Taschenbuch der Mathematik und Physik

Ekbert Hering · Rolf Martin · Martin Stohrer† Taschenbuch der Mathematik und Physik

Ekbert Hering Rolf Martin Martin Stohrer†

Taschenbuch der Mathematik und Physik ., aktualisierte und erweiterte Auflage

123

Professor Dr. Dr. Ekbert Hering Hochschule Aalen

Professor Dr. rer. nat. Dr. h.c. Rolf Martin Hochschule Esslingen

Prof. Dr. rer. nat. Martin Stohrer†

Dieses Buch entstand unter Mitarbeit von: Professor Dr. Dirk Flottmann, Hochschule Aalen Professor Dr. Rainer Gräf, Hochschule Esslingen Professor Dr. Karlheinz Schüffler, Fachhochschule Niederrhein Dr. Wolfgang Schulz, Wave GmbH Stuttgart ISBN ---- e-ISBN ---- DOI ./---- Springer Dordrecht Heidelberg London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg , ,  Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom . September  in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichenund Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz und Herstellung: le-tex publishing services oHG, Leipzig Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.de)

Vorwort zur fünften Auflage Die ersten vier Auflagen des Taschenbuchs der Mathematik und Physik wurden von unseren Lesern sehr gut aufgenommen. Diese haben uns auch ermuntert, die Struktur des Werkes beizubehalten und die Inhalte übersichtlich, strukturiert und kompakt darzustellen. So ist ein Werk entstanden, welches nicht nur die Mathematik und die Physik behandelt, sondern auch die Informatik und die Chemie. Ebenso ist je ein Kapitel der Umwelttechnik und der Energietechnik gewidmet, da die naturwissenschaftlichen Erkenntnisse auch in diesen technischen Disziplinen die Grundlage bilden. In der fünften Auflage wurden die erwähnten Merkmale der Strukturierung, der Klarheit und des Kompakten des Buches noch konsequenter umgesetzt, die Fehler verbessert und die neuesten Normen eingearbeitet. Ein sehr umfangreiches Sachwortverzeichnis hilft beim Auffinden der einzelnen Themen. Mit großer Erschütterung haben wir erleben müssen, dass unser Koautor Martin Stohrer durch einen tragischen Bergunfall tödlich verunglückt ist. Wir verlieren mit ihm einen exzellenten Fachmann insbesondere auf dem Gebiet der Akustik und der Wärme- und Stoffübertragung, einen maßgebenden Verfechter der Struktur dieses Werkes und einen liebenswerten Freund. Seine Verbesserungen in den von ihm konzipierten Kapiteln konnten wir noch einarbeiten. Möge dieses Werk in seiner fünften Auflage ihm ein ehrendes Andenken wahren. Wir wünschen uns, dass dieses vorliegende Nachschlagewerk nach wie vor von großem Nutzen für Studierende, Anwender und Praktiker ist. Wir freuen uns auf eine weitere kritische Begleitung sowie auf die Verbesserungsvorschläge und Wünsche unserer Leser. Heubach, Köngen März 

Ekbert Hering Rolf Martin

Vorwort zur vierten Auflage Die ersten drei Auflagen des Kompendiums der Mathematik und Physik fanden ein erfreuliches Echo. Dies ermunterte uns, den eingeschlagenen Weg, die Zusammenhänge in der Mathematik und der Physik in einem Werk komprimiert und kompetent darzustellen, konsequent fortzusetzen. So entstand die vierte Auflage des Werkes, in der im wesentlichen Fehler beseitigt, der Übersichtscharakter noch klarer strukturiert wurde, die Informatik komprimiert und die Chemie erweitert wurde. Wir wünschen uns, dass das Werk für alle Anwender, den Studierenden wie den Praktikern von großem Nutzen ist. Über Anregungen zur weiteren Verbesserung des Nachschlagewerkes und eine weitere kritische Begleitung durch unsere Leser würden wir uns freuen. Heubach, Esslingen, Stuttgart August 

Ekbert Hering Rolf Martin Martin Stohrer

Vorwort zur zweiten Auflage Die erste Auflage dieses Werkes fand ein erfreulich großes Echo und machte bereits nach gut einem Jahr eine Neuauflage erforderlich. In dieser nun vorliegenden zweiten Auflage wurden Fehler berichtigt und geringfügige Ergänzungen vorgenommen. Möge das Werk vielen Nutzern bei der Alltagsarbeit helfen! Über Anregungen zur weiteren Verbesserung des Nachschlagewerkes würden wir uns sehr freuen. Heubach, Esslingen, Stuttgart Juli 

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Vorwort zur ersten Auflage Das Physikalisch-Technische Taschenbuch ist ein Kompendium und Nachschlagewerk für Ingenieure und Naturwissenschaftler in Studium und Berufspraxis. Das Werk fasst alle wichtigen Formeln der Mathematik, Physik und Technik in einem Band zusammen. Dabei sind neben klassischen Gebieten auch moderne Bereiche wie Optoelektronik, Nachrichtentechnik, Informatik und Umweltschutz berücksichtigt. Es ersetzt kein Lehrbuch, doch werden kompakt und handlich die wesentlichen Zusammenhänge erläutert. Häufig gebrauchte Stoffwerte, Konstanten und Umrechnungen von Einheiten sowie die Eigenschaften der chemischen Elemente sind in Tabellen zusammengestellt, um den schnellen Zugriff sicherzustellen. Der Inhalt umfasst im einzelnen: Mathematik – Fehlerrechnung – physikalische Grundlagen – Gravitation – Technische Mechanik – Hydro- und Aeromechanik – Festigkeitslehre – Wärmeund Stoffübertragung – Elektrotechnik und Elektronik – Magnetismus – Metalle und Halbleiter – Optoelektronik – Festkörperphysik – Nachrichtentechnik – Atom- und Kernphysik – Relativitätstheorie – Energietechnik – Eigenschaften der chemischen Elemente – Informatik und Umwelttechnik. Ein klar gegliedertes Inhaltsverzeichnis und ein ausführliches Sachwortverzeichnis erleichtern dem Leser das Auffinden der gesuchten Information. Autoren und Verlag wünschen ihren Lesern einen erfolgreichen Einsatz dieses Werkes und freuen sich auf konstruktive Kritik und Verbesserungsvorschläge. Heubach, Esslingen, Stuttgart Mai 

Ekbert Hering Rolf Martin Martin Stohrer

Inhaltsverzeichnis

A

Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



A.

Mathematische Zeichen und Normzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Mathematische Symbolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Mathematische Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Normzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reelle Zahlen (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Komplexe Zahlen (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logarithmus und Logarithmengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Analytische Geometrie der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometrische Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flächen und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebraische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrizenrechnung und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Summen, Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gewöhnliche Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Differenzialgleichung y  = f (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Lineare Differenzialgleichung . Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Separierbare Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Exakte Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Lineare Differenzialgleichung . Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Differenzialgleichungen . Ordnung und Energie-Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Spezielle Differenzialgleichungen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Verteilungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

                               

B

Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



B. B.

Messgenauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Analyse statistischer Messwertverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

A. A. A. A. A. A. A. A. A. A. A. A. A. A. A. A. A.

A.

viii

Inhaltsverzeichnis

B. B. B. B.

Fehlerfortpflanzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regression – Kurvenanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ausgleichsgeradenkonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Korrelationsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C

Physikalische Größen und Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

C. C. C.

Physikalische Basisgrößen und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Umrechnungen gebräuchlicher Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Naturkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

D

Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

D.

D.

Eindimensionale Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.. Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.. Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.. Kinematische Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.. Spezialfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dreidimensionale Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.. Ortsvektor und Bahnkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.. Geschwindigkeitsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.. Beschleunigungsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.. Kreisbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.. Wurfbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E

Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

E.

Grundgesetze der klassischen Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Die Newton’schen Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Wechselwirkungskräfte der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamik in bewegten Bezugssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Geradlinig bewegtes Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Gleichförmig rotierende Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeit, Leistung und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Arbeit W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Leistung P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Energie E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Impuls und Stoßprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Systeme materieller Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Stoßprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Raketengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E.

E.

E.

   

          

             

Inhaltsverzeichnis

E.

E. E.

Drehbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Dynamisches Grundgesetz der Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Arbeit, Leistung und Energie bei der Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erhaltungssätze der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mechanik starrer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Freiheitsgrade und Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

         

F

Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

F. F. F. F. F. F. F.

Newton’sches Gravitationsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gravitationsfeldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gravitations- oder Hubarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenzielle Energie der Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gravitationspotenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Planetenbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schwereeigenschaften der Erde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G

Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

G. G. G. G.

G. G. G. G. G.

Spannung und Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verformungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zugversuch nach DIN EN   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementare Belastungsfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G.. Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G.. Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G.. Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bruchmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schwingende Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zeitstandverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Härte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H

Hydro- und Aeromechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

H.

Ruhende Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.. Druck, Kompressibilität, Volumenausdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.. Kolbendruck, Schweredruck und Seitendruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.. Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

      

           

   

x

Inhaltsverzeichnis

H.. Bestimmung der Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.. Grenzflächeneffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H. Ruhende Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.. Druck und Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.. Schweredruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H. Strömende Flüssigkeiten und Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.. Ideale (reibungsfreie) Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.. Strömungen realer Flüssigkeiten und Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H... Laminare Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H... Turbulente Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H. Molekularbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.. Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.. Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

            

J

Schwingungen und Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

J.

Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J.. Freie ungedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J... Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J... Allgemeine Beschreibung durch eine Differenzialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . J... Schwingungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J... Gesamtenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J.. Freie gedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J.. Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J... Erzwungene mechanische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J... Erzwungene elektrische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J.. Überlagerung von Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J... Überlagerung in gleicher Raumrichtung und mit gleicher Frequenz . . . . . . . . . J... Überlagerung in gleicher Raumrichtung und mit geringen Frequenzunterschieden (Schwebung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J... Überlagerung in gleicher Raumrichtung und mit großen Frequenzunterschieden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J... Überlagerung in gleicher Raumrichtung mit ganzzahligen Frequenzverhältnissen (Fourier-Analyse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J... Überlagerung von Schwingungen mit ganzzahligen Frequenzverhältnissen, die senkrecht aufeinander stehen (Lissajous-Figuren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J.. Gekoppelte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J.. Orts- und zeitabhängige Schwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J.. Harmonische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J.. Energietransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J.. Phasengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J.. Gruppengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

J.

                      

Inhaltsverzeichnis

J.. J..

xi

Doppler-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

K

Akustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

K.

Schallausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schallfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schallgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schallwellenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schallwiderstand (Schallkennimpedanz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schalldruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schallschnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Energiedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schallintensität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schallleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Dämpfungskoeffizient der Schallabsorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schallwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schallpegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Gesamtschallpegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schallfrequenzspektrum, Bandfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schallwelle an Grenzflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schallreflexionsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schalltransmissionsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schallabsorptionsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schalldurchgang durch Trennwände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schalltransmissionsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schalldämmmaß einer Trennwand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Spuranpassungs-Schallwellenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Spuranpassungsfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Physiologische Akustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Lautstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Lautheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. A-bewerteter Schallpegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Äquivalenter Dauerschallpegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Raumakustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Äquivalente Absorptionsfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schallleistungspegel des diffusen Schallfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Nachhallzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Hallradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Technische Akustik und Bauakustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Luftschall-Dämmmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Norm-Trittschallpegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Körperschall-Isolierungswirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K.

K.

K.

K.

K.

K.

                                     

xii

Inhaltsverzeichnis

K.

K.. Strömungsgeräusche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Ultraschall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

L

Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

L.

Geometrische Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Lichtstrahlen und Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Reflexion des Lichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Reflexion an ebenen Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Reflexion an gekrümmten Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Brechung des Lichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Brechungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Lichtwellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Brechung an Prismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Brechung an Kugelflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Abbildung durch Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Dünne Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Dicke Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Linsensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Blenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Abbildungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Optische Instrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Das menschliche Auge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Vergrößerungsinstrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Fotoapparat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fotometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Strahlungsphysikalische Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Lichttechnische Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wellenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Interferenz und Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Interferenzen an dünnen Schichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Beugung am Spalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Auflösungsvermögen optischer Instrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Beugung am Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Spektralapparate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Röntgenbeugung an Kristallgittern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Holografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Polarisation des Lichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Polarisationsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Erzeugung von polarisiertem Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Technische Anwendungen der Doppelbrechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L.

L.

                                     

Inhaltsverzeichnis

L.

M

L... Optische Aktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quantenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Lichtquanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Materiewellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xiii

    

Elektrizität und Magnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

M. Elektrisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Elektrische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Elektrische Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Elektrisches Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Materie im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M. Gleichstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Stromstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Elektrische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Widerstand und Leitwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Elektrische Arbeit, elektrische Leistung und Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Ohm’sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Elektrische Netze – Kirchhoff ’sche Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Messung von Strom und Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Ausgewählte Messverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M. Ladungstransport in Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M. Ladungstransport im Vakuum und in Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Ladungstransport im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Stromleitung im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Stromleitung in Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M. Magnetisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Magnetische Feldstärke (magnetische Erregung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Magnetische Flussdichte (Induktion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Materie im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M. Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Wechselspannung und Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Arbeit und Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Transformation von Wechselströmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Ein- und Ausschalten einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M. Elektrische Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M. Elektromagnetische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Ungedämpfte elektromagnetische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Gedämpfte elektromagnetische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

                                 

xiv

Inhaltsverzeichnis

N

Nachrichtentechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

N. N.

Informationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Signale und Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N.. Zeit- und Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N.. Abtasttheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N.. Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N.. Pegel und Dämpfungsmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N.. Verzerrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N.. Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nachrichtenübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N.. Sender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N.. Übertragungsmedium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N.. Empfänger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N.

           

O

Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

O.

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Thermodynamische Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Thermische Ausdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Allgemeine Zustandsgleichung idealer Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kinetische Gastheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Gasdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Thermische Energie und Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Geschwindigkeitsverteilung von Gasmolekülen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hauptsätze der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Wärme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Erster Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Wärmekapazität idealer Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Spezielle Zustandsänderungen idealer Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Kreisprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Thermodynamische Potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Dritter Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reale Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Van-der-Waals’sche Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Gasverflüssigung (Joule-Thomson-Effekt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Phasenumwandlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O... Thermodynamisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O... Koexistenz dreier Phasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Dämpfe und Luftfeuchtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O.

O.

O.

                        

Inhaltsverzeichnis

xv

P

Wärme- und Stoffübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

P. P. P. P. P.

Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wärmestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wärmedurchgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stoffübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q

Energietechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Q. Q. Q. Q.

Energieträger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energiewandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energiespeicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energieverbrauch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R

Umwelttechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

R.

Abwassertechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Entstehung von schadstoffbelastetem Abwasser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Verminderung der Ausschleppungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Standzeitverlängerung des Wirkbades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Spültechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Kreislaufführung des Spülwassers (Ionenaustauscher) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Abwasseraufbereitung (-behandlung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reinhaltung der Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Entstehung von Luftverunreinigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Auswirkungen von Luftverunreinigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Primärmaßnahmen der Schadstoffbegrenzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Sekundärmaßnahmen der Schadstoffbegrenzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abfallwirtschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Entstehung von Abfällen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Grundsatz der Abfallwirtschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Primärmaßnahmen der Abfallvermeidung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Sekundärmaßnahmen der Abfallvermeidung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R.

R.

    

   

                

S

Atomphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

S. S.

Atombau und Spektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Systematik des Atombaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S.. Aufbau der Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S.. Atommasse und Anzahl der Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quantentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S.

    

xvi

S.

Inhaltsverzeichnis

S.

Atomhülle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S.. Atommodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S.. Wasserstoff-Atommodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S.. Quantenzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S.. Röntgenstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Molekülspektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S.. Rotations-Schwingungs-Spektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S.. Raman-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quanten-Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T

Kernphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

T.

Radioaktiver Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T.. Stabilität des Kerns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T.. Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dosisgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strahlenschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T.. Wechselwirkung von Strahlung mit Materie (Schwächung) . . . . . . . . . . . . . . . . . T.. Dosismessverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T.. Biologische Wirkung der Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T.. Schutz vor Strahlenbelastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kernreaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T.. Energetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T.. Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kernfusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementarteilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T.. Fundamentale Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T.. Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T.. Einteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S.

T. T.

T.

T. T.

        

                

U

Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

U. U. U. U. U. U.

Relativität des Bezugssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relativistische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relativistische Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relativistische Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Doppler-Effekt des Lichtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V

Festkörperphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

V.

Arten der Kristallbindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

     

Inhaltsverzeichnis

V.

V. V.

W

Kristalline Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.. Kristallsysteme und dichteste Kugelpackungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.. Richtungen und Ebenen im Kristallgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.. Gitterfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Makromolekulare Festkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thermodynamik fester Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.. Schwingendes Gitter (Phononen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.. Molare und spezifische Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.. Wärmeleitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xvii

        

Metalle und Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

W. Energiebänder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W. Metalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W.. Energiezustände und Besetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W.. Elektrische Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W. Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W.. Eigenleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W.. Störstellenleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W.. pn-Übergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W.. Transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W... Bipolarer Transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W... Feldeffekt-Transistor (FET) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W. Supraleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

           

X

Optoelektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

X.

X.

Halbleiter-Sender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.. Strahlungsemission aus Halbleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.. Lumineszenzdiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.. Laserdiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Halbleiter-Detektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.. Strahlungsabsorption in Halbleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.. Fotowiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.. Fotodiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.. Solarzelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.. Fototransistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Optokoppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Y

Informatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Y.

Digitaltechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

X.

          

xviii

Inhaltsverzeichnis

Y. Y. Y.

Y.. Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y.. Kodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y.. Logische Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y.. Digitale Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y.. Schaltzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y.. Speicherbauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y.. Mikroprozessoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y.. Leitungen digitaler Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y.. ASIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schnittstellen, Bussysteme und Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y.. Schnittstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y.. Bussysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y.. Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Programmstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Datenstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sprachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Z

Technische Chemie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Z.

Atom und chemische Bindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Periodensystem der Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Basisgröße ,,Stoffmenge“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Edelgaskonfiguration und Atombindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z... Hybridisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z... Polare Atombindungen und Elektronegativität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z... Mehrfachbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z... Komplexbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Die Ionenbindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Metallische Bindung und Metallstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wässrige Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Lösevorgänge und Konzentrationsangaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Ionenprodukt des Wassers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Säuren und Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. pH-Wert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Redoxreaktionen in wässriger Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verbindungsklassen der organischen Chemie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Alkane (gesättigte Kohlenwasserstoffe, Paraffine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Erdöl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Ungesättigte Kohlenwasserstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Benzol und Aromaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Weitere Verbindungsklassen der organischen Chemie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektrochemie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Elektrolyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Y.

Z.

Z.

Z.

               

                       

Inhaltsverzeichnis

Z.

Z.

Z.

Z.. Galvanische Zellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z... Die Spannungsreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z... Die Nernst’sche Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Elektrochemische pH-Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Elektrochemische Stromerzeugung (Batterien) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z... Der Bleiakkumulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Industrielle anorganische Chemie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Schwefelsäure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Ammoniak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z... Ammoniak-Synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z... Verwendung von Ammoniak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Alkalichlorid-Elektrolyse – Erzeugung von Cl2 , NaOH und H2 . . . . . . . . . . . . . Z.. Gewinnung von Eisen und Stahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Industrielle organische Chemie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Erdöl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Erdgas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Kohle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Biomasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Olefine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Schmier- und Mineralöle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Tenside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Polymere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z... Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z... Lineare Polyester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chemische Elemente und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xix

                        

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

A Mathematik A.1 Mathematische Zeichen und Normzahlen A.1.1 Mathematische Symbolik

Übersicht A-. Mathematische Zeichen. Standardzeichen =    <, , ,

= ċ,,

, /  Δ

n! n   k

 n log

d dx

Gleichheitszeichen ungefähr gleich; im Rahmen numerischer Vergleiche zweier Terme, Größen gebräuchlich zueinander kongruent proportional, also y  x, falls es ein k  R (reelle Zahlen) gibt mit y = k ċ x− Linearität Symbole für kleiner–größer Beziehungen reeller Zahlen häufig gebrauchtes Symbol für eine definitorische Festlegung innerhalb der Ebene von Formelausdrücken; so wird z. B. in „ejx = cos x+j sin x“ das Symbol ejx vermöge der bekannten rechten Seite, cos x + j sin x, als komplexe Zahl definiert. Multiplikationssymbole; das Zeichen kennzeichnet auch das Vektorprodukt in R3 . Divisionssymbole „entspricht der Aussage . . . “ allgemeingebräuchliches Differenzensymbol Δy y2 − y1 = Sekantensteigung, Differenzenquotient = Δx x 2 − x 1 Symbol für den Laplace-Operator n Fakultät, wobei n eine natürliche Zahl ist n! = 1 ċ 2 ċ 3  n n! n Binomialkoeffizienten: Für k, n  N, 0  k  n ist   = k k!(n − k)! Anwendungen: Kombinatorik, n n Binomialformel: (a + b)n =    a k b n−k k k=0 für k, n  N, a, b reelle (oder komplexe) Zahlen. n Ermittlung der  -Ausdrücke mittels Pascal’schem Dreieck. k n-te Wurzel: y = n x  x = y n (bei geradem n für x 0 definiert, bei ungeradem n in ganz R) Logarithmus-Symbol; für a  0 folgendermaßen definiert: y = loga (x)  x = a y Gebräuchlich sind: ln für den Fall a = e (Euler’sche Zahl, natürlicher Logarithmus) lg für a = 10, ld für a = 2. Differenziationssymbolik (wie üblich); df f (x + h) − f (x) (x) = lim h0 dx h Elementzeichen; Bedeutung: x  M  x gehört zur Menge M Beispiel: 2  N  Die Zahl  gehört zur Menge der natürlichen Zahlen 2  [3, 4]  Die Zahl  gehört nicht zum Intervall [3, 4] f  (x) =





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Zahlenbereiche N Z Q R C

Menge der natürlichen Zahlen Menge der ganzen Zahlen Menge der rationalen Zahlen Menge der reellen Zahlen Menge der komplexen Zahlen

0, 1, 2, . . . 0, 1, 2, . . .  p q p, q  Z, q  0 x x rational oder x irrational z = x + iyx, y  R Mathematische Konstanten

  e

π

π ċα 180   2, 3

j(i)

neutrales Element der Addition in R und C neutrales Element der Multiplikation in R und C Symbol der sogenannten Euler’schen Zahl;  1 1 n = lim 1 +  = 2,718282. . . e=  n n k=0 k! e ist eine irrationale Zahl, transzendent Kreiszahl; π ist definierbar als Fläche des Kreises (Radius ), Länge des Halbkreisbogens (Radius ) π ist irrational, transzendent π = 3,14159. . . ; gute Näherung ist 22 7 Bogenmaß x eines im 0  α < 360 gemessenen Winkel α; numerisch: x  α ċ 0,017453. . .

Diese (und andere) in zahlreichen Formeln auftretenden Wurzeln belässt man möglichst in dieser Form – allenfalls in Endergebnissen könnten numerische Näherungen wie 1,41421. . . bzw. 1,73205. . . benutzt werden Symbol für die so genannte imaginäre Einheit; man definiert j als eine Lösung der Gleichung: x 2 + 1 = 0, d. h. j2 = −1

A.1.2 Mathematische Logik Mathematischen Aussagen (A, B, C . . .) werden so genannte „Wahrheitswerte“ W (wahr) oder F (falsch) zugeordnet mit folgenden Grundregeln und Aussageverbindungen. Grundregel : Eine Aussage A ist entweder wahr oder falsch (ausschließende Alternative) Grundregel : Die Verneinung (Negation) einer Aussage A – häufig mit A notiert – ist festgelegt durch A A W F F W

Grundregel : Zwei Aussagen A, B heißen äquivalent (in Zeichen A  B), wenn sie die gleichen Wahrheitswerte besitzen. Grundregel : Die Aussage „A und B“ (A  B), die Aussage „A oder B“ (A  B), die Aussage „Aus A folgt B“ (A  B, Implikation, Folgerung) sind gemäß nachstehender Tabelle festgesetzt. A W W F F

B W F W F

A B W F F F

A B W W W F

AB W F W W

AB W F F W

A. Mathematische Zeichen und Normzahlen

Man leitet hieraus logische Regeln ab, wie zum Beispiel ➀ [(A  B) und (B  A)]  [A  B] ➁ ➂ ➃

(A  B)  A  B  (A  B)  A  B [A  B] und [B  C]  [A  C],

➄

A  (B  C)  (A  B)  (A  C),

Verneinung von Und- und OderAussagen

Kettenschluss

Reihe

E 6 10

Stufensprung

[A  B]  [B  A], indirekter Beweis

Normzahlen (DIN ) Grundreihen

Genauwerte

R

R 

R

R

1,00

1,00

1,00

1,00 1,06 1,12 1,18 1,25 1,32 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,12 2,24 2,36 2,50 2,65 2,80 3,00 3,15 3,35 3,55 3,75 4,00 4,25 4,50 4,75 5,00 5,30 5,60 6,00 6,30 6,70 7,10 7,50 8,00 8,50 9,00 9,50

1,0000 1,0593 1,1220 1,1885 1,2589 1,3335 1,4125 1,4962 1,5849 1,6788 1,7783 1,8836 1,9953 2,1135 2,2387 2,3714 2,5119 2,6607 2,8184 2,9854 3,1623 3,3497 3,5481 3,7584 3,9811 4,2170 4,4668 4,7315 5,0119 5,3088 5,6234 5,9566 6,3096 6,6834 7,0795 7,4989 7,9433 8,4140 8,9125 9,4409

0,0 0,025 0,05 0,075 0,1 0,125 0,15 0,175 0,2 0,225 0,25 0,275 0,3 0,325 0,35 0,375 0,4 0,425 0,45 0,475 0,5 0,525 0,55 0,575 0,6 0,625 0,65 0,675 0,7 0,725 0,75 0,775 0,8 0,825 0,85 0,875 0,9 0,925 0,95 0,975

10,0

10,0000

1,0

A.1.3 Normzahlen In der DIN-Verordnung  ist dieser – aus dem neunzehnten Jahrhundert stammende – Begriff noch anzutreffen. Bezogen auf den speziellen Vergrößerungsfaktor  lautet die Aufgabe („geometrische Progression“): Sei n 1, a 0 gegeben. Bestimme n + 1 Zahlen (sog. Stufen) x0 , x1 , x2 , . . . , x n mit ) a = x0 < x1 . . . < x n = 10a x k+1 ) = const (bezügl. k) xk Die Lösung ist – mit q = n 10 – die geok metrische Folge aq , und betrachtet man die komplette Skala aq k , k Z, so hat man eine feingliedrige Abstufung der Zehnerpotenzskala a10k , k Z. Speziell sind in früheren Zeiten die Abstufungen n = 5, n = 10, n = 20, n = 40 und n = 80 gewählt worden – entsprechend spricht man von den Grundreihen R, R usw. Diese „Reihen“ sind Auflistungen der Folgen n

k

 10 ,

1,12 1,25

1,25 1,40

1,60

1,60

1,60 1,80

2,00

2,00 2,24

2,50

2,50

2,50 2,80

3,15

3,15 3,55

4,00

4,00

4,00 4,50

5,00

k = 0, 1, . . . , n

(n = 510204080) und zwar in verschiedenen Näherungen und Genauigkeitsangaben hinsichtlich der numerischen Werte der Zahlen k  n 10 (deren Berechnung in früheren Zeiten verständlicherweise Probleme bereitete). Nennwerte elektrischer Bauelemente, wie Widerstände und Kondensatoren, werden nach E-Reihen gestuft:

E E 12 10 24 10

Übersicht A-. Normzahlen und E-Reihen.

Distribution

➅



5,00 5,60

6,30

6,30

6,30 7,10

8,00

8,00 9,00

10,0

10,0

10,0

lg



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). E-Reihen (DIN IEC ) E

E

E

1,0

1,0

1,0 1,1 1,2 1,3 1,5 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,7 3,0 3,3 3,6 3,9 4,3 4,7 5,1 5,6 6,2 6,8 7,5 8,2 9,1

1,2 1,5

1,5 1,8

2,2

2,2 2,7

3,3

3,3 3,9

4,7

4,7 5,6

6,8

6,8 8,2

10,0

10,0

10,0

A.2 Reelle Zahlen (R) Der Aufbau des Zahlensystems geschieht über den Prozess der Zahlbereichserweiterungen. Natürliche Zahlen: N = 1, 2, 3, . . ., die Menge der natürlichen Zahlen, kann als gegebene (abzählbare) Zahlenmenge vorliegen (aber auch aus abstrakten mengentheoretischen Axiomen gewonnen werden). In N gibt es die bekannte Addition und Ordnung (n < m  es gibt ein k N mit m = n+k). Die wesentlichste Eigenschaft in N ist das Prinzip der vollständigen Induktion:

Prinzip der vollständigen Induktion Für jedes n N seien A(n) (mathematische) Aussagen, für welche zunächst nicht bekannt ist, ob sie wahr oder falsch sind. Dann gilt: Ist erstens A(1) wahr und zweitens aus A(n) wahr folgt auch A(n + 1) wahr, so folgt: A(n) ist wahr für alle n N. Ganze Zahlen: Z = 0, 1, 2. . ., die Menge der ganzen Zahlen, wird aus N durch Hinzunahme der Lösungen der Gleichungen n + x = 0  x = −n gewonnen, wobei  als neutrales Element der Addition zu N hinzugenommen wird. Rationale Zahlen: Q =  p q p, q Z, q  0, die Menge der rationalen Zahlen (Brüche), wird aus Z gewonnen vermöge der Hinzunahme der Lösungen der Gleichungen qx = p  x = p q . Addition, Multiplikation und Ordnung werden von N bzw. Z auf Q übertragen (es entsteht die Bruchrechnung), so ist z. B. p p pq + p q = + q q qq  p p     pq < p q (für positive q und q ) < q q Eine einfache Überlegung zeigt den Zusammenhang zur Dezimaldarstellung: Jede rationale Zahl p q besitzt eine periodische Dezimaldarstellung, und umgekehrt kann jede periodische Dezimalzahl als Bruch geschrieben werden: Beispiele:

0,3 = 13 , 0,9 = 1(!), = 126 = 1,27 = 1 + 27 99 99

14 11

A. Reelle Zahlen (R)

Reelle Zahlen: R = Menge der rationalen und irrationalen Zahlen, wobei x irrational ist genau dann, wenn x eine nichtperiodische Dezimaldarstellung hat. Beispiele für Irrationalzahlen: 2, 3, 5 (allgemein: • alle Zahlen n, wenn n N und falls n nicht ganzzahlig ist) • 0,123456789101112. . . • π, e (so genannte transzendente Zahlen, das sind per Def. Zahlen, welche nicht Lösung einer polynomialen Gleichung a n x n + a n−1 x n−1 +  + a 0 = 0 mit a 0 , a 1 , . . . , a n Z sind (letztere – also Lösungen solcher Gleichungen – heißen algebraisch). Die meisten reellen Zahlen sind transzendent. Wurzelausdrücke (aus ganzen 3 2, 1 − 4 7 sind Zahlen), wie z. B. dagegen algebraisch. In R gibt es die Addition und Multiplikation sowie eine Totalordnung: Für je zwei reelle Zahlen gilt stets x < y oder x = y oder x y.

Dies gestattet die Konstruktion von Intervallen: [a, b] = x Ra  x  b, abgeschlossenes Intervall ]a, b[ = x Ra < x < b, offenes Intervall ]a, b] = x Ra < x  b halboffenes Intervall [a, [ = x Ra  x abgeschlossenes Intervall (!) Satz:

Die rationalen Zahlen Q liegen dicht in R; d. h. ) Zu je zwei reellen Zahlen a, b R (mit a < b) gibt es mindestens eine (sogar unendlich viele) rationale Zahl r mit a < r < b ) Sei a R, dann gibt es eine Folge rationaler Zahlen x1 , x2 , x3 , . . . mit x n  a bei n  

Schrankenbegriffe Sei M ⊂ R (eine Teilmenge von R). Jedes b R, für welches gilt [x  b für alle x M], heißt obere Schranke von M. Die kleinste obere Schranke einer Menge M heißt Supremum von M (sup M). Beispiel: M=− n1 n N, dann ist sup M = 0. Beachte, dass das Supremum einer Menge nicht selbst

Übersicht A-. Rechenregeln für Ungleichungen. Ungleichungen allgemein

Beispiele

) x < y  x + a < y + a (x, y, a  R) ) x < y und a  0  xa < ya ) x < y und a < 0  xa  ya ) x 2 < a 2  −a < x < a (für a  0) x 2  a 2  x < −a oder x  a (für a 0)

2x − 4 < 5x + 2  −6 < 3x  −2 < x

Beträge Für x  R definiert man x =  ) x + y  x + y ) ax = a ċ x ) x  a  −a < x < a

x, x 0 −x, x  0



x + 2  1  x + 2  1 oder (x + 2) < −1  x  −1 oder x < −3



A Mathematik

zur Menge gehören muss. Ein weiteres Beispiel ist M = arctan xx R  sup M = π2 . Dagegen gilt für das Maximum einer Menge die Forderung: a = max M  a ist obere Schranke von M und a M. Ähnlich sind Infimum (größte untere Schranke) und Minimum einer Menge definiert. Man nennt eine Menge M R beschränkt  es gibt a, b R mit M ⊂ [a, b]. Die fundamentalste Eigenschaft von R ist folgendes Theorem: Theorem (Supremumsaxiom und Vollständigkeit) ➀ Jede beschränkte Menge hat ein Supremum und ein Infimum ➁ R ist vollständig, d. h.: jede Cauchy-Folge besitzt einen Grenzwert Zusatz: Die Aussagen ➀ und ➁ sind äquivalent. Hierbei heißt eine Zahlenfolge (x n )nN Cauchy-Folge, wenn die Bedingung erfüllt ist: [Zu jedem ε 0 gibt es ein N mit der Eigenschaft, dass x m − x n  < ε ist, sobald n N und m N ist].

Mittelwerte Für x1 , x2 , . . . , x n definiert man ) das arithmetische Mittel: 1 A = (x1 +  + x n ) n ) das geometrische Mittel: G = n x1  x n ) das harmonische Mittel: 1 1 1 −1 H =   +  + ! n x1 xn ) das quadratische Mittel: " 1 2 Q = (x +  + x n2 ) n 1 Sie gehorchen folgendem Vergleich: HGAQ Anwendungen: A: gewöhnliche, arithmetische Durchschnitte G: Progressionen, Zuwachsfaktoren, Zinsrechnung H: Frequenzanalysen Q: Fehlerrechnung, Regression

A.3 Komplexe Zahlen (C) Übersicht A-. Komplexe Zahlen. Darstellungsformen und Rechenoperationen. Komplexe Zahlen



Komplexe Zahl Z Z = a + jb = Z(cos φ + j sin φ)  Imaginärteil Realteil

Euler’sche Formel ejφ = cos φ + j sin φ Z = Z ċ ejφ  j = −1 Z = a + jb komplexe Zahl Betrag Z = a 2 + b 2 b tan φ = Richtung a b a sin φ = ; cos φ = ! Z Z Z = a − jb

konjugiert-komplexe Zahl Z ċ Z = (a + jb)(a − jb) = a 2 + b 2 = Z2

A. Komplexe Zahlen (C)



Übersicht A-. (Fortsetzung). Darstellungsform

komplex

konjugiert-komplex

Real- und Imaginärteil trigonometrische Form

Z = a + jb Z = Z(cos φ + j sin φ)

Z = a − jb Z = Z(cos φ − j sin φ)

Euler’sche Formel ejφ = cos φ + j sin φ e−jφ = cos φ − j sin φ Exponential-Form

Z = Z ejφ

Z = Z e−jφ

Gleichungen

Gauß’sche Zahlenebene

Beispiel

Addition/Subraktion Z 1 + Z 2 = (a 1 + a 2 ) + j(b 1 + b 2 ) Z 1 − Z 2 = (a 1 − a 2 ) + j(b 1 − b 2 ) Real- und Imaginärteil müssen getrennt berechnet werden

Z 1 = 3 + 2j Z 2 = 1 + 1,2j Z 1 + Z 2 = 4 + 3,2j

Multiplikation/Division Z 1 Z 2 = Z 1 Z 2 (cos(φ 1 + φ 2 ) + j sin(φ 1 + φ 2 )) Z 1 Z 2 = Z 1 Z 2  ej(φ 1 +φ 2 ) " Z 1 Z 2  = (a 1 a 2 − b 1 b 2 )2 + (a 1 b 2 + b 1 a 2 )2 tan(φ 1 + φ 2 ) =

a1 b2 + a1 b2 a1 a2 − b1 b2

Z 1 Z 2 = Z 1  Z 2 (cos(φ 1 −φ 2 )+j sin(φ 1 −φ 2 )) Z 1 Z 2 = Z 1  Z 2  ej(φ 1 −φ 2 ) $ % a 12 + b 12 & Z 1  Z 2  = % ; a 22 + b 22 b1 a2 − a1 b2 tan(φ 1 − φ 2 ) = a1 a2 + b1 b2

Z 1 = 3 + 2j Z 2 = 1 + 1,2j # 9+4 Z 1  Z 2  = 1 + 1,44 = 2,3 tan(φ 1 − φ 2 ) 2 ċ 1 − 3 ċ 1,2 = −0,296 = 3 ċ 1 + 2 ċ 1,2 (φ 1 − φ 2 ) = −0,287 (Z 1 Z 2 ) = 2,3 ej(−0,287)



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Potenzieren/Wurzelziehen Z n = Z n (cos nφ + j sin nφ) Zn = Z n  ċ ejnφ n Z= " φ + k + 2π φ + k ċ 2π n ! + j sin !! Z cos n n (k = 0, 1, 2, . . . , (n − 1)) φ+kċ2π " j n = n Ze

 Z= 3 8  Radius Z = 3 8 = 2 k= 0 Z 0  = 3 8(cos(0) + j sin(0)) = +2 k=1 Z1 = 2π 2π 2 cos   + j sin   3  3 Z 1 = −1 + j 3 k=2 Z2 = 4π 4π 2 cos   + j sin   3  3 Z 2 = −1 − j 3

Differenziation (bzgl. Winkelvariablen) Z = 3 + 2j Z = 3,6 ej(1,57t+33,69) dZ = 1,57jZ dt

Z = Z ej(ωt+φ) dZ = jωZ ej(ωt+φ) dt dZ = jωZ dt Drehung um +90 , Streckung aufs ω-fache Integration (bzgl. Winkelvariablen) Z = Z ej(ωt+φ) j(ωt+φ) dt ' Z dt = ' Z e = Z ejφ ' ejωt dt j j(ωt+φ) +C ' Z dt = − Z e ω j =− ċZ+C ω

Z = 3 + 2j  Z = 13 ej(1,57t+arctan 2 3) Z = 3,6 ej(1,57t+33,69 j Z ' Z dt = − 1,57 = −0,64jZ



)

A. Logarithmus und Logarithmengesetze



A.4 Logarithmus und Logarithmengesetze Ist bei einer Potenzfunktion die Variable im Exponenten (Exponentialfunktion, Abschnitt A.), kann der Wert der Variablen

durch Logarithmieren (Logarithmusfunktion, Abschnitt A.) ermittelt werden.

Übersicht A-. Logarithmen. Definition Exponent

* bx  Basis 32

=

a  Potenzwert = 9

,

=

x  Exponent 2

=

logb  Basis log3

a  Potenzwert 9

(b  0; b  1; x beliebig, reell)

besondere Fälle allgemein

Beispiel

logb (b a ) = a logb b = 1 logb 1 = 0 b log b a = a eln a = a

log3 -32 . = 2 log3 3 = 1 -31 = 3. log3 1 = 0 -30 = 1. 3log3 4 = 4 eln 18 = 18 Logarithmensysteme

dekadische Logarithmen

natürliche Logarithmen

Basis 

Basis e e lim 1 + n

log 10 = lg 10 x = a x = lg a

1 n  n log e ex x

= 2,718281 . . . = ln =a = ln a

Umrechnungen lg a =

ln a  0,4329 ln a ln 10

ln a = lg a ln 10  2,30259 lg a allgemein: logb a =

logc a logc b

=

ln a ln b



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Logarithmengesetze allgemein logb (ca) c logb   a logb (a n )  logb - n a.

