Teoria grup w fizyce

RYSZARD GONCZAREK

TEORIA GRUP W FIZYCE

Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroc³awskiej Wroc³aw 2003

Recenzent Lucjan Jacak

Opracowanie redakcyjne i korekta Alina Kaczak

Projekt ok³adki Zofia i Dariusz Godlewscy

© Copyright by Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroc³awskiej, Wroc³aw 2003

OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WROC£AWSKIEJ Wybrze¿e Wyspiañskiego 27, 50-370 Wroc³aw

ISBN 83-7085-745-0

Drukarnia Oficyny Wydawniczej Politechniki Wroc³awskiej. Zam. 782/2003.

SPIS TREŒCI 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Wstêp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pojêcia podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Morfizmy grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupy permutacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W³asnoœci grup symetrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupy klasyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ogólne w³asnoœci grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Podgrupy i ich w³asnoœci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupy obrotów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupy ci¹g³e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ca³kowanie na grupie Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupy operatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reprezentacje grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wyznaczanie reprezentacji grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reprezentacje unitarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relacje ortogonalnoœci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Przyk³ady wyznaczania reprezentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 6 16 19 24 29 34 40 44 46 52 55 61 66 73 81 89

102

WSTÊP Pojêcie grupy odgrywa fundamentaln¹ rolê we wspó³czesnej fizyce. Wynika to z faktu, ¿e w³asnoœci symetrii uk³adów, w których rozpatrywane s¹ poszczególne zjawiska fizyczne, tworz¹ grupê, a odpowiadaj¹ce im prawa fizyki staj¹ siê niezmiennicze wzglêdem tej grupy. Podstawowy aparat matematyczny stosowany do badania tych zagadnieñ stanowi¹ metody teorii grup. Sama teoria grup jest bardzo rozleg³¹ i abstrakcyjn¹ dziedzin¹ matematyki, co powoduje wykorzystanie jej w zagadnieniach fizyki, narzuca potrzebê selektywnego wyboru materia³u. Dlatego zdefiniowanie podstawowych pojêæ, wykazanie istniej¹cych zwi¹zków i ograniczeñ oraz poznanie metod stosowanych w badaniach grup i ich reprezentacji powinno dostarczyæ istotnych elementów wiedzy dla osób interesuj¹cych siê zagadnieniami fizyki wspó³czesnej. Niniejszy podrêcznik stanowi zebranie materia³u wyk³adanego od wielu lat przez autora podrêcznika studentom kierunku fizyka Wydzia³u Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wroc³awskiej i powsta³ przy ich wspó³udziale.

6

1. POJÊCIA PODSTAWOWE Operacja zamkniêta, definicja grupy i okreœlenie jej w³asnoœci, grupy cykliczne i abelowe, rz¹d grupy, tabele mno¿enia grupowego, przyk³ady grup sk³adaj¹cych siê z kilku elementów, podgrupy Definicja – Operacja zamkniêta Niech G oznacza zbiór elementów i niech a, b ∈ G, wówczas dowolna operacja np. • „kropka” zdefiniowana na elementach zbioru G nazywa siê operacj¹ zamkniêt¹, je¿eli dla ka¿dej pary a, b ∈ G zachodzi a • b ∈ G. Operacja • czêsto jest okreœlana jako „mno¿enie” i mo¿e ona oznaczaæ zwyk³e mno¿enie liczb, ale tak¿e np. mno¿enie macierzowe, dodawanie, dodawanie modulo, sk³adanie (superpozycjê) itp. Z tego powodu symbol • jest czêsto zastêpowany przez · lub po prostu pomijany. Definicja – Grupa Grup¹ nazywamy parê {G, •}, tj. zbiór elementów G i operacjê zamkniêt¹ •, która spe³nia nastêpuj¹ce warunki: 1. £¹cznoœci, tzn. je¿eli a, b, c ∈ G to (a • b) • c = a • (b • c). 2. Istnieje element jednostkowy e taki, ¿e dla ka¿dego a ∈ G zachodzi a • e = e • a = a. 3. Dla ka¿dego a ∈ G istnieje element odwrotny a–1 taki, ¿e a–1 • a = a • a–1 = e. Stwierdzenie. Podan¹ definicjê mo¿na ograniczyæ, zastêpuj¹c warunki 2 i 3 warunkami lewostronnymi, prawostronnymi lub mieszanymi, mo¿na np. uwzglêdniæ jedynie warunki prawostronne, tj.: 2'. Istnieje element jednostkowy prawostronny e taki, ¿e dla ka¿dego a ∈ G zachodzi  a • e = a. 3'. Dla ka¿dego a ∈ G istnieje element odwrotny prawostronny a–1 taki, ¿e a • a–1 = e zapewnia spe³nienie warunków lewostronnych, a zatem ogó³u warunków podanych w definicji grupy.

1. Pojêcia podstawowe

7

D o w ó d . (Symbol • zosta³ pominiêty) Nale¿y pokazaæ, ¿e je¿eli ae = a i aa–1 = e, to ea = a i a–1 a = e. Poniewa¿ a–1 ∈ G, zatem (a–1)–1 ∈ G jest odwrotny do a–1, z czego wynikaj¹ nastêpuj¹ce relacje:

e = a −1 ( a −1 ) −1 = ( a −1e) (a −1 ) −1 = [a −1 (a a −1 ) ] ( a −1 ) −1 = [ ( a −1a ) a −1 ] (a −1 ) −1 = (a −1a) [ a −1 ( a −1 ) −1 ] = ( a −1a) e = a −1 (a e) = a −1a czyli z warunku aa–1 = e wynika relacja a–1a = e, a ponadto jedynka prawostronna jest równa jedynce lewostronnej, gdy¿

a = ae = a( a −1a) = ( aa −1 ) a = ( a −1a) a = ea Stwierdzenie. Udowodniona w³asnoœæ jest s³uszna dla grup, ale nie musi byæ s³uszna dla ogólnych operacji liniowych. LEMAT. Dla ka¿dego elementu grupy a ∈ G zachodzi (a–1)–1 = a D o w ó d . a = ae = a [a −1 ( a −1 ) −1 ] = (a a −1 ) ( a −1 ) −1 = e ( a −1 ) −1 = (a −1 ) −1 Definicja – Grupa abelowa lub przemienna Grupa {G, •} jest grup¹ abelow¹ zwan¹ tak¿e przemienn¹, je¿eli dla ka¿dej pary a, b ∈ G spe³niony jest zwi¹zek a • b = b • a. Definicja – Rz¹d grupy Rz¹d grupy G – to liczba elementów grupy oznaczana jako n. Je¿eli n jest skoñczone (n < ∞), to grupa jest skoñczonego rzêdu, je¿eli n = ∞ to grupa jest nieskoñczonego rzêdu.

Okreœlanie w³asnoœci grup – przyk³ady PRZYK£AD 1 Grupa jednoelementowa jest najprostsz¹ mo¿liw¹ grup¹, która tak¿e musi spe³niaæ wszystkie warunki grupy. Poniewa¿ grupa powinna mieæ element neutralny, wiêc G = {e}, a dla dowolnej operacji • zachodzi e • e ∈ G oraz e–1 = e i e–1 ∈ G. Realizacj¹ takiej grupy jest para, której zbiór jednoelementowy zawiera liczbê 1, a • oznacza zwyk³e mno¿enie liczb.

8

1. Pojêcia podstawowe

Definicja – Tabela mno¿enia dla grupy Tabela mno¿enia dla grupy podaje wszystkie operacje mno¿enia elementów grupy. PRZYK£AD 2 Grupa dwuelementowa G = {e, a}, • oznacza mno¿enie na grupie. Poniewa¿ s¹ s³uszne relacje: e • e = e i a • a ∈ G, wiêc a • a = e albo a • a = a. Je¿eli a • a = a, to (a • a) • a–1 = a • a–1 = e, z czego wynik, ¿e a • (a • a–1) = e, wiêc a • e = e i a = e, co jest sprzeczne z za³o¿eniem o elementach grupy, gdy¿ a ≠ e, a zatem a • a = e. Elementem odwrotnym a–1 jest e albo a. Gdyby a–1 = e, to a–1 • a = e • a i e = a, czyli sprzecznoœæ, a zatem a–1 = a. Tabela mno¿enia dla grupy dwuelementowej e

a

e

e

a

a

a

e

Na przyk³ad G = {1, –1} (e = 1 a = –1) i • oznacza mno¿enie liczb. 1

–1

1

–1

–1 –1

1

1

Na przyk³ad G = {0, 1} oraz • oznacza dodawanie modulo 2, tj. a ⊕2 b ≡ (a + b) (mod 2) jest reszt¹ z dodawania po wy³¹czeniu liczby podzielnej przez 2, czyli parzystej. 0

1

0

0

1

1

1

0

Na przyk³ad G jest zbiorem permutacji w zbiorze dwuelementowym, wówczas permutacja to¿samoœciowa jest jedynk¹ grupy e, a permutacja przestawiaj¹ca elementy zbioru jest drugim elementem grupy a e (a, b ) → (a, b )

oraz

a a (a, b ) → (b, a ) → (a, b )

1. Pojêcia podstawowe

9

Elementy e i a spe³niaj¹ relacje okreœlone w pierwszej tabeli. Operacja kropka • mo¿e zarówno oznaczaæ np. mno¿enie, dodawanie modulo, jak i sk³adanie permutacji, co oznacza, ¿e ogólne w³asnoœci i relacje miêdzy poszczególnymi elementami s¹ spe³nione w ka¿dym przypadku realizacji danej grupy. Definicja – Izomorfizm Dwie grupy nazywamy izomorficznymi, je¿eli istnieje jednoznaczna odpowiednioœæ miêdzy elementami tych grup zachowuj¹ca dzia³anie grupowe. Dla grup izomorficznych G z operacj¹ • i G' z operacj¹ ×, gdzie elementom grupy G odpowiadaj¹ tak samo oznaczone, ale z primami elementy grupy G', dla dowolnej pary elementów grupy G zachodzi relacja (a • b)' = a' × b'. Stwierdzenie. Grupy izomorficzne s¹ jednakowego rzêdu. Grupy o tym samym rzêdzie nie musz¹ byæ izomorficzne. Stwierdzenie. Wszystkie grupy dwuelementowe s¹ izomorficzne. Stwierdzenie. Ustalenie wartoœci tabeli mno¿enia na grupie dokonuje siê drog¹ eliminacji sprzecznych relacji. Dla wielu grup mog¹ istnieæ ró¿ne, nie wykluczaj¹ce siê wzajemnie mo¿liwoœci, okreœlenia mno¿enia na grupie. PRZYK£AD 3 Grupa trzyelementowa G = {e, a, b}, • oznacza mno¿enie na grupie. Eliminacja sprzecznych relacji:

e  a • b ∈ G, zatem a • b = a  b Gdyby a • b = a, wówczas po pomno¿eniu przez a–1 •, tj. (a–1 • a) • b = a–1 • a, otrzymuje siê e • b = e, czyli b = e, czyli sprzecznoœæ. Podobnie w pozosta³ych przypadkach e  b • a = a ⇒ b = e sprzecznoœæ  b ⇒ a = e sprzecznoœæ e ⇒ a • b = e ⇒ a • a = a • b ⇒ a = b sprzecznoœæ  a • a = a = a ⇒ a • a = a ⇒ a = e sprzecznoœæ  b ⇒ a • a = b 2

10

1. Pojêcia podstawowe

e ⇒ b • b = e ⇒ b • b = a • b ⇒ b = a sprzecznoœæ  b • b = b 2 = a ⇒ b • b = a  b ⇒ b • b = b ⇒ b = e sprzecznoœæ Dla elementów grupy e, a, b zachodz¹ zatem relacje a2 = b oraz a3 = a • b = e, co pozwala przedstawiaæ grupê trzyelementow¹ w postaci G = {e, a, a2}, gdzie a3 = e. Tabela mno¿enia dla grupy ma postaæ: e

a

b

e

e

a

b

a

a

b

e

b

b

e

a 1

Przyk³ad realizacji grupy – pierwiastki jednoœci. Poniewa¿ 1 = e 2πi , wiêc 13 = e a wiêc

a

2 πi =e 3 ,

2

a =b=

2 πi ⋅2 e 3

4 πi =e 3 ,

a

3

6 πi =e 3

=e

2 πi

2 πi 3

,

 2 πi 4πi  = 1 oraz G = 1, e 3 , e 3 .  

Stwierdzenie. Zawsze istniej¹ grupy postaci G = {e, a, a2, a3, an–1}, gdzie an = e. S¹ to np. grupy n pierwiastków n-tego stopnia z jednoœci, gdzie a

2 πi =e n ,

n

 2 πi  a =  e n  = e 2 πi = 1, e = 1     n

Stwierdzenie. Zawsze istniej¹ grupy dowolnego skoñczonego rzêdu n. Stwierdzenie. Dla dowolnej grupy G i dowolnego elementu a ∈ G mo¿na utworzyæ ci¹g

a0 = e, a1 = a, a2, a3, …, ai,… Je¿eli istnieje n < ∞, takie ¿e an = e, to element a jest skoñczonego rzêdu n. W przeciwnym przypadku rz¹d elementu a jest nieskoñ-

czony.

Stwierdzenie. Elementy e = a0, a1, a2 , a3, ..., an–1 s¹ ró¿ne, gdy a jest rzêdu n (an = e).

1. Pojêcia podstawowe

11

D o w ó d . Nie wprost Niech ai = aj, gdy 0 ≤ i < j ≤ n – 1. Wówczas a i ( a i ) −1 = a j ( a i ) −1, a zatem e = aj–i dla 0 < j – i < n. LEMAT. (a • b)–1 = b–1 • a–1 dla dowolnych a, b ∈ G . D o w ó d . e = (a • b)–1 (a • b) = (b–1 • a–1) • (a • b) = b–1 • (a–1 • a) • b = e

( )

LEMAT. a −1

−1

( )

D o w ó d . a −1

=a

−1

• a −1 = a • a −1 = e

Definicja – Grupa cykliczna rzêdu n Gdy wszystkie elementy grupy G = {e, a, b,...} mo¿na zapisaæ w postaci G = {e, a, a2, 1424 3 n

a3, ..., an–1} oraz an = e, wówczas grupa G nazywa siê cykliczn¹ i jest rzêdu n. Stwierdzenie. Wszystkie grupy 1-, 2-, lub 3-elementowe s¹ wy³¹cznie cykliczne. PRZYK£AD 4 Grupa czteroelementowa G = {e, a, b, c}, • oznacza mno¿enie na grupie. Stwierdzenie. Dla grup 4-elementowych istniej¹ dwie nieizomorficzne formy ich realizacji, gdy¿

e  a ⇒ a 2 = a ⇒ a = e ⇒ sprzecznoœ æ 2 a = b  c Za³o¿enie 1. a2 = b, wówczas

a ⇒ a • c = a ⇒ c = e sprzecznoœæ  2 2 b ⇒ a • c = b = a ⇒ a • c = a ⇒ a = c sprzecznoœæ a•c =  c ⇒ a • c = c ⇒ a = e sprzecznoœæ  e

12

1. Pojêcia podstawowe

oraz

e ⇒ a 3 = e ⇒ a 3 = a • c ⇒ a 2 = c ⇒ b = c sprzecznoœæ  a ⇒ a 3 = a ⇒ a 2 = e ⇒ b = e sprzecznoœæ 3 a = b ⇒ a 3 = b = a 3 = a 2 ⇒ a = e sprzecznoœæ  c zatem a 4 = e oraz

a 3 = a 2 • a = b • a = a • b = c . W tym przypadku grupa

G = {e, a, b = a 2 , c = a 3} jest grup¹ cykliczn¹. Tabela mno¿enia ma postaæ:

e a b c

e e a b c

a a b c e

b b c e a

c c e a b

Za³o¿enie 2. a2 = a prowadzi do sprzecznoœci: a = e. Za³o¿enie 3. a2 = c jest równowa¿ne za³o¿eniu 1, gdy¿ element c nie jest w ¿aden sposób wyró¿niony w stosunku do elementu b. W tym przypadku grupa G = {e, a, c = a 2 , b = a 3 } jest tak¿e grup¹ cykliczn¹.

Za³o¿enie 4. a2 = e prowadzi do nastêpuj¹cych mo¿liwoœci e ⇒ a • b = e = a 2 ⇒ b = a ⇒ sprzecznoœæ  a ⇒ a • b = a ⇒ b = e ⇒ sprzecznoœæ a•b = b ⇒ a • b = b ⇒ a = e ⇒ sprzecznoœæ  c

oraz e ⇒ a • c = e = a 2 ⇒ c = a ⇒ sprzecznoœæ  a ⇒ a • c = a ⇒ c = e ⇒ sprzecznoœæ a•c =  b  c ⇒ a • c = c ⇒ a = e ⇒ sprzecznoœæ

1. Pojêcia podstawowe

13

Analogicznie mo¿na wykazaæ, gdy¿ nie ma innych mo¿liwoœci, ¿e b • a = c oraz c • a = b. Uwzglêdniwszy, ¿e c2 = (b • a) • (a • b) = (b • (a • a)) • b oraz a2 = e, otrzymuje siê relacjê b2 = c2, która prowadzi do nastêpuj¹cych mo¿liwoœci

e ⇒ b 2 = c 2 = e  a ⇒ b 2 = c 2 = a 2 b = b ⇒ b 2 = b ⇒ b = e ⇒ sprzecznoœ æ  2 2 c ⇒ b = c = c ⇒ c = e ⇒ sprzecznoœæ Za³o¿enie 4a. b2 = c2 = a Po pomno¿eniu a = b2 przez a i wykorzystaniu podanych zwi¹zków otrzymuje siê e = (a • b) • b = c • b oraz e = b • (b • a) = b • c. W tym przypadku tabela mno¿enia dla grupy ma postaæ:

e a b c

e

a

b

c

e a b c

a e c b

b c a e

c b e a

Po dokonaniu wzajemnie jednoznacznej zamiany elementów a i b ( a ↔ b ) powy¿sza tabela uzyskuje postaæ

e a b c

e

a

b

c

e a b c

a b c e

b c e a

c e a b

która jest identyczna z tabel¹ mno¿enia dla grupy otrzyman¹ przy za³o¿eniu, ¿e a2 = b, zatem przyjmuj¹c, ¿e a2 = e oraz b2 = c2 = a otrzymuje siê grupê cykliczn¹. Za³o¿enie 4b. b2 = c2 = e Po pomno¿eniu a • b = c i b • a = c przez b i wykorzystaniu podanych zwi¹zków otrzymuje siê kolejne relacje: a = c • b oraz a = b • c. W tym przypadku tabela mno¿enia dla grupy ma postaæ

14

1. Pojêcia podstawowe

e a b c

e

a

b

c

e a b c

a e c b

b c e a

c b a e

w której na diagonali znajduje siê zawsze element neutralny e. Tabeli tej nie mo¿na poprzez zamianê zmiennych sprowadziæ do postaci uzyskanych dla grupy cyklicznej. Stwierdzenie. Grupa o relacjach podanych w powy¿szej tabeli nie jest grup¹ cykliczn¹. To tzw. czterogrupa. Stwierdzenie. Dla grupach czteroelementowych istniej¹ dwie ró¿ne, nieizomorficzne ich formy. S¹ to grupa cykliczna i czterogrupa. Obie grupy s¹ abelowe (przemienne). Stwierdzenie. Wœród mo¿liwych grup dowolnego rzêdu n zawsze istniej¹ grupy cykliczne. Grupy cykliczne s¹ abelowe. Je¿eli liczba elementów grupy jest liczb¹ pierwsz¹, to grupa mo¿e byæ tylko grup¹ cykliczn¹. PRZYK£AD Przyk³adem realizacji czterogrupy jest grupa symetrii prostok¹ta C2v, która zawiera zbiór wszystkich przekszta³ceñ prostok¹ta zmieniaj¹cych jego po³o¿enia w przestrzeni R2. Grupê C2v = {e, a, b, c} tworz¹ nastêpuj¹ce elementy symetrii: 1. e – przekszta³cenie to¿samoœciowe, 2. a – obrót o k¹t 180° wzglêdem osi OZ, 3. b – odbicie wzglêdem osi OX, 4. c – odbicie wzglêdem osi OY. Elementy a2 = b2 = c2 = e definiuj¹ przekszta³cenia to¿samoœciowe, natomiast z³o¿enie dwóch elementów odbicia daj¹ obrót: b • c = a. Ponadto a • b = c i a • c = b. Definicja – Podgrupa Zbiór elementów H zawarty w w grupie G (H ⊂ G ) nazywamy podgrup¹ grupy G, gdy 1. e ∈ H, 2. a, b ∈ H, to a • b ∈ H, 3. a ∈ H, to a–1 ∈ H, tzn. H jest grup¹ zawart¹ w grupie G. PRZYK£AD W czterogrupie G = {e, a, b, c} zbiory H1, H2 i H3 tworz¹ podgrupy:

1. Pojêcia podstawowe

15

a −1 = a

H1 = {e, a},

a 2 = e,

H 2 = {e, b},

b 2 = e, b −1 = b

H 3 = {e, c},

c 2 = e,

c −1 = c

Stwierdzenie. W ka¿dej skoñczonej grupie G, ci¹g elementów {a, a2, a3,..., an = e}, gdzie n jest rzêdem elementu, a ∈ G stanowi podgrupê cykliczn¹ grupy G. Stwierdzenie. Je¿eli grupa G jest rzêdu n i sk³ada siê z elementów G = {a1 , a 2 ,..., a n } , to w ci¹gach a1 ⋅ ai , a2 ⋅ ai ,..., a n ⋅ ai (ai ∈ G ) oraz a j ⋅ a1 , a j ⋅ a2 ,..., a j ⋅ an ( a j ∈ G ) ka¿-

dy element mo¿e wystêpowaæ tylko jeden raz.

D o w ó d . Nie wprost Niech ak ≠ al oraz ak ⋅ ai = al ⋅ ai ⇒ ( ak ⋅ ai ) ⋅ ai−1 = (al ⋅ ai ) ⋅ ai−1 ⇒ ak = al , czyli sprzecznoœæ. Wniosek. W tabelach mno¿enia dla grupy w ka¿dym rzêdzie i w ka¿dej kolumnie dany element mo¿e wystêpowaæ tylko jeden raz. Stwierdzenie. Przedstawione badania relacji grupowych – to badania indukcyjne. Mog¹ byæ one prowadzone dla grup 5, 6,... rzêdu, ale jest to ma³o pouczaj¹ce, a same badania szybko siê komplikuj¹. Wyj¹tek stanowi¹ grupy, których rz¹d jest liczb¹ pierwsz¹. Grupa rzêdu n = 5 jest tylko cykliczna. Dla zbioru 6 elementów istnieje kilka mo¿liwoœci utworzenia grupy. W zbiorze tych grup istniej¹ grupy nieabelowe (nieprzemienne), ale istnieje tak¿e grupa cykliczna. Stwierdzenie. Grupy nieskoñczonego rzêdu mog¹ byæ przemienne np. grupa liczb ca³kowitych z operacj¹ dodawania, gdy¿ dla dowolnych a i b, a + b = b + a, e = 0 oraz a–1 = –a, lub nieprzemienne, jak np. grupa macierzy unitarnych (U • U–1 = E) z operacj¹ mno¿enia macierzowego, gdy¿ w ogólnoœci U1 • U2 ≠ U2 • U1.

16

2. MORFIZMY GRUP Odwzorowania grup – morfizmy. Homomorfizm, epimorfizm, monomorfizm, izomorfizm, endomorfizm, automorfizm. J¹dro homomorfizmu Odwzorowania zbioru X w zbiór Y za pomoc¹ funkcji f wyra¿a siê nastêpuj¹co f : X → Y. Wówczas X jest dziedzin¹, Y – przeciwdziedzin¹, a Im f = {f(x), x ∈ X} = f(X) = Y0 ⊂ Y tworzy tzw. obraz. Zbiór f –1(Y0) = {x ∈ X, f(x) = Y0} to tzw. przeciwobraz. Pojêcia te staj¹ siê istotne przy definiowaniu odwzorowañ o szczególnych w³asnoœciach i pozwalaj¹ okreœliæ nastêpuj¹ce ich rodzaje:

ff X – dziedzina

przeciwobraz

obraz

f –1

f–1

Y – przeciwdziedzina Rysunek. Elementy odwzorowania

• Odwzorowanie zbioru „na” zbiór nazywa siê surjekcj¹ lub odwzorowaniem surjektywnym. • Ró¿nowartoœciowe odwzorowanie zbioru w zbiór „1÷1” to injekcja lub odwzorowanie injektywne. • Ró¿nowartoœciowe odwzorowanie zbioru na zbiór (surjekcja i injekcja) to bijekcja lub odwzorowanie bijektywne. • Ponadto z³o¿enie dwóch odwzorowañ nazywa siê superpozycj¹ odwzorowañ.

