Spectral and evolution problems. Proceedings 14th Crimean Autumn Mathematical School-Symposium (KROMSH-2003). v. 14

Spectral and Evolution Problems Vol. 14 Спектральные и эволюционные задачи Том. 14 Editors: N. D. Kopachevsky, I. V. Orlov Taurida National V.Vernadsky University Simferopol, Ukraine Editorial Board: N. D. Kopachevsky (editor-in-chief, Simferopol, Ukraine) A. B. Antonevich (Minsk, Belarus) T. Ya. Azizov (Voronezh, Russia) Yu. V. Bogdansky (Kiev, Ukraine) A. A. Chikrii (Kiev, Ukraine) M. L. Gorbachuk (Kiev, Ukraine) M. M. Malamud (Donetsk, Ukraine) I. V. Orlov (associate editor, Simferopol, Ukraine) Ya. A. Roitberg (Chernigov, Ukraine) A. G. Rutkas (Kharkov, Ukraine) Yu. S. Samo˘ılenko (associate editor, Kiev, Ukraine) A. L. Skubachevskii (Moscow, Russia) Advisory Editorial Board: M. S. Agranovich (Moscow, Russia) K. I. Chernyshov (Voronezh, Russia) V. A. Derkach (Donetsk, Ukraine) Yoshinori Kametaka (Osaka, Japan) V. I. Ovchinnikov (Voronezh, Russia) S. N. Samborsky (Caen, France) L. R. Volevich (Moscow, Russia) V. I. Zhukovskiy (Moscow, Russia) Editorial Group: I. V. Orlov (Simferopol, Ukraine) P. A. Starkov (Simferopol, Ukraine)

Simferopol, Ukraine

Taurida National V.Vernadsky University Black Sea Branch of Moscow State University Crimean Scientific Center of Ukrainian NAS Crimean Academy of Sciences Crimean Mathematical Foundation

SPECTRAL AND EVOLUTION PROBLEMS Proceedings of the Fourteenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium (KROMSH-2003)

September 18 – 29, 2003, Sevastopol, Laspi

Volume 14

Simferopol, 2004

UDC 517.432+517.515+515.958 Spectral and Evolution problems: Proceedings of the Fourteenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Vol. 14. /Group of authors. — Simferopol: Taurida National V. Vernadsky University, Black Sea Branch of Moscow State University, Crimean Scientific Center of Ukrainian NAS, Crimean Academy of Sciences, Crimean Mathematical Foundation, 2004. — ??? pp. — in English and Russian.

This collection contains accounts of lectures and papers of the participants of the Fourteenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium, which was held by the Crimean Mathematical Foundation. The materials of the Symposium are devoted to the actual mathematical investigations in the field of spectral and evolutionary problems, and to the close questions. It is addressed to teachers, scientists, senior and post-graduated students of mathematical and physical specialities.

c Taurida National V.Vernadsky University ° Black Sea Branch of Moscow State University Crimean Scientific Center of Ukrainian NAS Crimean Academy of Sciences Crimean Mathematical Foundation, 2004.

iii Предисловие Четырнадцатая Крымская Осенняя Математическая школа-Симпозиум КРОМШ-2003 проходила с 18 по 29 сентября 2003г. в поселке Ласпи, в одном из лучших мест Южного Берега Крыма – заливе Батилиман, на территории базы отдыха "Чайка". Как и в предыдущие годы, Оргкомитет КРОМШ возглавлял заведующий кафедрой математического анализа Таврического Национального Университета им. В.И.Вернадского, профессор Н.Д.Копачевский. Организация и проведение Школы проходили при участии членов локального Оргкомитета, сотрудников кафедры Б.Д.Марянина, М.А.Муратова, И.В.Орлова, Ю.С.Пашковой, С.И.Смирновой, П.А.Старкова. В работе Симпозиума приняли участие около 150 математиков из Украины, России, Белоруси, Армении, Польши, Израиля, Японии и Франции. Среди них было много известных математиков, много и молодых ученых, аспирантов, студентов. На Школе были представлены четыре секции; две из них состояли из двух подсекций. Секция 1. Спектральные задачи. Подсекция 1.1. Несамосопряжённые операторы (Руководители: Антоневич А. Б. (Минск), Овчинников В. И. (Воронеж), Самойленко Ю. С. (Киев), Шульман В. С. (Вологда). Подсекция 1.2. Спектральная теория операторных пучков (Руководители: Шкаликов А. А. (Москва), Копачевский Н. Д. (Симферополь), Хромов А. П. (Саратов), Рыхлов В. С. (Саратов), Хацкевич В. А. (Кармиэль). Секция 2. Эволюционные и краевые задачи. Подсекция 2.1. Дифференциально-операторные уравнения (Руководители: Волевич Л. Р. (Москва), Якубов С. Я. (Хайфа), Власов В. В. (Москва), Чернышов К. И. (Воронеж), Хапаев М. М. (Москва). Подсекция 2.2. Краевые задачи (Руководители: Агранович М. С. (Москва), Скубачевский А. Л. (Москва), Каметака Йошинори (Осака), Солонников В. А. (СанктПерербург). Секция 3. Управление и экономическое поведение (Руководители: Коробов В. И. (Щецин), Зеликин М. И. (Москва), Жуковский В. И. (Москва), Курина Г. А. (Воронеж). Секция 4. Информатика и дискретная математика (Руководители: Гуров С. И. (Москва), Донской В. И. (Симферополь), Сапоженко А. А. (Москва). На КРОМШ-2003 было прочитано около 50 лекций. Ниже приводится список лекций. 1. Агранович М. С. (Москва, Россия) 1) Спектральные граничные задачи для системы Дирака 2) Суммирование ортогональных рядов 2. Антоневич А. Б. (Минск, Белоруссия) Автоморфизмы алгебры матриц-функций 3. Власенко М., Меллит А., Самойленко Ю. С. (Киев, Украина) О проблеме Г. Вейля и диаграммах Дынкина 4. Власов В. В. (Москва, Россия) Об асимптотическом поведении и оценках решений функционально-дифференциальных уравнений 5. Волевич Л. Р. (Москва, Россия) 1) Устойчивые пучки полиномов и цепочки Греда кинетических уравнений 2) Задача Коши для гиперболических уравнений с малым параметром 6. Глушак А. В. (Воронеж, Россия) Абстрактные дифференциальные уравнения с дробной производной 7. Дмитрук А. В. (Москва, Россия) Нелокальные люстерниковские оценки расстояния до множества нулей нелинейного оператора 8. Дудов С. И. (Саратов, Россия) Наилучшее приближение выпуклого компакта шаром произвольной нормы 9. Жуковский В. И. (Москва, Россия) Достоинства и недостатки равновесия по Нэшу

iv 10. Зеликин М. И. (Москва, Россия) Геометрия двойного отношения и иерархия Кадомцева-Петвиашвили 11. Kametaka Yoshinori (Osaka, Japan) Biharmonic operator in a sphere 12. Коробов В. И. (Щецин, Польша) Решение задачи оптимального допустимого синтеза 13. Куракин Л. Г., Юдович В. И. (Ростов-на-Дону, Россия) О нелинейной устойчивости стационарных вращений Томсоновских вихревых многоугольников 14. Курина Г. А. (Воронеж, Россия) 1) О приводимости одного класса оператор-функций 2) О разрешимости задач управления для дискретных дескриторных систем 15. Левенштам В. Б. (Ростов-на-Дону, Россия) Усреднение квазилинейных параболических уравнений, содержащих быстроосциллирующие слагаемые с большими амплитудами 16. Лебедев А. В. (Минск, Белоруссия) Что такое математическая термодинамика 17. Маламуд М. М., Маламуд С. М. (Донецк, Украина) Аналог теоремы Пуанкаре о перемежаемости для нормальных матриц и теорема Гаусса-Лукаса 18. Марченко В. М. (Минск, Белоруссия) Двойственность в задачах управления и наблюдения для гибридных систем с последействием 19. Мельникова И. В. (Екатеринбург, Россия) Полугрупповые методы регуляризации некорректных дифференциальных задач 20. Моторный В. П. (Днепропетровск, Украина) О сходимости рядов Якоби в Lp . 21. Мышкис А. Д. (Москва, Россия) Импульсные дифференциальные уравнения 22. Новокшенов В. Ю. (Уфа, Россия) Специальные функции и метод задачи Римана 23. Овчинников В. И. (Воронеж, Россия) О точности теорем вложения для обобщенных пространств Лионса-Петре 24. Петров В.Э. (С-Петербург, Россия) Интегральное преобразование на отрезке и многочлены Якоби 25. Печенцов А. С., Попов А. Ю. (Москва, Россия) Асимптотическое поведение плотности спектральной меры оператора Штурма-Лиувилля 26. Рабах Рабах (Нант, Франция) Неэкспоненциальная устойчивость систем нейтрального типа 27. Рыхлов В. С. (Саратов, Россия) О полноте собственных функций простейшего дифференциального оператора 28. Рябенький В. С. (Москва, Россия) Неотражающие искусственные граничные условия, равносильно заменяющие систему Максвелла вне ограниченной расчетной подобласти 29. Савин А. Ю. (Москва, Россия) Эллиптические операторы на многообразиях с особенностями и К-теория 30. Самборский С. Н. (Кан, Франция) Лекции по дифференциальному исчислению, или как дифференцировать разрывные функции, чтобы была верна теорема о конечном приращении (Цикл из трех лекций по заказу Оргкомитета) 31. Седлецкий А. М. (Москва, Россия) Негармонический анализ в весовых пространствах 32. Сильченко Ю. Т. (Воронеж, Россия) Абстрактная задача Коши с необратимым оператором при производной 33. Скляр Г. М. (Щецин, Польша) Новые результаты об управляемости вращающейся балки Тимошенко 34. Скубачевский А. Л. (Москва, Россия) Эллиптические задачи с нелокальными краевыми условиями в двумерных и многомерных областях 35. Соболевский П. Е. (Иерусалим, Израиль) Well-posedness of difference elliptic equation 36. Солонников В. А. (Санкт-Петербург, Россия) Об устойчивости неосесимметричных фигур равновесия вращающейся жидкости 37. Стебловская В. Р. (Boston, USA) Topics from mathematics of finance 38. Хапаев М. М. (Москва, Россия) О некоторых сингулярно возмущенных задачах

v 39. Хацкевич В. А. (Кармиэль, Израиль) [3 лекции] Operator Fractional Relations: Theory and Applications 1) Dichotomy of solutions to nonautonomous dynamic system and operator linear fractional relations 2) Phillips extension problem of pairs of dual subspaces and operator linear fractional relations 3) Koenigs embedding problem on iterates of holomorphic mapping and operator linear fractional relations 40. Хромов А. П. (Саратов, Россия) Интегральные операторы с переменным пределом интегрирования 41. Чернышов К. И. (Воронеж, Россия) Об операторе Коши нестационарных линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производной 42. Шкаликов А. А. (Москва, Россия) Спектральные портреты несамосопряженных задач с малым параметром 43. Шульман В. С. (Вологда, Россия) Топологические радикалы в банаховых алгебрах 44. Якубов С. Я. (Израиль) Начально-краевая задача для дифференциальнооператорных уравнений гиперболического типа Большинство участников Школы представили доклады на заседаниях секций и подсекций. Как всегда, обмен научной информацией не укладывался в формальные рамки. Активное и плодотворное неформальное общение стало многолетней традицией КРОМШ. В настоящем сборнике трудов КРОМШ-2003 представлены как материалы лекций и докладов, сделанных на Школе, так и некоторые работы участников, формально не доложенные на Школе.

_

Светлой памяти Оксаны Андреевны Зиза

СУММИРОВАНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ М. С. Агранович Московский институт электроники и математики (МИЭМ) Москва, Россия Это краткий обзор некоторых направлений в теории суммирования ортогональных рядов, написанный в основном по монографии О. А. Зиза (1999). This is a short survey of some aspects in the theory of summability of orthogonal series. It is mainly based on the monograph by O. A. Ziza (1999).

1. Введение 2 ∞ Пусть {fn (x)}∞ 0 — ортонормированная система функций, ОНС, из L [0, 1]. Если {cn }0 — числовая последовательность из l2 , то по теореме Фишера–Рисса ряд ∞ X cn fn (x) (1) 0

сходится в L [0, 1] к некоторой функции f (x), при этом она имеет коэффициенты Фурье cn по данной системе. Такой ряд называют ортогональным рядом. Все числа и функции считаем вещественными. Согласно знаменитой теореме Карлесона (1966), если {fn } — тригонометрическая система на [0, 1], то ряд (??) сходится к f (x) почти всюду на [0, 1]. В случае общей ОНС {fn } давно возник следующий вопрос: при каких дополнительных условиях на коэффициенты cn имеет место сходимость ряда (??) к f (x) почти всюду. Согласно теореме Д. Е. Меньшова– Радемахера (1923, 1922) (см. [?], [?] или [?]), таким условием является неравенство ∞ X c2n ln2 n < ∞, (2) 2

2

причем это условие нельзя ослабить. Это примеры известных теорем в теории ортогональных рядов. Об их предыстории мы скажем несколько слов в разд. ??. Д. Е. Меньшову принадлежит также более общая постановка вопроса: при каких условиях на коэффициенты ортогональный ряд (??) суммируется к f (x) почти всюду тем или иным регулярным методом суммирования. Напомним для начала простейший метод суммирования — метод средних арифметических. Числовой ряд ∞ X un (3) 0

c последовательностью частных сумм Sn , по определению, суммируется этим методом к числу S, если арифметические средние 1 (S0 + · · · + Sn ) (4) Sn = n+1 сходятся к S. В этом случае говорят также, что метод средних арифметических суммирует последовательность {Sn } к S. Кстати, напомним теорему Фейера (1900) из курса анализа: тригонометрический ряд Фурье непрерывной периодической функции равномерно суммируется к ней методом средних арифметических. Непрерывности и периодичности мало для поточечной сходимости (дю Буа-Реймон, Фейер, Лебег).

4 При рассмотрении суммируемости ортогональных рядов возникает ряд содержательных вопросов; некоторые из них будут упомянуты в настоящем докладе. Не случайно они привлекали классиков анализа (в особенности в начале ХХ века). Вслед за ними исследования продолжали другие математики. Теория ортогональных рядов, включающая теорию их суммирования, — это увлекательная область математического анализа, в которой результаты часто представляют общематематический интерес. Упомянем, что некоторые факты этой теории сохраняются, если заменить отрезок пространством с мерой. (Но мы не будем в это углубляться.) И напомним, что, как хорошо известно, самосопряженный дифференциальный или псевдодифференциальный оператор с дискретным спектром имеет полную ОНС из собственных функций. Оксана Андреевна Зиза занималась главным образом построением теории суммирования общих ортогональных рядов методами (ϕ, λ). Это обширный класс, содержащий три с половиной десятка классических методов суммирования, возникших в разных вопросах анализа. О. А. провела его исследование в нескольких направлениях. Отправляясь от классических постановок и результатов, она обобщила результаты своих предшественников и доказала ряд теорем общего характера о суммировании ортогональных рядов методами (ϕ, λ). Из этих теорем следует много новых конкретных результатов для известных классических методов. Настоящий доклад, прочитанный в 14-й Крымской осенней математической школе в сентябре 2003 г., является обзором этой деятельности в основном на базе книги [?]1. Использованы также работы [?], [?] Оксаны Андреевны и тексты ее выступлений в 2001–02 гг. (на семинаре в Г¨eтеборге и на конференциях в Таллинне, Дюрсо и Ханое). Доклад написан для математиков, не являющихся специалистами по теории ортогональных рядов, и его автор тоже не является таким специалистом. Доказательства и другие подробности следует смотреть в первую очередь в цитируемой здесь литературе. Мы останавливаемся в разд. ??–?? сравнительно подробно на трех вопросах: сравнение и эквивалентность методов суммирования; множители Вейля; перестановки в ортогональных рядах. Это соответственно материал глав II и IV книги [?] и последней работы [?] О. А. Зиза. Некоторые другие вопросы, обсуждаемые в книге, упоминаются в разд. ??. Разумеется, мы не затрагиваем многие детали. Это касается и ссылок. Литература в [?] содержит 31 название монографий и обзоров и 260 оригинальных статей более чем 140 авторов. Сделать ссылки полными в настоящем докладе не было никакой возможности. Оксана Андреевна погибла в результате несчастного случая 8 ноября 2002 года в горном парке Кисловодска. 2. Методы суммирования числовых рядов 2.1. Основные определения. Матричный метод суммирования числовых рядов (??), или метод Теплица, задается матрицей B = (bn,k )∞ n,k=0 ,

(5)

преобразующей последовательность частных сумм Sn в новую последовательность «средних» X Tn = bn,k Sk (6) k

(здесь и дальше подразумевается, что все выписываемые ряды должны сходиться). Если последовательность (??) сходится к числу S, то говорят, что этот метод суммирует ряд 1Желающие

получить эту книгу могут обратиться к автору настоящего доклада по электронному адресу [email protected]

5 (??) (и последовательность {Sn }) к S. Например, метод средних арифметических имеет нижнюю треугольную матрицу   1 0 0 0 ... 1  1 0 0 . . . 2  21 . 1 1   0 . . . 3 3 3 ... ... ... ... ... Метод суммирования называется регулярным, если он суммирует любой сходящийся ряд к его сумме. Три условия, необходимые и (вместе) достаточные для регулярности, хорошо известны (и легко проверяются), cм. [?] или [?]: lim bn,k = 0 (k = 0, 1, . . . ), X lim bn,k = 1,

n→∞

n→∞

X k

k

|bn,k | ≤ Const

(7)

(n = 0, 1, . . . ).

Как легко видеть, метод средних арифметических регулярен. Он содержится в шкале методов Чезаро (C, α) (будем считать, что α > 0) со средними µ ¶−1 X ¶ n µ n+α n−k+α−1 α Sn = Sk . (8) n n−k k=0

Все методы Чезаро регулярны, см. [?] или [?]. Метод средних арифметических — это метод (C, 1). Далее мы рассматриваем только регулярные методы. Если метод T2 суммирует все последовательности, суммируемые методом T1 , и притом к тем же суммам, то говорят, что метод T2 не слабее метода T1 , и пишут T1 ⊂ T2 . Если T1 ⊂ T2 и T2 ⊂ T1 , то эти методы называют эквивалентными и пишут T1 ∼ T2 . Если T1 ⊂ T2 и эквивалентности нет, говорят, что метод T2 сильнее метода T1 . Например, метод (C, α′ ) сильнее метода (C, α) при α < α′ , cм. [?] или [?]. Подставляя Sn = un − un−1 , легко формально преобразовать B в матрицу, переводящую последовательность членов ряда un в последовательность средних Tn′ . Получаемый при этом метод T ′ эквивалентен исходному методу T , если строки в матрице B конечны. Это достаточное условие для эквивалентности. Кроме методов с дискретным параметром n, рассматривают методы с непрерывным параметром t, стремящимся, скажем, к 0, 1 или +∞. Например, метод Абеля определяется следующим образом: обобщенная сумма ряда (??) есть S = lim t↑1

∞ X

un tn ,

(9)

0

если этот предел существует и конечен. Здесь вспоминается «вторая теорема Абеля» в курсе анализа. Метод Абеля тоже регулярен и сильнее всех методов Чезаро, см. [?] или [?]. 2.2. Методы (ϕ, λ). Каждый метод из этого класса задается функцией ϕ(t) на [0, ∞) c пределом 1 в t = 0 и нулевым пределом на +∞ и последовательностью λ чисел λn : 0 ≤ λ0 < λ1 < . . . , λn → ∞. Метод суммирует ряд (??) к числу S, если σ(t) =

∞ X 0

un ϕ(λn t) → S

(t → 0).

(10)

6 По-видимому первое упоминание таких методов, с λn = n, встречается у Фейера (1904). Необходимое и достаточное условие регулярности имеет вид ∞ X |ϕ(λn t) − ϕ(λn+1 t)| ≤ Const (t > 0). (11) 0

Удобное достаточное условие состоит в том, что функция ϕ локально абсолютно непрерывна и Z∞ |ϕ′ (t)| dt < ∞. (12) 0

Это условие не выполнено в случае обычной сходимости (ϕ(t) = 1 левее некоторой точки и 0 правее нее), но в дальнейшем мы всюду предполагаем, что оно выполняется. Формальное преобразование Абеля в (??) приводит к средним ∞ X σ T (t) = [ϕ(λn t) − ϕ(λn+1 t)]Sn . (13) 0

Соответствующий метод обозначается через (ϕ, λ)T . Методы (ϕ, λ) и (ϕ, λ)T заведомо эквивалентны, если ϕ(t) = 0 при больших t, в общем же случае это не так. Дело в том, что если сходятся ряды, определяющие средние в одном из этих методов, то не обязательно сходятся ряды, определяющие средние во втором методе. Если ϕ(t) ↓ 0 (монотонно) при t → ∞, то (ϕ, λ) ⊂ (ϕ, λ)T . Есть еще дискретные варианты этих методов (t принимает дискретные значения), но на них мы нигде не будем останавливаться, кроме п. ??. Приведем теперь примеры некоторых из 35 конкретных методов (ϕ, λ), сохраняя их номера в [?]. 1◦ Метод Рисса (R, λ, α) (α > 0): ( (1 − t)α при 0 ≤ t ≤ 1, ϕ(t) = 0 при t > 1. При λ = {n} этот метод эквивалентен методу Чезаро (C, α), см. [?]. 3◦ Метод Абеля (A) (в другой форме записанный в (??)): ϕ(t) = e−t , 5◦ Метод Линдел¨ефа (L): ϕ(t) = e−t , 6◦ Метод Абеля–Дирихле (A, λ):

λ = {n}.

λ = {(n + 1) ln(n + 1)}. ϕ(t) = e−t ,

7◦ Метод Гаусса (G): 2

ϕ(t) = e−t , 8◦ Метод Стильтьеса (S, λ, s) (s > 0):

∀λ. λ = {n}.

ϕ(t) = (1 + t)−s . 10◦ Метод Римана (R, λ, κ) (κ = 2, 3, . . . ): ϕ(t) = (t−1 sin t)κ . 12◦ Обобщенный метод Бернштейна–Рогозинского (B, λ, κ) (κ > 0): ( при 0 ≤ t ≤ 1, cosκ πt 2 ϕ(t) = 0 при t > 1.

7 21◦ Обобщенный метод сумматорной функции (SF, ϕ): функция ϕ абсолютно непрерывна, равна 1 при t = 0 и 0 при t ≥ 1. Методы 1◦ , 12◦ и несколько других — частные случаи этого метода. 22◦ Метод Ламберта (L): ϕ(t) = te−t (1 − e−t )−1 , 25◦ Метод Лапласа (L, λ, α) (α > −1): 1 ϕ(t) = Γ(α + 1)

Z∞

λ = {n}.

τ α e−τ dτ.

t

30◦ Метод Харди (H): ϕ(t) = 2(et + 1)−1 ,

λ = {n}.

Приведем теперь тауберову теорему О. А. Зиза для методов (ϕ, λ) (1979): Пусть λn+1 = O(λn ),

Z∞

t−1 |ϕ(t)| dt < ∞

и ϕ ∈ Lip [0, ε]

1

при некотором ε > 0, и пусть ряд (??) суммируется к числу S методом (ϕ, λ). Тогда он сходится к S, если n ¡ ¢ 1 X uk λk → 0 или un = o (λn+1 − λn )λ−1 (n → ∞). n+1 λn 0

2.3. Заканчивая этот параграф, упомянем некоторые методы, не являющиеся методами (ϕ, λ): методы Чезаро; методы Эйлера (E, q) (q > 0) со средними n µ ¶ X 1 n n−k q q Sk ; En = n k (1 + q) k=0

метод Бореля (B) со средними

B(t) = e−t

∞ X tk 0

k!

Sk

(t → +∞).

3. Включения и эквивалентности 3.1. Определения. При рассмотрении суммируемости ортогональных рядов сравнение и эквивалентность методов суммирования определяются заново следующим образом. Метод T2 не слабее метода T1 в L2 , если всякий ортогональный ряд, суммируемый методом T1 почти всюду, суммируется методом T2 тоже почти всюду. Обозначение: T1 ⋐ T2 . Совпадение сумм почти всюду оговаривать здесь не нужно, так как всегда, если ортогональный ряд суммируется к некоторой функции почти всюду, то эта функция почти всюду совпадает с суммой ряда в L2 [0, 1]. Если T1 ⋐ T2 и T2 ⋐ T1 , то методы T1 и T2 называют эквивалентными в L2 и пишут T1 ≈ T2 . Если T1 ⋐ T2 и эквивалентности нет, то говорят, что метод T2 сильнее метода T1 в L2 . При переходе от числовых рядов к ортогональным некоторые соотношения включения существенным образом меняются; например, (C, α) ≈ (A),

8 так что, в частности, все методы Чезаро эквивалентны в L2 . Это комбинация результатов А. Н. Колмогорова, Качмажа и Зигмунда (1924, 25, 27), формулировку которой мы чуть ниже дополним, см. формулу (??). Доказательства cм. в [?] и [?]. 3.2. Эквивалентность методам T [nm]. Пусть {nm } — возрастающая последовательность натуральных чисел. Метод суммирования T [nm ], определенный в общем случае Д. Е. Меньшовым, состоит в переходе от последовательности {Sn } (частных сумм числового ряда) к подпоследовательности {Snm }. А. Н. Колмогоров, Качмаж и Зигмунд доказали, что (C, α) ≈ (A) ≈ T [2m ]. (14) Конечно, эквивалентность такому прозрачному по структуре методу, как T [nm ], в известной мере выявляет «силу» рассматриваемого метода. Зигмунд показал (1927), что (R, λ, α) ≈ T [nm ], (15) где nm — занумерованные в порядке возрастания числа νs , удовлетворяющие условию λνs ≤ 2s < λνs +1

(s = s0 , . . . ).

(16)

Здесь величину 2s можно заменить на q s c любым q > 1; последовательность {nm } при этом изменится, {nm } = {nm (q)}, но эквивалентность сохранится; это мы поясним немного ниже. Ср. [?]. О. А. Зиза в своей кандидатской диссертации (1962, ее руководителем был Д. Е. Меньшов) показала, что (E, q) ≈ T [m2 ] ≈ (B), (17) см. [?]. Этот результат не доказывается в книге [?], так как методы Эйлера и Бореля не являются методами (ϕ, λ). Эквивалентность (E, q) ≈ T [m2 ] одновременно и независимо установил (но, видимо, не опубликовал) С. Б. Стечкин. В литературе имеется еще несколько теорем, близких к сформулированным, в том числе для некоторых методов (ϕ, λ). Д. Е. Меньшов получил, однако, следующий результат (1960): Существует такой матричный метод суммирования T , что эквивалентность T ≈ T [nm ] не имеет места ни для какой последовательности {nm }. Приведем еще теорему Качмажа (1934), см. [?] и [?]:

Пусть ортогональный ряд (??) суммируется почти всюду регулярным матричным методом T . Тогда существует такая последовательность номеров {nm }, зависящая только от T , что частные суммы ряда (??) c номерами nm сходятся почти всюду. 3.3. Теоремы о методах T [nm] и (ϕ, λ). Приведем теперь две теоремы Оксаны Андреевны, вошедшие в книгу [?]. Первая — это необходимое и достаточное условие эквивалентности T [nm ] ≈ T [km ] (1981). Оно состоит в том, что lim pm < ∞ и lim qm < ∞, (18) где pm — количество чисел kl , таких, что nm < kl ≤ nm+1 , а qm — количество чисел nl , таких, что km < nl ≤ km+1 . Независимо эту теорему доказал Швинн.

Вторая — это общий результат для методов (ϕ, λ). Для его формулировки введем два обозначения. Обозначим через I класс функций ϕ, удовлетворяющих условию Z∞ (1 + t)β |ϕ′ (t)|p dt < ∞ (19) 0

9 при некоторых p и β, β > p − 1 > 0. Заметим, что это условие выполнено для всех 35 конкретных методов, рассмотренных в [?], если только в методе 21◦ (и 20◦ ) дополнительно предположить, что ϕ′ ∈ Lp [0, 1] c некоторым p > 1. Далее, через N (λ) обозначим класс последовательностей {nm (q)}, q > 1, которые уже введены выше при формулировке теоремы Зигмунда. При фиксированной последовательности λ все методы T [nm ] c {nm } ∈ N (λ) эквивалентны в силу только что сформулированной теоремы О. А. Зиза о методах T [nm ]. Теперь формулируем вторую ее теорему (1979). 1. Пусть функция ϕ принадлежит классу I, и пусть последовательность {nm } принадлежит N (λ). Тогда (ϕ, λ) ⋐ T [nm ] ⋐ (ϕ, λ)T . (20) Эквивалентностей здесь в общем случае нет. Для уточнения картины положим

2. Если

ρn (t) = |ϕ(λn t)| ln n.

(21)

sup ρn (t) = Ct < ∞

(22)

(ϕ, λ) ≈ T [nm ] ≈ (ϕ, λ)T .

(23)

n

при всех t > 0, то

Если же функция ϕ(t) не возрастает и существует такое t0 > 0, что ln ln λn = o(|ϕ(λn t0 )| ln n)

(n → ∞),

(24)

то метод (ϕ, λ) не эквивалентен никакому методу T [nm ]. Условие (??), конечно, выполнено в случае, когда функция ϕ(t) равна нулю при больших t, в нашем списке это методы 1◦ , 12◦ и 21◦ c ϕ′ ∈ Lp , p > 1. Далее, оно выполнено для методов 3◦ , 5◦ , 7◦ , 22◦ , 30◦ . Значит, для всех этих методов получаются эквивалентности (??). В частности, здесь содержится теорема Зигмунда (??). Теперь рассмотрим, например, метод (A, λ). Если λn = vn ln ln n, где vn → ∞, то (A, λ) ≈ T [nm ]. Если же λn ≤ C0 ln ln n, то метод (A, λ) не эквивалентен никакому методу T [nm ]. В качестве следствий получаются также результат об эквивалентности (ϕ, λ) ≈ (ϕ, λ)T

(25)

для ϕ ∈ I при условии (??) и об эквивалентности двух методов с общей последовательностью λ: (ϕ1 , λ) ≈ (ϕ2 , λ), (26)

если обе функции ϕ1 и ϕ2 принадлежат I и для них выполнено условие (??). Добавим в заключение, что, как показано в [?], для функций ϕ ∈ I методы (ϕ, λ) и T [nm ] эквивалентны всегда в следующем смысле: на тех ортогональных рядах, для которых (ϕ, λ)-средние σ(t) существуют при всех t > 0 почти всюду по x. 4. Множители Вейля

4.1. Определения и классические результаты. Пусть {w(n)}∞ 0 — неубывающая последовательность из неотрицательных функций. Она называется множителем Вейля для сходимости ортогональных рядов по данной ОНС {fn }, если из условия ∞ X 0

c2n w(n) < ∞

(27)

10 вытекает, что ряд (??) по системе {fn } сходится почти всюду. Множитель Вейля называется точным, если здесь последовательность {w(n)} нельзя заменить никакой последовательностью {v(n)} co свойством v(n) = o(w(n))

(n → ∞).

(28)

Обозначения: соответственно МВ и ТМВ. Аналогично определяются множитель Вейля и точный множитель Вейля для ортогональных рядов по общей ОНС (т.е. по всем ОНС сразу). Наконец, аналогично определяются множитель Вейля и точный множитель Вейля для суммируемости некоторым методом (вместо сходимости) ортогональных рядов по данной или по общей ОНС. Упомянутые в разд. ?? теоремы Карлесона и Меньшова–Радемахера означают, что ТМВ для сходимости ортогональных рядов по тригонометрической системе — последовательность из единиц, а ТМВ для сходимости ортогональных рядов по общей ОНС — последовательность {ln2 n}. Эти теоремы имеют впечатляющую предысторию. Вот последовательность продвижений в отношении МВ для тригонометрической системы: {n} (Фату, 1906); {n1/3 } (Г. Вейль, 1909); {ln2 n} (Харди, 1913). В 1915 г. Н. Н. Лузин высказал гипотезу, подтверждением которой в дальнейшем явилась теорема Карлесона, и предложил название “признак сходимости типа Вейля”. Следующие продвижения: {ln n} (А. Н. Колмогоров–Г. А. Селиверстов и А. И. Плесснер, 1925–26) и, наконец, {1} (Карлесон, ТМВ, 1966). От первого до окончательного результата прошло 60 лет. Далее продвижения происходили уже за пределами ортогональных рядов. Было известно (А. Н. Колмогоров, 1926), что существует суммируемая функция, тригонометрический ряд Фурье которой расходится всюду. Р. Хант показал (1968), что для сходимости тригонометрического ряда Фурье функции f почти всюду достаточна ее принадлежность к Lp , p > 1. С. В. Конягин показал (2000), что достаточна принадлежность функции к L ln+ L и что этот результат уже по существу неулучшаем. Несколько короче предыстория теоремы Меньшова–Радемахера: {n1/2 } (Г. Вейль, 1909); {nε } (∀ε > 0) (Гобсон, 1913); {ln3 n} (Планшерель, 1913); {ln2 n} (Меньшов–Радемахер, 1922–23, ТМВ). Далее улучшались свойства системы в подпирающем эту теорему примере, см. указания в [?]. У Б. С. Кашина (1976) это ОНС из функций, равных по модулю единице. Упомянем еще несколько известных результатов. ТМВ для методов Чезаро нашли Д. Е. Меньшов, Качмаж и Борген (1925–28): это {(ln ln n)2 }. См. [?] или [?]. Зигмунд показал, что последовательность {(ln ln λn )2 } есть МВ для методов Рисса (R, λ, α), причем это ТМВ, если выполнено условие λn+1 = O(λn ).

(29)

См. [?]. Условие (??) здесь существенно. ТМВ для методов Эйлера и Бореля нашла О. А. Зиза [?] по предложению П. Л. Ульянова. Это та же последовательность {ln2 n}, что и в теореме Меньшова–Радемахера. Дальнейшие результаты следует смотреть в [?], [?]. 4.2. Множители Вейля для методов T [km] и (ϕ, λ). Оксана Андреевна показала в [?], что ТМВ для методов T [km ] — последовательность чисел W (n) = ln2 m,

где km ≤ n < km+1 , m = 1, 2, . . . .

Для методов (ϕ, λ) она получила следующиe результаты (1983).

(30)

11 Пусть ϕ ∈ I. 1. Eсли ϕ(λn t) ln n = Ot (ln ln λn )

(31)

(t > 0, n → ∞),

то {(ln ln λn ) } есть МВ, притом ТМВ в случае выполнения условия (??). Здесь Ot означает O при фиксированном t. Условие (??) существенно. 2. Пусть при некотором t = t0 > 0 выполнено условие (??). Тогда если 2

ϕ(αt)ϕ−1 (t) = O(1) при некотором α ∈ (0, 1),

(32)

то {(ϕ(λn t0 ) ln n)2 } есть ТМВ. Если же ϕ(αt)ϕ−1 (t) → ∞

(n → ∞) при некотором α ∈ (0, 1),

(33)

то условие (ϕ(λn t) ln n)2 = ot (w(n))

(34)

(t > 0, n → ∞)

необходимо и достаточно для того, чтобы последовательность {w(n)} была МВ. В этом случае ТМВ не существует. Приведем следствия. Для методов 1◦ , 12◦ и метода 21◦ с ϕ′ ∈ Lp , p > 1, последовательность {(ln ln λn )2 } есть МВ, и это ТМВ, если выполнено условие (??). В частности, здесь содержится теорема Зигмунда для методов Рисса. Для методов 3◦ , 5◦ , 7◦ , 22◦ последовательность {(ln ln n)2 } есть ТМВ. Теперь рассмотрим, например, метод Абеля–Дирихле (A, λ) c λn = v(n) ln ln n. Eсли v(n) → ∞, то {(ln ln λn )2 } есть ТМВ. Если же v(n) = O(1), то ТМВ не существует. 5. Перестановки в ортогональных рядах Ортонормированная система {fn }∞ 0 называется системой сходимости, если ряд (??) сходится почти всюду при любом наборе коэффициентов из l2 . Например, тригонометрическая система является системой сходимости в силу теоремы Карлесона. Системами сходимости являются также известные системы Радемахера, Уолша и Хаара (см. [?] или [?]). А. Н. Колмогорову и Д. Е. Меньшову принадлежит следующая постановка вопроса: существует ли для каждой ортонормированной системы {fn } такая перестановка {fkn } входящих в нее функций, что получается система сходимости. Ответ неизвестен. Рассматривались также близкие постановки. Например, Д. Е. Меньшов, заменив требование сходимости почти всюду требованием суммируемости почти всюду матричным методом c матрицей (??), удовлетворяющей дополнительному условию maxk |bn,k | → 0 (n → ∞), получил положительный результат (1937). Для методов Чезаро он установил наличие единой перестановки (1940). См. [?]. Отметим еще такой результат Д. Е. Меньшова (1936). Для любой ОНС {fn } и любой последовательности {w(n)} с w(n) ↑ ∞ существует такая перестановка {fkn }, что {w(n)} есть МВ для сходимости ортогональных рядов по этой системе. Интересен также следующий результат Гарсиа (1964). Для любого ортогонального ряда (??) существует перестановка почти всюду. Результат О. А. Зиза [?] для методов (ϕ, λ) состоит в следующем.

P

cnk fnk , сходящаяся

Пусть функция ϕ(t) выпукла вниз на луче [h, ∞) при некотором h > 0 и ϕ′ (t) ∈ L [0, h + 1) при некотором p > 1. Построим по данной последовательности λ последовательность {nm } как в п. ?? с q = 2. Пусть nm+1 − nm → ∞. Тогда для каждой p

12 ортонормированной системы {fn } существует такая перестановка {fkn }, что любой ортогональный ряд ∞ X {cn } ∈ l2 , cn fkn (x), n=0

будет (ϕ, λ)-суммируемым почти всюду на [0, 1].

В частности, отсюда положительные результаты получаются для методов 1◦ , 6◦ , 8◦ , 22 , 25◦ . ◦

6. Другие вопросы В книге [?] обсуждаются также следующие вопросы. 6.1. Сильная суммируемость. Последовательность {Sk } называется сильно суммируемой в степени r методом T с матрицей B = (bnk ) к числу S, если ∞ X |bnk ||Sk − S|r = 0. (35) lim n→∞

k=0

В этом случае говорят о методе [T ]r . Если bnk ≥ 0, то это означает, что метод T суммирует к 0 последовательность {|Sk − S|r }. Аналогично определяется сильная суммируемость методом с непрерывным параметром, например, методом (ϕ, λ)T . В последнем случае используется обозначение [ϕ, λ]r . Для любого регулярного метода T [T ]r ⊂ T

(36)

(ϕ, λ) ⋐ T [nm ] ⋐ [ϕ, λ]r ⋐ (ϕ, λ)T .

(37)

при r ≥ 1. О. А. Зиза показала (1979), что соотношения (??) при тех же, что и в п. ??, условиях для любого r ≥ 1 дополняются следующим образом: Если при этом выполнено условие (??), то включения превращаются в эквивалентности: (ϕ, λ) ≈ T [nm ] ≈ [ϕ, λ]r ≈ (ϕ, λ)T .

(38)

6.2. Абсолютная суммируемость. Пусть T — матричный метод суммирования со средними Tn для ряда (??). Этот ряд называется абсолютно суммируемым методом T , или |T |-суммируемым, если ∞ X |Tn − Tn−1 | < ∞. (39) 1

Абсолютно сходящийся числовой ряд не всегда абсолютно суммируем регулярным методом. О. А. Зиза показала, что для дискретных методов (ϕ, λ) это не так: из абсолютной сходимости следует абсолютная суммируемость. Имеется обширная литература по абсолютной сходимости и абсолютной суммируемости ортогональных рядов почти всюду. О. А. Зиза получила ряд результатов по абсолютной суммируемости ортогональных рядов дискретными методами 21◦ c t = λ−1 ν+1 , ν → ∞ (1991, 98). (Общность метода 21◦ мы отмечали в разд. ??.) В частности, она нашла условия на коэффициенты ортогонального ряда, достаточные для абсолютной суммируемости почти всюду. Например, если ϕ′ (t) ∈ L2 [0, 1], то таким условием является неравенство ¶1/2 ∞ µ nX m+1 X 2 cn < ∞. (40) m=0

n=nm +1

При дополнительных предположениях (ϕ не возрастает и выпукла вниз, выполнено условие (??)) это условие и необходимо.

13 6.3. Скорость суммируемости ортогональных рядов. Для метода T речь идет об оценке стремления к 0 отклонения T -средних данного ряда от его T -суммы. В случае ортогонального ряда это отклонения его T -средних от его L2 -суммы f (x). Обычно оценки выводятся в предположении, что ∞ X c2n l2 (n) < ∞, (41) 0

где l(n) — некоторая монотонно стремящаяся к бесконечности последовательность положительных чисел. При этом рассматриваются случаи медленного или быстрого роста этой последовательности. Здесь возникает обобщение задачи о множителях Вейля. В ряде случаев удается найти неулучшаемые оценки. О. А. Зиза получила несколько общих результатов в этом направлении для методов (ϕ, λ) (1994–97).

K сожалению, рамки этого доклада не позволяют остановиться на других интересных результатах Оксаны Андреевны и других математиков. Искренне благодарю Л. Р. Волевича, К. И. Паламарчука и особенно А. М. Седлецкого за просмотр рукописи и полезные замечания. Список литературы [1] Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. Перевод с английского. М, ИЛ, 1963. [2] Зиза О. А. О суммировании ортогональных рядов методами Эйлера. Матем. сборник, 66 (1965), 354–377. [3] Зиза О.А. Суммирование ортогональных рядов. Издательство УРСС, М., 1999. [4] Ziza O. A. On rearrangements of orthogonal systems. Acta Sci. Math. 68 (2002), No. 1–2, 229–236. [5] Качмаж С., Штейгауз Г. Теория ортогональных рядов. Перевод с английского. М., Физматгиз, 1958. [6] Меньшов Д. Е. Избранные труды. Математика. М., Факториал, 1977. [7] Ульянов П. Л. Развитие результатов Д. Е. Меньшова по теории ортогональных рядов. Добавление в [?], с. 425–451. [8] Харди Г. Расходящиеся ряды. Перевод с английского, М., ИЛ, 1951.

Агранович М. С., Московский институт электроники и математики (МИЭМ), Москва, Россия E-mail: [email protected]

_

Section 1 SPECTRAL PROBLEMS

Subsection 1.1

Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

_

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

17

СУММИРУЕМОСТЬ ПО РИССУ В ПРОСТРАНСТВЕ C α [0, 1] СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ А. П. Гуревич, А. П. Хромов 2 Саратовский государственный университет Саратов, Россия Keywords: интегральный оператор, суммируемость по Риссу, резольвента оператора.

В статье дано полное описание класса функций f (x), для которых средние Рисса разложений по собственным и присоединенным функциям интегрального опера1−x R тора Af = A(1 − x, t)f (t) dt сходятся к f (x) в пространстве C α [0, 1], где α – 0

целое неотрицательное число.

Рассмотрим интегральный оператор Z1−x Af = A(1 − x, t)f (t) dt,

x ∈ [0, 1].

0

ядро A(x, t) которого n раз непрерывно дифференцируемо по x и один раз по t при 0 ≤ t ≤ x ≤ 1, причем ∂ j A(x, t) ¯¯ = δn−1,j (j = 0, . . . , n), ¯ ∂xj t=x где δij – символ Кронекера. В [?] установлена равносходимость разложений по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) оператора A и тригонометрических рядов Фурье на произвольном отрезке [a, b] из (0, 1) для любой функции f (x) ∈ L[0, 1]. Вопрос суммируемости по Риссу спектральных разложений для некоторых классов интегральных операторов изучался в [?], а для случая дифференциальных операторов в [?]. В данной статьеR исследуется сходимость в пространстве C α [0, 1] обобщенных средних 1 g(λ, r)Rλ f dλ, α – целое неотрицательное число, не превосходящее Рисса вида − 2πi |λ|=r −1

n−1, Rλ = (E −λA) A – резольвента Фредгольма оператора A, E – единичный оператор, λ – спектральный параметр, а функция g(λ, r) удовлетворяет следующим условиям: 1) g(λ, r) непрерывна по λ в круге |λ| ≤ r и аналитична по λ в круге |λ| < r при любом r > 0, 2) при фиксированном λ lim g(λ, r) = 1, r→∞

3) существует такая константа C > 0, что |g(λ, r)| ≤ C при всех r > 0 и |λ| ≤ r, 4) существует положительное β такое, что  β  если n = 4n0 , O(|ϕ| ), β G(r exp(iϕ), r) = O(|ϕ − π| ), если n = 4n0 + 2,  O(|ϕ ± π |β ), если n – нечетное. 2

Обозначим через k · kα норму в пространстве C α [0, 1]. Основной результат статьи содержится в следующей теореме. R 1 Теорема 1. Для того, чтобы lim kf + 2πi g(λ, r)Rλ f dλkα = 0 , необходимо и достаr→∞

α

|λ|=r

точно, чтобы f (x) ∈ C [0, 1] и удовлетворяла условиям f (k) (1) = 0,

k = 0, . . . , α.

2Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ (проект НШ-1295.2003.1) и РФФИ (проект 00-01-00075).

18

Section 1. Spectral Problems 1. Рассмотрим оператор A0 f =

1−x R 0

(1−x−t)n−1 f (t) dt (n−1)!

и обозначим через Rλ0 = (E−λA0 )−1 A0

резольвенту Фредгольма этого оператора. Всюду в дальнейшем будем полагать, что n четное (случай нечетного n исследуется аналогично). Обозначим λ = ρn , причем ρ при4 S π надлежит сектору S : 0 ≤ arg ρ ≤ 2π . Представим S = Sk , где Sk = {ρ| 2n (k − 1) ≤ n k=1

π arg ρ ≤ 2n k}. Остановимся лишь на случае ρ ∈ S1 , так как рассуждения для остальных секторов аналогичны. Обозначим через ω1 , . . . , ω2n попарно различные корни 2n-ой степени из 1, занумерованные таким образом, что для нечетных j выполняется ωjn = 1, а для четных: ωjn = −1. Известно [?], что Rλ0 f = ϑ1 (x, ρ) + ϑ2 (x, ρ), где ϑj (x, ρ) (j = 1, 2) – компоненты вектора ϑ(x, ρ), определяемого следующим образом: −1

ϑ(x, ρ) = −(V1 (x, ρ), . . . , Vn (x, ρ))∆ (ρ) µ

exp ρω2j−1 x 0 0 exp ρω2j x

¶ ,

Z1

Ux (g)BF (t) dt +

0

Z1

g(x, t, ρ)BF (t) dt

(1)

0

j = 1, . . . , n, ∆(ρ) = (Uij (ρ))ni,j=1 , µ ¶ µ ¶ 0 0 1 1 i−1 (i−1) Uij (ρ) = Ui (Vj ), Ui (V ) = P V (0) + QV (1), P = , Q = , 1 −1 0 0 g(x, t, ρ) = (gij (x, t, ρ))2i,j=1 – диагональная матрица 2 × 2, причем  P  ω2j−1 exp ρω2j−1 (x − t), x≥t  1 Re ρω2j−1 ≤0 P (2) g11 (x, t, ρ) = n−1  nρ ω2j−1 exp ρω2j−1 (x − t), x ≤ t, −

здесь Vj (x, ρ) =

  

Re ρω2j−1 ≥0

P

1 Re ρω2j ≤0 P g22 (x, t, ρ) = n−1  nρ −

ω2j exp ρω2j (x − t),

Re ρω2j ≥0

x≥t

ω2j exp ρω2j (x − t), x ≤ t,

(3)

Ux (g) = (U1T (g), . . . , UnT (g))T (Ux означает, что Uj применяется к g(x, t, ρ) по переменной x, T µ- знак транспонирования), F (x) = (F1 (x), F2 (x))T , F1 (x) = f (x), F2 (x) = f (1 − x), ¶ 1/2 1/2 B= . −1/2 1/2 Лемма 1. Справедливо следующее тождество ∂n 1 g(x, t, ρ) = M0 n g(x, t, ρ), λ ∂t µ ¶ −1 0 где M0 = . 0 1 Доказательство. Из (??) следует, что

∂n g (x, t, ∂tn 11 µρ)

(4)

= ¶ρn g11 (x, t, ρ), а из (??) – 1 0 ∂n ∂n g (x, t, ρ) = −ρn g22 (x, t, ρ). Отсюда ∂t g(x, t, ρ). Умножая обе чаn g(x, t, ρ) = λ ∂tn 22 0 −1 сти последнего равенства слева на M0 и деля на λ, получим требуемое. ¤ Обозначим через C0α [0, 1] множество функций из C α [0, 1], удовлетворяющих условиям f (m) (0) = f (m) (1) = 0, m = 0, . . . , α. Всюду в дальнейшем будут использоваться следующие обозначения: ¯ ¯ ∂m ∂m ¯ ¯ (m) (m) g(x, t, ρ)¯ , gt (x, τ, ρ) = m g(x, t, ρ)¯ , gx (ξ, t, ρ) = m ∂x ∂t x=ξ t=τ

19

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

σm =

Z1 0

¡ (m) ¢ P gx (0, t, ρ) + Qgx(m) (1, t, ρ) BF (t) dt,

m = 0, . . . , n − 1.

Лемма 2. Предположим, что f (x) ∈ C0α [0, 1]. Тогда при m < α 1 σm = λ

Z1 n o P M0 gx(n+m−α) (0, t, ρ) + QM0 gx(n+m−α) (1, t, ρ) BF (α) (t) dt,

(5)

0

при α ≤ m ≤ n − 1, σm =

Z1 0

©

ª P gx(m−α) (0, t, ρ) + Qgx(m−α) (1, t, ρ) BF (α) (t) dt.

(6) m

∂ Доказательство. Получим формулы (??). Прежде всего заметим, что ∂x m g(x, t, ρ) = o 1n R (m) (m) ∂m m P gt (0, t, ρ) + Qgt (1, t, ρ) BF (t) dt. Проин(−1)m ∂t m g(x, t, ρ). Поэтому σm = (−1) 0

тегрируем по частям m раз, учитывая условия F (k) (0) = F (k) (1) = 0, k = 0, . . . , m − 1. o R1 n В результате получим σm = P g(0, t, ρ) + Qg(1, t, ρ) BF (m) (t) dt. Воспользуемся (??): 0

σm

o R1 n (n) (n) P M0 gt (0, t, ρ) + QM0 gt (1, t, ρ) BF (m) (t) dt. Теперь проинтегрируем по ча= λ1 0

стям α − m раз. При этом все подстановки обратятся в ноль. Поэтому 1 σm = (−1)α−m λ

Z1 n o (n−α+m) (n−α+m) P M 0 gt (0, t, ρ) + QM0 gt (1, t, ρ) BF (α) (t) dt. 0

Возвращаясь к дифференцированию по x, получим (??). Доказательство (??) сводится к интегрированию σm по частям α раз. ¤ Лемма 3. Если f (x) ∈ C0α [0, 1], то справедлива формула Z1 0

Ux (g)BF (t) dt =

Z1

(7)

S(t, ρ)Z(t) dt,

0

где S(t, ρ) – блочно-диагональная матрица размерности 2n × 2n, у которой блоками являются матрицы σm (m = 0, . . . , n − 1), Z(t) = ((BF (α) (t))T , . . . , (BF (α) (t))T )T .

Это утверждение является простым следствием леммы 2. Переобозначим числа {ωk }2n ωk }2n k=1 на {˜ k=1 таким образом, чтобы при ρ ∈ S1 выполнялись неравенства Reρ˜ ω1 ≥ . . . ≥ Reρ˜ ωn ≥ 0 ≥ Reρ˜ ωn+1 ≥ . . . ≥ Reρ˜ ω2n . В [?] получено следующее асимптотическое представление det ∆(ρ) = ρn(n−1) [a exp(−ρi) + b exp ρi + O(exp(−ρ˜ ωn−1 ))] exp ρ

n−1 X

ω ˜j ,

j=1

где a, b - некоторые числа, отличные от нуля. Обозначим через Sδ,1 область, которая получится, если из сектора S1 удалить все нули функции a + b exp(2ρi) вместе с их круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса δ > 0. Пусть далее k · kα – норма в пространстве C α [0, 1].

20

Section 1. Spectral Problems

m Лемма 4. Для элементов ³ ´ ηij (x, ρ) (i = 1, 2; j = 1, . . . , 2n, m = 0, . . . n − 1) матрицы (m) (m) V1 (x, ρ), . . . , Vn (x, ρ) ∆−1 (ρ) в области Sδ,1 справедливы оценки m (x, ρ) = O(ρm−j+1 ) ηi,2j

m (x, ρ) = O(ρm−j+1 ), ηi,2j−1

(8)

При m = 0 эти оценки получены в [?] (с. 65), для m = 1, . . . , n − 1 доказательство аналогично. Всюду в дальнейшем, если f (x) = (f1 (x), f2 (x))T , то kf k0 = kf1 k0 + kf2 k0 . −t Введем в рассмотрение функцию κ(t) = 1−et , t ≥ 0, и пусть ψ(ρ) = κ(Re ρ˜ ωn ). Лемма 5. Если f (x) ∈ C0α [0, 1], то при m = 0, . . . , n − 1

σm = O(ρ1−n+m−α ψ(ρ)kf kα ).

(9)

Доказательство. Рассмотрим случай m < α. Из (??) следует, что ¯ X ¯! µ ¶ Z1 ÃX 2 ¯ n+m−α 2 ¯ n+m−α ¯ ¯ ¯∂ ¯∂ 1 ¯+ ¯ dtkf kα . ¯ ¯ g (0, t, ρ) g (1, t, ρ) σm = O kk kk ¯ ¯ ¯ ∂xn+m−α ¯ ∂xn+m−α ρn k=1 k=1

(10)

0

Из формул (??), (??) заключаем, что ¯ ¯ Z1 ¯ m Z1 ¯ m ¯∂ ¯ ¯ ¯∂ m−n+1 ¯ ¯ ¯ , dt = O(ρm−n+1 ψ(ρ)). ¯ dt = O(ρ ψ(ρ)); g (0, t, ρ) g (1, t, ρ) kk kk ¯ ∂xm ¯ ¯ ¯ ∂xm 0

0

Подставляя эти оценки в (??), приходим к (??). Для доказательства (??) при α ≤ m ≤ n−1 следует воспользоваться формулами (??) и провести аналогичные рассуждения. ¤ Лемма 6. Если f (x) ∈ C0α [0, 1], то при m = 0, . . . , α

° dm Z1 ° ° ° ° m g(x, t, ρ)BF (t) dt° = O(ρ1−n ψ(ρ)kf kα ), dx 0 0

а

° dn−1 Z1 ° ° ° ° n−1 g(x, t, ρ)BF (t) dt° = O(ρ−α ψ(ρ)kf kα ). dx 0 0

Доказательство. (−1)m R1 0

R1 0

dm dxm

Имеем

∂m g(x, t, ρ)BF (t) dt ∂tm

=

R1

R1 0

g(x, t, ρ)BF (t) dt

=

R1 0

∂m g(x, t, ρ)BF (t) dt ∂xm

=

g(x, t, ρ)BF (m) (t) dt. Остается заметить, что при k = 1, 2

0

|gkk (x, t, ρ)| dt = O(ρ1−n ψ(ρ)). Для доказательства второй формулы следует выполнить

аналогичные преобразования, проинтегрировав по частям α раз. ¤

Лемма 7. Если f (x) ∈ C0α [0, 1], то при ρ ∈ Sδ,1 справедливы следующие формулы: ° m ° °d ° 1−n 0 ° ° R f λ ° dxm ° = O(ρ ψ(ρ)kf kα ), m = 0, . . . , α, 0 ° n−1 ° °d ° 0 ° −α ° R f ° dxn−1 λ ° = O(ρ ψ(ρ)kf kα ). 0 Указанные оценки следуют из формулы (??) с учетом (??), (??) и леммы 6. 2. Изучим теперь некоторые свойства области значений оператора A.

(11) (12)

21

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators Лемма 8. Множеством значений оператора Af =

1−x R 0

является множество Q = {y(x) ∈ C n [0, 1] : y (j) (1) = 0,

A(1 − x, t)f (t) dt, f (t) ∈ C[0, 1], i = 0, . . . , n − 1}.

Доказательство. Включение множества значений оператора A в Q очевидно. Поэтому докажем обратное включение. Пусть y0 (x) ∈ Q. Убедимся, что уравнение y0 (x) = 1−x Rx R A(1 − x, t)f (t) dt, или, что равносильно, y0 (1 − x) = A(x, t)f (t) dt, имеет решение из 0

0

C[0, 1]. Докажем, что им является решение уравнения

(n) y0 (1 − x)

= f (x) +

Rx 0

∂ n A(x,t) f (t) dt. ∂xn

В самом деле, пусть f0 (t) - решение последнего уравнения, и, следовательно, Rx n A(x,t) (n) y0 (1 − x) = f0 (x) + ∂ ∂x f0 (t) dt. Проинтегрируем это равенство n раз в пределах n 0

от 0 до x. В результате получим Zx 0

(x − t)n−1 (n) y (1 − t) dt = (n − 1)! 0

Zx 0

(x − t)n−1 f0 (t) dt + (n − 1)!

Zx 0

(x − t)n−1 (n − 1)!

Zt

∂ n A(t, τ ) f0 (τ ) dτ dt. (13) ∂xn

0

(i)

Интегрируя по частям в левой части (??) n раз и учитывая при этом, что y0 (1) = 0, i = 0, . . . , n − 1 приходим к выводу, что интеграл, стоящий в (??) слева, равен y0 (1 − x). Теперь в двойном интеграле в (??) поменяем порядок интегрирования, а затем во внутреннем интеграле выполним интегрирование по частям n раз. В результате получим требуемое. ¤ Лемма 9. Замыканием множества Q в пространстве C α [0, 1] является множество Qα = {f (x) ∈ C α [0, 1] : f (i) (1) = 0, i = 0, . . . , α}. Это утверждение является частным случаем теоремы 4 ([?]). Лемма 10. Для любой f (x) ∈ Qα существует последовательность {fk (x)}∞ k=1 , которая (m) n удовлетворяет следующим условиям: 1) fk (x) ∈ C [0, 1], 2) fk (1) = 0, m = 0, . . . , n − 1; (m) fk (0) = f (m) (0), m = 0, . . . , α, 3) fk (x) → f (x) в пространстве C α [0, 1]. n Доказательство. Обозначим через {gk (x)}∞ k=1 последовательность из C [0, 1], удовле(m) творяющую условиям: 1) gk (1) = 0, m = 0, . . . , n − 1, 2) gk (x) → f (x) в C α [0, 1] [?]. (m) Положим βkm = f (m) (0) − gk (0), m = 0, . . . , α. Тогда βkm → 0 при k → ∞. Пусть {pk (x)}∞ k=1 - последовательность интерполяционных многочленов, определяемых услови(m) (m) ями: pk (1) = 0, m = 0, . . . , n − 1, pk (0) = βkm , m = 0, . . . , α. Так как pk (x) являются линейными функциями βkm , то pk (x) → 0 при k → ∞ в пространстве C α [0, 1]. Поэтому последовательность fk (x) = gk (x) + pk (x), k = 1, 2, . . ., является искомой. ¤ Получим теперь оценку Rλ f в области Sδ,1 . Известна ([?]) следующая формула, связывающая Rλ и Rλ0 : Rλ = Rλ0 + Rλ0 Tt′ (E − Dn−1 SRλ0 Tt′ )−1 Dn−1 SRλ0 , (14) Rx ′ где Tt′ f = Tt (x, t)f (t) dt, T (x, t) – ядро оператора T = (E + T1 )−1 − E,

T1 f =

Rx 0

0

∂ n A(x,t) ∂xn

f (t) dt, Df = f ′ (x), Sf = f (1 − x).

Лемма 11. Если f (x) ∈ C0α [0, 1], то при ρ ∈ Sδ,1 и m = 0, . . . , α имеет место оценка kDm Rλ f k0 = O(ρ1−n ψ(ρ)kf kα ).

(15)

22

Section 1. Spectral Problems Доказательство. Из (??) следует, что Dm Rλ f = Dm Rλ0 f + Dm Rλ0 Tt′ (E − Dn−1 SRλ0 Tt′ )−1 Dn−1 SRλ0 f.

Но при ϕ(x) ∈ C[0, 1] справедлива оценка Dm Rλ0 ϕ = O(ρ1−n+m kϕk0 ), поэтому с учетом формулы (??) kDm Rλ f k0 = O(ρ1−n ψ(ρ)kf kα ) + O(ρ1−n+m )kDn−1 SRλ0 f k0 . А так как, очевидно, что Dn−1 SRλ0 = −SDn−1 Rλ0 , то, используя (??), получим требуемое. ¤ Лемма 12. Если f (x) ∈ C[0, 1], то при ρ ∈ Sδ,1 и m = 0, . . . , α справедлива формула kDm Rλ f k0 = O(ρ1−n+m ψ(ρ)kf k0 ).

(16)

Доказательство повторяет рассуждения из леммы 11 с учетом оценки ([?]) kDm Rλ0 f k0 = O(ρ1−n+m ψ(ρ)kf k0 ). Замечание. Аналогичными рассуждениями оценки (??) и (??) могут быть получены в соответствующих областях Sδ,k секторов Sk , k = 2, 3, 4. А следовательно, они имеют место и в объединении этих областей, которое обозначим через Sδ . Лемма 13. ([?]) Если f (x) ∈ Qα , то справедливы формулы Z 1 (m) g(λ, r)Dm Rλ f dλ = f (m) (x)(1 − g(µ, r)) + g(µ, r)(f (m) (x)− f (x) + 2πi |λ|=r

−

(m) f0 (x))

1 + 2πi

Z

|λ|=r

g(λ, r) m 1 D Rλ g0 dλ + λ−µ 2πi

Z

(17)

g(λ, r)Dm Rλ (f − f0 ) dλ,

|λ|=r

где m = 0, . . . , α, f0 (x) ∈ Q, g0 (x) = A−1 f0 −µf0 , µ – произвольное число, лежащее внутри окружности |λ| = r и не являющееся собственным значением оператора A−1 .

Доказательство теоремы. Убедимся, что правая часть в (??) есть o(1) при r → ∞. Прежде всего покажем, что при соответствующем выборе f0 (x) и достаточно больших r R интеграл J = g(λ, r)Dm Rλ (f − f0 ) dλ как угодно мал по модулю. В самом деле, зада|λ|=r

дим ε > 0 и, используя лемму 10, подберем f0 (x) так, чтобы функция f1 (x) = f (x) − f0 (x) принадлежала C0α [0, 1] и kf1 (x)kα < ε. Произведем в интеграле замену λ = ρn , тогда R n , J = n g(ρ , r)Dm Rλ f1 ρn−1 dρ, где Γr1 – дуга окружности |ρ| = r1 , 0 ≤ arg ρ ≤ 2π n Γr1 √ r1 = n r, ρ ∈ Sδ . Обозначим через Γr1 ,kR часть дуги Γr1 , лежащую в секторе Sk , k = 1, 2, 3, 4. Получим оценку для J1 = n g(ρn , r)Dm Rλ f1 ρn−1 dρ. В силу леммы 11 Γr1 ,1 R |g(ρn , r)|ψ(ρ) d|ρ|kf1 kα ). Так как при ρ ∈ S1 ω˜n = exp(− π2 i), то Re ρω˜n = r1 sin ϕ, J1 = O( Γr1 ,1

где ϕ = arg ρ. Следовательно,

ψ(ρ) = В интеграле K1 =

R

Γr1 ,1

1 − e−r1 sin ϕ π(1 − e−r1 ϕ ) ≤ . r1 sin ψ 2rϕ

(18)

|g(ρn , r)||ψ(ρ) d|ρ| произведем следующую замену ρ = r1 eiϕ ,

а затемà воспользуемся (??)! и свойством 4) для g(λ, r). В результате получим π R2n β−1 K1 = O ϕ (1 − e−r1 ϕ ) dϕ . Полагая r1 ϕ = τ , имеем 0

π

Z2n 0

  π π r r 2n 1 2n 1   Z Z1 Z   1 1 β−1 −r1 ϕ β−1 β−1 −τ β−1 ϕ (1−e ) dϕ = β τ (1−τ ) dτ ≤ β τ (1 − e ) dτ + τ dτ = O(1).  r1 r1    0

0

0

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

23

Таким образом, J1 = O(kf1 kα ), а потому и J = O(kf1 kα ). Но тогда правая часть в (??) допускает оценку kf1 kα |1 − g(µ, r)| + ε|g(µ, r)| + C(ε)r1α−n + Cε, где C(ε) зависит только от µ и ε, а C не зависит от r1 , µ, ε. Учитывая свойства 2) и 3) функции g(λ, r), получим требуемое. ¤ Список литературы [1] Корнев В.В., Хромов А.П. О равносходимости интегральных операторов с переменным пределом интегрирования. Интегральные преобразования и специальные функции. Информационный бюллетень. 2001, 2, № 1, C. 60-72. [2] Гуревич А.П., Хромов А.П., Суммируемость по Риссу разложений по собственным функциям интегральных операторов. Известия вузов. Математика.–2003.–№ 1(489)–C. 24-35. [3] Kaufmann F.J. Derived Birkhoff-series associated with N (Y ) = λP (Y )//Results in Mathem. –1989.–V.15– P. 255-290.

A.P.Gurevich, A.P.Khromov The Riesz Summability in the Space C α [0, 1] of the Spectral Expansions of Integral Operators with a Variable Upper Limit of Integration Keywords: integral operator, Riesz summability, resolvent of operator. In the paper it is obtained a complete description of a class functions f (x) such that their Riesz means of the expansions in eigenfunctions and associated functions of the integral operator 1−x R A(1 − x, t)f (t)dt converge to f (x) in the space C α [0, 1], where α is a nonnegative Af =

integer.

0

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ (проект НШ-1295.2003.1) и РФФИ (проект 00-01-00075). А.П. Гуревич, А.П. Хромов, Механико–математический факультет, Саратовский государственный университет, ул. Астраханская, 83, Саратов, 410026, Россия E-mail: [email protected]

24

Section 1. Spectral Problems

О ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ СТРУНЫ КРЕЙНА А. С. Костенко Донецкий национальный университет Донецк Keywords: струна Крейна, симметрический оператор, граничная тройка, характеристическая функция

С помощью подхода, основанного на применении техники граничных троек, получено простое доказательство связи, установленной М. А. Нудельманом, между характеристической функцией струны Крейна и ее коэффициентом динамической податливости.

® 1. Пусть на промежутке [0, li задана неубывающая функция m(x) и m(0) = 0. Знак ” ” обoзначает закрывающую квадратную скобку, если L := l + m(l − 0) < ∞ (случай регулярной стуны) и закрывающую круглую скобку, если L = ∞ (случай сингулярной струны). Равенство df (x) , x ∈ [0, li , g(x) = Dm f (x) := −i dm(x) обозначает производную Радона–Никодима по мере Лебега–Стилтьеса, то есть Zx f (x) = f (0) + i g(t)dm(t), x ∈ [0, li ; 0

где интеграл понимается в смысле Лебега–Стилтьеса (когда m(x) = x условимся писать Dm = D). 1 Гильбертово пространство W2,m [0, li состоит из функций f (x), абсолютно непрерывных относительно меры m(x) и таких, что Dm f ∈ L2m [0, li. Pассмотрим оператор струны ¶ µ 0 −D , (1) LS = −Dm 0

действующий в гильбертовом пространстве H = L2 [0, li ⊕ L2m [0, li, область определения которого состоит из вектор-функций µ ¶ f1 (x) 1 f (x) = ∈ W2,m [0, li ⊕ W21 [0, li , f1 (−0) = f2 (0). (2) f2 (x)

Кроме того, в случае регулярной струны в правом конце будем различать два вида условий: f1 (l + 0) = 0, либо f2 (l) = 0. М. А. Нудельманом [?] показано, что оператор −BS := iLS является максимальным аккретивным и исследованы свойства его характеристической функции. При этом исследование свойств последней было сведено к исследованию свойств передаточной функции консервативной системы рассеяния с непрерывным временем, в которую оператор BS был включен в качестве основного оператора системы. В данной заметке реализован иной подход, основанный на применении техники граничных троек( см., например, [?]). Именно, для нахождения характеристической функции оператора LS используется формула для характеристической функции почти разрешимых расширений симметрических операторов, найденная В.А. Деркачем и М.М. Маламудом (см. [?]). Заметим, что оператор LS является собственным расширением простого симметрического оператора c инлексами дефекта (2, 2) в регулярном, и (1, 1) в сингулярном случае, а потому является почти разрешимым.

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

25

2. i) Напомним некоторые определения и обозначения спектральной теории струны Крейна, следуя обзору [?]. Через ϕ(x, λ) обозначается решение уравнения d2 u(x) − λ u(x) = 0, dx dm(x) удовлетворяющее начальным условиям −

u(0) = 1,

(3)

u− (0) = 0

(здесь и в дальнейшем знак “−” вверху означает производную слева по x, знак “+” вверху означает производную справа по x. Подробности см. в [?]). Через ψ(x, λ) обозначается решение уравнения (??), удовлетворяющее начальным условиям u(0) = 0, u− (0) = 1. Для регулярной струны S с уравнением (??) и граничным условием u(l) = 0 на правом конце ассоциируется функция Γ(λ) =

ψ(l, λ) , ϕ(l, λ)

λ∈ / [0, ∞) ,

(4)

называемая коэффициентом динамической податливости струны. Если граничное условие на правом конце струны S имеет вид u+ (l) = 0, то формула (??) переписывается так: Γ(λ) =

ψ + (l, λ) , ϕ+ (l, λ)

λ∈ / [0, +∞) .

(5)

В случае сингулярной струны S существует общий предел lim

x→l−0

ψ(x, λ) ψ + (x, λ) = lim , x→l−0 ϕ+ (x, λ) ϕ(x, λ)

λ∈ / [0, +∞) ,

(6)

который и принимается равным коэффициенту динамической податливости Γ(λ). Во всех случаях имеет место интегральное представление Γ(λ) = γ +

Z+∞ 0

dτ (s) , s−λ

λ∈ / [0, +∞) ,

(7)

где γ – неотрицательное число, τ (s) – неубывающая функция, заданная на промежутке [0, +∞) и удовлетворяющая условию Z+∞

dτ (s) < +∞. 1+s

0

Функция τ (s) называется главной спектральной функцией струны S, а порождённая ей мера Лебега-Стилтьеса dτ (s) – главной спектральной мерой струны S. ii) Для изучения собственных расширений симметрических операторов мы будем пользоваться концепцией граничных троек и соответствующих им функций Вейля. Приведем необходимые определения и обозначения, следуя работе [?]. Пусть A – симметрический оператор с плотной областью определения dom(A) в гильбертовом пространстве H и равными индексами дефекта n+ (A) = n− (A) (n± (A) = dim(H ⊖ ran(A ± iI))

26

Section 1. Spectral Problems

Определение 1 ([?]). Совокупность Π = {H, Γ0 , Γ1 }, в которой H–сепарабельное гильбертово пространство, а Γ0 , Γ1 –линейные отображения из dom(A∗ ) в H, называется граничной тройкой для A∗ , если отображение Γ : f → {Γ1 f, Γ0 f } из dom(A∗ ) в H ⊕ H сюрьективно и справедлива формула Грина (A∗ f, g) − (f, A∗ g) = (Γ1 f, Γ0 g)H − (Γ0 f, Γ1 g)H , f, g ∈ dom(A∗ ).

(8)

Заметим, что граничная тройка оператора A∗ определяется не единственным образом. Определение 2 ([?]). Собственное расширение A˜ ⊃ A называется почти разрешимым, если существует граничная тройка Π = {H, Γ0 , Γ1 } и оператор B ∈ [H] такие, что ˜ = ker(Γ1 − BΓ0 ). dom(A) Определение 3 ([?]). Оператор–функция M (λ), определенная равенством M (λ)Γ0 fλ = Γ1 fλ , (fλ ∈ Nλ , λ ∈ ρ(A˜0 )), A˜0 = A∗ |ker Γ0 ,

(9)

называется функцией Вейля, соответствующей граничной тройки Π = {H, Γ0 , Γ1 }. Здесь Nλ := ker(A∗ − λI). 3. Рассмотрим в H = L2 [0, li ⊕ L2m [0, li замкнутый симметрический оператор µ ¶ 0 −D L0 = , −Dm 0

(10)

с областью определения

1 [0, li ⊕ W21 [0, li : f (−0) = f (l + 0) = 0}. dom(L0 ) = {f ∈ W2,m

в случае регулярной струны, а также

1 dom(L0 ) = {f ∈ W2,m [0, li ⊕ W21 [0, li : f (−0) = 0}.

в сингулярном случае. Справедливо следующее

Предложение 1. Оператор L0 является простым симметрическим оператором с индексами дефекта (2, 2) в регулярном случае и (1, 1) в сингулярном. Доказательство. Так как система ¶ ¶ µ µ f1 (x) f1 (x) , =λ L0 f2 (x) f2 (x)

(11)

приводится к каноническому виду (см. [?] cтр. 369-370, а также [?], стр.456-458) Jy ′ (t) = λH(t)y(t), где y(t) =

µ

y1 (t) y2 (t)

¶

, yi ∈

W21

[0, Li ,

t ∈ [0, Li ; J=

µ

0 −i −i 0

y(0) = y(L − 0) = 0, ¶

,

H(t) =

µ

h1 (t) 0 0 h2 (t)

(12) ¶

,

причем почти всюду на [0, Li выполнены условия h1 (t) ≥ 0, h2 (t) ≥ 0 и h1 (t) + h2 (t) = 1. Согласно [?] в регулярном случае n± (L0 ) = 2. Так как trH(t) = 1, то согласно теореме де Бранжа-Каца-Крейна (см. [?], а также [?], где содержится существенное обобщение этой теоремы) уравнение (??), а следовательно и оператор L0 , в сингулярном случае имеет индексы дефекта (1, 1). Докажем простоту оператора L0 cледуя схеме, предложенной в [?]. Предположим противное, то есть имеет место разложение L0 = C1 ⊕ C2 , в котором C1 = C1∗ , а C2 – простой симметрический оператор. По теореме Гельфанда–Костюченко (см. [?], [?]) C1 имеет полную систему {ϕλ (x)}λ∈Λ обобщенных собственных функций. Следовательно, каждая функция {ϕλ0 (x)} (λ0 ∈ Λ) будет обобщенной собственной функцией оператора L0 . При

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

27

переходе к системе (??) получим некоторую функцию ϕ˜λ0 (t), которая, в свою очередь, будет обобщенной собственной функцией задачи (??), с сохранением граничных условий ([?], стр. 106). Так как коэффициент J = −J −1 –невырожден, то, согласно классическому результату [?], каждая обобщенная функция системы обыкновенных дифференциальных уравнений является классическим решением этой системы. Из теоремы единственности для систем обыкновенных дифференциальных уравнений получаем — ϕ˜λ0 = 0. Полученное противоречие доказывает простоту оператора L0 . 1 Заметим, что dom(L∗0 ) = W2,m [0, li ⊕ W21 [0, li. 4. Следующая теорема доказана М. А. Нудельманом в [?]. Мы приведем простое ее доказательство, основанное на формуле для характеристических функций из [?]. Теорема 1 ([?]). Пусть LS оператор струны вида (??) и Γ(λ) ее коэффициент динамической податливости. Тогда характеристическая функция оператора струны имеет вид 1 − iλΓ(λ2 ) (13) W (λ) = 1 + iλΓ(λ2 ) Доказательство. i) Рассмотрим сингулярный случай, то есть L = l + m(l) = ∞. Тогда (L∗0 f, g) − (f, L∗0 g) = −i(f1 (−0)g2 (0) + f2 (0)g1 (−0)).

Следовательно, граничную тройку Π для этого оператора можно выбрать следующим образом H = C, Γ1 f = f1 (−0), Γ0 f = if2 (0). (14) Положив B = −i получим

dom(LS ) = dom(LB ) = {f ∈ dom(L∗ ) : Γ1 f = BΓ2 f }.

(15)

Нетрудно видеть, что решение уравнения L∗0 f − λf = 0, удовлетворяющее условию f ∈ dom(L∗ ), имеет вид ¶ µ ψ(x, λ2 ) − Γ(λ2 )ϕ(x, λ2 ) (16) f (x, λ) = i ′ (ψm (x, λ2 ) − Γ(λ2 )ϕ′m (x, λ2 )) λ

Далее, Γ0 f (x, λ) = − λ1 , и Γ1 f (x, λ) = −Γ(λ2 ). Следовательно, функция Вейля, соответствующая граничной тройке (??) определяется равенством M (λ) = λΓ(λ2 ).

(17)

Так как оператор ℑB := (B − B ∗ )/2i = −1 невырожден, то одна из характеристических функций оператора LS имеет (cм. [?], замечание 6) вид W (λ) =

i + λΓ(λ2 ) B − M (λ) = . B ∗ − M (λ) i − λΓ(λ2 )

(18)

ii) Рассмотрим регулярный случай. Так как

(L∗0 f, g) − (f, L∗0 g) = −i(f1 (−0)g2 (0) + f2 (0)g1 (−0)) + i(f1 (l + 0)g2 (l) + f2 (l)g1 (l + 0)). (19)

то граничную тройку Π1 можно выбрать, например, так

H = C2 , Γ1 f = col(−f1 (l + 0), f2 (0)), Γ0 f = col(if2 (l), if1 (−0)). (20) µ ¶ 0 0 Положим B1 = . 0 −i Тогда для регулярной струны с условием в правом конце вида f1 (l + 0) = 0 получим dom(LS ) = dom(LB1 ) = {f ∈ dom(L∗ ) : Γ1 f = B1 Γ0 f }.

(21)

28

Section 1. Spectral Problems

Очевидно, что вектор–функция f (x, λ) является решением уравнения L∗0 y − λy = 0 в том и только том случае, когда она имеет вид µ ¶ c1 ψ(x, λ2 ) + c2 ϕ(x, λ2 ) f (x, λ) = . (22) i (c ψ ′ (x, λ2 ) + c2 ϕ′m (x, λ2 )) λ 1 m

Пусть функция Вейля, соответствующая граничной тройке Π1 имеет вид µ ¶ M11 (λ) M12 (λ) M (λ) = . Найдем ее коэффициенты, воспользовавшись равенстваM21 (λ) M22 (λ) ми: ¶ µ ¶ µ −1 ′ −c1 ψ(l, λ2 ) − c2 ϕ(l, λ2 ) (c1 ψm (l, λ2 ) + c2 ϕ′m (l, λ2 )) λ . Γ1 f (x, λ) = ; Γ0 f (x, λ) = ic1 ic2 λ Получим следующую систему ½ ′ −c1 ψ(l, λ2 ) − c2 ϕ(l, λ2 ) = −Mλ11 (λ) (c1 ψm (l, λ2 ) + c2 ϕ′m (l, λ2 )) + M12 (λ)ic2 . ic1 ′ = −Mλ21 (λ) (c1 ψm (l, λ2 ) + c2 ϕ′m (l, λ2 )) + M22 (λ)ic2 λ

После элементарных преобразований она примет вид ½ ′ c1 (−ψ(l, λ2 ) + λ1 M11 (λ)ψm (l, λ2 )) = c2 (ϕ(l, λ2 ) − λ1 M11 (λ)ϕ′m (l, λ2 ) + iM12 (λ)) . 1 i ′ c1 ( λ + λ M21 (λ)ψm (l, λ2 )) = c2 (− λ1 M21 (λ)ϕ′m (l, λ2 ) + iM22 (λ))

(23)

(24)

Так как c1 и c2 независимы, то из (??) получаем равенства M11 (λ) = λ

ψ(l, λ2 ) ; ′ (l, λ2 ) ψm

M21 (λ) =

−i ; ′ ψm (l, λ2 )

M22 (λ) = −

1 ϕ′m (l, λ2 ) ; ′ (l, λ2 ) λ ψm

(25)

i ψ(l, λ2 ) ′ ϕm (l, λ2 ) = ′ ; (26) ′ 2 ψm (l, λ ) ψm (l, λ2 ) Теперь включим оператор B1 в¶операторный узел Ψ = (B1 , H; K, J, E) (см. [?]). Так как µ 0 0 мнимая часть ℑB1 = вырождена, то положим 0 −1 M12 (λ) = iϕ(l, λ2 ) − i

H = C2 ; E = C;

J = −1,

K = col(0, 1) (K : C2 → C),

K ∗ = (0, 1).

(27)

Согласно [?], Теорема 2 характеристическая функция почти разрешимого расширения LS оператора L0 имеет вид W (λ) = I + 2iK ∗ (B ∗ − M (λ))−1 KJ = 1 − 2i С учетом (??),(??) и несложных вычислений находим W (λ) =

−M11 (λ) det(B ∗ − M (λ))

(28)

ϕ(l, λ2 ) − iλψ(l, λ2 ) 1 − iλΓ(λ2 ) = ϕ(l, λ2 ) + iλψ(l, λ2 ) 1 + iλΓ(λ2 )

iii) Пусть теперь LS регулярная струна с краевым условием f2 (l) = 0. Выбрав граничную тройку Π2 как H = C2 , Γ0 f = col(f1+ (l), −f2 (0)), µ ¶ 0 0 и положив B2 = , получим 0 i

Γ1 f = col(if2 (l), if1− (0)).

dom(LS ) = dom(LB ) = {f ∈ dom(L∗ ) : Γ1 f = B2 Γ0 f }.

Учитывая (??) и (??), находим ¶ µ c1 ψ(l, λ2 ) + c2 ϕ(l, λ2 ) ; Γ0 f (x, λ) = −c1 λi

Γ1 f (x, λ) =

µ

−1 ′ (c1 ψm (l, λ2 ) λ

+ c2 ϕ′m (l, λ2 )) ic2

(29)

(30) ¶

.

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

29

Затем, аналогично пункту (ii) находим коэффициенты функции Вейля, соответствующей тройке Π2 : 1 ϕ′m (l, λ2 ) i M11 (λ) = − ; M12 (λ) = − ; 2 λ ϕ(l, λ ) ϕ(l, λ2 ) i ψ(l, λ2 ) M21 (λ) = ; M (λ) = λ ; (31) 22 ϕ(l, λ2 ) ϕ(l, λ2 ) Далее, так как B2 = −B1 , то характеристическая функция оператора струны LS принимает вид ′ 1 − iλΓ(λ2 ) −iϕ′m (l, λ2 ) + λψm (l, λ2 ) = (32) W (λ) = ′ (l, λ2 ) iϕ′m (l, λ2 ) + λψm 1 + iλΓ(λ2 ) Автор выражает искреннюю благодарность М. М. Маламуду за руководство работой и полезные советы. Список литературы [1] Аров Д.З. Реализация канонической системы с диссипативным краевым условием на одном конце сегмента по коэффициенту динамической податливости. —Сиб. мат. журн.—Т. 16, № 3.—с. 440–463. [2] Березанский Ю.М.Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов.—Киев: Наук. думка, 1965.—798 С. [3] Бродский М.С. Треугольные и жордановы представления линейных операторов.—М.:"Наука", 1969. [4] Горбачук В.И., Горбачук М.Л.Граничные задачи для дифференциально–операторных уравнений.— Киев: Наук. думка, 1984.—284 C. [5] Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции, Вып. 3, Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений.—М.:Физматгиз, 1958.—276 С. [6] Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения.—М.:"Наука", 1967. —508 С. [7] Деркач В.А., Маламуд М.М. Характеристические функции почти разрешимых расширений эрмитовых операторов // Укр. мат. журн.—1992.—Т. 44, no. 4.—C.435–459. [8] Кац И.С., Крейн М.Г.Оспектральных функциях струны. Дополнение II к книге Ф. Аткинсона "Дискретные и непрерывные задачи" —М.: "Мир",— 1968. [9] Нудельман М.А. Струна Крейна и характеристические функции максимальных диссипативных операторов.—Зап. науч. сем. ПОМИ.—2002.—Т.290.—с.138—167. [10] Brasche J.F., Malamud M., Neidhardt H. Weyl function and spectral properties of self–adjoint extensions.— Integr. equ. oper.theory, — 43(2002)—p.264—289. [11] Lesch M., Malamud M.On the deficiency indices and self–adjontness of symmetric Hamiltonian systems L2 (R). // J. Differential Equations 189 (2003) p.556—615.

Kostenko A.S., Department of Mathematics, Donetsk National University, Universitetskaja 24, 83055 Donetsk, Ukraine E-mail: aleksey− [email protected]

30

Section 1. Spectral Problems

О РАВНОСХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С РАЗРЫВНЫМИ ЯДРАМИ3 Е. В. Назарова Саратовский государственный университет Саратов, Россия Настоящая работа посвящена получению теорем равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) для одного класса интегральных операторов и в тригонометрический ряд Фурье. Для интегральных операторов общего вида: Af (x) =

Z1

A(x, t)f (t)dt

(1)

0

вопрос о равносходимости исследовался впервые А.П. Хромовым, причем на ядро A(x, t) им были наложены условия гладкости, а также существенное условие скачка (n − 1)ой производной по x ядра на линии t = x. В работе [?] А.П. Хромов показал, что это условие задает некий канонический вид интегральных операторов, для которых имеет место равносходимость. В связи с отсутствием конструктивного перехода к каноническому виду, встал вопрос о нахождении классов интегральных операторов, для которых будет иметь место равносходимость. В связи с этим, с 1998 года исследуются интегральные операторы следующего вида: Af (x) = α1

Zx

A1 (x, t)f (t)dt + α2

Z1

A2 (x, t)f (t)dt+

x

0

Z1−x Z1 +α3 A3 (1 − x, t)f (t)dt + α4 A4 (1 − x, t)f (t)dt, 0

(2)

1−x

где αi (i = 1, . . . , 4) – комплексные константы, причем δ = (α1 − α2 )2 − (α3 − α4 )2 6= 0. Предполагается, что ядро каждого интегрального слагаемого в (??) непрерывно дифференцируемо n раз по x и один раз по t на области своего задания, и выполняются соотношения: ¯ ¯ ∂j = δj,n−1 , (j = 0, . . . , n), (3) Ai (x, t)¯¯ j ∂x t=x δi,k – символ Кронекера. Оператор (??)-(??) можно записать в виде (??), если продолжить ядро каждого интегрального слагаемого нулем на весь единичный квадрат, полученные функции домножить на соответствующие коэффициенты и сложить, обозначив сумму через A(x, t). Тогда условия (??) означают, что (n − 1)-ая производная ядра по переменной x имеет конечные разрывы на линиях t = x и t = 1 − x. Для двух частных случаев оператора (??)-(??) теоремы равносходимости были получены А.П. Хромовым и В.В. Корневым [?]. Целью данной работы было получение теорем равносходимости в наиболее общем случае оператора (??)-(??) с произвольными комплексными константами и произвольными комплекснозначными ядрами для n = 1. 3Работа

выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ (проект НШ-1295.2003.1)

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

31

Получение теорем равносходимости основывается на методе контурного интегрирования резольвенты Фредгольма оператора (??)-(??) по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра λ. Для изучения поведения резольвенты Фредгольма при больших значениях модуля спектрального параметра привлекается обратный оператор [?]. Он имеет вид: 1 A−1 y = − (E + N1 )−1 P −1 (y ′ (x) + ay(x)), δ y(0) =

Z1

A(0, t)(E + N1 )−1 P −1 (y ′ (t) + ay(t))dt,

(4)

(5)

0

где P f (x) = (α1 −α2 )f (x)+(α3 −α4 )f (1−x), N1 – интегральный оператор, a – комплексная константа. Рассматриваются резольвенты следующих операторов: L0 : P −1 y ′ , U (y) = γ1 y(0) + γ2 y(1) = 0, L1 : P −1 y ′ , U (y) = (y, ϕ), L : (E + N )P −1 y ′ , U (y) = (y, ϕ), где γ1 и γ2 получены после преобразования граничного условия (??) к виду: γ1 y(0) + γ2 y(1) = (y, ϕ), (y, ϕ) – скалярное произведение, ϕ – непрерывная функция, N – такой оператор, что E + N = (E + N1 )−1 , E – единичный оператор. Построение резольвенты R0,λ сводится к исследованию краевой задачи для дифференциальной системы первого порядка в пространстве вектор-функций размерности 2. Эта краевая задача имеет следующий вид: z ′ (x) + λB1 z(x) = B1 F (x); P1 z(0) + Q1 z(1) = 0, где B1 – неособая постоянная матрица, размерности 2 × 2, составленная из линейных комбинаций αi , F (x) = {f (x), f (1 − x)}, P1 и Q1 – квадратные матрицы, содержащие по одной нулевой строке и коэффициенты γ1 и γ2 из краевого условия оператора L0 . После диагонализации матрицы B1 и приведения краевой задачи к виду: ν ′ (x) − λDν(x) = BF (x); ˜ P˜ ν(0) + Qν(1) = 0, ˜ = Q1 Γ, B = DΓ−1 , где D – диагональная матрица такая, что B1 = ΓDΓ−1 , P˜ = P1 Γ, Q получена формула для резольвенты R0,λ оператора L0 . Теорема 1. Если λ таково, что ∆−1 (λ) существует, то R0,λ существует и имеет место формула: R0,λ f (x) = (α3 − α4 )(ν1 (x, λ) + ν2 (x, λ)),

где ν(x, λ) = {ν1 (x, λ), ν2 (x, λ)}T определяется формулой: ν(x, λ) = −V (x, λ)∆−1 (λ)

Z1 0

U (g(x, t, λ))BF (t)dt +

Z1

g(x, t, λ)BF (t)dt;

0

˜ ∆(λ) = U (ν(x, λ)) = P˜ ν(0, λ) + Qν(1, λ).

(6)

32

Section 1. Spectral Problems

V (x, λ) – матрица размерности 2 × 2, являющаяся фундаментальным решением однородного матричного уравнения V ′ (x) − λDV (x) = 0, √ ¶  µ λ δ(x−t) 0 −e   ¶ µ √ , t≥x  0 0¶ δ 0 √ µ , g(x, t, λ) = D= 0 0  0 − δ  √  , t < x. λ δ(t−x) 0 e

После получения оценок каждого из слагаемых формулы (??) при |λ| → ∞ получены нужные оценки для R0,λ f . Теорема 2. В области Sδ0 для резольвенты R0,λ при |λ| → ∞ верна оценка: kR0,λ f k∞ = O(1)kf kL1 .

Теорема 3. В области Sδ0 для резольвенты R0,λ при |λ| → ∞ верны оценки: √ kR0,λ f kL1 = O(æ(Re λ δ))kf kL1 , √ kR0,λ f k∞ = O(æ(Re λ δ))kf k∞ , 1 − e−y , при y > 0. где æ(y) = y

(7) (8) (9)

Для случая, когда f (x) = χ(x) – характеристическая функция отрезка [η0 , η1 ] ⊂ (0, 1), справедлива следующая теорема: Теорема 4. В области Sδ0 для R0,λ χ при |λ| → ∞ верна оценка: µ ¶ 1 kR0,λ χk∞ = O . λ

(10)

Область Sδ0 получается из комплексной λ-плоскости удалением собственных значений оператора L0 вместе с круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса δ0 . √ √ Все оценки верны для Re λ δ ≥√0. В случае, когда Re λ δ ≤ 0, оценки (??) и (??) √ остаются верными, если заменить λ δ на −λ δ. После изучения резольвенты простейшего оператора L0 можно переходить к изучению резольвент операторов L1 и L. Получена формула, связывающая R1,λ f с R0,λ f . ˜ −1 (λ) существует, то верна следующая формула: Теорема 5. Если ∆ где S11 и S12

R1,λ f = R0,λ f + (S11 + S12 )(R0,λ f, ϕ), ˜ −1 ; – компоненты матрицы S = −W (x, λ)∆ ˜ ˜ (1, λ) − T (λ), ∆(λ) = P˜ W (0, λ) + QW Ã ! √ √ (eλ√δx , ϕ) (e−λ√δx , ϕ) T (λ) = (α3 − α4 ) , (eλ δx , ϕ) (e−λ δx , ϕ) Ã ! √ √ λ δx −λ δx (α3 − α4√ )e (α3 − α4√ )e √ √ W (x, λ) = . λ δx (α1 − α2 + δ)e−λ δx (α1 − α2 − δ)e

Далее получено уравнение, связывающее Rλ f с R1,λ f . Теорема 6. Если Rλ f (x) существует, то для y(x) = Rλ f (x) справедливо соотношение: y(x) = R1,λ f (x) + y(0)R1,λ [β˜1 N (x, 0) + β˜2 N (x, 1)]+ +y(1)R1,λ [−β˜1 N (x, 1) − β˜2 N (x, 0)]+

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

+R1,λ

Z1

33

[β˜1 Nt′ (x, t) − β˜2 Nt′ (x, 1 − t)]y(t)dt,

0

1 1 β˜1 = (α1 − α2 ); β˜2 = (α3 − α4 ). δ δ Также получены оценки резольвент, аналогичные (??), (??), (??), (??). Приведенные теоремы позволяют получить основные результаты работы: n o √ √ Теорема 7. Пусть r таково, что λ/|λ δ| = r, − π2 ≤ arg λ δ ≤ π2 ⊂ Sδ0 . Тогда для любой функции f (x) ∈ L[0, 1] имеет место соотношение: ¯ ¯ ¯ ¯ Z ¯ ¯ ¯ ¯ (Rλ − R0,λ )f (x)dλ¯ = 0, lim max ¯ r→∞ δ1 ≤x≤1−δ1 ¯ ¯ ¯ ¯ |λ√δ|=r ¡ 1¢ где δ1 ∈ 0, 2 . Z 1 Rλ f dλ есть частичная сумма ряда Фурье по с.п.ф. Известно, что Sr (f, x) = − 2πi |λ|=r

оператора, имеющего резольвенту Rλ , причем число членов суммы Sr (f, x) равно числу всех с.п.ф., соответствующих собственным значениям λ, попавшим в контур |λ| = r в области Sδ0 . Таким образом, теорема ?? устанавливает равносходимость разложений произвольной интегрируемой функции f (x) по с.п.ф. исходного оператора A и простейшего оператора L0 . Теорема 8. Пусть: а) ядро оператора A непрерывно дифференцируемо по x и по t, за исключением диагоналей t = x и t = 1 − x; б) выполняется условие: ¯ ¯ ∂j ¯ A (x, t) = δj,0 (j = 0, 1); i ¯ ∂xj t=x

2

2

в) (α1 − α2 ) − (α3 − α4 ) 6= 0; г) Var10 x A′x (x, t) ограничена по t. ¡ ¢ Тогда для любой функции f (x) ∈ L[0, 1] и любого δ1 ∈ 0, 21 : lim

max

r→∞ δ1 ≤x≤1−δ1

|Sr (f, x) − σr|√δ| (f, x)| = 0,

где Sr (f, x) – частичная сумма ряда Фурье функции f (x) по с.п.ф. оператора A для тех характеристических чисел λk , для которых |λk | < r, σr|√δ| (f, x) – частичная сумма тригонометрического ряда Фурье функции f (x) для тех номеров k, для которых |√1δ| 2kπ < r, r таково, что {λ/|λ| = r, 0 ≤ arg λ ≤ 2π} ⊂ Sδ0 . Список литературы [1] Хромов А.П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных и интегральных операторов// Матем. сб., 1981, 114(156), 3, С. 158-450. (Русский) [2] Хромов А.П. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях // Матем. заметки., 1998, 64, вып. 6, С. 932-942. (Русский) [3] Корнев В.В., Хромов А.П. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях // Матем. сб., 2001, 192, 10, С. 33-50. [4] Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.:Наука, 1968.

34

Section 1. Spectral Problems

[5] Назарова Е.В. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях // Математика. Механика. Сб. научных трудов, вып. 4, Саратов, изд. Сарат. Ун-та, 2002, С. 102-105.

Назарова Е. В., механико-математический факультет, Саратовский государственный университет, ул. Астраханская, 83, Саратов, 410026, Россия E-mail: [email protected]

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

35

ИНДЕКС ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА НЕЛОКАЛЬНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ А. Ю. Савин, Б. Ю. Стернин Независимый Московский Университет Москва, Россия В работе получена локальная формула индекса для класса нелокальных эллиптических операторов, возникающих на многообразиях, часть которых представлена в виде тотального пространства конечного накрытия. We obtain a local index formula for a class of nonlocal elliptic operators. These operators arise on a manifold, some part of which is represented as a finite covering.

Введение В работе рассматривается один класс нелокальных операторов, естественно возникающий на многообразии, часть которого представлена в виде тотального пространства конечного накрытия. Нелокальные операторы получаются как расширение алгебры дифференциальных операторов при помощи операторов, переставляющих значения функций на листах накрытия (см., напр., [?]). Такие операторы возникают (см. [?]), например, при вычислении индекса краевых задач с нелокальными краевыми условиями, отвечающими конечной группе сдвигов, действующей свободно на крае многообразия. Целью настоящей работы является получение локальной формулы индекса для эллиптических операторов из этого класса. Работа частично поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проекты NN 02-01-00118, 02-01-00928, 03-02-16336). 1. Нелокальные операторы 1.1. Многообразия с накрытием. (см. [?]). Пусть в некотором замкнутом многообразии M задано подмногообразие U ⊂ M коразмерности нуль с краем, которое есть тотальное пространство конечного накрытия π : U → Y над базой Y . Внутренности соответствующих множеств будем обозначать через U, Y . Через π! : Vect (U ) → Vect (Y ) обозначим отображение прямого образа на векторных расслоениях, а естественный изоморфизм пространств сечений C ∞ (U, E) ≃ C ∞ (Y, π! E) , для E ∈ Vect(U )

будем обозначать через βE . Это позволяет определить обратный образ оператора D : C ∞ (Y, π! E) → C ∞ (Y, π! F ) как композицию π ! D = βF−1 DβE : C ∞ (U, E) → C ∞ (U, F ) .

1.2. Нелокальные операторы. Линейный оператор D : C ∞ (M ) −→ C ∞ (M )

называется допустимым, если он представим (по модулю операторов с гладким ядром) в виде суммы D = D 1 + π ! D2 , для дифференциального оператора D1 на M и обратного образа дифференциального оператора D2 (действующего в сечениях расслоения π! 1, где через 1 обозначено одномерное тривиальное расслоение) на Y .