Beispiel = logb c + logb a

lg(10x) 20 ln   x lg -48 .  ln - 3 18.

= logb c − logb a = n logb a 1 = logb a n

= lg 10 + lg x = 1 + lg x = ln 20 − ln x = 8 ċ lg 4 1 = ln 18 3

A.5 Trigonometrische Funktionen Übersicht A-. Trigonometrische Funktionen. Definitionen

Rechtwinkliges Dreieck: Seitenverhältnisse Gegenkathete a = sin α = Hypotenuse c cos α =

b Ankathete = Hypotenuse c

tan α =

Gegenkathete a = Ankathete b

cot α =

b Ankathete = Gegenkathete a

Komplemente sin α =

Einheitskreis: Funktion der Bogenlänge x sin x: Ordinate von P cos x: Abszisse von P sin x tan x = cos x 1 cos x cot x = = tan x sin x 2π ċ α (0  x  2π) x = 360 x(0  x < 2π) ist das Bogenmaß des Winkels α im Gradsystem (0  α < 360 ). Dann ist sin x = sin α; cos x = cos α; tan x = tan α. Vorzeichen

cos(90

− α)



cos α = sin(90 − α) tan α = cot(90 − α) cot α = tan(90 − α)

A. Trigonometrische Funktionen



Übersicht A-. (Fortsetzung). Reduktionsformen Winkel

Verlauf 90 α

−α

Sinus und Kosinus

180 α 270 α 360 α

Funktion sin α

− sin α

+ cos α

sin α

− cos α

− sin α

cos α

+ cos α

sin α

− cos α

 sin α

+ cos α

tan α

− tan α

cot α

 tan α

cot α

− tan α

cot α

− cot α

tan α

 cot α

tan α

− cot α

periodisch in 2π (360 ) Tangens und Kotangens in πw(180 ) Polstellen für Tangens π +0 n 2 π −0 −n 2 Polstellen für Kotangens +0 +0, nπ −0 −0, −nπ

Übersicht A-. Zusammenhänge und Umwandlungen trigonometrischer Funktionen. Zusammenhänge zwischen trigonometrischen Funktionen sin α + cos α = 1 1 sin α = tan α = cos α cot α cos α 1 cot α = = sin α tan α 2

α 1 − tan2   2 cos α = α 2 1 + tan   2

tan α cot α = 1

2

1 cos2 α 1 1 + cot2 α = sin2 α

1 + tan 2 α =

Umwandlungen Funktion Funktion

sin α

cos α

tan α

sin α

−

  1 − cos2 α



cos α

  1 − sin2 α

−



tan α



cot α





sin α 1 − sin2 α 1 − sin2 α sin α



 1 − cos2 α cos α

cos α  1 − cos2 α

cot α tan α

1 + tan2 α 1 1 + tan2 α

 

1 1 + cot2 α cot α 1 + cot2 α

−

1 cot α

1 tan α

−



A Mathematik

Übersicht A-. Winkelbeziehungen trigonometrischer Funktionen. Addition/Subtraktion sin(α  β) = sin α cos β  cos α sin β cos(α  β) = cos α cos β 1 sin α sin β sin(α + β) sin(α − β) = cos2 β − cos2 α cos(α + β) cos(α − β) = cos2 β − sin2 α tan α  tan β 1 1 tan α tan β cot α cot β 1 1 cot(α  β) = cot β  cot α

tan(α  β) =

Summen und Differenzen αβ α1β ċ cos 2 2 α−β α+β ċ cos cos α + cos β = 2 cos 2 2 α−β α+β ċ sin cos α − cos β = −2 sin 2 2 sin(α  β) tan α  tan β = cos α ċ cos β sin(β  α) cot α  cot β = sin α ċ sin β

sin α  sin β = 2 sin

doppelte Winkel sin 2α = 2 sin α ċ cos α cos 2α = cos2 α − sin2 α tan 2α = 2 (cot α − tan α) cot 2α = (cot α − tan α) 2 sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α halbe Winkel #

α sin =  2

#

1 − cos α 2

α 1 + cos α = 2 2 # α 1 − cos α 1 − cos α sin α tan =  = = 2 1 + cos α sin α 1 + cos α # 1 + cos α sin α 1 + cos α α = = cot =  2 1 − cos α sin α 1 − cos α

Übersicht A-. (Fortsetzung). Produkte 1 [cos(α − β) − cos(α + β)] 2 1 cos α cos β = [cos(α − β) + cos(α + β)] 2 1 sin α cos β = [sin(α + β) + sin(α − β)] 2 1 cos α sin β = [sin(α + β) − sin(α + β)] 2 tan α + tan β tan α tan β = cot α + cot β cot α + cot β cot α cot β = tan α + tan β tan α + cot β tan α cot β = cot α + tan β cot α + tan β cot α tan β = tan α + cot β sin α sin β =

Potenzen 1 (1 − cos 2α) 2 1 sin3 α = (3 sin α − sin 3α) 4 1 cos2 α = (1 + cos 2α) 2 1 cos3 α = (3 cos α − cos 3α) 4 sin2 α =

Euler’sche Formel y =

ejφ

= cos φ  j sin φ

sin φ =

ejφ − e−jφ 2j

cos φ =

ejφ + e−jφ 2

cos

tan φ = − cot φ =

j -ejφ − e−jφ . ej φ + e−jφ

j - ejφ + e−jφ . ej φ − e−jφ

-j =



−1.

A. Analytische Geometrie der Ebene



Übersicht A-. (Fortsetzung). Näherungsformeln für kleine Winkel sin x  x − sin x  x cos x  1 − cos x  1

x3 6 2

x 2

(Fehler < 1%

für

α < 58 )

(Fehler < 1%

für

α < 14 )

(Fehler < 1%

für

α < 37 )

(Fehler < 1% für α < 8 ) x ċ 360 wobei α = 2π Winkeleinheiten

Einheit 

°





rad

gon

cgon

mgon

1 1 1

= = =

 0,016667 0,0002778

  0,016667

3600  

0,017453 − −

1,1111 0,018518 0,0003086

111,11 1,85185 0,030864

1111,11 18,5185 0,30864

1 rad 1 gon 1 cgon 1 mgon

= = = =

57,2958 0,9 0,009 0,0009

3437,75  0,54 0,054

206 265 3240 32,4 3,24

 0,015708 − −

63,662  0,01 0,001

6366,2   0,1

63 662 1000  

1 rad = 103 mrad = 106 μrad 1 rad =

π rad 200 1 Vollwinkel = 2π rad = 6,28318 rad = 360 = 400 gon

1 gon =



1 m Bogen 360 = = 57,296  57,3 1 m Radius 2π

A.6 Analytische Geometrie der Ebene Übersicht A-. Koordinatensysteme. schiefwinklig

ξ = η = φ1 φ2

−x sin φ 2 + y cos φ 2 sin(φ 1 − φ 2 ) x sin φ 1 − y cos φ 1 sin(φ 1 − φ 2 )

rechtwinklig

polar

x = ξ cos φ 1 + η cos φ 2

Zusammenhang zwischen rechtwinkligen und Polar-Koordinaten x = r cos φ y = r sin φ y tan φ = x " r = x 2 + y2

y = ξ sin φ 1 + η sin φ 2

Winkel zwischen x-Achse und ξ-Achse Winkel zwischen y-Achse und η-Achse



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Transformation rechtwinkliger Koordinaten Parallelverschiebung

Drehung

Parallelverschiebung und Drehung

x y x y

x y x y

x  y  x y

=x−a = y−b = x + a = y + b

= x cos φ + y sin φ = −x sin φ + y cos φ = x  cos φ − y  sin φ = x  sin φ + y  cos φ

Zylinderkoordinaten

= (x − a) cos φ + (y − b) sin φ = −(x − a) sin φ +(y−b) cos φ = x  cos φ − y  sin φ + a = x  sin φ − y  cos φ + b

Kugelkoordinaten

x = r sin β cos φ y = r sin β sin φ z = r cos β z cos β = ; r x cos φ = " x 2 + y2 " r = x 2 + y2 + z2

x = r cos φ y = r sin φ z=z y tan φ = x

Übersicht A-. Punkt, Strecke und Dreiecke in der Ebene. Strecke Steigung tan α = m =

y2 − y1 x2 − x1

Entfernung 2 P1 P2 = (x 2 − x 1 )2 + (y 2 − y 1 )2 2 P1 P2 = r 12 + r 22 − 2r 1 r 2 cos (φ 2 − φ 1 ) Teilpunkt P λ=

P1 P

PP2 0λ1

;

xP =

x 1 + λx 2 ; 1+λ

yP =

y 1 + λy 2 1+λ

xM =

x1 + x2 ; 2

yM =

y1 + y2 2

A. Analytische Geometrie der Ebene

Übersicht A-. (Fortsetzung). Dreieck Schwerpunkt xS = 13 (x 1 + x 2 + x 3 ) yS = 13 (y 1 + y 2 + y 3 ) Für Punktmassen m 1 , m 2 , m 3 m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 xS = m1 + m2 + m3 m1 y1 + m2 y2 + m3 y3 yS = m1 + m2 + m3

Fläche A = 12 [x 1 (y 2 − y 3 ) + x 2 (y 3 − y 1 ) + x 3 (y 1 − y 2 )] ;

mit Determinantenrechnung:

333 x 1 y 1 1 333 3 3 1 3333 x y 1 3333 A = 333 2 2 333 3 2 333 333 x 3 y 3 1 33333

Übersicht A-. Punkt, Strecke und Dreiecke im Raum.

Übersicht A-. (Fortsetzung).

Punkte und Strecken im Raum Entfernung 4P1 P2 4 (P1 (x 1 , y 1 , z 1 )) ; (P2 (x 2 , y 2 , z 2 )) 2 4P1 P2 4 = (x 1 − x 2 )2 + (y 1 − y 2 )2 + (z 1 − z 2 )2 Teilung von P1 P2 im Verhältnis λ xP = λ0 λ<0

x 1 + λx 2 y 1 + λy 2 z 1 + λz 2 ; yP = ; zP = ; 1+λ 1+λ 1+λ innerer Teilpunkt äußerer Teilpunkt

Mittelpunkt M x1 + x2 xM = ; 2

yM

y1 + y2 ; = 2

zM

z1 + z2 ; = 2

Dreiecke im Raum Schwerpunkt x1 + x2 + x3 ; xS = 3 z1 + z2 + z3 zS = 3

yS =

y1 + y2 + y3 ; 3

Dreiecke im Raum Für Punktmassen m 1 , m 2 , m 3 m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 xS = ; m1 + m2 + m3 m1 y1 + m2 y2 + m3 y3 ; yS = m1 + m2 + m3 m1 z1 + m2 z2 + m3 z3 zS = m1 + m2 + m3 Fläche 2 A = A21 + A22 + A23 , 1 A1 = 2

333 y 1 z 1 1 333 3 333 33 y 2 z 2 1 3333 333 ; 333 3 33 333 y 3 z 3 1 3333 3 3

1 A3 = 2

33 x 1 y 1 1 33 333 3333 33 333 x 2 y 2 1 3333 3 33 333 x 3 y 3 1 3333 33 33

mit 1 A2 = 2

333 z 1 x 1 1 333 3 333 33 z 2 x 2 1 3333 333 333 3 33 333 z 3 x 3 1 3333 3 3





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung).

Übersicht A-. (Fortsetzung).

Volumen des Tetraeders P1 , P2 , P3 , P4 (P1 Spitze)

V =

1 6

1 = 6

333 333 33 333 33 333 33 333 3 333 33 333 33 333 33 33

x 1 y 1 z 1 1 333 33 x 2 y 2 z 2 1 3333 33 x 3 y 3 z 3 1 3333 33 x 4 y 4 z 4 1 3333 3 (x 1 − x 2 ) (y 1 − y 2 ) (z 1 − z 2 ) 3333 33 (x 1 − x 3 ) (y 1 − y 3 ) (z 1 − z 3 ) 3333 33 (x 1 − x 4 ) (y 1 − y 4 ) (z 1 − z 4 ) 3333 3

Übersicht A-. Gerade in der Ebene.

Normalform y = mx + b m = tan φ

allgemeine Gleichung Ax + By + C = 0 (A, B, C sind Konstanten; A und B nicht gleichzeitig null) Hesse’sche Normalform

Zwei-Punkte-Form y − y1 y2 − y1 = ; x − x1 x2 − x1 33 x y 1 33 333 3333 33 333 x 1 y 1 1 3333 = 0 33 3 333 x 2 y 2 1 3333 33 33

x cos β + y sin β − p = 0 Ax + By + C =0   A2 + B 2 + für: C < 0 ; − für: C  0

Polarform

Punkt-Steigungs-Form y − y 1 = m (x − x 1) y = m(x − a) m = tan φ ; y2 − y1 m = x2 − x1

Achsenabschnitts-Form x y + =1 a b

p r= cos(α − φ)

Abstand d des Punktes P1 (x 1 , y 1 ) von der Geraden d = x 1 cos β + y 1 sin β − p d =

Ax 1 + By 1 + C   A2 + B 2

d =

y 1 − mx 1 − b  1 + m2

A. Analytische Geometrie der Ebene

Übersicht A-. (Fortsetzung).



Übersicht A-. Gerade im Raum.

Schnittwinkel β zweier Geraden

Zwei-Punkte-Form x − x1 y − y1 z − z1 = = x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

m2 − m1 1 + m1 m2 A1 B 2 − A2 B 1 tan β = A1 A2 + B 1 B 2 tan β =

allgemeine Gleichung Schnitt zweier beliebiger Ebenen

m 1 = tan φ 1 ; m 2 = tan φ 2

A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

senkrechte Geraden:

m 1 m 2 = −1 A1 A2 + B 1 B 2 = 0

parallele Geraden:

m1 = m2 A1 A2 = B 1 B 2

Winkelhalbierende zweier Geraden A1 x + B 1 y + C 1 A2 x + B 2 y + C 2  =0 2 2  A21 + B 21  A22 + B 22

Winkel zwischen Gerade und Achsen 1 B1 C1 1 C 1 A1 E1 = 0 5 cos α = 6 ; cos β = 6 6 6 E2 = 0 N B2 C2 N C 2 A2 N: Normalenvektor cos γ =

1 A1 B 1 6 6 N A2 B 2

N2 = 6

B1 C1 2 C A 2 A B 2 6 +6 1 1 6 +6 1 1 6 B2 C2 C 2 A2 A2 B 2

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 Gerade durch Punkt P1 (x 1 , y 1 , z 1 ) x − x1 y − y1 z − z1 = = cos α cos β cos γ in Parameterform: Hesse’sche Normalform x (cos β 1  cos β 2 ) + y (sin β 1  sin β 2 ) − (p1  p2 ) = 0

x = x 1 + t cos α ; z = z 1 + t cos γ

y = y 1 + t cos β

Parameterdarstellung x = a1 t + a2 ;

y = b1 t + b2 ;

z = c1 t + c2

Schnittwinkel zweier Geraden cos β = cos α 1 cos α 2 + cos β 1 cos β 2 + cos γ 1 cos γ 2



A Mathematik

Übersicht A-. Ebene.

Übersicht A-. (Fortsetzung). Ebene durch drei Punkte 333x y z 1333 3 333 333x 1 y 1 z 1 133333 = 0 ; 333x 2 y 2 z 2 1333 3 33 333x 3 y 3 z 3 13333 33(x − x 1 ) (y − y 1 ) (z − z 1 ) 33 3 333 33(x 2 − x 1 ) (y 2 − y 1 ) (z 2 − z 1 )3333 = 0 3 333 33(x 3 − x 1 ) (y 3 − y 1 ) (z 3 − z 1 )3333 3 3 Abstand eines Punktes von der Ebene Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D   A2 + B 2 + C 2 d = x 1 cos α + y 1 cos β + z 1 cos γ − p d =

Achsenabschnitts-Form

Winkel δ zweier Ebenen

x y z + + =t a b c

cos δ = 2

Hesse’sche Normalform

Winkel zur x-, y-, z-Achse; Länge der Normalen durch den Nullpunkt

cos γ = 

A2 + B 2 + C 2 C

A2 + B 2 + C 2

A1 A2 = B 1 B 2 = C 1 C 2

oder

cos α 1 cos α 2 = cos β 1 cos β 2 = cos γ 1 cos γ 2

; cos β =  ; p= 

A1 A2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0 parallel: zwei Ebenen 8

E Ax + By + Cz + D = 0 D D D a=− ; b=− ; c=− A B C cos α = 

orthogonal: zwei Ebenen 7 cos α 1 cos α 2 + cos β 1 cos β 2 + cos γ 1 cos γ 2 = 0

allgemeine Gleichung

A

A1 A2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 2 + B 21 + C 12 ċ A22 + B 22 + C 22

Orthogonalität und Parallelität

x cos α + y cos β + z cos γ − p = 0 α, β, γ p

A21

B A2 + B 2 + C 2 D

A2 + B 2 + C 2

<0

Ebene durch einen Punkt P1 (x 1 , y 1 , z 1 ) parallel zur Geraden

P1 (x 1 , y 1 , z 1 ) senkrecht zur Geraden

33x − x 1 y − y 1 z − z 1 33 333 33 3333cos α 1 cos β 1 cos γ 1 33333 = 0 333cos α 2 cos β 2 cos γ 2 333 3 3

(x − x 1 ) cos α + + (y − y 1 ) cos β + + (z − z 1 ) cos γ = 0

A. Analytische Geometrie der Ebene

Übersicht A-. Kreis.

Übersicht A-. (Fortsetzung).

Mittelpunktgleichungen (x − xM )2 + (y − yM )2 = r 2

Schnittpunkte Gerade und Kreis Kreis: x 2 + y 2 = r 2 ;

Gerade y = mx + b

x 1 2 = " 1 9−mb  m 2 b 2 + (r 2 − b 2 ) (1 + m 2 ): 1 + m2 Diskriminante D = r 2 -1 + m 2 . − b 2 für

Mittelpunkt im Ursprung

D  0: D = 0: D < 0:

Scheitel-Gleichung

Tangente und Normale Kreis: Tangente:

x 2 + y2 = r2

 Schnittpunkte  Schnittpunkt kein Schnittpunkt

x 2 + y2 = r2 xxP + y yP = r 2

y 2 = 2rx − x 2 allgemeine Kreisgleichung

Ax + Ay + 2Dx + 2Ey + F = 0 2

2

Mittelpunkt M

Radius r

(−D A, −E A)

1 2 D + E 2 − AF r= A Parametergleichung

x = r cos t + xM y = r sin t + yM

xP yP r yP t=6 6 xP 2 y st = ; P ; xP

mt = −

Steigung: Länge: Subtangente: Normale yxP − x yP = 0 Steigung Subnormale

yP ; xP sn = xP

mn =

Länge n = r ;

Winkel im Kreis Mittelpunktwinkel  doppelter Umfangswinkel

Polarkoordinaten  − 20 cos (φ − φ 0 ) + 20 = r 2 2

α = 2γ 360 − α = 2δ Sehnentangentenwinkel  halbem Mittelpunktswinkel 1 α ; α = 2τ ; 2  360 − α = 2(180 − τ) τ=

Alle Umfangswinkel sind also gleich groß





A Mathematik

Übersicht A-. Ellipse, Hyperbel, Parabel. . Normallage

Ellipse M(0, 0)

Hyperbel M(0, 0)

Kurvengleichung

x 2 y2 + =1 a2 b2

Parametergleichungen

x = a cos t

Tangente mit Berührpunkt P1 (x 1 , y 1 )

y = b sin t x1 x y1 y t 2 + 2 = 1 a b

Asymptote

−

Tangentenbedingung (y = mx + c) (Ax + By + C = 0)

c 2 = a2 m2 + b 2

x 2 y2 − =1 a2 b2 a x= ; y = b tan t cos t x = a cosh t ; y = b sinh t x1 x y1 y t 2 − 2 = 1 a b b y= x a c 2 = a2 m2 − b 2

Schaubild

Normale im Kurvenpunkt P1 (x 1 , y 1 ) Exzentrizität numerische Exzentrizität Fläche Scheitelgleichung (Brennpunkt auf x-Achse)

a 2 A2 + b 2 B 2 − C 2 = 0 a 2 y1 n y − y 1 = − 2 (x − x 1 ) b x1  e = a2 − b2 e є= a A = abπ p y 2 = 2px − x 2 a

a 2 A2 − b 2 B 2 − C 2 = 0 a 2 y1 n y − y 1 = 2 (x − x 1 ) b x1  e = a2 + b2 − y 2 = 2px +

p 2 x a

. Achsen parallel zu Koordinatenachsen M(x 0 , y 0 ) Kurvengleichung Tangente mit Berührpunkt P1 (x 1 , y 1 )

Tangentenbedingung

(x − x 0 )2 (y − y 0 )2 + =1 a2 b2 (x − x 0 ) (x 1 − x 0 ) a2 (y − y 0 ) (y 1 − y 0 ) + =1 b2

(x − x 0 )2 (y − y 0 )2 − =1 a2 b2 (x − x 0 ) (x 1 − x 0 ) a2 (y − y 0 ) (y 1 − y 0 ) − =1 b2

Ax + By + C = 0 für: A2 a 2 + B 2 b 2 − (Ax 0 + By 0 + C)2 = 0

Ax + By + C = 0 für: A2 a 2 − B 2 b 2 − (Ax 0 + By 0 + C)2 = 0

A. Analytische Geometrie der Ebene

Übersicht A-. (Fortsetzung). Parabel mit S(0, 0) y = 2px ; y = −2px x 2 = 2py ; x 2 = −2py Tangente in P1 (für y 2 = 2px) y y 1 = p (x + x 1 ) 2

2

Tangentenbedingung für y = mx + c p = 2cm Parametergleichung x = t 2 ; y = ct Parabel mit S(xS , yS ) Parabelachse parallel x-Achse

Parabelachse parallel y-Achse

Kurvengleichung (y − yS )2 = 2p (x − xS )

(x − xS )2 = 2p (y − yS ) Tangente in P1 (x 1 , y 1 )

(y 1 − yS ) (y − yS ) = p (x + x 1 − 2xS )

(x 1 − xS ) (x − xS ) = p (y + y 1 − 2yS )

Tangentenbedingung: Ax + By + C = 0 für: pB 2 − 2A (AxS + ByS + C) = 0

für: pA2 − 2B (AxS + ByS + C) = 0

allgemeine Form der Kegelschnitt-Gleichungen Scheitelgleichung: Polargleichung: allgemeine Gleichung:

beliebige Lage:

y 2 = 2px − -1 − ε 2 . x 2 > ? ε < 1

? ? ? @ ε  1

p ? r = ? ε = 1

? ? 1 − ε cos φ A

Ellipse Hyperbel Parabel

Ax 2 + By 2 + Cx + D y + E = 0 Ellipse: AB  0 (A = B Kreis) Hyperbel: AB < 0 Parabel (Achse parallel x-Achse): A = 0 und BC  0 Parabel (Achse parallel y-Achse): B = 0 und AD  0 Ax 2 + 2Bx y + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 -A2 + B 2 + C 2  0. 2B Drehwinkel α: tan(2α) = (A  C) A−C





A Mathematik

A.7 Geometrische Sätze Übersicht A-. Sätze in der Geometrie. rechtwinkliges Dreieck Satz des Pythagoras

c2 = a2 + b2

Kathetensatz

a2 = c p b 2 = cq

Höhensatz

h 2 = pq

Strahlensätze wenn AB8A B , dann gilt

. SA SA = SB SB SA AA = SB BB . AB A B = SA SA

a, b c

Katheten Hypothenuse

A. Geometrische Sätze

Übersicht A-. (Fortsetzung). allgemeine Dreiecke Sinussatz findet Anwendung, wenn eine Seite, der gegenüberliegende Winkel und eine zweite Seite oder ein zweiter Winkel gegeben sind

a sin α b sin β = ; = b sin β c sin γ a b c = sin α sin β sin γ

Kosinussatz

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α

findet Anwendung, wenn drei Seiten bzw. zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind

b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ

Geometrie am Kreis Sekanten-Tangenten-Satz

PA ċ PB = PA ċ PB = PT2

Sehnen-Halbsehnen-Satz

PA ċ PB = PA ċ PB = PS2





A Mathematik

A.8 Flächen und Körper Übersicht A-. Inhalt von Flächen. Art der Fläche

Flächeninhalt A

Dreieck

A=

ah 2

Trapez

A=

a+b h 2

Parallelogramm

A = ah = ab sin γ

Kreis

A=

πd 2 = πr 2 4

Umfang U = πd = 2πr Kreisring

A=

π π -D 2 − d 2 . = (D + d)b 4 2

πr 2 α (Gradmaß) 360 φ (Bogenmaß) A = r2 2 πrα (Gradmaß) Bogenlänge l = 180 l = rφ (Bogenmaß) A=

Kreisausschnitt

Kreisabschnitt

Sechseck

B 2E C2 r2 h F 1 (φ − sin φ)  hs C ! F C 3 + 2 F 2 C s F D G φ Sehnenlänge s = 2r sin 2 s φ φ φ Bogenhöhe h = r 1 − cos  = tan = 2r sin2 2 2 4 4  3 2 s A= 2 A=

2s Eckenmaß e =  3

A. Flächen und Körper



Übersicht A-. (Fortsetzung). Art der Fläche

Flächeninhalt A

Ellipse

A=

π Dċd = aċbċπ 4

 Umfang U  0,75π(D + d) − 0,5 π Dd . Guldin’sche Regel

Rotation der ebenen Kurve C um die x-Achse ergibt einen (räumlichen) Rotationskörper. Dessen Mantelfläche habe den Flächeninhalt A. Es sei L die Länge von C, und S  R2 sei der Schwerpunkt von C mit dem Abstand rs von der Drehachse. Dann ist A = 2πrs ċL. H Weg des Schwerpunktes bei Rotation

Übersicht A-. Inhalt und Oberfläche von Körpern. Art des Körpers

Inhalt V , Oberfläche S, Mantelfläche M

Kreiszylinder

V=

πd 2 h 4

M = πdh ;

S = πd(d 2 + h)

Pyramide

V=

1 Ah 3

Kreiskegel

V=

πd 2 h 12

M=

 πds = πrs = πr r 2 + h 2 2

πh -D 2 + Dd + d 2 . 12 # (D − d)2 π(D + d)s s= + h2 M= 2 4

Kegelstumpf

V=

Kugel

V=

πd 3 6

S = πd 2

Kugelabschnitt (Kalotte)

V=

πh πh 2 -3a 2 + h 2 . = (3r − h) 6 3

M = 2πrh = π -a 2 + h 2 .



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Art des Körpers

Inhalt V , Oberfläche S, Mantelfläche M

Kugelausschnitt (Kugelsektor)

V=

Kugelzone

V=

2πr 2 h 3 S = πr(2h + a) πh -3a 2 + 3b 2 + h 2 . 6

M = 2πrh

V=

zylindrischer Ring

π2 Dd 2 = 2πR ċ πr 2 4

S = π2 Dd = 2πR ċ 2πr Ellipsoid

d 1 , d 2 , d 3 Länge der Achsen

kreisrundes Fass

D d h

Durchmesser am Spund Durchmesser am Boden Abstand der Böden

. Guldin’sche Regel

V=

π d1 d2 d3 6

V

πh -2D 2 + d 2 . 12

Wird ein ebenes Flächenstück (Inhalt A) (welches in y  0 liegen möge) um die x-Achse rotiert, so entsteht ein Rotationskörper (Torus) reifenähnlicher Art. Sei S der Flächenschwerpunkt und rS dessen y-Koordinate (d. h. Abstand vom Flächenschwerpunkt zur Drehachse). Dann gilt für das Volumen V des Rotationskörpers V = 2πrS ċA H Weg des Schwerpunktes bei Rotation

A.9 Vektorrechnung Übersicht A-. Vektordarstellung und Gerade.

Übersicht A-. (Fortsetzung).

Vektordarstellung r = x1 e x + y1 e y + z1 e z e Einheitsvektor x 1 , y 1 , z 1 Komponenten des Vektors

Vektordarstellung Schreibweise als Zeilen- oder Spaltenvektor: r = (x 1 , y 1 , z 1 ) Betrag Winkel

r =

2

I x1 L oder r = J y 1 M K z1 N

x 12 + y 12 + z 12 x1 y1 cos(r, x) = ; cos(r, y) = ; r r z1 ; cos(r, z) = r

cos2 (r, x) + cos2 (r, y) + cos2 (r, z) = 1

A. Vektorrechnung

Übersicht A-. (Fortsetzung).

Übersicht A-. (Fortsetzung).

Winkel und Abhängigkeiten zwischen zwei Vektoren r 1 = (x 1 , y 1 , z 1 ) ; r 2 = (x 1 , y 2 , z 2 ) x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 cos φ = 2 2 2 x 1 + y 12 + z 12 ċ x 22 + y 22 + z 22 x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0

orthogonal:

linear abhängig: ur 1 + r 2 = 0 oder ux 1 + x 2 = 0 ; uy 1 + y 2 = 0 ; uz 1 + z 2 = 0 (u,   0)



Gerade g Punkt-SteigungsForm: r = r 1 + λa Zwei-Punkte-Form: r = r 1 + λ (r 2 − r 1 )

Entfernung und Teilung Entfernung: d = r 2 − r 1 Länge: d = r 2 − r 1  " d = (r 2 − r 1 ) ċ (r 2 − r 1 )

Schnitt zweier Ebenen: A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0

und

A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Teilung im Verhältnis λ: r 1 + λr 2 rT = 1+λ λ = 1 Mittelpunkt der Strecke r1 + r2 rM = 2

Übersicht A-. Multiplikation von Vektoren. skalares Produkt

Vektorprodukt

Multiplikation zweier Vektoren, sodass Ergebnis ein Skalar.

Multiplikation zweier Vektoren, sodass Ergebnis ein Vektor. (Hinweis: dreidimensionaler Raum muss orientiert sein; Darstellung gilt für rechtshändige kartesische Orthogonalsysteme) r 1 r 2  = r 1  r 2  ċ sin (r 1 , r 2 )

r 1 r 2 = r 1  r 2  ċ cos (r 1 , r 2 )

Betrag:

Skalarprodukt = 0: orthogonal (r 1 r 2 ) = 0

Richtung: senkrecht zur Ebene, welche die Vektoren r 1 und r 2 aufspannen Vektorprodukt = 0: parallel r1 r2 = 0

x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Komponentendarstellung r 1 = x1 e x + y1 e y + z1 e z r 2 = x2 e x + y2 e y + z2 e z

(r 1 r 2 ) = x 1 x 2 e 2x + x 1 y 2 e x e y + x 1 z 2 e x e z + y 1 x 2 e y e x + y 1 y 2 e 2y + y 1 z 2 e y e x + z 1 x 2 e z e x + z 1 y 2 e z e y + z 1 z 2 e 2z

r1 r2 = x 1 x 2 [e x e x ] + x 1 y 2 Se x e y T + x 1 z 2 [e x e z ] OPP P P P P P P QP P P P P P P P R OPP P P P P P P QPP P P P P P P R OPP P P P P P P QPP P P P P P P R =0

ey

ez

+ y 1 x 2 Se y e x T + y 1 y 2 Se y e y T + y 1 z 2 Se y e z T OPP P P P P P P QPP P P P P P P R OPP P P P P P P QP P P P P P P P R OPP P P P P P P Q P P P P P P P R −e z

=0

−e x

alle e x e y , e x e z , e y e z = 0, da senkrecht aufeinander

+ z 1 x 2 [e z e x ] + z 1 y 2 Se z e y T + z 1 z 2 [e z e z ] OPP P P P P P P QPP P P P P P P R OPP P P P P P PQ P P P P P P P R OPP P P P P P P Q P P P P P P P R

(r 1 r 2 ) = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

r1 r2 =

ey

−e x

(y 1 z 2 − z 1 y 2 ) ċ e x − (x 1 z 2 − z 1 x 2 ) ċ e y + (x 1 y 2 − y 1 x 2 ) ċ e z

Matrizen- und Determinantenschreibweise I x2 L r 1 r 2 = (x 1 y 1 z 1 ) J y 2 M K z2 N = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2

333 e x e y e z 333 3 3 r 1 r 2 = 3333 x 1 y 1 z 1 3333 333 3 33 x 2 y 2 z 2 3333 = (y 1 z 2 − z 1 y 2 ) e x − (x 1 z 2 − z 1 x 2 ) e y + (x 1 y 2 − y 1 x 2 ) e z

=0

A. Funktionen

Übersicht A-. (Fortsetzung). Beispiele Arbeit W = Fs (konstante Kraft F) W = F 8 s cos(F , s) F = Fx e x + F y e y + Fz e z s = sx e x + s y e y + sz e z

Drehmoment M = r F M = r ċ F ċ sin(r, F) da r sin(r, F) = d M = Fd

I sx L Fs = -F x F y F z . J s y M K sz N

333 e x e y e z 333 3 3 M = 3333 r x r y r z 3333 333 3 F F F 33 x y z 3333 M = -r y F z − r z F y . e x

= Fx s x + F y s y + Fz s z

− (r x F z − r z F x ) e y + -r x F y − r y F x . e z r = (1, −1, 3) m F = (2, 3, −1) N

F = (3, −2, 4) N s = (1, 2, −3) m I 1L W = (3 − 2 4) N J 2 M m K −3 N

M =

= 3 N m − 4 N m − 12 N m W = −13 N m

ex e y ez 1 −1 3 m 2 3 −1 N

M = (1 Nm − 9 Nm)e x − (−1 N m − 6 N m)e y +(3 N m + 2 N m)e z M = −8e x N m + 7e y N m +5e z N m M = (−8, 7, 5) N m

A.10 Funktionen Übersicht A-. Übersicht über Funktionen. lineare Funktion y = a 1 x + a 0 : Geradengleichung a 0 Achsenabschnitt (y-Achse) a 1 Steigung; m = tan α a 1  0: positive Steigung a 1 < 0: negative Steigung





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). quadratische Funktion y = a2 x 2 + a1 x + a0 : quadratische Parabel a 2  0: nach oben offen (Achse parallel zur y-Achse) a 2 < 0: nach unten offen a 2  < 1: Parabel flach; a 2   1: Parabel steil; a 2  = 1: Normalparabel a2 a1 ; − 1 + a0 ! 2a 2 4a 2 y = x 2 + px + q: Normalform (a 2 = 1)

Scheitel S −

S −

p p 2 ; − U  − qV! 2 2 Funktion . Grades

y = a3 x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0

Sonderfall: kubische Normalparabel y = x3 y = −x 3

A. Funktionen

Übersicht A-. (Fortsetzung). gerade Potenzfunktionen mit positivem Exponenten y = x 2n (n  N) (nach oben geöffnet) y = −x 2n (n  N) (nach unten geöffnet)

gerade Potenzfunktionen mit negativem Exponenten y = x −2n (n  N) (. und . Quadrant) y = −x −2n (n  N) (. und . Quadrant)

ungerade Potenzfunktionen mit positivem Exponenten y = x 2n+1 (n  N) (. und . Quadrant) y = −x 2n+1 (n  N) (. und . Quadrant)





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). ungerade Potenzfunktionen mit negativem Exponenten y = x −(2n+1) (n  N) (. und . Quadrant; symmetrisch zu ) y = −x −(2n+1) (n  N) (. und . Quadrant; symmetrisch zu )

Sonderfall: gleichseitige Hyperbel 1 y = = x −1 x

ungerade Wurzelfunktionen  y = 2n−1 x für x 0  2n−1 y=− −x für x < 0

A. Funktionen

Übersicht A-. (Fortsetzung). gerade Wurzelfunktionen y=



2n

x

oder

 y = − 2n x

Exponentialfunktionen für a  1

y = ax (für a  0: alle Kurven durch P(,))

für 0 < a < 1





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Logarithmusfunktion y = loga (x) (für x  0 ; a  0 ; a  1: alle Kurven durch P(1, 0))

trigonometrische Funktionen y = sin x y = cos x

y = tan x y = cot x

A. Funktionen

Übersicht A-. (Fortsetzung). Arcusfunktionen

Zusammenhänge

Zusammenhang mit Logarithmus

arcsin(x) =

x π − arccos(x) = arctan  ! 2 1 − x2

arcsin(x) = −j ln 9xj +

arccos(x) =

π x ! − arcsin(x) = arccot  2 1 − x2

arccos(x) = −j ln 9x +

arctan(x) =

π x − arccot(x) = arcsin  ! 2 1 + x2

arctan(x) =

arccot(x) =

π x ! − arctan(x) = arccos  2 1 + x2

arccot(x) = −





1 − x2:

x 2 − 1:

1 1 + jx ln ! 2j 1 − jx 1 jx + 1 ln ! 2j jx − 1

Symmetrien arcsin(−x) = − arcsin(x) ; arccos(−x) = π − arccos(x) ; arctan(−x) = − arctan(x) ; arccot(−x) = π − arccot(x) Hyperbelfunktionen Umwandlungen sinh(x)  cosh(x) = e zx cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1 ex − e−x sinh(x) = x cosh(x) e + e−x ex + e−x 1 = x coth(x) = tanh(x) e − e−x 1 1 − tanh 2 (x) = cosh2 (x)

tanh(x) =

y = sinh(x) y = cosh(x)

coth2 (x) − 1 =

sinh(0) = 0 cosh(0) = 1 tanh 0 = 0

coth(0) = 0

1 sinh2 (x)

y = tanh(x) y = coth(x)





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Areafunktionen

Übersicht A-. Zusammenhänge bei Hyperbelfunktionen. Hyperbelfunktionen ex − e−x ; 2 ex − e−x tanh(x) = x ; e + e−x sinh(x) =

ex + e−x 2 ex + e−x coth(x) = x e − e−x

cosh(x) =

Symmetrien sinh(−x) = − sinh(x) ; cosh(−x) = cosh(x) tanh(−x) = − tanh(x) ; coth(−x) = − coth(x) Zusammenhänge sinh(x) − cosh(x) = − e−x

sinh(x) + cosh(x) = ex ; cosh (x) − sinh (x) = 1 2

2

tanh(x) =

sinh(x) ; cosh(x)

1 coth(x) = ; tanh(x) 1 − tanh 2 (x) =

coth(x) =

cosh(x) sinh(x)

x 1 + tanh   2 e = x 1 − tanh   2 x

1 cosh2 (x)

;

coth2 (x) − 1 =

1 sinh2 (x)

A. Funktionen

Übersicht A-. (Fortsetzung). Umrechnungen Funktion Funktion

sinh(x) −

sinh(x) 2 cosh(x)

cosh(x)

tanh(x)

2  cosh2 (x) − 1

2

−

2

sinh2 (x) + 1 2

tanh(x)

2 2

coth(x)

sinh(x) sinh (x) + 1 sinh2 (x) + 1 sinh(x)

tanh(x) 2

1 − tanh (x) 1

2

cosh2 (x) − 1

cosh(x) cosh2 (x) − 1

1 tanh(x)

−

(x 1)

x < 1 x  1

Symmetrien arsinh(−x) = −arsinh(x) artanh(−x) = −artanh(x) arcoth(−x) = −arcoth(x)

coth(x) 2 coth 2 (x) − 1 1 coth(x)

Beziehungen zum Logarithmus

arsinh(−x) = −arsinh(x) 1+x 1  artanh(x) = ln  2 1−x x +1 1  arcoth(x) = ln  2 x −1

1 2 2 coth (x) − 1

−

Übersicht A-. Zusammenhänge bei Areafunktionen. arsinh(−x) = −arsinh(x)  arcosh(x) = ln 9x  x 2 − 1:

2

1 − tanh (x)

cosh(x)

2

coth(x)





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Umrechnungen arsinh(x) arsinh(x) arcosh(x) xW1

arcosh(x)

artanh(x)

−

 arcosh 9 x 2 + 1:

 arsinh 9 x 2 − 1:

−

x ! x2 + 1  I x2 − 1 L artanh K x N

artanh(x) x < 1

arsinh 

arcoth(x) x  1

arsinh 

x 1 − x2 1 x2 − 1

! arcosh  ! arcosh 

1 1 − x2 x x2 − 1

artanh 

!