2. Morfizmy grup

17

Stwierdzenie. Formalne ujêcie w³asnoœci obiektów matematycznych okreœla siê terminem kategorii, który mieœci w sobie pojêcia obiektów i morfizmów (przekszta³ceñ). W kategorii zbiorów obiektami s¹ zbiory, a morfizmami ich odwzorowania, w kategorii grup natomiast obiektami s¹ grupy, a morfizmami poni¿ej zdefiniowane przekszta³cenia. Definicja – Homomorfizm Odwzorowanie f : {G, •} → {G', ×}, które zachowuje dzia³anie grupowe nazywa siê homomorfizmem, co oznacza, ¿e je¿eli a, b ∈ G oraz f : a → a ' , f : b → b ' , to zachodzi relacja: ( a • b) ' = a ' × b ' . Definicja – Endomorfizm Endomorfizm to homomorfizm grupy w siebie. Definicja – Epimorfizm Epimorfizm to homomorfizm surjektywny, czyli „na” tj. grupy na grupê. Definicja – Monomorfizm Monomorfizm to homomorfizm injektywny, czyli „1÷1” tj. ró¿nowartoœciowy. Definicja – Izomorfizm (por. s. 9) Izomorfizm to homomorfizm bijektywny, czyli ró¿nowartoœciowy i „na”, wówczas ka¿demu elementowi jest przyporz¹dkowany dok³adnie jeden element, a rzêdy obu grup s¹ jednakowe. Definicja – J¹dro homomorfizmu J¹drem homomorfizmu f nazywamy zbiór Ker f = {a ∈ G, ¿e f(a) = e', gdzie e' jest jedynk¹ grupy G'}. Stwierdzenie. Je¿eli j¹dro epimorfizmu Ker f = {e}, to epimorfizm jest izomorfizmem. D o w ó d . Nie wprost Niech dla jakichœ a, b ∈ G oraz a ≠ b zachodzi równoœæ f (a) = f (b). Wynika st¹d, ¿e f (b • a −1 ) = f (b) × f ( a −1 ) = f ( a ) × [ f ( a) ] −1= e' , ale j¹dro epimorfizmu jest jednowartoœciowe, zatem b • a–1 = e, czyli b = a, a wiêc sprzecznoœæ. Stwierdzenie. Zbiór H = Ker f jest podgrup¹ grupy G. Dowód. 1. Operacja zamkniêta. Je¿eli a, b ∈ H, to a • b ∈ H, gdy¿

f (a • b) = f (a ) × f (b) = e '× e ' = e ' . 2. Element odwrotny. Je¿eli a ∈ H, to a–1 ∈ H, gdy¿ f ( a −1 ) = [ f ( a) ] −1 = e ' −1 = e ' .

18

2. Morfizmy grup

3. Element jednostkowy e ∈ H, gdy¿

f (e) = f ( a • a −1 ) = f ( a) × [ f ( a)] −1 = e′ × e′ = e′ . Definicja – Automorfizm Izomorfizm grupy w siebie to automorfizm. Stwierdzenie. Zbiór automorfizmów Aut(G) = {eG, ϕ, ψ, χ, ...} z operacj¹ superpozycji tworzy grupê. Jest to podgrupa grupy S(G) wszystkich bijekcji zbioru G w siebie.

19

3. GRUPY PERMUTACJI Grupa symetryczna i alternuj¹ca, cykle przejœcia, transpozycje, parzystoœæ permutacji, przyk³ady grup symetrycznych nieabelowych Definicja – Grupa symetryczna Grupa S(G) – grupa wszystkich wzajemnie jednoznacznych odwzorowañ n-elementowego zbioru G w siebie tworzy tzw. n-t¹ grupê symetryczn¹ Sn. Stwierdzenie. Grupa symetryczna Sn to grupa permutacji n elementów w siebie i jest rzêdu n!. Definicja – Elementy grupy Sn Elementami grupy symetrycznej Sn s¹ ró¿nowartoœciowe odwzorowania (permutacje), które oznacza siê nastêpuj¹co:

 1 pi =    m1

2

3

...

n −1

m2

m3

...

mn −1

n   = {m1 , m2 , m3 , . . . , mn }, mn 

gdzie {m1, m2, m3, ..., mn} to pewne ustawienie zbioru pierwszych n liczb naturalnych w stosunku do porz¹dku naturalnego. Stwierdzenie. Elementy pi grupy symetrycznej S6 s¹ np. postaci:

 1 2 3 4 5 6  pi =   6 5 4 3 2 1   W grupie symetrycznej S6 znajduje siê 6! = 720 ró¿nych elementów pi. Stwierdzenie. W ka¿dej permutacji mo¿na wyró¿niæ cykle przejœcia, które s¹ np. postaci:

20

3. Grupy permutacji

1 2 3 4 5 6  = (16) ( 25) (34) pi =   6 5 4 3 2 1 2 2 2   lub

 1 2 3 4 5 6  = (163) ( 24) (5) pj =   3 2 1  6 4 1 2 5 3 Takie wyra¿enie permutacji przez cykle, to rozbicie permutacji na cykle roz³¹czne. Cykle te w zale¿noœci od permutacji mog¹ byæ ró¿nej d³ugoœci. W podanych przyk³adach ich d³ugoœæ wynosi 1, 2, lub 3. Definicja – D³ugoœæ cyklu Cykl zawieraj¹cy l elementów jest cyklem o d³ugoœci l. Stwierdzenie. Cykle jednoelementowe przekszta³caj¹ element zbioru w siebie. Stwierdzenie. Wyró¿nione cykle s¹ zamkniête i roz³¹czne. Stwierdzenie. Dzia³anie cyklu na zbiór uporz¹dkowany naturalnie mo¿na przedstawiæ nastêpuj¹co, np.: (163){1, 2, 3, 4, 5, 6} = {6, 2, 1, 4, 5, 3} ,

lub odpowiednio w uproszczonej formie: (163){136} = {613} , co odpowiada roz³o¿eniu permutacji na cykle roz³¹czne i pominiêciu jednoelementowych (2), (4) i (5) cykli to¿samoœciowych, tj.:

 1 2 3 4 5 6  = (163) pk =   6 2 1 4 5 3   Stwierdzenie. Efekt permutacji nie zale¿y od kolejnoœci wykonywania przestawieñ w cyklu, tzn. od tego, który element cyklu jest pocz¹tkowy. Dlatego w cyklach zamkniêtych, elementy tych cykli mo¿na przestawiaæ cyklicznie, np.: (163) = (316) = (631). Definicja – Transpozycje Cykle dwuelementowe to tzw. transpozycje. Stwierdzenie. Dowolny cykl mo¿na przedstawiæ jako iloczyn transpozycji, które nie musz¹ byæ roz³¹czne, np.: (163) = (13)(16), wówczas (13)(16){136} = (13){631} = {613} lub korzystaj¹c z równowa¿noœci cykli roz³¹cznych (163) i (316) mo¿na otrzymaæ

3. Grupy permutacji

21

(316) = (36)(31), wówczas tak¿e (36)(31){136} = (36){316} = {613}. Stwierdzenie. Dla cykli roz³¹cznych kolejnoœæ wykonywania dzia³añ jest nieistotna, natomiast dla cykli nieroz³¹cznych kolejnoœæ wykonywania dzia³añ jest istotna, np.: (31)(36){136} = (31){163} = {361} ≠ {613}, zatem (31)(36) ≠ (36)(31). Stwierdzenie. Rozk³ad cyklu na transpozycje nieroz³¹czne nie jest jednoznaczny. Istniej¹ zawsze ró¿ne mo¿liwoœci roz³o¿enia, np.: (163) = (13)(16) lub (163) = (631) = (61)(63). Stwierdzenie. Rozk³ad cyklu (1234...n) o d³ugoœci n na transpozycje mo¿na zawsze wyraziæ w jednej z nastêpuj¹cych form: (1 2 3 4 ... n) = (1 n)(1 n –1)(1 n – 2)...(1 3)(1 2), (2 3 4 ... n 1) = (2 1)(2 n)(2 n – 1)...(2 4)(2 3), . . . (n 1 2 ... n – 1) = (n n – 1)(n n – 2)(n n – 3)...(n 2)(n 1). Definicja – Parzystoœæ permutacji Parzystoœæ permutacji okreœla siê przez liczbê P = (–1)N, gdzie N to liczba transpozycji, na które mo¿na roz³o¿yæ permutacjê. Gdy P = 1 permutacja jest parzysta, a gdy P = –1 permutacja jest nieparzysta. Definicja – Permutacja Permutacja to dowolna bijekcja f n-elementowego zbioru w siebie. Zbiór ten nie musi byæ w ¿aden sposób uporz¹dkowany, a wzajemne przyporz¹dkowanie elementów zbioru dokonuje siê jak pokazano na rysunku.

Rysunek. Odwzorowanie zbioru kilkuelementowego w siebie

22

3. Grupy permutacji

Stwierdzenie. Iloczyn dwóch permutacji zbioru n-elementowego, czyli z³o¿enie albo superpozycja dwóch permutacji, jest tak¿e permutacj¹. Operacja sk³adania permutacji zatem jest operacj¹ zamkniêt¹. Stwierdzenie. Zbiór permutacji zbioru n-elementowego z operacj¹ superpozycji tworzy grupê sk³adaj¹c¹ siê z n! elementowów (rzêdu n!). Jest to grupa symetryczna Sn. PRZYK£ADY Grupy symetryczne S1 = {e} jest rzêdu 1! = 1 i zawiera jedn¹ permutacjê parzyst¹ e, gdy¿ P = (–1)0 = 1, S2 = {e, (12)} jest rzêdu 2! = 2 i zawiera jedn¹ permutacjê parzyst¹ e oraz jedn¹ nieparzyst¹ (12), gdy¿ P = (–1)1 = –1. Grupy S1, S2 s¹ abelowe. S3 = {e, (12), (13), (23), (123), (321)} jest rzêdu 3! = 6 i zawiera 3 permutacje parzyste e, (123) i (321), gdy¿ P = (–1)0 = (–1)2 = 1, oraz 3 nieparzyste (12), (13) i (23), gdy¿ P = (–1)1 = –1. Grupa S3 jest nieabelowa, poniewa¿ sk³adanie jej elementów nie jest przemienne, np.: (12)(13) ≠ (13)(12), gdy¿ (12)(13) = (132) = (321), a (13)(12) = (123) ≠ (321). Stwierdzenie. Grupy symetryczne Sn dla n ≥ 3 nie s¹ abelowe. LEMAT. Dla dowolnych transpozycji zachodz¹ równoœci (i j) = (j i) oraz (i j)2 = e. Tabela mno¿enia dla grupy S3: e (12) (13) (23) (123) (321)

e e (12) (13) (23) (123) (321)

(12) (12) e (123) (321) (13) (23)

(13) (13) (321) e (123) (23) (12)

(23) (23) (123) (321) e (12) (13)

(123) (123) (23) (12) (13) (321) e

(321) (321) (13) (23) (12) e (123)

Przyk³ady mno¿enia elementów grupy (13)(12) = (123) (12)(13) = (132)(321) (12)(23) = (21)(23) = (231) = (123) (12)(123) = (12)(231) = (12)(21) (23) = (23) 1 424 3 e

(12)(321) = (12)(132) = (12)(12)(13) = (13) (123)(123) = (13)(12)(231) = (13) (12)(21) (23) = (13)(23) = (31)(32) = (321) 1 424 3 e

3. Grupy permutacji

23

Definicja – Podgrupy trywialne Podgrupy trywialne grupy G to ca³a grupa (H = G) oraz podgrupa sk³adaj¹ca siê wy³¹cznie z elementu jednostkowego, H = {e}. Stwierdzenie. Grupa S3 ma 4 nietrywialne podgrupy: trzy dwuelementowe – {e, (12)}, {e, (13)}, {e, (23)} oraz jedn¹ trójelementow¹ – {e, (123), (321)}. Podgrupy te s¹ cykliczne. Stwierdzenie. Ka¿da grupa zawiera podgrupê lub podgrupy cykliczne, które mo¿na wyodrêbniæ w nastêpuj¹cy sposób. Je¿eli a ∈ G, to ci¹g elementów {a = a1, a2, a3, ..., ak = e} tworzy podgrupê cykliczn¹ rzêdu k. Wartoœæ k jest tak¿e rzêdem elementu a.

24

4. W£ASNOŒCI GRUP SYMETRYCZNYCH Twierdzenie Cayleya, podgrupa regularna, rozk³ad na cykle roz³¹czne, grupy, dla których rz¹d jest liczb¹ pierwsz¹ TWIERDZENIE CAYLEYA. Ka¿da grupa rzêdu n jest izomorficzna z jak¹œ podgrup¹ grupy symetrycznej Sn (rz¹d Sn = n!). D o w ó d . Niech G = {a1, a2, ..., an} i niech ai ∈ G, wówczas zbiór {aia1, aia2, ..., aian} zawiera wszystkie elementy grupy G, a ka¿dy element wystêpuje tylko jeden raz, gdy¿ aiak ≠ aial ⇔ ak ≠ al. Nale¿y zatem dokonaæ jednoznacznego przyporz¹dkowania elementom grupy G elementów grupy Sn. Ustala siê nastêpuj¹ce przyporz¹dkowania:

a2 ... an   a1  ai → Pai =   a a a a a a ... i n  i 1 i 2

oraz

a2 ... an   a1  a j → Paj =   a j a a j a ... a j an  1 2  

a2 an  ...  a1  aiaj → Paiaj =   ai a j a ai a j a ... ai a j an  1 2   Aby udowodniæ, ¿e ustalone przyporz¹dkowanie okreœla izomorfizm grupy G we wskazan¹ podgrupê grupy Sn, wystarczy wykazaæ, ¿e spe³niona jest relacja: PaiPaj = Paiaj. Po dokonaniu przestawienia elementów mo¿na wyraziæ Pai nastêpuj¹co a j a 2 ... a j an  a2 ... an   a j a1  a1 .  = Pai =   a a a a ... a a   a a a a a a ... a a a  i j i j i j n 1 2 i n  i 1 i 2  

4. W³asnoœci grup symetrycznych

25

Wówczas

a j a2 ... a j a n   a1 a2 ... an   a j a1   PaiPaj =   ai a j a ai a j a ... ai a j a n   a j a a j a ... a j an  1 2 1 2    a2 an  ...  a1  =P . =  aiaj  ai a j a ai a j a ... ai a j an  1 2   Stwierdzenie. Grupa S3 szeœcioelementowa ma podgrupê trzyelementow¹ {e, (123), (321)}, która jest izomorficzna z ka¿d¹ grup¹ rzêdu n = 3. Stwierdzenie. Grupa S4 dwudziestoczteroelementowa ma podgrupy izomorficzne z czterogrup¹ i z czteroelementow¹ grup¹ cykliczn¹. PRZYK£AD 1. Dla elementów czterogrupy G = {e, a, b, c} zachodz¹ relacje: a2 = b2 = c2 = e, ab = c, bc = a, ca = b. Elementy grupy S4 nale¿y wybraæ w postaci

e a b c , P = Pe =  a  e a b c  

e a b c    a e c b  , Pb =  

e a b c    b c e a  , Pc =  

e a b c    c b a e ,  

wprowadzaj¹c cykle zamkniête wyra¿a siê je nastêpuj¹co: Pe = e, Pa = (e a)(b c),

Pb = (e b)(a c),

Pc = (e c)(a b),

zatem szukany podzbiór grupy S4 jest postaci {Pe, Pa, Pb, Pc} = {e, (e a)(b c), (e b)(a c), (e c)(a b)}. Aby wykazaæ zachodzenie relacji grupowych Pab = PaPb = Pc, wykorzystuje siê w³asnoœci mno¿enia cykli, np.: PaPb = (e a)(b c) (e b)(a c) = (otrzymuj¹c po przekszta³ceniach) = (e c)(a b) = Pc. PRZYK£AD 2. Dla czteroelementowej grupy cyklicznej G = {e, a, b = a2, c = a3}, gdzie a4 = e, elementy grupy S4 nale¿y wybraæ w postaci

e a b c  e a b c e a b c  , Pa =   , Pb =   , Pc = Pe =  e a b c  a b c e b c e a       wówczas odpowiadaj¹ im nastêpuj¹ce cykle: Pe = e, Pa = (e a b c), Pb = (e b)(a c), Pc = (e c b a)

e a b c   c b a e  

26

4. W³asnoœci grup symetrycznych

Aby wykazaæ zachodzenie relacji grupowych, ponownie wykorzystuje siê w³asnoœci mno¿enia cykli. Stwierdzenie. Permutacja na n-elementach daje siê przedstawiæ w formie cykli o d³ugoœciach 1, 2, 3, 4, ... lub n. Stwierdzenie. Permutacje wystêpuj¹ce w dowodzie twierdzenia Cayleya nie pozostawiaj¹ ¿adnego elementu permutowanego zbioru na swoim miejscu z wyj¹tkiem permutacji to¿samoœciowej Pe.

Podgrupy regularne i ich w³asnoœci Definicja – Podgrupa regularna Podgrupa grupy Sn nazywa siê podgrup¹ regularn¹, je¿eli jej ka¿dy element, z wyj¹tkiem elementu Pe, przestawia wszystkie elementy permutowanego zbioru. Na przyk³ad

1 2 3 4  jest permutacj¹ regularn¹, a  2 3 4 1  

1 2 3 4   nie jest permutacj¹ regularn¹.  1 2 4 3   

Stwierdzenie. Podgrupa Sn izomorficzna z grup¹ n-elementow¹ jest podgrup¹ regularn¹, co wynika z konstrukcji dowodu twierdzenia Cayleya, gdy¿ gdyby permutacja

a2 ... an   a1  pozostawia³a jakiœ element na swoim miejscu, wówczas Pai =   a a a a ... a a  i n  i 1 i 2 np. aj = aiaj, ale st¹d wynika, ¿e ai = e, wiêc sprzecznoœæ. LEMAT. W podgrupie regularnej permutacji ¿adne dwa elementy podgrupy nie przekszta³caj¹ danego elementu zbioru w inny, ale taki sam element.

1

1

2

2 4 3

5

3 5

4

Rysunek. Przyk³ad przekszta³cania zbioru piêcioelementowego przez permutacjê regularn¹

4. W³asnoœci grup symetrycznych

27

D o w ó d . Nie wprost Niech p1, p2 (p1 ≠ p2) s¹ ró¿nymi permutacjami pewnej podgrupy regularnej R. Przyjmuj¹c, ¿e dzia³aj¹ one tak na pewien element a, ¿e p1a = b oraz p2a = b, z faktów, ¿e p1, p2 ∈ R oraz p1–1 ∈ R, wynika, ¿e p2 p1–1b = b, czyli ¿e permutacja regularna p2 p1–1 pozostawia element b na swoim miejscu, a zatem p2 p1–1 = e, a st¹d p2 = p1, co stanowi sprzecznoœæ. a1 , a 2 , ..., al ) l = e LEMAT. Cykl (a1, a2, ..., al) o d³ugoœci l musi spe³niaæ to¿samoœæ: (1 4 4244 3 l

oraz zachodzi relacja, ¿e (a1 , a 2 , ..., al ) l ' ≠ e gdy l’ < l. 14 4244 3 l

LEMAT. Je¿eli element podgrupy regularnej da siê roz³o¿yæ na cykle roz³¹czne, to cykle te musz¹ mieæ tê sam¹ d³ugoœæ. Dowód. Niech cykl p = ( a1 ,..., al1 ) ( al1 +1 ,..., al1 +l2 ) , gdzie l = l1 + l 2 oraz l1 < l 2 wówczas l1

l2

l

 1 p = (a1 ,..., al1 ) (al1 +1 ,..., al1 +l2 )  = (a1 ,..., al1 ) l1 (al1 +1 ,..., al1 +l2 ) l1 =e ( al1 +1 ,..., al1 + l2 ) l1   l1 l2 l1 l2 l2 l1

a zatem elementy a1 ,..., al1 nie ulegaj¹ przestawieniu, podczas gdy elementy al1 +1 ,..., al1 +l2 ulegaj¹ przestawieniu, czyli zachodzi sprzecznoœæ z podstawowymi w³asnoœciami elementów podgrupy regularnej R, gdy¿ p ∈ R ⇒ p l1 ∈ R , a permutacja p l1 nie przestawia ¿adnego z elementów a1 ,..., al1 . Stwierdzenie. Cykl o d³ugoœci l umo¿liwia utworzenie podgrupy cyklicznej rzêdu l j l o elementach p1 = (a1 ,..., al ) , p j = ( a1 ,..., al ) oraz pl = (a1 ,..., al ) = e l

l

l

TWIERDZENIE. Ka¿da grupa G rzêdu n jest grup¹ cykliczn¹, je¿eli n jest liczb¹ pierwsz¹. Dowód Grupa G jest izomorficzna z jak¹œ podgrup¹ regularn¹ R grupy Sn. Podgrupa R zawiera jedynie elementy, które stanowi¹ jeden cykl d³ugoœci n, gdy¿ n jest liczb¹ pierwsz¹, a elementy podgrupy R mog¹ byæ podzielne wy³¹cznie na cykle roz³¹czne o jednakowej d³ugoœci oraz element jednostkowy e, który jest iloczynem n cykli o d³ugoœci 1. Niech ponadto R = {p1 = e, p2, p3, ..., pn}. Dowolny element p ∈ R, ró¿ny od e, odpowiada pewnemu cyklowi o d³ugoœci n, co pozwala wygenerowaæ podgrupê cykliczn¹ R1 = {p, p2, p3, ..., pn} = e} zawieraj¹c¹ n elementów.

28

4. W³asnoœci grup symetrycznych

Poniewa¿ p ∈ R , wiêc p i ∈ R , czyli R1 ⊂ R . Ale rz¹d grupy R1 wynosi n, zatem podgrupy R1 i R maj¹ jednakow¹ liczbê elementów oraz wszystkie elementy podgrupy R1 nale¿¹ do R. Wynika st¹d, ¿e R1 = R oraz R jest grup¹ cykliczn¹. PRZYK£AD Dowolna grupa trzeciego rzêdu jest izomorficzna z jak¹œ podgrup¹ R grupy S3, która zawiera 6 elementów. T¹ podgrup¹ jest R = {e, (123), (321)}, która jest cykliczna, gdy¿ R = {(123), (123)2, (123)3} = {(123), (321), e}. Stwierdzenie. Dla du¿ych n liczba ró¿nych mo¿liwych grup jest na ogó³ du¿a, ale gdy n jest liczb¹ pierwsz¹, wóczas istnieje tylko jedna mo¿liwoœæ utworzenia grupy i jest to grupa cykliczna. Stwierdzenie. Gdy rz¹d grupy jest liczb¹ pierwsz¹, wówczas ka¿dy element p grupy, z wyj¹tkiem e, generuje ca³¹ grupê G = {p, p2, p3,..., pn = e} i jest rzêdu n oraz pk ≠ e, gdy k < n. Definicja – Grupa alternuj¹ca Wszystkie permutacje parzyste zbioru n-elementowego tworz¹ podgrupê An ⊂ S n , która jest rzêdu n!/2. Jest to tzw. grupa alternuj¹ca. PRZYK£AD Grupa S 3 = {e, (12), (13), (23), (123), (321)} i podgrupa permutacji parzystych – grupa alternuj¹ca A3 = {e, (123), (321)}.

