No title

‫‪٩٧‬‬

‫وزارت آﻣﻮزش و ﭘﺮورش‬ ‫ﺳﺎزﻣﺎن ﭘﮋوﻫﺶ و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣﻮزﺷﻰ‬ ‫دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸﺎرات ﻛﻤﻚ آﻣﻮزﺷﻰ‬

‫ﻣﺪﻳﺮ ﻣﺴﺌﻮل ‪ :‬ﻣﺤﻤﺪ ﻧﺎﺻﺮى‬ ‫ﺳﺮدﺑﻴﺮ‪ :‬زﻫﺮا ﮔﻮﻳﺎ‬ ‫ﻣﺪﻳﺮ داﺧﻠﻰ ‪ :‬ﺳﭙﻴﺪه ﭼﻤﻦ آرا‬ ‫اﻋﻀﺎى ﻫﻴﺌﺖ ﲢﺮﻳﺮﻳﻪ ‪:‬اﺳﻤﺎﻋﻴﻞ ﺑﺎﺑﻠﻴﺎن‪ ،‬ﻣﻴﺮزا ﺟﻠﻴﻠﻰ‪،‬‬ ‫ﺳﭙﻴﺪه ﭼﻤﻦ‪.‬آرا‪ ،‬ﻣﻬﺪى رﺟﺒﻌﻠﻰ ﭘﻮر‪ ،‬ﻣﺎﻧﻰ رﺿﺎﺋﻰ‪،‬‬ ‫ﺷﻴﻮا زﻣﺎﻧﻰ‪ ،‬ﺑﻴﮋن ﻇﻬﻮرى زﻧﮕﻨﻪ‪ ،‬ﺳﻬﻴﻼ ﻏﻼم آزاد و‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ رﺿﺎ ﻓﺪاﺋﻰ‬ ‫ﻃﺮاح ﮔﺮاﻓﻴﻚ ‪ :‬ﻣﻬﺪى ﻛﺮﻳﻢ‪.‬ﺧﺎﻧﻰ‬

‫دورهى ﺑﻴﺴﺖ و ﻫﻔﺘﻢ‪ ،‬ﺷﻤﺎرهى‪ ، ١‬ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫آﻣﻮزﺷﻰ‪-‬ﲢﻠﻴﻠﻰ ‪ -‬اﻃﻼع رﺳﺎﻧﻰ‬ ‫‪www.roshdmag.ir‬‬

‫ﻳﺎدداﺷﺖ ﺳـﺮدﺑﻴﺮ‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴـﺮى ﺣﺴﺎﺑﺎن در دام ﻣﻔـﻬﻮم ﺣﺪ و ﻧﻤﺎدﻫـﺎ‬ ‫رد ﭘﺎى ﭘﻮﻟﻴـﺎ ﺑﺮ ﺳﻨﮓ ﻗﺒﺮ آﺧـﺮﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪى ﻓﺮﻣـﺎ‬ ‫ﻛﺎرﻫﺎى ﺛـﺒﺖﺷﺪهى ﻛﺎﺷﺎﻧـﻰ و…‬ ‫زﺑﺎن ﺑﻪ ﻋـﻨﻮان ﻳﻜﻰ از اﺻـﻮل آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‬

‫‪٢‬‬ ‫‪ ٤‬ﻳﻮﺳ‪ p‬آذرﻧﮓ‬ ‫‪ ١١‬ﻣﺤﺴﻦ ﻳﺰدان‪.‬ﻓﺮ‬ ‫‪ ١٩‬اﻳﻤﺎن ﻫﺎدى‪ ،‬ﻣﺤﻤﺪ دﻫﻘﺎن‪.‬دار‬ ‫‪ ٢٤‬ﻟﻴﻼ اﺣﻤﺪﻟﻮ‪ ،‬ﻣﺮﻳﻢ اﺳﺘﺎدى‪ ،‬اﻓﺴﺎﻧﻪ ﺣﻴﺪرى ارﺟﻠﻮ‪،‬‬

‫زﻫﺮا ﺻﺒﺎغ‪.‬زاده‪ ،‬ﻧﺮﮔﺲ ﻋﻘﻴﻠﻰ‬ ‫ﺷﻤﺎرش ﺑـﺎ راﺑﻄﻪى ‪ ٢٧ 1+ 2 + 3+L+n = nI‬ﻗﺎﺳﻢ ﺣﺴﻴﻦ ﻗﻨﺒﺮى‬ ‫رواﻳﺖ ﻣﻌـﻠﻤﺎن‪ :‬ﺗﺪرﻳـﺲ ﺷﻬﻮدى و اﺛﺮ آن ﺑـﺮ ﻳﺎدﮔﻴﺮى داﻧﺶآﻣـﻮزان ‪ ٣٣‬ﻋﻠﻴﺮﺿﺎ ﻛﺮدﻳﺎﻧﻰ‬ ‫ﭘـﺮوﻧﺪهى ﻳـﻚ ﻣـﻮﺿـﻮع‪ICT :‬‬

‫اﺳﺘـﻔﺎده از ‪ ICT‬در آﻣﻮزش رﻳﺎﺿـﻴﺎت ‪ ٣٥‬ﺳﻴﺪه زﻫﺮا اﺑﻮاﻟﺤﺴﻨﻰ‬ ‫ﺟﺎﻳﮕـﺎه ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷـﻰ در ﻓﺮآﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰـ ﻳـﺎدﮔﻴﺮى ﻫﻨﺪﺳـﻪى ﻓﻀﺎﻳﻰ ‪ ٤٢‬ﻧﻮراﻟﺪﻳﻦ ﺑﻬﻴﻦ آﻳﻴﻦ‪ ،‬ﻣﺮﻳﻢ ﻏﻼﻣﻰ‬ ‫ﻣﻌﺮﻓـﻰ ﻛﺘﺎب‪ :‬آﻣﻮزش رﻳﺎﺿـﻴﺎت ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ‪ ٤٨ ICT‬ﻣﺎﻧﻰ رﺿﺎﺋﻰ‬ ‫ﻣﺜﺎلﻫـﺎﻳﻰ ﺑﺮاى اﺻﻞ ﻻﻧﻪ ﻛﺒـﻮﺗﺮى ‪ ٥٠‬ﻣﺤﻤﺪﺣﺴﻴﻦ ﻛﺮﻳﻤﻴﺎن‪ ،‬ﻣﺠﺘﺒﻰ ﺗﻮﺳﻞ‬ ‫اﺳﺘﻔـﺎده از اﺻﻞ ﻻﻧﻪ ﻛﺒﻮﺗﺮى در ﺣـﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﺘـﻨﻮع ‪ ٥٣‬اﻟﻜﺴﺎﻧﺪر ﺑﻮرو وﻳﻚ واﻟﻨﺎ ﺑﺴﻮوﻧﺎ ﺗﺮﺟﻤﻪ‪ :‬ﻓﺮﺷﺘﻪ رﻧﮕﻰ‬ ‫دﻳﺪﮔﺎه‪ :‬درﺳـﻰ ﻛﻪ از آﻣﻮزش رﻳﺎﺿـﻰ آﻣﻮﺧﺘﻢ ‪ ٥٦‬زﻫﺮا ﺻﺒﺎغ‪.‬زاده ﻓﻴﺮوز‪.‬آﺑﺎدى‬ ‫ﭼﻜﻴـﺪهﻫﺎى ﭘﺎﻳﺎنﻧﺎﻣـﻪى ﻛﺎرﺷﻨﺎﺳﻰ ارﺷـﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ‪٥٩‬‬ ‫ﻧﺎﻣﻪﻫﺎى رﺳـﻴﺪه ‪٦٣‬‬

‫ﻣﺠﻠﻪى رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﻧﻮﺷﺘﻪﻫﺎ و ﮔﺰارش ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت ﭘﮋوﻫﺸﮕﺮان و ﻣﺘﺨﺼﺼﺎن ﺗﻌﻠﻴﻢ وﺗﺮﺑﻴﺖ‪ ،‬ﺑﻪ وﻳﮋه ﻣﻌﻠّﻤﺎن دورهﻫﺎى ﺗﺤﺼﻴﻠﻰ ﻣﺨﺘﻠ‪ f‬را در ﺻﻮرﺗﻰ ﻛﻪ در ﻧﺸﺮﻳﺎت ﻋﻤﻮﻣﻰ‬ ‫درج ﻧﺸﺪه و ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎ ﻣﻮﺿﻮع ﻣﺠﻠﻪ ﺑﺎﺷﺪ ‪،‬ﻣﻰﭘﺬﻳﺮد ‪ .‬ﻻزم اﺳﺖ در ﻣﻄﺎﻟﺐ ارﺳﺎﻟﻰ ﻣﻮارد زﻳﺮ رﻋﺎﻳﺖ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫ﻧﺸﺎﻧﻰ دﻓﺘﺮ ﻣﺠﻠﻪ‪:‬ﺗﻬﺮان‪ ،‬ﺻﻨﺪوق ﭘﺴﺘﻰ‬ ‫‪١٥٨٧٥ - ٦٥٨٥‬‬ ‫ﺗﻠﻔﻦ دﻓﺘﺮ ﻣﺠﻠﻪ ‪) ٠٢١-٨٨٨٣١١٦١ -٩ :‬داﺧﻠﻰ ‪( ٣٧٤‬‬ ‫و ‪٨٨٣٠٥٨٦٢‬‬ ‫ﺷﻤﺎرهى ﭘﻴﺎمﮔﻴﺮ ﻣﺠﻼت ﺗﺨﺼﺼﻰ رﺷﺪ‪:‬‬ ‫‪٠٢١- ٨٨٣٠١٤٨٢ -١١٣‬‬ ‫‪E-mail: [email protected]‬‬ ‫ﭼﺎپ ‪ :‬ﺷﺮﻛﺖ اﻓﺴﺖ )ﺳﻬﺎﻣﻰ ﻋﺎم (‬ ‫ﺷﻤﺎرﮔﺎن‪١٤٠٠٠:‬‬

‫ﻣﻄﺎﻟﺐ ﻳﻚ ﺧﻂ در ﻣﻴﺎن و در ﻳﻚ روى ﻛﺎﻏﺬ ﻧﻮﺷﺘﻪ و در ﺻﻮرت اﻣﻜﺎن ﺗﺎﻳﭗ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﺷﻜﻞ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻦ ﺟﺪول ﻫﺎ‪ ،‬ﻧﻤﻮدارﻫﺎ و ﺗﺼﺎوﻳﺮ‪ ،‬ﭘﻴﻮﺳﺖ و در ﺣﺎﺷﻴﻪ‪.‬ى ﻣﻄﻠﺐ ﻧﻴﺰ ﻣﺸﺨﺺ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻧﺜﺮ ﻣﻘﺎﻟﻪ‪ ،‬روان و از ﻧﻈﺮ دﺳﺘﻮر زﺑﺎن ﻓﺎرﺳﻰ درﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ و در اﻧﺘﺨﺎب واژه‪.‬ﻫﺎى ﻋﻠﻤﻰ و ﻓﻨﻰ دﻗﺖ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﺑﺮاى ﺗﺮﺟﻤﻪ‪.‬ى ﻣﻘﺎﻟﻪ‪ ،‬ﻧﺨﺴﺖ اﺻﻞ ﻣﻘﺎﻟﻪ و ﻣﻨﺒﻊ دﻗﻴﻖ آن‪ ،‬ﺑﻪ ﻫﻤﺮاه ﺗﺮﺟﻤﻪ‪.‬ى ﻳﻚ ﺑﻨﺪ از آن‪ ،‬ﺑﻪ دﻓﺘﺮ ﻣﺠﻠﻪ ارﺳﺎل ﺷﻮد ﺗﺎ ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﻰ‬ ‫ﻫﻴﺄت ﺗﺤﺮﻳﺮﻳﻪ ﻗﺮار ﮔﻴﺮد و ﭘﺲ از ﺗﺼﻮﻳﺐ ﻣﻘﺎﻟﻪ و ﺗﺮﺟﻤﻪ‪.‬ى اراﻳﻪ ﺷﺪه‪ ،‬ﺳﻔﺎرش ﺗﺮﺟﻤﻪ ﺑﻪ ﻓﺮﺳﺘﻨﺪه‪.‬ى ﻣﻘﺎﻟﻪ داده ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ‪ .‬در ﻏﻴﺮ‬ ‫اﻳﻦ ﺻﻮرت‪،‬ﻣﺠﻠﻪ ﻣﻰ‪.‬ﺗﻮاﻧﺪ ﺳﻔﺎرش ﺗﺮﺟﻤﻪ‪.‬ى ﻣﻘﺎﻟﻪ را ﺑﻪ ﻣﺘﺮﺟﻢ دﻳﮕﺮى ﺑﺪﻫﺪ‪.‬‬ ‫در ﻣﺘﻦ ﻫﺎى ارﺳﺎﻟﻰ ﺗﺎ ﺣﺪ اﻣﻜﺎن از ﻣﻌﺎدل‪.‬ﻫﺎى ﻓﺎرﺳﻰ واژه‪.‬ﻫﺎ و اﺻﻄﻼﺣﺎت اﺳﺘﻔﺎده ﺷﻮد‪.‬‬ ‫زﻳﺮﻧﻮﻳﺲ ﻫﺎ و ﻣﻨﺎﺑﻊ‪ ،‬ﻛﺎﻣﻞ و ﺷﺎﻣﻞ ﻧﺎم اﺛﺮ‪ ،‬ﻧﺎم ﻧـﻮﻳﺴﻨﺪه‪ ،‬ﻧﺎم ﻣﺘﺮﺟﻢ‪ ،‬ﻣﺤﻞ ﻧﺸﺮ‪ ،‬ﻧﺎﺷﺮ‪ ،‬ﺳﺎل اﻧﺘﺸﺎر و ﺷﻤﺎره‪.‬ى ﺻﻔﺤﻪ‪.‬ى ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﭼﻜﻴﺪه اى از ﻣﻮﺿﻮع ﻣﻄﻠﺐ ارﺳﺎل ﺷﺪه در ﺣﺪ اﻛﺜﺮ ‪ ٢٥٠‬ﻛﻠﻤﻪ ‪ ،‬ﻫﻤﺮاه ﻣﻄﻠﺐ ارﺳﺎل ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻫﻢﭼﻨﻴﻦ‪:‬‬ ‫ﻣﺠﻠﻪ در ﭘﺬﻳﺮش‪ ،‬رد‪ ،‬وﻳﺮاﻳﺶ ﻳﺎ ﺗﻠﺨﻴﺺ ﻣﻘﺎﻟﻪ‪.‬ﻫﺎى رﺳﻴﺪه ﻣﺠﺎز اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﻄﺎﻟﺐ ﻣﻨﺪرج در ﻣﺠﻠﻪ ‪ ،‬اﻟﺰاﻣﺎ ﻣﺒﻴّﻦ ﻧﻈﺮ دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸﺎرات ﻛﻤﻚ آﻣﻮزﺷﻰ ﻧﻴﺴﺖ و ﻣﺴﺌﻮﻟﻴﺖ ﭘﺎﺳﺦ‪.‬ﮔﻮﻳﻰ ﺑﻪ ﭘﺮﺳﺶ ﻫﺎى ﺧﻮاﻧﻨﺪﮔﺎن‪ ،‬ﺑﺎ‬ ‫ﺧﻮد ﻧﻮﻳﺴﻨﺪه ﻳﺎ ﻣﺘﺮﺟﻢ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﻘﺎﻟﻪ‪.‬ﻫﺎى درﻳﺎﻓﺘﻰ در ‪.‬ﺻﻮرت ﭘﺬﻳﺮش ﻳﺎ رد ‪ ،‬ﺑﺎز‪.‬ﮔﺸﺖ داده ﻧﻤﻰ‪.‬ﺷﻮد‪.‬‬

‫‪١‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫ﻣﻌ‬ ‫ﻠ‬ ‫ﻤ‬ ‫ﺎ‬ ‫ن‬ ‫‬ ‫ر‬ ‫ﻳ‬ ‫ﺎ‬ ‫ﺿﻰ؛‬ ‫دﻏﺪﻏﻪ ى اﺻﻠﻰ ﻣﺠﻼت رﺷﺪ ﺗﺨﺼﺼﻰ‬ ‫دﻏﺪﻏﻪ ى اﺻﻠﻰ ﻣﺠﻼت رﺷﺪ ﺗﺨﺼﺼﻰ‪ ،‬آﻣﻮزش ﻣﻌﻠﻤﺎن در‬ ‫ﺣﻮزه ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ 4‬و ﺟﺪى ﮔـﺮﻓﺘﻦ ﺧﻮاﺳﺘﻪ ﻫﺎ‪ ،‬ﻧﻴـﺎزﻫﺎ‪ ،‬آرﻣﺎن ﻫﺎ و‬ ‫اﻋﺘﻼى آن ﻫﺎﺳﺖ‪ .‬ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺒﺐ‪ ،‬ﻫﺮ از ﭼﻨﺪ ﮔﺎﻫـﻰ‪ ،‬اﻳـﻦ دﻏـﺪﻏـﻪ‬ ‫ﭘـﺮرﻧـﮓ ﺗـﺮ ﻣـﻰ ﺷـﻮد و ﻫـﻤـﻪ ى دﺳـﺖ اﻧــﺪرﻛـﺎران اﻳـﻦ ﻣـﺠـﻼت و‬ ‫ﺳﻴﺎﺳﺖ ﮔﺬاران آن ﺑﺮاى اﻃﻤﻴﻨﺎن از اﻳﻦ ﻛﻪ ﻣﺨﺎﻃﺒﺎن اﺻﻠﻰ ﺑﺎ دﻗﺖ‬ ‫در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﺪه اﻧﺪ‪ ،‬اﻗﺪام ﺑﻪ ارزﻳﺎﺑﻰ ﻫﺎى ﻋﺮﺿﻰ و ﻃﻮﻟﻰ ﻣﺠﻼت‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﻣﺎ ﻧﻴﺰ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺴﺌـﻮﻟﻴﺖ ﭘﺬﻳﺮان اﻳﻦ ﻣﺠﻠﻪ‪ ،‬ﻋﻼﻗﻪ ﻣﻨﺪﻳﻢ‬ ‫ﺗﺎ ﺑﺎ اراﺋﻪ ى ﺷﻮاﻫﺪ ﻣﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﺑﻪ اﻳﻦ ارزﻳﺎﺑﻰ ﻫﺎ ﻛﻤﻚ ﻛﻨﻴﻢ و از ﻧﺘﺎﻳﺞ‬ ‫آن ﻫﺎ ﺑﺮاى ﺗﻮﺳﻌﻪ ى ﻛﻴﻔﻰ ﻣﺠﻠـﻪ ى رﺷﺪ آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﻧﻤﺎﻳﻴﻢ‪ .‬در واﻗﻊ‪ ،‬ﻫﺪف اﻳﻦ ﻧﻮﺷﺘﺎر آن اﺳﺖ ﻛﻪ از ﺧﻮاﻧﻨﺪﮔﺎن ﺧﻮد‬ ‫ﺗﻘﺎﺿﺎ ﻛﻨﻴﻢ ﺗﺎ ﺑﺎ ﻧﻘﺪﻫﺎى ﻣﻨﺼﻔـﺎﻧـﻪ‪ ،‬ﺑـﻰ ﻏـﺮﺿﺎﻧﻪ‪ ،‬ﺻﺮﻳﺢ و ﺑـﺪون‬ ‫ﺗﻌـﺎرف‪ ،‬ﻫﻢ زﺣﻤﺖ ﻛﺸﻴﺪه و ﻧﻘﺶ دﻳـﺪه ﺑـﺎن را اﻳﻔﺎ ﻛﻨﻨﺪ و ﻫـﻢ ﺑـﻪ‬ ‫ﻋﻨﻮان ﻋﻀﻮى از اﻳﻦ ﺧﺎﻧﻮاده ى وﺳﻴﻊ‪ ،‬ﺑﺎ ﺗﻼش ﺧﻮد‪ ،‬ﻣﺤﺘﻮاى ﻣﺠﻠﻪ‬ ‫را ﻏﻨﻰ ﺗﺮ و ﻏﻨﻰ ﺗﺮ ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫اﻣﺎ ﺑﺮاى اﻧﺠﺎم اﻳﻦ ﻣﻬﻢ ـ ﻛﻪ ﻫﻤﻴﺸﻪ در ﻃﻮل زﻣﺎن‪ ،‬ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ﻫﺎى‬ ‫ﻣﺘﻨﻮع و ﻇﺮﻳﻔﻰ اﻧﺠﺎم ﺷﺪه اﺳﺖ ـ ﻧﻴﺎزﻣﻨﺪ داﺷﺘﻦ اﻃﻼﻋﺎت ﻻزم و‬ ‫ﺳـﺎزوﻛﺎرﻫﺎى ﻋﻤﻠﻰ ﻫﺴﺘـﻴـﻢ‪ .‬ﺑـﻪ اﻳـﻦ دﻟـﻴـﻞ‪ ،‬از دو ﺳـﺎل ﭘـﻴـﺶ‪،‬‬ ‫ﻣﺴﺌـﻮﻻن دﻓﺘﺮ ﻛﻤـﻚ آﻣـﻮزﺷﻰ‪ ،‬از ﻫﻴﺌﺖ ﻫﺎى ﺗﺤﺮﻳﺮﻳـﻪ ﻣـﺠـﻼت‬ ‫ﺗﺨﺼﺼﻰ درﺧﻮاﺳﺖ ﻧﻤـﻮدﻧﺪ ﺗﺎ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎى ﺳﺎﻻﻧﻪ ى ﺧـﻮد را ﺗﻨﻈﻴﻢ‬ ‫ﻛﺮده و ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ اﺟﺮاى ﺑﺎ ﻛﻴﻔﻴﺖ آن ﻫﺎ‪ ،‬ﻣﺘﻌﻬﺪ ﺷـﻮﻧﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﻛﻪ از زﻣﺎن ﻣﺪﻳﺮ ﻣﺴـﺌـﻮل ﻣﺤﺘﺮم ﻗﺒﻠﻰ ﺷـﺮوع ﺷﺪ و ﺑﺎ ﻣﺪﻳﺮ ﻣﺴـﺌـﻮل‬ ‫ﻣﺤﺘﺮم ﺟﺪﻳﺪ ﺗﺪاوم ﻳﺎﻓﺘﻪ اﺳﺖ‪ ،‬ﮔﺎم ﻣﻬﻤﻰ در ﺟﻬﺖ ﭘﺎﺳﺦ ﮔﻮ ﻛﺮدن‬ ‫و ﭘﺎﺳﺦ ﮔﻮ ﺷﺪن اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎﻳﺪ آن را ﺑﻪ ﻓﺎل ﻧﻴﻚ ﮔﺮﻓﺖ‪ .‬ﻣﻬﻢ ﺗﺮ اﻳﻦ‬ ‫ﻛﻪ داﺷﺘﻦ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ‪ ،‬ﺣﺪود و ﺛﻐﻮر ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ را روﺷﻦ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ و از ﻛﺎرﻫﺎى‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺑﻰ ﭘﺸﺘﻮاﻧﻪ و ﺑﻰ ﺑﻬﺎﻧﻪ‪ ،‬ﺟﻠﻮﮔﻴﺮى ﻣﻰ ﻧﻤﺎﻳﺪ‪ ،‬و ﭼﻨﻴﻦ ﺷﺪ ﻛﻪ ﻣﺠﻠﻪ ى‬ ‫رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﻧﻴﺰ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى ﺳﺎﻻﻧﻪ ى ﺧﻮد را اراﺋﻪ ﻛﺮد‪ .‬در اﻳﻦ‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ‪ ،‬ﺟﺰﺋﻴﺎت ﻣﺤﺘﻮاى ﻣﺠﻼت و ﻧﺴﺒﺖ آن ﻫﺎ ﺑﺎ ﻳﻚ دﻳﮕﺮ‪ ،‬ﺑﻴﺎن‬ ‫ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺨﺺ ﻣﺴﺌﻮﻟﻴﺖ ﻛﻠﻴﺪى ﻣﺠﻼت ﺗﺨﺼﺼﻰ‪،‬‬ ‫ارﺗﻘﺎى آﻣـﻮزش ﻣﻌﻠﻤﺎن و ﺑﻪ زﺑﺎن ادﺑـﻴـﺎت ﭘـﮋوﻫﺸﻰ روز آﻣـﺪﺗـﺮ‪،‬‬ ‫ﺗﻮﺳﻌﻪ ى داﻧﺶ ﺣﺮﻓﻪ اى ﻳﺎ ﻫﻤﺎن ﺗﻮﺳﻌﻪ ى داﻧﺶ ﻣﻮﺿﻮﻋﻰ‪ ،‬داﻧﺶ‬ ‫روﺷﻰ و داﻧﺶ ﭘﺪاﮔﻮژﻳﻜﻰ ﻣﺤﺘﻮاﺳﺖ‪.‬‬

‫ﻣﺤﺘﻮاى ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى ﺳﺎﻻﻧﻪ ﻣﺠﻠﻪ‬ ‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ اﻣﺮ‪ ،‬ﻃﺒﻖ رواﻟﻰ ﻛﻪ ﭼﻨﺪﻳﻦ ﺳﺎل اﺳﺖ و ﻫﻴﺌﺖ‬ ‫ﺗﺤﺮﻳﺮﻳـﻪ ﺑـﺮ آن ﺗـﻮاﻓﻖ ﻧﻤـﻮده‪ ،‬ﺑﺮﻧﺎﻣـﻪ ى اراﺋﻪ ﺷﺪه ﻛﻪ از ﻣـﺤـﺘـﻮاى‬ ‫ﻣﺠﻼت اﺳﺘﺨـﺮاج ﮔـﺮدﻳﺪه و در ﺣﺎل ﺣﺎﺿـﺮ‪ ،‬راﻫﻨﻤﺎى ﺗـﻮﻟﻴﺪ ﻫﺮ‬ ‫ﺷﻤﺎره اﺳﺖ‪ ،‬ﺷﺎﻣﻞ ﺑﺨﺶ ﻫﺎى زﻳﺮ ﻣﻰ ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬ ‫❍ دﺳﺖ ﻛﻢ ﻳﻚ ﻣﻘﺎﻟﻪ ى ﺗﺄﻟﻴﻔﻰ ﻳﺎ ﺗﺮﺟﻤﻪ اى در ﺣﻮزه ى ﺗﺨﺼﺼﻰ‬ ‫آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﻛﻪ ﻫﺪف ﻋﻤﺪه ى آن ﻫﺎ‪ ،‬ﺗـﻌـﻤـﻴـﻖ داﻧـﺶ ﻧـﻈـﺮى‬ ‫ﻣﻌﻠﻤﺎن و آﺷﻨﺎ ﻧﻤﻮدن ﻋﻼﻗﻪ ﻣﻨﺪان ﺑﺎ ﻣﺒﺎﻧﻰ ﻧﻈﺮى ﻛﻼﺳﻴﻚ‪ ،‬ﺟﺎرى‬ ‫و آرﻣﺎﻧﻰ اﻳﻦ ﺣـﻮزه اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻻت‪ ،‬ﻋﻤﺪﺗـﺎَ ﭘﮋوﻫﺸﻰ اﻧﺪ و ﺑﻪ‬ ‫دﻟﻴﻞ ﻣﺎﻫﻴﺘﺸﺎن‪ ،‬ﻃﻮﻻﻧﻰ‪ ،‬ﺳﺨﺖ و درك آن ﻫﺎ ﻧﻴﺎزﻣﻨﺪ دﻗﺖ و زﻣﺎن‬ ‫ﺑﻴﺶ ﺗﺮ اﺳﺖ‪ .‬در ﻧﺘﻴﺠﻪ‪ ،‬ﺳﻌﻰ ﻣﻰ ﺷﻮد ﺗﺎ ﺑﺎ ﺳﻮﺗﻴﺘﺮﻫﺎى ﻣﻨﺎﺳﺐ‪،‬‬ ‫ﻫﻢ ﺑﻪ ﺧﻮاﻧﻨﺪه در اﻧﺘﺨﺎب ﻣﻘﺎﻟﻪ‪ ،‬ﻛﻤـﻚ ﺷـﻮد و ﻫﻢ اﻣﻜﺎن ﺗﻘﺴﻴﻢ‬ ‫ﻣﻘﺎﻟﻪ ﺑﻪ ﭼﻨﺪ ﺑﺨﺶ و ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ى دﻗﻴﻖ آن در ﭼﻨﺪ ﻧﻮﺑﺖ ﻓﺮاﻫﻢ ﮔﺮدد‪.‬‬ ‫❍ ﻳﻚ ﻳﺎ ﭼﻨﺪ ﻣﻘﺎﻟﻪ ى ﻣـﻮﺿﻮﻋﻰ رﻳﺎﺿﻰ ﻛﻪ ﻫﺪف اﺻﻠﻰ آن ﻫﺎ‪،‬‬ ‫داﻧﺶ اﻓﺰاﻳﻰ ﻣﻮﺿﻮﻋﻰ ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ و آﻣﺎده ﺗﺮ ﻛﺮدن اﻳﺸﺎن ﺑﺮاى‬ ‫ورود ﺑﻪ ﻋﺮﺻﻪ ﻫﺎى اﺑﺘﻜﺎرى و ﺧﻼق ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت رﻳﺎﺿﻰ ﻣﺪرﺳﻪ اى‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﻫﺎ‪ ،‬ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﻨـﺪ زﻣﻴﻨﻪ ﻫﺎى ﻋﻤﻠﻰ و ﻣﻨﺎﺳﺒـﻰ ﺑـﺮاى‬

‫دﺧﻞ و ﺗـﺼـﺮف ﺑﻪ ﺟﺎى ﻣﻌـﻠـﻤـﺎن در ﺑـﺮﻧﺎﻣـﻪ ى درﺳﻰ ﻛﻼن ﻳـﺎ ﺑـﻪ‬ ‫اﺻﻄﻼح اﻣﺮوزى‪ ،‬ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ ﻣﺪرﺳﻪ ـ ﻣﺤﻮر را ﻓﺮاﻫﻢ ﻧﻤﺎﻳﻨﺪ‪.‬‬ ‫در ﻧﺘﻴﺠﻪ در اﻳﻦ ﻗﺴﻤﺖ‪ ،‬ﺗﻨﻬﺎ ﻣﺒﺎﺣﺜﻰ ﻣﻮرد ﭘﺬﻳﺮش ﻗﺮار ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻧﺪ‬ ‫ﻛﻪ ﺑﺎ ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ رﻳﺎﺿـﻰ ﻣـﺪرﺳﻪ اى‪ .‬ﻛﻪ ﺗﺠﻠﻰ آن ﻛﺘـﺎب ﻫـﺎى‬ ‫درﺳﻰ رﻳﺎﺿﻰ اﺳﺖ‪ ،‬ﻫﻢ ﺳﻮﻳﻰ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻻت‪ ،‬ﺗﺄﻟﻴﻔﻰ‬ ‫ﻳﺎ ﺗﺮﺟﻤﻪ اى ﻫﺴﺘﻨﺪ و ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ در ﺗﻬﻴﻪ ى اﻳﻦ ﺑﺨﺶ‪ ،‬ﻣﺸﺎرﻛﺖ‬ ‫ﭼﺸﻢ ﮔﻴﺮى دارﻧﺪ ﻛﻪ از ﻫﻤﻪ ى آن ﻫﺎ ﻗﺪرداﻧﻰ ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫❍ﻳﻚ ﻳﺎ ﭼﻨﺪ ﻣﻘـﺎﻟـﻪ ى ﻣـﺮورى آﻣﻮزﺷﻰ ﻣـﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎ ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳـﻰ‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ ﻣـﺪرﺳﻪ اى و ﭼﮕـﻮﻧﮕﻰ ﺗﺪرﻳـﺲ و ارزﺷﻴﺎﺑﻰ ﻛﻪ ﺗـﺮﻛﻴﺒـﻰ از‬ ‫ﺗﺄﻟﻴ‪ 4‬و ﺗﺮﺟﻤﻪ اﻧﺪ و ﺑﺎز ﻫﻢ ﻣﻌﻠﻤﺎن در اﻳﻦ ﺑﺨﺶ‪ ،‬ﻓﻌﺎﻻﻧﻪ ﺳﻬﻴـﻢ‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫❍ ﺳﺘﻮن رواﻳﺖ ﻣﻌﻠﻤـﺎن ﻛﻪ وﻳﮋه ى ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻫﺎى ﻛﻼس درس اﺳﺖ‬ ‫و ﻛﺎﻣﻼً ﺑﺮﮔﺮﻓﺘﻪ از ﻛﻼس ﻫﺎى واﻗﻌﻰ ﺗﺪرﻳﺲ رﻳﺎﺿﻰ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫❍ ﺳﺘﻮن دﻳﺪﮔـﺎه ﻛﻪ ﻋﺮﺻﻪ ى ﻣﻨﺤﺼﺮ ﺑﻪ ﻓـﺮدى ﺑﺮاى ﻃﺮح دﻳﺪﮔﺎه ﻫﺎ‪،‬‬ ‫ﻧﻘﺪﻫﺎ و ﻧﻈﺮﻫﺎى ﺧﻮاﻧﻨﺪﮔﺎن ﻣﺠﻠﻪ اﺳﺖ‪ .‬وﻳـﮋﮔﻰ اﻳﻦ ﺳﺘﻮن آن اﺳﺖ‬ ‫ﻛﻪ در ﭼﺎرﭼﻮب ﺳﻴﺎﺳﺖ ﮔﺬارى ﻫﺎى ﻛﻼن ﻣﺠﻼت‪ ،‬دﻳﺪﮔﺎه ﻫﺎ ﺑﺪون‬ ‫وﻳﺮاﻳﺶ ﭼﺎپ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ و دﻳﮕﺮان ﻓﺮﺻﺖ دارﻧﺪ ﻛﻪ ﭘﺎﺳﺦ ﻳﺎ ﺑﺎزﺗﺎب ﺧﻮد‬ ‫را ﺑﺮ آن ﻧﻮﺷﺘﻪ‪ ،‬در ﻫﻤﻴﻦ ﺳﺘﻮن و ﺑﺎز ﻫﻢ ﺑﺪون وﻳﺮاﻳﺶ‪ ،‬ﻋﺮﺿﻪ ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫❍ﮔـﺰارش ﻫﺎى ﻣـﺘـﻨـﻮع از ﺑـﺮﮔﺰارى ﻛـﻨـﻔـﺮاﻧﺲ ﻫﺎ و ﻫـﻤـﺎﻳـﺶ ﻫـﺎ‪،‬‬ ‫ﻧﺸﺴﺖ ﻫﺎى ﺗﺨـﺼـﺼـﻰ‪ ،‬ﻛـﺎرﮔﺎه ﻫـﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ و ﻓﻌﺎﻟـﻴـﺖ ﻫـﺎى‬ ‫اﺑﺘﻜﺎرى ﻣﻌﻠﻤﺎن در ﺷﻬﺮﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ 4‬ﻛﻪ ﻫﻤﮕﻰ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎ ﺗﺪرﻳﺲ و‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴﺮى رﻳﺎﺿﻰ اﻧﺪ‪.‬‬ ‫❍ ﭼﻜﻴﺪه ى ﭘﺎﻳﺎن ﻧﺎﻣﻪ ﻫـﺎى ﻛـﺎرﺷﻨﺎﺳـﻰ ارﺷﺪ آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿﻰ در‬ ‫داﻧﺸﮕﺎه ﻫﺎى ﻣﺠـﺮى اﻳﻦ دوره از زﻣﺎن ﺗﺄﺳﻴـﺲ دوره ى ﻛﺎرﺷﻨﺎﺳـﻰ‬ ‫ارﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ در اﻳﺮان ﻛﻪ ﺧـﻮاﻧﻨﺪﮔﺎن را ﺑﺎ ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت اﻧﺠـﺎم‬ ‫ﺷﺪه در اﻳﻦ ﺣﻮزه آﺷﻨﺎ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬اﻧﺘﻈﺎر ﻣﻰ رود ﻛﻪ اﻳﻦ ﺑﺨﺶ‪ ،‬ﺑﺘﻮاﻧﺪ‬ ‫در ﺧﺪﻣﺖ ﻛﺴﺎﻧﻰ ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ اداﻣﻪ ى ﺗﺤﺼـﻴـﻞ ﺧـﻮد در اﻳﻦ رﺷﺘﻪ ‬ ‫ﻓﻜﺮ ﻣﻰ ﻛﻨﻨـﺪ‪ .‬از زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ اﻳﻦ ﺑﺨﺶ ﺑﻪ ﻣﺠﻠﻪ اﺿـﺎﻓـﻪ ﮔـﺮدﻳـﺪ‪ ،‬از‬ ‫داﻧﺸـﮕـﺎه ﻫـﺎى ﻣـﺠـﺮى دﻋـﻮت ﻋﺎم ﺷـﺪ ﻛـﻪ در ﺻـﻮرت ﺗـﻤـﺎﻳـﻞ‪،‬‬ ‫ﭼﻜﻴﺪه ﻫﺎى اﻳﻦ ﭘﺎﻳﺎن ﻧﺎﻣﻪ ﻫـﺎ را ﺑﺎ اﻣﻀﺎى اﺳﺘﺎدان ﻣﺤﺘـﺮم راﻫﻨﻤـﺎ‪،‬‬ ‫ﺑﺮاى ﭼﺎپ در ﻣﺠﻠﻪ ارﺳﺎل ﻧﻤﺎﻳﻨﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﺑﺨﺶ ﻧﻴﺰ ﺑﺪون وﻳﺮاﻳﺶ‪ ،‬ﺑﻪ‬ ‫ﭼﺎپ ﺳﭙﺮده ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫❍ ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻛﺘﺎب ﻛﻪ ﻫﺮ ﭼﻨﺪ ﺷـﻤـﺎره ﻳﻚ ﺑﺎر اﻧﺠﺎم ﻣﻰ ﺷﻮد‪ .‬ﻋﻠـﺖ‬ ‫اﻳﻦ ﻛُﻨﺪى‪ ،‬ﻣﻼﺣﻈﺎﺗﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺳﻄﻮح ﻣﺨﺘﻠ‪ ،4‬ﺑـﺮاى ﻣﻌﺮﻓﻰ‬ ‫ﻳﻚ ﻛﺘﺎب در ﻧﻈـﺮ ﮔـﺮﻓﺘﻪ ﻣﻰ ﺷـﻮد ﻛﻪ ﻣﻬﻢ ﺗﺮ از ﻫﻤﻪ اﻳﻦ اﺳـﺖ ﻛـﻪ‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ ﺗﺠـﺎرى ﻳﺎ ﺗﺒﻠﻴﻐﺎﺗـﻰ ﺑـﻪ ﺧـﻮد ﻧﮕﻴـﺮد‪ .‬ﻋﻼوه ﺑﺮ اﻳﻦ‪ ،‬ﻣﻌـﺮﻓﻰ‬ ‫ﻛﻨﻨﺪه‪ ،‬ﻛﺘـﺎب را ﺑﻪ ﺧﻮﺑﻰ ﺧﻮاﻧﺪه ﺑﺎﺷﺪ ﺗﺎ ﺑﺘـﻮاﻧﺪ ﻣﻌـﺮﻓﻰ آ ﮔﺎﻫﺎﻧﻪ و‬ ‫ﻣﻨﺼﻔﺎﻧﻪ اى از ﻛﺘﺎب را اراﺋﻪ ﻧﻤﺎﻳﺪ‪.‬‬ ‫❍ ﭘﺎﺳﺦ ﺑﻪ ﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎ ﻛﻪ ﻃﺒﻖ ﺗﻮاﻓﻖ ﻫﻴﺌﺖ ﺗﺤﺮﻳﺮﻳﻪ‪ ،‬ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻌﻨﺎﺳﺖ‬

‫ﻛﻪ اﻓﺮادى ﻛﻪ ﻟﻄ‪ 4‬ﻛﺮده و ﺑﺮاى ﻣﺠﻠﻪ ﻣﻄﻠﺐ ارﺳﺎل ﻧﻤﻮده اﻧﺪ ﻳﺎ ﻧﻘﺪ‬ ‫و ﻧﻈﺮى داﺷﺘﻪ اﻧﺪ‪ ،‬ﺗﻨﻬﺎ ﻧﺎﻣﺸﺎن ذﻛﺮ ﻣﻰ ﺷـﻮد و ﺑﺮاى ﺣﻔﻆ ﺣـﺮﻣﺖ‬ ‫اﻓﺮاد‪ ،‬ﺑﻪ ﻣﺤﺘﻮاى ﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎ و ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎ‪ ،‬اﺷﺎره اى ﻧﻤﻰ ﺷـﻮد‪ .‬اﻟﺒﺘﻪ در‬ ‫ﻣﻜﺎﺗﺒﺎت ﻓﺮدى ﺑﺎ ﻫﻤﻜﺎران ﻣﺤﺘﺮم‪ ،‬ﺑﻪ ﺟﺰﺋﻴﺎت ﺗﻮﺟﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫❍ ﺗﺮﺟﻤﻪ ى ﻋﻨـﻮان ﻫﺎى ﻫﺮ ﺷﻤـﺎره ﺑﻪ اﻧﮕﻠﻴﺴﻰ ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر آﺷـﻨـﺎﻳـﻰ‬ ‫دﻳﮕﺮان ﺑﺎ ﻣﺎﻫﻴﺖ ﻣﺠﻠﻪ و ﺗﺴﻬﻴﻞ ارﺟﺎع دﻫﻰ ﺑﻪ آن ﻫﺎ در ﺻﻮرﺗﻰ ﻛﻪ‬ ‫ﺿﺮورﺗﻰ ﺑﺮاى اﻳﻦ ﻛﺎر ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫❍ ﺑﺎﻻﺧﺮه ﺳﺨﻦ ﺳﺮدﺑﻴﺮ ﻛﻪ در آن‪ ،‬ﺳﻌﻰ ﻣﻰ ﺷﻮد ﺗﺎ ﺣﺪ اﻣﻜﺎن‪ ،‬ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺒﺎﺣﺚ روز رﻳﺎﺿﻰ ﻣﺪرﺳﻪ اى در اﻳﺮان ﭘﺮداﺧﺘﻪ ﺷﻮد‪ .‬ﻫﻢ ﭼﻨﺎن ﻛﻪ‬ ‫در ﺑﻌﻀـﻰ ﻣـﻮاﻗﻊ ﻧﻴﺰ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻫﻤـﻴـﻦ ﺷـﻤـﺎره‪ ،‬درﺑﺎره ى ﻣﻮﺿـﻮﻋﺎﺗـﻰ‬ ‫ﺿﺮورى ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى ﺳﺎﻻﻧﻪ ى ﻣﺠﻠﻪ‪ ،‬اﻃﻼع رﺳﺎﻧﻰ ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫در ﻫﺮ ﺻـﻮرت‪ ،‬ﻣﺮورى ﺑﺮ ﺷـﻤـﺎره ﻫﺎى ﭘﻴﺸﻴﻦ ﻣـﺠـﻠـﻪ ﻧـﺸـﺎن‬ ‫ﻣﻰ دﻫﺪ ﻛﻪ ﺧﻮﺷﺒﺨﺘﺎﻧﻪ‪ ،‬ﻫﻤﻜﺎرى ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺎ ﻣﺠﻠﻪ‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮر‬ ‫ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻮﺟﻬﻰ ﺑﻴﺸﺘﺮ ﺷﺪه و ﺑﻪ ﻃـﻮر ﻣـﺪاوم‪ ،‬اﻳﻦ ﻣﺸـﺎرﻛﺖ اﻓﺰاﻳﺸﻰ‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ از اﻫﻤﻴﺖ ﻗﺎﺑﻞ ﺳﺘﺎﻳﺸﻰ ﺑﺮﺧﻮردار اﺳﺖ زﻳﺮا ﻧﺸﺎن‬ ‫ﻣﻰ دﻫﺪ ﻛﻪ ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ ى ﺗﺪوﻳـﻦ ﺷـﺪه ﺑـﺮاى ﻣﺠﻠﻪ‪ ،‬ﺗـﻮاﻧﺴﺘـﻪ اﺳـﺖ در‬ ‫ﺧﺪﻣﺖ ﻣﺨﺎﻃﺒﺎن و ﺻﺤﻨﻪ ﮔﺮداﻧﺎن اﺻﻠﻰ آن ﻳﻌﻨﻰ ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺜﺎل‪ ،‬ﻣﺤﺘﻮاى ﻣﺠﻠﻪ ﺑﺎ ﻣﻘﺎﻻت ﻣﺮورى و ﺗﺮوﻳﺠﻰ‬ ‫در ﺧﺪﻣﺖ ﺗﺪرﻳﺲ روزاﻧﻪ ى ﻣﻌﻠﻤﺎن ﺑﻮده و از ﻃﺮﻳﻖ ﻣﻘﺎﻻت ﻧﻈﺮى‪،‬‬ ‫ﺳﻄﺢ اﻧﺘﻈﺎرات آن ﻫﺎ را ﺑﺎﻻﺗﺮ ﺑﺮده و ﺷﻮق ﺗﺮﻗﻰ و ﺗﻮﺳﻌﻪ را در اﻳﺸﺎن‬ ‫اﻳـﺠـﺎد ﻛـﺮده اﺳـﺖ‪ .‬ﺑـﻬـﺘـﺮﻳـﻦ ﻧـﻤــﻮﻧـﻪ ى اﻳـﻦ ادﻋـﺎ‪ ،‬ﭼـﻜـﻴـﺪه ى‬ ‫ﭘﺎﻳﺎن ﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎﻳﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺗـﻘـﺮﻳـﺒـﺎً ﺑﺪون اﺳﺘﺜﻨـﺎ‪ ،‬ﭘـﮋوﻫﺸﮕـﺮان آن ﻫﺎ‬ ‫ﻫﻤﮕﻰ ﻣﻌﻠﻤﺎن رﺳﻤﻰ ﻳﺎ ﻏﻴﺮرﺳﻤﻰ رﻳﺎﺿﻰ اﻧﺪ و اﻳﻦ ﻳﻌﻨﻰ رﺳﺎﻧﺪن‬ ‫اﻳﻦ ﭘﻴﺎم رﺳﺎ ﺑﻪ ﻣﻌﻠﻤﺎن ﺷﺎﻏﻞ ﻛﻪ ﻣﻰﺗﻮاﻧﻢ اﮔﺮ ﺑﺨﻮاﻫﻢ! ﺟﺎﻟﺐ اﻳﻦ‬ ‫اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ از دور اﻓﺘﺎده ﺗﺮﻳﻦ ﺷﻬﺮﻫﺎى اﻳﺮان ـ ﺑﻪ دﻟﻴﻞ‬ ‫ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﻪ روز و ﻣﻨﺎﺳﺐ ﻣﺠﻠـﻪ ـ ﺗـﻮاﻧﺴﺘﻪ اﻧﺪ ﺟﺰو ﻣﺨﺎﻃﺒﺎن ﻣﺠـﻠـﻪ‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ و ﻣﺎ ﺑﻪ ﺧﻮد ﻣﻰ ﺑﺎﻟﻴﻢ ﻛﻪ ﻣﻮﻓﻖ ﺷﺪه اﻳﻢ اﻳﻦ ارﺗﺒﺎط ﻣﻌﻨﺎدار را ﺑﺎ‬ ‫ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ اﻳﺮان ﺑﺮﻗﺮار ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫آﺧﺮﻳﻦ ﻛﻼم آن ﻛﻪ ﺑـﺎ وﺟﻮد اﺷﺘﻴﺎق و ﺗﻼش و ﻫﻤﺖ ﻣﻌﻠـﻤـﺎن‬ ‫اﺧﺒﺎر ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺗﺼﻤﻴﻢ ﮔﻴﺮى ﻫﺎى ﻛﻼن‬ ‫ِ‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﻣﺠﻠﻪ از ﺑﺴﻴﺎرى از‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻪ ﻃﻮر رﺳﻤﻰ ﺑﻰ ﺧﺒﺮ اﺳﺖ و در ﻧﺘﻴﺠﻪ‪ ،‬اﻳﻦ ﻓﺮﺻﺖ ﻃﻼﻳﻰ‬ ‫ﻛـﻪ ﻣـﻰ ﺗــﻮاﻧـﺴـﺖ از ﻃـﺮﻳـﻖ ﻣـﺠـﻠـﻪ‪ ،‬ﺑـﻴـﻦ ﺳـﻴــﺎﺳــﺖ ﮔــﺬاران و‬ ‫ﺗﺼﻤﻴﻢ ﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن و ﺗﺼﻤﻴﻢ ﺳـﺎزان ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى و ﺗﺄﻟﻴ‪ 4‬ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫـﺎ و‬ ‫ﻛﺘﺎب ﻫﺎى درﺳﻰ رﻳﺎﺿﻰ و ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﻛﻪ ﻣﺨﺎﻃﺒﺎن و ﻣﺠﺮﻳﺎن‬ ‫و ﻧﻔﻊ ﺑﺮان اﺻﻠﻰ آن ﺗﺼﻤﻴﻤﺎت ﻫﺴﺘﻨﺪ ﺑﻪ وﺟﻮد آﻳﺪ‪ ،‬ﺗﺎﻛﻨﻮن ﺑﻪ ﻣﻌﻨﺎى‬ ‫واﻗﻌﻰ ﭘﻴﺶ ﻧﻴﺎﻣﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫اﻣﻴﺪوارﻳﻢ داﻧﺴﺘﻦ و اﻃﻼع رﺳﺎﻧﻰ را ﺣﻖ ﻳﻚ دﻳﮕﺮ ﺑﺪاﻧﻴﻢ و اﺟﺎزه‬ ‫دﻫﻴﻢ ﺗﺎ ﺑﺎ ﻧﻘﺪ ﻣﺸﻔـﻘـﺎﻧـﻪ و ﺑـﻰ ﻏـﺮﺿﺎﻧﻪ‪ ،‬ﻫﻢ دﻳﮕـﺮ را در ﻛﻤﻚ ﺑـﻪ‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴﺮى رﻳﺎﺿﻰ آﻳﻨﺪه ﺳﺎزان اﻳﺮان ﻋﺰﻳﺰ‪ ،‬ﻳﺎرى رﺳﺎﻧﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪٣‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪x x‬‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴﺮى‬

‫ﺣﺴﺎﺑﺎن‬

‫ﺑﺨﺶ اول‬

‫در دام ﻣﻔﻬﻮم‬

‫‪x‬‬

‫ﺣﺪوﻧﻤﺎدﻫﺎ‬ ‫ﻳﻮﺳ‪ f‬آذرﻧﮓ‬ ‫ﻛﺎرﺷﻨﺎس ارﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ و دﺑﻴﺮ رﻳﺎﺿﻰ آذرﺑﺎﻳﺠﺎن ﻏﺮﺑﻰ‬

‫ﻣﻘﺪﻣﻪ‬ ‫ﻗﺮن ﻫﻔﺪﻫـﻢ را ﺑﻪ ﻧﻮﻋﻰ ﻣﻰ ﺗـﻮان زﻣﺎن ﺑﺮﺧﻮرد ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺟﺒـﺮ‪،‬‬ ‫ﻫﻨﺪﺳﻪ و ﺣﺴﺎﺑﺎن ﻧﺎﻣﻴﺪ‪ .‬ﭘﻴﺪاﻳﺶ ﻧﻤﺎدﻫﺎ و ﻋﻼﺋﻢ رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫ﺷﺪ ﺑﺴﻴـﺎرى از ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻪ ﺳﺎدﮔـﻰ ﺻـﻮرت ﮔﻴﺮﻧـﺪ؛‬ ‫ﻣﻬﺎرت ﻫﺎى ﺟﺒﺮى ﺗﻮﺳﻌﻪ ﻳﺎﺑﻨﺪ؛ﺟﺒﺮ و ﻫﻨﺪﺳﻪ ﺑﺎﻫﻢ ﭘﻴﻮﻧﺪ ﺧﻮرﻧﺪ‬ ‫و ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﺗﺤﻠﻴﻠـﻰ را ﺑﻪ وﺟﻮد آورد ﺗﺎ ﮔﺎم ﻣﻬﻤﻰ ﺑﻪ ﺳﻤﺖ اﺑﺪاع‬ ‫ﺣﺴﺎﺑﺎن ﺑـﺮداﺷﺘﻪ ﺷـﻮد‪ .‬ورود اﻋﻤﺎل ﺟﺒـﺮى ﺑﻪ ﺣﺴﺎﺑﺎن‪ ،‬ﻏـﻨـﺎى‬ ‫زﻳﺎدى ﺑﻪ اﻳﻦ ﺣﻮزه ﻣﻰ ﺑﺨﺸﺪ و ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﻣﻴﺰان ﻫﻨﺪﺳﻪ و ﺣﺴﺎﺑﺎن‬ ‫ﺗﺄﺛﻴﺮ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﻰ ﺑﺮﻫﻢ ﻣﻰ ﮔﺬارﻧﺪ ﺗﺎ ﭘﺎﻳﻪ ﻫﺎى ﻫﻨﺪﺳﻪ ى دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﺑﻨﺎ‬ ‫ﺷﻮد‪ .‬ﻟﺬا ﻗﺮن ﻫﻔﺪﻫﻢ را ﻣﻰ ﺗﻮان ﻗﺮن ﺑﻪ ﺗﻜﺎﻣﻞ رﺳﻴﺪن ﺑﺴﻴﺎرى از‬ ‫ﭘﺎﻳﻪ ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺴﺖ؛ ﻳﻌﻨﻰ ﺟﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺟﺒﺮ‪ ،‬ﻫﻨﺪﺳﻪ و ﺣﺴﺎﺑﺎن‬ ‫ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ﻇﺮﻳﻔﻰ درﻫﻢ ﻋﺠﻴﻦ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ و ﻫﺮ ﻳﻚ ﻣﻮﺟﺒﺎت رﺷﺪ و‬ ‫ﺗﻮﺳﻌﻪ ى دﻳﮕﺮى را ﻓﺮاﻫﻢ ﻣـﻰ آورﻧﺪ‪ .‬ﺑﺪﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ‪ ،‬ﻧﻤﺎدﮔﺬارى و‬ ‫ﻛﺸـ‪ 4‬رواﺑﻂ رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺑـﻴـﺶ ﺗـﺮِ ﺣـﻮزه ﻫﺎى رﻳـﺎﺿـﻰ را ﺗﺴﺨـﻴـﺮ‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ ،‬ﭼﻴـﺰى ﻛﻪ اﻣﺮوزه در ﭘﻨﺎه آن ﻗﺎدرﻳﻢ اﻋﻤﺎل رﻳﺎﺿـﻰ را ﺑﺎ‬ ‫اﻣﻨﻴﺖ ﺧﺎﻃﺮ ﺑﻴﺶ ﺗﺮى اﻧﺠﺎم دﻫﻴﻢ! و ﺣﺘﻰ دوﺳﺖ دارﻳﻢ ﻫﻨﺪﺳﻪ‬ ‫و ﻣﺴﺎﺋﻞ آن را ﻫﻢ ﺑﻪ روش ﺗﺤﻠﻴﻠﻰ ﭘﺎﺳﺦ دﻫﻴﻢ‪ .‬ﺣﺴﺎﺑﺎن و ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ‬ ‫آن ﻫﻢ از اﻳﻦ ﻗﺎﻋﺪه ﻣﺴـﺘـﺜـﻨـﻰ ﻧـﺒـﻮده اﻧﺪ و ﺑـﻪ ﻛـﺮّات دﻳﺪه اﻳﻢ ﻛـﻪ‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪٤‬‬

‫رﻳﺎﺿـﻰ اﻳﻦ ﺣـﻮزه را ﺑﻪ ﻣﻌﻨـﺎى درك‬ ‫ِ‬ ‫ﺑﻪ ﻛـﺎرﮔﻴﺮى ﻗـﻮاﻋﺪ و رو ِ‬ ‫اﺑﻂ‬ ‫ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ آن ﺗﻠﻘﻰ ﻛﺮده اﻳﻢ‪ .‬اﻳﻦ ﻫﻤﺎن ﻫﺸﺪارى اﺳﺖ ﻛﻪ ﻛﺎﻧﻔﺮى و‬ ‫اﺳﻤﻴﺖ‪ ،(١٩٤٤) ١‬ﻣﺘﺬﻛﺮ ﺷﺪه اﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻪ ﻋﻘﻴﺪه ى آن ﻫﺎ‪ ،‬ﺑﻪ دﻟﻴﻞ آن ﻛﻪ وارد دﻧﻴﺎﻳﻰ ﺷﺪه اﻳﻢ ﻛﻪ ﺟﺒﺮ‪،‬‬ ‫ﻣﻜﺎﻧﻰ ﺑﺮاى اﻧﺠﺎم دادن اﻋﻤﺎل اﻳﺠﺎد ﻛﺮده اﺳﺖ‪ .‬ﻳﻚ ﺧﻄﺮ واﻗﻌﻰ‬ ‫وﺟﻮد دارد ﻛﻪ ﻗﺎدر ﻧﺒﺎﺷﻴﻢ اﻋﻤﺎل رﻳﺎﺿﻰ را در ﻳﻚ زﻣﻴﻨﻪ ى ﻫﻨﺪﺳﻰ‬ ‫)ﻳﺎ ﻧﻤﻮدارى( ﺑﺒﻴﻨﻴﻢ‪ .‬ﻛﺎﭘﻮت‪ ،(١٩٤٤) ٢‬ﻫﻢ در ﻣﻮرد ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻫﺎﻳﻰ‬ ‫ﻛﻪ اﻓﺮاد ﻣﺨﺘﻠ‪ 4‬در ﻃﻮل ﺗﺎرﻳﺦِ رﺷﺪ و ﺗﻮﺳﻌﻪ ى ﺣﺴﺎﺑﺎن داﺷﺘﻪ اﻧﺪ‬ ‫اﻇﻬـﺎر ﻣـﻰ دارد ﺗﻤﺎم آن ﻓﻌﺎﻟـﻴـﺖ ﻫـﺎ‪ ،‬ﺑـﺎزﻧﻤـﺎﻳـﻰ‪ ٣‬ﻫﺎﻳﻰ ﻫﻨـﺪﺳـﻰ‬ ‫رﺿﺎﻳﺖ ﺑﺨﺸﻰ داﺷﺘـﻪ اﻧـﺪ و اﻓـﺮاد‪ ،‬ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣـﻌـﺎدل را ﺑﺮاى‬ ‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻫﺎى ﺧـﻮد ﺑﺴﻴﺎر ﺑﻴﺶ ﺗﺮ از ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻫﺎى اﻣـﺮوزى ﻛﻪ ﺑﺮاى‬ ‫رﺳﻢ ﻧﻤـﻮدارﻫﺎ اﻧﺠﺎم ﻣـﻰ ﺷـﻮد‪ ،‬در ﻧﻈﺮ ﻣﻰ ﮔـﺮﻓﺘﻨﺪ‪ .‬ﺣـﺎل ﺳـﺆال‬ ‫اﺻﻠﻰ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ اﮔﺮ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺣﺴﺎﺑﺎن را ﺑﺎ ﺻﻮرت ﻫﺎى ﻧﻤﺎدﻳﻦ‬ ‫در ﻗﺎﻟﺐ ﻣﻬـﺎرت ﻫﺎى ﺟﺒـﺮى اﻧﺠﺎم دﻫﻴﻢ‪ ،‬درك ﻧﻤﺎدﻳﻦ‪ ،‬از اﻳـﻦ‬ ‫ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺗﺎ ﭼﻪ اﻧﺪازه اﺳﺖ؟ در اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ‪ ،‬ﻣﺸﻜﻼت ﺣﺴﺎﺑﺎن را در‬ ‫ارﺗﺒﺎط ﺑﺎ ﻣﻔﻬـﻮم ﺣﺪ و ﻧﻤﺎدﻫـﺎ ﺑـﺮرﺳﻰ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬در اﺑﺘﺪا ﺑـﻪ ﻃـﻮر‬ ‫ﺧﻼﺻﻪ ﺑﻪ رﻳﺸﻪ ﻫﺎى ﺣﺴﺎﺑﺎن و ﺑﺴﺘﮕﻰ آن ﺑﻪ ﺟﺒﺮ ﭘﺮداﺧﺘﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻫﺎى ﺟﺒـﺮى ﺣﻞ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﻛﺎﭘﻮت )‪ ،(١٩٩٤‬اﻇﻬﺎر ﻣﻰ دارد‬ ‫‪٤‬‬ ‫اﺑﺪاع ﻫﻨﺪﺳﻪ ﺗﺤﻠﻴﻠﻰ ﺑﺎ رﻫﺎﻳﻰ »اﺻﻞ ﻫﻢ ﮔﻮﻧﻰ«‬ ‫‪٦‬‬ ‫راﺑﻄﻪ ى ﺑﻴﻦ ﺟﺒﺮ و ﻫﻨﺪﺳـﻪ را ﺑﺎﻳﺪ در ﺳﺎده ﺗﺮﻳﻦ ﻣﻔﺎﻫﻴـﻢ آن‪ ،‬ﻛﻪ ارﻛﺎﻟـﺪ و ورﻧـﺎد )‪ ،(١٩٨٠‬رﻓﺘﺎر ﻣـﻮازى آن ﭼـﻪ را ﻛﻪ در ﻃـﻮل‬ ‫ﻳﻌﻨﻰ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻰ و ﻧﻘﻄﻪ ﺟﺴﺘﺠﻮ ﻛﺮد‪ .‬وﻗﺘﻰ ﻛﻪ ﻃﻮل ﭘﺎره ﺧﻂ را ﺗﺎرﻳﺦ رﻳﺎﺿﻰ ﺷﻜﻞ ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ‪ ،‬در داﻧﺶ آﻣﻮزان ﭘﻴﺪا ﻛﺮده اﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺎ ﻧﻤﺎد ‪ x‬و ﻳﺎ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻳﻚ ﻣﺮﺑـﻊ را ﺑﺎ ﻧﻤﺎد‪ x٢‬ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻣﻰ دﻫﻴـﻢ‪ ،‬در ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ اى ﻛﻪ آن ﻫﺎ ﺑﺎ داﻧﺶ آﻣـﻮزان ‪ ١٠‬ﺗﺎ ‪ ١٣‬ﺳﺎل اﻧﺠﺎم داده‬ ‫در واﻗﻊ ﭘﻠﻰ ﺑﻴﻦ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺟﺒﺮ و ﻫﻨﺪﺳﻪ ﺑﺮﻗﺮار ﻛﺮده اﻳﻢ‪ .‬ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﺑﻮدﻧﺪ‪ ،‬ﻓﺮآﻳﻨﺪ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻛﺮدن اﻋﺪاد ﺑﻪ ﻧﻘﺎط روى ﻳﻚ ﺧﻂ راﺳﺖ ﺑﺮاى‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻠﻰ در ﺳﺎﻳﻪ ى ارﺗﺒﺎط ﺑﻴﻦ ﺟﺒﺮ و ﻫﻨﺪﺳﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﻓﺮﻣﺎ و دﻛﺎرت آن ﻫﺎ ﺑﺴﻴﺎر ﺑﺎ اﻫﻤﻴﺖ ﺑﻮد‪ .‬آن ﻫﺎ درﻳﺎﻓﺘﻨﺪ‪ ،‬اﻛﺜﺮ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺗﻤﺎﻳﻞ‬ ‫اﻳﺠﺎد ﺷﺪ ﺗﺎ ﺑﻴﻦ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﻫﺎ و ﻣﻌﺎدﻻت‪ ،‬راﺑﻄﻪ ﺑﺮﻗﺮار ﺷﻮد‪ .‬اﺑﺪاع داﺷﺘﻨﺪ ﻛﻪ اﻋـﺪاد را ﺑﻪ ﺟﺎى ﻧﻘﺎط‪ ،‬ﺑﻪ ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻫﺎ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﻟـﺬا‬ ‫ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﺗﺤﻠﻴﻠﻰ ﺑﺎﻋﺚ اﻳﺠﺎد اﻧﻘﻼﺑﻰ ﻋﻈﻴﻢ در رﻳﺎﺿﻰ ﺷﺪ زﻳﺮا ﻛﺎﭘﻮت ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫﻢ ﺑﻪ ﻟﺤﺎظ ﺗﺎرﻳﺨﻰ و ﻫﻢ ﺑﻪ ﻟﺤـﺎظ‬ ‫ﺗﺎ ﻗﺒﻞ از آن‪ ،‬ﻃﺒﻖ ﻧﻈﺮ ﻳﻮﻧﺎﻧﻴﺎن‪ ،‬ﻳﻚ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺑﺎ ﻃﻮل ﻳﻚ ﭘﺎره ﺧﻂ‪ ،‬روان ﺷﻨﺎﺳﻰ‪ ،‬ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻛﺮدن ﻳﻚ ﻛﻤﻴﺖ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﭘﺎره ﺧﻂ ﺑﻪ ﺟﺎى‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب دو ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺑﺎ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻳﻚ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ و ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻧﻘﺎط ﻳﺎ ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻃﻮل ﺑﻪ ﺟﺎى ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ ﻣﻜﺎﻧﻰ‪ ،‬ﺳﺎده ﺗﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫رﻳﺸﻪ ﻫﺎى ﺣﺴﺎﺑﺎن و ﺑﺴﺘﮕﻰ آن ﺑﺎ ﺟﺒﺮ‬ ‫ﺳﻪ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺑﺎ ﺣﺠﻢ ﻳﻚ ﻣﻜﻌﺐ ﻣﺴﺘﻄﻴـﻞ ﻣـﺘـﻨـﺎﻇـﺮ ﺑـﻮد‪ .‬ﻳﻮﻧﺎﻧﻴـﺎن‬ ‫ﺣﺴﺎﺑﺎن ﻳﻜﻰ از ﺑﺰرگ ﺗﺮﻳﻦ اﺑﺪاﻋﺎت رﻳﺎﺿﻰ در ﺗﺎرﻳﺦ اﺳﺖ‬ ‫ﻧﻤﻰ ﺗـﻮاﻧﺴﺘﻨﺪ از اﻳـﻦ ﻓـﺮاﺗﺮ ﺑـﺮوﻧﺪ‪ .‬زﻳـﺮا ﺑﻪ دﻟﻴﻞ ﺳﻪ ﺑﻌـﺪى ﺑـﻮدن‬ ‫ﻛﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻫﻢ زﻣﺎن ﺗﻮﺳﻂ ﻧﻴﻮﺗﻦ و ﻻﻳﺐ ﻧﻴﺘﺰ و ﺑﺎ دو روﻳﻜﺮد ﻣﺘﻔﺎوت‬ ‫ﺟـﻬـﺎن‪ x٤ ،‬و ‪ x٥‬و اﺑـﻌـﺎد ﺑـﺎﻻﺗـﺮ ﺑـﺮاى آن ﻫـﺎ‬ ‫ﺑـﻪ وﺟﻮد آﻣﺪ‪ .‬ﻣﺤﻘـﻘـﺎن ﻣـﺨـﺘـﻠـ‪ ،4‬ﻧـﻈـﺮات‬ ‫ﺑﻰ ﻣﻌﻨﻰ ﺑﻮد‪ .‬اﻳﻦ اﺻﻞ ﻧﺰد رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن ﻳﻮﻧﺎﻧﻰ‬ ‫و‬ ‫ﻛـﺎﻧـﻔــﺮى‬ ‫ ى‬ ‫ه‬ ‫ﻋـﻘـﻴـﺪ‬ ‫ﺑـﻪ‬ ‫ﻣﺘـﻔـﺎوﺗﻰ ﻧﺴـﺒـﺖ ﺑـﻪ رﻳـﺸـﻪ ﻫـﺎى ﺣـﺴـﺎﺑـﺎن و‬ ‫ﻣﻌﺘﺒﺮ ﺑﻮد و ﺑﻪ »اﺻﻞ ﻫﻢ ﮔـﻮﻧﻰ« ﻣﻌﺮوف ﺑﻮد‪.‬‬ ‫اﺳـﻤـﻴـﺖ‪ ،‬ﺑـﻪ دﻟـﻴـﻞ آن ﻛـﻪ‬ ‫ﭼـﮕــﻮﻧـﮕـﻰ ﭘـﻴـﺪاﻳــﺶ آن دارﻧـﺪ ﻛـﻪ ﻛـﺎﭘــﻮت‬ ‫در ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﺗﺤـﻠـﻴـﻠـﻰ ﻛـﻪ ﺗـﻮﺳﻂ دﻛـﺎرت ﺑـﻪ‬ ‫وارد دﻧﻴﺎﻳـﻰ ﺷـﺪه اﻳـﻢ ﻛـﻪ‬ ‫)‪ ،(١٩٩٤‬ﺳﻪ رﻳﺸﻪ از ﺣﺴﺎﺑﺎن را در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ‬ ‫ﺗﻜﺎﻣﻞ رﺳﻴﺪ‪ x٢ ،‬ﺗﻨﻬﺎ دﻻﻟﺖ ﺑﺮ ﻳﻚ ﻣﺴﺎﺣﺖ‬ ‫ﺟﺒـﺮ‪ ،‬ﻣﻜـﺎﻧـﻰ ﺑـﺮاى اﻧﺠـﺎم‬ ‫اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑـﻪ وﺿﻮح‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﭘﻴﭽﻴﺪه اى ﺑـﺎﻫـﻢ‬ ‫ﻧﻤﻰ ﻛﺮد‪ ،‬ﺑﻠﻜﻪ دال ﺑﺮ ﺟـﺰء ﭼﻬﺎرم در ﺗﻨﺎﺳـﺐ‬ ‫ ‬ ‫ه‬ ‫د‬ ‫ﻛـﺮ‬ ‫اﻳـﺠـﺎد‬ ‫اﻋﻤـﺎل‬ ‫دادن‬ ‫ﻋﺠﻴﻦ ﺷﺪه اﻧﺪ‪:‬‬ ‫‪ 1 = x2‬ﺑﻮد و دﻛﺎرت ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ ﭼﮕـﻮﻧﻪ ﺑﺎ‬ ‫اﺳـﺖ‪ ،‬ﻳـﻚ ﺧـﻄـﺮ واﻗـﻌـﻰ‬ ‫‪ .١‬رﻳﺸﻪ ى اول‪ ،‬ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﻣﻮارد ﻫﻨﺪﺳﻰ‬ ‫‪x x‬‬ ‫وﺟﻮد دارد ﻛﻪ ﻗﺎدر ﻧﺒﺎﺷﻴﻢ‬ ‫و در ارﺗﺒﺎط ﺑﺎ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ى ﺳﻄﺢ ﻫﺎ‪ ،‬ﺣﺠﻢ ﻫﺎ و‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده از ﭘﺎره ﺧﻄﻰ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان واﺣﺪ ﻃـﻮل‪ ،‬ﻫﺮ‬ ‫اﻋـﻤـﺎل رﻳـﺎﺿـﻰ را در ﻳـﻚ‬ ‫ﺗﻮاﻧﻰ از ﻳﻚ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻳﺎ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻫﺮ ﺗﻌﺪادى‬ ‫ﻣﻤﺎس ﻫﺎ اﺳﺖ‪ .‬در واﻗﻊ اﻳﻦ رﻳﺸﻪ‪ ،‬ﻋﻤﻠﻰ ﺑﻮد‬ ‫زﻣـﻴـﻨــﻪ ى ﻫــﻨــﺪﺳــﻰ )ﻳــﺎ‬ ‫از ﻣﺘﻐﻴﺮﻫﺎ را ﻣﻰ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﻚ ﻃﻮل ﻧﺸﺎن‬ ‫و ﺑﺮاى ﻣﺜﺎل اﺑﺘﺪا در ﻛـﺎر ارﺷﻤﻴﺪس ﻧﻤﻮد ﭘﻴﺪا‬ ‫ﺑﺒﻴﻨﻴﻢ‬ ‫دارى(‬ ‫ﻧﻤﻮ‬ ‫داد‪.‬‬ ‫ﻛﺮد‪.‬‬ ‫ﻛﺎﭘـﻮت )‪ ،(١٩٩٤‬ﺑﻪ ﻧـﻘـﻞ از ﻣـﺮﺗـﺰ ﺗـﺎخ‬ ‫)‪ ،(١٩٨٩‬در ﻣـﻮرد اﻫﻤﻴﺖ ﻛـﺎر دﻛـﺎرت ﺑﻴـﺎن‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﺪ »دﻛﺎرت‪ ،‬اﺳﺎﺳـﺎً ﺳﻨﺖ ﻳﻮﻧﺎﻧﻰ ﻫﺎ را ﺷﻜﺴﺖ و ﺑﻪ ﺟـﺎى در‬ ‫ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ‪ x٢‬و ‪ x٣‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺴﺎﺣﺖ و ﺣﺠﻢ‪ ،‬آن ﻫﺎ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان‬ ‫ﺧﻄﻮط ﺗﻌﺒﻴﺮ ﻧﻤﻮد‪ .‬اﻳﻦ ﻛﺎر ﺑﺎﻋﺚ ﺷﺪ ﺗﺎ دﻛﺎرت‪ ،‬اﺻﻞ ﻫﻢ ﮔـﻮﻧﻰ‬ ‫را ﺑﺎ ﺣﻔﻆ ﻣﻌﻨﻰ ﻫـﻨـﺪﺳـﻰ آن رﻫﺎ ﻛﻨـﺪ‪ .‬واﺿﺢ اﺳﺖ ﻛﻪ دﻛـﺎرت‪،‬‬ ‫ﻫﻢ ﮔﻮﻧﻰ در ﺗﻔﻜﺮ را ﺟﺎﻳﮕﺰﻳﻦ ﻫﻢ ﮔـﻮﻧﻰ در ﺷﻜﻞ ﻛﺮد و اﻳﻦ ﮔﺎﻣﻰ‬ ‫ﺟﺒﺮ ﻫﻨﺪﺳﻰ او را اﻧﻌﻄﺎف ﭘﺬﻳﺮﺗﺮ ﺳﺎﺧﺖ‪ .‬ﻫﻢ ﭼﻨﺎن ﻛﻪ اﻣﺮوزه‬ ‫ﺑﻮد ﻛﻪ ِ‬ ‫ﻣﻰ ﺧﻮاﻧﻴـﻢ ‪ xx‬ﻳﻌﻨﻰ ﻣﺮﺑـﻊ ‪ x‬ﺑﺪون اﻳﻦ ﻛﻪ ﺣﺘﻰ ﻳﻚ ﻣﺮﺑـﻊ را در‬ ‫ﭼﺸﻢ ذﻫﻦ ﺧﻮد ﺑﺒﻴﻨﻴﻢ« )ﺻﺺ ‪ ١٠٣‬و ‪.(١٠٤‬‬ ‫ﺑﺎ اﺑﺪاع ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﺗﺤﻠﻴﻠﻰ و اﻳﺠـﺎد راﺑﻄﻪ ﺑﻴﻦ ﻫﻨﺪﺳﻪ و ﺟﺒﺮ‪،‬‬ ‫راه ﺗﺎزه اى ﺑﺮاى ﺗﻜﺎﻣﻞ رﻳﺎﺿﻴﺎت ﮔﺸﻮده ﺷﺪ و روش ﻣﺨﺘﺼﺎﺗﻰ‪،‬‬ ‫اﻳﻦ اﻣﻜﺎن را ﻓﺮاﻫﻢ آورد ﺗﺎ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻫﺎى ﻫﻨﺪﺳﻰ ﺑﻪ ﻳـﺎرى راﺑﻄﻪ ﻫﺎ و‬ ‫‪٥‬‬

‫‪ .٢‬رﻳﺸـﻪ ى دوم‪ ،‬آﻣﻴﺰه اى از ﻋﻼﻗﻪ ﻫـﺎى‬ ‫ﻧﻈﺮى و ﻋﻤﻠﻰ و ﺷﺎﻣﻞ ﺗﻮﺻﻴ‪ 4‬و ﺑﻬﺮه ﺑﺮدارى‬ ‫از ﺗﻐﻴﻴﺮات ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ى ﻛﻤﻴﺖ ﻫﺎى ﻓﻴﺰﻳﻜﻰ اﺳﺖ‪ .‬ﺷﺮوع اﻳﻦ رﻳﺸﻪ‬ ‫ﺑﻪ ﺗﺼﻮر ﻳـﻮﻧﺎﻧﻰ ﻫﺎ ﺑﻪ ﺗﻮﻟﻴﺪ اﺷﻴﺎء ﻫﻨﺪﺳﻰ در اﺛـﺮ ﺣـﺮﻛﺖ ﭘﻴﻮﺳﺘـﻪ‬ ‫ﺑﺮﻣﻰ ﮔﺮدد‪ .‬اﻣﺎ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺟﺪى زﻣﺎن ﺑﺮوز آن ﺑﻪ ﺗﻼش ﻫﺎى ﻓﻴﻠﺴﻮﻓﺎن‬ ‫آﻣﻮزﺷﻰ ﺑـﺮاى رﻳﺎﺿﻰ وار ﻛـﺮدن ﭘﺪﻳﺪه ى ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺑـﺮﻣﻰ ﮔـﺮدد و اﻳﻦ‬ ‫رﻳﺸﻪ ﺗﺎ دﻫﻪ ﻫﺎى ﻗﺒـﻞ از ﻧـﻴـﻮﺗﻦ و ﺣﺘﻰ دﻫﻪ ى ﻧﻴـﻮﺗﻦ ﻧﻴﺰ ﺗـﻮﺳﻌـﻪ‬ ‫ﻧﻴﺎﻓﺖ‪ .‬اﻳﻦ رﻳﺸﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﻓﻴﺰﻳﻚ داﻧﺎن ‪ /‬رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن ﻗﺮن ﻫﺎى ‪١٨‬‬ ‫و ‪ ١٩‬ﻛﻪ ﭘﺪﻳﺪه ﻫﺎى ﻓﻴﺰﻳﻜـﻰ را ﺑﻴﺶ ﺗﺮ و ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﻛـﻤّﻰ ﻛﺮده اﻧﺪ‪،‬‬ ‫ﺷﻜﻞ اﻧﺘﺰاﻋﻰ ﺑﻪ ﺧﻮد ﮔﺮﻓﺖ‪.‬‬ ‫‪ .٣‬رﻳـﺸــﻪ ى ﺳــﻮم‪ ،‬ذاﺗــﺎً ﻧـﻈــﺮى اﺳـﺖ ﻛــﻪ ﺷــﺮوع آن ﺑـﺎ‬ ‫ﭘﺎرادوﻛﺲ ﻫﺎى ﻗﺪﻳﻤﻰ زﻧﻮن اﺳﺖ و ﺗﺪاوم آن ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺗﻮﺳﻌـﻪ ى‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﻪ ى رﺳﻤﻰ ﺣﺪ در ﻗﺮن ‪ ١٩‬اﺳﺖ و ﺷﺎﻣﻞ ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﺗﻼش ﻫﺎﻳﻰ‬ ‫‪٥‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫ﻋﻼوه ﺑﺮ اﻳﻦ‪ ،‬ﺷﻬـﺮﻳـﺎرى در ﻣﻮرد ارﺗﺒﺎط ﺟﺒﺮ و آﻧﺎﻟﻴـﺰ ﺑـﻴـﺎن‬ ‫ﺑﻮد ﻛﻪ ﻳﻚ ﻧﻈﺮﻳﻪ ى ﻛﺎﻣﻞ از »ﺑﻰ ﻧﻬﺎﻳﺖ ﻛﻮﭼﻚ ﻫﺎ« را ﻧﺘﻴﺠﻪ داد‪.‬‬ ‫ﺑﻪ ﮔﻔﺘﻪ ى ﻛﺎﭘﻮت )‪ ،(١٩٩٤‬رﻳﺸﻪ ﻫﺎى اول و دوم ﺣﺴﺎﺑﺎن از ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪» :‬در ﺳﺪه ﻫﺎى ‪ ١٧‬و ‪ ،١٨‬ﺟﺒﺮ و آﻧﺎﻟﻴﺰ در ﺑﺴﺘﮕﻰ ﻛﺎﻣﻞ‬ ‫اﻳﻦ ﻟﺤﺎظ ﻣﻬﻢ اﻧﺪ ﻛﻪ ارﺗﺒﺎط ﻧﺰدﻳﻚ ﺗﺮى ﺑﺎ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﺎ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﭘﻴﺶ رﻓﺘﻨﺪ‪ .‬ﺗﺼﻮرِ ﺗﺎﺑﻌﻰ در ﺟﺒﺮ ﻧﻔﻮذ ﻛﺮد و ﻧﻴﻮﺗﻦ ﻫﻢ‬ ‫ﺑﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان دارﻧﺪ‪ .‬ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ اﻣﺮوزه ﺑﺎ اﺻﺮار و ﭘﺎﻓﺸﺎرى روى ﺗـﻮاﻧﺴـﺖ آن را ﻏﻨﻰ ﺗﺮ ﻛـﻨـﺪ‪ .‬از ﻃـﺮف دﻳﮕﺮ ﺟـﺒـﺮ‪ ،‬دﺳـﺘـﻮرﻫﺎ و‬ ‫روش ﻫﺎى ﺟﺒﺮى ﻛﺎرآﻣﺪ ﻛﻪ ﻫﻤﻪ ﺟﺎى ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ وﺟﻮد دارﻧﺪ‪ ،‬روش ﻫﺎى ﺗﺒﺪﻳﻠﻰ ﺧﻮد را ﺑﻪ آﻧﺎﻟﻴﺰ داد ﻛﻪ ﺑﺮاى ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ى اﻧﺘﮕﺮال‬ ‫و ﻧﻈﺮﻳﻪ ى ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻫﺎى دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﻧﻘﺶ ﻋﻤﺪه اى ﺑﻪ ﻋﻬﺪه ﮔﺮﻓﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﻰ آﻳﺪ ﺟﺎﻳﮕﺎه آن ﻫﺎ از دﺳﺖ رﻓﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫اﻳﺪه ى ﺗﻐﻴﻴﺮ و رﻳﺎﺿﻰ وار ﻛﺮدن اﻳﻦ ﭘﺪﻳﺪه ﻛﻪ ﻣﺒﻨﺎى رﻳﺸـﻪ ى ﻣﻬﻢ ﺗﺮﻳﻦ ﭘﻴﺸﺎﻣﺪ اﻳﻦ دوره‪ ،‬ﭘﻴﺪاﻳﺶ دوره ى ﺟﺒﺮ اوﻳﻠﺮ ﺑﻮد« )ص‬ ‫دوم ﺣﺴﺎﺑﺎن اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﻪ ﺗﺪرﻳﺞ از ﻗﺮن ﻫﺎى ‪ ١٣‬و ‪ ١٥‬ﺷﻜﻞ ﮔﺮﻓﺖ‪.(١٠٢ .‬‬ ‫ﺑﻪ ﮔﻔـﺘـﻪ ى ﻛـﺎﭘـﻮت )‪ ،(١٩٩٤‬اﻳﻦ ﻓﻌﺎﻟـﻴـﺖ ﻫـﺎ ﺑـﺎﻋـﺚ ﺷـﺪ‬ ‫ﻛﺎﭘـﻮت ﺑﻪ ﻧﻘﻞ از ﺑـﻮﻳـﺮ‪ ،(١٩٥٩) ٧‬اﺷـﺎره ﻣﻰ ﻛﻨﺪ در ﺣـﺎﻟـﻰ ﻛـﻪ‬ ‫ﻳﻮﻧﺎﻧﻰ ﻫـﺎ‪ ،‬ﺑـﺮﺧﻰ ﮔﻤـﺎﻧـﻪ زﻧﻰ ﻫﺎى ﻛﻴـﻔـﻰ روى ﻣـﻮﺿﻮع ﺣـﺮﻛﺖ ﻫﻢ ﭼﻨﺎن ﻛﻪ ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﺗﺤﻠﻴﻠﻰ ﺣﻮزه ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﺧﻮد را ﮔﺴﺘـﺮش داد‬ ‫)ﻫﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺷﺪ(‪ ،‬ﻫﻤﻴﻦ‬ ‫داﺷﺘﻪ اﻧﺪ‪ ،‬اﻣﺎ ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻧﻤﻰ آﻳﺪ اﻳﺪه ى ﺗﻐﻴﻴﺮات‬ ‫ﻧﻘﺶ را ﻫﻢ ﺳـﺮى ﻫﺎى ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﻰ ﺑـﺎزى ﻛﻨﻨـﺪ‪،‬‬ ‫ﭘـﻴـﻮﺳﺘـﻪ ﺑـﻪ وﺳﻴـﻠـﻪ ى اﻫـﻤـﻴـﺖ ﻫـﻨـﺪﺳـﻰ ﻳـﺎ‬ ‫ﺣﺘﻰ اﮔﺮ داﻧﺶ آﻣﻮزان‬ ‫زﻳﺮا ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺴﺘﻨﺪ ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻛﻼس ﺟﺪﻳـﺪى از‬ ‫ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ى آن ﺑﺮﺣﺴﺐ ﮔﺴﺴﺘﮕﻰ اﻋﺪاد ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫ﺑﭙﺬﻳﺮﻧﺪ ﻛﻪ ﻏﻴﺮﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ‬ ‫ﺗﻮاﺑﻊ ﺑﺮرﺳﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬در واﻗﻊ ﻫﻢ ﻧﻴـﻮﺗﻦ و ﻫﻢ‬ ‫آﻧﺎن ﻣﻄﺮح ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻛﺎﭘﻮت اﺷﺎره ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‬ ‫ﺑﻪ ﺣﺪ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺑﺮﺳﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺎز ﻫﻢ‬ ‫ﻻﻳﺐ ﻧﻴﺘﺰ‪ ،‬ﺣﺴﺎﺑـﺎن را ﺗﻌﻤﻴﻤﻰ از ﺟﺒﺮ ﺗﻠﻘـﻰ‬ ‫ﺑﻪ ﺗﺪرﻳﺞ در ﻗـﺮن ﻫﺎى ‪ ١٣‬و ‪ ١٥‬ﻋﻘﺎﻳﺪ ﺳﻴـﺎر‬ ‫ﻧﺸﺪﻧﻰ‬ ‫اﻣﺮ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﻧﺪ‬ ‫دار‬ ‫ﺗﻤﺎﻳﻞ‬ ‫ﻛـﺮدﻧﺪ؛ ﺟﺒﺮ ﻧﺎﻣﺘـﻨـﺎﻫـﻰ ﻳـﺎ ﺟـﺒـﺮى ﻛﻪ ﺗﻌـﺪاد‬ ‫ﻛﻼﺳﻴﻚ ﻛـﻪ ﺗـﻤـﺎم ﺣـﺮﻛﺖ را ﻧﺘﻴـﺠـﻪ ى ﻳـﻚ‬ ‫و ﻣﺤﺎل را ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ زﻣﺎن‬ ‫ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﻰ از ﺟﻤﻼت را ﺑﺮرﺳﻰ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬ﻣﺎﻧﻨﺪ‬ ‫ﻧﻴﺮوى ﺧﺎرﺟﻰ ﻣﻰ داﻧﺴﺖ‪ ،‬ﺑﻪ وﺳﻴﻠﻪ ى ﻋﻘﺎﻳﺪ‬ ‫ﻣﺤﺪود و ﺣﺴﺎب ﻣﺤﺪود‬ ‫آن ﭼﻪ ﻛﻪ در ﺳﺮى ﻫﺎى ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﻰ وﺟﻮد دارد‪.‬‬ ‫ﻣﺤﺮك ﺟﺎى ﮔﺬارى ﺷﺪ؛ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻌﻨﺎ ﺟﺴﻤﻰ‬ ‫ﺑﺸﺮى ﺑﺎ‬ ‫ﺷﻬﺮﻳﺎرى در ﻣﻮرد ﺗﻔـﺎوت ﺟﺒﺮ و آﻧﺎﻟﻴﺰ و‬ ‫ﻛﻪ در ﺣـﺎل ﺣـﺮﻛﺖ اﺳـﺖ‪ ،‬ﺗـﻤـﺎﻳـﻞ دارد در‬ ‫ ﻫﺎى‬ ‫ب‬ ‫ ﺣﺴﺎ‬ ‫ﻦ‬ ‫ﻣﺎﺷﻴ‬ ‫ﺷﺮوع آن اﺷﺎره ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ ﺗﻔﺎوت ﺟﺒﺮ و آﻧﺎﻟﻴﺰ‬ ‫ﺣـﺮﻛﺖ ﺑﺎﻗﻰ ﺑﻤﺎﻧﺪ‪ .‬اﻳـﻦ ﻋـﻘـﻴـﺪه ﺑـﻪ ﻟـﺤـﺎظ‬ ‫اﻟﻜﺘﺮوﻧﻴﻜﻰ ﻣﻤﻜﻦ ﺳﺎزﻧﺪ‪.‬‬ ‫در ﺳـﺪه ﻫــﺎى ‪ ١٨‬و ‪ ،١٩‬ﺑـﻪ اﻳــﻦ ﺗــﺮﺗـﻴــﺐ‬ ‫رﻳـﺎﺿـﻰ‪ ،‬اﻳـﺪه ى ﺳـﺮﻋﺖ در ﻳـﻚ ﻧـﻘـﻄـﻪ و‬ ‫آن ﭼﻪ ﺑﻪ ﺧﻮﺑﻰ ﻣﺸﻬﻮد‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ ﺷﺪ ﻛﻪ ﺟﺒﺮ ﺑـﺎ ﻣـﻮﺿﻮع ﺧﺎص ﺧﻮد‬ ‫ﺳﺮﻋﺖ ﻟﺤﻈﻪ اى را ﻣﻤﻜﻦ ﺳﺎﺧﺖ‪ .‬اﻣﺎ اﺑﺪاع‬ ‫اﺳﺖ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻳﻚ‬ ‫ﻛﻪ ﻣﺤﺪود اﺳﺖ ﺑﺎ ﻧـﻮﻋﻰ ﮔﺴﺴﺘﮕﻰ ﺳﺮوﻛـﺎر‬ ‫ﻳﻚ زﺑﺎن رﻳﺎﺿﻰ دﻗﻴـﻖ ﺑـﺮاى ﺑﻴﺎن اﻳﻦ اﻳـﺪه‪،‬‬ ‫ﻳﺎ‬ ‫ﺳﻴﺪن‬ ‫ر‬ ‫در‬ ‫ذﻫﻨﻰ‬ ‫ﺗﻀﺎد‬ ‫دارد‪ .‬اﻳﻦ وﻳﮋﮔﻰ را ﻟﺒﺎﭼﻮﻓﺴﻜﻰ در ﻧﻴﻤﻪ ى اول‬ ‫ﻗﺮن ﻫﺎ ﺑﻪ ﻃـﻮل اﻧﺠﺎﻣﻴﺪ ﻛـﻪ ﺷـﺮوع آن در ﻗﺮن‬ ‫ﻧﺮﺳﻴﺪن ﺑﻪ ﻣﻘﺪار ﺣﺪ ﺑﺮاى‬ ‫ﻗـﺮن ﻧـﻮزده در ﻛـﺘـﺎب ﺧـﻮد ﺑـﻪ ﻧـﺎم »ﺟـﺒـﺮ ﺑــﺎ‬ ‫‪ ١٣‬و اﺣـﺘـﻤــﺎﻻً در ﻛـﺎر داﻧـﺲ اﺳـﻜـﺎت‪ ٨‬و‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان اﻳﺠﺎد‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ى ﻣﺤﺪودﻫﺎ« ﻣﺸﺨﺺ ﻛﺮد‪ .‬وى در‬ ‫دﻳــﮕــﺮان اﺳــﺖ‪ .‬ﺑــﻪ ﻫــﺮ ﺣــﺎل ﺑــﺎ ﺗــﻤــﺎم‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮد‬ ‫اداﻣﻪ ﺗـﻮﺿﻴﺢ ﻣﻰ دﻫﺪ ﻛﻪ ﺟﺒﺮ ﺑـﺎ ﻋـﻤـﻞ ﻫـﺎى‬ ‫ﭘﻴﺸـﺮﻓﺖ ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺗﺎ ﻗـﺒـﻞ از ﻗـﺮن ﻫﻔﺪﻫـﻢ در‬ ‫ﺣﺴﺎﺑﺎن و ﺷﻜـﻞ ﮔـﻴـﺮى آن ﺻﻮرت ﮔـﺮﻓﺖ‪،‬‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه ﻧﻤﺎدﻳﻦ ﻣﻨﺎﺳﺒـﻰ ﺑـﺮاى آن ﭘﻴﺪا ﻧﺸﺪ و‬ ‫ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﺑﻪ زﺑﺎن ﻃﺒﻴﻌﻰ و در ﻧﻤﻮدارﻫﺎ ﻗﺎﺑﻞ ﺑﻴﺎن‬ ‫ﺑـﻮد‪ .‬اﻣﺎ ﻫﻤـﺎن ﮔـﻮﻧﻪ ﻛﻪ ﺷﻬـﺮﻳـﺎرى )‪ ،(١٣٨٠‬اﺑـﺮاز ﻛﺮده اﺳـﺖ‬ ‫»ﭘﻴﺸﺮﻓﺖ ﺟﺒﺮ‪ ،‬روش ﻫﺎى آن و اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﻤﺎدﻫﺎى ﺣـﺮﻓﻰ‪ ،‬در‬ ‫ﭘﻴـﺸـﺮﻓﺖ ﻳﻜﻰ از ﺷـﺎﺧـﻪ ﻫـﺎى ﺗـﺎزه ى رﻳﺎﺿﻴﺎت‪ ،‬ﻳﻌـﻨـﻰ آﻧـﺎﻟـﻴـﺰ‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺗﺄﺛﻴﺮ ﺟﺪى داﺷﺘﻪ اﺳـﺖ‪ .‬ﻧﻮﺷﺘﻦ ﺳﺎده ﺗﺮﻳﻦ ﻣﻔﻬـﻮم ﻫﺎى‬ ‫آﻧﺎﻟﻴﺰ ﻣﺜﻞ ﻛﻤﻴـﺖِ ﻣﺘﻐﻴﺮ و ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﺑﺪون وﺟـﻮد ﻧﻤﺎدﻫﺎى ﺣﺮﻓﻰ ﻣﻤﻜﻦ‬ ‫ﻧﺒﻮد‪ .‬در آﻧﺎﻟﻴﺰ رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻪ وﻳﮋه در ﺣﺴﺎﺑﺎن ﺑﻪ ﺻﻮرﺗﻰ ﮔﺴﺘﺮده از اﺑﺰار‬ ‫ﺟﺒﺮ رﺳﻤﻰ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰ ﺷﻮد« )ص ‪.(٩٥‬‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪٦‬‬

‫اﺻﻠﻰ )ﺟﻤـﻊ و ﺿـﺮب( ﺳـﺮوﻛﺎر دارد و اﻳـﻦ‬ ‫ﻋﻤﻞ ﻫﺎ ﺑﻪ ﺗﻌﺪاد ﻣـﺤـﺪودى اﻧﺠﺎم ﻣﻰ ﮔﻴـﺮد‪.‬‬ ‫آﻧﺎﻟﻴﺰ ﻧﻤـﺎدﻫـﺎ را ﻛﻪ ﺑﺪون آن ﻫﺎ ﻧﻤـﻰ ﺗـﻮاﻧﺴﺖ‬ ‫ﻣﻌﻨﺎﻳﻰ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ از ﺟﺒﺮ ﮔﺮﻓﺖ‪ .‬از ﻃﺮف دﻳﮕﺮ‪ ،‬ﺟﺒﺮ اﻏﻠﺐ از‬ ‫اﻧﺪﻳﺸﻪ ى ﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻰ ﻧﻴﺰ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ ،‬وﻟﻰ ﺑﻪ ﺗﺪرﻳﺞ ﺗﺼﻮر ﺗﻌﺪاد‬ ‫ﻧﺎﻣﺤﺪودى »ﭼﻴﺰ« ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺟﺪﻳﺪ و ﺧﺎص ﺧﻮد‪ ،‬ﺑﺮ ﺟﺒﺮِ دوره ى‬ ‫اﺧﻴﺮ ﻣﺴﻠﻂ ﻣﻰ ﺷﻮد‪ .‬ﺑﺎﻻﺧﺮه ﻓﺮودﻧﺘﺎل )‪ ،(١٩٧٩‬ﺗﺄﻛﻴﺪ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‬ ‫»اﺧﺘﺮاع ﺟﺒﺮ ﺣﺮوﻓﻰ‪ ،‬ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﺗﺤﻠﻴﻠﻰ و ﺣﺘﻰ ﺣﺴﺎﺑﺎن در اﺑﺘﺪا‬ ‫روش ﻫﺎى ﺳﺎزﻣﺎن دﻫﻰ دوﺑﺎره ى داﻧﺶ ﻣـﻮﺟﻮد ﺑﻪ وﺳﻴﻠﻪ ى ﺧﻠﻖ‬ ‫اﺑﺰارﻫﺎى ﺳﺎزﻣﺎن دﻫﻰ ﺑﻮد‪ .‬ﺑﻪ ﺗﺪرﻳﺞ ﻛﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﺷﺪ آن اﺑﺰارﻫﺎ ﺑﺴﻴﺎر‬