−

1 ! artanh   x

arcoth(x)  I x2 + 1 L arcoth K N x arcoth 

x x2 − 1

!

1 arcoth   x −

Die oberen Vorzeichen gelten für x  0, die unteren für x < 0. Summen und Differenzen "  arsinhx  arsinhy = arsinh 9x 1 + y 2  y 1 + x 2 : " arcoshx  arcoshy = arcosh 9x y  (x 2 − 1) (y 2 − 1): artanhx  artanhy = artanh arcothx  arcothy = arcoth

xy 1  xy

1  xy xy

Übersicht A-. Ebene Kurven. Kreisevolvente Abwicklung eines gespannten Fadens von einem gegebenen Kreis (Radius a) x = a(cos t + t sin t) y = a(sin t − t cos t) Polarkoordinaten: a a r = =  cos α 1 + t2 tan t − t φ = tan α − α = 1 + t ċ tan t a Kreisradius t Wälzwinkel

A. Funktionen



Übersicht A-. (Fortsetzung). Zykloide (Radkurve) gewöhnliche Zykloide

Punkt eines Kreises mit Radius a, der auf einer Geraden abrollt (ohne zu gleiten) x = a(t − sin t) ; y = a(1 − cos t) " a−y  − y(2a − y) (Periode 2πa) x = a arccos  a X = 8a sin2 (t 4) OP voller Zykloidenbogen: l = 8a Fläche unter Zykloidenbogen: A = 3πa 2

verlängerte Zykloide (Trochoide)

erzeugender Punkt liegt im Abstand c vom Mittelpunkt entfernt (c  a) x = at − c sin t y = a − c cos t

verkürzte Zykloide (Trochoide)

erzeugender Punkt liegt im Abstand c innerhalb des Rollkreises (c < a) x = at − c sin t y = a − c cos t

Epizykloide Epizykloide

a b t φ

Radius des festen Kreises Radius des rollenden Kreises Wälzwinkel Drehwinkel

Kreis mit Radius b rollt auf der Außenseite eines Kreises b a+b x = (a + b) cos t! − b cos t! a a b a+b y = (a + b) sin t! − b sin t! a a oder a+b φ! x = (a + b) cos φ − b cos a a+b φ! y = (a + b) sin φ − b sin a 8(a + b) Bogenlänge l 1 = m voller Bogen l = 8(a + b) (a b ganzzahlig) Fläche unter vollem Bogen A=

πb 2 (3a + 2b) a



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Epizykloide Kardioide (Herzkurve)

a =b x = a(2 cos t − cos(2t)) y = a(2 sin t − sin(2t)) 2

-x 2 + y 2 − a 2 . = 4a 2 -(x − a)2 + y 2 . r = 2a(1 − cos φ) (Pol bei (x; y) = (a; 0))

Hypozykloide normale Hypozykloide

Punkt rollt auf der Innenseite eines Kreises b a−b t! + b cos t! a a b a−b y = (a − b) sin t! − b sin t! a a

x = (a − b) cos

a b t

Radius des festen Kreises Radius des rollenden Kreises Wälzwinkel; φ Drehwinkel

Astroide (Sternlinie)

oder

a−b φ! b a−b φ! y = (a − b) sin φ − b sin b 1 b = a 4 1 x = a cos3  t 4 x = (a − b) cos φ + b cos

1 y = a sin3  t 4 oder x 2 3 + y 2 3 = a 2 3 a für b = eine Geradführung 2 (Umwandlung einer Drehbewegung in eine Hinund Herbewegung) Länge L des Zweiges L = 24a

A. Funktionen

Übersicht A-. (Fortsetzung). Spiralen logarithmische Spirale

r = α ekφ

(k  0)

schneidet alle Ursprungsgeraden unter dem gleichen Winkel α cot α = k r2 − r1 Länge des Bogens: P1 P2 = cos α

Archimedi’sche Spirale

Punkt bewegt sich auf einem Leitstrahl mit konstanter Geschwindigkeit; der Leitstrahl dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Pol. r = aφ

(φ = φ 2 − φ 1 )

Länge des Bogens a " P1 P2 = 9φ φ 2 + 1 + arsinh φ: 2 Fläche des Sektors P1 OP2 a2 -φ 32 − φ 31 . A= 6 Kettenlinie an zwei Punkten aufgehängte Kette (Seil) a x y = - ex a + e−x a . = a cosh   2 a Am tiefsten Punkt Näherungsformel 1 2 (Parabel): y = x +a 2a x Länge des Bogens: l = a sinh   a Neil’sche Parabel (semikubische Parabel) y 3 = ax 2





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Schleppkurve (Traktrix) " a ! 1 a2 − y2 y Ein Fadenende wird längs einer Geraden bewegt. Der Massepunkt am anderen Fadenende verläuft auf der Schleppkurve. x = a arcosh

Zissoide OM = PQ y 2 (a − x) = x 3 oder r = a sin φ tan φ

Strophoide M1 P = PM2 = OP (a − x)y 2 = (a + x)x 2 oder −a cos 2φ r= cos φ

Cartesisches Blatt x 3 + y 3 = 3ax y oder 3a sin φ cos φ r= sin3 φ + cos3 φ

A. Funktionen

Übersicht A-. (Fortsetzung). Konchoide des Nikomedes (x − a)2 -x 2 + y 2 . = b 2 x 2 oder r=

a b cos φ

Cassini’sche Kurven F1 P ċ F2 P = a 2 . 2

-x 2 + y 2 . − 2e 2 -x 2 − y 2 . = a 4 − e 4 (F1 , F2 (e; 0) oder F1 F2 = 2e) " r 2 = e 2 cos(φ2)  e 4 cos2 (φ2) + a 4 − e 4

a 2 2e 2

a 2 < 2e 2 a2  e2

a2 < e2

a2 = e2 Lemniskate 2 -x 2 + y 2 . = 2a 2 -x 2 − y 2 . F1 P ċ F2 P = r=a

F1 F 2 ! 2

" 2 cos(2φ)

2





A Mathematik

A.11 Algebraische Gleichungen Übersicht A-. Arten algebraischer Gleichungen. Übersicht A-. (Fortsetzung). Gleichung . Grades Rückführung auf quadratische Gleichung

lineare Gleichung (Gleichung . Grades) a1 x + a0 = 0

(a 1  0) a0 Lösung: x = − a1 quadratische Gleichung (Gleichung . Grades) a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 (a 2  0) a1 a0 x2 + 2 x + = x 2 + px + q = 0 a a2 Diskriminante D = a 12 − 4a 0 a 2 = Fallunterscheidungen D  0

x 1 2 =

(reell)

D = 0

(zusammenfallend) D < 0

(komplex)

x 1 2

−a 1 

2

p2 −q 4 a 12 − 4a 0 a 2

2a 2 # p p2 =−  −q 2 4 −a 1 x1 = x2 = 2a 2 2 −a 1  j 4a 0 a 2 − a 12 = 2a 2 $ 2 p % &;q − p ; = −  j% 2 4

Beziehungen zwischen x 1 und x 2 (Vieta’sche Wurzelsätze) x 1 + x 2 = −p x1 ċ x2 = q Kubische Gleichung Rückführung auf quadratische Gleichung symmetrische Gleichung . Grades a3 x 3 + a2 x 2 + a2 x + a3 = 0 Lösung:

x 1 = −1 a 3 x 2 + (a 2 − a 3 ) x + a 3 = 0 (quadratische Gleichung)

symmetrische Gleichung . Grades a4 x 4 + a3 x 3 + a2 x 2 + a3 x + a4 = 0 1 1 a 4 x 2 + 2  + a 3 x +  + a 2 = 0 x x 1 1 für u = x + und u − 2 = x 2 + 2 : x x a 4 u 2 + a 3 u + (a 2 − 2a 4 ) = 0 (quadratische Gleichung) biquadratische Gleichung a4 x 4 + a2 x 2 + a0 = 0 u = x2:

für

a4 u + a2 u + a0 = 0 2

(quadratische Gleichung)

kubische Gleichung (Gleichung . Grades) a3 x + a2 x 2 + a1 x + a0 = 0 a2 Substitution: x = u − 3a 3 u 3 + pu + q = 0 p 3 q 2 Diskriminante: D =   +   2 3 Fallunterscheidungen 3

D0

u1 = w + z w+z w −z u 2 3 = − 3 j 2 2 $ # % q q 2 p 3 3 % & w = − −   +  2 2 3 $ # % q q 2 p 3 3 % & z = − +   +  2 2 3 Y q D=0 u1 = 2 3 − 2 Y q 3 u 2 3 = − − 2

A. Algebraische Gleichungen

Übersicht A-. (Fortsetzung).

Übersicht A-. (Fortsetzung).

#

D<0

φ p cos   3 3 # φ π p cos  −  u 2 = −2 3 3 3 # φ π p cos  +  u 3 = −2 3 $3 3 I I % p 3 LL q & Jcos φ = −  Z J% ! MM 2 3 NN K K

Gleichung n-ten Grades

u1 = 2

Gleichung n-ten Grades a n x n + a n−1 x n−1 + a n−2 x n−2 + . . . + a 0 = 0 x n + b n−1 x n−1 + b n−2 x n−2 + . . . + b 0 = 0 Produktdarstellung

x 1 , x 2 . . . x n : Wurzeln der Gleichung (Nullstellen) Wurzelsatz von Vieta: x1 + x2 + x3 + . . . + x n

x n + b n−1 x n−1 + b n−2 x n−2 + . . . + b 0 = (x − x 1 ) (x − x 2 ) . . . (x − x n ) mit komplexen x 1 , x 2 , . . . x n (im Allgemeinen)

Übersicht A-. Numerische Nullstellenbestimmung. lineare Interpolation (Regula falsi) Kurve wird durch Sehne durch P1 und P2 ersetzt. Start: (x 2 − x 1 ) f (x 1 ) x3 = x1 − f (x 2 ) − f (x 1 ) Iteration: (x n+1 − x n ) f (x n ) x n+2 = x n − f (x n+1 ) − f (x n ) führt (bei z. B. streng monotonem Verlauf durch die Nullstelle) zur Konvergenz, x 1 \ x 0 Tangentennäherung (Newton’sches Verfahren) Kurve wird durch Tangente durch P1 ersetzt. Start: f (x 1 ) x2 = x1 −  ( f  (x 1 )  0) f (x 1 ) Iteration: f (x n ) x n+1 = x n −  f (x n ) f (x) f  (x) ;<1 führt (unter der Bedingung ; ( f  (x))2 in der Umgebung der Nullstelle x 0 ) zur Konvergenz, x n \ x 0

= −b n−1

x1 x2 + x1 x3 + . . . + x1 x n > ? ? ? ? + x2 x3 + . . . + x2 x n ? @ = b n−2 ... ? ? ? ? + x n−1 x n ? A x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + . . . + x1 x2 x n > ? ? ? ? x1 x3 x4 + . . . + x1 x3 x n ? @ = −b n−3 ... ? ? ? ? + x n−2 x n−1 x n ? A ... x1 ċ x2 ċ x3 ċ . . . ċ x n = (−1)n b 0





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Iterationsverfahren Die Gleichung f (x) = 0 wird umgeformt zu φ(x) = x, wobei φ so zu wählen ist, dass φ (x) < 1 ist in der Nähe einer zu bestimmenden Nullstelle x 0 (deren ungefähre Lage durch Schätzung ermittelt wird). Ist dann x 1 ein Näherungswert von φ(x) = x bei x 0 , so führt die Iterationsfolge x n+1 = φ(x n ) ,

n  N,

x1

Startwert

zur Lösung, x n \ x 0 . graphische Lösung Beispiel: Die Gleichung x 3 − 3x − 1 = 0 ist gleichwertig zu x 3 = 3x + 1. Man zeichnet y 1 (x) = x 3 und y 2 (x) = 3x + 1 und bestimmt die Schnittpunkte, was graphisch die Näherungslösungen x 1  − 1,5 ; ergibt.

x 2  − 0,35 ;

x 3  1,9

A. Algebraische Gleichungen



Übersicht A-. Lineare Gleichungssysteme. Eigenwerte, Eigenvektoren allgemein

Beispiel

Sei A eine (n, n)-Matrix. Ein Vektor x  R n , x  0, heißt Eigenvektor zu A, wenn es ein λ  R gibt mit Ax = λx, also

a 11 x 1 +  + a 1n x n = λx 1 ^ ^ ^ a n1 x 1 +  + a nn x n = λx n

Man nennt ein solches λ auch Eigenwert (mit Eigenvektor x) a 1n L I a 11 − λ a 12 x J a 21 a 22 − λ a 2n MI ^1 L MJ M = 0 (A − λE)(x) = J J ^ ^ ^ MK N x K a n1 a n2 a nn − λN n

A=

12 1−λ 2  (A − λE) =   43 4 3−λ

p(λ) = (1 − λ)(3 − λ) − 8 = λ 2 − 4λ − 5  λ 1,2 = 2  4 + 5 = 5 oder − 1 (A − λ 1 E) (x) = _

−4x 1 + 2x 2 = 0 `  x = α(1, 2), 4x 1 − 2x 2 = 0 αR

x = (1, 2) (und alle Vielfachen hiervon) ist Eigenvektor zu λ 1 = 5. (A − λ 2 E) (x) = _

2x 1 + 2x 2 = 0 `  x = α(1, −1), 4x 1 + 4x 2 = 0 αR

x = (1, −1) (und alle Vielfachen hiervon) ist EigenFür die Existenz und Bestimmung eines solchen Ei- vektor zu λ 2 = −1. genwertes λ ist dann hinreichend und notwendig, dass p(λ) = det(A − λE) = 0 ist. p(λ) ist ein Polynom n-ten Grades in λ (charakteristisches Polynom von A). Ist λ Nullstelle von p(λ), so findet man alle Eigenvektoren zu λ, indem man das homogene Gleichungssystem (A − λE)(x) = 0 löst. allgemein

Beispiel Darstellung des Gleichungssystems

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2n x n = b 2 ^ ^ ^ ^ a n1 x 1 + a n2 x 2 + . . . + a nn x n = b n

x 1 − x 2 + 2x 3 = 7 3x 1 − 3x 2 + 5x 3 = 17 3x 1 − 2x 2 − x 3 = 12



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). allgemein

Beispiel Matrizenform

I a 11 a 12  a 1n L I x 1 L I b 1 L J a 21 a 22  a 2n M J x 2 M J b 2 M J MJ M = J M J ^ ^ ^ MJ ^ M J ^ M K a n1 a n2  a nn N K x n N K b n N OPP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P PQ P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P R OPP P Q P P R OPP P Q P P R A

x

I 1 −1 2 L I x 1 L I 7 L J 3 −3 5 M J x 2 M = J 17 M K 3 −2 −1 N K x 3 N K 12 N

b

Koeffizientenmatrix A−1 Ax = A−1 b x = A−1 b −1 (A inverse Matrix; existiert nur, wenn det A  0)

Lösung:

Lösung nach Cramer’scher Regel Bedingung: Determinante der Koeffizientenmatrix  0: det A  0

333 1 −1 2 333 3 3 det A = 3333 3 −3 5 3333 = 1 ċ (3 + 10) + 1 ċ (−3 − 15) 333 3 33 3 −2 −1 3333 +2 ċ (−6 + 9) = 1

. Berechnung der Determinanten 33 a 11 a 12  a 1n 33 333 3 3 a a  a 2n 3333 33 det A = 33333 21 22 ^ ^ 3333 3333 ^ 3 a  a a nn 333 33 n1 n2 . Determinanten für die Variablen



Dx1

Dx2

Dxn

3 333 333 b 1 a 12  a 1n 33333 333 b 2 a 22  a 2n 333 = 333 3 ^ ^ ^ 3333 33 ^ 333 b a n2  a nn 3333 n 33 

 3 333 3 33 a 11 b 1  a 1n 3333 333 a 333 b  a 21 2 2n = 3333 3333 ^ ^ ^ 333 33 333 a n1 b n  a nn 3333 3 3   333 33 333 a 11 a 12  b 1 3333 3 a a  b 2 33 33 = 33333 21 22 ^ ^ 3333 333 ^ 333 a n1 a n2  b n 3333 3 3 

.

Dx1

Dx2

Dx3

3 333  2 3333 333 7 −1 3 3 3 5 33 = 18 = 33 17 −3 333 12 −2 − 1 33333 333 333   333 3 7 2 3333 333 1 3 3 3 5 33 = 19 = 33 3 17 333 3 12 −1 33333 333  333  3 33 333 1 −1 7 3333 3 33 = 333 3 −3 17 3333 = 4 33 3 −2 12 33 333 333  3 3

A. Algebraische Gleichungen

Übersicht A-. (Fortsetzung). Lösung nach Cramer’scher Regel . Lösungen Dx1 ; x1 = det A Dxn xn = det A

. x2 =

Dx2  det A

18 = 18 1 19 x2 = = 19 1 4 x3 = = 4 1 x1 =

Lösung nach Gauß’schem Eliminationsverfahren () a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = b 1 6 −

a 21 a 31 6 −  a 11 a 11

+(2)

() a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2n x n = b 2  ^

^

^

+(3)

^



(n) a n1 + a n2 x 2 + . . . + a nn x n = b n



()

a 22 x 2 + a 23 x 3 + . . . + a 2n x n = b 2 +

a 33 x 3

+

a n3 x 3

+...+

a 3n x n

+...+

a nn x n

+

() 3x 1 − 3x 2 + 5x 3 = 17  +

() 3x 1 − 2x 2 − x 3 = 12 

=

b 3

=

b n

333 a 33 333 − 32 33 a 22 3 

(a) −3x 1 + 3x 2 − 6x 3 = −21 ()

3x 1 − 3x 2 + 5x 3 = 17 0

0

− x 3 = −4  x3 = 4

^ a n2 x 2

= 7 (−3) (−3)

+(n)

a

a 32 x 2

() x 1 − x 2 + 2x 3

a a  33 x 3

(a) −3x 1 + 3x 2 − 6x 3 = −21 ()

+... +

a  3n x n

=

b 3

^ (n−1)

a nn

3x 1 − 3x 2 + x 3 = 12 0

x 2 − 7x 3 = −9 

(n−1)

xn = bn

stufenweise Reduzierung der Gleichung durch Elimination von x 1 , x 2 . . . x n−1 .

4 x 1 − 19 + 8 = 7  x 1 = 18

 x 2 = 19

(in ()):





A Mathematik

A.12 Matrizenrechnung und Determinanten Übersicht A-. Übersicht Matrizen. allgemein

Beispiel Definition ,-Matrix:  Zeilen,  Spalten

Matrix: rechteckige Anordnung von Zahlen in m Zeilen und n Spalten. I a 11 J a 21 J ^ J A=J J a i1 J J ^ K a m1 aik

a 12 a 22 ^ a i2 ^ a m2

I2 3 5 6L A = J 4 9 12 1 M K 3 2 −4 7 N

 a 1k  a 1n L  a 2k  a 2n M ^ ^ M M M  aik  ain M M  Zeile i ^ ^ M  a mk  a mn N  Spalte k

Koeffizienten der Matrix spezielle Matrizen

quadratische Matrix: Anzahl m Zeilen = Anzahl n Spalten a 11 , a 22 , a 33 , . . .a nn

Hauptdiagonale

a 1n , a 2n−1 , a 3n−2 , . . .

Nebendiagonale

I a 11 a 12  a 1n L J a a  a 2n M A = J 21 22 M J ^ ^ ^ M K a n1 a n2  a nn N

--Matrix I 2 3 5L M J M A=J J 4 9 12 M M J K 3 2 7N Hauptdiagonale a 11 = 2 ; a 22 = 9 ;

a 33 = 7

I1 0 0L E = J0 1 0M K0 0 1N

Einheitsmatrix E: Hauptdiagonale:  andere Elemente:  neutrales Element der Matrix-Multiplikation EċA= A transponierte Matrix: Vertauschen von Zeilen und Spalten B = AT (b ki = a i k )

1im;

I1 2 3 A = J5 6 7 K 9 10 11

4L 8M 12 N

1kn

quadratische Matrix: AT entsteht durch Spiegelung der Elemente an der Hauptdiagonalen symmetrische, quadratische Matrix: A = AT a i k = a ki 1  i , k  n

I 1 −3 5 L AT = J −3 2 8 M = A K 5 8 3N

I1 J2 AT = J J3 K4

5 6 7 8

9L 10 M M 11 M 12 N

A. Matrizenrechnung und Determinanten

Übersicht A-. (Fortsetzung). schiefsymmetrische, quadratische Matrix: Elemente der Hauptdiagonale sind null; gespiegelte haben umgekehrtes Vorzeichen A = −AT

a i k = −a ki

I 0 −3 5 L A= J 3 0 8M K −5 −8 0 N

a kk = 0

konjugiert-komplexe Matrix: A¯ = (a¯ i k )

A =

1 + 2j 4 − 3j  2+j −4

1 − 2j 4 + 3j  A¯ =  2−j −4

Eine Matrix heißt – hermitesch  A = A¯T (a i k = a¯ ki ) – schiefhermitesch  A = −A¯T (a i k = −a¯ ki ) – orthogonal  AT = A−1 – unitär  A−T = A−1

A =

1 2+j  2−j 3

A =

j 3−j  −3 − j 2j

Matrizengesetze Addition A + B = (a i k + b i k ) (Addition der entsprechenden Koeffizienten) Kommutativgesetz: A+B = B + A Assoziativgesetz: (A + B) + C = A + (B + C) Multiplikation mit reeller Zahl λA = (λa i k ) = Aλ Distributivgesetz: Assoziativgesetz:

λ(A + B) = λA + λB μ(λA) = (μλ)A = μλA

I1 3 J7 4 K6 8

5L I3 2 2M+J2 0 9N K8 6

1L I 4 5 6L 5M = J 9 4 7M 3 N K 14 14 12 N

I1 3 5L I 3 9 15 L J 21 12 6 M = 3 J 7 4 2 M K6 8 9N K 18 24 27 N

Differenzieren und Integrieren Koeffizienten werden einzeln differenziert bzw. integriert d d A(t) =  a i k (t) dt dt b

b

' A(t) dt = ' a i k (t) dt! a

a

(a i k differenzierbar bzw. integrierbar)

d 3t  dt 2 b 3 ' 0 a

3 8t 4t 2 =  0 5 5t + 1 8t  dt = 5

3(b − a) 0

4 -b 2 − a 2 . ! 5(b − a)





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Matrizenprodukt Falk’sches Schema A(m, n)-Matrix B(n, p)-Matrix AB = C(m, p)-Matrix n

cik = b ai l bik i=1

(1  i  m , 1  k  p) Koeffizienten c i k der Matrix C = AB stehen im Kreuzungspunkt der i-ten Zeile der Matrix A und der k-ten Spalte der Matrix B Multiplikation von drei Matrizen A(m, n); B(n, p); C(p, q) (AB)C = A(BC) = ABC Beachte: AB  BA (auch für quadratische Matrizen gilt im Allgemeinen nicht AB = BA)

Übersicht A-. Matrix-Invertierung. Sei A eine quadratische (n, n)-Matrix. Wann gibt es eine (n, n)-Matrix B mit BA = E = AB? Antwort: Genau dann, wenn die Determinante von A (Bezeichnung det A oder A) nicht null ist. Diese Bedingung hat zahlreiche gleichwertige Kriterien: Theorem: Für eine (n, n)-Matrix A sind äquivalent () det A  0 () die Zeilen von A sind linear unabhängig () die Spalten von A sind linear unabhängig () das homogene Gleichungssystem B a 11 x 1 + a 12 x 2 +  + a 1n x n = 0 E C F F ^ ^ Ax = 0, also C C ^ F C a n1 x 1 + a n2 x 2 +  + a nn x n = 0 F D G hat nur die Lösung x = (0, . . . , 0)

() Für jedes b  R n ist das inhomogene lineare Gleichungssystem a x +  + a 1n x n = b 1 ` Ax = b, also _ 11 1 a n1 x 1 +  + a nn x n = b n eindeutig lösbar. Ist eine – und damit jede andere dieser Bedingungen – erfüllt, so gibt es eine solche Matrix B − man schreibt dann B = A−1 , Ax = b  x = A−1 b Man erhält mit A−1 z. B. a) mittels Gauß’schem Alogrithmus b) mittels der Formel 1 U, A−1 = det A wobei U die „Adjunkten-Matrix“ ist (Matrix der Unterdeterminanten).

A. Matrizenrechnung und Determinanten



Übersicht A-. (Fortsetzung). allgemein

Beispiel Bildung der Inversen (Fall n = 3) I 2 1 −2 L A= J3 2 2M K5 4 3N

I a 11 a 12 a 13 L A = J a 21 a 22 a 23 M K a 31 a 32 a 33 N a 22 a 23 a a 6 − a 12 6 21 23 6 a 32 a 33 a 31 a 33 a a +a 13 6 21 22 6 a 31 a 32

det A = a 11 6

2 2 3 2 3 2 6 − 16 6 − 26 6 4 3 5 3 5 4 = 2 ċ (−2) − 1 ċ (−1) − 2 ċ 2 = −7

det A = 2 6

(Entwicklung nach der . Zeile) α β 6 = αδ − γβ mit 6 γ δ Bestimmungen der Matrix U der Unterdeterminanten I+ 6 a 22 J a 32 J J J a U = J− 6 12 J a 32 J J J a 12 K+ 6 a 22

a a a a a 23 6 − 6 21 23 6 + 6 21 22 6 L a 33 a 31 a 33 a 31 a 32 M M M M a a a a a 13 6 + 6 11 13 6 − 6 11 12 6 M a 33 a 31 a 33 a 31 a 32 M M M M a 13 a a a a 6 − 6 11 13 6 + 6 11 12 6 N a 23 a 21 a 23 a 21 a 22

I+ 6 2 2 6 − 6 3 2 6 + 6 3 5 3 5 J 4 3 J J J 1 −2 2 −2 2 U = J− 6 J 4 36+65 36−65 J J J 1 −2 2 −2 2 K+ 6 2 2 6 − 6 3 2 6 + 6 3

2 L 6 4 M M M 1 M 6M 4 M M M 1 M 6N 2

1 2L I −2 = J −11 16 −3 M K 6 −10 1 N Bildung der Transponierten U T I U 11 U 12cU 13 L U = J U 21 U 22 U 23 M ; K U 31cU 32 U 33 N

I U 11 U 21 U 31 L U T = J U 12 U 22 U 32 M K U 13 U 23 U 33 N

6L I −2 −11 U T = J 1 16 −10 M K 2 −3 1N

U T Vertauschen von Spalten und Zeilen Inverse berechnen

A−1 =

1 UT det A

A−1

11 7 16 − 7 3 − 7

6 − L 7M M 10 M M M 7 M M 1M − N 7

2 −2 L I J 7 MJ MJ 2 J 2M MJ− MJ 7 MJ J 2 3NK− 7

11 7 16 − 7 3 − 7

I 2 J 7 J J 1 =J J− J 7 J J 2 K− 7

Kontrolle

A ċ A−1 = E

I2 1 J J J3 2 J J J K5 4

6 − L I1 0 7M M J J 10 M M = J0 1 M J J 7 M M J 1M K 0 0 − N 7

0L M M 0M M M M 1N



A Mathematik

Übersicht A-. Determinantenrechnung. Sei A eine (n, n)-Matrix (n n-Matrix) I a 11  a 1n L ^ M A= J^ K a n1  a nn N dann ist für ein beliebiges j  1, . . . , n n

det A = b (−1)k+ j a jk det A jk k=1

wobei A jk diejenige (n − 1, n − 1)-Matrix ist, die dadurch entsteht, dass in der Matrix A die j-te Zeile und die k-te Spalte herausgenommen werden (solche Matrizen heißen „Adjunkten“, und die n nMatrix, welche an der Stelle ( j, k) die Determinante von A jk stehen hat, heißt Adjunkten-Matrix). Diese Formel heißt Laplace’sche Entwicklungsformel – und zwar Entwicklung nach der j-ten Zeile. Die Berechnung der Determinanten der Matrizen A j1 , . . . , A jn wird nun ebenso durchgeführt – also zurückgeführt auf Determinanten von (n − 2), (n − 2)-Matrizen usw. bis man schließlich auf (2, 2) – oder auch (3, 3)-Matrizen stößt, bei denen die Determinantenberechnung auf einem einfachen Schema beruht.

I1 J4 A= J J0 K4

2 1 2 8

I1 2 A23 = J 0 2 K4 8

3 2 3 1

0L 3M M 1M 6N

0L 1M 6N

Entwicklung nach der . Zeile: 333 4 2 3333 1 2 3 3333 3 det A = 1 ċ 33333 2 3 1 33333 − 2 ċ 33333 0 3 333 8 1 6 333 333 4 1 3 3 3 333 4 1 3 333 333 4 3 3 3 3 3 +3 ċ 3333 0 2 1 3333 − 0 ċ 33333 0 333 4 333 4 8 6 333 3 3 3

= 1 ċ (18 + 16 + 6 − 1 − 24 − 72) −2 ċ (72 + 8 + 0 − 4 − 0 − 36) +3 ċ (48 + 4 + 0 − 32 − 0 − 24) = −57 − 80 − 12 = −149

Wert einer zweireihigen Determinante det A = ;

a 11 a 12  ; = a 11 a 22 − a 21 a 12 \\ a 21  a 22

det A = 6

2 5

3 6 = 12 − 15 = −3 6

Wert einer dreireihigen Determinante (Sarrus)

Die ersten beiden Spalten werden nochmals hingeschrieben. Summe der Produkte parallel der Hauptdiagonalen (positiv) und parallel der Nebendiagonalen (negativ) det A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 − a 31 a 22 a 13 −a 32 a 23 a 11 − a 33 a 21 a 12

3 3333 1 3333 3 6 3333 1 2 3333 2 3 3333 3 8 1 3333

= 3+2ċ5ċ6+3ċ4ċ2 −6 ċ 3 ċ 3 − 2 ċ 5 ċ 1 − 1 ċ 4 ċ 2 = 3 + 60 + 24 − 54 − 10 − 8 = 15

A. Matrizenrechnung und Determinanten



Übersicht A-. (Fortsetzung). Satz (Determinantenregeln) allgemein

Beispiel

() det A = det A () Vertauscht man in A zwei Zeilen oder zwei Spalten, so ändert sich das Vorzeichen von det. Das heißt: Ist A˜ diejenige Matrix, welche aus A entsteht, indem man zwei Zeilen (oder Spalten) vertauscht, so gilt det A˜ = − det A

I 2 1 0L I 3 4 1L det J3 4 1M = 1 = − det J2 1 0M K 0 2 1N K 0 2 1N

() Addiert man zu einer Zeile von A (bzw. Spalte von A) beliebige Vielfache anderer Zeilen von A (bzw. Spalten von A), so ändert sich die Determinante nicht.

I 1 2 3L A = J 0 2 1M , K 3 1 4N

T

() det A = 0  Zeilen von A (bzw. Spalten von A) sind linear abhängig, d. h. es gibt eine Zeile (bzw. Spalte) von A, welche sich als Summe von Vielfachen anderer Zeilen (bzw. Spalten) darstellen lässt. () Ist A eine n n-Matrix, so ist det(λA) = λ n det A I λa 11 . . . λa 1n L ^ M = λ n det A det J ^ Kλa n1 . . . λa n1 N Wird aber nur eine einzige Zeile (bzw. Spalte) mit einem Faktor λ  C multipliziert, so erhält man λ det A, I a 11 . . . a 1n L ^ M J ^ I a 11 . . . a 1n L J M ^ M det Jλa j1 . . . λa jn M = λ det J ^ J M K a n1 . . . a n1 N J ^ ^ M K a n1 . . . a nn N

() Multiplikationssatz: Seien A und B n n-Matrizen. Dann ist das Matrixprodukt A ċ B ebenfalls eine n n-Matrix, und es gilt die wichtige Formel det(A ċ B) = det A ċ det B

I1 2 3 L A˜ = J0 2 1 M K5 7 11N

 det A = det A˜ = −5 ˜ Addieren von 2 1. Zeile + 1 2. Zeile von A A: zur . Zeile I1 2 0 J2 1 3 A=J J0 4 −1 K0 15 −6  det A = 0

A=

4L 8M M 1M 3N  2 1. Zeile − 1 2. Zeile +3 3. Zeile

23   det A = 4 − 3 = 1 12

14 21 A˜ =    det A˜ = 196 − 147 = 40 7 14 = 72 ċ det A 14 21   det A˜ = 28 − 21 = 7 = 7 ċ det A A˜ =  1 2 A=

21 ; 34

1 −1 20 B=   AB =   0 2 35

det(AB) = 10 = det A ċ det B = 5 ċ 2



A Mathematik

A.13 Differenzialrechnung Übersicht A-. Differenzen- und Differenzialquotient. Differenzenquotient: Steigung der Sekante P0 P Δy f (x) − f (x 0 ) f (x 0 + Δx) − f (x 0 ) = = Δx x − x0 Δx Δy = tan β Δx Differenzialquotient: Steigung der Tangente im Punkt P0 dy = f  (x) dx dy = f  (x) Funktion y = f (x) \ Ableitung y  = dx In der Physik wird die zeitliche Ableitung mit einem ˙ gekennzeichnet: dy = f˙(t) y = f (t); Ableitung y˙ = dt

Übersicht A-. Differenziationsregeln. Potenzregel 

y(x) = x (n  N) \ y (x) = nx y(x) = x −n (n  N) \ y  (x) = −nx −n−1 y(x) = x s (s  R) \ y  (x) = sx s−1 n

n−1

(für Exponenten s < 1 existiert die Ableitung nur in Rd0)

y(x) = 3x 2 \ y  (x) = 6x 1 4 y(x) = 4 \ y  (x) = − 5 x x  2 1 3 y(x) = x 2 = x 2 3 \ y  (x) =  3 3 x

 \ y  (x) = 2x 2−1 y(x) = x 2 Summenregel

( f + g) (x) = f  (x) + g  (x) (a f ) (x) = a f  (x) (a  R)

1 1 \ y  (x) = 5x 4 − 2 x x y(x) = 5x + 6x 7 + 2 \ y  (x) = 5 + 42x 6

y(x) = x 5 +

falls F, y differenzierbar sind Merke: Konstante Faktoren bleiben beim Ableiten erhalten. Produktregel y = u y  = u   + u y = uw y  = u  w + u w + uw 

y = (x + 3) (x 2 + 4) OPP P P PQ P P P P R OPP P P P P PQP P P P P P R u   y = 1(x 2 + 4) + 2x(x + 3) = 3x 2 + 6x + 4 y = (x 2 + 2x)(x 3 + 1)(x − 5) y  = (2x +2)(x 3 +1)(x −5)+(x 2 +2x)(3x 2 )(x −5) + (x 2 + 2x)(x 3 + 1) ċ 1

A. Differenzialrechnung



Übersicht A-. (Fortsetzung). allgemein

Beispiel Quotientenregel x 2 − 3x 5x − 1 (5x − 1)(2x − 3) − 5(x 2 − 3x) 5x 2 − 2x + 3  y = = (5x − 1)2 (5x − 1)2

u  u  − u  y = 2

y=

y=

Kettenregel y = f (φ(x))

y = (x 2 − 3x)3

d f dφ dy = ċ dx dφ dx e e \ äußere Ableitung innere Ableitung y =

y  = 3(x 2 − 3x)2 (2x − 3)

\

Logarithmusfunktion y = ln x 1 y = x y = ln( f (x)) y =

y = ln(3x) 3 1 y = = 3x x

f  (x) f (x)

allgemeiner Logarithmus y = logc x . Umschreiben auf ln y = logc x =

ln x ln c

. Ableiten 1 y = x ln c

y = log10 (3x) 1 . y = ln(3x) ln 10

. y =

1 x ln 10

Beachten der Logarithmengesetze y = logc x m = m logc x

2 ln x y = log3 x 2 = 2 log3 x = ln 3 2 y = x ln 3

y = logc (ax) = logc a + logc x

y = log4 (3x) = log4 3 + log4 x 1 ln x y = log4 3 + ln 4 1 y = x ln 4



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). allgemein

Beispiel Logarithmusfunktion

a y = logc   = logc a − logc x x

4x  = log5 (4x) − log5 (3x 2 + 1) 3x 2 + 1 1 1 ln(4x) − ln(3x 2 + 1) y= ln 5 ln 5 1 1 1 − ċ ċ (6x) y = x ln 5 ln 5 (3x 2 + 1) y = log5 

Exponentialfunktion 2

y = c ċ a f (x)

y = konst ċ BasisExponent OPP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P QPP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P R alte Funktion

y  = alte Funktion ċ ln Basis y  = y ċ ln a ċ f  (x) ċ Ableitung des Exponenten

y = 3 ċ 10 x +4 2 y  = 3 ċ 10 x +4 ċ ln 10 ċ 2x y = ex 

y  = ex ċ ln e ċ 1 = e x   e 1

trigonometrische Funktion y = sin x \ y  = cos x y = cos x \ y  = − sin x 1 = 1 + tan2 x y = tan x \ y  = cos2 x 1 y = cot x \ y  = − 2 = −1(1 + cot2 x) sin x

Übersicht A-. Wichtige Ableitungen.

y y y y

= sin(2x) \ y  = 2 cos(2x) = cos(2x) \ y  = −2 sin(2x) = tan(x 2 ) \ y  = 2x(1 + tan2 (x 2 )) = cot(4x) \ y  = −4(1 + cot2 (4x))

Übersicht A-. (Fortsetzung).

y

y

y

const



x



xn  x

nx n−1 1  2 x

1 x sin x

1 x2 cos x

cos x

ex

ex

− sin x 1 cos2 x 1 − 2 sin x cos x − 2 sin x sin x cos2 x

y

a

x

ln x loga x

a x ln a 1 x 1 x ln a

tan x cot x 1 sin x 1 cos x

−

A. Differenzialrechnung

Übersicht A-. (Fortsetzung). y

y

Übersicht A-. (Fortsetzung).



y

ln(sin x)

cot x

ln(cos x)

− tan x 2 sin(2x) 2 − sin(2x)

ln(tan x) ln(cot x)

arccos x arctan x arccot x

sinh x

cosh x

arsinh x

cosh x

sinh x 1

arcosh x

tanh x coth x arcsin x



cosh2 x 1 − sinh 2 x 1  1 − x2

artanh x arcoth x

y 1 − 1 − x2 1 1 + x2 1 − 1 + x2 1  x2 + 1 1  x2 − 1 1 1 − x2 1 x2 − 1

Übersicht A-. Ableitung spezieller Funktionen. allgemein

Beispiel implizite Funktionen

∂f fx dy = − ∂x = − y = ∂f dx fy ∂y 2 f x x f y2 − 2 f x y f x f y + f y y f x2 d y y  = = − dx 2 f y3 

y  = −

f (x; y) = 3x 3 + x 2 y − y 3 = 0 ∂f ∂f = f x = 9x 2 + 2x y; = f y = x 2 − 3y 2 ∂x ∂y f x x = 18x + 2y; f y y = −6y f x y = 2x = f yx Eingesetzt ergibt sich 9x 2 + 2x y y = − 2 x − 3y 2

