Алгебра и логика, 40, N 3 (2001), 251-261
УДК 512.5
О П О Р О Ж Д А Ю Щ И Х ЭЛЕМЕНТАХ ВИДА
ГРУПП
Р/Я'
Ч . К, Г У П Т А , Е* И. Т И М О Ш Е Н К О * )
В настоящей работе через Рт будет обозначаться свободная группа с базой {а?х,... , хт} и через Р — свободное произведение Ах * . . . * А п неко торых нетривиальных групп Ах,... ,А„. Бирман [1] нашла необходимые и достаточные условия для того, чтобы элементы 51?»— ч9т группы Рт порождали ее. Красников [2] расширил это утверждение на порождающие элементы групп вида Рт/В\
где В является произвольной нормальной
подгруппой из Рт1 а В' = [Я) В] — ее коммутантом. Здесь будут указаны необходимые и достаточные условия для того, чтобы данное множество элементов группы вида Р/В\
где В — такая нормальная подгруппа из Р,
что ВП А( = 1 (I = 1 , . . . , в), порождало эту группу. Затем для случая, когда множители Ах,... , Ап являются свободными абелевыми группами конечных рангов и т — суммой этих рангов, указываются необходимые и достаточные условия для того, чтобы данная система из г (г < га) элемен тов группы Р/В\
где В — декартова подгруппа свободного произведения
Р) дополнялась до системы из т элементов, порождающих всю группу. Последнее обобщает критерий примитивности систем элементов свобод ной метабелевой группы, найденный в [3—5]. *' Исследования второго автора выполнены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект N 99-01-00567, а также научной про граммы Министерства образования Российской Федерации "Фундаментальные исследо вания высшей школы. Университеты России", проект N 015.09.01.005.
Ч. К. Гупта, Е. И, Тимошенко
252
Через di обозначим г-ю правую производную Фокса (г = 1 , . . . , т ) , которая однозначно определена на кольце ZFm условиями: diXj = 0 при г ф j , diXi = 1,
di(uv) — diu • v + e(u)divy di(u + v) = d{U + d{V, где w, v E Z F m , e : ZFm -> Z — операция тривиализации. Легко видеть, что при n ^ 1 имеют место равенства dihn = dih-(l
+ h + ...+ hn-1)
(1)
для любого /г Е F m . Следуя Романовскому [6], обозначим через D\ дифференцирования группового кольца ZF. Для / = 1 , . . . , п они однозначно определены усло виями В\сц = а/ — 1, если сц Е А/; Д а г = 0 при / ф г, D/(w + v) == D/г* + D/v; Di(uv) — D\u • v + e(u)Dtv, где w, и € ZF. Пусть г? = v ( # i , . . . , xm) — некоторый элемент из Z F m , a # i , . . . , gm E E ZF. Так как дифференцирования di и Dj определены на разных кольцах, то Div(gi)...
,# m ) обозначает производную от элемента v ( # i , . . . , #m) из
кольца Z F , a djv(gi,...
, # m ) — результат подстановки gi вместо Xi в слово
djv. В дальнейшем, говоря о значении элемента д в группе Hi в случа ях, когда не возникает двусмысленность, будем обозначать одной и той же буквой как элемент д из некоторой группы Я , так и его гомоморфный образ при гомоморфизме Н —> Н\. В частности, будем говорить о значе ниях производных dih и D\f в кольцах, которые являются гомоморфными образами колец ZF m и ZF, соответственно. Индукцией по длине слова v может быть доказана Л Е М М А . Для любого v(x±,...
, xm) E Fm u любых j i , . . , , j m
имеет место т
Div(gu...
,gm) = Y^Di9idiv(gu...
,дт).
£ f
О порождающих элементах групп вида FJR!
253
Будем использовать обозначения из [6]. Пусть R — нормальная под группа из F , причем для г = 1 , . . . , п выполняется R П А; = 1. Через А обозначается группа F/R, через Т — свободный правый ZA-модуль с базой {*ь • • • > ^п}- Рассмотрим группу матриц М таких, что М Отображение (
0
^
»
г
А
\ и{щ - 1) 1 задает вложение каждой группы А, в М. Это отображение определяет го моморфизм a : F ~» М, причем ядро последнего совпадает с [Д,Я]. Полу ченное вложение группы F/R
в группу М называют вложением Шмель-
кина. Матрица a
О
hui + ... + tnun
1
из М лежит в (T(F) тогда и только тогда, когда щ Е A;ZA,
щ + . . . + u n = a - 1,
(2)
где Аг — разностный идеал группового кольца ZA t . Как показано в [6], для любого / 6 F имеет место
\ hD^+^.