29

5. GRUPY KLASYCZNE Grupy symetrii, grupy punktowe, grupy klasyczne, grupy ortogonalne, unitarne, specjalne ortogonalne, specjalne unitarne (unimodularne), parametry grupy, grupy nakrywaj¹ce, przyk³ady Definicja – Grupa symetrii Grupa symetrii to zbiór przekszta³ceñ symetrii wraz z operacj¹ superpozycji. Definicja – Grupy punktowe Grupy symetrii skoñczonego rzêdu, w których przy przekszta³ceniach symetrii zachowuje siê jeden niezmieniony punkt, nazywamy grupami punktowymi. Definicja – Grupy klasyczne W grupach (nieskoñczonego rzêdu) przekszta³ceñ przestrzeni afinicznych, euklidesowych, oraz unitarnych, podgrupy pozostawiaj¹ce niezmieniony jeden ustalony punkt (np. pocz¹tek uk³adu wspó³rzêdnych) nazywamy grupami klasycznymi. Definicja – Macierz nieosobliwa Macierz kwadratowa n×n nad cia³em liczb rzeczywistych R lub liczb zespolonych C, nieosobliwa jest oznaczana odpowiednio jako Mn(R), gdzie mij ∈ R i det Mn(R) ≠ 0 lub Mn(C), gdzie mij ∈ C i det Mn(C) ≠ 0. Definicja – Ogólna grupa liniowa Zbiór macierzy Mn(R) lub Mn(C) z operacj¹ mno¿enia macierzowego tworzy tzw. ogóln¹ grupê liniow¹ GL(n,R) nad cia³em liczb rzeczywistych lub GL(n,C) nad cia³em liczb zespolonych. Stwierdzenie. Warunek det Mn(R) ≠ 0 lub det Mn(C) ≠ 0 zapewnia istnienie macierzy odwrotnych Mn–1(R) lub Mn–1(C), które stanowi¹ elementy odwrotne grupy. Element jednostkowy grupy przyjmuje postaæ:

30

5. Grupy klasyczne

1 0 L 0   0 0 1 E=  O M M   0 0 L 1 czyli E jest macierz¹ jednostkow¹ n×n. Ponadto spe³nione s¹ relacje Mn(R)·Mn(R)–1 = Mn(R)–1·Mn(R) = E lub Mn(C)·Mn(C)–1 = Mn(C)–1·Mn(C) = E. Definicja – Specjalna grupa liniowa Zbiór macierzy Mn(R) lub Mn(C) z operacj¹ mno¿enia macierzowego tworzy tzw. specjaln¹ grupê liniow¹ SL(n,R) nad cia³em liczb rzeczywistych lub SL(n,C) nad cia³em liczb zespolonych, gdy macierze Mn(R) lub odpowiednio Mn(C) s¹ unimodularne, tj. det Mn(R) = 1 lub det Mn(C) = 1. Stwierdzenie. Dla obu rozwa¿anych grup, gdy ograniczyæ cia³o liczb, powstaj¹ podgrupy, np.:

SL (n, R ) → SL (n, Q ) → SL (n, Z ) → E (n)

GL(n, R) → GL (n, Q )

gdzie: Q – liczby wymierne, Z – liczby ca³kowite. Definicja – Grupa ortogonalna Grupa ortogonalna lub grupa macierzy ortogonalnych O(n) jest postaci:

{

O (n) = A ∈ {M n ( R )} oraz A ⋅ AT = AT ⋅ A = E

}

Definicja – Grupa specjalna ortogonalna Grupa specjalna ortogonalna lub grupa specjalna macierzy ortogonalnych SO(n) jest postaci:

SO (n) = {A ∈ O( n) oraz det A = 1} Definicja – Grupa unitarna Grupa unitarna lub grupa macierzy unitarnych U(n) jest postaci:

{

}

U (n) = A ∈ {M n (C )} oraz A ⋅ A + = A + ⋅ A = E , gdzie A+ = (A*)T

5. Grupy klasyczne

31

Definicja – Grupa specjalna unitarna Grupa specjalna unitarna lub grupa specjalna macierzy unitarnych SU(n) jest postaci:

SU (n) = {A ∈ U ( n) oraz det A = 1} Stwierdzenie. Dla dowolnych macierzy kwadratowych Mn i M n' zachodzi relacja: det (Mn · Mn') = det Mn· det Mn'. Wynika st¹d, ¿e dla macierzy ortogonalnych A ∈ O(n) det (A·AT) = det A · det AT = (det A)2 = 1, a wiêc det A = ±1 . Przyk³ady. O(1) = {[+1], [–1]} – grupa dwuelementowa, SO(1) = {[+1]} – grupa jednoelementowa, U(1) = {[eiϕ], 0 ≤ ϕ < 2π} – grupa nieskoñczonego rzêdu, SU(1) = {[+1]} – grupa jednoelementowa, gdy¿ eiϕ = 1 dla ϕ = 0,

cos ϕ − sin ϕ   SO (2) =  , 0 ≤ ϕ < 2π  – grupa nieskoñczonego rzêdu cos ϕ  sin ϕ  Stwierdzenie. Jednoelementowe grupy SO(1) i SU(1) s¹ izomorficzne. Elementem tych grup jest macierz 1×1 postaci: [+1]. Stwierdzenie. Grupy SU(1) i SO(2) to jednoparametrowe grupy nieskoñczonego rzêdu i s¹ izomorficzne.

cos ϕ   sin ϕ

− sin ϕ  izomorfizm → e iϕ  ←   cos ϕ 

[ ]

Stwierdzenie. Ka¿dy element A grupy SO(3) przekszta³ceñ izometrycznych w³aœciwych jest obrotem w przestrzeni trzywymiarowej dooko³a pewnej nieruchomej osi i daje siê sparametryzowaæ przez k¹ty Eulera ϕ, ψ i ϑ, gdzie 0 ≤ ϕ ,ψ < 2π oraz 0 ≤ ϑ ≤ π , nastêpuj¹co: A = Bϕ ⋅ Cϑ ⋅ Bψ , gdzie macierze

0 0  cos ϕ − sin ϕ 0 1     Bϕ =  sin ϕ cos ϕ 0 i Cϑ = 0 cos ϑ − sin ϑ      0 1  0 0 sin ϑ cos ϑ 

32

5. Grupy klasyczne

okreœlaj¹ odpowiednio obrót wokó³ osi OZ i wokó³ osi OX. Stwierdzenie. Ka¿dy element G grupy SU(2) daje siê wyraziæ w nastêpuj¹cy sposób:

α β  G ∈ SU ( 2), wiêc G =   , gdzie α , β , γ , δ ∈ C γ δ  α G+ =   β

γ  oraz det G = 1, δ 

zatem

δ G −1 =  − γ

− β  α 

 α β , co powoduje, ¿e G =   oraz β = −γ − β = γ − β α  2 2 det G = α + β = 1 . St¹d wynika, ¿e elementy macierzy α = α1 + iα 2 i β = β 1 + iβ 2 musz¹ spe³niaæ równoœæ: Poniewa¿ G + = G −1 , wiêc

α =δ

α =δ

α12 + α 22 + β12 + β 22 = 1 . Stwierdzenie. Grupa SU(2) jest topologiczne równowa¿na, czyli homeomorficzna ze stref¹ trójwymiarow¹ S3 w czterowymiarowej przestrzeni R4. Stwierdzenie. Ka¿da macierz G ∈ SU(2) daje siê zapisaæ w postaci: ϕ +ψ  ϑ  i 2  cos  e 2 G (ϕ ,ϑ ,ψ ) ≡ bϕ cϑ bψ =  ϕ −ψ  −i ϑ   i sin   e 2  2

ϕ −ψ

ϑ  i i sin   e 2 2 ϕ +ψ  ϑ  −i 2 cos  e 2

  iϕ  2  , gdzie bϕ = e    0  

 ϑ   ϑ   cos 2  i sin  2    ϑ  ϑ  1 cϑ =    i sin  ϑ  cos ϑ   , α = cos 2  , argα = (ϕ + ψ ) , β = sin  2  2      2  2  

 0  ϕ −i  e 2 

5. Grupy klasyczne

arg β =

33

1 (ϕ + ψ + π ) oraz 0 ≤ ϕ < 2π , 0 ≤ ϑ ≤ π , − 2π ≤ ψ < 2π 2

Macierze G mo¿na wybraæ tak¿e w postaci

 cosϑ ′ ⋅ eiϕ ′ G= i sin ϑ ′ ⋅ e −iψ ′

i sin ϑ ′ ⋅ e iψ ′   cosϑ ′ ⋅ e −iϕ ′ 

przyjmuj¹c, ¿e 0 ≤ ϕ', ψ', ϑ' < 2π. W obu przypadkach det G = 1. Stwierdzenie. Grupa SU(2) jest grup¹ nakrywaj¹c¹ dla grupy SO(3). Grupa SU(2) to grupa obrotów w³aœciwych i niew³aœciwych (obrót + inwersja) w przestrzeni trójwymiarowej R3. Stwierdzenie. Grupa SO(3) jest obrazem homomorficznym grupy SU(2) przy homomorfizmie Φ: SU(2) → SO(3) z j¹drem homomorfizmu Ker Φ = {± E }. Stwierdzenie. Istnieje monomorfim grupy SO(3) w grupê SU(2), gdy¿ SO(3) jest podgrup¹ obrotów w³aœciwych w grupie SU(2) obrotów w³aœciwych i niew³aœciwych. Stwierdzenie. Obroty niew³aœciwe, a w szczególnoœci inwersje, to przekszta³cenia ortogonalne, dla których wyznacznik macierzy przekszta³cenia A, det A = –1. W przestrzeni dwuwymiarowej inwersj¹ jest np. zamiana wspó³rzêdnych x → –x, y → y, wówczas

 −1 A =  0

0  oraz det A = –1. 1  y→y

x → –x

Rysunek. Inwersja w p³aszczyŸnie, np. x → –x oraz y → y

34

6. OGÓLNE W£ASNOŒCI GRUP Warstwy lewostronne i prawostronne, twierdzenie Lagrange’a, przyk³ady dla grup symetrycznych, relacja sprzê¿enia i jej w³asnoœci, klasy równowa¿noœci, wydzielanie klas równowa¿noœci, przyk³ady Definicja – Warstwy Niech A = {a1, a2, ..., am} bêdzie podgrup¹ grupy G. Rz¹d podgrupy A wynosi m, a rz¹d grupy G odpowiednio n oraz m < n. Ponadto niech b ∈ G i b ∉ A , wówczas ci¹g elementów {ba1, ba2, ..., bam} tworzy tzw. warstwê lewostronn¹ podgrupy A oznaczan¹ bA, a ci¹g elementów {a1b, a2b, ..., amb} tworzy warstwê prawostronn¹ oznaczan¹ Ab. Stwierdzenie. Warstwa nie jest podgrup¹, gdy¿ nie zawiera elementu jednostkowego e. D o w ó d . Nie wprost Niech e ∈ bA ⇒ e = bai ⇒ b = ai−1 ale ai ∈ A ⇒ ai−1 ∈ A ⇒ b ∈ A , a wiêc zachodzi sprzecznoœæ, gdy¿ z za³o¿enia b ∉ A. Stwierdzenie. Warstwa nie zawiera ¿adnego elementu nale¿¹cego do podgrupy A. D o w ó d . Nie wprost − − Niech ai ∈ A i ai ∈ bA ⇒ ai = ba j ⇒ b = ai a j 1 , ale ai a j 1 ∈ A, czyli b ∈ A , a wiêc sprzecznoœæ. LEMAT. Dwie warstwy lewostronne (prawostronne) podgrupy A albo maj¹ wszystkie elementy wspólne, albo nie zawieraj¹ ¿adnego wspólnego elementu. Dowód Niech xA i yA s¹ warstwami podgrupy A = {a 1, a2, ..., a m}. Gdy warstwy xA = {xa1 , xa2 ,..., xam } i yA = {xy1 , ya2 ,..., yam } maj¹ wspólny element, wówczas

6. Ogólne w³asnoœci grup

35

xai = yaj, gdzie ai , a j ∈ A oraz xai ∈ xA , ya j ∈ yA . Poniewa¿ y −1 x = a j ai −1 ∈ A , wiêc ci¹g y −1 xa1 , y −1 xa2 ,..., y −1 xam = A , ale wówczas

{

}

 −1  −1 −1 yA = { yy xa1 , { yy xa 2 ,..., { yy xa m  = {xa1 , xa 2 ,..., xa m } = xA , czyli yA=xA  e  e e Je¿eli zatem dwie warstwy maj¹ jeden wspólny element, to ich wszystkie elementy s¹ wspólne. Stwierdzenie. Podgrupa A i jej warstwy s¹ równoliczne. D o w ó d . Nie wprost A={a1, ..., am} oraz xA = {xa1, …, xam}. Gdyby warstwa zawiera³a mniej elementów ni¿ podgrupa A, wówczas xai = xaj, ale to implikuje, ¿e ai = aj, czyli powstaje sprzecznoœæ. TWIERDZENIE LAGRANGE’A Rz¹d grupy G jest ca³kowit¹ wielokrotnoœci¹ rzêdu jej dowolnej podgrupy. Dowód Niech podgrupa A ⊂ G i rz¹d podgrupy A wynosi m, a rz¹d grupy G – n oraz n < m. Ponadto niech b1 ∈ G i b1 ∉ A, wówczas b1A jest warstw¹ i niech b2 ∈ G i b2 ∉ A i b2 ∉ b1A to b2A jest kolejn¹ warstw¹ itd. Niech b1A, b2A, ..., bµ–1A bêd¹ wszystkimi otrzymanymi ró¿nymi warstwami podgrupy A. Wówczas ka¿dy dowolny element g ∈ G musi nale¿eæ do podgrupy A albo do którejœ z warstw bi A. Poniewa¿ warstw jest µ – 1 i zawieraj¹ po m elementów, zatem n = m + m(µ – 1), czyli n = mµ. Definicja – Indeks podgrupy Parametr m to indeks podgrupy A. Stwierdzenie. Rz¹d dowolnego elementu grupy jest dzielnikiem rzêdu grupy. Dowód Niech a ∈ G i rz¹d elementu a wynosi m. Wówczas ci¹g {a, a2, a3, ..., am = e} tworzy podgrupê cykliczn¹ rzêdu m, zatem m jest dzielnikiem rzêdu grupy G. Stwierdzenie. Grupa, której rz¹d jest liczb¹ pierwsz¹, musi byæ cykliczna. Dowód. Niech rz¹d grupy G wynosi n i jest liczb¹ pierwsz¹. Poniewa¿ rz¹d dowolnego jej elementu a ≠ e jest dzielnikiem rzêdu grupy, wiêc jest on równy n. Ten element a generuje podgrupê cykliczn¹ {a, a2, ..., an = e} równoliczn¹ z G, zatem G = {a, a2, ..., an = e} jest grup¹ cykliczn¹.

36

6. Ogólne w³asnoœci grup

PRZYK£AD Grupa symetryczna S3 = {e, (12), (13), (23), (123), (321)} rzêdu 6 ma podgrupê A = {e, (12)} rzêdu 2, dla której mo¿na utworzyæ dwie ró¿ne lewostronne lub prawostronne warstwy. Warstwy lewostronne utworzone przez pomno¿enie podgrupy A przez wszystkie elementy grupy S3 nie nale¿¹ce do podgrupy A maj¹ postaæ: (13)A={(13),(123)} (23)A={(23),(321)} (123)A={(123),(13)} (321)A={(321),(23)} Poniewa¿ otrzymane warstwy 1 i 3 oraz 2 i 4 s¹ identyczne tj. (13)A = (123)A oraz (23)A = (321)A, zatem S3 = A + (13)A + (23)A lub S3 = A + (123)A + (321)A. Stwierdzenie. Warstwy lewostronne mog¹ byæ ró¿ne od warstw prawostronnych, np. {(13),(123)} = (13)A ≠ A(13) = {(13),(321)}, gdy¿ (13)(12) = (123) ≠ (321) = (12)(13). PRZYK£AD Grupa symetryczna S3 = {e, (12), (13), (23), (123), (321)} rzêdu 6 ma tak¿e podgrupê rzêdu 3 B = {e, (123),(321)}, dla której mo¿na utworzyæ tylko jedn¹ warstwê {(12),(13),(23)} zawieraj¹c¹ 3 pozosta³e elementy grupy. Zatem warstwy lewostronna i prawostronna s¹ identyczne, tj. (12)B = (13)B = (23)B = B(12) = B(13) = B(23) = {(12),(13),(23)} oraz S3 = B + (12)B. Stwierdzenie. Podgrupa B = {e,(123),(321)} – to grupa alternuj¹ca A3 permutacji parzystych, S3 – A3 = (12)B – to warstwa permutacji nieparzystych, zatem S3 = A3 + (12)A3. Definicja – Sprzê¿enia Niech a, b ∈ G, wówczas element b jest sprzê¿ony do elementu a, gdy istnieje takie x ∈ G, ¿e a = xbx–1. LEMAT. Je¿eli b jest sprzê¿one do a, to a jest sprzê¿one do b. Dowód

a = xbx −1 ⇒ x −1 ax = b i niech y = x −1 ∈ G ⇒ b = yay −1 LEMAT. a jest sprzê¿one do a. Dowód a = aaa–1 lub a = eae–1 LEMAT. Je¿eli b jest sprzê¿one do a i c jest sprzê¿one do b, to c jest sprzê¿one do a.

6. Ogólne w³asnoœci grup

37

Dowód a = xbx −1 i b = ycy −1 , x, y ∈ G , zatem a = x ( ycy −1 ) x −1 = ( xy )c ( xy ) −1 , a poniewa¿ xy ∈ G , a = ( xy )c( xy ) −1. Stwierdzenie. Relacja sprzê¿enia jest relacj¹ równowa¿noœci, gdy¿ jest ona: • zwrotna b jest sprzê¿one do a ⇒ a jest sprzê¿one do b, • symetryczna a jest sprzê¿one do a, • tranzytywna (przechodnia) b jest sprzê¿one do a i c jest sprzê¿one do b ⇒ c jest sprzê¿one do a. Definicja – Klasy Wszystkie elementy grupy G wzajemnie do siebie sprzê¿one tworz¹ klasê równowa¿noœci, zwan¹ klas¹. Stwierdzenie. Dwa elementy nale¿¹ce do jednej klasy C musz¹ byæ tego samego rzêdu. Dowód Niech a, b ∈ C, zatem b = xax–1. Niech rz¹d elementu a wynosi n, wówczas an = e

oraz am ≠ e, gdy m < n. Poniewa¿ b m = (xax −1 ) = xax −1 xax −1 ... xax −1 = xa m x , wiêc je144 42444 3 m

m

¿eli m = n, to bn = xanx–1 = xex–1 = e, czyli bn = e, natomiast gdy m < n i bm = e, wówczas e = xamx–1 i am = x–1ex = e, czyli am = e, a wiêc sprzecznoœæ. Stwierdzenie. Je¿eli rzêdy dwóch elementów grupy s¹ ró¿ne, to nie mog¹ one nale¿eæ do tej samej klasy. Stwierdzenie. Element jednostkowy e tworzy jednoelementow¹ klasê C = {e} jedynego elementu rzêdu 1, gdy¿ jedynie e1 = e. TWIERDZENIE (o tworzeniu klasy elementów sprzê¿onych wzglêdem elementu a) Dla ka¿dego elementu a ∈ G, gdzie G = {a1 = e, a2, a3, ..., an}, wszystkie elementy bi = ai aai–1 ci¹gu {b1, b2, ..., bn} s¹ do siebie sprzê¿one, gdy¿ s¹ sprzê¿one do a i tworz¹ klasê (elementów sprzê¿onych wzglêdem a). Dowód Wszystkie bi s¹ sprzê¿one do a, gdy¿ bi = ai aai–1 i ai ∈ G, zatem bi s¹ sprzê¿one do siebie dla i = 1, ..., n, ale s¹ to wszystkie mo¿liwe elementy grupy G sprzê¿one do a, wiêc ci¹g {b1, b2, ..., bn} tworzy klasê, chocia¿ nie wszystkie elementy bi musz¹ byæ ró¿ne. Stwierdzenie. Ka¿d¹ grupê mo¿na roz³o¿yæ na klasy. Klasy s¹ roz³¹czne. Stwierdzenie. Dla grup abelowych ka¿dy element tworzy w³asn¹ klasê jednoelementow¹.

38

6. Ogólne w³asnoœci grup

Dowód Niech dwa elementy a, b grupy abelowej s¹ sprzê¿one. Wówczas b = xax–1, ale xax–1 = xx–1a = a, wiêc b = a. PRZYK£AD Grupa cykliczna G = {e, a, a2, a3}, abelowa, czteroelementowa. Rzêdy jej elementów wynosz¹ odpowiednio: e – 1, a – 4, b = a2 – 2, c = a3 – 4. Klasy {e}, {a}, {a2}, {a3} s¹ jednoelementowe. PRZYK£AD W grupie symetrycznej S3 = {e, (12),(13),(23),(123),(321)}, gdzie elementy odwrotne tworz¹ ci¹g {e,(12),(13),(23),(321),(123)}, istniej¹ klasy: C1 = {e} – klasa elementu jednostkowego rzêdu 1, C2 – klasa elementów sprzê¿onych do elementu (12) e(12)e–1 = (12) (12)(12)(12)–1 = (12) (13)(12)(13)–1 = (123)(13) = (321)(13) = (32)(31)(13) = (32) = (23) (23)(12)(23)–1 = (213)(23) = (321)(23) = (31)(32)(23) = (13) (123)(12)(123)–1 = (13)(12)(12)(321) = (13)(31)(32) = (23) (321)(12)(321)–1 = (213)(12)(123) = (23)(21)(12)(123) = (23)(32)(31) = (13) zatem C2 = {(12),(13),(23)} zawiera 3 elementy rzêdu 2. C3 – klasa elementów sprzê¿onych do elementu (123) e(123)e–1 = (123) (12)(123)(12)–1 = (321) Pozosta³e kombinacje musz¹ prowadziæ do tego samego wyniku, gdy¿ klasy s¹ roz³¹czne, zatem C3 = {(123),( 321)} zawiera 2 elementy rzêdu 3. Stwierdzenie. Dla grup permutacji Sn podzia³ na klasy jest zgodny ze struktur¹ cykli.

6. Ogólne w³asnoœci grup

39

PRZYK£AD Klasy grupy S4 – rz¹d grupy 4!=24

Liczba elementów

Rz¹d elementu

C1 = {e}

1

1

C2 = {(12),(13),(14),(23),(24),(34)}

6

2

C3 = {123),(124),(134),(234),(321),(421),(431),(432)}

8

3

C4 = {(12)(34),(13)(24),(14)(23)}

3

2

C5 = {(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)} 6 4                              razem 24 Uwaga. W rozwa¿aniach jest stosowany tak¿e symbol Ck(n), który oznacza, ¿e klasa Ck zawiera n elementów.

40

7. PODGRUPY I ICH W£ASNOŒCI Podgrupy sprzê¿one, podgrupa inwariantna, grupa prosta, grupa ilorazowa, j¹dro homomorfizmu jako podgrupa inwariantna, wyszukiwanie podgrup inwariantnych w grupach symetrycznych Stwierdzenie. Je¿eli H jest podgrup¹ grupy G, to zbiór H' = aHa–1, gdzie a ∈ G, jest tak¿e podgrup¹ grupy G. Dowód. 1 1 Niech x, y ∈ H ⇒ xy ∈ H oraz axa − , aya − ∈ H ' , nale¿y zatem pokazaæ, ¿e a(xy)a–1 ∈ H. Poniewa¿ (axa–1)(aya–1) = ax(a–1a)ya–1 = a(xy)a–1, wiêc a(xy)a–1 ∈ H. Pozwala to stwierdziæ, ¿e – dzia³anie grupowe jest operacj¹ zamkniêt¹ w H', – element jednostkowy e ∈ H ⇒ aea −1 = e ∈ H ', – dla ka¿dego axa–1 ∈ H' istnieje element odwrotny, którym jest ax–1a–1 ∈ H', gdy¿ (axa–1)(ax–1a–1) = ax(a–1a)x–1a–1 = a(xx–1)a–1 = aa–1 = e. Stwierdzenie. Gdy a ∈ H to H' = aHa–1 = H, wówczas jest to odwzorowanie podgrupy H w siebie, czyli automorfizm. Dowód −1 −1 x ∈ H i a ∈ H ⇒ axa ∈ H ⇒ H ' = aHa = H

Definicja – Podgrupa sprzê¿ona Podgrupa H' = aHa–1, gdzie H ⊂ G i a ∈ G, nazywa siê podgrup¹ sprzê¿on¹ do podgrupy H w grupie G. Definicja – Podgrupa inwariantna Je¿eli aHa–1 = H dla ka¿dego a ∈ G, to H nazywa siê podgrup¹ inwariantn¹ lub niezmiennicz¹.

7. Podgrupy i ich w³asnoœci

41

Stwierdzenie. Dla podgrupy grupy inwariantnej z warunku H' = aHa–1, a ∈ G wynika, ¿e Ha = aH, H zatem jest podgrup¹ inwariantn¹ wtedy i tylko wtedy, gdy jej warstwy lewostronne i prawostronne utworzone dla dowolnych a ∈ G s¹ identyczne. Stwierdzenie. Jedynka {e} i ca³a grupa G s¹ zawsze podgrupami inwariantnymi, trywialnymi. Dowód Dla ka¿dego a ∈ G jest spe³niona relacja aea–1 = e, wiêc a{e}a–1 = {e}. Dla ka¿dego a, b ∈ G aba–1 ∈ G, wiêc aGa–1 = G. PRZYK£AD Podgrupa A = {e, (12)} grupy S3 = A + (13)A + (23)A nie jest inwariantna, gdy¿ warstwy lewostronne i prawostronne s¹ ró¿ne, np. (13)A ≠ A(13). Podgrupa B = {e, (123), (321)} grupy S3 = B + (12)B jest inwariantna, gdy¿ warstwy lewostronne i prawostronne s¹ równe dla wszystkich elementów grupy S3. Definicja – Grupa prosta Grupa prosta – to grupa nie posiadaj¹ca nietrywialnych, tj. ró¿nych od {e} i G, podgrup inwariantnych. LEMAT. Podgrupa H grupy G jest inwariantna wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera ca³e klasy grupy G, tzn. je¿eli H zawiera 1 element jakiejœ klasy, to zawiera tak¿e wszystkie pozosta³e elementy tej klasy. Dowód. I. Je¿eli H jest inwariantna, H = aHa–1, a ∈ G, to H zawiera ca³e klasy: Dla ka¿dego zatem x ∈ H i a ∈ G axa–1 ∈ H, ale elementy axa–1 otrzymane dla wszystkich a ∈ G tworz¹ klasê C i C ∈ H, czyli H zawiera zawsze pe³ne klasy. II. Je¿eli H zawiera ca³e klasy, C ∈ H, to H jest inwariantna: Ka¿de x ∈ H nale¿y do jakiejœ klasy C, wiêc C ⊂ H , ale klasa C zawiera wszystkie elementy postaci axa–1 otrzymane dla wszystkich a ∈ G, zatem je¿eli x ∈ H, to tak¿e dla wszystkich a ∈ G wszystkie elementy postaci axa–1, które tworz¹ klasê C, nale¿¹ do H, czyli C ⊂ H. Ale to jest s³uszne dla dowolnego x ∈ H, które musi nale¿eæ do jakiejœ klasy. St¹d, je¿eli x ∈ H ⇒ x ∈ C i wszystkie axa–1 ∈ C ⊂ H, co oznacza, ¿e dla ka¿dego a ∈ G aHa–1 = H, czyli H jest inwariantna. Definicja – Mno¿enie warstw Mno¿enie warstw wyra¿a siê nastêpuj¹co: aH ⋅ bH = {z = x ⋅ y , gdzie x ∈ aH , y ∈ bH }, natomiast gdy a ∈ H i b ∈ H, wówczas aH = bH = H i H ⋅ H = {z = x ⋅ y, gdzie x ∈ H , y ∈ H } = H .

42

7. Podgrupy i ich w³asnoœci

TWIERDZENIE. Zbiór sk³adaj¹cy siê z podgrupy inwariantnej H i wszystkich jej ró¿nych warstw sam stanowi grupê zwan¹ grup¹ ilorazow¹ grupy G, któr¹ oznaczamy G' = G/H. Dowód aH = Ha dla wszystkich a ∈ G, poniewa¿ H jest inwariantne, ponadto: – H jest elementem jednostkowym w grupie ilorazowej, gdy¿

(aH ) ⋅ H = a ⋅ (HH ) = aH oraz

H ⋅ (aH ) = (Ha ) ⋅ H = (aH ) ⋅ H = a ⋅ (HH ) = aH , – mno¿enie warstw jest warstw¹, czyli jest to dzia³anie zamkniête, gdy¿

(aH )(bH ) = a(Hb ) H

= a (bH ) H = ab (HH ) = abH ,

a abH jest warstw¹, jako ¿e ab ∈ G, – ka¿da warstwa aH ma element odwrotny a–1H, gdy¿ aHa −1 H = aa −1 HH = eH = H , zatem a–1H jest elementem odwrotnym do aH w grupie ilorazowej.