(18x + 2y)(x 2 − 3y 2 )2 − 4x(9x 2 + 2x y)(x 2 − 3y 2 ) − 6y(9x 2 + 2x y)2 (x 2 − 3y 2 )3



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). allgemein

Beispiel Funktionen in Polarkoordinaten

r = r(φ) dr = r cot ε dφ

ε

r = 1 + 2 sin φ dr = 2 cos φ dφ 2 cos φ sin φ + r cos φ y = 2 cos2 φ − r sin φ sin 2φ + r cos φ y = 2 cos2 φ − r sin φ

Winkel zwischen P und Tangente in P

Zusammenhang mit kartesischem Koordinatensystem: x = r cos φ;

y = r sin φ dr sin φ + r cos φ dy dφ dφ y = = dr dx dφ cos φ − r sin φ dφ Funktionen in Parameterform

x = φ(t);

y

y = ψ(t)

dy ψt = dt = dx φt dt

y = ψ(t) = 1 − ln t

1 φ t = 2t; ψ t = − t

(φ t  0)

ψ tt φ t − φ tt ψ t Y = = (φ t )3 

x = φ(t) = 1 + t 2 ;

φ tt = 2; ψ tt = dy  dx ċ dt dt dx

d

1 t2

1 1 y = t =− 2 2t 2t 1 1 4 ċ 2t − 2 ċ −  2 1 t t  y = = t 3 = 4 (2t)3 (2t) 2t d dt 1 1 1 1 y  = ċ − 2  ċ = = dt 2t dx t 3 2t 2t 4 

−

A. Differenzialrechnung

Übersicht A-. Ableitungsbegriffe bei Funktionen mehrerer Veränderlicher. allgemein

Beispiel

y = f (x 1 , . . . , x n ) = f (x), x  R n Für den Fall n = 2 ∂y f (x 1 + h, x 2 . . . , x n ) − f (x 1 , . . . , x n ) y = f (x, z) = x sin(z 2 ) (x) = lim h0 ∂x 1 h ∂y ∂y = sin(z 2 ) , 2  k  n definiert analog sind ∂x k ∂x ∂y ∂y = 2xz cos(z 2 ) heißt k-te partielle Ableitung von f ∂x k ∂z Der Vektor, gebildet aus den partiellen Ableitungen, grad y = (sin(z 2 ), 2xz cos(z 2 )) heißt Gradient von f , Ist h = (3, 4) eine Richtung, so ist ∂y ∂y ∂y

= 3 sin(z 2 ) + 8xz cos(z 2 ) (x), . . . , (x)! grad f (x) = ∂x 1 ∂x n ∂h (grad f (x), h) (Skalarprodukt in R n ) = ∂y ∂y (x) +  + h n (x) h1 ∂x 1 ∂x n heißt Richtungsableitung von f im Punkt x  R n in Richtung h  R n und ist definitionsgemäß gleich f (x + th) − f (x) t ∂y Die Funktionen , 1  k  n, sind selber wieder ∂x k Funktionen der Variablen x 1 , . . . , x n . Falls diese partiell differenzierbar sind, erhält man die n nMatrix der . Ableitungen – kurz Hessematrix von f , lim

t0

2 2 I ∂ f , ..., ∂ f J ∂x 1 ∂x 1 ∂x 1 ∂x n J ^ ^ H f (x) = J J J J ∂2 f ∂2 f , ..., K ∂x n ∂x 1 ∂x n ∂x n ∂2 f ∂ ∂f mit = ! f fx j x i ∂x i ∂x j ∂x i ∂x j

L M M M M M M N

Falls diese . partiellen Ableitungen alle stetig sind, ist die Hessematrix symmetrisch, d. h. ∂2 f ∂2 f = (1  i, j  n) ∂x i ∂x j ∂x j ∂x i

yx x = 0 y x z = 2z cos(z 2 ) y zx = 2z cos(z 2 ) y zz = 2x cos(z 2 ) − 4xz 2 sin(z 2 ) H f (x) =

0 2z cos(z 2 ) ! 2z cos(z 2 ) 2x cos(z 2 ) − 4xz 2 sin(z)





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). ∂y ∂y dx 1 +  + dx n heißt totales Differenzial von y und seine Bedeutung ist diese: ∂x 1 ∂x n Ist x  R n ein Arbeitspunkt (Messdatensatz) und ist h = (h 1 , . . . , h n ) eine Störung von x (was bedeutet: Bestimmung von x k möge nur in den Toleranzen [x k −h k , x k +h k ] möglich sein), so ist der mögliche Fehler der Messgröße y = y(x 1 , . . . , x) im Punkte x in „erster Näherung“ durch ∂y ∂y ∂y h1 +  + hn = f (x + h) − f (x)  d f (x)(h) = ∂x 1 ∂x n ∂h gegeben. Eine verfeinerte Darstellung der Differenzen f (x + h) − f (x) benutzt die . Ableitungen und man hat 1 f (x + h) − f (x)  d f (x)(h) + (h, H f (x)(h))  Skalarprodukt in R n 2 n ∂2 f mit (h, H f (x)(h)) = b hi h j i , j=1 ∂x i ∂x j

Der Ausdruck dy =

Übersicht A-. Hauptsätze der Differenzialrechnung. Voraussetzungen: Sei f [a, b] \ R stetig und im Innern, also in a < y < b, differenzierbar Monotonie-Satz:

f  (x)  0 in ]a, b[ f streng monoton wachsend f  (x) < 0 in ]a, b[ f streng monoton fallend schwächer: f  (x) 0( 0)  f monoton wachsend (fallend) Das Beispiel f (x) = x 3 zeigt, dass nicht gilt: [ f streng monoton wachsend  f  (x)  0 für alle x]. Dabei heißt f monoton wachsend (streng monoton wachsend)  [x 1 < x 2  f (x 1 )  f (x 2 ) (bzw. f (x 1 ) < f (x 2 ))] Der Monotonie-Satz ist ein Spezialfall des Schranken-Satzes und ist zu diesem gleichwertig.

Schranken-Satz:

Gilt m < f  (x) < M für alle x ]a, b[, so ist m(x 2 − x 1 )  f (x 2 ) − f (x 1 ) < M(x 2 − x 1 ) für a  x 1 < x 2  b

Mittelwert-Satz:

Zu a  x 1 < x 2  b gibt es ein x 0 mit x 1 < x 0 < x 2 , so dass f (x 2 ) − f (x 1 ) = f  (x 0 ); geometrisch: Zu jeder Sekante gibt es eine parallele Tangente. x2 − x1 Ist f (b) = f (a), so gibt es ein x 0 mit a < x 0 < b, so dass f  (x 0 ) = 0 ist. (Dies ist ein Spezialfall des Mittelwertsatzes, welcher äquivalent zu ihm ist.)

Satz von Rolle:

Verallgemeinerter Ist g [a, b] \ R stetig und in a < x < b differenzierbar mit g  (x)  0 für alle x, Mittelwert-Satz: so gilt: Ist a  x 1 < x 2  b, so gibt es ein x 0 mit x 1 < x 0 < x 2 , so dass f  (x 0 ) f (x 2 ) − f (x 1 ) =  g(x 2 ) − g(x 1 ) g (x 0 ) Der verallgemeinerte MWS ist äquivalent zum MWS, welcher wiederum ein Spezialfall ist (mit y(x) = x) Anwendung:

Die Hauptsätze der Differenzialrechnung sind die Grundlage der Analysis schlechthin. Insbesondere finden sie unmittelbar Anwendung bei Kurvendiskussionen, Extremwertbestimmungen, Ungleichungen und Grenzwertbestimmungen.

A. Differenzialrechnung



Übersicht A-. Kurvendiskussion, Extremwertaufgaben, Ungleichungen und Grenzwertrechnung. Kurvendiskussion Ist eine Funktion f (x) vermöge Funktionsvorschrift (Formel) gegeben, so sind gefragt: () Definitionsgebiet und gegebenenfalls Symmetrien, Nullstellen () Pole (Unstetigkeits- oder Unendlichkeitsstellen) () kritische Punkte (= f  (x) = -Stellen, waagerechte Tangenten) Extremstellen (= lokale Maximum- oder Minimumstellen) sind kritische Stellen (aber nicht umgekehrt – siehe f (x) = x 3 für x = 0!). Satz (Extremstellen-Test) f  (x 0 ) = 0 und f  hat Vorzeichenwechsel ( 1 Muster)  f hat in x 0 ein lokales <Maximum Minimum . Die Bedingung f  (x 0 )  0 bzw. f  (x 0 ) < 0 impliziert dagegen nur, dass ein lokales Minimum bzw. Maximum vorliegt, nicht umgekehrt. (Beispiel f (x) = x 4  x 0 ist Minimum, aber f  (0) = 0) () Konvexität – Konkavität: f  (x)  0(< 0) in ]a, b[ f konvex (konkav) (linksgekrümmt bzw. rechtsgekrümmt). Punkte x 0 , in denen sich die Krümmung ändert (konvex , konkav) heißen Wendepunkte. Satz (Wendepunkt-Test) f  (x 0 ) = 0 und f  hat Vorzeichenwechsel in x 0 (was zum Beispiel bei f  (x 0 )  0 eintritt) mit Muster ( 1)  x 0 ist Wendepunkt (mit konvexkonkav ). Das Beispiel y = x 4 (überall konvex) zeigt, konkavkonvex

dass x = 0 kein Wendepunkt ist (obwohl y  (0) = 0 ist)!

() Grenzwerte, Asymptoten (meist für x \ 0) () Skizze der Funktion y = f (x) anhand der Daten aus () bis (). x Beispiel: f (x) = 2 x −1 Definitionsbereich: R ohne 1, wo Polstellen sind. Da x 2 − 1 = (x − 1)(x + 1), sind x 1 = 1 und x 2 = −1 Nullstellen des Nenners mit Vorzeichenwechsel; sie sind daher Polstellen von f mit entgegenzeigenden Ästen. x2 + 1 f (−x) = − f (x) und 0 ist einzige Nullstelle. Es ist f  (x) = − 2 < 0 in Def( f ), lim f (x) = 0. x (x − 1)2 x2 + 3 f ist stets monoton fallend (was wegen der Polstellen möglich ist). Desweiteren ist f  (x) = 2x 2 mit (x − 1)3 Wendestelle x = 0 (da einfache Nullstelle von f  – also mit Vorzeichenwechsel; das Vorzeichen von f  kann leicht abgelesen werden – also konvex–konkav-Bestimmung möglich). Tabelle

Extremwertaufgaben sind Textaufgaben Umsetzung in mathematische Formulierung führt auf die Aufgabe, Maxima/Minima in einem gegebenen Bereich zu bestimmen.



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Ungleichungen Ungleichungen können bei folgenden Voraussetzungen (und Differenzierbarkeitsvoraussetzungen) so behandelt werden: Ist f  (x) < g  (x) für a < x und ist f (a)  g(a)  f (x) < g(x) für a < x 1 < 1 = g  (x) (x  0), f (0) = arctan 0 Beispiel: f (x) = arctan x, g(x) = x f  (x) = 1 + x2 = 0 = g(a) also f (x) = arctan x < x = g(x) für x  0 Grenzwertrechnung Grenzwertrechnung bei unbestimmten Ausdrücken: Hier dient die Regel von l’Hospital: Gilt f (x) \ f (x 0 ) = 0(0), g(x) \ g(x 0 ) = 0(0) bei x \ 0, so gilt: f  (x) f (x) Ist a = lim  so ist a = lim . x0 g (x) x0 g(x) 0 sin x cos x = lim = 1  -Form Beispiel: lim x0 x x0 1 0 Andere unbestimmte Ausdrücke – wie 0 ċ 0 (Bsp. x ċ cot x) oder 00 (wie x sin x ) oder 0 − 0 wie 

8 0 0 1 −  können durch Manipulation oder algebraische Umformung auf - oder x − 2 x 2 + 4x − 12 0 0

Form gebracht werden, denn nur dort kann man l’Hospitals Regel anwenden. Beispiel: lim x sin x = lim ( eln x )sin x = lim esin x ln x = lim ex ln xċ x0

x0

x0

sin x x

.

sin x \ 1 bei x \ 0, ist nur lim x ln x(0 ċ 0) zu berechnen. x0 x ln x 1 x = lim Man schreibt lim x ln x = lim = − lim x = 0, x0 x0 1 x x0 −1 x 2 x0 also lim x sin x = e0 = 1. Da

x0

Man sagt dann, dass F(x) eine Stammfunktion von f (x) ist.

A.14 Integralrechnung Es gibt grundsätzlich zwei Möglichkeiten zu sagen, was ,,das“ Integral einer Funktion f (x), a  x  b, ist: – Einerseits soll dies – bei positivem f (x) die Flächeninhaltsfunktion sein (vgl. nebenstehende Figur) F(x) = #

x a

f (t) dt = Flächeninhalt unter Graph f (x)

– Andererseits soll dies eine Funktion f sein, deren Ableitung gerade die gegebene Funktion f (x) ist, also F  (x) = f (x), a  x  b.

A. Integralrechnung

Die Flächeninhaltsfunktion F(x) wird hierbei als Grenzwert ermittelt: Indem das Intervall [a, x] in n gleichbreite Rechtecke unterteilt wird, erhält man gemäß Skizze eine Annäherung zum gesuchten Flächeninhalt, i. e.: F(x) = lim

n

mit x k = a + k

x−a ċ f (x k )' n k=0 Riemann’sche Summen

Funktion f (x), so ist F(x) − G(x) = const. Sie unterscheiden sich also nur durch eine additive Konstante. F(x) = G(x) + C , F(x) und G(x) sind Stammfunktionen zu f (x)

n−1



%$x−a , k = 0, . . ., n − 1 n

Folgerung: Sind F(x) und G(x) zwei Stammfunktionen zu f (x), so ist F(x2 ) − F(x1 ) = G(x2 ) − G(x1 ) x

Theorem (Hauptsatz der Differenzialund Integralrechnung) Die vorstehende ,,Flächeninhaltsfunktion“ F(x) ist eine Stammfunktion von f (x). Es gibt im Wesentlichen nur ,,eine“ Stammfunktion zu einer Funktion f (x): Sind nämlich F(x) und G(x) Stammfunktionen zu ein und derselben

Folgerung: * x 12 f (t) dt = F(x2 ) − F(x1 ) , F(x)xx 21 wobei F(x) irgendeine Stammfunktion von f (x) ist. Während die Integration als Grenzwert Riemann’scher Summen technisch kaum durchführbar ist (von einfachsten Fällen abgesehen), so gibt es dagegen zur Ermittlung von Stammfunktionen einige weit reichende Methoden und Regeln:

Übersicht A-. Rechenregeln für Integrale. Im Folgenden steht das Symbol ' f (t) dt für a) Stammfunktion von f b) unbestimmte Integrale, also F(x) = ' f (t) dt c) bestimmte Integrale, also ' ab f (t) dt = F(b) − F(a)

wobei F(x) irgendeine Stammfunktion zu f (x) ist. Alle Funktionen seien stetig. allgemein

Beispiel

' [ f (x) + g(x)]dx = ' f (x) dx  ' g(x) dx ' c f (x) dx = c ' f (x) dx b 'a a 'b

f (x) dx =

c 'a

für c  R

f (x) dx + 'cb f (x) dx



1 3 x + cos x 3 1 3 4 1 '0 20x dx = [5x ]0 = 5

2 ' (x − sin x) dx =

(a < c < b)

f (x) dx = − ' ab f (x) dx

d x ' f (t) dt = f (x) dx a d b(x) f (t) dt = f (b(x))b  (x) − f (a(x))a  (x) ' dx a(x)

d sin x t e dt = esin x cos x ' dx 0



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Mittelwertsatz der Integralrechnung Es gibt ein ξ, a < ξ < b mit f (ξ) =

b 1 g f (t) dt b−a a

Für f 0 in [a, b]: Umwandlung der Fläche in gleichgroßes Rechteck b ' a f (t) dt ist der Flächeninhalt unter dem Funktionsgraph gemäß Skizze Merkregel: Nur für f (x) 0 ist ' ab f (x) dx der Flächeninhalt unterhalb des Graphen! Die Interpretation als Flächeninhalt – bzw. die Näherung mittels Riemann’scher Summen – führt zu zahlreichen numerischen Integrationsmethoden – Rechteckformel g

b a

f (x) dx 

b−a (y a + y 1 + y 2 + . . . + y n−1 ) n

n Anzahl gleich großer Intervalle – Trapezformel g

b a

f (x) dx 

b−a (y a + 2y 1 + 2y 2 + . . . 2n +2y n−1 + y b )

– Tangentenformel g

b a

f (x) dx 

2(b − a) (y 1 + y 3 + y 5 + . . . + y n−1 ) n

n gerade – Simpson’sche Regel g

b a

f (x) dx 

b−a (y a + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 3n 2y 4 + . . . + 2y n−2 + 4y n−1 + y b )

– Reihenentwicklung 

Sei f (x) = b a k (x − x 0 )k die analytische Entk=0

wicklung einer Funktion f (x) (sofern möglich), welche im Intervall ]x 0 − R, x 0 + R[ konvergieren möge. Sind dann a, b aus diesem Intervall, so gilt: g

b a



f (x) dx =  a k g k=0 

=  ak k=0

b a

(x − x 0 )k dx



2

ex = b

n=0

ist g

b

1 (x − x 0 )k+1 6 k+1 a

x 0

x 2n , konvergiert in ganz R, also n! 

2

et dt =  n=0 2

x 2n+1 (2n + 1)n!

Es gibt zu ex keine elementare Stammfunktion.

A. Integralrechnung



Übersicht A-. Uneigentliches Integral. allgemein

Beispiel

Integrale mit unendlichen Grenzen oder Integrale von Funktionen, deren Funktionswerte im Integrationsintervall unendlich werden oder allgemein von Funktionen, welche Unstetigkeitsstellen aufweisen. g



g g

b

a

f (x) dx = lim g a−

a

− +

−

b

f (x) dx = lim g b+

a

b

f (x) dx = lim g a−

f (x) dx

 1

1 1 b 1 dt = lim _− ` = lim 1 −  = 1 b t2 t 1 b b

f (x) dx b

a

g

f (x) dx

b+

Ist f (x) stetig in ]a, b], aber vielleicht nicht in a, so ist g

b 0

f (t) dt = lim g ε0

b a+ε

f (t) dt

g

1 0

 1 1  dt = lim S2 tT ε = 2 ε0 t

Übersicht A-. Grundintegrale. unbestimmte Grundintegrale f (x)

' f (x) dx (Stammfunktion) x n+1 (n  −1) n+1 x a = a x loga e ln a ex

xn ax ex 1 x

ln x

1 1 + x2 1 1 − x2

arctan x = −arccot x 1 1+x ln 2 1−x (x < 1)

artanh x =

1 x+1 ln 2 x−1 (x  1)

arcoth x =

1 x2 − 1



1 x2 + 1

1 x−1 ln 2 x+1 (x  1)

−arcoth x =

arsinh x = ln(x +



x 2 + 1)



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). unbestimmte Grundintegrale f (x) 

1 x2

' f (x) dx (Stammfunktion) arcosh x = ln(x +

−1

sin x cos x

− cos x sin x

1 sin2 x 1 cos2 x sinh x

− cot x



x 2 − 1)

tan x cosh x

cosh x

sinh x

1

− coth x

sinh2 x 1

tanh x

cosh2 x

bestimmte Grundintegrale, uneigentliche Integrale b 'a +1 x '−1 a dx 

e−x dx



e−x x n dx

'0 '0

2



'0

ex

x dx +1

x dx −1 1  dx '0 x 2 + a2 1 a dx '0 2 x − a2 1 a dx '0  2 a − x2 1 b dx 'a " (x − a)(b − x) 1 1 dx '0  1 − x2 

'0

ex

f (x) dx

Wert a2 − 1 a ln a 1 π 2 n! π2 12 π2 6 π 2a −0 π 2 π π 2

A. Integralrechnung

Übersicht A-. (Fortsetzung). bestimmte Grundintegrale, uneigentliche Integrale b 'a f (x) dx (Stammfunktion)

f (x) 1

'0 

dx 1 − x2 1  dx (1 − x) x



'0

a

'0  1 '0

x

x2

ax − x 2 ln x dx x +1

1 0 3πa 2 8

dx

−

π2 12

ln x dx x −1

π2 6

ln x dx x2 − 1  sin(ax) dx '0 x

π2 8 π : 2 π − : 2

1

'0

1

'0

cos(ax) dx x



'0

1 − cos(aπ) a sin(aπ) a

π '0 cos(ax) dx π 2



'0

1 dx 1 + cos x sin x  cos x  dx = '0  dx x x

π 4

'0

a<0

0

π '0 sin(ax) dx

'0

a0

1 Y

π 2

1 ln 2 2

tan x dx

Übersicht A-. Integrationstechniken. partielle Integration (Produktintegration) allgemein 



' u dx = u − ' u dx

Beispiel u = x;  = sin x u  = 1;  = − cos x = −x cos x − ' 1 ċ (− cos x) dx = −x cos x + sin x

' x sin x dx





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Substitution Ist F(u) eine Stammfunktion von f (u), so ist G(x) = F(u(x)) eine Stammfunktion von f (u(x))u  (x) und umgekehrt. u −1 (b) 'u −1 (a)

b f (u(x))u  (x) dx 'a f (u) du = Zur Anwendung kommt die Substitutionsregel zumeist in der Situation, dass die Funktion f (x) von der Struktur f (x) = g(u(x)) ist. Indem man u = u(x) als neue Variable einführt, also x = x(u) (umstellen), dx = x  (u) du, gelangt man zum Integral  ' g(u)x (u) du Gesetzt der Fall, letzteres wäre lösbar und die Stammfunktion wäre G(u), so ist F(x) = G(u(x)) die gesuchte Stammfunktion zu f (x). Sehr oft allerdings wendet man Substitutionsformen an, die im algebraischen Ausdruck für f (x) nicht vorliegen.

Spezialfall: Ist F(u) Stammfunktion zu f (u) (Variable: u), so offenbar auch F(ax + b) zu a f (ax + b) (Variable: x) Häufig kann folgende Struktur des Integranden erkannt bzw. manipulativ eingerichtet werden: f (x) = g(u(x))u  (x) Ist dann G(u) Stammfunktion von g(u), so ist F(x) = G(u(x)) das gewünschte Integral. u  (x) durch u(x) ln u(x) + c gegeben, was bei Differenzialgleichungen häufig vorkommt.

Insbesondere ist die Stammfunktion von

'

dx 3x − 1

u = 3x − 1 du = 3 dx

dx =

1 du 3

1 1 du 1 = ln u = ln 3x − 1 ' 3 u 3 3 ' 1− x 2 dx: x = cos t, dx = − sin t dt, \ ' 1 − cos2 t ċ (− sin t) dt = − ' sin2 t dt Die Stammfunktion von sin2 t wird partiell ermittelt, also: 2 ' sin t sin t dt = − sin t cos t + ' cos t dt h 1 − sin2 t 2 = − sin t cos t + t − ' sin t dt, also 1 2 sin t dt = t − sin t cos t und die ' 2 Rücksubstitution (t = arccos x) ergibt   1 ' 1 − x 2 dx = − (arccos x − x 1 − x 2 ) 2 1 1 ' 2 du = F(u) = − , also u u 1 1 1 dx = − ċ ' (ax + b)2 a ax + b du x dx u = a 2 − x 2 , dx = − , '  2 2x a − x2 1 x 1 \ '  ċ −  du = − ' u −1 2 du 2x 2 u  = −u 1 2 = − a 2 − x 2 1 2x 1 x dx = ' 2 dx = ln(x 2 + 3) ' 2 x +3 2 x +3 2 (cos x) sin x dx = ' − dx ' tan x dx = ' cos x cos x = − ln  cos x

A. Integralrechnung



Übersicht A-. (Fortsetzung). Partialbruchzerlegung Es ist P(x) Q(x) zu integrieren; P, Q Polynome. Durch Abspalten (Polynomdivision) muss zunächst gewährleistet sein, dass Grad P < Grad Q ist (sowie keine gemeinsamen Nullstellen). Die weitere Vorgehensweise ist abhängig von der Nullstellenstruktur des Nenners. Es sei Grad Q = n. . Fall: Q hat genau n (einfache), verschiedene, reelle Nullstellen Q(x) = (x − x 1 )(x − x 2 ). . .(x − x n ) i Es gibt Konstanten A1 , A2 , . . ., A n mit A1 A2 An P(x) = + +...+ Q(x) x − x 1 x − x 2 x − xn . Fall: Q hat mit Vielfachheiten genau n reelle Nullstellen (manche also vielleicht mehrfach), also Q(x) = (x − x 1 )n 1 (x − x 2 )n 2 . . .(x − x m )n m (n 1 + n 2 + . . . + n m = n) i Dann ist nur folgender Ansatz erfolgreich A11 A12 A1n 1 P(x) = + +...+ Q(x) x − x 1 (x − x 1 )2 (x − x 1 )n 1 A21 A22 A2n 2 + + +...+ x − x 2 (x − x 2 )2 (x − x 2 )n 2 A m1 A mn m + +... + (x − x m ) (x − x m )n m . Fall: Q hat auch komplexe Nullstellen (welche allerdings konjungiert auftreten: Ist z 1,2 = α  iβ eine solche Nullstelle, so ist (z − z 1 )(z − z 2 ) = (z − z 1 )(z − z¯1 ) = z 2 − 2αz + z 1 2 ein quadratischer Faktor von Q) und Q ist von der Form Q(x) = (x − x 1 )n 1 . . .(x − x r )n r ċ OPP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P QPP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P R reelle Nullstellen m

P(x) x2 + 4 = (x − 1)2 (x 2 + 2x + 4) Q(x)

x 2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 nullstellenfrei in R, also PBZ-Ansatz

m

ċ -x 2 − 2α 1 x +-α 12 + β 12 .. 1 . . . -x 2 − 2α s x +-α 2s + β 2s .. s OPP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P QP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P R konjungiert komplexe Nullstellen i Der Partialbruchansatz lautet r I nk Ak j L P(x) = b b Q(x) k=1 K j=1 (x − x k ) j N L s I mk Bk j x + Ck j M + b Jb j k=1 K j=1 Sx 2 − 2α k x + -α 2 + β 2 .T N k k

x2 + 4 (x − 1)2 (x 2 + 2x + 4) =

A1 A2 Bx + C + + x − 1 (x − 1)2 x 2 + 2x + 4



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Partialbruchzerlegung Die Bestimmung der Koeffizienten A k j , B k j , C k j erfolgt so: – Multiplikation des PBZ-Ansatzes mit Nenner Q \ Polynomgleichheit, dann – Berechnung der A, B, C-Konstanten durch a) Nullstellen einsetzen b) Koeffizientenvergleich c) Differenzieren, erneut vergleichen (bei mehrfachen Nullstellen geeignet)

x 2 + 4 = A1 (x − 1)(x 2 + 2x + 4) + A(x 2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x − 1)2 (Polynomgleichheit) x = 1 ergibt: 5 = A2 ċ 7, A2 =

5 7

Koeff. verg. (x 3 ): 0 = A1 + B Koeff. verg. (x 0 ): 4 = −4A1 + 4A2 + C Differenzieren ergibt für x = 1 2 = A1 (7) + A2 (2 ċ 1 + 2) + 0 6 32 6 ,C = folgt. woraus A1 = − , B = 49 49 49 x2 + 4 dx = ' (x − 1)2 (x 2 + 2x + 4) 5 1 3 6 + Uln(x 2 + 2x + 4) − ln x − 1 − ċ 49 7 x − 1 49 26  x +1 + 3 arctan  V 9 3

Übersicht A-. Wichtige Integrale. rationale Funktionen f (x)

' f (x) dx + C (ax + b) a(n + 1)

n+1

(ax + b)n

(n  −1)

(ax + b)n+2 b(ax + b)n+1 − a 2 (n + 2) a 2 (n + 1) (n  −2; n  −1)

x(ax + b)n

1 ax + b

1 ln ax + b a

x (ax + b)2 x (ax + b)n

1 b ln ax + b + ! a2 ax + b a(1 − n)x − b a 2 (n − 1)(n − 2)(ax + b)n−1 (n  1; n  2)

1 x(ax + b) 1 x 2 + a2

(für b  0)

1 ax + b − ln ; ; b x x 1 arctan   a a

A. Integralrechnung

Übersicht A-. (Fortsetzung). irrationale Funktionen 

x

a2 − x 2





 

x

a2 − x 2

a2 − x 2 x 1 a2 − x 2

x 2 + a2





  

x 2 + a2

x 2 + a2 x 1 x 2 + a2 x x 2 + a2 x2 x2

+

a2

1  x 2 x 2 + a2  x 2 − a2   

1 x 2 − a2 x x 2 − a2 x2 x 2 − a2

x 1  2 x a − x 2 + a 2 arcsin  (x < a) 2 a 1" 2 2 3 − (a − x ) 3  333 3  a + a 2 − x 2 3333 a 2 − x 2 − a ln 33333 333 x 333 333 x arcsin a x 1  2 x x + a 2 + a 2 arsinh  2 a 1" 2 2 3 (x + a ) 3  333 3  a + x 2 + a 2 3333 x 2 + a 2 − a ln 33333 333 333 333 x  x 2 2 arsinh = ln jx + x + a j a  2 x + a2 x a2 x 2 arsinh x + a2 − 2 2 a  x 2 + a2 − a2 x 1  2 x x x − a 2 − a 2 arcosh  2 a  333 3 2 x 3 x + x − a 2 3333 arcosh = ln 3333 333 a a 333 333  x 2 − a2 x a2 x 2 arcosh x − a2 + 2 2 a





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). trigonometrische Funktionen sin(cx) x sin(cx) sin(cx) x 1 sin(cx) 1 1 + sin(cx) 1 1 − sin(cx) cos(cx) x cos(cx) cos(cx) x 1 cos(cx) 1 1 + cos(cx) 1 1 − cos(cx) tan(cx) 1 tan(cx) + 1 1 tan(cx) − 1 cot(cx)

1 − cos(cx) c sin(cx) x cos(cx) − x2 c (cx)3 (cx)5 + − +. . . 3 ċ 3! 5 ċ 5! cx ln 6tan  6 2 cx π tan  −  2 4 cx π tan  +  2 4

cx −

1 c 1 c 1 c 1 sin(cx) c cos(cx) x sin(cx) + c2 c

(cx)2 (cx)4 + − +. . . 2 ċ 2! 4 ċ 4! 1 cx π ln 6tan  + 6 c 2 4 1 cx tan   c 2 1 cx − cot   c 2 1 − ln  cos(cx) c x 1 + ln  sin(cx) + cos(cx) 2 2c x 1 − + ln  sin(cx) − cos(cx) 2 2c 1 ln  sin(cx) c

ln cx −

A. Integralrechnung

Übersicht A-. (Fortsetzung). Hyperbelfunktionen sinh(cx) x sinh(cx) sinh 2 (cx) cosh(cx) x cosh(cx) cosh2 (cx) tanh(cx) coth(cx)

1 cosh(cx) c 1 1 x cosh(cx) − 2 sinh(cx) c c 1 x sinh(2cx) − 4c 2 1 sinh(cx) c 1 1 x sinh(cx) − 2 cosh(cx) c c 1 x sinh(2cx) + 4c 2 1 ln  cosh(cx) c 1 ln  sinh(cx) c Arcusfunktionen

x arcsin   c x arccos   c x arctan   c x arccot   c

 x x arcsin   + c 2 − x 2 c  x x arccos   − c 2 − x 2 c x c x arctan   − ln(c 2 + x 2 ) c 2 x c x arccot   + ln(c 2 + x 2 ) c 2 Areafunktionen

x arsinh   c x arcosh   c x artanh   c x arcoth   c

 x x arsinh   − x 2 + c 2 c  x x arcosh   − x 2 − c 2 c x c x artanh   + ln c 2 − x 2  (x < c) c 2 x c x arcoth   + ln x 2 − c 2  (x  c) c 2





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Exponentialfunktionen 1 cx e c ecx (cx − 1) c2

ecx x ecx ecx x

ln x +

cx (cx)2 + +... 1 ċ 1! 2 ċ 2!

ecx (c sin(bx) − b cos(bx)) c2 + b2 cx e (c cos(bx) + b sin(bx)) c2 + b2

ecx sin(bx) ecx cos(bx)

Logarithmusfunktionen x ln x − x

ln x (ln x)

x(ln x)2 − 2x ln x + 2x

2

1 ln x 1 x ln x

ln  ln x + ln x +

(ln x)2 (ln x)3 + +... 2 ċ 2! 3 ċ 3!

ln  ln x x [sin(ln x) − cos(ln x)] 2 x [sin(ln x) + cos(ln x)] 2

sin(ln x) cos(ln x)

Übersicht A-. Anwendungen der Integralrechnung in der Geometrie. Flächenberechnung allgemein Funktion positiv

Funktion negativ

Beispiel Flächen zwischen zwei Kurven

π 2

0

=0+1 =1

b

A = g f (x) dx a

b

A = − g f (x) dx a

b

A = g  f (x) − g(x) dx a

π 2

A = g sin x dx = [− cos x]0

A. Integralrechnung



Übersicht A-. (Fortsetzung). Flächenberechnung allgemein Parameterdarstellung

Beispiel

x = φ(t); y = ψ(t) y2

t2

x = φ(t) = 1 + t 2 ; t 1 = 0,5, t 2 = 2 y = ψ(t) = 3t; ψ  (t) = 3 2

2

0,5

0,5

A = ' x dy = ' φ(t)ψ  (t) dt

A = ' (1 + t 2 ); 3 dt = 3 ' (1 + t 2 )

1 t2 A = ' (x y  − yx  ) dt 2 t1

A = 3 _t +

y1

t1

1 3 2 t ` = 12,375 3 0,5

Für geschlossene Randlinie 1 A = k (x y  − yx  ) dt 2 (Leibniz’sche Sektorenformel) Polarkoordinaten r 1 = f (φ 1 ); r 2 = f (φ 2 ) 1 φ2 A = ' r 2 dφ 2 φ1

r = 1 + 2 sin φ; φ 1 = 0, φ 2 = π 2 1 π 2 A = ' (1 + 2 sin φ)2 dφ 2 0 1 π 2 2 ' (1 + 4 sin φ + 4 sin φ) dφ 2 0 π 2 1 1 A = _φ − 4 cos φ + 2 φ − sin 2φ` 2 2 0 3 A= π+2 4 =

Bogenlängen (Rektifikation) für y = f (x) x2 " s = ' 1 + y 2 dx x1 # y2 dx s=' 1 +   dy dy y1

Zykloide von t 1 = 0 bis t 2 = π x = φ(t) = r(t − sin t); φ˙ = r(1 − cos t) y = ψ(t) = r(1 − cos t); ψ˙ = r sin t π" s = ' r 2 (1 − cos t)2 + r 2 sin2 t dt 0

 π s = r 2 ' 1 − cos t dt 0

Parameterform: x = φ(t); y = ψ(t) t2 " s = ' φ˙ 2 + ψ˙ 2 dt t1

Polarkoordinaten: r = f (φ) # # r2 dr 2 dφ 2  dφ = '  dr s = k φφ12 r2 +  1 + r2  dφ dr r1

t Benutze cos t = 1 − 2 sin2   2 π t t π s = 2r ' sin   dt = _−4r cos  ` 2 2 0 0 s = 4r



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Mantelflächen von Rotationskörpern (Komplanation) um x-Achse

y = 3x + 5

um y-Achse

Kurve y = f (x)

x 1 = 0, x 2 = 3



x = g(y)

y =3 3  M x = 2π ' (3x + 5) 1 + 32 dx 0

 3 M x = 2π 10 ' (3x + 5) dx 0

3  3 M x = 2π 10 _ x 2 + 5x` = 367,6 2 0 x2

M x = 2π ' y

" 1 + y 2 dx

x1

y2

M y = 2π ' x

# 1+

y1

dx 2  dy dy

Parameterform x = φ(t); y = ψ(t) t2

t2

M x = 2π ' ψ "

t1

φ˙ 2 + ψ˙ 2 dt

ċ

"

φ 1 = 0, φ 2 = π

dr = cos φ dφ

M y = 2π ' φ

t1

ċ

r = sin φ

π " M x = 2π ' r sin φ sin2 φ + cos2 φ dφ

φ˙ 2 + ψ˙ 2 dt

0

Polarkoortdinaten r = f (φ) φ2

M y = 2π ' r cos φ

φ1

ċ

r2 + 

π

φ2

M x = 2π ' r sin φ #

=1

φ1

2

dr  dφ dφ

# ċ

r2 + 

π

M x = 2π ' r sin φ dφ = 2π ' sin2 φ dφ 0

0

= π[φ − sin φ cos φ]π0 = π2

2

dr  dφ dφ

Volumen von Rotationskörpern (Kubatur) um x-Achse

um y-Achse

y = 3x + 5; x 1 = 0, x 2 = 3

Kurve y = f (x)

x = g(y)

um y-Achse

x2

Vx = π ' y 2 dx x1

y2

Vy = π ' (g(y)2 ) dy y1 x2

Vy = π ' x 2 y  dx x1

1 (y − 5); y  = 3 3 π 3 π 3 Vy = ' (y − 5)2 ċ 3 dx = ' (3x)2 dx g 0 3 0 x=

3

Vy = 3π ' x 2 dx = π[x 3 ]30 = 27π 0

A. Integralrechnung



Übersicht A-. (Fortsetzung). Parameterform x = φ(t); y = ψ(t) t2

˙ dt Vx = π ' ψ 2 φ t1

t2

˙ dt Vy = π ' φ 2 ψ t1

x = φ(t) =

1 ; t 1 = 1, t 2 = 2 t

1 ; y = ψ(t) = 1 + t t2 2 2 1 1 2 Vx = π ' (1 + t)2 ċ 2 = π '  2 + + 1 dt t t t 1 1 2 2 1 Vx = π _− 3 + 2 + t` = 5,5π t t 1 φ˙ =

Polarkoordinaten r = f (φ)

r = const = R, 0  φ < π

x-Achse:

Vx = πR 2 ' sin3 φR dφ = πR 3 ' sin3 φ dφ =

π

φ2

dr cos φ − r sin φ; dφ Vx = π ' r 2 sin2 φ ; dφ φ1 y-Achse φ2

Vy = π ' r 2 cos2 φ ; φ1

dr sin φ − r cos φ; dφ dφ

π

0

0

4π 3 R 3

wobei φ

φ

3 2 ' sin t dt = ' sin t(1 − cos t) dt 0

0

= − cos φ +

2 1 cos3 φ + 3 3

Übersicht A-. Anwendung der Integralrechnung in der Physik. allgemein

Beispiel Arbeit

W = ' F(s) ds

Federkraft F F = ks s2

W = ' ks ds s1

W=

1 k(s 22 − s 12 ) 2

Impuls Δp = ' F(t) dt

Kraftverlauf eines Schlägers auf einen Golfball

4 ms

Δp = ' F(t) dt = 0

1 − 200 N ċ 4 ċ 10 ċ 103 s = 0,4 Ns 2



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). statische Momente, Schwerpunkte homogenes, ebenes Kurvenstück, y = f (x) Gesamtlänge ( Gesamtmasse, da  f const): b"