36

Section 1. Spectral Problems

Нелокальные операторы рассматриваются в более общих пространствах, чем пространства сечений расслоений на M . А именно, рассмотрим векторное пространство ¯ ½ ¾ ¯ (u, v) ∞ ¯ αβ (u| C (M, E) = U ∩V ) = v|π(U ∩V ) , u ∈ C ∞ (V, E) , v ∈ C ∞ (Y, E0 ) ¯ E определяемое тройкой E = (E, E0 , α) с компонентами

α

E ∈ Vect (V ) , E0 ∈ Vect (Y ) , π! (E|U ∩V ) ≃ E0 |π(U ∩V ) ,

где расслоение E задано над такой окрестностью V множества M \U, которая на пересечении U ∩ V содержит только целые слои накрытия π (т.е. π −1 (π(U ∩ V )) = U ∩ V ), а α — изоморфизм расслоений над окрестностью π (U ∩ V ). Нетрудно видеть, что пространство C ∞ (M, E) линейно порождается своими подпространствами C0∞ (V, E) , C0∞ (Y, E0 ) ⊂ C ∞ (M, E)

обычных сечений с компактными носителями. Множество троек E обозначим через Vect (M, π) . Отметим, что в случае тождественного накрытия тройка (E, E0 , α) определяет векторное расслоение на M, получающееся из расслоений E и E0 при помощи изоморфизма α, рассматриваемого как функция сцепления, а пространство C ∞ (M, E) естественно изоморфно пространству сечений этого векторного расслоения. Линейный оператор D : C ∞ (M, E) → C ∞ (M, F) будем называть допустимым, если он представим в виде суммы D = D 1 + D2 , (1) дифференциальных операторов D1 : C0∞ (V, E) → C0∞ (V, F ) ,

D2 : C0∞ (Y, E0 ) → C0∞ (Y, F0 ) .

1.3. Символ. Эллиптичность. Символом допустимого оператора D называется пара (σM , σY ) обычных символов (т.е. символов дифференциальных операторов) ³ ´ ³ ´ σM : p∗M E|M \U −→ p∗M F |M \U , σY : p∗Y ( E0 |Y ) −→ p∗Y ( F0 |Y )

(здесь pM : S ∗ M → M, pY : S ∗ Y → Y — естественные проекции косферических расслоений). В терминах разложения (??) компоненты символа определяются выражениями σM = σ (D1 ) ,

σY = π! (σ (D1 )|U ∩V ) + σ (D2 ) .

Отметим, что компоненты символа согласованы:

γπ! ( σM |∂U ) α−1 = σY .

Оператор D называется эллиптическим, если обе компоненты его символа (σM , σY ) обратимы. Нетрудно показать, что эллиптические операторы определяют фредгольмовы операторы в пространствах Соболева (см. [?]). 2. Индекс оператора сигнатуры с коэффициентами в расслоении В этом пункте многообразие M будем считать четномерным, а пару (M, π) — ориентированной, т.е. потребуем, чтобы многообразие M и проекция π были ориентированы (последнее означает, что ориентации в слоях проекции совпадают). При сделанных предположениях на M определен оператор сигнатуры (см., напр., [?]): ¡ ¢ ¡ ¢ DM : C ∞ M, Λ+ (M ) → C ∞ M, Λ− (M ) .

Зафиксируем на M метрику, которая над U поднимается с базы накрытия. Определим оператор сигнатуры с коэффициентами в тройке E = (E, E0 , α) ∈ Vect (M, π) : ¡ ¢ ¡ ¢ DM ⊗ 1E : C ∞ M, Λ+ (M ) ⊗ E −→ C ∞ M, Λ− (M ) ⊗ E ,

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

37

полагая его в области M \U равным DM ⊗ 1E , а в области U как нелокальный оператор π ! (DY ⊗ 1E0 ). Если в расслоениях E, E0 выбрать связности, которые на пересечении U ∩ V переходят одна в другую под действием изоморфизма α, то указанные два выражения согласованы, оператор DM ⊗1E корректно определен и является допустимым эллиптическим оператором. Theorem 1. indDM ⊗ 1E =

Z

L (T M ) ∧ chE +

Z

L (T Y ) ∧ chE0 ,

(2)

Y

M \U

где L (T X) — модицицированная форма Хирцебруха, c компонентами степеней кратk−dim X ных 4 : L (T X)k = 2 2 Lk (X) , где Lk обозначает однородную компоненту степени k полинома Хирцебруха (см., напр., [?]). Доказательство. Обе части равенства не зависят от выбора метрик и связностей, поэтому выберем их такими, чтобы эти структуры были структурами прямого произведения в воротниковой окрестности края ∂U . Разрежем многообразие M на две части M \ U и U , на каждой из которых поставим для оператора DM (см. [?]). Краевые задачи ¡ ⊗ 1E краевые ¢условия ¡ ! Атьи–Патоди–Зингера ¢ обозначим через DM \U ⊗ 1E , Π+ и π (DY ⊗ 1E0 ) , 1 − Π+ , где через Π+ обозначен неотрицательный спектральный проектор касательного оператора сигнатуры на ∂U . Индекс исходного оператора есть сумма индексов задач Атьи–Патоди–Зингера ¢ ¡ ¢ ¡ indDM ⊗ 1E = ind DM \U ⊗ 1E , Π+ + ind π ! (DY ⊗ 1E0 ) , 1 − Π+ . (3) Эту формулу можно получить, если сначала заметить, что индекс оператора на M равен индексу соответствующей задачи сопряжения на M \U ⊔ U с граничным условием непрерывности: ( (DM \U ⊗ 1E )u = f, π ! (DY ⊗ 1E0 ) v = g, (4) u|∂U − v|∂U = h,

а граничное условие задачи сопряжения гомотопно (с сохранением эллиптичности) прямой сумме условий Атьи–Патоди–Зингера, если интерпретировать краевое условие в (??) как два условия в дополнительных подпространствах: Π+ (u − v)|∂U = h+ ∈ Im Π+ , (1 − Π+ ) (u − v)|∂U = h− ∈ Im (1 − Π+ ) . ¡ ¢ Краевая задача π ! (DY ⊗ 1E0 ) , 1 − Π+ эквивалентна обычной задаче Атьи–Патоди– Зингера для оператора DY ⊗ 1E0 на базе Y накрытия. Поэтому, расписывая индексы краевых задач в (??) по формуле Атьи–Патоди–Зингера, получаем искомое равенство (??) Z Z indDM ⊗ 1E =

L(T M ) ∧ chE +

M \U

L (T Y ) ∧ chE0 .

(5)

Y

Здесь η-инварианты Атьи–Патоди–Зингера сократились, так как они входят в индексы краевых задач на M \ U и Y с разными знаками. ¤ 3. Общая формула индекса Топологическим индексом эллиптического допустимого оператора D с символом (σM , σY ) будем называть выражение Z Z indt D = ToddM ∧ chΠ+ (ΣσM ) + ToddY ∧ chΠ+ (ΣσY ) . (6) Σ(T ∗ (M \U ))

Σ(T ∗ Y )

38

Section 1. Spectral Problems

Напомним обозначения (см., напр., [?]). Во-первых, ΣV = S (V ⊕ 1) — сферическая компактификация вещественного векторного расслоения V с метрикой (S — расслоение единичных сфер, а 1 — одномерное тривиальное расслоение). В расслоении вида Σ (T ∗ X) мы выбираем ориентацию индуцированную ориентацией T ∗ X, в которой положительной системой координат является (ξ1 , x1 , ξ2 , x2 . . .). Во-вторых, через Todd и ch обозначены дифференциальные формы, представляющие, соответственно, класс Тодда комплексификации кокасательного расслоения и характер Черна комплексного расслоения. Наконец, по эллиптическому символу σ = σ(x, ξ) : Ex → Fx на многообразии X определяется обратимый эрмитов эндоморфизм µ ¶ IdE sin θ σ ∗ (x, ξ) cos θ Σσ(x, ξ, θ) = : Σ(T ∗ X) −→ End (Ex ⊕ Fx ) , σ (x, ξ) cos θ −IdF sin θ где на Σ(T ∗ X) выбрана параметризация (x, ξ cos θ, sin θ), где |ξ| = 1, −π/2 ≤ θ ≤ π/2. Наконец, через Π+ (Σσ) обозначается положительное спектральное подрасслоение символа Σσ. Следующая теорема является основным результатом работы.

Theorem 2. Для допустимого эллиптического оператора D аналитический индекс inda D равен топологическому: inda D = indt D. (7) Эту теорему мы будем доказывать в более широких рамках допустимых псевдодифференциальных операторов, которые отвечают произвольным (а не обязательно полиноминальным, как в случае дифференциальных операторов) гладким функциям на косферическом расслоении многообразий. Все определения, включая формулировку теоремы ??, практически без изменений переносятся на эту ситуацию. 4. Доказательство теоремы об индексе В этом параграфе мы докажем теорему ??. Сначала показывается, что произвольный оператор можно свести, пользуясь стабильными гомотопиями, к оператору сигнатуры с коэффициентами. Такая редукция использует K-теорию C ∗ -алгебр и состоит в установлении изоморфизма типа изоморфизма Тома для некоторой некоммутативной C ∗ -алгебры. Так как при стабильных гомотопиях индекс не меняется, то для доказательства формулы индекса остается только проверить ее справедливость для оператора сигнатуры с коэффициентами. Отметим, что идея редукции к оператору сигнатуры восходит к первому доказательству теоремы Атьи–Зингера (см. [?]). 4.1. Редукция к оператору сигнатуры. Будем пока считать, что M — четномерно, а пара (M, π) ориентирована. Покажем, что в этом случае произвольный допустимый эллиптический оператор можно свести (с сохранением аналитического и топологического индексов) к оператору сигнатуры с коэффициентами в некоторой тройке. Напомним, что два эллиптических оператора D1 и D2 называются стабильно гомотопными, если после прибавления к каждому некоторых тривиальных операторов D1,triv и D2,triv (тривиальными называют операторы, индуцированные изоморфизмами расслоений) их можно соединить непрерывной гомотопией эллиптических операторов: D1 ⊕ D1,triv ∼ D2 ⊕ D2,triv .

В [?] показано, что группа, образованная допустимыми эллиптическими операторами по модулю стабильных гомотопий изоморфна группе K0 (AT ∗ M,π ) следующей C ∗ -алгебры (ср. [?]) ¯ ¾ ½ ¯ (u, v) −1 ¯ ¢ β u| β = v| ¡ (8) AT ∗ M,π = ∂Y ∂U u ∈ C0 (T ∗ (M \U )) , v ∈ C0 T ∗ Y , Endπ! 1 ¯

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

39

(этот результат обобщает разностную конструкцию Атьи–Зингера [?], так как при Y = ∅ соответствующая K-группа есть Kc0 (T ∗ M )) и определена точная последовательность Kc1 (T ∗ (M \U )) → Kc0 (T ∗ Y ) → K0 (AT ∗ M,π ) → Kc0 (T ∗ (M \U )) → Kc1 (T ∗ Y ) .

(9) — последовательность пары, отвечающая идеалу {(0, v) |v ∈ C0 (T Y, Endπ! 1)}. Третье слева отображение отвечает сужению эллиптического символа на M \U, а при втором отображении, наоборот, символ тривиальный в окрестности края ∂Y поднимается на U и затем продолжается на M как изоморфизм. Наконец, первое и последнее отображения представляют собой композиции сужения на край, прямого образа и кограничного отображения: ¡ ¢ π! ¡ ¢ Kc∗ (T ∗ (M \U )) → Kc∗ (T ∗ (M \U )|∂U ) = Kc∗+1 T ∗ ∂U −→ Kc∗+1 T ∗ ∂Y → Kc∗+1 (T ∗ Y ) . ∗

Lemma 1. Топологический и аналитический индексы инвариантны относительно стабильных гомотопий оператора D и, следовательно, продолжаются до гомоморфизмов групп inda , indt : K0 (AT ∗ M,π ) −→ R.

Доказательство. Гомотопическая инвариантность аналитического индекса известна. Инвариантность топологического индекса относительно гладких гомотопий символов вытекает из того, что подынтегральные выражения в его определении гладко согласованы друг с другом в окрестности края области U. А продолжение до гомоморфизма следует из совпадения K-группы алгебры AT ∗ M,π c K-группой ее плотной локальной подалгебры (см. [?]) гладких согласованных символов. ¤ Аналогично (??), определим алгебру, отвечающую самому многообразию ¯ ª ¡ © ¢ ⊂ C (M \U ) ⊕ C Y , Endπ! 1 . AM,π = (u, v) ¯β u| β −1 = v| ∂U

∂Y

K-группа этой алгебры изоморфна группе Гротендика стабильных гомотопических классов троек (E, E0 , α) отвечающих (M, π) (см. [?]). Theorem 3. Для четномерной ориентированной пары (M, π) имеем K0 (AM,π ) ⊗ Q ≃ K0 (AT ∗ M,π ) ⊗ Q.

Изоморфизм определяется сопоставлением элементу E ∈ Vect(M, π) разностного элемента оператора сигнатуры с коэффициентами в E. Доказательство. 1. Дополним сначала последовательность (??) до диаграммы

K 1 (M \U ) → Kc0 (Y ) → K0 (AM,π ) → K 0 (M \U ) → Kc1 (Y ) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ → Kc1 (T ∗ M \U ) → Kc0 (T ∗ Y ) → K0 (AT ∗ M,π ) → Kc0 (T ∗ M \U ) → Kc1 (T ∗ Y ) , →

где верхняя последовательность отвечает вложению идеала {(0, v) |v ∈ C0 (Y, Endπ! 1)} ⊂ AM,π . Третье и четвертое слева отображения, действующие сверху вниз, определяются сопоставлением векторному расслоению символа оператора сигнатуры с коэффициентами в этом векторном расслоении. При втором отображении расслоению E ∈ Vect (Y ) размерности n тривиализованному в окрестности края сопоставляется символ оператора ∗ DM \U ⊗ 1E ⊕ DM \U ⊗ 1Cn ,

который в окрестности края стандартным образом гомотопируется при помощи тривиализации к единичному символу (имеется в виду стандартная гомотопия σ ⊕ σ −1 ∼ 1 ⊕ 1). Наконец, первое и последнее вертикальные отображения получаются из уже описанных с использованием изоморфизмов Kc1 (X) ≃ Kc (X × R) .

40

Section 1. Spectral Problems

2. Проверим коммутативность построенной диаграммы. Коммутативность двух квадратов посередине непосредственно следует из определений (для второго квадрата используется гомотопия 1 ⊕ 1 ∼ σ ⊕ σ −1 ). Коммутативность первого и последнего квадратов устанавлевается прямой выкладкой. 3. Известно, что все вертикальные отображения в диаграмме — изоморфизмы, по модулю кручения, кроме, возможно, отображения K0 (AM,π ) → K0 (AT ∗ M,π ). Поэтому в силу леммы о пяти гомоморфизмах получаем, что и это отображение также изоморфизм по модулю кручения. ¤ 4.2. Проверка формулы индекса для оператора сигнатуры. В силу доказанного утверждения подгруппа в K0 (AT ∗ M,π ) , порожденная оператором сигнатуры с коэффициентами, имеет конечный индекс. Поэтому в силу леммы ?? формулу для доказательства формулы индекса произвольного оператора, достаточно проверить справедливость этой формулы для оператора сигнатуры. Lemma 2. Для оператора сигнатуры с коэффициентами в расслоении правые части формул (??) и (??) совпадают. Доказательство. Оказывается, что имеет место почленное совпадение интегралов в этих выражениях. Доказательство можно найти в [?], параграф 3.9. Для удобства читателя напомним соответствующее рассуждение. Рассмотрим, например, интегралы, отвечающие многообразию Y. Для оператора сигнатуры, символ которого обозначим через p, с коэффициентами в расслоении F показывается равенство Z Z Todd ∧ chΠ+ (Σp) ∧ chF = L (T Y ) ∧ chF, (10) Σ(T ∗ Y )

Y

где через Todd ∈ Λev (Y ) обозначена замкнутая дифференциальная форма, однозначно определяющаяся из соотношения T (chΠ+ (Σp)) ∧ Todd = L (T Y ) ,

где через T : C ∞ (Λ (Σ (T ∗ Y ))) → C ∞ (Λ (Y )) обозначен оператор послойного интегрирования форм, являющийся гомоморфизмом C ∞ (Λ (Y ))-модулей и коммутирующий с интегрированием по всем переменным. Форма Todd определяется метрикой на M и является вещественной характеристической формой, см. [?]. В силу теории Гилки о локальных инвариантах эта форма определяется некоторым универсальным инвариантным полиномом. Такой полином известен — это полином Тодда, поэтому форма Todd совпадает с дифференциальной формой, определяющей класс Тодда на римановом многообразии и равенство (??) преобразуется в искомое равенство Z Z Todd (T Y ) ∧ chΠ+ (Σp) ∧ chF = L (T Y ) ∧ chF. Σ(T ∗ Y )

Y

¤ 4.3. Индекс на нечетномерных или неориентируемых многообразиях. Как и в классическом случае, формула индекса переносится на общие многообразия. Lemma 3. a) Если равенство (??) выполнено на ориентируемых многообразиях, то оно верно и на неориентируемых. b) Если формула индекса верна на четномерных многообразиях, то она остается справедливой и на нечетномерных. Доказательство. a) Пусть (M, π) – некоторая, вообще говоря, неориентируемая пара и D — допустимый эллиптический оператор на M . Тогда от (M, π) можно перейти к ориентиf, π e −→ Ye . рующей двулистной накрывающей (M e) с ориентированной проекцией π e:U

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

41

³ ´ e обозначим поднятие оператора D на пару M f, π Через D e . В силу локальности интеграла имеем e 2indt D = indt D. Аналогичным образом, аналитический индекс также мультипликативен относительно подe связаны ранятия оператора на накрытие (ср. [?]). Поэтому индексы операторов D и D венством e 2inda D = inda D.

Последние два равенства доказывают первую часть леммы. b) Пусть D — эллиптический оператор на нечетномерном многообразии M. Через D0 обозначим псевдодифференциальный оператор индекса один на окружности S1 . На четномерном произведении M × S1 рассматривается скрещенное произведение операторов D#D0 (для корректности определения потребуем, чтобы операторы имели равные и положительные порядки). С одной стороны, его аналитический индекс есть произведение индексов и совпадает с индексом оператора D. С другой стороны, в [?], лемма 3.9.3, показано, что интегралы в выражениях для топологического индекса indt операторов D и D#D0 попарно совпадают. В силу предположения леммы, для оператора D#D0 на четномерном многообразии топологический и аналитический индексы равны. Отсюда вытекает, что индексы равны и для исходного оператора D на нечетномерном многообразии. ¤ Теорема ?? доказана. Список литературы [1] А.Б. Антоневич. Линейные функциональные уравнения. Операторный подход. Университетское, Минск, 1988. [2] A. Savin and B. Sternin. Index Defects in the Theory of Nonlocal Boundary Value Problems and the ηInvariant. Univ. Potsdam, Institut f¨ ur Mathematik, Potsdam, 2001. Preprint 01/31, arXiv: math/0108107. [3] R. S. Palais. Seminar on the Atiyah–Singer index theorem. Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1965. [4] P. B. Gilkey. Invariance theory, the heat equation, and the Atiyah-Singer index theorem. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, second edition, 1995. [5] M. Atiyah, V. Patodi, and I. Singer. Spectral asymmetry and Riemannian geometry I. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 77, 1975, 43–69. [6] J. Rosenberg. Groupoid C ∗ -algebras and index theory on manifolds with singularities. Geometriae Dedicata (to appear), 2002. [7] M. F. Atiyah and I. M. Singer. The index of elliptic operators I. Ann. of Math., 87, 1968, 484–530. [8] B. Blackadar. K-Theory for Operator Algebras. Number 5 in Mathematical Sciences Research Institute Publications. Cambridge University Press, 1998. Second edition.

Савин А. Ю., к.ф.-м.н., Независимый Московский Университет, Москва, 121002, Россия E-mail: [email protected] Стернин Б. Ю., д.ф.-м.н., Независимый Московский Университет, Москва, 121002, Россия E-mail: [email protected]

42

Section 1. Spectral Problems

BASES OF EXPONENTIAL IN WEIGHTED Lp SPACES A. Boivin Department of Mathematics, University of Western Ontario London (Ontario), Canada A. M. Sedletskii Department of Mathematical Analysis Mechanics and Mathematics Faculty, Moscow State University Moscow, Russia We give some conditions on the exponents (λn ) and the generating function of the system of exponentials (eiλn t ) that guarantee that the system forms a basis in the spaces Lp ((−a, a), ω(t)dt), 1 < p < ∞, where ω(t) is a weight of a special kind. Previously these theorems were known only for the case ω(t) = 1.

Non-harmonic analysis (i. e. study of the approximation properties of systems of exponentials on some finite interval I) began with the classical works of R. Paley and N. Wiener [?] and N. Levinson [?]. The question of when does a system of exponentials form a Riesz basis in L2 (I) has now received a very satisfactory answer. Complete and (essentially) final solutions of this problem are to be found in the works of S. Hruˇsˇcev, N. Nikol’skii and B. Pavlov [?] and A. Minkin [?], where references to important earlier works are also given. When considering this question in Lp (I) for p 6= 2, additional difficulties arise and the answer is not as complete yet. Nevertheless, a number of sufficient conditions have been obtained, and some of them (on the regularity of the exponents) have also been shown to be necessary (see [?, ?]). In the present paper, this question will be considered in Lp spaces with weights. Basis properties of systems of exponentials in weighted spaces have not been considered previously with the notable exception of the trigonometric system {eint }, n ∈ Z, which has been shown to form a basis in Lp ((−π, π), Φ(t) dt) if and only if the weight Φ is a non-negative 2π-periodic measurable function satisfying the (Ap ) condition (see [?, Theorem 8]). Recall that a weight Φ(x) on R satisfies the Muckenhoupt’s condition (Ap ) (we write Φ ∈ (Ap )) if   p−1 Z Z 1 1 sup  Φ(x)dx Φ(x)−1/(p−1) dx < +∞ (Ap ) |I| |I| I⊂R I

I

where I is an interval in R and 1 < p < ∞. We now introduce the basic notation and definitions use throughout this paper. Let L Ã = (λn ; mn )∞ n=0 be a sequence where λn ∈ C, |ln+1 | ≥ |λn | and mn ∈ N = {1, 2, 3, . . . }. Associated with this sequence, we introduce the corresponding system of exponentials ¡ ¢∞ (1) e(ÃL) = eiλn t , (it) eiλn t , . . . , (it)mn −1 eiλn t n=0 .

Fix an arbitrary number a > 0. An entire function L(z) of exponential type is called a generating function for the system e(ÃL) if the set of zeroes of the function L(z) coincides with L Ã (with corresponding multiplicities mn ) and if the indicator hL (θ) of L(z) is hL (θ) = a| sin θ|. Let B = B(−a, a) be some Banach space of functions defined on the interval (−a, a) and suppose that the system e(ÃL) is a basis in B. To every function f ∈ B, there then corresponds a unique (non-harmonic Fourier) series f (t) ∼

∞ X n=0

eiλn t

m n −1 X k=0

cnk (it)k =

∞ X n=0

Pmn −1 (t) eiλn t

(2)

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

43

which converges to f in B; here Ps (t) is a polynomial of degree s. We say that the basis e(ÃL) has the Riesz property if for all f ∈ B the series X Pmn −1 (t) eiλn t (3) Reλn >0

converges in B. This notion is inspired by a theorem of M.P Riesz which asserts the following: p cn eint converges, where the cn , for any function f ∈ L (−π, π), 1 < p < ∞, the series n>0

−∞ < n < ∞, are the Fourier coefficients of the function f . This serves as a substitution to the notion of a Riesz basis (i.e. a basis which is equivalent to an orthonormal basis) when we pass from the Hilbert space L2 to the Banach space B. A sequence is called separable if |λn − lm | ≥ δ > 0, n 6= m. It is well-known (see [?] for instance) that the separability of L Ã is necessary in order for the system (??) to be a basis in Lp (−a, a). This simple assertion will remain true for the spaces we shall considered. Under the condition of separability of the sequence L Ã , the system (??) is a basis in Lp (−a, a) with the Riesz property when either A) or B) below holds (see [?], [?, Chapter 6]): A) 1 < p < ∞ and the generating function of the system (??) is of the form L(z) =

Za

eizt dσ(t),

(4a)

varσ(t) < +∞

−a

where σ satisfies the jump conditions σ(a) 6= σ(a − 0),

and σ(−a) 6= σ(−a + 0).

B) 1 < p < 2, all points λn lie in an horizontal strip |Imz| ≤ h < +∞, the condition sup mn = m < +∞

(4b) (5)

n

holds, and for some H ∈ R, |H| > |h|, we have |L(x + iH)|p ∈ (Ap ). In the present paper, we extend both these results to the weighted spaces LpΦα (t),a which we now define. Let I be an interval in R and let Φ(x) be a weight on I. We denote by Lp (I, Φ(t)dt) the space of measurable functions (relative to the measure which is defined by the weight Φ(t)) with finite norm  1/p Z kf kp,Φ =  |f (t)|p Φ(t)dt , 1 ≤ p < ∞. (6) I

We let

LpΦ(t),a

= L ((−a, a), Φ(t)dt). We will also exclusively denote by Φα the weight p

Φα (t) =

s Y j=1

|t − bj |α ,

−a ≤ b1 < · · · < bs ≤ a,

s ∈ N.

(7)

and use accordingly the notation LpΦα (t),a and k · kp,Φα We also write Lpα instead of Lp (R, |t|α dt). We now formulate our main results. Theorem 1. Let 1 < p < ∞ and 0 ≤ α < p − 1.

(8)

Suppose that the sequence L Ã is separable, and that the generating function L of the system (??) can be represented as an integral of the form (??) with with the function of bounded variation σ satisfying the jump conditions (??). Then the system (??) is a basis in LpΦα (t),a , where s ≥ 2, bs = −b1 = a, having the Riesz property.

44

Section 1. Spectral Problems

Theorem 2. Let 1 < p < ∞ and max (0, p − 2) ≤ α < p − 1. (9) Suppose that the sequence L Ã is separable, that all points λn lie in the horizontal strip |Imz| < h < +∞, that condition (??) holds and that for some H ∈ R, |H| > |h|, we have |L(x + iH)|p/(1+α) ∈ (Ap/(1+α) ).

(10)

Then the system (??) is a basis in LpΦα (t),a , where s ≥ 2, bs = −b1 = a, having the Riesz property. We note that the condition α < p−1 ensures the topological embedding LpΦα (t),a ֒→ L1 (−a, a). Under the hypotheses of Theorem 1, it also follows that all points λn lie in an horizontal strip, that condition (??) holds and that |L(x + iH)| ≍ 1, x ∈ R, for sufficiently large |H| (see [?, ?]). Therefore condition (??) is satisfied. On the other hand, Theorem 1 comprises a larger set of parameters (p, α). When p = 2 and α = 0, condition (??) is also known to be necessary under the hypotheses of Theorem 2 in order for e(l) to be a Riesz basis (see [?, ?, ?]). Theorem 3. Suppose that all conditions of Theorem 2 are satisfied. Then for any function f ∈ LpΦα (t),a , where s ≥ 2, bs = −b1 = a, the sequence (cnk ) of the coefficients of its biorthogonal series (??) belongs to ℓq , with q = p/(p − 1 − α), and ¡ ¢ n −1 ∞ k ≤ M kf kp,Φα , k (cnk )m k=0 n=0 q

where the constant M does not depend on f .

References [1] R. Paley and N. Wiener. Fourier transform in the complex domain. Publ. Amer. Math. Soc., New York, 1934. [2] N. Levinson. Gap and density theorems. Publ. Amer. Math. Soc., New York, 1940. [3] S.V. Hruˇsˇcev, N.K. Nikol’skii and B.S. Pavlov. Unconditional bases of exponentials and reproducing kernels. Lect. Notes Math. 864 (1981), 214–335. [4] A.M. Minkin. The reflection of indices and unconditional bases of exponentials. (Russian) Algebra i Analiz 3, (1991) no. 5, 109–134. (English translation) St. Petersburg Math. J. 3 (1992), no. 5, 1043–1068. [5] A.M. Sedletskii, Biorthogonal expansions of functions in series of exponents on interval of the real axis, Russian Math. Surv. 37, No.5 (1982), 57–108. [6] A.M. Sedletskii, Fourier transforms and approximations. Gordon and Breach Science Publ., Amsterdam, 2000. [7] R. Hunt, B. Muckenhoupt and R. Wheeden. Weighted norm inequalities for the conjugate function and Hilbert transform. Trans. Amer. Math. Soc. 176 (1973), 227–251. [8] B.S. Pavlov. The basis property of a system of exponentials and the condition of Muckenhoupt. (Russian) Dokl. Akad. Nauk SSSR 247 (1979), no. 1, 37–40. (English translation) Soviet Math. Dokl. 20 (1979), no. 4, 655–659.

Boivin A., Professor, University of Western Ontario, London (Ontario), N6A 5B7, Canada E-mail: [email protected] Sedletskii A. M., Moscow State (Lomonosov) University, Moscow, 119899, Russia E-mail: [email protected]

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

45

SIMILARITY OF J-SELFADJOINT STURM-LIOUVILLE OPERATORS WITH AN OPERATOR POTENTIAL TO SELFADJOINT ONES S. Hassi University of Vaasa, Vaasa, Finland I. Karabash Donetsk National University, Donetsk, Ukraine

4

Keywords: Similarity problem, J-selfadjoint operator, nonselfadjoint operator, differential operator, operator potential, partial differential operator. 2

d Operators of the form (sgn t)(− dt 2 + Q) with an operator potential Q are studied. A criterion of similarity to a selfadjoint operator is obtained for operators from this class. An application to J-selfadjoint partial differential operators is given.

Recall that two closed operators A1 and A2 in a Banach space X are called similar if there exists an automorphism T of X such that T D(A1 ) = D(A2 ) and A2 = T A1 T −1 . Let Q be a lower semibounded selfadjoint operator acting on a separable Hilbert space H, Q = Q∗ ≥ µ0 . Consider a selfadjoint Sturm-Liouville operator (Ly)(t) = −y ′′ (t) + Qy(t),

−∞ < t < +∞,

in L2 (R, H), see [?]. Let J be the multiplication operator by sgn t on L2 (R, H), J : y(t) → (sgn t) y(t). Then the operator A = JL = (sgn t)

µ

¶ d2 − 2 +Q , dt

(1)

being a product of two selfadjoint noncommuting operators, is nonselfadjoint, i.e., A∗ = LJ 6= A. In fact, the operator A∗ is defined by the same differential expression, but it has another domain given by D(A∗ ) = { y ∈ L2 (R, H) : Jy ∈ D(L) } 6= D(A) = D(L). The question is the similarity of A to a selfadjoint operator. Note, that spectral problems (Ly)(t) = λr(t)y(t),

(2)

with a selfadjoint differential operator L and the function r(t) which changes its sign, occur in certain physical models, see [?], and the references therein. The question whether the system of eigenfunctions of the problem (??) forms a Riesz basis was studied in [?], [?], [?], [?]. If L has a continuous spectrum, the corresponding problem is the similarity of A to a selfadjoint or normal operator. This problem was studied for L > δ > 0 in [?], [?], and for ordinary differential operators L such that σc (L) ∩ (−∞, 0] 6= ∅ in [?], [?], [?], [?], [?]. In the case where L is a nonnegative partial differential operator with constant coefficients certain sufficient conditions for the similarity were obtained in [?]. The main result in this paper gives a criterion of similarity for operators of the form (??). Theorem 1. Let A be an operator of the form (??). Then the spectrum of A is real, σ(A) ⊂ R. The operator A is similar to a selfadjoint operator if and only if the operator Q is nonnegative. 4The

second author was supported by the Academy of Finland (project 203226).

46

Section 1. Spectral Problems

Corollary 1. Let q be a bounded nonnegative function on Rn+1 which does not depend on t and which satisfies 0 ≤ q = q(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ L∞ (Rn+1 ). Then the J-selfadjoint Schr¨odinger operator µ ¶ ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 (sgn t) − 2 − 2 − 2 − · · · − 2 + q(x1 , x2 , . . . , xn ) ∂t ∂x1 ∂x2 ∂xn 2 n+1 in L (R ) is similar to a selfadjoint operator. Corollary 2. Let p be a lower semibounded polynomial in n variables, p(x1 , x2 , . . . , xn ) ≥ µ0 . Then the operator ¶¶ µ µ ∂ ∂ ∂ ∂2 , −i , . . . , −i (sgn t) − 2 + p −i ∂t ∂x1 ∂x2 ∂xn

in L2 (Rn+1 ) is similar to a selfadjoint operator if and only if the polynomial p is nonnegative. Remark. The results in [?] imply only the sufficient condition of Corollary ??.

Example 1. Let p(x1 , x2 , . . . , xn ) = x21 + x22 + · · · + x2n + a, where a is a real constant. It follows from Corollary ?? that the operator ¶ µ ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 (sgn t) − 2 − 2 − 2 − · · · − 2 + a ∂t ∂x1 ∂x2 ∂xn

is similar to a selfadjoint operator if and only if a ≥ 0.

Theorem ?? can be used to study the similarity of partial differential operators in a strip, in a halfspace etc. Example 2. Let Q be a selfadjoint operator in H = L2 (−1, 1) which is generated by the d2 differential expression − dx 2 and the boundary conditions u′ (−1) − hu(−1) = 0,

u(1) = 0.

The operator L = −y ′′ (t)+Qy(t) in L2 (R, H) gives rise to a selfadjoint extension of the Laplace ∂2 ∂2 2 2 of the form Ω = {(t, x) : −1 ≤ operator ∆ = − ∂t 2 − ∂x2 in L (Ω), where Ω is a strip in R x ≤ 1}. The boundary conditions corresponding to D(L) are given by ∂y(t, −1) − hy(t, −1) = 0, y(t, 1) = 0. (3) ∂x The operator Q is nonnegative precisely ³ 2 when ´h ≥ 0. Consequently, the operator generated ∂ ∂2 by the differential expression (sgn t) − ∂t2 − ∂x2 and the boundary conditions (??) is similar to a selfadjoint operator if and only if h ≥ 0. The proof of Theorem ?? is based on the resolvent criterion for similarity, see [?], [?], [?], and the theory of boundary problems for operator differential equations, cf. [?]. Some results on boundary triplets and Weyl functions from [?], [?] are used to calculate the resolvent and the spectrum of A. The authors express their gratitude to M. M. Malamud for numerous useful discussions. References [1] R. Beals, An abstract treatment of some forward-backward problems of transport and scattering // J. Funct. Anal.—1979.—V. 34, —P.1–20. [2] R. Beals, Indefinite Sturm-Liouville problems and half range completeness // J. Differential Equations— 1985.—V. 56, no. 3.— P.391–407. [3] J.A. van Casteren, Operators similar to unitary or selfadjoint ones // Pacific J. Math.—1983.—V. 104, no. 1.—P.241–255.

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

47

´ [4] B Curgus, H. Langer, A Krein space approach to symmetric ordinary differential operators with an indefinite weight function // J. Differential Equations—1989.—V. 79.—P.31–61. ´ [5] B. Curgus, B. Najman, A Krein space approach to elliptic eigenvalue problems with indefinite weights // Differential Integral Equations.—1994. —V. 7.—P.1241–1252. ´ [6] B. Curgus, B. Najman, Positive differential operator in Krein space L2 (R). // Oper. Theory Adv. Appl., Birkh¨auser, Basel.—1996.—V. 87.—P.95–104. ´ [7] B. Curgus, B. Najman, Positive differential operator in the Krein space L2 (Rn ). // Oper. Theory Adv. Appl., Birkh¨auser, Basel.—1998.—V. 106.—P.113–130. [8] V.A. Derkach, M.M. Malamud, Generalized resolvents and the boundary value problems for hermitian operators with gaps // J. Funct. Anal.—1991.—V. 95.—P.1–95. [9] V.A. Derkach, S. Hassi, M.M. Malamud, H.S.V. de Snoo, Generalized resolvents of symmetric operators and admissibility // Methods Funct. Anal. Topology. —2000. —V. 6.—P.24–55. [10] M.M. Faddeev, R.G. Shterenberg, On the similarity of some singular differential operators to selfadjoint operators // Issled. po lin. oper. i teor. fun. 28, Zapiski nauch. sem. POMI.—2000.—’. 270.— ‘.336–349. (Russian) [11] V.I. Gorbachuk and M.L. Gorbachuk, Boundary value problems for operator differential equations, Naukova Dumka, Kiev, 1984 (Russian) (English translation: Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, 1990). [12] I.M. Karabash, J-selfadjoint ordinary differential operators similar to selfadjoint operators // Methods Funct. Anal. Topology.—2000.—V. 6, no. 2. —P.22–49. d2 [13] I.M. Karabash, A.S. Kostenko, On the similarity of operators (sgnx)(− dx 2 + cδ) to normal or selfadjoint operators // Mat. Zametki.—2003.—V. 74, no. 1.—P.134–139. (Russian) [14] I.M. Karabash, M.M. Malamud, On similarity of J-selfadjoint Sturm-Liouville operators with finite-gap potential to selfadjoint ones // Dokl. RAN.—2004.—V. 394, no. 4.—P.17–21. (Russian) [15] M.M. Malamud, A criterion of the similarity of a closed operator to a selfadjoint operator // Ukrain. mat. zurnal.—1985.—V. 37, no. 1.—P.49–56. (Russian) [16] S.N. Naboko, Conditions for similarity to unitary and selfadjoint operators // Funkcionalnii Analiz i ego prilozeniya. —1984.—V. 18, no. 1.—P.16–27. (Russian) [17] S.G. Pyatkov, Properties of eigenfunctions of certain spectral problem with some applications // Nekotorie prilozenia funkcionalnogo analiza k zadacham matematicheskoi fiziki. —Novosibirsk: IM SO AN SSSR, 1986.—P.65–84. (Russian) [18] S.G. Pyatkov, Some properties of eigenfunctions of linear pencils // Sibirskii mat. zurnal.—1989.—V. 30, no. 4.—P.111–124. (Russian) (English translation: Siberian Math. J.—1989.—V. 30,— P.587–597).

S. Hassi, Department of Mathematics and Statistics, University of Vaasa, P.O. Box 700, 65101 Vaasa, Finland E-mail: [email protected] I. Karabash, Department of Mathematics, Donetsk Universitetskaya str. 24, 83055 Donetsk, Ukraine E-mail: [email protected]

State

University,

48

Section 1. Spectral Problems

A GENERALIZED MALLIAVIN DERIVATIVE IN A COLOURED NOISE ANALYSIS N. A. Kachanovsky Institute of Mathematics Kiev, Ukraine We introduce a generalized Malliavin derivative on the spaces of square integrable with respect to so-called coloured noise measures functions and on corresponding Kondratievtype generalized functions spaces (in infinite-dimensional case). Then we study main properties of this derivative. Мы вводим обобщенную производную Маллявена на пространствах квадратично интегрируемых относительно так называемых мер цветного шума функций и на соответствующих пространствах обобщенных функций, подобных пространствам Кондратьева (в бесконечномерном случае). Затем мы изучаем основные свойства этой производной. Ми вводимо узагальнену похiдну Маллявена на просторах квадратично iнтегровних вiдносно так званих мiр кольорового шуму функцiй та на вiдповiдних просторах узагальнених функцiй, що є подiбними до просторiв Кондратьєва (у нескiнченновимiрному випадку). Далi ми вивчаємо властивостi цiєї похiдної.

Introduction The ’classical’ Malliavin derivative was introduced by P. Malliavin in [?]. It was a very specific operator connected with hypoelliptic operators and a Wiener process. In a modern treatment one usually understand by the term ’the Malliavin derivative’ one type of a stochastic derivative in Gaussian analysis (see, e.g., [?, ?]). In the paper [?] Fred E. Benth studied a generalization of the Malliavin derivative on a Kondratiev generalized functions space in Gaussian infinite-dimensional analysis. His paper was a motivation for a study of a more general question: ’How to construct a generalized Malliavin derivative on generalized functions spaces for a more wide class of measures?’ In the paper [?] the author tried to give a partial answer on this question for so-called Poisson and Gamma measures. In this paper we construct and study a generalized Malliavin derivative by analogy with [?, ?] on spaces connected with so-called coloured noise measures (c.n.m.) (see [?]). Note that the Gaussian and Poisson measures are c.n.m.; but the class of c.n.m. is very wide, these measures are connected with stochastic processes with, generally speaking, dependent increments; so the ’coloured noise analysis’ can not be trivial. Nevertheless, it is possible to obtain some general results in this area. 1. Preliminaries Let (Ω, F, P, F) be a filtered probability space. (Here F is a P -complete σ-algebra and F := {Ft : t ∈ R+ } is a filtration of σ-algebras, i.e. Fs ⊆ Ft if s ≤ t. We also assume that F0 is P -complete and F is right continuous, i.e. Ft = Ft+ := ∩τ >t Fτ .) Let M := {Mt : t ≥ 0} be square integrable Ft -martingale. It means that ∀t ≥ 0 Mt ∈ L2 (Ω, F, P ) is an Ft -measurable random variable and ∀t > s ≥ 0 Ms = E(Mt |Fs ) (mod P ),

where E(ξ|B ) denotes a conditional expectation of a random variable ξ with respect to (w.r.t.) σ-algebra B. Below we assume that Mt vanish at zero and the collection {Mt : t ≥ 0} generates a σ-algebra FM which coincides with F. Let us denote L2 (M) := L2 (Ω, FM , P ) = L2 (Ω, F, P ).

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

49

Definition. A square integrable martingale M satisfying conditions above is called a normal one if the stochastic process is Ft -martingale.

{Mt2 − t, t ≥ 0} ⊂ L1 (Ω, FM , P )

The equivalent definition is the following: the quadratic variance of M (angle bracket) hM, M it = t at any point t ≥ 0 (see [?, ?]). It is well known that a Brownian motion and a compensated standard Poisson process are normal martingales (w.r.t. filtrations generated by these processes correspondingly). Let L2 = L2 (R) be the space of square integrable w.r.t. the Lebesgue measure functions on b b 2 ⊗n 2 ⊗0 R; Γ(L2 ) := ⊕∞ n=0 Γn (where Γn := L C n!, L C := C) be a ’weighted’ Fock space generated P∞ b ⊗n 2 (n) 2 < ∞. Here and by L2 : f ∈ Γ(L2 ) mean f = (f (n) ∈ L2 C )∞ | 2 ⊗n b n=0 and kf kΓ(L2 ) = n=0 n!|f L

C

b denote a symmetric tensor product, the subindex C denotes a complexification. below ⊗ It proved in [?] that for a normal martingale M it is possible to construct n-multiple stochastic integrals w.r.t. M Γn ∋ f (n) 7→ In (f (n) ; M) ∈ L2 (M) and the isometric mapping between the Fock space Γ(L2 ) and L2 (M ) ∞ X 2 (n) ∞ Γ(L ) ∋ f = (f )n=0 7→ IM f = In (f (n) ; M) ∈ L2 (M) (1) n=0

holds. But, generally speaking, the image IM Γ(L ) is a subspace of L2 (M) and can be not equal to L2 (M). So, by analogy with a ’classical’ terminology we say that a normal martingale M has the chaos representation property (CRP), if IM Γ(L2 ) = L2 (M). Examples of ’nonclassical’ normal martingales having CRP given in, e.g., [?, ?, ?]. Now let us recall definitions of a coloured noise and a coloured noise measure. 2

Theorem. ([?]) Let M be a normal martingale. Its distributional derivative M′ = {Mt′ , t ≥ 0} is a generalized stochastic process on D having extension to a measure µM on (D′ , B(D′ )). Here D is the space of infinite-differentiable compactly supported functions, D′ is the dual space to D, B denotes a Borel σ-algebra.

Corollary. ([?]) Let H− be a Hilbert space such that D′ ⊃ H− ⊃ L2 and the embedding operator L2 ֒→ H− has a finite trace. Then µM (H− ) = 1. In particular, it follows from here that one can understand µM as a measure on (S ′ , B(S ′ )), where S ′ is the dual space to the Schwartz space S of infinite-differentiable rapidly decreasing functions. Definition. Let M be a normal martingale having CRP. Its distributional derivative M′ is called a coloured noise, the corresponding measure µ := µM on (S ′ , B(S ′ ))—a coloured noise measure. One can find examples of coloured noises in [?]. Here we note only that the Gaussian and Poisson white noise measures are coloured noise measures; but there are no more coloured noise measures among the white noise ones (see, e.g., [?]). Now we will consider the spaces of square integrable functions and Kondratiev-type spaces, connected with coloured noise measures. In order to do it we need some preparation. At first, let us consider a rigging S ′ ⊃ H−p ⊃ L2 =: H0 ≡ H ⊃ Hp ⊃ S, p ∈ N,

where Hp are some Hilbert spaces such that S = pr limp∈N Hp ; H−p , S ′ = ind limp∈N H−p are the spaces dual to Hp , S w.r.t. H correspondingly.

50

Section 1. Spectral Problems

We denote the norms in Hp , p ∈ Z, by | · |p ; the (real) dual pairing between elements of S ′ and S, which is generated by the scalar product in H, by h·, ·i; and preserve these notations for tensor powers and complexifications of spaces. Further, let Γp,q , p, q ∈ N be a ’weighted’ Fock P∞ b 2 qn (n) 2 2 |p < ∞; space such that f ∈ Γp,q mean f = (f (n) ∈ SC ⊗n )∞ n=0 and kf kp,q := n=0 (n!) 2 |f Γ(S) := pr limp,q∈N Γp,q . For p, q ∈ N sufficiently large one can consider a rigging Γ(S ′ ) ⊃ Γ−p,−q ⊃ Γ(L2 ) ⊃ Γp,q ⊃ Γ(S),

(2)

where Γ(L2 ) defined above; Γ−p,−q , Γ(S ′ ) = ind limp,q∈N Γ−p,−q are the spaces dual to Γp,q , Γ(S) b ∞ ′ ⊗n (n) )n=0 w.r.t. Γ(L2 ) correspondingly. It is easy to see that F ∈ Γ mean F = (F ∈ S −p,−q C P∞ −qn (n) 2 2 and kF k−p,−q = n=0 2 |F |−p < ∞. Let now M be a normal martingale having CRP and µ be a corresponding coloured noise measure on (S ′ , B(S ′ )) (we fix these objects until the end of this paper). Putting (Ω, F, P ) = (S ′ , B(S ′ ), µ) one can consider the space L2 (M) = L2 (S ′ , B(S ′ ), µ) =: (L2 ) of square integrable w.r.t. the coloured noise measure µ functions on S ′ as an image of Γ(L2 ) under the isomorphism IM (see (??)). So, ϕ ∈ (L2 ) if and only if (iff) it can be presented in a form ϕ=

∞ X

In (f (n) ; M),

(3)

n=0

b

f (n) ∈ HC⊗n and kϕk2(L2 ) =

∞ X n=0

n!|f (n) |20 < ∞.

It will be convenient to accept the following notation. By analogy with ’classical’ Gaussian and Poisson analysis we introduce Wick monomials b

h: ¦⊗n :, f (n) i := In (f (n) ; M), f (n) ∈ HC⊗n . b

It is easy to understand that for f (n) ∈ SC ⊗n the Wick monomial h: x⊗n :, f (n) i is a continuous b polynomial of the power n w.r.t. x ∈ S ′ ; for f (n) ∈ HC⊗n one can understand h: ¦⊗n :, f (n) i as a b (n) (n) limit in (L2 ) of a sequence of continuous polynomials h: ¦⊗n :, fk i, where SC ⊗n ∋ fk → f (n) b as k → ∞ in HC⊗n (see [?] for more details). Because the space Γ(S) is a subspace of Γ(L2 ), one can accept the following definition. Definition. We define a Kondratiev-type test functions space (S) as an image of the space Γ(S) under the isomorphism IM (see (??)). It means that ϕ ∈ (S) iff it can be presented in b form (??) with f (n) ∈ SC ⊗n and for all p, q ∈ N kϕk2p,q Now one can consider a rigging

:=

∞ X n=0

(n!)2 2qn |f (n) |2p < ∞.

(S ′ )′ ⊃ (L2 ) ⊃ (S),

(4)

where the space (S ′ )′ is the dual one to (S) w.r.t. (L2 ). Definition. We call the space (S ′ )′ from rigging (??) the Kondratiev-type generalized functions space. It is obvious that the spaces Γ(S ′ ) from rigging (??) and (S ′ )′ from rigging (??) are isomorphic by construction. Let us denote this isomorphism by IM and to accept the notation (S ′ )′ ∋ h:

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators ¦⊗n :, F (n) i := IM F (n) for F (n) ∈ SC ′ presented in a form

b ⊗n

51

. Now it is easy to see that Φ ∈ (S ′ )′ iff it can be

∞ X h: ¦⊗n :, F (n) i, Φ=

(5)

n=0

where the formal series converges in (S ′ )′ , i.e. there exist p, q ∈ N such that kΦk2−p,−q

:=

∞ X n=0

2−qn |F (n) |2−p < ∞. b ⊗n

Note that the generalized function h: ¦⊗n :, F (n) i, F (n) ∈ SC ′ can be constructed as a limit b (n) (n) in (S ′ )′ of a sequence of continuous polynomials h: ¦⊗n :, Fk i, where SC ⊗n ∋ Fk → F (n) as b ⊗n k → ∞ in SC ′ . Let us denote the (real) dual pairing between elements of (S ′ )′ and (S), which is generated by the scalar product in (L2 ), by hh·, ·ii. Then for Φ ∈ (S ′ )′ and ϕ ∈ (S) hhΦ, ϕii = b ⊗n

∞ X n=0

n!hF (n) , f (n) i,

b

where F (n) ∈ SC ′ , f (n) ∈ SC ⊗n are coefficients from decompositions (??) for Φ and (??) for ϕ. Following [?] (see also [?, ?]), we recall a definition of an extended stochastic integral in the coloured noise analysis. Let, at first, ϕ ∈ (L2 ) ⊗ HC+ , where HC+ := L2 (R+ )C ⊂ HC . Then (see (??)) ∞ X b ϕ· = In (f (n) (·); M), f (n) (·) ∈ HC⊗n ⊗ HC+ . n=0

b (n) ⊗(n+1) , t ∈ [0, ∞] the symmetrization of f (n) (·)1[0,t) (·) by n + 1 variables We denote by fb[0,t) ∈ HC (here 1[0,t) (s) denotes the indicator of {s ∈ [0, t)}).

Definition. Let ϕ ∈ (L2 ) ⊗ HC+ be such that ∞ X n=0

(n) (n + 1)!|fb[0,∞) |20 < ∞.

For any t ∈ [0, ∞] we define an extended stochastic integral Zt 0

b s := ϕs dM

∞ X n=0

(6) Rt 0

(n) In+1 (fb[0,t) ; M).

b s ∈ (L2 ) putting ϕs dM

(7)

Rt b s is a generalization of the Itˆo stochastic integral It is not difficult to prove that 0 ϕs dM w.r.t. the martingale M, i.e. if ϕ ∈ (L2 ) ⊗ HC+ is integrable in the Itˆo sense and (??) hold then Rt b s coincide with the Itˆo integral. The reader can find an analogous proof in, e.g., [?, ?], ϕ dM 0 s see also [?]. Let now Φ ∈ (S ′ )′ ⊗ HC+ . It follows from (??) that Φ· =

∞ X n=0

h: ¦⊗n :, F (n) (·)i, F (n) (·) ∈ SC ′

b ⊗n

⊗ HC+ .

(8)

52

Section 1. Spectral Problems

Definition. Let Φ ∈ (S ′ )′ ⊗ HC+ . For any t ∈ [0, ∞] we define an analog of the extended Rt b s ∈ (S ′ )′ putting stochastic integral 0 Φs dM Zt 0

b s := Φs dM

∞ X (n) h: ¦⊗(n+1) :, Fb[0,t) i,

(9)

n=0

b ⊗(n+1) (n) ∋ Fb[0,t) := P(F (n) (·)1[0,t) (·)), P denote the symmetrization operator, F (n) (·) where SC ′ are from decomposition (??) for Φ.

Further, we recall elements of a so-called Wick calculus (see, e.g., [?, ?, ?, ?]).

Definition. For Φ ∈ (S ′ )′ we define an S-transform (SΦ)(λ), λ ∈ U0 ⊂ SC , U0 is some neighborhood of 0 ∈ SC , putting (SΦ)(λ) :=

∞ X n=0

where F (n) ∈ SC ′

b ⊗n

hF (n) , λ⊗n i,

(10)

are the kernels from decomposition (??) for Φ.

The series in the right hand side of (??) converges in the algebra of germs of holomorphic at 0 ∈ SC functions Hol0 (SC ) (see, e.g., [?] for details). Moreover, by analogy with [?, ?, ?] one can prove the following characterization theorem. Theorem. The S-transform is a topological isomorphism between the spaces (S ′ )′ and Hol0 (SC ). Definition. For Φ, Ψ ∈ (S ′ )′ and a function G : C → C holomorphic at (SΦ)(0) we define a Wick product Φ♦Ψ ∈ (S ′ )′ and a Wick version G♦(Φ) ∈ (S ′ )′ putting Φ♦Ψ := S −1 (SΦSΨ); G♦(Φ) := S −1 G(SΦ). Note that for F (n) ∈ SC ′

b ⊗n

, H (m) ∈ SC ′

b ⊗m

b (m) i. h: ¦⊗n :, F (n) i♦h: ¦⊗m :, H (m) i = h: ¦⊗(n+m) :, F (n) ⊗H

(11)

Finally, let us recall briefly an interconnection between the Wick product and the analog of the extended stochastic integral (see, e.g., [?, ?, ?]). At first we recall that the normal martingale M can be presented in a form Mt = h: ¦ :, 1[0,t) i ∈ (L2 ), its distributional derivative Mt′ = h: ¦ :, δt i ∈ (S ′ )′ , where δt ∈ S ′ is a Dirac δ-function (see [?] for more details). Theorem. For any t ∈ [0, ∞] and Φ ∈ (S ′ )′ ⊗ HC+ the following relation holds: Zt 0

b s= Φs dM

Zt

Φs ♦Ms′ ds

0

≡

Zt

Φs ♦h: ¦ :, δs ids,

(12)

0

where the last integral in the right hand side is understanding in the Pettis sense, i.e. as a unique element from (S ′ )′ such that hh

Zt 0

Φs ♦h: ¦ :, δs ids, ϕii =

Zt 0

hhΦs ♦h: ¦ :, δs i, ϕiids, ∀ϕ ∈ (S).

53

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

2. A generalized Malliavin derivative on the square integrable functions space b ⊗(n−1)

b

Let n ∈ N, f (n) ∈ HC⊗n , g ∈ HC . We define a kernel f (n) (g) ≡ hf (n) , gi ∈ HC formula b ⊗(n−1) b hhf (n) , gi, φ(n−1) i ≡ hf (n) , φ(n−1) ⊗gi, ∀φ(n−1) ∈ HC . b

by the

b ⊗(n−1)

Proposition 1. ([?]) Let f (n) ∈ HC⊗n , n ≥ 1. Then there exists a unique f (n) (·) ∈ HC such that Z

⊗ HC

f (n) (s)g(s)ds = hf (n) , gi ∀g ∈ HC

(13)

R

and |f (n) (·)|H⊗(n−1) = |f (n) |0 . b ⊗H C

C

Here the integral in the left hand side of (??) is understanding in the sense that for any b ⊗(n−1) φ(n−1) ∈ HC Z Z (n) (n−1) h f (s)g(s)ds, φ i ≡ hf (n) (s), φ(n−1) ig(s)ds. R

R

b

Definition. Let ϕ ∈ (L2 ) and for the kernels f (n) ∈ HC⊗n from decomposition (??) the estimate ∞ X n=1

nn!|f (n) |20 < ∞

(14)

holds. We define a generalized Malliavin derivative ∂· ϕ ∈ (L2 ) ⊗ HC by the formula ∂· ϕ := b ⊗(n−1)

where f (n) (·) ∈ HC

∞ X

nIn−1 (f (n) (·); M),

n=1

⊗ HC constructed as in the Proposition starting from f (n) .

The correctness of this definition can be proved by a direct calculation of k∂· ϕk(L2 )⊗HC . Theorem 1. Let ϕ ∈ (L2 ), ψ ∈ (L2 ) ⊗ HC+ be such that either estimate (??) for ϕ holds or estimate (??) for ψ holds. Then we have the following duality relation between the generalized Malliavin derivative and the extended stochastic integration: E[ϕ

Zt 0

b s] = ψs dM

Zt

(15)

E[∂s ϕ · ψs ]ds, ∀t ∈ [0, ∞],

0

where Eϕ := hhϕ, 1ii denotes the expectation. The proof consists in a direct calculation (one can find a similar proof in [?]). Now let us introduce an alternative (and equivalent in a sense) definition of the generalized Malliavin derivative, which will be convenient for forthcoming generalizations. b

Definition. (cf. [?]) Let ϕ ∈ (L2 ) be such that for the kernels f (n) ∈ HC⊗n from decomposition (??) estimate (??) holds. We define a generalized Malliavin derivative (Dϕ)(◦) ∈ (L2 ) ⊗ HC by the formula ∞ X nIn−1 (f (n) (◦); M). (Dϕ)(◦) := n=1

54

Section 1. Spectral Problems

Hence, for φ =

P∞

(n) ; M) n=0 In (φ

∈ (L2 ) and g ∈ HC we have

hh(Dϕ)(g), φii =

∞ X n=1

b n!hf (n) , φ(n−1) ⊗gi.

One can prove the correctness of this definition by analogy with the corresponding proof for a ’Poisson case’ in [?]. Note that as it follows from (??) Z ∂s ϕ · g(s)ds = (Dϕ)(g) ∈ (L2 ) ∀g ∈ HC . (16) R

In this sense D is equivalent to ∂· , so the same title for these two operators is natural (cf. [?]). The statement of Theorem ?? can be reformulated ’in terms of D’. Theorem 2. Let ϕ, φ ∈ (L2 ), g ∈ HC+ be such that either estimate (??) for ϕ holds or estimate (??) for φ ⊗ g(·) holds. Then hhϕ,

Z∞ 0

b s ii = hhϕ, φ♦h: ¦ :, giii = hh(Dϕ)(g), φii. φ ⊗ g(s)dM

(17)

R∞ b s = φ♦h: ¦ :, gi, whence the Доказательство. It follows from (??), (??) that 0 φ ⊗ g(s)dM first equality in (??) follows. In order to obtain the second equality, one has to substitute ψ· = φ ⊗ g(·) in (??) and take into account (??). ¤ The following statement gives an explicit formula for coefficients of decomposition (??) in terms of D. b

Theorem 3. For any ϕ ∈ (L2 ) the coefficients ϕ(n) ∈ HC⊗n from decomposition (??) can be written in the form 1 f (n) = EDn ϕ. (18) n! Доказательство. Formula (??) follows by induction from (??), if we put φ ≡ 1.

¤

3. An extended generalized Malliavin derivative on the Kondratiev-type generalized functions space b ⊗n

Let n ∈ N, F (n) ∈ SC ′ , g ∈ SC . We define a kernel F (n) (g) ≡ hF (n) , gi ∈ SC ′ formula b b hhF (n) , gi, φ(n−1) i ≡ hF (n) , φ(n−1) ⊗gi, ∀φ(n−1) ∈ SC ⊗(n−1) .

b ⊗(n−1)

by the

Definition. Let Φ ∈ (S ′ )′ . We define an (extended) generalized Malliavin derivative (DΦ)(◦) ∈ (S ′ )′ ⊗ SC ′ by the formula (DΦ)(◦) :=

∞ X

nh: ¦⊗(n−1) :, F (n) (◦)i,

n=1

b ⊗(n−1)

b ⊗n

⊗ SC ′ constructed as above with using F (n) ∈ SC ′ where F (n) (◦) ∈ SC ′ P∞ decomposition (??) for Φ. Hence, for φ = n=0 In (φ(n) ; M) ∈ (S) and g ∈ SC we have hh(DΦ)(g), φii =

∞ X n=1

b n!hF (n) , φ(n−1) ⊗gi.

from

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

55

It is not difficult to calculate (see similar calculation in [?]) that for p, q ∈ N sufficiently large |hh(DΦ)(g), φii| ≤ |g|p kφkp,q kΦk−p,−(q−1) √32 2q/2−1 . So, this definition is correct and, moreover, as distinguished from the ’regular’ case considered in Section ?? now D is a linear continuous operator acting from (S ′ )′ to (S ′ )′ ⊗ SC ′ . Now there is no direct analog of Theorem ??, but we have the following statement (an analog of Theorem ??). Theorem. Let Φ ∈ (S ′ )′ , φ ∈ (S), g ∈ SC , g(s) = 0 if s < 0. There is the following duality relation between the generalized Malliavin derivative and the extended stochastic integration: Z∞ b s ii = hhΦ, φ♦h: ¦ :, giii = hh(DΦ)(g), φii. hhΦ, φ ⊗ g(s)dM (19) 0

Доказательство. The second equality from the representation ∞ X b = hhΦ, φ♦h: ¦ :, giii hh(DΦ)(g), φii = n!hF (n) , φ(n−1) ⊗gi n=1

R∞

b s = φ♦h: ¦ :, gi (see (??), (??)), the first pairing in (??) is follows; and because 0 φ ⊗ g(s)dM well-defined and the first equality holds. ¤ The forthcoming statement is an analog of Theorem ??.

b ⊗n

Theorem. For any Φ ∈ (S ′ )′ the coefficients F (n) ∈ SC ′ from decomposition (??) can be written in the form 1 F (n) = EDn Φ. n! For the proof it is sufficient to apply an induction to (??) putting φ ≡ 1. Now let us consider properties of D connected with a nature of (S ′ )′ . Let Dg be the operator of differentiation in a direction g ∈ SC on Hol0 (SC ). Theorem. The (extended) generalized Malliavin derivative of a generalized function Φ ∈ (S ′ )′ is a pre-image of the directional derivative of SΦ under the S-transform, i.e. (DΦ)(g) = S −1 Dg (SΦ).

(20)

The proof consists in a direct calculation of the right hand side of (??). Using (??) it is not difficult to obtain the following statement. Theorem. The operator D is a differentiation w.r.t. the Wick product, i.e. for any Φ, Ψ ∈ (S ′ )′ we have D(Φ♦Ψ) = (DΦ)♦Ψ + Φ♦(DΨ). (21) Доказательство. It follows from (??) that

D(Φ♦Ψ)(g) = S −1 (Dg (SΦ · SΨ)) = S −1 [(Dg (SΦ) · SΨ + SΦ · (Dg (SΨ)] = (DΦ)(g)♦Ψ + Φ♦(DΨ)(g).

¤ Corollary. For any n ∈ N, Φ ∈ (S ′ )′ , a function G : C → C holomorphic at (SΦ)(0) we have ♦

♦n

where Φ

D(Φ♦n) = nΦ♦(n−1)♦DΦ, DG♦(Φ) = G′ (Φ)♦DΦ, ′

:= |Φ♦ .{z . . ♦Φ}, G denotes the derivative of G. n times

The forthcoming statement is convenient for some applications.

(22)

56

Section 1. Spectral Problems

Theorem. Let Φ ∈ (S ′ )′ ⊗HC+ and for any g ∈ SC the element Φ· g(·) is integrable on R+ ∪{+∞} in the Pettis sense. Then for any t ∈ [0, ∞] Zt Zt Zt b s )(◦) = (DΦs )(◦)dM b s + Φs ◦ (s)ds. (D Φs dM (23) 0

0

0

The proof consists in a direct calculation with using (??) and (??). By analogy with [?, ?], as an application of our results we will calculate the generalized Malliavin derivative of the solution of a stochastic equation Zt ′ ′ b s, (S ) ∋ Φt = Φ0 + G♦(Φs )dM (24) 0

where G : C → C is some entire function, Φ0 ∈ C. Under certain conditions on G a unique solution of (??) Φt ∈ (S ′ )′ exists. Applying D to (??) and taking into account (??), (??) we obtain (cf. [?, ?]) ¡

(DΦt )(g) = D = ¡

Zt 0

Zt 0

¢ b s (g) G♦(Φs )dM

♦ b s+ G′ (Φs )♦(DΦs )(g)dM

Zt

(25)

G♦(Φs )g(s)ds.

0

¢ Let φgs (λ) := S (DΦs )(g) (λ). Applying S to (??) and taking into account (??) we obtain φgt (λ)

=

Zt 0

¢ G (SΦs )(λ) φgs (λ)λ(s)ds + ′

¡

Zt 0

¡ ¢ G (SΦs )(λ) g(s)ds.

The solution of this equation is Zt Zt ¡ ¢ ª ¡ ¢ © G′ (SΦu )(λ) λ(u)du ds. φgt (λ) = G (SΦs )(λ) g(s) · exp s

0

By the inverse S-transform we obtain Zt Zt © ª ♦ ♦ ♦ b u ds. (DΦt )(g) = G (Φs )g(s)♦ exp G′ (Φu )dM 0

(26)

s

By analogy with [?, ?] it is not difficult to show that the right hand side of (??) is well-defined in (S ′ )′ . References [1] Malliavin, P., Stochastic calculus of variations and hypoelliptic operators, In: International Symposium SDE, Kyoto, kinokumiya, Tokio, 1976, pp. 195–253. [2] Malliavin, P., Stochastic Analysis, Springer, 1997. [3] Nualart, D., Malliavin Calculus and Related Topics, Springer, Paris, 1995. [4] Benth, F. E., The Gross derivative of generalized random variables, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 1999, v. 2, Nr. 3 pp. 381–396. [5] Kachanovsky, N. A., A generalized Malliavin derivative connected with the Poisson- and Gamma-measures, Methods Funct. Anal. Topol. v. 9, Nr. 3, 2003, in print. [6] Us, G. F., Towards a coloured noise analysis, Methods Funct. Anal. Topol. v. 3, Nr. 2, 1997, pp. 83–99. [7] Meyer, P. A., Quantum Probability for Probabilists, Lect. Notes in Math., v. bf 1538, Springer–Verlag, 1993.

57

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

[8] Meyer, P. A., Un cours sur les int´egrales stochastiques, S´eminaire des Probabilit´es X, Lect. Notes in Math., v. 511, Springer–Verlag, 1976, pp. 245–400. [9] Az´ema, J., Yor, M., Etude d’une martingale remarquable, S´eminaire des Probabilit´es XXIII, Lect. Notes in Math., v. 1372, Springer–Verlag, 1989, pp. 88–130. ´ [10] Emery, M., On the Az´ema martingale, S´eminaire des Probabilit´es XXIII, Lect. Notes in Math., v. 1372, Springer–Verlag, 1989, pp. 66–87. [11] Kabanov, Yu. M., Skorokhod, A. V., Extended stochastic integrals, In: Proc. of the school–seminar on the theory of stoch. proc., Vilnus, Inst. of Physic and Mathematics, part I, 1975, pp. 123–167 (Russian). [12] Kachanovsky, N. A., On analog of stochastic integral and Wick calculus in non-Gaussian infinitedimensional analysis, Methods Funct. Anal. Topol. v. 3, Nr. 3, 1997, pp. 1–12. [13] Kondratiev, Yu. G., Leukert, P., Streit, L., Wick calculus in Gaussian analysis, Acta Appl. Math., vol. 44, 1996, pp. 269–294. [14] Kondratiev, Yu. G., Streit, L., Westerkamp, W., Yan, J., Generalized functions in infinite-dimensional analysis, Hiroshima Math. J. vol. 28, 1998, pp. 213–260. [15] Hida, T., Kuo, H.-H., Potthoff, J., Streit, L., White Noise: an Infinite Dimensional Calculus, Kluwer Academic Publishers, 1993.

N. A. Kachanovsky, Ph.D., Institute of Mathematics, Tereschenkovskaja street, 01601, GSP, Kiev, UKRAINE

Kiev,

3

E-mail: [email protected] Keywords: Malliavin derivative, stochastic integral, coloured noise, normal martingale, Kondratiev space, Wick calculus

58

Section 1. Spectral Problems

WEAK COERCIVITY OF SYSTEMS OF DIFFERENTIAL OPERATORS IN L1 AND L∞ D. V. Limansky, M. M. Malamud Donetsk National University Donetsk, Ukraine Keywords: System of differential operators, Sobolev space, weak coercivity, quasiellipticity

Weak coercivity criteria for systems of differential operators in the spaces L1 (Ω) and L∞ (Ω) are obtained. Also, we cite wide classes of weakly coercive nonelliptic systems of operators.

1. Introduction It is well known [?, ?, ?, ?] that the coercivity criterion for a system of differential operators o

l N {Pj (x, D)}N 1 of order l in the Sovolev spaces Wp (Ω) for p ∈ (1, ∞) is that the system {Pj (x, D)}1 o

is elliptic. In the case of anisotropic Sobolev spaces Wpl (Ω) and Wpl (Ω), coercivity criteria have been obtained by O. V. Besov [?, ?] for p ∈ (1, ∞) and by one of the authors [?, ?] for p = ∞. o

l Moreover the coercivity criterion in the isotropic (anisotropic) space W∞ (Ω) turns to be not connected with the ellipticity (l - quasiellipticity) of the system {Pj (x, D)}N 1 . On the other hand, K. de Leeuw and H. Mirkil [?] have proved that ellipticity of an operator l P1 (D) of order l is equivalent to its weak coercivity (see Definition ??) in W∞ (Rn ) whenever n ≥ 3. In this paper we show that under certain additional hypothesis weak coercivity of a system l n {Pj (D)}N 1 in the isotropic (anisotropic) space W∞ (R ) is equivalent to its ellipticity (l o

quasiellipticity). Besides, we show that coercivity conditions in Wpl (Ω) and Wpl (Ω), 1 < p < ∞, o

are also sufficient conditions for a weak coercivity in W1l (Ω) and W1l (Ω) respectively. We also l indicate wide classes of nonelliptic but weakly coercive systems in W∞ (Ω). Notation. Let R be the real numbers field, N be the set of natural numbers, Z+ := N ∪ {0}, Zn+ := Z+ × . . . × Z+ (n cofactors). Further, put Dk := −i∂/∂xk , D = (D1 , D2 , . . . , Dn ); and, finally, put Dα := D1α1 D2α2 . . . Dnαn for each multiindex α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Zn+ . 2. Estimates for a quasielliptic system in

Q

o (k)

W1l (Ω)

Let l = (l1 , . . . , ln ) (∈ Nn ) be a vector with natural components, α ∈ Zn+ and |α : l| = α1 /l1 + . . . + αn /ln . Let also mk ∈ N, l(k) = (mk l1 , . . . , mk ln ), k ∈ {1, . . . , M }, and Ω be an arbitrary domain in Rn . Q (k) Q l(k) Denote Wpl (Ω) := M (Ω) the anisotropic Sobolev space of vector-functions f = k=1 Wp P (f1 , . . . , fM ) with the norm kf kQ W l(k) := M k=1 kfk kWpl(k) (Ω). Consider the following system of p Q Q p differential operators {Pj (x, D)}N Lp (Ω) := M 1 in k=1 L (Ω): X X X Pj (x, D)f = Pjk (x, D)fk := ajkα (x)Dα fk . (1) 1≤k≤M

1≤k≤M |α:l(k) |≤1

P Further, let Pjk (x, D) := |α:l(k) |=1 ajkα (x)Dα be a principal part of the operator Pjk (x, D) and P Pjk (x, ξ) := |α:l(k) |=1 ajkα (x)ξ α be its principal l(k) - homogeneous symbol.

59

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

We recall that a system of differential operators {Pj (x, D)}N 1 of the form (??) is said to be l - quasielliptic if   P11 (x, ξ) P12 (x, ξ) . . . P1M (x, ξ) (x, ξ) ∈ Ω × (Rn \ {0}) . (2) rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = M, PN 1 (x, ξ) PN 2 (x, ξ) . . . PN M (x, ξ)

Definition 1. [?] A system of differential operators {Pj (x, D)}N 1 of the form (??) is called o ³ ´ Q (k) Q l(k) (strongly) coercive in the space Wpl (Ω) Wp (Ω) if the estimate M X X k=1

is valid for all f ∈ on f .

Q

|α:l(k) |≤1 o

(k)

Wpl

α

kD fk kLp ≤ C1

N X j=1

(3)

kPj (x, D)f kLp + C2 kf kLp

³ ´ Q (k) (Ω) f ∈ Wpl (Ω) , where constants C1 and C2 do not depend

It is well known [?, ?, ?, ?] that l - quasielliptic system of differential operators {Pj (x, D)}N 1 Q ol(k) of the form (??) with continuous coefficients is coercive in the anisotropic space Wp (Ω) whenever p ∈ (1, ∞). Definition 2. We call a system of differential operators {Pj (x, D)}N 1 of the form (??) weakly ³Q ´ Q ol(k) (k) coercive in the space Wp (Ω) Wpl (Ω) if the estimate M X X

k=1 |α:l(k) |<1

kDα fk kLp ≤ C1

N X j=1

kPj (x, D)f kLp + C2 kf kLp

holds true in place of stronger estimate (??). Here constants C1 and C2 are independent of ³Q ´ Q ol(k) l(k) f ∈ Wp (Ω) Wp (Ω) . In the case of Sobolev spaces is true.

Q

o

(k)

W1l (Ω) and

Q

o

(k)

l W∞ (Ω), the following more weaker result

Theorem 1. Let {Pj (x, D)}N 1 be a l - quasielliptic system of operators of the form (??). If ∞ ajkα (x) ∈ L (Ω) and ajkα ∈ C(Ω) for |α : l| = 1, j ∈ {1, . . . , N } then for every ε > 0 there exists a constant C(ε) not depending on p ∈ [1, ∞] such that the estimate M X X

k=1 |α:l|<1

α

kD f kLp ≤ ε

N X j=1

kPj (x, D)f kLp + C(ε)kf kLp ,

f∈

Y

o (k) Wpl

(4)

(Ω)

holds true. In particular, l - quasielliptic system {Pj (x, D)}N 1 of the form (??) is weakly coercive o o Q (k) Q l(k) in the spaces W1l (Ω) and W∞ (Ω).

Remark 1. a) Estimate (??) is well known for p ∈ (1, ∞) (see, for example, [?]). It has been proved for p = ∞ by means of other techniques in [?]. Our proof (in the case of constantcoefficient operators) is based on a theorem on multipliers in L1 being an analogue of the known Mikhlin — Lizorkin theorem on multipliers in Lp for 1 < p < ∞ (see [?, ?, ?]). b) Note also that a l - quasielliptic system o k

{Pj (x, D)}N 1

is, in general, not coercive in o

o (k) W1l (Ω)

l and W∞ (Ω). Indeed, the system {D12 , D22 } is elliptic but not coercive in W12 (Ω) (see [?, ?]).

60

Section 1. Spectral Problems 3. Weak coercivity conditions in the space

Q

Q

W1l

(k)

(Ω)

(k)

The coercivity criterion for a system {Pj (x, D)}N Wpl (Ω) for p ∈ (1, ∞) 1 in the spaces Q l(k) Q ol(k) (Ω) it (Ω) and W∞ has been found by O. V. Besov [?, ?], and in the case of spaces W∞ has been found by one of the authors [?, ?]. It seems to us that the same (as in [?, ?]) criteria Q (k) Q ol(k) are valid for the spaces W1 (Ω) and W1l (Ω) but we haven’t proved this yet. (k) In this section we demonstrate that coercivity conditions in the spaces ΠWpl (Ω) for p ∈ (k) (1, ∞) are also sufficient (but not necessary) ones for weak coercivity in ΠW1l (Ω).

Theorem 2. Let Ω be a bounded domain in Rn satisfying a 1/l - horn condition (see [?]), and ∂Ω be its boundary. Let also {Pj (x, D)}N 1 be a system of differential operators of the form (??) ∞ with coefficients ajkα ∈ L (Ω), and ajkα ∈ C(Ω) for |α : l| = 1, j ∈ {1, . . . , N }, k ∈ {1, . . . , M }. Then the validity of both condition (??) and the condition   P11 (x, z) P12 (x, z) . . . P1M (x, z) (x, z) ∈ ∂Ω × (Cn \ {0}) (5) rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = M, PN 1 (x, z) PN 2 (x, z) . . . PN M (x, z) Q l(k) is sufficient for the system {Pj (x, D)}N Wp (Ω) whenever 1 to be weakly coercive in the space p ∈ [1, ∞]. Q l(k) In particular, the system {Pj (x, D)}N Wp (Ω) for p ∈ [1, ∞] if 1 is weakly coercive in condition (??) holds true with Ω instead of ∂Ω. l 4. Weak coercivity criterion in W∞ (Rn ). Isotropic case

In this section we consider a system {Pj (x, D)}N 1 of constant-coefficient differential operators of the form X Pj (D) = ajα Dα , j ∈ {1, . . . , N }, (6) |α|≤l

i. e., system (??) for M = 1 and l1 = . . . = ln = l. It is well known (see, for instance, [?]) that a system of operators {Pj (D)}N 1 of the form (??) o

is coercive in Wpl (Ω) for some p ∈ (1, ∞) iff it is elliptic, i. e., P

(P1l (ξ), . . . , PNl (ξ)) 6= 0,

ξ ∈ Rn \ {0},

(7)

with = |α|=l ajα ξ be (principal) symbol of the operator Pj (D). De Leeuw and Mirkil [?] have obtained the following characterization of elliptic operators. Pjl (ξ)

α

Theorem 3. [?] For n ≥ 3, the ellipticity of a differential operator P (D) is equivalent to its l weak coercivity in W∞ (Rn ).

The condition n ≥ 3 is essential for validity of Theorem ??. Namely, Malgrange (see [?]) has 2 shown that the operator (D1 + i)(D2 + i) is weakly coercive in W∞ (R2 ) but is not elliptic. N In [?, ?], it has been shown that an elliptic system {Pj (x, D)}1 of the form (??)-(??) is weakly l coercive in W∞ (Rn ) (see also Theorem ?? for M = 1). Under some restrictions, the following l theorem converts this statement and hence yields a weak coercivity criterion in W∞ (Rn ).

Theorem 4. Let {Pj (D)}N 1 be a system of operators of the form (??) satisfying the next conditions: 1) n ≥ 2N + 1; n 2) polynomials {Pjl (ξ)}N 1 being restricted to an arbitrary two-dimensional subspace of R are linearly independent. l n Then the system {Pj (D)}N 1 is weakly coercive in the isotropic Sobolev space W∞ (R ) iff it is elliptic.

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

61

l The following theorem describes a wide class of weakly coercive in W∞ (Rn ) but nonelliptic systems.

Theorem 5. Let Ω be an arbitrary domain in Rn , and let {Pj (D)}N 1 be elliptic system of order l. Let also Rkm (D) := (Dk + i)(Dm + i). Then the system {Pj (D)Rkm (D) : j ∈ {1, . . . , N }; k, m ∈ {1, . . . , n}} is weakly coercive in o

l+2 W∞ (Ω) but is nonelliptic.

Corollary 1. Consider an elliptic operator P (D1 , D2 ). Then the operator P (D1 , D2 )(D1 + l+2 i)(D2 + i) is weakly coercive in W∞ (R2 ) but is nonelliptic. Remark 2. a) Theorem ?? generalizes the result of de Leeuw and Mirkil [?] mentioned above and coincides with it for N = 1. Indeed, it is easy to show that for N = 1 condition 2) of l Theorem ?? is fulfilled if P is weakly coercive in W∞ (Rn ). b) Condition 2) is essential for Theorem ?? to be true. Say, systems {R12 (D), R34 (D)} and 2 {R12 (D), D32 + D42 } are weakly coercive in W∞ (R4 ) but are not elliptic. At the same time both conditions 1) and 2) are not necessary. In fact, the system {D12 + 2 D22 , D32 + D42 } is elliptic in W∞ (R4 ) but both conditions 1) and 2) are violated. We do not know any examples of weakly coercive nonelliptic systems for which condition 2) holds true but condition 1) does not. c) Conditions of Theorem ?? are exact. More precisely, we can prove that the system {Pj (D)Rkm (D) : j ∈ {1, . . . , N }; k, m ∈ {1, . . . , n}} is no longer to be coercive in whenever any operator is eliminated from this system.

o l+2 W∞ (Ω)

l 5. Weak coercivity criteria in W∞ (Rn ). Anisotropic case

As above, let l = (l1 , . . . , ln ) ∈ Nn . In this section we consider a system of differential polynomials {Pj (D)}N 1 of the form X Pj (D) = ajα Dα , j ∈ {1, . . . , N }, (8) |α:l|≤1

i. e., a constant-coefficient system of operators of the form (??) with M = 1. A system of o

l operators {Pj (D)}N 1 of the form (??) is coercive in Wp (Ω) for some p ∈ (1, ∞) iff it is l quasielliptic [?], i. e., if

P

(P1l (ξ), . . . , PNl (ξ)) 6= 0,

ξ ∈ Rn \ {0},

(9)

with Pjl (ξ) = |α:l|=1 ajα ξ α be (principal) l - homogeneous symbol of the operator Pj (D). P Note that the system {Pj (D)}N 1 is certainly l- quasielliptic if the polynomial j λj Pj is lN N quasielliptic for some vector {λj }1 (∈ C ). But such cases are exceptional. For instance, the system {P1 (D), P2 (D)} := {(D1 + iD2 )3 , (D3 + iD4 )2 } is l - quasielliptic for l = (3, 3, 2, 2) though a polynomial λ1 P1 + λ2 P2 is not l - quasielliptic for any vector {λj }21 ∈ C2 . Now we present necessary conditions (as well as criteria) of weak coercivity of system (??) l (Rn ). in the anisotropic Sobolev space W∞ Without loss of generality it can be assumed that l1 ≥ l2 ≥ . . . ≥ ln . Let us split numbers {lj }n1 into m groups, with equal numbers within each group. Let a k - th group contains nk P numbers, n1 + . . . + nm = n. We introduce the additional notation: u0 := 0, uk := ki=1 ni ; k ∈ {1, . . . , m} such that a k - th group contains numbers luk−1 +1 , . . . , luk . According to this splitting, the space Rn can be expanded in the direct sum of subspaces Rn = ⊕m Ek , Ek := {(xu +1 , . . . , xu ) ∈ Rnk } ∼ (10) = Rnk . k=1

k−1

In the isotropic case, m = 1 and E1 = R . n

k

62

Section 1. Spectral Problems

Note that the definition of l - quasielliptic system, in contrast to the elliptic system definition, essentially depends on the choice of coordinate system and is not invariant under the action of divisible linear group GL(n, R). However it is certainly invariant under the action of the subgroup GL(n1 , R) × . . . × GL(nm , R) of the group GL(n, R). Definition 3. A linear subspace E (⊂ Rn ) is called coordinate if it has the form E = {x = (x1 , . . . , xn ) : xi1 = . . . = xik = 0} for some i1 , . . . , ik ∈ {1, . . . , n}.

Let P (ξ)⌈E be a restriction of a polynomial P (ξ) to a coordinate subspace E, and let P (D)⌈E be the corresponding operator.

Theorem 6. Let l1 ≥ l2 ≥ . . . ≥ ln . If a system of operators {Pj (D)}N 1 of the form (??) is l - quasielliptic then the polynomial system {Pj (ξ)⌈Ek }N k ∈ {1, . . . , m}. (11) 1 is lnk − elliptic, ¡ ¢ Here lnk := luk−1 +1 , . . . , luk is the "restriction"of the vector l to Ek . Inversely, if the system {Pj (D)}N 1 is weakly l - coercive in the anisotropic Sobolev space l n W∞ (R ) and condition (??) holds true then it is l - quasielliptic. Corollary 2. Let l1 > l2 > . . . > ln , and let for every k ∈ {1, . . . , n} we have ¡ ¢ rank P1l (0, . . . , 0, ξk , 0, . . . , 0), . . . , PNl (0, . . . , 0, ξk , 0, . . . , 0) = 1, ξk 6= 0.

l Then the system (??) is weakly coercive in W∞ (Rn ) iff it is l - quasielliptic.

Next lemmas sometimes simplify the verification of condition (??).

Lemma 1. Let E be a coordinate subspace in Rn . If a system {Pj (D)}N 1 is weakly coercive l n N l′ in W∞ (R ) then the system {Pj (D)⌈E}1 remains weakly coercive in W∞ (Rn ), where l′ is the corresponding "restriction"of the vector l. P α Lemma 2. Let l = (l1 , l2 ), l1 > l2 , and let the operator P (D) = |α:l|≤1 aα D be weakly l coercive in W∞ (R2 ). Then: a) al1 0 6= 0, i. e., P l (1, 0) 6= 0; b) if, in addition, l2 does not divide l1 then a0l2 6= 0, i. e., P l (0, 1) 6= 0. The proof of Lemma ?? is based on Theorem 3 from [?].

Proposition 1. Let l1 ≥ l2 ≥ . . . ≥ ln , and let either in the decomposition (??) nm ≥ 3, or lm does not divide at least one of the numbers lj , with j ∈ {1, . . . , m − 1}. Then an operator l P (D) of the form (??) is weakly coercive in W∞ (Rn ) iff it is l - quasielliptic.

Proof. i) Let us show that in the case N = 1 condition (??) holds true for all k ∈ {1, . . . , m − 1}. Let, for example, it is violated for some k = r ∈ {1, . . . , m − 1}. Then making (if necessary) change of variables in the polynomial Pr (ξur−1 +1 , . . . , ξur ) := P (ξ)⌈Er we can assume that the polynomial Pr (ξ) (and hence P (ξ)) does not contain the l monomial ξuurr . Let, further, Q(ξur , ξur+1 ) be the restriction of the polynomial P (ξ) to twodimensional subspace E = span{ξur , ξur +1 }. By Lemma ??, the operator Q(Dur , Dur +1 ) is l′ (R2 ), with l′ = (lur , lur +1 ). According to Lemma ??, it follows that the weakly coercive in W∞ l monomial ξuurr comes in the polynomial Q(ξur , ξur +1 ) with nonzero coefficient. Contradiction. ii) If nm ≥ 3 then P (ξ)⌈Em is elliptic by Lemma ?? and Theorem ??. Then condition (??) is fulfilled for k = m too. It remains to apply Theorem ??. iii) Let now nm = 2 but the polynomial P˜ (ξn−1 , ξn ) = P (ξ)⌈Em is nonelliptic. As above, we can suppose that it does not contain the monomial ξnln . If, for instance, lm does not divide lr then we consider a polynomial Q(ξur , ξn ) being the restriction of P (ξ) to two-dimensional subspace l′ E = span{ξur , ξn }. By Lemma ??, the operator Q(Dur , Dn ) is weakly coercive in W∞ (R2 ), with l′ := (lur , ln ). But this contradicts Lemma ??. It follows that P˜ (ξn−1 , ξn ) is elliptic.

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

63

Proposition is proved. ¤ The other proof of Proposition ?? has recently been obtained by one of the authors [?]. We clarify Proposition ?? by consideration the case n = 2. Corollary 3. Let n = 2, l := (l1 , l2 ), l1 > l2 and P (D) := P1 (D) be an operator of the form (??). If l2 does not divide l1 then weak l - coercivity of the operator P (D) is equivalent to its l - quasiellipticity. The following proposition shows that the condition of Corollary ?? cannot be strengthened. P α Proposition 2. Let l = (km, k), m ≥ 1, and let an operator P (D) = |α:l|≤1 aα D be l′ l - quasielliptic. Then the operator D1m P (D) is weakly l′ - coercive in W∞ (R2 ), with l′ := ((k + 1)m, k + 1). Remark 3. For N > 1, unlike the case N = 1, condition (??) does not follow from weak l - coercivity of a system {Pj (D)}N 1 even in the homogeneous case. For example, if l = (3, 3) l then the system {D13 , D22 } is weakly coercive in W∞ (R2 ) but is nonelliptic. Less trivial example of this type is given by the system {D15 + iD23 , D32 , D13 D3 } that is not l - quasielliptic for l l = (5, 3, 3) but is weakly l - coercive in W∞ (R3 ). "Explicit"conditions for N > 1 that provide condition (??) with weak l - coercivity and hence yield l - quasiellipticity of the system {Pj (D)}N 1 , are of interest. References [1] Berezanskiˇi Yu. M., Expansion in eigenfunctions of selfadjoint operators. "Naukova Dumka", Kiev, 1965; English transl., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1968. [2] Besov O. V., On coercivity in nonisotropic Sobolev spaces // Math. Sb. 73 (115) (1967), 585-599, English transl. in Math. USSR Sb. 2 (1967). [3] Besov O. V., Il’in V. P., and Nikol’skiˇi S. M., Integral Representations of Functions and Embedding Theorems. M., Nauka, 1996. (Russian) [4] Volevich L. R., Local properties of solutions of quasielliptic systems // Math. Sb. Vol. 59 (101), 1962. 3-52 (Russian) [5] De Leeuw K., Mirkil H., A priori estimates for differential operators in L∞ norm // Illinois J. Math., 1964. 8, 112-124. [6] Limansky D. V., On subordinated conditions for systems of minimal differential operators in the space L∞ (Rn ) // Matem. Zametki. 75, 6 (2004). [7] Lizorkin P. I., Generalized Liouville differentiation and the function spaces Lp (En ). Imbedding theorems // Mat. Sbornik. Vol. 60 (1963), pp. 325-353. (Russian) [8] Malamud M. M., An estimate for differential operators in the uniform norm, and coercitivity in Sobolev space // Soviet. Math. Dokl. 37, 1 (1988), 25–29. (Russian) [9] Malamud M. M., Estimates for systems of minimal and maximal differential operators in Lp (Ω) // Trans. Moscow Math. Soc. 56 (1995), 206-261. [10] Mikhlin S. G., On multipliers of Fourier integrals // Soviet. Math. Dokl. 109, 4 (1956), 701-703. (Russian) [11] Ornstein D., A non-equality for differential operators in the L1 norm // Arch. Rational Mech. Anal. 11 (1962), 40–49.

Limansky D. V., Assistant Professor; Malamud M. M., Associate Professor; Universitetskaya 24, Math. Dept., Donetsk National University, Donetsk, 83055, Ukraine E-mail: [email protected]; [email protected] Д. В. Лиманский, М. М. Маламуд О слабой коэрцитивности систем дифференциальных операторов в L1 и L∞ В статье получены критерии слабой коэрцитивности для систем дифференциальных операторов в пространствах L1 (Ω) и L∞ (Ω). Мы также указываем широкие классы слабо коэрцитивных неэллиптических систем операторов.

64

Section 1. Spectral Problems

ON SIMILARITY OF CONVOLUTION VOLTERRA OPERATORS IN SOBOLEV SPACES G. S. Romashchenko Donetsk National University Donetsk, Ukraine Keywords: Similarity, Volterra operator, Convolution operator, Integration operator, Sobolev space

We present some necessary and sufficient conditions for Volterra operators to be similar to the fractional integration operator in Sobolev spaces. Some criteria of similarity are also obtained. В работе получены необходимые и достаточные условия подобия вольтерровых операторов степеням оператора интегрирования в пространстве Соболева. Также получен критерий подобия.

1. Introduction. Recall that two bounded linear operators A and B acting in a Banach space X are called similar if there exists a bounded operator T with bounded inverse such that T AT −1 = B. Here we consider the similarity of a Volterra operator K Zx K : f → K(x − t)f (t) dt (1) 0 α

to the operator of fractional integration J Zx (x − t)α−1 Jα : f → f (t) dt, Γ(α)

(2)

α ∈ R+

0

in the Sobolev spaces Wps [0, 1], 1 ≤ p ≤ +∞, s > 0. Similarity of a Volterra operator to the integration operator J and its positive integer powers n J in the spaces Lp [0, 1] has been investigated in numerous papers [?] - [?], [?] - [?] starting from works of G. K. Kalish [?] and L. A. Sakhnovich [?]. First results on similarity in Lp [0, 1] of a convolution Volterra operator K to the operator (??) with arbitrary positive (noninteger) α have been obtained by R. Frankfurt and J. Rovnyak [?], [?]. M. M. Malamud [?] has improved their (sufficient) results and obtained criteria of similarity between the operators K and J α in Lp [0, 1]. He has also obtained (see [?]) sufficient conditions for a nonconvolution Volterra operator K to be similar in Lp [0, 1] to the operator (??). In the present paper, we obtain necessary and sufficient conditions for a Volterra operator to be similar to J α (α ∈ R+ ) in Wps [0, 1] (s > 0) using the method from [?]. Here Wpn [0, 1] stands for the Sobolev space, and f ∈ Wpn [0, 1] if f has n − 1 absolutely continuous derivatives and f (n) ∈ Lp [0, 1]. Let s ∈ R+ , s = [s] + ε, and also Wps [0, 1] (1 ≤ p ≤ +∞) stand for the Sobolev space, [s] namely: f ∈ Wps [0, 1] whenever f ∈ Wp [0, 1] and 1/p  1 Z Z1 ([s]) ([s]) p |f (x) − f (y)| dy  < +∞ 1 ≤ p < +∞ hf ([s]) ip,ε =  dx |x − y|1+pε 0

0

hf ([s]) i∞,ε = ess supx,y∈[0,1],x6=y

is fulfilled for the derivative f ([s]) of order [s].

|f ([s]) (x) − f ([s]) (y)| |x − y|ε

p = +∞

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

65

s Let C0∞ [0, 1] = {f ∈ C ∞ [0, 1] : f (j) (0) = 0, j ∈ Z+ }. We denote by Wp,0 [0, 1] the closure of ∞ s the lineal C0 [0, 1] in Wp [0, 1].

2. Preliminaries. Lemma 1. Let K(·), Km (·) ∈ Wpn−1 [0, 1]∩W12 [0, 1], and let them generate in Wpn [0, 1] operators K and Km by (??), and K(0) = Km (0) = 1. Let also kKm − KkWpn−1 [0,1] → 0 as m → ∞. Then there exists a sequence Vm of the transformation operators (Vm−1 Km Vm = J) such that limm→∞ kVm − V kWpn [0,1] = 0, where V is the transformation operator for K, i. e., V −1 KV = J. Lemma 2. Let f (x) ∈ Wpn [0, 1], and let αm = pm /qm be a sequence of real numbers such that αm → α > 0 as m → ∞. Then for all m the equation pm X

Cpl m

l=2

Zx Zs1 0

qm

=

X j=2

Cqjm

0

sl−2 Z ··· u(x − s1 )u(s1 − s2 ) · · · u(sl−1 )dsl−1 · · · ds1 + pm um (x) = 0

Zx Zs1 0

0

sj−2 Z ··· f (x − s1 )f (s1 − s2 ) · · · f (sj−1 )dsj−1 · · · ds1 + qm f (x)

(3)

0

has a unique solution um (x) ∈ Wpn [0, 1], while lim kun − um kWpn [0,1] = 0.

m,n→∞

(4)

3. Similarity of K and J. First we consider the case of the Sobolev space Wpn [0, 1] with n ≥ 3. Theorem 1. Let K be an operator of the form (??) with the kernel K(·) satisfying the following conditions: 1. K(0) = 1; 2. K(·) ∈ Wpn−1 [0, 1] (if n ≥ 3). Then the operator K is similar to the integration operator J in the spaces Wpn [0, 1], p ∈ [1, +∞]. Following proposition gives us necessary condition for similarity. Proposition 1. Let the convolution operator K is bounded in Wpn [0, 1]. Then K(·) ∈ Wpn−1 [0, 1]. Combining Theorem ?? with Proposition ?? one obtains the similarity criteria. Theorem 2. Let K be an operator of the form (??) with the kernel K(x − t), and K(0) = 1. Then the operator K is similar to the integration operator J in the spaces Wpn [0, 1] (n ≥ 3) iff K(·) ∈ Wpn−1 [0, 1]. Theorem ?? immediately yields Corollary 1. The operator ¸ Zx · (x − t)α−1 (J + J ) : f → 1+ f (t) dt Γ(α) α

0

is similar to the operator J in Wpn [0, 1] (n ≥ 3) if and only if α > n − p1 . Now we consider the case of the Sobolev space Wpn [0, 1] with n ∈ {1, 2}.

(5)

66

Section 1. Spectral Problems

Theorem 3. Let K be an operator of the form (??) with the kernel K(·) satisfying the following conditions: 1. K(0) = 1; 2. K(·) ∈ W12 [0, 1]. Then the operator K is similar to the integration operator J in the spaces Wpn [0, 1], p ∈ [1, +∞], n ∈ {1, 2}.

Proposition 2. Let the kernel K(·) ∈ Wp1 [0, 1] satisfy the following conditions: K(0) = 0; K ′ (·) ≥ 0 for almost all x ∈ [0, 1]; K ′ (·) is not bounded in a neighbourhood of zero and does not increase on [0, 1]. Then the operator Zx (J + K) : f → [1 + K(x − t)]f (t) dt (6) 0

is not similar to the operator J in the spaces Wpn [0, 1] for each p ∈ [1, +∞], n ∈ {1, 2}. The proof of proposition is presented in [?]. Both Proposition ?? and Theorem ?? imply Corollary 2. The operator J + J α is similar to the operator J in Wpn [0, 1] (n ∈ {1, 2}) iff α ≥ 2. Corollary 3. For an operator Zx · Fα : f → 1 + (x − t) lnα 0

¸ a f (t) dt x−t

(a > 1),

(7)

to be similar to the integration operator J in Wpn [0, 1] (n ∈ {1, 2}) it is necessary and sufficient that α ≤ 0.

Remark 4. (i) Note that in the case n ≥ 3 the boundary value of α for similarity J + J α and J in the Sobolev spaces Wpn [0, 1] coincides with the embedding index of the space Wpn [0, 1] in C k [0, 1]. (ii) In the case n = 0, i. e., for the space Lp [0, 1] Theorem ?? and Proposition ?? have been obtained by M. M. Malamud [?] earlier. Note that the conditions on K(·) for similarity in the spaces Lp [0, 1], Wp1 [0, 1] and Wp2 [0, 1] are the same. 4. Similarity of K and J α . At first we consider sufficient conditions. The proof of the following theorem is based on Lemma ?? with pm = m and qm = 1. Theorem 4. Let the function K(·) ∈ Wpn+m−2 [0, 1] and K(0) = K ′ (0) = · · · = K (m−2) (0) = 0, while K (m−1) (0) = 1. Then there exists a function H(t) ∈ Wpn−1 [0, 1] such that the operator H:f →

Zx

H(x − t)f (t) dt

(8)

0

acting in

Wpn [0, 1],

p ∈ [1, +∞] satisfies the condition H m = K, where H(0) = 1.

Following theorem easily follows from Theorems ?? and ??.

Theorem 5. Let K be an operator of the form (??) with the kernel K(·) ∈ Wpn+m−2 [0, 1] satisfying K(0) = · · · = K (m−2) (0) = 0, K (m−1) (0) = 1. Then the operator K is similar to the operator J m in the spaces Wpn [0, 1] for p ∈ [1, +∞], m + n ≥ 4.

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

67

α Theorem 6. Let K(·) ∈ Wpα+n−2 [0, 1] ∩ Wp,0 [0, 1], either α > n − p1 or α ∈ N. Then the operator Zx Zx 1 α−1 α (x − t) f (t) dt + K(x − t)f (t) dt (9) J +K :f → Γ(α) 0

0

is similar to the operator J α in the Sobolev spaces Wpn [0, 1], p ∈ [1, +∞], α + n ≥ 4.

The proof is similar to that of Theorem 2 in [?]. At first we use Lemma ?? and Theorem ?? for rational α. Then we choose a sequence of rational αl → α for irrational α and construct a sequence of operators J αl + Pl converging to the operator J α + K as l → ∞. Afterward we apply Lemma ?? for the sequence J αl + Pl . We consider the case α + s ≥ 4 separately.