PRZYK£AD Grupa S3 = {e, (12), (13), (23), (123), (321)}, jej podgrupa inwariantna B = {e, (123), (321)} oraz warstwa (12)B={(12), (13), (23)} pozwalaj¹ utworzyæ grupê ilorazow¹ S3/B = {E, A}, gdzie E = B oraz A = (12)B. Jest to grupa dwuelementowa, a zatem A2 = E. Uwaga. Elementy grup ilorazowych oznaczamy du¿ymi literami tj. E, A, B, C,... Stwierdzenie. Grupê ilorazow¹ mo¿na traktowaæ jako homomorfizm grupy G w G' = G/H. TWIERDZENIE. Przy ka¿dym homomorfizmie f grupy G w G’, tj. f(G) = G', j¹dro homomorfizmu Ker(f) = H tworzy podgrupê inwariantn¹ w G. Dowód Dla ka¿dego b ∈ H = Ker ( f ) ⇒ f (b) = e'∈ G ' , ponadto dla ka¿dego b ∈ H i a ∈ G element aba–1 ∈ H, gdy¿ f (aba −1 ) = f ( a) f (b) f (a −1 ) = f ( a)e′f ( a) −1 = f (a ) f ( a) −1 = e′ , zatem H = aHa–1 i jest podgrup¹ inwariantn¹. Stwierdzenie. Przy ka¿dym homomorfizmie f : G → G', je¿eli a'∈ G ' i a ' ≠ e' to istnieje warstwa np. aH, gdzie H = Ker(f), taka ¿e f(aH) = a', tzn. ca³e warstwy s¹ przekszta³cane w jeden element.

7. Podgrupy i ich w³asnoœci

43

Dowód Niech b ∈ aH ⇒ b = ax oraz f(a) = a' i f(x) = e', dla dowolnego zatem b ∈ aH f (b ) = f ( ax ) = f ( a ) f ( x) = f (a )e' = f (a ) = a ' . Stwierdzenie. Przy dowolnym homomorfizmie f : G → G' rz¹d grupy G' musi byæ dzielnikiem rzêdu grupy G. Dowód J¹dro homomorfizmu Ker(f) oraz utworzone wzglêdem niego warstwy s¹ równoliczne, a ka¿da z nich jest przekszta³cana w jeden element grupy G'. Rz¹d grupy G jest zatem równy iloczynowi rzêdu j¹dra homomorfizmu Ker(f) i rzêdu grupy G'. PRZYK£AD Wyznaczanie nietrywialnych podgrup inwariantnych grupy S4. Grupa S4 zawiera 4!=24 elementy, podgrupy inwariantne musz¹ spe³niaæ warunki: – podgrupa inwariantna musi zawieraæ ca³e klasy grupy S4 (por. s. 41), tj. C1(1), C2(6), C3(8), C4(3), C5(6), które maj¹ ³¹cznie 1 + 6 + 8 + 3 + 6 = 24 elementy, – rz¹d podgrupy musi byæ dzielnikiem rzêdu grupy S4; dzielnikami liczby 24 s¹: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, przy czym 1 i 24 to dzielniki trywialne, – podgrupa musi zawsze zawieraæ element e, czyli klasê C1(1). Przypadek I

H = C1 (1) + C 4 (3) , czyli H={e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}. Jest to podgrupa czteroelementowa. Poniewa¿ elementy podgrupy H spe³niaj¹ relacje: ((12)(34))2 = ((12)2(34))2 = e, ((13)(24))2 = ((13)2(24))2 = e, ((14)(23))2 = ((14)2(23))2 = e, H jest czterogrup¹. Grupa ilorazowa G' = S4/H zawiera 6 elementów. Przypadek II H ' = C1 (1) + C 3 (8 ) + C 4 (3) zawiera 1 + 8 + 3 = 12 elementów. H' jest podgrup¹ permutacji parzystych, czyli tzw. grup¹ alternuj¹c¹ A4 = {e,(123),(124),(134),(234),(321),(421),(431),(432),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}. Grupa ilorazowa S4/A4 = {E, A}, gdzie E = A4, natomiast A jest warstw¹ wszystkich permutacji nieparzystych. Stwierdzenie. Grupa ilorazowa Sn/An, gdzie Sn jest grup¹ symetryczn¹, a An jest grup¹ alternuj¹c¹, jest zawsze izomorficzna z grup¹ dwuelementow¹ {E,A}. Stwierdzenie. Grupa alternuj¹ca An jest podgrup¹ inwariantn¹ grupy symetrycznej Sn. Poniewa¿ An zawiera wszystkie permutacje parzyste, Sn – An stanowi warstwê permutacji nieparzystych.

44

8. GRUPY OBROTÓW Obroty w p³aszczyŸnie i przestrzeni, k¹ty Eulera, sk³adanie obrotów Stwierdzenie. Istniej¹ dwie interpretacje obrotów: bierna i czynna. Bierna, gdy obracamy uk³ad wspó³rzêdnych, a przestrzeñ jest nieruchoma, czynna, gdy obracamy przestrzeñ a uk³ad wspó³rzêdnych jest nieruchomy. W prezentowanych rozwa¿aniach jest stosowana interpretacja bierna. Definicja – Operator obrotu Rk(α) Operator obrotu Rk(α) wyznacza obrót w p³aszczyŸnie wokó³ ustalonej, prostopad³ej do niej osi k o k¹t α. W szczególnoœci osi¹ k mo¿e byæ jedna z osi uk³adu wspó³rzêdnych: x, y, z. Definicja – Operator obrotu R(α, β, γ) Dowolny obrót w przestrzeni trójwymiarowej daje siê wyraziæ jak z³o¿enie obrotów:

R(α , β , γ ) = Rz (α ) R y ( β ) Rz (γ ) gdzie α, β, γ s¹ k¹tami Eulera oraz 0 ≤ α , γ < 2π , 0 ≤ β ≤ π . Stwierdzenie. Obroty w przestrzeni trójwymiarowej R3 wokó³ osi uk³adu wspó³rzêdnych mo¿na wyraziæ za pomoc¹ macierzy 3×3:

cos α  D (Rz (α ) ) =  sin α   0

− sin α cos α 0

0  0 ,  1

cos β  D R y (β ) =  0   sin β

(

)

0 − sin β   1 0 .  0 cos β 

Stwierdzenie. K¹ty α i β s¹ standardowymi k¹tami sferycznymi ϕ i ϑ koñcowej osi z' wzglêdem uk³adu pierwotnego (x, y, z). K¹t γ jest zawarty miêdzy osiami y i y' po obrocie Rz(α).

8. Grupy obrotów

45

Stwierdzenie. Pola s¹ elementami przestrzeni nad cia³em liczb rzeczywistych lub zespolonych. Pola mog¹ byæ skalarne, wektorowe, tensorowe itp. Definicja – Dzia³anie operatora obrotu na pole Operator obrotu R dzia³a w nastêpuj¹cy sposób na pole – skalarne: Rf (r) = f '(r) = f (R–1r) , np. Rz(α) f (r, ϕ) = f (r, ϕ – α), – wektorowe: Rf (r) = Rf j (r)ej = f j'(r)ej', gdzie f j'(r) = f j (R–1r) oraz ej' = [D –1(R)e]j = [D T(R)e]j = D jiT(R)ei = Dij(R)ej, wiêc Rfj (r)ej = ei Dij (R) fj (R–1r). Definicja – Sk³adanie obrotów Sk³adanie obrotów, lub iloczyn obrotów, wyra¿a siê nastêpuj¹co: R1[R2 f(r)] = R1 f'(r) = f ' (R1–1r) = f (R2–1R1–1r) = f ((R1R2)–1r). Stwierdzenie. Poniewa¿ (R1R2)f(r) = f((R1R2)–1r), wiêc R1[R2f(r)] = (R1R2)f(r). Stwierdzenie. Zbiór macierzy kwadratowych n×n o wyznaczniku ró¿nym od zera i o okreœlonych w³asnoœciach (ortogonalne, unitarne, hermitowskie i inne) z operacj¹ mno¿enia macierzowego tworzy grupê nieskoñczonego rzêdu i stopnia n, gdy¿ – spe³niona jest relacja ³¹cznoœci dla mno¿enia macierzy, tj. (AB)C = A(BC), – jedynk¹ grupy jest macierz jednostkowa E, – dla ka¿dej macierzy kwadratowej A o wyznaczniku det A ≠ 0 istnieje macierz odwrotna A–1 taka, ¿e AA–1 = A–1A = E. Stwierdzenie: Zbiór Rk(α) obrotów w p³aszczyŸnie wokó³ prostopad³ej do niej osi k o k¹t α z operacj¹ sk³adania obrotów tworzy grupê. Elementem neutralnym grupy jest Rk(0), tj. obrót o k¹t α = 0. Poniewa¿ Rk(α)Rk(β) = Rk(α + β), wiêc element odwrotny ma postaæ Rk–1(α) = Rk(–α), gdy¿ Rk(α + β) = Rk(0), gdy β = –α. Stwierdzenie: Zbiór obrotów R = R(α, β, γ) z operacj¹ sk³adania obrotów tworzy grupê obrotów w³aœciwych w R3 nieskoñczonego rzêdu trzeciego stopnia, która jest izomorficzna z grup¹ SO(3). W grupie obrotów R = R(α, β, γ) – spe³niona jest relacja ³¹cznoœci: (R1R2)R3 = R1(R2R3), – istnieje jedynka e = R(0, 0, 0), tj. α = β = γ = 0, – element odwrotny ma postaæ R–1(α, β, γ) = R(–γ, –β, –α), gdy¿ R–1(α, β, γ) = [Rz(α)Ry(β)Rz(γ)]–1 = Rz–1(γ)Ry–1(β)Rz–1(α) = Rz(–γ)Ry(–β)Rz(–α) = R(–γ, –β, –α) 

46

9. GRUPY CI¥G£E Homeomorfizm grupy ci¹g³ej w przestrzeñ euklidesow¹, mapy, atlasy i ich zgodnoœæ, stopieñ grupy. Topologia grupy, grupy Liego oraz elementy (operatory), generatory i reprezentanci grupy. Komutatory, sta³e struktury grupy, antysymetria i to¿samoœæ Jacobiego. Przestrzeñ liniowa z baz¹ generatorów i algebra Liego, obroty operatorów Stwierdzenie. Je¿eli ka¿demu obrotowi Rz(α), gdzie α ≠ 0 zostanie przypisany punkt z przedzia³u 0 < α < 2π, to otrzymuje siê tzw. mapê w przestrzeni euklidesowej R1, przy czym termin mapa odnosi siê zarówno do sposobu odwzorowania jak i do powsta³ego odwzorowania, tj. zbioru punktów z przedzia³u (0, 2π). Mapa to tak¿e odwzorowanie grupy obrotów R(α , β , γ) w przestrzeñ euklidesow¹ R3, gdy 0 < α, γ < 2π oraz 0 < β < π. Uwaga. Mapy to odwzorowania w zbiory otwarte. Definicja – Homeomorfizm Homeomorfizm to ci¹g³e i wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie f zbioru X w zbiór Y, f : X→Y takie, ¿e przekszta³cenie odwrotne f –1: Y→X jest te¿ ci¹g³e. Stwierdzenie: Homeomorfizm to odwzorowanie ró¿nowartoœciowe i obustronnie ci¹g³e. Definicja – Stopieñ grupy Stopieñ grupy n to liczba niezale¿nych i zmieniaj¹cych siê w sposób ci¹g³y parametrów rzeczywistych potrzebnych do okreœlenia poszczególnych elementów grupy. Definicja – Mapa Mapa to homeomorfizm dowolnie wybranego otwartego zbioru elementów grupy G w zbiór otwarty przestrzeni euklidesowej Rn, przy czym wymiar przestrzeni n odpowiada stopniowi grupy.

9. Grupy ci¹g³e

47

Definicja – Mapy zgodne Dwie mapy S1, S2 ⊂ Rn nazywamy parami zgodnymi, je¿eli w obszarach, które nale¿¹ do nich obu, odwzorowanie S2–1 → G → S1 jest dostatecznie regularne. Stwierdzenie. Odwzorowanie dostatecznie regularne to np. ci¹g³e lub ró¿niczkowalne, lub analityczne. Definicja – Atlas Mapê pokrywaj¹c¹ ca³¹ grupê, lub uk³ad map parami zgodnych i pokrywaj¹cych ca³¹ grupê nazywamy atlasem. Stwierdzenie. Je¿eli wszystkie mapy atlasu danej grupy maj¹ obrazy euklidesowe w tej samej przestrzeni Rn, to grupa jest stopnia n. Stwierdzenie. Je¿eli grupa jest spójna (jednospójna) to odpowiadaj¹ce jej obrazy euklidesowe maj¹ ten sam wymiar. PRZYK£AD. Rz(α) → [α] ∈ R1, R(α, β, γ) → [α, β, γ] ∈ R3

Topologia grupy Stwierdzenie. Maj¹c atlas grupy, mo¿na utworzyæ topologiê grupy z warunku, ¿e bliskim punktom w obrazie euklidesowym grupy w Rn odpowiadaj¹ bliskie elementy grupy g(s) ∈ G, gdzie s ∈ Rn. Stwierdzenie. Elementy grupy, dla których atlas zawiera wiêcej ni¿ jedn¹ mapê, mo¿na oznaczaæ np. ga(s), ale wyró¿nianie mapy jest nieistotne, gdy¿ mapy s¹ parami zgodne, wiêc na ogó³ siê je pomija. Stwierdzenie. Zwykle pocz¹tek uk³adu wspó³rzêdnych w przestrzeni Rn przypisuje siê jedynce grupy, tzn. g(0) = e lub g(0) = 1.

Grupy Liego ZA£O¯ENIA Rozwa¿a siê mapê obejmuj¹c¹ pocz¹tek uk³adu wspó³rzêdnych 0 = [0,...,0] ∈ Rn, odpowiadaj¹cy jedynce grupy g(0) = 1, oraz punkty s, t ∈ Rn le¿¹ce dostatecznie blisko 0 tak, ¿eby elementy grupy g(u) = g(s)·g(t) oraz g(w) = g(s)–1 by³y objête map¹. Wzory te definiuj¹ funkcje u = u(s, t) oraz w = w(s) i s¹ dobrze okreœlone dla s i t dostatecznie bliskich pocz¹tku uk³adu wspó³rzêdnych.

48

9. Grupy ci¹g³e

PRZYK£AD Dla grupa obrotów w p³aszczyŸnie XY g(s) ≡ Rz(α), wówczas Rz(γ) = Rz(α)Rz(β) = Rz(α + β), wiêc γ = α + β oraz Rz(δ) = Rz(α)–1 = Rz(–α), wiêc δ = –α. Definicja – Grupa Liego Grupê G, dla której mo¿na zbudowaæ atlas i wybraæ parametry s, t, u, w tak, ¿eby funkcje u = u(s, t) oraz w = w(s) by³y analityczne, nazywamy grup¹ Liego. Stwierdzenie. Grupy, których elementy dadz¹ siê opisaæ parametrami zmieniaj¹cymi siê w sposób ci¹g³y, to na ogó³ grupy Liego. Stwierdzenie. Grupy operatorów Rz(α) i Rz(α, β, γ) to grupy Liego.

Generatory ZA£O¯ENIA Niech g(s) ∈ G i g(s) jest funkcj¹ analityczn¹ w pewnym obszarze wokó³ pocz¹tku uk³adu wspó³rzêdnych oraz g(0) = 1. Wówczas n

g(s) = 1 – i

∑ sj Jj, gdzie J j = i j =1

∂g ( s ) ∂s j

s=0

s¹ generatorami grupy Liego. Stwierdzenie. Wiele w³asnoœci grup Liego mo¿na badaæ, rozpatruj¹c skoñczon¹ liczbê generatorów Jj zamiast nieskoñczonej liczby elementów grupy g(s). PRZYK£AD Dzia³anie operatora Rz(α), gdy α « 1, na pole skalarne f(r, ϕ): Rz(α)f(r, ϕ) = f(r, ϕ – α) = f(r, ϕ) – α

∂ ∂ f(r, ϕ) = [1 – i(–iα )] f(r, ϕ) ∂ϕ ∂ϕ

= [1 – iα Jz] f(r, ϕ) zatem Rz(α) = (1 – iαJz), gdzie Jz jest generatorem grupy operatorów Rz(α), którego ∂ reprezentantem w wybranym (biegunowym) uk³adzie wspó³rzêdnych jest K z = −i . ∂ϕ Stwierdzenie. Reprezentant generatora grupy zale¿y od wyboru uk³adu wspó³rzêdnych i ma ró¿n¹ postaæ w ró¿nych uk³adach wspó³rzêdnych, np. reprezentantem generatora  ∂ ∂ − y   = (r×p)z, gdzie Jz w kartezjañskim uk³adzie wspó³rzêdnych jest  K z = −i  x ∂x   ∂y ∂ . p = – i∇, podczas gdy w biegunowym uk³adzie wspó³rzêdnych jest K z = −i ∂ϕ

9. Grupy ci¹g³e

49

Stwierdzenie. Znaj¹c generatory grupy Jj mo¿na odtworzyæ wszystkie elementy grupy g(s). Stwierdzenie. Znaj¹c generator Jz oraz traktuj¹c obrót o dowolny k¹t α jako z³o¿enie N obrotów o k¹t α /N « 1, postaæ operatora Rz(α) wyznacza siê nastêpuj¹co:   α  R z (α ) = lim  R z    N →∞   N 

N

N

α   = lim 1 − i J z  = exp (− i J zα ) N →∞  N 

Stwierdzenie. Operator obrotu w R3 ma postaæ:

R(α, β,γ ) = Rz (α ) R y ( β ) Rz (γ ) = exp( −i J zα ) exp( −i J y β ) exp( −i J zγ ) Stwierdzenie. Dzia³anie operatora g(s), s ∈ Rn, w grupach Liego mo¿na traktowaæ jako z³o¿enie nieskoñczonego ci¹gu infinitezymalnie ma³ych zmian. Wówczas wykorzystun

j¹c postaæ operatora g(s) wyznaczon¹ dla s → 0: g(s) = 1 – i

j =1

czywistych wartoœci sj, otrzymuje siê:

 1 g (s) = lim 1 − i N →∞  N 

 s j J j   j =1  n

∑

N

∑ s j J j dla dowolnych rze-

n   = exp − i s j J j    j =1  

∑

Stwierdzenie. Aby uzyskaæ jawn¹ postaæ operatora grupy Liego g(s), nale¿y generatory grupy Jj zast¹piæ reprezentantami generatorów grupy Kj w wybranym uk³adzie wspó³rzêdnych. Stwierdzenie. Generatory grupy Liego J1,..., Jn na ogó³ nie komutuj¹ ze sob¹, [Jj, Jk] ≠ 0 dla j ≠ k, dlatego zgodnie z relacj¹ Hausdorffa–Bakera eA+B ≠ eAeB, gdy [A, B] ≠ 0, gdzie A i B to np. generatory grupy lub ich kombinacje liniowe.

Komutatory Definicja – Komutator Komutatorem elementów grupy a,b ∈ G jest wyra¿enie postaci: [a, b] = aba–1b–1. Stwierdzenie. Operatory postaci g l = exp (− isl J l ) to elementy grupy G, gl ∈ G, gdy¿ gl ≡ g(s) dla s =[0,...,0, sl, 0,...,0].  −1 Elementem odwrotnym do g l = exp (− isl J l ) jest g l = exp ( isl J l ) , gdy¿

50

9. Grupy ci¹g³e

gl gl–1 = exp(− isl J l ) exp ( isl J l )  = 1, jako ¿e [Jl, Jl] = 0 (relacja Hausdorffa–Bakera). Stwierdzenie. Komutator elementów gj, gk jest postaci:

(

)

(

)

(

[ g j , g k ] = exp − is jl J j exp (− is k J k )exp is j J j exp ( isk J k ) = C jk s j , sk

)

Poniewa¿ [Jj, Jk] ≠ 0, rozwijaj¹c operatory gj, gk w szereg dla ma³ych sj, sk, otrzymuje siê wyra¿enie C jk ( s j , sk ) = (1 − s j J j ) (1 − sk J k ) (1 + s j J j ) (1 + sk J k ) = 1 + s j sk [ J j , J k ] . Stwierdzenie. Komutator dwóch elementów grupy jest elementem grupy, wiêc dla ma³ych sj, sk mo¿na go przedstawiæ w postaci: C jk ( s j , sk ) = 1 − i manych wyra¿eñ C jk ( s j , s k ) = 1 + s j s k [J j , J k ] = 1 − i

[J j , J k ] = i

n

∑ l =1

C ljk J l , gdzie C ljk =

lim

s j , s k ,t l → 0

tl . s j sk

n

∑ l =1

n

∑ tl J l . Z porównania otrzyl =1

tl J l wynika nastêpuj¹ca relacja

Definicja – Sta³e struktury grupy Liego Wspó³czynniki C ljk to tzw. sta³e struktury grupy G i spe³niaj¹ one l l – warunek antysymetrii C jk = −C kj , gdy¿ [Jj, Jk] = –[Jk, Jj] oraz

– relacjê

∑ ClimC ljk + ∑ C klm Cijl + ∑ C mjlC kil = 0 l

l

wynikaj¹c¹ z to¿samoœci Jacobiego

l

[ J j , [ J k , J l ]] + [ J k , [J l , J j ]] + [J l ,[ J j , J k ]] = 0 . PRZYK£AD. Dla grupy obrotów generatorami s¹ Lx, Ly, Lz – sk³adowe operatora momentu pêdu, l wówczas [Lj, Lk] = iε jkl L l oraz C jk = ε jkl jest tensorem Levi–Civity. Stwierdzenie. Zbiór generatorów J1,..., Jn stanowi bazê w przestrzeni liniowej (wektorowej) wszystkich kombinacji liniowych postaci n   menty g (s) = exp − i s j J j  grupy Liego.   j =1  

∑

n

∑ s j J j , które odwzorowuj¹ siê na elej =1

Definicja – Algebra Liego Przestrzeñ liniowa z baz¹ generatorów J1,..., Jn oraz komutatorem [ , ] jako iloczynem tworzy tzw. algebrê Liego. Komutator nie jest iloczynem w zwyk³ym sensie, gdy¿ nie spe³nia relacji ³¹cznoœci.

9. Grupy ci¹g³e

51

Definicja – Obroty operatorów Niech Ô okreœla dowolny operator oraz Rk(α) jest operatorem obrotu wokó³ osi k o k¹t α. Niech ponadto wektory x, y ∈ V spe³niaj¹ relacje Ôx = y ∈ V, Rk(α) x = x' ∈ V, Rk(α)y = y' ∈ V, wówczas Rk(α)[Ô x] = Rk(α) [ÔRk*(α)Rk(α)x] = [Rk(α)ÔRk*(α)]Rk(α)x = [Rk(α)ÔRk*(α)]x' = y' st¹d obrót operatora Ô okreœla wyra¿enie Rk(α)(Ô) = Rk(α)ÔRk*(α), gdzie Rk(α) = exp(– iαLk) oraz Rk*(α) = Rk–1(α) Stwierdzenie. Dla ma³ych k¹tów α obrót operatora Ô okreœla wyra¿enie Rk(α)(Ô) = exp(–iα Lk)Ôexp(iα Lk) = Ô – iα [Lk, Ô] PRZYK£AD. Obroty operatora Lj, j = x, y, z, wokó³ osi z dla ma³ych k¹tów α, gdzie [Lj, Lk] = iε jkl L l , wyra¿aj¹ siê nastêpuj¹co: Rz(α)(Lx) = Lx + α Ly, Rz(α)(Ly) = Ly – α Lx,

Rz(α)(Lz) = Lz

52

10. CA£KOWANIE NA GRUPIE LIEGO Ca³kowanie niezmiennicze, miara Haara, ca³ka Hurwitza, objêtoœæ grupy, grupy zwarte, przyk³ady Definicja – Ca³kowanie na grupie Liego Je¿eli funkcja f(s), gdzie s ∈ Rn, jest ca³kowalna w Rn, to mo¿na mówiæ, ¿e funkcja jest ca³kowalna na grupie G, gdy¿ wówczas f(s) = f(s(g)) i ca³kowanie odbywa siê po elementach g ∈ G. Stwierdzenie. Ca³kowanie po ca³ej grupie wymaga u¿ycia atlasu. PRZYK£AD Ca³kowanie na grupie obrotów Rz(α), gdzie 0 < α < 2π oraz f(α) ≡ 1 2π

∫ f (á )dá = 2π 0

Stwierdzenie. Wartoœci ca³ki zale¿¹ od wyboru parametrów grupy. PRZYK£AD Ca³kowanie na grupie obrotów Rz(β), f(β) = f(α) ≡ 1. Wybór parametru β mo¿e byæ dokonany w sposób dowolny i w odniesieniu do parametru α, 0 < α < 2π, prowadzi do ró¿nych wartoœci ca³ki: β=α β = α /2 β = α2 β = ln α 2ð

∫ 0

1 dβ = 2 ð ,

ð

∫ 0

1 dβ = ð ,

4π2

∫ 0

1 dβ = 4π 2 ,

ln 2 ð

∫ 1 dβ = ∞

-∞

10. Ca³kowanie na grupie Liego

53

Definicja – Ca³kowanie niezmiennicze Ca³kowanie na grupie nazywamy lewostronnie niezmienniczym, je¿eli dla ka¿dej funkcji ca³kowalnej f i dla ka¿dego elementu g1 ∈ G zachodzi zwi¹zek

∫ f ( g1 g ) ì( dg ) = ∫ f ( g ) ì (dg ) gdzie µ(dg) oznacza miarê elementu objêtoœci odpowiadaj¹cego elementowi dg w euklidesowym obrazie grupy G, a ca³kowanie rozci¹ga siê na ca³¹ grupê. Stwierdzenie. Ca³kowanie na grupie jest niezmiennicze, gdy grupa jest jednorodna wzglêdem miary.  PRZYK£AD 2π

2π

0

0

2 2 ∫ cos (á + β )dα = ∫ cos (α )dα oraz d(α + β) = dα.