L='

1 + ( f  (x))2 dx

a

Schwerpunkt ζ = (x s , y s ) ist gegeben durch " 1 1 x s = ' x 1 + ( f  (x))2 dx = ċ M y La L b

 y(x) = r 2 + x 2 , 0  x  r, (Graphenform)

" 1 b 1 ' f (x) 1 + ( f  (x))2 dx = ċ M x La L

ys =

M x und M y heißen statische Momente der Kurve; aus M x = L ċ y s , M y = L ċ x s ergibt sich ihre Interpretation als gemittelte Drehmomente. Ist allgemeiner das Kurvenstück in Parameterform (x, y) = (φ(t), ψ(t)), t 1  t  t 2 , gegeben, so ist t2 "

L='

φ˙ 2 (t) + ψ˙ 2 (t) dt,

t1

xs =

" 1 t2 ' φ(t) φ˙ 2 (t) + ψ˙ 2 (t) dt, L t1

ys =

" 1 t2 ' ψ(t) φ˙ 2 (t) + ψ˙ 2 (t) dt. L t1

Der Spezialfall Polarkoordinaten: x = r cos φ, y = r sin φ und r = r(φ), φ 1  φ  φ 2 ist enthalten, und man hat in dieser allgemeinen Parameterform φ2 "

L='

r 2 (φ) + r˙2 (φ) dφ

φ1

xs =

" 1 φ2 ' r(φ) cos φ r 2 (φ) + r˙2 (φ) dφ L φ1

ys =

" 1 φ2 ' r(φ) sin φ r 2 (φ) + r˙2 (φ) dφ L φ1

"

#

x2 dx − x2 0 0 r 1 x r π =r'  dx = _r ċ arcsin ` = r 2 2 r 0 2 r −x 0 r  r x My = r '  dx = l−r r 2 − x 2 m = r 2 0 r2 − x 2 0 # r r x2 Mx = ' r 2 − x 2 ċ 1 + 2 dx = ' r dx = r 2 2 r −x 0 0 r

L='

r

1 + (y  (x))2 dx = '

1+

r2

2r r2 = y s (also etwa 0,63 r) xs = π = π r 2

A. Integralrechnung

Übersicht A-. (Fortsetzung). homogenes, ebenes Flächenstück Sei y = f (x) 0 und F sei die Fläche unterhalb des Graphen gemäß Skizze. Dann sind b

A = ' f (x) dx (Flächeninhalt) a

b

M y = ' x f (x) dx, M = a

1 b 2 ' f (x) dx 2a (statische Momente)

My

M x (Koordinaten des und y s = Flächenschwerpunktes) A A Ist F von zwei Funktionsgraphen begrenzt (gemäß Skizze), so sind xs =

f 1 (x) = x 2 , f 2 (x) = 4, F = (x, y)0  x  2, x 2  y  4

b

A = ' ( f 2 (x) − f 1 (x)) dx a

Mx =

1 b 2 2 ' ( f (x) − f 1 (x)) dx 2a 2 b

M y = ' x( f 2 (x) − f 1 (x)) dx a

2 2 1 16 A = ' (4 − x 2 ) dx = _4x − x 3 ` = 3 3 0 0

Mx =

1 2 1 5 2 4 ' (16 − x ) dx = _8x − x ` = 12,8 20 10 0 2

M y = ' x(4 − x 2 ) dx = _2x 2 − 0

1 4 2 x ` =4 4 0

4 12,8 12 3 xs = = , ys = = 16 16 4 5 3 3 Trägheitsmomente allgemeine physikalische Definition, Massenträgheitsmoment J = ' r 2 dm

dm = d(V ) =  dV für  = const dV = Volumenelement r = Abstand von dm zur Drehachse Das Trägheitsmoment eines Massenpunktes m bezüglich der Rotation um einen Punkt, Abstand r beträgt •m ċ r J = m ċ r2 Drehpunkt Hieraus erhält man durch Aufsummieren die wichtige Formel 1 JScheibe = MR 2 (Trägheitsmoment einer Scheibe, Masse M, Radius R bzg. 2 Rotation um Scheibenachse) Vol





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Trägheitsmoment eines Kurvenbogens Bei Rotation des ,,Drahtes“ (x, f (x))a  x  b um die x-Achse bzw. y-Achse b b " I x = ' y 2 (x) ds(x) = ' y 2 (x) 1 + (y  (x))2 dx a b

I y = ' x 2 ds(x) a

a b

= ' x2

" 1 + (y  (x))2 dx

a

In Parameterform (x, y) = (φ(t), ψ(t)) ergibt sich t2 " I x = ' ψ 2 (t) φ˙ 2 (t) + ψ˙ 2 (t) dt t1 t2

" I y = ' φ 2 (t) φ˙ 2 (t) + ψ˙ 2 (t) dt t1

Trägheitsmoment einer Fläche äquatoriales Trägheitsmoment der Fläche A allgemein I x = ' y 2 dA; I y = ' x 2 dA A

A

( dA Flächenelement) Satz von Steiner I D = I D S + Aa 2 I D S = Trägheitsmoment bezüglich der durch den Schwerpunkt S parallel verschobenen Drehachse (D S ) A = Flächeninhalt a = Abstand Schwerpunkt-Drehachse (D) Ix =

1 x2 3 3 ' ( f (x) − f 1 (x)) dx 3 x1 2

f (x) = b b

I x = ' y 2 dA = ' y 2 a dy = a U A

0

a

I y = ' x 2 dA = ' x 2 b dx = b U A

I p = Ix + I y =

0

ab 3 + a 3 b 3

x2

I y = ' x 2 ( f 2 (x) − f 1 (x)) dx x1

1 x2 I x = ' ( f (x))3 dx 3 x1 x2

I y = ' x 2 f (x) dx x1

polares Trägheitsmoment (Ursprung) I p = ' r 2 dA = I x + I y A

zentrifugales Trägheitsmoment I x y = ' x y dA A

Bezug auf den Schwerpunkt 1 3 ab Ix = 12 1 3 a b Iy = 12

b

y3 ab 3 V = 3 0 3 a

x3 a3b V = 3 0 3

A. Integralrechnung



Übersicht A-. (Fortsetzung). Trägheitsmoment eines Rotationskörpers Der Rotationskörper K entstehe durch Rotation der Fläche (x, y)a  x  b, 0  y  f (x) um die x-Achse. Dann ist das Trägheitsmoment von K gleich Ix =

π b 4 ' ( f (x)) dx 2 a

Übersicht A-. Kurvenintegrale. Sei C eine parametrisierte Kurve (x(t), y(t)), a  t  b, gegeben seien ferner zwei auf C stetige Funktionen P (x, y) und Q (x, y) (Vektorfeld). Dann heißt das Integral ' P dx + Q dy

C

Linien- oder Kurvenintegral (längs C), und es wird wie folgt berechnet: b

  ' P dx + Q dy = ' (P(x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t)) dt. a

C

Dabei ist das Integral unabhängig bezüglich der speziellen Wahl der Parametrisierung von C – im Allgemeinen ist das Integral aber abhängig vom Verlauf von C. Das heißt: Ist C eine andere Kurve mit gleichen Endpunkten A und B, so ist im Allgemeinen ' P dx + Q dy  ' P dx + Q dy

C˜

(Wegabhängigkeit)

C

Ist A = B, so spricht man von geschlossenen Integralen. Ein Kurvenintegral ist offenbar wegunabhängig, wenn alle entsprechenden Integrale des ,,Vektorfeldes“ (P(x, y), Q(x, y)) längs geschlossener Wege verschwinden. Es gilt folgendes Fundamentalkriterium (Satz von Poincaré): Satz (Exaktheit und Wegunabhängigkeit) Seien P(x, y) und Q(x, y) differenzierbare Funktionen in einem Gebiet Ω ⊂ R2 , welches keine Löcher haben darf! Dann sind äquivalent: () ' P dx + Q dy

hängt nur von den Endpunkten A, B der Kurve C ⊂ Ω ab

() k C P dx + Q dy = 0 ∂P ∂Q () (x, y) = (x, y) ∂y ∂x

für alle geschlossenen Kurven C in Ω

C

(Exaktheitsbedingung)



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). () Es gibt eine sogenannte Potenzialfunktion f (x, y) des Vektorfeldes P, Q, das heißt: Es gibt eine Funktion f ∂f ∂f (x, y) und Q(x, y) = (x, y) auf Ω mit P(x, y) = ∂x ∂y Beispiel: P(x, y) = 2x y 2 + x y, Q(x, y) = 2x y, C = (x, y)x = t, y = t 2 , 0  t  1 Endpunkte von C sind (0, 0) und (1, 1). Dann ist mit dx = dt, dy = 2t dt = 2x dx 1

4 2 ' P dx + Q dy = ' 2xx + xx dx + 2xx 2x dx 0

C

1

= ' (2x 5 + x 3 + 4x 4 ) dx = 0

1 1 4 83 + + = 3 4 5 60

Ist jetzt C˜ parallel zu den Achsen – auch A mit B verbindend –, C˜ = (x, 0)0  x  1 o (1, y)0  y  1, so ist ' P dx + Q dy C˜

1

1

= ' 0 dx + ' 2 ċ 1 ċ y dy = 1. 0

0

Beide Werte sind verschieden – die Exaktheitsbedingung ist schließlich verletzt: ∂P ∂Q = 4x y + x  = 2y . ∂y ∂x Das Kurvenintegral einer skalaren Funktion f (x, y), welche auf einer Kurve C ⊂ R2 stetig ist, C = (x(t), y(t))t  [a, b] lautet b " ' f ds = ' f (x(t), y(t)) x˙ 2 (t) + y˙ 2 (t) dt. C

a

Dies ist ein Spezialfall des Kurvenintegrals zuvor, nämlich f (x(t), y(t))x˙ (t) P(x(t), y(t)) = " , x˙ 2 (t) + y˙2 (t)

f (x(t), y(t)) y˙ (t) Q(x(t), y(t)) = " x˙ 2 (t) + y˙ 2 (t)

Übersicht A-. Mehrfachintegrale. Doppelintegrale Sei R = [a, b] [c, d] ein Rechteck b d

b

' f dy dx = ' ' f (x, y) dy dx = ' R

a c

a

in R2

und f stetig auf R. Dann ist

d

' f (x, y) dy! dx, c

OPP P P P P P P P P P P P P P P P P PQ P P P P P P P P P P P P P P P P P P R Funktion von x das Integral wird also iteriert berechnet. Ist nun ein Gebiet A (krumme Begrenzungen) gegeben, so führt ein Ausschöpfungsprozess mittels Rechtecke und anschließender Grenzwertbildung zum Integral ' f (x, y) dx dy A

Bedeutung: ) f f 1  ' dy dx = A f Flächeninhalt von A A

) f  0  ' f (x, y) dy dx f Inhalt des säulenartigen Körpers A

K = (x, y, z)  R3 (x, y)  A, 0  z  f (x, y)

A. Integralrechnung



Übersicht A-. (Fortsetzung). Doppelintegrale Ist die Fläche A in der Form A = (x, y)a  x  b, g 1 (x)  y  g 2 (x) durch zwei Begrenzungsfunktionen g 1 (x), g 2 (x) gegeben (Skizze), so gilt: b I g 2 (x)

' f (x, y) dx dy = ' a

A

L ' f (x, y) dy dx. Kg 1 (x) N

f (x, y) = x 2 + 2x y g 1 (x) =  x2 g 2 (x) = x

Beispiel:

und A soll der durch g 1 (x) und g 2 (x) begrenzte Bereich sein, also

A = (x, y)0  x  1, x 2  y 

1



x

x

2 ' f (x, y) dx dy = ' ' (x + 2x y) dy dx 0 x2

A

1

x

1

= ' [x 2 y + x y 2 ]x 2 dx = ' (x 2 0 1



x + x ċ x − x 4 − xx 4 ) dx

0

1 5 2 7 1 1 1 = ' (x 2 + x 2 − x 4 − x 5 ) dx = _ x 2 + x 3 − x 5 − x 6 ` 7 3 5 6 0 0 53 2 1 1 1 = + − − = 7 3 5 6 210 Die Substitutionsregel (Koordinaten-Transformation) lautet (x = x(u, ), y = y(u, )):

' f (x, y) dx dy = ' f (x(u, ), y(u, )) ċ J(u, ) du d A˜

A

wobei J(u, ) die Determinante der sogenannten Jacobi’schen Matrix ist, I ∂x ∂x L J ∂u ∂ M J M f Jakobi’sche Matrix der Koordinaten-Transformation J ∂y ∂y M K N ∂u ∂ ˜ und A ist das durch (u, ) beschriebene Gebiet A, d. h. (u, )  A˜  (x(u, ), y(u, ))  A. Für Polarkoordinaten (x = r cos φ, y = r sin φ) ist die Jakobi-Determinante gerade gleich r, also ' f (x, y) dx dy = ' f˜(r, φ)r dr dφ A˜

A

mit f˜(r, φ) = f (r cos φ, r sin φ). Anwendungen: Sei A eine Fläche in R2 (begrenzt durch x = a, x = b, y = g 1 (x), y = g 2 (x)) I x = ' y 2 dx dy

Axiales Flächenträgheitsmoment

I y = ' x dx dy

Axiales Flächenträgheitsmoment

I p = ' (x 2 + y 2 ) dx dy A OPP P P P P P P P Q P P P P P P P P R r2

Polares Flächenträgheitsmoment

A

2

A



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Dreifach-Integrale, Volumen-Integrale Es sei: V ⊂ R3 eine offene Menge und f : V \ R eine stetige Funktion dreier Variablen x, y, z. Dann ist das Volumen-Integral ' f (x, y, z) dV = ' f (x, y, z) dx dy dz

V

V

erklärbar als (additive) Zusammensetzung von Integralen über Würfel (welche als Grenzwert die Menge V ausschöpfen). Ist W der Würfel a 1  x  b 1 , a 2  y  b 2 , a 3  z  b 3 , so ist b3 I b2 I b1

' f dV = '

W

a3

L L ' ' f (x, y, z) dx dy dz Ka2 Ka1 N N OPP P P P P P P P P P P P P P P P PQ P P P P P P P P P P P P P P P P P R Funktion von x , y

OPP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P QPP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P R Funktion von z

Beispiel: f (x, y, z) = x 2 − 2yz + 1

' f dV = '

W

0

1

=' 0

1

' 0

1

2 ' x − 2yz + 0

1 , W = [0, 1]3 z+2 1 1 1 1 x 1  dx! dy! dz = ' ' _ x 3 − 2x yz + ` dy! dz z+2 z+2 0 0 0 3

1 1 1 y 1 1  dy! dz = ' _ y − zy 2 + ` dz '  − 2yz + 3 z + 2 3 z + 2 0 0 0 1

1 1 1 1 1 1  dz = _ z − z 2 + log z + 2` ='  −z+ 3 z+2 3 2 0 0 1 1 3 3 1 = − + log = log − 3 2 2 2 6

Der häufig auftretende Fall, dass über einen ,,Säulenkörper“ integriert wird, sei an einem Beispiel durchgeführt. Beispiel: Es sei V definiert durch die Bedingungen a  x  b, g 1 (x)  y  g 2 (x), f 1 (x, y)  z  f 2 (x, y) Dann ist b I g 2 (x)I f 2 (x , y)

' f dV = '

V

a

L L f (x, y, z) dz dy dx ' ' Kg 1 (x) Kf 1 (x ,z) N N

A. Integralrechnung



Übersicht A-. (Fortsetzung). Dreifach-Integrale und für a = 0, b = 2, g 1 (x) = f (x, y, z) = 1 ist

 1 x, g 2 (x) = x, f 1 (x, y) = 0, f 2 (x, y) = 1 + x 2 − y 2 , 2



2 2 L L L 2 I x I 1+x +y 2I x 1 dz M dy M dz = ' J ' -1 + x 2 + y 2 . dy M dx ' f dV = ' J ' J ' 1 1 0 K x K 0 0 K x V N N N 2 2

2

= ' _y + yx 2 + 0

2 1 5 1 1 3 x 1 3 1 1 y ` dx = ' x 2 + x 2 + x 2 − x − x 3 − x 3  dx 1 3 3 2 2 24 x 0 2

2 2 5 1 1 1 2 32 7 = _ x 2 x 2 + x 2 − x 2 − x 4 − x 4` 3 7 15 4 8 96 0  2 2 2 1 436  19 ċ 4 − 1 − 2 − = ċ 2− = 2 ċ 2 + ċ 8 + 3 7 15 6 105 6

Bedeutung: Wird die Funktion f (x, y, z) f 1 über einen Bereich V ⊂ R3 integriert, so folgt g 1 dV = g dx dy dz = Vol (V ) (Volumen). V

V

Transformationsformel: Bei Einführung neuer Koordinaten muss die Determinante der Jacobi-Matrix berechnet und miteinbezogen werden, analog zum -dimensionalen Fall. Im Fall der häufig vorkommenden Kugelkoordinaten ist x = r sin β cos φ y = r sin β sin φ z = r cos β z cos β = ; r x cos φ = " x 2 + y2 " r = x 2 + y2 + z2

I ∂x ∂x ∂x L Isin β cos φ r cos β cos φ −r sin β sin φL J ∂r ∂β ∂φ M J M J M J M J ∂y ∂y ∂y M J M J M J M sin β sin φ r cos β sin φ r sin β cos φ J=J = M J M ∂r ∂β ∂φ J M J M J ∂z ∂z ∂z M J M J M J cos β M −r sin β 0 K ∂r ∂β ∂φ N K N det J = r 2 sin β



A Mathematik

A.15 Summen, Folgen und Reihen Übersicht A-. Summen, Folgen und Reihen. Summen Unter Summen versteht man gewöhnlich die Addition endlich vieler Zahlen a 1 , . . ., a n  C n

 a k = a1 + a2 + . . . + a n ; k=1

unter Reihen dagegen die Addition unendlich vieler Summanden – letzteres wird über eine Grenzwertbetrachtung geführt. Summen oder Reihen heißen alternierend, falls die Summanden abwechselnd verschiedene Vorzeichen haben. Beispiele für Summen: n−1

n (n − 1)d 2 (diese Summe heißt arithmetische Summe; die Differenz aufeinander folgender Glieder ist konstant (d)) n 1 1 + 2 + 3 + . . . + n = b k = n(n + 1) (ein Spezialfall von ()) 2 k=1 1 1 ċ 2 + 2 ċ 3 + . . . + (n − 1)n = (n − 1)n(n + 1) 3 1 12 + 32 + . . . + (2n − 1)2 = n(2n − 1)(2n + 1) 3 1 12 + 22 + 32 + . . . + n 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 1 13 + 23 + 33 + . . . + n 3 = n 2 (n + 1)2 4 Die geometrische Summe ist dadurch gekennzeichnet, dass der Quotient aufeinander folgender Glieder konstant ist. Das heißt:

() a + (a + d) + (a + 2d) + . . . + (a + (n − 1)d) = b (a + kd) = n ċ a + k=0

() () () () () ()

a 1 = a 0 ċ q, a 2 = a 1 ċ q = a 0 ċ q 2 , . . . , a n = a 0 ċ q n 1 − q n+1 . 1−q k=0 k=0 Die geometrische Summe – ebenso wie die geometrische Reihe – hat eine außerordentliche, anwendungsbezogene Bedeutung: Prozentuale Zuwächse, progressive Vorgänge werden durch Zahlenfolgen n

n

b = a 0 b q k = a 0 (1 + q + q 2 + . . . + q n ) = a 0

a, aq, aq 2 , . . . beschrieben, wie z. B. die Zinsrechnung im Finanzwesen: Vorgang : Ein Kapital (K 0 ) wird n Jahre mit Zinseszins verzinst. p Zinssatz i = (p heißt Zinsfuß) 100 Auf-, Abzinsfaktor q+ = 1 + i bzw. q− = 1 − i K n bezeichnet das Kapital am Ende der n-ten Zinsperiode (i. d. R. ein Jahr) K n = K 0 q+n = K 0 1 +

p n  100

A. Summen, Folgen und Reihen



Übersicht A-. (Fortsetzung). Vorgang : Es werden während der Zinsperioden regelmäßige Einzahlungen konstanten Betrages (E) getätigt, welche mit p% – innerhalb der Zinsperiode linear – desweiteren mit Zinseszins verzinst werden. (z. B. monatliche Einzahlungen von  € auf ein Sparbuch, Jahreszins %). Nach Ablauf von n Jahren beträgt das angesparte Kapital K n (bei vorschüssigem Einzahlungsmodus) K n = m ċ E 1 +

m + 1 p qn − 1 ċ  2m 100 q − 1 Folgen

Eine Folge (a n )nN (mit a i  R oder C) heißt konvergent, wenn es eine Zahl a  R (C) gibt mit folgender Eigenschaft: Für jedes ε  0 gibt es ein N, sodass für n N gilt a n − a < ε. Man sagt dann: a n \ a, a = lim a n n n Eine nicht konvergente Folge heißt divergent. Regeln: ) a n \ a, b n \ b  a n + b n \ a + b ) a n \ a, b n \ b  a n ċ b n \ a ċ b a an ) a n \ a, b n \ b \ 5 und b  0 bn b ) a n \ a  a n − a \ 0 n

) Sei 0  b n  a n . Ist dann a n \ 0, so gilt auch b n \ 0. Eine Funktion f (x) heißt stetig in x 0 , falls gilt: x n \ x 0  f (x n ) \ f (x 0 ) n

n

Der Ausdruck lim f (x) = a bedeutet: nx 0

Für jede Folge (x n )nN mit x n \ a gilt lim f (x n ) = a. n

1 Beispiele:   \ 0 n 1 n (Euler’sche Zahl) 1 +  \ e n n \ 0  x < 1 x (sin n)nN ist divergent n ((−1) )nN ist divergent Wichtiger Satz (Bolzano-Weierstraß) Ist (a n )nN eine Folge (in R C), welche beschränkt ist – d. h. es gibt eine Konstante K  0 mit a n   K für alle n – so gibt es eine unendliche Teilauswahl der a n (,,Teilfolge“), welche konvergent ist.



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Reihen Gegeben ist eine Folge von Summanden a 1 , a 2 , . . . Man setzt n

S n = b a k

(n-te ,,Partialsumme“)

k=1

Dann: Die Reihe der a k heißt konvergent  die Folge (S n )nN ist konvergent 

und b a k = lim

n

k=1

n

b a k ! = lim S n = S

k=1

n

Falls nicht konvergent: Reihe divergent Beispiele:

konvergente Reihen



 1 1 1 1 1 = b (−1)n = 1− + − + −... e n=0 n! 1! 2! 3!  π 1 1 1 1 = b (−1)n+1 = 1− + − + −... 4 n=1 2n − 1 3 5 7  1 1 1 1 π2 = b 2 = 2 + 2 − 2 +... 6 1 2 3 n=1 n  1 1 1 1 π2 = 2 + 2 + 2 +... = b 8 1 3 5 n=0 (2n + 1)2  π2 1 1 1 1 = b (−1)n+1 2 = 2 − 2 + 2 − + . . . 12 n=1 n 1 2 3

1 1 1 1 = + + +... n(n + 1) 1 ċ 2 2 ċ 3 3 ċ 4 1 1 1 1 1 = b = + + +... 2 n=1 (2n − 1)(2n + 1) 1 ċ 3 3 ċ 5 5 ċ 7  1 1 1 1 = b = + +... 4 n=1 n(n + 1)(n + 2) 1 ċ 2 ċ 3 2 ċ 3 ċ 4  1 1 1 1 2 = b n = 1+ + + +... 2 4 8 n=0 2  1 1 1 1 ln 2 = b (−1)n+1 = 1 − + − + − . . . n 2 3 4 n=1  1 1 1 = 1+ + +... e= b 1! 2! n=0 n!

1= b

n=1 





k=0

k=0

b q k = 1 + q + q 2 + . . . konvergent  q < 1 und b q k =

1 1−q

divergente Reihen 



1 1 1 = 1+ + +... n 2 3 (harmonische Reihe)

b (−1)n

b

n=0

n=1

(= 0)

Wichtige Konvergenz-Tests: 

① ; b an ; < 0  an \ 0 n=1

(aber nicht ,,p“) 

② a n \ 0 mit 0 < a n+1 < a n  b (−1)n a n n=0

③ Gilt 6



a n+1 6  q < 1 für alle n n 0 , so ist b a n an n=1

konvergent (Leibniz) konvergent (Quotientenkriterium)

A. Summen, Folgen und Reihen



Übersicht A-. Reihenentwicklung von Funktionen. Potenzreihen Satz von Taylor: Ist f (x) im Intervall a < x < b (n + 1)-mal differenzierbar, ist x 0  ]a, b[, so ist h  h n (n) f (x 0 ) + . . . + f (x 0 ) + R n q Taylor-Formel 1! n! h n+1 (n+1) wobei R n = R n (x 0 , h) = (x 0 + δh) mit einem gewissen 0  δ  1 das f (n + 1)! sogenannte Lagrange-Restglied ist.

q f (x 0 + h) = f (x 0 ) +

Falls nun f (x) beliebig oft differenzierbar ist, falls ferner R n \ 0 (was leider nicht immer gilt), so gen

winnt man aus der Taylor-Formel die Taylor-Reihe/McLaurin’sche Reihe/analytische Entwicklung der Funktion f (um x 0 ). Im Folgenden einige Spezialfälle. Binomische Reihen m(m − 1) ċ . . . ċ (m − n + 1) m  = n n! n n n x  1 (1  x)n = 1    x +   x 2    x 3 +  . . . 1 2 3 1 1 1 3 5 4 7 5 21 6 1 2 x  x − x ... (1  x) 2 = 1  x − x  x − 2 8 16 128 256 1024 Exponentialfunktionen x2

 xi

x + +... = b x < 0 1! 2! i=0 i! 2 2 x ln a x ln a a x = ex ln a = 1 + + +... x < 0 1! 2! a0 ex = 1 +

Logarithmusfunktionen (x − 1) x − 1 (x − 1) − + − +... 0<x2 1 3 3 x2 x3 x4 ln(1 + x) = x − + − + −... −1 < x  1 2 3 4 2 3 x x ln(1 − x) = − x + + + . . .! −1 < x < 1 2 3 (1 + x) x3 x5 ln = 2 artanh x = 2 x + + + . . .! x < 1 (1 − x) 3 5 (x + 1) 1 1 1 ln = 2 arcoth x = 2  + 3 + 5 + . . . x  1 (x − 1) x 3x 5x ln x =

2

3

x  1



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). trigonometrische Funktionen x3 x5 x7 + − + −... x < 0 3! 5! 7! 2 4 6 x x x cos x = 1 − + − + −... x < 0 2! 4! 6! 2 17 7 π 1 x < x +... tan x = x + x 3 + x 5 + 3 15 315 2 1 1 2 5 1 cot x = − x − x 3 − 0 < x < π x −... x 3 45 945

sin x = x −

zyklometrische Funktionen 1ċ3 x 1 ċ 3 ċ 5 x7 1x + + +... x < 1 2 3 2ċ4 5 2ċ4ċ6 7 π 1 x3 1 ċ 3 x5 1 ċ 3 ċ 5 x7 arccos x = − x − − − +... x < 1 2 2 3 2ċ4 5 2ċ4ċ6 7 3 5 7 x x x arctan x = x − + − + −... x < 1 3 5 7 3 5 7 π x x x arccot x = − x + − + − +... x < 1 2 3 5 7

arcsin x = x +

3

5

Hyperbelfunktionen 1 3 1 5 1 7 x + x + x +... x < 0 3! 5! 7! 1 1 1 x < 0 cosh x = 1 + x 2 + x 4 + x 6 + . . . 2! 4! 6! 2 17 7 π 1 x + −... x < tanh x = x − x 3 + x 5 − 3 15 315 2 1 x x 3 2x 5 + − +... 0 < x < π coth x = + − x 3 45 945

sinh x = x +

Areafunktionen 1 x3 1 ċ 3 x5 1 ċ 3 ċ 5 x7 + − +... x < 1 2 3 2ċ4 5 2ċ4ċ6 7 1ċ3 1 1ċ3ċ5 1 1 1 − 5 arcosh x =  ln(2x) − ċ 2 − ċ ċ 2 2x 2 ċ 4 4x 4 2 ċ 4 ċ 6 6x 6 3 5 7 x x x artanh x = x + + + +... x < 1 3 5 7 1 1 1 1 1 x  1 arcoth x = + ċ 3 + ċ 5 + . . . x 3 x 5 x

arsinh x = x −

x1

A. Fourier-Reihen

Übersicht A-. (Fortsetzung). Näherungen (ε sehr klein) (1  ε)n  1  nε

ε ll 1 ε n n (a  ε)n  a  a 1  n  a  1 1ε  1 ε 2   ε a  ε  a 1   2a 1 11ε 1ε 1 1 ε  1 1  aε a a 1 1  11 ε  2 1ε ε 1 1    1 1  a 2a aε " q p (1 + ε)q  1  ε p

" p

1 (1  ε)q

eε  1 + ε;

 11

q ε p

a ε  1 + ε ln a

ln(1 + ε)  ε 1+ε   2ε; ln  1−ε

ln(ε +



ε 2 + 1)  ε

1 cos ε  1 − ε 2 2 1 tan ε  ε; cot ε  ε arcsin ε  ε; arctan ε  ε ε2 sinh ε  ε; cosh ε  1 + 2 1 tanh ε  ε; coth ε  ε arsinh ε  ε; artanh ε  ε sin ε  ε;

allgemein: f (ε)  f (0) + ε f  (0)

Diese Entwicklungen können für Näherungen verwendet werden, sowie die Taylorentwicklung selbst: f (h) = f (0) + h ċ f  (0) + R 2 mit R 2  h 2

A.16 Fourier-Reihen Übersicht A-. Fourier-Reihen. Kurvenform

Fourier-Reihe

Rechteckimpulse f (x) =

cos 3b 4a cos b s sin x + sin(3x)+ π 1 3 cos 5b + sin(5x) + . . .t 5

f (x) =

cos(2b) 2a b sin b s + cos x + cos(2x)+ π 2 1 2 sin(3b) + cos(3x) + . . .t 3





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Kurvenform

Fourier-Reihe

Rechteckkurve f (x) =

cos(3x) cos(5x) 4a scos x − + − + . . .t π 3 5

f (x) =

4a sin(3x) sin(5x) ssin x − + − + . . .t π 3 5

Dreieckimpuls f (x) =

ab 2a (1 − cos b) 1 − cos(2b) s cos x + cos(2x) + 2π π2 12 22 1 − cos(3b) cos(3x) + . . .t + 32

f (x) =

8 cos(3x) cos(5x) a s1 + 2 cos x + + + . . .!t 2 π 32 52

f (x) =

a 8 cos(3x) cos(5x) s1 − 2 cos x + + + . . .!t 2 π 32 52

f (x) =

8a sin x sin(3x) sin(5x) s 2 − + − + . . .t π2 1 32 52

f (x) =

8a cos x cos(3x) cos(5x) s 2 − + − + . . .t π2 1 32 52

Dreieckkurve

A. Fourier-Reihen



Übersicht A-. (Fortsetzung). Kurvenform

Fourier-Reihe

Sägezahnkurve f (x) = −

sin(2x) sin(3x) 2a ssin x + + + . . .t π 2 3

f (x) =

2a sin x sin(2x) sin(3x) s − + − + . . .t π 1 2 3

f (x) =

a 2 s1 − 2 π

gleichgerichteter Wechselstrom (Einweggleichrichtung) f (x) =

gleichgerichteter Wechselstrom (Zweiweggleichrichtung) f (x) =

sin x sin(2x) sin(3x) + + + . . .!t 1 2 3

π 2 a 1 + cos x + cos(2x)− π 2 1ċ3 2 2 − cos(4x) + cos(6x) − + . . .5 3ċ5 5ċ7

2a 2 2 1 + cos(2x) − cos(4x)+ π 1ċ3 3ċ5 2 cos(6x) − + . . .5 + 5ċ7



A Mathematik

A.17 Fourier-Transformation Übersicht A-. Fourier-Transformation. Lösungsansatz

Zeitfunktion: zeitlicher Verlauf des Signals Frequenzfunktion: Frequenzen, Amplituden und Phasen Eigenschaft der Verschiebung Verschiebung des Spektrums um ω 0 Zeitfunktion amplitudenmodulierte Kosinusfunktion

Frequenzfunktion Spektrum ist um ω 0 verschoben

Eigenschaft der Ähnlichkeit reziprokes Verhalten der Breite der Zeitfunktion Δt und der Breite der Frequenzfunktion Δω. Δt ċ Δω = 1 Unschärferelation Physik: Δx ċ Δp x h Δx Ortsschärfe; Δp x Impulsschärfe in x-Richtung; h Planck’sches Wirkungsquantum; h = 6,626 ċ 10−34 J ċ s Nachrichtentechnik: T ċ 2B = 1 Shannon’sches Abtasttheorem T Abtastintervall; B Bandbreite

A. Fourier-Transformation

Übersicht A-. (Fortsetzung). Eigenschaft der Ähnlichkeit Zeitfunktion

Frequenzfunktion

breite Zeitfunktion

schmale Frequenzfunktion

schmale Zeitfunktion

breite Frequenzfunktion

Fourier-Transformation Zeitfunktion

Frequenzfunktion

F(ω) = Rechteckimpuls 1 1 4 f (t) = sin(t) + sin(3t) + sin(5t) + . . . π 3 5

Dreieckimpuls 4 1 1 1 f (t) = + 2  2 cos(t) + 2 cos(3t) 2 π 1 3 1 + 2 cos(5t) + . . . 5

F(ω) =

2 sin(ωT) ω

4 sin2 (ωT 2) Tω 2





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Fourier-Transformation Zeitfunktion

Frequenzfunktion

2

Impuls einer cos -Funktion π ċ t f (t) = cos2  2T

Impuls einer Gauß-Funktion 2 2 f (t) = e−t 2T

F(ω) =

F(ω) =

sin(ωT) ċ ωT



T 1 + jωT

F(ω) =

Einheitsimpuls (Dirac-Impuls) f (t) = δt

F(ω) = 1

1

2π ċ T ċ e− 2 (ωT)

Exponentialimpuls f (t) = e−t T

T ωT 2  1− π

2

A. Gewöhnliche Differenzialgleichungen

A.18 Gewöhnliche Differenzialgleichungen Differenzialgleichungen sind Gleichungen, bei welchen als Lösungen Funktionen gesucht sind. Handelt es sich bei diesen gesuchten Funktionen um solche einer einzigen Variablen, so spricht man von gewöhnlichen Differenzialgleichungen – ansonsten von ,,partiellen Differenzialgleichungen“. Die allgemeine (oder implizite) Form einer gewöhnlichen Differenzialgleichung lautet 

F(x, y, y , . . . , y

(n)

) = 0,

und man nennt die höchste in der Gleichung auftretende Ableitungsordnung der zu suchenden Funktion y(x), die – in F(x, y, y  , . . . , y (n) ) = 0 eingesetzt – der Gleichung genügt, die Ordnung der Differenzialgleichung. Kann die Gleichung F(x, y, y  , . . . , y (n) ) = 0 explizit nach y (n) aufgelöst werden, so liegt mit y

(n)

= f (x, y, . . . , y

(n−1)

)

die allgemeine, explizite Form einer Differenzialgleichung n-ter Ordnung vor. z. B.: x ċ e

y y 

−1 =1y = ln x . y 

Bei mehreren, gekoppelten Gleichungen für mehrere (ebenso viele) gesuchte Funktionen spricht man von Differenzialgleichungssystemen; Differenzialgleichungen höherer Ordnung können in der Regel in Systeme . Ordnung überführt werden. In Physik und Technik sind insbesondere die beiden (expliziten) Grundtypen wichtig: 

y = f (x, y)

(Differenzialgleichung . Ordnung)





y = f (x, y, y )



A.18.1 Differenzialgleichung y  = f (x, y) Es sei f : IxM  R eine stetige Funktion; I und M seien Intervalle in R. Gesucht ist eine Funktion y I˜  R, welche differenzierbar ist und für die die Wohldefiniertheitsbedingung I˜ ⊂ I und ˜ ⊂ M gilt, sodass y(I) 

y (x) = f (x, y(x))

für alle

x I˜

identisch erfüllt ist. Solche Differenzialgleichungen haben i. Allg. viele Lösungen, nämlich a) eine Funktionsschar y k (x), (die ,,allgemeine Lösung“) abhängig von einem reellen Parameter λ R b) sogenannte ,,singuläre Lösungen“, das sind solche, die in der allgemeinen Lösung nicht vorkommen Beispiel: Für die Differenzialgleichung y  = x(y − 2)2 hat man die Lösungen y λ (x) =

2 λ − x2

(λ R)

und y = const = 2 Zentrale Bedeutung für die gesamte Theorie und Praxis der Differenzialgleichungen hat der Existenz- und Eindeutigkeitssatz. Theorem (Existenz- und Eindeutigkeitssatz) Es sei f : IxM stetig und sei x0 I. Dann hat für jedes y 0 M das sogenannte Anfangswertproblem (AWP) 

(Differenzialgleichung

y = f (x, y)

. Ordnung)

y(x0 ) = y 0



A Mathematik

mindestens eine Lösung. Ist die Funktion f sogar noch differenzierbar auf IxM (allgemeiner: lokal gleichmäßig lipschitzstetig bzgl. y), so hat das Anfangswertproblem genau eine Lösung. (Die Vorgabe von y 0 kann also als Parameter λ der allgemeinen Lösung (lokal um x0 ) dienen).

bekommt man durch Zeichnen des Richtungsfeldes: Ist nämlich y(x) eine Lösung, so ist y  (x) einerseits die Steigung an diese Kurve in x und andererseits gleich dem Wert f (x, y(x)). Durch Zeichnen vieler kleiner Steigungsgeraden erhält man das Richtungsfeld und durch glattes Verbinden gelangt man zu den Lösungskurven. A.18.2 Lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung Sie lautet: 

y + g(x)y = h(x)

Eine geometrische Vorstellung der Lösungsschar der Differenzialgleichung y  = f (x, y)

mit stetigen Funktionen g und h auf einem Intervall I. Die Gleichung heißt homogen  h(x) = 0, sonst inhomogen. Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten:

allgemein

Beispiel

Methode  (Lösung nach Formel): y(x) löst die gegebene Differenzialgleichung  x

t

x

y(x) = Uk + ' Sh(t) e

g(s) ds T

−  g(s) ds

dtV e

x0

x0

Hierbei ist k  R beliebig, x 0  I beliebig. Offenbar gilt dann auch y(x 0 ) = k

y  + 2y = 3x 2 + 1 x

y(x) = Uk + ' ((3t 2 + 1) e2t ) dtV e−2x 0

−2x

= ke

= k e−2x

1 x2 x 1 − + ! + t e−2 2 2 4 2 3 3 5 + x2 − x + (k  R) 2 2 4 + s3 e2x

Methode  (Variation der Konstanten): Dies ist eine spezielle Form eines Ansatzverfahrens, welches in  Schritten verläuft: .