α Theorem 7. Let K(·) ∈ Wpα+s−2 [0, 1]∩Wp,0 [0, 1], either α > s− p1 or α ∈ N. Then the operator

1 J +K :f → Γ(α) α

Zx

α−1

(x − t)

f (t) dt +

0

α

is similar to the operator J in the Sobolev spaces

Zx

K(x − t)f (t) dt

0 s Wp [0, 1], p

(10)

∈ [1, +∞], α + s ≥ 4.

In the following theorem we consider the case 0 < α + s < 4. α Theorem 8. Let K(·) ∈ W12 [0, 1] ∩ Wp,0 [0, 1], either α > s −

1 Jα + K : f → Γ(α)

Zx

(x − t)α−1 f (t) dt +

0

α

is similar to the operator J in the Sobolev spaces

Zx

0 s Wp [0, 1],

To prove this, we use dense embeddings

1 p

or α ∈ N. Then the operator

K(x − t)f (t) dt

p ∈ [1, +∞], 0 < α + s < 4.

[s]

[s]+1

(11)

s [0, 1] ⊂ Wp,0 [0, 1]. Wp,0 [0, 1] ⊂ Wp,0

(12)

n Then we reduce the proof to the case of space Wp,0 [0, 1] with n ∈ N.

Example 1. Let p ∈ [1, +∞] and α > s − α

β

(J + J ) : f →

Zx · 0

to be similar to the operator J in α

Wps [0, 1]

1 p

or α ∈ N. For an operator

¸ (x − t)α−1 (x − t)β−1 f (t) dt + Γ(α) Γ(β)

(13)

it is sufficient that β > max{α+1− p1 , α+s−1− p1 , 2}.

5. Necessary conditions for similarity of K and J α . Proposition 3. Let the convolution operator K is bounded in Wps [0, 1]. Then the kernel K(·) belongs to the space Wps−1 [0, 1]. Example 2. Let p ∈ [1, +∞] and α > s − in Wps [0, 1].

1 p

or α ∈ N. Then the operator J α (??) is bounded

Theorem 9. Let K1 (x) ≥ 0, x ∈ [0, 1] not increase and be not bounded on some segment [0, ε], and K2 (x, t) ≥ 0. Then the operator Zx 1 α [(x − t)α−1 + (x − t)α K1 (x − t) + K2 (x, t)]f (t)dt α>0 (14) (J + K) : f → Γ(α) 0

is not similar to the operator J α in the space Wps [0, 1], s > 0.

68

Section 1. Spectral Problems

Example 3. Let p ∈ [1, +∞] and α > s − p1 or α ∈ N. Then the operator J α + J β of the form (??) is not similar to the operator J α in Wps [0, 1] if β < α + 1. Theorems ?? and ?? together imply Corollary 4. Let the following conditions hold true. α 1. K(·) ∈ Wp,0 [0, 1] and K (α) (·) ∈ Wp1 [ε, 1] for all ε > 0. 2. K(x) ≥ 0, x ∈ [0, 1] does not increase on some segment [0, ε] and is not bounded on it. Then for similarity of the operator J α + K of the form (??) and the operator J α in Wps [0, 1] (s ≤ 3) it is necessary and sufficient that K(·) ∈ Wpα+1 [0, 1]. Remark 5. Similar operators have equivalent geometrical structure. So as a corollary of similarity of the operators K and J α we obtain a description (see [?]) the lattices Lat K and Hyplat K of invariant and hyperinvariant subspaces of the operator K in Wps [0, 1], (1 ≤ p < +∞). We also investigate the operator algebras Alg K, commutant {K}′ and double commutant {K}′′ of the operator K being similar to J α in Wps [0, 1], (1 ≤ p < +∞).

Remark 6. I. Domanov and M. Malamud [?] have described the lattices Lat Jnα and Hyplat Jnα of invariant and hyperinvariant subspaces of the operator Jnα defined on Wpn [0, 1] and investigated the operator algebras Alg Jnα , commutant {Jnα }′ and double commutant {Jnα }′′ . References [1] Domanov I. Yu., Malamud M. M. Invariant and hyperinvariant subspaces of an operator J α and related operator algebras in Sobolev spaces. // Lin. Alg. App., - 2002. - v. 348, № 1-3. - P. 209–230. [2] Dud’eva G. S. On Similarity of Volterra Operators in Sobolev Spaces. // MFAT, - 1999. - v. 5, № 2. - P. 1–11. [3] Spectral analysis of finite convolution operators. // Trans. Amer. Math. Soc. - 1975. - v. 214. - P. 279–301. [4] Frankfurt R. and Rovnyak J. Finite convolution operators. // J. Math. Anal. Appl. - 1975. - v. 49. - P. 347–374. Rx [5] Freeman J. M. Volterra operators similar to J : f → 0 f (t)dt. // Trans. Amer. Math. Soc. - 1965. - v. 116, № 4. - P. 181–192. [6] Gubreev G. M. On a class of unconditional bases in Hilbert spaces and the problem of similarity of dissipative Volterra operators. // Mat. Sb. - 1992. - v. 183, №9. - P. 105–146. [7] Hill L. T. Spectral analysis of finite convolution operators with matrix kernels. // Integral Equations and Operator Theory. - 1980. - v. 3/1, P. 62–96. [8] Kalisch G. K. On similarity, reducing manifolds and unitary equivalence of certain Volterra operators. // Ann. of Math. - 1957. - v. 66, № 3. - P. 481–494. [9] Kalisch G. K. On similarity invariants of certain operators in Lp . // Pacific J. Math. - 1961. - v. 11. - P. 247–252. [10] Kalmushevskii I. I. On linear equivalence of Volterra operators. // Uspechi Mat. Nauk - 1965. - v. 6, 20. P. 181–192. [11] Malamud M. M. Spectral analysis of Volterra operators with kernel, depending on the difference of the arguments. // Ukrain. Mat. Zh. - 1980. - v. 32, № 5. - P. 601–609. [12] Malamud M. M. Spectral Analysis of Volterra Operators and Related Questions of the Theory of differential equation of fractional order. // Trans. Moscow Math. Soc. - 1994. - v. 55. - P. 57–122. [13] Malamud M. M. Questions of Uniqueness in Inverse Problems for Systems of Ordinary Differential Equations on a Finite Interval. // Trans. Moscow Math. Soc. - 1999. - v. 60. - P. 199–258. [14] Malamud M. M., Tsekanovskii E. R. The criterion of linear equivalence Volterra operators in scale Lp [0, 1]. // Izv. Acad. Nauk USSR, ser. math. - 1977. - v. 41, № 4. - P. 768–793. [15] Romashchenko G. S. Spectral analysis of positive powers of the integration operator in Sobolev spaces. // MFAT - 2004. - №1. Rx [16] Sakhnovich L. A. Spectral analysis of operators of the form Kf = 0 k(x − t)f (t)dt. // Izv. Akad. Nauk USSR, ser. mat. - 1958. - v. 22, № 2. - P. 299–308. [17] Sakhnovich L. A. On the reduction of nonselfadjoint operators to simplest form. // Uspekhi Mat. Nauk 1958. - v. 13, №5 (83). - P. 204–206. [18] Sakhnovich L. A. On the reduction of a Volterra operators to simplest form in the spaces of vector function. // Ukrain. Mat. Zurn. - 1962. - v. 14. - P. 114–126.

Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators

69

Romashchenko G. S., Mathematical department, Donetsk National University, Universitetskaya str. 24, Donetsk, 83055, Ukraine E-mail: [email protected], [email protected]

Section 1 SPECTRAL PROBLEMS

Subsection 1.2

Spectral Theory of Operator Pencils

_

72

Section 1. Spectral Problems

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ С ЦИКЛИЧЕСКИ СДВИНУТЫМИ СТОЛБЦАМИ И ИХ ПРИМЕНЕНИИ В КЛАССИФИКАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В. С. Рыхлов5 Саратовский государственный университет Саратов, Россия Keywords: обыкновенный дифференциальный оператор, двухточечные двучленные граничные условия, классификация дифференциальных операторов, нерегулярность дифференциальных операторов, определители с циклически сдвинутыми столбцами.

Решается задача аналитического описания некоторых условий, наложенных на определители с циклически сдвинутыми столбцами. Полученные результаты используются в классификации обыкновенных дифференциальных операторов по степени их нерегулярности.

1. Введение В пространстве L2 [0, 1] для n = 2m + 1, где m ∈ N, рассмотрим обыкновенный дифференциальный оператор L, порожденный дифференциальным выражением l(y) := y (n) (x),

x ∈ [0, 1],

и двухточечными двучленными граничными условиями

Uν (y) := αν y (ν−1) (0) + y (ν−1) (1) = 0,

ν = 1, n,

(1)

где αν ∈ C, ν = 1, n. В [?] была дана классификация операторов L по степени их нерегулярности. В этой классификации использовались определители вида ¯ ¯ ¯ a1 an · · · ak+3 ak+2 ¯ ¯ ¯ ¯ a2 a1 · · · ak+4 ak+3 ¯ ¯ . ¯ .. .. . . . .. ˆ 12...k := ¯ .. ¯ , k = 1, n − 1. (2) ∆ . . . ¯ ¯ ¯ a ¯ an ¯ ¯ n−k−1 an−k−2 · · · a1 ¯ a an−k−1 · · · a2 a1 ¯ n−k ¡ ¢−1 где aν := α ˆ ν ω1ν−1 (ν = 1, n), α ˆ ν есть компоненты вектора α ˆ := ΩT α, α := ¡ ν−1 ¢n (2j−1)πi (α1 , α2 , . . . , αn ), Ω := ωj , ωj = exp n , j = 1, n. Если индекс у элемента aν ν,j=1 в (??) выходит за диапазон 1, n, то предполагается, что aν = amodn (ν) . Классы операторов L описывались следующим образом для j = 0, m − 1: ˆ 12...m−j , ∆ ˆ 12...m−j+1 = · · · = ∆ ˆ 12...m+j = 0, ∆ ˆ 12...m+j+1 6= 0; j) L ∈ NRj ⇔ 0 6= ∆ 0 0 ˆ 12...m−j , ∆ ˆ 12...m−j+1 = · · · = ∆ ˆ 12...m+j = ∆ ˆ 12...m+j+1 = 0; j ) L ∈ NRj ⇔ 0 6= ∆ 1 ˆ 12...m−j = ∆ ˆ 12...m−j+1 = · · · = ∆ ˆ 12...m+j = 0, ∆ ˆ 12...m+j+1 6= 0. j 1 ) L ∈ NRj ⇔ 0 = ∆ Ввиду специальной структуры определителей (??), удалось получить аналитическое описание каждого из указанных классов. Во втором пункте данной статьи формулируются и доказываются результаты, относящиеся к описанию некоторых свойств определителей, с циклически сдвинутыми столбцами. В третьем пункте дается приложение полученных результатов к класификации дифференциальных операторов. 5

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ (проект НШ-1295.2003.1) и РФФИ (проект 00-01-00075).

73

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils 2. Некоторые свойства определителей с циклически сдвинутыми столбцами Чтобы сформулировать соответствующие результаты, обозначим для краткости: θ1,r := θ1 (s1 , s2 , . . . , sr ) := a1 − s1 an − s2 an−1 − · · · − sr an−r+1 , θ2,r := θ2 (s1 , s2 , . . . , sr ) := a2 − s1 a1 − s2 an − · · · − sr an−r+2 , .............................................................. θn,r := θn (s1 , s2 , . . . , sr ) := an − s1 an−1 − s2 an−2 − · · · − sr an−r ,

где r ≥ 1, sj ∈ C – параметры. При r = 0 считаем θj,0 := θj := aj .

ˆ 12...l 6= 0 (в случае l = n это Теорема 1. Если 1 ≤ k ≤ m, m + 1 ≤ l ≤ n (k < l − 1) и ∆ требование отсутствует), то для того, чтобы выполнялось условие ˆ 12...k 6= 0, ∆

ˆ 12...k+1 = ∆ ˆ 12...k+2 = · · · = ∆ ˆ 12...l−1 = 0, ∆

(3)

необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа s1 , s2 , . . . , sn−l , что sn−l 6= 0 (в случае l = n это требование отсутствует) и выполнялось какое-либо одно из следующих условий: 1◦ ) θ1,n−l = θ2,n−l = · · · = θn−k−1,n−l = 0, θn−k,n−l 6= 0, θn,n−l 6= 0; 2◦ ) θn,n−l = θ1,n−l = · · · = θn−k−2,n−l = 0, θn−k−1,n−l 6= 0, θn−1,n−l 6= 0; ................................................................................................... l-k-1◦ ) θn+k−l+3,n−l = θn+k−l+4,n−l = · · · = θn−l+1,n−l = 0, θn−l+2,n−l 6= 0, θn+k−l+2,n−l 6= 0. (Если индекс ν у θν,r выходит за диапазон 1, n, то предполагается, что θν,r = θmodn (ν),r ). ˆ 12...l 6= 0 и Доказательство. Рассмотрим вначале случай l ≤ n − 1. Предположим, что ∆ ˆ 12...l−1 = 0, то существуют числа γj ∈ C, j = 1, n − l + 1, не выполняется (??). Так как ∆ все равные нулю и такие, что         a1 an al+2 al+1  a2   a   a   a   + γ2  .1  + · · · + γn−l  l+3  + γn−l+1  l+2  γ1  . . .    ..   ..   ..  = 0, .. an−l+1

an−l

a2

a1

ˆ 12...l = 0, что противоречит предполопри этом γ1 6= 0 и γn−l+1 6= 0, так как иначе ∆ жению, сделанному в начале доказательства. Следовательно, существуют числа sj ∈ C, j = 1, n − l, такие, что sn−l 6= 0 и         al+1 an−1 an a1   a  an   a   a2    + · · · + sn−l  l+2  = s1  .1  + s2   (4) . . .  ..  .    ..    .. .. an−l+1

a1

an−l−1

an−l

Используя введенные в начале данного пункта обозначения, свойство (??) запишем в виде: 1.1) θ1,n−l = θ2,n−l = · · · = θn−l+1,n−l = 0, sn−l 6= 0.

Так как

ˆ 12...l−2 0=∆

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯¯ ¯ ¯ ¯

a1 a2 .. .

an a1 .. .

an−1 an .. .

... ... ...

al+1 al+2 .. .

al al+1 .. .

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯, ¯ ¯ ¯ ¯

an−l+1 an−l an−l−1 . . . a1 an an−l+2 an−l+1 an−l . . . a2 a1 то вычитая из 1-го столбца 2-й, умноженный на s1 , 3-й, умноженный на s2 , и т. д., предпоследний, умноженный на sn−l , а из 2-го столбца вычитая 3-й, умноженный на s1 , 4-й,

74

Section 1. Spectral Problems

умноженный на s2 , и т. д., последний, умноженный на sn−l , затем, учитывая условие 1.1) и раскладывая полученный определитель по минорам первых 2-х столбцов, найдем ˆ1 , 0 = θn−l+2,n−l θn,n−l ∆ 12...l где используется обозначение ¯ ¯ an−r+1 ¯ ¯ an−r+2 ¯ r ˆ ∆12...l = ¯¯ ... ¯ a ¯ n−r−l−1 ¯ a n−r−l

an−r an−r+1 .. .

... ... ...

an−r−l−2 . . . an−r−l−1 . . .

al−r+3 al−r+4 .. .

(5)

al−r+2 al−r+3 .. .

an−r+1 an−r an−r+2 an−r+1

ˆ 1 6= 0. Заменяя в определителе Покажем, что ∆ 12...l ¯ ¯ a1 an ... ¯ ¯ a2 a1 ... ¯ . . ... ˆ 12...l = ¯ .. .. ∆ ¯ ¯ a ¯ n−l−1 an−l−2 . . . ¯ a an−l−1 . . . n−l

al+3 al+4 .. . a1 a2

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯, ¯ ¯ ¯ ¯

al+2 al+3 .. . an a1

r = 1, l − k.

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

1-й столбец его линейной комбинацией в соответствии с (??), получим сумму (n−l) определителей, из которых только последний будет отличен от нуля (а остальные будут иметь по два одинаковых столбца). Передвигая 1-й столбец оставшегося определителя на последнее место путем последовательной перестановки соседних столбцов, получим . ˆ 12...l = ˆ 112...l , 0 6= ∆ sn−l ∆ . ˆ1 где = означает равенство с точночтью до знака. Так как sn−l 6= 0, то получим ∆ 12...l 6= 0. Тогда из (??) и 1.1) вытекает, что имеют место только две возможности: 2.1) θ1,n−l = θ2,n−l = · · · = θn−l+1,n−l = θn−l+2,n−l = 0, sn−l 6= 0; 2.2) θn,n−l = θ1,n−l = · · · = θn−l,n−l = θn−l+1,n−l = 0, sn−l 6= 0.

Рассмотрим каждую из этих возможностей. ˆ 12...l−3 = 0 в силу (??), то из этого условия Пусть выполняется условие 2.1). Так как ∆ аналогично тому, как была получена формула (??), найдем 2 ˆ1 . 0 = θn−l+3,n−l θn,n−l ∆ 12...l

(6)

ˆ1 Так как было установлено, что ∆ 12...l 6= 0, то из (??) и условия 2.1) следует, что имеют место только две возможности: 2.11 ) θ1,n−l = θ2,n−l = · · · = θn−l+2,n−l = θn−l+3,n−l = 0, sn−l 6= 0; 2.12 ) θn,n−l = θ1,n−l = · · · = θn−l+1,n−l = θn−l+2,n−l = 0, sn−l 6= 0.

В случае выполнения условия 2.2) аналогично предыдущему случаю из равенства ˆ ∆12...l−3 = 0 найдем 2 ˆ 212...l . 0 = θn−l+2,n−l θn−1,n−l ∆ (7) ˆ 2 6= 0. Заменяя в определителе Покажем, что ∆ 12...l ¯ ¯ an an−1 ··· ¯ ¯ a1 an ··· ¯ . . 1 ... ˆ 12...l = ¯ .. .. ∆ ¯ ¯ a ¯ n−l−2 an−l−3 · · · ¯ a n−l−1 an−l−2 · · ·

al+2 al+3 .. . an a1

al+1 al+2 .. . an−1 an

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils

75

1-й столбец его линейной комбинацией в соответствии с 2.2) и проводя рассуждения, аналогичные тем, которые проводились при доказательстве отличия от нуля определителя ˆ 1 , получим ∆ 12...l . ˆ1 = ˆ2 , sn−l ∆ 0 6= ∆ 12...l

12...l

ˆ2 откуда в силу того, что sn−l 6= 0, следует, что ∆ 12...l 6= 0. С учетом этого из (??) и 2.2) получим, что имеют место только две возможности: 2.21 ) θn,n−l = θ1,n−l = · · · = θn−l+1,n−l = θn−l+2,n−l = 0, sn−l 6= 0; 2.22 ) θn−1,n−l = θn,n−l = · · · = θn−l,n−l = θn−l+1,n−l = 0, sn−l 6= 0. Таким образом, из того факта, что ˆ 212...l 6= 0, ∆

ˆ 12...l−1 = ∆ ˆ 12...l−2 = ∆ ˆ 12...l−3 = 0, ∆

следует, что имеют место только следующие возможности: 3.1) θ1,n−l = θ2,n−l = · · · = θn−l+2,n−l = θn−l+3,n−l = 0, sn−l 6= 0; 3.2) θn,n−l = θ1,n−l = · · · = θn−l+1,n−l = θn−l+2,n−l = 0, sn−l 6= 0; 3.3) θn−1,n−l = θn,n−l = · · · = θn−l,n−l = θn−l+1,n−l = 0, sn−l 6= 0. Продолжая аналогичные рассуждения, в конце концов из условия ˆ 212...l 6= 0, ∆

ˆ 12...l−1 = ∆ ˆ 12...l−2 = · · · = ∆ ˆ 12...k+2 = ∆ ˆ 12...k+1 = 0, ∆

получим, что имеют место только следующие возможности l-k-1.1) θ1,n−l = θ2,n−l = · · · = θn−k−2,n−l = θn−k−1,n−l = 0, sn−l 6= 0; l-k-1.2) θn,n−l = θ1,n−l = · · · = θn−k−3,n−l = θn−k−2,n−l = 0, sn−l 6= 0; ......................................................................................................... l-k-1.l-k-1) θn+k−l+3,n−l = θn+k−l+4,n−l = · · · = θn−l,n−l = θn−l+1,n−l = 0, sn−l 6= 0. Рассмотрим каждую из этих возможностей. ˆ 12...k 6= 0, то вычитая в этом определителе Пусть выполняется условие l-k-1.1). Так как ∆ из первых l − k столбцов соответствующие линейные комбинации n − l столбцов, стоящих правее, в соответствии с условием l-k-1.1), а затем раскладывая полученный определитель по минорам первых l − k столбцов, получим l−k−1 ˆ 1 0 6= θn−k,n−l θn,n−l ∆12...l ,

ˆ 1 6= 0. что эквивалентно отличию от нуля чисел θn−k,n−l и θn,n−l , так как ∆ 12...l Следовательно, если выполняется условие l-k-1.1), то выполняется условие 1◦ ) доказываемой теоремы. Пусть выполняется условие l-k-1.2). Рассуждая аналогично предыдущему случаю, найˆ 12...k 6= 0 вытекает неравенство дем, что из условия ∆ l−k−2 ˆ 2 2 ∆12...l , 0 6= θn−k−1,n−l θn−1,n−l

ˆ 2 6= 0. что эквивалентно отличию от нуля чисел θn−k−1,n−l и θn−1,n−l , так как ∆ 12...l И так далее. В общем случае пусть для 2 < r ≤ l − k − 1 выполняется условие l-k-1.r) θn−r+2,n−l = θn−r+3,n−l = · · · = θn−r−k−1,n−l = θn−r−k,n−l = 0, sn−l 6= 0. ˆ 12...k 6= 0, то вычитая в этом определителе из первых l − k столбцов соответТак как ∆ ствующие линейные комбинации n−l столбцов, стоящих правее, в соответствии с условием

76

Section 1. Spectral Problems

l-k-1.r), а затем раскладывая полученный определитель по минорам первых l −k столбцов, получим ¯ ¯ ¯ a1 · · · an+k−l+2 an+k−l+1 · · · ak+2 ¯ ¯ ¯ . .. . . . .. . . . .. ¯ ¯ .. . . . ¯ ¯ ¯ ¯ a · · · a a · · · a ¯ n+l−k−r n−r+1 n−r l−r+1 ¯ ¯ a an−r+1 · · · al−r+2 ¯¯ ¯ n+l−k−r+1 · · · an−r+2 ¯ ¯ . .. . . . .. . . . .. ¯ ¯ .. . . . ¯ . ¯ ˆ ¯= ¯ · · · a1 an · · · al+1 0 6= ∆12...k = ¯ al−k ¯ .. ¯ ¯ .. . . . .. . . . .. ¯ ¯ . . . . ¯ ¯ ¯ an−k−r · · · a2n−l−r+1 a2n−l−r · · · an−r+1 ¯ ¯ ¯ ¯ an−k−r+1 · · · a2n−l−r+2 a2n−l−r+1 · · · an−r+2 ¯ ¯ ¯ . .. . . . .. . . . .. ¯ ¯ .. . . . ¯ ¯ ¯ ¯ a ··· a a ··· a n−k

n−l+1

n−l

1

. r l−k−r ˆ r12...l . = θn−k−r+1,n−l θn−r+1,n−l =∆

(8)

ˆr Покажем, что ∆ 12...k 6= 0. Для этого распишем подробнее условие l-k-1.r):        al−r+2 an−r an−r+1 an−r+2  al−r+3  an−r+1   an−r+2   an−r+3   + · · · + sn−l   + s2   = s1   .. .. .. ..        . . . . a2n−r−k

Отсюда в силу того, что sn−l 6= 0, следует      al−r+2 an−r+2  al−r+3   s1   a  = 1  n−r+3  +  . .  sn−l    sn−l  .. .. an+l−r−k

an+l−r−k

a2n−r−k−2

a2n−r−k−l

a2n−r−k

an−r+1 an−r+2 .. . a2n−r−k−1





  +· · ·+ sn−l−1   sn−l 



 . 

al−r+3 al−r+4 .. . an+l−r−k+1



  . (9) 

Так как l − k ≥ r + 1 > 3 > 1, то n − r + 1 ≤ n + l − k − r. Поэтому, последний столбец в ˆ r можно целиком заменить его выражением из (??). Используя свойства определителе ∆ 12...l определителей, аналогично предыдущему найдем ¯ ¯ ¯ an−r+2 an−r+1 · · · al−r+4 al−r+3 ¯ ¯ ¯ ¯ an−r+3 an−r+2 · · · al−r+5 al−r+4 ¯ ¯ . 1 ¯¯ .. .. .. . . . .. ˆ r12...l = ˆ r−1 ¯= 1 ∆ ∆ . . . . ¯ ¯ sn−l 12...l . sn−l ¯ a2n−l−r−1 · · · an−r+2 an−r+1 ¯¯ ¯ a2n−l−r ¯ a ¯ a ··· a a 2n−l−r+1

2n−l−r

n−r+3

n−r+2

Так как l − k ≥ r + 1 > 3 > 2, то n − r + 2 ≤ n + l − k − r. Поэтому, последний столбец в ˆ r−1 также можно целиком заменить его выражением из (??). Используя определителе ∆ 12...l свойства определителей, аналогично предыдущему найдем ¯ ¯ ¯ an−r+3 an−r+2 · · · al−r+5 al−r+4 ¯ ¯ ¯ ¯ an−r+4 an−r+3 · · · al−r+6 al−r+5 ¯ ¯ . 1 ¯¯ .. .. .. . . . .. ˆ r−2 . ˆ r12...l = ¯= 1 ∆ ∆ . . . . 12...l 2 ¯ ¯ s2 sn−l ¯ ¯ n−l · · · an−r+3 an−r+2 ¯ ¯ a2n−l−r+1 a2n−l−r ¯ a ¯ a ··· a a 2n−l−r+2

2n−l−r+1

n−r+4

n−r+3

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils И так далее. На r − 3 шаге получим ¯ ¯ an−2 an−3 ¯ ¯ an−1 an−2 . 1 ¯¯ .. .. ˆ r12...l = ∆ . r−3 ¯ . sn−l ¯ ¯ a2n−l−4 a2n−l−5 ¯ a 2n−l−3 a2n−l−4

··· ··· ... ··· ···

al al+1 .. . an−2 an−1

al−1 al .. . an−3 an−2

77

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ˆ3 ¯= 1 ∆ ¯ sr−3 12...l . ¯ n−l ¯ ¯

ˆ3 Так как l − 1 ≥ l − r + 2 и n − 2 ≤ n + l − k − r, то последний столбец в определителе ∆ 12...l можно целиком заменить его выражением из (??). Используя свойства определителей, аналогично предыдущему найдем ¯ ¯ ¯ an−1 ¯ an−2 · · · al+1 al ¯ ¯ ¯ an an−1 · · · al+2 al+1 ¯ ¯ ¯ . 1 ¯ .. .. .. . . . .. ˆ2 ˆ r12...l = ¯= 1 ∆ ∆ . . . r−2 ¯ . ¯ sr−2 12...l . sn−l ¯ ¯ n−l ¯ a2n−l−3 a2n−l−4 · · · an−1 an−2 ¯ ¯ a ¯ an−1 2n−l−2 a2n−l−3 · · · an

ˆ2 ˆr А так как было показано, что ∆ 12...l 6= 0, то отсюда получим ∆12...l 6= 0. С учетом этого из (??) следует, что отличны от нуля числа θn−k−r+1,n−l и θn−r+1,n−l . Таким образом, если выполняется условие l-k-1.r), то выполняется условие r ◦ ) доказываемой теоремы. А так как r = 3, l − k − 1, то тем самым необходимость условия (??) в предположении, что ˆ 12...l 6= 0, доказана. ∆ ˆ 12...l 6= 0 и существуют такие числа s1 , s2 , . . . , sn−l , что sn−l 6= 0 и выполОбратно, если ∆ няется одно из условий 1◦ ), 2◦ ), . . . ,l-k-1◦ ), то можно без труда установить, что выполняется и условие (??). Рассмотрим теперь случай l = n и пусть выполняется условие ˆ 12...k 6= 0, ∆ ˆ 12...k+1 = ∆ ˆ 12...k+2 = · · · = ∆ ˆ 12...n−1 = 0. ∆ (10)

В этом случае предыдущие рассуждения сильно упрощаются. Очевидно, здесь 0 = ˆ 12...n−1 = a1 = θ1,0 . Таким образом, выполняется условие 1.1), если его записать при ∆ l = n (в этом случае никаких параметров sj не возникает). Так как ¯ ¯ ¯ a1 an ¯ . ˆ 12...n−1 = ¯ ¯ 0=∆ ¯ a2 a1 ¯ = a2 an , то отсюда получаем, что имеют место только две возможности 2.1) и 2.2), если их записать при l = n. Продолжая аналогичные рассуждения, точно так же, как и в случае l ≤ n − 1, в конце концов установим, что если выполняется условие (??), то выполняется какое-либо одно из условий 1◦ ), 2◦ ), . . . ,l-k-1◦ ) при l = n, фигурирующих в формулировке теоремы, и никаких условий, связанных с числами sj не возникает. Обратно, если выполняется какое-либо одно из условий 1◦ ), 2◦ ), . . . ,l-k-1◦ ) теоремы при l = n, то можно без труда установить, что выполняется и условие (??). Тем самым теорема полностью доказана. ¤ ˆ 12...l 6= 0 (в случае l = n это Теорема 2. Если 1 ≤ k ≤ m, m + 1 ≤ l ≤ n (k < l − 1) и ∆ требование отсутствует), то для того, чтобы выполнялось условие ˆ 12...k = ∆ ˆ 12...k+1 = · · · = ∆ ˆ 12...l−1 = 0, ∆ (11)

необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа s1 , s2 , . . . , sn−l , что sn−l 6= 0 (в случае l = n это требование отсутствует) и выполнялось хотя бы одно из следующих условий: 1◦ } θ1,n−l = θ2,n−l = · · · = θn−k−1,n−l = θn−k,n−l = 0;

78

Section 1. Spectral Problems

2◦ } θn,n−l = θ1,n−l = · · · = θn−k−2,n−l = θn−k−1,n−l = 0; ....................................................................................... l-k◦ } θn+k−l+2,n−l = θn+k−l+3,n−l = · · · = θn−l,n−l = θn−l+1,n−l = 0.

Доказательство. Дословно повторяя доказательство предыдущей теоремы, из условия ˆ 212...l 6= 0, ∆ ˆ 12...l−1 = ∆ ˆ 12...l−2 = · · · = ∆ ˆ 12...k+2 = ∆ ˆ 12...k+1 = 0, ∆

аналогично получим, что имеют место только следующие возможности (в случае, когда l = n параметры sj отсутствуют) l-k.1) θ1,n−l = θ2,n−l = · · · = θn−k−2,n−l = θn−k−1,n−l = 0, sn−l 6= 0; l-k-1.2) θn,n−l = θ1,n−l = · · · = θn−k−3,n−l = θn−k−2,n−l = 0, sn−l 6= 0; ......................................................................................................... l-k-1.l-k-1) θn+k−l+3,n−l = θn+k−l+4,n−l = · · · = θn−l,n−l = θn−l+1,n−l = 0, sn−l 6= 0.

ˆ 12...k = 0 (в предыдущей теореме было ∆ ˆ 12...k 6= 0), Но так как в доказываемой теореме ∆ то, рассматривая каждую из этих возможностей и используя это дополнительное условие, получим, что если имеет место (??), то выполняется по крайней мере одно из условий 1◦ }, 2◦ }, . . . ,l-k ◦ }. Тем самым теорема полностью доказана. ¤ 3. Аналитическое описание классов дифференциальных операторов Доказанная в предыдущем пункте теорема ?? позволяет аналитически описать введенные в первом пункте классы NRj , NR0j , NR1j , j = 0, m − 1. ˆ 12...m+j+1 6= 0 и суТеорема 3. L ∈ NRj (j = 1, m − 1) тогда и только тогда, когда ∆ ществуют такие числа s1 , s2 , . . . , sm−j , что sm−j 6= 0 и выполняется какое-либо одно из следующих условий: 1◦ ) θ1,m−j = θ2,m−j = · · · = θm+j,m−j = 0, θm+j+1,m−j 6= 0, θn,m−j 6= 0; 2◦ ) θn,m−j = θ1,m−j = · · · = θm+j−1,m−j = 0, θm+j,m−j 6= 0, θn−1,m−j 6= 0; ....................................................................................................... 2j◦ ) θn−2j+2,m−j = θn−2j+3,m−j = · · · = θm−j+1,m−j = 0, θm−j+2,m−j 6= 0, θn−2j+1,m−j 6= 0. Доказательство. По определению L ∈ NRj (j = 1, m − 1) тогда и только тогда, когда выполняется условие ˆ 12...m−j , ∆ ˆ 12...m−j+1 = · · · = ∆ ˆ 12...m+j = 0, ∆ ˆ 12...m+j+1 6= 0. 0 6= ∆

Применив к этому условию теорему ??, считая в ней k = m − j, а l = m + j + 1, получим утверждение доказываемой теоремы. ¤ Теорема 4. L ∈ NR0j (j = 1, m − 1) тогда и только тогда, когда при некотором ˆ 12...m+j+r+2 6= 0 и существуют такие числа r = 0, m − j − 1 выполняется неравенство ∆ s1 , s2 , . . . , sm−j−r−1 , что sm−j−r−1 6= 0 (в случае r = m − j − 1 это условие отсутствует) и выполняется какое-либо одно из следующих условий: r.1◦ ) θ1,m−j−r−1 = θ2,m−j−r−1 = · · · = θm+j,m−j−r−1 = 0, θm+j+1,m−j−r−1 6= 0, θn,m−j−r−1 6= 0; r.2◦ ) θn,m−j−r−1 = θ1,m−j−r−1 = · · · = θm+j−1,m−j−r−1 = 0, θm+j,m−j−r−1 6= 0, θn−1,m−j−r−1 6= 0; ................................................................................................................................... r.2j+r+1◦ ) θn−2j−r+1,m−j−r−1 = θn−2j−r+2,m−j−r−1 = · · · = θm−j−r,m−j−r−1 = 0, θm−j−r+1,m−j−r−1 6= 0, θn−2j−r,m−j−r−1 6= 0. Доказательство. По определению L ∈ NR0j (j = 0, m − 1) тогда и только тогда, когда выполняется условие ˆ 12...m−j , ∆ ˆ 12...m−j+1 = · · · = ∆ ˆ 12...m+j = ∆ ˆ 12...m+j+1 = 0. 0 6= ∆

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils

79

Это может быть лишь тогда, когда выполняется какое-либо одно из следующих условий при r = 0, m − j − 2 ˆ 12...m−j , ∆ ˆ 12...m−j+1 = · · · = ∆ ˆ 12...m+j+r+1 = 0, ∆ ˆ 12...m+j+r+2 6= 0; r) 0 6= ∆ или условие ˆ 12...m−j , ∆ ˆ 12...m−j+1 = · · · = ∆ ˆ 12...m+j+r+1 = 0, ∆ ˆ 12...m+j+r+2 6= 0. m-j-1) 0 6= ∆ Применим к этим условиям теорему ??, считая в ней k = m − j, а l = m + j + r + 2. Получим, что условие r) при r = 0, m − j − 2 выполняется в том и только том случае, ˆ 12...m+j+r+2 6= 0 и существуют такие числа s1 , s2 , . . . , sm−j−r−1 , что sm−j−r−1 6= 0 когда ∆ и выполняется какое-либо одно из условий r.1◦ , r.2◦ , . . . , r.2j+r+1◦ ). Условие же m-j-1) выполняется в том и только том случае, когда выполняется какое-либо одно из условий m-j-1.1◦ ), m-j-1.1◦ ), . . . , m-j-1.m+j ◦ ). Тем самым теорема полностью доказана. ¤ ˆ 12...m+j+1 6= 0 и суТеорема 5. L ∈ NR1j (j = 0, m − 1) тогда и только тогда, когда ∆ ществуют такие числа s1 , s2 , . . . , sm−j , что sm−j 6= 0 и выполняется хотя бы одно из следующих условий: 1◦ } θ1,m−j = θ2,m−j = · · · = θm+j,m−j = θm+j+1,m−j = 0; 2◦ } θn,m−j = θ1,m−j = · · · = θm+j−1,m−j = θm+j,m−j = 0; ................................................................................................. 2j+1◦ } θn−2j+1,m−j = θn−2j+2,m−j = · · · = θm−j,m−j = θm−j+1,m−j = 0. Доказательство. По определению L ∈ NR1j (j = 0, m − 1) тогда и только тогда, когда выполняется условие ˆ 12...m−j = ∆ ˆ 12...m−j+1 = · · · = ∆ ˆ 12...m+j = 0, ∆ ˆ 12...m+j+1 6= 0. 0=∆

Применив к этому условию теорему ??, считая в ней k = m − j, а l = m + j + 1, получим утверждение доказываемой теоремы. ¤ Список литературы [1] Рыхлов В. С. Полнота собственных функций некоторых классов нерегулярных дифференциальных операторов // Spectral and evolution problems: Proceedings of the Thirteenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium (KROMSH-2002), Sept. 18-29, 2002, Sevastopol, Laspi. Vol.13. – Simferopol: Taurida National V.Vernadsky University, Black Sea Branch of Moscow State University, Crimean Scientific Center of Ukrainian NAS, Crimean Academy of Sciences, Crimean Mathematical Foundation, 2003, с. 165–169.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ (проект НШ-1295.2003.1) и РФФИ (проект 00-01-00075). В.С. Рыхлов, Механико–математический факультет, Саратовский государственный университет, ул. Астраханская, 83, Саратов, 410026, Россия E-mail: [email protected] V. S. Rykhlov On some properties of determinants with cyclically shifted columns and their applications in classification of differential operators Keywords: ordinary differential operator, two-point binomial boundary conditions, classification of differential operators, nonregularity of differential operators, determinants with cyclically shifted columns. It is solved the problem of an analytic description of conditions imposed on determinants with cyclically shifted columns. The obtained results are used in classification of ordinary differential operators in according to their nonregularity.

80

Section 1. Spectral Problems

ОБ ОПЕРАТОРЕ КОШИ НЕСТАЦИОНАРНОГО ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ К. И. Чернышов6 Воронежская государственная лесотехническая академия Воронеж, Россия Предложен алгоритм диагонализации матричного пучка, зависящего от переменной и от параметра, в случаях, когда предельная матрица при всех значениях переменной имеет простой спектр или кратное собственное значение. В алгоритме используется исчерпывающая суперпозиция специальных преобразований подобия. Получены формулы для оператора Коши линейного нестационарного уравнения с малым параметром при производной и матричным пучком при различных степенях вырождения структурной матрицы. Keywords: матричный пучок, собственное значение, малый параметр, преобразование подобия, диагонализация.

1. Введение. Постановка задачи. Пусть E – линейное конечномерное пространство размерности m, N – линейное пространство матриц порядка m × m, действующих в E и непрерывно зависящих от переменной t, изменяющейся на конечном отрезке [0, T ], и ε > 0 – малый параметр. Рассмотрим r X матричный пучок D(t, ε) = D0 (t) − εi Di (t) из N и задачу Коши для нестационарного i=1

линейного дифференциального уравнения (ЛДУ) вида εp

dy = D(t, ε) y, dt

y(0, ε) = y0 ∈ E,

0 6 t 6 T.

(1.1)

Введем, как в [?, гл. III, § 1, п. 5], обозначение W (t, τ, ε) = W (t, ε)W −1 (τ, ε) для семейства матриц W (t, τ, ε) и назовем его эволюционным (разрешающим) оператором ЛДУ (1.1). Этот оператор удовлетворяет системе εp

dW = D(t, ε) W, dt

W (τ, τ, ε) = I,

06t6T

(1.2)

и не зависит от выбора значения τ. Будем называть оператором Коши уравнения (1.2) матрицу W (t, ε) = W (t, 0, ε). Поскольку решение задачи (1.1) записывается в форме y(t, ε) = W (t, ε) y0 , то поведение решения при ε → +0 непосредственным образом связано с представлением оператора Коши W (t, ε). В данной работе предложен алгоритм диагонализации матричного пучка D(t, ε), на основе которого ведется построение оператора Коши уравнения (1.1) и его асимптотики. С единой точки зрения здесь изучаются два случая, когда предельная матрица D0 (t) пучка имеет при всех 0 6 t 6 T – различные собственные значения (простой спектр); – m-кратное собственное значение (кратный спектр). Для упрощения изложения далее будем считать, что r = 1, p = 1 в (1.2). Тогда оператор Коши является решением задачи ˙ = (D0 (t) − εD1 (t)) W, εW 6Работа

W (0, ε) = I, 0 6 t 6 T, 0 < ε 6 ε0 .

выполнена при финансовой поддержке РФФИ

(1.3)

81

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils

Определение 1.1. Решением задачи (1.3) называется непрерывно дифференцируемая dW ∈ N при всех 0 6 t 6 T, 0 < ε 6 ε0 , функция W : [0, T ] × (0, ε0 ] → N такая, что dt dW и, кроме того, справедливы равенства W (0, ε) = I при всех 0 < ε 6 ε0 и ε = dt (D0 (t) − εD1 (t)) W при всех 0 6 t 6 T, 0 < ε 6 ε0 , где ε0 достаточно мало. Алгоритм диагонализации пучка D0 (t) − εD1 (t) содержит серию различных преобразований подобия: Φ(t), I +εν Z(t, ε), I +εΩ−n (t), Λ(ε), Φ(1) (t), I +εν Y (t, ε), ν > 0, вводимых ниже в §§ 2, 6, 8, 10, 11, 14. Некоторые из них иногда могут оказаться невостребованными, и тогда их заменяют тождественным преобразованием I. Случай простого, или стабильного спектра изложен в § 7. Он допускает обобщение с матричного пучка из N на линейный непрерывно обратимый замкнутый симметрический оператор A(t), действующий при каждом t ∈ [0, T ] в сепарабельном гильбертовом пространстве E (см. п. 7.3). Более сложным представляется случай, когда матрица D0 (t) имеет m-кратное собственное значение λ(t), т. е. когда D0 (t) подобна матрице J + λ(t)I, где J – жорданова клетка m×m, отвечающая нулевому собственному значению. Этим вопросам посвящены §§8−19, причем параграфы с 8-го по 14-й носят вспомогательный характер, а § 15 содержит алгоритм исследования случая кратного спектра. В работе приводятся различные достаточные условия в форме ограничений на младшие члены пучка, при которых пучок D(t, ε) диагонализуем, что позволяет получить формулы для оператора Коши. При этом будем различать канонические случаи, когда так называемая структурная матрица пучка является невырожденной в определенном смысле (случай I) или имеет слабое вырождение (случай II), а также случаи ее сильного вырождения. В случаях I, II оператор Коши удается представить в виде W (t, ε) = S(t, ε) diag (eµe1 (t, ε) , ..., eµem (t, ε) ) S −1 (0, ε),

(1.4)

где S(t, ε) – исчерпывающая суперпозиция указанных преобразований подобия, скалярные функции εe µj (t, ε) зависят от ε регулярно, причем µ ei (t, ε) 6= µ ej (t, ε), i 6= j при всех 0 6 t 6 T и всех 0 < ε 6 ε0 , ε0 достаточно мало, 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 m (см. §§ 16, 17). Формула (1.4) применима также в случае простого спектра, однако набор преобразований подобия, составляющих S(t, ε), будет другим. При этом в случае простого спектра Zt Zt µ ej (t, ε) = ε−1 (λj (τ )− µj (τ, ε)) dτ, в случае кратного спектра µ ej (t, ε) = ε−1 (λ(τ ) − 0

0

µj (τ, ε)) dτ. Исследование завершается, когда все возмущения µ ej (t, ε), 1 6 j 6 m становятся попарно различными. При сильном вырождении структурной матрицы уравнение (1.3) с помощью суперпозиции названных преобразований подобия удается расщепить на два уравнения в дизъюнктных подпространствах. Оператор Коши преобразованного уравнения оказывается представимым в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых действует в своем подпространстве. Одно из них по форме не отличается от (1.4). Второе окончательно формируется, когда в соответствующем подпространстве имеет место один из канонических случаев (см. § 19), иначе за первой редукцией задачи должна последовать вторая и т. д. Ранее изучался эволюционный аналог поставленной здесь задачи, т. е. велось построение асимптотики решения задачи (1.1). Случай простого спектра при r = 1, p = 1 исследовался в [?] (в координатной форме), в [?, ?], а также в [?, ?] методом регуляризации. Что касается случая кратного спектра, то в [?, ?, ?, ?, ?, ?] асимптотика решения задачи Коши строилась только в случаях I или II. В частности, случай II исследовался в [?, ?] методом регуляризации, который не позволил выделить и отщепить возникающее скалярное ЛДУ.

82

Section 1. Spectral Problems

В [?, ?] был анонсирован простейший случай сильного вырождения. Асимптотика решения задачи (1.1) при сильном вырождении структурной матрицы строилась в [?, ?, ?] без использования преобразования подобия I + εν Z(t, ε), ν > 0 из § 6. В [?] велось построение экспоненты матричного пучка, зависящего только от параметра ε, в случае кратного спектра предельной матрицы. Упомянем о других способах расщепления линейных систем, приведенных в [?, ?]. Предложенный в данной работе метод построения оператора Коши и его асимптотики применим к различным типам уравнений с малым параметром при производной, с большим параметром в правой части, с медленно меняющимися коэффициентами. 2. Матрица подобия Φ(t) 2.1. Случай простого спектра. Определение 2.1. Будем говорить, что матрица порядка m × m имеет простой спектр на отрезке [0, T ], если ее собственные значения при всех 0 6 t 6 T удовлетворяют соотношениям λi (t) 6= λj (t), i 6= j; λi (t) 6= 0, 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 m. Замечание 2.1. В [?, гл. 5, § 2, п. 1.3] эти соотношения названы условием отсутствия точек поворота при t ∈ [0, T ]. Пусть матрица D0 (t) порядка m × m имеет простой спектр на отрезке [0, T ]. Обозначим через ϕr (t) ее собственный вектор, отвечающий собственному значению λr (t), 1 6 r 6 m. Индукцией по числу собственных векторов устанавливается линейная независимость системы {ϕr (t)}, 1 6 r 6 m, что позволяет выбрать ее в качестве базиса пространства E. Обозначим через Φ(t) обратимую матрицу, столбцами которой служат координаты векторов ϕ1 (t), ..., ϕm (t) в ортонормированном базисе {er }, где er – вектор, единственным ненулевым элементом которого является единица, стоящая на r - м месте, 1 6 r 6 m. Применение преобразования Φ(t) позволяет снабдить пространство E базисом {er }, 1 6 r 6 m и рассматривать матрицы из N при каждом t, 0 6 t 6 T в алгебре End E. Здесь и ниже через End E обозначается банахова алгебра линейных ограниченных операторов (эндоморфизмов), действующих в пространстве E. Теперь от матрицы D0 (t), являющейся диагональной в базисе {ϕr (t)}, можно перейти к матрице Q(t) = diag (λ1 (t), ..., λm (t)). Через H(t) обозначим матрицу, столбцами которой являются координаты разложений векторов ϕ˙ 1 (t), ..., ϕ˙ m (t) в базисе {ϕr (t)}. Тогда ˙ H(t) = Φ−1 (t) Φ(t).

(2.1)

Равенства ϕr (t) = Φ(t) er , (D0 (t) − λr (t) I) ϕr (t) = 0, 1 6 r 6 m влекут соотношение Φ−1 (t) D0 (t) Φ(t) = Q(t).

(2.2)

A(t) = H(t) + Φ−1 (t) D1 (t) Φ(t),

(2.3)

В дальнейшем важную роль играет матрица которую, следуя [?, ?], назовем структурной. 2.2. Случай кратного спектра.

Определение 2.2. Будем говорить, что матрица порядка m × m имеет m - кратное собственное значение λ(t) (кратный спектр) на отрезке [0, T ], если при всех 0 6 t 6 T (D0 (t) − λ(t)I) ϕ1 (t) = 0,

причем ϕm (t) ∈ / Im (D0 (t) − λ(t)I).

(D0 (t) − λ(t)I) ϕr (t) = ϕr−1 (t),

2 6 r 6 m,

83

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils

Пусть матрица D0 (t) имеет m - кратное собственное значение λ(t) на отрезке [0, T ]. m X ci ϕi (t) = 0, получаем cm = 0, а Применяя m раз оператор D0 (t) − λ(t)I к равенству i=1

значит, и cm−1 = 0, ..., c1 = 0. Линейно независимую систему векторов {ϕr (t)}, 1 6 r 6 m выберем в качестве базиса пространства E. Составим обратимую матрицу Φ(t), столбцами которой служат координаты векторов ϕ1 (t), ..., ϕm (t) в базисе {er }, 1 6 r 6 m, а также матрицу H(t), столбцами которой являются координаты векторов ϕ˙ 1 (t), ..., ϕ˙ m (t) в базисе ˙ {ϕr (t)}. Как и в п. 2.1, имеем H(t) = Φ−1 (t) Φ(t), причем справедливо равенство (2.3). −1 Кроме того, поскольку Φ (t)(D0 (t) − λ(t)I) Φ(t) = J, то ˙ Φ−1 (t){(D(t, ε) − λ(t)I) Φ(t) − εΦ(t)} = J − εA(t). (2.4) 3. Структура пространства N. Однодиагональные матрицы 3.1. Базис в пространстве N. Обозначим через N пространство вещественных матриц порядка m × m, непрерывно зависящих от переменной t, 0 6 t 6 T и действующих в пространстве E. Замечание 3.1. В оставшейся части § 3 и в § 4 содержатся результаты, непосредственно обобщающие соответствующие результаты работы [?]. r,i−1−r r,i−1−r В m2 -мерном пространстве N введем базис с помощью m2 матриц Vi−m , Vm−i ,у которых единственный ненулевой элемент равен 1 и расположен в (m − i + r + 1) -й строке, (r + 1) -м столбце или в (r + 1) -й строке, (m − i + r + 1) -м столбце соответственно, 0 6 r 6 i−1, 1 6 i 6 m. Единица расположена на линии параллельной диагонали и состоящей из i элементов, причем на этой линии выше единицы находятся r нулей, а ниже i − 1 − r нулей. В [?] установлено, что при умножении базисных элементов нижний индекс произведения равен сумме нижних индексов сомножителей, т. е. имеет место логарифмический закон. Этот закон справедлив также и для их коммутатора. Здесь и далее коммутатор матриц F, G равный F G − GF обозначается через [F, G].

3.2. Однодиагональные матрицы. Обозначим элемент матрицы X(t) из N, стоящий в r -й строке, l -м столбце, через xr, l (t) и представим X(t) в виде суммы однодиагональных матриц Xi (t), 1 − m 6 i 6 m − 1. Элементами Xi (t) являются xr, l (t), для которых l − r = i. При 1−m 6 i 6 0 это x1−i, 1 (t), ..., xm, m+i (t), а при 0 6 i 6 m−1 это x1, i+1 (t), ..., xm−i, m (t). Ненулевые элементы каждой из матриц Xi (t) занимают линию параллельную диагонали с номером, отсчитываемым снизу вверх от 1 − m до m − 1. С помощью базисных элементов в N находим, что Xi (t) =

m+i X r=1

xr−i, r (t) Vir−1,

m+i−r

, 1−m 6 i 6 0, Xi (t) =

m−i X

xr,

i+r (t)

Vir−1,

m−i−r

, 0 6 i 6 m−1.

r=1

(3.1) Теперь действия с матрицами Xi (t) сводятся к действиям с базисными элементами. Согласно логарифмическому закону нижний индекс произведения двух однодиагональных матриц или их коммутатора равен сумме нижних индексов сомножителей, причем суммарный нижний индекс ненулевой матрицы принимает значения от 1 − m до m − 1. Условимся обозначать сумму элементов однодиагональной матрицы Xi (t) через γiX (t) при всех 1 − m 6 i 6 m − 1. 3.3. Прямые разложения пространства N. Согласно [?, ?] введем в N при каждом t, 0 6 t 6 T скалярное произведение (A(t), B(t)) = T r (B ′ (t)A(t)),

84

Section 1. Spectral Problems

где знак ” ′ ” означает транспонирование. Норму в N при каждом t, 0 6 t 6 T зададим формулой v uX m u m X t kA(t)k = a2j, r (t), 0 6 t 6 T. r=1 j=1

Всюду в дальнейшем будем использовать обозначение A(ε) = O(εα ), если матрица A(ε) из алгебры End E подчиняется оценке kA(ε)k 6 M εα для всех 0 < ε 6 ε0 , где число M не зависит от ε и ε0 достаточно мало. Введем в N три подпространства N, N ′ , M. Определение 3.1. Матрица B(t) ∈ N ′ , если ее ненулевые элементы занимают линии параллельные диагонали с номерами от 1 − m до 0, причем на каждой линии элементы одинаковы. Определение 3.2. Матрица C(t) ∈ N, если ее ненулевые элементы занимают линии параллельные диагонали с номерами от 0 до m − 1, причем на каждой линии элементы одинаковы. Определение 3.3. Матрица Π(t) ∈ M, если ее ненулевые элементы занимают только m− ю строку. Замечание 3.2. Все матрицы из N ′ , N, M содержат m независимых параметров. Далее введем еще два подпространства F, U в N.

Определение 3.4. Матрица Γ(t) ∈ F, если (Γ(t), B(t)) = 0 для любой матрицы B(t) ∈ N ′ и всех 0 6 t 6 T. Определение 3.5. Матрица U (t) ∈ U, если (U (t), C(t)) = 0 для любой матрицы C(t) ∈ N и всех 0 6 t 6 T. Справедливы следующие утверждения: Лемма 3.1. Матрица Γ(t) ∈ F ⇐⇒ γiΓ (t) ≡ 0, 1 − m 6 i 6 0, 0 6 t 6 T.

Лемма 3.2. Матрица U (t) ∈ U ⇐⇒ γiU (t) ≡ 0, 0 6 i 6 m − 1, 0 6 t 6 T. С помощью этих лемм устанавливается, что ⊥

N = N ′ ⊕ F,

⊥

N = N ⊕ U,

N = M ⊕ F.

Обозначим через J жорданову клетку m × m, отвечающую нулевому собственному значению, а через J ′ сопряженную к J матрицу. Лемма 3.3. С матрицами J, J ′ коммутируют матрицы из N, N ′ соответственно и только они. 4. Уравнения с трансформатором 4.1. Уравнения TQ, J1 X = Y, TJ1 , Q X = Y . Пусть даны матрицы L(t), M (t), Y (t) такие, что L(t) ∈ End Rl , M (t) ∈ End Rk , Y ∈ Hom (Rk , Rl ) при каждом 0 6 t 6 T. Как и в [?, гл. I, § 3, п.1], введем в пространстве Hom (Rk , Rl ) линейные операторы Ll (t) и Mr (t), порождаемые умножением оператора X(t) ∈ Hom (Rk , Rl ) на оператор L(t) слева и оператор M (t) справа: Ll (t)X(t) = L(t)X(t),

Mr (t)X(t) = X(t)M (t),

Следуя [?], назовем оператор TL,

M (t)

= Ll (t) − Mr (t),

TL,

M (t)X(t)

X(t) ∈ Hom (Rk , Rl ).

= L(t)X(t) − X(t)M (t),

85

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils

действующий при каждом t ∈ [0, T ] в Hom (Rk , Rl ), трансформатором. Известно, что условия разрешимости и формула решения уравнения TL, M (t)X(t) = Y (t) существенно зависят от взаимного расположения спектров матриц L(t), M (t). Если их спектры не пересекаются, то трансформатор TL, M (t) обратим, т. е. уравнение TL, M (t)X(t) = Y (t) имеет единственное решение X(t) при любом Y (t) ∈ Hom (Rk , Rl ). Пусть J1 – жорданова клетка m1 × m1 , отвечающая нулевому собственному значению, типа J, а Q(t) = diag (q1 (t), ..., qn (t)) – матрица с ненулевыми попарно различными собственными значениями при всех 0 6 t 6 T. Поскольку матрица Q(t) обратима при всех 0 6 t 6 T и, кроме того, J1m1 = 0, то равенство QX − XJ1 = Y можно представить в форме X = Q−1 (Y + XJ1 ). После m1 кратного применения последнего равенства приходим к соотношению −1

X=Q

−1

(Y + XJ1 ) = Q

−1

−1

Y + Q (Q

(Y + XJ1 )) J1 = ... =

m 1 −1 X

(Q−1 )i+1 Y J1i .

i=0

Проводя аналогичные рассуждения, запишем равенство J1 X − XQ = Y в форме X = (−Y + J1 X) Q−1 , откуда X = (−Y + J1 X) Q−1 = −Y Q−1 + J1 (−Y + J1 X) (Q−1 )2 = ... = −

m 1 −1 X

J1i Y (Q−1 )i+1 .

i=0

Таким образом, получены формулы обратных операторов к трансформаторам TQ(t), J1 , TJ1 , Q(t) : −1 TQ(t), J1 Y

(t) =

m 1 −1 X

−1

i+1

(Q (t))

Y

(t)J1i ,

TJ−1 Y 1 , Q(t)

i=0

(t) = −

Равенства (4.1) влекут следующие утверждения:

m 1 −1 X

J1i Y (t) (Q−1 (t))i+1 .

(4.1)

i=0

Лемма 4.1. Уравнение TQ(t), J1 X = Q(t)X − XJ1 = Y (t) разрешимо для любой матрицы Y (t) ∈ Hom (Rm1 , Rn ). Элементы xr, j (t) матрицы X(t) ∈ Hom (Rm1 , Rn ) находятся единственным образом и характеризуются равенствами xj, r (t) =

r X

qjr−1−i (t) yj, i (t),

1 6 j 6 n,

1 6 r 6 m1 ,

0 6 t 6 T.

i=1

Лемма 4.2. Уравнение TJ1 , Q(t) X = J1 X − XQ(t) = Y (t) разрешимо для любой матрицы Y (t) ∈ Hom (Rn , Rm1 ). Элементы xr, j (t) матрицы X(t) ∈ Hom (Rn , Rm1 ) находятся единственным образом и характеризуются равенствами xr, j (t) = −

m1 X

qjr−1−i (t) yi, j (t),

1 6 r 6 m1 ,

1 6 j 6 n,

0 6 t 6 T.

i=r

4.2. Уравнение с трансформатором K0 . Введем трансформатор K0 (t) = TQ(t), Q(t) = [Q(t), . ], действующий при каждом 0 6 t 6 T в End Rn , где Q(t) = diag (q1 (t), ..., qn (t)) – матрица с ненулевыми попарно различными собственными значениями при всех 0 6 t 6 T. Так как Ker K0 (t) – это множество всех диагональных матриц, то уравнение Q(t)X − XQ(t) = Y (t) не является разрешимым для любой матрицы Y (t) ∈ End Rn . Проверяется, что Im K0 (t) состоит из всевозможных матриц с нулевой диагональю. Пусть A(t) = (ak, l (t)), k, l = 1, 2, ..., m – произвольная матрица из N. Здесь и в дальнейшем будем обозначать A0 (t) = diag (a1, 1 (t), ..., am, m (t)),

A∗ (t) = A(t) − A0 (t).

(4.2)

86

Section 1. Spectral Problems

В соответствии с представлением A(t) = A0 (t) + A∗ (t) имеем разбиение единицы I = I0 + I∗ , где A0 (t) = I0 A(t), A∗ (t) = I∗ A(t). Очевидно, что I02 = I0 , т. е. I0 , I∗ – проекторы. Лемма 4.3. Уравнение K0 (t)X(t) = Y (t) эквивалентно системе ½ I0 Y (t) ≡ 0, b 0−1 (t)I∗ Y (t), X(t) = I0 X(t) + K b 0 (t) = K0 (t) ↾ Im K0 (t). где K

b 0−1 (t)I∗ Y (t) = (yij (t)/(qi (t) − qj (t))), i 6= j. Проверяется, что если Y (t) = (yij (t)), то K

Лемма 4.4. Уравнение Q(t)X − XQ(t) = Y (t) разрешимо точно тогда, когда yi, i (t) ≡ 0, 1 6 i 6 n. При выполнении этих условий существует единственная матрица X(t) = X∗ (t), элементы xr, j (t) которой при всех 0 6 t 6 T характеризуются равенствами xr, r (t) ≡ 0,

xr, j (t) = yr, j (t)/(qr (t) − qj (t)),

r 6= j,

1 6 r 6 n,

1 6 j 6 n. (4.3)

4.3. Уравнение с трансформатором K1 . Введем трансформатор K1 = TJ, J = [J, . ], действующий в N. Из леммы 3.7 вытекает, что K1 C(t) = 0 для любой матрицы C(t) ∈ N, т. е. Ker K1 = N. Далее непосредственным образом проверяется, что Im K1 = F. Итак, справедливы прямые разложения ⊥

N = Ker K1 ⊕ U,

⊥

N = N ′ ⊕ Im K1 ,

N = M ⊕ Im K1 ,

N = M ⊕ Im K1

(M = Coker K1 )

причем оба подпространства N ′ , M могут претендовать на роль Coker K1 . Из двух разложений, содержащих Im K1 , для наших целей предпочтительнее последнее, поскольку в матрицах из M имеется наименьшее число ненулевых элементов. Таким образом, ниже будут использоваться прямые разложения ⊥

N = Ker K1 ⊕ U,

(4.4)

и соответствующие разбиения единиц

I = (I − Q) + Q,

I = (I − P ) + P.

(4.5)

Лемма 4.5. Уравнение K1 X(t) = Y (t) эквивалентно системе ½ (I − P )Y (t) = 0, b 1−1 P Y (t), X(t) = (I − Q)X(t) + K b 1 = K1 ↾ U. где K

Поскольку (I − P )Y (t) – матрица m × m, ненулевые элементы которой занимают m - ю Y Y Y строку и равны γ1−m (t), γ2−m (t), ..., γ−1 (t), γ0Y (t), то лемму 4.5 теперь можно переформулировать таким образом:

Лемма 4.6. Уравнение K1 X(t) = Y (t) разрешимо точно тогда, когда γiY (t) ≡ 0, 1 − b m 6 i 6 0. При выполнении этих условий существует единственное решение X(t) из U, b X обладающее свойством γi (t) ≡ ≡ 0, 0 6 i 6 m − 1. (0)

(0)

Пример 4.1. Пусть Y (t) = U1−n (t), 2 6 n 6 m − 1, причем γ1−n (t) ≡ 0. Так как условие (0) разрешимости из леммы 4.6 выполнено, то, обозначив элементы матрицы U1−n (t) через m 1 X (0) (0) (0) σn−1+r, r (t), найдем решение σr+n−1, r (t), 1 6 r 6 m1 + 1 и заметив, что σm, m1 +1 (t) ≡ − r=1

b b = Ω−n (t) = (ωn+r, r (t)), где X(t) из U. Проверяется, что X(t) r X (0) σn−1+l, l (t), 1 6 r 6 m1 . ωn+r, r (t) = l=1

(4.6)

87

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils 5. Операторы Коши некоторых вспомогательных уравнений в случае простого спектра предельной матрицы 5.1. Дифференциальные уравнения с диагональным пучком. Введем матрицы Q(t) = diag (λ1 (t), ..., λm (t)),

(5.1)

Qr (t) = diag (qr, 1 (t), ..., qr, m (t)), r ∈ N, F (t, ε) =

∞ X

εr−1 Qr (t).

(5.2)

r=1

Предположение 5.1. Матрица Q(t) имеет простой спектр на отрезке [0, T ]. Рассмотрим уравнение ˙ = (Q(t) − εF (t, ε)) W, εW

0 6 t 6 T.

(5.3)

Лемма 5.1. Пусть выполнено предположение 5.1. Тогда решением уравнения (5.3) c диагональным матричным пучком Q(t)−εQ1 (t)−ε2 Q2 (t)−ε3 ... является матричная функция W (t, ε) = diag (eµ1 (t, ε) , ..., eµm (t, ε) ) C(ε),

(5.4)

где матрица C(ε) произвольна и µi (t, ε) = ε

−1

Zt 0

(λi (τ ) −

∞ X

εr qr, i (τ )) dτ,

1 6 i 6 m.

(5.5)

r=1

Следствие 5.1. Если выполнено предположение 5.1 и в уравнении (5.3) диагональные матрицы Q(t), Qr (t), r ∈ N постоянные, то скалярные функции µi (t, ε) определяются равенствами ∞ X εr qr, i ), 1 6 i 6 m. (5.6) µi (t, ε) = (t/ε) (λi − r=1

Рассмотрим задачу Коши W (0, ε) = I для уравнения (5.3), тогда ее решение является оператором Коши. Справедлива

Лемма 5.2. Если выполнено предположение 5.1, то оператор Коши уравнения (5.3) имеет вид W0 (t, ε) = diag (eµ1 (t, ε) , ..., eµm (t, ε) ), (5.7) где скалярные функции µi (t, ε) определяются соотношениями (5.5). Следствие 5.2. Если выполнено предположение 5.1, то оператором Коши укороченного уравнения ˙ = (Q(t) − εQ1 (t))W εW является матричная функция (5.7) со скалярными функциями µi (t, ε) вида (5.5) при qr, i (τ ) ≡ 0, r > 2, 1 6 i 6 m. Рассмотрим задачу Коши W(0, ε) = I для уравнения ˙ = −W (Q(t) − εF (t, ε)), εW 06t6T

(5.8)

союзного по отношению к (5.3).

Лемма 5.3. Если выполнено предположение 5.1, то оператор Коши уравнения (5.8) имеет вид W0 (t, ε) = diag (e−µ1 (t, ε) , ..., e−µm (t, ε) ), (5.9) где скалярные функции µi (t, ε) определяются соотношениями (5.5).

88

Section 1. Spectral Problems

5.2. Дифференциальное уравнение с линейным пучком. Пусть выполнено предположение 5.1. Обратимся к уравнению ˙ = (Q(t) − εA(t)) W, εW 06t6T (5.10)

с матрицей Q(t) из (5.1), полной матрицей A(t) и построим оператор Коши для него. Представим A(t) = (σi, j (t)) по формуле (4.3) в виде суммы ее диагонали Q1 (t) = A0 (t) и матрицы A∗ (t) с нулевой диагональю. Запишем уравнение (5.10) в форме ˙ = (Q(t) − εQ1 (t)) W − εA∗ (t) W, εW

06t6T

и воспользуемся методом вариации. Тогда решение уравнения (5.10) согласно следствию 5.2 представимо в виде W (t, ε) = W0 (t, ε) C(t, ε), (5.11) где µi (t, ε) = ε−1

Zt

(λi (τ ) − εσi, i (τ )) dτ, 1 6 i 6 m,

(5.12)

0

и матричная функция C(t, ε) с условием C(0, ε) = I подлежит определению. Подставляя (5.10) в (5.11) и замечая, что диагональные матрицы Q(t)−εA0 (t) и W0 (t, ε) коммутируют, получаем задачу Коши C˙ = −W −1 (t, ε) A∗ (t) W0 (t, ε) C(t, ε), C(0, ε) = I. (5.13) 0

Представим решение задачи (5.13) в виде C(t, ε) = I −

Zt

W0−1 (τ, ε) A∗ (τ ) W0 (τ, ε) C(τ, ε) dτ.

(5.14)

0

Подставив (5.14) в (5.11), находим, что оператор Коши W (t, ε) уравнения (5.10) является решением интегрального уравнения W (t, ε) = W0 (t, ε) −

Zt

W0 (t − τ, ε) A∗ (τ ) W (τ, ε) dτ.

(5.15)

0

Покажем, что уравнение (5.15) имеет единственное ограниченное решение W (t, ε) при всех 0 6 t 6 T. С этой целью произведем замену W (t, ε) = W0 (t, ε) + K(t, ε), где K(0, ε) = 0. Тогда (5.15) примет вид интегрального уравнения K(t, ε) = −

Zt

W0 (t − τ, ε) A∗ (τ ) (K(τ, ε) + W0 (τ, ε)) dτ

(5.16)

0

относительно матричной функции K(t, ε). Введем банахово пространство C(N) = C(N, [0, T ]) непрерывных на [0, T ] матричных функций K(t) со значениями из N и нормой |||K||| = max kK(t)k. t∈[0, T ]

(5.17)

Рассмотрим оператор ∆ε , 0 < ε 6 ε0 , ставящий в соответствие матрице K ∈ C(N) матрицу ∆ε K ∈ C(N), и определим его равенством ∆ε K = −

Zt 0

W0 (t − τ, ε) A∗ (τ ) (K(τ, ε) + W0 (τ, ε)) dτ.

(5.18)

89

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils Обозначим µi (t, τ, ε) = µi (t, ε) − µi (τ, ε) = ε−1

Zt

(λi (s) − εσi, i (s)) ds,

16i6m

(5.19)

τ

и заметим, что элементами матрицы W0 (t − τ, ε) A∗ (τ ) c нулевой диагональю являются скалярные функции exp(µi (t, τ, ε)) σi, j (τ ), i 6= j, 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 m.

Определение 5.1. Матрица Q(t) называется устойчивой на отрезке [0, T ], если при всех 0 6 t 6 T выполняется неравенство max Re λi (t) 6 −α < 0.

(5.20)

16 i6 m

Предположение 5.2. Матрица Q(t) является устойчивой на отрезке [0, T ]. Пусть 0 < ε 6 ε0 , тогда при выполнении условия (5.20) имеем µi (t, τ, ε)

|e

|6e

1 ε

Rt

Re (λi (s)−εσi, i (s))ds

τ

6 M e−(α/ε0 )

(t−τ )

.

(5.21)

Оценим разность значений оператора ∆ε : Zt ||| ∆ε K1 − ∆ε K1 ||| = max k W0 (t − τ, ε) A∗ (τ ) (K1 (τ, ε)− t∈[0, T ]

0

−K2 (τ, ε))dτ k 6 |||A∗ ||| ||| K1 − K2 |||M max

t∈[0, T ]

Zt

e−(α/ε0 )

(t−τ )

dτ.

0

Поскольку max

t∈[0, T ]

Zt

e−(α/ε0 )

(t−τ )

dτ 6 ε0 /α и ||| A∗ ||| 6 N∗ , то

0

||| ∆ε K1 − ∆ε K1 ||| 6 ε0 (M N∗ /α) ||| K1 − K2 ||| < ||| K1 − K2 |||

(5.22)

при всех 0 < ε 6 ε0 . Элементами матрицы W0 (t−τ, ε) A∗ (τ ) W0 (τ, ε) c нулевой диагональю являются скалярные функции exp(µi (t, τ, ε)) exp(µj (τ, 0, ε))σi, j (τ ), i 6= j, 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 m. Согласно предположению 5.2 имеем | exp(µj (τ, 0, ε))| 6 1, 1 6 j 6 m, значит, Zt ||| ∆ε 0||| = max k W0 (t − τ, ε) A∗ (τ ) W0 (τ, ε) dτ k 6 ε0 (M N∗ /α). (5.23) t∈[0, T ]

0

Из неравенств (5.22), (5.23) находим, что ||| ∆ε K||| 6 ||| ∆ε 0||| + ||| ∆ε K − ∆ε 0||| 6 ε0 (M N∗ /α) (||| K||| + 1).

(5.24)

Если ε0 достаточно мало, то, взяв |||K||| 6 η, приходим к |||∆ε K||| 6 η при всех 0 < ε 6 ε0 . С учетом (5.22) здесь оказывается применимым принцип сжатых отображений, согласно которому существует единственное решение K(t, ε) в шаре достаточно малого радиуса η. В свою очередь, это означает, что на отрезке [0, T ] существует единственное ограниченное решение W (t, ε) интегрального уравнения (5.15). При этом kW (t, ε)k 6 kW0 (t, ε)k + kK(t, ε)k 6 N0 e−(α/ε0 )t + k ε0 ,

0 6 t 6 T,

(5.25)

где положительные постоянные N0 , k не зависят от ε. Нами получена

Теорема 5.1. Пусть для матрицы Q(t) выполнены предположения 5.1, 5.2. Тогда оператор Коши W (t, ε) уравнения (5.10) существует на всем отрезке [0, T ], удовлетворяет интегральному уравнению (5.15) и подчиняется оценке (5.25).

90

Section 1. Spectral Problems

Замечание 5.1. Предположение 5.1 в теореме 5.1 является основным. В то же время, не ограничивая общности, можно всегда считать выполненным предположение 5.2, поскольку замена t − 1ε

R

λ0 (τ ) dτ

W (t, ε) = e 0 X(t, ε), 06t6T с Re λ0 (t) 6 − max Re λi (t) − α < 0 приводит (5.10) к уравнению 16 i6 m

εX˙ = (Q(t) + λ0 (t)I − εA(t)) X,

0 6 t 6 T,

для которого предположение 5.2 выполнено.

5.3. Дифференциальное уравнение с трансформатором. Пусть для матрицы Q(t) выполнены предположения 5.1, 5.2. Рассмотрим уравнение ˙ = (Q(t) − εA(t))W − W (Q(t) − εF (t, ε)) = (K0 (t) − εTA(t), F (t, ε) )W. εW (5.26) Как и в [?, гл. III, §1, п.6], показывается, что оператором Коши для него служит трансформатор U(t, ε) W = UI (t, ε) W UII (t, ε), U(0, ε) W = W, (5.27) где UI (t, ε) – оператор Коши уравнения (5.10), о котором шла речь в теореме 5.1, а UII (t, ε) – оператор Коши вида (5.9) уравнения (5.8). Действительно, продифференцируем (5.27) по t и умножим на ε, получим dUI dUII dU W =ε W UII + UI W ε = (Q − εA) UI (t, ε) W UII (t, ε) − ε dt dt dt −UI (t, ε) W UII (t, ε) (Q − εF ) = (Q − εA) U(t, ε) W − U(t, ε) W (Q − εF ). Отсюда следует, что любое решение неоднородного уравнения ˙ = (K0 (t) − εTA(t), F (t, ε) ) W + εR(t, ε) εW (5.28)

можно записать в виде

W (t, ε) = U(t, ε) W (0, ε) +

Zt

U(t − s, ε) R(s, ε) ds =

0

= UI (t, ε) W (0, ε) UII (t, ε) +

Zt

UI (t − s, ε) R(s, ε) UII (t − s, ε) ds.

(5.29)

0

6. Матрица подобия I + ξZ(t, ξ) Пусть матрица Q(t) = diag (q1 (t), ..., qm (t)), имеющая простой спектр на отрезке [0, T ], возмущена некоторым малым слагаемым, являющимся полной матрицей. В соответствии с п. 4.2 возьмем матрицу Z(t, ξ) = Z∗ (t, ξ) с нулевой диагональю и рассмотрим преобразование подобия I + ξZ(t, ξ), в котором ξ – малый параметр. 6.1. Преобразование линейного пучка. В § 7 речь пойдет о диагонализации с помощью матрицы I + ξZ(t, ξ) линейного матричного пучка Q(t) − ξA(t) при qj (t) = λj (t), 1 6 j 6 m, ξ = ε. Для корректности этой процедуры потребуем, чтобы при всех 0 6 t 6 T выполнялось равенство ˙ = Q − ξG, (I + ξZ)−1 [(Q − ξA) (I + ξZ) − ξ 2 Z] (6.1)

где Q(t) − ξG(t, ξ) – некоторая диагональная матрица. Равенство (6.1) выполнено, если существует единственное ограниченное решение дифференциального уравнения ξ Z˙ = (K0 (t) − ξTA(t), G(t, ξ) ) Z − A(t) + G(t, ξ) (6.2) относительно Z(t, ξ) = Z∗ (t, ξ) при всех 0 6 t 6 T и всех достаточно малых ξ.

91

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils

Замечание 6.1. Если матрица A(t) оказывается диагональной в базисе {er }, то считаем Z∗ (t, ξ) ≡ 0. Примем ξ = 0 в (6.2), получим матричное уравнение K0 (t) Z∗ (t, 0) = A(t) − G(t, 0),

(6.2)0

из которого согласно лемме 4.6 находим Q1 (t) = G(t, 0) = A0 (t),

b 0−1 (t) A∗ (t). Z∗(1) (t) = Z∗ (t, 0) = K

(6.3)

Z∗ (t, ξ) = Z∗(1) (t) + Ψ(t, ξ),

(6.4)

Следовательно, в неизвестной доселе матрице G(t, ξ) можно взять Q1 (t) = A0 (t) = = diag (σ1, 1 (t), ...σm, m (t)). Положим G(t, ξ) = A0 (t) + G0 (t, ξ),

заметим, что G0 (t, 0) ≡ 0, Ψ(t, 0) ≡ 0 и подставим (6.4) в (6.1). После преобразований от (6.1) перейдем к уравнению ´ ³ ˙ = (K0 (t) − εTA(t), G(t, ε) )Ψ − ε Z˙ ∗(1) + TA(t), G(t, ε) )Z∗(1) + G0 (t, ε) (6.5) εΨ

с G0 (t, 0) ≡ 0. Если выполнено дополнительное предположение об устойчивости матрицы Q(t) на [0, T ], то оператор Коши соответствующего однородного уравнения построен в п. 5.3. Тогда решение уравнения (6.5) существует на [0, T ], единственно и представимо по формуле (5.29). Значит, на [0, T ] существует единственное ограниченное решение дифференциального уравнения (6.2). Имеет место

Теорема 6.1. Пусть матрица Q(t) удовлетворяет предположениям 5.1, 5.2. Тогда существует единственное ограниченное на [0, T ] решение уравнения (6.1) при некоторой диагональной матрице G(t, ξ). 6.2. Преобразование полиномиального пучка. В § 16 предстоит осуществить переход от уравнения ! Ã m+n−2 X ˙ = (Q(t) − ξG(t, ξ)) Ψ = Q(t) − ξ i G(i) (t) Ψ, ξ = ε1/n (6.6) ξ n−1 Ψ i=1

˙ = (Q(t) − ξG(t, ξ)) W с диагональс полными матрицами G(i) (t) к уравнению ξ n−1 W ным пучком. Отметим, что оператор Коши уравнения (6.6) строится по схеме п. 5.2, и потребуем, чтобы при всех 0 6 t 6 T выполнялось равенство ˙ = Q − ξG, (I + ξZ)−1 ((Q − ξG) (I + ξZ) − ξ n Z)

(6.7)

где G(t, ξ) – некоторая диагональная матрица. В свою очередь, равенство (6.7) будет выполняться, если существует единственное ограниченное решение дифференциального уравнения ξ n−1 Z˙ = (K0 (t) − ξTG(t, ξ), G(t, ξ) ) Z − G(t, ξ) + G(t, ξ) (6.8) относительно Z(t, ξ) = Z∗ (t, ξ) при всех 0 6 t 6 T и всех достаточно малых ξ. Действуя далее, как в п. 6.1, получаем следующее утверждение:

Теорема 6.2. Пусть матрица Q(t) удовлетворяет предположениям 5.1, 5.2. Тогда существует единственное ограниченное на [0, T ] решение уравнения (6.7) при некоторой диагональной матрице G(t, ξ).

92

Section 1. Spectral Problems 7. Об операторе Коши уравнения с малым параметром при производной. Случай простого спектра

7.1. Уравнение в конечномерном пространстве. Обратимся к задаче Коши ˙ = (D0 (t) − εD1 (t)) W, εW

W (0, ε) = I,

06t6T

(7.1)

с матрицей D0 (t), имеющей простой спектр. Уравнение (7.1) служит непосредственным обобщением уравнения (5.10). Как в п. 2.1, введем матрицы Φ(t), H(t). Тогда спектры подобных матриц D0 (t) и Q(t) совпадают и Q(t) = Φ−1 (t)D0 (t)Φ(t),

˙ H(t) = Φ−1 (t)Φ(t).

(7.2)

Будем искать решение задачи (7.1) в форме W (t, ε) = S(t, ε) W0 (t, ε) S−1 (0, ε),

W0 (0, ε) = I,

(7.3)

где W0 (t, ε) – оператор Коши уравнения (5.3), а оператор-функция S(t, ε) подлежит определению в дальнейшем. Подставив (7.3) в (7.1), приходим к равенству ˙ ˙ 0 = S−1 (t, ε) [(D0 (t) − εD1 (t)) S(t, ε) − εS(t, εW ε)] W0 .

(7.4)

На первом шаге алгоритма полагаем S(t, ε) = Φ(t) SI (t, ε). Тогда ˙ ˙ I (t, ε), Φ−1 (t) εS(t, ε) = εH(t) SI (t, ε) + εS откуда в согласии с (2.4) получаем

˙ I (t, ε)] W0 . ˙ 0 = S−1 (t, ε) [(Q(t) − εA(t)) SI (t, ε) − εS εW I

(7.5)

Привлечение матрицы Φ(t) позволило заменить главную матрицу D0 (t) пучка, являющуюся диагональной в базисе {ϕr }, диагональной матрицей Q(t) в базисе {er }. На втором шаге алгоритма примем SI (t, ε) = I + εZ∗ (t, ε), где Z∗ (t, ε) – матрица с ˙ I (t, ε) = ε2 Z˙ ∗ (t, ε), то (7.5) записывается нулевой диагональю (см. п. 4.3). Поскольку εS в форме ˙ 0 = (I + εZ∗ )−1 [(Q − εA) (I + εZ∗ ) − ε2 Z˙ ∗ ] W0 . εW (7.6)

Далее с помощью матрицы I + εZ∗ (t, ε) диагонализуем в базисе {er } младшие члены матричного пучка. С этой целью потребуем, чтобы выполнялось равенство (6.1) с ξ = ε, G ≡ F при всех 0 6 t 6 T и всех достаточно малых ε, 0 < ε 6 ε0 . Тогда уравнение (7.6) примет вид рассмотренной выше задачи (5.3). Это произойдет, если существует единственное ограниченное решение дифференциального уравнения (6.2). Таким образом, мы оказались в условиях п. 6.1, согласно которому справедлива Теорема 7.1. Пусть матрица D0 (t) удовлетворяет предположениям 5.1, 5.2. Тогда решением задачи (7.1) является матричный пучок (7.3), в котором S(t, ε) = Φ(t) (I + εZ∗ (t, ε)),

(7.7)

а матрица W0 (t, ε) определяется из следствия 5.2. В частном случае, когда в (7.1) матрица D0 (t) является диагональной в базисе {er }, т. е. когда D0 (t) = Q(t), вместо матрицы Φ(t) следует взять тождественное преобразование I и положить A(t) = D1 (t). Тогда W (t, ε) = (I + εZ∗ (t, ε)) W0 (t, ε) (I + εZ∗ (0, ε))−1 .

(7.8)

Следствие 7.1. Если матрица D0 (t) имеет простой спектр и к тому же является диагональной, то A(t) = D1 (t), и решение задачи (7.1) имеет вид (7.8).

93

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils

7.2. Асимптотика оператора Коши. Пусть для матрицы D0 (t) выполнено предположение 5.1. Получим явный вид решения уравнения εZ˙ = (K0 (t) − εTA(t), F (t, ε) ) Z − A(t) + F (t, ε), (7.9) положив

Z∗ (t, ε) =

∞ X

εi Z∗(i+1) (t).

(7.10)

i=0 (i) Z∗ (t),

Для нахождения неизвестных матриц Qi (t), i ∈ N запишем (7.9) в виде εZ˙ ∗ = (K0 − εTA, Q1 ) Z∗ + ε2 Z∗ (Q2 + εQ3 + ε2 ...) + (Q1 − A) + εQ2 + ε2 Q3 + ε3 ... (7.11)

и приравняем коэффициенты при εi , i ∈ N. В результате придем к системе уравнений K0 Z∗(1) = A−Q1 , K0 Z∗(2) = Z˙ ∗(1) +TA, Q1 Z∗(1) −Q2 , K0 Z∗(3) = Z˙ ∗(2) +TA, Q1 Z∗(2) −Z∗(1) Q2 −Q3 , ... , (7.12) решаемых последовательно с помощью леммы 4.6. Напомним, что Q(t) = diag (λ1 (t), ..., λm (t)), и если A(t) = (σij (t)), то, как указано в п. 4.3, b 0−1 A∗ (t) = ((λi (t) − λj (t))−1 σij (t)), K

i 6= j,

1 6 i 6 m,

1 6 j 6 m.

В итерационной процедуре одновременно находятся матрицы Qi (t) из условий разреши(i) мости уравнений (7.12), а также матрицы Z∗ (t), служащие решениями этих уравнений: b −1 I∗ A, Q1 = I0 A, Z (1) = K Q2 = I0 (TA, Z∗(2)

Q1

Z∗(1) ),

Z∗(1) Q2 ),

∗

0

b 0−1 I∗ (Z˙ ∗(1) + TA, Q1 Z∗(1) ), Z∗(2) = K b 0−1 I∗ (Z˙ ∗(2) + TA, Q1 Z∗(2) − Z∗(1) Q2 ) Z∗(3) = K

Q3 = I0 (TA, Q1 − (7.13) и т. д. Таким образом, решение W (t, ε) задачи (7.1), заданное формулами (7.3), (7.7), может быть определено с любой наперед заданной точностью. На основании леммы 5.1 получаем следующее утверждение: Теорема 7.2. Пусть матрица D0 (t) удовлетворяет предположению 5.1. Тогда формальным решением задачи (7.1) является матричный пучок (7.3), в котором матрицы (i) Qi , Z∗ находятся из соотношений (7.13). В прикладных задачах широкое применение находят формулы асимптотических разложений решений векторных дифференциальных уравнений, в которых используется асимптотическое разложение оператора Коши. Преобразуем W (t, ε), получив вначале представление для (I + εZ∗ (0, ε))−1 . С этой целью положим (I + εZ∗ (ε))−1 = I + εK1 + ε2 K2 + ε2 K2 + ...

(7.14)

и найдем постоянные матрицы Ki , i ∈ N из равенства

(I + εZ∗(1) + ε2 Z∗(2) + ...) (I + εK1 + ε2 K2 + ε3 K3 + ...) = I.

Приравняем коэффициенты при εi , i ∈ N, придем к системе K1 + Z∗(1) = 0,

Отсюда

K1 = −Z∗(1) ,

и, значит,

K2 + Z∗(1) K1 + Z∗(2) = 0,

K2 = −Z∗(2) + (Z∗(1) )2 ,

K3 + Z∗(1) K2 + Z∗(2) K1 + Z∗(3) = 0, ... .

K3 = −Z∗(3) + Z∗(2) Z∗(1) + Z∗(1) Z∗(2) − (Z∗(1) )3 , ... , (7.15)

(I + εZ∗ (0, ε))−1 = I − εZ∗(1) (0) − ε2 (Z∗(2) (0) − (Z∗(1) (0))2 )− −ε3 (Z∗(3) (0) − Z∗(2) (0)Z∗(1) (0) − Z∗(1) (0)Z∗(2) (0) + (Z∗(1) (0))3 ) − ε4 ... . Подставляя (7.7), (7.14) в (7.3), получаем, что W (t, ε) = Φ(t) {W0 − ε(W0 Z∗(1) (0) − Z∗(1) (t)W0 ) − ε2 (W0 Z∗(2) (0) − Z∗(2) (t)W0 −

94

Section 1. Spectral Problems −(W0 Z∗(1) (0) − Z∗(1) (t)W0 ) Z∗(1) (0)) − ε3 ...} Φ−1 (0). Поскольку W0 (0, ε) = I и [I, A] = 0 для любой матрицы A, то W (0, ε) = I.

(7.16)

Теорема 7.3. Если матрица D0 (t) имеет простой спектр, то решение задачи (7.1) представимо в форме асимптотического разложения (7.16) по целым степеням ε с матри(i) цами Qi , Z∗ , определяемыми соотношениями (7.13). В частном случае, когда матрицы D0 , D1 постоянные, матрицы Φ, A также являются постоянными, и W (t, ε) = exp(ε−1 (D0 − εD1 ) t). Следствие 7.2. Если матрицы D0 , D1 постоянные и D0 имеет простой спектр, то формула (7.16) с учетом (5.6) принимает вид exp(ε−1 (D0 −εD1 ) t) = Φ {W0 −ε[W0 , Z∗(1) ]−ε2 ([W0 , Z∗(2) ]−[W0 , Z∗(1) ] Z∗(1) )−ε3 ...} Φ−1 . (7.17)

Замечание 7.1. Если матрица I0 A(t) зависит от t, а разности λi (t) − λj (t), i 6= j вме(1) сте с матрицей I∗ A(t) не зависят от t, то Z∗ – постоянная матрица. При этом матрицы (i) Z∗ (t), i = 2, 3, ... , вообще говоря, не являются постоянными.

7.3. Уравнение в сепарабельном гильбертовом пространстве. Случай стабильного спектра. Пусть E – сепарабельное гильбертово пространство и пусть A(t) – линейный замкнутый симметрический оператор, действующий при каждом t ∈ [0, T ] в E и такой, что 10 область определения D(A) оператора A(t) не зависит от t и плотна в E; 20 оператор A(t) сильно непрерывен на D(A) (см. [?, гл. II, § 1]); 30 задача Коши ε x˙ = A(t) x,

x(0, ε) = x0 ∈ E,

06t6T

(7.18)

равномерно корректна [?, гл. II, § 3] при любом ε ∈ (0, ε0 ]; 40 спектр оператора A(t) при всех 0 6 t 6 T стабилен, т. е. удовлетворяет соотношениям λi (t) 6= λj (t), i 6= j; i, j ∈ N; 50 при каждом t ∈ [0, T ] существует ограниченный оператор A−1 (t). Как известно [?, гл. IV, п. 53], A(t) допускает матричное представление в некотором ортонормированном базисе, принадлежащем плотному в E множеству D(A). Рассмотрим задачу Коши ε u˙ = A(t) u + f (t),

u(0, ε) = u0 ∈ E,

0 6 t 6 T.

(7.19)

Общее решение уравнения (7.19) будем, как обычно, искать в виде суммы общего решения u¯(t, ε) уравнения (7.18) и частного решения u∗ (t, ε) уравнения (7.19). Непосредственно проверяется, что если потребовать от A−1 (t) и функции f (t) непрерывной дифференцируемости бесконечного порядка, то ¶r µ ∞ X d −1 r ∗ A−1 (t) f (t). (7.20) ε A (t) u (t, ε) = − dt r=0 Решение u¯(t, ε) ищем в форме

u¯(t, ε) = W (t, ε) c(ε), где c(ε) – произвольный вектор, а оператор Коши W (t, ε) является решением задачи ˙ = A(t) W, εW W (0, ε) = I, 0 6 t 6 T. (7.21) Схема построения оператора Коши W (t, ε) и его асимптотики совпадает с соответствующими результатами из п.п. 7.1, 7.2 с учетом естественных обобщений и поправок. Так,

95

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils

оператор W (t, ε) определен на D(A) и ограничен при каждом фиксированном t. Следовательно, по непрерывности его можно расширить на все пространство E, сохранив прежнее обозначение [?, гл. II, § 3]. Поскольку оператор A(t) обратим при всех 0 6 t 6 T, то он преобразует любой ортонормированный базис пространства E в другой базис (Рисса) из E. Выбирая собственные векторы ϕk (t), отвечающие собственным значениям λk (t), в качестве базиса Рисса в E, построим из векторов ϕk (t), записанных в столбцы, матрицу Φ(t), ˙ а также матрицы A(t) = Φ−1 (t)Φ(t), Q(t) = Φ−1 (t) A(t) Φ(t). В формуле (7.3) примем W0 (t, ε) = diag (eµ1 (t, ε) , eµ2 (t, ε) , ..., eµm (t, ε) , ...), Zt ∞ X −1 εr qr, i (τ )) dτ, i ∈ N. (λi (τ ) − µi (t, ε) = ε 0

(7.22) (7.23)

r=1

Теорема 7.4. Формальным решением задачи (7.19) в пространстве E c операторфункцией A(t), подчиняющейся условиям 10 − 50 , является оператор-функция W (t, ε) вида (7.3), где W0 (t, ε) определяется из (7.22), а µi (t, ε) – из (7.23). 7.4. Уравнение Шредингера. В качестве примера рассмотрим уравнение Шредингера для гармонического осциллятора с положением равновесия, изменяющимся с течением времени, вида ∂u ∂ 2 u iε − 2 + (x2 + 2tx + 2t2 ) u = h(x, t) (7.24) ∂t ∂x в тех же предположениях, как в монографии [?, гл. 8, §3, п.2]. В начальный момент времени t = 0 волновая функция известна: u(x, 0) = ρ(x).

(7.25)

Уравнение (7.24) примет вид (7.18), если ввести обозначения ∂2 − ((x + t)2 + t2 ), D(B) = L2 (R, E), A = −iB, f = −ih. (7.26) ∂x2 Ниже (см. замечание 7.4) указывается, что спектр оператора A(t) расположен на мнимой оси. Чтобы остаться в рамках схемы из п.п. 7.1, 7.2, обозначим εe = iε и взамен (7.18) рассмотрим уравнение εe u˙ = B(t) u + h(t). (7.27) ∗ Согласно (7.20) частное решение u (t, ε) имеет вид µ ¶r ∞ X d ∗ r −1 u (t, ε) = − εe B (t) B −1 (t) h(t). (7.28) dt r=0 B=

Как показано в п.п. 7.1, 7.2, основную роль в построении общего решения u¯(t, ε) = W (t, ε) c(ε) играет структурная матрица A(t). Поэтому вначале следует найти собственные значения λk (t) и соответствующие собственные векторы ϕk (t) оператора B. Устанавливается, что λk (t) = −(t2 + 2k − 1),

ϕk (z) = exp(−z 2 /2)Hk−1 (z),

z = x + t,

k ∈ N,

(7.29)

т. е. ϕk (z) – функции Эрмита с многочленами Hk−1 (z) Чебышева-Эрмита, являющимися решениями дифференциальных уравнений d2 Hk−1 dHk−1 + 2(k − 1)Hk−1 = 0, k ∈ N, − 2z 2 dz dz для которых справедливы соотношения dHk = 2kHk−1 , k ∈ N. (7.30) Hk+1 = 2(zHk − kHk−1 ), dz Замечание 7.2. Оператор B(t) является устойчивым при 0 6 t 6 T.

96

Section 1. Spectral Problems

Замечание 7.3. В качестве собственных функций можно выбрать ϕk (x, t) = exp((−xt − x2 )/2) Hk−1 (x + t),

с теми же многочленами Hk−1 (x + t) Чебышева-Эрмита.

k∈N

Замечание 7.4. Собственными значениями оператора A(t) служат скалярные функции −iλk (t) = = i(t2 + 2k − 1), k ∈ N. Составим матрицу Φ(t) из столбцов ϕ1 (t), ϕ2 (t), ... , тогда Φ−1 (t) B(t) Φ(t) = Q(t) = diag (λ1 (t), λ2 (t), ..., λm (t), ...). Для построения матрицы A(t) = Φ−1 (t)Φ(t) нужно знать координаты разложений век∂ϕr по базису {ϕr }. В силу (7.30) имеем торов ∂t ∂ϕ1 1 ∂ϕk 1 = tϕ1 − ϕ2 , = (k − 1)ϕk−1 + tϕk − ϕk+1 , k > 2, (7.31) ∂t 2 ∂t 2 поэтому матрица A(t) = (σrj (t)) является трехдиагональной. При этом σr, r (t) = t, σr+1, r (t) ≡ −1/2, σr, r+1 (t) = r, r ∈ N, т. е. I0 A(t) = U0 = tI, U−1 ≡ −(1/2)J ′ , где J – однодиагональная бесконечномерная матрица, все ненулевые элементы которой располагаются над диагональю и равны 1, J ′ – сопряженная к J матрица. Поскольку (λr (t) − λj (t))−1 = −2/(r − j), r 6= j, то ¶ µ σ (t) rj −1 b 0 I∗ A(t) = − , r 6= j, r, j ∈ N. (7.32) K 2(r − j) (1)

(1)

Непосредственно проверяется, что Q1 = tI, а постоянная матрица Z∗ = (zr, j ) является (1) (1) (1) двухдиагональной: zr+1, r ≡ 1/4, zr, r+1 = r/2, r ∈ N. Далее вычисляется TA, Q1 Z∗ , (1) (2) (2) откуда находится Q2 = I0 (TA, Q1 Z∗ ) ≡ (1/4) I. Постоянная матрица Z∗ = (zr, j ) является (2) (2) двухдиагональной: zr+2, r ≡ 1/32, zr, r+2 = r(r + 1)/8, r ∈ N. (r) Продолжив рассуждения, можно найти матрицы Qr (t), Z∗ (t) при любом r > 3. Так как εe = iε, то в силу (7.23), (7.29), имеем µ ¶ t2 t i t3 −1 + (2k − 1) t − − iε + ε2 ... , k ∈ N. (7.33) εe µk (t, ε) = ε 3 2 4 Следовательно,

u¯(t, ε) = Φ(t) {W0 − εe [W0 , Z∗(1) ] − εe 2 ...} Φ−1 (0) c(ε),

где

W0 = exp Таким образом,

µ

¶ ´ ³ 2i 4i 2mi i t3 t2 t t t t 2 ε ε ε , ... . ( − t) − − iε + ε ... diag e , e , ..., e ε 3 2 4

(7.34)

(7.35)

d −1 B (t) h(t)}−e ε 2 ... . dt (7.36) Если волновая функция ρ(x) не зависит от ε, то, полагая t = 0 в (7.36), получаем

u(t, ε) = Φ(t) W0 Φ−1 (0) c −B −1 (t) h(t)−e ε {Φ(t) [W0 , Z∗(1) ] Φ−1 (0) c+B −1 (t)

c = ρ(x) + B −1 (0) h(0).