‫ﻗﺪرﺗﻤﻨﺪ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﺧﻮد آن ﻫﺎ ﻧﻴﺰ ﺑﺎﻋﺚ ﺗﻮﻟﻴﺪ اﻧﺒﻮﻫﻰ از داﻧﺶ ﺟﺪﻳﺪ ﻣﻰ ﺑﻴﻨﻨﺪ آن ﻫﺎﻳﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ از ﻃﺮﻳﻖ ﻓﺮﻣﻮل ﻫﺎى ﺳﺎده ى ﺟﺒﺮى ﻗﺎﺑﻞ‬ ‫ﺗﻮﺻﻴ‪ 4‬اﻧﺪ و ﺑﺎ ﺣـﺮﻛﺖ ﻫﺎى ﻧﺎﻣﻨﻈﻤﻰ ﻛـﻪ در زﻧﺪﮔﻰ روزاﻧﻪ ﺷﺎن‬ ‫ﺷﺪﻧﺪ« )ص ‪.(٢٩‬‬ ‫ﻣﺎﻫﻴﺖ ﺣﺴﺎﺑﺎن و واﺑﺴﺘﮕﻰ آن ﺑﻪ ﺟﺒﺮ‪ ،‬ﻣﺸﻜﻼت وﻳﮋه اى را ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﻛﺎﻣﻼً ﻧﺎﻣﺸﺎﺑﻪ اﺳﺖ‪ .‬از اﻳﻦ رو‪ ،‬آن ﻫﺎ ﺑﻪ ﻟﺤﺎظ‬ ‫ﺑﺮاى ﻳﺎدﮔﻴـﺮى ﺣﺴﺎﺑﺎن ﺑـﻪ وﺟﻮد آورده اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻪ اﺧﺘﺼـﺎر ﺑـﻪ آن ﺷﻨﺎﺧﺘﻰ‪ ،‬ﻧﻤﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﻛﺎرﺑﺮدﻫﺎى ﻣﺪرﺳﻪ را ﺑﺎ ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻫﺎى روزاﻧﻪ ى‬ ‫ﺧﻮد ﻣﺮﺗﺐ ﺳﺎزﻧﺪ« )ص ‪.(٨٨‬‬ ‫ﭘﺮداﺧﺘﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫آرﺗﻴﮓ )‪ ١٩٩٦‬ﺑﻪ ﻧﻘﻞ از ﻟﮕﺮاﻧﺪ ‪ ،(١٩٩٣‬اﻇﻬﺎر ﻣﻰ دارد ﻛﻪ‬ ‫»ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻫﺎى رﻳﺎﺿـﻰ در آﻧـﺎﻟـﻴـﺰ‪ ،‬ﻗـﻮﻳـﺎً واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﻣـﻬـﺎرت ﻫـﺎ و‬ ‫ﻣﺸﻜﻼت ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﺣﺴﺎﺑﺎن‬ ‫ﺷﻴﻮه ى اراﺋﻪ ى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳﺎﺿﻰ و از ﺟﻤﻠﻪ ﺣﺴﺎﺑﺎن در ﻗـﺎﻟـﺐ ﺷﺎﻳﺴﺘﮕـﻰ ﻫـﺎى ﺟـﺒـﺮى اﺳﺖ‪ .‬وﻟﻰ ﻫـﻢ زﻣـﺎن‪ ،‬ورود ﺑﻪ »ﺗﻔـﻜـﺮ‬ ‫ﻧﻤﺎدﻳﻦ و ﻣﺠـﺮد ﻛﻪ اﻛﺜﺮ ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﺑـﻪ آن ﻋـﺎدت ﻛـﺮده اﻧﺪ‪ ،‬آﻧﺎﻟﻴﺰى« ﻣـﺎ را وادار ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ از »ﺗﻔﻜﺮ ﺟﺒـﺮى« ﻓﺎﺻﻠﻪ ﺑﮕﻴﺮﻳـﻢ«‬ ‫ﺷﺎﻳﺪ ﻣﺠﺎل ﻛﻤﺘﺮى ﺑﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﺪﻫﺪ ﻛﻪ ﺑﺎ ﺗﺄﻣﻞ و ﻧﮕﺎه ﻋﻤﻴﻖ )ص ‪ .(٢٦‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜـﺎل‪ ،‬وى ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع اﺷـﺎره ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ‬ ‫ﺑﻪ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻣﻮرد ﺑﺤﺚ ﻧﻈﺮ اﻓﻜﻨﻨﺪ‪ .‬ﻧﻤﺎدﻫﺎ و‬ ‫در آﻧﺎﻟﻴﺰ‪ ،‬ﻧـﺎﻣـﺴـﺎوى ﻫﺎ ﻧﻘﺶ ﻏـﺎﻟـﺐ ﺗـﺮى ﺑﺮ‬ ‫ﻋﻼﺋﻢ رﻳﺎﺿﻰ ﭼﻪ در ﺟﺒﺮ و ﭼﻪ در ﺣﺴﺎﺑﺎن‪،‬‬ ‫ﺗﺴﺎوى ﻫﺎ دارﻧﺪ و اﺳﺘﺪﻻل ﻣﻮﺿﻌﻰ ﺑﺎ ﺷﺮاﻳﻂ‬ ‫ﻫـﻤــﻪ ﻣــﻰ داﻧــﻴــﻢ ﺑــﻪ ﻛــﺎرﮔــﻴــﺮى‬ ‫ﺣﺎوى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ زﻳﺎدى ﻫﺴﺘﻨﺪ و اراﺋﻪ ى ﺗﺠﺮﻳﺪ‬ ‫ﻛﺎﻓـﻰ روى ﻋﺒﺎرات ﺟﺒـﺮى‪ ،‬ﺑﻪ ﺻﻮرت روش‬ ‫ﺻـﻮرت ﻫﺎى ﻧﻤﺎدﻳـﻦ ﺣـﺪ و اﻧـﺠـﺎم‬ ‫زود ﻫﻨﮕﺎم ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ آن ﺑﺮ ﻣﺒﻨﺎى اﻳﻦ ﻧﻤﺎدﻫـﺎ و‬ ‫اﺻﻠﻰ در اﺳﺘﺪﻻل ﻫﺎ درﻣﻰ آﻳﺪ‪.‬‬ ‫ﺑـﻪ‬ ‫ه‬ ‫ار‬ ‫ﻫــﻤــﻮ‬ ‫آن‪،‬‬ ‫ﺑـﺎ‬ ‫ﺟـﺒـﺮى‬ ‫اﻋـﻤـﺎل‬ ‫ﻋﻼﺋﻢ‪ ،‬ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺟﺬاﺑﻴﺖ ﭼﻨﺪاﻧﻰ ﻧﺪارد‪ ،‬ﺷﺎﻳﺪ‬ ‫ﺗــﺎل‪ ،(٢٠٠٢) ١٠‬ﻫـــﻢ در ارﺗــﺒــﺎط ﺑـــﺎ‬ ‫ﻣﻌﻨﺎى درك ﻧﻤﺎدﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم ﺣﺪ‬ ‫ﻳﻜﻰ از ﻋﻮاﻣﻞ ﺑﻴﺰارى داﻧﺶ آﻣﻮزان از رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫ﻣﺸﻜﻼت ﻳـﺎدﮔـﻴـﺮى ﺣﺴـﺎﺑـﺎن‪ ،‬ﺑـﺮﻧﺎﻣـﻪ ﻫـﺎى‬ ‫ﻧﺒﻮده اﺳﺖ‬ ‫ﻧﻴﺰ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫درﺳـﻰ را ﺧـﻄـﺎب ﻗـﺮار ﻣـﻰ دﻫــﺪ‪ .‬وى ﺑـﻴـﺎن‬ ‫ﺑﻪ ﻫﺮ ﺣﺎل‪ ،‬ﺑﺴﻴـﺎرى از ﻣـﺸـﻜـﻼت‬ ‫ﮔﺬر از ﺟﺒﺮ ﺑﻪ ﺣﺴﺎﺑﺎن ﮔﺬر از ﻓﺮآﻳﻨﺪﻫﺎى‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﺑﺴﻴﺎرى از ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎى درﺳﻰ ﺣﺴﺎﺑﺎن‪،‬‬ ‫داﻧـﺶ آﻣــﻮزان در درك ﻣـﻔــﺎﻫــﻴــﻢ‬ ‫ﻣﺘﻨـﺎﻫـﻰ ﺑـﻪ ﻓـﺮآﻳﻨﺪﻫـﺎى ﻧـﺎﻣـﺘـﻨـﺎﻫـﻰ اﺳـﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﻳﻚ ﻣﻌﻨﻰ ﻣﻨﻄﻘﻰ از دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﮔﻴﺮى‬ ‫ﺣﺴﺎﺑﺎن ﻧﺎﺷﻰ از ﻧﻤﺎدﻫﺎى ﺣﺮﻓﻰ و‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﺎ ﺗﻮاﻧﻤﻨﺪى ﻫﺎ و ﻣﻬﺎرت ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ‬ ‫و اﻧﺘﮕﺮال ﮔﻴـﺮى ﺑﻨﺎ ﺷﺪه اﻧﺪ و ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ دﻟﻴـﻞ‪،‬‬ ‫اﻧﺠﺎم اﻋﻤﺎل ﺟﺒﺮى ﺑـﺎ آن ﻫـﺎﺳـﺖ؛‬ ‫در ﺟﺒﺮ ﻳـﺎد ﮔـﺮﻓﺘﻪ اﻧﺪ ﭘﺎﺑـﻪ ﺣـﻮزه ى ﺣﺴﺎﺑـﺎن‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣـﻪ رﻳـﺰان ﺗﺼﻤﻴﻢ ﮔـﺮﻓﺘﻪ اﻧﺪ ﺣـﺴـﺎﺑـﺎن را ﺑﺎ‬ ‫ﻧﻤﺎدﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ در ﻃﻮل ﺗـﺎرﻳـﺦ ﺑـﺮاى‬ ‫ﻣﻰ ﮔﺬارﻧﺪ‪ .‬آن ﻫﺎ ﺑﺎ اﻧﺠﺎم روﻳﻪ ﻫﺎ ﺑﺮ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ‬ ‫اﻳﺪه ى ﺣﺪ ﺷﺮوع ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬اﮔﺮﭼﻪ ﭼﻨﻴﻦ ﺷﺮوﻋﻰ‬ ‫ﺳﺎده ﺳﺎزى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺑﻪ ﻛﺎر ﮔﺮﻓﺘﻪ‬ ‫ﺣﺴﺎﺑﺎن‪ ،‬ﺷﺎﻳﺪ وﺟﻮد ﻓﺮآﻳﻨﺪﻫﺎى ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫـﻰ را‬ ‫ﭘﺎﻳﻪ و اﺳﺎس ﻳﻚ ﻣﻨﻄﻖ ﻧﻈـﺮى رﺳﻤﻰ اﺳﺖ؛‬ ‫ﺷﺪه اﻧﺪ‬ ‫اﻣﺎ ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ى ﺧﻮب‬ ‫ﺣﺲ ﻧﻜﻨﻨﺪ‪ .‬ﻟﺬا ﺗﻜﻨﻴﻚ ﻫﺎى ﻣـﻮﺟﻮد در اﻳﻦ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ اﻣﺎ ﭼﻨﻴﻦ ﺷﺮوﻋﻰ‪ ،‬اﻟـﺰ ً‬ ‫ﺣﻮزه‪ ،‬ﺑﺮاى ﻣﻔﺎﻫﻴﻤﻰ از ﻗﺒﻴﻞ ﺣﺪ‪ ،‬دﻧﺒﺎﻟـﻪ‪،‬‬ ‫ﺑﺮاى آﻏﺎز ﻳﺎدﮔﻴـﺮى داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬در‬ ‫وﻗــــﺘــــﻰ داﻧــــﺶ آﻣـــــﻮزان از‬ ‫ﻣﺸﺘـﻖ و ﻏـﻴـﺮه ﺗـﺎ ﺣـﺪود زﻳﺎدى ﻓـﺮآﻳﻨـﺪﻫـﺎى‬ ‫ارﺗﺒﺎط ﺑﺎ ﻫﻤﻴﻦ‪ ،‬ﺗـﺎل )‪ (١٩٨٥‬اﺷﺎره ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‬ ‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﻫﺎ و روش ﻫﺎى ﻗﺎﻋﺪه ﻣﻨﺪ‬ ‫ﻻ ﻧﺨﺴﺘﻴﻦ روﻳﺎروﻳﻰ ﺑﺎ ﺣﺴﺎﺑﺎن ﭼﻨﻴﻦ‬ ‫ﻛﻪ ﻣﻌﻤﻮ ً‬ ‫ﻧﺎﻣﺘﻨـﺎﻫـﻰ ﻣـﻮﺟـﻮد در اﻳﻦ ﻣﻔﺎﻫـﻴـﻢ را ﭘﻨـﻬـﺎن‬ ‫ﺟﺒﺮى اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰ ﻛﻨـﻨـﺪ‪ ،‬در ﭘـﻨـﺎه‬ ‫ﻣـﻰ ﻛـﻨـﺪ و اﻳـﻦ ﻛـﺎر ﻣــﻮﺟـﺐ ﻣـﻰ ﺷــﻮد ﻛـﻪ‬ ‫اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎ دو ﻧﻘﻄﻪ ى ‪ A‬و ‪ B‬روى ﻳﻚ ﻧﻤﻮدار‬ ‫آن ﻫﺎ راﺣﺖ ﺗﺮ و ﺑﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪ ى ﻛﺎرﺧﻮد‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان‪ ،‬ﻫﻤﺎن اﻋﻤﺎل روﻳﻪ اى را ﻛﻪ در‬ ‫ﺷـﺮوع ﻣـﻰ ﺷـﻮد و رﻓـﺘـﻪ رﻓـﺘـﻪ‪ ،‬ﺑـﺎ ﻧــﺰدﻳـﻚ و‬ ‫ﻣﻄﻤﺌﻦ ﺗﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‬ ‫ﻧﺰدﻳﻚ ﺗﺮ ﺷـﺪن ‪ A‬ﺑﻪ ‪ ،B‬وﺗﺮ ‪ AB‬ﻧﻴﺰ ﺑﻪ ﺧـﻂ‬ ‫ﺟﺒﺮ اﻧﺠﺎم ﻣﻰ داﻧﻨﺪ‪ ،‬در ﺣﺴﺎﺑﺎن ﻧﻴـﺰ دﻧـﺒـﺎل‬ ‫ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﻤﺎس در ﻧﻘﻄﻪ ى ‪ A‬ﻣﻴﻞ ﻣﻰ ﻛﻨـﺪ‪ .‬وى اﺷﺎره‬ ‫ﻛﺎﭘـﻮت )‪ ،(١٩٩٤‬وﺿﻌﻴـﺖ رﻳـﺎﺿـﻰ داﻧـﺶ آﻣـﻮزاﻧـﻰ را ﻛﻪ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ زﺑﺎن رﺳﻤﻰ ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘﻪ در اﻳﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﻣﻮﺟﺐ ﺑﺮوز‬ ‫ﺑﻪ ﻃﻮر ﺳﻨﺘﻰ وارد ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ى ﺣﺴﺎﺑﺎن ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﺟﻨﺒﻪ ﻫﺎى ﻣﺸﻜﻼت زﻳﺎدى ﺑﺮاى ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﺣﺴﺎﺑﺎن ﺗﻮﺳﻂ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻣﺸﺨﺼﻰ از رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻳﻮﻧﺎﻧﻰ ﻣﻰ داﻧﺪ‪ .‬او ﺑﻴﺎن ﻣﻰ ﻛﻨﺪ »در اﺑﺘﺪا ﺗﺎل )‪ ،(٢٠٠٢‬در ﺟﺎﻳﻰ دﻳﮕﺮ ﻳﺎدآور ﻣﻰ ﺷـﻮد ﻛﻪ ﺗﻌﺪاد ﻛﻤـﻰ از‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان اﺷﺨﺎﺻﻰ ﺣﺴﺎﺑﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ و درﻛﺸﺎن از ﺣﺮو ِ‬ ‫ف ﺟﺒﺮى داﻧﺶ آﻣﻮزان را ﻳﺎﻓﺘﻪ ام ﻛﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻃﺒﻴﻌﻰ ﻣﻔﻬﻮم ﺣﺪ را ﺑﺮاى ﺧﻮدﺷﺎن‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺑﻪ ﺟﺎى ﻣﺘﻐﻴﺮﻫﺎ‪ ،‬ﻣﺠﻬﻮﻻت اﺳﺖ و ﺑﻪ ﻃﻮر واﻗﻌﻰ‪ ،‬ﻣﻔﻬـﻮﻣﻰ از اﺑﺪاع ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮاى ﻣﺜﺎل‪ ،‬وى ﻧﻤﻮدار ﺳﻬﻤﻰ ‪ y = x‬را ﻫﻤﺮاه ﺧﻄﻰ‬ ‫ﺷﺘﺎب ﻧﺪارﻧﺪ‪ .‬ﺑﺮاى آن ﻫﺎ‪ ،‬اﻧﻮاع ﺣﺮﻛﺎﺗﻰ ﻛـﻪ در درون رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻛـﻪ از ﻧـﻘــﺎط )‪ ١‬و ‪ (١‬و ) ‪ (k, k 2‬ﻣـﻰ ﮔــﺬرد ﻣـﻌـﺮﻓـﻰ ﻛــﺮده و از‬ ‫‪٧‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪x‬‬

‫داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺧﻮاﺳﺘﻪ ﺑﻮد ﺷﻴﺐ ﺧﻂ ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ را ﺑﻨﻮﻳﺴﻨﺪ و ﺗﻮﺿﻴﺢ‬ ‫دﻫﻨﺪ ﻛﻪ ﭼﮕﻮﻧﻪ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺷﻴﺐ ﺧﻂ ﻣﻤﺎس را در ﻧﻘﻄﻪ ى )‪ ١‬و ‪(١‬‬ ‫ﺑﻴﺎﺑﻨﺪ‪ .‬ﺗﺎل ﺑﻴﺎن ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﻓﻘﻂ ﻳﻜﻰ از داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﺑﺎ ﺑﺮرﺳﻰ ﺣـﺪ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ وﻗﺘﻰ ﻛﻪ ‪ k → 1‬از ﻋﻬﺪه ى اﻳﻦ ﻛﺎر ﺑـﺮآﻣﺪ‪ .‬ﺑﺎز ﻫﻢ در ﺗﺄﻳﻴﺪ‬ ‫ﻫﻤﻴﻦ ﻣـﻄـﻠـﺐ ﺗـﺎل )‪ ،(٢٠٠٢‬ﻣﺜﺎل دﻳـﮕـﺮى از داﻧـﺶ آﻣـﻮز ‪١٥‬‬ ‫ﺳﺎﻟﻪ اى ﺑﻪ ﻧﺎم ﺟﻴﻤﺰ ذﻛﺮ ﻣﻰ ﻛﻨـﺪ ﻛـﻪ ﺑـﺎ اﺻـﻮل و ﻣﺒﻨـﺎى اوﻟﻴـﻪ ى‬ ‫ﺣﺴﺎﺑﺎن آﻣﻮزش داده ﻣﻰ ﺷﻮد‪ .‬در اﺑﺘﺪا‪ ،‬ﻣﻌﻠﻢ اﻳﺪه ﻫﺎ را ﺑﺮﺣﺴﺐ‬ ‫ﻳﻚ ﺗﺼﻮﻳﺮ ﺗـﻮﺿﻴﺢ ﻣﻰ دﻫﺪ ﻛﻪ ﭼﮕـﻮﻧﻪ ﻣﺪار ﺑﻪ ﻣـﻮﻗﻌﻴﺖ ﻣﻤﺎس‬ ‫ﻧﺰدﻳﻚ ﻣﻰ ﺷﻮد‪ .‬ﺳﭙﺲ او ﺑﺎ ﻣﺜﺎل ﻫﺎى ﻋﺪدى ﺑﺮاى ﺗﺎﺑﻊ ‪، y = x2‬‬ ‫ﻛﺎر را اداﻣﻪ داد‪ .‬ﺑـﺮاى اﻳﻦ ﻛﺎر‪ ،‬در اﺑـﺘـﺪا ﺑـﺮاى ﻣﻘﺎدﻳـﺮ ‪ x = 1‬و‬ ‫‪ x = 2‬و در اداﻣﻪ ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺷﻴﺐ ﺧﻂ ﻫﺎ را از ‪ ١‬ﺑﻪ ‪ ٬٢‬از ‪ ١‬ﺑﻪ ‪١٫١‬‬ ‫از ‪ ١‬ﺑﻪ ‪ ١٫٠١‬ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻛﺮد‪ .‬ﺳﭙﺲ اﻳﻦ اﻳﺪه ﻫﺎ را ﺑﻪ ﻟﺤﺎظ ﺟﺒـﺮى‬ ‫در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺖ و ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ (x + ∆x)2 − x2‬ﺑﺮ ‪ ∆x‬ﻧﻮﺷﺖ‪ .‬ﺑﻌﺪ‬ ‫از ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ى ﺷﻴﺐ ﺧـﻂ ﺑـﺮاى ‪ y = x‬و ‪ ، y = x2‬ﻣﻌﻠﻢ اﻟﮕـﻮى‬ ‫ﻛﻠﻰ ﻣﺸﻖ ‪ x n‬را ﺑﻪ ﻓﺮم ‪ nx n −1‬ﻧﻤﺎﻳﺎن ﺳﺎﺧﺖ و ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ ﭼﮕﻮﻧﻪ‬ ‫اﻳﻦ ﻗﺎﻋﺪه ﺑﺮاى ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اى ﻫﺎى ﻛﻠﻰ ﻛﺎر ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬ﺟﻴﻤﺰ ﺑﻌﺪ از‬ ‫ﻛﻼس ﺑﻪ ﻣﻌﻠﻢ ﮔﻔﺖ »ﺷﻤﺎ ﻫﻤﻴﺸﻪ ﭘﻴﺶ از ﭘﺮداﺧﺘﻦ ﺑﻪ روﺷﻰ ﺳﺎده‬ ‫ﺑﺮاى اﻧﺠﺎم دادن آن‪ ،‬روش ﻫﺎى دﺷﻮار را ﺑﻪ ﻣﺎ ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﻴﺪ«‪.‬‬ ‫ﺗﺎل‪ ،‬در اداﻣﻪ اﻇﻬﺎر ﻣـﻰ دارد در اﻳﻦ ﻛﻼس‪ ،‬ﺗﻤﺎم داﻧﺶ آﻣـﻮزان‬ ‫ﻣﺸﺘﻖ ﮔﺮﻓﺘﻦ از ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اى ﻫﺎ را ﻳﺎد ﮔﺮﻓﺘﻨﺪ‪ ،‬اﻣﺎ ﻫﻴﭻ ﻳﻚ از آن ﻫﺎ‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪٨‬‬

‫ﻧﺘﻮاﻧﺴﺘﻨﺪ اﻳﻦ ﻓﺮآﻳﻨﺪ را ﺗﻮﺿﻴﺢ ﺑﺪﻫﻨﺪ‪.‬‬ ‫اﻳﻦ ﻣﺜﺎل‪ ،‬دو ﭼﻴـﺰ را ﺑﻪ ﺧﻮﺑﻰ ﻧﻤﺎﻳﺎن ﻣـﻰ ﺳـﺎزد‪ ،‬اول اﻳﻦ ﻛﻪ‬ ‫وﻗﺘﻰ داﻧﺶ آﻣﻮزان از اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﻫـﺎ و روش ﻫﺎى ﻗﺎﻋﺪه ﻣﻨﺪ ﺟﺒـﺮى‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪ ،‬در ﭘﻨـﺎه آن ﻫـﺎ راﺣﺖ ﺗﺮ و ﺑﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪ ى ﻛـﺎر ﺧـﻮد‬ ‫ﻣﻄﻤﺌﻦ ﺗﺮ ﻫﺴﺘﻨـﺪ و دوم اﻳﻦ ﻛـﻪ‪ ،‬وﻗﺘﻰ اﺻﻮل اوﻟﻴﻪ ى ﺣﺴﺎﺑﺎن ﺑـﻪ‬ ‫روش ﻫـﻨـﺪﺳـﻰ و ﺑـﺮ ﻣـﺒـﻨـﺎى اﻳـﺪه ى ﺣـﺪ آﻣـﻮزش داده ﺷـﻮﻧـﺪ‪،‬‬ ‫داﻧﺶ آﻣـﻮزان را آزار ﺧﻮاﻫﺪ داد‪ .‬زﻳـﺮا اﺳﺎس اﻳﻦ ﻣﻔﺎﻫـﻴـﻢ درﮔﻴﺮ‬ ‫ﻓﺮآﻳﻨﺪﻫﺎى ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﻰ اﺳـﺖ و آن ﻫـﺎ ﺑـﻪ راﺣﺘﻰ ﻧﻤﻰ ﺗـﻮاﻧﻨﺪ ﺑﺎ ﭼﻨﻴـﻦ‬ ‫ﻓﺮآﻳﻨﺪﻫﺎﻳﻰ ﻛﻨﺎر آﻳﻨﺪ‪.‬‬ ‫در ﻫﺮ ﺣﺎل ﺗﺎل ﺑﺎ اﺷـﺎره ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﺜﺎل ﻫﺎ‪ ،‬ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔﻴـﺮى ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‬ ‫ﻛﻪ ﻓﺮآﻳﻨﺪ ﺣﺪﮔﻴﺮى ﺷﺎﻳﺪ ﻳﻚ ﻣﻔﻬﻮم رﻳﺎﺿﻰ »ﺷﻬﻮدى« ﺑﺎﺷﺪ؛ اﻣﺎ‬ ‫ﻳﻚ ﻣﻔﻬﻮم »ﺷﻨﺎﺧﺘﻰ« ﻧﻴﺴﺖ و اﺑﺮاز ﻣﻰ دارد »اﮔﺮ اﻳﺪه ى ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ى‬ ‫ﺿﺮﻳﺐ زاوﻳﻪ ى ﻣﻤﺎس ﺑـﻪ وﺳﻴﻠﻪ ى ﻓﺮآﻳﻨﺪ ﺣﺪﮔﻴﺮى‪ ،‬ﻳﻚ ﻣﻔﻬـﻮم‬ ‫روان ﺷﻨﺎﺳﻰ ﺷﻬـﻮدى ﺑﻮد؛ داﻧﺶ آﻣﻮزان در رو ﺑﻪ رو ﺷﺪن ﺑﺎ اﻳﻦ‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻓﻮرًا ﺑﺎ ﻳﻚ اﺳﺘﺪﻻل ﺣﺪى ﭘﺎﺳﺦ ﻣﻰ دادﻧﺪ« )ص ‪.(٤‬‬ ‫ﺑﺴﻴﺎرى از ﻣﺤﻘﻘﺎن دﻳﮕﺮ ﻫﻢ ﻣﺸﻜﻼت اﻳﻦ ﺣﻮزه را در ارﺗﺒﺎط‬ ‫ﺑﺎ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ و اﺷﻴﺎى آن ﺑﺮرﺳﻰ ﻛـﺮده اﻧﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻧﻤﻮﻧﻪ‪ ،‬ﻣﻰ ﺗﻮان‬ ‫از ﺑﺮدﻧﺒـﺎخ‪ ،(١٩٩٢) ١١‬و اﺳﻔﺎرد‪ ،(١٩٩١) ١٢‬وﻳﻨﺮ و درﻳﻔـﻮس‬ ‫‪١٥‬‬ ‫)‪ ،(١٩٨٩‬ﺑﻨـﺪر‪ ،(١٩٩٦) ١٣‬ﻣـﻚ دوﻧﺎﻟـﺪ‪ ،(٢٠٠٠) ١٤‬ﮔﺮى‬ ‫)‪ ،(٢٠٠٢‬ﺑﺎﮔﻨﻰ‪ ،(٢٠٠٣) ١٦‬ﺗﺎل و آﻛﻮك‪ (٢٠٠٣) ١٧‬ﻧﺎم ﺑﺮد‪.‬‬ ‫ﻫﺮ ﻳﻚ از اﻳﻦ اﻓﺮاد از زواﻳﺎى ﻣﺨﺘﻠﻔﻰ ﻣﺸﻜﻼت ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ‬ ‫ﺣﺴﺎﺑﺎن ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬دﻧﺒﺎﻟﻪ و ﺳﺮى‪ ،‬اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻰ‪ ،‬ﺣﺪ و ﻣﺸﺘﻖ‬ ‫را ﺑﻪ ﺗﺼﻮﻳﺮ ﻛﺸﻴﺪه اﻧﺪ ﻛـﻪ ﺑـﻪ اﺧـﺘـﺼـﺎر ﺑـﻪ ﺑـﺮﺧﻰ از آن ﻫـﺎ اﺷـﺎره‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫آرﺗﻴﮓ )‪ ،(١٩٩٦‬ﺑﺎ اﺷﺎره ﺑﻪ اﻳﻦ ﻛﻪ ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ دو ﭼﻬﺮه ى‬ ‫ﻓﺮآﻳﻨﺪى و ﺷﻴﺌﻰ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬از وﻳﻨﺮ و درﻳﻔﻮس )‪ ،(١٩٨٩‬ﻧﻘﻞ‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﻗﺎﻋﺪه اى ﻛـﻪ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ﺑـﺮاى ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻳﻚ ﺗﺎﺑـﻊ ﺑـﻪ ﻛـﺎر‬ ‫ﻣﻰ ﺑﺮﻧﺪ ﺑﺎ ﺗﻌﺮﻳ‪ 4‬رﺳﻤﻰ اﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم ـ ﺣﺘﻰ ﺑﺮاى داﻧﺶ آﻣﻮزاﻧﻰ ﻛﻪ‬ ‫ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ اﻳﻦ ﺗﻌﺮﻳ‪ 4‬را ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮﻧﺪ ـ ﻣﺘﻔﺎوت اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ در ﺣﺎﻟﻰ‬ ‫اﺳﺖ ﻛﻪ اﺳـﻔـﺎرد )‪ ،١٩٩١‬ﻧﻘﻞ ﺷﺪه از ﺗـﺎل و اﻛـﻮك ‪،(٢٠٠٣‬‬ ‫ﺗﻤﺎﻳﺰى ﺑﻴﻦ ادراك ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ‪ ١٨‬و ادراك ﺳﺎﺧﺘﺎرى‪ ١٩‬ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ اﻳﺠﺎد‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ ،‬ﻛﻪ در آن‪ ،‬ﻣﻘﺪار ﻳﻚ ﺗﺎﺑـﻊ ﺑـﺮاى ﻫﺮ ورودى ‪ x‬ﺑﺎ ادراك‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ آن ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ وﺟﻮد اﻳﻦ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻳﻚ ﻧﻤﻮدار‬ ‫ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻳﻚ ﻛﻞ اﻧﺴﺠﺎم ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻳﺎ ﺑـﻪ ﻋـﻨـﻮان ﻳﻚ ﺷﻰء‪ ،‬ﺑـﺎ ادراك‬ ‫ﺳﺎﺧﺘﺎرى ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ اﺳﺖ و ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻰ ﮔﻴـﺮد ﻛﻪ دﺳﺘﺮﺳﻰ‬ ‫ﺑﻪ ادراك ﺳﺎﺧﺘﺎرى ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﺸﻜﻞ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣـﻚ دوﻧﺎﻟـﺪ و دﻳـﮕـﺮان )‪ (٢٠٠٠‬ﻫﻢ‪ ،‬درك ﻣﻔـﻬـﻮم ﺗـﺎﺑـﻊ را‬

‫ﭘﻴﺶ ﺷﺮﻃﻰ ﺑﺮاى درك ﻣﻔﻬﻮم دﻧﺒﺎﻟﻪ ﻣﻰ داﻧﻨﺪ‪ .‬آن ﻫﺎ در ﺑﺎب اﻫﻤﻴﺖ‬ ‫ﻏﻨـﻰ ﺗﻮاﺑﻊ ﺑﻪ ﻋـﻨـﻮان‬ ‫ِ‬ ‫اﻳﻦ ﻣـﻮﺿﻮع ﺑﻴﺎن ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪» :‬اﻫـﻤـﻴـﺖِ در ِ‬ ‫ك‬ ‫ﭘﻴﺶ ﺷـﺮﻃﻰ ﺑﺮاى درك ﺑﺴﻴـﺎرى از ﭘﺪﻳﺪه ﻫﺎى اﺳﺎﺳﻰ ﺣﺴﺎﺑـﺎن‪،‬‬ ‫اﻫﻤﻴﺖ اﻧﺠﺎم ﺗﺤﻘﻴﻖ راﺟﻊ ﺑﻪ ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ درك و ﻓﻬﻢ داﻧﺶ آﻣﻮزان‬ ‫از ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺣﺴﺎﺑﺎن را ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ ﻛﺮده اﺳﺖ و ﻣﺎ ﻣﻌﺘﻘﺪﻳﻢ ﺑﺮاى داﺷﺘﻦ‬ ‫ﻳﻚ درك ﻋﻤﻴﻖ از ﻣﻔﻬﻮم دﻧﺒﺎﻟﻪ‪ ،‬ﻓﻬﻢ و درك ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﺿﺮورى‬ ‫اﺳﺖ« )ص ‪ .(٨١‬زﻳﺮا آن ﻫﺎ در ﺑﺮرﺳﻰ درك داﻧﺶ آﻣﻮزان از دﻧﺒﺎﻟﻪ‬ ‫ان ﻣﻮرد ﻣﻄﺎﻟﻌـﻪ از‬ ‫درﻳﺎﻓﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺗﺼﻮر ﻣﻔﻬـﻮﻣﻰ ﻫﻤﻪ ى داﻧﺶ آﻣﻮز ِ‬ ‫دﻧﺒﺎﻟﻪ اﻳﻦ ﺑـﻮد ﻛﻪ دﻧﺒﺎﻟـﻪ را ﻓﻬـﺮﺳﺘﻰ از اﻋﺪاد ﻣﻰ داﻧﺴﺘـﻨـﺪ و درك‬ ‫دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮاى آﻧﺎن ﻣﺸﻜﻞ ﺗﺮ ﺑﻮد‪.‬‬ ‫ﻌﺪ ﺗﺪرﻳﺴﻰ ﻣﻔﻬـﻮم ﺣﺪ و دﻧﺒﺎﻟﻪ‬ ‫ﺑﻨﺪر )‪ ،(١٩٩٦‬ﺑﺎ ارﺟﺎع ﺑﻪ ﺑُ ِ‬ ‫اﺷﺎره ﻣﻰ ﻛﻨﺪ در ﺑﺴﻴـﺎرى از ﻣـﻮارد ﺣﺘﻰ ﭘﻨﺪاره ﻫـﺎ و ادراﻛﺎت ﭘﻮﻳﺎ‬ ‫ﻫﻢ ﺑﺮاى ﺷﻜﻞ ﮔﻴـﺮى اوﻟﻴﻪ ى اﻳﻦ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻛﻤﻜﻰ ﻧﻤـﻰ ﻛـﻨـﺪ‪ .‬وى‬ ‫ﻳﺎدآور ﻣﻰ ﺷﻮد ﺑﺴﻴـﺎرى از داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ اﺷﺘﺒﺎه ﺗﺼﻮر ﻣﻰ ﻛﻨﻨـﺪ‬ ‫ﻛﻪ ﻳﻚ دﻧﺒﺎﻟﻪ ى رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﻋﻨﺼﺮ آﺧﺮ را در اﺧﺘﻴﺎر ﻣﻰ ﮔﻴﺮد ﻳﺎ اﻳﻦ ﻛﻪ‬ ‫ﺣﺪاﻗﻞ ﻳﻚ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﭼﻨﻴﻦ ﻋﻨﺼﺮى ﺑﺮﺳﺪ )ﻫﺮﭼﻪ ﻛﻪ رﺳﻴﺪن‬ ‫ﻣﻌﻨﻰ دﻫﺪ( ﻛﻪ اﺳﺎس ﺷﻜﻞ ﮔﻴﺮى اﻳﻦ ﺑﺪﻓﻬﻤﻰ اﻏﻠﺐ در ﺗﺪرﻳﺲ‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﻋﺪد ‪ π‬ﺑﻪ وﺳﻴﻠﻪ ى ﺗﻘﺮﻳﺐ‬ ‫ﻣﻌﻴﻦ ﻣﻰ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻳﻚ دﻧﺒﺎﻟﻪ از ﭼﻨﺪﺿﻠﻌﻰ ﻫـﺎ را در ﻧﻈﺮ ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻧﺪ‬ ‫ﻛﻪ رأس ﻫﺎى آن ﺑﻴﺶ ﺗﺮ و ﺑﻴﺶ ﺗـﺮ ﻣـﻰ ﺷـﻮد ﺗﺎ آن ﺟﺎ ﻛﻪ درﻧﻬﺎﻳـﺖ‬ ‫ﺑﻪ ﺻـﻮرت ﻳﻚ داﻳﺮه درآﻳﺪ‪ .‬ﺣﺘﻰ اﮔﺮ ﻣﻌﻠﻢ دﻗـﻴـﻘـﺎً از ﭼﻨﻴﻦ ﺑﻴـﺎن‬ ‫اﺷﺘﺒﺎﻫﻰ ﺟﻠﻮﮔﻴـﺮى ﻛﻨﺪ‪ ،‬داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻫﻨﻮز ﻫﻢ ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﻰ ﺗﻠﻘﻰ‬ ‫ﻻ ﺑﻪ ﺧﺎﻃـﺮ‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ ﻛﻪ داﻳـﺮه‪ ،‬ﻋﻨﺼﺮ آﺧﺮ دﻧﺒﺎﻟـﻪ ﺧـﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬او ً‬ ‫اﺳﺘﺪﻻل ﻫﺎى ﺑﺼـﺮى و در ﺛﺎﻧﻰ ﺑﻪ دﻟﻴﻞ اﻳـﻦ ﻛـﻪ ﻫـﺪف از درس‪،‬‬ ‫ﺗﻨﻬﺎ ﻣﻌﻴﻦ ﻛـﺮدن ﻳﻚ ﺣﺪ ﺑﻪ وﺳﻴﻠﻪ ى دﻧﺒﺎﻟﻪ اى از ﻋﻨﺎﺻﺮ اﺳـﺖ‪.‬‬ ‫ﻟﺬا ﻣﻌﻠﻢ ﭼﻪ ﺑﻪ ﻃـﻮر ﺷـﻔـﺎﻫـﻰ‪ ،‬ﺧـﻮاه ﺗﻮﺿﻴﺢ دﻫﺪ ﻳﺎ ﻧـﺪﻫـﺪ ﻛـﻪ‬ ‫ﻧﻤﻰ ﺗﻮان ﺑﻪ آن ﺣﺪ دﺳﺖ ﻳﺎﻓﺖ‪ ،‬ﺗﻤﺎم ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻫـﺎ ﻣـﻮﺟﺐ اﻳﺠـﺎد‬ ‫اﻳﻦ ﺗﻠﻘﻰ ﻣﻰ ﺷـﻮد‪ .‬ﺣﺘﻰ اﮔﺮ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﭙﺬﻳـﺮﻧﺪ ﻛﻪ ﻏﻴﺮﻣﻤﻜﻦ‬ ‫اﺳﺖ ﺑﻪ آن ﺑﺮﺳﺪ‪ ،‬ﺑﺎز ﻫﻢ ﺗﻤﺎﻳﻞ دارﻧﺪ اﻳﻦ اﻣﺮ ﻧﺸﺪﻧﻰ و ﻣﺤﺎل را ﺑﺎ‬ ‫ﺗــﻮﺟــﻪ ﺑــﻪ زﻣــﺎن ﻣــﺤــﺪود و ﺣــﺴــﺎب ﻣــﺤـــﺪود ﺑــﺸــﺮى ﺑــﺎ‬ ‫ﻣﺎﺷﻴﻦ ﺣﺴﺎب ﻫﺎى اﻟﻜﺘﺮوﻧﻴﻜﻰ ﻣﻤﻜﻦ ﺳﺎزﻧﺪ‪.‬‬ ‫آن ﭼﻪ ﺑﻪ ﺧﻮﺑﻰ ﻣﺸﻬﻮد اﺳﺖ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻳﻚ ﺗﻀﺎد ذﻫﻨﻰ در‬ ‫رﺳﻴﺪن ﻳﺎ ﻧﺮﺳﻴﺪن ﺑﻪ ﻣﻘﺪار ﺣﺪ ﺑﺮاى داﻧﺶ آﻣﻮزان اﻳﺠﺎد ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫از ﻃﺮف دﻳﮕﺮ‪ ،‬ﻣﻔﻬـﻮم ﺑﻰ ﻧﻬﺎﻳﺖ ﺑـﺰرگ و ﺑﻰ ﻧﻬﺎﻳﺖ ﻛﻮﭼﻚ ﻫـﻢ‬ ‫ﻳﻜﻰ از ﻣـﻮاﻧﻊ ﻣﻌـﺮﻓﺖ ﺷﻨـﺎﺳـﻰ‪ ٢٠‬در ﻳﺎدﮔﻴـﺮى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺣـﺴـﺎﺑـﺎن‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎﮔﻨﻰ )‪ (٢٠٠٣‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺳﻴﺮ ﺗﺎرﻳﺨﻰ اﻳﺪه ى ﺣﺪ ﻛـﻪ از‬

‫ﻗﺮن ‪ ١٧‬ﺑﻪ وﺳﻴﻠﻪ ى واﻟﻴﺲ‪ ٢١‬و ﻣﻨﮕﻮﻟﻰ‪ ٢٢‬ﻣﻌﺮﻓﻰ ﺷﺪ و ﺑﻪ وﺳﻴﻠﻪ ى‬ ‫ﻛﻮﺷﻰ ﺗﻜﺎﻣﻞ ﻳﺎﻓﺖ‪ ،‬اﺷﺎره ﻣﻰ ﻛﻨﺪ اﻳﺪه ى ﺣﺪ‪ ،‬ﻋﻤﺪﺗﺎً ﺑﻪ وﺳﻴﻠﻪ ى‬ ‫ﺑـﺎزﻧﻤـﺎﻳـﻰ ﻫـﺎى ﻛـﻼﻣـﻰ‬ ‫ﻣـﻌـﺮﻓﻰ ﺷـﺪ و ﺗـﻌـﺮﻳـ‪4‬‬ ‫ﮔﺬر از ﺟﺒﺮ ﺑﻪ ﺣﺴﺎﺑﺎن ﮔﺬر از‬ ‫واﻳــﺮاﺷــﺘــﺮاس از ﺣـﺪ‪،‬‬ ‫ﻓﺮآﻳﻨﺪﻫﺎى ﻣﺘﻨﺎﻫﻰ ﺑﻪ ﻓﺮآﻳﻨﺪﻫﺎى‬ ‫ﺗﻮﺳﻌﻪ ى ﻳـﻚ ﺑـﺎزﻧﻤﺎﻳـﻰ‬ ‫ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﻰ اﺳﺖ‪ .‬داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ﺑﺎ‬ ‫ﻣﺪرن از ﺣﺪ ﺑﻮد‪ .‬درواﻗﻊ‬ ‫ﺗﻮاﻧﻤﻨﺪى ﻫﺎ و ﻣﻬﺎرت ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ در‬ ‫ﺑﺎﮔﻨـﻰ )‪ ،(٢٠٠٣‬ﺑﺎ اﻳﻦ‬ ‫ﺟﺒﺮ ﻳـﺎد ﮔـﺮﻓﺘﻪ اﻧـﺪ ﭘـﺎﺑـﻪ ﺣـﻮزه ى‬ ‫ﺗﻮﺻﻴﻔﺎت ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫـﺪ‬ ‫ﺣـﺴـﺎﺑـﺎن ﻣـﻰ ﮔــﺬارﻧـﺪ‪ .‬آن ﻫـﺎ ﺑــﺎ‬ ‫ﻛــﻪ ﺑــﺎزﻧــﻤــﺎﻳــﻰ ﻫـــﺎى‬ ‫اﻧـﺠــﺎم روﻳــﻪ ﻫــﺎ ﺑــﺮ ﻣــﻔــﺎﻫــﻴــﻢ‬ ‫ﻛﻼﻣﻰ‪ ،‬ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﺣﺎﺻـﻞ‬ ‫ﺣﺴﺎﺑﺎن‪ ،‬ﺷﺎﻳﺪ وﺟـﻮد ﻓﺮآﻳﻨﺪﻫﺎى‬ ‫اﻳــﺪه ى ﺑــﻰ ﻧـــﻬـــﺎﻳـــﺖ‬ ‫ﻧـﺎﻣـﺘـﻨـﺎﻫـﻰ را ﺣـﺲ ﻧـﻜـﻨـﻨـﺪ‪ .‬ﻟـﺬا‬ ‫ﻛﻮﭼﻚ ﻫﺎى ﺑﺎﻟـﻘـﻮه ﺑﻮده‬ ‫ﺗﻜﻨﻴﻚ ﻫﺎى ﻣﻮﺟﻮد در اﻳﻦ ﺣﻮزه‪،‬‬ ‫اﺳـﺖ و در آن ﻣـﻌـﻤــﻮ ً‬ ‫ﻻ‬ ‫ﺑﺮاى ﻣﻔﺎﻫﻴﻤﻰ از ﻗﺒﻴﻞ ﺣﺪ‪ ،‬دﻧﺒﺎﻟﻪ‪،‬‬ ‫ﺑﻰ ﻧﻬﺎﻳـﺖ ﻛـﻮﭼﻚ ﻫـﺎى‬ ‫ﻣـﺸـﺘـﻖ و ﻏـﻴـﺮه ﺗـﺎ ﺣـﺪود زﻳﺎدى‬ ‫واﻗــﻌــﻰ ﻣـــﻮرد ﺗــﻮﺟـــﻪ‬ ‫ﻓﺮآﻳﻨﺪﻫﺎى ﻧﺎﻣـﺘـﻨـﺎﻫـﻰ ﻣـﻮﺟﻮد در‬ ‫ﻧــﺒـــﻮده اﻧــﺪ‪ .‬ﻟــﺬا اﮔــﺮ‬ ‫اﻳﻦ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ را ﭘﻨﻬﺎن ﻣﻰ ﻛﻨﺪ و اﻳﻦ‬ ‫داﻧـــﺶ آﻣــــﻮزان وﺟــــﻪ‬ ‫ﻛـــﺎر ﻣــــﻮﺟـــﺐ ﻣــــﻰ ﺷــــﻮد ﻛـــﻪ‬ ‫ﻓﺮآﻳﻨﺪى ﺣـﺪ را راﺣﺖ ﺗـﺮ‬ ‫داﻧــﺶ آﻣــﻮزان‪ ،‬ﻫـﻤــﺎن اﻋــﻤــﺎل‬ ‫درك ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪ ،‬ﺷﺎﻳـﺪ ﺑـﻪ‬ ‫روﻳــﻪ اى را ﻛـﻪ در ﺟــﺒــﺮ اﻧــﺠــﺎم‬ ‫اﻳﻦ دﻟﻴﻞ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺗﺎرﻳﺦ‬ ‫ﻣــﻰ دادﻧــﺪ‪ ،‬در ﺣــﺴــﺎﺑــﺎن ﻧــﻴـــﺰ‬ ‫ﺗـﻮﺳﻌﻪ ى ﺣـﺴـﺎﺑـﺎن ﻧـﻴـﺰ‬ ‫دﻧﺒﺎل ﻛﻨﻨﺪ‬ ‫وﺿـﻌـﻴـﺖ ﻣـﺸـﺎﺑــﻪ آن را‬ ‫داﺷﺘﻪ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎﮔﻨﻰ‪ ،‬در‬ ‫اداﻣﻪ ى ﻫﻤﻴﻦ ﻣـﻮﺿﻮع و‬ ‫ﺑـــﺎ اﺷــــﺎره ﺑــــﻪ اﻧــــﻮاع‬ ‫ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻛﻼﻣﻰ و ﻧﻤـﺎدﻳـﻦ ﻛـﻪ در ﻃـﻮل ﺗﺎرﻳﺦ و در ﺟﺮﻳـﺎن‬ ‫ﺗـﻮﺳـﻌـﻪ ى ﻣـﻔـﻬــﻮم ﺣـﺪ وﺟـﻮد داﺷـﺘـﻪ اﺳـﺖ‪ ،‬ﺑـﻴـﺎن ﻣـﻰ ﻛــﻨــﺪ‬ ‫»ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻛﻼﻣﻰ ﺑﻪ ﺳﺨﺘﻰ‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻛﺎﻣﻞ ﻣﻔﻬﻮم ﺣﺪ را ﺑﻴﺎن‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ و ﺑﺎ ﺗـﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻛﻪ ﺗـﻌـﺎرض ﻫﺎى ﺷﻨﺎﺧﺘﻰ در ﻳﺎدﮔـﻴـﺮى‬ ‫ﺣﺪﻫـﺎ وﺟﻮد دارد‪ ،‬ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻛﻼﻣﻰ ﻣـﻰ ﺗـﻮاﻧﻨﺪ ﻫﻢ ﺑﻪ ﻋـﻨـﻮان ﻳﻚ‬ ‫ﻣﺤﺪودﻳﺖ و ﻫﻢ ﻳﻚ ﻛﻤﻚ ﺑﺮاى ﺳﺎﺧﺘﻦ اﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ‬ ‫ﺷﻮﻧﺪ« )ص ‪ .(٢‬اﻟﺒﺘﻪ ﺑﺪ ﻧﻴﺴﺖ اﺷﺎره ﺷﻮد ﻛﻪ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻧﻤﺎدﻳﻦ از‬ ‫ﻣﻔﻬـﻮم ﺣﺪ‪ ،‬ﻣﻔﻬـﻮم ﺑﻰ ﻧﻬﺎﻳﺖ ﻛـﻮﭼﻚ ﻫﺎ را در ﺧﻮد ﻛﺘﻤﺎن ﻛـﺮده‬ ‫اﺳﺖ و ﻫﻤﻪ ﻣﻰ داﻧﻴﻢ ﺑﻪ ﻛﺎرﮔﻴﺮى ﺻﻮرت ﻫﺎى ﻧﻤﺎدﻳﻦ ﺣﺪ و اﻧﺠﺎم‬ ‫اﻋﻤﺎل ﺟﺒﺮى ﺑﺎ آن‪ ،‬ﻫﻤﻮاره ﺑﻪ ﻣﻌﻨﺎى درك ﻧﻤﺎدﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم ﺣﺪ ﻧﺒﻮده‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ دﻟﻴﻞ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺗﺎل )‪ ،(١٩٩٤‬اﺷﺎره ﻣﻰ ﻛﻨﺪ اﻛﺜﺮ‬ ‫‪٩‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

4. Comfrey, J. &. Smith, E. (1994). Comments on James Kaputs Chapter "Democratizing Sccess to Calculus: New Routs to Old Roots". 5. Gray, E. (2002). Processes and Concept as "False Friends" In D. Tall & M. O.J. Thomas (EDS). Intelligence, Learning and Understanding Mathematics, 205-217, Post Pressed, Flaxton Australia. 6. Kaput, J. (1994). Democratizing Access to Calculus: New Routes to Old Roots. In Mathematical Thinking and Problem Solving. Edited byt A.H. Schoenfeld. 7. Mc Donald' M.A. Mathews, D.M. & Strobe, K.H. (2000). Understanding Sequences: A Tale of Tow Objects. In E. Dubinsky, A.H. Schoenfeld & Kaput (EDS), Research in Collegiate. Mathematics Education IV, (PP. 77-102), Providence, RI: American Mathematical Society. 8. Pimm, D. (2002). The Symbol Is and Isn't The Objects. In D. Tall & M.O.J. Thomas (EDS). Intelligence Learning and Understanding Mathematics, 257-271 Post Pressed Flaxton Australia. 9. Demarois, P. (2006). Begining Algebra Student's Image of Function Concept. 10. Skemp, R.R. (1989). Mathematics in the Primary School. London: Rout Iedge. 11. Tall, D. (2002). Continuities and Discontinuities in Long Term Learning Schemas. In D. Tall & M. O.J. Thomas (EDS). Intelligence Learning and Understanding Mathematics, 151-157, Post Pressed, Flaxton Australia. 12. Tall, D. (1994). Cognitive Difficulties in Learning Analysis. Mathematics Education Research Centre, Warwick University. 13. Tall. D. (1995). Understanding the Calcules. Mathematics Education Research Centre, Warwick University. 14. Tall, D. & Gray, E. & Ali, M. B. & Crowley, L. & De Marois, P. & MCGrowen, M. & Pitta, D. & Pinto, M. & Thomas, M. & Yusuf, Y. (2001). Symbols and The Bifurcation Between Procedural and Concept Thinking. Mathematics Education Research Centre, Warwick University. 15. White, P. & Michelmore, M. (2002). Teaching and Learning Mathematics by Abstraction. In D. Tall & M.O.J. Thomas (EDS). Intelligence Learning and understanding Mathematics, 235-255, Post Pressed, Flaxton Australia. ،‫ آﻣﻮزش و ﻳﺎدﮔﻴـﺮى آﻧﺎﻟﻴﺰ ﻣﻘﺪﻣﺎﺗﻰ‬.(١٩٩٦) ‫ آﻟﻮپ‬،‫ ﻣﻴﺸﻞ؛ دى ﻳﺮم‬،‫ آرﺗﻴﮓ‬.١٦ .‫ ﻣﺠﻠـﻪى رﺷﺪ آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿـﻰ‬.(١٣٨٠ ‫ ـ‬١٣٧٩) .‫ﺗـﺮﺟﻤﻪ ى ﻋﻠـﻴـﺮﺿﺎ ﻣﺪﻗـﺎﻟـﭽـﻰ‬ ‫ ﺳﺎزﻣﺎن ﭘﮋوﻫﺶ و‬،‫ دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸﺎرات ﻛﻤﻚ آﻣـﻮزﺷﻰ‬،٣١ ‫ ﺗـﺎ‬٢٣ ‫ ﺻﺺ‬،٥٧ ‫ﺷﻤﺎره ى‬ .‫ وزارت آﻣﻮزش وﭘﺮورش‬،‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣﻮزﺷﻰ‬ .‫ ﻧﺸﺮ ﻣﻬﺎﺟﺮ‬.‫( ﺳﺮﮔﺬﺷﺖ رﻳﺎﺿﻴﺎت‬١٣٨٠) ‫ ﭘﺮوﻳﺰ‬،‫ ﺷﻬﺮﻳﺎرى‬.١٧ ‫ ﺗـﺮﺟﻤﻪ ى زﻫﺮا‬.‫ رﻳﺎﺿﻰ ﺟﺪﻳﺪ ﻳﺎ آﻣـﻮزش ﺟﺪﻳﺪ‬.(١٩٧٩) .‫ ﻫﺎﻧـﺲ‬،‫ ﻓﺮودﻧﺘﺎل‬.١٨ ،٧٠ ‫ ﺷﻤﺎره ى‬،‫ ﻣﺠﻠـﻪى رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‬.(١٣٨١) ‫ﮔﻮﻳﺎ و ﺳﺤﺮ ﻇﻬﻮرى زﻧﮕﻨﻪ‬ ،‫ ﺳـﺎزﻣﺎن ﭘﮋوﻫﺶ و ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳـﺰى آﻣﻮزﺷﻰ‬.‫ دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸـﺎرات ﻛﻤﻚ آﻣـﻮزﺷﻰ‬.٢٩ ‫ص‬ .‫وزارت آﻣﻮزش وﭘﺮورش‬ ،‫ اﺷﺘﻴﺎق ﻫـﺎ‬:‫ ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى اﻃﻼﻋﺎت و آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‬.(١٩٩٦) .‫ دﻳﻮﻳـﺪ‬،‫ ﺗﺎل‬.١٩ ،‫ ﻣﺠﻠﻪى رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‬.(١٣٧٥) .‫ ﺗﺮﺟﻤﻪ ى ﺷﻴﻮا زﻣﺎﻧﻰ‬،‫اﻣﻜﺎن ﻫﺎ و واﻗﻌﻴﺖ ﻫﺎ‬ ‫ ﺳﺎزﻣﺎن ﭘـﮋوﻫﺶ و‬،‫ دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸـﺎرات ﻛﻤﻚ آﻣﻮزﺷﻰ‬،٢٣ ‫ ﺗﺎ‬١١ ‫ ﺻـﺺ‬،٤٧ ‫ﺷﻤﺎره ى‬ .‫ وزارت آﻣﻮزش وﭘﺮورش‬،‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣﻮزﺷﻰ‬

‫ ﺑﻪ وﺿﻮح اﻳﺪه ى ﺣﺪ را‬،‫داﻧﺶ آﻣﻮزاﻧﻰ ﻛﻪ وارد داﻧﺸﮕﺎه ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‬ ‫ ﻓﺮآﻳﻨـﺪى‬،‫درك ﻧﻜﺮده اﻧﺪ و ﺑﻴﺶ ﺗﺮﻳﻦ ﭼﻴـﺰى ﻛﻪ ﺑﻪ آن ﺗﻮﺟﻪ دارﻧﺪ‬ ‫اﺳﺖ ﻛﻪ ﻧﺰدﻳﻚ و ﻧﺰدﻳﻚ ﺗﺮ ﻣﻰ ﺷﻮد و اﻳﻦ درك را ﺟﺎﻳﮕﺰﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم‬ .‫ﻣﻘﺪار ﺣﺪ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‬ ‫ ﺑـﺴـﻴـﺎرى از ﻣﺸـﻜـﻼت داﻧـﺶ آﻣـﻮزان در درك‬،‫ﺑﻪ ﻫﺮ ﺣـﺎل‬ ‫ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺣﺴﺎﺑﺎن ﻧﺎﺷﻰ از ﻧﻤﺎدﻫﺎى ﺣﺮﻓﻰ و اﻧﺠﺎم اﻋﻤﺎل ﺟﺒﺮى ﺑﺎ‬ ‫آن ﻫﺎﺳﺖ؛ ﻧﻤﺎدﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ در ﻃﻮل ﺗﺎرﻳﺦ ﺑﺮاى ﺳﺎده ﺳﺎزى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ‬ ‫ ﺑـﻪ ﻧـﻘـﺶ ﻧـﻤـﺎدﻫـﺎ در‬،‫ در اداﻣﻪ ى ﻣﻘﺎﻟـﻪ‬.‫ﺑﻪ ﻛـﺎر ﮔـﺮﻓﺘﻪ ﺷﺪه اﻧﺪ‬ ‫ﻳﺎدﮔـﻴـﺮى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ و ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ ﻣـﺸـﻜـﻼت ﻧـﺎﺷـﻰ از آن ﻫـﺎ اﺷـﺎره‬ .‫ﻣﻰ ﺷﻮد‬ …‫اداﻣﻪ ى ﻣﻘﺎﻟﻪ در ﺷﻤﺎره ى ﺑﻌﺪ‬ ‫ﭘﻰ ﻧﻮﺷﺖ ﻫﺎ‬ ‫* اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ از ﻓﺼﻞ دوم ﭘﺎﻳﺎن ﻧﺎﻣﻪ ﺑﺎ ﻋﻨﻮان »ﺑﺴﺘﺮﻫﺎى ﻻزم ﺑﺮاى ﻳﺎددﻫﻰ و ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺣﺴﺎﺑﺎن در‬ .‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ ﻣﺪرﺳﻪ اى« ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎ راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ ﺧﺎﻧﻢ دﻛﺘﺮ زﻫﺮا ﮔﻮﻳﺎ ﻧﮕﺎرش ﺷﺪه اﺳﺖ‬

1. Comfrey & Smith 2. Kaput 3. Representation 4. Principle of Homogeneity 5. Mertzbach 6. Errecaide & Vergnavd 7. Boyer 8. Duns Scots 9. Artigue 10. Tall 11. Breidenbach 12. Sfard 13. Bender 14. Mc Donald 15. Gray 16. Begni 17. Akkoc 18. Operational 19. Struactiral 20. Epistemological Obstacles 21. Wallis

‫ﻣﻨﺎﺑﻊ‬ 1. Akkoc, Hf. & Tall, D. (2003). The Funcation Concept: Comprehension And Complication. 2. Bagni, Gt. (2003). Historical Roots of Limit Nation. Development@@@@@@@, Canadian Journal of Sciene, Mathematics and Technology Education. 3. Bender, P. (1996). Basic Imagery and Understandings for Mathematical Concept, 8th International congress on Mathematics Education (ICME 8). Selected Lecture, Sevilla, 14-21.

١٠

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ١‫ﺷﻤﺎره ى‬ ١٣٨٨ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ‬

‫رد ﭘﺎى ﭘﻮﻟﻴﺎ‬ ‫ﺑﺮ ﺳﻨﮓ ﻗﺒﺮآﺧﺮﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ‪+‬ى ﻓﺮﻣﺎ‬ ‫ﻣﺤﺴﻦ ﻳﺰدانﻓﺮ‬ ‫ﻛﺎرﺷﻨﺎس ارﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫از داﻧﺸﮕﺎه ﺷﻬﻴﺪ ﺑﺎﻫﻨﺮ ﻛﺮﻣﺎن‬

‫ﻓﺮﻣﺎ‬

‫ﺗﻮﺻﻴـ‪ 4‬اﻧـﺪرو واﻳﻠﺰ از ﻛـﺎوش ﻫﻔﺖ ﺳﺎﻟـﻪ ى ﺧـﻮد ﺑﺮاى ﻳﺎﻓﺘـﻦ ﺟـﺎم‬

‫ﻣﻘﺪس رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن‪» :‬ﺷﺎﻳﺪ ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ ﺗﻮﺻﻴ‪ 5‬ﻣﻦ از رﻳﺎﺿﻴﺎت ﺑﺎ ﺗﻜﻴﻪ‬ ‫ﺑﺮ ﺗﺠﺮﺑـﻪام اﻳـﻦ ﺑـﺎﺷـﺪ ﻛـﻪ ﺑـﮕـﻮﻳـﻢ اﺑـﺘـﺪا وارد ﻣﺠـﺘـﻤـﻊ ﺑـﺰرگ ﺗﺎرﻳـﻜـﻰ‬ ‫ﻣﻰﺷﻮﻳﺪ‪ .‬اﺗﺎق اول ﺗﺎرﻳﻚ اﺳﺖ‪ ،‬ﻛﺎﻣﻼَ ﺗﺎرﻳﻚ! ﺗﻠﻮﺗﻠﻮ ﻣﻰﺧﻮرﻳﺪ‪،‬‬ ‫ﺑـﻪ اﺷـﻴـﺎء ﺑــﺮﺧـﻮرد ﻣـﻰﻛـﻨـﻴــﺪ و رﻓـﺘــﻪ رﻓـﺘـﻪ ﻣـﻰآﻣـﻮزﻳـﺪ ﻛــﻪ ﻫــﺮ وﺳـﻴـﻠــﻪ‬ ‫ﻛﺠـﺎﺳـﺖ‪ ،‬و ﺳـﺮاﻧﺠﺎم ﭘﺲ از ﺷﺶ ﻣـﺎه‪ ،‬ﻛـﻠـﻴـﺪ ﭼـﺮاغ را ﻣﻰﻳـﺎﺑـﻴـﺪ و‬ ‫روﺷﻦ ﻣﻰﻛﻨﻴﺪ‪ .‬ﻧﺎﮔﻬﺎن ﻫﻤﻪﺟﺎ روﺷﻦ ﻣﻰﺷﻮد و ﻣﻰﺗﻮاﻧﻴﺪ ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ ﻛﻪ‬ ‫دﻗﻴﻘﺎ ﻛﺠﺎ ﺑﻮدهاﻳﺪ‪ .‬ﺳﭙﺲ ﺑﻪ اﺗﺎق ﺗﺎرﻳﻚ ﺑﻌﺪى وارد ﻣﻰﺷﻮﻳﺪ …«‬ ‫ً‬

‫ﻣﻘﺪﻣﻪ‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت ﺑﺎ ﻣﺴﺌﻠﻪ و رﻳﺎﺿـﻰ دان ﺑـﺎ ﺣـﻞ ﻣـﺴـﺌـﻠـﻪ ﭘـﻴـﻮﻧـﺪى‬ ‫ﻧﺎﮔﺴﺴﺘـﻨـﻰ دارﻧﺪ‪ ،‬اﻣﺎ ﻫﻤـﻮاره رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن ﺑﺎ ﻣﺴﺎﺋـﻠـﻰ ﺑـﺮﺧﻮرد‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ آﺳﺎﻧﻰ ﺗﺴﻠﻴﻢ ﻧﻤﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﻫﺪف اﺻﻠﻰ اﻳﻦ ﻧﻮﺷﺘﺎر‪،‬‬ ‫ﭘـﺮداﺧﺘﻦ ﺑـﻪ ﻣـﺴـﺌـﻠـﻪ اى اﺳـﺖ ﻛـﻪ ﺑـﻴـﺶ از ‪ ٣٥٠‬ﺳـﺎل‪ ،‬ﺗـﻼشِ‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ داﻧـﺎن ﺣـﺮﻓﻪ اى و ﻏﻴـﺮﺣـﺮﻓﻪ اى را ﺑﻪ ﺧـﻮد ﻣﺸـﻐـﻮل ﻛﺮد ﺗـﺎ‬ ‫ﺳﺮاﻧﺠﺎم روى در ﻧﻘﺎب ﺣﻞ ﻛﺸﻴﺪ و ﻧﻤﺎد ﻣﺮﺑﻌﻰ را ﻛﻪ ﻫﺎﻟﻤﻮس آن‬ ‫ﻻ رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن‬ ‫را از ﺑﺰرگ ﺗﺮﻳﻦ ﻳﺎدﮔﺎرﻫﺎى ﺧـﻮد ﻣﻰ داﻧﺪ و ﻣﻌﻤﻮ ً‬ ‫آن در اﻧﺘﻬﺎى ﺑـﺮﻫﺎن ﻫﺎ ﻗﺮار ﻣﻰ دﻫﻨﺪ‪ ،‬در ﭘﺎﻳﺎن ﺑـﺮﻫﺎن ﺧﻮد دﻳﺪ‪.‬‬ ‫ﻧﻤﺎدى ﻛﻪ اﻏـﻠـﺐ‪ ،‬آن را ﺳﻨﮓ ﻗﺒﺮ ﻣﻰ ﻧـﺎﻣـﻨـﺪ )]‪ ،[٥‬ص ‪.(٢١‬‬ ‫ﺑﺮاى ﺑﺮﺧﻰ اﮔﺮ ﻫﺮ ﺳﺎل ‪ ١‬دﻗﻴﻘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﭘـﺮداﺧﺘﻦ ﺑﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪ اى ﻛﻪ‬ ‫در ‪ ٣٥٠‬دﻗﻴﻘﻪ ﺣﻞ ﻧﺸﺪه ﺑﺎﺷﺪ ﻧﻴﺰ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻛﺎرى ﺑﻴﻬﻮده ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫اﻣﺎ اﻧﺪرو واﻳﻠﺰ اﻳﻦ ﺟﺮأت را ﺑﻪ ﺧﻮد راه داد‪ ،‬ﺗﻼش ﻛﺮد و ﺳﺮاﻧﺠﺎم‬ ‫در ﺳﺎل ‪ ١٩٩٥‬اﺛﺒﺎﺗﻰ ﺣﺪود ‪ ٢٠٠‬ﺻﻔﺤﻪ از آﺧﺮﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ى ﻓﺮﻣﺎ‬ ‫اراﺋﻪ ﻛﺮد‪ .‬ﺟﻮرج ﭘﻮﻟﻴﺎ آﻣﻮزش ﮔﺮ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ ى رﻳﺎﺿﻰ در ﻛﺘﺎب ﻫﺎى‬ ‫»ﭼﮕﻮﻧﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪ را ﺣﻞ ﻛﻨﻴﻢ« و »ﺧﻼﻗﻴﺖ رﻳﺎﺿﻰ« راه ﻛﺎرﻫﺎﻳﻰ ﻛﻠﻰ‬ ‫ﺑﺮاى ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ رﻳﺎﺿﻰ ﭘﻴﺸﻨﻬﺎد ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬در اﻳﻦ ﺟﺎ ﻣﻰ ﺧﻮاﻫﻴﻢ‬ ‫آن راه ﻛﺎرﻫﺎ را در ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﺑﺎ ﺣﻞ آﺧﺮﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ى ﻓﺮﻣﺎ ﻗﺮار دﻫﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪١١‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫ﭘﻮﻟﻴﺎ‪ :‬ﭼﮕﻮﻧﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪ را ﺣﻞ ﻛﻨﻴﻢ؟‬ ‫ﭘـﻮﻟﻴـﺎ‪ ١‬در ﻛﺘﺎب »ﭼـﮕـﻮﻧﻪ ﻣﺴﺌـﻠـﻪ را ﺣﻞ ﻛـﻨـﻴـﻢ« )‪،(١٩٤٤‬‬ ‫ﭼﻬـﺎرﭼﻮﺑﻰ ﻛـﻠـﻰ ﺑـﺮاى ﺣﻞ ﻣﺴﺌـﻠـﻪ و راﻫﻨﻤﺎﻳـﻰ ﻫـﺎﻳـﻰ در ﻣـﻮرد‬ ‫رﻳـﺰه ﻛـﺎرى ﻫﺎى ﻻزم ﺑـﺮاى ﭘﻴـﺎده ﻛـﺮدن آن‪ ،‬اراﺋﻪ ﻣـﻰ ﻛـﻨـﺪ‪ .‬اﻳـﻦ‬ ‫ﭼﻬﺎرﭼﻮب ﻛﻠﻰ‪ ،‬ﺗـﻮﺻﻴﻔﻰ ﭼﻬﺎر ﻣﺮﺣﻠﻪ اى از ﻓـﺮاﻳﻨﺪ ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠـﻪ‬ ‫اراﺋﻪ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ :‬ﻓﻬﻢ ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ ،‬ﻃﺮح ﻧﻘﺸﻪ‪ ،‬اﺟﺮاى ﻧﻘﺸﻪ و ﺑﺎزﻧﮕﺮﻳﺴﺘﻦ‬ ‫ﺑﻪ ﻋﻘﺐ‪ .‬رﻳﺰه ﻛﺎرى ﻫﺎى ﻣﺬﻛﻮر ﻫﻤﺎن ﺗﻮﺻﻴﻪ ﻫﺎى رﻫﮕﺸﺎى ﭘﻮﻟﻴﺎ‬ ‫ﻳﺎ ﺑﻪ ﻗـﻮل ﺧﻮدش »رﻫﮕﺸﺎﻳﻰ ﻧﻮﻳﻦ« ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﻛﻪ ﺑـﻪ ﻛـﻤـﻚ آن ﻫـﺎ‬

‫ﭘﻮﻟﻴﺎ‬

‫ﭘـﻮﻟـﻴـﺎ ﺑـﻴـﺎن ﻣـﻰ ﻛـﻨـﺪ ﺑــﻪ ﻧــﺪرت ﻣـﻰ ﺗـﻮاﻧـﻴـﻢ‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ اى را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ ﻛﻪ ﻣﻄﻠﻘﺎً ﻧﻮ ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫و ﺑﺎ ﻣﺴﺎﺋﻠﻰ ﻛﻪ ﭘﻴﺶ ﺗﺮ ﺣﻞ ﻛﺮده اﻳﻢ‪ ،‬ﺷﺒﺎﻫﺖ‬ ‫و ﻣﻨﺎﺳﺒﺘﻰ در آن دﻳـﺪه ﻧـﺸـﻮد‪ .‬از ﻧﻈﺮ او اﮔـﺮ‬ ‫ﭼـﻨـﻴـﻦ ﻣـﺴـﺌـﻠـﻪ اى ﺑــﺘــﻮاﻧـﺪ ﻣــﻮﺟـﻮد ﺑـﺎﺷـﺪ‪،‬‬ ‫ﻏﻴﺮﻗﺎﺑﻞ ﺣﻞ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‬ ‫ﻣﻰ ﺗﻮان راﻫﻰ ﺑﻪ ﺳﻮى ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ دﺷﻮار ﺑﺎز ﻛﺮد‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل‬ ‫ﻣﻰ ﺗﻮان ﺑﻪ راﻫﺒﺮدﻫﺎﻳﻰ ﺑﺮاى ﻓﻬﻢ ﻣﺴﺌﻠﻪ )ﻣﺸﺨﺺ ﻛﺮدن ﻣﺠﻬﻮل‪،‬‬ ‫رﺳﻢ ﺷﻜﻞ‪ ،(… ،‬راﻫﺒﺮدﻫﺎﻳﻰ ﺑـﺮاى ﻃﺮح ﻧﻘﺸﻪ )ﻳﺎﻓﺘﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ اى‬ ‫ﻣﺸﺎﺑﻪ‪ ،‬ﺑﻴﺎن ﻣﺴﺌﻠـﻪ ﺑـﻪ ﺻـﻮرﺗﻰ دﻳﮕـﺮ‪ (… ،‬و راﻫﺒـﺮدﻫﺎﻳﻰ ﺑـﺮاى‬ ‫اﺟﺮاى ﻧﻘﺸﻪ و ﺑﺎزﻧﮕﺮى ﻣﺠﺪد اﺷﺎره ﻛﺮد )]‪ .([١‬در اﻳﻦ ﺟﺎ ادﻋﺎى‬ ‫آن ﻧﺪارﻳﻢ ﻛﻪ اﻧﺪرو واﻳﻠﺰ اﺑﺘﺪا ﻛﺘﺎب »ﭼﮕﻮﻧﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪ را ﺣﻞ ﻛﻨﻴﻢ«‬ ‫ﭘﻮﻟﻴﺎ را ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﻛﺮده و ﺳﭙﺲ ﺷـﺮوع ﺑﻪ اﺛﺒﺎت آﺧﺮﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ى ﻓﺮﻣﺎ‬ ‫ﻧﻤـﻮده اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﻠﻜﻪ ﻫﺪﻓﻤﺎن ﻣـﻘـﺎﻳـﺴـﻪ ى اﻧـﺪﻳـﺸـﻪ ﻫـﺎى ﭘـﻮﻟﻴـﺎ ﺑـﺎ‬ ‫راﻫﺒﺮدﻫﺎى ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ اﺛﺒﺎت آﺧﺮﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ى ﻓﺮﻣﺎ ﻣﻰ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﭘﻮﻟﻴﺎ‪ :‬ﻓﻬﻢ ﻣﺴﺌﻠﻪ‬ ‫از ﻧﻈﺮ ﭘﻮﻟﻴﺎ‪ ،‬اوﻟﻴﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ در ﺣﻞ ﻫﺮ ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ ،‬ﻓﻬﻤﻴﺪن ﻣﺴﺌﻠﻪ‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬

‫ﺷﻤﺎره‬ ‫‪١٢‬‬ ‫ ى‪١٢ ١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫اﺳﺖ‪ .‬او ﺑﻴﺎن ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﭘﺎﺳﺦ دادن ﺑﻪ ﻳﻚ ﭘﺮﺳﺶ ﻛﻪ ﻓﻬﻤﻴﺪه ﻧﺸﺪه‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ ﻛﺎرى اﺑﻠﻬﺎﻧﻪ اﺳﺖ )]‪ ،[١‬ص ‪.(٨‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪى ‪ x n + y n = z n‬ﺑﺮاى ‪ n ≥ 3‬ﺟﻮاﺑﻰ در اﻋﺪاد ﺻﺤﻴﺢ‬ ‫ﻧﺎﺻﻔﺮ ﻧﺪارد‪.‬‬ ‫ﻓـﺮﻣــﺎ‪١٦٦٥) ٢‬ـ ‪ (١٦٠١‬در ﺣـﺎﺷـﻴـﻪ ى ﻧـﺴـﺨــﻪ اى از آﺛــﺎر‬ ‫دﻳﻮﻓﺎﻧﺖ‪ ،‬ﭼﺎپ ﺑﺎﺷﻪ‪ ،‬ﻛﻪ ﻣﺘﻌﻠﻖ ﺑﻪ ﺧﻮدش ﺑﻮد ﻧﻮﺷﺖ‪» :‬ﻧﻮﺷﺘﻦ‬ ‫ﻳﻚ ﻣﻜﻌﺐ ﻳﺎ دو ﻣﺠﺬورى ]ﺗﻮان ﭼﻬﺎرم ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺎﺻﻔﺮ[ ﺑﻪ‬ ‫ﺻﻮرت ﻣﺠﻤﻮع دو ﻋﺪد ﻣﺠﺬورى‪ ،‬ﻳﺎ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻛﻠﻰ‪ ،‬ﻫﺮ ﺗﻮان ﺑﻴﺶ‬ ‫از دو ﻋﺪد ]ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺎﺻﻔﺮ[ ﺑـﻪ ﺻـﻮرت دو ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﺑـﺎ‬ ‫ﻫﻤﺎن ﺗﻮان‪ ،‬ﻣﻤﺘﻨﻊ اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻦ اﺛﺒﺎت ﺑﺴﻴﺎر ﺟﺎﻟﺒﻰ ﺑﺮاى آن ﻳﺎﻓﺘﻢ‬ ‫ﻛﻪ در اﻳﻦ ﺣﺎﺷﻴﻪ ﻧﻤﻰ ﮔﻨـﺠـﺪ« )]‪ ،[٤‬ص ‪ .(١‬ﺣﻜﻢ اﺧﻴﺮ ـ ﻛـﻪ‬ ‫ﺻﻮرت رﻳﺎﺿـﻰ آن را در ﺑﺎﻻ دﻳﺪﻳﻢ ـ آﺧﺮﻳﻦ ﻗﻀـﻴـﻪ‪ ،‬ﺣـﺪس ﻳـﺎ‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ ى ﻓﺮﻣﺎ ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻰ ﺷﻮد‪ .‬ﻫﻤﺎن ﻃﻮر ﻛﻪ اﺷﺎره ﺷﺪ‪ ،‬ﻓﺮﻣﺎ ﺧﻮد‬ ‫ﻣﺪﻋﻰ ﺣﻞ اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑـﻮد وﻟﻰ رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن اﻣـﺮوزه ﻣﻌﺘﻘﺪﻧﺪ ﻛـﻪ‬ ‫ﻓﺮﻣﺎ در ﺟﺎﻳﻰ اﺷﺘﺒﺎه ﻛـﺮده و اﺛﺒﺎت ﺳﺎده اى ﺑﺮاى ﻗﻀﻴﻪ اش وﺟﻮد‬ ‫ﻧﺪارد‪ ،‬اﺛﺒﺎت ﻧﻬﺎﻳﻰ اﻳﻦ ﻗﻀـﻴـﻪ‪ ،‬در واﻗﻊ ﺣﺎﺻﻞ ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺑﻪ دﺳـﺖ‬ ‫آﻣﺪه ﻃﻰ ﺳﺎل ﻫﺎى ﺑﺴﻴﺎر ﺗـﻮﺳﻂ رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن ﻣﺘﻌﺪد و ﭘﻴﺸـﺮﻓﺖ‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت اﺳﺖ )]‪ ،[٣‬ص ‪.(١١‬‬ ‫ﻃﺮح ﻧﻘﺸﻪ‬ ‫ﭘﻮﻟﻴﺎ‪ :‬ﺗﺨﺼﻴﺺ‬ ‫از ﻧﻈﺮ ﭘﻮﻟﻴﺎ ﺗﺨﺼﻴﺺ ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از ﮔﺬﺷﺘﻦ از ﻣﻼﺣﻈﻪ ى‬ ‫دﺳﺘﻪ اى از ﭼﻴﺰﻫﺎ ﺑﻪ دﺳﺘﻪ اى ﻛـﻮﭼﻚ ﺗﺮ ﻳﺎ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻣـﻮﺿﻮع و‬ ‫ﻳﻚ ﺷﻰ ء ﻣﻨﺪرج در آن دﺳﺘﻪ )]‪ ،[١‬ص ‪ .(١١٣‬ﭘﻮﻟﻴﺎ ﺑﻴﺎن ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‬ ‫ﻻ ﺑﺮاى رِّد ﻳﻚ ﺣﻜﻢ‪ ،‬ﺑﻪ ﺗﺨﺼﻴﺺ ﻣﻰ ﭘﺮدازﻳﻢ؛ ﻳﻌﻨﻰ از آن‬ ‫ﻣﻌﻤﻮ ً‬ ‫دﺳﺘﻪ ﻳﻚ ﻣﻮرد را اﻧﺘﺨﺎب ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺑﺎ آن ﺣﻜﻢ ﻧﻤﻰ ﺧﻮاﻧﺪ )ﻣﺜﺎل‬ ‫ﻧﻘﺾ(‪ .‬ﭘـﻮﻟﻴﺎ ﺑﻴﺎن ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﺎﻳﺪ در اﺑﺘﺪا‪ ،‬ﻫﺮ ﺣـﺎﻟـﺖ ﺳـﺎده ى‬ ‫ﺧﺎص را ﻣﻮرد آزﻣﺎﻳﺶ ﻗـﺮار دﻫﻴﻢ؛ ﻳﻌﻨﻰ ﻫﺮ ﭼﻴﺰ ﻛﻪ ﻛﻤﺎﺑﻴـﺶ ﺑـﻪ‬ ‫ﺻﻮرت اﺗﻔﺎﻗﻰ اﻧﺘﺨﺎب ﺷﻮد و ﺑﺘﻮاﻧﻴﻢ آن را ﺑﻪ آﺳﺎﻧﻰ اﻣﺘﺤﺎن ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫اﮔﺮ اﻳﻦ اﻣﺘﺤﺎن ﻧﺸﺎن دﻫﺪ ﻛﻪ آن ﺣﺎﻟﺖ ﺑﺎ ﺣﻜﻢ ﻛﻠـﻰ ﺑـﻴـﺎن ﺷـﺪه‬ ‫ﺳﺎزﮔﺎر ﻧﻴﺴﺖ‪ ،‬آن ﺣﻜﻢ ﺑﺎﻃﻞ ﻣﻰ ﺷﻮد و ﻛﺎر ﻣﺎ ﺑﻪ ﭘﺎﻳﺎن ﻣﻰ رﺳﺪ‪.‬‬ ‫وﻟﻰ اﮔﺮ آن ﻣﻮرد اﻣﺘﺤﺎن ﺷﺪه ﺑﺎ ﺣﻜﻢ ﺗﻮاﻓﻖ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬اﻣﻜﺎن‬ ‫آن ﻫﺴﺖ ﻛﻪ از اﻣﺘﺤﺎن آن ﻣﻮرد ﺧﺎص‪ ،‬ﻧﻜﺘﻪ و اﺷﺎره اى اﺳﺘﺨﺮاج‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ اﻳﻦ اﻧﺪﻳﺸـﻪ ﺑـﺮاى ﻣﺎ ﭘﻴﺪا ﺷـﻮد ﻛﻪ ﺣﻜﻢ ﺑﺎﻳـﺪ‬ ‫درﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ و راﻫﻰ ﺑﻪ ذﻫﻦ ﻣﺎ ﺗﻠﻘﻴﻦ ﺷـﻮد ﻛﻪ از آن راه ﺑﺘﻮاﻧﻴﻢ ﺑﻪ‬ ‫اﺛﺒﺎت ﺣﻜﻢ دﺳﺖ ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﻢ )]‪ ،[١‬ﺻﺺ ‪ ١١٤‬و ‪.(١١٥‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن ﻣﺘﻌﺪدى ﺣﺎﻟﺖ ﻫﺎى ﺧﺎﺻﻰ از ﻣﺴﺌﻠﻪ ى ﻓﺮﻣﺎ را‬

‫در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻨﺪ و ﻣﻮﻓﻖ ﺷﺪﻧﺪ اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ را در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﻫﺎى ﺧﺎص‬ ‫اﺛﺒﺎت ﻛﻨﻨﺪ؛ وﻟﻰ ﻫﻴﭻ ﻳﻚ از اﻳﻦ راه ﺣﻞ ﻫﺎ ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ در‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻰ ﻧﺸﺪ‪ .‬ﺑـﻪ ﻋـﻨـﻮان ﻣﺜﺎل‪ ،‬ﻣﺴﺌـﻠـﻪ ى ﻓـﺮﻣﺎ ﺑـﺮاى ﺗﻮانِ ‪٣‬‬ ‫) ‪ (x 3 + y 3 = z 3‬از ﺳـﺎل ﻫــﺎى ‪ ١٧٩٥‬ﺗــﺎ ‪ ١٩٤٤‬ﺗــﻮﺳـﻂ ‪١٤‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ دان )ﻛـﺎوﺳﻠـﺮ‪ ،(١٧٩٥) ٣‬ﻟـﮋاﻧﺪر‪ ١٨٢٣) ٤‬و ‪،(١٨٣٠‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫ﻛﺎﻟﺰوﻻرى‪ ،(١٨٥٥) ٥‬ﻻﻣﻪ‪ ،(١٨٦٥) ٦‬ﺗﻴﺖ‪ ،(١٨٧٢) ٧‬ﮔﻮﻧﺘﺮ‬ ‫‪١١‬‬ ‫)‪ ،(١٨٧٨‬ﮔﺎﻣﺒﻴﻮﻟﻰ‪ ،(١٩٠١) ٩‬ﻛﺮى‪ ،(١٩٠٩) ١٠‬رﻳﺸﻠﻴـﻚ‬ ‫)‪ ،(١٩١٠‬اﺳﺘﺎﻛﻬـﺎوس‪ ،(١٩١٠) ١٢‬ﻛﺎرﻣﻴﺨﺎﺋﻴﻞ‪،(١٩١٥) ١٣‬‬ ‫واﻧﺪر ﻛﻮرﭘﻮت‪ ،(١٩١٥) ١٤‬ﺗﻮ‪ ،(١٩١٧) ١٥‬دوارت‪((١٩٤٤) ١٦‬‬ ‫ﺑﻪ روش ﻫﺎى ﻣﺘﻔﺎوت اﺛﺒﺎت ﺷﺪ )]‪ ،[٣‬ص ‪ (٤٠‬و اﻳﻦ روﻧﺪ ﺑﺮاى‬ ‫ﻣﻘﺎدﻳﺮ دﻳﮕﺮ ﺗـﺎ ‪ ٤×١٠٦‬اﺛﺒﺎت ﮔﺮدﻳﺪ )ﻫﻤﺎن‪ ،‬ص ‪ .(٤٣١‬وﻟﻰ‬ ‫ﺑﺎز ﻫﻢ ﺑﻪ راه ﺣﻞ ﻧﻬﺎﻳﻰ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻣﻨﺠﺮ ﻧﺸﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺮرﺳﻰ و اﺛﺒﺎت‬ ‫ﺣﺎﻻت ﺧﺎص ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻫﻴﭻ ﻛﻤﻜﻰ ﺑﻪ ﺣﻞ ﻧـﻬـﺎﻳـﻰ ﻣـﺴـﺌـﻠـﻪ‬ ‫ﻧﻜﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﭘﻮﻟﻴﺎ‪ :‬ﻣﺴﺌﻠﻪ را ﺑﻪ ﺻﻮرﺗﻰ دﻳﮕﺮ ﺑﻴﺎن ﻛﻨﻴﺪ‬ ‫ﭘﻮﻟﻴﺎ ﺑﻴﺎن ﻣﻰ ﻛﻨﺪ آﻳﺎ ﻣـﻰ ﺗـﻮاﻧﻴﺪ ﺻـﻮرت ﻣﺴﺌﻠﻪ را دوﺑﺎره ﺑﻴـﺎن‬ ‫ﻛﻨﻴﺪ؟ آﻳﺎ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻴﺪ آن را ﺑﻪ ﺻﻮرﺗﻰ دﻳﮕﺮ ﺑﻴﺎن ﻛﻨﻴﺪ؟ از ﻧﻈﺮ او اﻳﻦ‬ ‫ﭘﺮﺳﺶ ﻫﺎ ﻣﺎﻳﻪ ى ﺗﻘﻮﻳﺖ اﺳﺘﻌﺪاد ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺷﻜﻞ دادن ﻣﺴﺌﻠـﻪ اﺳـﺖ‬ ‫)]‪ ،[١‬ص ‪.(٧٥‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن ﻣﺘﻌﺪدى اﻳﻦ راﻫﺒﺮد را ﻧﻴﺰ ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻗﺮار دادﻧﺪ‬ ‫‪١٨‬‬ ‫ﻛﻪ از ﻣﻴـﺎن آن ﻫـﺎ ﻣـﻰ ﺗـﻮان ﺑﻪ ﻟـﺒـﮓ‪ ،(١٨٤٠) ١٧‬ﻛﺮﻳﺴـﺘـﻠـﺲ‬ ‫‪٢١‬‬ ‫)‪ ،(١٩٦٧‬ﭘﺮﻳـﻦ‪(١٨٨٥) ١٩‬و ﻫﻮروﻳﺘﺰ‪ (١٩٠٨) ٢٠‬و ﻛﺎﭘﻔـﺮر‬ ‫)‪ (١٩٣٣‬اﺷﺎره ﻛﺮد‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل‪ ،‬ﻟﺒﮓ ﺑﻴﺎن ﻛﺮد ﻛﻪ »اﮔﺮ آﺧﺮﻳﻦ‬ ‫ﻗﻀﻴـﻪ ى ﻓـﺮﻣﺎ ﺑﺮاى ﻧﻤـﺎى ‪ n ≥ 3‬درﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ آن ﮔﺎه ﻣـﻌـﺎدﻟـﻪ ى‬

‫ﻛﻪ ﻣﻄﻠﻘﺎً ﻧﻮ ﺑﺎﺷﺪ و ﺑﺎ ﻣﺴﺎﺋﻠﻰ ﻛﻪ ﭘﻴﺶ ﺗﺮ ﺣﻞ ﻛﺮده اﻳﻢ‪ ،‬ﺷﺒﺎﻫﺖ و‬ ‫ﻣﻨﺎﺳﺒﺘﻰ در آن دﻳﺪه ﻧﺸـﻮد‪ .‬از ﻧﻈﺮ او اﮔﺮ ﭼﻨﻴﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ اى ﺑﺘـﻮاﻧﺪ‬ ‫ﻣﻮﺟﻮد ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻏﻴﺮﻗﺎﺑﻞ ﺣﻞ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬در واﻗﻊ‪ ،‬ﻫﻨﮕﺎﻣﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻣـﻰ ﭘـﺮدازﻳﻢ‪ ،‬ﻫﻤﻴﺸﻪ از ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺣﻞ ﺷﺪه ى ﭘـﻴـﺶ ﺗـﺮ‬ ‫ﺑﻬﺮه ﮔﻴﺮى ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ و ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻳـﺎ روش ﺣﻞ ﻳﺎ ﻣﻬﺎرت و ﺗﺠﺮﺑﻪ اى را‬ ‫ﻛﻪ از ﺣﻞ آن ﻫﺎ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه‪ ،‬ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻗﺮار ﻣﻰ دﻫﻴﻢ‪ .‬اﻟﺒﺘﻪ‬

‫واﻳﻠﺰ‬

‫در اﻳﻦ ﺟﺎ ادﻋﺎى آن ﻧﺪارﻳﻢ ﻛـﻪ اﻧـﺪرو واﻳﻠﺰ اﺑـﺘـﺪا‬ ‫ﻛﺘﺎب »ﭼﮕﻮﻧﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪ را ﺣﻞ ﻛﻨﻴﻢ« ﭘﻮﻟﻴﺎ را ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ‬ ‫ﻛﺮده و ﺳﭙﺲ ﺷﺮوع ﺑﻪ اﺛﺒﺎت آﺧﺮﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ى ﻓﺮﻣﺎ‬ ‫ﻧﻤﻮده اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﻠﻜﻪ ﻫﺪﻓﻤﺎن ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ى اﻧﺪﻳﺸﻪ ﻫﺎى‬ ‫ﭘﻮﻟﻴﺎ ﺑﺎ راﻫﺒﺮدﻫﺎى ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ اﺛﺒﺎت آﺧﺮﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ى‬ ‫ﻓﺮﻣﺎ ﻣﻰ ﺑﺎﺷﺪ‬

‫‪ x2n + y2n = z2n‬ﺗﻨﻬﺎ ﺟﻮاب ﻫﺎى ﺑﺪﻳﻬﻰ دارد‪ «.‬ﻳﺎ ﻛﺎﭘﻔﺮر اﺛﺒﺎﺗﻰ‬ ‫ﻣﻨﺘﺸﺮ ﻛـﺮد ﻛﻪ ﻧﺸﺎن داد آﺧﺮﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ى ﻓـﺮﻣﺎ درﺳﺖ اﺳﺖ اﮔﺮ و‬

‫ﻣﺴﺌﻠﻪ اى ﻛـﻪ از آن ﺑـﻬـﺮه ﻣﻨﺪ ﻣﻰ ﺷﻮﻳﻢ ﻣﻰ ﺑﺎﻳﺴـﺘـﻰ از ﺟـﻬـﺘـﻰ ﺑـﺎ‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ ى ﺣﺎﺿﺮ ارﺗﺒﺎط و واﺑﺴﺘﮕﻰ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ )]‪ ،[١‬ص ‪.(٦٦‬‬

‫ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ﻣﻌـﺎدﻟـﻪ ى ‪ z 3 − y2 = 32 × 22n −2 x2n‬ﺟﻮاﺑﻰ ﺑﺮﺣﺴـﺐ‬ ‫اﻋﺪاد ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺎﺻﻔﺮ دو ﺑﻪ دو ﻣﺘﺒﺎﻳﻦ ﭼﻮن ‪ y ،x‬و ‪ z‬ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫)]‪ ،[٤‬ص ‪ .(٢٨٤‬ﻫﻴﭻ ﻳﻚ از اﻳﻦ ﻓﺮﻣﻮل ﺑﻨﺪى ﻫﺎى ﺟﺪﻳﺪ و ﻧﺘﺎﻳﺞ‬ ‫ﺑﺮآﻣﺪه از آن ﻫﺎ ﻧﻴﺰ ﻛﻤﻜﻰ ﺑﻪ ﺣﻞ ﻣﺴـﺌـﻠـﻪ ى ﻓـﺮﻣﺎ ﻧﻜـﺮد؛ ﻫﺮ ﭼﻨـﺪ‬ ‫ﺗﻼش ﻫﺎ ﺑﺮاى ﺣﻞ اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ ﻧﺘﺎﻳﺞ زﻳﺒﺎﻳﻰ از ﻗﺒﻴﻞ آن ﭼﻪ‬ ‫ذﻛﺮ ﺷﺪ‪ ،‬ﮔﺮدﻳﺪ‪.‬‬

‫ﻓﺮﻣﺎ‪ ،‬ﺧـﻮد ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ ﻣـﻌـﺎدﻟـﻪ ى ‪ ، x4 − y4 = z2‬ﺟﻮاب‬ ‫ﻧﺎﺑﺪﻳﻬﻰ در اﻋﺪاد ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺪارد‪ .‬او در اﺛﺒﺎت ﺧﻮد روﺷﻰ ﻣﻮﺳﻮم‬ ‫ﺑﻪ »ﻧﺰول ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫـﻰ«‪ ٢٢‬اﺑﺪاع ﻛﺮد‪ .‬اﻳـﻦ روش ﺑﺪﻳﻦ ﺻﻮرت اﺳﺖ‬ ‫ﻛﻪ اﮔـﺮ ) ‪ (x0, y0, z0‬ﻳﻚ ﺟـﻮاب از اﻋﺪاد ﺻﺤﻴـﺢ ﻣـﺜـﺒـﺖ ﺑـﺮاى‬

‫ﭘﻮﻟﻴﺎ‪ :‬آﻳﺎ از ﻣﺴﺌﻠﻪ ى واﺑﺴﺘﻪ اى آﮔﺎﻫﻰ دارﻳﺪ؟‬ ‫ﭘﻮﻟﻴﺎ ﺑﻴﺎن ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﺑﻪ ﻧﺪرت ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻣﺴﺌﻠﻪ اى را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ‬

‫ﻣـﻌـﺎدﻟـﻪ ى ‪ x4 − y4 = z2‬ﺑﺎﺷـﺪ‪ ،‬آن ﮔـﺎه ﺟـﻮاب دﻳـﮕـﺮى ﭼـﻮن‬ ‫) ‪ (x1, y1, z1‬از اﻋﺪاد ﺻﺤﻴﺢ ﻣﺜﺒﺖ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻰ آورﻳﻢ ﻛﻪ در آن‬ ‫‪ . z0 > z1‬ﺑﺎ اداﻣـﻪ ى اﻳـﻦ روﻧﺪ‪ ،‬دﻧﺒﺎﻟـﻪ ى ﻛـﺎﻫـﺸـﻰ ﻧـﺎﻣـﺘـﻨـﺎﻫـﻰ‬ ‫‪ z0 > z1 > z2 ...‬از اﻋﺪاد ﺻﺤﻴﺢ ﻣـﺜـﺒـﺖ ﺑـﻪ دﺳـﺖ ﻣـﻰ آﻳـﺪ ﻛـﻪ‬ ‫اﻣﻜﺎن ﭘﺬﻳﺮ ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬اﺳﺘﻔﺎده از روش »ﻧﺰول ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﻰ« ﻧﻴﺰ ﻛﻤﻜﻰ‬ ‫‪١٣‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫دو ﻣﺴﺌﻠﻪ ى ﻛﻤﻜﻰ ﻣﻬﻢ در ﺟﺮﻳﺎن اﺛﺒﺎت آﺧﺮﻳﻦ‬ ‫ﻗﻀﻴﻪ ى ﻓـﺮﻣﺎ ﻧﻘﺶ اﺳﺎﺳﻰ اﻳﻔﺎ ﻛـﺮدﻧﺪ‪ .‬اوﻟﻴـﻦ‬ ‫ﻣﺴﺌﻠـﻪ‪ ،‬ﺣـﺪس ﻓـﺮى ﺑـﻮد ﻛﻪ ﺗـﻮﺳﻂ رﻳـﺒـﺖ در‬ ‫‪ ١٩٨٦‬اﺛـﺒـﺎت ﺷـﺪ و دﻳـﮕــﺮى اﺛــﺒــﺎت ﺣــﺪس‬ ‫ﺷﻴـﻤـﻮرا ـ ﺗﺎﻧﻴﺎﻣـﺎ ﺑـﻮد ﻛﻪ رﻳـﺒـﺖ آن را در اﺛﺒـﺎت‬ ‫ﺣـﺪس ﻓـﺮى درﺳـﺖ ﻓــﺮض ﻛـﺮده ﺑـﻮد‪ .‬اﺛـﺒـﺎت‬ ‫ﺣﺪس ﺷﻴﻤﻮرا ـ ﺗﺎﻧﻴﺎﻣﺎ‪ ،‬آﺧﺮﻳﻦ ﺣﻠﻘـﻪ ى زﻧﺠﻴـﺮِ‬ ‫اﺛــﺒــﺎت آﺧــﺮﻳـــﻦِ ﻗــﻀــﻴـــﻪ ى ﻓـــﺮﻣــﺎ ﺑـــﻮد ﻛــﻪ‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ اﻧﺪرو واﻳﻠﺰ ﺻﻮرت ﮔﺮﻓﺖ‬ ‫ﺑﻪ ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ى اﺻﻠﻰ ﻧـﻜـﺮد و ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪ ﻛﻤﻚ آن‪ ،‬ﻣﺴﺌﻠـﻪ ى ﻓـﺮﻣـﺎ‬ ‫ﺑﺮاى ﺣﺎﻟـﺖ ‪ n = 4‬ﺗﻮﺳﻂ اوﻳﻠـﺮ‪ (١٧٧٠) ٢٣‬و ﻟـﮋاﻧﺪر )‪(١٨٠٨‬‬ ‫اﺛﺒﺎت ﺷﺪ )ﻫﻤﺎن‪ ،‬ص ‪.(١٦‬‬ ‫ﺗـﺎ اﻳـﻦ ﺟـﺎ ﺑـﻪ ﺑـﺮﺧـﻰ از راﻫﺒـﺮدﻫـﺎﻳـﻰ اﺷـﺎره ﺷـﺪ ﻛـﻪ اﮔـﺮﭼـﻪ‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن آن ﻫﺎ را ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻗﺮار دادﻧﺪ وﻟﻰ ﻫﻴﭻ ﻳﻚ ﺑﻪ ﻫﺪف‬ ‫اﺻﻠﻰ ﻛﻪ ﻫﻤﺎﻧﺎ اﺛﺒﺎت ﻗﻀﻴﻪ ى ﻓﺮﻣﺎ در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻰ ﺑﻮد ﻣﻨﺠﺮ ﻧﺸﺪ‪.‬‬ ‫اﻧﺪرو واﻳﻠﺰ ) ‪(١٩٥٣ -‬‬ ‫ﻓﺮدى ﻛﻪ ﻣﻰ ﺧﻮاﺳﺖ آﺧﺮﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ى ﻓﺮﻣﺎ را اﺛﺒﺎت ﻛﻨﺪ‪ ،‬اﻧﺪرو‬ ‫واﻳﻠﺰ‪ ٢٤‬ﺑﻮد‪ .‬وﻗﺘﻰ ﻛﻪ او ده ﺳﺎﻟﻪ ﺑﻮد ﺑﻪ ﻛﺘﺎﺑﺨﺎﻧﻪ ى ﺷﻬﺮ ﻛﻮﭼﻜﺶ‬ ‫در اﻧﮕﻠﺴﺘﺎن رﻓﺖ و در ﻛﺘﺎﺑﻰ رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﻣﻄﺎﻟﺒﻰ درﺑـﺎره ى آﺧﺮﻳﻦ‬ ‫ﻗﻀﻴﻪ ى ﻓﺮﻣﺎ ﺧﻮاﻧﺪ‪ ،‬از ﺟﻤﻠﻪ اﻳﻦ ﻛﻪ »ﻃﻰ ﺑﻴﺶ از ﺳﻰ ﺻﺪ ﺳﺎل‬ ‫ﻫﺮﮔﺰ ﻛﺴﻰ ﻧﺘﻮاﻧﺴﺘﻪ اﺛﺒﺎﺗﻰ ﺑﺮاى آن ﺑﻴﺎﺑﺪ‪«.‬‬ ‫در ﺳﺎل ‪ ،١٩٧٠‬اﻧـﺪرو واﻳﻠـﺰ وارد داﻧﺸﮕﺎه ﺷـﺪ‪ .‬ﻋـﻼوه ﺑـﺮ‬ ‫اﻳﻦ ﻛﻪ آﺧﺮﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ى ﻓﺮﻣﺎ ﻣﻮﺿﻮع روز ﻧﺒﻮد‪ ،‬ﻫﻴﭻ اﺳﺘﺎد راﻫﻨﻤﺎى‬ ‫دﻛﺘﺮى ﺣﺎﺿﺮ ﺑﻪ ﭘﺬﻳﺮش داﻧﺸﺠﻮﻳﻰ ﻛﻪ ﻣﻰ ﺧﻮاﺳﺖ در ﻣﻮرد ﭼﻨﻴﻦ‬ ‫ﻣﻌﻤﺎى ﺑﺎﺳﺘﺎﻧﻰ ـ ﻛﻪ ﺑﺎﻫـﻮش ﺗﺮﻳﻦ ﻣﻐﺰﻫﺎى ﺟﻬﺎن ﻃﻰ ﺳﻪ ﻗﺮن از‬ ‫ﺣﻞ آن ﻋـﺎﺟـﺰ ﺑـﻮدﻧﺪ ﻛﺎر ﻛـﻨـﺪ ـ ﻧـﺒـﻮد‪ .‬در آن روزﻫﺎ »ﺧـﻢ ﻫـﺎى‬ ‫ﺑﻴﻀﻮى‪ «٢٥‬ﻣـﻮﺿﻮع داغ ﺑﺮاى ﭘﮋوﻫﺶ در ﻧﻈﺮﻳﻪ ى اﻋﺪاد ﺑـﻮدﻧﺪ و‬ ‫واﻳﻠﺰ وﻗﺘﺶ را ﺑﺮ روى ﭘـﮋوﻫﺶ روى ﺧﻢ ﻫﺎى ﺑﻴﻀﻮى ﮔﺬاﺷﺖ‪.‬‬ ‫در ﻳﻚ ﻏﺮوب ﮔﺮم ﺗﺎﺑﺴﺘﺎن ﻛﻪ اﻧﺪرو واﻳﻠﺰ در ﻣﻨﺰل دوﺳﺘﺶ ﭼﺎى‬ ‫ﺳﺮد را ﻣـﺰه ﻣﺰه ﻣﻰ ﻛﺮد ﻧﺎﮔﻬـﺎن در وﺳﻂ ﮔﻔﺘﮕـﻮ‪ ،‬دوﺳﺘﺶ ﮔﻔـﺖ‬ ‫»راﺳﺘﻰ ﺷﻨﻴﺪى ﻛﻨﺖ رﻳﺒـﺖ‪ ٢٦‬ﺣﺪس اﭘﺴﻴﻠـﻮن )ﻓﺮى(‪ ٢٧‬را اﺛﺒﺎت‬ ‫ﻛﺮد؟« واﻳﻠﺰ ﻫﻴﺠﺎن زده ﺷﺪ‪ .‬ﻣﻰ داﻧﺴﺖ ﻛﻪ زﻧﺪﮔﻴﺶ در ﺣﺎل ﺗﻐﻴﻴﺮ‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬رؤﻳﺎى ﻛـﻮدﻛﻴﺶ ﺑـﺮاى اﺛﺒﺎت آﺧﺮﻳﻦ ﻗﻀﻴـﻪ ى ﻓـﺮﻣﺎ ﻗـﻮت‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬

‫ﺷﻤﺎره‬ ‫‪١٤‬‬ ‫ ى‪١٤ ١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫ﮔـﺮﻓﺖ و ﻧـﻴـﺮوى ﺷﮕﻔﺖ اﻧـﮕـﻴـﺰى ﻳـﺎﻓـﺖ )]‪ ،[٣‬ﺻﺺ ‪ ١٠٦‬و‬ ‫‪.(١٠٧‬‬ ‫ﭘـﻮﻟﻴﺎ‪ :‬آﻳﺎ از ﻗﻀﻴـﻪ اى ﻛـﻪ ﺑـﺘـﻮاﻧﺪ ﺳـﻮدﻣﻨـﺪ واﻗﻊ ﺷـﻮد‬ ‫آﮔﺎﻫﻴﺪ؟‬ ‫ﭘﻮﻟﻴﺎ ﺑﻴﺎن ﻣﻰ ﻛﻨﺪ؛ ﻳﻚ ﻗﺴﻤﺖ اﺳﺎﺳﻰ از ﺷﻨﺎﺧـﺖ و داﻧـﺶ‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ ﻣﺎ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻗﻀﺎﻳﺎى ﭘﻴﺶ ﺗﺮ ﺑﻪ اﺛﺒﺎت رﺳﻴﺪه‪ ،‬در ذﻫﻨﻤﺎن‬ ‫ذﺧﻴﺮه ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ دﻟﻴﻞ ﭼﻨﻴﻦ ﺳﺆاﻟﻰ ﻣﻄﺮح ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ‬ ‫آﻳﺎ از ﻗﻀـﻴـﻪاى آ ﮔﺎﻫﻰ دارﻳﺪ ﻛـﻪ ﺑـﺘـﻮاﻧﺪ ﺳﻮدﻣﻨﺪ ﺑـﺎﺷـﺪ؟ ﻃـﺮح اﻳﻦ‬ ‫ﺻﺎ در آن ﻫﻨﮕﺎم ﺷﺎﻳﺴﺘﻪ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪ ى ﻣﺎ ﻳﻚ‬ ‫ﭘﺮﺳﺶ ﻣﺨﺼﻮ ً‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ ى ﺛﺎﺑﺖ ﻛﺮدﻧﻰ ﺑﺎﺷﺪ )]‪ ،[١‬ص ‪.(٦٦‬‬ ‫ﻫﻨﮕﺎﻣﻰ ﻛﻪ اﻧـﺪرو واﻳﻠﺰ از دوﺳﺘﺶ ﺷﻨﻴﺪ ﻛﻨﺖ رﻳﺒﺖ ﺣـﺪس‬ ‫اﭘﺴﻴﻠﻮن را اﺛﺒﺎت ﻛﺮده اﺳﺖ ﻫﻴﺠﺎن زده ﺷﺪ‪ .‬ﺣﺪس اﺛﺒﺎت ﺷﺪه ى‬ ‫اﭘﺴﻴﻠﻮن ﻫﻤﺎن ﻗﻀﻴﻪ اى ﺑﻮد ﻛﻪ ﺑﻪ ﺗﻌﺒﻴﺮ ﭘﻮﻟﻴﺎ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺴﺖ ﺳـﻮدﻣﻨﺪ‬ ‫واﻗﻊ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﺧﻢ ﻫﺎى ﺑﻴﻀﻮى‬

‫ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ى ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻫـﺎى دﻳـﻮﻓﺎﻧﺘﻰ‪ ،‬ﻳﻌﻨﻰ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻫﺎى ﻧـﺎﺷـﻰ از‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت ﺑﻪ ﺻﻮرﺗﻰ ﻛﻪ دﻳـﻮﻓﺎﻧﺖ در ﻗﺮن ﺳﻮم اراﺋﻪ ﻛـﺮده ﺑﻮد‪ ،‬در‬ ‫ﻗﺮن ﺑﻴﺴﺘﻢ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻋﻨﺎﺻﺮى ﺑﻪ ﻧﺎم ﺧﻢ ﻫﺎى ﺑﻴﻀﻮى آﻏﺎز ﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺧﻢ ﻫﺎى ﺑﻴﻀـﻮى ﻧﻪ ﺑﻴﻀﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ و ﻧﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻴـﻀـﻮى؛ آن ﻫﺎ ﭼﻨﺪ‬ ‫ﺟــﻤــﻠــﻪ اى ﻫـــﺎى درﺟـــﻪ ى ‪ ٣‬ﺑــﺎ دو ﻣــﺘــﻐــﻴــﺮ ﺑـــﻪ ﺻـــﻮرت‬ ‫‪ y2 = ax 3 + bx2 + cx‬ﻫـﺴـﺘـﻨــﺪ ﻛــﻪ در آن ‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬اﻋــﺪادى‬ ‫ﺻﺤﻴﺢ ﻳﺎ ﮔﻮﻳﺎ ﺑﺎﺷﻨﺪ )]‪ ،[٣‬ص ‪.(٨٥‬‬ ‫ﺧﻢ ﻫﺎى ﻓﺮى‬

‫‪٢٨‬‬

‫ﻓﺮى ﺧﻢ ﺑﻴﻀﻮى ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى )‪ y2 = x(x − A)(x + B‬را ﻛﻪ در‬ ‫آن ‪ A‬و ‪ B‬اﻋﺪاد ﺻﺤﻴﺢ ﻣﺜﺒﺖ ﻣﺘﺒﺎﻳﻦ ﻫﺴﺘﻨﺪ و ‪ A‬ﺑﺮ ‪ ١٦‬ﺑﺨﺶ ﭘﺬﻳﺮ‬ ‫اﺳﺖ را در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺖ و وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎى آن را ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﻛـﺮد‪ .‬او ﻓﺮض‬ ‫ﻛﺮد ﻛﻪ آﺧﺮﻳﻦ ﻗﻀﻴـﻪ ى ﻓـﺮﻣﺎ ﺑﺮاى ﻧﻤـﺎى ‪ q ≥ 5‬ﻧﺎدرﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪،‬‬ ‫ﻳﻌﻨﻰ ‪ a‬و ‪ c ، b‬اﻋﺪاد ﺻﺤﻴﺢ ﻣﺜﺒﺖ دوﺑﻪ دو ﻣﺘﺒﺎﻳﻦ ﺑﺎﺷـﻨـﺪ ﻛـﻪ ‪a‬‬ ‫زوج اﺳـﺖ و ‪ . a q + b q = c q‬ﺣﺎل ﻓـﺮض ﻛﻨﻴـﻢ ﻛـﻪ ‪ A = a q‬و‬ ‫‪ B = b q‬در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﺧﻢ ﻓﺮى ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ اﻳﻦ اﻋﺪاد‪ ،‬وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎﻳﻰ‬ ‫ﻛﺎﻣﻼ ﻣﺘﻀﺎد ﺑﺎ وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎى ﺧﻢ ﻫﺎى ﺑﻴﻀﻮى دﻳﮕﺮ ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﺪ‪.‬‬ ‫ً‬ ‫ﻓﺮى ﻣﺘﻘﺎﻋﺪ ﺷﺪ ﻛﻪ ﭼﻨـﻴـﻦ وﻳـﮋﮔﻰ ﻫﺎﻳﻰ اﻣﻜﺎن ﻧـﺪارد و روﺷﻰ را‬ ‫ﺑـﺮاى رﺳﻴﺪن ﺑﻪ ﺗﻨﺎﻗـﻀـﻰ ﺑـﺎ ﺣـﺪس ﺷـﻴـﻤـﻮرا ـ ﺗﺎﻧﻴـﺎﻣـﺎ‪ ٢٩‬در ﺳـﺮ‬

