Nachrichtentechnik: Eine Einführung für alle Studiengänge, 7. Auflage

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Author: Martin Werner

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Martin Werner Nachrichtentechnik

Martin Werner

Nachrichtentechnik Eine Einführung für alle Studiengänge 7., erweiterte und aktualisierte Auflage Mit 284 Abbildungen und 47 Tabellen STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.,

Auflage 1998 Auflage 1999 Auflage 2002 Auflage 2003 Auflage 2006 Auflage 2009 erweiterte und aktualisierte Auflage 2010

Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010 Lektorat: Reinhard Dapper | Walburga Himmel Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0905-6

Zum Andenken an

Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Hans-Wilhelm Schüßler „Die Aufgabe der Nachrichtenübertragung wird bei vordergründiger Betrachtung durch dieses Wort selbst hinreichend beschrieben. Es geht eben darum, Nachrichten zu übertragen. Etwas schwieriger wird es, wenn wir fragen, was Nachrichten eigentlich sind, eine Frage, die nur scheinbar trivial ist.“ Die Technik der Nachrichtenübertragung: gestern – heute – morgen Festvortrag aus Anlass des 238. Gründungstages der Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg 4. November 1981

VII

Vorwort In der Informationsgesellschaft kommt der (elektrischen) Nachrichtentechnik mit ihren Aufgabenfeldern der Darstellung, der Übertragung, der Vermittlung und der Verarbeitung von Information in elektronischer Form eine Schlüsselrolle zu. Dieses Buch führt an wichtige Aufgaben, Prinzipien und Methoden der Nachrichtentechnik heran. Es eignet sich besonders für Studierende technischer Studiengänge, der Informatik und des Wirtschaftsingenieurwesens, die einen Einstieg in die Nachrichtentechnik gewinnen wollen. Bei der Auswahl und der Darstellung der Themen wurde besonders darauf geachtet, den Umfang und den Schwierigkeitsgrad des Buches den Studierenden im Grundstudium anzupassen. In diesem Sinne sind auch die Wiederholungsfragen und Aufgaben zu den Abschnitten ohne lange Rechnungen zu lösen. War das Buch zunächst als Ergänzung zu einer zweistündigen Lehrveranstaltung im 3. Semester an der Hochschule Fulda gedacht, so haben zahlreiche Kommentare von Fachkollegen, viele Fragen von Studierenden und nicht zuletzt neue Entwicklungen der Nachrichtentechnik das Buch von Auflage zu Auflage wachsen lassen. In die 7. Auflage habe ich gerne Ergänzungen und aktuelle Hinweise eingearbeitet. Der neue Abschnitt zur optischen Nachrichtentechnik gibt Einblicke in die Technik, die den globalen Austausch über das Internet für alle erst ermöglicht hat. Unter dem Schlagwort Fiber-to-thehome (FTTH) werden Bestrebungen zusammengefasst, Lichtwellenleiter bis zu den Wohnungen der Teilnehmer zu bringen – den breitbandigen Internetanschluss. Bei allen Überarbeitungen und Ergänzungen zur neuen Auflage wurde wieder besonderes Augenmerk darauf gelegt, den einführenden Charakter mit einer soliden Grundlage für ein vertiefendes Fachstudium zu verbinden. Allen, die das Buch durch ihr Interesse und ihre Anregungen begleitet haben, herzlichen Dank. Vielen Dank an den Verlag für die gute Zusammenarbeit und stete Bereitschaft die Entwicklungen des Buches mit zu tragen.

Fulda, im Juli 2010

Martin Werner

IX

Inhaltsverzeichnis 1

Aufgaben und Grundbegriffe der Nachrichtentechnik ................................................. 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

2

Entwicklung der Nachrichtentechnik ......................................................................... 2 Nachrichtentechnik, Informationstechnik und Telekommunikation.......................... 4 Nachrichtenübertragung ............................................................................................. 7 Telekommunikationsnetze........................................................................................ 10 Digitale Signalverarbeitung...................................................................................... 13 Zusammenfassung .................................................................................................... 14 Wiederholungsfragen zu Abschnitt 1 ....................................................................... 14

Signale und Systeme ....................................................................................................... 15 2.1 Klassifizierung von Signalen.................................................................................... 16 2.1.1 Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Signale ................................................. 16 2.1.2 Wertkontinuierliche, wertdiskrete, analoge und digitale Signale .................. 17 2.1.3 Periodische und aperiodische Signale ........................................................... 18 2.1.4 Deterministische und stochastische Signale .................................................. 19 2.1.5 Energie- und Leistungssignale ...................................................................... 20 2.2 RLC-Netzwerke........................................................................................................ 21 2.3 Lineare zeitinvariante Systeme................................................................................. 25 2.4 Fourierreihen ............................................................................................................ 27 2.5 Periodische Quellen in RLC-Netzwerken................................................................. 31 2.6 Spektrum periodischer Signale ................................................................................. 34 2.7 Übertragungsfunktion und Frequenzgang ................................................................ 36 2.7.1 Übertragungsfunktion.................................................................................... 36 2.7.2 Frequenzgang, Dämpfung und Phase ............................................................ 38 2.7.3 Tiefpass, Bandpass, Hochpass und Bandsperre............................................. 40 2.7.4 Rechnen mit komplexer Fourierreihe und Frequenzgang ............................. 44 2.7.5 RC-Hochpass................................................................................................. 45 2.8 Fouriertransformation............................................................................................... 49 2.9 Filterung ................................................................................................................... 52 2.10 Verzerrungsfreie Übertragung .................................................................................. 54 2.11 Bandbreite und Zeitdauer-Bandbreite-Produkt......................................................... 57 2.12 Charakterisierung von LTI-Systemen....................................................................... 59 2.12.1 Impulsfunktion und Impulsantwort ............................................................... 59 2.12.2 Faltung .......................................................................................................... 64 2.13 Zusammenfassung .................................................................................................... 70 2.14 Aufgaben zu Abschnitt 2 .......................................................................................... 72

3

Pulse-Code-Modulation, digitale Signalverarbeitung und Audiocodierung.............. 76 3.1 Digitalisierung analoger Signale............................................................................... 76 3.2 Abtasttheorem........................................................................................................... 77

X 3.3 Quantisierung ........................................................................................................... 79 3.4 Quantisierungsgeräusch............................................................................................ 81 3.5 PCM in der Telefonie ............................................................................................... 84 3.5.1 Abschätzung der Wortlänge .......................................................................... 84 3.5.2 Kompandierung............................................................................................. 85 3.5.3 13-Segment-Kennlinie .................................................................................. 86 3.6 Digitale Signalverarbeitung...................................................................................... 89 3.6.1 Schnelle Fouriertransformation..................................................................... 90 3.6.2 Digitale Filter ................................................................................................ 96 3.6.2.1 Simulation mit digitalen Filtern ...................................................... 96 3.6.2.2 FIR-Filter ........................................................................................ 97 3.6.2.3 IIR-Filter ....................................................................................... 100 3.7 Audiocodierung ...................................................................................................... 103 3.7.1 Psychoakustische Effekte ............................................................................ 104 3.7.2 Audiocodierung für MPEG-1 Layer III....................................................... 105 3.7.3 HE-AAC Codec .......................................................................................... 107 3.8 Zusammenfassung .................................................................................................. 109 3.9 Aufgaben zu Abschnitt 3 ........................................................................................ 109 4

Modulation eines sinusförmigen Trägers.................................................................... 112 4.1 Trägermodulation ................................................................................................... 113 4.2 Amplitudenmodulation (AM)................................................................................. 115 4.2.1 Prinzip der Amplitudenmodulation ............................................................. 115 4.2.2 Modulationssatz .......................................................................................... 116 4.2.3 Gewöhnliche Amplitudenmodulation ......................................................... 117 4.2.4 Kohärente AM-Demodulation..................................................................... 119 4.2.5 Inkohärente AM-Demodulation mit dem Hüllkurvendetektor .................... 119 4.2.6 Quadraturamplitudenmodulation (QAM).................................................... 120 4.2.7 Trägerfrequenztechnik in der Telefonie ...................................................... 121 4.3 Frequenzmodulation (FM)...................................................................................... 123 4.3.1 Modulation der Momentanfrequenz des Trägers......................................... 123 4.3.2 Spektrum und Bandbreite von FM-Signalen ............................................... 125 4.3.3 Demodulation von FM-Signalen ................................................................. 128 4.4 Digitale Modulationsverfahren............................................................................... 130 4.4.1 Binäre Modulationsverfahren...................................................................... 131 4.4.2 Mehrstufige Modulationsverfahren ............................................................. 134 4.4.3 Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM) ............................. 140 4.5 Zusammenfassung .................................................................................................. 148 4.6 Aufgaben zu Abschnitt 4 ........................................................................................ 149

5

Digitale Übertragung im Basisband ............................................................................ 151 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Grundbegriffe ......................................................................................................... 151 RS-232-Schnittstelle............................................................................................... 154 Digitale Basisbandübertragung............................................................................... 157 Leitungscodierung .................................................................................................. 160 Störung durch Rauschen......................................................................................... 162

XI 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 6

Übertragung im Tiefpasskanal................................................................................ 166 Matched-Filterempfänger ....................................................................................... 170 Nyquist-Bandbreite und Impulsformung ................................................................ 174 Kanalkapazität ........................................................................................................ 179 Digitaler Teilnehmeranschluss ............................................................................... 180 Zusammenfassung .................................................................................................. 184 Aufgaben zu Abschnitt 5 ........................................................................................ 186

Telekommunikationsnetze............................................................................................ 187 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

Zeitmultiplex, PDH und SDH ................................................................................ 187 Nachrichtenübermittlung ........................................................................................ 190 OSI-Referenzmodell............................................................................................... 193 HDLC- und LAP-Protokoll .................................................................................... 198 ATM und Breitband-ISDN..................................................................................... 202 Lokale Netze........................................................................................................... 205 Protokollfamilie TCP/IP ......................................................................................... 208 Zusammenfassung .................................................................................................. 212 Wiederholungsfragen zu Abschnitt 6 ..................................................................... 214

7

Optische Nachrichtentechnik....................................................................................... 216 7.1 Lichtwellenleiter..................................................................................................... 218 7.2 Optische Sender, Empfänger und Verstärker ......................................................... 228 7.3 Optische Übertragungssysteme .............................................................................. 236 7.4 Wiederholungsfragen zu Abschnitt 7 ..................................................................... 241

8

Grundbegriffe der Informationstheorie und der Kanalcodierung ........................... 242 8.1 Information, Entropie und Redundanz ................................................................... 242 8.2 Huffman-Codierung ............................................................................................... 246 8.3 Kanalcodierung....................................................................................................... 250 8.3.1 Paritätscodes................................................................................................ 250 8.3.2 Kanalcodierung zum Schutz gegen Übertragungsfehler ............................. 254 8.3.3 Lineare Blockcodes ..................................................................................... 256 8.3.4 Syndromdecodierung .................................................................................. 257 8.3.5 Hamming-Distanz und Fehlerkorrekturvermögen....................................... 261 8.3.6 Perfekte Codes und Hamming-Grenze........................................................ 263 8.3.7 Restfehlerwahrscheinlichkeit ...................................................................... 264 8.3.8 Eigenschaften und Konstruktion der Hamming-Codes ............................... 267 8.3.9 CRC-Codes ................................................................................................. 268 8.4 Zusammenfassung .................................................................................................. 278 8.5 Aufgaben zu Abschnitt 8 ........................................................................................ 279

9

Mobilkommunikation ................................................................................................... 282 9.1 Global System for Mobile Communications (GSM) .............................................. 283 9.1.1 Mobilkommunikation für jedermann .......................................................... 283 9.1.2 GSM-Netzarchitektur .................................................................................. 287 9.1.3 GSM-Funkschnittstelle................................................................................ 289

XII

9.2

9.3 9.4

9.5

9.6 9.7

9.1.3.1 Funkzellen und Frequenzkanäle.................................................... 289 9.1.3.2 Mobilfunkübertragung .................................................................. 292 9.1.3.3 Logische Kanäle und Burst-Arten................................................. 297 9.1.4 High Speed Circuit Switched Data (HSCSD) ............................................. 300 9.1.5 GSM-Sicherheitsmerkmale ......................................................................... 301 General Packet Radio Service (GPRS)................................................................... 304 9.2.1 Paketübertragung mit Dienstmerkmalen ..................................................... 304 9.2.1.1 GPRS-Dienstgüte .......................................................................... 305 9.2.1.2 Zugriff auf die GSM-Luftschnittstelle .......................................... 307 9.2.2 GPRS-Systemarchitektur ............................................................................ 309 Enhanced Data Rates for GSM Evolution (EDGE)................................................ 311 Universal Mobile Telecommunication System (UMTS) ........................................ 313 9.4.1 UMTS-Dienste ............................................................................................ 314 9.4.2 UMTS-Systemarchitektur ........................................................................... 315 9.4.3 UMTS-Luftschnittstelle .............................................................................. 317 9.4.3.1 Spreizbandtechnik mit Rake-Empfänger....................................... 317 9.4.3.2 CDMA-Vielfachzugriff................................................................. 319 9.4.3.3 Nah-Fern-Effekt, Leistungsregelung und Zellatmung................... 322 9.4.3.4 Zellulare Funkkapazität................................................................. 324 9.4.3.5 Handover....................................................................................... 325 9.4.3.6 Protokollstapel für die UMTS-Luftschnittstelle ............................ 327 9.4.4 High-Speed Packet Access (HSPA) ............................................................ 329 Wireless Local Area Network (WLAN)................................................................. 331 9.5.1 WLAN-Empfehlung IEEE 802.11 .............................................................. 331 9.5.2 Zugriff auf die Luftschnittstelle und Netzstrukturen ................................... 334 9.5.3 WLAN-Übertragung mit OFDM................................................................. 339 Zusammenfassung .................................................................................................. 342 Aufgaben zu Abschnitt 9 ........................................................................................ 344

Lösungen zu den Aufgaben .......................................................................................... 346 Abkürzungen und Formelzeichen ............................................................................... 371 Literaturverzeichnis ..................................................................................................... 381 Sachwortverzeichnis ..................................................................................................... 389

1

1

Aufgaben und Grundbegriffe der Nachrichtentechnik

Fernseher, Radio, MP3-Player, Handy, PC und Internet ohne die Nachrichtentechnik gäbe es die moderne Welt nicht. Was ist die Nachrichtentechnik nun eigentlich? Beginnen wir zunächst mit dem Wort selbst, das aus Nachricht und Technik zusammengesetzt ist. Das Wort Technik stammt aus dem altgriechischen (ĲȑȤȞȘ, [téchne]) und steht für Kunst(fertigkeit). Es umfasst nicht nur Gegenstände sondern auch deren Entstehung und Verwendung im sozialen Kontext. Technik ist eine Kulturleistung, auf die wir Menschen stolz sein dürfen, die aber stets auch kritisch hinterfragt werden muss. Dies gilt besonders für die Nachrichtentechnik, die sich mit Nachrichten, also „Mitteilungen nach denen man sich richtet“ befasst. Folgt man dem auf Francis Bacon ( 1561,†1626) zurückgeführten geflügelten Ausspruch „Wissen ist Macht“, berührt die Nachrichtentechnik den Kern von Gesellschaft, Wirtschaft und Politik. Rundfunk, Fernsehen und seit einigen Jahren das Internet hinterlassen nachhaltig Spuren in der Gesellschaft. Heute wird statt des Begriffs Nachricht meist synonym Information, lateinisch Informatio für Darlegung und Deutung, verwendet, was unmittelbar die Brücke schlägt zur Informationstechnik, Informationsgesellschaft, usw. Die allgemeinen Überlegungen führen auf eine breite Definition: Nachrichtentechnik ist die Gesamtheit aller Technik zur Darstellung, Verarbeitung, Übertragung und Vermittlung von Nachrichten. Die Nachrichtentechnik versteht sich als eine moderne ingenieurwissenschaftliche Disziplin. Sie baut auf naturwissenschaftlichen Erkenntnissen und Methoden auf und befasst sich mit der systematischen Entwicklung, der industriellen Herstellung und dem ordnungsgemäßen Betrieb komplexer nachrichtentechnischer Systeme. Durch Forschung unterstützt sie die innovative Weiterentwicklung bestehender Systeme, die Konstruktion neuer Systeme und die Erschließung neuer Anwendungsgebiete. Anmerkung: Technik kann als das Ergebnis der menschlichen Anstrengungen gesehen werden, mit naturwissenschaftlichen Erkenntnissen und Methoden die natürlichen Grenzen des Menschen zu erweitern. Die Betonung liegt hierbei in den naturwissenschaftlichen Erkenntnissen und Methoden. Die ingenieurwissenschaftliche Vorgehensweise zeichnet sich gerade deshalb nicht durch Basteln und Erfinden aus, obwohl sich viele Ingenieure auch als kreative Problemlöser erweisen. Um den Unterschied deutlich hervorzuheben, unterscheidet man deshalb zwischen der Idee und ihrer Umsetzung durch die Begriffe Invention, lateinisch für Einfall, Erfindung und Innovation, lateinisch für Erneuerung.

Der allgemeine naturwissenschaftlich-technische Fortschritt hat zu immer mehr Wissen und komplexeren Systemlösungen geführt, die eine fachliche Spezialisierung erfordern. Da es in der modernen Wissenschaftsgesellschaft stets auch um Informationsverarbeitung geht, stellt die Nachrichtentechnik heute eine selbstverständliche Basistechnologie dar, die deshalb oft keiner Erwähnung mehr bedarf. Um einer greifbaren Antwort näher zu kommen, was Nachrichtentechnik eigentlich ist, ist es nützlich, zwischen einem Kernbereich und dem darüber hinaus gehenden Bereich interdisziplinärer Anwendungen zu unterscheiden. M. Werner, Nachrichtentechnik, DOI 10.1007/978-3-8348-9742-8_1, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010

2

1 Aufgaben und Grundbegriffe der Nachrichtentechnik

In den folgenden Unterabschnitten wird ein Blick auf den Kernbereich der Nachrichtentechnik aus der Perspektive des Ingenieurs geworfen.

1.1

Entwicklung der Nachrichtentechnik

Die Anfänge der Nachrichtentechnik reichen weit in das Altertum zurück. Mit der Erfindung der Schrift und der Zahlenzeichen ab etwa 4000 v. Chr. wird die Grundlage zur digitalen Nachrichtentechnik gelegt. Um 180 v. Chr. schlägt der Grieche Polybios eine optische Telegrafie mit einer Codierung der 24 Buchstaben des griechischen Alphabets durch Fackelsignale vor. Für viele Jahre bleibt die optische Übertragung die einzige Form, Nachrichten über große Strecken schnell zu übermitteln. Ihren Höhepunkt erlebt sie Anfang des 19. Jahrhunderts mit dem Aufbau weitreichender Zeigertelegrafie-Verbindungen in Europa; angespornt durch die von C. Chappe 1794 aufgebaute, 210 km lange Verbindung von Paris nach Lille. Ein Beispiel in Deutschland ist die 1834 eröffnete, 600 km lange Strecke von Berlin nach Koblenz. Im Abstand von jeweils circa 15 km werden insgesamt 61 Stationen aufgebaut. Die Nachrichtenübertragung geschieht mithilfe von Signalmasten mit einstellbaren Flügeln. Bei günstiger Witterung können in nur 15 Minuten Nachrichten von Berlin nach Koblenz übertragen werden. Besonders beachtenswert ist dabei, dass mit der Zeigertelegrafie neben den technischen Fragen zur Kommunikation, wie dem Codealphabet, dem Verbindungsaufbau, der Quittierung und dem Verbindungsabbau, auch die organisatorischen Fragen zur Infrastruktur eines komplexen Nachrichtensystems gelöst wurden. Die optische Übertragung war nicht nur in Europa verbreitet. Bereits um 1750 richtet in Japan M. Homma ( 1724, †1803) eine Telegrafie-Strecke von Sakata bis Osaka (600 km) ein, wobei 150 Menschen mit farbigen Flaggen zur Übertragung von Börsendaten eingesetzt wurden. Anmerkungen: (i) Die Zeigertelegrafen, insbesondere zur Flaggensignalisierung auf Schiffen, werden auch Semaphoren genannt. Der Begriff Semaphoren wird heute in der Informatik bei der Steuerung paralleler Prozesse verwendet. (ii) M. Homma ist auch bekannt als Erfinder der Kerzendiagramme (candelstick charts) zur Beschreibung von Märkten.

In die erste Hälfte des 19. Jahrhunderts fallen wichtige Entdeckungen über das Wesen der Elektrizität. Schon früh werden Experimente zur Telegrafie durchgeführt. Um 1850 löst die elektrische Telegrafie, die auch nachts und bei Nebel funktioniert, die optische ab. Die Nachrichtenübertragung bleibt zunächst digital. Buchstaben und Ziffern werden als Folge von Punkten und Strichen codiert übertragen. Da diese über einen Taster von Hand eingegeben werden müssen, werden handentlastende, schnelle Codes entwickelt. Als Vater der Telegrafie gilt S. F. B. Morse. Zu seinen Ehren spricht man heute noch von der Morsetaste und dem Morsealphabet. Geübte Operatoren senden damit bis zu 45 Wörter pro Minute. Eine Sternstunde erlebt die elektrische Telegrafie mit der Eröffnung der von Siemens erbauten Indoeuropäischen Telegrafielinie London-Teheran-Kalkutta 1870. Um 1892 existiert ein weltweites Telegrafienetz mit über 1,7 Millionen Verbindungen und einer Leitungslänge von fast 5 Millionen Kilometern auf fünf Kontinenten. Nachdem J. Ph. Reis das Prinzip der elektrischen Schallübertragung 1863 dem Physikalischen Verein in Frankfurt demonstrierte, wird mit der Entwicklung eines gebrauchsfähigen Telefons durch A. G. Bell (US-Patent, 1876) die Nachrichtentechnik analog. Die Druckschwankungen des Schalls werden in einem Mikrofon in Spannungsschwankungen umgewandelt, die als elektrisches Signal über einen Draht geleitet werden.

1.1 Entwicklung der Nachrichtentechnik

3

Mit der raschen Zunahme der Telefone findet die Handvermittelung durch das „Fräulein vom Amt“ seine Grenzen. Bereits 1892 wird das erste, von A. B. Strowger entwickelte automatische Vermittlungssystem eingesetzt. Mit dem Ende des 19. Jahrhunderts rasch zunehmenden physikalisch-technischen Wissen erobert sich die analoge Nachrichtentechnik neue Anwendungsgebiete. Meilensteine sind die Übertragung von Morsezeichen von Cornwall (England) nach Neufundland (Amerika) durch G. Marconi 1901 und die Entwicklung elektronischer Verstärker durch J. A. Fleming, Lee de Forest und R. v. Lieben zwischen etwa 1904 und 1906. Damit sind wichtige Voraussetzungen für den Hörrundfunk ab circa 1920 und den Fernsehrundfunk ab circa 1950 geschaffen. Anfang des 20. Jahrhunderts beginnt ein tief greifender Wandel. In der Physik setzen sich statistische Methoden und Vorstellungen der Wahrscheinlichkeitstheorie durch. Diese werden in der Nachrichtentechnik aufgegriffen und wesentliche Konzepte der modernen Nachrichtentechnik entwickelt. In Anlehnung an die Thermodynamik wird von C. E. Shannon 1948 der mittlere Informationsgehalt einer Nachrichtenquelle als Entropie als Ungewissheit, die durch die Nachricht aufgelöst wird eingeführt. In der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts wird dieser Wandel für die breite Öffentlichkeit sichtbar: der Übergang von der analogen zur digitalen Nachrichtentechnik, der Informationstechnik. Die Erfindung des Transistors 1947 durch J. Bardeen, W. H. Brattain und W. Shockley, die Entwicklung des ersten integrierten Schaltkreises von J. Kilbey 1958 und der erste Mikroprozessor auf dem Markt 1970 sind wichtige Grundlagen. Das durch die Praxis bis heute bestätigte mooresche Gesetz beschreibt die Dynamik des Fortschritts. G. Moore sagte 1964 voraus, dass sich etwa alle zwei Jahre die Komplexität mikroelektronischer Schaltungen verdoppeln wird. Für die Anwender bedeutet das eine Verdoppelung der Leistungsfähigkeit bei etwa gleichen Kosten. Durch den Fortschritt in der Mikroelektronik ist es heute möglich, die seit der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts gefundenen theoretischen Ansätze der Nachrichtentechnik in bezahlbare Geräte umzusetzen. Beispiele für die Leistungen der digitalen Nachrichtentechnik finden sich im digitalen Mobilfunk, im digitalen Rundfunk und Fernsehen, im modernen Telekommunikationsnetz mit Internetdiensten und Multimediaanwendungen; und überall dort, wo Information digital erfasst und ausgewertet wird, wie in der Regelungs- und Steuerungstechnik, der Medizintechnik, der Verkehrstechnik usw. Bis zur Verleihung des Nobelpreises für Physik 2009 an Charles Kuen Kao, für seine Arbeiten zu Lichtwellenleitern ab 1966, war die Öffentlichkeit wenig über die Fortschritte der faseroptischen Nachrichtentechnik informiert. Nachdem um 1975 die industrielle Produktion von Lichtwellenleitern begann, wird 1988 das erste transatlantische Glasfaserkabel TAT-8 (transatlantic telefon cable) in Betrieb genommen. 1997 verbindet FLAG (fiber-optic link around the globe) von Japan bis London 12 Stationen durch zwei Lichtwellenleiter mit optischen Verstärkern. Die Übertragungskapazität entspricht 120.000 Telefonkanälen. Heute sind zahlreiche Fernübertragungsstrecken mit Datenraten von 10 ... 40 Gbit/s pro Faser im kommerziellen Betrieb, das entspricht einer gleichzeitigen Übertragung von mehr als 78.000 Telefongesprächen oder über 2.500 Videosignalen. Nachdem im Jahr 2000 an Versuchsstrecken bereits Datenraten über 1000 Gbit/s (1 Tbit/s) demonstriert wurden, hat die ITU (International Telecommunication Union) 2007 mit der weltweiten Standardisierung eines optischen Transportnetzes (OTN, optical transport network) mit Wellenlängen-Multiplex (WDM, wavelength division multiplex) und 120 Gbit/s pro Faser begonnen. Ergänzend dringen die optischen Netze in Richtung Teilnehmer vor. Passive optische Netze (PON, passive optical network) sind dabei, den Engpass auf den letzten Kilometern zu den Teilnehmern zu schließen. Insbesondere soll

1 Aufgaben und Grundbegriffe der Nachrichtentechnik

4

das seit einigen Jahren in lokalen Rechnernetzen (LAN, local area network) verbreitete Ethernet PON (EPON) mit der Datenrate von 1 Gbit/s (G-EPON) durch die neue 10 Gbit/s Technik (10G-EPON) abgelöst und für einen kostengünstigen Teilnehmeranschluss eingesetzt werden. Ein herausragender Aspekt der Nachrichtentechnik ist die internationale Zusammenarbeit. Bereits 1865 wird der internationale Telegrafenverein in Paris von 20 Staaten gegründet. Über mehrere Zwischenschritte entsteht daraus die International Telecommunication Union (ITU) als Unterorganisation der UNO mit Sitz in Genf. Daneben existiert ein dichtes Netz von Organisationen, die unterschiedliche Interessen vertreten und miteinander verbunden sind. Industriekonsortien, wie die Bluetooth Special Interest Group (SIG), nehmen dabei an Bedeutung zu. Einige Organisationen, deren Abkürzungen häufig auftreten, sind:

ANSI CCITT CCIR CEPT

DIN ETSI FCC IAB IEC IEEE IETF ISO ITU

VDE

1.2

American National Standards Institute ) ISO Comité Consultatif International Télégraphique et Téléphonique ) ITU-T Comité Consultatif International des Radiocommunication (1929) ) ITU-R Conférence des Administrations Européennes des Postes et Télécommunications ) ETSI Deutsches Institut für Normung (1917) European Telecommunication Standards Institute (1988) Federal Communication Commission (USA) Internet Architecture Board (1983/89) International Electrotechnical Commission (1906) ) ISO Institute of Electrical and Electronics Engineers (1884/1963) Internet Engineering Task Force (1989) International Organization for Standardization (1947) International Telecommunication Union (1865/1938/1947/1993) mit Radiocommunication Sector (-R), Telecommunication Sector (-T) und Development Sector (-D) Verband der Elektrotechnik, Elektronik und Informationstechnik (1893)

Nachrichtentechnik, Informationstechnik und Telekommunikation

Unter der (elektrischen) Nachrichtentechnik wurden früher in einem weiteren Sinne alle Teilgebiete der Elektrotechnik zusammengefasst, die sich nicht der Energietechnik zuordnen lassen. Die Nachrichtentechnik bedient sich üblicherweise elektronischer Mittel zur Darstellung, Verarbeitung, Übertragung und Vermittlung von Nachrichten (Information). Sie steht in engem Austausch mit anderen Feldern der Wissenschaft und Technik und es können oft keine scharfen Grenzen gezogen werden. Besonders enge Verbindungen bestehen beispielsweise zur Steuer- und Regelungstechnik sowie der Informatik. Die zunehmende Digitalisierung in der Technik, die Darstellung der Information durch Binärzeichen und deren Verarbeitung mit der Digitaltechnik, hat dazu geführt, dass die genannten Fachgebiete heute zur Informationstechnik zusammengewachsen sind. Anmerkungen: (i) Auch wenn heute der Begriff Nachricht meist synonym durch Information ersetzt wird, sind die Begriffe Nachrichtentechnik und Informationstechnik nicht einfach austauschbar. (ii) 1954 wurde in Deutschland die Nachrichtentechnische Gesellschaft im VDE (NTG), heute Verband der Elektro-

1.2 Nachrichtentechnik, Informationstechnik und Telekommunikation

5

technik Elektronik Informationstechnik e.V. (VDE), gegründet. Die in der zweiten Hälfte des letzten Jahrhunderts einsetzende Erweiterung der Nachrichtentechnik führte 1985 zur Umbenennung in die Informationstechnische Gesellschaft im VDE (ITG). (iii) In Erweiterung der ursprünglichen Definition „mit elektronischen Mittel“ ist heute „mit Software“ zu denken, deren Ausführung letztlich ja auch auf dem Einsatz von Elektronik beruht.

Der Begriff Nachricht, obwohl oder Die Nachrichtentechnik befasst sich mit der weil im Alltag vertraut, ist im techniDarstellung, der Verarbeitung, der Übertragung schen Sinne schwierig zu fassen. Die und der Vermittlung von Nachrichten. Nachrichtentechnik stellt ihm deshalb den Begriff Signal zur Seite. Während der Nachricht eigentlich eine Mitteilung, um sich danach zu richten eine Bedeutung zukommt, ist das Signal der physikalische Repräsentant der Nachricht. Signale, wie die Schallwellen beim Sprechen oder die elektrische Spannung Ein Signal ist der physikalische am Mikrofonausgang, können mit physikalisch-techRepräsentant einer Nachricht. nischen Mitteln analysiert und verarbeitet werden. Grundlage der Nachrichtentechnik ist die Darstellung der Nachricht als Signal. Dazu gehört der klassische Bereich der elektroakustischen Umsetzer, wie Mikrofone und Lautsprecher, und der elektrooptischen Umsetzer, mit Bildaufnehmern und Bildschirmen. Hinzu kommen heute alle Formen der Umsetzung physikalischer Größen in elektrische bzw. in elektronisch zu verarbeitende Daten. Beispiele sind einfache Sensoren für Druck, Temperatur, Beschleunigung und komplexe Apparate wie in der Computer- und Kernspintomografie. Die Signalverarbeitung war stets ein Kerngebiet der Nachrichtentechnik, siehe Bild 1-1. Zu den klassischen Aufgaben, wie die Filterung, Verbesserung, Verstärkung und Modulation von Signalen, sind neue hinzugekommen. Angetrieben durch fallende Preise und höhere Leistungen in der Mikroelektronik, hat sich die digitale Signalverarbeitung in der Nachrichtenübertragung und in vielen anderen Anwendungsgebieten etabliert. Damit einher geht die Entwicklung und der Einsatz von Software zur anwendungsspezifischen digitalen Signalverarbeitung. Beispiele aus der Nachrichtentechnik im engeren Sinne sind die modernen Audio- und Videocodierverfahren nach dem MPEG-Standard (Moving Picture Experts Group) und die Signalverarbeitung für die Mobilfunkübertragung nach dem GSM-Standard (Global System for Mobile Communications), wie die Sprachcodierung und die Kanalcodierung. Die Nachrichtenübertragung befasst sich mit der räumlichen und zeitlichen Übertragung von Nachrichten; also der Übertragung von A nach B, wie bei einem Telefongespräch, aber auch der Kommunikation zwischen der Computermaus und dem Notebook oder dem Marsfahrzeug Pathfinder und der Erdstation. In den Übertragungsstrecken treten gewöhnliche elektrische Leitungen (Zweidrahtleitung, Koaxialkabel, …), optische Leitungen (Lichtwellenleiter) oder der freie Raum auf. Auch die Speicherung und Wiedergabe von Signalen und Daten ist eine Form der Nachrichtenübertragung. Typische Beispiele sind die Magnetbandaufzeichnung (Tonbandgerät, Kassettenrecorder, Videorecorder, Diskettenlaufwerk), die optische Aufzeichnung bzw. Wiedergabe (CD-ROM/DVD/BD) und der Einsatz einer Festplatte am PC. So vielfältig die Anwendungen sind, so vielfältig sind die Lösungen.

1 Aufgaben und Grundbegriffe der Nachrichtentechnik

interdisziplinäre Anwendungen

6

Telekommunikation Telekommunikationsnetz Nachrichtenübermittlung

Signalverarbeitung

Nachrichtenübertragung

Nachrichtenvermittlung

O&M (Gebühren, Sicherheit, …)

gesellschaftliche, rechtliche und wirtschaftliche Aspekte

Bild 1-1 Aufgabenfelder der Nachrichtentechnik

Ist die Kommunikation wahlfrei zwischen mehreren Teilnehmern möglich, wie im bekannten Telefonnetz, so tritt die Nachrichtenvermittlung hinzu. Ihre Aufgabe ist es, einen geeigneten Verbindungsweg zwischen den Teilnehmern herzustellen. In den analogen Telefonnetzen geschieht die Wegewahl mithilfe des Teilnehmernummernsystems und der automatischen Leitungsdurchschaltung in den Vermittlungsstellen. Moderne Telekommunikationsnetze bieten unterschiedliche Dienste mit unterschiedlichen Leistungsmerkmalen an und optimieren bedarfsabhängig die Auslastung der Verbindungswege und Vermittlungsstellen im Netz. Die Nachrichtenübertragung und die Nachrichtenvermittlung werden zur Nachrichtenübermittlung zusammengefasst. Sie bildet die technische Grundlage des Telekommunikationsnetzes (TK-Netz). Zu einem öffentlichen TK-Netz gehören weitere Aspekte, wie die Organisation und das Management (O&M), die Gebührenerfassung und -abrechnung, die Netzzugangskontrolle und die Sicherheit. Die Nachrichtentechnik befasst sich natürlich auch mit privaten Rechnernetzen und dem Internet. Der Begriff Telekommunikation (TK) umfasst schließlich alle im Zusammenhang mit TKNetzen denkbaren Aspekte und tritt auch in verschiedenen Zusammensetzungen auf, wie die Telekommunikationswirtschaft oder das Telekommunikationsgesetz (TKG). Das Internet hat viele Menschen für die Frage der Sicherheit der Telekommunikation sensibilisiert. Stand in den Zeiten der Fernmeldemonopole der sichere Betrieb der Anlagen im Vordergrund, so sind heute in der Telekommunikation eine Reihe von Sicherheitsaspekten zu beachten: Authentizität (Athenitification), Vertraulichkeit (Confidentiality), Integrität (Integrity), Verfügbarkeit (Accessibility), usw. Offene Sicherheitsfragen verhindern heute viele nachrichtenübertragungstechnisch mögliche Anwendungen, z. B. in der Verwaltung und bei den Banken, in der Industrie und dem Gesundheitswesen. Es ist deshalb wichtig, Sicherheitsaspekte bereits bei der Konzeption nachrichtentechnischer Systeme und Standards, wie z. B. für WLAN (wireless local area network) oder Bluetooth, zu berücksichtigen. Anmerkung: In der Soziologie wird Kommunikation als Einheit von Information, Mitteilung und Verstehen betrachtet. In der Nachrichtentechnik spielt Verstehen nur insoweit eine Rolle, dass der Empfänger der Nachrichten in die Lage versetzt werden soll, prinzipiell so zu handeln, als hätte er die Nachricht vom Sender in originaler Form erhalten. Dies setzt eine gewisse Übertragungsqualität voraus.

Ein alternativer Zugang zum Begriff Nachrichtentechnik ergibt sich aus den Arbeitsgebieten der Informationstechnischen Gesellschaft im VDE (ITG) (www.vde.com/de/fg/itg). Mit etwa 11.000 persönlichen Mitgliedern und ihren Fachverstand spielt die ITG eine wichtige Rolle in der Informationstechnik in Deutschland. Die Arbeit der ITG gliedert sich in neun Fachbereiche:

1.3 Nachrichtenübertragung

7

Informationsgesellschaft und Fokusprojekte (FB 1) Dienste und Anwendungen (FB 2) Fernsehen, Film und elektronische Medien (FB 3) Audiokommunikation (FB 4) Kommunikationstechnik (FB 5) Technische Informatik (FB 6) Hochfrequenztechnik (FB 7) Mikro- und Nanoelektronik (FB 8) Übergreifende Gebiete (FB 9) Weitere Informationen zu den Arbeitsgebieten sind über die Internetseiten der ITG zu finden. Im Zusammenhang mit der Informationstechnik wird in den Medien häufig der Bundesverband für Informationswirtschaft, Telekommunikation und neue Medien e.V. (BITKOM) genannt. Nach Selbstaussage im Internet (www.bitkom.org/de) vertritt er 2008 mehr als 1.200 Unternehmen, die im deutschen Informations- und Kommunikationstechnologie(IKT)-Markt circa 135 Milliarden Euro Umsatz erwirtschaften und damit etwa 90 % des Markts repräsentieren. Anmerkung: ITK – Informations- und Telekommunikationstechnologie.

Der enge Zusammenhang zwischen Informationstechnik und Informatik führt dazu, dass sich die Arbeitsgebiete des Ingenieurs der Informationstechnik und des Informatikers oft überschneiden bzw. eine strikte Trennung nicht möglich ist. Der Begriff Informatik wird zuerst in Frankreich verwendet und 1967 durch die Académie Française definiert [Des01]. Übersetzt steht Informatik für: Wissenschaft der rationellen Verarbeitung von Informationen, insbesondere durch automatische Maschinen, zur Unterstützung des menschlichen Wissens und der Kommunikation in technischen, wirtschaftlichen und sozialen Bereichen. Im englischsprachigen akademischen Raum ist die Trennung in Informationstechnik und Informatik wenig verbreitet. Dort trifft man auf die Begriffe Computer Engineering und Communications Engineering bzw. Computer Science.

1.3

Nachrichtenübertragung

Die Nachrichtenübertragungstechnik befasst sich mit der Darstellung und der Übertragung von Nachrichten. Hierzu gehört im weiteren Sinne die physikalische Umsetzung von Signalen, wie z. B. von Schallwellen in elektrische Spannungen in Mikrofonen. Im engeren Sinne beginnt und endet die Nachrichtenübertragung mit dem elektrischen Signal bzw. der elektronischen Darstellung der zu übertragenden Daten. Eine generische Darstellung der Nachrichtenübertragung liefert das shannonsche Kommunikationsmodell1 in Bild 1-2.

1

Claude E. Shannon: 1916, †2001, US-amerikanischer Ingenieur und Mathematiker, grundlegende Arbeiten zur Informationstheorie.

1 Aufgaben und Grundbegriffe der Nachrichtentechnik

8

Darin übergibt die Informationsquelle (information source) die Nachricht (message) dem Sender (transmitter), der das entsprechende Sendesignal (signal) für den Kanal (channel) erzeugt. Im Kanal tritt das Signal der Störgeräuschquelle (noise source) hinzu, sodass das Empfangssignal (Received Signal) für den Empfänger (Receiver) entsteht. Letzterer generiert daraus die empfangene Nachricht (received message) und übergibt sie schließlich der Informationssenke (destination). Je nach Anwendung werden die einzelnen Blöcke des Kommunikationsmodells spezialisiert und in weitere Komponenten zerlegt. Die wichtigsten Komponenten der Nachrichtenübertragung und ihre Funktionen sind in Bild 1-3 zusammengestellt. Man beachte, dass in realen Übertragungssystemen nicht immer alle Komponenten verwendet bzw. untereinander scharf getrennt werden.

INFORMATION SOURCE

TRANSMITTER

[CHANNEL]

SIGNAL MESSAGE

RECEIVED SIGNAL

RECEIVER

DESTINATION

MESSAGE

NOISE SOURCE

Bild 1-2 Nachrichtenübertragung nach Shannon ([Sha48], Fig. 1)

Die Einbeziehung des Menschen als Nachrichtenempfänger erfordert die Berücksichtigung physiologischer und psychologischer Aspekte. Die Fernseh- und Rundfunkübertragung und insbesondere die modernen Codierverfahren zur Sprach-, Audio- und Videoübertragung sind auf die menschliche Wahrnehmungsfähigkeit abgestellt. Um den Übertragungsaufwand klein zu halten, werden Signalanteile weggelassen, die vom Menschen nicht wahrgenommen werden können. Man bezeichnet diesen Vorgang als Irrelevanzreduktion. Die inneren Bindungen im verbleibenden Signal, die Redundanz, wird zur weiteren Datenreduktion benutzt. Je nachdem ob nach der Datenreduktion das ursprüngliche Signal prinzipiell wiederhergestellt werden kann, unterscheidet man verlustlose und verlustbehaftete Codierung. Anwendungen finden sich im digitalen Rundfunk (DAB, digital audio broadcasting), im digitalen Fernsehen (DVB, digital video broadcasting,) mit der Audio- und Videocodierung nach dem MPEG-Standard und in der Mobilkommunikation. Damit werden bei der Audiocodierung und der Videocodierung üblicherweise Verhältnisse von Datenraten vorher und nachher von circa 10:1 bzw. 40:1 erreicht. Wird die Kommunikation zwischen Maschinen betrachtet, ergeben sich je nach Anwendung andere Anforderungen an die Übertragungsqualität. Soll beispielsweise bei einer ProzessSteuerung, das Kommando Notaus übertragen werden, so sind bestimmte Bedingungen an Verfügbarkeit und Zustellzeit einzuhalten.

1.3 Nachrichtenübertragung

Nachrichtenquelle

Quellencodierung

Kanalcodierung

Leitungscodierung/ Modulation

Kanal

Leitungsdecodierung/ Demodulation

Kanaldecodierung

Erzeugung eines elektrischen Signals als Träger der Nachricht ) z. B. durch Umwandlung der Schalldruckschwankungen oder der Lichtintensität in eine elektrische Spannung in einem Mikrofon oder einer Fernsehkamera; allgemeine Umsetzung physikalischer Größen in elektrische Signale in Sensoren; zunehmend digitale Quellen die Bitströme erzeugen. Darstellung der Nachricht in einer für die Übertragung geeigneten Form ) z. B. Digitalisierung durch A/D-Umsetzung; wird meist mit Reduzierung des Übertragungsaufwandes verbunden, wie eine Entropiecodierung mit dem Huffman-Code oder Weglassen von für den Empfänger irrelevanter Signalanteile durch eine Bandbegrenzung in der Telefonie und der Fernsehtechnik oder durch psychoakustische Audiocodierung nach dem MPEG-Standard. Schutz der Nachricht gegen Übertragungsfehler ) z. B. durch zusätzliche Prüfzeichen des Hamming-Codes oder des Cyclic-Redundancy-Check (CRC)-Codes zur Fehlerkorrektur bzw. Fehlererkennung mit Wiederholung der Übertragung. Erzeugung des an den physikalischen Kanal angepassten Signals ) z. B. durch Pulsformung oder Trägermodulation (AM, FM, GMSK, OFDM, …). Übertragungsstrecke ) in der Regel wird das Signal auf der Übertragungsstrecke verzerrt (z. B. durch reale Filter, Verstärker) und gestört (z. B. durch thermisches Rauschen oder fremde Signale); meist als Modell beschrieben, das unterschiedliche Einflüsse zusammenfasst. Rückgewinnung des gesendeten Signals bzw. Bitstroms ) Verfahren zur Unterdrückung der Störung, wie signalangepasste Filter, Echoentzerrung, usw. Inverse Kanalcodierung mit Erkennung und/ oder Korrektur bestimmter Fehlermuster ) gegebenenfalls auch eine Sendewiederholungsanforderung Inverse Quellencodierung

Quellendecodierung

) bietet der Senke geeignete Signalform an

Nachrichtensenke

Bild 1-3 Wichtige Komponenten von Nachrichtenübertragungssystemen und deren Aufgaben

9

1 Aufgaben und Grundbegriffe der Nachrichtentechnik

10

1.4

Telekommunikationsnetze

Die Aufgabe eines Telekommunikationsnetzes (TK-Netz) ist es, den Teilnehmern Dienste bestimmter Art mit bestimmter, nachprüfbarer Qualität zur Verfügung zu stellen. Man spricht von der Dienstgüte oder englisch quality of service (QoS). Von den Anforderungen her lassen sich zwei wichtige Gruppen unterscheiden: die Sprach- und Bildtelefonie und die Datenkommunikation. In Abschnitt 6 wird darauf noch näher eingegangen, weshalb nachfolgend nur eine typische Anwendung vorgestellt wird: ein Telefongespräch über das öffentliche TK-Netz. Damit der rufende Teilnehmer A mit dem gerufenen Teilnehmer B sprechen kann, muss zunächst über das TK-Netz eine physikalische Verbindung zwischen den Teilnehmerendgeräten von A und B aufgebaut werden, siehe Bild 1-4. Wir gehen davon aus, dass beide Teilnehmer über einen ISDN-Basisanschluss verfügen. Anmerkungen: (i) Integrated-services digital network (ISDN); in Deutschland ab 1989 eingeführt. Für den ökonomischen Netzbetrieb sind diensteintegrierende digitale Netze vorteilhaft, in denen die unterschiedlichen Signale (Sprache, Telefax, Daten, usw.) in einheitlicher digitaler Form vorliegen. Man beachte jedoch, dass beispielsweise bezüglich der Verzögerungszeiten und Bitfehlerraten unterschiedliche Anforderungen für die Dienste gestellt werden (QoS), was eine unterschiedliche Behandlung der Dienste im TKNetz notwendig macht. (ii) Heute ist der ISDN-Basisanschluss bei vielen Teilnehmern durch die modernere DSL-Technik (digital subscriber line) oder den digitalen Kabelanschluss der Kabelfernsehversorger ersetzt worden.

Teilnehmer A

FAX

2B+D

2B+D

NT S0-Schnittstelle TA

DIV UK0-Schnittstelle

4-Drahtleitung (S0-Bus) 2-Drahtleitung (a/b)

TK-Netz DECT

DIV

PC

FP

2B+D

2B+D

NT Teilnehmer B

S0-Schnittstelle

Zentraler Zeichenkanal (SS7)

PC

DIV UK0-Schnittstelle

4-Drahtleitung (S0-Bus) 2-Drahtleitung (a/b)

Bild 1-4 Telekommunikationsnetz und Schnittstellen zum Teilnehmer am Beispiel von ISDN

1.4 Telekommunikationsnetze

11

Nach Abnehmen des Hörers wählt A auf seinem Fernsprechapparat die Rufnummer von B. Diese wird als elektrisches Datensignal im D-Kanal, dem Steuerkanal, über die Sammelleitung (S0-Schnittstelle) an den Netzabschluss (NT, network termination) übertragen. Der NT bildet den Abschluss des TK-Netzes zum Teilnehmer hin und steht über die Teilnehmeranschlussleitung (UK0-Schnittstelle) mit der digitalen Vermittlungsstelle (DIV) in Verbindung. Hierzu ist es notwendig, dass sowohl das Teilnehmerendgerät (TE, terminal equipment,) und der NT sowie der NT und die DIV dieselbe Sprache sprechen; technisch ausgedrückt, jeweils eine gemeinsame Schnittstelle haben. Im Beispiel wird eine S0-Schnittstelle bzw. eine Uk0Schnittstelle verwendet. Beide unterstützen pro Teilnehmer im Duplexbetrieb, d. h. gleichzeitig in Hin- und Rückrichtung, je zwei Basiskanäle, den B-Kanälen, mit einer Bitrate von jeweils 64 kbit/s und einen Zeichengabekanal, den D-Kanal, mit einer Bitrate von 16 kbit/s. Anmerkung: Die Bitrate gibt die Anzahl der pro Zeit übertragenen Bits an. Die Bitrate des B-Kanals spiegelt den Stand der PCM-Technik der 1960er Jahre wider. Für die Übertragung eines Telefonsprachkanals schienen damals 64 kbit/s notwendig. Moderne Verfahren der Quellencodierung ermöglichen StereoMusikübertragung mit 64 kbit/s (Simplexbetrieb) und Bildtelefonie mit 64 bis 384 kbit/s in akzeptabler Qualität. Eine der üblichen Telefonie entsprechende Sprachqualität kann nach ITU-Empfehlung G.729 mit einem Sprachcodierer und -decodierer mit einer Bitrate von 8 kbit/s erreicht werden.

Der Begriff der Schnittstelle ist in der Nachrichtentechnik von zentraler Bedeutung. Er findet seine Anwendung überall da, wo komplexe Systeme (Netze, Geräte, Programme, usw.) in Teilsysteme (Vermittlungsstellen, Baugruppen, Softwaremodule, usw.) zerlegt werden können. Für den wirtschaftlichen Erfolg ist wichtig, dass es erst durch die Definition von offenen Schnittstellen möglich wird, Geräte verschiedener konkurrierender Hersteller miteinander zu koppeln bzw. gegeneinander auszutauschen. Offene Schnittstellen sind die Voraussetzung für einen echten Wettbewerb im TK-Sektor. Die Schnittstellen eines TK-Netzes definieren den Signalaustausch: die physikalischen Eigenschaften der Signale, wie z. B. Spannungspegel, Pulsform, Frequenzlage, Modulation, usw. die Bedeutung der Signale und den zeitlichen Ablauf (Reihenfolge) die Orte, an denen die Schnittstellenleitungen auf einfache Art mechanisch oder elektrisch unterbrochen werden können, wie z. B. bei einer Steckverbindung Die digitale Vermittlungsstelle und gegebenenfalls weitere Vermittlungseinrichtungen des TKNetzes werten die Dienstanforderung aus und bereiten den Verbindungsaufbau zwischen den Teilnehmern vor, indem sie einen günstigen Verkehrsweg durch das TK-Netz suchen. Man spricht von der Verkehrslenkung (routing). Die notwendige Signalisierung wird in dem zentralen Zeichengabekanal (SS7, signaling system number 7) durchgeführt. Erst nachdem der Teilnehmer B das Gespräch angenommen hat, wird ein Gesprächskanal zwischen den Teilnehmern aufgebaut. Aus Kostengründen werden im Fernverkehr die Gesprächskanäle der Teilnehmer in der DIV mit der Multiplextechnik gebündelt, und die gebündelten Multiplexsignale auf speziellen Verbindungskanälen gemeinsam übertragen. Anmerkung: In der paketorientierten Vermittlung wird die Idee eines zentralen Zeichenkanals wieder aufgegeben. Stattdessen wird eine Inbandsignalisierung durch in den Datenstrom eingefügte Steuer- und Meldepakete vorgenommen.

