
ˆIn reprezentarea Lehmann anterioar˘ a se poate transforma sumarea discret˘ a dup˘a st˘arile proprii ˆın integral˘a dup˘a frecvent¸˘ a prin introducerea formal˘a a funct¸iei Dirac: Z ∞ X A(q, {n}) E{n} − E0 B(q, {n}) ′ ′ e D(q, ω) = dω δ ω − ; + ω − ω ′ + iη ω + ω ′ − iη ~ 0 {n}
ca urmare, se obt¸ine reprezentarea Lehmann ˆın forma integral˘a: Z ∞ a(q, ω ′ ) b(q, ω ′ ) e D(q, ω) = dω ′ , + ω − ω ′ + iη ω + ω ′ − iη 0
(13.44)
unde ponderile a(q, ω ′ ) ¸si b(q, ω ′ ) au expresiile:
2 X Ψ0 ϕ(0) E{n} − E0 ˆ {n} ′
δ ω − V δ (13.45a) a(q, ω ) ≡ ~q,P {n} ~ Ψ 0 Ψ 0 {n} 2 X Ψ0 ϕ(0) ˆ {n} P{n} ′ E{n} − E0 3
δ ω − , = (2π) δ q − LT ~ ~ Ψ 0 Ψ 0 {n} 2 X Ψ0 ϕ(0) ˆ {n} E{n} − E0 ′ ′
b(q, ω ) ≡ δ ω − V δ (13.45b) ~q,−P {n} ~ Ψ 0 Ψ 0 {n} 2 X Ψ0 ϕ(0) ˆ {n} P{n} ′ E{n} − E0 3
δ ω − . = (2π) δ q + LT ~ ~ Ψ 0 Ψ 0 ′
{n}
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
356
B4. Din expresia reprezent˘ arii Lehmann ˆın forma integral˘a se obt¸ine relat¸ia de dispersie a funct¸iei Green fononice cauzale: Z e −1 ∞ ′ sgn(ω ′ ) Im D(q, ω) e Re D(q, ω) = . (13.46) − dω π −∞ ω − ω′ Demonstrat¸ie:
Se descompune expresia funct¸iei Green, dat˘ a de reprezentarea Lehmann, ˆın parte real˘ a ¸si parte imaginar˘ a, cu ajutorul formulei Sohotski-Weierstrass Z ∞ i h 1 i h 1 ′ ′ ′ e − iπ δ(ω − ω ) + b(q, ω ) P − iπ δ(ω + ω ) D(q, ω) = dω ′ a(q, ω ′ ) P ω − ω′ ω + ω′ 0 Z ∞ Z ∞ h a(q, ω ′ ) h i ′ i b(q, ω ) = − dω ′ + − iπ dω ′ a(q, ω ′ ) δ(ω − ω ′ ) − b(q, ω ′ ) δ(ω + ω ′ ) ; ′ ′ ω−ω ω+ω 0 0 atunci, p˘ art¸ile real˘ a ¸si imaginar˘ a sunt: Z ∞ Z ∞ h a(q, ω ′ ) ′ ′ ′ ′ b(q, ω ′ ) i ′ a(q, ω ) θ(ω ) + b(q, −ω ) θ(−ω ) e Re D(q, ω) = − dω ′ + = − dω ω − ω′ ω + ω′ ω − ω′ 0 0 e Im D(q, ω) = −π a(q, ω) θ(ω) − b(q, −ω) θ(−ω) .
Din rezultatele precedente se obt¸ine relat¸ia (13.46).
B5. Funct¸iile Green fononice retardat˘ a ¸si avansat˘a au reprezent˘ ari Lehmann similare cu funct¸ia cauzal˘ a: Z ∞ b(q, ω ′ ) a(q, ω ′ ) e (R) (q, ω) = , (13.47a) + D dω ′ ω − ω ′ + iη ω + ω ′ + iη 0 Z ∞ b(q, ω ′ ) a(q, ω ′ ) e (A) (q, ω) = . (13.47b) + D dω ′ ω − ω ′ − iη ω + ω ′ − iη 0 Spre deosebire de funct¸ia Green cauzal˘ a, funct¸iile Green retardat˘ a ¸si avansat˘a satisfac relat¸ii de dispresie normale: (R) Z e (q, ω) −1 ∞ ′ Im D (R) e Re D (q, ω) = , − dω π −∞ ω − ω′ (A) Z e (q, ω) (A) 1 ∞ ′ Im D e . Re D (q, ω) = − dω π −∞ ω − ω′
(13.48a) (13.48b)
Deoarece demonstrat¸iile petru propriet˘ a¸tile funct¸iilor Green retardat˘ a ¸si avansat˘ a sunt similare cu cele pentru funct¸ia Green cauzal˘ a, se omite prezentarea acestor demonstrat¸ii.
B5. Din reprezent˘ arile Lehmann rezult˘a c˘ a transformatele Fourier ale celor 3 funct¸ii Green fononice, prelungite ˆın planul complex al frecvent¸ei, sunt funct¸ii meromorfe: (±) i. funct¸ia Green cauzal˘ a are polii simpli zc = ± ~1 (E{n} − E0 ) − iη , (±)
ii. funct¸ia Green retardat˘ a are polii simpli zR
(±) zA
= ± ~1 (E{n} − E0 ) + iη ,
iii. funct¸ia Green avansat˘ a are polii simpli = ± ~1 (E{n} − E0 ) − iη . Se observ˘ a c˘ a exist˘a o similitudine cu rezultatele sistemului fermionic, iar polii celor 3 funct¸ii Green fononice sunt legat¸i de energiile de excitat¸ie pe st˘ari proprii ale sistemului. C. Interpretarea fizic˘ a a funct¸iei Green fononice cauzal˘ a
Printr-un rat¸ionament similar cu cel f˘acut ˆın Subsect¸iunea 3.2.4 pentru cazul fermionic, se poate ar˘ ata c˘ a transformata Fourier spat¸ial˘a a funct¸iei Green fononic˘ a cauzal˘ a este propagatorul unui fonon cu vector de und˘a specificat: Pf (q; t → t′ ) = i D(q, t − t′ ) ,
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
357
unde transformata Fourier spat¸ial˘a este ′
D(q, t − t ) =
Z
d3 r e−iq·r D(r, t; 0, t′ ) .
V
Deoarece funct¸ia Green fononic˘ a este simetric˘ a la inversarea coordonatelor spat¸io-temporale D(r, t; r′ , t′ ) = D(r′ , t′ ; r, t), rezult˘a c˘ a transformata Fourier spat¸ial˘a este invariant˘ a la inversia a absent¸a golurilor fononice. temporal˘ a: D(q, t − t′ ) = D(q, t′ − t), ceea ce implic˘ Prin utilizarea relat¸iei de inversare a transform˘arii Fourier Z ∞ dω −iω∆t e e D(q, ω) D(q, ∆t) = −∞ 2π
¸si utilizˆand o argumentat¸ie similar˘ a cu cea f˘acut˘ a pentru teorema Galitski-Migdal fermionic˘a (prezentat˘ a ˆın Subsect¸iunea 3.2.4), se poate ar˘ata urm˘atoarea proprietate: e i. dac˘ a transformata Fourier spat¸io-temporal˘a a funct¸iei Green cauzal˘ a fononic˘ a D(q, ω) are 1 un pol zq = ~ εq − iγq care este apropiat de axa real˘a (sub ax˘ a), ii. dac˘ a se consider˘ a timpi suficient de lungi, atunci, transformata Fourier spat¸ial˘a a acestei funct¸ii Green are urm˘atoarea expresie aproximativ˘a: ′ ′ i D(q, t − t′ ) ≈ i aq e− ~ εq (t−t )−γq (t−t ) ; deoarece D(q, t − t′ ) este propagatorul unei st˘ari fononice cu vectorul de und˘a q, rezultatul e a urm˘atoarea precedent arat˘a c˘ a polii funct¸iei D(q, z) ˆın planul complex, zq = ~1 εq − iγq , furnizeaz˘ informat¸ie: • εq este energia fononului,
• γq este constanta de amortizare a st˘arii fononice (adic˘a τq = 1/γq este timpul de viat¸˘a a st˘ arii fononice). D. Ecuat¸ia de evolut¸ie a funct¸iei Green fononic˘ a Pe baza ecuat¸iei diferent¸iale a operatorului de cˆ amp bosonic, (13.39), se arat˘a c˘ a la limita vectorului Debye foarte mare (qD → ∞), funct¸ia Green fononic˘ a cauzal˘ a satisface urm˘atoarea ecuat¸ie
∇2r −
1 ∂2 D(r, t; r′ , t′ ) = − ~ δ(t − t′ ) ∇2r δ 3 r − r′ + ∇2r Γ(r, t; r, t|r′ , t′ ) , 2 2 c ∂t
unde Γ(r, t; r′ , t′ |r′′ , t′′ ) este funct¸ia vertex, definit˘ a prin relat¸ia:
P † ˆ ˆ (r′ , t′ ) ϕˆH (r′′ , t′′ ) Ψ0 Ψ0 T σ ψσH (r, t)ψσH ′ ′ ′′ ′′
Γ(r, t; r , t |r , t ) ≡ i γ . Ψ 0 Ψ 0
(13.49)
(13.50)
Demonstrat¸ie:
Pentru simplitate se va considera c˘ a vectorul Debye este foarte mare (qD → ∞), astfel c˘ a ecuat¸ia diferent¸ial˘ a a operatorului de cˆ amp fononic este (13.39b):
∇2 −
nX o 1 ∂2 † ϕ ˆH (r, t) = − γ ∇2 ψˆσH (r, t) ψˆσH (r, t) . 2 2 q →∞ c ∂ t D σ
Funct¸ia Green cauzal˘ a fononic˘ a este definit˘ a prin relat¸ia (13.41), care prin explicitare ˆın raport cu operat¸ia de ordonare temporal˘ a are expresia: o
−i n ˆH (r, t) ϕ ˆH (r′ , t′ ) Ψ0 +θ(t′ −t) Ψ0 ϕ ˆH (r′ , t′ ) ϕˆH (r, t) Ψ0 . D(r, t; r′ , t′ ) = θ(t−t′ ) Ψ0 ϕ Ψ0 Ψ0 Se observ˘ a c˘ a funct¸ia Green fononic˘ a este sum˘ a de termeni care cont¸in un produs de 2 funct¸ii dependente de timp; deoarece derivata de ordinul 2 al unui produs de 2 funct¸ii se poate calcula cu formula ∂2 ∂ ′ ∂ f (t) g(t) = f (t) g(t) + f (t) g ′ (t) = f ′′ (t) g(t) + f ′ (t) g ′ (t) + f (t) g ′ (t) , 2 ∂t ∂t ∂t
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
358
atunci, considerˆ and f (t) = ϕ ˆH (r, t) ¸si g(t) = θ ± (t − t′ ) rezult˘ a
∂2 D(r, t; r′ , t′ ) ∂t2 o
−i ∂2 n = 2 θ(t − t′ ) Ψ0 ϕ ˆH (r, t) ϕˆH (r′ , t′ ) Ψ0 + θ(t′ − t) Ψ0 ϕ ˆH (r′ , t′ ) ϕ ˆH (r, t) Ψ0 Ψ0 Ψ0 ∂t h
∂2ϕ ∂ 2 ϕˆH (r, t) i ˆH (r, t) −i ϕˆH (r′ , t′ ) Ψ0 + θ(t′ − t) Ψ0 ϕˆH (r′ , t′ ) Ψ0 = θ(t − t′ ) Ψ0 2 ∂t ∂t2 Ψ0 Ψ0 h ∂ θ(t − t′ ) ∂ ϕˆ (r, t) ∂ θ(t′ − t) ∂ϕ ˆH (r, t) i H + Ψ0 ϕ ˆH (r′ , t′ ) Ψ0 + Ψ0 Ψ0 ϕ ˆH (r′ , t′ ) ∂t ∂t ∂t ∂t h ′
′ ∂ θ(t − t) i ∂ ∂ θ(t − t ) Ψ0 ϕˆH (r, t) ϕ Ψ0 ϕ . ˆH (r′ , t′ ) Ψ0 + ˆH (r′ , t′ ) ϕˆH (r, t) Ψ0 + ∂t ∂t ∂t
ˆIn ultima expresie, primul termen se reduce la un produs cronologic, care prin utilizarea ecuat¸iei de evolut¸ie a operatorului de cˆ amp fononic (13.39), devine:
∂2ϕ
ˆH (r, t) ∂2ϕ ˆH (r, t) I ≡ θ(t − t′ ) Ψ0 Ψ0 ϕˆH (r′ , t′ ) Ψ0 + θ(t′ − t) Ψ0 ϕ ˆH (r′ , t′ ) 2 ∂t ∂t2
∂2ϕ ˆH (r, t) = Ψ0 T ϕ ˆH (r′ , t′ ) Ψ0 2 ∂t o
n X † ψˆ (r, t) ψˆσH (r, t) ϕ ˆH (r′ , t′ ) Ψ0 = c2 ∇2r Ψ0 T ϕ ˆH (r, t) ϕˆH (r′ , t′ ) Ψ0 + γ c2 ∇2r Ψ0 σH
σ
o
n X † 2 2 Ψ0 Ψ0 ψˆσH (r, t) ψˆσH (r, t) ϕ ˆH (r′ , t′ ) Ψ0 , D(r, t; r′ , t′ ) + γ c2 ∇2r Ψ0 = c ∇r −i σ
unde ultima egalitate s-a obt¸inut utilizˆ and definit¸ia funct¸iei Green fononice.
Al doilea termen se reduce la comutatorul operatorului de cˆ amp fononic cu derivata sa temporal˘ a, care a fost evaluat cu formula (13.38b): ∂ θ(t′ − t) ∂ θ(t − t′ ) ∂ ϕ ˆH (r, t) ∂ ϕˆH (r, t) Ψ0 ϕ ˆH (r′ , t′ ) Ψ0 + Ψ0 Ψ0 ϕˆH (r′ , t′ ) ∂t ∂t ∂t ∂t
∂ ϕ ∂ ϕˆH (r, t) ˆH (r, t) Ψ0 ϕ ˆH (r′ , t′ ) Ψ0 − Ψ0 ϕˆH (r′ , t′ ) = δ(t − t′ ) Ψ0 ∂t ∂t
∂ϕ ˆH (r, t) = − δ(t − t′ ) Ψ0 ϕ ˆH (r, t) , Ψ0 − ∂t 2 ′ 2 3 ′
= i ~ c δ(t − t ) ∇r δ (r − r ) Ψ0 Ψ0 .
II ≡
Al treilea termen se reduce la comutatorul operatorilor de cˆ amp fononici, care este nul, conform cu relat¸ia (13.38a): ∂ θ(t′ − t) i ∂ h ∂ θ(t − t′ ) III ≡ Ψ0 ϕ Ψ0 ϕ ˆH (r, t) ϕ ˆH (r′ , t′ ) Ψ0 + ˆH (r′ , t′ ) ϕ ˆH (r, t) Ψ0 ∂t ∂t ∂t o
∂n ′
′ ′ ′ δ(t − t ) Ψ0 ϕ ˆH (r, t) ϕ ˆH (r , t ) Ψ0 − δ(t − t) Ψ0 ϕ ˆH (r′ , t′ ) ϕˆH (r, t) Ψ0 = ∂t
o ∂n δ(t − t′ ) Ψ0 ϕ ˆH (r, t) , ϕ ˆH (r′ , t′ ) − Ψ0 = ∂t =0. Atunci, prin adunarea celor 3 rezultate anterioare, se obt¸ine: Ψ0 Ψ0 2 2 −i ∂2 ′ ′ D(r, t; r , t ) = c ∇r D(r, t; r′ , t′ ) ∂t2 −i Ψ0 Ψ0
X † ψˆσH (r, t) ψˆσH (r, t) ϕˆH (r′ , t′ ) Ψ0 + γ c2 ∇2r Ψ0 σ
+ i ~ c2 δ(t − t′ ) ∇2r δ 3 (r − r′ ) Ψ0 Ψ0
P ˆ† ˆ ˆH (r′ , t′ ) Ψ0 2 2 ′ ′ 2 2 Ψ0 σ ψσH (r, t) ψσH (r, t) ϕ
= c ∇r D(r, t; r , t ) − i γ c ∇r Ψ0 Ψ0 + ~ c2 δ(t − t′ ) ∇2r δ 3 (r − r′ ) .
Se observ˘ a c˘ a ultimul rezultat este echivalent cu relat¸iile (13.49) – (13.50).
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
359
E. Funct¸ia Green fononic˘ a liber˘ a Prin adaptarea definit¸iei generale (13.41) la cazul sistemului fononic f˘ar˘a interact¸ii cu electronii, se obt¸ine definit¸ia funct¸iei Green fononic˘ a (cauzal˘a) liber˘a
Φ0 T ϕˆH0 (r, t) ϕˆH0 (r′ , t′ ) Φ0 0 ′ ′
, (13.51) D (r, t; r , t ) ≡ − i Φ0 Φ0 unde Φ0 este vectorul st˘ arii fundamentale a sistemului de fononi liberi, cˆ and nu exist˘a fononi, adic˘a starea de vid fononic. Deoarece ˆın starea de vid fononic numerele fononice de ocupare pe toate modurile de vibrat¸ie sunt nule, nq = 0, atunci operatorii de anihilare fononici distrug starea fundamental˘ a, iar operatorii fononici de creare produc starea cu 1 fonon pe modul de vibrat¸ie respectiv: dˆq Φ0 = ∅ , dˆ† Φ0 = 1q . q
Operatorul de cˆ amp fononic ˆın formularea Dirac este definit ˆın mod similar cu operatorul ˆ0 = H ˆf : formul˘arii Heisenberg, dar cu ajutorul hamiltonianului liber H i
ˆ
i
ˆ
ˆ e− ~ tH0 ; ϕˆH0 (r, t) = e ~ tH0 ϕ(r) deoarece operatorii elementari ˆın formularea Dirac (formularea Heisenberg liber˘a) au expresiile explicite date de formulele (13.16) dˆqH0 (t) = e−iωq t dˆq ,
† dˆqH (t) = e iωq t dˆq† , 0
rezult˘a expresia operatorului de cˆ amp fononic ˆın formularea Dirac: r o X ~ ωq n ˆ ϕˆH0 (r, t) = θ(qD − q) dq H0 (t) eiq·r + dˆq† H0 (t) e−iq·r 2V q r X ~ ωq n ˆ i(q·r−ωq t) ˆ† −i(q·r−ωq t) o . dq e + dq e = θ(qD − q) 2V q Pentru a obt¸ine formula a funct¸iei Green fononice libere, se expliciteaz˘ a operat¸ia de ordonare cronologic˘ a:
i Φ0 Φ0 D0 (r, t; r′ , t′ ) = θ(t − t′ ) Φ0 ϕˆH0 (r, t) ϕˆH0 (r′ , t′ ) Φ0
+ θ(t′ − t) Φ0 ϕˆH0 (r′ , t′ ) ϕˆH0 (r, t) Φ0
Primul element de matrice se evalueaz˘ a ˆın mod direct utilizˆand expresiile operatorilor de cˆ amp ¸si act¸iunile operatorilor elementari asupra vectorului st˘arii de vid fononic: r r X
~ω ~ωq′ n ˆ ˆ i(q·r−ωq t)+i(q′ ·r′ −ωq′ t′ ) q ′ ′ Φ0 ϕˆH0 (r, t) ϕˆH0 (r , t ) Φ0 = Φ0 dq dq′ Φ0 e 2V 2V {z } | ′ q,q q,q′ ≤qD
=0
′ ′ ′ + Φ0 dˆq† dˆq†′ Φ0 e−i(q·r−ωq t)−i(q ·r −ωq′ t ) | {z } =0
′ ′ ′ + Φ0 dˆq dˆq†′ Φ0 ei(q·r−ωq t)−i(q ·r −ωq′ t ) | {z } = δq,q′
=
X q
hΦ0 |Φ0 i
o
′ ′ ′ + Φ0 dˆq† dˆq′ Φ0 e−i(q·r−ωq t)+i(q ·r −ωq′ t ) {z } | =0
~ωq iq·(r−r′ )−iωq (t−t′ ) Φ0 Φ0 ; e θ(qD − q) 2V
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
360
al doilea element de matrice se obt¸ine ˆın mod simplu prin interschimbarea argumentelor din expresia precedent˘ a:
X ~ωq iq·(r′ −r)−iωq (t′ −t) θ(qD − q) Φ0 ϕˆH0 (r′ , t′ ) ϕˆH0 (r, t) Φ0 = Φ0 Φ0 . e 2V q
Cu ajutorul rezultatelor anterioare se obt¸ine expresia funct¸iei Green fononic˘ a liber˘a: D0 (r, t; r′ , t′ ) = − i
X q
θ(qD − q)
o ′ ′ ′ ′ ~ωq n θ(t− t′ ) eiq·(r −r)−iωq (t −t) + θ(t′ − t) e−iq·(r −r)+iωq (t −t) . 2V
(13.52) Se observ˘ a c˘ a funct¸ia Green fononic˘ a liber˘a depinde numai de diferent¸a coordonatelor spat¸iotemporale D0 (r, t; r′ , t′ ) = D0 (r − r′ , t − t′ ; 0, 0) astfel c˘ a se poate efectua transformarea Fourier spat¸io-temporal˘ a simpl˘a: Z 1 X ∞ dω iq·(r−r′ )−iω(t−t′ ) e 0 D0 (r, t; r′ , t′ ) = e D (q, ω) . V q −∞ 2π
Prin inversare se obt¸ine transformata Fourier a funct¸iei Green fononice libere: Z ∞ Z 3 0 e dt e−iq·r+iωt D0 (r, t; 0, 0) d r D (q, ω) = −∞ V Z Z ∞ X 3 i(q′ −q)·r ′ ~ ωq ′ d re dt θ(t) ei(ω−ωq′ )t = −i θ(qD − q ) 2 V −∞ ′ q Z Z ∞ 3 −i(q′ +q)·r i(ω+ωq′ )t + d re . dt θ(−t) e −∞
V
Integralele spat¸iale ¸si temporale se calculeaz˘a cu ajutorul formulelor urm˘atoare Z d3 r e ik·r = V δ k,0 , I(k) ≡ V Z ∞ ±i J± (ω) ≡ dτ θ(±τ ) e iωτ = , ω ± iη η→0+ −∞
la fel ca la deducerea reprezent˘ arii Lehmann; ca urmare se obt¸ine 1 1 e 0 (q, ω) = θ(qD − q) ~ ωq D + . 2 ω − ωq + iη ω + ωq − iη η→0+ Este convenabil s˘a se adune cele dou˘a fract¸ii, astfel ˆıncˆ at rezult˘a:
1 1 2 ωq − 2 i η 2 ωq 2 ωq + = 2 ≈ 2 ≈ 2 , 2 2 ω − ωq + iη ω + ωq − iη ω − (ωq − i η) ω − ωq + i ωq η ω − ωq2 + i η unde ultima aproximat¸ie s-a obt¸inut deoarece ωq este pozitiv˘ a ¸si m˘arimea η este infinitezimal˘a. Ca urmare a operat¸iilor efectuate anterior rezult˘a expresia transformatei Fourier a funct¸iei Green fononice libere: ~ ωq2 e 0 (q, ω) = θ(qD − q) . (13.53) D ω 2 − ωq2 + i η
Se observ˘ a c˘ a la limita vectorului de und˘a nul (q → 0), transformata Fourier a funct¸iei Green fononice libere se anuleaz˘ a, de asemenea: e 0 (q, ω) −→ 0 , D q→0
deoarece legea de dispersie este acustic˘a: ωq = c q.
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
361
F. Contract¸ii cu operatori fononici ˆIn mod similar cazului fermionic se pot defini contract¸ii cu operatori fononici, care sunt operatori bosonici. Pentru a obt¸ine contract¸iile utile, se descompune operatorul fononic din formularea Dirac ˆın parte de creare ¸si parte de anihilare: r X ~ ωq n ˆ i(q·r−ωq t) ˆ† −i(q·r−ωq t) o dq e + dq e ϕˆH0 (r, t) = θ(qD − q) 2V q (−)
(+)
≡ ϕˆH0 (r, t) + ϕˆH0 (r, t) ,
(13.54)
unde (+) ϕˆH0 (r, t)
(−)
≡
ϕˆH0 (r, t) ≡
X q
X q
θ(qD − q) θ(qD − q)
r
r
~ ωq ˆ iq·r−iωq t) dq e , 2V
(partea de anihilare) ,
(13.55a)
(partea de creare) .
(13.55b)
~ ωq ˆ† −iq·r+iωq t) d e , 2V q
a prin conjuDeoarece operatorul de cˆ amp fononic este hermitic, ϕˆ†H0 (r, t) = ϕˆH0 (r, t), rezult˘a c˘ gare hermitic˘ a p˘ art¸ile de creare ¸si de anihilare se transform˘a una ˆın cealalt˘ a: (−) (+)† ϕˆH0 (r, t) = ϕˆH0 (r, t) , ϕˆ(−)† (r, t) = ϕˆ(+) (r, t) . H0 H0
Prin definirea p˘ art¸ilor de creare ¸si de anihilare a operatorilor de cˆ amp fononici se poate defini produsul normal de p˘ art¸i ale unui set de operatori fononici, ca fiind egal cu produsul reordonat al acestor operatori ˆın care p˘ art¸ile de anihilare se afl˘a la stˆanga p˘ art¸ilor de creare: N ϕˆ1 ϕˆ2 . . . ϕˆn = ϕˆπ1 . . . ϕˆπm · ϕˆπm+1 . . . ϕˆπn ; {z } | | {z } op. creare
op. anihilare
se observ˘ a c˘ a definit¸ia produsului normal ˆın cazul fononic este similar˘ a cu definit¸ia corespondent˘ a din cazul fermionic, dar nu mai apare factorul de semn al permut˘arii, deoarece operatorii fononici sunt operatori bosonici. Ca urmare a definit¸iei, produsul normal are propriet˘ a¸tile urm˘atoare: i. este distributiv ˆın raport cu adunarea, astfel ˆıncˆ at se poate considera produsul normal pentru un set de operatori de cˆ amp fononici (nu numai pentru p˘ art¸i de creare ¸si de anihilare); ii. media pe starea fundamental˘ a liber˘a (starea de vid fononic) a produsului normal de operatori de cˆ amp fononici este nul˘a:
Φ0 N ϕˆ1 ϕˆ2 . . . ϕˆn Φ0 = 0 . Contract¸ia a doi operatori de cˆ amp (sau p˘ art¸i ale operatorilor de cˆ amp) fononici ˆın formularea Dirac se define¸ste, la fel ca ˆın cazul fermionic, prin diferent¸a dintre produsul cronologic ¸si produsul normal al operatorilor considerat¸i: (a) (a) (b) (b) (b) (a) ϕH0 (r, t) ϕH0 (r′ , t′ ) ≡ T ϕˆH0 (r, t) ϕˆH0 (r′ , t′ ) − N ϕˆH0 (r, t) ϕˆH0 (r′ , t′ ) .
(13.56)
Contract¸ia ˆıntre p˘ art¸i ale operatorilor de cˆ amp fononici se reduce la comutatorul operatorilor contractat¸i: ( (a) (b) ar˘a inversie N) , −θ(t′ − t) ϕˆH0 (r, t) , ϕˆH0 (r′ , t′ ) − , (f˘ (b) ′ ′ (a) (a) (13.57) ϕH0 (r, t) ϕH0 (r , t ) = (b) ′ ′ ′ +θ(t − t ) ϕˆH0 (r, t) , ϕˆH0 (r , t ) − , (cu inversie N) ;
se observ˘ a c˘ a rezultatul depinde de absent¸a sau prezent¸a inversiei operatorilor la ordonarea normal˘ a.
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
362 Demonstrat¸ie:
Se consider˘ a init¸ial cazul cˆ and ordonarea normal˘ a nu produce inversia operatorilor ¸si se expliciteaz˘ a operat¸ia de ordonare cronologic˘ a: n o (a) (b) (a) (b) (b) (a) ϕH0 (r, t) ϕH0 (r′ , t′ ) = θ(t − t′ ) ϕˆH0 (r, t) ϕ ˆH0 (r′ , t′ ) + θ(t′ − t) ϕ ˆH0 (r′ , t′ ) ϕ ˆH0 (r, t) (a) (b) − θ(t − t′ ) + θ(t′ − t) ϕ ˆH0 (r, t) ϕ ˆH0 (r′ , t′ ) n o (b) (a) (a) (b) = θ(t′ − t) ϕ ˆH0 (r′ , t′ ) ϕ ˆH0 (r, t) − ϕ ˆH0 (r, t) ϕ ˆH0 (r′ , t′ ) (a) (b) = − θ(t′ − t) ϕ ˆH0 (r, t) , ϕ ˆH0 (r′ , t′ ) − .
ˆIn cazul ˆın care ordonarea normal˘ a produce inversia operatorilor, se procedeaz˘ a ˆın mod similar cazului anterior: n o (a) (b) (a) (b) (b) (a) ϕH0 (r, t) ϕH0 (r′ , t′ ) = θ(t − t′ ) ϕˆH0 (r, t) ϕ ˆH0 (r′ , t′ ) + θ(t′ − t) ϕ ˆH0 (r′ , t′ ) ϕ ˆH0 (r, t) (b) ′ ′ (a) − θ(t − t′ ) + θ(t′ − t) ϕ ˆH0 (r , t ) ϕ ˆH0 (r, t) n o (a) (b) (b) (a) ′ ′ ′ = θ(t − t ) ϕ ˆH0 (r, t) ϕ ˆH0 (r , t ) − ϕ ˆH0 (r′ , t′ ) ϕˆH0 (r, t) (a) (b) = θ(t − t) ϕ ˆH0 (r, t) , ϕ ˆH0 (r′ , t′ ) − . Rezultatele precedente probeaz˘ a relat¸ia (13.57).
Prin utilizarea formulelor (13.57), (13.55) ¸si a relat¸iilor de comutare ale operatorilor elementari fononici (13.9), se obt¸in rezultatele pentru contract¸iile fundamentale (ˆıntre p˘ art¸ile de creare ¸si de anihilare ale operatorilor de cˆ amp fononici): (+)
(+)
ϕH0 (r, t) ϕH0 (r′ , t′ ) = ˆ0 , (−) (−) ϕH0 (r, t) ϕH0 (r′ , t′ ) (+) (−) ϕH0 (r, t) ϕH0 (r′ , t′ ) (+)
(−)
(13.58a)
= ˆ0 ,
(13.58b) ′
′
′
= θ(t − t ) i D (r, t; r , t ) ˆ1 , 0
ϕH0 (r, t) ϕH0 (r′ , t′ ) = θ(t′ − t) i D0 (r, t; r′ , t′ ) ˆ1 .
(13.58c) (13.58d)
Demonstrat¸ie: (+) (+) (+) (+) ϕH0 (r, t) ϕH0 (r′ , t′ ) = −θ(t′ − t) ϕ ˆH0 (r, t) , ϕˆH0 (r′ , t′ ) − r r X ~ωq′ i(q·r−ωq t) i(q′ ·r′ −ωq′ t′ ) ˆ ˆ ~ωq = −θ(t′ − t) e e dq , dq′ − 2 V 2V {z } | q,q′ =ˆ 0
q,q ′ ≤qD
=ˆ 0,
(−) (−) (−) (−) ϕH0 (r, t) ϕH0 (r′ , t′ ) = −θ(t′ − t) ϕ ˆH0 (r, t) , ϕ ˆH0 (r′ , t′ ) − r r X ~ωq′ −i(q·r−ωq t) −i(q′ ·r′ −ωq′ t′ ) ˆ† ˆ† ~ωq ′ e e dq , dq′ − = −θ(t − t) 2 V 2V | {z } q,q′ q,q ′ ≤qD
=ˆ 0
=ˆ 0,
(+) (+) (−) (−) ϕH0 (r, t) ϕH0 (r′ , t′ ) = θ(t − t′ ) ϕ ˆH0 (r, t) , ϕˆH0 (r′ , t′ ) − r r X ~ωq′ i(q·r−ωq t) −i(q′ ·r′ −ωq′ t′ ) ˆ ˆ† ~ωq = θ(t − t′ ) e e dq , dq′ − 2 V 2V {z } | q,q′ = δq,q′ ˆ 1
q,q ′ ≤qD
= θ(t − t′ )
X ~ωq
q q≤qD
2V
′
eiq·(r−r
′
)−iωq (t−t )
= θ(t − t′ ) i D0 (r, t; r′ , t′ ) ˆ 1,
ˆ 1
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
363
(−) (−) (+) (+) ϕH0 (r, t) ϕH0 (r′ , t′ ) = −θ(t′ − t) ϕˆH0 (r, t) , ϕˆH0 (r′ , t′ ) − (+) ′ ′ (−) = θ(t′ − t) ϕ ˆH0 (r , t ) , ϕ ˆH0 (r, t) − X ~ωq −iq·(r−r′ )+iω (t−t′ ) q ˆ = θ(t′ − t) e 1 2V q q≤qD
1; = θ(t′ − t) i D0 (r, t; r′ , t′ ) ˆ pentru ultimele dou˘ a rezultate ale contract¸iilor s-a utilizat expresia funct¸iei Green fononice libere (13.52), luˆ and ˆın considerare restrict¸iile temporale impuse de funct¸iile Heaviside.
Deoarece operat¸ia de contractare a operatorilor este distributiv˘ a, din relat¸iile (13.58) se obt¸ine contract¸ia ˆıntre doi operatori de cˆ amp fononici totali: (+) (+) (−) (−) ϕH0 (r, t) ϕH0 (r′ , t′ ) = ϕˆH0 (r, t) + ϕˆH0 (r, t) ϕˆH0 (r′ , t′ ) + ϕˆH0 (r′ , t′ ) (+)
(+)
(−)
(−)
= ϕH0 (r, t) ϕH0 (r′ , t′ ) + ϕH0 (r, t) ϕH0 (r′ , t′ ) (+)
(−)
(−)
(+)
+ ϕH0 (r, t) ϕH0 (r′ , t′ ) + ϕH0 (r, t) ϕH0 (r′ , t′ ) = θ(t − t′ ) i D0 (r, t; r′ , t′ ) ˆ1 + θ(t′ − t) i D0 (r, t; r′ , t′ ) ˆ1 = i D0 (r, t; r′ , t′ ) ˆ1 ;
conform rezultatului precedent contract¸ia ˆıntre doi operatori de cˆ amp fononici ˆın formularea Dirac este un operator banal, iar valoarea contract¸iei este funct¸ia Green fononic˘ a liber˘a: ϕH0 (r, t) ϕH0 (r′ , t′ ) = i D0 (r, t; r′ , t′ ) .
(13.59)
Rezultatele anterioare sunt similare cu rezultatele pentru sistemul fermionic, dar ˆın cazul fononic apar simplific˘ ari datorate faptului c˘ a operatorul de cˆ amp fononic este hermitic. Este important de remarcat c˘ a teorema Wick, prezentat˘ a ˆın Subsect¸iunea 3.1.3, este valabil˘a independent de natura operatorilor de cˆ amp (bosonici sau fermionici); ca urmare teorema Wick este valabil˘a pentru cˆ ampul fononic.
13.2.2
Funct¸ii Green electronice
Se consider˘ a sistemul electronic cu interact¸iile coulombiene descrise ˆın aproximat¸ia HartreeFock, a¸sa cum s-a procedat ˆın Subsect¸iunea 13.1.5. Ca urmare, propriet˘ a¸tile funct¸iilor Green electronice ˆın cazul prezent sunt de tipul propriet˘ a¸tilor funct¸iilor Green fermionice ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a, care au fost studiate ˆın Sect¸iunea (3.2); singura deosebire este substituirea interact¸iilor bi-particul˘a fermionice prin interact¸iile electroni-fononi, precum ¸si absent¸a cˆ ampurilor externe. Funct¸ia Green cauzal˘ a uni-particul˘a se define¸ste ˆın mod similar cu formula (3.44) hΨ0 | T ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) ≡ − i , hΨ0 |Ψ0 i unde |Ψ0 i este vectorul st˘ arii fundamentale a sistemului electroni-fononi ˆın formularea Heisenberg. De asemenea, se pot defini funct¸ii Green retardat˘ a, avansat˘a ¸si multi-particule, la fel ca ˆın Subsect¸iunea 3.2.1. Pe baza similitudinii ment¸ionate anterior, rezult˘a c˘ a funct¸ia Green electronic˘ a are proriet˘ a¸tile generale (ˆın particular reprezent˘ ari Lehmann) evident¸iate ˆın Subsect¸iunea 3.2.2 ¸si interpretarea fizic˘a discutat˘ a ˆın Subsect¸iunea 3.2.4. Se observ˘a c˘ a ˆın cazul prezent funct¸ia Green electronic˘ a este diagonal˘ a ˆın indicii de spini Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) = δσσ′ G(r, t; r′ , t′ ) , deoarece interact¸ia electroni-fononi este independent˘ a de spinul electronic. De asemenea, funct¸ia Green liber˘ a este de tipul studiat ˆın Subsect¸iunea 3.2.3. Pentru a nu face repetit¸ii simple se vor omite prezent˘ arile propriet˘ a¸tilor funct¸iei Green electronice care sunt la fel cu cele ale funct¸iei Green corespondente pentru sistemul fermionic cu interact¸ii binare.
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
364
Singura deosebire notabil˘a este ecuat¸ia de evolut¸ie a funct¸iei Green, care este discutat˘ a ˆın Subsect¸iunea 3.2.5 pentru cazul general al sistemului fermionic cu interact¸ii binare ¸si ˆın prezent¸a unui cˆ amp extern. ˆIn cazul prezent se consider˘ a electronii pe st˘ari uni-particul˘a efective cu masa ∗ m , conform aproximat¸iei Hartree-Fock ¸si ˆın interact¸ie cu fononii, conform aproximat¸iei Fr¨ohlich; ca urmare, hamiltonianul sistemului este ˆ e−f , ˆ =H ˆe + H ˆ f0 + H H la fel ca ˆın Subsect¸iunea 13.1.5. Atunci, efectuˆand operat¸ii similare cu cele din Subsect¸iunea 3.2.5 se obt¸ine ecuat¸ia diferent¸ial˘a a funct¸iei Green electronice ˆın urm˘atoarea form˘a:
i~
1 ~2 ∂ 2 G(r, t; r′ , t′ ) = ~ δ(r − r′ ) δ(t − t′ ) + Γ(r′ , t′ ; r, t | r, t) , ∇ + ∂t 2m∗ 2
(13.60)
unde Γ(r′ , t′ ; r, t | r, t) este funct¸ia vertex, definit˘ a prin formula (13.50) ¸si care intervine, de asemenea, ˆın ecuat¸ia diferent¸ial˘a a funct¸iei Green fononice (13.49). Demonstrat¸ie: Derivata temporal˘ a a funct¸iei Green se calculeaz˘ a la fel ca ˆın Subsect¸iunea 3.2.5 pe baza identit˘ a¸tii i~
h ∂ i ∂ ˆ ˆ ′ ) = i~ δ(t − t′ ) A(t) ˆ , B(t) ˆ ˆ · B(t ˆ ′) , + T i~ A(t) T A(t) · B(t + ∂t ∂t
de unde rezult˘ a i~
∂ ˆ T ψσH (r, t) · ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) = i~ δ(t − t′ ) ψˆσH (r, t) , ψˆσ† ′ H (r′ , t) + ∂t h ∂ i + T i~ ψˆσH (r, t) · ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) . ∂t
Atunci derivata temporal˘ a a funct¸iei Green electronice devine: hΨ0 | T ψˆσH (r, t) · ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i ∂ ∂ ′ ′ i~ Gσσ ′ (r, t; r , t ) = i~ (− i) ∂t ∂t hΨ0 |Ψ0 i ∂ ˆ −i hΨ0 | i~ T ψσH (r, t) · ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i = hΨ0 |Ψ0 i ∂t −i = hΨ0 | i~ δ(t − t′ ) ψˆσH (r, t) , ψˆσ† ′ H (r′ , t) + |Ψ0 i hΨ0 |Ψ0 i h ∂ i −i + hΨ0 | T i~ ψˆσH (r, t) · ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i . hΨ0 |Ψ0 i ∂t ˆIn primul termen anti-comutatorul sincron al operatorilor de cˆ amp electronici se calculeaz˘ a cu relat¸ia (2.88a) 1, ψˆσH (r, t) , ψˆσ† ′ H (r′ , t) + = δσσ ′ δ(r − r′ ) ˆ astfel ˆıncˆ at acest termen devine
−i hΨ0 | i~ δ(t − t′ ) ψˆσH (r, t) , ψˆσ† ′ H (r′ , t) + |Ψ0 i hΨ0 |Ψ0 i −i = 1 |Ψ0 i = ~ δσσ ′ δ(r − r′ ) δ(t − t′ ) . hΨ0 | i~ δ(t − t′ ) δσσ ′ δ(r − r′ ) ˆ hΨ0 |Ψ0 i Pentru al doilea termen se utilizeaz˘ a ecuat¸ia diferent¸ial˘ a a operatorului de cˆ amp electronic (13.40) h ∂ i −i hΨ0 | T i~ ψˆσH (r, t) · ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i hΨ0 |Ψ0 i ∂t hn −~2 o i −i = hΨ0 | T ∇2 ψˆσH (r, t) + γ ϕ ˆH (r, t) ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i ∗ hΨ0 |Ψ0 i 2m 2 hΨ0 | T ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i −~ 2 = ∇ (− i) 2m∗ hΨ0 |Ψ0 i ˆ hΨ0 | T ϕ ˆH (r, t) ψσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i ; − iγ hΨ0 |Ψ0 i
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
365
ˆın ultimul rezultat primul termen cont¸ine funct¸ia Green electronic˘ a ¸si se comut˘ a operatorii celui de-al doilea termen, astfel c˘ a apare un factor de semn prin permutarea operatorilor electronici ˆın interiorul produsului cronologic, astfel c˘ a rezult˘ a h i ∂ ˆ −i hΨ0 | T i~ ψσH (r, t) · ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i hΨ0 |Ψ0 i ∂t 2 hΨ0 | T ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) ψˆσH (r, t) ϕ ˆH (r, t) |Ψ0 i −~ ′ ′ 2 ′ (r, t; r , t ) + iγ = ∇ G . σσ 2m∗ hΨ0 |Ψ0 i Pe baza rezultatelor precedente se obt¸ine urm˘ atoarea ecuat¸ie diferent¸ial˘ a a funct¸ie Green electronice: i~
∂ −~2 2 Gσσ ′ (r, t; r′ , t′ ) = ~ δσσ ′ δ(r − r′ ) δ(t − t′ ) + ∇ Gσσ ′ (r, t; r′ , t′ ) ∂t 2m∗ † hΨ0 | T ψˆσ ′ H (r′ , t′ ) ψˆσH (r, t) ϕˆH (r, t) |Ψ0 i + iγ . hΨ0 |Ψ0 i
Ecuat¸ia precedent˘ a se simplific˘ a dac˘ a se utilizeaz˘ a proprietatea funct¸iei Green electronice de a fi diagonal˘ a ˆın indicii de spin, astfel c˘ a funct¸ia Green scalar˘ a este X 1 G(r, t; r′ , t′ ) = Gσσ (r, t; r′ , t′ ) , 2s + 1 σ a, ecuat¸ia diferent¸ial˘ a devine unde spinul electronic este s = 21 ; ˆın consecint¸˘
i~
~2 ∂ 2 + ∇ G(r, t; r′ , t′ ) = ~ δ(r − r′ ) δ(t − t′ ) ∂t 2m∗ † ′ ′ ˆH (r, t) |Ψ0 i 1 X hΨ0 | T ψˆσH (r , t ) ψˆσH (r, t) ϕ + iγ . 2 σ hΨ0 |Ψ0 i
ˆIn membrul drept al ultimei ecuat¸ii s-a format funct¸ia vertex, definit˘ a prin relat¸ia (13.50), astfel c˘ a s-a obt¸inut ecuat¸ia (13.60).
13.2.3
Analiza diagramatic˘ a la temperatur˘ a nul˘ a
A. Formularea problemei A1. Se consider˘ a sistemul constituit din electroni ¸si ret¸eaua cristalin˘ a, care au urm˘atoarele caracteristici: i. Electronii au interact¸ii coulombiene ¸si sunt localizat¸i ˆın interiorul fondului inert de sarcin˘ a pozitiv˘ a (care asigur˘a condit¸ia de neutralitate electric˘a); hamiltonianul sistemului electronic ˆımpreun˘ a cu fondul pozitiv (modelul “jellium”) este dat de formula (7.10) 0 ˆel′ , ˆ el = H ˆ el H +U
ˆ 0 ) ¸si hamiltonianul coulombian efectiv (U ˆ ′ ) sunt descri¸si prin unde hamiltonianul cinetic (H el el relat¸iile (7.11) X 0 ˆ el H = ε0k a ˆ†k,σ a ˆk,σ , k,σ
X X′ X ˆ′ = 1 ˆk−q σ ; ve(q) a ˆ†k σ a ˆ†k′ σ′ a ˆk′ +q σ′ a U el 2V ′ ′ q k,k
(q6=0)
σ,σ
se observ˘ a c˘ a efectul fondului inert este absent¸a termenilor cu transfer de impuls nul (q = 0) din hamiltonianul coulombian. ii. Ret¸eaua ˆın vibrat¸ie armonic˘ a este reprezentat˘ a de fononi care se consider˘ a liberi, adic˘a sunt absente interact¸iile mutuale dintre fononi ¸si interact¸iile cu electronii; de asemenea se utilizea˘a aproximat¸ia Debye, care implic˘ a o lege de dispersie acustic˘a ¸si o valoare maxim˘ a pentru frecvent¸a de vibrat¸ie (respectiv pentru num˘ arul de und˘a). ˆIn aceste condit¸ii hamiltonianul fononic este dat de formula (13.10) X ˆf = H ˆ0 = H ~ ωq dˆq† dˆq + 12 ˆ1 . f q (q≤qD )
366
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
iii. Cele dou˘a sisteme specificate anterior (electronii ¸si fononii) interact¸ioneaz˘ a, iar hamiltonianul corespunz˘ ator interact¸iei electroni-fononi se aproximeaz˘ a ˆın forma Fr¨ohlich (13.28) Z X ˆ e−f ≈ γ d3 r ψˆσ† (r) ψˆσ (r) ϕ(r) ˆ . H V
σ
Sistemul total (electroni ¸si fononi ˆın interact¸ie) are hamiltonianul dat de formula (13.33): ˆ =H ˆ el + H ˆ f + He−f . H Pentru sistemul total se definesc funct¸ii Green uni-particul˘a cauzale (exacte): i. funct¸ia Green electronic˘ a este definit˘ a prin generalizarea formulei (3.44) hΨ0 | T ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H (r′ , t′ ) |Ψ0 i , Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) ≡ − i hΨ0 |Ψ0 i ii. funct¸ia Green fononic˘ a este definit˘ a prin generalizarea formulei (13.41)
Ψ0 T ϕˆH (r, t) ϕˆH (r′ , t′ ) Ψ0 ′ ′
D(r, t; r , t ) ≡ − i , Ψ 0 Ψ 0 unde Ψ0 este vectorul st˘ arii fundamentale a sistemului electroni-fononi.