‫ﻣﻰ ﭘﺮوراﻧﺪ‪ ،‬وﻟﻰ ﻣﻮاﻧﻌﻰ ﺟﺪى وﺟﻮد داﺷﺖ ﻛﻪ ﺑﺮاى ﺑﺮﻃﺮف ﺷﺪن‬ ‫ﺑﻪ ﺳﺎل ﻫﺎ ﻛﺎر ﻧﻴﺎز داﺷﺖ )]‪ ،[٤‬ص ‪.(٤٤٠‬‬ ‫ﺣﺪس ﺷﻴﻤﻮرا ـ ﺗﺎﻧﻴﺎﻣﺎ‬

‫ﻫﺮ ﺧﻢ ﺑﻴﻀﻮى‪ ،‬ﻣﺪوﻟﻰ اﺳﺖ )ﻫﻤﺎن‪ ،‬ص ‪.(٤٤٥‬‬ ‫در اﻳﻦ ﺟﺎ ﻧﻴﺎزى ﺑﻪ ﺗﻮﺿﻴﺢ اﻳﻦ ﺣﺪس اﺣﺴﺎس ﻧﻤﻰ ﺷﻮد ﭼﻮن‬ ‫ﻫﺪف ﻣﺎ‪ ،‬ﭘﺮداﺧﺘﻦ ﺑﻪ ﺳﺎﺧﺘﺎر اﺛﺒﺎت آﺧﺮﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ى ﻓﺮﻣﺎ اﺳﺖ و‬ ‫ﺷﺮح و ﺗﻮﺿﻴﺢ اﻳﻦ ﺣﺪس‪ ،‬ﺧﺎرج از ﻗﻠﻤﺮو و رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻣﻘﺪﻣﺎﺗﻰ‬ ‫و ﻣﻘﺎﻟﻪ ى ﺣﺎﺿﺮ ﻣﻰ ﺑﺎﺷـﺪ‪ .‬ﺗـﻨـﻬـﺎ ﻛـﺎﻓـﻰ اﺳـﺖ ﻣـﺪوﻟﻰ ﺑـﻮدن را‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺘـﻰ ﺑـﺮاى ﻫﺮ ﺧﻢ ﺑﻴـﻀـﻮى ﺑﺪاﻧﻴـﻢ‪ ،‬ﺑـﺪون اﻳﻦ ﻛﻪ ﻧﻴـﺎزى ﺑـﻪ‬ ‫ﺗﻮﺿﻴﺢ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻣﺪوﻟﻰ ﺑﻮدن داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‪ .‬اﻳﻦ ﺣﺪس ﻳﻚ دﻫﻪ‬ ‫ﺑﻌﺪ از ﻛﻨﻔﺮاﻧﺲ ﺗﻮﻛﻴﻮ ـ ﻧﻴﻜﻮ ﻛﻪ در ﺳﭙﺘﺎﻣﺒـﺮ ‪ ١٩٩٥‬ﺑﺮﮔﺰار ﺷﺪ و‬ ‫اﻧـﺪرو واﻳﻠﺰ ﻧـﻴـﺰ در آن ﺷـﺮﻛﺖ داﺷـﺖ‪ ،‬ﺗـﻮﺳﻂ ﮔﻮرو ﺷـﻴـﻤـﻮرا‬ ‫ﺻﻮرت ﺑﻨﺪى ﺷﺪ‪ .‬ﻫﺴﺘﻪ ى اوﻟﻴﻪ اﻳﻦ ﺣﺪس ﺗـﻮﺳﻂ ﻳﻮﺗﺎﻛﺎ ﺗﺎﻧﻴﺎﻣﺎ‬ ‫در ﻛﻨﻔﺮاﻧﺲ ﻣﺬﻛﻮر رﻳﺨﺘﻪ ﺷﺪه ﺑﻮد‪.‬‬ ‫ﻗﻀﻴﻪ اى ﺳﻮدﻣﻨﺪ‬ ‫در ﺳﺎل ‪ ١٩٨٤‬ﮔﺮﻫﺎرد ﻓﺮى ﺳﺨﻨﺮاﻧﻰ اى در ﻛﻨﻔﺮاﻧﺲ ﻧﻈﺮﻳﻪ ى‬ ‫اﻋﺪاد اﻳﺮاد ﻛﺮد‪ .‬او ﺣﻜﻤـﻰ را ﻛﻪ ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ادﻋﺎﻳﻰ اﺣﻤﻘﺎﻧﻪ ﻣﻰ آﻣـﺪ‬ ‫ﻣﻄﺮح ﻛﺮد‪ .‬اوراق ﺗﻜﺜﻴﺮ ﺷﺪه‪ ،‬ﻣﻤﻠﻮ از ﻓﺮﻣﻮل ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﻛﻪ‬ ‫در ﻛﻨﻔـﺮاﻧﺲ ﺗﻮزﻳـﻊ ﻛـﺮده ﺑـﻮد‪ ،‬ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دادﻧﺪ ﻛـﻪ »اﮔـﺮ ﺣـﺪس‬ ‫ﺷﻴﻤﻮرا ـ ﺗﺎﻧﻴﺎﻣﺎ درﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آﺧﺮﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ى ﻓﺮﻣﺎ اﺛﺒﺎت ﻣﻰ ﺷﻮد«‬ ‫)ﺣﺪس اﭘﺴﻴﻠﻮن )ﻓﺮى((‪ .‬ﻫﻨﮕﺎﻣﻰ ﻛﻪ ﻛﻨﺖ رﻳﺒﺖ ﺑﺮاى اوﻟﻴﻦ ﺑﺎر‬ ‫ﺣﻜﻢ ﻓـﺮى را ﺷﻨﻴﺪ ﻓـﻜـﺮ ﻛـﺮد ﻛﻪ ﺷـﻮﺧﻰ اﺳﺖ و از ﺧـﻮد ﭘـﺮﺳﻴﺪ‬ ‫ﻣﺪوﻟﻰ ﺑـﻮدن ﺧﻢ ﻫﺎى ﺑـﻴـﻀـﻮى ﭼﻪ ارﺗﺒﺎﻃﻰ ﻣـﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ ﺑﺎ آﺧـﺮﻳـﻦ‬ ‫ﻗﻀﻴﻪ ى ﻓﺮﻣﺎ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ؟ اﻣﺎ رﻳﺒﺖ‪ ،‬ﻣﺮدى ﻛﻪ ﻓﻜﺮ ﻣﻰ ﻛﺮد ﭘﻴﺸﻨﻬﺎد‬ ‫ﻓﺮى ﺷﻮﺧﻰ اﺳﺖ‪ ،‬ﻳﻚ ﺳﺎل‪ ،‬ﺑﻌﺪ ﻗﻀﻴﻪ اى را ﺻﻮرت ﺑﻨﺪى ﻛﺮد‬ ‫و ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ اﮔﺮ ﺣﺪس ﺷﻴـﻤـﻮرا ـ ﺗﺎﻧﻴـﺎﻣـﺎ درﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ آن ﮔـﺎه‬ ‫آﺧﺮﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ى ﻓﺮﻣﺎ از آن ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد )]‪ ،[٣‬ص ‪ .(١٠٦‬اﺛﺒﺎت‬ ‫رﻳﺒﺖ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺧﻼﺻﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺻﻮرت اﺳﺖ ﻛﻪ »ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ آﺧﺮﻳﻦ‬ ‫ﻗﻀﻴﻪ ى ﻓﺮﻣﺎ ﺑﺮاى ﻧﻤﺎى ‪ q‬ﻧﺎدرﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ ‪ E‬ﺧﻢ ﻓﺮى‬ ‫ﺿﻰ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﻓـﺮﻣﺎ ﺑﺎﺷﺪ‪ E .‬ﻳﻚ ﺧﻢ ﺑﻴﻀﻮى‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﺟﻮاب ﻓﺮ ِ‬ ‫ﻧﻴﻤﻪ ﭘﺎﻳﺎ اﺳﺖ‪ .‬ﺣﺎل اﮔﺮ ﺣﺪس ﺷﻴﻤـﻮرا ـ ﺗﺎﻧﻴﺎﻣﺎ درﺳﺖ ﺑﺎﺷـﺪ‪،‬‬ ‫ﺧﻢ ﺑﻴﻀﻮى ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﺟﻮاب ﻓﺮﺿﻰ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﻓﺮﻣﺎ ﻣﺪوﻟﻰ اﺳﺖ و‬ ‫رﻳﺒﺖ در اﻳﻦ ﺟﺎ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﻳﻦ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺑـﻪ ﺗـﻨـﺎﻗـﺾ ﻣـﻰ رﺳﺪ‬ ‫)]‪ ،[٤‬ص ‪.(٤٤٧‬‬

‫واﻳﻠﺰ در اﺛﺒﺎت ﺧـﻮد ﺗﻤﺎم ﺗﻮاﻧﺎﻳﻰ ﻫـﺎى‬ ‫اﺑﺰارﻫﺎى ﺟﺪﻳﺪ ﺟﺒـﺮ‪ ،‬ﻫﻨﺪﺳﻪ‪ ،‬آﻧﺎﻟﻴـﺰ و‬ ‫ﻣﺒﺎﺣﺚ دﻳﮕﺮ رﻳﺎﺿﻴﺎت را ﺑﻪ ﻛﺎر ﮔﺮﻓﺖ‪.‬‬ ‫او ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ ﺗـﻮاﻧﺴﺖ از ﻧﺘﺎﻳﺞ رﻳﺎﺿـﻰ‬ ‫ﻣــﻬــﻢ ﻫــﻢ ﻋــﺼــﺮ و ﭘــﻴــﺸــﻴــﻨــﻴـــﺎن‬ ‫ﺗﺎرﻳﺨﻰ اش اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﺪ‬ ‫ﭘﻮﻟﻴﺎ‪ :‬ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻫﺎى درون ﻣﺴﺌﻠﻪ )ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻫﺎى ﻛﻤﻜﻰ(‬ ‫ﭘﻮﻟﻴﺎ ﻣﺘﺬﻛﺮ ﻣﻰ ﺷﻮد ﺑﺮاى ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ى ﻧﺨﺴﺘﻴﻦ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ‬ ‫ﺑﻪ ﻳﻚ رﺷﺘﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻫﺎى ﻓﺮﻋﻰ ﺑﺮﺧﻮرد ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬او اﻳﻦ ﻣﺴﺎﺋﻞ را ﻣﺴﺎﺋﻞ‬ ‫ﻛﻤﻜﻰ ﻣﻰ ﻧﺎﻣﺪ‪ .‬ﻣﺴﺌﻠﻪ ى ﻛﻤﻜﻰ ﺑﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪ اى ﻣﻰ ﮔﻮﻳﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﺎﻳـﺪ‬ ‫ﺑﻪ آن ﺗﻮﺟﻪ و روى آن ﻛﺎر ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬اﻳﻦ ﺗـﻮﺟﻪ ﻳﺎ ﻛﺎر‪ ،‬ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ ﺧﻮد‬ ‫اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻧﻴﺴﺖ‪ ،‬ﺑﻠﻜﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺧﺎﻃﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻪ ﺣﻞ ﻣﺴـﺌـﻠـﻪ ى‬ ‫دﻳﮕﺮى ـ ﻳﻌﻨﻰ ﻣﺴﺌﻠﻪ اﺻﻠﻰ ﻣﺎ ـ ﻛﻤﻚ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ )]‪ ،[٢‬ص ‪.(٣٢٠‬‬ ‫دو ﻣﺴﺌﻠﻪ ى ﻛﻤﻜﻰ ﻣﻬﻢ در ﺟﺮﻳﺎن اﺛﺒﺎت آﺧﺮﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ى ﻓﺮﻣﺎ ﻧﻘﺶ‬ ‫اﺳﺎﺳﻰ اﻳﻔﺎ ﻛﺮدﻧﺪ‪ .‬اوﻟﻴﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ ،‬ﺣﺪس ﻓﺮى ﺑﻮد ﻛﻪ ﺗﻮﺳﻂ رﻳﺒﺖ‬ ‫در ‪ ١٩٨٦‬اﺛﺒﺎت ﺷﺪ و دﻳﮕﺮى اﺛﺒﺎت ﺣﺪس ﺷﻴﻤـﻮرا ـ ﺗﺎﻧﻴﺎﻣﺎ ﺑﻮد‬ ‫ﻛﻪ رﻳﺒﺖ آن را در اﺛﺒﺎت ﺣﺪس ﻓﺮى درﺳﺖ ﻓﺮض ﻛﺮده ﺑﻮد‪ .‬اﺛﺒﺎت‬ ‫ﻧﺠﻴـﺮ اﺛﺒﺎت آﺧﺮﻳـﻦِ‬ ‫ِ‬ ‫ﺣﺪس ﺷﻴﻤـﻮرا ـ ﺗﺎﻧﻴﺎﻣﺎ‪ ،‬آﺧﺮﻳﻦ ﺣـﻠـﻘـﻪ ى ز‬ ‫ﻗﻀﻴﻪ ى ﻓﺮﻣﺎ ﺑﻮد ﻛﻪ ﺗﻮﺳﻂ اﻧﺪرو واﻳﻠﺰ ﺻﻮرت ﮔﺮﻓﺖ‪.‬‬ ‫ﭘﻮﻟﻴﺎ‪ :‬ﻣﺘﻤﺮﻛﺰ ﻛﺮدن دﻗﺖ روى ﻫﺪف‬ ‫ﭘﻮﻟﻴﺎ ﺑﻴﺎن ﻣﻰ ﻛﻨﺪ وﻗﺘﻰ ﻛﻪ ﻣﻰ ﺧﻮاﻫﻴﺪ ﻣﺴﺌﻠﻪ اى را ﺣﻞ ﻛﻨﻴﺪ‪،‬‬ ‫ﻏﺎﻟﺒﺎ درﺑﺎره ى آن ﻓﻜﺮ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﺪ‪ .‬ﺣﺘﻰ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺗﺎ آن ﺟﺎ ﻓـﻜـﺮ‬ ‫ً‬ ‫ﺷﻤﺎ را ﺑﻪ ﺧـﻮد ﻣﺸﻐﻮل ﻛﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ اﻧﺪﻳﺸﻪ اى ﻣـﺰاﺣﻢ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺷـﻮد‪.‬‬ ‫‪١٥‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫وﻟﻰ ﺗﻨﻬﺎ ﻓﻜﺮ ﻛـﺮدن ﺳﺎده ﺑﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻛﺎﻓﻰ ﻧﻴﺴﺖ‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ ﺻـﻮرﺗﻰ‬ ‫ﭘﻰ ﮔﻴﺮ درﺑﺎره ى آن ﺑﻴﻨﺪﻳﺸﻴﺪ ﺑﻪ ﻧﺤﻮى ﻛﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪ را ﺑﻪ ﺻﻮرﺗﻰ روﺷﻦ‬ ‫در ﺑﺮاﺑﺮ ﺧﻮد ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ )]‪ ،[٢‬ص ‪ .(٣٨٨‬اﻧﺪرو واﻳﻠﺰ ﭘﺲ از آ ﮔﺎﻫﻰ‬ ‫از اﺛﺒﺎت ﺣﺪس اﭘﺴﻴﻠﻮن‪ ،‬ﺑﺎ ﻧﻴﺮوﻳﻰ ﺷﮕﻔﺖ اﻧﮕﻴﺰ ﺑﻪ ﻣﻨﺰل رﻓﺖ و‬ ‫ﻓﻜﺮ ﻛﺮد ﻛﻪ ﭼﻄﻮر ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﺣﺪس ﺷﻴﻤﻮرا ـ ﺗﺎﻧﻴﺎﻣﺎ را اﺛﺒﺎت ﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫او ﺑﻌﺪﻫﺎ ﻣﺤﺮﻣﺎﻧﻪ ﮔﻔﺘﻪ ﺑﻮد‪» :‬ﺑﺮاى ﭼﻨﺪ ﺳﺎل اول! ﻣﻰ داﻧﺴﺘﻢ ﻛﻪ‬ ‫رﻗﻴﺒﻰ ﻧﺪارم زﻳﺮا ﻣﻰ داﻧﺴﺘﻢ ﻛﻪ ﻫﻴﭻ ﻛﺲ‪ ،‬از ﺟﻤﻠﻪ ﺧﻮدم‪ ،‬اﻳﺪه اى‬ ‫ﻧﺪاﺷﺖ ﻛﻪ ﻛﺎر را ﺑﺎﻳﺪ از ﻛﺠﺎ ﺷﺮوع ﻛﻨﺪ‪ «.‬او ﺗﺼﻤﻴﻢ ﮔـﺮﻓﺖ ﻛﻪ‬ ‫در ﺧﻔﺎى ﻛﺎﻣﻞ و اﻧـﺰوا ﻛﺎر ﻛﻨﺪ‪» .‬ﺗﻌﺪاد زﻳﺎد ﺗﻤﺎﺷﺎﮔﺮ‪ ،‬ﺗـﻤـﺮﻛﺰ‬ ‫ذﻫﻦ را ﺑﻪ ﻫﻢ ﻣﻰ زﻧﺪ‪ «.‬ﺑﻪ ﻫﺮ دﻟﻴﻞ‪ ،‬واﻳﻠﺰ ﺧﻮد را در دﻓﺘﺮ ﻛﺎر زﻳﺮ‬ ‫ﺷﻴﺮواﻧﻰ اش ﻣﺤﺒﻮس ﻛﺮد و ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﺸﻐﻮل ﺷﺪ‪ .‬او ﺗﻤﺎم ﭘﺮوژه ﻫﺎى‬ ‫ﭘـﮋوﻫﺸﻰ دﻳـﮕـﺮ را ﻛﻨـﺎر ﮔـﺬاﺷـﺖ ﺗـﺎ وﻗﺘـﺶ را ﻛﺎﻣـﻼً ﺑـﻪ »ﻓـﺮﻣـﺎ«‬ ‫اﺧﺘﺼﺎص دﻫﺪ‪ .‬ﮔﺮﻫﺎرد ﻓﺮى ﺑﻌﺪﻫﺎ ﻣﻰ ﮔﻮﻳﺪ‪ :‬ﻋﻈﻤﺖ واﻳﻠﺰ در‬ ‫اﻳﻦ ﺑﻮد ﻛﻪ ﺑﻪ ﻛﺎرى ﻛﻪ ﻣﻰ ﻛﺮد اﻋﺘﻘﺎد داﺷﺖ؛ آن ﻫﻢ در زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ‬ ‫در واﻗﻊ ﻫﻤﻪ ى رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن ﺟﻬﺎن ﻣﻌﺘﻘﺪ ﺑﻮدﻧﺪ ﻛﻪ ﺣﺪس ﺷﻴﻤﻮرا‬ ‫ـ ﺗﺎﻧﻴﺎﻣﺎ را ﻧﻤﻰ ﺗﻮان در ﻗﺮن ﺑﻴﺴﺘﻢ اﺛﺒﺎت ﻛﺮد )]‪ ،[٣‬ص ‪.(١٠٨‬‬ ‫ﭘﻮﻟﻴﺎ‪ :‬ﺑﺴﻴﺞ و ﺳﺎزﻣﺎن دﻫﻰ‬ ‫ﭘﻮﻟﻴﺎ ﺑﻴﺎن ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪» :‬ﻫﺮ ﻗﺪر ﺣـﻞ ﻛـﻨـﻨـﺪه ى ﻣـﺴـﺌـﻠـﻪ ﺟـﻠـﻮﺗﺮ‬ ‫ﻣﻰ رود‪ ،‬آ ﮔﺎﻫﻰ ﻫﺎى ﺑﻴﺶ ﺗﺮ و ﺑﻴـﺶ ﺗـﺮى در ﻣﻮرد ﻣـﻮﺿﻮع ﻣﻮرد‬ ‫ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ اش ﭘﻴﺪا ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬آ ﮔﺎﻫﻰ ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ از ﻗﺒﻞ و ﻇﺎﻫﺮًا ﺑﻰ ارﺗﺒﺎط‬ ‫ﺑﺎ ﻣﺴﺌـﻠـﻪ ى ﻣـﻔـﺮوض در ذﻫﻦ ﺣﻞ ﻛـﻨـﻨـﺪه ﺑـﻮده اﺳﺖ‪ ،‬ﻛﺎرﺑـﺮد‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ ﺧـﻮد را ﭘﻴﺪا ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ و ﺑﻪ ﺧﻮﺑـﻰ روﺷﻦ ﻣﻰ ﺷـﻮد ﻛﻪ ﺑﻠﻪ‬ ‫اﻳﻦ ﻫﺎ ﻣﻬﻢ ﺗﺮﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ﻫﺎﻳﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻣﺴـﺌـﻠـﻪ ى ﻣـﻦ ﻣـﺮﺑـﻮط‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﺣﻞ ﻛﻨﻨﺪه ﻧﻤﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﻫﻴﭻ وﺟﻪ در اﺑﺘﺪاى ﻛﺎر و ﻣﻮﻗﻌﻰ‬ ‫ﻛﻪ ﺗﺎزه ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠـﻪ را آﻏﺎز ﻛـﺮده‪ ،‬ﭘﻴﺶ ﺑﻴﻨﻰ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﻗﻀﻴـﻪ ﻫـﺎ‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻛﺎر او ﻣـﻰ ﺧـﻮرﻧﺪ‪ .‬اﻳﻦ آ ﮔﺎﻫﻰ ﻫﺎ در ﻃـﻮل زﻣﺎن در‬ ‫ﺣﺎﻓﻈﻪ ى ﺣﻞ ﻛﻨﻨﺪه ﺟﻤﻊ ﻣـﻰ ﺷـﻮﻧﺪ و ﺳﭙﺲ ﺑﻪ ﺻﻮرﺗﻰ ﻣﻨﺎﺳـﺐ‬ ‫ﺟﺪا و از ژرﻓﺎى ﺣﺎﻓﻈـﻪ ﺑـﻴـﺮون ﻛﺸﻴﺪه ﻣﻰ ﺷـﻮﻧﺪ‪ .‬ﺟﻠﺐ ﭼـﻨـﻴـﻦ‬ ‫آ ﮔﺎﻫﻰ ﻫـﺎﻳـﻰ را ﺑﺴﻴـﺞ و ﺑـﻪ ﻛـﺎر ﮔـﺮﻓﺘﻦ آن ﻫـﺎ را در ﺣﻞ ﻣﺴـﺌـﻠـﻪ‬ ‫ﺳﺎزﻣﺎن دﻫﻰ ﻣﻰ ﻧﺎﻣﻴـﻢ )]‪ ،[٢‬ص ‪ .«(٣٧٠‬واﻳﻠﺰ در اﺛﺒﺎت ﺧﻮد‬ ‫ﺗﻤﺎم ﺗﻮاﻧﺎﻳﻰ ﻫﺎى اﺑﺰارﻫﺎى ﺟﺪﻳﺪ ﺟﺒﺮ‪ ،‬ﻫﻨﺪﺳﻪ‪ ،‬آﻧﺎﻟﻴﺰ و ﻣﺒﺎﺣﺚ‬ ‫دﻳﮕﺮ رﻳﺎﺿﻴـﺎت را ﺑﻪ ﻛﺎر ﮔﺮﻓﺖ‪ .‬او ﻫﻢ ﭼﻨﻴـﻦ ﺗـﻮاﻧﺴﺖ از ﻧﺘﺎﻳﺞ‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻬﻢ ﻫﻢ ﻋﺼﺮ و ﭘﻴﺸﻴﻨﻴﺎن ﺗﺎرﻳﺨﻰ اش اﺳﺘﻔـﺎده ﻛـﻨـﺪ‪ .‬از‬ ‫روش ﻫﺎى ﻫﻮﺷﻤﻨﺪاﻧﻪ ى رﻳﺒﺖ و ﻫﻤﻜﺎراﻧﺶ و ﻧﺘﺎﻳﺠﺶ ﺑﻬﺮه ﻣﻨﺪ‬ ‫ﺷﺪ‪ .‬ﻫﻢ ﭼـﻨـﻴـﻦ ﺗـﻮاﻧﺴﺖ ﻧـﻈـﺮﻳـﻪ ى ﺑـﺎرى ﻣـﺎزور‪ ٣٠‬و اﻳﺪه ﻫـﺎى‬ ‫ﺷﻴﻤـﻮرا‪ ،‬ﻓﺮى‪ ،‬ﺳﺮه‪ ،٣١‬آﻧﺪره وﻳـﻞ‪ ٣٢‬و ﺑﺴﻴﺎرى از رﻳﺎﺿﻰ داﻧـﺎن‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬

‫ﺷﻤﺎره‬ ‫‪١٦‬‬ ‫ ى‪١٦ ١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫دﻳﮕﺮ را ﺑﻪ ﻛﺎر ﮔﻴﺮد )]‪ ،[٣‬ص ‪.(١٠٨‬‬ ‫آﺧﺮﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ى ﻓﺮﻣﺎ اﺛﺒﺎت ﺷﺪ؟‬ ‫در روز ﭼﻬﺎرﺷﻨﺒـﻪ ‪ ٢٣‬ژوﺋﻦ ‪ ،١٩٩٣‬اﻧﺪرو واﻳﻠﺰ در آﺧﺮﻳـﻦ‬ ‫ﺳﺨﻨﺮاﻧﻴﺶ در ﻛﻨﻔـﺮاﻧﺲ داﻧﺸﮕﺎه ﻛﻤﺒﺮﻳﺞ‪ ،‬در ﺣﺎﻟﻰ ﻛﻪ ﻫﻤﮕـﺎن‬ ‫ﺷﮕﻔﺖ زده ﺷﺪه ﺑﻮدﻧﺪ‪ .‬در ﺣﺎل ﺗﻜﻤﻴﻞ آﺧﺮﻳﻦ ﺳﻄـﺮﻫﺎى اﺛﺒـﺎت‬ ‫ﺧﻮد از ﺣﺪس ﺷﻴﻤﻮرا ـ ﺗﺎﻧﻴﺎﻣﺎ ﺑﻮد و ﭘﺲ از اﻳﻦ ﻛﻪ ﺳﻄﺮ ﭘﺎﻳﺎﻧﻰ را‬ ‫اراﺋﻪ ﻛﺮد‪ ،‬ﺑﺪون ﻣﻘﺪﻣﻪ ﮔﻔﺖ‪» :‬و اﻳﻦ آﺧﺮﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ى ﻓﺮﻣﺎ را اﺛﺒﺎت‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ ،‬ﻓﻜﺮ ﻛﻨﻢ در ﻫﻤﻴﻦ ﺟﺎ ﺑﺎﻳﺪ ﺳـﺨـﻨـﺮاﻧﻰ را ﻣﺘﻮﻗ‪ 4‬ﻛﻨـﻢ‪«.‬‬ ‫ﺑﺮاى ﭼﻨﺪ ﻟﺤﻈﻪ ﺳﻜﻮت ﺣﻴﺮت اﻧﮕﻴﺰى در ﺳﺎﻟﻦ ﺣﻜﻤﻔـﺮﻣﺎ ﺷﺪ و‬ ‫ﺳﭙﺲ ﺻﺪاى دﺳـﺖ زدن ﻫﺎى ﺑﻰ اﺧﺘﻴـﺎر ﺷـﺮﻛﺖ ﻛﻨﻨﺪﮔﺎن ﻣﺎﻧـﻨـﺪ‬ ‫اﻧﻔﺠﺎرى در ﺳﺎﻟﻦ ﭘﻴﭽﻴﺪ )]‪ ،[٣‬ص ‪.(٥‬‬ ‫ﭘﻮﻟﻴﺎ‪ :‬ﻫﺮﮔـﺎم را ﻛﻪ ﺑﺮﻣﻰ دارﻳﺪ وارﺳﻰ و اﻣﺘﺤﺎن ﻛﻨﻴـﺪ‪،‬‬ ‫آﻳﺎ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻴﺪ آﺷﻜﺎرا ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﮔﺎم ﺑﺮداﺷﺘﻪ ﺷﺪه درﺳﺖ‬ ‫ﺑﻮده اﺳﺖ؟‬ ‫ﭘﻮﻟﻴﺎ ﺑﻴﺎن ﻣﻰ ﻛﻨﺪ اﻃﻤﻴﻨﺎن ﺣﺎﺻﻞ ﻛﺮدن از درﺳﺘﻰ ﮔﺎم ﺑﺮداﺷﺘﻪ‬ ‫ﺷﺪه ﻳﺎ »ﺷﻬﻮدى« اﺳﺖ و ﻳﺎ »ﺻﻮرى«‪ .‬ﺑﺎﻳﺪ ﺗﻤﺎم ﺗﻮﺟﻪ ذﻫﻦ ﺧﻮد‬ ‫را ﺑﻪ ﻧﻜﺘﻪ ى ﻣﻮرد ﺑﺤﺚ ﭼﻨﺪان ﻣﻌﻄﻮف دارﻳﻢ ﺗﺎ ﺑﻪ وﺿﻮح و روﺷﻨﻰ‬ ‫ﺑﺮ ﻣﺎ ﻣﻌﻠﻮم ﺷﻮد ﻛﻪ آن ﮔﺎم ﺑﺮداﺷﺘﻪ ﺷﺪه درﺳﺖ ﺑﻮده اﺳﺖ )]‪،[١‬‬ ‫ص ‪ .(١٤‬واﻳﻠﺰ اﺛﺒﺎت ﺧـﻮد را ﺑﺎرﻫﺎ ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﻰ ﻗﺮار داد و ﻫﻴﭻ‬ ‫ﻧﻘﺼﻰ در آن ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻧـﻜـﺮد‪ .‬ﻣﻘﺎﻟـﻪ ى ‪ ٢٠٠‬ﺻﻔﺤـﻪ اى واﻳﻠﺰ ﺑـﻪ‬ ‫ﺗﻌﺪادى از ﻣﺘﺨﺼﺼﺎن ﭘﻴﺸﮕﺎم در ﻧـﻈـﺮﻳـﻪ ى اﻋـﺪاد ارﺳﺎل ﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺮﺧﻰ از آن ﻫﺎ ﺑﻼﻓﺎﺻﻠﻪ اﻇﻬﺎر ﻧﮕﺮاﻧﻰ و دﻟﻮاﭘﺴﻰ ﻛﺮدﻧﺪ وﻟﻰ ﺑﻴﺶ ﺗﺮ‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن ﻓﻜﺮ ﻣﻰ ﻛﺮدﻧﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ اﺛﺒﺎت اﺣﺘﻤﺎﻻَ ﺻﺤﻴﺢ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﻪ ﻫﺮ ﺣﺎل آن ﻫﺎ ﻣﻨﺘﻈﺮ ﻗﻀﺎوت و رأى ﻣﺘﺨﺼﺼﺎن ﺑﻮدﻧﺪ‪ .‬ﻳﻜﻰ از‬ ‫ﻣـﺘـﺨـﺼـﺼـﺎن ﻣـﻨـﺘـﺨـﺐ ﺑـﺮاى ﺑﺮرﺳـﻰ اﺛـﺒـﺎت واﻳـﻠـﺰ‪ ،‬دوﺳـﺖ‬ ‫ﭘﺮﻳﻨﺴﺘـﻮﻧﻰ اش‪ ،‬ﻧﻴﻚ ﻛﺎﺗـﺰ‪ ٣٣‬ﺑﻮد‪ .‬ﭘـﺮوﻓﺴﻮر ﻛﺎﺗﺰ دو ﻣﺎه ﺗﻤـﺎم‪،‬‬ ‫ژوﺋﻴﻪ و اوت ‪ ،١٩٩٣‬ﻛﺎرى ﺟﺰ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ى ﻛﻞ اﺛﺒﺎت ﻧﺪاﺷﺖ‪ .‬ﻫﺮ‬ ‫روز ﭘﺸﺖ ﻣﻴﺰش ﻣﻰ ﻧﺸﺴﺖ و ﻫﺮ ﺳﻄﺮ‪ ،‬ﻫﺮ ﻧﻤﺎد رﻳﺎﺿـﻰ و ﻫـﺮ‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔﻴﺮى ﻣﻨﻄﻘﻰ آن را ﺑﻪ آراﻣﻰ ﻣﻰ ﺧﻮاﻧﺪ ﺗﺎ ﻣﻄﻤﺌﻦ ﺷﻮد ﻛﻪ ﻛﺎﻣﻼً‬ ‫ﺑﺎ ﻣﻌﻨﻰ اﺳﺖ و در واﻗﻊ ﻗﺎﺑﻞ ﻗﺒﻮل ﻫﺮ رﻳﺎﺿﻰ داﻧﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ اﺛﺒﺎت‬ ‫را ﻣﻰ ﺧﻮاﻧﺪ‪ .‬روزى ﻳﻜﻰ دو ﺑﺎر ﺑﻪ واﻳﻠﺰ ﻧﺎﻣﻪ ى اﻟﻜﺘﺮوﻧﻴﻜﻰ ارﺳﺎل‬ ‫ﻣﻰ ﻛﺮد و از او ﻣﻰ ﭘﺮﺳﻴﺪ ﻣﻨﻈﻮرت از اﻳﻦ ﺳﻄﺮ ﭼﻴﺴﺖ؟ ﻳﺎ ﻣﺘﻮﺟﻪ‬ ‫ﻧﻤﻰ ﺷﻮم ﭼﻄﻮر اﻳﻦ ﻧﺘﻴﺠﻪ از ﺳﻄﺮ ﺑﺎﻻﻳﻰ ﺣﺎﺻﻞ ﻣﻰ ﺷـﻮد؟ ﻳﻚ‬ ‫روز ﻫﻨﮕﺎﻣﻰ ﻛﻪ ﻛﺎﺗﺰ ﺣﺪود دو ﺳﻮم از دﺳﺖ ﻧﻮﻳﺲ ﻃﻮﻻﻧﻰ واﻳﻠﺰ‬ ‫را ﺧﻮاﻧﺪه ﺑـﻮد‪ ،‬ﺑﺎ ﻣﺸﻜـﻠـﻰ ﻣـﻮاﺟﻪ ﺷـﺪ‪ .‬در وﻫﻠﻪ ى اول ﺑﻪ ﻧـﻈـﺮ‬

‫ﻣـﻰ رﺳﻴﺪ ﻛـﻪ ﻣـﺎﻧـﻨـﺪ ﺑـﺴـﻴـﺎرى از ﻣﻮارد‪ ،‬واﻳﻠـﺰ ﭘـﺎﺳـﺨـﻰ ﻛـﺎﻣـﻼً‬ ‫رﺿﺎﻳﺖ ﺑﺨﺶ ﺑﻪ ﻛﺎﺗﺰ دﻫﺪ؛ اﻣﺎ اﻳﻦ ﺑﺎر ﭼﻨﻴﻦ ﻧﺸﺪ و ﭘﺎﺳـﺦ ﻫـﺎى‬ ‫واﻳﻠﺰ‪ ،‬ﻛﺎﺗﺰ را راﺿﻰ ﻧﻜﺮد‪ .‬ﻫﻤﺎن ﻣﻮﻗﻊ رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن دﻳﮕﺮ ﺟﻬﺎن‬ ‫ﻧﻴﺰ ﺑﻪ ﻫﻤﺎن ﻣﺴﺌﻠﻪ در اﺛﺒـﺎت واﻳﻠﺰ ﭘﻰ ﺑﺮدﻧﺪ‪ ،‬دﺳﺘﮕﺎه اوﻳﻠـﺮ‪ ٣٤‬در‬ ‫اﺛﺒﺎت وﺟﻮد ﻧﺪاﺷﺖ و ﻛـﺎرى ﻧﻤﻰ ﺷﺪ ﻛﺮد‪ .‬ﺑﻪ ﺑﻴﺎن دﻳﮕﺮ ﺷﻜﺎف‬ ‫ﻣﻮﺟـﻮد در دﺳﺘﮕﺎه اوﻳﻠﺮ ﻫﻤﻪ ﭼـﻴـﺰ را ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺧﺎﻧﻪ ى ﭘـﻮﺷﺎﻟﻰ ﻓـﺮو‬ ‫رﻳﺨﺘﻪ ﺑﻮد )]‪ ،[٣‬ﺻﺺ ‪ ١١٧‬و ‪.(١١٨‬‬ ‫ﭘﻮﻟﻴﺎ‪ :‬ﭘﻴﮕﻴﺮى‪ ،‬وﻟﻰ ﻫﻤﺮاه ﺑﺎ ﻧﺮﻣﺶ‬ ‫اﻧﺪرو واﻳﻠﺰ در ﭘﺎﻳـﻴـﺰ ﺳـﺎل ‪ ١٩٩٣‬ﺑﻪ ﭘﺮﻳﻨـﺴـﺘـﻮن ﺑﺎزﮔﺸـﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﺮآﺷﻔﺘﻪ‪ ،‬ﺷﺮﻣﺴﺎر‪ ،‬ﻣﻀﻄـﺮب‪ ،‬ﻋﺼﺒﺎﻧﻰ و ﻧﺎاﻣﻴﺪ ﺑـﻮد‪ .‬اﺣﺴﺎس‬ ‫ﺣﻘﺎرت ﻣﻰ ﻛﺮد‪ .‬در رﻳﺎﺿﻴﺎت‪ ،‬ﺗﻘﺮﻳﺒﺎً ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻫﺮ ﻣﺒﺤﺚ دﻳﮕﺮى‪،‬‬ ‫»ﺟﺎﻳﺰه ى دوم« ﻳﺎ »دوﻧﺪه ى دوم« وﺟﻮد ﻧﺪارد‪ .‬واﻳﻠﺰ ﺳـﺮاﻓﻜﻨﺪه ﺑﻪ‬ ‫اﺗﺎق ﻛﻮﭼﻚ زﻳﺮ ﺷﻴﺮواﻧﻰ ﺑﺮﮔﺸﺖ ﺗﺎ اﺛﺒﺎت را ﻛﺎﻣﻞ ﻛﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﮔﻔﺘﻪ ى‬ ‫ﻧﻴﻚ ﻛﺎﺗﺰ‪» :‬در اﻳﻦ ﻟﺤـﻈـﻪ او رازى را از ﺟﻬﺎن ﻣﺨﻔﻰ ﻣـﻰ ﻛـﺮد‪.‬‬ ‫ﻓﻜﺮ ﻣﻰ ﻛﻨﻢ ﺧﻴﻠﻰ اﺣﺴـﺎس ﻧـﺎراﺣﺘﻰ ﻣﻰ ﻛﺮد«‪ .‬واﻳﻠﺰ ﮔﻔﺘﻪ ﺑـﻮد‪:‬‬ ‫»ﻣﻦ در ﻫﺮ ﻟﺤﻈﻪ از ﻫﻔﺖ ﺳﺎﻟﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ ﺗﻨﻬﺎﻳﻰ ﻛﺎر ﻣﻰ ﻛﺮدم‪ ،‬ﺑﺪون‬ ‫ﺗـﻮﺟﻪ ﺑﻪ دﺷـﻮارى ﻳﺎ ﻧـﺎﻫـﻤـﻮار ﺑﻮدن ﻣﺎﻧﻌﻰ ﻛـﻪ ﭘـﻴـﺶ روﻳـﻢ ﻗـﺮار‬ ‫ﻣﻰ ﮔﺮﻓﺖ‪ ،‬ﻟﺬت ﻣﻰ ﺑـﺮدم و ﺣﺎﻻ ﻛﺎر رﻳﺎﺿﻰ ﻛـﺮدن اﻳﻦ ﻃﻮر در‬ ‫ﻣﻌﺮض ﻋﺎم‪ ،‬ﺳﺒﻚ و ﺷﻴﻮه ى ﻣﻦ ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬اﻣﻴﺪوارم دﻳﮕﺮ اﻳﻦ ﺗﺠﺮﺑﻪ‬ ‫را ﺗﻜـﺮار ﻧﻜـﻨـﻢ« )]‪ ،[٣‬ص ‪» .(١١٩‬ﻧﺒـﻮغ‪ ،‬ﻳﻌﻨـﻰ ﺣـﻮﺻـﻠـﻪ«‪،‬‬ ‫»ﻧﺒـﻮغ‪ ،‬ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از ﻳـﻚ درﺻﺪ اﻟﻬﺎم و ﻧـﻮد و ﻧﻪ درﺻﺪ ﻋﺮق‬ ‫رﻳﺨﺘﻦ‪ «.‬ﭘـﻮﻟﻴﺎ ﺑﻴﺎن ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﻳﻜﻰ از اﻳـﻦ ﺟـﻤـﻠـﻪ ﻫـﺎ را ﺑﻮﻓﻮن‪ ٣٥‬و‬ ‫دﻳﮕﺮى را ادﻳﺴﻮن ﮔﻔﺘﻪ اﺳﺖ؛ ﻫﺮ دو ﻳﻚ ﻣﻔﻬﻮم دارﻧﺪ‪ :‬ﻛﺴﻰ ﻛﻪ‬ ‫ﻣﻰ ﺧﻮاﻫﺪ از ﻋﻬﺪه ى ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ اى ﺑﺮآﻳﺪ‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ ﭘﻰ ﮔﻴﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺑﻪ‬ ‫ﻫﺪف ﺧـﻮد اﻋﺘﻘﺎد داﺷﺘﻪ ﺑـﺎﺷـﺪ و ﻗـﺒـﻞ از ﻣـﻮﻗﻊ ﺗﺴﻠﻴـﻢ ﻧـﺸـﻮد‪،‬‬ ‫ﻣﻮﺿﻮﻋﻰ را ﻛﻪ ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﻰ ﻗﺮار داده اﻳﺪ‪ ،‬ﺗﺎ وﻗﺘﻰ ﻛﻪ ﻫﻨﻮز اﻣﻴﺪى‬ ‫ﺑﺮاى رﺳﻴﺪن ﺑﻪ اﻧﺪﻳﺸﻪ اى ﺛﻤﺮ ﺑﺨﺶ وﺟﻮد دارد ﺗﺮك ﻧﻜﻨﻴﺪ )]‪،[٢‬‬ ‫ص ‪ .(٤١٥‬اﻧﺪرو واﻳﻠﺰ ﭘﺲ از ﮔﺬﺷﺖ ﻳﻚ ﺳﺎل از ﭘﻴـﺮوزى ﻛﻢ‬ ‫دواﻣﺶ در ﻛﻤﺒﺮﻳﺞ‪ ،‬ﺗﻘﺮﻳﺒـﺎً داﺷﺖ اﻣﻴـﺪش را از دﺳﺖ ﻣﻰ داد و‬ ‫اﺛﺒـﺎت زﻣﻴﻦ ﮔﻴـﺮ ﺷـﺪه اش را رﻫﺎ ﻣﻰ ﻛـﺮد‪ .‬دوﺷﻨﺒـﻪ ‪ ١٩‬ﺳﭙﺘﺎﻣـﺒـﺮ‬ ‫‪ ،١٩٩٤‬واﻳﻠﺰ ﭘﺸﺖ ﻣﻴـﺰش در داﻧﺸﮕﺎه ﭘﺮﻳﻨﺴـﺘـﻮن ﻧﺸﺴﺘـﻪ ﺑـﻮد‪،‬‬ ‫ﺗﻮده ﻫﺎى ﻛﺎﻏﺬ دور و ﺑـﺮش ﭘـﺮاﻛﻨﺪه ﺑﻮد‪ .‬ﺗﺼﻤﻴـﻢ ﮔـﺮﻓﺖ ﻗﺒﻞ از‬ ‫اﻳﻦ ﻛﻪ اﺛﺒﺎﺗﺶ را ﻛﻨﺎر ﺑﮕﺬارد و ﺗﻤﺎم اﻣﻴﺪش را ﺑﺮاى اﺛﺒﺎت آﺧﺮﻳﻦ‬ ‫ﻗﻀﻴﻪ ى ﻓﺮﻣـﺎ رﻫﺎ ﻛﻨﺪ‪ ،‬آﺧﺮﻳﻦ ﻧﮕﺎه را ﺑﻪ آن ﺑﻴﻨـﺪازد‪ .‬او اﺣﺴﺎس‬ ‫ﻛﺮد اﮔﺮ ﻗﺮار اﺳﺖ ﺗﺴﻠﻴﻢ ﺷـﻮد دﺳﺖ ﻛﻢ ﺑﺎﻳﺪ ﭘﺎﺳﺨﻰ ﺑـﺮاى ﻋﺪم‬ ‫ﻣﻮﻓﻘﻴﺘﺶ اراﺋﻪ دﻫﺪ‪.‬‬

‫ﻓـﺮﻣـﺎ ﺧــﻮد ﻣـﺪﻋـﻰ ﺣـﻞ اﻳـﻦ ﻣــﺴــﺌــﻠــﻪ ﺑــﻮد وﻟـﻰ‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن اﻣـﺮوزه ﻣﻌﺘﻘﺪﻧـﺪ ﻛـﻪ ﻓـﺮﻣﺎ در ﺟﺎﻳـﻰ‬ ‫اﺷﺘﺒـﺎه ﻛـﺮده و اﺛﺒـﺎت ﺳـﺎده اى ﺑـﺮاى ﻗﻀـﻴـﻪ اش‬ ‫وﺟـﻮد ﻧﺪارد‪ ،‬اﺛﺒﺎت ﻧﻬﺎﻳـﻰ اﻳـﻦ ﻗـﻀـﻴـﻪ‪ ،‬در واﻗـﻊ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه ﻃﻰ ﺳﺎل ﻫﺎى ﺑـﺴـﻴـﺎر‬ ‫ﺗــﻮﺳـﻂ رﻳـﺎﺿـﻰ داﻧــﺎن ﻣــﺘــﻌــﺪد و ﭘــﻴــﺸــﺮﻓــﺖ‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت اﺳﺖ‬ ‫ﭘﻮﻟﻴﺎ‪ :‬اﻧﺪﻳﺸﻪ ى روﺷﻦ‬ ‫از ﻧﻈﺮ ﭘﻮﻟﻴﺎ‪ ،‬ﻛﺎر ﻋﻤﺪه ﺑﺮاى ﺣﻞ ﻳﻚ ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ ،‬دﺳﺖ ﻳﺎﻓﺘﻦ ﺑﻪ‬ ‫ﺗﺼﻮر اﻧﺪﻳﺸﻪ اى درﺑﺎره ى ﻧﻘﺸﻪ و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ‬ ‫اﻧﺪﻳﺸﻪ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺑﻪ ﺗﺪرﻳﺞ ﺣﺎﺻﻞ ﺷﻮد ﻳﺎ ﭘﺲ از آزﻣﺎﻳﺶ ﻫﺎى‬ ‫ﻇﺎﻫﺮًا ﺑﻰ ﻧﺘﻴﺠﻪ و دوره اى از ﺗﺮدﻳﺪﻫﺎ‪ ،‬ﻧﺎﮔﻬﺎن ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺑﺮﻗﻰ ﻛﻪ‬ ‫ﻣﻰ ﺟﻬﺪ‪ ،‬ﻫﻢ ﭼـﻮن ﻳﻚ »اﻧﺪﻳﺸﻪ ى روﺷﻦ« ﺑﻪ ذﻫﻦ ﺣﻞ ﻛﻨﻨـﺪه ى‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﺮﺳﺪ‪ .‬اﻧﺪﻳﺸﻪ ﻫﺎى ﻧﻴﻜﻮ ﺑﺮ ﺷـﺎﻟـﻮده ى ﺗﺠﺮﺑﻪ ى ﮔﺬﺷﺘﻪ و‬ ‫ﺷﻨﺎﺧﺘﻰ ﻛﻪ از ﭘﻴﺶ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه‪ ،‬ﺑﻨﺎ ﺷﺪه اﻧﺪ‪ .‬ﺑـﺮاى اﻧﺪﻳﺸـﻪ ى‬ ‫ﻧﻴﻜﻮ‪ ،‬ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ آوردن ﻛﻔﺎﻳﺖ ﻧﻤﻰ ﻛﻨﺪ؛ ﺑﻠﻜﻪ ﺑﺎﻳﺪ ﭼﻴﺰى را ﺑﻪ‬ ‫دﺳﺖ آورﻳﻢ ﻛﻪ ارﺗﺒﺎﻃﻰ ﺑﺎ ﻣﻮﺿﻮع ﻣﻮرد ﺑﺤﺚ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ )]‪،[١‬‬ ‫ص ‪ .(١٠‬واﻳﻠﺰ ﻣﻘﺎﻟﻪ ى ﭘﻴﺶ روﻳﺶ را ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﻛﺮد و ﺣﺪود ﺑﻴﺴﺖ‬ ‫دﻗﻴﻘﻪ ﺑﺎ دﻗـﺖ روى آن ﺗﻤﺮﻛﺰ ﻛـﺮد و ﺳﭙﺲ ﻧﺎﮔﻬﺎن ﻣﺘـﻮﺟﻪ ﺷﺪ ﻛﻪ‬ ‫ﭼﺮا ﻧﺘﻮاﻧﺴﺘﻪ ﺑﻮد دﺳﺘﮕﺎه اوﻳﻠﺮ را ﺑﻪ ﻛﺎر اﻧﺪازد‪ .‬او ﺑﻌﺪﻫﺎ اﺣﺴﺎﺳﺶ‬ ‫را اﻳﻦ ﻃﻮر ﺗﻮﺻﻴ‪ 4‬ﻛﺮد‪» :‬ﻣﻬﻢ ﺗﺮﻳﻦ ﻟﺤﻈﻪ ى ﺗﻤﺎم زﻧﺪﮔﻰ ﻛﺎرﻳﻢ‬ ‫ﺑﻮد‪ .‬ﻧﺎﮔﻬﺎن ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪ اى ﻛﺎﻣـﻼً ﻏﻴﺮﻣﻨﺘﻈﺮه‪ ،‬ﻛﺸﻔﻰ ﺧﺎرق اﻟﻌﺎده ﺑﻪ‬ ‫ﻋﻤﻞ آوردم‪ .‬ﻛﺎرى ﻛﻪ ﺑﻌﺪﻫﺎ دوﺑﺎره ﻧﻤﻰ ﺗﻮاﻧﻢ اﻧﺠﺎم دﻫﻢ«‪ .‬واﻳﻠﺰ‬ ‫ﺳﺎﻋﺖ ﻫﺎ در ﺳﺎﺧﺘﻤﺎن ﮔﺮوه ﺷﺮوع ﺑﻪ ﻗﺪم زدن ﻛﺮد‪ .‬ﻧﻤﻰ داﻧﺴﺖ‬ ‫ﻛﻪ ﺧﻮاب اﺳﺖ ﻳﺎ ﺑﻴﺪار‪ .‬ﻫﺮ از ﮔﺎﻫﻰ ﺑﻪ ﻣﻴـﺰش ﺳﺮﻣﻰ زد ﺗﺎ ﺑﺒﻴﻨﺪ‬ ‫دﺳﺖ آورد ﺧـﺎرق اﻟﻌﺎده اش ﻫﻨﻮز آن ﺟﺎﺳـﺖ‪ ،‬و ﺑـﻮد‪ .‬ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺎ آن‬ ‫ﻣﻰ ﺧﻮاﺑﻴﺪ‪ .‬ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻓﺮدا ﻧﻘﺼﻰ در آن ﭘﻴﺪا ﺷﻮد‪ .‬ﺻﺒﺢ روز‬ ‫ﺑﻌﺪ ﭘﺸﺖ ﻣﻴﺰ ﻛﺎرش ﺑﺮﮔﺸﺖ‪ .‬ﻛﺸ‪ 4‬ﺧﺎرق اﻟﻌﺎده اش ﻫﻨﻮز آن ﺟﺎ‬ ‫و ﻣـﻨـﺘـﻈـﺮ او ﺑـﻮد‪ .‬ﻣـﻘـﺎﻟـﻪ

ﻫـﺎﻳـﺶ را ﺑـﻪ ﻧـﺸـﺮﻳـﻪ ى ﺗـﺨـﺼـﺼـﻰ‬ ‫‪ ٣٦ Annals of Mathematics‬ﻓﺮﺳﺘـﺎد‪ ،‬روﻧﺪ داورى ﭼﻨﺪ ﻣﺎﻫـﻰ‬ ‫ﻃﻮل ﻛﺸﻴﺪ وﻟﻰ اﻳﻦ ﺑﺎر ﻧﻘﺼﻰ در آن ﭘﻴﺪا ﻧﺸﺪ‪ .‬ﺷـﻤـﺎره ى ﻣﻨﺘﺸﺮ‬ ‫ﺷﺪه ى ﻧﺸﺮﻳﻪ در ﻣﺎه ﻣﻪ ‪ ،١٩٩٥‬ﺷﺎﻣﻞ ﻣﻘﺎﻟﻪ ى اﺻﻠﻰ اراﺋﻪ ﺷﺪه‬ ‫در ﻛﻤﺒﺮﻳﺞ و اﺻﻼح آن ﺗﻮﺳﻂ واﻳﻠﺰ ﺑﻮد‪ .‬ﺳﺮاﻧﺠﺎم آﺧﺮﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ى‬ ‫ﻓﺮﻣﺎ آرام ﮔﺮﻓﺖ )]‪ ،[٣‬ﺻﺺ ‪١٢١‬ـ‪.(١٢٠‬‬ ‫‪١٧‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫ﭘﻰ ﻧﻮﺷﺖ ﻫﺎ‬

‫ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔﻴﺮى‬ ‫اﻧﺪرو واﻳﻠﺰ اﺛﺒﺎﺗﺶ را »اﺛﺒﺎت ﻗﺮن ﺑﻴﺴﺘﻤﻰ« ﺗـﻮﺻﻴ‪ 4‬ﻛﺮد‪ .‬او‬ ‫از ﻛﺎرﻫﺎى ﺑﺴﻴﺎرى از رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن ﻗﺮن ﺑﻴﺴﺘﻢ و رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن ﻗﺒﻞ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮد‪ .‬در ﻣﺠﻤﻮع ﻛﺎرﻫﺎى ﻫﻤﮕﻰ آن ﻫﺎ ﺑﺎﻋﺚ ﺷﺪ ﻛﻪ ﺣﻞ‬ ‫ﻧﻬﺎﻳﻰ ﺣﺎﺻﻞ ﺷﻮد‪ .‬ﺑﺪون ﻛﺎر ارﻧﺴﺖ ﻛﻮﻣﺮ‪ ،٣٧‬ﻧﻈﺮﻳﻪ ى اﻳﺪه آل ﻫﺎ‬ ‫وﺟﻮد ﻧﺪاﺷﺖ‪ .‬ﺑﺪون اﻳﺪه آل ﻫﺎ ﻛﺎر ﺑﺎرى ﻣـﺎزور وﺟﻮد ﻧﺪاﺷﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﺪون ﻛﺎر ﺑﺎرى ﻣﺎزور‪ ،‬ﺣﺪس ﻓﺮى ﻧﺒﻮد و ﺑﺪون اﻳﻦ ﺣﺪس اﺳﺎﺳﻰ‬ ‫و ﺗﻠﻔﻴﻖ ژان ﭘﻴﺮ ﺳﺮه‪ ،‬اﺛﺒﺎت اﻳﻦ ﻣﻄﻠﺐ از رﻳﺒﺖ ﻛﻪ ﺣﺪس ﺷﻴﻤﻮرا‬ ‫ـ ﺗﺎﻧﻴﺎﻣﺎ آﺧﺮﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ى ﻓﺮﻣﺎ را اﺛﺒﺎت ﻣﻰ ﻛﻨﺪ وﺟﻮد ﻧﺪاﺷﺖ )]‪،[٣‬‬ ‫ص ‪ .(١٢٢‬ﻫﻤﺎن ﻃﻮر ﻛـﻪ ﻗـﺒـﻼً ﻫﻢ ﻣﺘﺬﻛﺮ ﺷﺪﻳـﻢ‪ ،‬ﻫـﺪف اﻳـﻦ‬ ‫ﻣﻘﺎﻟﻪ‪ ،‬رﻓﺘﻦ ﺑﻪ ﻋﻤﻖ اﺛﺒﺎت اﻧـﺪرو واﻳﻠﺰ ﻧﺒـﻮده ـ ﭼﻪ اﻳﻦ ﻫﺪﻓﻰ در‬ ‫ﺣﻴﻄﻪ ى رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻣﺤﺾ و ﺷﺎﺧﻪ ﻫﺎى ﻧﻈﺮﻳﻪ ى اﻋﺪاد ﺟﺒـﺮى و‬ ‫ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﺟﺒﺮى ﺣﺴﺎﺑﻰ ﻣﻰ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻫﺪف‪ ،‬آﻣﻮﺧﺘﻦ ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ و‬ ‫ﻧﺤﻮه ى ﺗﻼش ﻫﺎ در ﺟﺮﻳﺎن ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﻮده و در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ‪ ،‬ﭼﻪ‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ اى ﺷﺎﻳﺴﺘﻪ ﺗﺮ از ﻳﻜﻰ از ﺑـﺰرگ ﺗﺮﻳﻦ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺳﻪ ﻗﺮن ﭘﻴﺶ‪.‬‬ ‫در اﻳﻦ ﻧﻮﺷﺘﺎر ﺑﻪ ﺑﺮﺧﻰ از اﺳﺘﺮاﺗﮋى ﻫﺎى ﺗﺄﺛﻴﺮﮔﺬار در روﻧﺪ اﺛﺒﺎت‬ ‫آﺧﺮﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ى ﻓﺮﻣﺎ اﺷﺎره ﺷﺪ؛ از ﺟﻤﻠﻪ‪ :‬اﻣﺘﺤﺎن ﻛﺮدن ﻳﻚ ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﺧﺎص‪ ،‬ﺑﻴﺎن ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑـﻪ ﺻـﻮرﺗﻰ دﻳﮕﺮ‪ ،‬در ﻧﻈﺮ ﮔـﺮﻓﺘﻦ ﻣﺴﺌﻠـﻪ اى‬ ‫واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪ ى اﺻﻠﻰ‪ ،‬ﺟﺴﺘﺠﻮى ﻗﻀﻴﻪ اى ﺳﻮدﻣﻨﺪ و ﺗﻘﺴﻴﻢ‬ ‫ﻣﺴﺌـﻠـﻪ اى ﺑـﺰرگ ﺑﻪ ﻣﺴﺌـﻠـﻪ ﻫـﺎى ﻛـﻮﭼﻚ ﺗـﺮ؛ ﻛـﻪ ﺑـﺮﺧﻰ از اﻳـﻦ‬ ‫اﺳﺘـﺮاﺗﮋى ﻫﺎ ﻧﻴﺰ در ﻋﻤـﻞ راه ﮔﺸﺎ ﻧﺒـﻮدﻧﺪ و اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ اى ﻣﻨـﻔـﻰ ﺑـﻪ‬ ‫ﺣﺴﺎب ﻧﻤﻰ آﻳﺪ ﭼـﺮا ﻛﻪ ﺧﻮد ﺑﺎﻋﺚ ﻛﺸ‪ 4‬ﻣﺴﺎﺋﻠﻰ ﻣﻬﻢ ﺷـﺪﻧـﺪ‪.‬‬ ‫ﻓﺎ ﺣﻮل ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻧﻤﻰ ﭼﺮﺧﺪ‪ ،‬ﺑﻠﻜﻪ او ﺑـﺮاى‬ ‫اﺳﺘﺮاﺗﮋى ﻫﺎى ﭘﻮﻟﻴﺎ ﺻـﺮ ً‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺣﻞ ﻛﺮدن ﻧﻴﺰ اﺳﺘﺮاﺗﮋى ﻫﺎى روان ﺷﻨﺎﺧﺘﻰ ﺧﺎص ﺧﻮد را اراﺋﻪ‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪» :‬اﻳﻦ اﺷﺘﺒﺎه اﺳﺖ ﻛﻪ ﺣﻞ ﻛﺮدن ﻣﺴﺌﻠﻪ را ﻛﺎر ﻋﻘﻠﻰ ﻣﺤﺾ‬ ‫ﺑﺪاﻧﻴﻢ‪ .‬ﺗﺼﻤﻴﻤﻰ ﺳﺴﺖ ﺑﻪ اﻧﺠﺎم دادن ﻛﺎرى اﻧﺪك ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ‬ ‫ﻛﻼس درس‪ ،‬ﺧﻮب ﺑﺎﺷـﺪ وﻟﻰ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫دﺳﺘﻰ‬ ‫ﺑﺮاى ﺣﻞ ﻛﺮدن ﻣﺴﺎﺋـﻞِ ﺳﺮ‬ ‫)رﻳﺎﺿـﻰ( ﺟﺪى‪ ،‬ﻗـﺪرت‬ ‫ِ‬ ‫ﺑﺮاى ﺣﻞ ﻛـﺮدن ﻳﻚ ﻣﺴﺌﻠﻪ ى ﻋـﻠـﻤـﻰِ‬ ‫اراده اى ﻻزم اﺳﺖ ﻛﻪ ﺷﺨﺺ ﺑﺎ آن ﺑﺘﻮاﻧﺪ ﺳﺎل ﻫﺎى دراز‪ ،‬رﻧﺞ و‬ ‫ﻛﻮﺷﺶ ﺑﺮاى ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ و ﻧﻮﻣﻴﺪى ﻫﺎى ﺣﺎﺻﻞ از ﻧﺎﻛﺎﻣﻰ را ﺗﺤﻤﻞ‬ ‫ﻛﻨـﺪ« )]‪ ،[١‬ص ‪ .(١١٩‬واﻳﻠﺰ ﻫﻔﺖ ﺳـﺎل ﺑـﻪ ﺗـﻨـﻬـﺎﻳـﻰ در زﻳـﺮ‬ ‫ﺷﻴـﺮواﻧﻰ ﻣﺤﻞ ﻛـﺎرش ﻛﺎر ﻛـﺮد‪ ،‬ﺑﺮ ﺗﻤﺎم ﻣﺸﻜﻼت ﻏﻠـﺒـﻪ ﻛـﺮد و‬ ‫ﺳﺮاﻧﺠﺎم ﻣﺴﺌﻠﻪ را ﺣﻞ ﻛﺮد‪.‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪١٨‬‬

‫‪1. George Polya‬‬ ‫‪2. Fermat‬‬ ‫‪3. Kausler‬‬ ‫‪4. Legendre‬‬ ‫‪5. Calzolari‬‬ ‫‪6. Lame‬‬ ‫‪7. Tait‬‬ ‫‪8. Gunther‬‬ ‫‪9. Gambioli‬‬ ‫‪10. Krey‬‬ ‫‪11. Rychlik‬‬ ‫‪12. Stockhaus‬‬ ‫‪13. Carmichael‬‬ ‫‪14. Van der Corput‬‬ ‫‪15. Thue‬‬ ‫‪16. Duarte‬‬ ‫‪17. Lebesgue‬‬ ‫‪18. Christilles‬‬ ‫‪19. Perrin‬‬ ‫‪20. Hurwitz‬‬ ‫‪21. Kapferer‬‬ ‫‪22. Infinite Descent‬‬ ‫‪23. Euler‬‬ ‫‪24. Andrew Wiles‬‬ ‫‪25. Elliptic Curves‬‬ ‫‪26. Ribet‬‬ ‫‪27. Epsilon (Frey) Conjecture‬‬ ‫‪28. Frey Curves‬‬ ‫‪29. Shimura - Taniyama conjecture‬‬ ‫‪30. Barry Mazur‬‬ ‫‪31. Serre‬‬ ‫‪32. Andre Weill‬‬ ‫‪33. Nick Katz‬‬ ‫‪34. Euler System‬‬ ‫‪ .٣٥‬ژرژ ﺑﻮﻓﻮن )‪ (١٧٨٨-١٧٠٧‬ﻃﺒﻴﻌﺖ ﺷﻨﺎس ﻣﺸﻬﻮر ﻓﺮاﻧﺴﻮى‬ ‫‪36. "Modular Elliptic Curves and Fermat's Last Theorem." Annals of‬‬ ‫‪Mathematics. Vol. 142,1995,pp.443-551.‬‬ ‫‪37. Ernest Eduard Kummer‬‬

‫ﻣﻨﺎﺑﻊ‬ ‫‪ .١‬ﭘﻮﻟﻴﺎ‪ ،‬ﺟﺮج )‪ :(١٩٤٤‬ﭼﮕﻮﻧﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪ را ﺣﻞ ﻛﻨﻴﻢ؟‪ ،‬ﺗﺮﺟﻤﻪ ى اﺣﻤﺪ آرام‪ ،‬اﻧﺘﺸﺎرات ﻛﻴﻬﺎن‪،‬‬ ‫ﭼﺎپ ﭘﻨﺠﻢ‪.١٣٧٩ ،‬‬ ‫‪ .٢‬ﭘﻮﻟﻴﺎ‪ ،‬ﺟﺮج )‪ :(١٩٦٥‬ﺧﻼﻗﻴﺖ رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺗﺮﺟﻤﻪ ى ﭘﺮوﻳﺰ ﺷﻬﺮﻳﺎرى‪ ،‬اﻧﺘﺸﺎرات ﻓﺎﻃﻤﻰ‪ ،‬ﭼﺎپ‬ ‫ﭼﻬﺎرم‪.١٣٧٧ ،‬‬ ‫‪ .٣‬دى‪ .‬اﻛﺰل‪ ،‬اﻣﻴﺮ )‪ :(١٩٩٧‬آﺧﺮﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪى ﻓﺮﻣﺎ‪ ،‬اﻓﺸﺎى اﺳﺮار ﻛﻬﻦ ﻳﻚ ﻣﺴﺌﻠﻪى رﻳﺎﺿﻰ‪،‬‬ ‫ﺗﺮﺟﻤﻪ ﻣﺤﻤﺪ ﻣﻬﺪى اﺑﺮاﻫﻴﻤﻰ و ﻣﮋﮔﺎن ﻣﺤﻤﻮدى‪ ،‬اﻧﺘﺸﺎرات داﻧﺸﮕﺎه ﺷﻬﻴﺪ ﺑﻬﺸﺘﻰ‪.١٣٨٥ ،‬‬ ‫‪ .٤‬رﻳﺒﻦ ﺑﻮﻳﻴﻢ‪ ،‬ﭘـﺎﺋـﻮﻟﻮ )‪ ،(١٩٩٩‬آﺧﺮﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪى ﻓـﺮﻣﺎ ﺑﺮاى دوﺳﺘـﺪاران ﻏﻴﺮﺣﺮﻓـﻪاى‪ ،‬ﺗﺮﺟﻤﻪ ى‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﻣﻬﺪى اﺑﺮاﻫﻴﻤﻰ و ﻣﮋﮔﺎن ﻣﺤﻤﻮدى‪ ،‬اﻧﺘﺸﺎرات داﻧﺸﮕﺎه ﺷﻬﻴﺪ ﺑﻬﺸﺘﻰ‪.١٣٨٢ ،‬‬ ‫‪ .٥‬ﻫﺎﻟﻤﻮس‪ ،‬پ‪.‬ر‪ :‬ﭼﮕﻮﻧﻪ ﻳﻚ رﻳﺎﺿﻰ دان ﻣﺤﺴﻮب ﺷﻮﻳﻢ‪ ،‬ﺗﺮﺟﻤﻪ ى ﻣﺤﻤﺪ ﺻﺎل ﻣﺼﻠﺤﻴﺎن‪،‬‬ ‫ﻣﺠﻠـﻪى رﺷﺪ آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺷﻤـﺎره ‪ ،٥٧‬ﺻﺺ ‪ ٢٢‬ـ ‪ ،١٩‬دﻓﺘﺮ اﻧﺘـﺸـﺎرات ﻛﻤﻚ آﻣـﻮزﺷﻰ‪،‬‬ ‫ﺳﺎزﻣﺎن ﭘﮋوﻫﺶ و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬وزارت آﻣﻮزش وﭘﺮورش‪.‬‬

‫اﻳﻤﺎن ﻫﺎدى‬ ‫داﻧﺸﺠﻮى ﻛﺎرﺷﻨﺎﺳﻰ رﻳﺎﺿﻰ ﻛﺎرﺑﺮدى‪ ،‬داﻧﺸﮕﺎه ﭘﻴﺎم ﻧﻮر واﺣﺪ ﺗﻔﺮش‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ دﻫﻘﺎﻧﺪار‬ ‫داﻧﺸﮕﺎه ﭘﻴﺎم ﻧﻮر واﺣﺪ ﺗﻔﺮش‬

‫ﻛﺎرﻫﺎى ﺛﺒﺖ‪+‬ﺷﺪه‪+‬ى ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ‬ ‫و‬ ‫ﻛﺎرﻫﺎى ﺛﺒﺖ‪+‬ﺷﺪه‪+‬ى ﭘﻴﺸﻴﻨﻴﺎنِ ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ ﺑﻪ ﻧﺎم ﭘﺴﻴﻨﻴﺎنِ وى‬

‫ﻏﻴﺎث اﻟﺪﻳﻦ ﺟﻤﺸﻴﺪ ﻛﺎﺷﺎﻧـﻰ‬ ‫ﻳﻜﻰ از رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن ﺗﻮاﻧﻤﻨﺪ‬ ‫دوره ى اﺳــﻼﻣــﻰ اﺳــﺖ ﻛــﻪ‬ ‫ﻋـﻼوه ﺑـﺮ ﻋـﻠـﻢ رﻳـﺎﺿـﻴـﺎت در‬ ‫ﻧﺠﻮم ﻧﻴﺰ ﺗﻮاﻧﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﺧﻮد را‬ ‫ﺑﻪ اﺛﺒﺎت رﺳﺎﻧﺪ‬

‫ﭼﻜﻴﺪه‬ ‫در اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ‪ ،‬اﺑﺘﺪا ﻛﺎرﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﻏﻴﺎث اﻟﺪﻳﻦ ﺟﻤﺸﻴﺪ ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ اﻧﺠﺎم ﺷﺪه و ﺑﻪ ﻧﺎم وى ﺛﺒﺖ ﺷﺪه ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﻰ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺳﻰ ﻳﻚ‬ ‫اﻳﻦ ﻛﺎرﻫﺎ ﻋﺒﺎرت اﻧﺪ از‪ :‬اﺧﺘﺮاع روش ﻛﻨﻮﻧﻰ ﺟﺬر‪ ،‬ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ى ﻋﺪد ﭘﻰ ﺗﺎ ‪ ١٦‬رﻗﻢ اﻋﺸﺎر دﻗﺖ و ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ى ﻧﺴﺒﺖ ﻣﺜﻠﺜﺎﺗﻰ ﺳﻴﻨﻮ ِ‬ ‫درﺟﻪ‪ .‬ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ روش ﻛﻨـﻮﻧﻰ ﺟﺬر ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﻔﺼﻞ ﺗﺮى ﺷﺮح داده ﺷﺪه اﺳﺖ و ﻳﻚ ﻣﺜﺎل ﺟﻬﺖ ﺗﺒﻴﻴﻦ ﻣـﻮﺿﻮع آورده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺳﭙـﺲ‬ ‫ﻛﺎرﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ در آﺛﺎر ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ آﻣﺪه‪ ،‬وﻟﻰ ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ ﺧﻮد اذﻋﺎن داﺷﺘﻪ ﻛﻪ آﺛﺎر ﭘﻴﺸﻴﻨﻴﺎن وى ﻣﻰ ﺑﺎﺷﺪ و ﺑﻪ ﻧﺎم اﺷﺨﺎص ﺑﻌﺪ از ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ ﺛﺒﺖ ﺷﺪه‪،‬‬ ‫ﻣﻌﺮﻓﻰ ﮔﺮدﻳﺪه اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ ﻣﻮارد ﻋﺒﺎرت اﻧﺪ از ﻣﺜﻠﺚ ﺣﺴﺎﺑﻰ و ﺑﺴﻂ دو ﺟﻤﻠﻪ اى ﻛﻪ در ﻧﺴﺦ ﺧﻄﻰ ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ؛ در اداﻣﻪ ﺑﺮاى‬ ‫ﻫﺮ ﻛﺪام ﻣﺜﺎﻟﻰ از ﻧﺴﺨﻪ ى ﺧﻄﻰ ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ ﺑﻴﺎن ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻛﻠﻴﺪ واژهﻫﺎ‪ :‬ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ‪ ،‬ﺟﺬر‪ ،‬ﻋﺪد ﭘﻰ‪ ،‬ﺳﻴﻨﻮس‪ ،‬ﻣﺜﻠﺚ ﺣﺴﺎﺑﻰ‪ ،‬ﺑﺴﻂ دو ﺟﻤﻠﻪ اى‬ ‫‪١٩‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫ﻣﻘﺪﻣﻪ‬ ‫ﻏﻴﺎث اﻟﺪﻳﻦ ﺟﻤﺸﻴﺪ ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ ﻳﻜﻰ از رﻳﺎﺿـﻰ داﻧـﺎن ﺗـﻮاﻧﻤﻨـﺪ‬ ‫دوره ى اﺳﻼﻣـﻰ اﺳـﺖ ﻛـﻪ در ﺣـﺪود ﺳﺎل ‪ ٧٩٠‬ﻗـﻤـﺮى )‪١٣٨٨‬‬ ‫ﻣﻴﻼدى( در ﻛﺎﺷﺎن ﻣﺘـﻮﻟﺪ ﺷﺪ‪ .‬وى ﻋﻼوه ﺑﺮ ﻋﻠﻢ رﻳﺎﺿﻴـﺎت در‬ ‫ﻧﺠﻮم ﻧﻴﺰ ﺗﻮاﻧﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﺧﻮد را ﺑﻪ اﺛﺒﺎت رﺳﺎﻧﺪ ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪ اى ﻛﻪ در ﻣﺪت‬ ‫ﻛـﻮﺗـﺎه زﻧﺪﮔـﻰ ‪ ٤٢‬ﺳـﺎﻟـﻪ ى ﺧـﻮد‪ ،‬آﺛـﺎر ارزﺷﻤـﻨـﺪى ﺑـﻪ ﻳـﺎدﮔـﺎر‬ ‫ﮔﺬاﺷﺖ‪ .‬ﻣﻬﻢ ﺗﺮﻳﻦ آن ﻫﺎ ﻋﺒﺎرت اﻧﺪ از‪:‬‬ ‫زﻳﺞ ﺧﺎﻗﺎﻧﻰ‪ ،‬ﻣﻔﺘﺎح اﻟﺤﺴـﺎب‪ ،‬رﺳﺎﻟﻪ ى ﻣﺤﻴﻄﻴـﻪ‪ ،‬رﺳﺎﻟﻪ ى‬ ‫وﺗﺮ و ﺟﻴﺐ‪ ،‬رﺳﺎﻟﻪ ى ﻋﻠﻢ ﻫﻴﺌﺖ‪ ،‬آﻻت رﺻﺪ و ﻧﺰﻫﺔ اﻟﺤﺪاﻳﻖ‪.‬‬ ‫ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ در ‪ ١٩‬رﻣﻀﺎن ﺳـﺎل ‪ ٨٣٢‬ﻗﻤﺮى )‪ ١٤٢٩‬ﻣﻴﻼدى(‪،‬‬ ‫در ﺧﺎرج ﺷﻬﺮ ﺳﻤﺮﻗﻨﺪ درﮔﺬﺷﺖ‪.‬‬ ‫ﻛﺎرﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ اﻧﺠﺎم ﺷﺪه و ﺑﻪ ﻧﺎم وى ﺛﺒﺖ‬ ‫ﺷﺪه اﺳﺖ‬ ‫اﻟ‪ (x‬اﺧﺘﺮاع روش ﻛﻨﻮﻧﻰ ﺟﺬر‬ ‫ﻛﺎﺷﺎﻧـﻰ روﺷـﻰ را ﻛﻪ ﻗﺒـﻞ از وى ﺑﻮده اﺻﻼح ﻛـﺮده و ﺳﭙـﺲ‬ ‫روش ﺧﻮد را ﻛﻪ ﺧﻼﺻﻪ و ﺳﺎده ﺷﺪه ى ﻫﻤـﺎن روش ﻗﺒﻠﻰ اﺳـﺖ‬ ‫ﺑﻪ دﺳﺖ آورده اﺳﺖ‪ .‬روش ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ ﻫﻤﺎن اﺳﺖ ﻛﻪ اﻣﺮوزه ﺑﺮاى‬ ‫ﻳﺎﻓﺘﻦ ﺟﺬر ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ ﺑﺮﻳﻢ و ﮔﺮﭼﻪ ﭼﻨﺪ ﺗﻔﺎوت ﺟﺰﺋﻰ دارد وﻟﻰ ﻫﻨﻮز‬ ‫ﻣﻰ ﺗﻮان روش ﻓﻌﻠﻰ را از اﺧﺘﺮاﻋﺎت ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ داﻧﺴﺖ‪ .‬اﻳﻦ ﺗﻔﺎوت ﻫﺎ‬ ‫ﺑﻪ ﺷﺮح زﻳﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪:‬‬ ‫‪ .١‬ﺗﻔـﺎوت در ﻣﺤﻞ ﺛﺒﺖ ﻣـﺤـﺎﺳـﺒـﺎت ﻓـﺮﻋﻰ‪ :‬اﻋﻤﺎﻟـﻰ ﻛـﻪ‬ ‫ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ در ﭘﺎﻳﻴﻦ ﺟﺪول ﺛﺒﺖ ﻣﻰ ﻛﺮد‪ ،‬اﻣﺮوزه در ﺑﺎﻻى ﺟـﺪول و‬ ‫زﻳﺮ ارﻗﺎم ﺟﺬر ﺛﺒﺖ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٢‬ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ ﺿـﺮب ﻫﺎى ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻓـﺮﻋﻰ را روى ﻛﺎﻏﺬ وارد‬ ‫ﻧﻤﻰ ﻛﺮد و ﺑﻪ ﺛﺒﺖ ﻧﺘﻴﺠﻪ در ﺟﺪول اﻛﺘﻔﺎ ﻣﻰ ﻛﺮد‪.‬‬ ‫ﺑﺮاى درك ﺑﻬﺘﺮ ﺷﻴﻮه ى ﺟﺬر ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ ﻣﺜﺎﻟﻰ ﻣﻰ آورﻳﻢ‪.‬‬ ‫ﺗﻮﺿﻴﺢ اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ ﻻزم اﺳﺖ ﻛﻪ ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ در اﻳﻦ ﻗﺴﻤﺖ‪» ،‬دور« را‬ ‫ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻛﺮده اﺳﺖ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻌﻨﻰ ﻛﻪ اﮔﺮ ﻣﻰ ﺧـﻮاﺳﺖ از ﻋﺪدى ﻣﺜﻼً‬ ‫رﻳﺸﻪ ى ﺳﻮم ﺑﮕﻴﺮد‪ ،‬ارﻗﺎم آن ﻋﺪد را از ﺳﻤﺖ راﺳﺖ ‪ ٣‬ﺗﺎ ‪ ٣‬ﺗﺎ ﺟﺪا‬ ‫ﻣﻰ ﻛﺮد و ﻫﺮ دﺳﺘﻪ ى ‪ ٣‬رﻗﻤﻰ را ﻳﻚ دور ﻣﻰ ﻧﺎﻣﻴﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪ :‬ﻣﻄﻠﻮﺑﺴﺖ ﺟﺬر ﻋـﺪد ‪ .٣٣١٧٨١‬در اﻳﻦ ﺟﺎ ﻧﺨﺴـﺖ‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ دورﻫﺎى دو رﻗﻤﻰ را ﺟﺪا ﻛﺮد‪.‬‬ ‫ﻣﺮﺣﻠـﻪى ‪ .١‬ﺑﺰرگ ﺗﺮﻳﻦ ﻋـﺪدى را ﭘﻴﺪا ﻣﻰ ﻛﻨﻴـﻢ ﻛـﻪ وﻗﺘﻰ در‬ ‫ﺧﻮدش ﺿﺮب ﺷﻮد‪ ،‬از ﻋﺪد دور اول )‪ (٣٣‬ﻛﻤﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﻋﺪد‬ ‫‪ ٥‬اﺳﺖ‪ .‬آن را ﻫﻢ در ﺑـﺎﻻى دور اول و ﻫﻢ ﺑﺎ ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻣﻨﺎﺳـﺐ در‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪٢٠‬‬

‫* ﻧﻴﻮﺗﻦ ﻛﻪ در ﺳﺎل ‪ ١٦٤٢‬در اﻧﮕﻠﺴﺘﺎن ﻣﺘﻮﻟﺪ‬ ‫ﺷـﺪ‪ ،‬در ﺣــﺪود ‪ ٢٠٠‬ﺳـﺎل ﺑـﻌـﺪ از ﻛـﺎﺷـﺎﻧــﻰ‪،‬‬ ‫دﺳﺘﻮر ﺑﺴﻂ دو ﺟﻤﻠﻪ اى را ﻣﺠﺪداً ﺑﻪ دﺳﺖ آورد‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﻦ ﺟﺪول زﻳﺮ آن دور ﻣﻰ ﻧﻮﻳﺴﻴﻢ‪ .‬ﻋﺪد ﺑﺎﻻﻳﻰ را در ﭘﺎﻳﻴﻨﻰ ﺿﺮب‬ ‫ﻛﺮده )‪ (٥×٥‬و ﺣﺎﺻﻞ ‪ ٢٥‬را زﻳﺮ ‪ ٣٣‬ﻧﻮﺷﺘﻪ و از آن ﻛﻢ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫ﺗﻔﺎﺿﻞ را ﻛﻪ ‪ ٨‬ﻣﻰ ﺷـﻮد زﻳﺮ ‪ ٢٥‬ﻧﻮﺷﺘﻪ و دور دوم را ﻫﻢ ﺟﻠـﻮى ‪٨‬‬ ‫ﻣﻰ ﻧﻮﻳﺴﻴﻢ ﻛﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد ‪.٨١٧‬‬ ‫ﻣﺮﺣﻠﻪى ‪ .٢‬ﻋﺪد ﭘﺎﻳﻴﻦ ﺟـﺪول ﻳﻌﻨﻰ ‪ ٥‬را دو ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﻰ ﻛﻨﻴـﻢ و‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ‪ ١٠‬را ﻃﺒﻖ ﺷﻜﻞ‪ ،‬ﺑﺎﻻى ‪ ٥‬ﻣﻰ ﻧﻮﻳﺴﻴﻢ‪ .‬ﺳﭙﺲ ﺑﺰرگ ﺗﺮﻳﻦ‬ ‫ﻋﺪد را ﻣﻰ ﺟﻮﻳﻴﻢ ﻛﻪ ﭼﻮن ﺟﻠﻮى ‪ ١٠‬ﻗﺮار ﮔﻴﺮد و ﺣﺎﺻﻞ در ﻫﻤﺎن‬ ‫ﻋﺪد ﺿﺮب ﺷﻮد‪ ،‬ﻣﺴﺎوى ﻳﺎ ﻛﻤﺘﺮ از ‪ ٨١٧‬ﺷﻮد‪ .‬اﻳﻦ ﻋﺪد ‪ ٧‬اﺳﺖ‬ ‫ﻛﻪ ﭼـﻮن در ‪) ١٠٧‬ﺣﺎﺻﻞ ﻗـﺮار دادن ‪ ٧‬ﺟﻠـﻮى ‪ (١٠‬ﺿﺮب ﺷﻮد‬ ‫‪ ٧٤٩‬ﻣـﻰ ﺷـﻮد و آن را ﻃـﺒـﻖ ﺷـﻜـﻞ‪ ،‬زﻳـﺮ ‪ ٨١٧‬ﻣﻰ ﻧـﻮﻳـﺴـﻴـﻢ و‬ ‫ﺗﻔﺎﺿﻠﺸـﺎن را ﻫﻢ ﻛﻪ ‪ ٦٨‬ﻣﻰ ﺷـﻮد زﻳﺮﺷﺎن ﺛﺒﺖ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﺿﻤﻨـﺎً‬ ‫ﻋﺪد ‪ ٧‬را ﻫﻢ ﺟـﻠـﻮى ‪) ٥‬ﻫﻢ در ﺳﻄﺮ ﺑﺎﻻ و ﻫﻢ در ﺳﻄـﺮ ﭘـﺎﻳـﻴـﻦ‬ ‫ﺟﺪول( در ﺳﺘﻮن ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ دور دوم وارد ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺗﺎ اﻳﻦ ﺟﺎ ﺑـﻪ‬ ‫ﻋﺪد ‪ ٥٧‬ﻣﻰ رﺳﻴﻢ‪.‬‬ ‫ﻣﺮﺣﻠﻪى ‪ .٣‬دور ﺳﻮم را ﺟﻠﻮى ‪ ٦٨‬ﻧﻮﺷﺘﻪ و ﻫﻤﺎن ﻛﺎرى را ﻛﻪ‬ ‫در ﻣﺮﺣﻠﻪ ى دوم ﺑـﺮاى ‪ ٨١٧‬و ‪ ٥‬اﻧﺠﺎم دادﻳﻢ در اﻳﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺑـﺮاى‬ ‫‪ ٦٨٨١‬و ‪ ٥٧‬اﻧﺠﺎم ﻣﻰ دﻫﻴﻢ‪.‬‬ ‫ﻣﺮﺣﻠﻪ ى ﺳﻮم‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٨١‬‬

‫‪٨١‬‬ ‫‪٧٦‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪٧‬‬ ‫‪١٧‬‬ ‫‪١٧‬‬ ‫‪٤٩‬‬ ‫‪٦٨‬‬ ‫‪٦٨‬‬

‫ﻣﺮﺣﻠﻪ ى دوم‬

‫‪٥‬‬ ‫‪٣٣‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪٨١‬‬

‫→‬

‫‪٧‬‬ ‫‪١٧‬‬ ‫‪١٧‬‬ ‫‪٤٩‬‬ ‫‪٦٨‬‬

‫ﻣﺮﺣﻠﻪ ى اول‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٣٣‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪٨١‬‬

‫‪١٧‬‬ ‫‪١٧‬‬

‫‪٥‬‬ ‫‪٣٣‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫‪٨‬‬

‫→‬

‫‪١١٤٦‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪٧‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪١٠‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪٧‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪١٠‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪٥‬‬

‫ﺟﺪول ‪١‬‬

‫ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ ﻟﺰوﻣﻰ ﺑﻪ ﺗﻜﺮار دورﻫﺎ ﻧﻤﻰ دﻳﺪ ﻳﻌﻨﻰ اﻋﺪاد ‪ ١٧‬و ‪٨١‬‬ ‫را ﻧﻤﻰ ﻧﻮﺷﺖ‪ .‬ﻋﺪد ‪ ٥٧٦‬ﻛﻪ ﺑﺎﻻ )ﻳﺎ ﭘﺎﻳﻴﻦ ﺟﺪول( ﻇﺎﻫﺮ ﻣﻰ ﺷﻮد‬ ‫ﻫﻤﺎن ﺟﺬر ‪ ٣٣١٧٨١‬ﻣﻰ ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪه اى ﻫﻢ ﻣﺴﺎوى ‪ ٥‬دارد‪.‬‬

‫روﺷﻰ ﻛﻪ اﻣﺮوزه ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ رود‬ ‫‪١٧‬‬ ‫‪٨١‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٥×٢=١٠‬‬ ‫‪١٧‬‬ ‫=‪١٠٧×٧‬‬ ‫‪٤٩‬‬ ‫‪٧٤٩‬‬ ‫‪٦٨‬‬ ‫‪٨١‬‬ ‫‪٥٧×٢=١١٤‬‬ ‫‪٦٨‬‬ ‫‪٧٦ ١١٤٦×٦=٦٨٧٦‬‬ ‫‪٥‬‬

‫روﺷﻰ ﻛﻪ ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ ﺑﺮد‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٣٣‬‬ ‫‪١٧‬‬ ‫‪٨١‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪١ ٧‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٤ ٩‬‬ ‫‪٦ ٨‬‬ ‫‪٨ ١‬‬ ‫‪٦٨‬‬ ‫‪٧٦‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪١ ١‬‬ ‫‪٤ ٦‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠ ٧‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪٣٣‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٧‬‬

‫ﺟﺪول ‪٢‬‬

‫ﭘﺲ از آن ﻛﻪ ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ ﺑﻪ دﺳﺘﻮر اﺳﺘﺨـﺮاج ﺟﺬر دﺳﺖ ﻳﺎﻓﺖ‪،‬‬ ‫ﺟﺬر ﻋﺪد دﻗﻴﻖ ﺗﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻛﺴﺮى ﺑﻪ آن اﺿﺎﻓﻪ ﻛﺮده‬ ‫ﺑﺮاى آن ﻛﻪ ﻣﻘﺪار ِ‬ ‫و ﻓﺮﻣﻮل زﻳﺮ را ﺑﻪ دﺳﺖ آورده اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2T +1‬‬

‫‪T2 + r = T +‬‬

‫ﺑﺮاى ﻣﺜﺎل ﺑﺎﻻ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻣﻰ ﺗﻮان ﻋﻤﻞ ﻛﺮد‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪= 576 +‬‬ ‫‪2 × 576 +1‬‬ ‫‪1153‬‬

‫‪ ١٠‬ﺿﺮب و در ﺟﺪوﻟﻰ ﺛﺒﺖ ﻛﺮد و ﺑﺮاى ﻣﺤﻜﻢ ﻛﺎرى‪ ،‬ارﻗﺎم ‪ 2π‬را‬ ‫)از ﭼﭗ ﺑﻪ راﺳﺖ( ﺑﻪ اﺑﺠﺪ در ﻳﻚ ﺑﻴﺖ ﻋﺮﺑﻰ و ﺑﻪ رﻗﻢ در ﻳﻚ ﺑﻴﺖ‬ ‫ﻓﺎرﺳﻰ ﺑﻪ ﻧﻈﻢ درآورد‪:‬‬ ‫ﺑﻪ ﻋﺮﺑﻰ‪:‬‬ ‫و ﺑَﺤﺠﺎ ﺣََﻬﺞ ﺻَﺰ اََزﻃﻪ ﺣَُﻮ‪¥‬ة‬ ‫ﻣﺤﻴﻂ ﻟﻘﻄﺮ ﻫﻮ اﺛﻨﺎن ﻣﻨﻪ‬ ‫‪¥‬‬ ‫ﺑﻪ ﻓﺎرﺳﻰ‪:‬‬ ‫ﺷﺶ و دو ﻫﺸﺖ و ﺳﻪ ﻳﻚ ﻫﺸﺖ و ﭘﻨﺞ و ﺳﻪ ﺻﻔﺮى‬ ‫ﺑﻬﻔﺖ و ﻳﻚ زا و ﻧﻪ ﭘﻨﺞ و ﻫﺸﺖ و ﺷﺶ ﭘﻨﺞ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ ﻋﺪد ﭘـﻰ را‪ ،‬ﻛﻪ ﻫﻤﺎن ﻧﺴﺒﺖ ﻣﺤﻴـﻂ داﻳـﺮه ﺑﻪ ﻗﻄـﺮ آن‬ ‫اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﺎ دﻗﺘﻰ ﺑﻪ دﺳﺖ آورد ﻛﻪ ﺗﺎ ﺣﺪود ‪ ١٥٠‬ﺳﺎل ﺑﻌﺪ از وى در‬ ‫دﻧﻴﺎ ﺑﻰ رﻗﻴﺐ ﻣﺎﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻪ ﺑﻴﺎن دﻗﻴﻖ ﺗﺮ‪ ،‬ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ ﻣﻘﺪار ‪ 2π‬را در ﺳﺎل ‪ ١٤٢٤‬ﻣﻴﻼدى‬ ‫ﺗﺎ ‪ ١٦‬رﻗﻢ اﻋﺸﺎرى ﺑﻪ دﺳﺖ آورد و ﺑﻌﺪﻫﺎ در اروﭘﺎ‪ ،‬وﻳﺖ‪ ١‬در ﺳﺎل‬ ‫‪ ١٥٧٩‬ﻣﻴﻼدى )ﻳﻌﻨﻰ در ﺣـﺪود ‪ ١٥٥‬ﺳﺎل ﺑﻌﺪ از ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ( ﻓـﻘـﻂ‬ ‫ﻳﺎزده اﻋﺸﺎر دﻗﻴﻖ ﭘﻰ را ﺑﻪ دﺳﺖ آورده اﺳﺖ و آدرﻳﻦ‪ ٢‬در ﺳﺎل ‪١٥٩٣‬‬ ‫ﻣﻴﻼدى‪ ،‬ﻓﻘﻂ ‪ ١٥‬رﻗﻢ اﻋﺸﺎر دﻗﻴﻖ ﭘﻰ را و ﻟﻮدﻟ‪ ٣4‬در ﺳﺎل ‪١٦١٠‬‬ ‫ﻣﻴﻼدى‪ ،‬ﺳﻰ و ﭘﻨﺞ رﻗﻢ اﻋﺸﺎرى دﻗﻴﻖ آن را ﺣﺴﺎب ﻛﺮد‪.‬‬

‫‪5762 + 5 = 576 +‬‬

‫ﻛﻪ در اﻳﻦ ﻓـﺮﻣﻮل‪ T ،‬رﻳﺸﻪ ى دوم ﻋـﺪد و ‪ ،r‬ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧـﺪه ى آن‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ب( ﻋﺪد ﭘﻰ‬ ‫ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ ﻣﻘﺪار ﻋﺪد ‪ 2π‬را ﺑﺎ ﻛﺴﺮﻫﺎى ﺷﺼﺖ ﺷﺼﺘﻰ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑـﺎ‬ ‫‪١٦ ، ٥٩ ، ٢٨ ، ١ ، ٣٤ ، ٥١ ، ٤٦ ، ١٤ ، ٥٠‬؛ ‪2π = 6‬‬ ‫ﺑﻪ دﺳـﺖ آورد و ﺳﭙﺲ آن را ﺑﺎ ﻛﺴـﺮﻫﺎى دﻫﺪﻫﻰ ﻛﻪ ﻓﻜﺮ ﻣـﻰ ﻛـﺮد‬ ‫ﺧﻮد ﻣﺨﺘﺮع آن ﻫﺎﺳﺖ‪ ،‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻧﻮﺷﺖ‪:‬‬ ‫‪2π = 6 / 28, 31, 85, 307,179, 58, 65‬‬

‫ج( ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ى ‪sin1o‬‬ ‫ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ ﺑﺎ روﺷﻰ اﺑﺘﻜﺎرى ﻣﻘﺪار ‪ sin1o‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻛﺮده اﺳﺖ‪.‬‬ ‫وى اﺑﺘﺪا ﻣﻘـﺪار ‪ sin2o‬را ﺗﺎ ‪١٧‬رﻗﻢ اﻋﺸﺎر ﺑـﻪ ﺷـﺮح زﻳﺮ ﺑﻪ دﺳـﺖ‬ ‫آورد‪:‬‬ ‫‪sin2o = 2,5, 339,26,22,29,28, 32,52, 32‬‬

‫ﺳﭙﺲ اﻳﻦ ﻣﻘﺪار را ﻧﺼ‪ 4‬ﻛﺮد و ﻣﻘﺪار ‪ sin1o‬را ﺑﻪ دﺳﺖ آورد‪:‬‬ ‫‪sin1o = 0/ 017 452 406 437 283 510 371 2‬‬

‫ﻛﻪ اﻳﻦ ﻫﻔﺪه رﻗﻢ اﻋﺸﺎر دﻗﻴﻖ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻫﻤﻪ ى ‪ ١٦‬رﻗﻢ اﻋﺸﺎرى اﻳﻦ ﻋﺪد دﻗﻴﻖ ﺑﻮده ﻛﻪ ﻧﻬﺎﻳﺖ ﻇﺮاﻓﺖ‬ ‫ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ را ﻣﻰ رﺳﺎﻧﺪ و ﻗﺒﻞ از وى ﻛﺴﻰ ﺑﻪ ﭼﻨﻴﻦ دﻗﺘﻰ دﺳﺖ ﻧﻴﺎﻓﺘﻪ‬ ‫ﺑـﻮد*‪ .‬وى ﺑﺮاى ﺟﻠـﻮﮔﻴـﺮى از اﺷﺘﺒﺎﻫﺎﺗﻰ ﻛـﻪ ﻣـﻤـﻜـﻦ ﺑـﻮد ﺗـﻮﺳﻂ‬ ‫ﻧﺴﺨﻪ ﻧﻮﻳﺴـﺎن ﺑـﻪ وﺟﻮد آﻳﺪ‪ ،‬ﻣﻘـﺪار ‪ 2π‬را در اﻋﺪاد ﺻﺤﻴـﺢ ‪ ١‬ﺗﺎ‬ ‫‪٢١‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫ﺳﺘﻮن ﺗﻮان دوم‬

‫ﺳﺘﻮن ﺗﻮان ﺳﻮم‬

‫ﺳﺘﻮن ﺗﻮان ﭼﻬﺎرم‬

‫ﺳﺘﻮن ﺗﻮان ﭘﻨﺠﻢ‬

‫ﺳﺘﻮن ﺗﻮان ﺷﺸﻢ‬

‫ﺳﺘﻮن ﺗﻮان ﻫﻔﺘﻢ‬

‫‪٢‬‬

‫ﺳﺘﻮن ﺗﻮان ﻫﺸﺘﻢ‬

‫ﺑﺎ دﻗﺖ ﺑﻪ اﻳﻦ ﭼﻬـﺎر ﺟـﺪول‪ ،‬ﻣﺸﺨﺺ ﻣﻰ ﺷـﻮد ﻛﻪ‬ ‫ﺟـﺪول ﺷﻤـﺎره ى ‪ ،٣‬ﻫﻤﺎن ﺟـﺪول ﺷﻤـﺎره ى ‪ ،٦‬ﻳﻌـﻨـﻰ‬ ‫ﻣﺜﻠﺚ ﺣﺴﺎﺑﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺗﻔﺎوت ﻫﺎﻳﻰ ﺟﺰﻳﻰ در آن ﺑﻪ ﭼﺸﻢ‬ ‫ﻣﻰ ﺧﻮرد؛ از ﺟﻤﻠﻪ‪:‬‬ ‫‪ .١‬وﺿﻊ ﻗﺮار ﮔـﺮﻓﺘﻦ اﻋﺪاد در آن ﺗﻔﺎوت دارد ﻳﻌﻨـﻰ‬ ‫اﻋﺪادى ﻛﻪ در ﺟـﺪول در ﺳﺘﻮن ﻗﺎﺋﻢ ﻗـﺮار ﮔﺮﻓﺘﻪ اﻧـﺪ‪ ،‬در‬ ‫ﻣﺜﻠﺚ ﺣﺴﺎﺑﻰ در ﺳﻄﺮﻫﺎى اﻓﻘﻰ ﻗﺮار دارﻧﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٢‬ﻳﻚ ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ در ﻣﺜﻠﺚ ﺣﺴﺎﺑﻰ در ﺳﺘﻮن ﭼﭗ ﻗﺮار‬ ‫دارد‪ ،‬در ﺟﺪول دﻳﺪه ﻧﻤﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ در ﻣﻘﺪﻣﻪ ى ﻣﻔﺘﺎح اﻟﺤﺴﺎب ﺑـﻪ اﻳـﻦ ﻧـﻜـﺘـﻪ‬ ‫اﺷﺎره دارد ﻛﻪ ﺟﺪول ﻫﺎى ‪ ٤ ، ٣‬و ‪ ٥‬را از ﭘﻴﺸﻴﻨﻴﺎن اﻗﺘﺒﺎس‬ ‫ﻧﻤﻮده اﺳﺖ‪.‬‬ ‫در ﻣـﻮرد ﻣﺜﻠﺚ ﺣﺴﺎﺑﻰ ﺑﻪ ﻃـﻮر دﻗـﻴـﻖ ﻧـﻤـﻰ ﺗـﻮاﻧﻴـﻢ‬ ‫ﺑﮕﻮﻳﻴﻢ ﭼﻪ ﻛﺴﻰ ﻣﺨـﺘـﺮع آن ﺑﻮده اﺳﺖ‪ .‬ﻓﻘﻂ ﻣﻰ داﻧﻴـﻢ‬ ‫ﺳﺎﺑﻘﻪ ى ﺑﻪ ﻛـﺎرﮔﻴﺮى و اﺳﺘﻔﺎده از اﻳﻦ ﻣﺜﻠﺚ‪ ،‬ﺑـﻪ ﺣـﺪود‬ ‫‪ ٨٠‬ﺳﺎل ﻗﺒﻞ از ﻋـﻤـﺮ ﺧـﻴـﺎم ﺑـﺎز ﻣـﻰ ﮔـﺮدد‪ .‬زﻳـﺮا ﺑﻨـﺎ ﺑـﺮ‬ ‫اﻃﻼﻋﺎت ﻣﺎ‪ ،‬اﺑﻮﺑﻜﺮ ﻣﺤﻤﺪﺣﺴـﻴـﻦ ﻛـﺮﺟﻰ‪ ،‬ﻧﺨﺴﺘﻴـﻦ‬ ‫ﻛﺴﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ اﻳﻦ ﻣﺜﻠﺚ را در آﺛﺎر ﺧﻮد ﺛﺒﺖ ﻛﺮده اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻻزم ﺑﻪ ذﻛﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻛﺮﺟﻰ رﻳﺎﺿﻰ دان اﻳﺮاﻧﻰ اﺳﺖ‬ ‫ﻛﻪ در اواﺧﺮ ﻗﺮن ﺳﻮم و اواﻳﻞ ﻗﺮن ﭼﻬﺎرم زﻧﺪﮔﻰ ﻣﻰ ﻛﺮده‬ ‫اﺳـﺖ‪ .‬از ﻧـﻜـﺎت ﻗـﺎﺑـﻞ ﺗــﻮﺟـﻪ اﻳـﻦ اﺳـﺖ ﻛـﻪ اﻣــﺮوزه‬ ‫اروﭘﺎﻳﻴﺎن‪ ،‬ﺟـﺪول ﺷﻤﺎره ى ‪ ،٥‬ﻳﻌﻨﻰ ﻣﺜﻠﺚ ﺣـﺴـﺎﺑـﻰ را‬ ‫»ﻣﺜﻠﺚ ﺣﺴﺎﺑﻰ ﭘﺎﺳﻜﺎل« ﻣﻰ ﻧﺎﻣﻨـﺪ‪ .‬ﭘـﺎﺳـﻜـﺎل در ﺳـﺎل‬ ‫‪ ١٦٢٣‬ﻣﺘﻮﻟﺪ ﺷﺪ؛ ﻳﻌﻨﻰ ﺣﺪود ‪ ٢٠٠‬ﺳﺎل ﺑﻌﺪ از ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ‬ ‫اﻳﻦ ﻣﺜﻠﺚ را ﺑﻪ ﻧﺎم ﺧﻮد ﺛﺒﺖ ﻛﺮده اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٤‬‬

‫‪٧‬‬ ‫‪٢١ ٦‬‬ ‫‪٣٥ ١٥ ٥‬‬ ‫‪٣٥ ٢٠ ١٠‬‬ ‫‪٢١ ١٥ ١٠‬‬ ‫‪٧ ٥ ٥‬‬

‫‪٨‬‬ ‫‪٢٨‬‬ ‫‪٥٦‬‬ ‫‪٧٠‬‬ ‫‪٥٦‬‬ ‫‪٢٨‬‬ ‫‪٨‬‬

‫ﺳﺘﻮن ﺗﻮان ﻧﻬﻢ‬

‫‪ (٣‬ﻛﺎرﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ در آﺛﺎر ﻛﺎﺷﺎﻧـﻰ آﻣـﺪه و ﺑـﻪ ﻧـﺎم‬ ‫اﺷﺨﺎص ﺑﻌﺪ از ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ ﺛﺒﺖ ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫اﻟ‪ (x‬ﻣﺜﻠﺚ ﺣﺴﺎﺑﻰ‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ در ﻣﺜﺎﻟـﻰ‪ ،‬ﻣـﻘـﺪار ‪ ٥ -٤‬را ﺣﺴﺎب ﻛـﺮده‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬وى ﺑﺮاى ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ى اﻳﻦ ﻣﻘﺪار از ﺟـﺪول ﻫﺎى ‪٢‬‬ ‫و ‪ ٣‬و ‪ ٤‬ﺑﻪ ﺷﺮح زﻳﺮ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮده اﺳﺖ‪.‬‬