Die Bündelung der Signale geschieht so, dass die einzelnen Gespräche (Signale) am Ende der Übertragungsstrecke wieder störungsfrei getrennt werden können. Je nachdem, ob die Signale

12

1 Aufgaben und Grundbegriffe der Nachrichtentechnik

anhand ihrer Frequenzlagen, Wellenlängen, Zeitlagen und der modulierenden Codes unterschieden werden, spricht man von Frequenzmultiplex, Wellenlängenmultiplex, Zeitmultiplex bzw. Codemultiplex. Bei Störungen kann es zur Überlagerung mehrerer Gespräche, dem Übersprechen, kommen. Auf zwei Besonderheiten in Bild 1-4 wird noch hingewiesen. Teilnehmer A und B betreiben jeweils mehrere Endgeräte am S0-Bus. Die S0-Schnittstelle unterstützt bis zu 8 Teilnehmerendgeräte. Sollen nicht-S0-fähige Geräte benutzt werden, so ist ein geeigneter Terminaladapter (TA) erforderlich. Teilnehmer B betreibt ein digitales schnurloses Telefon (PP, portable part) mit einer „Luftschnittstelle“ oder Funkschnittstelle nach dem DECT-Standard (digital enhanced cordless telephone/telecommunications) mit einer Basisstation (FP, fixed part) am S0-Bus. Obgleich hier nicht auf die technischen Einzelheiten eingegangen werden kann, macht das Beispiel doch die in der Nachrichtentechnik typische Denkweise deutlich: Komplexe nachrichtentechnische Systeme werden in quasi unabhängige, überschaubarere Teilsysteme zerlegt. Für ein einwandfreies Zusammenwirken der Teile sorgen die Schnittstellen. Wie in Bild 1-4 angedeutet, findet der Nachrichtenaustausch von Endgerät zu Endgerät über verschiedene Schnittstellen statt. Daneben existiert eine Vielzahl weiterer Schnittstellen im TK-Netz, die für ein geordnetes Zusammenspiel der einzelnen Netzkomponenten sorgen. Wichtiger Bestandteil der Schnittstellen zum Datenaustausch ist das Protokoll, das Art und Ablauf der Kommunikation festlegt, wie in Abschnitt 6 noch genauer erläutert wird. Die Regeln für den Datenaustausch an einer Schnittstelle werden durch das Protokoll festgelegt. Es definiert die Datenformate, die möglichen Befehle und Meldungen und die zugehörigen Zeitvorgaben. Anmerkung: Die fortgeschrittene Mikroelektronik ermöglicht zunehmend „intelligente“ Geräte und Komponenten zu verwenden, die in einer Initialisierungsphase das zu verwendende Protokoll gegenseitig aushandeln; vergleiche auch plug-and-play (PnP).

Telekommunikationsnetze ermöglichen die Übermittlung, d. h. Übertragung und Vermittlung, von Nachrichten zwischen bestimmten Netzzugangspunkten. Sie stellen dazu Dienste mit bestimmten Dienstmerkmalen zur Verfügung. In Bild 1-4 ist bereits die Evolution des Telefonnetzes zu einem universellen TK-Netz angedeutet, einem intelligenten Netz (IN). Während in der herkömmlichen Telefonie anhand der gerufenen Nummer stets eine Gesprächsverbindung aufgebaut wird, nimmt der ISDN-Teilnehmer über den Zeichengabekanal direkt Verbindung mit der Dienststeuerung des TK-Netzes auf und kann so verschiedene Dienste abrufen, wie die Sprachübertragung, die Bildtelefonie, die Datenübertragung, den Telefaxdienst, die Anrufumlenkung, usw. Abschließend sei angemerkt, den rechtlichen Rahmen zum Betrieb von TK-Netzen in Deutschland liefert das Telekommunikationsgesetz (TKG), dessen Anwendung durch die Bundesnetzagentur (www.bundesnetzagentur.de) begleitet wird.

1.5 Digitale Signalverarbeitung

1.5

13

Digitale Signalverarbeitung

Auf einer Nachrichtenübertragungsstrecke werden Signale auf vielfältige Art und Weise verarbeitet. Aufgaben, Methoden und Konzepte der Nachrichtentechnik gaben wesentliche Anstöße zur Entwicklungen der digitalen Signalverarbeitung, und viele aktuelle Forschungsthemen der modernen Nachrichtentechnik betreffen die digitale Signalverarbeitung. Die heutigen Verfahren zur Sprach-, Audio- und Videocodierung liefern eindrucksvolle Beispiele. Die digitale Signalverarbeitung beschränkt sich jedoch nicht auf die Nachrichtentechnik. Sie hat sich zu einer Grundlagendisziplin in vielen naturwissenschaftlich-technischen Anwendungsfeldern entwickelt und profitiert von einer interdisziplinären Sichtweise. Signale können an unterschiedlichen Stellen entstehen. Beispielsweise ein Musiksignal am Mikrofon, ein Bildsignal an der Videokamera, ein Sensorsignal am Drehzahlmesser einer Maschine, ein Bildsignal bei der Computertomografie usw. Heute werden diese Signale meist am Entstehungsort digitalisiert und in einer für Computer bzw. Mikrocontroller brauchbaren Form dargestellt. Oft sind die Signale bei ihrer Entstehung oder Übertragung von Störungen überlagert, die vor einer Weiterverarbeitung zunächst reduziert werden müssen. Dazu werden an die Signale und die Störungen angepasste Verfahren, wie z. B. Filterung und Entzerrung, eingesetzt. Daneben spielt die Mustererkennung eine wichtige Rolle. Typische kommerzielle Beispiele sind die automatischen Sprach- und Schrifterkennungssysteme, die Bildverarbeitungssysteme in der Qualitätskontrolle oder der Medizin und die automatischen Patientenüberwachungssysteme in den Kliniken. Als neue kommerzielle Anwendungen treten die Fahrassistenzsysteme hinzu: Beispielsweise werden von einer Kamera hinter der Windschutzscheibe bis zu 30 Bilder pro Sekunde aufgenommen und in der Bildfolge Verkehrszeichen und Fahrbahnbegrenzungen automatisch erkannt und dem Fahrer angezeigt. Seit der enormen Verbesserung des Preisleistungsverhältnisses in der Mikroelektronik ist die digitale Signalverarbeitung aus vielen Anwendungsfeldern nicht mehr wegzudenken bzw. hat sie erst entstehen lassen. Speziell dafür entwickelte Mikrocontroller, digitale Signalprozessoren genannt, ermöglichen den kostengünstigen Einsatz anspruchsvoller Verfahren. Durch den programmgesteuerten Ablauf lassen sich insbesondere adaptive Verfahren realisieren, die sich automatisch an veränderte Bedingungen anpassen. Als Maß für die Komplexität moderner Algorithmen1 der digitalen Signalverarbeitung wird häufig die Anzahl der Rechenoperationen in MIPS (million instructions per second) angegeben. Wie enorm die Anforderungen sein können, zeigen die Kennzahlen digitaler Sprachcodierverfahren. Für den 1991 in den ersten GSM-Mobiltelefonen eingesetzten Full-rateSprachcoder werden 4,5 MIPS benötigt. Der heute in GSM-Handys gebräuchliche Enhanced Full-rate-Sprachcoder und der verwandte ITU-Sprachcoder G.729 verbrauchen bereits 15 bis 20 MIPS [VHH98]. Im Jahr 2006 hat die ITU-T mit der Empfehlung G729.1 einen Sprachcoder für die Telefonie mit circa 20 bis 25 MIPS vorgeschlagen. In der Audio- und Videocodierung ist die Komplexität noch größer. Anmerkungen: (i) Der Motorola Mikroprozessor 68000 aus dem Jahr 1979 bewältigte beim Takt von 8 MHz etwa 1 MIPS. (ii) Mit Blick auf das moorsche Gesetz dürfen speziell aus der Kombination von

1 Chwarismi, Mohammed (mittellateinisch Algorismi): um 780, †846, persischer Mathematiker und Astronom. Von seinem Namen leitet sich der Ausdruck Algorithmus ab.

1 Aufgaben und Grundbegriffe der Nachrichtentechnik

14

Signalverarbeitung und Funktechnik in naher Zukunft viele neue Anwendungen und Produkte erwartet werden.

1.6

Zusammenfassung

Die Frage, was Nachrichtentechnik ist, erweist sich als nicht einfach zu beantworten. Die aufgezeigte historische Entwicklung, die vorgestellten Beispiele und Überlegungen legen einen Kernbereich nahe. Zu dessen Eingrenzung können folgende Thesen dienen: Die Nachrichtentechnik ist eine ingenieurwissenschaftliche Disziplin; beschäftigt sich mit der Darstellung, Verarbeitung, Übertragung und Vermittlung von Nachrichten (Information); entwickelt, erstellt und betreibt komplexe Systeme die oft aus Hardware und Software bestehen; setzt insbesondere Mittel aus der Elektrotechnik, der Elektronik, der Photonik, der Digitaltechnik und der digitalen Signalverarbeitung ein; steht in engem Austausch mit ihren Anwendungsfeldern, wie z. B. der Medizintechnik und Verkehrstechnik, und trägt dort oft als „Innovationsmotor“ zum Fortschritt bei; steht in enger Wechselwirkung zu gesellschaftlichen, wirtschaftlichen und politischen Prozessen.

1.7

Wiederholungsfragen zu Abschnitt 1

Im ersten Abschnitt stehen Grundbegriffe und Konzepte der Nachrichtentechnik im Mittelpunkt. Beantworten Sie hierzu folgende Fragen: A1.1 Was sind die Aufgaben der Nachrichtentechnik? A1.2 Erklären Sie die Begriffe: Signal, Schnittstelle und Protokoll. A1.3 Was sind die Aufgaben der Quellencodierung, der Kanalcodierung und der Leitungscodierung bzw. Modulation? A1.4 Skizzieren Sie das shannonsche Kommunikationsmodell. A1.5 Was sind die Aufgaben eines Telekommunikationsnetzes? A1.6 Was Bedeuten die Begriffe Accessibility, Authenticity, Confidentiality und Integrity? A1.7 Nennen Sie drei Anwendungsgebiete der digitalen Signalverarbeitung.

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2

Signale und Systeme

Dem Mitbegründer der modernen Informationstheorie Norbert Wiener1 wird die Feststellung zugeschrieben: „Information is information, not matter or energy“. Die Information besitzt ihre eigene Qualität; sie gehört zu den Fundamenten unserer Welt, wie Stoff oder Energie. Der Ausspruch deutet die Schwierigkeit an, Information im technischen Sinne greifbar zu machen. Die Nachrichtentechnik unterscheidet deshalb zwischen der Information im Sinne einer Nachricht und ihrer physikalischen Darstellung, dem Signal, dessen Eigenschaften gemessen werden können. Die Untersuchung von Signalen und deren Veränderungen durch elektrische Netzwerke sind seit langem Gegenstand der Nachrichtentechnik. Deren Ergebnisse und Erkenntnisse aus anderen Wissenschaftsgebieten führten zur fachübergreifenden Theorie der Signale und Systeme, der Systemtheorie. Die Systemtheorie beschreibt Signale als mathematische Funktionen und macht sie der mathematischen Analyse und Synthese zugänglich. Reale physikalische Signale werden durch Modelle in Form mathematischer Idealisierungen angenähert. Systeme und deren Reaktionen auf Signale. Reale physikalische Systeme werden durch Modelle angenähert, die in einem eingeschränkten Arbeitsbereich das Systemverhalten wiedergeben. Dieser Abschnitt gibt eine kurze Einführung in den Themenkreis Signale und Systeme aus nachrichtentechnischer Sicht. Zunächst werden die grundlegenden Signalarten vorgestellt. Danach werden beispielhaft einfache elektrische Netzwerke als lineare zeitinvariante Systeme betrachtet und es wird aufgezeigt, wie das Ausgangssignal für ein beliebiges Eingangssignal berechnet werden kann. Ausgehend von der komplexen Wechselstromrechnung, die hier als bekannt vorausgesetzt wird, wird mit den Fourierreihen das Lösungsverfahren auf periodische Signale erweitert. Mit der Fouriertransformation wird schließlich die Betrachtung auf aperiodische Signale ausgedehnt. Durch die Fourierreihen bzw. Fouriertransformation wird das Spektrum als die Signalbeschreibung im Frequenzbereich eingeführt. Damit kann beispielsweise die Bandbreite als wichtige Kenngröße definiert werden. Der fundamentale reziproke Zusammenhang zwischen Impulsdauer und Bandbreite wird erläutert und seine Bedeutung für die Nachrichtentechnik aufgezeigt. Passend zur Charakterisierung der Signale im Frequenzbereich werden die Systeme durch den Frequenzgang beschrieben und Tiefpass-, Hochpass- und Bandpassfilter vorgestellt. Mit der Definition der Impulsfunktion als mathematische Idealisierung eines „sehr kurzen und energiereichen“ Signals wird die Impulsantwort als die wesentliche Systemfunktion eingeführt. 1

Norbert Wiener: 1884, †1964, US-amerikanischer Mathematiker, grundlegende Arbeiten zur Kybernetik [Wie48].

M. Werner, Nachrichtentechnik, DOI 10.1007/978-3-8348-9742-8_2, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010

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2 Signale und Systeme

An der Impulsantwort lassen sich die wichtigen Systemeigenschaften erkennen. Darüber hinaus können Impulsantwort und Frequenzgang mit der Fouriertransformation ineinander umgerechnet werden. So schließt sich der Kreis zwischen den Systembeschreibungen im Frequenzbereich und im Zeitbereich.

2.1

Klassifizierung von Signalen

2.1.1

Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Signale

Ein Signal ist eine mathematische Funktion von mindestens einer unabhängigen Variablen. Wir schreiben für ein Signal allgemein x(t); falls es sich um elektrische Spannung oder Strom handelt auch u(t) bzw. i(t). Die Variable t steht für die Zeit. Ist t kontinuierlich, so liegt ein zeitkontinuierliches Signal vor. Ist die Zeitvariable nur für diskrete Werte definiert, so spricht man von einem zeitdiskreten Signal und schreibt x[n]. Der Laufindex n wird normierte Zeitvariable genannt. Anmerkung: Für zeitdiskrete Signale sind in der Literatur auch die Schreibweisen x(n) bzw. x(k) verbreitet. Anzutreffen ist manchmal auch die in der Mathematik übliche Indexschreibweise xn bzw xk.

Im Beispiel der Telefonie liefert das Mikrofon eine sich zeitlich ändernde elektrische Spannung. Deren prinzipieller Verlauf könnte wie in Bild 2-1 aussehen, einer Aufnahme des Wortes „Ful-da“. 0,4

u(t) in V

t in s 0

0,8

0,4 Bild 2-1 Mikrofonspannung als Funktion der Zeit

Ein zeitdiskretes Signal entsteht häufig durch gleichförmige zeitliche Diskretisierung eines zeitkontinuierlichen Signals, siehe Bild 2-2. Man spricht von einer Abtastung und der Abtastfolge

x[n ] x t

n TA

(2.1)

mit dem Abtastintervall TA. x[n]

x(t)

n

t TA

0

5

10

Bild 2-2 Zeitkontinuierliches und zeitdiskretes Signal (im Stabdiagramm) mit dem Abtastintervall TA

2.1 Klassifizierung von Signalen

17

Der Übergang vom zeitkontinuierlichen zum zeitdiskreten Signal wird in Abschnitt 3 ausführlicher behandelt. Es sind jedoch auch viele Signale von Natur aus zeitdiskret, wie der tägliche Börsenschlusswert einer Aktie.

2.1.2

Wertkontinuierliche, wertdiskrete, analoge und digitale Signale

u(t) 12V

Bit

0

1

2

3

4

5

6

7

Stoppbit

Solche Signale treten häufig in der Digitaltechnik auf und werden dort, abweichend von der Sprechweise hier auch als digitale Signale bezeichnet.

Startbit

Kann ein Signal nur zwei Werte annehmen, wie beispielsweise in Bild 2-3, so spricht man von einem binären Signal.

Paritätsbit

Betrachtet man den Funktionswert, so unterscheidet man wertkontinuierliche und wertdiskrete Signale. Bei der Signalverarbeitung an Digitalrechnern liegen aufgrund der endlichen Wortlänge der Zahlendarstellung stets wertdiskrete Signale vor. Sie werden taktgesteuert verarbeitet. Man nennt derartige wert- und zeitdiskrete Signale digitale Signale im Gegensatz zu analogen Signalen, die wert- und zeitkontinuierlich sind.

„0“

t Anmerkung: Bild 2-3 zeigt ein Signal der RS232-Schnittstelle am PC. Es wird das Zeichen „1“ 12V „Y“ in der ASCII-Darstellung 89 = 20 + 23 + 24 + 8,33 ms 26 übertragen, siehe Abschnitt 5. Das Akronym ASCII steht für American Standard Code for Information Interchange, der von der ITU als Internationales Alphabet Nr. 5 (IA5) eingeführt ist. Bild 2-3 Binäres zeitkontinuierliches Signal zur Übertragung eines ASCII-Zeichens Y Die Schrittgeschwindigkeit im Beispiel beträgt (10011010) 1200 Baud1 pro Sekunde.

Als Beispiel eines digitalen Signals betrachte man ein Thermometer, welches zur Prozessüberwachung einmal pro Minute abgelesen wird. Das Thermometer habe eine Ablesegenauigkeit von 1°C. Ein Messprotokoll könnte Bild 2-4 enthalten. Es liegt ein digitales Signal vor, das sich für n = 0, 1, 2, ..., 10 in der üblichen Mengenschreibweise so darstellt: x[n] = {2, 2, 3, 4, 6, 9, 9, 8, 6, 3, 5}.

Temperatur in °C 10 5

Das Konzept der Signale und Systeme kann überall da angewandt werden, wo geordnete Zahlen0 folgen anfallen. Derartige Signale werden, insbe0 5 10 Zeit in Minuten sondere in den Wirtschaftswissenschaften, oft Zeitreihen genannt. Ihre Auswertung, wie beispielsweise erkennen periodischer Vorgänge zur Vorher- Bild 2-4 Temperaturwerte als Beispiel eines digitalen Signals sage von Entwicklungen in Rohstoff-, Waren- oder Aktienmärkten oder das Entfernen rauschartiger 1

Jean Maurice Emilie Baudot: 1845, †1903, französischer Entwickler eines Schnelltelegrafen und Schöpfer des internationalen Fernschreibcodes Nr. 1.

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2 Signale und Systeme

Einflüsse in der Messtechnik, ist Gegenstand der Systemtheorie. Anmerkung: Man beachte den prinzipiellen Unterschied zwischen den durch einen Laufindex geordneten gleichartigen Daten, den Signalen der Nachrichtentechnik, und den in Datenbanken verknüpften Daten der Datenverarbeitung der Informatik, wie Adressen, Kontonummern, bestellte Artikel, usw.

2.1.3

Periodische und aperiodische Signale

In der Fourieranalyse ist die Unterscheidung der Signale in periodisch und aperiodisch wichtig. Gilt

x(t T0 )

x(t )

für alle t bzw. x[n N0 ] x[n]

für alle n

(2.2)

so liegt ein periodisches Signal vor. Die kleinste positive Zahl T0 bzw. N0 für die (2.2) gilt heißt Periode. Ist das Signal nicht periodisch, so spricht man von einem aperiodischen Signal. Bild 2-5 zeigt oben einen Rechteckimpuls der Pulsdauer T als Beispiel eines aperiodischen Signals. Darunter wird der Rechteckimpuls periodisch im Abstand T0 wiederholt. Man erhält einen periodischen Rechteckimpulszug mit dem Tastverhältnis T/T0. xT(t) t

T xp(t)

t T0 Bild 2-5 Rechteckimpuls (oben) und periodischer Rechteckimpulszug (unten)

Eine wichtige Anwendung periodischer Signale ist die komplexe Wechselstromrechnung. Dort werden sinusförmige bzw. exponentielle Signale vorausgesetzt. Die eulersche Formel1 liefert für die (allgemein) Exponentielle den Zusammenhang

x(t )

e st

eV t ª¬cos Z t j sin Z t º¼

(2.3)

mit der komplexen Frequenz

s V jZ

(2.4)

Man unterscheidet drei Fälle: die angefachte Exponentielle mit V > 0, die harmonische Exponentielle mit V = 0 und die gedämpfte Exponentielle mit V < 0. Die zugehörigen Signalverläufe sind in Bild 2-6 veranschaulicht. Das Bild links oben zeigt einen Ausschnitt des Realteils von x(t) im gedämpften Fall mit V = 1. Zusätzlich ist der Verlauf der Einhüllenden eVt eingezeichnet. Die Einhüllende und ihr Negatives begrenzen das Signal von oben bzw. unten. Mit V = 0 erhält man den harmonischen Fall im oberen rechten Bildausschnitt. Schließlich ist links unten der Signalverlauf des Realteils für V = 1 zu sehen. Man erkennt das schnelle exponentielle Wachstum der Einhüllenden. 1

Leonhard Euler: 1707, †1783, schweizer Mathematiker.

2.1 Klassifizierung von Signalen

19

Re[x(t)] für V < 0

Re[x(t)] für V = 0

Einhüllende

t

0

t

0

Im[x(t)]

Re[x(t)] für V > 0

90

Einhüllende 0

10

5

t

0

180

Polardarstellung

Re[x(t)]

270

Bild 2-6 Beispiele zur zeitkontinuierlichen allgemeinen Exponentiellen

Das letzte Teilbild zeigt einen Ausschnitt der Ortskurve der allgemein Exponentiellen in der komplexen Ebene in Polardarstellung. Im gedämpften Fall beginnt die Ortskurve außen und läuft mit wachsender Zeit spiralförmig in den Ursprung. Derselbe spiralförmige Verlauf ergibt sich im angefachten Fall. Jedoch beginnt dann die Ortskurve im Ursprung und läuft mit wachsender Zeit nach außen. Anmerkung: Die Signale wurden, wie auch die in den nachfolgenden Bildern, numerisch am PC berechnet.

2.1.4

Deterministische und stochastische Signale

Bei der bisherigen Unterscheidung der Signale wurde ihre Form, ihr Funktionstyp, zugrunde gelegt. Eine weitere sehr wichtige Unterscheidung ergibt sich aus der Art ihrer Entstehung und demzufolge ihrer Beschreibung. Genauer gesagt, ob das Signal prinzipiell exakt vorhergesagt werden kann oder nicht. Im ersten Fall handelt es sich um ein deterministisches Signal. Lassen sich für das Signal nur statistische Kenngrößen, wie Mittelwert, Varianz und Korrelation angeben, so spricht man von einem stochastischen Signal oder Zufallssignal. Typische Beispiele für stochastische Signale sind die thermische Rauschspannung eines Widerstands oder die elektrische Spannung am Mikrofonausgang eines Fernsprechapparats, siehe Bild 2-1. Das charakteristische Verhalten eines regellosen stochastischen Signals zeigt Bild 2-7 links, wohingegen das stochastische Signal rechts im Bild neben einem An- und Abklingen eine gewisse periodische Grundstruktur aufweist. Stochastische Signale spielen in der Nachrichtentechnik eine herausragende Rolle. Alle informationstragenden Signale sind stochastischer Natur. Andernfalls wäre die Nachricht bereits bekannt und eine Mitteilung könnte unterbleiben.

20

2 Signale und Systeme

Tonsignal

Rauschsignal

0

0

Zeit

Zeit

Bild 2-7 Stochastische Signale, links Rauschsignal und rechts das Tonsignal Blip.wav (Dauer circa 1 s) Anmerkungen: (i) Streng genommen handelt es sich bei allen abgebildeten Signalen um deterministische Signale, da sie durch die Abbildung eindeutig bestimmt sind. Man spricht treffender von einer Musterfunktion eines stochastischen Prozesses. (ii) Einführungen in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung auf stochastische Prozesse in der Nachrichtentechnik sind in den meisten Lehrbüchern zu Signale und Systeme zu finden. Als Einführung in die elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung eignen sich sogenannte Abiturhilfen bekannter Schul- und Lehrmittelverlage.

2.1.5

Energie- und Leistungssignale

Für die Analyse von Signalen und Systemen, d. h. der Anwendbarkeit der mathematischen Methoden, ist die Unterscheidung von Energie- und Leistungssignalen wichtig. Betrachtet man zunächst die Spannung u(t) und den Strom i(t) an einem Widerstand R, so erhält man die Momentanleistung

p t u t i t

R i2 t

(2.5)

Die Energie E und die mittlere Leistung P sind f

E

R

2 ³ i t dt

(2.6)

f

und P

1 T of T

R lim

T /2

³

i 2 t dt

(2.7)

T /2

Betrachtet man gegebenenfalls nach geeigneter Normierung der zugrunde liegenden physikalischen Größen, z. B. durch Bezug auf einen Referenzwiderstand von 1 : dimensionslose Signale, so definiert man die normierte Energie f

E

³

f

und die normierte Leistung

x t 2 dt

(2.8)

2.2 RLC-Netzwerke

21

P

1 T of T

T /2

lim

³

2

x t dt

(2.9)

T /2

Man spricht von Energiesignalen und Leistungssignalen, wenn E bzw. P als nichtnegative endliche Werte existieren. Energiesignale sind alle zeit- und amplitudenbegrenzte Signale, wie z. B. der Rechteckimpuls. Leistungssignale sind periodische Signale wie die Sinus- und Kosinusfunktion oder der periodische Rechteckimpulszug. Insbesondere sind alle später noch betrachteten stationären stochastischen Signale ebenfalls Leistungssignale.

2.2

RLC-Netzwerke

Die RLC-Netzwerke liefern ein wichtiges Anwendungsbeispiel für das Konzept von Signalen und Systemen. Darüber hinaus führt ihre Beschreibung direkt zu der zentralen Theorie der linearen zeitinvarianten Systemen. Die Grundlagen bilden die aus der Physik und Elektrotechnik bekannten Beziehungen zwischen den Spannungen und Strömen an den idealen Bauelementen Widerstand R, Induktivität L und Kapazität C. In Tabelle 2-1 sind die Definitionsgleichungen zusammengestellt. Hinzu kommen die Definitionen der idealen Strom- und Spannungsquellen sowie die kirchhoffsche1 Maschenregel für die Zweigspannungen und die kirchhoffsche Knotenregel für die Zweigströme in Tabelle 2-2. Das Konzept der RLC-Netzwerkanalyse mittels der komplexen Wechselstromrechnung als Operatorrechnung wird im Folgenden anhand des Reihenschwingkreises in Bild 2-8 vorgestellt. Wir betrachten eine sinusförmige Erregung uq (t ) uˆ cos Zt M 100 V cos 2S 400 Hz t

(2.10)

und berechnen die Zeitfunktion des Stroms i(t).

i(t)

R=4:

L = 1,19 mH C = 66,31 PF

uq(t)

Bild 2-8 Reihenschwingkreis

Aus der kirchhoffschen Maschenregel erhalten wir zunächst den Zusammenhang der Zweigspannungen uq (t )

1

uR (t ) uL (t ) uC (t )

Gustav Robert Kirchhoff: 1824, †1887, deutscher Physiker.

(2.11)

22

2 Signale und Systeme

Tabelle 2-1 Lineare Zweipole Definitionsgleichungen Grundgleichungen Bezeichnungen und Schaltzeichen

Zeitfunktionen

Energie

Komplexe Wechselstromrechnung

Widerstand R [R] = V / A = : (Ohm) u(t) i(t)

t

R i (t )

Z ( s)

R

i (t ) G u ( t )

Y ( s)

G

u(t )

w( t )

³ R i

2

(W ) dW

f

in Wärme umgesetzt R = 1/G Induktivität L [L] = Vs / A = H (Henry) u(t)

i (t )

i(t)

d i (t ) dt

L

u (t )

1 L

t

³ u(W ) dW

Z ( s ) sL Y ( s ) 1 sL

f

wm (t )

1 L i 2 (t ) 2

im magnetischen Feld gespeichert

L

Kapazität C [C] = As / V = F (Farad) u(t) i(t)

u( t )

1 C

i(t ) C C

t

³ i(W ) dW i

f

d u( t ) dt

we (t ) Z ( s ) 1 sC Y ( s)

sC

1 C u 2 (t ) 2

im elektrischen Feld gespeichert

Komplexe Frequenz s = V + jZ, Impedanz Z(s), Admittanz Y(s) = 1 / Z(s) (A) André-Marie Ampère, 1775, †1836

(:) Georg Simon Ohm, 1789, †1854

(F) Michael Faraday, 1791, †1867

(V) Alessandro Volta, 1745, †1827

(H) Joseph Henry, 1779, †1878

2.2 RLC-Netzwerke

23

Tabelle 2-2 Quellen und Grundgleichungen der RLC-Netzwerkanalyse Spannungsquelle i(t)

Sinusförmige Spannungsquelle mit eingeprägter Spannung und Innenwiderstand null

uq(t)

uq (t )

uˆq cos Z t M

Uq

uˆq e jM

Stromquelle iq(t)

Sinusfömige Stromquelle mit eingeprägtem Strom und Innenwiderstand unendlich

u(t)

iq (t ) iˆq cos Z t M Iq

iˆq e jM

Kirchhoffsche Maschenregel u2(t) u1(t)

u3(t)

Die Summe aller Zweigspannungen einer Masche ist null. Die Spannungen im Umlaufsinn der Masche werden positiv und die im Gegensinn negativ gezählt.

¦ un (t )

0

¦U n

0

Die Summe aller Zweigströme eines Knotens ist null. Die hineinfließenden Ströme werden poitiv und die herausfließenden negativ gezählt.

¦ in (t )

0

¦ In

0

n n

u4(t) Kirchhoffsche Knotenregel i1(t) i4(t) i3(t)

i2(t)

n n

Weil der Strom des Reihenschwingkreises alle Bauelemente der Masche durchfließt, kann mit Tabelle 2-1 seine Bestimmungsgleichung angegeben werden. uq ( t )

R i (t ) L

d 1 i(t ) dt C

t

³ i W dW

(2.12)

f

Es resultiert eine Integro-Differenzialgleichung mit nach (2.10) sinusförmiger Inhomogenität, auch Störfunktion genannt. Differenziert man die Gleichung einmal nach der Zeit, ergibt sich eine lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten. L

d2 dt

2

i (t ) R

d 1 i (t ) i (t ) dt C

d uq (t ) dt

(2.13)

24

2 Signale und Systeme

Aus der Mathematik ist das allgemeine Lösungsschema für lineare Differenzialgleichungen bekannt. Wegen der sinusförmigen Inhomogenität, kann hier die Lösung über die Operatorenmethode relativ einfach bestimmt werden. In der Elektrotechnik bildet diese Methode die Grundlage für die komplexe Wechselstromrechnung. Weil die Inhomogenität sinusförmig ist, wird als Lösungsansatz ein ebenfalls sinusförmiger Strom gewählt, damit in (2.12) auf der linken und rechten Seite der Gleichung der gleiche Funktionstyp erscheint. Beim Differenzieren und Integrieren reproduziert sich die sinusförmige Gestalt. Die Überlegungen führen unmittelbar auf den Exponentialansatz für die Spannungsquelle uq (t )

Re U q e st

(2.14)

mit der komplexen Amplitude Uq

uˆ e jM

(2.15)

Anmerkung: In der komplexen Wechselstromrechnung wir für gewöhnlich der Realteil der komplexen Frequenz 0 gesetzt, d. h. s = jZ gesetzt. Der Realteil V ist erst von Bedeutung, wenn die Laplacetransformation zur Berechnung von Schaltvorgängen zu Einsatz kommt.

Entsprechend wird für den Strom der Ansatz gewählt i (t )

Re I e st

(2.16)

Mit den Ansätzen in die Integro-Differenzialgleichung liefert d 1 R I e L I e st dt C st

t

³

I e sW dW

U q e st

(2.17)

f

und rechtfertigt nach kurzer Zwischenrechnung die Vorgehensweise R I e st L sI e st

1 1 I e sW C s

U q e st

(2.18)

Jetzt kann die Zeitabhängigkeit durch Kürzen mit der Exponentialfunktion formal eliminiert werden. Die Zeitabhängigkeit der Lösung ist davon nicht betroffen. Sie ist als Exponentialfunktion definiert und kann am Ende der Rechnung der Lösung für die komplexe Amplitude wieder hinzugefügt werden. Die komplexe Wechselstromrechnung setzt die Betrachtung im stationären Zustand, auch eingeschwungenen Zustand genannt, voraus. Es resultiert die algebraische Bestimmungsgleichung in s für die komplexe Amplitude des Stroms R I sL I

Sie ergibt schließlich die Lösung

1 I sC

Uq

(2.19)

2.3 Lineare zeitinvariante Systeme

I

1 1 R sL sC

25 sC

Uq

2

s LC sCR 1

Uq

Y ( s ) U q

1 U q Z (s)

(2.20)

Der Faktor Y(s) wird Admittanz, auch komplexer Leitwert, genannt. Sein Kehrwert Z(s) heißt Impedanz, auch komplexer Widerstand. Der Zusammenhang zwischen den komplexen Größen stellt eine direkte Erweiterung des bekannten Ohmschen Gesetztes dar. Unter Berücksichtigung der Rechenregeln für komplexe Zahlen kann für RLC-Netzwerke mit den komplexen Amplituden wie mit Gleichgrößen gerechnet werden. Anmerkungen: (i) Wie später noch gezeigt wird, steht die Lösung in engem Zusammenhang mit der Übertragungsfunktion und dem Frequenzgang von linearen zeitinvarianten Systemen. (ii) Der Schwingkreis zeichnet sich durch den Energieaustausch zwischen magnetischem und elektrischem Feld aus. Analoges gilt beispielsweise auch in der Mechanik, in der die kinetische und potenzielle Energie in Austausch treten können, z. B. beim mechanische Pendel.

Beispiel Strom im Reihenschwingkreis

Die Impedanz in (2.20) ist eine Funktion der Bauelemente R, L und C, sowie der komplexen Frequenz s der sinusförmigen Spannungsquelle. Im Zahlenwertbeispiel gilt mit j 2S 400 Hz

(2.21)

4 : j 3 : 5 e j 0,64 :

(2.22)

s

für die Impedanz Z

und somit für die komplexe Amplitude des Stroms I

20 e j 0,64 A

(2.23)

Die gesuchte Zeitfunktion des Stroms erhalten wir durch Einsetzen in den Lösungsansatz i (t )

2.3

Re I e st

20 cos 2S 400 Hz t 0, 64 A

(2.24)

Lineare zeitinvariante Systeme

Die RLC-Netzwerke mit der komplexen Wechselstromrechnung liefern ein Beispiel für den Einstieg in das Konzept von Signalen und Systemen. Darüber hinaus führt ihre Verallgemeinerung direkt zu der in der Nachrichtentechnik und anderen Technikfeldern und Wissenschaftsgebieten häufig benutzten Theorie der linearen zeitinvarianten Systeme. In den folgenden Abschnitten werden elektrische Netzwerke betrachtet, die sich aus den idealen Bauelementen Widerstand R, Induktivität L und Kapazität C und den idealen Quellen zusammensetzen. Trotz der Idealisierung haben derartige Netze in der Nachrichtentechnik eine hohe praktische Bedeutung, weil sie oft reale Systeme im Arbeitsbereich gut beschreiben. So lassen sich reale Widerstände, Spulen und Kondensatoren meist hinreichend durch RLC-Ersatzschaltungen modellieren, womit sich die Netzwerkanalyse und -synthese ausführlich beschäftigt.

26

2 Signale und Systeme

Die erste wesentliche Eigenschaft der RLC-Netzwerke ist die Linearität. Sie entspricht physikalisch dem Superpositionsprinzip und garantiert eine relativ einfache mathematische Beschreibung. Die Linearität leitet sich aus den Beziehungen zwischen Strömen und Spannungen an den Bauelementen in Tabelle 2-1 ab. Es treten nur die linearen Rechenoperationen, d. h. die Multiplikation mit einer Konstanten, die Differenziation und die Integration, auf. In der Elektrotechnik wird deshalb angestrebt, komplizierte Schaltungen durch RLC-Netzwerke zu modellieren; man spricht von der Linearisierung der Schaltung. Die zweite wichtige Eigenschaft wird meist stillschweigend vorausgesetzt: die Zeitinvarianz. Das heißt, die Bauelemente ändern im betrachteten Zeitraum ihre Eigenschaften nicht. Anmerkung: In der Praxis ist dies nicht immer gewährleistet; Temperaturschwankungen und Alterungsprozesse sind reale Fehlerquellen.

Linearität und Zeitinvarianz führen unmittelbar zu dem Begriff des linearen zeitinvarianten Systems (LTI-System, Linear Time Invariant). Hierzu betrachte man in Bild 2-9 den passiven elektrischen Vierpol in seiner Darstellung als System mit je einem Ein- und Ausgang und beispielsweise den Spannungen als Signale. i1(t) u1(t)

Eingang

i2(t) RLCNetzwerk

u2(t)

Ausgang

x(t)

System

y(t)

Bild 2-9 RLC-Netzwerk als Zweitor (links) und als System mit einem Ein- und Ausgang (rechts)

Zwei Eingangssignalen x1(t) und x2(t) seien die Ausgangssignale y1(t) bzw. y2(t) zugeordnet. Das System ist dann linear, wenn für eine beliebige Linearkombination der Eingangssignale mit den Konstanten D1 und D2 stets die entsprechende Linearkombination der Ausgangssignale y1(t) und y2(t) zu beobachten ist, siehe Bild 2-10.

¦

x1 (t )

xˆ1 cos Z1t M11

x2 ( t )

xˆ 2 cos Z2 t M 21

D1 x1 (t ) D 2 x2 (t )

Eingang

Ausgang

LTISystem

y1 (t )

yˆ1 cos Z1t M12

y2 (t )

yˆ 2 cos Z2 t M 22

¦

D1 y1 (t ) D 2 y2 (t )

Bild 2-10 Zur Linearität von LTI-Systemen

Diese Bedingung muss streng genommen für die Überlagerung von beliebig vielen, in Summe leistungs- bzw. energiebegrenzten Signalen gelten, wie sie sich beispielsweise durch die harmonische Analyse mit Fourierreihen im nächsten Unterabschnitt ergibt. Für RLC-Netzwerke kann die Linearität direkt aus den physikalischen Definitionsgleichungen für Strom und Spannung an den Bauelementen abgelesen werden. Da diese lineare mathematische Operationen sind, muss jede Linearkombination solcher Operationen, also Verschaltung der Bauelemente, wieder ein lineares System sein.

2.4 Fourierreihen

27

Allgemein gilt: Beschränken sich die mathematischen Operationen auf die Addition von Signalen, die Multiplikation der Signale mit Konstanten und die Differenziation oder Integration der Signale nach der Zeit, so resultiert ein LTI-System. Die Linearität ist deshalb so wichtig, weil dadurch das weitere Vorgehen vereinfacht wird. Will man die Reaktion eines LTI-Systems auf ein beliebiges Eingangssignal bestimmen, so bietet sich an, das Eingangssignal in sinusförmige Signalkomponenten zu zerlegen. Für diese kann die Wirkung, z. B. mit den Methoden der komplexen Wechselstromrechnung, gefunden werden. Die Systemreaktion ergibt sich dann aus der Überlagerung der Wirkungen der einzelnen Signalkomponenten. Das Werkzeug hierzu liefert die Mathematik mit der Fourierreihe und ihrer Verallgemeinerung, der Fouriertransformation. Anmerkung: In der komplexen Wechselstromrechnung wird vorausgesetzt, dass bei sinusförmiger Erregung mit einer festen Frequenz, alle Spannungen und Ströme ebenfalls sinusförmig und mit gleicher Frequenz sind, nur Amplituden und Phasen unterscheiden sich. Dem liegt bei LTI-Systemen der allgemeine Zusammenhang zugrunde: Ein Signal von der Form einer (allgemein) Exponentiellen am Systemeingang führen auf die Exponentielle gleicher Frequenz am Ausgang; man spricht von einer Eigenfunktion. Es ist deshalb nicht verwunderlich, dass wichtige Gleichungen der Physik zur Ausbreitung von Wärme, mechanischer und elektromagnetischer Energie, durch komplex Exponentielle gelöst werden, siehe Wellengleichungen bzw. Telegrafengleichung.

2.4

Fourierreihen

Die Entwicklung einer Funktion in ihre Fourierreihe1 bzw. Fouriertransformierte bezeichnet man als harmonische Analyse. Die Funktion wird dabei als Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen oder allgemein Exponentiellen dargestellt. Ist die Funktion ein Eingangssignal eines LTI-Systems, kann das Ausgangssignal relativ einfach berechnet werden. Die harmonische Analyse ist deshalb ein wichtiges mathematisches Werkzeug in der Nachrichtentechnik und spielt auch in anderen Fachgebieten eine große Rolle. In diesem Abschnitt werden periodische reelle Signale betrachtet, wie der Rechteckimpulszug in Bild 2-5. Ein periodisches Signal x(t) kann stets durch eine Fourierreihe dargestellt werden, wenn es den Dirichlet-Bedingungen2 genügt: Innerhalb einer Periode T0 ist x(t) in endlich viele Intervalle zerlegbar, in denen x(t) stetig und monoton ist. An jeder Unstetigkeitsstelle (Sprungstelle) sind die Werte x(t+0) und x(t0) definiert. Die in der Nachrichtentechnik wichtigen periodischen Signale erfüllen die beiden Bedingungen. Je nach Bedarf kann eine der drei nachfolgenden äquivalenten Formen der Fourierreihe benutzt werden. Trigonometrische Form Die trigonometrische Form der Fourierreihe stellt das mit T0 periodische Signal x(t) als Überlagerung von Sinus- und Kosinusschwingungen dar

1 2

[Jean-Baptiste] Joseph Baron de Fourier: 1768, †1830, französischer Mathematiker und Physiker. [Lejeune] Peter Dirichlet: 1805, †1859, deutsch-französischer Mathematiker.

28

2 Signale und Systeme

a0 f ª ak cos kZ0t bk sin kZ0t º¼ 2 k 1¬

(2.25)

2S T0

(2.26)

¦

x(t ) mit der Grundkreisfrequenz

Z0 und den Fourierkoeffizienten a0

ak

bk

t0 T0

2 T0

³

2 T0

t0 T0

³

x (t ) dt

t0

x (t ) cos kZ0t dt

für k 1, 2, 3,!

x (t ) sin kZ0t dt

für k

(2.27)

t0

2 T0

t0 T0

³

1, 2, 3,!

t0

Harmonische Form Mit den trigonometrischen Formeln können die Sinus- und Kosinusterme gleicher Frequenz zu einer Harmonischen zusammengefasst werden.

x (t ) C0

f

¦ Ck cos kZ0t Tk

(2.28)

k 1

mit den Amplituden bzw. Phasen

C0

a0 , Ck 2

Tk

ak2 bk2

§b · arctan ¨ k ¸ © ak ¹

für k 1, 2,3! (2.29)

für k

1, 2,3!

Das konstante Glied C0 entspricht dem Gleichanteil des Signals. Also im Falle eines elektrischen Signals dem Gleichstrom- bzw. Gleichspannungsanteil. Der Anteil für k = 1 wird Grundschwingung oder 1. Harmonische genannt. Die Anteile zu k = 2, 3, ... heißen 1. Oberschwingung oder 2. Harmonische usw. Komplexe Form Alternativ können die Sinus- und Kosinusterme mit der eulerschen Formel als Linearkombinationen von Exponentialfunktionen geschrieben werden

2.4 Fourierreihen

29 f

¦

x (t )

k f

ck e jkZ0t

(2.30)

mit den komplexen Fourierkoeffizienten ck

1 T0

t0 T0

³

x (t ) e jkZ0t dt

(2.31)

t0

Dabei wird ohne Unterschied mit positiven und negativen „Frequenzen“ gerechnet. Für die üblichen reellen Signale gilt die Symmetrie c k

ck*

(2.32)

und der Zusammenhang mit den Koeffizienten der trigonometrischen Form

c0

a0 2

und ck

1 ak jbk 2

für k

1, 2, 3,!

(2.33)

Parsevalsche Gleichung Die Sinus- und Kosinusfunktionen der Fourierreihe bilden ein vollständiges Orthogonalsystem, das den mittleren quadratischen Fehler minimiert. Diese wichtige Eigenschaft drückt sich in der parsevalschen Gleichung1 aus. T

1 0 2 x t dt T0 ³ 0

f

¦

k f

ck

2

(2.34)

Sie verknüpft die mittlere Signalleistung in einer Periode mit den Fourierkoeffizienten. Damit kann auch die Approximationsgüte einer abgebrochenen Fourierreihe abgeschätzt werden. Beispiel Fourierreihe des periodischen Rechteckimpulszuges

In der Nachrichtenübertragungstechnik werden Rechteckimpulse zur binären Datenübertragung verwendet, siehe Bild 2-3. Dazu passend wird als Beispiel der periodische Rechteckimpulszug xp(t) in Bild 2-5 mit der Periode T0, dem Tastverhältnis T/T0 und der Amplitude A betrachtet. xp(t) wird in eine trigonometrische Fourierreihe entwickelt. Als Integrationsintervall über eine Periode wird t [T0/2, T0/2] gewählt. Für die Fourierkoeffizienten (2.27) erhält man a0

2 T0

T0 /2

³

T0 /2

xp t dt

2A

T T0

und

1

Marc-Antoine Parseval des Chênes: 1755, †1836, französischer Mathematiker.

(2.35)

30

2 Signale und Systeme

ak

2 T0

T /2

³

A cos kZ0t dt

T /2

2 A 1 ª § kZ0T sin T0 kZ0 «¬ ¨© 2

· § kZ0T · º ¸ sin ¨ 2 ¸ » ¹ © ¹¼

(2.36)

Da die Sinusfunktion ungerade ist, wird das Minuszeichen aus dem Argument vorgezogen. Nach Zusammenfassen der beiden Sinusterme ergeben sich nach kurzer Umformung die Fourierkoeffizienten ak

2A

T sin kZ0T 2 T0 kZ0T 2

2 A

T T· § si ¨ kZ0 ¸ T0 © 2¹

für k

0,1, 2,!

(2.37)

wobei die si-Funktion si( x )

sin x x

(2.38)

benutzt wurde. Anmerkung: In der Literatur wird ebenfalls die Kurzschreibweise sinc(x) = si(S x) verwendet.

Mit der Regel von L'Hospital1 lässt sich zeigen, dass für die si-Funktion an der Stelle null gilt si(0)

sin x x o0 x lim

1

(2.39)

Für die Fourierkoeffizienten zu den Sinusfunktionen (2.27) resultiert bk = 0 für k = 1, 2, 3, ..., weil xp(t) eine gerade Funktion ist. Ersetzt man schließlich noch in (2.37) Z0 durch 2S/T0, so hängen die Fourierkoeffizienten nur vom Tastverhältnis ab. Die Fourierreihe des periodischen Rechteckimpulszuges nimmt damit die endgültige Form an. xp (t )

2A

§ T ª1 f § T · t ·º « si ¨ S k ¸ cos ¨ 2S k ¸ » T0 «¬ 2 k 1 © T0 ¹ T0 ¹»¼ ©

¦

(2.40)

In vielen Anwendungen ist es oft ausreichend, Signale nur durch eine endliche Zahl von Gliedern der Fourierreihe anzunähern. In Bild 2-11 wird der entstehende Approximationsfehler veranschaulicht. Man erkennt deutlich die Annäherung an den Rechteckimpulszug bei wachsender Zahl von berücksichtigten Harmonischen. An den Sprungstellen zeigt sich das als gibbsches Phänomen2 bekannte Über- bzw. Unterschwingen der Approximation. Erhöht man die Zahl der berücksichtigten Harmonischen, so ist das Über- bzw. Unterschwingen von circa 9 % der Sprunghöhe der Unstetigkeitsstelle weiter zu beobachten. Die maximalen Abweichungen rücken dabei immer näher an die Sprungstelle. Erst im Grenzfall k o f fallen sie zusammen und kompensieren sich.

1

2

Guillaume-Francois-Antonine de, Marquis de Sainte-Mesme, Compte d’Entremont (L’Hospital):

1661, †1704, französischer Mathematiker. Josiah Willard Gibbs: 1839, †1903, US-amerikanischer Physiker und Mathematiker.

2.5 Periodische Quellen in RLC-Netzwerken

p1 (t )

1

0 1

p 7 (t )

p 3 (t )

0

1

t/T0

1

0 1

31

1

0

p13 (t )

0

1

t/T0

1

0

1

0

1

t/T0

1

0 1

t/T0

Bild 2-11 Approximation des periodischen Rechteckimpulszuges (grau) mit dem Tastverhältnis T/T0 = 1/5 durch den Gleichanteil und den K Harmonischen p K (t ) Anmerkung: Eine quantitative Behandlung des Approximationsfehlers ist mit der parsevalschen Gleichung möglich. Sie stellt auch sicher, dass mit jedem zusätzlich berücksichtigten Glied der Approximationsfehler im quadratischen Mittel abnimmt.

2.5

Periodische Quellen in RLC-Netzwerken

Die Darstellung als Fourierreihe ermöglicht es, die Reaktion auf periodische Spannungs- und Stromquellen in RLC-Netzwerken mit der komplexen Wechselstromrechnung zu bestimmen. Grundlage hierzu ist, dass für aus RLC-Netzwerken aufgebaute Systeme das für LTI-Systeme typische Superpositionsprinzip gilt und die Harmonischen Eigenfunktionen des Systems sind. D. h. es darf die Wirkung jeder einzelnen Harmonischen getrennt berechnet werden. Die Teillösungen werden zur Gesamtlösung additiv überlagert. Das nachfolgende ausführliche Beispiel stellt das Verfahren vor. Beispiel Periodischer Rechteckimpulszug am RC-Glied

Wir modellieren ein binäres Datensignal durch einen periodischen Rechteckimpulszug. Nehmen wir an, es wird für jede logische „1“ ein Rechteckimpuls gesendet und sonst das Signal ausgetastet. Dann entspricht der Datenfolge ...01010101... ein Rechteckimpulszug mit dem Tastverhältnis T/T0 = 0,5. Nehmen wir weiter an, die Übertragungsstrecke lasse sich zumindest näherungsweise durch das in Bild 2-12 gezeigte RC-Glied beschreiben, so kann das Signal am Ausgang berechnet werden. Anmerkungen: (i) Im Beispiel einer einfachen Zweidrahtleitung werden mit dem Widerstand R der Spannungsabfall entlang der Leitung und mit der Kapazität C die Querkapazitäten zwischen den Leitern modelliert. (ii) Die Aufgabe des Empfängers wäre dann, die gesendete Nachricht, die Bitfolge, aus dem Ausgangssignal zu rekonstruieren.