Lösung der homogenen Gleichung:

x

G(x) = ' 2 ds = 2x x0

x

 y(x) = k e−2x ,

x0

Ansatz: y(x) = k(x) e−2x

Ist G(x) = ' g(s) ds irgendeine Stammfunktion von g(x), so ist die Gesamtheit aller Lösungen von y  + g(x)y = 0 durch y(x) = k e−G(x) , kR gegeben. .

y  + 2y = 3x 2 + 1

,,Variation der Konstanten“: Der spezielle Ansatz y(x) = k(x) e−G(x) führt auf die Bedingung k  (x) e−G(x) = h(x), also k(x) = x

G(t) T dt in Übereinstimmung mit der ' Sh(t) e

x0

angegebenen Formel.

kR

x

k(x) = ' S(3t 2 + 1) e2t T dt x0

5 3 3 =  x 2 − x +  e2x + C 2 2 4 3 3 5  y(x) = C ċ e−2x + x 2 − x + , 2 2 4

CR

A. Gewöhnliche Differenzialgleichungen allgemein



Beispiel

Methode  (Spezielle Ansatzmethode) Ist die Inhomogenität h(x) von einem bestimmten Funktionstyp (z. B. ein Polynom) und ist der Zuwachsfaktor g(x) ähnlichen Typs, so sind auch oftmals Lösungsansätze erfolgreich, bei der eine Lösung y(x) ebenfalls von diesem Typ ist, dargestellt durch unbekannte Parameter, welche durch Einsetzen in die Differenzialgleichung bestimmt werden. Hat man auf diese Weise eine Lösung y der inhomogenen Differenzialgleichung gefunden, so lautet die allgemeine Lösung y(x) = y 0 (x) + y s p (x) mit y 0 + g(x)y 0 = 0 .

A.18.3 Separierbare Differenzialgleichungen Eine Differenzialgleichung ist von separierter Form, falls y  = h(x)g(y) , dy = h(x) dx (die g(y) Variablen x und y erscheinen auf getrennten Seiten der Gleichung). sodass man auch schreibt:

y  + 2y = 3x 2 + 1 y 0 (x) = k e−2x ist die allgemeine Lösung der homogenen Differenzialgleichung. Für eine spezielle Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung macht man den Ansatz y(x) = αx 2 + βx + γ y  + 2y = 2αx + β + 2αx 2 + 2βx + 2γ = 3x 2 + 1 Koeffizientenvergleich ergibt: 3 5 3 α= , β=− , γ= 2 2 4 5 3 3  y(x) = k e−2x + x 2 − x + , 2 2 4

kR

Eine Differenzialgleichung heißt separierbar, falls man sie durch Umformungen auf separierte Form bringen kann. Besonders wichtige Beispiele für separierte Differenzialgleichungen liefern die sogenannten ,,homogenen“ Differenzialgleichungen (nicht zu verwechseln mit den ,,homogenen linearen“ Differenzialgleichungen). Historisch bedingt, heißt eine Differenzialgleichung der Form y y = f  x

allgemein

Beispiel

Lösung der separierten Differenzialgleichung

y  = k(a − y)n

y  = h(x)g(y).

(chemische Reaktionsgleichung n-ter Ordnung) Singuläre Lösung: y f a Allgemeine Lösung: y =k (a − y)n 1  (a − y)1−n = kx + c 1−n

Zunächst Achtung: Jede Nullstelle von g(y) liefert eine konstante, singuläre Lösung: g(y 0 ) = 0  y(x) = y 0

ist eine Lösung.

Allgemeine Lösungen lassen sich nur in Intervallen I angeben, in denen g(y) nullstellenfrei ist. Vorgehensweise:

1

. Integriere

y 1 1 bzgl. y, also G(y) = ' dt g(y) g(t) x

. Integriere h(x) bzgl. x, also H(x) = ' h(t) dt

 y(x) = a − ((1 − n)kx + c) 1−n , y  = ky(a − y)

CR

(logistische Differenzialgleichung)



A Mathematik

homogen. Geometrisch bedeutet dies, dass das Richtungsfeld auf allen Halbstrahlen y = αx konstant ist.

allgemein . Die implizite Darstellung der allgemeinen Lösung lautet G(y) = H(x) + C, C  R. Umstellen nach y (sofern möglich) liefert die explizite Lösung y(x).

Beispiel Singuläre Lösungen y f 0 oder y f a Allgemeine Lösung: y =k y(a − y) 

1 1 1 s + t y = k a y a−y

 ln y − ln(a − y) = akx + c y  = k eakx , k0 a−y a  y(x) = a − 1 + k eakx

logistische Gleichung für k  0

allgemein Die Differenzialgleichung ist separierbar: y Man setzt u = , also x y(x) = xu(x)  y  (x) = u(x) + xu  (x) f (u) − u x Dies ist eine separierte Differenzialgleichung für u. Ist u(x) bekannt, so erhält man die Lösung y(x) der ursprünglichen Differenzialgleichung aus dem Transformationsansatz,  u  (x) = (y  (x) − u(x)) x =

y(x) = x ċ u(x).

Beispiel 

"

x y = y + x 2 + y 2 , also # y y 2 y = + 1 +   ; x x y erhalten wir eine Differenzialgleichung mit u = x für u, nämlich  u + 1 + u2 − u 1  u = = 1 + u2 x x u 1   = 1 + u2 x  arsinh u = ln x + c  2u = 2 sinh(ln x + c) = e(ln x+c) − e−(ln x+c) 1 (k  0) = kx − kx 1 1  y = kx 2 − (k  R) 2 2k

A. Gewöhnliche Differenzialgleichungen

A.18.4 Exakte Differenzialgleichungen

(b) Die Integrabilitätsbedingung ∂g ∂h (x, y) = (x, y) ∂y ∂x ist überall erfüllt.

Symbolisch kann die Differenzialgleichung y  = f (x, y) auch so geschrieben werden: dy − f (x, y) dx = 0 ,

(x , y)

sodass man mit einer zunächst willkürlichen g(x, y) Aufspaltung f (x, y) = auf die Form h(x, y) g(x, y) dx + h(x, y) dy = 0 kommt. Angenommen, es gäbe eine Funktion V (x, y) (,,Potenzial“) mit ∂V (x, y) = g(x, y) ∂x und ∂V (x, y) = h(x, y) , ∂y



(c)

Das Kurvenintegral

*

(x 0 , y 0 )

g dx + h dy ist

wegunabhängig. Folgerung: Ist eine Differenzialgleichung in der Form g(x, y) dx + h(x, y) dy = 0 gegeben, so prüft man mittels Integrabilitätsbedingung (b), ob die Gleichung exakt ist. Ist dies der Fall, so lässt sich die Potenzialfunktion V (x, y) als Kurvenintegral finden, x,y

V (x, y) = #

g dx + h dy

(x 0 , y 0 )

dann wird durch die Gleichung V (x, y) = const eine implizit gegebene Abhängigkeit zwischen x und y erzwungen, lokal ist y = y(x), und man hat ∂V ∂V dy d V (x, y(x)) = 0 = + . dx ∂x ∂y dx Das bedeutet: Die Gleichung y(x, y) dx + h(x, y) dy = 0 ist erfüllt. Die Theorie ist in folgendem Theorem zusammengefasst, welches sagt, wann eine solche Potenzialfunktion existiert und wie man sie berechnet.

b

= # g(x(t), y(t))x  (t) dt a

+ h(x(t), y(t))y  (t) dt , wobei [a, b] - t  (x(t), y(t)) R2 eine Parametrisierung eines Weges von (x0 , y 0 ) nach (x, y) ist. Eine für viele Fälle praktische Methode besteht in folgender achsenparalleler Integration: Setze x

V (x, y) = # g(t, y) dt + C(y) x0

Theorem (Exakte Differenzialgleichungen) Gegeben ist eine Differenzialgleichung in der Form g(x, y) dx + h(x, y) dy = 0, wobei g und h stetige Funktionen sind auf einem dimensionalen Bereich, welcher keine Löcher hat (,,einfach zusammenhängendes Gebiet“). Dann sind äquivalent (a)

Die Differenzialgleichung ist exakt – d. h. per definitionem: Es gibt eine Potenzialfunktion V (x, y) mit ∂V =g ∂x

und

∂V =h ∂y

y

V (x, y) = # h(x, t) dt + D(x) y0

und bestimme C und D durch Vergleich. Beispiel: 2x dx + 4y dy = 0 Die Integrabilitätsbedingung (b) ist erfüllt. Dann ist x

V (x, y) = # 2t dt + C(y) = x 2 + C(y) y 2

V (x, y) = # 4t dt + D(x) = 2y + D(x) ;



A Mathematik

also ist D(x) = x 2 + C und C(y) = 2y 2 − C, man hat

y  + ay  + by = 0 ;

dies ist eine von  reellen Parametern abhängende Funktionsschar. (II) Man versucht irgendwie, eine (einzige) Löund die Gleichung sung y s p der inhomogenen Gleichung zu 2 2 2 x + 2y = const = r ermitteln. Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung lautet dann liefert Ellipsen als Lösungskurven der Differenzialgleichung. y(x) = y s p (x) + y 0 (x) , V (x, y) = x 2 + 2y 2 + C ,

Methode des ,,integrierenden Faktors“:

wobei y 0 die Gesamtheit der Lösungen der homogenen Gleichung durchläuft.

Die Differenzialgleichung g(x, y) dx + h(x, y) dy = 0 ist gleichwertig zu derjenigen, wenn man sie mit einer beliebigen Funktion μ(x, y) multipliziert (μ  0) μ(x, y)g(x, y) dx + μ(x, y)h(x, y) dy = 0 .// / / / / / / / / / / / / / / / / 0 / / / / / / / / / / / / / / / / / 1 .// / / / / / / / / / / / / / / / / 0// / / / / / / / / / / / / / / / / 1 ˜ g˜(x, y) h(x, y) Ist nun die Integrabilitätsbedingung (b) für die Differenzialgleichung g(x, y) dx + h(x, y) dy = 0 verletzt, so versucht man durch geschickte Wahl eines sogenannten integrierenden Faktors μ(x, y), dass die neue Differenzialgleichung μ(x, y)g(x, y) dx + μ(x, y)h(x, y) dy = 0 diese Bedingung erfüllt.

Methode zu I: Universelle Methode liefert der Ansatz y 0 (x) = e λx mit unbekanntem λ C. Dann ist y 0 (x) + ay 0 (x) + by 0 (x) = 0  λ 2 + aλ + b = 0 mit den beiden Nullstellen λ 1 , λ 2 C. Aus dem Lösungscharakter dieser quadratischen Gleichung ergeben sich  Fälle: ① λ 1 , λ 2 R und λ 1  λ 2 : Dann sind alle Lösungen der homogenen Differenzialgleichung von der Form y 0 (x) = c 1 e λ 1 x + c 2 e λ 2 x mit

A.18.5 Lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung Grundlegend für alle Schwingungsprobleme der Mechanik wie auch der Elektrotechnik ist die Differenzialgleichung 



y + ay + by = h(x) mit konstanten Koeffizienten a, b R und einer – bis auf eventuelle Sprungstellen – stetigen Inhomogenität h(x). Aufgrund der Linearität der Gleichung ist die Vorgehensweise so: (I) Man ermittelt die Gesamtheit aller Lösungen y 0 der homogenen Differenzialgleichung,

c1 , c2 R

② λ 1 , λ 2 R und λ 1 = λ 2 : Dann sind alle Lösungen der homogenen Differenzialgleichung von der Form y 0 (x) = e λ 1 x (c 1 + c 2 x) mit

c1 , c2 R

③ λ 1 und λ 2 sind komplex (dann ist automatisch λ 2 = λ 1 ): Dann sind die Lösungen der homogenen Differenzialgleichung von der Form y 0 (x) = e α x (c 1 cos ωx + c 2 sin ωx) mit

c1 , c2 R

und

λ 1 = α + jω, λ 2 = α − jω

A. Gewöhnliche Differenzialgleichungen

Methoden zu II: ) Geeignete Ansätze vom Typ der Inhomogenität h(x) ) Grundlösungsverfahren, Faltungsintegral: Man wählt die Parameter c 1 , c 2 so, dass die Lösung y 0 der homogenen Gleichung zusätzlich die Bedingungen y 0 (x0 ) = 0,



y 0 (x0 ) = 1

erfüllt (wobei x0 fixiert ist). Dann ist x

y s p (x) = # h(t)y 0 (x0 + x − t) dt x0

A.18.6 Differenzialgleichungen 2. Ordnung und Energie-Satz Fehlt in der Differenzialgleichung y  + ay  + by = 0 der ,,Reibungsterm“ ay  (d. h. ist a = 0), so liegt ein Sonderfall der allgemeinen Form einer expliziten Differenzialgleichung . Ordnung vor: y  = f (y) . Diese Gleichung kann man sofort einmal integrieren – mittels beidseitiger Multiplikation mit y  erhält man y  y  = y  f (y) .

eine Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung. ) Variation der Konstanten (der Lösungsschar der homogenen Differenzialgleichung).

Ist nun F(y) = * f (y) dy, so ist

Beispiel:

also

y  + 2y  + 2y = x 2 + x − 1 Mit e λx löst man die homogene Gleichung, λ 2 + 2λ + 2 = 0  λ 1,2 = −1  j −x

 y 0 (x) = e c 1 cos x + c 2 sin x ; die inhomogene Gleichung löst man durch Ansatz: y(x) = ax 2 + bx + c mit unbekannten a, b, c R 2a + 22ax + b + 2ax 2 + bx + c = x2 + x − 1  2ax 2 + x4a + 2b + 2a + 2b + 2c = x2 + x − 1



y

d d  2 (y ) = 2y  y  und F(y) = f (y) ċ y  , dx dx



y = f (y) 

1  2 (y ) − F(y) = const , 2

was gewöhnlich als Energiesatz bezeichnet wird. A.18.7 Spezielle Differenzialgleichungen höherer Ordnung Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten, y (n) + a n−1 y (n−1) + . . . + a 0 y = h(x) , $y (k) =

dk y' dx k

 2a = 1, 4a + 2b = 1

mit a k R und gegebener Inhomogenität h(x) werden so behandelt:

und 2a + 2b + 2c = −1 1 1 1 a= , b=− , c=− 2 2 2  y(x) = e−x c 1 cos x + c 2 sin x 1 2 + (x − x − 1) 2

Erstens bestimmt man die Gesamtheit V0 aller Lösungen der homogenen Gleichung (h(x) = 0). Diese Gesamtheit ist ein reell n-dimensionaler Raum und man erhält ihn so: Mit dem Ansatz y(x) = e λx mit unbekanntem λ C erhält man die Gleichwertigkeit



A Mathematik

von Differenzialgleichung und polynomialer Gleichung, nämlich y

(n)

+ a n−1 y n

(n−1)

 λ + a n−1 λ

n−1

+ a n−2 y

(n−2)

+ a n−2 λ

n−2

+ . . . + a0 y = 0 ,

+ . . . + a0 λ = 0 ,

(charakteristische Gleichung) In C besitzt diese charakteristische Gleichung mit Vielfachheiten genau n Lösungen. Weil die Koeffizienten a k reell sind, ist mit jeder Wurzel λ C auch λ eine Lösung der charakteristischen Gleichung gleicher Vielfachheit, sodass sich folgende allgemeine Vorgehensweise ergibt: – Es seien λ 1 , . . . , λ r die reellen (paarweise verschiedenen) Nullstellen mit Vielfachheiten n 1 , . . . , n r – Es seien α 1  jβ 1 , . . . , α s + jβ s die (konjungiert) komplexen Nullstellen mit Vielfachheiten m 1 , . . ., m s

allgemein y(x) = y s p (x) + y 0 (x)

mit y 0 (x)  V0

Dann ist der Lösungsraum V0 gegeben durch y V0  y(x) hat folgende Darstellung y(x) = e λ 1 x P1 (x) + . . . + e λ r x Pr (x) +e

α1 x

Q 1 (x) cos β 1 x + R 1 (x) sin β 1 x

+ . . . + e α s x Q s (x) cos β s x + R s (x) sin β s x Hierbei ist Pk ein beliebiges Polynom vom Grad < n k (k = 1, . . . , r), Q k und R k sind beliebige Polynome vom Grad < m k (k = 1, . . . , s). Zweitens sucht man irgendeine Lösung y s p der inhomogenen Differenzialgleichung, wobei geeignete Ansätze für y s p vorteilhaft sind. Rechnerische Methoden liefern die Laplace-Transformation sowie die Variation aller Konstanten, welche bei der Lösung der homogenen Gleichung auftreten. Die allgemeine Lösung ergibt sich dann aus Gründen der Linearität der Differenzialgleichung zu

Beispiel y (4) + 2y (2) + 8y  + 5y = 5x 2 + 26x + 5 Lösung der homogenen Gleichung mit e2x ,und die charakteristische Gleichung lautet P(λ) = λ 4 + 2λ 2 + 8λ + 5 = 0, es gilt: P(λ) = [(λ − 2)2 + 1][λ + 1]2 mit den Nullstellen λ 1 = −1 (Vielfachheit ) und λ 2 = 2  j (Vielfachheit ) y 0 (x) = e−x a 1 + b 1 x + e2x a 2 cos x + b 2 sin x ist die allgemeine Darstellung der reellen Lösungen der homogenen Gleichung mit den  freien Parametern a 1 , b 1 , a 2 , b 2  R. Für die inhomogene Gleichung macht man einen Polynomansatz gleichen Grades wie die vorliegende Inhomogenität: y s p (x) = ax 2 + bx + c  y (4) = 0, y (2) = 2a, y  = 2ax + b, also 2 ċ 2a + 8(2ax + b) + 5(ax 2 + bx + c) = 5x 2 + 26x + 5  5ax 2 + x16a + 5b + 4a + 8b + 5c = 5x 2 + 26x + 5  5a = 5, 5b + 16a = 26, 4a + 8b + 5c = 5  a = 1, b = 2, c = −3

A. Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie

A.19 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie

Permutation:

A.19.1 Kombinatorik

(a) eine bijektive Abbildung φ M  M

Die Kombinatorik befasst sich mit Anzahlproblemen endlicher Mengen (das sind Mengen mit endlich vielen Elementen). Eine typische Fragestellung lautet etwa: Auf wie viele Weisen kann man bei einer Menge mit n Elementen Teilmengen mit k Elementen entnehmen (wobei noch gewisse Bedingungen – wie die Reihenfolge der Elemente u. a. – eine Rolle spielen können). Diese Anzahlprobleme lassen sich strukturieren in die Prozesse: Permutationen, Kombinationen (mit und ohne Wiederholungen) und Variationen (mit und ohne Wiederholungen). Bezeichnungen: Ist M eine Menge mit n Elementen, M = a 1 , . . . , a n , so schreibt man M = n (manchmal auch #M = n). Für n N ist n! = 1 ċ 2  n, 0! = 1 und für 0  k  n ist n! n $ '= k k!(n − k)!

(Binomialkoeffizient)

Grundregeln für Anzahlen bei endlichen Mengen: () M 1 2 M 2 = 0  M 1 3 M 2  = M 1  + M 2  () M 1 4 M 2  = M 1 M 2 ; allgemein M 1 4 M 2 4 . . . 4 M k  = M 1 M 2  . . . M k  () P(M) = 2M (P(M) = NN ist Teilmenge von M) () M 1  = M 2   es gibt eine umkehrbar eindeutige (bijektive) Abbildung φ  M1  M2



Sei M = n. Unter einer Permutation von M versteht man

(b) eine bijektive Abbildung φ 1, . . . , n  M (c) ein – hinsichtlich der Aufreihung – modifiziertes Anordnen (Aufschreiben) aller Elemente von M Beispiel: Alle Permutationen der  elementigen Menge M = a, b, c sind: (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a). Eine Permutation von M ist eine Anordnung der Elemente von M. Satz (Permutationen) M = n  Es gibt n! Permutationen von M Ist M = a 1 , . . . , a n , also M = n, so kann man auf folgende  unterschiedliche Weisen sogenannte ,,k-Proben“ von Elementen von M bilden, das heißt ,,k-Plätze mit Elementen aus M belegen“; hierbei sei k N I

Es kommt auf die Reihenfolge an; Wiederholungen sind erlaubt II Es kommt auf die Reihenfolge an; Wiederholungen sind nicht erlaubt III Die Reihenfolge spielt keine Rolle; Wiederholungen sind erlaubt IV Die Reihenfolge spielt keine Rolle; Wiederholungen sind nicht erlaubt I und II nennt man Variationen mit/ohne Wiederholung von n Elementen zur k-ten Klasse. III und IV nennt man Kombinationen mit/ohne Wiederholung von n Elementen zur k-ten Klasse. ,,Wiederholung“ bedeutet, dass in einem kTupel ein Element von M mehrmals auftreten kann. Beispiel: Sei M = 4, M = a, b, c, d und k = 2



A Mathematik

zu I:

zu II:

(a, a), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (a, d), (d, a), (b, b), (b, c), (c, b), (b, d), (d, b), (c, c), (c, d), (d, c) und (d, d) (das sind 16 = 42 Möglichkeiten) (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (a, d), (d, a), (b, c), (c, b), (b, d), (d, b), (c, d) und (d, c) 4! = 4ċ3 Möglichkeiten' $das sind 12 = 2!

zu III: (a, a), (a, b), (a, c), (a, d), (b, b), (b, c), (b, d), (c, e), (c, d) und (d, d) 4+2−1 $das sind 10 = $ ' Möglich2 keiten' zu IV: (a, b), (a, c), (a, d), (b, c), (d, b) und (c, d) 4 $das sind 6 = $ ' Möglichkeiten' 2 Satz (Grundformeln der Kombinatorik) Es bezeichne a n,k (x) die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer n-elementigen Menge k-Proben zu entnehmen (mit x entweder Typ I, II, III oder IV) a n,k (I) = n k (geordnet, mit Wiederholung)

A.19.2 Wahrscheinlichkeiten Das zugrunde liegende Konzept kann am besten im Falle eines endlichen ,,Ereignisraumes E“ entwickelt werden: Es sei E = w 1 , . . . , w n  eine endliche Menge mit n Elementen. Jedes Element w k stellt – als Teilmenge w k  ⊂ E – ein sogenanntes Elementarereignis dar. Der Raum aller Ereignisse aus E ist nichts anderes als P(E) = AA ist Teilmenge von E, und ein Wahrscheinlichkeitsmaß p auf E ist eine Funktion p  P(E)  [0, 1] mit folgenden Eigenschaften: () p(E) = 1 (E heißt ,,sicheres Ereignis“) () p(0) = 0 (die leere Menge 0 ist das ,,unmögliche Ereignis“) () p(A 3 B) = p(A) + p(B) für A 2 B =0 (A ⊂ E mit 0 < p(A) < 1 heißt ,,zufälliges Ereignis“) Aus diesen definierenden Eigenschaften leiten sich folgende Rechenregeln ab: () p(E5A) = 1 − p(A) (E5A = w Ew  A () p(B)  p(A) für B 6 A () p(A 3 B) = p(A) + p(B) − p(A 2 B) () Ist A = w i i I ⊂ 1, . . . , n, so ist p(A) = 7 p(w i ) iI

Eine Menge E mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß p heißt Wahrscheinlichkeitsraum (E, p). n Wichtiger Spezialfall: a n,k (II) = $ ' k! = n ċ (n − 1)  (n − k + 1) k Gleichverteilung: (geordnet, ohne Wiederholung) 1 k = 1, . . . , n p(w k ) = n+k−1 n a n,k (III) = $ ' k (alle Elementarereignisse, w k , sind ,,gleich(ungeordnet, mit Wiederholung) wahrscheinlich“, Laplace’scher W-Raum) Ist (E, p) ein Wahrscheinlichkeitsraum, so n ist die ,,bedingte“ Wahrscheinlichkeit p(BA) a n,k (IV) = $ ' k (B ⊂ E, A ⊂ E) diejenige Wahrscheinlichkeit (ungeordnet, ohne Wiederholung) für das Eintreten des Ereignisses B unter der

A. Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie

Voraussetzung, dass das Ereignis A schon eingetreten ist; es gilt definitionsgemäß 8 9 9 p(B 2 A)p(A) p(BA) = : 9 9 ;0

(für p(A)  0) (für p(A) = 0)

Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn p(AB) = p(A)

und

p(BA) = p(B)

gilt. Folgender Satz liefert die grundlegendsten Formeln: Theorem (Bedingte Wahrscheinlichkeit) ① Ist p(A 1 2 A 2 2 . . . 2 A k+1 )  0, so ist p(A 1 2A 2 2. . .2A k+1 ) = p(A 1 )ċ p(A 2 A 1 )ċ p(A 3 A 1 2 A 2 ) . . . p(A k+1 A 1 2 . . . 2 A k ) ② Sind p(A)  0 und p(B)  0, so gilt: A und B unabhängig  p(A 2 B) = p(A) ċ p(B) ③ Sind B 1 , . . . , B k E mit



A.19.3 Verteilungsfunktionen Es sei p: P(M)  [0, 1] eine Wahrscheinlichkeitsfunktion (additive auf disjunkten Teilmengen, p(M) = 1, p(0) = 0); dann lässt sich die Wahrscheinlichkeit folgendermaßen für eine ,,Zufallsvariable X“ definieren: Sei M eine Menge und X M  R eine (messbare) Funktion. Dann ist F(a) = p(X  a),

F R  [0, 1]

die Wahrscheinlichkeitsverteilung (bezüglich des Maßes p) der Zufallsvariablen X. Berechnung: F(a) ist die p-Wahrscheinlichkeit, dass die Größe X Werte zwischen − und a annimmt. In der Regel wird nun das Maß p durch eine ,,Dichtefunktion“ f dargestellt, – das heißt: Es gibt eine (o. E.) stetige Funktion f (x), f 0, mit 

# f (t) dt = 1

(a) p(B i )  0 (i = 1, . . . , k) (b) B i 2 B j  0 (i, j 1, . . . , k, i  j) (c) E = B 1 3 . . . 3 B k

mit

− a

F(a) = # f (t) dt

so heißt B 1 , . . . , B k  ein (für (E, p)) vollständiges Ereignissystem.

−

.// / / / / / / / / 0 / / / / / / / / / /1

Inhalt der Fläche gemäß Skizze

Satz über die vollständige Wahrscheinlichkeit: Es sei B 1 , . . . , B k  ein vollständiges Ereignissystem für den W-Raum (E, p). Dann gilt für A ⊂ E: k

p(A) = % p(AB j )p(B j ) j=1

④ Formel von Bayes Es sei B 1 , . . . , B k  ein vollständiges Ereignissystem für den W-Raum (E, p). Dann gilt für A ⊂ E: p(B j A) =

p(AB j )p(B j ) k

7 p(AB i )p(B i )

i=1

Mit Hilfe der Dichtefunktion lassen sich Quantile, Erwartungswerte, Standardabweichungen u. a. wie folgt beschreiben: 

– * f (t) dt = p(X a) = a-Quantil a

– Ist φ: R  R eine Funktion, so ist mit X auch φ(X) eine messbare Funktion auf M und 

E(φ(X)) = # φ(t) f (t) dt −



A Mathematik

heißt Erwartungswert von φ(X) – also 

E(X) = # t f (t) dt = μ −

ist Erwartungswert der Zufallsvariablen X.

−(t−μ)2 1 ċ e 2σ2 f (t) = 2πσ

ist die Dichte der sogenannten Normalverteilung mit den Parametern (μ, σ) – und die Zufallsvariable X mit a

2

(t − μ) f (t) dt = σ

2

heißt Varianz = (Standardabweichung)2 von X. Normalverteilung: Die Funktion

−(t−μ)2 1 p(X < a) = # e 2σ2 dt 2πσ −

ist dann normal (μ, σ)-verteilt. Die Parameter μ und σ 2 sind hierbei Erwartungswert und Varianz von X.

B Fehlerrechnung

Tabelle B-. Wichtige Normen. Norm

Bezeichnung

DIN  DIN   DIN  

Grundbegriffe der Messtechnik Stochastik Qualitätssicherung und Statistik

B.1 Messgenauigkeit In der Regel weisen die Wiederholungsmessungen einer physikalischen Größe G Abweichungen auf, die kennzeichnend für die Messgenauigkeit sind. Dabei ist zwischen den systematischen, für das Messverfahren charakteristischen Abweichungen und den zufälligen oder statistischen, vom Experimentator abhängigen Abweichungen zu unterscheiden. Zur grafischen Analyse der Messwertschwankungen dient das Histogramm (Bild B-). In dieses wird balkenförmig über dem Messwert x j die relative Häufigkeit h j des Messwerts aufgetragen: hj =

Nj ; N

(B–)

h j relative Häufigkeit des Messwertes x j , N Gesamtanzahl der Messungen der Größe x, N j Anzahl der Messungen mit dem Messwert x j . Bei statistischen Messabweichungen ist die Häufigkeitsverteilung symmetrisch zu einem häufigsten Wert, dem Erwartungswert μ. Starke Asymmetrien im Histogramm sind im Allgemeinen ein Hinweis auf systematische Abweichungen.

Bild B-. Histogramm der Verteilungsdichte h j (T) bei einer Schwingungsdauermessung sowie die Normalverteilungskurve nach Gl. (B–) für μ = T und σ 2 = s 2T mit T = 1,2116 s und s T = 0,0172 s.

B.2 Analyse statistischer Messwertverteilungen Bei statistischen Abweichungen der Messwerte geht die Häufigkeitsverteilung h(x j ) in eine glockenförmige Normalverteilung der Messwerte über, wenn die Anzahl der Wiederholungsmessungen stark erhöht wird. Im Grenzfall N   liegen die Werte des Histogramms auf der von C. F. Gauss aufgestellten Verteilungsfunktion h(x): h(x) =

1 2πσ 2

e

−

(x−μ)2 2σ 2

;

(B–)

h(x) Wahrscheinlichkeitsdichte für die Messung des Messwerts x, Varianz der Normalverteilung, σ2 μ Erwartungswert der Normalverteilung bzw. Messgröße x mit der höchsten Messwahrscheinlichkeit.



B Fehlerrechnung

Die Funktion h(x) ist zum Erwartungswert μ symmetrisch und durch den Faktor 1 2πσ 2 auf die Wahrscheinlichkeit  so normiert, dass gilt: 

# h(x)dx = 1 .

(B–)

−

Die Varianz σ 2 ist ein Maß für die Breite der Verteilungsfunktion h(x): 68,3% der Messwerte liegen im Bereich x = μ σ und 95,4% im Bereich x = μ2σ. Die Varianz σ 2 lässt sich aus der Halbwertsbreite b 1 2 , d. h. der Breite der Glockenkurve in halber Höhe des Maximums h(μ) der Normalverteilung, bestimmen:

σ2 =

2 b 1 2

8 ln 2

2 . = 0, 18 b 1 2

(B–)

Bei einer endlichen Anzahl N von Messungen der m diskreten Messwerte x1 , x2 , . . . , x m las-

sen sich für den Erwartungswert μ und die Varianz σ 2 aus der Häufigkeitsverteilung h(x j ) nach der Theorie der Beobachtungsfehler von Gauss Schätzwerte berechnen. Demnach ist der beste Schätzwert für μ der arithmetische Mittelwert x nach Gl. (B−5) in Tabelle B-. Für x ist die Fehlersumme FS [FS = 2 7(x i − x) mit i = 1, . . . , N] minimal und lässt sich nach Gl. (B−6) berechnen. Mit der auf die Anzahl der Wiederholungsmessungen N −1 normierten minimalen Fehlersumme FS min errechnet sich nach Gl. (B−7) die Standardabweichung s, deren Quadrat der beste Schätzwert für σ 2 ist. Eine Erhöhung der Anzahl N der Messungen vermindert nicht die Standardabweichung s, welche die Breite der Häufigkeitsverteilung bestimmt und damit die Genauigkeit des verwendeten Messverfahrens beschreibt. Dagegen erhöhen Wiederholungsmessungen die Genauigkeit, sodass der berechnete arithmetische Mittelwert x mit dem Erwartungswert μ der Messgröße übereinstimmt. Glei-

Tabelle B-. Beziehungen zur Berechnung der Kennwerte der Fehlerrechnung. Kennwerte der Fehlerrechnung

Beziehungen

x¯

arithmetischer Mittelwert; Schätzwert für den Erwartungswert

x¯ =

FS min

minimale Fehlersumme einer Anzahl von N Messwerten

¯ 2 FS min = b (x i − x)

1 N b xi N i =1

(B−5)

N

i=1 N

= b x i2 − N x¯ 2 (B−6) #

s

Standardabweichung des Messwerts bzw. Messverfahrens; Schätzwert für die Varianz

srel

relative Standardabweichung des Messwerts bzw. Messverfahrens

Δx¯

Standardabweichung des arithmetischen Mittelwerts

Δx¯rel

relative Standardabweichung des arithmetischen Mittelwerts

uz

Zufallskomponente der Messunsicherheit mit tP -Faktor der Student-Verteilung

i =1

FS min N −1 s srel = x¯ s Δx¯ =  N Δx¯ Δx¯rel = x¯ s=

¯P uz = Δxt

(B−7) (B−8) (B−9) (B−10) (B−11)

B. Analyse statistischer Messwertverteilungen

chung (B−9) in Tabelle B- für die Standardabweichung Δx des arithmetischen Mittelwerts ist das Maß für die nach N Messungen bestehende Abweichung des Schätzwerts x zum wahren Wert μ. Bei einer geringen Anzahl von Wiederholungsmessungen ist das arithmetische Mittel x als Schätzwert für μ sehr ungenau. Charakteristischer für die Genauigkeit der Bestimmung des Erwartungswerts μ ist in diesem Fall der Vertrauensbereich x − u bis x + u um den arithmetischen Mittelwert, in dem der Erwartungswert μ der Messgröße mit einer vorzugebenden Wahrscheinlichkeit, der statistischen Sicherheit P, liegt. Die Grenzen des Vertrauensbereichs um den arithmetischen Mittelwert werden durch die Messunsicherheit u = uz + us angegeben, welche sich aus dem Anteil der statistischen Messunsicherheit uz und der systematischen Messunsicherheit us zusammensetzt. Die systematische Messunsicherheit us muss geschätzt werden. Die statistische Messunsicherheit uz wird nach Gl. (B−11) in Tabelle B- mit Hilfe der Standardabweichung Δx des arithmetischen Mittelwerts berechnet und mit dem tP -Faktor der Student-Verteilung nach Tabelle B- gewichtet. Je nach gewählter statistischer Sicherheit P ist dieser unterschiedlich. In der physikalischen Messtechnik rechnet man mit der statistischen Sicherheit P = 68,3%. In der Industrie ist ein Wert P = 95,4% üblich. Das Ergebnis von N Messungen der Messgröße x mit einem Messverfahren, dessen Messgenauigkeit durch die Standardabweichung s und den Vertrauensbereich uz mit der statistischen Sicherheit P gekennzeichnet ist, wird in folgender Form angegeben: s xP = x  u z = x  t P ; N

(B–)



xP Ergebnis der Messwertanalyse der Messwerte x, x wahrscheinlichster Wert für die Messgröße x, uz Grenzwert des Vertrauensbereichs mit der statistischen Sicherheit P, tP Student-Faktor nach Tabelle B-, s Standardabweichung nach Gl. (B−7), N Gesamtanzahl der Messungen der Messgröße x.

Tabelle B-. Zahlenwerte nach DIN  und Anpassungspolynom des t-Faktors der Vertrauensgrenzen für verschiedene statistische Sicherheiten. Anzahl der Wiederholungsmessungen nw = N − k

statistische Sicherheit P 68,3% t 0,68

95,4% t 0,95

1      10   100  100

1,84 1,32 1,20 1,15 1,11 1,08 1,06 1,03 1,01 1,00 1,00

12,71 4,30 3,18 2,78 2,57 2,37 2,25 2,09 2,01 1,98 1,96

Anpassungspolynom

t 0,68 = 1

t 0,95 = 1,96

+

0,584 nw

+

3,012 nw

−

0,032 nw2

−

1,273 nw2

+

0,288 nw3

+

8,992 nw3



B Fehlerrechnung

B.3 Fehlerfortpflanzung Tabelle B-. Beziehungen für die Kennwerte der Fehlerrechnung indirekt gemessener physikalischer Größen. Kennwerte der Fehlerfortpflanzung der Fehlerrechnung

Beziehungen

f

wahrscheinlichster Wert der indirekt gemessenen physikalischen Größe f

f = f (x, y, z, . . .)

sf

Standardabweichung der Größe f bzw. des indirekten Messverfahrens für f

Δf

absoluter Größtfehler der Größe f bzw. des Messverfahrens für f

Δ frel

relativer Größtfehler der Größe f bzw. des Messverfahrens für f

Δ frel, PP relativer Größtfehler eines Potenzprodukts f = x k ym zn

$ 2 2 % ∂f 2 ∂f ∂f & sf = % ! s 2x + ! s 2y + ! s 2z + . . . ∂x ∂y ∂z (B−14) ∂f ∂f ∂f Δ f = ; ; Δx + ; ; Δy + ; ; Δz + . . . (B−15) ∂x ∂y ∂z Δ frel =

Δf

(B−16)

f

Δ frel, PP = ;k

Δy Δz Δx ; + ;m ; + ;n ; x y z

x, y, z, . . . sx , s y , sz , . . .

arithmetische Mittelwerte der Teilmessgrößen x, y, z, . . . Standardabweichungen der Teilmessgrößen x, y, z, . . .

∂f ∂f ∂f , , ,... ∂x ∂y ∂z

partielle Ableitungen der Funktion f (x, y, z, . . .) nach den Teilgrößen x, y, z, . . . an der Stelle x, y, z, . . .

B.4 Regression – Kurvenanpassung Die Regressionsmethode lässt sich dazu verwenden, Theorien von Naturvorgängen messtechnisch zu überprüfen und die Parameter a 1 , a 2 , a 3 , . . . solcher Theorien zu bestimmen. Dazu werden für die in i = 1, 2, . . .N Messreihen verschieden eingestellten Messvariablen x1i , x2i , x3i , . . . (auch Beobachtungen genannt), die durch das experimentelle Vorgehen festgelegt werden, die Messwerte f i der Größe f gemessen, mit den aus der Theorie ermittelten Werten f (x1i , x2i , x3i , . . . ; a 1 , a 2 , a 3 , . . .) verglichen und die Theorieparameter a 1, a 2 , a 3 , . . . so gewählt, dass die theoretischen Werte der physikalischen Größe f im Rahmen der Mess-

(B−13)

(B−17)

genauigkeit mit den Messwerten möglichst gut übereinstimmen. Ist die Anzahl N der Messreihen gerade so groß wie die Anzahl der zu bestimmenden Theorieparameter, dann lassen diese sich aus den N Bestimmungsgleichungen ausrechnen. Mit der Methode der Fehlerfortpflanzung können dann die Standardabweichungen der Theorieparameter aus den Messfehlern der Messvariablen x i und der Messwerte f i bestimmt werden. Dieses Vorgehen hat aber das Risiko, dass schon bei einer Fehlmessung der Messvariablen oder Messwerte die ermittelten Regressionsparameter vollkommen falsch sind. In der Messpraxis führt man daher in der Regel weit mehr Messreihen aus, als Theorieparameter zu bestimmen sind. Dadurch entstehen unterschiedliche Wertesätze für die Theorie-

B. Regression – Kurvenanpassung

parameter, welche die Messungenauigkeit der Messvariablen und Messwerte widerspiegeln. Wird davon ausgegangen, dass die Messfehler zufällig und voneinander unabhängig sind, dann sollte sich ein Wertesatz für die Theorieparameter ergeben, der bei der Analyse der Messreihen gehäuft auftritt, der also mit größter Wahrscheinlichkeit bei einer weiteren Messreihe zu erwarten ist. Ziel der Ausgleichsrechnung oder Regression ist es, aus der Ausgleichung der Differenzen zwischen gemessener und theoretischer Größe f diesen wahrscheinlichsten Satz für die Theorieparameter a als Regressionsparameter zu bestimmen. Nach der Theorie der Beobachtungsfehler von Gauss sind die Theorieparameter a 1 , a 2 , . . . am wahrscheinlichsten und damit die zu bestimmenden Regressionsparameter, für die bei N Messreihen die Fehlersumme FS, d. h. die Summe der Quadrate der Abweichungen zwischen dem Messwert f i und dem theoretischem Wert f (x1i , x2i , . . . ; a 1 , a 2 , . . .), ein Minimum ist: N

FS = % g i [ f i − f (x1i , x2i , x3i , . . . ; i=1



N

−2 % g i [ f i − f (x1i , x2i , . . . ; a 1 , a 2 , . . .)] i=1

ċ

∂f =0; ∂a 2

(B–b)

gi Gewicht der Messung i, Messwert der Messung i, fi x1i , x2i , . . . Werte der Messvariablen x1 , x2 , . . . bei der Messung i, a 1 , a 2 , . . . anzupassende Regressionsparameter. Für Linearkombinationen der Regressionsparameter a 1 , a 2 , . . . ist das Normalgleichungssystem linear und geschlossen lösbar; im anderen Fall müssen in der Fachliteratur behandelte Reihenentwicklungen angewendet werden. Manchmal kann durch eine Koordinatentransformation  = ( f ) ein lineares Normalgleichungssystem für die Regressionsparameter erreicht werden; dadurch entsteht jedoch in der Regel eine andere Gewichtung der Messreihen. Ist die Standardabweichung s f für alle Messwerte f i gleich und kann der Messfehler der Messvariablen x1i , x2i , . . . vernachlässigt werden, dann ergeben sich die Gewichte g i aus

2

[a 1 , a 2 , a 3 , . . .)]  Minimum . (B–) Durch die Gewichte g i können die Beiträge einzelner Messreihen i zur Fehlersumme unterschiedlich gewichtet werden. Die Forderung dieser Regressionsmethode der kleinsten Quadrate führt auf ein System von Normalgleichungen für die Regressionsparameter a 1 , a 2 , . . .: N

−2 % g i [ f i − f (x1i , x2i , . . . ; a 1 , a 2 , . . .)] i =1

ċ

∂f = 0 ,n ∂a 1

(B–a)

gi =

1 2

∂( f i ) $ ' s 2f ∂ fi

.