(13.61)
(13.62)
A2. Pentru a construi dezvoltarea ˆın serie de perturbat¸ie, se consider˘ a sistemul liber care este asociat sistemului definit anterior, dar ˆın care nu exist˘a interact¸ii; prin urmare, sunt absente atˆat interact¸iile mutuale electronice, cˆ at ¸si interact¸iile electroni-fononi. Pe baza definit¸iei, sistemul liber are urm˘atoarele caracteristici: i. Hamiltonianul este ˆ0 = H ˆ0 + H ˆ0 . H (13.63) el f
Se observ˘ a c˘ a hamiltonianul sistemului liber total este sum˘a de doi hamiltonieni care act¸ioneaz˘ a ˆın sub-spat¸ii Fock diferite, astfel c˘ a se produce decuplarea subsistemului electroni liberi de subsistemul fononi liberi. ii. Starea fundamental˘ a a sistemului liber total este decompozabil˘a ˆın st˘ari fundamentale ale subsistemelor: el f Φ0 = Φ Φ , (13.64) 0 0 unde starea fundamental˘ a a subsistemului electroni liberi este starea Fermi Y el Φ |1k,σ i , = 0 k,σ (k
iar starea fundamental˘ a a sistemului de fononi liberi este starea de vid fononic Y f Φ0 = |0q i . q (q
iii. Funct¸iile Green uni-particul˘ a cauzale se definesc prin adaptarea definit¸iilor generale la cazul sistemului liber; deoarece operatorii de cˆ amp ai subsistemelor act¸ioneaz˘ a numai asupra vectorilor de stare din sub-spat¸iul Fock al subsistemului considerat, rezult˘a c˘ a cele dou˘a funct¸ii Green sunt definite numai cu m˘arimi ale subsistemelor. • Funct¸ia Green electronic˘ a liber˘ a este G0σσ′ (r, t; r′ , t′ )
hΦ0 | T ψˆσH0 (r, t) ψˆσ† ′ H0 (r′ , t′ ) |Φ0 i ≡ −i hΦ0 |Φ0 i el ˆ hΦ0 | T ψσH0 (r, t) ψˆσ† ′ H0 (r′ , t′ ) |Φel 0i , = −i el el hΦ0 |Φ0 i
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
367
adic˘a se reduce la definit¸ia (3.68) ¸si a fost studiat˘a anterior ˆın Subsect¸iunea 3.2.3. Transformata Fourier spat¸io-temporal˘a a funct¸iei Green pentru electronii liberi este dat˘a de formula (3.70) 1 e 0 (k, ω) = G ω − ωk + i η sgn(k − kF ) η→0+
• Funct¸ia Green fononic˘ a liber˘ a este
hΦ0 | T ϕˆH0 (r, t) ϕˆH0 (r′ , t′ ) |Φ0 i D (r, t; r , t ) ≡ − i hΦ0 Φ0 hΦf0 | T ϕˆH0 (r, t) ϕˆH0 (r′ , t′ ) |Φf0 i , = −i hΦf0 |Φf0 i 0
′
′
adic˘a se reduce la definit¸ia (13.51). Transformata Fourier spat¸io-temporal˘a a funct¸iei Green pentru fononii liberi este dat˘a de formula (13.53) ~ ωq2 e 0 (q, ω) = θ(qD − q) D . 2 2 ω − ωq + i η η→0+
A3. Dezvoltarea perturbativ˘a pentru funct¸iile Green ale sistemului electroni-fononi se obt¸ine pe baza urm˘atoarelor rezultate generale: i. Metoda de introducere adiabatic˘a a interact¸iei, care conduce la teorema Gell-Mann ¸si Low, ˆ′ = U ˆ′ + H ˆ e−f ; luˆand ca hamiltonian de interact¸ie H el ii. Teorema Feynman-Dyson, exprimat˘ a prin formula (2.152) pentru seria de perturbat¸ie: ˆH (t) · CˆH (t′ ) |Ψ0 i hΨ0 |T B hΨ0 |Ψ0 i Z Z ∞ ∞ X ′ 1 −i n ∞ ˆ (t1 ) · · · H ˆ ′ (tn ) · B ˆH0 (t) · CˆH0 (t′ ) |Φ0 i dt1 · · · dtn hΦ0 |T H H0 H0 n! ~ −∞ −∞ = n=0 . Z ∞ Z ∞ ∞ X m ′ 1 −i ′ ˆ ˆ dtm hΦ0 |T HH0 (t1 ) · · · HH0 (tm ) |Φ0 i dt1 · · · m! ~ −∞ −∞ m=0 ˆ = ψˆ ¸si Cˆ = ψˆ† Seria de perturbat¸ie pentru funct¸ia Green electronic˘ a se obt¸ine pentru alegerea B (operatori de cˆ amp electronici), iar seria de perturbat¸ie pentru funct¸ia Green fononic˘ a se obt¸ine ˆ = ϕˆ ¸si Cˆ = ϕˆ (operatori de cˆ pentru alegerea B amp fononici). iii. Teorema Wick, exprimat˘ a prin relat¸ia (3.40), ¸si care este valabil˘a independent de natura operatorilor de cˆ amp; consecint¸a important˘ a a acestei teoreme este exprimat˘ a prin relat¸ia (3.41), care reduce media (pe starea fundamental˘ a a sistemului liber, care se comport˘ a ca o stare de vid) a produsului cronologic de operatori ˆın formularea Dirac (formularea Heisenberg liber˘a) la suma tuturor contract¸iilor totale ˆıntre perechile de operatori hΦ0 | T Aˆ1H0 (t1 ) · · · AˆnH0 (tn ) |Φ0 i = C Aˆ1 (t1 ), . . . , Aˆn (tn ) hΦ0 |Φ0 i .
iv. Contract¸iile fundamentale ˆıntre operatorii de cˆ amp electronici (ˆın formularea Dirac) sunt reprezentate prin relat¸iile (3.34) ψˆσH0 (r, t) ψˆσ† ′ H0 (r′ , t′ ) = − ψˆσ† ′ H0 (r′ , t′ ) ψˆσH0 (r, t) = i G0σ′ σ (r′ , t′ ; r, t) ˆ1 , † ψˆσH0 (r, t) ψˆσ′ H0 (r′ , t′ ) = ψˆσH (r, t) ψˆσ† ′ H0 (r′ , t′ ) = ˆ0 ; 0
contract¸ia ˆıntre operatorii de cˆ amp fononici este reprezentat˘ a prin relat¸ia (13.59) ϕH0 (r, t) ϕH0 (r′ , t′ ) = i D0 (r, t; r′ , t′ ) ,
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
368
iar contract¸iile ˆıntre operatorii de cˆ amp electronici ¸si operatorul de cˆ amp fononic sunt nule, deoarece operatorii comut˘a † ψσH0 (r, t) ϕH0 (r′ , t′ ) = ψσH (r, t) ϕH0 (r′ , t′ ) = 0 . 0
v. Teorema Brueckner simplific˘ a seria Feynman-Dyson deoarece termenii nelegat¸i se factorizeaz˘a ¸si simplific˘ a numitorul; ca urmare, seria de perturbat¸ie efectiv˘a este dat˘a numai de suma contract¸iilor care corespund la termeni legat¸i: ˆH (t) · CˆH (t′ ) |Ψ0 i hΨ0 |T B hΨ0 |Ψ0 i Z ∞ ∞ n o X 1 −i nZ ∞ ′ ′ ′ ˆ ˆ ˆ ˆ dt1 · · · dtn C(total) (t ) . (13.65) (t) · C (t ) · B (t ) · · · H H = H n H 1 c 0 0 H0 H0 n! ~ −∞ −∞ n=0 Seriile de perturbat¸ie ale funct¸iilor Green, rezultate prin aplicarea teoremelor specificate anterior au imagini diagramatice, care simplific˘ a ˆın mod considerabil analiza seriei perturbat¸ionale. Deoarece prin efectuarea contract¸iilor rezultate din consecint¸a teoremei Wick (cu restrict¸ia impus˘ a de teorema Brueckner) singurele contract¸ii nenule se reduc la funct¸ii Green libere (electronice ¸si fononice), rezult˘a c˘ a termenii seriilor de perturbat¸ie pentru funct¸iile Green (exacte) cont¸in produse de funct¸ii Green libere ¸si potent¸iale de interact¸ie coulombiene integrate peste coordonatele spat¸io-temporale interne (ˆın plus exist˘a sum˘ari dup˘a spinii electronici interni); atunci diagramele care reprezint˘ a termenii de perturbat¸ie ai funct¸iilor Green cont¸in 3 elemente cu imagine diagramatic˘ a: σ x i. funct¸ia Green electronic˘ a liber˘ a: G0σσ′ (r, t; r′ , t′ ) ≡ G0σσ′ (x, x′ ) −→ ′ σ′ x ii. funct¸ia Green fononic˘ a liber˘ a: D0 (r, t; r′ , t′ ) ≡ D0 (x, x′ )
−→
iii. potent¸ialul de interact¸ie coulombian˘ a: v(r; r′ ) ≡ v(x, x′ ) −→
x x
x′ x′
ˆ ′ (t) = U ˆ ′ (t) + H ˆ e−fH0 (t) are imaginea diagramatic˘ A4. Hamiltonianul de interact¸ie H a H0 elH0 definit˘ a prin p˘ art¸ile de vertex. Anterior, cˆ and s-a dedus expresia hamiltonianului interact¸iei electroni-fononi ˆın aproximat¸ia Fr¨ohlich, exprimat˘ a de formula (13.28), s-a ar˘atat c˘ a interat¸ia e coulombian˘ a este renormat˘a conform aproximat¸iei fazelor aleatoare (RPA): ve(q) → VRPA (0, 0); atunci, este necesar s˘a se fac˘a o tratare consecvent˘ a pentru interact¸ia coulombian˘ a (ceea ce revine la o renormare sistematic˘ a a acestei interact¸ii). Renormarea interact¸iei coulombiene implic˘ a includerea unei clase infinite de diagrame (diagramele inelare) ˆın locul diagramei pentru interact¸ia coulombian˘ a bi-particul˘a ˆın vid; totu¸si, este necesar ca procedeul de renormare s˘a nu cont¸in˘a repet˘ari de termeni. Efectul renorm˘ arii interact¸iei coulombiene pentru cei doi termeni ai hamiltonianului de interact¸ie se vizualizeaz˘ a diagramatic astfel: Z X † ˆ e−fH0 (t) ≈ γ d3 r H ψˆσH0 (r, t) ψˆσH0 (r, t) ϕˆH0 (r, t) σ
V
=
−→
RPA
=
1 ′ ˆelH (t) = U 0 2V
Z
V
−→
RPA
=
+
d3 r
Z
V
d3 r′
X σ,σ′
+
+
+ ...
VRPA (r − r′ , 0) ψˆσ† H0 (r, t) ψˆσ† ′ H0 (r′ , t) ψˆσ′ H0 (r′ , t) ψˆσ H0 (r, t) +
+ ...
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
369
Este important s˘a se remarce faptul c˘ a situat¸ia prezent˘ a cont¸ine dificult˘a¸ti ˆın raport cu cazul cˆ and se considera numai sistemul electronic ˆın modelul “jellium”, deoarece ˆın cazul sistemului electroni-fononi hamiltonianul de interact¸ie cont¸ine 2 termeni ¸si ˆın plus este necesar˘a o renormare a interact¸iei coulombiene (f˘ ar˘ a repetit¸ii de termeni). Din acest motiv este necesar s˘a se efectueze ˆın prealabil aproximat¸ii suplimentare; aproximat¸ia cea mai simpl˘a care ret¸ine elementele esent¸iale ale sistemului este aproximat¸ia Hartree-Fock pentru sistemul electronic (dar se p˘ astreaz˘ a aproximat¸ia Fr¨ohlich bazat˘a pe aproximat¸ia fazelor aleatoare, pentru interact¸ia electroni-fononi). B. Tratarea sistemului electronic ˆın aproximat¸ia Hartree-Fock Conform observat¸iei f˘ acute anterior se redefine¸ste modelul care descrie sistemul electronifononi, prin aplicarea aproximat¸iei Hartree-Fock pentru sistemul electronic. Pentru a evita posibilele ambiguit˘ a¸ti care ar apare la o prezentare succint˘ a, se va relua enunt¸ul modelului cu principalele consecint¸e fundamentale. B1. Sistemul electronic este modificat (fat¸˘a de modelul “jellium”) prin faptul c˘ a interact¸ia coulombian˘ a este tratat˘a ˆın aproximat¸ia Hartree-Fock; aceasta implic˘ a considerarea interact¸iilor coulombiene asupra unui electron din partea restului de electroni (¸si ret¸elei inerte) printr-un efect mediu inclus ˆın self-energie, astfel ˆıncˆ at se definesc st˘ari uni-particul˘a efective care includ efectul mediu al interact¸iei coulombiene. i. St˘arile electronice uni-particul˘a efective sunt caracterizate de impuls ¸si componenta spinului, adic˘a vectorul de stare este de forma |k, σi; ca urmare, funct¸ia de stare (ˆın spat¸iul pozit¸iispin) este ψk,σ (r, s) = uk (r) χσ (s), unde χσ (s) este un spinor Pauli, iar funct¸ia proprie spat¸ial˘a uk (r) este o und˘a plan˘ a, conform relat¸iei (6.18b). Energia unei st˘ari uni-particul˘a efectiv˘a este f∗ (k), unde self-energia Hartree-Fock cont¸ine numai termenul de schimb, deoarece εk = ε0k + ~ M HF termenul interact¸iei directe (care cont¸ine transfer de impuls nul) este anihilat de efectul fondului inert pozitiv; ca urmare, st˘ arile uni-electronice sunt caracterizate de masa efectiv˘a m∗ . ii. Se definesc operatori elementari pe st˘arile uni-particul˘a efective: a ˆk,σ ¸si a ˆ†k,σ . iii. Deoarece efectul aproximat¸iei Hartree-Fock este ˆınlocuirea interact¸iei coulombiene biparticul˘ a cu o interact¸ie medie, rezult˘a c˘ a hamiltonianul sistemului electronic se aproximeaz˘ a cu un hamiltonian de tip uni-particul˘ a: ˆ e = Tˆe + U ˆe′ ≈ H
HF
X
εk a ˆ†k,σ a ˆk,σ .
(13.66)
k,σ
iv. Se define¸ste transformarea canonic˘a de tip particul˘ a-gol pe st˘arile uni-electronice efective: a ˆ k,σ =
(
α ˆ k,σ , † βˆ−k,−σ ,
(k > kF ) , (k < kF ) ;
&
a ˆ†k,σ
=
(
α ˆ †k,σ , βˆ−k,−σ ,
(k > kF ) , (k < kF ) .
Se redefinesc energiile uni-particul˘ a luˆand drept etalon energia Fermi: εk =
(
εF + ε˜k , (k > kF ) , εF − ε˜k , (k < kF )
0 ¸si se elimin˘ a termenul Eel (care este energia fundamental˘ a a sistemului electronic) din hamiltonian, astfel c˘ a se obt¸ine: 0 ˆ ˆ (eff) ≡ H ˆ el − Eel ˆp − N ˆg ) ≈ H 1 − εF (N el
X
k,σ (k>kF )
εek α ˆ †k,σ α ˆk,σ +
X
† (−e εk ) βˆk,σ βˆk,σ ,
(13.67)
k,σ (k
ˆp ) ¸si numere de goluri (N ˆg ) analog cu formula (3.10b), deoarece operatorii numere de particule (N au act¸iuni egale.
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
370
v. Prin efectuarea transform˘ arii canonice se poate face separarea ˆın operatorii de cˆ amp electronici ˆın parte de creare ¸si parte de anihilare, ˆın mod similar cu formulele (3.17) – (3.18): X X X † ψˆσ (r) = uk (r) a ˆ kσ = uk (r) βˆ−k,−σ + uk (r) α ˆ kσ ≡ ψˆσ(−) (r) + ψˆσ(+) (r) , k
ψˆσ† (r) =
X k
k (k
u∗k (r) a ˆ†kσ =
X
k (k>kF )
u∗k (r) βˆ−k,−σ +
k (k
X
u∗k (r) α ˆ †kσ ≡ ψˆσ(−)† (r) + ψˆσ(+)† (r) ;
k (k>kF )
(−)†
atunci, p˘ art¸ile de anihilare, ψˆσ (r) ¸si ψˆσ (r) distrug starea fundamental˘ a a sistemului electronic ˜ el |Φ i = | 0 i, care se comport˘ a ca o stare de vid (fat ¸ a ˘ de operatorii transformat ¸i). el 0 Observat¸ie: prin aproximat¸ia Hartree-Fock se trateaz˘a sistemul electronic ca un sistem fermionic liber; totu¸si, ˆın cadrul acestei aproximat¸ii se pot trata numai st˘arile electronice slab excitate (k ≈ kF ), deoarece numai ˆın aceste condit¸ii aproximat¸ia fazelor aleatoare (RPA) este compatibil˘a cu aproximat¸ia Hartree-Fock. Ca urmare a similitudinii formale cu sistemul fermionic liber, se obt¸ine funct¸ia Green electronic˘ a efectiv˘ a, ca fiind de tipul unei funct¸ii Green fermionice libere: el e i e el | T ψˆ ˆ (eff ) (r, t) ψˆ† (eff ) (r′ , t′ ) |Φ hΦ 0 0 ′H ˆ σHel σ 0 HF ′ ′ el ≡ G0σσ′ (r, t; r′ , t′ ) ; Gσσ′ (r, t; r , t ) = − i e el |Φ e el i hΦ 0 0
ca urmare, transformata Fourier a funct¸iei Green efective are expresia similar˘ a cu formula (3.70) ¸si se reprezint˘ a diagramatic la fel ca ˆın cazul sistemului fermionic discutat ˆın Sect¸iunea 3.3 e 0 ′ (k, ω) = δσσ′ G σσ
1 ω − ~1 εk + i η sgn(k − kF ) η→0+
−→
k
(13.68)
B2. Sistemul fononic liber a fost discutat ˆın Subsect¸iunile 13.1.2 ¸si 13.2.1; ca urmare, se vor recapitula numai rezultatele importante pentru obt¸inerea seriilor de perturbat¸ie. i. St˘arile fononice (libere) reprezint˘ a unde longitudinale ¸si sunt caracterizate prin vectorul de und˘a q; se consider˘ a valabil˘a aproximat¸ia Debye, care implic˘ a o lege de dispersie acustic˘a (ωq = c q) ¸si o limit˘ a superioar˘ a pentru vectorul de und˘a (q ≤ qD ). ii. Se definesc operatorii elementari pe st˘arile fononice dˆq ¸si dˆ†q ; atunci operatorul de cˆ amp fononic este definit prin formula (13.21): r X ~ ωq ˆ iq·r ˆ† −iq·r ϕ(r) ˆ = . dq e + dq e 2V q (q≤qD )
iii. Hamiltonianul sistemului fononic este dat de formula (13.10), ˆın aproximat¸ia Debye: X ˆ0 = ~ ωq dˆq† dˆq + 12 ˆ1 , H q (q≤qD )
(f) iar starea fundamental˘ a este starea de vid fononic: Φ0 = 0f . iv. Funct¸ia Green fononic˘ a (uni-particul˘ a cauzal˘ a) este definit˘ a prin formula (13.51)
Φ0 T ϕˆH0 (r, t) ϕˆH0 (r′ , t′ ) Φ0 0 ′ ′
, D (r, t; r , t ) ≡ − i Φ0 Φ0
iar transformata sa Fourier spat¸io-temporal˘a are expresia dat˘a de formula (13.53) ¸si reprezentarea diagramatic˘ a de tipul celei utilizate anterior e 0 (q, ω) = θ(qD − q) D
~ ωq2 ω 2 − ωq2 + i η
q −→
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
371
B3. Interact¸ia dintre sistemul electronic ¸si sistemul fononic, considerate init¸ial sisteme libere, este descris˘ a de hamiltonianul Fr¨ohlich, care are expresia (13.28) Z X ˆ e−f ≈ γ d3 r H ψˆσ† (r) ψˆσ (r) ϕ(r) ˆ . V
σ
C. Analiza diagramatic˘ a ˆın spat¸iul pozit¸ii-timpi C1. Conform modelului definit anterior sistemul electroni-fononi este aproximat astfel: i. electronii sunt tratat¸i ˆın aproximat¸ia Hertree-Fock, astfel c˘ a ace¸stia se comport˘ a ca fermioni ˆe; nerelativi¸sti liberi pe st˘ ari uni-particul˘a efective, avˆand hamiltonianul H ii. fononii sunt un gaz bosonic ideal cu potent¸ial chimic nul ¸si se utilizeaz˘a aproximat¸ia Debye ˆf ; (lege de dispersie acustic˘ a ¸si limit˘ a superioar˘a pentru vectorul de und˘a) cu hamiltonianul H iii. cele dou˘a subsisteme (electronii ¸si fononii) interact¸ioneaz˘ a conform aproximat¸iei Fr¨ohlich, ˆ e−f . hamiltonianul de interact¸ie fiind H Atunci hamiltonianul sistemului (ˆın aproximat¸iile specificate anterior) este: ˆ =H ˆ0 + H ˆ′ , H ˆ0 = H ˆe + H ˆ f este hamiltonianul celor dou˘a subsisteme considerate f˘ar˘a interact¸ii, iar unde H ′ ˆ ˆ H = He−f este hamiltonianul de interact¸ie electroni-fononi. Conform relat¸iei (13.65), seria de perturbat¸ie efectiv˘a se exprim˘ a ˆın termeni de integrale temporale ale hamiltonianului de interact¸ie, care se scrie ˆın mod condensat prin utilizarea notat¸iei 4-vectoriale, la fel ca ˆın cazul fermionilor la temperatura nul˘a discutat¸i ˆın Subsect¸iunea 3.3.1: Z Z ∞ Z ∞ X † 3 ′ ˆH dt (t) = γ d r dt H ψˆσH0 (r, t) ψˆσH0 (r, t) ϕˆH0 (r, t) 0 −∞
−∞
V
≡γ
Z
d4 x
X
σ
† ψˆσH (x) 0
ψˆσH0 (x) ϕˆH0 (x) .
σ
′ ′ C2. Funct¸ia Green electronic˘a GHF ¸iei, are seria σσ′ (x; x ) ≡ Gσσ′ (x; x ), pentru simplificarea notat de perturbat¸ie obt¸inut˘a prin particularizarea relat¸iei (13.65): h Ψ0 | T ψˆσH (x) ψˆσ† ′ H (x′ ) | Ψ0 i ′ i Gσσ′ (x; x ) = h Ψ0 | Ψ0 i Z Z ∞ ∞ n o X 1 −i n ∞ ˆ ′ (tn ) ψˆσH0 (x) ψˆ† ′ (x′ ) ˆ ′ (t1 ) · · · H H dt1 · · · dtn C(t) = H0 H0 c σ H0 n! ~ −∞ −∞ n=0 Z ∞ n X 1 −i nZ X 4 = γ C(t) ψˆσ† 1 H0 (x1 ) ψˆσ1 H0 (x1 ) ϕˆH0 (x1 ) , d x1 · · · d4 xn c n! ~ σ1 ,...,σn n=0 o × . . . , ψˆσ† n H0 (xn ) ψˆσn H0 (xn ) ϕˆH0 (xn ) , ψˆσH0 (x) ψˆσ† ′ H0 (x′ ) .
Contract¸iile totale ale operatorilor de cˆ amp se pot realiza numai dac˘a exist˘a un num˘ar par de hamiltonieni de interact¸ie; atunci, se redefinesc variabilele interne, astfel ˆıncˆ at s˘a se includ˘ a numai ordinele pare ¸si seria de perturbat¸ie se rescrie ˆın modul urm˘ator: i Gσσ′ (x; x′ ) Z Z Z Z ∞ X X 1 −i 2n 4 γ d x1 d4 x′1 · · · d4 xn d4 x′n = (2n)! ~ ′ n=0 σ1 ,σ1′ ,...,σn ,σn n ψˆσ† 1 H0 (x1 ) ψˆσ1 H0 (x1 ) ϕˆH0 (x1 ) , ψˆσ† ′ H0 (x′1 ) ψˆσ1′ H0 (x′1 ) ϕˆH0 (x′1 ) , . . . , × C(t) c 1
×
ψˆσ† n H0 (xn ) ψˆσn H0 (xn ) ϕˆH0 (xn ) ,
ψˆσ† n′ H0 (x′n ) ψˆσn′ H0 (x′n ) ϕˆH0 (x′n ) ,
o ψˆσH0 (x) ψˆσ† ′ H0 (x′ ) .
Contract¸iile nenule se realizeaz˘ a numai ˆıntre operatori de cˆ amp electronici conjugat¸i ¸si ˆıntre (t) operatoril de cˆ amp fononici; ca urmare, termenul contract¸iilor totale legate Cc . . . se reduce
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
372
la suma de produse cu funct¸ii Green electronice libere ¸si funct¸ii Green fononice libere, iar fiecare produs are ca imagine o diagram˘ a legat˘ a. Deoarece termenul de ordinul n cont¸ine 4n+2 operatori de cˆ amp electronici ¸si 2n operatori de cˆ amp fononici, rezult˘a c˘ a se obt¸in prin contract¸ii 2n + 1 funct¸ii Green electronice ¸si n funct¸ii Green fononice. Termenii de ordin inferior n = 0, 1 se pot calcula ˆın mod direct. i. ˆIn ordinul 0 se obt¸ine funct¸ia Green electronic˘ a liber˘a: o n (0) ψˆσH0 (x) ψˆσ† ′ H0 (x′ ) = ψσH0 (x) ψσ† ′ H0 (x′ ) = i G0σσ′ (x; x′ ) , i Gσσ′ (x; x′ ) = C(t) c care are imaginea diagramatic˘ a
G0σσ′ (x, x′ )
−→
σ
x
σ′
x′
ii. Pentru ordinul 1 se obt¸ine: Z Z X 1 −i 2 4 (1) γ d x1 d4 x′1 i Gσσ′ (x; x′ ) = 2 ~ σ1 ,σ1′ o n † † ′ ˆ ′ ′ ′ ′ ˆ ˆ ˆ ˆ† ˆ (x) ψ (x ) ψ (x ) , ψ (x ) , ψ (x ) ; ψ (x ) ϕ ˆ (x ) ϕ ˆ (x ) ψ × C(t) ′ ′ σH H H σ H σ H 1 1 0 0 1 0 1 1 0 c σ H0 σ1 H0 1 σ H0 1 1 0 1
Contract¸ia total˘ a produce 4 termeni: n o ψˆσ† 1 H0 (x1 ) ψˆσ1 H0 (x1 ) ϕˆH0 (x1 ) , ψˆσ† ′ H0 (x′1 ) ψˆσ1′ H0 (x′1 ) ϕˆH0 (x′1 ) , ψˆσH0 (x) ψˆσ† ′ H0 (x′ ) C(t) c 1
= ψσ† 1 (x1 ) ψσ1 (x1 ) ϕ(x1 ) ψσ† ′ (x′1 ) ψσ1′ (x′1 ) ϕ(x′1 ) ψσ (x) ψσ† ′ (x′ ) 1
+ ψσ† 1 (x1 ) ψσ1 (x1 ) ϕ(x1 ) ψσ† ′ (x′1 ) ψσ1′ (x′1 ) ϕ(x′1 ) ψσ (x) ψσ† ′ (x′ ) 1
+ ψσ† 1 (x1 ) ψσ1 (x1 ) ϕ(x1 ) ψσ† ′ (x′1 ) ψσ1′ (x′1 ) ϕ(x′1 ) ψσ (x) ψσ† ′ (x′ ) 1
+ ψσ† 1 (x1 ) ψσ1 (x1 ) ϕ(x1 ) ψσ† ′ (x′1 ) ψσ1′ (x′1 ) ϕ(x′1 ) ψσ (x) ψσ† ′ (x′ ) 1
= −i G0σσ1 (x; x1 ) i G0σ1 σ′ (x1 ; x′ ) i G0σ1′ σ1′ (x′1 ; x′1 ) i D0 (x1 ; x′1 )
− i G0σσ1′ (x; x′1 ) i G0σ1′ σ′ (x′1 ; x′ ) i G0σ1 σ1 (x1 ; x1 ) i D0 (x1 ; x′1 )
+ i G0σσ1 (x; x1 ) i G0σ1 σ1′ (x1 ; x′1 ) i G0σ1′ σ′ (x′1 ; x′ ) i D0 (x1 ; x′1 ) + i G0σσ1′ (x; x′1 ) i G0σ1′ σ1 (x′1 ; x1 ) i G0σ1 σ′ (x1 ; x′ ) i D0 (x1 ; x′1 ) .
Cˆand se efectueaz˘ a integr˘arile spat¸io-temporale ¸si sum˘arile de spini, se utilizeaz˘a schimb˘ arile de variabile (x1 , σ1 ) ↔ (x′1 , σ1′ ) ˆın al doilea ¸si ˆın al patrulea termen ¸si se obt¸in perechi de termeni egali (primii doi ¸si ultimii doi), deoarece funct¸ia Green fononic˘ a satisface relat¸ia de simetrie: D0 (x1 ; x′1 ) = D0 (x′1 ; x1 ); atunci contribut¸ia de ordinul 1 la funct¸ia Green electronic˘ a are 2 termeni: Z −i 2Z n X (1) i Gσσ′ (x; x′ ) = i G0σσ1 (x; x1 ) i G0σ1 σ1′ (x1 ; x′1 ) i G0σ1′ σ′ (x′1 ; x′ ) i D0 (x1 ; x′1 ) γ d4 x1 d4 x′1 ~ ′ σ1 ,σ1 o − i G0σσ1 (x; x1 ) i G0σ1 σ′ (x1 ; x′ ) i G0σ1′ σ1′ (x′1 ; x′1 ) i D0 (x1 ; x′1 )
¸si este reprezentat˘ a prin urm˘atoarele diagrame: x σ x σ
x1 (1) Gσσ′ (x, x′ )
σ1
−→
+ x′1 x′
x1
σ1
σ1′
σ′
x′
σ′
σ1′
x′1
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
373
Este important s˘a se observe c˘ a diagramele pentru funct¸iile Green electronice (cˆand electronii sunt considerat¸i pe st˘ ari efective ¸si interact¸ioneaz˘ a cu fononii) sunt analoage cu diagramele pentru funct¸iile Green fermionice (cˆand fermionii au interat¸ii binare ¸si independente de spini); regula de corespondent¸˘ a este urm˘atoarea: x
x′
=⇒
x
x′
−i −i −i −i γ 2 0 U(x, x) γ i D0 (x, x) γ= D (x, x) ~ ~ ~ ~ ~ Observat¸ie: interact¸ia coulombian˘ a electronic˘ a a fost inclus˘a ˆın st˘arile uni-particul˘a electronice efective (prin aproximat¸ia Hartree-Fock). Din rezultatele precedente ¸si utilizˆand analogia cu metoda diagramatic˘ a pentru funct¸iile Green fermionice ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a cˆ and formionii au interact¸ii mutuale bi-particul˘a independente de spini, rezult˘a regulile Feynman pentru funct¸iile Green electronice ˆın spat¸iul pozit¸ii-timpi: 1. Topologia unei diagrame de ordinul n este identic˘ a cu topologia diagramei corespondente pentru cazul fermionilor cu interact¸ii mutuale bi-particul˘a ¸si independente de spini; atunci, topologia diagramelor este dat˘a prin urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: – diagrama este legat˘ a (punctele sunt legate prin linii electronice ¸si prin linii fononice), avˆand 2 puncte externe; ( σ′ incident x′ 6 – punctele externe sunt legate de restul diagramei prin linii electronice x σ emergent 6 – exist˘a 2n puncte interne (un punct intern este numit vertex )
xI λµ
(se observ˘ a c˘ a un vertex este intersect¸ia unei linii electronice incidente, unei linii electronice emergente ¸si a unei linii fononice; – exist˘a urm˘atoarele linii: 2n+1 linii electronice (2 linii externe ¸si 2n−1 linii interne), n linii fononice (interne); – structura general˘ a topologic˘a a diagramei este ilustrat˘a ˆın figura urm˘atoare: x σ unde partea intern˘a, numit˘a insert¸ie de self-energie este legat˘ a de liniile externe prin 2 puncte ¸si cont¸ine ˆın interior: x1 λ1 – 1 linie electronic˘ a principal˘a (x → x′ ) – ramificat¸ii cu linii fononice ¸si bucle legate de linia principal˘a prin linii fononice; x′n µ′n deoarece funct¸ia Green fononic˘ a se anuleaz˘a la limita impulsului nul, rezult˘a c˘ a sunt absente liniile fononice care cont¸in la un x′ σ′ cap˘ at o linie electronic˘ a ˆınchis˘ a. 2. Elementele unei diagrame sunt: x – linie electronic˘ a = funct¸ie Green electronic˘ a liber˘a x′ – linie fononic˘ a = funct¸ie Green fononic˘ a liber˘a x
– vertex = constanta de cuplaj electron-fonon I
σ
= G0σσ′ (x, x′ )
6 σ′
0 ′ x′ = D (x, x )
=γ
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
374
(n,j)
3. Ca rezultat al corespondent¸ei analitice se obt¸ine expresia diagramei Eσσ′ (x, x′ |x, λµ).
Expresia analitic˘a a diagramei se integreaz˘a dup˘a coordonatele spat¸io-temporale ale vertexurilor ¸si se sumeaz˘a peste indicii de spini interni; adic˘a se efectueaz˘a urm˘atoarele operat¸ii: – integr˘arile peste coordonatele interne (sunt 2n integrale 4-dimensionale) Z Z Z spat¸io-temporale Z Z d4 x1
d4 x′1 · · ·
d4 xn
d4 x′n · · · ≡
d8n x · · · X X X ···. ··· – sum˘arile peste indicii de spin interni (sunt 4n sume): ··· ≡ σ1 ,σ1′
′ σn ,σn
(λ,µ)
4. Factorul diagramei se calculeaz˘a astfel: • din expresia seriei de perturbat¸ie se observ˘a factorul comun integralelor ¸si sumelor de 1 −i 2n (n) ; spini este f0 = (2n)! ~ ′ ˆ (tj ) produc • ˆın seria de perturbat¸ie permut˘arile ˆıntre hamiltonienii de interact¸ie H H0
termeni egali, iar num˘ arul acestor termeni egali este
(n) fp
j
= (2n)! ;
• fiecare linie electronic˘ a ¸si fononic˘ a are un factor imaginar i, astfel ˆıncˆ at factorul total (n) este fi = i3n+1 = (−1)n in+1 ; • funct¸ia Green (eletronic˘ a sau fononic˘ a) este definit˘ a cu un factor imaginar i, astfel ˆıncˆ at punˆand ˆın corespondent¸˘a diagrama cu funct¸ia Green, trebuie eliminat acest 1 (n) factor, adic˘a apare factorul fM = ; i • la fel ca ˆın cazul fermionilor cu interact¸ii bi-particul˘a, fiecare bucl˘ a ˆınchis˘ a format˘a cu linii electronice introduce un factor de semn, datorit˘a invers˘arii contract¸iilor ˆıntre operatorii de cˆ amp electronici, astfel ˆıncˆ at factorul total al diagramei cu L bucle elec(n) tronice ˆınchise este fL = (−1)L . Pe baza argumentelor anterioare rezult˘a factorul efectiv al unei diagrame de ordinul n cu L bucle fermionice ˆınchise: i 2n (n) (n) (n) (n) (n) (−1)L . fj = f0 · fp(n) · fi · fM · fL = ~ 5. Termenul perturbat¸ional de ordinul n al funct¸iei Green electronic˘ a se obt¸ine prin sumarea tuturor contribut¸iilor de la diagramele topologic distincte: X(n) (n)Z X (n,j) (n) fj Eσσ′ (x, x′ |x, λµ) . Gσσ′ (x, x′ ) = d8n x j
(λ,µ)
Regulile Feynman precedente se pot simplifica pe baza faptului c˘ a funct¸ia Green electronic˘ a liber˘a este diagonal˘ a ˆın indicii de spin: G0σσ′ (x, x′ ) = δσ,σ′ G0 (x, x′ ); atunci se pot efectua ˆın mod banal a sum˘arile dup˘a indicii de spini interni ¸si rezultatul este un factor global δσ,σ′ , iar fiecare bucl˘ electronic˘ a ˆınchis˘ a introduce un factor multiplicativ suplimentar de spin (2s + 1) = 2. Atunci, rezultatul sum˘arilor peste indicii de spini interni este X (n,j) Gσσ′ (x, x′ |x, λµ) ∼ δσ,σ′ 2Lj . (λ,µ)
Conform observat¸iei precedente se pot redefini Regulile Feynman pentru funct¸ia Green electronic˘a astfel: 1. Regulile topologice r˘amˆ an nemodificate, dar nu se mai noteaz˘ a indicii de spini electronici. 2. Regulile de corespondent¸˘ a analitic˘a pentru elementele diagramei devin: x = G0 (x, x′ ) – linie electronic˘ a = funct¸ie Green electronic˘ a liber˘a 6 x′
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
– linie fononic˘ a = funct¸ie Green fononic˘ a liber˘a
– vertex = constanta de cuplaj electron-fonon
375
0 ′ x′ = D (x, x )
x
I
=γ
3. Ca rezultat al corespondent¸ei analitice se obt¸ine expresia diagramei E (n,j) (x, x′ |x) ¸si aceast˘a expresie analitic˘a a diagramei se integreaz˘a dup˘a coordonatele spat¸io-temporale ale vertexurilor Z Z Z Z Z 4 4 ′ 4 4 ′ d x1 d x1 · · · d xn d xn · · · ≡ d8n x · · · (n)
4. Factorul diagramei este fj
=
i 2n ~
Lj −1 n = (−1)(2s + 1) (−2)Lj . ~2
5. Termenul perturbat¸ional de ordinul n al funct¸iei Green electronice se obt¸ine prin sumarea tuturor contribut¸iilor de la diagramele topologic distincte: X(n) (n)Z (n) fj Gσσ′ (x, x′ ) = δσ,σ′ d8n x E (n,j) (x, x′ |x) j
= δσ,σ′
X(n) j
Z
(n) fj
4
Z
d x1
d4 x′1
Z
Z
. . . d xn d4 x′n E (n,j) (x, x′ |x1 , x′1 ; . . . ; xn , x′n ) . 4
C3. Funct¸ia Green fononic˘a se obt¸ine, de asemenea, prin particularizarea relat¸iei (13.65): h Ψ0 | T ϕˆH (x) ϕˆH (x′ ) | Ψ0 i ′ i D(x; x ) = h Ψ0 | Ψ0 i Z Z ∞ ∞ n o X 1 −i n ∞ ′ ′ ′ ˆH ˆH dt1 · · · dtn C(t) (x ) (x) ϕ ˆ (t ) ϕ ˆ (t ) · · · H H = H n H 1 c 0 0 0 0 n! ~ −∞ −∞ n=0 Z Z ∞ n X X 1 −i n 4 ψˆσ† 1 H0 (x1 ) ψˆσ1 H0 (x1 ) ϕˆH0 (x1 ) , γ = C(t) d x1 · · · d4 xn c n! ~ σ1 ,...,σn n=0 o † × . . . , ψˆσn H0 (xn ) ψˆσn H0 (xn ) ϕˆH0 (xn ) , ϕˆH0 (x) ϕˆH0 (x′ ) .
Contract¸iile totale ale operatorilor de cˆ amp se pot realiza numai dac˘a exist˘a un num˘ar par de hamiltonieni de interact¸ie; atunci, se redefinesc variabilele interne, astfel ˆıncˆ at s˘a se includ˘ a numai ordinele pare ¸si seria de perturbat¸ie se rescrie ˆın modul urm˘ator: i D(x; x′ ) ∞ X =
Z Z Z Z X 1 −i 2n 4 4 ′ 4 γ d x1 d x1 · · · d xn d4 x′n (2n)! ~ ′ n=0 σ1 ,σ1′ ,...,σn ,σn n ψˆσ† 1 H0 (x1 ) ψˆσ1 H0 (x1 ) ϕˆH0 (x1 ) , ψˆσ† ′ H0 (x′1 ) ψˆσ1′ H0 (x′1 ) ϕˆH0 (x′1 ) , . . . , × C(t) c 1
o × ψˆσ† n H0 (xn ) ψˆσn H0 (xn ) ϕˆH0 (xn ) , ψˆσ† n′ H0 (x′n ) ψˆσn′ H0 (x′n ) ϕˆH0 (x′n ) , ϕˆH0 (x) ϕˆH0 (x′ ) .
La fel ca ˆın cazul seriei de perturbat¸ie pentru funct¸ia Green electronic˘ a, ˆın cazul prezent contrac¸tiile nenule se realizeaz˘ a numai ˆıntre operatori de cˆ amp electronici conjugat¸i ¸si ˆıntre operatoril (t) de cˆ amp fononici; ca urmare, termenul contract¸iilor totale legate Cc . . . se reduce la suma de produse cu funct¸ii Green electronice libere ¸si funct¸ii Green fononice libere, iar fiecare produs are ca imagine o diagram˘ a legat˘ a. Deoarece termenul de ordinul n cont¸ine 4n operatori de cˆ amp electronici ¸si 2n + 2 operatori de cˆ amp fononici, rezult˘a c˘ a se obt¸in prin contract¸ii 2n funct¸ii Green electronice ¸si n + 1 funct¸ii Green fononice.
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
376
Termenii de ordin inferior n = 0, 1 se pot calcula ˆın mod direct. i. ˆIn ordinul 0 se obt¸ine funct¸ia Green fononic˘ a liber˘a: † ′ (0) ′ (t) i D (x; x ) = Cc ϕˆH0 (x) ϕˆH0 (x ) = ϕH0 (x) ϕH0 (x′ ) = i D0 (x; x′ ) ,
care are imaginea diagramatic˘ a D0 (x, x′ ) −→ x x′ ii. Pentru ordinul 1 se obt¸ine: Z Z X 1 −i 2 4 γ d x1 d4 x′1 i D(1) (x; x′ ) = 2 ~ σ1 ,σ1′ n o ψˆσ† 1 H0 (x1 ) ψˆσ1 H0 (x1 ) ϕˆH0 (x1 ) , ψˆσ† ′ H0 (x′1 ) ψˆσ1′ H0 (x′1 ) ϕˆH0 (x′1 ) , ϕˆH0 (x) ϕˆH0 (x′ ) ; × C(t) c 1
Contract¸ia total˘ a produce 2 termeni legat¸i: n C(t) ψˆ† (x ) ψˆσ H (x ) ϕˆH (x ) , ψˆ† ′ c
σ1 H0
1
1
0
1
1
0
′ ˆ ′ ′ ˆH0 (x′1 ) σ1 H0 (x1 ) ψσ1 H0 (x1 ) ϕ
= ψσ† 1 (x1 ) ψσ1 (x1 ) ϕ(x1 ) ψσ† ′ (x′1 ) ψσ1′ (x′1 ) ϕ(x′1 ) ϕ(x) ϕ(x′ )
o , ϕˆH0 (x) ϕˆH0 (x′ )
1
+ ψσ† 1 (x1 ) ψσ1 (x1 ) ϕ(x1 ) ψσ† ′ (x′1 ) ψσ1′ (x′1 ) ϕ(x′1 ) ϕ(x) ϕ(x′ ) 1
=
− i G0σ1 σ1′ (x1 ; x′1 )
i G0σ1′ σ1 (x′1 ; x1 )
i D0 (x; x1 ) i D0 (x′1 ; x′ )
− i G0σ1 σ1′ (x1 ; x′1 ) i G0σ1′ σ1 (x′1 ; x1 ) i D0 (x; x′1 ) i D0 (x1 ; x′ ) .
Se efectueaz˘ a integr˘arile spat¸io-temporale ¸si sum˘arile de spini, iar apoi se fac schimb˘ arile de variabile (x1 , σ1 ) ↔ (x′1 , σ1′ ) ¸si se obt¸ine c˘ a cei doi termeni sunt egali, deoarece funct¸ia Green fononic˘ a satisface relat¸ia de simetrie: D0 (x1 ; x′1 ) = D0 (x′1 ; x1 ); atunci contribut¸ia de ordinul 1 la funct¸ia Green electronic˘ a are 1 termen: Z −i 2Z X i D(1) = γ (−1) i G0σ1 σ1′ (x1 ; x′1 ) i G0σ1′ σ1 (x′1 ; x1 ) i D0 (x; x1 ) i D0 (x′1 ; x′ ) d4 x1 d4 x′1 ~ ′ σ1 ,σ1
¸si este reprezentat˘ a prin urm˘atoarea diagram˘ a: D(1) (x, x′ ) −→
x
σ1
x1
σ1′ x′1
x′
Din rezultatele precedente ¸si utilizˆand analogia cu regulile diagramatice pentru funct¸iile Green electronice, rezult˘a regulile Feynman pentru funct¸iile Green fononice ˆın spat¸iul pozit¸ii-timpi: 1. Topologia unei diagrame de ordinul n este caracterizat˘ a prin urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: – diagrama este legat˘ a (puncte sunt legate prin linii fononice ¸si prin linii electronice), avˆand 2 puncte externe; ( x incident – punctele externe sunt legate de restul diagramei prin linii fononice x′ emergent – exist˘a 2n puncte interne (numite vertexuri)
I x λµ
(se observ˘ a c˘ a un vertex este intersect¸ia unei linii electronice incidente, unei linii electronice emergente ¸si a unei linii fononice, la fel ca la diagramele pentru funct¸iile Green electronice); – exist˘a urm˘atoarele linii: n + 1 linii fononice (2 linii externe ¸si n − 1 linii interne), 2n linii electronice (interne); – structura general˘ a topologic˘a a diagramei este ilustrat˘a ˆın figura urm˘atoare: unde partea intern˘a, este de tipul unei insert¸ii de polarizare electronic˘ a ¸si este legat˘ a de liniile externe fononice prin 2 puncte; deoarece funct¸ia Green fononic˘ a se anuleaz˘a ′ σn σ1 la limita impulsului nul, rezult˘ a c˘ a sunt absente liniile fox x′ x′n x1 nonice care cont¸in la un cap˘at o linie electronic˘ a ˆınchis˘ a.
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
377
2. Elementele unei diagrame sunt identice cu cele utilizate pentru funct¸iile Green electronice: x – linie electronic˘ a = funct¸ie Green electronic˘ a liber˘a x′
σ
= G0σσ′ (x, x′ )
6 σ′
0 ′ x′ = D (x, x )
– linie fononic˘ a = funct¸ie Green fononic˘ a liber˘a x
– vertex = constanta de cuplaj electron-fonon I
=γ
3. Ca rezultat al corespondent¸ei analitice se obt¸ine expresia diagramei F (n,j) (x, x′ |x, λµ).
Expresia analitic˘a a diagramei se integreaz˘a dup˘a coordonatele spat¸io-temporale ale vertexurilor ¸si se sumeaz˘a peste indicii de spini interni; adic˘a se efectueaz˘a urm˘atoarele operat¸ii: – integr˘arile peste coordonatele interne (sunt 2n integrale 4-dimensionale) Z Z Z spat¸io-temporale Z Z d4 x′1 · · ·
d4 x1
d4 xn
d4 x′n · · · ≡
d8n x · · · X X X ···. ··· – sum˘arile peste indicii de spin interni (sunt 4n sume): ··· ≡ σ1 ,σ1′
′ σn ,σn
(λ,µ)
4. Factorul diagramei se calculeaz˘a la fel ca pentru funct¸iile Green electronice, astfel c˘ a factorul efectiv al unei diagrame de ordinul n cu L bucle fermionice ˆınchise este: (n)
fj
(n)
= f0
(n)
· ·fi
(n)
(n)
· fM · fp(n) · fL
=
i 2n ~
(−1)L .