In einem ersten Schritt bestimmen wir die Ersatzspannungsquellen. Danach geben wir im zweiten Schritt mit der komplexen Wechselstromrechnung die zugehörigen Spannungen an der Kapazität an. Deren Überlagerung im dritten Schritt liefert schließlich das Ausgangssignal.

32

2 Signale und Systeme

Eingangssignal

Eingang

ue(t) 1V

T0

ue(t)

t

T/2

T/2

RC-Glied

Ausgang

R

ua(t) C

T0

Bild 2-12 Periodischer Rechteckimpulszug als Eingangssignal am RC-Glied

1. Schritt Ersatzspannungsquellen Entsprechend der Fourierreihe des Rechteckimpulszuges (2.40) fassen wir die Eingangsspannung ue ( t )

2V

§ T ª1 f § T · t ·º « si ¨ S k ¸ cos ¨ 2S k ¸ » T0 «¬ 2 k 1 © T0 ¹ T0 ¹»¼ ©

¦

(2.41)

als Überlagerung von Spannungsquellen auf. f § t · ue ( t ) U e,0 ¦ uˆe,k cos ¨ 2S k ¸ T0 ¹ © k 1

(2.42)

Und zwar der Gleichspannungsquelle

U e,0

T V T0

(2.43)

und den Wechselspannungsquellen für k = 1, 2, 3, ...

ue,k (t ) uˆe,k cos Zk t

(2.44)

mit den Scheitelwerten uˆe,k

2

§ T T · si ¨ S k ¸ V T0 © T0 ¹

(2.45)

2S T0

(2.46)

und den Kreisfrequenzen

Zk

k

Die Zerlegung in die Ersatzspannungsquellen veranschaulicht Bild 2-13.

2.5 Periodische Quellen in RLC-Netzwerken

33

Ue,0

G

ue(t)

#

Gleichanteil

u e,1(t)

1. Harmonische

u e,2(t)

2. Harmonische

Bild 2-13 Ersatzspannungsquellen für den periodischen Rechteckimpulszug

2. Schritt Komplexe Wechselstromrechnung Aus der erweiterten Spannungsteilerregel der komplexen Wechselstromrechnung folgt mit den komplexen Amplituden am Eingang Ue,k für die komplexen Amplituden am Ausgang des RCGlieds, der Kapazität, U a,k

U e,k

1 jZk C R 1 jZk C

U e,k

1 1 jZk RC

für

k

1, 2,3,!

(2.47)

Mit der Zeitkonstanten des RC-Glieds

W

R C

(2.48)

erhalten wir aus (2.47) für k = 1, 2, 3,... die zugehörigen Spannungsfunktionen. ua , k ( t )

ª U e,k º Re « e jZk t » ¬ 1 jZkW ¼

uˆe,k 1 ZkW

2

cos ¬ªZk t arctan ZkW ¼º

(2.49)

Anmerkung: Die Zeitkonstante W ist ein Maß für die Dauer des Ladevorgangs an der Kapazität mit in Reihe geschaltetem Widerstand. Je größer R und/oder C, umso länger dauert der Ladevorgang. Beim Entladen eines Kondensators mit der Anfangsspannung U0 beträgt die Spannung am Kondensator nach der Zeit t = W genau U0 e1 | U0 0,368.

3. Schritt Überlagerung der Teilspannungen (Superposition) zur Ausgangsspannung Die Überlagerung der Teilspannungen (2.49) liefert uns mit (2.43) und (2.44) die gesuchte Spannung an der Kapazität. f

uˆe,k

k 1

1 ZkW

ua (t ) U e,0 ¦

2

cos Zk t arctan ZkW

ª § si S kT T0 § T 1 f t W 2V « ¦ cos ¨ 2S k arctan ¨ 2S k ¨ 2 « T0 2 k 1 1 2S kW T T0 T0 © © 0 ¬

º ·· ¸ ¸¸ »» ¹¹ ¼

(2.50)

34

2 Signale und Systeme

Der Spannungsverlauf ist für verschiedene Werte der Zeitkonstanten in Bild 2-14 zu sehen. Im linken oberen Teilbild ist die Zeitkonstante relativ groß. Es wird bereits die Amplitude der ersten Harmonischen so stark gedämpft, dass das Ausgangssignal im Wesentlichen einem unvollständigen Lade- bzw. Entladevorgang an der Kapazität entspricht. Wählt man, wie im oberen rechten Teilbild, die Zeitkonstante gleich der Inversen der Grundkreisfrequenz, so wird die Kapazität während der Impulsdauer fast vollständig geladen bzw. entladen. Bei noch kleiner werdenden Zeitkonstanten nähert sich die Spannung an der Kapazität dem periodischen Rechteckimpuls immer mehr an. Anmerkung: Die daraus entstehenden Konsequenzen für die Datenübertragung werden in Abschnitt 5 ausführlicher behandelt.

Das Beispiel lässt sich verallgemeinern. Es führt uns in den folgenden Abschnitten auf die wichtigen Begriffe: Spektrum, Bandbreite, Frequenzgang und Filterung.

ua(t)

W Z0 = 2

ua(t)

1

V

W Z0 = 1 1

V

0

1

0

1 t / T0

0

1

0

1 t / T0

Bild 2-14 Übertragung eines periodischen Rechteckimpulszuges (hinterlegt) mit Tastverhältnis T / T0 = 0,5 und Z0 = 2S / T0 durch ein RC-Glied mit Zeitkonstante W = RC

2.6

Spektrum periodischer Signale

Betrachtet man nochmals die Definition der Fourierreihe, so unterscheiden sich die Signale bei gleicher Periode nur durch die Gewichtung der Harmonischen, den Fourierkoeffizienten. Im Beispiel des letzten Abschnittes entsprechen die Fourierkoeffizienten den Amplituden der Ersatzspannungsquellen und haben somit eine physikalische Bedeutung. Das Konzept der Ersatzspannungsquellen in Bild 2-13 entspricht einer Verteilung der Signalleistung. Da jeder Ersatzspannungsquelle eine bestimmte Kreisfrequenz zugeordnet ist, kann auch von Signalanteilen bzw. Leistungsanteilen bei diskreten Frequenzen gesprochen werden. Hierzu wird zunächst der Zusammenhang zwischen den komplexen Fourierkoeffizienten und den bekannten Größen der Wechselstromrechnung hergestellt. Aus der harmonischen Form der Fourierreihe (2.28) folgt mit (2.29) und (2.33) für die Amplitude des Gleichanteils

U0

c0

(2.51)

und die Amplitude der k-ten Harmonischen

uˆk

Ck

2 ck

für k = 1, 2, 3, ...

Damit sind auch die mittleren Leistungsanteile an einem Widerstand R bekannt.

(2.52)

2.6 Spektrum periodischer Signale

35

2 ck R

2 U eff ,k

R

2

(2.53)

für k = 1, 2, 3, ...

Der Betrag des k-ten komplexen Fourierkoeffizienten ist proportional zur Amplitude der k-ten Harmonischen und das Betragsquadrat ist proportional zur am Referenzwiderstand R umgesetzten thermischen Leistung. Da dem k-ten Fourierkoeffizienten genau die diskrete Frequenz kf0 zugeordnet ist, spricht man von einem Amplitudenspektrum bzw. Leistungsspektrum eines periodischen Signals und nennt die zugeordneten Signalanteile Spektral- oder Frequenzkomponenten. Der Einfachheit halber wird kurz vom Spektrum gesprochen. Die verschiedenen Formen der Fourierreihe lassen es zu, dass man je nach Zweckmäßigkeit einseitige Spektren mit nur positiven (physikalischen) Frequenzen und zweiseitige Spektren mit positiven und negativen Frequenzen verwendet. Letzteres bietet rechentechnische Vorteile und ist darum in der Physik und Technik gebräuchlich. Im Beispiel des periodischen Rechteckimpulszuges (2.40) resultieren die in Bild 2-15 gezeigten Amplituden- bzw. Leistungsspektren in Form von Stabdiagrammen. Darin sind die Fourierkoeffizienten ck bzw. die (normierten) Leistungen |ck|2 der Signalanteile über den Index k aufgetragen. Jedem Index k ist die Frequenz fk = k f0 eineindeutig zugeordnet. Deshalb kann Bild 2-15 als Frequenzbereichsdarstellung interpretiert werden. Es resultieren Linienspektren mit äquidistant im Abstand f0 verteilten Frequenzkomponenten. Gemäß (2.37) interpoliert die siFunktion die Fourierkoeffizient im oberen Teilbild.

ck

c0

0,2 0,1

§ f T · si ¨ S ¸ © f0 T0 ¹

c-5

c5

c15

0 0,1 20 15 zugeordnete

k

c10 10

5

0

5

10

15

20

f / f0

Frequenzen

|ck|2

|c0|2

0,04 0,02

|c5|2 0 20

15

10

5

0

5

10

15

20

k

Bild 2-15 Amplituden- (oben) und Leistungsspektrum (unten) des periodischen Rechteckimpulszuges mit dem Tastverhältnis T/T0 = 1/5 und f0 = 1/T0

36

2 Signale und Systeme

Man beachte auch die Symmetrie der Fourierkoeffizienten für reelle Signale (2.32). Für die Beträge der Fourierkoeffizienten ergibt sich eine gerade Symmetrie um die Ordinate. Betragsspektrum und Leistungsspektrum werden deshalb oft nur für positive Frequenzen angegeben. Bemerkenswert ist der Zusammenhang zwischen dem Tastverhältnis und der ersten Nullstelle im Spektrum für positive Frequenzen. Mit § T · si ¨ S k ¸ T 0¹ ©

0

nur für

k

T T0

r1, r 2, r 3,!

(2.54)

ergeben sich mit dem Tastverhältnis T/T0 = 1/5 Nullstellen bei k = r 5, r 10, r 15, ... . Der periodische Rechteckimpulszug besitzt keine Harmonischen bei diesen Frequenzen. Die Verteilung der Leistungen auf die Frequenzkomponenten im unteren Teilbild zeigt, dass die wesentlichen Anteile auf Frequenzen bis zur ersten Nullstelle k = r 5 des Spektrums beschränkt sind. Man spricht deshalb von der Bandbreite des Signals und gibt je nach Anwendung einen geeigneten Eckwert an, wie in Abschnitt 2.11 noch genauer ausgeführt wird. In vielen Fällen genügt es, die Übertragung oder Weiterverarbeitung der Signale auf die Frequenzkomponenten innerhalb der so definierten Bandbreite zu beschränken. Der dabei vernachlässigte Leistungsanteil kann mit der parsevalschen Gleichung bestimmt werden.

2.7

Übertragungsfunktion und Frequenzgang

Dieser Abschnitt knüpft an die Überlegungen zu den Ersatzspannungsquellen und den LTISystemen an und stellt die allgemeinen Zusammenhänge vor. Anhand des RC-Glieds werden die Ergebnisse veranschaulicht.

2.7.1

Übertragungsfunktion

In Bild 2-12 ist das RC-Glied als Zweitor dargestellt. Es sei so hochohmig abgeschlossen, z. B. durch den Eingang eines Operationsverstärkers, dass näherungsweise ein Leerlauf vorliegt. Mithilfe der komplexen Amplituden am Eingang U1 uˆ1 e jM1 und Ausgang U 2 uˆ2 e jM2 kann für jede beliebige, fest vorgegebene Kreisfrequenz Z ein Übertragungsverhältnis angegeben werden. U2 U1

uˆ2 jM 2 M1 e uˆ1 Z fix

(2.55)

Die Verallgemeinerung des Übertragungsverhältnisses, mit der komplexen Frequenz s = V + jZ als unabhängigen Parameter, führt auf die Übertragungsfunktion. H ( s)

U 2 (s) U1 ( s )

(2.56)

Für jede fest vorgegebene komplexe Frequenz s resultiert daraus wieder das Übertragungsverhältnis für die zugehörigen komplexen Amplituden.

2.7 Übertragungsfunktion und Frequenzgang

37

Anmerkung: Die komplexe Frequenz s deutet hier den Zusammenhang mit der Laplacetransformation an. Um den Rahmen einer Einführung nicht zu sprengen, wird dies hier nicht weiter vertieft.

Aus der Physik ist bekannt, dass reale elektrische Netzwerke mit Widerständen, Spulen und Kondensatoren gut durch die idealen Bauelemente R, L und C und den zugehörigen Beziehungen zwischen Strömen und Spannungen beschrieben werden können. Will man den Zusammenhang zwischen den Strömen und Spannungen in einem RLC-Netzwerk berechnen, so resultieren lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, wie zum Beispiel beim Schwingkreis. Lässt man jedoch als Erregung nur sinusförmige Spannungs- oder Stromquellen zu, vereinfachen sich die Differenzialgleichungen mit dem Exponentialansatz der Operatormethode zu algebraischen Gleichungen. Man erhält Gleichungen mit Polynomen in s die dann relativ einfach gelöst werden können. Im Sonderfall V = 0 ergibt sich mit s = jZ die bekannte komplexe Wechselstromrechnung. Die Übertragungsfunktion eines RLC-Netzwerks resultiert stets in der rationalen Form M

H ( s)

Z ( s) N (s)

¦ bl s l l 0 N

¦ ak s

k

M

bM aN

k 0

s s0l l 1 N

s sfk

(2.57)

k 1

mit dem Zählerpolynom Z(s) und dem Nennerpolynom N(s). Man spricht von den Zählerkoeffizienten bl (bM z 0) und den Nennerkoeffizienten ak (aN z 0) der Übertragungsfunktion. Im Falle von RLC-Netzwerken sind die Zähler- und Nennerkoeffizienten stets reell. Die Übertragungsfunktion kann äquivalent durch die komplexen Nullstellen s0l und die komplexen Pole sfk (Nullstellen des Nennerpolynoms) dargestellt werden. Dies wird besonders zur Analyse und Synthese von RLC-Netzwerken benutzt, wie beispielsweise Filterschaltungen in der Nachrichtenübertragungstechnik. Anmerkungen: (i) Die Definitionen der Übertragungsfunktion und des Frequenzgangs geschieht in der Systemtheorie mit der Laplace- bzw. Fouriertransformation. Die Darstellung (2.57) gilt für alle Systeme, die sich durch lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschreiben lassen. (ii) Der Grad des Nennerpolynoms bestimmt die Filterordnung. Typisch gilt Zählergrad d Nennergrad (iii) In der Regel wird eine normierte Darstellung mit aN = 1 verwendet. Die Systemtheorie erklärt auch, wann die Gleichsetzung H( jZ) = H(s = jZ) zulässig ist. Für die hier betrachteten RLC-Netzwerke, also stabilen Systeme, ist sie stets erlaubt.

Beispiel Übertragungsfunktion des RC-Glieds

Im Beispiel des RC-Glieds in Bild 2-12 erhalten wir aus der erweiterten Spannungsteilerregel für die komplexen Amplituden (2.47) U2 U1

1 1 jZ RC

(2.58)

1 1 sRC

(2.59)

und daraus für die Übertragungsfunktion. H (s)

38

2 Signale und Systeme

Der Vergleich mit (2.57) zeigt uns, dass im Beispiel ein System mit nur einem Pol und keiner (endlichen) Nullstelle vorliegt. Wir sprechen von einem System 1. Ordnung. 1 1 sRC

H (s)

2.7.2

b0 s a0

b0 s sf1

(2.60)

Frequenzgang, Dämpfung und Phase

In der Nachrichtentechnik interessiert besonders das Übertragungsverhalten der Systeme in Abhängigkeit von der Frequenz, der Frequenzgang.

H ( jZ )

H (s

jZ )

(2.61)

Für die komplexen Amplituden zu einer beliebigen aber festen Kreisfrequenz Z0 gilt mit (2.55) U2 Z

0 fix

H ( jZ0 ) U1 Z

0 fix

(2.62)

Die Auswertung des Frequenzgangs nach Betrag und Phase (Argument) H ( jZ )

H ( jZ ) e jb (Z )

(2.63)

liefert den Betragsfrequenzgang |H(jZ)| und den Phasenfrequenzgang. b(Z )

§ Im > H ( jZ )@ · arctan ¨ ¸ © Re > H ( jZ )@ ¹

(2.64)

Der Phasenfrequenzgang kann, wie in Abschnitt 2.10 noch gezeigt wird, mit der Signalverzögerung der Frequenzkomponenten durch das System in Verbindung gebracht werden. Anmerkungen: (i) Die Phase, d. h. die arctan-Funktion, ist stets bzgl. der vier Quadranten von 0 bis 2S auszuwerten. (ii) Der Phasenfrequenzgang wird in der Nachrichtentechnik manchmal mit negativem Vorzeichen festgelegt. Er gibt dann die negative Phasenverschiebung der Frequenzkomponenten des Ausgangssignals bezogen auf den Systemeingang wieder. (iii) Man beachte, dass die Phase in 2S mehrdeutig ist. Für nicht-sinusfömige Eingangssignale ist der Einfluss des Phasenfrequenzganges auf die Signalverzögerung nicht mehr einfach zu beurteilen.

Der Betragsfrequenzgang gibt an, wie stark ein sinusförmiges Signal bzw. eine Frequenzkomponente bei der Übertragung verstärkt oder gedämpft wird. Da er in der Praxis über mehrere Größenordnungen variieren kann, wird er häufig im logarithmischen Maß als Dämpfungsfrequenzgang angegeben.

adB (Z )

20 log10 H ( jZ ) dB

(2.65)

Zur Unterscheidung wird die Pseudoeinheit Dezibel1 (dB) angehängt.

1

Zusammensetzung von „Dezi“ für den Zehnerlogarithmus und „bel“ vom Namen Bell. Alexander Graham Bell: 1847, †1922, US-amerikanischer Physiologe, Erfinder und Unternehmer schottischer Abstammung; erhält 1876 in den USA ein Patent für das Telefon.

2.7 Übertragungsfunktion und Frequenzgang

39

Anmerkungen: (i) Wird die Dämpfung in dB angegeben, spricht man auch vom Dämpfungsmaß. (ii) Um Verwechslungen vorzubeugen, werden bei Formeln Größen, die im logarithmischen Maß einzusetzen sind, oft durch den Index dB kenntlich hervorgehoben.

Beispiel Frequenzgang des RC-Glieds

Die Bedeutung der Frequenzgänge des Betrages bzw. der Dämpfung wird am Beispiel des RCGlieds deutlich. Nach Einsetzen von s = jZ in (2.59) und kurzer Zwischenrechnung ergibt sich

1

H ( jZ )

(2.66)

1 Z 2 R2C 2

und adB (Z )

§ 1 20 log10 ¨ ¨ 2 2 2 © 1+Z R C

· ¸ dB 10 log10 1+Z 2 R 2C 2 dB ¸ ¹

(2.67)

Zur grafischen Darstellung der Frequenzgänge ist die Frequenznormierung : = Z R C günstig. Dann hängt der Frequenzgang nur noch von der normierten Kreisfrequenz : ab und ist unabhängig von der konkreten Wahl der Bauelemente. Da der Betragsfrequenzgang eines RLCNetzwerks stets eine gerade Funktion ist, genügt die Darstellung für positive Frequenzen. Der Betragsfrequenzgang des RC-Glieds in Bild 2-16 besitzt bei : = 0 sein Maximum mit dem Wert eins und fällt mit wachsender Frequenz monoton. Das heißt, eine Gleichspannung am Eingang wird ohne Änderung übertragen, während sinusförmige Eingangsspannungen mit wachsender Frequenz immer schwächer am Systemausgang, an der Kapazität, erscheinen. Im Grenzfall : o f wirkt die Kapazität wie ein Kurzschluss und die Ausgangsspannung geht gegen null. Der Frequenzgang der Dämpfung beginnt für : = 0 (Gleichspannung) mit dem Wert 0 und wächst monoton gegen f (Kurzschluss). Für größere Frequenzen nimmt die Dämpfung bei jeder Frequenzverdoppelung um 6 dB zu. Dies entspricht in Bild 2-16 einem linearen Dämpfungsverlauf mit einem Anstieg von 6 dB pro Oktave. Anmerkung: Eine systematische Methode zur näherungsweisen Darstellung des Frequenzganges der Dämpfung durch Geradenstücke liefert das Bode-Diagramm. 1 | H( j:) |

1

adB (:) 50 dB 40

3dB-Punkt

2

0

0,5

20 10

0 1/16 1/4

1

4

16

64 256

:

3dB-Punkt

0 1/16 1/4

1

6 dB Anstieg pro Oktave 4

16

64 256

:

Bild 2-16 Frequenzgang des Betrags (links) und der Dämpfung (rechts) des RC-Tiefpasses über der normierten Kreisfrequenz : = Z R C

40

2 Signale und Systeme

Der Dämpfungsfrequenzgang zeigt insgesamt ein für einen Tiefpass charakteristisches Verhalten. Sinusförmige Signale (Frequenzkomponenten) bei tiefen Frequenzen passieren nahezu ungeschwächt das System, während solche bei hohen Frequenzen so stark gedämpft (heraus gefiltert) werden, dass sie am Systemausgang keine Rolle mehr spielen. Man spricht in diesem Zusammenhang von einem (elektrischen) Filter oder auch einer Siebschaltung. Zur groben Abschätzung des selektiven Verhaltens elektrischer Filter wird oft die 3dB-Grenzfrequenz angegeben adB Z3dB

20 log10

H ( jZ3dB ) H max

(2.68)

dB 3 dB

mit dem Maximalwert des Betragsfrequenzganges H max

max H ( jZ )

(2.69)

Z

Die 3dB-Grenzfrequenz gibt die Frequenz an, bei der die Leistung eines sinusförmigen Signals nur noch zur Hälfte übertragen wird. Die Amplitude wird in diesem Fall vom System mit dem Faktor 1/2 bewertet.

H jZ3dB =

1 H max 2

(2.70)

Anmerkung: Streng genommen gilt 10log10(1/2) dB | 3,0103 dB.

Im Beispiel des RC-Glieds liegt der 3dB-Punkt bei der normierte Kreisfrequenz : = 1. Die 3dB-Grenzfrequenz ergibt sich demnach zu f3dB =

1 2S RC

1 2S W

(2.71)

Die 3dB-Grenzfrequenz und die Zeitkonstante stehen in reziprokem Zusammenhang. Wie in Abschnitt 2.11 gezeigt wird, ist der reziproke Zusammenhang zwischen der Zeitdauer eines Vorgangs und seiner Bandbreite von grundlegender Natur.

2.7.3 Tiefpass, Bandpass, Hochpass und Bandsperre Ein wichtiger Anwendungsbereich selektiver elektrischer Filter ist die Frequenzmultiplextechnik, wie in Abschnitt 4 noch näher erläutert wird. Es werden verschiedene Signale in jeweils nicht überlappenden Frequenzbändern (Kanälen) gleichzeitig übertragen. Ein Beispiel hierfür ist der Kabelanschluss für Rundfunk und Fernsehen mit seinen verschiedenen Programmen. Um eine hohe Auslastung der Übertragungsmedien zu erreichen, werden die benutzten Frequenzbänder möglichst nahe aneinandergelegt, sodass zur Signaltrennung im Empfänger besondere Filter eingesetzt werden müssen. Diese werden mit speziellen mathematischen Methoden, Standardapproximationsverfahren genannt, entworfen. Die Butterworth1-, Chebyshev2- und Cauer1-Filter sind typische Beispiele. Ihre Behandlung ist Gegenstand der 1

2

S. Butterworth: britischer Ingenieur (1930). Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow (englisch Chebyshev): 1821, †1894, russischer Mathematiker, bedeutende Beiträge zur Approximations-, Integrations- und Wahrscheinlichkeitstheorie.

2.7 Übertragungsfunktion und Frequenzgang

41

Netzwerk- und Filtersynthese. Wir beschränken uns hier darauf die den Entwürfen zugrunde gelegten charakteristischen Frequenzgänge und die Frage nach der prinzipiellen Realisierbarkeit anzusprechen, siehe auch Bild 2-17. Anmerkungen: (i) Zum Filterentwurf stehen heute auf dem PC leistungsfähige Programme zur Verfügung. Dabei können parasitäre Effekte mit berücksichtigt werden. (ii) Butterworth- und Cauerfilter werden entsprechend der analytischen Lösungen auch Potenz-Filter bzw. elliptische Filter genannt. Tiefpass (TP)

Hochpass (HP)

Bandpass (BP)

Bandsperre (BS)

Bild 2-17 Schaltsymbole für elektrische Filter

Der Frequenzgang des idealen Tiefpasses in Bild 2-18 verkörpert die Wunschvorstellung. Sein Betragsfrequenzgang entspricht einem Rechteckimpuls und sein Phasenfrequenzgang ist linear. Bis zur Grenzkreisfrequenz ZD (Durchlasskreisfrequenz) passieren alle sinusförmigen Signale bzw. Frequenzkomponenten das System unverändert bis auf eine in der Frequenz linearen Phasenverschiebung. Alle Signale bzw. Frequenzkomponenten bei höheren Frequenzen werden gesperrt. Der lineare Phasenverlauf erfüllt die Forderung der verzerrungsfreien Übertragung in Abschnitt 2.9. Betrag |HTP( jZ)|

Z ZD

0

ZD

Phase bTP(Z) = Zt0

Bild 2-18 Frequenzgang des Betrages und der Phase des idealen Tiefpasses

Die Aufgabe Filterentwurf besteht darin, ein RLC-Netzwerk so anzugeben, dass die zugehörigen Frequenzgänge des Betrags und der Phase denen in Bild 2-18 entsprechen. Weil die Übertragungsfunktion eines RLC-Netzwerks nach (2.57) ein Polynom ist, Polynome jedoch nicht abschnittsweise konstant sein können, ist der Betragsfrequenzgang in Bild 2-18 nicht darstellbar. Der Frequenzgang des idealen Tiefpasses kann durch ein reales System nur angenähert werden. Eine sinnvolle Filterentwurfsaufgabe muss deshalb anders gestellt werden. Für den Filterentwurf ist festzulegen, welche Abweichungen in der konkreten Anwendung tolerierbar sind. Dies geschieht typischerweise mithilfe des Toleranzschemas in Bild 2-19. Im Toleranzschema wird die Frequenz bis zu der die Signalanteile durchgelassen werden sollen, die Durchlassfrequenz, und die Frequenz ab der sie gesperrt werden sollen, die Sperrfrequenz, festgelegt. Dazwischen liegt der Übergangsbereich, für den keine weiteren Vorgaben, als eventuell ein monotoner Übergang, gemacht werden. Wichtig sind ebenso die zulässigen Abweichungen vom idealen Betragsfrequenzgang, die Durchlasstoleranz und die Sperrtoleranz. 1

Wilhelm Cauer: 1900, †1945, deutscher Physiker, bedeutende Arbeiten zur theoretischen Nachrichtentechnik.

42

2 Signale und Systeme Durchlassbereich

GD Übergangsbereich

| HTP( jZ) | 1

0

ZD

Sperrbereich

GS

Z

ZS

Bild 2-19 Toleranzschema des Betragsfrequenzganges zum Tiefpassentwurf (zulässiger Bereich hinterlegt) mit der Durchlasskreisfrequenz ZD, der Durchlasstoleranz GD, der Sperrkreisfrequenz ZS und der Sperrtoleranz GS

Der Realisierungsaufwand eines elektrischen Filters steigt, je kleiner die Durchlass- und die Sperrtoleranz und je schmaler der Übergangsbereich vorgegeben werden. Anmerkungen: (i) In der Netzwerk- und Filtersynthese wird der Filterentwurf häufig nur bezüglich des Betragsfrequenzganges vorgenommen und vorausgesetzt, dass das resultierende Filter einen tolerierbaren Phasenverlauf im Durchlassbereich aufweist. (ii) In der Frequenzmultiplextechnik entspricht der Übergangsbereich den Frequenzabständen zweier benachbarter Signale. Je schmaler der Übergangsbereich, desto mehr Signale (Kanäle) lassen sich gleichzeitig übertragen.

Entsprechend zu Bild 2-19 definiert man in Bild 2-20 den Hochpass und den Bandpass. Durch geeignete Kombination von Tief- und Hochpass ergeben sich auch Bandsperren, die ein bestimmtes Frequenzband ausblenden. |HHP( jZ)| 1

0

|HBP( jZ)|

Hochpass

GD

Bandpass

GD 1

GS

GS2

GS1 ZS ZD

Z

0

ZS1 ZD1

ZD2 ZS2

Z

Bild 2-20 Toleranzschemata der Betragsfrequenzgänge für einen Hochpass- und einen Bandpass (zulässiger Bereich hinterlegt)

Abschließend werden die Betragsfrequenzgänge einfacher Beispiele für Butterworth-, Chebyshev- und Cauer-Tiefpässe vorgestellt. Um einen aussagekräftigen Vergleich in Bild 2-21 zu ermöglichen, sind die Durchlass- und Sperrtoleranzen und die Filterordnung (Grad des Nennerpolynoms der Übertragungsfunktion (2.57)) für die drei Beispiele gleich. Als Filterordnung wurde 5 vorgegeben. Die Frequenzachsen sind mit der Durchlasskreisfrequenz normiert. Der augenfälligste Unterschied zeigt sich in den Breiten der Übergangsbereiche. Betrachtet man zunächst den Butterworth-Tiefpass, so erkennt man einen flachen Verlauf aus H(0) = 1 heraus. Diesem Verhalten liegt ein bestimmter mathematischer Zusammenhang zugrunde. Butterworth-Tiefpässe werden deshalb maximal flach genannt. Der Betragsfrequenzgang biegt schließlich nach unten ab, berührt (idealerweise) die untere Toleranzgrenze bei der Durchlassfrequenz und fällt weiter monoton. Dabei erreicht er (idealerweise) die Sperrtoleranz bei der Sperrfrequenz. Dieses (Wunsch-)Verhalten bildet die Grundlage zur Dimensionierung der

2.7 Übertragungsfunktion und Frequenzgang

43

Butterworth-Tiefpässe. Der Butterworth-Tiefpass mit kleinster Filterordnung, der Filterordnung 1, ist der RC-Tiefpass. |H( jZ)| Im Gegensatz dazu schöpft der Chebyshev-Tief0,133 Butterworth pass die zulässige Toleranz im Durchlassbereich 1 voll aus. Der Betragsfrequenzgang alterniert zwischen den Toleranzgrenzen. Dabei ist die Zahl der 0,1 Extrema im Durchlassbereich stets gleich der Filterordnung. Das Ausschöpfen der Durchlasstole0 ranz wird durch einen im Vergleich zum ButterZ /ZD 0 1 worth-Tiefpass schmaleren Übergangsbereich be|H( jZ)| lohnt. 0,133 Alternativ zu Bild 2-21 (mittig) kann auch ein Ausschöpfen des Toleranzintervalls im Sperrbereich gewählt werden. Zur Unterscheidung spricht man dann von einem Chebyshev-II-Tiefpass oder vom inversen Chebyshev-Verhalten. Im Falle des Cauer-Tiefpasses werden die Toleranzen im Durchlass- und im Sperrbereich voll genutzt. Man erhält den schmalsten Übergangsbereich mit der steilsten Filterflanke.

Chebyshev

1

0,1 0 0

|H( jZ)|

1

Z /ZD

0,133

1

Cauer

In Bild 2-22 sind die Schaltungen der Tiefpässe angegeben. Butterworth- und Chebyshev-Tiefpässe 0,1 5. Ordnung erfordern je 5 Bauelemente und unter0 scheiden sich nur in deren Dimensionierungen. Für Z /ZD 0 1 den entsprechenden Cauer-Tiefpass sind 7 Bauelemente erforderlich. Für eine weitergehende Diskussion und insbesondere für eine Darstellung der Bild 2-21 Standardapproximationen für Phasenfrequenzgänge wird auf [Schü88] verwieTiefpässe (Toleranzbereiche sen. unterlegt) Anmerkungen: (i) Den Entwürfen der Cauer-Filter liegen elliptische Polynome zugrunde, weshalb derartige Filter auch elliptische Tiefpässe genannt werden. In [Schü88] findet man auch zwei Beispiele für Tiefpässe, die nach Vorschriften bzgl. der Phase, d. h. im Durchlassbereich möglichst konstante Gruppenlaufzeit, entworfen wurden, einen Bessel-Tiefpass und ein Chebyshev-Laufzeitfilter. (ii) Die vorgestellten Zusammenhänge für RLC-Netzwerke gelten auch für digitale Filter, so dass sich die Ergebnisse in Bild 2-21 in der digitalen Signalverarbeitung wiederfinden, siehe Abschnitt 3.6. Butterworth- bzw. ChebyshevTiefpass 5. Ordnung

Cauer-Tiefpass 5. Ordnung

Bild 2-22 LC-Schaltungen für Tiefpässe

44

2 Signale und Systeme

2.7.4 Rechnen mit komplexer Fourierreihe und Frequenzgang Alternativ zur trigonometrischen Form der Fourierreihe kann mit der komplexen Form gerechnet werden. Im Falle der komplexen Fourierreihe wird jede Frequenzkomponente mit der Übertragungsfunktion gewichtet, siehe Bild 2-23. Dabei wird ohne Unterschied formal mit positiven und negativen Frequenzen gerechnet. Das Signal am Ausgang bestimmt sich aus der Eingangs-Ausgangsgleichung für Fourierreihen. f

y (t )

¦ H jkZ0 ck e jkZ0t

(2.72)

k f

x(t )

x(t)

RLC-Netzwerk

y(t)

Periodisch

Frequenzgang H( j Z)

Periodisch

f

¦ ck e jkZ t 0

k f

f

¦ H jkZ0 ck e jkZ t 0

y (t )

k f

Bild 2-23 Berechnung des Ausgangssignals von RLC-Netzwerken bei periodischem Eingangssignal mit der Fourierreihe

Anders als bei der komplexen Wechselstromrechnung erübrigt sich hier die Realteilbildung. Diese ist schon in der Symmetrie der Fourierkoeffizienten (2.32) und des Frequenzganges der RLC-Netzwerke enthalten. Für reellwertige Systeme, wie den RLC-Netzwerken, gilt für den konjugiert komplexen Frequenzgang H * ( jZ )

H ( jZ )

(2.73)

Letzteres folgt aus (2.57) nach Einsetzen von s = j , da Zähler- und Nennerkoeffizienten reell sind. Der Betragsfrequenzgang ist demzufolge eine gerade

H ( jZ )

H ( jZ )

(2.74)

und der Phasenfrequenzgang eine ungerade Funktion.

b(Z ) b(Z )

(2.75)

Fasst man in (2.72) die Terme zu k und k, also für positive und negative Frequenzen, paarweise zusammen f

y (t )

H (0) c0 ¦ ª H jkZ0 ck e jkZ0t H jkZ0 ck e jkZ0t º ¬ ¼ k 1

(2.76)

2.7 Übertragungsfunktion und Frequenzgang

45

und benützt die Symmetrieeigenschaften der Fourierkoeffizienten (2.32) und der Übertragungsfunktion reellwertiger Systeme (2.73), so treffen jeweils zwei konjugiert komplexe Summanden aufeinander. f

H (0) c0 ¦ ª H * ( jkZ0 ) c*k e jkZ0t H ( jkZ0 ) ck e jkZ0t º ¬ ¼

y (t )

(2.77)

k 1

Es resultiert jeweils das Zweifache des Realteils, wobei H(0) und c0 für reelle Systeme bzw. reelle Signale stets reell sind. f

H 0 c0 2 ¦ Re ª H jkZ0 ck e jkZ0t º ¬ ¼

y t

(2.78)

k 1

Beispiel Periodischer Rechteckimpulszug am RC-Tiefpass

Im Beispiel des periodischen Rechteckimpulszuges bestimmen wir die komplexen Fourierkoeffizienten mit der Umrechnungsformeln (2.33) aus (2.36) und (2.37). c0

A

T T0

und ck

A

T §Z T · si ¨ 0 k ¸ T0 © 2 ¹

für

(2.79)

k 1, 2,3,...

Für den Frequenzgang des RC-Tiefpasses gilt H jkZ0

1 1 jkZ0 RC

1 1 kZ0 RC

2

e

j arctan kZ0 RC

(2.80)

Im Beispiel erhalten wir aus (2.78) nach kurzer Zwischenrechnung wieder (2.50).

2.7.5

RC-Hochpass

Das RC-Glied in Bild 2-24 stellt einen Hochpass dar, wie man anhand von physikalischen Überlegungen schnell nachprüft. Für niedrige Frequenzen (im Grenzfall für eine Gleichspannung) wirkt die Kapazität wie ein Leerlauf. Die Spannung am Ausgang ist somit näherungsweise null.

Eingang

Ausgang C

ue(t)

Für hohe Frequenzen kann die Kapazität wie ein Kurzschluss angesehen werden. Die Eingangsspannung fällt fast vollständig an R ab, und die Ausgangsspannung ist näherungsweise gleich der Eingangsspannung.

R

ua(t)

Bild 2-24 RC-Hochpass

Der Frequenzgang des RC-Hochpasses bestimmt sich aus der erweiterten Spannungsteilerregel.

H ( jZ )

R R 1 jZC

jZ RC 1 jZ RC

(2.81)

46

2 Signale und Systeme

Für die weitere Rechnung ist es günstig, den Frequenzgang nach Betrag und Phase darzustellen. H ( jZ )

Z RC 1 Z RC

(2.82)

2

und

§ 1 · b(Z ) arctan ¨ ¸ © Z RC ¹

(2.83)

Die oben diskutierte Hochpasseigenschaft erschließt sich schnell aus (2.82), wenn man die Grenzfälle Z o 0 und Z o f betrachtet und berücksichtigt, dass der Betragsfrequenzgang monoton ist. Im ersten Fall ist H(0) = 0 und im zweiten Fall gilt H(f) = 1. Beispiel Periodischer Rechteckimpulszug am RC-Hochpass und RC-Tiefpass

Wir verwenden wieder den periodischen Rechteckimpulszug aus dem vorhergehenden Beispiel, siehe Bild 2-12. Im Falle der komplexen Fourierreihe wird jede Frequenzkomponente mit dem Frequenzgang gewichtet, wobei zu beachten ist, dass hier der Gleichanteil nicht übertragen wird. Ganz entsprechend zu (2.78) berechnet sich das Signal am Ausgang des RCHochpasses. y (t )

2A

§ ª 1 º· kZ0 RC T f § kZ0T · ¦ si ¨ cos ¨¨ kZ0t arctan « ¸ » ¸¸ T0 k 1 © 2 ¹ 1 kZ RC 2 ¬ kZ0 RC ¼ ¹ © 0

(2.84)

Abschließend werden Resultate für den RC-Tiefpass und den RC-Hochpass grafisch verglichen. Zunächst ist das Eingangssignal in Bild 2-25 dargestellt. Zu sehen sind links zwei Perioden des Eingangssignals. Für die numerische Berechnung wurde die Fourierreihe des periodischen Rechteckimpulszuges bei k = 199 abgebrochen, weshalb das gibbsche Phänomen deutlich zu erkennen ist. Rechts sind der Gleichanteil und die ersten sieben Harmonischen abgebildet. Man beachte auch, dass wegen des Tastverhältnisses T/T0 = 1/2 alle Harmonischen geradzahliger Ordnung verschwinden. 0,8

ue (t ) u0 1

1

ue,k (t ) u0

k=0

3

5 0

7 0 1

0

t/T0 1

0,8 0,5

0

t/T0 0,5

Bild 2-25 Eingangssignal: abgebrochene Fourierreihe des periodischen Rechteckimpulszuges mit dem Tastverhältnis T/T0 = 0,5 (links) und der Gleichanteil und die ersten sieben Harmonischen (rechts)

2.7 Übertragungsfunktion und Frequenzgang

47

Das Ausgangssignal des RC-Tiefpasses ist in Bild 2-26 zu sehen. Es ergibt sich der bekannte exponentielle Verlauf der Spannung an der Kapazität während des Lade- und Entladevorgangs. Mit der gewählten Zeitkonstanten W = T0 / (2S ) ist die 3dB-Grenzfrequenz des Tiefpasses gleich der Frequenz der 1. Harmonischen. Im rechten Teilbild werden wieder die ersten sieben Glieder der Fourierreihe dargestellt. Der Gleichanteil wird unverändert übertragen. Man erkennt deutlich wie unterschiedlich die Harmonischen durch den Tiefpass gedämpft und in ihren Phasen verschoben werden. Die Amplituden der Harmonischen werden mit wachsendem k stärker gedämpft. Dadurch wird das Signal insgesamt geglättet, da die Signalkomponenten, die die schnellen Änderungen bewirken, unterdrückt werden. Im Ausgangssignal treten keine Sprünge mehr auf. Die glättende Wirkung ist typisch für die Tiefpässe. 1

0,5

uaTP (t ) u0

k=0

TP ua, k (t )

u0

1

5 3 0 7

0

1

0

t/T0

0,5 0,5

1

0

t/T0 0,5

Bild 2-26 Ausgangssignal des RC-Tiefpasses mit der Zeitkonstanten W = T0 / (2S ) (links) und der Gleichanteil und die ersten sieben Harmonischen (rechts)

Das Ausgangssignal des RC-Hochpasses zeigt Bild 2-27. Mit der gewählten Zeitkonstanten W = T0 / (2S) ist die 3dB-Grenzfrequenz des Hochpasses gleich der Frequenz der 1. Harmonischen. Im rechten Teilbild werden wieder die ersten sieben Glieder der Fourierreihe dargestellt. Insbesondere wird der Gleichanteil vollständig unterdrückt. Man erkennt deutlich die unterschiedlichen Dämpfungen und Phasenverschiebungen der Harmonischen durch den Hochpass. Die Amplituden der 3., 5. und 7. Harmonischen werden durch den Hochpass weniger stark gedämpft als beim Tiefpass in Bild 2-26. Dies gilt erst recht für die Spektralkomponenten bei höheren Frequenzen. Insgesamt wird durch den Hochpass der Einfluss der Harmonischen bei höheren Frequenzen auf den Signalverlauf stärker. Signaländerungen werden relativ betont, wie sich deutlich im linken Teilbild zeigt. Da beim RC-Hochpass am Ausgang der Spannungsabfall am Widerstand abgegriffen wird, ist das Ausgangssignal proportional zum bekannten Verlauf des Lade- bzw. Entladestroms der Kapazität und wechselt insbesondere das Vorzeichen. Man beachte auch hier wieder das gibbsche Phänomen an den Sprungstellen des Signals aufgrund der numerischen Berechnung mit der abgebrochenen Fourierreihe. uaHP (t ) u0

HP ua, k (t )

1

0,5

u0

0

k=1 3

75 0

1 1

0

t/T0 1

0,5 0,5

0

t/T0

0,5

Bild 2-27 Ausgangssignal des RC-Hochpasses mit der Zeitkonstanten W = T0 / (2S ) (links) und die ersten sieben Harmonischen (rechts)

48

2 Signale und Systeme

Grafische Darstellung der Signale mit dem PC Um einen Eindruck zu geben, wie die Ergebnisse der Methode der Ersatzspannungsquellen in Verbindung mit den Überlegungen zum Frequenzgang praktisch angewendet werden können, gehen wir kurz auf die grafische Darstellung der Signale am PC durch moderne Softwarewerkzeuge ein. Beispielhaft betrachten wir das weitverbreitete Programmpaket MATLAB1. Für die grafischen Darstellungen wählen wir die Parametervorgaben wie in den obigen Bildern: die Periode T0 = 1 und die Zeitkonstanten des RC-Glieds W = T0 / (2S ). Es ergeben sich nun mit Z0RC = 1 die Fourierreihen der Signale aus den Gleichungen (2.50) für das Eingangssignal, (2.80) für das Ausgangssignal am RC-Tiefpass und (2.84) für das Ausgangssignal am RCHochpass. Die Programmierung in MATLAB gestaltet sich relativ kurz. Wie das Programmbeispiel zeigt, werden die meisten Programmzeilen zur Formatierung der grafischen Ausgabe benötigt. Mit der Umsetzung in ein Programm kann beispielsweise der Einfluss der Zeitkonstanten W auf die Ausgangssignale schnell anschaulich untersucht werden. Programmbeispiel Periodischer Rechteckimpulszug am RC-Hochpass und RC-Tiefpass % Filtering of the periodic impulse train by the RC lowpass or % highpass - computation using the Fourier series expansion %% Input signal - periodic impulse train t = -1:.001:1; % time scale xp = .5*ones(size(t));% periodic impulse train - constant component (dc) K = 199 % number of harmonics to be considered for k = 1:2:K xp = xp + sinc(.5*k)*cos(2*pi*k*t); end Fig1 = figure % graphics subplot(2,1,1), plot(t,xp,'LineWidth',2), grid axis([-1 1 -.2 1.2]); xlabel('{\itt}'), ylabel('{\itx}_p({\itt})') subplot(2,1,2), hold on for k = 1:2:7 plot(t,sinc(.5*k)*cos(2*pi*k*t),'LineWidth',2) end grid, xlabel('{\itt}'), ylabel('{\itx}_k({\itt})'), hold off %% RC lowpass filtering ylp = .5*ones(size(t)); % constant component (dc component) for k = 1:2:K ylp = ylp + sinc(.5*k)*cos(2*pi*k*t-atan(k))/(sqrt(1+k^2)); end Fig2 = figure % graphics subplot(2,1,1), plot(t,ylp,'LineWidth',2), grid axis([-1 1 -.2 1.2]); xlabel('{\itt}'), ylabel('{\ity}_{lp}({\itt})') subplot(2,1,2), hold on for k = 1:2:7 plot(t,sinc(.5*k)*cos(2*pi*k*t-atan(k))/(sqrt(1+k^2)),... 'LineWidth',2) end 1

MATLAB ist ein eingetragenes Warenzeichen der Firma The MathWorks, Inc., USA. Für mehr Informationen siehe www.mathworks.com oder www.mathworks.de.

2.8 Fouriertransformation

49

grid, xlabel('{\itt}'), ylabel('{\ity}_{lp,k}({\itt})'), hold off %% RC highpass filtering yhp = zeros(size(t)); % constant component (dc component) for k = 1:2:K yhp = yhp + sinc(.5*k)*cos(2*pi*k*t+atan(1/k))*k/(sqrt(1+k^2)); end Fig1 = figure % graphics subplot(2,1,1), plot(t,yhp,'LineWidth',2), grid axis([-1 1 -1.2 1.2]); xlabel('{\itt}'), ylabel('{\ity}_{hp}({\itt})') subplot(2,1,2), hold on for k = 1:2:7 plot(t,sinc(.5*k)*cos(2*pi*k*t+atan(1/k))*k/(sqrt(1+k^2)),... 'LineWidth',2) end grid, xlabel('{\itt}'), ylabel('{\ity}_{hp,k}({\itt})'), hold off

2.8

Fouriertransformation

In den vorhergehenden Abschnitten wurde am Beispiel von RLC-Netzwerken gezeigt, wie die Fourierreihe vorteilhaft benutzt wird, die Reaktion von LTI-Systemen auf periodische Signale zu bestimmen. Periodische Signale spielen zwar in der Nachrichtentechnik eine wichtige Rolle, beinhalten jedoch als deterministische Signale keine Information. Deshalb wird im Folgenden die Analyse auf die aperiodischen Signale erweitert. Hierzu betrachte man zunächst nochmals den periodischen Rechteckimpulszug und sein Spektrum in Bild 2-5 bzw. Bild 2-15. Letzteres zeigt das für periodische Signale typische Linienspektrum mit dem Frequenzabstand f0 = 1 / T0. Man stelle sich nun vor, die Periode T0 würde immer größer, sodass die Periodizität immer weniger ins Gewicht fällt. Da für die Abstände der Spektrallinien f0 = 1 / T0 gilt, rücken die Spektrallinien immer dichter aneinander. Für T0 o f ergibt sich mit f0 o 0 ein kontinuierliches Spektrum für einen einzelnen Rechteckimpuls. Mathematisch gesehen findet der Übergang von der Fourierreihe auf das Fourierintegral statt. Um den Rahmen einer Einführung nicht zu überschreiten, wird hier auf die Herleitung verzichtet und es werden nur die wichtigsten Zusammenhänge vorgestellt. Durch die Fouriertransformation werden zwei Funktionen miteinander verbunden. Man spricht von einem Fourierpaar

x t l X jZ

(2.85)

mit der Fouriertransformierten, auch kurz Spektrum genannt, X jZ

f

jZt ³ x t e dt

f

und der inversen Fouriertransformierten, hier auch Zeitfunktion genannt.

(2.86)

50

2 Signale und Systeme

1 2S

x t

f

jZt ³ X jZ e d Z

(2.87)

f

Anmerkungen: (i) Eine Funktion, die in jedem endlichen Teilintervall die dirichletschen Bedingungen erfüllt und absolut integrierbar ist, besitzt eine Fouriertransformierte. Eine ausführliche Antwort auf die Frage nach der Existenz und den Eigenschaften der Fouriertransformation geht über den hier gesetzten Rahmen hinaus. (ii) Ist x(t) eine Funktion der elektrischen Spannung, d. h. [x(t)] = V, so hat die Fouriertransformierte die Dimension [X(jZ)] = Vs = V / Hz. In der Systemtheorie wird für gewöhnlich mit dimensionslosen Größen gerechnet, indem alle Größen auf die üblichen Einheiten, wie beispielsweise V, A, :, W, m, s, usw., normiert werden. (iii) In der Literatur wird die Fouriertransformation manchmal in leicht modifizierten Schreibweisen angegeben. Die hier gewählte Form betont den Zusammenhang mit der Laplacetransformation und ist in der deutsch- und englischsprachigen Literatur weit verbreitet. (iv) Die Fourierreihe kann als Sonderfall der Fouriertransformation aufgefasst werden.

Anhand des Rechteckimpulses lassen sich Ähnlichkeiten und Unterschiede der Fouriertransformation und der Fourierreihe gut verdeutlichen. Beispiel Fouriertransformation des Rechteckimpulses

Die Fouriertransformation des Rechteckimpulses xT(t) mit Amplitude eins in Bild 2-5 liefert f

³

xT t e jZt dt

f

T /2

³

e jZt dt

T /2

1 ª jZ T 2 e e jZ T 2 º ¼ jZ ¬

(2.88)

Der Ausdruck in der eckigen Klammer führt auf die Sinusfunktion und kann mit der si-Funktion (2.38) kompakter geschrieben werden. 2 j sin Z T 2

1 ª¬ e jZ T 2 e jZ T 2 º¼

jZ

§ T· T si ¨ Z ¸ © 2¹

jZ

2 j sin( Z T 2)

(2.89)

Der Rechteckimpuls und die si-Funktion bilden ein Fourierpaar.