‫ردﻳ‪ 4‬ﻫﺎ‬

‫‪٩‬‬ ‫‪٣٦‬‬ ‫‪٨٤‬‬ ‫‪١٢٦‬‬ ‫‪١٢٦‬‬ ‫‪٨٤‬‬ ‫‪٣٦‬‬ ‫‪٩‬‬

‫ردﻳ‪ 4‬ﺗﻮان ﻫﺸﺘﻢ‬ ‫ردﻳ‪ 4‬ﺗﻮان ﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ردﻳ‪ 4‬ﺗﻮان ﺷﺸﻢ‬ ‫ردﻳ‪ 4‬ﺗﻮان ﭘﻨﺠﻢ‬ ‫ردﻳ‪ 4‬ﺗﻮان ﭼﻬﺎرم‬ ‫ردﻳ‪ 4‬ﺗﻮان ﺳﻮم‬ ‫ردﻳ‪ 4‬ﺗﻮان دوم‬ ‫ردﻳ‪ 4‬ﭘﺎﻳﻪ‬

‫ﺟﺪول ‪٣‬‬ ‫ردﻳ‪ 4‬ﻫﺎ‬ ‫ردﻳ‪ 4‬ﺗﻮان ﭼﻬﺎرم‬ ‫ردﻳ‪ 4‬ﺗﻮان ﺳﻮم‬ ‫ردﻳ‪ 4‬ﺗﻮان دوم‬ ‫ردﻳ‪ 4‬ﭘﺎﻳﻪ‬

‫ﺗﻮان ﻋﺪد ‪٤‬‬ ‫‪٢٥٦‬‬ ‫‪٦٤‬‬ ‫‪١٦‬‬ ‫‪٤‬‬

‫ﺳﺘﻮن ﺗﻮان ﭘﻨﺠﻢ‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪ → ٢١٠٠‬ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ‬ ‫‪+ ١‬‬ ‫ــــــــ‬ ‫‪٢١٠١‬‬ ‫=‪٥٥-٤٥‬‬

‫ﺟﺪول ‪٤‬‬ ‫ردﻳ‪ 4‬ﻫﺎ‬

‫ﺳﺘﻮن ﺗﻮان ﭘﻨﺠﻢ‬

‫ﺗﻮان ﻋﺪد ‪٤‬‬

‫ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻫﺎ‬

‫ﺗﻮان ﻋﺪد ‪٣‬‬

‫ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻫﺎى دوم‬

‫ردﻳ‪ 4‬ﺗﻮان‬

‫‪٥‬‬

‫‪٢٥٦‬‬

‫‪١٢٨٠‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٣٨٤٠‬‬

‫ردﻳ‪ 4‬ﺗﻮان‬

‫‪١٠‬‬

‫‪٦٤‬‬

‫‪٦٤٠‬‬

‫‪٩‬‬

‫‪٥٧٦٠‬‬

‫ردﻳ‪ 4‬ﺗﻮان‬

‫‪١٠‬‬

‫‪١٦‬‬

‫‪١٦٠‬‬

‫‪٢٧‬‬

‫‪٤٣٢٠‬‬

‫ردﻳ‪ 4‬ﭘﺎﻳﻪ‬

‫‪٥‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪٢٠‬‬

‫‪٨١‬‬

‫‪١٦٢٠‬‬

‫ﭼﻬﺎرم‬ ‫ﺳﻮم‬ ‫دوم‬

‫‪ → ١٥٥٤٠‬ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ‬ ‫‪٣٥ → ٢٤٣‬‬ ‫ـــــــــــ‬ ‫‪١٥٧٨٣‬‬ ‫=‪٧٥-٤٥‬‬

‫ﺟﺪول ‪٥‬‬ ‫ﻣﺜﻠﺚ ﺣﺴﺎﺑﻰ‬

‫‪١‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٣٦‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٢٨‬‬ ‫‪٨٤‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١٥‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٣٥ ٢١‬‬ ‫‪٧٠ ٥٦‬‬ ‫‪١٢٦ ١٢٦‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪٣٥‬‬ ‫‪٥٦‬‬ ‫‪٨٤‬‬

‫ﺟﺪول ‪٦‬‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪٢٢‬‬

‫ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻫﺎ‬ ‫‪١٢٨٠‬‬ ‫‪٦٤٠‬‬ ‫‪١٦٠‬‬ ‫‪٢٠‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪١٥‬‬ ‫‪٢١‬‬ ‫‪٢٨‬‬ ‫‪٣٦‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬

‫ﺳﻄﺮ اول‬ ‫ﺳﻄﺮ دوم‬ ‫ﺳﻄﺮ ﺳﻮم‬ ‫ﺳﻄﺮ ﭼﻬﺎرم‬ ‫ﺳﻄﺮ ﭘﻨﺠﻢ‬ ‫ﺳﻄﺮ ﺷﺸﻢ‬ ‫ﺳﻄﺮ ﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺳﻄﺮ ﻫﺸﺘﻢ‬ ‫ﺳﻄﺮ ﻧﻬﻢ‬ ‫ﺳﻄﺮ دﻫﻢ‬

‫ﻣﻬﻢ ﺗﺮﻳﻦ آﺛﺎر ﻛﺎﺷﺎﻧـﻰ زﻳـﺞ ﺧـﺎﻗـﺎﻧـﻰ‪،‬‬ ‫ﻣﻔﺘﺎح اﻟﺤﺴﺎب‪ ،‬رﺳﺎﻟﻪ ﻣﺤﻴﻄﻴﻪ‪ ،‬رﺳﺎﻟﻪ‬ ‫وﺗﺮ و ﺟﻴﺐ‪ ،‬رﺳﺎﻟﻪ ى ﻋﻠﻢ ﻫﻴـﺄت‪ ،‬آﻻت‬ ‫رﺻﺪ و ﻧﺰﻫﺔ اﻟﺤﺪاﺋﻖ ﻣﻰ ﺑﺎﺷﺪ‬

‫ب( ﺑﺴﻂ دو ﺟﻤﻠﻪ اى‬ ‫از ﺟﺪول ﻫﺎى ﺷﻤﺎره ى ‪ ٣ ، ٢‬و ‪ ٤‬ﻧﻜﺎت دﻳﮕﺮى ﻧﻴﺰ ﺣﺎﺻـﻞ‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ از اﻳﻦ ﻗﺮارﻧﺪ‪:‬‬ ‫‪ .١‬اﻋﺪادى ﻛـﻪ در ﺟـﺪول ‪ ٢‬ﻗﺮار ﮔـﺮﻓﺘﻪ اﻧـﺪ‪ ،‬ﺿـﺮاﻳﺐ ﺑﺴـﻂ‬ ‫دو ﺟﻤﻠﻪ اى ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺜﺎل اﻋﺪادى ﻛﻪ در ﺳﺘﻮن ﺗﻮان ﻫﺸﺘﻢ‬ ‫ﻗﺮار دارﻧﺪ ﻳﻌﻨـﻰ‪ ،٨ ، ٢٨ ، ٥٦ ، ٧٠ ، ٥٦ ، ٢٨ ، ٨ :‬ﺿـﺮاﻳﺐ‬ ‫ﺑﺴﻂ دو ﺟﻤﻠﻪ اى ‪ (a + b) 8‬ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪(a + b) 8 = a 8 + 8a 7 b + 28a 6 b2 + 56a 5 b 3 + 70a 4 b4‬‬

‫‪+56a 3 b5 + 28a 2b6 + 8ab 7 + b 8‬‬

‫‪ .٢‬اﮔﺮ در ﺟﺪول ﺷﻤﺎره ى ‪ ،٤‬دو ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﻮاﻟﻰ را‬ ‫‪ a‬و ‪ b‬ﺑﻨﺎﻣﻴﻢ‪ ،‬ﺣﺎﺻﻞ اﻳﻦ ﺟﺪول ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪(a + b)5 − a 5 = 5a 4 b +10a 3 b2 +10a 2b 3 + 5ab4 + b5‬‬

‫و از آن ﺟﺎ‬ ‫‪(a + b)5 = a 5 + 5a 4 b +10a 3 b2 +10a 2b 3 + 5ab4 + b5‬‬

‫ﻛﻪ ﻫﻤﺎن دﺳﺘﻮر ﺑﺴﻂ دو ﺟﻤﻠﻪ اى اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻫﻤﺎن ﻃﻮر ﻛﻪ ﮔﻔﺘﻴﻢ ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ اﻳﻦ ﺟﺪول ﻫﺎ را ﺟﺰو ﻛﺎرﻫﺎى ﺧﻮد‬ ‫ﻧﺪاﻧﺴﺘﻪ و آن ﻫﺎ را ﻛﺎرﻫﺎى اﻓﺮاد ﻗﺒﻞ از ﺧﻮد ﻣﻰ داﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﻃﺒﻖ ﭘﮋوﻫﺶ ﻫﺎﻳﻰ‪ ،‬دﺳﺘﻮر ﺑﺴﻂ دو ﺟﻤﻠﻪ اى ﻧﻴﺰ )در ﺣﺎﻟﺘﻰ‬ ‫ﻛﻪ ﻧﻤﺎﻳﻨﺪه ى آن ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﺑﺎﺷﺪ(‪ ،‬در آﺛﺎر و ﺗﺄﻟﻴـﻔـﺎت ﻛـﺮﺟﻰ‬ ‫دﻳﺪه ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﺘﺄﺳﻔﺎﻧﻪ ﻛﺘﺎب ﻛـﺮﺟﻰ ﻣﻮﺟﻮد ﻧﻴﺴﺖ‪ ،‬اﻣﺎ ﺑﺨﺶ ﻫـﺎﻳـﻰ از آن‬ ‫در ﻛﺘﺎب »اﻟﺒﺎﻫﺮ ﻓﻰ ﻋﻠﻢ اﻟﺤﺴﺎب« ﻧﻘﻞ ﺷﺪه ﻛﻪ از ﺟﻤﻠﻪ ﺗﺄﻟﻴﻔﺎت‬ ‫»اﺑﻮﻧﺼﺮ ﺳﻤﻮأل ﺑﻦ ﻳﺤﻴﻰ« اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺳـﺎل ‪ ٥٧٠‬ﻫﺠﺮى ﻗﻤﺮى‬ ‫در ﻣﺮاﻏﻪ درﮔﺬﺷﺖ‪.‬‬ ‫ﻧﻴﻮﺗﻦ ﻛﻪ در ﺳـﺎل ‪ ١٦٤٢‬در اﻧﮕﻠﺴﺘﺎن ﻣﺘﻮﻟﺪ ﺷﺪ‪ ،‬در ﺣـﺪود‬ ‫‪ ٢٠٠‬ﺳﺎل ﺑﻌﺪ از ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ‪ ،‬دﺳﺘﻮر ﺑﺴﻂ دو ﺟـﻤـﻠـﻪ اى را ﻣﺠـﺪداً‬ ‫ﺑﻪ دﺳﺖ آورد ﻛﻪ اﻣﺮوزه دﺳﺘﻮر ﺑﺴﻂ دو ﺟﻤﻠﻪ اى را ﺑﻪ ﻧﺎم »دﺳﺘﻮر‬ ‫ﺑﺴﻂ دو ﺟﻤﻠﻪ اى ﻧﻴﻮﺗﻦ« ﻣﻰ ﺷﻨﺎﺳﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٤‬ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔﻴﺮى‬ ‫ﺑﺮرﺳﻰ ﻣـﻮارد ﻓﻮق ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﺪ ﻛﻪ ﺑـﺴـﻴـﺎرى از آﺛﺎر ﻣﻔﺎﺧـﺮ‬ ‫ﻋﻠﻤﻰ ﻣﺎ ﺑـﺮاى ﺧﻮد ﻣﺎ ﻧﻴﺰ ﻧﺎﺷﻨﺎﺧﺘﻪ اﺳﺖ و ﻣﺘﺄﺳﻔﺎﻧﻪ ﺑﺴـﻴـﺎرى از‬ ‫آن ﻫﺎ ﻋﻠـﻰ رﻏﻢ وﺟﻮد ﻧﺴﺦ ﺧﻄﻰ دال ﺑﺮ ﻣﺎﻟﻜﻴـﺖ آن ﻫـﺎ‪ ،‬ﺑـﻪ ﻧـﺎم‬ ‫ﻛﺴﺎﻧﻰ ﺛﺒﺖ ﮔﺮدﻳﺪه اﻧﺪ ﻛﻪ ﺳﺎل ﻫﺎ ﺑﻌﺪ از آن ﺑﺰرﮔﺎن ﭘﺎ ﺑﻪ ﻋﺮﺻﻪ ى‬ ‫وﺟﻮد ﮔﺬاﺷﺘﻪ اﻧﺪ‪ .‬ﺿﺮورت ﭘﻰ ﮔﻴﺮى ﻫﻮﻳﺖ اﻳﻦ آﺛﺎر و ﺛﺒﺖ آن ﻫﺎ‬ ‫ﺑﻪ ﻧﺎم ﻣﺆﻟﻔﻴﻦ واﻗﻌﻰ‪ ،‬اﻣﺮى ﻛﺎﻣﻼً واﺿﺢ ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﻰ رﺳﺪ‪.‬‬ ‫ﭘﻰ ﻧﻮﺷﺖ ﻫﺎ‬ ‫* ﻛﺴﺮﻫﺎى دﻫﺪﻫﻰ ﻗﺒﻞ از ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ ﻫـﻢ ﺑـﻮده اﻧﺪ اﻟﺒﺘﻪ ﻧﺤـﻮه ى ﻧﻤﺎﻳﺸﺸـﺎن ﻓـﺮق‬ ‫ﻣﻰ ﻛﺮده اﺳﺖ و اﺣﺘﻤﺎل دارد ﻛﻪ ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ ﺑﻰ ﺧﺒﺮ ﺑﻮده اﺳﺖ‪ .‬ﭼﻨﻴﻦ ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﻰ رﺳﺪ‬ ‫ﻛﻪ ﺑﺮﺧﻰ از ﻛﺎرﻫﺎى ﺧﻴﺎم و اﻣﺜﺎل او ﺑﻪ ﻋﻠﺖ آﺷﻔﺘﮕﻰ ﺣﺎﺻﻞ از ﺣﻤﻠﻪ ﻣﻐﻮل ﻫﺎ‬ ‫و ﺗﻴﻤﻮرﻳﺎن ﺑﻪ اﻃﻼع ﻫﻤﮕﺎن ﻧﺮﺳﻴﺪه ﺑﺎﺷﻨﺪ و ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ اﻣﺘﻴﺎز ﻛﺎﻓﻰ را ﺑﻪ ﭘﻴﺸﻴﻨﻴﺎن‬ ‫ﺧﻮد ﻧﺪاده ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻛﺘﺎب ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ ﻧﺎﻣﻪ ﻣﺮاﺟﻌﻪ ﻓﺮﻣﺎﻳﻴﺪ‪) .‬رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ(‬ ‫‪1. Viete‬‬ ‫‪2. Adrian Romian‬‬ ‫‪3. Ludolf‬‬ ‫ﻣﻨﺎﺑﻊ‬ ‫‪ .١‬ﻛﺎﺷﺎﻧﻰﻧﺎﻣﻪ‪ ،‬ﺗﺄﻟﻴ‪ 4‬اﺑﻮاﻟﻘﺎﺳﻢ ﻗﺮﺑﺎﻧﻰ‪ ،‬ﭼﺎپ دوم‪.١٣٨٦ ،‬‬ ‫‪ .٢‬در ﻗﻠﻤﺮو رﻳﺎﺿﻴﺎت‪ ،‬ﺑﻪ ﻛﻮﺷﺶ ﻣﻬﻨﺪس ﻳﻮﻧﺲ ﻛﺮاﻣﺘﻰ‪ ،‬ﭼﺎپ اول‪.١٣٨١ ،‬‬ ‫‪ .٣‬ﻣﻔﺘﺎحاﻟﺤﺴـﺎب‪ ،‬ﺗﺄﻟﻴ‪ :4‬ﻏﻴﺎث اﻟﺪﻳﻦ ﺟﻤﺸﻴﺪ ﻣﺴـﻌـﻮد ﻃﺒﻴﺐ ﻛﺎﺷﺎﻧـﻰ‪،‬‬ ‫ﻛﺘﺎب ﺧﺎﻧﻪ ى آﻳﺖ اﻟﻠﻪ ﻣﺮﻋﺸﻰ ﻧﺠﻔﻰ‪.‬‬ ‫‪ .٤‬رﺳﺎﻟﻪى ﻣﺤﻴﻄﻴﻪ‪ ،‬ﺗﺄﻟﻴ‪ :4‬ﻏﻴﺎث اﻟﺪﻳﻦ ﺟﻤﺸﻴﺪ ﻣﺴﻌـﻮد ﻃﺒﻴﺐ ﻛﺎﺷﺎﻧﻰ‪،‬‬ ‫ﻛﺘﺎب ﺧﺎﻧﻪ ى آﻳﺖ اﻟﻠﻪ ﻣﺮﻋﺸﻰ ﻧﺠﻔﻰ‪.‬‬

‫‪٢٣‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫ﺑﻪ‪+‬ﻋﻨﻮان ﻳﻜﻰ از اﺻﻮل‬

‫آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‬

‫ﻟﻴﻼ اﺣﻤﺪﻟﻮ )دﺑﻴﺮ رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻨﻄﻘﻪ‪.‬ى درودزن ﺷﻴﺮاز(‬ ‫ﻣﺮﻳﻢ اﺳﺘﺎدى )دﺑﻴﺮ رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻨﻄﻘﻪ ﺟﻰ اﺻﻔﻬﺎن(‬ ‫اﻓﺴﺎﻧﻪ ﺣﻴﺪرى ارﺟﻠﻮ )دﺑﻴﺮ رﻳﺎﺿﻰ ﻧﺎﺣﻴﻪ ‪ ١‬اﻫﻮاز(‬ ‫زﻫﺮا ﺻﺒﺎغزاده ﻓﻴﺮوزآﺑﺎدى )دﺑﻴﺮ رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻴﺒﺪ ﻳﺰد(‬ ‫ﻧﺮﮔﺲ ﻋﻘﻴﻠﻰ )دﺑﻴﺮ رﻳﺎﺿﻰ ﻧﺎﺣﻴﻪ ‪ ٢‬ﻗﻢ(‬ ‫داﻧﺸﺠﻮﻳﺎن ﻛﺎرﺷﻨﺎﺳﻰ ارﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺸﮕﺎه‬ ‫ﺗﺮﺑﻴﺖ دﺑﻴﺮ ﺷﻬﻴﺪ رﺟﺎﻳﻰ‬

‫ﻣﻘﺪﻣﻪ‬ ‫ﻳﻜﻰ از ﭼﺎﻟﺶ ﻫﺎى ﭘﻴﺶ روى ﻣﺤﻘﻘﺎن آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ اﻳﻦ اﺳﺖ‬ ‫ﻛﻪ ﭘﻴﻮﻧﺪﻫﺎى ﺑﻴﻦ ﻓﺮﻫﻨﮓ‪ ،‬زﺑﺎن و آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿﻰ را ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﻛﻨﻨﺪ و‬ ‫ﻣﻄﻤﺌﻦ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻛﻪ ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻫﺎى آن ﻫﺎ‪ ،‬ﺑﺮ ﺗﺼﻤـﻴـﻢ ﮔـﻴـﺮى ﻫﺎى ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ ى‬ ‫درﺳﻰ رﻳﺎﺿﻰ ﺗﺄﺛﻴﺮ ﻣﻰ ﮔﺬارد‪ .‬اﻣﺎ ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﻣﻠﺖ ﻫﺎ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺟﻨﺒﻪ‪ ،‬ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﻛﺎﻓﻰ ﻧﻜﺮده اﻧﺪ‪ ،‬در ﺣﺎﻟﻰ ﻛﻪ ﻧﻈﺎم ﻫﺎى آﻣﻮزش رﺳﻤﻰ ﻧﻤﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺟﺪا‬ ‫از ﻓﺮﻫﻨﮕﻰ ﺑﺎﺷﻨـﺪ ﻛـﻪ در آن زﻧﺪﮔﻰ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺜﺎل‪ ،‬ﺳـﺒـﻚ‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴـﺮى ﻛﻮدﻛﺎن‪ ،‬ﺑﺎورﻫﺎ‪ ،‬ﻧﻈـﺮات ﺷﺨﺼﻰ و ﻃـﺮح ﻫﺎى ﺷﻨﺎﺧﺘـﻰ‬ ‫آن ﻫﺎ ﺑﻪ ﺑﺎﻓﺖ ﻓﺮﻫﻨﮕﻰ ﻛﻪ در آن ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻪ اﻧﺪ‪ ،‬ﻣﺮﺑﻮط ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﻪ ﺧﺼـﻮص در ﻛﺸﻮرﻫﺎى در ﺣﺎل ﺗـﻮﺳﻌﻪ ﺑﺎﻳﺪ ﻣﻮرد‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ ﻗﺮار ﮔﻴﺮد‪ ،‬ﭼﺮا ﻛﻪ در اﻳﻦ ﻣﻨﺎﻃﻖ‪ ،‬از ﺷﺮوع ﻗﺮن ﮔﺬﺷﺘﻪ ﺑﻴﺶ ﺗﺮ‬ ‫ﺳﻌﻰ ﺷﺪه اﺳﺖ ﺗﺎ از ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎى درﺳﻰ ﻛﺸﻮرﻫﺎى ﻏﺮﺑﻰ در ﺗﺪرﻳﺲ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ﺷـﻮد‪ ،‬ﺑﺪون ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ ى ﻣﻬﻢ ﻛﻪ اﻳـﻦ ﻧـﻮع ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎ‬ ‫ﻫﻴﭻ ﮔﻮﻧﻪ ﻫﻤﺎﻫﻨﮕﻰ ﺑﺎ ﻓﺮﻫﻨﮓ ﺣﺎﻛﻢ ﺑﺮ اﻳﻦ ﺟﻮاﻣﻊ ﻧﺪارﻧﺪ و ﺑﺪﺗﺮ اﻳﻦ ﻛﻪ‬ ‫اﻳﻦ ﻧﻮع ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎ ﺣﺘﻰ از ﻃﺮف ﺧﻮد ﻏﺮﺑﻰ ﻫﺎ ﻧﻴﺰ ﻛﻨﺎر ﮔﺬاﺷﺘﻪ ﺷﺪه اﻧﺪ‪.‬‬ ‫در واﻗﻊ‪ ،‬ﺗﻤﺎم زﺑﺎن ﻫﺎ ﺗـﻮاﻧﺎﻳﻰ ﺑﻴﺎن ﺗـﺼـﻮرات رﻳﺎﺿﻰ ﻏﺮﺑﻰ و‬ ‫ﻧﻤﺎدﻫﺎى ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘﻪ در آن را ﻧﺪارﻧﺪ و از ﻃﺮف دﻳﮕﺮ‪ ،‬ﺗﺼﻮرات رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫اﻓﺮاد در زﺑﺎن ﻫﺎى ﺑﻮﻣﻰ را ﻧﻴﺰ ﻧﻤﻰ ﺗﻮان ﺑﻪ راﺣﺘﻰ ﺑﻪ زﺑﺎن اﻧﮕﻠﻴﺴﻰ ﻳﺎ‬ ‫ﻫﺮ زﺑﺎن ﻣﺸﺘﺮك دﻳﮕﺮى ﺑﻴﺎن ﻛﺮد‪ .‬ﺑﺎﻳﺪ دﻗﺖ داﺷﺖ ﻛﻪ ﻳﺎدﮔﻴﺮى زﺑﺎن‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪٢٤‬‬

‫و ﻧﻤﺎدﻫﺎى ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘﻪ در زﺑﺎن ﻫﺎى ﻏﺮﺑﻰ‪ ،‬ﺧﻮد ﻳﻚ ﻣﺆﻟﻔﻪ ى اﺳﺎﺳﻰ‬ ‫در زﻣﻴﻨﻪ ى رواج ﻳﻚ ﻓﺮﻫﻨﮓ ﺑﻴﮕﺎﻧﻪ در ﻳﻚ ﺟﺎﻣﻌﻪ اﺳﺖ‪ ،‬اﻣﺎ ﻣﺘﺄﺳﻔﺎﻧﻪ‬ ‫اﻣﺮوزه داﻧﺶ آﻣـﻮزان در ﻛﺸﻮرﻫﺎى در ﺣﺎل ﺗـﻮﺳﻌﻪ ﻣﺠﺒـﻮرﻧﺪ ﻛﻪ در‬ ‫ﻛﻼس ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﻣﻔﺎﻫﻴـﻢ را ﺑﻪ ﺳﺒﻚ ﻏﺮﺑﻰ آﻣـﻮزش ﺑﺒﻴﻨﻨـﺪ‪ .‬در‬ ‫ﺣﺎﻟﻰ ﻛﻪ ﺗﻔـﺎوت ﻫﺎى اﻳﻦ ﮔﻮﻧﻪ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎ ﺑﺎ ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎى ﻛﺸﻮرﻫﺎى در‬ ‫ﺣﺎل ﺗﻮﺳﻌﻪ ﺑﺴﻴﺎر ﺑﻴﺶ ﺗﺮ از ﺷﺒﺎﻫﺖ ﻫﺎى آن ﻫﺎﺳﺖ‪.‬‬ ‫در ﺑﺮﻧﺎﻣـﻪ ﻫـﺎى درﺳﻰ رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ ﺑـﻪ ﻣـﻮاردى ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻣﺨـﺎﻃـﺒـﺎن‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ‪ ،‬ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪه‪ ،‬روش ﻫﺎى ﻳﺎدﮔﻴﺮى و ﺗﺪرﻳﺲ ﻣﻄﻠﺐ‬ ‫و ﻧﺤﻮه ى ارزﺷﻴﺎﺑﻰ و ﺑﺴﻴـﺎرى از ﻣﻮارد ﻣﻬﻢ دﻳﮕﺮ ﺗﻮﺟﻪ ﻛﺮد‪ .‬اﻳﻦ ﻫﺎ از‬ ‫ﺟﻤﻠﻪ اﺻﻮل آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﻧﺴﺒﻰ ﺑـﻮده و در ﻫﺮ ﺟﺎﻣﻌﻪ اى‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﺳﺐ ﺑﺎ ﻓﺮﻫﻨﮓ و ارزش ﻫﺎى ﺣﺎﻛﻢ ﺑﺮ آن ﺟﺎﻣﻌﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻧﻴﻮﻣﻦ‪ ،‬ﻳﻚ آﻣﻮزﺷﮕﺮ زﺑﺎن اﺳﺘﺮاﻟﻴﺎﻳﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺷﻴﻮه اى ﻧﻈﺎم وار‬ ‫ﺑﺮاى ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺧﻄﺎﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ در ﻫﻨﮕﺎم ﭘﺎﺳﺦ‬ ‫ﺑﻪ ﺳﺆاﻻت ﻛﺘﺒﻰ ﺑﺎ آن ﺑﺮﺧﻮرد ﻛﻨﻨـﺪ‪ ،‬اراﺋﻪ ﻛﺮد‪ .‬اﻳﻦ روش ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺑﺎ‬ ‫ﺳﺎﻳﺮ روش ﻫﺎ ﺑﺴﻴﺎر ﻣﺘﻔﺎوت ﺑﻮد و ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ دﻟﻴﻞ‪ ،‬ﺗﻮﺟﻪ ﭘﮋوﻫﺸﮕﺮان‬ ‫ﺑﻴﻦ اﻟﻤﻠﻠﻰ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ را ﺑﻪ ﺧﻮد ﺟﻠﺐ ﻛﺮد‪.‬‬ ‫وﻳﮋﮔﻰ ﻣﻨﺤﺼﺮ ﺑﻪ ﻓﺮد اﻳﻦ ﻧﻮع ﺗﺤﻠﻴﻞ اﻳﻦ ﺑﻮد ﻛﻪ ﺗﻮﺟﻪ ﺧﺎﺻﻰ ﺑﻪ‬ ‫ﺗﺄﺛﻴﺮ ﻋﺎﻣﻞ زﺑﺎن ﺑﺮ ﻳـﺎدﮔـﻴـﺮى رﻳﺎﺿﻰ و ﻧﺎﻣﻨﺎﺳـﺐ ﺑـﻮدن ﺑﺴﻴـﺎرى از‬

‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎى ﺟﺒﺮاﻧﻰ رﻳﺎﺿﻴﺎت در ﻣﺪارس داﺷﺖ‪ .‬او ﺗـﻮﺟﻪ زﻳﺎدى ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺤﻴﻂ ﻳﺎدﮔﻴـﺮى رﻳﺎﺿﻴﺎت داﺷﺖ و ﺳﻌﻰ ﻣﻰ ﻛـﺮد ﻛﻪ ﻳﻚ ﻣـﻮﻗﻌﻴﺖ‬ ‫ﻋﻤﻠﻰ ﻣﻨﺎﺳﺐ را ﻓﺮاﻫﻢ ﻛﻨﺪ ﺗﺎ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ ﺗﻔﻜﺮ رﻳﺎﺿﻰ ﮔﻮﻧﻪ‬ ‫را ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﺗﺤﻠﻴﻞ آن ﻗﺪر ﻋﻤﻴﻖ ﺑﻪ ﻋﺎﻣﻞ زﺑﺎن در ﻳﺎدﮔـﻴـﺮى‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ ﭘﺮداﺧﺘﻪ ﺑﻮد ﻛﻪ ﺑﻌﻀﻰ از ﭘﮋوﻫﺸﮕﺮان آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬زﺑﺎن‬ ‫را ﻳﻜﻰ از اﺻﻮل آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮاى آﺷﻨﺎﻳﻰ ﺑﺎ ﺗﺤﻠﻴﻠﻰ ﻛﻪ‬ ‫ﻧﻴﻮﻣﻦ اﻧﺠﺎم داد‪ ،‬ﺑﻪ ﻣﻌﺮﻓﻰ اﺟﻤﺎﻟﻰ آن ﻣﻰ ﭘﺮدازﻳﻢ‪.‬‬

‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺧﻄﺎى ﻧﻴﻮﻣﻦ‬ ‫ﻃﺒﻖ ﻧﻈﺮ ﻧﻴﻮﻣﻦ‪ ،‬ﺷﺨﺼﻰ ﻛﻪ ﻣﻰ ﺧﻮاﻫﺪ ﻳﻚ راه ﺣﻞ ﺻﺤﻴﺢ ﺑﺮاى‬ ‫ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻛﻼﻣﻰ ﺑﻪ دﺳﺖ آورد‪ ،‬ﺳﺮاﻧﺠﺎم ﺑﺎﻳﺪ ﻃﺒﻖ ﺳﻠﺴﻠﻪ ﻣـﺮاﺗﺐ زﻳﺮ‬ ‫اﻗﺪام ﻛﻨﺪ‪:‬‬ ‫‪ .١‬ﻣﺴﺌﻠﻪ را ﺑﺨﻮاﻧﺪ؛‬ ‫‪ .٢‬آن ﭼﻪ را ﺧﻮاﻧﺪه اﺳﺖ درك ﻛﻨﺪ؛‬ ‫‪ .٣‬ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻫﺎى ذﻫﻨـﻰ از واژﮔﺎن ﻛﻠﻴـﺪى را ﺑﺮاى اﻧﺘﺨـﺎب راﻫﺒﺮد‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻨﺎﺳﺐ اﻧﺠﺎم دﻫﺪ؛‬ ‫‪ .٤‬ﻣﻬﺎرت ﻫﺎى ﻓـﺮاﻳﻨﺪى ﻣﻮردﻧﻴـﺎز را ﺑﺮاى راﻫﺒﺮدﻫﺎى اﻧﺘﺨﺎﺑـﻰ‬ ‫ﺑﻪ ﻛﺎر ﮔﻴﺮد؛‬ ‫‪ .٥‬ﺟﻮاب را ﺑﻪ ﻳﻚ ﺷﻜﻞ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﺪه ى ﻗﺎﺑﻞ ﻗﺒﻮل‪ ،‬ﺑﻨﻮﻳﺴﺪ‪.‬‬

‫زﻳﺮا ﺳﺮﭼﺸﻤﻪ ى اﻳﻦ ﻣﺸﻜﻼت ﺑﻴﺶ ﺗﺮ در ﺧﻮد ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻗﺮار دارد ﺗﺎ در‬ ‫ﻛﺸﻤﻜﺶ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺣﻞ ﻛﻦ و ﻣﺴﺌﻠﻪ‪.‬‬ ‫اﻳﻦ ﺗﻤﺎﻳﺰ‪ ،‬در ﺷﻜﻞ ‪ ١‬ﻣﺸﺨﺺ ﺷﺪه اﺳﺖ و در ﻛﻨﺎر آن‪ ،‬ﺳﻠﺴﻠﻪ‬ ‫ﻣـﺮاﺗﺐ ﭘﻨـﺞ ﻣـﺮﺣﻠﻪ اى ﺗﺤﻠـﻴـﻞ ﺧـﻄـﺎى ﻧـﻴـﻮﻣﻦ آورده ﺷـﺪه اﺳـﺖ؛‬ ‫ﺧﻄﺎﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ در ﻫﺮ ﻣـﺮﺣﻠﻪ از ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ رخ دﻫـﺪ‪.‬‬ ‫ﺑـﺮاى ﻣﺜﺎل‪ ،‬ﺧﻄﺎى ﻧﺎﺷﻰ از ﺑـﻰ دﻗـﺘـﻰ ﻣـﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ ﻧﺎﺷـﻰ از ﺧـﻄـﺎى‬ ‫ﺧﻮاﻧﺪن‪ ،‬ﺧﻄﺎى ﺑﺪ ﻓﻬﻤﻴﺪن ﻳﺎ ﻣﺎﻧﻨﺪ آن ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﻧﺤﻮ‪ ،‬ﻳﻚ ﺷﺨﺺ ﻣـﻤـﻜـﻦ اﺳـﺖ ﺳـﺆال را ﺑﻪ درﺳﺘـﻰ‬ ‫ﺧﻮاﻧﺪه و درك ﻛﺮده ﺑﺎﺷﺪ و ﺣﺘﻰ ﻳﻚ راﻫﺒﺮد ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺑﺮاى ﺣﻞ آن در‬ ‫ﻧﻈﺮ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬اﻣﺎ در ﺣﻴﻦ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ ،‬ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺑﻪ ﻫﺮ‬ ‫رﻣﺰﮔﺮداﻧﻰ‬ ‫ﺑﻰ دﻗﺘﻰ‬

‫ﻣﻬﺎرت ﻫﺎى ﻓﺮاﻳﻨﺪى‬ ‫ﺗﺒﺪﻳﻞ‬ ‫درك‬

‫اﻧﮕﻴﺰه‬

‫ﺧﻮاﻧﺪن‬ ‫ﺷﻜﻞ‪ .١‬ﺳﻠﺴﻠﻪ ﻣﺮاﺗﺐ ﭘﻨﺞ ﻣﺮﺣﻠﻪ اى ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺧﻄﺎى ﻧﻴﻮﻣﻦ‬

‫ﻧﻴﻮﻣﻦ در ﻣﻄﺎﻟﻌـﻪ ى اوﻟﻴﻪ اش‪ ،‬درﻳﺎﻓﺖ ﻛﻪ‬ ‫ﺧــﻄــﺎﻫـــﺎى ﺧـــﻮاﻧــﺪن و درك و ﺗــﺒــﺪﻳـــﻞ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان‪ ،‬ﺑﻴﺶ از ‪ ٥٠‬درﺻﺪ ﻛﻞ ﺧﻄﺎﻫﺎ‬ ‫ﺑﻮده اﺳﺖ‬ ‫ﻧﻴﻮﻣـﻦ از واژه ى »ﺳﻠﺴﻠﻪ ﻣﺮاﺗﺐ« اﺳﺘﻔﺎده ﻛـﺮد زﻳﺮا ﺷﻜﺴـﺖ در‬ ‫ﻫﺮ ﺳﻄﺤﻰ از دﻧﺒﺎﻟﻪ ى ﺑﺎﻻ‪ ،‬ﺣﻞ ﻛﻨﻨﺪه ى ﻣﺴﺌﻠﻪ را از ﭘﻴﺸﺮﻓﺖ رﺿﺎﻳﺖ‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺑﺎز ﻣﻰ دارد )ﻣﮕﺮ اﻳﻦ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺷﺎﻧﺴﻰ و ﺑﺎ دﻻﻳﻞ ﻧﺎﻗـﺺ ﺑـﻪ‬ ‫ﺟﻮاب ﺑﺮﺳﺪ(‪ .‬ﻛﻴﺴﻰ )‪) ،(١٩٨٧‬ﻧﻘﻞ ﺷﺪه در ﻛﻠﻤﻨﺘﺲ و اﻟﺮﺗﻮن‪،‬‬ ‫‪ (١٩٩٦‬ﻧﻘﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ ﺣﻞ ﻛﻨﻨﺪه ى ﻣﺴﺌﻠﻪ اﻏﻠـﺐ در ﻫـﻨـﮕـﺎم ﺣـﻞ‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ ،‬ﺑﻪ ﻣﺮاﺣﻞ ﻗﺒﻠﻰ ﺳﻠﺴﻠﻪ ﻣﺮاﺗﺐ ﺑﺮﻣﻰ ﮔﺮدد )ﺑﺮاى ﻣﺜﺎل در وﺳﻂ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﭘﻴﭽﻴﺪه‪ ،‬ﺷﺨﺺ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺗﺼﻤﻴﻢ ﺑـﮕـﻴـﺮد ﻛﻪ دوﺑﺎره‬ ‫ﺳﺆال را ﺑﺨﻮاﻧﺪ و ﻛﻨﺘﺮل ﻛﻨﺪ ﻛﻪ آﻳﺎ ﻫﻤﻪ ى داده ﻫﺎى ﻣﺮﺑـﻮط را ﺑﻪ ﻛﺎر‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ ﻳﺎ ﺧﻴﺮ؟( ﺑﻪ ﻫﺮ ﺣﺎل‪ ،‬ﺣﺘﻰ اﮔﺮ ﺑﻌﻀﻰ از ﻣﺮاﺣﻞ در ﻃﻮل‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﺎزﺑﻴﻨﻰ ﺷـﻮد‪ ،‬ﺑﺎز ﻫﻢ ﺳﻠﺴﻠﻪ ﻣﺮاﺗﺐ ﻧﻴﻮﻣﻦ‪ ،‬ﺑﺮاى ﺗﻮاﻟﻰ‬ ‫ﻣﺮاﺣﻞ‪ ،‬اﺳﺎﺳﻰ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻛﻠﻤﻨﺘﺲ و اﻟـﺮﺗﻦ‪ (١٩٩٦) ،‬ﺗﻜﻨﻴﻚ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺧﻄﺎى ﻧﻴـﻮﻣـﻦ را ﺑﺎ‬ ‫ﺧﻄﺎﻫـﺎى ﻧـﻮع دﻳﮕـﺮى ﻛﻪ در ﻧـﻤـﻮدار ﻧﻤﺎﻳـﺶ داده ﺷـﺪه‪ ،‬ﺗـﻮﺿﻴـﺢ‬ ‫داده اﻧﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻘﻴﺪه ى آن ﻫﺎ‪ ،‬ﺧﻄﺎﻫﺎى ﻧﺎﺷـﻰ از ﺻـﻮرت ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ ،‬ﺑـﺎ‬ ‫ﺧﻄﺎﻫﺎى دﻳﮕﺮى ﻣﺎﻧﻨﺪ »ﺑﻰ دﻗﺘﻰ« و »اﻧﮕﻴﺰه« ﺗﻔﺎوت اﺳﺎﺳﻰ دارﻧﺪ‪،‬‬

‫دﻟﻴﻠﻰ اﻧﮕﻴـﺰه ى ﺧﻮد را ﺑﺮاى اداﻣﻪ ى ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ از دﺳﺖ ﺑﺪﻫـﺪ و از‬ ‫ﺧﻮد ﺑﭙﺮﺳﺪ ﻛﻪ »آﻳﺎ ارزﺷﻰ دارد ﻛﻪ ﺑﺮاى ﺣﻞ ﭼﻨﻴﻦ ﺳﺆاﻟﻰ ﺑـﻪ زﺣﻤﺖ‬ ‫ﺑﻴﻔﺘﻢ؟«‬ ‫ﻧﻴﻮﻣﻦ ﭘﻴﺸﻨﻬـﺎد ﻛـﺮد ﻛﻪ ﺳﺆاﻻت زﻳﺮ در ﻣﺼﺎﺣﺒﻪ ﻫﺎﻳﻰ اﺳﺘـﻔـﺎده‬ ‫ﺷﻮد ﻛﻪ ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﻃﺒﻘﻪ ﺑﻨﺪى ﺧﻄﺎﻫﺎى داﻧﺶ آﻣﻮزان در ﺗﻜﺎﻟﻴ‪ 4‬ﻛﺘﺒﻰ‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ اﻧﺠﺎم ﻣﻰ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫‪ .١‬ﻟﻄﻔﺎً اﻳﻦ ﺳﺆال را ﺑﺨﻮاﻧﻴﺪ )ﺧﻮاﻧﺪن(؛‬ ‫‪ .٢‬ﺳﺆال از ﺷﻤﺎ ﻣﻰ ﺧﻮاﻫﺪ ﭼﻪ ﻛﺎرى اﻧﺠﺎم دﻫﻴﺪ )درك(؛‬ ‫‪ .٣‬روﺷﻰ را ﻛﻪ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻴﺪ ﺑﺮاى ﻳﺎﻓﺘﻦ ﺟﻮاب ﺳﺆال اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﺪ‪،‬‬ ‫ﺑﮕﻮﻳﻴﺪ )ﺗﺒﺪﻳﻞ(؛‬ ‫‪ .٤‬ﭼﻄﻮر ﺟﻮاب ﺳﺆال را ﺣﺴﺎب ﻛﺮدﻳﺪ؟ ﺗﻮﺿﻴﺢ دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﺑﺮاى‬ ‫ﺣﻞ آن ﭼﻪ ﻛﺎرى اﻧﺠﺎم دادﻳﺪ )ﻣﻬﺎرت ﻫﺎى ﻓﺮاﻳﻨﺪى(؛‬ ‫‪ .٥‬ﺣﺎﻻ ﺟﻮاب ﺳﺆال را ﻳﺎدداﺷﺖ ﻛﻨﻴﺪ )رﻣﺰﮔﺮداﻧﻰ(‪.‬‬ ‫ﺑﺮاى آﺷﻨﺎﻳﻰ ﺑﺎ روش ﻛﻪ ﻧﻴﻮﻣﻦ ﭘﻴﺸﻨﻬﺎد ﻛﺮده‪ ،‬ﻣﺜﺎل زﻳﺮ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ‬ ‫ﻣﻔﻴﺪ واﻗﻊ ﺷﻮد‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎﻟﻰ از ﻳﻚ ﻣﺼﺎﺣﺒﻪ ى ﻧﻴﻮﻣﻨﻰ‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ‪.‬‬ ‫ﻣﻦ و ﺑﺮادرم اﻣﺮوز ﭘﻴﺘﺰا ﺧﻮردﻳﻢ‪ .‬ﻣﻦ ﻓﻘﻂ ‪ 1‬از ﭘﻴﺘﺰا را ﺧﻮردم و‬ ‫‪4‬‬

‫‪٢٥‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫ﺑﺮادرم ‪ 2‬آن را ﺧﻮرد‪ .‬ﻣﺎ روى ﻫﻢ ﭼﻘﺪر ﭘﻴﺘﺰا ﺧﻮردهاﻳﻢ؟‬ ‫‪3‬‬

‫ﻣﺼﺎﺣﺒﻪ ﮔﺮ از داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺧﻮاﺳﺖ ﺗﺎ ﻣﺴﺌﻠﻪ را دﻗﻴﻖ ﺑﺨﻮاﻧﻨﺪ و‬ ‫ﺑﺎ ﺳﺆاﻻت زﻳﺮ‪ ،‬آن ﻫﺎ را ﻫﺪاﻳﺖ ﻛﺮد‪.‬‬ ‫ﻣﺼﺎﺣﺒﻪ ﮔﺮ‪ :‬ﺳﺆال از ﺷﻤﺎ ﭼﻪ ﻣﻰ ﺧﻮاﻫﺪ؟‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮز‪ :‬ﻫﻮم… از ﻣﺎ ﺧﻮاﺳﺘﻪ ﺷﺪه ﻛﻪ ﺑﮕﻮﻳﻴﻢ ﺟﻤﻌـﺎً ﭼﻘﺪر‬ ‫ﭘﻴﺘﺰا ﺧﻮرده اﻳﻢ‪.‬‬ ‫ﻣﺼﺎﺣﺒﻪ ﮔﺮ‪ :‬ﭼﻄﻮر آن را ﺣﻞ ﻛﺮدى؟‬ ‫‪1‬‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮز‪ :‬ﺷﻜﻞ ﻳﻚ ﭘﻴﺘﺰا را ﻛﺸﻴﺪم و‬ ‫‪4‬‬

‫آن را ﻣﺸﺨﺺ ﻛﺮدم‬

‫و ﺳﭙﺲ ‪ 2‬آن را ﻣﺸﺨﺺ ﻛﺮدم‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﻣﺼﺎﺣﺒﻪ ﮔﺮ‪ :‬ﭼﮕﻮﻧﻪ آن ﻫﺎ را روى ﻫﻢ ﺣﺴﺎب ﻛﺮدى؟‬

‫داﻧﺶ آﻣﻮز‪ :‬اﻳﻦ ﻳﻚ ﻣﺴﺌﻠﻪ ى ﺟﻤﻊ اﺳﺖ!‬ ‫ﻣﺼﺎﺣﺒﻪ ﮔﺮ‪ :‬ﺟﻤﻊ‪ ،‬ﺗﻔﺮﻳﻖ‪ ،‬ﺿﺮب ﻳﺎ ﺗﻘﺴﻴﻢ اﺳﺖ؟‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮز‪ :‬ﺟﻤﻊ‪.‬‬ ‫ﻣﺼﺎﺣﺒﻪ ﮔﺮ‪ :‬ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻰ ﻧﺸﺎن دﻫﻰ ﻛﻪ ﭼﮕﻮﻧﻪ آن را ﺣﻞ ﻛﺮدى؟ ﺑﺎ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻛﻪ ﮔﻔﺘﻰ ﺷﻜـﻞ رﺳﻢ ﻛﺮده اى‪ ،‬ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻰ ﺑﮕﻮﻳﻰ ﭼﮕـﻮﻧﻪ‬ ‫اﻳﻦ ﻛﺎر را اﻧﺠﺎم دادى؟‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮز‪) :‬ﺷﻜـﻞ را رﺳﻢ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ( و ﻣﻰ ﮔﻮﻳﺪ‪ :‬ﻣـﻦ ‪ 1‬ﭘﻴﺘـﺰا‬ ‫‪4‬‬

‫ﺧﻮردم‪.‬‬ ‫)و آن را روى ﺷﻜﻞ ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﺪ‪(.‬‬ ‫ﻣﺼﺎﺣﺒﻪ ﮔﺮ‪ :‬از ﻛﺠﺎ ﻣﻰ داﻧﻰ ﻛﻪ ‪ 1‬درﺳﺖ اﺳﺖ؟‬ ‫‪4‬‬

‫داﻧﺶ آﻣﻮز‪ :‬ﭼﻮن اﻳﻦ ﻳﻚ ﻗﺴﻤﺖ از ﭼﻬﺎر ﻗﺴﻤﺖ اﺳﺖ‪ .‬ﺳﭙﺲ‬ ‫ﻣﻦ ‪ 2‬ﭘﻴﺘﺰا را ﻛﻪ ﺑﺮادرم ﺧﻮرده ﺑﻮد‪ ،‬ﻣﺸﺨﺺ ﻛﺮدم‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﻣﺼﺎﺣﺒﻪ ﮔﺮ‪ :‬آﻳﺎ ﻫﺮ ﻛﺪام از اﻳﻦ ﻗﺴـﻤـﺖ ﻫـﺎ ‪ 1‬اﺳﺖ؟ ﭼﮕﻮﻧﻪ‬ ‫‪3‬‬

‫ﻣﻰ داﻧﻰ ﻛﻪ ‪ 1‬اﺳﺖ؟‬ ‫‪3‬‬

‫داﻧﺶ آﻣﻮز‪ :‬زﻳﺮا اﻳﻦ ﭘﻴﺘﺰا ‪ ٣‬ﻗﺴﻤﺖ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫و ﻣﺼﺎﺣﺒﻪ ﻫﻢ ﭼﻨﺎن اداﻣﻪ ﭘﻴﺪا ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫در اﻳـﻦ ﻣـﺜـﺎل‪ ،‬داﻧـﺶ آﻣـﻮز ﺳـﺆال را درك ﻛـﺮده اﺳـﺖ وﻟــﻰ‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪٢٦‬‬

‫ﻧﻤﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ راﻫﺒﺮد ﻣﻨﺎﺳـﺐ را اداﻣﻪ دﻫﺪ‪ .‬ﻣﺼﺎﺣﺒﻪ ﺑﺮ ﻃـﺒـﻖ روش‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺧﻄﺎى ﻧﻴﻮﻣﻦ اﻧﺠﺎم ﺷﺪ و ﻣﺼﺎﺣﺒﻪ ﻛﻨﻨﺪه ﻣـﻮﻓﻖ ﺷﺪ ﺑﺮﺧﻰ‬ ‫از ﻣﺸﻜﻼت داﻧﺶ آﻣﻮز را درك ﻛﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺪون اﻳﻦ ﻛﻪ او را ﻣﺠﺒﻮر ﺑﻪ‬ ‫اﻧﺘﺨﺎب راه ﺣﻞ دﻳﮕﺮى ﻧﻤﺎﻳﺪ‪.‬‬ ‫ﻧﻴﻮﻣﻦ در ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ى اوﻟﻴﻪ اش‪ ،‬درﻳﺎﻓﺖ ﻛﻪ ﺧﻄﺎﻫﺎى ﺧﻮاﻧﺪن‬ ‫و درك و ﺗﺒﺪﻳﻞ داﻧﺶ آﻣﻮزان‪ ،‬ﺑﻴﺶ از ‪ ٥٠‬درﺻﺪ ﻛﻞ ﺧﻄﺎﻫﺎ ﺑﻮده‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‪ ،‬ﺑﻴﺶ از ﻧﻴﻤﻰ از ﺧﻄﺎﻫﺎ ﻗﺒﻞ از ﻛﺎرﺑﺮد ﻣﻬﺎرت ﻫﺎى‬ ‫ﻓـﺮاﻳﻨﺪى اﺗﻔﺎق اﻓﺘـﺎده و ﻛـﻤـﺘـﺮ از ‪ ١٠‬درﺻﺪ ﺧﻄـﺎﻫـﺎ ﻣـﺮﺑـﻮط ﺑﻪ‬ ‫ﻣﻬﺎرت ﻫﺎى ﻓﺮاﻳﻨﺪى اﺳﺖ‪.‬‬ ‫در ﻣﻄﺎﻟﻌﺎت اﻧﺠﺎم ﺷﺪه روى داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻣﻘﺎﻃﻊ ﭘﺎﻳﻴﻦ ﺗﺮ از‬ ‫دﺑﻴـﺮﺳﺘﺎن ﻛـﻪ ﺗـﻮﺳﻂ ﻛﻠﻤـﻨـﺘـﺲ )‪ ،(١٩٨٠‬واﺗﺴـﻮن )‪ (١٩٨٠‬و‬ ‫ﻛﻼرﻛﺴـﻮن )‪] (١٩٨٣‬ﻧﻘﻞ ﺷﺪه در ﻛﻠﻤﻨﺘﺲ و اﻟـﺮﺗﻮن‪[١٩٩٦ ،‬‬ ‫اﻧﺠﺎم ﺷﺪ‪ ،‬ﻧﺘﺎﻳﺞ ﻣﺸﺎﺑﻬﻰ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣـﺪه‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ ﻧﻴﻮﻣﻦ ﺳـﺎزﮔﺎرى داﺷﺖ و آن را ﺗﺄﻳﻴﺪ ﻣﻰ ﻛﺮد‪ .‬اﻳﻦ ﻧﺘﺎﻳـﺞ‪،‬‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ را ﺑﻪ اﻫﻤﻴﺖ ﻋﺎﻣﻞ زﺑﺎن در ﻳﺎدﮔﻴﺮى رﻳﺎﺿﻰ ﺟﻠﺐ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‪ ،‬اﮔﺮ ﺣﺪود ﻧﻴﻤﻰ از ﺧﻄﺎﻫﺎى اﻳﺠﺎد ﺷﺪه در ﺗﻜﻠﻴ‪ 4‬ﻫﺎى‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ ﻛﺘﺒﻰ‪ ،‬ﻗﺒﻞ از ﻛﺎرﺑﺮد ﻣﻬﺎرت ﻫﺎى ﻓﺮاﻳﻨﺪى اﺗﻔﺎق ﻣﻰ اﻓﺘﺪ‪،‬‬ ‫ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﻨﻄﻘﻰ ﻣﻰ رﺳﺪ ﻛﻪ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ ﺟﺒﺮاﻧﻰ )ﻛﻪ در ﻫﻤﻪ ‬ ‫ﻛﺸﻮرﻫﺎى آﺳﻴﺎ و اﻗﻴﺎﻧﻮﺳﻴﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﮔﺴﺘﺮده اى در دﺳﺘﺮس اﺳﺖ(‪،‬‬ ‫ﻧﻴﺎزﻣﻨﺪ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻴﺶ ﺗﺮى ﺑﻪ اﻳﻦ دو ﺳﺆال اﺳﺖ ﻛﻪ »آﻳﺎ داﻧﺶ آﻣﻮزان‬ ‫ﻗﺎدرﻧﺪ زﺑﺎﻧـﻰ را ﻛﻪ در ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻛﻼﻣﻰ رﻳﺎﺿﻰ ﻧﻬـﻔـﺘـﻪ ﺷـﺪه اﺳـﺖ‬ ‫ﺑﺨﻮاﻧﻨـﺪ و درك ﻛﻨﻨﺪ؟« و »آﻳﺎ ﻗـﺎدرﻧﺪ روش ﻫﺎى ﻣﻨﺎﺳﺒـﻰ را ﺑﺮاى‬ ‫ﺗﻨﻈﻴﻢ ﻣﺴﺎﺋﻠﻰ ﻛﻪ ﻣﻰ ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺣﻞ ﻛﻨﻨﺪ‪ ،‬ﺗﺪﺑﻴﺮ ﻛﻨﻨﺪ؟«‬ ‫ﺗﻔﺎوت ﻣﻄﺎﻟﻌﺎت اﺧﻴﺮ ﺑﺎ ﺗﺤﻘﻴﻖ اﺻﻠـﻰ ﻧـﻴـﻮﻣﻦ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ‬ ‫ﺟﻮاب ﻫﺎى درﺳﺖ ﻫﻢ ﻋﻼوه ﺑﺮ ﺟـﻮاب ﻫﺎى ﻧﺎدرﺳﺖ‪ ،‬ﺗﺠﺰﻳﻪ و‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﺑﺴﻴﺎرى از ﺟﻮاب ﻫﺎى درﺳﺖ را داﻧﺶ آﻣﻮزاﻧﻰ‬ ‫اﻗﻌـﺎ ﻣﻔﻬـﻮم ﺳـﺆال را ﻧﻔﻬﻤﻴﺪه اﻧﺪ‪ .‬ﺑﺪﻳـﻦ ﺳـﺒـﺐ‪،‬‬ ‫ﻣﻰ دﻫﻨﺪ ﻛـﻪ و ً‬ ‫ﻣﻌﻠﻤﺎن و ﻧﻮﻳﺴﻨﺪﮔـﺎن ﻛـﺘـﺎب ﻫـﺎى درﺳﻰ‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ ﻧﺴﺒﺖ ﺑـﻪ اﻧـﻮاع‬ ‫ﺧﻄـﺎﻫـﺎى داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ﻛﻪ در اﻧـﻮاع ﻣﺘـﻔـﺎوﺗﻰ از ﺗـﻜـﺎﻟـﻴـ‪ 4‬رخ‬ ‫ﻣﻰ دﻫﻨﺪ‪ ،‬ﺑﻴﺶ ﺗﺮ آ ﮔﺎﻫﻰ ﻳﺎﺑﻨﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻫﺎ ﻛﻪ ﺗـﻮﺳﻂ داده ﻫـﺎى‬ ‫ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه در ﻣﺪارس ﻛﺸﻮرﻫﺎى آﺳﻴﺎ و اﻗﻴﺎﻧﻮﺳﻴﻪ ﺣﺎﺻﻞ ﺷﺪه‬ ‫اﺳﺖ‪ ،‬ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ ﻳﻜﻰ از ﻣﻬﻢ ﺗﺮﻳﻦ ﻳﺎﻓﺘـﻪ ﻫـﺎى ﺗـﺤـﻘـﻴـﻖ آﻣـﻮزش‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ در زﻣﺎن ﺣﺎل ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺎ اﻳﻦ ﺣﺎل‪ ،‬ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻫﺎى ﺗـﺤـﻘـﻴـﻖ در‬ ‫ﻣﻴﺎن ﺳﻴﺎﺳﺘﻤـﺪاران‪ ،‬ﺗﺼﻤﻴﻢ ﮔﻴـﺮﻧﺪﮔﺎن ﺳﻴﺎﺳﺖ ﻫﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ‪،‬‬ ‫*‬ ‫واﻟﺪﻳﻦ و ﺣﺘﻰ ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺧﻮب ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﻧﺸﺪه اﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﭘﻰ ﻧﻮﺷﺖ ﻫﺎ‬ ‫* اﻳﻦ ﻧـﻮﺷﺘﻪ‪ ،‬ﺗﻠﺨﻴـﺼـﻰ از ﺑـﺨـﺶ ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺧـﻄـﺎى ﻧـﻴـﻮﻣﻦ در ﻛﺘـﺎب‬ ‫»ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‪ :‬ﮔﺬﺷﺘﻪ‪ ،‬ﺣﺎل و آﻳﻨﺪه« اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺳﺎل ‪،١٩٩٦‬‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ ﻛﻠﻤﻨﺘﺲ واﻟﺮﺗﻮن‪ ،‬ﺑﻪ درﺧﻮاﺳﺖ ﻳﻮﻧﺴﻜﻮ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪1. Encoding‬‬

‫ى‬ ‫ﺷﻤﺎرشﺑﺎراﺑﻄﻪ‬

‫‪1+ 2 + 3+L+n = nI‬‬ ‫ﻗﺎﺳﻢ ﺣﺴﻴﻦ ﻗﻨﺒﺮى‬ ‫دﺑﻴﺮ رﻳﺎﺿﻰ ﻣﺮﻛﺰ ﺷﻬﻴﺪ ﺑﻬﺸﺘﻰ ﺳﻤﻨﺎن‬

‫ﻣﻘﺪﻣﻪ‬ ‫ﻻ در‬ ‫ﺗﺠﺮﺑﻪ ى ﻛﺎر در ﻛﻼس ﻫﻨﺮ ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ ،‬اﻳﻦ ﻧﺘﻴﺠﻪ را ﺑﺮاﻳﻢ ﺑﻪ ارﻣﻐﺎن آورد ﻛﻪ درﻳﺎﻓﺘﻢ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻣﻌﻤﻮ ً‬ ‫ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺷﻤﺎرﺷﻰ ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪ اى ﻏﻴﺮ از آن ﭼﻪ ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻣﻰ ﺧﻮاﻫﻨﺪ و ﻋﻤﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪ ،‬رﻓﺘﺎر ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ )اﻟﺒﺘﻪ اﻳﻦ اﻣﺮ در ﻫﺮ‬ ‫ﻣﻮﺿﻮﻋﻰ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ درﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ(‪ .‬در ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﺨﺘﻠﻔﻰ ﻛﻪ ﻣﻄﺮح ﻣﻰ ﺷﻮد‪ ،‬داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﺎ روش ﻫﺎى ﮔﻮﻧﺎﮔﻮﻧﻰ ﺑﻪ‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻣﻰ ﭘﺮدازﻧﺪ ﻛﻪ ﻣﺎ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﻌﻠﻢ ﺷﺎﻳﺪ ﺗﻮﻗﻊ آن را ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‪ .‬اﻣﺎ در ﺑﺴﻴـﺎرى از ﻣﻮارد‪ ،‬راه ﺣﻞ ﻫﺎ ﺑﻪ‬ ‫ﻻ ﺣﺎﺻﻞ آن را ﻧﻴﺰ ﻣﻰ داﻧﻨﺪ‪ ،‬ﻟﺬا ﺑﻪ آﺳﺎﻧﻰ ﺟﻮاب را ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻰ آورﻧﺪ‪.‬‬ ‫اﻟﮕﻮى ‪ 1+ 2 + 3+L+n‬ﻣﻰ رﺳﻨﺪ ﻛﻪ ﻣﻌﻤﻮ ً‬ ‫اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﻣﺮا ﺑﺮ آن داﺷﺖ ﺗﺎ اﻳﻦ راﺑﻄﻪ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﭘﻴﺶ ﻓﺮض ﻗﺒﻮل ﻛﺮده و ﺑﺮرﺳﻰ ﻛﻨﻢ ﻛﻪ ﭼﻪ ﻧﺘﺎﻳﺠﻰ را ﺑﻪ دﻧﺒﺎل‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ داﺷﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﺒﺎرﺗﻰ اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ‪ ،‬ﺣﺎﺻﻞ ﻣﺸﺎﻫﺪات و دﺳﺘﻪ ﺑﻨﺪى ﻛﺎر داﻧﺶ آﻣﻮزان در ﭼﻨﺪﻳﻦ ﺟﻠﺴﻪ از ﻳﻚ‬ ‫ﻛﻼس اﺳﺖ‪ .‬ﻟﺬا ﭼﻨﻴﻦ ﻓﺮض ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪ 1+ 2+L+n = nI :‬و ﺑﺮﻗﺮارى اﻳﻦ راﺑﻄﻪ را در ﭼﻨﺪ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﺮرﺳﻰ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬

‫ﻣﺴﺎﺋﻞ‬ ‫اوﻟﻴﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪاى ﻛﻪ ﻣﻄﺮح ﻣﻰ ﺷﻮد اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ »‪ ١٠‬ﻧﻘﻄﻪ روى ﻣﺤﻴﻂ ﻳﻚ داﻳﺮه ﻗﺮار دارد‪ .‬ﭼﻨﺪ ﭘﺎره ﺧﻂ وﺟﻮد دارد ﻛﻪ‬ ‫اﺑﺘﺪا و اﻧﺘﻬﺎى آن ﻫﺎ از اﻳﻦ ﻧﻘﺎط ﺑﺎﺷﺪ‪«.‬‬ ‫ﻻ ﺑﺮاى ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ ،‬ﭼﻨﻴﻦ اﺳﺘﺪﻻل ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫ﻣﺎ ﻣﻌﻠﻢ ﻫﺎ‪ ،‬ﻣﻌﻤﻮ ً‬ ‫ﺑﺮاى رﺳﻢ ﻳﻚ ﭘﺎره ﺧﻂ دو ﻧﻘﻄﻪ اﻧﺘﺨﺎب ﻣﻰ ﺷﻮد‪ ،‬ﺑﺮاى اﻧﺘﺨﺎب ﻧﻘﻄﻪ ى اول ‪ ١٠‬و ﺑﺮاى اﻧﺘﺨﺎب ﻧﻘﻄﻪ ى دوم ‪ ٩‬ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫وﺟﻮد دارد‪ .‬ﻟﺬا در ﻛﻞ ‪ ١٠×٩=٩٠‬ﺣﺎﻟﺖ دارﻳﻢ و ﭼـﻮن در اﻳﻦ روش‪ ،‬ﻫﺮ ﭘﺎره ﺧﻂ دو ﺑﺎر ﺷﻤﺮده ﻣﻰ ﺷﻮد‪ ،‬ﭘﺲ در ﻛـﻞ‬ ‫‪ 90÷ 2 = 45‬ﭘﺎره ﺧﻂ ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ‪.‬‬ ‫اﻣﺎ ﺑﻪ ﻧﺪرت اﺗﻔﺎق ﻣﻰ اﻓﺘﺪ ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزى ﻛﻪ ﺑﺮاى اوﻟﻴﻦ ﺑﺎر ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﺮ ﻣﻰ ﺧـﻮرد اﻳﻦ روش را اﻧﺘﺨﺎب ﻛﻨﺪ‪ .‬در‬ ‫ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﻣﻮارد‪ ،‬روش زﻳﺮ ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣﻰ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫‪٢٧‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫ﻧﻘﻄﻪ ى ‪ A‬را ﺑﻪ ﺳﺎﻳﺮ ﻧﻘﺎط وﺻﻞ ﻛﺮده‪ ،‬ﺗﻌﺪاد ﭘﺎره ﺧﻂ ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺳﺮ آن ﻫﺎ ‪ A‬اﺳﺖ را ﻣﻰ ﺷﻤﺎرﻳﻢ؛ ﺗﻌﺪاد آن ﻫﺎ ‪٩‬ﺗﺎﺳﺖ‪.‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪٦‬‬

‫‪٧‬‬

‫‪٨‬‬

‫‪٩‬‬

‫ﺷﻜﻞ )‪(١‬‬

‫ﺳﭙﺲ ﻧﻘﻄـﻪ ى ‪ B‬را ﺑﻪ ﺳﺎﻳﺮ ﻧﻘـﺎط وﺻﻞ ﻛﺮده‪ ،‬ﺗﻌﺪاد ﭘـﺎره ﺧﻂ ﻫﺎى ﺣﺎﺻﻞ را ﻣﻰ ﺷﻤﺎرﻳﻢ؛ ﻛﻪ ﺗـﻌـﺪاد‬ ‫ﻗﺒﻼ ﺷﻤـﺮده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ‪ ،‬ﻧﻘﻄﻪ ى ‪ C‬را ﺑﻪ ﺳﺎﻳﺮ ﻧﻘﺎط‬ ‫آن ﻫﺎ ‪ ٨‬ﺗﺎﺳﺖ؛ ﭼﺮا ﻛﻪ ﭘﺎره ﺧﻂ ‪ً AB‬‬ ‫وﺻﻞ ﻛﺮده و ﺗﻌﺪاد ﭘﺎره ﺧﻂ ﻫﺎى ﺟﺪﻳﺪ را ﻣﻰ ﺷﻤﺎرﻳﻢ ﻛﻪ ﺗﻌﺪاد آن ﻫﺎ ‪٧‬ﺗﺎ اﺳﺖ ‪ .‬اﻳﻦ ﻛﺎر را اداﻣﻪ ﻣﻰ دﻫﻴﻢ‪.‬‬ ‫در ﻫﺮ ﻣﺮﺣﻠﻪ‪ ،‬از ﺗﻌﺪاد ﭘﺎره ﺧﻂ ﻫﺎ ﻳﻜﻰ ﻛﻢ ﻣﻰ ﺷـﻮد‪ .‬ﺑﻪ آﺧﺮﻳﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﻛﻪ ﺑﺮﺳﻴﻢ‪ ،‬ﻫﻤﻪ ﭘﺎره ﺧﻂ ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺑـﺎ‬ ‫اﻳﻦ ﻧﻘﻄﻪ آﻏﺎز ﻣـﻰ ﺷـﻮﻧﺪ را ﻗﺒـﻼً ﺷﻤﺮده اﻳﻢ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑـﺮاﻳﻦ ﺗﻌﺪاد ﻛـﻞ ﭘـﺎره ﺧﻂ ﻫﺎ ‪ 1+ 2 + 3+L+9‬اﺳﺖ و در‬ ‫ﺻﻮرﺗﻰ ﻛﻪ ‪ n‬ﻧﻘﻄﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‪ ،‬ﺗﻌﺪاد آن ﻫﺎ ‪ 1+ 2 + 3+L+(n −1) = (n −1)I‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﺴﺌﻠـﻪى دوم‪ ،‬ﺷﻤﺎرش ﺗﻌﺪاد ﭘـﺎره ﺧﻂ ﻫﺎى ﻣـﻮﺟﻮد در ﻳﻚ ﭘـﺎره ﺧﻄﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑـﻪ ‪ ١٠‬ﻗﺴﻤﺖ ﻣﺴـﺎوى‬ ‫ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ روﺷﻰ ﻣﺸﺎﺑﻪ روش ﺑﺎﻻ‪ ،‬ﺗﻌﺪاد ﻫﻤﻪ ى ﭘﺎره ﺧﻂ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪1+ 2+L+10 = 10I ،m‬‬ ‫اﺳﺖ و در ﺻﻮرﺗﻰ ﻛﻪ ﭘﺎره ﺧﻂ اﺻﻠﻰ‪ ،‬ﺑﻪ ‪ n‬ﻗﺴﻤﺖ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬اﻳﻦ ﺗﻌﺪاد ‪ nI‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪى ﺳﻮم‪ ،‬ﺷﻤﺎرش ﺗﻌﺪاد ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻫﺎ در ﻳﻚ ﺻﻔﺤﻪ ى ﺷﻄﺮﻧﺠﻰ ‪ ٤×٤‬اﺳﺖ‪.‬‬

‫ﺷﻜﻞ )‪(٢‬‬

‫ﻻ ﻣﺸﻜﻠﻰ وﺟﻮد ﻧﺪارد و داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺗﻌﺪاد ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻫﺎ را ﺑﻪ راﺣﺘﻰ‬ ‫در ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ى ﺗﻌﺪاد اﻳﻦ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻫﺎ ﻣﻌﻤﻮ ً‬ ‫ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣـﻰ آورﻧﺪ )اﻟﺒﺘﻪ ﺑﻌﺪ از ﻛﻤﻰ ﺑﺤﺚ ﺑﺮ ﺳﺮ اﻳﻦ ﻛﻪ ﻣﺴﺘﻄﻴـﻞ ﻫـﺎ ﻣـﻰ ﺗـﻮاﻧﻨﺪ ﻫﻤﺪﻳﮕـﺮ را ﻗﻄﻊ ﻛﻨﻨﺪ و ﺑـﺮﻫﻢ‪،‬‬ ‫ﻫﻢ ﭘﻮﺷﺎﻧﻰ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻳﺎ ﺧـﻴـﺮ و…(‪ .‬اﻣـﺎ وﻗﺘﻰ ﻛﻪ از آن ﻫﺎ ﺧـﻮاﺳﺘﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ ﺑﺎ ﻣﻨﻈـﻢ ﻛـﺮدن داده ﻫﺎ‪ ،‬اﻟﮕﻮى‬ ‫ﻣﻮﺟﻮد در راه ﺣﻞ اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ را ﺑﻴﺎﺑﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺮﺧﻰ از آن ﻫﺎ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻋﻤﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪:‬‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪٢٨‬‬

‫ﻳﻌﻨﻰ در ﺳﻄـﺮ ‪ i‬و ﺳﺘـﻮن ‪ ،j‬ﺗﻌﺪاد ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻫـﺎى ﻧـﻮع ‪ i × j‬را‬ ‫ﻣﻰ ﻧﻮﻳﺴﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻛﻤﻰ دﻗﺖ ﻣﻰ ﺑﻴﻨﻴﻢ ﻛﻪ اﻳﻦ اﻋﺪاد‪ ،‬ﻫـﻤـﺎن اﻋـﺪاد‬ ‫ﻳﻚ ﺟﺪول ﺿـﺮب ‪ ٤×٤‬اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻌﺪ از ﻓﺎﻛﺘﻮر ﮔـﻴـﺮى از ﻣﺠﻤـﻮع‬ ‫ﻫﻤﻪ ى آن ﻫﺎ‪ ،‬ﻋﺒﺎرﺗﻰ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ‬ ‫‪(1+ 2 + 3 + 4)(1+ 2 + 3 + 4) = 4I4I‬‬

‫ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻰ آﻳﺪ‪ .‬اﻟﺒﺘـﻪ ﺑـﺮﺧﻰ ﻫﻢ ﺑﺪون ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺟـﺪول ﺑﺎﻻ ﺑـﻪ‬ ‫اﻳﻦ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣـﻰ رﺳﻨﺪ‪ .‬ﻟﺬا ﺑﺮاى ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻰ در ﺻﻔﺤﻪ ى ﺷﻄـﺮﻧﺠﻰ ‪ ، n × n‬ﺗﻌﺪاد ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻫـﺎ )‪ (nI)(nI‬اﺳﺖ و اﮔﺮ ﺻﻔﺤﻪ ى ﺷﻄﺮﻧﺠﻰ‬ ‫‪ m × n‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺗﻌﺪاد ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻫﺎ )‪ (mI)(nI‬ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪.‬‬ ‫اﻟﺒﺘﻪ اﮔﺮ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﻫﺮ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﺑﺎ ﻳﻚ ﭘﺎره ﺧﻂ اﻓﻘﻰ و ﻳﻚ ﭘﺎره ﺧﻂ ﻋﻤﻮدى ﺷﻜﻞ ﻣﻰ ﮔﻴﺮد‪ ،‬راﺑﻄﻪ ى ﻓﻮق ﺑﺎ ﻛﻤﻚ ﻣﺴﺌﻠﻪ ى‬ ‫‪ ٢‬ﺑﻪ راﺣﺘﻰ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻰ آﻣﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ روش ﺗﻌﺪاد ﻣﻜﻌﺐ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻫﺎى ﻳﻚ ﻣﻜﻌﺐ ﻣﺸﺒﻚ ‪ (nI)(nI)(nI) ، n × n × n‬ﺑﻪ دﺳﺖ‬ ‫ﻣﻰ آﻳﺪ و ﻳﻚ ﻣﻜﻌﺐ ﻣﺸﺒﻚ ‪ (mI)(nI)(pI) ، m × n × p‬ﺗﺎ ﻣﻜﻌﺐ را ﺷﺎﻣﻞ ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﭼﻬﺎرﻣﻴﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ ،‬ﭘﻴﺪا ﻛﺮدن ﺣﺪاﻛﺜﺮ ﻧﺎﺣﻴﻪ ﻫﺎﻳﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ‪ n‬وﺗﺮ در ﻳﻚ داﻳﺮه ﺑﻪ وﺟﻮد ﻣﻰ آورﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺎ دﻗﺖ در اﻋﺪاد ﺟﺪول ﻓﻮق ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ ﺑﻴﻦ اﻋﺪاد دو ردﻳ‪ ،m‬راﺑﻄﻪ اى ﺑﻪ ﺷﻜﻞ زﻳﺮ وﺟﻮد دارد‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺪاد ﻧﻮاﺣﻰ‬

‫ﻧﻤﻮدار‬

‫ﺗﻌﺪاد وﺗﺮﻫﺎ‬

‫‪١‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٢=١+١‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٤=٢+٢‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٧=٣+٤‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪١١=٤+٧‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪11 = 7 + 4 , 7 = 4 + 3 , 4 = 2 + 2 , 2 = 1+1‬‬ ‫)‪⇒ 11 = (4 + 3) + (2 + 2‬‬ ‫)‪⇒ 11 = 4 + 3 + 2 + (1+1‬‬ ‫‪⇒ 11 = (4 + 3 + 2 +1) +1‬‬

‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ راﺑﻄﻪ ى ﺑﺎﻻ ﺣﺪس ﻣـﻰ زﻧﻴﻢ ﻛﻪ اﮔﺮ ﺣﺪاﻛﺜـﺮ‬ ‫ﺗﻌﺪاد ﻧﻮاﺣﻰ اﻳﺠﺎد ﺷﺪه ﺑﺎ ‪ n‬وﺗﺮ در ﻳﻚ داﻳﺮه را ‪ p n‬در ﻧﻈﺮ‬ ‫ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ‪ ،‬راﺑﻄﻪ ى زﻳﺮ ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬ ‫‪p n = nI +1‬‬

‫اﮔﺮ ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ‪ ، p n = n + p n −1‬راﺑﻄﻪ ى ﻣﺎ درﺳﺖ‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬ﻳﻌﻨﻰ ﺣﺪاﻛﺜﺮ ﻧـﻮاﺣﻰ در ﻣـﺮﺣﻠﻪ ى ‪ n‬وﺗﺮ‪ ،‬ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫اﺳﺖ ﺑﺎ ﺗﻌﺪاد ﻧﻮاﺣﻰ ﻣﺮﺣﻠﻪ ى ﻗﺒﻞ ﺑﻪ ﻋﻼوه ى ‪ .n‬اﻣﺎ راﺑﻄﻪ ى‬ ‫اﺧﻴﺮ ﺑﻪ اﻳﻦ دﻟﻴﻞ درﺳﺖ اﺳﺖ ﻛﻪ در ﻫﺮ ﻣﺮﺣﻠﻪ‪ ،‬آﺧﺮﻳﻦ وﺗﺮ‬ ‫را ﻃﻮرى رﺳﻢ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻫﻴﭻ ﻛﺪام از وﺗﺮﻫﺎى ﻗﺒﻞ ﻣﻮازى‬ ‫ﻧﺒﺎﺷﺪ و از ﻣﺤﻞ ﺗﻘﺎﻃﻊ وﺗﺮﻫﺎ ﻫﻢ ﻋﺒﻮر ﻧﻜﻨﺪ‪ .‬ﺑﺎ اﻳﻦ روش‪،‬‬ ‫ﻧﻮاﺣﻰ ﻗﺒﻞ ﺑﺎﻗﻰ ﻣﻰ ﻣﺎﻧﻨﺪ و ﺑـﺎ ﻗـﻄـﻊ ﻫـﺮ وﺗﺮ‪ ،‬ﻳﻚ ﻧﺎﺣﻴـﻪ ى‬ ‫ﺟﺪﻳﺪ ﻧﻴﺰ ﺑﻪ وﺟﻮد ﻣﻰ آﻳﺪ و در ﺑـﺮﺧﻮرد ﺑﺎ داﻳﺮه ﻫﻢ ﻳﻚ ﻧﺎﺣﻴﻪ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﻣﻰ ﺷﻮد‪ .‬ﭘﺲ ‪ n‬ﻧﺎﺣﻴﻪ ى ﺟﺪﻳﺪ اﻳﺠﺎد ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫در اﻳﻦ ﺣﻞ از ﻣﺴﺌﻠﻪ ى ﺑﺎﻻ‪ ،‬ﻧﻜﺘﻪ ى ﺟﺎﻟﺒﻰ وﺟﻮد دارد‬ ‫ﻛﻪ ﻣﺤﻞ ﺧﻮﺑﻰ ﺑﺮاى ﺷﺮوع ﺑﺤﺚ »اﺳﺘﻘﺮاى رﻳﺎﺿﻰ« اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻵ داﻧﺶ آﻣﻮزان اﻟﮕﻮ را ﭘﻴﺪا ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ اﻣﺎ دﻟﻴﻠـﻰ‬ ‫ﭼﺮا ﻛﻪ ﻣﻌﻤﻮ ً‬ ‫ﺑﺮاى درﺳﺘﻰ آن ﻧﺪارﻧﺪ‪ .‬ﻟﺬا وﻗﺘﻰ ﻛﻪ ﻧﻴﺎز ﺑﻪ آن ﭘﻴﺪا ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪،‬‬ ‫ﺑﺤﺚ اﺳﺘﻘﺮاى رﻳﺎﺿﻰ ﺿﺮورى ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪٢٩‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫ﭘﻨﺠﻤﻴﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ ،‬ﺷﻤﺎرش ﺗﻌﺪاد ﻣﺜﻠﺚ ﻫﺎى ﻳﻚ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوى اﻻﺿﻼع ﻣﺸﺒﻚ اﺳﺖ )ﺷﻜﻞ‪.(٣‬‬ ‫ﺗﻌﺪاد ﻣﺜﻠﺚ از ﻫﺮ ﻧﻮع را در ﺟﺪول زﻳﺮ ﺧﻼﺻﻪ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺪاد‬

‫ﻃﻮل ﺿﻠﻊ‬

‫‪1+ 2 + 3 + 4 + 5 = 5I‬‬

‫‪ ١‬روﺑﻪ ﺑﺎﻻ‬

‫‪1+ 2+ 3 + 4 = 4I‬‬

‫‪ ٢‬روﺑﻪ ﺑﺎﻻ‬

‫‪1+ 2 + 3 = 3I‬‬

‫‪ ٣‬روﺑﻪ ﺑﺎﻻ‬

‫‪1+ 2 = 2I‬‬

‫‪ ٤‬روﺑﻪ ﺑﺎﻻ‬

‫‪1= 1I‬‬

‫‪ ٥‬روﺑﻪ ﺑﺎﻻ‬

‫‪1+ 2 + 3 + 4 = 4I‬‬

‫‪ ١‬روﺑﻪ ﭘﺎﻳﻴﻦ‬

‫‪1+ 2 = 2I‬‬

‫‪ ٢‬روﺑﻪ ﭘﺎﻳﻴﻦ‬

‫ﺷﻜﻞ )‪(٣‬‬

‫ﻟﺬا ﺗﻌﺪاد ﻣﺜﻠﺚ ﻫﺎ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬

‫‪(2n)I‬‬

‫∑‬

‫‪2‬‬ ‫‪n =1‬‬

‫‪ni +‬‬

‫∑‬

‫‪5‬‬ ‫‪n =1‬‬

‫ﺣﺎل ﺗﻌﺪاد ﻣﺜﻠﺚ ﻫﺎى ﺷﻜﻞ ‪ ٤‬را ﻣﻰ ﺷﻤﺎرﻳﻢ‪.‬‬ ‫ﺑﺮاى اﻳﻦ ﻛﺎر‪ ،‬اﻃﻼﻋﺎت زﻳﺮ را در ﺟﺪول ﺧﻼﺻﻪ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫ﺷﻜﻞ )‪(٤‬‬

‫ﺗﻌﺪاد‬

‫ﻃﻮل ﺿﻠﻊ‬

‫‪1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 6I‬‬

‫‪ ١‬روﺑﻪ ﺑﺎﻻ‬

‫‪1+ 2 + 3 + 4 + 5 = 5I‬‬

‫‪ ٢‬روﺑﻪ ﺑﺎﻻ‬

‫‪1+ 2 + 3 + 4 = 4I‬‬

‫‪ ٣‬روﺑﻪ ﺑﺎﻻ‬

‫‪1+ 2 + 3 = 3I‬‬

‫‪ ٤‬روﺑﻪ ﺑﺎﻻ‬

‫‪1+ 2 = 2I‬‬

‫‪ ٥‬روﺑﻪ ﺑﺎﻻ‬

‫‪1= 1I‬‬

‫‪ ٦‬روﺑﻪ ﺑﺎﻻ‬

‫‪1+ 2 + 3 + 4 + 5 = 5I‬‬

‫‪ ١‬روﺑﻪ ﭘﺎﻳﻴﻦ‬

‫‪1+ 2 + 3 = 3I‬‬

‫‪ ٢‬روﺑﻪ ﭘﺎﻳﻴﻦ‬

‫‪1= 1I‬‬

‫‪ ٣‬روﺑﻪ ﭘﺎﻳﻴﻦ‬

‫ﻣﻬﻢﺗﺮﻳﻦ ﻧﺘﻴـﺠـﻪاى ﻛـﻪ از اﻳـﻦ‬ ‫ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻣﻰﺗـﻮان ﮔﺮﻓﺖ ﭼﻴﺴﺖ؟‬ ‫آﻳﺎ ﭼﻴﺰى ﻏﻴﺮ از ﻟﺰوم ﺑﺎزﻧﮕﺮى در‬ ‫ﻛﺘﺐ درﺳﻰ و ﺷﻴﻮهﻫﺎى ﺗﺪرﻳﺲ‬ ‫ﺻــﺎ ﺗـﻐــﻴــﻴــﺮ در‬ ‫اﺳــﺖ؛ ﺧــﺼــﻮ ً‬ ‫ﺷﻴﻮهﻫﺎى ﺗﺪرﻳﺲ‪.‬‬

‫ﻟﺬا ﺗﻌﺪاد ﻣﺜﻠﺚ ﻫﺎ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬ ‫‪(2n −1)I‬‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪٣٠‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪n =1‬‬

‫∑‬

‫‪ni +‬‬

‫∑‬

‫‪6‬‬ ‫‪n =1‬‬

‫ﺷﺸﻤﻴﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪاى ﻛﻪ ﺑﻪ آن ﻣﻰ ﭘﺮدازﻳﻢ‪ ،‬ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ‪ x + y + z = 7‬ﺑﺎ ﺷﺮط ‪ 0≤ x, y, z‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﺮاى ﺣﻞ آن‪ ،‬ﺑﺎز ﻫﻢ از ﺟﺪول اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬

‫ﺑﺎ ﺗـﻮﺟﻪ ﺑـﻪ ﺟـﺪول‪ ،‬ﺟﻮاب ﻣﺴﺌـﻠـﻪ‪ 1+ 2 + 3+K+8 = 8I ،‬اﺳﺖ و در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠـﻰ ﻧـﻴـﺰ ﺗـﻌـﺪاد ﺟـﻮاب ﻫﺎى ﻣﻌـﺎدﻟـﻪ ى‬ ‫‪ (n +1)I ، x + y + z = n‬ﻣﻰ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺣﺎل ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺑﺎﻻ‪ ،‬ﻳﻚ ﻣﺠﻬﻮل اﺿﺎﻓﻪ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﻳﻌﻨﻰ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ‪x + y + z + t = 7‬‬ ‫را ﺣﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﺑﺮاى اﺳﺘﻔﺎده از راه ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ى ﻗﺒﻞ‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ را ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ‪ x + y + z = 7 − t‬ﻣﻰ ﻧﻮﻳﺴﻴﻢ‪:‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪٦‬‬

‫‪٧‬‬

‫‪t‬‬

‫‪1I‬‬

‫‪2I‬‬

‫‪3I‬‬

‫‪4I‬‬

‫‪5I‬‬

‫‪6I‬‬

‫‪7I‬‬

‫‪8I‬‬

‫ﺗﻌﺪاد ﺟﻮاب ‪x + y + z = 7 − t‬‬

‫‪8‬‬

‫ﻟﺬا دوﺑﺎه ﺑﻪ ﻳﻚ اﻟﮕﻮى ﺟﺎﻟﺐ ﻳﻌﻨﻰ ‪∑ nI‬‬

‫ﻣﻰ رﺳﻴﻢ‪.‬‬

‫‪n =1‬‬

‫اﻟﺒﺘﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪ ى ﺑﺎﻻ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺷﻜﻞ ﺟﺎﻟﺐ ﻧﻴﺴﺖ و ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ از ﺻﻮرت ﻫﺎى دﻳﮕﺮ آن اﺳﺘﻔﺎده ﺷﻮد‪ .‬ﻣﺜﻼً ﺑﻪ ﺷﻜﻞ زﻳﺮ‬ ‫ﻛﻪ در ﻛﺘﺎب رﻳﺎﺿﻴﺎت ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻧﻴﺰ ﻣﻄﺮح ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫»ﮔﻞ ﻓـﺮوﺷﻰ در ﻣﻐـﺎزه ى ﺧﻮد ﻓﻘﻂ ﺳﻪ ﻧـﻮع ﮔﻞ دارد و ﻣﻰ ﺧـﻮاﻫﺪ دﺳﺘﻪ ﮔﻞ ﻫﺎﻳـﻰ ﺑـﺎ ‪ ٨‬ﺷﺎﺧﻪ ﮔـﻞ درﺳﺖ ﻛﻨـﺪ و در‬ ‫اﻧﺘﺨﺎب ﻧﻮع ﮔﻞ ﻫﺎ ﻛﺎﻣﻼً آزاد اﺳﺖ‪ .‬ﭼﻨﺪ ﻧﻮع دﺳﺘﻪ ﮔﻞ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ درﺳﺖ ﻛﻨﺪ؟«‬ ‫اﻳﻨﻚ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﻪ آﺳﺎﻧﻰ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻌﻤﻴﻢ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻫﻔﺘﻤﻴﻦ ﻣﺴـﺌـﻠـﻪ‪ ،‬ﺷﻤﺎرش ﺗﻌﺪاد ﻣﺜﻠﺚ ﻫﺎﻳﻰ اﺳﺖ ﻛـﻪ ﺑـﺎ ﻛـﻤـﻚ ‪ ٩‬ﻧﻘﻄـﻪ روى ﻳﻚ داﻳﺮه ﻣﻰ ﺗـﻮان رﺳﻢ ﻛﺮد‪ .‬ﺑﻴﺶ ﺗـﺮ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ روش زﻳﺮ ﺑﻪ ﺷﻤﺎرش ﻣﻰ ﭘﺮدازﻧﺪ‪:‬‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ ى ‪ A‬را ﺛﺎﺑﺖ ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻳﻢ و ﻫﻤﻪ ى ﻣﺜﻠﺚ ﻫﺎﻳﻰ را ﻛﻪ از اﻳﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﻣﻰ ﮔﺬرﻧﺪ ﻣﻰ ﺷﻤﺎرﻳﻢ‪.‬‬ ‫ﻧﻮع‬

‫ﻣﺜﻠﺚ ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ از ‪ AB‬ﻣﻰ ﮔﺬرﻧﺪ‬

‫ﻣﺜﻠﺚ ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ از ‪ AC‬ﻣﻰ ﮔﺬرﻧﺪ‬

‫ﻣﺜﻠﺚ ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ از ‪ AD‬ﻣﻰ ﮔﺬرﻧﺪ‬

‫ﻣﺜﻠﺚ ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ از ‪ AE‬ﻣﻰ ﮔﺬرﻧﺪ‬

‫ﻧﻤﻮدار‬

‫ﺗﻌﺪاد‬

‫‪٧‬‬

‫‪٦‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﺷﻜﻞ )‪(٥‬‬

‫‪٣١‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫اﮔﺮ ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ روش اداﻣﻪ دﻫﻴﻢ‪ ،‬ﺗﻌﺪاد آن ﻫﺎ ‪ ٧ I‬ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻰ آﻳﺪ‪ .‬در ﻣﺮﺣﻠﻪ ى ﺑﻌﺪ‪ A ،‬را ﺣﺬف ﻛﺮده و روش ﺑﺎﻻ را ﺑﺎ ﻧﻘﻄﻪ ى ‪ B‬ﺗﻜﺮار ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫ﻧﻮع‬

‫ﻣﺜﻠﺚ ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ از ‪ BC‬ﻣﻰ ﮔﺬرﻧﺪ ﻣﺜﻠﺚ ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ از ‪ BD‬ﻣﻰ ﮔﺬرﻧﺪ ﻣﺜﻠﺚ ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ از ‪ BE‬ﻣﻰ ﮔﺬرﻧﺪ ﻣﺜﻠﺚ ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ از ‪ BF‬ﻣﻰ ﮔﺬرﻧﺪ‬

‫ﻧﻤﻮدار‬

‫ﺗﻌﺪاد‬

‫‪٦‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪٣‬‬

‫ﺷﻜﻞ )‪(٦‬‬

‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺟﺪول‪ ،‬ﺗﻌﺪاد ﻣﺜﻠﺚ ﻫﺎ ‪ ٦ I‬ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻰ آﻳﺪ‪ .‬ﺣﺎل ﺑﺎ ﻧﻘﻄﻪ ى ‪ C‬ﺷﻤﺎرش را ﺗﻜﺮار ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬

‫ﺷﻜﻞ )‪(٧‬‬

‫ﺑــﺎ ﺗــﻜــﺮار ﺷــﻤـــﺎرش ﺑــﺎﻻ‪ ،‬ﺗــﻌــﺪاد آن ﻫــﺎ ‪ ٥ I‬ﺑــﻪ دﺳــﺖ ﻣــﻰ آﻳــﺪ و در ﻧــﺘــﻴــﺠـــﻪ ﻛـــﻼً ﺗــﻌــﺪاد ﻣــﺜــﻠــﺚ ﻫــﺎى ﺣــﺎﺻـــﻞ‪،‬‬ ‫‪ 1I + 2I + 3I + 4I + 5I + 6I + 7I + 8I‬اﺳﺖ‪ .‬ﺷﺎﻳﺪ ﺑﺮﺧﻰ روش ﺑﺎﻻ را ﻧﭙﺴﻨﺪﻧﺪ؛ وﻟﻰ ﺑﺎﻳﺪ ﺗﻮﺟﻪ ﻛﺮد ﻛﻪ اﻳﻦ روش ﺗﻮﺳﻂ داﻧﺶ آﻣﻮزاﻧﻰ‬ ‫اراﺋﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫﻨﻮز ﺑﺎ ﺗﺮﻛﻴﺒﺎت آﺷﻨﺎ ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﻪﮔﻴﺮى‬ ‫ﻣﻬﻢ ﺗﺮﻳﻦ ﻧﺘﻴﺠﻪ اى ﻛﻪ از اﻳﻦ ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻣﻰ ﺗﻮان ﮔﺮﻓﺖ ﭼﻴﺴﺖ؟ آﻳﺎ ﭼﻴﺰى ﻏﻴﺮ از ﻟﺰوم ﺑﺎزﻧﮕﺮى در ﻛﺘﺐ درﺳﻰ و ﺷﻴﻮه ﻫﺎى ﺗﺪرﻳﺲ اﺳﺖ؛‬ ‫ﻻ ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ ﻛﺘﺎب ﻫﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻰ ﻛﻨﻨـﺪ وﻟﻰ ﺷﻴـﻮه ﻫﺎى ﺗﺪرﻳﺲ در ﻣﺪارس و‬ ‫ﺻﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮ در ﺷﻴـﻮه ﻫﺎى ﺗﺪرﻳﺲ‪ .‬ﭼﺮا ﻛﻪ ﻣﻌﻤـﻮ ً‬ ‫ﺧﺼﻮ ً‬ ‫ﻛﻼس ﻫﺎ‪ ،‬ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻧﻤﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬اﻟﺒﺘﻪ دﻻﻳﻞ ﻣﺨﺘﻠـﻔـﻰ ﺑـﺮ اﻳـﻦ اﻣـﺮ وارد اﺳﺖ؛ از ﺟﻤﻠﻪ ﺷﻠـﻮﻏﻰ ﻛﻼس ﻫﺎ‪ ،‬ﺳﺎﻋﺖ زﻳﺎد ﺗﺪرﻳﺲ ﻣﻌـﻠـﻤـﺎن و‬ ‫ﺧﺴﺘﮕﻰ ﻧﺎﺷﻰ از آن ﻛﻪ ﺑﺮاى ﻣﻌﻠﻢ ﺟﺎﻳﻰ ﺑﺮاى ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى و… ﺑﺎﻗﻰ ﻧﻤﻰ ﮔﺬارد‪ ،‬ﺑﺮرﺳﻰ اﻳﻦ ﻋﻮاﻣﻞ‪ ،‬از ﺣﻴﻄﻪ ى ﻛﺎر ﻣﺎ ﺧﺎرج اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﻪ ﻫﺮ ﺣﺎل ﻣﺎده ى اوﻟﻴﻪ اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ‪ ،‬ﻛﻪ ﻫﻤﺎن راه ﺣﻞ ﻫﺎى زﻳﺒﺎى داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻮد ﺣﺎﺻﻞ ﻛﺎر داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺳﺎل اول دﺑﻴﺮﺳﺘﺎن اﺳﺖ ﻛﻪ‬ ‫اﻳﻦ اﻣﻜﺎن را ﭘﻴﺪا ﻛﺮده اﻧﺪ ﻛﻪ در ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺗﻘﻠﻴﺪ ﻧﻜﻨﻨﺪ و آزاداﻧﻪ ﻓﻜﺮ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﻻزم ﺑﻪ ذﻛﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ اﻳﻦ ﺗﺠﺮﺑﻪ‪ ،‬در ﻛﻼس ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ m‬در‬ ‫ﺳﺎل ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ ،m‬در ﻣﺪارس ﺧﺎص و ﻣﻌﻤﻮﻟﻰ اﺟﺮا ﺷﺪه و ﻧﺘﻴﺠﻪ داده اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﻨﺒﻊ ‪ :‬آﻣﻮزش ﻫﻨﺮ ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ‪.‬آرش رﺳﺘﮕﺎر‪،‬ﺟﻮاد ﺣﺎﺟﻰ ﺑﺎﺑﺎﻳﻰ‪.‬ﻛﺘﺐ درﺳﻰ ‪.١٣٧٩ ،‬‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪٣٢‬‬

‫ﺗﺪرﻳﺲﺷﻬﻮدى‬

‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬

‫واﺛﺮ آن ﺑﺮ ﻳﺎدﮔﻴﺮى‬

‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬

‫ﻋﻠﻴﺮﺿﺎ ﻛﺮدﻳﺎﻧﻰ‪ /‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺪارس اﺑﺘﺪاﻳﻰ ﺑﺎﺧﺰر‬

‫ﺑﻪدﻟﻴﻞ اﻫﻤـﻴـﺖ ﻧـﻘـﺶ ﻣـﻌـﻠـﻢ‪ ،‬ﺑـﺮﻧﺎﻣـﻪﻫـﺎى آﻣـﻮزش ﻣﻌـﻠـﻤـﺎن از‬ ‫اﻫﻤﻴﺖ وﻳﮋهاى ﺑـﺮﺧﻮردار اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺠﻠﻪى رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿـﻰ در‬ ‫ﻧﻈﺮ دارد ﻛﻪ اﻳﻦ ﻣﻬﻢ را ﺑﻪﻋﻨﻮان ﻳﻜﻰ از وﻇﺎﻳ‪ L‬اﺻﻠﻰ ﺧﻮﻳﺶ ﺑﺪاﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻪﻫﻤﻴـﻦﻣـﻨـﻈـﻮر‪ ،‬ﺳـﺘـﻮﻧﻰ در ﻣﺠـﻠـﻪ ﺑـﺎ ﻋـﻨـﻮان رواﻳﺖﻫﺎى ﻣـﻌـﻠـﻤـﺎن‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺎز ﺷﺪه اﺳﺖ ﺗﺎ از ﻃﺮﻳﻖ آن‪ ،‬ﺑﺘﻮاﻧﻴﻢ راﺑﻄﻪى ﻧﺰدﻳﻚﺗﺮى ﺑﺎ‬ ‫ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺮﻗﺮار ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬اﻳﻦ رواﻳﺖﻫﺎ ﺑﺮاى ﻣﺤﻘﻘﺎن و ﻣﻌﻠﻤﺎن‬ ‫ﻣﺤـﻘـﻖ ﻓـﺮﺻـﺖ ارزﻧﺪهاى ﺑـﻪوﺟـﻮد ﻣـﻰآورد ﺗﺎ ﺑﻪ ﺗﺒـﻴـﻴـﻦ ﻧـﻈـﺮﻳـﻪﻫـﺎى‬ ‫آﻣﻮزﺷﻰ و ﺗﺪرﻳﺲ ﻛﻪ از دل ﻛﻼس درس و ﻋﻤﻞ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﻰﺟﻮﺷﺪ‪،‬‬ ‫ﺑﭙﺮدازﻧﺪ‪ .‬آنﮔﺎه ﻧﻈﺮﻳﻪﻫﺎ ﺑﻪ ﻋﻤﻞ درﻣﻰآﻳﻨﺪ و ﻣﺠﺪداً ﻋﻤﻞ ﺑﻪ ﻧﻈﺮﻳﻪ‬ ‫ﻛﺸﺎﻧﺪه ﻣﻰﺷﻮد و اﻳﻦ ﻓﺮآﻳﻨﺪ ﻫﻢﭼﻨﺎن اداﻣﻪ ﭘﻴﺪا ﻣﻰﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫از ﻫﻤﻜﺎران ﮔﺮاﻣﻰ اﻧﺘﻈﺎر ﻣﻰرود ﻛﻪ رواﻳﺖﻫﺎى ﺧﻮد را ﺑﺮاى ﻣﺎ‬ ‫ﺑﻔﺮﺳﺘﻨﺪ‪ .‬ﻋﻠﻢ زﻣﺎﻧﻰ ارزﺷﻤﻨﺪ اﺳﺖ ﻛﻪ در اﺧﺘﻴﺎر ﻋﻤﻮم ﻗﺮار ﮔﻴﺮد‪،‬‬ ‫زﻳـﺮا ﻛﻪ زﻛﺎت ﻋﻠﻢ ﻧﺸﺮ آن اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻌـﻠـﻤـﺎن ﻋـﺰﻳـﺰ ﺑـﺎﻳـﺪ ﺑـﻪ اﻫـﻤـﻴـﺖ‬ ‫ﺗـﺠـﺮﺑـﻪﻫـﺎى ﺧـﻮد واﻗـ‪ L‬ﺷـﻮﻧـﺪ و ﺑـﺎ ﭘـﻮﻳـﺎﻳـﻰ ﺑـﻪ ﻏـﻨـﻰﺗـﺮ ﻛـﺮدن آنﻫـﺎ‬ ‫ﺑﭙﺮدازﻧﺪ‪.‬‬

‫ﭼﻬﺎردﻫﻢ ﻧﻮروز ﺑﻮد و ﻫﻤﺎن ﻃﻮر ﻛﻪ ﻋﺎدت ﺑﺴﻴﺎرى از ﺑﭽﻪ ﻫﺎى‬ ‫اﻳﺮاﻧﻰ اﺳﺖ‪ ،‬ﻏﺮق در زﻳﺒﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﺑﻬﺎر ﮔﺸﺘﻪ و ﺗﻌﺪاد زﻳﺎدى از آن ﻫﺎ‬ ‫ﺑﻪ ﻣﺪرﺳﻪ ﻧﻴﺎﻣﺪه ﺑـﻮدﻧﺪ‪ .‬اﻟﺒﺘﻪ ﻗﺒﻼً ﭘﻴﺶ ﺑﻴﻨﻰ اﻳﻦ ﻣـﻮﺿﻮع را ﻛﺮده و‬ ‫ﻛﺎرﻫﺎﻳﻢ را اﻧﺠﺎم داده ﺑﻮدم و از ﺟﻬﺖ ﻋﻘﺐ ﻣﺎﻧﺪن ﻛﻼس ﻳﺎ ﺑﺎﻗـﻰ‬ ‫ﻣﺎﻧﺪن ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻫﺎ‪ ،‬ﻧﮕﺮاﻧﻰ ﻧﺪاﺷﺘﻢ‪.‬‬ ‫ﭼﻬﺎر ﻧﻔﺮ از داﻧﺶ آﻣـﻮزاﻧﻢ ﺑﻪ ﻣـﺪرﺳﻪ آﻣﺪه ﺑﻮدﻧﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﺳﻔـﺎرش‬ ‫ﻣﺪﻳﺮ ﺑﻪ ﻛﻼس رﻓﺘﻢ ﺗﺎ ﺳﺮ آن ﻫﺎ را ﮔﺮم ﻛﻨﻢ‪ .‬ﭼﻨﺪ ﺷﻜﻼت روى ﻣﻴﺰ‬ ‫ﻣﺪﻳﺮ ﺑﻮد ﻛﻪ ﺑﺎ اﺟﺎزه ى وى آن ﻫﺎ را ﺑﺎ ﺧﻮد ﺑﻪ ﻛﻼس ﺑـﺮدم ﺗﺎ ﺑﭽﻪ ﻫﺎ‬ ‫دﻫﺎن ﺧـﻮد را ﺷﻴﺮﻳﻦ ﻛﻨﻨﺪ و ﻧﻴﺰ ﻫـﺪﻳـﻪ اى ﻛـﻮﭼﻚ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﻪ ﭘـﺎداش‬ ‫اﻧﻀﺒﺎط آن ﻫﺎ‪.‬‬