+ inDnf
1
причем в матрице вместо элемента / и производных D / / , согласно нашей договоренности, берем значения этих элементов в кольце ZA. Напомним, что для любого элемента g 6 ZFm выполняется равенство m
X > . - - l ) 3 t f = 0-e(ff).
(3)
f= l
Дальнейшие сведения о вложении Шмелькина можно найти в [6—8].
254
Ч. К. Гупта, Е. И. Тимошенко Т Е О Р Е М А 1. Пусть д\,... ,
. . . * Ап\ R — нормальная подгруппа из F, Rf] А{ = 1 при г = 1 , . . . , щ А — F/R, Т = t\ZA + . . . + tnZA — свободный правый ЪА-модуль с базой * ь . - - ,*п5 г,- = *iDififj + . . . + tnDnflfj; L = * i A i Z A + . . . + £ n A n ZA, Л Д { '
-
разностный идеал кольца ZA,. Элементы # i , . . . , # т порождают группу F/R'
тогда и только тогда, когда элементы r i , . . . , г т порождают пра
вый ЪА-модуль L. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть элементы # i , . . . . . . , # m порождают группу FJR! и пусть, например, а\ — некоторый эле мент из А\. Выберем u(xi,...
,ж т ) G F„, так, что ai = cu(gi,... ,y m ) в
группе F/R'. По лемме существуют элементы fti,... , Ьто G ZA такие, что BZA m
Diu(gu ... , # m ) = ^
D^e * ^ .
Поскольку Diu>(gi,... ,gm) = ai - 1, D / w ^ i , . . . ,# m ) = 0 при Z ^ 1, то *i(ai - 1) = n b i + . . . + r m 6 m . Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть элементы r\,...
, гто порождают модуль L
и g ~- некоторый элемент из F/R!. Элемент t\D\g + . . . + tnDng лежит в L и, следовательно, для некоторых щ, . . . , um G ZA выполняются равенства #ifl
=
!
:
Digi-щ
+...+
:
Digm-um
i
:
(4)
Из (4) следует, что элементы fifi,... >#m порождают группу А. Действи тельно, для любого g £ А найдутся щ,...
, u,n G ZA такие, что g — 1 =
m =
ХХ#« - l) u i? т - е - элементы #i - 1 , . . . ,gm - 1 порождают разностный
идеал кольца ZA. Известно [9], что в этом случае элементы #ъ . . . , # w по рождают группу А. Выберем элемент u?(xi,... , xm) G ZF m так, что diw(gi,...
, gm) = u;
в ZA при г = 1 , . . . ,m. Заметим, что такой элемент всегда существует. Например, в качестве и можно взять элемент m 1=1
О порождающих элементах групп вида F/Rf
255
где u[ Е Z F m H-ii((0i,... ,Sm) == t*j в ЪА. Действительно, 5|(а?| - l)u[ = u'j, dr(x{ - 1)и[ = 0 при % ф г. Поэтому diuj(gu . . . ,gm) = и^(дг,...
,дт) = щ.
Для элемента h = ]Г) гарАр из ZF m , где гар — целые ненулевые числа, hp Е F m , определим длину \h\ = ]Г)|ягр|. Из всех а; Е Z F m с условием diu(gi^...
, grm) = w; при г = 1 , . . . , га выберем элемент наименьшей длины.
Докажем, что для такого элемента длина равна 1, т.е. w 6 F m или и Е €-Fm. Сложим левые и правые части (4). Учитывая (3), в ЪА получаем т
д-1
=
т
][](£« - 1)Щ = ]§T(ft - l)ftu;(0i,.. • ,9т) го
= ]С^Жг ~ 1 )^)(^ь • •. ,9т)
(5)
j= l
=
(u-e(u))(gu...
,дт) = w(fifi,...
,9т)-е(и).
Пусть UJ = Y^mphp и М ^ 2. Тогда на основании (5) можно считать, что выполняется одно из двух условий: 1) hp(gu . . . , дт) = 1 для некоторого р; 2) hp(gi,...
,gm) = hq(g{l...