§ T· xT (t ) l T si ¨ Z ¸ © 2¹

(2.90)

Die inverse Fouriertransformation übernimmt die Rolle der Fourierreihe (2.40). xT (t )

1 2S

f

§ T·

³ T si ¨© Z 2 ¸¹ e

jZt

dZ

(2.91)

f

Vergleichen wir das Ergebnis mit der Fourierreihe des periodischen Rechteckimpulszuges, erkennen wir einen ähnlichen Verlauf. Die Impulsdauer T nimmt jetzt die Stelle des Tastverhältnisses T / T0 ein, und statt der diskreten Kreisfrequenzen kZ0 tritt die kontinuierliche Kreisfrequenz Z auf. Abgesehen von einem Skalierungsfaktor interpoliert die Fouriertransformierte des Rechteckimpulses in Bild 2-28 das Linienspektrum der Fourierkoeffizienten in Bild 2-15. Damit können wir den Grenzübergang vom periodischen zum aperiodischen Fall anschaulich deuten. Mit

2.8 Fouriertransformation

51

wachsender Periode T0 nimmt der Abstand der Spektrallinien, die Frequenzschrittweite, f0 = 1/T0 immer mehr ab. Im Grenzfall T0 o f entsteht schließlich ein Frequenzkontinuum. Auffällig ist auch der Einfluss der Impulsbreite T auf das Spektrum. Die erste positive Nullstelle des Spektrums liegt bei f0 = 1/T. Anmerkung: Setzen wir hier das Tastverhältnis T/T0 = 0,2 ein, resultiert f0 wie in Bild 2-15. _______________________________________________________________________________ Ende des Beispiels

1 X T ( jZ ) T

xT(t)

§ T· si ¨ Z ¸ © 2¹

1 T

t

0,2

ZT / (2S)

0 0,2 10

5

0

5

10

Bild 2-28 Spektrum des Rechteckimpulses xT(t)

Ganz entsprechend zur Fourierreihe erhält man die parsevalsche Formel für ein Fourierpaar. f

³

f

2

x t dt

1 2S

f

2 ³ X jZ d Z

(2.92)

f

Die parsevalsche Formel gibt an, wie die Signalenergie auch im Frequenzbereich bestimmt werden kann. Insbesondere kann das Betragsquadrat des Spektrums als Energiebelegung auf der Frequenzachse angesehen werden. Man spricht von der Energiedichte des Signals. Integriert man die Energiedichte |X(jZ)|2 über ein bestimmtes Frequenzintervall, so erhält man die Gesamtenergie der darin enthaltenen Frequenzkomponenten. Ganz entsprechendes gilt für Leistungssignale, wobei man dann vom Leistungsdichtespektrum spricht, also der Verteilung der mittleren Leistung auf die Frequenzkomponenten. Die Fouriertransformation ist in der Nachrichtentechnik und der Steuerungs- und Regelungstechnik von großer Bedeutung. Meist werden wenige Standardsignale benutzt, deren Fouriertransformierten bekannt und in Tabellen gängiger mathematischer Formelsammlungen oder einschlägigen Lehrbüchern der Systemtheorie zu finden sind. Die Bedeutung der Fouriertransformation in der Nachrichtentechnik gründet sich auf die Tatsache, dass viele grundlegende Konzepte mit ihr hergeleitet und einfach formuliert werden. Damit wird es möglich, Zusammenhänge zu verstehen und qualitative Aussagen ohne lange Rechnung zu treffen. In den beiden folgenden Abschnitten werden ohne mathematische Herleitungen einige dieser Zusammenhänge vorgestellt.

52

2 Signale und Systeme

Anmerkungen: (i) In manchen Tabellenwerken wird die Fouriertransformation in die Kosinus- und Sinustransformation zerlegt. Mit der Eulerformel e jx = cos x + jsin x lässt sich die komplexe Form bestimmen. (ii) In der modernen Nachrichtentechnik (Messtechnik, Mustererkennung, Spracherkennung, usw.) ist die besonders für Digitalrechner geeignete numerische Fouriertransformation, die schnelle Fouriertransformation (Fast Fourier Transform, FFT) in Abschnitt 3.6 nicht mehr wegzudenken.

2.9

Filterung

In Abschnitt 2.5 wurde die Methode der Ersatzspannungsquellen mit der Fourierreihe zur Berechnung des Ausgangssignals von RLC-Netzwerken vorgestellt. Mit der Fouriertransformation kann die Methode direkt auf aperiodische Signale erweitert werden. Das allgemeine Verfahren ist in Bild 2-29 zusammengestellt. Zunächst wird das Spektrum des Eingangssignals durch Fouriertransformation bestimmt. Dann wird es mit dem Frequenzgang multipliziert. Man erhält das Spektrum des Ausgangssignals aus der Eingangs-Ausgangsgleichung im Frequenzbereich.

Y ( jZ )

H ( jZ ) X ( jZ )

(2.93)

Durch inverse Fouriertransformation resultiert das gesuchte Ausgangssignal im Zeitbereich. Der Vorteil der Methode ist offensichtlich: Der Einfluss des Systems wird durch einfache Multiplikation im Frequenzbereich berücksichtigt. Die Berechnung der Fouriertransformation und ihrer Inversen kann jedoch im Einzelfall schwierig sein. In der Regel greift man auf Korrespondenztafeln für Fourierpaare zurück. Auch eine numerische Lösung kann für eine konkrete Aufgabe hilfreich sein. Da in den Anwendungen der Frequenzgang meist ein selektives Verhalten aufweist, spricht man von einer (linearen) Filterung des (Eingangs-) Signals.

x(t)

RLCNetzwerk

F

Frequenzgang

X( jZ)

H( jZ)

y(t)

F1 Y( jZ) = H( jZ) X( jZ)

Bild 2-29 Berechnung des Ausgangssignals von RLC-Netzwerken im Frequenzbereich

Entsprechendes gilt auch für die im Zusammenhang mit stochastischen Signalen besonders wichtige Verteilung der mittleren Leistung auf die Frequenzkomponenten, dem Leistungsdichtespektrum. Liegt am Filtereingang ein Signal mit einem bestimmten Leistungsdichtespektrum an, so werden die Amplituden der Frequenzkomponenten durch das Filter jeweils mit |H( jZ)| gewichtet. In das Leistungsdichtespektrum am Ausgang geht der Betragsfrequenzgang deshalb quadratisch ein. Man bezeichnet demzufolge die Funktion |H( jZ)|2 auch als Leistungsübertragungsfunktion. Beispiel Preemphase und Deemphase für den UKW-Rundfunk

Im Beispiel betrachten wir eine praktische Anwendung einfacher elektrischer Schaltungen als Filter im UKW-Rundfunk. Der technische Hintergrund wird in Abschnitt 4.3 noch genauer erläutert. Hier ist wichtig, dass im UKW-Rundfunk die Frequenzmodulation (FM) eingesetzt wird. Bei der FM-Übertragung steigt die Leistung des additiven Rauschens mit wachsender

2.9 Filterung

53

Frequenz an. Die Frequenzkomponenten des Nachrichtensignals werden mit zunehmender Frequenz stärker gestört. Hier setzt die Kombination aus Preemphase- und Deemphase-System an. Die Preemphase hat die Aufgabe, die höherfrequenten Spektralanteile des Nachrichtensignals vor der FM-Modulation leistungsmäßig anzuheben. Die Deemphase senkt sie nach der FM-Demodulation wieder so ab, dass beide Systeme sich in ihren Wirkungen aufheben, siehe Bild 2-30. Weil das bei der FM-Übertragung hinzukommende Rauschsignal durch die Deemphaseschaltung nur gedämpft wird, verringert sich die Störung. Modellrechnungen für den UKW-Rundfunk im Monobetrieb zeigen, dass die Anwendung der hier vorgestellten Preemphase- und Deemphase-Systeme auf eine Absenkung der Rauschleistung auf etwa 1/6 führt. zu übertragendes Signal

Preemphase

HP( jZ)

Rauschstörung

Deemphase

FM-Übertragung

HD( jZ)

FM-demoduliertes Signal nach Deemphase

Bild 2-30 Anwendung der Preemphase und Deemphase im UKW-Rundfunk mit FM-Übertragung

Im UKW-Rundfunk werden relativ einfache elektrische Preemphase- und Deemphase-Schaltungen eingesetzt. Bild 2-31 zeigt den verwendeten Hochpass und den Tiefpass. Deren Frequenzgänge werden mit den aus der komplexen Wechselstromrechung bekannten erweiterten kirchhoffschen Regeln bestimmt. H P jZ

R1 1 jZ R2C R1 R2 jZ R1R2C R2

und H D jZ

1 1 jZ R2C

(2.94)

R2 R1

C

Preemphase

C Deemphase

Bild 2-31 Preemphase- und Deemphase-Schaltungen für den UKW-Rundfunk

In der Rundfunktechnik ist es üblich, die Frequenzgänge in normierter Form anzugeben. Mit r

R1 R1 R2

; : Z R2 C

1 j: 1 jr:

und H D j:

(2.95)

erhält man H P j:

r

1 1 j:

(2.96)

Es werden die Parameter

r 1 16 , :3dB 1 und R2C 50 ȝs

(2.97)

54

2 Signale und Systeme

verwendet. Daraus resultiert mit (2.95) die 3dB-Grenzfrequenz des Deemphase-Tiefpasses 1 2S R2C

f3dB

3,18 kHz

(2.98)

Das ist ungefähr ein Fünftel der Grenzfrequenz des UKW-Audiosignals von 15 kHz. Die zugehörigen Frequenzgänge sind in Bild 2-32 in Form von Bode-Diagrammen skizziert. Dabei werden die Beträge der Frequenzgänge stückweise durch Geraden angenähert, siehe auch Bild 2-16. Anmerkung: Die Preemphase und Deemphase wird auch bei der Magnetbandaufzeichnung und in der Fernsehtechnik eingesetzt. Dort werden höhere Preise für die Geräte gezahlt und es können deshalb aufwendigere Schaltungen als in Bild 2-31 eingesetzt werden.

20 lg

H P j: r

Audioband

24 12 in dB 0 1/2

1

2

# 3,18 kHz

20 lg H D j:

0 in dB 12

1

4

8

16

8

16

:

# 15 kHz 2

4

:

24 Bild 2-32 Betragsfrequenzgänge (Bode-Diagramme) zur normierten Kreisfrequenz : der Preemphase(P) und Deemphase- (D) Schaltungen für den UKW-Rundfunk

2.10

Verzerrungsfreie Übertragung

In der Nachrichtentechnik soll das informationstragende Signal möglichst unverzerrt übertragen werden. Die Übertragung ist dann verzerrungsfrei, wenn das Ausgangssignal bis auf einen positiven reellen Amplitudenfaktor a und einer tolerierbaren zeitlichen Verschiebung t0 dem Eingangssignal gleicht.

y t a x t t0

(2.99)

Der Amplitudenfaktor a entspricht einer Dämpfung und die zeitliche Verschiebung t0 einer Laufzeit beim Durchgang des Signals durch das System. Der Frequenzgang eines verzerrungsfreien Systems hat somit eine konstante Amplitude und einen linearen Phasenverlauf.

H jZ a e jZt0

(2.100)

Soll das Übertragungssystem ein RLC-Netzwerk sein, so folgt aus der Polynomdarstellung der Übertragungsfunktion, dass eine verzerrungsfreie Übertragung nicht realisiert werden kann.

2.10 Verzerrungsfreie Übertragung

55

Schränkt man die Forderung auf den interessierenden Frequenzbereich ein, wird bei geeigneter Dimensionierung eine verzerrungsfreie Übertragung näherungsweise möglich. In der Nachrichtentechnik bezeichnet man die Verzerrungen, die durch ein LTI-System entstehen, als lineare Verzerrungen. Man spricht von Dämpfungsverzerrungen und Phasenverzerrungen, je nachdem, ob die Amplituden oder die Phasen der Frequenzkomponenten des Nachrichtensignals betroffen sind. Da die Wirkungen von Phasenverzerrungen nicht so offensichtlich sind, werden sie im Folgenden anhand eines einfachen Beispiels sichtbar gemacht. Beispiel Phasenverzerrungen

Wir betrachten der Anschauung halber den Gleichanteil und die ersten sieben Harmonischen des periodischen Rechteckimpulszuges (2.40) als Eingangssignal eines LTI-Systems mit dem Frequenzgang mit konstantem Betrag und linearer Phase.

e jZt0

H1 jZ

(2.101)

Für das Signal am Ausgang ergibt sich entsprechend (2.72) y1 (t )

2A

T T0

ª1 7 § § 2S k ·º T · « >t t0 @ ¸ » si ¨ S k ¸ cos ¨ T0 ¹ «¬ 2 k 1 © © T0 ¹»¼

¦

(2.102)

Das Signal wird unverzerrt übertragen, wie Bild 2-33 augenfällig zeigt. Grund dafür ist, dass sich die Phasenverschiebungen der Frequenzkomponenten durch das System linear mit der Kreisfrequenz ändern, sodass sich nach Ausklammern für alle Komponenten die gleiche Signalverzögerung t0 einstellt.

p 7 (t )

1

t/T0

0

1

y1(t)

0

1

1

t/T0

0

t0 /T0 1

y2(t)

0

1

1

t/T0

0

1

0

1

Bild 2-33 Eingangssignal p 7 (t ) , Ausgangssignal des Systems mit linearer Phase y1(t) bzw. quadratischer Phase y2(t)

56

2 Signale und Systeme

Als Beispiel für die störende Wirkung von Phasenverzerrungen wählen wir ein System mit quadratischem Phasenterm.

H 2 jZ exp ª j sgn Z Z 2t02 º ¬ ¼

(2.103)

Die Signumfunktion sgn(Z) sorgt dafür, dass der Phasenfrequenzgang wie in (2.75) gefordert eine ungerade Funktion ist. In diesem Fall ergibt sich das Ausgangssignal

y2 ( t )

2 A

§ 2S k ª 2S k 2 º · º T ª1 7 § T · « ¦ si ¨ S k ¸ cos ¨¨ «t t0 » ¸¸ » T0 ¬« 2 k 1 © T0 ¹ T0 ¼ ¹ ¼» © T0 ¬

(2.104)

Die Laufzeiten wachsen jetzt linear mit steigender Frequenz. Damit erfahren die Frequenzkomponenten Phasenverschiebungen, die, obwohl alle Frequenzkomponenten noch mit gleicher Amplitude vorhanden sind, das ursprüngliche Signal in Bild 2-33 nicht mehr erkennen lassen. _______________________________________________________________ Ende des Beispiels In der Nachrichtentechnik wird zur Beurteilung der Phasenverzerrungen durch LTI-Systeme die Gruppenlaufzeit als Ableitung der Phase herangezogen.

W g (Z )

d b(Z ) dZ

(2.105)

Anmerkung: Man beachte die Definition der Gruppenlaufzeit mit negativem Vorzeichen. In der Literatur wird manchmal das negative Vorzeichen bereits in der Phase (2.64) eingeführt.

Ein phasenverzerrungsfreies System hat eine konstante Gruppenlaufzeit. Phasenverzerrungen machen sich besonders bei Audio- und Bildsignalen störend bemerkbar. Bei Bildern führen Phasenverzerrungen zu räumlichen Verschiebungen der Bildinhalte. Telefonsprache zeigt sich relativ unempfindlich gegen Phasenverzerrungen, da es hierbei vor allem auf die Verständlichkeit ankommt. Bei der Nachrichtenübertragung werden meist auch nichtlineare Komponenten eingesetzt, wie beispielsweise Verstärker oder Modulatoren. In diesem Fall treten nichtlineare Verzerrungen auf, die im Gegensatz zu den linearen Verzerrungen neue Frequenzkomponenten verursachen. Ein besonders in der Audiotechnik verbreitetes Maß zur Beurteilung von nichtlinearen Verzerrungen ist der Klirrfaktor d, englisch distortion genannt. Er ist gleich dem Quotienten aus der Wurzel der Summe der Leistungen der störenden Oberschwingungen (Effektivwert der Oberschwingungen) durch die Wurzel aus der Gesamtleistung (Effektivwert des Gesamtsignals).

d

Effektivwert der Oberschwingungen Effektivwert des Gesamtsignals

(2.106)

In der Audiotechnik wird der Klirrfaktor meist anhand des Eintonsignals mit der Frequenz von 1 kHz gemessen, da etwa bei dieser Frequenz auch das menschliche Gehör am empfindlichsten ist, siehe Abschnitt 3.7. In der Übertragungstechnik können bei Vorhandensein von mehreren frequenzmäßig getrennten Signalen, z. B. Rundfunksignale verschiedener Frequenzkanäle, nichtlineare Kennlinien zur Intermodulation und im Sonderfall auch zur Kreuzmodulation führen. In der Telefonie kommt es zum Übersprechen, d. h. dem unbeabsichtigten Mithören fremder Telefonate.

2.11 Bandbreite und Zeitdauer-Bandbreite-Produkt

2.11

57

Bandbreite und Zeitdauer-Bandbreite-Produkt

Unter der Bandbreite eines Signals versteht man den Bereich im Spektrum, in dem die wesentlichen Frequenzkomponenten liegen. Was unter wesentlich zu verstehen ist, wird durch die konkrete Anwendung bestimmt. Im Beispiel der Sprachtelefonie liefert die Verständlichkeit das Kriterium. Zwei gebräuchliche Definitionen sind die absolute und die 3dB-Bandbreite. Oft wird die Bandbreite auch mit der ersten Nullstelle im Spektrum (für positive Frequenzen) abgeschätzt. Da der Betragsfrequenzgang der üblichen reellen Signale eine gerade Funktion ist, wird besonders bei grafischen Darstellungen die Beschränkung auf positive Frequenzen und die verkürzte Schreibweise | X( f ) | statt | X(2Sf ) | oder | X( jZ ) | verwendet. Anmerkung: Bei den eher seltenen, maßstäblichen Zeichnungen werden die Amplituden der Betragsfrequenzgänge bzgl. der Frequenz f in der Literatur gelegentlich mit dem Faktor 2S normiert [Lük95].

Absolute Bandbreite Ist | X( f ) | = 0 für f t fg, so ist außerhalb der Bandbreite B das Spektrum null. Man spricht von einer strikten Bandbegrenzung. Im Falle des Tiefpass-Spektrums in Bild 2-34 gilt B = fg. Liegt ein Bandpass-Spektrum vor, so ist B = fg2 fg1. Tiefpass-Spektrum

|XTP( f )| 1

B

Bandpass-Spektrum

f

0

B

|XBP( f )| 1 fg

0

fg1

fg2

f

Bild 2-34 Absolute Bandbreite B von Tiefpass- und Bandpass-Spektren (schematische Darstellung)

3dB-Bandbreite Im Beispiel des RC-Tiefpass-Spektrums in Bild 2-16 oder des Spektrums des Rechteckimpulses in Bild 2-28 liegt keine strikte Bandbegrenzung vor. Die Bandbreite kann aber wie in Bild 2-35 durch die 3dB-Grenzfrequenz abgeschätzt werden. Im Beispiel des RC-Tiefpasses ist die 3dB-Grenzfrequenz nach (2.71) B = f3dB = 1 / (2SRC). Die 3dB-Grenzfrequenz der si-Funktion ist B = f3dB | 0,44 / T. Tiefpass-Spektrum

|XTP( f )| 1 1/2

B

Bandpass-Spektrum

|XBP( f )| 3dB-Punkt

f3dB

f

B 1 1/2 f f3dB,1

f3dB,2

Bild 2-35 3dB-Bandbreite B von Tiefpass- und Bandpass-Spektren (schematische Darstellung)

58

2 Signale und Systeme

Einige typische Bandbreiten in der Nachrichtentechnik sind in Tabelle 2-3 zusammengestellt. Tabelle 2-3 Bandbreiten einiger Nachrichtenübertragungskanäle Anwendung

Ungefähre Kanalbandbreite

Fernsprechen (analog) UKW-Rundfunk (Audio) Audio (Compact Disc) UKW-Rundfunk (analog) GSM Frequenzkanal1 Digitaler Teilnehmeranschluss (ADSL(2+)) DECT Frequenzkanal2 UMTS Frequenzkanal3 Fernseh-Rundfunk (analog, digital4) Wireless Local Area Network (WLAN)5 WLAN IEEE 802.11n Power Line Communications (PLC)6 Global Position System (GPS)7 1 2 3 4 5 6 7

3,1 kHz 15 kHz 20 kHz 180 kHz 200 kHz 1,1 (2,2) MHz 1,8 MHz 5 MHz 5,5 … 7 MHz 22 MHz 20/40 MHz … 40 MHz 2/20 MHz

Für die gleichzeitige Übertragung von 8/16 Full/Half-Rate-Telefongesprächen (unidirektional). Für die gleichzeitige Übertragung von 12 Telefongesprächen (bidirektional). Frequenzkanal des Universal Mobile Telecommunication Systems (UMTS) im Codemultiplex. Analoge Programme (Frequenzkanäle) werden gegen digitale getauscht. IEEE 802.11b, IEEE 802.11a/g, HIPERLAN/2. IEEE P1901 (in Vorbereitung), Datenkommunikation über Stromversorgungsleitungen in oder zu Gebäuden. L1- bzw. L2-Träger der Satellitensignale.

Zeitdauer-Bandbreite-Produkt Eine wichtige physikalische Grundtatsache ist der Zusammenhang zwischen der Dauer und der Bandbreite eines Signals. Wir veranschaulichen uns den Zusammenhang anhand des Rechteckimpulses und seines Spektrums in Bild 2-36. Mit der Impulsdauer T und der Bandbreite B = f0, d. h. der erste Nullstelle im Spektrum für f > 0, erhält man das konstante Zeitdauer-BandbreiteProdukt

B T 1

(2.107)

Demzufolge stehen die Zeitdauer eines Vorganges und die Breite des Spektrums in reziprokem Zusammenhang. Halbiert man wie in Bild 2-36 die Impulsdauer, so verdoppelt sich die Bandbreite. Bei der Datenübertragung mit binären Rechteckimpulsen bedeutet das: verdoppelt man die pro Zeiteinheit gesendeten Impulse (Bitrate), so wird die doppelte Bandbreite belegt bzw. muss zur Verfügung gestellt werden. Anmerkung: Definitionen des ZeitdauerDie Zeitdauer eines Vorgangs und die Breite Bandbreite-Produktes für nicht zeit- bzw. des Spektrums stehen in reziprokem Zusambandbegrenzte Signale findet man z. B. in menhang. [Wer08d].

2.12 Charakterisierung von LTI-Systemen

Zeitbereich

59

F

Frequenzbereich si-Funktion

Rechteckimpuls

XT1( jZ)

T1

xT1(t) 1

Z /2S

t T1 2B1 xT2(t)

T2

1

XT2( jZ)

Z /2S

t T2

2B2

Bild 2-36 Zeitdauer-Bandbreite-Produkt BT am Beispiel des Rechteckimpulses

2.12

Charakterisierung von LTI-Systemen

In diesem Abschnitt wird der Kreis vom Frequenzbereich zurück in den Zeitbereich geschlossen. Wurde bisher direkter Bezug auf die physikalisch realisierbaren RLC-Netzwerke genommen, so soll in diesem Abschnitt mit Blick auf die grundlegenden Eigenschaften von zeitkontinuierlichen LTI-Systemen, die Linearität und die Zeitinvarianz, ein allgemeiner Standpunkt eingenommen werden. Die theoretischen Zusammenhänge werden durch ausführliche Rechenbeispiele anschaulich gemacht. Anmerkung: Bei den Beispielen ist zu beachten, dass die nachfolgenden Definitionen für dimensionslose Größen gelten. Physikalische Größen sind deshalb vorab geeignet zu normieren, wie beispielsweise die Spannungen in Volt, die Zeit in Sekunden, usw.

2.12.1 Impulsfunktion und Impulsantwort Ein strikt bandbegrenztes LTI-System mit der Grenzfrequenz fg soll mit einem Signal so erregt werden, dass am Ausgang der Frequenzgang direkt beobachtet werden kann. Aus der Eingangs-Ausgangsgleichung im Frequenzbereich in (2.93) schließen wir, dass das Spektrum des erregenden Signals im interessierenden Frequenzbereich konstant sein muss. Wie könnte das Signal x(t) aussehen? Beispielsweise wie ein Rechteckimpuls in Bild 2-36 mit entsprechend kurzer Dauer T. Wählt man nämlich T so, dass für die Bandbreite gilt B = 1 / T >> fg, dann ist das Spektrum am Systemausgang näherungsweise proportional der gesuchten Übertragungsfunktion. Betrachtet man nun ein System mit doppelter Grenzfrequenz, ist für die Messung die Dauer des Rechteckimpulses zu halbieren. Ist das System nicht strikt bandbegrenzt, müsste die Signalbandbreite B gegen den Wert unendlich und damit die Dauer des Rechteckimpulses gegen den Wert null gehen. Wie in Bild 2-36 zu sehen, geht jedoch ebenso die Amplitude des Spektrums gegen null, da ja nun praktisch keine Signalenergie mehr aufgewendet wird.

60

2 Signale und Systeme

Das kleine Gedankenexperiment zeigt das Problem auf und deutet die Lösung an. Mit Blick auf die parsevalsche Formel (2.92) ist festzustellen: Ein Signal, dessen Spektrum ungleich null und konstant für alle Frequenzen ist, würde unendliche Energie aufweisen und kann deshalb nicht physikalisch existieren. Es ist jedoch möglich, im Sinne eines Grenzüberganges, ein derartiges Signal als mathematische Idealisierung zu konstruieren. Impulsfunktion Dazu betrachten wir in Bild 2-37 (links) die endliche Folge von gewichteten Rechteckimpulsen nx1/n(t), die bei konstanter eingeschlossener Fläche f

³ nx

1/ n

(2.108)

(t ) dt 1 für n 1, 2, 3,! , N

f

für wachsendes n immer schmaler und höher werden. Die zugehörigen Spektren (2.90) sind ebenfalls in Bild 2-37 (rechts) skizziert. nX1/n( jZ)

n=4

nx1/n(t)

3

nof

2

3

1 1/2

0

1/2

1 2

t

Z

Bild 2-37 Folge von flächennormierten Rechteckimpulsen (links) und ihre Spektren (rechts)

Im Grenzfall N o f streben die Spektren für alle Kreisfrequenzen gegen den Wert eins, da die erste positive und negative Nullstelle sich nach +f bzw. f verschieben. Jedoch streben zugleich die Integrationsgrenzen in (2.108) gegen 0 und der Integrand gegen f. Es ist offensichtlich, dass im Grenzfall das Integral im herkömmlichen Sinne nicht mehr existiert. Anmerkung: Die Flächennormierung bedeutet, dass die Energie der Rechteckimpulse gleich n ist, und somit ebenfalls gegen unendlich strebt.

Das mathematische Problem des Grenzübergangs in (2.108) ist für sich genommen jedoch nicht relevant. Gesucht werden für die Messaufgabe ein Signal und seine Wirkung auf ein System. Es interessiert die Anwendung auf eine weitere Funktion x(t), die später den Einfluss des zu untersuchenden Systems widerspiegeln wird. Wir machen uns das durch eine kurze Überlegung deutlich. Ist x(t) um t = 0 stetig und beschränkt, so erwarten wir gemäß dem Mittelwertsatz der Integralrechnung für n genügend groß aber endlich f

³ x(t ) n x1 / n (t ) dt | x(0)

(2.109)

f

Es ist deshalb vorteilhaft, den Grenzübergang N o f im Sinne einer Abbildung aufzufassen, die der Funktion x(t) ihren Funktionswert an der Stelle t = 0 zuweist. Wir schreiben formal

2.12 Charakterisierung von LTI-Systemen

61

f

³ x(t ) G (t ) dt

x ( 0)

(2.110)

f

mit der Impulsfunktion oder diracschen1 Delta-Funktion G(t). Die Impulsfunktion ist keine Funktion im herkömmlichen Sinne sondern eine verallgemeinerte Funktion, auch Distribution genannt. Sie und das Integral (2.110) werden im Rahmen der Distributionentheorie mathematisch erklärt. Mit anderen Worten, das Integral wird nicht durch Einsetzen der Funktionen und herkömmlichem Integrieren gelöst, sondern ist als Definitionsgleichung der Impulsfunktion aufzufassen. Man spricht bei (2.110) von der Ausblendeigenschaft der Impulsfunktion, da sie den gesamten Funktionsverlauf von x(t) bis auf den Wert x(0) an der Stelle t = 0 ausblendet. Anmerkungen: (i) In der Literatur wird die Impulsfunktion auch als Diracstoss, Diracimpuls oder DeltaFunktion bezeichnet. (ii) Es sei noch angemerkt, dass in der Distributionentheorie der Grenzübergang nicht mit einem Rechteckimpuls sondern mit einer unbegrenzt oft differenzierbaren Funktion, z. B. der gaußschen Glockenkurve, gearbeitet wird. Dadurch wird es möglich, auch Ableitungen, so genannte Derivierte, der Impulsfunktion sinnvoll zu definieren und die Impulsfunktion zur Lösung von Differenzialgleichungen heranzuziehen.

Die Impulsfunktion wird, wie in Bild 2-38 gezeigt, als nadelförmiger Impuls grafisch dargestellt. Falls hilfreich wird ihr Gewicht (Impulsstärke) an die Spitze geschrieben. Ihre Fouriertransformierte ist eine Konstante, wie man durch Einsetzen in das Fourierintegral (2.86) und Anwenden der Ausblendeigenschaft (2.110) schnell zeigt.

G (Z ) 1 t

l 1 Z l 2S G (Z )

(2.111)

Impulsfunktion

G (t )

F

„weißes“ Spektrum

1 0

t

0

Z

Bild 2-38 Impulsfunktion und weißes Spektrum

In Anlehnung an die additive Farbmischung in der Optik wird ein konstantes Spektrum auch weißes Spektrum genannt. Anmerkung: Der Ausdruck weißes Spektrum wird insbesondere im Zusammenhang mit konstanten Leistungsdichtespektren gebraucht. Man spricht dann vom weißen Rauschen.

In der Technik und Physik nützt man die formale Übereinstimmung mit den gewohnten Rechenregeln. Impulsantwort Mit der Impulsfunktion als mathematische Idealisierung für ein Signal mit hoher Energie und kurzer Dauer lassen sich zur Systembeschreibung wichtige Zusammenhänge ableiten. Erregt man das zunächst energiefreie LTI-System mit der Impulsfunktion, so ist das Spektrum am Ausgang gleich dem Frequenzgang des LTI-Systems (2.93). Im Zeitbereich erhält man, wie der Name sagt, die Impulsantwort. Die Impulsantwort und der Frequenzgang bilden ein Fourierpaar. Beide Systemfunktionen liefern gleich viel Information über das LTI-System, da sie mit der Fouriertransformation ineinander umgerechnet werden können.

1

Paul Adrien Maurice Dirac: 1902, †1984, britischer Physiker, Nobelpreis 1933.

62

2 Signale und Systeme

h(t ) l H ( jZ )

(2.112)

Anmerkung: Hierbei wird die Existenz des Frequenzgangs als Fouriertransformierte der Impulsantwort vorausgesetzt. Ein hinreichendes Kriterium dafür ist, wie später gezeigt wird, die absolute Integrierbarkeit der Impulsantwort (2.132).

Beispiel Impulsantwort des RC-Tiefpasses

Am Beispiel des RC-Tiefpasses lassen sich die bisherigen Überlegungen anhand bekannter Ergebnisse aus der Physik überprüfen und veranschaulichen. Wir betrachten dazu den RC-Tiefpass in Bild 2-39 mit der Zeitkonstanten W = RC und setzen ohne Beschränkung der Allgemeinheit im Folgenden stets voraus, dass die Kapazität sich anfangs im ungeladenen Zustand befindet, also das System zu Beginn energiefrei ist.

Ausgang

Eingang

R

ue(t)

ua(t) C

Bild 2-39 RC-Tiefpass

Wir starten mit dem Übergang des Eingangssignals vom Rechteckimpuls zur Impulsfunktion. Zunächst wird die Ausgangsspannung ua(t) bei Erregung mit einem Rechteckimpuls bestimmt.

ue (t ) Uq xT (t )

(2.113)

Aus der kirchhoffschen Maschenregel und dem Zusammenhang zwischen Strom und Spannung an der Kapazität resultiert für die Ausgangsspannung die inhomogene lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten d 1 ua (t ) ua (t ) W dt

1

W

ue (t )

(2.114)

Die Lösung der Differenzialgleichung für eine rechteckförmige Eingangsspannung mit dem Einschaltzeitpunkt t = 0 ist aus der Physik bekannt oder kann mithilfe der Variation der Konstanten berechnet oder durch einfache Überlegungen erraten werden, siehe auch Bild 2-14.

ua (t )

°0 ° t W ®U q 1 e ° °U 1 e T W e t T W ¯ q

für t 0 für 0 d t T

(2.115)

für t t T

In Bild 2-40 rechts wird die Ausgangsspannung für verschiedene Rechteckimpulse (links) als Eingangsspannung dargestellt. Man erkennt deutlich die zuerst wachsende Spannung an der Kapazität im Ladevorgang und anschließend deren exponentiell fallenden Verlauf beim Entladen. Betrachtet man die Folge von Rechteckimpulsen (2.108), so erkennt man für wachsendes n, dass sich der Ladevorgang immer mehr verkürzt und sich der Endwert der Spannung im Ladevorgang dem Wert Uq annähert. Im Grenzfall n o f , d. h. bei Erregung mit der Impulsfunktion, scheint die Spannung an der Kapazität sofort auf den Wert Uq zu springen und es beginnt der Entladevorgang.

2.12 Charakterisierung von LTI-Systemen

63

Anmerkung: Selbstredend ist für n o f eine derartige physikalisch Spannungsquelle nicht realisierbar. Die mathematische Idealisierung ist jedoch von großem praktischem Wert. Bei jedem physikalischen Experiment ist man auf Beobachtungen, hier die Messungen der Zeit und der Spannung, angewiesen. Die Messgenauigkeiten sind bei realen Messverfahren und Messgeräten stets beschränkt. Unterschreitet man die Messauflösung, so ist der Unterschied zwischen Experiment und Idealisierung nicht mehr festzustellen. nof

ue (t ) U q ue (t ) Uq

8 4

n xW / n (t )

2 1

n=8 4 2 1

0

1/2

1/2

t/W

1/2

0

1/2

2

1

t/W

Bild 2-40 Reaktion des RC-Tiefpasses mit der Zeitkonstanten W = RC auf flächennormierte Rechteckimpulse der Dauer T = W / n

In Einklang mit den physikalischen Überlegungen ist die Impulsantwort des RC-Tiefpasses

hRC-TP (t )

1 § t· ° exp ¨ ¸ für t ! 0 W © W¹ ® °0 für t 0 ¯

(2.116)

Abschließend verifizieren wir die Impulsantwort (2.116) und die zugrunde liegenden theoretischen Zusammenhänge: (a) Die Impulsantwort und der Frequenzgang bilden ein Fourierpaar. (b) Man erhält die Impulsantwort, wenn in der systembeschreibenden Differenzialgleichung die Impulsfunktion als Erregung eingesetzt wird. Zu (a): Zunächst wird die Impulsantwort (2.116) transformiert und mit dem früher bestimmten Frequenzgang des RC-Tiefpasses (2.59) verglichen. f

³

f

hRC-TP t e jZt dt

f

1

³W

et W e jZt dt

0

1W 1 W jZ

1 1 jZW

1

W

f

³e

>1 W jZ @ t

0

dt (2.117)

H RC-TP jZ

Zu (b): Nun wird die Impulsantwort als Lösungsansatz in die Differenzialgleichung (2.114) für t t 0 mit Impulserregung eingesetzt d a t W a t W e 2 e dt W W

Uq

W

G (t )

(2.118)

64

2 Signale und Systeme

mit der positiven reellen Konstanten a. Die Integration vereinfacht die Gleichung. a

a e t W 2 W W

t

³

Uq t G ( x )dx

e x W dx

W

0

W ª¬exp t W 1º¼

³

(2.119)

0

1

Wie zu zeigen war, erhält man mit a = Uq aus (2.119) für das Ausgangssignal ua (t ) U q hRC-TP (t )

Uq

W

e t W für t ! 0

(2.120)

Anmerkungen: (i) Die untere Integrationsgrenze –0 soll den Grenzübergang von links an 0 symbolisieren, sodass die Ausblendeigenschaft (2.110) angewendet werden kann. In der Literatur sind auch Definitionen für den „Grenzübergang“ mit rechtsseitigen Rechteckimpulsen zur Impulsfunktion zu finden, die jedoch an anderer Stelle eine entsprechende Interpretation verlangen. (ii) Man beachte, dass hier eine einfache Dimensionskontrolle nicht zulässig ist, da mit dimensionslosen Größen gerechnet wird. Würde man mit Dimensionen rechnen, so wäre die Ausblendeigenschaft der Impulsfunktion in (2.110) zu modifizieren. Da eine Integration über der Zeit vorliegt, müsste das Resultat die Dimension der Zeit aufweisen.

2.12.2 Faltung Mit der Impulsantwort kann die Eingangs-Ausgangsgleichung eines LTI-Systems im Zeitbereich angegeben werden. Die Impulsantwort ist darüber hinaus die zentrale Systemfunktion, die die Systemeigenschaften festlegt. Die grundsätzliche Idee der Beschreibung von LTI-Systemen besteht darin, zunächst die Systemreaktion auf die Impulsfunktion, die Impulsantwort, zu bestimmen. Lässt sich das Eingangssignal als Linearkombination von gewichteten und verzögerten Impulsfunktionen darstellen, so folgt aufgrund der Linearität und der Zeitinvarianz des LTI-Systems, dass das Ausgangssignal eine Linearkombination von ebenso gewichteten und verzögerten Impulsantworten sein muss. Diesen grundsätzlichen Zusammenhang wollen wir jetzt erfassen. Anmerkung: Die nachfolgend verwendeten mathematischen Interpretationen von Linearität und Zeitinvarianz können auch im Sinne einer Definition verstanden werden.

Im ersten Schritt wird mit dem Systemoperator T{.} die Impulsantwort definiert und dabei ihre Existenz vorausgesetzt. h(t )

T ^G (t )`

(2.121)

Anmerkung: Der Systemoperator bedeutet nichts weiter, als dass die Funktion in der geschweiften Klammer das Eingangssignal ist und das Ausgangssignal als Ergebnis der Abbildung (Transformation) durch das System zugewiesen wird. Wie diese Abbildung wirklich aussieht, hängt von dem jeweils betrachteten System ab. Voraussetzung ist hier nur, dass die Funktionen sinnvoll existieren und die Abbildung linear und zeitinvariant ist.

Im zweiten Schritt wird das Eingangssignal als Überlagerung von Impulsfunktionen dargestellt.

2.12 Charakterisierung von LTI-Systemen f

³

65 f

x W G t W dW

x (t )

f

³

G t W dW

x t

f

1

(2.122)

Anmerkung: Da, wegen der Ausblendeigenschaft der Impulsfunktion, das linke Integral nur dann einen von null verschiedenen Wert liefert, wenn t = W, darf auch x(t) geschrieben werden. x(t) ist unabhängig von der Integrationsvariablen W, weshalb x(t) vor das Integral gestellt wird. Es verbleibt die Integration über die Impulsfunktion, die definitionsgemäß den Wert 1 hat.

Mit dieser Vorbereitung ergibt sich die Eingangs-Ausgangsgleichung eines Systems auf ein weitestgehend beliebiges Eingangssignal y t

° f ½° T ® ³ x W G t W dW ¾ °¯ f °¿

(2.123)

Nun wird die Linearität benutzt, indem die lineare Abbildung des Signals bezüglich der Zeitvariablen t durch das System mit der linearen Abbildung durch das Integral bezüglich der Integrationsvariablen W vertauscht wird. y t

f

³ x W T ^G t W `dW

(2.124)

f

Ist das System zeitinvariant, so hängt das Ausgangssignal, die Reaktion, bis auf eine zeitliche Verschiebung aufgrund des Einschaltzeitpunktes, hier W, nicht vom Zeitpunkt der Erregung ab. Man erhält die zeitlich um W verschobene Impulsantwort. y t

f

³ x W h t W dW

(2.125)

f

Damit ist die gesuchte Eingangs-Ausgangsgleichung für den Zeitbereich gefunden. Man bezeichnet das Integral kurz als Faltung, oder Faltungsintegral, und schreibt mit dem Faltungsstern „ “ ebenso kurz x t h t

f

³

f

x W h t W dW

f

³ x t W h W dW

(2.126)

f

Die Faltung erhält ihren Namen daher, dass eine der Funktionen im Integranden mit negativer Integrationsvariablen vorkommt. Das entspricht einem „Umfalten“ (Spiegelung) der Funktion an der Ordinate. Die Faltung ist kommutativ, wie noch gezeigt wird. Zunächst verifizieren wir (2.126) durch Fouriertransformation und Vergleichen des Ergebnisses mit der Eingangs-Ausgangsgleichung im Frequenzbereich (2.93). Anmerkung: Die folgende Herleitung stellt ein typisches Beispiel für die Anwendung der Fouriertransformation und der Impulsfunktion in der Nachrichtentechnik dar. Die Anwendung beruht – abgesehen von einem gewissen Vertrautwerden mit den Zusammenhängen – auf einfachen Rechenregeln. Die Gültigkeit der Regeln wird stillschweigend vorausgesetzt, was durch die physikalischen Randbedingungen in den technischen Anwendungen motiviert und durch die Distributionentheorie mathematisch abgesichert wird.

66

2 Signale und Systeme

Vertauschen der Integrationsreihefolge, also der Zeitvariablen t der Fouriertransformation mit der Faltungsvariablen W, liefert nach einfacher Substitution der Variablen den Frequenzgang und den Faktor ejZW x t h t l

f

ª f

f

f

º

³ «¬ ³ x W h t W dW »¼ e

jZt

dt

ª f º jZt x W « ³ h t W e dt » dW ³f ¬ f ¼

f

(2.127)

H ( jZ )exp jZW

Anmerkung: Dieser Zusammenhang wird auch als Zeitverschiebungssatz der Fouriertransformation bezeichnet.

Da der Frequenzgang bezüglich der Integration nach W als konstant anzusehen ist, darf er vor das Integral gezogen werden und es verbleibt die Fouriertransformation des Eingangssignals. Damit ist gezeigt, dass die Fouriertransformation die Faltung zweier Funktionen im Zeitbereich im Frequenzbereich in das Produkt ihrer Fouriertransformierten überführt. Aus der Faltung des Eingangssignals mit der Impulsantwort wird das Produkt des Eingangsspektrums mit dem Frequenzgang.

x t h t l X jZ H jZ

(2.128)

Aus der Kommutativität des Produktes im Frequenzbereich darf auf die Kommutativität der Faltung im Zeitbereich geschlossen werden. Bild 2-41 stellt die Ergebnisse für die EingangsAusgangsgleichungen von LTI-Systemen im Zeit- und im Frequenzbereich zusammen. Zeitbereich

x(t)

h(t)

Frequenzbereich

X( j Z)

H( j Z)

y(t) = x(t) h(t) X( jZ) = X( jZ)H( j Z)

Bild 2-41 Eingangs-Ausgangsgleichungen für LTI-Systeme im Zeit- bzw. Frequenzbereich mit der Impulsantwort h(t) und dem Frequenzgang H( jZ)

Wichtige Eigenschaften von LTI-Systemen werden nachfolgend nochmals zusammengestellt. Die sinnvolle Wahl von Funktionen und Konstanten in den Definitionen wird vorausgesetzt. Linearität Sind zwei beliebigen Eingangssignalen x1(t) und x2(t) die Ausgangssignale y1(t) bzw. y2(t) zugeordnet, so folgt für lineare Systeme für jede Linearkombination mit beliebigen Konstanten c1 und c2 T ^ c1 x1 (t ) c2 x (t )

`

c1 y1 (t ) c2 y2 (t )

(2.129)

Diese Eigenschaft muss im erweiterten Sinne auch für konvergente Funktionenfolgen, wie Fourierreihen und Integrale, wie (2.123), gelten.

2.12 Charakterisierung von LTI-Systemen

67

Zeitinvarianz Ein System ist zeitinvariant, wenn für einen beliebigen Einschaltzeitpunkt t0 gilt T ^ x (t )`

y (t ) und T ^ x(t t0 )`

y (t t0 )

(2.130)

Kausalität Man beachte im Beispiel der Impulsantwort des RC-Tiefpasses, dass die Impulsantwort für t < 0 gleich null ist. Signale mit dieser Eigenschaft werden als rechtsseitige Signale bezeichnet. Ist die Impulsantwort eines Systems rechtsseitig, spricht man von einem kausalen System. In diesem Fall erfolgt die Reaktion zeitgleich mit oder erst nach der Erregung und steht somit im Einklang mit der physikalischen Erfahrung von Ursache und Wirkung. Ist das System kausal, so kann die Rechtsseitigkeit der Impulsantwort in den Grenzen des Faltungsintegrals berücksichtigt werden. t

f

f

0

³ x(W ) h(t W )dW ³ h(W ) x(t W )dW

y (t )

(2.131)

BIBO-Stabiliät Ein System mit absolut integrierbarer Impulsantwort f

³

h(t ) dt f

(2.132)

f

bezeichnet man als BIBO-stabil. BIBO steht für „Bounded Input – Bounded Output“ und bedeutet, dass für jedes amplitudenbeschränkte Eingangssignal | x(t) | d M auch das Ausgangssignal in seiner Amplitude beschränkt bleibt. f

³

y (t )

x(W ) h(t W )dW d

f

³

f

x(W ) h(t W ) dW d M ³ ³N

f

x(W ) h(t W ) dW d

f

f

d

f

(2.133) h(t W ) dW f

f

dM

Ist die Impulsantwort absolut integrierbar, existiert der Frequenzgang. Beispiel Faltung eines rechtsseitigen Rechteckimpulses mit sich selbst

In vielen Fällen lässt sich die Faltung auf grafischem Wege veranschaulichen. Hierzu betrachten wir das Beispiel zweier rechtsseitiger Rechteckimpulse x (t )

xT t T / 2

(2.134)

Anmerkung: In der Nachrichtenübertragungstechnik werden im Empfänger oft auf das Sendesignal angepasste Filter, sogenannte Matched-Filter, verwendet, um die Signale bei additiver Rauschstörung gut detektieren zu können. In Abschnitt 5 wird gezeigt, dass dann eine ähnliche Situation vorliegt wie hier im Beispiel.

68

2 Signale und Systeme

Die Faltung f

y (t )

x (t ) x (t )

³ x(W ) x(t W ) dW

(2.135)

f

lässt sich wie in Bild 2-42 gezeigt bestimmen: Für einen beliebigen aber fest vorgegebenen Wert t ist im Integranden das Produkt aus x(W) und xT(tW) zu bilden. Hierzu sind in Bild 2-42 die Signale x(W) und x(tW) für die Werte t = 0, T/2, T, 3T/2 und 2T gezeigt. Für t = 0 erhält man für x(W) wegen des Minuszeichens im Argument den an der Ordinate gespiegelten (umgefalteten) Rechteckimpuls. Die Spiegelung wird im Bild durch ein kleines Dreieck angedeutet. Für t = T/2 verschiebt sich der Rechteckimpuls um T/2 nach rechts, usw. Im Integrand ist das Produkt aus dem Rechteckimpuls und seiner gespiegelten und verschobenen Replik zu bilden. Da im Beispiel x(W) = 0 für W < 0 oder W > T gilt, werden vier Fälle unterschieden: (i)

t<0

Der Integrand ist für t < 0 identisch null, da sich x(W) und x(tW) nicht überlappen Demzufolge liefert die Faltung den Wert null, wie in der rechte Hälfte von Bild 2-42 gezeigt wird. x(W) 1 0 t=0

T/2 T

x(tW)

x(t ) x(t )

W

td0

T

0

W

t = T/2

T/2

T

t

t d T/2 t

W t dT

t=T

t

W t d 3T/2

t = 3T/2

t

W t = 2T

t d 2 T 0

T

W

T 0

T

2T t

Bild 2-42 Faltung eines kausalen Rechteckimpulses mit sich selbst

2.12 Charakterisierung von LTI-Systemen (ii)

69

0dt
Für wachsendes t schiebt sich der Rechteckimpuls x(tW) mehr und mehr unter den Rechteckimpuls x(W). Da es sich um Rechteckimpulse handelt, nimmt die vom Produkt der beiden Rechteckimpulse eingeschlossene Fläche linear zu. (iii)

T d t < 2T

Für t = T decken sich die Rechteckimpulse vollständig. Die Faltung liefert den Maximalwert. Anmerkung: Die Faltung eines reellen spiegelsymmetrischen Signals x(t) mit sich selbst liefert als Maximum die Energie des Signals (2.8).

Mit wachsendem t schiebt sich x(tW) aus dem Abszissenbereich des Rechteckimpulses x(W). Die von den beiden Rechteckimpulsen gemeinsam eingeschlossene Fläche nimmt linear ab. (iv)

2T d t

Für t t 2T ist der Integrand und damit das Ergebnis der Faltung identisch null. Das gesuchte Faltungsergebnis ist in Bild 2-42 unten rechts gezeigt. Es resultiert ein Dreieckimpuls mit der Breite 2T und der Höhe T. Beispiel Rechteckimpuls am RC-Tiefpass

Beispielhaft berechnen wir die Reaktion eines zunächst energiefreien RC-Tiefpasses bei Erregung mit einem rechteckförmigen Spannungsimpuls. Wegen der Kausalität der Impulsantwort (2.116) kann die Faltung in der Form (2.131) verwendet werden. § T· ua (t ) U q xT ¨ t ¸ hRC-TP (t ) 2¹ ©

Uq

W

t

T · t D W § xT ¨ D ¸ e d D 2¹ © f

³

(2.136)

Da auch das Eingangssignal kausal ist, kann die Systemantwort erst für t t 0 erfolgen.

T· § t 0 D 0 xT ¨ D ¸ 0 ua (t ) 0 2¹ ©

(2.137)

Das Integral (2.136) ist nur noch für t > 0 zu lösen. Wegen des Rechteckimpulses ist eine Fallunterscheidung notwendig. Für 0 < t < T liegt die Spannung Uq an und man erhält die Spannung an der Kapazität im Ladevorgang ua ( t )

t

Uq

W

³e

U q 1 e t W für 0 t T

t D W

dD f

(2.138)

t

W exp t W exp D W 0

Für t > T ist die Eingangsspannung null; die Kapazität entlädt sich. Aus (2.136) wird ua ( t )

Uq

W

T

³e

t D W

dD f

U q eT W 1 e t W für t ! T

T

W exp t W exp D W 0

Ausklammern der Exponentialfunktion liefert das bekannte Ergebnis (2.115).

(2.139)

70

2 Signale und Systeme

Man beachte auch die Stetigkeit der Spannung an der Kapazität für t = 0 und t = T. Da Kapazitäten und Induktivitäten Energiespeicher sind, können sich ihre Spannungen bzw. Ströme aus physikalischen Gründen nicht sprunghaft ändern. Die Ausnahme von dieser Regel ist die mathematische Idealisierung der impulsförmigen Erregung.