‫ﺑﺎ ﺑـﭽـﻪ ﻫـﺎ ﺧـﻮش و ﺑِـﺸـﻰ ﻛـﺮدم و ﭘﺲ از ﺗـﺒـﺮﻳـﻚ ﺳـﺎل ﻧـﻮ‪،‬‬ ‫ﺷﻜﻼت ﻫﺎ را ﺑﻪ آن ﻫﺎ ﺗﻌﺎرف ﻛﺮدم‪ .‬ﺑﺎ ﺧﻮﺷﺤﺎﻟﻰ ﻓﺮاوان ﺑﻪ ﺑﺎز ﻛﺮدن‬ ‫و ﺧﻮردن آن ﻫﺎ ﻣﺸﻐﻮل ﺷﺪﻧﺪ‪ .‬ﺑﻘﻴﻪ را ﻫﻢ روى ﻣﻴﺰ ﮔﺬاﺷﺘﻢ ﺗﺎ در‬ ‫آﺧﺮ ﺳﺎﻋﺖ ﺑﻪ آن ﻫﺎ ﺑﺪﻫﻢ ﺗﺎ زﻧﮓ ﺗﻔﺮﻳﺢ را ﻣﺸﻐﻮل ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻣﺸﻐﻮل‬ ‫ِ‬ ‫ﺻﺤﺒﺖ ﺷﺪﻳﻢ و ﻫـﺮ ﻳـﻚ از آن ﻫـﺎ از ﻣـﻮﺿﻮع ﻫﺎى ﺟﺎﻟﺒـﻰ ﻛـﻪ در‬ ‫ﺗﻌﻄﻴﻼت ﺑـﺮاﻳﺶ ﭘﻴﺶ آﻣﺪه ﺑﻮد و ﻳﺎ ﺑـﺎزى ﻫﺎ و ﻣﺸﻐﻮﻟﻴﺖ ﻫﺎﻳﻰ ﻛـﻪ‬ ‫ﻫﺮ ﻳﻚ داﺷﺘﻨﺪ‪ ،‬ﺗﻌﺮﻳ‪ m‬ﻛﺮدﻧﺪ‪ .‬اواﺧﺮ زﻧﮓ ﺑﻮد ﻛﻪ ﭘﺮﺳﻴﺪم‪» :‬راﺳﺘﻰ‬ ‫ﺑﭽﻪ ﻫﺎ‪ ،‬ﺑﻪ ﭘﻴﻚ ﻫﺎى ﻧـﻮروزى ﻫﻢ ﺳﺮ زدﻳﺪ ﻳﺎ آن ﻫﺎ را ﺑﻪ ﮔـﻮﺷﻪ اى‬ ‫اﻧﺪاﺧﺘﻴﺪ و ﻫﻤﻪ ى ﺗﻌـﻄـﻴـﻼت را ﻣﺸﻐـﻮل ﺑـﺎزى ﺷﺪﻳﺪ؟!« ﺑﭽﻪ ﻫـﺎ‬ ‫ﺧﻨﺪﻳﺪﻧﺪ و اﻃﻤﻴﻨﺎن دادﻧﺪ ﻛﻪ ﺑﻴﺶ ﺗـﺮ ﻗـﺴـﻤـﺖ ﻫـﺎى ﭘـﻴـﻚ را ﺣـﻞ‬ ‫ﻛﺮده اﻧﺪ‪ .‬در ﻣﻴﺎن ﺣﺮف ﻫﺎى ﺑﻘﻴﻪ‪ ،‬ﻧﺎﮔﻬﺎن ﻳﻜﻰ از ﺑﭽﻪ ﻫﺎ ﺑﻪ ﻣﻴـﺎن‬ ‫ﺻﺤﺒﺖ دﻳﮕﺮان دوﻳﺪ و ﺑﺎ ﺻﺪاى ﺑﻠﻨﺪ ﮔﻔﺖ‪» :‬آﻗﺎ ﻣﻌﻠﻢ اﺟﺎزه! ﻣﺎ‬ ‫ﻫﻤﻪ رو ﺣﻞ ﻛﺮدﻳﻢ ﺟﺰ ﻫﻤﻮن ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻫﺎ‪ .‬ﻣﻦ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻫﺎ رو ﻳﺎد ﻧﺪارم‬ ‫و از ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺑﺪم ﻣﻴﺎد‪ «.‬ﺑﻘﻴﻪ ى ﺑﭽﻪ ﻫﺎ ﻫﻢ ﻣﺜﻞ اﻳﻦ ﻛﻪ ﺑـﺎ او ﻫـﻢ درد‬ ‫ﺑﻮدﻧﺪ‪ ،‬ﮔﻔﺘﻨﺪ‪» :‬آﻗﺎ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺳﺨﺘﻪ‪ ،‬ﻣﺎ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻫﺎ رو ﺑﻠﺪ ﻧﻴﺴـﺘـﻴـﻢ و‬ ‫ﻧﻤﻰ ﻓﻬﻤﻴﻢ‪ «.‬ﮔﻔﺘـﻢ‪» :‬ﭼـﻪ ﻃـﻮر؟ ﺷﻤﺎﻫﺎ ﻛﻪ ﺟـﺪول ﺿﺮﺑﻮ ﺧـﻮب‬ ‫ﺑﻠﺪﻳﺪ‪ .‬ﻫـﺮ ﻛـﺲ ﺟـﺪول ﺿﺮﺑﻮ ﺑﻠﺪ ﺑﺎﺷﻪ‪ ،‬ﺗـﻘـﺴـﻴـﻢ ﺑـﺮاش راﺣﺖ‬ ‫ﻣﻴﺸﻪ‪ «.‬اﻣﺎ ﺑﭽﻪ ﻫﺎ ﻣﻌﺘﻘﺪ ﺑﻮدﻧﺪ ﻛﻪ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺳﺨﺖ اﺳﺖ و ﻧﻤﻰ ﺷﻮد‬ ‫آن را ﺑﻪ راﺣﺘﻰ ﻳﺎد ﮔﺮﻓﺖ‪ .‬ﺑﻠﻨﺪ ﺷﺪم و ﺗﻘﺴﻴـﻢ ‪ 7 4‬را ﭘﺎى ﺗﺨﺘـﻪ‬ ‫ﻧﻮﺷﺘﻢ و ﮔﻔﺘﻢ‪» :‬اﻳﻦ ﭼﻪ ﺟـﻮرى ﺣﻞ ﻣﻴﺸﻪ؟« ﺗـﻮﻗﻊ داﺷﺘﻢ ﺑﭽﻪ ﻫـﺎ‬ ‫ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ اﻳﻦ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺳﺎده را ﺑﻪ راﺣﺘﻰ ﺣﻞ ﻛﻨﻨﺪ و ﺿﻌ‪ m‬آن ﻫﺎ را ﻧﺎﺷﻰ‬ ‫از ﻛﻤﺒﻮد اﻋﺘﻤﺎد ﺑﻪ ﻧﻔﺲ آن ﻫﺎ ﻣﻰ داﻧﺴﺘﻢ‪ .‬اﻣﺎ وﻗﺘﻰ دﻳﺪم ﺑﺮاى ﺣﻞ‬ ‫آن‪ ،‬اﺣﺘﻴﺎج ﺑﻪ ﻛﻤﻚ و ﻫﻢ ﻓﻜﺮى و راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ ﻛﺎﻣﻞ ﻣﻦ دارﻧﺪ‪ ،‬ﻣﺘﻮﺟﻪ‬ ‫ﺷﺪم ﻛﻪ ﻣﺸﻜﻞ آن ﻫﺎ‪ ،‬ﺟـﺪى اﺳـﺖ‪ .‬آن را ﺑﺎ اراﺋﻪ ى ﺗﻮﺿﻴﺢ ﺣـﻞ‬ ‫ﻛﺮدم و ﺗﻘﺴﻴﻢ ‪ 11 3‬را ﻧﻮﺷﺘﻢ‪ .‬اﻣﺎ ﺑﺎز ﻫﻢ ﺑﭽﻪ ﻫﺎ آن ﻣﻬﺎرﺗﻰ ﻛﻪ‬ ‫‪٣٣‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫اﮔﺮﭼﻪ ﻣﻰﺗﻮان‬ ‫ﻋﻜﺲ ‪ ١٨‬ﺷﻜﻼت ر‬ ‫ا‬ ‫در‬ ‫ﻛ‬ ‫ﺘﺎ‬ ‫ب‬ ‫ﭼﺎ‬ ‫پ‬ ‫ﻛﺮ‬ ‫د‬ ‫و از داﻧﺶآﻣ‬ ‫ﻮزان ﺧﻮاﺳﺖ ﻛﻪ آ‬ ‫ن‬ ‫ر‬ ‫ا‬ ‫ﺑﻴ‬ ‫ﻦ‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﻧ‬ ‫ﻔﺮ‬ ‫ﻗ‬ ‫ﺴﻤﺖ‬ ‫ﻛﻨﻨﺪ‪ ،‬اﻣﺎ‬ ‫اﻳﻦ ﻛﺎر ﺑﺎ ﻧـﺸـﺎن د‬ ‫اد‬ ‫ن‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ﺷ‬ ‫ﻜـ‬ ‫ﻼ‬ ‫ت‬ ‫واﻗﻌﻰ و‬ ‫ﺗﻘﺴﻴ‬ ‫ﻢ واﻗﻌﻰ آن ﺑﻴﻦِداﻧ‬ ‫ﺶ‬ ‫‬ ‫آﻣ‬ ‫ﻮز‬ ‫ا‬ ‫ن‬ ‫ﺗﻔ‬ ‫ﺎو‬ ‫ت‬ ‫زﻳﺎدى دارد‬

‫ﺗﻮﻗﻊ داﺷﺘﻢ‪ ،‬ﺑﻪ دﺳﺖ ﻧﻴـﺎوردﻧﺪ‪ .‬ﻧﺎﮔﻬﺎن ﻓﻜـﺮى ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮم رﺳﻴﺪ‪.‬‬ ‫ﺷﻜﻼت ﻫـﺎى روى ﻣﻴﺰ را ﺟﻠـﻮى ﺑﭽﻪ ﻫﺎ ﺷﻤـﺮدم و دﻳﺪم ﻛـﻪ ‪١٥‬ﺗﺎ‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﮔﻔﺘﻢ‪» :‬ﻫﺮﻛﺲ ﺑﻴﺎد و ﺳﻬﻢ ﺧﻮدﺷﻮ ﺑﺮداره‪«.‬‬ ‫ﺑﭽﻪ ﻫﺎ ﺑﻠﻨﺪ ﺷﺪﻧﺪ و ﻫﺮ ﻳﻚ ‪ ٣‬ﺷﻜﻼت ﺑﺮداﺷﺘﻨﺪ و ‪ ٣‬ﺗﺎ اﺿﺎﻓﻰ‬ ‫ﻣﺎﻧﺪ‪ .‬ﮔﻔﺘﻢ‪» :‬ﻛﺎﺷﻜﻰ ﺑﻴﺶ ﺗـﺮ ﺑـﻮد ﺗﺎ ﻫﻤﻪ ى ﺷﻜﻼت ﻫﺎ ﺗﻘﺴـﻴـﻢ‬ ‫ﻣﻰ ﺷﺪﻧﺪ‪ .‬ﭼﻨﺪ ﺗﺎ ﻛﻢ دارﻳﻢ؟« ﻫﻤﮕﻰ ﮔﻔﺘﻨـﺪ‪» :‬ﻓـﻘـﻂ ﻳـﻜـﻰ آﻗـﺎ«‬ ‫ﮔﻔﺘﻢ‪» :‬اوﻧﺠﻮرى ﺑﻪ ﻫﺮ ﻧﻔﺮ ﭼﻨﺪ ﺗﺎ ﻣﻰ رﺳﻴﺪ؟« ﮔﻔﺘﻨﺪ‪ ٤»:‬ﺗﺎ آﻗﺎ‪«.‬‬ ‫ﮔﻔﺘﻢ‪» :‬ﺷﻜﻼت ﻫﺎ رو روى ﻣﻴﺰ ﻣﻦ ﺑﺮﻳﺰﻳﺪ‪ «.‬آن ﻫﺎ ﺑـﻰ درﻧﮓ اﻳﻦ‬ ‫ﻛﺎر را ﻛﺮدﻧﺪ و ﻣـﻦ ‪ ٧‬ﺗﺎ از ﺷﻜﻼت ﻫـﺎ را ﺑﺮداﺷﺘﻢ و ﺑﻘﻴـﻪ را ﺟﻠـﻮى‬ ‫آن ﻫﺎ ﺷﻤﺮدم و ﮔﻔﺘﻢ‪» :‬ﺣﺎﻻ ﻫﺮﻛﺲ ﺑﻴﺎد و ﺳﻬﻢ ﺧـﻮدﺷﻮ ﺑﺮداره‪«.‬‬ ‫ﻫﺮﻛﺲ آﻣﺪ و ‪ ٢‬ﺗﺎ ﺷﻜﻼت ﺑﺮداﺷﺖ و ﺳﺮ ﺟﺎى ﺧـﻮدش ﻧﺸﺴﺖ‪.‬‬ ‫ﭘﺮﺳﻴﺪم‪» :‬ﺑﭽﻪ ﻫﺎ اﮔﺮ ﺑﺎز ﻫﻢ ﺷـﻜـﻼت رو روى ﻣﻴﺰ ﺑﺮﻳﺰﻳﺪ و ﻣـﻦ‬ ‫ﻳﻜﻰ ﺑـﺮدارم ﭼﻪ ﺟـﻮرى ﻣﻴﺸﻪ؟« ﺑﭽﻪ ﻫـﺎ ﺟـﻮاد دادﻧـﺪ‪» :‬آن وﻗﺖ ﺑﻪ‬ ‫ﻫﺮﻛﺲ ﻳﻜـﻰ ﻣـﻴـﺮﺳﻪ و ﺑﺎز ‪ ٣‬ﺗﺎ اﺿﺎﻓـﻰ ﻣـﻰ ﻣـﻮﻧﻪ‪ «.‬ﮔﻔﺘـﻢ‪» :‬ﭘـﺲ‬ ‫ﻣﻰ ﺑﻴﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﻛﺎر ﺳﺨﺘﻰ ﻧﻴﺴﺖ ﻛﻪ ﭼﻨﺪ ﺷﻜﻼت را ﺑﻴﻦ ﭼﻨﺪ ﻧﻔﺮ ﺗﻘﺴﻴﻢ‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ و ﺗﻌﺪاد ﺷﻜﻼت ﻫﺎﻳﻰ را ﻛﻪ اﺿﺎﻓﻪ ﻣﻰ ﻣﺎﻧﺪ ﺗﺸﺨﻴﺺ ﺑﺪﻫﻴﻢ‪«.‬‬ ‫ﺧﻨﺪﻳﺪﻧﺪ و ﮔﻔﺘﻨﺪ‪» :‬ﻧﻪ آﻗﺎ!« ﮔﻔﺘﻢ‪» :‬ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﺷﻤﺎ آﻳـﺎ ‪ ٧‬ﺷﻜﻼت را‬ ‫ﺑﻴﻦ ‪ ٤‬ﻧﻔﺮ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛـﺮدن ﻫﻤﺎن ﺗﻘﺴﻴـﻢ ‪ 7 4‬ﻧﻴﺴﺖ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻫﺮ ﻧـﻔـﺮ‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪٣٤‬‬

‫ﻳﻚ ﺷﻜـﻼت رﺳﻴﺪ و ‪ ٣‬ﺗﺎ ﺑﺎﻗﻰ ﻣﺎﻧـﺪ؟ « ﺑـﺮﻗﻰ از ﭼﺸﻤﺎن ﺑﭽـﻪ ﻫـﺎ‬ ‫ﭘﺮﻳﺪ و ﮔﻔﺘﻨﺪ‪» :‬ﺑﻠﻪ آﻗﺎ!« ﮔﻔﺘـﻢ‪» :‬اﮔـﺮ ‪ ١١‬ﺷﻜـﻼت را ﺑﻴﻦ ‪ ٣‬ﻧﻔـﺮ‬ ‫ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻴﻢ ﭼﻰ؟ ﺳﻬﻢ ﻫﺮ ﻳﻚ ﭼﻨﺪ ﺗﺎ ﻣﻴﺸﻪ؟« ﺑﭽﻪ ﻫﺎ ﺑﺎ ﻫﻴﺠﺎن و‬ ‫ﻋﻼﻗﻪ ﮔﻔﺘـﻨـﺪ‪ ٣» :‬ﺗﺎ آﻗﺎ و ‪ ٢‬ﻫﻢ ﺑﺎﻗﻰ ﻣـﻰ ﻣـﻮﻧﻪ‪ «.‬ﮔﻔﺘـﻢ‪» :‬و ‪١٨‬‬ ‫ﺷﻜﻼت ﺑﻴﻦ ‪ ٥‬ﻧﻔﺮ ﭼﻰ؟« و ﻓﻮرًا ﭘﺎى ﺗﺨﺘﻪ ﻧﻮﺷﺘﻢ‪ . 18 5 :‬اﻣﺎ‬ ‫ﺑﭽﻪ ﻫﺎ ﺧﻴﻠـﻰ زودﺗﺮ از ﻣﻦ‪ ،‬ﻗﺒﻞ از اﻳﻦ ﻛﻪ آن ﺗﻘﺴـﻴـﻢ را ﺑﻨﻮﻳﺴـﻢ‪،‬‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ ﺗﻘﺴﻴﻢ و ﺑﺎﻗﻰ ﻣـﺎﻧـﺪه ى آن را ﻫﻢ ﮔﻔﺘﻪ ﺑـﻮدﻧﺪ‪ .‬آن ﮔﺎه ﺑـﻮد ﻛﻪ‬ ‫داﻧﺴﺘﻢ اﮔﺮﭼﻪ ﻣﻰ ﺗﻮان ﻋﻜﺲ ‪ ١٨‬ﺷﻜﻼت را در ﻛﺘﺎب ﭼﺎپ ﻛﺮد و‬ ‫از داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺧﻮاﺳﺖ ﻛﻪ آن را ﺑﻴﻦ ‪ ٥‬ﻧﻔﺮ ﻗﺴﻤﺖ ﻛﻨﻨﺪ‪ ،‬اﻣﺎ اﻳﻦ‬ ‫ﻛـﺎر ﺑـﺎ ﻧـﺸـﺎن دادن ‪ ١٨‬ﺷـﻜــﻼت واﻗـﻌـﻰ و ﺗـﻘـﺴـﻴـﻢ واﻗـﻌــﻰ آن‬ ‫ﺑﻴﻦ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺗﻔﺎوت زﻳﺎدى دارد‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫دو ﺳﻪ روز ﺑﻌﺪ وﻗﺘﻰ ﻫﻤﻪ ى داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻛﻪ ‪ ١٧‬ﻧﻔﺮ ﺑﻮدﻧﺪ ﺑـﻪ‬ ‫ﻛـﻼس آﻣـﺪﻧـﺪ‪ ،‬اﮔــﺮﭼـﻪ ﺗـﻘـﺴـﻴــﻢ را ﺑـﺎ ﻫـﻤـﺎن روش و ﺑـﺎ دﻳــﺪن‬ ‫ﺳﻨﮕﺮﻳﺰه ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ آن ﻫﺎ را ﺑﻪ ﻃﺮق ﻣﺨﺘﻠ‪ m‬ﺑﻴﻦ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺗﻘﺴﻴﻢ‬ ‫ﻣـﻰ ﻛـﺮدﻳﻢ ﻳـﺎد ﮔـﺮﻓﺘﻨـﺪ‪ ،‬اﻣـﺎ ﻫـﻤـﻪ ﻣـﻰ داﻧـﻴـﻢ ﻛـﻪ ﻃـﻌـﻢ ﺷـﻴـﺮﻳـﻦ‬ ‫ﺷﻜﻼت ﻫﺎى آﻗﺎى ﻣﺪﻳـﺮ را ﻓﻘﻂ ﻫﻤـﺎن ‪ ٤‬ﻧﻔﺮ داﻧﺶ آﻣﻮز ﻣﻨﻀـﺒـﻂ‬ ‫ﭼﺸﻴﺪﻧﺪ!‬

‫‪ICT ICT ICT ICT‬‬ ‫‪ICT‬‬

‫‪ICT‬‬

‫‪ICT‬‬

‫اﺳﺘﻔﺎده از‬ ‫در آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻴﺎت‬

‫‪ICT‬‬

‫ﺳﻴﺪه زﻫﺮا اﺑﻮاﻟﺤﺴﻨﻰ‬ ‫ﻛﺎرﺷﻨﺎس ارﺷﺪ آﻣﻮزش‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ‬

‫ﭼﻜﻴﺪه‬ ‫ﺑﺎ ﻋﻨـﺎﻳـﺖ ﺑـﻪ ﺗـﻮﺟـﻪ روزاﻓﺰون اﺳﺘـﻔـﺎده از ‪ ICT‬در آﻣـﻮزش‬ ‫ﻣﺪرﺳﻪ اى و ﺑﻪ ﺧﺼﻮص درس رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت اﻧﺠﺎم ﺷﺪه در‬ ‫اﻳﻦ ﺣﻮزه ﻣﻮرد ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺖ ﺗﺎ ﻣﺰﻳﺖ ﻫﺎ و ﻣﺤـﺪودﻳﺖ ﻫﺎى‬ ‫اﺳﺘﻔـﺎده از ‪ ICT‬ﻣﺸﺨﺺ ﺷـﻮد‪ .‬ﭘﺲ از آن‪ ،‬ﺗﺠﺮﺑﻪ ى ﺗﻠﺨـﻴـﺺ‬ ‫ﺷﺪه ﮔﺰارش آﻓﺴﺘﺪ ﻛﻪ در ﺳﺎل ‪ ٢٠٠٤‬در اﻧﮕﻠﺴﺘﺎن ﺗﺪوﻳـﻦ ﺷـﺪه‬ ‫ﺑﻮد و در آن‪ ،‬ﺑﻪ ﻣـﻌـﺮﻓﻰ اﺑـﺰارﻫﺎى ‪ ICT‬ﭘـﺮداﺧﺘﻪ ﺷـﺪه ﺑـﻮد‪ ،‬اراﻳﻪ‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮد ﺗﺎ ﻋﻼﻗﻪ ﻣﻨﺪان ﺑﻪ اﺳﺘﻔﺎده از ‪ ICT‬در ﻛﻼس درس رﻳﺎﺿﻰ‪،‬‬ ‫ﺑﺎ ﺗﻨﻮع اﺑﺰارﻫﺎى آن آﺷﻨﺎ ﺷﻮﻧﺪ و ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ در ﺻﻮرت ﻟﺰوم‪ ،‬از آن ﻫﺎ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬

‫ﻣﻘﺪﻣﻪ‬ ‫داﻧﺶ و داﻧﺎﻳﻰ از دﻳﺮﺑﺎز‪ ،‬ﻣـﻮرد ﺟﺴﺘﺠﻮى اﻗﻮام و ﻣﻠﻞ ﺑـﻮده‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬اﻣـﺎ اﻣـﺮوزه در ﻧﺨﺴﺘﻴـﻦ دﻫـﻪ از ﻫـﺰاره ى ﺳـﻮم ﻣﻴـﻼدى‪،‬‬ ‫داﻧﺶ‪ ،‬ﻋﺎﻣـﻠـﻰ راﻫﺒﺮدى ﺑـﺮاى ﻣﻮﻓﻘﻴـﺖ ﻓـﺮد‪ ،‬ﺳﺎزﻣﺎن و ﺟﺎﻣﻌـﻪ‬ ‫ﺑﻪ ﺷﻤﺎر ﻣﻰ رود و ﺗﻨﻬﺎ ﻣﻨﺒﻌﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ارزش آن در ﻛﺎرﺑﺮد آن اﺳﺖ‬ ‫)ﺷﻴﺦ زاده‪ ،‬ﻣﻬﺮﻣﺤﻤﺪى‪ .(١٣٨٣ ،‬از اﻳﻦ رو‪ ،‬ﺳﺎﺧﺘﻦ داﻧﺶ و‬ ‫ﺗﻮﻟﻴﺪ و ﻣﺼﺮف آن‪ ،‬ﻣﺤﻮر ﺗـﻮﺳﻌﻪ ى اﻧﺴﺎﻧﻰ‪ ،‬ﺗﻮﺳﻌﻪ ى ﭘﺎﻳﺪار و‬ ‫ﺟﺎﻣﻌﻪ ى داﻧﺶ ـ ﻣﺤﻮر ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻓﻨﺎورى اﻃﻼﻋﺎت در ﺟﻬﺎن اﻣﺮوز‪ ،‬ﭼﺸﻢ اﻧـﺪازﻫﺎﻳﻰ را ﺑﺮاى‬ ‫ﺟﻬﺎﻧﻴﺎن ﺑﻪ ارﻣﻐﺎن آورده اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺮ ﺗﻤﺎم اﺑﻌـﺎد زﻧﺪﮔﻰ ﺳﻴﺎﺳﻰ‪،‬‬ ‫ﻧﻈﺎﻣﻰ‪ ،‬اﻗﺘﺼﺎدى‪ ،‬اﺟﺘﻤﺎﻋﻰ و آﻣﻮزﺷﻰ اﻧﺴﺎن ﻗﺮن ﺑﻴﺴﺖ و ﻳﻜﻢ‬ ‫ﺗﺄﺛﻴﺮ ﮔﺬاﺷﺘﻪ اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪ اى ﻛﻪ ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن را ﺑﻪ ﺳﻤﺖ‬ ‫راﻳﺎﻧﻪ ﻫﺎ و آﻣﻮزش ﻛﺎر ﺑﺎ آن ﻫﺎ ﺳﻮق داده اﺳﺖ‪ .‬راﻳﺎﻧﻪ ﻫﺎ ﺑﺎ ﻓﺮاﻫﻢ‬ ‫ﻛﺮدن ﻓﺮﺻﺖ ﻻزم ﺑﺮاى ﺗﻤﺮﻳﻦ و ﻛﺴﺐ داﻧﺶ ﺗﻮﺳﻂ داﻧﺶ آﻣﻮزان‬

‫و ﭘﺮورش اﺳﺘﻌﺪادﻫﺎى آن ﻫﺎ‪ ،‬ﺑﻪ آﻣﻮزش ﻣﺪرﺳﻪ اى ﻳﺎرى رﺳﺎﻧﺪه‬ ‫و آن را دﭼﺎر ﺗﺤـﻮل ﻛـﺮده اﻧﺪ‪ .‬در واﻗﻊ‪ ،‬ﻫﻤﺎن ﻃﻮر ﻛﻪ ﻓﺘـﺤـﻴـﺎن‬ ‫)‪ (١٣٨٣‬اﺷﺎره ﻛﺮده‪ ،‬ﭘﻴﺸﺮﻓﺖ ﻓﻨﺎورى ﺷﺒﻜﻪ و ﺑﺴﺘﺮﻫﺎى ﻣﺨﺎﺑﺮاﺗﻰ‬ ‫ﻧﻈﻴﺮ اﻧﺘﻘﺎل ﻣﺘﻦ‪ ،‬ﺻﻮت و ﺗﺼﻮﻳﺮ‪ ،‬ﻧﻮع ﺟﺪﻳﺪى از آﻣﻮزش ﺑﻪ ﻧﺎم‬ ‫»آﻣﻮزش اﻟﻜﺘﺮوﻧﻴﻜﻰ« را ﭘﺪﻳﺪ آورده اﺳﺖ‪.‬‬ ‫آﻣﻮزش اﻟﻜﺘـﺮوﻧﻴﻜﻰ‪ ،‬آﻣـﻮزش ﻣﺒﺘﻨﻰ ﺑﺮ ﻓـﻨـﺎورى اﻃﻼﻋـﺎت‬ ‫اﺳﺖ ﻛﻪ ﮔﺴﺘﺮه ى وﺳﻴﻌﻰ از ﻛﺎرﺑﺮدﻫﺎ‪ ،‬از ﺟﻤﻠﻪ آﻣﻮزش ﻣﺒﺘﻨﻰ ﺑﺮ‬ ‫وب‪ ،‬آﻣـﻮزش ﻣﺒـﺘـﻨـﻰ ﺑـﺮ ﻛـﺎﻣـﭙـﻴـﻮﺗـﺮ و ﻛـﻼس ﻫـﺎى ﻣـﺠـﺎزى را‬ ‫درﺑﺮﻣﻰ ﮔﻴﺮد )روزﻧﺒﺮگ‪.(٢٠٠٠ ، ١‬‬ ‫ﻓـﻮﻟﺮ‪ (٢٠٠٣) ٢‬ﺗـﻮﺿﻴﺢ ﻣﻰ دﻫـﺪ ﻛـﻪ ﭼـﮕـﻮﻧﻪ ﻣﺤـﻴـﻂ ﻫـﺎى‬ ‫آﻣﻮزﺷﻰ ﻣﺠﺎزى‪ ،‬ﻃﻴ‪ m‬وﺳﻴﻌﻰ از ﺗﺴﻬﻴﻼت ﻻزم را ﺑﺮاى اراﺋﻪ ى‬ ‫ﭘﻴﻤﺎﻧﻪ‪٣‬ﻫﺎى روى ﺧﻂ‪ ٤‬اﻳﺠﺎد ﻛﺮده اﻧﺪ ﺗﺎ ﺗﻜﻤﻴﻞ ﻛﻨﻨﺪه ﻳﺎ ﺟﺎﻳﮕﺰﻳﻦ‬ ‫ﻣﺪل ﻫﺎى ﺳﻨﺘﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬از ﻧﻈﺮ وى‪ ،‬ﻳﻚ ﻣﺤﻴﻂ آﻣﻮزﺷﻰ ﻣﺠﺎزى‬ ‫ﻣﺎ ﺑﻪ ﻃﺮاﺣﻰ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى آﻣﻮزﺷﻰ ﻣﻰ ﭘﺮدازد و ﭘﻴﻤﺎﻧﻪ ﻫﺎ را ﺑﻪ ﻣﻨﺎﺑﻊ‬ ‫ﻋﻤﻮ ً‬ ‫آﻣﻮزﺷـﻰ ارﺗﺒﺎط ﻣﻰ دﻫﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﻛﺎر ﺑﺎﻋـﺚ آﺳـﺎن ﺷـﺪن ارﺗﺒﺎﻃـﺎت‬ ‫اﻟﻜﺘـﺮوﻧﻴﻜﻰ ﺑـﻴـﻦ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان و ﺑﻴﻦ داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﺑﺎ ﻣﻌـﻠـﻤـﺎن‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮد‪ ،‬ﻋﻼوه ﺑﺮ اﻳﻦ ﻛﻪ ﺣﻀﻮر و ﻋﻤﻠﻜـﺮد داﻧﺶ آﻣﻮزان را ﻃﻰ‬ ‫ﻳﻚ دوره‪ ،‬ﭘﻰ ﮔﻴﺮى و ﺑﺮرﺳﻰ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ ،‬ﻧﻘﺶ ﻳﻚ ﺣﺎﻣﻰ آﻣﻮزﺷﻰ‬ ‫را ﺑﺮاى آﻧﺎن اﻳﻔﺎ ﻣﻰ ﻧﻤﺎﻳﺪ و در ﻧﻬـﺎﻳـﺖ‪ ،‬ارزﻳـﺎﺑـﻰ »روى ﺧﻂ« را‬ ‫ﺗﺴﻬﻴﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ دﻟﻴﻞ‪ ،‬آﻣﻮزش از ﻃﺮﻳﻖ راﻳﺎﻧﻪ ﻛﻪ ﻻزﻣﻪ ى‬ ‫ﻫﺮ ﻧﻮع آﻣﻮزش اﻟﻜﺘﺮوﻧﻴﻜﻰ اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻜﻰ از ﻣﺒﺎﺣﺚ اﺻﻠﻰ‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳـﺰى درﺳﻰ در ﺑﺴﻴﺎرى از ﻛﺸـﻮرﻫﺎى ﺟﻬﺎن ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﺷـﺪه‬ ‫اﺳﺖ و ﺳـﺮﻣﺎﻳﻪ ﮔـﺬارى ﻫﺎى ﻓـﺮاواﻧﻰ در زﻣﻴﻨﻪ ى اﺑﻌـﺎد ﮔـﻮﻧﺎﮔـﻮن‬ ‫ﻃﺮاﺣﻰ‪ ،‬اﺟﺮا و ارزﻳﺎﺑﻰ آن اﻧﺠﺎم ﺷﺪه اﺳﺖ‪) .‬دﺑﺮا‪(٢٠٠١ ، ٥‬‬ ‫‪٣٥‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪ICT ICT ICT ICT‬‬ ‫‪ICT‬‬

‫‪ICT‬‬

‫ﺑﻪ ﮔﻔﺘﻪ ى رﻳﻮز‪ (١٩٩٤) ٦‬از ﺟﻤﻠﻪ وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎى ﺑﺮﺗﺮ آﻣﻮزش‬ ‫ﺑـﻪ ﻛـﻤــﻚ راﻳـﺎﻧـﻪ‪ ،‬اﻣـﻜــﺎن ﭘــﺮدازش اﻃـﻼﻋـﺎت‪ ،‬ﺳــﺮﻋـﺖ در‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ ﮔﻮﻳﻰ‪ ،‬ﺗﻨـﻮع ﺑﺨﺸﻰ‪ ،‬ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﮔﺮوﻫﻰ و اﻳﺠـﺎد زﻣﻴﻨﻪ ﻫﺎى‬ ‫ﺗﻔﻜـﺮ را ﻣﻰ ﺗﻮان ﻧﺎم ﺑـﺮد‪ .‬در ﺳﺎل ﻫﺎى اﺧﻴـﺮ‪ ،‬آﻣـﻮزش ﺑﻪ ﻛﻤﻚ‬ ‫راﻳﺎﻧﻪ از ﻃﺮف ﺳﺎﺧﺖ و ﺳﺎزﮔﺮاﻳﺎن ﻧﻴﺰ ﻣﻮرد ﺗﻮﺟﻪ واﻗﻊ ﺷﺪه اﺳﺖ‪،‬‬ ‫زﻳﺮا اﺳﺎس ﭼﻨﻴﻦ آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬اﻳﺠﺎد ﻓﺮﺻﺖ ﻫﺎى ﻓﺮاوان و دﺳﺘﺮﺳﻰ‬ ‫زﻳﺎد ﺑﺮاى ﻳﺎدﮔﻴﺮان در ﺗﻮﻟﻴﺪ و ﺳﺎﺧﺖ داﻧﺶ اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮرى ﻛﻪ‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن ﺑﺘـﻮاﻧﻨﺪ در ﻳﻚ ﻣﺤﻴﻂ ﻓـﺮدى و ﮔﺮوﻫﻰ‪ ،‬ﺑﻪ آﻓﺮﻳﻨـﺶ‬ ‫اﻧﺪﻳﺸﻪ ﻫﺎى ﺟﺪﻳﺪ ﺑﭙﺮدازﻧﺪ‪ .‬در روﻳﻜﺮد ﺳﺎﺧﺖ و ﺳﺎزﮔﺮاﻳﺎﻧﻪ‪ ،‬از‬ ‫راﻳﺎﻧﻪ ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان اﺑﺰار ﮔﺮدآورى و ﺳـﺎزﻣﺎن دﻫﻰ اﻃﻼﻋﺎت اﺳﺘﻔـﺎده‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮد ﺗﺎ آن ﭼﻪ را ﻛﻪ ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن آﻣﻮﺧﺘﻪ اﻧﺪ‪ ،‬ﺑﻪ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺑﮕﺬارد‪.‬‬ ‫در اﻳﻦ ﺑﺨﺶ‪ ،‬ﻳﺎدﮔﻴـﺮﻧﺪه در ﺣﻜﻢ ﺟﺴﺘﺠﻮﮔﺮ ﻓﻌﺎل‪ ،‬اﻃﻼﻋـﺎت‬ ‫ﺧﻮد را از ﻃﺮﻳﻖ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﮔﺮدآورى اﻃﻼﻋﺎت ﺟﺪﻳﺪ‪ ،‬اﺻﻼح و ﺑﻪ روز‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﺪ )ﺷﻴﺦ زاده‪ ،‬ﻣﻬﺮﻣﺤﻤﺪى‪.(١٣٨٣ ،‬‬ ‫در ﻫﺮ ﺻـﻮرت‪ ،‬اﻣﺮوزه ﻓﻨـﺎورى اﻃﻼﻋﺎت ﺑﻪ ﻣـﺪد ﻓـﻨـﺎورى‬ ‫ارﺗﺒﺎﻃﺎت ﻓﺮاﮔﻴﺮ ﺷﺪه و ﺟﻬﺎن را دﮔﺮﮔﻮن ﺳﺎﺧﺘﻪ اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻬﻢ ﺗﺮﻳﻦ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴـﺮاﺗﻰ ﻛﻪ اﻳﻦ ﻓـﻨـﺎورى در ﺟﻬﺎن ﺑـﻪ وﺟـﻮد آورده‪ ،‬ﺑﻪ وﺳﻴﻠـﻪ ى‬ ‫ﻣﻚ ﻟـﻮﻫـﺎن‪ (١٩٦٤) ٧‬در ﻳﻚ ﻋﺒـﺎرت ﺧﻼﺻﻪ ﺷـﺪه اﺳـﺖ و آن‬ ‫»ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺟﻬﺎن ﺑﻪ ﻳﻚ دﻫﻜﺪه ى ﺟﻬﺎﻧﻰ« اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﺪﻳﻦ ﻣﻌﻨﺎ ﻛﻪ ﻣﺮدم‬ ‫ﻧﻘﺎط ﻣﺨﺘﻠ‪ m‬در ﻛﺸـﻮرﻫﺎى ﺳـﺮاﺳﺮ ﻛﺮه زﻣﻴﻦ‪ ،‬ﺑﻪ ﻣﺜﺎﺑﻪ ﺳﺎﻛﻨـﺎن‬ ‫ﻳﻚ دﻫﻜﺪه‪ ،‬اﻣﻜﺎن ﺑﺮﻗﺮارى ارﺗﺒﺎط ﺑﺎ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ و اﻃﻼع از اﺧﺒﺎر و‬ ‫روﻳﺪادﻫﺎى ﺟﻬـﺎﻧـﻰ را دارﻧﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﮔﻔـﺘـﻪ وى‪ ،‬ﻧـﺰدﻳﻜﻰ روزاﻓـﺰون‬ ‫ﺷﻬﺮوﻧﺪان دﻫﻜﺪه ى ﺟﻬﺎﻧﻰ ﺑﻪ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ‪ ،‬ﺗﺒﺎدل ﻓﺮﻫﻨﮓ ﻫﺎ‪ ،‬ﺗﻌﺎﻣﻞ‬ ‫اﻧﺪﻳﺸﻪ ﻫـﺎ‪ ،‬ارﺗﻘﺎى ﺑﻴﻨﺶ ﺳﻴﺎﺳﻰ و اﺟﺘﻤـﺎﻋـﻰ ﻣـﺮدم و دﺳﺘﺮﺳـﻰ‬ ‫ﺳﺮﻳﻊ ﺑﻪ اﻃﻼﻋﺎت ﺗﻮﻟﻴﺪى در ﺟﻬﺎن‪ ،‬ﻫﻤﮕﻰ از دﺳﺘـﺎوردﻫﺎى ﺑﺎ‬ ‫ارزش ﻓﻨﺎورى ارﺗﺒﺎﻃﺎت اﻧﺪ‪ ،‬از ﺳـﻮى دﻳﮕﺮ‪ ،‬ﻓﻨـﺎورى اﻃﻼﻋﺎت‬ ‫اﺑﺰار ﻗﺪرﺗﻤﻨﺪى اﺳﺖ ﻛﻪ در ﻛﻤﺘﺮﻳـﻦ زﻣﺎن ﻣﻤﻜﻦ‪ ،‬ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ ﺑﻴﻦ‬ ‫ﻣﺮدم ﺟﻬـﺎن ارﺗﺒﺎط ﺑﺮﻗـﺮار ﺳﺎزد و اﻳﻦ اﺑﺰار ارﺗﺒﺎﻃﻰ ﻗـﺪرﺗﻤﻨﺪ‪ ،‬ﺑـﺎ‬ ‫اﻃﻼﻋﺎت ﺳﺮوﻛﺎر دارد‪.‬‬ ‫ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﺟﻬـﺖ‪ ،‬ﻛـﺎرﺑـﺮد ﻓﻨـﺎورى ﻫﺎى ﺟﺪﻳﺪ اﻃـﻼﻋـﺎﺗـﻰ و‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮات ﺳﺮﻳﻊ آن‪ ،‬ﻣﻮﺟﺐ ﺑﺮوز ﺗﺤﻮﻻت ﺑﺴﻴﺎر در ﻛﻠﻴﻪ ﺟﻨﺒﻪ ﻫﺎى‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴﺮى و آﻣﻮزش ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺷﺒﻜﻪ ﻫـﺎى ارﺗﺒﺎﻃﻰ و اﻃﻼﻋﺎﺗـﻰ‬ ‫ﺑﻪ وﻳﮋه اﻳﻨﺘﺮﻧﺖ‪ ،‬ﭼﻬﺮه آﻣﻮزش ﺳﻨﺘﻰ و ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ ﺗﻌﺎﻣﻞ ﺑﻴﻦ ﻣﻌﻠﻢ‬ ‫و داﻧﺶ آﻣﻮز را در ﺗﻤﺎم ﺳﻄﻮح ـ از ﭘﻴﺶ دﺑﺴﺘﺎﻧﻰ ﺗﺎ داﻧﺸﮕﺎﻫـﻰ ـ‬ ‫دﮔﺮﮔﻮن ﻛﺮده اﻧﺪ‪ .‬ﭘﻴﺸﺮﻓﺖ ﻫﺎى ﭘﺮﺷﺘﺎب ﻋﻠﻤﻰ و ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژﻳﻚ در‬ ‫دﻫﻪ ﻫﺎى آﺧﺮ ﻗﺮن ﺑﻴﺴﺘﻢ‪ ،‬ﺟﻬﺎن را وارد ﻋﺮﺻﻪ ﺟﺪﻳﺪى ﻛﺮده اﺳﺖ‬ ‫ﻛﻪ ﺗﻘﺮﻳﺒـﺎً ﻫﻤﻪ ى اﻣﻮر زﻧﺪﮔﻰ ﺑﺸﺮى را ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﻴﺮ ﺧـﻮد ﻗﺮار داده‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪٣٦‬‬

‫‪ICT‬‬

‫اﺳﺖ‪ .‬ﭘﻴﺸـﺮﻓﺖ ﻫﺎى ﭼﺸﻢ ﮔﻴﺮ در ﻋﺮﺻـﻪ ى ارﺗﺒﺎﻃﺎت‪ ،‬ﺑﺎ راه ﻳﺎﻓﺘـﻦ‬ ‫ﻣﺎﻫﻮاره ﻫﺎ ﺑﻪ ﻣﻨﺎزل و ﺗﺮﻛﻴﺐ راﻳﺎﻧﻪ ﻫﺎ ﺑﺎ ﻣﻮدم و ﺧﻂ ﺗﻠﻔﻦ‪ ،‬اﻧﻘﻼﺑﻰ را‬ ‫در ﺟﻬـﺎن رﻗـﻢ زده اﺳﺖ ﻛﻪ داﻧـﺸـﻤـﻨـﺪان از آن ﺑـﻪ ﻋـﻨـﻮان »اﻧﻘـﻼب‬ ‫دﻳﺠﻴﺘﺎل« ﻳﺎ »اﻧﻔﺠﺎر اﻃﻼﻋﺎت« ﻧﺎم ﻣـﻰ ﺑـﺮﻧﺪ‪ .‬اﻳﻦ اﻧﻘﻼب ﺑﺎ اﻳﺠـﺎد‬ ‫ﺷﺒﻜﻪ ﻫﺎى ﺟﻬﺎﻧﻰ اﻃـﻼﻋـﺎت و ارﺗﺒﺎﻃﺎت و ﺷﺎﻫﺮاه ﺟﻬﺎﻧﻰ اﻳﻨﺘـﺮﻧـﺖ‬ ‫ﺗﻜﺎﻣﻞ ﻳﺎﻓﺘﻪ و ﻫـﻢ اﻛـﻨـﻮن ﺷﺎﻫﺪ ﺗﺄﺛﻴـﺮات ﺷﮕـﺮف آن در ﻋﺮﺻﻪ ﻫـﺎى‬ ‫ﻋﻠﻤﻰ‪ ،‬ﺳﻴﺎﺳﻰ‪ ،‬اﺟﺘﻤﺎﻋﻰ‪ ،‬اﻗﺘﺼﺎدى و ﻓـﺮﻫﻨﮕﻰ زﻧﺪﮔﻰ ﺑﺸﺮى در‬ ‫ﺳﻄـﻮح ﺟﻬﺎﻧﻰ ﻫﺴﺘـﻴـﻢ )اﻛـﺒـﺮى‪ .٨(١٣٨٤ ،‬ﺑﻨـﺎﺑـﺮاﻳﻦ‪ ،‬در ﺷﺮاﻳـﻂ‬ ‫ﻣﻮﺟﻮد‪ ،‬اﻳﺠﺎد ﺑﺴﺘﺮﻫﺎى ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺑﺮاى اﺳﺘﻔﺎده از ﻓﻨﺎورى اﻃﻼﻋﺎت و‬ ‫ارﺗﺒﺎﻃﺎت در ﻣﺪارس ﺑﻪ ﻃﻮر ﻋﺎم و در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ درﺳﻰ رﻳﺎﺿﻰ و ﺗﺪرﻳﺲ‬ ‫و ﻳﺎدﮔﻴﺮى آن ﺑﻪ ﻃﻮر ﺧﺎص‪ ،‬ﻳﻚ ﺿﺮورت ﻣﺤﺴﻮب ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫در ﺣﺎل ﺣﺎﺿﺮ‪ ،‬ﻧﻈﺎم ﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﻣﺴﺌﻮﻟﻴﺖ ﺧﻄﻴﺮى ﺑﺮاى‬ ‫ﺑﻪ ﻛﺎرﮔﻴـﺮى‪ ،‬راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ و ﻫﺪاﻳﺖ ﺗﺤـﻮﻻت ﻓﻨﺎورى اﻃﻼﻋﺎت از‬ ‫ﺟﻤﻠﻪ ﺗﻮﻟﻴﺪ‪ ،‬ﺗﻮزﻳﻊ و ﺗﺒﺎدل اﻃﻼﻋﺎت‪ ،‬ﺑﺮﻋﻬﺪه دارﻧﺪ‪ .‬ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ‪،‬‬ ‫ﻫـﻤـﻪ ى ﻋـﻮاﻣـﻞ آﻣـﻮزش وﭘـﺮورش در ﺗـﻼش ﺑـﺮاى ﻓـﻬـﻤـﻴـﺪن و‬ ‫ﺳﺎزﮔﺎرﻛﺮدن ‪ ICT‬در ﻧﻈﺎم ﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ و ﻛﺎرﺑﺮد ﺻﺮﻳﺢ و ﺻﺤﻴﺢ‬ ‫آن ﻫﺎ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺟﺎﻣﻌﻪ ى اﻣﺮوزى ﺑﻪ ﺷﻬﺮوﻧﺪاﻧﻰ ﻧﻴﺎز دارد ﻛﻪ ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ‬ ‫ﺑﺎ ﺑﻬـﺮه ﮔﻴﺮى ﻣﻨﺎﺳﺐ از ﻓﻨـﺎورى ﻫﺎى اﻃﻼﻋـﺎت و ارﺗﺒﺎﻃﺎت و ﺑـﺎ‬ ‫ﺗﻔﻜﺮ اﻧﺘﻘﺎدى و اﺗﺨﺎذ ﺷﻴﻮه ﻫﺎى راﻫﺒﺮدى‪ ،‬ﺑﻪ ﺣﻞ و ﻓﺼﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ‬ ‫واﻗﻌﻰ ﺧﻮد و ﺟﺎﻣﻌﻪ ى ﺧﻮد ﺑﭙﺮدازﻧﺪ )ﺷﺮﻳﻔﻰ‪ ،‬ﺷﻬﺮزاد و رﻗﺎﺑﻰ‪،‬‬ ‫ﻓﺮﻧﻮش‪.(١٣٨٣ ،‬‬ ‫ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺒﺐ‪ ،‬ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت ﻣﺘﻌﺪدى در اﻳﺮان و ﺟﻬﺎن اﻧﺠﺎم ﺷﺪه‬ ‫ﺗﺎ ﺑﻪ اﻳﺠﺎد ﭼـﻨـﻴـﻦ ﺑـﺴـﺘـﺮﻫﺎﻳﻰ ﻛﻤﻚ ﻧـﻤـﺎﻳـﻨـﺪ و ﻫـﺮ ﻳـﻚ از اﻳـﻦ‬ ‫ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت‪ ،‬ﺑﻪ ﺟﻨـﺒـﻪ ى ﺧـﺎﺻـﻰ از ﺗـﻠـﻔـﻴـﻖ ‪ ICT‬ﺑﺎ ﻣـﻮﺿـﻮﻋـﺎت‬ ‫ﻣﺪرﺳﻪ اى از ﺟﻤﻠﻪ رﻳﺎﺿﻰ ﭘﺮداﺧﺘﻪ اﻧﺪ‪ .‬از آن ﺟﻤﻠﻪ‪ ،‬ﺗﺤﻠﻴﻞ اﻳﻦ‬ ‫ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻫﺎى ﺗﺤﻘﻴﻘﻰ‪ ،‬ﺗﻠﻔﻴﻖ ‪ ICT‬را ﺑﺎ درس رﻳﺎﺿﻰ ﻣﺪرﺳﻪ اى ﺗﺄﻛﻴﺪ‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ و ﺗﻮﺻﻴﻪ ﻫﺎﻳﻰ ﺑﺮاى ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ اﻧﺠﺎم اﻳﻦ ﻛﺎر دارﻧﺪ‪.‬‬ ‫در ﮔـﺰارش آﻓـﺴـﺘـﺪ‪» ٩‬رﻳـﺎﺿـﻴـﺎت در ﻣــﺪارس دﺑـﻴـﺮﺳـﺘـﺎن«‬ ‫)‪ ،(٢٠٠٤‬ﺗﺤﻘﻴﻘﺎﺗﻰ را ﻛﻪ در ﺳﺎل ﻫﺎى ‪٢٠٠٢‬ـ‪ ٢٠٠٣‬در ﻣﺪارس‬ ‫اﻧﮕﻠﺴﺘﺎن اﻧﺠﺎم داده اﺳـﺖ‪ ،‬را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻃﺮﺣﻰ ﺑﺮاى ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ‬ ‫اﺳﺘﻔـﺎده از ‪ ICT‬اراﻳﻪ ﻧﻤـﻮد ﻛﻪ ﺑـﺎ وﺟﻮد ﮔﺬﺷﺖ ﻳﻚ دﻫـﻪ از آن‪،‬‬ ‫ﻫﻨﻮز ﺑﺨﺶ ﻫﺎى ﻋﻤﺪه اى از اﻳـﻦ ﻃـﺮح‪ ،‬ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﻣـﻮرد اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﻣﻌﻨـﺎدار در اﻳـﺮان ﻗـﺮار ﻧﮕـﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ‪ .‬در ﻧﺘﻴﺠـﻪ‪ ،‬ﺑـﺎ ﻋـﻨـﺎﻳـﺖ ﺑـﻪ‬ ‫ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻫﺎى ﺗﺤﻘﻴﻘﻰ ﻛﻪ ﺑﺮ ﺗﻠﻔـﻴـﻖ ‪ ICT‬ﺑﺎ درس رﻳﺎﺿﻰ در ﻫﺰاره ى‬ ‫ﺟﺪﻳﺪ ﺗﺄﻛﻴﺪ دارﻧﺪ‪ ،‬ﺗﺮﺟﻤﻪ ى ﺗﻠﺨﻴﺺ ﺷﺪه اﻳﻦ ﮔﺰارش ﺑﻪ ﻣﻌﻠﻤﺎن‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ اﻳـﺮان ﺗﻘﺪﻳﻢ ﻣـﻰ ﮔـﺮدد ﺗﺎ در ﺻﻮرت ﻟـﺰوم‪ ،‬ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ ﺑـﺮاى‬ ‫ارﺗﻘﺎى ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳـﺎدﮔـﻴـﺮى رﻳﺎﺿﻰ در ﻛـﻼس ﻫـﺎى درس ﺧﻮد‪،‬‬

‫‪ICT ICT ICT ICT‬‬ ‫‪ICT‬‬

‫‪ICT‬‬

‫‪ICT‬‬

‫ﺗﻮﺻﻴﻪ ﻫﺎى آن را ﺑﻪ ﻛﺎر ﮔﻴﺮﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ اﺳﺘﻔﺎدهى ﻣﺆﺛﺮ از ‪ ICT‬در ﻳﺎددﻫﻰ و ﻳﺎدﮔﻴﺮى‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫‪ ،ICT‬ﻣﻨﺒﻊ ﻗﺪرﺗﻤﻨﺪ دﻳﮕـﺮى ﺑﺮاى ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ اﺳﺖ ﻛـﻪ‬ ‫ﺑﺮاى واﻟﺪﻳﻦ رﻳﺎﺿـﻰ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان در داﺧﻞ و ﺧـﺎرج از ﻛـﻼس‬ ‫درس‪ ،‬ﻛﺎرﺑـﺮد دارد‪ .‬در دﻧﻴﺎى ﺟﺪﻳـﺪ‪ ،‬واﻟﺪﻳﻦ‪ ،‬داﻧﺶ آﻣـﻮزان و‬ ‫ﻣﻌﻠﻤﺎن اﻧﺘﻈﺎر دارﻧﺪ ﻛﻪ ﺑﺘﻮان در آﻣﻮزش ﺗﻤﺎﻣﻰ دروس‪ ،‬ﺑﻪ ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ‬ ‫ﻧﻮع از ‪ ICT‬اﺳﺘﻔـﺎده ﻛـﺮد و اﻧﺘﺨﺎب و ﺑﻪ ﻛـﺎرﮔﻴـﺮى ﻣﻨﺎﺑـﻊ ‪ ICT‬ﺑﻪ‬ ‫ﮔﻮﻧﻪ اى ﻛﻪ ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ ﻳـﺎدﮔـﻴـﺮى ﺑﻬﺘﺮ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ﺷﻮد‪ ،‬ﻧﻴﺎزﻣﻨـﺪ‬ ‫ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت ﺟﺪى اﺳﺖ‪.‬‬ ‫اﻟﺒﺘﻪ ﭘﻴﺸـﺮﻓﺖ ﻫﺎﻳﻰ ﻛـﻪ در ‪ ICT‬اﻧﺠﺎم ﮔـﺮﻓﺘﻪ اﻧﺪ ﺑﺴﻴﺎر ﺳـﺮﻳـﻊ‬ ‫ﺑﻮده اﻧﺪ و ﻫﺰﻳﻨﻪ ﻫﺎى ﻋﻤﻮﻣﻰ ﺑﻪ ﻣﻴﺰان ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻮﺟﻬﻰ ﻛﺎﻫﺶ داﺷﺘﻪ اﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻪ اﻳﻦ دﻟﻴﻞ‪ ،‬اﻛـﻨـﻮن در ﺑﺴﻴـﺎرى از ﻣﻨﺎزل‪ ،‬ﻣﻨﺎﺑـﻊ ﻓـﺮاواﻧﻰ از ‪ICT‬‬ ‫ﻣﻮﺟﻮد ﻣﻰ ﺑﺎﺷﻨﺪ و در اﺧﺘﻴﺎر ﺑﺴﻴﺎرى از ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ در ﻣﺪارس‬ ‫و داﻧﺸﮕﺎه ﻫﺎ ﻗـﺮار دارﻧﺪ‪ ،‬اﻣﺎ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻛﻪ اﻛﺜﺮ اﺑـﺰارﻫﺎى ‪ICT‬‬ ‫ﺑﺮاى اﺳﺘﻔﺎده ﻫﺎى ﺷﺨﺼﻰ اﻳﺠﺎد ﺷﺪه اﻧﺪ‪ ،‬ﺑﻪ ﻛﺎرﮔﻴﺮى اﻳﻦ اﺑﺰارﻫـﺎ‬ ‫در ﻣﺤﻴﻄﻬﺎى آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﻧﻴﺎزﻣﻨﺪ دﻗﺖ ﻓﺮاوان اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ (١‬روشﻫﺎى ﺑﻪ ﻛﺎرﮔﻴﺮى ‪ ICT‬در آﻣﻮزش‬

‫در ﺳﺎل ﻫﺎى اﺧﻴﺮ‪ ،‬آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﺷﺎﻫﺪ ﻧـﻮآورى ﻫﺎﻳﻰ در‬ ‫روﻳﻜﺮدﻫﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ در ﻛﻼس درس ﺑـﻮده اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳـﻦ ﻻزم‬ ‫اﺳﺖ ﺑﺪاﻧﻴﻢ ﻛﻪ ﻛﺪام ﻧـﻮع از ﻣﻨﺎﺑـﻊ ‪ ICT‬ﺑﺮاى درﺑﺮﮔﻴـﺮى ﻣﻮﺿﻮع‬ ‫ﻣﻮردﻧﻈﺮ‪ ،‬در دﺳـﺘـﺮس ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬در ﺑـﺴـﻴـﺎرى ﻣﻮارد‪ ،‬ﻻزم اﺳـﺖ‬ ‫ﺑﺨﻮاﻫﻴﺪ داﻧﺶ آﻣـﻮزان‪ ،‬ﺧﻮد ﺑﻪ ﻣﻨﺎﺑﻊ ‪ ICT‬دﺳﺘـﺮﺳﻰ ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫اﻳﻦ ﻛﺎر ﺑﺎﻳﺪ از ﻃﺮﻳﻖ دﺳﺘﺮﺳﻰ ﻫﺎى ﻓﺮدى ﻳﺎ ﻛﺎر ﮔﺮوﻫﻰ ﻳﺎ دو ﻧﻔﺮه‬ ‫اﻧﺠﺎم ﮔﻴـﺮد‪ .‬ﻳﺎﻓﺘـﻦ راه ﺣﻞ ﺑﺮاى در دﺳﺘـﺮس ﺑﻮدن ﻣﻨﺎﺑـﻊ ‪ ICT‬در‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت در ﻛﻼس ﻫﺎى درس و در داﻧﺸﻜﺪه ﻫﺎ‪ ،‬ﻣﻮﺿﻮﻋﻰ اﺳﺖ‬ ‫ﻛﻪ ﺑﺎﻳﺪ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ آن‪ ،‬ﺗﻮﺟﻪ وﻳﮋه ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻛﺎر ﻛﺮدن ﻫﻤﻪى ﻛﻼس ﺑﺎ ‪ICT‬‬

‫ﺗﻤﺎم ﻛﻼس از راه ﻫﺎى زﻳﺮ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ از ‪ ICT‬ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻧﻤﺎﻳﺶ‬ ‫ﺗﺼﻮﻳﺮى ﺑﻬﺮه ﻣﻨﺪ ﺷﻮﻧﺪ‪:‬‬ ‫● ﻳﻚ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﻣﻌﻤﻮى ﻳﺎ ‪Laptop‬؛‬ ‫● ﺗﻜﻨـﻮﻟﻮژى دﺳﺘﻰ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻣﺎﺷﻴﻦ ﺣـﺴـﺎب ﻣـﺨـﺼـﻮص ﻧﻤﺎﻳـﺶ‬ ‫ﻋﻤﻮﻣﻰ ﺑﺮاى ﻣﻌﻠﻤﺎن؛‬ ‫● ﺳﺎﻳﺮ اﺑـﺰار ‪ ،ICT‬ﻣﺎﻧﻨﺪ دورﺑﻴﻦ دﻳﺠﻴﺘﺎل‪ ،‬دﺳـﺘـﮕـﺎه ‪ DVD‬ﻳﺎ‬

‫در ﺳﺎلﻫﺎى اﺧﻴﺮ‪ ،‬آﻣﻮزش ﺑﻪ ﻛﻤﻚ راﻳﺎﻧﻪ از ﻃـﺮف‬ ‫ﺳﺎﺧـﺖ و ﺳـﺎزﮔـﺮاﻳﺎن ﻧـﻴـﺰ ﻣـﻮرد ﺗﻮﺟـﻪ واﻗﻊ ﺷـﺪه‬ ‫اﺳــﺖ‪ ،‬زﻳــﺮا اﺳـﺎس ﭼـﻨــﻴــﻦ آﻣــﻮزﺷــﻰ‪ ،‬اﻳــﺠــﺎد‬ ‫ﻓﺮﺻﺖﻫﺎى ﻓﺮاوان و دﺳﺘﺮﺳﻰ زﻳﺎد ﺑﺮاى ﻳﺎدﮔﻴﺮان‬ ‫در ﺗـﻮﻟـﻴـﺪ و ﺳـﺎﺧـﺖ داﻧـﺶ اﺳـﺖ‪ ،‬ﺑـﻪ ﻃـﻮرى ﻛـﻪ‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ در ﻳﻚ ﻣﺤﻴﻂ ﻓﺮدى و ﮔﺮوﻫﻰ‪،‬‬ ‫ﺑﻪ آﻓﺮﻳﻨﺶ اﻧﺪﻳﺸﻪﻫﺎى ﺟﺪﻳﺪ ﺑﭙﺮدازﻧﺪ‬ ‫دورﺑﻴﻦ ﻓﻴﻠﻤﺒﺮدارى؛‬ ‫● ﭘﺮوژﻛﺘﻮر اﻃﻼﻋﺎت ـ ﻣﺘﺤﺮك ﻳﺎ ﺛﺎﺑﺖ و اﻏﻠﺐ ﺑﻰ ﺳﻴﻢ؛‬ ‫● ﭘﺮوژﻛﺘﻮر )‪ (Over Head Projector‬ﺑﺎ ﻧﻤﺎﻳﺸﮕﺮ )‪(LCD‬؛‬ ‫● دﺳﺘﮕﺎه ﺗﻌﺎﻣﻠﻰ ﺑـﺮاى ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻫـﺎى ورودى ﺑﻪ ﺧﺮوﺟﻰ‬ ‫اﺳﺘﺎﻧﺪارد ﻣﺎﻧﻨﺪ وﻳﺪﺋﻮ ﭘﺎل؛‬ ‫‪١٠‬‬ ‫● دورﺑﻴﻦ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻣﺪارك ؛‬ ‫● ﺗﺨﺘﻪ ﺳﻔﻴﺪ ﻣﻌﻤﻮﻟﻰ ﺑﺮاى اﺳﺘﻔﺎده ﺑﺎ ﻣﺎژﻳﻚ ﻫﺎى ﺗﺨﺘﻪ واﻳﺖ ﺑﺮد؛‬ ‫● ﻳﻚ ﻳﺎ ﭼـﻨـﺪ ﺻـﻔـﺤـﻪ ﺑـﺰرگ ﻣﺎﻧـﻨـﺪ ﻣـﺎﻧـﻴـﺘـﻮرﻫﺎى ﻧـﻤـﺎﻳـﺶ‪،‬‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه ﻫﺎى ﺗﻠﻮﻳﺰﻳﻮن‪ ،‬ﻧﻤﺎﻳﺸﮕﺮﻫﺎى ﭘﻼﺳﻤﺎ و ﻏﻴﺮه‪.‬‬ ‫اﺳﺘﻔﺎدهﻫﺎى ﺷﺨﺼﻰ ﻳﺎ ﮔﺮوﻫﻰ از ‪ICT‬‬

‫در ﺗﻌﺪاد ﻛﻤﻰ از ﻣـﺪارس‪ ،‬ﻛﻼس ﻫﺎى درس رﻳﺎﺿﻰ وﺟﻮد‬ ‫دارﻧﺪ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮﻫﺎى ﺷﺒﻜﻪ اى ﻣﺠﻬﺰ ﺷﺪه اﻧﺪ و ﭘﺎﻳﻪ ى ﻣﻨﺎﺳﺒﻰ‬ ‫از ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎى ﻧـﺮم اﻓﺰارى را ﻓـﺮاﻫﻢ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬در ﭼﻨﻴـﻦ ﺷـﺮاﻳﻄﻰ‪،‬‬ ‫ﻃﺒﻴﻌﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺗﻌﺪاد ﻛﺎﻣـﭙـﻴـﻮﺗـﺮﻫﺎ در ﻛﻼس ﻫﺎى درس ﺗﻌﺪﻳـﻞ‬ ‫ﺷﻮد‪ .‬ﻳﻌﻨﻰ ﻫﺮ ﻛﻼس ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ دﺳﺘـﺮﺳﻰ ﻻزم ﺑﻪ ﻛﺎﻣﭙﻴـﻮﺗﺮ را در‬ ‫زﻣﺎن ﻫﺎى ﻣﻨﺎﺳﺐ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻪ ﺻﻮرت اﻳﺪه آل‪ ،‬ﻣﻰ ﺗﻮان ﻣﺮاﺣﻞ زﻳﺮ را ﻓﺮاﻫﻢ ﻛﺮد‪:‬‬ ‫● ﻧﻤﺎﻳﺸﮕﺮى ﺑﺮاى ﺗﻤﺎم ﻛﻼس ﻛﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﺗﻤﺎم داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻗﺎﺑﻞ‬ ‫رؤﻳﺖ ﺑﺎﺷﺪ؛‬ ‫● اﻓﺰاﻳﺶ ﺗﻌﺎﻣﻞ ﺷﻔﺎﻫﻰ و دﻳﺪارى ﺑﻴﻦ ﻣﻌﻠﻢ و داﻧﺶ آﻣﻮزان ﭼـﻪ‬ ‫در ﺷﺮاﻳﻂ ﻳﻚ ﻧﻔﺮه و ﭼﻪ ﮔﺮوﻫﻰ؛‬ ‫● اﺳﺘﻔﺎده از داﻣـﻨـﻪ اى از ﻧـﺮم اﻓﺰارﻫﺎ ﻛـﻪ ﺑـﺮاى ﻳﺎدﮔﻴـﺮى رﻳﺎﺿـﻰ‬ ‫ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺗﺮﻧﺪ؛‬ ‫ﺑﺎ وﺟﻮد دﺳﺘﺮﺳﻰ ﺑﻪ ﻫﺮ ﻧـﻮع از اﻳﻦ اﺑﺰارﻫﺎ‪ ،‬ﻻزم اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻪ‬ ‫دﻗﺖ‪ ،‬ﺑﺮاى ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻫﺎى ﮔﺮوﻫﻰ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى ﺷﺪه و ﺑﻪ ﺳﺆال ﻫﺎى‬ ‫زﻳﺮ ﭘﺎﺳﺦ داده ﺷﻮﻧﺪ‪:‬‬ ‫● ﭼﮕﻮﻧﻪ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻫﺎ و ﻛـﺎرﻫﺎى داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﺮاى دﺳﺘﺮﺳﻰ ﻫﺎى‬ ‫‪٣٧‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪ICT ICT ICT ICT‬‬ ‫‪ICT‬‬

‫‪ICT‬‬

‫ﺑﻌﺪى ذﺧﻴﺮه ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ؟‬ ‫● آﻳﺎ دﺳﺘﺮﺳﻰ ﺑﻪ ﻧﺴﺨﻪ ﻫﺎى ﻣﻜﺘﻮب ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻫﺎ ﺿﺮورى اﺳﺖ ﻳﺎ‬ ‫ﺧﻴﺮ؟‬ ‫● آﻳﺎ اﻣﻜﺎن ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻛـﺎرﻫﺎى ﻓﺮدى ﻫﺮ داﻧﺶ آﻣﻮز ﺑﻪ ﺗﻤﺎم ﻛﻼس‬ ‫وﺟﻮد دارد ﻳﺎ ﺧﻴﺮ؟‬ ‫ﻛﺎر ﮔﺮوﻫﻰ ﺑﺎ ‪ICT‬‬

‫اﻣﻜﺎن دارد ﻛﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﭼﻨﺪ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ در ﻛﻼس ﻫﺎى درس رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ ﻛﻪ ﻣﻰ ﺗﻮان ﺑﺮاى ﻛﺎر در ﮔﺮوه ﻫﺎى ﻛﻮﭼﻚ ﻣﺜﻼً ‪ ٣‬ﺗﺎ‬ ‫‪ ٤‬ﻧﻔﺮه ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮد‪ .‬اﮔﺮ ﺗﻌﺪاد اﻳﻦ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮﻫﺎ ﺑﺮاى ﺗﻤﺎم ﻛﻼس ﻛﺎﻓﻰ‬ ‫ﻧﺒﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﻰ ﺗﻮان از ﺳﻴﺴﺘﻢ ﮔـﺮوﻫﻰ ﮔﺮدﺷﻰ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮد ﻛﻪ وﻗﺘﻰ‬ ‫ﺗﻌﺪادى از داﻧﺶ آﻣﻮزان از ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪ ،‬ﮔﺮوه ﻫﺎى‬ ‫دﻳﮕﺮ ﺑﻪ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ دﻳﮕـﺮى ﻣﺸﻐـﻮل ﺑﻮده و در ﺟﻠﺴﻪ ى ﺑﻌﺪ ﻳـﺎ درس‬ ‫ﺑﻌﺪ‪ ،‬از ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫در ﻫـﺮ ﺻـﻮرت‪ ،‬اﻣـﺮوزه ﻓـﻨـﺎورى اﻃـﻼﻋـﺎت ﺑـﻪ ﻣــﺪد‬ ‫ﻓﻨـﺎورى ارﺗﺒﺎﻃـﺎت ﻓـﺮاﮔﻴﺮ ﺷﺪه و ﺟـﻬـﺎن را دﮔﺮﮔـﻮن‬ ‫ﺳﺎﺧﺘﻪ اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻬﻢﺗﺮﻳﻦ ﺗﻐﻴﻴﺮاﺗﻰ ﻛﻪ اﻳﻦ ﻓﻨﺎورى در‬ ‫ﺟـﻬـﺎن ﺑــﻪ وﺟـﻮد آورده‪ ،‬ﺑـﻪ وﺳـﻴـﻠـﻪى ﻣــﻚﻟــﻮﻫـﺎن‬ ‫)‪ (١٩٦٤‬در ﻳـﻚ ﻋـﺒــﺎرت ﺧـﻼﺻـﻪ ﺷـﺪه اﺳــﺖ و آن‬ ‫»ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺟﻬﺎن ﺑﻪ ﻳﻚ دﻫﻜﺪهى ﺟﻬﺎﻧﻰ« اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﺪﻳﻦ‬ ‫ﻣﻌﻨﺎ ﻛﻪ ﻣﺮدم ﻧﻘﺎط ﻣﺨﺘﻠ‪ f‬در ﻛﺸﻮرﻫﺎى ﺳﺮاﺳﺮ ﻛﺮه‬ ‫زﻣﻴﻦ‪ ،‬ﺑﻪ ﻣﺜﺎﺑﻪ ﺳﺎﻛﻨﺎن ﻳﻚ دﻫﻜﺪه‪ ،‬اﻣﻜﺎن ﺑﺮﻗـﺮارى‬ ‫ارﺗﺒﺎط ﺑﺎ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ و اﻃﻼع از اﺧﺒﺎر و روﻳﺪادﻫﺎى‬ ‫ﺟﻬﺎﻧﻰ را دارﻧﺪ‬ ‫در ﻫﺮ ﺻﻮرت‪ ،‬ﻧـﻮع ﻓﻌﺎﻟﻴﺘﻰ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻛﺎﻣﭙـﻴـﻮﺗﺮ اﻧﺠﺎم ﻣﻰ ﺷـﻮد‬ ‫ﻧﻴﺎز ﺑﻪ ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳـﺰى دﻗﻴﻖ دارد و ﺑﻪ ﺻـﻮرت اﻳﺪه آل‪ ،‬ﻣﺴﺘﻠـﺰم ﻛﺎر‬ ‫ﮔـﺮوﻫﻰ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان اﺳﺖ ﺗﺎ ﻓﻌﺎﻟﻴـﺖ ﺑـﻌـﺪى ﺑـﺎ ﻛـﺎﻣـﭙـﻴـﻮﺗـﺮ را‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى ﻧﻤﺎﻳﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻣﺜﺎل‪ ،‬ﻣﻰ ﺗـﻮان ﻓﻌﺎﻟﻴﺘﻰ ﺑﻪ ﺻﻮرت‬ ‫ﺷﺮﻛﺖ در ﻳـﻚ ﺑـﺎزى ﻣﺎﺟـﺮاﺟﻮﻳﺎﻧﻪ‪ ،‬ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠـﻪ ﻳـﺎ ﻣـﺪل ﺳـﺎزى‬ ‫ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮى ﻃﺮاﺣﻰ ﻛﺮد‪.‬‬ ‫‪ (٢‬ﺗﻐﻴﻴﺮ در روﻳﻜﺮدﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ‬

‫اﺳﺘﻔﺎده از ‪ ICT‬در درس ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻪ ﺻﻮرﺗﻰ ﻛﻪ ﺷﻴﻮه ى‬ ‫ﺗﺪرﻳﺲ را زﻳﺮ ﺳـﺆال ﻧﺒﺮد‪ ،‬اﻣﻜﺎن ﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ‪ ،‬زﻳـﺮا ﻫﺪف ‪،ICT‬‬ ‫ﻣﺤﺪودﻛﺮدن داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻧﻴﺴﺖ و در ﻋﻮض‪ ،‬ﻫﺪف آن‪ ،‬اﻓﺰاﻳﺶ‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪٣٨‬‬

‫‪ICT‬‬

‫دﺳﺘﺮﺳﻰ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻣﺎ ﺑﻪ ﻣﻨﺎﺑﻌﻰ اﺳﺖ ﻳﺎدﮔﻴﺮى آن ﻫﺎ را ﺗﺴﻬﻴﻞ‬ ‫و ﺗﻌﻤﻴﻖ ﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫در ﺳﺎل ‪ ١٩٩٥‬ﺷﻮراى ﻣﻠﻰ ﺑﺮاى ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﺷﺶ‬ ‫ﻣﻮﻗﻌﻴـﺖ زﻳـﺮ را ﻓﻬﺮﺳﺖ ﻛـﺮد ﻛﻪ از ﻃﺮﻳـﻖ آن ﻫـﺎ‪ ICT ،‬ﻣﻰ ﺗﻮاﻧـﺪ‬ ‫ﻓﺮﺻﺖ ﻫﺎﻳﻰ را ﺑﺮاى ﻳﺎدﮔﻴﺮى رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺶ آﻣﻮزان اﻳﺠﺎد ﻛﻨﺪ‪:‬‬ ‫❖ ﻳﺎدﮔﻴﺮى از ﻃﺮﻳﻖ ﺑـﺎزﺧﻮرد‪ :‬ﻛﺎﻣﭙﻴـﻮﺗﺮ اﻏﻠﺐ ﺑﺎزﺧﻮرد ﺳﺮﻳـﻊ و‬ ‫ﻗﺎﺑﻞ اﻋﺘﻤﺎدى ﻣﻰ دﻫﺪ ﻛﻪ ﺑـﻰ ﻃـﺮف و ﻏﻴﺮﺟﺎﻧﺒـﺪاراﻧﻪ اﺳﺖ‪ .‬اﻳـﻦ‬ ‫ﻣﻄﻠﺐ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ داﻧﺶ آﻣﻮزان را ﺑﻪ ﺣﺪس زدن و آزﻣﺎﻳﺶ اﻳﺪه ﻫﺎى‬ ‫ﺧﻮد ﺗﺸﻮﻳﻖ ﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫❖ ﻣﺸﺎﻫﺪهى اﻟـﮕـﻮﻫﺎ‪ :‬ﺳﺮﻋﺖ ﻛﺎﻣﭙـﻴـﻮﺗـﺮﻫﺎ و ﻣﺎﺷﻴﻦ ﺣﺴـﺎب ﻫـﺎ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان را ﻗﺎدر ﺑﻪ ﺗﻮﻟﻴﺪﻣﺜﺎل ﻫﺎى زﻳﺎدى در زﻣﺎن ﺣﻞ ﻳﺎ ﻛﺸ‪m‬‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﻛﺎر‪ ،‬ﻣﺴﺘﻠﺰم ﻣﺸﺎﻫﺪه ى اﻟﮕﻮﻫﺎ‬ ‫و ﺗﻮﺟﻴﻪ ﺗﻌﻤﻴﻢ ﻫﺎﺳﺖ‪.‬‬ ‫❖ دﻳﺪن ارﺗﺒﺎﻃﺎت‪ :‬ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﻛﻤﻚ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﺗﺎ ﻓﺮﻣﻮل ﻫﺎ‪ ،‬ﻧﻤﻮدارﻫﺎ‪،‬‬ ‫ﺟـﺪول ﻫﺎ و ﻋﻜﺲ ﻫﺎ ﺑـﻪ ﻫـﻢ ﻣـﺮﺗﺒـﻂ ﺷـﻮﻧﺪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻳـﻚ ﻣـﺘـﻐـﻴـﺮ و‬ ‫ﻣﺸﺎﻫﺪه ى ﺗﻐـﻴـﻴـﺮات در ﺳﺎﻳﺮ ﻣﺘﻐـﻴـﺮﻫﺎ‪ ،‬ﺑﻪ داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﻛﻤـﻚ‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﺗﺎ راﺑﻄﻪ ى ﺑﻴﻦ آن ﻫﺎ را ﺑﻬﺘﺮ ﺑﻔﻬﻤﻨﺪ‪.‬‬ ‫❖ ﻛﺎر ﺑﺎ ﺗﺼﺎوﻳﺮ ﭘﻮﻳـﺎ‪ :‬داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﻨﺪ از ﻛﺎﻣﭙﻴـﻮﺗﺮ ﺑﺮاى‬ ‫ﺗﻬﻴﻪ ى ﻧﻤﻮدارﻫﺎى ﭘﻮﻳﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﻣﻄﻠﺐ ﺑﻪ آن ﻫﺎ ﻛﻤـﻚ‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﺗﺎ ﻫﻨﺪﺳﻪ را ﺗﻮﺳﻂ اﺷﻜﺎل ذﻫﻨﻰ ﺧﻮد ﻣﺠﺴﻢ ﻧﻤﺎﻳﻨﺪ‪.‬‬ ‫❖ ﺗﻮﺻﻴ‪ L‬دادهﻫﺎ‪ :‬ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﺑﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻛﻤﻚ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ ﺗﺎ ﺑـﺎ‬ ‫داده ﻫﺎى واﻗﻌﻰ ﻛﺎر ﻛﻨﻨـﺪ و اﻳـﻦ داده ﻫـﺎ‪ ،‬ﻣـﻰ ﺗـﻮاﻧﻨﺪ ﺑـﻪ راه ﻫـﺎى‬ ‫ﻣـﺘـﻔـﺎوت ﻇﺎﻫـﺮ ﺷـﻮﻧـﺪ‪ .‬داده ﻫـﺎى واﻗﻌﻰ ﻛـﻤـﻚ ﻣـﻰ ﻛـﻨـﻨـﺪ ﺗـﺎ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان‪ ،‬ﺗﻔﺴﻴﺮ و ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ داده ﻫﺎ را ﻳﺎد ﺑﮕﻴﺮﻧﺪ‪.‬‬ ‫❖ آﻣﻮزش ﻛﺎﻣﭙﻴـﻮﺗـﺮى‪ :‬وﻗﺘﻰ ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﺑﺎ ﻛﺎﻣﭙـﻴـﻮﺗﺮ‪ ،‬ﻳﻚ‬ ‫اﻟﮕﻮرﻳﺘـﻢ را ﺑﺮاى رﺳﻴﺪن ﺑﻪ ﻳﻚ ﻧﺘﻴﺠـﻪ ﻃـﺮاﺣﻰ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪ ،‬اﻧﺠـﺎم‬ ‫دﺳﺘﻮرات رﻳﺎﺿﻰ را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺷﻔﺎف و ﻣﺮﺗﺐ ﻳﺎد ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻧﺪ‪.‬‬ ‫‪ (٣‬ﺗﺄﺛﻴﺮ ﺑﺮ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى درﺳﻰ‬

‫ﺑﺮرﺳﻰ ﺗﺎرﻳﺨﻰ ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﺪ ﻛـﻪ زﻣﺎن ﻃﻮﻻﻧﻰ ﻻزم اﺳﺖ ﺗﺎ‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫـﺎى درﺳﻰ رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺗﻐﻴـﻴـﺮات ﺗﻜﻨـﻮﻟﻮژى ﻣﺎﻧﻨـﺪ‬ ‫ﭘﻴﺸﺮﻓﺖ ﻣﺎﺷﻴﻦ ﺣﺴﺎب ﻫﺎى اﻟﻜﺘﺮوﻧﻴﻜﻰ واﻛﻨﺶ ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪ و از‬ ‫آن ﻫﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨـﻨـﺪ‪ .‬اﻣـﺎ در ﻫـﺮ ﺻـﻮرت‪ ،‬اﻛﻨـﻮن ‪ ICT‬در ﺗﻤـﺎم‬ ‫ﺷﺎﺧﻪ ﻫﺎى ﺻﻨﻌﺘﻰ‪ ،‬ﺗﺠﺎرى و ﺗﺤﻘﻴﻘﺎﺗﻰ رﻳﺎﺿﻰ و آﻣﺎر‪ ،‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان‬ ‫اﺑﺰار ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻗﺮار ﻣﻰ ﮔﻴﺮد‪.‬‬ ‫اﻛﺜﺮ ﻣﺎﺷﻴﻦ ﺣﺴﺎب ﻫـﺎى ﮔـﺮاﻓﻴﻜﻰ ﻣـﻰ ﺗـﻮاﻧﻨﺪ ﻋﻤﻠـﻜـﺮدﻫﺎى‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎﺗﻰ اﺳﺘﺎﻧﺪارد ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﺎﺗﺮﻳﺲ ﻫﺎ ﻳﺎ ﺿـﺮب ﻫﺎى ﭘﻴﭽﻴﺪه‬

‫‪ICT ICT ICT ICT‬‬ ‫‪ICT‬‬

‫را اﻧﺠﺎم دﻫﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺜﺎل‪ ،‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﻳﻦ ﻣﺎﺷﻴﻦ ﺣﺴﺎب ﻫﺎ‪،‬‬ ‫ﻣﻰ ﺗﻮان ﺑﺮ ﺷﻨﺎﺧﺖ اﻳﻦ ﻛﻪ ﭼﻪ ﻣﺎﺗﺮﻳﺲ ﻫﺎ ﻳﺎ ﺗـﻮاﺑﻊ ﻣﺨﺘﻠﻔﻰ وﺟﻮد‬ ‫دارﻧﺪ و ﺑﻪ ﭼﻪ ﻣﻨﻈﻮرى ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ روﻧﺪ ﺑﺪون ﻧﻴﺎز ﺑﻪ اﻧﺠﺎم ﻛﺎرﻫﺎى‬ ‫ﻣﻌﻤـﻮﻟﻰ و ﻃـﻮﻻﻧﻰ‪ ،‬اﻫﺘﻤﺎم ورزﻳﺪ‪ .‬ﺑﺎ اﺳﺘـﻔـﺎده ى ﮔـﺴـﺘـﺮده از‬ ‫ﻣﺎﺗﺮﻳﺲ ﻫﺎ و اﻋﺪاد ﻣﺨﺘﻠﻂ در ﻣﻬﻨﺪﺳﻰ‪ ،‬ﻋﻠﻮم و ﺳﺎﻳﺮ ﺷﺎﺧﻪ ﻫﺎى‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬اﺳﺘﻔـﺎده از ‪ ICT‬ﺑﺮاى ﻛﻤﻚ ﺑـﻪ درك ﺑﻬﺘﺮ ﻋﻠـﻮم ﺗﻮﺳـﻂ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان‪ ،‬ﺗﻮﺻﻴﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬

‫‪ICT‬‬

‫‪ICT‬‬

‫ﭘﻴﺸﺮﻓﺖ ﻣﻌﻠﻤﺎن و داﻧﺶ آﻣﻮزان و ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ اﺳﺘﻔﺎده ى ﻛﺎرآﻣﺪ از‬ ‫‪ ،ICT‬ﻧﻘﺶ ﻣﻬﻤﻰ اﻳﻔﺎ ﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪ (٦‬ارزﻳﺎﺑﻰ ﺗﺄﺛﻴﺮ اﺳﺘﻔﺎده از ‪ICT‬‬

‫ارزﻳﺎﺑﻰ در ﺗﻤﺎﻣﻰ ﺳﻄـﻮح اﺗﻔﺎق ﻣﻰ اﻓﺘﺪ ﻣﺜـﻼً در اﺳﺘﻔﺎده از‬ ‫‪ ICT‬در ﺑﺨﺶ ﻫﺎﻳﻰ از درس ﻫـﺎ‪ ،‬ﻻزم اﺳﺖ‪ .‬ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫از اﺑﺰارﻫﺎى ‪ ICT‬ﻣﻮرد ارزﻳﺎﺑﻰ ﻗﺮار ﮔﻴﺮﻧﺪ و ﻧﻮع ﺗﺄﺛﻴﺮ اﻳﻦ اﺑﺰار در‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴﺮى رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺶ آﻣﻮزان‪ ،‬ﻣﻮرد ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﻗﺮار ﮔﻴﺮد‪.‬‬

‫‪ (٤‬اﺳﺘﻔﺎده از ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر اﻳﺠﺎد ﻓﻌﺎﻟﻴﺖﻫﺎى ارزﺷﻤﻨﺪ‬ ‫در آﻣﻮزش‬

‫ﺳﻪ واژه وﺟﻮد دارﻧﺪ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻣﻔﻬﻮم ارزﺷﻤﻨﺪ راﺑﻄﻪ ﻧﺰدﻳﻜﻰ دارﻧﺪ‪،‬‬ ‫در ﺣﺎﻟﻰ ﻛﻪ ﺳـﺎﻳـﺮ واژه ﻫﺎ ﺑﻪ ﺻـﻮرت ﻛﺎﻣﻞ‪ ،‬ﻧﻤـﻰ ﺗـﻮاﻧﻨﺪ ﻣﻔـﻬـﻮم‬ ‫ارزﺷﻤﻨﺪ را ﺑﻴﺎن ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫● ﺷﺘﺎب‪١١‬؛ داﻧﺶ آﻣﻮزان را ﺑﻪ ﺣﻮزه ﻫﺎﻳﻰ از ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ ﻣﻰ ﺑﺮد‬ ‫ﻻ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺳﺎل ﻫﺎى ﺑﺎﻻﺗﺮ‪ ،‬ﺑﺮ آن ﺗﺴﻠﻂ دارﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﻛﻪ ﻣﻌﻤﻮ ً‬ ‫‪١٢‬‬ ‫● ﮔﺴﺘﺮش ؛ ﺷﺎﻣﻞ ﻣﻌـﺮﻓﻰ و ﻛﺎرﻛﺮدن ﺑﺎ ﻣﻮﺿﻮع ﻫﺎﻳﻰ ﻓـﺮاﺗﺮ از‬ ‫ﻻ در‬ ‫ﺳﺮﻓﺼﻞ ﻫﺎى ﺗﻌﻴﻴﻦ ﺷﺪه و ﻣﻄﺎﻟﺒﻰ از رﻳﺎﺿﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻌﻤﻮ ً‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎى درﺳﻰ ﻋﺎدى‪ ،‬ﻣﻄﺮح ﻧﻤﻰ ﺷـﻮد‪ .‬رﻳﺎﺿﻴﺎت‪ ،‬ﻣﺴﺎﺋﻠﻰ‬ ‫را ﺑﻪ داﻧﺶ آﻣـﻮزان اراﻳﻪ ﻣﻰ دﻫﺪ ﻛـﻪ ﺑـﺮاى ﺣﻞ آن ﻫﺎ‪ ،‬ﻧـﻴـﺎز اﺳـﺖ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان از ﻣﻬﺎرت ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ ﺧﻮد‪ ،‬در زﻣﻴﻨﻪ ﻫﺎى ﻏﻴﺮرﺳﻤﻰ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫● ﻏﻨﻰﺳﺎزى ؛ ﺗﻮﺳﻌﻪ ى درك داﻧﺶ آﻣﻮزان از اﻳﺪه ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫اﺳﺖ ﻛﻪ آن ﻫﺎ ﻗﺒـﻼً در ﻣﺴﺎﺋﻞ و ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ ﻫﺎى دﻳﮕـﺮ‪ ،‬آن ﻫـﺎ را ﺑﻪ‬ ‫ﻛﺎر ﺑﺮده اﻧﺪ‪ .‬ﻫﺪف از ﻏﻨﻰ ﺳـﺎزى‪ ،‬اﻓﺰاﻳﺶ ﺳﻄﻮح ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠـﻪ و‬ ‫ﻓﻮن ارﺗﺒﺎﻃﻰ ﻣﻰ ﺑﺎﺷﺪ و ﺑﻪ اﻳﻦ ﺗـﺮﺗﻴﺐ‪ ،‬اﺳﺘﻔﺎده و ﻛﺎرﺑﺮد رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫اﻓﺰاﻳﺶ ﻣﻰ ﻳﺎﺑﺪ‪ .‬ﻫﺪف اﻳﻦ ﻛﺎر‪ ،‬ﭘﺮورش ﻛﺴﺎﻧﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ‬ ‫رﻳـﺎﺿـﻰ را در ﻣﺴـﺎﺋـﻞ روزﻣـﺮه ى زﻧـﺪﮔـﻰ ﺧـﻮد ﺑـﻪ ﻛـﺎر ﮔـﻴـﺮﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﻏﻨﻰ ﺳـﺎزى ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ ﺷﺎﻣﻞ روﻳـﻜـﺮدﻫﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ ﻣﻰ ﺑﺎﺷﺪ ﻛـﻪ‬ ‫ﺑﺤﺚ ﻫﺎ و ارﺗﺒﺎﻃﻬﺎى رﻳﺎﺿﻰ را ﮔﺴﺘﺮش ﻣﻰ دﻫﺪ‪.‬‬ ‫‪ (٥‬ﻧﺘﺎﻳﺞ ﻣﺪﻳﺮﻳﺖ‬

‫ﺑﻪ ﻧﺎﭼﺎر‪ ،‬ﻣﻌﻠﻤﺎن در ﻧﻈـﺎم آﻣـﻮزﺷﻰ ﺑﺎ ﻣﺪﻳﺮﻳﺖ ﻣـﺪرﺳـﻪ در‬ ‫ارﺗﺒﺎط ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺑﻮد‪ .‬در ﺿﻤﻦ‪ ،‬آن ﻫﺎ ﺑﺎﻳﺪ در ﻛﻼس درس ﻣﺪﻳﺮﻳﺖ‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴﺮى داﻧﺶ آﻣﻮزان را ﺑﻪ ﻋﻬﺪه ﮔﻴﺮﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﻫﻢ ﭼﻨﻴـﻦ‪ ،‬ﻣـﺪﻳـﺮان ﻣﺪرﺳﻪ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻫـﺎى ﻣـﻌـﻠـﻤـﺎن را ﻣﻮرد‬ ‫ارزﻳﺎﺑﻰ ﻗـﺮار ﻣﻰ دﻫﻨﺪ و ﻧﻴـﺎزﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ را ﺑﺮآورده ﻣﻰ ﺳـﺎزﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﺪﻳﺮان ﻣـﺪرﺳﻪ ﻫﺎ داراى ﺟﺎﻳﮕﺎه ﺑﻨﻴﺎدﻳﻨﻰ ﻫﺴﺘﻨـﺪ ﻛـﻪ ﻣـﻰ ﺗـﻮان در‬

‫اﺑﺰار ‪ ICT‬و ارﺗﺒﺎﻃﺎت وﻳﮋهى آنﻫﺎ ﺑﺎ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫‪١٤‬‬ ‫ﺑـﻪ ﮔـﺰارش آﻓـﺴـﺘـﺪ )‪ ،(٢٠٠٤‬ﻃـﻰ ﺳـﺎل ‪ ،١٩٩٠‬ﺑـﻜـﺘـﺎ‬ ‫ﺳﻤﻴﻨﺎرﻫﺎ و ﻛﻨﻔﺮاﻧﺲ ﻫﺎﻳﻰ را ﺑﺮاى ﺑﺮرﺳﻰ ﭘﺎﻳﻪ ﻫﺎى ﻧﺮم اﻓﺰارى ﻣﺮﺗﺒﻂ‬ ‫ﺑﺎ ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت ﻣﺨﺘﻠـ‪ m‬درﺳﻰ در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ آﻣﻮزﺷﻰ ﻣـﺪارس آﻣﻮزش‬ ‫در ﺷﺮاﻳﻂ ﻣﻮﺟـﻮد‪ ،‬اﻳﺠﺎد ﺑﺴﺘﺮﻫﺎى ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺑـﺮاى‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده از ﻓﻨﺎورى اﻃﻼﻋﺎت و ارﺗﺒﺎﻃﺎت در ﻣﺪارس‬ ‫ﺑﻪﻃﻮر ﻋﺎم و در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ درﺳﻰ رﻳﺎﺿﻰ و ﺗﺪرﻳﺲ و‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴﺮى آن ﺑﻪ ﻃﻮر ﺧﺎص‪ ،‬ﻳﻚ ﺿﺮورت ﻣﺤﺴﻮب‬ ‫ﻣﻰﺷﻮد‬ ‫ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ ﺑﺮﮔﺰار ﻛﺮد‪ .‬ﺑﻜﺘﺎ )‪ (١٩٩٩‬ﺗﻮﺿﻴﺢ داد ﻛﻪ ‪ ICT‬از اﻧﺘﺨﺎب‬ ‫ﮔﺴﺘﺮه ى وﺳﻴﻌﻰ ﺑﺮﺧﻮردار اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎ وﺟﻮدى ﻛﻪ ﺗﻌﺪاد آن ﻫﺎ زﻳﺎد‬ ‫ﻧﻴﺴﺖ‪ ،‬اﻣﺎ در ﺗﻤـﺎم ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫـﺎى درﺳﻰ رﻳﺎﺿﻴـﺎت ﻣـﺪرﺳﻪ اى ﺑـﻪ‬ ‫ﺧﺼﻮص در ﭘﺎﻳﻪ ﻫﺎى ﻣـﺘـﻮﺳﻄﻪ‪ ،‬ﻛﺎرﺑـﺮد وﺳﻴﻌﻰ دارﻧﺪ‪ .‬ﺑﻜﺘـﺎ ﺑـﻪ‬ ‫ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻳﺎدآور ﺷﺪ ﻛﻪ »ﺑﻪ اﻳـﻦ ﺗـﺮﺗﻴﺐ‪ ،‬زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﺻـﺮف آﻣﻮزش‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﻴﺪ ﺗﺎ اﺑﺰارى را ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺒﺮد‪ ،‬ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﻰ از ﻃﺮﻳﻖ ذﺧﻴﺮه ى زﻣﺎن‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴﺮى‪ ،‬ﺟﺒﺮان ﻣﻰ ﺷﻮد‪«.‬‬ ‫ﻣﻬﻢ ﺗﺮﻳـﻦ اﺑـﺰارﻫﺎﻳـﻰ را ﻛﻪ در ﻛﻼس ﻫـﺎى درس رﻳﺎﺿـﻰ در‬ ‫اﻧﮕﻠﺴﺘﺎن ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻗﺮار ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻧﺪ‪ ،‬ﻧﻤﺎﻳﺶ ﮔﺮﻫﺎﻳﻰ ﺑﺮاى ﻧﺸﺎن‬ ‫دادن ﺑـﻪ ﻫـﻤـﻪ ى ﻛـﻼس‪ ،‬ﻣـﺎﺷـﻴـﻦ ﺣـﺴـﺎب ﻫـﺎى ﮔـﺮاﻓـﻴـﻜـﻰ و‬ ‫روﻳـﺪادﻧـﮕـﺎرى اﻃـﻼﻋـﺎت‪ ،‬ﺑـﺮﻧﺎﻣـﻪ ﻫـﺎى ﻛـﻮﭼـﻚ‪ ،‬زﺑـﺎن ﻫـﺎى‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻧﻮﻳﺴﻰ‪ ،‬ﻧﺮم اﻓﺰارﻫﺎى ﭼﻨﺪﻣﻨﻈﻮره‪ ،‬ﻧﺮم اﻓﺰار آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫ﻣﻰ ﺑﺎﺷﻨﺪ )ﺑﻜﺘﺎ‪.(١٩٩٩ ،‬‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﻪﮔﻴﺮى‬ ‫ﺑﺎ ﺟﻤﻊ ﺑﻨﺪى اﻳﻦ ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻫﺎ‪ ،‬ﻣﺰاﻳﺎ و ﻣﺤﺪودﻳﺖ ﻫﺎى اﺳﺘﻔﺎده از‬ ‫‪ ICT‬را ﻣﻰ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺷﺮح زﻳﺮ ﺑﻴﺎن ﻛﺮد‪:‬‬ ‫‪٣٩‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪ICT ICT ICT ICT‬‬ ‫‪ICT‬‬

‫‪ICT‬‬

‫ﻣﺰاﻳﺎى اﺳﺘﻔﺎده از ‪ ICT‬ﺷﺎﻣﻞ‪:‬‬ ‫✓ اﻳﺠﺎد اﻧﮕﻴﺰه و ﻋﻼﻗﻪ در داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﺮاى ﻳﺎدﮔﻴﺮى؛‬ ‫✓ اﻳﺠﺎد رﻏﺒﺖ ﻣﻌﻠﻤﺎن در ﺗﺪرﻳﺲ ﻣﻨﺎﺑﻊ درﺳﻰ؛‬ ‫✓ اﻣﻜﺎن ﻳﺎدﮔﻴﺮى‪ ،‬ﺑﺮاى ﻫﺮ ردى در ﻫﺮ زﻣﺎن و ﻫﺮ ﻣﻜﺎﻧﻰ؛‬ ‫✓ در دﺳﺘﺮس ﺑﻮدن ﻣﻨﺎﺑﻊ اﻃﻼﻋﺎﺗﻰ در ﺗﻤﺎم ﺑﺨﺶ ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ و اﻣﻜﺎن‬ ‫ﺑﺮﻗﺮارى ارﺗﺒﺎط ﻻزم ﺑﻴﻦ رﻳﺎﺿﻰ و ﺳﺎﻳﺮ ﻣﻮﺿﻮع ﻫﺎ در ﺣﺪاﻗﻞ زﻣﺎن؛‬ ‫✓ ﺟﺎﻳﮕﺰﻳﻨﻰ ﭘﺪاﮔﻮژى ﺟﺪﻳﺪ و ﻫﻮﺷﻤﻨﺪ ﺑﻪ ﺟﺎى ﭘﺪاﮔﻮژى ﺳﻨﺘﻰ؛‬ ‫✓ ﺗﻌﺎﻣﻞ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﺎ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﺸﻜﻴﻞ ﮔﺮوه ﻫﺎى‬ ‫ﻛﺎرى اﻳﻨﺘﺮﻧﺘﻰ در وﺑﻼگ؛‬ ‫✓ ﺑﺮﻃﺮف ﺷﺪن ﻣﺸﻜﻼﺗﻰ ﻧﻈﻴﺮ ﻛﻤﺒـﻮد اﺳﺘﺎدان ﻣﺠﺮب و ﻓﻀﺎى‬ ‫آﻣﻮزﺷﻰ ﻣﻨﺎﺳﺐ؛‬ ‫✓ ذﺧﻴﺮه ﺷﺪن ﻣﻄﺎﻟﺐ درﺳﻰ در ﺣﺎﻓﻈﻪ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﺑﺮاى اﺳﺘﻔﺎده ﻫﺎى‬ ‫ﺑﻌﺪى؛‬ ‫✓ ﺗﻨـﻮع روش ﻫﺎى ﻳﺎدﮔـﻴـﺮى در زﻣﻴﻨﻪ اﺳﺘـﻔـﺎده از ‪ ،ICT‬ﺗـﻮﺳﻂ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان؛‬ ‫✓ ﺻﺮﻓﻪ ﺟﻮﻳﻰ در وﻗﺖ و ﻫﺰﻳﻨﻪ ﺑﻪ دﻟﻴﻞ اﺳﺘﻔﺎده از ﻛﺘﺎب ﺧﺎﻧﻪ ﻫﺎى‬ ‫دﻳﺠﻴﺘﺎﻟﻰ و ﺟﺴﺖ وﺟﻮ در ﺳﺎﻳﺖ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ m‬در ﺣﻴﻦ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ؛‬ ‫✓ ﻳﺎددﻫﻰ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﺎﺑﻠﻴﺖ اﻓﺰودن ﺗﺼﺎوﻳﺮ ﮔﺮاﻓﻴﻜﻰ‪ ،‬ﺻﻮت‬ ‫ﻳﺎ ﺗﺼﻮﻳﺮ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻋﻴﻨﻰ؛‬ ‫✓ ﺗﺒﺎدل اﻃﻼﻋﺎت و ﺳـﺆاﻻت ﻣﻌﻠﻢ ﺑﺎ ﺳﺎﻳﺮ ﻣﻌﻠﻤـﺎن در زﻣﻴﻨﻪ ى‬ ‫اﻳﺠﺎد ﺑﺎﻧﻚ ﺳﺆاﻻت ﻏﻨﻰ؛‬ ‫✓ ﻛﺎﻫﺶ ﻳﺎﻓﺘﻦ ﻓﺎﺻﻠﻪ ﺑﻴﺶ از ﺣـﺪ ﻧـﻴـﺎزﻫﺎى ﺟﺎﻣﻌﻪ و آن ﭼﻪ ﻛـﻪ‬ ‫ﻧﻈﺎم آﻣﻮزﺷﻰ ﻛﻨﻮﻧﻰ ﻋﺮﺿﻪ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﺤﺪودﻳﺖﻫﺎى اﺳﺘﻔﺎده از ‪:ICT‬‬ ‫✓ ﻧﺒﻮد اﺳﺘﺎﻧﺪاردﻫﺎى ﻻزم ﺟﻬﺖ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎى درﺳﻰ ﻓﻌﻠﻰ ﺑﻪ‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ ﺗﻠﻔﻴﻖ ﺷﺪه ﺑﺎ ‪ICT‬؛‬ ‫✓ ﻣﺸﻜﻼت ارزﻳﺎﺑﻰ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪Online‬؛‬ ‫✓ ﻧﺎﻛـﺎﻓـﻰ ﺑـﻮدن آﻣـﻮزش ﻫـﺎى ﻻزم ﺑـﺮاى ﻣﻌـﻠـﻤـﺎن رﻳـﺎﺿـﻰ در‬ ‫ﺧﺼﻮص ﺗﻠﻔﻴﻖ ‪ ICT‬ﺑﺎ رﻳﺎﺿﻰ؛‬ ‫✓ ﻧﺎﻛﺎﻓﻰ ﺑـﻮدن اﻣﻜﺎﻧﺎت ﻧﺮم اﻓـﺰارى و ﺳﺨﺖ اﻓﺰارى و ﻧﺎﻣﻨﺎﺳـﺐ‬ ‫ﺑﻮدن زﻳﺮ ﺳﺎﺧﺖ ﻫﺎى ﻣﺨﺎﺑﺮاﺗﻰ از ﻧﻈﺮ ﻣﺤﺪودﻳﺖ در ﭘﻬﻨﺎى ﺑﺎﻧﺪ؛‬ ‫✓ ﻋﺪم دﺳﺘﺮﺳﻰ ﺑﻪ اﻳﻨﺘﺮﻧﺖ در ﻫﻤﻪ ى ﻣﺪارس در ﺳﻄﺢ ﻛﺸﻮر؛‬ ‫✓ اﻧﮕﻠﻴﺴﻰ ﺑـﻮدن زﺑﺎن اﻛﺜﺮ ﻧﺮم اﻓﺰارﻫﺎ و ﺿﻌ‪ m‬داﻧﺶ اﻧﮕﻠﻴـﺴـﻰ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان اﻳﺮاﻧﻰ‪.‬‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪٤٠‬‬

‫‪ICT‬‬

‫ﺟﻤﻊﺑﻨﺪى‬ ‫‪ .١‬ﺗﻐﻴﻴﺮات ﻋﻤﺪه اى در اﺑﻌﺎد ﮔﻮﻧﺎﮔﻮن ﺑﻪ وﻗﻮع ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‬ ‫ﻛﻪ ﻫﻤﮕﻰ دﻻﻟﺖ ﺑﺮ ﺿﺮورت ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ‪ ،‬ﻣﺤﺘﻮا‪ ،‬روش‬ ‫ﺗﺪرﻳﺲ و ارزﺷﻴﺎﺑﻰ رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﻣﻬﻢ ﺗﺮﻳﻦ ﺗﻐﻴﻴـﺮات ﻋﺒﺎرت‬ ‫اﺳﺖ از‪ :‬ﺗﻐﻴﻴﺮات دﻳﺪﮔﺎه در ﻋﻠﻢ رﻳﺎﺿﻰ و ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ ﻛﺎرﺑﺮد آن‪،‬‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮات در ﻧﻘﺶ ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى ﺑﻪ ﺧﺼﻮص ﻣﺎﺷﻴﻦ ﺣﺴﺎب و ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ‪،‬‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮات در ﺟﺎﻣﻌﻪ ى اﻳـﺮان‪ ،‬ﺗﻐﻴﻴﺮات در درك ﺑﻬﺘﺮ اﻧﻮاع ﻳﺎدﮔﻴﺮى‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان و ﺑﺎﻻﺧﺮه ﺗﻐﻴﻴﺮات در ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ رﻗﺎﺑﺖ ﻫﺎى ﺑﻴﻦ اﻟﻤﻠﻠﻰ‬ ‫در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻛﻠﻴﻪ ى ﻧﻴﺎزﻫﺎ و ﺷﺮاﻳﻂ و ﺑﺎ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﺗﻐﻴﻴﺮات‬ ‫ﻣﺬﻛﻮر‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ ﺗﻬﻴﻪ ى ﺑـﺮﻧﺎﻣـﻪ ى درﺳﻰ رﻳﺎﺿﻰ ﭘﺮداﺧﺖ )ﮔﻮﻳـﺎ‪،‬‬ ‫‪ .(١٣٨٠‬ﻟﺬا ﻻزم ﺑﻪ ذﻛﺮ اﺳﺖ در زﻣﻴﻨﻪ ى ﺗﻠﻔﻴﻖ ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ‬ ‫آﻣﻮزﺷﻰ رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺎ ‪ ،ICT‬ﺗﻤﻬﻴﺪات ﻻزم اﻧﺠﺎم ﭘﺬﻳﺮد‪.‬‬