(7.37)

Значит, нулевое приближение записывается в виде uε, 0 (x, t) = Φ(t) W0 Φ−1 (0) (ρ(x) + B −1 (0) h(0)) − B −1 (t) h(t),

(7.38)

97

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils где

µ µ 3 ¶ ¶ ´ ³ 2i 4i 2mi i t t2 t t t ε ε ε , ... , (7.39) W0 = exp −t − diag e , e , ..., e ε 3 2 и совпадает с формулой (8.44) из [?], записанной там в координатной форме. Действительно, оператор B(t) в базисе {ϕk (t)} представляется в виде диагональной матрицы с элементами λk (t), k ∈ N из (7.29). Значит, оператор B −1 (t) в базисе {ϕk (t)} является диагональной матрицей с элементами λ−1 k (t), k ∈ N. Обозначив координаты разложения вектора h в базисе {ϕk } через hk и воспользовавшись равенством ∞ ∂ϕk X = σr, k ϕr , k ∈ N, ∂t r=1 находим, что ! Ã ∞ ∞ ∞ X X X d ∂ h k ϕk ϕk , B −1 B −1 h = λ−1 λ−1 (λ−1 B −1 h = r hr σk, r k k hk ) + λ dt ∂t k r=1 k=1 k=1

и т. д. Первое приближение uε, 1 (x, t) (его нет в [?]) с учетом замечания 7.2 имеет вид uε, 1 (x, t) = Φ(t)W0 Φ−1 (0)(ρ(x) + B −1 (0)h(0)) − B −1 (t)h(t)− ¶ d −1 (1) −1 −1 −1 −e ε Φ(t)[W0 , Z∗ ]Φ (0)(ρ(x) + B (0)h(0)) + B (t) B (t)h(t) , dt где εe = iε и µ µ 3 ¶ ¶ ´ ³ 2i 4i 2mi i t t2 t W0 = exp − t − − iε diag e ε t , e ε t , ..., e ε t , ... . ε 3 2 4 µ

(7.40)

(7.41)

Замечание 7.5. Используемый здесь алгоритм в отличие от [?] не содержит этапов, содержащих процедуру решения дифференциальных уравнений. Это связано с предложенным способом выбора скалярных функций qr, j (t), составляющих матрицы Qr (t), r ∈ N. 8. Матрица подобия I + Ω−n (t) Замечание 8.1. Всюду в дальнейшем исследуется случай кратного спектра. Приводимые ниже результаты непосредственно обобщают соответствующие результаты работы [?], полученные для уравнения (1.3) с постоянными матрицами D0 , D1 . Обозначим через Ui (t) однодиагональные матрицы из п. 3.2, дающие в сумме структурную матрицу A(t) из N, и предположим, что U1−m (t) ≡ ... ≡ U−n (t) ≡ 0, т. е. матрица U1−n (t) является в определенном смысле главной. Преобразование подобия I +ε Ω−n (t) поз(0) (0) воляет выделить в представлении U1−n (t) = D1−n (t) + U1−n (t), где D1−n (t) ∈ M, U1−n (t) ∈ (0) (0) Im K1 , главную часть D1−n (t) и избавиться от компонента U1−n (t) 6= 0 с γ1−n (t) ≡ 0 (см. формулу (8.6)). С учетом логарифмического закона введем обозначения Ui, 0 (t) = [Ui+n (t), Ω−n (t)], 1−m 6 i 6 m1 −1, i 6= −n, U−n, 0 (t) = Ω˙ −n (t)+[U0 (t), Ω−n (t)], Ui, 1 (t) = (−Ω−n (t)) Ui+2n (t) Ω−n (t), 1 − m 6 i 6 −s − 1. Обозначим также s = n − m1 = 2n − m = m − 2m1 , отметив, что числа s, m имеют одинаковую четность. Пусть далее всюду выполнено

(8.1)

(8.2)

Предположение 8.1. Справедливо неравенство 1 6 s 6 m. Замечание 8.2. Предположение 8.1 принимает форму неравенств 0 6 m1 6 (m − 1)/2,

(m + 1)/2 6 n 6 m.

(8.3)

98

Section 1. Spectral Problems Из условия s > 1, записанного в форме 2(1 − n) 6 1 − m, вытекают тождества U1−2n, 0 (t) ≡ U1−n (t)Ω−n (t) ≡ 0,

Значит, при достаточно малых ε

Ω2−n (t) ≡ 0.

(I + εΩ−n (t))−1 = I − εΩ−n (t),

и, следовательно,

(8.5)

(I + εΩ−n (t))−1 {(J − εA(t)) (I + εΩ−n (t)) − ε2 Ω˙ −n (t)} = ! Ã m −s−1 m−1 1 −1 X X X Ui, 1 (t). Ui, 0 (t) − ε3 Ui (t) − ε2 = J − ε D1−n (t) +

(8.6)

i=1−m

i=1−m

i=2−n

(8.4)

(0)

Замечание 8.3. Если m1 = 0, то n = m, Ω−m (t) ≡ 0. Таким образом, U1−m (t) ≡ 0, D1−m (t) ≡ U1−m (t), и преобразование I + εΩ−m (t) превращается в тождественное. 9. Случай общего положения Обозначим через σr, l (t) элемент из r - й строки, l - го столбца структурной матрицы A(t), а через γi (t) (без указания A в качестве верхнего индекса) сумму элементов однодиагональной матрицы Ui (t), или ее "след", 1 − m 6 i 6 m − 1. Случай общего положения (СОП) будем характеризовать соотношениями γ1−m (t) ≡ ... ≡ γ−n (t) ≡ 0,

γ1−n (t) 6= 0,

0 6 t 6 T,

0 6 m1 6 (m − 1)/2.

(9.1)

Ситуацию, когда m1 = 0, n = m, т. е. γ1−m (t) = σm,1 (t) 6= 0, назовем невырожденным случаем, или случаем I. Ситуацию, когда m1 = 1, n = m − 1, m > 3, т. е. σ1,m (t) ≡ 0, γ2−m (t) = σm−1,1 (t) + σm,2 (t) 6= 0, назовем случаем слабого вырождения, или случаем II. Вместе случаи I, II будем называть каноническими. В § 8 было показано, что преобразование подобия I + εΩ−n (t) с матрицей Ω−n (t) из (4.3) приводит матрицу A(t), у которой однодиагональная матрица Ui (t) 6= 0 c наименьшим номером i (наибольшим "весом") имеет нулевой "след" γi (t) ≡ 0, к матрице с Ui (t) ≡ 0. Вследствие такой возможности будем всюду в дальнейшем характеризовать СОП несколько более жесткими по сравнению с (9.1) ограничениями U1−m (t) ≡ ... ≡ U−n (t) ≡ 0,

γ1−n (t) 6= 0,

0 6 m1 6 (m − 1)/2.

(9.2)

Замечание 9.1. Для канонических случаев соотношения (9.1) и (9.2) совпадают. Вместе все СОП при 2 6 m1 6 (m−1)/2 будем называть случаями сильного вырождения структурной матрицы A(t). 10. Матрица подобия Λ(ε) Введем матрицу [?] Λ(ε) = diag (1, εν , ε2ν , ..., ε(m−1)ν ),

ν>0

(10.1)

срезания, дающую возможность отщепить ("срезать") от структурной матрицы A(t) однодиагональную матрицу D1−n (t) с наименьшим индексом и возмутить ею матрицу J так, чтобы у новой предельной матрицы пучка имелись различные собственные значения. Такого рода процедура в различных ситуациях использовалась, например, в [?, ?]; в [?] она названа присоединением к J матрицы наибольшего веса, или перестройкой. Матрица Λ(ε) при действии на однодиагональные матрицы Xi (t) обладает свойством Λ−1 (ε)Xi (t)Λ(ε) = εiν Xi (t), −1

ν

1 − m 6 i 6 m − 1,

(10.2)

в частности, Λ JΛ = ε J. Формула (10.2) дает возможность ввести иерархию среди однодиагональных матриц, присваивая различные "веса" в зависимости от их номеров.

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils Наряду с Λ(ε) далее используется матрица срезания ¯ 1 (ε) = diag (1, εν¯ , ε2¯ν , ..., ε(m1 −1)¯ν ), Λ

ν¯ > 0,

99

(10.3)

действующая в подпространстве End P E, а также матрицы ¯ 1 (ε); 0n ), ¯ −1 Λ1 (ε) = diag (Λ Λ−1 1 (ε) = diag (Λ1 (ε); 0n ), действующие в пространстве N. Положим ν = 1/n. Тогда ! Ã m m−1 −s−1 1 −1 X X X Ui (t)} − ε2 Ui, 0 (t) − ε3 Ui, 1 (t) Λ(ε) = Λ−1 (ε) J − ε{D1−n (t) + i=2−n

= ε1/n

Ã

i=1−m

Γ(t) −

m+n−2 X

!

i=1−m

εi/n Hi+1−n (t) ,

i=1

(10.4)

где для краткости использованы обозначения Γ(t) = J − D1−n (t);

Hi+1−n (t) = Ui+1−n (t),

1 6 i 6 s − 1;

Hi+1−n (t) = Ui+1−n (t) + Ui+1−2n, 0 (t), s 6 i 6 s + n − 1; Hi+1−n (t) = Ui+1−n (t) + Ui+1−2n, 0 (t) + Ui+1−3n, 1 (t), s + n 6 i 6 m + n − 2.

(10.5)

Замечание 10.1. Матрицы Ω−n (t) и Λ(ε) не коммутируют.

11. Матрица подобия Φ(1) (t) 11.1. Корни степени n из √ 1. Свойства √решений уравнения q n + γ(t) = 0, n > 2. Известно, что если n > 2, то n 1 = exp(2πj −1/n), 1√6 j 6 n, причем одним √ из первообразных корней из единицы является число e = exp(2π −1/n) = cos(2π/n)+ −1 sin(2π/n), а все остальные корни равны ej и различны при разных j. Лемма 11.1. Разности ej − ek при некотором k и всех j, 1 6 j 6 n, j 6= k попарно различны и не обращаются в нуль. Лемма 11.2. При всех n > 2 справедливо равенство

n X

ej = 0.

j=1

Лемма 11.3. Если p – целое число, 1 6 |p| 6 n − 1, то при всех n > 2 справедливы n X n−1 P j p (ej )p = (e ) = 0. равенства j=1

j=1

Далее предположим, что γ(t) 6= 0 при всех t ∈ [0, T ], и рассмотрим алгебраическое уравнение q n + γ(t) = = 0, n > 2. Его корнями служат n различных функций p qj (t) = n −γ(t) ej , 1 6 j 6 n. Следствиями леммы 11.3 являются такие утверждения:

n X Лемма 11.4. Справедливы равенства (qk (t)/qr (t))j ≡ 0, 1 6 |k − r| 6 n − 1. j=1

n X (qj (t))p ≡ 0, 1 6 |p| 6 n − 1. Лемма 11.5. Справедливы равенства j=1

Лемма 11.6. Отношение q˙j (t)/qj (t) не зависит от j и q˙j (t)/qj (t) = γ(t)/(nγ(t)), ˙ 16j6 n.

100

Section 1. Spectral Problems

11.2. Матрица Γ(t). Предельной матрицей перестроенного пучка (см. (7.4)) является Γ(t) = J − D1−n (t). Замечание 11.1. Если m1 = 0, то det Γ(t) = (−1)m σm,1 (t) 6= 0. В то же время det Γ(t) ≡ 0 при 1 6 m1 6 (m − 1)/2. Найдем все собственные значения q1 (t) матрицы Γ(t). Проверяется, что уравнение det (Γ(t) − q1 (t)I) ≡ 0 эквивалентно тождеству q1m1 (q1n + γ1−n (t)) ≡ 0, Следовательно, p √ q1, j (t) = n −γ1−n (t) exp(2πj −1/n),

m1 + n = m.

(11.1)

q1, j (t) ≡ 0,

1 6 j 6 n;

n+1 6 j 6 m. (11.2)

Замечание 11.2. При m1 = 0 и при m1 = 1 все собственные значения матрицы Γ(t) попарно различны. Отличие состоит в том, что при m1 = 0 они все ненулевые, а при m1 = 1 среди собственных значений имеется один простой нуль. При 2 6 m1 6 (m − 1)/2 у матрицы Γ(t) имеются n попарно различных ненулевых собственных значений и одно нулевое m1 – кратное собственное значение. 11.3. Матрица Вандермонда и ее обобщение. Введем в рассмотрение обратимую матрицу Φ(1) (t), играющую роль преобразования подобия, с помощью которой удается перейти от матрицы Γ(t) к подобной ей матрице Γ(1) (t), записанной в ортонормированном базисе {er }, 1 6 r 6 m. Предположим, что qjn (t) = −γ1−n (t) 6= 0 при всех 0 6 t 6 T, 1 6 j 6 n, и введем в рассмотрение n – мерные вектор-строки χi (t) = (q1i (t), ..., qni (t)) и вектор-столбцы θi (t) = col (q1i (t), ..., qni (t)), i ∈ Z, где Z – множество всех целых чисел. Составим матрицу Вандермонда V(t) порядка n × n, n > 2, строками которой служат χi (t), 0 6 i 6 n − 1. Проверяется, что столбцами обратной матрицы V −1 (t) являются векторы (1/n) θ−i (t), 0 6 i 6 n − 1. В дальнейшем будут использоваться матрицы блочной структуры. В пространстве N введем проекторы P = diag (Im1 ; 0n ),

I − P = diag (0m1 ; In )

(11.3)

и станем обозначать блоки любой матрицы A(t), 0 6 t 6 T следующим образом: A11 = P AP, A12 = P A(I − P ), A21 = (I − P )AP, A22 = (I − P )A(I − P ).

(11.4)

Далее рассмотрим матрицу Φ(1) (t) порядка m × m, m > n, столбцами которой служат орты e1 , ..., em1 , а также векторы ω1 (t), ..., ωn (t), где ωj (t) = col (1, qj (t), ...qjm−1 (t)), 1 6 j 6 n. Последние n векторов образуют блок размеров m × n, строками которого служат χi (t), 0 6 i 6 m − 1. При n = m, m1 = 0 получаем Φ(1) (t) = V(t), поэтому Φ(1) (t) – обобщение матрицы Вандермонда. Разложением по элементам первых m1 столбцов устаn Y (1) навливается, что det Φ (t) = ( qjm1 (t)) det V(t) 6= 0. Поскольку j=1

0 6 m1 6 (m − 1)/2, то



(Φ(1) (t))−1 = 

Im1 0n×m1

0m1 ×s (1/γ1−n (t)) Im1 (1)

(Φ

(t))−1 22



,

где (Φ(1) (t))−1 22 = (1/n)(θ−m1 (t), ..., θ1−m (t)) – матрица порядка n × n.

101

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils 11.4. Матрица Γ(1) (t). Обозначим Γ(1) = (Φ(1) )−1 Γ Φ(1) ,

H (0) = (Φ(1) )−1 H0 Φ(1) + A(1) ,

H (i+1−n) = (Φ(1) )−1 Hi+1−n Φ(1) ,

i 6= n − 1,

1 6 i 6 m + n − 2,

(11.5)

где все матрицы зависят от t. Тогда согласно (10.4), (11.5) имеем (1)

−1

(Φ (t)) {[Γ(t)−

m+n−2 X

ε

i/n

(1)

Hi+1−n (t)] Φ (t)−ε

(n−1)/n

m+n−2 X

Φ˙ (1) (t)} = Γ(1) (t)−

εi/n H (i+1−n) (t).

i=1

i=1

(11.6) Устанавливается, что если 2 6 m1 6 (m − 1)/2, то Γ (t) = diag (J1 ; Q(t)), где J1 – матрица порядка m1 × m1 типа J, а Q(t) = diag (q1, 1 (t), ..., q1, n (t)). При m1 = 1 имеем Γ(1) (t) = diag (0; Q(t)), Q(t) = diag (q1, 1 (t), ..., q1, m−1 (t)). Таким образом, при 1 6 m1 6 (m − 1)/2 предельная матрица Γ(1) (t) оказывается блочно-диагональной в базисе {er }, 1 6 r 6 m. При m1 = 0 имеется всего один блок и Γ(1) (t) = Q(t) = diag (q1, 1 (t), ..., q1, m (t)). (1)

12. Формулы для элементов блочных матриц (i+1−n)

В дальнейшем нам потребуются представления блочных матриц Hkl (t), −m1 6 i 6 m + n − 2, k, l = 1, 2. В связи с этим обозначим через Xi+1−n (t) матрицы, определяемые соотношениями mX 1 +1+i r−1, m1 +1+i−r xn−1+r−i, r (t) Vi+1−n , −m1 6 i 6 n − 1, (12.1) Xi+1−n (t) = r=1

Xi+1−n (t) =

m−1+n−i X

xr,

i+1+r−n (t)

r−1, m+n−1−i−r Vi+1−n ,

r=1

n − 1 6 i 6 m + n − 2,

(12.2)

а через X (i+1−n) (t) подобные им матрицы (Φ(1) )−1 (t) Xi+1−n (t) Φ(1) (t), −m1 6 i 6 m + n − 2, где в роли матрицы подобия будут выступать матрица Вандермонда V(t) или ее обобщение Φ(1) (t) из п. 11.3. Приведем соответствующие формулы для элементов матриц (i+1−n) Xkl (t), k, l = 1, 2, −m1 6 i 6 m + n − 2 (условимся впредь опускать аргумент t). 12.1. Случай m1 = 0. Обозначим через ηl,i+1−m элемент матрицы X (i+1−m) = V −1 Xi+1−m V, j стоящий в l - й строке, j - м столбце, l, j = 1, ..., m, 0 6 i 6 2(m − 1). Лемма 12.1. Справедливы равенства ηl,i+1−m j

=

i+1 X

xr+m−1−i, r (qj /ql )r−1 /(m qlm−1−i ),

0 6 i 6 m − 1,

r=1

ηl,i+1−m j

=

qji+1−m

2m−1−i X

xr,

r−1 /m, r+i+1−m (qj /ql )

r=1

m − 1 6 i 6 2(m − 1).

Следствие 12.1. При l = j имеем X = γi+1−m /(m qjm−1−i ), 0 6 i 6 m−1, ηj,i+1−m j

X /m, m−1 6 i 6 2(m−1), = qji+1−m γi+1−m ηj,i+1−m j

в частности, ηj,0 j = γ0X /m = (1/m) T r X.

(12.3)

102

Section 1. Spectral Problems

12.2. Случай m1 = 1. Здесь n = m − 1, s = m − 2, P = P1 . Лемма 12.2. Справедливы соотношения (1−m)

X11

(0)

0,0 , X11 = x1,1 V0,1

0,0 , = (1/γ1−n ) xm,1 V0,1

(i+2−m)

X11

≡ 0,

0 6 i 6 2m − 3,

i 6= m − 2. (0)

0,0 Через V0,1 обозначена матрица порядка 1 × 1 с элементом равным 1, т. е. X11 – скаляр равный x1,1 .

Лемма 12.3. Справедливы соотношения (i+2−m)

X12

= (1/γ1−n ) xm,

i+2

−1 6 i 6 m − 3,

χi+1 ,

(0)

X12 = (x1, 1 − xm, m ) χ0 , (i+2−m)

X12

= x1,

i+3−m

m − 1 6 i 6 2m − 3.

χi+2−m ,

Лемма 12.4. Справедливы соотношения (i+2−m)

X21

= (1/(m − 1)) xm−1−i, (i+2−m)

X21

≡ 0,

1

θi+2−m ,

−1 6 i 6 m − 3,

m − 2 6 i 6 2m − 3. (i+2−m)

Далее через ηl,i+2−m обозначим элемент матрицы X22 j l, j = 1, ..., m − 1, −1 6 i 6 m − 3.

из l - й строки, j - го столбца,

Лемма 12.5. Справедливы соотношения ηl,i+2−m j

=

i+2 X

xr+m−2−i,

r

(qj /ql )r−1 /(nqlm−2−i ),

r=1

−1 6 i 6 m − 3,

2(m−1)−i

ηl,i+2−m j

=

qji+2−m

X r=2

xr,

r+i+2−m

(qj /ql )r−1 /n, m − 2 6 i 6 2(m − 2),

ηl,m−1 j ≡ 0. Следствие 12.2. Если l = j, то X ηj,i+2−m = γi+2−m /(nqjn−1−i ), j

−1 6 i 6 m − 3,

X − xi+3−m, 1 ), = (1/n) qji+2−m (γi+2−m ηj,i+2−m j

в частности,

m − 2 6 i 6 2(m − 2),

ηj,0 j = (1/(m − 1))qji+2−m (T r X − x1, 1 ). (i+1−n)

(12.4)

12.3. Случай 2 6 m1 6 (m − 1)/2. Блок X11 является однодиагональной (или, как ниже в (12.12), двухдиагональной) матрицей, поэтому он представляется с помощью баr, i−1−r i−1−r зиса из m21 матриц Vi−m , Vmr,1 −i, 1 , 0 6 r 6 i − 1, 1 6 i 6 m1 порядка m1 × m1 . При 1, 1 этом приходится различать следующие возможные соотношения между числами s и m1 : а) s > m1 > 2, или 2 6 m1 6 m/3; б) s = m1 − 1 > 1, или m1 = (m + 1)/3 (m = 3l + 2, l ∈ N); в) 1 6 s 6 m1 − 2, или (m + 2)/3 6 m1 6 (m − 1)/2, m1 > 3.

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils

103

Лемма 12.6. Если s > m1 > 2, то верны соотношения (i+1−n) X11

mX 1 +1+i

= (1/γ1−n )

r

r−1, m1 +1+i−r Vi+1, , 1

−m1 6 i 6 −1,

(12.5)

r+i+1

r−1, m1 −1−i−r Vi+1, , 1

0 6 i 6 m1 − 2,

(12.6)

xn−1+r−i,

r=1

(i+1−n) X11

= (1/γ1−n )

mX 1 −1−i

xr+n,

r=1

(i+1−n)

X11 (i+1−n) X11

=

i+1−s X

≡ 0,

xn−1+r−i,

r

m1 − 1 6 i 6 s − 1,

(12.7)

r−1, i+1−s−r Vi+1−n, , 1

s 6 i 6 n − 2,

(12.8)

n − 1 6 i 6 m − 2,

(12.9)

r=1

(i+1−n) X11

=

m−1−i X

xr,

r+i+1−n

r−1, m−1−i−r Vi+1−n, , 1

r=1

(i+1−n)

X11

≡ 0,

m − 1 6 i 6 m + n − 2.

(12.10)

Лемма 12.7. Если 1 6 s 6 m1 − 2, то наряду с (12.5), (12.9), (12.10) справедливы соотношения mX 1 −1−i (i+1−n) r−1, m1 −1−i−r xr+n, r+i+1 Vi+1, , 0 6 i 6 s − 1, (12.11) X11 = (1/γ1−n ) 1 r=1

(i+1−n) X11

= (1/γ1−n )

mX 1 −1−i

xr+n,

r−1, m1 −1−i−r Vi+1, + 1

r+i+1

r=1

+

i+1−s X

xr+n−1−i,

r

r−1, i+1−r−s Vi+1−n, , 1

r=1

(i+1−n)

X11

=

i+1−s X

xr+n−1−i,

r

1 6 s 6 i 6 m1 − 2,

r−1, i+1−r−s Vi+1−n, , 1

r=1

(i+1−n)

Лемма 12.8. Если s = m1 − 1, то матрицы X11 (12.6), (12.8) – (12.10).

m1 6 i 6 n − 2.

(12.12)

(12.13)

определяются равенствами (12.5),

Отметим, что структура остальных блоков не зависит от соотношений между s и m1 , (i+1−n) и обозначим, как в лемме 12.5, через ηl,i+1−n элемент матрицы X22 , стоящий в l - й j строке, j - м столбце, l, j = 1, ..., n. Лемма 12.9. Справедливы соотношения ηl,i+1−n j

=

mX 1 +1+i

xr+n−1−i,

r

(qj /ql )r−1 /(n qln−1−i ),

−m1 6 i 6 s − 1,

r=1

ηl,i+1−n j

=

mX 1 +1+i

xr+n−1−i,

r

(qj /ql )r−1 /(n qln−1−i ),

r=i+2−s

ηl,i+1−n j

=

qji+1−n

m+n−1−i X

xr,

r+i+1−n

r=m1 +1

≡ 0, ηl,i+1−n j

(qj /ql )r−1 /n,

s 6 i 6 n − 1,

n − 1 6 i 6 2(n − 1),

2n − 1 6 i 6 m + n − 2.

104

Section 1. Spectral Problems

Следствие 12.3. При l = j имеем X ηj,i+1−n = γi+1−n /(n qjn−1−i ), j X − ηj,i+1−n = (γi+1−n j

ηj,i+1−n j

=

i+1−s X

xr+n−1−i, r )/(nqjn−1−i ),

r=1

X (qji+1−n /n)(γi+1−n

−

в частности, ηj,−nj

=

X γ−n /(n

qjn )

=

−m1 6 i 6 s − 1,

m1 X

xr,

r+i+1−n ),

r=1

X −γ−n /(nγ1−n );

ηj,0 j

s 6 i 6 n − 1,

n − 1 6 i 6 2(n − 1),

= (1/n) (T r X −

(i+1−n)

m1 X

xr, r ).

r=1

(i+1−n)

Блок X12 размеров m1 × n описывается с помощью вектор-строк χi , блок X21 размеров n × m1 – с помощью вектор-столбцов θi . (i+1−n)

Лемма 12.10. При −m1 6 i 6 −2 первые −i−1 строк блока X12 нулевые, остальные m1 + 1 + i строк равны соответственно (1/γ1−n ) xn−i, 1 χ0 , ..., (1/γ1−n ) xm, i+m1 +1 χi+m1 . (i+1−n) При −1 6 i 6 s − 1 все m1 строк блока X12 равны соответственно (1/γ1−n ) xn+1, i+2 χi+1 , ..., (1/γ1−n ) xm, i+m1 +1 χi+m1 . При s 6 i 6 n − 1 первые n − 1 − i (i+1−n) строк блока X12 равны (1/γ1−n ) xn+1, i+2 χi+1 , ..., (1/γ1−n )x2n−1−i, n χn−1 , остальные i + 1 − s строк равны соответственно (xn−i, 1 − x2n−i, n+1 )χ0 , ..., (i+1−n) (xm1 , i+1−s − xm, i+m1 +1 )χi−s . При n − 1 6 i 6 m − 2 первые m − 1 − i строк блока X12 равны (x1, i+2−n − xn+1, i+2 )χi+1−n , ..., (xm−1−i, m1 − xm+n−1−i, m )χm1 −1 , остальные i + 1 − n строк равны соответственно xm−i, m1 +1 χm1 , ..., xm1 , i+1−s χi−s . При m − 1 6 i 6 2n − 1 все (i+1−n) m1 строк блока X12 равны соответственно x1, i+2−n χi+1−n , ..., xm1 , i+1−s χi−s . Наконец, (i+1−n) при 2n 6 i 6 m + n − 2 первые m + n − i − 1 строк блока X12 равны соответственно x1, i+2−n χi+1−n , ..., xm+n−1−i, m χm−1 , а остальные i + 1 − 2n строк состоят из нулей. (i+1−n)

Лемма 12.11. При −m1 6 i 6 −2 первые m1 + 1 + i столбцов блока X21 равны соответственно (1/n) xn−i, 1 θi+1−n , ..., (1/n) xm, m1 +1+i θ1−m , остальные −i − 1 столб(i+1−n) цов нулевые. При −1 6 i 6 s − 1 все m1 столбцов блока X21 равны соответственно (1/n) xn−i, 1 θi+1−n , ..., (1/n) xm−1−i, m1 θi+2−m . При s 6 i 6 n − 2 первые i + 1 − s (i+1−n) столбцов блока X21 нулевые, а остальные n − 1 − i столбцов равны соответственно (1/n) xm1 +1, i+2−s θ−m1 , ..., (1/n) xm−1−i, m1 θi+2−m . Наконец, при n − 1 6 i 6 m + n − 2 блок (i+1−n) X21 является нулевой матрицей. 13. Блочная структура матрицы A(1) (t) Обозначим через A(1) (t) матрицу (Φ(1) (t))−1 Φ˙ (1) (t) и изучим ее блочную структуру, взяв в качестве Φ(1) поочередно матрицу Вандермонда V и ее обобщение (см. п. 11.3).

˙ 13.1. Случай m1 = 0. Матрица (V(t))−1 V(t) состоит из одного блока размеров m × m. Проверяется, что ее элемент из l - й строки, j - го столбца равен m X 2 (γ˙ 1−n (t)/(m γ1−n (t))) (r − 1)(qj (t)/ql (t))r−1 , l, j = 1, ..., m. (13.1) r=1

В частности, при l = j имеем

m−1 (γ˙ 1−n (t)/γ1−n (t)). 2m

(13.2)

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils

105

13.2. Случай 1 6 m1 6 (m − 1)/2. Выделим блоки A(1) (t) в соответствии с (11.4). Поскольку первые m1 столбцов матрицы Φ˙ (1) (t) состоят из нулей, то (1) (1) (1) A11 (t) ≡ A21 (t) ≡ 0. Строки блока A12 (t) размеров m1 × n имеет вид (−γ˙ 1−n (t)/γ1−n (t)) χ0 (t), ..., (−γ˙ 1−n (t)/γ1−n (t)) χm1 −1 (t) (векторы χi (t) определены в п. 8.3). (1) Элемент, стоящий в l - й строке, j - м столбце блока A22 (t), равен (γ˙ 1−n (t)/(n2 γ1−n (t)))

m X

r=m1 +1

(r − 1)(qj (t)/ql (t))r−1 ,

l, j = 1, ..., n.

При l = j найдем диагональные элементы m + m1 − 1 (γ˙ 1−n (t)/γ1−n (t)) 2n и отметим, что они не зависят от j, 1 6 j 6 n.

(13.3)

(13.4)

14. Матрица подобия I + ξY(t, ξ) В этом параграфе будем предполагать, что 1 6 m1 6 (m − 1)/2. Обозначим для краткости ξ = ε1/n , ε = ξn, (m + 1)/2 6 n 6 m (14.1) и условимся сохранять за матричнозначными функциями прежние обозначения при замене аргумента ε на ξ и обратно. 14.1. Расщепление уравнения (14.7). Правая часть равенства (11.5) в новых обозначениях принимает вид m+n−2 X ξ i H (i+1−n) (t). (14.2) Γ(1) (t) − i=1

Матрицы H (t), 1 6 i 6 m + n − 2 в (14.2) не являются диагональными, поэтому представим их согласно обозначениям (11.4) в виде блочных матриц и введем в рассмотрение преобразование подобия I + ξY (t, ξ), которое приведет младшие члены пучка к блочно-диагональному виду. Согласно (11.3) введем блочно-диагональную матрицу (i+1−n)

m+n−2 X

ξ i−1 B(i) (t),

(14.3)

1 6 i 6 m + n − 2.

(14.4)

B(t, ξ) = diag (F (t, ξ), G(t, ξ)) =

i=1

где B(i) (t) = diag (F (i) (t), G(i) (t)),

Потребуем, чтобы при всех 0 6 t 6 T выполнялось равенство ! Ã m+n−2 X (I + ξY )−1 {Γ(1) (t) − ξ i H (i+1−n) (t)}(I + ξY ) − ξ n Y˙ = Γ(1) (t) − ξB(t, ξ),

(14.5)

i=1

в котором

Γ(1) − ξB = diag (J1 − ξF, Q − ξG),

ξ = ε1/n ,

Γ(1) − ξB = diag (−ξf, Q − ξG), причем ξf (t, ξ) =

m+n−2 X

2 6 m1 6 (m − 1)/2,

ξ = ε1/(m−1) ,

m1 = 1,

(14.6)

ξ i f (i) (t) – скалярная функция. Равенство (14.5) представляет

i=1

собой дифференциальное уравнение ξ n−1 Y˙ = [Γ(1) (t), Y ] − ξ TH(t,

ξ), B(t, ξ) Y

− H(t, ξ) + B(t, ξ)

(14.7)

106

Section 1. Spectral Problems

относительно матричнозначной функции Y (t, ξ) =

m+n−2 X

ξ i−1 Y (i) (t).

(14.8)

i=1

Найденный в § 12 вид блоков матриц H (i+1−n) (t) обусловливает структуру сплетающих матриц Y (i) (t), 1 6 i 6 m + n − 2. Положим Y11 (t, ξ) ≡ Y22 (t, ξ) ≡ 0 и перепишем (14.7) в блочном виде. Воспользуемся легко проверяемыми соотношениями [Γ(1) (t), Y ]11 ≡ 0, [Γ(1) (t), Y ]22 ≡ 0, [Γ(1) (t), Y ]12 = TJ1 ,

Q

Y12 , [Γ(1) (t), Y ]21 = TQ,

J1

Y21 ;

(TH, BY )11 = H12 Y21 , (TH, BY )21 = TH22 , F Y21 , (TH, BY )22 = H21 Y12 , (TH, BY )12 = TH11 , G Y12 . (14.9) Тогда дифференциальное уравнение (14.7) распадается на два алгебраических и два дифференциальных уравнения вида ξ n−1 Y˙ 21 = TQ, J1 Y21 − ξTH22 , F Y21 − H21 , F = H11 + ξH12 Y21 ; (14.10) ξ n−1 Y˙ 12 = TJ1 ,

Q

Y12 − ξTH11 ,

G

Y12 − H12 ,

G = H22 + ξH21 Y12 .

(14.11)

Теорема 14.1. Пусть 1 6 m1 6 (m − 1)/2 в (9.2). Тогда уравнение (14.7) имеет единственное ограниченное на отрезке [0, T ] решение Y (t, ξ) при любой матрице H(t, ξ) и при некоторой матрице B(t, ξ). 14.2. Асимптотика решения уравнения (14.7). Соотношения (14.10), (14.11) позволяют найти одновременно внедиагональные блоки Y12 , Y21 , а также матрицы F, G, являющиеся диагональными блоками в (14.7). Получим явный вид решений уравнений (14.10), (14.11), взяв Y (t, ξ) из (14.8). Вернемся к вопросу о структуре матриц Y (i) (t), 1 6 i 6 m + n − 2. В ка(i) честве строк матрицы Y12 (t) порядка m1 × n выберем n - мерные вектор-строки (i) bi, 1 (t) χi+1 (t), bi, 2 (t) χi+2 (t), ..., bi, m1 (t) χi+m1 (t), а в качестве столбцов матрицы Y21 (t) порядка n × m1 примем n - мерные вектор-столбцы ai, 1 (t) θi+1 (t), n ai, 2 (t) θi (t), ..., ai, m1 (t) θi+2−m1 (t), введенные в п. 11.3 в предположении, что q1, j ≡ −γ1−n (t) 6= 0 при всех 0 6 t 6 T, 1 6 j 6 n. Здесь ai, r (t), bi, r (t), 1 6 i 6 m + n − 2, 1 6 r 6 m1 – некоторые скалярные функции, поиск которых проводился в [?]. 14.2.1. Случай 2 6 m1 6 (m − 1)/2. Для нахождения неизвестных матриц (i) (i) Y12 (t), Y21 (t), F (i) (t), G(i) (t) представим компоненты F, G матрицы B виде (14.3)–(14.4) и приравняем коэффициенты при ξ i , 1 6 i 6 m + n − 2 в (14.10), (14.11). В результате придем к рекуррентным соотношениям F

(i)

=

(i+1−n) H11

+

i−1 X

(i+1−n−l)

H12

(l)

Y21 ,

l=1

TQ, TQ,

J1

J1

(i) Y21

=

(i+1−n) H21

+

(i) (i+1−n) (i+1−n) Y21 = Y˙ 21 + H21 +

(i+1−n)

G(i) = H22

+

i−1 X

l=1 i−1 X

l=1 i−1 X

TH (i+1−n−l) , 22

(l)

Y12 ,

l=1

TJ1 ,

Q

(i)

(i+1−n)

Y12 = H12

+

i−1 X l=1

TH (i+1−n−l) , 11

Y21 , Y21 ,

F (i−l)

22

(i+1−n−l)

(l)

F (i−l)

(l)

TH (i+1−n−l) ,

H21

1 6 i 6 m + n − 2, 1 6 i 6 n − 1,

n 6 i 6 m + n − 2; (14.13)

1 6 i 6 m + n − 2, (l)

G(i−l)

Y12 ,

(14.12)

1 6 i 6 n − 1,

(14.14)

107

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils TJ1 ,

Q

i−1 X

(i) (i+1−n) (i+1−n) Y12 = Y˙ 12 + H12 +

TH (i+1−n−l) , 11

l=1

(l)

G(i−l)

n 6 i 6 m + n − 2. (14.15)

Y12 ,

С помощью лемм 4.1, 4.2 (см. формулы (4.1), (4.2)) можно отыскать любое наперед заданное число коэффициентов разложений по степеням ξ матричных функций Y21 (t, ξ), Y12 (t, ξ), F (t, ξ), G(t, ξ). 14.2.2. Случай m1 = 1. Если m1 = 1, или n = m − 1, то (i)

Y12 = bi,

(i)

i+1 i+1 (q1, 1 , . . . , q1, m−1 ),

1

Y21 = ai,

1

i+1 i+1 col (q1, 1 , . . . , q1, m−1 ).

(14.16)

Вместо соотношений (14.13), (14.15), (14.12) получим соответственно ! Ã i−1 X (l) (i) (i+2−m) Y21 = Q−1 H21 TH (i+2−m−l) , F (i−l) Y21 , 1 6 i 6 m − 2, + 22

l=1

(i)

Y21 = Q−1

Ã

(i+2−m) (i+2−m) Y˙ 21 + H21 +

(i) Y12

(i) Y12

=−

i−1 X

=−

Ã

22

l=1

Ã

(i+2−m) H12

(i+1−n) Y˙ 12

TH (i+2−m−l) ,

+

i−1 X

TH (i+2−m−l) , 11

l=1

+

(i+1−n) H12

i−1 X

+

(i+2−m)

f (i) (t) = H11

(t) +

i−1 X

G(i−l)

TH (i+1−n−l) ,

l=1

11

(l)

F (i−l)

Y21

(l) Y12

G(i−l)

!

(l) Y12

!

, m−1 6 i 6 2m−3; (14.17)

Q−1 , 1 6 i 6 m − 2, !

Q−1 , m − 1 6 i 6 2m − 3; (14.18)

(i+2−m−l)

H12

(l)

(t) Y21 (t),

l=1

1 6 i 6 2m − 3.

(14.19)

Согласно леммам 12.2, 12.3, а также (14.16) имеем (i)

H11 (t) 6= 0 (r)

⇐⇒

(i)

H12 (t)Y21 (t) 6= 0

i > 3 − m, i = k(m − 1), k = 0, 1, 2, ... , ⇐⇒

r + i + 1 = k(m − 1), k = 0, 1, 2, ... .

Это означает, что при m1 = 1 имеем скалярное уравнение ψ˙ = − (0)

2m−3 X

εi f (i+1) (t) ψ.

(14.20)

i=0

B [?] показано, что H11 = (1/γ2−m )(σ˙ m−1, 1 +σ1, 1 σm, 2 +σm−1, 1 σm, m ), откуда находится главный член −f (1) (t) асимптотики решения, где (0)

f (1) = H11 +

m−3 X

(−l)

H12

(l)

Y21 = (1/γ2−m ){σ˙ m−1, 1 +

m−1 X k=1

l=1

σk, 1 σm,

k+1 }.

(14.21)

15. Об операторе Коши уравнения с малым параметром при производной. Случай кратного спектра 15.1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу Коши ˙ = (D0 (t) − εD1 (t)) W, εW

W (0, ε) = I,

06t6T

(15.1)

с предельной матрицей D0 (t), которая при всех 0 6 t 6 T подобна матрице λ(t)I + J, где J – жорданова клетка m × m, отвечающая нулевому собственному значению.

108

Section 1. Spectral Problems

Определение 15.1. Матрица D0 (t) называется устойчивой на отрезке [0, T ], если при всех 0 6 t 6 T выполняется неравенство Re λ(t) 6 −α < 0.

Предположение 15.1. Матрица D0 (t) является устойчивой на отрезке [0, T ]. Пусть выполнены соотношения (9.2). Будем искать решение задачи (15.1) в форме W (t, ε) = e

1 ε

Rt

λ(s)ds

0

M(t, ε)Ψ(t, ε)M−1 (0, ε),

Ψ(0, ε) = I,

(15.2)

где матрица M(t, ε) подлежит определению в дальнейшем. Матрица Ψ(t, ε) в итоге будет блочно-диагональной, причем ее блоки являются операторами Коши соответственно двух уравнений – с предельной матрицей J1 порядка m1 × m1 , если 2 6 m1 6 (m − 1)/2; – с диагональной предельной матрицей, имеющей простой спектр. При m1 = 1 первое уравнение превращается в скалярное и регулярно зависит от малого параметра. При m1 = 0 первый блок, а вместе с ним и 1-е уравнение отсутствуют. Подставив (15.2) в (15.1), придем к равенству ˙ ˙ = M−1 (t, ε)[(D0 (t) − λ(t)I − εD1 (t))M(t, ε) − εM(t, εΨ ε)]Ψ. (15.3) 15.2. Первый шаг алгоритма. Используем формулы (2.4), (2.5) и положим

M(t, ε) = Φ(t) MI (t, ε) (15.4) ˙ ˙ I (t, ε) получаем в (15.3). Тогда согласно равенству Φ−1 (t) εM(t, ε) = εH(t) MI (t, ε) + εM ˙ I (t, ε)]Ψ. ˙ = M−1 (t, ε)[(J − εA(t))MI (t, ε) − εM εΨ (15.5) I

С точностью до малого слагаемого нами получено уравнение с пучком подобным исходному в базисе {er }, 1 6 r 6 m, причем главной матрицей пучка является J.

Замечание 15.1. Если с самого начала D0 (t) ≡ J, то в (15.2) следует взять M(t, ε) = MI (t, ε) и λ(t) ≡ 0.

15.3. Второй шаг алгоритма. Положим в (15.5)

MI (t, ε) = (I + ε Ω−n (t)) MII (t, ε)

и согласно равенствам (8.1), (8.5), (8.6) от (15.5) перейдем к эквивалентному уравнению Ã m m−1 1 −1 X X −1 2 ˙ Ui, 0 (t)− Ui (t)) − ε εΨ = M (t, ε) [J − ε(D1−n (t) + II

i=2−n

−ε3

−s−1 X

i=1−m

i=1−m

!

˙ II (t, ε) Ψ. Ui, 1 (t)] MII (t, ε) − εM

(15.6)

Тем самым в структурной матрице выделена главная часть D1−n (t).

15.4. Третий шаг алгоритма. Матрица D1−n (t) участвует в перестройке пучка путем создания новой предельной матрицы Γ(t). Одновременно происходит смена базиса {er }, 1 6 r 6 m на базис, составленный из собственных и присоединенных векторов матрицы Γ(t). Положим в (15.6) MII (t, ε) = Λ(ε) MIII (t, ε), воспользуемся равенствами (10.2), (10.4), (10.5). Тогда уравнение (15.6) записывается в форме ! Ã m+n−2 X ˙ III Ψ. ˙ = M−1 {Γ(t) − (15.7) ε(n−1)/n Ψ εi/n Hi+1−n (t)} MIII − ε(n−1)/n M III

i=1

109

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils

Замечание 15.2. Поскольку матрицы Ω−n (t) и Λ(ε) не коммутируют, то 2-й и 3-й шаги алгоритма непереставимы. Равенство (15.7) в обозначениях (14.1) принимает вид ! Ã m+n−2 X ˙ III Ψ. ˙ = M−1 {Γ(t) − ξ i Hi+1−n (t)} MIII − ξ n−1 M ξ n−1 Ψ III

(15.7)′

i=1

15.5. Четвертый шаг алгоритма. Вернемся в базис {er }, 1 6 r 6 m, положив в (15.7)′ MIII (t, ε) = Φ(1) (t) MIY (t, ε).

По аналогии с обозначением (2.1) примем H(1) (t) = (Φ(1) (t))−1 Φ˙ (1) (t) и заметим, что ˙ III (t, ε) = ξ n−1 H(1) (t) MIY (t, ε) + ξ n−1 M ˙ IY (t, ε). (Φ(1) (t))−1 ξ n−1 M Кроме того, используем формулы (11.5). После преобразований уравнение (15.7)′ записывается в форме ! Ã m+n−2 X ˙ IY Ψ, ˙ = M−1 {Γ(1) (t) − (15.8) ξ i H (i+1−n) (t)}MIY − ξ n−1 M ξ n−1 Ψ IY i=1

где, как указано в п. 11.4, Γ(1) (t) = diag (J1 ; Q(t)) при 2 6 m1 6 (m − 1)/2, Γ(1) (t) = diag (0; Q(t)) при m1 = 1. Если m1 = 0, n = m, то в качестве MIV (t, ε) следует взять тождественное преобразование I, и тогда   2(m−1) X ˙ = Q(t) − (15.8)0 εi/m H (i+1−m) (t) Ψ. ε(m−1)/m Ψ i=1

Уравнение (15.8)0 соответствует случаю простого спектра при D0 (t) = Q(t). Как и в § 7, здесь следует диагонализовать младшие члены пучка, применив преобразование подобия I + ξZ∗ (t, ξ). Позже в п. 16.2 мы вернемся к случаю m1 = 0 и изучим его подробнее.

15.6. Пятый шаг алгоритма. Пусть 1 6 m1 6 (m − 1)/2. Представим полные матрицы в форме блочно-диагональных, диагонализуем младшие члены пучка с помощью сплетающих матриц Y (t, ε), что позволит в конечном итоге расщепить уравнение. С этой целью примем MV (t, ε) ≡ I и положим в (15.8) MIV (t, ε) = I + ε1/n Y (t, ε) = I + ξ Y (t, ξ). ˙ IY = ξ n Y˙ вместо (15.8) получим эквивалентное уравнение Согласно равенству ξ n−1 M ˙ = (I + ξ Y )−1 {[Γ(1) (t) − ξ n−1 Ψ

m+n−2 X i=1

ξ i H (i+1−n) (t)](I + ξ Y ) − ξ n Y˙ } Ψ.

(15.9)

Введем матрицу B = diag (F, G), где F (t, ξ), G(t, ξ) определены в (14.3) – (14.4), и потребуем, чтобы выражение в фигурных скобках в (15.9) при всех 0 6 t 6 T совпадало с матрицей Γ(1) − ξB из (14.6). Далее положим Ψ = diag (Ψ1 , Ψ2 ). Тогда уравнение (15.9) при 2 6 m1 6 (m − 1)/2 примет форму расщепленной системы ˙ 1 = (J1 − ξ n−1 Ψ

m+n−2 X

ξ i F (i) (t))Ψ1 ,

i=1

причем Ψ1 (0, ξ) = Im1 , Ψ2 (0, ξ) = In .

˙ 2 = (Q(t) − ξ n−1 Ψ

m+n−2 X

ξ i G(i) (t))Ψ2 ,

(15.10)

i=1

Замечание 15.3. В результате всех пяти шагов алгоритма M(t, ε) = Φ(t) (I + ε Ω−n (t)) Λ(ε) Φ(1) (t) (I + ε1/n Y (t, ε)).

(15.11)

110

Section 1. Spectral Problems

Если m1 = 1, то первое уравнение в (15.10) с учетом (14.16) является скалярным и принимает форму 2m−3 X ˙ εi f (i+1) (t) ψ. (15.12) ψ=− i=0

Обозначим H(t, ξ) =

m+n−2 X

ξ i−1 H (i+1−n) (t) и заметим, что переход от (15.9) к (15.10)

i=1

возможен, если разрешимо дифференциальное уравнение (14.7) относительно сплетающей матрицы Y (t, ξ) из (14.8). Записывая (14.7) в виде блоков и используя результаты § 14, приходим к формулам (14.12) – (14.15). Обратившись к системе (15.10), отметим, что первое уравнение напоминает с учетом замечания 15.1 исходное уравнение (15.1). Отличие состоит в том, что, во-первых, оно рассматривается не в N, а в подпространстве End P E матриц размерности m1 × m1 , зависящих от переменной t, 0 6 t 6 T, во-вторых, изменился ранг малого параметра (показатель степени параметра при производной), и, в-третьих, правая часть разложена не по целым степеням ε, а по степеням ξ = ε1/n . Что касается второго уравнения, то оно соответствует случаю простого спектра при D0 (t) = Q(t) (см. также (15.8)0 , где n = m). 16. Уравнение в подпространстве End (I − P )E. Случай I

16.1. Представление для WI−P (t, ε). Действуя по схеме п. 6.2, перейдем от уравнения ξ

n−1

˙ 2 = (Q(t) − ξG(t, ξ)) Ψ2 = (Q(t) − Ψ

m+n−2 X

ξ i G(i) (t)) Ψ2

(16.1)

i=1

˙ = (Q(t) − ξG(t, ξ)) W с диагов подпространстве End (I − P )E к уравнению ξ n−1 W нальным пучком в том же подпространстве. Такой переход возможен в силу теоремы 6.2 о существовании единственного ограниченного решения дифференциального уравнения (6.8) относительно матрицы Z(t, ξ) = Z∗ (t, ξ) с нулевой диагональю при некоторой диагональной матрице G(t, ξ), при всех 0 6 t 6 T и всех достаточно малых ξ. В результате имеем WI−P (t, ε) = M(t, ε)diag (0m1 ; eµe1 (t, ε) , ..., eµen (t, ε) )M−1 (0, ε), (16.2) где

M(t, ε) = Φ(t) (I + ε Ω−n (t)) Λ(ε) Φ(1) (t) (I + ε1/n Y (t, ε)) (I + ε1/n Z∗ (t, ε)),

(16.3)

M−1 (0, ε) = O(ε(1−m)/n ) и µ ej (t, ε) = ε

−1

Zt 0

{λ(τ ) − ε1/n q1, j (τ ) − ε2/n

γ2−n (τ ) − ε3/n ...}dτ, 1 6 j 6 n. n−2 (τ ) n q1, j

(16.4)

16.2. Случай I. Так как m1 = 0, или n = m, то, используя равенства (2.5), (10.4), (11.5), после применения преобразования подобия Φ(t)Λ(ε)V(t) получаем уравнение (15.8)0 , т. е. уравнение (16.1) в End E при ξ = ε1/m , G(i) = H (i+1−m) , 1 6 i 6 2(m − 1). Как и в § 7, здесь следует диагонализовать младшие члены пучка, применив преобразование подобия I + ξZ∗ (t, ξ). Напомним, что согласно (10.5) имеем Γ(t) = J − D1−m (t); Hi+1−m (t) = Ui+1−m (t), 1 6 i 6 m − 1; Hi+1−m (t) = Ui+1−m (t) + Ui+1−2m, 0 (t), m 6 i 6 2(m − ˙ 1). Из (11.4) находим G(m−1) (t) = H (0) (t) = V −1 (t)(U0 (t)V(t) + V(t)), H (i+1−m) = −1 (i) V (t)Hi+1−m (t)V(t), i 6= m − 1, 1 6 i 6 2(m − 1). Матрицы Z (t) имеют нулевую диагональ, а Qi (t) являются диагональными. Для нахождения явного вида неизвестных матриц

111

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils Z (i) (t), Qi (t), i ∈ N, рассмотрим дифференциальное уравнение 2(m−1)

(Q −

X

i

ξH

(i+1−m)

)(I +

∞ X

i

(i)

ξ Z ) = (I +

i=1

i=1

i=1

∞ X

2(m−1) i

(i)

ξ Z )(Q −

X

ξ i Qi ) + ξ m

∞ X

ξ i Z˙ (i) (16.5)

i=1

i=1

относительно матриц Z (i) (t). Приравнивая коэффициенты при ξ i , i ∈ N, придем к итерационной процедуре K0 Z (1) = H (2−m) − Q1 , K0 Z (3) = TH (2−m) , K0 Z (m−1) = Z˙ (1) +TH (2−m) ,

Q1

K0 Z (2) = TH (2−m) , Z (2) + TH (3−m) ,

(1)

+ H (3−m) − Q2 ,

Z (1) + H (4−m) − Q3 , ... ,

Z (1) +H (0) −Qm−1 , ... . (16.6) Здесь одновременно находятся матрицы Qi (t) из условий разрешимости уравнений (16.3), а также матрицы Z (i) (t), служащие решениями этих уравнений. Так как H (2−m) = 1 2−m q1, l (2−m) (2−m) (hkl ), где hkl = q1, σm, 2 ), k, l = 1, 2, ..., m, то с учетом леммы 4.5 k (σm−1, 1 + m q1, k найдем Q1 из условий разрешимости первого уравнения в (16.3): γ2−m Q1 = (Q−1 )m−2 . (16.7) m Q1

Z (m−2) +TH (3−m) ,

Q2

Q1 Z

Q2

Z (m−3) +. . .+TH (−1) ,

Qm−2

(1)

В то же время по формуле (4.4) отыщем элементы zkl матрицы Z (1) : 1

(1)

zkl =

m

m−2 q1, k (q1, k

− q1, l )

(σm−1, 1 +

q1, l σm, 2 ), k 6= l, k, l = 1, 2, ..., m. q1, k

(16.8)

Точно так же Q2 находится из условий разрешимости второго уравнения в (16.3), и его решение Z (2) записывается согласно формуле (4.4). Продолжая аналогичные рассуждения, можем найти любое наперед заданное число диагональных матриц Qi . Таким образом, при m1 = 0 имеем M(t, ε) = Φ(t)Λ(ε)V(t)(I + ε1/m Z∗ (t, ε)),

(16.9)

W (t, ε) = M(t, ε) diag (eµe1 (t, ε) , ..., eµem (t, ε) ) M−1 (0, ε),

(16.10)

где M−1 (0, ε) = O(ε(1−m)/m ) и при всех 1 6 j 6 m µ ej (t, ε) = ε

−1

Zt

{λ(τ ) − ε1/m q1, j (τ ) − ε2/m

0

γ2−m (τ ) − ε3/m ...}dτ. m−2 m q1, j (τ )

(16.11)

Теорема 16.1. Если выполнено предположение 15.1 и σm, 1 (t) 6= 0, m > 2 при всех 0 6 t 6 T, то оператор Коши уравнения (15.1) имеет вид (16.10), причем матрица M(t, ε) находится из (16.9) и скалярные функции µ ej (t, ε) определяются равенствами (16.11). В частности, когда D(t, ε) ≡ D(ε), имеем

где

¡ ¢ exp(ε−1 D(ε) t) = e(λ/ε)t M(ε) diag etµ1 (ε) , ..., etµm (ε) M−1 (ε),

µj (ε) = −ε(1−m)/m

Ã

q1,

j

! γ 2−m 2/m ... , + ε1/m m−2 + ε m q1, j

1 6 j 6 m.

(16.12)

(16.13)

112

Section 1. Spectral Problems 17. Скалярное уравнение в End P E. Случай II

Пусть m1 = 1 в (9.2). В п. 14.2.2 указано, что после расщепления получаем одномерное (скалярное) уравнение (14.20), а также уравнение ξ

˙ 2 = (Q(t) − Ψ

m−2

2m−3 X

ξ i G(i) (t)) Ψ2

(17.1)

i=1

в подпространстве End (I − P )E размерности n = m − 1, в котором ξ = ε1/(m−1) , G(i) = H (i+2−m) , 1 6 i 6 2m−3. После применения преобразования подобия I +ξZ(t, ξ) уравнение (17.1) примет вид 2m−3 X ˙ = (Q(t) − ξ i Qi (t)) W. (17.2) ξ m−2 W i=1

Таким образом, при m1 = 1 в итоге всех шести преобразований подобия находим M(t, ε) из (16.3), полагая n = m − 1. Тогда W (t, ε) = M(t, ε) diag(eµem (t, ε) ; eµe1 (t, ε) , ..., eµem−1 (t, ε) )M−1 (0, ε),

где M−1 (0, ε) = O(ε−1 ), Zt −1 µ ej (t, ε) = ε {λ(τ )−ε1/(m−1) q1, j (τ )−ε2/(m−1) 0

µ em (t, ε) = ε−1

Zt

γ3−m (τ ) −ε3/(m−1) ...}dτ, m−3 (m − 1) q1, (τ ) j

(λ(τ ) − εf (1) (τ ) − ε2 f (2) (τ ) − ε3 ...)dτ.

(17.3)

1 6 j 6 m−1,

(17.4)

0

Теорема 17.1. Если выполнено предположение 15.1 и σm, 1 (t) ≡ 0, γ2−m (t) 6= 0, m > 3 при всех 0 6 t 6 T, то оператор Коши уравнения (15.1) имеет вид (17.3), причем матрица M(t, ε) находится из (16.3) при n = m − 1 и скалярные функции µ ej (t, ε) определяются равенствами (17.4). В частности, когда D(t, ε) ≡ D(ε), получаем ¡ ¢ exp(ε−1 D(ε) t) = e(λ/ε)t M diag etµm (ε) ; etµ1 (ε) , ..., etµm−1 (ε) M−1 ,

(17.5)

где µm (ε) = −f (1) − εf (2) − ε2 ... , Ã µj (ε) = −ε(2−m)/(m−1)

(сравни с (16.13)).

q1,

j

! γ 3−m 2/(m−1) + ε1/(m−1) ... , 1 6 j 6 m − 1 m−3 + ε (m − 1) q1, j

Замечание 17.1. Если σ1,m−1 = 0, то Ω1−m = 0, и преобразование I +εΩ1−m превращается в тождественное. 18. Частные случаи 18.1. Случай I при m = 2. Так как γ−1 (t) ≡ σ2, 1 (t) 6= 0 при всех 0 6 t 6 T, то ν = 1/2, q1, 1 /q1, 2 ≡ −1, q˙1, k /q1, k ≡ σ˙ 2, 1 /(2 σ2, 1 ), k = 1, 2, ¶ µ µ ¶ σ12 q1, 1 q1, 2 0 1 (1) , Γ= , H = q1, 1 q1, 2 −σ2, 1 0 2 ¶ µ µ ¶ 1 1 σ˙ 2, 1 1 −1 γ0 σ1, 1 − σ2, 2 (0) H = + , γ0 −1 1 2 σ1, 1 − σ2, 2 2 σ2, 1

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils где γ0 = T r A = σ1, 1 + σ2, 2 . Кроме того, 1 σ˙ 2, 1 Q1 = (γ0 + )I, 2 σ2, 1 (1)

zk l = Таким образом,

Z∗(1) =

Ã

0 (1)

z21

(1) z12

0

!

113

,

σ1, 1 − σ2, 2 − (σ˙ 2, 1 /σ2, 1 ) , k 6= l, k, l = 1, 2. 2 (q1, k − q1, l )

¡ ¢ W (t, ε) = M(t, ε) diag eµe1 (t, ε) , eµe2 (t, ε) M−1 (0, ε),

(18.1)

где M−1 (0, ε) = O(ε−1/2 ) и при j = 1, 2 µ ej (t, ε) = ε

−1

Zt µ

λ(τ ) − ε

1/2

0

¶ σ˙ 2, 1 (τ ) ε 3/2 ) − ε ... dτ. q1, j (τ ) − (γ0 (τ ) − 2 σ2, 1 (τ )

18.2. Случай I при m = 3. До конца § 18 будем считать матрицы D0 , D1 в (15.1) постоянными. Поскольку γ−2 = σ3, 1 6= 0, то ν = 1/3,   0 1 0 0 1 . Γ= 0 −σ3, 1 0 0 q1, l (−1) (−1) Здесь H (−1) = (hkl ), где hkl = (1/(3q1, k ))(σ2, 1 + σ3, 2 ), k, l = 1, 2, 3, в частноq1, k q1, l (−1) (0) (0) σ2, 2 + сти, hkk = (1/(3q1, k ))γ−1 . Кроме того, H (0) = (hkl ), где hkl = (1/3){σ1, 1 + q1, k q1, l 2 (0) (1) (1) ) σ3, 3 }, k, l = 1, 2, 3, в частности, hkk = γ0 /3. Далее, H (1) = (hkl ), где hkl = ( q1, k q1, l (1) (1/3)q1, l (σ1, 2 + σ2, 3 ), k, l = 1, 2, 3, в частности, hkk = q1, k (γ1 /3), и, наконец, q1, k (1) (1) (2) 2 2 H (2) = (hkl ), где hkl = (σ1, 3 /3) q1, l , k, l = 1, 2, 3, в частности, hkk = (σ1, 3 /3) q1, k . (1) (1) Согласно (9.12), (9.13) находим, что Q1 = (γ−1 /3) Q−1 , и элементы zk l матрицы Z∗ имеют вид q1, l 1 (1) (σ2, 1 + σ3, 2 ), k 6= l, k, l = 1, 2, 3. zkl = 3 q1, k (q1, k − q1, l ) q1, k Следовательно,

¡ ¢ exp(ε−1 D(ε) t) = M(ε) diag eteµ1 (ε) , eteµ2 (ε) , eteµ3 (ε) M−1 (ε),

где M−1 (ε) = O(ε−2/3 ),

µ ej (ε) = ε

−1

µ

λ−ε

1/3

q1, j − ε

2/3

¶ γ−1 − ε... , 3q1j

j = 1, 2, 3.

18.3. Случай II при m = 3. Здесь σ3, 1 = 0, γ−1 = σ2, 1 + σ3, 2 6= 0. Тогда ν = 1/2,     0 0 0 σ1, 1 0 0 σ2, 2 0  + σ21 (σ3, 3 − σ1, 1 )  0 0 0  , H0 =  0 1 0 0 0 0 σ3, 3     1 0 1/γ−1 1 1 1 2 , Φ(1) =  0 q1, 1 q1, 2  , (Φ(1) )−1 =  0 1/2q1, 1 1/2q1, 1 2 2 2 0 q1, 1 q1, 2 0 1/2q1, 2 1/2q1, 2

(18.2)

114

Section 1. Spectral Problems 

σ1,

1

σ1, 1 − σ3,

σ1, 1 − σ3,

3

3





1

1

1



     σ2, 1 (σ3, 3 − σ1, 1 )   −1/2 −1/2 −1/2  . 0 + σ3, 3 ) − σ2, 2 )  + H    γ−1    1 1 −1/2 −1/2 −1/2 (σ3, 3 − σ2, 2 ) 2 (σ2, 2 + σ3, 3 ) 0 2 В скалярном уравнении (15.11) имеем 1 (0) (2) (1) (0) (0) (1) f (1) = H11 = (σ1, 1 σ3, 2 + σ2, 1 σ3, 3 ), f (2) = H11 + H12 Y21 + H12 Y21 , ... . γ−1 Таким образом, ¡ ¢ exp(ε−1 D(ε) t) = M(ε) diag eteµ3 (ε) ; eteµ1 (ε) , eteµ2 (ε) M−1 (ε), (18.3) (0)

  =  

1 (σ2, 2 2

1 (σ3, 3 2

где M−1 (ε) = O(ε−1 ), µ e3 (ε) = ε−1 (λ − εf (1) − ε2 f (2) − ε3 ...), ´ ³ γ0 µ ej (ε) = ε−1 λ − ε1/2 q1, j − ε − ε3/2 ... , 2 Замечание 18.1. Если σ2,

1

j = 1, 2.

= 0, то γ−1 = σ3, 2 , Ω−2 = 0 и f (1) =

1 σ1, 1 σ3, γ−1

2

= σ1, 1 .

19. Сильное вырождение структурной матрицы. Случаи I, II в подпространстве End P E 19.1. Переход к системе независимых уравнений. Пусть теперь 2 6 m1 6 (m − 1)/2 в соотношениях (9.2). Обратимся к расщепленной системе (15.10) и заметим, что второе уравнение из (15.10) в End (I − P )E с функциями G(i) (t) из (14.14) изучено в п. 16.1. Первое уравнение из (15.10) в End P E с функциями F (i) (t) из (14.12) рассматривалось в п. 15.6. Оно по форме напоминает уравнение (15.5) в пространстве N, поэтому можно использовать алгоритм, изложенный в § 15, и ввести в рассмотрение преобразование подобия M1 (t, ε) = diag (M1 (t, ε); 0n ) (19.1) типа (16.3), действующее в End P E. По аналогии с предположением 8.1 и формулами (8.2), (8.3) будем считать выполненным Предположение 19.1. Справедливо неравенство 1 6 s1 6 m1 , или 0 6 m2 6 (m1 − 1)/2.

Здесь используются обозначения m1 = m2 + n1 , s1 = n1 − m2 . Важно отметить, что исследование заканчивается, когда в End P E имеет место случай I (при m2 = 0) или случай II (при m2 = 1). Если же в подпространстве End P E возникает случай сильного вырождения (при 2 6 m2 6 (m1 − 1)/2), то после первой редукции задачи следует повторить аналогичные рассуждения. В согласии с формулами из п. 16.2 и § 17 получаем, что в случае I

−1 WP (t, ε) = M(t, ε) P M1 (t, ε) diag (eµen+1 (t, ε) , ..., eµem (t, ε) ; 0n ) M−1 1 (0, ε) P M (0, ε), (19.2) а в случае II −1 WP (t, ε) = M(t, ε) P M1 (t, ε) diag (eµem (t, ε) ; eµen+1 (t, ε) , ..., eµem−1 (t, ε) ; 0n )M−1 1 (0, ε) P M (0, ε). (19.3) И тогда в силу (16.2), (19.2), (19.3) получаем

W (t, ε) = WP (t, ε) + WI−P (t, ε). Далее опишем структуру матрицы M1 (t, ε) и укажем вид скалярных функций µ ej (t, ε), n + 1 6 j 6 m в каждом из случаев I, II. Предварительно отметим, что матрицы F (i) (t) порядка m1 × m1 действуют в End P E и ведут свое происхождение от матриц Hi+1−n (t), имеющих от одной до трех ненулевых

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils

115

линий параллельных диагонали (см. (8.1), (10.5), (11.5)). В § 12 указано, что номера линий однодиагональных (или двухдиагональных, когда 1 6 s 6 m1 − 2) матриц F (i) (t) при всех 1 6 i 6 m + n − 2 могут изменяться от 1 − m1 до m1 − 1. Из лемм 12.6 – 12.8 вытекает, что ненулевые элементы однодиагональных матриц F (1) (t), ..., F (s−1) (t) располагаются на линиях с неотрицательными номерами. Матрица F (s) (t) содержит один ненулевой элемент, стоящий в m1 - й строке и 1 - м столбце, и является первой однодиагональной матрицей с отрицательным номером, причем наименьшим. (i+1−n) Поскольку матрица F (i) (t) по структуре совпадает с H11 (t), то случай I в End P E может возникнуть только при i = s, i = s + n, i = s + 2n (последний имеет место, когда 1 6 s 6 m1 − 2), а случай II в End P E – только при i = s + 1, i = s + n + 1, i = s + 2n + 1 (последний также имеет место, когда 1 6 s 6 m1 − 2). В данной работе ограничимся рассмотрением случаев i = s, i = s + 1. Будем обозначать сумму элементов матрицы F (i) (t) через γi, 1 (t). Если матрица F (i) (t) является двухдиагональной, то условимся, что γi, 1 (t) – это сумма элементов матрицы с меньшим номером (большим весом). 19.2. Случай I в End P E. Пусть m2 = 0, n1 = m1 . Случай I в подпространстве End P E характеризуется соотношением γs, 1 (t) 6= 0,

0 6 t 6 T.

(19.4)

¯ 1 (ε) из (10.3), матрицу Вандермонда V1 (t) порядка m1 ×m1 , Возьмем матрицу срезания Λ матрицу Z1 (t, ε) с нулевой диагональю и положим ¯ 1 (ε)V1 (t) (I + εν1 Z1 (t, ε)). M1 (t, ε) = Λ

(19.5)

Как показано в [?], ν¯ = s/(nm1 ), ν1 = ν + ν¯ = 1/m1 , Γ1 (t) = J1 −F (s) (t). При выполнении (1) условия (19.4) все ненулевые попарно различные собственные значения q1 (t) матрицы Γ1 (t) находятся из тождества (1)

(q1 (t))m1 + γs, 1 (t) ≡ 0,

0 6 t 6 T.

(19.6)

s(1−m1 )/nm1 Так как M−1 (0, ε) = O(ε(1−m)/n ), M−1 ), то 1 (0, ε) = O(ε −1 (1−2m1 )/m1 P M−1 ). 1 (0, ε)P M (0, ε) = O(ε

(19.7)

Следовательно, в (19.2) имеем µ ej (t, ε) = ε−1

Zt

(1)

(λ(τ ) − ε1/m1 q1, j (τ ) − ε2/m1 ...) dτ,

n + 1 6 j 6 m.

(19.8)

0

Теорема 19.1. Пусть выполнены соотношения (9.2) при 2 6 m1 6 (m − 1)/2 и справедливо предположение 15.1. Если, кроме того, γs, 1 (t) 6= 0 при всех 0 6 t 6 T, то оператор Коши уравнения (15.1) имеет вид W (t, ε) = WP (t, ε) + WI−P (t, ε) = = M(t, ε) {P M1 (t, ε) diag (eµen+1 (t, ε) , ..., eµem (t, ε) ; 0n )M−1 1 (0, ε) P + +diag (0m1 ; eµe1 (t, ε) , ..., eµen (t, ε) )}M−1 (0, ε),

(19.9)

где матрицы M(t, ε), M1 (t, ε) определяются равенствами (16.3), (19.5) соответственно, а скалярные функции µ ej (t, ε) – равенствами (16.4), (19.8). В [?] установлено, что γs, 1 (t) = (1/γ1−n (t))

n X

r=m1

σr, 1 (t)σm,

r+1 (t),

поэтому имеет место

116

Section 1. Spectral Problems

Следствие 19.1. Если в условиях предположения 15.1 выполнены соотношения (9.2) и, n X кроме того, σr, 1 (t)σm, r+1 (t) 6= 0 при всех 0 6 t 6 T, то справедливо представление r=m1

(19.9) оператора Коши уравнения (15.1) с матрицами M(t, ε), M1 (t, ε) из (16.3), (19.5) соответственно и скалярными функциями µ ej (t, ε), определяемыми равенствами (16.4), (19.8).

19.3. Случай II в End P E. Пусть m2 = 1, n1 = m1 −1. Напомним, что через γs+1, 1 (t) обо(0) значена сумма двух элементов однодиагональной матрицы F (s+1) (t) = Fs+1, 1 (t)+Ds+1, 1 (t) с номером диагонали равным 2 − m1 . Примем ¯ 1 (ε)Φ(2) (t)(I + εν1 Y1 (t, ε))(I + εν1 Z1 (t, ε)). M1 (t, ε) = (I + ε(s+1)ν Ω−n1 ,1 (t))Λ (19.11) ¯ 1 (ε), ν¯ > 0 определяется в (10.3), ν1 = ν + ν¯, матрицы Здесь ν = 1/n, m2 = 1, матрица Λ Ω−n1 , 1 (t) (однодиагональная), Φ(2) (t), Y1 (t, ε) (сплетающая), Z1 (t, ε) (с нулевой диагональю) аналогичны описанным выше. Случай II в подпространстве End P E характеризуется соотношениями F (s) (t) ≡ 0, γs+1, 1 (t) 6= 0, 0 6 t 6 T. (19.12) Отдельно следует рассмотреть случай m1 = 2, отличающийся от рассмотренного в п. 18.1 случая m = 2, m1 = 0 тем, что здесь s = 2 > 1, но s1 = n1 − m2 = 0 < 1, и предположение 19.1 не выполнено. Пусть 3 6 m1 6 (m − 1)/2, m2 = 1. Тогда согласно [?] имеем ν1 = 1/(m1 − 1), ν¯ = (s + 1)/(n(m1 − 1)), Γ1 (t) = J1 − D2−m1 , 1 (t). При выполнении условия (19.12) все попарно (1) различные собственные значения q1 (t) матрицы Γ1 (t) находятся из тождества (1)

(1)

q1 (t) ((q1 (t))m1 −1 + γs+1, 1 (t)) ≡ 0,

По аналогии с § 17 находим, что

(I − P ) M−1 (0, ε) = O(ε(1−m)/n ),

µ ej (t, ε) = ε

−1

Zt

0 6 t 6 T.

(19.13)

−1 −2 P M−1 1 (0, ε)P M (0, ε) = O(ε ),

(1)

(λ(τ ) − ε1/(m1 −1) q1, j (τ ) − ε2/(m1 −1) ...)dτ, n + 1 6 j 6 m − 1,

0

µ em (t, ε) = −

Zt

(q1, m (τ ) + εq2, m (τ ) + ε2 ...) dτ.

(19.14)

0

Теорема 19.2. Пусть выполнены соотношения (9.2) при 3 6 m1 6 (m − 1)/2 и справедливо предположение 15.1. Если, кроме того, γs, 1 (t) ≡ 0, γs+1, 1 (t) 6= 0 при всех 0 6 t 6 T, то оператор Коши уравнения (15.1) имеет вид W (t, ε) = WP (t, ε) + WI−P (t, ε) = = M(t, ε) {P M1 (t, ε)diag (eµem (t, ε) ; eµen+1 (t, ε) , ..., eµem−1 (t, ε) ; 0n ) M−1 1 (0, ε) P +

+diag (0m1 ; eµe1 (t, ε) , ..., eµen (t, ε) )} M−1 (0, ε), (19.15) где матрицы M(t, ε), M1 (t, ε) определяются равенствами (16.3), (19.11) соответственно, а скалярные функции µ ej (t, ε) – равенствами (16.4), (19.14). В [?] показано, что γs+1, 1 (t) = (1/γ1−n (t))

σr+1, 2 (t)] σm,

r+2 (t)}.

Таким образом, имеет место

n X

{σr, 1 (t)σm−1,

r=m1 −1

r+1 (t)

+ [σr, 1 (t) +

117

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils

Следствие 19.2. Если в условиях предположения 15.1 выполнены соотношения (9.2) при 3 6 m1 6 (m − 1)/2 и, кроме того, n X

r=m1

σr, 1 (t)σm,

r+1 (t) ≡ 0,

n X

r=m1 −1

{σr, 1 (t)σm−1,

r+1 (t)

+ [σr, 1 (t) + σr+1, 2 (t)] σm,

r+2 (t)}

6= 0

при всех 0 6 t 6 T, то справедливо представление (19.15) оператора Коши уравнения (15.1) с матрицами M(t, ε), M1 (t, ε) из (16.3), (19.11) соответственно и скалярными функциями µ ej (t, ε), определяемыми равенствами (16.4), (19.14). Список литературы

[1] Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. [2] Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983. [3] Рапопорт И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Киев: Изд-во АН УССР, 1954. [4] Федорюк М.В. Асимптотические методы в анализе // Соврем. проблемы математики. Фундам. направления. Т. 13. М.: ВИНИТИ, 1986. С. 93–210. [5] Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981. [6] Коняев Ю.А. Теория возмущений в прикладных задачах. М.: Изд-во МЭИ, 1990. [7] Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И., Николенко Л.Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений. Киев: Наукова думка, 1966. [8] Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969. [9] Сотниченко Н.А., Фещенко С.Ф. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений // Препринт 80.3 Института математики АН УССР. Киев: Изд-во АН УССР, 1980. [10] Елисеев А.Г. Теория сингулярных возмущений для систем дифференциальных уравнений в случае кратного спектра предельного оператора. I // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1984. Т. 48. № 5. С. 999– 1020. II // там же. 1984. Т. 48. № 6. С. 1171–1195. [11] Елисеев А.Г., Ломов С.А. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущеннных задач // Успехи матем. наук. 1988. Т. 43. № 3. С. 3–53. [12] Шкиль Н.И., Старун И.И., Яковец В.П. Асимптотическое интегрирование линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Киев: Вища школа, 1989. [13] Чернышов К.И. Метод стандартного расщепления сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1990. Т. 311. № 6. С. 1311–1316. [14] Чернышов К.И. Асимптотический анализ уравнения с фредгольмовым оператором при производной // Дисс. докт. физ.-мат. наук. Киев: ИМ НАН Украины, 1992. [15] Чернышов К.И. Асимптотические разложения решения задачи Коши для одного линейного дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 5. С. 765–779. [16] Чернышов К.И. Об экспоненте матричного пучка, зависящего от параметра, в случае кратного спектра предельной матрицы // Spectral and Evolution Problems (proc. of the Thirteenth Crimean Autumn Math. School). National Taurida V. Vernadsky Univ. Simferopol. 2003. V. 13. P. 65–81. [17] Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1968. [18] Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем. М.: Наука, 1973. [19] Арнольд В.И. О матрицах, зависящих от параметров // Успехи матем. наук. 1971. Т. 25. № 2. С. 101–114. [20] Колесов Ю.С., Кубышкин Е.П. Минимальный алгоритм исследования устойчивости линейных систем // Исследования по устойчивости в теории колебаний. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1977. С. 142–155. [21] Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. [22] Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. [23] Территин Х.Л. Асимптотическое разложение решений систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, содержащих параметр // Математика: Сб. переводов. 1957. Т. 1. № 2. С. 29–59. [24] Богаевский В.Н., Повзнер А.Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений. М.: Наука, 1987.

118

Section 1. Spectral Problems

Чернышов К.И., профессор, Воронежская государственная лесотехническая академия, Воронеж, 394613, Россия E-mail: [email protected] The algorithm of the diagonalization of the matrix pencil, depending on a variable and a parameter, is suggested in cases when the limit matrix has the simple spectrum or it has the multiple eigenvalue for all values of a variable. The exhaustive superposition of special similarity transformations is used in the algorithm. Formulae for Cauchy operator of the nonstationary linear equation with a small parameter in the derivative and with the matrix pencil are obtained under different degrees of the structure matrix degeneracy.

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils

119

SPECTRAL PROPERTIES OF ONE OPERATOR MATRIX AND STABILITY QUESTIONS ARISING IN SUPERSONIC HYDRODYNAMICS I. A. Sheipak, A. A. Vladimirov An operator matrix, arised in some problems of mathematical physics, is considered. The spectral properties of this operator are studied. The essential spectrum is described. The localization theorem for discrete spectrum is proved. Asymptotic formulas for eigenvalues in neighbourhood of infinity are obtained. Some stability questions are discussed.

1. Introduction This paper is devoted to the investigation of spectral properties  d u(x) −ip12 (x) p13 (x)  dx  d L0 :=  u(x) 0  −ip21 (x) dx p31 (x) 0 u(x)

and its perturbation



d −ip12 (x) p13 (x) dx u(x) 0

u(x)   d L :=   −ip21 (x) dx p31 (x)

p32 (x)

u(x)

of operator matrix of kind    , 



  . 

These operators will be defined more precisely below. The results obtained in the paper can be applied to the investigation of stability of supersonic flow. 2. Spectral properties of operator L0 2.1. Essential spectrum. Let us define Hn for n-th cartesian product of space L2 [0, 1]. Let us consider in space H3 differential expression   d u(x) −ip12 (x) p13 (x)   y1 (x)   dx   d y2 (x)  . (1) l(Y ) :=  u(x) 0   y (x)  −ip21 (x) dx 3 p31 (x) 0 u(x)

pij (x) and u(x) are continuous real-valued functions defined on interval [0, 1], submitting to inequalities p12 (x)p21 (x) ≥ c1 > 0, p13 (x)p31 (x) ≥ c2 > 0, (2) where ci are some constants. In spaces H1 , H2 and H3 one can introduce inner products Z1 hY, ZiH1 = ̺3 (x)y(x)z(x) dx, 0

2 Z X

1

hY, ZiH2 =

k=1 0

̺k (x)yk (x)zk (x) dx,

120

Section 1. Spectral Problems 3 Z X

1

hY, ZiH3 =

̺k (x)yk (x)zk (x) dx,

k=1 0

where weights ̺k (x) are functions associated with differential expression (??) ̺1 (x) =

1 , |p12 (x)|

̺2 (x) =

1 , |p21 (x)|

̺3 (x) =

p13 (x) . |p12 (x)| · p31 (x)

Operator L0 is defined in space H3 with differential expression (??) and periodic boundary conditions y1 (1) − y1 (0) = y2 (1) − y2 (0) = 0. (3) So the domain of operator L0 is linear subspace in H3 of the kind     y1 (x)   D(L0 ) = Y =  y2 (x)  yk (x) ∈ W21 [0, 1]; yk (1) = yk (0), k = 1, 2; y3 (x) ∈ L2 [0, 1] .   y3 (x) One can easely verify that operator L0 is selfadjoint in H3 .

Remark 7. Other boundary conditions, which with expression (??) raise selfadjoint operator in H3 can be considered. The pair of linear independent boundary conditions Uk (Y ) = 0, k = 1, 2, are selfadjoint, iff for any Y from linear subspace     y1 (x)   Y =  y2 (x)  Y ∈ W21 [0, 1] × W21 [0, 1] × L2 [0, 1], Uk (Y ) = 0, k = 1, 2 ,   y3 (x) the equation is valid

y1 (1)y2 (1) = y1 (0)y2 (0). However spectral properties of operator L0 investigated below are not depend on selfadjoint boundary conditions, therefore we will consider without loss of generality only periodic boundary conditions (??). The following statement is valid

Theorem 1. Essential spectrum of operator L0 coincides with the range of function u(x) on interval [0, 1]. Доказательство. Operator L0 can be written as block-matrix µ ¶ A B L0 = . C D Here we denote: • A is operator in space H2 , defined by expression   d u(x) −ip12 (x)  dx    d u(x) −ip21 (x) dx with boundary conditions (??); • B : H2 → H1 is operator of kind µ ¶ p13 (x) ; 0 • C : H1 → H2 is operator of kind

¡

p31 (x) 0

¢

;

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils

121

• D : H1 → H1 is operator of multiplication on function u(x). Obviously next conditions are valid: (1) Operator A has compact resolvent. (2) Operator D is bounded. (3) Operators B and C are bounded. (4) For any λ ∈ ρ(A) operator F (λ) := (A − λ)−1 B is bounded. (5) For any λ ∈ ρ(A) operator S(λ) := C(A − λ)−1 B is bounded. (6) For any λ ∈ ρ(A) operator Q(λ) := C(A − λ)−2 B is compact. In accordance with the theorem 2.2 of paper [?] it means, that essential spectrum of operator L0 coincides with essential spectrum of operator D − C(A − λ)−1 B for some fixed λ ∈ ρ(A). From compactness of resolvent of operator A and boundness of operators B and C, essential spectrum of operator L0 coincides with essential spectrum of operator D, i. e. with rang of function u(x). Theorem is proved. ¤ 2.2. Discrete spectrum. In this part we study behaviour of eigenvalues of operator L0 which lie outside of essential spectrum of operator L0 . ¡ ¢T Let ξ 6∈ σess (L) is an eigenvalue of operator L0 and Y = y1 y2 y3 is corresponding eigenfunction. Then second and third lines of matrix equation (L0 − ξ)Y = 0 are equivalent for the parities ip21 (x) (4) · y ′ (x) y2 (x) = u(x) − ξ 1 and p31 (x) y3 (x) = − · y1 (x). (5) u(x) − ξ If we substitute these equations in first line of system L0 − ξ)Y = 0 then obtain that {ξ, y1 (x)} is eigenpair of operator-function ′

− (P (x, λ)y ′ (x)) + Q(x, λ)y(x), y(1) = y(0), ′

′

P (1, λ)y (1) = P (0, λ)y (0)

(6) (7) (8)

where |p21 (x)| > 0, P (x, λ) = |u(x) − λ| ¶ µ 1 p13 (x)p31 (x) Q(x, λ) = − |u(x) − λ| . |p12 (x)| |u(x) − λ|

(9)

It is easy verify that from given eigenpair {ξ, y1 (x)} of operator-function (??)–(??) with the help of equations (??) and (??) one can restore functions y2 (x) and y3 (x), which together with y1 (x) form eigenvector of operator L0 . So the eigenvalue problem for operator L0 is equivalent for the eigenvalue problem for operator-function (??)–(??). For any λ ∈ (−∞, min u) functions P (x, λ) and Q(x, λ) are strictly increased by variable λ for any x ∈ [0, 1]. On contrary, if λ ∈ (max u, +∞) functions P (x, λ) and Q(x, λ) are strictly decreased by variable λ for any x ∈ [0, 1]. From theorem 2.15 of paper [?] next statement follows. Theorem 2. Discrete spectrum of operator L0 has just two (infinite) points of accumulations ±∞. Let us make more precise the behaviour of eigenvalues in the neighbourhood of infinity.

122

Section 1. Spectral Problems

Theorem 3. Eigenvalues of operator L0 in the neighbourhood of infinity has linear asymptotic πn λn = 1 · (1 + o(1)). (10) R −1/2 (p12 (x)p21 (x)) dx 0

Доказательство. According with corollary 2.9 of paper [?], the quantity(with multiplicity) of eigenvalues of operator-function (??)–(??) on interval (max |u(x)|, λ0 ) coincides up to arbitrary [0,1]

constant which is not depend on λ0 with quantity of zeroes on interval (0, 1) of arbitrary solution of equation ′

− (P (x, λ0 )y ′ (x)) + Q(x, λ0 )y(x) = 0. Let us divide interval [0, 1] on N equal subintervals · ¸ k−1 k , ∆k := , k = 1, 2, . . . , N. N N

(11)

Let us estimate the quantity of zeroes of any solution of equation (??) on each subinterval ∆k . We introduce numbers Pk+ := max P (x, λ0 ), x∈∆k

Pk− := min P (x, λ0 ), x∈∆k

Q+ k := max Q(x, λ0 ), x∈∆k

Q− k := min Q(x, λ0 ). x∈∆k

According with Sturm theorem about alternation of zeroes the quantity of zeroes of any solution of equation (??) on interval ∆k does not exceed the quantity (enlarged by one) of zeroes on interval ∆k of the any solution of the equation −Pk− y ′′ (x) + Q− k y(x) = 0.

(12)

−Pk+ y ′′ (x) + Q+ k y(x) = 0.

(13)

By analogy the quantity of zeroes on interval ∆k of any solution of equation (??) not less than reduced by one quantity of zeroes on interval ∆k of any solution of equation But equations (??) and (??) have solutions s Q− k (λ0 ) cos − − x and Pk (λ0 )

cos

s

−

Q+ k (λ0 ) x, + Pk (λ0 )

correspondingly. Consequently, the quantity of zeroes on interval ∆k of any solution of equation (??) is estimates above by value sµ ¶ Q− (λ ) 1 1 0 k + 1. · − π Pk (λ0 ) − N

Correspondingly the quantity of such zeroes is estimated below by value sµ ¶ 1 Q+ 1 k (λ0 ) − 2. · + π Pk (λ0 ) − N

Aforesaid means that quantity of zeroes on interval (0, 1) of any solution of equation (??) has an above estimation (sµ ) ¶ N Q− (λ ) 1X 1 0 k · + O(N ) π k=1 Pk− (λ0 ) − N

and below estimation

N 1X π k=1

(sµ

Q+ k (λ0 ) + Pk (λ0 )

¶

1 · N −

)

+ O(N ).

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils

123

The value of remainder does not depend on λ0 . Here a− denotes the negative part of value a (i. e. a− = − min(0, a)). However as λ → ∞ the asymptotics valid µ ¶¶ µ ¶¶ max |p21 (x)| µ min |p21 (x)| µ 1 1 x∈[0,1] x∈[0,1] + − Pk (λ) = , Pk (λ) = , · 1+O · 1+O λ λ µ ¶λ µ ¶ λ λ 1 1 λ Q+ +O +O , Q− . k (λ) = − k (λ) = max |p12 (x)| λ min |p12 (x)| λ x∈[0,1]

x∈[0,1]

Therefore the quantity of zeroes on interval (0, 1) of any solution of equation (??) has above estimation   v   N 1 1 λ 0 X u u · + O(N ) t π k=1  min |p12 (x)| · min |p21 (x)| N   x∈[0,1]  x∈[0,1] and below estimation

λ0 π



v u t

N  u X k=1

 

  1

1 + O(N ). · max |p12 (x)| · max |p21 (x)| N   x∈[0,1] x∈[0,1]

The value of remainder O(N ) does not depend on λ0 . As functions p12 (x) and p21 (x) are continuous, these estimations mean that for quantity (with multiplicity) of eigenfunctions on interval ( max |u(x)|, λ) of operator-function (??)–(??) as λ → ∞ the asymptotic is valid x∈[0,1]

λ N (λ) = π

Z1 0

dx p + o(λ). p12 (x)p21 (x)

From this formula the correctness of asymptotic (??) follow in case n > 0. Case n < 0 is considered in analogous way. Theorem is proved. ¤ 3. Perturbation of operator L0 Let us consider perturbation of operator L0 of the kind  d u(x) −ip12 (x) p13 (x)  dx  d L :=  u(x) 0  −ip21 (x) dx p31 (x) p32 (x) u(x)



  . 

Operator L acts in the same space with the same domain as operator L0 . p32 (x) is continuous and complex valued function on interval [0, 1]. The next statements on spectral properties of operator L are valid. Theorem 4. Essential spectrum of operator L is range of function u(x) on interval [0, 1]. Доказательство. Operator L

¶ A B L= C1 D differs from operator L0 only in left bottom component in matrix representation. But main properties of this component (operator C1 coincide with the properties of operator C. In particular operator ¡ ¢ C1 = p31 (x) p32 (x) , µ

124

Section 1. Spectral Problems

acting from H1 to H2 is also bounded. Therefore it is sufficient to repeat reasons of theorem ?? in order to prove this theorem. ¤ The same reasons as in the proof of theorem ?? lead us to the conclusion that operator L has two infinite series of eigenvalues (possibly complex), which are accumulated to ±∞. Let us number eigenvalues of operator L by increasing of real parts. The next statement is valid. Lemma 1. There exists sequence ωn ≍ n (so limits lim sup ωn n−1 and lim inf ωn n−1 are positive) that for Re λ ∈

{ωn }+∞ 1

n→∞

n→∞

estimations

k(D − λ)−1 kH1 ≤

const |λ| − max |u(x)|

and kC1 (A − λ)−1 kH2 ≤ are true.

const 1 + | Im λ|

Доказательство. The eigenvalue problem for operator A by the method used in studying of discrete spectrum of operator L0 can be replaced by eigenvalue problem for operator-function ′ ˜ λ)y(x), − (P (x, λ)y ′ (x)) + Q(x,

y(1) = y(0), P (1, λ)y ′ (1) = P (0, λ)y ′ (0), ˜ λ) = − |u(x) − λ| . where function P (x, λ) is the same as in (??) and Q(x, |p12 (x)| Repeating the reasons from proof of theorem ??, one can obtain that the main term of eigenvalue asymptotic of operator A coincides with the main term of eigenvalue asymptotic of operator L0 , that is λn (A) ≍ n. Therefore, the sufficient small number ε > 0 and sequence {ωn }∞ 1 are exist, such that for all n ∈ N interval (ωn − ε, ωn + ε) lies in the resolvent set of operator A. Operator A is self-adjoint and C1 is bounded, so for Re λ ∈ {ωn }∞ 1 the second inequality of lemma is valid. Operator D is self-adjoint and kDkH1 = max |u(x)|. So for sequence {ωn }∞ 1 the first inequality is valid too. Lemma is proved.

x∈[0,1]

¤

Operator L can be presented as L = L0 + M , where µ ¶ 0 0 M= . V 0 ¡ ¢ Here V = 0 p32 (x) is bounded operator from H1 to H2 .

∞ Lemma 2. For the sequence {ωn }∞ 1 from lemma ?? while Re λ ∈ {ωn }1 the inequalities

k(L0 − λ)−1 kH3 ≤

const 1 + | Im λ|

and k(L0 − λ)−1 M kH3 ≤ are true.

const | Re λ| + | Im λ|

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils

125

Доказательство. We shall introduce operator-function S(λ) := A − λ − B(D − λ)−1 C.

If we convert Frobenius-Schur factorization for operator L0 − λ, i. e. identity ¶ ¶ µ ¶ µ ¶ µ µ I 0 I B(D − λ)−1 S(λ) 0 A−λ B , · = · (D − λ)−1 C I 0 D−λ C D−λ 0 I we shall obtain presentation µ ¶ S −1 −S −1 B(D − λ)−1 −1 (L0 − λ) = . −(D − λ)−1 CS −1 −(D − λ)−1 [I − CS −1 B(D − λ)−1 ] Here I denotes identity operator. If Re λ ∈ {ωn }∞ 1 then equality £ ¤−1 S −1 (λ) = (A − λ)−1 I − B(D − λ)−1 C(A − λ)−1

(14)

(15)

is valid obviously. If we substitute operator C1 by operator C the second inequality from lemma ?? remains valid, so the inequality const kS −1 (λ)kH3 ≤ . (16) 1 + | Im λ|

holds too. From last estimation, from (??) and lemma ?? we obtain the first inequality of lemma. The formula (??) implies relation µ ¶ −S −1 B(D − λ)−1 V 0 −1 (L0 − λ) M = . (17) −(D − λ)−1 [I − CS −1 B(D − λ)−1 ] V 0 In addition as |λ| → ∞ the inequality

k(D − λ)−1 kH1 ≤

const | Re λ| + | Im λ|

(18)

is carried out. From estimations (??)–(??) the second inequality of the lemma implies.

¤

Theorem 5. Asymptotic behaviour of real part of eigenvalue of operator L on infinity coincides with asymptotic of eigenvalues of operator L0 , i.e. looks likes πn · (1 + o(1)). Re λn (L) = 1 R −1/2 (p12 (x)p21 (x)) dx 0

Imaginary part of eigenvalues lies in the strip

where

(19)

{λ ∈ C |Im λ| ≤ Θ/2} , Θ = max

x∈[0,1]

(

|p32 (x)| ·

s

p21 (x)p13 (x) p12 (x)p31 (x)

)

.

Доказательство. It is easy to check that numerical range of operator L lies in the strip (??). From this fact the estimation on imaginary part of λn (L) follows. The difference between resolvents (L − λ)−1 and (L0 − λ)−1 can be presented as £ ¤−1 · (L0 − λ)−1 − (L0 − λ)−1 . (L − λ)−1 − (L0 − λ)−1 = I + (L0 − λ)−1 M If Re λ ∈ {ωn }∞ 1 and |λ| → ∞ with the help of lemma ?? this difference can be written as ¶ µ 1 −1 −1 −1 −1 . (20) (L − λ) − (L0 − λ) = (L0 − λ) M (L0 − λ) + O |λ|2

126

Section 1. Spectral Problems Γ4 Γ1

Γ3 r

ωn

ωn+k

r

Γ2 Pic. 1: Contour Γ from proof of theorem ??. From (??) and lemma ?? it follows that if Re λ ∈ {ωn }∞ 1 and |λ| → ∞ then formula k(L0 − λ)−1 − (L − λ)−1 k ≤

const →0 | Re λ| + | Im λ|

(21)

fulfills. Let us choose positive number h > Θ/2 and sufficient large numbers n, k ∈ N. Then contour Γ = Γ1 ∪ Γ2 ∪ Γ3 ∪ Γ4 , where Γ1 Γ2 Γ3 Γ4

= = = =

{λ {λ {λ {λ

Re λ = ωn , | Im λ| ≤ h}, ωn ≤ Re λ ≤ ωn+k , Im λ = −h}, Re λ = ωn+k , | Im λ| ≤ h}, ωn ≤ Re λ ≤ ωn+k , Im λ = h},

(see also pic. 1) divides spectrum of operator L0 on two parts. Let us consider the restrictions of operators L and L0 on subspaces corresponding to the part of spectrum which lies inside the contour Γ. These restrictions we will denote as L(Γ) and L0 (Γ) correspondingly: Z Z 1 1 −1 L(Γ) = − (L − λ) dλ, L0 (Γ) = − (L0 − λ)−1 dλ. 2πi 2πi Γ

Γ

Estimation (??) denotes that for sufficient small positive number ε there exist ωn and ωn+k from sequence obtained in lemma ?? such that k(L(Γ) − λ)−1 − (L0 (Γ) − λ)−1 k ≤ ε.

From theorem [?, IV.3.16] and last inequality follows that inside contour Γ lies the same quantity (with multiplisity) of eigenvalues of operator L and L0 . It means that asymptotics of eigenvalues of these operators coincide. ¤ We can make the behaviour of eigenvalues with sufficient large real part more precise. Corollary 1. Spectrum of operator L asymptotically lies inside domain bounded by hyperbola | Im λ| =

const . | Re λ| − max |u(x)| x∈[0,1]

Доказательство. We will consider operator-function T (λ) := B(D − L0 )−1 C1 (A − λ)−1 .

If for some λ the inequality kT (λ)kH2 < 1 fulfills then such λ belongs to the resolvent set of operator L. It follows from formulas (??) and (??) if we substitute there operator C by C1 . From another side from inequalities (??)–(??) for the norm of operator-function T (λ) the estimation const kT (λ)kH2 ≤ (| Re λ| − max |u(x)|) · | Im λ| x∈[0,1]

implies, from which the corollary is obtained.

¤

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils

127

4. Estimations of semigroups, generated by operators L0 and L 4.1. The global estimations of semigroups. Let us consider Cauchy problem dZ dY = iL0 Y, Y (0) = Y0 , = iLZ, Z(0) = Z0 . (22) dt dt Initial values Y0 and Z0 belongs to space H3 . Let us consider semigroup U (t) := eiL0 t generated by operator iL0 . The numerical range of this operator is imaginary axis so for any λ ∈ R inequalities 1 k(iL0 − λ)−k kH3 6 , k = 1, 2, . . . |λ|−k are valid. The formula s ( ) p12 (x)p31 (x) kiL − iL0 kH3 = Θ := max |p32 (x)| · x∈[0,1] p21 (x)p13 (x) is also true. Therefore from theorem [?, IX.2.1] it follows that iL is generator of semigroup too. We denote this semigroup as V (t). V (t) satisfies inequality kV (t)kH3 6 eΘt .

For the difference of semigroups U (t) and V (t) the next estimation fulfills ° ° t ° °Z ° ° Θt ° kV (t) − U (t)kH3 = ° U (t − s)(L − L0 )V (s) ds° ° 6 e − 1. ° ° 0

H3

4.2. Estimations of semigroups on subspaces. In the case when initial values of problem (??) belong to special subspaces of space the estimations on growth of solution can be improved. For this aim let us consider the problem in general case and introduce operator matrixes ¶ ¶ µ µ 0 V A B . , B= A= 0 0 B∗ D

Let operators B, D = D∗ and V are bounded and operator A = A∗ has only discrete spectrum {λn }+∞ −∞ with asymptotic behaviour λn ≍ n as n → ±∞.

Remark. Operator L0 is self-adjoint so we can consider A to be representation of L0 . Operator L∗ can be represented as A + B. Let us consider the family of contours in complex plane Γn = Γn1 ∪ Γn2 ∪ Γn3 , where Γn1 = {λ ∈ C | Re λ = ωn , | Im λ| 6 α}

for some α > kBk,

Γn3 = {λ ∈ C | Im λ = −k(Re λ − ωn ) − α}

for some k > 1(pic.2).

Γn2 = {λ ∈ C | Im λ = k(Re λ − ωn ) + α},

Let us define projectors on invariant subsets of operators A and A + B correspondingly: Z Z 1 1 −1 Pn := (B − λ) dλ, Qn := (A + B − λ)−1 ) dλ. 2πi 2πi Γn

Lemma 3. kPn − Qn k 6 const

Γn

ln ωn → 0 as n → ∞. ωn

128

Section 1. Spectral Problems ³

³

³ ³³

³³

³³ ³³

³

Γn2

Γn1 r

ωn

PP

PP

PP

Γn3 PP PP PP

Pic. 2: The family of contours Γn Доказательство. We estimate the norm of difference on each of part of contour Γn . 1.Contours Γn2 and Γn3 . The difference between resolvents of operators A + B and A can be presented as −(A + B − λ)−1 B(A − λ)−1 .