2.13

Zusammenfassung

In Tabelle 2-4 sind die wesentlichen Schritte von der Gleichstromrechnung zur Theorie der linearen zeitinvarianten Systeme zusammengestellt. Den Ausgangspunkt bilden die Gleichströme bzw. -spannungen als Signale in Widerstandsnetzen, siehe unten in der Tabelle. Die interessierenden Zweigströme und Zweigspannungen werden mit dem ohmschen Gesetz und den kirchhoffschen Regeln berechnet. Durch Kapazitäten und Induktivitäten wird die Betrachtung auf die RLC-Netze erweitert. Mit der komplexen Wechselstromrechnung lassen sich die Zweigströme und Zweigspannungen für sinusförmige Quellen angeben. RLC-Netzwerke sind ein Beispiel für lineare zeitinvariante Systeme. Deren Übertragungsverhalten kann vorteilhaft im Frequenzbereich durch den Frequenzgang beschrieben werden. Damit lassen sich insbesondere in Verbindung mit der Fouriertransformation die Systemreaktionen auch für nichtperiodische Signale bestimmen. Die Beschreibung der Signale und Systeme im Frequenzbereich liefert wichtige neue Einblicke, Konzepte und Kenngrößen, wie das Spektrum, das Filter, die Bandbreite und das Zeitdauer-Bandbreite-Produkt. Mit der Definition der Impulsfunktion als mathematische Idealisierung eines „sehr kurzen und energiereichen Signals“ und der allgemeinen Betrachtung der LTI-Eigenschaften, Linearität und Zeitinvarianz, wird die Impulsantwort als die wesentliche Systemfunktion eingeführt. Wichtige Systemeigenschaften, wie die Kausalität und die Stabilität, lassen sich an ihr erkennen. Mit der Faltung der Impulsantwort mit dem Eingangssignal erhält man die Eingangs-Ausgangsgleichung im Zeitbereich. Impulsantwort und Frequenzgang bilden ein Fourierpaar. Ausblick Die für die zeitkontinuierlichen Signale und Systeme am Beispiel der RLC-Netzwerke vorgestellten Begriffe und Zusammenhänge lassen sich in ihren Bedeutungen unverändert in das Zeitdiskrete übertragen. Für zeitdiskrete Signale kann ebenfalls die harmonische Analyse mit der Fouriertransformation vorgenommen werden. Die Begriffe Frequenzkomponenten, Spektrum, Bandbreite und Zeitdauer-Bandbreite-Produkt finden zeitdiskrete Entsprechungen. An die Stelle der Systembeschreibung mit Differenzialgleichungen treten Differenzengleichungen bei zeitdiskreten LTI-Systemen, die nur aus Addierern und Verzögerungsgliedern aufgebaut sind. Es existieren Impulsantworten und Frequenzgängen mit Eingangs-Ausgangsgleichungen im Zeit- und im Frequenzbereich, die denen in Tabelle 2-4 entsprechen. Die digitale Signalverarbeitung macht von diesen Analogien ausgiebig Gebrauch und hat die analoge Signalverarbeitung in vielen Anwendungen verdrängt. In Abschnitt 3 wird ein kurzer Blick auf die digitale Signalverarbeitung geworfen. Beispielhaft werden digitale Filter und die Kurzzeit-Spektralanalyse mit der FFT vorgestellt. Mit den hier und in Abschnitt 3 vorgestellten Begriffen und Zusammenhängen sind die Grundlagen für eine zügige Einarbeitung in die digitale Signalverarbeitung gelegt.

2.13 Zusammenfassung

71

Tabelle 2-4 Signale und Systeme von der Gleichstromlehre zur Theorie der LTI-Systeme Signale

Systeme

Aperiodische Quelle x(t)

Methoden

LTI-System mit Impulsantwort h(t)

Eingangs-Ausgangsgleichung

Kausalität Spektrum

X jZ

f

³ x t e

h(t ) jZt

dt

f

0 t 0

im Zeitbereich mit der Impulsantwort

BIBO-Stabilität

y (t )

f

³ h t dt f

h(t ) x(t )

f

Inverse Fouriertransformation

x (t )

1 2S

f

³

X jZ e jZt d Z

im Frequenzbereich mit dem Frequenzgang

Frequenzgang

H jZ

f

³ h t e

jZt

Periodische Quelle x(t) mit der Grundkreisfrequenz 0 f

x(t )

¦

k f

ck e jkZ0t

Wechselspannungsquelle

x(t)

LTI- y(t) System

H jZ X jZ

Eingangs-Ausgangsgleichung mit dem Frequenzgang und der Fourierreihe f

y(t )

¦ H jkZ0 ck e jkZ0t

k f

RLC-Netzwerk

uˆ cos(Zt M )

Widerstand R

Wechselstromquelle

Induktivität L

iq (t ) iˆ cos(Zt M )

Kapazität C

Gleichspannungsquelle Uq

Widerstandsnetzwerk

Gleichstromquelle Iq

Widerstand R

uq (t )

Y jZ

dt

f

f

Komplexe Wechselstromrechnung mit erweitertem ohmschen Gesetz und den kirchhoffschen Regeln für komplexe Amplituden Gleichstromrechnung mit dem ohmschen Gesetz und den kirchhoffschen Regeln

72

2 Signale und Systeme

2.14

Aufgaben zu Abschnitt 2

Aufgabe 2.1

Ordnen Sie durch Ankreuzen in der Tabelle A2.1-1 richtig zu. Wertkontinuierlich

Wertdiskret

Tabelle A2.1-1

Zeitkontinuierlich

Zeitdiskret

Analoges Signal Digitales Signal Abtastfolge Binäres Basisbandsignal1 1

Z. B. wie bei der RS-232-Schnittstelle.

Aufgabe 2.2

Betrachtet wird die RC-Schaltung in Bild A2.2-1. a) Geben Sie den Frequenzgang analytisch an. Verwenden Sie die Zeitkonstante W = RC / 2. b) Bestimmen Sie den Frequenzgang der Dämpfung im logarithmischen Maß. c) Skizzieren Sie den Frequenzgang der Dämpfung im logarithmischen Maß und tragen Sie in die Grafik die Dämpfung bei der 3dBGrenzfrequenz ein. Ausgang Eingang Hinweis: Wählen Sie eine geeignete Einteilung der Frequenzachse. d) Um welche Art von Frequenzgang handelt es sich?

R

ue(t)

ua(t)

R

e) Berechnen Sie die 3dB-Grenzfrequenz für R = 50 : und C = 796 nF.

C

Bild A2.2-1 RC-Schaltung

Aufgabe 2.3

Skizzieren Sie das Amplitudenspektrum, d. h. den Betrag der Fourierkoeffizienten in einseitiger Form, der in Bild A2.3-1 gezeigten periodischen Sägezahnschwingung mit der Fourierreihe x(t )

1 1 f sin kZ0t ¦ 2 S k1 k

x(t) 1 t 0

T0

Bild A2.3-1 Periodische Sägezahnschwingung

Hinweise: ck = (ak jbk) / 2, ck = ck* und 1/S | 0,32

2.14 Aufgaben zu Abschnitt 2

73

Aufgabe 2.4

Die periodische Sägezahnschwingung in Bild A2.3-1 erregt das System mit idealem Bandpassverhalten in Bild A2.4-1. Die Periode des Signals ist T0 = 1 ms.

x(t)

BP

y(t)

fgu = 300 Hz

a) Geben Sie die Reaktion am Ausgang des Systems im eingeschwungenen Zustand an.

fgo = 4,3 kHz

b) Skizzieren sie das Amplitudenspektrum (einseitiges Betragsspektrum) des Ausgangssignals.

Bild A2.4-1 Bandpass

Aufgabe 2.5

a) Erklären Sie den Begriff des Spektrums. b) Warum ist die harmonische Analyse im Zusammenhang mit elektrischen RLC-Netzwerken wichtig? c) Welche Bedeutung hat die parsevalsche Gleichung? d) Erklären Sie den Begriff der Bandbreite. e) Welche Eigenschaft muss ein Signal haben, damit ein Linienspektrum entsteht? f) In welchem Zusammenhang stehen die Bandbreite und die zeitliche Dauer eines Signals? Aufgabe 2.6

Skizzieren Sie das Toleranzschema zum Entwurf eines Tiefpasses. Tragen Sie alle relevanten Parameter ein und benennen Sie die Parameter und die Bereiche des Toleranzschemas. Aufgabe 2.7

Eine Signalanalyse ergibt die näherungsweise Darstellung u(t) | 2 V cos(Z0t) + 0,1 V cos(2Z0t) 0,04 V cos(3Z0t) Berechnen Sie den Klirrfaktor. Geben Sie den Wert in Prozent an. Aufgabe 2.8

Geben Sie von der RC-Schaltung in Bild A2.8-1 mit R = 100 : und C = 796 nF aus. a) Geben Sie den Frequenzgang analytisch an. Verwenden Sie dabei die Zeitkonstante W = 2RC.

Ausgang

Eingang

ue(t)

R

C R

b) Geben Sie den Frequenzgang der Dämpfung in dB an. c) Skizzieren Sie den Frequenzgang der Dämpfung in dB und tragen Sie in die Grafik den Wert der Dämpfung bei der 3dB-Grenzfrequenz ein. d) Um welche Art von Frequenzgang handelt es sich? e) Berechnen Sie die 3dB-Grenzfrequenz.

Bild A2.8-1 RC-Schaltung

ua(t)

74

2 Signale und Systeme

Aufgabe 2.9

a) Skizzieren Sie einen Rechteckimpuls x(t) = A für t [T, T] und 0 sonst. b) Geben Sie die Fouriertransformierte zu x(t) analytisch an. c) Skizzieren Sie das Spektrum zu x(t). d) Geben Sie die Frequenz der ersten Nullstelle im Spektrum für f > 0 an. Aufgabe 2.10

Berechnen Sie zu der in Bild A2.10-1 gezeigten Schaltung a) den Frequenzgang und

L

ue(t)

b) den Frequenzgang der Dämpfung in dB. c) Skizzieren Sie den Frequenzgang der Dämpfung in dB und tragen Sie den 3dB-Punkt ein.

R

ua(t)

Bild A2.10-1 LR-Schaltung

d) Um welche Art von Frequenzgang handelt es sich? e) Dimensionieren Sie für R = 50 : die Induktivität derart, dass die 3dB-Grenzfrequenz 10 kHz beträgt. Aufgabe 2.11

Ergänzen Sie in Bild A2.11-1 für T1 = 2T2 die beiden fehlenden Teilbilder. Beachten Sie die Achsenskalierungen. Frequenzbereich

Zeitbereich

1/T1 t

f

A t

f

T2 Bild A2.11-1 Illustration zum Zeitdauer-Bandbreite-Produkt

Aufgabe 2.12

a) Welche grundlegenden Eigenschaften charakterisieren ein LTI-System? b) Was bedeutet es, wenn ein System linear ist? c) Nennen Sie die beiden (System-)Funktionen mit denen das Übertragungsverhalten eines LTI-Systems beschrieben wird. In welchem Zusammenhang stehen die beiden Funktionen? d) Wie wird bei einem LTI-System das Eingangssignal auf das Ausgangssignal abgebildet?

2.14 Aufgaben zu Abschnitt 2

75

e) Wie hängt bei einem LTI-System das Ausgangsspektrum mit dem Eingangsspektrum zusammen? f) Welche Bedeutung hat der Frequenzgang bei sinusförmiger Erregung eines LTI-Systems? g) Wann ist eine Übertragung verzerrungsfrei? Aufgabe 2.13

a) Was versteht man unter der Impulsfunktion? Wie kann man sich deren Wirkung anschaulich erklären? b) Was versteht man unter der Ausblendeigenschaft der Impulsfunktion? c) Welche Funktion ergibt sich aus der Faltung zweier identischer Rechteckimpulse? Aufgabe 2.14

In Bild A2.14-1 wird das Basisbandsignal x(t) auf das System mit der Impulsantwort h(t) gegeben. Skizzieren Sie das Ausgangssignal y(t). Hinweis: keine Rechnung. x(t) x(t)

1 0 1

3

6

y(t)

h(t) 1

t/T

t

0

T

Bild A2.14-1 Filterung eines Basisbandsignals

Aufgabe 2.15

Bild A2.15-1 zeigt einen typischen Betragsfrequenzgang eines Filters. a) Um welche Art von Frequenzgang handelt es sich? b) Geben Sie die Sperrfrequenzen an und bestimmen sie die Sperrtoleranzen im linearen Maß. Magnitude Response (dB) 0

Magnitude (dB)

-10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 0

2

4

6

8

10

12

Frequency (kHz)

Bild A2.15-1 Betragsfrequenzgang

14

76

3

Pulse-Code-Modulation, digitale Signalverarbeitung und Audiocodierung

Die Pulse-Code-Modulation (PCM) ist das Standardverfahren zur Digitalisierung von Sprachsignalen in der Telefonie. Das Prinzip der digitalen Übertragung von Sprache wurde von A. H. Reeves1 1938 erstmals patentiert und es dauerte nochmals etwa 25 Jahre bis es kommerziell eingesetzt werden konnte. Die Grundlagen liefern Überlegungen zum Abtasttheorem und zur Quantisierung. Die wirtschaftlichen Voraussetzungen für den Einsatz von PCM in der Telefonie ist das ISDN (Integrated Services Digital Network) und umgekehrt. Durch die Digitalisierung fügt sich die Sprachübertragung ins ISDN ein. Früher nach Daten- und Sprachkommunikation getrennte Netze können nun kostengünstiger auf einer gemeinsamen Systemplattform realisiert werden. Als logischer nächster Schritt folgt die Telefonie über das Internet, Voice over Internet Protocol (VoIP) genannt, und die komprimierende Audiocodierung, wie die bekannte MP3Codierung. Zu Beginn dieses Abschnitts werden die Schritte vom analogen zum digitalen Signal vorgestellt. Das Abtasttheorem und die Quantisierung werden behandelt. Von besonderem Interesse ist die Digitalisierung der Sprache in der Telefonie. Es wird die Frage gestellt und beantwortet, welche Bitrate zur Übertragung eines Telefonsprachsignals notwendig ist. Die Digitalisierung von Sprach- und Audiosignalen und von Bildern ermöglicht im Verbund mit den heute verfügbaren, leistungsfähigen Mikroprozessoren Anwendungen der digitalen Signalverarbeitung, die mit dem Begriff Multimedia umschrieben werden. Eine Darstellung der Multimediatechnik würde den hier abgesteckten Rahmen sprengen, jedoch sollen mit einer kurzen Vorstellung der schnellen Fouriertransformation und der digitalen Filter Grundlagen gelegt werden. Abgerundet wird das Thema durch einen Blick auf die Audiocodierung nach dem Standard MPEG-1 Layer III.

3.1

Digitalisierung analoger Signale

Die prinzipiellen Verarbeitungsschritte zur Digitalisierung eines analogen Basisbandsignals zeigt Bild 3-1. Der erste Schritt, die Tiefpassfilterung mit der Grenzfrequenz fg, kann unterbleiben, wenn das Eingangssignal bereits passend bandbegrenzt ist. Die eigentliche Digitalisierung geschieht in drei Schritten: der zeitlichen und der wertmäßigen Diskretisierung und der Codierung. Zunächst werden bei der zeitlichen Diskretisierung, auch (ideale) Abtastung genannt, jeweils alle Abtastzeitpunkte t = nTA Momentanwerte aus dem analogen Signal , die Abtastwerte x[n] = x(nTA), entnommen. Die zeitdiskrete Abtastfolge x[n] besitzt wertkontinuierliche Amplituden. Bei der Quantisierung werden den Amplituden über die Quantisierungskennlinie Werte aus einem diskreten Zeichenvorrat zugewiesen, sodass das digitale Signal [x[n]]Q entsteht. Im 1

Alec H. Reeves: 1902, †1971, britischer Ingenieur.

M. Werner, Nachrichtentechnik, DOI 10.1007/978-3-8348-9742-8_3, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010

3.2 Abtasttheorem

77

Encoder wird das digitale Signal gemäß einer Codetabelle für die diskreten Amplituden in die Bitfolge bn, auch Bitstrom genannt, umgesetzt.

analoger Tiefpass

fg

x(t)

Abtastung

x[n]

Quantisierung

[ x[n] ]Q

bn

Encoder

zeitdiskretes digitales Bitfolge Signal Signal QuantisierungsCodetabelle fA kennlinie Abtastfrequenz

bandbegrenztes analoges Signal

Grenzfrequenz

Bild 3-1 Vom analogen Signal x(t) zum Bitstrom bn

3.2

Abtasttheorem

Eine sinnvolle zeitliche Diskretisierung liegt vor, wenn das zeitkontinuierliche Signal durch die Abtastfolge gut wiedergegeben wird. Bild 3-2 veranschaulicht beispielhaft, dass ein Signal ausreichend dicht abgetastet werden muss, damit es aus der Abtastfolge durch eine lineare Interpolation hinreichend genau wieder gewonnen werden kann. Diese grundsätzlichen Überlegungen werden im Abtasttheorem präzisiert.

Abtastwert x(t)

0 x(t)

1

Lineare Interpolation Original

2

3

t / TA1

Abtastwert

Anmerkung: Der mathematische Grundgedanke 0 2 4 6 8 10 12 des Abtasttheorems lässt sich auf J. L. Lagrange t / TA2 zurückführen. Ausführliche mathematische DarBild 3-2 Abtastung und (lineare) Interpolation stellungen lieferten J. Whittaker (1915) und E. T. Whittaker (1935). Wichtige Beiträge zu technischen Anwendungen der Abtastung stammen aus der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts: H. Nyquist (1928), V. A. Kotelnikov (1933), A. Raabe (1939) [Bro09], [Lük99]. In der Literatur wird von der Nyquist-Abtastung (Nyquist Sampling), der Nyquist-Abtastrate (Nyquist (sampling) rate) und dem WKSAbtasttheorem gesprochen. Durch C. E. Shannon wurde 1948 das Abtasttheorem einem größeren Kreis bekannt, weshalb gelegentlich auch die Bezeichnung Shannon-Abtasttheorem zu finden ist.

Abtasttheorem (i) Eine Funktion x(t), deren Spektrum für | f | t fg null ist, wird durch die Abtastwerte x(t = nTA) vollständig beschrieben, wenn das Abtastintervall TA bzw. die Abtastfrequenz fA so gewählt wird, dass

TA

1 1 d f A 2 fg

(3.1)

78

3 Pulse-Code-Modulation, digitale Signalverarbeitung und Audiocodierung

(ii) Die Funktion kann dann durch die si-Interpolation fehlerfrei rekonstruiert werden. f

x(t )

¦ x nTA si fAS >t nTA @

(3.2)

n f

Anmerkung: (i) Man beachte im Abtasttheorem die Definition der Grenzfrequenz fg, die eine Spektralkomponente bei eben dieser Frequenz im abgetasteten Signal ausschließt. (ii) Mathematisch gesehen handelt es sich bei der si-Interpolation in (3.2) um eine orthogonale Reihendarstellung ähnlich der Fourierreihe in (2.30), wobei die Abtastwerte die Rolle der Entwicklungskoeffizienten übernehmen.

Die Wirkung der si-Interpolation zeigt Bild 3-4. Die zur Interpolation verwendeten si-Impulse entsprechen im Frequenzbereich einem idealen Tiefpass mit der Grenzfrequenz fg. Eine Interpolation mit einem idealen Tiefpass liefert wieder das ursprüngliche zeitkontinuierliche Signal. Die praktische Anwendung des Abtasttheorems geschieht in Analog-Digital- und Digital-Analog-Umsetzern.

x[n] si-Funktion

x[n+1]

Abtastwerte x(t)

t / TA Die Forderung nach strikter Bandbegrenzung (3.1) n n+1 wird in Bild 3-4 anhand zweier Kosinussignale mit Bild 3-3 si-Interpolation den Frequenzen f1 = 1 kHz und f2 = 7 kHz veranschaulicht. Bei der Abtastfrequenz fA = 8 kHz erhält man in beiden Fällen die gleichen Abtastwerte. Offensichtlich tritt eine Mehrdeutigkeit auf, die nur durch die Bandbegrenzung des zeitkontinuierlichen Signals aufgelöst werden kann. x2(t)

x[0]

x(t) 1

x[8]

x[2]

x[10]

0

t / TA

x[6]

1 0

2

x[4] 4 x1(t)

6

8

10

Bild 3-4 Mehrdeutigkeit der Abtastung zweier Kosinussignale x1(t) und x2(t) mit den Frequenzen f1 = 1 kHz bzw. f2 = 7 kHz bei einer Abtastfrequenz von fA = 8 kHz

Eine wichtige Anwendung der Abtastung findet sich in der Telefonie mit der auf 300 Hz bis 3,4 kHz bandbegrenzten Telefonsprache. Nach (3.1) ist eine Abtastfrequenz von mindestens 6,8 kHz erforderlich. Tatsächlich wird mit 8 kHz das Signal überabgetastet, um bei der Übertragung mit der Trägerfrequenztechnik einfachere Filter mit geringerer Flankensteilheit verwenden zu können. Aufnahmen für die Audio-CD erfassen den Frequenzbereich von etwa 20 Hz bis 20 kHz bei einer Abtastfrequenz von 44,1 kHz. Darüber hinaus sind der Audiotechnik auch die Abtastfrequenzen von 48 und 96 kHz gebräuchlich; und in der Videotechnik wird beispielsweise das Luminanzsignal mit der Helligkeitsinformation mit 13,5 MHz abgetastet.

3.3 Quantisierung

3.3

79

Quantisierung

Das Prinzip der Digitalisierung wird anhand des Beispiels in Bild 3-5 erläutert. Das analoge Signal x(t) sei auf den Quantisierungsbereich [1, 1] begrenzt. Falls nicht, wird das Signal mit seinem Betragsmaximum normiert. Im Weiteren wird stets von einem Quantisierungsbereich von 1 bis +1 ausgegangen. Die Amplituden der Abtastwerte sollen mit je 3 Bits dargestellt werden. Man spricht dann von einer Wortlänge von 3 Bits und schreibt kurz w = 3. Mit 3 Bits können genau 23 = 8 Quantisierungsintervalle oder Quantisierungsstufen unterschieden werden. Anmerkung: Die Wortlänge kann alternativ auch mit der Pseudoeinheit bit für binary digit eingeführt werden, z. B. w = 3 bit.

Bei der gleichförmigen Quantisierung teilt man den Quantisierungsbereich in 2w Intervalle mit der Quantisierungsintervallbreite oder Quantisierungsstufenhöhe.

Q

w1 2

(3.3)

Im Beispiel ergibt sich Q = 1/4. Dementsprechend ist die Ordinate in Bild 3-5 in 8 gleichgroße Intervalle eingeteilt. Den Quantisierungsintervallen werden eindeutige Codenummer zugewiesen. Im Beispiel sind das die Nummern 0 bis 7. 1

x[n]

1/2 x(t) 0 1/2 1

0

TA

5

7

111

6

110

5

101

4

100

3

011

2

010

1

001

0

000

t / TA 10

Bild 3-5 Gleichförmige Quantisierung mit 3 Bit Wortlänge: Analoges Signal x(t), Abtastwerte x[n], Codenummern 0 bis 7 und Codetabelle 000 bis 111

Jetzt kann die Quantisierung für jeden Abtastwert durchgeführt werden. Im Bild sind dazu entsprechend dem vorgegebenen Abtastintervall TA die Abtastwerte als Kreise markiert. Zu jedem Abtastwert bestimmt man das Quantisierungsintervall und ordnet die entsprechende Codenummer zu. Im Beispiel des Abtastwertes für t = 9TA ist das die Codenummer 6. Jeder Codenummer wird bei der späteren Digital-Analog-Umsetzung genau ein diskreter Amplitudenwert, der Repräsentant, zugeordnet. Bei der gleichförmigen Quantisierung liegt dieser in der Intervallmitte, sodass der Abstand zwischen Abtastwert und Repräsentant die halbe Quantisierungsintervallbreite nicht überschreitet, siehe Bild 3-6. Die Repräsentanten sind im Bild als Quadrate kenntlich gemacht. Es ergibt sich eine interpolierende Treppenkurve, die meist durch einen nachfolgenden Tiefpass noch geglättet wird.

80

3 Pulse-Code-Modulation, digitale Signalverarbeitung und Audiocodierung

111

7

110

6

101

5

100

4

011

3

010

2

001

1

000

0

1 Repräsentanten x(t)

1/2

x[n] 0 interpolierende Treppenkurve

1/2 1

0

TA

10

5

t / TA

Bild 3-6 Rekonstruktion eines analogen Signals durch die interpolierende Treppenkurve

Entsprechend der Codetabelle werden die Codenummern zur binären Übertragung in ein Codewort umgewertet. Im Beispiel werden die Codenummern von 0 bis 7 nach dem BCD-Code (binary coded decimal) durch die Codeworte 000 bis 111 ersetzt. Es kann der zugehörige Bitstrom abgelesen werden. bn = {011,100,100,011,011,100,101,110,110,110,101,…} Die Art der Quantisierung beschreibt die Quantisierungskennlinie. Letztere definiert die Abbildung der kontinuierlichen Abtastwerte auf die zur Signalrekonstruktion verwendeten Repräsentanten. Die dem Beispiel zugrunde liegende Quantisierungskennlinie ist in Bild 3-7 links angegeben. [x]Q

[x]Q Sättigungskennlinie

7/8

3/4

Repräsentant 5/8

1/2

3/8 1/8 1

1/4 0

x 1/8 3/8 5/8 7/8

1

Q

1

x 1/4 Q

1

1/2 3/4 1

Bild 3-7 Quantisierungskennlinie der gleichförmigen Quantisierung mit w = 3 (links mit Sprung bei 0 und rechts mit der Darstellung von 0)

3.4 Quantisierungsgeräusch

81

An der linken Quantisierungskennlinie lassen sich die beiden grundsätzlichen Probleme der Quantisierung erkennen: Eine Übersteuerung tritt auf, wenn das Eingangssignal außerhalb des vorgesehenen Aussteuerungsbereichs liegt. In der Regel tritt dann die Sättigung ein und es wird der Maximalwert bzw. der Minimalwert ausgegeben (Sättigungskennlinie). Eine Untersteuerung liegt vor, wenn das Eingangssignal (fast) immer viel kleiner als der Aussteuerungsbereich ist. Im Extremfall entsteht granulares Rauschen bei dem das quantisierte Signal scheinbar regellos zwischen den beiden Repräsentanten um den Wert null herum wechselt. Bei der Quantisierung ist auf die richtige Aussteuerung des Eingangssignals zu achten. Übersteuerungen und Untersteuerungen sind zu vermeiden. In der digitalen Signalverarbeitung sind auch andere Quantisierungskennlinien gebräuchlich. Bild 3-7 rechts zeigt die Kennlinie der Quantisierung im 2er-Komplement-Format. Der Wert 0 wird explizit dargestellt. Beim Einsatz von Festkommasignalprozessoren wird meist das 2erKomplement-Format bei einer Wortlänge von 16, 24 oder 32 Bits verwendet. Es werden die Zahlen im Bereich von 1 bis +1 dargestellt. w1

x

a0 20 ¦ ai 2i

mit ai{0,1} und 1d x d 1 2-w+1

(3.4)

i 1

Die negativen Zahlen berechnen sich vorteilhaft durch Komplementbildung und Addition eines Bits mit geringster Wertigkeit, dem LSB (Least Significant Bit). x

w1

a0 20 ¦ ai 2i 2 w1 mit ai{0,1} und 1d x d 1 2-w+1

(3.5)

i 1

Beispiel Zahlendarstellung im 2er-Komplement-Format mit der Wortlänge von 8 Bits

22 + 24 + 26 = 0,328125d = 0010 10102c 0,328125d = 1101 01102c Anmerkungen: (i) Das 2er-Komplement-Format beinhaltet die Zahl 1. Oft wird jedoch aus Symmetriegründen auf sie verzichtet. (ii) Das 2er-Komplement-Format ermöglicht relativ einfache Schaltungen zur Addition von positiven und negativen Zahlen. (iii) Bei aufwendigeren Signalprozessoren und auf PCs kommt häufig das Gleitkommaformat nach IEEE 754-1985 zum Einsatz. Das Gleitkommaformat besteht aus Exponent und Mantisse, sodass ein größerer Zahlenbereich dargestellt werden kann.

3.4

Quantisierungsgeräusch

Aus den Repräsentanten kann das ursprüngliche Signal bis auf künstliche Spezialfälle nicht mehr fehlerfrei rekonstruiert werden. Wie im Beispiel deutlich wurde, wird der Quantisierungsfehler durch die Wortlänge kontrolliert. Je größer die Wortlänge, desto kleiner ist der Quantisierungsfehler. Mit wachsender Wortlänge nimmt jedoch auch die Zahl der zu übertra-

82

3 Pulse-Code-Modulation, digitale Signalverarbeitung und Audiocodierung

genden bzw. zu speichernden Bits zu. Je nach Anwendung ist jeweils zwischen der Qualität und dem Aufwand abzuwägen. Für die PCM in der Telefonie soll nun beispielhaft die Frage beantwortet werden: Wie viele Bits werden zur Darstellung eines Abtastwertes benötigt? Um die Frage zu beantworten, muss zunächst die Qualität quantitativ messbar sein. Dazu verwendet man das Modell der additiven Störung mit dem Quantisierungsgeräusch in Bild 3-8. Anmerkungen: (i) Der Einfachheit halber werden zeitkontinuierliche Signale betrachtet, da die entsprechenden Zusammenhänge der digitalen Signalverarbeitung nicht als bekannt vorausgesetzt werden. Dies ist auch ohne Komplikationen möglich, weil die Quantisierung für jeden Momentanwert und damit auch für jeden Abtastwert unabhängig von der Zeit gilt. (ii) Von der Telefonie und Audiotechnik her kommend wird traditionell vom (Quantisierungs-) Geräusch gesprochen, da bei geringer Wortlänge die Quantisierungsfehler hörbar sind. Bei der Digitalisierung von Bildern, z. B. durch eine Digitalkamera, spricht man entsprechend vom (Quantisierungs-)Bildrauschen.

Eingangssignal

quantisiertes Signal

x(t) Fehlersignal '(t)

[x(t)]Q

> x(t)@Q x(t)

Bild 3-8 Ersatzmodell für die gleichförmige Quantisierung mit Fehlersignal '(t)

Ein übersichtliches Beispiel liefert die Quantisierung des periodischen dreieckförmigen Signals x(t) in Bild 3-9. Im unteren Bild ist das entstehende Fehlersignal '(t), das Quantisierungsgeräusch, aufgetragen. Betrachtet man den Zeitpunkt t = 0, so ist x(0) = 0 und [x(0)]Q = Q / 2. Mit wachsender Zeit steigt das Eingangssignal zunächst linear an und nähert sich dem Wert des Repräsentanten. Der Fehler wird kleiner und ist für t = T0 / 16 gleich 0. Danach ist das Eingangssignal größer als der zugewiesene Repräsentant. Das Fehlersignal ist negativ, bis das Quantisierungsintervall wechselt. Beim Übergang in das neue Quantisierungsintervall springt das Fehlersignal von Q / 2 auf Q / 2. Entsprechendes kann für die anderen Signalabschnitte überlegt werden.

Quantisierung

1

x(t) [x(t)]Q

1/2

1/2

t / T0

1 Q/2

'(t) = [x(t)]Q x(t) 1/

1/2

t / T0

Q/2 Bild 3-9 Quantisierung eines periodischen dreieckförmigen Signals (oben) und das dabei entstehende Fehlersignal '(t) (unten)

Das vorgestellte einfache Modell ermöglicht, die Qualität der Quantisierung quantitativ zu erfassen. Als Qualitätsmaß wird das Verhältnis der Leistungen des Eingangssignals und des Quantisierungsgeräusches, das SignalQuantisierungsgeräusch-Verhältnis, kurz SNR (Signal-to-noise ratio), zugrunde gelegt. Im Beispiel ergibt sich für das normierte Signal bei Vollaussteuerung die mittlere Signalleistung (2.9)

3.4 Quantisierungsgeräusch

83 T

S

2 1 0 ³ x t dt T0 0

2 T0

T0 2

³ 0

§ t ¨ © T0

2

· ¸ dt 2¹

1 3

(3.6)

Die mittlere Leistung des Quantisierungsgeräusches N kann ebenso berechnet werden. Das Fehlersignal ist wie das Eingangssignal abschnittsweise linear, siehe Bild 3-9. Nur dessen Werte sind auf das Intervall [Q/2, Q/2[ beschränkt. Die mittlere Leistung ist demnach N

1 Q2 3 4

Q2 12

(3.7)

13

22 w

(3.8)

Für das SNR im Beispiel folgt S N

Q 2 12

wobei die Quantisierungsintervallbreite durch die Wortlänge (3.3) ersetzt wurde. Im logarithmischen Maß resultiert das SNR

§S· 10 log10 22 w dB = 20 w log10 2 dB | 6 w dB ¨ ¸ N © ¹dB

(3.9)

Das SNR verbessert sich um etwa 6 dB pro Bit Wortlänge. Im Allgemeinen hängt das SNR von der Art des Signals ab. Ein periodischer Rechteckimpulszug, der zwischen zwei Repräsentanten wechselt, wird fehlerfrei quantisiert. Einem Sinussignal wird wiederum ein anderes Fehlersignal zugeordnet. Während das SNR für derartige deterministische Signale prinzipiell wie oben berechnet werden kann, wird für stochastische Signale, wie die Telefonsprache, die Verteilung der Signalamplituden zur Berechnung des SNR benötigt. Anmerkung: Eine einfache Approximation für die Verteilung der Sprachsignalamplituden liefert die zweiseitige Exponentialverteilung. Bei vorgegebener Verteilung, z. B. durch eine Messung bestimmt, und Wortlänge kann die Lage der Quantisierungsintervalle und Repräsentanten so bestimmt werden, dass das SNR maximiert wird. Derartige Quantisierer sind in der Literatur unter den Bezeichnungen OptimalQuantisierer und Max-Lloyd-Quantisierer zu finden.

Das für spezielle Modellannahmen gefundene Ergebnis liefert jedoch eine brauchbare Näherung für die weiteren Überlegungen. 6dB-pro-Bit-Regel Für eine symmetrische gleichförmige Quantisierung mit hinreichender Wortlänge w in Bits und Vollaussteuerung gilt für das SNR §S· ¨ ¸ | 6 w dB © N ¹dB

(3.10)

Eine hinreichende Wortlänge liegt erfahrungsgemäß vor, wenn das Signal typisch mehrere Quantisierungsintervalle durchläuft.

84

3 Pulse-Code-Modulation, digitale Signalverarbeitung und Audiocodierung

Den Einfluss einer ungenügenden Aussteuerung schätzt man schnell ab. Halbiert man die Aussteuerung, reduziert sich die Signalleistung um 6 dB und die effektive Wortlänge um 1 Bit. Nur noch die Hälfte der Quantisierungsintervalle wird tatsächlich benützt. Anmerkung: Die Frage der Genauigkeit der Quantisierung relativiert sich vor dem Hintergrund der prinzipiell begrenzten Messgenauigkeit physikalischer Größen, wie bei der Spannungsmessung mit einem Voltmeter einer bestimmten Güteklasse. Geht man weiter davon aus, dass dem zu quantisierenden analogen Signal eine, wenn auch kleine, Störung überlagert ist, so ist auch nur eine entsprechend begrenzte Darstellung der Abtastwerte erforderlich.

3.5

PCM in der Telefonie

Nachdem der Einfluss der Quantisierung auf die Übertragungsqualität durch Berechnen und Messen des Signal-Quantisierungsgeräusch-Verhältnisses abgeschätzt werden kann, wird die ursprüngliche Frage wieder aufgegriffen: Wie viele Bits werden in der Telefonie zur Darstellung eines Abtastwertes benötigt?

3.5.1

Abschätzung der Wortlänge

Zunächst ist der Zusammenhang zwischen der Rechen- und Messgröße SNR und der Qualität des Höreindrucks herzustellen. Dazu wurden im Rahmen der weltweiten Standardisierung umfangreiche Hörtests vorgenommen. Wesentlich für die Qualität bei üblicher Nutzung sind das SNR und die Dynamik: Das Verhältnis von Störsignalamplitude zu Nutzsignalamplitude soll 5 % nicht überschreiten. Für das SNR heißt das 2

§ 1 · §S· ¨ ¸ t 10 log10 ¨ ¸ dB | 26 dB N © ¹dB © 0, 05 ¹

(3.11)

Die Übertragungsqualität von 26 dB soll auch bei „leisen Sprechern“, also über einen hinreichend großen Aussteuerungsbereich gewährleistet sein. Insbesondere ist die Signaldämpfung auf bis zu einigen Kilometern langen Teilnehmeranschlussleitungen zu berücksichtigen. Eine Dynamikreserve von 40 dB ist deshalb vorzusehen. Anmerkungen: (i) Siehe auch das nach E. H. Weber ( 1795, †1878) und G. Th. Fechner ( 1801, †1887) benannte Weber-Fechner-Gesetz, nach dem die Intensität einer Empfindung dem Logarithmus des Reizes proportional ist. (ii) Findet die Digitalisierung erst in der Ortsvermittlungsstelle statt, z. B. bei der analogen Anschlusstechnik, so werden den A/D-Umsetzern je nach Zuleitungslänge stark unterschiedlich ausgesteuerte Signale angeboten. Die Dynamikreserve von 40 dB entspricht einer Anschlusslänge von 4,2 km bei einer Leitung mit Aderndurchmesser von 0,4 mm und 8 bis 10,2 km bei 0,6 mm, [KaKö99] und [Loc02].

Die Überlegungen zum SNR und der Dynamik sind in Bild 3-10 zusammengefasst. Aufgetragen ist das SNR über der Signalleistung S jeweils in dB. An der unteren Grenze des Aussteuerungsbereiches, bei 40 dB, wird ein SNR von 26 dB gefordert. Am oberen Rand der Aussteuerung, d. h. Vollaussteuerung bei 0 dB, ist die Signalleistung um 40 dB größer. Da im Sinne der Abschätzung (3.10) die Leistung des Quantisierungsgeräusches nur von der Quantisierungsintervallbreite abhängt, ändert sich diese nicht. Die 40 dB mehr an Signalleistung gehen

3.5 PCM in der Telefonie

85

vollständig in das SNR ein. Man erhält 66 dB bei Vollaussteuerung. Mit der 6dB-pro-Bit-Regel (3.10) findet man als notwendige Wortlänge 11 Bits. In der Telefonie mit der Abtastfrequenz 8 kHz resultiert aus der Wortlänge 11 Bits eine Bitrate von 88 kbit/s. Tatsächlich verwendet werden 64 kbit/s. Um dies ohne hörbaren Qualitätsverlust zu bewerkstelligen, wird in der Telefonie die gleichförmige Quantisierung durch eine Kompandierung ergänzt.

3.5.2

66 w = 11

SNR in dB 26

Dynamikbereich 50

40

30 20 S in dB

10

0

Bild 3-10 SNR in Abhängigkeit von der Signalleistung S bei der Wortlänge von 11 Bits

Kompandierung

Den Anstoß zur Kompandierung liefert die Erfahrung, dass die Qualität des Höreindrucks von der relativen Lautstärke der Störung abhängt. Je größer die Lautstärke des Nachrichtensignals, umso größer darf die Lautstärke der Störung sein. Anmerkung: (i) Dieser Effekt wird Verdeckungseffekt genannt. Er bildet eine wichtige Grundlage der modernen Audiocodierung wie beispielsweise die MPEG-Audiocodierung, siehe Abschnitt 3.8. (ii) Vgl. auch stevenssche Potenzfunktion für die Sinneswahrnehmung, S. S. Stevenson ( 1906, †1973).

Diese Erfahrung und die Beobachtung in Bild 3-10, dass das SNR bei der Quantisierung mit 11 Bits bei guter Aussteuerung die geforderten 26 dB weit übersteigt, motivieren dazu, eine ungleichförmige Quantisierung vorzunehmen: Betragsmäßig große Signalwerte werden durch relativ große Quantisierungsintervalle gröber dargestellt als betragsmäßig kleine Signalwerte. Eine solche ungleichförmige Quantisierung lässt sich mit der in Bild 3-11 gezeigten Kombination aus einer nichtlinearen Abbildung und einer gleichförmigen Quantisierung erreichen. Vor die eigentliche Quantisierung im Sender wird der Kompressor geschaltet. Er schwächt die betragsmäßig großen Signalwerte ab und verstärkt die betragsmäßig kleinen. Danach schließt sich eine gleichförmige Quantisierung, eine Codierung mit fester Wortlänge an. Bei der Digitalanalog-Umsetzung, der Decodierung im Empfänger, wird das gleichförmig quantisierte Signal rekonstruiert. Dabei entsteht zusätzlich das analoge Fehlersignal '(t). Zum Schluss wird im Expander die Kompression rückgängig gemacht. Da die Expanderkennlinie invers zur Kompressorkennlinie ist, wird das Nutzsignal durch die Kompandierung nicht verändert. A/D- und D/A-Umsetzung mit gleichförmiger Quantisierung Expander

Kompressor Cod.

x(t)

xK(t)

Decod.

xK(t)+'(t)

Bild 3-11 Kompandierung

x(t)+'E(t)

86

3 Pulse-Code-Modulation, digitale Signalverarbeitung und Audiocodierung

Dies gilt nicht für das Fehlersignal. Im besonders kritischen Bereich betragsmäßig kleiner Nutzsignalanteile wird das Fehlersignal abgeschwächt. Im Bereich betragsmäßig großer Nutzsignalanteile wird es zwar mit verstärkt, aber nicht als störend empfunden. Die Anwendung der Kombination aus Kompressor und Expander wird Kompandierung genannt. Die Kompandierung ist durch die ITU (G.711) standardisiert. Als Kompressorkennlinie wird in Europa die A-Kennlinie und in Nordamerika und Japan die P-Kennlinie verwendet. Die Kennlinien sind so festgelegt, dass das SNR in einem weiten Aussteuerungsbereich konstant bleibt. Beide Kompressorkennlinien orientieren sich an der Logarithmusfunktion, siehe z. B. [MäGö02] und [VHH98]. Man spricht deshalb auch von einer linearen bzw. hier logarithmischen PCM. Anmerkung: Die Kompandierung ist vergleichbar mit der Preemphase und der Deemphase bei der FMÜbertragung im Rundfunk oder der Magnetbandaufzeichnung.

3.5.3

13-Segment-Kennlinie

Eine mögliche Realisierung der Kompandierung geschieht mit der 13-Segment-Kennlinie in Bild 3-12. Das Bild zeigt den positiven Ast der symmetrischen Kompressor-Kennlinie mit 7 Segmenten. Anmerkung: Die 13 Segmente ergeben sich aus den sieben Segmenten mit verschiedenen Steigungen im Bild und den sechs Segmenten im negativen Ast. Der linear durch 0 gehende Abschnitt wird nur einmal gezählt. 1

A

[x]Q

B C D

1/2

E F

1/4

G1 G2

0

1/8

1/4

1/2

x 1

Bild 3-12 13-Segment-Kennlinie (positiver Ast für normierte Eingangsamplituden)

Der Aussteuerungsbereich des Signals wird wieder auf [1, +1[ normiert angenommen. Der Quantisierungsbereich von 0 bis 1 wird in die acht Segmente A bis G2 unterteilt. Die Einteilung geschieht folgendermaßen: Beginnend bei A für große Signalwerte mit der Segmentbreite von 1/2 wird die Breite für die nachfolgenden Segmente jeweils halbiert. Nur die Breiten der beiden G-Segmente sind mit 1/128 gleich. In jedem Segment wird mit 16 gleich großen Quantisierungsintervallen, d. h. mit 4 Bits, gleichförmig quantisiert. Dies hat den praktischen Vorteil, dass nur ein A/D-Umsetzer benötigt wird. Das Eingangssignal wird durch einen Verstärker an den Aussteuerungsbereich des A/D-Umsetzers angepasst. Der verwendete Verstärkungsfaktor ist charakteristisch für das Segment und liefert mit dem Vorzeichen die restlichen 4 Bits zum Codewort.

3.5 PCM in der Telefonie

87

Da die Segmente unterschiedlich breit sind, unterscheiden sich auch die Quantisierungsintervallbreiten von Segment zu Segment. Die Werte sind für die einzelnen Segmente in Tabelle 3-1 zusammengestellt. Tabelle 3-1 Quantisierungsintervallbreiten der 13-Segment-Kennlinie, effektive Wortlänge weff (3.3) und SNR-Abschätzung mit der 6dB-pro-Bit-Regel Segment Q weff in Bits

A 5

2

6

B 6

2

7

C 7

2

8

SNR

D

E

8

2

9

10

2

9

F

G1

G2

2

2

11

211

11

12

12

10

30 ... 36 dB

Eine Modellrechnung für das SNR nach der 6dB-pro-Bit-Regel zeigt den Gewinn durch die ungleichmäßige Quantisierung auf. Zunächst wird in Tabelle 3-1 über den Zusammenhang zwischen der Quantisierungsintervallbreite und der Wortlänge bei gleichförmiger Quantisierung (3.3) jedem Segment eine effektive Wortlänge weff zugeordnet. Betrachtet man beispielsweise das A-Segment mit weff = 6, so resultiert aus der 6dB-pro-Bit-Regel die SNR-Abschätzung mit 36 dB in Tabelle 3-1. Da beim Wechsel zum nächsten Segment jeweils sowohl der Aussteuerungsbereich als auch die Quantisierungsintervallbreite halbiert werden, liefert die SNRAbschätzung stets einen Wert zwischen 30 und 36 dB. Nur bei sehr kleiner Aussteuerung außerhalb des zulässigen Dynamikbereichs ist die Abschätzung nicht mehr gültig. Das Ergebnis der Modellrechnung veranschaulicht Bild 3-13. Darin ist wieder das SNR über der Signalleistung aufgetragen. Diesmal als Kurvenschar in Abhängigkeit von der (effektiven) Wortlänge. Bei der Quantisierung mit der 13-SegmentKennlinie wird aussteuerungsabhängig die effektive Wortlänge gewechselt, sodass die Qualitätsanforderung von mindestens 26 dB im gesamten Dynamikbereich erfüllt wird. Die insgesamt benötigte Wortlänge bestimmt sich aus der binären Codierung der Zahl der Quantisierungsintervalle pro Segment (hier 16) mal der Zahl der Segmente pro Ast (hier 8) mal der Zahl der Äste (hier 2) zu

w = 12

36

10

70 SNR in dB

8

40

26

20 Dynamikbereich 50

40

30 20 S in dB

10

0

Bild 3-13 SNR in Abhängigkeit von der Signalleistung S im Dynamikbereich von 0 bis 40 dB bei verschiedenen Wortlängen (w) von 6 bis 12 Bits

w log 2 16 8 2 8

(3.12)

Die benötigte Wortlänge kann durch den Einsatz der 13-Segment-Kennlinie ohne Qualitätseinbuße auf 8 Bits reduziert werden. Die durch die Modellrechnung gefundene Abschätzung des SNR wird durch experimentelle Untersuchungen bestätigt. Die Messergebnisse zeigen sogar, dass mit der 13-Segment-Kennlinie die Anforderungen übererfüllt werden. In Bild 3-14 sind die Ergebnisse einer Simulation für Sinussignale eingetragen. Im Vergleich mit Bild 3-13 erkennt man, wie gut die vereinfachte

88

3 Pulse-Code-Modulation, digitale Signalverarbeitung und Audiocodierung

Modellrechnung mit den tatsächlich gemessenen SNR harmoniert. Im Dynamikbereich von 40 bis 0 dB bleibt das SNR der Quantisierung deutlich über 30 dB, weitestgehend sogar über den 36 dB der modellbasierten Abschätzung mit dem gleichverteilten Signal.

Übersteuerung

40

30 25 20 15

50

Dynamikbereich Untersteuerung

SNR in dB

35

40

30

20

10

0

10

S in dB Bild 3-14 SNR der Quantisierung in Abhängigkeit von der Signalleistung S bei Quantisierung von Sinussignalen mit der 13-Segment-Kennlinie

Waren A/D-Umsetzer bei der Einführung der PCM-Technik in den 1960er Jahren relativ teuer, so sind heute im Audiobereich A/D-Umsetzer mit 12 Bit Wortlänge preiswerte Massenprodukte. Es werden deshalb für die Kompandierung 12-Bit-A/D-Umsetzer verwendet und die Wortlänge durch Codeumsetzung reduziert. Tabelle 3-2 verdeutlicht die Codierungsvorschrift. Im PCM-Format werden mit einem Bit das Vorzeichen V und mit 3 Bits das Segment angezeigt. Die führenden 4 relevanten Bits der gleichförmigen Quantisierung werden übernommen. Anmerkung: In Tabelle 3-2 wird deutlich, dass die logarithmische PCM als eine Quantisierung im Gleitkommaformat gedeutet werden kann. Die Segmentanzeige übernimmt dabei die Rolle des Exponenten [Zöl05].

Zum Schluss wird die Bandbreite bei der PCM-Übertragung und der herkömmlichen analogen Übertragung verglichen. Während Abtastfrequenz fA = 8 kHz bei letzterer nur circa 4 kHz benötigt werWortlänge w = 8 (Bits) den, erfordert die binäre Übertragung des Bitrate Rb = 64 kbit/s PCM-Bitstroms im Basisband nach (4.20) eine (Nyquist-)Bandbreite von circa 32... kHz. Die größere Bandbreite wird durch eine größere Störfestigkeit belohnt. PCM-Sprachübertragung in der Telefonie

Die PCM-Sprachübertragung wurde in den 1960er Jahren zunächst im Telefonfernverkehr eingeführt und war Grundlage für die Wahl der Datenrate der ISDN-Basiskanäle (B). Moderne Sprachcodierverfahren berücksichtigen zusätzlich die statistischen Bindungen im Sprachsignal sowie psychoakustische Modelle des menschlichen Hörens. Der Sprachcodierer nach dem ITU G.729 Standard von 1996 ermöglicht, Telefonsprache bei der PCM-üblichen Hörqualität mit einer Datenrate von 8 kbit/s zu übertragen [VHH98]. Es lassen sich so theoretisch bis zu acht Telefongespräche gleichzeitig auf einem ISDN-Basiskanal übertragen.

3.6 Digitale Signalverarbeitung

89

Tabelle 3-2 PCM-Codierung Segment A (7)

Wertebereich 21 d | x | < 1

Gleichförmige Quantisierung mit w = 12 (Bit) und einem Vorzeichenbit V

PCM-Format mit einem Vorzeichenbit V und Segmentanzeige

V 1XXX X--- ---

V 111 XXXX

B (6)

2 d|x|<2

1

V 01XX XX-- ---

V 110 XXXX

C (5)

23 d | x | < 22

2

V 001X XXX- ---

V 101 XXXX

4

3

V 0001 XXXX ---

V 100 XXXX

E (3)

5

2 d|x|<2

4

V 0000 1XXX X--

V 011 XXXX

F (2)

26 d | x | < 25

V 0000 01XX XX-

V 010 XXXX

V 0000 001X XXX

V 001 XXXX

V 0000 000X XXX

V 000 XXXX

D (4)

2 d|x|<2

7

G1 (1)

2 d|x|<2

G2 (0)

7

6

0d|x|<2

Anmerkungen: (i) Der Wunsch nach einer noch effektiveren Codierung der Nachrichten ist auch nach 50 Jahren noch aktuell: Einerseits sind Bildtelefonie und die Übertragung von Musik- oder Videoinhalten, für die Bürger in Städten selbstverständlich; andererseits verfügen ländliche Gebiete oft nur über herkömmliche Telefonanschlüsse, sodass ohne effektive Codierung eine „digitale Spaltung“ der Regionen droht. (ii) Moderne Audiocodierung kann auch dazu benutzt werden, in der Bildtelefonie und bei Videokonferenzen eine hörbar bessere Audioqualität zur Verfügung zu stellen, wie z. B. die Audiobandbreite von 50 Hz bis 7 (14) kHz bei dem Sprachcodec ITU-T G722.1 von 1999 (2005).