5. Termenul perturbat¸ional de ordinul n al funct¸iei Green fononic˘ a se obt¸ine prin sumarea tuturor contribut¸iilor de la diagramele topologic distincte: X(n) (n)Z X F (n,j) (x, x′ |x, λµ) . fj D(n) (x, x′ ) = d8n x j
(λ,µ)
Din motive identice cu cele prezentate pentru funct¸iile Green electronice, este convenabil s˘a se efectueze ˆın prealabil sum˘arile dup˘a indicii de spini electronici ¸si s˘a se extrag˘a factorii imaginari din regulile de corespondent¸˘ a analitic˘a a elementelor de diagrame; ca urmare, rezult˘a regulile Feynman simplificate (pentru funct¸ia Green fononic˘ a): 1. Regulile topologice r˘amˆ an nemodificate, dar nu se mai noteaz˘ a indicii de spini electronici. 2. Regulile de corespondent¸˘ a analitic˘a pentru elementele diagramei se simplific˘ a, deoarece liniile electronice nu mai cont¸in indicii de spin (la fel ca ˆın cazul electronic): x – linie electronic˘ a = funct¸ie Green electronic˘ a liber˘a x′
– linie fononic˘ a = funct¸ie Green fononic˘ a liber˘a x
– vertex = constanta de cuplaj electron-fonon I
= G0 (x, x′ )
6
0 ′ x′ = D (x, x )
=γ
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
378
3. Ca rezultat al corespondent¸ei analitice se obt¸ine expresia diagramei F (n,j) (x, x′ |x) ¸si aceast˘a expresie analitic˘a a diagramei se integreaz˘a dup˘a coordonatele spat¸io-temporale ale vertexurilor Z Z Z Z Z d4 x1 d4 x′1 · · · d4 xn d4 x′n · · · ≡ d8n x · · · (n)
4. Factorul diagramei este fj
=
i 2n ~
Lj −1 n Lj = (−1)(2s + 1) . −2 2 ~
5. Termenul perturbat¸ional de ordinul n al funct¸iei Green fononice se obt¸ine prin sumarea tuturor contribut¸iilor de la diagramele topologic distincte: X(n) (n)Z (n) ′ fj D (x, x ) = d8n x D(n,j) (x, x′ |x) j
=
X(n) j
Z
(n) fj
Z
4
d x1
d4 x′1
Z
Z
. . . d xn d4 x′n F (n,j) (x, x′ |x1 , x′1 ; . . . ; xn , x′n ) . 4
D. Analiza diagramatic˘ a ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a Modelul formulat anterior pentru sistemul electroni-fononi implic˘a faptul c˘ a acest sistem este conservativ ¸si omogen; ca urmare, funct¸iile Green electronic˘ a ¸si fononic˘ a au transformate Fourier spat¸io-temporale simple: Z ′ d4 e σ,σ′ (k) , eik·(x−x) G Gσ,σ′ (x, x′ ) = 4 (2π) 4 R Z ′ d4 e D(x, x′ ) = eiq·(x−x) D(q) . 4 (2π) 4 R
Transformarea Fourier are urm˘atoarele propriet˘ a¸ti importante pentru seriile de perturbat¸ie ale funct¸iilor Green: i. se conserv˘ a produsele de convolut¸ie, astfel c˘ a diagramele pentru termenii perturbat¸ionali ai funct¸iilor Green au aceea¸si topologie ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a ca ¸si ˆın spat¸iul pozit¸ii-timpi; ii. se conserv˘ a 4-impulsul ˆın fiecare vertex, conform imaginii diagramatice din figura 13.1.
k+q q
k
Figura 13.1: Conservarea 4-impulsului ˆın vertex. Pe baza observat¸iilor anterioare ¸si luˆand ˆın considerare similitudinea cu cazul fermionilor care au interact¸ii binare, se formuleaz˘ a Regulile Feynman ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a pentru funct¸iile Green electronic˘ a ¸si fononic˘ a: 1. Topologiile diagramelor sunt identice cu cele ale diagramelor corespondente din spat¸iul pozit¸ii-timpi (care au fost prezentate ˆın mod detaliat anterior); ca urmare o diagram˘ a de ordinul n este legat˘ a, are 2n vertexuri ¸si 3n + 1 linii: • pentru diagrama funct¸iei Green electronic˘ a sunt 2 linii electronice externe, 2n − 1 linii electronice interne ¸si n linii fononice (interne); • pentru diagrama funct¸iei Green fononic˘ a sunt 2 linii fononice externe, n − 1 linii fononice interne ¸si 2n linii electronice (interne).
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
379
Atunci structura topologic˘a general˘a a diagramelor pentru funct¸ia Green electronic˘ a este: k e G(k) =
k k
unde partea intern˘a a diagramei este o insert¸ie de self-energie; pentru funct¸ia Green fononic˘ a structura topologic˘a general˘a a diagramelor este q e q q D(q) =
unde partea intern˘a a diagramei este o insert¸ie de polarizare.
2. Corespondent¸a analitic˘a a elementelor grafice ale diagramelor este urm˘atoarea: σ
• linia electronic˘ a
• linia fononic˘ a
• vertexul
k 6 σ′
e 0 ′ (k) =G σσ
q
I
e 0 (q) =D =γ
3. Se atribuie un 4-impuls orientat pe toate liniile electronice ¸si fononice, astfel ˆıncˆ at s˘a fie satisf˘acute legile de conservare a 4-impulsurilor ˆın fiecare vertex. Observat¸ie: 4-impulsurile externe (incident ¸si emergent) sunt egale: pin = pout ≡ p ¸si qin = qout ≡ q (argumentarea este identic˘ a cu cea prezentat˘ a ˆın Subsect¸iunea 3.3.2 pentru fermionii cu interact¸ii mutuale binare). 4. Se efectueaz˘ a integr˘ari pentru toate 4-impulsurile interne independente (num˘arul de 4impulsuri interne independente este Nk = (3n + 1) − 2n − 1 = n) ¸si sum˘ari dup˘a indicii de spini electronici interni (num˘ arul de sum˘ari ˆın raport cu indicii de spini este Ns = 2n). 5. Factorul diagramei este acela¸si ca ˆın cazul diagramelor din spat¸iul pozit¸ii-timp: i 2n (n) (−1)Lj , fj = ~ unde Lj este num˘ arul de bucle electronice ˆınchise.
6. Termenii perturbat¸ionali de ordinul n al funct¸iei Green electronice ¸si al funct¸iei Green fononice se obt¸in prin sumarea tuturor contribut¸iilor de la diagramele topologic distincte: X(n) (n)Z X G(n) (k) = E (n,j) (k|p, λµ) , fj d8n p j
D(n) (q) =
X(n) j
Z
(n)
fj
(λ,µ)
d8n p
X
(λ,µ)
F (n,j) (q|p, λµ) .
7. Deoarece funct¸ia Green fononic˘ a liber˘a se anuleaz˘a la limita vectorului de und˘a nul: e 0 (q, ω) −→ 0 , D q→0
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
380
rezult˘a c˘ a ˆın seriile de perturbat¸ie ale funct¸iilor Green nu apar termenii care corespund la diagrame cu linii fononice ce au impuls nul; acest tip de diagrame, care trebuie s˘a fie neglijate, au sub-unit˘a¸ti legate de restul diagramei numai printr-o linie fononic˘ a (terminologia ˆın limba englez˘ a este tadpole diagrams, care s-ar traduce prin “diagrame mormoloc”). ˆIn figura al˘ aturat˘ a este reprezentat˘ a schematic o diagram˘ a tadpole.
k k
q=0
ˆIn mod similar cu situat¸ia pentru diagramele din spat¸iul pozit¸ii-timp, este convenabil s˘a se utilizeze regulile Feynmann simplificate, obt¸inute prin efectuarea sum˘arilor peste indicii de spini electronici. Ca urmare, regulile Feynman simplificate pentru funct¸iile Green electronic˘ a ¸si fononic˘ a, ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a sunt urm˘atoarele: 1. Topologia diagramelor este identic˘ a cu cea din spat¸iul pozit¸ii-timpi; se exclud ˆın mod sistematic diagramele tadpole. 2. Regulile de corespondent¸˘ a analitic˘a pentru elementele grafice ale diagramelor sunt simplificate prin faptul c˘ a nu se mai noteaz˘ a spinii electronici, astfel c˘ a linia electronic˘ a reprezint˘ a partea scalar˘ a a funct¸iei Green eletronice: i. linia electronic˘ a
6k
q
ii. linia fononic˘ a
I
iii. vertexul
e 0 (k) =G e 0 (q) =D =γ
3. Se atribuie un 4-impuls orientat pe toate liniile electronice ¸si fononice, astfel ˆıncˆ at s˘a fie satisf˘acute legile de conservare a 4-impulsurilor ˆın fiecare vertex; 4-impulsurile externe (incident ¸si emergent) sunt egale. 4. Se efectueaz˘ a integr˘ari pentru toate 4-impulsurile interne independente (sunt n integrale 4-dimensionale). 5. Factorul diagramei este acela¸si ca ˆın cazul diagramelor din spat¸iul pozit¸ii-timp: i 2n Lj −1 n (n) fj = = (−1)(2s + 1) (−2)Lj , ~ ~ unde Lj este num˘ arul de bucle electronice ˆınchise. 6. Termenii perturbat¸ionali de ordinul n al funct¸iei Green electronice ¸si al funct¸iei Green fononice se obt¸in prin sumarea tuturor contribut¸iilor de la diagramele topologic distincte. Termenii perturbat¸ionali de ordine inferioare (n ≤ 2) au urm˘atoarele reprezent˘ ari diagramatice (pentru ordinele n = 0 ¸si n = 1 se prezint˘ a, de asemenea, expresiile analitice). e G
(funct¸ia Green electronic˘a): e (0) (k) = G
k
e 0 (k) . =G k
e (1) (k) = k − q G
q k
e 0 (k) · =G
γ2 ~2
Z
d4 q e0 e 0 (q) · G e0 (k) . G (k − q) D 4 (2π) 4 R
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
381
Se observ˘ a c˘ a a fost omis˘ a diagrama tadpole de ordinul 1 (pentru funct¸ia Green electronic˘ a): k
q=0
k′
k ˆIn ordinul 2 funct¸ia Green electronic˘ a este reprezentat˘ a prin urm˘atoarele 4 diagrame (se omite prezentarea expresiilor analitice corespondente):
e (2) (k) = G
+
+
+
ˆın acest caz au fost omise cele 6 diagrame tadpole de ordinul 2 (pentru funct¸ia Green electronic˘ a):
;
;
;
;
e D
(funct¸ia Green fononic˘a): q e 0 (q) . e (0) (q) = =D D e (1) (q) = D
q
k
q
2
e 0 (q) · (−1) (2s + 1) γ =D ~2
Z
d4 k e 0 e0 (k − q) · D e 0 (q) ; G (k) G 4 R4 (2π)
k−q ˆın acest caz nu exist˘a diagrame tadpole de ordinul 1 (corespunz˘atoare funct¸iei Green fononice). ˆIn ordinul 2 funct¸ia Green fononic˘ a este reprezentat˘ a prin urm˘atoarele 4 diagrame (se omite prezentarea expresiilor analitice corespondente, la fel ca ˆın cazul electronic): e (2) (q) = D
+ +
+
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
382
ˆın acest caz au fost omise cele 2 diagrame tadpole de ordinul 2 (pentru funct¸ia Green fononic˘ a):
;
.
Se observ˘ a c˘ a excluderea diagramelor tadpole este analoag˘a cu situat¸ia din modelul “jellium” pentru interact¸ia mutual˘a coulombian˘ a dintre electroni. Interact¸ia inter-electronic˘ a echivalent˘ a interact¸iei electroni-fononi Regulile Feynman pentru funct¸iile Green ale sistemului de electroni (ˆın aproximat¸ia HartreeFock relativ la interact¸ia electronic˘ a coulombian˘ a) ¸si fononi arat˘a c˘ a: – diagramele pentru funct¸ia Green electronic˘ a sunt topologic identice cu diagramele pentru funct¸ia Green a unui sistem de fermioni cu interact¸ii bi-particul˘a ¸si independente de spini; – diagramele pentru funct¸ia Green fononic˘ a sunt topologic identice cu diagramele pentru interact¸ia efectiv˘ a a aceluia¸si sistem de fermioni cu interact¸ii bi-particul˘a ¸si independente de spini. Pe baza acestei analogii, rezult˘a c˘ a exist˘a o interact¸ie ˆıntre electroni prin schimb de fononi, iar aceast˘a interact¸ie este echivalent˘ a cu o interact¸ie mutual˘a ˆıntre electroni, care este de tip biparticul˘ a ¸si este independent˘ a de spini. ˆIn termeni diagramatici, aceast˘a echivalent¸˘a se reprezint˘ a prin diagramele urm˘atoare:
−i γ ~
e 0 (q) iD
−i γ ~
e U(q)
⇐⇒
Interact¸ie ˆıntre 2 electroni prin schimbul unui fonon
Interact¸ie ˆıntre 2 electroni prin potent¸ial echivalent
Potent¸ialul inter-electronic echivalent schimbului de fonon (numit potent¸ialul Fr¨ ohlich) se obt¸ine prin utilizarea regulilor de corespondent¸˘a analitic˘a a elementelor de diagrame: −i −i e e 0 (q) −i γ U(q) = γ iD ~ ~ ~
=⇒
γ2 e 0 D (q) . Ue(q) = ~
(13.69)
Observat¸ii: i. Prin utilizarea formulei (13.53) pentru funct¸ia Green fononic˘ a (ˆın aproximat¸ia Debye), se obt¸ine expresia explicit˘ a a potent¸ialului Fr¨ohlich: e Ω) = γ 2 U(q,
ωq2 θ(qD − q) , Ω2 − ωq2 + i η
(13.70)
unde ωq = c q (conform aproximat¸iei Debye). Se observ˘a c˘ a potent¸ialul Fr¨ohlich este dependent de frecvent¸˘ a (Ω), ceea ce implic˘ a o interat¸ie nestatic˘ a, spre deosebire de potent¸ialul coulombian inter-electronic. ii. La limita static˘a potent¸ialul Fr¨ohlich devine: e Ω) ≈ γ 2 U(q, Ω→0
ωq2 θ(qD − q) = −γ 2 θ(qD − q) . −ωq2 + i η
Se consider˘ a c˘ a potent¸ialul Fr¨ohlich la limita frecvent¸ei nule este transformata Fourier potent¸ialului de interact¸ie echivalent˘ a; atunci, efectuˆand transformarea Fourier, se obt¸ine Z Z d3 q −iq·r d3 q −iq·r e e U(q, 0) = e (−γ 2 ) θ(qD − q) . veq (r) = 3 3 (2π) (2π) 3 3 R R
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
383
Vectorul de und˘a Debye este comparabil cu vectorul de und˘a Fermi (qD ≈ kF ) ¸si pentru st˘ari slab excitate se poate considera c˘ a qD este suficient de mare ca s˘a fie valabil˘a aproximat¸ia qD ≈ ∞, e 0) ≈ −γ 2 pentru toate valorile vectorului de und˘a q. Atunci, integrala ceea ce implic˘ a U(q, produce funct¸ia Dirac ¸si potent¸ialul interact¸iei echivalente este Z d3 q −iq·r e = −γ 2 δ 3 (r) , (13.71) veq (r) ≈ −γ 2 3 (2π) 3 R adic˘a potent¸ialul echivalent reprezint˘ a o interact¸ie atractiv˘ a punctual˘ a. iii. Caracterul interact¸iei dintre electroni prin schimb de fononi rezult˘a din expresia (13.70) a potent¸ialului Fr¨ohlich; se observ˘ a c˘ a m˘arimea transferului de energie ˆıntre electroni (prin intermediul fononului) ε = ~ Ω determin˘a semnul potent¸ialului Fr¨ohlich, adic˘a tipul de interact¸ie; e Ω) > 0, – pentru un transfer de energie mare: ~ Ω > ~ ωq potent¸ialul Fr¨ohlich este pozitiv U(q, ceea ce implic˘ a o interact¸ie repulsiv˘a; e Ω) < 0, – pentru un transfer de energie mic: ~ Ω < ~ ωq potent¸ialul Fr¨ohlich este negativ U(q, ceea ce implic˘ a o interact¸ie atractiv˘a. Conform observat¸iei precedente, rezult˘a c˘ a interact¸ia dintre electroni prin schimb de fononi este repulsiv˘ a dac˘ a este satisf˘acut˘ a condit¸ia: Ω > ωD . Pe de alt˘ a parte, starea fundamental˘ a a sistemului electronic, neglijˆand atˆat interact¸iile mutuale coulombiene dintre electroni, cˆ at ¸si εF interact¸iile electroni-fononi, este starea Fermi. Atunci, considerˆ and c˘ a electronii se afl˘a ˆın starea fundamental˘ a, e Ω) reprezint˘ rezult˘a c˘ a potent¸ialul Fr¨ohlich U(q, a o interact¸ie atrac-. tiv˘a numai pentru electronii din p˘ atura de grosime ~ ωD din vecin˘ atatea suprafet¸ei Fermi; adic˘ a , numai electronii care au energia ~ωD εk ∈ εF − 12 ~ ωD , εF + 12 ~ ωD pot excita st˘ari electronice libere, cu transfer de energie ∆ε < ~ωD . Ca urmare, interact¸ia echivalent˘ a (corespunz˘atoare schimbului de fononi) este atractiv˘ a ˆıntre perechi de electroni excitat¸i pe st˘ ari aflate ˆın p˘ atura de grosime ~ ωD din vecin˘atatea suprafet¸ei Fermi; situat¸ia este ilustrat˘a ˆın figura al˘aturat˘ a. E. Ecuat¸ii Dyson ¸si metoda de renormare E1. Funct¸ia vertex Partea vertex este partea de diagram˘ a legat˘ a de restul diagramei prin 2 linii electronice ¸si 1 linie fononic˘ a; exemple de p˘ art¸i vertex sunt date de diagramele urm˘atoare: 3
2
2
2
a 3
=
a
4
3 1
2
a &
5
b
8
d
7
9
a
4
=
5
1 1 c
6
Conform definit¸iei partea vertex are structura topologic˘a de tipul: – – – –
7 b c
1
d 8
3
9
6 , adic˘a
o linie electronic˘ a incident˘ a, o linie electronic˘ a emergent˘ a, o linie fononic˘ a, partea intern˘a, care este o diagram˘ a legat˘ a cu o linie electronic˘ a principal˘a.
ˆIn spat¸iul pozit¸ii-timpi partea vertex este o funct¸ie dependent˘ a de 3 puncte spat¸io-temporale, iar ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a este o funct¸ie de dou˘a 4impulsuri independente, datorit˘ a condit¸iei de conservare a 4-impulsului ˆın vertexuri; diagramele corespunz˘ atoare ambelor cazuri (adic˘a atˆat pentru spat¸iul pozit¸ii- timpi, cˆ at ¸si pentru spat¸iul impuls-frecvent¸˘a) sunt ilustrate ˆın figurile al˘aturate.
x′ x′′ x k+q q k
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
384
P˘ art¸ile vertex se clasific˘a ˆın dou˘a categorii: i. p˘ art¸i vertex proprii (irreductibile) sunt p˘ art¸i vertex f˘ar˘a insert¸ii de self-energie pe liniile electronice sau pe liniile fononice, ii. p˘ art¸i vertex improprii (reductibile) sunt p˘ art¸i vertex care cont¸in insert¸ii de self-energie pe liniile electronice ¸si/sau liniile fononice. Exemple de p˘ art¸i vertex irreductibile:
;
;
;
exemple de p˘ art¸i vertex reductibile
;
;
;
Funct¸ia vertex este suma tuturor p˘ art¸ilor vertex irreductibile, ˆın toate ordinele teoriei perturbat¸iilor. ˆIn spat¸iul pozit¸ii-timpi funct¸ia vertex are urm˘atoarele contribut¸ii ale primelor ordine de perturbat¸ie: Γ(x, x′ ; x′′ ) =
x′ x
x′′
+
=
+
+
+
+
+
+
+ ...
Din diagramele precedente pentru seria de perturbat¸ie a funct¸iei vertex se observ˘a urm˘atoarele: – ˆın ordinul 0 diagrama se reduce la un punct (vertex), – ˆın diagramele care cont¸in n linii fononice ¸si 2n linii electronice, exist˘a 2n + 1 vertexuri. Deoarece un vertex corespunde analitic cu constanta de cuplaj electron-fonon, γ, rezult˘a c˘ a termenul de ordinul 0 este proport¸ional cu constanta de cuplaj electron-fonon (γ), 3 iar un termen de ordin superior cu 2n + 1 vertexuri este proport¸ional cu γ 2n+1 ; prin convent¸ie, se separ˘ a ordinul 0 (extr˘agˆand constanta de cuplaj electron-fonon ca factor comun din seria de perturbat¸ie), astfel ˆıncˆ at termenul cu 2n + 1 vertexuri devine proport¸ional cu γ 2n ¸si atunci se consider˘ a acest 3 De
fapt Γ(0) (x, x′ ; x′′ ) = γ δ4 (x′ − x) δ4 (x′′ − x).
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
385
termen ca avˆand ordinul 2n. Conform definit¸iei specificate anterior funct¸ia vertex are seria de perturbat¸ie de forma: Γ(x, x′ ; x′′ ) = γ
n
δ 4 (x′ − x) δ 4 (x′′ − x) + Γ(2) (x, x′ ; x′′ ) + Γ(4) (x, x′ ; x′′ ) + O(γ 6 )
o
,
(13.72)
unde termenul de ordinul n are proprietatea Γ(n) ∼ γ n . ˆIn consecint¸˘a, seria de perturbat¸ie pentru funct¸ia vertex cont¸ine numai termeni de ordine pare (0, 2, 4, 6, . . .). Revenind la setul diagramelor de ordine inferioare care au fost figurate pentru funct¸ia vertex, prima diagram˘ a este de ordinul 0, a doua diagram˘ a este de ordinul 2, iar urm˘atoarele 6 diagrame sunt de ordinul 4. e k + k; q) se define¸ste prin transform˘ari Fourier Funct¸ia vertex ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a Γ(k, spat¸io-temporale, deoarece funct¸ia vertex ˆın spat¸iul pozit¸ii-timpi depinde numai de diferent¸ele coordonatelor spat¸io-temporale Z
d4 k Γ(x, x ; x ) = Γ(x − x, x − x) = 4 R4 (2π) ′
′′
′
′′
Z
d4 q ik·(x′ −x)+iq·(x′′ −x) e e Γ(k, k + q; q) ; 4 R4 (2π)
ˆın consecint¸˘ a, diagramele termenilor de perturbat¸ie sunt topologic identice cu diagramele corespondente din spat¸iul pozit¸ii-timpi ¸si rezultatul corerspondent¸ei analitice trebuie multiplicat cu factorul ~. Atunci, transformata Fourier a funct¸iei vertex este definit˘ a prin seria de perturbat¸ie de tipul relat¸iei (13.72): e k + q; q) = γ 1 + Γ e (2) (k, k + q; q) + Γ e (4) (k, k + q; q) + O(γ 6 ) Γ(k,
k+q −→
q k
Termenul de ordinul 0 este k+q q
=
γ ~
−→
k
e (0) (k, k + q; q) = 1 ; Γ
termenul de ordinul 2 (corect¸ia perturbativ˘a de ordin minim) este reprezentat prin diagrama k+q p k
k+q−p
q =i
k−p
γ 3 Z ~
d4 p e0 e 0 (k + q − p) D e 0 (p) , G (k − p) G 4 (2π) 4 R
de unde rezult˘a expresia corect¸iei de ordin minim pentru funct¸ia vertex (ˆın spat¸iul impulsfrecvent¸˘ a): 2 Z d4 p e 0 e0 (k + q − p) D e 0 (p) . e (2) (k, k + q; q) = i γ G (k − p) G (13.73) Γ ~2 R4 (2π)4 E2. Ecuat¸ii Dyson Structura topologic˘a a diagramelor pentru funct¸ia Green electronic˘ a G permite introducerea selfenergiei M , iar structura topologic˘a a diagramelor pentru funct¸ia Green fononic˘ a D permite introducerea polariz˘ arii Π. Ecuat¸iile Dyson sunt un sistem de ecuat¸ii cuplate pentru funct¸iile Green exacte (electronic˘a ¸si fononic˘ a), exprimate ˆın termeni de self-energie, polarizare ¸si funct¸ie vertex. Solut¸ia iterativ˘ a a ecuat¸iilor Dyson produce seriile de perturbat¸ie ale funct¸iilor Green, dar avantajul ecuat¸iilor Dyson const˘a ˆın posibilitatea obt¸inerii unor solut¸ii neperturbative.
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
386
I. Ecuat¸iile Dyson pentru funct¸iile Green Structura diagramatic˘ a a seriei de perturbat¸ie pentru funct¸ia Green electronic˘ a permite sumarea formal˘a ¸si transformarea acestei serii de perturbat¸ie ˆıntr-o ecuat¸ie pentru funct¸ia Green, ˆın care apare self-energia proprie; 4 reprezentarea diagramatic˘ a a seriei de perturbat¸ie ¸si a ecuat¸iei Dyson rezultante sunt ilustrate ˆın figura urm˘atoare, care este valabil˘a atˆat ˆın spat¸iul pozit¸ii-timpi, cˆ at ¸si ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a:
=
+
+ ... =
+
+
Expresiile analitice ale ecuat¸iilor Dyson pentru funct¸ia Green electronic˘ a (atˆ at ˆın spat¸iul pozit¸iitimpi, cˆ at ¸si ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a) sunt urm˘atoarele: G(x, x′ ) = G0 (x, x′ ) +
Z
d4 x1
Z
d4 x′1 G0 (x, x1 ) M ∗ (x1 , x′1 ) G(x′1 , x′ ) ,
e e0 (k) + G e0 (k) M f∗ (k) G(k) e G(k) =G .
(13.74a) (13.74b)
Seria de perturbat¸ie pentru funct¸ia Green fononic˘ a se exprim˘a ˆın mod similar cu cazul electronic, dar ˆın locul self-energiei este prezent˘ a polarizarea: =
+
=
+
+
+ ...
Pentru a deduce expresiile analitice ale ecuat¸iilor Dyson pentru funct¸ia Green fononic˘ a, se utilizeaz˘a echivalent¸a ˆıntre interact¸ia electron-fonon ¸si interact¸ia bi-particul˘a electronic˘ a, exprimat˘ a 2 γ e 0 (q); ca urmare, funct¸ia Green fononic˘ e D a (exact˘a) se poate prin formula (13.70): U(q) = ~ 2 γ e e D(q). ˆIn aceste condit¸ii self-energia echivala, ˆın mod formal, cu o interact¸ie efectiv˘a: V(q) = ~ 2 f∗ (q) = γ Π e ∗ (q) ¸si prin comparat¸ie cu ecuat¸ia Dyson fononic˘ a este echivalent˘ a cu polarizarea: M f ~ a interact¸iei efective (3.138), ˆın cazul simplificat cˆ and interact¸ia este independent˘ a de spini, se obt¸in ecuat¸iile Dyson pentru funct¸ia Green fononic˘ a (ˆın spat¸iul pozit¸ii-timp ¸si ˆın spat¸iul impulsfrecvent¸˘a): D(x, x′ ) = D0 (x, x′ ) +
γ2 ~
Z
d4 x1
Z
d4 x′1 D0 (x, x1 ) Π∗ (x1 , x′1 ) D(x′1 , x′ ) ,
2 e e 0 (q) + γ D e 0 (q) Π e ∗ (q) D(q) e D(q) =D . ~
(13.75a) (13.75b)
II. Ecuat¸iile Dyson pentru self-energii ¸si pentru funct¸ia vertex Pentru a obt¸ine ecuat¸iile Dyson pentru self-energia electronic˘ a, pentru polarizare (self-energia fononic˘ a) ¸si pentru funct¸ia vertex, se efectueaz˘a reducerea diagramelor la forma schelet. 4 Deducerea explicit˘ a a ecuat¸iei Dyson este formal identic˘ a cu cea prezentat˘ a ˆın Subsect¸iunea 3.3.1, astfel c˘ a se omite repetarea acestei demonstrat¸ii.
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
387
O diagram˘ a schelet (adic˘ a diagram˘ a irreductibil˘ a) este o diagram˘ a Feynman dup˘a reducerea tuturor insert¸iilor de self-energii electronice, insert¸iilor de polarizare (insert¸ii de self-energii fononice) ¸si a p˘ art¸ilor vertex. Ca urmare a definit¸iilor, diagramele schelet pentru self-energia proprie ¸si pentru polarizarea proprie sunt diagrame obt¸inute dup˘a ce procesul de eliminare a insert¸iilor specificate anterior a fost efectuat, astfel ˆıncˆ at o reducere ulterioar˘ a transform˘a diagrama la o linie electronic˘ a (ˆın cazul self-energiei proprii), respectiv la o linie fononic˘ a (ˆın cazul polariz˘arii); pentru funct¸ia vertex diagrama obt¸inut˘a dup˘a eliminarea insert¸iilor devine un punct, dac˘a se efectueaz˘ a o reducere pe diagrama schelet. Exemple de reduceri la diagrame schelet (init¸ial se transform˘a diagrama ˆıntr-o form˘a topologic echivalent˘ a ¸si se marcheaz˘ a insert¸iile care vor fi eliminate, prin cercuri cu linii ˆıntrerupte, iar apoi se figureaz˘ a diagrama schelet rezultat˘ a): a) diagram˘ a pentru funct¸ia Green electronic˘ a (se elimin˘ a 2 p˘ art¸i vertex)
=
b) diagram˘ a pentru funct¸ia Green fononic˘ a (se elimin˘ a 1 parte vertex) =
c) diagram˘ a pentru funct¸ia Green fononic˘ a (se elimin˘ a 1 parte vertex) =
d) diagram˘ a pentru funct¸ia vertex (se elimin˘ a 2 p˘ art¸i vertex)
=
e) diagram˘ a pentru funct¸ia vertex (se elimin˘ a 2 p˘ art¸i vertex)
=
f) diagram˘ a pentru funct¸ia vertex (se elimin˘ a 1 insert¸ie de self-energie ¸si 1 parte vertex)
=
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
388
Din exemplele anterioare rezult˘a urm˘atoarele concluzii: i. diagramele schelet pentru self-energia proprie electronic˘ a ¸si pentru polarizarea proprie (self-energia proprie fononic˘ a) sunt diagrame de ordinul 1 (care este ordinul minim); ii. diagramele schelet pentru funct¸ia vertex sunt setul tuturor diagramelor pentru p˘ art¸ile vertex irreductibile (ˆın toate ordinele teoriei perturbat¸iilor). Pe baza definit¸iilor ¸si a observat¸iilor anterioare se poate formula Teorema de renormare: 1. Fiecare diagram˘ a Feynman are o diagram˘ a schelet, care este unic˘ a. 2. Orice diagram˘ a Feynman se poate construi dintr-o diagram˘ a schelet, prin intercal˘ari de insert¸ii de self-energie, insert¸ii de polarizare ¸si p˘ art¸i vertex. Prin definit¸ie, o diagram˘ a schelet renormat˘ a este o diagram˘ a schelet care are: – liniile electronice reprezentate de funct¸ii Green electronice exacte, – liniile fononice reprezentate de funct¸ii Green fononice exacte, – punctele reprezentate prin funct¸ii vertex. Atunci setul diagramelor schelet renormate este setul tuturor diagramelor pentru funct¸ia Green electronic˘ a (G), funct¸ia Green fononic˘ a (D) ¸si funct¸ia vertex (Γ); ecuat¸iile Dyson pentru selfenergia proprie, polarizarea proprie ¸si funct¸ia vertex se obt¸in direct din diagramele schelet renormate. IIa. Self-energia proprie are o singur˘a diagram˘ a schelet: Msk = Pentru a obt¸ine renormarea diagramei schelet anterioare se ˆınlocuie¸ste linia electronic˘ a liber˘a cu linia electronic˘ a exact˘ a, linia fononic˘ a liber˘a cu linia fononic˘ a (exact˘a) ¸si numai unul din cele 2 vertexuri (puncte) se ˆınlocuie¸ste cu funct¸ia vertex; atunci self-energia proprie (ca ecuat¸ie Dyson) are urm˘atoarea diagram˘ a:
M∗ =
=
Dac˘ a s-ar introduce funct¸ia vertex la ambele capete ale diagramei schelet, atunci unele diagrame s-ar obt¸ine ˆın num˘ ar dublu (adic˘ a s-ar produce duplicarea anumitor diagrame) ceea ce ar conduce la rezultate false. Demonstrat¸ie: Pentru simplitate se va utiliza ˆın mod sistematic aproximat¸ia de ordin minim, care este aproximat¸ia de ordinul 1. Funct¸ia vertex, funct¸ia Green electronic˘ a ¸si funct¸ia Green fononic˘ a au urm˘ atoarele diagrame pentru aproximat¸ia de ordinul 1:
≈
+
≈
+
≈
+
1
1
1
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
389
ˆIn cazul cˆ and se introduce funct¸ia vertex ˆın locul unui singur punct (vertex simplu), r˘ amˆ anˆ and cel˘ alat vertex simplu neˆınlocuit, se obt¸ine ˆın aproximat¸ia de ordinul 1, setul de diagrame:
≈ 1
+
+
+
Dac˘ a se ˆınlocuiesc ambele vertexuri simple din diagrama schelet a self-energiei, atunci se obt¸ine urm˘ atorul set de diagrame ˆın aproximat¸ia de ordinul 1:
≈ 1
+
+
+
+
Se observ˘ a c˘ a ˆın al doilea caz apare o diagram˘ a suplimentar˘ a (ultima diagram˘ a), care este topologic identic˘ a cu penultima diagram˘ a; ca urmare, prin ˆınlocuirea ambelor vertexuri cu funct¸ia vertex se produce dedublarea unui termen de ordinul 1. Dac˘ a se continu˘ a analiza ˆın ordine superioare num˘ arul termenilor dedublat¸i cre¸ste.
IIb. Polarizarea proprie are, de asemenea, o singur˘a diagram˘ a schelet: Πsk = Pentru a obt¸ine renormarea diagramei schelet anterioare se ˆınlocuiesc liniile electronice libere cu linii electronice exacte ¸si numai unul din cele 2 vertexuri (puncte) se ˆınlocuie¸ste cu funct¸ia vertex; atunci polarizarea proprie (ca ecuat¸ie Dyson) are urm˘atoarea diagram˘ a: Π∗ =
=
Dac˘ a s-ar introduce funct¸ia vertex la ambele capete ale diagramei schelet, atunci unele diagrame s-ar obt¸ine ˆın num˘ ar dublu (adic˘ a s-ar produce duplicarea anumitor diagrame) ceea ce ar conduce la rezultate false (situat¸ie similar˘ a cu cea pentru self-energia proprie). Demonstrat¸ie: Pentru simplitate se va utiliza ˆın mod sistematic aproximat¸ia de ordin minim, care este aproximat¸ia de ordinul 1; se utilizeaz˘ a diagramele specificate ˆın demonstrat¸ia precedent˘ a (f˘ acut˘ a pentru selfenergie) care ilustreaz˘ a aproximat¸ia de ordinul 1 pentru funct¸ia Green electronic˘ a ¸si pentru funct¸ia vertex. ˆIn cazul cˆ and se introduce funct¸ia vertex ˆın locul unui singur punct (vertex simplu), r˘ amˆ anˆ and cel˘ alat vertex simplu neˆınlocuit, se obt¸ine ˆın aproximat¸ia de ordinul 1, setul de diagrame: ≈ 1
+
+
+
Dac˘ a se ˆınlocuiesc ambele vertexuri simple din diagrama schelet a polariz˘ arii, atunci se obt¸ine urm˘ atorul set de diagrame ˆın aproximat¸ia de ordinul 1: ≈ 1
+
+
+ +
Se observ˘ a c˘ a ˆın al doilea caz apare o diagram˘ a suplimentar˘ a (ultima diagram˘ a), care este topologic identic˘ a cu penultima diagram˘ a; ca urmare, prin ˆınlocuirea ambelor vertexuri cu funct¸ia vertex se produce dedublarea unui termen de ordinul 1. Dac˘ a se continu˘ a analiza ˆın ordine superioare num˘ arul termenilor dedublat¸i cre¸ste.
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
390
IIc. Funct¸ia de polarizare, spre deosebire de self-energie ¸si de polarizare, are diagrame schelet ˆın toate ordinele de perturbat¸ie; diagramele schelet pentru primele ordine de perturbat¸ie sunt urm˘atoarele:
Γsk =
+
+
+
+
+...
ˆIn acest caz ecuat¸ia Dyson pentru funct¸ia vertex se obt¸ine prin substituirea tuturor liniilor libere (electronice ¸si fononice) cu linii renormate (care reprezint˘ a funct¸ii Green exacte) ¸si substituirea tuturor punctelor (vertexuri simple) cu vertexuri renormare (care reprezint˘ a funct¸ii vertex). IId. Pe baza rezultatelor precedente se pot reprezenta diagramatic ¸si analitic setul celor 5 ecuat¸ii Dyson cuplate. ˆIn spat¸iul pozit¸ii-timp setul ecuat¸iilor Dyson este urm˘atorul (se prezint˘ a atˆat imaginile diagramatice cˆ at ¸si expresiile analitice, pentru fiecare ecuat¸ie): 1. ecuat¸ia funct¸iei Green electronice, este ecuat¸ia (13.74a): Z Z ′ 0 ′ 4 G(x, x ) = G (x, x ) + d x1 d4 x′1 G0 (x, x1 ) M ∗ (x1 , x′1 ) G(x′1 , x′ ) ;
(13.76a)
x
x
x
= ′
x1
+ x′1
′
x
x
x′ 2. ecuat¸ia funct¸iei Green fononice, este ecuat¸ia (13.75a): Z Z γ2 4 ′ 0 ′ d x1 d4 x′1 D0 (x, x1 ) Π∗ (x1 , x′1 ) D(x′1 , x′ ) ; D(x, x ) = D (x, x ) + ~ x′
x
3. ecuat¸ia self-energiei proprii M ∗ (x, x′ ) =
i γ ~2
Z
d4 x1
Z
x′
x
=
x′
x
+
x′1
x1
d4 x′1 G(x, x1 ) D(x′1 , x) Γ(x′ , x1 ; x′1 ) ;
x
(13.76b)
(13.76c)
x
= x′1
x1 x′ 4. ecuat¸ia polariz˘ arii proprii γ2 ∗ −i(2s + 1) 2 γ Π (x, x′ ) = ~ ~2
x′ Z
d4 x1
Z
d4 x′1 G(x, x1 ) G(x′1 , x) Γ(x′1 , x1 ; x′ ) ; x′1
x
x′
=
x
x1
x′
(13.76d)
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA 5. ecuat¸ia funct¸iei vertex Γ(x, x′ ; x′′ ) = γ δ 4 (x′ − x) δ 4 (x′′ − x) +
Z
d4 x1
Z
d4 x′1
Z
d4 x2
Z
d4 x′2
Z
d4 x3
Z
391
d4 x′3
× Γ(x, x1 ; x′1 ) D(x′2 , x′1 ) Γ(x2 , x′ ; x′2 ) G(x2 , x3 ) G(x′3 , x1 ) Γ(x′3 , x3 ; x′′ ) + . . . (13.76e) x′
′
x x
′′
x
=
x′2 x′1
+
x
x2 x3
x′′
x′3 x1
+
+
+
Se observ˘ a c˘ a primele 4 ecuat¸ii se pot exprima ˆın mod condensat, deoarece s-au obt¸inut din diagrame schelet de ordin minim, dar ultima ecuat¸ie (pentru funct¸ia vertex) este exprimat˘ a printr-o serie (sum˘ a cu un num˘ ar infinit de termeni). ˆIn spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a setul ecuat¸iilor Dyson este urm˘atorul (se prezint˘ a atˆat imaginile diagramatice, care sunt topologic echivalente cu diagramele ˆın spat¸iul pozit¸ii-timpi, cˆ at ¸si expresiile analitice, pentru fiecare ecuat¸ie): 1. ecuat¸ia funct¸iei Green electronice, este ecuat¸ia (13.74b): e e 0 (k) + G e 0 (k) M f∗ (k) G(k) e G(k) =G ;
(13.77a)
k
=
k
k
+ k
2. ecuat¸ia funct¸iei Green fononice, este ecuat¸ia (13.75b): 2 e e 0 (q) + γ D e 0 (q) Π e ∗ (q) D(q) e D(q) =D ; ~
q
q
=
+
q
(13.77b) q
3. ecuat¸ia self-energiei proprii f∗ (k) = 1 γ 2 M ~2
Z
d4 q G(k + q) D(q) Γ(k + q, k; q) ; (2π)4
k
k
=
q k+q
k
k
(13.77c)
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
392
4. ecuat¸ia polariz˘ arii proprii −i(2s + 1) 2 γ2 e ∗ Π (q) = γ ~ ~2
Z
d4 k G(q) G(k + q) Γ(k, k + q; q) ; (2π)4
(13.77d)
k+q
q
= q
q
q k
5. ecuat¸ia funct¸iei vertex Z
d4 p Γ(k, k − p; p) Γ(k + q − p, k + q; p) (2π)4 × D(p) G(k − p) G(k + q − p) Γ(k − p, k + q − p; q) + . . .
Γ(k, k + q; q) = γ +
(13.77e)
k+q k+q
k+q
= q k
+ q
p
k+q−p k−p
k
q
k k+q
k+q
+
q
k+q
+
k
q
+
k
q k
Din expresiile ecuat¸iilor Dyson rezult˘a urm˘atoarele concluzii: i. Sistemul ecuat¸iilor Dyson (13.76), sau (13.77), este un sistem de ecuat¸ii integrale cuplate. ii. Diagramele pentru self-energie ¸si pentru polarizare sunt constituite dintr-un sigur termen (care este diagrama de ordinul minim), astfel ˆıncˆ at ecuat¸iile Dyson pentru aceste m˘arimi se pot exprima ˆın mod condensat; totu¸si, funct¸ia vertex are un set infinit de diagrame schelet (ˆın toate ordinele de perturbat¸ie), astfel ˆıncˆ at problema determin˘arii funct¸iilor Green electronic˘ a ¸si fononic˘ a se reduce la determinarea solut¸iei pentru ecuat¸ia funct¸iei vertex ¸si este necesar˘a o aproximat¸ie de ordin finit pentru seria acestei funct¸ii vertex (ca serie de puteri ale constantei de cuplaj electron-fonon γ). E3. Solut¸iile ecuat¸iilor Dyson ˆın ordine inferioare Ordinul 0 reduce funct¸iile Green la funct¸iile Green libere ¸si funct¸ia vertex la constanta de cuplaj electon-fonon (se prezint˘ a diagramele ˆımpreun˘a cu expresiile analitice corespunz˘ atoare):
≈
k
0
q
≈
k
=⇒
e e 0 (k) ; G(k) ≈G
(13.78a)
q
=⇒
e e 0 (q) ; D(q) ≈D
(13.78b)
=⇒
e k + q; q) ≈ γ . Γ(k,
(13.78c)
0
k+q q k
k+q ≈
q
0
k
0
0
0
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
393
Ordinul 1 produce urm˘atoarele aproximat¸ii pentru self-energia proprie ¸si pentru polarizarea proprie (ˆın mod similar cazului anterior, se prezint˘ a diagramele reprezentative ¸si expresiile analitice corespunz˘ atoare): k
k ≈
p
1
k
k Z 4 e0 (p) D e 0 (k − p) ; f∗ (k) ≈ i γ 2 d p G M 1 ~2 (2π)4
=⇒
q
k−p
q
k+q
q
≈
(13.79a)
q
1
k Z γ 2 e∗ −i(2s + 1) 2 d4 p e 0 e0 (q + p) ; Π (q) ≈ γ G (p) G 1 ~ ~2 (2π)4
=⇒
(13.79b)
atunci, prin utilizarea ecuat¸iilor Dyson electronic˘ a ¸si fononic˘ a, rezult˘a urm˘atoarele expresii pentru funct¸ia Green electronic˘ a ¸si pentru funct¸ia Green fononic˘ a (ˆın aproximat¸ia de ordinul 1):
k ≈
k
+ p
k
1
k−p k
e e0 (k) + G e0 (k) M f∗ (k) G e 0 (k) ; G(k) ≈G
=⇒
1
q
q
≈ 1
+
q
k+q
q
k 2 γ e e 0 (q) + D e 0 (q) e ∗ (q) D e 0 (q) ; D(q) ≈D Π 1 ~
=⇒
(13.80a)
(13.80b) (13.80c)
de asemenea, funct¸ia vertex (ˆın aproximat¸ia de ordinul 1) este:
k+q q k
k+q ≈
q
1
k
+
k+q k+q−p p q k−p k 2
=⇒
e k + q; q) ≈ γ + i γ Γ(k, 1 ~2
Z
d4 p e0 e0 (k + q − p) D e 0 (p) . G (k − p) G (2π)4
(13.80d)
Ordinul 2 cont¸ine expresii mult mai complexe, astfel ˆıncˆ at se vor prezenta numai diagramele termenilor component¸i, f˘ ar˘ a a lista expresiile analitice corespunz˘ atoare. Self-energia proprie ¸si polarizarea proprie au urm˘atoarele diagrame ˆın aproximat¸ia de ordi-
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
394 nul 2:
=
+
=
+
+
+
+
+
ca urmare, funct¸iile Green electronic˘ a ¸si fononic˘ a sunt descrise (ˆın aproximat¸ia de ordinul 2) prin urm˘atoarele diagrame:
=
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
Pentru funct¸ia vertex, ˆın aproximat¸ia de ordinul 4, sunt prezente 1 diagram˘ a de ordinul 0, 1 diagram˘ a de ordinul 2 ¸si 9 diagrame de ordinul 4:
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E4. Consecint¸ele solut¸iilor ˆın ordinul 1 a. Partea electronic˘ a Self-energia proprie electronic˘ a (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a), ˆın aproximat¸ia de ordinul 1, este dat˘a de formula (13.79a), ˆın care transformata Fourier a funct¸iei Green electronice este dat˘a de formula (13.68) e 0 (p, ω) = θ(p − kF ) + θ(kF − p) G ω − ~1 εp + i η ω − ~1 εp − i η
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
395
¸si transformata Fourier a funct¸iei Green fononice are expresia (13.53), care se poate scrie ˆın mod echivalent prin descompunerea ˆın fract¸ii simple: ~ ωq2 1 ~ ωq 1 0 e ; = θ(qD − q) + D (q, Ω) = θ(qD − q) 2 Ω − ωq2 + i η 2 Ω − ωq + iη Ω + ωq − iη ca urmare, self-energia are expresia urm˘atoare: Z Z ∞ d3 p i 2 dΩ e 0 ∗ e 0 (k − p, ω − Ω) f G (p, Ω) D M (k, ω) ≈ 2 γ 3 1 ~ (2π) R3 −∞ 2π Z ∞ Z i 2 θ(p − kF ) d3 p dΩ θ(kF − p) = θ(qD − |k − p|) ωk−p γ + 3 2~ Ω − ~1 εp + i η Ω − ~1 εp − i η −∞ 2π R3 (2π) 1 1 × + Ω − ω − ωk−p + iη Ω − ω + ωk−p − iη Z d3 p i 2 θ(qD − |k − p|) ωk−p γ = 3 2~ R3 (2π) Z ∞ 1 dΩ 1 × θ(p − kF ) 1 2π Ω − ω − ω ε + i η Ω − k−p + iη −∞ ~ p Z ∞ 1 dΩ 1 − 1 −∞ 2π Ω − ~ εp + i η Ω − ω + ωk−p − iη Z ∞ dΩ 1 1 + θ(kF − p) 1 −∞ 2π Ω − ~ εp − i η Ω − ω − ωk−p + iη Z ∞ 1 1 dΩ − 1 −∞ 2π Ω − ~ εp − i η Ω − ω + ωk−p − iη Integralele dup˘a frecvent¸˘ a se evalueaz˘ a cu formula 0, pentru (+, +) & (−, −) Z ∞ 1 iωη e dω (2) J±,± (a, b) ≡ = a − b + iη , pentru (−, +) 2π (ω − a ± iη)(ω − b ± iη) −∞ 1 , pentru (+, −) b − a + iη
care au fost justificate ˆın Anexa matematic˘a A.5 cu formula (A.48); ca urmare, numai integralele a doua ¸si a treia sunt nenule, astfel c˘ a se obt¸ine: Z d3 p f∗ (k, ω) = i γ 2 M θ(qD − |k − p|) ωk−p 3 2~ 3 (2π) R i i . − θ(p − kF ) 1 × θ(kF − p) 1 − ~ εp + ω − ωk−p − iη ~ εp − ω − ωk−p + iη ˆIn integrala tripl˘ a r˘amas˘ a se separ˘ a p˘ art¸ile real˘a ¸si imaginar˘a cu ajutorul formulei SohotskiWeierstrass, astfel c˘ a se obt¸ine: 3 2 Z ∗ θ(kF − p) θ(p − kF ) f (k, ω) = γ − d p θ(qD − |k − p|) ωk−p Re M , + 2 ~ R3 (2π)3 ω + ωk − ~1 εp ω − ωk − ~1 εp (13.81a) Z 2 3 ∗ d p f (k, ω) = π γ Im M θ(qD − |k − p|) ωk−p 2 ~ R3 (2π)3 h i × θ(kF − p) δ 3 ω + ωk − ~1 εp + θ(p − kF ) δ 3 ω − ωk − ~1 εp . (13.81b) Integrale p˘ art¸ilor real˘ a ¸si imaginar˘ a ale self-energiei proprii (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a) nu se pot efectua complet, astfel c˘ a se pot obt¸ine numai rezultate analitice aproximative, sau rezultate exacte numerice.