Stwierdzenie. Gdy miara elementu objêtoœci jest niezmiennicza wzglêdem „przesuniêæ” µ(dg) = µ(g1dg) spowodowanych przez lewostronne dzia³ania elementów grupy g1 ∈ G, wówczas powy¿szy zwi¹zek jest spe³niony to¿samoœciowo:

∫ f ( g1 g ) ì(dg ) = ∫ f ( g1 g ) ì( g1dg ) = ∫ f ( g1 g ) ì (dg1 g ) = ∫ f ( g ′) ì(dg' ) gdzie g' = g1g. PRZYK£AD Grupa obrotów Rz(α). Elementy g = Rz(α), g1 = Rz(α1), g1g = Rz(α1)Rz(α) = Rz(α1 + α) = Rz' (α), gdzie α ' = α + α1 wówczas, gdy: µ(dg) = dα ⇒ dα ' = d(α + α1) = dα ,

µ(dg) = dα 2

⇒

d(α ')2 = d(α + α1)2 ≠ dα ,

µ(dg) = dln α

⇒

dln α ' = dln(α + α1) ≠ dln α .

Stwierdzenie. Ca³kowania na grupie mog¹ byæ niezmiennicze lub nie. Zale¿y to od wyboru miary. Stwierdzenie. Je¿eli µ(dg) jest miar¹ niezmiennicz¹ na grupie, to miara µ'(dg) = cµ(dg), gdzie c jest sta³¹, jest te¿ niezmiennicza i zmienia ona jedynie ca³kê po grupie o sta³y czynnik. Stwierdzenie. Ca³kê niezmiennicz¹ mo¿na zmieniaæ o dowolny czynnik przez przeskalowanie parametrów lub miary.

54

10. Ca³kowanie na grupie Liego

Definicja – Miara Haara, ca³ka Hurwitza Ca³kowanie niezmiennicze na grupie to ca³kowanie wed³ug miary Haara, a wyznaczana ca³ka nazywa siê ca³k¹ Hurwitza lub ca³k¹ grupow¹. Stwierdzenie. Miara lewostronnie niezmiennicza mo¿e byæ ró¿na od miary prawostronnie niezmienniczej.

Zwartoœæ Definicja – Objêtoœæ grupy Ca³kê niezmiennicz¹ po ca³ej grupie z funkcj¹ f ≡ 1 nazywamy objêtoœci¹ grupy. Definicja – Grupy zwarte Grupy o skoñczonej objêtoœci nazywamy grupami zwartymi. PRZYK£AD Grupa translacji wzd³u¿ osi z: Grupa obrotów wzglêdem osi z:

Tz(a) f(z) = f(z – a), Rz(α) f(ϕ) = f(ϕ – α),

–∞ < a < ∞ 0 < α < 2π

Stwierdzenie. Grupy {Tz(α)} i {Rz(α)} s¹ lokalnie identyczne, ale ró¿ne globalnie, gdy¿ grupa obrotów Rz(α) jest zwarta, a grupa translacji Tz(α) ma nieskoñczon¹ objêtoœæ. TWIERDZENIE. Dla grup zwartych miara lewostronnie (prawostronnie) niezmiennicza jest zawsze prawostronnie (lewostronnie) niezmiennicza (bez dowodu) Stwierdzenie. Miar¹ niezmiennicz¹ na grupie obrotów w³aœciwych w R3, SO(3), jest µ(dg) = dα dcosβ dγ, gdzie 0 = α, γ < 2π, 0 < α < π. Stwierdzenie. Objêtoœæ grupy SO(3) wynosi: V = jest zwarta, gdy¿ V = nicza.

8π2

2π

π

2π

0

0

0

∫ ∫

∫

dα d cos β dγ = 8π 2 . Grupa SO(3)

< ∞. Miara µ(dg) = dα dcosβ dγ jest dwustronnie niezmien-

55

11. GRUPY OPERATOROWE Grupy transformacji przestrzeni i grupy operatorowe. Transformacja operatora wzglêdem operatorów grupy, operator niezmienniczy, kryterium niezmienniczoœci, operator Cassimira, zagadnienia w³asne dla operatora, homomorfizm operatorów grupy w zbiór macierzy Definicja – Grupa transformacji przestrzeni Niech elementy Ui grupy G dzia³aj¹ w przestrzeni wektorowej V ⊂ Rn tak, ¿e gdy x ∈ V, wówczas Ui x = y ∈ V. Elementy Ui grupy G = {Ui, x ∈ V ⇒ Ui x ∈ V} transformuj¹ przestrzeñ wektorow¹ V w siebie. Stwierdzenie. Operatory translacji Ta zdefiniowane nastêpuj¹co: Tar = r – a , gdzie a, r, r – a ∈ Rn, z operacj¹ sk³adania translacji tworz¹ grupê {Ta }, gdy¿ T a(T b r) = Ta(r – b) = r – a – b = Ta + b r , a zatem z³o¿enie translacji jest translacj¹, TaTb = Ta + b, elementem neutralnym jest translacja zerowa T0, a element odwrotny Ta–1 = T–a. Definicja – Przestrzeñ funkcyjna Niech funkcje f(x), g(x), h(x), ..., gdzie x ∈ V przypisuj¹ ka¿demu elementowi x ∈ V pewn¹ liczbê rzeczywist¹ lub zespolon¹, wówczas funkcje f, g, h, ... tworz¹ przestrzeñ funkcyjn¹ H. PRZYK£AD f(r) = x4 + 5y2 + 7z5 gdzie r ∈R3.

i

f(r) ∈ R

lub g(r) = 2x3 + i(x2 + y + 4z3) i g(r) ∈ C,

Definicja – Grupa operatorowa Zbiór operatorów {7i} zdefiniowanych nastêpuj¹co: 7i f(x) = f(Ui–1x) tworzy grupê transformacji funkcji zwan¹ grup¹ operatorow¹ /.

56

11. Grupy operatorowe

Stwierdzenie. Zbiór operatorów {7i} jest grup¹, gdy¿ zachowuje w³asnoœci grupy transformacji G, poniewa¿ 7i7j f(x) = 7i(7j f(x)) = 7i f(Uj–1x) = 7i f '(x) = f '(Ui–1x) = f(Uj–1Ui–1x) = f((UiUj)–1x), czyli (7i7j)f(x) = f((UiUj)–1x) Istnieje zatem jednoznaczne przyporz¹dkowanie Ui →7i oraz Uj→7j oraz zachowana jest relacja grupowa (UiUj)→(7i7j). Stwierdzenie. Grupa operatorów / = {7i} jest izomorficzna z grup¹ G = {Ui}. PRZYK£AD Translacja: Tax = x – a oraz 6a f(x) = f(Ta –1x) = f(T–ax) = f(x + a). Odwzorowanie {Ta}→{6a} jest zatem izomorficzne. Niech funkcja f(x) jest analityczna, wówczas

∞ 1  1 ( a∇) n f ( x ) =  (a ∇ ) n  f ( x ) = e a ∇ f ( x ) n = 0 n! n = 0 n!  ∞

f ( x + a) =

∑

∑

czyli 6a f(x) = ea∇ f(x) a st¹d 6a = ea∇. W mechanice kwantowej wprowadza siê operator p = −ih∇ , wtedy 6a =

i ap h . e

PRZYK£AD Obrót wokó³ osi kartezjañskiego uk³adu wspó³rzêdnych: α ∂ ∂ϕ

Rz (α ) = e

iα L z = eh ,

iβL y h Ry ( β ) = e ,

iβL x h , Rx ( β ) = e

gdzie Lz, Ly, Lx s¹ kwantowo-mechanicznymi operatorami momentu pêdu. Stwierdzenie. Grupy {6a} i {Ri(α)} to grupy operatorów transformacji przestrzeni funkcyjnej H. Stwierdzenie. Je¿eli parametry elementów grupy np. / = {6a} zmieniaj¹ siê w sposób ci¹g³y, to s¹ to grupy ci¹g³e, w szczególnoœci grupy Liego. Stwierdzenie. Niech dzia³anie operatora Ax dzia³aj¹cego w przestrzeni funkcyjnej H = {f(x), g(x), ...} jest okreœlone w punkcie x, tzn. Ax f(x) = g(x) i dzia³anie operatora Ax na f(x) zale¿y od punktu x. Niech 7 ∈ / oraz 77–1 = I, gdzie I jest elementem neu-

11. Grupy operatorowe

57

tralnym grupy /, oraz 7 f(x) = f(U –1x), gdzie U –1x = y ∈ V. Poniewa¿ dzia³anie operatora 7 na Ax f(x) wyra¿a siê nastêpuj¹co: 7(Ax f(x)) = 7g(x) = g(U –1x), a jednoczeœnie AU −1 x f (U −1 x ) = g (U −1 x ) , wiêc wykorzystuj¹c zwi¹zek 77–1 = I oraz wykonuj¹c przekszta³cenia: 7(Ax f(x)) = 7Ax(7–17) f(x) = 7Ax7–1f(U –1x) = g(U –1x) otrzymuje siê nastêpuj¹c¹ relacjê AU −1 x  = 7Ax7–1. Definicja – Transformacja operatora Dla dowolnych funkcji f(x) ∈ H transformacja operatora Ax wzglêdem operatorów 7 ∈ / wyra¿a siê wzorem: AK −1 x  = 7Ax7–1. Stwierdzenie. Gdy operatory 7 s¹ unitarne, wówczaso 7–1 = 7* i AU −1 x  = 7Ax7*. Definicja – Niezmienniczoœæ operatora Je¿eli dla ka¿dego 7 ∈ / zachodzi 7Ax7–1 = Ax, to operator Ax jest niezmienniczy ze wzglêdu na grupê /. Definicja – Niezmienniczoœæ funkcji Je¿eli dla ka¿dego 7 ∈ / 7f(x) = f(x), to funkcja f(x) jest niezmiennicza ze wzglêdu na grupê /. PRZYK£AD Gdy f(r) ≡ f(r), wówczas Rk(α) f(r) = f(r) i f(r) jest niezmiennicza ze wzglêdu na grupê obrotów {Rk(α)}. Stwierdzenie. Z ka¿d¹ jednoparametrow¹ grup¹ niezmienniczoœci jest zwi¹zana zasada zachowania okreœlonej wielkoœci fizycznej, np. grupa translacji {6a} i zasada zachowania pêdu, grupa obrotów {Rk(α)} i zasada zachowania momentu pêdu. Stwierdzenie. Ka¿da grupa niezmienniczoœci dla danego równania stanu uk³adu fizycznego prowadzi do powstania prawa zachowania wielkoœci fizycznej dla tego równania. Stwierdzenie. Je¿eli operator jest niezmienniczy ze wzglêdu na grupê /, to dla ka¿dego 7 ∈ / 7Ax = Ax7 lub [7, Ax] = 0, czyli operator Ax komutuje ze wszystkimi operatorami grupy /, co stanowi tzw. kryterium niezmienniczoœci. Stwierdzenie. Gdy [7i, 7j] = 0 dla wszystkich elementów grupy /, wówczas grupa jest abelowa i ka¿dy operator 7i jest niezmienniczy ze wzglêdu na grupê /. Stwierdzenie. Poniewa¿ [7, 7] = 0, wiêc [f(7), g(7)] = 0, gdzie f, g dowolne funkcje analityczne. PRZYK£AD Operator Laplace’a ∆ = ∇2 jest niezmienniczy ze wzglêdu na grupê translacji 6a = ea∇, gdy¿ [∆, ea∇] = 0.

58

11. Grupy operatorowe

Definicja – Operator Cassimira l l Niech operatory J1, ..., Jn tworz¹ce grupê spe³niaj¹ relacjê [Jj, Jk] = C jk Jl, gdzie C jk k jest sta³¹ struktury i niech g lm = Clkj Cmj , wówczas operator J = glmJl Jm zwany operatorem Cassimira jest operatorem niezmienniczym grupy i komutuje ze wszystkimi operatorami grupy, tzn. [J, Jj] = 0. PRZYK£AD Operatory momentu pêdu spe³niaj¹ relacjê [Lj, Lk] = iεjklLl, wiêc g lm = ε ljk ε mkj = −2δ lm , a st¹d operator J = –2δlm Ll Lm = –2[ L x + L y + L z ] = –2L2, gdzie L2 – kwadrat ca³kowitego momentu pêdu odpowiada czêœci k¹towej operatora Laplace’a, zatem L2 jest operatorem Cassimira oraz [L2, Lj] = 0. 2

2

2

Stwierdzenie. Nie wszystkie operatory s¹ niezmiennicze na grupie. PRZYK£AD Niech operator Xx dzia³a w natêpuj¹cy sposób: Xx f(x) = x f(x). Transformacja operatora Xx wzglêdem operatorów grupy translacji {6a} ma postaæ: (6a Xx 6a –1) f(x) = 6aXx f (6ax) = 6a Xx f(x – a) = 6ax f(x – a)  = (x + a) f(x – a + a) = x f (x) + a f(x) = (Xx + a)f(x), a zatem 6aXx 6a – 1 = Xx + a ≠ Xx.  Definicja – Zagadnienie w³asne operatorów Je¿eli Ax f(x) = λ f(x), to f(x) jest funkcj¹ w³asn¹ operatora Ax, a λ – odpowiadaj¹c¹ jej wartoœci¹ w³asn¹. Definicja – Operator hermitowski Je¿eli Ax = Ax+, to operator Ax jest operatorem samosprzê¿onym zwanym tak¿e hermitowskim. Stwierdzenie. Je¿eli f(x) jest funkcj¹ w³asn¹ operatora Ax oraz 7Ax = Ax7, to 7f(x) jest tak¿e funkcj¹ w³asn¹ operatora Ax o tej samej wartoœci w³asnej λ. Dowód Ax f(x) = λ f(x) oraz Ax[7 f(x)] = Ax7f(x) = 7Ax f(x) = 7λ f(x) = λ[7f(x)], czyli Ax[7f(x)] = λ[7f(x)]

11. Grupy operatorowe

59

Stwierdzenie. Je¿eli λ jest w³asnoœci¹ niezdegenerowan¹, tzn. odpowiada tylko do jednej funkcji w³asnej f(x), to funkcje 7 f(x) ró¿ni¹ siê jedynie o sta³¹ multiplatywn¹, tzn. 7 f(x) = D(7)f(x), gdzie D(7) jest sta³¹ zale¿n¹ od 7 oraz f (x) ~ D(7)f(x). Stwierdzenie. Je¿eli D(7) = 1 dla wszystkich 7 ∈ /, to 7f(x) = f(x) i funkcja f(x) jest niezmiennicza ze wzglêdu na grupê /. Stwierdzenie. Je¿eli λ jest wartoœci¹ w³asn¹ µ-krotnie zdegenerowan¹ tzn. Ax fi(x) = λfi(x) dla i = 1,..., µ, gdzie {fi(x)} jest zbiorem liniowo niezale¿nych funkcji w³asnych operatora Ax odpowiadaj¹cych wartoœci w³asnej λ, to 7 fi(x) jest tak¿e funkcj¹ w³asn¹ operatora Ax odpowiadaj¹c¹ tej samej wartoœci w³asnej λ, tzn. Ax7 fi(x) =  λ7fi(x) oraz µ

7fi(x) =

∑ D ji (7) fj(x) jest kombinacj¹ liniow¹ funkcji fi(x). Gdy 7 = I, to Dij(I) = δij. j =1

Wyrazy Dij(7) s¹ elementami macierzy kwadratowych D(7) stopnia µ. Stwierdzenie. Zbiór macierzy {D(7)}, 7 ∈ /, z operacj¹ mno¿enia macierzowego tworz¹ grupê bêd¹c¹ homomorficznym odwzorowaniem grupy / w {D(7)}. Dowód Wystarczy wykazaæ, ¿e odwzorowanie zachowuje dzia³anie grupowe, niech zatem 7 1,7 2 ∈ /, wówczas µ

µ

j =1

j =1

(7172 ) f i ( x) = 71[72 f i ( x )] = 71 ∑ D ji (72 ) f j ( x ) = ∑ D ji (72 ) 71 f j ( x ) =

µ

µ

∑∑ Dkj (71) D ji (72 ) f k ( x) k =1 j =1

oraz (7172 ) f i ( x ) =

µ

∑ Dki (7172 ) f k ( x ) . k =1

Poniewa¿ funkcje fi(x) s¹ liniowo niezale¿ne, wiêc z porównania otrzymanych relaµ

cji wynika, ¿e

∑ Dkj (71 ) D ji (72 ) = Dki (7172 ) , a zatem mno¿enie powsta³ych maciej =1

rzy zachowuje dzia³anie grupowe. W ujêciu macierzowym otrzymana relacja ma postaæ: D(71)D(72) = D(7172), a st¹d D(I) = E oraz D(7–1) = D(7)–1.

60

12. REPREZENTACJE GRUP Reprezentacja grupy – definicja i przyk³ady. Reprezentacje regularne, wierne, równowa¿ne, przyk³ady, iloczyn prosty Kröneckera jako odwzorowanie zachowuj¹ce iloczyn grupowy Definicja – Reprezentacja grupy Reprezentacja grupy G lub / to homomorficzne odwzorowanie grupy G lub / w zbiór skoñczenie wymiarowych macierzy kwadratowych. Definicja – Stopieñ macierzy Wymiar macierzy kwadratowych (n×n) jest okreœlany jako stopieñ n macierzy kwadratowych lub czasami jako ich rz¹d n. Stwierdzenie. Grupa macierzy {D(U)}, U ∈ G, bêd¹ca homomorfizmem grupy G w {D(U)}, jest reprezentacj¹ grupy G. Stwierdzenie. Istnieje œcis³y zwi¹zek pomiêdzy symetriami a degeneracj¹ fizycznych zagadnieñ w³asnych. Gdy funkcje w³asne odpowiadaj¹ pewnej µ-krotnie zdegenerowanej wartoœci w³asnej λ (np. poziom energetyczny), to pod dzia³aniem operatorów grupy symetrii transformuj¹ siê miêdzy sob¹ tworz¹c w ten sposób macierze przejœcia, czyli jedn¹ z reprezentacji grupy. Stwierdzenie. Zawsze jest mo¿liwe odwzorowanie wszystkich elementów U grupy G w macierz pierwszego stopnia [1], tzn. D(U) = [1] dla wszystkich U ∈ G, lub w macierz jednostkow¹ stopnia n i wówczas

12. Reprezentacje grup

1  0  D (U ) =  .  0 0 

61

0 . 0 0  1 . 0 0  . . . .  0 . 1 0 0 . 0 1

Jednak s¹ to ma³o u¿yteczne reprezentacje, chocia¿ istniej¹ zawsze. Stwierdzenie. Gdy znana jest reprezentacja A grupy G, tj. homomorfizm U → D(U), gdzie U ∈ G, D(U) ∈ A, wówczas wyra¿enia det D(U) tak¿e tworz¹ reprezentacjê macierzy pierwszego stopnia, gdy¿ równoœæ det [D(U1)D(U2)] = det D(U1) det D(U2) zapewnia zachowanie dzia³ania grupowego. Odwzorowanie D(U) → det D(U) to homomorfizm. Stwierdzenie. Je¿eli istnieje homomorfizm G → G' oraz znana jest reprezentacja A gruhom .

hom .

py G', to odwzorowanie G → G ' → A jest homomorfizmem i A jest reprezentacj¹ grupy G. PRZYK£AD Niech H jest podgrup¹ inwariantn¹ grupy G oraz grupa ilorazowa grupy G' = G/H ma reprezentacjê A. Wówczas reprezentacja A jest tak¿e reprezentacj¹ grupy G.

Reprezentacje regularne Stwierdzenie. Je¿eli ka¿dy element grupy G = {U1, U2, ..., Ug} zostanie pomno¿ony przez jakiœ wybrany element Uv ∈ G, to ci¹g elementów {UvU1, UvU2, ..., UvUg} zawiera wszystkie elementy grupy tylko inaczej uporz¹dkowane. Definicja – Reprezentacja regularna Reprezentacja regularna to odwzorowanie elementów Uv ∈ G w zbiór macierze g×g postaci Dkl(Uv) = δikδjl, gdzie Ui = UvUj. Stwierdzenie. W ka¿dym wierszu i w ka¿dej kolumnie macierz D kl(Un) wystêpuj¹ same zera i jedna jedynka. Macierze D(Uv) s¹ nieosobliwe, det D(Uv) ≠ 0 oraz det D(Uv) = ±1, gdy¿ mog¹ byæ one otrzymane z macierzy jednostkowej przez odpowiednie przestawianie kolumn lub wierszy. Stwierdzenie. Zbiór macierzy {D(Uv)} tworzy grupê, a zatem stanowi reprezentacjê grupy G.

62

12. Reprezentacje grup

Dowód Odwzorowaniem elementu jednostkowego I ∈ G jest Dkl ( I ) = δ ik δ il = δ kl – macierz jednostkowa, gdy¿ Ui = IUi. Wszystkie pozosta³e macierze D(Uv) maja na diagonali same zera. Poniewa¿ dla Uv ≠ I warunek Ui = UvUj mo¿e byæ spe³niony jedynie, gdy i ≠ j, elementy Dkl (U v ) = δ ik δ il mog¹ zatem przyjmowaæ niezerowe wartoœci, gdy k ≠ l. Zdefiniowane odwzorowanie zachowuje dzia³anie grupowe:

∑ Dik (U v ) Dkj (Uτ ) = ∑ δ imδ knδ kr δ js = δ imδ js δ nr = δ imδ js = Dij (U rUτ ) , k

k

gdzie Dik (U v ) = δ imδ kn gdy U m = U vU n oraz Dkj (U τ ) = δ kr δ js gdy U r = U τ U s . Poniewa¿ δnr implikuje warunek n = r, wiêc U n = U τ U s , a st¹d powsta³y zwi¹zek U m = U v (U τ U s ) = (U vU τ )U s pozwala nastêpuj¹co zdefiniowaæ elementy Dij (U vUτ ) = δ imδ js , zatem D(Uν)D(Uτ) = D(UνUτ) (por. s. 59) PRZYK£AD Grupa cykliczna 4-elementowa G ={a1 = e, a2 = a, a3 = a2, a4 = a3} oraz a4 = e. Warunek ai = av ⋅ a j prowadzi do nastêpuj¹cych relacji: I. v = 1, zatem av = e ⇒ a1 = ea1, a2 = ea2, a3 = ea3, a4 = ea4 oraz

1  0 D (e) =  0  0

0 0 0  1 0 0  0 1 0  0 0 1

II. v = 2, zatem av = a ⇒ a2 = aa1, a3 = aa2, a4 = aa3, a1 = aa4 oraz

0  1 D (a) =  0  0

0 0 1  0 0 0  1 0 0  0 1 0

III. v = 3, zatem av = a2 ⇒ a3 = a2a1, a4 = a2a2, a1 = a2a3, a2 = a2a4 oraz

12. Reprezentacje grup

0  0 D(a 2 ) =  1  0

63

0 1 0  0 0 1  0 0 0  1 0 0

IV. v = 4, zatem av = a3 ⇒ a4 = a3a1, a1 = a3a2, a2 = a3a3, a3 = a3a4 oraz

0  0 3 D(a ) =  0  1

1 0 0  0 1 0  0 0 1  0 0 0

Stwierdzenie. Istniej¹ reprezentacje ró¿ne od reprezentacji jednowymiarowych. Definicja – Reprezentacje wierne Reprezentacje nazywamy wiernymi, je¿eli odwzorowanie grupy w reprezentacjê: G → {D(Uv)}, gdzie Uv ∈ G, jest izomorfizmem. Stwierdzenie. Dla reprezentacji regularnych, dla których rz¹d grupy G jest równy g, odwzorowanie grupy w zbiór macierzy (g×g) jest izomorfizmem. Stwierdzenie. Reprezentacja regularna jest reprezentacj¹ wiern¹. Stwierdzenie. Je¿eli D(Uv) jest reprezentacj¹ grupy G (Uv ∈ G) oraz S jest dowoln¹ nieosobliw¹ macierz¹ kwadratow¹ tego samego stopnia co macierze D(Uv), to macierze D'(Uv) = S–1D(Uv)S tak¿e tworz¹ reprezentacjê grupy G. Dowód Wystarczy wykazaæ, ¿e macierze D'(Uv) zachowuj¹ dzia³anie grupowe. Poniewa¿ macierze D(Uv) tworz¹ grupê, wiêc D(Uv)D(Uτ) = D(UvUτ), a to pozwala wykazaæ, ¿e D'(Uv)D'(Uτ) = S–1D(Uv)SS–1D(Uτ)S = S–1D(Uv)D(Uτ)S = S–1D(UvUτ)S = D'(UvUτ). Definicja – Reprezentacje równowa¿ne Reprezentacje {D(U)} i {D'(U)}, których elementy s¹ zwi¹zane relacj¹ D'(Uv)  = S–1D(Uv)S, przy czym det S ≠ 0, nazywaj¹ siê reprezentacjami równowa¿nymi.

64

12. Reprezentacje grup

Definicja – Iloczyn prosty Kröneckera Iloczyn prosty Kröneckera dwóch macierzy A, B to operator A ⊗ B dzia³aj¹cy w przeL strzeni L macierzy C, którego dzia³anie wyra¿a siê nastêpuj¹co ( A ⊗ B )C = ACB T ∈ L, przy czym je¿eli A jest macierz¹ (n×n), B – macierz¹ (m×m), to C – (n×m). Stwierdzenie. Iloczyn prosty Kröneckera ma nastêpuj¹ce w³asnoœci: – niech E jest macierz¹ jednostkow¹ (n×n) lub (m×m), wówczas operator E ⊗E = E jest operatorem jednostkowym, gdy¿ E ⊗ EC = ECE = C oraz C = EC = CE, – addytywnoœæ lewo- i prawostronna, tj.