3.6

Digitale Signalverarbeitung

Die Digitalisierung von Signalen liefert geordnete Zahlenfolgen, die in natürlicher Weise für die elektronische Verarbeitung geeignet sind. Es bietet sich an, bisher analoge Komponenten durch mikroelektronische Systeme zu ersetzen. Für mikroelektronische Systeme spricht die Langzeit- und Temperaturbeständigkeit; die Reproduzierbarkeit; die hohe Zuverlässigkeit und die geringe Störempfindlichkeit. Für die digitale Signalverarbeitung kommen weitere Vorteile hinzu: die, über die Wortlänge, skalierbare Genauigkeit; die Flexibilität durch die Programmierbarkeit und die Adaptivität durch signalabhängige Parameter und selbstlernende Algorithmen. Ging es zunächst darum, bestehende analoge Systeme durch digitale zu ersetzen, hat sich die digitale Signalverarbeitung heute zu einer interdisziplinären Basistechnologie entwickelt. Sie bildet die Grundlage für viele naturwissenschaftlich-technische Anwendungen. Einer Einführung angemessen, werden in den folgenden Unterabschnitten die wahrscheinlich wichtigsten zwei Anwendungen der digitalen Signalverarbeitung vorgestellt: die schnelle Fouriertransformation und die digitale Filterung.

90

3 Pulse-Code-Modulation, digitale Signalverarbeitung und Audiocodierung

Anmerkung: Weil es bei der digitalen Signalverarbeitung um Algorithmen zum Rechnen mit Zahlen geht, spielt die Mathematik eine wichtige Rolle. Um den Rahmen einer Einführung nicht zu sprengen, werden im Folgenden nur elementare Kenntnisse des Rechnens mit komplexen Zahlen benutzt. Um die Methoden und ihre Anwendungen zu verstehen, ist die Auseinandersetzung mit den Algorithmen (Formeln) unverzichtbar.

3.6.1

Schnelle Fouriertransformation

Die schnelle Fouriertransformation (FFT, Fast Fourier Transform) ist heute das Standardverfahren für die Messung bzw. numerische Berechnung von Fourierspektren. Sie ist ein effizienter Algorithmus zur Berechnung der diskreten Fouriertransformation (DFT, Discrete-time Fourier Transform) [Wer08a]. Wird das Abtasttheorem eingehalten, geht keine Information über das Signal verloren, sodass sich der Einsatz der FFT auch zur Spektralanalyse analoger Signale anbietet. Darüber hinaus ist die FFT das Kernstück des Orthogonal Frequency Division Multiplexing(OFDM)-Verfahrens, das in digitalen Teilnehmeranschlüssen (Digital Subscriber Line, DSL), in drahtlosen lokalen Netzen (Wireless Local Area Network, WLAN), zur breitbandigen Nachrichtenübertragung über Stromversorgungsleitungen (Power Line Communications, PLC) in Gebäuden, der terrestrischen digitalen Fernsehübertragung (Digital Video Broadcasting with Terrestrial Transmission, DVB-T) und in der vierten Mobilfunkgeneration (LTE, Long Term Evolution) eingesetzt wird. Das OFDM-Verfahren wird in Abschnitt 4.6 vorgestellt, worauf dieser Abschnitt auch vorbereiten soll. Dementsprechend wird im Folgenden vorgegangen und der Zusammenhang zwischen Fourierreihe und FFT exemplarisch aufgezeigt. Bild 3-15 zeigt das Prinzip der Spektralanalyse: Ein analoges Signal x(t) wird, gegebenenfalls nach Tiefpassfilterung, digitalisiert. Eine ausreichende Wortlänge wird vorausgesetzt, sodass die Quantisierung im Weiteren vernachlässigt werden kann. Für die Berechnung der FFT wird ein Block der Länge N aus dem Signal geschnitten, man spricht von der Fensterung. Die FFT des Blocks liefert die DFT-Koeffizienten X[k], die angezeigt und weiter verarbeitet werden können. Anzeige der DFT-Koeffizienten

Fensterung

TP

x(t)

A/D

x[n]

FFT

X[k]

Bild 3-15 Spektralanalyse mit der schnellen Fouriertransformation (FFT)

Beispiel Diskrete Fourierreihe diskrete Fouriertransformation (DFT)

Das ausführliche Beispiel zeigt den Zusammenhang zwischen den Fourierkoeffizienten und den DFT-Koeffizienten auf. Um die Überlegungen möglichst anschaulich nachvollziehbar zu machen, gehen wir von einem Signal aus, das durch eine endliche Fourierreihe beschrieben wird: also periodisch und bandbegrenzt ist. Für diesen Fall zeigen wir, dass die DFT-Koeffizienten aus den Fourierkoeffizienten und umgekehrt bestimmbar sind. Wir wählen dazu das periodische und bandbegrenzte Signal in Bild 3-16

x(t ) 1 2 cos 2S 1 kHz t 4 sin 2S 2 kHz t 6 cos 2S 3 kHz t

(3.13)

3.6 Digitale Signalverarbeitung

91

Grundperiode

15

x(t) 0

10 1

0,5

0

0,5

1

1,5

t in ms

2

Bild 3-16 Periodisches und bandbegrenztes Signal

Die Periode des Signals in (3.13) beträgt T0 = 1 ms. Es folgt mit (2.25) die Fourierreihe 3

¦ ª¬ak cos kZ0 t bk sin kZ0 t º¼

x(t )

(3.14)

k 0

mit der Grundkreisfrequenz

Z0 = 2S f0 = 2S 1 kHz

(3.15)

und den Fourierkoeffizienten a0 = 1 (Gleichanteil); a1 = 2; a2 = 0; a3 = 6

(3.16)

b0 = 0; b1 = 0; b2 = 4; b3 = 0

Wegen der Bandbegrenzung verkürzt sich die Fourierreihe zur Fouriersumme mit ak = bk = 0 k t 4. Das Signal x(t) enthält keine Spektralanteile bei Frequenzen größer als 3 kHz. Tasten wir nun das Signal mit der Abtastfrequenz fA = 1 / TA = 16 kHz ab, so wird das Abtasttheorem eingehalten und es resultiert die Folge x[n] in Bild 3-17. 3

x[n ]

¦ ª¬ak cos kZ0 TA n bk sin kZ0 TA n º¼

(3.17)

k 0

Grundperiode

15

x[n] 0

10

15

10

5

0

5

10

15

20

Bild 3-17 Abtastfolge des periodischen Signals x[n]

25

n

30

92

3 Pulse-Code-Modulation, digitale Signalverarbeitung und Audiocodierung

Der Einfachheit halber führen wir die normierte Kreisfrequenz : als Abkürzung ein.

Z0 TA

:0

2S

f0 fA

2S

1 kHz 16 kHz

2S N

(3.18)

Darin ist N = 16 die Zahl der Abtastwerte pro Periode der 1. Harmonischen. Wir erhalten schließlich die Abtastfolge in der Form einer trigonometrischen Fouriersumme 3

x[n ]

¦ ª¬ ak cos :0 k n bk sin :0 k n º¼

(3.19)

k 0

Für die weitere Rechnung ist die komplexe Form der Fourierreihe (2.30) vorteilhafter, weshalb wir mit den komplexen Fourierkoeffizienten (2.33) schreiben 3

x[n]

¦

k 3

ck e j:0kn

3

¦

k 3

j

2S

ck e N

kn

(3.20)

___________________________________________________________________________ Beispiel wird fortgesetzt

Das obige Beispiel zeigt, dass für jedes periodische und bandbegrenzte Signal mit einer Darstellung als Fouriersumme unter Beachtung des Abtasttheorems eineindeutige eine Abtastfolge mit einer Darstellung wie in (3.20) mit den Fourierkoeffizienten angegeben werden kann. Wird dabei das Abtastintervall TA so gewählt, dass ein ganzzahliges Vielfaches gleich der Periode ist, T0 = N TA, entsteht eine periodische Folge und die N Abtastwerte einer Periode enthalten die vollständige Information über das zeitdiskrete als auch das zeitkontinuierliche Signal. Es bietet sich deshalb an, auf eine Blockverarbeitung überzugehen. Dies geschieht mit der DFT. Die DFT liefert die harmonische Analyse einer endlichen Folge der Länge N. Sie zerlegt den Signalblock der Länge N in Sinus- und Kosinusfolgen mit den normierten Kreisfrequenzen :k = k 2S / N für k = 0, 1, 2, …, N/2. Die Definition der DFT einer Folge der Länge N ist

X >k @

N 1

¦

x[n ] e

j

2S k n N

für n, k = 0, 1, …, N1

(3.21)

n 0

Die DFT ist eine bijektive lineare Abbildung des Signals x[n] auf das DFT-Spektrum X[k]. Ihre Umkehrung, die inverse DFT, stellt die Folge x[n] als Überlagerung von Kosinus- und Sinusfolgen mit den DFT-Koeffizienten als Gewichte dar.

x[n]

2S j k n 1 N 1 X >k @ e N N k 0

¦

für n, k = 0, 1, …, N1

(3.22)

Die Formeln für die DFT und ihre Inverse werden auch Analyse- bzw. Synthesegleichung genannt. Man beachte: die DFT und IDFT sind bis auf den Vorfaktor und das Vorzeichen im Exponenten gleich. Und die FFT ist nichts weiter als ein besonders effizienter Algorithmus, die DFT bzw. IDFT zu berechnen.

3.6 Digitale Signalverarbeitung

93

Beispiel Diskrete Fourierreihe diskrete Fouriertransformation (DFT) (Fortsetzung)

Um den Zusammenhang zwischen der DFT und der Fouriersumme herzustellen, führen wir das Beispiel fort. Wir unterwerfen die Fouriersumme, die Folge (3.20), der DFT. N 1

¦ x[n] e

X >k @

j

2S k n N

N 1

2S 2S mn j k n N e N

(3.23)

für n, k = 0, 1, …, N1

(3.24)

3

¦ ¦ cm e

j

n 0 m 3

n 0

Nach Vertauschen der Summen resultiert

X >k @

3

N 1 j 2S mk n e N

¦ cm ¦

m 3

n 0

Die Summe der komplex Exponentiellen berechnet sich als endliche geometrische Reihe und hat die Eigenschaft N 1 j 2S m k n e N

¦

n 0

N ® ¯0

für m k

0, r N , r2 N ,!

sonst

(3.25)

Man spricht von der Orthogonalität der komplex Exponentiellen. Sie spielt in der digitalen Signalverarbeitung eine wichtige Rolle und ist hier die Grundlage für die Berechnung der Fourierkoeffizienten mit der DFT. Anmerkung: Daher auch das „O“ im später noch vorgestellten OFDM-Verfahren.

Wegen der Orthogonalität verschwindet die Summe über n in (3.24), außer, wenn m = k bzw. m = k N. Das heißt, die DFT-Koeffizienten sind gleich dem N-fachen der Fourierkoeffizienten. Im Beispiel resultiert

X >k @

ck °° N ®0 ° °¯c(16k )

für k

0,1, 2,3

für k

4,5,!,12

(3.26)

für k 13,14,15

Wir überprüfen das Ergebnis durch numerische Berechnung der DFT. Im Beispiel der periodischen Folge x[n] in (3.17) werden genau N = 16 Abtastwerte pro Periode genommen. Schneiden wir die Grundperiode für n = 0 bis N1 = 15 heraus, und berechnen die DFT, so resultiert wie erwartet X[k] = 16 { 1, 1, 2 j, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 2j, 1}

(3.27)

Das DFT-Spektrum wird in Bild 3-18 veranschaulicht. ___________________________________________________________________________ Beispiel wird fortgesetzt

94

3 Pulse-Code-Modulation, digitale Signalverarbeitung und Audiocodierung

3

Re X > k @

Im X > k @

16

3

16

k

0

0

5

10

3

k

0

3

15

0

5

10

15

Bild 3-18 Komplexwertiges DFT-Spektrum X[k] des periodischen Signals x[n]

In der digitalen Signalverarbeitung werden die DFT-Koeffizienten der Einfachheit halber zu einer periodischen Folge mit Periode N fortgesetzt.

X > k N @

X > k @

N ck

für k

« N 1» «N » « ,! , « » » ¬ 2 ¼ ¬2¼

10

n

0 10

(3.28)

Dann schreibt sich der Zusammenhang (3.26) zwischen den Fourierkoeffizienten und den DFT-Koeffizienten kompakter. X > k @

x[n]

x0[n]

5

n

0 5

x1[n]

5 0

(3.29)

n

5

Anmerkungen: (i) Obiges DFT-Spektrum entspricht einer Periode beginnend beim Index k größer gleich (N1)/2 und bis k kleiner gleich N/2. Stellt man die DFT-Spektren nun grafisch dar, so resultiert die gewohnte zweiseitige Darstellung von Fourierspektren. (ii) Bei Einhaltung des Abtasttheorems und gerader Blocklänge N muss X[N/2] = cN/2 = 0 sein. (iii) Mit der Tilde kann die periodische Fortsetzung hervorgehoben werden. In der Literatur wird oft darauf verzichtet, sondern die periodische Fortsetzung stillschweigend angenommen.

x2[n]

5

n

0 5

x3[n]

5

n

0 5

0

5

10

15

Bild 3-19 Zerlegung des Signals in den Gleichanteil und die Harmonischen

Wird das Abtasttheorem eingehalten, so gilt für das Spektrum der Abtastfolge x[n] und das Spektrum des abgetasteten Signals x(t) der allgemeine Zusammenhang [Wer08d]

X e j:

1 X jZ ZTA TA

:

für : = [S, +S] und TA d 1 / (2fg)

(3.30)

Das Spektrum des analogen Signals mit der Kreisfrequenz Z wird eineindeutig in das Spektrum des zeitdiskreten Signals mit der normierten Kreisfrequenz : abgebildet, siehe Bild 3-20. Dabei gilt

3.6 Digitale Signalverarbeitung

95

: Z TA

2S

Der halben Abtastfrequenz fA/2 wird stets die normierte Kreisfrequenz S zugeordnet. Ist beispielsweise die Abtastfrequenz 20 kHz, so entspricht der Frequenz f1 = 4 kHz der normierten Kreisfrequenz :1 = 0,4S und umgekehrt, siehe auch (3.18). Bei Beachtung des Abtasttheorems geht keine Information über das Signal oder sein Spektrum verloren, siehe (3.30).

f fA

(3.31)

X( j Z)

Z 0

Z1

Zg

ZA/2

X( e j:)

Anders ist das beim Beschneiden des Sig:1 :g S 0 : S nals durch die Fensterung. Man spricht Bild 3-20 Zusammenhang zwischen dem dann von der Kurzzeit-Spektralanalyse Spektrum eines zeitkontinuierlichen bzw. vom Kurzzeitspektrum. Dem Nachteil Signals und dem seiner Abtastfolge der Signalverkürzung steht der Vorteil der (schematische Darstellung) einfachen Verarbeitung im Rechner gegenüber. Darüber hinaus ist in den Anwendungen, z. B. der Sprachverarbeitung oder Regelungstechnik, oft die Veränderung des Kurzzeitspektrums von Block zu Block von Interesse. Die Kurzzeit-Spektralanalyse basiert auf der diskreten Fouriertransformation (DFT). Sie bildet die N Signalwerte eines Blockes, x[n] für n = 0, …, N1, eineindeutig in die N DFT-Koeffizienten des DFT-Spektrums, X[k] für k = 0, …, N1, ab und umgekehrt. Wie am Beispiel der Fouriersumme gezeigt wurde, steht die DFT in engem Zusammenhang mit der Fourierreihe periodischer Signale. Die DFT kommt darum bei der Messung von Klirrfaktoren zum Einsatz. Oft ist das zu untersuchende Signal nicht periodisch. Dann liefern die DFT-Koeffizienten Näherungswerte für das Spektrum. Die Approximation ist umso besser, je größer die Blocklänge N ist. Ein einfaches Beispiel wird im Unterabschnitt zu FIR-Filtern vorgestellt. Eine angemessene Diskussion der Eigenschaften des DFT-Spektrums würde den Rahmen einer Einführung sprengen, weshalb auf die Literatur zur digitalen Signalverarbeitung verwiesen wird. Anmerkung: Der Approximationsfehler kann durch die Form des Fensters beeinflusst werden. In der digitalen Signalverarbeitung werden je nach Randbedingungen verschiedene Fenster eingesetzt, wie z. B. das Hamming-Fenster, das Gauß-Fenster und einige mehr.

Eine wichtige Kenngröße der Spektralanalyse ist die spektrale Auflösung. Aus dem Abstand zweier Stützstellen im Spektrum der Folge 2S / N folgt aus (3.31) die spektrale Auflösung bzgl. des abgetasteten Signals

'f

fA N

(3.32)

Wird beispielsweise bei einer Messung mit einer Abtastfrequenz von 20 kHz und einer DFTLänge von N = 1024 gearbeitet, so sind Frequenzkomponenten mit kleinerem Abstand als 19,5 Hz nicht zu unterscheiden. In vielen Anwendungen ist deshalb eine große Blocklänge N erwünscht oder erforderlich. Andererseits steigt mit der Blocklänge der Rechenaufwand der DFT (3.21) quadratisch. Hier

96

3 Pulse-Code-Modulation, digitale Signalverarbeitung und Audiocodierung

kommt die schnelle Fouriertransformation (Fast Fourier Transform, FFT) zum Zuge. Sie ist ein Algorithmus zur effizienten Berechnung der DFT. Der Rechenaufwand steigt bei der FFT im Wesentlichen nur linear mit der Blocklänge. Ist die Blocklänge eine Zweierpotenz, so ergibt sich die besonders effiziente Radix-2-FFT. Aus diesem Grund werden in den Anwendungen meist solche Blocklängen verwendet. Typische FFT-Längen sind 512, 1024, 2048, 4096 und 8192. Abschätzungen der Zahl der erforderlichen Rechenoperationen (FLOP, Floating Point Operation) liefern für N = 1024 für die DFT mit der Summenformel (3.21) 8,4 Mio. FLOPs und für die Radix-2-FFT 0,051 Mio. FLOPs. Also eine Ersparnis um zwei Größenordnungen. Anmerkung: DFT direkt | 8N 2 FLOPs und Radix-2-FFT | 5Nlog2(N) FLOPs [Wer08a].

In der Telefonie wird die diskrete Fouriertransformation zur Erkennung der Töne beim Mehrfrequenzwahlverfahren verwendet. Jeder Telefontaste ist ein Tonpaar mit bestimmten Frequenzen zugeordnet. Wird eine Taste gedrückt, wird das zugehörige Tonpaar für etwa 65 ms übertragen. Aufgabe der Gegenstation ist es, die gedrückte Taste anhand des empfangenen Signals zu erkennen. Das Verfahren ist von der ITU als DTMF-Verfahren (Dual-Tone MultiFrequency) standardisiert. Z. B. ist für die Taste „1“ das Frequenzpaar 697 Hz und 1209 Hz festgelegt. Für viele Anwendungen aus dem Bereich der Mustererkennung interessieren die Änderungen im Kurzzeitspektrum. So treten beispielsweise an Maschinen aufgrund von Abnutzungen bei beweglichen Teilen Schwingungen auf, die auf eine baldige Störung hinweisen. Liefert die FFT einen oder mehrere DFT-Koeffizienten, deren Beträge gewisse Schwellen überschreiten, so kann eine Wartung angefordert oder gegebenenfalls sogar Alarm ausgelöst und abgeschaltet werden. Die Interpretation des DFT-Spektrums hängt von der jeweiligen Anwendung ab. Sie ergibt sich entweder aus Modellüberlegungen oder empirischen Untersuchungen.

3.6.2

Digitale Filter

Die analoge Verfahren der Nachrichtenübertragung, z. B. die Trägerfrequenztechnik in der Telefonie, benötigen zur Signaltrennung im Frequenzbereich oft aufwendige und wartungsintensive analoge Filterschaltungen, siehe Cauer-Filter. Motiviert durch die Fortschritte der Digitaltechnik war es deshalb naheliegend, nach Ersatz für die teueren analogen Filter zu suchen.

3.6.2.1

Simulation mit digitalen Filtern

Ein wichtiges Einsatzgebiet der digitalen Signalverarbeitung ist die Filterung analoger Signale, siehe Bild 3-21. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von einer Simulation. Dabei soll das Signal am Ausgang des D/A-Umsetzers in seinen wesentlichen Merkmalen gleich dem Ausgangssignal des zu ersetzenden analogen Filters sein. Anmerkung: In der Systemtheorie werden ideale A/D- und D/A-Umsetzern für die mathematische Herleitung des Simulationstheorems verwendet und die Ausgangssignale dazu gleichgesetzt [Unb02]. Für die Praxis kommt es darauf an, gewisse Anforderungen zu erfüllen, vergleichbar dem Toleranzschema zum Filterentwurf.

Entsprechend dem engen Zusammenhang zwischen analogen Signalen und ihren Abtastfolgen ergibt sich die Beschreibung der digitalen Filter als LTI-Systeme ähnlich der Beschreibung analoger Filter.

3.6 Digitale Signalverarbeitung

97

x(t)

x(t)

y(t)

Analoges Filter

A/D

x[n]

Digitales Filter

y[n]

y(t)

D/A

Bild 3-21 Digitale Filterung analoger Signale (Simulation)

Digitale Filter, die Realisierungen linearer zeitinvarianter Systeme darstellen, beinhalten nur Addierer, Multiplizierer und Verzögerer. Bild 3-22 zeigt die Blockschaltbilder zweier gebräuchlicher Strukturen: die transversale Struktur für FIR-Filter (Finite Impulse Response) Nter Ordnung und einen Block 2. Ordnung wie er in IIR-Filtern (Infinite Impulse Response) verwendet wird. IIR-Filter höhere Ordnung können durch Kaskadierung von Blöcken 2. Ordnung (und gegebenenfalls 1. Ordnung) aufgebaut werden. Anmerkung: Im Blockdiagramm werden die Addierer und Multiplizierer durch Kreise symbolisiert, wobei Faktoren angegeben werden. Für die Verzögerer steht das D, von englisch delay. Bei sich spaltenden Pfeilen werden die Signale einfach kopiert.

Selbstredend ist auch eine Softwarerealisierung auf einem Mikroprozessor möglich. Addierer, Multiplizierer und Verzögerer werden beispielsweise durch die Assemblerbefehle Addition (ADD), Multiplikation (MUL) und Speicherzugriff (LOAD bzw. STORE) mit passender Adressierung ersetzt.

x[n]

D b0

D b1

x[n]

D

b2 bN-1

b1 D

a2

b0 D

a1

y[n]

a0 = 1

y[n] Bild 3-22 Digitale Filter in transversaler Struktur (links) und als rekursiver Block 2. Ordnung (rechts)

3.6.2.2

FIR-Filter

FIR-Filter in transversaler Struktur werden von digitalen Signalprozessoren besonders effizient unterstützt. Digitale Signalprozessoren verfügen meist über einen MAC-Befehl (multiply and accumulate), sodass ein Signalzweig des Transversalfilters in einem Prozessorzyklus berechnet werden kann. Dabei werden die Multiplikationsergebnisse in einen Akkumulator geschrieben, der über Reservebits mit Schutz gegen Überlauf verfügt.

98

3 Pulse-Code-Modulation, digitale Signalverarbeitung und Audiocodierung

Das FIR-System realisiert die Faltung des Eingangssignals x[n] mit der Impulsantwort h[n], N 1

y[n ]

¦ h >k @ x >n k @

h[n ] x[n ]

(3.33)

k 0

wobei die Filterkoeffizienten bn gleich der Impulsantwort sind

b h[n] ® n ¯0

für n

0,1,!, N 1

sonst

(3.34)

Im Frequenzbereich wird aus der Faltung der Zeitfunktionen das Produkt der Spektren. Das Spektrum um Filterausgang ist

Y e j:

H e j : X e j:

(3.35)

mit der Fouriertransformierten des zeitdiskreten Eingangssignals f

¦ x[n] e j:n n f

X e j:

(3.36)

und dem Frequenzgang des (kausalen) FIR-Filters N 1

¦ h[n] e j:n n 0

H e j:

(3.37)

Anmerkungen: (i) (3.33) und (3.35) geben die Eingangs-Ausgangsgleichungen eines zeitdiskreten LTISystems im Zeit- bzw. im Frequenzbereich wider. An die Stelle des Faltungsintegrals und des Integrals für die Fouriertransformation treten hier in natürlicher Weise die Summen. (ii) Die Beschreibung der zeitdiskreten FIR- und IIR-Filter geschieht wie für die zeitkontinuierlichen LTI-Systeme in Abschnitt 2.12 durch die Impulsantwort und den Frequenzgang.

Beispiel FIR-Tiefpass

Die Wirkungsweise des FIR-Filters veranschaulichen wir durch ein Beispiel. Dazu wählen wir einen Tiefpass mit der normierten Durchlasskreisfrequenz :D = 0,3S, der Durchlasstoleranz GD = 0,05, der normierten Sperrkreisfrequenz :S = 0,5S und der Sperrtoleranz GS = 0,001. Der Filterentwurf, z. B. mit MATLAB® nach dem Parks-McClellan-Verfahren für linearphasige FIR-Filter, liefert die Impulsantwort im Stabdiagramm in Bild 3-23. Man erkennt die für den Tiefpass typische, dem si-Impuls ähnliche Form der Einhüllenden, vgl. Bild 2-28. Die Filterordnung N beträgt 20. Den Betrag des Frequenzganges in linearer und logarithmischer Darstellung zeigt Bild 3-24 links bzw. rechts. Der Frequenzgang entspricht im Wesentlichen den Vorgaben. Anmerkung: Im Sperrbereich ist deutlich zu erkennen, dass die Sperrtoleranz von 60 dB nicht eingehalten wird. Für das Beispiel ist das jedoch nicht wichtig, weshalb auf einen erneuten Filterentwurf mit etwas höherer Filterordnung verzichtet wird.

3.6 Digitale Signalverarbeitung

99

h[n] 0,3 0,2 0,1 n

0 0,1

0

20

10

Bild 3-23 Impulsantwort des FIR-Tiefpasses

|H( e j: )|

20lg |H( e j: )| 0

1

20 in dB 40 60 0

0

0,3

0,5

:D

:S

:/S

1

0

0,3 :D

0,5 :S

:/S

1

Bild 3-24 Betragsfrequenzgang des FIR-Tiefpasses

Die Wirkung des Tiefpasses soll an einem Signalbeispiel sichtbar werden. Dazu nehmen wir als Eingangssignal x[n] ein normalverteiltes, unkorreliertes Rauschsignal. Bild 3-25 zeigt oben links einen Ausschnitt. Die Werte springen regellos auf und ab. Zur besseren Anschaulichkeit sind sie durch eine gestrichelte Linie verbunden. Rechts daneben sind die Beträge der DFTKoeffizienten für die Blocklänge N = 100 zu sehen; also für den Bereich der normierten Kreisfrequenz von 0 bis S. Das Kurzzeitspektrum schwankt ebenso quasi zufällig. Alle Spektralkomponenten scheinen im Signal vorhanden zu sein. Anmerkungen: (i) Weil das Signal x[n] reell ist, ist der Betrag des DFT-Spektrums eine gerade Funktion, weshalb sich die grafische Darstellung auf die DFT-Koeffizienten bis N / 2 ohne Informationsverlust beschränkt werden kann, siehe auch Beispiel (3.27). (ii) Die DFT eines Blocks aus unkorrelierten normalverteilten Zufallsvariablen liefert selbst wieder einen Block aus unkorrelierten normalverteilten Zufallsvariablen.

100

3 Pulse-Code-Modulation, digitale Signalverarbeitung und Audiocodierung

4 x[n] 2

20 | X [k] | n

0

10

2 4

0

50

0

100

k 0

10

20

30

40

50

0 0

10

20

30

40

50

20

2 y[n] 1

| Y [k] | n

0

10

1 2

0

50

100

k

Bild 3-25 Eingangssignal x[n] und Ausgangssignal y[n] des FIR-Tiefpasses (links) sowie die zugehörige DFT-Betragsspektren (rechts)

Am Ausgang des Tiefpass liegt das Signal y[n] vor. Bild 3-25 unten zeigt den zum oberen Teilbild passenden Signalausschnitt. Im Vergleich mit dem Eingangssignal lässt sich eine Glättung erkennen, wie sie für die Tiefpassfilterung typisch ist. Besonders deutlich wird die Tiefpassfilterung im DFT-Betragsspektrum rechts im Bild. Ab k = 25, d. h. dem Beginn des Sperrbereichs des Tiefpasses mit :k = :S, sind die DFT-Koeffizienten näherungsweise null. Im Durchlassbereich, d. h. von k = 0 bis circa 15, stimmen die Beträge der DFT-Koeffizienten vor und nach der Filterung im Rahmen der Ablesegenauigkeit überein. Anmerkungen: (i) Mit der Sperrkreisfrequenz von :S = S / 2 ist der Glättungseffekt deutlich, aber noch nicht stark ausgeprägt. Bei einer kleineren Durchlass- und Sperrkreisfrequenz wäre er deutlicher allerdings bei entsprechend gestiegener Ordnung des Filters. (ii) Die Filterung von sehr langen Signalfolgen mit FIR-Filtern kann auch im Frequenzbereich mit Hilfe der FFT durchgeführt werden. Der Algorithmus wird schnelle Faltung genannt und ermöglicht oft eine aufwandsgünstigere Realisierung als die direkte Berechnung mit der Faltungssumme.

3.6.2.3

IIR-Filter

Für IIR-Filter gelten die gleichen Eingangs-Ausgangsgleichungen wie für die FIR-Filter (3.33) und (3.35); allerdings ist die Impulsantwort zeitlich nicht beschränkt. Der Unterschied liegt in der inneren Struktur der Filter und damit bei dem Entwurf, den Eigenschaften und der praktischen Realisierung. Durch die Signalrückführung, siehe Bild 3-22, entsteht eine Rückkopplung einem Regelkreis vergleichbar die zur Instabilität durch Fehler beim Entwurf oder unzulängliche Implemen-

3.6 Digitale Signalverarbeitung

101

tierung führen kann. Andererseits ermöglicht die Signalrückführung selektive Filter mit schmalen Übergangsbereichen bei niedrigen Filterordnungen. Die Standardapproximationen analoger Filter, wie Butterworth-, Chebyshev- und Cauer-Filter, sind auf die digitalen IIR-Filter übertragbar [Wer08a]. Beispiel IIR-Tiefpass

Wir knüpfen an das Beispiel des FIR-Filters an und übernehmen die Anforderungen im Frequenzbereich. Als Filtertyp wählen wir einen Cauer-Tiefpass und wenden ein Filterentwurfsprogramm an, wie z. B. MATLAB. Entwurfsergebnis sind die Filterkoeffizienten für die Kaskadenform in Blöcken 1. und 2. Ordnung in Tabelle 3-3. Die Filterkoeffizienten bestimmen die rationale Übertragungsfunktion entsprechend zu (2.56) für analoge LTI-Systeme.

H ( z)

H1 ( z ) H 2 ( z ) H 3 ( z ) b0,1 b1,1 z 1 b0,2 b1,2 z 1 b2,2 z 2 b0,3 b1,3 z 1 b2,3 z 2 a0,1 a1,1 z 1 a0,2 a1,2 z 1 a2,2 z 2 a0,3 a1,3 z 1 a2,3 z 2

(3.38)

Auch das Blockdiagramm in Bild 3-26 kann aus Tabelle 3-3 unmittelbar das abgeleitet werden. Anmerkung: Der Einfachheit halber wird auf die Skalierung mit dem Verstärkungsfaktor G und speziellen Aspekten der Implementierung, wie die Darstellung der Filterkoeffizienten im 2er-Komplement-Format, verzichtet.

Die Softwareimplementierung in einer höheren Programmiersprache, wie z. B. MATLAB, lässt sich aus dem Blockdiagramm schnell ableiten. Hierzu betrachten wir den Block 2 in Bild 3-26. Zusätzlich eingetragen sind dort die zwei inneren Größen s1[n] und s2[n], auch Zustandsgrößen genannt. Sie beschreiben die Signale an den Ausgängen der Verzögerer. Im Programm dienen sie als Speichervariablen. Demzufolge sind für einen Block 2. Ordnung drei Schritte in der angegebenen Reihenfolge durchzuführen: Berechnung des Ausgangswertes y[n], aktualisieren der Zustandsgröße s1[n] und aktualisieren der Zustandsgröße s2[n]. y(n) = b(1)*x(n) - s(1); s(1) = b(2)*x(n) - a(2)*y(n) + s(2); s(2) = b(3)*x(n) - a(3)*y(n); Anmerkungen: (i) b(k) = bk1 und a(k) = ak1 (ii) Die Zustandsgrößen müssen jeweils gemerkt werden. (iii) Sind die Zustandsgrößen ab einem Zeitpunkt bekannt, ist bei bekanntem Eingangssignal das Ausgangssignal eindeutig festgelegt. Tabelle 3-3

Filterkoeffizienten für den Cauer-Tiefpass mit den Entwurfsvorgaben: norm. Durchlasskreisfrequenz :D = 0,3S, Durchlasstoleranz GD = 0,05, norm. Sperrkreisfrequenz :S = 0,5S und Sperrtoleranz GS = 0,001 Zählerkoeffizienten

Nennerkoeffizienten

b0

b1

b2

a0

a1

a2

Block 1

1

1

1

0,6458

Block 2

1

0,7415

1

1

1,1780

0,5741

Block 3

1

0,0847

1

1

1,0638

0,8562

Verstärkungsfaktor G = 0,0106

102

3 Pulse-Code-Modulation, digitale Signalverarbeitung und Audiocodierung

Block 1

x[n]

Block 2 D 0,7415

0,6458 a0 = 1

Block 3

s1[n]

s2[n] D

D

0,5741

0,0847

1,1780

y[n]

a0 = 1

D

D

0,8562

1,0638 a0 = 1

Bild 3-26 Blockdiagramm des digitalen Cauer-Tiefpass 5. Ordnung in Kaskadenform

Wir überprüfen den Frequenzgang des Cauer-Tiefpasses. Er ergibt sich aus der Übertragungsfunktion (3.38) für z = e j:. Sein Betrag ist in Bild 3-27 dargestellt. Die Entwurfsvorgaben werden eingehalten. Wie bei dem Betragsfrequenzgang des FIR-Tiefpasses in Bild 3-24 liegt eine Chebyshev-Approximation mit Equiripple-Verhalten in Durchlass- und Sperrbereich vor.

|H( ej: )|

20lg |H( ej: )|

1

0

0,8

20

in dB

0,6

40

0,4

60

0,2 0

0

0,2

:D

0,4

:S

0,6

0,8

:/S

1

0

0,2

:D

0,4

:S

0,6

0,8

:/S

1

Bild 3-27 Betragsfrequenzgang des digitalen Cauer-Tiefpasses 5. Ordnung

Abschließend wird die Impulsantwort des Cauer-Tiefpasses in Bild 3-28 vorgestellt. Sie beschreibt das Übertragungsverhalten des Systems vollständig. Für eine weitergehende Diskussion wird der Kürze halber auf die vertiefende Literatur zur digitalen Signalverarbeitung verwiesen.

3.7 Audiocodierung

103

0,3

h[n] 0,2 0,1

n

0 20

40

60

0,1 0

Bild 3-28 Impulsantwort des digitalen Cauer-Tiefpasses 5. Ordnung

3.7

Audiocodierung

Das Beispiel des MP3-Players zeigt, wie die moderne Audiocodierung die digitale Signalverarbeitung mit bezahlbarer Mikroelektronik verbindet. Audiosignale werden bei vorgegebener Qualität so dargestellt, dass sie mit möglichst geringem Umfang gespeichert und übertragen werden können. Man spricht von einer Datenkompression. Erst sie macht Anwendungen wie die tragbaren MP3-Player oder das Internetradio über ISDN-Teilnehmeranschlüsse möglich. Je nach Anwendung werden Kompressionsfaktoren von etwa 10 bis 20 erzielt. In vielen Fällen kann ohne hörbare Qualitätseinbußen der Audiobitstrom einer Compact Disc (CD-DA) von 1411,2 kbit/s auf 64 … 128 kbit/s reduziert werden. Im Folgenden werden die grundlegenden psychoakustischen Effekte der Audiocodierung aufgezeigt und beispielhaft die Audiocodierung nach MPEG-1 Layer III, bekannt auch als MP3, vorgestellt. MPEG-1 steht für das 1992 standardisierte Verfahren ISO/IEC 11172-3 der International Standard Organization (ISO) und International Electrotechnical Commission (IEC). Grundlage sind die Arbeiten zum Filmton der Motion Picture Experts Group (MPEG). Weiterentwicklungen sind MPEG-2 (1994) und MPEG-4 (1999) [BSH08]. Neben der Anpassung an neue Anwendungsfelder (Mehrkanalsysteme, Mobilkommunikation, usw.), sind zwei Innovationen hervorzuheben: das Advanced Audio Coding (AAC, 1997) und die Spectral Band Replication (SBR, 2002). Beide erlauben im Vergleich zu MP3 nochmals eine deutliche Datenkompression bei etwa gleicher Qualität [HeDi08]. Anmerkung: Die Audiocodierung liefert auch ein interessantes Beispiel der wechselseitigen Abhängigkeit von technologischem Fortschritt und wirtschaftlichen Interessen. Die Entwicklung der Audiocodierung wird wesentlich beeinflusst von den im Konsumentenmarkt erzielbaren Preisen. Letztere setzen der Komplexität der digitalen Signalverarbeitung Grenzen, die aber, entsprechend dem moorschen Gesetz, rasch expandieren. Während im Konsumbereich stets neue Geräte abgesetzt werden sollen, ist das in der professionellen Audiotechnik anders. In Ton- und Filmaufnahmestudios für Rundfunk und Fernsehen und im Kino findet man den Wunsch nach der Sicherung der Investitionen, nach Abwärtskompatibilität und Beständigkeit. Nicht zu unterschätzen ist ferner der Einfluss von Firmen und Konsortien, die nach einer marktbeherrschenden Position streben.

104

3.7.1

3 Pulse-Code-Modulation, digitale Signalverarbeitung und Audiocodierung

Psychoakustische Effekte

Grundlage der Kompression durch die Audiocodierverfahren ist die Orientierung am Nachrichtenempfänger, dem Menschen. Statt das mit dem Mikrofon aufgenommene Audiosignal möglichst genau wiederherzustellen, wird nur der Anteil codiert, der einen Einfluss auf den Höreindruck hat. Man spricht von verlustloser bzw. wie hier von verlustbehafteter Codierung. Das menschliche Gehör nimmt nur Geräusche war, die in einem Frequenzbereich von etwa 20 Hz bis 20 kHz liegen und Schalldruckpegel in einem bestimmten Bereich aufweisen. Man spricht vom Hörbereich des Menschen. Bild 3-29 fasst hierzu experimentelle Ergebnisse zusammen. Erst wenn der Schalldruckpegel des Eintonsignals die Hörschwelle überschreitet, wird der Ton wahrgenommen. Die Hörschwelle ist frequenzabhängig. Am besten werden Töne zwischen 1 und 4 kHz wahrgenommen.

120

120

100 80

100

Musik

60

80

40 60

Sprache

Lautstärke in dB

Schalldruckpegel in dB

Schmerzgrenze

20

40

0

20 0

Hörschwelle 20

50

100

200

500

1000

2000

5000 10000 20000

Frequenz in Hz Bild 3-29 Hörbereich des Menschen Schalldruck und Lautstärke über der Frequenz nach [Bro09]

Untersuchungen mit Mehrtonsignalen zeigen, dass unter bestimmten Umständen auch Töne über der Hörschwelle in Bild 3-29 nicht wahrgenommen werden [Zwi82]. Man spricht vom Verdeckungs- oder Maskierungseffekt. Der Maskierungseffekt ist sowohl frequenz- als auch zeitabhängig. Den Maskierungseffekt im Frequenzbereich verdeutlicht Bild 3-30 anhand dreier schmalbandiger Rauschsignale und ihrer Mithörschwellen. Tritt beispielsweise ein schmalbandiges Rauschsignal um die Frequenz von 1 kHz auf, dann werden weitere Töne mit Lautstärken unterhalb der Mithörschwelle verdeckt; in Bild 3-30 im hinterlegten Bereich. Bei der Audiocodierung können die entsprechenden Signalanteile weggelassen werden. Eine Irrelevanzreduktion wird durchgeführt.

3.7 Audiocodierung

105

80

Schalldruckpegel in dB

f1 = 0,25 kHz 60

f2 = 1 kHz

f3 = 4 kHz

Mithörschwelle

40 20

Ruhehörschwelle

0

50

100

200

500

1000 2000

5000 10000 20000

Frequenz in Hz Bild 3-30 Maskierung im Frequenzbereich: Ruhehörschwelle und Mithörschwelle bei Anregung mit Schmalbandrauschen nach [Rei05], [Zwi82]

Schalldruckpegel in dB

Eine zeitliche Maskierung tritt nach einem lauten Geräusch auf. Erst nach einiger Zeit können leisere Geräusche wieder wahrgenommen werden. Man spricht von der Nachmaskierung. Sie nimmt mit der Zeit schnell ab und dauert etwa 150 bis 200 ms. Bild 3-31 stellt den Effekt schematisch dar. Zunächst überraschend gibt es auch eine Vormaskierung. Sie erklärt sich aus den Signallaufzeiten im Gehörorgan und der verzögerten Verarbeitung im Gehirn. Dadurch können Signalanteil scheinbar andere überholen. Vor- und Nachmaskierung führen zu Irrelevanzen, die zur Datenreduktion weggelassen werden können.

40

Gleichzeitige Maskierung

Vormaskierung

Nachmaskierung

20 0

50

0

50

100

150

Zeit in ms 0

50

100

150

Bild 3-31 Maskierung im Zeitbereich nach [Rei05], [Zwi82]

3.7.2

Audiocodierung für MPEG-1 Layer III

Die digitale Signalverarbeitung ermöglicht, die besonderen Eigenschaften des menschlichen Gehörs zur Datenreduktion zu nutzen. Die Maskierungseffekte im Frequenz- und im Zeitbereich legen eine blockorientierte Signalverarbeitung im Frequenzbereich nahe; ähnlich der Kurzzeitspektralanalyse mit der FFT in Abschnitt 3.7.1. Die Anleitung zur Codierung der Blöcke liefert ein psychoakustisches Modell, das den Einfluss der Codierung auf den Höreindruck beschreibt. Damit wird der Empfänger in die Codierung im Encoder einbezogen. Man spricht von einer Analyse durch Synthese.

106

3 Pulse-Code-Modulation, digitale Signalverarbeitung und Audiocodierung

Bild 3-32 zeigt das vereinfachte Blockdiagramm des Encoders. Den Ausgangspunkt bildet ein digitales Audiosignal in Mono, das üblicherweise bei einer Abtastfrequenz von 48 kHz mit 16 Bits PCM-codiert ist. Also eine Bitrate von 768 kbit/s aufweist. Im ersten Codierungsschritt wird das Audiosignal mit einer Filterbank in 32 Teilbänder zerlegt. Die Filterbank liefert 32 Signale, je ein Signal für ein Teilband im Frequenzspektrum. Im nachfolgenden Block MDCT wird die spektrale Aufteilung weiter verfeinert. Jedes Teilsignal wird in 18 Subbänder zerlegt, sodass insgesamt 576 Subbänder entstehen. Zur Anwendung kommt die Modifizierte diskrete Kosinus-Transformation (MDCT, Modified Discrete Cosine Transform), die mit der DFT eng verwandt ist. Parallel wird zum Audiosignal mit einer FFT der Länge 1024 das Kurzzeitspektrum in relativ hoher Frequenzauflösung berechnet. Das Kurzzeitspektrum beschreibt den momentanen Zustand des Audiosignals, wie er für die psychoakustische Bewertung, die Berechnung der Mithörschwellen, benötigt wird. Die Codierung mit Datenkompression wird im Block Quantisierung mit dynamischer Bitzuweisung vorgenommen. Die Datenkompression beruht darauf, dass jedem Teilsignal der 576 Subbänder zu seiner Darstellung so wenige Bits wie möglich zugeteilt werden, sodass die Quantisierungsfehler noch unterhalb der Mithörschwellen bleiben. Dabei werden auch zeitliche Verdeckungseffekte berücksichtigt. Die Bitratenanpassung beachtet äußere Vorgaben, wie die Zielbitrate des codierten Audiobitstroms. Nach der Irrelevanzreduktion schließt sich eine Huffman-Codierung an. Dabei werden Redundanzen im Signal (Bitstrom) zur weiteren Datenkompression genutzt. Man spricht auch von einer Entropiecodierung, siehe Abschnitt 8.2. Die Seiteninformation, das sind Daten die zur Steuerung der Decodierung im Empfänger benötigt werden, wird gesondert behandelt.

768 kbit/s Filterbank mit 32 Teilbändern

FFT N = 1024

32 Teilbänder

Digitales Audiosignal

576 Subbänder

Abschließend werden alle Daten in standardgemäße Rahmen gepackt und zusätzlich mit 16 Redundanzbits eines CRC-Codes (Cyclic Redundancy Check) zur Erkennung von Übertragungsfehlern versehen, siehe Abschnitt 8.3. Je nach gewünschter Qualität, Zielbitrate, entsteht so ein genormter Audiobitstrom mit einer Bitrate von 32 bis 196 kbit/s.

MDCT

Bitratenanpassung Quantisierung mit dynamischer Bitzuweisung

Psychoakustisches Modell

Codierter Audiobitstrom 32… 192 kbit/s

HuffmanCodierung

Codierung der Seiteninformation

Rahmenbildung und Fehlerschutz

Bild 3-32 Blockdiagramm des Encoders für die Audio-Codierung nach MPEG-1 Layer III (Mono)

3.7 Audiocodierung

107

In Erweiterung des vorgestellten Verfahrens wird nach MPEG-1 Layer III die Quantisierung mit dynamischer Bitzuweisung iterativ vorgenommen. Darüber hinaus wird eine BitreservoirTechnik zur Codierung schwieriger Passagen eingesetzt. Das heißt, bei einfach zu codierenden Blöcken werden nicht alle verfügbaren Bits benutzt, sondern Bits für schwierig zu codierenden Blöcke angespart. Eine Intensitäts- und Stereocodierung ist vorgesehen.

3.7.3

HE-AAC Codec

Neuere Fortschritte in der Audiocodierung hat die ISO/IEC im Jahre 2006 veranlasst, den High Efficency Advanced Audio Codec in der Version 2 (HE-AAC v2) zu standardisieren. Die technischen Einzelheiten würden hier den Rahmen sprengen [BSH08], [HeDi08]. Es kommen jedoch zwei Aspekte zum Tragen, die auch in anderen Bereichen der Informationstechnik eine wichtige Rolle spielen und deshalb exemplarisch herausgestellt werden: die Kompatibilität und die Skalierbarkeit. Der Aufbau des HE-AAC Codec ist in Bild 3-33 zu sehen. Im Encoder und Decoder wird, ähnlich den Schalen einer Zwiebel, der ACC-Kern durch zwei Erweiterungen umgeben: der Module zur Verbesserung des reproduzierten Spektrums (Spectral Band Replication (SBR) Bandwidth Enhancement Tool) und zur Komprimierung von Stereosignalen (Parametric Stereo (PS) Compression Tool). Im Encoder sind drei Betriebsarten möglich: AAC-Codierung HE-AAC v1 ( ACC-Codierung mit SBR-Vorverarbeitung) HE-AAC v2 (ACC-Codierung mit SBR- und PS-Vorverarbeitung) Man kann deshalb auch von der AAC-Codec-Familie sprechen.

PS

Encoder

SBR

ACC

AACBitstrom MUX

Audiosignal

AACFormat

Seiteninformation

PS

Decoder

SBR

ACC

MUX

Audiosignal

Seiteninformation Bild 3-33 Aufbau des HE-AAC Codec

Beim HE-AAC v2 Encoder wird das Audiosignal dem PS-Modul zugeführt. Das PS-Modul berücksichtigt die Abhängigkeiten zwischen den Stereosignalen und erhöht so die Effizienz der Komprimierung. Dabei erzeugte Daten müssen zusätzlich als Seiteninformation übertragen werden, was einen zusätzlichen Bitstrom von einigen kbit/s bedingt.

108

3 Pulse-Code-Modulation, digitale Signalverarbeitung und Audiocodierung

Das vorverarbeitete Audiosignal wird zum SBR-Modul geleitet, welches die Abhängigkeiten zwischen dem unteren und oberen Teil des Spektrums zur Komprimierung nützt. Auch hier entsteht Seiteninformation mit einem Bitstrom von etwa 2…3 kbit/s. Das zweimal vorverarbeitete Audiosignal wird schließlich AAC-codiert. Der ACC-Bitstrom und die Seiteninformationen werden zu einem AAC-Standard-kompatiblen Datenstrom zusammengeführt, in Bild 3-33 durch den Multiplexer (MUX) angedeutet. Aus dem AAC-konformen Bitstrom wird im Decoder wieder ein Audiosignal erzeugt. Das Audiosignal am Decoderausgang weicht mehr oder weniger vom ursprünglichen Audiosignal am Encodereingang ab, wobei der Höreindruck möglichst wenig verfälscht werden soll. Von besonderem Interesse an der AAC-Codec-Familie ist die realisierte Kompatibilität. Da dem Bitstrom das AAC-Format zugrunde liegt, kann der Decoder die Bitströme aller drei Encodervarianten optimal verarbeiten. Darüber hinaus kann auch ein AAC-Decoder die Bitströme der HE-AAC-Encoder zu einem Audiosignal umsetzten allerdings unterbleibt die SBR- und PS-Nachverarbeitung, sodass mit hörbare Qualitätseinbußen zu rechnen ist. In der Praxis auch deshalb, weil beim Einsatz der HE-AAC-Encoder die Bitrate des AAC-Anteils in der Regel relativ niedrig gewählt wird. Den Zusammenhang zwischen Bitrate und der wahrgenommenen Qualität, dem subjektiven Höreindruck, zeigt Bild 3-34. Als Referenz nach oben dient die typische Qualität einer AudioCD. Das Bild 3-34 weist auf die Skalierbarkeit des Codec hin. Mit der AAC-Codec-Familie wird, je nach gewünschter Qualität, der Bitratenbereich von circa 24 bis 128 kbit/s abgedeckt. Für die Anwendung wurden Profile definiert, d. h. typische Kombinationen von Einstellung: Abtastfrequenz des Audiosignals 24, 48 oder 96 kHz; Zahl der Audiokanäle 2 (Stereo) oder 5 (Mehrkanalsystem). Anmerkung: Würde man die AAC-Familie in der Telefonie einsetzen, könnte das Profil dynamisch vereinbart werden. Allerdings lässt der Einsatz in der Telefonie nur kurze Signalverzögerungen durch den Codec zu, weshalb der AAC-Codec zum AAC-LD(Low Delay)-Codec weiterentwickelt wurde. Der schnellere Algorithmus wird durch eine etwas geringere Effizienz der Codierung erkauft [BSH08].

wahrgenommene Qualität

Qualitätsniveau der PCM Stereo mit fA = 48 kHz

AAC HE AAC v1 HE AAC v2

Bitrate in kbit/s 24

48

64

96

128

Bild 3-34 Qualitätseindruck und Bitraten des HE-AAC Codec nach [HeDi08]

3.8 Zusammenfassung

3.8

109

Zusammenfassung

Die Digitalisierung analoger Signale durch Abtastung und Quantisierung ermöglicht es, Informationen aus unserer Umwelt mit den elektronischen Mitteln der Digitaltechnik darzustellen, zu übertragen, zu speichern und zu verarbeiten. Während bei der Abtastung unter Beachtung des Abtasttheorems das Originalsignal prinzipiell durch die si-Interpolation fehlerfrei rekonstruiert werden kann, ist die Quantisierung in der Regel nicht reversibel. Der entstehende Quantisierungsfehler kann jedoch durch die Wortlänge der gewählten Zahlendarstellung eingestellt werden, sodass mit entsprechendem Aufwand in praktischen Anwendungen eine hinreichende Genauigkeit erzielt wird. Ein interessanter Fall ergibt sich bei der Digitalisierung von Telefonsprache. Wegen der subjektiven Bewertung des Quantisierungsgeräusches durch das menschliche Gehör bietet es sich an, eine von der Signalaussteuerung abhängige ungleichförmige Quantisierung durch Kompandierung anzuwenden. Damit lässt sich die Wortlänge, und somit der Aufwand bei gleicher Hörqualität, von 12 auf 8 Bits reduzieren. Die heute weitverbreiteten Methoden zur Datenkompression für Audio- und Videosignalen machen sich ähnliche Überlegungen zunutze, indem sie die physiologischen Voraussetzungen des menschlichen Hörens und Sehens berücksichtigen. Bei der Codierung von Audio- und Videosignalen wird zwischen den verlustbehafteten und verlustlosen Verfahren, zwischen Irrelevanzreduktion bzw. Redundanzreduktion unterschieden. Die heute erzielbaren Kompressionsfaktoren, bis circa 20 im Audiobereich (HE-AAC v2) und bis circa 50 für Standbilder (Joint Picture Experts Group, JPEG 2000) und drüber hinaus im Videobereich, werden durch die digitale Signalverarbeitung erzielt. Wichtige Beispiele für die Methoden der digitalen Signalverarbeitung sind die Kurzzeitspektralanalyse mit der FFT und die digitale Filterung.