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
396
Transformata Fourier a funct¸iei Green electronice este solut¸ia celei de-a treia ecuat¸ie Dyson (13.80a); prin transform˘ ari algebrice simple se obt¸ine: e ω) = G(k,
1 1 e0 (k, ω) G
=
f∗ (k, ω) −M
ω−
1 ~
1 . f∗ (k, ω) + i η sgn(k − kF ) εp − ~ M
(13.82)
Conform teoremei Galitski-Migdal polii funct¸iei Green electronice (ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a) produc energia ¸si timpul de viat¸˘ a ale excitat¸iilor elementare ale sistemului electronic; din expresia (13.82) rezult˘a ecuat¸ia singularit˘a¸tilor transformatei Fourier a funct¸iei Green electronice: z−
1 ~
f∗ (k, z) = 0 , εp − M
a tip particul˘ a a sistemului electronic care are solut¸ia zk = ωk + iγk ; atunci, o excitat¸ie elementar˘ are energia εk = ~ ωk ¸si timpul de viat¸˘a τk = 1/γk . ˆIn cazul cˆ and excitat¸ia elementar˘ a are amortizare slab˘a, polul corespunz˘ ator al transformatei Fourier a funct¸iei Green este aproape de axa real˘a (adic˘a γk ≪ ω k ); ˆın aceste condit¸ii rezult˘a aproximat¸ia dat˘ a de relat¸iile (3.114): ∗ f (k, ω k = 0 , ωk − ωk − Re M ∗ f (k, ω k ) Im M . γk = ∂ f∗ (k, ω 1− Re M ∂ω ω=ω k
b. Partea fononic˘ a Self-energia proprie fononic˘ a, care este proport¸ional˘ a cu polarizarea proprie electronic˘ a (adic˘a 2 γ Mf∗ = Π∗ ), ˆın aproximat¸ia de ordin minim este dat˘a de a doua ecuat¸ie Dyson (13.79b). Atunci ~ polarizarea proprie devine polarizarea de ordinul 0, care a fost calculat˘ a ˆın Subsect¸iunea 3.4.3 ~2 k 2 pentru cazul fermionilor liberi cu spectru energetic p˘ atratic ˆın impuls εk = , iar rezultatul 2m se exprim˘ a prin formula (3.148) pentru partea real˘a ¸si formula (3.153) pentru partea imaginar˘a. Transformata Fourier a funct¸iei Green fononice este solut¸ia celei de-a patra ecuat¸ie Dyson (13.80b); procedˆ and ˆın mod similar cu cazul electronic, prin transform˘ari algebrice simple se obt¸ine: e D(q, Ω) =
1 1 = . 2 2 2 γ e∗ Ω − ωq + i η γ 2 ∗ 1 e − Π (q, Ω) θ(qD − q) Π (q, Ω) − e 0 (q, Ω) ~ ~ ωq2 ~ D
(13.83)
Din expresia transformatei Fourier a funct¸iei Green fononice se obt¸ine ecuat¸ia singularit˘a¸tilor acestei funct¸ii: zq2 − ωq2 + i η γ 2 ∗ e (q, zq ) = 0 , − Π θ(qD − q) ~ ωq2 ~ sau, ˆın mod echivalent:
e ∗ (q, zq ) , zq2 = ωq 1 + γ 2 Π
(q < qD ) .
(13.84)
Solut¸ia ecuat¸iei precedente este ˆın general o m˘arime complex˘a zq = Ωq + iγq ¸si conform teoremei Galitski-Migdal (adaptat˘a la cazul fononic) Ωq este frecvent¸a excitat¸iei fononice, iar δq este constanta de amortizare a acestei excitat¸ii. ˆIn limita amortiz˘arii slabe, ˆın sensul teoremei Galitski-Migdal, se obt¸in urm˘atoarele ecuat¸ii aproximative pentru frecvent¸a ¸si pentru constanta de amortizare a excitat¸iei fononice: h i ∗ e (q, Ωq ) , Ω2q ≈ ωq2 1 + γ 2 Re Π (13.85a) e ∗ (q, Ωq ) . (13.85b) 2 Ωq δq ≈ ωq2 γ 2 Im Π
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
397
Demonstrat¸ie: Dac˘ a se consider˘ a c˘ a δq ≪ Ωq , atunci se procedeaz˘ a ˆın mod similar cu deducerea relat¸iilor corespondente pentru funct¸ia Green fermionic˘ a (3.114), adic˘ a se efectueaz˘ a dezvoltarea ˆın serie Taylor de ordin minim (adic˘ a ordinul 1) pentru polarizarea proprie ˆın raport cu frecvent¸˘ a ¸si se separ˘ a partea real˘ a ¸si partea imaginar˘ a: e ∗ (q, ω) e ∗ (q, Ωq + iδq ) = Π e ∗ (q, Ωq ) + i δq ∂ Π +... Π ∂ω ω=ωq h ∗ i e ∗ (q, Ωq ) + i Im Π e (q, Ωq ) = Re Π ∗ i ∂ h e∗ e (q, Ωq ) Re Π (q, Ωq ) + i Im Π + ... + i δq ∂ω ω=ωq h i ∗ e ∗ (q, Ωq ) − δq ∂ Im Π e (q, Ωq ) = Re Π ∂ω ω=ωq i h ∗ ∂ ∗ e (q, Ωq ) e (q, Ωq ) + δq + ... Re Π + i Im Π ∂ω ω=ωq ∗ ∗ e (q, zq ) e (q, zq ) + i Im Π ≡ Re Π 1
1
Se efectueaz˘ a, de asemenea aproximat¸ia de ordinul 1 pentru membrul drept al ecuat¸iei excitat¸iilor 2 zq2 = Ωq + i δq = Ω2q + 2 i Ωq δq + δq2 ≈ Ω2q + 2 i Ωq δq ; atunci, se obt¸ine urm˘ atoarea aproximat¸ie pentru ecuat¸ia excitat¸iilor: h i ∗ e (q, zq ) e ∗ (q, zq ) + i Im Π . Ω2q + 2 i Ωq δq ≈ ωq2 + ωq2 γ 2 Re Π 1 1
Prin separarea p˘ art¸ilor reale ¸si respectiv imaginare, se obt¸ine sistemul de ecuat¸ii: ∗ e (q, zq ) Ω2q ≈ ωq2 + ωq2 γ 2 Re Π 1 h i ∗ ∂ 2 2 2 ∗ e e (q, Ωq ) = ωq + ωq γ Re Π (q, Ωq ) − δq , Im Π ∂ω ω=ωq e ∗ (q, zq ) 2 Ωq δq ≈ ωq2 γ 2 Im Π 1 i h ∗ ∂ 2 2 ∗ e (q, Ωq ) e ; Re Π = ωq γ Im Π (q, Ωq ) + δq ∂ω ω=ωq
ˆın ecuat¸iile precedente se pot neglija termenii proport¸ionali cu constanta de amortizare din membrii drept¸i, astfel c˘ a se obt¸ine sistemul de ecuat¸ii (13.85).
Deoarece pentru sistemul electronic este valabil˘a aproximat¸ia fazelor aleatoare (RPA) relativ la interact¸iile coulombiene, atunci se aproximeaz˘ a polarizarea proprie cu polarizarea de ordinul 0 e ∗ (q, ω) ≈ Π e 0 (q, ω), care are expresia analitic˘a dedus˘a ˆın Subsect¸iunea 3.4.3; Partea real˘a a Π polariz˘ arii de ordinul 0 este dat˘ a ˆın cazul general de formula (3.148b) n o ∗ e (q, ω) = N (0) − 1 + 1 F qe − νe + 1 F qe + νe Re Π , 2e q 2 qe 2 qe 2 qe
iar partea imaginar˘ a pentru impulsuri mici (q < 2kF ) are π νe − N (0) , 2 hqe νe qe2 i 1 π ∗ e Im Π (q, ω) = − N (0) 1 − − , 2 qe 2 qe 0 ,
expresiile (3.154)
pentru 0 < νe < qe −
qe , 2
qe qe < νe < qe + , 2 2 qe pentru νe > qe + ; 2
pentru qe −
ˆın formulele precedente s-au utilizat urm˘atoarele notat¸ii 3/2 m∗ kF 1 2m∗ √ = este densitatea de st˘ari electronice pe suprafat¸a ε • N (0) ≡ F 4π 2 ~2 2π 2 ~2 Fermi, avˆand componenta de spin precizat˘ a (m∗ este masa efectiv˘a Hartree-Fock), • qe ≡
q este vectorul de und˘a adimensional, kF
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
398
ω m∗ este frecvent¸a adimensional˘ a, ω= ~kF2 vF kF 1 + x a a polariz˘arii, care definit˘ a prin relat¸ia • F (x) ≡ (1 − x2 ) ln este funct¸ia caracteristic˘ 1−x (3.148c). • νe ≡
Se observ˘ a c˘ a raportul dintre frecvent¸a fononic˘ a adimensional˘ a ¸si vectorul de und˘a electronic adimensional are o valoare foarte mic˘a: ω eq ωq kF c ≪1, = = qe vF kF q vF
datorit˘a legii de dispersie acustic˘ a a fononilor: ωq = cq.
b1. Frecvent¸a excitat¸iei fononice se obt¸ine prin rezolvarea ecuat¸iei (13.85a), ˆın care se efectueaz˘ a dezvoltarea Taylor a p˘ art¸ii reale a polariz˘arii ˆın raport cu frecvent¸a h ∗ i e (q, Ωq ) Ω2q ≈ ωq2 1 + γ 2 Re Π h ∗ ∗ 1 ∂2 e ∗ (q, 0) + Ωq ∂ Re Π e (q, ω) e (q, ω) = ωq2 1 + γ 2 Re Π Re Π + Ω2q ∂ω 2 ∂ω 2 ω=0 ω=0 i + ...
Prin utilizarea expresiei explicite a p˘ art¸ii reale a polariz˘arii, dat˘a de relat¸iile (3.148), se arat˘a c˘ a termenul de ordinul 1 este nul ∗ ∂ e (q, ω) Re Π =0, ∂ω ω=0
iar termenii superiori sunt neglijabili, ˆın condit¸ia c/vF ≪ 1. Atunci, se aproximeaz˘ a partea real˘a a polariz˘ arii de ordinul 0 la frecvent¸a nul˘a: ∗ ∗ e (q, ω) ≈ Re Π e (q, 0) = N (0) g q , Re Π kF unde s-a utilizat relat¸ia (3.149b), iar funct¸ia g(x) este definit˘ a prin relat¸ia (3.149c): g(x) ≡ −
1 1 x2 2 − x 1 x 1 =− + 1− ln + F . 2 2x 2 2 2x 4 2+x
ˆIn aceste condit¸ii ecuat¸ia (13.55a) devine h i h i e 0 (q, 0) = ω 2 1 + 2 γ 2 N (0) g q Ω2q ≈ ωq2 1 + γ 2 Π q kF ¸si astfel frecvent¸a excitat¸iei fononice se exprim˘ a ˆın urm˘atoarea form˘a: r q . Ωq ≈ ωq 1 + 2 γ 2 N (0) g kF
(13.86)
Deoarece funct¸ia g(x) are o singularitate logaritmic˘ a la valoarea x = 2, rezult˘a c˘ a derivata ∂Ωq frecvent¸ei de excitat¸ie fononice are o divergent¸˘a la q = 2kF , care este numit efectul Kohn. ∂q b2. Constanta de amortizare a excitat¸iei fononice se obt¸ine din ecuat¸ia (13.85b) δq ≈
∗ ωq2 γ 2 e (q, Ωq ) . Im Π 2 Ωq
Funct¸ia g(x) are valori negative, astfel ˆıncˆ at, din relat¸ia (13.86), rezult˘a c˘ a frecvent¸a excitat¸iei fononice este mai mic˘a decˆ at frecvent¸a corespondent˘ a a fononului liber: Ωq < ωq ; atunci, rezult˘a eq Ω ω eq c ≪1, < = qe qe vF
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
399
astfel ˆıncˆ at numai prima variant˘ a a expresiei p˘ art¸ii imaginare a polariz˘arii de ordinul 0 este posibil˘ a, adic˘a ∗ ∗ e (q, Ωq ) = π N (0) νeq = π m Ωq N (0) ; Im Π 2 qe ~kF q
qe aceast˘a variant˘ a se realizeaz˘ a dac˘ a 0 < νe < qe− ¸si q < 2kF . Ca urmare, constanta de amortizare 2 are expresia π m∗ ωq2 γ 2 δq ≈ N (0) θ(2kF − q) . (13.87) 2 ~kF q F. Teorema Migdal Teorema Migdal afirm˘ a c˘ a ˆın cazul unui metal normal (care nu are propriet˘ a¸ti supraconductoare) funct¸ia vertex pentru sistemul de electroni care interact¸ioneaz˘ a mutual prin schimb de fononi este aproximabil˘ a cu constanta de cuplaj electron-fonon (ˆın aproximat¸ia Fr¨ohlich): r m e =γ 1+O , Γ M
(13.88)
unde m este masa electronic˘ a ¸si M este masa ionic˘ a. Observat¸ii: i. Raportul maselor electronic˘ a ¸si ionic˘ a este foarte mic m/M < 10−4 ; atunci, conform teoremei Migdal, se poate ˆınlocui funct¸ia vertex cu constanta de cuplaj electron-fonon: e≈γ, Γ
care este aproximat¸ia de ordinul 0. ii. Prin utilizarea teoremei Migdal, setul ecuat¸iilor Dyson are form˘a finit˘a (deoarece singura ecuat¸ie care era exprimat˘ a exact printr-o serie, se reduce la termenul de ordinul 0). iii. Teorema Migdal este o aproximat¸ie neperturbativ˘a pentru funct¸ia vertex (aceast˘a proprietate va rezulta din demonstrat¸ia teoremei). iv. ˆIn spat¸iul pozit¸ii-timpi funct¸ia vertex, conform teoremei Migdal este Z
Z d4 k d4 q ik·(x′ −x)+iq·(x′′ −x) e Γ(x, x ; x ) = e Γ(k, k + k; q) 4 4 R4 (2π) R4 (2π) Z Z d4 k d4 q ik·(x′ −x)+iq·(x′′ −x) ≈ e γ 4 4 R4 (2π) R4 (2π) ′
′′
= γ δ 4 (x′ − x) δ 4 (x′′ − x) .
Demonstrat¸ie: Se va prezenta numai demonstrat¸ia pentru ordinul 1 al teoriei perturbat¸iilor, deoarece pentru ordinele superioare metoda este de acela¸si tip, dar calculele sunt considerabil mai lungi. Conform relat¸iei (13.72), seria de perturbat¸ie a funct¸iei vertex este de forma: e =γ 1+Γ e (2) + O(γ 4 ) , Γ
e (2) ∼ γ 2 este corect¸ia minimal˘ unde Γ a pentru funct¸ia vertex; atunci, teorema Migdal afirm˘ a c˘ a r m m (2) e +O . Γ ∼ M M
Pe baza relat¸iei (13.80d) se obt¸ine expresia corect¸iei minimale a funct¸iei vertex: 2 e (2) (k, k + q; q) = i γ Γ ~2
Z
d4 p e 0 e 0 (k + q − p) D e 0 (p) , G (k − p) G (2π)4
unde 4-vectorii au urm˘ atoarele notat¸ii explicite: k = (k, ω) , q = (q, Ω) , p = (p, ν) . Este convenabil s˘ a se adimensionalizeze expresia (13.80d):
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
400
1/3 – se alege vectorul de und˘ a Fermi kF = 3π 2 n0 (n0 este densitatea medie electronic˘ a) ca etalon pentru vectorii de und˘ a, astfel ˆıncˆ at rezult˘ a urm˘ atoarele definit¸ii: k , kF
k′ =
q′ =
q , kF
p′ =
p ; kF
1/3 (nI este densitatea medie – vectorul de und˘ a Debye este definit prin formula qD = 18π 2 nI ionic˘ a); din condit¸ia de neutralitate electric˘ a a sistemului rezult˘ a nI = n0 /z (unde z este valent¸a ionilor), astfel ˆıncˆ at vectorul Debye adimensionalizat este n 1/3 6 1/3 qD I ′ qD = = 6 = kF n0 z ′ ′ (atunci rezult˘ a condit¸ia Debye adimensional˘ a qmax = qD );
~2 kF2 – se alege energia Fermi a electronilor liberi ε0F = ca etalon de energie ¸si de frecvent¸˘ a, 2m astfel ˆıncˆ at rezult˘ a frecvent¸ele adimensionale ω′ =
~ω , ε0F
Ω′ =
~Ω , ε0F
ν′ =
~ν , ε0F
ω ek′ =
εk , ε0F
ωq′ =
~ ωq . ε0F
Conform aproximat¸iei Debye legea de dispersie a este acustic˘ a ωq = c q, unde viteza suner fononic˘ B tului este dependent˘ a de masa ionic˘ ac= (modulul de compresie adiabatic B este inden0 M pendent de masa ionic˘ a); atunci, frecvent¸a fononic˘ a adimensional˘ a are urm˘ atoarea dependent¸˘ a de masele electronic˘ a ¸si ionic˘ a: s ~ ωq m 2B ′ ′ ωq = 0 = q ; εF M n0 ε0F r m rezult˘ a c˘ a ωq′ ∼ ¸si aceasta este singura m˘ arime care depinde de raportul maselor electronic˘ a M ¸si ionic˘ a. Pentru exprimarea condensat˘ a a expresiilor funct¸iilor Green electronice ˆın form˘ a adimensional˘ a se introduce funct¸ia S(q) ≡ sgn(q ′ − 1).
Conform definit¸iilor adimensionale anterioare, funct¸iile Green implicate ˆın definit¸ia termenului de corect¸ie minim al funct¸iei vertex se exprim˘ a astfel: 1 (ω − ν) − 1~ εk−p + i η sgn(|k − p| − kF ) 1 ~ = 0 ′ εF (ω ′ − ν ′ ) − ω ek−p + i η S(k′ − p′ ) 1 e 0 (k + q − p) ≡ G e 0 (k + q − p, ω + Ω − ν) = G (ω + Ω − ν) − 1~ εk+q−p + i η sgn(|k + q − p| − kF ) 1 ~ = 0 ′ ′ ′ ′ εF (ω ′ + Ω′ − ν ′ ) − ω ek+q ′ −p + i η S(k + q − p ) e 0 (k − p) ≡ G e 0 (k − p, ω − ν) = G
e 0 (p) ≡ D e 0 (p, ν) = D
ν2
~ ωp2 (ωp′ )2 ′ θ(qD − p) = ~ ′ 2 θ(qD − p′ ) ; 2 − (ωp − i η) (ν ) − (ωp′ − i η)2
de asemenea, integrala 4-dimensional˘ a devine Z Z Z Z 0 Z d3 p dν dν ′ d3 p′ d4 p 3 εF . . . ≡ . . . = k ... F 4 3 3 (2π) (2π) 2π ~ (2π) 2π Prin utilizarea notat¸iilor adimensionale corect¸ia minim˘ a la funct¸ia vertex devine Z 2 3 d3 p′ ′ e (2) (k, k + q; q) = i γ kF Γ θ(qD − p′ ) (ωp′ )2 Iν , 0 3 εF R3 (2π)
unde Iν este integrala ˆın raport cu frecvent¸a adimensional˘ a: Z ′ dν 1 1 Iν = ′ ′ ′ ′ ′ 2π ν ′ − (ω ′ − ω e k−p ) − i η S(k′ − p′ ) ν ′ − (ω ′ + Ω′ − ω ek+q ′ −p ) − i η S(k + q − p ) ×
1 . (ν ′ )2 − (ωp′ − i η)2
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
401
Se descompune integrandul ˆın fract¸ii simple cu ajutorul formulelor 1 1 1 1 = − , x 2 − a2 2a x −a x+a 1 1 1 1 = − ; (x − a)(x − b) a−b x−a x−b ca urmare rezult˘ a urm˘ atoarele identit˘ a¸ti: 1 1 1 1 = − ′ , (ν ′ )2 − (ωp′ − i η)2 2 ωp′ ν ′ − ωp′ + i η ν + ωp′ − i η 1 1 ′ ′ ′ ′ ′ ν ′ − (ω ′ − ω ek−p ) − i η S(k′ − p′ ) ν ′ − (ω ′ + Ω′ − ω ek+q ′ −p ) − i η S(k + q − p ) =
−1 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ Ω′ + ω ek−p −ω ek+q ′ −p + i η S(k + q − p ) − S(k − p ) 1 1 × − . ′ ′ ′ ′ ′ ν ′ − (ω ′ − ω ek−p ν ′ − (ω ′ + Ω′ − ω ek+q ) − i η S(k′ − p′ ) ′ −p ) − i η S(k + q − p )
Atunci integrala dup˘ a frecvent¸˘ a se rescrie ˆın forma: Iν = unde
−1 1 I1 + I2 + I3 + I4 , ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ 2 ωp Ω + ω ek−p − ω e k+q′ −p + i η S(k + q − p ) − S(k − p ) Z
dν ′ 1 1 , ′ 2π ν ′ − (ω ′ − ω ek−p ) − i η S(k′ − p′ ) ν ′ − ωp′ + i η Z 1 1 dν ′ , I2 ≡ − ′ 2π ν ′ − (ω ′ − ω ek−p ) − i η S(k′ − p′ ) ν ′ + ωp′ − i η Z dν ′ 1 1 I3 ≡ − , ′ ′ + q′ − p′ ) ν ′ − ω ′ + i η 2π ν ′ − (ω ′ + Ω′ − ω ekq ) − i η S(k ′ −p p Z 1 1 dν ′ . I4 ≡ ′ ′ + q′ − p′ ) ν ′ + ω ′ − i η 2π ν ′ − (ω ′ + Ω′ − ω e k+q ) − i η S(k ′ −p p I1 ≡
Integralele dup˘ a frecvent¸˘ a se evalueaz˘ a cu formula
0, Z ∞ 1 1 dω (2) J±,± (a, b) ≡ = b − a + iη , −∞ 2π (ω − a ± iη)(ω − b ± iη) 1 , a − b + iη
pentru (+, +) & (−, −) pentru (+, −)
pentru (−, +)
care au fost justificate ˆın Anexa A.5; ca urmare, se obt¸in urm˘ atoarele rezultate: I1 = δS(k′ −p′ ),1
i , ′ (ω ′ − ω ek−p ) − ωp′ + i η
I2 = δS(k′ −p′ ),−1
i , ′ (ω ′ − ω ek−p ) + ωp′ − i η
I3 = −δS(k′ +q′ −p′ ),1
i , ′ ′ (ω ′ + Ω′ − ω e k+q ′ −p ) − ωp + i η
I4 = −δS(k′ +q′ −p′ ),−1
i . ′ ′ (ω ′ + Ω′ − ω e k+q ′ −p ) + ωp − i η
Prin adunarea expresiilor celor 4 integrale rezult˘ a: Iν =
1 −1 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ 2 ωp′ (Ω′ + ω ek−p −ω ek+q ′ −p ) + i η S(k + q − p ) − S(k − p ) i i . − × ′ ′ ′ ′ ′ ′ (ω ′ − ω ek−p (ω ′ + Ω′ − ω e k+q ) − (ωp′ + i η) S(k′ − p′ ) ′ −p ) − (ωp + i η) S(k + q − p )
Pe baza rezultatului anterior corect¸ia minimal˘ a la funct¸ia vertex se reduce la integrala tripl˘ a ˆın raport cu vectorul de und˘ a: 2 3 Z d3 p′ ′ e (2) (k, k + q; q) = γ kF Γ θ(qD − p′ ) ωp′ f (ωp′ ) , 0 2 εF R3 (2π)3
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
402
unde funct¸ia f (ωp′ ) este definit˘ a prin relat¸ia: 1 ′ ′ (Ω′ + ω e k−p −ω ek+q ) + i η S(k′ + q′ − p′ ) − S(k′ − p′ ) ′ −p 1 1 × − ′ . ′ ′ ′ ′ ′ ′ (ω ′ − ω ek−p ) − (ωp′ − i η) S(k′ − p′ ) (ω + Ω′ − ω ek+q ′ −p ) − (ωp − i η) S(k + q − p )
f (ωp′ ) ≡
e (2) numai pentru cazul Conform enunt¸ului teoremei Migdal este necesar˘ a evaluarea termenului Γ cˆ and raportul maselor electronic˘ a ¸si ionic˘ a este foarte mic: m/M ≪ 1; deoarece arime p singura m˘ e (2) , care depinde de raportul maselor este ωp′ ∼ din expresia termenului Γ m/M , rezult˘ a c˘ a e (2) fat¸˘ dependent¸a de ordin minim a m˘ arimii Γ a de raportul specificat anterior este proport¸ional˘ a cu r˘ ad˘ acina p˘ atrat˘ a a raportului maselor, adic˘ a: r m m e (2) ∼ +O . Γ M M
Deoarece integrandul este ωp′ f (ωp′ ), rezult˘ a c˘ a ˆın aproximat¸ia specificat˘ a funct¸ia f (ωp′ ) aduce contribut¸ie de ordin superior fat¸˘ a de raportul m/M ; ˆın consecint¸˘ a, se consider˘ a numai contribut¸ia funct¸iei f (ωp′ ) care este independent˘ a de raportul m/M , adic˘ a f (0): f (ωp′ ) = f (0) + f (ωp′ ) − f (0) , iar integrala
Z
d3 p′ ′ θ(qD − p′ ) ωp′ f (ωp′ ) − f (0) 3 (2π) 3 R
este neglijat˘ a, deoarece are contribut¸ie de ordin superior fat¸˘ a de raportul maselor. Din discut¸ia precedent˘ a a rezultat c˘ a partea dominant˘ a a termenului de corect¸ie minim˘ a la funct¸ia vertex este Z 2 3 d3 p′ ′ e (2) (k, k + q; q) ≈ γ kF Γ θ(qD − p′ ) ωp′ f (0) , 0 2 εF R3 (2π)3
unde funct¸ia f (0) este f (0) ≡
=
1 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ (Ω′ + ω ek−p −ω e k+q ′ −p ) + i η S(k + q − p ) − S(k − p ) 1 1 × − ′ ′ ′ ′ ′ (ω ′ − ω ek−p ) + i η S(k′ − p′ ) (ω ′ + Ω′ − ω ek+q ′ −p ) + i η S(k + q − p ) 1 1 . · ′ ′ ′ ′ ′ (ω ′ − ω ek−p ek+q ) + i η S(k′ − p′ ) (ω ′ + Ω′ − ω ′ −p ) + i η S(k + q − p )
Atunci, luˆ and ˆın considerare expresia relat¸iei de dispersie adimensionalizat˘ a s ~ ωq m 2B ′ ωq′ = 0 = q εF M n0 ε0F se extrage factorul
p m/M ¸si se obt¸ine:
e (2) (k, k + q; q) ≈ Γ
r
m CJ , M
unde constanta C ¸si integrala J sunt independente de masa ionic˘ a (M ): s γ 2 kF3 2B C≡ , 2 ε0F n0 ε0F Z d3 p′ ′ J≡ θ(qD − p′ ) p′ f (0) . 3 R3 (2π) Rezultatul anterior arat˘ a c˘ a teorema Migdal este verificat˘ a (ˆın ordinul 1), dac˘ a integrala J este finit˘ a. O evaluare aproximativ˘ a arat˘ a c˘ a integrala J este finit˘ a sau are cel mult o singularitate logaritmic˘ a, care este o singularitate slab˘ a, deoarece funct¸ia vertex apare numai ca parte a unui integrand pentru rezultatele fizice.
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
403
G. Energia st˘ arii fundamentale Hamiltonianul sistemului electroni-fononi se separ˘ a ˆın parte liber˘a (corespunz˘atoare sistemelor electronic ¸si fononic f˘ ar˘ a interact¸ii) ¸si parte de interact¸ie ˆıntre subsisteme: ˆ e−f ≡ H ˆ 0 + Vˆ , ˆ = H ˆe + H ˆf + H H unde hamiltonianul de interact¸ie are expresia Fr¨ohlich (13.28): Z X ˆ e−f = γ d3 r Vˆ = H ψˆσ† (r) ψˆσ (r) ϕ(r) ˆ . V
σ
Atunci se poate calcula modificarea energiei st˘arii fundamentale a sistemului de c˘ atre interact¸ie, prin aplicarea teoremei Pauli (3.90) Z γ ′ (γ ′ ) ˆ (γ ′ ) (γ ′ ) V Ψ0 dγ Ψ0 0 , E0 − E0 =
(γ ′ ) (γ ′ ) ′ γ 0 Ψ0 Ψ0
unde E0 este energia sistemului electroni-fononi cu interact¸ii, E00 este energia sistemului electroni (γ ′ ) este vectorul st˘arii fundamentale a sistemului pentru valoarea ¸si fononi f˘ ar˘ a interact¸ii, iar Ψ0 γ ′ a constantei de cuplaj electroni-fononi. Prin utilizarea expresiei hamiltonianului Fr¨ohlich se obt¸ine urm˘atoarea expresie a deplas˘ arii energiei st˘ arii fundamentale datorit˘ a interact¸iei electroni-fononi: (γ ′ )
(γ ′ ) † Z γ Z (r′ , t′ ) ϕˆHγ ′ (r′′ , t′′ ) Ψ0 Ψ0 T ψˆσHγ ′ (r, t) ψˆσH X γ′ ′ 0 3 dγ E0 − E0 = − d r lim lim ,
(γ ′ ) (γ ′ ) r′ →r r′′ →r 0 V Ψ0 Ψ0 σ t′ →t+ t′′ →t (13.89) i ˆ ˆ ′ tHγ ′ ˆ − ~i tH ˆ γ ~ unde AHγ ′ ≡ e A e este operatorul ˆın formularea Heisenberg pentru sistemul cu constanta de cuplaj γ ′ . Demonstrat¸ie: Se substituie expresia hamiltonianului de interact¸ie electroni-fononi ˆın formula Pauli (γ ′ )
′ Z γ Z ) ˆ† X Ψ(γ ψσ (r) ψˆσ (r) ϕ(r) ˆ Ψ0 dγ ′ ′ 0 3 E0 − E00 = γ d r .
(γ ′ ) (γ ′ ) ′ 0 γ V Ψ0 Ψ0 σ
Elementul de matrice de la num˘ ar˘ ator se transform˘ a astfel: (γ ′ ) este vectorul st˘ arii fundamentale a sistemului cu constanta de cuplaj γ ′ , atunci i. deoarece Ψ0 ′ ′ ′ ˆ γ ′ Ψ(γ ) = E (γ ) Ψ(γ ) , de unde rezult˘ a identit˘ a¸tile este valabil˘ a ecuat¸ia cu valori proprii H 0 0 0 (γ ′ )
(γ ′ ) i tHˆ ′ i (γ ′ ) Ψ 0 e ~ γ = e ~ E0 t Ψ 0
&
(γ ′ )
(γ ′ ) (γ ′ ) i ˆ i (γ ′ ) e− ~ tHγ ′ Ψ0 , = e− ~ E0 t Ψ0
ˆ γ ′ ¸si E sunt hamiltonianul ¸si respectiv vectorul st˘ arii fundamentale a sistemului cu unde H 0 constanta de cuplaj γ ′ ; ii. se utilizeaz˘ a rezultatul precedent ¸si se insereaz˘ a ˆıntre operatorii de cˆ amp cˆ ate un operator i tH i tH ˆ ′ ˆ ′ −~ γ γ ˆ ~ unitate 1 = e ·e , astfel ca s˘ a se transforme operatorii din formularea Schr¨ odinger ˆın formularea Heisenberg (pentru sistemul cu constanta de cuplaj γ ′ ) i ˆ (γ ′ ) (γ ′ )
(γ ′ ) † i ˆ i ˆ i ˆ i (γ ′ ) = e− ~ E0 t Ψ0 e ~ tHγ ′ ψˆσ† (r) e− ~ tHγ ′ e ~ tHγ ′ ψˆσ (r) e− ~ tHγ ′ ˆ Ψ0 Ψ0 ψˆσ (r) ψˆσ (r) ϕ(r) (γ ′ ) i E (γ ′ ) t i ˆ i ˆ e~ 0 ˆ e− ~ tHγ ′ Ψ0 × e ~ tHγ ′ ϕ(r) (γ ′ )
(γ ′ ) † = Ψ0 ψˆσH ′ (r, t) ψˆσHγ ′ (r, t) ϕˆHγ ′ (r, t) Ψ0 ; γ
iii. se modific˘ a timpii operatorilor astfel ca s˘ a se poat˘ a introduce ordonarea cronologic˘ a cu operatorul de anihilare electronic la stˆ anga: (γ ′ )
(γ ′ ) † Ψ0 ψˆσH ′ (r, t) ψˆσHγ ′ (r, t) ϕ ˆHγ ′ (r, t) Ψ0 γ (γ ′ )
(γ ′ ) † Ψ0 ψˆσH ′ (r′ , t′ ) ψˆσHγ ′ (r, t) ϕ ˆHγ ′ (r′′ , t′′ ) Ψ0 = lim lim ′ ′′ r →r r →r ′′ t′ →t+ t →t
γ
(γ ′ ) (γ ′ ) † Ψ0 T ψˆσHγ ′ (r, t) ψˆσH , (r′ , t′ ) ϕ ˆHγ ′ (r′′ , t′′ ) Ψ0 = − lim lim ′ ′ ′′ r →r r →r ′′ t′ →t+ t →t
γ
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
404
unde ˆın ultima egalitate s-a introdus factorul de semn, deoarece s-au comutat operatorii de cˆ amp electronici. Atunci, prin ˆınlocuirea elementului de matrice de la numitor cu expresia transformat˘ a conform operat¸iilor anterioare, se obt¸ine relat¸ia (13.89).
Pentru un metal normal, cˆ and este valabil˘a teorema Migdal, deplasarea energiei st˘arii fundamentale datorit˘ a interact¸iei electroni-fononi, devine Z Z Z Z ∞ ′ 2 γ ′ ′ 3 3 0 lim dγ γ d r lim d r1 dt1 G(γ ) (r − r1 , t − t1 ) E0 − E0 = ′′ ′ ~ 0 r →r r →r V V −∞ ′ + ′′ (γ ′ )
×G ′
′
t →t
′
t →t
′
(r1 − r , t1 − t ) D(γ ) (r1 − r′′ , t1 − t′′ ) ,
(13.90)
′
unde G(γ ) (r − r′ , t − t′ ) ¸si D(γ ) (r − r′ , t − t′ ) sunt funct¸ia Green electronic˘ a, respectiv funct¸ia Green fononic˘ a pentru sistemul cu constanta de cuplaj electroni-fononi γ ′ . Demonstrat¸ie: Se efectueaz˘ a pentru media din relat¸ia (13.89) dezvoltarea ˆın serie perturbativ˘ a Feynman-Dyson (2.152), particularizat˘ a la cazul cˆ and hamiltonianul de perturbat¸ie este hamiltonianul de interact¸ie electroni-fononi, ca ˆın formula (13.65):
(γ ′ ) (γ ′ ) † Ψ0 T ψˆσHγ ′ (r, t) ψˆσH (r′ , t′ ) ϕˆHγ ′ (r′′ , t′′ ) Ψ0 γ′
(γ ′ ) (γ ′ ) Ψ0 Ψ0 Z Z ∞ ∞ ∞ X 1 −i n dt1 · · · dtn = n! ~ −∞ −∞ n=0 o n (γ ′ ) (γ ′ ) † × C(t) (r′ , t′ ) ϕˆH0 (r′′ , t′′ ) VˆH0 (t1 ) · · · VˆH0 (tn ) · ψˆσH0 (r, t) ψˆσH c 0 Z Z ∞ n X X 1 −i ′ n 4 C(t) ˆH0 (x1 ) , ψˆσ† 1 H0 (x1 ) ψˆσ1 H0 (x1 ) ϕ d x1 · · · d4 xn γ = c n! ~ σ1 ,...,σn n=0 o ˆH0 (x′′ ) ˆH0 (xn ) , ψˆσH0 (x) ψˆσ† ′ H0 (x′ ) ϕ × . . . , ψˆσ† n H0 (xn ) ψˆσn H0 (xn ) ϕ Z ∞ −i (2n−1)Z n X X 1 C(t) d4 x1 · · · d4 x2n−1 ψˆσ† 1 H0 (x1 ) ψˆσ1 H0 (x1 ) ϕˆH0 (x1 ) , γ′ = c (2n − 1)! ~ σ1 ,...,σ2n−1 n=1 o † ˆH0 (x2n−1 ) , ψˆσH0 (x) ψˆσ† ′ H0 (x′ ) ϕˆH0 (x′′ ) , × . . . , ψˆσn H0 (x2n−1 ) ψˆσn H0 (x2n−1 ) ϕ
unde ˆın ultima egalitate, pe baza teoremei Wick, s-a luat ˆın considerare faptul c˘ a sunt nenuli numai termenii care cont¸in un num˘ ar impar de hamiltonieni de interact¸ie, astfel ˆıncˆ at num˘ arul total de operatori de cˆ amp fononici s˘ a fie par.
Temenul de ordinul n = 1 se calculeaz˘ a ˆın mod direct, efectuˆ and toate contract¸iile totale care produc termeni legat¸i; deoarece contract¸ii nenule se produc numai ˆıntre operatori electronici conjugat¸i ¸si ˆıntre operatori fononici, rezult˘ a c˘ a exist˘ a o singur˘ a contribut¸ie care corespunde unei diagrame legate: Z o −i ′ 4 X (t) n ˆ† E1 ≡ Cc ψσ1 H0 (x1 ) ψˆσ1 H0 (x1 ) ϕ ˆH0 (x′′ ) ˆH0 (x1 ) ψˆσH0 (x) ψˆσ† ′ H0 (x′ ) ϕ γ d x1 ~ σ 1
Z
−i ′ 4 X † ψσ1 H0 (x1 ) ψσ1 H0 (x1 ) ϕH0 (x1 ) ψσH0 (x) ψσ† ′ H0 (x′ ) ϕH0 (x′′ ) γ d x1 ~ σ1 Z −i ′ 4 X γ d x1 = i G0σσ1 (x, x1 ) i G0σ1 σ ′ (x1 , x′ ) i D0 (x1 , x′′ ) ~ σ1 Z −1 ′ 4 γ d x1 G0 (x, x1 ) G0 (x1 , x′ ) D0 (x1 , x′′ ) = ~ =
unde ˆın ultima egalitate s-a obt¸inut luˆ and ˆın considerare c˘ a funct¸ia Green electronic˘ a este diagonal˘ a ˆın indicii de spin ¸si apoi s-a efectuat sumarea ˆın raport cu indicele de spin. Diagrama corespunz˘ atoare termenului de ordinul 1 este ilustrat˘ a ˆın figura al˘ aturat˘ a.
x x1 x′
x′′
ˆ ˘ NULA ˘ 13.2. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
405
Contribut¸ia de ordinul 2 cont¸ine 3 operatori de perturbat¸ie, fiind dat˘ a de formula Z Z Z n X 3 1 −i ′ C(t) ψˆσ† 1 H0 (x1 ) ψˆσ1 H0 (x1 ) ϕˆH0 (x1 ) , d4 x1 d4 x2 d4 x3 γ E2 ≡ c 3! ~ σ ,σ ,σ 1
2
3
o ˆH0 (x3 ) , ψˆσH0 (x) ψˆσ† ′ H0 (x′ ) ϕˆH0 (x′′ ) ; ˆH0 (x2 ) , ψˆσ† n H0 (x3 ) ψˆσn H0 (x3 ) ϕ × ψˆσ† n H0 (x2 ) ψˆσn H0 (x2 ) ϕ
ˆın acest caz deducerea direct˘ a a termenilor rezultat¸i prin aplicarea teoremei Wick este mult mai laborioas˘ a, deoarece exist˘ a 8 operatori de cˆ amp electronici ¸si 4 operatori de cˆ amp fononici, astfel c˘ a se obt¸ine o sum˘ a de termeni legat¸i cu produse de 4 funct¸ii Green electronice ¸si 2 funct¸ii Green fononice. De aceea, se va prezenta numai rezultatul ˆın form˘ a diagramatic˘ a: x x x x3 x x2 ′′ ′′ ′′ x x x x1 x′′ 1 1 x x x3 1 x E2 = + + + x3 x2 x3 x2 x′ x2 x′ x′ x′ Cele 4 diagrame de ordinul 2 cont¸in fiecare o insert¸ie de self-enegie (pe una x dintre liniile electronice), sau o insert¸ie de polarizare (pe linia fononic˘ a), sau o parte vertex; se observ˘ a c˘ a aceste contribut¸ii se pot interpreta c˘ a realizeaz˘ a renormarea ˆın ordinul minim a fiec˘ aruia dintre cele 4 elemente x′′ x2 x3 ale diagramei schelet: funct¸ia Green electronic˘ a incident˘ a, funct¸ia Green x1 electronic˘ a emergent˘ a, funct¸ia Green fononic˘ a ¸si funct¸ia vertex; ca urmare cele 4 diagrame se pot condensa ˆın diagrama renormat˘ a ˆın ordinul 1, care x′ este reprezentat˘ a ˆın figura al˘ aturat˘ a. Pe baza observat¸iei precedente se scrie termenul de ordinul 2 ˆın forma Z Z Z −1 4 4 d x1 d x2 d4 x3 G(1) (x, x1 ) G(1) (x2 , x′ ) D(1) (x3 , x′′ ) Γ(2) (x1 , x2 ; x3 ) . E2 = ~ Rezultatul pentru ordinul 2 se generalizeaz˘ a pentru toate ordinele teoriei perturbat¸iilor: suma tuturor diagramelor care reprezint˘ a contribut¸iile x perturbat¸ionale de diferite ordine este egal˘ a cu diagrama schelet (diagrama de ordinul 1) ˆın care liniile electronice, linia fononic˘ a ¸si vertexul x′′ x2 x3 se renormeaz˘ a, astfel c˘ a reprezint˘ a funct¸ii Green exacte (electronic˘ a, respectiv fononic˘ a) ¸si funct¸ie vertex exact˘ a; reprezentarea diagramatic˘ a a x1 rezultatului precedent este ilustrat˘ a ˆın figura al˘ aturat˘ a ¸si corespunde la x′ urm˘ atoarea expresie analitic˘ a (calculul a fost efectuat considerˆ and c˘ a sis′ temul are constanta de cuplaj γ ): Z Z Z ∞ X ′ ′ ′ ′ −1 d4 x1 d4 x2 d4 x3 G(γ ) (x, x1 ) G(γ ) (x2 , x′ ) D(γ ) (x3 , x′′ ) Γ(γ ) (x1 , x2 ; x3 ) . En = E≡ ~ n=1
Deplasarea energiei st˘ arii fundamentale datorit˘ a interact¸iei electroni-fononi rezult˘ a din formula (13.89), ˆın care media produsului operatorilor de cˆ amp se ˆınlocuie¸ste prin rezultatul precedent; se efectueaz˘ a sumare banal˘ a ˆın raport cu indicele de spin, care produce factorul de multiplicitate 2s + 1 = 2 ¸si atunci se obt¸ine: Z Z Z Z Z ′ ′ 2 γ ′ 4 4 d4 x3 G(γ ) (x, x1 ) G(γ ) (x2 , x′ ) E0 − E00 = d x d x dγ d3 r lim lim 2 1 ~ 0 r′ →r r′′ →r V ′′ t′ →t+ t →t
×D
(γ ′ )
′′
′
(x3 , x ) Γ(γ ) (x1 , x2 ; x3 ) .
Dac˘ a se consider˘ a un metal normal, pentru care este valabil˘ a teorema Migdal, atunci transformata e ≈ γ, astfel c˘ Fourier a funct¸iei vertex se poate aproxima cu constanta de cuplaj electron-fonon Γ a funct¸ia vertex ˆın spat¸iul pozit¸ii timp este o funct¸ie singular˘ a: Γ(x1 , x2 ; x3 ) = γ δ 4 (x2 −x1 ) δ 4 (x3 −x1 ). ˆIn aceste condit¸ii, prin substituirea aproximat¸iei Migdal a funct¸iei vertex ˆın expresia anterioar˘ a a deplas˘ arii energiei st˘ arii fundamentale ¸si efectuarea integralelor cu ajutorul funct¸iilor Dirac, se obt¸ine Z Z Z ′ ′ ′ 2 γ ′ E0 − E00 == d4 x1 G(γ ) (x, x1 ) G(γ ) (x1 , x′ ) D(γ ) (x1 , x′′ ) γ ′ . dγ d3 r lim lim ′ ′′ ~ 0 r →r r →r V ′′ t′ →t+ t →t
Ultimul rezultat este echivalent cu formula (13.90).
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
406
13.3
Formalismul cˆ ampurilor cuplate la temperatur˘ a finit˘ a
13.3.1
Definit¸ii
Formalismul sistemelor fermionice sau bosonice la temperatur˘a finit˘a a fost prezentat ˆın Capitolul 5, astfel c˘ a se vor prelua rezultatele principale, f˘ar˘a demonstrat¸ii, deoarece ar implica repetit¸ii (cu mici modific˘ari). A. ˆIn cazul prezent se consider˘ a (la fel ca ˆın sect¸iunea precedent˘ a) c˘ a sistemul studiat este constituit din electroni (tratat¸i ˆın aproximat¸ia Hartree-Fock pentru a avea st˘ari uni-electronice efective care ˆınclud efectul mediu al interact¸iei mutuale coulombiene dintre electroni) ¸si fononi (tratat¸i ˆın aproximat¸ia Debye), iar interact¸ia dintre aceste dou˘a sub-sisteme este considerat˘ a ˆın aproximat¸ia Fr¨ohlich; ca urmare, hamiltonianul (canonic) al sistemului total este ˆ =H ˆf + H ˆe + H ˆ e−f . H Hamiltonianul grand-canonic al sistemului se obt¸ine prin generalizarea definit¸iei (5.1): ˆf , ˆ e − µf N ˆ ≡H ˆ − µe N K
(13.91)
ˆe ¸si N ˆf sunt operatorii numere de particule pentru electroni ¸si fononi, iar µe ¸si µf sunt unde N potent¸ialele chimice al electronilor, respectiv al fononilor. Deoarece potent¸ialul chimic al fononilor este nul µf = 0, conform relat¸iei (13.13), se noteaz˘a simplu potent¸ialul chimic al electronilor prin µe = µ, iar hamiltonianul grand-canonic al sistemului devine: ˆ = (H ˆe − µ N ˆe ) + H ˆf + H ˆ e−f = K ˆe + K ˆf + K ˆ e−f , K ˆe ≡ H ˆe − µ N ˆe este hamiltonianul grand-canonic electronic, K ˆf ≡ H ˆ f este hamiltonianul unde K ˆ e−f ≡ H ˆ e−f este hamiltonianul grand-canonic de interact¸ie electonigrand-canonic fononic ¸si K fononi. Pentru a dezvolta seriile de perturbat¸ie ale funct¸iilor Green se separ˘ a hamiltonianul ˆ 0 ¸si parte de perturbat¸ie K ˆ ′: grand-canonic al sistemului ˆın parte liber˘a K ˆ =K ˆ0 + K ˆ′ , K
(13.92)
ˆ0 ≡ K ˆe + K ˆ f ¸si K ˆ′ = K ˆ e−f = H ˆ e−f . unde K B. Sistemul se afl˘ a ˆın condit¸ii termodinamice grand-canonice, fiind ˆın contact cu un rezervor termic care are temperatura T ¸si un rezervor de particule pentru electroni (avˆand potent¸ialul chimic µe = µ) ¸si pentru fononi (avˆand potent¸ialul chimic nul µf = 0). ˆIn mod similar cu prezentarea din Capitolul 5, se introduc urm˘atoarele m˘arimi care descriu comportarea termodinamic˘ a a sistemului prin metodele mecanicii statistice: – funct¸ia de partit¸ie grand-canonic˘a, definit˘ a prin relat¸ia (5.2) ˆ Z = Tr e−β K , – operatorul statistic grand-canonic, definit prin relat¸ia (5.3) ̺ˆ =
1 −β Kˆ e , Z
– media grand-canonic˘ a a unei observabile, definit˘ a prin relat¸ia (5.4)
A = Tr ̺ˆ · Aˆ ,
– relat¸ia termodinamic˘ a fundamental˘ a (expresia statistic˘ a a potent¸ialului grand-canonic Ω), dat˘a de relat¸ia (5.5) −1 Ω(T, µ, V ) = ln Z , β de unde se poate scrie operatorul statistic ˆın forma dat˘a de relat¸ia (5.6) ˆ
̺ˆ = e β Ω e−β K .