( A1 + A2 ) ⊗ B = A1 ⊗ B + A2 ⊗ B oraz A ⊗ ( B1 + B2 ) = A ⊗ B1 + A ⊗ B2 – za³o¿enie dwóch operatorów iloczynu prostego jest operatorem iloczynu prostego, gdy¿

( A1 ⊗ B1 )( A2 ⊗ B2 )C = ( A1 ⊗ B2 ) A2CB2T = A1 ( A2CB2T ) B1T = ( A1 A2 )C ( B1B2 )T = ( A1 A2 ) ⊗ ( B1B2 )C zatem ( A1 ⊗ B1 )( A2 ⊗ B2 ) = ( A1 A2 ) ⊗ ( B1 B2 ) , – element odwrotny ma postaæ ( A ⊗ B ) −1 = A−1 ⊗ B −1 , gdy¿

( A ⊗ B )( A−1 ⊗ B −1 ) = ( AA−1 ) ⊗ ( BB −1 ) = E ⊗ E = E Stwierdzenie. Iloczyn prosty A ⊗ B jest reprezentowany przez macierz czterowskaŸnikow¹ postaci ( A ⊗ B ) ij ,kl ≡ Aik B jl , gdy¿

[( A ⊗ B )C ] ij =

∑ Aik Ckl BljT = ∑ Aik B jl Ckl = ∑ ( A ⊗ B)ij ,kl Ckl kl

kl

kl

Stwierdzenie. Iloczyn prosty macierzy to zestawienie dwóch niezale¿nych macierzy, tj. A ⊗ B = A B, przy czym macierze A i B nie ³¹czy ¿adna operacja, przez co tworz¹ wyra¿enie czterowskaŸnikowe. Stwierdzenie. Œlad iloczynu prostego Tr(A ⊗ B) to œlad po indeksach podwójnych, czyli

Tr ( A ⊗ B ) =

∑ ( A ⊗ B )ij ,ij = ∑∑ Aii B jj = Tr A ⋅ Tr B , ij

i

j

a zatem Tr(A ⊗ B) = Tr A ·Tr B. Stwierdzenie. Je¿eli D(U) i D'(U) s¹ dwiema reprezentacjami grupy G, to ich iloczyn prosty D(U)⊗D'(U) jest tak¿e reprezentacj¹ tej grupy.

12. Reprezentacje grup

65

Dowód Iloczyn prosty zachowuje dzia³anie grupowe

(D (U i ) ⊗ D ' (U i )) (D (U j ) ⊗ D' (U j )) = (D(U i )D (U j ) ) ⊗ (D ' (U i )D ' (U j )) = D (U iU j ) ⊗ D ' (U iU j ) Stwierdzenie. Je¿eli przynajmniej jedna z reprezentacji D(U) i D'(U) jest wierna, to nowa reprezentacja okreœlona przez iloczyn prosty D(U) ⊗D’(U) jest te¿ wierna.

66

13. WYZNACZANIE REPREZENTACJI GRUP Metody wyznaczania reprezentacji grup, przyk³ady dla grup obrotów, reprezentacje nieprzywiedlne, reprezentacja jako suma prosta reprezentacji nieprzywiedlnych, charaktery i ich w³asnoœci Stwierdzenie. W celu znalezienia reprezentacji grupy zazwyczaj wykorzystywane s¹ nastêpuj¹ce sposoby: Sposób 1 Nale¿y znaleŸæ zbiór liniowo niezale¿nych funkcji {fi(x)}, które pod dzia³aniem wszystkich elementów grupy U ∈ G transformuj¹ siê miêdzy sob¹, tzn.

Uf i ( x ) =

∑ D ji (U ) f j ( x) j

Zbiór macierzy {D(U)} tworzy wówczas reprezentacje grupy G. Sposób ten jest bardzo u¿yteczny w odniesieniu do grup nieskoñczonych, np. grupy Liego. Sposób 2 Dotyczy grup skoñczonych. Dla dowolnej funkcji f(x) zbiór funkcji {fi(x)} otrzymanych nastêpuj¹co: fi(x) = Ui f(x) jest zamkniêty na transformacje grupowe, gdy¿

U j f i ( x ) = U j U i f ( x ) = U k f ( x ) = f k ( x) gdzie UjUi = Uk. Nie wszystkie, tak otrzymane, funkcje fi(x) musz¹ byæ liniowo niezale¿ne. Stwierdzenie. Je¿eli wszystkie funkcje fi(x) s¹ liniowo niezale¿ne oraz Ui = UvUj, wówczas U v fj(x) = fi(x) oraz U v f j ( x ) =

∑ Dkj (Uν ) f k ( x) = ∑ δ ki f k ( x) = f i ( x) . Zatem k

k

Dkj (U v ) = δ kiδ jj = δ ki , gdy¿ Ui = Uν Uj , a powsta³a reprezentacja jest reprezentacj¹ regularn¹.

13. Wyznaczanie reprezentacji grup

67

Stwierdzenie. Je¿eli w zbiorze {fi(x)} nie wszystkie funkcje fi(x) s¹ liniowo niezale¿ne, to elementami otrzymanej reprezentacji s¹ macierze ni¿szego stopnia ni¿ w reprezentacji regularnej, w której stopieñ macierzy g tworz¹cych reprezentacjê jest równy rzêdowi grupy. PRZYK£AD Reprezentacja grupy obrotów. Reprezentacjê grupy obrotów Rz(α) ustala siê wed³ug pierwszego sposobu. I. Zbiór liniowo niezale¿nych funkcji wybiera siê w postaci: f1(ϕ) = cos ϕ, f2(ϕ) = sin ϕ, (dwie funkcje). Dzia³anie operatora obrotu prowadzi wówczas do relacji: Rz(α)f1(ϕ) = f1(ϕ – α) = cos(ϕ – α) = cosϕ cosα + sinϕ sinα = cosαf1(ϕ) + sin αf2(ϕ), Rz(α)f2(ϕ) = f2(ϕ – α) = sin(ϕ – α) = sinϕ cosα – cosϕ sinα = –sinα f1(ϕ) + cosα f2(ϕ), które w notacji macierzowej mo¿na zapisaæ:

 f1  Rz (α ) [ f1 , f 2 ] = D T (Rz (α ) )    f 2  z czego wynika, ¿e macierze reprezentacji operatora Rz(α) maj¹ postaæ:

cos α D (1) (Rz (α ) ) =   sin α

− sin α   cos α 

oraz ¿e otrzymana reprezentacja {D (1) ( Rz (α ))} – to grupa SO(2). Górny indeks macierzy, tu (1), numeruje ró¿ne reprezentacje. Stwierdzenie. Poniewa¿ na mocy relacji grupowych zachodzi zwi¹zek: Rz (α ) Rz ( β ) = Rz (α + β ) , wiêc D (1) (Rz (α ) )D (1) (Rz ( β ) ) = D (1) (Rz (α + β ) )

z czego wynikaj¹ poni¿sze zwi¹zki dla funkcji trygonometrycznych:

cos α   sin α

− sin α  cos β  cos α   sin β

− sin β   cos β 

cos α cos β − sin α sin β = sin α cos β + cos α sin β

− cos α sin β − sin α cos β   − sin α sin β + cos α cos β 

cos (α + β ) − sin (α + β ) ≡ .  sin (α + β ) cos(α + β ) 

68

13. Wyznaczanie reprezentacji grup

II. Zbiór liniowo niezale¿nych funkcji wybiera siê w postaci: f1 (ϕ ) = eiϕ , (tylko jedna funkcja). Dzia³anie operatora obrotu prowadzi wówczas do relacji:

Rz (α ) f1 (ϕ ) = f1 (ϕ − α ) = e i (ϕ −α ) = e − iα eiϕ = e − iα f1 (ϕ ) a zatem macierze reprezentacji D ( 2 ) (Rz (α ) ) = [e −iα ] tworz¹ grupê U(1). III. Zbiór liniowo niezale¿nych funkcji wybiera siê w postaci: f 2 (ϕ ) = e − iϕ , (tylko jedna funkcja). Dzia³anie operatora obrotu prowadzi wówczas do relacji:

Rz (α ) f 2 (ϕ ) = f 2 (ϕ − α ) = e −i (ϕ −α ) = e iα e −iϕ = e iα f 2 (ϕ ) a zatem macierze reprezentacji D ( 3) ( Rz (α )) = [e iα ] tworz¹ grupê U(1). IV. Zbiór liniowo niezale¿nych funkcji wybiera siê w postaci: f1 (ϕ ) = eiϕ , f 2 (ϕ ) = e −iϕ , (dwie funkcje). Macierze reprezentacji maj¹ wówczas postaæ: e −iα D ( 4) (Rz (α ) ) =   0

0   e iα 

i tworz¹ grupê SU(2), gdy¿ det D ( 4 ) ( R z (α )) = 1 . V. Zbiór liniowo niezale¿nych funkcji wybiera siê w postaci: f m (ϕ ) = e imϕ , (tylko jedna funkcja). Dzia³anie operatora obrotu prowadzi do relacji:

R z (α ) f m (ϕ ) = f m (ϕ − α ) = e im(ϕ −α ) = e −imα f m (ϕ ) a zatem macierze reprezentacji D ( m ) ( R z (α )) = [e −imα ] tworz¹ grupê U(1). Stwierdzenie. Poniewa¿ grupa Rz(α) jest zwarta o objêtoœci 2π i obroty o k¹ty „zerowy” i 2π s¹ równowa¿ne Rz(0) = Rz(2π), wiêc D(m)(Rz(0)) = D(m)(Rz(2π)), czyli e–i2πm = 1, z czego wynika, ¿e m musi byæ liczb¹ ca³kowit¹. Stwierdzenie. Reprezentacje D (1)(Rz(α)) i D(4)(Rz(α)) s¹ sobie równowa¿ne, gdy¿ istnie1 1 i  je transformacja podobieñstwa S =   , która przekszta³ca jedn¹ reprezentacjê 2 i 1 w drug¹.

1 1 i −   1 Macierz odwrotna S −1 =   , gdy¿ det S = 2 i 2 − i 1  2

i 2 = 1 , zatem 1 2

13. Wyznaczanie reprezentacji grup

S −1D (1) ( Rz (α )) S =

1  1 − i  cos α   2 − i 1   sin α

=

1  1 − i  cos α − i sin α   2 − i 1  sin α + i cos α

=

− iα 1  1 − i  e    2 − i 1  ie− iα

 e − iα =  0

69

− sin α  1 i    cos α  i 1

i cos α − sin α   cos α + i sin α 

ieiα  1  e − iα + e − iα =  eiα  2 − ie − iα + ie− iα

ieiα − ieiα   eiα + e iα 

0  = D ( 4) ( Rz (α )) iα e 

Stwierdzenie. Je¿eli reprezentacjê D(U) mo¿na sprowadziæ, jednoczeœnie dla wszystkich ~ U ∈ G , za pomoc¹ jakiejœ transformacji podobieñstwa S, tj. D (U ) = S −1 D (U ) S , do postaci klatkowej:

    0  0 ~ D (U ) =  0 0  0  0

 0 0 0   0 0 0 0     0     0   0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O 0 0

0  0 0  0  0 0  0  O

~ w której reprezentacja D (U ) jest sum¹ prost¹ reprezentacji o mniejszych wymiarach (tj. reprezentacji podstawowych), to w zbiorze funkcji {fi(x)} istniej¹ podzbiory funkcji, których elementy pod dzia³aniem rozpatrywanej grupy G przekszta³caj¹ siê wzajemnie na siebie. Definicja – Reprezentacje nieprzywiedlne Reprezentacje, których nie mo¿na za pomoc¹ transformacji podobieñstwa sprowadziæ do prostszych postaci klatkowych (o mniejszych klatkach) nazywaj¹ siê reprezen-

70

13. Wyznaczanie reprezentacji grup

tacjami nieprzywiedlnymi lub nieredukowalnymi. Pozosta³e reprezentacje to reprezentacje przywiedlne lub redukowalne. ~ Stwierdzenie. Reprezentacje powi¹zane ze sob¹ transformacj¹ podobieñstwa D (U ) = S −1D (U ) S , gdzie det S ≠ 0, s¹ reprezentacjami równowa¿nymi. (por. s. 63). Stwierdzenie. Reprezentacja przywiedlna jest sum¹ prost¹ reprezentacji nieprzywiedlnych

D (U ) = a (1) D (1) (U ) ⊕ a (2 ) D ( 2) (U ) ⊕ ... ⊕ a ( n ) D ( n) (U ) =

n

a (υ ) D (υ ) (U ) , ⊕ υ =1

(υ )

gdzie D (υ ) (U ) – to reprezentacje nieprzywiedlne, a a jest liczb¹ równowa¿nych reprezentacji nieprzywiedlnych danej reprezentacji, a zatem

   0   D (U ) =  0 0 0  0  0  = a (1)  

 0 0 0   0 0 0 0     0     0   0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O 0 0

  (2 ) ( 3)   ⊕ a [ ]⊕ a    

0  0 0  0  0 0  0  O    (n)  ⊕ ... ⊕ a    

  

Stwierdzenie. Wszystkie równowa¿ne reprezentacje nieprzywiedlne mo¿na jednoczeœnie sprowadziæ do tej samej postaci za pomoc¹ transformacji podobieñstwa ~ S −1D (υ ) (U ) S = D (υ ) (U ) . Dowód Je¿eli w reprezentacji przywiedlnej D(U) istniej¹ dwie równowa¿ne reprezentacje ~ (υ ) {D (υ ) (U )} i {D (U )}

13. Wyznaczanie reprezentacji grup

   0  0  0 D (U ) =  0  0  0  0 0 

0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0  0 0   0 0   0 0

0 0 0 0 0 0

   0   0   0  0

0 0 0

0 0

0 0 0 0 0 0

0

0 0 0

0

0 0 0

~ D (υ ) (U )

O 0 0   0 0   0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 D (υ ) (U )

71

                 

to wykorzystuj¹c macierz postaci

1   0  0  ~ 0 S = 0  0  0  0 0 

 0  1 0 0   0   0  0 0

0 0

0 0

0 0

0 0  0 0   0 0   0 0

S 0 0

O

0 0

0 0 0 0 0 0

0 0

0

0 0 0

0 0

0

0 0 0

0 0

0 0 0  0 0 0 0 0 0  0 0 0  0 0 0 0 0 0  0 0 0    1     1    1  

i transformacjê podobieñstwa, gdzie S jest macierz¹ spe³niaj¹c¹ relacjê S −1D (υ ) (U ) S ~ = D (υ ) (U ) , mo¿na równowa¿ne nieprzywiedlne reprezentacje sprowadziæ do jednolitej postaci. Definicja – Charaktery Œlad macierzy reprezentacji TrD(U) jest oznaczany χ(U) i nazywany charakterem elementu U ∈ G w danej reprezentacji.

72

13. Wyznaczanie reprezentacji grup

Stwierdzenie. Charakter elementu U jest taki sam we wszystkich równowa¿nych reprezentacjach. Dowód

~ Poniewa¿ D (U ) = S −1 D (U )S oraz χ (U ) = TrD (U ) , wiêc ~ χ~ (U ) = TrD (U ) = Tr[ S −1D (U ) S ] = Tr[ SS −1D (U )] = TrD (U ) = χ (U )

gdy¿ wyra¿enia wystêpuj¹ce pod znakiem œladu wolno przestawiaæ cyklicznie. Definicja – Charaktery reprezentacji nieprzywiedlnych Œlad elementu U w v-tej reprezentacji nieprzywiedlnej oznacza siê:

χ (v ) (U ) i χ (v ) (U ) = TrD ( v ) (U ) Stwierdzenie. Wszystkie elementy grupy nale¿¹ce do jednej klasy maj¹ ten sam charakter. Dowód Niech elementy grupy Uv, Uµ ∈ Ci, wtedy istnieje Uρ ∈ G takie, ¿e Uρ UνUρ–1 = Uµ. Poniewa¿ macierze reprezentacji spe³niaj¹ relacje grupowe, wiêc

D(U µ ) = D(U ρU vU ρ−1 ) = D(U ρ ) D(U v ) D(U ρ−1 ) = D (U ρ )D (U v ) D (U ρ )−1 a zatem

χ (U µ ) = TrD(U ρU vU ρ−1 ) = Tr[ D (U ρ ) D (U v ) D (U ρ ) −1 ] = Tr[ D (U ρ ) −1 D (U ρ ) D (U v )] = TrD (U v ) = χ (U v ) Stwierdzenie. Charaktery to funkcje ca³ych klas, a nie poszczególnych elementów grupy. (v ) Definicja – Charakter χ i (v ) Symbol χ i oznacza charakter i-tej klasy w v-tej reprezentacji nieprzywiedlnej. (v ) Stwierdzenie. Je¿eli grupa ma k klas, to wyznaczenie charakterów χ i dla i = 1, ....., k w v-tej reprezentacji nieprzywiedlnej dostarcza istotnych informacji o reprezentacji.

73

14. REPREZENTACJE UNITARNE Równowa¿noœæ reprezentacji, lematy Schura, reprezentacje grup abelowych, w³asnoœci reprezentacji wynikaj¹ce z lematów Schura Definicja – Macierze unitarne Macierze A ∈ {Mn(C)} takie, ¿e dla dowolnych x, y ∈ V jest spe³niona równoœæ (x, y) = (Ax, Ay), gdzie ( , ) oznacza iloczyn skalarny, nazywaj¹ siê macierzami unitarnymi. Stwierdzenie. Macierze unitarne A spe³niaj¹ relacje: AA+ =A+A = E ⇒ A+ = A–1 oraz tworz¹ grupê unitarn¹ U(n). Definicja – Reprezentacje unitarne Reprezentacje unitarne to reprezantacje utworzone z macierzy unitarnych. TWIERDZENIE. Ka¿da reprezentacja grupy skoñczonej jest równowa¿na reprezentacji unitarnej. Oznacza to, ¿e dla ka¿dej reprezentacji {D(U)} istnieje nieosobliwa macierz S taka, ¿e dla ka¿dego U ∈ G i dla ka¿dej pary x, y ∈ V spe³niona jest równoœæ:

~ ~ ~ ( D (U ) x, D (U ) y ) = ( x, y ) gdzie: D (U ) = S −1D (U ) S Dowód Dowód przeprowadzany jest w kilku etapach. W pierwszym etapie pokazuje siê, ¿e ka¿da reprezentacja jest unitarna wzglêdem pewnego szczególnego iloczynu skalarnego, nazwanym iloczynem wewnêtrznym. Definicja iloczynu wewnêtrznego: Iloczyn postaci { x, y} = go, gdy¿

∑ (D(U ) x, D(U ) y ) spe³nia aksjomaty iloczynu skalarne-

U ∈G

74

14. Reprezentacje unitarne

{ x , y} ∈ C , {x, y} = {y, x}*

oraz {x, α y + β z) = α{x, y} + β{x, z} i {α x + β y, z) = α*{x, z} + β*{y, z} gdzie (x, y) = 

n

∑ xi* yi .  i =1

Dowolna macierz spe³nia relacjê {D(U’)x, D(U’)y} = {x, y}, gdy¿

{D (U ′) x , D (U ′) y} =

∑ (D(U )D (U ′) x, D(U ) D(U ′) y ) = ∑ (D(UU ′) x, D(UU ′) y )

U ∈G

=

U ∈G

∑ (D(U ′′) x, D(U ′′) y ) = {x, y}

U ′′∈G

gdzie zosta³o uwzglêdnione, ¿e U" = UU' ∈ G. Stwierdzenie. Dowolna reprezentacja {D(U)} wype³nia warunek unitarnoœci wzglêdem pewnego szczególnego iloczynu wewnêtrznego. Nale¿y zatem znaleŸæ transformacjê podobieñstwa S, która pozwoli uczyniæ {D(U)} reprezentacj¹ unitarn¹ wzglêdem iloczynu skalarnego. W drugim etapie okreœla siê transformacjê podobieñstwa S. Niech wektory {ξi} stanowi¹ zupe³n¹, ortogonaln¹ i unormowan¹ bazê w V wzglêdem iloczynu skalarnego, zatem (ξi, ξj) = δij, a wektory {ηi} stanowi¹ zupe³n¹, ortogonaln¹ i unormowan¹ bazê w V wzglêdem zdefiniowanego iloczynu wewnêtrznego, zatem {ηi, ηj} = δij. Operator S okreœlony w V, który transformuje wektory ξi w wektory ηi, tj. ξi = Sηi, spe³nia w³asnoœci: ( x , y ) = {Sx , Sy} lub ( S −1 x , S −1 y ) = { x , y}

gdzie n

x=

∑ j 1 =

a jξ j , y =

n

∑ j 1 =

b j ξ j , wiêc ( x, y ) =

n

∑ a*j b j , j =1

gdy¿

{Sx, Sy} =

n

n

n

n

i , j =1

i , j =1

i , j =1

j =1

∑ {Saiξ i , Sb jξ j }= ∑ ai*b j {Sξ i , Sξ j }= ∑ ai*b j {ηi ,η j }= ∑ a*jb j = (x, y)

~ W trzecim etapie wykazuje siê, ¿e D (U ) = S −1D (U ) S jest reprezentacj¹ unitarn¹, ~ ~ czyli ¿e dla dowolnego U ∈ G jest spe³niona równoœæ: ( D (U ) x, D (U ) y ) = ( x, y ) .

14. Reprezentacje unitarne

75

Z powy¿ej otrzymanych relacji wynika, ¿e

~ ~ ( D (U ) x , D (U ) y ) = ( S −1D (U ) Sx , S −1D (U ) Sy ) = {D (U ) Sx , D (U ) Sy} a poniewa¿ {D(U)} jest reprezentacj¹ unitarn¹ wzglêdem iloczynu wewnêtrznego { , }, wiêc

{D (U ) Sx, D (U ) Sy} = {Sx , Sy} = ( x , y ) , ~ ~ ~ zatem ( D (U ) x, D (U ) y ) = ( x, y ) i {D (U )} jest reprezentacj¹ unitarn¹. Stwierdzenie. Dowoln¹ reprezentacjê grupy skoñczonej zawsze mo¿na przetransformowaæ w reprezentacjê unitarn¹, ale na ogó³ jest to tak¿e mo¿liwe dla wielu nieskoñczonych i ci¹g³ych grup np. grup Liego. LEMAT. Je¿eli macierz M komutuje z macierz¹ unitarn¹ A, MA = AM, to macierze M+ i M– zdefiniowane nastêpuj¹co: M+ = 1 (M + M+) oraz M– = 1 (M – M+) tak¿e komutuj¹ z A, przy czym M+ i M– s¹ 2 2i macierzami samosprzê¿onymi. Dowód

AM = MA ⇒ M + A + = A + M + oraz AA + = A + A = E zatem

AM + A + = AA + M + = M + ⇒ M + A = AM + A + A = AM + czyli

M + A = AM + Poniewa¿

AM + AM + = MA + M + A , wiêc AM + = M + A oraz AM − AM + = MA − M + A , wiêc AM − = M − A Macierze M+ i M– s¹ samosprzê¿one, gdy¿ +

1 1 1  M ++ =  ( M + M + ) = ( M + + M ) = ( M + M + ) = M + 2 2 2 

76

14. Reprezentacje unitarne

oraz +

1 1 1  M −+ =  ( M − M + ) = − ( M + − M ) = ( M − M + ) = M − 2i 2i  2i  LEMAT SCHURA I. Je¿eli D(U) jest elementem nieprzywiedlnej reprezentacji grupy G (U ∈ G) i je¿eli D(U)M = MD(U) dla wszystkich U ∈ G, to M musi byæ postaci: M = cE, gdzie E jest macierz¹ jednostkow¹, a c pewn¹ sta³¹. Dowód Zak³ada siê, ¿e reprezentacja {D(U)} jest unitarna, wiêc D(U) s¹ macierzami unitarnymi. Poniewa¿ D (U ) M = MD (U ) ⇒ D (U ) M ± = M ± D (U ) oraz M = M + + iM − , gdzie macierze M+ i M– s¹ macierzami hermitowskimi. Dlatego rozwa¿ania mo¿na przeprowadziæ w odniesieniu do macierzy M+ i M–. Niech λn, n = 1, 2,..., k, s¹ ró¿nymi wartoœciami w³asnymi oraz xn(i), i = 1, 2,..., mn ró¿nymi, odpowiadaj¹cymi wartoœci w³asnej λn wektorami w³asnymi operatora (macierzy) M+, które spe³niaj¹ relacjê k

M+xn(i) = λn xn(i). Wektory xn(i) rozpinaj¹ N wymiarow¹ przestrzeñ, wiêc

∑m

n

=N.

n =1

Stwierdzenie. Wszystkie wartoœci w³asne λn macierzy hermitowskiej s¹ rzeczywiste a wektory w³asne xn(i) s¹ ortonormalne tj. (xn(i), xk(j)) = δnk δ ij, gdy¿ dla ró¿nych wartoœci λn, xn(i) musz¹ byæ ortogonalne, a dla tej samej wartoœci λn mog¹ zostaæ wybrane jako ortogonalne i w obu przypadkach mo¿na je unormowaæ. Wektor D(U)xn(i) jest wektorem w³asnym macierzy M+, gdy¿

M + [ D (U ) xn(i ) ] = D (U ) M + xn(i ) = D (U )λn xn(i ) = λn [ D (U ) xn(i ) ] zatem

D (U ) x n( i ) =

mn

∑ d ij(n) (U ) x n( j ) j =1

gdzie i = 1, 2,..., mn dla wszystkich U ∈ G. n Elementy d ij( ) (U ) macierzy D(U) w reprezentacji wektorów w³asnych xn(i) okreœla relacja

( x k( j ) , D (U ) x n(i ) )

=

mn

∑ l =1

d il(n ) (U )( x k( j ) , x n(l ) )

=

mn

∑ d il(n) (U )δ knδ jl = d ij( n) (U )δ kn l =1

a zatem elementy macierzy D(U), dla których k ≠ n s¹ zawsze równe zero i macierz D(U) w bazie xn(i) ma dla wszystkich U ∈ G postaæ:

14. Reprezentacje unitarne

    D (U ) =     

dij(1) (U )

0

0

( N − m1 ) × ( N − m1 )

(m1 × m1 )

77

        

w której elementy ró¿ne od zera s¹ zawarte w blokach roz³o¿onych wzd³u¿ diagonali. Dla n = 1 elementy d ij(1) (U ) tworz¹ macierz (m1×m1) itd. Poniewa¿ z za³o¿enia reprezentacja jest nieprzywiedlna, wiêc sprzecznoœæ, gdy¿ {D(U)} ma strukturê blokow¹ w³aœciw¹ dla reprezentacji przywiedlnych. Jedyn¹ mo¿liwoœci¹ unikniêcia sprzecznoœci jest przyjêcie, ¿e m1 = N, ale wówczas λ1 staje siê N-krotnie zdegenerowane. Stwierdzenie. Macierz hermitowska w bazie ortonormalnych wektorów w³asnych ma postaæ

λ1 0 . . . 0 0    0 λ1 . . . 0 0    . . . . . . .  M+ =   . . . . . . .  0 0 . . . λ n 0  0 0 . . . 0 λ  n  gdzie niezerowe wartoœci równe odpowiednio λn, n = 1, 2,..., k wystêpuj¹ wy³¹cznie na diagonali. Gdy zatem λn = λ1 dla n = 1, 2,..., k, macierz M+ przyjmuje postaæ

λ1 0 . . . 0 0    0 λ1 . . . 0 0    . . . . . . .  M+ =   = λ1 E . . . . . . .  0 0 . . . λ 0  1   0 0 . . . 0 λ  1  i analogicznie macierz M– = κ1E, a st¹d M = (λ1 + κ1)E = cE.