,дт)1тр
> 0,mq
< 0 для некоторых
Рассмотрим первый случай. Пусть для определенности р = 1. 1.1. Пусть |mi| > 1. В качестве сУ возьмем Л™1 + Ш2^2 + • • • + ^«^и? полученный из и заменой mihi на h™1. Действительно, используя (1), по лучаем в ЪА dthmi(gu... и, следовательно, дцл(дх,...
,дт) = di{mihi){gu... ,д го ) = <W(#i, ...
,дт)
,дт).
1.2. Пусть |rai| = 1, Ш2 > 0. Рассмотрим о;' = /12^Г1 + ( m 2 - 1)^2 + m3h3 + . . . + rnuhu. Длина элемента и/ меньше, чем длина элемента и, В то же время diJ{gu...
,дт) = (di(mihi) + .. .+di(muhu))(gu
... ,дт) = ф Ц ^ х , . . . , # w ) .
256
Ч. К. Гупта, Е. И. Тимошенко 1.3. Пусть |mi| = 1, Ш2 < 0. В качестве ц/ можно взять элемент сУ = -h2h~[Tni + (га2 + 1)^2 + т 3 Лз + - •. + rnuhu. Рассмотрим второй случай. Пусть для определенности
h\(gi,...
• • • i9m) — ^2(51* • • • )9m)i ™>i < О, Ш2 > 0. В ZFm рассмотрим элемент с/ = h^lh2 + (mi + l)hi + (m 2 - l)/i2 + m 3 /i 3 + • • • + rnuhu. Его длина меньше, чем длина элемента и. Вычислим производные: <9,-сУ = —5,-fti • h^1h2 + (mi + l)5,7ii + m2dih2 + . • • + rnudihu. Значит, <W(5b ... ,gm) = фи>($1,... ,gm). Таким образом, u> E Fm или — a; E Fm. Если — u; E Fm, то из (5) полу чаем, что u;(<7i,... , <7m) = —1 в ZA. Рассмотрим u/ = (—о;)""1. Поскольку fta/ = -di(-u>) • ( - 4 Г 1 = ftw • (-a;)" 1 , то ^ ' ( f l f i , . . . ,gm) = diu(gi,...
,gm) для i = 1 , . . . ,m.
Итак, во всех случаях найдется элемент u(x\,...
,xm)
E Fm такой,
что diU)(gi,... , <jfm) = ix, в ЪА при г = 1 , . . . , m. Тогда из (4) в ЪА получаем m
m
Dig = ] Г А д • «t- = ] Г JD/ft • ftw(flfi,... , 5m) = Diu){gx,...
,gm).
Так как Yl Dig — g — 1 ъ ЪА, то u>(
вложения Шмелькина группы FJR! в группу матриц М заключаем, что w
(<7ii • • • >5m) = 5
в
группе F/R'. Теорема доказана.
С Л Е Д С Т В И Е 1. Пусть Fm — свободная группа ранга т с бази сом х\}...
, ж т ; п ^ гп; 5ь • • • )5п 6 Fm\ R ~ нормальная подгруппа из
Fm) причем R П гр(жг) = 1 для г = 1 , . . . , т ; кольцо Z(JFm/J?2) не имеет делителей нуля. Элементы 5ь • • • >5т порождают группу Fm/R!
тогда
и только тогда, когда для матрицы J(g) = (#*'5j)mxn> составленной из значений правых производных Фокса, в кольце Z(F m /i2) найдется матри ца ВпХт п&д тем же кольцом, для которой J(g) • В = ЕтХт матрица).
(единичная
О порождающих элементах групп вида F/R!
257
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В теореме 1 положим А{ = гр(я,). Поскольку Dig = (х{ — I)dig, то элементы g\,... группу Fm/R',
, # п тогда и только тогда порождают
когда элементы 7TJ = hdigj + . . . + tmdm9j,
порождают модуль tiZA + . . . + £WZA, где Л = Fm/R.
j = 1 , . . . , n,
Это равносильно
существованию матрицы В с требуемым свойством. В частности, получаем усиление теоремы Бирман [1]. С Л Е Д С Т В И Е 2. Элементы <7Ь ... ,gn (n ^ т) из свободной груп пы Fm ранга т порождают эту группу тогда и только тогда, когда для матрицы J(g) = {digj)mxn J(g) * В = Е (единичная
найдется матрица ВпХт
такая, что
матрица).