ˆ ˘ FINITA ˘ 13.3. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA C.
407
Formularea Heisenberg termic˘ a pentru operatori este definit˘ a prin relat¸ia (5.7) τ ˆ τ ˆ AˆK¯ (τ ) ≡ e ~ K Aˆ e− ~ K . τ
ˆ
Din definit¸ia anterioar˘ a rezult˘a c˘ a pentru parametru real τ ∈ R, operatorul exponent¸ial e ~ K nu † † este un operator unitar, astfel ˆıncˆ at: Aˆ†K¯ (τ ) = AˆK¯ (−τ ) 6= AˆK¯ (τ ) . De asemenea, se obt¸ine ecuat¸ia diferent¸ial˘a, cu condit¸ia init¸ial˘a, descrise prin formulele (5.8): ~
∂ ˆ ˆ , AˆK¯ (τ ) , AK¯ (τ ) = K − ∂τ AˆK¯ (0) = Aˆ .
D. Pentru sistemul electroni ¸si fononi f˘ar˘a interact¸ii reciproce (sistemul liber), conform relat¸iei (13.92), hamiltonianul grand-canonic este ˆ0 = K ˆe + K ˆ f = (H ˆe − µ N ˆe ) + H ˆf . K Atunci se define¸ste formularea Dirac termic˘ a pentru operatori prin adaptarea relat¸iei (5.11) τ ˆ τ ˆ AˆK¯ 0 (τ ) ≡ e ~ K0 Aˆ e− ~ K0 .
Operatorul caracteristic Dirac termic este definit prin formula (5.13): ˆ τ ′ ) ≡ e ~τ Kˆ 0 e− τ −τ ~ U(τ,
′
ˆ K
τ′
ˆ
e− ~ K 0 ;
Sunt importante urm˘atoarele propriet˘ a¸ti ale operatorului caracteristic Dirac termic: • propriet˘ a¸ti grupale descrise de relat¸iile (5.14a): ( ˆ −1 (τ1 , τ2 ) = U(τ ˆ 2 , τ1 ) , U ˆ 1 , τ2 ) · U(τ ˆ 2 , τ3 ) = U(τ ˆ 1 , τ3 ) ; U(τ • este un operator ne-unitar, conform relat¸iei (5.14b): ˆ † (τ1 , τ2 ) = U(−τ ˆ ˆ −1 (−τ1 , −τ2 ) 6= U ˆ −1 (τ1 , τ2 ) ; U 2 , −τ1 ) = U • satisface condit¸ia limit˘ a (5.14c):
ˆ τ ) = ˆ1 ; U(τ,
• satisface ecuat¸ia diferent¸ial˘a (5.14d): ~
∂ ˆ ˆ τ ′) ˆ ′¯ (τ ) · U(τ, U(τ, τ ′ ) = −K K0 ∂τ
• ecuat¸ia diferent¸ial˘a, ˆımpreun˘ a cu condit¸ia limit˘a sunt echivalente cu ecuat¸ia integral˘a (5.14e) Z 1 τ ′ ˆ′ ˆ ˆ ′ , τ0 ) , ˆ U(τ, τ0 ) = 1 − dτ KK¯ 0 (τ ′ ) · U(τ ~ τ0 care este o ecuat¸ie integral˘a de tip Voltera; ˆ′ = H ˆ e−f este un operator m˘arginit, ecuat¸ia integral˘a • deoarece hamiltonianul de interact¸ie K are solut¸ia iterativ˘ a (5.14f) Z τ Z ∞ X ′ 1 −1 n τ ˆ τ0 ) = ˆ ′¯ (τn ) , ˆ ¯ (τ1 ) · · · K dτn Tτ K dτ1 · · · U(τ, K0 K0 n! ~ τ0 τ0 n=0 a termic (ˆın raport cu parametrul real unde Tτ · · · este operatorul de ordonare cronologic˘ τ , definit ˆın mod analog cu operatorul de ordonare cronologic˘ a Dyson: , Tτ Aˆ1 (τ1 ) · Aˆ2 (τ2 ) · · · Aˆn (τn ) = (±1)σπ Aˆπ1 (τπ1 ) · Aˆπ2 (τπ2 ) · · · Aˆπn (τπn ) τπ1 >τπ2 >···>τπn
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
408
elementari, sau operatori de cˆ amp (electronici sau founde Aˆ1 , . . ., Aˆn sunt operatori ..., n a ordonare cronologic˘ a, σπ este nonici), Π = π1,1 , π22,, ..., πn este permutarea care realizeaz˘ paritatea permut˘arii, iar semnul + este pentru fononi ¸si semnul − este pentru electroni; ˆ ′ cont¸in un num˘ operatorii K ar par de operatori de cˆ amp electronici, astfel ˆıncˆ at factorul de semn este pozitiv ˆın toate situat¸iile: (±1)σπ = +1. Din definit¸iile anterioare rezult˘a relat¸ia ˆıntre operatorii termici Heisenberg ¸si Dirac (5.15): ˆ 0) ; ˆ τ ) · AˆK¯ (τ ) · U(τ, AˆK¯ (τ ) = U(0, 0 de asemenea, se obt¸ine exprimarea operatorului statistic ˆın funct¸ie de operatorul statistic al sistemului liber, conform relat¸iei (5.16): ˆ 0) ̺ˆ = e β(Ω−Ω0 ) ̺ˆ0 U(~β,
13.3.2
=⇒
ˆ ˆ ˆ 0) . e−β K = e−β K0 U(~β,
Funct¸ii Green-Matsubara
A. Definit¸ii Prin generalizarea relat¸iilor (5.20) se definesc funct¸iile Green-Matsubara ale sistemului electronifononi: i. funct¸ia Green-Matsubara electronic˘ a este
(13.93) Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) ≡ − Tτ ψˆσK¯ (r, τ ) · ψˆσ† ′ K¯ (r′ , τ ′ ) . ii. funct¸ia Green-Matsubara fononic˘ a este definit˘ a analog
D(r, τ ; r′ , τ ′ ) ≡ − Tτ ϕˆK¯ (r, τ ) · ϕˆK¯ (r′ , τ ′ ) .
(13.94)
B. Propriet˘ a¸ti generale Funct¸iile Green-Matsubara ale sistemului electroni-fononi au propriet˘ a¸tile generale ale funct¸iilor Green-Matsubara pentru sisteme bosonice sau fermionice: 1. invariant¸˘ a la translat¸ii spat¸io-temporale (deoarece sistemul este conservativ ¸si omogen din punct de vedere spat¸ial): Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) = Gσσ′ (r − r′ ; τ − τ ′ ) , D(r, τ ; r′ , τ ′ ) = D(r − r′ ; τ − τ ′ ) ;
2. relat¸ii de simetrie: Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) = δσσ′ G(r − r′ ; τ − τ ′ ) , D(r, τ ; r′ , τ ′ ) = D(r′ , τ ′ ; r, τ ) =⇒
D(r − r′ ; τ − τ ′ ) = D(r′ − r; τ ′ − τ )
3. relat¸ii de periodicitate pseudo-temporal˘a (5.25): G(r − r′ ; τ − τ ′ ) = − G(r − r′ ; τ − τ ′ − ~β) , D(r − r′ ; τ − τ ′ ) = D(r − r′ ; τ − τ ′ + ~β) . Pe baza propriet˘ a¸tilor anterioare se obt¸in dezvolt˘ arile Fourier ale funct¸iilor Green-Matsubara electronic˘ a (fermionic˘ a) ¸si fononic˘ a (bosonic˘a), conform relat¸iei (5.28): ∞ 1 X 1 X ik·(r−r′ )−iωn (τ −τ ′ ) e G(r, τ ; r , τ ) = e G(k, ωn ) , V ~β n=−∞ ′
′
k
D(r, τ ; r′ , τ ′ ) =
∞ 1 X 1 X iq·(r−r′ )−iνm (τ −τ ′ ) e e D(q, νm ) , V q ~β m=−∞
ωn =
2π (n + 21 ) , ~β
νm =
2π m. ~β
(13.95) (13.96)
ˆ ˘ FINITA ˘ 13.3. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
409
C. Operatori elementari ¸si de cˆ amp ai sistemului liber Pentru sistemul electroni-fononi f˘ ar˘ a interact¸ii se construiesc ˆın mod explicit operatorii formul˘arii Dirac ˆın manier˘ a similar˘ a cu metoda prezentat˘ a ˆın Subsect¸iunea 5.2.4. C1. Hamiltonianul grand-canonic al sistemului liber este ˆ0 = K ˆe + K ˆf ; K hamiltonianul electronic este ˆe = H ˆe − µ N ˆe = K
X k,σ
(e ε0k − µ) a ˆ†kσ a ˆkσ ,
unde k, σ sunt st˘ ari uni-electronice efective ˆın aproximat¸ia Hartree-Fock (care consider˘ a o interact¸ie coulombian˘ a medie ˆıntre electroni); hamiltonianul fononic este dat de formula (13.10) cu aproximat¸ia Debye X′ ˆf = θ(qD − q) ~ ωq dˆ†q dˆq . K q
Se observ˘ a c˘ a hamiltonienii grand-canonici ai subsistemelor sunt operatori definit¸i ˆın sub-spat¸ii ˆ e este definit ˆın sub-spat¸iul Fock al st˘arilor electronice Fe , iar K ˆ f este definit ˆın Fock diferite: K sub-spat¸iul Fock al st˘ arilor fononice Ff ; ˆın consecint¸˘a, funct¸ia de partit¸ie ¸si operatorul statistic se factorizeaz˘ a pe subsisteme: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Z 0 = Tr e−β K0 = Tr e−β Ke e−β Kf = Tr(e) e−β Ke · Tr(f) e−β Kf = Ze · Zf , 1 −β Kˆ e 1 −β Kˆ f 1 ˆ · e e = ̺ˆe · ̺ˆ f . ̺ˆ0 = 0 e−β K0 = Z Ze Zf Ca rezultat al decupl˘ arii operatorului statistic se produce decuplarea mediilor. C2. St˘arile elementare ale sistemului total electroni-fononi au urm˘atoarele propriet˘ a¸ti. St˘arile uni-particul˘ a ale sub-sistemului electronic sunt st˘ari efective Hartree-Fock caracterizate prin vectorul de und˘a ¸si proiect¸ia spinului |k, σi; ca urmare, rezult˘a propriet˘ a¸tile: – operatorii elementari sunt a ˆkσ & a ˆ†kσ k,σ ; eik·r – funct¸iile de stare sunt unde plane cu spinori Pauli ψk,σ (r, s) = √ χσ (s); V – energia este independent˘ a de spin εk (conform aproximat¸iei Hartree-Fock se poate exprima energia unei st˘ ari uni-particul˘ a efective ˆın forma de energie a unei particule libere, prin utilizarea masei efective m∗ ). St˘arile uni-particul˘ a ale sub-sistemului fononic sunt moduri normale de vibrat¸ie caracterizate prin vectorul de und˘a |qi ¸si limitate de aproximat ¸ia Debye; ca urmare, rezult˘a propriet˘ a¸tile: – operatorii elementari sunt dˆq & dˆq† q
ˆ
τ
ˆ
τ
ˆ
τ
ˆ
τ
ˆ
τ
ˆ
τ
ˆ
τ
ˆ
ˆkσ e− ~ K0 = e ~ Ke a ˆkσ e− ~ Ke , a ˆkσ K 0 (τ ) = e ~ K0 a a ˆ†kσ K (τ ) = e ~ K0 a ˆ†kσ e− ~ K0 = e ~ Ke a ˆ†kσ e− ~ Ke ; 0
atunci, prin utilizarea formulelor (5.48), se obt¸ine 1
ˆkσ e− ~ (εk −µ)τ , a ˆkσ K 0 (τ ) = a 1
ˆ†kσ e ~ (εk −µ)τ . a ˆ†kσ K (τ ) = a 0
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
410
Operatorii de cˆ amp ˆın formularea Dirac rezult˘a ˆın mod automat din rezultatele anterioare: 1 X ik·r 1 X ik·r− 1 (εk −µ)τ ~ e a ˆkσ K 0 (τ ) = √ e ψˆσ K 0 (r, τ ) = √ a ˆkσ , V k V k 1 X −ik·r † 1 X −ik·r+ 1 (εk −µ)τ † ~ a ˆkσ . e a ˆkσ K (τ ) = √ e ψˆσ† K (r, τ ) = √ 0 0 V k V k
(13.97a) (13.97b)
Pe de alt˘ a parte, mediile grand-canonice pentru produsele de operatori elementari electronici se reduc (datorit˘ a factoriz˘ arii operatorului statistic) la medii calculate pe subsistemul electronic, care au fost calculate cu formulele (5.46) – (5.47):
† ekσ , ˆ†kσ a ˆk′ σ′ = δ k,k′ δσ,σ′ n ˆ†kσ a ˆk′ σ′ = Tr(e) ̺ˆe a a ˆkσ a ˆk′ σ′ 0 = Tr ̺ˆ0 a
† † † (e) ekσ ) , a ˆkσ a ˆk′ σ′ 0 = Tr ̺ˆ0 a ˆkσ a ˆk′ σ′ = Tr ̺ˆe a ˆkσ a ˆk′ σ′ = δ k,k′ δσ,σ′ (1 − n
unde
1
n ekσ =
eβ (εk −µ)
+1
(13.98a) (13.98b)
,
este num˘ arul mediu de ocupare pe starea uni-particul˘a (funct¸ia de distribut¸ie Fermi-Dirac), conform relat¸iei (5.45). Pentru sistemul fononic operatorii elementari ˆın formularea Dirac se reduc la cazul absent¸ei electronilor (cˆand se presupune numai existent¸a sistemului fononic) din argumente similare cu cele utilizate ˆın cazul anterior τ ˆ τ ˆ τ ˆ τ ˆ dˆq K 0 (τ ) = e ~ K0 dˆq e− ~ K0 = e ~ Kf dˆq e− ~ Kf , τ ˆ τ ˆ τ ˆ τ ˆ † e− ~ K f ; dˆq† K (τ ) = e ~ K0 dˆq† e− ~ K0 = e ~ Kf dˆqσ 0
atunci, prin utilizarea formulelor (13.16), se obt¸ine dˆq K 0 (τ ) = dˆq e−ωq τ , dˆq† K (τ ) = dˆq† e ωq τ . 0
Operatorul de cˆ amp ˆın formularea Dirac rezult˘a ˆın mod automat din rezultatele anterioare: ϕˆK 0 (r, τ ) ≈ D
=
X q
X q
θ(qD − q) θ(qD − q)
r
r
~ ωq ˆ † e−iq·r dqK 0 e iq·r + dˆqK 0 2V
~ ωq ˆ iq·r−ωq τ dq e + dˆq† e−iq·r+ωq τ . 2V
(13.99)
Pe de alt˘ a parte, mediile grand-canonice pentru produsele de operatori elementari fononici se reduc (datorit˘ a factoriz˘ arii operatorului statistic) la medii calculate pe subsistemul fononic, care au fost calculate cu formulele (5.46) – (5.47):
unde
† dˆq
dˆq
dˆq′ 0 = Tr ̺ˆ0 dˆq†′ 0 = Tr ̺ˆ0
dˆq† dˆq
dˆq′ = Tr(f) ̺ˆf dˆ†′ = Tr(f) ̺ˆf q
n0q =
dˆq† dˆq′ = δ q,q′ n0q , dˆq dˆq†′ = δ q,q′ (1 + n0q ) , 1
e β~ωq
−1
(13.100a) (13.100b)
,
este num˘ arul mediu de ocupare pe starea uni-particul˘a (funct¸ia de distribut¸ie Bose-Einstein), conform relat¸iei (5.45). C4. Funct¸ia Green-Matsubara electronic˘ a liber˘a se obt¸ine prin particularizarea definit¸iei generale (13.93) la cazul sistemului liber ¸si apoi prin utilizarea descompunerilor operatorilor de cˆ amp
ˆ ˘ FINITA ˘ 13.3. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
411
ˆın operatori elementari (13.97) ¸si a rezultatelor medierilor produselor de operatori elementari (13.98):
0 ′ ′ ˆ ¯ (r, τ ) · ψˆ† ′ ¯ (r′ , τ ′ ) Gσσ ′ (r, τ ; r , τ ) ≡ − Tτ ψσ K 0 σ K0 = − Sp ̺ˆ0 Tτ ψˆσK¯ 0 (r, τ ) · ψˆσ† ′ K¯ 0 (r′ , τ ′ ) −1 X −ik·r+ 1 (εk −µ)τ ik′ ·r′ − 1 (εk′ −µ)τ ′ ~ ~ e e = V ′ k,k h i × θ(τ − τ ′ ) Tr ̺ˆ0 a ˆkσ a ˆ†k′ σ′ − θ(τ ′ − τ ) Tr ̺ˆ0 a ˆ†k′ σ a ˆkσ′ 1 X −ik·(r−r′ )+ 1 (εk −µ)(τ −τ ′ ) ~ θ(τ − τ ′ ) (1 − n ekσ ) − θ(τ ′ − τ ) n ekσ . = − δσ,σ′ e V k
(13.101)
Se observ˘ a c˘ a funct¸ia Green-Matsubara electronic˘ a liber˘a este diagonal˘ a ˆın indicii de spin ¸si depinde numai de diferent¸ele coordonatelor de pozit¸ii-pseudo-timpi: 0 0 ′ ′ ′ ′ Gσσ ′ (r, τ ; r , τ ) = δσ,σ ′ G (r − r ; τ − τ ) ,
astfel c˘ a transformata Fourier scalar˘a este Z Z ~β Ge0 (k, ωn ) = d3 r dτ e−ik·r+iωn τ G 0 (r, τ ) V 0 Z ~β X 1 Z 1 3 i(k′ −k)·r =− (1 − n ekσ ) dτ θ(τ ) e[iωn − ~ (εk −µ)]τ d re V 0 V k′ Z ~β 1 (εk −µ)]τ [iωn − ~ ; −n e kσ dτ θ(−τ ) e 0
cele 3 integrale produc urm˘atoarele rezultate: Z ′ 1 d3 r ei(k −k)·r = δk′ ,k ; V V Z ~β i h 1 1 1 (εk −µ)]~β [iωn − ~ dτ θ(τ ) e[iωn − ~ (εk −µ)]τ = − 1 , e iωn − ~1 (εk − µ) 0 Z ~β 1 dτ θ(−τ ) e[iωn − ~ (εk −µ)]τ = 0 . 0
ˆIn consecint¸˘ a se obt¸ine: 1
e[iωn − ~ (εk −µ)]~β − 1 Ge0 (k, ωn ) = −(1 − n ekσ ) ; iωn − ~1 (εk − µ)
prin utilizarea formulelor pentru funct¸ia de distribut¸ie Fermi-Dirac ¸si a frecvent¸elor fermionice se simplific˘ a expresia precedent˘ a:
1
1 , 1 + e−β (εk −µ) h i − 1 = − e−β (εk −µ) − 1 .
1−n ekσ =
e[iωn − ~ (εk −µ)]~β
Atunci transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara electronic˘ a liber˘a are expresia: Ge0 (k, ωn ) =
1 . iωn − ~1 (εk − µ)
(13.102)
C4. Funct¸ia Green-Matsubara fononic˘ a liber˘a se obt¸ine prin particularizarea definit¸iei generale (13.94) la cazul sistemului liber
D0 (r, τ ; r′ , τ ′ ) ≡ − Tτ ϕˆK¯ 0 (r, τ ) · ϕˆ†K¯ 0 (r′ , τ ′ ) 0 = − θ(τ − τ ′ ) Tr ̺ˆ0 ϕˆK 0 (r, τ ) ϕˆK 0 (r′ , τ ′ ) − θ(τ ′ − τ ) Tr ̺ˆ0 ϕˆK 0 (r′ , τ ′ ) ϕˆK 0 (r, τ ) .
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
412
Prin utilizarea descompunerilor operatorilor de cˆ amp ˆın operatori elementari (13.99) ¸si a rezultatelor medierilor produselor de operatori elementari (13.100) se obt¸ine expresia primei medii grand-canonice: r r X′ ~ ω q ′ ′ ′ ~ ωq ′ h ′ ′ Tr ̺ˆ0 dˆq dˆq′ e(iq·r−ωq τ )+(iq ·r −ωq′ τ ) Tr ̺ˆ0 ϕˆK 0 (r, τ ) ϕˆK 0 (r , τ ) = 2V 2V {z } | ′ q,q (q,q′
=0
′ ′ ′ + Tr ̺ˆ0 dˆq dˆq†′ e(iq·r−ωq τ )+(−iq ·r +ωq′ τ ) {z } |
= δ q,q′ (1+n0q )
′ ′ ′ + Tr ̺ˆ0 dˆq† dˆq′ e(−iq·r+ωq τ )+(iq ·r −ωq′ τ ) | {z } = δ q,q′ n0q
i ′ ′ ′ + Tr ̺ˆ0 dˆq† dˆq†′ e(−iq·r+ωq τ )+(−iq ·r +ωq′ τ ) {z } | =0
i X ~ ωq h ′ ′ ′ ′ (1 + n0q )eiq·(r−r )−ωq (τ −τ ) + n0q e−iq·(r−r )+ωq (τ −τ ) , = 2V q (q
iar cea de-a doua medie rezult˘a din prima efectuˆand permutarea variabilelor spat¸io-pseudotemporale; ca urmare, se obt¸ine expresia funct¸iei Green-Matsubara fononic˘ a liber˘a: h i n X ~ ωq ′ ′ D0 (r, τ ; r′ , τ ′ ) = − eiq·(r−r )−ωq (τ −τ ) (1 + n0q ) θ(τ − τ ′ ) + n0q θ(τ ′ − τ ) 2V q (q
′
+ e−iq·(r−r )+ωq (τ −τ
′
)
h
io n0q θ(τ − τ ′ ) + (1 + n0q ) θ(τ ′ − τ ) .
(13.103)
Deoarece funct¸ia Green-Matsubara fononic˘ a liber˘a depinde numai de diferent¸ele coordonatelor spat¸io-pseudo-temporale D0 (r, τ ; r′ , τ ′ ) = D0 (r − r′ ; t − τ ′ ), rezult˘a c˘ a se poate efectua transformarea Fourier simpl˘a; atunci, transformata sa Fourier se obt¸ine cu formula (5.19): Z ~β Z e 0 (q, νm ) = dτ e−iq·r+iνm τ D0 (r, τ ) d3 r D 0
V
Z ~β h i X ~ ωq ′ Z 3 i(q′ −q)·r =− d re dτ e(iνm −ωq′ )τ (1 + n0q′ ) θ(τ ) + n0q′ θ(−τ ) 2V V 0 ′ q (q′
+
Z
V
3
d re
Z
−i(q′ −q)·r
0
~β
dτ e
(iνm +ωq′ )τ
h
n0q′
θ(τ ) + (1 +
i
n0q′ ) θ(−τ )
;
integralele sunt de tipul ˆıntˆ alnit anterior la funct¸ia Green-Matsubara electronic˘ a, astfel c˘ a se va prezent˘ a direct rezultatul integr˘arilor: n (iνm −ωq )~β −1 e(iνm +ωq )~β − 1 o e 0 (q, νm ) = − θ(qD − q) ~ ωq (1 + n0q ) e D ; + n0q 2 iνm − ωq iνm + ωq
ˆIn mod similar cu cazul electronic, expresia funct¸iei Green-Matsubara fononic˘ a liber˘a se simplific˘ a prin utilizarea formulei funct¸iei de distribut¸ie Bose-Einstein ¸si a expresiei frecvent¸ei bosonice; prin operat¸ii algebrice simple rezult˘a: 1 + n0q e(iνm −ωq )~β − 1 = 1 , n0q e(iνm +ωq )~β − 1 = 1 .
Pe baza rezultatelor anterioare se obt¸ine expresia transformatei Fourier spat¸io-pseudo-temporale a funct¸iei Green-Matsubara fononice libere: n o ~ ωq2 1 1 e 0 (q, νm ) = θ(qD − q) ~ ωq = − θ(qD − q) 2 − . D 2 iνm − ωq iνm + ωq νm + ωq2
(13.104)
ˆ ˘ FINITA ˘ 13.3. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
13.3.3
413
Formalismul cˆ ampurilor cuplate la temperatur˘ a finit˘ a
A. Contract¸ii termice Contract¸ia termic˘ a ˆıntre doi operatori de cˆ amp (sau operatori elementari) ˆın formularea Dirac termic˘ a se define¸ste la fel ca ˆın cazul sistemelor fermionice sau bosonice simple, adic˘a similar cu relat¸ia (5.58): A(τ ) B(τ ′ ) =
def.
ˆK¯ (τ ′ )] Tτ [ AˆK¯ 0 (τ ) B 0
0
ˆK¯ (τ ′ )] . = Tr ̺ˆ0 Tτ [ AˆK¯ 0 (τ ) B 0
(13.105)
Propriet˘a¸tile contract¸iilor termice pentru sistemul electroni-fononi sunt similare cu cele ale sistemelor formionice sau bosonice simple, care au fost prezentate ˆın prima parte a Subsect¸iunii 5.2.5; ˆın consecint¸˘ a, se va omite repetarea acestor propriet˘ a¸ti ¸si se vor lista contact¸iile fundamentale, ˆıntre operatorii de cˆ amp electronici ¸si fononici, care sunt de tipul relat¸iilor (5.61): 0 ′ ′ ψσK¯ 0 (r, τ ) ψσ† ′ K¯ 0 (r′ , τ ′ ) = − Gσσ ′ (r, τ ; r , τ ) ,
(13.106a)
= −ψσ† K¯ 0 (r, τ ) ψσ′ K¯ 0 (r′ , τ ′ ) ψσK¯ 0 (r, τ ) ψσ′ K¯ 0 (r′ , τ ′ ) = ψσ† K¯ 0 (r, τ ) ψσ† ′ K¯ 0 (r′ , τ ′ ) = 0 , ϕK¯ 0 (r, τ ) ϕK¯ 0 (r′ , τ ′ ) = − D0 (r, τ ; r′ , τ ′ ) , ψσK¯ 0 (r, τ ) ϕK¯ 0 (r′ , τ ′ ) = ψσ† K¯ 0 (r, τ ) ϕK¯ 0 (r′ , τ ′ ) = 0 .
(13.106b) (13.106c) (13.106d)
Se observ˘ a c˘ a singurele contract¸ii nenule sunt ˆıntre operatori electronici conjugat¸i ¸si ˆın operatori fononici, avˆand ca rezultate funct¸ii Green-Matsubara libere. Teorema Bloch-De Dominicis (adic˘a teorema Wick termic˘ a) este valabil˘a independent de natura operatorilor de cˆ amp; prin urmare, relat¸ia (5.62) este valabil˘a ˆın cazul sistemului electronifononi:
ˆ a ), B(τ ˆ b ), . . . , Z(τ ˆ z) , ˆ a ) · B(τ ˆ b ) · · · Z(τ ˆ z ) ] = C A(τ (13.107) Tτ [ A(τ 0 unde ˆ a ), B(τ ˆ b ), . . . , Z(τ ˆ z ) sunt operatori de cˆ A(τ amp electronici sau fononici ˆın formularea Dirac termic˘ a (ˆ ın num˘ a r par),
· · · 0 = Tr{̺ˆ0 · · · } este media grand-canonic˘a pe sistemul liber, C{· · · } este suma tuturor contract¸iilor termice totale ale operatorilor de cˆ amp component¸i.
B. Analiza diagramatic˘ a ˆın spat¸iul pozit¸ii-pseudotimpi B1. Formularea problemei Sistemul constituit din electroni ¸si fononi are hamiltonianul grand-canonic ˆın forma (13.92), ˆ = K ˆ0 + K ˆ ′ , unde partea “liber˘a” K ˆ 0 este suma dintre hamiltonianul grand-canonic adic˘a: K al electronilor ˆın aproximat¸ia Hartree-Fock (astfel ˆıncˆ at exist˘a st˘ari uni-electronice efective, care ˆınclud interact¸ia coulombian˘ a dintre electroni, ceea ce echivaleaz˘ a sistemul electronic cu un sistem de fermioni liberi) ¸si hamiltonianul fononilor (care reprezint˘ a vibrat¸iile armonice normale ale ˆ ′ este hamiltonianul de interact¸ie ret¸elei cristaline) ˆın aproximat¸ia Debye; partea de perturbat¸ie K electroni-fononi, ˆın aproximat¸ia Fr¨ohlich (13.28) Z X ˆ′ = H ˆ e−f ≈ γ d3 r K ψˆσ† (r) ψˆσ (r) ϕ(r) ˆ . V
σ
Dezvoltarea ˆın serie de perturbat¸ie a funct¸iilor Green se construie¸ste ˆın mod similar cu cazul general al sistemelor bosonice sau fermionice simple, pentru care construct¸ia seriei perturbative a fost prezentat˘ a ˆın Subsect¸iunea 5.2.5. Astfel, operatorul statistic grand-canonic ¸si operatorii din formularea Heisenberg termic˘ a se exprim˘ a ˆın termeni de operatorul statistic al sistemului liber ¸si respectiv operatori ˆın formularea ˆ Dirac termic˘ a cu ajutorul operatorului caracteristic Dirac termic U(~β, 0) (5.13), prin relat¸iile
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
414 (5.16) ¸si (5.15):
ˆ 0) , ̺ˆ = e β(Ω−Ω0 ) ̺ˆ0 U(~β, ˆ 0) . ˆ τ ) · Aˆ ¯ (τ ) · U(τ, AˆK¯ (τ ) = U(0, K0 Operatorul caracteristic Dirac termic are seria de perturbat¸ie dat˘a de formula (5.14f) ˆ τ0 ) = U(τ,
Z τ Z ∞ X ′ 1 −1 n τ ˆ ′¯ (τn ) , ˆ ¯ (τ1 ) · · · K dτn Tτ K dτ1 · · · K0 K0 n! ~ τ0 τ0 n=0
de unde se obt¸ine seria de perturbat¸ie a potent¸ialului grand-canonic (5.17) e−β(Ω−Ω0 ) =
Z Z ~β ∞ X
′ 1 −1 n ~β ˆ ′¯ (τn ) ˆ ¯ (τ1 ) · · · K . dτ1 · · · dτn Tτ K K0 K0 0 n! ~ 0 0 n=0
Funct¸ia Green-Matsubara electronic˘ a, definit˘ a prin relat¸ia (13.93), are seria de perturbat¸ie Feynman-Dyson de tip (5.64): Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) Z ∞ X −1 −1 n =
n=0
n!
~
~β 0
dτ1 · · ·
Z
~β
′ ˆ ′¯ (τn ) ψˆσK¯ (r, τ ) ψˆ† ′ ¯ (r′ , τ ′ ) ˆ ¯ (τ1 ) · · · K dτn Tr ̺ˆ0 Tτ K 0 K0 K0 σ K0
0
Z Z ~β ′ 1 −1 m ~β ˆ ′¯ (τm ) ˆ ¯ (τ1 ) · · · K dτ1 · · · dτm Tr ̺ˆ0 Tτ K K K 0 0 m! ~ 0 0 m=0 ∞ X
.
Pentru a obt¸ine forma explicit˘ a a seriei de perturbat¸ie pentru funct¸ia Green-Matsubara electronic˘a se expliciteaz˘ a hamiltonienii de interact¸ie ˆın termeni de operatori de cˆ amp ¸si utilizeaz˘a teorema Bloch-De Dominicis (teorema Wick termic˘ a) pentru a transforma mediile grand-canonice ˆın sum˘a de contract¸ii totale cu operatorii de cˆ amp (care sunt funct¸ii Green-Matsubara electronice ¸si fononice); datorit˘ a teroremei Brueckner, adaptat˘ a la formalismul de temperatur˘a finit˘a, exprimat˘ a prin relat¸ia (5.67), termenii nelegat¸i de la num˘ar˘atorul formulei de dezvoltare perturbativ˘ a se factorizeaz˘ a ¸si simplific˘ a numitorul, astfel ˆıncˆ at funct¸ia Green-Matsubara electronic˘ a are urm˘atoarea serie efectiv˘ a de perturbat¸ie: Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) Z Z ~β ∞ X ′ −1 −1 n ~β ˆ ′¯ (τn ) ψˆσK¯ (r, τ ) ψˆ† ′ ¯ (r′ , τ ′ ) . ˆ ¯ (τ1 ) · · · K = K dτ1 · · · dτn C(t) c K0 K0 0 σ K 0 n! ~ 0 0 n=0
(13.108a)
Deoarece integralele pseudo-temporale ale hamiltonienilor de perturbat¸ie sunt de forma urm˘atoare Z
0
~β
ˆ ′¯ (τ ) = γ dτ K K0
Z
V
3
d r
Z
0
~β
dτ
X
ψˆσ† K¯ 0 (r, τ ) ψˆσK¯ 0 (r, τ ) ϕˆK¯ 0 (r, τ ); ,
σ
rezult˘a c˘ a este convenabil s˘a se utilizeze notat¸ia concis˘a 4-dimensional˘a, care a fost introdus˘a ˆın Capitolul 5: Z
x ≡ (r, τ ) Z Z d4 x . . . ≡ d3 r
~β
dτ . . . .
0
Pe baza rezultatelor specificate anterior seria de perturbat¸ie a funct¸iei Green-Matsubara electronic˘ a se expliciteaz˘ a astfel (adic˘ a ˆın mod similar cu metoda utilizatca ˆın cazul general al forma-
ˆ ˘ FINITA ˘ 13.3. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
415
lismului de temperatur˘a finit˘a, care a fost prezentat ˆın Capitolul 5: Z Z ∞ n X X −1 −1 n 4 Gσσ′ (x; x′ ) = γ C(t) d x1 · · · d4 xn ψˆσ† 1 K¯ 0 (x1 ) ψˆσ1 K¯ 0 (x1 ) ϕˆK¯ 0 (x1 ) , c n! ~ σ1 ,...,σn n=0 o † × . . . , ψˆσn K¯ 0 (xn ) ψˆσn K¯ 0 (xn ) ϕˆK¯ 0 (xn ) , ψˆσK¯ 0 (x) ψˆσ† ′ K¯ 0 (x′ ) Z Z Z Z ∞ X X 1 −i 2n 4 γ d x1 d4 x′1 · · · d4 xn d4 x′n = (2n)! ~ ′ n=0 σ1 ,σ1′ ,...,σn ,σn n ψˆσ† 1 H0 (x1 ) ψˆσ1 H0 (x1 ) ϕˆH0 (x1 ) , ψˆσ† ′ H0 (x′1 ) ψˆσ1′ H0 (x′1 ) ϕˆH0 (x′1 ) , . . . , × C(t) c 1
× ψˆσ† n H0 (xn ) ψˆσn H0 (xn ) ϕˆH0 (xn ) , ψˆσ† n′ H0 (x′n ) ψˆσn′ H0 (x′n ) ϕˆH0 (x′n ) , o × ψˆσH0 (x) ψˆσ† ′ H0 (x′ ) , (13.108b)
unde ultima form˘a a fost necesar˘ a deoarece contract¸iile totale ale operatorilor de cˆ amp se pot realiza numai dac˘ a exist˘a un num˘ ar par de hamiltonieni de interact¸ie; atunci, se redefinesc variabilele interne, astfel ˆıncˆ at s˘a se includ˘ a numai ordinele pare (ˆın raport cu constanta de cuplaj electroni-fononi). Funct¸ia Green-Matsubara fononic˘ a, definit˘ a prin relat¸ia (13.94), are seria de perturbat¸ie Feynman-Dyson de tip (5.64), ˆın mod similar cu funct¸ia Green-Matsubara electronic˘ a: D(r, τ ; r′ , τ ′ ) Z ∞ X −1 −1 n =
n=0
n!
~
0
~β
dτ1 · · ·
Z
0
~β
′ ˆ ′¯ (τn ) ϕˆK¯ (r, τ ) ϕˆK¯ (r′ , τ ′ ) ˆ ¯ (τ1 ) · · · K dτn Tr ̺ˆ0 Tτ K 0 0 K0 K0
Z ~β Z ′ 1 −1 m ~β ˆ ′¯ (τm ) ˆ ¯ (τ1 ) · · · K dτm Tr ̺ˆ0 Tτ K dτ1 · · · K K 0 0 m! ~ 0 0 m=0 ∞ X
.
ˆIn continuare se efectueaz˘ a operat¸ii similare cu cele f˘acute pentru prelucrarea funct¸iei GreenMatsubara electronice, adic˘a se expliciteaz˘ a hamiltonienii de interact¸ie ˆın termeni de operatori de cˆ amp ¸si utilizeaz˘ a teorema Bloch-De Dominicis (teorema Wick termic˘ a) pentru a transforma mediile grand-canonice ˆın sum˘a de contract¸ii totale cu operatorii de cˆ amp (care sunt funct¸ii Green-Matsubara electronice ¸si fononice); apoi se utilizeaz˘a teorema Brueckner, adaptat˘ a la formalismul de temperatur˘a finit˘a ¸si exprimat˘ a prin relat¸ia (5.67), astfel ˆıncˆ at termenii nelegat¸i de la num˘ ar˘ atorul formulei de dezvoltare perturbativ˘a se factorizeaz˘ a ¸si simplific˘ a numitorul ¸si ˆın final funct¸ia Green-Matsubara fononic˘ a are urm˘atoarea serie efectiv˘a de perturbat¸ie: Z ~β Z ∞ X ′ −1 −1 n ~β ˆ ′¯ (τn ) ϕˆK¯ (r, τ ) ϕˆK¯ (r′ , τ ′ ) , ˆ ¯ (τ1 ) · · · K D(r, τ ; r′ , τ ′ ) = dτn C(t) dτ1 · · · K c K0 K0 0 0 n! ~ 0 0 n=0 (13.109a) sau mai explicit Z Z ∞ n X X −1 −1 n 4 ψˆσ† 1 K¯ 0 (x1 ) ψˆσ1 K¯ 0 (x1 ) ϕˆK¯ 0 (x1 ) , C(t) γ d x1 · · · d4 xn D(x; x′ ) = c n! ~ σ1 ,...,σn n=0 o † × . . . , ψˆσn K¯ 0 (xn ) ψˆσn K¯ 0 (xn ) ϕˆK¯ 0 (xn ) , ϕˆK¯ 0 (x) ϕˆK¯ 0 (x′ ) Z Z Z Z ∞ X X 1 −i 2n 4 = γ d x1 d4 x′1 · · · d4 xn d4 x′n (2n)! ~ ′ n=0 σ1 ,σ1′ ,...,σn ,σn n ψˆσ† 1 H0 (x1 ) ψˆσ1 H0 (x1 ) ϕˆH0 (x1 ) , ψˆσ† ′ H0 (x′1 ) ψˆσ1′ H0 (x′1 ) ϕˆH0 (x′1 ) , . . . , × C(t) c 1
× ψˆσ† n H0 (xn ) ψˆσn H0 (xn ) ϕˆH0 (xn ) , ψˆσ† n′ H0 (x′n ) ψˆσn′ H0 (x′n ) ϕˆH0 (x′n ) , o × ϕˆH0 (x) ϕˆH0 (x′ ) ,
(13.109b)
unde ultima form˘a a fost necesar˘ a deoarece contract¸iile totale ale operatorilor de cˆ amp se pot realiza numai dac˘ a exist˘a un num˘ ar par de hamiltonieni de interact¸ie (la fel ca ¸si ˆın cazul funct¸iei
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
416
electronice); atunci, se redefinesc variabilele interne, astfel ˆıncˆ at s˘a se includ˘ a numai ordinele pare (ˆın raport cu constanta de cuplaj electroni-fononi). B2. Regulile Feynman pentru funct¸iile Green-Matsubara Seriile de perturbat¸ie ale funct¸iilor Green-Matsubara electronic˘a ¸si fononic˘ a, date de formulele (13.108) – (13.109), sunt similare cu seriile de perturbat¸ie ale funct¸iilor Green corespondente din formalismul de temperatur˘a nul˘a; pe de alt˘ a parte, seriile de perturbat¸ie specificate anterior sunt ˆın corespondent¸˘ a direct˘a cu seria de perturbat¸ie a funct¸iei Green-Matsubara pentru un sistem fermionic sau bosonic simplu, descris˘ a prin formulele (3.68). Pe baza similitudinilor remarcate anterior se poate stabili corespondent¸a diagramatic˘ a pentru termenii de perturbat¸ie ai funct¸iilor Green-Matsubara electronic˘ a ¸si fononic˘ a, iar din comparat¸ia cu formalismul de temperatur˘a nul˘a rezult˘a c˘ a diagramele pentru funct¸iile Green-Matsubara sunt topologic identice cu diagramele funct¸iilor Green corespondente ale formalismului de temperatur˘a nul˘a. Prin urmare, se pot stabili Regulile Feynman pentru diagramele funct¸iilor Green-Matsubara electronic˘ a ¸si fononic˘ a. 1. Topologiile diagramelor pentru funct¸iile Green-Matsubara (atˆ at electronic˘ a, cˆ at ¸si fononic˘ a) au urm˘atoarele caracteristici: i. diagramele sunt legate; ii. diagramele nu cont¸in termeni tadpole; iii. o diagram˘ a de ordinul n cont¸ine 2n vertexuri ¸si 3n + 1 linii, dintre care 2 linii sunt externe ¸si 3n − 1 linii sunt interne (diagrama pentru funct¸ia Green-Matsubara electronic˘ a cont¸ine 2n−1 linii electronice interne ¸si n linii fononice interne, iar diagrama pentru funct¸ia Green-Matsubara fononic˘ a cont¸ine 2n linii electronice interne ¸si n− 1 linii fononice interne); iv. structura intern˘a a unei diagrame electronice este o insert¸ie de self-energie, iar pentru o diagram˘ a fononic˘ a structura intern˘a este o insert¸ie de polarizare. 2. Elementele unei diagrame sunt: x – linie electronic˘ a = funct¸ie Green-Matsubara electronic˘ a liber˘a ′
x
σ
6 σ
′
0 ′ x′ = D (x, x )
– linie fononic˘ a = funct¸ie Green-Matsubara fononic˘ a liber˘a x
– vertex = constanta de cuplaj electron-fonon I
= δσσ′ G 0 (x, x′ )
=γ
3. Ca rezultat al corespondent¸ei analitice se obt¸ine expresia diagramei pentru funct¸ia Green(n,j) Matsubara electronic˘ a Eσσ′ (x, x′ |x, λµ), sau expresia diagramei pentru funct¸ia Green(n,j) Matsubara fononic˘ aF (x, x′ |x, λµ).
Expresia analitic˘a a diagramei se integreaz˘a dup˘a coordonatele spat¸io-pseudo-temporale ale vertexurilor ¸si se sumeaz˘a peste indicii de spini interni; adic˘a se efectueaz˘a urm˘atoarele operat¸ii: – integr˘arile ¸io-pseudo-temporale interne (sunt 2n integrale 4-dimenZ pesteZ coordonatele Z spatZ Z d4 x1
d4 x′1 · · ·
d4 xn
d4 x′n · · · ≡
d8n x · · · X X X ···. ··· – sum˘arile peste indicii de spin interni (sunt 4n sume): ··· ≡ sionale):
σ1 ,σ1′
′ σn ,σn
(λ,µ)
4. Factorul diagramei se calculeaz˘a astfel: (n)
• factorul aprioric (dat de dezvoltarea analitic˘a de perturbat¸ie) f0
=
−1 −1 2n ; (2n)! ~
ˆ ˘ FINITA ˘ 13.3. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA (n)
• factorul de multiplicitate la permut˘ari ˆıntre hamiltonienii de interact¸ie: fp
417 = (2n)! ;
• factorul de semn produs de fiecare funct¸ie Green-Matsubara (atˆ at electronic˘ a cˆ at ¸si (n) fononic˘ a) fGD = (−1)2n+1 = −1 ; (n)
• factorul de semn dat de liniile electronice ˆınchise fL
= (−1)L ;
adunˆ and contribut¸iile precedente la factorul aprioric se obt¸ine (n)
fj
(n)
= f0
(n)
(n)
· fp(n) · fGD · fL
=
1 (−1)Lj . ~2n
5. Termenul perturbat¸ional de ordinul n al funct¸iei Green-Matsubara electronic˘ a se obt¸ine prin sumarea tuturor contribut¸iilor de la diagramele topologic distincte: X(n) (n)Z X (n,j) (n) ′ Eσσ′ (x, x′ |x, λµ) ; fj Gσσ′ (x, x ) = d8n x j
(λ,µ)
ˆın mod similar, termenul perturbat¸ional de ordinul n al funct¸iei Green-Matsubara fononic˘ a se obt¸ine prin sumarea tuturor contribut¸iilor de la diagramele topologic distincte: X(n) (n)Z X (n) ′ F (n,j) (x, x′ |x, λµ) . fj D (x, x ) = d8n x j
(λ,µ)
6. Pentru funct¸iile Green-Matsubara exacte se utilizeaz˘a urm˘atoarele imagini diagramatice: x – funct¸ia Green-Matsubara electronic˘ a Gσσ′ (x, x′ ) −→
– funct¸ia Green-Matsubara fononic˘ a D(x, x′ ) −→ x
x′
σ
6
σ′
x′
Regulile Feyman precedente se simplific˘ a luˆand ˆın considerare proprietatea funct¸iilor GreenMatsubara electronice libere de a fi diagonale ˆın indicii de spin; atunci se poate repeta argumentarea f˘ acut˘ a pentru cazul analog din formalismul de temperatur˘a nul˘a ¸si rezult˘a urm˘atoarele Reguli Feynman modificate: 1. structurile topologice ale diagramelor r˘amˆ an neschimbate, dar nu se mai noteaz˘ a indicii de spin electronici; 2. corespondent¸a analitic˘a a elementelor de diagrame este aceea¸si, cu simplificarea c˘ a linia electronic˘ a corespunde funct¸iei Green-Matsubara elctronice scalare (deoarece se omit indicii de spin); 3. expresia analitic˘a corepondent˘ a diagramei este similar˘ a, dar nu mai sunt prezente simbolurile Kronecker pentru indicii de spin electronici, iar aceast˘a expresie se integreaz˘a ˆın raport cu coordonatele spat¸io-pseudo-temporale interne, f˘ar˘a s˘a se mai efectueze sum˘ari ˆın raport cu indicii de spin electronici; 4. factorul diagramei se multiplic˘a cu ponderea de spin a buclelor electronice (2s + 1)L = 2L , unde L este num˘ arul de bucle electronice ˆınchise; 5. termenii perturbat¸ionali ai funct¸iilor Green-Matsubara (electronice ¸si fononice) se obt¸in prin sumarea contribut¸iilor diagramelor topologic distincte ale ordinului de perturbat¸ie considerat; 6. funct¸ia Green-Matsubara electronic˘ a exact˘ a este diagonal˘ a ˆın indicii de spini ¸si se ment¸ine aceea¸si imagistic˘a pentru diagrame.
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
418
Exemple: imaginile diagramatice ¸si expresiile analitice corespuz˘ atoare pentru termenii perturbativi de ordine inferioare (n = 0, 1). • Funct¸ia Green-Matsubara fononic˘ a: D(0) (x, x′ ) = x x′ 0 ′ = D (x, x ) ; D(1) (x, x′ ) = x γ2 ~2
=2
Z
x1 d4 x1
Z
x′
x′1
d4 x′1 D0 (x, x1 ) G 0 (x1 , x′1 ) G 0 (x′1 , x1 ) D0 (x′1 , x′ ) .