According with lemma ?? on line Γn2 estimations const const , (A + B − λ)−1 6 kB(A − λ)−1 k 6 1 + | Im λ| 1 + | Im λ|

fulfils. With presentation Im λ = −k(Re λ − ωn ) − α it follows to the inequality ° ° ° °Z Z∞ ° ¡ ¢ ° dx const −1 −1 ° (A + B − λ) − (A − λ) dλ° ° 6 const x2 = ωn . ° ° °

(23)

ωn

Γn2

Contour Γn3 is symmetric to the contour Γn2 with regard to real axis. Numerical range of operator A + B is symmetric with regard to real axis too. So the estimation of integral of difference of resolvents on contour Γn3 is the same to the estimation (??). 2. Contour Γn1 . One can present difference between resolvents of operators A + B and A as ¡ ¢−1 −(A − λ)−1 I + B(A − λ)−1 B(A − λ)−1 . From this presentation and lemma ?? it follows that the norm of integral ° ° °Z ° ° ¡ ¢ ° −1 −1 ° (A + B − λ) ) − (B − λ) dλ° ° ° ° ° Γn1

has the same rate of growth as integral Z+∞ 0

ln ωn dx = , (1 + x)(x + ωn ) ωn − 1

and this estimation is uniform by α. Lemma is proved.

¤

Let Ln and Mn are invariant subspaces of operators A + B and A correspondingly which are generated by part of spectrum Re λ > ωn i.e. Ln = Qn H, Mn = Pn H. Lemma 4. For x ∈ Ln the inequality

holds.

const kBxk 6 √ ωn

129

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils

Доказательство. Let e = (e1 , e2 ) is eigenvector of operator A corresponding to eigenvalue µ. From relation B ∗ e1 + De2 = µe2 and from boundness of operators B ∗ and D we obtain that inequality const ke2 k 6 kek µ holds. By reason of linear asymptotic on infinity of spectrum of operator A and selfadjointness of this operator it follows that in subspace Mn one can choose such orthonormal basis {ek }+∞ O(ωn ) that norm of second component of each vector of the kind +∞ X

x = (x1 , x2 ) =

ck ek =

O(ωn )

can be appreciate in the next way kx2 k 6

+∞ X

O(ωn )

|ck |



const 6 const  k

+∞ X

O(ωn )

X

ck (ek1 , ek2 )

1/2 

|ck |2 



+∞ X

O(ωn )

1/2

1 k2

const 6 √ kxk. ωn

For the vector x from invariant subspace of the operator A + B the formula holds. So far as

Bx = BPn x + B(Qn − Pn )x.

(24)

(25)

µ

¶ V x2 Bx = , 0 and operator V is bounded then by lemma ?? and estimation (??) from identity (??) we obtain needed inequality. Lemma is proved. ¤ From lemma ?? the next statement follows. Theorem 6. If initial values of Cauchy problem for operator L lies in subspace Ln then for the solution Z(t) estimation const √ kZ(t)k 6 e ω n kZ k 0

is valid.

5. Application to the hydrodynamic problem Let us apply the results obtained above to some hydrodynamic problems. We study supersonic flow of compressible liquid. In general case there are a lot of different parameters influencing on stability of compressible supersonic flows. Firstly, these flows have not only pulsation (the deviation from time average) of velocity but pulsations of density, pressure, temperature and entropy. Secondly, there are effects of heat transfer. For example the profile of average velocity is depended on mode of heat exchange. So the problem is complicated. Therefore we study influence of compressibility without viscosity and heat transfer (so we study only ideal liquid). Moreover we consider only two-dimensional flows. So we consider supersonic flow of ideal compressible liquid in two-dimensional stream. Let (x1 , x2 ) is cartesian coordinate system, −∞ 6 x1 6 +∞, 0 6 x2 6 1. Let us study only laminar flows with average pressure to be constant and where other average values (density, profile of velocity, temperature and entropy depend only on x2 ). We introduce the follow notations:

130

Section 1. Spectral Problems

π(x2 ) — average amplitude of pulsation of pressure; ρ(x2 ) — average amplitude of pulsation of density; τ (x2 ) — average amplitude of pulsation of temperature; σ(x2 ) — average amplitude of pulsation of entropy; u˜(x2 ), v˜(x2 ) — average amplitude of pulsation of horizontal and vertical components of velocity correspondingly. We consider the full solution for pulsations as product of average amplitude and factor eiα(x1 −λt) . After separation of variables only one dimensional variable remains, so further we omit index and use variable x = x2 , x ∈ [0, 1]. For the variables of main flow we introduce the notation • • • • •

u(x), v(x), T (x), S(x) for horizontal and vertical components of liquid velocity, temperature and entropy correspondingly. The pulsation of density ρ can be written in dimensionless form ρ θ(x) = , p(x) where p(x) is the density of liquid. Under assumption that liquid is not viscous and heat transfer (τ = 0) is absence the main equations for pulsations of velocity, pressure, density and entropy have the form ([?]) p′ (x) v˜(x) + iα˜ u(x) + v˜′ (x) = 0, p(x) π(x) iα(u(x) − λ)˜ u(x) + u′ (x)˜ v (x) + iα = 0, p(x) π ′ (x) iα(u(x) − λ)˜ v (x) + = 0, p(x) iα(u(x) − λ)σ(x) + S ′ (x)˜ v (x) = 0, ¡ σ(x) ¢ π = p(x)a2 θ(x) + , c p′ (x) S ′ (x) + = 0. p(x) c

iα(u(x) − λ)θ(x) +

(26) (27) (28) (29) (30) (31)

Here c is constant which is equal to specific heat at constant pressure, a2 is physical parameter which depends linearly on temperature. Temperature is function of x. In book [?] there is analysis of physical system based on equations (??)–(??). An additional variable corresponding to the rate of compressibility of liquid and additional equation for this variable are introduced there. In spite of lot of variables the main analysis is based on studying of one equation on one variable in some limiting cases. We offer the following mathematical model. If we eliminate from system (??)–(??) pulsations of entropy σ and density θ then obtain the following spectral problem     ip(x)a2 d y y 2 1 (x) 1 (x) − p(x)a       u(x) α dx      d i     − u(x) 0 (32)  y2 (x) = λ y2 (x) .  p(x)α dx      ′      iu (x) 1 − u(x) y3 (x) y3 (x) p(x) α Here we introduce for convenience new notations for variables: y1 (x) is pulsation of pressure, y2 (x) is pulsation of vertical component of velocity, y3 (x) is pulsation of horizontal component 

131

Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils of velocity. p(x) is density of liquid, functions are continuous. Let us introduce operators L0 and  ip(x)a2 d u(x) −  α dx  d − i u(x) L0 :=  p(x)α dx  1 0 p(x)

and u(x) is profile of stable flow. We assume that these L 2



p(x)a   0  ,   u(x)

 ip(x)a2 d 2 p(x)a  −  u(x) α dx   d  − i u(x) 0 L := . p(x)α dx   ′   iu (x) 1 − u(x) p(x) α 

The domains of operators L0 and L is the set in L2 (0; 1)3 :

D(L) = {y(x) = (y1 (x), y2 (x), y3 (x)) : yi (x) ∈ W21 (0; 1), yi (0) = yi (1), i = 1, 2;

y3 (x) ∈ L2 (0; 1)}.

One can easy to check that operators L0 and L∗ are satisfied to theorems ??, ??, ??, ??, ?? and corollary ??. So the next statement is valid. Theorem 7. Essential spectrum of problem (??)–(??) coincides with the range of function u(x). Discrete spectrum accumulates to ±∞. There exists such constant C > 0, that outside hyperbola C | Im λ| = | Re λ| − max |u(x)| there is only resolvent set. For eigenvalues with sufficient large modulus the following asymptotic is valid πn Re λn = (1 + o(n)). Z1 dx α a(x) 0

dY = iL1 Y , Y (0) = Y0 estimation dt maxx∈[0,1] |u′ (x)| t α kY (t)k 6 e kY0 k

For the solution of Cauchy problem

holds. If initial value Y0 belongs to the invariant subset of operator L1 corresponding to the part of spectrum Re λ > ω (for sufficient large ω) then the solution of Cauchy problem satisfies to the inequality with some C > 0.

kY (t)k 6 e

C √ t ω

kY0 k

References [1] F. V. Atkinson, H. Langer, R. Mennicken, A. Shkalikov. The essential spectrum of some matrix operators// Math. Nachr., 167 (1994), pp. 5–20. [2] А. А. Владимиров, Р. О. Гринив, А. А. Шкаликов. Спектральный анализ периодических дифференциальных матриц смешанного порядка// Труды ММО, т.63(2002), с. 45–86. [3] R. Mennicken, H. Schmid, A. Shkalikov. On the eigenvalue accumulation of Sturm-Liouvile problem depending nonlinearly on the spectral parameter // Math. Nachr., 189 (1998), pp. 157–170. [4] Т. Като. Теория возмущений линейных операторов// М.,«Мир», 1972. [5] Р. Бетчов, В. Криминале. Вопросы гидродинамической устойчивости// М.,«Мир», 1971.

Section 2 EVOLUTION AND BOUNDARY VALUE PROBLEMS

Subsection 2.1

Differential-Operator and Evolution Equations

_

134

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ БЕСКОНЕЧНОГО ПОРЯДКА Г. С. Балашова МЭИ(ТУ), Москва, Россия Рассматриваются условия разрешимости задачи Дирихле для нелинейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка в ограниченной области. Во-первых, рассматриваются условия, при которых решения уравнений конечного порядка 2m, левая и правая части которых есть частичные суммы левой и правой частей уравнений бесконечного порядка, сходится к решению предельного уравнения при m → ∞. Во-вторых, установлен новый подход для сравнения двух операторов бесконечного порядка. В основу сравнения рассматриваемых операторов положено соотношение пространств Соболева бесконечного порядка, являющихся областью их определения. We consider the conditions of the solvability of Dirichlet problem for nonlinear differential equations of infinite order in a bounded domain. In the first place we have considered conditions under which the solutions of the equations of finite order 2m, whose left- and right-hand sides are partial sums of the left- and right sides of the equations of infinite order, will converge to a solution of the limiting equation as m → ∞. Secondly, we have discribed a new approach to compare two operators of infinite order. We compare operators on the basics of the relationships between the infinite order Sobolev spaces that serve as their domains. This way of defining a leading operator to yield more simple equation for which the solvability has been studied.

В некоторой ограниченной области G ⊂ Rν , ν ≥ 1, с границей Γ, рассматривается задача Дирихле для уравнения бесконечного порядка Lu(x) =

∞ X

(−1)|α| Dα Aα (x, Dγ u) = h(x),

|α|=0

x ∈ G,

(1)

Dω u(x)|Γ = Ψω (x′ ), x′ ∈ Γ, |ω| = 0, 1, . . . , (2) γ γ где Aα (x, D u) - непрерывные функции переменных x ∈ G и всевозможных D u, |γ| ≤ |α|, α, γ, ω - целочисленные мультииндексы, Ψω (x) - заданные на границе Γ функции. В дальнейшем предполагается, что энергетическое пространство Соболева бесконечного порядка, соответствующее уравнению (??), ∞ n o X ∞ ∞ α p W {aα , p}(G) ≡ u(x) ∈ C (G) : ρ(u) = aα kD ukp < ∞ |α|=0

нетривиально. Здесь aα ≥ 0, p > 1 - некоторые действительные числа, k · kp - норма в пространстве Lp (G). Условия нетривиальности таких пространств получены Ю.А. Дубинским [?]. Правая часть h(x) в уравнении (??) принадлежит пространству обобщенных функций, возможно, бесконечного порядка сингулярности, т.е. пространству, сопряженному к W ∞ {aα , p}(G) W −∞ {aα , p′ }(G) ≡   ∞ ∞   X X ′ aα khα kpp′ < ∞ , (−1)|α| Dα hα (x) : ρ′ (h) = ≡ h(x) =   |α=0

|α|=0

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

135

p здесь p′ = p−1 , hα (x) ∈ Lp′ (G). Определение. Функция u(x) ∈ W ∞ {aα , p}G называется обобщенным решением задачи (??), (??), если Dα u(x)|Γ = Ψω (x′ ), x′ ∈ Γ, |α| = 0, 1, 2, . . ., и для любой функции v(x) = ◦

W ∞ {aα , p}(G) ≡ {u(x) ∈ C0∞ (G), ρ(u) < ∞} справедливо равенство ∞ Z X

γ

α

Aα (x, D u)D v dx =

∞ X

aα

|α|=0

|α=0| G

Z

hα (x)Dα v dx

G

Предлагается два подхода к вопросу о разрешимости задачи (??), (??). Первый заключается в рассмотрении последовательности задач для уравнений порядка 2m, соответствующих частичным суммам ряда (??), и предельном переходе при m → ∞. Второй подход предполагает дифференциальный оператор бесконечного порядка L представить в виде суммы двух дифференциальных операторов L1 и L2 , каждый из которых также бесконечного порядка, и выделить главный из них L1 . Тогда задача сводится к уравнению с ˜ оператором L1 и измененной правой частью h(x) ∈ W −∞ {aα , p′ }(G) . Решением исходной задачи будет неподвижная точка оператора L−1 1 - обратного к оператору L1 , примененного ˜ к h(x). Остановимся на этих методах. 10 . Рассмотрим последовательность нелинейных эллиптических краевых задач: L2m (um ) ≡

m X

(−1)|α| Dα Aαm (x, Dγ um ) = hm (x),

|α|=0

Dω um (x)|Γ = Ψωm (x′ ),

x′ ∈ Γ,

x ∈ G,

ω = 0, 1, . . . , m − 1.

(3) (4)

Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия: 1) Для любых x ∈ G, ξγm , ηαm , |γ| ≤ |α|, справедливы неравенства: ¯ ¯ ¯ m ¯ m X X ¯ ¯ ¯ ¯ Aαm (x, ξγm ) ηαm ¯ ≤ K aαm (|ξαm |p−1 + 1)|ηαm |, ¯ ¯|α|=0 ¯ |α|=0 m X

|α|=0

Aαm (x, ξγm ) ξαm ≥ δ

m X

|α|=0

aαm |ξαm |p − K,

m = 0, 1, . . . ,

в которых при всех m a0m = 1, aαm ≥ 0 - некоторая числовая последовательность, 1 < p < ∞, δ > 0, K > 0 -постоянные. 2) При m → ∞ aαm → aα , причем для бесконечного множества значений |α| все aα > 0. Кроме того, если ξγm → ξγ , то равномерно по x ∈ G Aαm (x, ξγm ) → Aα (x, ξγ ), где Aα (x, ξγ ) - непрерывные функции своих аргументов. 3) Для любого ε > 0 существует N0 (ε) такое, что для всех m m X

MNc m (MNc +1,m )−1 < ε,

N =N0

где ности

MNc m

- выпуклая регуляризация посредством логарифмов (в.р.п.л.) [?] последователь-

MN m = (

X

|α|=N

1

aαm )− p ,

если

X

|α|=N

aαm 6= 0;

136

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems если

MN m = ∞,

X

aαm = 0,

|α|=N

в случае = = ∞ их отношение полагается равным нулю. 4) Для всех m граничные значения Ψωm (x′ ) допускают продолжение внутрь области G, т.е. существование такой функции Ψm (x) ∈ Wpm (G), что Dω Ψm (x)|Γ = Ψωm (x′ ), |ω| = 0, . . . , m − 1, причем при m → ∞ Ψωm (x′ ) → Ψω (x′ ) равномерно по x′ ∈ Γ и для всех m P m = 1, 2, . . . aαm kDα Ψm (x)kpp < K. MNc m

MNc +1,m

|α|=0

5) Правые части hm (x) уравнения (??) имеют вид m

h (x) =

m X

(−1)|α| aαm Dα hαm (x),

|α|=0

где hαm (x) ∈ Lp′ (G), для всех m

m X

′

|α|=0

aαm khαm kpp′ ≤ K

и при m → ∞ khαm (x) − hα (x)k → 0. Тогда последовательность решений задач (??), (??) имеет предельную точку в смысле сходимости в C ∞ (G), которая является решением задачи (??), (??). p′

Пример 1.

∞ X n (−1)n Dn (2−2 |Dn u|p−2 Dn u) = 1, n=0

x ∈ (0, 1),

1 , Dn (1) = 0, n = 0, 1, . . . . 3 n Соответствующая последовательность задач для уравнений порядка 2m n · p+1 P2

Dn u(0) = 22

m X n=0

·

n

(−1)n Dn (2−2 |Dn um |p−2 Dn um ) = 1,

x ∈ (0, 1),

(5) (6)

(7)

1 , Dn um (1) = 0, n = 0, 1, . . . , m − 1. (8) n3 Известно (см. [?], [?]), что эти задачи разрешимы при любых m и p > 1. Выполнение условий теоремы ??, кроме условия 4), легко проверяется. Теорема о существовании следа n в пространстве W ∞ {2−2 , p}(0,1) (см. [?]) позволяет представить условие 4) в виде: 2n · p+1 2

Dn um (0) = 2

p

·

m X n=0

p2

anm |bnm | p+1 < K.

Для рассматриваемых задач оно выполняется, так как m X n=1

P2

anm |bnm | P +1 =

m X n=1

1 n3 ·

p2 p+1

≤

∞ X 1 < K. 3/2 n n=1

Следовательно, последовательность задач (??), (??) имеет предельную точку u(x) в смысле сходимости в C ∞ (0, 1), являющуюся решением предельной задачи (??), (??). Пример 2. ∞ X n=0

2

(−1)n Dn (2−n |Dn u|p−2 Dn u) = 0,

x ∈ (0, 1),

(9)

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations 2

Dn u(0) = 2(n+1) ,

Dn u(1) = 0,

137 (10)

n = 0, 1, . . . .

Соответствующая последовательность задач для уравнений порядка 2m m X 2 (−1)n Dn (2−n |Dn um |p−2 Dn um ) = 0, n=0

2

Dn um (0) = 2(n+1) ,

Dn um (1) = 0,

x ∈ (0, 1),

n = 0, 1, . . . , m − 1.

(11) (12)

В силу известных теорем (см. [?], [?]) задачи (??), (??) разрешимы при любых m и p > 1. Выполнение всех условий теоремы ??, за исключением условия 4), легко проверяются. Однако, если даже последовательность решений задач (??), (??) при m → ∞ имеет предельную точку u(x), то она не может быть решением предельной задачи. Это следует из того, что для любого p > 1 имеет место вложение W ∞ {an , p}(0,1) ⊂ W ∞ {an , p, 1}(0,1) , P ∞ где W ∞ {an , p, 1}(0,1) ≡ {u(x) ∈ C ∞ (0, 1), ρ(u) = n=0 an kDn ukρ1 < ∞}. А для того, чтобы пространство W ∞ {an , p, 1}(0,1)P содержало функцию, удовлетворяющую условиям (??), p необходимо, чтобы сходился ряд ∞ n=1 an |bn−1 | ([?]). В рассматриваемом случае он расходится. 20 . Исследуем теперь разрешимость задачи Дирихле для дифференциального уравнения бесконечного порядка, левая часть которого есть эллиптический оператор L1 с возмущением L2 . L1 (u) + L2 (u) ≡

∞ X

(−1)|α| Dα Aα (x, Dγ u)+

|α|=0

+

∞ X

(13) |α|

α

γ

(−1) D Bα (x, D u) = h(x),

|α|=0

Dω u(x)|Γ = 0,

, |ω| = 0, 1, . . . .

x ∈ G, (14)

Отметим, что оба оператора L1 и L2 имеют бесконечный порядок, поэтому в основу их сравнения положено сравнение пространств, являющихся областью определения этих операторов. Определение. Дифференциальный оператор L1 называется главным по сравнению с оператором L2 , в дальнейшем называемым подчиненным, если пространство W ∞ {aα , p}(G) , соответствующее оператору L1 , компактно вложено в пространство W ∞ {bα , p}(G) , соответствующее оператору L2 . Теоремы вложения таких пространств получены автором в [?], [?]. Правая часть уравнения (??) принадлежит пространству W −∞ {aα , p′ }(G) . Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия: 1) Aα (x, ξγ ), Bα (x, ξγ ) - непрерывные функции аргументов x ∈ G и всевозможных ξγ , |γ| ≤ |α|, такие, что для любых x ∈ G, ξγ и ηα справедливы неравенства: ¯ ¯ ¯ ¯X m X ¯ ¯ m ¯ ¯ aα (|ξα |p−1 + 1) |ηα |, Aα (x, ξγ ) ηα ¯ ≤ δ1 ¯ ¯ ¯|α|=0 |α|=0 m X

|α|=0

Aα (x, ξγ ) ξα ≥ δ2

m X

|α|=0

aα |ξα |p − K,

138

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems ¯ ¯ ¯X ¯ m X ¯ m ¯ ¯ ¯ Bα (x, ξγ ) ηα ¯ ≤ δ3 bα (|ξα |p−1 + 1) |ηα |, ¯ ¯|α|=0 ¯ |α|=0

m = 0, 1, . . . ,

где a0 > 0, b0 > 0, aα ≥ 0, bα ≥ 0 - некоторые числовые последовательности, δ1 , δ2 , δ3 , K - положительные постоянные, не зависящие от m. ◦

2) Пространство W ∞ {aα , p}(G) нетривиально. ◦

◦

3) Пространство W ∞ {aα , p}(G) компактно вложено в пространство W ∞ {bα , p}(G) . 4) Для оператора L1 существует непрерывный (относительно h(x) ∈ W −∞ {aα , p′ }(G) ) обратный оператор L−1 1 . ◦

5) Для любых ut (x) ∈ W ∞ {aα , p}(G) , являющихся решением задач L1 (u) + t(L2 (u) − h(x)) = 0, Dω u(x)|Γ = 0,

|ω| = 0, 1, . . . ,

имеет место априорная оценка ∞ X

|α|=0

0 ≤ t ≤ 1,

aα kDα ut (x)kpp < K0 .

(15)

Тогда при любой правой части h(x) ∈ W −∞ {aα , p′ }(G) задача (??), (??) имеет по крайней мере одно решение. Пример 3. L(u) =

∞ X

D

2n

n=0

+λ

∞ X n=0

µ

1 2(2n)2 n

(−1) D

2n

p−2

|D u| n

µ

2n

¶

D u +

x − 0, 5 n p−2 n |D u| D u 2n3

Dn u(0) = Dn u(1) = 0,

¶

n = 0, 1, . . . ,

(16) = h(x), (17)

p > 1, λ ∈ R - параметр. Отметим, что оператор L(u) таков, что из известных результатов [?] не следует разрешимость этой задачи. Условия 1)-2) теоремы ?? достаточно легко проверяются. Выполнение условия 3) следует из условия компактного вложения пространства W ∞ {aα , p}(G) в W ∞ {bα , p}(G) , полученного в работе [?]: sup(bn Mnc ) = 2|λ| < ∞. n

n Выполнение условия 4) следует из неравенства ∂A > (p − 1)an |ξn |p−2 и результатов ∂ξn работы [?]. Для априорной оценки (??) должно быть выполнено неравенство δ2 −δ3 δ4 2p+1 > 0, где в рассматриваемом примере δ2 = δ3 = 1, δ4 = sup(bn Mnc ) · sup(ni+1 − ni ), {ni } n i последовательность основных индексов при в.р.п.л. последовательности ½ −n2 2 , n = 2k, an = 0, n = 2k + 1,

k = 0, 1, . . ., sup(ni+1 − ni ) = 2, {ni }, т. е. δ4 = 4|λ|. i

Поэтому при |λ| < 2−(p+3) задача (??), (??) имеет по крайней мере одно решение при любой правой части h(x) ∈ W −∞ {an , p′ }(G) . Для линейной задачи Дирихле с подчиненными членами

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

L1 (u)+λL2 (u) =

∞ X

(−1)|α| Dα (Aα (x)Dα u) +

n=0

+λ

∞ X

139

(18)

(−1)|α| Dα (Bα (x)Dα u) = h(x),

n=0

Dω u(x)|Γ = 0, установлена Фредгольмова разрешимость.

x ∈ G,

|ω| = 0, 1, . . . ,

(19)

Теорема 3. Пусть выполнены следующие условия: 1. Существуют постоянные 0 < δ1 ≤ δ2 , δ3 > 0 и последовательности a0 > 0, aα ≥ 0, b0 > 0, bα ≥ 0, |α| = 1, 2, . . ., такие, что для всех x ∈ G и всех α aα δ1 ≤ Aα (x) ≤ aα δ2 , |Bα (x)| ≤ δ3 bα .

◦

◦

2. Пространство W ∞ {aα , 2}(G) нетривиально и компактно вложено в пространство

W ∞ {bα , 2}(G) .

◦

Тогда задача (??), (??) имеет решение u(x) ∈ W ∞ {aα , 2}(G) при любой правой части ◦

h(x) ∈ W ∞ {aα , 2}(G) , удовлетворяющей условию Z X ∞ aα hα (x)Dα vλ (x) dx = 0 G |α|=0

для всех vλ (x), являющихся решениями однородной задачи L1 (v) + λL2 (v) = 0, x ∈ G,

Dω v(x)|Γ = 0, |ω| = 0, 1, . . . ,

(20)

Причем, если задача (??) имеет только нулевое решение, то задача (??), (??) имеет единственное решение при любой правой части h(x) ∈ W −∞ {aα , 2}(G) . Показано, что при

|λ| < δ1 δ3−1 kAk−1 ,

(21) ◦

где kAk - норма оператора вложения пространства W ∞ {aα , 2}(G) в пространство ◦

W ∞ {bα , 2}(G) , задача (??) имеет только нулевое решение. Таким образом, при выполнении условия (??) задача (??), (??) имеет единственное решение при любой правой части h(x) ∈ W −∞ {aα , 2}(G) . Список литературы [1] Dubinskij Ju.A. Sobolev spaces of infinite order and differential equations. Leipzig, 1986 г. [2] Мандельбройт С. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения. М., 1995 г. [3] Дубинский Ю.А. Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого порядка. // УМН, 1968 г., т. XXIII, №1, с. 45-90. [4] Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972 г. [5] Балашова Г.С. Некоторые теоремы продолжения в пространстве Соболева бесконечного порядка и неоднородные краевые задачи. // Докл. АН СССР, 1979 г., т. 244, №6, с. 1294-1297. [6] Балашова Г.С. Теоремы вложения для банаховых пространств бесконечно дифферекцируемых функций нескольких переменных. // Математические заметки, 1990 г., т. 47, №6, с. 3-14. [7] Балашова Г.С. Об условиях продолжения следа и вложения для банаховых пространств бесконечно дифференцируемых функций. // Математический сборник, 1993 г., т. 184, №1, с. 105-128.

140

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

[8] Дубинский Ю.А. О нетривиальности некоторых классов функций и разрешимости нелинейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка. // Дифф. уравнения, 1974 г., т. 10, №2, с. 231-240.

Балашова Г.С., профессор, д.ф.-м.н., Московский Энергетический Институт (Технический Университет), 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 14, Россия E-mail: [email protected], [email protected]

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

141

МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, МОДЕЛИРУЮЩЕЙ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЙ ДИОД С. И. Безродных, В. И. Власов Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН Москва, Россия Предложен новый аналитико–численный метод решения краевой задачи для сингулярно возмущенной системы трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта задача возникает при моделировании взаимодействия физических полей в полупроводниковом диоде. Предлагаемый метод использует сочетание специальной модификации операторного метода Ньютона, процесса последовательных приближений и метода продолжения по параметру. При этом производная Фреше, функция Грина соответствующего дифференциального уравнения и начальное приближение найдены в явном аналитическом виде. Численная реализация подтвердила высокую эффективность и экспоненциальную скорость сходимости предложенного метода.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ПОДХОД К ЕЕ РЕШЕНИЮ Настоящая работа посвящена решению краевой задачи на отрезке [−1, 1] для следующей системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций Ψ(x) , P (x) , N (x) , принадлежащих классу B := C 2 [−1, 0] ∩ C 2 [0, 1] ∩ C 1 [−1, 1]: κ 2 Ψ′′ + P − N − sign x = 0,

(1)

Ψ(−1) = −V,

(4)

′′

′

′

′′

Q(Ψ)[P ] := P + Ψ P + Ψ P = δP R, Q(−Ψ)[N ] = N ′′ − Ψ′ N ′ − Ψ′′ N = δN R. Искомые функции удовлетворяют на концах отрезка [−1, 1] граничным условиям Ψ(1) = V ;

(2) (3)

P (−1) = 0, P (1) = 1; (5) N (−1) = 1, N (1) = 0. (6) Функция R(x), фигурирующая в (??), (??), связана с P (x) и N (x) нелинейной зависимостью: £ ¤ P N − Ni2 . (7) R = R P, N := N + Ni + τ (P + Ni ) Параметры κ, δP , δN , τ , Ni и V из соотношений (??)–(??), (??) безразмерны и лежат в следующих диапазонах: κ ∈ [10−4 , 10−2 ],

δP ≃ δN ∈ [10−4 , 10−2 ],

τ ∈ [0.1, 10],

Ni ≃ 10−9 ,

V ∈ [−100, 100].

Задача (??)–(??) является сингулярно возмущенной, поскольку множителем при старшей производной в уравнении (??) служит малый параметр κ 2 . Уравнения (??)–(??) описывают одномерную модель полупроводникового диода в диффузионно–дрейфовом приближении [?]. Начало координат выбрано в центре диода, так что безразмерная координата x пробегает отрезок [−1, 1]. Функция Ψ(x) представляет собой безразмерный электрический потенциал, P (x) и N (x) — соответственно безразмерные плотности дырок и электронов. Функция R(x) описывает генерацию и рекомбинацию электронов и дырок (в настоящей работе она принята в форме Шокли — Рида — Холла [?]), а V является безразмерной разностью потенциалов, подаваемой на диод.

142

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

В настоящей работе дан эффективный аналитико–численный метод решения задачи (??)–(??). В его основе лежит, прежде всего, сведение исходной краевой задачи к системе двух уравнений, одно из которых интегро–дифференциальное, а второе — интегральное (разд. 2). Для решения последней системы предложен метод (см. разд. 4 и 6), основанный на сочетании итерационного процесса типа Ньютона (для интегро–дифференциального уравнения) c процессом последовательных приближений (для интегрального уравнения), а также с методом продолжения по параметру V от тех его значений, для которых начальное приближение строится явно, до его произвольных значений. При этом ряд важных функций и операторов, фигурирующих в указанных итерационных процессах, найдены в аналитическом виде. Так, в явном виде найдены производная Фреше интегро-дифференциального оператора и функция Грина, используемая при обращении оператора этой производной (разд. 4), а также начальное приближение для решения в некотором диапазоне изменения параметра V (разд. 3). Отметим еще, что метод нигде не использует операцию дифференцирования искомых функций; используется только их интегрирование (см. разд. 5). Предлагаемый метод обладает экспоненциальной скоростью сходимости и высокой эффективностью, что было подтверждено численными экспериментами, результаты которых приведены в разд. 7. 2. СВЕДЕНИЕ К СИСТЕМЕ ДВУХ УРАВНЕНИЙ Заметим, что определяемый равенством (??) оператор Q (Ψ) [P ] линеен относительно P . Выпишем функцию Грина P(Ψ; x, ξ) краевой задачи Q (Ψ) [P ] = 0,

x ∈ [−1, 1];

P (−1) = P (1) = 0

и функцию Грина N(Ψ; x, ξ) аналогичной задачи с оператором Q(−Ψ) из уравнения (??). Первая из них дается формулами P (Ψ; x, ξ) = P± (Ψ; x, ξ) , где верхний индекс "−" соответствует условию x ∈ [−1, ξ] , a "+" — условию x ∈ [ξ, 1]; функции P± определяются выражениями E x [Ψ] E x [Ψ] ξ [Ψ] −1 P− (Ψ; x, ξ) = e−Ψ(x) E−1 , P+ (Ψ; x, ξ) = e−Ψ(x) E1ξ [Ψ] 1 ; E[Ψ] E[Ψ] здесь использованы обозначения Eαβ [u] :=

Zβ α

£ ¤ exp u(t) dt,

1 E [u] := E−1 [u] .

Вторая функция Грина дается соотношениями N(Ψ; x, ξ) = N± (Ψ; x, ξ) , где N± определяются равенством N± (Ψ; x, ξ) = P± (−Ψ; x, ξ) . Заметим, что для других вводимых ниже функций, зависящих от x и ξ, верхние индексы "+" и "−" будут выбираться по тому же правилу. Используя функции Грина P и N и вводя следующее обозначение для свертки: Z1 ­ ® g(x, ξ) ∗ f (ξ) := g(x, ξ) f (ξ) dξ, −1

получаем из уравнений (??), (??) представления для P и N через функции Ψ и R ­ ® E x [Ψ] , P (x) = P [Ψ, R] := δP P(Ψ; x, ξ) ∗ R(ξ) + eV −Ψ(x) −1 E[Ψ] ­ ® E 1 [−Ψ] N (x) = N [Ψ, R] := δN N(Ψ; x, ξ) ∗ R(ξ) + eV +Ψ(x) x ; E[−Ψ]

(8) (9)

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

143

первые члены в правых частях равенств (??) и (??) представляют собой решения уравнений (??), (??) с однородными граничными условиями, а вторые — решения соответствующих однородных уравнений с неоднородными граничными условиями (??), (??). Подставляя P = P [Ψ, R] и N = N [Ψ, R] из формул (??), (??) в уравнение (??), приходим к нелинейному интегро–дифференциальному уравнению относительно Ψ, которое вместе с граничными условиями из (??) составляет краевую задачу L (R) [Ψ] = 0 ,

Ψ(−1) = −V ,

Ψ(1) = V ;

(10)

здесь оператор L (R) [Ψ], действующий на функцию Ψ(x), определяется по формуле L (R) [Ψ] := κ 2 Ψ′′ (x) − sign x + S [Ψ] + T (R) [Ψ] ,

(11)

где введены обозначения

x E−1 [Ψ] E 1 [−Ψ] − eV +Ψ x , E [Ψ] E [−Ψ] ­ ® ­ ® T (R) [Ψ] := δP P(Ψ; x, ξ) ∗ R(ξ) − δN N(Ψ; x, ξ) ∗ R(ξ) . Отметим, что в уравнении (??) функция R(x) играет роль параметра. Подставляя P = P [Ψ, R] и N = N [Ψ, R] из формул (??) и (??) в (??), получаем интегральное уравнение для функции R(x) h i R = R P [Ψ, R], N [Ψ, R] , (12)

S [Ψ] := eV −Ψ

в котором роль параметра играет функция Ψ(x). Таким образом, задача (??)–(??) для тройки функций {Ψ, P, N }V сведена к задаче (??), (??) для пары функций {Ψ, R}V . 3. ПОСТРОЕНИЕ НАЧАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

Пусть Ψ0 (x) есть (классическое) решение следующей краевой задачи на бесконечном интервале (−∞, +∞): shΨ0 κ 2 Ψ′′0 + − sign x = 0; Ψ0 (−∞) = −V, Ψ0 (∞) = V. (13) shV Можно показать, что при достаточно больших отрицательных V (т.е. при значениях V , меньших некоторого Ve < 0) для него справедливы следующие оценки: √ ¯ ¯ ¯ ¯ ¢ ¡ ¯Ψ0 − Ψ¯ ≤ C2 e 2 V . ¯Ψ0 (±1) − (±V )¯ ≤ C1 exp −κ −1 −cthV ,

В силу этих оценок сужение функции Ψ0 на отрезок [−1, 1] можно принять в качестве начального приближения для Ψ при V < Ve . Начальные приближения P0 и N0 для плотностей дырок и электронов определим через решение задачи (??) по формулам

eΨ0 (x) e−Ψ0 (x) , N0 (x) = − . (14) 2 shV 2 shV Физически такое распределение электрического потенциала, дырок и электронов соответствует условию равенства нулю дырочного и электронного токов в каждой точке и равенству нулю суммарного заряда на концах диода. После решения задачи (??) и вычисления P0 (x), N0 (x) по формуле (??) начальное приближение R0 (x) для функции R(x) находим, подставляя P0 , N0 в формулу (7): £ ¤ R0 (x) = R P0 (x), N0 (x) . P0 (x) = −

Решение задачи (??) является, очевидно, нечетной функцией, поэтому вместо (13) достаточно рассмотреть следующую задачу на полубесконечном интервале (0, ∞): shΨ0 + 1; Ψ0 (0) = 0, Ψ0 (∞) = V. (15) κ 2 Ψ′′0 = − shV

144

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

Замечая, что правая часть уравнения (??) не зависит явно от координаты x, и применяя известный прием [?], получаем для функции x(Ψ0 ), обратной к решению задачи (??), интегральное представление κ x(Ψ0 ) = − √ 2

ZΨ0 µ

chV − cht − V − |t| shV

0

¶ −1/2

dt.

(16)

Для того чтобы обратить этот интеграл и, тем самым, найти искомую функцию Ψ0 (x), разложим подынтегральное выражение вблизи некоторых точек (например, Ψ0 = ±V или Ψ0 = 0) в соответствующие ряды, которые затем почленно проинтегрируем. Обращая полученные разложения при помощи известной техники (см., например, [?], [?]), приходим к набору представлений для функции Ψ0 (x). Можно показать, что для представления этой функции достаточно дать её разложения вблизи начала координат, точек ±∞ и ещё некоторых точек ±e x, поскольку области сходимости этих разложений покрывают в совокупопности всю вещественную ось. Приведем два из них: в правой полуокрестности начала координат и вблизи точки x = +∞. Разложение в правой полуокрестности точки x = 0 имеет вид Ψ0 (x) =

∞ X k=1

¡ ¢k ak κ −1 x .

Здесь коэффициенты ak факторизуются следующим образом: ¡ √ ¢k ak , ak = − 2 L e

где параметр L вводится по формуле

L = th (V /2) − V,

а величины e ak определяются из следующих рекуррентных соотношений: e ak = −

e a1 = 1,

Здесь величины En, k даются равенствами E1, k

fk−1 = , k ≥ 1; kL

En, k =

k−1 X n=1

k−1 X

m=n−1

e an En, k ,

k ≥ 2.

E1, k−m En−1, m ; n ≥ 2 , k ≥ n ;

входящие в них коэффициенты fn даются рекуррентными формулами f0 = 1,

C1 ; f1 = 2

n−1 i X 1 h fn = Cn − fk fn−k , 2 k=1

n ≥ 2,

в которых величины Cn , в свою очередь, определяются через Dk C0 = 1,

Cn = −

последние же вычисляются по формулам D0 = 1, D1 = L−1 ;

n−1 X

Ck D n−k ,

k=0

£ ¤−1 D2n = (2n)! L ,

n ≥ 1;

D2n+1 = 0, n ≥ 1 ,

получающимся путем разложения подкоренной функции из (??) в правой полуокрестности нуля.

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

145

Приведем также разложение функции Ψ0 (x) в окрестности точки x = +∞ Ψ0 (x) = V +

∞ X k=1

h √ i bk exp −k −cthV κ −1 x ,

Kоэффициенты bk в этом разложении представимы в виде √ bk = ebk exp (k −cthV κ −1 x∗ ) ,

(17)

где параметр x∗ определяется по формуле ZΨ∗µ

κ x∗ = − √ 2

chV − cht −V +t shV

0

¶ −1/2

dt ,

а величина Ψ∗ := Ψ0 (x∗ ) является суммой ряда ∞ X

Ψ∗ = V +

k=1

ebk .

(18)

Коэффициенты ebk из (??), (??) вычисляются из следующих рекуррентных соотношений: eb1 = 1,

ebk = −

k−1 X n=1

в которых величины Hn, k даются формулами H1, k = Ek−1 , k ≥ 1; Hn, k = где En определяются равенствами

k−1 X

m=n−1

E0 = 1,

ebn Hn, k ,

k ≥ 2,

H1, k−m Hn−1, m ; n ≥ 2 , k ≥ n,

En =

n X ck1 Fk, n ; k! k=1

входящие в них коэффициенты Fn, k даются рекуррентными соотношениями F1, k =

k−1 X ck F1, k−m Fn−1, m ; , Fn, k = k c1 m=n−1

n ≥ 2,

k ≥ n,

в которых величины cn , в свою очередь, определяются через dn c0 = 1,

d1 , c1 = 2

n−1 i X 1h cn = ck cn−k , dn − 2 k=1

n ≥ 2,

последние же вычисляются через hk d0 = 1,

h0 = 1;

h 2k−1 =

dn = −

n−1 X

dk hn−k ,

k=0

2 th V , (2k + 1)!

h 2k =

n ≥ 1; 2 , (2k + 2)!

k ≥ 1,

которые получаются разложением подкоренного выражения в (??) в окрестности Ψ0 = V .

146

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems 4. ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД

Для решения задачи (??), (??) относительно пары функций {Ψ, R}V предложен следующий итерационный алгоритм. На его нулевом шаге строится начальное приближение {Ψ0 , R0 }V ; способ построения такого приближения при V < Ve дан в разд. 3, а для произвольных V — в разд. 6. На первом шаге процесса вначале находится функция Ψ1 (x); для этого используется одна итерация излагаемого ниже метода типа Ньютона применительно к задаче (??), где полагается R = R0 , а в качестве начального приближения берется Ψ0 . Затем с помощью (??), (??) находим функции P1 = P [Ψ1 , R0 ] и N1 = N [Ψ1 , R0 ] и, подставляя их в (??), получаем h i R1 = R P [Ψ1 , R0 ], N [Ψ1 , R0 ] , чем и завершаем первый шаг алгоритма. Каждый последующий его шаг состоит из одной итерации метода типа Ньютона для задачи (??) с начальным приближением для Ψ и функцией R, вычисленными на предыдущем шаге, и одной итерации процесса последовательных приближений для уравнения (??). Общая схема последнего процесса следующая: h i ¤ £ n = 1, 2, . . . . (19) R0 = R P0 , N0 ; Rn = R P (Ψn , Rn−1 ), N (Ψn , Rn−1 ) ,

Напомним, что P0 и N0 даются формулами (??), операторы P (Ψ, R) и N (Ψ, R) — формулами (??), (??), а Ψn есть приближение к точному решению Ψ на n–м шаге алгоритма. Обратимся к упомянутому выше операторному методу типа Ньютона [?]-[?] для решения задачи (??). Прежде всего, приведем вид производной Фреше L′ (u, f ) [v] оператора L (f ) [u] из (??) L′ (u, f ) [v] = κ 2 v ′′ (x) − F (u, f ; x) v (x) + H(u, f ) [v] . (20) В этой формуле функция F даётся равенством x [u] E−1 E 1 [−u] + eV +u x + E [u] E [−u] ­ ® ­ ® + δP P (u; x, ξ) ∗ f (ξ) + δN N (u; x, ξ) ∗ f (ξ) , а оператор H — следующим равенством:

F (u, f ; x) := eV −u

H(u, f )[v] := eV −u(x)

x x E−1 [u; v] E[u] − E−1 [u] E [u; v] − (E[u])2

Ex1 [−u; v] E [−u] − Ex1 [−u] E[−u; v] + (E [−u])2 ­ ® ­ ® +δP p (u, v; x, ξ) P(u; x, ξ) ∗ f (ξ) − δN n (u, v; x, ξ) N(u; x, ξ) ∗ f (ξ) . Здесь использованы обозначения −eV +u(x)

Eαβ [u; v] :=

Zβ

v(t) eu(t) dt,

1 E[u; v] := E−1 [u; v],

α

а функции p и n определяются выражениями p− (u, v; x, ξ) =

x Eξ1 [u; v] E−1 [u; v] E [u; v] + , − x 1 E−1 [u] Eξ [u] E [u]

ξ E−1 [u; v] E [u; v] E1x [u; v] − + , p (u, v; x, ξ) = x ξ E1 [u] E [u] E−1 [u] +

n − (u, v; x, ξ) = p − (−u, v; x, ξ),

n + (u, v; x, ξ) = p + (−u, v; x, ξ).

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

147

Функцию Ψ будем искать в виде предела последовательности (21)

Ψ = lim Ψn , n→∞

e n+1 = Ψn+1 − Ψn является решением следующей краевой задачи где разность Ψ κ2

e n+1 ¡ ¢ £ ¤ ¡ ¢£ ¤ d2 Ψ e n+1 = −L(Rn ) Ψn − H Ψn , Rn Ψ en , − F Ψ , R ; x Ψ n n dx2 e n+1 (−1) = 0, Ψ

e n+1 (+1) = 0, Ψ

(22) (23)

Отметим, что оператор H здесь действует на известную с предыдущего шага функцию e n , а не на искомую Ψ e n+1 , как это было бы в стандартном методе Ньютона [?]-[?]. Ψ Решение краевой задачи (??), (??) представляем в виде свертки D ¡ ¢ n £ ¤ ¡ ¢£ ¤oE e en Ψn+1 (x) = − G Ψn , Rn ; x, ξ ∗ L(Rn ) Ψn + H Ψn , Rn Ψ (24) правой части уравнения (??) и функции Грина G(u, f ; x, ξ) оператора M (u, f ) [v] := κ 2 v ′′ (x) − F (u, f ; x) v (x) ,

u(∓1) = 0

(25)

e 0 ≡ 0 по определению. Таким образом (как и было сказано выше), решение и полагаем Ψ {Ψ, R}V задачи (??), (??) находится в виде предела итерационного алгоритма, включающего на каждом своем шаге одну итерацию процесса (??) и одну итерацию следующего процесса типа Ньютона h £ ¤ ¡ ¢£ ¤i en . (26) Ψn+1 = Ψn − M −1 (Ψn , Rn ) L(Rn ) Ψn + H Ψn , Rn Ψ

Подчеркнем, что в предложенном методе необходимо обращать дифференциальный оператор M , что является намного более простой задачей, чем обращение сложного интегро– дифференциального оператора (??), как это требовалось бы в обычном методе Ньютона. Обращение оператора M и, тем самым, решение задачи (??), (??) сводится к построению введенной выше функции Грина G(u, f ; x, ξ). Поскольку параметр κ мал, то для вычислительных целей достаточно использовать вместо функции G главный член G0 ее асимптотики при κ → 0, вид которого, полученный методом ВКБ [?], следующий: ¡ ¢ ¡ x ¢ ¡ 1¢ £ ¤−1/4 −1 sh I ξ / sh I , F (x) F (ξ) sh I −1 G− 0 (x, ξ) = −κ − G+ 0 (x, ξ) = G0 (ξ, x),

Iαβ := κ −1

Zβ p

F (t) dt ,

1 I := I−1 ;

α

± в этих формулах для краткости G± 0 (u, f ; x, ξ) заменено на G0 (x, ξ), а F (u, f ; x) — на F (x). После того как приближения Ψn и Rn−1 найдены, приближения Pn и Nn к функциям P и N определяются по формулам (??) и (??), в которые следует подставить Ψ = Ψn , R = Rn−1 , т.е.

Pn = P [Ψn , Rn−1 ],

Nn = N [Ψn , Rn−1 ],

n > 0.

(27)

Теорема 1. Существует такое Ve < 0, что при всех V < Ve решение {Ψ, P, N }V задачи (??)–(??) существует в классе B и единственно в окрестности {Ψ0 , P0 , N0 }V . Последовательность {Ψn , Pn , Nn }V , получаемая из итерационного процесса (??), (??), (??) с начальным приближением {Ψ0 , P0 , N0 }V , определяемым из (??), (??), сходится к решению задачи (??)–(??).

148

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems 5. ИСКЛЮЧЕНИЕ ОПЕРАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Отметим, что при осуществлении описанного в разд. 4 алгоритма появляется необходи£ ¤ мость вычисления выражения L(Rn ) Ψn , фигурирующего в формуле (??). Если для этого вычисления непосредственно использовать определение оператора L (??), то возникают существенные трудности, связанные с численным дифференцированием быстро изменяющейся функции Ψ. Если же для этой цели использовать саму формулу (??) с дифференцированием по переменному x и редукцией по индексу n, то возникает необходимость вычисления сингулярных интегралов, что также приводит к большим трудностям. В дан£ ¤ ной работе предложен способ нахождения L(Rn ) Ψn , основанный на явном вычислении величины κ 2 Ψ′′n при помощи уравнения (??), исключающий операцию дифференцирования функции Ψn . Приведем соответствующие формулы для L(Rn )[Ψn ], вытекающие из (??), (??), (??): sh Ψ0 L (R0 ) [Ψ0 ] = − + S [Ψ0 ] + T (R0 ) [Ψ0 ], sh V L (Rn ) [Ψn ] = S [Ψn ] − S [Ψn−1 ] + T (Rn ) [Ψn ] − T (Rn−1 ) [Ψn−1 ] + e n ] − H (Ψn−1 , Rn−1 ) [Ψ e n−1 ], + F (Ψn−1 , Rn−1 ; x) [Ψ n > 0. 6. МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ

В соответствии с теоремой 1, при V = V∗ < Ve решение задачи (??)–(??) строится при помощии итерационного процесса, описанного в разд. 4, и начального приближения {Ψ0 , P0 , N0 }V∗ , найденного в разд. 3. Для того чтобы получить решение этой задачи при V = V ∗ > Ve , разобьем отрезок [V∗ , V ∗ ] точками Vm (где m = 0, M ) так, что V∗ =: V0 < V1 < . . . Vm < . . . < VM := V ∗ ,

(28)

и обозначим через {Ψ(Vm ), P (Vm ), N (Vm )} решение задачи (??)–(??), соответствующее V = Vm . Если такое решение известно для V = Vm−1 , то, основываясь на нем, можно получить решение {Ψ(Vm ), P (Vm ), N (Vm )} при помощи метода, изложенного в разд. 4. Для этого положим в качестве начального приближения {Ψ0 (Vm ), P0 (Vm ), N0 (Vm )} следующие функции Ψ0 (Vm ) := Ψ(Vm−1 ) + (Vm − Vm−1 )x, (29) P0 (Vm ) := P (Vm−1 ), N0 (Vm ) := N (Vm−1 ); m = 1, 2, . . . , M. (30) Тогда при помощи итерационного процесса (??), (??) с заменой Ψn , Rn на Ψn (Vm ), Rn (Vm ) и начальными приближениями (??), (??) получим в пределе Ψ(Vm ) = lim Ψn (Vm ), n→∞

R(Vm ) = lim Rn (Vm ). n→∞

(31)

Функции P (Vm ) и N (Vm ) получаются подстановкой Ψ(Vm ) и R(Vm ) в (??) и (??), т.е. £ ¤ £ ¤ P (Vm ) = P Ψ(Vm ), R(Vm ) , N (Vm ) = N Ψ(Vm ), R(Vm ) . (32) Поскольку решение {Ψ(V0 ), P (V0 ), N (V0 )} известно, то такая процедура дает продолжение решения от меньших m к большим. Справедлива следующая

Теорема 2. Пусть решение {Ψ(V∗ ), P (V∗ ), N (V∗ )} при V∗ < V0 известно. Тогда при достаточно мелком разбиении (??) алгоритм (??), (??) с начальным приближением (??), (??) дает на M –м шаге продолжения по m решение {Ψ(V ∗ ), P (V ∗ ), N (V ∗ )} задачи (??)– (??) при V = V ∗ . Для любого V решение задачи (??)–(??) существует в классе B и единственно в окрестности начального приближения (??), (??).

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

149

150

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

151

152

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems 7. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Изложенный метод решения задачи (??)–(??) был программно реализован. Численные результаты получены для широкого диапазона изменения входных параметров. Все приведённые ниже данные соответствуют следующим их значениям: κ = 4.35 · 10−4 ,

δP = 1.731 · 10−4 ,

δN = 0.577 · 10−4 ,

τ = 1,

Ni = 10−9 ;

результаты, представленные на рис. 1–3, получены при V = −1, на рис. 4–6 — при V = 0, а на рис. 7–9 — при V = 6. Численные эксперименты показали, что для указанных значений входных параметров можно положить Ve = −1. На рис. 1, 4, 7 даны графики функции Ψ(x) на всём отрезке [−1, 1], на рис. 2, 5, 8 — графики той же функции на отрезке [−0.004, 0.004], т.е. вблизи начала координат, что позволяет более детально представить структуру внутреннего слоя; на рис. 3, 6, 9 даны графики функции P (x) на отрезке [−1, 1]. Метод показал высокую эффективность при всех рассматривавшихся значениях входных параметров. В частности, данные, представленные на рис. 1–9, получены с относительной погрешностью 10−9 при использовании 8 итераций алгоритма, описанного в разд. 4. Для V = 0 и V = 6, кроме того, использовался метод продолжения по параметру (разд. 6); при этом достаточно было положить ∆V := max (Vm − Vm−1 ) = 0.5 . m

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 01–01–00341) Список литературы [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]

Зи С. Физика полупроводниковых приборов. М.: Мир, 1984. Selberherr S. Analysi and simulation of semiconducter devices. Springer Verlag, 1984. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. Уитеккер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа: в 2–х частях. М.: Едиториал УРСС, 2002. Власов В.И. Краевые задачи в областях с криволинейной границей. М.: ВЦ АН СССР, 1987. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. [9] Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). М.: Мир, 1965.

Безродных С.И., Вычислительный центр им. А.А.Дородницына РАН, Москва, 119991, ул. Вавилова, 40, Россия. Власов В.И., Вычислительный центр им. А.А.Дородницына РАН, Москва, 119991, ул. Вавилова, 40, Россия. E-mail: [email protected]

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

153

АНАЛИТИКО-ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА СОЛИТОННЫХ РЕШЕНИЙ В МОДЕЛИ ТЕОРИИ ПОЛЯ А. И. Боголюбский, МГУ им. М.В.Ломоносова,Мех.-мат. ф-т, Москва, Россия; С. Л. Скороходов ВЦ РАН, Москва, Россия Предложен эффективный метод расчета солитонных решений в калибровочноинвариантной модели антиферромагнетика Гейзенберга, использующий степенные и асимптотические ряды и технику их аналитического продолжения — переразложения, аппроксимации Паде и квадратичные аппроксимации. На основе современного комплексного анализа, включая методы компьютерной алгебры, проведено детальное исследование особых точек решения.

1. ВВЕДЕНИЕ Для решения системы нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих U (1) калибровочно-инвариантную обобщенную модель антиферромагнетика Гейзенберга c легкоосной анизотропией (см. [?]), разработан и численно реализован эффективный метод расчета солитонных решений (далее солитонов). Решение определяется, во-первых, непрерывным параметром анизотропии p, а во-вторых – дискретным "топологическим зарядом" Qt = 1, 2, . . ., т.е. степенью осуществляемого им отображения 2 компактифицированного пространства Rcomp на сферу S 2 . Наибольший физический интерес представляют случаи Qt = 1 и Qt = 2. Задача ставится для переменных ϕ(r) и β(r), описывающих поля Максвелла и Гейзенберга на интервале r ∈ [0, ∞); здесь r – радиальная переменная. Краевые условия заданы в двух граничных точках, которые являются особыми: два условия – при r = 0 (особенность типа полюса порядка Qt ) и два – при r = ∞ (существенно особая точка). В [?] проведено численное исследование решений для параметра анизотропии p ∈ [10−2 , 10−1 ]; авторы [?] рассмотрели теоретические вопросы существования и единственности решений возникающей системы ODE. С ипользованием методa интегральных неравенств в [?] доказано, что искомое решение задачи не существует при значениях параметра анизотропии p > 4 Qt . Однако проведенные обширные вычисления показали, что эта оценка может быть значительно улучшена и решение не существует уже при p > pcrit , где критическое значение pcrit для случая Qt = 1 составляет pcrit ≈ 0.4. Для важных задач квантовой физики большой интерес представляют и отличные от исследованных в [?] значения параметра анизотропии p. В [?] нами проводился анализ случая Qt = 1 и p = 10−5 . В настоящей работе модификация предложенного в [?] аналитикочисленного метода позволила расширить область его применимости как для значений p вблизи pcrit , так и для сверхмалых величин параметра p ≈ 10−12 . Искомые функции ϕ(r) и β(r) при значениях p вблизи pcrit являются быстро изменяющимися в окрестности точки r = 0, имея сходство с погранслойными решениями, и использование различных численных методов здесь сопряжено со значительными трудностями, связанными с вопросами устойчивости решения в окрестности особых точек. Поэтому предложенный здесь и в [?] метод является весьма актуальным. С помощью современного комплексного анализа, включая аппроксимации Паде и их обобщения (квадратичные аппроксимации), а также методы компьютерной алгебры, в данной работе построено решение и исследовано качественное и количественное поведение его особых точек. Для случая "топологического заряда" Qt = 1 уточнено значение критического параметра анизотропии pcrit = 0.408878203 и построено решение задачи при p ∈ [10−12 , pcrit ).

154

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим на интервале r ∈ [0, ∞) систему ODE (см. [?]): " # 2 ′ β (r) ϕ (r) − p+ ϕ ′′ (r) + sin ϕ(r) = 0 , r r2

с краевыми условиями

β ′′ (r) −

β ′ (r) ϕ(r) − 2 β(r) sin2 = 0 r 2

ϕ(0) = 2π ,

β(0) = Qt ,

(1.a) (1.b) (2.a)

ϕ(∞) = 0 , β ′ (∞) = 0 . (2.b) Функции ϕ(r) и β(r) связаны с переменными θ(r) и α(r) в работе [?] соотношениями ϕ(r) = 2θ(r), β(r) = Qt (1 − α(r)). Здесь величина p – параметр анизотропии, p > 0, а Qt – "топологический заряд", Qt = 1, 2, . . .. В точке r = 0 одно из независимых решений (1) имеет полюс порядка Qt , а второе регулярно. Точка r = ∞ является существенно особой: одно из решений при r → +∞ здесь имеет экспоненциальный рост, а второе ограничено. Нас интересуют функции ϕ(r) и β(r), регулярные при r = 0 и ограниченные при r → +∞. В работе [?] получен главный член асимптотики решений (1), (2) при r → +∞: " √ √ # −2 p r e− p r e 2 ϕ(r) ≈ 2 T∞ √ , , (3) β(r) ≈ B∞ 1 + T∞ 2pr r где T∞ и B∞ – неизвестные постоянные, представляющие особый интерес. Далее рассмотрим метод решения задачи (1), (2) для случая "топологического заряда" Qt = 1; при значении Qt = 2 метод включает непринципиальные изменения. 3. МЕТОД РЕШЕНИЯ Рассмотрим две вспомогательные краевые задачи в точках r = 0 и r = ∞. Задача P0 . В точке r = 0 в дополнение к (2.a) поставим недостающие два краевых условия ϕ ′ (0) = t0 , β ′′ (0) = b0 , (4.a) где t0 и b0 – некоторые искомые постоянные. Задача (1), (2.a), (4.а) теперь однозначно разрешима при r ∈ [0, ∞); условие (2.b) при этом не участвует в задаче P0 . Задача P∞ . В точкe r = ∞ в дополнение к (2.b) поставим недостающие два краевых условия √ √ 1 lim ϕ(r) e p r r = T∞ , β(∞) = B∞ , (4.b) r→∞ 2 где T∞ и B∞ – другие искомые постоянные. Задача (1), (2.b), (4.b) также однозначно разрешима при r ∈ [0, ∞); условие (2.a) при этом не участвует в задаче P∞ . Выберем теперь некоторое значение rm ∈ (0, ∞) и построим решение задачи P0 на отрезке [0, rm ] при заданных t0 и b0 , а затем построим решение задачи P∞ на интервале [rm , ∞) при некоторых T∞ и B∞ . Варьируя постоянные t0 и b0 , а также T∞ и B∞ и решая задачи P0 и P∞ , добьемся гладкой стыковки функций ϕ(r) и β(r) в точке сшивки r = rm : [ϕ(rm )] = 0,

[ϕ ′ (rm )] = 0,

[β(rm )] = 0,

[β ′ (rm )] = 0,

(5.a)

где [u(rm )] – скачок функции u(r) в точке rm : [u(rm )] = u(rm + 0) − u(rm − 0) .

(5.b)

Тогда, в силу уравнений (1), функции ϕ(r) и β(r) являются гладким решением задачи (1), (2) на всем интервале r ∈ [0, ∞).

155

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations 4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ P0 И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Учитывая регулярность решения в точке r = 0, представим функции ϕ(r) и β(r) в виде разложения ∞ ∞ X X m βm rm , |r| < Rc , (6) ϕm r , β(r) = ϕ(r) = m=0

m=0

где Rc – неизвестный радиус сходимости рядов (6). Подставляя (6) в (1), находим искомые коэффициенты ϕm и βm рекуррентно: P (2) p sm−2 + m−1 qm−1 k=1 sk βm−k + σm , βm = , m = 3, 4, . . . , (7) ϕm = 2 m −1 2m − m2 где ϕ0 = 2π, ϕ1 = t0 , β0 = 1, β2 = b0 /2, а также обозначено σm =

m X {n, 2} (−1)⌊n/2⌋ Φn,m

n!

n=2

cm =

m X n=1

,

qm =

m−3 X

βk cm−k−1 ,

k=0

{n + 1, 2} (−1)⌊n/2⌋ Φn,m , n!

Φ1,m = ϕm ,

(2) βm

Φn,m =

m−1 X

=

m X

βk βm−k ,

k=0

sm =

m X n=1

{n, 2} (−1)⌊n/2⌋ Φn,m , n!

Φn−1,k Φ1,m−k ,

(8)

n = 2, 3, . . . ;

k=n−1

здесь {n, 2} = n mod 2, а ⌊·⌋ – целая часть числа. Полученный ряд (6) будем рассматривать при комплексификации радиуса r, что позволяет определять особые точки функций ϕ(r) и β(r) в комплексной r-плоскости. Применим теорему Фабри об отношении коэффициентов разложения функции и координате ее особой точки (см. [?]). P m Теорема Фабри. Если для коэффициентов степенного ряда u(z) = ∞ m=0 um z имеет место соотношение um = a, (9) lim m→∞ um+1 то z = a – особая точка суммы этого ряда на границе его круга сходимости |z| < |a|. Тогда, используя (9) и вычисленные коэффициенты разложений (6), найдем положение двух ближайших к началу координат комплексно-сопряженных особых точек r = ±iRc : s r ϕm−1 βm Rc = Rc (t0 , b0 ) = lim − − = lim , m = 2, 4, 6, . . . . (10) m→∞ m→∞ ϕm+1 βm+2

Квадратный корень и шаг 2 в номерах коэффициентов здесь возникают благодаря нечетности функции ϕ(r) − 2 π и четности β(r). Метод переразложения. Вычислив значения ϕ(r), β(r) и производных ϕ ′ (r), β ′ (r) в некоторой точке r = R1 < Rc , мы повторим процедуру представления решения задачи P0 в виде разложений ∞ ∞ X X ϕ(r) = ϕ em (r − R1 )m , β(r) = βem (r − R1 )m , (11) m=0

m=0

где новые коэффициенты ϕ em и βem находятся рекуррентно из (1), аналогично формулам (7), (8). При этом радиус сходимости в (11) отличен от значения (10) и определяется особыми точками, ближайшими к новому центру r = R1 этих разложений. Продолжая цепочку переразложений (11) с центрами в r = R2 , R3 , . . . и приближаясь к точке сшивки rm , мы покроем отрезок r ∈ [0, rm ] конечной системой окрестностей, в каждой из которых решение задачи P0 находится с любой точностью.

156

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems 5. Задача P∞ и асимптотические разложения

Для решения задачи P∞ при r → +∞, используем асимптотический метод. С учетом вида (3) главного члена асимптотики было получено полное разложение: ϕ(r) ∼

∞ X

−(2m+1)

Um (r) e

√

pr

,

m=0

β(r) ∼

∞ X

Vm (r) e−2m

√

pr

,

(12)

m=0

где функции Um (r) и Vm (r) имеют, в свою очередь, асимптотическое разложение: Um (r) ∼ r

−m−1/2

∞ X

um, n r

n=0

−n

,

Vm (r) ∼ r

−m

∞ X

vm, n r−n ,

n=0

r → +∞.

(13)

Ряды вида (12), (13) связаны с методом Пуанкаре [?] разделения быстрых и медленных переменных, которыми в данном случае являются экспоненциальные функции и функции Um (r) и Vm (r), соответственно. Из постановки задачи P∞ следует, что коэффициенты разложений (13) являются функциями лишь двух параметров T∞ и B∞ . Для нахождения этих явных зависимостей были использованы символьные преобразования в системе компьтерной алгебры MAPLE 9. Операции с рядами здесь аналогичны правилу Коши (типа свертки) для перемножения степенных рядов, но их трудоемкость значительно выше, что вызвано необходимостью учета динамически изменяемой длины используемых разложений для медленных переменных, оптимизации вычислений и упорядочивания результата на каждом из шагов. Приведем несколько первых коэффициентов um, n (T∞ , B∞ ) и vm, n (T∞ , B∞ ): u0, 0 = 2 T∞ ,

u0, 1 = u0, 3 =

v0, 0 = B∞ ,

2 T∞ (4 B∞ − 1) , √ 4 p

u0, 2 =

4 2 T∞ (16 B∞ − 40 B∞ + 9) , 64 p

6 4 2 T∞ (64 B∞ − 560 B∞ + 1036 B∞ − 225) ; 3/2 1536 p

v1, 0 =

2 B∞ T∞ , 2p

v1, 1 =

(14)

2 2 B∞ T∞ (4 B∞ − 7) , 3/2 8p

2 4 2 B∞ T∞ (16 B∞ − 104 B∞ + 121) . 2 64 p Аппроксимации Паде. Ряды (13) являются асимптотическими и могут обеспечить необходимую точность решения задачи P∞ лишь при достаточно больших значениях r. Вместе с тем, точку сшивки rm необходимо выбирать такой, чтобы цепочка переразложений (11) при решении задачи P0 не была слишком длинной. Это требование диктует необходимость существенного ускорения сходимости разложений (13), которого нам удалось добиться благодаря использованию аппроксимаций Паде (см. [?], [?]). Кратко опишем наиболее эффективные диагональные аппроксимации Паде.P k Для функции F (z), заданной своим разложением F (z) = ∞ k=0 fk z , строятся два таких многочлена PN (z) и QN (z) степени N с условием QN (0) = 1, чтобы отношение PN (z)/QN (z) касалось функции F (z) в точке z = 0 с максимально возможным порядком:

v1, 2 =

F (z) −

PN (z) = O(z 2N +1 ) , QN (z)

z → 0.

(15)

Это условие приводит к системе Паде линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов многочлена QN (z), из решения которой затем находится многочлен PN (z). Для вычисления медленных переменных Um (r) и Vm (r) в (13) были использованы аппроксимации Паде (15) степени N = 15, где обозначено z = r−1 . Это позволило добиться относительной точности ε = 10−8 для решения задачи P∞ на всем интервале r ∈ [rm , +∞)

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

157

при значениях параметра анизотропии p ∈ (10−3 , pcrit ), в то время как сами асимптотические ряды (13) в окрестности точки сшивки r = rm быстро расходятся. При значениях p ∈ (10−12 , 10−3 ) аппроксимации (15) применялись на интервале r ∈ [C rm , +∞), C > 1, а на отрезке r ∈ [rm , C rm ], использовались регулярные переразложения (11); здесь C = C(p, ε) – эмпирически определяемая функция, сложным образом зависящая от задаваемой точности решения ε. Это позволило также гарантировать точность ε = 10−8 при особо важных сверхмалых значениях параметра p. 6. СШИВКА РЕШЕНИЙ И СИМВОЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Как сказано выше, метод решения задачи (1), (2) сводится к поиску постоянных t0 , b0 , T∞ , B∞ , которые обеспечили бы сшивку (5.a) решений задач P0 и P∞ . Находить эти четыре константы наиболее удобно с помощью непрерывного аналога итерационного метода Ньютона (см. [?]): · ¸−1 ∂G(x(n) ) (n+1) (n) G(x(n) ) , q ∈ (0, 1], x = (t0 , b0 , T∞ , B∞ )T , (16) x =x −q ∂x где G(x) – вектор-функция скачка (5.b) решений, а [∂G(x)/∂x]−1 – матрица, обратная к матрице Якоби функции G(x). Для сходимости метода (16) особенно важным является вопрос выбора начального приближения искомого вектора x. Решение этой задачи было реализовано с помощью эффективных символьных преобразований в системе MAPLE 9 следующим образом. Представим приближенное решение задачи P0 в виде (6), ограничившись длиной разложений m ≤ 4. Для коэффициентов ϕm и βm , используя рекурсии (7), (8), получим явные представления через параметры t0 и b0 краевого условия (4.a): ϕ0 = 2π,

ϕ1 = t0 ,

ϕ2 = 0,

ϕ3 =

p t0 t0 b0 t3 + − 0 , 8 8 48

ϕ4 = 0,

b0 t2 , β3 = 0, β4 = 0 . 2 16 Далее запишем приближенное решение задачи P∞ в виде (12), ограничившись значениями m = 0 и m = 1 для функций ϕ(r) и β(r), соответственно. Для разложений (13), (14) медленных переменных U0 (r) и V1 (r) построим аппроксимации Паде (15) степени N = 1, также содержащие явные представления через параметры T∞ и B∞ краевого условия (4.b): √ 2 2 T∞ [16 p + (4 B∞ + 7) r−1 ] , U0 (r) = √ √ 2 ) r −1 ] r [16 p + (9 − 4 B∞ 2 2 4 2 √ ) + (23 + 8 B∞ − 16 B∞ ) r−1 ] B∞ T∞ [ p (56 − 32 B∞ V1 (r) = . √ 2 ) + (121 − 104 B 2 + 16 B 4 ) r −1 ] 2 p r [ p (56 − 32 B∞ ∞ ∞ β0 = 1,

β1 = 0,

β2 =

Теперь, осуществляя сшивку (5.a) приближенных решений задач P0 и P∞ в точке rm = ηRc , η ∈ (0, 1), получим относительно искомых t0 , b0 , T∞ , B∞ систему четырех уравнений полиномиального типа степени 12. Ее численное решение находилось с помощью процедуры f solve в системе MAPLE 9. Численные эксперименты показали, что это решение является хорошим начальным приближением для итерационного процесса Ньютона (16), который сходится с необходимой точностью за 6 – 8 шагов. 7. АНАЛИЗ ХАРАКТЕРА ОСОБЫХ ТОЧЕК

Для качественного анализа полученных решений важным является понимание положения и характера особых точек. Кратко опишем здесь этот анализ, применяемый нами к широкому классу функций для различных задач математической физики.

158

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

Возвращаясь к решению задачи P0 (см. (1), (2.a), (4.а)) и комплексифицируя радиальную переменную r, определим с помощью (10) положение ближайших к началу координат r = 0 особых точек r = ±iRc . Теперь найдем показатель сингулярности γ = γ(t0 , b0 ) в этих точках, то есть величину γ в представлении ϕ(r) = (Rc2 + r2 )γ ϕ(r) b ,

b , β(r) = (Rc2 + r2 )γ β(r)

(17)

b где ϕ(r) b и β(r) – регулярные в окрестности точек r = ±iRc функции. Решению этого вопроса служит Теорема. Пусть функция F (z) имеет представление F (z) = (z0 − z)γ Ψ(z) ,

z0 6= 0,

γ 6= 0, 1, 2, . . . ,

(18)

где функция Ψ(z) регулярна в круге радиуса R, большего |z0 |, R > |z0 |. Пусть известно также разложение F (z): F (z) =

∞ X

m=0

fm z m ,

|z| < |z0 |.

Тогда для показателя сингулярности γ в (18) верно равенство ( · ¸) f f m+1 m−1 −1 − 1. γ = lim m2 2 m→∞ fm

(19)

(20)

Приведем здесь схему доказательства, основанного на использовании разложения ∞ z0γ X Γ(m − γ) z0−m m γ z (21) (z0 − z) = Γ(−γ) m=0 Γ(m + 1)

и асимптотического ряда для отношения значений двух Γ-функций (см. [?]): "N −1 # (1+a−b) k X (−1) Bk (a) (b − a)k Γ(m + a) = ma−b + O(m−N ) , m → +∞; k Γ(m + b) k! m k=0

(22)

(d)

здесь (c)k = Γ(c + k)/Γ(c) – символ Похгаммера, а Bk (x) – обобщенные многочлены Бернулли. P n Вводя разложение Ψ(z) = ∞ n=0 ψn z и умножая его, в соответствии с (18), на ряд (21), находим коэффициенты fm в представлении (19):

m z0γ−m X Γ(m − k − γ) k fm = ψk z . (23) Γ(−γ) k=0 Γ(m − k + 1) 0 P P[m/2] Разобьем сумму в (23) на два слагаемых S1 + S2 , где S1 = k=0 (·), S2 = m k=[m/2]+1 (·); тогда для суммы S2 можно показать, что S2 = o(S1 ) при m → ∞. Оценивая теперь сумму S1 , для каждой дроби Γ(m−k−γ)/Γ(m−k+1) из (23) используем ряд (22) с тремя первыми членами; это приводит к необходимому равенству (20) для показателя сингулярности γ. Условие (18) в этой Теореме весьма важно и отказ от него не позволяет нам доказать формулу (20), поскольку абелева и тауберова теории [?], [?] не дают метода нахождения показателя сингулярности в особых точках лишь по коэффициентам разложения функции. Это и привело нас к необходимости доказательства (20) в указанных выше условиях. Ясно поэтому, что равенство (20) служило для нас лишь косвенным инструментом анализа характера особых точек. Вычисленные значения показателя сингулярности γ в представлении (17) оказываются дробными для всего диапазона изменения параметра анизотропии p ∈ (0, pcrit ):

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

159

γ ∈ (0.2, 0.9). Это говорит об особенности типа ветвления в точках r = ±iRc и подтверждает неинтегрируемость системы (1) (см. [?]). Другим инструментом исследования особых точек являлось использование аппроксимаций Паде (15) для рядов (6) и (11). Суть такого анализа состоит в изучении поведения нулей и полюсов рациональной аппроксимации PM (z)/QN (z), которыми являются нули многочленов PM (z) и QN (z), соответственно. Если исходная функция F (z) является мероморфной на некотором круге D = {z : |z| < R} и содержит здесь N полюсов, то строчные аппроксимации Паде PM (z)/QN (z), где N фиксировано, а M → ∞, сходятся с геометрической скоростью к функции F (z) на всем круге D за исключением точек полюсов (см [?], [?]). Если же исходная функция F (z) не является на D мероморфной, то нули и полюсы аппроксимации Паде PM (z)/QN (z) могут вести себя очень прихотливым образом. Чтобы подчеркнуть это сложное поведение, для них вводится понятие "дефектов" аппроксимации Паде (см. [?], [?]). При увеличении степеней M и N аппроксимации PM (z)/QN (z) эти нули и полюсы могут скучиваться в некоторых областях, проявляя эффект "кроудинга" (crowding), а также стихийно возникать и исчезать, образуя блуждающие ("spurious") дефекты (см. [?], [?], [?]). Особенно интересным здесь является накопление дефектов аппроксимации Паде в окрестности точек ветвления и вблизи берегов разрезов, проведенных из точек ветвления до бесконечно удаленной точки по лучам, исходящим из начала координат. В проведенном исследовании дефектов диагональных аппроксимаций Паде PN (z)/QN (z) при увеличении степени N очень ярко проявлялось именно последнее из описанных явлений – в окрестности особых точек r = ±iRc и вблизи разрезов r = ±ix, x ≥ Rc , накапливались нули и полюсы аппроксимации, подтверждая вывод об особых точках типа ветвления. Современным "трехмерным" обобщением "двумерных" аппроксимаций Паде являются квадратичные аппроксимации, которые впервые исследованы в работеP [?]. Процесс их k построения заключается в следующем: по разложению функции F (z) = ∞ k=0 fk z находятся многочлены QM (z), RN (z) и SL (z) степеней M , N и L соответственно такие, что QM (0) = 1 и QM (z) F 2 (z) + 2RN (z) F (z) + SL (z) = O(z M +N +L+2 ),

z → 0.

(24)

Коэффициенты qj , rj и sj многочленов QM (z), RN (z) и SL (z) находятся из системы линейных уравнений, которая получается из определения (24): k X j=0

(2)

qj fk−j + 2

k X

rj fk−j + sk = 0,

k = 0, 1, . . . , M + N + L + 1,

j=0

Pj (2) где fj = m=0 fj fm−j . Тогда, полагая правую часть равенства (24) нулем, получаем искомую аппроксимацию F (z): p 2 (z) − QM (z) SL (z) −RN (z) + RN F[M/N/L] (z) = , (25) QM (z) причем здесь возникает необходимость выбора нужной ветви корня. Аппроксимации этого типа, в отличие от аппроксимаций Паде, обладают не только особенностями типа полюсов, но и точками ветвления порядка 1/2. Обширные результаты расчетов показали, что аппроксимации (25) по конечному числу членов разложения (6) при выборе краевых условий t0 и b0 в задаче P0 , близких к обеспечивающим решение исходной задачи (1), (2) для фиксированного параметра анизотропии p, дают значительно более точное приближение к решению на всем интервале r ∈ [0, ∞),

160

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

нежели аппроксимации Паде. Это показывает, что квадратичные аппроксимации лучше учитывают специфику особенностей решения исходной системы (1). Используя теорему Фабри и данные, полученные на основе анализа "кроудинга" нулей и полюсов аппроксимации Паде (15) и анализа особенностей квадратичных аппроксимаций (25), было детально исследовано поведение особых точек решения краевой задачи P0 . Прежде всего, мы изучили динамику особых точек ±iRc решения задачи (1), (2) при изменении параметра анизотропии p. На Фиг. 1 приведена рассчитанная зависимость Rc (p) координат этих точек для параметра p ∈ (0, pcrit ).

Фиг. 1 Помимо этого, была исследована динамика "ложных" особых точек решений задачи P0 при фиксированном параметре p и различных значениях t0 и b0 , участвующих в краевых условиях (4.а). Как сказано выше, величины t0 и b0 мы находим в процессе итераций (16), каждый раз решая задачу P0 с помощью построения цепочки переразложений для решений ϕ(r) и β(r) в регулярных точках Rk : ϕ(r) =

∞ X

m=0

ϕ(k) m

m

(r − Rk ) ,

β(r) =

∞ X

m=0

(k) βm (r − Rk )m .

(26)

Однако разложения (26) сходятся в окрестностях, ограниченных ближайшими к центрам Rk особыми точками. При варьировании параметров t0 и b0 эти особые точки движутся в комплексной r-плоскости, изменяя характер решения задачи P0 . Особенно интересным явлением здесь оказывается поведение особых точек для фиксированного параметра анизотропии p при приближении величин t0 и b0 к значениям, доставляющим искомое решение задачи (1), (2). Эти точки участвуют комплексносопряженными парами и они уходят в бесконечно удаленную существенно-особую точку r = ∞ вдоль весьма сложных траекторий. Лишь пара ближайших к началу координат чисто мнимых точек ±iRc оказывается при этом конечной. Особые точки решения, уходящие в r = ∞ при приближении параметров t0 и b0 к значениям, обеспечивающим решение задачи P0 , мы называем "ложными" особыми точками. На Фиг. 2 показана траектория первой такой особой точки S при p = 0.01 и приближении вещественного параметра t0 к истинному значению, когда величина b0 задана верно. Первой эту точку мы считаем потому, что именно она (в паре с комплексно-сопряженной) является первой особой точкой решения (не считая пары чисто мнимых точек ±iRc ), встречающейся при использовании переразложений (26).

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

161

Фиг. 2 Все следующие "ложные" особые точки движутся по аналогичным траекториям, удаляясь от вещественной оси Re (r), так что решение ϕ(r) и β(r) задачи (1), (2) при правильно найденных значениях t0 и b0 оказывается строго монотонно убывающим на всем интервале r ∈ [0; +∞). Hа Фиг. 3 и Фиг. 4 даны графики полученных функций ϕ(r) и β(r) при значении параметра анизотропии p = 10−5 . На оси r ромбиками отмечены 2 точки переразложения (11) на одном из шагов в итерационной схеме, а кружочком — точка сшивки rm . ϕ(r)

Фиг. 3

r

162

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

β(r)

Фиг. 4

r 8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработанный метод, в сочетании с методом продолжения по параметру анизотропии p (см. [?]) был применен для расчета солитонных решений задачи (1), (2) при изменении значения p в диапазоне p ∈ (10−12 , pcrit ). Относительная погрешность решения при этом была не выше ε = 10−8 , а число итераций в методе Ньютона составило 6 – 8. Отметим здесь, что аналогичный подход был применен нами к исследованию и высокоточному расчету систем нелинейных уравнений другой природы, включая ударные волны в магнитной гидродинамике. На всех этапах такого анализа незаменимую роль играли методы аналитического продолжения степенных и асимптотических рядов, использование аппроксимаций Паде и квадратичных аппроксимаций, а также эффективные символьные преобразования. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 01–01–00341). Список литературы [1] Bogolubsky I.L., Bogolubskaya A.A. 2D Topological Solitons in the Gauged Easy-Axis Heisenberg Antiferromagnet Model // Physics Letters B. 1997. V. 395. P. 269-274. [2] Ai Sh., Chen X. Solitons of the Two-Dimensional 3-Component Gauged Sigma Model // Journ. of Diff. Equat. 1999. V. 153. P. 61-81. [3] Боголюбский А.И., Скороходов С.Л. Аппроксимации Паде, символьные преобразования и метод расчета солитонов в двухполевой модели антиферромагнетика // Программирование. 2004. N o 2. [4] Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М. "Наука". 1967. [5] Найфэ А. Введение в методы возмущений. М. "Мир". 1984. [6] Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М. "Мир". 1986. [7] Суетин С.П. Аппроксимации Паде и эффективное аналитическое продолжение степенного ряда // Успехи матем. наук. 2002. Т. 57. Вып. 1. С. 45–142. [8] Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений. М. "Мир". 1985. [9] Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. М. "Мир". 1980. [10] Харди Г. Расходящиеся ряды. М. "ИЛ". 1951. [11] Постников А.Г. Тауберова теория и ее применения // Труды МИАН. 1979. Т. CXLIV. 145 c. [12] Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. М. "Эдиториал УРСС". 2001.

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

163

[13] Скороходов С.Л. Аппроксимации Паде и численный анализ дзета-функции Римана // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т. 43. N o 9. С. 1330–1352. [14] Shafer R.E. On Quadratic Approximation // SIAM Journ. Numer. Anal. 1974. V. 11. N o 2. P. 447–460. [15] Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация. М. "Эдиториал УРСС". 1999.

Боголюбский А.И., студ., МГУ им. М.В.Ломоносова, Мех.-мат. ф-т., Москва, 119992, Россия E-mail: [email protected] Скороходов С.Л., к.ф.-м.н., ВЦ РАН, Москва, 119991, Россия E-mail: [email protected]

164

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ТИПА КОШИ ДЛЯ АБСТРАКТНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ7 А.В. Глушак, Ю.В. Поваляева Воронежский государственный технический университет Воронеж, Россия Аннотация Criteria of a uniform correctness homogeneous problems such as Cauchy for abstract differential equation with fractional derivative and the formula for the decision of the non-uniform equation. As an example the problem such as Cauchy with a fractional degree of generator C0 -semi - group is considered. The theorem about indignation of the equation of the limited operator is proved also it is examined it application to an establishment of a uniform correctness for iterated equation. Приводятся критерий равномерной корректности однородной задачи типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной и формула для решения неоднородного уравнения. В качестве примера рассмотрена задача типа Коши с дробной степенью генератора C0 -полугруппы. Доказывается теорема о возмущении уравнения ограниченным оператором и рассматривается ее применение к установлению равномерной корректности итерированного уравнения.

В банаховом пространстве E рассматривается следующая задача Dα v(t) = Av(t), lim D t→0

α−1

t > 0,

v(t) = v0 ,

(1) (2)

где A — линейный замкнутый оператор в E с плотной в E областью определения D(A), v0 ∈ D(A), Zt d 1 α (t − s)−α v(s) ds − D v(t) = Γ(1 − α) dt 0

левосторонняя дробная производная Римана-Лиувилля порядка α ∈ (0, 1) (см. [?]), Γ(·) — гамма-функция Эйлера, 1 Dα−1 v(t) = I 1−α v(t) = Γ(1 − α)

Zt

(t − s)−α v(s) ds −

0

левосторонний дробный интеграл Римана-Лиувилля порядка 1 − α. Под решением задачи (1), (2) понимается сильно непрерывная при t > 0 функция v(t) такая, что I 1−α v(t) представляет собой сильно непрерывно дифференцируемую при t > 0 функцию, функция v(t) принимает значения из D(A) и удовлетворяет (1), (2). Используя метод регуляризации контурного интеграла, в [?] был указан критерий равномерной корректности задачи (1), (2). В настоящей работе мы приводим иной критерий равномерной корректности этой задачи, который при α = 1 превращается в известную теорему Хилле-Иосиды [?, c. 68]. Задача Коши для уравнения порядка α, содержащего регуляризованную дробную производную, рассматривалась в [?]. В этой статье вместо условия (2) задается условие v(0) = v0 . 7

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 04 – 01 – 00141

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

165

В идейном отношении излагаемые в [?] результаты примыкают к теории ослабленной задачи Коши (см. [?, c. 76]). Определение 1. Задача (??), (??) называется равномерно корректной, если существует заданная на E, коммутирующая с A операторная функция Tα (t, A) и числа M ≥ 1, ω ∈ R такие, что для любого v0 ∈ D(A) функция Tα (t, B)v0 является ее единственным решением, и при этом kTα (t)k ≤ M tα−1 exp(ωt).

(3)

Например, если A — ограниченный оператор, то (см.[?, c. 601 ]) Tα (t) = tα−1 Eα,α (tα A), где Eα,β (·) — функция типа Миттаг-Леффлера. Установим вначале необходимое условие равномерной корректности задачи (??), (??). Пусть R(λ) = (λI − A)−1 — резольвента оператора A. Теорема 1. Если задача типа Коши (??), (??) равномерно корректна и Reλ > ω, то λα принадлежит резольвентному множеству ρ(A) оператора A, для любого x ∈ E справедливо представление R(λα )x =

Z∞

exp(−λt)Tα (t)x dt,

(4)

0

и при этом для всех целых n ≥ 0 ° n ° ° d R(λα ) ° M Γ(α + n) ° ° ° dλn ° ≤ (Reλ − ω)n+α .

(5)

Следует отметить, что оператор A, для которого равномерно корректна задача (??), (??), вообще говоря, не является генератором C0 -полугруппы, т.к. его резольвентное множество не содержит правой полуплоскости. Теорема 2. Если при Reλ > ω оператор A имеет резольвенту R (λα ), которая удовлетворяет неравенству (??), и v0 ∈ D(A), то функция 1 Tα (t)v0 = D1−α v.p. 2πi

ωZ 0 +i∞

λα−1 exp(λt)R (λα ) v0 dλ, ω0 > max(0, ω)

(6)

ω0 −i∞

является решением задачи (??), (??). Теорема 3. Для того чтобы задача типа Коши (??), (??) была равномерно корректной, необходимо и достаточно, чтобы при Reλ > ω оператор A имел резольвенту R (λα ), удовлетворяющую неравенству (??). Доказательство теорем 1 – 3 приводится в [?]. Используя неравенство (??) и теорему 3, доказывается, что что если с оператором А равномерно корректна задача (??), (??), то с этим же оператором равномерно корректна и задача вида (??), (??), содержащая дробную производную порядка δ = α/2. Мы установим формулу, связывающую решения указанных задач и при α = 1 применим ее для исследования поведения решения при t → ∞. Теорема 4. Пусть для α ∈ (0, 1] выполнено неравенство (??) и δ = α/2. Тогда задача Dδ v(t) = Av(t),

lim Dδ−1 v(t) = v0 ∈ D(A) t→0

166

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

равномерно корректна и ее решение имеет вид Z∞ Z∞ ³ πα ´ ¡ ¢ 2tδ−1 α−1 2 Tδ (t)v0 = s E1,δ −ts sin − τ s ds Tα (τ )v0 dτ . π 2 0

0

Следствие. Пусть в неравенстве (??) α = 1, т.е., как следует из теоремы Хилле-Иосиды, оператор А является производящим оператором сильно непрерывной полугруппы T1 (t) класса C0 . Тогда задача D1/2 v(t) = Av(t),

lim D−1/2 v(t) = v0 ∈ D(A) t→0

равномерно корректна и ее решение имеет вид 1 T1/2 (t)v0 = √ 2t πt

Z∞

µ

τ2 τ exp − 4t

0

¶

T1 (τ )v0 dτ.

(7)

Представление (??) может быть использовано для исследования поведения функции T1/2 (t)v0 при t → ∞.

Теорема 5. Пусть А — производящий оператор сильно непрерывной полугруппы T1 (t) класса C0 , причем sup kT1 (t)k ≤ M . Тогда для того чтобы существовал предел t≥0

lim

√

t→∞

πt T1/2 (t)v0 = l,

необходимо и достаточно, чтобы существовал предел 1 lim t→∞ t

Zt

T1 (τ )v0 dτ = l.

0

Доказательство теорем 4, 5 приводится в [?]. В качестве еще одного приложения неравенства (??) рассмотрим задачу типа Коши для дробной степени генератора C0 -полугруппы. Пусть E — комплексное банахово пространство, T(t) — равномерно ограниченная C0 полугруппа с генератором A. Тогда можно определить положительную дробную степень оператора (–A) (см., например, [?, c. 96]) sin απ − (−A) f = π α

Z∞

λα−1 (λI − A)−1 Af dλ,

(8)

0

где α ∈ (0, 1), f ∈ D(A). При этом, если g ∈ E, то для резольвенты оператора −(−A)α , который в дальнейшем мы будем обозначать Aα , справедливо представление sin απ (µI − Aα ) g = π −1

Z∞ 0

λα (λI − A)−1 g dλ. µ2 − 2µλα cos απ + λ2α

Доказывается, что с оператором Aα равномерно корректна следующая задача типа Коши Dα v(t) = Aα v(t),

t > 0,

(9)

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations lim Dα−1 v(t) = v0 , t→0

v0 ∈ D(A).

167 (10)

Теорема 6. Пусть A является генератором равномерно ограниченной C0 -полугруппы и оператор Aα определен равенством (??). Тогда задача типа Коши (??), (??) равномерно корректна. Рассмотрим теперь задачу нахождения решения неоднородного уравнения Dα v(t) = Av(t) + f (t), t > 0,

(11)

удовлетворяющего условию (??). Установим формулу для решения задачи (??), (??), используя операторную функцию Tα (t) и формулу из примера 42.2 [?], позволяющую находить решение неоднородного уравнения в случае, когда A — оператор умножения на число. Теорема 7. Пусть однородная (f (t) ≡ 0) задача (??), (??) равномерна корректна, v0 ∈ D(A) и выполнено одно из двух условий: a) f (t) ∈ C ((0, ∞), E) абсолютно интегpиpуема в нуле и принимает значения в D(A) , Af (t) ∈ C ((0, ∞), E) и также абсолютно интегpиpуема в нуле; b) Dα f (t) ∈ C ((0, ∞), E) и абсолютно интегpиpуема в нуле. Тогда неоднородная задача (??), (??) имеет единственное решение, которое определяется равенством v(t) = Tα (t)v0 +

Zt

Tα (t − s)f (s) ds,

0

где Tα (t) задается равенством (??). Доказательство теорем 6, 7 приводится в [?]. Исследуем далее равномерную корректность абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной при возмущении его ограниченным оператором и равномерную корректность итерированного уравнения с дробной производной. Теорема 8. Пусть равномерно корректна задача (??), (??) и пусть P — линейный ограниченный оператор из E в E. Тогда равномерно корректна возмущенная задача Dα v(t) = (A + P )v(t),

t > 0,

lim Dα−1 v(t) = v0 , t→0

(12) (13)

и при этом справедливо представление Tα (t, A + P ) =

∞ X

Vn (t),

(14)

n=0

где V0 (t) = Tα (t, A), Vn (t) =

Rt 0

Tα (t − s, A)P Vn−1 (s) ds, n = 0, 1, ...

Доказательство. Установим сначала существование резольвенты оператора A + P , т. е., докажем, что при заданном комплексном λ, Reλ > ω1 существует ограниченный обратный оператор R(λα , A + P ) = (λα I − (A + P ))−1 . Рассмотрим ¡ ¢ λα I − (A + P ) = (λα I − A) I − (λα I − A)−1 P = (λα I − A) (I − R(λα , A)P ) и покажем, что существует обратный оператор к оператору I − R(λα , A)P .

168

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

В силу (??) при достаточно больших Reλ > ω имеем M Γ(α) kP k <1, (Reλ − ω)α

kR(λα , A)P k ≤ поэтому справедливо разложение α

(I − R(λ , A)P )

−1

∞ X

=

n=0

и, таким образом, существует α

R(λ , A + P ) =

(R(λα , A)P )n ,

∞ X

R(λα , A)n+1 P n .

(15)

n=0

Разрешающий оператор задачи (??), (??) будем искать в виде ряда T (t) =

∞ X

Vn (t).

n=0

Методом математической индукции докажем следующую оценку Γn+1 (α) (n+1)α−1 t exp(ωt), n = 0, 1, ... Γ((n + 1)α) Действительно, при n = 0 неравенство (??) совпадает с неравенством (??). Пусть далее неравенство (??) справедливо для n = k − 1, т.е., выполнена оценка kVn (t)k ≤ M n+1 kP kn

kVk−1 (t)k ≤ M k kP kk−1

Γk (α) kα−1 t exp(ωt). Γ(kα)

(16)

(17)

Тогда в силу (??), (??) будем иметь kVk (t)k ≤

Zt

kTα (t − s, A)k · kP k · kVk−1 (s)k ds ≤

0

≤M

k+1

Γk (α) kP k Γ(kα) k

Zt

(t − s)α exp(ω(t − s))skα−1 exp(ωs) ds =

0

Γk+1 (α) (k+1)α−1 t exp(ωt). Γ((k + 1)α) Таким образом, справедливость оценки (??) для n = k доказана. Учитывая (??), оценим = M k+1 kP kk

∞ X n=0

kVn (t)k ≤

∞ X n=0

= M Γ(α)t

M n+1 kP kn

α−1

exp(ωt)

Γn+1 (α)t(n+1)α−1 exp(ωt) = Γ((n + 1)α)

∞ X (M kP k Γ(α)tα )n n=0

α−1

Γ((n + 1)α)

=

= M Γ(α)t exp(ωt) Eα,α (M kP k Γ(α)tα ) . (18) Используя асимптотическое равенство для функции Миттаг-Леффлера (см. [?, c. 224]) µ ¶ 1 απ 1 (1−β)/α 1/α exp(z ) + O , , z → ∞, |argz| ≤ Eα,β (z) = z α |z| 2

169

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations из (??) получим ∞ X kVn (t)k ≤ M M1 Γ(α)tα−1 exp((ω + ω0 )t), n=0

ω0 > (M kP k Γ(α))1/α .

(19)

∞ ∞ P P Следовательно, мажорирующий ряд kVn (t)k сходится, поэтому ряд Vn (t) абсолютn=0 n=0 но сходится. ∞ P Применив интегральное преобразование Лапласа к представлению T (t)x = Vn (t)x, n=0

x ∈ E, будем иметь Z∞ X Z∞ ∞ Z∞ ∞ X exp(−λt)Vn (t)x dt = exp(−λt)Vn (t)x dt = exp(−λt)T (t)x dt = 0

0

=

Z∞

n=0 0

n=0

∞ Z X

∞

exp(−λt)Tα (t, A)x dt +

exp(−λt)V n (t)x dt,

λ = σ + iω.

(20)

n=1 0

0

В силу равномерной корректности задачи (??), (??) справедливо представление (??), поэтому имеет место равенство Z∞ exp(−λt)Vn (t)x dt = P n (R(λα , A))n+1 x, (21) 0

которое докажем по индукции. Действительно, для n = 1 имеем Z∞ Z∞ Zt exp(−λt)V1 (t)x dt = exp(−λt) dt Tα (t − τ, A)P Tα (τ, A)x dτ = 0

0

=P

Z∞

0

Z∞

Tα (τ, A) dτ

τ

0

=P

Z∞

exp(−λt)Tα (t − τ, A)x dt =

exp(−λτ )Tα (τ, A)dτ

0

Z∞

exp(−λt1 )Tα (t1 , A)x dt1 = P (R(λα , A))2 x.

0

Пусть (??) выполнено для n = k, т.е. Z∞ exp(−λt)Vk (t)x dt = P k (R(λα , A))k+1 x. 0

Тогда Z∞

exp(−λt)Vk+1 (t)x dt =

=P

Z∞

Vk (τ ) dτ

0

=P

0

exp(−λt) dt

exp(−λτ )Vk (τ ) dτ

Z∞

Zt

Tα (t − τ, A)P Vk (τ )x dτ =

0

0

0

Z∞

Z∞

exp(−λt)Tα (t − τ, A)x dt =

τ

Z∞

exp(−λt1 )Tα (t1 , A)x dt1 = P k+1 (R(λα , A))k+2 x.

0

Таким образом, формула (??) доказана.

170

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

Из (??), (??), (??) вытекает, что R(λα , A + P )x =

Z∞

exp(−λt)T (t)x dt, x ∈ E.

(22)

0

Используя оценку (??) и представление (??), для Reλ > ω + ω0 будем иметь ° Z∞ ° n ° d R(λα , A + P ) ° ° ≤ tn exp(−tReλ) kT (t)k dt ≤ ° ° ° n dλ 0

≤ M M1 Γ(α)

Z∞

tn+α−1 exp((ω + ω0 − Reλ)t) dt =

0

M M1 Γ(α)Γ(n + α) . (Reλ − ω − ω0 )n+α

(23)

Таким образом, при Reλ > ω + ω0 существует резольвента R(λα , A + P ) оператора A + P и установлена оценка (??), поэтому в силу теоремы 3 задача (??), (??) равномерно корректна. Так как R(λα , A + P ) — резольвента оператора A + P , то по теореме 1 справедливо следующее представление Z∞ α (24) R(λ , A + P )x = exp(−λt)Tα (t, A + P ) x dt, x ∈ E. 0

В силу того, что оригинал по известному изображению определяется единственным образом, из формул (??) и (??) вытекает, что T (t) = Tα (t, A + P ). Теорема доказана. В качестве применения теоремы 8 рассмотрим теперь в банаховом пространстве E следующее уравнение n Y (Dα − Ai )v(t) = 0, (25) i=1

где Ai (i = 1, n) — линейные, замкнутые, вообще говоря, некоммутирующие и плотно определенные в E с областью определения D(Ai ) операторы. Также предположим, что множество \ D(Ai1 ...Aim ) : ij ∈ (1, ..., n), j = 1, ..., m, m = 1, 2, ..., n D= i1 ≥ i2 ≥ ... ≥ im

плотно в E. Введем следующие обозначения v(t) = u1 (t),

j−1 Y i=1

(Dα − Ai )v(t) = uj (t),

2 ≤ j ≤ n.

Тогда уравнение (??) запишется в виде системы  Dα u1 (t) = A1 u1 (t) + u2 (t),    ... Dα un−1 (t) = An−1 un−1 (t) + un (t),    Dα u (t) = A u (t). n n n

(26)

Зададим начальные условия в виде

lim Dα−1 ui (t) = ui 0 , t→0

i = 1, n.