3.9

Aufgaben zu Abschnitt 3

Aufgabe 3.1

Das Audiosignal eines Stereokanals für die Übertragung mit dem digitalen Hörrundfunk (Digital Audio Broadcasting, DAB) wird mit einer Abtastfrequenz von fA = 48 kHz und einer Wortlänge von 16 Bits digitalisiert. a) Wie groß darf die Frequenz eines Tones im Audiosignal höchstens sein, damit zumindest theoretisch und ohne Berücksichtigung der Quantisierung eine fehlerfreie Rekonstruktion anhand der Abtastwerte möglich ist? b) Schätzen Sie das Signal-Quantisierungsgeräusch-Verhältnis in dB ab. Aufgabe 3.2

Geben Sie die Abtastfrequenz fA, die Wortlänge w und die Bitrate Rb der üblichen PCMSprachübertragung in der Telefonie an. Aufgabe 3.3

In Bild A3.3-1 ist ein Ausschnitt eines Signals u(t) gezeigt. Es gelte max |u(t)| = 1. Das Signal soll beginnend bei t = 0 mit der Abtastfrequenz fA = 1 kHz und der Wortlänge von 3 Bits bzgl. des gesamten Aussteuerungsbereiches digitalisiert werden.

110

3 Pulse-Code-Modulation, digitale Signalverarbeitung und Audiocodierung

a) Markieren Sie die Abtastwerte in Bild A3.3-1. b) Tragen Sie die Quantisierungsintervalle ein und nummerieren Sie diese geeignet durch, so dass eine BCD-Codierung vorgenommen werden kann. c) Geben Sie die BCD-Codewörter zu den entsprechenden Quantisierungsintervallen an. d) Bestimmen Sie den Bitstrom zu den Abtastwerten. e) Geben Sie die zugehörige quantisierte Signalfolge (Repräsentanten) an. f) Zeichnen Sie die sich aus den Repräsentanten ergebende interpolierende Treppenfunktion zu u(t). CodewortNr.

BCDCodewort

Repräsentant

1 u(t)

0

0

5

t / ms 10

1

Bild A3.3-1 Digitalisierung eines Signals

Aufgabe 3.4

a) Nennen Sie zwei grundsätzliche Probleme, die bei der A/D-Umsetzung auftreten können. b) Wie können die beiden Probleme beseitigt bzw. abgemildert werden? Aufgabe 3.5

Die Sound-Card eines Multimedia-PC bietet drei Optionen für die Audioaufnahme an: Telefonqualität ( fA = 11,025 kHz, PCM 8 Bits, Mono), Rundfunkqualität ( fA = 22,05 kHz, PCM 8 Bits, Mono) und CD-Qualität ( fA = 44,1 kHz, PCM 16 Bits, Stereo). a) Wie groß darf in den drei Fällen die maximale Frequenz fmax im Audiosignal sein, damit das Abtasttheorem nicht verletzt wird? b) Schätzen Sie das Signal-Quantisierungsgeräusch-Verhältnis in dB für die drei Optionen ab. Hinweis: Gehen Sie von einer gleichförmigen Quantisierung und optimaler Aussteuerung aus. c) Welche Bitraten besitzen die von der Sound-Card für die drei Optionen erzeugten Bitströme? d) Zur Speicherung der Aufnahmedaten steht eine Harddisk mit 1 GB (Gigabyte) freiem Speicher bereit. Wie viele Sekunden des Audiosignals können je nach ausgewählter Option aufgezeichnet werden?

3.9 Aufgaben zu Abschnitt 3

111

Aufgabe 3.6

Stellen Sie die Zahlenwerte in Tabelle A3-1 in den angegebenen Festkommaformaten dar. Tabelle A3-1 PCM-Codierung xd

Gleichförmige Quantisierung mit w = 12 bit und Vorzeichen V

PCM-Format (w = 8 bit)

0,8 0,4 0,25 0,001 V = 1 für x t 0

Aufgabe 3.7

a) Ein Signal wird mit der Abtastfrequenz 48 kHz abgetastet und einer Kurzzeitspektralanalyse mit der FFT der Länge 1024 unterworfen. Wie groß ist die Frequenzauflösung bzgl. des zeitkontinuierlichen Signals? b) Wodurch unterscheiden sich die Spektren der DFT und FFT? Aufgabe 3.8

a) Was versteht man unter der Simulation durch ein digitales Filter? b) Welche Voraussetzungen müssen dafür erfüllt sein? c) Was versteht man unter einem FIR-Filter? d) Was versteht man unter einem IIR-Filter? Aufgabe 3.9

a) Erklären Sie die Begriffe: verlustlose Codierung, verlustbehaftete Codierung, Irrelevanzreduktion und Redundanzreduktion. b) Was versteht man in der Audiocodierung unter der Maskierung? Erläutern Sie die Bedeutung der Maskierung. Aufgabe 3.10

Als Maß für die erreichte Kompression wird üblicherweise das Kompressionsverhältnis (compression ratio) CR, d. h. das Verhältnis aus der Datenmenge des Originalsignals zur Datenmenge des codierten Signals, verwendet. Schätzen Sie für die AAC-Codierung das Kompressionsverhältnis für die typische Qualität einer Audio-CD ab. Um welchen Faktor kann die Kompression verstärkt werden, wenn gewisse Abstriche in der Qualität hingenommen werden.

112

4

Modulation eines sinusförmigen Trägers

Das von einer Nachrichtenquelle erzeugte Signal kann meist nicht direkt übertragen werden. Eine Anpassung an das physikalische Übertragungsmedium, wie z. B. ein Koaxialkabel, ein Funkkanal oder ein Lichtwellenleiter, ist notwendig. Hinzu kommt aus technischen und wirtschaftlichen Gründen häufig die Notwendigkeit der Bündelung verschiedener Signale, man spricht von einem Signalmultiplex. Die Übertragung der Nachrichten in elektrischer Form unterliegt den Gesetzen der Physik. Mit der Wellengleichung beschreibt die Elektrodynamik die physikalischen Grundtatsachen. Als Sonderfall ergibt sich die Telegrafengleichung, die zeitliche Änderung der Spannung auf der Leitung in Form einer Differenzialgleichung nach Ort und Zeit. Als Lösung erhält man eine gedämpfte Welle, eine Sinusfunktion mit orts- und zeitabhängiger Amplitude und Phase. Für die Nachrichtenübertragung kommen somit als Träger sinusförmige Signale infrage, denen die Nachrichten in den Amplituden, Phasen und/oder Frequenzen aufgeprägt werden. Ganz Entsprechendes gilt für die Funkübertragung, bei der sich die elektromagnetischen Wellen im Raum ausbreiten. Bild 4-1 gibt einen Überblick über die für die Träger nutzbaren Frequenzbänder verschiedener Übertragungsmedien. Hörrundfunk LW MW KW UKW

ADSL

Fernsehrundfunk I III IV/V VI

aufw. abwärts 2+

Richtfunk

sym. TF-Kabel Koaxial-Kabel 10 1 Hz

3

10 1 kHz

LWL

Hohlleiter 6

10 1 MHz

Mobilfunk, schnurlose Telefonie GSM-900 890915 und 935960 MHz 1785 und 18051880 MHz M. Werner, UMTS

Sichtbares Licht 400 ... 700 nm

DAB

sym. NF-Kabel

0

GPS, Galileo

18852025 und 21102200 MHz

Wireless LAN, Nahfunksysteme (ISM-Bänder) IEEE 802.11/b/g, Bluetooth | 2,4 GHz IEEE 802.11a, HIPERLAN 1/2 | 5 GHz WiMAX 2,52,69 und 3,43,6 GHz IEEE 802.16

9

10 1 GHz

1012 1015 Frequenz 1 THz 1 PHz

Optische Fenster der Lichtwellenleiter (LWL) I 0,33 0,375 PHz 800 900 nm II 0,23 0,3 PHz 1000 1300 nm III 0,176 0,2 PHz 1500 1700 nm Infrarot IrDA Tonübertragung

850 900 nm 950 nm

Bild 4-1 Nutzbare Frequenzbänder verschiedener Übertragungsmedien M. Werner, Nachrichtentechnik, DOI 10.1007/978-3-8348-9742-8_4, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010

4.1 Trägermodulation

113

Angefangen mit der einfachen Zweidrahtleitung für den Teilnehmeranschluss hat die moderne Nachrichtentechnik mit der optischen Übertragung mit Lichtwellenleitern den Frequenzbereich bis hin zum sichtbaren Licht erschlossen. Dabei ging der technologische Fortschritt von der Patentanmeldung des Telefons durch Bell 1876 bis zur ersten industriellen Produktion von Lichtwellenleitern etwa 100 Jahre später stets einher mit einem wachsenden Verkehrsbedarf. Ein Ende dieses Trends ist bis heute nicht zu erkennen. Die Einführung des hochauflösenden Fernsehens (HDTV, High Definition TV) und seine preiswerte Verteilung über Kabel und Funk stellen eine neue übertragungstechnische Herausforderung dar. Die Signalausbreitung ist in den physikalischen Medien stark unterschiedlich, sodass verschiedene Technologien und Übertragungsverfahren zum Einsatz kommen. Um den Rahmen einer Einführung nicht zu sprengen, beschränkt sich dieser Abschnitt auf einfache Beispiele. Exemplarisch werden die in der Nachrichtentechnik grundlegenden Prinzipien der Amplitudenmodulation, der Frequenzmodulation und des Frequenzmultiplex vorgestellt. Darauf aufbauend werden die zunehmend wichtiger werdenden digitalen Modulationsverfahren behandlet.

4.1

Trägermodulation

Liegt ein Signal im Basisband vor, z. B. ein Audiosignal als elektrische Spannung am Ausgang eines Mikrofons, wird es in der Regel zur Übertragung über größere Entfernungen in den Bereich hoher Frequenzen verschoben. Ein Beispiel liefert die Trägermodulation in der Rundfunk- und Fernsprechtechnik. Bei der Trägermodulation in Bild 4-2 wird im Modulator des Senders die Amplitude, Frequenz oder Phase eines sinusförmigen Trägers entsprechend dem modulierenden Signal variiert. modulierendes Signal u1(t)

Sender Modulator

Modulationsprodukt uM(t)

Empfangsdemoduliertes signal Empfänger Signal

Kanal

Demodulator

ud(t)

uT(t)

Träger

Träger

Bild 4-2 Blockschaltbild einer Übertragung mit Trägermodulation

Je nach Verfahren spricht man von Amplitudenmodulation (AM), Frequenzmodulation (FM) oder Phasenmodulation (PM). In Bild 4-3 sind die Modulationsprodukte für ein Kosinussignal zu finden. Bei der gewöhnlichen AM wird das modulierende Signal der Amplitude des Trägers aufgeprägt.

uAM t

ª¬u1 t U 0 º¼ uT t

(4.1)

uˆT cos(ZT t MT )

(4.2)

mit dem Träger

uT (t )

mit der Trägerkreisfrequenz ZT und der Anfangsphase des Trägers MT.

114

4 Modulation eines sinusförmigen Trägers

Dagegen besitzt das FM-Signal eine konstante Amplitude. Die Nachricht wird der Phase des Trägers, genauer der Momentanfrequenz, aufgeprägt.

uFM (t )

t ª º uˆT cos «ZT t 2S 'F u1 (W )dW » «¬ »¼ 0

³

(4.3)

Bei der FM ist das modulierende Signal in den Abständen der Nulldurchgänge oder äquivalent in der Momentanfrequenz des Trägers enthalten, siehe Bild 4-3. Eintonsignal

AM-Signal mit U0 = 0 uAM(t)

u1(t)

t

t

FM-Signal

Träger uT(t)

uFM(t) t

t

Bild 4-3 AM- und FM-Modulation eines Sinusträgers mit einem Eintonsignal

Das PM-Signal ist dem FM-Signal prinzipiell ähnlich. Beide Modulationsverfahren sind eng miteinander verwandt und werden unter dem Begriff Winkelmodulation zusammengefasst. Im Unterschied zur AM sind die FM und die PM nichtlineare Modulationsverfahren, deren Beschreibungen und insbesondere Demodulationsverfahren deutlich aufwendiger sind. Das Gegenstück zum Modulator bildet im Empfänger der Demodulator, siehe Bild 4-2. Er hat die Aufgabe, das Empfangssignal so aufzubereiten, dass die Sinke die für sie bestimmte Nachricht erhält. Der Demodulator stellt das kritische Element in der Übertragungskette dar, in dem der größte Aufwand getrieben werden muss. Dies gilt insbesondere, wenn das Signal im Kanal verzerrt und/oder durch Rauschen gestört wird. Wird im Empfänger die Nachbildung des Trägers zur Demodulation benutzt, spricht man von kohärenter ansonsten von inkohärenter Demodulation. Anmerkungen: (i) Allgemein lässt sich sagen, dass die kohärente Demodulation da sie Vorwissen über das Empfangssignal benutzt bei kleiner Störung eine bessere Empfangsqualität liefert als die inkohärente. Sie ist jedoch aufwendiger, denn sie benötigt zur Trägernachbildung eine Synchronisationseinrichtung. Und sie ist weniger robust, weil größere Störungen zum Verlust der Synchronisation führen können. (ii) Eine Baugruppe mit Modulator und Demodulator für eine Zweiwegekommunikation wird Modem genannt. (iii) In der Übertragungstechnik werden auch andere Träger eingesetzt, wie z. B. Impulse bei der Basisbandübertragung und der optischen Übertragung in Abschnitt 5 bzw. 7. Zur Unterscheidung spricht man von Sinusträgermodulation bzw. Pulsträgermodulation. (iv) Eine Neuentwicklung ist die Impulsübertragung mit UWB (Ultra-Wide Band), siehe IEEE 802.15.3. Mit besonders kurzen Impulsen wird ein leistungsschwaches, breitbandiges Funksignal zur Datenübertragung über wenige Meter erzeugt.

4.2 Amplitudenmodulation

4.2

115

Amplitudenmodulation

Der Beginn des öffentlichen Rundfunks Anfang der 1920er Jahre ist mit der Amplitudenmodulation verknüpft. Sie erlaubte Rundfunkempfänger mit relativ einfachen Sendern und Empfängern mit Hüllkurvendetektoren. Heute ist das Prinzip der AM durch die digitalen Modulationsverfahren wieder in den Mittelpunkt gerückt. Im Folgenden wird das Prinzip der AM und ihre Anwendung in der Trägerfrequenztechnik kurz eingeführt. Hierbei wird auch der Nutzen der Signalbeschreibung im Frequenzbereich deutlich.

4.2.1

Prinzip der Amplitudenmodulation

Bei der AM wird ein in der Regel niederfrequentes Signal, z. B. ein Audiosignal, mit einem hochfrequenten sinusförmigen Träger, z. B. im Mittelwellenbereich bei etwa 1 MHz, übertragen. Das Grundprinzip lässt sich gut anhand zweier Kosinussignale erläutern: dem modulierenden Signal

u1 (t )

uˆ1 cos(Z1t )

(4.4)

und dem Träger

uT (t ) uˆT cos ZT t

(4.5)

mit der Trägerkreisfrequenz ZT >> Z1. Der Einfachheit halber werden hier die Anfangsphasen zu null angenommen. Trägersignal und modulierendes Signal werden im Modulator miteinander multipliziert. Der Modulator (Mischer) besteht aus einem nichtlinearen Bauelement, wie z. B. einer Diode, und uM(t) = u1(t) einem Filter zur Abtrennung der unerwünschten Spektralu1(t)uT(t) anteile aus dem im nichtlinearen Bauelement entstehenden Signalgemisch. Bild 4-4 veranschaulicht das Konzept unter uT(t) Verwendung eines idealen Multiplizierers. Das Modulationsprodukt ergibt sich nach trigonometrischer Umformung uM (t )

Bild 4-4 Trägermultiplikation

uˆ1 uˆT ª¬ cos >ZT Z1 @ t cos >ZT Z1 @ t º¼ 2

(4.6)

Darin treten als neue Kreisfrequenzen die Differenz- und Summenkreisfrequenzen ZT r Z1 auf. In Bild 4-5 sind die (zweiseitigen) Spektren der Signale dargestellt. Im Zusammenhang mit der Fouriertransformation ist es üblich, diskrete Frequenzkomponenten durch die Impulsfunktion anzugeben, siehe Abschnitt 2.12.1. Die zugehörigen Amplituden werden meist an die Impulse geschrieben oder durch die Impulshöhe symbolisiert. Der Faktor S ergibt sich aus den Rechenregeln der Fouriertransformation.

cos Z0t l S ª¬G Z Z0 G Z Z0 º¼

(4.7)

Im unteren Teilbild ist das Spektrum des Modulationsproduktes (4.6) abgebildet. Es treten Frequenzkomponenten links und rechts von der Trägerkreisfrequenz ZT im Abstand Z1 auf.

116

4 Modulation eines sinusförmigen Trägers

U1( jZ), UT ( jZ)

S uˆT

S uˆ1 ZT

Z1

Z1

UM ( j Z)

ZT Z1

ZT + Z1

Z

ZT

S ZT Z1

uˆ1uˆT 2

ZT + Z1

Z

Bild 4-5 Spektrum des modulierenden Signals U1( jZ), des Trägersignals UT ( jZ) und des Modulationsproduktes UM ( jZ) Anmerkung: Die Korrespondenz für das Modulationsprodukt (4.7) überprüft man durch Einsetzen der rechten Seite in die Definitionsgleichung der inversen Fouriertransformation (2.86) und Anwenden der Rechenregeln für die Impulsfunktion und der eulerschen Formel (2.3).

4.2.2

Modulationssatz

Das Beispiel mit modulierendem Kosinussignal lässt sich verallgemeinern. Den analytischen Zusammenhang liefert der Modulationssatz der Fouriertransformation

x(t ) e jZ0t

l

X j >Z Z0 @

(4.8)

und seine Anwendung auf die Kosinusfunktion

x(t ) cos(Z0 t ) l

1 ª X j >Z Z0 @ X j >Z Z0 @ º¼ 2 ¬

(4.9)

mit X( jZ) der Fouriertransformierten von x(t). Anmerkung: Den Modulationssatz verifiziert man durch Einsetzen in die Definitionsgleichung der Fouriertransformation (2.85). Die Anwendung auf die Kosinusfunktion erschließt sich aus der eulerschen Formel (2.3).

Die Multiplikation mit der Kosinusfunktion verschiebt in Bild 4-6 das Spektrum des modulierenden Signals aus dem Basisband symmetrisch um die Trägerkreisfrequenz. Man erhält ein oberes Seitenband (oS) in der Regellage, wie beim modulierenden Signal, und ein unteres Seitenband (uS) in der Kehrlage, d. h. frequenzmäßig gespiegelt. Wegen den beiden Seitenbändern wird die AM nach (4.9) auch Zweiseitenband-AM genannt. Man beachte auch die Gewichtung des Spektrums mit dem Amplitudenfaktor 1/2. Anmerkungen: (i) Die Nachrichtentechnik bedient sich einer vereinfachenden Darstellung der im Allgemeinen komplexwertigen Spektren durch Dreiecke, wobei die Dreiecke mit zunehmender Frequenz ansteigen. (ii) Der Spiegelungseffekt ergibt sich nicht nur rein formal, sondern ist auch messtechnisch nachzuweisen. In der Funkkommunikation wurden früher gespiegelte Frequenzbänder übertragen, um das Abhören zu erschweren. Das Verfahren wird Sprachverschleierung, englisch Scrambling, genannt.

4.2 Amplitudenmodulation

117 U1( j Z) A Zg

Z

Zg

Multiplikation mit dem Kosinusträger UM ( jZ) uS

A/2

ZT Zg ZT ZT + Zg

ZT Zg ZT

oS

Z

ZT + Zg

Bild 4-6

Betragsspektrum des modulierenden Signals U1( jZ) und des Modulationsproduktes UM ( jZ)

4.2.3

Gewöhnliche Amplitudenmodulation

Ein einfaches Beispiel erklärt das Prinzip der AM-Übertragung und der nachfolgenden kohärenten Demodulation bzw. inkohärenten Demodulation mit dem Hüllkurvendemodulator. In Bild 4-7 ist das Blockschaltbild des Senders dargestellt. Das modulierende Signal wird dem AM-Modulator zugeführt. Zunächst wird durch Addieren der Gleichspannung U0 der Arbeitspunkt eingestellt. Im nachfolgenden Mischer geschieht die Frequenzumsetzung mit dem Träger zum AM-Signal uAM (t )

>u1 (t ) U 0 @ uT (t )

ª u1 (t ) º U 0 uˆT «1 m » cos(ZT t ) max u1 (t ) ¼ ¬

(4.10)

mit dem Modulationsgrad

m

max u1 (t )

(4.11)

U0

Anmerkung: In Bild 4-7 wurde die Addition mit der Gleichspannung gesondert gezeichnet. Oft wird nur das Symbol des Mischers zur Darstellung der AM-Modulation benutzt.

Im Modulationsprodukt ist der Träger mit der Amplitude U0 enthalten. Man spricht deshalb hier von einer AM mit Träger. Aus historischen Gründen ist auch die Bezeichnung gewöhnliche AM gebräuchlich. Gleichspannung U0 modulierendes Signal u1(t)

AM-Mod.

AM-Signal uAM(t)

Träger uT(t)

G

Bild 4-7 AM-Modulation mit Träger (Sender)

118

4 Modulation eines sinusförmigen Trägers

Für ein Signal mit der Amplitude 1, der Trägeramplitude ebenfalls 1 und den normierten Gleichspannungen U0 = 0,5 und 1,5 ergeben sich beispielhaft die AM-Signale in Bild 4-8. Ist der Modulationsgrad m kleiner eins, so bewegt sich die Einhüllende des modulierten Trägers im unterlegten Streifen in der Bildmitte. Ist der Modulationsgrad größer eins, so tritt die unten sichtbar eine Übermodulation auf. Wie noch gezeigt wird, führt die Übermodulation zu Signalverzerrungen bei der Hüllkurvendemodulation. Der Modulationsgrad m = 1 stellt den Grenzfall dar. Die tatsächliche Wahl des Modulationsgrades hängt von den praktischen Randbedingungen ab. Ein zu kleiner Modulationsgrad macht das AM-Signal anfälliger gegen Störungen durch Rauschen, da die Amplitude des demodulierten Signals proportional zum Modulationsgrad ist.

1

Modulierende Zeit

0 1

AM-Signal mit U0 = 1,5

Einhüllende

1+m

2

1m Zeit

0 2

Modulierter Träger AM-Signal mit U0 = 0,5 Übermodulation

2

Zeit

0 2

Bild 4-8 AM-Signal bei verschiedenen Modulationsgraden m (vereinfachte Darstellung)

Das Spektrum des Modulationsprodukts der gewöhnlichen AM ist in Bild 4-9 skizziert. Man erkennt insbesondere den Trägeranteil und die beiden Seitenbänder oberhalb bzw. unterhalb des Trägers. Dementsprechend wird die AM nach Bild 4-7 auch Zweiseitenband-AM mit Träger genannt. UAM ( jZ) Träger

SU0

A/2

Z ZT Z1

ZT + Z1

0

ZT Z1

ZT + Z1

Bild 4-9 Spektrum des modulierten Signals der Zweiseitenband-AM mit Träger (vereinf. Darstellung)

4.2 Amplitudenmodulation

4.2.4

119

Kohärente AM-Demodulation

Für die kohärente Demodulation, die Synchrondemodulation, wird das Trägersignal im Empfänger frequenz- und phasenrichtig benötigt. Hierzu ist im Empfänger eine aufwendige Synchronisation erforderlich. Steht eine Nachbildung des Trägers zur Verfügung, kann die Demodulation ebenso wie die Modulation erfolgen, siehe Bild 4-10.

AM-Signal

u2(t)

uAM(t) Träger uT(t)

Tiefpass

ud(t) U0/2 Gleichspannung

Zg,TP

G

Demod. Signal

u3(t)

Bild 4-10 Kohärenter AM-Demodulator

Multipliziert man das AM-Signal mit dem Träger u2 (t ) uAM (t ) cos ZT t

>u1 (t ) U0 @ cos2 ZT t >u1 (t ) U0 @

1 ª1 cos 2ZT t º¼ 2 ¬

(4.12)

schiebt sich das Spektrum ins Basisband, wie in Bild 4-11 illustriert. Dabei entstehen auch Spektralanteile bei r 2ZT. Diese können durch einen Tiefpass mit geeigneter Grenzkreisfrequenz Zg,TP vom gewünschten Signal abgetrennt werden. Zieht man noch den Gleichanteil U0 / 2 ab, so ist das demodulierte Signal proportional zum modulierenden Signal. Tiefpass

U2( jZ)

Gleichanteil SU0

A/2 2 ZT

0

Zg Zg,TP

2 ZT

Z

Bild 4-11 Kohärente AM-Demodulation im Frequenzbereich (vereinfachte Darstellung)

4.2.5

Inkohärente AM-Demodulation mit Hüllkurvendetektor

Sind gewisse Abstriche an der Übertragungsqualität tolerierbar, wie beispielsweise beim AMRundfunk, stellt die inkohärente Demodulation mit einem Hüllkurvendetektor eine preiswerte Alternative dar. Bei der inkohärenten AM-Demodulation wird die Einhüllende des Empfangssignals gebildet. Eine Nachbildung des Trägers im Empfänger ist nicht notwendig. Bild 4-12 zeigt das Prinzipschaltbild des Hüllkurvendetektors. Das demodulierte Signal wird im Wesentlichen an der Kapazität C1 abgegriffen. Durch den Gleichrichter werden die negativen Halbwellen des AM-Signals abgeschnitten. Es entsteht im Prinzip das in Bild 4-12 grau unterlegte Signal. Während der positiven Halbwelle lädt sich die Kapazität C1. In der nachfolgenden negativen Halbwelle kann sich die Kapazität über den Widerstand R1 teilweise entla-

120

4 Modulation eines sinusförmigen Trägers

den. Die Dimensionierung von C1 und R1 geschieht so, dass einerseits die hochfrequente Schwingung des Trägers geglättet wird und andererseits die Spannung an der Kapazität der zum Träger vergleichsweise sehr langsamen Variation der Einhüllenden folgen kann. Die nachfolgende Kapazität hat die Aufgabe, den Gleichanteil U0 abzutrennen. Bild 4-12 illustriert den typischen Verlauf eines Signalausschnittes am Ausgang des Hüllkurvendetektors. Kapazität zur Unterdrückung der Gleichspannung

Gleichrichter

uAM(t) u2(t)

C

uAM(t) C1

R

R1

t

u2(t)

Bild 4-12 Glättende Wirkung des Hüllkurvendetektors (links) in vereinfachter Darstellung (rechts)

4.2.6

Quadraturamplitudenmodulation

Bei der Übertragung von Daten über Telefonkabel und Richtfunkstrecken steht eine hohe spektrale Effizienz im Vordergrund. Häufig wird die Quadraturamplitudenmodulation (QAM) eingesetzt. Die QAM ist eine direkte Erweiterung der bisherigen Überlegungen. Sie erschließt sich am schnellsten aus dem Blockschaltbild des Modulators und des Demodulators in Bild 4-13. Der QAM-Modulator besitzt zwei Signalzweige für die sogenannten Quadraturkomponenten. Einen Zweig für die Normalkomponente mit der Modulation des Trägers (Kosinusfunktion) und einen für die Quadraturkomponente mit der Modulation des um S / 2-phasenverschobenen Trägers (Sinusfunktion). Beide Signalzweige werden getrennt AM-moduliert. Am Ausgang des Modulators wird das Signal gesendet

s(t ) u1 (t ) cos ZT t u2 (t ) sin ZTt

(4.13)

Für die Analyse wird angenommen, dass das Sendesignal ungestört zum Demodulator gelangt. Der Demodulator arbeitet kohärent; die Trägernachbildung ist synchron zum Träger im Empfangssignal. Normal- und Quadraturkomponente werden getrennt auf zwei Signalwegen demoduliert. Normalkomponente

u1(t) +

S/2 u2(t)

Sendesignal s(t)

Träger

2cos(ZTt)

Quadraturkomponente

r(t) Empfangssignal

Träger

S/2 2sin(ZTt)

Bild 4-13 QAM-Modulator und QAM-Demodulator

y1(t)

TrägerSynchronisation

y2(t)

4.2 Amplitudenmodulation

121

Im oberen Signalzweig wird das Empfangssignal, im Idealfall r(t) = s(t), mit dem Kosinussignal des Trägers multipliziert. Es ergeben sich die Produkte von Sinus- und Kosinusfunktionen zum Träger. Im unteren Signalzweig geschieht Entsprechendes. Mit den bekannten Produktformeln von Sinus- und Kosinusfunktionen und wegen der anschließenden idealen Tiefpassfilterung gibt es kein Übersprechen zwischen den Komponenten. TP

2 cos ZT t u1 (t ) cos ZT t

u1 (t ) ¬ª1 cos 2ZT t ¼º

o u1 (t )

2 cos ZTt sin ZT t

sin 0 sin 2ZTt

o 0

2 sin ZTt u2 (t ) sin ZTt

u2 (t ) ª¬1 cos 2ZTt º¼ o u2 (t )

TP

(4.14)

TP

Man spricht deshalb auch von einer Übertragung mit orthogonalen Trägern. Im ungestörten Fall und perfekter Trägersynchronisation sind die demodulierten Quadraturkomponenten gleich den gesendeten. Damit ist es prinzipiell möglich, zwei Nachrichtensignale gleichzeitig im selben Frequenzband störungsfrei zu übertragen. Anmerkung: Für die Quadraturkomponenten sind unterschiedliche Sprechweisen gebräuchlich: Inphase/ Kophasal-Komponente (In-phase Component/Signal) und Quadraturkomponente (Quadrature(-phase) Component/Signal). Daraus leiten sich auch die Kurzbezeichnungen I-Q- in verschiedenen Zusammensetzungen ab, wie I-Q-Modulator und I-Q-Demodulator. Betrachtet man primär die Umsetzung des Basisbandsignals in die Quadraturkomponenten bzw. umgekehrt, so spricht man von einem Quadraturmischer (Quadrature Mixer, I-Q-Mixer).

4.2.7

Trägerfrequenztechnik in der Telefonie

Die Trägerfrequenztechnik (TF-Technik) ermöglicht es, verschiedene Signale gleichzeitig über ein Medium, z. B. Koaxialkabel, zu übertragen. Hierbei werden die Signale im Spektrum nebeneinander im Frequenzmultiplex angeordnet. Eine wichtige Anwendung findet die TFTechnik in der Telefonie, bei der gemäß internationaler Normen bis zu 10.800 Gesprächskanäle in einem Koaxialkabel gemeinsam übertragen werden. Dadurch teilen sich auch 10.800 Teilnehmer die Übertragungskosten. Erst durch die Multiplextechnik wird Telekommunikation über größere Entfernungen erschwinglich. Das Prinzip der TF-Technik wird am Beispiel einer Vorgruppe vorgestellt. In einer Vorgruppe werden drei Gesprächskanäle zusammengefasst, siehe Bild 4-14. Dabei werden die Basisbandsignale mit Spektralkomponenten im Bereich von 300 Hz bis 3400 Hz mit den Trägern bei fT1 = 12 kHz, fT2 = 16 kHz und fT3 = 20 kHz multipliziert. Daran schließen sich Bandpassfilter (BP) an, die jeweils nur das obere Seitenband passieren lassen.

a

b

c

c

cos(2SfT1t)

BP 1

Vorgruppe

d

cos(2SfT2t)

BP 2

e

cos(2SfT3t)

BP 3

Die zugehörigen Spektren sind in Bild 4-15 schematisch dargestellt. Das oberste Teilbild zeigt das Bild 4-14 Trägerfrequenztechnik in der Spektrum des Basisbandsignals mit der unteren Telefonie Vorgruppenbildung Grenzfrequenz fu = 300 Hz und der oberen Grenzfrequenz fo = 3400 Hz. Das mittlere Teilbild ge-

122

4 Modulation eines sinusförmigen Trägers

hört zu den Bandpass-Signalen nach der Multiplikation mit dem Träger. Zuletzt zeigt das untere Teilbild das Spektrum nach der Filterung. Nur das obere Seitenband wird übertragen. Dies geschieht ohne Informationsverlust, da die Spektren reeller Signale symmetrisch sind. Oberes und unteres Seitenband enthalten jeweils dieselbe Information. Durch die Einseitenbandübertragung, mit der Einseitenbandmodulation (ESB-AM, ab etwa 1920), wird die Übertragungskapazität verdoppelt. Bild 4-15 zeigt rechts das resultierende Spektrum der Vorgruppe in der für das Frequenzmultiplex typischen Anordnung der Teilbänder (Kanäle). Die Spektralanteile bei negativen Frequenzen wurden in den Zeichnungen weggelassen. a) TP-Spektrum 0 fu fo

f

Frequenzmultiplex

fT1

b) BP-Spektrum

f

0

c

|HBP( f )| c) ESB-Spektrum

fT1

d fT2

e

f

fT3

f 0

Bild 4-15 Spektren zur Vorgruppenbildung in Bild 4-14 und Bandpass-Spektrum der Vorgruppe im Frequenzmultiplex (vereinfachte Darstellung)

In Tabelle 4-1 ist die Hierarchie der TF-Systeme zusammengestellt. Vier Vorgruppen werden zu einer Gruppe des Z12-Systems zusammengefasst, usw. Der Vorteil der hierarchischen Gruppenbildung liegt darin, dass die Modulation und Demodulation für das nächsthöhere TFSystem für die gesamte Gruppe gemeinsam vorgenommen werden kann. Der Nachteil besteht in der mangelnden Flexibilität. Damit ist gemeint, dass, wenn auch nur ein Gesprächskanal mehr übertragen werden soll, als die Gruppe fasst, das Frequenzband einer ganzen Gruppe bereitzustellen ist und gegebenenfalls auf die nächste Hierarchieebene gewechselt werden muss. Dies kann zu einer unbefriedigenden Auslastung der Übertragungseinrichtungen führen. Hinzu kommt, dass bei der Demodulation alle Hierarchiestufen abwärts zu durchlaufen sind, bevor ein Gesprächskanal ausgekoppelt werden kann. Tabelle 4-1 Trägerfrequenzsysteme in der analogen Telefonie Trägerfrequenzsystem Z 12 V 60 V 120 V 300 V 960 V 2700 1 V 10800 1

Kabelleitung Symmetrische Leitung

Koaxialkabel

Bandbreite

Verstärkerabstand

6 ... 54 und 60 ... 108 kHz 12 ... 252 kHz 12 ... 552 kHz 60 ... 1 300 kHz 60 ... 4 028 kHz 316 ... 12 388 kHz 4 332 ... 59 684 kHz

32 km 18 km 18 km 8 km 9 km 4,5 km 1,5 km

Zweidrahtsystem (Z) mit getrennter Frequenzlage der Gesprächsrichtungen und Vierdrahtsystem (V) mit Frequenzgleichlage der Gesprächsrichtungen 1

1 bzw. insgesamt bis zu 6 analoge TV-Kanäle möglich

4.3 Frequenzmodulation

123

In Tabelle 4-1 sind zusätzlich die typischen Entfernungen zwischen zwei Verstärkern eingetragen. Je mehr Gespräche gleichzeitig übertragen werden, desto höhere Frequenzen werden benutzt. Da die Leitungsdämpfung mit zunehmender Frequenz ansteigt, müssen Verstärker in immer kürzeren Abständen eingesetzt werden. Die TF-Technik stellt hohe Qualitätsansprüche an die analogen Übertragungseinrichtungen, wie Verstärker, Filter und Leitungen. Heute ist sie deshalb in vielen Ländern durch die robustere und flexiblere digitale Übertragungstechnik abgelöst. Seit Anfang der 1980er Jahre wurden im Netz der Deutschen Bundespost für den Fernverkehr nur noch digitale Systeme mit Lichtwellenleitern neu eingerichtet, siehe Abschnitte 6 und 7.

4.3

Frequenzmodulation

4.3.1

Modulation der Momentanfrequenz des Trägers

Die Frequenzmodulation, kurz FM genannt, stellt einen wichtigen Meilenstein in der Entwicklung zur modernen Kommunikationsgesellschaft dar. 1935 demonstrierte Armstrong1 in den USA die überlegene Qualität der FM-Übertragung. Konsequenterweise wurde die FM-Übertragung zum Standard in der mobilen Kommunikation im 2. Weltkrieg. Ihre überzeugende Klangqualität verschaffte der FM nach dem 2. Weltkrieg raschen Einzug in die Rundfunktechnik. Seit 1948 wird sie im UKW-Hörrundfunk in Mitteleuropa eingesetzt. Weitere Anwendungen finden sich in der Magnetbandaufzeichnung, der Mobilkommunikation, der Tonübertragung im Fernsehrundfunk und der drahtlosen Tonübertragung mit Infrarotlicht für Kopfhörer. Bei der Frequenzmodulation wird die Nachricht der Phase des Sinusträgers aufgeprägt. t ª º uFM (t ) uˆT cos \ FM (t ) uˆT cos «ZT t 2S 'F ³ u(W ) dW » «¬ »¼ 0

(4.15)

Da die Nachricht in das Argument der Kosinusfunktion eingebracht wird, handelt es sich um eine nichtlineare Modulation. Es wird direkt die Momentankreisfrequenz moduliert.

ZFM t

d \ FM t ZT 2S 'F u t dt

(4.16)

Das modulierende Signal wird üblicherweise auf seinen Maximalwert normiert, max |u(t)| = 1. Zur Parametrisierung wird der Frequenzhub 'F verwendet. Er ist gleich der maximalen Abweichung der Momentanfrequenz von der Trägerfrequenz. Der Frequenzhub ist jedoch nicht mit der Bandbreite des FM-Signals gleichzusetzen, obwohl er sie wesentlich beeinflusst. Bezieht man den maximalen Frequenzhub auf die Grenzfrequenz fg des modulierenden Signals, so erhält man den Modulationsindex.

K

1

'F f g

(4.17)

Edwin Howard Armstrong: 1890, †1954, US-amerikanischer Elektrotechniker, Pionier der Nachrichtentechnik.

124

4 Modulation eines sinusförmigen Trägers

Zur praktischen Realisierung der FM-Modulation stehen verschiedene Möglichkeiten zur Verfügung. Beispielsweise kann die Kapazität einer Varaktordiode in einem Schwingkreis durch das modulierende Signal gesteuert werden. Oder es wird ein spannungsgesteuerter Oszillator (VCO, Voltage Controlled Oscillator) mit einem Schwingquarz verwendet. Beispiel FM-Signal für eine Eintonmodulation

Das Prinzip der FM-Modulation kann am Beispiel eines Eintonsignals gut veranschaulicht werden.

cos(Z1t )

u (t )

(4.18)

Es folgt für die Phase des FM-Signals t

\ FM (t ) ZT t 2S 'F ³ cos Z1W dW

ZT t

0

'F sin Z1t ZT t K sin Z1t f1

(4.19)

Die Phase und das zugehörige FM-Signal sind in Bild 4-16 zusehen. Für eine übersichtliche Darstellung wurden folgende Zahlenwerte gewählt. Der Zeitausschnitt ist auf eine Periode des modulierenden Signals begrenzt. Der Frequenzhub und die Frequenz des Trägers sind 'F = 4 f1 bzw. 'F = 8 f1. Für den Zeitausschnitt t = 1 / f1 ergibt sich insgesamt der Phasenzuwachs von 2S 8 | 50, 2 im oberen Bild. Zum Vergleich wird im Bild die Gerade zur Phase des unmodulierten Trägers ebenfalls gezeigt. Zunächst wird durch das modulierende Signal (4.18) die Momentanfrequenz, die Steigung der Phase, erhöht. Damit wächst die Phase (4.19) schneller als die des unmodulierten Trägers. Bei tf1 = 0,25 wechselt das Vorzeichen des modulierenden Signals. Der Phasenzuwachs verlangsamt sich. Nach tf1 = 0,5 ist die Phase des FM-Signals gleich der des unmodulierten Trägers, da das Integral in (4.19) über die erste halbe Periode der Kosinusfunktion den Wert null liefert. Den letzten Überlegungen entsprechend entwickelt sich die Phase weiter. Jeweils nach einer halben Periode, gemäß der Nullstellen der Sinusfunktion in (4.19), stimmen die Phasen des modulierten und des unmodulierten Trägers überein. \FM(t)

uT

40

FM 0

0

0,2

uT

1

uFM(t)

0,4

0,6

0,8

1

FM tf1

0 1 0

tf1

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Bild 4-16 Phase und Signal zur Frequenzmodulation (FM) für ein modulierendes Eintonsignal im Vergleich zum unmodulierten Träger (uT)

4.3 Frequenzmodulation

125

Im unteren Bild ist das FM-Signal zu sehen. Da die Momentanfrequenz zunächst größer ist als die des unmodulierten Trägers, ändert sich das FM-Signal schneller. Die Abstände der Nulldurchgänge sind kürzer. Dann jedoch nimmt die Steigung der Phase des FM-Signals ab. Die Abstände der Nulldurchgänge verlängern sich. Bei tf1 = 0,5 ist die Momentanfrequenz am geringsten. Die Nulldurchgänge des FM-Signals haben dort den größten Abstand voneinander. Danach nimmt die Momentanfrequenz wieder zu und die Abstände der Nulldurchgänge ab. Bei der FM-Modulation ist die Nachricht in den Abständen der Nulldurchgänge enthalten. Beispiel FM-Signal für ein Mehrtonsignal

Die FM-Modulation veranschaulicht ein weiteres Beispiel, das Mehrtonsignal in Bild 4-17, vergleiche Bild 4-8. Um die Wirkung der FM-Modulation zu verdeutlichen, sind die Nulldurchgänge des FM-Signals hervorgehoben. Man erkennt wieder, die Nachricht ist in den Abständen der Nulldurchgänge enthalten: Positive Flächenzuwächse der Modellierenden verdichten die Abstände, während negative die Abstände auseinanderziehen. Man beachte auch die konstante Einhüllende des FM-Signals, die für viele Anwendungen, wie dem Mobilfunk, vorteilhaft ist, vergleiche auch Bild 4-8. 1

Modulierende Zeit

0 1

1

FM-Signal Zeit

0 1

Bild 4-17 Frequenzmodulation für ein modulierendes Mehrtonsignal (vereinfachte Darstellung)

4.3.2

Spektrum und Bandbreite von FM-Signalen

Das Spektrum von FM-Signalen kann nicht so einfach wie bei der AM-Modulation angegeben werden, da ein nichtlineares Modulationsverfahren vorliegt. Im Falle eines modulierenden Eintonsignals ist jedoch die Berechnung möglich, weil das Eintonsignal (4.18) periodisch ist, und sich die Periodizität über die Phase (4.19) auf das FM-Signal überträgt. Also das FM-Signal durch eine Fourierreihe dargestellt werden kann. Um den geplanten Rahmen einer Einführung nicht zu sprengen, wird direkt das Ergebnis vorgestellt

uFM (t )

uˆT

f

¦

n f

J n (K ) cos ¬ª ZT nZ1 t ¼º

(4.20)

mit den Fourierkoeffizienten Jn(K), den Bessel- oder Zylinderfunktionen n-ter Ordnung 1. Gattung. Einige Besselfunktionen sind beispielhaft in Bild 4-18 dargestellt. Für das Spektrum von FM-Signalen sind darin zwei Beobachtungen wichtig:

126

4 Modulation eines sinusförmigen Trägers 1

Jn(K)

n=0 1

0,5

2 3

4

K

0 0,5

0

2,40

3,83 5

10

15

20

Bild 4-18 Besselfunktionen n-ter Ordnung 1. Gattung

Die Besselfunktionen kommen mit wachsender Ordnung immer flacher aus dem Ursprung heraus. Deswegen nehmen die Beträge der Fourierkoeffizienten ab einer gewissen Ordnung n mit wachsendem n rasch ab. Damit ist der größte Teil der Signalleistung auf relativ wenige Koeffizienten um die Trägerfrequenz konzentriert. Die Besselfunktionen besitzen Nulldurchgänge, sodass für bestimmte Werte des Modulationsindex gewisse Frequenzkomponenten null sind, wie z. B. J0(2,4048) = 0. Wie in Abschnitt 2.6 diskutiert, besitzen periodische Signale Linienspektren, wobei die Amplituden der Spektrallinien proportional zu den Beträgen der Fourierkoeffizienten sind. Beispiele für die Betragsspektren von FM-Signalen sind in Bild 4-19 zu sehen. Die Trägerfrequenz und die Frequenz des modulierenden Eintonsignals wurden so gewählt, dass die oben angesprochenen Effekte deutlich erkennbar sind. In allen vier Beispielen ist das Aussterben der Spektrallinien für größere Frequenzabstände vom Träger, d. h. für größere Werte von n, zu sehen. Ebenso deutlich ist die Verbreiterung der Spektren mit wachsendem Modulationsindex K zu erkennen. Jedoch bleibt der größte Anteil der Leistung auf wenige Spektrallinien symmetrisch um die Trägerfrequenz begrenzt. Eine Abschätzung der Bandbreite liefert die Carson-Formel mit der Carson-Bandbreite BC. Mit der parsevalschen Gleichung (2.19) kann im Beispiel der Eintonmodulation die Zahl der Spektrallinien um die Trägerfrequenz bestimmt werden, sodass mindestens 98 % der Leistung des FM-Signals erfasst werden.

BC

2 (K 1) f g

(4.21)

Die resultierenden Carson-Bandbreiten sind in Bild 4-19 eingetragen. Messungen an FMSignalen im UKW-Rundfunk zeigen, dass die Carson-Bandbreite auch bei modulierenden Audiosignalen zur Abschätzung der Bandbreite verwendet werden darf. Es ergeben sich keine Linienspektren mehr, jedoch bleibt die Energie des FM-Signals im Wesentlichen auf den Bereich der Carson-Bandbreite konzentriert. In Bild 4-19 erkennt man weiter, dass für K = 2,4048 der Träger im FM-Signal unterdrückt wird. Für K = 3,8317 fehlen die Spektralanteile bei fT r f1. Anmerkung: J. R. Carson zeigte in den 1920er Jahren in den USA theoretisch, dass die FM-Modulation stets eine höhere Bandbreite als die Einseitenbandmodulation benötigt. Die überlegene Qualität wurde jedoch nicht erkannt, sodass die FM-Modulation zunächst nicht beachtet wurde.

4.3 Frequenzmodulation

0,5

127

BC

|UFM ( f )|

0,5

K=1

K = 2,40

|UFM ( f )|

0,25

BC

0,25

0 0

10

in kHz 20

0

f

0

0,5

10

in kHz 20

f

0,5

K = 3,83

|UFM ( f )|

|UFM ( f )|

BC

0,25

0,25

0 0

10

in kHz 20

f

0 0

K=5 BC

10

in kHz 20

f

Bild 4-19 Betragsspektren von FM-Signalen bei modulierendem Eintonsignal mit fS = 1 kHz und der Trägerfrequenz fT = 10 kHz (Modellrechnungen)

Die Carson-Formel bietet die Gelegenheit, eine nachrichtentechnische Grundtatsache anzusprechen. Wir vergleichen dazu die Bandbreite des FM-Signals mit der Bandbreite des Signals bei Einseitenbandmodulation (ESB), d. h. der Bandbreite des modulierenden Signals.