(B–)

Übersicht B- vermittelt einen Überblick über die Regression verschiedener Funktionen mit linearen Normalgleichungen. Die Mittelwerte der M Regressionsparameter a 1 , a 2 , . . . , a M folgen direkt aus der Lösung des Normalgleichungssystems; die Standardabweichungen sa1 , sa2 , . . . folgen aus dem Wert des Minimums der Fehlersumme FS min , der Anzahl der Wiederholungsmessungen n w = N − M und den Gewichten g i der Messreihen. Spezialfälle der Regression mit zwei Regressionsparametern a 0 und a 1 sind die lineare

Übersicht B-. Funktionen mit einem linearen Normalgleichungssystem für die Parameter der Kurvenanpassung.

 B Fehlerrechnung

B. Regression – Kurvenanpassung



Übersicht B-. Kurvenanpassung durch lineare, logarithmische und exponentielle Regression. Einlesen Anzahl Messpunkte N Messwerte x i y i Regressionsfall logarithmische

lineare

exponentielle

i = y i u i = ln x i gi = 1

i = y i ui = xi gi = 1

 i = ln y i ui = xi g i = y 2i

N

A = b gi i=1 N

B = b gi ui i =1 N

C = b g i u 2i i =1

N

D = b g i i i =1 N

E = b g i u i i i =1 N

F = b g i 2i i =1

a0 =

CD − BE AC − B 2

sa0 =

a1 =

AE − BD AC − B 2

sa1 =

(F − 2a 0 D − 2a 1 E + 2a 1 a 0 B + a 02 A + a 12 C)C (N − 2)(AC − B 2 )

1 2

!

(F − 2a 0 D − 2a 1 E + 2a 1 a 0 B + a 02 A + a 12 C)A ! (N − 2)(AC − B 2 )

1 2

Ausgabefall logarithmische Regression

lineare Regression

exponentielle Regression

Ansatz: y = c 0 + c 1 ln x Anpassung: c 0 = a 0 s c0 c 1 = a 1 s c1 = s a1

Ansatz: y = c 0 + c 1 x Anpassung: c 0 = a 0 s c0 = s a0 c 1 = a 1 s c1 = s a1

Ansatz: y = c 0 ec 1 x Anpassung: c 0 = ea 0 s c0 = s a0 ea 0 c1 = a1 s c1 = s a1

Regression (Geradenanpassung) und die logarithmische und exponentielle Regression, die sich beide durch eine Koordinatentransformation  = (y) und u = u(x) in eine Geradendarstellung  = a 0 + a 1 u bringen lassen, wobei sich zum Teil die Gewichte g i ändern (Übersicht B-). Die Regressionsparameter Achsenabschnitt a 0 und Steigung a 1 der Regressionsgeraden lassen sich entweder grafisch durch eine Ausgleichsgerade oder rechnerisch aus den Normalgleichungen der Fehlersumme FS ermitteln:

N

FS = % g i [ i − a 0 − a 1 u i ]2 ;

(B–)

i =1

g i Gewicht der Messung i nach Gl. (B–),  i Messwert i des Ordinatenwerts der Regressionsgeraden, u i Messwert i des Abszissenwerts der Regressionsgeraden, a 0 Regressionsparameter Achsenabschnitt, a 1 Regressionsparameter Steigung der Regressionsgeraden.



B Fehlerrechnung

Übersicht B-. Matrizenmethode der polylinearen Regression. Bezeichnungen fi Messwerte (i = 1 . . . N) f 1 = a 1 x 11 + a 2 x 21 + . . . + am x M1 f 2 = a 1 x 12 + a 2 x 22 + . . . + am x M2 ^ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċċ ^ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċċ f N = a 1 x 1N + a 2 x 2N + . . . + am x M N aj Regressionsparameter ( j = 1 . . . M) x ji Messvariable Beobachtungen ( j = 1 . . . M; i = 1 . . . N) gi Gewichte der Messwerte f i (i = 1 . . . N) (alle Gewichte gleich: g i = 1)

(B−22)

Sonderfälle x 1i = 1 j−1 x ji = x i j−1 x ji = x i

multilineare Regression polynome Regression lineare Regression mit M = 2

Beispiel:

Bestimmung der Abhängigkeit der Nußelt-Zahl Nu von der Prandtl-Zahl Pr und der Reynolds-Zahl Re bei der Wärmeübertragung an einem geraden Wärmeübertragerrohr entsprechend dem theoretischen Ansatz: Nu = kPr m Re n . k, m, n sind Wärmeübertrager-Kennwerte, die aus Messungen von Nu bei definierten Werten für Pr und Re bestimmt werden sollen. Durch Logarithmieren kann die Bestimmungsgleichung zu einem Problem der multilinearen Regression gemacht werden: ln Nu = ln k + m ln Pr + n ln Re mit  i = ln f i = ln Nu i , x 1i = 1, x 2i = ln Pr i , x 3i = ln Re i und den Regressionsparametern a 1 = ln k, a 2 = m sowie a 3 = n.

Gewichte:

Durch die Transformation verändern sich die Gewichte g i der Messungen. Wegen ( f i ) = 2 ln f i gilt ∂ ∂ f i = f i−1 = Nu −1 i . Nach Gl. (B–) sind demnach g i = (Nu i s Nu ) . Um bei der EDV-Anwendung Rundungsproblemen entgegenzuwirken, wird der konstante Faktor sNu = 100 gesetzt; dadurch liegen die Gewichte g i in der rechentechnisch günstigen Größenordnung von ungefähr eins.

In der Übersicht B- sind die Algorithmen zur Berechnung der Mittelwerte der Regressionsparameter mit den zugehörigen Standardabweichungen zusammengestellt. Mit Hilfe von Computern lassen sich die umfangreichen Regressionsrechnungen wesentlich einfacher und mit weniger Rechenfehlern ausführen. Dazu eignet sich jedoch die Fehlerrechnung in Matrizenschreibweise

wesentlich besser. In der Übersicht B- ist die Vorgehensweise für die Programmierung der polylinearen Regression zusammengestellt. Die Mittelwerte a 1 , a 2 , . . . a M der M Regressionsparameter ergeben sich als Elemente des Regressionsparametervektors a von Gl. (B−25), deren Standardabweichungen sa1 , sa2 , . . . saM als Quadratwurzeln aus den Elementen des Vektors s a2 von Gl. (B−28).

B. Regression – Kurvenanpassung



Übersicht B-. (Fortsetzung). Wertetabelle:

 Messungen entsprechend Gl. (B−22)

Nu

Nu 2

fi ln Nu

x 1i

i     

101 113 137 154 200

10 201 12 769 18 769 23 716 40 000

4,615 4,727 4,920 5,037 5,298

    

Pr

x 2i ln Pr

Re

x 3i ln Re

7,00 3,57 4,33 2,56 3,00

1,946 1,273 1,466 0,940 1,099

16 000 26 000 30 000 45 000 58 000

9,680 10,166 10,309 10,714 10,968

Aufstellen der Regressionsmatrizen

Aufstellen der Regressionsmatrizen

A

Koeffizienten- oder Modellmatrix der Beobachtungen (N,M-Rechenmatrix) B x 11 x 12 x 13 . . . x 1M E C F C F C x 21 x 22 x 23 . . . x 2M F C F Cx x x . . . x F A = C 31 32 33 3M F C F C ^ ^ ^ ^ F C F C F Cx x x F D N1 N2 N3 ^ x N M G

A

f

Messwert-Vektor (,N-Matrix) B f1 E C F C F C f2 F C F C F f = C f3 F C F C ^ F C F C F Cf F D NG

f

g

Gewichtsmatrix der Messwerte (N,N-Diagonalmatrix) Bg1 0 0 . . . 0 E F C F C C 0 g2 0 . . . 0 F F C F g =C C 0 0 g3 . . . 0 F F C F C^ ^ ^ ^ F C C 0 0 0 . . . gN F G D für g i = 1 q = E E Einheitsmatrix

g

Die polylineare Regression enthält als Spezialfälle die multilineare und polynome Regression sowie die lineare Regression der Geradenanpassung. Die Vertrauensgrenzen uz , welche die statistische Messungenauigkeit begrenzen, ergeben sich je nach geforderter statistischer Si-

cherheit P aus dem Faktor t(n W ) von Tabelle B-; n W = N − M 0 ist dabei die Anzahl der Wiederholungsmessungen, die sich aus der Anzahl N der Messreihen und der Anzahl M der Regressionsparameter ergibt. Das Ergebnis der Kurvenanpassung liefert als ermittelte wahrscheinlichste Regressionsparameter ein-

Koeffizienten- oder Modellmatrix der Beobachtungen (,-Rechenmatrix) B1 1.946 9.680E C F C F C1 1.273 10.166F C F C1 1.466 10.309F A=C F C F C1 0.940 10.714F C F C F C1 1.099 10.968F D G Messwert-Vektor (,-Matrix) B4. 615E C F C F C4. 727F C F C4. 920F F f =C C F C5. 037F C F C F C5. 298F D G Gewichtsmatrix der Messwerte (,-Diagonalmatrix) B1.0201 0 0 0 0 E C F C F C 0 1.2769 0 0 0 F C F C 0 0 1.8769 0 0 F g =C F C F C 0 0 0 2.3716 0 F C F C F C 0 0 0 0 4.0000F D G



B Fehlerrechnung

Übersicht B-. (Fortsetzung). Matrizenoperationen

Matrizenoperationen

AT

AT

transponierte Koeffizienten- oder Modellmatrix (Spiegelung von A an Hauptdiagonale zur (M,N)-Matrix) B x 11 x 21 x 31 . . . x N1 E F C F C C x 12 x 22 x 32 . . . x N2 F F C F C AT = C x 13 x 23 x 33 . . . x N3 F F C F C ^ ^ ^ ^ F C F C F Cx x x ^ x D 1M 2M 3M NM G N Normalgleichungsmatrix (symmetrische M,M-Matrix) B n 11 n 12 n 13 . . . n 1M E F C F C C n 21 n 22 n 23 . . . n 2M F F C F Cn N = C 31 n 32 n 33 . . . n 3M F = AT q A (B−23) F C C ^ ^ ^ ^ F F C F C F Cn D M1 n M2 n M3 ^ n M M G Q inverse Normalgleichungsmatrix (symmetrische M, M-Matrix) (Berechnung der Matrixelemente q über N Q = E Einheitsvektor mit Computerroutine) B q 11 q 12 q 13 . . . q 1M E C F C F C q 21 q 22 q 23 . . . q 2M F C F Cq F Q = C 31 q 32 q 33 . . . q 3M F C F C ^ ^ ^ ^ F C F C F Cq F D M1 q M2 q M3 ^ q M M G (B−24) = N −1 = (AT q A)−1 c Absolutgliedvektor B c1 E C F C F C c2 F C F C F c = C c 3 F = AT q f C F C ^ F C F C F Cc F D MG Spur Q Spurvektor der inversen Normalgleichungsmatrix Q B q 11 E C F C F C q 22 F C F C c F F Spur Q = C C 33 F C ^ F C F C F Cq F D MM G

transponierte Koeffizienten- oder Modellmatrix (Spiegelung von A an Hauptdiagonale zur (,)-Matrix)

B 1 1 1 1 1 E C F C F C A = C1.946 1.273 1.466 0.940 1.099 F F C F C9.680 10.166 10.309 10.714 10.968F D G T

N

Normalgleichungsmatrix (symmetrische ,-Matrix)

B 10.5455 12.9874 111.486E C F C F F N =C C 12.9874 16.8927 136.206F C F C111.486 136.207 1180.44 F D G Q

inverse Normalgleichungsmatrix (symmetrische ,-Matrix) (Berechnung der Matrixelemente q über N Q = E Einheitsvektor z. B. mit Computerroutine)

B 302.830801 −31.7898600 −24.9325887 E C F C F F Q =C C−31.7898600 4.18716644 2.51923616F C F C−24.9325887 2.51923616 2.06490758F D G

c

Absolutgliedvektor (,-Matrix)

B 53.116E C F C F F c =C C 64.901F C F C562.55 F D G Spurvektor der inversen Normalgleichungsmatrix Q (,-Matrix) B302.830801 E C F C F F Spur Q = C C 4.18716644F C F C 2.06490758F D G Spur Q

B. Regression – Kurvenanpassung



Übersicht B-. (Fortsetzung). Regressionsergebnis

Regressionsergebnis

a) Mittelwerte der angepassten Regressionsparameter a 1 , . . . a M

a) Mittelwerte der angepassten Regressionsparameter a 1 , a 2 , a 3

Regressionsparameter der Mittelwerte B a1 E C F C F C a2 F C F C F a = C a 3 F = N −1 c = (AT q A)−1 (AT q f ) C F C ^ F C F C F (B − 25) Ca M F D G b) Standardabweichung der Regressionsparameter sa1 , . . ., saM

Regressionsparameter der Mittelwerte (,-Matrix) B−3.9307585E k = ea1 = 0.01963 C F C F a = C 0.4050047F m = a 2 = 0.40500 C F C 0.8010658F n = a 3 = 0.80107 D G

a

b) Standardabweichung der Regressionsparameter sa1 , sa2 , sa3




Vektor der Abweichungen


=


=


T

 i = f i − f (x 1i , . . ., x M i ; a i , , . . .am ) B 1 E C F C F C 2 F C F C F C 3F= f −A a (B−26) C F C ^ F C F C F CN F D G transponierter Vektor der Abweichungen


T

[1 2 3 . . . n ]


T




FS min Wert der Fehlersumme im Minimum (Skalar) FS min =
T q
s a2

s a2 =

(B−27)

B s2 E C a1 F C 2 F C sa2 F C F C 2 F = FS min Spur Q C sa3 F C F N−M C ^ F C2 F Cs F D aM G

sa a P = a  tP (n W ) ; N


T

(B−28)

(B–)

Mittelwert des Regressionsparameters,

Vektor der Abweichungen (,-Matrix)  i = f i − f (x 1i , . . ., x M i ; a i , . . ., a m ) B 0.0033027E C F C F C−0.0014471F C F C−0.0011654F C F C F C 0.0044354F C F C F C−0.0024310F D G transponierter Vektor der Abweichungen (,-Matrix) [0.0033027 −0.0014471 −0.0011654 0.0044354 −0.0024310]

FS min Wert der Fehlersumme im Minimum (Skalar) FS min = 0.00050655 s a2

Vektor der quadratischen Standardabweichungen

schließlich Vertrauensgrenzen:

a

a

s a2 =

Vektor der quadratischen Standardabweichungen (,-Matrix) Es gilt: N − M = 5 − 3 = 2 δa 1 = k −1 δk 2 2 = 0.00544 B0.07670006E sk = k sa1 C F C F 2 C0.00106051F 2 = 0.0326 C F sm = sa2 C F C F 2 C0.00052299F 2 = 0.0229 D G sn = sa3

tP (n W ) t-Faktor nach Tabelle B- bei n W Wiederholungsmessungen und der statistischen Sicherheit P, Standardabweichung des Regressionssa parameters a, N Anzahl der Messreihen der Regressionsanalyse.



B Fehlerrechnung

B.5 Ausgleichsgeradenkonstruktion Die zeichnerische Darstellung der Messpunkte in einem Diagramm eignet sich besonders gut für die Analyse, ob die theoretische Kurve im Rahmen der Messgenauigkeit mit den Messwerten übereinstimmt. Wird ein linearer Zusammenhang f = a 1 + a 2 x zwischen der Messvariablen x und dem Messwert f erwartet, so kann im Messdiagramm die Ausgleichsgerade auch grafisch durch die Messwerte gezogen und a 1 aus dem Achsenabschnitt sowie a 2 aus der Steigung bestimmt werden (Bild B-). Als Maß für den Messfehler der Ausgleichsgeradenkonstruktion werden die Standardabweichungen Δa 1 und Δa 2 der Geradenparameter genommen, welche sich aus den beiden Grenzgeraden I und II an die Messwerte abschätzen lassen. Diese müssen durch die in den Gln. (B−30) und (B−31) in Tabelle B- angegebenen Koordinaten ( fS , xS ) des Schwerpunkts der Messwerte gezogen werden. Aus den der Zeichnung entnommenen Werten a I1 , a I2 II sowie a II 1 und a 2 der Grenzgeraden werden mit Hilfe der Gl. (B−32) die Standardabweichung Δa 1 des Achsenabschnitts und mit Gl. (B−33) Δa 2 der Geradensteigung errechnet.

Bild B-. Grafische Kurvenanpassung für das Thermoelement Cu-CuNi an die Eichkurve nach DIN EN  .

Dabei ist Δ fS die geschätzte Standardabweichung der Ordinate fS des Schwerpunkts der Messwerte.

B.6 Korrelationsanalyse Die Methode der Ausgleichsgeraden wird in der Messwertanalyse benutzt, um zu untersuchen, ob zwischen den N Messwerten x i und y i ein linearer Zusammenhang besteht. Dazu werden die Messwerte y i über den Messvariablen x i in einem Diagramm aufgetragen und durch

Tabelle B-. Schwerpunkt und Standardabweichung der Ausgleichsgeradenkonstruktion. Kennwerte der Konstruktion der Grenzgeraden fS , xS Koordinaten des Schwerpunkts S der N Messwerte

Beziehungen fS =

1 N b fi N i=1

(B−30)

xS =

1 N b xi N i=1

(B−31)

Δa 1

Standardabweichung des Achsenabschnitts der Ausgleichsgerade aus den Grenzgeraden I und II

Δa 1 =  ;

Δa 1

Standardabweichung des Steigungsparameters der Ausgleichsgerade aus den Grenzgeraden I und II

Δa 2 =  ;

a 1I − a 2II ; + Δ fS ! 2

a 2I − a 2II ; 2

(B−32)

(B−33)

B. Korrelationsanalyse



Tabelle B-. Kennwerte der Korrelationsanalyse. Kennwerte und Betrag des Korrelationskoeffizienten

Beziehungen

x

Mittelwert der Merkmale x i

x=

y

Mittelwert der Merkmale y i

1 N b xi N i =1 1 N y= b yi N i=1

(B−34) (B−35)

N

b (x i y i − Nx y)

mr

Steigung der Regressionsgeraden

mr =

i =1 N

(B−36)

2 b (x i2 − Nx )

i =1

r

Korrelationskoeffizient

eine Ausgleichsgerade analysiert. Liegen die Merkmale y i mehr oder weniger auf einer Regressionsgeraden, so ist von einer Korrelation der Merkmale x i und y i auszugehen. Die Regressionsgerade geht durch den Schwerpunkt S der Merkmale x i und y i nach den Gln. (B−34) und (B−35); die Steigung ergibt sich rechnerisch aus der Gl. (B−36) der Tabelle B-. Quantitativ ist der Korrelationskoeffizient r ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen den Merkmalen x i und y i eine Ab-

333 333 N 333 333 333 333 b (x i − x)(y i − y) 333 333 i=1 r = 33 $ 33 333 333 % N N 33 33 % & 2 2 (x − x) (y − y) 333 333 b i b i 33 33 i=1 i =1 $ 33 33 % N 3 333 % 33 % b (x i2 − Nx 2 ) 3333 333 333 % i = 1 r = 333mr % 3333 N 333 % % & 2 3 b (y 2i − N y ) 3333 3333 333 i =1 33

(B−37)

(B−38)

hängigkeit besteht, sie also eventuell korreliert sind. Mit Hilfe von Gl. (B−37) oder Gl. (B−38) der Tabelle B- lässt sich der Korrelationskoeffizient r der Merkmale x i und y i berechnen. Liegt der Korrelationskoeffizient nahe bei r = 1 (also 0,8 < r > 1), dann besteht mit großer bis bestimmter Wahrscheinlichkeit eine Korrelation zwischen den Merkmalen. Ein linearer Zusammenhang ist unwahrscheinlich bis ausgeschlossen, wenn der Korrelationskoeffizient 0 > r < 0,5 beträgt.

C Physikalische Größen und Konstanten

C.1 Physikalische Basisgrößen und Definitionen Eine physikalische Größe kennzeichnet Eigenschaften und beschreibt Zustände sowie Zustandsänderungen von Objekten der Umwelt. Eine physikalische Größe G besteht immer aus einer quantitativen Aussage (ausgedrückt durch den Zahlenwert) und einer qualitativen Aussage (ausgedrückt durch die Einheit). Für die physikalischen Größen dürfen nur noch die SIEinheiten (Système International d’Unités) verwendet werden. Durch Vorsätze oder Präfixe können dezimale Vielfache oder Teile der Maßeinheiten angegeben werden (Tabelle C-).

Tabelle C-. Bezeichnung der dezimalen Vielfachen und Teile von Einheiten. Zehnerpotenz

Vorsilbe

Kurzzeichen

Beispiel

1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

Yotta Zetta Exa Peta Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka

Y Z E P T G M k h da

YΩ Z s−1 Em, EJ Pm, PJ Tm, TJ Gm, GJ Mm, MJ km, kJ hPa, hJ dag, daJ

10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18 10−21 10−24

Dezi Zenti Milli Mikro Nano Piko Femto Atto Zepto Yocto

d c m μ n p f a z y

dm, dJ cm, cJ mm, mJ μm, μJ nm, nJ pm, pJ fm, fJ am, aJ zm ym

Die Einheiten aller physikalischen Größen können auf sieben Basisgrößen zurückgeführt werden (Tabelle C-).

C.2 Umrechnungen gebräuchlicher Größen In Tabelle C- sind die wichtigsten physikalischen Größen und ihre Einheiten zusammengestellt. Die weiteren Tabellen zeigen die Umrechnungen der Längen- (Tabelle C-), der Flächen- (Tabelle C-) und der Volumeneinheiten (Tabelle C-) sowie der Kraft (Tabelle C-), des Drucks (Tabelle C-), der Energie (Tabelle C-), der Leistung (Tabelle C-), der Zeit (Tabelle C-) und der Geschwindigkeit (Tabelle C-).

C.3 Naturkonstanten In den physikalischen Gesetzen befinden sich universelle Naturkonstanten. Die wichtigsten sind in Tabelle C- zusammengestellt.



C Physikalische Größen und Konstanten

Tabelle C-. Basisgrößen, Basiseinheiten und Definitionen im SI-Maßsystem. Basisgröße

Basiseinheit

Symbol

Definition

relative Unsicherheit

Zeit

Sekunde

s

 Sekunde ist das 9 192 631 770fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustands von Atomen des Nuklids 133 Cs entsprechenden Strahlung.

10−14

Länge

Meter

m

 Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum während der Dauer von     Sekunden durchläuft.

10−14

Masse

Kilogramm

kg

 Kilogramm ist die Masse des internationalen Kilogrammprototyps.

10−9

elektrische Stromstärke

Ampere

A

 Ampere ist die Stärke eines zeitlich unveränderlichen Stroms, der, durch zwei im Vakuum parallel im Abstand von  Meter voneinander angeordnete, geradlinige, unendlich lange Leiter von vernachlässigbar kleinem kreisförmigem Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern je  Meter Leiterlänge die Kraft 2 ċ 10−7 Newton hervorruft.

10−6

Temperatur

Kelvin

K

 Kelvin ist der 273,16te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers.

10−6

Lichtstärke

Candela

cd

 Candela ist die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540 THz aussendet und deren Strahlstärke in dieser Richtung 1 683 W sr beträgt.

5 ċ 10−3

Stoffmenge

Mol

mol

 Mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebenso viel Einzelteilchen besteht, wie Atome in  1000 Kilogramm des Kohlenstoffnuklids 12 C enthalten sind. Bei Benutzung des Mol müssen die Einzelteilchen des Systems spezifiziert sein und können Atome, Moleküle, Ionen, Elektronen sowie andere Teilchen oder Gruppen solcher Teilchen genau angegebener Zusammensetzung sein.

10−6

C. Naturkonstanten

Tabelle C-. Wichtigste physikalische Größen und ihre Einheiten. Größe und Formelzeichen

gesetzliche Einheiten SI

weitere

Beziehung Name

. Länge, Fläche, Volumen Länge

l

m

Meter sm

Fläche

Volumen

A

V

m2

Seemeile

1 sm = 1852 m

Quadratmeter a

Ar

1 a = 100 m2

ha

Hektar

1 ha = 100 a = 104 m2

m3

Kubikmeter Liter

1 l = 1 dm3

Radiant

1 rad =



Grad



Minute



Sekunde

1 rad = 180 π = 57,296  57,3 1 = 0,017453 rad 1 = 60 = 3600 1 gon = (π 200) rad

gon

Gon

l . Winkel (ebener) Winkel

Raumwinkel

α, β usw.

rad

Ω

sr

Steradiant

m

kg

Kilogramm

1 sr =

1 m Bogen 1 m Radius

1 m2 Kugeloberfläche 1 m2 Kugelradius

. Masse Masse

Dichte



g

Gramm

t

Tonne

1 t = 1 Mg = 103 kg

Kt

metr. Karat

1 Kt = 0,2 g

kg m3 kg cm3

1 kg dm3 = 1 kg l = 1 g dm3 = 1000 kg m3

kg l g cm3 Trägheitsmoment J (Massenträgheitsmoment, Massenmoment . Grades)

kg ċ m2

J = m ċ i2 i = Trägheitsmoment





C Physikalische Größen und Konstanten

Tabelle C-. (Fortsetzung). Größe und Formelzeichen

gesetzliche Einheiten SI

weitere

Beziehung Name

. Zeitgrößen Zeit, Zeitdauer, Zeitspanne

t

s

Frequenz

f

Hz

Drehzahl, (Umdrehungsfrequenz)

n

s−1

Kreisfrequenz ω = 2π f

ω

s−1

Geschwindigkeit



m s

Sekunde min

Minute

1 min = 60 s

h

Stunde

1 h = 60 min

d

Tag

1 d = 24 h

a

Jahr

1 a = 365,25 d = 8766 h

Hertz

1 Hz = 1 s 1 s−1 = 1 s

min−1 1 min

1 min−1 = 1 min = (1 60) s−1

km h

1 km h = (1 3, 6) m s

kn

Knoten

1 kn = 1,852 km h

2

Beschleunigung

a

m s

Winkelgeschwindigkeit

ω

rad s

Winkelbeschleunigung

α

rad s2

. Kraft, Energie, Leistung Kraft Gewichtskraft

F G

N N

Newton

1 N = 1 kg ċ m s2

Druck, allg.

p

Pa

Pascal

1 Pa = 1 N m2

absoluter Druck

pabs

Bar

Atmosphärendruck

pamb

1 bar = 105 Pa = 10 N cm2 1 μbar = 0,1 Pa 1 mbar = 1 hPa

Überdruck pe = pabs − pamb

pe

bar

Überdruck usw. wird nicht mehr beim Einheitenzeichen angegeben, sondern beim Formelzeichen. Unterdruck wird als negativer Überdruck angegeben. Beispiele: bisher jetzt 3 atü, pe = 2,94 bar  3 bar 10 ata, pabs = 9,81 bar  10 bar 0,4 atu, pe = −0,39 bar  −0,4 bar .

C. Naturkonstanten



Tabelle C-. (Fortsetzung). Größe und Formelzeichen

gesetzliche Einheiten SI

mechanische Spannung

σ, τ

weitere

Beziehung Name 1 N m2 = 1 Pa

N m2 N mm

1 N mm2 = 1 MPa

2

Als Einheit bei Brinell- und Vickershärte wird nicht mehr kp mm2 angegeben. Statt dessen wird hinter den bisherigen Zahlenwert das Kurzzeichen der betr. Härte (gebenenfalls mit Angabe der Prüfkraft usw.) als Einheit geschrieben.

Härte

Energie, Arbeit

E, W

J

Joule [dschul]

Wärme, Wärmemenge

Q

Wċs

Wattsekunde

1J =1Nċm =1Wċs = 1 kg ċ m2 s2

kW ċ h

Kilowattstunde

1 kW ċ h = 3,6 MJ

eV

Elektronenvolt

1 eV = 1,60218 ċ 10−19 J

Drehmoment

M

Nċm

Newtonmeter

Leistung Wärmestrom

P ˙ Φ Q,

W

Watt

1 W = 1 J s = 1 N ċ m s

Pascalsekunde

1 Pa ċ s = 1 N ċ s m2 = 1 kg (s ċ m)

. Viskosimetrische Größen dynamische Viskosität

η

Pa ċ s

kinematische Viskosität

ν

m2 s

1 m2 s = 1 Pa ċ s -kg m3 .

. Temperatur und Wärme Temperatur

T

K C

t, ϑ Temperaturdifferenz

ΔT

Kelvin

K

Grad Celsius Kelvin

C

Δt, Δϑ

t = (T − 273,15 K)

C

K

1 K = 1 C

Grad Celsius

Temperaturdifferenzen bei zusammengesetzten Einheiten in K angeben, z. B. kJ (m ċ h ċ K); Schreibweise bei Toleranzangaben für Celsiustemperaturen z. B. t = (40  2)  C oder t = 40  C  2  C oder t = 40  C  2 K. Wärmemenge und Wärmestrom siehe unter . spezifische Wärmekapazität (spez. Wärme)

c

J kg ċ K

molare Wärmekapazität

Cm

J mol ċ K



C Physikalische Größen und Konstanten

Tabelle C-. (Fortsetzung). Größe und Formelzeichen

Wärmeleitfähigkeit

λ

gesetzliche Einheiten SI

weitere

W mċK

kJ mċhċK

Beziehung Name 1 W (m ċ K) = 3,6 kJ (M ċ h ċ K)

. Elektrische Größen elektrische Stromstärke

I

A

Ampere

elektrische Spannung

U

V

Volt

1 V = 1 W A

elektrischer Leitwert

G

S

Siemens

1 S = 1 A V = 1 Ω

elektrischer Widerstand

R

Ω

Ohm

1 Ω = 1 S = 1 V A

Elektrizitätsmenge

Q

C

Coulomb

1C=1Aċs

Amperestunde

1 A ċ h = 3600 C

Farad

1 F = 1 C V

Aċh elektrische Kapazität

C

F

elektrische Flussdichte, Verschiebung

D

C m2

elektrische Feldstärke

E

V m

1 V m = 1 N C

. Magnetische Größen magnetischer Fluss

Φ

Wb

Weber

1 Wb = 1 V ċ s

magnetische Flussdichte, Induktion

B

T

Tesla

1 T = 1 Wb m2

Induktivität

L

H

Henry

1 H = 1 Wb A

magnetische Feldstärke

H

A m

. Lichttechnische Größen Lichtstärke

I

cd

Candela

Leuchtdichte

L

cd m2

Lichtstrom

Φ

lm

Lumen

1 lm = 1 cd ċ sr (sr = Steradiant)

Beleuchtungsstärke

E

lx

Lux

1 lx = 1 lm m2

C. Naturkonstanten



Tabelle C-. (Fortsetzung). Größe und Formelzeichen

gesetzliche Einheiten SI

Beziehung

weitere

Name

eV

Elektronenvolt

1 eV = 1,60218 ċ 10−19 J 1 MeV = 106 eV

. Atomphysikalische u. a. Größen Energie

W

Aktivität einer radioaktiven Substanz

A

Bq

Becquerel

1 Bq = 1 s−1

Energiedosis

D

Gy

Gray

1 Gy = 1 J kg

Energiedosisrate

D˙

W kg

Ionendosis

I

C kg

Röntgen

1 R = 2,580 ċ 10−4 C kg

Ionendosisrate

I˙

A kg

Äquivalentdosis

H

Sv

R

1 A kg = 1 C (kg s) Sievert rem

Äquivalentdosisrate

H˙

Sv s

Stoffmenge

n, ν

mol

1 Sv = 1 J kg 1 rem = 0,01 J kg 1 Sv s = 1 W kg

Mol

Tabelle C-. Umrechnung der Längeneinheiten. Einheit 1 nm 1 μm 1 mm 1 cm 1 dm 1m 1 km

= = = = = = =

Einheit

pm

nm

μm

mm

cm

dm

m

km

103 106 109 1010 1011 1012 1015

1 103 106 107 108 109 1012

10−3 1 103 104 105 106 109

10−6 10−3 1 10 102 103 106

10−7 10−4 10−1 1 10 102 105

10−8 10−5 10−2 10−1 1 10 104

10−9 10−6 10−3 10−2 10−1 1 103

10−12 10−9 10−6 10−5 10−4 10−3 1

in

ft

yd

mile

n mile

mm

m

km

   63 360 72 913

0,08333   5280 6076,1

0,02778 0,33333  1760 2025,4

– – –  1,1508

– – – 0,86898 

25,4 304,8 914,4 – –

0,0254 0,3048 0,9144 1609,34 1852

– – – 1,609 1,852

– – 0,53996

 1000 106

0,001  

10−6 0,001 

1 in 1 ft 1 yd 1 mile 1 n mile

= = = = =

1 mm 1m 1 km

= 0,03937 = 39,3701 = 39 370

3,281 ċ 10−3 1,094 ċ 10−3 – 3,2808 1,0936 – 3280,8 1093,6 0,62137

in = inch, ft = foot, y = yard, mile = statute mile, n mile = nautical mile



C Physikalische Größen und Konstanten

Weitere anglo-amerikanische Einheiten: 1 μin (microinch) = 0,0254 μm 1 mil (milliinch) = 0,0254 mm 1 link = 201,17 mm 1 rod = 1 pole = 1 perch = 5,5 yd = 5,0292 m 1 chain = 22 yd = 20,1168 m 1 furlong = 220 yd = 201,168 m 1 fathom = 2 yd = 1,8288 m

Astronomische Einheiten: 1 Lj (Lichtjahr) = 9,46053 ċ 1015 m (von elektromagnetischen Wellen in  Jahr zurückgelegte Strecke) 1 AE (astronomische Einheit) = 1,496 ċ 1011 m (mittlere Entfernung Erde–Sonne) 1 pc (Parsec, Parallaxensekunde) = 206 265 AE = 3,0857 ċ 1016 m (Entfernung, von der aus die AE unter einem Winkel von  Sekunde erscheint)

Tabelle C-. Umrechnung der Flächeneinheiten. Einheit

in2

ft2

yd2

mile2

cm2

dm2

m2

a

ha

km2

1 in2 1 ft2 1 yd2 1 mile2

= = = =

  1296 –

–   –

– 0,1111  –

– – – 

6,4516  8361 –

0,06452 9,29 83,61 –

– 0,0929 0,8361 –

– – – –

– – – 

– – – 2,59

1 cm2 1 dm2 1 m2 1a 1 ha 1 km2

= = = = = =

0,155 15,5 1550 – – –

– 0,1076 10,76 1076 – –

– 0,01196 1,196 119,6 – –

– – – – – 0,3861

  10 000 – – –

0,01   10 000 – –

– 0,01   10 000 –

– – 0,01   10 000

– – – 0,01  

– – – – 0,01 

in2 = square inch (sq in), yd2 = square yard (sq yd), ft2 = square foot (sq ft), mile2 = square mile (sq mile) Weitere anglo-amerikanische Einheiten:

Papierformate: (DIN 476)

1 mil2 (square mil) = 10−6 in2 = 0,0006452 mm2 π 1 cir mil (circular mil) = mil2 = 0,0005067 mm2 4 (Kreisfläche mit Durchmesser 1 mil) π 2 1 cir in (circular inch) = in = 5,067 cm2 4 (Kreisfläche mit Durchmesser 1 in) 2 1 line (square line) = 0,01 in2 = 6,452 mm2 1 rod2 (square rod) = 1 pole2 (square pole) = 1 perch2 (square perch) = 25,29 m2 1 chain2 (square chain) = 16 rod2 = 404,684 m2 1 rood = 40 rod2 = 1011,71 m2 1 acre = 4840 yd2 = 4046,86 m2 = 40,4686 a 1 section (US) = 1 mile2 = 2,59 km2 1 township (US) = 36 mile2 = 93,24 km2

Maße in mm A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10

841 1189 594 841 420 594 297 420 210 297 148 210 105 148 74 105 52 74 37 52 26 37

C. Naturkonstanten



Tabelle C-. Umrechnung der Volumeneinheiten. Einheit 1 in3 1 ft3 1 yd3 1 gal (GB) 1 gal (US)

= = = = =

in3

ft3

yd3

gal (GB)

gal (US)

cm3

dm3 (l)

m3

 1728 46 656 277,42 

–   0,16054 0,13368

– 0,03704  – –

– 6,229 168,18  0,83267

– 7,481 201,97 1,20095 

16,3871 – – 4546,09 3785,41

0,01639 28,3168 764,555 4,54609 3,78541

– 0,02832 0,76456 – –

– 0,03531 35,315

– 0,00131 1,30795

– 0,21997 219,969

– 0,26417 264,172

 1000 106

0,001  1000

– 0,001 

1 cm3 = 0,06102 1 dm3 (l) = 61,0236 = 61 023,6 1 m3

in3 = cubic inch (cu in), yd3 = cubic yard (cu yd), ft3 = cubic foot (cu ft), gal = gallon Weitere Volumeneinheiten Schiffsvolumen 1 RT (Registerton) = 100 ft3 = 2,832 m3 ; BRT (Brutto-RT) = gesamter Schiffsinnenraum, Netto-Registerton = Laderaum eines Schiffes. BRZ = (Bruttoraumzahl) = gesamter Schiffsraum (Außenhaut) in m3 . 1 ocean ton = 40 ft3 = 1,1327 m3 . Großbritannien (GB) 1 min (minim) = 0,059194 cm3 1 fluid drachm = 60 min = 3,5516 cm3 1 fl oz (fluid ounce) = 8 fl drachm = 0,028413 l 1 gill = 5 fl oz = 0,14207 l 1 pt (pint) = 4 gills = 0,56826 l 1 qt (quart) = 2 pt = 1,13652 l 1 gal (gallon) = 4 qt = 4,5461 l 1 bbl (barrel) = 36 gal = 163,6 l für Trockengüter: 1 pk (peck) = 2 gal = 9,0922 l 1 bu (bushel) = 8 gal = 36,369 l 1 qr (quarter) = 8 bu = 290,95 l

Tabelle C-. Umrechnung der Krafteinheiten. Einheit 1 N (Newton) 1 lbf (pound-force)

= =

N

lbf

 4,44822

0,224809 

Vereinigte Staaten (US) 1 min (minim) = 0,061612 cm3 1 fluid dram = 60 min = 3,6967 cm3 1 fl oz (fluid ounce) = 8 fl dram = 0,029574 l 1 gill = 4 fl oz = 0,11829 l 1 liq pt (liquid pint) = 4 gills = 0,47318 l 1 liq quart = 2 liq pt = 0,94635 l 1 gal (Gallon) = 231 in3 = 4 liq quarts = 3,7854 l 1 liq bbl (liquid barrel) = 119,24 l 1 barrel petroleum = 42 gal = 158,99 l für Trockengüter: 1 dry pint = 0,55061 dm3 1 dry quart = 2 dry pints = 1,1012 dm3 1 peck = 8 dry quarts = 8,8098 dm3 1 bushel = 4 pecks = 35,239 dm3 1 dry bbl (dry barrel) = 7056 in3 = 115,63 dm3



C Physikalische Größen und Konstanten

Tabelle C-. Umrechnung der Druckeinheiten. Einheit

Pa

μbar

1 Pa = 1 N m2 =   1 μbar = 0,1  1 hPa = 1 mbar =  1000 1 bar = 105 106 1 N mm2 = 106 107 Anglo-amerikanische Einheiten 1 lbf in2 = 6894,76 68 948 1 lbf ft2 = 47,8803 478,8 1 tonf in2 = – –

hPa

bar

N mm2 at

lbf in2

lbf ft2

tonf in2

0,01 0,001  1000 10 000

10−5 10−6 0,001  

10−6 10−7 0,0001 0,1 

– – 0,0145 14,5037 145,037

– – 2,0886 2088,6 20 886

– – – – 0,06475

68,948 0,4788 –

0,0689 0,00689 0,07031  – – – – 154,443 15,4443 157,488 2240

  –

– – 

– – – 1,0197 10,197

lbf in2 = pound-force per square inch (psi), lbf ft2 = pound-force per square foot (psf), tonf in2 = ton-force (UK) per square inch, 1 pdl ft2 (poundal per square foot) = 1,48816 Pa, 1 barye = 1 μbar; 1 pz (pièce) = 1 sn m2 (sthène m2 ) = 103 Pa.