• Funct¸ia Green-Matsubara electronic˘ a: x (0)
Gσ,σ′ (x, x′ ) =
= δσ,σ′ G 0 (x, x′ ) ;
x′ x x
(1)
Gσ,σ′ (x, x′ ) =
= δσ,σ′
′
x
γ2 ~2
Z
d4 x1
Z
d4 x′1 G 0 (x, x1 ) G 0 (x1 , x′1 ) D0 (x1 , x′1 ) G 0 (x′1 , x′ ) .
x′
C. Analiza diagramatic˘ a ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a Se consider˘ a c˘ a sistemul ellectroni-fononi este conservativ (nu interact¸ioneaz˘ a cu sisteme externe) ¸si omogen din punct de vedere spat¸ial; atunci, sunt valabile transform˘arile Fourier simple ale funct¸iilor Green-Matsubara electronic˘ a ¸si fononic˘ a (13.95) – (13.96): G(r, τ ; r′ , τ ′ ) =
∞ 1 X 1 X ik·(r−r′ )−iωn (τ −τ ′ ) e e G(k, ωn ) , V ~β n=−∞
ωn =
k
∞ 1 X 1 X iq·(r−r′ )−iνm (τ −τ ′ ) e D(r, τ ; r′ , τ ′ ) = e D(q, νm ) , V q ~β m=−∞
2π (n + 21 ) , ~β
νm =
2π m, ~β
iar transformatele Fourier ale funct¸iilor Green-Matsubara libere sunt exprimate prin formulele (13.102) ¸si (13.104) Ge0 (k, ωn ) =
1 , iωn − ~1 (εk − µ)
e 0 (q, νm ) = − θ(qD − q) D
~ ωq2 . 2 + ω2 νm q
Dup˘a cum s-a ar˘ atat ˆın Subsect¸iunea 5.2.5, transformarea Fourier spat¸io-pseudo-temporal˘a pentru funct¸iile Green-Matsubara are propriet˘ a¸tile: – conserv˘ a produsele de convolut¸ie, – 4-impulsurile se conserv˘ a ˆın fiecare vertex, conform relat¸iei (5.80) care corespunde p˘ art¸ii de diagram˘ a figurate mai jos. q = k − k′ ,
νm = ωn − ωn′ =
k, ωn 2π (n − n′ ) ; ~β
k′ , ωn′
q, νm
ˆ ˘ FINITA ˘ 13.3. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
419
Ca urmare, diagramele care reprezint˘ a termenii de perturbat¸ie pentru transformatele Fourier ale funct¸iilor Green-Matsubara (electronic˘a ¸si fononic˘ a) au topologie identic˘ a cu diagramele corespondente din spat¸iul pozit¸ii-pseudo-timpi. Pe baza observat¸iilor anterioare ¸si utilizˆand rezultatele din Subsect¸iunea 5.2.5 se pot formula ˆın mod direct Regulile Feynman pentru funct¸iile Green-Matsubara electronic˘ a ¸si fononic˘ a ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a. 1. Topologiile diagramelor de ordinul n au urm˘atoarele caracteristici: i. sunt diagrame legate, ii. sunt absente diagramele tadpole, iii. diagramele cont¸in 2n vertexuri, iv. diagramele cont¸in 3n + 1 linii, dintre care 2 linii sunt externe ¸si 3n − 1 linii sunt interne (pentru cazul electronic liniile externe ¸si 2n − 1 linii interne sunt electronice ¸si n linii interne sunt fononice, ˆın cazul fononic liniile externe ¸si n − 1 linii interne sunt fononice ¸si 2n linii interne sunt electronice); v. partea intern˘a a unei diagrame electronice este o insert¸ie de self-energie, iar partea intern˘a a unei diagrame fononice este o insert¸ie de polarizare. 2. Elementele diagramelor au urm˘atoarele corespondent¸e analitice: σ
a) linie electronic˘ a
e0 k, ωn = Gσσ′ (k, ωn ) 6 σ′
b) linie fononic˘ a
c) vertex
I
q, νm
e 0 (q, νm ) =D
=γ
3. Se atribuie pentru fiecare linie electronic˘ a ¸si fiecare linie fononic˘ a cˆ ate un impuls-frecvent¸˘a; consecint¸a integr˘arilor peste coordonatele de pozit¸ie ¸si pseudo-timp, urmate de utilizarea relat¸iilor de conservare ale impulsurilor ¸si frecvent¸elor (exprimate prin funct¸ii Dirac), produc urm˘atoarele rezultate: – liniile particul˘ a externe au impulsul ¸si frecvent¸a generale ale transformatei Fourier pentru funct¸ia Green-Matsubara; – impulsurile ¸si frecvent¸ele liniilor interne (electronice ¸si fononice) satisfac relat¸ii de conservare ˆın fiecare vertex; ˆın consecint¸˘a, num˘arul de impuls-frecvent¸e interne independente este n. 4. Se efectueaz˘ a corespondent¸a analitic˘a a diagramei, astfel c˘ a rezult˘a: – expresia analitic˘a a setului de linii particul˘ a ¸si de interact¸ie este ˆın cazul electronic (n,j) Eeσσ′ (k, ωn | pν, λµ) ¸si ˆın cazul fononic Fe(n,j) (q, νm | pν, λµ) unde s-au introdus urm˘atoarele notat¸ii concise: p este setul impulsurilor interne independente, ν este setul frecvent¸elor interne independente, λµ este setul indicilor de spin interni. – factorul diagramei este identic cu factorul corespondent pentru diagramele din spat¸iul 1 (n) pozit¸ii-pseudo-timpi: fj = 2n (−1)Lj . ~ 5. Se efectueaz˘ a (pentru fiecare tip de diagram˘ a) – integr˘ari peste impulsurile interne independente ¸si sum˘ari peste frecvent¸ele interne (sunt n integrale 3-dimensionale ¸si n sum˘ari) Z 3 Z Z 3 X d pn 1 X d3n p d p1 1 X n . . . · · · . . . ≡ (2π)3 ~β n (2π)3 ~β n ~β (2π)3 1
n
ν
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
420
– sum˘ari peste indicii de spini interni (sunt 4n sum˘ari) X
···
λ1 λ′1 µ1 µ′1
X
λn λ′n µn µ′n
... ≡
X
... .
(λ,µ)
6. Se sumeaz˘a tot¸i termenii de ordinul n (provenit¸i de la toate diagramele topologic distincte); ca rezultat se obt¸ine termenul perturbat¸ional de ordinul n al transformatei Fourier a funct¸iei Green-Matsubara electronic˘ a: (n) Geσσ′ (k, ωn ) =
(n) X
Z X
(n)
fj
j
ν
X (n,j) d3n p n Eeσσ′ (k, ωn | pν, λµ) , ~β (2π)3 (λ,µ)
(13.110a)
termenul perturbat¸ional de ordinul n al transformatei Fourier a funct¸iei Green-Matsubara fononic˘ a: e (n) (q, νm ) = D
(n) X j
(n) fj
Z X ν
X d3n p n Fe(n,j) (q, νm | pν, λµ) . ~β (2π)3 (λ,µ)
(13.110b)
Deoarece transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara electronic˘ a este diagonal˘ a ˆın indicii de spini, rezult˘a c˘ a se pot efectua ˆın mod banal sum˘arile ˆın raport cu indicii de spini electronici interni ¸si transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara electronice exacte este, de asemenea, diagonal˘ a ˆın indicii de spini. Consecint¸a acestei propriet˘ a¸ti este posibilitatea reformul˘arii regulilor Feynman ˆıntr-o form˘a simplificat˘ a: 1. Topologiile diagramelor r˘amˆ an acelea¸si, dar nu se mai noteaz˘ a indicii de spin electronici. 2. Corespondent¸a analitic˘a se p˘ astreaz˘ a, cu simplificarea c˘ a linia electronic˘ a corespunde transformatei Fourier a funct¸iei Green-Matsubara electronice libere f˘ar˘a indicii de spini. 3. Impulsurile ¸si frecvent¸ele liniilor r˘amˆ an nemodificate. 4. Expresiile analitice pentru diagrame se simplific˘ a prin absent¸a indicilor de spin, astfel ˆıncˆ at ˆın cazul electronic se obt¸ine expresia Ee(n,j) (k, ωn | pν) ¸si ˆın cazul fononic expresia este Fe(n,j) (q, νm | pν); factorul diagramei se amplific˘a cu termenul (2s + 1)Lj = 2Lj , datorat 1 (n) sum˘arilor de spin pe buclele electronice, adic˘a se obt¸ine fj = 2n (−2)Lj . ~ 5. Se efectueaz˘ a integr˘arile ˆın raport cu impulsurile interne ¸si sum˘arile ˆın raport cu frecvent¸ele interne; nu mai apar sum˘arile ˆın raport cu indicii de spini electronici, deoarece efecul acestor sum˘ari a fost luat ˆın considerare anterior. 6. Termenii de ordinul n ai transformatelor Fourier pentru funct¸iile Green-Matsubara se obt¸in prin sumarea tuturor contribut¸iilor de la diagramele topologic distincte de ordinul n: Ge(n) (k, ωn ) =
(n) X j
(n)
fj
Z X ν
Z X (n) X e (n) (q, νm ) = fj D (n)
j
ν
d3n p n Ee(n,j) (k, ωn | pν) , ~β (2π)3
d3n p n Fe(n,j) (q, νm | pν) . ~β (2π)3
D. Ecuat¸ii Dyson ¸si metoda de renormare Rezultatele sunt similare cu rezultatele analoage din formalismul de temperatur˘a nul˘a, prezentate ˆın mod detaliat ˆın Subsect¸iunea 13.2.3, astfel c˘ a ˆın cazul prezent (adic˘a ˆın formalismul de temperatur˘a finit˘a) se prezint˘ a numai rezultatele importante, f˘ar˘a demonstrat¸ii sau detalieri.
ˆ ˘ FINITA ˘ 13.3. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
421
D1. Funct¸ia vertex este definit˘ a ca suma tuturor p˘ art¸ilor vertex ireductibile, care sunt reprezentate prin diagrame topologic identice cu diagramele corespondente din formalismul de temperatur˘a nul˘a. ˆIn spat¸iul pozit¸ii-pseudo-timpi funct¸ia vertex este notat˘a ¸si reprezentat˘ a diagramatic astfel: x′ T (r, τ ; r′ , τ ′ | r′′ , τ ′′ ) ≡ T (x ; x′ | x′′ ) −→ not x′′ x iar ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a funct¸ia vertex este notat˘a ¸si reprezentat˘ a diagramatic ˆın modul urm˘ator: k+q e e T (k, ωn ; k + q, ωn + νm | q, νm ) ≡ T (k ; k + q | q) −→ not q k Deoarece diagramele ˆın spat¸iul pozit¸ii-pseudo-timpi ¸si diagramele ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a sunt topologic identice, se prezint˘ a setul diagramelor pentru primele ordine perturbat¸ionale, f˘ar˘a s˘a se specifice variabilele:
=
+
+
+
+
+
+
+
+ ...
se observ˘ a c˘ a prima diagram˘ a este de ordinul 0, a doua diagram˘a este de ordinul 2 ¸si urm˘atoarele 6 diagrame sunt de ordinul 4. Seria de perturbat¸ie a funct¸iei vertex cont¸ine numai ordinele pare, conform definit¸iei (13.72): T = γ 1 + T (2) + T (4) + O(γ 6 ) . D2. Self-energiile proprii (electronic˘ a ¸si fononic˘ a) Self-energia proprie electronic˘ a are urm˘atoarea reprezentare diagramatic˘ a a contribut¸iilor pentru primele dou˘a ordine perturbat¸ionale:
M∗ =
=
+
+
+
Self-energia proprie fononic˘ a este proport¸ional˘ a cu polarizarea proprie ¸si contribut¸iile primelor dou˘a ordine perturbat¸ionale sunt reprezentate prin urm˘atoarele diagrame: M∗f =
γ2 ∗ Π = ~ =
+
+
+
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
422
D3. Ecuat¸iile Dyson pentru funct¸iile Green-Matsubara au urm˘atoarele reprezent˘ ari diagramatice (valabile atˆat ˆın spat¸iul pozit¸ii-pseudo-timpi, cˆ at ¸si ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a):
G
=
D
=
=
+
=
+
Pentru o exprimare condensat˘ a a expresiilor analitice se utilizeaz˘a notat¸iile 4-dimensionale spat¸ioZ Z Z ~β pseudo-temporale: x ≡ (r, τ ) ¸si d4 x . . . ≡ d3 r dτ . . . ; atunci ecuat¸iile Dyson pentru 0
funct¸iile Green electronic˘ a ¸si fononic˘ a au urm˘atoarele expresii: Z Z G(x, x′ ) = G 0 (x, x′ ) + d4 x1 d4 x′1 G 0 (x, x1 ) M∗ (x1 , x′1 ) G(x′1 , x′ ) , Z Z γ2 ∗ ′ 0 ′ 4 D(x, x ) = D (x, x ) + d x1 d4 x′1 D0 (x, x1 ) Π (x1 , x′1 ) D(x′1 , x′ ) ; ~
(13.111a) (13.111b)
ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘ a ecuat¸iile precedente devin e ωn ) = Ge0 (k, ωn ) + Ge0 (k, ωn ) M f∗ (k, ωn ) G(k, e ωn ) , G(k,
(13.112a)
2
f ∗ (q, νm ) D(q, e νm ) . e νm ) = D e 0 (q, νm ) + D e 0 (q, νm ) γ Π D(q, ~
(13.112b)
Sistemul ecuat¸iilor Dyson pentru funct¸iile Green-Matsubara sunt exprimate cu ajutorul selfenergiilor; ˆın consecint¸˘ a, este necesar s˘a se deduc˘ a aceste self-energii. D4. Ecuat¸iile Dyson pentru self-energii ¸si pentru funct¸ia vertex Pentru formularea acestor ecuat¸ii Dyson se utilizeaz˘a diagrame schelet, definite ca diagrame Feynman ˆın care s-au eliminat toate insert¸iile de self-energie electronice, insert¸iile de polarizare ¸si p˘ art¸ile vertex. Pentru self-energie ¸si pentru polarizare exist˘a cˆ ate o singur˘a diagram˘ a, care este de ordinul minim 5 Msk =
Πsk = Funct¸ia de polarizare, spre deosebire de self-energie ¸si de polarizare, are diagrame schelet ˆın toate ordinele de perturbat¸ie; diagramele schelet pentru primele ordine de perturbat¸ie sunt urm˘atoarele:
Tsk =
+
+
+
+
+...
5ˆ In Subsect¸iunea 13.2.3 sunt prezentate ˆın mod detaliat diagramele schelet, astfel c˘ a ˆın prezenta subsect¸iune se omite repetit¸ia.
ˆ ˘ FINITA ˘ 13.3. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
423
Pe baza definit¸iilor se poate formula Teorema de renormare (la fel ca ˆın cazul formalismului de temperaturca nul˘a): 1. Fiecare diagram˘ a Feynman are o diagram˘ a schelet, care este unic˘ a. 2. Orice diagram˘ a Feynman se poate construi dintr-o diagram˘ a schelet, prin intercal˘ari de insert¸ii de self-energie, insert¸ii de polarizare ¸si p˘ art¸i vertex. Prin definit¸ie, o diagram˘ a schelet renormat˘ a este o diagram˘ a schelet care are: – liniile electronice reprezentate de funct¸ii Green electronice exacte, – liniile fononice reprezentate de funct¸ii Green fononice exacte, – punctele reprezentate prin funct¸ii vertex. Atunci setul diagramelor schelet renormate este setul tuturor diagramelor pentru funct¸ia GreenMatsubara electronic˘ a (G), funct¸ia Green-Matsubara fononic˘ a (D) ¸si funct¸ia vertex termic˘ a (T ); ecuat¸iile Dyson pentru self-energia proprie, polarizarea proprie ¸si funct¸ia vertex se obt¸in direct din diagramele schelet renormate, ˆın mod similar cu procedura prezentat˘ a pentru formalismul de temperatur˘a nul˘a. Pe baza teoremei de renormare se obt¸in diagramele corespunz˘ atoare self-energiei proprii, polariz˘arii proprii ¸si funct¸iei vertex:
x M∗ =
x = x1
x’
x1’ x’ x1’
Π∗ =
=
x
x’
=
x
x1
x’
+
+
+
+
Din diagramele precedente se obt¸in expresiile analitice ale ecuat¸iilor Dyson ˆın spat¸iul pozit¸iipseudo-timpi: Z Z γ2 ∗ ′ 4 M (x, x ) = 2 d x1 d4 x′1 G(x, x1 ) D(x′1 , x) T (x′ , x1 ; x′1 ) ; (13.113) ~ Z Z γ2 ∗ (2s + 1) 2 γ Π (x, x′ ) = d4 x1 d4 x′1 G(x, x1 ) G(x′1 , x) T (x′1 , x1 ; x′ ) ; (13.114) ~ ~2 Z Z Z Z Z Z T (x, x′ ; x′′ ) = γ δ 4 (x′ − x) δ 4 (x′′ − x) + d4 x1 d4 x′1 d4 x2 d4 x′2 d4 x3 d4 x′3
× T (x, x1 ; x′1 ) D(x′2 , x′1 ) T (x2 , x′ ; x′2 ) G(x2 , x3 ) G(x′3 , x1 ) T (x′3 , x3 ; x′′ ) + . . . (13.115)
ˆIn mod analog se obt¸in ecuat¸iile corespondente ˆın spat¸iul impuls-frecvent¸˘a: 2 Z d3 q 1 X e e νm ) Te (k − q, ωn − νm ; k, ωn | q, νm ) , f∗ (k, ωn ) = γ G(k − q, ωn − νm ) D(q, M 2 ~ R3 (2π)3 ~β m (13.116)
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
424
γ 2 f∗ Π (k, νm ) ~ Z d3 k 1 X e (2s + 1) 2 e + q, ωn + νm ) Te (k + q, ωn + νm ; k, ωn | q, νm ) , γ G(k, ωn ) G(k = 2 3 ~ R3 (2π) ~β n
(13.117)
Te (k, ωn ; k + q, ωn + νm | q, νm ) Z d3 p 1 X e e T (k, ωn ; k − p, ωn + Ωl | p, Ωl ) D(p, Ωl ) =γ+ 3 R3 (2π) ~β l
e − p, ωn − Ωl ) × Te (k + q − p, ωn + νm − Ωl ; k + q, ωn + νm | q, νm ) G(k e + q − q, ωn + νm − Ωl ) Te (k − p, ωn − Ωl ; k + q − p, ωn + νm − Ωl | q, νm ) × G(k
+ ... .
(13.118)
Observat¸ii asupra ecuat¸iilor Dyson: i. Sistemul ecuat¸iilor Dyson (13.111a), (13.112a), (13.113), (13.114) ¸si (13.115) este un sistem de ecuat¸ii cuplate pentru funct¸iile Green-Matsubara ˆın spat¸iul pozit¸ii-pseudo-timpi; respectiv sistemul ecuat¸iilor Dyson (13.111b), (13.112b), (13.116), (13.117) ¸si (13.118) este un sistem de ecuat¸ii cuplate pentru transformatele Fourier ale funct¸iilor Green-Matsubara. ii. Solut¸ia iterativ˘ a a sistemului de ecuat¸ii Dyson sunt seriile de perturbat¸ie ale funct¸iilor Green-Matsubara electronic˘ a ¸si fononic˘ a; totu¸si sistemul ecuat¸iilor Dyson permite obt¸inerea unor solut¸ii neperturbative. iii. Dificultatea major˘ a a sistemului de ecuat¸ii Dyson o constituie funct¸ia vertex, care are un num˘ar infinit de diagrame schelet; ca urmare este necesar s˘a se efectueze o aproximare, astfel ˆıncˆ at s˘a se considere numai un num˘ ar finit de diagrame. iv. Sistemul ecuat¸iilor Dyson ˆın formalismul de temperatur˘a finit˘a este similar cu sistemul corespondent din formalismul de temperatur˘a nul˘a. ˆIn cazul unui metal normal (adic˘ a f˘ar˘a propriet˘ a¸ti supra-conductoare) este valabil˘a teorema Migdal, care afirm˘ a c˘ a funct¸ia vertex se poate aproxima cu constanta interact¸iei electron-fonon (care este aproximat¸ia de ordin 0): r m , (13.119) Te = γ + O M unde m este masa electronic˘ a ¸si M este masa ionic˘ a. Deoarece raportul maselor este foarte mic (m/M < 10−4 ), rezult˘a c˘ a se poate face aproximat¸ia Te ≈ γ ¸si sistemul de ecuat¸ii Dyson se simplific˘ a ˆın mod considerabil.
Demonstrat¸ia teoremei Migdal ˆın cadrul formalismului de temperatur˘ a finit˘ a este aproape identic˘ a cu demonstrat¸ia aceleia¸si teoreme ˆın cadrul formalismului de temperatur˘ a nul˘ a; prin urmare se omite aceast˘ a demonstrat¸ie.
13.3.4
Funct¸ii Green termice de timpi reali
A. Definit¸ii ¸si propriet˘ a¸ti generale Funct¸iile Green termice de timp real ale sistemului electroni-fononi sunt de tipul funct¸iilor Green fermionice sau bosonice, care au fost prezentate ˆın Sect¸iunea 5.3; ca urmare, se vor utiliza rezultatele din sect¸iunea specificat˘ a anterior, far˘a a repeta argument˘ arile. Funct¸iile Green electronic˘ a ¸si fononic˘ a se definesc ˆın termeni de operatori de cˆ amp ˆın formularea Heisenberg grand-canonic˘ a, adic˘a un operator al acestei formul˘ari este definit de formula (5.101): i ˆ i ˆ AˆK (t) ≡ e ~ tK Aˆ e− ~ tK ; ˆın mod similar se define¸ste operatorul ˆın formularea Dirac grand-canonic˘a (sau Heisenberg grandcanonic˘a liber˘ a): i ˆ i ˆ AˆK0 (t) ≡ e ~ tK0 Aˆ e− ~ tK0 .
ˆ ˘ FINITA ˘ 13.3. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
425
Funct¸iile Green termice de timp real electronice (cauzal˘a, retardat˘ a ¸si avansat˘a) sunt definite prin adaptarea formulelor generale (5.102) la cazul fermionic: (13.120a) Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) ≡ − i Tr ̺ˆ T ψˆσK (r, t) · ψˆσ† ′ K (r′ , t′ ) , (R) † ′ ′ ′ ′ ′ (13.120b) Gσσ′ (r, t; r , t ) ≡ − i θ(t − t ) Tr ̺ˆ ψˆσK (r, t) , ψˆσ′ K (r , t ) + , (A) (13.120c) Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) ≡ + i θ(t′ − t) Tr ̺ˆ ψˆσK (r, t) , ψˆσ† ′ K (r′ , t′ ) + . Funct¸iile Green termice de timp real fononice (cauzal˘a, retardat˘ a ¸si avansat˘a) au definit¸ii modificate fat¸˘ a de cazul general bosonic, reprezentat prin formulele (5.102), prin faptul c˘ a operatorul de cˆ amp fononic este hermitic: D(r, t; r′ , t′ ) ≡ − i Tr ̺ˆ T ϕˆK (r, t) · ϕˆK (r′ , t′ ) , (13.121a) (R) ′ ′ ′ ′ ′ D (r, t; r , t ) ≡ − i θ(t − t ) Tr ̺ˆ ϕˆK (r, t) , ϕˆK (r , t ) − , (13.121b) D(A) (r, t; r′ , t′ ) ≡ + i θ(t′ − t) Tr ̺ˆ ϕˆK (r, t) , ϕˆK (r′ , t′ ) − . (13.121c)
Se consider˘ a c˘ a sistemul electroni-fononi este izolat (deci este conservativ) ¸si omogen (din punct de vedere spat¸ial); atunci funct¸iile Green electronice ¸si fononice depind numai de diferent¸ele coordonatelor spat¸iale ¸si temporale, ˆın concordat¸˘a cu formulele (5.106) – (5.107); ˆın plus, interact¸iile electroni-fononi sunt independente de spini ¸si atunci funct¸iile Green electronice sunt diagonale ˆın indicii de spini, ˆın concordat¸˘ a cu formula (5.108). Atunci funct¸iile Green electronice ¸si fononice (cauzale, retardate ¸si avansate) admit transformate Fourier spat¸io-temporale simple, de tipul relat¸iilor (5.110): Z 1 X ∞ dω ik·(r−r′ )−iω(τ −t′ ) e (g) (g) (g) ′ ′ ′ ′ ′ ′ e G (k, ω) , Gσσ′ (r, t; r , t ) = δσσ Gσσ (r − r , t − t ) = δσσ V −∞ 2π k
(13.122a) Z ∞ X 1 dΩ iq·(r−r′ )−iΩ(t−t′ ) e (g) D(g) (r, t; r′ , t′ ) = D(g) (r − r′ , t − t′ ) = e D (q, Ω) , (13.122b) V q −∞ 2π
unde g = c, R, A.
B. Reprezent˘ ari Lehmann ¸si consecint¸e B1. Pentru funct¸iile Green electronice se utilizeaz˘a rat¸ionamentele ¸si rezultatele din Subsec¸tiunea 5.3.2, adaptate la cazul fermionic; ca urmare, reprezent˘arile Lehmann ale funct¸iilor Green de timp real electronice cauzal˘ a, retardat˘ a ¸si avansat˘a sunt date de formulele (5.113) pentru cazul electronic (s = 12 ): (N Z ) (NZ+1) ∞ 2 V X X X 1 X ˆ e G(k, ω) = δ Pα′ −Pα , ~k α ψσ (0) α′ Z 2 σ N =0 α α′ e−βKα′ e−βKα ; + × 1 1 ′ ′ ω − ~ (Kα − Kα ) + i η ω − ~ (Kα − Kα ) − i η η→0+
e (R)
G
(N Z ) (NZ+1) ∞ 2 V X X X 1 X ˆ (k, ω) = δ Pα′ −Pα , ~k α ψσ (0) α′ Z 2 σ N =0 α α′ e−βKα ∓ e−βKα′ × ; 1 ω − ~ (Kα′ − Kα ) + i η η→0+
(N Z ) (NZ+1) ∞ 2 1 X ˆ V X X X (A) e δ Pα′ −Pα , ~k G (k, ω) = α ψσ (0) α′ Z 2 σ N =0 α α′ e−βKα ∓ e−βKα′ . × 1 ω − ~ (Kα′ − Kα ) − i η η→0+
(13.123a)
(13.123b)
(13.123c)
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
426
ˆIn relat¸iile precedente {|αi} este sistemul vectorilor proprii comuni operatorilor N ˆe , P, ˆ H ˆ ¸si care corespund ecuat¸iilor cu valori proprii ˆe |αi = N |αi , N ˆ |αi = Pα |αi , P H ˆ |αi = Eα(N ) |αi ;
atunci, |αi este de asemenea vector propriu al hamiltonianului grand-canonic, conform ecuat¸iei cu valori proprii ˆ |αi = H ˆ − µN ˆe |αi = E (N ) − µ N |αi ≡ Kα |αi . K α Funct¸iile Green fononice au expresii asem˘ an˘atoare formulelor (5.113) bosonice (N Z) ∞ V X X e D(q, Ω) = δ Pα′ −Pα , ~q Z N =0 α,α′
×
2 ˆ α′ α ϕ(0)
e−βKα′ e−βKα − 1 1 Ω − ~ (Kα′ − Kα ) + i η Ω − ~ (Kα′ − Kα ) − i η
;
(N Z) ∞ 2 V X X e−βKα − e−βKα′ (R) e D (q, Ω) = δ Pα′ −Pα , ~q α ϕ(0) ˆ α′ Z Ω − ~1 (Kα′ − Kα ) + i η N =0 α,α′
(N Z) ∞ 2 V X X e−βKα − e−βKα′ (A) e D (q, Ω) = ˆ α′ δ Pα′ −Pα , ~q α ϕ(0) Z Ω − ~1 (Kα′ − Kα ) − i η N =0 α,α′
Demonstrat¸ie:
(13.124a)
η→0+
; (13.124b) η→0+
. (13.124c) η→0+
Deducerea relat¸iilor (13.124) este similar˘ a cu deducerea formulelor (5.113) bosonice, dar apar diferent¸e datorate faptului c˘ a operatorul de cˆ amp fononic nu modific˘ a num˘ arul de electroni; ca urmare se va prezenta ˆın mod succint numai deducerea primei relat¸ii (13.124), deoarece ultimele dou˘ a relat¸ii se deduc ˆın mod analog. Prin explicitarea operat¸iei de ordonare crononlogic˘ a funct¸ia Green cauzal˘ a fononic˘ a se scrie ˆın forma n e−β Kˆ o D(r, t; r′ , t′ ) = − i Tr θ(t − t′ ) ϕˆK (r, t) ϕ ˆK (r′ , t′ ) + θ(t′ − t) ϕ ˆK (r′ , t′ ) ϕ ˆK (r, t) Z θ(t − t′ ) ˆ θ(t′ − t) ˆ = −i Tr e−β K ϕ ˆK (r, t) ϕ ˆK (r′ , t′ ) − i Tr e−β K ϕ ˆK (r′ , t′ ) ϕˆK (r, t) . Z Z Se utilizeaz˘ a sistemul de vectori proprii |αi α ca baz˘ a ˆın spat¸iul Fock al sistemului electronifononi, asfel ˆıncˆ at relat¸ia de completitudine ¸si expresia urmei operatoriale se scriu ˆın urm˘ atoarele forme: (N) (N) Z Z ∞ X ∞ X X X ˆ |αi ; hα| A |αihα| = ˆ 1, & Tr Aˆ = N=0
N=0
α
α
de asemenea, se extrag dependent¸ele spat¸io-temporale din operatorul de cˆ amp fononic, utilizˆ and definit¸ia operatorului ˆın formularea Heisenberg grand-canonic˘ a ¸si proprietatea operatorului impuls total de a fi generatorul translat¸iilor spat¸iale infinitezimale: i ˆ
i ˆ
i ˆ
i ˆ
i ˆ
i ˆ
ϕ ˆK (r, t) = e ~ Kt ϕ(r) ˆ e− ~ Kt = e ~ Kt e− ~ P·r ϕ(0) ˆ e ~ P·r e− ~ Kt . Atunci, prima urm˘ a operatorial˘ a a funct¸iei Green fononice se transform˘ a a din expresia anterioar˘ prin utilizarea bazei proprii |αi α
ˆ −β K
Tr e
(N) Z ∞ X X
−β Kˆ i Kt i ˆ i ˆ i ˆ ˆ ˆ e ~ P·r e− ~ Kt α e e ~ e− ~ P·r ϕ(0) ϕˆK (r, t) ϕ ˆK (r , t ) = ′
′
N=0
=
α
i ˆ ′ i ˆ ′ i ˆ ′ i ˆ ′ × e ~ Kt e− ~ P·r ϕ(0) ˆ e ~ P·r e− ~ Kt α
(N) Z X ∞ X ∞ X
N=0
α
N ′ =0
′ (N Z )
X −β Kˆ i Kt i ˆ i ˆ i ˆ ˆ α e e ~ e− ~ P·r ϕ(0) ˆ e ~ P·r e− ~ Kt α′
α′
i ˆ ′ i ˆ ′ i ˆ ′ i ˆ ′ ˆ e ~ P·r e− ~ Kt α ; × α′ e ~ Kt e− ~ P·r ϕ(0)
ˆ ˘ FINITA ˘ 13.3. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
427
apoi se utilizeaz˘ a ecuat¸iile cu valori proprii ale operatorilor hamiltonian grand-canonic ¸si impuls total, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine ˆ Tr e−β K ϕ ˆK (r, t) ϕ ˆK (r′ , t′ ) =
(N) Z X ∞ X ∞ X
N=0
=
N ′ =0
α
(N) Z
∞ X X
N=0
α,α′
′ (N Z )
X
′
i
′
i
e−βKα e ~ (Kα −Kα′ )(t−t ) e− ~ (Pα −Pα′ )·(r−r
α′
)
′ ′
α α ϕ(0) α α ϕ(0) ˆ ˆ
′ 2 ′ ′ i i α , ˆ e−βKα e ~ (Kα −Kα′ )(t−t ) e− ~ (Pα −Pα′ )·(r−r ) α ϕ(0)
unde ultima egalitate s-a obt¸inut deoarece operatorul a mp fononic nu modific˘ a num˘ arul de
de cˆ α′ ∼ δN,N ′ . electroni, astfel ˆıncˆ at elementele de matrice sunt α ϕ(0) ˆ
Cea de-a doua urm˘ a operatorial˘ a se obt¸ine ˆın mod analog: −β Kˆ ′ ′ Tr e ϕˆK (r , t ) ϕ ˆK (r, t) =
(N) Z ∞ X X
N=0
=
α,α′
(N) Z ∞ X X
N=0
α,α′
′ 2 ′ ′ i i α e−βKα e ~ (Kα −Kα′ )(t −t) e− ~ (Pα −Pα′ )·(r −r) α ϕ(0) ˆ
′ 2 ′ ′ i i α . ˆ e−βKα′ e ~ (Kα −Kα′ )(t−t ) e− ~ (Pα −Pα′ )·(r−r ) α ϕ(0)
Pe baza rezultatelor precedente se scrie funct¸ia Green cauzal˘ a fononic˘ a ˆın forma: D(r, t; r′ , t′ ) =
(N) Z ∞ 2 ′ ′ i i −i X X hα| ϕ(0) ˆ |α′ i e− ~ (Pα −Pα′ )·(r−r ) e ~ (Kα −Kα′ )(t−t ) Z N=0 α,α′
n o × θ(t − t′ ) e−βKα + θ(t′ − t) e−βKα′ .
Se observ˘ a c˘ a funct¸ia Green cauzal˘ a fononic˘ a depinde de diferent¸ele coordonatelor spat¸io-temporale, astfel ˆıncˆ at este valabil˘ a transformarea Fourier simpl˘ a, conform relat¸iei (13.122b). Transformata Fourier a funct¸iei Green cauzal˘ a fononic˘ a este Z Z ∞ e D(q, Ω) = d3 r dt e−iq·r+iΩt D(r, t; 0, 0) V
−∞
(N) Z Z ∞ 2 1 −i X X = d3 r e−i[q+ ~ (Pα −Pα′ )]·r hα| ϕ(0) ˆ |α′ i Z N=0 V α,α′
Z n × e−βKα
∞
−∞
Z 1 dt θ(t) ei[Ω+ ~ (Kα −Kα′ )]t + e−βKα
∞
−∞
integralele spat¸ial˘ a ¸si temporale se calculeaz˘ a cu formulele Z d3 r eik·r = V δk,0 , V Z ∞ ±i , dt θ(±t) eiωt = ω ± iη −∞
o 1 dt θ(−t) ei[Ω+ ~ (Kα −Kα′ )]t ;
astfel ˆıncˆ at expresia anterioar˘ a a transformatei Fourier a funct¸iei Green cauzal˘ a fononic˘ a devine identic˘ a cu formula (13.124a).
B2. Funct¸iile Green electronice se exprim˘ a ˆın mod convenabil prin introducerea funct¸iei pondere, conform relat¸iei (5.114b), adaptat˘ a la cazul fermionic cu spin s = 12 : (N Z ) (NX Z+1) ∞ X X 2 1 X ˆ ρe (k, ω) ≡ V δ Pα′ −Pα , ~k α ψσ (0) α′ 2 σ N =0 α −βKα
×
e
Z
α′
Kα′ − Kα 1 + e−β~ω 2π δ ω − . ~
(13.125)
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
428
Conform relat¸iei (5.116) funct¸ia pondere electronic˘ a satisface condit¸ia de normare: Z ∞ dω ρe (k, ω) = 1 . −∞ 2π
(13.126)
Cu ajutorul relat¸iei (5.117) se define¸ste transformata Hilbert a funct¸iei pondere electronice Z ∞ dω ′ ρe (k, z) ; (13.127) Θe (k, z) ≡ ′ −∞ 2π z − ω ca urmare, transformatele celor 3 funct¸ii Green electronice se exprim˘ a conform relat¸iilor (5.118) – (5.119) ¸si (5.125) pentru cazul fermionic: e (R) (k, ω) = Θe (k, ω + iη) G , (13.128a) η→0+ e (A) (k, ω) = Θe (k, ω − iη) G , (13.128b) η→0+ Z ∞ n 1 o dω ′ β~ω ′ ′ e G(k, ω) = − iπ tanh ρe (k, ω ′ ) P δ(ω − ω ) (13.128c) ω − ω′ 2 −∞ 2π e (A) (k, ω) e (R) (k, ω) G G + . (13.128d) = −β~ω 1+e 1 + e β~ω
De asemenea, sunt valabile relat¸iile de dispersie (5.120) – (5.123) ¸si relat¸iile (5.124) pentru p˘ art¸ile reale ¸si imaginare ale celor 3 transformate Fourier de funct¸ii Green electronice; se omite repetarea formulelor specificate anterior, deoarece nu apar particulariz˘ ari de la cazul general fermionic la cazul electronic. B3. Cazul fononic se trateaz˘ a ˆın mod similar cu cazul electronic, dar apar deosebiri fat¸˘a de cazul general basonic. Funct¸ia pondere fononic˘ a are expresia
ρf (q, Ω) ≡ V
(N Z) ∞ X X
N =0 α,α′
2 e−βKα Kα′ − Kα ˆ α′ δ Pα′ −Pα , ~k α ϕ(0) 1 − e−β~Ω 2π δ Ω − . Z ~
(13.129)
Demonstrat¸ie: Transformata Fourier a funct¸iei Green retardat˘ a (sau avansat˘ a) fononic˘ a, conform reprezent˘ arii Lehmann (13.124b) ¸si (13.124c), se transform˘ a ˆıntr-o integral˘ a dup˘ a frecvent¸˘ a cu ajutorul funct¸iei Dirac: R) e(A D (q, Ω) = V
(N) Z ∞ X X
N=0
α,α′
2 e−βKα 1 − e−β(Kα′ −Kα ) δ Pα′ −Pα , ~q α ϕ(0) ˆ α′ Z Ω − ~1 (Kα′ − Kα ) ± i η
(N) Z ∞ X X 2 e−βKα 1 − e−β(Kα′ −Kα ) dω ′ V δ Pα′ −Pα , ~q α ϕ(0) ˆ α′ = Z Ω − ~1 (Kα′ − Kα ) ± i η −∞ 2π N=0
Z
∞
α,α′
K ′ − Kα × 2π δ ω ′ − α ~ (N) Z ∞ Z ∞ X X 2 e−βKα ′ dω ′ = V δ Pα′ −Pα , ~q α ϕ(0) ˆ α′ 1 − e−β~ω Z −∞ 2π N=0
× 2π δ ω ′ −
α,α′
1 Kα′ − Kα ; ~ Ω − ω′ ± i η
atunci cele dou˘ a transformate Fourier ale funct¸iilor Green se exprim˘ a cu ajutorul funct¸iei pondere Z ∞ dω ′ ρf (q, ω ′ ) ) e(R A (q, Ω) = , D ′ −∞ 2π Ω − ω ± i η
unde ρf (q, Ω) este funct¸ia pondere fononic˘ a, definit˘ a prin formula (13.129).
ˆ ˘ FINITA ˘ 13.3. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA Funct¸ia pondere fononic˘ a satisface o relat¸ie de normare nul˘a: Z ∞ dω ′ ρf (q, ω ′ ) = 0 , −∞ 2π
429
(13.130)
care este diferit˘a de condit¸ia de normare a funct¸iei pondere bosonic˘a (5.116). Demonstrat¸ie: Integrala funct¸iei pondere fononic˘ a se calculeaz˘ a utilizˆ and definit¸ia (13.129) Z
∞
dω ′ ρf (q, ω ′ ) = 2π −∞
Z
(N) Z ∞ 2 e−βKα ′ dω ′ X X δ Pα′ −Pα , ~k α ϕ(0) ˆ α′ V 1 − e−β~ω 2π Z −∞ N=0 ∞
α,α′
K ′ − Kα × 2π δ ω − α ~ (N) Z ∞ X X 2 e−βKα =V δ Pα′ −Pα , ~k α ϕ(0) ˆ α′ 1 − e−β(Kα′ −Kα ) ; Z N=0
′
α,α′
simbolul Kronecker se transform˘ a ˆın integrala spat¸ial˘ a conform relat¸iei Z d3 r eik·r = V δk,0 , V
¸si apoi se utilizeaz˘ a ecuat¸ia cu valori proprii a impulsului total, rezultˆ and urm˘ atoarele egalit˘ a¸ti: Z ∞ dω ′ ρf (q, ω ′ ) −∞ 2π =
(N) Z Z ∞ X X
N=0
=
α,α′
2 e−βKα 1 e−βKα′ d3 r ei[q+ ~ (Pα −Pα′ )]·r α ϕ(0) ˆ α′ − Z Z V ′
Z
d re
×
e−βKα
3
iq·r
V
=
Z
(N (N) Z ) Z X ∞ X ∞ X X i
i α ϕ(0) ˆ α′ α′ ϕ(0) ˆ α e ~ (Pα ·r) e ~ (Pα′ ·r)
N=0
Z
−
d3 r eiq·r
V
α
−βKα′
e
∞ X
N=0
N ′ =0
α′
Z ′ (N (N) Z )n Z X ∞ X X i
i e−βKα α ϕ(0) ˆ α′ α′ ϕ(0) ˆ α e ~ (Pα ·r) e ~ (Pα′ ·r) Z ′ α
N =0
α′
i
i e−βKα′ o − α ϕ(0) ˆ α′ α′ ϕ(0) ˆ α e ~ (Pα ·r) e ~ (Pα′ ·r) Z ′ (N ) (N) Z Z Z ∞ ∞ ˆ X X X Xn e−β K ′ ′ − i P·r i ˆ α α e ~ ˆ ϕ(0) = α d3 r eiq·r ϕ(0) ˆ ˆ e ~ P·r α Z V ′ N=0 α
ˆ −β K
=
e − α ϕ(0) ˆ Z
3
iq·r
d re
V
Z
N =0
α′
′ ′ − i P·r o i ˆ α α e ~ ˆ ϕ(0) ˆ e ~ P·r α ′
(N (N) Z )n Z X ∞ X ∞ X X ′ ′ o
α α ϕ(r) α ̺ˆ ϕ(0) ˆ ˆ α − α ϕ(0) ˆ ̺ˆ α′ α′ ϕ(r) ˆ α .
N=0
α
N ′ =0
α′
ˆIn continuare se utilizeaz˘ a relat¸ia de completitudine a sistemului de vectori proprii |αi α ¸si apoi se utilizeaz˘ a definit¸ia urmei operatoriale, astfel ˆıncˆ at se formeaz˘ a comutatorul operatorilor de cˆ amp fononici: Z
∞
dω ′ ρf (q, ω ′ ) = 2π −∞ = = =
Z
3
iq·r
d re
V
Z
ZV
ZV
V
(N) Z ∞ X X
α α ̺ˆ ϕ(0) ˆ ϕ(r) ˆ − ϕ(0) ˆ ̺ˆ ϕ(r) ˆ
N=0 3
iq·r
d re
h
α
i Sp ̺ˆ ϕ(0) ˆ ϕ(r) ˆ − Sp ϕ(0) ˆ ̺ˆ ϕ(r) ˆ
h i d3 r eiq·r Sp ̺ˆ ϕ(0) ˆ ϕ(r) ˆ − Sp ̺ˆ ϕ(r) ˆ ϕ(0) ˆ d3 r eiq·r Sp ̺ˆ ϕ(0) ˆ , ϕ(r) ˆ .
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
430
Conform relat¸iei (13.35) comutatorul operatorilor de cˆ amp fononici este nul, astfel ˆıncˆ at se obt¸ine rezultatul (13.130).
Transformata Hilbert a funct¸iei pondere fononic˘ a este definit˘a ˆın mod similar cu relat¸ia electronic˘ a analoag˘a (13.27) Z ∞ dΩ′ ρf (q, z) Θf (q, z) ≡ ; (13.131) ′ −∞ 2π z − Ω
Ca urmare, transformatele Fourier ale funct¸iilor Green fononice retardat˘ a ¸si avansat˘a se exprim˘ a ˆın termeni de transformata Hilbert a funct¸iei pondere fononic˘a: e (R) (q, Ω) = Θf (q, Ω + iη) D , (13.132a) η→0+ e (A) (q, Ω) = Θf (q, Ω − iη) D ; (13.132b) η→0+
de asemenea, transformata Fourier a funct¸iei Green cauzal˘ a fononic˘ a se exprim˘ a prin formule similare cu (5.119) ¸si (5.125) particularizate la cazul bosonic: Z ∞ n 1 o β~Ω′ dΩ′ e + iπ coth ρf (q, Ω′ ) P δ(Ω − Ω′ ) (13.132c) D(q, Ω) = ′ Ω−Ω 2 −∞ 2π e (A) (q, Ω) e (R) (q, Ω) D D + . (13.132d) = 1 − e−β~Ω 1 − e β~Ω Deducerea relat¸iilor (13.132) este identic˘ a cu deducerile relat¸iilor analoage ˆın cazul general al formalismului de temperatur˘ a finit˘ a, reprezentate prin relat¸iile (5.118), (5.119) ¸si (5.125); ca urmare, se omite repetarea acestor demonstrat¸ii cu schimb˘ ari minore.