78

14. Reprezentacje unitarne

Stwierdzenie. Je¿eli macierz M, która nie jest macierz¹ jednostkow¹, komutuje ze wszystkimi elementami reprezentacji {D(U)}, tj. MD(U) = D(U)M dla wszystkich U ∈ G, to reprezentacja ta jest przewidywalna. Stwierdzenie: Grupa abelowa ma tylko jednowymiarowe reprezentacje nieprzewidywalne. Dowód Poniewa¿ wszystkie elementy grupy abelowej komutuj¹ ze sob¹, wiêc [D(U), D(U')] = 0 dla wszystkich U' ∈ G. Macierz D(U) komutuje zatem ze wszystkimi elementami nieprzywiedlnej reprezentacji {D(U')}, czyli D(U) = cE. Ale ¿eby reprezentacja macierzy jednostkowych by³a nieprzywiedlna musi byæ jednowymiarowa. LEMAT SCHURA II. Niech {D(U)} i {D’(U)} bêd¹ dwiema nieprzewidywalnymi reprezentacjami grupy G. Je¿eli dla wszystkich U ∈ G jest spe³niona relacja D(U)M = MD '(U), to D(U) i D '(U) s¹ reprezentacjami równowa¿nymi albo M = 0. Dowód Macierz D(U) i D'(U) s¹ unitarne i mog¹ mieæ ró¿ne wymiary i niech D(U) – macierz n×n, D'(U) – macierz m×m, wówczas M jest macierz¹ n×m. Poniewa¿ dla wszystkich U ∈ G D(U)M = MD'(U), wiêc M+D+(U) = D'+(U)M+. Ale D+(U) = D(U)–1 = D(U–1) dla dowolnego U ∈ G, a zatem tak¿e dla U' = U–1 ∈ G. Dlatego

M + D + (U ) = D ′+ (U ) M + ⇒ M + D (U −1 ) = D′(U −1 ) M + ⇒ M + D (U ) = D ′(U ) M + a st¹d MM + D (U ) = MD ′(U ) M + . Podobnie z warunku D(U)M = MD'(U) wynika, ¿e D(U)MM+ = MD'(U)M+, a zatem MM + D (U ) = D (U ) MM + dla wszystkich U ∈ G. Otrzymana relacja na podstawie pierwszego lematu Schura prowadzi do wniosków, ¿e MM+ = cE, gdzie MM+ jest macierz¹ kwadratow¹ n×n oraz M+M = c'E, gdzie M+M jest macierz¹ kwadratow¹ m×m. W dowodzie lematu rozpatruje siê trzy przypadki. I. Niech n = m, wówczas M jest macierz¹ kwadratow¹. Je¿eli c = 0, to MM+ = 0, co oznacza, ¿e wszystkie wyrazy macierzy MM+ s¹ równe 0, a wiêc tak¿e (MM+)ii = 0. St¹d wynika, ¿e

( MM + ) ii =

n

∑ j =1

M ij M +ji =

n

∑ j =1

M ij M ij* =

n

∑ M ij

2

=0

j =1

czyli ka¿dy wyraz Mij  = 0, a zatem macierz M = 0. Je¿eli c ≠ 0, to det( MM + ) 2 = det M ⋅ det M + = det M = c n ≠ 0 , a wiêc det M ≠ 0 i istnieje macierz odwrotna M–1, a st¹d D(U) = MD'(U)M–1 dla wszystkich U ∈ G, czyli reprezentacje {D(U)} i {D’(U)} s¹ równowa¿ne.

14. Reprezentacje unitarne

79

II. Je¿eli n > m, to macierz M (n×m) nale¿y uzupe³niæ do macierzy kwadratowej n×n dopisuj¹c n – m kolumn zer. Wówczas macierz N i N+ (n×n) maj¹ postaæ:

     N =     

     N+ =  0 0 0 . . .  0 0 0 

0 ... 0  0 ... 0  0 ... 0 , 0 ... 0  0 ... 0  0 ... 0

M

   M+     0 0 0  . . .   0 0 0 

£atwo mo¿na zauwa¿yæ, ¿e NN+ = MM+, a skoro MM+ = cE, wiêc NN+ = cE. Podobnie jak poprzednio det( NN + ) = det N ⋅ det N + = det N 2 = c n , ale teraz det N = 0, gdy¿ macierz N ma co najmniej jedn¹ kolumnê zer, zatem c = 0, a st¹d wynika, ¿e N = 0, a wiêc i M = 0. III. Je¿eli m > n, to macierz M (n×m) nale¿y uzupe³niæ do macierzy kwadratowej m×m dopisuj¹c m – n wierszy zer i dalej postêpowaæ jak w przypadku II. Stwierdzenie. Lematy Schura obowi¹zuj¹ dla dowolnych skoñczenie wymiarowych reprezentacji unitarnych. S¹ one zatem tak¿e s³uszne dla grup nieskoñczonych (np. Liego) posiadaj¹cych skoñczenie wymiarowe reprezentacje. Stwierdzenie. Macierz postaci M i(ν ) =

∑ D (ν ) (U ) , gdzie Ci oznacza i-t¹ klasê, a v nu-

U ∈Ci

meruje reprezentacje nieprzywiedlne {D (v)(U)}, jest wielokrotnoœci¹ macierzy jednostkowej. Dowód Nale¿y zauwa¿yæ, ¿e

[

D (ν ) (U ' ) M i(ν ) D (ν ) (U ' )

]

−1

=

∑ D (ν ) (U ' )D (ν ) (U )D (ν ) (U ' −1 ) = ∑ D (ν ) (U 'UU ' −1 )

U ∈Ci

U ∈Ci

ale U ∈ Ci, wiêc U" = U'UU'–1 ∈ Ci i sumowanie po U ∈ Ci mo¿na zast¹piæ sumowaniem po U" ∈ Ci. Zatem

[

D (ν ) (U ' ) M i(ν ) D (ν ) (U ' )

]

−1

=

∑ D (ν ) (U ") = M i(ν )

U "∈Ci

80

14. Reprezentacje unitarne

dla wszystkich U' ∈ G, a st¹d na mocy pierwszego lematu Schura M i(ν ) = c i(ν ) E . Gdy wymiar reprezentacji o indeksie v wynosi nv, wówczas Tr M i(ν ) = c (iν ) nν . Ale

Tr M i(ν ) =

∑ Tr D (ν ) (U ) = ∑ χ (ν ) (U ) = g i χ i(ν )

U ∈Ci

U ∈Ci

gdy¿ œlady wszystkich macierzy reprezentuj¹cych elementy jednej klasy s¹ sobie równe, st¹d

c i(ν ) =

g i (ν ) χ i oraz nν

∑ D (ν ) (U ) = g i χ i(ν ) E nν

U ∈Ci

Stwierdzenie. Macierz postaci M =

∑ D (ν ) (U )X [D ( µ ) (U )]

−1

, gdzie D(v)(U) i D(µ)(U)

U ∈G

s¹ macierzami nieprzywiedlnych reprezentacji o wymiarach odpowiednio nv i nµ, a X jest dowoln¹ macierz¹ nv×nµ, jest proporcjonalna do macierzy jednostkowej. Dowód Nale¿y zauwa¿yæ, ¿e dla wszystkich U' ∈ G spe³niona jest relacja

[

D (ν ) (U ' ) M D ( µ ) (U ' ) =

∑D

U ∈G

(ν )

(U ′U ) XD

] = ∑ D (U ′)D ((U ′U ) )= ∑ D −1

(ν )

(ν )

(U ) X D ( µ ) (U −1 ) D ( µ ) (U ′−1 )

(ν )

(U ′′) XD ( µ ) (U ′′−1 ) = M ,

U ∈G

(µ )

−1

U ′′∈G

gdzie U" =U'U ∈ G, z której wynika, ¿e D (ν ) (U ) M = MD ( µ ) (U ) . Na mocy zatem obu lematów Schura M = c( X ) Eδνµ i M = 0, gdy v ≠ µ, oraz M = c(X)E, gdy v = µ, czyli

∑ D (ν ) (U )X [D ( µ ) (U )]

−1

U ∈G

= c( X ) Eδ νµ .

81

15. RELACJE ORTOGONALNOŒCI Relacje ortogonalnoœci dla elementów macierzowych i charakterów dowolnych reprezentacji oraz reprezentacji regularnych i otrzymywane warunki Stwierdzenie. Elementy macierzy Dij(ν ) (U ), Dlk( µ ) (U ) dwóch nieprzywiedlnych reprezentacji unitarnych {D(v)(U)} i {D(µ)(U)} spe³niaj¹ zwi¹zek ortogonalnoœci ze wzglêdu na posiadane trzy wskaŸniki v, i, j oraz µ, l, k. Dowód Macierze unitarne D(v)(U) i D (µ)(U) oraz dowolna macierz X spe³niaj¹ zwi¹zek:

∑ D (ν ) (U )XD ( µ ) (U ) + = c( X ) Eδ νµ

U ∈G

gdy¿ D(v)(U)–1 = D(v)(U)+, który rozpisany po elementach macierzowych wyra¿a siê nastêpuj¹co:

∑ Dii(ν' ) (U )X i'l ' [D ( µ ) (U ) + ]l 'l = c( X )δ il δ νµ

U ∈G

Poniewa¿ [ D ( µ ) (U ) + ]l 'l jest elementem macierzy sprzê¿onej po hermitowsku, wiêc [ D ( µ ) (U ) + ]l 'l = Dl('µl )∗ (U ) . Niech X jest tak¹ macierz¹, która ma tylko jeden element ró¿ny od zera Xjk = 1, zatem X i 'l ' = δ i ' j δ l 'k . Wówczas po przyjêciu, ¿e c(X) = cjk, rozwa¿any zwi¹zek uzyskuje postaæ:

∑ Dlk( µ )∗ (U ) Dij(ν ) (U ) = c jk δ il δ νµ

U ∈G

Aby wyznaczyæ wspó³czynnik cjk, stosuje siê nastêpuj¹c¹ procedurê. Niech µ = v oraz l = i, wówczas po zsumowaniu po i otrzymuje siê nν

∑∑

U ∈G i =1

Dik(ν )∗ (U )Dij(ν ) (U ) = c jk

nν

∑ δ ii = c jk nν i =1

82

15. Relacje ortogonalnoœci

Ale D(v)(U) jest macierz¹ unitarn¹, wiêc nν

∑ Dik(ν )∗ (U )Dij(ν ) (U ) = δ kj i =1

a st¹d

c jk nν =

∑ δ kj = gδ kj , czyli

U ∈G

c jk =

g δ kj nν

ν µ gdzie g jest rzêdem grupy G. Elementy macierzy Dij( ) (U ), Dlk( ) (U ) nieprzywiedlnych reprezentacji unitarnych spe³niaj¹ zatem nastêpuj¹cy zwi¹zek ortogonalnoœci:

g

∑ Dlk( µ )∗ (U ) Dij(ν ) (U ) = nν δ liδ kj δ µν

U ∈G

który jest zgodny z posiadanymi wskaŸnikami. Stwierdzenie. Macierz D (v)(U) o wymiarze nv ma nν2 elementów Dij(v)(U). Mo¿na wiêc utworzyæ co najwy¿ej n12 + n22 + ... + n N2 ortogonalnych wektorów w g-wymiarowej przestrzeni, gdzie N jest liczb¹ nierównowa¿nych reprezentacji nieprzywiedlnych, zatem N

∑ nν2 ≤ g

ν =1

Stwierdzenie. Grupa skoñczonego rzêdu g mo¿e mieæ tylko skoñczon¹ liczbê nierównowa¿nych reprezentacji nieprzywiedlnych N ≤ g , przy czym wymiar ka¿dej z nich musi spe³niaæ warunki 1 ≤ nν ≤ g . Stwierdzenie. Poniewa¿ w grupach abelowych wszystkie reprezentacje nieprzywiedlne s¹ jednowymiarowe, wiêc rzy osobn¹ klasê.

N

∑

ν =1

nν2 =

N

∑ 1= N ≤ g

oraz k = g, gdy¿ ka¿dy element two-

ν =1

Stwierdzenie. Charaktery χ i(ν ) i χ i( µ ) , gdzie i = 1, 2,..., k dwóch nieprzywiedlnych reprezentacji unitarnych {D (v)} i {D(µ)(U)} spe³niaj¹ zwi¹zek ortogonalnoœci ze wzglêdu na równowa¿noœæ reprezentacji. Dowód Elementy macierzy Dij(ν ) (U ), Dlk( µ ) (U ) spe³niaj¹ nastêpuj¹cy zwi¹zek ortogonalnoœci:

15. Relacje ortogonalnoœci

83

g

∑ Dlk( µ )∗ (U ) Dij(ν ) (U ) = nν δ liδ kj δ µν

U ∈G

K³ad¹c k = l i sumuj¹c po l, otrzymuje siê nµ

∑∑

U ∈G l =1

Dll( µ )∗ (U )Dij(ν ) (U )

g = δ µν nν

nµ

g

∑ δ liδ lj = nν δ µν δ ij l =1

ale nµ

∑ Dll( µ )∗ (U ) = Tr D ( µ )∗ (U ) = χ ( µ )∗ (U ) l =1

wiêc

g

∑ χ ( µ )∗ (U ) Dij(ν ) (U ) = nµ δ µν δ ij

U ∈G

Z kolei k³ad¹c i = j i sumuj¹c po i otrzymuje siê nν

∑ χ ( µ )∗ (U )∑ Dii(ν ) (U ) =

U ∈G

i =1

∑ χ ( µ )∗ (U ) χ (ν ) (U ) = gδ µν

U ∈G

gdy¿ prawa strona jest ró¿na od zera, jedynie gdy µ = v, a wtedy nµ = nv. Poniewa¿ wszystkie elementy nale¿¹ce do tej samej klasy Ci maj¹ równe charaktery, otrzymana równoœæ redukuje siê do postaci k

∑ g i χ i( µ )∗ χ i(ν ) = gδ µν i =1

gdzie k jest liczb¹ klas Ci w grupie G, gi – liczb¹ elementów w klasie Ci, a N – liczb¹ nierównowa¿nych, nieprzywiedlnych reprezentacji grupy G. Istnieje zatem N ortogo g1 (ν ) g 2 (ν ) g k (ν )  , , ..., χ χ χ   1 nalnych k-wymiarowych wektorów g 2 g k  , a poniewa¿ ich  g liczba nie mo¿e przewy¿szaæ wymiaru przestrzeni, wiêc N ≤ k ≤ g . Stwierdzenie. W przypadku nieskoñczonych grup ci¹g³ych, np. Liego, sumowanie po elementach grupy nale¿y zast¹piæ ca³kowaniem po parametrach grupy. Dla grup zwartych podane relacje i w³asnoœci zachowuj¹ wa¿noœæ, a przedstawione dowody mog¹ byæ ³atwo rozszerzone.

84

15. Relacje ortogonalnoœci

PRZYK£AD Grupa obrotów w p³aszczyŸnie XY o k¹t α, 0 ≤ α < 2π, – {Rz(α)}. Grupa ta jest abelowa, a jej jednowymiarowe reprezentacje tworz¹ grupê U(1) i s¹ postaci D (m ) ( R z (α )) = [e imα ] , gdzie m s¹ liczbami ca³kowitymi. Poniewa¿ macierze reprezentacji s¹ jednowymiarowe, wiêc maj¹ wy³¹cznie jeden element (m) D11 ( R z (α )) ≡ D ( m ) ( R z (α )) = e imα

Sumowanie po elementach grupy U ∈ G zostaje zast¹pione ca³kowaniem po para2π

rz¹d grupy G równy ∑ 1 = g odpowiada objêto∑ ⋅ → ∫ dα ⋅ ,2wówczas U ∈G π U ∈G 0 œci grupy {Rz(α )} równej ∫ dα 1 = 2π < ∞ , gdy¿ grupa jest zwarta. Ponadto zwi¹zek metrze α:

0

ortogonalnoœci

g

∑ Dlk( µ )∗ (U ) Dij(ν ) (U ) = nν δ liδ kj δ µν

U ∈G

po uwzglêdnieniu, ¿e g → 2π, nv = 1 oraz l = k = i = j = 1, przyjmuje postaæ 2π

∫ dα D

( m )∗

( R z (α ))D ( n) ( R z (α )) =

0

2π δ mn 1

W celu sprawdzenia s³usznoœci otrzymanej relacji nale¿y uwzglêdniæ jawn¹ postaæ elementów

D ( m ) (Rz (α ) ) = e imα wówczas 2π

∫

dα e

− imα inα

e

0

2π

=

∫

dα e i ( n − m )α =

0

2π  1 0 gdy n ≠ m  ei ( n − m )α =  = 2 πδ mn i( n − m) 2 π gdy n = m  0

Stwierdzenie. Charaktery grupy {Rz(α)} maj¹ postaæ χ α( m ) = Tr D ( m ) ( R z (α )) = e imα i s¹ równe macierzom reprezentacji nieprzywiedlnej, tj. jedynemu elementowi macierzowemu macierzy jednowymiarowych. Dlatego relacja ortogonalnoœci dla charakterów jest równowa¿na relacji otrzymanej dla macierzy i ma postaæ 2π

∫ dα χα( 0

m) ∗

χα( n ) = 2 πδ mn

15. Relacje ortogonalnoœci

85

Stwierdzenie. Proste rozszerzenia teorii grup skoñczonych nie zawsze s¹ mo¿liwe w przypadku grup nieskoñczonych, np. grupy Lorentza. (µ ) Stwierdzenie. Znajomoœæ charakterów reprezentacji ( χ i  i χ i ) umo¿liwia okreœlenie krotnoœci a(µ) dla µ = 1, 2,..., N równowa¿nych reprezentacji nieprzywiedlnych.

Dowód Niech D (U ) = a (1) D (1) (U )⊕ a ( 2) D ( 2 ) (U ) ⊕ K ⊕ a ( N ) D ( N ) (U ) , gdzie U ∈ G, a(v) jest krotnoœci¹ równowa¿nych reprezentacji nieprzywiedlnych, a D (v)(U) jest elementem v-tej reprezentacji nieprzywiedlnej grupy G, wówczas charakter wszystkich elementów U danej klasy Ci jest równy

χi = a

(1)

χ i(1)

+a

( 2)

χ i(2 )

+K+ a

(N )

χ i( N )

N

=

∑ a(v) χi(v) v =1

Po wymno¿eniu obu stron powy¿szej równoœci przez g i χ i( µ )∗ , gdzie gi jest liczb¹ elementów w klasie Ci, i zsumowaniu po i otrzymuje siê wyra¿enie k

∑ i =1

gi χ i( µ )∗ χ i =

N

k

∑∑ a(v) gi χ i( µ )∗ χi(v)

ν =1 i =1

k

które po zastosowaniu relacji ortogonalnoœci postaci k

∑ i =1

g i χ i( µ )∗ χ i

∑ gi χ i( v) χ i( µ )∗ = gδ µv i =1

redukuje siê do

N

=

∑ a(v) gδ µν = ga ( µ ) v =1

a st¹d

a(µ ) =

1 g

k

∑ gi χi( µ )∗χ i i =1

Stwierdzenie. Je¿eli dwie reprezentacje danej grupy maj¹ te same charaktery, to musz¹ byæ one równowa¿ne, gdy¿ s¹ scharakteryzowane tymi samymi a(µ). Stwierdzenie. W reprezentacji regularnej krotnoœæ wystêpowania równowa¿nych reprezentacji nieprzywiedlnych jest równa wymiarowi tych reprezentacji, tj. a(µ) = nµ. Dowód Niech Ui ∈ G i rz¹d grupy G wynosi g. Wówczas wymiar reprezentacji regularnej wynosi tak¿e g, a elementami reprezentacji s¹ macierze g×g. Elementy macierzy repre-

86

15. Relacje ortogonalnoœci

zentacji regularnej s¹ okreœlone nastêpuj¹co D kl (U v ) = δ ik δ jl , gdzie U i = U vU j . Element jednostkowy I grupy G tworzy jednoelementow¹ klasê C1 = {I}. Poniewa¿ Ui = IUi, wiêc Dkl(I) = δkl, a zatem macierz reprezentacji odpowiadaj¹ca elementowi jednostkowemu I jest macierz¹ jednostkow¹ E, podczas gdy pozosta³e macierze – elementy reprezentacji regularnej odpowiadaj¹ce innym elementom grupy G – maj¹ na diagonali same zera. Dla reprezentacji regularnych zatem χ 1 = TrD (ε ) = g oraz χ i = 0 , gdy i ≠ 1. Poniewa¿ macierz jednostkowa w wyniku transformacji podobieñstwa przechodzi zawsze w macierz jednostkow¹, wiêc charaktery reprezentacji nieprzywiedlnych otrzy(µ ) mane dla klasy C1 = {I} s¹ równe wymiarowi tych reprezentacji, tj. χ 1 = n µ . Zatem z relacji χ i =

N

∑a

(v )

v =1

χ i(v )

wynika, ¿e g =

prezentacji nieprzywiedlnej, a z relacji

a(µ ) =

1 g

N

∑ a (v) nv , gdzie nv jest wymiarem v-tej rev =1

k

∑ gi χi( µ )∗χ i i =1

(µ ) po uwzglêdnieniu, ¿e χ 1 = g , χ i = 0 dla i ≠ 1 oraz χ 1 = nµ otrzymuje siê

a(µ ) =

1 ⋅1 ⋅ gnµ g

a st¹d a ( µ ) = nµ , co prowadzi do wyra¿enia g =

N

∑ nv2 . v =1

Stwierdzenie. Dla dowolnych reprezentacji nieprzywiedlnych grup skoñczonych spe³n

niona jest nierównoœæ

∑ nv2 ≤ g . W przypadku reprezentacji regularnych nierównoœæ v =1

ta przechodzi w równoœæ g =

N

∑ nv2 , która oznacza, ¿e liczba elementów macierzowych v =1

we wszystkich nierównowa¿nych reprezentacjach nieprzywiedlnych odpowiadaj¹cych danemu elementowi grupy jest równa rzêdowi grupy. Stwierdzenie. Elementy Dij( v ) (U ) macierzy nieprzywiedlnych reprezentacji, gdzie 1 ≤ i,j ≤ nv oraz v = 1, 2,..., N, w reprezentacji regularnej tworz¹ zupe³ny ortonormalny uk³ad g wektorów w g-wymiarowej przestrzeni. Wektory te, które unormowane s¹ postaci

 n1 (1) D11 (U ) , . . . ,   g

 nN ( N ) Dn n (U ) N N g 

15. Relacje ortogonalnoœci

87

musz¹ spe³niaæ nastêpuj¹c¹ (drug¹) relacjê ortogonalnoœci: N

nv

nv

n

∑∑∑ gv Dij( v) (U ) Dij(v)∗ (U ′) = δ UU ′ v =1 i =1 j =1

Poprzednio zosta³o wykazane (por. s. 82), ¿e elementy Dij(v ) (U ) spe³niaj¹ relacjê ortogonalnoœci postaci:

n

∑ gv Dij( v) (U )Dkl( µ )∗ (U ) = δ µvδ ik δ jl

U ∈G

Stwierdzenie. Z otrzymanej relacji ortogonalnoœci wynika drugi zwi¹zek ortogonalnoœci dla charakterów. Dowód Nale¿y zsumowaæ obie strony otrzymanej (drugiej) relacji ortogonalnoœci po wszystkich elementach U ∈ Cl oraz U' ∈ Cm, wówczas N

nv

nv

Dij(v )∗ (U ′) =g ∑ ∑ δ UU ' = gg lδ lm , ∑∑∑ nv ∑ Dij( v) (U ) ∑ ′ ′ v =1 i =1 j =1

U ∈C l

U ∈C m

U ∈Cl U ∈C m

z której po uwzglêdnieniu, ¿e (por. s. 80)

∑

U ∈C m

Dij(v ) (U ) =

g m (v ) χ m δ ij nv

otrzymuje siê wyra¿enie N

nv

nv

g

g

∑∑∑ nv nmv χ m( v)δ ij nvl χl(v)∗δ ij = gglδ im , v =1 i =1 j =1

z którego z kolei po uwzglêdnieniu, ¿e δ ij2 = δ ij oraz j¹cy (drugi) zwi¹zek ortogonalnoœci dla charakterów: N

g

∑ χ m(v) χ l(v)∗ = gl δ lm v =1

nv

nv

∑∑ δ ij2 = nv i =1 j =1

wynika nastêpu-

88

15. Relacje ortogonalnoœci

Stwierdzenie. Otrzymany zwi¹zek

N

g

∑ χ m(v) χ l(v)∗ = gl δ lm dowodzi, ¿e wektory postaci v =1

 gl (v) χ1 ,   g

g 2 (v) χ2 , K , g

g k (v )  χk  g 

tworz¹ zupe³ny, ortonormalny uk³ad w k-wymiarowej przestrzeni. Stwierdzenie. Liczba nieprzywiedlnych reprezentacji w reprezentacji regularnej jest równa liczbie klas, N = k. Dowód Z relacji ortogonalnoœci dla charakterów wynika odpowiednio, ¿e k

∑ i =1

gi χ i( v ) χ i( µ )∗ = gδ µv ⇒ N ≤ k oraz

N

g

∑ χl(v) χ m(v)∗ = gl δ lm

⇒ k ≤ N , zatem k = N.

v =1

Stwierdzenie. Poniewa¿ odwzorowanie grupy G w reprezentacjê regularn¹ jest izomorfizmem, a odwzorowanie reprezentacji w charaktery jest homomorfizmem, wiêc relacje dzia³añ grupowych przenosz¹ siê na reprezentacje i charaktery. Stwierdzenie. Elementy macierzy i charaktery reprezentacji nieprzywiedlnych wyznaczonych dla reprezentacji regularnej spe³niaj¹ po dwa zwi¹zki ortogonalnoœci:

∑

U ∈G

Dij(v )

(U )

D kl(v )∗

(U ) = g δ µvδ ik δ jl i nv

N

nv n v

∑∑∑ nv Dij(v) (U )Dij(v)∗ (U ′) =gδ UU ' v =1 i =1 j =1

oraz k

∑ i =1

g i χ i(v ) χ i( µ )∗

N

= gδ vµ i

g

∑ χl(v) χ m(v)∗ = gl δ lm . v =1

Stwierdzenie. Zawsze istnieje trywialna reprezentacja jednowymiarowa taka, ¿e dla wszystkich U ∈ G, U → [1] ∈ SO(1). Stwierdzenie. Dla reprezentacji jednowymiarowych charaktery χ i = TrD (U ) s¹ identyczne z macierzami reprezentacji oraz D (U ) = χ i dla wszystkich U ∈ Ci. Stwierdzenie. Charaktery klasy identycznoœci s¹ równe wymiarowi reprezentacji.