(27)

171

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

Определение 2. Под решением задачи (??), (??) понимается непрерывная при t > 0 функция v(t) такая, что I 1−α uj (t), 1 ≤ j ≤ n представляют собой непрерывно дифференцируемые при t > 0 функции, uj (t) ∈ D(Aj+1 ) и, наконец, u(t) удовлетворяет равенствам (??), (??). В матричном виде система (??) и начальные условия (??) примут вид      u1 (t) A1 . . . 0 0 u1 (t)  ...   ... ... ... ...  ...      Dα   un−1 (t)  =  0 . . . An−1 0   un−1 (t)  + un (t) 0 ... 0 An un (t)    1 ... 0 0 u1 (t)  ... ... ... ...  ...   , + (28)  0 ... 0 1   un−1 (t)  0 ... 0 0 un (t)     u1 (t) u1 0  ...   ...     (29) lim Dα−1   un−1 (t)  =  un−1 0  . t→0 un 0 un (t) n Обозначим через E банахово пространство, состоящее из элементов (u1 , ..., un ), где ui ∈ n P E, с нормой k(u1 , ..., un )k = kui k и пусть i=1

   u1 0 A1 . . . 0 0 u1 (t)  ...   ... ... ... ...  ...      U (t) =   un−1 (t)  , U0 =  un−1 0  , A =  0 . . . An−1 0 0 ... 0 An un 0 un (t)   1 ... 0 0  ... ... ... ...  . P =  0 ... 0 1  0 ... 0 0 Используя обозначения (??), задачу (??), (??) запишем в виде 



Dα U (t) = (A + P )U (t),

t > 0,

lim Dα−1 U (t) = U0 . t→0



 ,  (30)

(31) (32)

Определение 3. Задача (??), (??) называется равномерно корректной, если в E n равномерно корректна задача (??), (??). Пусть задачи Dα ui (t) = Ai ui (t), lim Dα−1 ui (t) = ui 0 , i = 1, ..., n t→0

равномерно корректны. Тогда, очевидно, в E n равномерно корректна задача Dα U (t) = AU (t),

t > 0,

причем разрешающий оператор Tα (t, A)  Tα (t, A1 )  ... Tα (t, A) =   0 0

lim Dα−1 U (t) = U0 , t→0

имеет вид ... ... ... ...

 0 0  ... ... .  Tα (t, An−1 ) 0 0 Tα (t, An )

(33) (34)

172

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

Тогда по теореме 8 о возмущении в E n будет равномерно корректной задача (??), (??), ∞ P причем Tα (t, A + P ) = Vn (t), где n=0

Zt

V0 (t) = Tα (t, A), Vn (t) =

Tα (t − s, A)P Vn−1 (s)ds, n = 0, 1, ...

0

Укажем явную формулу для решения задачи (??), (??). Начнем со случая n = 2. Поскольку ¶ µ ¶ µ ¶µ Tα (t, A1 )u1 0 Tα (t, A1 ) 0 u1 0 , = V0 (t)U0 = Tα (t, A)U0 = Tα (t, A2 )u2 0 0 Tα (t, A2 ) u2 0 Zt

V1 (t)U0 =

Tα (t − s, A)P V0 (s)U0 ds =

0

=

Zt µ 0

Tα (t − s, A1 ) 0 0 Tα (t − s, A2 ) =

Zt µ

¶µ

¶µ

0 1 0 0

0 Tα (t − s, A1 )Tα (s, A2 ) 0 0

0

=

Zt µ

Tα (s, A1 ) 0 0 Tα (s, A2 )

¶µ

Tα (t − s, A1 )Tα (s, A2 )u2 0

u1 u2 0

0

V2 (t)U0 =

Zt

0 0

¶

¶

¶

U0 ds =

ds =

ds,

Tα (t − s, A)P V1 (s)U0 ds =

0

=

Zt µ 0

Tα (t − s, A1 ) 0 0 Tα (t − s, A2 )

¶µ

0 1 0 0

=

Zt µ

0 0

то V2 (t) = V3 (t) = ... ≡

=

µ

0 0

¶

¶

0

¶µ

Tα (s − s1 , A1 )Tα (s1 , A2 ) 0

ds =

µ

0 0

¶

¶µ

u1 u2

0 0

¶

,

. Следовательно, решение задачи (??), (??) имеет вид

U (t) = Tα (t, A + P )U0 (t) = (V0 (t) + V1 (t)) U0 (t) =   Rt  Tα (t, A1 )u1 0 + Tα (t − s, A1 )Tα (s, A2 )u2 0 ds  0

Tα (t, A2 )u2

0

а его первая компонента

u1 (t) = Tα (t, A1 )u1 0 +

Zt

Tα (t − s, A1 )Tα (s, A2 )u2 0 ds

0

является решением задачи (??), (??) для n = 2.

,

ds =

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

173

Нетрудно заметить, что при произвольном n ≥ 2 Un (t) = Un+1 (t) = ... = (0, . . . , 0)T . В этом случае решение задачи (??), (??) будет выглядеть следующим образом Zt v(t) = u1 (t) = Tα (t, A1 )u1 0 + Tα (t − s1 , A1 )Tα (s1 , A2 )u2 0 ds1 + 0

+

n−2 Z t X

m=1 0

Tα (t − s1 , A1 )

Zs1 0

Tα (s1 − s2 , A2 )

Zs2 0

...

Zsm

Tα (sm − sm+1 , Am+1 )×

0

×Tα (sm+1 , Am+2 )um+1 0 dsm+1 ... ds2 ds1 . Таким образом, доказана следующая теорема.

(35)

Теорема 9. Пусть для i = 1, . . . , n задачи (??), (??) равномерно корректны. Тогда итерированная задача (??), (??) будет равномерно корректной и при этом для ее решения справедливо представление (??). Формула (??) совпадает с соответствующим представлением решения, полученным в [?] путем сведения уравнения (??) к системе (??) и дальнейшим использованием теоремы 7 о разрешимости неоднородного уравнения. Отметим, что равномерная корректность задачи (??), (??) в [?] не исследовалась. Кроме того, при α = 1 происходит “стыковка” формулы (??) с установленной в [?] формулой для решения уравнения целого порядка. Список литературы [1] Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск. Наука и техника. 1987. [2] Костин В.А. К задаче Коши для абстрактных дифференциальных уравнений с дробными производными. ДАН СССР. 1992. Т. 326. № 4. С. 597 – 600. [3] Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука. 1967. [4] Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка. Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25. № 8. С. 1359 – 1368. [5] Глушак А.В. О задаче типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной. Вестник ВГУ. Серия физика, математика. Воронеж. – 2001, № 2. – С. 74 – 77. [6] Глушак А.В. О связи решений абстрактных дифференциальных уравнений, содержащих дробные производные. Вестник ВГУ. Серия физика, математика. Воронеж. – 2002, № 2. С. 61 – 63. [7] Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения. Киев, Выща школа. 1989. [8] Глушак А.В. О задаче типа Коши для неоднородного абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной. Вестник ВГУ. Серия физика, математика. Воронеж. – 2002, № 1. – С. 121 – 123. [9] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентые функции. Т.3. М.: Наука. 1967. [10] Поваляева Ю.В. Разрешимость задачи типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Римана - Лиувилля. Математические модели и операторные уравнения, Том 2, ВГУ, Воронеж. – 2003, С. 104 – 111. [11] Sandefur J.T. Higher order abstract Cauchy problems. Journal of mathematical, Analysis and Applications, 60, Academic Press, 1977. – C. 728 – 742.

Глушак А.В., профессор, Воронежский государственный технический университет, кафедра прикладной математики, Воронеж, 394711, Россия Поваляева Ю.В., Воронежский государственный технический университет, кафедра прикладной математики, Воронеж, 394711, Россия E-mail: [email protected], [email protected]

174

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО НЕСТАЦИОНАРНОГО СУЩЕСТВЕННО БЕСКОНЕЧНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ A. Ю. Мальцев Национальный Технический Университет Украины ’КПИ’ Киев, Украина Для уравнения ∂u/∂t = 21 j(t)(u′′xx )+Zu+λu с положительными существенно бесконечномерными функционалами j(t) исследуется задача Коши в соответствующим образом выбранном банаховом пространстве функций на бесконечномерном сепарабельном вещественном гильбертовом пространстве. The Cauchy problem for the equation ∂u/∂t = 21 j(t)(u′′xx ) + Zu + λu with positive essentially infinite-dimensional functionals j(t) is studied in a certain Banach space of functions on an infinite-dimensional separable real Hilbert space.

1. Основные определения Целью этой статьи является построение решения одного нестационарного существенно бесконечномерного уравнения и исследование свойств этого решения. Результаты, полученные в этой статье, опираются на результаты, полученные автором в [?],[?]. Пусть H - бесконечномерное сепарабельное вещественное гильбертово пространство, а L(H) - пространство ограниченных линейных операторов в H. Обозначим через BC (H) пространство самосопряжённых ограниченных операторов в H. Пусть j ∈ (BC (H))∗ . Функционал j называется положительным, если (∀D ≥ 0) : j(D) ≥ 0. В соответствии с [?] назовём функционал j существенно бесконечномерным, если в его ядро входят все операторы конечного ранга. Обозначим через Qn,c множество всех линейных ограниченных операторов ранг которых не превосходит n, а норма не превосходит c. Множество M ⊆ L(H) назовём почти компактным, если ∀ε > 0 существует компактное множество K ⊆ L(H), и числа n ∈ N, c > 0, такие, что K +Qn,c является ε - сетью для M . Класс почти компактных множеств был рассмотрен, например, в [?]. В работе [?] определена алгебра функций A. В A входят те и только те функции из C 2 (H) для которых: 1.) ∀R > 0 ∃ ′′ почти компактное множество M ⊆ L(H) такое, что u (x) ∈ M, ∀x ∈ BR = {x | kxk ≤ R}; ′′ 2.) u (·) равномерно непрерывна на ограниченных в H множествах. Через A0 обозначим подалгебру A в которую входят функции носитель которых ограничен. Введём в A0 норму: ∀ϕ ∈ A0 kϕk = sup |ϕ (x)| . Пусть X - пополнение A0 по указанной норме. С каждым полоx∈H

жительным существенно бесконечномерным функционалом j свяжем линейный оператор Lj в пространстве X с областью определения A0 . ∀ϕ ∈ A0 : (Lj ϕ) (x) = 12 j (ϕ′′xx ). Будем говорить, что векторное поле Z в пространстве H является полем класса A0 , если 1.) Z имеет ограниченный носитель; 2.) Z дважды непрерывно дифференцируемо на H, и при этом вторая производная Z является равномерно непрерывной на©H операторнозначной функª цией; 3.) {Z ′ (x) |x ∈ H } - почти компактное множество; 4.) (ξ, Z)′′ (x) | kξk ≤ 1; x ∈ H почти компактное множество. 2. Эволюционное семейство уравнения ∂u/∂t = 12 j(t)(u′′xx ) + Zu + λu Пусть j : [0, T ] 7→ (BC (H))∗ - отображение, которое ставит в соответствие каждой точке отрезка [0, T ] положительный существенно бесконечномерный функционал. Считаем, что j(·) удовлетворяет на этом отрезке условию Липшица: (∃C > 0) (∀t1 , t2 ∈ [0, T ] : kj (t1 ) − j (t2 )k ≤ C |t1 − t2 |). Рассмотрим в банаховом пространстве X следующее дифференциальное уравнение ∂u (t, x) = Lxj(t) u (t, x) + (Zu)(t, x) + (λu) (t, x) , (1) ∂t

175

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

¡ ¢ где Lj(t) : A0 → X; ∀ϕ ∈ A0 : Lj(t) ϕ (x) = 21 j (t) (ϕ′′xx , ), Z - векторное поле класса A0 , а λ - непрерывное отображение отрезка [0, T ] в пространство A0 , то есть при каждом фиксированном t0 функция λ(t0 , ·) принадлежит классу A0 . Нашей ближайшей целью является построение для уравнения (??) решения задачи Коши на отрезке [τ, T ] (0 ≤ τ < T ) с начальным условием в точке τ u (τ, x) = ϕ (x) ∈ A0 .

(2) j(t)

= Lx u (t, x)+(Zu)(t, x) с начальным В [?] доказано, что задача Коши для уравнения ∂u(t,x) ∂t условием (??) имеет и при том единственное решение. В [?] так же построено эволюционное f (t, τ ). Положим по семейство для этого уравнения, которое здесь будем обозначать как W f (t, s)(λ(s, ·)ϕ). определению K(t, s)ϕ = W

Теорема 1. Задача Коши (??)-(??) на каждом отрезке [τ, T ] (0 ≤ τ < T ) имеет и при том единственное решение. Соответствующее эволюционное семейство задаётся формулой Rt f (t, τ ) + K (t, t1 ) W f (t1 , τ ) dt1 + U (t, τ ) = W τ (3) tn ∞ Rt R Rt2 P f + ... K (t, tn ) K (tn , tn−1 ) ...K (t2 , t1 ) W (t1 , τ ) dt1 dt2 ...dtn . n=2 τ τ

τ

Доказательство. Рассмотрим линейное пространство C ([τ, T ] , X) - пространство непрерывных функций, заданных на отрезке [τ, T ] и принимающих значение в X. Введём в C ([τ, T ] , X) норму: если u ∈ C ([τ, T ] , X), положим по определению |||u||| = sup ku (t, ·)k. t∈[τ,T ]

Норму элемента u ∈ C ([τ, T ] , X) будем обозначать символом |||u|||, чтобы отличать её от нормы ku (t0 , ·)k функции u (t0 , ·) в пространстве X. Теперь покажем, что любое решение u(t, ·) задачи Коши (??)-(??) является решением следующего интегрального уравнения в пространстве C ([τ, T ] , X) ³

´

f (t, τ ) ϕ (·) + u (t, ·) = W

Zt τ

f (t, s) λ (s, ·) u (s, ·) ds W

(4)

³ ´ j(s) Действительно, рассмотрим тождество du (s, ·) /ds = Lx + Z u (s, ·) + λ (s, ·) u (s, ·) . f (t, s) и используя Применив к обеим частям этого равенства ограниченный оператор W формулу (3.5) главы 2 [?] будем иметь ´ ∂ ³f f (t, s) λ (s, ·) u (s, ·) . W (t, s) u (s, ·) = W ∂s Правая, а поэтому и левая часть этого равенства является непрерывной функцией по s ∈ [τ, t]. Проинтегрировав это равенство по s в пределах от τ до t и учитывая, что f(t, t) = I (I - тождественный оператор в X), получим (??). При помощи теоремы БанаW ха о неподвижной точке докажем, что интегральное уравнение (??), а значит и исходная задача Коши не могут иметь более одного решения. В пространстве C ([τ, T ] , X) рассмотрим такое отображение Zt ³ ´ f (t, τ ) ϕ (·) + W f (t, s) λ (s, ·) u (s, ·) ds. (Bu) (t, ·) = W

(5)

τ

Докажем, что если в C ([τ, T ] , X) надлежащим образом выбрать °норму, B ° будет отобра° °f жением сжатия. Из результатов, полученных в [?] следует, что °W (t, s)° ≤ 1 для всех

176

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

(t, s) ∈ T△ = {(t1 , t2 ) : 0 ≤ t2 ≤ t1 ≤ T }. Отсюда, для всех t ∈ [τ, T ] и для любых u1 , u2 ∈ C ([τ, T ] , X) имеет место оценка k(Bu1 ) (t, ·) − (Bu2 ) (t, ·)kX ≤ ·

Rt τ

ku1 (s, ·) − u2 (s, ·)kX ds,

где M =

° Rt ° °f ° °W (t, s) λ (s, ·) (u1 (s, ·) − u2 (s, ·))° ds ≤ M · X

τ

(6)

sup kλ (τ, ·)k < +∞ вследствие непрерывности λ. Введём в пространстве

τ ∈[0,T ]

C ([τ, T ] , X) такую норму: |||u|||2 = max {exp {−k (t − τ )} ku (t, ·)kX } , τ ≤t≤T

где u ∈ C ([τ, T ] , X), а k > 0 - фиксированное число, которое будет выбрано позже. Из двойного неравенства exp {−k (T − τ )} |||u||| ≤ |||u|||2 ≤ |||u||| следует, что нормы ||| · ||| и ||| · |||2 эквивалентны. Отсюда, C ([τ, T ] , X) с нормой ||| · |||2 является банаховым пространством. Из (??) и определения нормы ||| · |||2 следует, что exp {−k (t − τ )} · k(Bu1 ) (t, ·) − (Bu2 ) (t, ·)kX ≤ M · · ku1 (s, ·) − u2 (s, ·)kX ds ≤ M · |||u1 − u2 |||2 · · k1 (1 − exp {−k (t − τ )}) ≤

M |||u1 k

− u2 |||2 .

Rt τ

Rt τ

exp {−k (t − s)} exp {−k (s − τ )} ·

exp {−k (t − s)}ds = M · |||u1 − u2 |||·

(7) Если k в определении норОтсюда следует, что |||Bu1 − Bu2 |||2 ≤ q|||u1 − u2 |||2 , где q = мы ||| · |||2 выбрать таким образом, что q < 1, то B будет отображением сжатия. Поэтому интегральное уравнение (??) и задача Коши (??)-(??) не могут иметь более одного решения. Как следует из результатов работы [?], задача Коши (??)-(??) решение имеет. Стало быть, решив интегральное уравнение (??), получим решение исходной задачи Коши. Введём в рассмотрение линейный оператор Aξ в пространстве A0 . ∀µ ∈ X : (Aξ µ)(x) = ξ(x)µ(x), где ξ - функция класса A0 . Нетрудно проверить, Aξ является ³ что оператор ´ f (t, τ ) ϕ (x). Решение (??) ограниченным, а его норма равна kξk . Пусть χ (t, x) = W M . k

будем искать как предел: u (t, ·) = lim (B n χ) (t, ·). Пусть u ∈ C ([τ, T ] , X). Выясним, чему n→∞

f (t, s) λ (s, ·) u (s, ·) = W f (t, s) Aλ(s,·) (u (s, ·)) = равно (B n u) (t, ·). Для этого отметим, что W f (t, s) Aλ(s,·) - непрерывный линейный опеK (t, s) u (s, ·) , где по определению K (t, s) = W ратор в пространстве X. В этих обозначениях отображение B запишется в следующем Rt виде (Bu) (t, ·) = χ (t, ·) + K (t, s) u (s, ·) ds.По индукции устанавливается, что τ

(B n u) (t, ·) = χ (t, ·) + + +

R Rt tn−1 τ τ Rt Rtn τ τ

...

...

Rt2 τ

Rt2 τ

Rt τ

K (t, t1 ) χ (t1 , ·) dt1 +

Rt Rt2 τ τ

K (t, t2 ) K (t2 , t1 ) χ (t1 , ·) dt1 dt2 +

K (t, tn−1 ) K (tn−1 , tn−2 ) ...K (t2 , t1 ) χ (t1 , ·) dt1 dt2 ...dtn−1 +

K (t, tn ) K (tn , tn−1 ) ...K (t2 , t1 ) u (t1 , ·) dt1 dt2 ...dtn

(8)

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

177

Следовательно, решение интегрального уравнения (??) может быть представлено в виде ряда u (t, ·) = χ (t, ·) + +

tn ∞ Rt R P

...

n=2 τ τ

Rt2 τ

Rt τ

K (t, t1 ) χ (t1 , ·) dt1 +

K (t, tn ) K (tn , tn−1 ) ...K (t2 , t1 ) χ (t1 , ·) dt1 dt2 ...dtn

Введём в рассмотрение семейство линейных операторов f (t, τ ) + U (t, τ ) = W

+

tn ∞ Rt R P

n=2 τ τ

...

Rt2 τ

Rt τ

f (t1 , τ ) dt1 + K (t, t1 ) W

(9)

f (t1 , τ ) dt1 dt2 ...dtn . K (t, tn ) K (tn , tn−1 ) ...K (t2 , t1 ) W

Сейчас мы докажем, что ряд, находящийся в правой части (??) сходится по операторной норме T△ = {(t, τ ) : 0 ≤ τ ≤ t ≤ T }. ° равномерно ° ° в треугольнике ° ° ° °f ° ° kK (t, s)k ≤ °W (t, s)° · Aλ(s,·) ° ≤ °Aλ(s,·) ° = kλ (s, ·)k ≤ M . Пусть Vn = Rt Rtn Rt2 f (t1 , τ ) dt1 dt2 ...dtn . По индукции устанавливается, ... K (t, tn ) K (tn , tn−1 ) ...K (t2 , t1 ) W τ τ

τ

n

что kVn k ≤ (Mn!T ) . Отсюда, и заключаем, что рассматриваемый ряд сходится по норме равномерно в T△ . Ясно, что кроме того имеет место оценка ∀(t, τ ) ∈ T△ :

kU (t, τ )k ≤ exp {M T } .

(10)

Теорема доказана.

3. Свойства решения задачи Коши для уравнения ∂u/∂t = 12 j(t)(u′′xx ) + Zu + λu Теорема 2. Для каждого ϕ ∈ X функция U (t, τ )ϕ является непрерывной в треугольнике T△ . Решение задачи Коши (??)-(??) непрерывно зависит от начальных данных в том смысле, что из сходимости ϕm ∈ A0 к нулю следует равномерная по (t, s) ∈ T∆ сходимость к нулю соответствующих решений U (t, s) ϕm . Доказательство. Докажем сначала второе свойство. Пусть ϕm ∈ A0 и ϕm → 0. Нужно m→∞ понять, что kU (t, τ ) ϕm k → 0 равномерно по (t, τ ) ∈ T∆ . Из (??) вытекает, что для всех m→∞

(t, τ ) ∈ T∆ и любого натурального m kU (t, τ ) ϕm k ≤ exp {M T } · kϕm k. Отсюда сразу видно, что kU (t, τ ) ϕm k → 0 и сходимость является равномерной по (t, τ ) ∈ T∆ . m→∞

Теперь будем доказывать, что ∀ϕ ∈ X функция U (t, τ )ϕ непрерывна в T∆ по совокупности переменных. Как было показано при доказательстве теоремы 1, ряд в правой части (??) сходится равномерно по (t, τ ) ∈ T∆ . Поэтому достаточно доказать сильную непрерывность в этом треугольнике первых двух слагаемых правой части (??), а так же каждого члена соответствующего ряда. Уже упоминалось, что f(t, τ )ϕ непрерывна в T∆ . Итак, доказываем непрерывность функции ρn (t, τ ) = W Rt Rtn Rt2 f (t1 , τ ) ϕdt1 dt2 ...dtn по совокупности переменных ... K (t, tn ) K (tn , tn−1 ) ...K (t2 , t1 ) W τ τ

τ

(t, τ ) ∈ T∆ . Так как подынтегральная функция является непрерывной, можем записать

178

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

ρn (t, τ ) как n-кратный интеграл по соответствующему множеству Qn (t, τ ). Тогда kρn (t + ∆t, τ + ∆τ °) − ρn (t, τ )k ≤ ° R ° f (t1 , τ ) ϕ° °K (t, tn ) K (tn , tn−1 ) ...K (t2 , t1 ) W ° dt1 dt2 ...dtn + Qn (t,τ )\Qn (t+∆t,τ +∆τ ) ° ° R ° f (t1 , τ + ∆τ ) ϕ° + °K (t + ∆t, tn ) K (tn , tn−1 ) ...K (t2 , t1 ) W ° dt1 dt2 ...dtn + Qn (t+∆t,τ +∆τ )\Qn (t,τ ) ° R ° f (t1 , τ + ∆τ ) ϕ− + °K (t + ∆t, tn ) K (tn , tn−1 ) ...K (t2 , t1 ) W Qn (t+∆t,τ +∆τ )∩Qn (t,τ ) ° f (t1 , τ ) ϕ° −K (t, tn ) K (tn , tn−1 ) ...K (t2 , t1 ) W ° dt1 dt2 ...dtn .

Отсюда,

kρn (t + ∆t, τ + ∆τ ) − ρn (t, τ )k ≤ M n ·

R

dt1 dt2 ...dtn +

Qn (t,τ )∆Qn (t+∆t,τ +∆τ )

RT ° ° f (t1 , τ + ∆τ ) ϕ− (11) + . . . °K (t + ∆t, tn ) K (tn , tn−1 ) ...K (t2 , t1 ) W 0 0 0 ° f (t1 , τ ) ϕ° −K (t, tn ) K (tn , tn−1 ) ...K (t2 , t1 ) W ° dt1 dt2 ...dtn . R Оценим первое слагаемое в правой части (??). dt1 dt2 ...dtn = RT RT

Qn (t,τ )∆Qn (t+∆t,τ +∆τ )

R

dt2 dt3 ...dtn

Rt2

τ +∆τ n

Qn−1 (t,τ )∆Qn−1 (t+∆t,τ +∆τ )

dt1 ≤ T ·

R

dt2 dt3 ...dtn . Если обо-

Qn−1 (t,τ )∆Qn−1 (t+∆t,τ +∆τ )

значить как µn меру Жордана в R , с учётом предыдущего неравенства будем иметь µn (Qn (t, τ ) ∆Qn (t + ∆t, τ + ∆τ )) ≤ T µn−1 (Qn−1 (t, τ ) ∆Qn−1 (t + ∆t, τ + ∆τ )) ≤ T 2 µn−2 (Qn−2 (t, τ ) ∆Qn−2 (t + ∆t, τ + ∆τ )) ≤ . . . ≤ T n−2 µ2 (Q2 (t, τ ) ∆Q2 (t + ∆t, τ + ∆τ ))

Несложно понять, что µ2 (Q2 (t, τ ) ∆Q2 (t + ∆t, τ + ∆τ )) → 0, когда (∆t, ∆τ ) → (0, 0). Поэтому, учитывая предыдущее неравенство µn (Qn (t, τ ) ∆Qn (t + ∆t, τ + ∆τ )) → 0, то есть первое слагаемое правой части (??) стремится к нулю при (∆t, ∆τ ) → (0, 0). Будем оценивать второе слагаемое в (??). ° ° ° ° f f °K (t + ∆t, tn ) ...K (t2 , t1 ) W (t1 , τ + ∆τ ) ϕ − K (t, tn ) ...K (t2 , t1 ) W (t1 , τ ) ϕ° ≤ ° ° f (t1 , τ + ∆τ ) ϕ− ≤ °K (t + ∆t, tn ) ...K (t2 , t1 ) W ° ° ° ° f f (t1 , τ ) ϕ − −K (t + ∆t, tn ) ...K (t2 , t1 ) W (t1 , τ ) ϕ° + °K (t + ∆t, tn ) ...K (t2 , t1 ) W (12) ° ° ° ° ° ° f (t1 , τ ) ϕ° ≤ M n · °W f (t1 , τ + ∆τ ) ϕ − W f (t1 , τ ) ϕ° + −K (t, tn ) ...K (t2 , t1 ) W ° ° ° f (t1 , τ ) ϕ −K (t, tn ) ...K (t2 , t1 ) W f (t1 , τ ) ϕ° + °K (t + ∆t, tn ) ...K (t2 , t1 ) W °.

f (t1 , τ ) Оператор K (tn , tn−1 ) ...K (t2 , t1 ) W является сильно непрерывным по (t1 , t2 , ..., ∈ [0, T ] × [0, T ] × ... × [0, T ] на пространстве X. Множество n tn ) o f (t1 , τ ) ϕ |(t1 , t2 , ..., tn ) ∈ [0, T ] × [0, T ] × ... × [0, T ] L = K (tn , tn−1 ) ...K (t2 , t1 ) W ⊆ X является компактным как непрерывный образ компакта (куба в конечномерном проs странстве). K (t + ∆t, tn ) −−−→ K (t, tn ) равномерно по tn ∈ [0, T ], поскольку K (t, tn ) ∆t→0

является равномерно непрерывной по (t, tn ) ∈ T∆ . Эта сходимость будет равномерной на компакте L. Теперь уже несложно понять, что подынтегральное выражение во втором слагаемом (??) равномерно по (t1 , t2 , ..., tn ) ∈ [0, T ] × [0, T ] × ... × [0, T ] стремится к нулю, когда (∆t, ∆τ ) → (0, 0). Это даёт возможность сделать предельный переход под знаком интеграла. Непрерывность ρn (t, τ ), а потому и сильная непрерывность U (t, τ ) в треугольнике T∆ доказана. Доказательство теоремы завершено.

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

179

Список литературы [1] Мальцев А.Ю. Задача Коши для уравнения с существенно бесконечномерным эллиптическим оператором, зависящим от времени//Учёные записки таврического национального университета им. Вернадского.—2002.–т15(54), №1.–с.107-111. [2] Мальцев А.Ю. Задача Коши для уравнения с нерегулярным эллиптическим оператором, зависящим от времени//Учёные записки таврического национального университета им. Вернадского.—2003.– т16(55), №1. [3] Богданский Ю.В. Задача Коши для существенно бесконечномерного параболического уравнения с переменными коэффициентами//Укр. мат. журн.—1994.–т46, №6.–с.663-670. [4] Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве М.:Наука, 1967.—464 с. [5] Богданский Ю.В. Задача Коши для параболических уравнений с существенно бесконечномерными эллиптическим операторами//Укр. мат. журн.—1977.–т29, №6.–с.781-784.

Мальцев А.Ю.,КПИ, Киев 02156,Украина E-mail: [email protected]

180

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

ОБ ОДНОЙ СЛАБО ВЫРОЖДАЮЩЕЙСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ В. П. Орлов Воронежский государственный университет, Воронеж Устанавливается однозначная разрешимость задачи Коши для вырождающегося уравнения с неограниченным операторным коэфффициентом.

1. Введение В банаховом пространстве E рассматривается задача Коши для гиперболического уравнения t2α u′′ (t) −Au(t) = f (t), u(0) = u0 , u′ (0) = u1 ; 0 < t ≤ t0 , 0 < α < 1. (1) Здесь A – действующий в E линейный, вообще говоря неограниченный оператор, с плотной в E областью определения D(A), являющийся производящим оператором сильно непрерывной (с.н.) косинус операторной функции (КОФ) C(t) (см.[?]), т.е. семейства C(t), t ∈ R1 , линейных ограниченных в E операторов таких, что C(0) = I и C(t + s) + C(t − s) = 2C(t)C(s), t, s ∈ R1 .

(2)

Для α < 0 и f = 0 задача ?? изучалась в [?]-[?] для случая A = B , B - производящий оператор с.н. группы, и в [?] для случая самосопряженного оператора A в гильбертовом пространстве. Аналогичная уравнению (??) эллиптическая задача изучалась в [?]-[?]. В настоящей работе мы устанавливаем однозначную разрешимость задачи (??) и строим явную формулу для решения. Операторные функции Бесселя (ОФБ) Iν (z) введенны в [?] для индексов ν > −1/2. Ниже мы, индуктивно определяя Iν (z) для произвольных отрицательных значений индекса, даем точное описание их областей определения и выясняем их свойства. Это позволяет установить разрешимость задачи (??) при естественных ограничениях на данные (как в предельном случае α = 0, см. [?, стр. 301]). Отметим, что близкие к Iν (z) функции, заданные на "гладких"x ∈ E рассматривались в [?] при изучении уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. 2

2. Свойства ОФБ Согласно [?] при x ∈ E, ν > −1/2, ОФБ Iν (z) определялись как Iν (z)x = Cν z

ν

Z1

(1 − t2 )ν−1/2 C(tz)x dt, z > 0.

(3)

0

Здесь Cν = 2 π (Γ(ν + 1/2)) , а Γ- гамма-функция. При этом было установлено, что операторы Iν (z) равномерно по z ∈ (δ, z0 ], δ, z0 ∈ R1 , ограничены, функция u(z) = Iν (z)x при x ∈ D(A) дважды непрерывно дифференцируема, 1−ν

−1/2

−1

u′′ (z) + z −1 u′ (z) − (A + ν 2 z −2 )u(z) = 0,

(4)

Iν−1 (z)x − Iν+1 (z)Ax = 2νz −1 Iν (z)x;

(5)

Iν (z)x = dν z −1 Iν+1 (z)x + Iν+2 (z)Ax, dν = 2(ν + 1).

(7)

причем справедливы соотношения

2Iν′ (z)x.

Iν−1 (z)x + Iν+1 (z)Ax = (6) 1 Определим Iν (z) при всех ν ∈ R \ N− = {−1, −2, . . . }. Для x ∈ D(A), ν ∈ (−3/2, −1/2] с помощью (??) имеем

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations Определим I−1/2 (z)x и для x ∈ E, а не только на D(A), формулой I−1/2 (z)x = C1/2 z −1/2 C(z)x.

181

(8)

Интегрируя при ν ≥ 1/2 в (??) по частям [ν + 1/2] раз ([µ] - целая часть числа µ), показывается, что [ν+1/2] Z1 X ν−[ν+1/2] Mi (t)(1 − t2 )ν−1/2−i × (9) Iν (z)x = z i=1

0

Ztz (tz − τ )[ν+1/2]−1 C(τ )x dτ dt. 0

Здесь Mi (t) – многочлены степени не выше i. Используя это представление, устанавливаются следующие факты. Теорема 1. При ν ≥ 1/2 функция Iν (z)x, x ∈ E, будет [ν + 1/2] раз непрерывно дифференцируема, причем kIν(j) (z)xk ≤ M z ν−j kxk, j = 1, 2, . . . , [ν + 1/2].

(10)

Воспользовавшись (??), определим Iν (z)x при ν ∈ ℑ−2 , ν ∈ ℑ−3 и т.д. для всех остальных отрицательных ν. Здесь ℑn = [−1/2+n, 1/2+n), n ∈ Z. Введем невозрастающую функцию k(ν), определив k(ν) = −[ν/2 + 1/4] при ν < −1/2 и k(ν) ≡ 0 при ν ≥ −1/2. Функция k(ν) = n при ν ∈ [−2n − 1/2, −2n + 3/2), n ∈ N . Лемма 1. Для функции k(ν) справедливы соотношения k(ν − 2) = k(ν) + 1, ν < 3/2; k(ν − 2) = k(ν) = 0, ν ≥ 3/2;

(11)

k(ν − 1) = k(ν) + 1, ν ∈ ℑ−n , n = 2(k − 1), n ∈ N ; k(ν − 1) = k(ν), ν ∈ ℑ−n , n = 2k − 1, n ∈ N.

Теорема 2. При x ∈ D(Ak(ν) ) функция Iν (z)x непрерывна, непрерывно дифференцируема при x ∈ D(Ak(ν−1) ), и дважды непрерывно дифференцируема при x ∈ D(Ak(ν−2) ), причем k(ν−m)

kIν(m) (z)xk

≤M

X i=0

z ν−m+2i kAi xk, m = 0, 1, 2.

(12)

При x ∈ D(Ak(ν−2) ) функция Iν (z)x удовлетворяет уравнению (??).

Полагая kxkm = kxk + kAm xk, получаем из теоремы ?? неравенства kIν (z)xk ≤ M z ν kxkk(ν) , x ∈ D(Ak(ν) ),

(13)

kIν′ (z)xk ≤ M z ν−1 kxkk(ν−1) , x ∈ D(Ak(ν−1) ),

(14)

(z ν Iν (z))′ x = z ν Iν−1 (z)x, x ∈ D(Ak(ν−1) );

(16)

kIν′′ (z)xk

ν−2

≤ M z kxkk(ν−2) , x ∈ D(A соотношения (??)-(??) и вытекающие из них соотношения

k(ν−2)

),

(15)

(z −ν Iν (z))′ x = z −ν Iν+1 (z)Ax, x ∈ D(Ak(ν−1) ), (17) где ν < 0 и x ∈ D(Ak(ν−1) ). Из (??), в силу перестановочности ограниченных операторов −n C(t) и A−n и Iν (z) при ν > −1/2 на E. Отсюда p , n > 0, вытекает перестановочность Ap −n и из (??) следует перестановочность Ap и Iν (z) на D(Ak(ν) ). Здесь p – регулярная точка оператора A, а Ap = pI − A. Выясним, как улучшаются свойства Iν (z) с ростом ν.

182

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

Теорема 3. Пусть ν ≥ −1/2, x ∈ D(Ar ), r ∈ N . Тогда функция Iν (z)x будет 2r + [ν + 1/2] (j) раз непрерывно дифференцируема, причем операторы Iν (z)A−r p , j = 1, 2, . . . , [ν + 1/2] ограничены на E. Пусть n(ν) = [ν/2 + 1/4]. Функция n(ν) = n при ν ∈ [2n − 1/2, 2n + 3/2), n ∈ Z.

Теорема 4. При n ≥ 0 и n ≥ k(ν) оператор Iν (z) переводит D(An ) в D(An+n(ν) ) (D(Am ) = E при m ≤ 0), причем kIν (z)xkn+n(ν) ≤ Mν z ν−2n(ν) kxkn . (18) Из теоремы ?? вытекает

Теорема 5. При ν ≥ 0 операторы An(ν) Iν (z) ограничены на E, а операторы Iν (z)An(ν) допускают с D(An(ν) ) расширение до ограниченного на всем E оператора. При ν < 0 −k(ν) −k(ν) операторы Iν (z)Ap ограничены на E, а операторы Ap Iν (z) допускают расширение k(ν) с D(A ) до ограниченного на всем E оператора. С помощью теоремы ?? легко доказывается Теорема 6. Пусть r ∈ N, n ≥ k(ν − r). Тогда функция Iν (z)x, x ∈ D(An(ν−r)+n ), непре(r) рывно дифференцируема r раз, а Iν (z) переводят D(An ) в D(An(ν−r)+n ). Ниже нам понадобятся дополнительные свойства Iν (z). Теорема 7. Справедливы соотношения ¡ ¢ Iν (z)x = z ν (2ν Γ(ν + 1))−1 x + o(z) , x ∈ D(Ak(ν) ), ¡ ¢ Iν′ (z)x = z ν−1 ν(2ν Γ(ν + 1))−1 x + o(z) , x ∈ D(Ak(ν−1) ), где o(z) зависят от x.

(19) (20)

Рассмотрим на D(Ak(−ν) ) оператор-функцию Jµ,−ν (z, s)x = Iµ (z)I−ν (s)x(= I−ν (s)Iµ (z)x), µ, ν ≥ −1/2.

Теорема 8. Пусть µ ≥ ν ≥ −1/2. Тогда: 1) оператор-функция Jµ,−ν (z, s) допускает ограниченное продолжение на E, причем kJµ,−ν (z, s)k ≤ Mµ,ν z µ s−ν (1 + sn z −n ), ν ∈ ℑn ;

(21)

kJµ−k,−ν (z, s)xk ≤ Mµ,ν,k z µ−k s−ν (1 + sn z −n )kAxk, ν ∈ ℑn .

(22)

kJ−ν,ν (z, s)k ≤ M sν z −ν (1 + z n s−n ), ν ∈ ℑn .

(23)

2) Jµ−k,−ν (z, s), k = 1, 2, определена на D(A), причем

Заметим, что для оператор-функции J−ν,ν (z, s) справедлив результат теоремы ?? (с переменой местами z и s). В частности, Рассмотрим при ν > 0 оператор-функцию - аналог определителя Вронского для Iν (z) и I−ν (z): ′ ˜ (z)x = I−ν (z)Iν′ (z)x − I−ν (z)Iν (z)x(≡ S1 (z) + S2 (z)). (24) W ˜ (z) определена на D(Ak(−ν−1) ), причем Теорема 9. W ˜ (z)x = −cν z −1 x, cν = 2π −1 sin(πν). W

(25)

С помощью теоремы ?? устанавливается

Теорема 10. Оператор-функция W (z)x = z ν (z ν I−ν(z))′ I−ν (z)x − z ν (z ν I−ν (z))′ Iν (z)x

определена на D(Ak(−ν−1) ) и W (z)x = −cν z 2ν−1 x.

Далее считаем, что W (z)x = −cν z 2ν−1 x на всем E.

(26)

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

183

3. Формулировка основного результата При 0 < α < 1/2 назовем решением задачи (??) непрерывную на [0, t0 ] функцию u(t) ∈ C 1 ([0, t0 ]; E)∩C 2 ((0, t0 ]; E) такую, что t2α u′′ (t) и Au(t) непрерывны при t > 0 и выполняются уравнение и условия (??). При 1/2 ≤ α < 1 условие u′ (0) = u1 заменяется на условие limz→0 (u(t) − uˆ(t))′ = u1 . Здесь uˆ(t) = q((2(1 − α))−1 t1−α ), q(z) = z ν I−ν (z), ν = (2(1 − α))−1 . Соответственно, в определении решения u(t) ∈ C 1 ([0, t0 ]; E) заменяется на u(t) ∈ C([0, t0 ]; E). Имеет место

Теорема 11. Пусть 0 < α < 1, α 6= (2n−1)/2n, n ∈ N , u0 ∈ D(Ak(α0 ) ), α0 = (4α −5)(2(1− α))−1 , u1 ∈ D(Ak(α1 ) ) α1 = (4α − 3)(2(1 − α))−1 . Пусть функции f (t) и Af (t) непрерывны Zt0 Zt0 −2α при t > 0, причем конечны kf (t)kt dt, kAf (t)kt−2α dt. Тогда задача (??) имеет

единственное решение.

0

0

Нам удобно заменой z = (1 − α)−1 t1−α свести задачу (??) к задаче

L(v(z)) := v ′′ (z) − (2ν − 1)z −1 v ′ (z) − Av(t) = g(z), 0 < z ≤ z0 ; v(0) = v0 , lim z 1−2ν v ′ (z) = v1 , v0 = u0 , v1 = u1 (2ν)2ν−1 . z→0

(27) (28)

Здесь v(z) = u((2ν)−1 z 2ν ), g(z) = f ((2ν)−1 z 2ν ), z0 = (1 − α)−1 t1−α , ν = (2(1 − α))−1 . Со0 гласно определению решения задачи (??), при 0 < α < 1/2 решением задачи (??)-(??) называется непрерывная на [0, z0 ] функция v(z) ∈ C([0, z0 ]; E) ∩ C 2 ((0, z0 ]; E) такая, что Av(z) непрерывна при z > 0 и выполняются (??) и (??). При 1/2 ≤ α < 1 второе условие (??) заменяется на условие limz→0 z 1−2ν vˆ′ (z) = v1 . Здесь vˆ(z) = v(z)−2−ν Γ(1−ν)z ν I−ν (z)v0 . Теорема ?? эквивалентна следующей теореме. Теорема 12. Пусть 1/2 < ν < ∞, ν ∈ / N . Пусть g(z) ∈ C((0, z0 ]; E), Ag(z) ∈ C((0, z0 ]; E) Zz0 Zz0 kAg(z)kz 1−2ν dz, v0 ∈ D(Ak(−ν−2) ), v1 ∈ D(Ak(ν−2) ). Тогда kg(z)kz 1−2ν dz, и конечны 0

0

задача (??)-(??) имеет единственное решение. 4. Замечания. Теоремы ?? и ?? справедливы и при α = (2n − 1)/2n, n ∈ N , ν ∈ N . Для доказательства нужно установить нужные свойства ОФБ при любых целых значений индекса. Условия принадлежности f (t) области определения оператора A в приложениях требуют от f (t) удовлетворения граничным условиям (дифференциального) оператора A и могут быть заменены на условия гладкости f (t) по t. Мы не касаемся также качественно другого случая сильного вырождения α ≥ 1. В качестве приложения теоремы ?? приведем следующий результат. в P Рассмотрим k 1 c λ , c ∈ R . L2 (Rn ) оператор Лапласа ∆ с D(∆) = W22 (Rn ). Пусть P (λ) = λ2m+1 + 2m k k=0 k 4m+2 n n Пусть A = P (∆) с D(A) = W2 (R ), m ≤ 4n + 1. Тогда A - генератор КОФ в L2 (R ) (см. [?]). Рассмотрим задачу A: t2α u′′tt (t, x) + P (∆)u(t, x) = f (t, x), 0 < t ≤ t0 , x ∈ Rn , 0 < α < 1/2, u(0, x) = u0 (x), u′t (0, x) = u1 (x), x ∈ Rn . 2k(α )

2k(α )

Теорема 13. Пусть u0 (x) ∈ W2 0 (Rn ), u1 (x) ∈ W2 1 (Rn ). Пусть f (t, x) ∈ C(0, t0 ]; W28m+4 (Rn )), причем kt−2α f (t, x)kL1 ([0,t0 ];L2 (Rn )) < ∞, kt−2α f (t, x)kL1 ([0,t0 ];W28m+4 (Rn )) < ∞. Тогда задача A имеет единственное решение u(t, x) ∈ C 1 ([0, t0 ]; L2 (Rn ))∩C 2 ((0, t0 ]; L2 (Rn )) ∩ C((0, t0 ]; W28m+4 (Rn )). Можно вместо L2 (Rn ) рассмотреть пространство непрерывных функций (см. [?]).

184

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems Список литературы

[1] В.В. Васильев , С.Г. Крейн , С.В. Пискарев Полугруппы операторов, косинус оператор-функции и линейные дифференциальные уравнения, Итоги науки и техники. Сер. Матем. Анализ, ВИНИТИ, 1990, 28, с. 87 – 202. [2] A. Favini, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1978, 55, pp. 227 – 242. [3] J.A. Donaldson, Proc. of NAS. 1970, 6, N 2, pp. 69 – 274. [4] Л.И. Вайнерман, Сиб. мат. журн. 1977, 18, N 4. c. 736 – 746. [5] В.П. Орлов, Дифференц. уравнения. 2003, 39, N 10, c. 1409 - - 1419. [6] В.П. Орлов, Изв. вузов. Математика. 1997, 1(416), c. 34 – 43. [7] В.П. Орлов Изв. вузов. Математика. 1997, 3(418), c. 44 – 51. [8] В.Н. Копанева, деп. ВИНИТИ 14 марта 1983. N 1330-83. [9] С.Г. Крейн Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве М., 1967, c. 328. [10] А.В. Глушак, В.И. Кононенко, С.Д. Шмулевич, Изв. вузов. Математика. 1986, N 6, c. 55 – 56. [11] В.В. Лебедев, Специальные функции и их приложения, М., 1953, c. 190. [12] В.А. Костин, Докл. АН СССР, 1994, 336, N 5, c. 545 – 549. [13] П.Е. Соболевский, Докл. АН СССР, 1988, 298, N 4, c. 815 – 819.

В. П. Орлов, профессор, Воронежский государственный университет, Университетская пл., 1, 394 693 Воронеж, Россия E-mail: [email protected]

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

185

CANONICAL FORMS FOR CONTROLLABLE AFTER-EFFECT SYSTEMS AND APPLICATIONS V. M. Marchenko Bialystok Technical University 15-531 Bialystok, Poland; Belarussian State Technological University 220630 Minsk, Belarus Several classes of non-singular functional transformations for linear stationary dynamical systems with retarded argument are introduced. Then, the problem of determination of canonical forms is interpreted as the algebraic problem of universality for each class of transformations. Generalization of Kalman, Popov and Brunovsky canonical representations are discussed for systems of control and observation with aftereffect. By using the results obtained, the main qualitative control theory problems such as controllability, stabilization, observability, modal control, reconstruction, and others can be successfully investigated for various types of functional-differential systems under action of several kinds of linear difference state feedback.

1. Introduction It is well-known that every linear system .

x= Ax(t),

(R

n×n

t > 0,

A ∈ Rn×n

x(0) = x0 ∈ Rn is the set of real n by n matrices) can be transformed to a system .

y = Ly(t),

t > 0,

L ∈ Rn×n

(1) (2) (3)

y(0) = y0 ∈ Rn (4) −1 n×n with a canonical matrix L = T AT (∃T ∈ R , det T 6= 0) by using the linear transformation x (t) = T y (t) , y (t) = T −1 x (t) , y0 = T −1 x0 . The transformation of the system (1), (2) into (3), (4) simplifies [?] its investigation. The problem of determination of canonical forms can be interpreted [?] as the well-known problem of universality for some equivalence relation. Here and later on, by the symbol Rn×q (m) and Rn×q we denote the set of n by q rational and polynomial correspondingly (with respect to [m] n×q m) matrices over the field R of natural numbers and R[0] = Rn×q . e ∈ Rn×n ): ALA e⇔ We define an equivalence relation L in Rn×n as follows (A ∈ Rn×n , A n×n −1 e ∃T ∈ R , det T 6= 0, A = T AT . For given set S of properties, the symbol W (S) denotes all the mappings f : Rn×n → S such that f (T −1 AT ) = f (A) for A ∈ Rn×n and all T ∈ Rn×n with det T 6= 0. Then, the problem of universality is to find a set C and a mapping ξ ∈ W (C) such that for any set S and any mapping f ∈ W (S) there exist an unique mapping η : C → S such that f = ηξ, i.e. the following diagram ξ Rn×n −→ C ց ւ f η S is commutative. A pair (ξ, C) is an universal element of the problem. Such a solution of the universality problem is unique to within some isomorphism. Let X be a set and L be an

186

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

equivalence relation in X. A mapping ξ : X → X is said to be canonical [?, ?] if the following conditions hold: 1) xLξ(x), ∀x ∈ X, 2) xLy ⇔ ξ(x) = ξ(y); ∀x, y ∈ X The image Imξ X under mapping ξ is a set of canonical forms for L in X. It is clear that x ∈ Imξ X ⇔ ξ(x) = x and the pair (ξ, Imξ X) is an universal element for L in X. So, the set of canonical forms is also unique to within some isomorphism. The problem of universality induced by the equivalence relation L is similarly treated [?] for completely controllable [?] linear control systems of the form .

x (t) = Ax(t) + Bu(t), t > 0, B ∈ Rn×r (5) More general type of transformations (with linear feedback) and the corresponding canonical forms were obtained by Brunovsky [?]. The systems with output were considered in [?]. The goal of this paper is the investigation of the problem of canonical representation for systems with delay. Some results in such a direction are in [?, ?]. The systems with delay, from the point of view of C0 -semigroups, were investigated in [?]. The paper [?] presents an approach to canonical representations (for time-delay systems) like Jordan elementary divisors canonical forms. Below we deal with normal canonical form analogies for systems with delay. 2. Canonical forms for systems with retarded argument 2.1. Transformation classes. Let us consider the simplest system with delay .

x (t) = Ax(t) + A1 x(t − h) + Bu(t), t > 0 (6) n with initial conditions x(τ ) = ϕ(τ ), τ ∈ [−h, 0], x(+0) = ϕ0 ∈ R . Here A, A1 ∈ Rn×n ; B ∈ Rn×r , ϕ is piecewise continuous n-vector function, h is a constant delay, h > 0. Take the system (6) in the operator form .

x (t) = (A + A1 exp(−ph))x(t) + Bu(t), p =

d , dt

exp(−ph) is a delay operator: exp(−ph)x(t) = x(t − h). Then the system (6) is uniquely defined by the polynomial matrix pair (A(m), B) where A(m) = A0 + mA1 , m ∈ R. Consider now more general neutral-type systems of the form N X j=0

βj x(t ˙ − jh) =

N X j=0

(Aj x(t − jh) + Bj u(t − jh)), t > 0,

(7)

where βj ∈ R, Aj ∈ R , Bj ∈ R for j = 0, 1, ..., N . Then, system (7), taking in the operator form, is uniquely defined by a rational pair (A(m), B(m)). For systems with delay, it is difficult to expect that it is possible to obtain ”simple” canonical representations by using the equivalence relation L. Therefore for the time-delay systems we consider ½ the following more general classes of transformations: x(t) = D(exp(−ph))y(t) (i) (x(τ ) ≡ 0 f or τ < −h) y(t) = D−1 (exp(−ph))x(t) n×n D(m) ∈ Rn×n (m) or D(m) ∈ R[m] , det D(m) ≡ const 6= 0 f or all m ∈ R; (ii) the transformations (i) with det D(m) ≡ cmk , ∃c 6= 0, ∃k ≥ 0, m ∈ R; (iii) the transformations (i) with det D(m) 6≡ 0, m ∈ R; n×n

n×r

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

(4i)

with

187

 RH RH    dG(s)y(t + s) = dG(s) exp(ps)y(t)  x(t) =     y(t) = RH

−H

−H RH

dQ(s)x(t + s) =

−H

exp(ps)dQ(s) ·

RH

−H

−H RH

dQ(s) exp(ps)x(t)

−H

exp(ps)dG(s) ≡ I, p ∈ C

(C is the complex number field and I is the identity n by n matrix). Every transformation (i) − (4i) defines some linear operator and inverse one. For example, let us consider (iii) with D(m) ∈ Rn×n [m] in details x(t) =

K X j=0

N X j=0

αj y(t − jh) =

M X j=0

Dj y(t − jh), Dj ∈ Rn×n ,

(8)

Cj x(t + νh − jh), αj ∈ R, Cj ∈ Rn×n , (9)

ν ≥ 0, α0 6= 0, t ∈ R, x(·) ∈ Ω+ = {x : R → R | x(τ ) ≡ 0 f or τ < −h}, n

y(·) ∈ Ων (D) = {y : R → Rn | y(τ ) ≡ 0 f or τ < −νh, K X Dj y(t − jh) ≡ 0 f or t < −h}. j=0

Then we have Lemma1. If the identity

N K M X X X ν+j j αj mj I f or all m ∈ R Cj m ) ≡ Dj m ) · ( ( j=0

(10)

j=0

j=0

is valid then the condition (8) defines a linear operator ℜ : Ων (D) → Ω+ and (9) gives an inverse one ℜ−1 : Ω+ → Ων (D). Proof. Using algebraic properties of delay operator and the condition (10) we have K K M P P P x(t) = Dj exp(−pjh)y(t) = ( Dj exp(−pjh) · Cj exp(νkh − pjh) : j=0

N P

j=0

j=0

j=0

αj exp(−pjh))x(t) = x(t). Hence ℜℜ−1 x = x for all x ∈ Ω+ and similarly ℜ−1 ℜy = y

for all y ∈ Ων (d) that finishes the proof. n×n The transformation (i) − (4i) induce equivalence relations Li − L4i in Rn×n (m) and R[m] . e We say that polynomial matrices A(m) and A(m) are Lj equivalent if there exists a matrix −1 e D(m) from transformations (j) such that A(m) = D (m)A(m)D(m) (j = i, ii, iii, 4i).

2.2. The problem of universality for Liii in Rn×n (m) . Let A(m) be a n by n rational in n×n m matrix, A(m) ∈ R(m) . By the symbol K1 we denote the largest natural number such that n-vectors g1 (m), A(m)g1 (m), ..., (A(m))K1 −1 g1 (m) (11) are linearly independent (at some rational in m n-vector g1 (m) and some m ∈ R). Then we have (A(m))K1 −1 g1 (m) =1 α0 (m)g1 (m) +1 α2 (m)A(m)g1 (m) + ...

188

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

+1 αK1 −1 (m)(A(m))K1 −1 g1 (m) where the coefficients 1 αj (m), ..., can be taken as rational in m functions, and the polynomial (with respect to λ) 1 −1 Ψ1 (λ, m) = λK1 −1 αK1 −1 (m)λK − ... −1 α0 (m) is the minimal annihilator polynomial [?] 1 of the matrix A(m) for m ∈ R\S, mesS = 0, i.e. Ψ(A(m), m) ≡ 0. Further, let K2 be the largest natural number for which n-vectors g1 (m), A(m)g1 (m), ..., (A(m))K1 −1 g1 (m); g2 (m), A(m)g2 (m), ..., (A(m))K2 −1 g2 (m) are linearly independent (at some rational in m n-vector g2 (m) and some m ∈ R). Hence, we have KP 2 −1 j (A(m))K2 g2 (m) = 2 αj (m)(A(m)) g2 (m) (mod L1 ) where L1 is a linear span of n -vectors j=0

(11). Then the polynomial in λ Ψ2 (λ, m) = λK2 −

KP 2 −1

2 αj (m)λ

j

is the minimal annihilator

j=0

polynomial of the matrix A(m) with respect to mod L1 [?], i.e. Ψ2 (A(m), m) g2 (m) = 0 (mod L1 ). Continuing such a process, in finite steps, we obtain a system which consists of n linearly independent n-vectors g1 (m), A(m)g1 (m), ..., (A(m))K1 −1 g1 (m); . . . , gβ (m), A(m)gβ (m) Kβ −1 , ..., (A(m)) gβ (m) and polynomials in λ Ψ1 (λ, m), ..., Ψβ (λ, m) such that every next of them is a divisor of the previous one and Ψj (A(m), m) gj (m) = 0 (mod Lj−1 ). Following [?](pp. 178-179) one can prove that there exist n−vectors (with rational in m components) g˜1 (m) , ..., g˜β (m) such that their absolute minimal annihilator polynomials coincide with the polynomials Ψ1 (λ, m), ..., Ψβ (λ, m) respectively. Let us define a matrix D(m) = [d1 (m), ..., dn (m)] by the following (m) = (A(m))i−1 gj+1 (m); i = 1, ..., Kj+1 ; j = 0, 1, ..., β − 1; K0 = 0. d Pj Ks +i

s=0

Then we have

...

(D(m))−1 A(m)D(m) = L(m) =  0 ··· 0 1 α1 (m)  1 ··· 0 1 α2 (m)  .. . . . ..  . . =  1 α  1 K1 −1 (m) ... 

 0 ··· 0  β α0 (m) © ª  1 ··· 0  = diag LΨ1 , ..., LΨβ and LΨj is an accompanying matrix for β α1 (m)  .. . . . ..  . . 1 β αKβ −1 (m) Ψj (λ, m). Here and later on, matrix elements not written out are assumed to be zero. Let Kn [λ, m] be a set of polynomials in λ (with rational in m coefficients) ϕ1 (λ, m), ..., ϕj (λ, m) (j = 1, ..., n) such that 1) ϕi (λ, m) is a divisor of ϕi−1 (λ, m), 2) deg ϕ1 + ... + deg ϕj = n, 3) the leading coefficient of ϕi (λ, m) is equal to 1. Introduce a notation Cn [m] = {L(m) ∈ Rn×n (m) |L(m) = diag{Lϕ1 , ..., Lϕj }, {ϕ1 , . . . , ϕj } ∈ Kn [λ, m]} where Lϕi is the accompanying matrix for ϕi (λ, m).

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

189

Let ξ: Rn×n (m) → Kn [λ, m], ξ(A(m)) = {Ψ1 (λ, m), ..., Ψβ (λ, m)} ˙ and γ : Kn [λ, m] → Rn×n (m) , γ({ϕ1 (λ, m), ..., ϕj (λ, m)}) = diag{Lϕ1 , ..., Lϕj }. Then the following properties are valid: a) ξ(T −1 (m)A(m)T (m)) = ξ(A(m)) (invariance) b) for any {ϕ1 , ..., ϕj } ∈ Kn [λ, m] there exists A(m) = diag{Lϕ1 , ..., Lϕj } ∈ Rn×n (m) such that ξ(A(m)) = {ϕ1 , ..., ϕβ } (independence) n×n e e c) for any A(m), A(m) ∈ Rn×n (m) and ξ(A(m) = ξ(A(m)) there exists T (m) ∈ R(m) with e det T (m) 6≡ 0 such that A(m) = T −1 (m)A(m)T (m) (completeness). Hence, the pair (ξ, Kn [λ, m]) is an universal element for our problem. Further, let f : Rn×n (m) → S where f is invariant with respect to Liii , and fe is a restriction of f to Cn [m]. Then the diagram ξ

γ

−→ Kn [λ, m] −→ Cn [m] Rn×n (m) ց ↓ ւ f S fe

is commutative. It is clear that γ is one-to-one correspondence. Therefore the pair (γξ, Cn [m]) is a new universal element and Cn [m] is a set of canonical forms for Liii in Rn×n (m) . n×n Remark. If we consider the set R[m] we can prove that the polynomial coefficients ψj (λ, m) can be taken as polynomials in m for j = 1, ..., β − 1 but it is not true, in general, for j = β. 2.3. Canonical forms for time-delay control systems. Let us consider the system (6) with B = b ∈ Rn and assume that the system (6), (12) is modally controllable, i.e. [?]

(12)

det[b, (A + mA1 )b, ..., (A + mA1 )n−1 b] det

= det W (m) ≡ c 6= 0 f or

m∈R

(13)

Then we have Theorem 1. In class of transformations (i) the system (6), (12), (13) can be transformed into the. system y (t) =  0 1 ···  .. .. ...  . .   0 0 ···  n n−1 P  P − rnj exp(−pjh) − rnj exp(−pjh) · · · j=0 j=0  ··· 0   0  .. ...  . ..    .  (14)  y(t) +  ··· 1  0  u(t) f or t > nh  1 P  ··· − rnj exp(−pjh) 1 j=0

that is a generalization (to systems with delay) of the well-known Kalman canonical representation [?] (p.55) which corresponds to the scalar controllable equation of n-th order. i P Here the elements rij exp(−λjh); i = 1, ...n are the coefficients of the characteristic equation j=0

190

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems def

0 = det[λI − A − A1 exp(−λh)] = λn +

n P i P

rij λn−i exp(−λjh), p =

i=1 j=0

d . dt

Proof. Introduce a matrix D(m) = [d1 (m), ..., dn (m)] where 1 n−1 P P d1 (m) = (A + mA1 )n−1 b + r1j mj (A + mA1 )n−2 b + ... + rn−1j mj b, j=0

.. .

di (m) = (A + mA1 )n−i b +

n−i k PP

j=0

rkj mj (A + mA1 )n−i−k ,

k=1 j=0

.. . dn−1 (m) = (A + mA1 )b +

1 P

r1j mj b, dn (m) = b,

j=0

and consider the linear transformation ½ x(t) = D(exp(−ph))y(t) y(t) = D−1 (exp(−ph))x(t) with det D(exp(−ph)) = det W (exp(−ph)) ≡ c 6= 0. Then for t > nh we have . . y (t) = D−1 (exp(−ph)) x (t) = D−1 (exp(−ph))((A + A1 exp(−ph))x(t) + bu(t)) = D−1 (exp(−ph))((A +A1 exp(−ph))D(exp(−ph))y(t) + D−1 (exp(−ph))bu(t)) that is the operator form of (14). The proof is complete. Remark 1. Using Popov [?] and Brunovsky [?] kinds of canonical forms for systems with no delay we can obtain its analogies for time-delay systems. Some results are in [?]. But, we have to observe that the matrix elements in canonical representation for systems with delay (see (14)) are quotient of quasi-polynomials with respect to delay operator in general case. Then the canonical representation for system (6) of retarded type is a system of neutral type (in general). Then, using the solution of the problem of universality for Liii in Rn×n (m) (see 2.2) we can construct set of canonical representations for neutral type time-delay systems of the form (7) similarly to ones given in [2], [6].

3. Applications 3.1. Complete controllability. Consider the system .

x (t) = A(t)x(t) + A1 (t)x(t − h) + bu(t), t > t0

(15)

x(τ ) = ϕ (τ ) , τ ∈ [t0 − h, t0 ] , x(t0 + 0) = ϕ0 ∈ Rn

(16)

..., Qn−1 (m, t)] ≡ c(t)mν , m ∈ R

(17)

with initial conditions

Here A(·), A1 (·) are n by n and b(·) is n by 1 periodic matrix functions with period T such that h = ηT at some natural η; and ϕ is a piecewise continuous n-vector-function. The elements of A(·), A1 (·) and b(·) are continuous with their derivatives up to (n − 1)-th, (n − 1)-th and n-th order respectively. Let Qk (m, t) satisfies the equation Qk (m, t) = (A(t) + mA1 (t))Qk−1 (m, t) − dtd Qk−1 (m, t), m ∈ R with initial conditions Q0 (m, t) ≡ b(t); k = 1, ..., n − 1. Assume that det det Q(m, t) = det[Q0 (m, t), Q1 (m, t), c(t) 6= 0, ν ≥ 0 and introduce the following notation

191

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations  l0 (m, t)  l1 (m, t)   is a n by n matrix with (lj (m, t))T ∈ Rn , L(m, t) =  ..   . ln−1 (m, t) lj (m, t) = lj−1 (m, t)(A(t) + mA1 (t)) + dtd lj−1 (m, t); j = 1, 2...; vector-row l0 (m, t) is defined by the condition L(m, t)b(t) = [0, ..., 0, 1]T , which by analogy with [?] is equivalent to l0 (m, t)[Q0 (m, t), ..., Qn−1 (m, t)] = [0, ..., 0, 1] Hence, we have l0 (m, t) = [0, ..., 0, 1](Q(m, t))−1 and | det L(m, t)| = | det Q(m, t)|−1 . Consider a non-singular transformation 

½

y(t) = L(exp(−ph), t)x(t) x(t) = (L(exp(−ph), t)−1 y(t)

(18)

Theorem 2. For sufficiently large t, the vector -function y(·) satisfies the equation .

y (t) = F (exp(−ph), t)y(t) + [0, ..., 0, 1]T u(t) where

(19)



 0 1 ··· 0 .. .. .. ...   . . .   and α1 (m, t), ..., αn (m, t) are continuous F (m, t) =   0 0 ··· 1 αn (m, t) αn−1 (m, t) · · · α1 (m, t) in t polynomials (with respect to m). Definition 1. The system (15) is said to be completely controllable if for any initial data ϕ and ϕ0 there exists a time moment t1 and control function u (·) such that the corresponding solution of the system possesses the property x(t1 + τ ) ≡ 0 and u(t1 + τ ) ≡ 0 for τ ≥ 0. By [?] (p.92) it is not difficult to see that the system (19) is completely controllable and, taking into account that property of complete controllability is invariant with respect to transformations (18), we can state Theorem 3. If identity (17) is valid then the system (15) is completely controllable for all delays h such that h = ηT. 3.2. About stabilization problem. Consider the system (6), (12) and the following Problem of stabilization. To find numbers αj ∈ R, α0 6=0 and n-vectors qj ∈ Rn (j = 0, 1, ..., N ) such that the system (6), (12) closed by the linear feedback N X j=0

αj u(t − jh) =

N X j=0

qjT x(t − jh)

(u(τ ) ≡ 0, xT (τ ) ≡ 0, τ < −h)

(20)

is asymptotically stable. Theorem 4. If all the roots of the equation det W (m) = 0 (det W (m) is defined in (13)) are situated outside of unit disk (|m| > 1, m ∈ C) then there exists a regulator (20) stabilizing the system (6), (12). To prove the theorem it is sufficient to apply the same transformations as in the proof of the theorem 1 and to use the well-known stability conditions for the obtained neutral-type system. Example. Consider the second order system (6) with A=

·

0 1 0 0

¸

, A1 =

·

a11 a12 a21 a22

¸

, b=

·

0 1

¸

, |a12 | < 1

(21)

192

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

By Theorem 4 the system (6), (21) is stabilizable and a stabilizing regulator can be taken as follows u(t) + a12 u(t − h) = − ¸ a21 exp(−ph) − 1, −(a11 + a22 )

[exp(−2ph)(a11 a22 − a12 a21 · 1 0 a11 exp(−ph) 1 + a12 exp(−ph)

exp(−ph) − 2]

x(t)

4. Discussion By analogy with the previous consideration, the obtained canonical representations for timedelay systems can be successfully applied to the investigation of the basic qualitative control theory problems such as pointwise (multipoint) controllability and observability, modal control under action of several kinds of linear difference state feedback, reconstruction, and others. For example, canonical form representation methods are successfully applied in [14] to investigate the problem of scale realization of time-delay systems. If we use canonical forms it is important to take into account the following two observations: 1) if class of transformation is too wide a great many properties may be not invariant with respect to the transformations, 2) if class of transformation is too restricted it is difficult to obtain a simple canonical form. References [1] Gantmakher F.R., "Matrix theory", Moscow: Nauka, (1967), (in Russian) [2] Popov V.M., "Invariant description of linear time-invariant controllable systems",SIAM J.Control, vol.10, (1972) [3] Maclane S. and Birkhoff, "Algebra",Macmillan, New York, (1967) [4] Wang S.H. and Davison E.J., "Canonical forms of linear multivariable systems",SIAM J.Control and Optimization,vol. 14, No 2, pp. 236-250, (1976) [5] Kalman R., Falb P., Arbib M., "Topics in Mathematical Systems Theory", Moscow: Mir, (1971), (in Russian) [6] Brunovsky P., "A classification of linear controllable systems", Kybernetika, No 3, pp.173-187, (1970) [7] Morse A.S., "Ring models for delay-differential systems", Automatica, vol. 12, pp.529-531, (1976) [8] Marchenko V.M., "To canonical forms for systems with delay",Matematicheskij sbornik,vol. 105(147), No 3, pp. 403-412, (1978), (in Russian) [9] Hale J.K., "Linear functional differential equations",N.Y., Springer-Verlag, (1977) [10] Kappel F. and Wimmer H.K., "An elementary divisor theory for autonomous linear functional differential equations",J. of Differential Equations, No 21, pp.134-147, (1978) [11] Asmykovich I.K. and Marchenko V.M., "Pole assignment for systems with delay", Avtomatika i Telemekhanika,7, pp.5-14, (1976), (in Russian) [12] Ramaswami B. and Ramar K., "On the transformation of time-variable systems to the phase-variable canonical form",IEEE Trans. Automat. Contr.,V. AC-14, pp.417-419, (1969) [13] Gabasov R. and Kirillova F.M., "The qualitative theory of optimal processes",Moscow: Nauka, (1971), (in Russian) [14] Loiseau J.J. and Marchenko V.M., "Scale realization of time-delay systems", Doklady Mathematics, RAN, pp. 305-308, 383, No 3 (2002) (In Russian). English translation: Doklady Mathematics, pp. 208-211, 65, No 2 (2002)

E-mail: [email protected]

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

193

ABOUT REGULARIZATION IN A BROAD SENSE I. V. Melnikova8 Ural State University Ekaterinburg, Russia Semigroup, abstract ultradistribution, and Fourier transform approaches for ill-posed differential Cauchy problems are considered from general point of view as the techniques for construction of regularized solutions. Для некорректных дифференциальных задач Коши методы теории полугрупп, абстрактных ультрараспределений и преобразования Фурье рассмотрены с единой точки зрения построения регуляризованных решений.

1. Introduction In our monograph [?] we investigeted the abstract Cauchy problem u′ (t) = Au(t),

t ∈ [0, T ), T ≤ ∞,

u(0) = f,

(CP)

with linear operator A in a Banach space X assuming (CP) to be not uniformly well-posed. (That is the Miyadera-Feller-Phillips-Hille-Yosida condition does not hold for the resolvent of operator A). We pointed out three approaches to treating such problems: • semigroup methods • abstract distributions methods • regularization methods Modern semigroup methods constructing families of bounded operators more general than semigroups of class C0 (such as integrated, convoluted, and R-semigroups) enable solutions for f ∈ X1 ⊂ dom A stable with respect to f in a norm stronger than X-norm. Abstract distributions and ultradistributions methods for any f ∈ X enable distributional (in t) solutions. They are operators on test function spaces (Schwartz spaces or spaces of ultradifferential functions). Term ‘abstract’ means here that instead of usual C-valued functionals in distribution theory we deal with X-valued operators. Regularization methods for a given fδ (kf − fδ kX ≤ δ) enable solutions uα of appropriate well-posed problems depending on a regularizing parameter α such that uα(δ) (t) → u(t) as δ → 0 (α(δ) →δ→0 0) and define regularizing operators Rα (t) : Rα (t)fδ = uα (t), t ∈ [0, T ). In the present paper we consider the Cauchy problem for the system of differential equations: ∂u(t, x) = A(D)u(t, x), t ∈ [0, T ), u(0, x) = f (x), x = (x1 , x2 , . . . xn ) ∈ Rn , (DCP) ∂t where u(t, x) = (u1 (t, x), u2 (t, x), . . . um (t, x)) is a vector-function, A(D) is a differential operator-matrix of order r: X A(D) = Aα Dα , |α| = α1 + α2 + · · · + αn , |α|≤r

Dα = D1α1 D2α2 . . . Dnαn , and Aα are m × m matrices.

Dk = i∂/∂xk ,

k = 1, 2, . . . , n,

All methods mentioned above as methods for the abstract problem (CP) can be applied to explore the differential problem (DCP). Moreover, • the Fourier transform method 8The

work was supported by grant RFBR No 03-01-00310

194

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

using the specific differential nature of A is applied. The method allows to obtain distributional (in x) solutions of the problem. We show that the Fourier transform method as well as semigroup and distribution methods is the method of constructing some regularized solutions. Regularization in a broad sense as it is meant here signifies that we construct some corrected (smoothed) solutions and are not concerned about approximation of an exact solution. Only solutions constructed via regularizing operators play the role of approximate solutions: uα(δ) (t) = Rα(δ) (t)fδ → u(t) as fδ → f . In semigroup methods the Laplace transform is an important component of the techniques. Here the resolvent RA (λ) (λ ∈ ρ(A)) is equal to the Laplace transform of solution operators and the decreasing or increasing nature of RA (λ) (as λ → ∞) defines the character of well-posedness or ill-posedness of (CP). We will show that the regularization in the semigroup approach results from multiplying e RA (λ) by an appropriate function R(λ) (the Laplace transform of R(t), t ≥ 0) in R-convoluted semigroups or from replacing f by Rf (where R ∈ L(X)) in R-semigroups.

In abstract distribution and ultradistribution methods regularization results from applying solution operators U (t), t ∈ [0, T ), to appropriate test functions ϕ(t) or from applying RA (λ) to test functions ϕ(λ). e In the Fourier transform method we obtain regularization in perfect analogy to the Laplace transform. We multiply eA(σ)t (the Fourier transform of solution operators) by an appropriate e function R(σ) and obtain an R-convoluted (in x) solution or apply eA(σ)t f˜(σ) to appropriate test functions ϕ(σ) e and obtain a distributional solution. ‘Appropriate’ here means that we choose spaces of test functions, wherein eA(·)t is a multiplicator. Notice, that constructing an exact solution, we multiply eA(·)t by f˜, the Fourier transform of a smooth initial data f . It should be pointed out that obtained via techniques of the Laplace transform regularization in terms of R-semigroups correcting solution operators in ’variables of operator A’ (x in our case) is connected with regularization in the Fourier transform method: R turns out to be a convolution operator.

The wondering at first sight fact that the resolvent RA (·) equal to the Laplace transform (in t) of solution operators and eA(·)t equal to the Fourier transform (in x) have similar estimates for corresponding Cauchy problems finds its interpretation in the context of outlined connections: solution operators U (t), t ∈ [0, T ), are connected by differential relation dU (t)/dt = A(D)U (t), hence solution operators have ‘a proportional smooth’ and their Laplace and Fourier transforms have the similar growth rate. 2. Regularization by semigroup methods We consider regularization via the most general semigroups, which we call regularized semigroups. This type of bounded operator families in a Banach space X contains integrated semigroups introduced by Arendt [?], R-semigroups of Davies-Pang and Da Prato [?, ?, ?, ?], and Chioranesku-Lumer’s convoluted semigroups [?] specifically. Definition 1. Let A be a closed linear operator and R(t), t ≥ 0, be a continuous operatorfunction in X. Strongly continuous operator-family SR = {S(t), t ∈ [0, T )} such that S(t)f = A

Zt 0

S(s)f ds +

Zt 0

R(s)f ds,

f ∈ X,

(1)

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

195

is called regularized (R-regularized) semigroup generated by A and A is called the generator of SR . If there exist C > 0 and ω ∈ R such that kS(t)k ≤ Ceωt for t ≥ 0, then SR is an exponentially bounded regularized semigroup, in the case T < ∞ it is a local one. If the operator-function R(·) is equal to I multiplied by a real or complex-valued function (also denoted by R) semigroup SR is called convoluted (or R-convoluted). In the special case of operators R(t) = (tn−1 /(n−1)!)I, semigroup SR coincides with a n-times integrated semigroup. If in addition, A is the generator of a strongly continuous semigroup of solution operators {U (t), t ≥ 0}, then S(t)f =

Zt

(t − s)n−1 U (s)f ds. (n − 1)!

0

In the special case of the operator-function R(t) not depending on t, semigroup SR coincides with an R-semigroup. For the important for regularization case of R-semigroups another definition may be given (in [?] they are called C-semigroups). Definition 2. Let R be a bounded invertible operator in a Banach space X and imR = X. A one parameter family of bounded linear operators {S(t), t ∈ [0, T )} in X is called an Rsemigroup if (R1): S(t + s)R = S(t)S(s) for s, t, s + t ∈ [0, T ), S(0) = R; (R2): for every f ∈ X, S(·)f : [0, T ) → X is continuous. Operator A := G defined by Gf := lim h−1 (R−1 S(h)f − f ), h→0

dom G := {f ∈ imR| lim h−1 (R−1 S(h)f − f ) exists} h→0

is called the generator of {S(t), t ∈ [0, T )}. It is well known that the generator is densely defined and for a densely defined operator A the Cauchy problem (CP) is R-well-posed on [0, T ) (for any f ∈ {y| y = Rz, z ∈ dom A} there exists a unique solution u(·) such that sup t∈[0,τ ],τ
ku(t)k ≤ Cτ kR−1 f k )

iff A is the generator of an R-semigroup. If, in addition, A is the generator of a strongly continuous semigroup {U (t), t ≥ 0}, then S(t)f = U (t)Rf = RU (t)f . In the general case of U (t) being solution operators we have S(t)f = U (t)Rf . Hence, the regularization in the R-semigroup approach results from replacing f by Rf . Rt In the case of R-convoluted semigroup SR the Cauchy problem for v(t) = 0 S(s)f ds ′

v (t) = Av(t) +

Zt

R(s)f ds,

t ∈ [0, T ),

v(0) = 0,

(2)

0

is called R-convoluted Cauchy problem. If there exists a solution of (CP), then as usual for inhomogeneous equations, we have v = Θ ∗ u, Θ :=

Zt 0

R(s)ds

=⇒

SR f = R ∗ u = (R ∗ U )f.

196

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

Hence, in the case of R-convoluted semigroups we construct regularized solution SR f = (R∗U )f smoothing solution operators U (t), t ∈ [0, T ), by convolution with R. Now we show that this smoothing of solution operators is equivalent to reducing the resolvent increase through the e multiplication of RA (λ) by corresponding R(λ), the Laplace transform of R. It follows from the theorems below that the resolvent of the of R-convoluted semigroup generator exists in some region from the right semi-plane and can exponentially increase: kRA (λ)k ≤ CeM (λ) . Here a real-valued function M (λ) grows not faster then |λ| and is defined by the order of decreasing e of R(λ).

Theorem 1. Let A be the generator of an R-convoluted semigroup, where R is an exponentially bounded function and ¡ ¢ e |R(λ)| = O|λ|→∞ e−M (αλ) , some α ∈ R. Then there exists a region Λα,β = {λ ∈ C : Re λ ≥

M (αλ) + β} T

that for any λ ∈ Λα,β we have Proof Let |R(t)| ≤ Ceωt Then operator

kRA (λ)k ≤ CeM (αλ) . (3) R t −λτ and consider 0 e S(τ ) dτ , the local Laplace transform of SR . e R(λ, t) := [R(λ)]

−1

Zt

e−λτ S(τ ) dτ

0

is bounded and ‘nearly’ the resolvent: (λI − A)R(λ, t) = I − B(λ, t), where kB(λ, t)k ≤ CeM (λ)−(Reλ−ω)t ,

and kB(λ, t)k ≤ δ < 1, for λ ∈ Λα,β , t ∈ [0, T ). Hence and (??) holds. ¤

RA (λ) = R(λ, t)[(I − B(λ, t))]−1 ,

λ ∈ Λα,β , t ∈ [0, T ),

Theorem 2. Suppose and R is such that

∀λ ∈ Λα,0 , kRA (λ)k ≤ CeM (αλ)

(some C, α > 0)

¡ ¢ e |R(λ)| = O|λ|→∞ e−κM (αλ) , κ > 1. Then A is the generator of the R-convoluted semigroup on [0, T1 ), T1 := T (κ − 1).

(4)

Proof Let RA satisfy (??) for λ ∈ Λα,0 and R satisfy (??). Consider the inverse Laplace e transform of R(λ)R A (λ) Z e S1 (t) := eλt R(λ)R A (λ) dλ. ∂Λ

Since

¯ ¯ e ke R(λ)RA (λ)k¯ ≤ CeReλt+M (αλ)−κM (αλ) , λt

∂Λ

operators S1 (t) are defined for t ∈ [0, T (κ − 1)). It can be verified that S1 (t) satisfies the convoluted semigroup equation (1) on [0, T1 ) [?]. Hence S1 is the R-convoluted semigroup. ¤ Remark. Both theorems 1 – 2 are true for R-regularized semigroups, where R(t), t ≥ 0, is an invertible operator-function with the estimate (??) for its norm.

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

197

Thus, we see that the function R in the construction of regularized (convoluted) solution e is chosen so that R(λ)R A (λ) is a bounded operator and serves ’nearly’ the local Laplace transform of R-convoluted semigroup SR (and ’nearly’ the Laplace transform of SR in the case of exponentially bounded SR ). 3. Regularization by distribution methods In the previous section we saw how regularizing multipliers are chosen for the construction of convoluted solutions. Now we show what test function spaces (and corresponding distribution spaces) can be taken in order to construct regularization via distributional (in t) solutions. Consider a solution U to the Cauchy problem in the space of abstract Schwartz distributions D′ (X) := L(D, X): hP ∗ U, ϕi = hδ ⊗ f, ϕi, ϕ ∈ D. (δCP) Here

P := δ ′ ⊗ I − δ ⊗ A ∈ D0′ (L(XA , X)),

< δ ⊗ A, ϕ >:=< δ, ϕ > A,

XA := {dom A, kf kA := kf k + kAf k},

U ∈ D0′ (X), that is U ∈ D′ (X) and supp U ⊂ [0, ∞).

As it is proved in [?] well-posedness of (δCP ) is equivalent to A being the generator of a local n-times integrated semigroup for some n. Generally, when A is the generator of a convoluted semigroup, well-posedness of (δCP ) is studied in spaces of ultradistributions. Spaces of test functions for ultradistributions are spaces of infinitely differentiable functions defined in terms of estimates of their derivatives depending on some sequence Mn . Let Mn be a sequence of positive numbers, satisfying the following conditions (M.1): Mn2 ≤ Mn−1 Mn+1 , n = 1, 2, . . .; (M.2): ∃ α, β ∈ R : Mn ≤ αβ n min0≤s≤n Ms Mn−s ; ∞ P Ms−1 n . ≤ nγ MMn+1 (M.3): ∃ γ ∈ R : Ms s=n+1

Let K be a compact set in R and h > 0. We consider the space of functions ϕ ∈ C ∞ (R) with support K and with estimates kϕ(n) kC(K) = sup |ϕ(n) (t)| ≤ CMn hn , t∈K

n ∈ N.

The space D{Mn },h,K of such functions with the norm kϕkMn ,h,K = sup n∈N

kϕ(n) kC(K) Mn hn

is a Banach space. Definition 3. The space D{Mn } = ind lim proj lim D{Mn },h,K K⊂R

h→0

with the corresponding topology of inductive and projective limits is called the space of ′ ultradifferentiable functions of class Mn . The dual space D{M is the space of ultradistributions n} of class Mn . ′ The following theorem connects well-posedness in D{M with estimates for the resolvent. n}

Theorem 3. [?] For (δCP ) in the space of ultradistributions the following statements are equivalent.

198

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems ′ (D): there exists an operator-ultradistribution E ∈ D0,{M (L(X, XA )) satisfying n}

P ∗ E = δ ⊗ I X , E ∗ P = δ ⊗ I XA ;

(5)

(R): there exists a region Λ := {λ ∈ C| Reλ ≥ γM (αλ) + β}

that for any λ ∈ Λ,

(some α, γ, β > 0)

kRA (λ)kL(X,XA ) ≤ CeM (αλ) .

Here M (σ) := sup ln n∈N

σ n M0 , Mn

σ ∈ (0, ∞),

is called the associated to Mn function. Thus, in the case when (δCP ) is well-posed in ultradistribution spaces the estimates for RA (λ) are the same as for the resolvent of the generator of an R-convoluted semigroup with R under condition e |R(λ)| ≤ Ce−M (αλ) .

The regularization of solution operators is here via applying them to test functions ϕ ∈ D{Mn } or equivalently via applying the resolvent to test functions that have the same order of decreasing e as R(λ) defined by order of RA (λ). 4. Regularization by Fourier transform methods

In the previous section we saw how to choose test function spaces (and corresponding distribution spaces) in order to construct regularization via distributional (in t) solutions. Now we show this for regularization via distributional (in x) solutions of (DCP). Moreover, we show how to choose multipliers for Fourier transformed solutions in order to construct some R-semigroups with R being a convoluted (in x) operator. e the space of their Fourier transforms Let Φ be a space of test functions ϕ(x), x ∈ Rn , and Φ n ϕ(σ), e σ ∈ R . We apply the generalized Fourier transform to the Cauchy problem (DCP)

de u(σ, t) = A(σ)e u(σ, t), dt and obtain u e(σ, t) = etA(σ) fe(σ).

e ′) u e(σ, 0) = fe(σ) (σ ∈ Rn , fe ∈ Φ

(FCP)

Now we need to find Φ in order to construct distributional (in x) solutions to (DCP) and corresponding regularization via test functions or smoothing operators. Similarly to the construction of distributional and ultradistributional (in t) solutions, the choice of corresponding test functions space Φ is of great importantance here. In [?] these spaces are chosen in such a e are dual with respect to the Fourier transform and etA(·) is a multiplicator way that Φ and Φ e It is shown that such spaces may be taken as W Q -spaces. in Φ. M Let µ(ξ) and ω(τ ), (0 ≤ ξ, τ < ∞) be increasing continuous functions such that µ(0) = ω(0) = 0, µ(∞) = ω(∞) = ∞. Introduce functions M (x) and Ω(y): M (x) =

Zx

µ(ξ)dξ,

0

Ω(y) =

Zy

ω(η)dη

(x, y ≥ 0)

0

and Ω(y) := Ω(−y),

M (x) := M (−x),

x, y ≤ 0.

199

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

Definition 4. Denote by WM,a the space of infinitely differentiable functions ϕ satisfying inequalities |ϕ(q) (x)| ≤ Cqδ e−M [(a−δ)x] (q = 0, 1, 2, . . . ) for any δ > 0 and with norms defined as follows kϕkqδ = sup |ϕ(q) (x)|eM [(a−δ)x] . x

Denote by W

Ω,b

the space of analytical functions ϕ satisfying inequalities |z k ϕ(z)| ≤ Ckρ eΩ[(b+ρ)y] ,

z = x + iy

(k = 0, 1, 2, . . . )

for any ρ > 0 with norms

kϕkkρ = sup |z k ϕ(z)|e−Ω[(b+ρ)y] . z

Then

Ω,b WM,a

is the space of analytical functions ϕ satisfying inequalities |z k ϕ(q) (x + iy)| ≤ Cq,k e−M [(a−δ)x]+Ω[(b+ρ)y]

for any ρ, δ > 0 with norms

k (q) M [(a−δ)x]−Ω[(b+ρ)y] kϕkkq . δρ = sup |z ϕ (z)|e z

Ω WM := ind

lim

a=1,1/2, ... b=1,2, ...

Ω,b proj lim WM,a . δ→0 ρ→0

From the definition of these spaces we have the following description of multiplicators in the Ω spaces of WM type. Ω Theorem 4. [?] Let M (x) and Ω(y) be the functions defining the space WM . Then an entire analytical function g satisfying the equality

g(z) ≤ CeM (a0 x)+Ω(b0 y) ,

z ∈ Z,

Ω,b Ω,b+b0 defines a bounded multiplication operator from WM,a into WM,a−a with a > a0 and any 0 permissible b > 0.

If functions µ and ω are connected by relations µ[ω(η)] = η,

ω[µ(ξ)] = ξ,

then corresponding functions M and Ω are called dual by Jung. For such functions the Jung inequality holds xy ≤ M (x) + Ω(y), x, y ≥ 0. (6) The important example of the functions dual by Jung is M (x) =

xp , p

Ω(y) =

yq , q

where p1 + 1q = 1.

Ω From the Jung inequality the relationship between the spaces of type WM and their Fourier transforms follows.

Theorem 5. If M and Ω are dual by Jung, then Ω,1/a ] W , M,a = W

] Ω,b = W W M,1/b .

If Ω1 and M1 are the functions dual by Jung to the functions M and Ω, respectively, then Ω1 ,1/a ] Ω,b W M,a = WM1 ,1/b . Ω It turns out that the properties of functions from the spaces WM can be described in terms β of spaces Sα [?].

200

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

Definition 5. The space Sαβ ( α, β > 0) consists of infinitely differentiable functions ϕ(x), x ∈ R, satisfying inequalities |xk ϕ(q) (x)| ≤ CAk B q k kα q qβ

(k, q = 0, 1, 2, . . . )

where C, A, B depend on ϕ, with corresponding norms. Functions from S0β are functions with compact supports. If β < 1, then ϕ is analytical and 1/α

|ϕ(q) (x)| ≤ CB q q qα e−α|x| S0β

,

1/α

|ϕ(q) (x + iy)| ≤ Ce−α|x|

1/(1−β)

eβ|y|

.

Ω Hence, spaces (0 < β < 1) coincide with the corresponding WM . Moreover, they are the spaces of ultradifferential functions D{Mn } with special choice of {Mn }.

For a sake of simplicity, definitions 4, 5 are given for x, y ∈ R. The definitions of introduced Ω spaces WM and Sαβ may be given for x, y ∈ Rn as well. Ω As it was said above, under solving (DCP) the spaces Φ equal to WM or Sαβ are chosen so e and the regularization here is through the multiplication of that etA(·) are multiplicators in Φ tA(·) ˜ e e f (·) by ϕ(·) ˜ ∈ Φ.

The behaviour of etA(·) is closely related to Λi (s), i = 1, 2, . . . , m, the system of eigenvalues of the operator-matrix A(s), s = σ + iτ : |etΛk (s) | = et Re Λk (s) ≤ ketA(s) km ,

t max Re Λk (s) ketA(s) km ≤ M (1 + 2tkA(s)km + · · · + 2tm−1 kA(s)km−1 . m )e

According to the behaviour of Λi , all systems from (DCP) are divided into three classes: (I): the system is Petrovsky correct if ∃C > 0 : Re Λk (σ) ≤ C;

(II): the system is conditionally correct if ∃a > 0, h < 1, b ∈ R :

Re Λk (σ) ≤ a|σ|h + b;

(III): the remaining systems are called incorrect.

Ill-posed problems with Petrovsky correct systems we call weakly ill-posed and others we call strongly ill-posed. To summarize, in the case of distributional (in x) solutions to (DCP) we can realize the e regularization via the multiplication of etA(·) f˜(·) by test functions from corresponding ΦtA(·) spaces. Nevertheless, such regularization is rather severe in the following sense. Since e e we have etA(·) ϕ(·) e are multiplicators in Φ, ˜ again in Φ.

Besides the regularization by test functions we can obtain the regularization by multiplying e by corresponding R(σ) or replacing f˜ by Rf˜. Acting this way in the section below we will construct regularizing operators via R-convoluted and R-semigroups for different ill-posed problems. These regularizing operators takes into accounts the features of ill-posed problems (that is the behaviour of etA(·) ) and are not so severe as in the test functions regularization. tA(σ)

5. Construction of regularizing operators Consider the Cauchy problem (CP) that is not uniformly well-posed. Suppose, as is the convention in the theory of ill-posed problems, that for some f there exists a solution u(·) and fδ (kfδ − f kX ≤ δ) is given. As indicated in introduction, approximate solutions of the problem will be constructed through various regularizing operators [?, ?].

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

201

Definition 6. Let t ∈ [0, T ). An operator Rε (t) : X → X depending on a parameter ε > 0 is called the regularizing operator for the Cauchy problem (CP) if the following conditions hold 1): for any ε > 0, operator Rε (t) is defined on X and for any f ∈ X, Rε (·)f ∈ C{[0, T ), X)}. (Usually Rε (t) supposed to be bounded); 2): there exists a dependence ε = ε(δ) (ε(δ) →δ→0 0) such that kRε(δ) (t)fδ − u(t)k →δ→0 0,

t ∈ [0, T ).

The relationship between existence of R-semigroups and regularizing operators is shown in [?, ?]. Theorem 6. Let −A generate a strongly continuous semigroup on a Banach space X, then the following statements are equivalent (i): A is the generator of a local Rε -semigroup {Sε (t), t ∈ [0, T )} with operator Rε convergent to the identity operator as ε → 0 on dom A; (ii): for (CP ) there exist bounded linear regularizing operators Rε (t), t ∈ [0, T ). They are invertible and commute with A. Condition for operator −A to generate a strongly continuous semigroup holds for strongly ill-posed problems of the back heat type. For ill-posed Cauchy problems (CP) without this condition we also can use Rε -semigroups for construction of regularizing operators due to the following result. Theorem 7. [?, ?] Let A be the generator of a local Rε -semigroup {Sε (t), t ∈ [0, T )} with operator Rε convergent to the identity operator as ε → 0 on dom A. Then for (CP) there exist linear bounded regularizing operators Rε (t) commuting with A. We prove that for regularization of a wide class of ill-posed differential problems (DCP) the same type of operators Rε can be used. To this end we consider vector-functions u(t, ·) and f (·) n n n as functions in Lm 2 (R ) := L2 (R ) × · · · × L2 (R ). In this case, the Plancherel theorem holds and Fourier transforms u˜(t, ·) and f˜(·) are also vector-functions with coordinates in L2 (Rn ). n Hence we also obtain the Fourier transformed Cauchy problem (FCP) in Lm 2 (R ). Due to the Plancherel theorem, estimates for the solution operators etA(·) to (FCP) coincide with estimates for the solution operators U (t) to (DCP). For Petrovsky correct and conditionally correct systems we obtain the following general result on regularization of (DCP). n Theorem 8. Let ∆ be the Laplace operator in X = Lm 2 (R ). In the case of Petrovsky correct systems Rε -semigroups with generator A = A(D) and µ ¶ 1 β 1 r(m − 1) Rε = β R∆ , ε > 0, , β> ε ε 2

form regularizing operators for weakly ill-posed Cauchy problem (DCP). In the case of conditionally correct systems regularising operators Rε (t) are equal to Rε (t)-semigroups with generator A and Rε = U∆ (ε), where {U∆ (t), t ≥ 0} is the semigroup generated by the Laplace operator ∆. Proof Corresponding Rε -semigroups are constructed as follows: Z i(σ,x) tA(σ) ˜ r(m − 1) e e f (σ) 1 ε > 0, β > , (Sε (t)f )(x) = ¡ ¢β dσ, t ∈ [0, T ), 2 2 1 + ε|σ| n R

(7)

202

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems (Sε2 (t)f )(x)

=

Z

2 ei(σ,x) etA(σ) e−εσ f˜(σ)dσ,

Rn

t ∈ [0, T ),

ε > 0.

(8)

Convergence of integrals with indicated values of parameters and equation (1) with R = Rε (or equivalently the R-semigroup relation: Sε (t + τ )Rε = Sε (t)Sε (τ )) can be checked easily. Convergence 1 ¡1¢ f →ε→0 f, U∆ (ε)f →ε→0 f R∆ ε ε on dom ∆ and even on X follows from the property of the semigroup {U∆ (t), t ≥ 0} to be n strongly continuous in the space X = Lm 2 (R ) [?, ?]. ¤ Regularizing algorithm R1ε (t)fδ := Sε1 (t)fδ corresponding to (??), is constructed as solutions of the following well-posed boundary problems depending on ε: ∂u(t, x) = A(D)u(t, x), x ∈ Rn , t ∈ [0, T ), (I − ε∆)β u(0, x) = fδ . (9) ∂t Regularizing algorithm R2ε (t)fδ := Sε2 (t)fδ corresponding to (??), is constructed as solutions of the following well-posed problems: ∂v(t, x) = ∆v(t, x), 0 ≤ t ≤ ε, ∂t ∂u(t, x) = A(D)u(t, x), ∂t

(10)

v(0, x) = fδ ,

x ∈ Rn , t ∈ [0, T ),

u(0, x) = v(ε, x).

(11)

Both of these algorithms consist of¡ two ¢ steps. For (??) the first step is smoothing of initial β 1 1 data with help of operator Rε = εβ R∆ ε , the second step is solving (DCP) with these smoothed initial data. The very important fact here is that various weakly ill-posed problems have the common part as a part of the regularization. For (??)–(??) the first step is smoothing of initial data by finding v(t, x) to (??) as t = ε, the second step is solving (DCP) with these smoothed initial data v(ε, x). Here various strongly ill-posed problems also have the common part as a part of the regularization. We note that for Shilov parabolic systems, a subclass of Petrovsky correct systems, where ∃a, h > 0, b ∈ R : Re Λk (λ) ≤ −a|λ|h + b

and

(12)

c (r − h)(m − 1) , γ= , c > 0, γ t h regularization is necessary only in some neighborhood of t = 0. ketA(λ) km ≤

Now we show that along with regularizing operators constructed in theorem 8 via regularized semigroups, regularizing operators can be constructed by reducing ill-posed (CP) to an equation of the first order Ku = v

(with K −1 being an unbounded operator),

the traditional form of problems in the ill-posed problems theory, and further using regularization methods for such equations. Consider the Cauchy problem (CP) with A generating an R-convoluted semigroup {S(t), t ∈ [0, T )}. By definition 1, S(t)Af = AS(t)f for f ∈ dom A and for f ∈ X equation (1) holds: S(t)f = A

Zt 0

S(s)f ds + Θ(t)f,

t ∈ [0, T ),

Θ(t) =

Zt 0

S(s)ds.

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

203

If for some f there exists a solution of (CP) u(·), then as it was indicated, u(·) is connected with a solution of the corresponding convoluted Cauchy problem (2): v ′ (t) = Av(t) + Θ(t)f, as v = Θ ∗ u.

t ∈ [0, T ),

v(0) = 0,

Rt Thus, having constructed vδ (t) = 0 S(s)fδ , t ∈ [0, T ), the solution to convoluted problem (2) with fδ ∈ X such that kf − fδ k ≤ δ (hence kv − vδ k ≤ Cδ) we need to regularize the first kind (convolution) equation Ku = v, where (Ku)(t) := (Θ ∗ u)(t) =

Zt

Θ(t − s)u(s)ds.

0

Applying the Laplace transform to the first kind convolution equation we have L(Θ, λ) · L(u, λ) = L(v, λ),

Λ is the same type as in theorems 1–2 and u = L−1

λ ∈ Λ ⊂ C,

L(v, λ) = K −1 v. L(Θ, λ)

Since L(Θ, λ) → 0 as λ → ∞, we need to regularize the unbounded operator K −1 . According to the Arsenin-Tikhonov regularization [?] we can define regularizing operators Rε (t), ε ∈ (0, ε0 ], t ∈ [0, T ), as follows µ ¶ L(v, λ)a(λ, ε) −1 Rε (t)f = L , f ∈ X, L(Θ, λ)

where a is a complex or real-valued function such that a(λ, ε) → 1 as ε → 0 uniformly by λ ∈ Λ and a(λ, ε) = O (L(Θ, λ)) as λ → ∞, ε ∈ (0, ε0 ]. For example, a(λ, ε) = L(Θ, λ)/(L2 (Θ, λ) + ε)1/2 .