Tabelle C-. Umrechnung der Energieeinheiten. Einheit 1J 1 kW ċ h

= =

Anglo-amerikanische Einheiten 1 ft ċ lbf = 1 Btu =

J

kW ċ h

ft ċ lbf

Btu

 3,6 ċ 106

277,8 ċ 10−9 

0,73756 2,6552 ċ 106

947,8 ċ 10−6 3412,13

1,35582 1055,06

376,6 ċ 10−9 293,1 ċ 10−6

 778,17

1,285 ċ 10−3 

ft lbf = foot pound-force, Btu = British thermal unit 1 in ozf (inch ounce-force) = 0,007062 J 1 in lbf (inch pound-force) = 0,112985 J 1 ft pdl (foot poundal) = 0,04214 J 1 hph (horsepower hour) = 2,685 ċ 106 J = 0,7457 kW ċ h 1 thermie (franz.) = 1000 frigories (franz.) = 4,1868 MJ 1 kg SKE (Steinkohleneinheiten) = 29,3076 MJ = 8,141 kWh 1 t SKE (Steinkohleneinheiten) = 29,3076 GJ = 8,141 MWh 1 kcal = 4,1868 kJ

Tabelle C-. Umrechnung der Leistungseinheiten. Einheit

W

kW

hp

Btu s

1W = 1 kW = Anglo-amerikanische Einheiten 1 hp = 1 Btu s =

 1000

0,001 

1,341 ċ 10−3 1,34102

947,8 ċ 10−6 947,8 ċ 10−3

745,70 1055,06

0,74570 1,05506

 1,4149

0,70678 

hp = horsepower 1 ft ċ lbf s = 1,35582 W 1 ch (cheval vapeur) (franz.) = 0,7355 kW 1 poncelet (franz.) = 0,981 kW menschliche Dauerleistung  0,1 kW

C. Naturkonstanten



Tabelle C-. Umrechnung der Zeiteinheiten. Einheit 1 s (Sekunde) 1 min (Minute) 1 h (Stunde) 1 d (Tag)

= = = =

s

min

h

d

  3600 86 400

0,01667   1440

0,2778 ċ 10−3 0,01667  

11,574 ċ 10−6 0,6944 ċ 10−3 0,041667 

 bürgerliches Jahr =  (bzw. ) Tage = 8760 (8784) Stunden (für Zinsberechnungen im Bankwesen  Jahr =  Tage)  Sonnenjahr = 365,2422 mittlere Sonnentage = 365 d, 5 h, 48 min, 46 s  Sternenjahr = 365,2564 mittlere Sonnentage

Tabelle C-. Umrechnung der Geschwindigkeitseinheiten. 1 km h = 0,27778 m s 1 mile h = 1,60934 km h 1 kn (Knoten) = 1,852 km h 1 ft min = 0,3048 m min 3600 60 min km = s km x km h =ˆ x x 3600 km h x s km = x

1 m s 1 km h 1 km h 1 m min

= = = =

3,6 km h 0,62137 mile h 0,53996 kn 3,28084 ft min 37,2824 2236,9 x mile h =ˆ min km = s km x x

Tabelle C-. Wichtige Naturkonstanten (CODATA-Werte von ). Bezeichnung

Symbol

Wert

Vakuum-Lichtgeschwindigkeit

c

2,99792458 ċ 108

Gravitationskonstante

G

Avogadro-Konstante

NA

m s N ċ m2 6,67428 ċ 10−11 kg2 6,02214179 ċ 1023 mol−1

e

1,602176487 ċ 10−19

Ruhemasse des Elektrons

m 0e

9,10938215 ċ 10−31

Ruhemasse des Protons

m 0p

1,672621637 ċ 10−27 kg

Elementarladung

Planck’sches Wirkungsquantum

h

relative Unsicherheit

6,62606896 ċ 10

−34

kg Jċs

−3

Sommerfeld’sche Feinstrukturkonstante

α

7,2973525376 ċ 10

elektrische Feldkonstante

ε0

8,854187817 ċ 10−12

magnetische Feldkonstante

μ0

4π ċ 10−7

Faraday-Konstante

F

universelle Gaskonstante

Rm

Boltzmann-Konstante

k

Stefan-Boltzmann-Konstante

σ

Vċs Aċm

Aċs

 1,0 ċ 10−4 5 ċ 10−8 2,5 ċ 10−8 5 ċ 10−8 5 ċ 10−8 5 ċ 10−8 6,8 ċ 10−10

Aċs Vċm

Aċs 9,648533399 ċ 104 mol J 8,314472 mol ċ K J 1,3806504 ċ 10−23 K W 5,670400 ċ 10−8 2 4 m ċK

  2,5 ċ 10−8 1,7 ċ 10−6 1,7 ċ 10−6 7 ċ 10−6

D Kinematik

In der Kinematik wird die Bewegung materieller Körper und Systeme untersucht, ohne die verursachenden Kräfte zu betrachten. In diesem Abschnitt wird lediglich die Kinematik des Punktes behandelt. Auf die Besonderheiten der Kinematik starrer Körper wird im Abschnitt E. eingegangen.

D.1 Eindimensionale Kinematik Bei geführter Bewegung längs einer vorgegebenen Bahn, z. B. Gerade, Kreis, Achterbahn, hat ein Punkt nur einen Freiheitsgrad. Zur Beschreibung des Ortes des Punktes genügt eine Koordinate. D.1.1 Geschwindigkeit Der Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit eines Punktes und dem längs der Bahn vom Anfangspunkt A aus gemessenen Weg geht aus der Übersicht D- hervor. Bei Kreisbewegungen ist es sinnvoll, die Lage eines Punktes durch einen Winkel zu beschreiben und anstatt der Bahngeschwindigkeit die Winkelgeschwindigkeit zu benutzen. D.1.2 Beschleunigung Eine beschleunigte Bewegung liegt vor, wenn die Geschwindigkeit nicht konstant ist (Übersicht D-). D.1.3 Kinematische Diagramme In einer Darstellung der Beträge des Weges (Winkels), der Geschwindigkeit (Winkelgeschwindigkeit) und der Beschleunigung (Winkelbeschleunigung) über der Zeit (Bild D-) gilt: • Die Geschwindigkeit ist die Steigung der Kurve im Weg-Zeit-Diagramm,

Bild D-. Kinematische Diagramme. a) Weg-Zeit-Diagramm, b) Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm, c) Beschleunigung-Zeit-Diagramm.



D Kinematik

Übersicht D-. Geschwindigkeiten. Bahngeschwindigkeit

Winkelgeschwindigkeit

mittlere Geschwindigkeit

mittlere Winkelgeschwindigkeit

s(t + Δt) − s(t) Δs m = = (t + Δt) − t Δt

(D−1)

Momentangeschwindigkeit ds Δs  = lim = = s˙ Δt0 Δt dt [] = 1 m s

ωm =

φ(t + Δt) − φ(t) Δφ = (t + Δt) − t Δt

(D−2)

momentane Winkelgeschwindigkeit (D−3)

Weg

dφ Δφ = = φ˙ Δt dt −1 [ω] = 1 rad s = 1 s ω = lim

Δt0

(D−4)

Winkel t1

s(t 1 ) = s 0 + ' (t) dt

t1

(D−5)

t0

φ(t 1 ) = φ 0 + ' ω(t) dt

(D−6)

t0

Verknüpfungen für Kreisbewegung φ = s r

(D−7) ω = 2πn = 2π T

ω =  r

(D−9)

s(t 1 )

Weg zur Zeit t 1

φ(t 1 )

Winkel zur Zeit t 1

s0

Weg s(t 0 ) zur Zeit t 0

φ0

Winkel φ(t 0 ) zur Zeit t 0

n

Drehzahl, -frequenz

T

Periodendauer

• die Beschleunigung ist die Steigung der Kurve im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm, • der Wegzuwachs ist die Fläche unter der Kurve im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm, • der Geschwindigkeitszuwachs ist die Fläche unter der Kurve im Beschleunigung-ZeitDiagramm.

(D−8)

D.1.4 Spezialfälle Die kinematischen Beziehungen für die Spezialfälle gleichmäßige Geschwindigkeit sowie gleichmäßige Beschleunigung sind mit den zugehörigen Diagrammen in der Übersicht D- zusammengestellt.

D. Eindimensionale Kinematik



Übersicht D-. Beschleunigungen. Bahnbeschleunigung

Winkelbeschleunigung

mittlere Beschleunigung

mittlere Winkelbeschleunigung

am =

(t + Δt) − (t) Δ = (t + Δt) − t Δt

(D−10)

Momentanbeschleunigung

αm =

ω(t + Δt) − ω(t) Δω = (t + Δt) − t Δt

(D−11)

momentane Winkelbeschleunigung

Δ d d2 s a = lim = = ˙ = 2 = s¨ Δt0 Δt dt dt [a] = 1 m s2

(D−12)

Geschwindigkeit

Δω dω d2 φ = φ¨ = = ω˙ = Δt0 Δt dt dt 2 [α] = 1 rad s2 = 1 s−2 α = lim

(D−13)

Winkelgeschwindigkeit

t1

t1

(t 1 ) = 0 + ' a(t) dt

(D−14)

t0

ω(t 1 ) = ω 0 + ' α(t) dt

(D−15)

t0

Verknüpfung für Kreisbewegung α = a r Δ Δt (t 1 ) 0

(D−16) Geschwindigkeitsänderung Zeitspanne Geschwindigkeit zur Zeit t 1 Geschwindigkeit (t 0 ) zur Zeit t 0

Δω ω(t 1 ) ω0

Änderung der Winkelgeschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit zur Zeit t 1 Winkelgeschwindigkeit ω(t 0 ) zur Zeit t 0

Übersicht D-. Spezielle Bewegungsformen. gleichmäßige Geschwindigkeit  = 0 Beschleunigung

a=0

Geschwindigkeit

 = 0

(D−17)

Weg Anfangsbedingung: s(0) = 0

s = 0 t

(D−18)

s = 0 t + s 0

(D−19)

s(0) = s 0



D Kinematik

Übersicht D-. (Fortsetzung). gleichmäßige Beschleunigung a = a 0 Beschleunigung

a = a0

Geschwindigkeit Anfangsbedingung: (0) = 0

 = a0 t =



2a 0 s

(D−20)

s(0) = 0

m = a 0 t 2 = s t

(0) = 0

 = a 0 t + 0 =

s(0) = s 0

m = 0 + a 0 t 2 = (s − s 0 ) t

Weg Anfangsbedingung: (0) = 0

2

20 + 2a 0 (s − s 0 )

(D−21)

s = 12 a 0 t 2

(D−22)

s = 12 a 0 t 2 + 0 t + s 0

(D−23)

s(0) = 0

(0) = 0 s(0) = s 0

D.2 Dreidimensionale Kinematik
=

D.2.1 Ortsvektor und Bahnkurve Bei einer allgemeinen Bewegung hat ein Punkt drei Freiheitsgrade. Zur eindeutigen Lagebeschreibung sind drei Koordinaten erforderlich. Dies sind die Komponenten des Ortsvektors r, der in kartesischen Koordinaten lautet: ? x(t)B r(t) = @ y(t)C . A z(t) D

(D–)

? x˙ B dr = r˙ = @ y˙C . dt A z˙ D

(D–)

Der Vektor
der Geschwindigkeit liegt stets tangential zur Bahnkurve. Ist e tan der Einheitsvektor in Richtung der Tangente an die Bahnkurve, dann gilt
=  ċ e tan

(D–)

 = 
 = ds dt ist der Betrag der Geschwindigkeit.

D.2.2 Geschwindigkeitsvektor Der Vektor
der Geschwindigkeit ergibt sich durch Differenziation des Ortsvektors r(t) nach der Zeit.

D.2.3 Beschleunigungsvektor Der Vektor a der Beschleunigung ist als Ableitung des Geschwindigkeitsvektors
nach der

D. Dreidimensionale Kinematik

Zeit t definiert:

D.2.4 Kreisbewegungen

?˙x B ? x¨B d
a= =
˙ = @˙ y C = @ y¨C . dt A ˙z D A z¨D

(D–)

Im Allgemeinen steht der Beschleunigungsvektor a schief zur Bahnkurve und kann in zwei Komponenten zerlegt werden (Bild D-): a = a tan + anorm a tan =

d e tan dt

a tan a norm e tan , e norm  R



mit und

anorm =

2 e norm ; R (D–)

Tangentialkomponente der Beschleunigung, Normalkomponente der Beschleunigung, Einheitsvektoren tangential und normal zur Bahnkurve, Momentangeschwindigkeit, Krümmungsradius der Bahnkurve.

Bei Kreisbewegungen weist die Normalbeschleunigung stets zum Kreismittelpunkt und wird als Zentripetalbeschleunigung a zp bezeichnet: a zp = 2 r = rω 2 = ω ;

(D–)

 Bahngeschwindigkeit, ω Winkelgeschwindigkeit, r Kreisradius. Die Übersicht D- enthält die vektorielle Beschreibung der Winkelgeschwindigkeit und beschleunigung. D.2.5 Wurfbewegungen Beim Wurf im Schwerefeld der Erde (Übersicht D-) gilt unter Vernachlässigung des Luftwiderstands für die Beschleunigung

a=$

0 ' ; −g

(D–)

g = 9,81 ms2 Erdbeschleunigung.

Bild D-. Tangential- und Normalkomponente des Beschleunigungsvektors.

Durch zweimalige Integration in x- und y-Richtung ergeben sich der Geschwindigkeitsvektor
und der Ortsvektor r sowie die Bahnkurve.



D Kinematik

Übersicht D-. Vektoren der Kreisbewegung. perspektivische Darstellung

Verknüpfungen
= ω r a tan = α r
ω r azp a tan

Geschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit Ortsvektor Zentripetalbeschleunigung Tangentialbeschleunigung

ebene Darstellung

(D−30) (D−32)

azp = ω
= −ω 2 r

(D−31)

Bahngleichung

. Wege

Grundgleichungen . Geschwindigkeiten

Berechnungen

Wurfarten

2

2x 1 + 2y1

g y = 0 t sin β − t 2 2 g y = tan βx − 2 x2 20 cos2 β

x = 0 t cos β

1  =

(4)

(3) g y = 0 t − t 2 2

x=0

x = 0  y = 0 − g t

x = 0 cos β  y = 0 sin β − g t

(1) (2)

senkrechter Wurf β = 90 —————

schiefer Wurf β beliebig ———————

Übersicht D-. Wurfbewegungen.

A y

g y = − t2 2 g y = − 2 x2 20

x = 0 t

Ax 2 2 + 2 A  = Ax Ay

tan γ =

 x = 0  y = −g t

waagerechter Wurf β = 0 

(a)

Grafik

D. Dreidimensionale Kinematik 

Wurfweite W

(y = 0)

Auftreffzeit TA

( y = 0)

Wurfhöhe

( y = 0)

Spezialfälle: Steigzeit TS

Berechnungen

Wurfarten

0 sin β g

2g

20

sin2 β

g

220

sin β = 2TS

g

sin 2β

Wmax für β = 45

W=

20

aus (3): W = 0 TA cos β

TA =

(4) = 0 und t 1 = 0

H=

(4) und (5)

TS =

(2) = 0

schiefer Wurf β beliebig ———————

Übersicht D-. (Fortsetzung).

(5)

g

220

2g

20

0 g

W =0

TA =

H=

TS =

= 2TS

senkrechter Wurf β = 90 —————

xW

g 2 x 220 W $ % 2h & = W = 0 % g −y = h =

aus (a):

TS = 0

h=0

TS = 0

waagerechter Wurf β = 0 

Achtung! Bei allen Gleichungen liegt der Koordinatenursprung im Abwurfpunkt.

Erdbeschleunigung (g = 9,81 m s2 ) h Höhe beim waagerechten Wurf H Wurfhöhe (schiefer und senkrechter Wurf) 0 Anfangsgeschwindigkeit x Geschwindigkeit in x-Richtung  y Geschwindigkeit in y-Richtung TA Auftreffzeit TS Steigzeit W Wurfweite (schiefer Wurf) xW Wurfweite (waagerechter Wurf) β Abwurfwinkel

g

 D Kinematik

E Dynamik

Die Dynamik untersucht die Ursachen für die Bewegung eines Körpers. Dieser hat eine Masse und eine geometrische Ausdehnung, d. h. ein Volumen. Bei der Modellvorstellung des materiellen Punktes ist die Masse des Körpers in einem Punkt ohne räumliche Ausdehnung vereinigt, der nicht rotieren und sich verformen kann und somit eine mathematisch einfachere Beschreibung seiner Reaktionen auf Einwirkungen von außen erlaubt. Wie materielle Punkte lassen sich Körper behandeln, deren Volumen klein ist im Vergleich zu den Dimensionen (Abmessungen, Abstände), in denen er sich bewegt. Aus materiellen Punkten bauen sich im Allgemeinen Systeme materieller Punkte auf; sind die Abstände der materiellen Punkte in Systemen konstant, dann werden diese Körper als starre Körper bezeichnet.

E.1 Grundgesetze der klassischen Mechanik

Dichte  Die Masse m und das Volumen V der Körper sind über eine materialspezifische Größe, die Dichte , definiert: =

m V

Die Dichte fester, flüssiger oder gasförmiger Körper (Tabelle E-) ist mehr oder minder stark temperatur- und druckabhängig. Bei Gasen ist die Dichte im Vergleich zu Festkörpern und Flüssigkeiten etwa tausendmal kleiner und ändert sich besonders stark mit der Temperatur und dem Gasdruck. Die mittlere Dichte m , von Körpern mit einem Gesamtvolumen V , das sich aus unterschiedlichen Materialien zusammensetzt, wie z. B. bei Lochsteinen oder Verbundwerkstoffen, errechnet sich folgendermaßen: m =

E.1.1 Die Newton’schen Axiome Die von I. Newton im Jahre  veröffentlichten Grundprinzipien der Dynamik sind in Tabelle E- zusammengestellt. Als Grundgesetze der klassischen Mechanik beschreiben sie die dynamischen Vorgänge exakt; sie versagen, wenn die Geschwindigkeiten nicht mehr erheblich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind (Relativitätstheorie) oder bei Wechselwirkungen in der mikroskopischen Welt (Quantentheorie).

(E–)

1 V1 + 2 V2 + . . . ; V

(E–)

1 , 2 , . . . Dichte der Körperanteile, V1 , V2 , . . . Teilvolumina der Körperanteile, V Gesamtvolumen des Körpers (V = V1 + V2 + . . .) . Kraft Das zweite Newton’sche Axiom definiert die Kraft F als Ursache einer Bewegungsänderung und stellt den Zusammenhang zwischen



E Dynamik

Tabelle E-. Die Newton’schen Axiome. Newton’sche Axiome

Formulierung

Beziehung

. Axiom Trägheitsgesetz

Jeder Körper behält seine Geschwindigkeit nach Betrag und Richtung so lange bei, wie er nicht durch äußere Kräfte gezwungen wird, seinen Bewegungszustand zu ändern.

. Axiom Aktionsgesetz Grundgesetz der Mechanik

Die zeitliche Änderung der Bewegungsgröße des Schwerpunktes, des Impulses p = m
, ist gleich der resultierenden Kraft F. Um eine konstante Masse zu beschleunigen, ist eine Kraft F erforderlich, die gleich dem Produkt aus Masse m und Beschleunigung a des Schwerpunktes ist.

. Axiom Wechselwirkungsgesetz actio = reactio

Wirkt ein Körper  auf einen Körper  mit der Kraft F 12 , so wirkt der Körper  auf den Körper  mit der Kraft F 21 ; beide Kräfte haben den gleichen Betrag, aber entgegengesetzte Richtungen.

allgemein: d F = (m
) dt speziell: F = ma F 12 = −F 21

Tabelle E-. Dichten von Materialien in kgm 3 beim Normdruck  Pa. Festkörper

Gase (0  C)

Flüssigkeiten

Platin Gold Blei Kupfer

21 400 19 290 11 340 8930

Messing Stahl Eisen Marmor Glas Normalbeton PVC-Kunststoff Eis Fichtenholz

 8500  7800  7500  2700  2500  2400 1400 920  700

Quecksilber Schwefelsäure Glycerin Schweres Wasser D2 O Wasser H2 O

Petroleum Alkohol (100%) Kfz-Benzin Leichtbenzin

der Bewegungsgröße eines Körpers, also dessen Impuls, und der Einwirkung von Kräften als Ursache der Bewegungsänderung her: d d d
dm F= p = (m
) = m +
; (E–) dt dt dt dt

13 546 1834 1260 1105 0 C 4 C 20  C 60  C 100  C 20  C 20  C

999,84 999,97 998,21 983,21 958,35 810 790 780 700

Xenon Chlor CO2 Sauerstoff

5,90 3,21 1,98 1,43

Stickstoff Luft 0 C −100  C +100  C +1000  C Ammoniak Methan Helium Wasserstoff

1,25 1,29 2,04 0,95 0,28 0,77 0,72 0,18 0,09

dem zweiten Newton’schen Axiom das Newton’sche Grundgesetz der Mechanik: F=m

d
= ma ; dt

(E–)

a Beschleunigung des Körpers. F p
m

Kraft auf den Körper, Impuls des Körpers (p = m
), Momentangeschwindigkeit des Körpers, Masse des Körpers.

Bleiben die Massen bei den dynamischen Vorgängen konstant (dmdt = 0), dann folgt aus

Die Kraft F ist eine vektorielle Größe, deren Richtung parallel zur Beschleunigung a und deren Betrag F = ma ist. Die Einheit für die Kraft ist [F] = 1 N (Newton) = 1 kg ċ ms2 . Für die Addition von Kräften und die Zerlegung einer Kraft in verschiedene Kraftrichtun-

E. Grundgesetze der klassischen Mechanik



Tabelle E-. Kräftediagramm und Kraftzerlegung. F= F1 + F2

Kräfteparallelogramm

Kräfte

Richtungswinkel

Kräfteaddition; gegeben F1 , F2 , α, β

Fx = F1 cos α + F2 cos β Fy = F2 1 sin α + F2 sin β F = Fx2 + Fy2 2 F = F12 + F22 + 2F1 F2 cos(β − α)

Kräftezerlegung; gegeben F, γ, α, β oder F, γ, F1 , F 2

F1 = F

sin(β − γ) sin(β − α) sin(γ − α) F2 = F sin(β − α)

gen gelten die Regeln der Vektorrechnung (Tabelle E-). Kräftegleichgewicht Das dritte Newton’sche Axiom beschreibt die Wechselwirkungen zwischen Körpern über Kräfte und sagt aus, dass es eine einzelne isolierte Kraft nicht gibt. Wird eine Systemgrenze vorgegeben, dann kann zwischen äußeren Kräften, die von einem Körper außerhalb der Systemgrenzen herrühren, und inneren Kräften, die nur innerhalb des Systems wirken, unterschieden und die Beschreibung dynamischer Vorgänge wesentlich vereinfacht werden (Abschnitt E..). Ist die nach dem Newton’schen Aktionsprinzip resultierende Kraft auf den Körper null, dann ist auch nach Gl. (E–) die Beschleunigung des Körpers a = 0 und er verharrt in seinem Bewegungszustand; war er also vorher in Ruhe, dann bleibt er in Ruhe. Dies ist die Bedingung des statischen Kräftegleichgewichts:

γ= arctan

F1 sin α + F2 sin β F1 cos α + F2 cos β

F 2 + F12 − F22 2FF1 F 2 + F22 − F12 β = γ + arccos 2FF2

α = γ − arccos

E.1.2 Wechselwirkungskräfte der Mechanik Schwer- oder Gewichtskraft FG Auf der Erdoberfläche fallen im freien Fall alle Körper konstanter Masse mit der konstanten Fallbeschleunigung g, wenn andere Wechselwirkungen, z. B. die Luftreibung, vernachlässigbar sind. Die Ursache dieser gleichmäßig beschleunigten Fallbewegung ist die Schwer- oder Gewichtskraft F G auf die Masse m des Körpers: FG = mg ;

(E–)

g Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche (in Paris: g = 9,81 ms2 ). Die Schwerkraft ist, wie die Fallbeschleunigung, zum Erdmittelpunkt hin gerichtet. Ursache der Schwerkraft ist die Gravitationskraft zwischen der Erd- und der Körpermasse (Abschnitt F). Hangabtriebskraft F H

N

% Fi = F1 + F2 + . . . = 0 . i=1

(E–)

Die Schwerkraft führt, wie Bild E- zeigt, bei Körpern auf einer schiefen Ebene zu einer hangabwärts, parallel zur schiefen Ebene gerichteten



E Dynamik

Die Zentripetalkraft ist antiparallel zum Radiusvektor r, d. h. zum Mittelpunkt der Kreisbahn hin gerichtet. Elastische oder Federkraft F el

Bild E-. Kräfte auf schiefer Ebene mit Neigungswinkel ε.

gleichmäßig beschleunigenden Kraft, der Hangabtriebskraft FH , mit dem Betrag FH = mg sin ε ;

(E–)

Kräfte verursachen nicht nur beschleunigte Bewegungen (dynamische Kraftwirkung), sondern ändern auch die geometrische Form von Körpern (Deformationswirkung). Umgekehrt üben daher deformierte Körper Kräfte aus, die elastischen oder Federkräfte F el . Nach dem dritten Newton’schen Axiom sind die elastischen Kräfte F el entgegengesetzt gleich der von außen wirkenden deformierenden Kraft F a . Alle Festkörper zeigen innerhalb maximaler Deformationsgrenzen ein elastisches Verhalten (Abschnitt G). Nach dem Hooke’schen Gesetz ist die Längenänderung s (Bild E-) der elastischen Deformation ein Maß für die elastische Kraft F el :

ε Neigungswinkel der schiefen Ebene. Senkrecht zur schiefen Ebene entsteht durch die Gewichtskraft die Normalkraft FN mit dem Betrag FN = mg cos ε .

(E–)

F el = −ks ;

(E–)

s Längenänderung des elastischen Körpers (s E F el ), k Richtgröße oder Federkonstante.

Zentripetalkraft F zp Nach dem Newton’schen Grundgesetz ist die Kraft, die einen Körper bei der gleichförmigen Kreisbewegung (Abschnitt D..) auf der Kreisbahn hält, die Zentripetalkraft F zp : F zp = mazp = −mω 2 r ;

(E–)

m Masse des Körpers, azp Zentripetalbeschleunigung nach Gl. (D–), ω Winkelgeschwindigkeit des Körpers auf der Kreisbahn, r Radiusvektor (Ortsvektor) der Kreisbahn.

Bild E-. Elastische Deformation. a) äußere Kraft Fa und elastische Rückstellkraft Fel b) Federkostante k.

E. Grundgesetze der klassischen Mechanik



Tabelle E-. Resultierende Federkonstante. Federkopplung

Resultierende Federkonstante

Parallelkopplung

kres = k 1 + k 2 + k 3 + . . .

(E–)

Serienkopplung kres =

1 1 1 1 + + +... k1 k2 k3

kres =

1 1 + 1 1 1 1 + + k1 k2 k3 k4

(E–)

Zwischenkopplung (E–)

Tabelle E-. Reibungskräfte. äußere Reibung Festkörperreibung (Newton’sche Reibung)

innere Reibung Flüssigkeitsreibung (Stokes’sche Reibung)

turbulente Reibung Luftreibung (Coulomb’sche Reibung)

Reibungskraft

Ansatz

FR = μFN

(E–)

FR = d

(E–)

FR = b2

(E–)

Proportionalitätsfaktor

μ: Reibungszahl μ ist unabhängig von der Kontaktfläche zwischen Körper und Unterlage; hängt ab von der Kontaktgeometrie und den Materialien von Körper und Unterlage.

d: Zähigkeitskoeffizient d hängt von der Form des Körpers und der Viskosität der Flüssigkeit ab. Es wird laminare Strömung vorausgesetzt.

b Luftreibungskoeffizient b hängt von der Anströmfläche und der Oberflächenbeschaffenheit des Körpers sowie von der Dichte und Art des strömenden Mediums ab.

Spezialfälle

μ R Rollreibung μ G Gleitreibung μ H Haftreibung

d = 6πηr laminare Umströmung einer Kugel vom Radius r in einem Medium mit der Zähigkeit η.

b = 12 cw A Körper mit Anströmfläche A und dem Widerstandsbeiwert cw im Medium der Dichte .



E Dynamik

Tabelle E- zeigt die resultierende Federkonstante kres für gekoppelte Federn. Reibungskraft F R Durch Reibung an der Unterlage (Festkörperreibung), an der Grenzschicht zur umgebenden Flüssigkeit (Flüssigkeitsreibung) oder dem umgebenden Gas (Luftreibung) wird die Bewegung von Körpern verlangsamt. Die Ursache der Bewegungsänderung ist die Reibungskraft F R ; sie ist der Richtung der Momentangeschwindigkeit
des Körpers stets entgegengerichtet: F R E
. Der Betrag von F R setzt sich je nach Situation in unterschiedlicher Weise aus den drei Grenzfällen in Tabelle E- zusammen. Die Festkörperreibung hängt von der Oberflächenbeschaffenheit der beiden reibenden Körper ab. Die Haft- und Gleitreibungszahlen unterscheiden sich stark (Tabelle E-). Bei niedrigen Geschwindigkeiten ist auch die Rollreibung noch näherungsweise proportional zur Normalkraft des Rades auf die Unterlage. In diesem Fall lässt sich die Rollreibungszahl μR , definieren; sie ist abhängig

Tabelle E-. Haft-, Gleit- und Rollreibungszahlen. Stoffpaar

μH

μG

μR

Stahl auf Stahl Stahl auf Holz Stahl auf Eis Holz auf Holz Holz auf Leder Gummi auf Asphalt Gummi auf Beton Gummi auf Eis

,

,

,

, bis ,

, bis ,

,

,

,

, bis ,

,

,

,

,

,

,

,

,

vom Radius R der aufeinander abrollenden Körper. Beispielsweise gilt für das Abrollen von Kugeln auf einer ebenen Unterlage μR = f R wobei der Faktor f vom Material und von der Oberflächenbeschaffenheit abhängt. So gilt für Stahlkugeln auf einer ebenen Kunststoffunterlage f = 0,0013 cm. In Tabelle E- sind die Werte von μR für Eisenbahn- und Autoräder angegeben. Nur Bewegungen mit Festkörperreibung verlaufen gleichmäßig beschleunigt oder verzögert; bei den anderen Reibungsarten sind die Bewegungsgesetze kompliziert.

E.2 Dynamik in bewegten Bezugssystemen E.2.1 Geradlinig bewegtes Bezugssystem Für den Fall geradlinig gleichmäßig gegeneinander beschleunigter Bezugssysteme sind im Bild E- die Vektoren für die Beschreibung der Bahnkurve eines Punktes P aufgezeichnet und die Transformationsgleichungen für die Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren angegeben, welche sich zwischen dem ruhenden System S (x, y, z) und dem sich gegenüber S mit der Beschleunigung a S bewegenden Bezugssystem S (x  , y  , z  ) ergeben. Dabei ist die für Geschwindigkeiten klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit zulässige Transformationsbedingung einer absoluten Zeit, also einer von den Koordinatensystemen unabhängigen Zeitkoordinate t = t  , angewandt worden (Galilei-Transformation); der Fall hoher Relativgeschwindigkeiten wird in Abschnitt U (Relativitätstheorie) beschrieben.

, bis ,

Trägheitskraft F t Wird in jedem der beiden Bezugssysteme S und S die gemessene Beschleunigung auf die Wirkung einer beschleunigenden Kraft zurückge-

E. Dynamik in bewegten Bezugssystemen

r = r + r s = r  +

r  = r − rs = r −

Geschwindigkeitsvektoren

1 2 as t ; 2
=
 +
s =
 + a s t;

Beschleunigungsvektoren

a = a  + as ;

a = a − as

Ortsvektoren



1 2 as t 2
 =
−
s =
− a s t

Bild E-. Galilei-Transformation in gleichmäßig gegeneinander beschleunigten Bezugssystemen.

führt, so ergibt sich im ruhenden System S die Kraft F = ma, und in S die Kraft F  = ma  = ma − maS . Die Differenz ist die nur im bewegten Bezugssystem als Scheinkraft auftretende Trägheitskraft F t : F t = −maS ;

(E–)

kraft F t zu der resultierenden Kraft F res aus den Wechselwirkungskräften vektoriell zu addieren. Demnach ist in bewegten Bezugssystemen S ein Körper im Gleichgewicht (a = 0), wenn das dynamische Kräftegleichgewicht erfüllt ist: N

F res + F t = % F i − ma S = 0 ;

(E–)

i=1

a S Beschleunigung des bewegten Koordinatensystems S in Bezug auf das ruhende System S: aS E F t . Die Trägheitskraft wirkt im beschleunigten Bezugssystem auf alle Massen. Durch Messung der Trägheitskraft auf einen Körper im beschleunigten Bezugssystem S lässt sich somit a s bestimmen. Prinzip von d’Alembert Nach dem Prinzip von d’Alembert ( bis ) ist in einem, geradlinig gleichmäßig beschleunigten Bezugssystem die Trägheits-

aS Beschleunigung des bewegten Bezugssystems, F i Wechselwirkungskräfte auf den Körper mit der Masse m im bewegten Bezugssystem.

E.2.2 Gleichförmig rotierende Bezugssysteme In rotierenden Bezugssystemen treten wegen der beschleunigten Bewegung ebenfalls Scheinkräfte auf, die nur der mitbewegte Beobachter wahrnimmt. Zum einen verspürt der bewegte



E Dynamik

Beobachter eine Kraft, die ihn von der Drehachse wegtreibt, die Zentrifugalkraft; zum anderen eine weitere, bei allen nicht mit der Drehachse von S übereinstimmenden Geschwindigkeitsrichtungen im bewegten System S wirkende abtreibende Kraft, die Coriolis-Kraft. Es besteht der Zusammenhang:
 =
− ω 4 r ;

(E–)


Geschwindigkeit im ruhenden Koordinatensystem S,
 Geschwindigkeit im bewegten Koordinatensystem S , ω Winkelgeschwindigkeit des um die z-Achse rotierenden Koordinatensystems S . 

a = a − 2ω 4
 − ω 4 (ω 4 r) ;

a = d
dt Beschleunigung im rotierenden Bezugssystem, a = d
dt Beschleunigung im ruhenden Bezugssystem. Ist R die Komponente des Ortsvektors r, die senkrecht zur Winkelgeschwindigkeit ω steht, dann geht Gl. (E–) über in 



Zentrifugalkraft F zf Im gleichförmig rotierenden Bezugssystem tritt eine Trägheitskraft auf, die Zentrifugalkraft F zf . Sie ist senkrecht zur Drehachsenrichtung und entgegengesetzt der Zentripetalkraft F zp radial nach außen gerichtet. F zf = +mω 2 r ;

2

m r ω

(E–)

 

a=a

Im rotierenden Bezugssystem wirken also zwei weitere Beschleunigungen, die vom Standpunkt des ruhenden Beobachters aus für bewegte Bezugssysteme Scheinkräfte sind.

 

Für die Beschleunigung a = d
dt im rotierenden Bezugssystem S ergibt sich aus Gl. (E–) folgende Verknüpfung:




 Bahngeschwindigkeit im rotierenden Koordinatensystem, R Abstand des Körpers von der Drehachse.

− 2
4 ω

−ω R ;

CoriolisBeschleunigung

ZentripetalBeschleunigung

(E–)

Masse des Körpers, Ortsvektor des Körpers auf der Kreisbahn, Winkelgeschwindigkeit der Drehbewegung.

Die Beträge von Zentrifugal- und Zentripetalkraft sind gleich, die Richtungen jedoch entgegengesetzt: F zf E F zp . Coriolis-Kraft FC Verläuft in einem rotierenden Bezugssystem der vom mitbewegten Beobachter gemessene Geschwindigkeitsvektor nicht parallel zur Drehachse, dann erfährt der bewegte Körper der Masse m eine weitere Trägheitskraft, die Coriolis-Kraft FC : F C = +2m(
 4 ω) ;

(E–)



Beschleunigung im rotierenden Koordinatensystem, a Beschleunigung im ruhenden Koordinatensystem, ω Winkelgeschwindigkeit des rotierenden Koordinatensystems a

(E–)

m
 ω

Masse des Körpers, Bahngeschwindigkeit des Körpers im bewegten System S , Winkelgeschwindigkeit des bewegten Bezugssystems um die Drehachse.

E. Arbeit, Leistung und Energie

Die Coriolis-Kraft hat den Betrag FC = 2m ω ċ sin(
 , ω) und ist senkrecht zur Drehachsenrichtung ω und senkrecht zur Geschwindigkeit
 gerichtet.

E.3 Arbeit, Leistung und Energie E.3.1 Arbeit W Wirkt eine Kraft F auf einen Körper und verschiebt