‫ﺟﺎﻣﻌﻪى اﻣﺮوزى ﺑﻪ ﺷﻬـﺮوﻧﺪاﻧﻰ ﻧﻴﺎز دارد ﻛﻪ ﺑﺘـﻮاﻧﻨﺪ‬ ‫ﺑـﺎ ﺑـﻬـﺮهﮔﻴـﺮى ﻣـﻨـﺎﺳـﺐ از ﻓـﻨـﺎورىﻫـﺎى اﻃـﻼﻋـﺎت و‬ ‫ارﺗـﺒـﺎﻃـﺎت و ﺑـﺎ ﺗـﻔـﻜـﺮ اﻧـﺘـﻘـﺎدى و اﺗـﺨـﺎذ ﺷـﻴـﻮهﻫﺎى‬ ‫راﻫﺒﺮدى‪ ،‬ﺑﻪ ﺣﻞ و ﻓﺼﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ واﻗﻌﻰ ﺧﻮد و ﺟﺎﻣﻌﻪى‬ ‫ﺧﻮد ﺑﭙﺮدازﻧﺪ‬ ‫‪ .٢‬ﻧﺮم اﻓﺰارﻫﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ ﻫﻨﺪﺳﻰ ﭘﻮﻳﺎ و زﺑﺎن ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ ﻧﻮﻳﺴـﻰ‬ ‫ﻟﻮﮔﻮ‪ ،‬در آﻣﻮزش ﻫﻨﺪﺳﻪ در ﺗـﺮﺳﻴﻢ اﺷﻜﺎل و ﺗﺒﺪﻳﻼت ﻫﻨﺪﺳـﻰ‬ ‫در دوره ﻫﺎى ﺗﺤﺼﻴﻠﻰ راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ و دﺑﻴﺮﺳﺘﺎن ﺑﻪ ﻛﺎر ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪ .٣‬ﺗﺨﺘﻪ ﺳﻔﻴﺪ ﺗﻌﺎﻣﻠـﻰ )‪ (IWB‬ﻛﻪ ﺑﺮاى اﺳﺘﻔﺎده ﺑﺎ ﻣﺪادﻫﺎى‬ ‫وﻳﮋه ﻃﺮاﺣﻰ ﺷﺪه اﻧﺪ و ﻣﺎﺷﻴﻦ ﺣﺴﺎب ﮔﺮاﻓﻴﻜﻰ‪ ،‬ﺑﺮاى اﺳﺘﻔﺎده در‬ ‫ﻛﻼس ﻫﺎى درس‪ ،‬ﺧﺮﻳﺪارى و در اﺧﺘﻴﺎر ﻣﺪارس ﻗﺮار ﮔﻴﺮد‪.‬‬ ‫‪ .٤‬دﻟﻴﻞ اﺻﻠﻰ ﺷﻜﺴﺖ ﺗﻠـﻔـﻴـﻖ ﻓـﻨـﺎورى در ﻧﻈﺎم اﻣـﻮزﺷﻰ‬ ‫اﻳﺎﻻت ﻣﺘﺤﺪه اﻣﺮﻳﻜﺎ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ اﮔـﺮﭼﻪ دﺳﺖ ﻳﺎﺑﻰ ﺑﻪ ﻓﻨﺎورى‬ ‫ﺑﻬﺒﻮد ﻳﺎﻓﺘﻪ اﺳﺖ‪ ،‬وﻟﻰ ﻣﻌﻠﻤﺎن در ﺗﻼش ﻫﺎﻳﺸﺎن ﺑﺮاى اﺳﺘﻔﺎده و‬ ‫ﺗﻠﻔﻴﻖ ﻓﻨﺎورى در ﻛﻼس ﺧﻮد ﻣﻮرد ﺣﻤﺎﻳﺖ ﻛﻤﺘـﺮى ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻪ اﻧﺪ‬ ‫)اﺗﺎ‪ .(١٩٩٥ ٬١٦‬ﻟﺬا ﺣﻤﺎﻳﺖ ﻣـﺪﻳـﺮان از ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿـﻰ ﻛـﻪ از‬ ‫ُ‬ ‫‪ ICT‬در ﻛﻼس درس ﺧﻮد اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰ ﻧﻤﺎﻳﻨﺪ‪ ،‬ﺿﺮورى ﻣﻰ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٥‬زﻳﺮ ﺳﺎﺧﺖ ﻫﺎى ﻣﺨﺎﺑﺮاﺗﻰ ﻻزم ﺟﻬﺖ اﺳﺘﻔﺎده از اﻳﻨﺘﺮﻧﺖ‬ ‫در ﺳﻄﺢ ﻛﺸﻮر‪ ،‬ﻓﺮاﻫﻢ ﺷﻮد؛‬ ‫‪ .٦‬ﺷﺒﻜﻪ اﻳﻨـﺘـﺮﻧﺖ ﺑﺮاى ﻛﻠﻴﻪ ﻣـﺪارس ﺳﻄﺢ ﻛﺸﻮر‪ ،‬اﻳـﺠـﺎد‬ ‫ﺷﻮد؛‬ ‫‪ .٧‬ﻣﺪارس ﻣﺠﺎزى ﺑﻪ ﻋﻨﻮان اﺑﺰارى ﺑﺮاى اﻳﺠﺎد ﻣﺤﻴﻂ ﻳﺎدﮔﻴﺮى‬

ICT ICT ICT ICT ICT

ICT

‫ در‬ICT ‫ ﭼﺎرﭼﻮﺑﻰ ﺑﺮاى ﺗﻠﻔﻴﻖ‬.(١٣٨٣) ‫ زﻫـﺮا‬،‫ اﺑـﻮاﻟﻔﻀﻞ و ﺧﻠﻴﻔﻪ‬،‫ رﻓﻴﻊ ﭘﻮر‬،‫ زﻫﺮا‬،‫ ﮔﻮﻳﺎ‬.٨ .‫ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻘﺎﻻت دوﻣﻴﻦ ﻫﻤﺎﻳﺶ آﻣﻮزش اﻟﻜﺘﺮوﻧﻴﻜﻰ‬،‫آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫( در‬ICT) ‫ ﻧﻘﺶ ﻓﻦ آورى اﻃﻼﻋﺎت و ارﺗﺒﺎﻃﺎت‬.(١٣٨٣) ‫ اﺑﻮاﻟﻔﻀﻞ‬،‫ زﻫﺮا و رﻓﻴﻊ ﭘﻮر‬،‫ ﮔﻮﻳﺎ‬.٩ .‫ ﮔﺰﻳﺪه ﻣﻘﺎﻻت ﻫﻔﺘﻤﻴﻦ ﻛﻨﻔﺮاﻧﺲ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ اﻳﺮان‬،‫آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‬ .‫ ﻓﻦ آورى اﻃﻼﻋﺎت و ارﺗﺒﺎﻃﺎت‬.(١٣٨٤) ‫ ﺳﻴﺪﻋﻠﻰ‬،‫ ﻣﻴﺮﺷﻔﻴﻌﻰ‬.١٠ http://www.naftepars.ir/official/2961/view.asp?ID=279977

‫ﺑﺨﺶ اﻧﮕﻠﻴﺴﻰ‬ [1]Becta, Dynamic geometry: http://www/curriculum.hecta.org.uk/docserver.php?docid=1937 [2] Becta (2000). Secondary Mathematics with ICT. http://www.vtc.ngfl.gov.uk [3] Becta (2002). Using web-based resources in the daily mathematics lesson. http://www.ictadvice.org.uk [4] Becta (2004). 'Getting the most from your interactive whiteboard' http://www.ferl.beta.org.uk/display.cfm?resID=7674 [5] Casey, John A. (1995). Developmental issues for school counsel using Technology, Elementary school Guidance & Counseling, V.30, and No.1. [6] Clark G., Redden, E., Geometrical investigations: a Companion to Cabri II, AAMT http://www.aamt.edu.au [7] Green, D., Armstrong,. A. & Bridges, R. (1993), Spreadsheets: Exploring their Potential in Secondary Mathematics, MA. [8] Jones, K. (2004), 'Using Interactive Whiteboards in the Teaching and Learning of Mathematics: a research bibiliography', Micromath 20/2 Summer 2004. [9] Kalinowski, Michael F (2001). "The Current status of technology in education: lightspeed ahead with Mild turbulence". Informaton Technology in childhood Education Annual (ITCE) V. 2001, issue1. [10] Kington (2002). Innovative Classroom Practices using ICT in ENGLAND and Alison & Harris, Sue Implications for Schools. National Foundation for Education Research. [12] Mathematics with ICT in key stage3, Geomatry Lessons, http://www.standards.dfes.gov.pdf [13] Myrick, Robert Dand Russell A. Sabella (1995). Cyberspace: New Place For councelor supervision, Elementary School Guidance & Counseling, V.30, No.1. [14] Oldknow, A. & Flower, J. (1996), Symbolic Manipulation by Computers and Calculators MA, http://www.m-a.org.uk/resourses/publications/books/books/ [15] OTA, (1995). Teachers and technology: Making the connection. (Publication No. OTA-HER-616). Washington, DC; U.S. Government Pringting Office. [16] Oftsed (2002) ICT in schools, HMI 423 http://www.ofsted.gov.uk [17] Ofsted report: ICT in Schools 2004 (HMI 2050) http://www.ofsted.gov.uk/publications/index.cfm? fuseaction = pubs. summary & id=3652 [18] Ofsted (2006): Evaluating mathematics Provision for 14-19-yearolds, http://www.ofsted.gov.uk/ofsted-home/publications-andresearch/Brows-all-by/Education/curriculum/Mathematics/secondary/ Evaluating-mathematics-provision-for-14-19-year-olds [19] Royal Society/JMC (2001), Teaching and Learning Geometry 11-19 http://www.royalsoc.ac.uk/policy/index.html ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ١‫ﺷﻤﺎره ى‬ ١٣٨٨ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ‬

٤١

ICT

‫ آﻣـﻮزش ﻣﺒﺘﻨﻰ ﺑـﺮ ﻓـﻨـﺎورى‬،‫آﻣﻮزش اﻟﻜﺘـﺮوﻧﻴﻜـﻰ‬ ،‫اﻃﻼﻋﺎت اﺳﺖ ﻛﻪ ﮔﺴﺘـﺮهى وﺳﻴﻌﻰ از ﻛﺎرﺑﺮدﻫﺎ‬ ‫ آﻣـﻮزش ﻣﺒﺘﻨﻰ ﺑـﺮ‬،‫از ﺟﻤﻠﻪ آﻣـﻮزش ﻣﺒﺘﻨﻰ ﺑـﺮ وب‬ ‫ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ و ﻛﻼسﻫﺎى ﻣﺠﺎزى را درﺑﺮ ﻣﻰﮔﻴﺮد‬ ‫ﻣﺒﺘﻨﻰ ﺑﺮ ﻓﻨﺎورى اﻃﻼﻋﺎت و ارﺗﺒﺎﻃﺎت ﺗﺄﺳﻴﺲ ﻣﻰ ﺷﻮد؛‬ ١٤-١٩ ‫ در ﻣﻘﺎﻟﻪ ى ﻗﻮاﻧﻴﻦ ارزﺷﻴﺎﺑﻰ رﻳﺎﺿﻴﺎت ﺑﺮاى ﺳﻨﻴﻦ‬.٨ ‫ در‬ICT ‫ ﻧﻴﺰ ﺑﻪ اﺳﺘـﻔـﺎده از‬،(٢٠٠٦) ‫ در ﮔﺰارش آﻓﺘﺴـﺪ‬١٧‫ﺳﺎﻟﮕـﻰ‬ .‫اﻓﺰاﻳﺶ ﻳﺎدﮔﻴﺮى و ﺗﻮﺳﻌﻪ ى ﻣﻬﺎرت ﻫﺎى ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ ﺗﻮﺻﻴﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد‬ ‫ﭘﻰﻧﻮﺷﺖﻫﺎ‬ 1. Rosenberg 2 Fuller 3. Module 4. On line 5. Deborath 6. Reeves 7. Herbert Marshall McLuhan 8. http://malardmath.persianblog.ir 9. Ofised (office for standards in education) 10. Camera Documetn 11. Acceleration 12. Extension 13. Enrichment 14. British Education and Communication Technology Agency 15. Hand-helding 16. OTA 17. Evaluating mathematics provision for 14-19-year-olds

‫ﻣﻨﺎﺑﻊ‬ ‫ﺑﺨﺶ ﻓﺎرﺳﻰ‬ ،‫ روش ﻫﺎى ارزﻳﺎﺑﻰ ﻛﻼس ﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ در آﻣﻮزش ﻣﺒﺘﻨﻰ ﺑﺮ وب‬.(١٣٨٤) ‫ ﺳﻤﻴﻪ‬،‫ ﺑﺮزﮔﺮ‬.١ .‫ﺳﺎﻳﺖ اﻳﻨﺘﺮاﻧﺖ ﺑﺎﻧﻚ ﺻﻨﻌﺖ و ﻣﻌﺪن‬ ‫ ﺑﺮرﺳﻰ ﻧﻘﺶ آﻣـﻮزش اﻟﻜﺘـﺮوﻧﻴﻜﻰ در ﺣﻞ ﻣﺸﻜﻼت آﻣـﻮزش ﻫﺎى‬.(١٣٨٣) ‫ زﻫﺮا‬،‫ ﺑﻬﺸﺘـﻰ‬.٢ ‫ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻘﺎﻻت دوﻣﻴﻦ‬،‫ﺳﻨﺘﻰ و اﺳﺘﻔﺎده از آن ﺑﺮاى ﻫﻤﮕﺎﻧﻰ ﻛـﺮدن اﻣﺮ ﺗﻌﻠﻴﻢ و ﺗﺮﺑﻴﺖ در اﻳﺮان‬ ‫ﻫﻤﺎﻳﺶ آﻣﻮزش اﻟﻜﺘﺮوﻧﻴﻜﻰ‬ ‫ ﺑﺮرﺳﻰ ﻧﺘﺎﻳﺞ ﻛﺎرﺑﺮد ﻓﻨﺎورى اﻃﻼﻋﺎت‬.(١٣٨٣) ‫ ﻋﺒﺪاﻟﻤﺠﻴﺪ‬،‫ اﺣﻤﺪ و اورﻧﮕﻰ‬،‫ ﺣﺞ ﻓﺮوش‬.٣ .٩ ‫ ﺷﻤﺎره‬،‫ ﺳﺎل ﺳﻮم‬،‫ ﻧﻮآورى ﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ‬،‫و ارﺗﺒﺎﻃﺎت در دﺑﻴﺮﺳﺘﺎن ﻫﺎى ﺷﻬﺮ ﺗﻬﺮان‬ ‫ اراﺋﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ آﻣﻮزﺷﻰ ﻣﻄﻠﻮب و ﻣﺘﻨﺎﺳﺐ ﺑﺎ اﻫﺪاف ﺑﺎﻧﻚ ﺻﻨﻌﺖ‬.(١٣٨٣) ‫ ﻣﻬﺮان‬،‫ ﺧﻮﺷﺪل‬.٤ .‫ ﮔﺰارش ﻧﻬﺎﻳﻰ ﭘﺮوژه ﻛﺎرورزى ﺑﻪ راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ دﻛﺘﺮ اﺣﻤﺪ ﺷﺮﺑﺖ اوﻏﻠﻰ‬،‫و ﻣﻌﺪن‬ ‫ ﻃـﺮح ﭘﻴﺸﻨﻬﺎدى ﺑـﺮرﺳﻰ ﻧﻴـﺎزﻫﺎى ﻣﻄﺎﻟﻌﺎﺗـﻰ‬.(١٣٨٣) ‫ ﻓـﺮﻧﻮش‬،‫ ﺷﻬـﺮزاد و رﻗﺎﺑﻰ‬،‫ ﺷﺮﻳﻔﻰ‬.٥ ‫ ﻣﺠﻠﻪ اﻟﻜـﺘـﺮوﻧﻴﻜﻰ‬،‫داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻣﻘﻄـﻊ راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ ﺷﻬﺮ ﺗﻬـﺮان ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺗﺤـﻮﻻت ﻓﻨﺎورى آﻳﻨﺪه‬ .‫ ﺷﻤﺎره ﺳﻮم‬،‫ دوره ﺳﻮم‬،‫ﻣﺮﻛﺰ اﻃﻼﻋﺎت و ﻣﺪارك ﻋﻠﻤﻰ اﻳﺮان‬ ‫ ﻧﺮم اﻓﺰار آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ اﺑﺘﺪاﻳﻰ ﺑﺮ اﺳﺎس‬.(١٣٨٣) ‫ ﻣﺤﻤﻮد‬،‫ ﻣﺼﻄﻔﻰ و ﻣﻬﺮﻣﺤﻤﺪى‬،‫ ﺷﻴﺦ زاده‬.٦ .٩ ‫ ﺷﻤﺎره‬،‫ ﺳﺎل ﺳﻮم‬،‫ ﻧﻮآورى ﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ‬،‫روﻳﻜﺮد ﺳﺎزﻧﺪ ه ﮔﺮاﻳﻰ و ﺳﻨﺠﺶ ﻣﻴﺰان اﺛﺮﺑﺨﺸﻰ آن‬ ‫ رﺷﺪ آﻣﻮزش‬،‫ ﺑﺮرﺳﻰ ﻧﮕـﺮش داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻧﺴﺒﺖ ﺑـﻪ درس ﻫﻨﺪﺳـﻪ‬.(١٣٨٤) ‫ ﻣﺮﻳـﻢ‬،‫ ﻋﺎﻟﻰ‬.٧ .٧٩ ‫ ﺷﻤﺎره‬،‫ ﺳﺎل ﺑﻴﺴﺖ ودوم‬،‫رﻳﺎﺿﻰ‬

‫‪ICT ICT ICT ICT‬‬ ‫‪ICT‬‬

‫‪ICT‬‬

‫‪ICT‬‬

‫ﺟﺎﻳﮕﺎه ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ‬ ‫ﻳﺎددﻫﻰ!ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ!ى ﻓﻀﺎﻳﻰ‬ ‫ﻧﻮراﻟﺪﻳﻦ ﺑﻬﻴﻦ‪%‬آﻳﻴﻦ‬ ‫داﻧﺸﮕﺎه آزاد واﺣﺪ ﻋﻠﻮم و ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت ﻓﺎرس‬ ‫ﻣﺮﻳﻢ ﻏﻼﻣﻰ‬ ‫دﺑﻴﺮ رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻮﺷﻬﺮ و ﻛﺎرﺷﻨﺎس ارﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‬

‫ﭼﻜﻴﺪه‬ ‫ﻓـﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫـﻰ ـ ﻳـﺎدﮔـﻴـﺮى اﺛﺮﺑﺨﺶ‪ ،‬ﻣـﺤـﺼـﻮل ﻃـﺮاﺣﻰ و‬ ‫ﺳﺎزﻣﺎن دﻫﻰ دﻗﻴﻖ و ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺗﻨﻮع راﻫﺒﺮدﻫﺎى ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى و‬ ‫ﺑﻪ ﻛﺎرﮔﻴﺮى ﻛﺎرآﻣﺪﺗﺮﻳﻦ اﺑﺰار اﺳﺖ‪ .‬ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى‪ ،‬رﺷﺘﻪ اى ﻋﻠﻤﻰ ـ‬ ‫ﻛﺎرﺑﺮدى اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑـﺮاى اﻓﺰاﻳﺶ ﻛﺎراﻳﻰ آﻣـﻮزش‪ ،‬از ﻃﺮﻳﻖ ﻛﻨﺘﺮل‬ ‫ﻋﻮاﻣﻞ‪ ،‬ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑـﺮده ﻣﻰ ﺷﻮد و ﻫﺪف آن اﻳﺠﺎد ﺷـﺮاﻳﻄﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ‬ ‫ﻳﺎدﮔـﻴـﺮى را اﺛﺮﺑﺨﺶ ﻧﻤﺎﻳﺪ‪ .‬اﻧـﻔـﺠـﺎر اﻃـﻼﻋـﺎت و رﺷﺪ ﺳـﺮﻳـﻊ‬ ‫ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى‪ ،‬ﺗﺄﺛﻴﺮات ﺑﻨﻴﺎدﻳﻦ ﺑﺮ ﻫﻤﻪ ى ﻋﺮﺻﻪ ﻫﺎ ازﺟﻤﻠﻪ آﻣﻮزش و‬ ‫ﭘـﺮورش ﮔـﺬاﺷـﺘـﻪ اﺳـﺖ‪ .‬ﺑـﺮ اﻳـﻦ اﺳـﺎس‪ ،‬ﻧــﻴــﺎزﻫـﺎ و ﻋـﻼﺋــﻖ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﺎ ﻧﺴﻞ ﮔﺬﺷﺘﻪ ﻣﺘﻔﺎوت اﺳﺖ‪ .‬درﻧﺘﻴﺠﻪ‪ ،‬ﭼﮕﻮﻧﮕـﻰ‬ ‫آﻣﻮزش آن ﻫﺎ ﻧﻴﺰ ﺗﻐﻴـﻴـﺮ ﻛـﺮده اﺳﺖ )ﻣﺎرﺗﻴـﻦ‪ .(١٩٩٦ ، ١‬ﻟﺬا در‬ ‫ﻫﺰاره ى ﺟﺪﻳﺪ‪ ،‬ﻧﻤﻰ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺑﺎ ﻗﺎﻧﻮن ﻣﻨﺪى ﻫﺎى ﺳﺪه ى ﻗﺒﻞ‪ ،‬ﺑﺮاى‬ ‫ﻧﻈﺎم آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬اﺳﺘﺮاﺗﮋى ]ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ[ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﻢ و ﺟﺎى ﻧﮕﺮاﻧﻰ اﺳﺖ‬ ‫ﻛﻪ ﻣﺎ اﻳﻦ دوران را ﺟﺪى ﻧﮕﺮﻓﺘﻪ اﻳﻢ )ﮔﻮﻳﺎ‪.(١٣٨١ ،‬‬ ‫درس رﻳﺎﺿﻰ ﺑـﺎ وﺟـﻮد اﻫﻤﻴﺖ آن ﺑﻪ ﻋـﻨـﻮان ﭘﺎﻳﻪ ى ﻳﺎدﮔـﻴـﺮى‬ ‫دروس دﻳﮕﺮ‪ ،‬ﻫﻤﻮاره ﺑﻪ ﻋﻨﻮان درﺳﻰ ﻣﺸﻜﻞ و ﻫﺮاس اﻧﮕﻴﺰ در ﻣﻴﺎن‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻣﻄﺮح ﺑﻮده و ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى آن ﺑﺎ ﻣﺸﻜﻼﺗﻰ‬ ‫روﺑﻪ روﺳﺖ‪ .‬ﺗﺎ آن ﺟﺎ ﻛﻪ ﮔﺎﻫـﻰ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ﺑﻪ ﺟﺎى ﻳﺎدﮔﻴـﺮى‬ ‫ﻣﻌﻨﺎدار‪ ،‬ﺑﻪ ﺣﻔﻆ و ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮﺳﭙـﺎرى آن اﻛﺘﻔﺎ ﻛﺮده و ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪ ﻛﺴﺐ‬ ‫ﻧﻤﺮه اى در ﺣﺪ ﻋﺒﻮر از ﻳﻚ ﻣﺮﺣﻠﻪ ى ﺗﺤﺼﻴﻠﻰ راﺿﻰ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫اﻳﻨﺠﺎﺳﺖ ﻛﻪ ﺿـﺮورت ﺑﻬﺒﻮد ﻓـﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴـﺮى‪ ،‬ﺑﻴﺶ ﺗﺮ‬ ‫ﻣﻮرد ﺗﻮﺟﻪ ﻗﺮار ﻣﻰ ﮔﻴﺮد‪.‬‬ ‫ﻣﺘﺄﺳﻔﺎﻧﻪ در ﻛﻼس ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺑﻴﺶ ﺗﺮ از روش ﺳﺨﻦ راﻧﻰ‬ ‫و ﺗﻨﻬﺎ ﮔﺎﻫﻰ از ﭘﺮﺳﺶ و ﭘﺎﺳﺦ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰ ﺷﻮد‪ .‬درﺻﻮرﺗﻰ ﻛﻪ در‬ ‫ﻋﺼﺮ ﺣﺎﺿﺮ‪ ،‬ﻓﻨﺎورى ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﻳﺎرى آﻣﻮزش ﺷﺘﺎﻓﺘﻪ و اﻳﻦ روﻧﺪ‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪٤٢‬‬

‫ﺗﻜـﺮارى را ﺧﺎﺗﻤـﻪ داده و آﻣـﻮزش را ﺑﻬـﺒـﻮد ﺑﺒﺨـﺸـﺪ‪ .‬وﻟﻰ ﺳـﺆال‬ ‫اﻳﻨﺠﺎﺳﺖ ﻛﻪ ﭼﺮا دﺑﻴﺮان رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﻋﻼﻗﻪ ى ﭼﻨﺪاﻧﻰ ﺑﻪ اﺳﺘﻔﺎده از‬ ‫ﻓـﻨـﺎورى آﻣﻮزﺷـﻰ در ﻓـﺮاﻳﻨﺪ ﻳـﺎددﻫـﻰ ـ ﻳـﺎدﮔـﻴـﺮى از ﺧـﻮد ﻧﺸـﺎن‬ ‫ﻧﻤﻰ دﻫﻨﺪ؟ آﻳﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻓﻨﺎورى آﻣﻮزﺷﻰ را ﻏﻴﺮ ﻣﻔﻴﺪ ﻣﻰ داﻧﻨﺪ ﻳﺎ‬ ‫دﻻﻳﻞ دﻳﮕﺮى ﺑﺮاى اﻳﻦ ﻛﺎر وﺟﻮد دارد؟ دﺑﻴﺮان رﻳﺎﺿﻰ ﭼﻪ اﻗﺪاﻣﺎﺗﻰ‬ ‫را ﺑﺮاى راه ﻫﺎى ﺑﻬﺒﻮد ﺟﺎﻳﮕﺎه ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻣﺆﺛﺮ ﻣﻰ داﻧﻨﺪ؟ ﺗﺤﻘﻴﻖ ﺣﺎﺿﺮ‪ ،‬ﭘﺎﺳﺦ اﻳﻦ ﺳﺆاﻻت را در‬ ‫ﻣﻮرد ﻣﻮﺿﻮع »ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ« ﺑﺮرﺳﻰ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻛـﻠـﻴـﺪواژهﻫـﺎ‪ :‬آﻣـﻮزش‪ ،‬ﻳـﺎدﮔـﻴـﺮى‪ ،‬ﻫﻨـﺪﺳـﻪ ى ﻓـﻀـﺎﻳـﻰ‪،‬‬ ‫ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ‬ ‫ﻣﻘﺪﻣﻪ‬ ‫ﺑﺎ ﭘﻴﺸﺮﻓﺖ ﻋﻠﻮم و ﻓﻨﻮن و ﭘﻴﭽﻴﺪه ﺗﺮ ﺷﺪن ﺟﻮاﻣﻊ‪ ،‬ﻛﺴﺐ ﻋﻠﻮم‬ ‫و ﻓﻨـﻮن ﺟﺪﻳـﺪ در ﺳـﺎﻳـﻪ ى راﻫﺒـﺮدﻫﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ ﺳﺎده ى ﺳـﻨـﺘـﻰ‬ ‫اﻣﻜﺎن ﭘﺬﻳﺮ ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﺒﺐ‪ ،‬ﻣﺴﺌﻮﻟﻴﺖ ﻣﻌﻠﻢ اﻣﺮوز ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ‬ ‫ﮔﺬﺷﺘﻪ ﺳﻨﮕﻴﻦ ﺗﺮ و ﭘﻴﭽﻴﺪه ﺗـﺮ ﺷـﺪه اﺳـﺖ‪ .‬دﻳـﮕـﺮ ﻧـﻤـﻰ ﺗـﻮان ﺑﺎ‬ ‫روش ﻫﺎى ﺳﻨﺘﻰ‪ ،‬ﺟﺎﻣﻌﻪ و اﻓﺮاد آن را ﺑﻪ ﺳﻮى ﻳﻚ ﺗﺤﻮل ﭘﻴﺸﺮﻓﺘﻪ‬ ‫ﺳﻮق داد‪ .‬در دﻧﻴﺎى اﻣﺮوز‪ ،‬ﻫﻴﭻ ﻛﺲ ﺑﻰ ﻧﻴﺎز از ﺗﻌﻠﻴﻢ و ﺗﺮﺑﻴﺖ و‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻧﻴﺴﺖ و ﺑﻪ ﺟﺮأت ﻣﻰ ﺗﻮان ﮔﻔﺖ ﻛﻪ آﻣﻮزش‪ ،‬ﺟﺰء اﺻﻠﻰ‬ ‫زﻧﺪﮔﻰ اﻧﺴﺎن ﻫﺎ ﺷﺪه اﺳﺖ و در اﻳﻦ ﻣﻴﺎن‪ ،‬اﻳﻦ ﻣﻌـﻠـﻢ اﺳـﺖ ﻛـﻪ‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ ﺳﻌﻰ ﻛﻨﺪ ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ ﻣﻄﻠﻮب ﻳﺎدﮔﻴﺮى را ﻓﺮاﻫﻢ ﺳﺎزد‪.‬‬ ‫ﻳﻜﻰ از روش ﻫﺎى ﺑﺴﻴﺎر ﻣﻌﻤﻮل ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ى ﻣﻌﻠﻤـﺎن در‬ ‫ﺳﺮاﺳﺮ ﺟﻬﺎن ﻛﻪ ﺑﺮاون‪ ٢‬و اﺗﻜﻴﻨﺲ‪ (١٩٩١) ٣‬ﺳﺎﺑﻘﻪ ى آن را ﺑﻪ ﭘﻨﺞ‬

‫‪ICT ICT ICT ICT‬‬ ‫‪ICT‬‬

‫ﻗﺮن ﭘﻴﺶ از ﻣﻴﻼد ﻧﺴﺒـﺖ داده اﻧـﺪ‪ ،‬روش ﺳﺨﻦ راﻧﻰ اﺳﺖ‪ .‬اﻣـﺎ‬ ‫ﻓﺎ ﺑـﻪ اراﺋﻪ ى ﻳـﻚ ﺳـﺨـﻦ راﻧﻰ ﻣـﺤـﺪود ﻧـﻤـﻰ ﺷـﻮد‪.‬‬ ‫آﻣـﻮزش ﺻـﺮ ً‬ ‫ووﻟﻔﻮﻟﻚ )‪ (١٩٩٥‬ﻣﻌﺘﻘﺪ اﺳﺖ ﻛﻪ »ﻫﻴﭻ ﻛﺲ ﻧﻤﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﺟـﺎى‬ ‫دﻳﮕﺮى ﻳﺎد ﺑﮕﻴﺮد‪ .‬ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن‪ ،‬داﻧﺶ ﻫﺎ و ﻣﻬﺎرت ﻫﺎى ﺧﻮدﺷﺎن‬ ‫را ﺧﻠﻖ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﻧﻘﺶ ﻣﻌـﻠـﻢ‪ ،‬ﺗـﺪارك دﻳﺪن و ﻫﻤﺎﻫﻨـﮓ ﻛـﺮدن‬ ‫ﻣﻮاد‪ ،‬ﺗﻜﺎﻟﻴ‪ ،m‬ﻣـﻮﻗﻌﻴﺖ ﻫﺎ‪ ،‬ﮔﻔﺖ و ﮔـﻮﻫﺎ و ﻛﺎوش ﻫﺎﻳﻰ اﺳﺖ‬ ‫ﻛﻪ از ﻳﺎدﮔﻴﺮى و اﺳﺘﻘﻼل ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن ﺣﻤﺎﻳﺖ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ« )ﺳﻴ‪،m‬‬ ‫‪ .(١٣٨٥‬اﻣﺎ اﻳﻦ ﻛﻪ ﺟﺰﺋﻴﺎت اﻳﻦ اراﺋﻪ ى ﻧﻘﺶ ﭼﻴﺴﺖ و ﭼﻪ ﻣﻮادى‬ ‫و ﭼـﻪ ﻣـﻮﻗﻌـﻴـﺖ ﻫـﺎﻳـﻰ ﻣـﻮرد ﻧﻈـﺮ اﺳـﺖ‪ ،‬ﻫـﻤـﻮاره ﻣـﻮرد ﺗـﻮﺟـﻪ‬ ‫روان ﺷﻨﺎﺳﺎن ﺗﺮﺑﻴﺘﻰ و ﻣﺤﻘﻘﺎن ﺑﻮده اﺳﺖ‪.‬‬ ‫روان ﺷﻨﺎﺳﺎن‪ ،‬ﻣﻄﺎﻟﻌﺎت ﮔﺴﺘﺮده اى را در ﺟﻬﺖ ﺑﻬﺒﻮد آﻣﻮزش‬ ‫آﻏﺎز ﻛﺮدﻧﺪ و روش ﻫﺎى دﻳﮕـﺮى ﭼﻮن روش اﻛﺘﺸﺎﻓﻰ‪ ،‬اﻛﺘﺸﺎﻓـﻰ‬ ‫ﻫﺪاﻳﺖ ﺷـﺪه‪ ،‬آﻣـﻮزش ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ اى و ﻧﻈـﺎﻳـﺮ آن را ﭘﻴﺸﻨـﻬـﺎد و ﻣـﻮرد‬ ‫ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﻗﺮار دادﻧﺪ ﻛﻪ دﻗﺖ در ﺳﻴﺮ ﺗﻜﺎﻣﻠﻰ آن ﻫﺎ‪ ،‬ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫـﺪ‬ ‫ﻛﻪ در آن ﻫﺎ‪ ،‬ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﻧﻘﺶ و ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ داﻧﺶ آﻣﻮز و ﺗﻌﺎﻣﻞ ﺑﻴﻦ ﻣﻌﻠﻢ‬ ‫و ﻳﺎدﮔﻴـﺮﻧـﺪه و دورى از ﻣﺤﻮرﻳﺖ ﻣﻌﻠـﻢ در آﻣـﻮزش ﻣـﻮرد ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﻣﺮور زﻣﺎن‪ ،‬اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ در آﻣﻮزش‬ ‫ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﻣﻌﻠﻤﺎن آﻣﺪ و ﺑﺎﻋﺚ ﺑﻬﺒﻮد ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﺷﺪ‪.‬‬ ‫دروس رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺑﻪ وﻳﮋه ﻫﻨﺪﺳﻪ ﻧﻴﺰ از اﻳﻦ ﺑﻬﺒﻮد ﺑﻰ ﺑﻬﺮه ﻧﻤﺎﻧﺪﻧﺪ‪.‬‬ ‫رﻓﻴﻊ ﭘـﻮر )‪ (١٣٨٥‬ﺑﻪ ﻧﻘﻞ از ﻫـﺎوﺳﻮن و وﻳﻠﺴـﻮن )‪ (١٩٨٦‬ﺑﻴـﺎن‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨـﺪ ﻛـﻪ ﻫـﻴـﭻ زﻣﻴﻨـﻪ ى وﻳـﮋه اى در ﺑـﺮﻧﺎﻣـﻪ ى درﺳﻰ رﻳـﺎﺿـﻰ‬ ‫ﻣﺪرﺳﻪ اى ﺑﻪ اﻧـﺪازه ى ﻫﻨﺪﺳﻪ ﻛﻪ آﻣـﻮزش آن ﻃﻰ ﺳﻰ ﺳﺎل اﺧﻴـﺮ‬

‫ﻣﺘﺄﺳﻔﺎﻧﻪ در ﻛﻼسﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺑﻴﺶﺗﺮ از روش‬ ‫ﺳﺨﻦراﻧﻰ و ﺗﻨﻬﺎ ﮔﺎﻫﻰ از ﭘﺮﺳﺶ و ﭘﺎﺳﺦ اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﻣﻰﺷـﻮد‪ ،‬درﺻﻮرﺗﻰﻛﻪ در ﻋﺼـﺮ ﺣـﺎﺿـﺮ‪ ،‬ﻓﻨـﺎورى‬ ‫ﻣـﻰﺗـﻮاﻧﺪ ﺑـﻪ ﻳـﺎرى آﻣـﻮزش ﺷﺘـﺎﻓـﺘـﻪ و اﻳـﻦ روﻧﺪ‬ ‫ﺗﻜﺮارى را ﺧﺎﺗﻤﻪ داده و آﻣﻮزش را ﺑﻬﺒﻮد ﺑﺨﺸﺪ‬ ‫دﭼﺎر ﺗﺤـﻮل ﻛﻠﻰ ﺷﺪه‪ ،‬ﺗﻮﺟﻪ ى رﻳﺎﺿﻰ داﻧـﺎن را ﺑـﺮﻧﻤﻰ اﻧﮕﻴـﺰد‪.‬‬ ‫ﺑﺪﻳﻦ ﺟﻬﺖ‪ ،‬ﺗﻮﺳﻌﻪ ى ﺳﻄﻮح ﺗﻔﻜﺮ ﻫﻨﺪﺳﻰ داﻧﺶ آﻣﻮزان‪ ،‬ﻳﻜﻰ‬ ‫از اﻫﺪاف اﺳﺎﺳﻰ آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻣﻰ ﺑﺎﺷـﺪ‪ .‬زﻳـﺮا ﻫﻨﺪﺳﻪ در‬ ‫ﺑﺴﻴـﺎرى از ﺣـﻮزه ﻫﺎى ﻋﻠﻤﻰ‪ ،‬ﺗﻜﻨﻴﻜﻰ و ﺷﻐﻠـﻰ ﻧـﻴـﺰ ﺑـﻪ ﻫـﻤـﺎن‬ ‫اﻧﺪازه ى رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻣﻬﻢ اﺳﺖ )اﻟﻜﺎن ﺳﻴﻨﺎﭘﻠﻮ‪ ،‬درﻳﺎﻛﻮﻟﻮ‪ ،٤‬ﺗﺮﺟﻤﻪ‬ ‫ﭘﻴﺮواﻧﻰ ﻧﻴـﺎ‪ .(١٣٨٦ ،‬ﻋﻼوه ﺑﺮ اﻳﻦ‪ ،‬ﻫﻨﺪﺳﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺗﺎرﻳـﺨـﻰ‪،‬‬ ‫ﻋﻠﻢ ﻓﻀﺎ و اﺷﻜﺎل اﺳﺖ و ﺗﻤﺎم ﭘﺪﻳﺪه ﻫﺎى ﻃﺒﻴـﻌـﻰ در ﻓـﻀـﺎ رخ‬

‫‪ICT‬‬

‫‪ICT‬‬

‫ﻣﻰ دﻫﻨﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻫﻨﺪﺳﻪ در واﻗﻊ زﻣﻴﻨﻪ ى ﻫﻤﻪ ى ﻋﻠـﻮم ﻃﺒﻴﻌﻰ‪،‬‬ ‫و ﺑﻪ ﻧﻮﻋﻰ زﺑﺎن ﻫﻤﻪ ى ﻋﻠﻮم اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺷﺎرﻳﮕﻴﻦ و ﭘﺮوﺗﺎﺳ‪ (٢٠٠٤) ٥m‬اﺑﺮاز ﻛﺮده اﻧﺪ ﻛﻪ ﺑﺮﺧﻰ اﻓﺮاد‬ ‫ﺗﻤﺎﻳـﻞ دارﻧﺪ ﻫﻨﺪﺳﻪ از ﺑﺮﻧﺎﻣـﻪ ى درﺳﻰ رﻳﺎﺿﻰ ﻣﺪرﺳﻪ اى ﺣـﺬف‬ ‫ﺷﻮد و ﺑﺮﺧﻰ ﻧﻴﺰ ﺗﻤﺎﻳﻞ دارﻧﺪ ﻛﻪ ﺣﺠﻢ ﻫﻨﺪﺳﻪ در ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ‬ ‫ﻛﺎﻫﺶ ﻳﺎﺑﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﮔﻔﺘﻪ ى آن ﻫﺎ‪ ،‬اﻳﻦ ﺗﻤﺎﻳﻞ ﺑﻴﺶ ﺗﺮ در ﺑﻴـﻦ اﻓـﺮادى‬ ‫دﻳﺪه ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ در ﻓﻬﻢ و ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ دﭼﺎر ﻣﺸﻜﻞ ﻫﺴﺘﻨﺪ و‬ ‫اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ ،‬ﺣﺘﻰ در ﺑﻴﻦ اﻓﺮاد ﺣﺮﻓﻪ اى در ﺣﻮزه ى رﻳﺎﺿﻰ ﻧﻴﺰ دﻳﺪه‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮد )ﻧﻘﻞ ﺷـﺪه در رﻓﻴﻊ ﭘـﻮر‪ .(١٣٨٥ ،‬ﭘﺲ راه ﺣﻞ ﻣﻨﺎﺳـﺐ‬ ‫ﺑﺮاى ﻳﺎدﮔﻴـﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ‪ ،‬ﻧﻤـﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ ﺣﺬف آن از ﻓـﻬـﺮﺳﺖ دروس‬ ‫دﺑﻴﺮﺳﺘﺎﻧﻰ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫از ﻃﺮف دﻳﮕﺮ‪ ،‬ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ ﻗﺎﺑﻠﻴﺖ و ﺗﻮاﻧﺎﻳﻰ آن را دارد‬ ‫درس رﻳﺎﺿـﻰ ﺑـﺎ وﺟـﻮد اﻫﻤـﻴـﺖ آن ﺑـﻪﻋـﻨـﻮان‬ ‫ﭘﺎﻳﻪى ﻳﺎدﮔﻴﺮى دروس دﻳﮕﺮ‪ ،‬ﻫﻤﻮاره ﺑﻪﻋﻨﻮان‬ ‫درﺳـﻰ ﻣــﺸــﻜــﻞ و ﻫــﺮاساﻧـﮕـﻴــﺰ در ﻣــﻴــﺎن‬ ‫داﻧﺶآﻣﻮزان ﻣﻄﺮح ﺑﻮده و ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰـ‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴﺮى آن ﺑﺎ ﻣﺸﻜﻼﺗﻰ روﺑﻪروﺳﺖ‬

‫ﻛﻪ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎدﮔﻴﺮى را ﺗﺼﺮﻳﺢ‪ ،‬ﺗﺴﺮﻳﻊ و ﺗﺴﻬﻴﻞ ﻛﻨﺪ و ﺑﻪ آﻣﻮﺧﺘﻪ ﻫﺎ‬ ‫ﻋﻤﻖ و ﻣﻌﻨﺎى ﺑﻴﺶ ﺗﺮى ﺑﺒﺨﺸﺪ‪ .‬ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ از روش ﻫﺎ‪،‬‬ ‫ﻓﻨﻮن‪ ،‬اﺑﺰار و اﻣﻜﺎﻧﺎﺗﻰ ﺑﺮﺧﻮردار اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎ ﺑﻪ ﻛﺎرﮔﻴﺮى و اِﻋﻤﺎل‬ ‫درﺳﺖ‪ ،‬ﺑﻪ ﺟﺎ و ﺑﻪ ﻣﻮﻗﻊ آن ﻫﺎ‪ ،‬ﻣﻰ ﺗﻮان ﺳﻄﺢ ﻳﺎدﮔﻴﺮى و ﺑﺎزدﻫﻰ‬ ‫آﻣﻮزش را ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪ ى ﺷﮕﻔﺖ اﻧﮕﻴﺰى ﺑﻪ ﺣﺪاﻛﺜﺮ ﻣﻤﻜﻦ و ﻣﻄﻠـﻮب‬ ‫رﺳﺎﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﻼ در درس ﻫﻨﺪﺳﻪ‪ ،‬ﺗﺼﺎوﻳﺮ ﮔﺮاﻓﻴﻜﻰ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﻣﻮرد ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ً‬ ‫ﻗﺮار ﮔﻴﺮﻧﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ دو ﺻﻮرت ﺗﺼﺎوﻳﺮ ﺑﻴﺖ ﻧﮕﺎﺷﺘﻰ و ﺗﺼﺎوﻳﺮ ﺷﻰء ـ‬ ‫ﮔﺮا وﺟﻮد دارﻧﺪ‪ .‬ﺗﺼﺎوﻳﺮ ﺑﻴﺖ ﻧﮕﺎﺷﺘﻰ درﺑـﺮﮔﻴﺮﻧﺪه ى ﻧﻘﺎط ﺧﻴﻠـﻰ‬ ‫ﻛﻮﭼﻜﻰ ﺑﻪ ﻧﺎم ﭘﻴﻜﺴﻞ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﺮاﺳﺎس ﻣﺎﺗﺮﻳﺴﻰ از ﺧﻄﻮط ﻧﺎزك‬ ‫ﻏﻴﺮ ﭼﺎﭘﻰ ﺗﻨﻈﻴﻢ ﺷﺪه اﻧـﺪ‪ .‬ﻓـﺎﻳـﻞ ﻫـﺎى ﺗـﺼـﻮﻳـﺮى ﺷﻰء ـ ﮔـﺮا )ﻛﻪ‬ ‫ﺗﺼﺎوﻳـﺮ ﺑُﺮدارى ﻧﻴﺰ ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣـﻰ ﺷـﻮﻧﺪ(‪ ،‬ﺑﺎ ﺗﺼﺎوﻳﺮ ﺑﻴﺖ ﻧﮕـﺎﺷـﺘـﻰ‬ ‫ﻣﺘﻔﺎوﺗﻨﺪ زﻳﺮا ﺗﺮﻛﻴﺒﻰ از اﺷﻜﺎل ﻫﻨﺪﺳﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﻣﻰ ﺗﻮان آن ﻫﺎ را‬ ‫اﻧﺘﺨﺎب ﻛﺮد‪ ،‬ﺣﺮﻛﺖ داد‪ ،‬ﻻﻳﻪ ﺑﻨﺪى ﻛﺮد و ﺣﺘﻰ دﺳﺖ ﻛﺎرى ﻧﻤﻮد‪.‬‬ ‫ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻳﻚ ﻣﺤﺼﻮل ﭼﻨﺪ رﺳﺎﻧﻪ اى ﺑﺘﻮاﻧﺪ ارﺗﺒﺎط ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﻰ‬ ‫ِ‬ ‫ﺑﺮاى اﻳﻦ ﻛﻪ‬ ‫ﺑﺎ ﻛﺎرﺑﺮ ﺑﺮﻗﺮار ﺳﺎزد‪ ،‬ﻣﻰ ﺗﻮان ﻛﻞ ﭘﺮوژه را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻓﻴﻠﻢ ﺳﺎﺧﺘﻪ و‬ ‫ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺗﺼﻮﻳﺮ ﻣﺘـﺤـﺮك ﻧﻤﺎﻳﺶ داد‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺜﺎل‪ ،‬اﻧﻴﻤـﻴـﺸـﻦ‬ ‫‪٤٣‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪ICT ICT ICT ICT‬‬ ‫‪ICT‬‬

‫‪ICT‬‬

‫ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﺻﻔﺤﻪ ى راﺑﻂ ﻛﺎرﺑﺮ را ﺑﻪ ﻣﺤﻴﻄﻰ ﭘﻮﻳﺎ و زﻧﺪه ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫اﺛﺮﺑﺨﺸﻰ آﻣﻮزش ﺑﺎ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ‬ ‫ورود ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﺑﻪ آﻣـﻮزش‪ ،‬ﭘﻰ آﻣﺪﻫﺎﻳﻰ در ﺑﺮ داﺷﺘﻪ اﺳﺖ ﻛـﻪ‬ ‫از آن ﺟﻤﻠﻪ ﻣﻰ ﺗﻮان ﺑﻪ ﻣﻮارد زﻳﺮ اﺷﺎره ﻛﺮد‪:‬‬ ‫● ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻛﺎر و وﻇﻴﻔﻪ ى ﻣﻌﻠﻢ؛‬ ‫● ﺿﺮورت ﻛﺎر ﮔﺮوﻫﻰ و از ﺑﻴﻦ رﻓﺘﻦ ﻣﻮاﻧﻊ رواﻧﻰ ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن؛‬ ‫● ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان اﺳﺘﺎد ﻫﻤﻴﺸﻪ در دﺳﺘﺮس )ﺳﺎوﺟﻰ‪،‬‬ ‫‪.(١٣٧٦‬‬ ‫در ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده از ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ در آﻣﻮزش ﻫﻨﺪﺳﻪ‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻛﻠﻰ‬ ‫ﭼﻬﺎر ﺳﻄﺢ را ﻣﻰ ﺗﻮان در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺖ‪:‬‬ ‫‪ .١‬ﻫﻨﺪﺳﻪى ﺗﺮﺳﻴﻤﻰ‬ ‫در ﻣـﺮﺣـﻠـﻪ ى اول از ﻛـﺎﻣـﭙـﻴـﻮﺗﺮﻫـﺎ ﺑـﺮاى آﻣـﻮزش ﻫـﻨـﺪﺳـﻪ‪،‬‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ﻫﺎى ﻋﻤـﻮﻣﻰ و ﻣﻌﻤـﻮل ﺻـﻮرت ﻣﻰ ﭘﺬﻳﺮد‪ .‬ﺑـﺮاى ﻣﺜﺎل‪،‬‬ ‫ﺷﻜﻞ ﻫﺎى ﻫﻨﺪﺳﻰ دﻗﻴﻖ ﺗﺮ ﺗﺮﺳﻴﻢ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ و ﻧﺮم اﻓﺰارﻫﺎى وﻳﮋه اى‬ ‫ﺑﺮاى اﻳﻦ ﻣﻨﻈﻮر ﻃﺮاﺣﻰ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٢‬دﺳﺖﻳﺎر آﻣﻮزﺷﻰ‬ ‫ﻣﻄﺎﻟﺐ آﻣﻮزﺷﻰ ﺑﻪ ﻛﻤﻚ اﺑﺰارﻫﺎى ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮى دﺳﺘﻪ ﺑﻨﺪى ﺷﺪه‬ ‫و ﺑﺎ ﺷـﻴـﻮه ى آﻣﻮزش ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ اى ﺑـﻪ ﺻـﻮرت ﻣـﺮﺣﻠﻪ ﺑـﻪ ﻣـﺮﺣﻠـﻪ ﺑـﻪ‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن ﻣﻨﺘﻘﻞ ﻣـﻰ ﺷـﻮﻧﺪ‪ .‬در اﻳﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ‪ ،‬ﺗﻔـﺎوت ﻋﻤﺪه اى‬ ‫ﺑﻴﻦ اﺳﺘﻔﺎده از راﻳﺎﻧﻪ در ﻫﻨﺪﺳﻪ و ﺳﺎﻳﺮ دروس ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻧﻤﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫اراﺋﻪ ى ﻣﺤﺘﻮاى آﻣﻮزﺷﻰ ﺗﻮﺳﻂ ﭘﺎورﭘﻮﻳﻨﺖ‪ ،‬از آن ﺟﻤﻠﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .٣‬ﻧﺮماﻓﺰار ﻫﻨﺪﺳﻪى ﻟﻮﮔﻮ‬ ‫ﻟـﻮﮔـﻮ ﻳـﻚ ﻧـﺮم اﻓـﺰار ﺑـﺮﻧـﺎﻣـﻪ ﻧـﻮﻳـﺴـﻰ وﻳــﮋه اﺳـﺖ ﻛـﻪ ﺑـﺮاى‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ﻫﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ ﻃﺮاﺣﻰ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻟـﻮﮔﻮ ﺗـﻮﺳﻂ ﺳﻴﻤﻮر‬ ‫ﭘﺎﭘﺮت‪ (١٩٨٩) ٦‬اﺳﺘﺎد اﻧﺴﺘﻴﺘﻮى ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى ﻣﺎﺳﺎﭼﻮﺳﺖ )‪(MIT‬‬ ‫ﻛﻪ ﺑﺎ ﭘﻴـﺎژه ﺑﻪ ﻣﻄﺎﻟﻌﺎﺗـﻰ در زﻣﻴﻨﻪ ى آﻣﻮزش ﭘـﺮداﺧﺖ‪ ،‬ﻃﺮاﺣﻰ و‬ ‫اﺟﺮا ﺷﺪ و ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﭼﺎرﭼﻮﺑﻰ ﺑـﺮاى ﻓﻬﻢ و درك داﻧﺶ ﺗﺮﺳﻴﻤﻰ و‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ى رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺖ‪ .‬ﻛﻠﻤﻪ ى ﻟﻮﮔﻮ ﻧﺎم‬ ‫ﻻك ﭘﺸﺘﻰ در ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ اﺳﺖ ﻛـﻪ ﺗـﻮﺳﻂ دﺳﺘـﻮرات ﺧﺎص ﻛﺎرﺑـﺮ‪،‬‬ ‫ﺗﺮﺳﻴﻤﺎت ﻫﻨﺪﺳﻰ را اﻧﺠﺎم ﻣﻰ دﻫﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٤‬ﻫﻨﺪﺳﻪى ﭘﻮﻳﺎ‬ ‫ﻇﻬﻮر ﻧﺮم اﻓﺰارﻫﺎى ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﭘﻮﻳﺎ‪ ،‬آﻏﺎز ﻣﺮﺣﻠﻪ ى ﺗﺎزه اى ﺑﺮاى‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪٤٤‬‬

‫‪ICT‬‬

‫اﺳﺘﻔﺎده از ﻛﺎﻣﭙﻴـﻮﺗﺮ در آﻣﻮزش ﻫﻨﺪﺳﻪ ﺑـﻮد‪ .‬ﻧﺮم اﻓﺰارﻫﺎ‪ ،‬ﻓﻀـﺎى‬ ‫ﺟﺪﻳـﺪى را در آﻣﻮزش اﻳﺠﺎد ﻛـﺮدﻧﺪ ﺗﺎ ﺑﻪ ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻛﻤﻚ ﻛـﻨـﻨـﺪ ﺑـﺎ‬ ‫ﺑﻬﺮه ﮔﻴﺮى از اﻳﻦ اﺑﺰارﻫﺎ‪ ،‬ﺑﺴﺘﺮى ﻓﺮاﻫﻢ ﺳﺎزﻧﺪ ﻛﻪ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫ﺑﻪ ﺻﻮرت ﭘﻮﻳﺎ )در ﺣﺎل ﺣـﺮﻛﺖ( ﻣﻌﺮﻓﻰ ﺷـﺪه و درك ﻋﻤﻴﻖ ﺗﺮى‬ ‫ﺑﺮاى داﻧﺶ آﻣﻮزان اﻳﺠﺎد ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺳﺎﺧﺘﺎر ﻓﻦ ﻫﻴﻠﻰ ﻫﻢ اﺳﺎس ﺗﺤﻘﻴﻖ در ﻫﻨﺪﺳﻪ ى اﻳﺴﺘﺎ و ﻫـﻢ‬ ‫ﭘﺎﻳﻪ ى ﺣﺪاﻗﻞ دو ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ در ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﭘﻮﻳﺎ اﺳﺖ )ﺑﺎﺗﻴﺴﺘﺎ‪،‬‬ ‫‪ .(١٩٩٨‬ﻣـﺮﺣـﻠـﻪ ى ‪ ١‬ﺗـﺎ ‪ ٣‬در ﻣـﺪل ﻓـﻦ ﻫـﻴـﻠـﻰ‪ ،‬اﺳـﺘـﻔــﺎده ى‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان را از زﺑﺎن ﻫﻨﮕﺎم ﻣﺸﺎﻫﺪه ى اﺷﻜﺎل ﻫـﻨـﺪﺳـﻰِ ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﺗﻮﺻﻴ‪ m‬ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬ﻣﺜﻼً‪ ،‬آﻳﺎ ﻫﺮ ﻳﻚ از اﻳﻦ ﺳﻪ ﻣـﺮﺣﻠﻪ در ﺣﻴﻄﻪ ى‬ ‫ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﭘﻮﻳﺎ ﻧـﻴـﺰ ﻫـﻤـﺎن ﮔـﻮﻧﻪ ﺑﺎﻗﻰ ﻣﻰ ﻣـﺎﻧـﺪ؟ ﻫـﻤـﺎن ﮔـﻮﻧﻪ ﻛـﻪ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزى در ﻣﺮﺣﻠﻪ ى اول ﻣﺪل ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ را ﺑﻪ در ﺗﺸﺒﻴﻪ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪،‬‬ ‫در ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﭘﻮﻳﺎ ﻧﻴﺰ از ﺗﺸﺒﻴﻪ ﻫﺎﻳﻰ اﻳﻦ ﭼﻨﻴﻦ اﺳﺘﻔﺎده ﻣـﻰ ﻛـﻨـﺪ و‬ ‫ﻋﻼوه ﺑﺮ دﺳﺘﻪ ﺑﻨﺪى اﺷـﻜـﺎل‪ ،‬آن ﻫـﺎ را ﺑﺮاﺳﺎس ﺣـﺮﻛﺘﺸـﺎن روى‬ ‫ﺻﻔﺤﻪ ى ﻣﺎﻧﻴﺘﻮر ﻧﻴﺰ‪ ،‬ﺷﺮح ﻣﻰ دﻫﺪ )اﻣﻴﻦ اﻟﺮﻋﺎﻳﺎ‪.(١٣٨٦ ،‬‬ ‫ﻣﻄﺎﻟﻌـﻪ ى ﻫـﺎروﻟﺪ وﻧﮓ ﻟﻴﻨـﺴـﻜـﻰ‪ (١٩٩٨) ٧‬درﺑﺎره ى ﺗﺄﺛﻴـﺮ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى در ﺗﺪرﻳﺲ رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى‬ ‫ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ اﺛﺮات و ﻓﻮاﻳﺪ ﻣﺜﺒﺘﻰ ﺑﺮ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﻟﺒﺘﻪ‬ ‫ﻓﻮاﻳﺪ ذﻛﺮ ﺷﺪه ﺑﻪ ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻜﻨـﻮﻟﻮژى ﺑﺴﺘﮕﻰ دارﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﻧﻮروزى )‪ ١٣٧٩‬ﺑﻪ ﻧﻘﻞ از ﻣـﺎﻧـﺪى‪ ٨‬و ﻫﻤﻜـﺎران‪ (٢٠٠٠ ،‬ﺑﻴـﺎن‬ ‫ﻻ ﻳﻚ ﮔﺮاﻳﺶ ﺧﻴﻠﻰ ﻗﻮى ﺑﻪ ﻃﺮف‬ ‫ﻣﻰ دارد ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان‪ ،‬ﻣﻌﻤﻮ ً‬ ‫ﺗﻔﻜﺮ ﺟﺒـﺮى دارﻧﺪ‪ .‬آن ﻫﺎ ﻣﻌﺘﻘﺪﻧﺪ ﻛـﻪ ﺑـﺴـﻴـﺎرى از ﻣﺸﻜﻼت در‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴﺮى رﻳﺎﺿﻰ را ﻣﻰ ﺗﻮان ﺑﺎ ﺳـﻮق دادن داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ ﻣﺴﻴﺮى‬ ‫ﻛﻪ ﺑﺘـﻮاﻧﻨﺪ ﻣﻔﺎﻫﻴـﻢ اوﻟﻴﻪ ى رﻳﺎﺿـﻰ را ﻣﺸﺎﻫﺪه و ﺗﺠﺴﻢ و ﺳﭙـﺲ‬ ‫ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﺎﻳﻨﺪ‪ ،‬ﻛﺎﻫﺶ داد‪.‬‬ ‫ﭘﮋوﻫﺶ اﻧﺠﺎم ﺷﺪه در ﺑﻮﺷﻬﺮ‬ ‫در ﺑﺮرﺳﻰ »ﺟﺎﻳﮕﺎه ﺗﻜـﻨـﻮﻟـﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳـﺎددﻫـﻰ ـ‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ از ﻧﻈﺮ دﺑﻴﺮان رﻳﺎﺿﻰ و ﺑﺮرﺳﻰ راه ﻫﺎى‬ ‫ﺑﻬﺒـﻮد آن«‪ ،‬ﺟﺎﻣﻌﻪ ى ﻣـﻮرد ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ‪ ،‬دﺑـﻴـﺮان رﻳﺎﺿﻰ ﺷﻬـﺮﺳﺘـﺎن‬ ‫ﺑـﻮﺷﻬـﺮ ﺷـﺎﻏـﻞ ﺑـﻪ ﺗـﺪرﻳـﺲ در دوره ى ﻣﺘـﻮﺳـﻄـﻪ ﺑـﻮدﻧـﺪ‪ .‬ﺑـﺮاى‬ ‫ﺟﻤﻊ آورى داده ﻫﺎ‪ ،‬از ﭘﺮﺳﺶ ﻧﺎﻣﻪ ى ﻣﺤﻘﻖ ﺳﺎﺧﺘﻪ اﺳﺘﻔﺎده ﮔﺮدﻳﺪ‬ ‫و رواﻳﻰ آن‪ ،‬ﻃﻰ ﭼﻨﺪ ﻣﺮاﺟﻌﻪ ﺑﻪ اﺳﺘﺎدان ﻣﺮﺗﺒﻂ و اﻧﺠﺎم اﺻﻼﺣﺎت‬ ‫ﻻزم ﺗﺄﻳﻴﺪ ﺷﺪ‪ .‬ﭘﺎﻳﺎﻳﻰ ﭘﺮﺳﺶ ﻧﺎﻣﻪ ﻧﻴﺰ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺿﺮﻳﺐ آﻟﻔﺎى‬ ‫ﻛﺮوﻧﺒﺎخ ‪ ٠٫٨٥‬ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮔﺮدﻳﺪ‪.‬‬ ‫اﻳﻦ ﭘﺮﺳﺶ ﻧﺎﻣﻪ ﺷﺎﻣـﻞ ‪ ٢٠‬ﺳﺆال ﺑﻮد ﻛﻪ ﺑﺎ ﻣﻘﻴﺎس ﻟﻴﻜـﺮت در‬ ‫ﻳﻚ ﻃﻴ‪ ٥ m‬ﮔﺰﻳﻨﻪ اى ﻛﺎﻣﻼً ﻣﻮاﻓﻘﻢ ﺑﺎ ارزش ‪ ،٥‬ﺗﺎ ﺣﺪى ﻣﻮاﻓﻘﻢ‬

‫‪ICT ICT ICT ICT‬‬ ‫‪ICT‬‬

‫ﺑﺎ ﻧﻤﺮه ى ‪ ،٤‬ﻧﻈﺮى ﻧـﺪارم ﺑﺎ ارزش ‪ ٣‬و ﺗﺎ ﺣﺪى ﻣﺨﺎﻟﻔﻢ و ﻛﺎﻣﻼً‬ ‫ﻣﺨﺎﻟﻔﻢ ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺑﺎ ارزش ﻫﺎى ‪ ٢‬و ‪ ،١‬ﺗﻨﻈﻴﻢ ﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﭘﺲ از اﺟﺮاى ﭘﺮﺳﺶ ﻧﺎﻣﻪ و ﺑﺮرﺳﻰ ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺣﺎﺻﻞ‪ ،‬ﻣﺸﺨـﺺ‬ ‫ﺷﺪ ﻛﻪ ‪ ٦٠‬درﺻﺪ دﺑﻴﺮان ﻣﺮد و ‪ ١٠٠‬درﺻﺪ دﺑﻴﺮان زن رﻳﺎﺿﻰ )در‬ ‫ﻣﺠﻤـﻮع ‪ ٩٠‬درﺻﺪ دﺑﻴـﺮان رﻳﺎﺿﻰ( ﻣﻌﺘﻘـﺪ ﺑـﻮدﻧﺪ ﻛﻪ اﺳﺘﻔـﺎده از‬ ‫ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴـﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ را‬ ‫ﺑﻬﺒـﻮد ﻣﻰ ﺑﺨﺸﺪ‪ .‬در ﺿﻤـﻦ‪ ،‬اﻛـﺜـﺮ دﺑـﻴـﺮان ﻣﻌﺘـﻘـﺪ ﺑـﻮدﻧﺪ ﻛـﻪ از‬ ‫ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ‬ ‫ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﻰ ﺷﻮد‪ .‬در راﺳﺘﺎى ﺑﺮرﺳﻰ دﻻﻳﻞ ﻋﺪم‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده از ﻓﻨﺎورى آﻣﻮزﺷﻰ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ ى‬ ‫ﻓﻀﺎﻳﻰ‪ ،‬ﻛﻤﺒﻮد وﻗﺖ‪ ،‬ﻋﺪم ﺣﻤﺎﻳﺖ ﻣﺪﻳﺮان ﻣﺪارس و ﻋﺪم

آﺷﻨﺎﻳﻰ‬ ‫ﻣﻌﻠﻤﺎن ﺑﺎ ﻧﺮم اﻓﺰارﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﺑﻴﺶ ﺗﺮ از ﺳﺎﻳﺮﻳﻦ ﻣﻮرد ﻣﻮاﻓﻘﺖ‬ ‫ﻗـﺮار ﮔﺮﻓﺘـﻪ ﺑـﻮدﻧﺪ‪ .‬اﻣـﺎ ﻛـﻤـﺒـﻮد ﻛﺎﻣـﭙـﻴـﻮﺗﺮ در ﻣـﺪارس و ﻛﻤـﺒـﻮد‬ ‫ﻧﺮم اﻓﺰارﻫﺎى ﻣﻨﺎﺳﺐ ﻣﻮرد ﺗﺄﻳﻴﺪ ﻗﺮار ﻧﮕﺮﻓﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﺮﺧﻰ از دﺑﻴﺮان رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬در اﻧﺘﻬﺎى ﭘﺮﺳﺶ ﻧﺎﻣﻪ‪ ،‬ﻣﻮﺿﻮع ﻋﺪم‬ ‫ﺗﺴﻠﻂ ﺑﻪ زﺑﺎن اﻧﮕﻠﻴﺴﻰ را ﻣﻄﺮح ﺳﺎﺧﺘﻪ ﺑﻮدﻧﺪ ﻛﻪ از دﻳﺪ ﭘﮋوﻫﺸﮕﺮ‬ ‫ﺑﻪ دور ﻣﺎﻧﺪه ﺑﻮد‪.‬‬ ‫ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ى ﻧـﻈـﺮ دﺑـﻴـﺮان رﻳﺎﺿﻰ ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ از ﻧـﻈـﺮ آن ﻫـﺎ‪،‬‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ ى‬ ‫ﻓﻀﺎﻳﻰ را ﺑﻬﺒﻮد ﻣﻰ ﺑﺨﺸﺪ‪ .‬اﻣﺎ ﺑﻪ دﻻﻳﻞ زﻳﺮ‪ ،‬از اﻳﻦ ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى در‬ ‫ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﻧﻤﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫● ﻋﺪم ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى ﻣﻨﺎﺳﺐ؛‬ ‫● ﻧﺤﻮه ى ﻣﺮﺳﻮم ارزﺷﻴﺎﺑﻰ از ﻋﻤﻠﻜﺮد دﺑﻴﺮان؛‬ ‫● ﻛﻤﺒﻮد وﻗﺖ؛‬ ‫● ﻋﺪم آﺷﻨﺎﻳﻰ ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺎ ﻧﺮم اﻓﺰارﻫﺎى ﻣﻮﺟﻮد؛‬ ‫● ﻋﺪم ﺗﺴﻠﻂ ﻣﻌﻠﻤـﺎن رﻳـﺎﺿـﻰ ﺑـﺮ ﻧـﺮم اﻓﺰارﻫﺎى ﻣـﻮﺟﻮد آﻣﻮزش‬ ‫ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ؛‬ ‫● ﻓﻘﺪان ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى ﺑﻠﻨﺪﻣﺪت؛‬ ‫● ﻋﺪم ﺣﻤﺎﻳﺖ ﻣﺪﻳﺮان ﻣﺪارس از ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻋﻼﻗﻪ ﻣﻨﺪ ﺑﻪ اﺳﺘﻔﺎده از‬ ‫ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى؛‬ ‫● ﻋﺪم ﺗﺴﻠﻂ ﻣﻌﻠﻤﺎن ﺑﻪ زﺑﺎن اﻧﮕﻠﻴﺴﻰ؛‬ ‫● ﻧﮕﺮاﻧﻰ ﻣﻌﻠﻤﺎن از ﺗﺴﻠﻂ ﺑﻴﺶ ﺗﺮ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﺮ ﻧﺮم اﻓﺰارﻫﺎ ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﺑﻪ آن ﻫﺎ؛‬ ‫● ﻧﮕﺮاﻧﻰ از ﭘﺎﻳﻴﻦ آﻣﺪن ﺳﻄﺢ ﻗﺪرﺷﻨﺎﺳﻰ و ﻗﺪرداﻧﻰ داﻧﺶ آﻣﻮزان‬ ‫از ﻣﻌﻠﻤﺎن؛‬ ‫● ﻧﺒﻮد ﻧﺮم اﻓﺰارﻫﺎى ﺗﻬﻴﻪ ﺷﺪه ﺑﻪ زﺑﺎن ﻓﺎرﺳﻰ‪.‬‬

‫‪ICT‬‬

‫‪ICT‬‬

‫روانﺷﻨﺎﺳﺎن‪ ،‬ﻣﻄﺎﻟﻌﺎت ﮔﺴﺘـﺮدهاى را در ﺟﻬﺖ‬ ‫ﺑﻬﺒـﻮد آﻣـﻮزش آﻏﺎز ﻛﺮدﻧـﺪ و روشﻫﺎى دﻳﮕـﺮى‬ ‫ﭼﻮن روش اﻛﺘﺸﺎﻓﻰ‪ ،‬اﻛﺘﺸﺎﻓـﻰ ﻫـﺪاﻳـﺖﺷـﺪه‪،‬‬ ‫آﻣﻮزش ﺑﺮﻧﺎﻣﻪاى و ﻧﻈﺎﻳـﺮ آن را ﭘﻴﺸﻨﻬﺎد و ﻣـﻮرد‬ ‫ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﻗﺮار دادﻧﺪ ﻛﻪ دﻗﺖ در ﺳﻴﺮ ﺗﻜﺎﻣﻠﻰ آنﻫﺎ‪،‬‬ ‫ﻧﺸﺎن ﻣـﻰدﻫـﺪ ﻛـﻪ در آنﻫـﺎ‪ ،‬ﺑـﻴـﺶﺗـﺮ ﻧـﻘـﺶ و‬ ‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ داﻧﺶآﻣﻮز و ﺗﻌﺎﻣﻞ ﺑﻴﻦ ﻣﻌﻠﻢ و ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪه‬ ‫و دورى از ﻣﺤﻮرﻳﺖ ﻣﻌﻠﻢ در آﻣﻮزش ﻣﻮرد ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫اﺳـﺖ‪ .‬ﺑـﻪ ﻣـﺮور زﻣﺎن‪ ،‬اﺳـﺘـﻔـﺎده از ﺗـﻜـﻨـﻮﻟـﻮژى‬ ‫آﻣﻮزﺷﻰ در آﻣﻮزش ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﻣﻌﻠﻤﺎن آﻣﺪ و ﺑﺎﻋﺚ‬ ‫ﺑﻬﺒﻮد ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﺷﺪ‬

‫ﺟﺎﻟﺐ اﺳﺖ ﻛﻪ از ﻧﻈﺮ دﺑﻴﺮاﻧﻰ ﻛﻪ ﻣﻮرد ﭘﺮﺳﺶ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻨﺪ‪،‬‬ ‫ﻛﻤﺒـﻮد ﻛﺎﻣﭙـﻴـﻮﺗﺮ در ﻣـﺪارس‪ ،‬ﻛﻤﺒـﻮد ﻧﺮم اﻓـﺰارﻫﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ و‬ ‫ﻧﮕـﺮاﻧﻰ از اﺷﻜﺎل ﻫﺎى ﻓﻨـﻰ ﻧـﺮم اﻓﺰارﻫﺎى ﻣـﻮرد اﺳﺘﻔﺎده‪ ،‬ﻣﺎﻧـﻊ‬ ‫ﺑﻬﺮه ﮔﻴﺮى آن ﻫﺎ از ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى‬ ‫ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ ﻧـﻤـﻰ ﺷـﻮد‪ .‬درﻧﺘﻴﺠـﻪ‪ ،‬ﺑـﺮاى رﻓﻊ ﻣـﻮاﻧﻊ ذﻛﺮ‬ ‫ﺷﺪه‪ ،‬ﻣﻰ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺑـﺮﮔﺰارى ﻛﻼس ﻫﺎى ﺿﻤﻦ ﺧﺪﻣﺖ‪ ،‬ﺗﻬﻴـﻪ ى‬ ‫ﻧﺮم اﻓﺰار ﺑﻪ زﺑﺎن ﻓﺎرﺳﻰ و ﻣﻌﺮﻓﻰ ﺑﻪ ﻣـﻮﻗﻊ و ﺑﻪ روز ﻧﺮم اﻓﺰارﻫﺎى‬ ‫آﻣﻮزﺷﻰ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان راه ﻫﺎى ﻣـﻮرد ﺗﺄﻳﻴﺪ دﺑﻴﺮان رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺮاى ﺑﻬﺒـﻮد‬ ‫ﺟﺎﻳﮕﺎه ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ ى‬ ‫ﻓﻀﺎﻳﻰ اﺷﺎره ﻛﺮد‪.‬‬ ‫ﭘﻴﺸﻨﻬﺎدﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ‬ ‫ﭼﻮن ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﺑﺮ ﺗﻤﺎم اﺑﻌﺎد زﻧﺪﮔﻰ ﺳﺎﻳﻪ اﻧﺪاﺧﺘﻪ و اﺳﺘﻔﺎده از‬ ‫آن ﺑﺮ ﻃﺒﻖ اﻳﻦ ﭘﮋوﻫﺶ و ﭘـﮋوﻫﺶ ﻫﺎى ﻣﺸﺎﺑﻪ‪ ،‬ﺑﺮ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫـﻰ‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴـﺮى ﺗﺄﺛﻴﺮ ﻣـﺜـﺒـﺖ دارد و ﺑﺎﻋﺚ اﻓـﺰاﻳﺶ ﻳﺎدﮔـﻴـﺮى ﻣﻰ ﺷﻮد‪،‬‬ ‫ﺑﻪ دﺳﺖ اﻧﺪرﻛﺎران و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰان آﻣﻮزﺷﻰ ﺗﻮﺻﻴﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫‪ .١‬زﻣﻴﻨﻪ ى اﺳﺘـﻔـﺎده از ﺗـﻜـﻨـﻮﻟﻮژى آﻣـﻮزﺷـﻰ را در ﺗﺪرﻳـﺲ‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ ﻣﺪرﺳﻪ اى ﻓﺮاﻫﻢ آورﻧﺪ؛‬ ‫‪ .٢‬ﺑﺎ ﺑـﺮﮔـﺰارى ﻛﻼس ﻫﺎى ﺿﻤﻦ ﺧـﺪﻣـﺖ‪ ،‬ﻣـﻌـﻠـﻤـﺎن را ﺑﺎ‬ ‫ﻧﺤﻮه ى اﺳﺘﻔﺎده از ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ در ﻛﻼس درس رﻳﺎﺿﻰ آﺷﻨﺎ ﺳﺎزﻧﺪ؛‬ ‫‪ .٣‬ﺑﺎ ﺣﻤﺎﻳﺖ از ﻣﻌﻠﻤﺎنِ ﻃﺮاح ﻧﺮم اﻓﺰارﻫﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ‪ ،‬آن ﻫﺎ‬ ‫را ﺑﻪ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ در اﻳﻦ زﻣﻴﻨﻪ ﺗﺮﻏﻴﺐ ﻛﻨﻨﺪ؛‬ ‫‪٤٥‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪ICT ICT ICT ICT‬‬ ‫‪ICT‬‬

‫‪ICT‬‬

‫‪ICT‬‬

‫‪3. Atkins‬‬ ‫‪4. Olkun & Sinnoplu & Deryakulu‬‬

‫در ﻫﺰارهى ﺟﺪﻳﺪ ﻧﻤﻰﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺑﺎ ﻗﺎﻧﻮﻧﻤﻨﺪىﻫﺎى‬ ‫ﺳﺪهى ﻗﺒـﻞ‪ ،‬ﺑـﺮاى ﻧﻈـﺎم آﻣـﻮزﺷﻰ اﺳﺘـﺮاﺗـﮋى‬ ‫)ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ( ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﻢ و ﺟﺎى ﻧﮕﺮاﻧﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﺎ‬ ‫اﻳﻦ دوران را ﺟﺪى ﻧﮕﺮﻓﺘﻪاﻳﻢ‬

‫‪5. Sharygin & Protasov‬‬ ‫‪6. Seymour Papert‬‬ ‫‪7. Harold Wenglinsky‬‬ ‫‪8. Mundy‬‬ ‫ﻣﻨﺎﺑﻊ‬ ‫‪ .١‬اﺣﺪﻳﺎن‪ ،‬م‪ .(١٣٧٤) .‬اﺻﻮل ﻣﻘﺪﻣﺎت و ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﺷﻬﺮ ﺗﻬﺮان‪ ،‬ﻧﺸﺮ و‬ ‫ﺗﺒﻠﻴﻎ ﺑﺸﺮى‪.‬‬

‫‪ .٤‬ﺑﺎ اﻧﺘﺸﺎر ﻧﺸﺮﻳﻪ ﻫﺎﻳﻰ در زﻣﻴﻨﻪ ى ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻧﺮم اﻓﺰارﻫﺎى ﺟﺪﻳﺪ‬ ‫آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﻣﻌﻠـﻤـﺎن را ﺑﺎ ﺟﺪﻳﺪﺗﺮﻳـﻦ ﺗـﻮﻟﻴﺪات در اﻳـﻦ زﻣﻴﻨﻪ آﺷﻨـﺎ‬ ‫ﺳﺎزﻧﺪ؛‬ ‫‪ .٥‬ﻛﻤﺒـﻮد ﻧـﺮم اﻓﺰارﻫﺎى ﻓـﺎرﺳﻰ زﺑـﺎن در زﻣﻴﻨﻪ ى ﻫﻨـﺪﺳـﻪ ى‬ ‫ﻓﻀﺎﻳـﻰ وﺟﻮد دارد‪ .‬ﺣﻤﺎﻳﺖ از ﭼﻨﻴـﻦ ﺗـﻮﻟﻴﺪاﺗﻰ ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ ﻛﻤـﻚ‬ ‫ﺷﺎﻳﺎﻧﻰ ﺑﻪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﻛﺸﻮر ﻛﻨﺪ‪.‬‬

‫‪ .٢‬اﻓﺸﻴﻦ ﻣﻨﺶ‪ ،‬م‪ ،.‬ﻛﭽﻮﻳـﻰ‪ ،‬ا )‪ .(١٣٨٦‬ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﭘﻮﻳﺎ‪ ،‬ﺗﻠﻔﻴﻖ ﻣﻮﻓـﻖ ‪ ،ICT‬ﺑﺎ‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ‪ .‬ﮔﺰارش ﻧﻬﻤﻴﻦ ﻛﻨﻔﺮاﻧﺲ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ اﻳﺮان‪ ،‬زاﻫﺪان‪.‬‬

‫‪ .٣‬رﻓﻴﻊ ﭘـﻮر‪ ،‬ا‪ .(١٣٨٥) .‬ﭼﺮاﻳﻰ و ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ آﻣﻮزش ﻫﻨﺪﺳﻪ در ﺑﺮﻧﺎﻣـﻪ ى درﺳـﻰ‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ ﻣﺪرﺳﻪ اى‪ .‬ﮔﺰارش ﻫﺸﺘﻤﻴﻦ ﻛﻨﻔﺮاﻧﺲ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ اﻳﺮان‪ .‬ﺷﻬﺮﻛﺮد‪.‬‬

‫‪ .٤‬ﭘﻴﺮواﻧﻰ ﻧﻴﺎ‪ ،‬پ‪ .‬ﻳﺎدﮔﻴﺮى اﻛﺘﺸﺎﻓﻰ ﻫﻨﺪﺳﻪ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﺑﺰارﻫﺎى ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﭘـﻮﻳـﺎ‬ ‫ﺑﺮاﺳﺎس ﺳﻄﻮح ون ﻫﻴﻞ‪ ،‬ﻣﺠﻠﻪى رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺷﻤﺎره ى ﻣﺠﻠﻪ ى ‪ ،٨٨‬ﺻﺺ‬ ‫‪ .٤٥-٥٥‬دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸـﺎرات ﻛﻤﻚ آﻣـﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﺳﺎزﻣﺎن ﭘﮋوﻫﺶ و ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣـﻮزﺷﻰ‪،‬‬ ‫وزارت آﻣﻮزش و ﭘﺮورش‪.‬‬

‫ﭘﻴﺸﻨﻬﺎدﻫﺎى ﭘﮋوﻫﺸﻰ‬ ‫ﺑﻪ ﭘﮋوﻫﺸﮕﺮان ﺗﻮﺻﻴﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ‪:‬‬ ‫‪ .١‬ﺑﺎ ﺗـﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻛﻪ ﭘـﮋوﻫﺶ ﺣﺎﺿـﺮ ﺑـﺮ روى داﻧﺶ آﻣﻮزان‬ ‫دﺧﺘﺮ اﻧﺠﺎم ﺷﺪه اﺳﺖ‪ ،‬ﭘـﮋوﻫﺶ ﻣﺸﺎﺑﻬﻰ ﺑـﺮ روى داﻧﺶ آﻣﻮزان‬ ‫ﭘﺴﺮ اﻧﺠﺎم ﮔﻴﺮد؛‬ ‫‪ .٢‬از آن ﺟـﺎ ﻛـﻪ ﭘـﮋوﻫـﺶ ﺣـﺎﺿـﺮ ﺑـﺎ اﺳـﺘـﻔـﺎده از ﻧــﺮم اﻓـﺰار‬ ‫‪ CABRI.3D‬اﻧﺠﺎم ﺷﺪه اﺳـﺖ و ﻧـﺮم اﻓﺰارﻫﺎى دﻳﮕـﺮى ﻫﻢ ﭼـﻮن‬ ‫‪ Mathematica‬و ‪ Maple‬و ﻏﻴﺮه در دﺳﺘـﺮس ﻣﻰ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﭘﮋوﻫﺶ‬ ‫ﻣﺸﺎﺑﻬﻰ ﺑﺎ ﺳﺎﻳﺮ ﻧﺮم اﻓﺰارﻫﺎ اﻧﺠﺎم ﺷﻮد؛‬ ‫‪ .٣‬ﭼﻨﻴﻦ ﭘﮋوﻫﺸﻰ در ﺳﺎﻳﺮ ﻧﻘﺎط ﻛﺸﻮر اﻧﺠﺎم ﺷﻮد؛‬ ‫‪ .٤‬از آن ﺟﺎ ﻛﻪ ﻧﺘﺎﻳـﺞ ﭼـﻨـﻴـﻦ ﭘـﮋوﻫﺶ ﻫﺎﻳﻰ ﻣـﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ ﺑـﺮاى‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳـﺰى و ﺗﺄﻟﻴ‪ m‬ﻛﺘﺎب ﻫﺎى درﺳﻰ ﻣـﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻗﺮار ﮔﻴﺮد‪،‬‬ ‫ﭘﮋوﻫﺶ ﻣﺸﺎﺑﻬﻰ در ﺳﻄﺢ ﻛﻞ ﻛﺸﻮر اﻧﺠﺎم ﮔﻴﺮد؛‬ ‫‪ .٥‬ﭼﻨﻴﻦ ﭘﮋوﻫﺸﻰ ﺑﺮاى ﺳﺎﻳﺮ ﻣﺒﺎﺣﺚ و دروس اﻧﺠﺎم ﭘﺬﻳﺮد؛‬ ‫‪ .٦‬از آن ﺟﺎ ﻛﻪ ﻣـﻤـﻜـﻦ اﺳـﺖ ﺑـﻌـﻀـﻰ ﻣـﻮاﻧﻊ اﺳـﺘـﻔـﺎده از‬ ‫ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ‬ ‫از دﻳﺪ ﻣﺤﻘﻖ ﺑﻪ دور ﻣﺎﻧﺪه ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺳﺎﻳـﺮ ﻣـﻮاﻧﻊ ﻃﻰ ﭘﮋوﻫﺶ ﻫﺎى‬ ‫دﻳﮕﺮ ﺑﺮرﺳﻰ ﺷﻮد‪.‬‬

‫‪1. Martin‬‬ ‫‪2. Brown‬‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ‪ .‬ﺳﺎل دوازدﻫﻢ‪ .‬دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸﺎرات ﻛﻤﻚ آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﺳﺎزﻣﺎن ﭘﮋوﻫﺶ و‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬وزارت آﻣﻮزش و ﭘﺮورش‪.‬‬ ‫‪ .٦‬ﺳﻴ‪ ،m‬ع‪ .(١٣٨٥) .‬روانﺷﻨﺎﺳﻰ ﭘﺮورﺷﻰ‪ .‬ﺗﻬﺮان‪ :‬آ ﮔﺎه‪.‬‬ ‫‪ .٧‬ﮔﻮﻳﺎ‪ ،‬ز )‪ .(١٣٨١‬ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى در ﻗﺮن ﺟﺪﻳﺪ‪ .‬ﻣﺠﻠﻪى رﺷﺪ آﻣﻮزش‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺷﻤﺎره ى ‪ ،٧٠‬ﺻﺺ ‪ .٤-١٢‬دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸﺎرات ﻛﻤﻚ آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﺳﺎزﻣﺎن ﭘﮋوﻫﺶ‬ ‫و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬وزارت آﻣﻮزش و ﭘﺮورش‪.‬‬

‫‪ .٨‬ﻧـﻮروزى‪ ،‬م )‪ .(١٣٧٩‬ﻣﺸﺎﻫﺪه و ﺗـﺠـﺴـﻢ و ﻧـﻘـﺶ آن در آﻣـﻮزش و ﻳـﺎدﮔـﻴـﺮى‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت‪ .‬ﮔﺰارش ﭘﻨﺠﻤﻴﻦ ﻛﻨﻔﺮاﻧﺲ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ اﻳﺮان‪ ،‬ﻣﺸﻬﺪ‪ ،‬ﺑﻬﻤﻦ ‪.١٣٧٩‬‬ ‫‪9. Battista, M. T. (2001). Research-Based Perspective on‬‬ ‫‪Teaching School Geometry. In Jere Brophy (Ed.). Subject‬‬‫‪Specific Instruction Methods and Activies. Vol 8. Advances‬‬ ‫‪in Research on Teaching Series. New York: JAI Press, Elsvire‬‬ ‫‪Science.‬‬ ‫‪10. Clements, D. H. and Meredith H. J. S. (1993). My Turn: A‬‬ ‫‪Talk With the Logo Turtle. Arithmetic Teacher. 41, 189-191.‬‬ ‫‪11. www.geogebra.org/en/wiki/index.php/persian.‬‬ ‫‪12. Olkun, N. B. Sinnoplu, D. D. (?). Geometric Explorations‬‬ ‫‪with Dynamic Geometry Aplications Based on Van Hiele‬‬ ‫‪Levels. International Journal for mathematics Teaching‬‬ ‫‪and Learning Retrived at: // www.ex.ac.uk/cimt/ijmtl/‬‬ ‫‪ijmenu.htm.‬‬

‫ﭘﻰﻧﻮﺷﺖﻫﺎ‬

‫‪٤٦‬‬

‫‪ .٥‬ﺳﺎوﺟـﻰ‪ ،‬م )‪ .(١٣٧٦‬ﻳﺎدﮔﻴﺮى و آﻣﻮزش ﻣﺒﺘﻨـﻰ ﺑـﺮ ﻛـﺎﻣـﭙـﻴـﻮﺗـﺮ‪ .‬ﻣﺠﻠـﻪى رﺷﺪ‬

‫‪13. Papert, S. A. (1980). Mindstorms: Children, Computers,‬‬ ‫‪and Powerful Ideas, Second Edition, Basic Books, New York,‬‬ ‫‪pp 31-32.‬‬

‫‪ICT ICT ICT ICT‬‬ ‫‪ICT‬‬

‫‪ICT‬‬

‫‪ICT‬‬

‫ﭘﻴﻮﺳﺖ‪ :‬ﻧﻤﻮﻧﻪ!ى ﭘﺮﺳﺶ!ﻧﺎﻣﻪ!ى اﺳﺘﻔﺎده!ﺷﺪه در ﺗﺤﻘﻴﻖ‬ ‫ﭘﻴﻮﺳﺖ‪ :‬ﻧﻤﻮﻧﻪى ﭘﺮﺳﺶﻧﺎﻣﻪى اﺳﺘﻔﺎدهﺷﺪه در ﺗﺤﻘﻴﻖ‬

‫اﺳﺘﺎد ارﺟﻤﻨﺪ‪ ،‬ﻫﻤﻜﺎر ﮔﺮاﻣﻰ‬

‫ﺳﺆاﻻﺗﻰ ﻛﻪ در اﻳﻨﺠﺎ ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﺷﻤﺎ رﺳﻴﺪه‪ ،‬ﮔﺎﻣﻰ اﺳﺖ در ﻣﺴﻴﺮ ﺣـﺮﻛﺘﻰ ﻧﻮ آﻏﺎز‪ ،‬در ﻣﺴﻴﺮ ﭘﺮﺷﺘﺎب ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ در اﻳﺮان در‬ ‫آﻣﻮزش ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ‪ .‬ﺗﻘـﺎﺿـﺎ دارم ﺑﺎ ﻧﻈﺮ ﻟﻄ‪ m‬ﺧـﻮد‪ ،‬ﻣﻦ را در ﺑـﺮداﺷﺘﻦ اﻳﻦ ﮔﺎم ﻳـﺎرى ﻧﻤﺎﺋﻴﺪ‪ .‬ﻧﻴـﺎزى ﺑﻪ ﻗﻴﺪ ﻧﺎم و ﻣﺸﺨـﺼـﺎت‬ ‫ﻓﺎ ﻣﻮرد ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ى ﻋﻠﻤﻰ ﻗﺮار ﻣﻰ ﮔﻴﺮد و ﻫﻴﭻ ﮔﻮﻧﻪ ﻣﺴﺌﻮﻟﻴﺘﻰ ﺑﺮاى ﺷﻤﺎ اﻳﺠﺎد ﻧﺨﻮاﻫﺪ ﻛﺮد‪.‬‬ ‫ﻧﻤﻰ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻧﻈﺮات ﺷﻤﺎ ﺻﺮ ً‬ ‫ﺷﺮح‬

‫ﺳﻄﺢ ﻣﻮاﻓﻘﺖﻫﺎ‬ ‫َ‬ ‫ﻛﺎﻣﻼ ﺗﺎ ﺣﺪى ﻧﻈﺮى ﺗﺎ ﺣﺪى ﻛﺎﻣﻼَ‬ ‫ﻣﻮاﻓﻘﻢ ﻣﻮاﻓﻘﻢ ﻧﺪارم ﻣﺨﺎﻟﻔﻢ ﻣﺨﺎﻟﻔﻢ‬

‫‪ .١‬اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ‪ ،‬ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ را ﺑﻬﺒﻮد ﻣﻰ ﺑﺨﺸﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٢‬از ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ در آﻣﻮزش ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﻨﺎﺳﺐ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪ .٣‬ﻋﺪم ﻓﺮﻫﻨﮓ ﺳﺎزى ﻣﺎﻧﻊ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .٤‬ﻋﺪم ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى ﻣﻨﺎﺳﺐ ﻣﺎﻧﻊ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .٥‬در ﻧﺤﻮه ى ارزﺷﻴﺎﺑﻰ از ﻋﻤﻠﻜﺮد دﺑﻴﺮان‪ ،‬ﺟﺎﻳﮕﺎه ﺗﻼش‪ ،‬اﻧﮕﻴﺰه و رﻏﺒﺖ آن ﻫﺎ در اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻣﺸﺨﺺ و روﺷﻦ ﻧﻴﺴﺖ‪.‬‬ ‫‪ .٦‬ﻧﺤﻮه ى ارزﺷﻴﺎﺑﻰ از ﻋﻤﻠﻜﺮد دﺑﻴﺮان‪ ،‬ﻣﺎﻧﻊ ﺑﻬﺮه ﮔﻴﺮى از ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ ﻧﻤﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪ .٧‬ﻛﻤﺒﻮد وﻗﺖ ﻣﺎﻧﻊ ﺑﻬﺮه ﮔﻴﺮى از ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .٨‬ﻛﻤﺒﻮد ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ در ﻣﺪارس ﻣﺎﻧﻊ ﺑﻬﺮه ﮔﻴﺮى از ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .٩‬ﻛﻤﺒﻮد ﻧﺮم اﻓﺰارﻫﺎ ﻣﺎﻧﻌﻰ ﺑﺮاى ﺑﻬﺮه ﮔﻴﺮى از ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .١٠‬ﻋﺪم آﺷﻨﺎﻳﻰ ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺎ ﻧﺮم اﻓﺰارﻫﺎى ﻣﻮﺟﻮد‪ ،‬ﻣﺎﻧﻊ ﺑﻬﺮه ﮔﻴﺮى از ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .١١‬ﻋﺪم ﺗﺴﻠﻂ ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺮ ﻧﺮم اﻓﺰارﻫﺎى ﻣﻮﺟﻮد آﻣﻮزش ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ‪ ،‬ﻣﺎﻧﻊ ﺑﻬﺮه ﮔﻴﺮى از ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ در آﻣﻮزش ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .١٢‬ﺑﺎ آﻣﻮزش دﺑﻴﺮان و آﺷﻨﺎ ﻛﺮدن آن ﻫﺎ ﺑﺎ ﻧﺮم اﻓﺰارﻫﺎى آﻣﻮزش ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ‪ ،‬ﻣﻰ ﺗﻮان اﻳﻦ ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى را ﺑﻪ آﻣﻮزش ﻣﺪرﺳﻪ اى وارد ﻛﺮد‪.‬‬ ‫‪ .١٣‬ﻧﮕﺮاﻧﻰ از اﺷﻜﺎل ﻓﻨﻰ ﻧﺮم اﻓﺰار ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده‪ ،‬ﻣﺎﻧﻊ ﺑﻬﺮه ﮔﻴﺮى از ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .١٤‬ﻛﻼس ﻫﺎى آﻣﻮزش ﺿﻤﻦ ﺧﺪﻣﺖ )ﺑﻪ ﻃﻮر ﻫﻔﺘﮕﻰ ﻳﺎ ﻣﺎﻫﺎﻧﻪ( و رﻓﻊ اﺷﻜﺎﻻت و ﻣﺴﺎﺋﻞ آﻧﺎن در اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ ى‬ ‫ﻓﻀﺎﻳﻰ ﻧﻘﺶ ﺳﺎزﻧﺪه و ﻣﺆﺛﺮى دارد‪.‬‬ ‫‪ .١٥‬ﻧﮕﺮاﻧﻰ از ﺗﺴﻠﻂ ﺑﻴﺶ ﺗﺮ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﺮ ﻧﺮم اﻓﺰارﻫﺎ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﻌﻠﻤﻴﻦ‪ ،‬ﻣﺎﻧﻊ ﺑﻬﺮه ﮔﻴﺮى از ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .١٦‬ﺳﻄﺢ ﻗﺪرﺷﻨﺎﺳﻰ و ﻗﺪرداﻧﻰ داﻧﺶ آﻣﻮزان از دﺑﻴﺮان‪ ،‬در ﻣﻴﺰان اﺳﺘﻔﺎده ى دﺑﻴﺮان از ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ ﺗﺄﺛﻴﺮ ﻣﻰ ﮔﺬارد‪.‬‬ ‫‪ .١٧‬ﭼﻮن ﺑﻴﻦ ﻛﺴﺎﻧﻰ ﻛﻪ از ﻧﺮم اﻓﺰار اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ و ﺳﺎﻳﺮﻳﻦ ﺗﻔﺎوﺗﻰ وﺟﻮد ﻧﺪارد‪ ،‬دﺑﻴﺮان رﻳﺎﺿﻰ از اﻳﻦ ﻓﻨﺎورى در ﺗﺪرﻳﺲ ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪ .١٨‬ﻓﻘﺪان ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى ﺑﻠﻨﺪﻣﺪت؛ ﻣﺎﻧﻊ ﺑﻬﺮه ﮔﻴﺮى از ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .١٩‬ﻋﺪم ﺣﻤﺎﻳﺖ ﻣﺪﻳﺮان ﻣﺪارس ﻣﺎﻧﻊ ﺑﻬﺮه ﮔﻴﺮى از ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .٢٠‬ﺑﺮﻗﺮارى ﻣﺸﻮق ﻫﺎ و اﻣﺘﻴﺎزﻫﺎى ﺣﺮﻓﻪ اى‪ ،‬ﻋﺎﻣﻞ ﻣﺆﺛﺮى در اﻳﺠﺎد اﻧﮕﻴﺰه ى ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺑﺮاى ﭘﻮﻳﺎﻳﻰ دﺑﻴﺮان رﻳﺎﺿﻰ در ﺗﺴﻠﻂ ﻋﻠﻤﻰ و ﻋﻤﻠﻰ ﺑﻪ ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آﻣﻮزﺷﻰ و اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫از آن در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻫﻨﺪﺳﻪ ى ﻓﻀﺎﻳﻰ اﺳﺖ‪.‬‬

‫ﺧﻮﺷﺤﺎل ﺧﻮاﻫﻢ ﺷﺪ ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ ﺑﺘﻮاﻧﻢ از ﺳﺎﻳﺮ ﻧﻈﺮﻫﺎ و ﭘﻴﺸﻨﻬﺎدﻫﺎى ﺷﻤﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﺎﻳﻢ‪.‬‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫…‬ ‫……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………‬

‫‪٤٧‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪ICT ICT ICT ICT‬‬ ‫‪ICT‬‬

‫‪ICT‬‬

‫ﻣﺎﻧﻰ رﺿﺎﺋﻰ‬ ‫داﻧﺸﺠﻮى دﻛﺘﺮى آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬داﻧﺸﮕﺎه‬ ‫ﺷﻬﻴﺪﺑﻬﺸﺘﻰ‬ ‫ﻋﻨﻮان‪ :‬آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻴﺎت ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ‪I.C.T‬‬

‫ﻧﻮﻳﺴﻨﺪه‪ :‬آدرﻳﻦ اﻟﺪﻧﻮ و ران ﺗﻴﻠﻮر‬ ‫ﻣﺘﺮﺟﻢ‪ :‬ﺷﻬﺮﻧﺎز ﺑﺨﺸﻌﻠﻰ زاده‬ ‫ﻧﺎﺷﺮ‪ :‬اﻧﺘﺸﺎرات ﻣﺪرﺳﻪ ـ ﺗﻬﺮان‬ ‫ﭼﺎپ اول‪١٣٨٧ :‬‬ ‫ﺷﻤﺎرﮔﺎن‪٢٢٠٠ :‬‬ ‫ﺑﻬﺎء‪ ٣٥٠٠٠ :‬رﻳﺎل‪.‬‬ ‫در ﺣﺎل ﺣﺎﺿﺮ واژه ى ‪) ICT‬ﻓﻨﺎورى اﻃﻼﻋﺎت و ارﺗﺒﺎﻃـﺎت(‬ ‫ﺑﻪ ﺳﺮﻋﺖ ﺟﺎﻳﮕﺰﻳـﻦ واژه ى ‪) IT‬ﻓﻨﺎورى اﻃﻼﻋﺎت( ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺳﺨﺖ اﻓﺰارﻫﺎ و ﻧﺮم اﻓﺰارﻫﺎى ﻣﺘﻌﺪدى را ﻣﻰ ﺗﻮان ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﺠﻬﻴﺰات‬ ‫‪ ICT‬ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻛﺮد‪ ،‬اﻣﺎ ﭼﮕـﻮﻧﮕﻰ ﺑﻪ ﻛﺎرﮔﻴﺮى آن در ﻛﻼس درس و‬ ‫ﻛﻤﻚ آن ﺑﻪ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ

ى درﺳﻰ‪ ،‬ﻳﻜﻰ از ﺳﺆال ﻫﺎى ﻣﺤﻮرى اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻛﺘﺎب »آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻴﺎت ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ‪ « I.C.T‬ﻛﻪ ﺗﻮﺳﻂ اﻧﺘﺸﺎرات‬ ‫ﻣﺪرﺳﻪ ﻣﻨﺘﺸﺮ ﺷﺪ‪ ،‬ﺗﻼﺷﻰ ﺑﺮاى ﭘﺎﺳﺦ ﮔﻮﻳﻰ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﺆال اﺳﺖ‪.‬‬ ‫اﻳﻦ ﻛﺘﺎب ﻛﻪ در ﺳﺎل ‪ ٢٠٠٠‬ﺗﻮﺳﻂ ادرﻳﻦ اﻟﺪﻧﻮ و ران ﺗﻴﻠﻮر ﻧﮕﺎرش‬ ‫ﺷﺪه‪ ،‬در ﭘﻨﺞ ﻓﺼﻞ ﺑﻪ ﺷﺮح زﻳﺮ ﺗﻨﻈﻴﻢ ﺷﺪه اﺳﺖ‪:‬‬ ‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﻣﻨﺎﺑﻊ ﻣﻮﺟﻮد ﻛﺪام اﻧﺪ و ﭼﻪ ﻣﻨﺎﺑﻌﻰ در دﺳﺘﺮس ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﺑﻮد؟‬ ‫ﻓﺼﻞ دوم‪ ICT :‬و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ ﻣﺪرﺳﻪ اى‬ ‫ﻓﺼﻞ ﺳﻮم‪ :‬ﭼﮕﻮﻧﻪ ﺑﺮاى اﺳﺘﻔﺎده ى ﻣﺆﺛﺮ و ﻛﺎرآﻣﺪ ‪ ICT‬ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى‬ ‫و ﻃﺮاﺣﻰ ﻛﻨﻴﻢ؟‬ ‫ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم‪ :‬ﭼﺮا ﺑﺎﻳﺪ ‪ ICT‬را ﺑﺎ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﺗﻠﻔﻴﻖ ﻛﻨﻴﻢ؟‬ ‫ﻓﺼﻞ ﭘﻨﺠﻢ‪ :‬ﺑﻪ ﻛﺠﺎ ﻣﻰ روﻳﻢ؟‬ ‫در ﻣﻘﺪﻣﻪ ى ﻛﺘﺎب آﻣﺪه اﺳﺖ‪» :‬در اﻳﻦ ﺟﺎ و در ﺗﻤﺎم ﻛـﺘـﺎب‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ ﺗﺄﻛﻴﺪ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ در ﺧﺼﻮص آﻣﻮزش وﭘﺮورش و ﺗﻌﻠﻴﻢ و ﺗﺮﺑﻴﺖ‬ ‫ﻣﺒﺘﻨﻰ ﺑﺮ ‪ ،ICT‬رﻳﺎﺿﻴﺎت ﺑﺎ ﺑﺴﻴﺎرى ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت دﻳﮕﺮ ﺗﻔﺎوت دارد‪.‬‬ ‫ﻣﺎ ﺑﻪ اﻳﻦ اﺻﻞ اﻋـﺘـﻘـﺎد دارﻳـﻢ ﻛـﻪ ﻳـﻜـﻰ از دﻻﻳـﻞ اﺻـﻠـﻰ وﺟـﻮد‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت در دوره ى ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ در ﺣﻜﻢ درﺳﻰ اﺟﺒﺎرى‪ ،‬ﻛﺎرﺑﺮدﻫﺎى‬ ‫وﺳﻴـﻊ آن در ﺧـﺎرج از ﻣـﺪرﺳﻪ اﺳﺖ و اﻳـﻦ ﺑـﺪان ﻣـﻌـﻨـﺎﺳـﺖ ﻛـﻪ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﺎﻳﺪ ﻗﺎدر ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺑﺎ ﻛﻤﻚ اﺑﺰار ‪ ICT‬ﻣﺴﺎﺋﻞ رﻳﺎﺿﻰ را‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪٤٨‬‬