The procedure with using the first kind equation methods can be successfully implored in the case of (CP) with A generating an R-semigroup. As the first step we construct a solution of the Cauchy problem vδ′ (t) = Avδ (t), vδ (0) = Rfδ . That is some sort of smoothing of the error initial data. The second step is a regularization of the first kind equation Ru = v with obtained vδ . References [1] Arendt W, Batty Ch., et all Vector-valued Laplace transform and Cauchy problems, Birkhauser Verlag: Basel–Boston–Berlin, 2001 [2] Balakrishnan A.V. Applied functional analysis. Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1976 [3] Davies E.B. and Pang M.M. The Cauchy problem and a generalization of the Hille-Yosida theorem // Proc. London Math. Soc., 1987, 55, 181–208 [4] Gel’fand I.M. and Shilov G.E. Some questions of the theory of differential equations. Academic Press, New York, 1968. [5] deLaubenfels R. Existence families, functional calculi and evolution equations. Springer Verlag, 1994 [6] Cioranescu I. and Lumer G. On K-convoluted semigroups. Recent developments in evolution equations // Pitman Research Notes in Math. Ser. 324, 1995 [7] Ivanov V.K., Melnikova I.V. and Filinkov A.I. Differential-operator equations and ill-posed problems. Nauka, Moscow, 1995 [8] Krein S.G. Linear differential equations in a Banach space. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1972 [9] Melnikova I.V. General theory of ill-posed Cauchy problem // J. Inverse & Ill-Posed Problems, 1995, 2, 1995, 149–171

204

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

[10] Melnikova I.V. and Filinkov A.I. Integrated semigroups and C-semigroups. Well-posedness and regularization of differential-operator problems // Uspekhi Mat. Nauk, 1994, 49, No. 6, 111–150 [11] Melnikova I.V. and Alshansky M.A. Well-posedness of the Cauchy problem in a Banach space: regular and degenerate cases // J. Math. Sci. 1997, 87, 3732–3777 [12] Melnikova I.V. and Filinkov A.I. The Cauchy problem. Three approaches. Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 120, London-New York: Chapman&Hall, 2001 [13] Melnikova I.V., Quan Zheng and Jizhou Zhang Regularization of weakly ill-posed Cauchy problems // J. Inverse & Ill-Posed Problems, 2002, 10, No 5, 385–393 [14] Melnikova I.V. Semigroup regularization of ill-posed differential problems // Dokl. Akad. Nauk, 2003, 393, No 6, 1–5 [15] Miyadera I. and Tanaka N. Exponentially bounded C-semigroups and generation of semigroups // J. Math. Anal. Appl. 1989, 143, 358–365 [16] Tanaka N. and Okazawa N. Local C-semigroups and local integrated semigroups // Proc. London Math. Soc. 1990, 61, 63–90 [17] Tikhonov A.N. and Arsenin V.Ja. Methods for solving ill-posed problems. Nauka, Moscow, 1979

Melnikova Irina V., Russia, 620083 Ekaterinburg, Lenina av., 51, Ural State University, Math. Dept. E-mail: [email protected]

205

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

ON PARABOLIC UNILATERAL PROBLEMS WITH OPERATORS OF 2m ORDER O. V. Solonukha NTUU "KPI", Kiev, Ukraine Keywords: parabolic variational inequality, generalized pseudomonotone–type operator, quasi–bounded operator, unilateral problem, property (S+)

We consider sufficient condition for solvability of parabolic variational inequalities in spaces of integrable functions with values in reflexive Banach spaces. This result is applied for studying of unilateral problems with operators of order 2m in Sobolev spaces. We propose the criterion on coefficients when operator is generalized pseudomonotone on W and has property (S+ ) on W .

At present quasi–linear unilateral evolution problems and smoothness of their solutions are studied sufficiently well, see [?, ?, ?] and bibliography. In this paper we consider unilateral evolution problems with essentially nonlinear operators. It is obtained the criterion on coefficients when operator is generalized pseudomonotone on W and has property (S+ ) on W . This criterion allows to apply the theory of parabolic variational inequalities to parabolic unilateral problems. 1. Solvability of variational inequalities Let V be a reflexive Banach space, and let V ∗ be its dual space with respect to some Hilbert space V . For fixed T ∈ (0, ∞), we introduce the spaces of integrable functions with values in spaces V and V for almost all t ∈ [0, T ]: 1 1 1 1 + = + = 1, 1 < p1 ≤ p0 < ∞, X = Lp0 (0, T ; H) ∩ Lp1 (0, T ; V ), p 0 q0 p 1 q1 where     ZT ZT     p0 p1 Lp0 (0, T ; H) = y : kykH dt < ∞ , Lp1 (0, T ; V ) = y : kykV dt < ∞ .     0

0

Then X is reflexive Banach too, and X = Lq0 (0, T ; H) + Lq1 (0, T ; V ∗ ) is dual for X with respect to H = L2 (0, T ; H). The norm in X is defined by formula ∗

kykX = kykLp0 (0,T ;H) + kykLp1 (0,T ;V ) .

For arbitrary f ∈ X ∗ and ξ ∈ X, let hf, ξi =

RT 0

RT (f1 (t), ξ(t))H dt + hf2 (t), ξ(t)iV dt, where 0

f = f1 + f2 , f1 ∈ Lq0 (0, T ; H), f2 ∈ Lq1 (0, T ; V ∗ ). If ξ(t) ∈ V for almost all t ∈ [0, T ], then RT hf, ξi = hf (t), ξ(t)iV dt. Let us define the reflexive Banach space W : 0

W = {y ∈ X : ∂t y ∈ X ∗ },

kykW = kykX + k∂t ykX ∗ .

Let A : X → ConvX ∗ be a nonlinear operator with domain Dom(A) = W . Assume that K is a convex, closed set from X such that y|t=0 = y0

(1)

∀y ∈ K ∩ W,

(2)

∀y ∈ K ∃{ζi } ⊂ W ∩ K such that ζi → y and lim h∂t ζi , ζi − yi ≤ 0. i→∞

We consider the strong evolution variational inequality h∂t y(t) + Ay(t) − f (t), ξ(t) − y(t)iV ≥ 0 for a.a. t ∈ [0, T ], ∀ξ(t) ∈ K(t), y|t=0 = y0 ,

¾

(3)

206

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

where f ∈ X ∗ , y0 ∈ H, {K(τ ) ≡ K|t=τ }τ ∈(0,T ] is a family of convex closed sets for almost all f ∩ K such that ζ0 |t=0 = y0 . Denote τ ∈ (0, T ]. We fix ζ0 ∈ W Wζ0 = {y ∈ W : y|t=0 = ζ0 |t=0 }.

Definition 1. A mapping A : Dom(A) ⊂ X → X ∗ is called generalized pseudomonotone on W , if for arbitrary {(yn , Ayn )} such that yn → y weakly in W , Ayn → w weakly in X ∗ and lim hAyn , yn − yi ≤ 0, we have w = A(y) and hAyn , yn i → hAy, yi. n→∞

Definition 2. A mapping A : Dom(A) → X ∗ is demicontinuous, if it is continuous from the strong topology of X into the weak topology of X ∗ . Definition 3. A mapping A : Dom(A) → X ∗ is quasi–bounded, if for ª any k1 > 0 and for © any set y ∈ Dom(A) : ky − ζ0 kX ≤ k1 and hAy, y − ζ0 i ≤ k1 ky − ζ0 kX , there exists N > 0 such that kAykX ∗ ≤ N = N (k1 ) < ∞. Definition 4. A mapping A : Dom(A) → X ∗ is called quasi–bounded with respect to ∂t , if for any k1 > 0 and for any set © ª y ∈ Dom(A) ∩ W : ky − ζ0 kX ≤ k1 and hAy + ∂t (y − ζ0 ), y − ζ0 i ≤ k1 ky − ζ0 kX , (4)

there exists N > 0 such that kAykX ∗ ≤ N = N (k1 ) < ∞.

Lemma 1. Any quasi–bounded operator A : Dom(A) ∩ Wζ0 → X ∗ is quasi–bounded with respect to ∂t . Доказательство. Let us consider the set given by (??). Then 1 1 h∂t (y − ζ0 ), y − ζ0 i = k(y − ζ0 )(T )k2H − k(y − ζ0 )(0)k2H ≥ 0. 2 2 Hence for any element from this set we have hAy, y − ζ0 i ≤ k1 ky − ζ0 kX . By virtue of the quasi–boundedness of operator A, we have kAykX ∗ ≤ N = N (k1 ) < ∞. ¤ Definition 5. A mapping A : Dom(A) → X ∗ is coercive on K, if there exist y0 ∈ K and c : R+ → R+ such that ky − ζ0 k−1 X hAy, y − ζ0 i ≥ c(ky − ζ0 kX ),

c(γ) → ∞ as γ → ∞.

(5)

The coercitivity condition can be modified (see §4.4 [?]). We will consider the restriction on time–interval: ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ Xt = Lp1 0, t; V ∩ Lp0 0, t; H , Xt∗ = Lq1 0, t; V ∗ + Lq0 0, t; H , ½ Ay(τ ), τ ∈ [0, t], ∗ Wt = {y ∈ Xt : ∂t y ∈ Xt }; At y(τ ) = 0, τ ∈ (t, T ]. Lemma 2. If A : Dom(A) ∩ W → X ∗ is coercive, quasi–bounded with respect to ∂t , generalized pseudomonotone on W mapping, then for any t ∈ [0, T ] operator At : Dom(A) ∩ Wt → Xt∗ is coercive, quasi–bounded with respect to ∂t , generalized pseudomonotone on Wt mapping. Доказательство. 1. Let ½ y(τ ), τ ∈ [0, t], yt (τ ) = 0, τ ∈ (t, T ],

ζ0t (τ ) =

½

ζ0 (τ ), τ ∈ [0, t], 0, τ ∈ (t, T ].

Obviously that kyt kX = kykXt and (Ay)(τ ) = (At yt )(τ ) for almost all τ ∈ [0, t]. Using the coercitivity of operator A, we obtain that kyt −ζ0 k−1 Xt

Zt

h(At yt )(τ ), yt (τ )−ζ0 (τ )iV dτ =

kyt −ζ0t k−1 X

0

if kyt − ζ0 kXt → ∞. Operator At is coercive.

ZT 0

h(At yt )(τ ), yt (τ )−ζ0t (τ )iV dτ → +∞,

207

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations 2. Now let yn → y weakly in Wt , let At yn → w weakly in Xt∗ , and let Zt Zt lim h(At yn )(τ ), yn (τ )iV dτ ≤ hw(τ ), y(τ )iV dτ. n→∞

0

0

Thus, for all ϕ ∈ and for all ψ ∈ Xt , we have hyn , ϕiXt → hy, ϕiXt , hψ, ∂t yn iXt → hψ, ∂t yiXt . Then that for any ϕ ∈ X ∗ and ψ ∈ X the following equalities are true: Zt Zt hyn (τ ), ϕ(τ )iV dτ = hynt (τ ), ϕ(τ )iV dτ = hynt , ϕi → hyt , ϕi, Xt∗

0

Zt

0

h∂t yn (τ ), ψ(τ )iV dτ =

0

Zt

h∂t ynt (τ ), ψ(τ )iV dτ = h∂t ynt , ψi → h∂t yt , ψi,

0

i.e. ynt → yt weakly in W . Since Zt Zt hw(τ ), y(τ )iV dτ ≥ lim h(Aynt )(τ ), ynt (τ )iV dτ = lim hAynt , ynt i n→∞

n→∞

0

0

Rt and operator A is generalized pseudomonotone on W , we have w = At y and hw(τ ), y(τ )iV dτ = 0

lim hAynt , ynt i. Operator At : Wt → Xt∗ is generalized pseudomonotone on Wt .

n→∞

3. Finally, let kyt kXt ≤ k1 , hAt yt + ∂t (yt − ζ0t ), yt − ζ0t iXt ≤ k1 kyt − ζ0t kXt . We extend yt by the following manner: yt (τ ) = ζ0 (τ ) for almost all τ ∈ (t, T ]. Then hAyt + ∂t (yt − ζ0 ), yt − ζ0 iX = hAt yt + ∂t (yt − ζ0t ), yt − ζ0t iXt ≤ k1 kyt − ζ0 kX

for any kyt − ζ0 kX = kyt − ζ0 kXt ≤ k1 . The quasi–boundedness with respect to ∂t of operator A implies that there exists N > 0 such that kAt yt kX ∗ ≤ N (k1 ). Thus kAt ykXt∗ ≤ N (K1 ). ¤ We also introduce the family of finite–dimensional subspaces of H: [ F (H) = {F ⊂ H : dimF < ∞}, F = H.

We means that F ≃ F . Let

F ∈F (H)

∗

XF = Lp0 (0, T ; F ),

XF∗ = Lq0 (0, T ; F );

hfF , ξF iXF = hf, ξF i,

WF = {y ∈ XF : ∂t y ∈ XF∗ };

hAF y, ξiXF = hAy, ξi

We can consider AF : C([0, T ]; F ) ⊂ XF → XF∗ . Assume that C([0, T ]; F ) ⊂ Dom(A)

∀ξF ∈ XF .

for any F ∈ F (H).

Theorem 1. Let K be a convex, closed set that satisfies conditions (??) and (??), and let A : Dom(A) ∩ W → X ∗ be a quasi–bounded with respect to ∂t , generalized pseudomonotone on W mapping. Moreover, we suppose that C([0, T ]; F ) ⊂ Dom(A) and AF : C([0, T ]; F ) → XF∗ is demicontinuous for any F ∈ F (H). We also assume that either A is coercive, or K is bounded. Then parabolic variational inequality (??) has nonempty, weakly compact in spaces X and W set of solutions. Доказательство. We aproximate variational inequality (??) by following system h∂t yF (t) + AF yF (t) − fF (t), ξF (t) − yF (t)iF ≥ 0 for a.a. t ∈ [0, T ], ∀ξF ∈ KF , yF (0) = yF 0 ∈ F,

where yF 0 → y0 in H, KF = prF K.

¾

(6)

208

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

Lemma 3. Problem (??) has at least one solution yF ∈ WF for any F . Moreover, the set of solutions {yF }F ∈F (H) is bounded in X and in C([0, T ]; H). Доказательство. We fix t1 ∈ [0, T ] and suppose that for any F , some function yF ∈ Lp0 (0, t1 ; F ) satisfies the following inequality (??) for almost all t ∈ [0, t1 ]. By construction, ∂t yF ∈ Lq0 (0, t1 ; F ). Substituting ξF = ζ0F into (??), we obtain 1 kyF (t) − ζ0F (t)k2H + 2

Zt

h(AF yF )(τ ), yF (τ ) − ζ0F (τ )iV dτ ≤

0

≤

Zt

hf (τ ) − ∂t ζ0 (τ ), yF (τ ) − ζ0F (τ )iV dτ ≤ kf − ∂t ζ0 kX ∗ kyF − ζ0F kLp0 (0,t;F ) . (7)

0

The first term in (??) is nonnegative. Let us consider the case when operator A is coercive. Then the second one tends to +∞, see Lemma ??. Hence from coercitivity of A and estimate Zt −1 kyF − ζ0F kLp (0,t1 ;F ) h(AyF )(τ ), yF (τ ) − ζ0F (τ )iV dτ ≤ kf − ∂t ζ0 kX ∗ 0

0

we have ∀t ∈ [0, t1 ]. (8) kyF − ζ0F kLp0 (0,t;F ) ≤ k1 Here k1 does not depend on either t1 or F . If K is bounded, this estimate follows from the fact that yF ∈ KF . Moreover, Zt (9) h(AF yF )(τ ) + ∂t yF (τ ) − ∂t ζ0F (τ ), yF (τ ) − ζ0F (τ )iV dτ ≤ kf − ∂t ζ0 kX ∗ k1 . 0

Since A is quasi–bounded with respect to ∂t , then there exists k3 > 0 such that kAF yF kLq0 (0,t1 ;F ) ≤ k3

(10)

and k3 does not depend on either t1 or F . Simultaneously we obtain that kyF (t) −

ζ0F (t)k2H

≤2

Zt

hfF (τ ) − ∂t ζ0F (τ ) − (AF yF )(τ ), yF (τ ) − ζ0F (τ )iV dτ ≤

0

≤ 2 (kf − ∂t ζ0 kX ∗ + k3 ) k1

i.e.

∀t ∈ [0, t1 ],

p (11) kyF − ζ0F kC([0,t1 ];H) ≤ 2 (kf − ∂t ζ0 kX ∗ + k3 ) k1 = k2 . Here k2 does not depend on either t1 or on F . We proved that if solution of (??) exists, it must satisfy the total limitations (??), (??), and (??). Now we will show that as constant t1 we can consider any element from interval [0, T ]. Let S1 be a set of points t1 such that problem (??) has solution from Lp0 (0, t1 ; F ). It is possible that {t1 } = {0}. Estimate (??) and property kyF kC([0,t1 );H) < k2 ⇒ kyF kC([0,t1 ];H) ≤ k2 imply that S1 is a closed set. We denote S1 = [0, t0 ]. We assume that t0 < T and we will show that this is impossible. Let b = y(t0 ) and ½ yF (t), 0 ≤ t ≤ t0 , b ξ(t) = b, t0 < t ≤ T. By virtue of the conditions of theorem, variational inequality (??) has solution on interval [0, t0 ]. Then there exists vc F ∈ Lq0 (0, t0 ; F ) such that ∂t yF (t) + AF yF (t) = fF + vc F

for a.a. t ∈ [0, t0 ],

209

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

see Lemma 1 [?]. Demicontinuous operator AF : C([0, T ]; F ) → Lq0 (0, T ; F ) is locally bounded, b and M = M (ξ) b such that kAF y − fF kL (0,T ;F ) ≤ M , see §39.3 [?]. Then there exist ε = ε(ξ) q0 b if ky − ξkC([0,T ];F ) ≤ ε. For any η ∈ Cb = {ξ ∈ C([t0 , T ]; F ) : ξ(t0 ) = b ∈ F }, the element y ∈ C([0, T ]; F ) is given by the formula  0 ≤ t ≤ t0 ,  yF (t), η(t), t 0 < t ≤ T, kη(t) − bkF ≤ ε, y(t) =  b + ε η(t)−b , t < t ≤ T, kη(t) − bk > ε. 0 F kη(t)−bkF

We introduce Cby = {y = y(η) : η ∈ Cb }. By construction, there exists some interval [t0 , t0 + ∆] such that Cby is uniformly bounded and uniformly continuous. By virtue of Arzel`a Theorem, Cby ∩ K ∩ C([t0 , t0 + ∆], F ) is compact. The boundedness of {∂t y + Ay}y∈Cby in Lq (t0 , T ; F ) and pseudomonotonicity of operator ∂t + A : Cby → Lq (t0 , T ; F ) imply that there exists a solution of variational inequality tZ 0 +∆

h∂t yF (t) + AF yF (t) − fF (t), ξF (t) − yF (t)iF dt ≥ 0 ∀ξF ∈ Cby ∩ KF ,

(12)

t0

see Theorem 24 [?]. In this inequality we consider all admissible direction. This follows from proof of Lemma 1 [?]. Thus yF is a solution of variational inequality (??) for any ξ ∈ Cb ∩ K ∩ C([t0 , t0 + ∆], F ). In this case Lemma 1 [?] implies that there exists vF ∈ Lq0 (t0 , t0 + ∆; F ) such that ∂t yF (t) + AF yF (t) − fF (t) = vF (t) for almost all t ∈ [t0 , t0 + ∆]. t0R+∆ Moreover, hvF , ξF (t) − yF (t)iF dt ≥ 0 for any ξF ∈ Cb ∩ K ∩ C([t0 , t0 + ∆], F ). We t0

define some auxiliary operator G : Cb → Lq0 (t0 , t0 + ∆; F ): (Gη)(t) = (AF y − fF − vF )(t),

t0 ≤ t ≤ t0 + ∆.

Since η 7→ y is continuous from Cb into C([0, T ]; F ) and AF is demicontinuous, then G : C([t0 , t0 + ∆]; F ) → XF∗ is demicontinuous too. Obviously, kGηkLq0 (t0 ,t0 +∆;F ) ≤ M for any η ∈ Cb . Lemma VI.1.3, [?] (this is generalized Karatheodori’s Theorem) implies that problem Rt η(t) = b − (Gη)(τ )dτ has a solution on Cb , if t ∈ [t0 , t0 + ∆′ ]. Substituting η(t0 ) = b, we obtain t0

kη(t) − bkF < ε on sufficiently small interval t0 ≤ t ≤ t0 + ∆′ , ∆′ ∈ (0, ∆]. Now we extend the functions: ) yF (t) = η(t), if t0 < t ≤ t0 + ∆′ . vc F (t) = v(t) ′ Then (Gη)(t) = (AF yF − fF − vc F )(t) for t ∈ [t0 , t0 + ∆ ] and

yF (t) = b −

Zt

t0 +∆′

t0Z

(Gη)(τ )dτ = yF 0 −

Zt 0

(AF yF − fF − vc F )(τ )dτ,

h∂t yF (τ ) + AF yF (τ ) − fF (τ ), ξF (τ ) − yF (τ )iF dτ =

0

t0Z+∆′

hc vF , ξF (τ ) − yF (τ )iF dτ ≥ 0

0

Rt0 for any ξF ∈ KF . We used that yF (t0 ) = b = yF 0 − (AF yF − fF − vc F )(τ )dτ. We proved the 0

solvability of (??) on interval [0, t0 +∆′ ]). We can continue up this process to t0 = T . Variational

210

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

inequality (??) has at least one solution that we denote as yF ∈ Lp0 (0, T ; F ). Simultaneously we obtain that there exists vc F ∈ Lq0 (0, T ; F ) such that

(13)

yF |t=0 = y0 .

∂t yF + AF yF = fF + vc F,

The total boundedness of {yF } in X follows from (??), the one in C([0, T ], H) follows from (??). The total boundedness of {AF yF } in X ∗ follows from (??). Also we obtain the boundedness of {c vF } ў X ∗ , see (??), (??), (??), and equality (??). ¤ Let us continue the proof of Theorem ??. For any Fb ∈ F (H), we define [ GFb = {yF ∈ XF : yF satisfies (??)} . F ⊃Fb

w

This set is nonempty and bounded in X and in C([0, T ]; H), see above. Denote by GF a minimal w convex closed in the weak topology of X set such that GF ⊂ GF . The set GF is non-empty and belongs to a bounded set that Sis independent of F . Moreover, T for any F1 , . .w. , Fn ∈ F (X) and F ∈ F (X) such that F ⊃ Fi , it is true that GF ⊂ GFi , i.e. {GF } is a family 1≤i≤n

1≤i≤n

of sets T with the finite intersection property. Since X is a reflexive Banach space, there exists w {GF } ⊂ X. Let GF ∋ yF → y weakly in X. The boundedness of this sequence y ∈ f) F ∈F (W

in C([0, T ]; H) and boundedness of {c vF } and of {AyF } imply that yF (T ) → z weakly in H, ∗ vc → v b weakly in X , and Ay → κ weakly in X ∗ (or we can consider some subsequences that F F satisfy these properties). Using the Bohner integral’s properties, we have: µZT 0

¶ ³ ´ ϕ(t) ∂t yF (t) + (AyF )(t) dt, h = h∂t yF + AyF , ϕhi = hfF + vc F , ϕhi = =

µZT 0

¶ ϕ(t)(fF (t) + vc ∀ϕ ∈ D([0, T ]), ∀h ∈ F. (14) F (t))dt, h

∂t yF → ∂t y in D ([0, T ]; V ) and estimate (??) imply that ∗

∗

h∂t y(ϕ), hiV =

DZT 0

³ ´ E ϕ(t) f (t) + vb(t) − κ(t) dt, h

V

∀h∈

[

F,

F ∈F (H)

where ∂t y(ϕ) is the action of distribution ∂t y ∈ D∗ ([0, T ]; V ∗ ) on element ϕ ∈ D([0, T ]). Since ´ RT ³ S F densely, we have ∂t y(ϕ) = −κ(t) + f (t) + vb(t) ϕ(t)dt, i.e ∂t y = f + vb − κ V ⊂ F ∈F (H) S 0 and y ∈ W . Moreover, for any h ∈ F, F ∈F (H)

ZT

h∂t y(t), (T − t)hiV dt =

ZT

= lim

ZT

0

0

F

0

= lim F

ZT 0

hf (t) + vb(t) − κ(t), (T − t)hiV dt =

hfF (t) + vc F (t) − (AF yF )(t), (T − t)hiV dt =

h∂t yF (t), (T − t)hiV dt = lim F

½ZT ³ 0

¾ ´ yF (t), h dt − (y0 , T h) =

211

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

The density of

S

ZT ³ ZT ³ ´ ´ ³ ´ = y(t), h dt − (y0 , T h) = ∂t y(t), (T − t)h dt − y(0) − y0 , T h . 0

0

F into H implies that y0 = y|t=0 . Simultaneously we obtain

F ∈F (H)

(y(T ) − y0 , h) = for any h ∈

S

ZT

(∂t y(t), h) dt = lim F

ZT

(∂t yF (t), h) dt = lim (yF (T ) − y0 , h) = (z − y0 , h) F

0

0

F . Thus z = w. lim yF (T ) = y(T ).

F ∈F (H)

Let us show that κ = Ay and y is a solution of (??). By virtue of estimate limhAyF , yF − yi = limhfF − ∂t yF , yF − yi ≤ limhfF − ∂t y, yF − yi− F

F

F

−

1 1 lim kyF (T ) − y(T )k2H = − lim kyF (T ) − y(T )k2H ≤ 0 2 F 2 F

and generalized pseudomonotonity on W of operator A, we have κ = Ay and limhAyF , yF i = F

hAy, yi. Consequently, for any ξ ∈ K,

h∂t y + Ay, ξ − yi = limh∂t yF + AyF , ξF − yF i ≥ limhfF , ξF − yF i = hf, ξ − yi, F

F

where KF ∋ ξF → ξ ∈ K in X . y is a solution of (??). The boundedness of y in X follows from (??), the one in C([0, T ], H) follows from (??). Now we can show that set of solution is weakly compact. Let {yn } ⊂ W satisfy to (??). Estimates (??) and (??) imply that this set is bounded in X and in W . Thus yn → y weakly in W (or we consider the subsequence that has this property). The quasi–boundedness with respect to ∂t of operator A and estimate (??) imply that kAyn kX ∗ ≤ N < ∞. We can choose the subsequence such that Aym → d weakly in X ∗ . By virtue of estimate 1 lim hAyn , yn − yi ≤ lim hf − ∂t yn , yn − yi ≤ − lim kyn (T ) − y(T )k2H ≤ 0 n→∞ n→∞ 2 F ∗

and of generalized pseudomonotonicity on W of operator A, we have lim hAyn , yn i = hAy, yi n→∞ and Ay = d. Hence, h∂t y + Ay, ξ − yi = lim h∂t yn + Ayn , ξ − yn i ≥ lim hf, ξ − yn i = hf, ξ − yi n→∞

This completes the proof.

n→∞

∀ξ ∈ K. ¤

2. Operator of order 2m Let Ω ⊂ Rn be a bounded domain with boundary ∂Ω belonging to class C m−1,1 , ν = (ν1 , ν2 , · · · , νn ) be an external normal with respect to ∂Ω, Q = (0, T ) × Ω, ΓT = (0, T ) × ∂Ω. We introduce multi–index α = (α1 , · · · , αn ) with integer positive components αi , |α| = α1 +· · ·+αn , ∂ α1 ∂ αn Dα y = ··· y = ∂1α1 · · · ∂nαn y. ∂x1 ∂xn Denote by M = M(m, n) and M′ = M′ (m, n) the numbers of different multi–indexes α = (α1 , · · · , αn ) such that |α| ≤ m and |α| ≤ m − 1, respectively. ¶ · 2n m , ∞ . Then L2 (Ω) = For simplicity of formulation we consider V = Wp (Ω) with p ∈ n+m H, the space X = Lp (0, T ; Wpm (Ω)) is reflexive and Banach, and ¡ ¡ ¢∗ ¢ª © 1 1 + = 1. , W = y ∈ Lp (0, T ; Wpm (Ω)) : ∂t y ∈ Lq 0, T ; Wpm (Ω) p q

212

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

¡ ¡ ¢∗ ¢ For almost all t ∈ [0, T ], let operator A : Lp (0, T ; Wpm (Ω)) → Lq 0, T ; Wpm (Ω) be given by the formula X Z h(Ay)(t), z(t)iV ≡ Aα (t, x, y, · · · , Dm y)Dα z(t, x)dx ∀z ∈ Lp (0, T ; Wp1 (Ω)). (15) |α|≤m Ω

We denote ξ = {ξα : |α| ≤ m} ∈ RM and formulate the conditions on functions Aα (t, x, ξ): Am 1. Integrability condition. Functions Aα (·, ·, ξ) are measurable for a.a. ξ ∈ RM , and Aα (t, x, ·) are continuous at a.a. (t, x) ∈ Q; moreover, at a.a. (t, x) ∈ Q and for all ξ ∈ RM and for some positive non–decreasing function g1 we have9   X |Aα (t, x, ξ)| ≤ g1 (ξ0 )  (16) |ξγ |rαγ + hα (t, x) , |α| ≤ m. m− n ≤|γ|≤m p

½ ¾ n n Here ξ0 = ξα : |α| < m − . If m − ≤ |γ| ≤ m, then rαγ = p − 1 for |α| = |γ| = m, p p ¶ µ n n 1 for m − ≤ |α| ≤ m and |α| + |γ| < 2m, rαγ = pγ for |α| < m − , rαγ < pγ 1 − pα p p n n np for |α| > m − , and 1 < pα < +∞ for |α| = m − . Moreover, pα = n − (m − |α|)p p p pα n n for m − ≤ |α| ≤ m. hα ∈ Lqα (Q), where qα = 1 for |α| < m − , qα = p pα − 1 p ′ Am 2. Ellipticity condition. For any (t, x) ∈ Q, ζ = {ζα : |α| = m} ∈ RM−M , ζ ′ = {ζα′ : ′ ′ |α| = m} ∈ RM−M , and η = {ηα : |α| < m} ∈ RM we have X¡ ¢ r ζ ′ 6= ζ. Aα (t, x, η, ζ) − Aα (t, x, η, ζ ′ ) (ζα − ζα′ ) > 0, пЄй° (17) |α|=m

This condition can be false for finite set of isolated points {ηα }. Am 3. Coercitivity condition. For some cˇ > 0 and g2 ∈ L1 (Q), we have X X Aα (t, x, ξ)ξα ≥ cˇ |ξα |p − g2 (t, x). |α|≤m

(18)

|α|=m

In order to consider properties of operator A we introduce some special function ′ ′ ′ H : Q × RM × RM−M × RM−M → R1 X¡ ¢ H(t, x, ̟, ξ, η) = Aα (t, x, ̟, ξ) − Aα (t, x, ̟, η) (ξi − ηi ). |α|=m

For case of elliptic operators of order 2, this function was considered in [?]. Lemma 4. Let conditions Am 1 and Am 2 hold. Then, for any |̟| ≤ N and |η| ≤ N1 , the following estimate H(t, x, ̟, η, ξ) ≥ c(t, x)|ξ − η|,

|ξ − η| ≥ l > 0

is fulfilled, where c(t, x) is nonnegative for almost all (t, x) ∈ Q, depends on N , N1 , and l > 0 ′ ′ and is independent of ̟ ∈ RM , and ξ, η ∈ RM−M .

Доказательство. Let r = |ξ − η|. Then ξ = η + rζ 0 , J¤Ґ |ζ 0 | = l. We introduce the function h(r) = H(t, x, ̟, ξ, η +rζ 0 ). For this function, t, x, ̟, ξ, η, and ζ 0 are parameters. By definition, X¡ ¢ h(r) = Aα (t, x, ̟, η + rζ 0 ) − Aα (t, x, ̟, η) rζα0 = |α|=m

9In

simplest case we have |Aα (t, x, ξ)| ≤ cˇ

P

|γ|≤m

|ξγ |p−1 + h(t, x), where cˇ > 0, h ∈ Lq (Q).

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations =

X¡

|α|=m

213

¢ Aα (t, x, ̟, η + rζ 0 ) − Aα (t, x, ̟, η + ζ 0 ) rζα0 + +

X¡

|α|=m

¢ Aα (t, x, ̟, η + ζ 0 ) − Aα (t, x, ̟, η) rζα0 = σ1 + σ2 .

By construction, σ2 = rh(1). If ξ 0 = η + ζ 0 , then rζ 0 =

r (ξ − ξ 0 ). Hence, by virtue of r−1

condition Am 2, we have X¡ ¢ r σ1 = Aα (t, x, ̟, ξ) − Aα (t, x, ̟, ξ 0 ) (ξα − ξα0 ) >0 r−1

for r > 1.

|α|=m

Then σ1 ≥ 0 for r ≥ 1. Therefore, h(r) = σ1 + σ2 ≥ rh(1), i.e.

H(t, x, ̟, η, ξ) ≥ |ξ − η|H(t, x, ̟, η, η + ζ 0 ),

where ξ = η + rζ 0 , |ζ 0 | = l, r ≥ 1. For fixed N , N1 , and l, we introduce the constant c(t, x) = min H(t, x, ̟, η, η + ζ 0 ), U

U = {|̟| ≤ N, |η| ≤ N1 , |ζ 0 | = l}.

Since U is bounded and closed, then this minimum exists. Note that two last arguments of functional H are different. Condition Am 2 implies that c(t, x) > 0. ¤ Theorem 2. Let coefficients A¡α satisfy ¡ ¢∗ ¢conditions Am 1 and Am 2. Then operator A : Lp (0, T ; Wpm (Ω)) → Lq 0, T ; Wpm (Ω) given by (??) is bounded, demicontinuous, pseudomonotone on W , moreover, it has property (S+ ) on W (within to subsequences).

Доказательство. Condition Am 1 and Am 2, Sobolev spaces imbedding Theorems, see §7–10 [?], and demicontinuous of Nemytskii operator, see for example §1.2 [?], imply that A is bounded and demicontinuous. Let yj → y weakly in W and lim hAyj , yj −yi ≤ 0. By virtue of boundedness of A we can mean j→∞ · ¸ n that Ayj → w weakly in X ∗ (within to subsequences). Let |γ| ∈ m − , m − 1 . Imbeddings p γ γ Wpm (Ω) ⊂ Wαγ (Ω) are compact. Since imbeddings Wpm (Ω) ⊂ Wαγ (Ω) ⊂ Lq (Ω) are dense, we γ obtain that W ⊂ Lp (0, T ; Wαγ (Ω)) are compact too, see Sobolev spaces imbedding Theorems n and Theorem 1.5.1 in [?]. For |γ| < m− , the compactness of imbeddings Wpm (Ω) ⊂ C γ (Ω) and p m γ density of imbeddings Wp (Ω) ⊂ C (Ω) ⊂ Lq (Ω) imply that imbeddings W ⊂ Lp (0, T ; Wpγα (Ω)) are compact too. Thus, · ¸ n n γ γ D yj → D y in Lpα (Q) ∀|γ| ∈ m − , m − 1 ; Dγ yj → Dγ y in C(Q) ∀|γ| < m − . (19) p p Let us decompose

hAym , ym − yi =

X Z

|α|=m Q

+

Aα (t, x, yj , D1 yj , · · · , Dm−1 yj , Dm y)Dα (yj − y)dxdt +

X Z

|α|≤m−1 Q

+

Aα (t, x, yj , D1 yj , · · · , Dm yj )Dα (yj − y)dxdt+

X Z µ

|α|=m Q

Aα (t, x, yj , D1 , · · · , Dm−1 yj , Dm yj )− 1

− Aα (t, x, yj , D , · · · , D

m−1

¶ yj , D y) Dα (ym − y)dxdt. (20) m

214

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

By virtue of continuity of function Aα (t, x, ξ) by ξ and of (??), we have Aα (t, x, yj , D1 , · · · , Dm−1 yj , Dm y) → Aα (t, x, y, D1 , · · · , Dm−1 y, Dm y) in Lq (Q).

Since right factors of first term of (??) tend to zero in weak topologies, this term tends to zero. Since right factors of second term of (??) tend to zero in strong topologies and left factors are bounded, this term tends to zero too. Hence, Z lim H(t, x, yj , D1 yj , · · · , Dm yj , Dm y)dxdt = lim hAyj , yj − yi ≤ 0. (21) j→∞

j→∞

Q

The strong positivity of values of H imply that lim hAyj , yj − yi = 0, see Lemma ??. Thus j→∞

hAyj , yj i → hw, yi. This means that lim H(t, x, yj , D1 yj , · · · , Dm yj , Dm y) = 0 for almost all j→∞

(t, x) ∈ Q. By virtue of Lemma ?? and this estimate we have Dm yj → Dm y almost everywhere on Q. Consequently, yj → y in strong topology of Lp (0, T ; Wpm (Ω)), see Lemma 1.1.3 in [?]. The demicontinuity of operator implies that Ayj → Ay weakly in X ∗ . We proved that A has property (S+ ) on W , moreover, A is generalized pseudomonotone on W . ¤ 3. Unilateral problem ◦

◦

Now let V = Wpm (Ω). The norm in space X = Lp (0, T ; Wpm (Ω)) is defined by formula P R p kyk = |Dα y(t, x)|p dx dt. Assume that function ◦ Q Lp (0,T ;Wpm (Ω))

|α|=m

ψ∈W = is such that

½

y∈

◦

Lp (0, T ; Wpm (Ω))

: ∂t y ∈

¾

Lq (0, T ; Wq−m (Ω))

ψ ≤ 0 a.e. on ΓT , ψ(0) ≤ y0 We find an element y ∈ Wζ0 such that X f ≤ ∂t y + (−1)|α| Dα Aα (t, x, y, · · · , Dm y) ≤ |α|≤m



◦

≤ f + sup 0, ∂t ψ +

X

|α|≤m

in space Lp (0, T ; Wpm (Ω)), where fα ∈ Lq (Q), f =

a.e. on Ω.

(22)



(−1)|α| Dα Aα (t, x, ψ, · · · , Dm ψ) − f  , (23) P

(−1)|α| Dα fα ,10. The following variational

|α|≤m

inequality corresponds to this unilateral problem Z X Z ∂t y (ξ − y) dx dt + Aα (t, x, y, · · · , Dm y) Dα (z − y) dx dt ≥ Q

|α|≤m Q

≥

X Z

|α|≤m Q

½ ◦ ¡ ¢ where K = z ∈ Lp 0, T ; Wpm (Ω) : z|t=0 = y0

fα (t)Dα (z − y)(t) dx dt

a.e. on Ω,

z≥ψ

∀ξ ∈ K, (24)

¾ a.e. on Q .

Definition 1. An element y ∈ K ∩ W is called a srtong generalized solution of unilateral problem (??), if it satisfies variational inequality (??) for any ξ ∈ K. 10Note

that any f ∈ Lq (0, T ; Wq−1 (Ω)) can be presented as f =

P

|α|≤m

(−1)|α| Dα fα , see Lemma II.1.38 [?].

Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations

215

Theorem 3. Let coefficients Aα satisfy conditions Am 1–Am 3, and let function ψ ∈ W satisfies ◦ ¡ ¢ (??). Then problem (??) has nonempty, weakly compact in W and compact in Lp 0, T ; Wpm (Ω) set of solutions. ◦ ¡ ¢ Доказательство. By virtue of Theorem ??, operator A : Lp 0, T ; Wpm (Ω) → −m Lq (0, T ; Wq (Ω)) given by (??) is demicontinuous, bounded, and generalized pseudomonotone on W , moreover, it has property (S+ ) on W . This operator is coercive too. This follows from boundedness of operator and from estimate X Z X Z m α hAy, yi = Aα (t, x, y, · · · , D y)D y dx dt ≥ cˇ |Dα y|p dx dt − kg2 (t, x)kL1 (Q) |α|≤m Q

|α|=m Q

(we give integral form with respect to condition (??)). Thus variational inequality (??) has ◦ ¡ ¢ weakly compact in W and in Lp 0, T ; Wpm (Ω) , nonempty set of solution, see Theorem ??. Let {yj } ⊂ W be a set of solutions of variarional inequality (??). By virtue of estimates ◦ ¡ ¢ (??) and (??), this set is bounded in X = Lp 0, T ; Wpm (Ω) and in W . Hence we can mean that yj → y weakly in W (within to subsequences). The boundedness of operator A imply that Ayj → κ weakly in X ∗ . By virtue of estimate

1 lim hAyj , yj − yi ≤ lim hf − ∂t yj , yj − yi ≤ − lim kyj (T ) − y(T )k2H ≤ 0 j→∞ j→∞ 2 F ◦ ¡ ¢ and of property (S+ ) on W of operator A, we obtain that yj → y in Lp 0, T ; Wpm (Ω) and ◦ ¡ ¢ Ay = κ. This proved that set of solution of (??) is compact in Lp 0, T ; Wpm (Ω) . ¤ References

[1] Arhipova A.A. On limit smoothness of solution of nonstationary problem with one or two obstacle. Problemy mat.analiza, 1987, 9, pp.149–157. [2] Troianiello G.M., On class of unilateral evolution problems. – Manuskripta Math., 1979, V.29, pp.353–384. [3] Uraltseva N.N. C 1 –smoothness of boundary for noncoincident set in unilateral problem. Algebra i analiz, 1996, 8, 2, pp.205–221 [4] Mel’nik V.S. and Zgurovskii M.Z., Nonlinear Analysis and control of infinite dimensional systems, "Naukova dumka", Kiev, 1999 (in Russian). [5] Solonukha O.V., On the extremal regularization of the variational inequality with multivalued operators. – Birkhauser, Operator Theory: Advances and Applications, 2000, V.117, pp. 359–370. [6] Trenogin V.A. Functional analysis, M:"Nauka", 1980 (in Russian). ´ [7] Br´esis H., Equations et in´equations non lin´eaires dans les espaces vectoriels en dualit`e// Ann. Inst. Fourier, V. 18, 1968, pp. 115–175. [8] Gajewski H., Gr¨ oger K., Zacharias K., Nichtlineare operatorgleichungen und operatordifferentialgleichungen, Acad.Verlag, Berlin, 1974 (in German). Russian transl.: Gajewski H., Gr¨ oger K., Zacharias K., Nonlinear operator equations and operator–differential equations, M.:"Mir", 1978 (in Russian). [9] Laptev G.I., First boundary problem for quasilinear ellitic equations of second order with double degeneration, Differetsial’nie uravneniya, 30, N 6, 1994, 1057-1068; English transl.: in Differential Equations, 30, 1994. [10] Sobolev S.L., Some applications of functonal analysis in mathematical physics. M.:"Nauka", 1988 (in Russian). [11] Krasnosel’skii M.A. Topological methods in theory og nonlinear integral equations. M.: Gosizdat, 1956 (in Russian). [12] Lions J.-L., Quelques Methodes de Resolution de Problemes aux Limities Non Lineaires, Paris: Dunod, 1969.

O. V. Solonukha, Institute of Problems of System Analysis, National Technical University of Ukraine "KPI", Pr. Peremogy 37, Kiev, 03056, Ukraine.

216

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

E-mail: [email protected], [email protected]

Section 2 EVOLUTION AND BOUNDARY VALUE PROBLEMS

Subsection 2.2

Boundary Value Problems

_

Subsection 2.2. Boundary Value Problems

219

О ПОЛНОТЕ СИСТЕМ КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ НЕКОТОРЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА 2 − ε А.В. Агибалова Донецкий национальный университет Донецк, Украина We consider Sturm-Liouville type differential equation of fractional order 2−ε subject to boundary conditions of special type. The completeness of root subspaces of this boundary value problem is proved. Рассматривается граничная задача с краевыми условиями специального вида для дифференциального оператора дробного порядка 2−ε, ε ∈ (0, 1) и доказывается полнота системы корневых векторов этой задачи.

Известно (см. [?]), что система собственных и присоединённых функций (ССПФ) оператора Штурма-Лиувилля −y ′′ + q(x)y = λ2 y, с разделяющимися граничными условиями y ′ (0) − h0 y(0) = y ′ (1) − h1 y(1) = 0

полна в пространстве L2 [0, 1] при любом комплекснозначном потенциале q ∈ L1 [0, 1] и любых h0 , h1 ∈ C. Подобный результат также имеет место для произвольных невырожденных граничных условий (см. [?]). А. А. Шкаликовым (см. [?]) доказана полнота ССПФ задачи с нерегулярными распадающимися граничными условиями для обыкновенных дифференциальных уравнений порядка n > 2. На уравнения произвольного дробного порядка n − ε, n > 3, ε ∈ (0, 1) этот результат был распространён М. М. Маламудом и Л. Л. Оридорогой (см. [?]). Полнота ССПФ дифференциального оператора порядка (2 − ε) с разделяющимися граничными условиями получена в [?]. В заметке доказана теорема о полноте ССПФ граничной задачи для оператора порядка 2 − ε с граничными условиями специального вида. Результаты о полноте ССПФ в случае произвольных граничных условий будет опубликован в другой работе. Рассмотрим в пространстве L1 [0, 1] дифференциальное уравнение порядка 2−ε, ε ∈ (0, 1) y (2−ε) + q(x)y (−ε) = λy

(1)

Γ1 (y) = hy (−ε) (0, λ) + y (1−ε) (0, λ) = 0,

(2)

Γ2 (y) = a21 y (−ε) (0, λ) + a22 y (1−ε) (0, λ) + a23 y (−ε) (1, λ) + a24 y (1−ε) (1, λ) = 0.

(3)

с краевыми условиями

Здесь y

(2−ε)

=D

2−ε

y=

d2 ε J y, dx2

а J –оператор дробного интегрирования: Zx 1 (x − t)ε−1 y(t)dt. J ε y(x) = Γ(ε) ε

0

Обозначим σ(L) — спектр задачи (??)–(??). Рассмотрим вначале случай нулевого потенциала q = 0. Уравнение y (2−ε) = λy (4) имеет фундаментальную систему решений c(x, λ) = x−ε E

1 2−ε

s(x, λ) = x1−ε E

(λx2−ε , 1 − ε),

1 2−ε

(λx2−ε , 2 − ε),

220

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

удовлетворяющую начальным условиям c(−ε) (0, λ) = s(1−ε) (0, λ) = 1, c(1−ε) (0, λ) = s(−ε) (0, λ) = 0. Здесь Eρ (z; µ) :=

∞ X k=0

zk , Γ(µ + kρ−1 )

где ρ > 0, µ– произвольный комплексный параметр,— функция типа Миттаг-Леффлера. Известно (см. [?]), что Eρ (z; µ)—целая функция порядка роста ρ и типа 1. С помощью асимптотических оценок для функций типа Миттаг-Леффлера (см. [?]) получаем такое асимптотическое поведение функций c(x, λ) и s(x, λ) : µ ε−4 ¶ 1 ε x 1 2−ε xλ +O c(x, λ) = λ 2−ε e , (5) 2−ε |λ|2 µ ε−3 ¶ 1 ε−1 1 x 2−ε xλ s(x, λ) = +O . (6) λ 2−ε e 2−ε |λ|2 Оценки (??) и (??), а также доказанное в [?] существование треугольного оператора преобразования для уравнений порядка n − ε (n > 1) с аналитическими коэффициентами существенно используются при доказательстве теоремы о полноте ССПФ задачи (??)– (??). Теорема. Пусть q — целая аналитическая функция. Тогда ССПФ задачи (??)–(??) полна в пространстве L1 [0, 1]. Доказательство. Пусть ω(x, λ) — решение следующей задачи Коши для уравнения (??) ( ω (−ε) (0, λ) = −1, ω (1−ε) (0, λ) = h. Так как ω при всех λ удовлетворяет граничному условию (??), то λ0 будет собственным значением задачи (??)–(??) тогда и только тогда, когда λ0 — корень характеристического уравнения ¡ ¢ ¡ ¢ χ(λ) := (ha22 − a21 ) + a24 hs(1−ε) (1, λ) − c(1−ε) (1, λ) + a23 hs(−ε) (1, λ) − c(−ε) (1, λ) . (7)

При этом кратность p(λ0 ) нуля λ0 характеристической функции χ(λ0 ) совпадает с размерностью корневого подпространства в точке λ0 задачи (??)–(??). Пусть ω0 (x; λ) = −c(x, λ) + hs(x, λ) — решение задачи Коши для уравнения (??) с начальными условиями ( (−ε) ω0 (0, λ) = −1, (1−ε) ω0 (0, λ) = h. Известно (см. [?]), что решение ω(x, λ) допускает следующее представление: Zx ω(x; λ) = (I + K)ω0 (x; λ) = ω0 (x; λ) + K(x, t)ω0 (t; λ) dt,

(8)

0

при помощи треугольного оператора преобразования I + K, в котором K — вольтерров интегральный оператор, K(·, ·) ∈ C(Ω), Ω = {0 6 t 6 x 6 1}. Из (??) вытекает следующая асимптотическая оценка для ω(x, λ) при λ → ∞ : µ ¶ µ ¶ 1 1 ε ε 1 1 2−ε 2−ε xλ xλ + o λ 2−ε e λ 2−ε e +o , |λ| > R0 . ω(x, λ) ∼ − 2−ε λ

221

Subsection 2.2. Boundary Value Problems

Допустим противное, т.е. ССПФ не полна в L1 [0, 1]. Тогда найдётся функция f ∈ L∞ \ {0}, для которой Z1 0

i¯ ¯ ∂j ω(x, λ) где ωj (x, λn ) = ∂λ ¯ j h

ωj (x, λn )f (x)dx = 0,

λ=λn

, j ∈ {0, 1, . . . pn − 1}, λn ∈ σ(L), pn — кратность корня λn

как нуля характеристической функции χ(λ) вида (??). Введём функцию F˜ (λ) =

Z1

ω(x, λ)f (x)dx.

0

Очевидно, что F˜ (λ) — целая функция. Кроме того, каждое собственное значение λ0 задачи (??)–(??) кратности p является нулём функции F˜ (λ) порядка не ниже p. Следовательно, функция F˜ (λ) (9) F (λ) = χ(λ) является целой. Чтобы доказать, что F (λ) ≡ 0, оценим её рост на мнимой оси. Для этого оценим отдельно рост функций F˜ (λ) и χ(λ). ¯ ¯ ¯F˜ (it)¯6

ε−1

C1 |t| 2−ε π (2 − ε) cos 4−2ε

µ

1

|t| 2−ε cos

e

π 4−2ε

¶ −1 ,

(10)

где C1 — некоторая константа. С помощью (??) и (??) получаем асимптотическую оценку характеристической функции (??): ´ 1 1 1 1 ³ 2−ε ha23 λ− 2−ε + (ha24 − a23 ) − a24 λ 2−ε eλ − χ(λ) = (ha22 − a21 ) + 2−ε − Поскольку

π 4

<

π 4−2ε

µ

µ ¶ 1 1 +O . λ |λ|2 ³ 1 ´ > 0. Тогда Re λ 2−ε > 0 и

ha23 ha24 − a23 − Γ(ε) Γ(ε − 1)

π < π2 , то cos 4−2ε

χ(λ) ∼

1 1 −a24 2−ε 2−ε λ eλ , 2−ε

¶

λ = iy,

(11)

y→∞

Из (??), (??) и (??) получаем µ ¶ 1 π |t| 2−ε cos 4−2ε C1 e − 1 |t|−1 C2 C2 |F (λ)| 6 − = → 0, 1 1 π π |t| |t| 2−ε cos 4−2ε |t| 2−ε cos 4−2ε π cos 4−2ε (−a24 )e |t|e

|t| → +∞.

Из теоремы Фрагмена-Линделёфа и теоремы Лиувилля следует, что F (λ) ≡ 0. Следовательно, F˜ (λ) ≡ 0. Но это означает, что f (x) "ортогональна" ω(x, λ) при всех λ и (I + K ∗ )f (x) = 0. Так как оператор K — вольтерров, то K ∗ — тоже вольтерров и I + K ∗ обратим. Значит, f (x) = 0 для п. в. x ∈ [0, 1]. Полученное противоречие доказывает полноту ССПФ задачи (??)–(??). ¤

222

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems Список литературы

[1] Агибалова А. В., Оридорога Л. Л. О полноте систем собственных и присоединённых функций дифференциальных операторов порядка 2 − ε// Учёные записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского.—2003, т.16 (55), 1, с. 111–115. [2] Джарбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области.—М.—Наука, 1966. [3] Malamud M. M. Подобие вольтерровых операторов и смежные вопросы теории дифференциальных уравнений дробных порядков.—Труды Мос. Мат. общества, 1994, т.55, с. 73–148. [4] Malamud M. M., Oridoroga L. L. Analog of the Birkhoff theorem and the completeness results for fractional order differential equations.— Russian Jour. of Math. Physics, 2001, vol. 8, 3, p. 287-308. [5] Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения.—Киев—"Наукова думка", — 1977. [6] Шкаликов А. А. О полноте собственных и присоединённых функций обыкновенного дифференциального оператора с распадающимися краевыми условиями // Функциональный анализ и его приложения. — 1976, т.10, 4, с. 69–80.

Агибалова А. В., кафедра математического анализа и теории функций, математический факультет, Донецкий национальный университет, ул. Университетская, 24, г. Донецк, 83055 E-mail: [email protected]

Subsection 2.2. Boundary Value Problems

223

SINGULAR NONLINEAR BOUNDARY VALUE PROBLEMS AND ASSOCIATED SPECTRAL ONES ARISING IN THE INFLATIONARY COSMOLOGY N. B. Konyukhova, A. L. Dyshko Dorodnicyn Computing Centre of RAS, Moscow N. A. Voronov Institute of Theoretical and Experimental Physics, Moscow Keywords: (D + 1)-dimensional space-time with the de Sitter metric (D ≥ 1), N interacting scalar Higgs fields (1 ≤ N ≤ D), system of N nonlinear wave equations (NWEqs), singular problem in all the space, the domain walls with the different space symmetries, self-similar soliton-type solutions, second-order nonlinear ordinary differential equation (ODE) with the singularities and large parameter, singular boundary value problem (BVP) and its solvability, a multiplicity of solutions, associated singular spectral problem (SP) for a bifurcation parameter (singular self-adjoint Sturm-Liouville problem), continuability of solutions on an infinite interval and their asymptotic behavior.

A brief representation on a correct statement and analytical-numerical approach to some singular problems arising from the inflationary cosmology models with scalar Higgs fields is given. The formulated problems are more common than studied in [?]–[?].

Introduction The inflationary cosmology is the morden theory of the very early stages of the evolution of the Universe where a space-time is postulated as the de Sitter space (see, e.g., [?]–[?] and references there). For the corresponding cosmological paradigm, the scalar Higgs fields (or the fields with spontaneous break of symmetry) play an important role as well as in the theory of the elementary particles (with reference to the particle physics, see, e.g., [?], [?]); in particular, the objects generated by such fields could be treated as the prototypes (pre-images) of a matter. For the topic of this paper, the previous results have been obtained in [?]–[?]: in the fourdimensional de Sitter space, the scalar neutral Higgs fields (until three ones) were considered; for self-similar soliton-type solutions of the corresponding NWEqs, the singular ODEs were obtained and studied by analytical-numerical methods. In this paper we consider a general case of N interacting scalar Higgs fields in the (D + 1)dimensional de Sitter space (D ≥ 1, 1 ≤ N ≤ D). For a corresponding system of NWEqs, we construct self-similar soliton-type solutions defined and bounded in all the P -dimensional subspace on spatial variables (1 ≤ P ≤ D) and including into themselves the investigated solutions (for D = 3 and N = 1, 2, 3) as the particular cases. In what follows, we use the system of units with c = ~ = 1, where c is the speed of light in vacuum and ~ is the Plank constant. In this system, which is commonly used in cosmology, the only nontrivial dimension is that of mass ([m] = M ), and both length ([l] = L) and time ([t] = T ) have the dimension 1/M : [c] = L/T , [~] = M L2 /T (dimension of ~ follows from the relation E = ~ω), so that c = ~ = 1 implies L = T = 1/M (in detail see, e.g., [?]–[?]). 1. Statement of singular problem for system of nonlinear wave equations The (D + 1)-dimensional space-time with the coordinates x0 = t, x1 , . . . , xD is called the de Sitter space when it is provided with the metric ds2 = dt2 − exp(2Ht)

D X i=1

dx2i ,

(1)

224

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

where ds is an element of length, D ≥ 1 and 0 < H is the Hubble constant, [H] = M (1/H is called the de Sitter horizon). The metric tensor corresponding to (??) satisfies the Einstein equation with the cosmological constant Λ = D(D − 1)H 2 /2.

(2)

In this space-time, we consider a system of N nonlinear scalar neutral fields {ϕj }N j=1 with the Higgs self-action potential N X U (ϕ1 , . . . , ϕN ) = λ ( ϕ2j − ν 2 )2 , 2

(3)

j=1

where λ and ν are positive parameters, [λ] = M whereas both ϕj and ν are the dimensionless quantities. The column ϕ ~ with components ϕ1 , . . . , ϕN can be treated as a unified field with values in the N -dimensional space of columns RN f ield . PN 2 The values ϕj ≡ ϕvj such that j=1 ϕvj = ν 2 are called the true degenerate vacua of the same depth d (d = λ2 ν 4 ) because they correspond to the lowest-energy stable states of the field whereas the point ϕ1 = . . . = ϕN = 0 is referred to as a trivial (or false) vacuum because it corresponds to unstable equilibrium of the field. It is convenient to introduce the dimensionless variables ϕj,new = ϕj,old /ν,

~rnew = (a0 H/ν)~rold ,

τ = − exp(−Ht)/ν,

(4)

where a new time variable τ (conformal time) is especially important: {0 ≤ t < ∞} ⇐⇒ {−ν −1 ≤ τ < 0} and {−∞ < t < ∞} ⇐⇒ {−∞ < τ < 0} whereas for a geodesicly complete space we must put formally −∞ < τ < ∞ (in detail see, e.g., [?], p.139). To study the object evolution for t > 0, it is enought to consider the main interval −ν −1 ≤ τ < 0 extending under the necessity obtained solution onto geodesicly complete space. In what follows, √ (5) 0 < C = λν/H = d/(νH) is a dimensionless parameter relating the values and depth of the Higgs-field vacua to the de Sitter horizon. If we use the dimensionless variables (??), then the true vacua satisfy relation N X

ϕ2vj = 1,

(6)

j=1

i.e., for N ≥ 2 they form the unit (hyper)sphere in the field space RN f ield ; for N = 1, there are two vacuum values ϕ1± = ±1. At last, extending the approach and hypothesises of [?], [?] on the general case under consideration in this paper, we obtain the equations describing a system of scalar Higgs fields in the de Sitter space in the form N ³X ´ ∂ 2 ϕj ∂ϕj 2 2 2 − [(D − 1)/τ ] − ∆ ϕ + (4C /τ )ϕ ϕ − 1 = 0, j = 1, . . . , N, (7) D j j s ∂τ 2 ∂τ s=1 ~r ∈ RD , τ ∈ [−ν −1 , 0), where ∆D is the D-dimensional Laplace operator. We look for a solution {ϕj (~r, τ )}N j=1 to Eqs.(??) defined and bounded in all the subspace P D −1 R ⊆ R ∀τ ∈ [−ν , 0], different from true vacua and satisfying condition lim

|~ r |→∞

N X j=1

ϕ2j (~r, τ ) = 1 ∀~r, τ : ~r ∈ RP , τ ∈ [−ν −1 , 0).

(8)

Subsection 2.2. Boundary Value Problems

225

Remark 8. If N = 1 then the problem (??), (??) is invariant under change from ϕ1 to −ϕ1 and when one of the vacuum states (e.g., ϕv1+ = 1) is observed, discrete symmetry is said to be spontaneously broken. The symmetry is called global if it is independent of both time and spatial coordinates. If N ≥ 2 then the problem (??), (??) has a global SO(N ) symmetry in the space of the fields, i.e., remains invariant under the transformation ϕ ~ ⇒ A~ ϕ, ϕ ~ ∈ N N N T R , A ∈ R × R , A A = EN , det A = 1, where EN is an identity N × N –matrix and A is the matrix of orthogonal rotations in RN f ield . The global SO(N ) symmetry is said to be spontaneously broken as a specific point is singled out from the continuous set of vacua on the unit (hyper)sphere (??), moreover for N ≥ 3 the SO(N ) symmetry is broken incompletely: the SO(N − 1) symmetry holds, where SO(N − 1) is the group of orthogonal rotations in the field −1 space RN f ield about the axis containing the point in question (it is in just the same way as in [?] for the Higgs fields in the Minkowski space). 2. Classification of some solutions with the various space symmetries For the problem (??), (??), the solutions with the different space symmetries are defined below. Definition 1. For D ≥ 1 and N = P = 1, let ϕ1 = ϕ(x1 , τ ) be a one-dimensional solution to the problem (??), (??). We say that ϕ(x1 , τ ) is a domain wall (or a heteroclinic solution) if it satisfies condition [ lim ϕ(x1 , τ )][ lim ϕ(x1 , τ )] = −1 ∀τ ∈ [−ν −1 , 0), x1 →−∞

(9)

x1 →∞

i.e., it is a transition layer between two different vacua, whereas ϕ(x1 , τ ) is a wave swell (either a solitary wave or a homoclinic solution) if it satisfies condition [ lim ϕ(x1 , τ )][ lim ϕ(x1 , τ )] = 1 ∀τ ∈ [−ν −1 , 0), x1 →−∞

x1 →∞

(10)

i.e., it is a splash over the same vacuum.

In what follows we rename r = x1 for P = 1 where r ∈ (−∞, ∞). When P ≥ 2, we introduce in RP the polar ((hyper)spherical) coordinates r, θ1 , . . . , θP −1 : x1 = r sin θP −1 sin θP −2 · · · sin θ2 sin θ1 , x2 = r sin θP −1 sin θP −2 · · · sin θ2 cos θ1 , x3 = r sin θP −1 sin θP −2 · · · cos θ2 , (11) ........................... xP −1 = r sin θP −1 cos θP −2 , xP = r cos θP −1 , r ≥ 0, 0 ≤ θ1 < 2π, 0 ≤ θk ≤ π, k = 2, ..., P − 1. In these coordinates, as it is well known, the P -dimensional Laplace operator has the form ∆P ≡ ∂ 2 /∂r2 + [(P − 1)/r]∂/∂r + (1/r2 )LP −1 ,

where LP −1 (θ1 , . . . , θP −1 ) is the Laplace-Beltrami operator: P −1 1X ∂ ³h ∂ ´ , LP −1 = h j=1 ∂θj hj ∂θj hP −1 = 1,

hP −2 = sin2 θP −1 ,

...,

h1 = sin2 θP −1 sin2 θP −2 · · · sin2 θ2 ,

(12)

(13)

(14) h = sinP −2 θP −1 sinP −3 θP −2 · · · sin θ2 . Further we use the following fact. Let U1 (x1 , . . . , xP −1 ) be a homogeneous harmonic polinomial of the first degree on the variables x1 , . . . , xP −1 . Going over to the (hyper)polar coordinates

226

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

(??), we obtain U1 (x1 , . . . , xP −1 ) = rY1 (θ1 , . . . , θP −1 ), where Y1 is a (hyper)spherical function of the first order. Then Y1 satisfies equation (15)

LP −1 Y1 = −(P − 1)Y1 ,

where the Laplace-Beltrami operator LP −1 is given by (??), (??) (see, e.g., [?], p.117). In the polar coordinates (??), we define the following solutions to the problem (??), (??). Definition 2. For D ≥ 2, N = 1 and 2 ≤ P ≤ D, a P -dimensional (hyper)bubble is a centrally symmetric solution ϕ1 = ϕ(r, τ ) to the problem (??), (??) where r is a radial variable in the polar coordinates (??) in RP . Definition 3. For D ≥ 2 and N = P = 2, a (hyper)string (or, for D = 2, a ring) is a solution to the problem (??), (??) having the form ϕ1 = ϕ(r, τ ) sin(nθ1 ),

ϕ2 = ϕ(r, τ ) cos(nθ1 ),

n = 1, 2, . . . ,

(16)

where r and θ1 are the polar coordinates in R2 . Definition 4. For D ≥ 3, 3 ≤ P ≤ D and N = P , a P -dimensional (hyper)monopole is a solution to the problem (??), (??) having the form ϕ1 = ϕ(r, τ ) sin θP −1 sin θP −2 · · · sin θ2 sin θ1 ,

ϕ2 = ϕ(r, τ ) sin θP −1 sin θP −2 · · · sin θ2 cos θ1 , ϕ3 = ϕ(r, τ ) sin θP −1 sin θP −2 · · · cos θ2 , ..............................

(17)

ϕP −1 = ϕ(r, τ ) sin θP −1 cos θP −2 , ϕP = ϕ(r, τ ) cos θP −1 ,

where r, θ1 , . . . , θP −1 are the polar coordinates (??) in RP . For all constructions described above, the condition (??) implies lim ϕ2 (r, τ ) = 1 ∀τ ∈ [−ν −1 , 0)

r→∞

(18)

where ϕ(r, τ ) is the same as in Definitions ??, ??, ?? or ?? respectively. 3. Self-similar solitons and associated singular problems for ODEs At last we look for the self-similar solutions of the indicated above types setting ψ(ξ) = ϕ(r/τ ). For ψ(ξ), taking into account (??), (??), (??), (??) and (??), we get the common problem [(1 − ξ 2 )ψ ′ ]′ − [(D − 1)ξ − (P − 1)/ξ]ψ ′ = Qψ/ξ 2 + 4C 2 ψ(ψ 2 − 1), −∞ < ξ < −1,

−1 < ξ < 0,

lim ψ 2 (ξ) = 1,

ξ→−∞

(19)

(20)

where a value of Q is connected with N , D and P and the following restrictions are valid: 1) if N = 1 then Q = 0, for (D ≥ 1) ∧ (1 ≤ P ≤ D); 2) if N = 2 then Q = Qn = n2 (n = 1, 2, . . .), for (D ≥ 2) ∧ (P = 2); 3) if N ≥ 3 then Q = P − 1, for (D ≥ N ) ∧ (P = N ). As particular cases, Eq.(??) includes ODEs of [?]–[?].

227

Subsection 2.2. Boundary Value Problems

3.1. Singular BVP on a finite interval and its solvability. Let us consider Eq.(??) on the interval (−1, 0). First of all we need to define the limiting boundary conditions (BCs) at the singular points ξ = −1 and ξ = 0. On a classification of [?], these points are regular singular ones but there is no theory of nonlinear ODEs with such points both in [?] and in the other well-known monographs, e.g., in [?] (according to [?], the behavior of solutions near such points are enough nontrivial to study). For singular points ξ = −1 and ξ = 0, we set the limiting conditions | lim ψ(ξ)| < ∞, ξ→−1+0

lim [(1 + ξ)ψ ′ (ξ)] = 0;

(21)

ξ→−1+0

lim [ξψ ′ (ξ)] = 0.

| lim ψ(ξ)| < ∞, ξ→−0

(22)

ξ→−0

For P = 1 (it implies Q = 0), we replace (??) by BCs ψ(0) = 0 or ψ ′ (0) = 0.

(23)

Let us consider the problem (??), (??) (the problem (??), (??)) locally in a vicinity of singular point as a singular Cauchy problem (CP). For a principal linear ODE near the point ξ = −1, i.e., for the equation (1 + ξ)2 ψ ′′ − [(P − D − 2)/2](1 + ξ)ψ ′ = 0, ξ ∼ −1, the characteristic exponents at the point ξ = −1 are λ1 = 0 and λ2 = (P − D)/2. Similarly, for the linear ODE ξ 2 ψ ′′ + ξ(P − 1)ψ ′ − Qψ = 0, ξ ∼ 0, the characteristic exponents at the point ξ = 0 are the following: 1) if Q = 0 then λ1 = 0 and λ2 = 2 − P ; 2) if (Q = n2 , n = 1, 2, . . .) ∧ (P = 2) then λ1,2 = ±n ; 3) if Q = P − 1 then λ1 = 1 and λ2 = 1 − P . Then the next two propositions are the corollaries of the theorem 5 in [?] (this not complicated theorem has been obtained as the corollary and generalization of some Lyapunov results [?]). Proposition 1. For any fixed C 2 , Q and P, D : P − D ≤ 0, singular CP (??), (??) has a one-parameter family of solutions. Each solution of this set is a holomorphic function at the point ξ = −1: ψ(ξ, c0 ) = c0 +

∞ X

ck (c0 )(1 + ξ)k ,

k=1

where c0 is a parameter,

|1 + ξ| ≤ ∆1 (c0 ),

∆1 > 0,

(24)

c1 = c0 [Q − 4C 2 (1 − c20 )]/(D − P + 2),

c2 = {c1 [3D + Q − P − 4C 2 (1 − 3c20 ) + 4] + 8C 2 c0 (1 − c20 )}/[2(D − P + 4)],

c3 = [3(D − P + 6)]−1 {2c2 [3D − P + Q/2 + 9 − 2C 2 (1 − 3c20 )]+ +c1 [4C 2 (2 − 6c20 + 3c0 c1 ) − 3(D + 1)] − 4C 2 c0 (1 − c20 )},

c4 = [4(D − P + 8)]−1 {c3 [9D − 3P + Q + 42 − 4C 2 (1 − 3c20 )]−

−c2 [6D + 14 − 8C 2 (1 − 3c20 + 3c0 c1 )] + c1 [D + 1 − 4C 2 (1 − 3c20 + 6c0 c1 − c21 )]}, n ck+1 = [(k + 1)(D − P + 2k + 2)]−1 ck [Q − 4C 2 + k(5k + 3D − P − 1)]+

(25)

+ck−1 [8C 2 − (k − 1)(4k + 3D − 5)] + ck−2 [(k − 2)(k + D − 2) − 4C 2 ]+ k−l k X k−1 k−l−1 k−2 k−l−2 io hX X X X X cl cm ck−l−m , cl cm ck−l−m−1 + cl cm ck−l−m−2 − 2 +4C 2 l=0 m=0

l=0 m=0

l=0 m=0

k = 4, 5, . . . .

Proposition 2. For any fixed C 2 , D and P, Q: (P ≥ 2) ∧ (Q = 0) (the case I) either (P = 2) ∧ (Q = n2 , n = 1, 2, . . .) (the case II) or (P ≥ 3) ∧ (Q = P − 1) (the case III), singular CP

228

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

(??), (??) has a one-parameter family of solutions. Each solution of this set is a holomorphic function at the point ξ = 0: ∞ X q b2k (b0 )ξ 2k ], |ξ| ≤ ∆0 (b0 ), ∆0 > 0, (26) ψ(ξ, b0 ) = ξ [b0 + k=1

where b0 is a parameter; for the case I, q = 0 and −1

b2k+2 = [(k + 1)(2k + P )]

©

2

b2k [k(2k + D) − 2C ] + 2C

2

k−l k X X

l=0 m=0

ª b2l b2m b2k−2l−2m ,

(27)

k = 0, 1, . . . ;

for the case II, q = n and b2k = b2k−2 [(2k + n − 2)(2k + n + D − 2) − 4C 2 ]/[4k(k + n)], k = 1, . . . , n, © b2k = [4k(k + n)]−1 b2k−2 [(2k + n − 2)(2k + n + D − 2) − 4C 2 ]+ +4C

2

k−n−1 X k−n−l−1 X l=0

for the case III, q = 1 and

4C

b2l b2m b2(k−n−l−m−1) ,

m=0

b2 = (D + 1 − 4C 2 )b0 /[2(2 + P )], 2

ª

k−2 k−l−2 X X

k = n + 1, n + 2, . . . ;

© b2k = b2k−2 [(2k − 1)(2k + D − 1) − 4C 2 ]+ ª

b2l b2m b2k−2l−2m−4 /[2k(2k + P )],

l=0 m=0

(28)

(29)

k = 2, 3, . . . .

Taking into account Propositions ??, ?? and the input restrictions on the parameters D, P and Q, we obtain that singular BVP (??), (??), (??) is a correctly formulated problem with respect to a number of the BCs near the both ends of the singular interval (-1, 0). For P = 1, analogous statement concerns to the problem (??), (??), (??) on the interval (-1, 0]. Proposition 3. For any fixed C 2 6= 0, when (D ≥ 2)∧(P ≥ 2)∧(Q = 0) either (D ≥ 2)∧(P = 2) ∧ (Q = n2 , n = 1, 2, . . .) or (D ≥ 3) ∧ (P ≥ 3) ∧ (Q = P − 1) any solution of singular BVP (??), (??), (??) satisfies restriction |ψ(ξ)| ≤ 1,

(30)

−1 ≤ ξ ≤ 0.

This problem is solvable and in general there occurs a multiplicity of solutions (in particular ψ0 (ξ) ≡ 0 is a solution to the problem and, when Q = 0, the values ψ± (ξ) ≡ ±1 are the solutions as well; for Q 6= 0 these vacuum values are the super- and subsolution respectively). For (D ≥ 1) ∧ (P = 1) ∧ (Q = 0), the restriction (??) concerns to the solutions of singular BVP (??), (??), (??) with ψ0 (ξ) ≡ 0 and ψ± (ξ) ≡ ±1 as the particular solutions to the problem.

3.2. Multiplicity of solutions and associated singular SP. We used Propositions ??, ??, ?? to solve BVP (??), (??), (??) (BVP (??), (??), (??)) numerically by shooting methods. As it was expected, the number of solutions depends on the value of C. With the growth of C, a new solution appears as a small perturbation of the false vacuum, moreover critical points of the global bifurcation are the eigenvalues (EVs) of the associated singular SP. This problem is formulated for the linear ODE obtained by the linearization of Eq.(??) on a trivial solution: [(1 − ξ 2 )ψ ′ ]′ − [(D − 1)ξ − (P − 1)/ξ]ψ ′ − Qψ/ξ 2 + 4C 2 ψ = 0, | lim ψ(ξ)| < ∞, ξ→−1+0

ξ→−0

lim [(1 + ξ)ψ (ξ)] = 0;

ξ→−1+0

| lim ψ(ξ)| < ∞,

′

lim [ξψ ′ (ξ)] = 0.

ξ→−0

−1 < ξ < 0,

(31) (32) (33)

Subsection 2.2. Boundary Value Problems

229

For P = 1, we replace (??) by (??). If C = Cm is the EV of singular linear SP (??), (??), (??) (SP (??), (??), (??)) then for each C : Cm < C < Cm+1 , the input nonlinear BVP (??), (??), (??) (BVP (??), (??), (??)) has exactly m nontrivial solutions ψ1 (ξ, C), . . . , ψm (ξ, C) (to within sign) different from ψ± (ξ) = ±1 where ψk (ξ, C) has equally k zeros on the interval (−1, 0) (for P = 1, on the interval (−1, 1)). As far as we know, no theory of singular self-adjoint Sturm-Liouville problems for ODEs with two singular points has been developed to the present day. To solve singular SP (??), (??), (??) (SP (??), (??), (??)) we use a phase method (see, e.g., [?], [?], [?]). Moreover there are some cases with the exact solutions: 1) when (D = P = 1) ∧ (Q = 0), we obtain the Legendre equation [(ξ 2 − 1)ψ ′ ]′ = p 2 4C ψ, −1 < ξ < 1, so that there are the exact EVs, C = Cm = m(m + 1)/2, m = 1, 2, . . . , and the eigenfunctions proportional to the Legendre polynomials Pm (ξ); p 2 2) when (D = 3) ∧ (P = 1) ∧ (Q = 0), in the variable v(ξ) = 1 − ξ ψ(ξ) we obtain the i h i′ h 2 2 2 ′ associated Legendre equation (1 − ξ )v + 2(2C + 1) − 1/(1 − ξ ) v = 0, −1 < ξ < 1, and 1/2 for each C = Cm = [(m + 1)(m + 2)/4 − 1/2] p , m = 1, 2, . . . , singular SP has a nontrivial ′ solution vm (ξ) proportional to the function 1 − ξ 2 Pm+1 (ξ); 3) whenh (D = 3) ∧i (P = 3) ∧ (Q = 0), in the variable v(ξ) = ξψ(ξ) we obtain the Legendre ′

equation (ξ 2 − 1)v ′ = 2(2C 2 + 1)v, −1 < ξ < 0, and for each C ∼ Cm , where Cm = h i1/2 (2m + 1)(m + 1)/2 − 1/2 , m = 1, 2, . . . , we obtain a small solution ψ(ξ, C) to the input nonlinear BVP (??), (??), (??) approximately proportional to the function P2m+1 (ξ)/ξ, where P2m+1 (ξ) is the Legendre polynomial. 3.3. Continuable solutions and their asymptotic behavior. Finally we establish that the solutions of nonlinear singular BVP (??), (??), (??) (BVP (??), (??), (??)) determine multiple self-similar solutions to the input singular problem (??), (??) of the types defined in Section 2. Proposition 4. For any fixed C 2 and D, P , Q satisfying restrictions of Proposition ??, each solution of Eq.(??) from the set (??), (??) is continuable to the left with no limit and for C 2 > D2 /32 has the asymptotics n ¡¡√ ´ ¢ ª −D/2 2 2 cos 32C − D /2 ln |ξ| + δ(c0 ) + o(1) , ξ → −∞, ψ(ξ, c0 ) = sign(c0 ) + A(c0 )|ξ| where A(c0 ) and δ(c0 ) are the constants uniquely defined by a specification of a value of c0 in the expansion (??), (??), so that ψ(ξ, c0 ) with c0 6= 0 satisfies condition (??) (it is a natural condition for the solutions of the family (??), (??)).

Corollary. For singular BVP (??), (??), (??) with fixed C 2 > D2 /32 and D, P , Q satisfying the input restrictions, each nontrivial and different from ψ± = ±1 solution ψ(ξ), continued to the left with no limit and used for the input problem (??)), (??) as a function ϕ(r/τ ), ϕ(r/τ ) = ψ(ξ), defines a self-similar (hyper)bubble (N = 1) either a self-similar (hyper)string (N = 2) or a self-similar (hyper)monopole (N ≥ 3); for singular BVP (??), (??), (??), when N = 1, the analogous statement is valid for self-similar domain walls and wave swells. For large values of C, the behavior of solutions is qualitatively consistent both with the thinwall approximation and the results of singular perturbation theory. In detail, see in [?]–[?] the analytical-numerical studies relating to the case D = 3. This work was supported by RFBR, project N 02-01-00050. References [1] Basu R., Vilenkin, A. Evolution of Topological Defects During Inflation // Phys. Rev. D. — 1994. — No. 12 (50). — P. 7150-7153.

230

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

[2] Dyshko A.L., Konyukhova N.B. Self-Similar Solutions to the Nonlinear Wave Equation for the Higgs Field in the de Sitter Space // Comput. Maths Math. Phys. — 1999. — No. 1 (39). — P. 118-134. MR 2000c : 58051. [3] Dyshko A.L., Konyukhova N.B., Voronov N.A. Automodelling Solutions for the Higgs-Field Nonlinear Wave Equation in the de Sitter Space // Comput. Phys. Commun. — 2000. — No. 1-2 (126). — P. 57-62. [4] Dyshko A.L., Konyukhova N.B. Singular Nonlinear Boundary Value Problems in the Inflationary Cosmology Models with a Scalar Field // Spectral and Evolution Problems: Proceedings of the Tenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium (KROMSH-X) (18-29 September, 1999, Sevastopol, Laspi)/ Group of authors, Kopachevsky, N.D. and Orlov, I.V., Eds. – Simferopol: National Taurida V.Vernadsky University, Crimean Mathematical Foundation, Crimean Academy of Sciences. — 2000. Vol. 10. — P. 121-126. [5] Dyshko A.L., Konyukhova, N.B. Multiple One-Dimensional and Spherically Symmetric Self-Similar Solutions to the Nonlinear Wave Equation for the Higgs Field in the de Sitter Space // Comput. Maths Math. Phys. — 2001. — No. 3 (41). — P. 435-456. MR 2001m : 81197. [6] Dyshko A.L., Konyukhova, N.B., Multiple Self-Similar String and Monopole Solutions to Nonlinear Wave Equations in Inflationary Cosmology // Comput. Maths Math. Phys. — 2002. — No. 4 (42). — P. 450-469. MR 2003e : 83076. [7] Dyshko,A.L., Konyukhova N.B. Multiple Self-Similar Solitons to the Higgs Field in the de Sitter Space // J. Comput. Methods in Sciences and Engineering (JCMSE). — 2002. — No. 1-2 (2). —- P.155-162. [8] Dolgov A.P., Zel’dovich Ya.B., Sazhin M.V. Kosmologiya rannei Vselennoi (Cosmology of the Early Universe) // Moscow: Mosk. Gos. Univ., 1988. [9] Linde A.P. Particle Physics and Inflationary Cosmology // Harwood Academic, Chur, Switzerland, 1990. [10] Vilenkin A., Shellard E.P.S. Cosmic Strings and Other Topological Defects // Cambridge: Cambridge University Press, 1993. [11] Rubakov V.A. Klassicheskie kalibrovochnye polya (Classical Gauge Fields) // Moscow: Editorial URSS, 1999. [12] Belova T.I., Kudryavtsev A.E. Solitons and Their Interactions in Classical Field Theory // Physics Uspekhi. — 1997. — Vol. 40. — P. 359-386. [13] Birrel N.D., Davies P.C.W. Quantum Fields in Curved Space // Cambridge: Cambridge University Press, 1982. [14] Belova T.I., Voronov N.A. Evolution of a Bubble in a Theory with a Degenerate Vacuum in Friedmann and de Sitter Spaces // JETF Lett. — 1995. —- No. 5 (61). — P. 341-345. [15] Vecoua E. O metagarmonicheskikh funkciyakh (On Metaharmonic Functions) // Trudy Tbilisskogo Matematicheskogo Instituta (The works of the Tbilissi Mathematical Institute). — 1943. — Vol. XII. — P. 105-174. [16] Wasov W. Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations // New York: Wiley, 1965. [17] Coddington E.A., Levinson N. Theory of Ordinary Differential Equations // New York: Mc Graw-Hill, 1955. [18] Konyukhova N.B. Singular Cauchy Problems for Systems of Ordinary Differential Equations // Comput. Maths. Math. Phys. — 1983. — No. 3 (23). — P. 72-82. MR 85h: 34005; ZM 529.34003; ZM 553.34002. [19] Lyapunov A.M. Obshchaya zadacha ob ustoichivosti dvizheniya (The General Problem of Motion Stability) // Moscow: Gostekhteoretizdat, 1950. [20] Kitoroage D.I., Konyukhova N.B., Pariiskii B.S. A Modified Method of Phase Functions in Singular Problems of Quantum Physics for the Bound States of Particles// Soobshcheniya po prikladnoi matematike (Communications in Applied Mathematics). Moscow: Vychisl. Tsentr Akad. Nauk SSSR, 1987. MR 92d: 81027. [21] Konyukhova N.B., Staroverova I.B. Modification of the Phase Method for Singular Selfadjoint SturmLiouville Problems // Comput. Maths. Math. Phys. — 1997. — No. 10 (37). — P. 1143-1160. MR 98h: 34049. [22] Konyukhova N.B., Linh V.H., Staroverova I.B. Modifications of the Method of Phase Functions as Applied to Singular Problems in Quantum Physics // Comput. Maths. Math. Phys. — 1999. — No. 3 (39). — P. 468-498. MR 2000b: 81025.

N. Konyukhova, Dorodnicyn Computing Centre, Russian Academy of Sciences, Vavilov str., 40, Moscow 119991, Russia E-mail: [email protected]

231

Subsection 2.2. Boundary Value Problems

THE OPERATOR METHOD OF THE INVESTIGATION OF THE FOURTH ORDER EQUATION Yu.T.Silchenko 11 Voronezh State University, Russia The fourth order partial differential equation with boundary conditions and condition in zero is considered in the space Lp . The problem is reduced to an abstract equation with an irreversible operator by the derivative. The unique solvability of the problem is established with its help. Keywords: differential equation, operator, resolvent, generalized semigroup

We shall consider the equation ∂2 ∂x2

µ

∂2u ∂2u +2 2 ∂x∂t ∂x

¶

= f (t, x)

(1)

where t ∈ (0, 1], x ∈ [0, 1], u = u(t, x) is an unknown function, f (t, x) is the given function, boundary conditions u(t, 0) = u(t, 1) = 0 (2) and initial condition ∂ 2 u(0, x) = u0 (x) (3) ∂x2 (u0 (x) is the given function). We shall seek a solution of this problem such that the left side of equation (1) belongs to the space Lp (0 < x < 1) - and the differentiation with respect to t is understood in the norm of this space. We assume v(t, x) = u′x (t, x), then we shall receive the system ´ ( 2 ³ 2 ∂ ∂2u ∂v ∂ u + ∂x2 + ∂x = f (t, x) (4) ∂x2 ∂x∂t ∂u ∂x

(5)

− v = 0.

Problem (4)-(5), (2)-(3) is considered in the space E = Lp (0, 1) × Lp (0, 1) of the elements w = (u, v) with the norm k w k=k u k + k v k . We shall introduce the matrix operators µ d2 ¶ ¶ µ d d 0 − dx2 − dx dx A= , B= d 0 0 − dx 1 with the domains

D = D(A) = {w ∈ Wp2 , w = (u, v), u(0) = u(1) = 0}, DB = D(B) = Wp1 2

d and operator C = with the domain D(C) = {u dx2 u(0) = u(1) = 0}. Now problem (4)-(5), (2)-(3) is reduced to abstract Cauchy problem ½ Bwt′ − Aw = F (t) (6) w(o) = w0 , (7)

where F (t) = (C −1 f (t, .), 0), w0 = (C −1 u0 (.), 0). The last problem has a peculiarity: operator B is irreversible. We shall consider the generalized resolvent equation (λB − A)w = Φ, 11The

Φ = (f, g)

work is fulfilled with the financial support of RFBR(grant 04-01-00141)

∈

Wp2 (0, 1),

232 or

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems ½

u′′ + λu′ + v ′ = f (x), x ∈ [0, 1] u′ − v = g(x)

u(0) = u(1) = 0. We can write out the solution of this problem Z1 1 − eλx u(x) = − eλ(s−1) g(s)ds + G(x, λ) 1 − e−λ 0

where G(x, λ) — the other terms and k G(·, λ) k≤ C|λ|−1 , | arg λ| < π. Having used the structure of matrix B we get µ ¶ µ ¶ u f −1 . = B(λB − A) 0 g That is why 1 k B(λB − A)−1 k≤ C|λ| p −1 , | arg λ| < π. (8) Estimate (8) allows to construct the generalized semigroup [1] for equation (6) Z 1 eλt A−1 B(λB − A)−1 dλ (t > 0), T (t) = 2πi Γ

where Γ is a certain special contour. The operator function T (t) has the following properties: 1) T (t) ∈ L(E), T (t) : E → D; 2) T (t + s) = T (t)AT (s), t, s > 0; 3) T (t) is differentiable at t greater than zero in the norm of L(E) and BT ′ (t) = AT (t); 4) lim BT (t) = BA−1 for t → +0 in the norm of L(E). That is why the function w(t) = T (t)w0 satisfies the homogeneous equation (6) and the initial condition Bw(0) = BA−1 w0 . Now we shall consider the function Zt h(t) = T (t − s)f (s)ds. 0

This function satisfies the equation Bh′ (t) = Ah(t) + BA−1 f (t) and h(t) → 0 for t → +0. Its existence is established in [2]. Thus the function Zt w(t) = T (t)w0 + T (t − s)f (s)ds 0

is the solution of the problem ½ Bw′ (t) = Aw(t) + BA−1 f (t) Bw(0) = BA−1 w0

Now we return to the problem introduced at the beginning and calculate that  x  ¶ µ R R1 f (t, x) (x − s)f (t, s)ds + x (s − 1)f (t, s)ds  = = 0 BA−1 0 0 0

(9) (10)

Subsection 2.2. Boundary Value Problems

233

µ

¶ C −1 f (t, x) = . 0 We shall consider the equality of the first components of equation (9): ∂u ∂ 2 u ∂v + 2+ = C −1 f (t, x). ∂t ∂x ∂x Having differentiated the last equality twice we get the functions u and v satisfying equation (4). The equality of the second components will give equation (5) and then (1). The realization of (3) is verified analogously. That is why the following theorem is valid Theorem. Let the following conditions be realized 1 1) k f (t + ∆t, ·) − f (t, ·) kLp ≤ C | ∆t |1− p ; 2) u0 (x) ∈ Lp . Then the problem (1)-(3) has the unique solution. References [1] Silchenko Y.T. Differential equation with a degenerate operator // Modern problems of functional analysis and differential equations. Conference proceedings. Voronezh state university publishing house, Voronezh (2003), - P. 208-212 (Russian). [2] Silchenko Y.T. On a class of semigroups. Functional analysis and its applications. V. 33, N 4(1999). - P.90-93. Yu.T.Silchenko, Dr. Sci., Prof. of Voronezh State University. Math. Department of VSU, Universitetskaya pl., 1, 394006, Voronezh, Russia E-mail: [email protected].

234

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

HYPERBOLIC DIFFERENTIAL-OPERATOR EQUATIONS ON A FINITE INTERVAL S. Yakubov University of Haifa Haifa, Israel, Ya. Yakubov Tel-Aviv University Tel-Aviv, Israel In this paper we give, for the first time, an abstract interpretation of such initial boundary value problems for hyperbolic equations that a part of boundary value conditions contains also a differentiation on the time of the same order as equations. A similar situation for parabolic and elliptic equations has been studied in [YYa2, section 7.2.10] and [YakS], respectively. Initial boundary value problems for hyperbolic equations are reduced to the Cauchy problem for a system of hyperbolic differentialoperator equations. A solution of this system is not a vector-function but one function. At the same time, the system is not overdetermined. We prove the well-posedness of the Cauchy problem and for some special cases we give an expansion of a solution to the series of eigenvectors. As application we show, in particular, a generalization of the classical Fourier method of separation of variables.

1. Introduction Problems with the time differentiation in boundary conditions arise in many problems of physics and mechanics. We consider a situation in which the time differentiation appears at the same order in both the equation and boundary conditions. About importance of such kind of problems see, e.g., [LSQi], [TiSa, Application to ch.II, §3] and references therein. First, we give an abstract interpretation of such initial boundary value problems for hyperbolic equations that a part of boundary value conditions contains also a differentiation on the time t of the same order as the equation. We prove the well-posedness of such abstract problems. For some particular cases, we have expanded a solution to the series of eigenvectors of the corresponding spectral problem. Then we show an application of these abstract results to partial (hyperbolic) differential equations. In the second case, we have obtained a generalization of the classical Fourier method of separation of variables to the case in which boundary conditions contain the differentiation on the time t. Corresponding hyperbolic differential-operator equations on a whole axis, for almost periodic solutions, and oscillations decay have been studied in [Yak1] and [Yak2]. Let H and F be Hilbert spaces. The set H ⊕ F of all vectors of the form (u, v) where u ∈ H, and v ∈ F , with usual coordinatewise linear operations and the norm ´ 21 ³ k(u, v)kH⊕F := kuk2H + kvk2F

is a Hilbert space and called the orthogonal sum of Hilbert spaces H and F . For the operator A closed in a Hilbert space H, the domain D(A) is turned into a Hilbert space H(A) with respect to the norm ³ ´1 2 2 2 kukH(A) := kuk + kAuk . If H1 and H are two Hilbert spaces where H1 ⊂ H, then H1 can be represented as the domain D(S) = H1 of a suitable positive definite selfadjoint operator S in H (see, for example, [Trie, Remark 1.18.10/3]). Then, by [Trie, Theorem 1.18.10], the interpolation space (H1 , H)θ,2 = H(S 1−θ ).

Subsection 2.2. Boundary Value Problems

235

Wpℓ ((0, 1); H), 1 ≤ p < ∞, 0 ≤ ℓ is an integer, denotes a Banach space of functions u(x) with values in H which have generalized derivatives up to the ℓ-th order inclusive on (0, 1) and the norm ℓ ³ Z1 ´ p1 X kukWpℓ ((0,1);H) := ku(k) (x)kp dx k=0

0

is finite. C k ([0, T ]; H), 0 ≤ k is an integer, denotes a Banach space of functions u(x) with values from H which have continuous derivatives up to the k-th order inclusive on [0, T ] and the norm kukC k ([0,T ];H) := is finite. Denote by

k X ℓ=0

max ku(ℓ) (x)k

x∈[0,T ]

C 2 ([0, T ]; H1 , H2 , H3 ) := C([0, T ]; H1 ) ∩ C 1 ([0, T ]; H2 ) ∩ C 2 ([0, T ]; H3 ).

We present here all results without proofs. The paper with rigorous proofs will appear in the journal “Differential and Integral Equations". 2. Hyperbolic differential-operator equations An abstract interpretation of such initial boundary value problems for hyperbolic equations that a part of boundary value conditions contains also the differentiation on the time t is different from the one of those problems which do not contain the differentiation on t in boundary conditions. Let us derive such an abstract interpretation. Let H and H ν , ν = 1, ..., s, be Hilbert spaces. Consider the following initial boundary value problem L(Dt )u := u′′ (t) + A(t)u′ (t) + (B + B1 (t))u(t) = h(t), (1) Lν (Dt )u := (Aν0 u(t))′′ + Aν2 u(t) = hν (t), ν = 1, ..., s, ′

(2)

u(0) = u0 , u (0) = u1 , (3) where t ∈ [0, T ]; A(t), B, and B1 (t) are operators in H; Aν0 and Aν2 are operators from a subspace of H into H ν ; u(t) from [0, T ] into H is an unknown function, h(t) and hν (t) from [0, T ] into H and H ν , respectively, are given functions. Note that operators A(t), B, B1 (t), Aν0 , and Aν2 are, generally speaking, unbounded. A function u(t) is called a solution of problem (1)–(3) if the function t → (u(t), A10 u(t), . . . , As0 u(t)) from [0, T ] into H ⊕ H 1 ⊕ · · · ⊕ H s is twice continuously differentiable, from [0, T ] into H(B) ⊕ H 1 ⊕ · · · ⊕ H s is continuous, and u(t) satisfies (1)–(3). Consider, in the Hilbert space H := H ⊕ H 1 ⊕ · · · ⊕ H s , operators A(t), B, and B1 (t) given by the equalities ( D(A(t)) := D(A(t)) ⊕ H 1 ⊕ · · · ⊕ H s , A(t)(u, v1 , . . . , vs ) := (A(t)u, 0, . . . , 0), o n ¯ ( ¯ D(B) := v ¯ v := (u, A10 u, . . . , As0 u), u ∈ D(B) , B(u, A10 u, . . . , As0 u) := (Bu, A12 u, . . . , As2 u),

and

( D(B1 (t)) := D(B1 (t)) ⊕ H 1 ⊕ · · · ⊕ H s , B1 (t)(u, v1 , . . . , vs ) := (B1 (t)u, 0, . . . , 0).

Theorem 1. Let the following conditions be satisfied:

236

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

(1) B is a closed operator in a Hilbert space H with a dense domain D(B); for t ∈ [0, T ], A(t) and B1 (t) are operators in H with D(A(t)) ⊃ (H(B), H) 1 ,2 and D(B1 (t)) ⊃ (H(B), H) 1 ,2 , 2 2 respectively; (2) the operators Aν0 from (H(B), H) 1 ,2 into H act boundedly and the operators Aν2 , ν = 2

1, . . . , s, from H(B) into H ν act boundedly; Aν0 (H(B), H) 1 ,2 = H ν ; 2 o n ¯ ¯ (3) the linear manifold v ¯ v := (u, A10 u, . . . , As0 u), u ∈ D(B) is dense in the Hilbert space H = H ⊕ H 1 ⊕ · · · ⊕ H s; (4) for u ∈ D(B), v ∈ D(B) (Bu, v)H + (A12 u, A10 v)H 1 + · · · + (As2 u, As0 v)H s = (u, Bv)H + (A10 u, A12 v)H 1 + · · · + (As0 u, As2 v)H s ;

(5) all sufficiently large numbers λ > 0 are regular for the operator pencil L(λ): u → L(λ)u := ³ ´ (λI + B)u, (λA10 + A12 )u, . . . , (λAs0 + As2 )u which acts boundedly from H(B) onto H, and for λ > 0, λ → ∞ kL(λ)−1 kB(H,H) ≤ C|λ|−1 , kAν0 L(λ)−1 kB(H,H ν ) ≤ C|λ|−1 ,

ν = 1, . . . , s;

(6) for t ∈ [0, T ] and u ∈ (H(B), H) 1 ,2 , Re(A(t)u, u) ≥ ωkuk2 for some real number ω, the 2 operator A(t) from (H(B), H) 1 ,2 into H is bounded, and the function t → A(t)u : [0, T ] → H 2 is continuously differentiable; (7) for t ∈ [0, T ], the operator B1 (t) from (H(B), H) 1 ,2 into H is bounded and for u ∈ 2 (H(B), H) 1 ,2 the function t → B1 (t)u : [0, T ] → H is continuously differentiable; 2 (8) h ∈ Wp1 ((0, T ); H), hν ∈ Wp1 ((0, T ); H ν ), ν = 1, . . . , s, for some p > 1; (9) u0 ∈ H(B), u1 ∈ (H(B), H) 1 ,2 . 2 Then there exists a unique solution u(t) of problem (1)–(3) such that the function t → (u(t), A10 u(t), . . . , As0 u(t)) from [0, T ] into H is twice continuously differentiable and from [0, T ] into H(B) ⊕ H 1 ⊕ · · · ⊕ H s is continuous and the following estimate holds ′′

′

ku (t)k + ku (t)k(H(B),H) 1 ,2 + kBu(t)k + ku(t)k + 2

s X ν=1

k(Aν0 u(t))′′ kH ν

s ³ ´ X ≤ C kBu0 k + ku0 k + ku1 k(H(B),H) 1 ,2 + khkWp1 ((0,T );H) + khν kWp1 ((0,T );H ν ) , t ∈ [0, T ]. 2

ν=1

Remark 1. In applications, the first estimate in condition (5), i.e., kL(λ)−1 kB(H,H) ≤ C|λ|−1

can be obtained from [AgmN], [AgrV], but the rest estimates in condition (5), i.e, kAν0 L(λ)−1 kB(H,H ν ) ≤ C|λ|−1 ,

ν = 1, . . . , s

(4)

cannot be obtained from the above and other results. One can get from [AgmN] and [AgrV] an estimate with a loss in power of |λ|, namely, kAν0 L(λ)−1 kB(H,H ν ) ≤ C|λ|−1+ε ,

ν = 1, . . . , s, ε > 0.

Estimate (4) has been proved in [YYa1, Theorem 3.4] for ordinary differential equations (see also the book [YYa2, Theorem 3.2.9/4) and in [KoYa] for elliptic equations (see also the book [YYa2, Theorem 4.3.4/1]).