De asemenea, sunt valabile relat¸iile de dispersie (5.120) – (5.123) ¸si relat¸iile (5.124) pentru p˘ art¸ile reale ¸si imaginare ale celor 3 transformate Fourier de funct¸ii Green fononice; se omite repetarea formulelor specificate anterior, deoarece nu apar particulariz˘ ari de la cazul general bosonic la cazul fononic. B4. Funct¸ia Green-Matsubara electronic˘ a are o reprezentare Lehmann dat˘a de formula (5.128) particularizat˘ a pentru cazul fermionic cu spin s = 21 : (N Z ) (NX Z+1) ∞ X X 2 e−βKα + e−βKα′ V 1 X e ωn ) = ; (13.133a) G(k, hα| ψˆσ (0) |α′ i δ Pα′ −Pα , ~k Z 2 σ iωn − ~1 (Kα − Kα′ ) N =0 α
α′
utilizˆand expresia funct¸iei pondere electronic˘ a (13.125) se obt¸ine expresia (5.129) ¸si (5.130) Z ∞ dω ′ ρe (k, ω ′ ) e ωn ) = G(k, = Θe (k, iωn ) . (13.133b) ′ −∞ 2π iωn − ω
Funct¸ia Green-Matsubara fononic˘ a se obt¸ine ˆın mod analog ¸si rezultatul este similar cu relat¸ia (5.128) pentru cazul bosonic cu spin s = 0: (N Z) ∞ X X 2 e−βKα − e−βKα′ V e νm ) = δ Pα′ −Pα , ~q hα| ϕ(0) ˆ |α′ i D(q, ; Z iνm − ~1 (Kα′ − Kα ) N =0
(13.134a)
α,α′
la fel ca ¸si ˆın cazul electronic rezultatul anterior se poate exprima ˆın mod compact cu ajutorul transformatei Hilbert a funct¸iei pondere fononic˘ a (13.131) e νm ) = Θf (q, iνm ) . D(q,
(13.134b)
Funct¸iile Green-Matsubara electronic˘ a ¸si fononic˘ a se pot calcula perturbativ prin metoda diagramatic˘ a, dar aceaste m˘arimi nu au semnificat¸ie fizic˘a direct˘a; pe de alt˘ a parte, funct¸iile Green termice de timp real au semnificat¸ie fizic˘a, fiind generalizarea direct˘a a funct¸iilor corespondente din formalismul fermionic de temperatur˘a nul˘a, dar nu pot fi determinate prin utilizarea direct˘a
ˆ ˘ FINITA ˘ 13.3. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
431
a teoriei perturbat¸iilor. Atunci, conform propriet˘ a¸tilor specificate anterior, se calculeaz˘a prin metoda perturbativ˘a diagramatic˘ a funct¸iile Green-Matsubara ¸si apoi, prin utilizarea relat¸iei dintre aceaste funct¸ii ¸si funct¸iile Green termice de timp real, ceea ce implic˘ a prelungirea analitic˘a ˆın planul complex al frecvent¸ei, se obt¸in expresiile funct¸iilor Green de timp real, la fel ca ˆın cazul general prezentat la sfˆar¸situl Subsect¸iunii 5.3.2. Efectuarea prelungirii analitice implic˘ a urm˘atoarele etape: i. Se calculeaz˘a prin metoda perturbativ˘a transformata Fourier a funct¸iei Green-Matsubara e νn ) ¸si respectiv fononic˘ e ωm ), iar apoi se utilizeaz˘a relat¸iile (13.133) electronic˘ a G(k, a D(q, (13.134) e ωn ) = Θe (k, iωn ) G(k, e νm ) = Θf (q, iνm ) ; D(q,
astfel se obt¸in transformatele Hilbert ale funct¸iilor pondere Θe (k, iωn ) ¸si respectiv Θf (q, iνm ) pentru ¸sirul de valori discrete pe axa imaginar˘a (zn = iωn , sau zm = iνm ). ii. ˆIn cazul electronic se efectueaz˘a prelungirea analitic˘a a funct¸iei Θe (k, z) ˆın planul complex (z ∈ C). Totu¸si, prelungirea analitic˘a a unei γ funct¸ii determinat˘ a init¸ial pe un set discret de puncte, nu este ˆın genez = ω + iγ ral unic˘ a, astfel ˆıncˆ at este necesar s˘a se utilizeze condit¸ii suplimentare, iωn care s˘a asigure unicitatea. Pentru a obt¸ine prelungirea analitic˘a corect˘a se utilizeaz˘a condit¸ia asimptotic˘a Z ω 1 1 ∞ dω ′ ρe (k, ω ′ ) = , Θe (k, z) ≈ z |z|→∞ z −∞ 2π unde ultima egalitate s-a obt¸inut datorit˘a condit¸iei de normare a funct¸iei pondere (13.126); prin utilizarea condit¸iei asimptorice se obt¸ine o determinare unic˘ a a prelungirii analitice pentru funct¸ia Θe (k, z). Cazul fononic se trateaz˘ a ˆın mod similar cazului electronic, dar condit¸ia asimptotic˘a este Z 1 ∞ dω ′ Θf (q, z) ≈ ρf (k, ω ′ ) = 0 , |z|→∞ z −∞ 2π unde ultima egalitate s-a obt¸inut datorit˘a condit¸iei de normare a funct¸iei pondere (13.130). iii. Dup˘ a ce s-a determinat funct¸ia Θe (k, z), respectiv Θf (q, z), se obt¸in transformatele Fourier ale funct¸iilor Green termice de timp real retardat˘ a ¸si avansat˘a, cu ajutorul relat¸iilor (13.128): e (R,A) (k, ω) = Θe (k, ω ± i η) pentru cazul electronic, respectiv pentru cazul fononic a relat¸iilor G e (R,A) (q, Ω) = Θf (q, Ω ± i η). (13.132): D Se observ˘ a c˘ a setul operat¸iilor efectuate anterior are ca efect global prelungirea analitic˘a a funct¸iei Green-Matsubara (electronic˘a sau fononic˘ a) din setul de puncte discrete de pe axa imaginar˘ a pˆ an˘a ˆın vecin˘atatea infinitezimal˘a a axei reale, a¸sa cum se arat˘a ˆın figura de mai sus. e e ω) ¸si fononic˘ a D(q, Ω), se obt¸in cu ajutorul iv. Funct¸iile Green cauzale, electronic˘ a G(k, funct¸iilor Green retardate ¸si avansate, pe baza relat¸iilor (13.128d), respectiv (13.132d). C. Relat¸ii ˆıntre funct¸ii Green ¸si observabile Rezultatele din Subsect¸iunile 5.2.3 ¸si 5.3.4 sunt valabile pentru observabile care descriu sistemul electroni-fononi. Astfel o m˘arime observabil˘a de tip uni-particul˘a, care descrie subsistemul electronic, are media grand-canonic˘a dat˘a de formula (5.35) ˆın termeni de funct¸ia GreenMatsubara, sau (5.137) ˆın termeni de funct¸ia Green de timpi reali: Z X ˆ
A = d3 r lim lim+ Aˆr σ′ ,σ Gσσ′ (r, τ ; r′ , τ ′ ) ′ ′ = −i
Z
r →r τ →τ
σ,σ′
d3 r lim lim+ ′ ′ r →r t →t
X ˆ Aˆr σ′ ,σ Gσσ′ (r, t; r′ , t′ ) . σ,σ′
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
432
Potent¸ialul grand-canonic al sistemului electroni-fononi se poate obt¸ine prin utilizarea teoremei Peierls (5.40): Z 1 dλ
H1 (λ) λ , Ω = Ω0 + 0 λ unde: • Ω(T, µ, V ) este potent¸ialul grand-canonic al sistemului cu interact¸ii, avˆand hamiltonianul ˆ =K ˆ0 + K ˆ 1; grand-canonic K • Ω0 (T, µ, V ) este potent¸ialul grand-canonic al sistemului liber, avˆand hamiltonianul grandˆ 0; canonic K ˆ 1 (λ) = λH ˆ 1 = λVˆ este hamiltonianul de interact¸ie multiplicat cu constanta de cuplaj • H variabil˘ a (adic˘ a este hamiltonianul de interact¸ie al sistemului auxiliar); • h. . .iλ este media grand-canonic˘ a calculat˘ a cu operatorul statistic al sistemului auxiliar ̺ˆλ .
ˆIn cazul prezent (pentru sistemul electroni-fononi) hamiltonianul grand-canonic al sistemului liber ˆ 0 = (H ˆe − µ N ˆe ) + H ˆ f , iar hamiltonianul de interact¸ie are expresia Fr¨ohlich (13.28) este K Z X ˆ ˆ ˆ ; ψˆσ† (r) ψˆσ (r) ϕ(r) V = He−f = γ d3 r V
σ
ca urmare, constanta de cuplaj λ devine constanta γ. Procedˆand ˆın mod similar cu situat¸ia analoag˘a din formalismul de temperatur˘a nul˘a, unde s-a obt¸inut energia st˘arii fundamentale cu formula (13.89), se obt¸ine pentru modificarea potent¸ialului grand-canonic datorit˘a interact¸iei electroni-fononi urm˘atoarea expresie: Z γ Z X
dγ ′ d3 r Ω − Ω0 = − lim Tτ ψˆσK¯ γ ′ (r, τ ) ψˆσ† K¯ ′ (r′ , τ ′ ) ϕˆK¯ γ ′ (r′′ , τ ′′ ) γ ′ , lim ′′ ′ 0
r →r r →r σ τ ′ →τ + τ ′′ →τ
V
γ
(13.135) τ ˆ τ ˆ unde AˆK¯ γ ′ ≡ e ~ Kγ ′ Aˆ e− ~ Kγ ′ este operatorul ˆın formularea Heisenberg-Matsubara grand-canonic˘ a pentru sistemul cu constanta de cuplaj γ ′ . Pentru un metal normal, cˆ and este valabil˘a teorema Migdal, modificarea potent¸ialului grandcanonic datorit˘ a interact¸iei electroni-fononi, devine Z Z Z Z ~β ′ 2 γ ′ ′ 3 Ω − Ω0 = dγ γ lim d3 r lim d r dτ1 G (γ ) (r − r1 , τ − τ1 ) 1 ′′ ′ ~ 0 r →r r →r V V 0 ′ + ′′ ×G ′
(γ ′ )
′
τ →τ
′
τ →τ
′
(r1 − r , τ1 − τ ) D(γ ) (r1 − r′′ , τ1 − τ ′′ ) ,
(13.136)
′
unde G (γ ) (r−r′ , τ −τ ′ ) ¸si D(γ ) (r−r′ , τ −τ ′ ) sunt funct¸ia Green-Matsubara electronic˘ a, respectiv funct¸ia Green-Matsubara fononic˘ a pentru sistemul cu constanta de cuplaj electroni-fononi γ ′ . Demonstrarea relat¸iilor (13.126) ¸si (13.136) este similar˘ a cu demonstrat¸iile rezultatelor analoage din formalismul de temperatur˘ a nul˘ a (13.89) ¸si respectiv (13.90), astfel ˆıncˆ at se omite prezentarea demonstrat¸iilor din formalismul de temperatur˘ a finit˘ a, pentru a evita repetit¸ii simple.
D. Funct¸ii Green de timp real libere D1. Pentru sub-sistemul electronic funct¸iile Green retardat˘ a ¸si avansat˘a sunt date de relat¸ia (5.127): 1 e (R,A) (k, ω) = , G 0 1 ω − ~ (εk − µ) ± i η η→0+
unde semnul superior corespunde funct¸iei retardate, iar semnul inferior funct¸iei avansate. Funct¸ia Green cauzal˘ a se poate obt¸ine cu ajutorul expresiilor funct¸iilor Green retardat˘ a ¸si avansat˘a, conform relat¸iei (5.125) pentru cazul fermionic, astfel ˆıncˆ at rezult˘a expresia (5.149) varianta fermionic˘ a: β~ω 1 e 0 (k, ω) = P + iπ tanh (13.137) δ ω − ~1 (εk − µ) . G 1 2 ω − ~ (εk − µ)
ˆ ˘ FINITA ˘ 13.3. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE LA TEMPERATURA
433
D2. Pentru sub-sistemul fononic funct¸iile Green de timp real libere se pot obt¸ine, fie prin calcul direct, fie cu ajutorul expresiei funct¸iei Green-Matsubara fononice libere, care are expresia (13.53): n o 1 1 e 0 (q, ωm ) = θ(qD − q) ~ ωq D ; − 2 iωm − ωq iωm + ωq atunci funct¸iile Green retardat˘ a ¸si avansat˘a au urm˘atoarele expresii: n o R ~ ωq2 1 1 e ( A ) (q, Ω) = θ(qD −q) ~ ωq − , (13.138a) = θ(q −q) D D 0 2 Ω − ωq ± iη Ω + ωq ± iη Ω2 − ωq2 ± iη unde semnul superior corespunde funct¸iei Green retardat˘ a, iar semnul inferior corespunde funct¸iei Green avansat˘ a. Demonstrat¸ie: Conform relat¸iei (5.131) funct¸ia pondere fononic˘ a se poate obt¸ine cu ajutorul funct¸iei GreenMatsubara fononice: 0 e (q, νm ) e 0 (q, νm ) ρ0f (q, Ω) = −i D −D νm =Ω−iη νm =Ω+iη i h io ~ ωq nh 1 1 1 1 = −i θ(qD − q) − − − 2 Ω − ωq − iη Ω + ωq − iη Ω − ωq + iη Ω + ωq + iη 1 ~ ωq n 1 = −i θ(qD − q) P + iπ δ(Ω − ωq ) − P − iπ δ(Ω + ωq ) 2 Ω − ωq Ω + ωq 1 o 1 + iπ δ(Ω − ωq ) + P − iπ δ(Ω + ωq ) −P Ω − ωq Ω + ωq = θ(qD − q) π ~ ωq δ(Ω − ωq ) − δ(Ω + ωq ) ] ,
unde s-a utilizat identitatea Sohotski-Weierstrass ¸si apoi s-au redus p˘ art¸ile reale reprezentate de integralele ˆın sens Cauchy. Pe baza rezultatului precedent se obt¸ine transformata Hilbert a funct¸iei pondere fononic˘ a liber˘ a Z ∞ 0 ′ dΩ ρf (q, z) Θ0f (q, z) ≡ z − Ω′ −∞ 2π ~ ωq n 1 1 o = θ(qD − q) − ; 2 z − ωq z + ωq
atunci, funct¸iile Green retardat˘ a ¸si avansat˘ a libere se obt¸in prin particularizarea relat¸iei generale (13.132a) – (13.132b): R) e(A (q, Ω) = Θf (q, Ω ± iη) , D η→0+
adic˘ a se obt¸ine rezultatul (13.138a).
Este important s˘ a se remarce c˘ a relat¸iile (13.138a) se puteau obt¸ine, ˆın mod echivalent, prin calcul direct.
Funct¸ia Green cauzal˘ a fononic˘ a liber˘a are expresia nh 1 i β~Ω o 1 e 0 (q, Ω) = θ(qD −q) ~ ωq P −P +iπ coth δ(Ω+ωq )−δ(Ω−ωq ) . D 2 Ω − ωq Ω + ωq 2 (13.138b) Demonstrat¸ie: Funct¸iile Green retardat˘ a ¸si avansat˘ a se descompun ˆın p˘ art¸ile reale ¸si imaginare cu ajutorul identit˘ a¸tii Sohotski-Weierstrass: nh 1 1 i R o e ( A ) (q, Ω) = θ(qD − q) ~ ωq P D −P ∓ iπ δ(Ω − ωq ) − δ(Ω + ωq ) ; 0 2 Ω − ωq Ω + ωq
atunci, funct¸ia Green cauzal˘ a se obt¸ine cu ajutorul expresiilor precedente, pe baza relat¸iei (13.132d) particularizate la cazul sistemului liber: e (A) e (R) e 0 (q, Ω) = D0 (q, Ω) + D0 (q, Ω) D 1 − e−β~Ω 1 − e β~Ω 1 i ih 1 1 ~ ωq nh 1 = θ(qD − q) + − P P 2 1 − e−β~Ω 1 − eβ~Ω Ω − ωq Ω + ωq h i o 1 1 + iπ − δ(Ω + ω ) − δ(Ω − ω ) , q q 1 − e−β~Ω 1 − eβ~Ω
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
434
iar ˆın expresia precedent˘ a se utilizeaz˘ a identit˘ a¸tile 1 1 + =1, 1 − e−β~Ω 1 − eβ~Ω β~ω 1 1 , − = coth 1 − e−β~Ω 1 − eβ~Ω 2
astfel c˘ a se obt¸ine rezultatul (13.128b).
Edte important s˘ a se remarce faptul c˘ a relat¸ia (13.138b) se putea obt¸ine prin calcul direct.
13.4
R˘ aspunsul liniar
Se consider˘ a sistemul electroni-fononi, discutat ˆın sect¸iunile precedente, care ˆın plus poate interact¸iona slab cu un sistem extern; ca urmare, se poate considera interact¸ia extern˘a ca o perturbat¸ie mic˘a ¸si se pot aplica rezultatele teoriei r˘aspunsului linear, care au fost prezentate ˆın Capitolul 9.
13.4.1
Cazul temperaturii nule
Se consider˘ a sistemul specificat anterior c˘ a se afl˘a ˆın starea fundamental˘ a neperturbat˘ a ¸si ulterior se aplc˘a perturbat¸ia extern˘a. Atunci, hamiltonianul sistemului neperturbat este ˆ =H ˆe + H ˆf + H ˆ ef ; H de asemenea, hamiltonianul de perturbat¸ie are expresia general˘a ˆın formularea Schr¨odinger de tipul (9.2) Z Z 3 ex ˆ d3 r w(r, t) gˆ(r) , d r θ(t − t0 ) u(r, t) gˆ(r) ≡ H (t) = V
V
astfel ˆıncˆ at hamiltonianul total al sistemului (ˆın formularea Schr¨odinger) este dat de relat¸ia (9.3): ˆ total (t) = H ˆ +H ˆ ex (t) . H Conform relat¸iei (9.8), deviat¸ia mediei observabilei A ˆın prezent¸a unei perturbat¸ii slabe este
Z ˆ ex (t′ ) ΨH
−i t ′ ΨH AˆH (t) , H H −
dt ≈ δ A(t) ≡ A(t) ex − A(t) 0 , t>t0 I ~ t>t0 Ψ H Ψ H t0
unde |ΨH i este un vector de stare al sistemului neperturbat (ˆın formularea Heisenberg), iar i ˆ ˆ − ~i tHˆ este un operator observabil˘a ˆın formularea Heisenberg neperturbat˘ a. AˆH (t) ≡ e ~ tH Ae Dac˘ a se consider˘ a c˘ a starea neperturbat˘ a a sistemului este starea fundamental˘ a (|ΨH i = |Ψ0 i) ¸si m˘arimea observat˘a este densitatea m˘arimii de cuplaj Aˆ = gˆ(r), atunci r˘aspunsul lininar este dat de formula (9.9), ˆın care apare comutatorul nesincron al operatorilor densitate de observabil˘a:
Z Z t gˆH (r, t) , gˆH (r′ , t′ ) Ψ0 Ψ
−i 0 −
δ g(r, t) = d3 r′ dt′ θ(t′ − t0 ) u(r′ , t′ ) . ~ V Ψ0 Ψ0 t 0
R˘ aspunsul liniar al sistemului se rescrie mai convenabil utilizˆand funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ aa fluctuat¸iilor de densitate, definit˘ a prin formula (9.10)
Ψ0 δˆ gH (r, t) , δˆ gH (r′ , t′ ) − Ψ0 R ′ ′ ′
Cg (r, t; r , t ) ≡ − iθ(t − t ) Ψ 0 Ψ 0
Ψ0 gˆH (r, t) , gˆH (r′ , t′ ) − Ψ0 ′
, = − iθ(t − t ) Ψ 0 Ψ 0
astfel ˆıncˆ at relat¸ia (9.9) devine
1 δ g(r, t) = ~
Z
V
d3 r′
Z
∞
−∞
dt′ w(r′ , t′ ) CgR (r, t; r′ , t′ ) ,
˘ 13.4. RASPUNSUL LINIAR
435
care este formula (9.11a). Dac˘ a se efectueaz˘a transformarea Fourier, atunci din relat¸ia (9.11a) se obt¸ine formula (9.14): 1 eR δ hg g i(k, ω) = C (k, ω) w(k, e ω) , ~ g
iar transformarea Fourier a funct¸iei de r˘aspuns este Z
d3 k δh g(r, t)i = 3 R3 (2π)
Z
∞
dω ik·r−iωt g e δ h g i(k, ω) . −∞ 2π
Pentru sistemul electroni-fononi cazul interesant este cˆ and perturbat¸ia extern˘a implic˘ a o mic˘a variat¸ie a densit˘ a¸tii ret¸elei ionice δn(r), adic˘a hamiltonianul de perturbat¸ie este de forma Z ˆ ex (t) = d3 r w(r, t) δˆ n(r) ; H V
deoarece operatorul variat¸ie a densit˘ a¸tii ionice amp fononic, r este proport¸ional cu operatorul de cˆ −1 n0 ϕ(r), ˆ rezult˘a c˘ a hamiltonianul de perturbat¸ie conform relat¸iei (13.1) cuantic˘ a δˆ n(r) = c M se rescrie ˆın forma Z ex ˆ d3 r vex (r, t) ϕ(r) ˆ , H (t) = V
r
−1 n0 w(r, t) . c M Se particularizeaz˘a formula general˘a (9.11) pentru cazul prezent ¸si se obt¸ine r˘aspunsul liniar al densit˘ a¸tii ionice ˆın forma Z Z ∞
1 3 ′ δ n(r, t) = d r dt′ w(r′ , t′ ) CnR (r, t; r′ , t′ ) , (13.139a) ~ V −∞ unde vex (r, t) ≡
unde funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ a a fluctuat¸iilor de densitate ionic˘ a este
Ψ0 δˆ nH (r, t) , δˆ nH (r′ , t′ ) − Ψ0 R ′ ′ ′
Cn (r, t; r , t ) ≡ − i θ(t − t ) Ψ 0 Ψ 0
Ψ0 ϕˆH (r, t) , ϕˆH (r′ , t′ ) − Ψ0 n0 ′
= 2 (− i) θ(t − t ) ; c M Ψ 0 Ψ 0
conform definit¸iei (13.41b), funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ a a fluctuat¸iilor de densitate ionic˘ a este proport¸ional˘ a cu funct¸ia Green retardat˘ a fononic˘ a: CnR (r, t; r′ , t′ ) =
n0 D(R) (r, t; r′ , t′ ) . c2 M
(13.139b)
Rezultatul precedent este ˆın concordant¸˘a cu imaginea diagramatic˘ a, deoarece funct¸iile de corelat¸ie ale fluctuat¸iilor de densitate electronic˘ a ¸si ionic˘ a sunt reprezentate prin diagrame de polarizare.
13.4.2
Cazul temperaturii finite
Dac˘ a sistemul electroni-fononi discutat anterior se afl˘a la temperatur˘a finit˘a ¸si ˆın condit¸ii grand-canonice, atunci operatorul statistic al sistemului neperturbat este ̺ˆ0 =
1 −β Kˆ e , Z0
ˆ unde Z0 = Tr e−β K este suma de stare (funct¸ia de partit¸ie) grand-canonic˘a a sistemului ¸si hamiltonianul grand-canonic al sistemului neperturbat este ˆ =H ˆ − µN ˆe . K
ˆ CAPITOLUL 13. FORMALISMUL CAMPURILOR CUPLATE
436
ˆ,N ˆe = ˆ0, Deoarece operatorii hamiltonian neperturbat ¸si num˘ar de electroni sunt comutabili H atunci statistic neperturbat ¸si hamiltonianul neperturbat sunt, de asemenea, comuta operatorul ˆ , ̺ˆ0 = ˆ 0 ¸si atunci media grand-canonic˘a a unei observabile se poate calcula fie ˆın forbili H mularea Schr¨odinger, fie ˆın formularea Heisenberg canonic˘a, fie ˆın formularea Heisenberg grandcanonic˘a:
A 0 = Tr ̺ˆ0 AˆS = Tr ̺ˆ0 AˆH (t) = Tr ̺ˆ0 AˆK (t) . Se consider˘ a o perturbat¸ie extern˘a slab˘a, cu hamiltonianul descris de formula (9.2), la fel ca ˆın cazul anterior (cˆand se considerase temperatura nul˘a); atunci, conform rat¸ionamentelor prezentate ˆın Subsect¸iunea 9.2.1, deviat¸ia mediei unei observabile ˆın prezent¸a perturbat¸iei slabe (adic˘a r˘aspunsul liniar al sistemului) este dat˘a de formula (9.40): Z
−i t ′ ˆ ex (t′ ) ≈ δ A(t) ≡ A(t) ex − A(t) 0 . dt Tr ̺ˆ0 AˆH (t) , H H − t>t0 I ~ t>t0 t0
Dac˘ a m˘arimea observat˘a este densitatea m˘arimii de cuplaj Aˆ = gˆ(r), atunci r˘aspunsul lininar este dat de formula (9.43) Z Z ∞
1 ′ ′ 3 ′ d r δ g(r, t) = dt′ w(r′ , t′ ) CR g (r, t; r , t ) , ~ V −∞ ′ ′ unde CR ¸ia de corelat¸ie retardat˘ a a fluctuat¸iilor m˘arimii de cuplaj g(r), g (r, t; r , t ) este funct definit˘ a prin formulele echivalente (9.42): ′ ′ ′ gK (r, t) , δˆ gK (r′ , t′ ) − CR ˆ0 δˆ g (r, t; r , t ) ≡ (−i) θ(t − t ) Tr ̺ = (−i) θ(t − t′ ) Tr ̺ˆ0 gˆH (r, t) , gˆH (r′ , t′ ) − ,
unde operatorii sunt definit¸i ˆın formularea grand-canonic˘a
i ˆ i ˆ AˆK (t) ≡ e ~ Kt AˆS e− ~ Kt .
Prin efectuarea transform˘ arii Fourier Z δh g(r, t)i =
d3 k 3 R3 (2π)
Z
∞
dω ik·r−iωt g e δ h g i(k, ω) −∞ 2π
se obt¸ine relat¸ia (9.44) pentru transformata Fourier a r˘aspunsului lininar: 1 eR C (k, ω) w(k, e ω) . ~ g Pentru sistemul electroni-fononi cazul interesant este cˆ and perturbat¸ia extern˘a implic˘ a o mic˘a variat¸ie a densit˘ a¸tii ret¸elei ionice δn(r), adic˘a hamiltonianul de perturbat¸ie este de forma Z Z ˆ ex (t) = d3 r vex (r, t) ϕ(r) ˆ , d3 r w(r, t) δˆ n(r) = H δ hg g i(k, ω) =
r
V
V
−1 n0 w(r, t) ¸si ϕ(r) ˆ este operatorul de cˆ amp fononic; se observ˘a c˘ a situat¸ia c M este analoag˘a cu cea studiat˘a anterior ˆın formalismul de temperatur˘a nul˘a. Se particularizeaz˘a formula general˘a (9.43) pentru cazul prezent ¸si se obt¸ine r˘aspunsul liniar al densit˘ a¸tii ionice ˆın forma Z Z ∞
1 3 ′ ′ ′ d r dt′ w(r′ , t′ ) CR (13.140a) δ n(r, t) = n (r, t; r , t ) , ~ V −∞
unde vex (r, t) ≡
unde funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ a a fluctuat¸iilor de densitate ionic˘ a este ′ ′ ′ CR ˆ0 δˆ nH (r, t) , δˆ nH (r′ , t′ ) − n (r, t; r , t ) ≡ − i θ(t − t ) Tr ̺ n0 = 2 (− i) θ(t − t′ ) Tr ̺ˆ0 ϕˆH (r, t) , ϕˆH (r′ , t′ ) − ; c M conform definit¸iei (13.121b), funct¸ia de corelat¸ie retardat˘ a a fluctuat¸iilor de densitate ionic˘ a este proport¸ional˘ a cu funct¸ia Green retardat˘ a fononic˘ a: n0 ′ ′ CR D(R) (r, t; r′ , t′ ) . (13.140b) n (r, t; r , t ) = 2 c M Se observ˘ a c˘ a s-au obt¸inut rezultate similare cu cele din cazul formalismului de temperatur˘a nul˘a.
Anexa A
Anexe Matematice ˆIn aceste Anexe Matematice se vor prezenta ˆın mod succint ¸si f˘ar˘a rigurozitate unele not¸iuni matematice necesare pentru o corect˘a ˆınt¸elegere a materialului cont¸inut ˆın primele dou˘a p˘ art¸i ale acestei lucr˘ari.
A.1
Elemente de spat¸ii Hilbert
Un spat¸iu Hilbert este este definit ca o mult¸ime de obiecte (numite vectori ai spat¸iului), care satisfac propriet˘ a¸ti specifice, astfel c˘ a aceast˘a mult¸ime devine un spat¸iu vectorial infinitdimensional, unitar ¸si complet. Se vor nota elementele spat¸iului cu litere, avˆand eventual indici, exemplu caracteristic ai , iar spat¸iul respectiv va fi notat R (acestea sunt notat¸iile standard utilizate ˆın lucr˘arile de matematic˘a, dar ˆın lucr˘arile de mecanic˘ a cuantic˘ a se utilizeaz˘a notat¸ii diferite pentru vectori, datorate lui P.A.M. Dirac). Se vor explicita ˆın continuare aceste propriet˘ a¸ti specifice, utilizˆand notat¸iile standard din matematic˘a.
A.1.1
Spat¸iu liniar (complex)
Prin definit¸ie, un spat¸iu liniar este o mult¸ime de elemente (denumite vectori) pentru care sunt definite dou˘a operat¸ii fundamentale: adunarea vectorilor ¸si multiplicarea cu numere complexe 1 . a) Prin operat¸ia de adunare (notat˘ a cu semnul +) doi vectori ai spat¸iului (a1 ¸si a2 ) sunt pu¸si ˆın corespondent¸˘ a cu un al treilea vector (a12 ), iar operat¸ia este notat˘a astfel: a1 + a2 = a12 ∈ R. Operat¸ia de adunare satisface urm˘atoarele axiome: 1. a1 + a2 = a2 + a1 (comutativitate), 2. (a1 + a2 ) + a3 = a1 + (a2 + a3 ) (asociativitate), 3. exist˘a vectorul nul ∅, cu proprietatea c˘ a adunat cu orice alt vector al spat¸iului d˘ a ca rezultat acel vector: a + ∅ = a ¯, astfel c˘ 4. pentru orice element a, exist˘a un alt element, numit opusul s˘au a a suma lor este ¯ = ∅. vectorul nul: a + a b) Prin operat¸ia de multiplicare cu numere complexe, fiec˘ arui vector a multiplicat cu num˘arul complex λ ˆıi corespunde vectorul λ a = aλ ∈ R, iar aceast˘a operat¸ie satisface urm˘atoarele axiome: 1. multiplicarea unui vector cu num˘arul unitate d˘ a ca rezultat acel vector: 1 a = a, 2. multiplicarea succesiv˘ a cu un produs de numere complexe este egal˘a cu multiplicarea simpl˘a fat¸˘ a de produsul acelor numere: (λ1 λ2 ) a = λ1 (λ2 a). 1 Este posibil s˘ a se defineasc˘ a un spat¸iu liniar ˆın condit¸ii mai generale, cˆ and se consider˘ a ˆınmult¸irea vectorilor cu elementele ale unui corp scalar oarecare; totu¸si, pentru mecanica cuantic˘ a singura situat¸ie interesant˘ a este cˆ and acest corp este mult¸imea numerelor complexe.
437
438
ANEXA A. ANEXE MATEMATICE
c) Cele dou˘a operat¸ii (adunarea ¸si multiplicarea) sunt distributive pentru fiecare operat¸ie, adic˘a satisfac urm˘atoarele axiome 1. (λ1 + λ2 ) a = λ1 a + λ2 a (distributivitatea fat¸˘a de adunarea numerelor complexe), 2. λ(a1 + a2 ) = λ a1 + λ a2 (distributivitatea fat¸˘a de adunarea vectorilor). Este important s˘a se remarce urm˘atoarele consecint¸e ale axiomelor anterioare: – vectorul nul (∅) este unic, – prin multiplicare cu num˘ arul zero orice vector d˘ a ca rezultat vectorul nul: 0 a = ∅, – pentru orice vector (a), opusul s˘au (¯ a) este egal cu multiplicarea vectorului prin num˘arul ¯ = (−1) a ≡ −a, minus unu: a – vectorul nul multiplicat cu orice num˘ar complex d˘ a ca rezultat vectorul nul: λ ∅ = ∅. Un set de vectori este liniar independent dac˘a combinat¸iile lor liniare λ1 a1 +λ2 a2 +· · ·+λn an produc vectorul nul numai cˆ and toate numerele complexe sunt nule: λ1 a1 + λ2 a2 + · · · + λn an = ∅
=⇒
λj = 0 , (j = 1, 2, . . . , n) .
(A.1)
Dimensiunea spat¸iului vectorial R este egal˘a cu num˘arul maxim de vectori liniari independent¸i din acel spat¸iu. O baz˘ a a spat¸iului R este un set de vectori liniari independent¸i ˆın num˘ar egal cu dimensiunea spat¸iului, notat¸i {u1 , . . . , ud } (unde d este dimensiunea spat¸iului), astfel c˘ a orice element al spat¸iului se poate exprima ca o combinat¸ie liniar˘a a vectorilor de baz˘a: a=
d X
λj uj ,
j=1
∀a ∈ R .
(A.2)
Cazul interesant pentru mecanica cuantic˘ a este cˆ and dimensiunea spat¸iului vectorial este infinit˘a d = ∞, astfel c˘ a apar probleme de convergent¸a combinat¸iilor liniare infinite de vectori.
A.1.2
Spat¸iu unitar (euclidian)
Un spat¸iu liniar (vectorial), devine un spat¸iu unitar (numit de asemenea, spat¸iu euclidian) dac˘a este definit˘ a o operat¸ie suplimentar˘ a ˆıntre vectori, numit˘a produs scalar [notat prin ( , )], care are ca rezultat un num˘ ar complex: (a1 , a2 ) ∈ C; aceast˘a operat¸ie satisface urm˘atoarele axiome: 1. (a, a) > 0 pentru orice vector nenul (a 6= ∅), adic˘a produsul scalar al unui vector diferit de vectorul nul cu el ˆınsu¸si este un num˘ar real pozitiv; iar anularea produsului scalar a unui vector cu el ˆınsu¸si este posibil˘ a numai pentru vectorul nul: (a, a) = 0 ⇐⇒ a = ∅; 2. (a1 , a2 ) = (a2 , a1 )∗ , adic˘a la inversarea ordinei factorilor ˆın produsul scalar se obt¸ine conjugatul complex; 3. (a3 , λ1 a1 + λ2 a2 ) = λ1 (a3 , a1 ) + λ2 (a3 , a2 ), adic˘a liniaritatea produsului scalar ˆın raport cu al doilea factor. Dac˘ a produsul scalar dintre doi vectori este nul, atunci cei doi vectori sunt considerat¸i ortogonali. p ˆIntr-un spat¸iu unitar se define¸ste norma unui vector prin produsul scalar: kak = (a, a) ; deoarece (a, a) este un num˘ ar real pozitiv, atunci norma oric˘arui vector din spat¸iul unitar este un num˘ar real pozitiv. De asemenea, se introduce o metric˘ a prin definirea distant¸ei dintre doi vectori ai spat¸iului ca fiind egal˘a cu norma diferent¸ei dintre ace¸sti vectori: d(a1 , a2 ) = ka1 − a2 k; prin urmare, un spat¸iu unitar se poate organiza ca spat¸iu normat ¸si metric.
A.1.3
Spat¸iu Hilbert
ˆIn cazul unui spat¸iu vectorial infinit dimensional, unitar, normat ¸si metric apare problema convergent¸ei sumelor infinite construite prin combinat¸ii liniare de vectori; prin urmare, apar ¸siruri de vectori cu termenul de ordinul n de tipul bn =
n X j=1
λj aj , n → ∞ .
A.1. ELEMENTE DE SPAT ¸ II HILBERT
439
Convergent¸a ¸sirurilor se define¸ste ˆın acest caz ˆın mod similar cu situat¸ia analoag˘a pentru numere reale, utilizˆand distant¸a ˆıntre vectori (care este similar˘ a cu distant¸a dintre numere reale); ca urmare, se pot defini ¸siruri Cauchy de vectori, care sunt ¸siruri convergente. atre vectorul b, dac˘a pentru • Prin definit¸ie, un ¸sir de vectori aj j=1,∞ este convergent c˘ orice ε > 0, exist˘a un rang N (ε) > 0, astfel ˆıncˆ at d(b, an ) < ε, pentru orice n > N (ε). • Prin definit¸ie, un ¸sir infinit de vectori este un ¸sir Cauchy, dac˘a pentru orice ε > 0, exist˘a un rang N (ε) > 0, astfel ˆıncˆ at d(an , am ) < ε, pentru orice n, m > N (ε). • Dac˘ a un ¸sir este convergent c˘ atre o limit˘a, atunci limita este unic˘ a, iar ¸sirul este un ¸sir Cauchy. ˆIn acest caz, spat¸iul este complet dac˘a orice ¸sir Cauchy (constituit din vectori ai spat¸iului considerat) tinde c˘ atre un element limit˘ a apart¸inˆand acestui spat¸iu (altfel spus, spat¸iul cont¸ine limitele tuturor ¸sirurilor Cauchy din acest spat¸iu). Spat¸iul Hilbert este un spat¸iu vectorial infinit-dimensional, unitar ¸si complet. O baz˘a a unui spat¸iu Hilbert R este un set infinit de vectori {uj }j=1,2,...,∞ , care sunt liniar independent¸i ¸si ˆın plus acest set este complet, adic˘a orice element al spat¸iului se poate exprima ca o combinat¸ie liniar˘a de vectori ai acestei baze: 2 a=
∞ X
λj uj ,
j=1
∀a ∈ R .
(A.3)
Pentru mecanica cuantic˘ a sunt interesante bazele ortonormate; ˆın cazul unei baze ortonormate, vectorii component¸i satisfac relat¸iile de orto-normare ¸si completitudine. Relat¸ia de orto-normare exprim˘ a proprietatea c˘ a vectorii bazei sunt reciproc ortogonali, iar fiecare vector al bazei are norma unitate; prin urmare, relat¸ia de orto-normare are forma (uj , uk ) = δjk ,
(∀ j , k)
(A.4)
Pentru exprimarea relat¸iei de completitudine este necesar s˘a se introduc˘a proiectorul pe subspat¸iul 1-dimensional generat de vectorul bazei uj ; acest proiector, notat Pj , este definit prin act¸iunea asupra unui vector oarecare din spat¸iul R, iar act¸iunea sa este definit˘ a prin urm˘atoarea relat¸ie: Pj a = (uj , a) uj , ∀a ∈ R ; (A.5) atunci, relat¸ia de completitudine a setului de vectori de baz˘a are forma urm˘atoare: ∞ X
Pj = I ,
(A.6)
j=1
unde I este operatorul identitate ˆın spat¸iul R . Argumentare:
Din relat¸ia (A.3) de descompunere a unui vector ˆın baza uj j se obt¸ine coeficientul Fourier generalizat λj = uj , a , datorit˘ a relat¸iei de orto-normare (A.4); atunci, vectorul a se exprim˘ a ˆın forma: ∞ ∞ ∞ X X X Pj a , uj , a uj = λj uj = a= j=1
j=1
j=1
unde ultima relat¸ia s-a obt¸inut prin utilizarea definit¸iei (A.5). Deoarece vectorul a este arbitrar, din rezultatul precedent se obt¸ine ˆın mod direct relat¸ia (A.6).
[Se vor omite demonstrat¸iile pentru afirmat¸iile generale despre spat¸iile Hilbert, deoarece implic˘a rat¸ionamente matematice complexe ¸si cu multe aspecte subtile.] 2 Se va considera cazul cˆ and baza este num˘ arabil˘ a, adic˘ a vectorii bazei se pot pune ˆın corespondent¸a ˘ cu mult¸imea numerelor naturale; aceasta este situat¸ia realizat˘ a ˆın majoritatea cazurilor interesante pentru mecanica cuantic˘ a.
440
ANEXA A. ANEXE MATEMATICE
A.1.4
Operatori liniari ˆın spat¸ii Hilbert
Prin definit¸ie, un operator ˆıntr-un spat¸iu liniar este o corespondent¸˘a ˆıntre vectori ai spat¸iului; astfel operatorul B aplicat unui vector a produce vectorul aB : 3 a −→ aB = B a ,
(a , aB ∈ R) .
(A.7)
Prin urmare, un operator este definit prin rezultatele act¸iunilor asupra tuturor vectorilor din spat¸iul de definit¸ie. Prin definit¸ie, un operator B este liniar, dac˘a satisface urm˘atoarea proprietate: B(λ1 a1 + λ2 a2 ) = λ1 B a1 + λ2 B a2 ,
(A.8)
pentru orice vectori a1 , a2 ¸si orice numere complexe λ1 , λ2 . Operatori liniari remarcabili: • operatorul unitate I, care las˘a vectorii nemodificat¸i: I a = a; • operatorul nul O, care transform˘a orice vector ˆın vectorul nul: O a = ∅. Operat¸ii cu operatori liniari: • suma a doi operatori (A ¸si B) produce operatorul C = A + B, definit prin modul de act¸iune asupra unui vector oarecare: C a ≡ (A + B) a = A a + B a ; • multiplicarea unui operator (B) cu un num˘ar complex (λ), produce operatorul D = λ B, definit prin act¸iunea sa: D a ≡ (λ B) a = λ (B a) ; • produsul a doi operatori (A ¸si B) genereaza operatorul F = A · B, definit prin act¸iunea sa: F a ≡ (A · B) a = A(B a) . ˆIn general operatorii nu sunt comutativi, adic˘a A · B 6= B · A; prin urmare, ordinea ˆın care act¸ioneaz˘ a operatorii ˆın mod succesiv este esent¸ial˘a. Se definesc urm˘atoarele combinat¸ii de produse cu 2 operatori: – comutatorul [A, B] ≡ A · B − B · A, – anti-comutatorul {A, B} ≡ A · B + B · A. ˆIn unele situat¸ii se utilizeaz˘ a notat¸iile condensate: [A, B]− ≡ [A, B] (pentru comutator) ¸si [A, B]+ ≡ {A, B} (pentru anti-comutator). Comutatorul unui operator cu un produs de operatori se poate descompune ˆın comutatori, sau anti-comutatori, simpli conform urm˘atoarei identit˘ a¸ti: ˆ · Cˆ ˆ ˆ · Aˆ , Cˆ Aˆ , B = Aˆ , B · Cˆ ± B . (A.9) − ∓ ∓ Demonstrat¸ie:
a) cazul descompunere ˆın comutatori: ˆ B ˆ C] ˆ − = AˆB ˆC ˆ−B ˆ Cˆ A ˆ=A ˆB ˆC ˆ−B ˆA ˆCˆ + B ˆ AˆC ˆ−B ˆC ˆA ˆ = {A ˆB ˆ −B ˆ A} ˆ Cˆ + B{ ˆ AˆC ˆ−C ˆ A} ˆ [A, ˆ B] ˆ −C ˆ+B ˆ [A, ˆ C] ˆ−; = [A,
b) cazul descompunere ˆın anti-comutatori: ˆ B ˆ C] ˆ − = AˆB ˆC ˆ−B ˆ Cˆ A ˆ=A ˆB ˆC ˆ+B ˆA ˆCˆ − B ˆ AˆC ˆ−B ˆC ˆA ˆ = {A ˆB ˆ +B ˆ A} ˆ Cˆ − B{ ˆ AˆC ˆ+C ˆ A} ˆ [A, ˆ B] ˆ +C ˆ−B ˆ [A, ˆ C] ˆ+. = [A,
Operat¸ii repetate cu un operator: • puterea unui operator (produsul repetat): An = A·A·. . .·A (produs de n operatori identici); 3ˆ In general un operator poate s˘ a act¸ioneze numai asupra anumitor vectori din spat¸iu, a c˘ aror totalitate formeaz˘ a domeniul de definit¸ie al operatorului. ˆIn majoritatea cazurilor interesante din mecanica cuantic˘ a operatorii sunt definit¸i ˆın ˆıntregul spat¸iu liniar.
A.1. ELEMENTE DE SPAT ¸ II HILBERT
441
• serie de operatorial˘ a: f (A) =
∞ X
cn An ,
(A.10)
n=0
unde {cn }n sunt numere complexe;
• funct¸ia operatorial˘ a este definit˘ a pe baza dezvolt˘ arii Taylor a funct¸iei analoage cu variabila real˘ a: ∞ X 1 (n) f (0) An (A.11) f (A) = n! n=0
unde f (n) (0) este derivata de ordinul n a funct¸iei f (x) calculat˘ a ˆın punctul x = 0; ˆın particular, funct¸ia exponent¸ial˘a operatorial˘ a este definit˘ a prin seria ∞ X 1 n e ≡ exp(A) = A . n! n=0 A
(A.12)
ˆIn mecanica cuantic˘ a pentru operatorii exponent¸iali este important˘ a identitatea operatorial˘ a Baker-Campbell-Hausdorff (numit˘ a, de asemenea lema Hadamard) h i ˆ ˆ A ˆ ˆ A], ˆ Aˆ . . . Aˆ + · · · ˆ A], ˆ Aˆ + 1 [[B, ˆ A], ˆ A], ˆ Aˆ + · · · + 1 ... [B, ˆ + [B, ˆ A] ˆ + 1 [B, e−A B e =B 2 3! n! | {z } n
(A.13)
Demonstrat¸ie: ˆ ˆ ˆ e αAˆ , dependent de parametrul real α; derivatele acestui Se consider˘ a operatorul S(α) ≡ e−αA B operator ˆın raport cu parametru α se exprim˘ a astfel:
∂ ˆ ˆ e−αAˆ B ˆ e αAˆ + e−αAˆ B ˆ e αAˆ A ˆ = −A ˆ S(α) ˆ ˆ ˆ = S(α), ˆ ˆ , S(α) = −A + S(α) A A ∂α i h i h ∂ ˆ ∂2 ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ = ∂ S(α), S(α) = Aˆ = S(α), A S(α), A 2 ∂α ∂α ∂α .. . i i h h i i h ∂n ˆ ∂ h ˆ ˆ ˆ ...A ˆ ˆ ...A ˆ = ... ∂ S(α), ˆ ˆ ...A ˆ = ... S(α), A ... S(α), A S(α) = A n ∂α ∂α ∂α | {z } | {z } | {z } n−1
n−1
n
ˆ Se efectueaz˘ a dezvoltarea ˆın serie Taylor a operatorului S(α) ˆın jurul valorii α = 0:
∂ ˆ α2 ∂ 2 ˆ αn ∂ n ˆ ˆ ˆ S(α) = S(0) +α S(α) S(α) S(α) + + ... + + ... 2 n ∂α 2 ∂α n! ∂α α=0 α=0 α=0 i 2 h i αn h ˆ ˆ ˆ . . . Aˆ + . . . ˆ ˆ ˆ +α S(0), Aˆ + . . . + ... S(0), A = S(0) + α S(0), A 2 n! | {z } n
ˆ Conform definit¸iei operatorului S(α), rezult˘ a ˆ ˆ, S(α) =B α=0 ˆ ˆ ˆ eAˆ ; S(α) = e−A B α=1
atunci seria Taylor determinat˘ a anterior devine identitatea Baker-Campbell-Hausdorff cˆ and se consider˘ a α = 1.
Dac˘ a pentru un operator liniar A exist˘a un alt operator B cu proprietatea A · B = B · A = I, atunci A este un operator nesingular, iar B este inversul operatorului A : B = A−1 . Operatorul invers al unui operator liniar este, de asemenea, un operator liniar ¸si satisface relat¸ia −1 A−1 = A. Un operator liniar nesingular stabile¸ste o corespondent¸˘a biunivoc˘ a ˆıntre elementale spat¸iului ˆın care act¸ioneaz˘ a. Dac˘ a nu exist˘a operatorul invers, atunci A este un operator singular.
442
ANEXA A. ANEXE MATEMATICE
Utilizˆ and produsul scalar, pentru un operator B se poate defini adjunctul s˘au (notat B † ) prin relat¸ia: (a1 , B a2 ) = (B † a1 , a2 ) . (A.14) Pe baza operatorului adjunct se definesc 2 categorii importante de operatori liniari: a) operator hermitic B † = B (operatorul coincide cu adjunctul s˘au); b) operator unitar B † = B −1 (operatorul adjunct coincide cu inversul operatorului). Dac˘ a se alege o baz˘ a a spat¸iului Hilbert {uj }j=0,1,...∞ , atunci se definesc elementele de matrice ale operatorului ˆın aceast˘a baz˘ a prin relat¸ia: Bjk = (uj , B uk ). Urma unui operator (ˆın englez˘ a trace) se define¸ste ca fiind egal˘a cu suma elemenelor de matrice diagonale ˆıntr-o baz˘ a oarecare a spat¸iului: Tr{B} =
∞ X j=0
(uj , B uj ) ≡
∞ X
Bjj .
(A.15)
j=0
Sunt importante pentru mecanica cuantic˘ a urm˘atoarele propriet˘ a¸ti ale urmei operatoriale: • Operat¸ia urm˘ a operatorial˘ a se poate efectua numai pentru anumit¸i operatori, numit¸i operatori de clasa urmei; un exemplu remarcabil pentru mecanica cuantic˘ a de operator clasa urmei este operatorul e−A , unde A este un operator hermitic. • Urma unui operator este independent˘ a de alegerea bazei de vectori a spat¸iului Tr{B} =
∞ X j=0
(uj , B uj ) =
∞ X
(vk , B vk ) ,
k=0
unde uj j ¸si vk k sunt dou˘a baze ale spat¸iului liniar considerat.
• Pentru un produs de operatori urma este invariant˘ a la permut˘ari circulare ale acestor operatori Tr{A · B · . . . · Y · Z} = Tr{Z · A · B · . . . · Y } .