‫‪ICT‬‬

‫ﺣﻞ ﻛﻨﻨﺪ و ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣـﺪه را ﺑﺎ دﻳﮕﺮان در ﻣﻴﺎن ﺑﮕﺬارﻧﺪ و ﺑﺎ‬ ‫آن ﻫﺎ ارﺗﺒﺎط ﺑﺮﻗﺮار ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﺎ ﺑﻪ‬ ‫ﺣﻀﻮر ﮔﺴﺘﺮده ى ‪ ICT‬در ﻛﻼس ﻫﺎى درس رﻳﺎﺿﻰ ﻟﺰو ً‬ ‫ﻣﻌﻨﺎى ﺑﻪ زﻳﺮ ﺳﺆال ﺑﺮدن وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎ و ﻧﺎدﻳﺪه ﮔﺮﻓﺘﻦ ﺟﻨﺒﻪ ﻫﺎى ﻗﺪﻳﻤﻰ‬ ‫و ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺣﺎﺿﺮ در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻧﻴﺴﺖ‪ ….‬ﺷﺎﻳﺪ اﻳﻦ‬ ‫ﻣــﻮﺿــﻮﻋــﺎت ﺑــﻪ دﻟــﻴــﻞ ﭘــﻴــﭽــﻴــﺪﮔــﻰ ﻫــﺎ و دﺷــﻮارى ﻫـﺎى‬ ‫ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﺑﺎ ﺗﻜﻨﻴﻚ ﻫﺎى ﺳﺎده‪ ،‬ﺗﺎﻛﻨﻮن در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ‬ ‫دﻳﺪه ﻧﺸﺪه اﻧﺪ‪ .‬اﻣﺎ اﺑﺰارﻫﺎى ‪ ICT‬ﻧﻴﺎز ﺑﻪ اﻳﻦ ﺗﻜﻨﻴﻚ ﻫﺎى ﺳﺎده را‬ ‫ﻣﺮﺗﻔﻊ ﻣﻰ ﺳﺎزﻧﺪ‪ .‬ﺑﺮاى ﻣﺜﺎل‪ ،‬ﺑﺴﻴﺎرى از ﻣﺎﺷﻴﻦ ﺣﺴﺎب ﻫﺎى رﺳﺎم‬ ‫ﺑﺎ ﻣﺎﺗﺮﻳﺲ ﻫﺎ و ﻋﺒـﺎرت ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ اﻋﺪاد ﻣﺨﺘـﻠـﻂ دارﻧﺪ‪ ،‬ﺑـﻪ راﺣﺘﻰ‬ ‫ﻛﺎر ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﻟﺬا ‪ ICT‬داﻧﺶ آﻣﻮزان را ﻗﺎدر ﻣﻰ ﺳﺎزﻧﺪ ﺗﺎ ﺑﺮ اﺑﻌﺎد و‬ ‫ﺟﻨﺒﻪ ﻫﺎى ﻣﻬﻢ ﺗﺮ و ﺟﺎﻟﺐ ﺗﺮ ﻣﺤـﺘـﻮا ﺗﻤـﺮﻛﺰ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﺑـﺎ وﺟﻮد ﺟﺒﺮ و‬ ‫ﺳﻜﻮن ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ رﺳﻤﻰ‪ ،‬ﻣﻌﻠﻤﺎن ﺑﺎﻳﺪ اﺳﺎس و ﭘﺎﻳﻪ ى ﻳﺎدﮔﻴﺮى‬ ‫داﻧــﺶ‪ ،‬درك و ﻓـﻬــﻢ و‬ ‫ﻣﻬـﺎرت ﻫـﺎى ﻣـﻮﺟـﻮد در‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳـﻰ را ﻧﻘﺎداﻧﻪ‬ ‫ﺑﺮرﺳﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﻮﺿﻮﻋﻰ ﻛﻪ وﺿﻮح‬ ‫ﻛﻢ ﺗﺮ و اﻫﻤﻴﺖ ﺑﻴﺶ ﺗﺮى‬ ‫دارد‪ ،‬اﻳـــﻦ اﺳـــﺖ ﻛـــﻪ‬ ‫ﺷﻬﺮوﻧﺪان ﺟﺎﻣﻌﻪ اى ﻛـﻪ‬ ‫ﺑﺎ اﻧﻮاع ﮔـﻮﻧﺎﮔﻮن ﻓﻨﺎورى‬ ‫ﺳـﺮوﻛـﺎر دارﻧـﺪ ﺑـﺎﻳـﺪ ﺑــﻪ‬ ‫ﺗـــــﻮاﻧـــــﺎﻳـــــﻰ ﻫــــــﺎ و‬ ‫ﻣﺤﺪودﻳﺖ ﻫﺎى ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ‬ ‫دﻳـﺪى آ ﮔـﺎﻫـﺎﻧـﻪ داﺷـﺘــﻪ‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺑﺴﻴـﺎرى از ﻣﻮاﻗﻊ ﺷﻨﻴﺪه اﻳﻢ ﻛﻪ‪» :‬ﻛﺎﻣﭙـﻴـﻮﺗﺮ ﺑﻪ ﻣﺎ اﺟـﺎزه ى‬ ‫ﭼﻨﻴﻦ ﻛﺎرى را ﻧﻤﻰ دﻫﺪ«‪ ،‬ﮔﻮﻳﻰ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﻣﻮﺟﻮدى زﻧﺪه‪ ،‬ﻳﻚ دﻧﺪه‬ ‫و ﻟﺠﻮج اﺳﺖ‪ .‬در ﻣـﻮﺿﻮﻋﺎت ﺑﺴﻴـﺎرى ﭼﻮن ﺟﻐﺮاﻓﻰ‪ ،‬ﺷﻴﻤـﻰ و‬ ‫اﻗﺘﺼﺎد از ﺷﺒﻴﻪ ﺳﺎزى ﻫﺎى ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮى اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﻣﺎ ﻣﻰ داﻧﻴﻢ‬ ‫و داﻧﺶ آﻣـﻮزاﻧﻤﺎن ﻧﻴﺰ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺪاﻧـﻨـﺪ ﻛـﻪ اﻳـﻦ ﻣـﻮارد ﺧﺎﻟﻰ از اﺷﺘـﺒـﺎه‬ ‫ﻧﻴﺴﺖ‪ ،‬اﻳﻦ ﻳﻚ ﻣﺪل رﻳـﺎﺿـﻰ از وﺿﻌﻴـﺖ ﻣـﻮﺟﻮد اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎﻳـﺪ‬ ‫ﻣﺤﺪودﻳﺖ ﻫﺎ و ﻧﻮاﻗﺺ آن را ﺷﻨﺎﺧﺖ‪ .‬در ﺣﺎل ﺣﺎﺿﺮ‪ ،‬ﻣﺪل ﺳﺎزى‬ ‫و اﻋﺘﺒﺎرﺑﺨﺸﻰ از ﺟﻨﺒﻪ ﻫﺎى ﻣﻬﻢ رﻳﺎﺿﻴﺎت اﺳﺖ ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان‬ ‫دﺑﻴﺮﺳﺘﺎن ﺑﺎﻳﺪ آن ﻫﺎ را ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﻛﺘﺎب ﺑﺎ ﻫﺪف ﭘﺸﺘﻴﺒﺎﻧـﻰ و‬ ‫ﺗﻠﻔﻴﻖ ‪ ICT‬ﺑﺎ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ در دوره ى دﺑﻴﺮﺳﺘﺎن ﺗﻬﻴﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪«.‬‬ ‫در اﺟﺮاى اﻳﻦ ﻫﺪف‪ ،‬ﻓﺼـﻞ اول ﻛﻪ ﻣﺸﺘﻤـﻞ ﺑـﺮ ‪ ٨٠‬ﺻﻔﺤـﻪ‬

‫‪ICT ICT ICT ICT‬‬ ‫‪ICT‬‬

‫اﺳﺖ‪ ،‬اﻧﻮاع ﺗﺠﻬﻴﺰات و ادوات ‪ ICT‬را ﺑﺮﻣﻰ ﺷﻤﺎرد و ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اى‬ ‫از ﻧﺮم اﻓﺰارﻫﺎى ﻣﻮﺟﻮد ﺑﺮاى آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﻧﻴﺰ در اﻳﻦ ﻓﺼﻞ ﻣﻌﺮﻓﻰ‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮد‪ .‬ﻧﺮم اﻓﺰارﻫﺎ در ﭼﻨﺪ دﺳﺘﻪ ﻗﺮار ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻧﺪ‪:‬‬ ‫ـ ﻧﺮم اﻓﺰارﻫﺎى ﻛﻮﭼﻚ‪ ،‬ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻣﺤﺘـﻮاى ﺧﺎص از‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ ﺗﻮﺟﻪ دارد؛‬ ‫ـ زﺑﺎن ﻫﺎى ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻧﻮﻳﺴﻰ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻟﻮﮔﻮ‪ ،‬ﺑﻴﺴﻴﻚ؛‬ ‫ـ ﻧﺮم اﻓـﺰارﻫﺎى ﻋﻤـﻮﻣﻰ؛ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺧﺎص ﺻﻔـﺤـﻪ ى ﮔـﺴـﺘـﺮده‬ ‫]‪ ،[web‬و اﻟﺒﺘﻪ ﭘﺎﻳﮕﺎه ﻫﺎى اﻃﻼﻋﺎﺗﻰ؛‬ ‫ـ ﺑﺪون ﻣﺤﺘﻮا و ﻣﻮﺿﻮع ﺧﺎص ﭼﻮن ﻧﺮم اﻓﺰارﻫﺎى رﺳﻢ ﻧﻤﻮدار‬ ‫)‪(GPS‬؛‬ ‫ـ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻛـﺎﻣـﭙـﻴـﻮﺗﺮى ﺟﺒـﺮ )‪ ،(CAS‬ﻧـﺮم اﻓﺰار ﻫﻨﺪﺳـﻪ ﭘـﻮﻳـﺎ‬ ‫)‪(DGS‬؛‬ ‫ـ ﻧﺮم اﻓﺰار داده ﮔﺮداﻧﻰ و ﻛﺎر ﺑﺎ داده ﻫﺎ )‪(DHS‬؛‬ ‫ـ درس اﻓﺰار‪ ،‬ﻣﻮاد آﻣﻮزﺷﻰ ﺳﺎﺧﺘﺎر ﻳﺎﻓﺘﻪ در ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ‬ ‫ﻛﻪ از ﻧﺮم اﻓﺰار اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪،‬‬ ‫ـ ﻣﺎﺷﻴﻦ ﺣﺴﺎب ﻫﺎى رﺳﺎم )‪(GC‬؛‬ ‫ـ ‪ CD-ROM‬و اﻳﻨﺘﺮﻧﺖ‪ ،‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﻨﺎﺑﻊ اﻃﻼﻋﺎﺗﻰ‪.‬‬ ‫ﻓﺼﻞ اول ﻛﺘﺎب ﺑﻪ ﺑﺮرﺳﻰ ﻣﺜﺎل ﻫﺎﻳﻰ از ﻫﺮ ﻳﻚ از اﻳﻦ دﺳﺘﻪ ﻫﺎ‬ ‫ﭘﺮداﺧﺘﻪ اﺳﺖ‪ .‬در ﭘﺎﻳﺎن ﻓﺼﻞ‪ ،‬ﺗﻼش ﺷﺪه اﺳﺖ ﺑﺎ اراﺋﻪ ﻣﺜﺎل ﻫﺎى‬ ‫ﻣﻮردى‪ ،‬وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎى ﺑﺮﺧﻰ از اﻧﻮاع اﺻﻠﻰ اﺑﺰار ‪ ICT‬را ﻛﻪ ﻣﻌﻠﻤﺎن‬ ‫ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻨﺪ‪ ،‬ﻣﻌﺮﻓﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻓﺼـﻞ دوم ﺑﻪ ﺗﻨﻮع ﻧﻘـﺶ ‪ ICT‬در ﺑﺮﻧﺎﻣـﻪ ى درﺳﻰ اﺧﺘﺼـﺎص‬ ‫ﻳﺎﻓﺘﻪ اﺳﺖ‪ .‬ﻧﻮﻳﺴﻨﺪه ﺗﺄﻛﻴﺪ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪» ،‬آ ﮔﺎه ﺑﺎﺷﻴﺪ اﻳﺪه ﻫﺎى ﺑﺴﻴﺎرى‬ ‫اﺣﺘﻤﺎﻻ ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ ﭼﻨﺪ ﺗﺎ از آن ﻫﺎ‬ ‫ً‬ ‫در اﻳﻦ ﻓﺼﻞ آورده ﺷﺪه اﻧﺪ‪ .‬ﻟﺬا‬ ‫را در اﺑﺘﺪا ﺑﺮاى ﺑﺮرﺳﻰ اﻧﺘﺨﺎب و زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ آن ﻫـﺎ را ﺧﻮب ﺗﺤﻠﻴﻞ‬ ‫ﻛﺮدﻳﺪ‪ ،‬ﺑﺮرﺳﻰ اﻳﺪه ﻫﺎى دﻳﮕـﺮ را ﺷﺮوع ﻛﻨﻴﺪ‪ «.‬در اداﻣﻪ‪ ،‬ﻓﺼﻞ‬ ‫دوم ﻛﺘﺎب ﺑﻪ ﻣﻮﺿﻮع ﻫﺎى درﺳﻰ ﻣﻰ ﭘﺮدازد‪ :‬اﻋﺪاد و ﺟﺒﺮ؛ ﻫﻨﺪﺳﻪ‬ ‫و ﻣﺜﻠﺜﺎت؛ آﻣﺎر و ﻣـﺪل ﺳـﺎزى؛ رﻳﺎﺿﻴﺎت ﭘﻴﺸـﺮﻓﺘﻪ و در ﻧﻬﺎﻳـﺖ‬ ‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺑﺎ ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎ و دروس دﻳﮕﺮ ارﺗﺒﺎط ﭘﻴﺪا ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻫﺮ ﻳﻚ از اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﻫﺎى درﺳﻰ ﺑﻪ ﺗﻔﺼﻴﻞ ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﻰ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻪ‬ ‫اﺳﺖ و ﺑـﺎ اراﺋﻪ ى ﻣﺜﺎل ﻫﺎى دﻗﻴﻖ در ﻫـﺮ ﻳـﻚ از ﻣـﻮﺿﻮع ﻫﺎ‪ ،‬ﺑـﻪ‬ ‫ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ اﺳﺘﻔﺎده از اﺑﺰارﻫﺎى ‪ ICT‬ﺑﺮاى ﻛﺴﺐ ﻧﺘﺎﻳﺞ ﭘﺮداﺧﺘﻪ ﺷﺪه‬ ‫اﺳﺖ‪.‬ﺑﺮاى ﻣﺜﺎل‪ ،‬در اﻋﺪاد ﺑﻪ ﻣﺒﺎﺣﺜﻰ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻋﺪد‪ ،‬ارزش ﻣﻜﺎﻧﻰ‬ ‫و ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻫﺎﻳـﻰ ﺑـﺮاى اﺳﺘﻔـﺎده از ‪ ICT‬ﺑﺮاى آﺷﻨﺎﻳﻰ ﺑﺎ آن ﻫـﺎ اراﺋـﻪ‬ ‫ﺷﺪه اﺳﺖ ﻛﻪ وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎى ﻋﺪد از ﻗﺒﻴﻞ ﻋﺎﻣﻞ )ﻣﻘﺴﻮم ﻋﻠﻴﻪ( ﻋﺪد‪،‬‬ ‫ﻣﻀﺮب و ﻣﻘﺴﻮم ﻋﻠﻴﻪ ﻫﺎى ﻣﺸﺘﺮك و اﻋﺪاد اول‪ ،‬ﻣﺮﺑﻊ ﻛﺎﻣﻞ‪…،‬‬ ‫ﻧﻴﺰ ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﻰ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺪﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺑﺨﺶ اﺻﻠﻰ ﻛﺘﺎب‪،‬‬

‫‪ICT‬‬

‫‪ICT‬‬

‫در ﻓﺼـﻞ دوم ﺑﻪ ﻣﻌﺮﻓﻰ ﭼﮕـﻮﻧﮕﻰ اﺳﺘـﻔـﺎده از ‪ ICT‬ﺑﺮاى آﺷﻨﺎﻳـﻰ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﺎ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ اﺧﺘﺼﺎص ﻳﺎﻓﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ﺳﻮم ﻛﺎرﺑﺮدﻫﺎى دﻳﮕﺮ از ‪ ICT‬را ﺑﺮ ﻣﺒﻨﺎى ﺗﺠﺎرب ﻋﻤﻠﻰ‬ ‫ﻓﺼﻞ ﻫﺎى اول و دوم در ﺗﻜﻤﻴﻞ و ﺗﻮﺳﻌﻪ ى ﻳﻚ ﺳﺎﺧﺘﺎر ﺗﺤﻠﻴﻠـﻰ‬ ‫ﺑـﺮاى ﻃﺮاﺣـﻰ‪ ،‬اﺟـﺮا و ارزﻳﺎﺑـﻰ ﺑـﻪ ﻛـﺎرﮔﻴـﺮى ‪ ICT‬در ﻳـﺎددﻫـﻰ ـ‬ ‫ﻳﺎدﮔﻴـﺮى ﻣﻌـﺮﻓﻰ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬در اﻳﻦ ﻓـﺼـﻞ ﺑـﺮرﺳﻰ ﻫـﺎى ﻣـﻮردى و‬ ‫ﻣﺜﺎل ﻫﺎﻳـﻰ از ‪ ICT‬ﻛﻪ ﺑـﺮاى ﺑﻬﺒـﻮد ﻳﺎددﻫﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴـﺮى رﻳﺎﺿﻴـﺎت‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ﺷﺪه ﺑـﺮرﺳﻰ ﻣﻰ ﺷﻮد‪ .‬ﻫﺮ ﻳﻚ از ﻣﺜﺎل ﻫﺎ ﺑﺎ ﺑـﺮرﺳﻰ ﻫﺎى‬ ‫ﻣﻮردى ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺷﺪه ﺗﺎ ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ اﺳﺘﻔﺎده از ‪ ICT‬ﺑﺮاى دﺳﺖ ﻳﺎﺑﻰ‬ ‫ﺑﻪ اﻫﺪاف و اﻧﺘﻈﺎرات ﺳﻨﺪ »ﻛﺎرﺑﺮد ‪ ICT‬در رﻳﺎﺿﻴﺎت دﺑﻴﺮﺳﺘﺎﻧﻰ«‬ ‫ﻧﺸﺎن داده ﺷﻮد‪ .‬ﻧﻮﻳﺴﻨﺪﮔﺎن ﻛﺘﺎب ﺳﻪ ﺟﻨﺒﻪ ى اﺻﻠﻰ ﺑﻪ ﻛﺎرﮔﻴﺮى‬ ‫‪ ICT‬را ﻣﻮرد ﺗﻮﺟﻪ ﻗﺮار داده اﻧﺪ‪:‬‬ ‫ـ ﺗﻌﻠﻴﻢ و ﺗﺮﺑﻴﺘـﻰ‪ .‬آﻳﺎ ﻣﻰ ﺗﻮان از آن ﺑﺮاى ﺗﺪرﻳﺲ و ﺗﻮﺳﻌـﻪ ى‬ ‫ﻣﺤﺘﻮا‪ ،‬اﻓﺰاﻳﺶ داﻧﺶ‪ ،‬ﺑﻬﺒﻮد درك و ﺗﻤﺮﻳﻦ و ﺗﻘﻮﻳﺖ ﻣﻬـﺎرت ﻫﺎ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮد؟‬ ‫ـ رﻳﺎﺿﻴﺎت‪ .‬آﻳﺎ ﻣﻰ ﺗﻮان از آن در ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت‪ ،‬ﻛﺴﺐ ﻧﺘﺎﻳﺞ‪،‬‬ ‫درﺳﺖ ﻛﺮدن ﺟﺪول ﻫﺎ‪ ،‬رﺳﻢ ﻧﻤـﻮدارﻫﺎ‪ ،‬ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ‪ ،‬ﻛﺎر ﻛﺮدن‬ ‫ﺑﺎ ﻋﺒﺎرت ﻫﺎ و ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻫﺎى آﻣﺎرى و ﻏﻴﺮه اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮد؟‬ ‫ـ ﺳﺎزﻣﺎندﻫـﻰ‪ .‬آﻳﺎ ﻣﻰ ﺗﻮان از آن ﺑـﺮاى ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﻮاد آﻣـﻮزﺷﻰ‪،‬‬ ‫ﺛﺒﺖ اﻃﻼﻋﺎت‪ ،‬ﻣﺪﻳﺮﻳـﺖ زﻣﺎن‪ ،‬ﺑﺮﻗﺮارى ارﺗﺒﺎط ﺑﺎ دﻳﮕﺮان‪ ،‬ﭘﻴﺪا‬ ‫ﻛﺮدن ﻣﻨﺎﺑﻊ و ﻏﻴﺮه ﻛﻤﻚ ﮔﺮﻓﺖ؟‬ ‫ﺑـﺮاى ﭘﺎﺳـﺦ ﺑـﻪ اﻳـﻦ ﺳـﺆال ﻫﺎ‪ ،‬اﺑﺘﺪا ﭼـﻚ ﻟـﻴـﺴـﺖ »ﺣـﻘـﻮق‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان در ‪ « ICT‬اراﺋﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ و ﺳﭙﺲ ﻣﺜﺎل ﻫﺎى ﻣﻮردى‬ ‫ﺑﺮرﺳﻰ ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫در ﭘﺎﻳﺎن ﻛﺘﺎب ﺑﺮاى ﭘﺎﺳﺦ ﺑﻪ ﺳﺆال »ﭼﺮا ﺑﺎﻳﺪ ‪ ICT‬را ﺑﺎ آﻣﻮزش‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ ﺗﻠﻔﻴﻖ ﻛﻨﻴﻢ؟« ﺳﻪ دﻟﻴﻞ ﻣﻤﻜﻦ اراﺋﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪ .١‬ﻣﻄﻠﻮب و ﭘﺴﻨﺪﻳﺪه ﺑﻮدﻧﺪ؛‬ ‫‪ .٢‬ﺣﺘﻤﻰ و اﺟﺘﻨﺎب ﻧﺎﭘﺬﻳﺮ ﺑﻮدﻧﺪ؛‬ ‫‪ .٣‬ﺳﻴﺎﺳﺖ ﮔـﺬارى و ﺧﻂ ﻣﺸـﻰ دوﻟﺖ )ﻛﻪ ﺑﻪ ﻃـﻮر ﺧـﺎص‬ ‫ﺧﻂ ﻣﺸـﻰ دوﻟﺖ اﻧﮕﻠﺴﺘﺎن در ﺳـﺎل ﻫـﺎى ‪ ١٩٧٩‬ﺗﺎ ‪ ٢٠٠٠‬ﻣﻮرد‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ(‪.‬‬ ‫در ﺑﺮﺧﻰ ﻣـﻮارد ﺟﺰﺋﻰ‪ ،‬وﺟﻮد واژﮔﺎن ﺗﺨﺼﺼﻰ ﻣـﻮﺟﺐ ﺷـﺪه‬ ‫ﻣﺮز ﺑﻴﻦ ﻣﺘﻦ اﺻﻠﻰ و ﺗﺮﺟﻤﻪ ﻣﺨﺪوش ﺷﻮد و در ﭘﺎره اى ﻣﻮارد ﺣﺮوف‬ ‫ﻻﺗﻴﻦ در ﺟﻤﻠﻪ ﭘﻴﺶ از ﺣﺮوف ﻓﺎرﺳﻰ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺎ اﻳﻦ ﺣﺎل ﺗﺮﺟﻤﻪ ى‬ ‫ﺧﺎﻧﻢ ﺑﺨﺸﻌﻠﻰ زاده‪ ،‬روان و ﺳﺎده اﺳﺖ و در ﻣﺠﻤﻮع ﻛﺘﺎﺑﻰ ﻣﻨﺎﺳﺐ‬ ‫ﺑـﺮاى آﺷـﻨـﺎﻳـﻰ ﺑـﺎ ‪ ICT‬و ﺑﻪ ﻛـﺎرﮔـﻴـﺮى آن در آﻣـﻮزش رﻳـﺎﺿـﻴـﺎت‬ ‫آﻣﺎده ﺳﺎزى و در اﺧﺘﻴﺎر ﺧﻮاﻧﻨﺪه ى ﻓﺎرﺳﻰ زﺑﺎن ﮔﺬاﺷﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪٤٩‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫ﻣﺜﺎل!ﻫﺎﻳﻰ!ﺑﺮاى‬

‫اﺻﻞ!ﻻﻧﻪ!ﻛﺒﻮﺗﺮى‬ ‫ﺟﻠﻤﻪ ى »وﻗﺘﻰ ﺳﻪ ﺗﺎ ﻛﺒﻮﺗﺮ ﺑﺨﻮاﻫﻨﺪ ﺗﻮى دو ﺗﺎ ﻻﻧﻪ ﺑﺮوﻧﺪ‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ‬ ‫ﺣﺪاﻗﻞ دوﺗﺎﺷﺎن در ﻳﻚ ﻻﻧﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ« را ﻫﺮ ﻋﻘﻞ ﺳﻠﻴﻤﻰ ﻣﻰ ﻓﻬﻤﺪ و‬ ‫اﻟﺒﺘﻪ ﺑﺎ ﻫﻤﻴﻦ ﻳﻚ ﺟﻤﻠﻪ ﻫﻢ ﻣﻰ ﺗﻮان ﺷﮕﻔﺘﻰ آﻓﺮﻳﺪ!‬ ‫ﻣﻀﻤﻮن ﺟﻤﻠﻪ ى ﺑﺎﻻ را ﻣﻰ ﺷﻮد در ﻗﺎﻟﺐ ﻳﻚ اﺻﻞ ﺳﺎده ﺑﻪ ﻧﺎم‬ ‫»اﺻﻞ ﻻﻧﻪ ﻛﺒﻮﺗﺮى« ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻛﻠﻰ ﺗﺮى ﺑﻴﺎن ﻛﺮد‪:‬‬ ‫اﮔﺮ ‪ m‬ﻛﺒﻮﺗﺮ داﺧﻞ ‪ n‬ﻻﻧﻪ ﻗﺮار داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ و ‪ m>n‬آنﮔﺎه ﻳﻚ‬ ‫ﻻﻧﻪ ﻫﺴﺖ ﻛﻪ در آن ﺣﺪاﻗﻞ دو ﻛﺒﻮﺗﺮ وﺟﻮد دارد‪.‬‬ ‫اﻳﻦ اﺻﻞ ﺑﻪ ﻧﺎم ﻫﺎى اﺻـﻞ دﻳﺮﻳﻜﻠﻪ ﻳﺎ اﺻﻞ ﺣﺠﺮهﻫﺎ ﻧﻴﺰ ﺑﻴﺎن‬ ‫ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫درﺳﺖ اﺳﺖ ﻛﻪ اﻳﻦ اﺻﻞ ﺻـﻮرﺗﻰ واﺿﺢ دارد‪ ،‬اﻣﺎ ﻛﻠﻴﺪ ﺣﻞ‬ ‫ﺑﺴﻴﺎرى از ﻣﺴﺎﺋﻞ اﺳﺖ ﻛﻪ اﻟﺒﺘﻪ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺻﺤﻴﺢ از آن اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﻛﺮد و ﺑﻴﺶ ﺗﺮ در ﺟﺎﻫﺎﻳﻰ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ ﺑﺨﻮاﻫﻴﻢ وﺟﻮد دو ﻳﺎ‬ ‫ﭼﻨﺪ ﺷﻰء را ﻛﻪ داراى وﻳﮋﮔﻰ ﻣﺸﺘﺮك ﻫﺴﺘﻨﺪ اﺛﺒﺎت ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﺑﺮاى اﻳﻦ‬ ‫ﻣﻨﻈﻮر‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ اﺷﻴﺎى ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ را ﻃﻮرى دﺳﺘﻪ ﺑﻨﺪى ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ اﮔﺮ ﭼﻨﺪ‬ ‫ﺷﻰء در ﻳﻚ دﺳﺘﻪ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻨﺪ‪ ،‬ﻫﻤﻪ ى اﻳﻦ ﭼﻨﺪ ﺷﻰء داراى وﻳﮋﮔﻰ‬ ‫ﻣﺸﺘﺮك ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎلﻫﺎﻳﻰ ﺑﺮاى اﺻﻞ ﻻﻧﻪﻛﺒﻮﺗﺮى‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‪ ١٤ . ١‬ﻋـﺪد از ﻣـﺠـﻤــﻮﻋـﻪ ى }‪ {1,2,K,20‬اﻧـﺘـﺨــﺎب‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﺗﻔﺎﺿﻞ ﺣﺪاﻗﻞ دو ﺗﺎى آن ﻫﺎ ‪ ٧‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪٥٠‬‬

‫ﻣﺤﻤﺪﺣﺴﻴﻦ ﻛﺮﻳﻤﻴﺎن و ﻣﺠﺘﺒﻰ ﻗﻮﻳﺪل‬ ‫از ﺷﺎﻫﺮود‬

‫ﺣﻞ‪.‬اﮔﺮ در دﺳﺘﻪ ﺑﻨﺪى زﻳﺮ ﻫﺮ دﺳـﺘـﻪ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ ﻻﻧـﻪ در‬ ‫ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ‪.‬‬ ‫)‪{(1, 8), (2,9), (3,10), (4,11), (5,12), (6,13‬‬ ‫})‪, (7,14), (15), (16), (17), (18), (19), (20‬‬

‫در واﻗﻊ ‪ ١٤‬ﻛﺒﻮﺗﺮ و ‪ ١٣‬ﻻﻧﻪ دارﻳﻢ‪.‬‬ ‫ﻳﻚراهﺣﻞ اﺑﺘﻜﺎرى‪ .‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ‪ x1 < x2
‫ﻛﻪ ﭼـﻮن ‪ x14 ≤ 20‬ﭘﺲ ‪ . x14 + 7 ≤ 27‬ﺑﻨﺎﺑـﺮاﻳـﻦ ‪ ٢٨‬ﻋﺪد‬ ‫ﻣﺘﻌﻠﻖ ﺑﻪ }‪ {1,2,K,27‬دارﻳﻢ ﻛﻪ ﺑﻪ وﺿﻮح ﺑﺎﻳﺪ دوﺗﺎى آن ﻫﺎ ﻳﻜﺴﺎن‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﭼﻮن ﻫﻴﭻ ﻛﺪام از ‪ x i‬ﻫﺎ ﺑﺎ ﻫﻢ و ﻫﻴﭻ ﻛﺪام از ‪ x i + 7‬ﻫﺎ ﺑﺎ‬ ‫ﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﭘﺲ ﺑﺎﻳﺪ ‪ x i‬از دﺳﺘﻪ ى اول ﺑﺎ ‪ x j + 7‬از دﺳﺘﻪ ى‬ ‫دوم ﻳﻜﻰ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬در ﻧﺘﻴﺠﻪ ‪ x i = x j + 7‬ﻳﻌﻨﻰ‪. x i − x j = 7 :‬‬ ‫********‬ ‫ﻣﺜﺎل‪ .٢‬ﻳﻚ داور و ‪ ٢٦‬ﺷﺮﻛﺖ ﻛﻨﻨﺪه ﻫﺮ ﻳﻚ ﺟﺪوﻟﻰ ‪١×٢٦‬‬ ‫در اﺧﺘﻴﺎر دارﻧﺪ و ﻫﺮ ﻛﺪام از ‪ ٢٧‬ﻧﻔﺮ در ﺟﺪول ﺧﻮد‪ ،‬ﺟﺎﻳﮕﺸﺘﻰ‬ ‫از ‪ ٢٦‬ﺣﺮوف اﻟﻔﺒﺎى اﻧﮕﻠﻴﺴﻰ را ﻣﻰ ﻧﻮﻳﺴﺪ‪ .‬داور ﺟﺪول ﺧﻮد را‬

‫ﺑﺎ ﻫﺮ ﻳﻚ از ﺷﺮﻛﺖ ﻛﻨﻨﺪه ﻫﺎ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ و ﺑﻪ ازاى ﻫﺮ ﺧﺎﻧﻪ از‬ ‫ﺟﺪول اﮔﺮ ﺣـﺮف داﺧﻞ آن ﺧﺎﻧﻪ در ﺟـﺪول داور ﺑﺎ ﺷﺮﻛﺖ ﻛﻨﻨـﺪه‬ ‫ﻳﻜﻰ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬اﻣﺘﻴﺎز ‪ ١‬و در ﻏﻴﺮ اﻳﻦ ﺻﻮرت ﺻﻔﺮ ﻣﻰ ﮔﻴﺮد‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬ ‫اﻣﺘﻴﺎز ﻫﺮ ﺷـﺮﻛﺖ ﻛﻨﻨﺪه‪ ،‬ﻋﺪدى ﺑﻴـﻦ ‪ ٠‬و ‪ ٢٦‬اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ اﻣﺘﻴـﺎز‬ ‫ﻫﻴﭻ دو ﺷـﺮﻛﺖ ﻛﻨﻨﺪه اى ﻳﻜﺴﺎن ﻧﺒﺎﺷـﺪ‪ ،‬ﺛـﺎﺑـﺖ ﻛـﻨـﻴـﺪ ﺷـﺮﻛـﺖ‬ ‫ﻛﻨﻨﺪه اى وﺟﻮد دارد ﻛﻪ ﺟﺪول او دﻗﻴﻘﺎً ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺟﺪول داور اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ‪ .‬ﺑﺎ ﺗـﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻛﻪ ﺗﻌﺪاد ﺣـﺮوف اﻟﻔﺒﺎى اﻧﮕﻠـﻴـﺴـﻰ ‪٢٦‬‬ ‫اﺳﺖ‪ ،‬اﻣﺘﻴﺎز ﻫﻴﭻ ﺷﺨـﺼـﻰ ﻧـﻤـﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ ‪ ٢٥‬ﺑﺎﺷﺪ )زﻳـﺮا در اﻳـﻦ‬ ‫ﺻﻮرت ﺗﻌﺪاد ﺧﺎﻧﻪ ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺣـﺮوف داﺧﻞ آن ﻫﺎ ﺑـﺮاى آن ﺷﺮﻛﺖ‬ ‫ﻛﻨﻨﺪه ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺣﺮوف داﺧﻞ ﺧﺎﻧﻪ ﻫﺎى ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ در ﺟﺪول داور اﺳﺖ‪،‬‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ ‪ ٢٥‬ﻣﻰ ﺷﻮد و ﭼﻮن ‪ ٢٦‬ﺣﺮف اﻟﻔﺒﺎ دارﻳﻢ‪ ،‬ﺑﻪ ﻧﺎﭼﺎر ﺑﺎﻳﺪ ﺧﺎﻧﻪ‬ ‫ﺑﻴﺴﺖ وﺷﺸﻢ ﻧﻴﺰ ﺑﺮاى ﻫﺮ دو ﻳﻜﺴﺎن ﺑﺎﺷﺪ(‪ .‬ﺣﺎل ﭼﻨﺎن ﭼﻪ ﻫﻴﭻ‬ ‫ﺷﺨﺼﻰ ﻧﺒﺎﺷﺪ ﻛﻪ ﺟﺪول او دﻗﻴﻘﺎً ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺟﺪول داور ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬اﻣﺘﻴﺎز‬ ‫‪ ٢٦‬ﻧﻴﺰ ﻣﻨﺘﻔﻰ اﺳﺖ و در ﻧﺘﻴﺠﻪ اﻣﺘـﻴـﺎز ﻫـﺮ ﺷـﺨـﺺ‪ ،‬ﻋـﺪدى از‬ ‫ﻣﺠﻤـﻮﻋـﻪ ى }‪ {٠ ٬١ ، ٢ ، … ، ٢٤‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑـﺮاﻳـﻦ ‪ ٢٦‬ﺷﺮﻛﺖ‬ ‫ﻛﻨﻨﺪه )ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻛﺒـﻮﺗﺮ( و ‪ ٢٥‬اﻣﺘﻴﺎز )ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻻﻧﻪ( دارﻳـﻢ و در‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻃﺒﻖ اﺻﻞ ﻻﻧﻪ ﻛﺒﻮﺗﺮى‪ ،‬ﺣﺪاﻗﻞ ‪ ٢‬ﻧﻔﺮ اﻣﺘﻴﺎز ﻳﻜﺴﺎن دارﻧﺪ و‬ ‫اﻳﻦ ﺑﺎ ﻓﺮض ﻣﺴﺌﻠﻪ در ﺗﻨﺎﻗﺾ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫********‬ ‫ﻣﺜﺎل‪ .٣‬اﮔﺮ ‪ ،S‬زﻳﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اى ‪ ٧‬ﻋﻀﻮى از }‪{1,2, 3,K,21‬‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ دو زﻳﺮ ﻣـﺠـﻤـﻮﻋﻪ ى ﻣﺘﻤﺎﻳـﺰ از ‪ S‬ﻣﺎﻧﻨـﺪ ‪ B‬و ‪A‬‬ ‫وﺟﻮد دارﻧﺪ ﺑﻪ ﻃﻮرى ﻛﻪ ﻣﺠﻤﻮع اﻋﻀﺎى ‪ A‬ﺑﺎ ﻣﺠﻤﻮع اﻋﻀﺎى ‪B‬‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ‪ .‬ﺣﺪاﻗﻞ ﻣﺠﻤﻮع اﻋﻀﺎى زﻳـﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻫﺎى ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ى‬ ‫‪ S‬ﻓـﻮق ‪ °‬و ﺣﺪاﻛـﺜـﺮ آن ‪ ١٢+٢٠+…+١٥=١٢٦‬اﺳﺖ‪ .‬ﻳﻌـﻨـﻰ‬ ‫ﻣﺠـﻤـﻮع اﻋﻀـﺎى زﻳـﺮ ﻣـﺠـﻤـﻮﻋﻪ ﻫـﺎى ‪ S‬ﻳـﻜـﻰ از ‪ ١٢٧‬ﺣﺎﻟـﺖ‬ ‫}‪ {0,1,2,K,126‬اﺳـﺖ‪ .‬ﭼـﻮن ‪ S‬ﻳـﻚ ﻣـﺠـﻤـﻮﻋﻪ ى ‪ ٧‬ﻋـﻀـﻮى‬ ‫ﻣﻰ ﺑﺎﺷﺪ‪ 27 = 128 ،‬زﻳﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ دارد ﻛﻪ آن ﻫﺎ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ‪١٢٨‬‬ ‫ﻛﺒﻮﺗﺮ و }‪ {0,1,2,K,126‬را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ‪ ١٢٧‬ﻻﻧﻪ در ﻧﻈﺮ ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻳﻢ‪.‬‬ ‫ﭘﺲ ﻃﺒﻖ اﺻﻞ ﻻﻧﻪ ﻛـﺒـﻮﺗـﺮى‪ ،‬ﻣﺠﻤـﻮع اﻋﻀـﺎى دوﺗﺎ از اﻳﻦ زﻳـﺮ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻫﺎ ﺑﺎﻳﺪ ﻳﻜﻰ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫********‬ ‫ﻣﺜﺎل‪ .٤‬ﺷﻄﺮﻧﺞ ﺑﺎزى ‪ ١١‬ﻫﻔﺘﻪ ﻓﺮﺻﺖ دارد ﺧﻮد را ﺑﺮاى ﺷﺮﻛﺖ‬ ‫در ﻣﺴﺎﺑﻘﻪ اى آﻣﺎده ﻛﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮاى اﻳﻦ ﻣﻨﻈﻮر‪ ،‬ﺗﺼﻤﻴﻢ ﻣﻰ ﮔﻴﺮد ﺣﺪاﻗﻞ‬ ‫روزى ﻳﻚ ﺑـﺎزى داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷـﺪ‪ .‬وﻟﻰ ﺑﺮاى آن ﻛﻪ ﺧﺴﺘﻪ ﻧـﺸـﻮد‪ ،‬در‬

‫ﻫﻴﭻ ﻫﻔﺘﻪ اى ﺑﻴﺶ ﺗـﺮ از ‪ ١٢‬ﺑﺎر ﺑـﺎزى ﻧﻤﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﭼـﻨـﺪ‬ ‫روز ﻣﺘﻮاﻟﻰ وﺟﻮد دارد ﻛﻪ ﺷﻄﺮﻧﺞ ﺑﺎز ﻃﻰ آن ﻫﺎ دﻗﻴﻘﺎً ‪ ٢٠‬ﺑﺎر ﺑﺎزى‬ ‫ﻛﺮده اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ‪ .‬اﮔﺮ ‪ ،k‬ﺗﻌﺪاد روزﻫﺎ )‪ (k = 77‬و ‪ Sk‬ﺗﻌﺪاد ﺑﺎزى ﻫﺎ از‬ ‫روز اول ﺗﺎ ‪k‬اﻣﻴﻦ روز ﺑﺎﺷﺪ؛ ﺑﻨـﺎﺑـﺮاﻳﻦ ‪ Sw ≤ 12 ×11 = 132‬و‬ ‫در ﻧﺘﻴﺠﻪ دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪1≤ S1 < S2 < S 3
‫ﭘﺲ‬ ‫ﭘﺲ ‪١٥٤‬ﺗﺎ ﻋﺪد از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ى }‪ {1,2, 3,K,152‬دارﻳﻢ‪ .‬در‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻃﺒﻖ اﺻﻞ ﻻﻧﻪ ﻛـﺒـﻮﺗﺮى‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ ﻳﻚ ﻋﺪد در دﺳﺘـﻪ ى اول ﺑـﺎ‬ ‫ﻋﺪدى در دﺳﺘـﻪ ى دوم ﻳﻜﻰ ﺑﺎﺷﺪ؛ ﻳﻌـﻨـﻰ ‪ . Si = S j + 20‬ﭘـﺲ‬ ‫‪ Si − S j = 20‬و اﻳﻦ راﺑﻄﻪ ﻳﻌﻨﻰ ﺷﻄﺮﻧﺞ ﺑﺎز از روز ‪ j +1‬ام ﺗﺎ روز‬ ‫‪i‬ام دﻗﻴﻘﺎً ‪ ٢٠‬ﺑﺎزى داﺷﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪S1 + 20< S2 + 20
‫********‬ ‫ﻣـﺜــﺎل ‪ ٤ .٥‬ﻋـﺪد از ﻣـﺠــﻤــﻮﻋـﻪ ى }‪{1,2, 3, 4, 8,9,12,16‬‬ ‫اﻧﺘﺨﺎب ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب دوﺗﺎ از اﻳﻦ اﻋﺪاد‪،‬‬ ‫ﻣﺮﺑﻊ ﻛﺎﻣﻞ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ‪ .‬دﺳﺘﻪ ﺑـﻨـﺪى }‪ {1, 4,9,16},{3,12},{2, 8‬ﺑﺮاى اﻋﻀـﺎى‬ ‫اﻳﻦ ﻣﺠﻤـﻮﻋﻪ را ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﺳﻪ ﻻﻧﻪ و ﭼﻬﺎر ﻋـﺪدِ اﻧﺘﺨـﺎب ﺷـﺪه از‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﭼﻬﺎر ﻛﺒﻮﺗﺮ در ﻧﻈﺮ ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻳﻢ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺣﺪاﻗﻞ‬ ‫ﻳﻚ ﻻﻧﻪ اﺳﺖ ﻛﻪ در آن ﺑﻴﺶ از ﻳﻚ ﻛﺒﻮﺗﺮ ﻗﺮار دارد‪ .‬ﭘﺲ ﺣﺪاﻗﻞ‬ ‫دوﺗﺎى آن ﻫﺎ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺑﺸﺎن ﻣﺮﺑﻊ ﻛﺎﻣﻞ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﻌﻤﻴﻢ اﺻﻞ ﻻﻧﻪ ﻛﺒﻮﺗﺮى‬ ‫اﮔﺮ ‪ m‬ﻛﺒﻮﺗﺮ درون ‪ n‬ﻻﻧﻪ ﻗﺮار داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ و ‪ ،m>nk‬آنﮔﺎه‬ ‫ﻻﻧﻪاى وﺟﻮد دارد ﻛﻪ در آن ﺣﺪاﻗﻞ ‪ k +1‬ﻛﺒﻮﺗﺮ ﻗﺮار دارد‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎلﻫﺎﻳﻰ ﺑﺮاى ﺗﻌﻤﻴﻢ اﺻﻞ ﻻﻧﻪ ﻛﺒﻮﺗﺮى‬ ‫ﻣﺜﺎل‪ .٦‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ در ﻳﻚ ﮔﺮوه ‪ ٦‬ﻧﻔﺮى‪ ،‬ﻫﻤﻮاره ﻣﻰ ﺗﻮان ‪٣‬‬ ‫ﻧﻔﺮ ﻳﺎﻓﺖ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ دو ﺑﻪ دو آﺷﻨﺎﻳﻨﺪ ﻳﺎ دو ﺑﻪ دو ﺑﺎ ﻳـﻜـﺪﻳـﮕـﺮ‬ ‫ﻧﺎآﺷﻨﺎﻳﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ‪ .‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ ‪ A‬ﻳﻜﻰ از اﻳﻦ ‪ ٦‬ﻧﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬دو ﻻﻧﻪ‪ ،‬ﻳﻜـﻰ‬ ‫ﺑﺮاى اﻓﺮاد آﺷﻨﺎ ﺑﺎ ‪ A‬و دﻳﮕﺮى ﺑﺮاى اﻓﺮادى ﻛﻪ ‪ A‬را ﻧﻤﻰ ﺷﻨﺎﺳﻨﺪ در‬ ‫ﻧﻈﺮ ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻳﻢ‪ .‬ﭼﻮن ﻣﻰ ﺧﻮاﻫﻴﻢ ‪ ٥‬ﻧﻔﺮ را در اﻳﻦ دو ﻻﻧﻪ ﻗﺮار دﻫﻴﻢ‬ ‫و ‪ 5 ≥ 2 × 2 +1‬ﭘﺲ در ﻳﻜﻰ از ﻻﻧﻪ ﻫﺎ ﺣﺪاﻗﻞ ‪ ٣‬ﻧﻔﺮ ﻗﺮار ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻧﺪ‬ ‫ﻳﻌﻨﻰ ﻳﺎ ﺣﺪاﻗﻞ ‪ ٣‬ﻧﻔﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﺎ ‪ A‬آﺷﻨﺎﻳﻨﺪ ﻳﺎ ﺣﺪاﻗﻞ ‪ ٣‬ﻧﻔﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‬ ‫‪٥١‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫ﻛﻪ ‪ A‬را ﻧﻤﻰ ﺷﻨﺎﺳﻨﺪ‪ .‬ﻣﺴﺌﻠﻪ را در اﻳﻦ دو ﺣﺎﻟﺖ ﺣﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ اول‪ :‬ﺣﺪاﻗﻞ ‪ ٣‬ﻧﻔﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻛﻪ ‪ A‬را ﻣﻰ ﺷﻨﺎﺳﻨﺪ‪:‬‬ ‫در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ اﮔﺮ در ﺑﻴﻦ ‪ ٣‬ﻧﻔﺮى ﻛﻪ ‪ A‬را ﻣﻰ ﺷﻨﺎﺳﻨﺪ ﺣﺪاﻗﻞ‬ ‫دو ﻧﻔﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻛﻪ ﻳﻜﺪﻳﮕـﺮ را ﻣﻰ ﺷﻨﺎﺳﻨﺪ‪ ،‬ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺣﻞ ﺷﺪه اﺳـﺖ‬ ‫)زﻳﺮا ﻫﻤﺎن دو ﻧﻔﺮ و ‪ ٣ ،A‬ﻧﻔﺮى ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ را ﻣﻰ ﺷﻨﺎﺳﻨﺪ(‬ ‫و اﮔﺮ در ﺑﻴﻦ اﻳـﻦ ‪ ٣‬ﻧﻔﺮ ﻫﻴﭻ ﻛﺪام ﻳﻜﺪﻳﮕـﺮ را ﻧﺸﻨﺎﺳﻨﺪ‪ ،‬ﺑـﺎز ﻫـﻢ‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺣﻞ ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ دوم‪ :‬ﺣﺪاﻗﻞ ﺳﻪ ﻧﻔﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻛﻪ ‪ A‬را ﻧﻤﻰ ﺷﻨﺎﺳﻨﺪ‪:‬‬ ‫در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ اﮔﺮ در ﺑﻴﻦ ‪ ٣‬ﻧﻔﺮى ﻛﻪ ‪ A‬را ﻧﻤﻰ ﺷﻨﺎﺳﻨﺪ ﺣﺪاﻗﻞ‬ ‫دو ﻧﻔﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻛﻪ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ را ﻧﻤﻰ ﺷﻨﺎﺳﻨﺪ‪ ،‬ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺣﻞ ﺷﺪه اﺳـﺖ‬ ‫)زﻳـﺮا ﻫـﻤـﺎن ‪ ٢‬ﻧـﻔـﺮ و ‪ ،A‬ﺳـﻪ ﻧـﻔـﺮى ﻫﺴـﺘـﻨـﺪ ﻛـﻪ ﻳـﻜـﺪﻳـﮕـﺮ را‬ ‫ﻧﻤﻰ ﺷﻨﺎﺳﻨﺪ( و اﮔﺮ اﻳﻦ ﺳﻪ ﻧﻔﺮ دو ﺑﻪ دو ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ را ﺑﺸﻨﺎﺳﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺎز‬ ‫ﻫﻢ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺣﻞ ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫********‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ .٧‬از ‪ ٢٠٠٠‬ﺷﺮﻛﺖ ﻛﻨﻨﺪه در ﻳﻚ ﻛﻨﻔﺮاﻧﺲ‪ ،‬ﻫﻴﭻ ﻓﺮدى‬ ‫ﺑﻴﺶ از ‪ ٥‬زﺑﺎن ﻧﻤﻰ داﻧﺪ‪ .‬در ﻫﺮ ﺟﻤﻊ ﺳﻪ ﻧﻔـﺮى‪ ،‬ﺣﺪاﻗﻞ ‪ ٢‬ﻧﻔـﺮ‬ ‫ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻪ ﻳﻚ زﺑﺎن ﻣﺸﺘﺮك ﺻﺤﺒﺖ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ دﺳﺖ ﻛﻢ‬ ‫‪ ٢٠١‬ﻧﻔﺮ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻪ ﻳﻚ زﺑﺎن ﻣﺸﺘﺮك ﺻﺤﺒﺖ ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ‪ .‬در ﺻﻮرﺗﻰ ﻛﻪ ﺗﻤﺎم اﻓﺮاد ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻪ ﻳﻚ زﺑﺎن ﻣﺸﺘﺮك ﺻﺤﺒﺖ‬ ‫ﻛﻨﻨﺪ‪ ،‬ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺣﻞ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬در ﻏﻴﺮ اﻳﻦ ﺻﻮرت ﺣﺪاﻗﻞ ‪ ٢‬ﻧﻔﺮ ﻣﺎﻧﻨﺪ‬ ‫‪ B‬و‪ A‬در ﺑﻴﻦ اﻓﺮاد ﻳﺎﻓﺖ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ ﻛﻪ ﻫﻴﭻ زﺑﺎن ﻣﺸﺘﺮﻛﻰ ﻧﺪارﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﺎل ‪ ٢‬ﻻﻧﻪ‪ ،‬ﻳﻜـﻰ را ﺑﺮاى اﻓﺮادى ﻛﻪ ﺑﺎ ‪ A‬ﺣﺪاﻗﻞ ﻳﻚ زﺑـﺎن‬ ‫ﻣﺸﺘـﺮك دارﻧﺪ و دﻳﮕﺮى را ﺑﺮاى اﻓـﺮادى ﻛﻪ ﺑﺎ ‪ B‬ﺣﺪاﻗﻞ ﻳﻚ زﺑـﺎن‬ ‫ﻣﺸﺘﺮك دارﻧﺪ در ﻧﻈﺮ ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻳﻢ و ﻫﺮﻳﻚ از ‪ ١٩٩٨‬ﻧﻔﺮ دﻳﮕﺮ را در‬ ‫اﻳﻦ ‪ ٢‬ﻻﻧﻪ ﻗﺮار ﻣﻰ دﻫﻴﻢ‪.‬‬ ‫ﻫﺮ ﻓﺮد از ﺑﻴﻦ ‪ ١٩٩٨‬ﻧﻔﺮ دﻳﮕﺮ را ﻛﻪ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ ﻫﻤﺮاه ﺑﺎ ‪A‬‬ ‫و ‪ B‬ﻳﻚ ﺟﻤﻊ ‪ ٣‬ﻧﻔﺮ ى ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻰ دﻫﻨﺪ‪ .‬ﻟﺬا ﺑﻨﺎﺑﺮ ﻓﺮض ﻣﺴﺌﻠﻪ‪،‬‬ ‫ﺣﺪاﻗﻞ ‪ ٢‬ﻧﻔﺮ از آن ﻫﺎ ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻪ زﺑﺎن ﻣﺸﺘﺮﻛﻰ ﺻﺤﺒﺖ ﻛﻨﻨـﺪ‪.‬‬ ‫در واﻗﻊ اﻳﻦ اﻓﺮاد ﻳﺎ ﺑﺎ ‪ A‬ﻳﻚ زﺑﺎن ﻣﺸﺘﺮك دارد ﻳﺎ ﺑﺎ ‪.B‬‬ ‫ﭼـﻮن ‪ ، 1998 ≥ 2 × 998 +1‬ﺑﻨﺎﺑـﺮاﻳﻦ در ﻳﻜـﻰ از ﻻﻧـﻪ ﻫـﺎى‬ ‫ﮔﻔﺘﻪ ﺷﺪه ﺣﺪاﻗﻞ ‪ ٩٩٩‬ﻧﻔﺮ ﻗﺮار ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻧﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﺒﺎرﺗﻰ‪ ،‬ﻳﺎ ﺣﺪاﻗﻞ‬ ‫‪ ٩٩٩‬ﻧﻔﺮ وﺟـﻮد دارﻧﺪ ﻛﻪ ﺑﺎ ‪ A‬ﻳﻚ زﺑﺎن ﻣﺸﺘـﺮك دارﻧﺪ ﻳﺎ ﺣﺪاﻗـﻞ‬ ‫‪ ٩٩٩‬ﻧﻔﺮ وﺟﻮد دارﻧﺪ ﻛﻪ ﺑﺎ ‪ B‬ﻳﻚ زﺑﺎن ﻣﺸﺘﺮك دارﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﺎﻟﺘـﻰ را در ﻧﻈﺮ ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻳﻢ ﻛـﻪ ‪ ٩٩٩‬ﻧﻔﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻛـﻪ ﺑـﺎ ‪ A‬ﻳﻚ‬ ‫زﺑﺎن ﻣﺸﺘﺮك دارﻧﺪ‪ .‬ﺗﻮﺟﻪ دارﻳﻢ ﻛـﻪ ‪ A‬ﺣﺪاﻛﺜﺮ ‪ ٥‬زﺑﺎن ﻣﻰ داﻧﺪ‪.‬‬ ‫اﮔــﺮ ‪ ٥‬ﻻﻧـﻪ ﺑــﺮاى اﻳـﻦ زﺑـﺎن ﻫــﺎ در ﻧــﻈــﺮ ﺑــﮕــﻴــﺮﻳــﻢ‪ ،‬ﭼــﻮن‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪٥٢‬‬

‫‪ 999 ≥ (199 × 5) +1‬ﭘﺲ در ﻳﻜﻰ از اﻳﻦ ﻻﻧﻪ ﻫﺎ ﺣﺪاﻗﻞ ‪٢٠٠‬ﻧﻔﺮ‬ ‫ﻗﺮار ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻧﺪ‪ ،‬ﻳﻌﻨﻰ ﺣﺪاﻗﻞ ‪ ٢٠٠‬ﻧﻔﺮ وﺟﻮد دارد ﻛﻪ در ﻳﻚ زﺑﺎن‬ ‫ﺑﺎ ‪ A‬ﻣﺸﺘﺮﻛﻨﺪ‪ .‬اﻳﻦ ‪ ٢٠٠‬ﻧﻔﺮ ﺑﻪ ﻫﻤﺮاه ‪ ،A‬ﻫﻤﺎن ‪ ٢٠١‬ﻧﻔﺮى ﻫﺴﺘﻨﺪ‬ ‫ﻛﻪ در ﻳﻚ زﺑﺎن ﻣﺸﺘﺮﻛﻨﺪ‪ .‬در ﺣﺎﻟﺖ دﻳﮕﺮ ﻧﻴﺰ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ‬ ‫ﺣﻞ ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦﻫﺎ‬ ‫‪ ٦ . ١‬ﻋﺪد از ﻣﺠﻤـﻮﻋﻪ ى }‪ {1,2,K,10‬اﻧﺘﺨﺎب ﻣﻰ ﻛﻨـﻴـﻢ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﺣﺪاﻗﻞ ﻳﻜﻰ از اﻳﻦ ﻋﺪدﻫﺎ ﺑﺮ دﻳﮕﺮى ﺑﺨﺶ ﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ ١١ . ٢‬ﻋﺪد از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ى }‪ {1,2,K,20‬اﻧﺘﺨﺎب ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻣﺠﻤﻮع دو ﺗﺎ از اﻳﻦ اﻋﺪاد‪ ،‬ﻋﺪدى اول اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .٣‬در ﻳﻚ ﻣﺴﺎﺑﻘﻪ‪ ،‬ﻫﺮ ﻧﻔـﺮ ‪ ١٠‬ﺗﻴﺮ ﺷﻠﻴﻚ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ و اﻣﺘـﻴـﺎز‬ ‫ﻫﺮ ﺷﻠﻴﻚ ‪١ ، ٠‬ﻳﺎ‪ ٣‬اﺳﺖ‪ .‬ﺣﺪاﻗﻞ ﭼﻨﺪ ﻧﻔﺮ در اﻳﻦ ﻣﺴﺎﺑﻘﻪ ﺷﺮﻛﺖ‬ ‫ﻛﻨﻨﺪ ﺗﺎ ﻣﻄﻤﺌﻦ ﺷﻮﻳﻢ در ﭘﺎﻳﺎن‪ ،‬دو ﻧﻔﺮ اﻣﺘﻴﺎز ﻳﻜﺴﺎن ﻣﻰ آورﻧﺪ؟‬ ‫‪ .٤‬از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ى }‪ ٧ ، {1,2,K,9‬ﻋﺪد اﻧﺘﺨﺎب ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﻛﻨﻴﺪ ﻣﺠﻤﻮع ‪٣‬ﺗﺎى آن ﻫﺎ ‪ ١٥‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .٥‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ

اى از اﻋﺪاد ‪ ٢‬رﻗﻤﻰ ﺑﺎ ‪ ١٠‬ﻋﻀﻮ ﻣﺘﻤﺎﻳﺰ ﻣﻔﺮوض‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﻫﻤﻴﺸﻪ ﻣﻰ ﺗـﻮان دو زﻳﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ى ﻣﺘﻤﺎﻳﺰ‬ ‫از اﻳﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اﻧﺘﺨﺎب ﻛﺮد ﺑﻪ ﻧﺤﻮى ﻛﻪ ﻣﺠﻤﻮع اﻋﻀﺎى آن ﻫﺎ ﺑﺎ‬ ‫ﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪٣٣ . ٦‬ﻋﺪد ﻃﺒﻴﻌﻰ ﻣﺘﻤﺎﻳﺰ ﻣﻔﺮوض اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺗﺠﺰﻳﻪ ى آن ﻫﺎ‬ ‫ﺑﻪ ﻋﻮاﻣﻞ اول‪ ،‬ﻓﻘﻂ اﻋﺪاد ‪ ٧ ، ٥ ، ٣، ٢‬و‪ ١١‬ﻇﺎﻫﺮ ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﺣﺪاﻗﻞ دو ﻋﺪد در ﺑﻴﻦ آن ﻫﺎ وﺟﻮد دارد ﻛﻪ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب‬ ‫آن ﻫﺎ ﻣﺮﺑﻊ ﻛﺎﻣﻞ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ (n +1) .٧‬ﻋﺪد از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ }‪ {1,2,K,2n‬در اﺧﺘﻴﺎر دارﻳﻢ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻳﻜﻰ از اﻳﻦ اﻋﺪاد ﺑﺮ ﻋﺪد دﻳـﮕـﺮى از آن ﻫﺎ ﺑﺨﺶ ﭘﺬﻳـﺮ‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﻨﺎﺑﻊ‬ ‫‪ .١‬ﻋﻠﻰ ﭘﻮر‪ ،‬ﻋﻠﻴﺮﺿﺎ‪ .(١٣٨٢) .‬ﺗﺮﻛﻴﺒﺎت‪ ،‬ﺟﻠﺪ اول‪ .‬اﻧﺘﺸﺎرات ﻓﺎﻃﻤﻰ‪ ،‬ﭼﺎپ دوم‪.‬‬ ‫‪ .٢‬آﻣﻮزش ﻫﻨﺮ ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ ،‬دﻓﺘﺮ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى و ﺗﺄﻟﻴ‪ m‬ﻛﺘﺐ درﺳﻰ‪.‬‬

‫اﺳﺘﻔﺎده!از!‬

‫اﺻﻞ!ﻻﻧﻪ!ﻛﺒﻮﺗﺮى‬ ‫در!ﺣﻞ!ﻣﺴﺎﻳﻞ!ﻣﺘﻨﻮع‬ ‫اﻟﻜﺴﺎﻧﺪر ﺑﻮرووﻳﻚ و اِﻟِﻨﺎ ﺑِﺴﻮوﻧﺎ‬ ‫ﺗﺮﺟﻤﻪ‪ :‬ﻓﺮﺷﺘﻪ رﻧﮕﻰ‬ ‫دﺑﻴﺮ رﻳﺎﺿﻰ ﺷﻬﺮﺳﺘﺎن ﮔﻨﺎﺑﺎد‬

‫اﮔﺮ ﺷﺶ ﻛـﺒـﻮﺗﺮ را در ﭘﻨﺞ ﻻﻧـﻪ ﻗـﺮار دﻫﻴﺪ‪ ،‬در اﻳـﻦ ﺻـﻮرت‬ ‫ﺣﺪاﻗﻞ ﻳﻚ ﻻﻧﻪ‪ ،‬ﺑﻴﺶ از ﻳﻚ ﻛﺒﻮﺗﺮ ﺧﻮاﻫﺪ داﺷﺖ‪.‬‬ ‫اﺳﺘﺪﻻل ﻫﺎﻳﻰ از اﻳﻦ دﺳﺖ در ﺣﻞ ﺑﺴﻴﺎرى از ﻣﺴﺎﺋﻞ رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣـﻰ روﻧﺪ و ﭼﻨﺪﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ى ﺟﺎﻟﺐ ﺑـﻪ ﻛـﻤـﻚ آن ﻫـﺎ اﺛـﺒـﺎت‬ ‫ﺷﺪه اﻧﺪ‪ .‬ﺗﻤﺎﻣﻰ اﻳﻦ اﺳﺘﺪﻻل ﻫﺎ در ﻧﺎم اﺻﻞ ﻻﻧﻪﻛﺒﻮﺗﺮى ﻣﺸﺘﺮﻛﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﻣﺴـﺎﺋـﻞ زﻳـﺮ‪ ،‬ﺑـﺮاى داﻧﺶ آﻣـﻮزان دﺑﻴـﺮﺳﺘﺎﻧﻰ ﻗـﺎﺑـﻞ ﻃـﺮح‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫اوﻟﻴﻦ ﻣﺜﺎلﻫﺎى ﺳﺎده‬ ‫ﻣﺜﺎل‪ ١٥ . ١‬داﻧﺶ آﻣﻮز دﻳﻜﺘﻪ ﻧﻮﺷﺘﻨﺪ‪ .‬آرش ‪ ١٣‬اﺷﺘﺒﺎه داﺷﺖ‬ ‫و دﻳﮕﺮ داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﻫﺮ ﻳﻚ ﻛﻤﺘﺮ از اﻳﻦ ﺗﻌﺪاد اﺷﺘﺒﺎه داﺷـﺘـﻨـﺪ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﺣﺪاﻗﻞ دو داﻧﺶ آﻣﻮز وﺟﻮد دارد ﻛﻪ ﺗﻌﺪاد اﺷﺘﺒﺎﻫﺎت‬ ‫ﻳﻜﺴﺎﻧﻰ دارﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ‪ .‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ اﻳﻦ داﻧﺶ آﻣﻮزان )ﻛﺒﻮﺗﺮﻫﺎ( ﻫﺴﺘﻨﺪ و آن ﻫﺎ را‬ ‫در ‪) ١٤‬ﻻﻧﻪ(‪ ،‬ﻛﻪ از ﺻﻔﺮ ﺗﺎ ‪ ١٣‬ﺷﻤﺎره ﮔﺬارى ﺷﺪه اﻧﺪ‪ ،‬ﺑﺮ اﺳﺎس‬ ‫ﺗﻌﺪاد اﺷﺘﺒﺎﻫﺎﺗﺸﺎن ﻗﺮار ﻣﻰ دﻫﻴﻢ‪ .‬در ﻻﻧﻪ ى ﺻﻔﺮ‪ ،‬داﻧﺶ آﻣﻮزاﻧﻰ‬ ‫را ﻗـﺮار ﻣﻰ دﻫـﻴـﻢ ﻛـﻪ ﻫـﻴـﭻ اﺷـﺘـﺒـﺎﻫـﻰ ﻧـﺪاﺷـﺘـﻨـﺪ‪ ،‬در ﻻﻧـﻪ ى ‪١‬‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزاﻧﻰ را ﻗﺮار ﻣﻰ دﻫﻴﻢ ﻛﻪ دﻗﻴﻘﺎً ﻳﻚ اﺷﺘﺒﺎه دارﻧﺪ‪ ،‬در ﻻﻧﻪ ى‬ ‫‪ ٢‬داﻧﺶ آﻣﻮزاﻧﻰ را ﻗﺮار ﻣﻰ دﻫﻴﻢ ﻛﻪ ‪ ٢‬اﺷﺘﺒﺎه دارﻧﺪ و ﻫﻤﻴﻦ ﻃﻮر ﺗﺎ‬ ‫ﻓﺎ ﺗـﻮﺳﻂ آرش اﺷﻐﺎل ﺧـﻮاﻫﺪ ﺷﺪ‪.‬‬ ‫آﺧﺮ‪ .‬ﻣﻄﻤﺌـﻨـﺎً ﻻﻧﻪ ى ‪ ١٣‬ﺻﺮ ً‬ ‫ﺣﺎل اﺻﻞ ﻻﻧﻪ ﻛﺒﻮﺗﺮى را اﻋﻤﺎل ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ ﺗﺎ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺣﺎﺻﻞ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪١‬‬

‫ﻣﺜـﺎل‪ .٢‬ﻳﻚ ﮔﺮوه ‪ ٣٠‬ﻧﻔـﺮى از داﻧﺶ آﻣﻮزان دﻳﻜﺘﻪ ﻧـﻮﺷﺘﻨـﺪ‪.‬‬ ‫آرش ‪ ١٣‬اﺷﺘﺒﺎه داﺷﺖ و دﻳﮕﺮ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ﻫﺮ ﻳﻚ ﻛﻤﺘﺮ از اﻳـﻦ‬ ‫ﻋﺪد اﺷﺘﺒﺎه داﺷﺘﻨﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻛـﻪ ﺣـﺪاﻗـﻞ ‪ ٣‬ﻧﻔﺮ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺴـﺎوى‬ ‫اﺷﺘﺒﺎه دارﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ‪ .‬روش ﻛﺎﻫﺶ را ﺑﺮاى ﺗﻨﺎﻗﺾ ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ ﺑﺮﻳﻢ‪ .‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ‬ ‫ﻛﻪ ﻫﻴﭻ ‪ ٣‬داﻧﺶ آﻣـﻮزى ﺑﻪ ﻃﻮر ﻳﻜﺴﺎن اﺷﺘﺒﺎه ﻧﺪاﺷﺘﻨﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﺑـﺪان‬ ‫ﻣﻌﻨﻰ اﺳـﺖ ﻛـﻪ ﻫـﺮ ﻳـﻚ از ‪ ١٣‬ﻻﻧﻪ ) ‪٠‬ﺗـﺎ‪ (١٢‬ﺷﺎﻣﻞ ﻛﻤـﺘـﺮ از ‪٣‬‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮز اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺗﻤﺎم اﻳﻦ ﻻﻧﻪ ﻫﺎ روى ﻫﻢ داراى ﺣﺪاﻛﺜﺮ‬ ‫‪ ١٣×٢=٢٦‬داﻧﺶ آﻣﻮز اﺳﺖ‪ .‬آرش را ﺑﻪ اﻳﻦ ﻋﺪد اﺿﺎﻓﻪ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫در اﻳﻦ ﺻـﻮرت‪ ،‬ﺣﺪاﻛـﺜـﺮ ‪ ٢٧‬داﻧﺶ ﺧـﻮاﻫﻴﻢ داﺷـﺖ و ﻧـﻪ ﻃـﺒـﻖ‬ ‫ﺻﻮرت ﻣﺴﺌﻠﻪ ‪ ٣٠‬داﻧﺶ آﻣﻮز‪ .‬ﺑﻪ ﻧﻘﻄﻪ ى ﺗﻨﺎﻗﺾ رﺳﻴﺪﻳﻢ‪.‬‬ ‫اوﻟﻴﻦ ﺗﻤﺮﻳﻦﻫﺎ‬ ‫)* ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪه ى ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﺸﻜﻞ ﺗﺮ اﺳﺖ‪(.‬‬ ‫‪ .١‬ﺟﻤﻌﻴﺖ ﻣﻨﭽﺴﺘﺮ ﺑﺰرگ‪ ،‬ﺑﻴﺶ از ‪ ٦٠٠٠٠٠٠‬ﻧﻔﺮ اﺳﺖ و‬ ‫ﻫﻴﭻ ﻛﺴﻰ ﺑﻴﺶ از ‪ ١٠٠٠٠٠‬ﻣﻮ روى ﺳﺮش ﻧﺪارد‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ‬ ‫‪ ٥٩‬ﻧﻔﺮ از ﺳﺎﻛﻨﺎن ﻣﻨﭽﺴﺘﺮ ﺑﺰرگ‪ ،‬ﺗﻌﺪاد ﻳﻜﺴﺎﻧﻰ ﻣﻮ دارد‪.‬‬ ‫راﻫﻨﻤـﺎﻳـﻰ‪ ١٠٠٠٠١ :‬ﻻﻧﻪ ﺑـﺎ ﺷـﻤـﺎره ﻫﺎى ‪ ٠‬و ‪١‬و‪ ،٢‬و… و‬ ‫‪ ١٠٠٠٠٠‬در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ ﻛﻪ در آن‪ ،‬ﺷـﻤـﺎره ى ﻻﻧﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ﺗﻌـﺪاد‬ ‫ﻣﻮﻫﺎى روى ﺳﺮ اﻓﺮادى اﺳﺖ ﻛﻪ در آن ﻧﺸﺴﺘﻪ اﻧﺪ‪.‬‬ ‫‪ .٢‬در ﻣﺪرﺳﻪ اى ‪ ٣٠‬ﻛﻼس و ‪ ١٠٠٠‬داﻧﺶ آﻣﻮز وﺟﻮد دارد‪.‬‬ ‫‪٥٣‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﺣﺪاﻗﻞ ﻳﻚ ﻛﻼس‪ ،‬داراى ‪ ٣٤‬داﻧﺶ آﻣﻮز اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .٣‬درون ﺟﻌﺒﻪ اى ﺗﻌﺪادى ﻣﺪاد وﺟﻮد دارد‪١٠ :‬ﻗﺮﻣﺰ‪ ٨ ،‬آﺑﻰ‪،‬‬ ‫‪ ٨‬ﺳـﺒـﺰ و ‪ ٤‬زرد‪ .‬ﺑـﺎ ﭼـﺸـﻢ ﺑـﺴـﺘـﻪ‪ ،‬ﺗـﻌـﺪادى ﻣــﺪاد را از ﺟـﻌـﺒـﻪ‬ ‫ﺑﺮﻣﻰ دارﻳﻢ‪ .‬ﺑـﺮاى اﻳﻦ ﻛﻪ ﻣﻄﻤﺌﻦ ﺑﺎﺷﻴﻢ ﺣـﺪاﻗـﻞ ‪ ٤‬ﻣﺪاد ﻳﻚ رﻧﮓ‬ ‫دارﻳﻢ‪ ،‬ﺣﺪاﻗﻞ ﭼﻨﺪ ﻣﺪاد را ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺮدارﻳﻢ؟‬ ‫راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ‪ ٤ :‬ﻻﻧﻪ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪ ،‬ﻳﻜﻰ ﺑﺮاى ﻣﺪادﻫﺎى ﻗﺮﻣﺰ‪،‬‬ ‫دوﻣﻰ ﺑﺮاى ﻣﺪادﻫﺎى آﺑﻰ‪ ،‬ﺳـﻮﻣﻰ ﺑﺮاى ﻣﺪادﻫﺎى ﺳﺒﺰ‪ ،‬ﭼـﻬـﺎرﻣﻰ‬ ‫ﺑﺮاى ﻣﺪادﻫﺎى زرد‪.‬‬ ‫‪ ٥٠٠ .٤‬ﺟﻌﺒﻪ ﺳﻴﺐ دارﻳﻢ ﻛﻪ ﺗﻌﺪاد ﺳﻴﺐ ﻫﺎى ﻣﻮﺟﻮد در ﻫﻴﭻ‬ ‫ﻳﻚ‪ ،‬ﺑﻴﺶ ﺗﺮ از ‪ x‬ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬ﺑﻴﺶ ﺗﺮﻳﻦ ﻣﻘﺪار ‪ x‬را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ ﺑﻪ ﻃﻮرى ﻛﻪ‬ ‫ﺑﺘﻮان ﺳﻪ ﺟﻌﺒﻪ ﺑﺎ ﺗﻌﺪاد ﻣﺴﺎوى ﺳﻴﺐ ﻳﺎﻓﺖ‪.‬‬

‫ﺗﺬﻛﺮ‪ :‬از اﻳﻦ ﺧﺎﺻﻴﺖ اﻋﺪاد اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮده اﻳﻢ‪ :‬اﮔﺮ ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪه‬ ‫ﺗﻘﺴﻴﻢ دو ﻋﺪد ‪ a‬و‪ b‬ﺑﺮ ‪ c‬ﻳﻚ ﻋﺪد ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬در اﻳﻦ ﺻـﻮرت ‪ a-b‬ﺑﺮ ‪c‬‬ ‫ﺑﺨﺶ ﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ‪.‬‬

‫اﺻﻞ ﻻﻧﻪﻛﺒﻮﺗﺮى در ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ راﺑﻄﻪ ى »آﺷﻨﺎﻳﻰ« ﻣﺘﻘﺎرن اﺳﺖ‪ :‬اﮔﺮ ﺣﺴﻦ ﺑﺎ رﺿﺎ‬ ‫آﺷﻨﺎ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬در اﻳﻦ ﺻﻮرت رﺿﺎ ﺑﺎ ﺣﺴﻦ آﺷﻨﺎﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪ ٥٠ .٣‬ﻧﻔﺮ در اﺗﺎق ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﻌﻀﻰ از آن ﻫﺎ ﺑﺎ ﻳﻜﺪﻳﮕـﺮ‬ ‫آﺷﻨﺎ ﻣﻰ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ در اﻳﻦ اﺗﺎق دو ﻧﻔﺮ ﻫﺴﺘﻨـﺪ ﻛـﻪ ﺗـﻌـﺪاد‬ ‫آﺷﻨﺎﻳﺎن ﻳﻜﺴﺎﻧﻰ دارﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ‪ .‬اﮔﺮ در اﻳﻦ اﺗﺎق ﻳﻚ ﻧﻔﺮ ﺑـﺎﺷـﺪ ﻛـﻪ اﺻـﻼً ﻫﻴﭻ آﺷﻨـﺎﻳـﻰ‬ ‫ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬در اﻳﻦ ﺻﻮرت ﻫﺮ ﻳﻚ از ﺳﺎﻳﺮ اﻓﺮاد ﺣﺎﺿﺮ در اﺗﺎق‬ ‫ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ‪ ١ ، ٢ ،…، ٤٨‬آﺷﻨﺎ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﻳﺎ ﻫﻴﭻ آﺷﻨﺎﻳﻰ ﻧﺪاﺷﺘﻪ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‪ ٤٩ ،‬ﻻﻧﻪ ﺑﺎ ﺷﻤﺎره ﻫﺎى ‪ ٤٨ ، … ، ٢ ، ١ ، ٠‬دارﻳﻢ‬ ‫ﻛﻪ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻴﻦ ‪ ٥٠‬ﻧﻔﺮ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎل‪ .٥‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻋﺪد ‪ ١٩٩٧‬ﻣﻀﺮﺑـﻰ دارد ﻛﻪ ارﻗﺎم آن ﻓﻘﻂ‬ ‫‪٠‬و‪ ١‬اﺳﺖ؟‬ ‫ﺣﻞ‪ .‬اﻳﻦ ‪ ١٩٩٨‬ﻋﺪد را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪:‬‬ ‫‪ ١١١ ،… ، ١١١ …١١١‬و ‪ ١١‬و ‪١‬‬ ‫در ﺗﻘﺴﻴﻢ اﻳﻦ اﻋﺪاد ﺑﺮ ‪ ١٩٩٧‬ﻳﻜﻰ از ‪ ١٩٩٧‬ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪه ى زﻳﺮ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﻣﻰ ﺷﻮد‪:‬‬ ‫‪ ١ ، ٢ ، ٣،…٬١٩٩٦‬و ‪٠‬‬ ‫ﻣـﺎ ‪ ١٩٩٨‬ﻋـﺪد و ‪ ١٩٩٧‬ﺑﺎﻗـﻴـﻤـﺎﻧـﺪه دارﻳـﻢ ﺑـﺮ اﺳـﺎس اﺻـﻞ‬ ‫ﻻﻧﻪ ﻛﺒﻮﺗـﺮى دو ﻋﺪد ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪه ى ﻳﻜﺴﺎﻧـﻰ دارﻧﺪ‪ .‬اﺧﺘﻼف اﻳـﻦ دو‬ ‫ﻋﺪد ﺑﺮ ‪ ١٩٩٧‬ﺑﺨﺶ ﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ‪ .‬واﺿﺢ اﺳﺖ ﻛﻪ اﻳﻦ اﺧﺘﻼف ﺑﻪ‬ ‫ﺷﻜﻞ ﻋﺪدى ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ﻛﻪ رﻗﻢ ﻫﺎى آن ﺗﻨﻬﺎ ‪٠‬و‪ ١‬ﻣﻰ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬

‫ﺑﻘﻴﻪى ﺗﻤﺮﻳﻦﻫﺎ‬ ‫‪ .٥‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ در اﺗﺎﻗﻰ ‪ 1< n‬ﻧﻔﺮ ﺣﻀـﻮر دارﻧﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ‬ ‫ﺣﺪاﻗﻞ دو ﻧﻔﺮ از آن ﻫﺎ ﺗﻌﺪاد آﺷﻨﺎﻳﺎن ﻣﺴـﺎوى دارﻧﺪ‪) .‬اﺛﺒﺎت ﻣﺜﺎل‬ ‫‪ ٣‬را ﻛﺎﻣﻞ ﻛﻨﻴﺪ‪(.‬‬ ‫‪ .٦‬ده ﺗﻴﻢ ﻓـﻮﺗﺒﺎل در ﻳـﻚ ﺑـﺎزى رو در رو ﺷﺪﻧﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨـﻴـﺪ‬ ‫ﻫﻢ زﻣﺎن‪ ،‬دو ﺗﻴﻤﻰ ﻛﻪ ﺗﻌـﺪاد ﺑـﺎزى ﻳﻜﺴﺎن داﺷﺘﻪ اﻧﺪ‪ ،‬ﻣﻘﺎﺑـﻞ ﻫـﻢ‬ ‫ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺑﻮد‪.‬‬ ‫راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ‪ :‬ﻏﻴﺮﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺗﻴﻤﻰ اﺻـﻼً ﺑﺎزى ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫در ﺣﺎﻟﻰ ﻛﻪ ﺗﻴﻢ دﻳﮕﺮى ﺑﺎ ﺗﻤﺎم ﺗﻴﻢ ﻫﺎ ﺑﺎزى ﻛﺮده ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬

‫ﻣﻄﻤﺌﻨﺎ ﺷﻤﺎ ﻣﺘﻮﺟﻪ ﻧﺎرﺳﺎﻳﻰ راه ﺣﻞ ﻣﺎ ﺷﺪه اﻳﺪ‪ :‬ﻣﺎ وﺟﻮد‬ ‫ً‬ ‫ﺗﺬﻛﺮ‪:‬‬ ‫ﻳﻚ ﻋﺪد ﻃﺒـﻴـﻌـﻰ را ﻛﻪ ﺗﻨـﻬـﺎ ﺑـﺎ ‪١‬و‪٠‬ﻧﻮﺷﺘـﻪ ﻣـﻰ ﺷـﻮد و ﺑﺮ ‪١٩٩٧‬‬ ‫ﺑﺨﺶ ﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ ﺛﺎﺑﺖ ﻛﺮده اﻳﻢ‪ .‬ﺗﻨﻬﺎ ﭼﻴﺰى ﻛﻪ ﻣﻰ داﻧﻴﻢ اﻳﻦ اﺳﺖ‬ ‫ﻛﻪ ﻋﺪد ﻣﺎ ﺑﻴﺶ ﺗﺮ از ‪ ١٩٩٨‬رﻗﻢ ﻧﺪارد و ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ‬ ‫)رﻗﻢ ‪ ١١…١١ (n‬ـ )رﻗﻢ ‪١١…١١…٠٠…٠٠=١١…١١ (m‬‬ ‫ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻣﺘﺄﺳﻔﺎﻧﻪ روش ﻣﺎ ﺑﻴﺶ از اﻳﻦ ﭼﻴﺰى اراﺋﻪ ﻧﻤﻰ دﻫﺪ‪ .‬در ﻣﺴﺎﺋﻞ‬ ‫ﺑﻌﺪى ﺑﺎ ﻫﻤﻴﻦ ﻣﺸﻜﻞ ﻣـﻮاﺟﻪ ﺧـﻮاﻫﻴﻢ ﺷﺪ‪ .‬در اﻳﻦ ﻣﺴﺎﺋﻞ‪ ،‬ﻻزم‬ ‫اﺳﺖ ﺗﻨﻬﺎ وﺟﻮد اﻋﺪاد ﻳﺎ ﺟﻤﻊ ﺧﺎص را ﺑﺪون ﻧﺸﺎن دادن ﻫﻴﭻ ﻋﺪد‬ ‫ﻳﺎ ﺟﻤﻊ ﺧﺎﺻﻰ ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬

‫اﺻﻞ ﻻﻧﻪ ﻛﺒﻮﺗﺮى و ﺑﺨﺶﭘﺬﻳﺮى‬ ‫ﻣﺜـﺎل‪ .٤‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨـﻴـﺪ از ﺑـﻴـﻦ ‪ ١٢‬ﻋﺪد ﻋﺪد ﻃﺒﻴـﻌـﻰ دﻟـﺨـﻮاه‪،‬‬ ‫ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﻴﻢ دو ﻋـﺪد را ﻃﻮرى اﻧﺘﺨﺎب ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ اﺧﺘـﻼﻓـﺸـﺎن ﺑـﺮ ‪١١‬‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪٥٤‬‬

‫ﺑﺨﺶ ﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺣـﻞ‪ :‬ﺑـﺎ ﺗـﻘـﺴـﻴـﻢ ﺑـﺮ ‪ ١١ ، ١١‬ﺑـﺎﻗـﻴـﻤـﺎﻧـﺪه ﻣـﻤـﻜـﻦ اﺳـﺖ‪:‬‬ ‫‪١ ، ٢ ، … ، ١٠‬و‪ .٠‬اﻣﺎ ﻣـﺎ ‪ ١٢‬ﻋﺪد دارﻳﻢ‪ .‬اﮔﺮ ﺑﺎﻗﻴـﻤـﺎﻧـﺪه ﻫـﺎ را‬ ‫»ﻻﻧﻪ« و اﻋﺪاد را »ﻛﺒﻮﺗﺮ« در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ‪ ،‬در اﻳﻦ ﺻﻮرت ﺑﺮ اﺳﺎس‬ ‫اﺻﻞ ﻻﻧﻪ ﻛﺒﻮﺗﺮى ﺣﺪاﻗﻞ دو ﻛﺒﻮﺗﺮ ﻻﻧﻪ ى ﻳﻜﺴﺎن دارﻧﺪ‪ ،‬ﻳﻌﻨﻰ دو‬ ‫ﻋﺪد ﺑﺎ ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪه ى ﻳﻜﺴـﺎن وﺟﻮد دارﻧﺪ و ﻟﺬا اﺧﺘﻼف اﻳﻦ دو ﻋﺪد‬ ‫ﺑﺮ ‪ ،١١‬ﺑﺨﺶ ﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪ .٧‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ از ﻣﻴﺎن ﻫﺮ ﺳﻪ ﻋﺪد ﻃﺒﻴﻌﻰ‪ ،‬ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻴﻢ دو ﺗﺎ از‬ ‫آن ﻫﺎ را ﺑﺎ ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ زوج اﻧﺘﺨﺎب ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬

‫‪ .٨‬ﭘﻨﺞ ﻋﺪد ﻃﺒﻴﻌﻰ دﻟﺨﻮاه ‪ a 5‬و … و ‪ a1‬دارﻳﻢ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ‬ ‫ﻳﺎ ﻳﻜﻰ از اﻳﻦ ﻫﺎ ﺑﺮ ‪ ٥‬ﺑﺨﺶ ﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ ﻳﺎ ﻣﺠﻤﻮع ﭼﻨﺪ ﺗﺎ از آن ﻫﺎ ﺑﺮ‬ ‫‪ ٥‬ﺑﺨﺶ ﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ‪ :‬ﭘﻨﺞ ﺟﻤﻊ زﻳﺮ را درﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪:‬‬ ‫‪ a1 + a 2 +L+a 5‬و… و ‪ a1 + a 2 + a 3‬و ‪ a1 + a 2‬و ‪a1‬‬ ‫‪ .٩‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴـﺪ از ﻫـﺮ ‪ ١٠٠‬ﻋﺪد ﻃﺒﻴﻌﻰ‪ ،‬ﻳﻚ ﻋﺪد ﻳﺎ ﺟـﻤـﻊ‬ ‫ﭼﻨﺪ ﻋﺪد ﻫﺴﺖ ﻛﻪ ﺑﺮ ‪ ١٠٠‬ﺑﺨﺶ ﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .١٠‬ﺛـــــﺎﺑـــــﺖ ﻛـــــﻨـــــﻴـــــﺪ ﻋـــــﺪدى ﺑـــــﻪ ﺷـــــﻜـــــﻞ‬ ‫‪ ١٩٩٧١٩٩٧…١٩٩٧٠٠…٠٠‬وﺟــــﻮد دارد ﻛـــﻪ ﺑــــﺮ ‪١٩٩٨‬‬ ‫ﺑﺨﺶ ﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .١١‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﺑﻪ ازاى ﻫﺮ ﻋﺪد ﻃﺒﻴﻌﻰ ‪ .n‬ﻋﺪدى وﺟﻮد دارد‬ ‫ﻛﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺎ ‪٥‬و‪ ٠‬ﻧﻮﺷﺘﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد و ﺑﺮ ‪ n‬ﺑﺨﺶ ﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ‪ n :‬ﻋﺪد ‪ ٥٥٥ ، ٥‬و… را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪.‬‬ ‫‪ .١٢‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ از ﻫﺮ ‪ ٥٢‬ﻋﺪد ﻃﺒﻴﻌﻰ‪ ،‬دو ﻋﺪد ‪ n‬و ‪ m‬را ﺑﻪ‬ ‫ﮔﻮﻧﻪ اى ﻣﻰ ﺗﻮان ﻳﺎﻓﺖ ﻛﻪ ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ آن ﻫﺎ )‪ (m+n‬و ﻳﺎ اﺧﺘﻼف‬ ‫آن دو )‪ (m-n‬ﺑﺮ ‪ ١٠٠‬ﺑﺨﺶ ﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬آﻳﺎ ﻫﻤﻴﻦ ﮔﻔﺘﻪ‪ ،‬در ﻣﻮرد‬ ‫‪ ٥١‬ﻋﺪد ﻃﺒﻴﻌﻰ دﻟﺨﻮاه ﻧﻴﺰ ﺻﺎدق اﺳﺖ؟‬ ‫‪ .١٣‬ﺑﺎ داﺷﺘﻦ ‪ n‬ﻋﺪد‪ ،‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﺑﻌﻀﻰ از آن ﻫﺎ )ﺷﺎﻳﺪ ﻳﻜﻰ(‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ ﺷﺎن ﺑﺮ ‪ n‬ﺑﺨﺶ ﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ؟‬ ‫‪ .١٤‬ﺛــﺎﺑــﺖ ﻛــﻨــﻴــﺪ ﻳــﻚ ﻋــﺪد ﻃــﺒــﻴــﻌــﻰ ﺑــﻪ ﺷـــﻜـــﻞ‬ ‫‪ ١٩٩٧١٩٩٧…١٩٩٧‬وﺟـﻮد دارد ﻛـﻪ ﺑــﺮ ‪ ١٩٩٩‬ﺑـﺨـﺶ ﭘـﺬﻳـﺮ‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫اﺻﻞ ﻻﻧﻪﻛﺒﻮﺗﺮى و ﻫﻨﺪﺳﻪ‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ ٥١ .٦‬ﻧﻘﻄﻪ ﺑﻪ دﻟﺨﻮاه داﺧﻞ ﻣﺮﺑﻌﻰ ﺑﻪ ﻃﻮل ﺿﻠﻊ‪ ١‬ﻗﺮار‬ ‫داده ﺷﺪﻧﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ‪ ٣‬ﺗﺎ از آن ﻫﺎ را ﻣﻰ ﺗﻮن ﺑﺎ داﻳﺮه اى ﺑﻪ ﺷﻌﺎع‬ ‫‪ 1‬ﭘﻮﺷﺶ داد‪.‬‬ ‫‪7‬‬

‫ﺣﻞ‪ .‬ﻣﺮﺑـﻊ را ﺑﻪ ‪ ٢٥‬ﻣﺮﺑﻊ ﻛـﻮﭼﻚ ﻫﺮ ﻳﻚ ﺑـﻪ ﻃـﻮل ﺿﻠﻊ‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻴﺪ‪ .‬در اﻳﻦ ﺻﻮرت ﺣﺪاﻗﻞ ﻳﻜﻰ از اﻳﻦ ﻣﺮﺑﻊ ﻫﺎى ﻛﻮﭼﻚ‬ ‫)ﻻﻧﻪ( داراى ﺣﺪاﻗﻞ ﺳﻪ ﻧﻘﻄﻪ )ﻛﺒـﻮﺗﺮ( ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬در واﻗﻊ‪ ،‬اﮔﺮ‬ ‫اﻳﻦ ﺻﺤﺖ ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬در اﻳﻦ ﺻﻮرت ﻫﺮ ﻣﺮﺑﻊ ﻛﻮﭼﻚ‪ ،‬داراى‬ ‫دو ﻧﻘﻄﻪ ﻳﺎ ﻛﻤﺘـﺮ ﺧـﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ﻛﻪ در اﻳﻦ ﺻـﻮرت ﺗﻌﺪاد ﻛﻞ ﻧﻘـﺎط‪،‬‬ ‫ﺑﻴﺶ ﺗﺮ از ‪ ٢٥×٢=٥٠‬ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬اﻳﻦ ﻣﺘﻨﺎﻗﺾ ﺑﺎ ﻓﺮﺿﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ‪٥١‬‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ دارﻳﻢ‪ .‬ﺣﺎل‪ ،‬داﻳﺮه اى ﻣﺤﻴﻂ ﺑﺮ اﻳﻦ ﻣﺮﺑﻊ ﺑﺎ ﺳﻪ ﻧﻘﻄﻪ در داﺧﻞ‬ ‫آن ﻧﻴﺰ ﺷﺎﻣﻞ اﻳﻦ ‪ ٣‬ﻧﻘﻄﻪ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ﻛﻪ ﺷﻌﺎع آن‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫= ‪r = ( )2 + ( )2‬‬ ‫<‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪15 7‬‬

‫اﺳﺖ‪ .‬ﻟﺬا‪ ،‬اﮔﺮ داﻳﺮه اى ﺑﻪ ﻣﺮﻛﺰ ﻣﺤﻞ ﺗﻼﻗﻰ ﻗﻄﺮﻫﺎى ﻣﺮﺑﻌﻰ‬ ‫ﻛﻪ ﺷﺎﻣﻞ ﺣﺪاﻗﻞ ﺳﻪ ﻧﻘﻄﻪ اﺳﺖ و ﺑﻪ ﺷﻌﺎع ‪ 1‬رﺳﻢ ﻛﻨﻴﻢ‪ ،‬ﺣﺘﻤﺎً ‪٣‬‬ ‫‪7‬‬

‫ﻧﻘﻄﻪ را ﺷﺎﻣﻞ ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﺳﺎﻳﺮ ﺗﻤﺮﻳﻦﻫﺎ‬ ‫‪ .١٥‬ﻫﻔﺖ ﺧﻂ روى ﺻﻔﺤﻪ داده ﺷﺪه اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫﻴﭻ دو ﺗـﺎى‬ ‫آن ﻫﺎ ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﻮازى ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ دو ﺧﻂ وﺟﻮد دارد ﻛﻪ زاوﻳﻪ ى‬ ‫ﺑﻴﻨﺸﺎن ﻛﻤﺘﺮ از ‪ ٢٦‬درﺟﻪ اﺳﺖ‪ .‬آﻳﺎ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻫﻤﻴﻦ ادﻋﺎ را درﺑﺎره‬ ‫‪ ٢٥‬درﺟﻪ ﻧﻴﺰ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ؟‬ ‫‪ .١٦‬ﭘﻨﺞ ﻧﻘﻄﻪ درون ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴـﺎوى اﻻﺿﻼﻋﻰ ﺑﻪ ﻃﻮل ﺿﻠﻊ‬ ‫‪ ١‬ﻗﺮار داده ﺷﺪه اﻧﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ دو ﻧﻘﻄﻪ از آن ﻫﺎ در ﻓﺎﺻﻠﻪ ى ﻛﻤﺘﺮ‬ ‫از ‪ ٠٫٥‬از ﻳﻚ دﻳﮕﺮ ﻗﺮار دارﻧﺪ‪.‬‬ ‫راﻫﻨﻤﺎﻳـﻰ‪ :‬ﺳﻪ ﻣﻴﺎﻧﻪ ى اﻳﻦ ﻣﺜـﻠـﺚ را رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﻣﻴﺎﻧـﻪ ﻫـﺎ‬ ‫ﻣﺜـﻠـﺚ را ﺑﻪ ﭼﻬﺎر ﻣﺜـﻠـﺚ ﻣـﺘـﺴـﺎوى اﻻﺿﻼع ﻛـﻮﭼﻚ ﺗﺮ ﺗﻘـﺴـﻴـﻢ‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪ .١٧‬ﻧﻘﺎط ﻳﻚ ﺷﺒﻜﻪ ى ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﺷﻜﻞ ﺑﻪ دو رﻧﮓ‪ ،‬رﻧﮓ آﻣﻴﺰى‬ ‫ﺷﺪه اﻧﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﺪ دو ﺧﻂ ﻋﻤـﻮدى و دو ﺧﻂ اﻓﻘﻰ در اﻳﻦ ﺷﺒﻜﻪ‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﻧﻘﺎط ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺷﺎن داراى ﻳﻚ رﻧﮓ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ‪ ٣ :‬ﺧﻂ ﻋﻤﻮدى و ‪ ٩‬ﺧﻂ اﻓﻘﻰ و ﺗﻤﺎم رﻧﮓ آﻣﻴﺰى ﻫﺎى‬ ‫ﻣﻤﻜﻦ ﺑﺮاى ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺷﺎن را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪.‬‬ ‫اﻗﻌﺎ ﺳﺨﺖ‬ ‫و اﻳﻦ ﻫﻢ ﻳﻚ ﻣﺴﺌﻠﻪى و ً‬ ‫ﭼﻨﺎن ﭼﻪ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻗﺒـﻠـﻰ را ﺣﻞ ﻛـﺮده ﺑﺎﺷﻴﺪ ﭼﻨﺪان ﻫﻢ ﻣﺸـﻜـﻞ‬ ‫ﻧﻴﺴﺖ!‬ ‫‪ .١٨‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻳﻜﻰ از ﺗﻮان ﻫﺎى ‪ ٢‬ﻫﺴﺖ ﻛﻪ ﺑﺎ ارﻗﺎم ‪١٩٩٩‬‬ ‫ﺷﺮوع ﻣﻰ ﺷﻮد‪2n = 1999K :‬‬ ‫راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ‪ log2 10 :‬ﻋﺪدى اﺻﻢ اﺳﺖ )ﮔﻮﻳﺎ ﻧﻴﺴﺖ(‪.‬‬ ‫ﭘﻰﻧﻮﺷﺖ‬ ‫‪ .١‬ﺑﺮاى روان ﺗﺮ ﺷﺪن ﻣﺘﻦ‪ ،‬ﺑﻪ ﺟﺎى »ﺟـﺎن ﺑـﻮل« و اﺳﺎﻣﻰ دﻳﮕﺮ ﻛﻪ در ﻣﻘﺎﻟﻪ ى اﺻﻠـﻰ آﻣـﺪه‪ ،‬از‬ ‫اﺳﺎﻣﻰ اﻳﺮاﻧﻰ ﻛﻪ ﺑﺮاى ﺧﻮاﻧﻨﺪه ى ﻓﺎرﺳﻰ زﺑﺎن ﻣﺄﻧﻮس ﺗﺮ اﺳﺖ‪ ،‬اﺳﺘﻔﺎده ﺷﺪ‪.‬‬

‫ﻣﻨﺒﻊ اﺻﻠﻰ‪:‬‬ ‫‪Alexandre V. Borovik, Elena V. Bessonova, what is The Pigeon-Hole‬‬ ‫?‪Principle‬‬ ‫‪www.maths.manchester.ac.uk/~avb/pigeon.html‬‬

‫‪٥٥‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫درﺳﻰ!ﻛﻪ!از‬

‫آﻣﻮزش!رﻳﺎﺿﻰ!آﻣﻮﺧﺘﻢ!‬ ‫زﻫﺮا ﺻﺒﺎغ‪%‬زاده ﻓﻴﺮوز‪%‬آﺑﺎدى‬ ‫دﺑﻴﺮ رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻴﺒﺪ ﻳﺰد و داﻧﺸﺠﻮى ﻛﺎرﺷﻨﺎﺳﻰ ارﺷﺪ‬ ‫آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‪4‬ـ داﻧﺸﮕﺎه ﺗﺮﺑﻴﺖ دﺑﻴﺮ ﺷﻬﻴﺪ رﺟﺎﻳﻰ‬

‫اﺷﺎره‬ ‫ﻣﺠـﻠـﻪى رﺷﺪ آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿـﻰ‪ ،‬ﺗـﺪاوم ﻣﻌﻨـﺎدار‬ ‫ﺧﻮد را ﻣﺪﻳﻮن ﺗﻌﺎﻣﻞ و ﺗﺒﺎدلﻧﻈﺮ داﺋﻤﻰ ﺑﺎ ﻣﺨﺎﻃﺒـﺎن‬ ‫اﺻﻠـﻰ ﺧـﻮد ﻛﻪ ﻣﻌﻠﻤـﺎن رﻳـﺎﺿـﻰ و دﺳـﺖاﻧـﺪرﻛـﺎران‬ ‫آﻣﻮزش ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﻣﻰداﻧﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ‬ ‫دﻟﻴﻞ‪ ،‬ﺑﻴﺶﺗﺮﻳﻦ ﺗﻼش اﻋﻀﺎى ﻫﻴـﺄت ﺗـﺤـﺮﻳـﺮﻳـﻪى‬ ‫ﻣﺠﻠﻪ‪ ،‬ﺟﺴﺖوﺟﻮ ﺑﺮاى ﭘﻴﺪا ﻛﺮدن راهﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪L‬‬ ‫اﻳـﺠـﺎد ﭼـﻨـﻴـﻦ ﺗ ـﻌــﺎﻣــﻞ و ﺗ ـﺒــﺎدلﻧ ـﻈــﺮى ﺑـﻮده اﺳــﺖ‪.‬‬ ‫ﺧـﻮﺷﺒﺨﺘـﺎﻧـﻪ از ﺳـﺎل ‪ ١٣٨١‬ﻛﻪ ﺑﻪ ﻫـﻤـﺖ ﻣـﺴـﺌـﻮﻻن‬ ‫ﻣﺤﺘﺮم دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸﺎرات ﻛﻤﻚآﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﺗﻮﻟﻴﺪ و ﺗﻮزﻳﻊ‬ ‫ﻣﺠﻠﻪ‪ ،‬ﻧﻈﻢ ﺑﻴﺶﺗـﺮى ﻳﺎﻓﺘﻪ و ﺗﻴﺮاژ آن ﻧﻴﺰ ﺑﺎﻻﺗـﺮ رﻓﺘﻪ‬

‫دﺑﻴﺮان و‬ ‫آﻣﻮزﺷﮕﺮان ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺎ‬ ‫ﺑﻬﺒﻮد روشﻫﺎى‬ ‫ﺗﺪرﻳﺲ و ﻃﺮز‬ ‫ﺗﻔﻜﺮ ﺧﻮد‪ ،‬ﺑﻪ‬ ‫ﺟﺎﻣﻌﻪى آﻣﻮزﺷﻰ‬ ‫روح ﺑﺒﺨﺸﻨﺪ‬

‫اﺳﺖ‪ ،‬ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻣـﺤـﺘـﺮم ارﺗﺒﺎط ﺑﻴـﺶﺗـﺮى ﺑﺎ ﻣﺠـﻠـﻪى‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪٥٦‬‬

‫روزى ﻛﻪ ﺑﺮاى اﻧﺘﺨﺎب ﻣﺤﻞ ﺧﺪﻣﺖ ﺑﻪ اداره ى ﻛﻞ‬ ‫اﺳﺘـﺎن رﻓﺘـﻪ ﺑـﻮدم‪ ،‬ﺑﻪ دﻟﻴﻞ ﺳـﺎﺑـﻘـﻪ ى درﺧﺸـﺎن دوران‬ ‫ﺗﺤﺼﻴﻠﻢ و ﻛﺴﺐ رﺗﺒﻪ ى دوم در داﻧﺸﮕﺎه‪ ،‬ﻣﻄﻤﺌﻦ ﺑﻮدم‬ ‫ﻛﻪ ﺷﻬـﺮﺳﺘﺎن ﻣﺤﻞ ﺳﻜـﻮﻧﺘـﻢ را ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻢ ﺑـﺮاى ﺧﺪﻣﺖ‬ ‫اﻧﺘﺨﺎب ﻛﻨﻢ‪ .‬ﺑﻌﺪ از ﻣﺪﺗﻰ ﻓﺮم ﻫﺎﻳﻰ ﺑﻪ ﻣﺘﻘﺎﺿﻴﺎن دادﻧﺪ‬ ‫ﺗﺎ اﻣﺘﻴﺎزاﺗﻤﺎن را در آن ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﻢ‪ .‬ﺑﻪ ﻓﺮم ﻧﮕﺎه ﻛﺮدم‪ ،‬ﺧﻴﻠﻰ‬ ‫از ﻣﻮارد از ﺟﻤﻠﻪ ﻣﺘﺄﻫﻞ ﺑﻮدن‪ ،‬ﻫﻤﺴﺮ ﻓﺮﻫﻨﮕﻰ ﺑﻮدن‪،‬‬ ‫و… ﺷﺎﻣﻞ ﺣﺎل ﻣﻦ ﻧﻤﻰ ﺷﺪ‪ .‬ﺑﻪ دﻧـﺒـﺎل اﻣـﺘـﻴـﺎز رﺗﺒـﻪ و‬ ‫ﻣﻌﺪل ﺑـﻮدم ﻛﻪ دﻳـﺪم رﺗﺒـﻪ ى دوم ‪ ٠٫٥‬ﻧﻤـﺮه‪ .‬ﭼﻨـﺪ ﺑـﺎر‬ ‫ﺧﻮاﻧﺪم ﻓﻜﺮ ﻣﻰ ﻛﺮدم اﺷﺘﺒﺎه ﻛﺮده ام وﻟﻰ ﻧﻪ درﺳﺖ ﺑﻮد‪.‬‬ ‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻣﺘﻴﺎزات ﺑﺎﻻ‪ ،‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل ﻣﺘﺄﻫﻞ ﺑﻮدن ‪٢٠‬‬ ‫اﻣﺘﻴﺎز و ﻫﻤﺴـﺮ ﻓـﺮﻫﻨﮕﻰ داﺷﺘـﻦ ‪ ٥‬اﻣﺘﻴـﺎز‪ ،‬رﺗﺒﻪ ى دوم‬