С Л Е Д С Т В И Е 3. Предположим, что условия теоремы 1 выполня ются и для любых aij, bi 6 Z(F/R) а
ных уравнений Y^ чУэ
=
вопрос о разрешимости систем линей-
h, I ^ i ^ r, алгоритмически разрешим. Тогда
вопрос о распознавании порождающих элементов группы F/R* решается алгоритмически. В частности, это следствие справедливо, если F/R — конечно-порож денная нилытотентная группа. Как отметил Романовский [10], для конеч но-порожденных нильпотентных групп вопрос о разрешимости систем ли нейных уравнений указанного вида алгоритмически разрешим. Приведем другое доказательство данного факта. Рассмотрим группу матриц М вида
где g e F/R] a, € Z(F/R);
9
0
oc\ti + . . . 4- otrtr
I
£ 1 ? ... , £г — базис свободного 2^/.й)-модуля.
Эта группа изоморфна сплетению свободной абелевой группы ранга г и группы F/R и, следовательно, конечно-порождена. Рассмотрим в группе М матрицы
(
1
\ aijh + . . . + arjtr и элемент
° l
258
Ч. К. Гуята, Е. И. Тимошенко Пусть N = ( # i , . . . ,
и Н = M/N.
Группа Я — конечно-порожденная из многообразия AN C ,
поэтому и по теореме Ф. Холла она финитно аппроксимируема. По дру гой теореме Ф. Холла, всякое конечно-порожденное расширение абелевой группы при помощи полициклической удовлетворяет условию Мах-га. По этому Н — конечно определенная группа в многообразии AN C . Значит, в Н разрешима проблема равенства. Равенство Ь = 1 эквивалентно разре шимости системы указанных уравнений. Т Е О Р Е М А 2. Пусть А\,...
, Ап — свободные абелевы группы ран
гов m i , . . . , гдп, соответственно] т = mi + . . . + m n ; r < т, F = = Ai * . . . * Ап; D — декартова подгруппа из F; А = F / i ? ; G = F/D'] Д,- —• разностный идеал кольца ЪА{\ д\,... свободный ZA-модуль
, #г G G; Т = £iZA -f . . . + £ n ZA —
с базой £ i , . . . , £п; X = t ^ i Z A + . . . + £ n A n ZA;
Tj = txDig3 + .. . + tnDngj £ L , j = l , . . . , r . Система элементов порождающих ЪА-модуля L. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Д о с т а т о ч н о с т ь . Через C r X „ = ( A s ; ) обо значается матрица, составленная из значений производных в кольце ZA. Пусть С = (с ш ) — матрица размерности m x п, у которой первые г строк совпадают с матрицей С и которая обладает тем свойством, что ее строки порождают ZA-модуль L. Обозначим через сги(С) сумму элементов строки с номером и матрицы С. Заметим, что (7W(C) —
,сг т (С) порождают разностный
идеал Д кольца ZA. Действительно, пусть /3 € Д. Поскольку А
=
= AiZA + . . . + A n ZA, то /3 = /3i + . . . + /Зп, где ft E A;ZA. Поэтому элемент t\fi\ + . . . + tnftn модуля L записывается в виде линейной комбина ции строк матрицы С Тогда элемент /3 равен соответствующей линейной комбинации элементов а± (С),...
, <гт {С).
Таким образом, систему элементов gi — 1 , . . . , # r — 1 из ZA можно дополнить т — г элементами этого кольца до порождающего множества идеала А. Это возможно лишь в случае, когда система элементов # i , . . . , gr
О порождающих элементах групп видя F/R'
259
из группы А дополняется га—г элементами до базиса этой группы. Вначале заметим, что если В — свободная абелева группа ранга n ^ 2 экспоненты ) Ои Д# — разностный идеал кольца ZB, то минимальное число поро ждающих ZB-модуля Д# равно п. Это легко установить, рассматривая свободный Z-модуль Дв/А|». Элементы # ь . . . , gr независимы в группе А, в противном случае идеал А порождался бы менее, чем га элементами. Поэтому можно считать, что существует примитивная система элементов « 1 , . . . , аг из группы А, для которой д\ = а^ 1 ,... , gr = a8rv; Sj G Z, si > 1. Пусть J3 = rp(ai, a r + i , . . . , a m ). Разностный идеал кольца ZB порождается элементом a| l — 1 и еще m — г элементами. Тогда разностный идеал свобод ной абелевой группы В/В31
экспоненты $\ и ранга га — г + 1 порождается
7П — г элементами. Последнее невозможно. Пусть 0 i , . . . , gr, . . . , £ т — базис группы А и А = А/гр(# ь . . . , # г ). Волной будем обозначать образ элемента из ZA в кольце ZA. Вектор, со ставленный из элементов, порождающих идеал А, назовем Д-модулярным. Элементы dy+i(C),... ,5"m(C) порождают разностный идеал Д. Отожде ствим группу А с группой r p ( a r + i , . . . , а т ) . Из строк матрицы С с номерами г + 1 , . . . , га вычтем линейные ком бинации первых га строк так, что для полученных строк соответствую щие значения Oj будут равны cr r +i(C),... ,a- w (C). По теореме из [10] при га — г ^ 1 группа матриц GL m _ r (ZA) действует транзитивно на множестве Д-модулярных векторов. Пусть V — матрица из G L m - r ( Z A ) такая, что V(<7r + l(C), • • • , M W
= (Sfr+l ~ 1, • - • , ft» ~ 1)',
где £ — операция транспонирования. Поскольку А < 6 GLm-r(ZA).