89

16. PRZYK£ADY WYZNACZANIA REPREZENTACJI Wyznaczania charakterów i reprezentacji nieprzywiedlnych reprezentacji regularnej dla kilku grup skoñczonych Oznaczenia: g – rz¹d grupy G, liczba elementów w grupie, k – liczba klas w grupie G, gi – liczba elementów w klasie Ci, N – liczba nierównowa¿nych reprezentacji nieprzywiedlnych, N=k. WskaŸniki: i = 1, 2,..., k oraz v = 1, 2,..., N Stwierdzenie. Tabele charakterów wyznacza siê wykorzystuj¹c zwi¹zki ortogonalnoœci oraz relacje grupowe. PRZYK£AD Grupa jednoelementowa G = {e} zawiera jedn¹ klasê C1 = {e} oraz g = 1, k = 1, N = 1. Poniewa¿ 1

∑ nv2 = 1 v =1

wiêc n1 = a (1) = 1 , a zatem istnieje tylko jedna jednowymiarowa reprezentacja grupy jednoelementowej – D(1)(e) = [1]. PRZYK£AD Grupa dwuelementowa G = {e, a} zawiera dwie klasy C1 = {e} i C2 = {a} oraz g = 2, k = 2, N = 2. Poniewa¿

2

∑ nv2 = 2 , wiêc n12 + n22 = 2 v =1

⇒ n1 = n2 = 1 oraz g1 = g2 = 1.

Istniej¹ zatem dwie reprezentacje jednowymiarowe. Charaktery klasy elementu jedno-

90

16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji

stkowego s¹ równe wymiarowi reprezentacji, χ 1(ν ) = nν , a charaktery reprezentacji trywialnej χ i(1) = 1 . Tabela charakterów zawiera elementy: Tabela charakterów χ i(ν )

v

i

1

2

1

1

1

2

1

α = –1

co wynika z relacji

a2 = e

( )

α 2 = χ 2(2 )

2

= χ 1(2 ) = 1 ⇒ α 2 = 1 ⇒ α = ±1

Macierze reprezentacji maj¹ zatem postaæ: D(1)(e) = D(1)(a) = [1] oraz D(2)(e) = [1], D (2)(a) = [–1] PRZYK£AD Grupa 3-elementowa G = {e, a, a2} zawiera trzy klasy C1 = {e} i C2 = {a}, C3 = {a2} oraz g = 3, k = 3, N = 3. Poniewa¿

3

∑ nv2 = 3 , wiêc n

1

v =1

= n2 = n3 = 1 oraz g1 = g2 = g3 = 1.

Istniej¹ zatem 3 reprezentacje jednowymiarowe. Charaktery klasy elementu jednostko(ν ) wego s¹ równe wymiarowi reprezentacji, χ 1 = nν , a charaktery reprezentacji trywialnej χ i(1) = 1 . Tabela charakterów zawiera elementy: Tabela charakterów χ i(ν )

v

i

1

2

3

1

1

1

1

2

1

β

β2

3

1

γ

γ2

co wynika z relacji β 3 = γ 3 = 1 gdy¿ 3

ε =1 ⇒ ε = czyli

2πi e 3

=−

1 3 +i 2 2

a 3 = e , ale

16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji

91

β =γ 2 =ε i β2 =γ =ε2 a st¹d Tabela charakterów χ i(ν )

v

i

1

2

3

1

1

1

1

2

1

ε

ε22

3

1

εε22

ε

(ν )

oraz D (v)(e) =  χ 1

(ν ) (ν ) = 1, D(v)(a) = χ 2 , D(v)(a2) = χ 3

PRZYK£AD Grupa symetryczna S3 = {e, (12), (13), (23), (123), (321)} ma g = 6 elementów zawartych w trzech klasach: C1 = {e}, C2 = {(12), (13), (23)}, C3 = {(123), (321)}, zatem g1 = 1, g2 = 3, g3 = 2 oraz N = k = 3. Poniewa¿ 3

∑ nv2 = 6 v =1

⇒ n12 + n 22 + n32 = 6 ⇒ 12 + 12 + 2 2 = 6

wiêc n1 = n2 = 1, n3 = 2 oraz a(1) = a(2) = 1, a(3) = 2 (ν ) Jako ¿e χ 1 = nν , a charaktery reprezentacji trywialnej χ i(1) = 1 , w tabeli charakterów pojawiaj¹ siê tylko 4 nieznane elementy a, b, c, d.

Tabela charakterów χ i(ν ) Liczba elementów gi w klasie → Wymiar v i nν ↓

1

2

3

1

2

3

1

1

1

1

1

1

2

1

a

b

2

3

2

c

d

W celu wyznaczenia elementów nieznanych w tabeli charakterów wykorzystuje siê zwi¹zki ortogonalnoœci

92

16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji k

∑ i =1

g i χ i(v ) χ i(µ )∗ = gδ µv ,

N

g

∑ χ l(v ) χ m(v )∗ = g l δ lm v =1

które prowadz¹ do równañ 1 + 3a + 2b = 0 2 + 3c + 2d = 0 1 + a + 2c = 0 1 + b + 2d = 0,

z których tylko 3 s¹ liniowo niezale¿ne. Dlatego pozwalaj¹ one wyznaczyæ jedynie a, b, d w zale¿noœci od c i wówczas

a = −1 − 2c b = 1 + 3c 3 d = −1 − c 2 Aby ustaliæ c, nale¿y zauwa¿yæ, ¿e elementy (123) i (321) zawarte w klasie C3 spe³(2 ) niaj¹ relacjê (123)2 = (321). Poniewa¿ tym elementom odpowiada jeden charakter χ 3 , wiêc

(χ ( ) )

2

2 3

= χ 3(2 ) = 1 ⇒ b = 1 + 3c = 1 ⇒ c = 0 oraz a = d = –1

a st¹d Tabela charakterów χ i(ν ) Liczba elementów gi w klasie → Wymiar v i nν ↓

1

3

2

1

2

3

1

1

1

1

1

1

2

1

–1

1

2

3

2

0

–1

Reprezentacje grupy Grupa symetryczna S3 ma dwie reprezentacje jednowymiarowe i jedn¹ dwuwymiarow¹. W reprezentacjach jednowymiarowych charaktery s¹ równe elementom macierzowym.

16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji

93

Reprezentacja I (jednowymiarowa – trywialna)

D (1) (e ) = D (1) ((12)) = D (1) ((13)) = D (1) ((23)) = D (1) ((123)) = D (1) ((321)) = 1 Reprezentacja II (jednowymiarowa – antysymetryczna)

D (2 ) (e ) = D (2 ) ((123)) = D (2 ) ((321)) = 1

– permutacje parzyste,

D (2 ) ((12)) = D (2 ) ((13)) = D (2 ) ((23)) = −1 – permutacje nieparzyste. Reprezentacja III (dwuwymiarowa) Macierz elementu jednostkowego e jest macierz¹ jednostkow¹:

1 0  D ( 3) ( e ) =   0 1 Pozosta³e macierze s¹ unitarne, mo¿na zatem przyj¹æ, ¿e pierwsza z nich ma postaæ diagonaln¹

a 0 D (3) ((12) ) =   0 b  Ale TrD ( 3) ((12) ) = χ 2(3) = 0 ⇒ a + b = 0 ⇒ b = −a . Poniewa¿ (12)2 = e, wiêc

 a 0   a 0  a 2  ⋅ = 0 − a  0 − a   0

0  1 0  =  a 2  0 1 a st¹d a = ±1 i mo¿na przyj¹æ, ¿e 1 0  D (3) ((12) ) =   0 − 1 Macierze reprezentacji elementów (13) i (23) spe³niaj¹ relacje [ D (3) ((13))]2 = [ D (3) (( 23))]2 = D (3) (e) gdy¿ (13)2 = (23)2 = e. Wynika st¹d, ¿e

[

]

D (3) ((13)) = [ D (3) ((13))]−1 oraz D (3) (( 23) ) = D (3) ((23) )

−1

94

16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji

Poniewa¿ macierze reprezentacji s¹ unitarne, wiêc

[ D (3) ((13))]+ = [ D (3) ((13))]−1 oraz [ D (3) ((23))]+ = [ D (3) ((23))]−1 a st¹d

[

]

D (3) ((13)) = [ D (3) ((13))]+ oraz D (3) (( 23) ) = D (3 ) ((23) )

+

Uwzglêdniwszy, ¿e TrD ( 3) ((13)) = TrD ( 3) (( 23)) = χ 2( 3) = 0 mo¿na przyj¹æ je w formie

b  c ( 3)  oraz D (( 23)) =  ∗ − a  d

a D (3) ((13)) =  ∗ b

d   − c 

gdzie a, c – rzeczywiste, a b, d – zespolone. Wykorzystuj¹c relacjê

g

∑ D (ν ) (U ) = nνi χ i(ν ) E

U ∈Ci

oraz k³ad¹c χ 2(3) = 0 , otrzymuje siê wyra¿enie

D (3) ((12)) + D (3) ((13)) + D (3) (( 23)) = 0 z którego wynika, ¿e

b + d   0 0 1 + a + c  =   b * + d * − 1 − a − c  0 0 a st¹d 1 + a + c = 0 oraz b + d = 0, czyli

b  − (a + 1) − b  ( 3)   oraz D (( 23)) =  ∗ a + 1 − a   − b

a D (3) ((13)) =  ∗ b

Dla macierzy tych z warunku unitarnoœci

D (3) ((13)) [ D (3) ((13))]+ = D (3) (( 23)) [ D (3) (( 23))]+ = E otrzymuje siê

a 2 + | b | 2   0

 (a + 1) 2 + | b | 2 = a 2 + | b | 2   0 0

 1 0 =  ( a + 1) 2 + | b | 2  1 0 0

95

16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji

a st¹d równania a2 + |b|2 = 1 i (1+a)2 + |b|2 = 1 z których wynika, ¿e

a=−

1 3 iφ e i b= 2 2

zatem

 1  − ( 3) 2 D ((13) ) =   3 e − iφ  2

 3 iφ  1 e   − ( 3 ) 2 2  oraz D (( 23) ) =  1  3 − iφ  − 2 e 2 

−

3 iφ  e  2  1   2

Aby wyznaczyæ D(3)((123)) oraz D(3)((321)), nale¿y uwzglêdniæ, ¿e reprezentacja zachowuje dzia³ania grupowe, oraz ¿e (123) = (13)(12) i (321) = (123)–1, zatem

D (3) ((123) ) = D (3) ((13) )D (3) ((12) )  1  − 2 = 3  − iφ  2 e

 3 iφ  1 e  1 0   − 2 2 ⋅ = 1  0 − 1  3 − iφ  2 e 2 

−

3 iφ  e  2  1  − 2 

oraz

[

] = [D

D (3) ((321) ) = D (3) ((123) )

−1

( 3)

((123))]

+

 1  − 2 = 3 −iφ  − 2 e

3 iφ  e  2  1  − 2 

Stwierdzenie. Sta³a φ jest zupe³nie dowolna i mo¿na przyj¹æ, ¿e φ = 0. Dowód Macierze reprezentacji s¹ postaci

D

( 3)

 a (( ⋅ )) =  iφ ce

 e iφ be iφ  i niech S =   0 d 

0  1

96

16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji

jest macierz¹ transformacji podobieñstwa. Wówczas wykonuj¹c transformacjê podobieñstwa otrzymuje siê równowa¿n¹ reprezentacjê −1

S D

( 3)

 e − iφ (( ⋅ ))S =   0  e − iφ =  0

0  a ⋅ 1 ce −iφ 0 ae iφ ⋅ 1  c

be iφ  e iφ ⋅ d   0

0  1

be iφ  a b  =  d   c d 

która odpowiada po³o¿eniu φ = 0. PRZYK£AD Grupa symetrii kwadratu w przestrzeni R2 oznaczana jako C4v ma jedn¹ oœ symetrii (oœ obrotu) czterokrotn¹, gdzie r okreœla obrót o k¹t π/2, oraz cztery p³aszczyzny symetrii a, b, c, d przecinaj¹ce siê w tej osi. Grupa C4v = {e, r, r2, r3, a, b, c, d} ma 8 elementów symetrii, rz¹d jej zatem wynosi 8. Sk³adanie operacji symetrii zosta³o przedstawione w tabeli mno¿enia.

c

b

r

a

d

Rysunek. Elementy symetrii kwadratu: 4 p³aszczyzny symetrii a, b, c , d i oœ czterokrotna r

16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji

97

Tabela mno¿enia

e r r2 r3 a b c d

e e r r2 r3 a b c d

r r r2 r3 e d c a b

r2 r2 r3 e r b a d c

r3 r3 e r r2 c d b a

a a c b d e r2 r r3

b b d a c r2 e r3 r

c c b d a r3 r e r2

d d a c b r r3 r2 e

Grupa C4v nie jest abelowa, gdy¿ np. ac = r3 ≠ ca = r, bc = r ≠ ba= r3, cr = a ≠ b = rc itp. Grupa C4v ma nietrywialne podgrupy rzêdu 2 i 4 (2 i 4 s¹ podzielnikami 8), tj. • podgrupy dwuelementowe: {e, r2}, {e, a}, {e, b}, {e, c}, {e, d}, gdy¿ a2 = b2 = c2 = d2 = r4 =e, • podgrupy czteroelementowe: cykliczna {e, r, r2, r3} – podgrupa obrotów, czterogrupa C2v  = {e,  r2, a, b} – grupa symetrii prostok¹ta, czterogrupa { e,  r2, c, d}. Podgrupa {e, r2} jest inwariantna i ma warstwy {r, r3}, {a, b}, {c, d}, co pozwala utworzyæ grupê ilorazow¹ izomorficzn¹ z czterogrup¹. Pozosta³e trzy podgrupy czteroelementowe s¹ tak¿e inwariantne i maj¹ odpowiednio warstwy:     {e, r, r2, r3} – {a, b, c, d}, { e,  r2, a, b} – { r,  r3, c, d}, { e,  r2, c, d} – { r,  r3, a, b}. Odpowiadaj¹ca im grupa ilorazowa jest izomorficzna z grup¹ dwuelementow¹ {E, A}. Grupa C4v ma k = 5 klas: • dwie jednoelementowe: C1 = {e}, C2 = {r2}, • trzy dwuelementowe: C3 = {r, r3}, C4 = {a, b}, C5 = {c, d}, zatem g1 = g2 = 1, g3 = g4 = g5 = 2 oraz N = k = 5, poniewa¿ 5

∑ nv2 = 8 v =1

⇒

n12 + n22 + n32 + n 42 + n52 = 8 ⇒ 12 + 12 + 12 + 12 + 2 2 = 8 ,

wiêc n1 = n2 = n3 = n4 = 1, n5 = 2

oraz

a(1) = a(2) = a(3) = a(4) = 1, a(5) = 2.

W celu wyznaczenia tabeli charakterów reprezentacji nale¿y uwzglêdniæ, ¿e:

98

16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji

– charaktery klasy C1 = {e} s¹ równe wymiarowi reprezentacji, wiêc χ 1(ν ) = nν , – charaktery reprezentacji trywialnej χ i(1) = 1 , – charaktery reprezentacji jednowymiarowych s¹ to¿same z macierzami reprezentacji, wiêc spe³niaj¹ relacje grupowe: ( χ 2(ν ) ) 2 = ( χ 4(ν ) ) 2 = ( χ 5(ν ) ) 2 = χ1(ν ) = 1 i ( χ 3(ν ) ) 4 = χ1(ν ) = 1 dla v = 2, 3, 4 (oraz, co zosta³o ju¿ uwzglêdnione, v = 1), – dla i = 2, 4, 5 oraz v = 2, 3, 4 charaktery χ i(ν ) przyjmuj¹ wartoœci +1 albo –1, – poniewa¿ ( χ 3(ν ) ) 2 = χ 2(ν ) = ±1 , zatem χ 3(ν ) mo¿e byæ równe +1, –1, +i albo –i. Jednak wszystkie pozosta³e wartoœci charakterów s¹ rzeczywiste, wiêc na mocy zwi¹zków ortogonalnoœci χ 3(ν ) musi byæ te¿ rzeczywiste, χ 3(ν ) = ±1, a zatem χ 2(ν ) = +1 . Wskazane w³asnoœci pozwalaj¹ okreœliæ charaktery dla reprezentacji jednowymiarowych, wówczas charaktery reprezentacji dwuwymiarowej mo¿na wyznaczyæ bezpoœrednio ze zwi¹zków ortogonalnoœci k

∑ i =1

N

g i χ i(v )χ i(µ )∗ = gδ µv ,

g

∑ χ l(v )χ m(v )∗ = g l δ lm v =1

Uwzglêdniwszy powy¿sze otrzymuje siê: Tabela charakterów χ i(ν ) Liczba elementów gi w klasie → Wymiar v i nν ↓

1

1

2

2

2

1

2

3

4

5

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

–1

–1

1

3

1

1

–1

1

–1

1

4

1

1

–1

–1

1

2

5

2

–2

0

0

0

£atwo mo¿na sprawdziæ, ¿e wyznaczone charaktery spe³niaj¹ zwi¹zki ortogonalnoœci.

Reprezentacje grupy Grupa symetrii C4v ma cztery reprezentacje jednowymiarowe i jedn¹ dwuwymiarow¹. W reprezentacjach jednowymiarowych charaktery s¹ równe elementom macierzowym. Jej elementy symetrii odpowiadaj¹ pewnym szczególnym obrotom w³aœciwym i niew³aœciwym w p³aszczyŸnie. Wszystkie obroty w p³aszczyŸnie tworz¹ grupê klasyczn¹ O(2), która jest izomorficzna z U(1). Elementy reprezentacji dwuwymiarowej stanowi¹

16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji

99

zatem podgrupê grupy O(2), podczas gdy elementy reprezentacji jednowymiarowych tworz¹ grupê O(1) = {[1], [–1]}∈U(1), a reprezentacji trywialnej SO(1) = {[1]}. Reprezentacja I (jednowymiarowa – trywialna)

D (1) (e ) = D (1) ( r ) = D (1) ( r 2 ) = D (1) ( r 3 ) = D (1) ( a) = D (1) (b) = D (1) (c ) = D (1) ( d ) = [1] Reprezentacja II (jednowymiarowa)

D ( 2) (e) = D ( 2) ( r ) = D ( 2) ( r 2 ) = D ( 2) ( r 3 ) = [1], D ( 2) ( a) = D (2 ) (b) = D ( 2) (c ) = D (2) ( d ) = [− 1] – reprezentacja podgrupy cyklicznej obrotów Reprezentacja III (jednowymiarowa)

D (3) (e) = D (3) ( r 2 ) = D (3) ( a) = D (3) (b) = [1] D (3) ( r ) = D (3) (r 3 ) = D (3) (c ) = D (3) ( d ) = [− 1] – reprezentacja podgrupy czterogrupy symetrii prostok¹ta Reprezentacja IV (jednowymiarowa)

D ( 4) (e) = D ( 4) ( r 2 ) = D ( 4) (c) = D ( 4) (d ) = [1] –

reprezentacja podgrupy drugiej czterogrupy

D ( 4) ( r ) = D ( 4) ( r 3 ) = D (4) ( a) = D ( 4) (b) = [− 1] Reprezentacja V (dwuwymiarowa – ortogonalna) Macierz elementu jednostkowego e jest macierz¹ jednostkow¹:

1 0  D ( 5 ) (e) =   0 1 Pozosta³e macierze s¹ unitarne i spe³niaj¹ relacjê:

g

∑ D (ν ) (U ) = nνi χ i(ν ) E

U ∈Ci

Poniewa¿ klasa C2 = {r2} jest jednoelementowa oraz χ 2( 5) = −2 , wiêc

− 1 0  D ( 5 ) (r 2 ) =    0 − 1 Œlady wszystkich pozosta³ych elementów reprezentacji s¹ równe 0, tj.

100

16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji

TrD (5) ( r ) = TrD (5) (r 3 ) = TrD (5) (a) = TrD (5) (b) = TrD (5) (c ) = TrD (5) ( d ) = 0 . Wszystkie pozosta³e elementy reprezentacji to macierze ortogonalne, których œlad wynosi 0. Niech zatem

u v  D (5 ) ( r ) =   w − u  Poniewa¿ [D(5)(r)]2 = D(5)(r2), wiêc

u 2 + vw 0  − 1 0   =   0 u 2 + vw  0 − 1 a st¹d u2 + vw = –1 oraz det D ( 5) (r ) = −u 2 − vw = 1 . Wówczas z warunku [D(5)(r)]–1 = [D(5)(r)]T otrzymuje siê

 − u − v  u w   =  − w u   v − u  a zatem u = 0, v = –w i v = ±1, a st¹d 0 − 1  0 1 (5) 3 D ( 5) ( r ) =   oraz D ( r ) =   1 0  − 1 0 co wynika zarówno z relacji dla sumy macierzy reprezentacji elementów grupy nale¿¹cych do jednej klasy, tj. D (5)(r) + D (5)(r3) = 0, jak i z izomorfizmu grupy i reprezentacji, tj. D(5)(r)D(5)(r2) = D(5)(r3), gdy¿ rr2 = r3. Otrzymane macierze D(5)(rk) dla k = 0, 1, 2, 3 odpowiadaj¹ macierzom reprezentacji grupy obrotów w³aœciwych SO(2) cos α D (1) ( R z (α )) =   sin α

− sin α   cos α 

odpowiednio o k¹t α = 0, π/2, π, 3π/2 (por. s. 67). Pozosta³e elementy grupy to szczególne obroty niew³aœciwe, które maj¹ w³asnoœæ ρ2 = e, czyli ρ–1 =  ρ, gdzie ρ ∈ {a, b, c, d}, wiêc reprezentuj¹ce je macierze ortogonalne spe³niaj¹ równoœci D (5)(ρ) = [D(5)(ρ)]–1 = [D(5)(ρ)]T oraz TrD(5)(ρ) = 0. Mo¿na zatem przyj¹æ, ¿e

x y  D ( 5) ( a ) =    y − x 

101

16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji

Poniewa¿ [D (5)(a)]2 = D(5)(e) = E, wiêc

 x y   x y  x2 + y 2  ⋅ =  y − x   y − x   0

 1 0 =  x 2 + y 2  0 1 0

z czego wynika, ¿e x2 + y2 = 1 czyli det D (5) (a) = − x 2 − y 2 = −1 , a zatem x i y mog¹ byæ wziête w postaci x = cos ϕ, y = sin ϕ. Wówczas

cos ϕ D (5) ( a) =   sin ϕ

sin ϕ   − cos ϕ 

oraz

− cos ϕ D (5) (b) =   − sin ϕ

− sin ϕ   cos ϕ 

gdy¿ C4 = {a, b}, wiêc D(5)(a) + D(5)(b) = 0. Aby wyznaczyæ D(5)(c) i  D (5)(d) wystarczy wykorzystaæ relacje grupowe np. r·a = c i a·r = d, z czego wynika, ¿e D (5)(c) = D (5)(r)·D(5)(a) i D (5)(d) = D (5)(a)·D(5)(r), a zatem

− sin ϕ D ( 5 ) (c) =   cos ϕ

cos ϕ   sin ϕ 

oraz

 sin ϕ D ( 5 ) (d ) =  − cos ϕ

− cos ϕ   − sin ϕ 

Wybór parametru ϕ uzale¿niony jest od wyboru osi uk³adu wspó³rzêdnych w stosunku do boków kwadratu i gdy wybrane osie le¿¹ w p³aszczyznach a i b, wówczas ϕ = 0.

102

LITERATURA 1. BIR G.L., PIKUS G.E., Symetria i odkszta³cenia w pó³przewodnikach, PWN, Warszawa 1977. 2. BYRON F.W., FULLER R.W., Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej, t. 2, PWN, Warszawa 1975. 3. MOZRZYMAS J., Zastosowanie teorii grup w fizyce, PWN, Warszawa 1976. 4. ZALEWSKI K., Wyk³ady o grupie obrotów, PWN, Warszawa 1987. 5. KOSTYRKIN A.I., Wstêp do algebry, PWN, Warszawa 1984.