Subsection 2.2. Boundary Value Problems

237

Consider now such a formulation of problem (1)–(3) which allows us to get an expansion of the solution in a series of elementary solutions. Let H and H ν , ν = 1, ..., s, be Hilbert spaces. Consider the following initial boundary value problem L(Dt )u := u′′ (t) + Au′ (t) + Bu(t) = h(t),

(5)

Lν (Dt )u := (Aν0 u(t))′′ + Aν2 u(t) = hν (t), ν = 1, ..., s,

(6)

u(0) = ϕ0 , u′ (0) = ϕ1 ,

(7)

where t ∈ [0, T ]; A and B are operators in H; Aν0 and Aν2 are operators from H into H ν ; u(t) from [0, T ] into H is an unknown function, h(t) and hν (t) from [0, T ] into H and H ν , respectively, are given functions. Note that operators A, B, Aν0 , and Aν2 are, generally speaking, unbounded. Consider, in the Hilbert space H := H ⊕ H 1 ⊕ · · · ⊕ H s , operators A and B given by the equalities ( D(A) := D(A) ⊕ H 1 ⊕ · · · ⊕ H s , A(u, v1 , . . . , vs ) := (Au, 0, . . . , 0), and

(

D(B) :=

n

¯ o ¯ v ¯ v := (u, A10 u, . . . , As0 u), u ∈ D(B) ,

B(u, A10 u, . . . , As0 u) := (Bu, A12 u, . . . , As2 u),

The corresponding spectral problem is ( λ2 u + λAu + Bu = 0, λ2 Aν0 u + Aν2 u = 0, ν = 1, . . . , s.

(8)

Let there exist a Hilbert space H0 ⊂ H such that the operators A and B from H0 into H act boundedly and the operators Aν0 and Aν2 from H0 into H ν act boundedly. Then, a number λ0 is called an eigenvalue of problem (8) if the problem λ20 u + λ0 Au + Bu = 0, λ20 Aν0 u + Aν2 u = 0, ν = 1, . . . , s has a nontrivial solution u0 ∈ H0 . The nontrivial solution u0 ∈ H0 is called an eigenvector corresponding to the eigenvalue λ0 of problem (8). Theorem 2. Let the following conditions be satisfied: (1) B is a closed operator in a Hilbert space H with a dense domain D(B); A is an operator in H with D(A) ⊃ (H(B), H) 1 ,2 ; the embedding H(B) ⊂ H is compact; 2 (2) the operators Aν0 , ν = 1, . . . , s, from (H(B), H) 1 ,2 into H ν act compactly and the operators 2

Aν2 , ν = 1, . . . , s, from H(B) into H ν act boundedly; Aν0 (H(B), H) 1 ,2 = H ν ; o 2 n ¯ ¯ (3) the linear manifold v ¯ v := (u, A10 u, . . . , As0 u), u ∈ D(B) is dense in the Hilbert space H = H ⊕ H 1 ⊕ · · · ⊕ H s; (4) for u ∈ D(B), v ∈ D(B)

(Bu, v)H + (A12 u, A10 v)H 1 + · · · + (As2 u, As0 v)H s = (u, Bv)H + (A10 u, A12 v)H 1 + · · · + (As0 u, As2 v)H s ;

(5) for u ∈ D(B) and some c 6= 0

(Bu, u)H + (A12 u, A10 u)H 1 + · · · + (As2 u, As0 u)H s ≥ c2 (kuk2H + kA10 uk2H 1 + · · · + kAs0 uk2H s );

238

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

(6) all sufficiently large numbers λ > 0 are regular for the operator pencil L(λ): u → L(λ)u := ³ ´ (λI + B)u, (λA10 + A12 )u, . . . , (λAs0 + As2 )u which acts boundedly from H(B) onto H, and for λ > 0, λ → ∞ kL(λ)−1 kB(H,H) ≤ C|λ|−1 ,

kAν0 L(λ)−1 kB(H,H ν ) ≤ C|λ|−1 , ν = 1, . . . , s; (7) A is a skew-symmetric operator in H, i.e., A∗ u = −Au, u ∈ D(A) and A from (H(B), H) 1 ,2 2 into H is bounded; (8) h ∈ Wp1 ((0, T ); H), hν ∈ Wp1 ((0, T ); H ν ), ν = 1, . . . , s, for some p > 1; (9) ϕ0 ∈ H(B), ϕ1 ∈ (H(B), H) 1 ,2 . 2 Then there exists a unique solution u(t) of problem (5)–(7) such that the function t → (u(t), A10 u(t), . . . , As0 u(t)) from [0, T ] into H is twice continuously differentiable and from [0, T ] into H(B) ⊕ H 1 ⊕ · · · ⊕ H s is continuous and the solution can be expanded to the series u(t) =

∞ X k=1

eλk t

(Buk , uk )H +

s P

ν=1

(Aν2 uk , Aν0 uk )H ν + |λk |2 (kuk k2H +

s h X (Aν2 ϕ0 − λk Aν0 ϕ1 , Aν0 uk )H ν − λk × (Bϕ0 − λk ϕ1 , uk )H + ν=1

+

s X ν=1

´ i (hν (τ ), Aν0 uk )H ν dτ uk ,

Zt 0

s P

ν=1

kAν0 uk k2H ν )

³ e−λk τ (h(τ ), uk )H

where λk are purely imaginary eigenvalues and uk are the corresponding eigenvectors of spectral problem (8), and the series converges in the sense of the space C 2 ([0, T ]; H(B), (H(B), H) 1 ,2 , H). 2

Remark 2. From the proof of Theorem 6 in the Appendix (for the proof see [YYa2, Theorem 6.4.3]) it follows that under the conditions of Theorem 2 there are no associated vectors to eigenvectors uk of problem (8) (for the definition see [YYa2, p.60]) and the eigenvectors uk of problem (8) are orthogonal in the following sense: (Bv k , v m )H + |λk |2 (v k , v m )H = 0, where v k = (uk , A10 uk , . . . , As0 uk ), v m = (um , A10 um , . . . , As0 um ), i.e., for k 6= m, s s ´ ³ X X (Aν0 uk , Aν0 um )H ν = 0. (Aν2 uk , Aν0 um )H ν + |λk |2 (uk , um )H + (Buk , um )H + ν=1

ν=1

3. An initial boundary value problem for hyperbolic equations The following theorem is an application of Theorem 1. Consider, in the domain [0, T ] × [0, 1], a principally initial boundary value problem for the hyperbolic equation 2 u(t, x) + a2 (t, x)Dt u(t, x) − Dx (b(x)Dx u(t, x)) L(Dt )u := Dtt2 u(t, x) + a1 (t, x)Dtx

+B1 (t)u(t, ·) = h(t, x), (t, x) ∈ [0, T ] × [0, 1], ( L1 (Dt )u := αDtt2 [u(t, 0)] + Dx u(t, 0) = h1 (t), t ∈ [0, T ], L2 (Dt )u := βDtt2 [u(t, 1)] + Dx u(t, 1) = h2 (t), t ∈ [0, T ], u(0, x) = u0 (x), Dt u(0, x) = u1 (x), where α, β, are real numbers, Dt :=

∂ , Dx ∂t

:=

∂ . ∂x

x ∈ [0, 1],

By Dtt2 [u(t, 0)] we mean

Theorem 3. Let the following conditions be satisfied:

(9) (10) (11)

d2 u(t,0) . dt2

239

Subsection 2.2. Boundary Value Problems

(1) ai (t, x) are real-valued functions, a1 (t, x) is continuously differentiable, a2 (t, x) is continuous with respect to x and continuously differentiable with respect to t, a1 (t, 0) = a1 (t, 1) = 0, ∀t ∈ [0, T ]; b ∈ C 1 [0, 1], b(x) > 0 for x ∈ [0, 1]; (2) α < 0, β > 0; (3) for t ∈ [0, T ], the operator B1 (t) from W21 (0, 1) into L2 (0, 1) is bounded and for u ∈ W21 (0, 1), the function t → B1 (t)u : [0, T ] → L2 (0, 1) is continuously differentiable; (4) h ∈ Wp1 ((0, T ); L2 (0, 1)), hν ∈ Wp1 (0, T ), ν = 1, 2, for some p > 1; (5) u0 ∈ W22 (0, 1), u1 ∈ W21 (0, 1). Then there exists a unique solution u(t, x) of problem (9)–(11) such that the function t → (u(t, x), u(t, 0), u(t, 1)) from [0, T ] into L2 (0, 1) ⊕ C ⊕ C is twice continuously differentiable and from [0, T ] into W22 (0, 1) ⊕ C ⊕ C is continuous and the following estimate holds 2 2 kDtt2 u(t, ·)kL2 (0,1) + kDtx u(t, ·)kL2 (0,1) + kDxx u(t, ·))kL2 (0,1)

+ku(t, ·)kL2 (0,1) + |Dtt2 [u(t, 0)]| + |Dtt2 [u(t, 1)]|

2 ³ ´ X ≤ C ku0 kW22 (0,1) + ku1 kW21 (0,1) + khkWp1 ((0,T );L2 (0,1)) + khν kWp1 (0,T ) , ν=1

t ∈ (0, T ].

Remark 3. For B1 (t) in equation (9) one can take, for example, D(B1 (t)) := W21 (0, 1),

B1 (t)u := c(t, x)u(x) + d(t, x)u′ (x), where ∀t ∈ [0, T ], c(t, ·), d(t, ·) ∈ C[0, 1] and the functions t → c(t, ·) : [0, T ] → C[0, 1] and t → d(t, ·) : [0, T ] → C[0, 1] are continuously differentiable, or D(B1 (t)) := W21 (0, 1),

Z1 ³ ´ B1 (t)u := c(t, x, y)u(y) + d(t, x, y)u′ (y) dy, 0

where ∀t ∈ [0, T ], c(t, ·, ·), d(t, ·, ·) ∈ L2 ((0, 1) × (0, 1)) and the functions t → c(t, ·, ·) : [0, T ] → L2 ((0, 1) × (0, 1)) and t → d(t, ·, ·) : [0, T ] → L2 ((0, 1) × (0, 1)) are continuously differentiable. Remark 4. The case t ∈ R, a1 (t, x) ≡ a2 (t, x) ≡ 0, h(t, x) ≡ h1 (t) ≡ h2 (t) ≡ 0, and B1 (t) ≡ 0 in (9) was considered in [LSQi]. Remark 5. If s = 0 in problem (1)–(3), i.e., there is no the time differentiation in boundary conditions, then we have the more general Theorem 5 (see Appendix). We present now an application of Theorem 2. Consider, in the domain [0, T ] × [0, 1], an initial boundary value problem for the hyperbolic equation L(Dt )u := Dtt2 u(t, x) + ia(x)Dt u(t, x) − Dx (b(x)Dx u(t, x)) + c(x)u(t, x) = h(t, x), (t, x) ∈ [0, T ] × [0, 1], ( L1 (Dt )u := αDtt2 [u(t, 0)] + Dx u(t, 0) = h1 (t), t ∈ [0, T ], L2 (Dt )u := βDtt2 [u(t, 1)] + Dx u(t, 1) = h2 (t), t ∈ [0, T ],

(12) (13)

u(0, x) = ϕ0 (x), Dt u(0, x) = ϕ1 (x), x ∈ [0, 1], (14) √ ∂ ∂ where α, β, are real numbers, i = −1, Dt := ∂t , Dx := ∂x . The corresponding spectral problem is  2 ′ ′  λ u(x) + λia(x)u(x) − (b(x)u (x)) + c(x)u(x) = 0, (15) λ2 αu(0) + u′ (0) = 0,  λ2 βu(1) + u′ (1) = 0.

240

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

A number λ0 is called an eigenvalue of problem (15) if the problem  2 ′ ′  λ0 u(x) + λ0 ia(xu(x) − (b(x)u (x)) + c(x)u(x) = 0, λ20 αu(0) + u′ (0) = 0,  λ2 βu(1) + u′ (1) = 0 0

has a nontrivial solution u0 (x) ∈ W22 (0, 1). The nontrivial solution u0 (x) ∈ W22 (0, 1) is called an eigenfunction corresponding to the eigenvalue λ0 of problem (15).

Theorem 4. Let the following conditions be satisfied: (1) a ∈ C[0, 1] and is real-valued; b ∈ C 1 [0, 1], b(x) > 0 for x ∈ [0, 1]; c ∈ C[0, 1], c(x) > 0 for x ∈ [0, 1]; (2) α < 0, β > 0; (3) h ∈ Wp1 ((0, T ); L2 (0, 1)), hν ∈ Wp1 (0, T ), ν = 1, 2, for some p > 1; (4) ϕ0 ∈ W22 (0, 1), ϕ1 ∈ W21 (0, 1). Then there exists a unique solution u(t, x) of problem (12)–(14) such that the function t → (u(t, x), u(t, 0), u(t, 1)) from [0, T ] into L2 (0, 1) ⊕ C ⊕ C is twice continuously differentiable and from [0, T ] into W22 (0, 1) ⊕ C ⊕ C is continuous and the solution can be expanded to the series u(t, x) =

∞ X Ck (t) k=1

where Dk =

Z1 0

b(x)|u′k (x)|2 dx +

eλk t uk (x),

Z1

c(x)|uk (x)|2 dx

0

³ Z1

´ |uk (x)|2 dx − b(0)α|uk (0)|2 + b(1)β|uk (1)|2 ,

Z1 ³

´ − (b(x)ϕ′0 (x))′ + c(x)ϕ0 (x) − λk ϕ1 (x) uk (x)dx

+|λk |2

0

Ck (t) =

Dk

0

−b(0)(ϕ′0 (0) − λk αϕ1 (0))uk (0) + b(1)(ϕ′0 (1) − λk βϕ1 (1))uk (1) −λk

Zt 0

e−λk τ

³ Z1 0

´ h(τ, x)uk (x)dx − b(0)h1 (τ )uk (0) + b(1)h2 (τ )uk (1) dτ

and λk are purely imaginary eigenvalues and uk (x) are the corresponding eigenfunctions of spectral problem (15), and the series converges in the sense of the space C 2 ([0, T ]; W22 (0, 1), W21 (0, 1), L2 (0, 1)).12 Remark 6. From Remark 2 it follows that under conditions of Theorem 4 there are no associated functions to eigenfunctions uk (x) of problem (15) (for the definition see [YYa2, p.167]) and the eigenfunctions uk (x) of problem (15) are orthogonal in the following sense: Z1

(−(b(x)u′k (x))′ + c(x)uk (x))um (x)dx − b(0)u′k (0)um (0) + b(1)u′k (1)um (1)

0

12Without

loss of generality we can assume that uk (x) are real-valued functions since uk (x) is also a solution of (15) with purely imaginary λ = λk and, therefore, uk (x) ± uk (x) are also solutions of (15).

Subsection 2.2. Boundary Value Problems +|λk |2

³ Z1 0

241

´ uk (x)um (x)dx − b(0)αuk (0)um (0) + b(1)βuk (1)um (1) = 0, k 6= m.

Remark 7. We cannot take α = β = 0 in (13) because of condition (2) of Theorem 4 (this case can be separately treated using Theorem 6 in the Appendix or Theorem 2 with s = 0). But if we formally take α = β = 0, a(x) ≡ h(t, x) ≡ h1 (t) ≡ h2 (t) ≡ 0, c(x) ≡ c2 > 0, b(x) ≡ b2 > 0 then problem (12)–(14) turns out to be a classical problem and the expansion formula of Theorem 4 coincides with the known one Z1 Z1 1 ϕ1 (x)dx sin(ct) u(t, x) = ϕ0 (x)dx cos(ct) + c 0

0

+2

∞ ³ X k=1

+√

1 2 2 k π b2 + c 2

Z1

Z1 0

√ ϕ0 (x) cos(kπx)dx cos(t k 2 π 2 b2 + c2 )

0

´ √ ϕ1 (x) cos(kπx)dx sin(t k 2 π 2 b2 + c2 ) cos(kπx),

which is obtained by the classical Fourier method of separation of variables. 4. Appendix

Here, we only list theorems which have been used for the proofs of the above results. Consider, in a Hilbert space H, the Cauchy problem for the second order hyperbolic differential-operator equation ′ ˜ ˜ +B ˜1 (t))u(t) = f (t), t ∈ [0, T ], L(D)u := u′′ (t) + A(t)u (t) + (B(t) (16) u(0) = u0 ,

u′ (0) = u1 .

(17)

Theorem 5. [YYa2, Theorem 6.4.1/1] Let the following conditions be satisfied: ˜ (1) for t ∈ [0, T ] the operator B(t) is a selfadjoint positive definite operator in a Hilbert space H; ˜ 21 ) ≡ D(B ˜ 12 ) and for u ∈ D(B ˜ 12 ) ˜ 21 has an independent on t domain D(B(t) (2) the operator B(t) ˜ 12 ) or ˜ 21 u from [0, T ] into H is continuously differentiable; for u ∈ D(B the function t → B(t) 1 ˜ 2 u from [0, T ] into H is twice continuously differentiable or the function the function t → B(t) 1 1 ˜ ˜ −1 u from [0, T ] into H is continuous; ˜ t → B(t) 2 (B(t) 2 )′ B(t) ˜ ˜ ˜ 12 ) and the operator A(t) ˜ (3) for t ∈ [0, T ], A(t) is an operator in H; D(A(t)) ⊃ D(B from 1 1 13 ˜ ˜ ˜ H(B 2 ) into H is bounded ; for u ∈ D(B 2 ) the function t → A(t)u from [0, T ] into H is continuously differentiable; ˜ ˜ 12 ) for some ω ˜ ∈ R; (4) Re(A(t)u, u) ≥ ω ˜ (u, u), u ∈ D(B ˜ ˜1 (t)) ⊃ D(B ˜ 21 ) and the operator B ˜1 (t) (5) for t ∈ [0, T ], B1 (t) is an operator in H; D(B 1 1 ˜ 2 ) the function t → B ˜1 (t)u from [0, T ] into H is ˜ 2 ) into H is bounded; for u ∈ D(B from H(B continuously differentiable; (6) f ∈ Wp1 ((0, T ); H), where p > 1; ˜ ˜ 21 ). (7) u0 ∈ D(B(0)), u1 ∈ D(B ˜ ˜ 21 ), H) and the Then, problem (16)–(17) has a unique solution u ∈ C 2 ([0, T ]; H(B(t)), H(B following estimate holds for a solution of problem (16)–(17), for t ∈ [0, T ]: ´ ³ 1 ˜ ˜ ˜ ˜ 21 u′ (t)k + kB(t)u(t)k 2 u k + kf k 1 ≤ C kB(0)u k + k B(0) ku′′ (t)k + kB(t) 0 1 Wp ((0,T );H) . 13Since

˜ 12 ) = H(B(0) ˜ 12 ). ˜ 12 ) are equivalent, for different t, one can take H(B all spaces H(B(t)

242

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems

Consider, in a Hilbert space H, the Cauchy problem for the second order hyperbolic differential-operator equation ( ˜ ′ (t) + Bu(t) ˜ L(D)u := u′′ (t) + Au = f (t), t ∈ [0, T ], (18) ′ u(0) = g0 , u (0) = g1 , and the characteristic operator pencil ˜ L(λ) := λ2 + λA˜ + B.

(19)

Theorem 6. [YYa2, Theorem 6.4.3] Let the following conditions be satisfied: ˜ is a selfadjoint positive definite operator in a Hilbert space H; (1) B ˜ ⊂ H is compact; (2) the embedding H(B) ˜ u ∈ D(A); ˜ the operator A˜ from (3) A˜ is a skew-symmetric operator in H, i.e., A˜∗ u = −Au, 1 ˜ H(B 2 ) into H is bounded; (4) f ∈ Wp1 ((0, T ); H), where p > 1; ˜ g1 ∈ D(B ˜ 21 ). (5) g0 ∈ D(B), ˜ H(B ˜ 12 ), H) and the solution Then, problem (18) has a unique solution u ∈ C 2 ([0, T ]; H(B), can be expanded to the series Zt ∞ ³ ´ X eλk t −λk τ ˜ u(t) = (Bg0 − λk g1 , uk ) − λk e (f (τ ), uk )dτ uk , 2 2 2 ˜ 12 k=1 kB uk k + |λk | kuk k 0

where λk are purely imaginary eigenvalues and uk are the corresponding eigenvectors of operator ˜ H(B ˜ 21 ), H). pencil (19), and the series converges in the sense of the space C 2 ([0, T ]; H(B), Denote Aν0 u := αν u(mν ) (0) + βν u(mν ) (1),

ν = 1, . . . , m.

(20)

Theorem 7. [YYa2, Theorem 3.6.2] Let the following conditions be satisfied: (1) m ≥ 1, mν ≥ 0, 0 ≤ s ≤ m; (2) a system of functionals (20) are p-regular with respect to a system of numbers ωj := j−1 e2πi m , j = 1, . . . , m, i.e., ¯ ¯ m1 m1 ¯ ¯ α1 ω1m1 · · · α1 ωpm1 β1 ωp+1 · · · β1 ωm ¯ ¯ .. .. .. .. .. ¯ ¯ .. . . . . . ¯ ¯ . ¯ ¯ ¯ ¯ 6= 0, ¯ . ¯ . . . . . ¯ .. .. ¯ .. .. .. .. ¯ ¯ ¯αm ω mm · · · αm ω mm βm ω mm · · · βm ω mm ¯ 1 p+1 p m

where p = m2 , if m is even, p = [ m2 ] or p = [ m2 ] + 1 if m is odd. Then, the linear manifold ¯ ¯ { (u, v) ¯ u ∈ C ∞ [0, 1], Aν0 u = 0, ν = s + 1, . . . , m, v := (A10 u, . . . , As0 u)} ˙ Cs , ℓ ≤ min{mν }, q ∈ (1, ∞). is dense in the space Wqℓ (0, 1) +

Consider a principally boundary value problem for an ordinary differential equation with a variable coefficient in case when the spectral parameter appears linearly in the equation and can appear in boundary-functional conditions L(λ)u := λu(x) + a(x)u(m) (x) + Bu|x = f (x),

x ∈ (0, 1),

Nν ´ ³ X (mν ) (mν ) δνj u(mν ) (xνj ) + Tν u + Tν0 u Lν (λ)u := λ αν u (0) + βν u (1) + j=1

(21)

243

Subsection 2.2. Boundary Value Problems = gν ,

ν = 1, . . . , s,

Lν u := αν u(mν ) (0) + βν u(mν ) (1) +

Nν X

(22)

δνj u(mν ) (xνj ) + Tν u = 0,

(23)

j=1

ν = s + 1, . . . , m, where m ≥ 1, mν ≤ m − 1, xνj ∈ (0, 1), 0 ≤ s ≤ m, B is an operator in L2 (0, 1), Tν and Tν0 are functionals in L2 (0, 1). Theorem 8. [YYa1, Theorem 3.4] Let the following conditions be satisfied: (1) m ≥ 1; mν ≤ m − 1; 0 ≤ s ≤ m; (2) a ∈ C[0, 1]; a(x) 6= 0; a(0) = a(1)14; sup arg a(x) − inf arg a(x) < 2π, if m is even; x∈[0,1]

x∈[0,1]

sup arg a(x) − inf arg a(x) < π, if m is odd;

x∈[0,1]

x∈[0,1]

(3) for all ε > 0 kBukL2 (0,1) ≤ εkukW2m (0,1) + C(ε)kukL2 (0,1) ,

u ∈ W2m (0, 1);

(4) functionals Tν in W2mν (0, 1) and functionals Tν0 in W2m−ε (0, 1), for some ε > 0, are continuous; j−1 (5) system (20) is p-regular with respect to a system of numbers ωj = e2πi m , j = 1, . . . , m, i.e., ¯ ¯ m1 m1 ¯ ¯ α1 ω1m1 · · · α1 ωpm1 β1 ωp+1 · · · β1 ωm ¯ .. ¯¯ .. .. .. .. ¯ .. . ¯ . . . . ¯ . ¯ ¯ ¯ ¯ 6= 0, ¯ . ¯ . . . . . ¯ .. .. .. .. .. .. ¯ ¯ ¯ ¯αm ω mm · · · αm ω mm βm ω mm · · · βm ω mm ¯ 1

p

p+1

m

where p = m2 , if m is even; p = [ m2 ] or p = [ m2 ] + 1, if m is odd. Then for any ε > 0 there exists Rε > 0 such that for all complex numbers λ which satisfy |λ| > Rε and for m = 2p lying inside the angle πm πm − π + sup arg a(x) + ε < arg λ < + π + inf arg a(x) − ε, x∈[0,1] 2 2 x∈[0,1] for m = 2p + 1 lying inside the angle πm πm + sup arg a(x) + ε < arg λ < + π + inf arg a(x) − ε, x∈[0,1] 2 2 x∈[0,1]

and for m = 2p − 1 lying inside the angle πm πm − π + sup arg a(x) + ε < arg λ < + inf arg a(x) − ε, x∈[0,1] 2 2 x∈[0,1] ³ ´ the operator L(λ) : u → L(λ)u := L(λ)u, L1 (λ)u, . . . , Ls (λ)u from W2m ((0, 1); Lν u = 0, ν = ˙ s is an isomorphism, and for these λ for a solution of problem s + 1, . . . , m) onto L2 (0, 1)+C (21)–(23) the estimate s s ´ ´ ³ ³ X X m |gν | |Aν0 u| ≤ C(ε) kf kL2 (0,1) + kukW2 (0,1) + |λ| kukL2 (0,1) + ν=1

ν=1

is valid, where Aν0 is defined by (20). 14If

boundary-functional conditions (22)–(23) are principally local, i.e., or αν = 0, or βν = 0 for all ν = 1, . . . , m, then the condition a(0) = a(1) should be omitted.

244

Section 2. Evolution and Boundary Value Problems References

[AgmN] Agmon, S. and Nirenberg, L., Properties of solutions of ordinary differential equations in Banach spaces, Comm. Pure Appl. Math., 16 (1963), 121–239. [AgrV] Agranovich, M. S. and Vishik, M. I., Elliptic problems with a parameter and parabolic problems of general type, Uspekhi Mat. Nauk, 19, 3 (1964), 53–161 (Russian; English translation in Russian Math. Surveys, 19, 3 (1964), 53–159). [KoYa] Kozhevnikov, A. and Yakubov, S., On operators generated by elliptic boundary problems with a spectral parameter in boundary conditions, Integr. Eguat. Oper. Th., 23 (1995), 205-231. [LSQi] Lancaster, P., Shkalikov, A. A., and Qiang Ye, Strongly definitizable linear pencils in Hilbert space, Integr. Equat. Oper. Th., 17 (1993), 340–360. [TiSa] Tikhonov, A. N. and Samarskii, A. A., “Equations of Mathematical Physics", Oxford, Pergamon Press, 1963 (translated from Russian). [Trie] Triebel, H., “Interpolation Theory. Function Spaces. Differential Operators", North-Holland, Amsterdam, 1978. [YakS] Yakubov, S., A boundary value problem for elliptic differential-operator equations, Result. Math., 37 (2000), 373-392. [YYa1] Yakubov, S. and Yakubov, Ya., Abel basis of root functions of regular boundary value problems, Mathematischten Nachrichten, 197(1999), 157-187. [YYa2] Yakubov, S. and Yakubov, Ya., “Differential-Operator Equations. Ordinary and Partial Differential Equations", Chapman and Hall/CRC, Boca Raton, 2000. [Yak1] Yakubov, Ya., Almost periodic solutions and oscillations decay for hyperbolic differential-operator equations, Functional Differential Equations, 10 (2003), no.1-2, 315-330. [Yak2] Yakubov, Ya., Hyperbolic differential-operator equations on a whole axis, Abstract and Applied Analysis (accepted).

Yakubov, S., Professor, Department of Mathematics, University of Haifa, Haifa 31905, Israel Yakubov, Ya., Ph.D., Raymond and Beverly Sackler Faculty of Exact Sciences, School of Mathematical Sciences, Tel-Aviv University, Tel-Aviv 69978, Israel E-mail: [email protected]

Section 3 OPTIMIZATION, CONTROL, GAMES AND ECONOMIC BEHAVIOR

_

247

Section 3. Optimization, Control, Games and Economic Behavior

РИСК В ОДНОЙ ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНОЙ ЗАДАЧЕ А. А. Горелова, В. И. Жуковский РосЗИТЛП Москва, Россия Для линейно-квадратичной задачи с ограниченной скалярной неопределенностью найден явный вид гарантированного по исходу и риску решения. The obvious kind guaranteed on outcome and risk decision was found for the linearguadratic problem with the restricted scalar uncertainty.

1. Постановка задачи Рассматривается вопрос формирования гарантированного решения в однокритериальной задаче при неопределенности hX, Y, f (x, y)i, (1) где ЛПР (лицо, принимающее решение) за счет выбора подходящей альтернативы x ∈ X ⊆ Rn стремится достичь возможно большего исхода - значения критерия f (x, y). При этом ЛПР вынужден учитывать реализацию любой скалярной неопределенности y ∈ [y1 , y2 ] = Y ⊂ R1 . При формализации гарантированного решения задачи (??) будем основываться на следующих двух положениях. Во-первых, ЛПР стремится уменьшить риск - значение функции риска (сожаления) (2)

Φ(x, y) = max f (z, y) − f (x, y). z∈X

Заметим, что функция риска введена Сэвиджем в предложенном им в 1951 году принципе минимаксного сожаления [?] и численно оценивает сожаление ЛПР о том, что при данной неопределенности y ∈ Y ЛПР выбрал альтернативу x ∈ X, а не x0 = arg max f (x, y). x∈X

Во-вторых,ЛПР одновременно стремится максимально возможно увеличить исход - значение f (x, y). Стремление ЛПР одновременного уменьшения риска и увеличения исхода отвечает широко пропагандируемому в финансовой математике требованию (например, в [?],c.21) оптимального сочетания значения критерия и величины риска. Определение 1. Тройку (x∗ , f ∗ , Φ∗ ) назовем Р-гарантированным по исходу и риску решением (ГИР) задачи (??), если существует неопределенность y ∗ ∈ Y такая, что (1) выполнены равенства f ∗ = f (x∗ , y ∗ ), Φ∗ = Φ(x∗ , y ∗ ); (2) при любых x ∈ X несовместны неравенства f (x∗ , y ∗ ) ≤ f (x, y ∗ ), Φ(x∗ , y ∗ ) ≥ Φ(x, y ∗ ),

(3)

f (x∗ , y ∗ ) ≥ f (x∗ , y), Φ(x∗ , y ∗ ) ≤ Φ(x∗ , y)∀y ∈ Y,

(4)

из которых, по крайней мере, одно строгое; (3) несовместна система неравенств

причем хотя бы одно из них строгое. Замечание 1. Несовместность системы неравенств (??) означает, что альтернатива ∗ x ∈ X максимальна по Парето (эффективна) ([?], с.33) в двухкритериальной задаче hX, f (x, y ∗ ), −Φ(x, y ∗ )i, которую получаем из (??) при фиксированном y = y ∗ , а несовместность (??) - минимальность по Парето неопределенности y ∗ ∈ Y в hY, f (x∗ , y), −Φ(x∗ , y)i, которую получаем из (??) при x = x∗ . Одновременное выполнение требований (2) и (3) определяет седловую точку по Парето ([?], с.175).

248

Section 3. Optimization, Control, Games and Economic Behavior

Замечание 2. Используя альтернативу x∗ ∈ X, ЛПР "обеспечивает себе"исход f (x∗ , y), не меньший f ∗ , и одновременно риск не больший Φ∗ , при реализации любой неопределенности y ∈ Y - в этом "гарантирующий смысл"предлагаемого определением 1 решения задачи (??). Несовместность неравенств (??) отвечает стремлению ЛПР к наибольшему исходу и одновременно к наименьшему риску. 2. Явный вид гарантированного решения Рассматриваем частный случай задачи (??), в которой критерий f (x, y) = x′ Ax + 2yb′ x + Cy 2 + 2a′ x + 2cy + d.

(5)

Здесь предполагается, что априори заданы симметричная постоянная n × n-матрица A, постоянные n-вектора a, b и скаляры C, c, d; штрих сверху означает операцию транспонирования; альтернативы x ∈ Rn и неопределенности y ∈ Y = [y1 , y2 ] (считаем y1 < y2 ); далее для матрицы A < 0 означает, что квадратичная форма x′ Ax определенно отрицательная. Введем функцию Ψ(x, y) = αf (x, y) − (1 − α)Φ(x, y), (6) где f (x, y) - входящий в (??) критерий, а Φ(x, y) имеет вид (??). Лемма 1. Если для задачи (??) существуют α = const ∈ (0, 1) и пара (x∗ , y ∗ ) ∈ X × Y такие, что max Ψ(x, y ∗ ) = Ψ(x∗ , y ∗ ) = min Ψ(x∗ , y), (7) x∈X

y∈Y

то пара (x , y ) является седловой точкой по Парето задачи (??), то есть для нее выполнены требования (2) и (3) определения 1. Замечание 3. С учетом (??) функция Ψ(x, y) примет вид ∗

∗

Ψ(x, y) = f (x, y) − (1 − α) max f (z, y). z∈X

(8)

Замечание 4. Согласно определению 1, построение гарантированного по исходу и риску решения (x∗ , f ∗ , Φ∗ ) задачи (??) сводится к нахождению седловой точки по Парето (x∗ , y ∗ ) с последующим нахождением f ∗ = f (x∗ , y ∗ ), Φ∗ = Φ(x∗ , y ∗ ). В силу леммы 1 для этого достаточно найти седловую точку (x∗ , y ∗ ) (определенную в (??)) скалярной функции Ψ(x, y) из (??). Ниже для задачи (??), (??) построим явный вид функции Ψ(x, y) и затем пару (x∗ , y ∗ ) ∈ Rn × [y1 , y2 ], удовлетворяющую цепочке равенств (??). Лемма 2. Если A < 0, то в задаче (??), (??) maxn f (z, y) = (C − b′ A−1 b)y 2 + 2(c − a′ A−1 b)y + d − a′ A−1 a. z∈R

(9)

Действительно, из A < 0 и (??) следует, что функция x(y), удовлетворяющая maxn f (z, y) = f (x(y), y) ∀y ∈ [y1 , y2 ], имеет вид x(y) = −A−1 (by + a). Подставляя x = x(y) z∈R

в (??) получаем (??). Лемма 3. Если A < 0, то для функции Ψ(x, y), определенной в (??), будет Ψ(x, y) = x′ Ax + 2yb′ x + 2a′ x + [αC + (1 − α)b′ A−1 b]y 2 + +[αc + (1 − α)a′ A−1 b]y + αd + (1 − α)a′ A−1 a

(10)

В самом деле, формулу (??) получаем из (??) с учетом (??) и (??). Лемма 4. Если A < 0, то левое равенство из (??), именно maxn Ψ(x, y ∗ ) = Ψ(x∗ , y ∗ ), x∈R имеет место при x∗ = −A−1 (by ∗ + a). (11) Действительно, левое равенство из (??) выполнено, если A < 0 и ¡ ∂Ψ(x,y) ¢ = 2Ax∗ + 2by ∗ + 2a = 0n , 0n - нулевой n-вектор. Отсюда получаем (??). ∂x (x∗ ,y ∗ )

Section 3. Optimization, Control, Games and Economic Behavior

249

Замечание 5. Аналогично лемме 4 при A < 0 получаем max Ψ(x, y) = Ψ(x(y), y) x

∀y ∈ [y1 , y2 ], при x(y) = −A−1 (by + a). Тогда правое равенство в (??), именно Ψ(x∗ , y ∗ ) = min Ψ(x∗ , y),

(12)

y∈[y1 ,y2 ]

достигается на y ∗ ∈ [y1 , y2 ], если Ψ(x∗ , y) = αϕ(y), где

ϕ(y) = (C − b′ A−1 b)y 2 + 2(c − a′ A−1 b)y + d − a′ A−1 a.

(13)

min ϕ(y) = ϕ(y ∗ ).

(14)

В самом деле, формулу (??) получаем, подставляя x = x(y) из (??) в (??). Далее, с учетом α ∈ (0, 1), найдем y ∗ из условия y∈[y1 ,y2 ]

При этом выделим три возможных случая: C −b′ A−1 b < 0, C −b′ A−1 b = 0, C −b′ A−1 b > 0. Утверждение 1. Пусть в задаче (??), (??) A < 0, C < b′ A−1 b. Тогда ′ A−1 b (1) при y1 + y2 ≤ 2 bc−a ′ A−1 b−C ГИР имеет вид

(15)

(x∗ , f ∗ , Φ∗ ) = (−A−1 (by1 + a), (C − b′ A−1 b)y12 + 2(c − a′ A−1 b)y1 + d − a′ A−1 a, 0);

(16)

(x∗ , f ∗ , Φ∗ ) = (−A−1 (by2 + a), (C − b′ A−1 b)y22 + 2(c − a′ A−1 b)y2 + d − a′ A−1 a, 0).

(17)

c−a′ A−1 b

(2) при y1 + y2 > 2 b′ A−1 b−C ГИР имеет вид

Доказательство. При C < b A b функция ϕ(y) из (??) строго вогнута по y на [y1 , y2 ]. Поэтому min ϕ(y) = min{ϕ(y1 ), ϕ(y2 )}. (18) ′

−1

y∈[y1 ,y2 ]

Построим ϕ(y2 ) − ϕ(y1 ) = (y2 − y1 )[(C − b′ A−1 b)(y2 + y1 ) + 2(c − a′ A−1 b)].

(19)

A < 0, C = b′ A−1 b.

(20)

′

−1

A b Тогда для y1 + y2 ≤ 2 bc−a ′ A−1 b−C будет ϕ(y2 ) ≥ ϕ(y1 ) и поэтому минимум в (??) достигается при y = y1 . Отсюда ГИР имеет вид (x∗ , f (x∗ , y1 ), Φ(x∗ , y1 )), где x∗ = −A−1 (by1 + a). ′ A−1 b Аналогично из (??) при y1 + y2 > 2 bc−a ′ A−1 b−C получаем ϕ(y2 ) < ϕ(y1 ) и тогда ГИР будет (x∗ , f (x∗ , y2 ), Φ(x∗ , y2 )), где x∗ = −A−1 (by2 + a). Утверждение 2. Пусть в задаче (??), (??)

Тогда (1) при c − a′ A−1 b ≥ 0 ГИР имеет вид (??), (2) при c − a′ A−1 b < 0 ГИР имеет вид (??). Доказательство. При C = b′ A−1 b функция ϕ(y) из (??) будет линейной. Она не убывает на [y1 , y2 ], если c − a′ A−1 b ≥ 0, поэтому min ϕ(y) = ϕ(y1 ). При c − a′ A−1 b < 0 функция y∈[y1 ,y2 ]

ϕ(y) убывает на [y1 , y2 ], отсюда min ϕ(y) = ϕ(y2 ). Отсюда следует справедливость утверy∈[y1 ,y2 ]

ждения 2. Утверждение 3. Пусть в задаче (??), (??) A < 0, C > b′ A−1 b. Тогда

(21)

250

Section 3. Optimization, Control, Games and Economic Behavior (1) при y < y1 ГИР имеет вид (??), (2) при y > y2 ГИР имеет вид (??), (3) при y ∈ [y1 , y2 ] ГИР будет где

(x∗ , f ∗ , Φ∗ ) = (−A−1 (by + a), −

(c − a′ A−1 b)2 + d − a′ A−1 a, 0), C − b′ A−1 b

(22)

a′ A−1 b − c . (23) C − b′ A−1 b Доказательство. При C > b′ A−1 b функция ϕ(y) из (??) будет строго выпуклой по y ∈ R1 . Точка минимума y такая, что ϕ(y) = min1 ϕ(y), приведена в (??). Далее выделяются y=

y∈R

три случая: y < y1 , y > y2 и y ∈ [y1 , y2 ]. В последнем случае f ∗ = f (x∗ , y), где x∗ = −A−1 (by + a). Тогда справедливость утверждения 3 становится очевидной. Список литературы

[1] Savage L.Y. The theory of statistical decision. J. Amer. statistic Assotiation. 1951. N 46. P. 55-67. [2] Уткин Э.А. Риск-менеджмент. М., ЭКМОС, 1998. [3] Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М., Наука, 1982. [4] Zhukovskiy V.I., Salukvadze M. E. The Vector-Valued Maximin. N.Y., Academic Press, 1994.

Горелова А. А., нет, РосЗИТЛП, Москва, Россия E-mail: [email protected]

Section 3. Optimization, Control, Games and Economic Behavior

251

ГАРАНТИРОВАННЫЙ РИСК В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ Л. В. Жуковская Л.В. Москва, Институт проблем управления РАН В работе предложен новый подход к принятию решений в многокритериальных задачах при неопределенности (МЗН) с учетом риска, когда качество функционирования управляемой системы оценивается набором критериев и когда о неопределенных факторах известны лишь границы изменений, а какие-либо статистические характеристики отсутствуют. Предложена процедура формализации гарантированного решения и установлено его существование при обычных (в математической теории игр) ограничениях. Введение Процесс принятия групповых и индивидуальных решений с учетом человеческого фактора и неопределенностей в настоящее время до конца не формализован. Особую трудность здесь вызывают случаи, когда заданы только границы изменений неопределенностей (названных поэтому в [1, c.21] "дурными неопределенностями"), а также, когда качество принимаемых ЛПР (лицом, принимающим решения) решений оценивается набором критериев. В результате приходим к актуальному вопросу теории исследования операций - принятию решений в многокритериальной задаче при неопределенностях (МЗН). Причем о неопределенности известны лишь границы изменения, а какие-либо вероятностные характеристики либо отсутствуют, либо невозможно получить по тем или иным причинам. Эти задачи решались в [2, 3, 4] с помощью векторного аналога седловой точки или векторного аналога максимина. Однако такой подход рассчитан на "катастрофу", т.е. на реализацию "самой неблагоприятной"(для ЛПР) неопределенности и поэтому зачастую приводит к "заниженным"гарантиям. Кроме того, "неблагоприятные неопределенности"реализуются весьма редко и вследствии этого такой подход крайне писсемистичен. Другой подход (называемый в настоящее время ”принципом минимаксного сожаления”), но только для однокритериальных задач предложил Л.Сэвидж [5]. Здесь уже ЛПР ориентируется на "самую благоприятную"для него неопределенность. Именно этот подход и модифицирован в настоящей работе для МЗН и именно этот подход позволяет оценить риск ЛПР при выборе того или иного решения. 1. Постановка задачи Математическую модель принятия решений при неопределенности в многокритериальных задачах (МЗН) образует упорядоченный набор hX, Y, f (x, y)i.

(1)

В (1) ЛПР выбирает альтернативу x ∈ X ⊂ Rn (Rn –n–мерное евклидово пространство).При выборе конкретной альтернативы x ∈ X ЛПР сталкивается с появлением неопределенностей y ∈ Y ⊂ Rm . Допустимые неопределенности в (1) отождествляются с m–вектором y, а множество возможных значений y обозначено через Y . ЛПР при выборе альтернативы x ∈ X ориентируется на возможность реализации любой неопределенности y ∈ Y , т.е. ЛПР известно лишь множество Y , а какие-либо вероятностные характеристики распределения y отсутствуют. На прямом произведении X × Y определены критерии fi (x, y)(i ∈ N = {1, ..., N }). Они образуют векторный критерий f (x, y) = (f1 (x, y), ..., fN (x, y)), численное значение которого (векторный исход) оценивает качество выбираемой ЛПР альтернативы x ∈ X. Для определенности считаем, что ЛПР стремится возможно увеличить одновременно все компоненты fi (x, y) векторного критерия f (x, y). Заметим, если цель ЛПР–уменьшить fj (x, y), то следует в f (x, y) вместо

252

Section 3. Optimization, Control, Games and Economic Behavior

компоненты fj (x, y) использовать −fj (x, y). Используя (1), ЛПР строит функцию риска (сожаления) по i-му критерию Φi (x, y) = max fi (z, y) − fi (x, y) (i ∈ N). z∈X

(2)

Значение функции риска (риск) по i-му критерию численно оценивает сожаление ЛПР о том, что при реализации неопределенности y ∈ Y он использует альтернативу x ∈ X, а не ту x(i) = arg max fi (x, y), при которой исход fi (x, y) был бы самым большим. Заметим, x∈X

если функции fi (x, y) непрерывны на X × Y и множества X и Y суть компакты, то [6, c.54] функции Φi (x, y) (i ∈ N) из (2) также непрерывны на X × Y . Естественно, что ЛПР стремится возможно уменьшить все риски Φi (x, y) (i ∈ N) за счет выбора альтернативы x ∈ X, а из (2) следует, что Φi (x, y) ≥ 0 (i ∈ N), и поэтому наименьший из возможных рисков по i-му критерию является нулевым. Теперь (1) ставим в соответствие МЗН hX, Y, Φ(x, y)i,

(3)

Φi (x, y ∗ ) ≤ Φi (x∗ , y ∗ ) ∀x ∈ X (i ∈ N),

(4)

Φi (x∗ , y ∗ ) ≤ Φi (x∗ , y) ∀y ∈ Y (i ∈ N),

(5)

где X и Y те же, что в задаче (1), а компоненты Φi (x, y)(i ∈ N) векторной функции риска Φ(x, y) = (Φ1 (x, y), ..., ΦN (x, y)) определены в (2). Определение 1. Пару (x∗ , Φ∗ ) ∈ X × RN назовем гарантированным по риску решением задачи (1), если существует неопределенность y ∗ ∈ Y такая, что 1) выполнены равенства Φ∗i = Φi (x∗ , y ∗ ) (i ∈ N), 2) несовместна система неравенств из которых хотя бы одно строгое; 3) несовместна система неравенств

из которых, по крайней мере, одно строгое. Замечание 1. Несовместность неравенств (4) определяет минимальную по Парето альтернативу x∗ ∈ X в N –критериальной задаче (3), где фиксирована неопределенность y = y ∗ . Наличие x∗ из (4) означает, что ЛПР стремится возможно уменьшить векторный риск Φ(x, y ∗ ) (в "многокритериальном смысле"). Аналогично существование неопределенности y ∗ ∈ Y , при которой несовместна система (5), означает, что y ∗ - максимальна по Парето в задаче (3), где уже фиксирована альтернатива x∗ . Ориентирование ЛПР в определении 1 на максимальную по Парето неопределенность соответствует принципу гарантированного результата [7], по которому при формировании решения ЛПР расчитывает на реализацию "самой плохой для него"неопределенности. Если выполнены одновременно требования несовместности систем (4) и (5), то пару (x∗ , y ∗ ) называют [2, с.175] седловой точкой по Парето задачи (3). Из определения 1 получаем, что построение гарантированного по риску решения задачи (1) сводится в конечном счете к нахождению седловой точки по Парето (x∗ , y ∗ ) задачи (3) с последующим определением N –вектора Φ(x∗ , y ∗ ) = (Φ1 (x∗ , y ∗ ), ..., ΦN (x∗ , y ∗ )). Замечание 2. Если ЛПР использует альтернативу x∗ ∈ X, введеную определением 1, то он "обеспечивает"себе при реализации любой неопределенности y ∈ Y векторный риск Φ(x∗ , y) не больший Φ∗ одновременно по всем компонентам. Поэтому естественно называть N – вектор Φ∗ = Φ(x∗ , y ∗ ) гарантированным риском задачи (1).

Section 3. Optimization, Control, Games and Economic Behavior

253

2. Достаточные условия Введем множество N положительных чисел ℑ = {α = (α1 , ..., αN )|αi = const > 0 (i = N)};

далее штрих сверху означает операцию транспонирования. Лемма. Если существует два N -вектора α, β ∈ ℑ такие, что min α′ Φ(x, y ∗ ) = α′ Φ(x∗ , y ∗ ), x∈X

(6)

(7)

max β ′ Φ(x∗ , y) = β ′ Φ(x∗ , y ∗ ), y∈Y

то пара (x , y ) является седловой точкой по Парето задачи (3). Замечание 3. Равенства (7) эквивалентны ∗

∗

max[−α′ Φ(x, y ∗ )] = −α′ Φ(x∗ , y ∗ ), x∈X

(8)

max β ′ Φ(x∗ , y) = β ′ Φ(x∗ , y ∗ ). y∈Y

В свою очередь выполнение (8) означает, что(x∗ , y ∗ ) ∈ X × Y является ситуацией равновесия по Нэшу в бескоалиционной игре двух лиц h{1, 2}, {X, Y }, {−α′ Φ(x, y), β ′ Φ(x, y)}i.

(9)

В (9) участвуют два игрока: 1-ый и 2-ой; первый (второй) за счет выбора своей стратегии x ∈ X (соответственно, y ∈ Y ) стремится достичь возможно большего выигрыша–значения своей функции выигрыша −α′ Φ(x, y) (соответственно, β ′ Φ(x, y)). Поэтому построение седловой точки по Парето ( и, в конечном счете, нахождение гарантированного решения (x∗ , Φ∗ )задачи (1)) сводится к нахождению ситуации равновесия по Нэшу игры (9) при хотя бы одной паре постоянных N -векторов (α, β) ∈ ℑ × ℑ. Этот факт лежит в основе следующего раздела настоящей работы. В нем устанавливается существование введенного выше гарантированного по риску решения при обычных (в математической теории игр) ограничениях. Замечание 4. Приведенная лемма позволяет предложить метод построения гарантированного по риску решения. Он сводится к следующим четырем этапам: 1 этап: найти max fi (x, y) и с помощью этих функций построить функции риска x∈X

Φi (x, y) = max fi (x, y) − fi (x, y) (i ∈ N); x∈X

2 этап: составить две функции Fα (x, y) =

X

αi Φi (x, y),

i∈N

Fβ (x, y) =

X

βi Φi (x, y);

i∈N

для каких-либо двух наборов положительных чисел α = (α1 , ..., αN ) и β = = (β1 , ..., βN ); заметим, что, не уменьшая общности, можно эти числа ограничить условием X X αi = 1, βi = 1; i∈N

i∈N

3 этап: найти две пары (α, β) и (x∗ , y ∗ ) такие, что

min Fα (x, y ∗ ) = Fα (x∗ , y ∗ ), x∈X

max Fβ (x∗ , y) = Fβ (x∗ , y ∗ ); y∈Y

254

Section 3. Optimization, Control, Games and Economic Behavior

если в этих условиях положить αi = βi (i ∈ N), то данные равенства превращаются в min Fα (x, y ∗ ) = Fα (x∗ , y ∗ ) = max Fα (x∗ , y),

X∈X

y∈Y

это означает, что (x , y ) ∈ X × Y является седловой точкой функции Fα (x, y); 4 этап: найти N -вектор Φ(x∗ , y ∗ ) = (Φ1 (x∗ , y ∗ ), ..., ΦN (x∗ , y ∗ )). Тогда гарантированным по риску решением задачи (1) будет (x∗ , Φ(x∗ , y ∗ )). 3. Существование Как было отмечено в замечании 3, построение гарантированного по риску решения задачи (1) сводится к нахождению ситуации равновесия по Нэшу (x∗ , y ∗ ) бескоалиционной игры двух лиц (9) с последующим вычислением N -вектора Φ∗ = Φ(x∗ , y ∗ ). Поэтому факт существования гарантированного по риску решения будет следовать из существования ситуации равновесия по Нэшу в игре (9). Здесь будем следовать подходу, принятому в математической теории игр. Именно, задаче (1) поставим в соответствие ее следующее квазирасширение hX, {ν}, f (x, ν)i. (10) n Здесь так же как в задаче (1) ЛПР выбирает альтернативу x ∈ X ⊂ R . Отличие от (1) в том, что множество Y неопределенностей y расширено до смешанных {ν}, именно, неопределенности отождествляются с вероятностными мерами ν(·), определенными на компакте Y (естественно предполагается компактность Y ⊂ Rm ), множество смешанных неопределенностей ν(·) в (10) обозначено через {ν}. В (10) векторный критерий f (x, ν) = (f1 (x, ν), ..., fN (x, ν)), где Z fi (x, ν) = fi (x, y)ν(dy) (i ∈ N), (11) ∗

∗

Y

при этом предполагается непрерывность fi (x, y) (i ∈ N) на X × Y . Аналогично разделу 2 вводится квазисмешанная функция риска по i-му критерию Φi (x, ν) = max fi (z, ν) − fi (x, ν) (i ∈ N), z∈X

(12)

вспомогательная N -критериальная задача hX, {ν}, Φ(x, ν)i,

где Φ = (Φ1 , ..., ΦN ), бескоалиционная игра 2-х лиц при хотя бы одной паре (α, β) ∈ ℑ2 h{1, 2}, {X, {ν}}, {−α′ Φ(x, ν), β ′ Φ(x, ν)}i,

(13)

в отличии от (9), второй игрок выбором своей смешанной стратегии ν(·) ∈∈ {ν} стремится достичь возможно большего значения своей функции выигрыша β ′ Φ(x, ν). Аналогично определению 1 введем Определение 2. Пару (x∗ , Φ∗ ) ∈ X ×RN назовем квазисмешанным гарантированным по риску решением задачи (1), если существует смешанная неопределенность ν ∗ (·) ∈ {ν} такая, что 1) выполнены равенства Φ∗ = Φ(x∗ , ν ∗ ) (i ∈ N), 2) при любых альтернативах x ∈ X несовместна система неравенств Φi (x, ν ∗ ) ≤ Φi (x∗ , ν ∗ ) (i ∈ N),

из которых, по крайней мере, одно строгое; 3) для всех неопределенностей y ∈ Y несовместна система неравенств Φi (x∗ , y) ≥ Φi (x∗ , ν ∗ ) (i ∈ N),

среди которых хотя бы одно строгое. Теорема. Пусть в задаче (1) 10 ) множества Y –компакт в Rm и X–выпуклый компакт в Rn ,

Section 3. Optimization, Control, Games and Economic Behavior

255

20 ) каждый критерий fi (x, y) (i ∈ N) непрерывен на X × Y и fi (x, y) вогнута по x ∈ X при каждом y ∈ Y . Тогда существует гарантированное по риску квазисмешанное решение задачи (1). Доказательство. Здесь, в первую очередь, отметим, что из вогнутости по x при каждом y ∈ Y критерия fi (x, y) следует [8, c.120] вогнутость fi (x, ν) из (11) по x при каждой смешанной неопределенности ν(·) ∈ {ν}, а, согласно вида функции риска Φi (x, ν) из (12), тогда функция Φi (x, y) (i ∈ N) будет выпуклой по x, т.к. −fi (x, ν) в этом случае выпукла по x. Наконец, линейная свертка выпуклых функций с положительными коэффициентами выпукла [8, c.118], поэтому при любом α ∈ ℑ линейная свертка −α′ Φ(x, ν) вогнута по альтернативе x ∈ X при каждой смешанной неопределенности ν(·) ∈ {ν}. Далее аналогично приведенной выше Лемме и замечанию 3 устанавливается справедливость утверждения: если существуют две пары (α, β) ∈ ℑ2 и (x∗ , ν ∗ (·)) ∈ X × {ν} такие, что max[−α′ Φ(x, ν ∗ )] = −α′ Φ(x∗ , ν ∗ ), (14) x∈X

max β ′ Φ(x∗ , ν) = β ′ Φ(x∗ , ν ∗ ),

ν(·)∈{ν}

(15)

то пара (x∗ , ν ∗ (·)) удовлетворяет требованиям определения 2 и поэтому квазисмешанное гарантированное по риску решение задачи (1) имеет вид (x∗ , Φ(x∗ , ν ∗ )). Действительно, из (15) следует несовместность системы неравенств Φi (x∗ , ν) ≥ Φi (x∗ , ν ∗ ) ∀ν(·) ∈ {∈} (i ∈ N),

(16)

h{1, 2}, {X, {ν}}, {−α′ Φ(x, ν), β ′ Φ(x, ν)}i.

(17)

из которых, по крайней мере, одно строгое. В множество {ν} входит мера Дирака δ(y − y ∗ )(dy), для которой Φi (x, δ(y − y ∗ )) = Φi (x, y ∗ ) (i ∈ N) при всех y ∗ ∈ Y . Поэтому из несовместности (16) будет следовать несовместность системы неравенств из требования 3) определения 2. Равенства (14) и (15) означают, что пара (x∗ , ν ∗ (·)) ∈ X × {ν} является ситуацией равновесия по Нэшу в бескоалиционной игре двух лиц В (17) игрок 1 за счет выбора своей стратегии x ∈ X (альтернативы в (1)) стремится возможно увеличить значение своей функции выигрыша −α′ Φ(x, ν), а игрок 2 выбором смешанной стратегии ν(·) ∈ {ν} (смешанная неопределенность для задачи (1)) стремится достичь максимально возможного значения своей функции выигрыша β ′ Φ(x, ν). Причем, как показано выше, при любом α ∈ ℑ функция −α′ Φ(x, ν) вогнута по x при каждом ν(·) ∈ {ν}, а само множество X–выпуклый компакт (требование 1) Теоремы). Кроме того, обе функции −α′ Φ(x, y) и β ′ Φ(x, y) непрерывны на декартовом произведении компактов X × Y . Тогда бескоалиционная игра (17) будет вогнутой для игрока 1 [9, c.121]. Отсюда и из [9, c.123] следует, что в игре (17) существует ситуация равновесия по Нэшу (x∗ , ν ∗ (·)) ∈ X × {ν}, определяемая равенствами (14), (15). Итак, при любой паре α, β) ∈ ℑ2 игра (17) имеет ситуацию равновесия (x∗ , ν ∗ (·)), которая (по приведенному выше утверждению) определяет квазисмешанное гарантированное по риску решение (x∗ , Φ(x∗ , ν ∗ )) задачи (1). Список литературы [1]Венцель Е.С. Исследование операций.–М.: Знание, 1976. [2]Zhukovskiy V.I., Salukvadze M.E. The Vector–Valued Maximin.–N.Y. etc.: Academic Press, 1994. [3]Tanaka T. Generalized qvasiconvexities cone saddle point and minimax theorem for vector– valued functions // J. Optimiz. Theory and Appl.- 1994.- 81, №2.- P.355-377. [4]Ferro F. Minimax theorem for vector–valued functions // J. Optimiz. Theory and Appl.1991.- 68, № 1.- P. 35-48.

256

Section 3. Optimization, Control, Games and Economic Behavior

[5]Savage L.U. The theory of statistical decision // J. American Statistic Assotiation.- 1951. №- 46.- P.55-67. [6]Морозов В.В., Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование операций в задачах и упражнениях.- М.: Высшая школа, 1986. [7]Wald A. Statistical Decision Function.- N.Y.: J. Wiley and Son, 1950. [8]Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов–кибернетиков.- М.: Наука, 1985. [9]Воробьев Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры.- М.: Наука, 1984. Л.В.Жуковская, Институт проблем управления РАН, Россия, Москва 117806, ул. Профсоюзная, 65. E-mail: [email protected]

Section 4 COMPUTER SCIENCES

_

Section 4. Computer Sciences

259

ПРИНЦИП СОГЛАСОВАННОСТИ ДЛЯ КОНКРЕТИЗАЦИИ АПРИОРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧЕ ДОВЕРИТЕЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ15 С. И. Гуров МГУ им. М.В.Ломоносова, ф-т ВМиК, Москва, Россия Предлагается новый метод конкретизации априорного распределения в рамках бейесовского подхода к статистическим задачам. Метод базируется на принципе, определяющим согласованно со статистической моделью класс возможных априорных распределений и выбор конкретного распределения из данного класса. Полученное апостериорное распределение используется в задаче бейесовского доверительного оценивания случайной величины, распределенной по биномиальному закону. Библ. 9.

Ключевые слова: математическая статистика, оценивание параметров, точечные и интервальные оценки, бейесовский подход, априорное распределение. 1. Введение. Сущность принципа согласованности Основная трудность применения бейесовского подхода для получения выводов на основе статистического эксперимента состоит в необходимости конкретизации априорного распределения. При наличии у исследователя результатов аналогичных экспериментов, проводимых ранее, возможно использование того или иного метода восстановления априорного распределения в рамках эмпирического бейесовского подхода. При отсутствии указанных данных такой возможности нет. В этих случаях обычно прибегают к постулату Бейеса, который устанавливает, что если ничего не известно о параметре θ, и он изменяется на конечном интервале, то в качестве априорного распределения принимают равномерное. В 1948 г. Г. Джеффрейс расширил постулат Бейеса, предложив т.н. неинформативное априорное распределение для случая, когда параметр θ изменяется на полубесконечном интервале [?], [?]. В данной работе предлагается новый принцип конкретизации априорного распределения неизвестной величины θ, определяющей распределение Pθ (ξ) случайной величины ξ, значения которой наблюдаются в статистическом эксперименте. Он состоит в указании (1) некоторого естественного для данной задачи класса G возможных априорных распределений, параметризованного конечномерным параметром λ и (2) метода нахождения λ. Данный принцип мы будем называть принципом согласованности, поскольку он полагает, с одной стороны, однотипность априорных плотностей и функции правдоподобия параметра θ, и с другой — равенство его частотной (классической) и бейесовской точечных оценок. Требование согласованности двух указанных видов представляется вполне естественным. Заметим, что приравнивание частотной и бейесовской оценок применяется в математической статистике при рассмотрении минимаксных точечных оценок и нахождения т.н. соответствующего наименее благоприятного априорного распределения. Полученное на основе указанного принципа априорное распределение определяет апостериорное, которое и используется для получения статистических решений, в частности для доверительного оценивания. Впервые без обоснования предлагаемый метод построения доверительных интервалов был предложен в [?] и [?]. 15Работа

выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 04-01-00161)

260

Section 4. Computer Sciences 2. Точечное и интервальное оценивание параметров распределений случайных величин

Данный раздел носит вспомогательно-справочный характер. ¡ ¢ Рассмотрим параметризованную статистическую структуру X n , B(X n ), P n модели простого выбора, связанную с наблюдением над случайным элементом ξ, принимающим значения в X . Здесь P = {Pθ (ξ), θ ∈ Θ} — параметрическое семейство распределений на (X , B(X )), X n — множество всевозможных значений статистических данных, полученных в ходе выполнения n независимых повторений элементарного эксперимента со случайной величиной ξ, B(X ) и B(X n ) — σ-алгебры событий на X и X n соответственно. Θ — множество изменения параметра θ. Мы будем рассматривать практически наиболее интересные случай, когда Θ ⊆ R и X ⊆ R. Будем также считать, что и Pθ (ξ), и все остальные рассматриваемые ниже распределения имеют плотности (дифференцируемы по соответствующей вероятностной мере); так обозначаем через pθ (ξ) плотность распределения Pθ (ξ). В рамках частотного подхода найдем точечную оценку неизвестного истинного значения θ∗ . Известно, что при не очень жестких предположениях многими “хорошими” статистическими свойствами обладает оценка θˆL максимального правдоподобия (МП-оценка), определяемая как θˆL = arg max L(θ, x) = θˆL (x) , θ∈Θ

где Θ — замыкание множества Θ, а L(θ, x) = pθ (x) — функция правдоподобия параметра θ для данных x ∈ X n . В нашем случае x = (x1 , . . . , xn ) и L(θ, x) =

n Y

pθ (xi ) .

i=1

Будем далее предполагать существование доверительной области для θ в виде интервала J(x, η, λ) = J(η) = (θ− (x, η); θ+ (x, η)) ⊆ Θ, где η — коэффициент доверия. Указание на величину η и функциональную зависимость границ интервала будем иногда опускать и использовать обозначение |J(η)| = (θ+ − θ− ). Пусть функция распределения использованной точечной МП-оценки θˆL есть F (t | θ). Для построения неймановских (наиболее селективных) доверительных интервалов используется непрерывная функция распределения F (θˆL | θ) статистики θˆL , называемая неймановским доверительным распределением указанной статистики. В случае, когда Pθ — непрерывное распределение, границы θ− , θ+ неймановских интервалов JN (η) = (θ− ; θ+ ) с коэффициентом доверия η = 2P − 1, (0, 5 6 P < 1) определяются как решения уравнений F (θˆL | θ) =

(

P, 1−P.

(1)

Известно, что при условии выполнения некоторых условий регулярности, которые имеют место почти во всех интересных для практики случаях, вышеприведённые уравнения имеют единственные решения (функция F (θˆL , θ) строго монотонна). Если Pθ — дискретное распределение, то при определении доверительных интервалов возникают неопределенности, связанные с нестрогими неравенствами, появляющимися в (??) вместо равенств. Для снятия этих неопределенностей применяют рандомизацию [?], в результате чего доверительные интервалы укорачиваются и появляются два распределения, по одному из которых определяют верхнюю, а по другому нижнюю границу интервала J(η).

261

Section 4. Computer Sciences

В рамках бейесовского подхода предположим, что задан класс G = {G(θ | λ), λ ∈ Λ} априорных распределений G(θ | λ) величины θ, где λ — конечномерный параметр из некоторой области Λ. Тогда апостериорное распределение H(θ | x, λ) параметра θ будет найдено как dH(θ | x, λ) ∝ L(θ, x) · dG(θ | λ) .

(2)

Совокупность всевозможных апостериорных распределений данной задачи образует множество H = {H(θ | x, λ), x ∈ X n , λ ∈ Λ}. Считаем функции из H строго вогнутыми по θ, что имеет место почти для всех практически важных случаев. Бейесовской точечной оценкой θˆB величины θ∗ при наиболее часто используемой квадратичной функции потерь будет математическое ожидание µH = µH (x, λ) апостериорного распределения H [?]. Таким образом, θˆB = µH = θˆB (x, λ) .

(3)

Апостериорное распределение может быть использовано нахождения доверительного интервала J(η) = J(x, η, λ). В случае, когда Pθ — непрерывное распределение, границы θ− , θ+ бейесовского интервала JB (η) определяют решением системы [?]:  + −   H(θ | x, λ) − H(θ | x, λ) = η ,   h(θ+ | x, λ) = h(θ− | x, λ) ,

где h(θ | x, λ) — непрерывная унимодальная плотность апостериорного распределения. Указанные выше условия обычно записывают компактнее: границы θ− , θ+ бейесовского интервала JB (η) определяются как решения уравнений (??), где в левой части стоит функция апостериорного распределения H(θ | x, λ). Если Pθ — дискретное распределение, то возникают те же неопределенности, что и в частотном случае. Здесь также появляются два распределения, каждое для определения верхней и нижней границ интервала JB (η). Если в качестве априорного принять равномерное (пропорциональное dθ) распределение, апостериорное распределение будет совпадать с фидуциальным, а бейесовские интервалы — с неймановскими JN (η) и фишеровскими JF (η) (интервальными оценками максимального правдоподобия [?]). 3. Принцип согласованности Как указывалось выше, принцип согласованности включает в себя два момента. Первый (ПС1) связан с определением класса G = {G(θ | λ), λ ∈ Λ}. Согласно принципу согласованности, dG(θ | λ) ∝ L(θ, x) ,

x ∈ X n,

n > 0,

(ПС1)

т.е. класс G предлагается составлять из распределений, плотности которых пропорциональны функциям правдоподобия параметра θ при всевозможных вариантах исходов произвольного числа элементарных экспериментов, и, кроме того, все дискретные параметры распределений считаем непрерывными в условиях соответствующих ограничений. Представляется, что такой выбор априорных функций распределения θ адекватно отражает специфику решаемой задачи. Заданный указанным образом класс G будет совпадать с множеством всевозможных фидуциальных распределений θ. Ясно также, что при указанном выборе однозначно задается область Λ. Нетрудно видеть, что (ПС1) с (??) обеспечивает H = G (согласованность в смысле [?] семейств распределений ξ и θ).

262

Section 4. Computer Sciences

Второй момент (ПС2) принципа согласованности указывает способ нахождения параметра λ, конкретизирующего априорное распределение для данной задачи в условиях наблюденных результатов статистического эксперимента. Принцип согласованности определяет, что параметр λ находится как решение оптимизационной задачи |J(x, η, λ)| → max ,

θˆL (x) = θˆB (x, λ) ,

λ∈Λ

(ПС2)

при заданных x и η. В случае отсутствия решения, считаем, что в данных условиях принцип согласованности неприменим. Область Xc ⊆ X n в которой решение задачи (ПС2) существует, назовём областью применимости принципа согласованности. При сделанных предположениях относительно свойств апостериорных распределений решение, очевидно, будет единственным. ˆ задачи (ПС2). Оно определит плотности априПусть x ∈ Xc и найдено решение λ ˆ и апостериорного h(θ | x, λ) ˆ распределений величины θ, обеспечивающие орного g(θ | λ), наибольшую величину доверительной области при условия совпадения точечных оценок, полученных в рамках частотного и бейесовского подходов. Это позволяет утверждать, что в сделанных предположениях достоверность (значение коэффициента доверия) спраˆ будет не менее η при любых λ и x. Полученные ведливости включения θ∗ ∈ J(x, η, λ) ˆ будем называть согласодоверительные пределы θ− , θ+ и сам интервал Jc = J(x, η, λ) ванными. Ясно, что величина согласованного доверительного интервала будет не больше соответствующего классического бейесовского. Против применения предлагаемого принципа могут быть выдвинуто возражение, связанное с тем, что часто оцениваемые параметры являются неизвестными, но фиксированными (неслучайными), и поэтому при их нахождении применимы лишь классические частотные методы. Однако, если придерживаться т.н. “субъективного” подхода в статистических задачах оценивания, (считать, что априорное распределение является мерой нашего незнания), то применение бейесовского подхода является оправданным [?]. Отметим, что в некоторых случаях согласованные доверительные пределы совпадают с полученными традиционно. Это имеет место, например, в классических задачах оценивания неизвестных параметров нормального распределения. Ниже рассмотрен пример, когда применение принципа согласованности приводит к сокращению доверительных интервалов. 4. Согласованное доверительное оценивание параметра биномиального распределения Рассмотрим применение предложенного подхода на примере задачи интервального оценивания неизвестной вероятности случайной величины, по биномиальноµ распределенной ¶ n m му закону — с плотностью вероятности Bim (n, p) = p (1 − p)n−m . m Пусть величина ξ, принимающая значения 0 или 1, имеет распределение P{ξ = t | p∗ } = Bit (1, p∗ ) = (p∗ )t (1 − p∗ )1−t ;

p∗ ∈ (0, 1) ,

t ∈ {0, 1} ,

где p∗ — неизвестная, но фиксированная величина, для которой требуется построить интервальную оценку. Как обычно, мы интерпретируем 1 и 0 соответственно как появление или отсутствие некоторого случайного события X в данном эксперименте. Пусть в результате проведения n таких элементарных экспериментов получена выборка x = (x1 , . . . , xn ). В рассматриваемом случае X = {0, 1},

B(X n ) — булева алгебра n-мерных двоичных наборов, θ = p∗ = p,

Θ = (0, 1) ⊂ R .

Section 4. Computer Sciences

263

n

1X xi . Функция распределения новой случайной величины x¯ есть Обозначим x¯ = n i=1 m µ ¶ X n i p (1 − p)n−i = I1−p (n − m, m + 1) = 1 − Ip (m + 1, n − m) ; P{¯ x 6 m/n | n, p} = i i=0 0 6 m 6 n,

n = 1, 2, . . . .

где Ip (a, b) — неполная B-функция, которая определена для положительных параметров a и b. Заметим, что в нашем случае функция распределения x¯ является непрерывной и строго монотонно убывающей по p (n и m фиксированы, 0 6 m < n). Пусть при проведении n элементарных испытаний событие X наблюдалось m раз. Тогда функция правдоподобия L(p, x) величины ξ есть L(p, x) = pm (1 − p)n−m ,

а МП-оценкой величины p будет являться наблюдённое значение величины x¯ m pˆL = x¯ = . n Известно, что эта оценка является несмещённой, эффективной и состоятельной, а несмеb pL } ее дисперсии есть щённая функция оценки D{ˆ b pL } = m (n − m) . D{ˆ n2 (n − 1)

(4)

Поскольку распределение ξ дискретно, в рамках классического частотного подхода неймановские интервалы (p− , p+ ) с коэффициентом доверия η накрывающие значение p определяются [?] как решения следующих уравнений: ( Ip+ (m, n − m + 1) = 1 − P , (5) Ip− (m + 1, n − m) = P , где P = (η + 1)/2 . Если рамках бейесовского подхода в качестве априорного распределения использовать равномерное распределение Bep (1, 1), то апостериорной плотностью будет являться Bep (m + 1, n − m + 1). В этом случае интервальные бейесовские оценки будут совпадать [?] с неймановскими (и фишеровскими) и также определяться решениями уравнений (??). В соответствии с (ПС1) класс G = {G(θ | λ), λ ∈ Λ} есть множество {Ip (a, b) | a, b ∈ Λ}, где Λ : a > 1, b > 1 и λ = (a, b) ∈ R2 . Таким образом, плотность некоторого данного априорного распределения p представляет собой B-распределение Γ(a + b) a−1 p (1 − p)b−1 ; p ∈ (0, 1) a > 1, b > 1 , Γ(a)Γ(b) математическое ожидание которого есть a . µG = a+b Напомним, что в общем случае B-распределение определено для a > 0, b > 0. С учётом (??) плотность вероятности апостериорного распределения будет g(p | a, b) = Bep (a, b) =

h(p | x, a, b) = Bep (m + a, n − m + b) ,

и бейесовская точечная оценка pˆB параметра p в соответствии с (??) есть pˆB = µH =

m+a . n+a+b

(6)

(7)

264

Section 4. Computer Sciences

По плотности апостериорного распределения (??) найдем согласованный доверительный интервал Jc (η) = (p− ; p+ ) с коэффициентом доверия η = (P + 1)/2, 0, 5 6 P < 1: его границы суть решения уравнений ( Ip+ (m + a − 1, n − m + b) = 1 − P , (8) Ip− (m + a, n − m + b − 1) = P .

Таким образом, задача оптимизации (ПС2) записывается в виде m m+a (p+ − p− ) → max , = = pˆ , 1 6 a, 1 6 b , (9) n n+a+b где p+ и p− — решения уравнений (??). Первое ограничение (равенство частотной и бейесовской оценок) определяет область применимости принципа согласованности: Xc в данной задаче есть 1 6 m 6 n − 1. Соответственно, далее мы исключаем из рассмотрения полное и 0-события. Заметим, что в практике доверительного оценивания эти случаи принято рассматривать отдельно [?]. Нетрудно видеть, что условие (p+ − p− ) → max равносильно t → min, где t — такое минимальное натуральное, что t-я производная от h(p | x, a, b) в точке p = 0 или p = 1 не равна 0. Отсюда получаем, что решение оптимизационной задачи (??) есть  n n−m   , если 1 6 m 6 , a = 1 , b =   m 2 (10)  m n   a = , b = 1, если < m 6 n − 1. n−m 2 Полученное решение полностью определяет плотности априорного (??) и апостериорного (??) распределений. Точечная оценка pˆ истинного значения p∗ будет выражаться через определенные параметры a и b как pˆ = 1/(b + 1) или pˆ = a/(a + 1) соответственно в первом или втором случае (??) и для дисперсии этой оценки верна формула (??). Границы доверительного интервала Jc (η) определяются уравнениями (??). Ясно, что |Jc (η)| 6 |JB (η)|, причем равенство достигается лишь когда m = n/2. Например, при n = 10, m = 1 и η = 0.9 (P = 0.95) по таблицам [?] имеем: J = (0.005, 0.394) ;

Jc = (0.003, 0.238) ,

т.е. длина доверительного интервала сократилась почти на 40% (бейесовский интервал JB рассмотрен при равномерном априорном распределении; границы интервалов определены по таблицам [?]). Заметим, что симметричность плотностей апостериорных распределений при pˆ = 1/2 − r и pˆ = 1/2 + r, 0 < r < 1/2 повлечет равенство длин доверительных интервалов для этих случаев. В заключение отметим, что для представления точечной оценки вероятностей редких событий в [?] было предложено в качестве априорного распределения использовать Bep (1, b) с достаточно большим b, однако не было приведено ни обоснования данному выбору, ни каких-либо указаний на возможный способ определения параметра b. Эта идея Э. Лемана и послужила толчком к появлению данной работы. Список литературы [1] Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. — М.: Наука, 1983. [2] Гуров С.И. Оценка надежности классифицирующих алгоритмов. — М.: Издательский отдел ф-та ВМиК МГУ, 2002. [3] Гуров С.И. Как оценить надёжность алгоритма классификации. Интервальные оценки // Таврический Вестник информатики и математики, Вып. 2, 2003. Симферополь: КНЦ НАН Украины. — С. 4-15. [4] Закс Л. Статистическое оценивание. — М.: Статистика, 1976. [5] Кендал М., Стюарт А. Теория распределений. — М.: Наука, 1966.

Section 4. Computer Sciences [6] [7] [8] [9]

265

Кендал М., Стюарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Наука, 1973. Климов Г.П. Теория вероятности и математическая статистика. — М.: Изд. Моск. ун-та, 1983. Леман Э. Теория точечного оценивания. — М.: Наука, 1991. Jeffreys H. (1961) Theory of Probability, Oxford University Press.

Россия, г. Москва, 119992, ГСП-2, Ленинские горы, МГУ, учебный корпус №2, ф-т ВМиК E-mail: [email protected], [email protected]

266

Section 4. Computer Sciences

ПЕРСПЕКТИВНI НАПРЯМИ ВДОСКОНАЛЕННЯ НАВЧАЛЬНОГО ПРОЦЕСУ З МАТЕМАТИЧНИХ ДИСЦИПЛIН Г.О.Козлакова, О.Б.Осадчий, НТУУ "Київський полiтехнiчний iнститут, Україна В данной статье на основе анализа научных, методических и Интернет-ресурсов проведено сравнение количества учебных часов на изучение математических дисциплин в университетах Украины, России, США, обоснованы возможные пути усовершенствования математической подготовки в технических университетах с использованием математических компьютерных систем. The Perspective Directions for Improvement of mathematical Disciplines Teaching. There are represented some results of analysis of science, methodological and Internet resources of educational time for mathematical disciplines teaching at different universities of Ukraine, Russia and USA. The main directions for improvement of these disciplines teaching by using of mathematical computer systems are shown too.

Сучасний свiт все бiльше залежить вiд розвитку математичних наук, i ця залежнiсть поширюється майже на усi сфери дiяльностi людини: вiд нацiональної безпеки i медичних технологiй до виробництва комп’ютерного обладнання, телекомунiкацiй та iнвестицiйної полiтики. Все назване, у свою чергу, призводить до того, що все бiльше випускникiв вищих технiчних закладiв освiти у майбутньому не зможуть вдало виконувати свої професiйнi обов’язки без достатнiх математичних знань. Висновок очевидний - без утворення потужного кадрового потенцiалу у математичних науках будь-яка країна не зможе вийти на першi позицiї у науковому, технiчному та економiчному розвитку. Але, як не дивно, незважаючи на розумiння цього факту, все частiше спостерiгається повсюдне скорочення обсягiв викладання математичних дисциплiн. 1.Порiвняння обсягiв вивчення математичних дисциплiн. З метою уявлення про обсяги викладання математичних дисциплiн, нами проаналiзовано назви дисциплiн i кiлькiсть навчальних годин, якi витрачаються на вивчення вищої математики в унiверситетах України та Росiї, серед них: НТУУ"Київський полiтехнiчний iнститут", Київський нацiональний унiверситет iм.Тараса Шевченка, Вiнницький державний технiчний унiверситет, Уральський державний технiчний унiверситет (Росiя), Новосибiрський державний технiчний унiверситет (Росiя). Дану iнформацiя отримано з офiцiйних сайтiв унiверситетiв i датується 2001/2002 рр., що вказує на її використання у цьому навчальному роцi. Процес скорочення викладання математичних дисциплiн можна спостерiгати i в iнших країнах, зокрема, у США. Якщо проаналiзувати кiлькiсть годин, якi вiдводяться на вивчення математичних дисциплiн в унiверситетах США, зокрема, у Техаському Унiверситетi в Остiнi та Унiверситет Плiмут Рок, то ситуацiя не здаватиметься такою жахливою. Для порiвняння одержанi данi проiлюстровано на рис.1 i рис.2. Аналiз цих даних показує, що найменша кiлькiсть годин на вивчення математики вiдводиться в унiверситетах США. Ця країна претендує на перше мiсце у свiтi як найбiльш розвинута країна у галузi математичних i комп’ютерних наук, проте не заперечує, що здобути цю позицiю їй допомагають вихiдцi з країн пострадянського простору. Сам процес викладання математики в унiверситетах i технiчних ВНЗ за багато десятирiч суттєво не змiнився. Змiст курсу математики типового вищого закладу освiти в багатьох випадках традицiйний i не включає в себе досягнень науки у ХХ столiттi. Багато важливих роздiлiв сучасної математики (теорiя диференцiйних рiвнянь, функцiональний аналiз, теорiя прийняття рiшень тощо) не вивчаються або вивчаються дуже поверхово без пiдтримки практичними заняттями, в результатi чого надбанi студентами теоретичнi

Section 4. Computer Sciences

267

знання не закрiплюються у пам’ятi майбутнього фахiвця. Сучаснi навчальнi плани не передбачають певних суттєвих форм самостiйної роботи з вивчення математики (наприклад, у виглядi курсових робiт) окрiм звичайних домашнiх завдань та розрахункових робiт, якi часом вiдiрванi вiд практичного застосування теоретичних математичних знань. Дуже часто навчальний процес зводиться до розв’язання вже написаного рiвняння. Необхiдно зазначити, що методика викладання вищої математики не завжди досконала, бiльшiсть задач суто дидактичнi i вiдiрванi вiд реальних потреб сучасної науки та технологiї. Надмiрна увага, яка придiляється методам розв’язання задач, заважає студентам та iнженерам творчо використовувати математику. Як наслiдок, студенти iнодi стурбованi тим, як вони розв’язуватимуть професiйнi задачi, але сумлiнно виконують спрощення завдань, здiйснюють непотрiбнi наближення з єдиною метою - якомога бiльше спростити процедуру розв’язання [2]. Сучасний розвиток iнформацiйних технологiй, поява сучасного математичного програмного забезпечення дозволяють спрямувати процес вивчення та викладання математики на якiсно новий етап розвитку. Адже сучаснi математичнi програми дозволяють за декiлька хвилин вирiшувати задачi, на розв’язання яких ранiше потребувалися години важкої працi. Окремi "продвинутi", якщо можна так сказати, студенти давно це зрозумiли i широко використовують такi програми, як MathCad, Mathematica та iншi у розв’язанi практичних задач. Але тут виникає iнша проблема. У багатьох випадках розв’язання певної практичної задачi математичними методами зводиться до простого розв’язання i не поширюється далi на дослiдження отриманих результатiв. Якщо i ставиться перед студентом задача дослiдження, то вона дуже часто самим же студентом зводиться до побудови гарних кольорових графiкiв, якi особливого наукового змiсту за собою не мають, але справляють необхiдне враження на викладача. На сьогоднiшнiй день викладання математичних наук майже не перетинається iз систематичним викладанням сучасних математичних комп’ютерних систем, оскiльки останнє майже вiдсутнє i зводиться до купiвлi книжок типу "MathCad для студентiв та iнженерiв"i самостiйного їх опанування. Треба також зазначити, що дуже часто студенту доводиться серйозно стикатися з математичними програмами вже на старших курсах при вивченi спецiальних iнженерних дисциплiн, наприклад, "Теорiя автоматичного управлiння", "Аналоговi та цифровi фiльтри", "Теорiя iнформацiї та кодування"тощо. Вiдсутнiсть необхiдної пiдготовки i навичок роботи з математичними пакетами призводить до того, що лабораторнi роботи, виконанi за допомогою цих пакетiв, вiдрiзняються одна вiд одної лише шрифтом та вхiдними значеннями, якi пiдставляються, що не може позитивно впливати на пiдготовку фахiвця. Рис.1.Порiвняння даних про вивчення математичних дисциплiн в унiверситетах України Рис.2.Порiвняння даних про вивчення математичних дисциплiн в унiверситетах Росiї та США 2.Напрями вдосконалення вивчення математичних дисциплiн. Вищенаведене дозволяє стверджувати, що необхiднiсть модернiзацiї змiсту математичної пiдготовки у технiчному ВНЗ з урахуванням сучасного математичного програмного забезпечення обґрунтовується тим, що: 1.Використання систем комп’ютерної математики допоможе ускладнювати задачi, якi розв’язуються на практичних заняттях, сприятиме виконанню курсових i дипломних робiт, що, у свою чергу, дозволить бiльш досконало засвоїти навчальний матерiал. 2.Використання математичних програмних систем уможливить збiльшення обсягiв самостiйної роботи студентiв у навчальному процесi. 3.Математичнi комп’ютернi системи дозволять бiльшою мiрою використовувати у навчальному процесi задачi дослiдницького характеру. Але треба зрозумiти, що вдале поєднання вивчення математичних дисциплiн та математичних комп’ютерних систем (МКС) можливе тодi, коли студентами будуть засвоєнi

268

Section 4. Computer Sciences

основнi теоретичнi аспекти i набутi певнi практичнi навички. Для грамотного та ефективного використання комп’ютерiв необхiдно: а) ґрунтовне, а не поверхове знання математичної термiнологiї, б) умiння формулювати задачу, яка доручається для виконання математичнiй комп’ютернiй системi, в) умiння проконтролювати правильнiсть розв’язання задачi на промiжних етапах, г) умiння аналiзувати та дослiджувати отриманi результати, а також оцiнювати можливостi їх практичного застосування, д) сучасний викладач (вчитель) має бути орiєнтованим на використання сучасних програмних засобiв при проведеннi рiзноманiтних математичних розрахункiв. У Росiйськiй Федерацiї, наприклад, вже здiйснюється робота щодо впровадження сучасного програмного забезпечення у процес викладання та вивчення математичних наук. Ще у 1998 р. було створено асоцiацiю Academia ХХI, яка у своїй дiяльностi намагається створити єдиний освiтньо-науковий простiр. Academia XXI розробляє програмне забезпечення, що допомагає створювати електронi системи контролю знань, електронi навчальнi системи, комп’ютернi лабораторiї. Одним з прикладiв є пакет РЕШЕБНИК.ВМ [1], який допомагає розв’язувати типовi математичнi задачi. Також можна зазначити Iнтернетпортал Exponenta.ru, який вже спiвпрацює з офiцiйним представником компанiй MathSoft, Mathworks, Waterloo Maple та Wolfram Research — SoftLine. Саме на Exponenta.ru постiйно оновлюються рiзноманiтнi методики викладання математичних i фiзичних наук за допомогою сучасного програмного забезпечення. Авторами цих методик виступають викладачi, студенти, науковi працiвники. Крiм того, за сприянням самого порталу Exponenta.ru постiйно проводяться конференцiї на тему "Математика. Комп’ютер. Освiта". На однiй з останнiх конференцiй [2, 3] було сформовано своєрiдну програму дiй, яка сприятиме реорганiзацiї процесу вивчення математичних наук у вищiй школi. Основними напрямами цiєї програми є: 1.Привести до єдиних вимог програми вивчення математики у школi та вищих навчальних закладах. 2.Кардинально змiнити викладання iнформатики у школах з метою пiдвищення загальної комп’ютерної грамотностi учнiв, з метою уможливлення ефективного використання комп’ютерних технологiй при навчаннi у вищому навчальному закладi. 3.Переглянути змiст курсу вищої математики, зменшити його технiчну складову й перенести акцент з питання "як"(розв’язати, розрахувати и тощо) на питання "що"i "навiщо". Суттєва частина матерiалу, в якому пояснюється, як розв’язувати типовi задачi, передається на самостiйне вивчення з використанням спецiальних комп’ютерних програм. Час, який звiльнюється, можна використовувати для обговорення та дослiдження отриманих результатiв, а також для включення до навчальної програми вивчення важливих тем i роздiлiв сучасної математики, якi в даний момент зовсiм не вивчаються або вивчаються недостатньо повно. 4.Пiдготувати i впровадити навчальнi комплекси, якi включають лекцiї, практичнi заняття i приблизно вiдповiдають навчальним робочим програмам, а також запропонувати достатню кiлькiсть задач для самостiйного розв’язання та урiзноманiтнення матерiалу для самоконтролю. Також цi комплекси можуть одночасно виконувати функцiї пiдручника, задачника та репетитора-тренажера. При цьому потрiбно зберегти значення традицiйної навчальної лiтератури для бiльш детального вивчення предмету. 5.Розробити на основi навчальних комплексiв спецiальнi робочi зошити для студентiв, якi можна розповсюджуватися електронними засобами. Цi зошити мають складатися iз стислого конспекту лекцiй, а також включати поля для замiток, пояснень i прикладiв. Маючи цi зошити, студенти отримають додаткову можливiсть повторити матерiал, уточнити незрозумiлi моменти та вивчити пропущений матерiал.

Section 4. Computer Sciences

269

6.Обладнати комп’ютернi класи для проведення деяких (не обов’язково усiх) аудиторних занять, контрольних, лабораторних та самостiйних робiт студентiв. 7.Розповсюдити програмне забезпечення цих класiв з тим, щоби студенти та викладачi мали можливiсть працювати з ним у вiльний час. 8.Збiльшити об’єм завдань з тим, щоб студенти розв’язували по декiлька задач кожного типу i дослiджували отриманi результати з використанням комп’ютерної пiдтримки. Таким чином, створене єдине освiтньо-наукове iнформацiйне середовище дозволить провести успiшну комп’ютеризацiю вивчення математичних дисциплiн i перехiд на якiсно новий рiвень освiти. У свою чергу, створене таким чином належне програмне та методичне забезпечення дозволять зекономити до 60-70 Необхiдно зазначити, що й самi виробники, i дистриб’ютори математичних програм сприяють впровадженню своїх продуктiв у процес вивчення математики та в освiтнiй процес взагалi. Так, наприклад, виробник пакету MathCad американська компанiя MathSoft постiйно оголошує гранти на кращу методику викладання математики за допомогою MathCad, i це пов’язано не тiльки з прагненнями компанiї привабити якомога бiльше клiєнтiв, а й з тим, що США поставили за мету вийти на перше мiсце у свiтi в галузi математичних наук. У звiтi Нацiональної Наукової Фундацiї США зазначається: "Вiдокремлення комп’ютерних наук вiд математичних наук в унiверситетах США негативно вплинуло на комбiнаторику, дискретну математику, символьну математику. Також це вплинуло на погану математичну пiдготовку науковцiв у комп’ютернiй галузi, i в свою чергу на недостатню комп’ютерну пiдготовку математикiв"[4]. Можна впевнено стверджувати, що системи комп’ютерної математики суттєво змiнюють свiт освiти. Вони роблять достатньо доступним використання потужних математичних методiв при розв’язаннi прикладних задач, пiдвищують наочнiсть i конкретнiсть абстрактних концепцiй як у процесi навчання, так i в експериментальних дослiдженнях. Також можна зазначити, що необхiднiсть включення до навчальних математичних курсiв прикладного використання сучасних МКС вже назрiла, i за своєю суттю це нововведення буде не менш важливiшим, нiж початок використання Iнтернет у сферi навчання та освiти. До найбiльш продвинутих унiверсальних систем програмування математичних задач, якi мають розповсюдження в Українi, можна вiднести MathCAD, Maple, Mathematica. Переваги використання цих математичних пакетiв у розв’язаннi задач прикладного призначення (порiвняно з традицiйними мовами програмування) обумовленi значно меншою трудомiсткiстю написання i налагоджування програм для розрахункiв, що досягається завдяки мовi програмування високого рiвня, а також зручному iнтерфейсу. Названi вище математичнi комп’ютернi системи можна роздiлити на двi групи: 1) системи, якi мають APL-схожу мову програмування (типу Mathlab, Mathematica, Maple, MathView), 2) системи, якi мають вбудований процесор написання програм на внутрiшнiй мовi системи, типу MathCad. Математичнi системи першої групи пiдтримують ефективне написання та виконання обчислювальних програм, в яких виконуються матричнi операцiї лiнiйної алгебри. Такi системи доцiльно використовувати при вивченi деяких методiв динамiки i статики технiчних систем управлiння. Системи другої групи, якi ще iнодi називають унiверсальними системами математичних задач, займають особливе мiсце серед iнших математичних пакетiв. Це пов’язано з тим, що вони мають досить спрощений спосiб написання та вiзуального представлення розроблених у таких системах програм. До таких систем вiдноситься пакет MathCad. 3.Загальнi висновки. У данiй статтi на основi вивчення наукових, бiблiографiчних та Iнтернет-ресурсiв нами показано, що: по-перше, iснують тенденцiї скорочення часу на вивчення математичних дисциплiн у вищих навчальних закладiв в усьому свiтi. Нами проаналiзовано кiлькiсть годин, якi

270

Section 4. Computer Sciences

надаються у вищих навчальних закладах України, Росiї та США. Пiд час аналiзу ми намагалися обрати найбiльш схожi мiж собою за змiстом спецiальностi. Аналiз показав, що найгiрша ситуацiя з вивчення математичних дисциплiн у США, не зважаючи на те, що ця країна бореться за перше мiсце у свiтi, як країна з найбiльш розвинутою математичною наукою. Щодо України та Росiї, то найбiльша кiлькiсть годин надається на вивчення математичних дисциплiн у КНУ iм. Тараса Шевченка та МДТУ iм. Н.Е.Баумана. Але в жодному з розглянутих вищих навчальних закладiв не надiляється належної уваги вивченню комп’ютерних систем та їх використанню у розв’язаннi математичних завдань; по-друге, на пiдставi аналiзу публiкацiй навчальних закладiв України, Бiлорусiї та Росiї було зроблено висновок, що процес пiдготовки викладачiв математики за останнi роки суттєво не змiнився, а традицiйнi пiдходи до пiдготовки математикiв дещо застарiлi. Також iснують доволi серйознi протирiччя у програмах шкiльної середньої освiти та вищої освiти, що призводить до недостатньої пiдготовки майбутнiх iнженерiв; по-третє, наголошено i позначено кроки, що здiйснюються в Росiї для подолання проблем, якi заважають вдосконаленню математичної пiдготовки молодих фахiвцiв. Серед таких засобiв можна видiлити створення єдиного освiтньо-наукового iнформацiйного середовища, що у перспективi дозволить провести успiшну комп’ютеризацiю та перехiд на якiсно новий рiвень математичної освiти, по-четверте, визначено своєрiдну програму дiй, яка сприятиме модернiзацiї процесу пiдготовки молодих фахiвцiв в Українi. Одним iз пунктiв такої програми є пiдготовка сучасних навчальних i програмних комплексiв, якi могли би одночасно виконувати функцiї пiдручника, задачника та репетитора-тренажера. Запропоновано класифiкацiю математичних програмних засобiв, якi обов’язково включаються до навчальних i програмних комплексiв, доцiльнiсть використання яких обґрунтовано у пiдготовцi студентiв технiчних спецiальностей. Список литературы [1] Бурковская М.А. О методике эффективного применения компьютера в учебной и аудиторной работе (на примере работы с пакетом РЕШЕБНИК ВМ) // Тезисы VIII Международной конференции “Математика. Компьютер. Образование". M.: МФТИ, 2001. — 140 с. [2] Кудрявцев Л.Д., Кирилов А.И., Бурковская М.А. О тенденциях и перспективах математического образования. — М.: Наука, 1999. — 11 с. [3] Kirillov A.I. Analysis and synthesis in mathematics and in teaching the mathematics to engineers // Тезисы докладов Международной конференции “Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования", Москва, 1998. — С. 1–4. [4] Executive Summary of National Science Foundation. 2001. — Матерiали сайту http://www.google.com — 18.05.2001. [5] Матерiали сайту http://www.AcademiaXXI.ru , травень, 2002. [6] Матерiали сайту http://www.mathsoft.com , травень,2002.

Козлакова Галина, кандидат технiчних наук, доцент, Осадчий Олександр, магiстр, НТУУ"Київський полiтехнiчний iнститут, м.Київ, пр.Перемоги, 37, кафедра технiчної кiбернетики, тел.(044) 290-29-68,432-11-55

Содержание Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii М.С.Агранович Суммирование ортогональных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Section 1. Spectral Problems Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators А.П.Гуревич, А.П.Хромов Суммируемость по Риссу в пространстве C α [0, 1] спектральных разложений интегральных операторов с переменным верхним пределом интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 А.С.Костенко О характеристической функции струны Крейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Е.В.Назарова О равносходимости спектральных разложений для интегральных операторов с разрывными ядрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 А.Ю.Савин, Б.Ю.Стернин Индекс для одного класса нелокальных эллиптических операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 A.Boivin, A.M.Sedletskii Bases of exponential in weighted Lp spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 S.Hassi, I.Karabash Similarity of J-selfadjoint Sturm-Liouville operators with an operator potential to selfadjoint ones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 N.A.Kachanovsky A generalized malliavin derivative in a coloured noise analysis . . . . . . 47 D.V.Limansky, M.M.Malamud Weak coercivity of systems of differential operators in L1 and L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 G.S.Romashchenko On Similarity of Convolution Volterra Operators in Sobolev Spaces 63 Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils В.С.Рыхлов О некоторых свойствах определителей с циклически сдвинутыми столбцами и их применении в классификации дифференциальных операторов 71 К.И.Чернышов Об операторе Коши нестационарного линейного дифференциального уравнения с малым параметром при производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 I.A.Sheipak, A.A.Vladimirov Spectral properties of one operator matrix and stability questions arising in supersonic hydrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Section 2. Evolution and Boundary Value Problems Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolution Equations Г.С.Балашова О разрешимости задачи Дирихле для уравнений бесконечного порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 С.И.Безродных, В.И.Власов Метод решения системы нелинейных дифференциальных уравнений, моделирующей полупроводниковый диод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

272

Contents А.И.Боголюбский, С.Л.Скороходов Индекс для одного класса нелокальных эллиптических операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 А.В.Глушак, Ю.В.Поваляева О свойствах решений задачи типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной . . . . . . . . . . . . . . 163 A.Ю.Мальцев Задача Коши для одного нестационарного существенно бесконечномерного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 В.П.Орлов Об одной слабо вырождающейся гиперболической задаче . . . . . . . . . . . . . . . 179 V.M.Marchenko Canonical forms for controllable after-effect systems and applications . 184 I.V.Melnikova About regularization in a broad sense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 O.V.Solonukha On parabolic unilateral problems with operators of 2m order . . . . . . . . . . . 204

Subsection 2.2. Boundary Value Problems А.В.Агибалова О полноте систем корневых функций некоторых граничных задач для уравнения порядка 2 − ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 N.B.Konyukhova, A.L.Dyshko Singular nonlinear boundary value problems and associated spectral ones arising in the inflationary cosmology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Yu.T.Silchenko The operator method of the investigation of the fourth order equation . . 229 S.Yakubov, Ya.Yakubov Hyperbolic differential-operator equations on a finite interval . 232 Section 3. Optimization, Control, Games and Economic Behavior А.А.Горелова, В.И.Жуковский Риск в одной линейно-квадратичной задаче . . . . . . . 245 Л.В.Жуковская Гарантированный риск в многокритериальных задачах . . . . . . . . . . 249 Section 4. Computer Sciences С.И.Гуров Принцип согласованности для конкретизации априорного распределения и его применение к задаче доверительного оценивания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Г.О.Козлакова, О.Б.Осадчий Перспективнi напрями вдосконалення навчального процесу з математичних дисциплiн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

Сборник научных трудов

Информационно-издательский отдел Таврического национального университета им. В. И. Вернадского 95007, Симферополь, пр-т. Вернадского, 4 Подписано к печати Объем 15 печ. л.

Формат 60×84/8 Бумага тип. Тираж 300 экз. Заказ