А, то V^ €
Тогда матрица
лежит в GL m (ZA). Матрица V • С имеет те же первые г строк, что и матрица С. Кроме того, (a1(V-C),...,am(V-C))
=
V-C-(l,...,l)t
260
Ч. К. Гупта, Е. И. Тимошенко = V ( C ( l , . . . , l ) l ) = V(a 1 (C),...,a w (C7))' = (flTl- 1 , . . . ,ffm- l)."
Элементы i — го столбца матрицы V • С лежат в A,ZA. Тогда матрица У • С состоит из значений производных D{gj и, следовательно, элементы 5ъ • • • ? 9m порождают группу (?, так как строки матрицы V С порождают ZA-модуль L. Н е о б х о д и м о с т ь очевидна. С Л Е Д С Т В И Е 4 [3—5]. Элементы p i , . . . ,# г свободной метабелевой группы Sn ранга п ^ г можно дополнить до базиса этой группы то гда и только тогда, когда миноры порядка г матрицы (digj) над кольцом Z(Sn/S,n)
порождают это кольцо.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует из теоремы 2, если положить F — = (ai) * . . . * (a n ), заметив, что Sn = F/D* и Dig = (a, — 1 )
ЛИТЕРАТУРА 1. J. S.Birman, An inverse function theorem for free groups, Proc. Am. Math. Soc, 41, N 2 (1973), 634-638. 2. А. Ф. Красников, О порождающих элементах групп F/[N, JV], Матем. заметки, 24, N 2 (1978), 167-173. 3. Е.И.Тимошенко, Об алгоритмической разрешимости проблемы включе ния в базис свободной метабелевой группы, Матем. заметки, 51, N 3 (1992), 117-121. 4. В. А. Романъков, Критерий примитивности систем элементов свободной ме табелевой группы, Укр. матем. ж., 43, N 7-8 (1991), 996-1002. 5. С. К. Gupta, N. D. Gupta, G.A.Noskov, Some applications of Artamonov— Quillen—Suslin theorems to metabelian inner rank and primitivity, Can. J. Math., 46, N 2 (1994), 298-307. 6. H. С. Романовский, О вложении Шмелькина для абстрактных и проконечных групп, Алгебра и логика, 38, N 5 (1999), 598—612.
О порождающих
элементах групп вида
F/Rf
261
7. А. Л. Шмелъкин, О свободных произведениях групп, Матем. сборник, 79, N 4 (1969), 616-620. 8. А. Л. Шмелъкин, О некоторых фактор-группах свободного произведения, Труды семинара им. Петровского, N 5, 1979, 209—216. 9. В. Н. Ремесленников, Пример группы, конечно определенной в многообра зии А 5 , с неразрешимой проблемой равенства, Алгебра и логика, 12, N 5 (1973), 577-602. 10. Н. С. Романовский, О проблеме вхождения для расширений абелевых групп с помощью нильпотентных, Сиб. матем. ж., 2 1 , N 2 (1980), 170—174. 11. В. А. Артамонов Проективные метабелевы группы и алгебры Ли, Изв. АН СССР, сер. матем., 42, N 2 (1978), 226-236.
Адреса авторов:
Поступило 18 ноября 1999 г.
G U P T A Chander Kanta,
Т И М О Ш Е Н К О Евгений Иосифович,
Department of Mathematics,
РОССИЯ,
University of Manitoba,
630008, г. Новосибирск,
Winnipeg R3T 2N2,
ул. Никитина, д. 62, кв. 29.
CANADA.
Тел.: (3832) 66-20-31. e-mail:
[email protected]