A.2. FUNCT ¸ IA DIRAC
A.2
443
Funct¸ia Dirac
Simbolul δ(x), numit uzual ˆın lucr˘arile de fizic˘a funct¸ia Dirac, nu este ˆın sens matematic riguros o funct¸ie, ci o distribut¸ie matematic˘ a (cu terminologia Schwartz) sau o funct¸ie generalizat˘ a (cu terminologia Gelfand). ˆIn mod formal simbolul δ(x) satisface urm˘atoarele propriet˘ a¸ti de definit¸ie: a) δ(x) = 0, pentru x 6= 0,
(A.15a)
b) δ(x) = ∞, pentru x = 0, ( Z b f (x0 ) , dac˘a x0 ∈ (a, b) , c) f (x) δ(x − x0 ) dx = 0 , dac˘a x0 ∈ / (a, b) , a
(A.15b)
unde f (x) este o funct¸ie continu˘ a (¸si cu derivate continue). ˆIn particular, pentru funct¸ia identitate f (x) = 1, proprietatea c) devine ( Z b 1 , dac˘a x0 ∈ (a, b) , δ(x − x0 ) dx = 0 , dac˘a x0 ∈ / (a, b) . a
(A.15c)
(A.16)
Setul propriet˘ a¸tilor de definit¸ie ale simbolului Dirac δ(x) nu poate fi satisf˘acut de nici o funct¸ie matematic˘a; totu¸si, deoarece ˆın toate situat¸iile, simbolul Dirac este utilizat (ˆın forma final˘a) numai ˆın integrale, rezult˘a c˘ a propriettea c) define¸ste o funct¸ional˘ a (adic˘a o corespondent ¸ ˘a ˆıntre o funct¸ie f (x) ¸si un num˘ ar f (x0 )), iar δ(x) este limita slab˘ a a unei familii de funct¸ii δ(x; α) α→α0 dependent˘ a de un parametru α. Atunci familia de funct¸ii slab convergente c˘ atre funct¸ia Dirac satisface propriet˘ a¸tile: a’) lim δ(x; α) = 0, pentru x 6= 0,
(A.17a)
b’) lim δ(x; α) = ∞, pentru x = 0,
(A.17b)
α→α0
α→α0
c’) lim
α→α0
Z
b
a
( f (x0 ) , dac˘a x0 ∈ (a, b) , f (x) δ(x − x0 ; α) dx = . 0 , dac˘a x0 ∈ / (a, b) ,
(A.17c)
De asemenea, se consider˘ a limita slab˘ a lim δ(x; α) = δ(x), unde trecerea la limit˘a se face numai α→α0
w
dup˘a efectuarea unei integrale (acesta este sensul terminologiei limit˘ a slab˘ a ). Ca urmare, este important s˘a se observe c˘ a ˆın relat¸ia (A.17c) trecerea la limit˘a ¸si integrarea nu sunt operat¸ii comutabile (se efectueaz˘ a init¸ial integrarea ¸si apoi trecerea la limit˘a). ˆIn lucr˘arile de fizic˘ a (inclusiv ˆın lucrarea prezent˘ a) se utilizeaz˘a simbolul δ(x) ˆın mod formal ca o funct¸ie, f˘ ar˘ a s˘a se expliciteze familia de funct¸ii care converge c˘ atre funct¸ia Dirac. Propriet˘a¸ti remarcabile ale funct¸iei Dirac (se omite prezentarea demonstrat¸iilor): 1. Paritatea δ(−x) = δ(x) . 2. Anti-omogenitatea δ(ax) =
1 δ(x) . |a|
(A.18)
(A.19)
3. Anti-simetria derivatei δ ′ (−x) = −δ ′ (x) , unde δ ′ (x) =
dδ(x) este derivata ”funct¸iei Dirac” dx
(A.20)
4. Relat¸ia cu funct¸ia Heaviside d θ(x − x0 ) , dx unde θ(x − x0 ) este funct¸ia treapt˘ a (Heaviside), definit˘ a prin relat¸ia ( 0 , dac˘a x < x0 , θ(x − x0 ) = 1 , dac˘a x > x0 . δ(x − x0 ) =
(A.21)
444
ANEXA A. ANEXE MATEMATICE
5. Filtrarea valorii unei funct¸ii f (x) δ(x − x0 ) = f (x0 ) δ(x − x0 ) ,
(A.22)
de unde rezult˘a: x δ(x) = 0. 6. Pentru o funct¸ie g(x), care are setul de zerouri xj j=1,n (adic˘a g(xj ) = 0 , j = 1, n ), rezult˘a n X δ(x − xj ) δ g(x) = ; (A.23) dg(x) j=1 dx x=xj ˆın particular:
δ x2 − a2 =
1 δ(x − a) + δ(x + a) . 2 |a|
7. Relat¸ia de completitudine a funct¸iilor Fourier: Z ∞ dk ik(x−x0 ) e = δ(x − x0 ) . −∞ 2π
(A.24)
(A.25)
8. Funct¸ia Dirac 3-dimensional˘ a este definit˘ a prin relat¸ia δ 3 (r − r′ ) = δ(x − x′ ) δ(y − y ′ ) δ(z − z ′ ) ; ca urmare, rezult˘a reprezentarea Fourier 3-dimensional˘a: Z Z Z ∞ dkx ∞ dky ∞ dkz i[kx (x−x′ )+ky (y−y′ )+kz (z−z′ )] e δ 3 (r − r′ ) = −∞ 2π −∞ 2π −∞ 2π ZZZ d3 k ik·(r−r′ ) e . = 3 R3 (2π) 9. Identitatea Sohotski-Weierstrass (expresie formal˘a): 1 1 ± iπ δ(x − x0 ) , = P x − x0 ∓ iη η→0+ x − x0
(A.26)
(A.27)
(A.28)
unde trecerea a (η → 0+ ) este slab˘ a (adic˘a se face dup˘a efectuarea unei integrale), la limit˘ 1 este partea principal˘ a a integralei ˆın sens Cauchy. iar P x−x 0 Pentru o funct¸ie real˘ a f (x) ¸si un num˘ar real x0 cont¸inut ˆın intervalul de integrare (adic˘a x0 ∈ (a, b)), partea principal˘ a ˆın sens Cauchy a unei integrale este definit˘ a astfel: Z Z Z b b n x0 −ε f (x) o f (x) f (x) dx ; (A.29) = lim + dx − dx ε→0+ x − x0 x − x0 x − x0 x0 +ε a a
atunci identitatea Sohotski-Weierstrass exprimat˘ a ˆın mod explicit este Z b Z b Z b f (x) f (x) dx lim ± iπ dx f (x) δ(x − x0 ) = − dx η→0+ a x − x0 ∓ iη x − x0 a a Z b f (x) ± iπ f (x0 ) ; = − dx x − x0 a Cu ajutorul funct¸iei Dirac se poate exprima ˆın mod compact relat¸ia de completitudine a unui sistem ortonormat de funct¸ii: X u∗α (x) uα (x′ ) = δ(x − x′ ) , (A.30) α
unde pentru simplitate s-a considerat c˘ a setul de funct¸ii uα (x) α depinde de variabila real˘a x ¸si de indicele discret α; generalizarea pentru variabil˘ a ¸si indice multiple (sau/¸si continue) este facil˘a.
A.2. FUNCT ¸ IA DIRAC
445
• Demonstrat¸ie formal˘a:
a; relat¸a de orto-normare este Setul de funct¸ii uα (x) α este orto-normat ¸si complet, prin hipotez˘ Z (uα , uα′ ) = dx u∗α (x) uα′ (x) = δα,α′ .
Pe de alt˘ a parte, dac˘ a acest set de funct¸ii este complet (ˆın spat¸iul de funct¸ii considerat), atunci orice funct¸ie din acest spat¸iu f (x) se poate dezvolta dup˘ a setul funct¸iilor de baz˘ a X (f ) cα uα (x) , f (x) = α
iar coeficientul Fourier generalizat rezult˘ a din relat¸ia de ortonormare: X (f ) ) cα′ (uα , uα′ ) = c(f uα , f = α . α′
Prin substituirea expresiei coeficientului Fourier generalizat ˆın formula de dezvoltare a funct¸iei f (x) ¸si apoi explicitarea produsului scalar (ca integral˘ a ˆın raport cu coordonata x) se obt¸ine X XZ X (f ) dx′ u∗α (x′ ) f (x′ ) uα (x) cα uα (x) = uα , f uα (x) = f (x) = α
α
α
=
Z
dx′
nX α
o u∗α (x′ ) uα (x) f (x′ ) ;
(ˆın ultima relat¸ie s-a utilizat hipoteza c˘ a este posibil s˘ a se interverteasc˘ a sumarea dup˘ a indicele α cu integrala dup˘ a variabila x). Pe de alt˘ a parte, funct¸ia f (x) se exprim˘ a printr-o integral˘ a cu ajutorul funct¸iei Dirac (ˆın mod formal): Z f (x) = dx′ δ(x − x′ ) f (x′ ) . Prin compararea celor dou˘ a expresii integrale ale funct¸iei f (x), care este arbitrar˘ a, rezult˘ a relat¸ia de completitudine (A.30).
446
A.3
ANEXA A. ANEXE MATEMATICE
Condit¸ii la limit˘ a spat¸iale periodice ¸si consecint¸e
Se consider˘ a un sistem de particule independente (f˘ ar˘a interact¸ii mutuale) aflat ˆın incinta de volum V . St˘arile proprii ale unei particule, din punct de vedere pur spat¸ial, sunt st˘ari proprii ale 1 impulsului, descrise de unde plane uk (r) = √ eik·r . V A. Cuantificarea valorilor vectorului de und˘ a Deoarece se consider˘ a sistemul omogen spat¸ial, exist˘a simetrie la translat¸ii spat¸iale; ca urmare, se pot impune condit¸ii periodice funct¸iei proprii spat¸iale, rezultˆand valori cuantificate (discrete) pentru componentele impulsului. Pentru simplitate se consider˘ a incinta cubic˘a cu latura L (atunci volumul incintei este V = L3 ) ¸si se aleg axele de coordonate paralele cu laturile cubului; 4 ˆın acest caz condit¸iile la limit˘a pentru funct¸iile proprii ale impulsului sunt: u k (r + Leα ) = u k (r), unde eα este versorul unei axe de coordonate (α = x, y, z). Prin explicitarea acestor condit¸ii limit˘a rezult˘a c˘ a fiecare component˘ aa 2π gα , unde α = x, y, z ¸si gx , gy , gz sunt numere vectorului de und˘a are valori cuantificate: kα = L ˆıntregi. Demonstrat¸ie: Ca exemplu tipic se consider˘ a condit¸ia limit˘ a pentru fet¸ele cubului perpendiculare pe axa Ox (adic˘ a fet¸ele x = 0 ¸si x = L); atunci, condit¸ia de periodicitate a funct¸iei proprii (unda plan˘ a) este: ukx ky kz (x, y, z) x=0 = ukx ky kz (x, y, z) x=L 1 1 = √ e i(kx x+ky y+kz z) , =⇒ √ e i(kx x+ky y+kz z) x=0 x=L V V din care rezult˘ a 1 1 √ e i(ky y+kz z) = √ e i(kx L+ky y+kz z) V V
=⇒
e i(kx L) = 1 = e i·2πgx ,
(gx ∈ Z) ;
atunci kx L = 2πgx . Rat¸ionamentul anterior se poate repeta pe celelalte axe de coordonate, astfel c˘ a rezult˘ a c˘ a fiecare 2π gα (α = x, y, z ¸si component˘ a cartesian˘ a a vectorului de und˘ a are valori cuantificate: kα = L gα = 0, ±1, ±2, . . .).
B. Transformarea sumelor ˆın integrale pentru vectorul de und˘ a Luˆand ˆın considerat¸ie cuantificarea valorilor proprii ale vectorului de und˘a rezult˘a c˘ a sumarea peste valorile posibile ale vectorului de und˘a devine o integral˘a la limita sistemelor macroscopice (limita termodinamic˘ a), conform relat¸iei de transformare sume-integrale: Z 1 1 X f (k) = d3 kf (k) . (A.31) LT (2π)3 R3 V k
Demonstrat¸ie: Deoarece valorile unei componente a vectorului de und˘ a sunt multipli ˆıntregi ai m˘ arimii 2π/L, rezult˘ a c˘ a variat¸ia elementar˘ a a valorii unei astfel de component˘ a este ∆kα = 2π/L (aceasta se obt¸ine la variat¸ia num˘ arului ˆıntreg gα cu o unitate); atunci, sumarea dup˘ a valorile vectorului de und˘ a se poate scrie ˆın mod formal astfel: L 3 X X X f (k) = f (kx , ky , kz ) = f (kx , ky , kz ) ∆kx ∆ky ∆kz . 2π k
kx ,ky ,kz
kx ,ky ,kz
Se observ˘ a c˘ a la limita termodinamic˘ a, cˆ and L → ∞, valorile variat¸iilor componentelor vectorului de und˘ a devin infinitezial mici: ∆kα = 2π/L → 0; ca urmare, sumele devin integrale Riemann. 4 Pentru sisteme multi-particule rezultatele sunt interesante la limita macroscopic˘ a (numit˘ a limita termodinamic˘ a), cˆ and sistemele cont¸in un num˘ ar enorm de particule ¸si dimensiunile incintei sunt extrem de mari fat¸˘ a de dimensiunile caracteristice microscopice; ˆın acest caz, se poate ar˘ ata c˘ a rezultatele macroscopice sunt independente de forma incintei (dar demonstrarea acestei propriet˘ a¸ti este foarte dificil˘ a din punct de vedere matematic). Ca urmare, se poate alege forma incintei astfel ˆıncˆ at s˘ a rezulte condit¸ii la limit˘ a (pe frontiera incintei) cˆ at mai simple din punct de vedere matematic.
˘ SPAT A.3. CONDIT ¸ II LA LIMITA ¸ IALE PERIODICE S ¸ I CONSECINT ¸E C. Integrala caracteristic˘ a spat¸ial˘ a (relat¸ia Fourier discret˘ a) Z I(k) ≡ d3 r e ik·r = V δ k,0 .
447
(A.32)
V
Demonstrat¸ie: Pentru integrala spat¸ial˘ a ˆın volumul V se consider˘ a c˘ a domeniul spat¸ial este un cub cu latura L (atunci V = L3 ), avˆ and laturile orientate paralel cu axele de coordonate; ˆın acest caz, condit¸iile la e ik·r conduc limit˘ a impuse funct¸iilor proprii ale impulsului unei particule (unde plane) u k (r) = √ V la valori discrete (cuantificate) pentru componentele vectorului de und˘ a: kα = 2πgα /L (unde α = x, y, z). Conform alegerii f˘ acute, integrala spat¸ial˘ a 3-dimensional˘ a se descompune ˆın 3 integrale 1-dimensionale independente: Z Z L Z L Z L Y Z L 3 ik·r i(kx rx +ky ry +kz rz ) d re = drα e ikα rα ; drx dry drz e = V
0
0
0
α=x,y,z
0
deoarece componentele vectorului de und˘ a sunt cuantificate, pentru fiecare integral˘ a 1-dimensional˘ a se obt¸in urm˘ atoarele rezultate (pentru simplitate se omit indicii axei de coordonate α, astfel ˆıncˆ at componenta vectorului de und˘ a are expresia k = 2πg/L): Z L = dx = L , Z L g=0 0 dx e ikx = Z L x=L 0 L L = dx e i(2πg/L)x = e i(2πg/L)x (e2πig − 1) = 0 . = g6=0 2πig 2πig x=0 0 Atunci, integrala 3-dimensional˘ a are valoarea I(k) k=0 = L3 = V dac˘ a toate cele 3 componente ale vectorului de und˘ a sunt nule, dar aceast˘ a integral˘ a este nul˘ a cˆ and cel put¸in o component˘ a a vectorului de und˘ a este nenul˘ a: I(k) k6=0 = 0. Ca urmare, integrala 3-dimensional˘ a spat¸ial˘ a se comport˘ a ca un simbol Kronecker. La limita termodinamic˘ a V → ∞, astfel c˘ a integrala se extinde la ˆıntregul spat¸iu; atunci Z Z ∞ Y Y I(k) = d3 r e ik·r = drα e ikα rα = 2π δ(kα ) = (2π)3 δ 3 (k) , R3
α=x,y,z
−∞
α=x,y,z
unde δ 3 (k) este funct¸ia Dirac 3-dimensional˘ a, conform relat¸iei (A.27).
D. Integrale Fourier directe ¸si inverse Conform rezultatelor precedente ¸si formulei Fourier (A.27) rezult˘a urm˘atoarele integrale ante LT ¸si post LT: Z Z ′ 1 d3 r i(k−k′ )·r e = δ 3 (k − k′ ) ; (A.33) d3 r ei(k−k )·r = δk,k′ =⇒ 3 LT V V (2π) 3 R Z 1 X ik·(r−r′ ) d3 k ik·(r−r′ ) e = δ 3 (r − r′ ) ; (A.34) e = LT R3 (2π)3 V k
448
A.4
ANEXA A. ANEXE MATEMATICE
Transformate Fourier spat¸io-temporale
Se consider˘ a o funct¸ie dependent˘ a de variabila spat¸ial˘a r (vectorul de pozit¸ie) ¸si de variabila temporal˘ a t (timpul); atunci se poate aplica transformarea Fourier spat¸io-temporal˘a pentru funct¸ia considerat˘ a: Z 1 X ∞ dω i( k·r−ωt) e e F (k, ω) , (A.35a) F (r; t) = V −∞ 2π k Z ∞ Z d3 k dω i( k·r−ωt) e = e F (k, ω) , (A.35b) 3 LT R3 (2π) −∞ 2π iar transformarea Fourier invers˘a este Z Z Fe (k, ω) = d3 r
∞
dt e−i( k·r−ωt) F (r, t) ,
(A.36)
−∞
unde integrarea spat¸ial˘a se face ˆın volumul V , iar la limita termodinamic˘ a (LT) se extinde la ˆıntregul spat¸iu (V → ∞). Pentru simplificarea formulelor este convenabil s˘a se utilizeze notat¸ii 4-dimensionale (se va considera limita termodinamic˘ a): Z Z Z ∞ • 4-coordonata x ≡ (r, t) ¸si integrala corespunz˘ atoare d4 x . . . = d3 r dt . . . ; R3
• 4-impulsul k ≡ (k, ω) ¸si integrala corespunz˘ atoare
Z
4
d k ... = (2π)4
Z
−∞
3
d k 3 R3 (2π)
Z
∞
dω ... ; −∞ 2π
• produsul scalar 4-dimensional k · r = k · r − ωt. Utilizˆand notat¸ia 4-dimensional˘ a, se definesc funct¸ii Dirac corespunz˘ atoare: Z Z Z ∞ d4 x ik·x d3 r dt i(k·r−ωt) e , δ 4 (k) ≡ δ 3 (k) δ(ω) = e ≡ 3 (2π)4 R3 (2π) −∞ 2π Z Z Z ∞ d4 k ik·x d3 k dω i(k·r−ωt) δ 4 (x) ≡ δ 3 (r) δ(t) = e ; e ≡ 3 (2π)4 R3 (2π) −∞ 2π de asemenea, se scriu dezvolt˘ arile Fourier 4-dimensionale (la limita termodinamic˘ a) pentru funct¸ia considerat˘ a anterior: Z d4 k ik·x e F (x) = e F (k) , (A.37a) (2π)4 Z Fe(k) = d4 x e−ik·x F (x) . (A.37b)
Propriet˘a¸tile de convolut¸ie ale transformatelor Fourier: P1: Z Z d4 x1 · · · d4 xn F0 (x − x1 ) F1 (x1 − x2 ) · · · Fn−1 (xn−1 − xn ) Fn (xn − x′ ) Z d4 k ik·(x−x′ ) e e F0 (k) Fe1 (k) · · · Fen (k) ; = (2π)4
(A.38a)
P2: Z
4
Z
d4 xn F1 (x1 − x2 ) F2 (x2 − x3 ) · · · Fn−1 (xn−1 − xn ) Fn (xn − x1 ) Z = δ 4 (0) d4 k Fe1 (k) Fe2 (k) · · · Fen (k) ;
d x1 · · ·
(A.38b)
A.4. TRANSFORMATE FOURIER SPAT ¸ IO-TEMPORALE
449
P3: Z d4 x F1 (x1 − x) F2 (x − x2 ) · · · F3 (x − x3 ) (A.38c) Z 4 Z 4 Z 4 d k2 d k3 d k1 (2π)4 δ 4 (−k1 + k2 + k3 ) e i(k1 ·x1 +k2 ·x2 +k3 ·x3 ) Fe1 (k1 ) Fe2 (k2 ) Fe3 (k3 ) . = 4 4 (2π) (2π) (2π)4 Demonstrat¸ie:
Se efectueaz˘ a transform˘ arile Fourier pentru funct¸ii urmate de integr˘ arile spat¸iale, care produc funct¸ii Dirac; apoi se efectueaz˘ a integr˘ arile dup˘ a 4-vectorul impuls ˆın care sunt implicate funct¸iile Dirac produse anterior. Pentru proprietatea P1: Z
Z d4 x1 · · · d4 xn F0 (x − x1 ) F1 (x1 − x2 ) · · · Fn−1 (xn−1 − xn ) Fn (xn − x′ ) Z 4 Z Z Z d k1 ik1 ·(x1 −x2 ) e d4 k ik·(x−x1 ) e e F (k) · e F1 (k1 ) · · · = d4 x1 · · · d4 xn 0 (2π)4 (2π)4 Z 4 d kn ikn ·(xn −x′ ) e × e Fn (kn ) (2π)4 Z Z Z ′ d4 k 4 d k · · · d4 kn e i(k·x−kn ·x ) Fe0 (k) · Fe1 (k1 ) · · · Fen (kn ) = 1 (2π)4 Z 4 Z 4 Z 4 d x1 i(k1 −k)·x1 d x2 i(k2 −k1 )·x2 d xn i(kn −kn−1 )·xn × e e e (2π)4 (2π)4 (2π)4 | {z }| {z }| {z } Z
=
= δ 4 (k1 −k)
= δ 4 (k2 −k1 )
= δ 4 (kn −kn−1 )
4
d k ik·(x−x′ ) e e F0 (k) Fe1 (k) · · · Fen (k) . (2π)4
Pentru proprietatea P2: Z
Z d4 x1 · · · d4 xn F1 (x1 − x2 ) · · · Fn (xn − x1 ) Z 4 Z Z Z 4 d k1 ik1 ·(x1 −x2 ) e d kn ikn ·(xn −x1 ) e = d4 x1 · · · d4 xn e F1 (k1 ) · · · e Fn (kn ) 4 (2π) (2π)4 Z Z = d4 k1 · · · d4 kn Fe0 (k1 ) · · · Fen (kn ) Z 4 Z 4 Z 4 d x2 i(k2 −k1 )·x2 d xn i(kn −kn−1 )·xn d x1 i(k1 −kn )·x1 · · · e e e × (2π)4 (2π)4 (2π)4 {z } | {z } {z } | | = δ 4 (k1 −kn )
Z
= δ 4 (k2 −k1 )
= δ 4 (kn −kn−1 )
d4 kn Fe0 (kn ) · · · Fen (kn ) δ 4 (kn − kn ) Z = δ 4 (0) d4 k Fe0 (k) · · · Fen (k) .
=
Pentru proprietatea P3: Z
d4 x F1 (x1 − x) F2 (x − x2 ) · · · F3 (x − x3 ) Z Z 4 Z 4 Z 4 d k1 ik1 ·(x1 −x) e d k2 ik2 ·(x−x2 ) e d k3 ik3 ·(x−x3 ) e = d4 x e F1 (k1 ) · e F2 (k2 ) · e F3 (k3 ) 4 4 (2π) (2π) (2π)4 Z 4 Z 4 Z 4 Z d k2 d k3 i(k1 ·x1 −k2 ·x2 −k3 ·x3 ) e d k1 = e F1 (k1 ) Fe2 (k2 ) Fe3 (k3 ) d4 x e i(−k1 +k2 +k3 )·x (2π)4 (2π)4 (2π)4 {z } | =
Z
4
d k1 (2π)4
Z
4
d k2 (2π)4
Z
= (2π)4 δ 4 (−k1 +k2 +k3 )
4
d k3 (2π)4 δ 4 (−k1 + k2 + k3 ) e ik1 ·x1 Fe1 (k1 ) e ik2 ·x2 Fe2 (k2 ) e ik3 ·x3 Fe3 (k3 ) . (2π)4
450
ANEXA A. ANEXE MATEMATICE
A.5
Funct¸ii de variabil˘ a complex˘ a
Se vor prezenta numai acele not¸iuni din teoria funct¸iilor de variabil˘ a complex˘a care au implicat¸ii matematice asupra unor subiecte din teoria cuantic˘ a a sistemelor de particule identice (many-body theory).
A.5.1
Probleme generale
Num˘ ar complex este de forma z = x + iy, unde x & y ∈ R (numere reale) ¸si i = (simbolul imaginar); atunci z ∈ C (mult¸imea numerelor complexe).
√ −1
Funct¸ie complex˘ a este o funct¸ie cu variabila complex˘a ¸si avˆand valori complexe f (z) : C → C; o funct¸ie complex˘a se poate descompune ˆın parte real˘a ¸si parte imaginar˘a: f (z) = P (x, y) + i Q(x, y) = Re{f (z)} + i Im{f (z)} . Funct¸ie monogen˘ a ˆıntr-un punct (z) este o funct¸ie conplex˘a derivabil˘a ˆın acel punct, adic˘a df (z) ; o funct¸ie holomorf˘ a ˆıntr-un domeniu din planul complex (D) este o exist˘a derivata dz funct¸ie complex˘a monogen˘a ˆın fiecare punct din acel domeniu: f (z) ∈ H(D). Teorema fundamental˘ a Cauchy: dac˘a f (z) este o funct¸ie holomorf˘ a ˆın domeniul simplu conex D, atunci pentru orice contur simplu ˆınchis ¸si rectificabil din D, integrala funct¸iei pe acest contur este nul˘a: I f (z) dz = 0 . (A.39)
D
C1
C
Consecint¸˘ a: integrala unei funct¸ii holomorfe ˆıntre 2 puncte din domeniul de holomorfie este independent˘ a de curba care une¸ste cele 2 puncte (cu condit¸ia ca respectiva curb˘ a s˘a fie cont¸inut˘a ˆın domeniul de holomorfie): Z
B
f (z) dz =
A (C1 )
Z
B
A
C2
B
f (z) dz .
(A.40)
A (C2 )
Rezultatul este ilustrat ˆın figura al˘ aturat˘ a. Formula integral˘ a Cauchy: dac˘ a f (z) este o funct¸ie holomorf˘ a pe domeniul simplu conex D, atunci pentru orice contur simplu ˆınchis ¸si rectificabil Γ (cont¸inut ˆın D) are loc relat¸ia ( I f (z0 ) , dac˘a z0 ∈ int(Γ) , f (z) 1 n dz = 2πi Γ z − z0 0, dac˘a z0 ∈ ext(Γ) . (A.41)
D Γ z0
Dezvoltarea ˆın serie Laurent pentru o funct¸ie complex˘a f (x) ˆın jurul punctului z0 : f (z) =
X
Bm
m≥1
P
X 1 + An (z − z0 )n ; (A.42) m (z − z0 ) n≥0
a, iar a doua parte prima parte m≥1 Bm (z − z0 )−m se nume¸ste parte principal˘ se nume¸ste parte Taylor (a seriei Laurent).
P
n≥0
An (z − z0 )n
˘ COMPLEXA ˘ A.5. FUNCT ¸ II DE VARIABILA
451
Clasificarea punctelor din domeniul de definit¸ie al funct¸iei f (x), ˆın raport cu dezvoltarea ˆın serie Laurent ˆın jurul punctului considerat: • punct ordinar dac˘ a nu exist˘a partea principal˘a a seriei Laurent (ˆın acest caz Bm = 0, ∀ m); atunci funct¸ia f (z) are o dezvoltare Taylor ¸si este holomorf˘ a ˆın vecin˘atatea acestui punct; • zero de ordinul p dac˘ a nu exist˘a partea principal˘a ¸si seria Taylor ˆıncepe de la termenul de ordinul p + 1 (ˆın acest caz Bm = 0, ∀ m & A0 = A1 = · · · = Ap = 0, dar Ap+1 6= 0); atunci seria funct¸iei f (z) este de forma f (z) = (z − z0 )p Ap+1 + Ap+2 (z − z0 ) + . . . ;
• pol de ordinul p dac˘ a partea principal˘a cont¸ine numai primii p termeni nenuli (ˆın acest caz Bm 6= 0, m = 1, p & Bm = 0, m ≥ p + 1); atunci seria funct¸iei f (z) este de forma Bp Bp−1 B1 f (z) = + + ...+ + A0 + A1 (z − z0 ) + . . . ; (z − z0 )p (z − z0 )p−1 z − z0 • punct singular esent¸ial dac˘a partea principal˘a cont¸ine un num˘ar nelimitat de termeni. Observat¸ii: i. punctele singulare ale unei funct¸ii complexe sunt polii ¸si punctele singulare esent¸iale, ii. dup˘a modul de distribuire spat¸ial˘a, punctele singulare se pot clasifica ˆın puncte singulare izolate ¸si t˘ aieturi (= distribut¸ie continu˘ a de puncte singulare pe un contur). Funct¸ie meromorf˘ a (ˆıntr-un domeniu) este o funct¸ie complex˘a care are ˆın acel domeniu ca singularit˘a¸ti numai poli simpli. Reziduul funct¸iei complexe f (z) ˆıntr-un punct singular = primul coeficient din partea principal˘ a a seriei Laurent (ˆın jurul punctului singular considerat): B1 = Res f (z0 ) . Cazul unui pol simplu: f (z) =
B1 + A0 + A1 (z − z0 ) + . . . z − z0
Res f (z0 ) = lim (z − z0 ) f (z) . (A.43)
=⇒
z→z0
Teorema reziduurilor: integrala unei funct¸ii analitice uniforme pe un contur ˆınchis Γ, parcurs˘a ˆın sens direct (adic˘ a ˆın sens trigonometric) este egal˘a cu suma reziduurilor relative la punctele singulare aflate ˆın interiorul conturului Γ, multiplicat˘ a cu factorul 2πi: I X Res f (zj ) . (A.44) f (z) dz = 2πi Γ
j (zj ∈int Γ)
Lema Jordan (varianta standard) necesit˘a urm˘atoarele condit¸ii: a) se consider˘ a ˆın planul variabilei complexe z, un arc de cerc, notat CR , centrat ˆın originea axelor, cu raza R ¸si delimitat de condit¸ia arg(z) ≥ −a (unde a ≥ 0); aceast˘a condit¸ie este echivalent˘ a cu condit¸ia Im(z) ≥ −b ; arcul de cerc definit anterior este ilustrat ˆın figura din dreapta; b) se consider˘ a funct¸ia de variabil˘ a complex˘a f (z), care satisface condit¸ia: f (z) −→ 0 , z∈CR R→∞
y CR R x b
unde convergent¸a este uniform˘a; atunci integrala se anuleaz˘ a pe arcul de cerc cu raza infinit˘a Z dz eiλz f (z) −→ 0 , CR
R→∞
pentru orice valoare pozitiv˘ a a parametrului real λ. Se omite prezentarea demonstrat¸iei pentru varianta standard a lemei Jordan, deoarece aceast˘a lem˘a este discutat˘ a ˆın manualele privind teoria funct¸iilor de variabil˘ a complex˘a.
452
ANEXA A. ANEXE MATEMATICE
Lema Jordan (varianta I) necesit˘a urm˘atoarele condit¸ii: a) se consider˘ a ˆın planul variabilei complexe ζ, un arc de ′ cerc, notat CR , centrat ˆın originea axelor, cu raza R ¸si delimitat de condit¸ia Im(ζ) ≤ b ; arcul de cerc definit anterior este ilustrat ˆın figura din dreapta; b) se consider˘ a funct¸ia de variabil˘ a complex˘a g(ζ), care satisface condit¸ia: g(ζ) ′ −→ 0 ,
y
′ CR
b
x
R
ζ∈CR R→∞
unde convergent¸a este uniform˘a; atunci integrala se anuleaz˘ a pe arcul de cerc cu raza infinit˘a Z dζ e λζ g(ζ) −→ 0 , ′ CR
R→∞
pentru orice valoare pozitiv˘ a a parametrului real λ. Aceast˘a prim˘ a variant˘ a se deduce direct din forma standard a lemei Jordan, prin schimbarea de variabil˘ a ζ = iz ¸si schimbarea de funct¸ie g(ζ) = if (z). Lema Jordan (varianta II) necesit˘a urm˘atoarele condit¸ii: a) se consider˘ a ˆın planul variabilei complexe ζ, un arc de ′′ cerc, notat CR , centrat ˆın originea axelor, cu raza R ¸si delimitat de condit¸ia Im(ζ) ≥ b ; arcul de cerc definit anterior este ilustrat ˆın figura din dreapta; b) se consider˘ a funct¸ia de variabil˘ a complex˘a g(ζ), care satisface condit¸ia: g(ζ) ′′ −→ 0 ,
y
R b
′′ CR
x
ζ∈CR R→∞
unde convergent¸a este uniform˘a; atunci integrala se anuleaz˘ a pe arcul de cerc cu raza infinit˘a Z dζ e−λζ g(ζ) −→ 0 , ′′ CR
R→∞
pentru orice valoare pozitiv˘ a a parametrului real λ. Aceast˘a variant˘ a secund˘ a a lemei Jordan se deduce direct din prima variant˘ a prin efectuarea schimb˘ arii de variabil˘ a ζ ′ = −ζ. Teorema reziduurilor, ˆımpreun˘ a cu una dintre variantele Lemei Jordan, permit calculul unor integrale importante utilizate ˆın teoria cuantic˘ a.
A.5.2
Evaluarea unor integrale cu teorema reziduurilor
Reprezentarea integral˘ a a funct¸iei Heaviside este dat˘a de formula urm˘atoare: Z ∞ i dω −iωτ e , θ(τ ) = ω + iη η→0+ −∞ 2π
(A.45)
unde trecerea la limit˘ a η → 0+ se efectueaz˘a ca limit˘ a slab˘ a, adic˘a dup˘a efectuarea integralei care cont¸ine funct¸ia Heaviside. Demonstrat¸ie: Se consider˘ a integrala dependent˘ a de parametrul real τ ¸si de parametrul pozitiv mic η: Z ∞ Z ∞ i −1 e−iωτ dω −iωτ e ≡ ; dω fη (ω; τ ) , fη (ω; τ ) ≡ Fη (τ ) ≡ ω + iη 2πi ω + iη −∞ −∞ 2π
˘ COMPLEXA ˘ A.5. FUNCT ¸ II DE VARIABILA
453
se prelunge¸ste analitic funct¸ia integrand ˆın planul complex: fη (ω; τ ) −−−−−−−→ fη (z; τ ) . ω→z=ω+iγ
Funct¸ia complex˘ a fη (z; τ ) are urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti: i. singularit˘ a¸tile se reduc la un pol simplu situat pe partea negativ˘ a a axei imaginare: z0 = −iη; −1 −ητ e ; ii. reziduul funct¸iei fη (z; τ ) ˆın polul z0 este Res fη (z0 ; τ ) = 2πi iii. comportarea ˆın cele dou˘ a semi-plane imaginare rezult˘ a prin explicitarea variabilei complexe z = ω + iγ: ( γ>0&τ <0, −1 eγτ −iωτ fη (z; τ ) = =⇒ fη (z; τ ) −−−−→ 0 pentru |z|→∞ 2πi ω + i(γ + η) γ<0&τ >0. Pentru cazul τ > 0 se alege conturul ˆınchis de integrare constituit din axa real˘ a ¸si semi-cercul inferior C+ , a¸sa cum este reprezentat ˆın figura al˘ aturat˘ a; deoarece conturul de integrare Γ+ este parcurs ˆın sens negativ ¸si ˆın interiorul conturului de integrare se afl˘ a polul simplu z0 , teorema reziduurilor produce urm˘ atoarea valoare a integralei I fη (z; τ ) dz = −2πi Res fη (z0 ; τ ) = e−ητ −−−−→ 1 . η→0+
Γ+
γ ω z0
Pe de alt˘ a parte, conturul de integrare cont¸ine axa real˘ a ¸si semicercul inferior de raz˘ a infinit˘ a, astfel ˆıncˆ at, prin aplicarea lemei Jordan, integrala complex˘ a se reduce la integrala real˘ a Z I Z ∞ fη (z; τ ) dz = Fη (τ ) . fη (z; τ ) dz = fη (ω; τ ) dω + C Γ+ −∞ {z } | + {z | } = Fη (τ )
C+
=0
Pentru cazul τ < 0 se alege conturul ˆınchis de integrare constituit din axa real˘ a ¸si semi-cercul superior C− , a¸sa cum este reprezentat ˆın figura al˘ aturat˘ a; deoarece conturul de interiorul conturului de integrare nu exist˘ a singularit˘ a¸ti integrala este nul˘ a (conform teoremei reziduurilor) I
γ C−
fη (z; τ ) dz = 0
Γ−
Pe de alt˘ a parte, conturul de integrare cont¸ine axa real˘ a ¸si semicercul superior de raz˘ a infinit˘ a, astfel ˆıncˆ at, prin aplicarea lemei Jordan, integrala complex˘ a se reduce la integrala real˘ a I Z ∞ Z fη (z; τ ) dz = fη (ω; τ ) dω + fη (z; τ ) dz = Fη (τ ) . Γ+ −∞ C | {z } | + {z } = Fη (τ )
ω z0
=0
Pe baza rezultatelor precedente rezult˘ a c˘ a funct¸ia auxiliar˘ a are urm˘ atorul comportament: ( 1 , pentru τ > 0 , Fη (τ ) = η→0+ 0 , pentru τ < 0 ;
adic˘ a funct¸ia Fη (τ )
η→0+
are comportamentul funct¸iei Heaviside.
Pe baza reprezent˘ arii integrale (A.45) pentru funct¸ia Heaviside se poate obt¸ine reprezentarea Fourier a funct¸iei Dirac: Z ∞ Z ∞ dθ(τ ) dω −iωτ i dω −iωτ δ(τ ) = = = e (−iω) e dτ ω + iη η→0+ −∞ 2π −∞ 2π Z ∞ dω iωτ e . = −∞ 2π
454
ANEXA A. ANEXE MATEMATICE
Integrala temporal˘ a pentru reprezentarea Lehmann este definit˘ a prin formula Z ∞ ±i dτ θ(±τ ) e iωτ = K± (ω) ≡ ω ± iη η→0+ −∞
(A.46)
Demonstrat¸ie:
• Integrala temporal˘ a se calculeaz˘ a ˆın mod formal utilizˆ and reprezent˘ arile integrale ale funct¸iei Dirac δ(ω) ¸si funct¸iei Heaviside θ(τ ), care au fost discutate anterior: Z ∞ dτ iωτ e , δ(ω) = −∞ 2π Z ∞ i dω −iωτ e . θ(τ ) = ω + iη η→0+ −∞ 2π Utilizˆ and reprezent˘ arile precedente se calculeaz˘ a integrala temporal˘ a K± (ω) astfel: Z ∞ Z ∞ Z ∞ i dω ′ −iω′ (±τ ) K± (ω) = dτ θ(±τ ) e iωτ = dτ e iωτ e ′ ω + iη η→0+ −∞ −∞ −∞ 2π Z ∞ Z ∞ i dτ i(ω∓ω′ )τ = dω ′ ′ e ω + iη −∞ 2π −∞ {z } η→0+ | i = ±ω + iη
η→0+
Pentru λ = ±1 se obt¸ine Z ∞ λ dt θ(λt) e i(ω±ω0 )t = λ Kλ (ω ± ω ′ ) = λ −∞
= δ(ω∓ω ′ )
=
±i . ω ± iη η→0+
i λi = . (ω ± ω0 ) + λiη η→0+ (ω ± ω0 ) + λiη η→0+
Integralele de frecvent¸e pentru funct¸ii Green au urm˘atoarele definit¸ii, ˆımpreun˘a cu rezultatele integr˘arilor corespunz˘ atoare: Z ∞ Z ∞ dω 1 eiωτ dω (1) Jλ (a) ≡ = lim η→0+ −∞ 2π ω − a + iλη −∞ 2π ω − a + iλη η→0+ τ →0+ ( = 0 , pentru λ = +1 , = (A.47) = i , pentru λ = −1 , Z ∞ 1 dω (2) Jλ,µ (a, b) ≡ 2π (ω − a + iλη)(ω − b + iµ η) η→0+ −∞ Z ∞ iωτ e dω = lim η→0+ −∞ 2π (ω − a + iλη)(ω − b + iµ η) τ →0+ =0, pentru λ = +1 & µ = +1 , pentru λ = −1 & µ = −1 , = 0 , i (A.48) = = , pentru λ = +1 & µ = −1 , b − a + iη η→0 + i = , pentru λ = −1 & µ = +1 , a − b + iη η→0+ Demonstrat¸ie:
Se utilizeaz˘ a reprezentarea integral˘ a a funct¸iei Heaviside (A.46) ˆın care init¸ial se face subt¸itut¸ia τ ′ = −τ , iar apoi se face schimbarea variabilei de integrare ω → ω ′ = −ω, rezultˆ and egalit˘ a¸tile urm˘ atoare: Z ∞ ′ dω eiωτ θ(−τ ′ ) = i , −∞ 2π ω + iη η→0+ Z ∞ ′ dω ′ eiω τ . θ(τ ) = −i ′ −∞ 2π ω − iη η→0+
˘ COMPLEXA ˘ A.5. FUNCT ¸ II DE VARIABILA
455
Din expresiile precedente rezult˘ a urm˘ atoarele egalit˘ a¸ti: Z ∞ iωτ dω e = −i θ(−τ ) , −∞ 2π ω + iη η→0+ Z ∞ dω eiωτ = i θ(τ ) . −∞ 2π ω − iη η→0+
ˆIn integralele precedente se efectueaz˘ a schimbarea variabilei de integrare ω → ω ′ = ω − a, astfel ˆıncˆ at ambele integrale se exprim˘ a ˆın forma: Z ∞ Z ∞ eiωτ dω dω eiωτ = e−iaτ . −∞ 2π ω − a ± iη −∞ 2π ω ± iη (1)
a integralele anterioare, astfel c˘ a rezult˘ a: Pentru prima integral˘ a J± (a) se utilizeaz˘ Z ∞ eiωτ dω (1) iaτ J+ (a) ≡ =0, η→0+ = −ie θ(−τ ) τ →0+ −∞ 2π ω − a + iη τ →0+ Z ∞ eiωτ dω (1) iaτ =i; J− (a) ≡ η→0+ = ie θ(τ ) 2π ω − a − iη τ →0+ −∞ τ →0+ adic˘ a s-a obt¸inut formula (A.47).
(1)
(2)
a ˆın termeni de prima integral˘ a J± (a), prin efectuarea A doua integral˘ a J±,± (a, b) se exprim˘ descompunerii fract¸iei produs ˆın fract¸ii simple, conform identit˘ a¸tii ( a → −a + iλη 1 1 1 1 ; = − (x + a)(x + b) b−a x+a x+b b → −b + iµ η (2)
atunci integrala Jλ,µ (a, b) devine: Z ∞ h i dω iωτ 1 1 1 (2) Jλµ (a, b) = lim e − η→0+ −∞ 2π (−b + iµη)(−a + iλη) ω − a + iλη ω − b + iµ η τ →0+
1 = lim a − b + i(µ − λ)η η→0+
τ →0+
(Z
∞
eiωτ dω − −∞ 2π (ω − a + iλη)
Z
∞
eiωτ dω −∞ 2π (ω − b + iµ η)
)
(1) 1 Jλ (a) − Jµ(1) (b) ; = a − b + i(µ − λ)η
ˆın final, prin utilizarea rezultatului (A.47) pentru integrala J (1) , se obt¸ine: (2)
J++ (a, b) =
1 (1) (1) J (a) − J (b) = 0 , a − b | +{z } | + {z } =0
(2) J−− (a, b)
=0
1 (1) (1) J− (a) − J− (b) = 0 , = a − b | {z } | {z } =0
(2) J+− (a, b)
=0
(1) −i i 1 (1) = , J+ (a) − J− (b) = = a − b − 2iη | {z } | {z } a − b − iη b − a + iη =0
(2) J−+ (a, b)
=i
(1) i 1 (1) , J− (a) − J+ (b) = = a − b + 2iη | {z } | {z } a − b + iη =i
=0
adic˘ a s-au obt¸inut rezultatele (A.48).
Este important s˘a se evident¸ieze c˘ a integralele dup˘a frecvent¸e definite f˘ar˘a factorul exponent¸ial eiωτ nu se pot calcula ˆın mod direct, astfel c˘ a este necesar s˘a se introduc˘a factorul exponent¸ial ca factor de convergent¸˘ a. De asemenea, prima integral˘a se poate defini ˆın varianta Z ∞ Z ∞ dω eiωη eiωτ dω (1) (1) J ± (a) ≡ = η→0+ = J± (a) , −∞ 2π ω − a ± iη η→0+ −∞ 2π ω − a ± iη τ →0+
adic˘a rezultatul este acela¸si ca pentru prima variant˘ a.
456
ANEXA A. ANEXE MATEMATICE
Bibliografie Lucr˘arile sunt prezentate ˆın ordine cronologic˘ a. • D. Pines (ed.), The Many Body Problem (Benjamin, New York 1961). • L. Van Hove, N. M. Hugenholtz, L. P. Howland, Problems in Quantum Theory of ManyParticle Systems (Benjamin, New York 1961). • E. R. Caianello (ed.), Lectures on Field Theory and Many-Body Problem (Academic Press, New York 1961). • S. S. Schweber, Introduction to Relativistic Quantum Field Theory (Harper & Row, New York 1961). • L. P. Kadanoff, G. Baym, Quantum Statistical Mechanics (Benjamin, New York 1962). • H. L. Morrison, The Quantum Theory of Many-Particle Systems (Gordon & Breach, New York 1962). • V. L. Bonch-Bruevich, S. V. Tyablikov, The Green Function Method in Statistical Mechanics (North Holland, Amsterdam 1962). • D. Pines, Elementary Excitations in Solids (Benjamin, New York 1963). • P. Nozi`eres, Le probleme ` a N -corps (Dunot, Paris 1963). • R. Brout, P. Carruthers, Lectures on Many-Electron Problem (Wiley-Interscience, New York 1963). • J. R. Schrieffer, Theory of Superconductivity (Benjamin, Reading Mass. 1964). • T. D. Schultz, Quantum Field Theory and Many Body Problem (Gordon & Breach, New York 1964). • A. A. Abrikosov, L. P. Gor’kov, I. Ye. Dzyaloshinski, Quantum Field Theoretical Methods in Statistical Physics 2nd ed. (Pergamon Press, Oxford 1965). • D. Pines, P. Nozi`eres, The Theory of Quantum Liquids (Benjamin, Reading Mass. 1966). • E. Meeron (ed.), Physics of Many Particle Physics (Gordon & Breach, New York 1966). • N. H. March, W. H. Young, S. Sampanthar, The Many-Body Problem in Quantum Mechanics (Cambridge Univ. Press 1967). • A. L. Fetter, J. D. Walecka, Quantum Theory of Many-Particle Systems (McGraw-Hill, New York 1971). • D. J. Thouless, The quantum mechanics of many-body systems (Academic Press, New York 1972). • G. E. Brown, Many-Body Problems (North-Holland, Amsterdam 1972). • R. D. Mattuck, A Guide to Feynman Diagrams in the Many-Body Problem 2nd ed. Dover, New York, 1976). 457
458
BIBLIOGRAFIE
• G. Rickayzen, Green’s Functions and Condensed Matter (Academic Press, London 1980). • S. Nakajima, Y. Toyozawa, R. Abe, the Physics of Elementary Excitations (Springer, New York 1980). • E. M. Lifshitz, L. P. Pitaevskii, Statistical Physics - Part 2 (L. D. Landau & E. M. Lifshitz, Course of Theoretical Physics vol. 9) (Pergamon Press, Oxford 1980). • G. D. Mahan, Many-particle Physics 2nd ed. (Plenum Press, New York 1990). • E. K. U. Gross, E. Runge, and O. Heinonen, Many-Particle Theory (Adam Hilger, Bristol 1991). • C. P. Enz, A Course on Many-Body Theory Applied to Solid State Physics (World Scientific, Singapore 1992). • P. Nozi`eres, Theory of Interacting Fermi Systems (Westview Press 1997). • A. Das, Finite Temperature Field Theory (World Scientific, Singapore 1997). • S. Doniach, E. H. Sondheimer, Green’s Function for Solid State Physicists (Imperial College Press, London 1998). • J. W. Negele, H. Orland, Quantum Many-Particle Systems (Westview Press 1998). • A. M. Zagoskin, Quantum Theory of Many-Body Systems (Springer, New York 1998). • L.E. Ballentine, Quantum Mechanics (World Scientific, Singapore 1998). • N. Nagaosa, Quantum Field Theory in Condensed Matter Physics (Springer, Berlin 1999). • C. Nayak, Many-Body Physics (Univ. California, Los Angeles 1999). • P. A. Martin, F. Rothen, Many-Body Problems and Quantum Field Theory (Springer, Berlin 2002). • H. Bruus, K. Flesberg, Introduction to Many-body quantum theory in condensed matter physics (Copenhagen 2002). • E. Lipparini, Modern Many-Particle Physics (World Scientific, Singapore 2003). • A. Tsverlik, Quantum Field Theory in Condensed Matter Physics 2nd ed. (Cambridge Univ. Press 2003) • P. Coleman, Introduction to Many-Body Physics (Rutgers Univ. 2004). • G. Baym, C. Pethick, Landau Fermi-liquid Theory (WILEY-VCH, Weinheim 2004). • W. H. Dickhoff, D. van Neck, Many Body Theory Exposed! (World Scientific, Singapore 2005). • E. N. Economou, Green’s Functions in Quantum Physics 3rd ed. (Springer, Berlin 2006). • F. Schwabl, Advanced Quantum Mechanics 4th ed. (Springer, Berlin 2008). • W. Nolting, Fundamentals of Many-body Physics (Springer, Berlin 2009). • J. A. Maruhn, P. G. Reinhard, E. Suraud, Simple Models of Many-Fermion Systems (Springer, Berlin 2010).