‫ﺧﻮدﺷﺎن ﺑﺮﻗﺮار ﻛﺮدهاﻧﺪ و ﺑﻴﺶﺗﺮ از ﮔﺬﺷﺘﻪ‪ ،‬دﻳﺪﮔﺎهﻫﺎى ﺧﻮد را ﺑﺮاى‬ ‫ﭼﺎپ‪ ،‬ارﺳﺎل دارﻧﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ دﻟﻴـﻞ‪ ،‬آرزوى دﻳﺮﻳﻨﻪى دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸﺎرات‬

‫‪ ٠٫٥‬اﻣﺘﻴﺎز ﺑﺮاى ﻣﻦ ﻛﻪ ‪ ٨‬ﺳﺎل رﻳﺎﺿﻰ را ﺑﺮاﺳﺎس ﻣﻨﻄﻖ ﺧﻮاﻧﺪه ﺑﻮدم و‬ ‫ﻫﻤﻪ ﭼﻴـﺰ را ﻣﻰ ﺧﻮاﺳﺘﻢ ﺑﺎ ﻓـﺮﻣﻮل و ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺣﻞ ﻛﻨـﻢ و ﺣـﺮﻓﻢ را ﺑﺎ دﻟﻴﻞ‬

‫ﻛـﻤـﻚآﻣـﻮزﺷﻰ و ﻫﻴـﺌـﺖ ﺗـﺤـﺮﻳـﺮﻳـﻪى ﻣـﺠـﻠـﻪى رﺷـﺪ آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿـﻰ‬

‫ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻢ‪ ،‬ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻄﻘﻰ ﺑﻮد‪.‬‬

‫ﻣﻰرود ﺗﺎ ﺗﺤﻘﻖ ﻳﺎﺑﺪ‪ .‬درﻧﺘﻴﺠﻪ‪ ،‬ﺑﺎ ﻧﻈﺮ ﻫﻴﺌﺖ ﺗﺤﺮﻳﺮﻳﻪى ﻣﺠﻠﻪ‪ ،‬ﻗﺮار‬ ‫ﺷﺪ ﺗﺎ دﻳﺪﮔﺎهﻫﺎى ارﺳﺎﻟﻰ ﻋﻴﻨﺎً و ﺑﺪون وﻳﺮاﻳﺶ ﭼﺎپ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬درﺿﻤﻦ‪،‬‬

‫ﭼﻨﺪ ﺑﺎر اﻣﺘﻴﺎزات را ﺧﻮاﻧﺪم ﺗﺎ ﺑﺘﻮاﻧﻢ راﺑﻄﻪ ى اﻳﻦ اﻣﺘﻴﺎزات را ﺑﻪ دﺳﺖ‬ ‫آورم‪ ،‬وﻟﻰ اﻳﻦ دﻓﻌﻪ ﺑـﺮﺧﻼف اﻛﺜﺮ ﻣﻮاﻗﻊ‪ ،‬در ﺣﻞ اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺷﻜﺴـﺖ‬

‫از ﺧﻮاﻧﻨﺪﮔﺎن ﻣﺤﺘﺮم اﺳﺘﺪﻋﺎ دارﻳﻢ ﻛﻪ ﭘﺎﺳﺦﮔﻮ و ﻣﻨﺘﻘﺪ دﻳﺪﮔﺎهﻫﺎ ﺑﺎﺷﻨﺪ‬

‫ﺧﻮردم! ﺑﺎور ﻛﺮدﻧﻰ ﻧﺒﻮد‪ .‬ﻣﻦ ﻛﻪ ﻫﻤﻴﺸﻪ ﺑﻌﺪ از ﺧﻮاﻧﺪن ﻧﻤﺮاﺗﻢ در ﻣﺪرﺳﻪ‬

‫و ﺗﻌﺎﻣﻞ و ﺗﺒﺎدلﻧـﻈـﺮ را از ﻃﺮﻳﻖ ﺑـﺎزﺗﺎب ﺑﺮ آنﻫﺎ‪ ،‬ﻣﻌـﻨـﺎدارﺗﺮ و ﻛـﺎرآﺗﺮ‬ ‫ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬

‫ﻳﺎ داﻧﺸﮕﺎه ﺑﻴﻦ ﻫﻢ ﻛﻼﺳﻰ ﻫﺎﻳﻢ ﺳﺮﺑﻠﻨﺪ و ﺧﻮﺷﺤﺎل ﺑﻮدم‪ ،‬اﻳﻦ ﺑﺎر و ﺷﺎﻳﺪ‬ ‫ﺑﺮاى اوﻟﻴﻦ ﺑﺎر از داﺷﺘﻦ ﭼﻨﻴﻦ رﺗﺒﻪ اى ﺧﻮﺷﺤﺎل ﻧﺒﻮدم‪ .‬اﻣﺘﻴﺎزاﺗﻤﺎن را ﺑﻪ‬

‫اﻣﺎ ﻫﻤﺴﻮ‬ ‫اﻟﺒﺘﻪ ﻻزم ﺑﻪ ﺗﻮﺿﻴﺢ اﺳﺖ ﻛﻪ دﻳﺪﮔﺎهﻫﺎى ﻣﻄﺮحﺷﺪه‪ ،‬اﻟﺰ ً‬

‫ﻣﺴﺌﻮل ﻛﺎرﮔﺰﻳﻨﻰ دادﻳﻢ‪ .‬ﺑﻌﺪ از ﻳﻚ ﺳﺎﻋﺖ‪ ،‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ اﻣﺘﻴﺎز وارد اﺗـﺎق‬

‫ﺑﺎ ﺳﻴﺎﺳﺖﻫﺎ و دﻳﺪﮔﺎهﻫـﺎى دﻓـﺘـﺮ اﻧـﺘـﺸـﺎرات ﻛﻤـﻚآﻣـﻮزﺷﻰ و ﻫﻴـﺌـﺖ‬ ‫ﺗﺤﺮﻳﺮﻳﻪى ﻣﺠﻠﻪى رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬

‫ﻣﻰ ﺷﺪﻳﻢ ﺗﺎ ﺷـﻬـﺮﺳﺘﺎن ﻣﺤﻞ ﻛـﺎرﻣـﺎن را ﻣﺸﺨﺺ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﻧﻮﺑـﺖ ﺑـﻪ ﻣـﻦ‬ ‫رﺳﻴﺪ‪ .‬وارد اﺗﺎق ﺷﺪم‪ .‬ﺷﻬﺮ ﻣﺤﻞ ﺳﻜـﻮﻧﺘﻢ ﺧـﻮاﻫﺎن ﻳﻚ دﺑﻴﺮ رﻳﺎﺿﻰ‬

‫ﺑﻮد ﻛﻪ آن ﻫﻢ ﺗﻮﺳﻂ ﻧﻔﺮ ﻗﺒﻞ از ﻣﻦ اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪه ﺑﻮد‪ .‬اﻟﺒﺘﻪ ﺑﺎ ﭘﺮس و ﺟﻮﻳﻰ‬

‫ﻫﻴﭻ )ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺧﻮد ﻣﻦ!!!(‪.‬‬

‫ﺷﻬﺮ ﻣﺎ‪ ،‬ﺑﻴﺶ ﺗﺮ‬ ‫ﻛﻪ از رﺋﻴﺲ ﮔﺮوه رﻳﺎﺿﻰ ﺷﻬﺮﻣﺎن ﻛﺮده ﺑﻮدم‪ ،‬ﻣﻰ داﻧﺴﺘﻢ ِ‬

‫ﻣﻦ آﻣـﻮﺧﺘﻪ ﺑـﻮدم ﻛﻪ ﻫﻤﻪ ى ﻣﺴـﺎﺋـﻞ را ﻣﻰ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺻـﻮرت رﻳﺎﺿﻰ‬

‫از اﻳﻦ ﻫﺎ ﺑﻪ دﺑﻴﺮ رﻳﺎﺿﻰ ﻧﻴـﺎز دارد وﻟﻰ ﺑﻪ ﻫﺮ دﻟﻴﻞ‪ ،‬ﻓﻘـﻂ ﺑـﺮاى ﻳﻚ ﻧﻔﺮ‬ ‫درﺧﻮاﺳﺖ داده ﺑﻮد‪.‬‬

‫ﺻﻮرت ﺑﻨﺪى ﻛﺮده و ﺣﻞ ﻛـﺮد‪ .‬ﺣﺎل ﻫﺮﭼﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﺰرگ ﺗﺮ و ﭘﻴﭽﻴﺪه ﺗـﺮ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬اﺣﺘﻤﺎﻻً ﻣﺘﻐﻴﺮﻫﺎﻳﺶ ﺑﻴﺶ ﺗﺮ اﺳﺖ‪ ،‬وﻟﻰ ﻣﻰ ﺷﻮد آن را ﺣﻞ ﻛﺮد‪.‬‬

‫اﻟﺒﺘﻪ ﻣﻰ داﻧﻢ ﻛﻪ در ﺗﻤﺎم ﻛـﺸـﻮرﻫﺎ‪ ،‬ﺳﻴﺎﺳﺖ ﺑﺎ آﻣـﻮزش و ﭘﺮورش‬

‫ﺑﺎ اﻳﻦ ﭘﻴﺸﻴﻨﻪ وارد آن ﺷﻬﺮ ﺷﺪم و ﺑﻪ ﻛﺎر ﺗﺪرﻳﺲ ﻣﺸﻐـﻮل ﮔﺸﺘﻢ‪ .‬اوﻟﻴﻦ‬

‫ﻋﺠﻴﻦ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻧﻤﻰ داﻧﺴﺘﻢ ﻓﺎﺻﻠﻪ ى ﭼﻨﺪ ﺷﻬﺮى ﻛﻪ ﺑﺎﻗﻰ ﻣﺎﻧﺪه ﺑﻮد‬ ‫ﺗﺎ ﺷﻬﺮ ﻣﺤﻞ ﺳﻜـﻮﻧﺘﻢ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟ ﻣـﺮدﻣﺶ ﭼﻪ ﻓﺮﻫﻨﮕـﻰ دارﻧﺪ؟… ﺑﻪ‬

‫روزى ﻛـﻪ وارد ﻣـﺪرﺳﻪ ﺷـﺪم‪ ،‬ﻣـﺪﻳـﺮ ﻣـﺪرﺳﻪ ﻣـﺮا ﺑﻪ ﺟـﺎى داﻧـﺶ آﻣـﻮز‬ ‫ﺗﺎزه واردى اﺷﺘﺒﺎﻫﻰ ﮔﺮﻓﺖ )در آن ﺷﻬﺮ‪ ،‬اﻛﺜﺮًا ﻗﻮى ﻫﻴﻜﻞ و درﺷﺖ اﻧﺪام‬

‫ﻫﺮﺣﺎل‪ ،‬ﺷﺎﻧﺴﻰ ﻳﻜﻰ از ﺷﻬـﺮﻫﺎ را اﻧﺘﺨﺎب ﻛﺮدم اﻣﺎ ﺗﺎ ﭼﻨﺪ روز از اﻳﻦ‬

‫ﺑﻮدﻧﺪ و ﻣﻦ از ﺑﻴﺶ ﺗﺮ داﻧﺶ آﻣﻮزان‪ ،‬رﻳﺰ اﻧﺪام ﺗﺮ ﺑﻮدم(‪ .‬ﺑﻪ ﻫﺮﺣﺎل‪ ،‬اوﻟﻴﻦ‬

‫ﻣﺴﺌﻠﻪ ﮔﻴﺞ و ﻣﺒﻬﻮت ﺑﻮدم‪.‬‬ ‫ﺑﻌﺪ از ﭘﺮس و ﺟﻮ‪ ،‬ﺑﺎ ﻛﻮﻟﻪ ﺑﺎرى از آﻣﻮﺧﺘﻪ ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ وارد آن ﺷﻬﺮ‬

‫ﺳﺎﻋﺖ ﺗﺪرﻳﺴﻢ‪ ،‬رﻳﺎﺿﻰ ﭘﺎﻳﻪ ى اول دﺑﻴﺮﺳﺘﺎن ﺑﻮد‪ .‬وارد ﻛﻼس ﺷﺪم‪.‬‬ ‫اﺿﻄﺮاب ﺗﻤﺎم وﺟﻮدم را ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺑﻮد‪ .‬ﻫﻨﮕﺎﻣﻰ ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻨﺎ ﺑﺮ ﻋﺎدت‬

‫ﺷﺪم‪ .‬ﻣﻦ داﻧﺶ آﻣﻮﺧﺘﻪ ى دوره اى ﺑﻮدم ﻛﻪ ﺑﻨﺎ ﺑﻪ ﮔﻔﺘﻪ ى ﻛﻠﻤﻨﺘﺲ و اﻟﺮﺗﻮن‬

‫دوره ى راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ ﺷﺎن‪ ،‬ﺳﻼم و ﺻﺒﺢ ﺑﺨﻴﺮ ﮔﻔﺘﻨﺪ‪ .‬ﺳﻌﻰ ﻛﺮدم ﭼﻴﺰﻫﺎﻳﻰ‬

‫)‪ ،١٩٩٦‬ص ‪ ٦١‬و ‪ ،(٦٢‬اﺟـﺮاى ﺑــﺮﻧـﺎﻣـﻪ ﻫـﺎى رﻳـﺎﺿـﻰ ﺟـﺪﻳــﺪ در‬ ‫دﺑﻴﺮﺳﺘﺎن ﻫﺎ اﺟﺒـﺎرى ﺷﺪه و در آن ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﺑﺴﻴﺎر اﻫﻤﻴﺖ داﺷﺘﻨـﺪ‪ .‬ﻳـﺎدم‬

‫ﻛﻪ در داﻧﺸﮕﺎه و در ﻛﻼس ﻫﺎى ﺗﻤﺮﻳﻦ دﺑﻴﺮى آﻣﻮﺧﺘﻪ ﺑﻮدم را اﺟﺮا ﻛﻨﻢ‪،‬‬ ‫وﻟﻰ اﻧﮕﺎر ﻧﻤـﻰ ﺷـﺪ ﺣـﺮف ﻫﺎى اﺳﺘـﺎدان را ﺗﻘﻠﻴـﺪ ﻛـﺮد‪ .‬از ﻛﺘـﺎب ﻫـﺎى‬

‫ﻣﻰ آﻳﺪ ﻛﻪ ﭼﻨﺪﻳﻦ ﺑﺎر ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ درﺳﺖ ﻧﻨﻮﺷﺘﻦ‪ ،‬از ﺳﻮى‬ ‫اﺳﺘﺎدم ﻣـﻮرد ﺗﻤﺴﺨﺮ و ﺗﻨﺒـﻴـﻪ روﺣﻰ ﻗﺮار ﮔـﺮﻓﺘﻢ‪ .‬او‬ ‫ﻣﻰ ﮔﻔﺖ ﻛﻪ ﻣﻌﻠـﻢ رﻳـﺎﺿـﻰ ﺧـﻮدش ﺑﺎﻳﺪ رﻳـﺎﺿـﻰ و‬ ‫ﻋﻼﺋﻢ رﻳﺎﺿﻰ را ﺑﻪ ﺧﻮﺑﻰ ﺑﺪاﻧﺪ ﺗﺎ ﺑﺘﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﻃﻮر دﻗﻴﻖ‬ ‫آن ﻫﺎ را ﺑﻪ ﻳﺎدﮔﻴـﺮﻧﺪﮔﺎن ﻣﻨﺘﻘﻞ ﻛﻨﺪ‪ .‬ﺗﺄﻛﻴﺪ ﻣـﻌـﻠـﻢ ﻫـﺎ‬ ‫ﺑﻴـﺶ ﺗـﺮ روى ﻓﺮﻣـﻮل ﻫﺎ و ﻧﺎم ﮔـﺬارى ﻗـﻮاﻧﻴﻦ )ﻣـﺎﻧـﻨـﺪ‬ ‫ﺟﺎﺑﻪ ﺟـﺎﻳـﻰ‪ ،‬ﺷـﺮﻛﺖ ﭘﺬﻳـﺮى و…( ﺗﺎ داﻧﺶ اﺳـﺎﺳـﻰ‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ »در آن زﻣﺎن‪ ،‬ﻣﻌﻠﻢ در ﻣﺮﻛﺰ ﻳﺎ ﺟﻠﻮى ﻛﻼس‬ ‫ﻣﻰ اﻳﺴﺘﺎد ﻳﺎ ﻣـﻰ ﻧـﺸـﺴـﺖ« ﻫـﻤـﻪ ﺑـﻪ او و ﭼـﻴـﺰى ﻛـﻪ‬ ‫ﻣﻰ ﮔﻔﺖ ﻧﮕﺎه ﻣﻰ ﻛﺮدﻧﺪ« )ﭘﻮﻟﻴﺎ‪ .(١٩٦٩ ،‬ﺷﺎﻳﺪ ﻳﻜﻰ‬ ‫از دﻻﻳﻠﻰ ﻛﻪ ﻣﻦ رﺷﺘﻪ ى رﻳﺎﺿﻰ را اﻧﺘﺨﺎب ﻛﺮدم اﻳﻦ‬ ‫ﺑﻮد ﻛﻪ در ﺳﻪ ﺳﺎل دوره ى راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ‪ ،‬ﻳﻚ دﺑﻴﺮ رﻳﺎﺿﻰ‬

‫روان ﺷﻨﺎﺳﻰ ﻛﻪ در اوﻗﺎت ﻓﺮاﻏﺖ ﺧﻮاﻧﺪه ﺑﻮدم ﻛﻤﻚ‬

‫ﻃﺮاﺣﺎن ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى‬ ‫درﺳﻰ رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺎﻳﺪ‬ ‫ﺟﻮاﻧﺎن را ﺻﺎﺣﺐ‬ ‫ﻓﻜﺮ و اﻧﺪﻳﺸﻪ ﺑﺪاﻧﻨﺪ‬ ‫ﻧﻪ ﺟﻌﺒﻪﻫﺎى ﺧﺎﻟﻰ‬ ‫ﻛﻪ ﺗﻮﺳﻂ دﺑﻴﺮان‪،‬‬ ‫ﺑﺴﺘﻪﻫﺎى اﻃﻼﻋﺎت‬ ‫در آن ﺟﺎﺳﺎزى‬ ‫ﻣﻰﺷﻮد‬

‫ﮔﺮﻓﺘﻢ و ﻛﻤﻰ ﺧﻮد را آرام ﻛﺮدم‪ .‬ﺧﻮدم را ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻛﺮدم‬ ‫و وﻗﺘﻰ ﮔﻔﺘﻢ دﺑﻴﺮ رﻳﺎﺿﻰ ﻫﺴـﺘـﻢ‪ ،‬رﻧﮓ ﺑﻌﻀﻰ از‬ ‫آن ﻫﺎ ﭘﺮﻳﺪ‪ .‬ﻓﻜﺮ ﻛﻨﻢ ﺑﻪ ﻳﺎد ﻧﻤﺮات ﺑﺪ رﻳﺎﺿﻰ ﺷﺎن‪،‬‬ ‫دﺑﻴﺮان ﺧﺸﻚ و ﺳﺨﺖ ﮔﻴﺮﺷﺎن‪ ،‬ﻣﺜﻠﺚ ﺑﻰ روح و…‬ ‫اﻓﺘﺎده ﺑﻮدﻧﺪ‪ .‬ﺑﻌﺪ از ﻛﻤﻰ ﺻﺤﺒﺖ ﺑﺎ آن ﻫﺎ‪ ،‬ﻳﻜﻰ از‬ ‫داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﮔﻔﺖ ﻛﻪ »ﺷـﻤـﺎ اﺻـﻼً ﺷﺒﻴـﻪ دﺑـﻴـﺮان‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ ﻧﻴﺴﺘﻴﺪ‪ «.‬ﺑﺎ ﺧﻮدم ﻓﻜﺮ ﻛﺮدم ﻛﻪ راﺳﺘﻰ دﺑﻴﺮان‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ ﭼﻪ ﺷﻜﻠﻰ اﻧﺪ؟‬ ‫ﺑﻪ ﻫﺮ ﺣﺎل‪ ،‬ﻛﻢ ﻛﻢ در ﻛﺎر ﺗﺪرﻳﺲ راه اﻓﺘﺎدم و‬ ‫ﺳﻌﻰ ﻛـﺮدم ﺗﻤﺎم آﻣـﻮﺧﺘﻪ ﻫـﺎﻳـﻢ را ﺑﻪ داﻧﺶ آﻣـﻮزاﻧﻢ‬ ‫ﻣﻨﺘﻘﻞ ﻛﻨﻢ‪ .‬در ﻣﻮﻗﻊ ﺗﺪرﻳﺲ‪ ،‬ﻫﻤﻪ ﮔﻮش ﻣﻰ دادﻧﺪ‬

‫داﺷﺘﻢ ﻛﻪ ﻣـﺎﻧـﻨـﺪ ﺑـﺮﺧﻰ از دﺑﻴـﺮان‪ ،‬ﻋﺎدت ﻧـﺪاﺷـﺖ‬ ‫ﭘﺸﺖ ﻣﻴﺰ ﺑﻨﺸﻴﻨﺪ و ﺑﻪ ﻣﺎ ﺑﻔﻬﻤﺎﻧﺪ ﻛﻪ ﺑﻴﻦ او و ﻣﺎ ﻓﺎﺻﻠﻪ اى ﻋﻤـﻴـﻖ وﺟﻮد‬

‫و ﺑﻪ ﻋﻼﻣﺖ ﻓﻬﻤﻴـﺪن‪ ،‬ﺑـﻌـﻀـﻰ ﻣـﻮاﻗﻊ ﺳﺮ ﺗـﻜـﺎن‬ ‫ﻣﻰ دادﻧﺪ‪ .‬ﻳﻚ ﻣﺎه ﮔﺬﺷﺖ و از ﻓﺼـﻞ اول ﻛﻪ ﻣﺠﻤـﻮﻋﻪ ﻫﺎ ﺑﻮد اﻣﺘﺤـﺎن‬

‫دارد‪ .‬او در ﻧﻴﻤﻜﺖ ﻛﻨﺎر ﻣﺎ ﻣﻰ ﻧﺸﺴﺖ و ﻣـﻦ ﮔـﺮﻣﻰ ﺑﺪﻧﺶ را اﺣﺴﺎس‬

‫ﮔﺮﻓﺘﻢ‪ .‬ﺑﺎ رﺿﺎﻳﺘﻰ ﻛﻪ از داﻧﺶ آﻣـﻮزان داﺷﺘﻢ‪ ،‬اﻧﺘﻈﺎر ﻧﻤـﺮات ﺑﺎﻻﻳﻰ از‬

‫ﻣﻰ ﻛﺮدم‪.‬‬ ‫در آن زﻣﺎن رﺷﺘﻪ ى رﻳﺎﺿﻰ ﺑـﺮاى اﻗﻠﻴﺘﻰ از داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻮد‪ .‬اﻛﺜـﺮ‬

‫ﻛﻼس داﺷﺘﻢ وﻟﻰ…‪.‬‬ ‫ﻧﻤﺮه ﻫﺎ ﺣﺎﻛﻰ از ﺣﻘﻴﻘﺖ ﺗﻠﺨﻰ ﺑﻮد‪ .‬ﻧﺎ اﻣﻴﺪ ﺷﺪه ﺑﻮدم‪ .‬ﭼﻮن ﺑﺮاى‬

‫ﺧﺎﻧﻮاده ﻫﺎ ﺑﺮ اﻳﻦ ﻋﻘﻴﺪه ﺑـﻮدﻧﺪ ﻛﻪ رﺷﺘﻪ ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ ﻓﻘﻂ ﺑـﻪ درد ﭘﺴﺮﻫـﺎ‬

‫ﻓﻬﻤﺎﻧﺪن رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻪ آن ﻫﺎ ﺧﻴـﻠـﻰ ﺗـﻼش ﻛـﺮده ﺑﻮدم‪ .‬ﻧﻤﺮه ﻫـﺎ را ﺑﻪ آن ﻫﺎ‬

‫ﻣﻰ ﺧﻮرد؛ ﻳﺎ ﺑﺴﻴـﺎرى ﻣﻌﺘﻘﺪ ﺑـﻮدﻧﺪ ﻛﻪ ﻓﻘﻂ ﻓﺮزﻧﺪان ﺛـﺮوﺗﻤﻨﺪان ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺪرﺳﻪ‪ ،‬آن ﻫﻢ رﺷﺘﻪ ى رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺮوﻧﺪ‪ .‬درﺣﻘﻴﻘﺖ »رﻳﺎﺿﻰ ﻣﺪرﺳﻪ اى‪،‬‬

‫اﻋﻼم ﻛﺮدم و ﻋﻠـﺖ را ﭘﺮﺳﻴﺪم‪ .‬در ﻋﻴﻦ ﻧﺎﺑـﺎورى ﮔﻔﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺷﻤﺎ ﺧﻴـﻠـﻰ‬ ‫ﺧﻮب ﺗﻮﺿﻴﺢ ﻣﻰ دﻫﻴﺪ وﻟﻰ ﻣﺎ زﺑﺎن ﺷﻤﺎ را ﻧﻤﻰ ﻓﻬﻤﻴﻢ )ﻣﻨﻈﻮرﺷﺎن ﻟﻬﺠﻪ‬

‫ﻏﺮﺑﺎﻟﻰ ﺑﺮاى ﻛﺴﺎﻧﻰ ﺑﻮد ﻛﻪ ﺗﻮاﻧﺎﻳﻰ ﺑﻴﺶ ﺗﺮى داﺷﺘﻨﺪ« )ﻛﻠﻤﻨﺘﺲ و اﻟﺮﺗﻮن‪،‬‬

‫ﺑﻮد‪ ،‬ﻫﺮ ﭼﻨﺪ ﻣﻦ ﺑﻪ ﻟﻬﺠﻪ ى ﺑـﻮﻣﻰ ﺧﻮدم ﺻﺤﺒﺖ ﻧﻤﻰ ﻛـﺮدم(‪ .‬ﻳﻜﻰ از‬

‫‪ ،١٩٩٦‬ﺻـﺺ ‪ ٤٢‬و ‪ (٤٣‬و ﺑﻪ ﻫﻤـﻴـﻦ دﻟـﻴـﻞ‪ ،‬ﻛـﺴـﺎﻧـﻰ ﻛـﻪ رﻳـﺎﺿـﻰ‬ ‫ﺻﺎ دﺧﺘـﺮان ـ اﺣﺴﺎس ﻏﺮور و ﻧﺨﺒﻪ ﺑـﻮدن در ﺑﻴﻦ‬ ‫ﻣﻰ ﺧﻮاﻧﺪﻧﺪ ـ ﻣﺨﺼـﻮ ً‬

‫داﻧﺶ آﻣـﻮزان زرﻧﮓ ﮔﻔﺖ‪» :‬ﺧﺎﻧﻢ اﮔـﺮ اﺟـﺎزه دﻫﻴﺪ‪ ،‬ﻣﻦ ﺑﻌﺪ از ﺷـﻤـﺎ‬ ‫ﺑﻌﻀﻰ از ﭼﻴـﺰﻫﺎ را ﺑﺮاى داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺗـﻮﺿﻴﺢ دﻫﻢ‪ «.‬ﻣﻦ ﻗﺒـﻮل ﻛﺮدم‪.‬‬

‫اﻃﺮاﻓﻴﺎن ﺧﻮد داﺷﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﺧﺼﻮص اﮔﺮ ﺷﺎﮔﺮد ﻣﻤﺘﺎز ﻫﻢ ﺑﻮدﻧﺪ ﻛﻪ دﻳﮕﺮ‬

‫ﺧﻴﻠﻰ ﺟﺎﻟﺐ ﺑﻮد‪ ،‬او ﻛﻪ ﺗﻮﺿﻴﺢ ﻣﻰ داد‪ ،‬اﻧﮕﺎر آن ﻫﺎ ﺑﻬﺘﺮ ﻣﻰ ﻓﻬﻤﻴﺪﻧﺪ‪.‬‬ ‫‪٥٧‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫ﻫﺮ ﭼﻨﺪ او ﺟﻤﻼت ﻣﺮا ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ ﺑﺮد‪ ،‬وﻟﻰ ﺑﺎ ﮔﻮﻳﺶ و زﺑﺎن ﺧﻮدش ﻣﺜﻼً‬

‫دارﻧﺪ ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﺘﻔﺎوت اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻬﻨﺪس‪ ،‬ﺑﻘﺎل‪ ،‬ﻛﺎرﮔﺮ‪ ،‬ﺣﺴﺎﺑﺪار‪ ،‬ﺧﻴﺎط‪،‬‬

‫ﺑﻪ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺑﺰرگ »ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻧﺮدﺑﺎﻧﻰ« و ﺑﻪ داﻳﺮه‪» ،‬ﮔﺮدى« ﻣﻰ ﮔﻔﺖ‪ .‬ﺣﺎﻻ ﺑﺎ‬ ‫ﺗﻤﺎم وﺟﻮد اﻳﻦ ﺟﻤﻠﻪ را درك ﻣﻰ ﻛﻨﻢ ﻛﻪ »آﻣﻮزش‪ ،‬ﻣﺴﺘﻘﻞ از ﻓﺮﻫﻨﮓ و‬

‫اﺳﺘﺎد داﻧﺸﮕـﺎه و زن ﺧﺎﻧﻪ دار‪ ،‬ﻫﻤﻪ ﻧﺒﺎﻳﺪ اﻃﻼﻋﺎت رﻳﺎﺿﻰ ﻳـﻜـﺴـﺎﻧـﻰ‬

‫زﺑﺎن ﻧﻴﺴﺖ« )ﻛﻠﻤﻨﺘﺲ و اﻟﺮﺗﻮن‪ ،١٩٩٦ ،‬ص ‪ .(٣١‬اﻟﺒﺘﻪ ﻣﻌﻠﻤﺎن در‬ ‫داﻧﺸﮕﺎه ﻫﺎ ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ آﻣﻮزش و ﺗﺪرﻳﺲ را ﻓﺮا ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻧﺪ و ﻫﻤﻴﻦ روش را‬ ‫دﻗﻴﻘﺎ ﻣﻰ ﺧﻮاﻫﻨﺪ روى ﺗﻤﺎم داﻧﺶ آﻣـﻮزان در ﺗﻤﺎم ﭘﺎﻳﻪ ﻫﺎى ﺗﺤﺼﻴﻠﻰ و‬ ‫ً‬ ‫در ﺗﻤﺎم ﺷﻬﺮﻫﺎ و روﺳﺘﺎﻫﺎ ﺑﺎ ﻓﺮﻫﻨﮓ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ m‬ﭘﻴﺎده ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﻏﺎﻓـﻞ از‬ ‫اﻳﻦ ﻛﻪ ﻫﺮ داﻧﺶ آﻣﻮزى ﻣﻄﺎﺑﻖ ﺑﺎ ﺳﻦ‪ ،‬ﻣﺤﻴﻂ و ﻓﺮﻫﻨﮓ ﺟﺎﻣﻌﻪ اى ﻛﻪ در‬ ‫آن زﻧﺪﮔﻰ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ ،‬ﻧﻴﺎزﻫﺎﻳﻰ دارد و درﺣﻘﻴﻘﺖ‪» ،‬روﺷﻰ ﻛﻪ ﺑﺮاى ﮔﺮوﻫﻰ‬

‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪» .‬رﻳﺎﺿﻴﺎﺗﻰ ﻛﻪ ﻣﻮرد ﻧﻴﺎز )‪ (١‬ﻏﻴﺮ ﺣﺮﻓﻪ اى )آﻣﺎﺗﻮر(‪(٢) ،‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ دان ﻛـﺎرﺑـﺮدى‪ (٣) ،‬ﻣﻌﻠﻢ رﻳـﺎﺿـﻰ و )‪ (٤‬رﻳﺎﺿﻰ دان ﻣﺤـﻘـﻖ‬ ‫اﺳﺖ‪ ،‬آن ﻗﺪر ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣـﺘـﻔـﺎوﺗﻨﺪ ﻛﻪ ﻫﺮ ﻛﺪام‪ ،‬ﻧـﻴـﺎزﻣﻨﺪ ﻳﻚ دﺳﺘـﻮر ﻛـﺎر‬ ‫ﻣﺘﻔﺎوت ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺣﺘﻰ زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﻫﺮ ﭼﻬﺎر ﮔﺮوه ﺑﺨﻮاﻫﻨﺪ ﺑﺪاﻧﻨﺪ ﻛﻪ اﺻﻞ‬ ‫ﻣﻮﺿﻮع ﭼﻴﺴﺖ‪ ،‬ﺑﺪون ﺷﻚ ﻫﺮ ﻛﺪام از آن ﻫﺎ ﺑﻪ ﮔـﻮﻧﻪ اى ﻣﺘﻔﺎوت ﺑﻪ آن‬ ‫ﻣﻰ ﭘﺮدازﻧﺪ« )آﻗﺎﺳﻰ‪.(١٩٨٠ ،‬‬

‫از ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن ﺧﻮب و ﻣﻨﺎﺳﺐ اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﺮاى ﮔﺮوه دﻳﮕﺮ ﭼﻨﻴﻦ ﻧﻴﺴـﺖ«‬

‫آﻗﺎﺳـﻰ )‪ (١٩٨٠‬در اداﻣﻪ‪ ،‬ﺑﻴﺎن ﻣﻰ ﻛﻨـﺪ ﻛـﻪ »ﻃـﺮاﺣﺎن ﺑﺮﻧﺎﻣـﻪ ى‬ ‫درﺳﻰ رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺎﻳﺪ ﺟﻮاﻧﺎن را ﺻﺎﺣﺐ ﻓﻜﺮ و اﻧﺪﻳﺸﻪ ﺑﺪاﻧﻨﺪ ﻧﻪ ﺟﻌﺒﻪ ﻫﺎى‬

‫)ﻛﻠﻤﻨﺘﺲ و اﻟﺮﺗﻮن‪ ،١٩٩٦ ،‬ص ‪.(٣٤‬‬

‫ﺧﺎﻟﻰ ﻛﻪ ﺗﻮﺳﻂ دﺑﻴﺮان‪ ،‬ﺑﺴﺘﻪ ﻫﺎى اﻃﻼﻋﺎت در آن ﺟﺎﺳﺎزى ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬

‫ﺑﻪ ﻫﺮ ﺣﺎل‪ ،‬اوﻟﻴﻦ اﻣﺘﺤﺎن‪ ،‬درس ﻫﺎى زﻳﺎدى ﺑﻪ ﻣﻦ ﻳﺎد داد و ﻣﺘﻮﺟﻪ‬ ‫ﺣﻘﺎﻳﻘﻰ ﺷﺪم ﻛﻪ ﻗـﺒـﻼً ﺑﻪ آن ﻫﺎ ﺗـﻮﺟﻪ ﻧﻜـﺮده ﺑـﻮدم‪ .‬در داﻧﺸﮕﺎه ﻫﺎ‪ ،‬ﻣـﺎ‬

‫ﺗﺎ ﻛِﻰ دﺑﻴـﺮان رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ ﺑﺨﺶ ﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎى ﺑﻰ اﺳﺎس ﻛﻪ از ﺗﺎرﻳـﺦ‬ ‫ﻣﺼﺮﻓﺸﺎن ﮔﺬﺷﺘﻪ‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ ﻣﺎﻧﻊ اﺳﺘﻔـﺎده ى داﻧـﺶ آﻣـﻮزان از ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى‬ ‫ﺟﺪﻳﺪ ﺷﻮﻧﺪ؟ ﻣﺎ ﻫﻨﻮز ﻃﻮرى ﺟﺪول ﺿﺮب را ﺗﺪرﻳﺲ‬

‫ﺑﻪ دﻧﺒﺎل اﻳﺪه آل ﻫﺎﻳﻰ ﺑﻮدﻳﻢ ﻛﻪ در ﻋﺎﻟﻢ واﻗﻌﻴﺖ وﺟﻮد‬ ‫ﻧﺪارﻧﺪ‪ .‬ﻣﺜﻼً ﺑﻪ ﻣﻦ آﻣﻮﺧﺘﻪ ﺑﻮدﻧﺪ ﻛﻪ »داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﺎﻳﺪ‬ ‫ﺧﻼﻗﺎﻧﻪ ﻓـﻜـﺮ ﻛـﻨـﻨـﺪ‪ ،‬راه و رﺳﻢ اﺑﺘﻜـﺎر در ﻋـﻤـﻞ را‬ ‫ﻓﺮا ﮔﻴﺮﻧﺪ‪ ،‬ﻣﺸﺎرﻛﺖ را ﻳﺎد ﺑﮕﻴﺮﻧﺪ و ﺑﺮاى ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﻣﻔﻴﺪ‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﻳﻚ زﻧﺪﮔﻰ ﻋﺎﻗﻼﻧﻪ را دﻧﺒﺎل ﻛﻨﻨﺪ و ﺟﻨﺒﻪ ﻫﺎى‬ ‫زﻳﺒﺎﻳﻰ ﺷﻨﺎﺧﺘﻰ و ﻫﻨﺮﻣﻨﺪاﻧﻪ ى ﻃﺒﻴﻌﺖ اﻧﺴﺎﻧﻰ ﺧﻮد را‬ ‫ﭘـﺮورش دﻫﻨﺪ‪ «.‬اﻣﺎ ﭼـﮕـﻮﻧﻪ؟! ﺑﻪ ﻋـﻨـﻮان آﻣـﻮزﺷﮕـﺮ‬ ‫ﻣﻰ ﮔﻮﻳـﻴـﻢ ﻣـﻰ ﺧـﻮاﻫﻴـﻢ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ﻣﺸـﺎرﻛﺖ ﺑـﺎ‬ ‫ﻳﻜﺪﻳﮕـﺮ را ﻳﺎد ﺑﮕﻴﺮﻧﺪ وﻟﻰ از ﻧﻈﺎم ﻧﻤـﺮه دﻫﻰ اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ اﺳﺎس آن ﺗﺸﻮﻳﻖِ رﻗﺎﺑﺖ اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻰ ﮔﻮﻳﻴﻢ‬ ‫ﻣﻰ ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﺟـﻮان ﻫﺎ ﺗﻔﻜﺮ ﺧﻼﻗﺎﻧﻪ را ﻳﺎد ﺑﮕﻴـﺮﻧﺪ وﻟﻰ‬ ‫ﺑﺮاى آﻣﻮزش‪ ،‬ﻓﻬﺮﺳﺘﻰ از ﻫﺪف ﻫﺎى رﻓﺘﺎرى در اﺧﺘﻴﺎر‬ ‫دارﻳﻢ ﻛﻪ ﺟﺎﻳﻰ ﺑﺮاى ﺑﺮداﺷﺖ ﻫﺎى ﻓﺮدى ﻧﻤﻰ ﮔﺬارد‪.‬‬ ‫آرﻣﺎن ﻫﺎى ﻣﺎ ﺑﺎ آن ﭼﻪ ﻛﻪ در ﺟﺴﺖ و ﺟﻮى آن ﻫﺴﺘﻴﻢ‬

‫ﻫـــﺮ داﻧـــﺶآﻣـــﻮزى‬ ‫ﻣﻄﺎﺑﻖ ﺑﺎ ﺳﻦ‪ ،‬ﻣﺤﻴﻂ‬ ‫و ﻓـﺮﻫﻨﮓ ﺟـﺎﻣـﻌـﻪاى‬ ‫ﻛـــﻪ در آن زﻧــــﺪﮔـــﻰ‬ ‫ﻣـﻰﻛـﻨـﺪ‪ ،‬ﻧـﻴـﺎزﻫـﺎﻳـﻰ‬ ‫دارد‬ ‫○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○‬

‫درﺣﻘﻴﻘـﺖ آرزوﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ ﻛﻪ آﻣـﻮزﺷﮕﺮان ﺑﺮاى داﻧﺶ آﻣـﻮزان دارﻧﺪ و‬ ‫ﮔﺎﻫﻰ ﺑﻪ ﺻﻮرت اﻫﺪاﻓﻰ ﺑﺎﺷﻜﻮه‪ ،‬در ﺳﻄﺢ اﺟﺮاﻳﻰ اﻋﻼم ﺷﺪه و ﺑﻪ ﺻﻮرت‬ ‫ﻋﺒﺎرت ﻫﺎﻳﻰ ﺑﺎ دﻳﺪﮔﺎه ﻫﺎى وﺳﻴﻊ ﻣﻨﺘﺸﺮ ﺷﺪه اﻧﺪ‪ ،‬ﺑﻪ ﻧـﺪرت ﺑﻪ ﻃﻮر ﻛﺎﻣﻞ‬ ‫در ﻣﻮرد داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ ﺗﺤﻘﻖ رﺳﻴﺪه اﺳﺖ )آﻳﺰﻧﺮ‪.(٢٠٠٠ ،‬‬ ‫اواﻳﻞ ﻛﺎر ﺗﻮﻗﻊ داﺷﺘﻢ ﻛﻪ ﺗﻤﺎم داﻧﺶ آﻣﻮزان رﻳﺎﺿﻰ را ﺑﻪ ﺧﻮﺑﻰ ﻳـﺎد‬ ‫ﺑﮕﻴﺮﻧﺪ‪ ،‬ﺗﻤﺎم اﺛﺒﺎت ﻫﺎ‪ ،‬ﻗﻀﺎﻳﺎ و ﻓﺮﻣﻮل ﻫﺎ را ﺑﻪ ﺧﻮﺑﻰ ﺑﻔﻬﻤﻨﺪ ﭼﻮن ﻓﻜﺮ‬ ‫ﻣﻰ ﻛﺮدم در آﻳﻨﺪه ﺑﻪ آن ﻫﺎ ﻧﻴﺎز دارﻧﺪ‪ .‬وﻟﻰ ﻛﻢ ﻛﻢ ﻓﻬﻤﻴﺪم ﻛﻪ ﺳﻄﺢ ﺗﻔﻜﺮ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻣﺘﻔﺎوت اﺳﺖ‪ .‬ﺷﺎﻳﺪ ﮔـﺮوﻫﻰ اﻣﺮوز ﻣﻄﺎﻟﺐ را ﺑﻔﻬﻤﻨـﺪ و‬ ‫ﮔﺮوﻫﻰ ﻳﻚ ﻣﺎه ﻳﺎ ﻳﻚ ﺳﺎل ﺑﻌﺪ‪ .‬ﺿﻤﻨـﺎً رﻳﺎﺿﻰ ﻛﻪ آن ﻫﺎ در آﻳﻨﺪه ﻻزم‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫ﺟﻴـﺒـﻰ وﺟـﻮد دارﻧﺪ و ]ﺑـﻪ ﻫـﻤـﻴـﻦ دﻟـﻴـﻞ[‪ ،‬ﺣـﺴـﺎب‬ ‫اﺳﺘﺎﻧﺪارد را ﻓﻘﻂ ﻳﻚ ﺗﻨﺒﻴﻪ ﺻِﺮف ﻣﻰ ﺑﻴﻨﻨﺪ‪«.‬‬ ‫ﺳﺆال ﻣﻦ از ﺳﻴﺎﺳﺘﻤﺪاران آﻣﻮزﺷﻰ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ‬ ‫ﻛﺎﻣﻼ ﻣﺴﺌﻮل‬ ‫ً‬ ‫ﺷﻤﺎ از ﭼﻪ زﻣﺎﻧﻰ دﺑﻴﺮان و داﻧﺶ آﻣﻮزان را‬ ‫و ﻣﺤﻘﻖ واﻗﻌﻰ در ﻧﻈﺮ ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻳﺪ؟ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎى درﺳﻰ‬ ‫و ﺑﻪ ﺧﺼـﻮص رﻳﺎﺿﻰ ﻃـﻮرى ﺑﺎﻳﺪ ﻃـﺮاﺣﻰ ﺷﻮﻧﺪ ﻛـﻪ‬ ‫ﺟﻮاﻧﺎن ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ از اﻣﻜﺎﻧﺎت ﺑﻪ روز آن اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﺑﺎ‬ ‫اﻳﻦ ﺗﺠﺎرب ﻓﻬﻤﻴﺪه ام ﻛﻪ ﺗﺎ ﺑﻴﺪار ﺷﺪن ﺳﻴﺎﺳﺘﻤﺪاران‬

‫آﻣــــﻮزش رﻳـــﺎﺿــــﻰ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘـﻞ از ﻓـﺮﻫﻨـﮓ و آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬ﻣﺎ دﺑﻴﺮان و آﻣﻮزﺷﮕﺮان ﻧﻴﺰ ﻧﺒﺎﻳﺪ ﺧﻮدﻣﺎن را‬ ‫ﺑﻪ ﺧـﻮاب ﺑﺰﻧﻴﻢ؛ ﺑﻠﻜﻪ ﺑﺎﻳـﺪ ﺑـﺎ ﺗـﻐـﻴـﻴـﺮ در روش ﻫﺎى‬ ‫زﺑﺎن ﻧﻴﺴﺖ‬

‫ﺗﺎ ﻛﺎراﻳﻰ ﺧـﻮدﻣﺎن را ﻣﺤﻚ ﺑﺰﻧﻴﻢ‪ ،‬ﺳـﺎزﮔﺎر ﻧﻴﺴﺘﻨـﺪ‪.‬‬

‫‪٥٨‬‬

‫ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ اﻧﮕﺎر ﻣﺎﺷﻴﻦ ﺣﺴـﺎب ﻫـﺎى ﺟـﻴـﺒـﻰ وﺟﻮد‬ ‫ﻧﺪارﻧﺪ‪ .‬اﻣﺎ ﻛﻮدﻛﺎن ﻣﻰ داﻧﻨﺪ ﻛﻪ ﻣﺎﺷﻴﻦ ﺣﺴـﺎب ﻫـﺎى‬

‫ﺗﺪرﻳﺲ و ﻃﺮز ﺗﻔﻜﺮ ﺧﻮد‪ ،‬ﺑﻪ ﺟﺎﻣﻌﻪ ى آﻣﻮزﺷﻰ روح‬

‫ﺑﺒﺨﺸﻴﻢ‪ .‬ﻫﺪف ﻣﺎ از آﻣﻮزش ﺑﺎﻳﺪ ﺗﺮﺑﻴﺖ ﺷﻬـﺮوﻧﺪان‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻞ‪ ،‬آزاد و ﺗﻮاﻧﺎ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﻨﺎﺑﻊ‬ ‫‪ .١‬آﻗﺎﺳﻰ‪ ،‬ﺟـﻮزف‪ ،(١٩٨٠) ،‬در ﺑﺎب آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‪ :‬اﻧﻘﻼب ﻻﻛـﺎﺗـﻮش‪ .‬ﺗﺮﺟﻤـﻪ ى زﻫﺮا‬ ‫ﮔﻮﻳﺎ و ﻳﻮﻧﺲ ﻓـﺮدﻳﻦ ﭘﻮر ﻛﺮﻳﻤﻰ‪ ،‬ﻣﺠﻠـﻪى رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‪ .‬ﺷﻤﺎره ى ‪ ،٧٥‬ﺻـﺺ ‪،١٤-٤‬‬ ‫دﻓﺘﺮ ﻛﻤﻚ آﻣﻮزﺷﻰ ﺳﺎزﻣﺎن ﭘﮋوﻫﺶ و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬وزارت آﻣﻮزش و ﭘﺮورش‪.‬‬ ‫‪ .٢‬آﻳﺰﻧﺮ‪ ،‬اﻟﻴﻮت دﺑﻠﻴﻮ‪ (٢٠٠٠) ،‬آﻧﺎن ﻛﻪ ﮔﺬﺷﺘﻪ را ﻧﺎدﻳﺪه ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻧﺪ…‪ ،‬ﭼﻤﻦ آرا‪ ،‬ﺳﭙﻴﺪه‪ ،‬ﮔﻮﻳﺎ‪،‬‬ ‫زﻫﺮا‪ .‬ﻣﺠﻠﻪى رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺷﻤﺎره ى ‪ ،٦٩‬ﺻﺺ‪ ،١٨-٤‬دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸﺎرات ﻛﻤﻚ آﻣﻮزﺷﻰ‪،‬‬ ‫ﺳﺎزﻣﺎن ﭘﮋوﻫﺶ و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬وزارت آﻣﻮزش و ﭘﺮورش‪.‬‬ ‫‪ .٣‬ﭘﻮﻟﻴـﺎ‪ ،‬ﺟـﻮرج‪ ،(١٩٦٩) ،‬اﻫﺪاف آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﻃـﺎﻟـﺐ زاده‪ ،‬ﻋﻠﻴـﺮﺿﺎ‪ ،‬ﮔﻮﻳـﺎ‪ ،‬زﻫـﺮا‪.‬‬ ‫ﻣﺠﻠﻪى رﺷﺪ آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺷﻤﺎره ى ‪ ،٧٢‬ﺻﺺ ‪ ،٤١-٣٥‬دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸـﺎرات ﻛﻤﻚ آﻣﻮزﺷﻰ‪،‬‬ ‫ﺳﺎزﻣﺎن ﭘﮋوﻫﺶ و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣﻮزﺷﻰ‪ ،‬وزارت آﻣﻮزش و ﭘﺮورش‪.‬‬ ‫‪ .٤‬ﻛﻠﻤﻨﺘﺲ‪ ،‬اﻟـﺮﺗﻮن‪ .(١٩٩٦) .‬ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﮔﺬﺷﺘﻪ‪ ،‬ﺣﺎل‪ ،‬آﻳﻨـﺪه‪ .‬اﻧﺘﺸﺎرات‬ ‫ﻳﻮﻧﺴﻜﻮ‪) .‬ﺗﺮﺟﻤﻪ در ﺣﺎل آﻣﺎده ﺷﺪن ﺑﺮاى ﭼﺎپ اﺳﺖ(‪.‬‬

‫ﭼﻜﻴﺪه!ﻫﺎى ﭘﺎﻳﺎن!ﻧﺎﻣﻪ!ﻫﺎى‬ ‫ﻛﺎرﺷﻨﺎﺳﻰ ارﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫رﺷﺪ ﻣﻔـﻬـﻮﻣﻰ در رﻳﺎﺿﻴﺎت‪ ،‬ﺳﺒﻚﻫـﺎى ﻣـﺨـﺘـﻠـ‪ f‬آن‪:‬‬ ‫ﻛﺎﻧﻮن اﻧﺒﺎﺷﺘﮕﻰ ﻧﻈﺮﻳﻪﻫﺎى ﮔﻮﻧﺎﮔﻮن‬ ‫ﭘﮋوﻫﺸﮕﺮ‪ :‬ﺣﺴﻴﻦ ﻋﺒﺪى رﻛﻦ آﺑﺎدى‬ ‫اﺳﺘﺎد راﻫﻨﻤﺎ‪ :‬دﻛﺘﺮ ﻣﺤﻤﺪرﺿﺎ ﻓﺪاﺋﻰ‬ ‫اﺳﺘﺎد ﻣﺸﺎور‪ :‬دﻛﺘﺮ زﻫﺮا ﮔﻮﻳﺎ‬ ‫داوران‪ :‬دﻛﺘﺮ ﻣﺤﻤﺪرﺿﺎ ﻣﻮﻻﻳﻰ‪ ،‬دﻛﺘﺮ ﻣﺤﻤﻮد ﻣﺤﺴﻨﻰ ﻣﻘﺪم‬ ‫ﺗﺎرﻳﺦ دﻓﺎع‪١٣٨٦/٦/٢٩ :‬‬ ‫داﻧﺸﻜﺪه ى ﻋﻠﻮم رﻳﺎﺿﻰ و ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ‪ ،‬داﻧﺸﮕﺎه ﺷﻬﻴﺪ ﺑﺎﻫﻨﺮ‪،‬‬ ‫ﻛﺮﻣﺎن‬ ‫ﭼﻜﻴﺪه‬ ‫ﭼﻴﺴﺘـﻰ و ﭼـﮕـﻮﻧﮕـﻰ ﻓـﺮاﻳﻨﺪ ﻳـﺎدﮔـﻴـﺮى رﻳﺎﺿﻴﺎت و ﺗـﺤـﻮل‬ ‫رﻳﺎﺿﻴـﺎﺗـﻰ اﻓـﺮاد‪ ،‬ﻫﻤـﻮاره از ﺳﺆاﻻت اﺳﺎﺳـﻰ ﺣـﻮزه ى آﻣﻮزش‬ ‫ِ‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻪ ﺷﻤﺎر ﻣﻰ رود‪ .‬ﻧﻈﺮﻳﻪ ﻫﺎى ﺗﺤﻮل ﺷﻨﺎﺧﺘﻰ ﺑﻪ دو رده ى‬ ‫اﺳﺎﺳﻰ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻣﻰ ﮔﺮدﻧﺪ‪ :‬ﭼﺎرﭼﻮبﻫﺎى ﻋﻤﻮﻣﻰ ﺗﺤﻮل ﺑﻠﻨﺪﻣﺪت‬ ‫ﺷﻨﺎﺧﺘﻰ در ﻃﻮل دوره ى زﻧﺪﮔﻰ‪ ،‬و ﭼﺎرﭼﻮبﻫﺎى ﻣﻮﺿﻌﻰِ رﺷﺪ‬ ‫ﻣﻔﻬﻮﻣﻰ‪.‬‬ ‫در ﺑـﺨـﺶ ﻧـﻈــﺮى اﻳـﻦ ﻣـﻄـﺎﻟـﻌـﻪ ﺿـﻤــﻦ اﺷــﺎره ﺑـﻪ ﺑــﺮﺧـﻰ‬ ‫ﭼﺎرﭼﻮب ﻫﺎى ﻋﻤـﻮﻣﻰ رﺷﺪ ﺷﻨﺎﺧﺘﻰ‪ ،‬ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻧﻈﺮﻳﻪ ى ﻣـﺮﺣﻠـﻪ اى‬ ‫ﭘﻴﺎژه‪ ،‬ﭼﺎرﭼﻮب رﺷﺪ ﻫﻨﺪﺳﻰ ﻓﻦ ﻫﻴﻠﻰ و ﻓﻦ ﻫﻴﻠﻰ )‪ (١٩٨٦‬و ﻣﺪل‬ ‫‪ SOLO‬از ﺑﻴﮕـﺰ و ﻛـﻮﻟﻴـﺲ )‪ ،(١٩٨٢‬ﭼﻨﺪ ﭼـﺎرﭼﻮب ﻣـﻮﺿﻌـﻰ‬ ‫ﺗﺄﺛﻴـﺮﮔﺬار از ﺟﻤﻠﻪ اﺻـﻮل رﺷﺪ ﻣﻔﻬـﻮﻣﻰ ﭘﻴﺎژه‪ ،‬ﻧﻈﺮﻳﻪ ى اﺳـﻔـﺎرد‬ ‫)‪ (١٩٨٢‬و ﭼـﺮﺧﻪ ى ‪ UMR‬در ﻣـﺪل ‪ SOLO‬اراﺋﻪ ﺷـﺪه اﺳـﺖ‪.‬‬

‫ﻗﺴﻤﺖ ﺑﻌﺪى ﺑﻪ ﺗﺒﻴﻴﻦ ﻧﻈﺮﻳﻪ ى ﺟﻬﺎﻧﻰ دﺑﻴـﻨـﺴـﻜـﻰ و ﻫـﻤـﻜـﺎران‬ ‫)‪ ٢٠٠١ ، ١٩٩٦ ، ١٩٨٨‬و…( در ﻣﻮرد رﺷﺪ ﻣﻔﻬـﻮﻣﻰ‪ ،‬ﺗﺤﺖ‬ ‫ﻋﻨﻮان ‪ ،APOS‬اﺧﺘﺼﺎص دارد ﻛﻪ از ﻣﺮاﺣﻞ ﺧﻄّﻰ ﻋﻤﻞ ـ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ـ‬ ‫ﺷﻴﺊ ـ ﻃﺮﺣﻮاره ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺗﺎل و ﻫﻤﻜﺎران او )‪، ١٩٩٤‬‬ ‫‪ ٢٠٠٥ ، ٢٠٠٤‬و…( ﺑﻪ ﻧﻘﺪ اﻳﻦ ﻧﻈﺮﻳﻪ ﭘﺮداﺧﺘﻪ اﻧﺪ‪ .‬اﻫﻢّ اﻧﺘﻘﺎدات‬ ‫ﺗﺎل ﺑﺮ ﭼﺎرﭼﻮب دﺑﻴﻨﺴﻜﻰ‪ ،‬در ﻗﺎﻟﺐ ﺗﻔﻜﻴﻚ ﺳﻪ ﺟﻬﺎن رﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﻣﺠﺴﻢ ـ ﻣﻔﻬﻮﻣﻰ‪ ،‬ﻧﻤﺎدﻳﻦ ـ ﻓﺮﻫﻮﻣﻰ و ﺻﻮرى ـ اﺻﻞ ﻣﻮﺿﻮﻋﻰ‪،‬‬ ‫ّ‬ ‫ﻋﻤﺪﺗـﺎ ﻣﻨﺤﺼﺮ ﺑـﻪ‬ ‫ً‬ ‫ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ ﻣﺮﺑـﻮط ﻣﻰ ﺷـﻮد ﻛﻪ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ‪APOS‬‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻧﻤﺎدى اﺳﺖ و در اﻳﻦ ﺣﻮزه ﻧﻴﺰ ﻛﺎر داﻧﺸﺠﻮﻳﺎﻧﻰ را ﻛﻪ‬ ‫ﺑﺎ ﺳﺒﻚ ﻳﺎ دﻳﺪﮔﺎه ﻫﺎى ﺷﻬـﻮدى ﺑﻪ ﻛﺎر رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻰ ﭘـﺮدازﻧﺪ ﺗﻮﺟﻴﻪ‬ ‫ﻧﻤﻰ ﻛﻨﺪ )ﭘﻴﻨـﺘـﻮ و ﺗـﺎل ‪ ١٩٩٨‬و ‪ .(٢٠٠٢‬در اداﻣﻪ ى ﻣﻄـﻠـﺐ‪،‬‬ ‫ﻣﻄـﺎﻟـﻌـﺎت وﺑـﺮ و ﻫـﻤـﻜـﺎران )‪ ٢٠٠٥‬و ‪ (٢٠٠٦‬ﻛـﻪ در اﻣـﺘـﺪاد‬ ‫ﭘﮋوﻫﺶ ﻫﺎى ﺗﺎل ﺑﻪ ﺳﺒﻚ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ m‬ﺳﺎﺧﺖ و اﺛﺒﺎت رﻳﺎﺿـﻰ‬ ‫ﻧﻈﺮ داﺷﺘﻪ اﻧﺪ اراﺋﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻗﺴﻤﺖ اﺻﻠﻰ اﻳﻦ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻣﺼﺎﺣﺒﻪ ﻫـﺎى‬ ‫دو داﻧﺸﺠﻮى ﻛﺎرﺷﻨﺎﺳﻰ رﺷﺘﻪ ى رﻳﺎﺿﻰ ﻛﻪ از دو دﻳﺪﮔﺎه ﻣﺘﻔﺎوت‬ ‫ﺻﻮرى و ﻏﻴﺮﺻﻮرى ﺑـﺮﺧﻮردارﻧﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﭘﮋوﻫﺶ ﺑﺎ دو ﻣﺼﺎﺣﺒـﻪ ى‬ ‫ﻏﻴﺮﺳﺎﺧﺘﺎرى ﺑﺎ اﺳﺎﺗﻴﺪ رﻳﺎﺿﻴﺎت در ﻣﻮرد ﻧﻘﺶ ﺳﺒﻚ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪m‬‬ ‫در ﺳـﻪ زﻣﻴﻨﻪ ى ﻛﺎر داﻧﺸﺠـﻮﻳـﺎن‪ ،‬ﺗـﺪرﻳـﺲ رﻳـﺎﺿـﻰ و ﭘـﮋوﻫﺶ‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت ﺗﻘﻮﻳﺖ ﮔﺮدﻳﺪه و اﻳﺪه اى ﻧﻴﺰ ﺑـﺮاى ﺗﺪرﻳﺲ دﺗﺮﻣﻴﻨﺎن در‬ ‫ﺟﺒﺮ ﺧﻄﻰ ﺑﻪ ﺷﻴﻮه ى ﻣﻌﻨﺎﻳﻰ اراﺋﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﻪ ﻃﻮر ﺧﻼﺻﻪ‪ ،‬ﻧﻈﺮﻳﻪ ى ‪ APOS‬ﺑﺮاى ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺳﺎﺧﺖ وﺳﺎز‬ ‫و ﻳﺎدﮔﻴﺮى رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﺑﺨﺼﻮص در ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺳﺒﻚ ﻫﺎى ﻣﺘﻔﺎوت ﻛﺎر‬ ‫‪٥٩‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫رﻳﺎﺿﻰ ﻛـﻪ در زﻣﻴﻨﻪ ﻫﺎى ﮔﻮﻧﺎﮔـﻮﻧﻰ )ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻳﺎدﮔﻴـﺮى‪ ،‬ﺗﺪرﻳﺲ و‬ ‫ﭘـﮋوﻫﺶ( ﺣﻀـﻮر و ﻧـﻘـﺶ دارﻧـﺪ‪ ،‬ﭼـﺎرﭼﻮب ﻛﺎﻣﻠـﻰ ﻧـﻴـﺴـﺖ‪.‬‬ ‫ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ ﺑﺎﻳﺪ در ﺳﻪ ﻣﺤﻮر ﻓﻮق ﺑﻪ ﺗﻔﺎوت ﻫﺎ ﺗﻮﺟﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ؛‬ ‫ﻟﻜﻦ رده ﺑﻨﺪى‪ ،‬ﺗﻌﻴﻴﻦ و ﺗﺸﺨﻴـﺺ وﻳـﮋﮔﻰ ﻫﺎ و ﺣـﺪود و ﻧﺤﻮه ى‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺷﻴـﻮه ﻫﺎ ﻳﺎ ﺳﺒﻚ ﻫﺎ ﺑﻪ ﭘـﮋوﻫﺶ ﻫﺎى ﻋﻤﻴﻘﻰ ﻧـﻴـﺎزﻣﻨﺪ‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬

‫داﻧﺶ آﻣﻮزان و ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻧﺎﺣﻴﻪ ى ‪ ٢‬ﻛﺮﻣﺎن ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺟﺎﻣﻌﻪ ى آﻣﺎرى‬ ‫اﻧﺘﺨـﺎب ﺷـﺪﻧـﺪ‪ .‬روش ﺗﺤﻘﻴـﻖ ﺗـﻮﺻﻴـﻔـﻰ‪ ،‬و اﺑـﺰار ﺟﻤـﻊ آورى‬ ‫اﻃﻼﻋﺎت ﭘﺮﺳﺶ ﻧﺎﻣﻪ ﺑﻮده اﺳﺖ‪ .‬ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺗﺤﻘﻴﻖ ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ‪:‬‬ ‫ـ ﺑﺨﺶ آﻣﻮزش ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺗﺄﺛﻴﺮ ﭼﻨﺪاﻧﻰ در رﻓﺘﺎر ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ى‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻧﺪاﺷﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ـ ﻣﻌﻠﻢ ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ از روش ﻫﺎى ﺗﺪرﻳﺲ ﻣﺆﺛﺮى ﺑﺮاى آﻣﻮزش‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﻰ ﻛﻨﻨﺪ و ﺑـﺮﺧﻰ از آن ﻫﺎ اﻳﻦ ﺑﺨﺶ را اﺻﻼً‬ ‫ﺗﺪرﻳﺲ ﻧﻤﻰ ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫ـ ﻣﻌﻠﻢ ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﺒﺎﻧﻰ ﻧﻈـﺮى ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ داﻧـﺶ‬ ‫ﻛﻤﻰ دارﻧﺪ؛ ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ اﮔﺮﭼﻪ اﻛﺜﺮًا وﺟﻮد آﻣﻮزش ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ را در‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ ﻣﺪرﺳﻪ ﻣﻔﻴﺪ ارزﻳﺎﺑﻰ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ وﻟﻰ ﺑﺎ ﺷﺮاﻳﻂ ﺣﺎﺿﺮ‬ ‫آن را ﺑﺮ ﻋﻤﻠﻜﺮد داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻣﺆﺛﺮ ﻧﻤﻰ داﻧﻨﺪ‪.‬‬ ‫ـ از دﻳﺪﮔﺎه ﻣﻌﻠﻢ ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬ﻣﺤﺘﻮاى اﻳﻦ ﺑﺨﺶ از ﻛﺘﺎب‬ ‫در ﺣﺪود ‪ ٦٠‬درﺻﺪ از ﻣﻌﻴـﺎرﻫﺎى ﻣﺤﺘﻮاﻳﻰ ﻻزم ﺑـﺮاى ﻳﻚ ﻛﺘﺎب‬ ‫درﺳﻰ را داراﺳﺖ‪.‬‬

‫ﭼﻜﻴﺪه‬ ‫ﻫﻤﻪ ى اﻓﺮاد ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻴﻪ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ ،m‬ﻧﻴﺎز روزاﻓﺰوﻧﻰ ﺑﻪ ﻳﺎدﮔﻴﺮى‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ دارﻧﺪ و اﮔﺮ ﻧﮕﻮﻳﻴﻢ رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻳﻌﻨﻰ ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ ،‬اﻣﺎ ﺑﺎﻳـﺪ‬ ‫اذﻋﺎن ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺣﻞ ﻣﺴﺌـﻠـﻪ‪ ،‬ﺑـﺎﻳـﺪ ﺑـﺨـﺶ ﻋـﻤـﺪه اى از داﻧـﺶ و‬ ‫ﺗﺠﺮﺑﻪ ى اﻓﺮاد‪ ،‬در ﻋﺮﺻﻪ ى ﻛﺎر رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﻫﺮ ﮔﺎﻣﻰ ﻛﻪ‬ ‫در ﺟﻬﺖ ﺑﻬﺘﺮ ﺷﺪن ﻛﻴﻔﻴﺖ ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠـﻪ ى اﻓـﺮاد ﺑﺮداﺷﺘﻪ ﺷﻮد‪ ،‬ﺗﺎ‬ ‫ﺣﺪ زﻳﺎدى ﺑﻪ ﺑﻬﺒﻮد زﻧﺪﮔﻰ اﻳﺸﺎن ﻛﻤﻚ ﺧﻮاﻫﺪ ﻛﺮد‪ .‬ﻫﺪف اﺻﻠﻰ‬ ‫اﻳﻦ ﺗﺤﻘـﻴـﻖ‪ ،‬ﺑـﺮرﺳﻰ ﺑﺨﺶ آﻣـﻮزش ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠـﻪ ى ﻛـﺘـﺎب ﻫـﺎى‬ ‫رﻳﺎﺿﻰ دوره ى راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ در رﻓﺘﺎر و دﻳﺪﮔﺎه دﺑﻴﺮان رﻳﺎﺿﻰ و ﻣﻴﺰان‬ ‫ﺗﺄﺛﻴﺮ اﻳﻦ ﺑﺨﺶ ﺑﺮ ﺗﻮاﻧﺎﻳﻰ ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ى داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻮده اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺑـﺮاى اﻳﻦ ﻣﻨﻈـﻮر ﭘـﺲ از ﻣـﻄـﺎﻟـﻌـﻪ ى دﻗـﻴـﻖ ﺟـﻮاﻧـﺐ ﻣـﻮﺿـﻮع‪،‬‬

‫درك داﻧﺶآﻣﻮزان از ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﭘﮋوﻫﺸﮕﺮ‪ :‬ﺑﻰ ﺑﻰ زﻛﻴﻪ ﭘﺮﻫﻴﺰﮔﺎر‬ ‫اﺳﺘﺎد راﻫﻨﻤﺎ‪ :‬دﻛﺘﺮ زﻫﺮا ﮔﻮﻳﺎ‬ ‫اﺳﺘﺎد ﻣﺸﺎور‪ :‬دﻛﺘﺮ اﻣﻴﺮﺣﺴﻴﻦ اﺻﻐﺮى‬ ‫داوران‪ :‬دﻛﺘﺮ اﺳﻤﺎﻋﻴﻞ ﺑﺎﺑﻠﻴﺎن‪ ،‬دﻛﺘﺮ اﺣﻤﺪ ﺷﺎﻫﻮراﻧﻰ‬ ‫ﺗﺎرﻳﺦ دﻓﺎع‪٨٧/٨/٦ :‬‬ ‫داﻧﺸﮕﺎه ﻣﺤﻞ ﺗﺤﺼﻴـﻞ‪ :‬داﻧﺸﻜﺪه ى رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺸﮕﺎه ﺷﻬﻴـﺪ‬ ‫ﺑﻬﺸﺘﻰ‬

‫ﺑﺮرﺳﻰ ﺑﺨﺶ آﻣﻮزش ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪى ﻛﺘﺎبﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫دورهى راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ ﺗﺤﺼﻴـﻠـﻰ در رﻓﺘﺎر و دﻳـﺪﮔﺎه ﻣﻌﻠﻤـﺎن‬ ‫رﻳـﺎﺿـﻰ و ﻣـﻴـﺰان ﺗﺄﺛـﻴـﺮ اﻳـﻦ ﺑـﺨـﺶ ﺑـﺮ ﺗـﻮاﻧﺎﻳـﻰ ﺣـﻞ‬ ‫ﻣﺴﺌﻠﻪى داﻧﺶآﻣﻮزان‬ ‫ﭘﮋوﻫﺸﮕﺮ‪ :‬ﻣﺮﺿﻴﻪ ﻣﻬﺘﺎﺑﻰ‬ ‫اﺳﺘﺎد راﻫﻨﻤﺎ‪ :‬دﻛﺘﺮ ﻣﺤﻤﺪرﺿﺎ ﻓﺪاﺋﻰ‬ ‫اﺳﺘﺎد ﻣﺸﺎور‪ :‬دﻛﺘﺮ زﻫﺮا ﮔﻮﻳﺎ‬ ‫داوران‪ :‬دﻛﺘﺮ ﻣﻬﺪى رﺟﺒﻌﻠﻰ ﭘﻮر‪ ،‬دﻛﺘﺮ اﺳﻔﻨﺪﻳﺎر اﺳﻼﻣﻰ‬ ‫ﺗﺎرﻳﺦ دﻓﺎع‪٨٦/١١/٦ :‬‬ ‫داﻧﺸﮕﺎه ﻣﺤﻞ ﺗﺤﺼﻴﻞ‪ :‬داﻧﺸﻜﺪه ى ﻋﻠﻮم رﻳﺎﺿﻰ و ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ‪،‬‬ ‫داﻧﺸﮕﺎه ﺷﻬﻴﺪ ﺑﺎﻫﻨﺮ‪ ،‬ﻛﺮﻣﺎن‪.‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪٦٠‬‬

‫ﭼﻜﻴﺪه‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﻳﻜﻰ از اﺳﺎﺳﻰ ﺗﺮﻳﻦ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳﺎﺿﻴﺎت اﺳﺖ ﻛﻪ ﮔﻮﻧﺎﮔﻮﻧﻰ‬

‫ﺗﻔﺴﻴﺮﻫﺎ و ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎﻳﺶ ﺷﮕﻔﺖ آور اﺳﺖ‪ .‬ﺳﻴﺮ ﺗﺤﻮل ﺗﻮﺳﻌﻪ ى‬ ‫ﻣﻔﻬـﻮم ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﺗﺎرﻳﺨﻰ ﻃـﻮﻻﻧﻰ و ﭘﺮ ﻓﺮاز و ﻓﺮود دارد ﻛﻪ ﻣﻨﺠﺮ ﺑـﻪ‬ ‫اﻳﺠﺎد ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ m‬ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺪﻳﻦ ﺟﻬﺖ‪،‬‬ ‫ﻣﺤﻘﻘﻴﻦ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﺘﻴﺠﻪ رﺳﻴﺪه اﻧﺪ ﻛﻪ ﺗﻮاﻧﺎﻳﻰ ﺷﻨﺎﺳﺎﻳﻰ و ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻳﻚ‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم رﻳﺎﺿﻰ از ﺟﻤﻠﻪ ﺗﺎﺑﻊ در ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ ،m‬و اﻧﻌﻄﺎف‬ ‫در ﺣﺮﻛﺖ از ﻳﻚ ﺑـﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﺑﻪ ﺑـﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ دﻳﮕﺮ‪ ،‬ﺑـﺮاى ﻳﺎدﮔﻴﺮى آن‬ ‫ﻣﻔﺎﻫـﻴـﻢ ﺿـﺮورى ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﻣـﺤـﻘـﻘـﺎن درﻳـﺎﻓـﺘـﻪ اﻧـﺪ ﻛـﻪ اﻳـﻦ‬ ‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻫﺎ‪ ،‬ﻫﻤﺎن ﻃﻮر ﻛﻪ ﺑﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان اﺟﺎزه ﻣﻰ دﻫﺪ ﺗﺎ رواﺑﻂ‬ ‫ﻏﻨﻰ را ﺑﺒﻴﻨﻨﺪ‪ ،‬ﺑﻪ ﻫﻤﺎن اﻧـﺪازه ﻧﻴﺰ ﺑﺎﻋﺚ ﺗـﻮﺳﻌﻪ ى درك ﻋﻤﻴﻖ ﺗﺮ‬ ‫ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻣﻰ ﺷﻮد‪ .‬ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺒﺐ‪ ،‬ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت ﺑﺴﻴﺎرى ﺑﺎ ﻫﺪف ﺷﻨﺎﺧﺖ‬ ‫دﺷﻮارى ﻫﺎى داﻧﺶ آﻣﻮزان در ﺑﺮﺧﻮرد ﺑﺎ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﭼﻨﺪﮔﺎﻧﻪ و‬ ‫ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ ﺗﺄﺛﻴﺮ آن ﻫﺎ ﺑﺮ ﺗﻌﻤﻴﻖ ﻓﻬﻢ و درك ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳﺎﺿﻰ ﺗﻮﺳﻂ‬ ‫آن ﻫﺎ اﻧﺠﺎم ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬در ﻫﻤﻴﻦ راﺳﺘﺎ ﻧﻴﺰ‪ ،‬ﺗﺤﻘﻴﻘﻰ ﺑﺎ دو ﻫﺪف‬ ‫ﻋﻤﺪه ى زﻳﺮ ﻃﺮاﺣﻰ و اﺟﺮا ﺷﺪ‪:‬‬ ‫اﻟ‪ (m‬ﺷـﻨـﺎﺧـﺖ دﺷـﻮارى ﻫﺎ و ﭘﻴـﭽـﻴـﺪﮔـﻰ ﻫـﺎى اﺣـﺘـﻤـﺎﻟـﻰ‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان در ﺑﺮﺧﻮرد ﺑﺎ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﭼﻨﺪﮔﺎﻧﻪ ى ﺗﺎﺑﻊ؛‬ ‫ب( ﺑﺮرﺳﻰ ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ اﺳﺘﻔﺎده ى داﻧﺶ آﻣﻮزان از وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎى‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ‪ m‬ﺗﺎﺑﻊ در ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪.m‬‬ ‫ﺷﺮﻛﺖ ﻛﻨﻨﺪﮔﺎن در اﻳﻦ ﺗﺤﻘﻴﻖ‪ ،‬داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ ﺑﻮدﻧﺪ‬ ‫و ﺟﻤﻊ آورى داده ﻫﺎى اﻳﻦ ﺗﺤﻘﻴﻖ‪ ،‬از ﻃﺮﻳﻖ ﭘﺮﺳﺶ ﻧﺎﻣﻪ و ﻣﺼﺎﺣﺒﻪ‬ ‫اﻧﺠﺎم ﺷﺪ و ﺷﺎﻣﻞ ﺳﺆال ﻫﺎﻳﻰ در ﻣﻮرد ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﭼﻨﺪﮔﺎﻧﻪ ى‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ از ﺟﻤﻠﻪ ﻣﺠﻤـﻮﻋﻪ ى زوج ﻣﺮﺗﺐ‪ ،‬ﻧﻤـﻮدار‪ ،‬ﻓﺮﻣﻮل و ﻋﺒﺎرت‬ ‫ﺑﻮد‪.‬‬ ‫ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ داده ﻫﺎ ﻧﺸـﺎن داد ﻛـﻪ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان در دﻳﺪن‬ ‫ارﺗﺒﺎط ﺑﻴﻦ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ m‬ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﻧﺎﺗﻮان ﺑﻮدﻧﺪ‪ .‬ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ‪،‬‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان از ﺗﻌﺮﻳ‪ m‬ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮاى ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﺻﻮرت زوج ﻣﺮﺗﺒﻰ‬ ‫ﻳﺎ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻧﻤﻮدارﻫﺎى ون ﻛﻪ ﺟﺰو ﻣﺪل ﻫﺎى اوﻟﻴﻪ ى ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬اﺳﺘﻔـﺎده ﻛـﺮدﻧﺪ و در ﺑﺮﺧـﻮرد ﺑﺎ دو ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻧﻤـﻮدارى و‬ ‫ﻓﺮﻣﻮل‪ ،‬ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﺑﺮ ﺗﺠﺎرب ﻗﺒﻠﻰ ﺗﻜﻴﻪ داﺷﺘﻨﺪ و ﻋﻤﺪﺗﺎً ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از‬ ‫ﺗﻜﻨﻴﻚ ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﻣﻰ ﺷﻨﺎﺧﺘﻨﺪ‪ ،‬ﺑﻪ اﺳﺘﺪﻻل ﺗﺸﺨﻴـﺺ ﺗـﺎﺑـﻊ ﺑـﻮدن‬ ‫ﭘﺮداﺧﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﭘﮋوﻫﺸﮕﺮ ﺑﺎ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔﻴﺮى از ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻫﺎى اﻳﻦ ﺗﺤﻘﻴﻖ‪ ،‬ﺑﺮ اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اى از ﻣﺜﺎل ﻫﺎى ﻣﺘﻨﻮع از ﺗﺎﺑﻊ ﻫﺎى ﮔﻮﻧﺎﮔﻮن ﺑﺮاى ﺗﻘﻮﻳﺖ‬ ‫ﺗﺼﻮر داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﺗﺄﻛﻴﺪ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ‪ .‬ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ‪،‬‬ ‫ﺗﻮﺻﻴﻪ ﻣـﻰ ﺷـﻮد ﻛﻪ ﺑـﺮاى ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻳﻚ ﻣﻔـﻬـﻮم ﺟﺪﻳﺪ رﻳـﺎﺿـﻰ‪ ،‬از‬ ‫ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﭼﻨﺪﮔﺎﻧﻪ اﺳﺘﻔﺎده ﺷﻮد زﻳﺮا اﻳﻦ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﻧﻴﺰ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﺘﻴﺠﻪ‬

‫رﺳﻴﺪ ﻛﻪ ﺑﺮاى ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻣﻔﻬـﻮم ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬اﺗﺼﺎل‪ ،‬ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ و ﺗﺒﺪﻳﻞ از‬ ‫ﻳﻚ ﺣﺎﻟﺖ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺖ دﻳﮕﺮ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﺿﺮورى اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ‬ ‫ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﺑﺎﻋﺚ ﻣﻰ ﺷﻮد ﺗﺎ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ ﻣﻬﺎرت ﻫﺎى ﻧﻤﺎﻳﺶ‬ ‫و ﺗﺸﺨﻴﺺ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ را در ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ m‬ﻛﺴﺐ ﻛﻨﻨﺪ و‬ ‫ﺑﻴﻦ آن ﻫﺎ‪ ،‬اﺗﺼﺎل و ارﺗﺒﺎط ﺑﺮﻗﺮار ﻧﻤﺎﻳﻨﺪ‪.‬‬

‫ﺗﺼﻮرات و ﺗﻌﺎرﻳ‪ f‬از ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﭘﮋوﻫﺸﮕﺮ‪ :‬ﻣﻬﺪى ﺟﻮادى‬ ‫اﺳﺘﺎد راﻫﻨﻤﺎ‪ :‬دﻛﺘﺮ اﺣﻤﺪ ﺷﺎﻫﻮراﻧﻰ‬ ‫اﺳﺘﺎد ﻣﺸﺎور‪ :‬دﻛﺘﺮ زﻫﺮا ﮔﻮﻳﺎ‬ ‫داوران‪ :‬دﻛﺘﺮ اﺳﻤﺎﻋﻴﻞ ﺑﺎﺑﻠﻴﺎن‪ ،‬دﻛﺘﺮ اﻣﻴﺮﺣﺴﻴﻦ اﺻﻐﺮى‬ ‫ﺗﺎرﻳﺦ دﻓﺎع‪٨٧/١١/١٢ :‬‬ ‫داﻧﺸﮕﺎه ﻣﺤﻞ ﺗﺤﺼﻴـﻞ‪ :‬داﻧﺸﻜﺪه ى رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺸﮕﺎه ﺷﻬﻴـﺪ‬ ‫ﺑﻬﺸﺘﻰ‬ ‫ﭼﻜﻴﺪه‬ ‫ﻫﺪف اﻳﻦ ﺗﺤﻘﻴﻖ‪ ،‬ﺑﺮرﺳﻰ ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ ﻓﻬﻢ و درك داﻧﺸﺠﻮﻳﺎن‬ ‫ﺳﺎل اول داﻧﺸﮕﺎه از ﻣﻔﻬـﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﺑـﻮد‪ ،‬ﻛﻪ در دوره ى ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ در‬ ‫رﺷﺘﻪ ى رﻳﺎﺿﻰ و ﻓﻴﺰﻳـﻚ ﺗـﺤـﺼـﻴـﻞ ﻛـﺮده اﻧﺪ و ﻣﺤـﺼـﻮل ﻧﻈـﺎم‬ ‫آﻣﻮزﺷﻰ ﻣـﻮﺟﻮد ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬در ﺟﻬﺖ ﺗﺤﻘـﻖ اﻳـﻦ ﻫـﺪف‪ ،‬از ﻣـﺪل‬ ‫ﻣﻔﻬﻮﻣﻰ »ﺗﻌﺮﻳ‪ ِm‬ﻣﻔﻬﻮم« و »ﺗﺼﻮرِ ﻣﻔﻬﻮم« ﻛﻪ ﺗـﻮﺳﻂ ﺗﺎل و وﻳﻨﺮ‬ ‫)‪ (١٩٨١‬ﺑﻪ ﻃﻮر رﺳﻤﻰ ﺑﻪ ﺣﻮزه ى آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻌﺮﻓﻰ ﺷﺪه‪،‬‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده ﺷﺪ ﺗﺎ ﺑﺘﻮان ﺑﺎ ﻛﻤﻚ آن‪ ،‬ﺑﺎ ﺳﺎﺧﺘﺎر ﺷﻨﺎﺧﺘﻰ داﻧﺸﺠﻮﻳﺎن‬ ‫و ﺗﺼـﻮرات و ﺗﻌﺮﻳ‪ m‬ﻫﺎى ﻣﻔﻬـﻮم راﻳﺞ ﺑﻴﻦ آن ﻫﺎ از ﻣﻔـﻬـﻮم ﺗﺎﺑـﻊ‬ ‫آﺷﻨﺎﻳﻰ ﻋﻤﻴﻖ ﺗﺮى ﭘﻴﺪا ﻛﺮد‪.‬‬ ‫ﺑﻪ ﻣﻨـﻈـﻮر آﺷـﻜـﺎرﺳـﺎزى ﺗﺼـﻮرات و ﺗﻌﺮﻳـ‪ m‬ﻫـﺎى ﻣـﻔـﻬـﻮم‬ ‫داﻧﺸﺠﻮﻳﺎن از ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﺑﺎ اﺳﺘﻨﺎد ﺑﻪ ادﺑﻴﺎت ﭘﮋوﻫﺸﻰ اﻳﻦ ﺣﻮزه‪،‬‬ ‫آزﻣﻮﻧﻰ ﺣﺎوى ﻫﺸﺖ ﺳﺆال‪ ،‬ﻃﺮاﺣﻰ و اﺟﺮا ﺷﺪ ﻛﻪ ﻳﻚ ﺳﺆال ﺑﺮاى‬ ‫‪٦١‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫ﺷﻨﺎﺧﺖ ﺗﻌﺮﻳ‪ m‬ﻫﺎى ﻣﻔﻬﻮم ﺷﺨﺼﻰ‪ ،‬و ﻫﻔﺖ ﺳﺆال ﺑﻌﺪى ﺑﺮاى‬ ‫ﻛﺸ‪ m‬ﺗﺼﻮرات ﻣﻔﻬﻮم داﻧﺸﺠﻮﻳﺎن ﺑﺮاى ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮد‪ .‬ﺳﭙﺲ‪،‬‬ ‫ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ داده ﻫﺎ ﺑﺮاﺳﺎس ﻣﺪل ﻣﻔﻬﻮﻣﻰ ﻣﺬﻛﻮر اﻧﺠﺎم ﮔﺮﻓﺖ‬ ‫و ﺗﻌﺮﻳـ‪ m‬ﻫـﺎى ﻣـﻔـﻬـﻮم و ﺗـﺼـﻮرات ﻣﻔـﻬـﻮم اﺳﺘـﺨـﺮاج ﺷـﺪه از‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎ‪ ،‬دﺳﺘﻪ ﺑﻨﺪى ﺷﺪﻧﺪ‪.‬‬ ‫اﻳﻦ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ ﺗﺼﻮر ﺿﺎﺑﻄﻪ داﺷﺘﻦ ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ـ ﻳﻌﻨﻰ‬ ‫ﻣﺎ داراى ﻳﻚ ﺿﺎﺑﻄﻪ و ﻓﺮﻣﻮل ﻣﺸﺨﺼﻰ اﺳﺖ ـ ﺗﺼﻮرى‬ ‫ﻫﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﻟﺰو ً‬ ‫ﻏﺎﻟﺐ در ﺑﻴـﻦ ﺷـﺮﻛﺖ ﻛﻨﻨﺪﮔﺎن در ﺗﺤـﻘـﻴـﻖ ﺑـﻮد ﻛﻪ ﻣﺸﺨـﺼـﻪ ى‬ ‫»دﻟﺨـﻮاه ﺑﻮدن« ﻳﻚ ﺗﺎﺑـﻊ را درﺑـﺮﻧﻤﻰ ﮔـﺮﻓﺖ‪ .‬در واﻗﻊ‪ ،‬ﺿﺎﺑـﻄـﻪ‬ ‫داﺷﺘﻦ ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﺑﺎ دﻟﺨـﻮاه ﺑﻮدن آن‪ ،‬ﺑﺪﻳﻦ ﻣﻌﻨﻰ ﻛﻪ ﻣﻘﺪار ﻳـﻚ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ در ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ ى دﻟﺨﻮاه داده ﺷﺪه ﻣﺴﺘﻘﻞ از ﻣﻘﺪار آن در ﻧﻘﻄﻪ ى‬ ‫دﻳﮕﺮ اﺳﺖ‪ ،‬ﺗـﻨـﺎﻗـﺾ دارد و اﻳﻦ ﺗﺼﻮر‪ ،‬ﻣـﺎﻧـﻊ از درك ﺗﻌﺮﻳـ‪m‬‬ ‫رﺳﻤﻰ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻰ ﺷﻮد‪ .‬ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ‪ ،‬ﻣﺸﺨﺼﻪ ى »ﺗﻚ ارزﺷﻰ ﺑﻮدن«‬ ‫ﻛﻪ ﻋﻨﺼﺮ ﻛﻠﻴﺪىِ دﻳﮕﺮى در ﺗﻌﺮﻳ‪ m‬رﺳﻤﻰ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻰ ﺑﺎﺷﺪ ﻧﻴﺰ‪ ،‬در‬ ‫ﺗﺼـﻮرات ﻣﻔﻬﻮم ﺷـﺮﻛﺖ ﻛﻨﻨﺪﮔﺎن ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣـﻔـﻬـﻮم ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﻧﻘـﺶ‬ ‫ﻛﻢ رﻧﮕﻰ داﺷـﺖ‪ .‬در واﻗﻊ‪ ،‬ﺗﺼـﻮرات ﻣﻔﻬﻮم ﺷﻨﺎﺳﺎﻳﻰ ﺷـﺪه در‬ ‫اﻳﻦ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ‪ ،‬زﻣﻴﻨﻪ ى ﻣﻨﺎﺳﺒﻰ ﺑـﺮاى درك دو ﻣﺸﺨﺼﻪ ى اﺳﺎﺳـﻰ‬ ‫از ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﻳﻌﻨﻰ »ﺗﻚ ارزﺷﻰ ﺑﻮدن« و »دﻟﺨﻮاه ﺑﻮدن« را اﻳﺠﺎد‬ ‫ﻧﻜﺮدﻧﺪ‪.‬‬ ‫اﻳﻦ در ﺣﺎﻟﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ در ﻛﺘﺎب ﺣﺴﺎﺑﺎن ﺳﺎل ﺳﻮم ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ ى‬ ‫رﺷﺘﻪ ى رﻳﺎﺿﻰ و ﻓﻴﺰﻳﻚ‪ ،‬ﺑﺮاى ورود ﺑﻪ ﻣﺒﺤﺚ ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﺗﻼش ﺷﺪه‬ ‫ﺗﺎ ﻓﺮﺻﺖ ﻫﺎى ﻣﺘﻨﻮﻋﻰ ﺑﺮاى ﺳﺎﺧﺘﻦ ﺗﺼﻮراﺗﻰ از ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮاى‬ ‫داﻧﺶ آﻣﻮزان اﻳﺠﺎد ﺷﻮد و ﺳﭙﺲ ﺗﻌﺮﻳ‪ m‬رﺳﻤﻰ ﺗﺎﺑـﻊ اراﺋﻪ ﮔﺮدد‪.‬‬ ‫اﻧﺘﻈﺎر ﻣـﻰ رﻓﺖ ﻛﻪ ﭼﻨﻴـﻦ ورودى ﺑﻪ ﻣﻄﻠﺐ ﺑﺘـﻮاﻧﺪ ﺗﺼـﻮرِ ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫داﻧﺶ آﻣـﻮزان را ﺗﻘﻮﻳﺖ ﻛﻨـﺪ و زﻣﻴﻨﻪ ى ﻣﺴـﺎﻋـﺪى ﺑـﺮاى ﻓﻬﻤﻴـﺪن‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ‪ m‬ﻣﻔﻬﻮم ﻓﺮاﻫﻢ آورد‪ .‬اﻳﻦ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ ﺗﺼﻮراﺗﻰ ﻛﻪ‬ ‫ِ‬ ‫ﻛﺘﺎب ﺣﺴﺎﺑﺎن ﻗﺼﺪ داﺷﺘـﻪ اﺳـﺖ در داﻧـﺶ آﻣـﻮزان اﻳﺠﺎد ﻛﻨـﺪ‪،‬‬ ‫ﺑﻴﺶ ﺗﺮ در ﺣﺪ ﻳﻚ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﻧﻘﺶ داﺷﺘﻪ اﻧﺪ و ﻣﻰ ﺗـﻮان ﺣﺪس زد ﻛﻪ‬ ‫اﻳﻦ اﻣﺮ‪ ،‬ﺑﻴﺶ ﺗـﺮ ﺑـﻪ ﻧـﻮع ﺗﺪرﻳﺴﻰ ﻛﻪ آن ﻫـﺎ درﻳـﺎﻓـﺖ ﻛـﺮده اﻧـﺪ و‬ ‫ﻣﺤﺪودﻳﺖ ﻓﺮﺻﺖ ﻫﺎى ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻛﻪ ﺑﺮاى اﻳﺸﺎن اﻳﺠﺎد ﺷﺪه اﺳﺖ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط ﻣﻰ ﺷﻮد‪ .‬ﺑﻪ ﺑﻴﺎن دﻗﻴﻖ ﺗﺮ‪ ،‬اﻳﻦ داﻧﺶ آﻣـﻮزان‪ ،‬ﺑﻪ اﻧﺪازه ى‬ ‫ﻛﺎﻓﻰ ﻓﺮﺻﺖ درﮔﻴﺮ ﺷﺪن ﺑﺎ اﻳﻦ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﻫﺎ و ﺑﻪ ﭼﺎﻟﺶ ﻛﺸﻴﺪن اﻳﻦ‬ ‫ﺗﺼﻮرات را ﭘﻴﺪا ﻧﻜـﺮده اﻧﺪ‪ .‬ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺒﺐ در آن ﻫﺎ‪ ،‬ﺗـﺼـﻮراﺗﻰ ﻛـﻪ‬ ‫زﻳﺮﺑﻨﺎى ﻣﻌﺮﻓﻰ ﺗﻌﺮﻳـ‪ m‬رﺳﻤﻰ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺳﺎﺧﺘﻪ ﻧﺸﺪه اﺳـﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﺮرﺳﻰ ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ اﻳﺠﺎد ارﺗﺒﺎط ﺑﻴﻦ ﺗﺼﻮرِ ﻣﻔﻬﻮم و ﺗﻌﺮﻳ‪ ِm‬ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫داﻧﺶ آﻣـﻮزان و ﻧﻘﺶ ﺗﺪرﻳﺲ و ﻓـﺮﺻﺖ ﻫﺎى ﻳﺎدﮔـﻴـﺮى در ﺗﻌﻤﻖ‬ ‫ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﻫﺮ دو‪ ،‬ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﻣﻮﺿﻮع ﭘﮋوﻫﺶ ﻫﺎى ﺑﻌﺪى ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

‫‪٦٢‬‬

‫ﻧﻘﺶ ﻣﺜﺎلﻫﺎ در آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫ﭘﮋوﻫﺸﮕﺮ‪ :‬ﺣﺴﻴﻦ ﻛﺜﻴﺮى‬ ‫اﺳﺘﺎد راﻫﻨﻤﺎ‪ :‬دﻛﺘﺮ اﻣﻴﺮﺣﺴﻴﻦ اﺻﻐﺮى‬ ‫اﺳﺘﺎد ﻣﺸﺎور‪ :‬دﻛﺘﺮ زﻫﺮا ﮔﻮﻳﺎ‬ ‫داوران‪ :‬دﻛﺘﺮ اﺳﻤﺎﻋﻴﻞ ﺑﺎﺑﻠﻴﺎن‪ ،‬دﻛﺘﺮ اﺣﻤﺪ ﺷﺎﻫﻮراﻧﻰ‬ ‫ﺗﺎرﻳﺦ دﻓﺎع‪٨٨/٢/١٣ :‬‬ ‫داﻧﺸﮕﺎه ﻣﺤﻞ ﺗﺤﺼﻴﻞ‪ :‬داﻧﺸﻜﺪه ى رﻳﺎﺿﻰ‪ ،‬داﻧﺸﮕﺎه ﺷﻬﻴﺪ‬ ‫ﺑﻬﺸﺘﻰ‬ ‫ﭼﻜﻴﺪه‬ ‫ﻣﺜﺎل ﻫﺎ ﻧﻘﺶ ﻣﻬﻤﻰ در آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻴﺎت اﻳﻔﺎ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ‬ ‫دﻟﻴﻞ در اﻳﻦ ﺗﺤـﻘـﻴـﻖ ﺑـﺮآن ﺷﺪﻳـﻢ ﺗـﺎ ارﺗﺒﺎط ﺑﻴﻦ ﻣﺜـﺎل ﻫـﺎ و ﻓـﻬـﻢ‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت را ﻣﻮرد ﭘﮋوﻫﺶ ﻗﺮار دﻫﻴﻢ‪ .‬ﺑﺮاى ﭘﺎﺳﺦ ﺑﻪ اﻳﻦ ﭘﺮﺳﺶ‪،‬‬ ‫ﻣﺎ ﺳﺆاﻻت زﻳﺮ را ﻣﺪﻧﻈﺮ ﻗﺮار دادﻳﻢ‪:‬‬ ‫● ﻣﺜﺎل ﻫﺎ از ﭼﻪ ﻃﺮﻳﻘﻰ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ؟‬ ‫● آﻳﺎ ﭼﻚ ﻛﺮدن و ﭼﻚ ﻧﻜﺮدن ﻣﺜﺎل ﻫﺎ ﺑﺎ ﻓﻬﻢ ﻣﻄﺎﻟـﺐ در ارﺗﺒﺎط‬ ‫اﺳﺖ؟‬ ‫● آﻳﺎ ﻫﻨﮕﺎم ﺗـﻮﻟﻴﺪ ﻣﺜﺎل و ﭼﻚ ﻛﺮدن ﻣﺜﺎل ﺑﻪ ﻳﻚ ﺟﻨﺒﻪ از ﻣﻔﻬـﻮم‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد ﻳﺎ ﺟﻨﺒﻪ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ‪ m‬آن؟‬ ‫● آﻳﺎ ﺗﻮاﻧﺎﻳﻰ در ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﺜﺎل ﻫﺎى ﺑﻴﺸﺘﺮ از ﻳﻚ ﻣﻔﻬـﻮم ﺑﺎ درك ﺑﻬﺘﺮ‬ ‫آن ﻣﻔﻬﻮم ارﺗﺒﺎط دارد ﻳﺎ ﺧﻴﺮ؟‬ ‫در اﻳﻦ ﺗﺤﻘﻴـﻖ از روش ﻣﺼﺎﺣﺒـﻪ ﺑـﺮاى ﺟﻤﻊ آورى و ﺗﺤﻠﻴـﻞ‬ ‫داده ﻫﺎ اﺳﺘﻔـﺎده ﻛـﺮدﻳﻢ‪ .‬ﺑـﺮاى اﻧﺠﺎم اﻳـﻦ ﭘـﮋوﻫﺶ داﻧﺶ آﻣـﻮزان‬ ‫ﻣﻘﺎﻃﻊ ﺳﻮم‪ ،‬ﭼﻬﺎرم و ﭘﻨﺠﻢ اﺑﺘﺪاﻳﻰ اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪﻧﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ اﻗﺘﻀﺎى‬ ‫ﺳﻨﺸﺎن داﻧﺶ رﻳﺎﺿﻰ اﻧﺪﻛﻰ داﺷﺘﻨﺪ‪ .‬در اﻳﻦ ﺗﺤﻘﻴﻖ ﺳﻌﻰ ﺑﺮ آن‬ ‫ﺷﺪ ﺗﺎ ﺑﺎ اﻧﺠﺎم ﻣﺼﺎﺣﺒﻪ و ﺗـﻌـﻘـﻴـﺐ روش ﻓﻜﺮى داﻧﺶ آﻣـﻮزان از‬ ‫ﻃﺮﻳﻖ ﭘﺮﺳﺶ ﻫﺎى ﻣﺘﻮاﻟﻰ و ﺑﺮرﺳﻰ ﭼﻚ ﻧﻮﻳﺲ ﻫﺎى داﻧﺶ آﻣﻮزان‬ ‫ﻣﺜﺎل ﻫﺎى ﺗﻮﻟﻴﺪ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ آن ﻫﺎ ﺑﺮرﺳﻰ ﺷﻮد‪.‬‬

‫ﻧﺎﻣﻪ‪%‬ﻫﺎ و ﻣﻄﺎﻟﺐ دوﺳﺘﺎن زﻳﺮ از آﻏﺎز ﺳﺎل‬ ‫‪ ٨٨‬ﺗﺎ ﻛﻨﻮن ﺑﻪ دﺳﺘﻤﺎن رﺳﻴﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫از ﻫﻤﻪ‪%‬ى آن‪%‬ﻫﺎ ﺳﭙﺎﺳﮕﺰارﻳﻢ و ﻣﻨﺘﻈﺮ ﻣﻄﺎﻟﺐ ﺷﻤﺎ‬ ‫ﺑﺮاى ﺻﺪﻣﻴﻦ ﺷﻤﺎره‪%‬ى ﻣﺠﻠﻪ‪%‬ى رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ‬ ‫ﻫﺴﺘﻴﻢ‪ .‬ﻣﻬﻠـﺖ ارﺳﺎل آﺛﺎر ﺑﺮاى اﻳﻦ ﺷﻤـﺎره‪%‬ى وﻳﮋه‪،‬‬ ‫ﭘﺎﻳﺎن آذرﻣﺎه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻳﻮﺳ‪ 8‬آذرﻧﮓ‪ ،‬از آذرﺑﺎﻳﺠﺎن ﻏﺮﺑﻰ؛‬ ‫ﻋﻠﻴﺮﺿﺎ زارع ﻛﺮدﻳﺎﻧﻰ‪ ،‬از ﺧﺮاﺳﺎن رﺿﻮى؛‬ ‫ﻧﺪا ﻣﻬﺪوى ﻏﺮوى‪ ،‬از آﻣﻞ؛‬ ‫ﻣﮋﮔﺎن ﻓﺮﻳﺪون‪4‬ﻧﮋاد‪ ،‬از اﺻﻔﻬﺎن؛‬ ‫ﻋﻠﻰ‪4‬اﻛﺒﺮ ﺟﺎوﻳﺪﻣﻬﺮ‪ ،‬از ﻗﻢ؛‬ ‫زﻫﺮه ﺗﺮازى‪ ،‬از ﺧﺮاﺳﺎن رﺿﻮى؛‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ روزدار و ﻣﻌﺼﻮﻣﻪ ﻧﺪاﺋﻰ‪ ،‬از ﻟﺮدﮔﺎن؛‬ ‫ﻧﻔﻴﺴﻪ ﺟﻮاﻫﺮﻳﺎن‪ ،‬از ﻛﺮﻣﺎن؛‬ ‫ﻧﺮﮔﺲ ﻋﺼﺎرزادﮔﺎن‪ ،‬از اﺻﻔﻬﺎن؛‬ ‫ﻣﺼﻄﻔﻰ ﺷﻴﺦ‪4‬زاده‪ ،‬از ﺧﺮاﺳﺎن رﺿﻮى؛‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻏﻼﻣﻴﺎن‪ ،‬از ﺑﺠﺴﺘﺎن؛‬ ‫ﻓﺎﻃﻤﻪ ﺗﻜﺎﻣﻠﻰ ﻣﺎﺳﻮﻟﻪ؛ از رﺷﺖ؛‬ ‫ﻣﺮﻳﻢ ﻧﻘﺪى‪ ،‬از دورود ﻟﺮﺳﺘﺎن؛‬ ‫ﺳﻌﻴﺪ ﭼﺘﺮ آﺑﻨﻮس‪ ،‬از ﺷﻴﺮاز؛‬ ‫ﻣﺮﻳﻢ دﻫﻘﺎﻧﭙﻮر‪ ،‬از ﻛﺮﻣﺎن‪.‬‬

‫‪٦٣‬‬

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺷﻤﺎره ى‪١‬‬ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ ‪١٣٨٨‬‬

E OF GOD THE NAofMEducation INMinistry Organization of Research& Educational Planning Teaching-Aids Publications Office

Roshd

Mathematics 97 Education Journal V o l. 27 N o. 1

2009

ISSN: 1606 - 9188

2.Editor's Note 4. Learning Calculus & Difficulties With Limit Concept & Formalism by: Y. Azerang 11. Footprints of Polia on the Proof of Last Ferma's Theorem by: M. Yazdanfar 19. Kashani's Works & ... by: I. Hadi & M. Dehghandar 24. Language as one of the Basics of Mathematics Education by: L. Ahmadloo, M. Ostadi, A. Heidari, Z. Sabagzadeh & N. Agili 27. Counting With 1+2+3+...+n=nI by: G.H. Ganbari 33. Teachers' Narrative by: A. Z. Kordiani File of ICT: 35. Using ICT in Teaching Mathematics by: Z. Abolhasani 42. The Role of Educational Technology in Teaching - Learning Process of Teaching Space Geometry by: N. Behin Ayub & M. Gholami 48. Book Presentation by: M. Rezaie 50. Examples of Pigeon Hole Principle by: M. Karimian & M. Ghavidel 53. Using Pigeon Hole Principle in Problem Solving by: A. Borovick & A. Besovna trans: F. Rangi 56. View points by: Z. Sabagzadeh 59. Abstracts of Master Thesis in Mathematics Education 63. Letters Managing Editor : Mohammad Naseri Editor : Zahra Gooya Executive Director : Sepideh Chamanara Editorial Board : Esmaiel Babolian, Mirza Jalili Sepideh Chamanara , Mehdi Radjabalipour Mani Rezaie,Shiva Zamani,Bijan Zangeneh Mohammad Reza Fadaie and Soheila Gholamazad Graphic Designer : Mahsa Ghabaee P.O.Bax : Tehran 15875 - 6585 E-mail: [email protected]

٦٤

‫دوره ى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ‬ ١‫ﺷﻤﺎره ى‬ ١٣٨٨ ‫ﭘﺎﻳﻴﺰ‬