BC BESB

2 K 1 f g fg

2 K 1

(4.22)

Es ergibt sich eine Bandaufweitung, die durch die Wahl des Modulationsindex K eingestellt werden kann. In technischen Übertragungssystemen kann die Bandbreite in gewissen Grenzen gegen die Übertragungsqualität und die Informationsrate ausgetauscht werden, siehe auch Kanalkapazität nach Shannon in Abschnitt 5.9. Daher rührt auch die überlegene Qualität der FM im Vergleich zur AM. Man spricht von einem Modulationsgewinn. Zu Definition des Modulationsgewinnes wird das Verhältnis der Leistung des Nachrichtensignals S zu der des Störsignals (Geräusch bzw. Rauschen) N herangezogen. Hierfür hat sich die verkürzte Sprechweise S/N-Verhältnis oder SNR, englisch Signal-to-Noise Ratio, eingebürgert. Der Modulationsgewinn ist definiert als der Quotient aus dem SNR nach der Demodulation (Empfängerausgang) durch das SNR vor der Demodulation (Empfängereingang). Eine Modellrechnung zeigt, dass bei üblichen Übertragungsbedingungen der Modulationsgewinn bei FM proportional zu K 2(K +1) ist. Eine beliebige Steigerung des Modulationsgewinnes ist jedoch nicht möglich, da mit wachsendem Modulationsindex K auch die Bandbreite (4.21) und damit die Leistung des empfangenen Rauschens ansteigt. Bei vorgegebener Sendeleistung nimmt dann das SNR am Empfängereingang ab und es zeigt sich die FM-Schwelle. Theoretische Überlegungen und experimentelle Untersuchungen belegen, dass beim Unterschreiten des SNR-Werts am Demodulatoreingang

128

4 Modulation eines sinusförmigen Trägers

von etwa 10 die demodulierte Nachricht stark gestört ist. Die FM-Schwelle hängt von der Bauart des Empfängers ab. Der SNR-Wert 10 gilt für den konventionellen FM-Empfänger. Durch den Einsatz eines Phasenregelkreises kann die FM-Schwelle deutlich gesenkt werden. Beide Empfängertypen werden im nächsten Abschnitt kurz vorgestellt. Beispiel UKW-Rundfunk

Im UKW-Rundfunk (Ultrakurzwellenrundfunk) wird der Frequenzhub von 75 kHz verwendet. Mit der Grenzfrequenz des Audiosignals von 15 kHz erhalten wir BC

§ 75kHz · 2¨ 1¸ 15kHz 180 kHz © 15kHz ¹

(4.23)

Ein Vergleich mit der Einseitenbandmodulation, deren Bandbreite ja gleich der Bandbreite des modulierenden Signals ist, ergibt eine Bandaufweitung um den Faktor 12. BC BESB-AM

180 kHz 15 kHz

12

(4.24)

In dem für den UKW-Rundfunk vorgegebenen Frequenzspektrum werden somit weniger Programme ausgestrahlt als möglich wären. Für die überlegene Klangqualität wird dies jedoch in Kauf genommen. Anmerkungen: (i) Mit dem Übergang von AM zu FM wird Störfestigkeit gegen Bandbreite eingetauscht. Dies setzt voraus, dass Sende- und Empfangseinrichtungen für die Trägersignale und Frequenzbänder bei entsprechend höheren Frequenzen zur Verfügung stehen. In den 1920er und 1930er Jahren wurde der AM-Hörrundfunk mit seinem relativ geringen Bandbreitebedarf in den Bändern LW (Langwelle, 148,5… 283,5 kHz), MW (Mittelwelle, 526,5…1606,5 kHz), KW (Kurzwelle, 2,3…26,1 MHz) eingeführt. Erst seit 1949 gibt es in Mitteleuropa den öffentlichen UKW-Rundfunk (Ultrakurzwelle, 87,5…108 MHz) mit der bandspreizenden FM. (ii) Wellenlänge O und Frequenz f stehen in reziprokem Zusammenhang: O = c / f mit der Lichtgeschwindigkeit c | 3 108 m/s im Vakuum. (iii) Der Hörrundfunk in Deutschland beruht im Wesentlichen auch heute noch auf den technischen Möglichkeiten vor 60 Jahren. Wegen der weitverbreiteten preiswerten UKW-Empfänger, insbesondere in Autoradios, und dem rasanten technischen Fortschritt konnte sich der digitale Standard T-DAB (Terrestrial Digital Audio Broadcasting) 1. Pilotprojekt mit Sendebetrieb 1995 in den Fernsehkanälen 8 (195-202 MHz) und 12 (223-230 MHz) und im LBand (1452-1492 MHz), Regelbetrieb seit 1999 nicht durchsetzen. Von der WorldDBM, früher World DAB Forum, wird deshalb vorgeschlagen, ab 2009 DAB+ mit verbesserter Kanalcodierung und dem Audio-Codec HE-AAC v2 einzuführen.

4.3.3

Demodulation von FM-Signalen

FM-Signale zu demodulieren heißt, dessen Momentankreisfrequenz als Signal zu extrahieren. Zwei Empfängertypen werden kurz vorgestellt: der konventionelle FM-Empfänger und der FM-Empfänger mit Phasenregelkreis. Der konventionelle FM-Empfänger wird manchmal auch Modulationswandler genannt, da er den AM-Hüllkurvendetektor benutzt. Die Verarbeitungsschritte sind im Blockdiagramm in Bild 4-20 zusammengestellt. Zentrales Element ist der Differenziator. Er bewirkt eine Differenziation des sinusförmigen Trägers (4.15). Gemäß der Kettenregel der Ableitung tritt die Momentankreisfrequenz in der

4.3 Frequenzmodulation

129

Amplitude des sinusförmigen Trägers auf und der Hüllkurvendetektor kann wie bei der gewöhnlichen AM verwendet werden. Die ersten beiden Blöcke sind für die Unterdrückung von Amplitudenschwankungen notwendig. Weil das FM-Signal eine konstante Einhüllende besitzt, rühren Amplitudenschwankungen von Störungen auf dem Übertragungsweg her. Wird das FM-Signal differenziert, wird deren störende Wirkung verstärkt. Aus diesem Grund werden die Amplitudenschwankungen zunächst durch eine harte Amplitudenbegrenzung mit nachfolgender Bandpassfilterung beseitigt. Der Differenziator wird, entsprechend dem Differenziationssatz der Fouriertransformation, durch ein System mit linearem Frequenzgang im Übertragungsband realisiert. Ein derartiges Verhalten liefert beispielsweise der Gegentakt-Flankendiskriminator, der die Frequenzgänge zweier Reihenschwingkreise gegensinnig so kombiniert, dass im Übertragungsband und bezogen auf die Trägerkreisfrequenz der Frequenzgang proportional zu jZ ist. Hüllkurvendetektor für AM

uFM(t)

HD( jZ)

ud(t)

AmplitudenAbtrennung des begrenzer Bandpass Differenziator Gleichrichter Tiefpass Gleichanteils Bild 4-20 Konventioneller FM-Empfänger

Der FM-Empfänger mit Phasenregelkreis (PLL, Phase-Locked Loop), ist im Prinzip ein FMModulator, der zum empfangenen FM-Signal ein Referenzsignal erzeugt. Seine Arbeitsweise wird anhand von Bild 4-21 erläutert. Am Eingang wird das FM-Signal eingespeist. Im Phasendiskriminator (PD) wird die Phase des FM-Signals mit der Phase des Referenzsignals verglichen. Der Phasendiskriminator erzeugt eine zur Phasendifferenz proportionale Spannung, die Phasendifferenzspannung ud(t). Letztere wird im Schleifenfilter mit Tiefpasscharakteristik von Rauschen befreit und geglättet. Es resultiert die Nachstimmspannung uf(t), die einem spannungsgesteuerten Oszillator (VCO, Voltage Controlled Oscillator), zugeführt wird. Der VCO ist bereits durch die Spannung U0 auf die Trägerkreisfrequenz eingestellt. Durch die Nachstimmspannung wird der Referenzspannung die Änderung ihrer Momentankreisfrequenz vorgegeben, also eine FM-Modulation durchgeführt. Sind gewisse Bedingungen erfüllt, versucht der PLL die Phasendifferenz zwischen der Eingangsspannung, dem FM-Signal und der Referenzspannung, der Nachbildung des FM-Signals, zu null zu regeln. Man spricht auch von einer Nachlaufsynchronisation. Im Idealfall sind die beiden Phasen gleich und die Nachstimmspannung ist gleich dem modulierenden Signal. Sie kann als demodulierte Nachricht ausgegeben werden. Anmerkungen: Der Regelkreis im Allgemeinen spielt in der Nachrichtentechnik und insbesondere in der Regelungstechnik eine herausragende Rolle. In der Nachrichtentechnik findet der PLL wichtige Anwendungen bei der Trägerrückgewinnung. Eine tiefer gehende Analyse des PLL ist aufwendig. Mit den Mitteln der digitalen Signalverarbeitung wird der PLL auch vollständig digital realisiert.

Eine Modellrechnung zum konventionellen FM-Empfänger zeigt, dass nach der Demodulation die Leistung der Störung mit wachsender Frequenz quadratisch zunimmt. Dies ist auf die Bewertung der Frequenzkomponenten durch den Frequenzgang des Differenziators zurückzuführen.

130

4 Modulation eines sinusförmigen Trägers

FM-Signal

Eingangsspannung ue (t)

Phasendiskriminator

PD

Schleifenfilter

ud (t)

Nachstimmspannung uf (t)

LF

demoduliertes FM-Signal

ur (t) Referenzspannung

VCO

U0

spannungsgesteuerter Oszillator Bild 4-21 Blockschaltbild des Phasenregelkreises (PLL) zur FM-Demodulation

Wegen der ungleichmäßigen Verteilung der Störleistung im Frequenzbereich bietet es sich an, die Störung durch eine Vor- und Nachverarbeitung gezielt zu bekämpfen, siehe Bild 4-22. Durch das Preemphase-System werden die Spektralanteile des modulierenden Signals mit wachsender Frequenz leistungsmäßig angehoben. Nach der FM-Übertragung werden diese im Deemphase-System auf das ursprüngliche Niveau abgesenkt. Da das Deemphase-System einen Tiefpasscharakter aufweist, wird die Störung deutlich reduziert. Im UKW-Rundfunk kann durch einfache elektrische Schaltungen, siehe Abschnitt 2.9, das SNR um den Faktor 6 verbessert werden. modulierendes Signal

Preemphase

HP( jZ

Deemphase

Kanal FMDemodulator

FMModulator

HD( jZ

demoduliertes Signal

Rauschen Bild 4-22 Anwendung der Preemphase und Deemphase bei der FM-Übertragung

4.4

Digitale Modulationsverfahren

Mit der zunehmenden Digitalisierung der Nachrichten haben sich die Anforderungen an die Übertragungstechnik stark verändert. Neue Anwendungen finden sich im digitalen Hör- und Fernsehrundfunk, im digitalen Mobilfunk, in den drahtlosen lokalen Rechnernetzen, usw. Die Übertragung selbst unterliegt den physikalischen Randbedingungen, sodass das bekannte Wissen über die analogen Modulationsverfahren und die Übertragung elektromagnetischer Wellen samt dazugehörender Gerätetechnik weiter nutzbringend angewendet werden kann. Eine tief gehende Darstellung der digitalen Modulationsverfahren, ihrer spezifischen Vor- und Nachteile sowie ihre Anwendungen würde, auch wegen der historisch gewachsen Vielzahl von Varianten, den Rahmen einer Einführung sprengen. In den folgenden Unterabschnitten werden zunächst an wichtigen Beispielen grundlegende Überlegungen vorgestellt. Dem zunehmend wichtiger werdenden OFDM-Verfahren wird zum Schluss mehr Platz eingeräumt.

4.4 Digitale Modulationsverfahren

4.4.1

131

Binäre Modulationsverfahren

Kennzeichnend für die digitale Modulation mit sinusförmigem Träger ist, dass die modulierende Nachricht in digitaler Form, d. h. zeit- und wertdiskret, vorliegt. In Bild 4-23 wird das Prinzip an einfachen Beispielen vorgestellt. Den Ausgangspunkt liefert ein Bitstrom, der in das binäre Basisbandsignal mit der Bitdauer Tb abgebildet wird. Die binäre Information kann dann beispielsweise durch Austasten eines Trägers übertragen werden. Diese einfache Form der digitalen Trägermodulation durch Amplitudentastung (Amplitude-Shift Keying, ASK) wird OnOff Keying (OOK) genannt. Alternativ kann die Nachricht auch durch Umtasten der Frequenz (Frequenzumtastung, Frequency-Shift Keying, FSK) oder der Phase (Phasenumtastung, PhaseShift Keying, PSK) codiert werden. Anmerkung: Die binäre PSK mit Phasensprüngen um S entspricht einer Amplitudenmodulation des Trägers mit +1 und 1 jeweils entsprechend dem zu übertragenden Binärzeichen (Bit). Bitstrom Basisbandsignal

0

1

0

0

1

1

0 t

Tb OOK

t

FSK

t

PSK

t

Bild 4-23 Beispiele binärer Übertragung mit Sinusträger

Der Vorteil der digitalen Übertragung liegt besonders in ihrer Störfestigkeit. Der Empfänger braucht nicht wie bei analoger AM und analoger FM das modulierende Signal möglichst rausch- und verzerrungsfrei zu demodulieren, sondern es genügt die diskreten Datenniveaus, die Amplituden-, Frequenz- bzw. Phasenstufen, zu erkennen. Damit wirken sich Rauschstörungen und Signalverzerrungen – solange ein gewisses Maß nicht überschritten wird – nicht auf die empfangene Nachricht aus. Die Detektion der Nachricht geschieht in der Regel anhand des demodulierten Basisbandsignals. Der Einfluss des Rauschens auf die Detektion wird in Abschnitt 5 genauer diskutiert. Beispiel Binäre Frequenzumtastung (BFSK)

Einen grafisch einfach darstellbaren Sonderfall der digitalen FM liefert die BFSK-Modulation, die beispielsweise Anwendung bei Telefonmodems mit Sprachbandübertragung findet. Wir skizzieren in Bild 4-24 anhand eines kleinen Beispiels das modulierende (Basisband-)Signal, die Momentanphase und das FM-Signal. Zur besseren grafischen Darstellung wählen wir das Intervall zwischen den Umtastungen, das Bitintervall T = 2 / fT, also zwei Trägerperioden, und den Frequenzhub 'F = fT / 2. _______________________________________________________________________________ Ende des Beispiels

132

4 Modulation eines sinusförmigen Trägers

1

u(t)

t/T 1

1

2

20S

3

4

5

ZT t

\FM (t)

10S

t/T

0

uFM(t)

uˆT

t/T uˆT Momentanfrequenz 3fT/2

fT/2

fT/2

3fT/2

fT/2

Bild 4-24 Binäre Frequenzumtastung (BFSK) als Beispiel für die digitale Frequenzmodulation

Eine wichtige Größe zur Beurteilung eines digitalen Modulationsverfahren für seinen kommerziellen Einsatz ist seine spektrale Effizienz, da die zur Verfügung stehende Bandbreite, besonders in der Funkkommunikation, knapp und teuer ist. Anmerkungen: (i) Im Jahr 2000 wurden in Deutschland die Frequenzbänder für die 3. Mobilfunkgeneration UMTS versteigert. Sechs Unternehmen zahlten zusammen etwa 50 Milliarden € für insgesamt 120 MHz, also circa 417 € pro Hz Bandbreite. 2010 wurden nochmals insgesamt 360 MHz für UMTS bzw. die 4. Mobilfunkgeneration LTE versteigert. Dabei wurde seitens der Regulierungsbehörde, der Bundesnetzagentur, besondere Aufmerksamkeit auf eine flächendeckende Versorgung mit breitbandigen Internetanschlüssen gelegt. Für die 360 MHz wurden insgesamt circa 4,4 Milliarden Euro erlöst. Das sind circa 12,2 € pro Herz Bandbreite. (ii) Auch bei der drahtgebunden Übertragung ist die spektrale Effizient wichtig, da mit steigender Frequenz die Verzerrungen zunehmen. Beispielsweise macht das digitale Übertragungsverfahren ADSL2+ (Asymmetric Digital Subscriber Line) aus dem Jahr 2003 auf den ursprünglich für die analoge Sprachtelefonie verlegten Zweidrahtleitungen das Frequenzband bis etwa 2,2 MHz nutzbar.

Das Nutzen-Kosten-Verhältnis bezogen auf das Spektrum, der Quotient aus übertragener Bitrate und belegter Bandbreite, beschreibt die spektrale Effizienz

ª Rb º «¬ B »¼

bit/s Hz

(4.25)

Die Verteilung der Leistung des Sendesignals im Frequenzbereich, und damit die Bandbreite, bestimmt sich im Wesentlichen aus der Form des Basisbandsignals. Liegen keine Abhängigkeiten zwischen den modulierenden Bits vor, so ist das Spektrum des Sendegrundimpulses, in Bild 4-23 der Rechteckimpuls des Basisbandsignals, ausschlaggebend. Aus Abschnitt 2 ergibt sich zum Rechteckimpuls im Spektrum die si-Funktion. Somit liefert Umtasten des Trägers mit Rechteckimpulsen, die BPSK-Modulation, als Betragsspektrum den um die Trägerfrequenz

4.4 Digitale Modulationsverfahren

133

zentrierten Betragsverlauf der si-Funktion. In Bild 4-25 sind auf die jeweiligen Maximalwerte normierte Betragsspektren im logarithmischen Maß dargestellt. Als Parameter tritt die Bitdauer Tb auf. Man erkennt, dass im Fall der harten Umtastung mit rechteckförmigen Sendegrundimpulsen (REC) die Nebenmaxima des Betragsspektrums, die Nebenzipfel, mit wachsendem Abstand von der Trägerfrequenz relativ langsam abfallen. Ein kompakteres Spektrum lässt sich durch eine weiche Umtastung mit stetigen Sendegrundimpulsen erzielen. In Bild 4-25 ist als Beispiele der Kosinusimpuls eingetragen, wie er auch bei der MSK-Modulation (Minimum-Shift Keying) verwendet wird. Im Vergleich zur harten Umtastung verbreitert sich zwar der Hauptbereich, der Hauptzipfel, jedoch konzentriert sich die Leistung stärker auf ihn. Praktisch wird dadurch eine engere Anordnung von Trägerfrequenzen in einem Frequenzmultiplexsystem möglich. Anmerkungen: (i) Die normierte Darstellung der Frequenzachse in Bild 4-25 kann wie im folgenden Beispiel interpretiert werden. Angenommen ein Bitstrom mit der Bitrate von 10 kbit/s wird binär bei einer Trägerfrequenz von 800 MHz übertragen. Die Bitdauer Tb ist 0,1 ms. Der im Bild angegebene normierte Wert fTb = 4 entspricht nun im Basisband der Frequenz 40 kHz und nach Trägermodulation 800,04 MHz. Für den normierten Wert fTb = 2 folgt entsprechend nach Trägermodulation 799,98 MHz. (ii) Durch die Wahl von stetig differenzierbaren Sendegrundimpulsen kann das Spektrum weiter konzentriert werden. Darüber hinaus können durch Codierung und Vorfilterung gezielt Abhängigkeiten zwischen den Bits, bzw. im Basisbandsignal eingebracht werden, um das Sendesignalspektrums einzustellen. Dies geschieht z. B. beim AMI-Code in Abschnitt 5. Ein Beispiel für die Tiefpassfilterung (Glättung) des Basisbandsignals gibt die GMSK-Modulation für den Mobilfunk in Abschnitt 9. g(t)

REC

A

0

G( f ) G (0)

MSK t / Tb 1

0

0 MSK

REC

20

40 in dB 60 4

3

2

1

0

1

2

3

4

fTb

Bild 4-25 Betragsspektren der Sendegrundimpulse Rechteckimpuls (REC) und Kosinusimpuls (MSK)

Beispiel Spektrale Effizienz

Ein Nachteil der digitalen Übertragung liegt in der höheren Bandbreite, der geringeren spektralen Effizienz verglichen mit der AM-Übertragung. Dies veranschaulicht eine kurze Überlegung: Die Übertragung eines analogen Telefonsprachsignals erfordert als ESB-AM-Übertragung in der Trägerfrequenztechnik circa 4 kHz Bandbreite. Überträgt man das Telefonsprachsignal digital als PCM-Sprache, so liegt zunächst eine Bitrate von 64 kbit/s zugrunde. Die anschließende BPSK-Übertragung belegt ein Frequenzband entsprechend Bild 4-25. Nehmen wir vereinfachend an, die tatsächlich belegte Bandbreite z. B.

134

4 Modulation eines sinusförmigen Trägers

nach BP-Filterung entspricht der halben Breite des Hauptzipfels zu den REC-Impulsen, so ist die tatsächlich belegte Breite B = fb = 64 kHz. Die spektrale Effizienz beträgt 1 (bit/s) / Hz. Im Beispiel tritt eine Bandaufweitung um den Faktor 16 auf. Die Bandaufweitung der digitalen Modulation wird in der Praxis durch eine höhere Störfestigkeit mehr als ausgeglichen, vergleiche auch FM-Übertragung. Oft macht erst die digitale Übertragung eine wirtschaftliche Nutzung stark gestörter Übertragungsmedien möglich, wie den Funkkanal beim digitalen Mobilfunk (GSM) oder die herkömmliche Zweidrahtleitung im digitalen Teilnehmeranschluss (ADSL2+). Darüber hinaus kann durch den Übergang auf eine mehrstufige Übertragung die spektrale Effizienz deutlich gesteigert werden.

4.4.2

Mehrstufige Modulationsverfahren

Um größere Bitraten bei moderaten Bandbreiten zu übertragen, werden mehrstufige Modulationsverfahren verwendet. Ein einfaches Beispiel ist die vierstufige Pulsamplitudenmodulation, 4-PAM, in Bild 4-26. Jeweils zwei Bits werden zu einem Symbol zusammengefasst und als ein Amplitudenwert codiert. Die Zuordnung der Symbole zu den Datenniveaus des Signals geschieht so, dass sich die Symbole benachbarter Datenniveaus in nur einem Bit unterscheiden. Da typischerweise Übertragungsfehler zur Verwechslung benachbarter Datenniveaus führen, erhält man so im Mittel weniger Bitfehler. Eine derartige Codierung wird Gray-Code genannt. Es resultiert ein digitales Basisbandsignal mit vier Datenniveaus. Die Dauer eines Symbols ist hier doppelt so lang wie die eines Bits. Wegen des reziproken Zusammenhangs zwischen der Zeitdauer und der Bandbreite, wird jetzt nur die halbe Bandbreite wie bei der binären ASK bzw. PSK benötigt. Oder umgekehrt, bei gleicher Bandbreite kann die doppelte Bitrate übertragen werden. Die Bitrate ist jedoch nicht beliebig steigerbar. Wie im Abschnitt 5.9 noch ausgeführt wird, wird die maximal erzielbare Bitrate, d. h. Anzahl der übertragenen Bit pro Zeit, durch die beschränkte Sendeleistung und die unvermeidliche Rauschstörung begrenzt. Mit dem 4-PAM-Basisbandsignal wird schließlich der Sinusträger multipliziert, sodass das Signal im unteren Teilbild entsteht. Tb Bitstrom Symbole

0

Ts 0

0

1

1

1

1

0

Datenniveaus

„11“

3

„10“

1

„00“

1

„01“

3 uˆ

Basisbandsignal

t

4-PAM mit Träger

0 uˆ Bild 4-26 4-PAM im Basisband und mit Sinusträger

t

4.4 Digitale Modulationsverfahren

135

Anmerkung: Auch bei der digitalen Modulation spielt die Frage nach kohärentem oder inkohärentem Empfang eine Rolle. Beschränkt man sich beispielsweise bei der PAM auf positive Datenniveaus, so ist eine einfache inkohärente Demodulation mit dem Hüllkurvendetektor möglich.

Bei der Datenübertragung steht eine hohe spektrale Effizienz im Vordergrund. Deshalb wird häufig die digitale Quadaraturamplitudenmodulation (QAM) eingesetzt. Die digitale QAM ist eine direkte Erweiterung der Überlegungen in Abschnitt 4.3.6. Sie fußt darauf, dass prinzipiell alle zu übertragenden Bandpass-Signale wie in (4.13) als Überlagerung einer Normal- und einer Quadraturkomponente dargestellt werden können. Bei der digitalen QAM sind die Quadraturkomponenten digitale Basisbandsignale, die durch Abbildung des Bitstromes entstehen, siehe Bild 4-27. Das tatsächlich verwendete Modulationsverfahren wird durch die Art der Abbildung des Bitstromes, englisch Mapping genannt, auf die Quadraturkomponenten festgelegt. Die Umwandlung des Basisbandsignals in das BandpassSignal und umgekehrt geschieht durch einen Quadraturmischer, wie in Bild 4-13. Im Beispiel einer 4-PAM in den Quadraturkomponenten wird in jedem Symboltakt ein Symbol von 16 Möglichen übertragen, siehe Bild 4-26 und Bild 4-28. Man bezeichnet die Modulation deshalb kurz als 16-QAM. Bitstrom

Abbildung auf die Quadraturkomponenten

u1(t)

(Mapping)

u2(t)

Quadraturmischer Basisbandsignale

Detektierter Bitstrom

Abbildung auf den Bitstrom (Detection)

uˆ1 (t )

Bandpasssignale

Kanal

Quadraturmischer

uˆ2 (t )

Bild 4-27 Modulator und Demodulator für die digitale Quadraturamplitudenmodulation (QAM)

Im WLAN wird je nach beobachtetem SNR das Modulationsverfahren zwischen BPSK, QPSK, 16-QAM und 64-QAM umgeschaltet. In der Richtfunktechnik und für die Übertragung des digitalen Fernsehens DVB-T (Digital Video Broadcasting Terrestrial) wird die QAM mit bis zu 256 Stufen verwendet. Der PLC(Power Line Communications)-Standard IEEE P1901 sieht sogar 1024 und 4096 Stufen vor. Bei jeder Verdopplung der Stufenzahl erhöht sich die spektrale Effizienz. Eine beliebige Steigerung ist jedoch nicht möglich, weil die Detektion höherstufiger digitaler QAM-Signale zunehmend anfälliger gegen Rauschen sowie Phasen- und Dämpfungsverzerrungen wird. Bevor die praktische Begrenzung der Stufenzahl anhand eines Simulationsbeispiels verdeutlicht werden kann, muss zunächst die Detektion im Empfänger etwas genauer betrachtet werden. Bild 4-29 zeigt einen Ausschnitt aus der Signalraumkonstellation der

Quadraturkomponente 1000 1010

0010 0000

1001 1011

0011 0001

Normalkomponente 1101 1111

0111 0101

1100 1110

0110 0100

Bild 4-28 Signalraumkonstellation der 16-QAM mit Gray-Code

136

4 Modulation eines sinusförmigen Trägers

16-QAM. Eingetragen sind drei Vektoren: der Signalvektor s zum Symbol 0011, der aus den Quadraturkomponenten im Empfänger gewonnene Detektionsvektor d und der Fehlervektor e = d s, der sich bei der Übertragung durch Störungen und Verzerrungen ergibt. Anmerkung: Der Signalraum wird je nach Bedarf in bekannter Weise mit reellen Koordinaten, wie in Bild 4-28, als komplexe Zahlenebene oder 2-dimensionaler Vektorraum beschrieben. Spielt der Vektorcharakter keine Rolle, wird auch von Detektionsvariablen gesprochen.

Quadraturkomponente

d

e

Entscheidungsgebiet zum Symbol 0011

s Normalkomponente

Bild 4-29 Ausschnitt aus der Signalraumkonstellation der rechteckförmigen 16-QAM im Empfänger mit dem Signalvektor s zum Symbol 0011, dem Detektionsvektor d und dem Fehlervektor e

Der Empfänger hat die Aufgabe aus den Detektionsvektoren die gesendeten Symbole zu schätzen und dabei möglichst wenig Fehler zu machen. In Abschnitt 5 wird die Detektionsaufgabe mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung behandelt. Im Folgenden genügt es davon auszugehen, dass die Häufigkeiten von Fehlervektoren mit wachsenden Beträgen abnehmen. Die Zahl der Fehlentscheidungen wird folglich im Mittel möglichst klein, wenn die Entscheidungsregel des „nächsten Nachbarn“ zugrunde gelegt wird. Das heißt, zu jedem Detektionsvektor wird das Symbol entschieden, dessen Signalvektor den kleinsten Abstand zu ihm hat. Die Entscheidungsregel des nächsten Nachbarn zum Symbol 0011 liefert in Bild 4-29 das markierte Entscheidungsgebiet. Anmerkung: Die Signalraumkonstellation wird als rechteckförmige QAM bezeichnet. Sie erlaubt eine einfache Entscheidung anhand der Normal- und Quadraturkomponenten. Aus diesem Grund wird sie häufig eingesetzt, obwohl die rechteckförmige Signalkonstellation bei gleicher mittlerer Sendeleistung nicht die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit liefert.

Beispiel Schätzung des Error Vector Magnitude (EVM)

Die Beträge der Fehlervektoren spielen eine entscheidende Rolle für die Empfangsqualität. Dementsprechend sind Messungen von Fehlervektoren Bestandteile von Konformitäts- und Qualitätstests. Üblicherweise werden Vorgaben bezüglich des Maximalwertes und/oder des Mittelwerts des Betrags überprüft. Für den Test werden eine große Anzahl M von Symbolen übertragen, die Detektionsvektoren ausgewertet und die normierte empirische Standardabweichung des Fehlervektorbetrags, Error Vector Magnitude (EVM) genannt, bestimmt.

4.4 Digitale Modulationsverfahren

EVM dB

137 § M ¨ ¦ dm sm 10 log10 ¨ m 1 M ¨ 2 ¨¨ ¦ s m © m1

2

· ¸ ¸ dB ¸ ¸¸ ¹

(4.26)

Die Zahlenwerte werden üblicherweise im logarithmischen Maß angegeben. Im Beispiel des WLAN-Standards IEEE-802.11a/g darf der EVM am Senderausgang den Wert von 25 dB nicht überschreitet. Das heißt, eine mittlere Standardabweichung von 5,6 % ist noch zulässig. Anmerkungen: (i) Bei den Messungen sind im Testgerät die idealen Signale oft nicht verfügbar, sodass sie geschätzt werden müssen. (ii) Die von WLAN-Sendern ausgestrahlten Signale weichen bereits von der idealen Signalraumkonstellation ab, so dass selbst mit einem idealen Funkkanal und Empfänger nur noch eine begrenzte Qualität bzw. Reichweite zu erzielen ist.

Beispiel 16-QAM mit weißem gaußschen Rauschen (AWGN)

Den Einfluss des Rauschens auf die Detektion veranschaulicht das Simulationsbeispiel in Bild 4-30. Das Bilder entspricht der Darstellung in Bild 4-29 mit der Normalkomponente dc und der Quadraturkomponente ds des Detektionsvektors, d = (dc, ds). Die Achsen sind so normiert, dass das Sendesymbol 0011 bei idealem Empfang das Signal s0011 = (1,1) liefert. Die Detektionsvektoren werden als Punkte mit den Koordinaten (dc, ds) dargestellt. Bei der Übertragung wird dem Nutzsignal eine weiße gaußsche Rauschstörung (Additive White Gaussian Noise, AWGN) als Fehlervektoren überlagert. Es bilden sich Punktwolken um die idealen Signale. Fallen die Rauschamplituden relativ groß aus, rücken viele Punkte in die Nähe der Entscheidungsgrenzen; Überschreitungen der Entscheidungsgrenzen und damit Detektionsfehler können vermutet werden. Ist das SNR genügend groß, d. h. die Rauschamplituden im Mittel genügend klein, ziehen sich die Punktwolken der Detektionsvektoren um die idealen Signale zusammen. Anmerkungen: (i) Der Begriff AWGN und der Zusammenhang zwischen SNR und der Fehlerwahrscheinlichkeit werden in Abschnitt 5.5 vorgestellt. (ii) Im Bild wird ein SNR von 6 dB verwendet. Detektionsfehler sind unwahrscheinlich aber nicht ausgeschlossen. _______________________________________________________________________________ Ende des Beispiels

Durch Phasenfehler und Dämpfung auf dem Übertragungsweg kommt es zu einer Drehung bzw. einer Stauchung der Signalraumkonstellation im Empfänger. Tritt, wie oben, noch das unvermeidliche Rauschen hinzu, können die Detektionsvektoren leicht außerhalb der Entscheidungsgebiete der zugehörigen Symbole liegen. Deshalb werden in praktischen Anwendungen zu Beginn der Kommunikation und gegebenenfalls auch danach immer wieder bekannte Bitmuster gesendet, sodass der Empfänger eine Phasenverschiebung und eine Amplitudendämpfung erkennen und kompensieren kann. Anmerkung: Ist die Übertragungsqualität ausreichend, kann eine Nachjustierung auch anhand der detektierten Symbole erfolgen; man spricht dann von einer Selbstadaption statt von Training.

138

4 Modulation eines sinusförmigen Trägers

4 3

Quadraturkomponente

2

0011

1 0 1 2 3 4 4

3

2

1

0

1

2

3

4

Normalkomponente Bild 4-30 Detektionsvektoren (dc, ds) für die rechteckförmige 16-QAM mit AWGN-Rauschen bei einem SNR von 6 dB; Entscheidungsgebiet für das Symbol 0011 markiert

Beispiel 16-QAM mit Phasendrehung und Dämpfung

Die Simulation kann einfach durch eine Phasendrehung und eine Dämpfung erweitert werden. Im Beispiel wurde ein Übertragungsfaktor 0,8exp( jS/8) vorgegeben: Die Signalraum-Konstellation zieht sich somit um den Faktor 0,8 zusammen und dreht um 22,5° gegen den Uhrzeigersinn. In Bild 4-31 ist die Wirkung zu sehen. Sind Phasendrehung und Dämpfung im Empfänger bekannt, so können auch die Entscheidungsgebiete nachgeführt werden, was im Bild am Beispiel des Symbols 0011 zu sehen ist. Anmerkung: Weil die Entscheidungsgrenzen in Bild 4-31 nicht mehr parallel zu den Achsen sind, ist es für die Entscheidung einfacher die Signalraumkonstellation zurückzudrehen und aufzuspreizen, man spricht von Entzerrung. Allerdings wird das Rauschen mit verstärkt, sodass die Fehlerwahrscheinlichkeit durch das Aufspreizen nicht abnimmt. _______________________________________________________________________________ Ende des Beispiels

Anmerkungen: (i) Die Quadraturdarstellung ist für alle Bandpass-Signale möglich. Es ergibt sich eine einheitliche Darstellung, unabhängig davon ob die Trägeramplitude, die Trägerphase oder beides moduliert werden. Die Unterschiede zwischen den digitalen Modulationsverfahren mit Träger bestehen in der Abbildung des Bitstromes auf die Quadraturkomponenten. (ii) Die Erzeugung der modulierenden Basisbandsignale kann, wie zum Beispiel in den GSM-Handgeräten, durch einen digitalen Signalprozessor mit nachfolgender Digital-Analog-Umsetzung erfolgen. Das Modulationsverfahren wird dann nur durch die verwendete Software bestimmt. Für die Mobilkommunikation der Zukunft wird am breitbandigen „Software-Radio“ gearbeitet, das sich durch Laden der Modulator- und Demodulator-Software über eine universelle Funk-Schnittstelle an die jeweiligen Gegebenheiten vor Ort anpasst. (iii) Die QAM ist ein wesentlicher Bestandteil des OFDM-Verfahrens und damit Grundlage wichtiger Anwendungen.

4.4 Digitale Modulationsverfahren

139

4

Quadraturkomponente

3 2 1

0011

0 1 2 3 4 4

3

2

1

0

1

2

3

4

Normalkomponente Bild 4-31 Signalraumkonstellation der rechteckförmigen 16-QAM mit Phasendrehung und Dämpfung, siehe Bild 4-30

Das Problem der Dämpfungsverzerrungen kann bei der Detektion reduziert werden, wenn die Nachricht nur in der Trägerphase codiert wird. Bild 4-32 zeigt die Signalraumkonstellation für die 8-PSK-Modulation. Alle Symbole liegen auf einem Kreis um den Ursprung und haben so den gleichen Betrag. Die Codierung geschieht je nach zu übertragendem Symbol durch Amplitudenumtastung der Normal- und Quadraturkomponente. Für die Dekodierung ist die Phasenlage wichtig, wie die Entscheidungsgebiete in Bild 4-32, die radialen Sektoren, zeigen. Amplitudenschwankungen im Empfangssignal spielen im Vergleich zur 16-QAM deshalb keine so große Rolle. Auch langsame Phasendrehungen sind tolerierbar, wenn die Nachricht in der Phasendifferenz aufeinander folgender Symbole codiert wird. Diese Variante, differenzielle PSK (D-PSK) genannt, findet als besonders robustes Verfahren ihre Anwendung. Ein Beispiel liefert die Funkübertragung mit der 2005 eingeführten Weiterentwicklung Bluetooth V.2+EDR (Enhanced Data Rate). Dort wird mit der 8-DPSK-Modulation im Kurzstreckenfunk eine Bitrate von etwa 3 Mbit/s erreicht.

Quadraturkomponente 011 001 000

010

Normalkomponente

A

110

100 111

101

Die mehrstufige PSK-Modulation, die M- Bild 4-32 Signalraumkonstellation der 8-PSKModulation mit Entscheidungsgebieten PSK, ist wegen ihrer Robustheit im Mobilund Gray-Code funk von besonderem Interesse. Als Modulation mit konstanter Einhüllenden, siehe auch

140

4 Modulation eines sinusförmigen Trägers

FM, ist sie relativ unempfindlich gegen Nichtlinearitäten, was den Einsatz effizienterer Verstärker erlaubt. Anwendungen der 8-PSK findet man beispielsweise in der Erweiterung von GSM, Enhanced Data Rates for GSM Evolution (EDGE) genannt. Wegen ihrer relativen Einfachheit hat die 4-PSK, die quaternäre PSK (Q-PSK), viele Anwendungen gefunden. Sie kann als „gleichzeitige“ binäre Amplitudenumtastung, also BPSKModulation, in den Quadraturkomponenten aufgefasst werden. Anwendungsgebiete reichen von Telefonmodems, z. B. der V.22 Empfehlung für die Übertragung mit 1200 kbit/s, bis zur Mobilkommunikation, wie beispielsweise dem US-amerikanischen Mobilfunkstandard der 2. Generation U.S. Digital Cellular (USDC). Die QPSK-Modulation ist unter anderem bei drahtlosen lokalen Netzen im Einsatz.

4.4.3

Orthogonal Frequency Division Multiplexing

In der modernen digitalen Nachrichtenübertragungstechnik hat sich das Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM) durchgesetzt. Anwendungen finden sich beispielsweise im digitalen Hörrundfunk (DAB, Digital Audio Broadcast, 1990/5), dem digitalen Fernsehrundfunk (DVB-T, Digital TV Terrestrial, 1995/7), in drahtlosen lokalen Rechnernetzen (WLAN, Wireless Local Area Network, IEEE 802.11a/g/n, 1999/2003/09) (HIPERLAN/2, High Performance LAN) in verschiedenen Varianten des digitalen Teilnehmeranschluss (DSL, Digital Subscriber Line, ab circa 1995), im drahtlosen breitbandigen Internet-Teilnehmerzugang (WiMAX, Worldwide Interoperability for Microwave Access, IEEE 802.16, 2001/04) in der Datenübertragung über Stromversorgungsleitungen zu und in Gebäuden (PLC, Power Line Communications, IEEE P1901). Die technischen Einzelheiten und die Vorteile der OFDM-Modulation als Systemlösung aufzuzeigen, ist Aufgabe der Nachrichtenübertragungstechnik und würde den Rahmen dieses Buches sprengen, z. B. [Beh08], [Kam08] und [Rei05]. Im Folgenden werden deshalb die Grundlagen für den Einsatz der FFT und der QAM vorgestellt und die übertragungstechnischen Aspekte soweit gestreift, dass das Prinzip der OFDM-Modulation und ihr Potenzial sichtbar wird. Ein kurzer Einblick in die Anwendung des OFDM-Verfahrens im WLAN wird in Abschnitt 9.6 gegeben. Mehrträgerverfahren Frequenzmultiplex Die obige Aufzählung von zunächst sehr unterschiedlich erscheinenden Anwendungsgebieten lässt vermuten, dass die OFDM Antworten auf grundlegende Fragen der Nachrichtenübertragungstechnik liefert. Um uns an das Verfahren heranzutasten, betrachten wir exemplarisch die Anforderungen an ein digitales Modulationsverfahren für die terrestrische Funkübertragung des digitalen Fernsehens. Dabei spielen zwei Punkte eine besondere Rolle: zum ersten die hohe Bitrate von circa 36 Mbit/s für das komprimierte Fernsehsignal, und zum zweiten die Besonderheiten der bodennahen Funkausbreitung. Beispiel Digitaler terrestrischer Fernsehrundfunk

Wegen der Knappheit an Frequenzbändern müssen aus wirtschaftlichen Gründen die digitalen Programme in den vorhandenen Frequenzkanälen des heutigen analogen Fernsehens übertragen werden. So können bestehende analoge Kanäle sukzessive durch digitale ersetzt werden. Es stehen deshalb jeweils nur Bandbreiten von 6 bis 8 MHz zur Verfügung.

4.4 Digitale Modulationsverfahren

141

Aus der Bandbreite von 6 MHz resultiert für ein mögliches digitales Modulationsverfahren eine spektrale Effizienz von bis zu 6 (bit/s)/Hz Bandbreite. Aus den Überlegungen in Abschnitt 4.5.1 wissen wir, dass sich bei einer BPSK mit rechteckförmigen Impulsen eine spektrale Effizienz von etwa 1 (bit/s)/Hz ergibt. Verwenden wir anstatt Symbole einer m-stufige QAM, also Amplitudenfaktoren für die Rechteckimpulse, so ändert sich die Bandbreite nicht. Mit 6 Bits pro Symbol wird die gewünschte spektrale Effizienz mit einer 64-QAM erreicht. Bevor wir Geräte in Auftrag geben, betrachten wir die besonderen Verhältnisse der terrestrischen Funkübertragung. Bei einer Symbolrate von 6106 symbol/s ist die Dauer eines Symbol 0,167 Ps. Da wir Funksignale von den bekannten Sendestationen zu den Fernsehteilnehmern übertragen wollen, schätzen wir ab, welchen Weg die elektromagnetischen Wellen während eines Symbolintervalls zurücklegen. Mit der Lichtgeschwindigkeit in Luft von ungefähr 3108 m/s ergibt sich ein Ausbreitungsweg pro Symbolintervall von etwa 50 m. Für die terrestrische Funkausbreitung ist typisch, dass die elektromagnetischen Wellen an Hindernissen im Funkfeld, wie Berge, Gebäude, Wände, Menschen, Möbel, usw., reflektiert, gestreut und gebeugt werden. Mit anderen Worten, das Funksignal erreicht auf vielen Wegen, und damit unterschiedlich zeitlich verschob, den Empfänger. Man spricht von der Mehrwegeausbreitung und dem Mehrwegeempfang. Im Beispiel eines Umwegs von 50 m überlagern sich die Empfangssignale zu zwei benachbarten Symbolen vollständig, so dass mit einer Auslöschung der Information zu rechnen ist. Die vorgeschlagene 64-QAM ist nicht geeignet. _______________________________________________________________________________ Ende des Beispiels

Bei Übertragung mit hohen Bitraten zeigt sich, dass aufgrund physikalischer Effekte, wie Verzerrungen in Leitungen oder dem Mehrwegeempfang in der Funkübertragung, sich benachbarte Symbole überlagern. Man spricht von Nachbarsymbolinterferenzen (ISI, Intersymbol Interference), die einen Nachrichtenempfang unmöglich machen können. Abhilfe schaffen unter Umständen aufwendige Entzerrer, wie bei GSM, oder ein grundsätzlich anderer Denkansatz: das Mehrträgerverfahren. Das Mehrträgerverfahren in Bild 4-33 bietet eine Lösung an. Durch Verteilen des Bitstroms auf mehrere Träger stehen dort entsprechend längere Zeitintervalle für die Übertragung zur Verfügung, sodass sich das ISI-Problem entschärft. Im Weiteren werden im Übertragungsband K Unterträger mit den Unterträgerfrequenzen fk im äquidistanten Frequenzabstand F verwendet und daraus K Unterkanäle gewonnen. Wegen dem frequenzmäßigen Trennen der Unterkanäle spricht man vom Frequenzmultiplex (FDM, Frequency Division Multiplexing). Anmerkungen: (i) Die Verlängerung der Symboldauer entschärft das Problem der ISI. Mit weiteren Maßnahmen wird in der Mobilfunkübertragung der Mehrwegeempfang sogar konstruktiv genutzt. Im Rundfunk werden Gleichwellennetze möglich, bei denen Nachbarsender die gleichen Signale im selben Frequenzband aussenden und die Empfänger die Signale nutzbringend kombinieren (Mehrwegediversität). (ii) Die Entscheidung für ein bestimmtes Übertragungsverfahren hängt von physikalischen Voraussetzungen, dem Stand der Technik und insbesondere im Rundfunk oder anderen „öffentlichen“ Anwendungen auch den gesellschaftlichen und wirtschaftlichen Bedingungen ab, siehe z. B. Einführung das DAB.

Übertragungsband F f f0 f1

fK1

Bild 4-33 Mehrträgerverfahren mit Frequenzabstand F

142

4 Modulation eines sinusförmigen Trägers

So einfach die Lösung des ISI-Problems durch das Mehrträgerverfahren ist, so schwierig erscheint die technische Umsetzung: Müssen doch jetzt K Sender und Empfänger bereitgestellt werden. Hier helfen die digitale Signalverarbeitung mit der DFT/FFT und die moderne Mikroelektronik und Systemintegration. Demodulation von OFDM-Signalen Die folgenden Überlegungen stellen die OFDM als spezielles Mehrträgerverfahren vor. Am einfachsten versteht man das Prinzip, indem man die gewünschte Funktion des OFDMEmpfängers nachweist. Dies knüpft hier auch am exemplarischen Vorgehen in Abschnitt 3.6.1 zur harmonischen Analyse und DFT/FFT an. Werden innerhalb eines gewissen Zeitintervalls, dem OFDM-Symbolintervall Ts, die K Unterträger jeweils mit konstanten Quadraturkomponenten ak und bk gesendet, liefert die Überlagerung der Signale aller Unterträger im m-ten Symbolintervall, d. h. für t [mTs, (m +1)Ts[, ein reelles Bandpass-Signal der allgemeinen Form K 1

¦ ª¬ak cos 2S > f0 k F @ t bk sin 2S > f0 k F @ t º¼

sBP (t )

(4.27)

k 0

Der Empfänger führt eine Demodulation in den Quadraturkomponenten durch, wie in Bild 4-34 illustriert wird. Im Quadraturmischer liefern die Multiplikationen mit der Trägernachbildung, 2cos(2Sf0t) im oberen Signalzweig und 2sin(2Sf0t) im unteren, nach Tiefpassfilterung die gewünschten Quadraturkomponenten. Wie man mit den trigonometrischen Formeln für die Produkte zeigen kann, resultieren für die Normal- (c) und die Quadraturkomponente (s) die Fouriersummen K 1

vc (t )

¦ ¬ªak cos 2S F k t bk sin 2S F k t ¼º

k 0 K 1

vs (t )

(4.28)

¦ ¬ªak sin 2S F k t bk cos 2S F k t ¼º

k 0

Idealer Tiefpass vc(t) Reelles Bandpass-Signal

Trägernachbildung

Normalkomponente

2cos(2Sf0t)

sBP(t)

S/2

Komplexe Basisbandverarbeitung Realteil Imaginärteil

Quadraturkomponente vs(t) Idealer Tiefpass

Bild 4-34 Umsetzung des Bandpass-Signals im Quadraturmischer in die Quadraturkomponenten

4.4 Digitale Modulationsverfahren

143

Die Signale der Fouriersumme sind orthogonal, daher der Name Orthogonale(O) FDM. Anmerkung: Die Fouriersummen entsprechen (3.17) im Beispiel zur Spektralanalyse mit der DFT/FFT.

Die Quadraturkomponenten werden einer Basisbandverarbeitung zugeführt, die die Normalkomponente als Realteil und die Quadraturkomponente als Imaginärteil eines komplexen Basisbandsignals auffasst. Mit dem komplexen Datensymbol im m-ten Symbolintervall

dk

ak jbk

(4.29)

gilt für das komplexe Basisbandsignal v (t )

K 1

¦ d k e j 2S F k t

vc (t ) jvs (t )

(4.30)

k 0

was man durch Einsetzen und Ausmultiplizieren zeigen kann. Die Basisbandverarbeitung wird typischerweise auf einem Signalprozessor mit zeitdiskreter Verarbeitung durchgeführt. Für die Abtastung wird die Abtastfrequenz

fA

1 TA

K F

(4.31)

so gewählt, dass das Abtasttheorem in Abschnitt 3.3 eingehalten wird. Das zeitdiskrete Basisbandsignal im m-ten Symbolintervall ist dann

v[ n ]

K 1

K 1

k 0

k 0

¦ dk e j 2S F k nTA

¦ dk e

j

2S k n K

(4.32)

Der Vergleich mit der inversen DFT (3.22) zeigt, bis auf den Skalierungsfaktor 1/K, die Übereinstimmung der komplexen Datensymbole mit den DFT-Koeffizienten. Da die Datensymbole anhand der Basisbandsignalfolge detektiert werden sollen, bietet es sich an, die DFT in Form der aufwandsgünstigen FFT einzusetzen, siehe Bild 4-35.

K dk

V [k ] DFT ^v[n]`

K 1

¦ v[n] e

j

2S k n K

(4.33)

n 0

Die besonderen Vorteile der OFDM-Modulation ergeben sich bei der gewählten Abstimmung zwischen der Dauer der OFDM-Symbole Ts und des Frequenzabstandes der Unterträger F. Mit K Abtastwerten pro OFDM-Symbol folgt aus (4.31)

F Ts 1

(4.34)

Mit der Demodulation nach Bild 4-35 werden alle Unterträger gemeinsam demoduliert. Eine gegenseitige Beeinflussung findet wegen der Orthogonalität der komplex Exponentiellen (3.25) nicht statt. Und für die Berechnung der DFT steht ein aufwandsgünstiger Algorithmus, die FFT, zur Verfügung.

144

4 Modulation eines sinusförmigen Trägers

Normalkomponente

reelles Bandpass-Signal sBP(t)

Quadraturmischer

d0

vc(t)

v[n] A/D

DFT

vs(t)

d1

komplexe Datensymbole

dK1

Quadraturkomponente Bild 4-35 Demodulation von OFDM-Signalen mit der DFT (vereinfacht) Anmerkungen: (i) Im Beispiel des DVB-T werden im 2K-Modus alle 280 Ps je ein Mehrträgersymbol übertragen und eine DFT der Länge 2048 berechnet. Es resultiert die Symbolrate von circa 3571 symbol/s und ein geschätzter Aufwand für die Radix-2-FFT von etwa 402 MFLOPs/s mehr Rechenleistung als 1976 der erste Supercomputer der Welt, die Cray I, hatte. (ii) Die Umweglänge der elektromagnetischen Wellen beträgt nun pro OFDM-Symbolintervall rechnerisch 84 km. Tatsächlich werden die Funksignale auf ihren Ausbreitungswegen gedämpft, so dass die relevanten Umweglängen begrenzt sind.

Spektrum von OFDM-Signalen Nachdem für OFDM-Bandpass-Signale die Möglichkeit der Demodulation mit der DFT/ FFT prinzipiell gezeigt wurde, soll das Signalspektrum als wichtige Funksystemgröße genauer betrachtet werden. Dazu wird vom Basisbandsignal ausgegangen. Das Signal für den k-ten Unterträger beschreibt f

vk ( t )

¦

m f

d k ,m g t mTs

(4.35)

mit den Datensymbol im m-ten OFDM-Symbolintervall dk,m und dem rechteckförmigen Sendegrundimpuls der Dauer Ts g (t )

1 für t [0, Ts [ ® ¯0 sonst

(4.36)

Der rechteckförmige Sendegrundimpuls besitzt mit (2.74) das Betragsspektrum G ( jZ )

§ Z Ts · Ts si ¨ ¸ © 2 ¹

(4.37)

mit den äquidistant verteilten Nullstellen im Abstand 'Z = 2S / Ts = 2S F. Im Übertragungsband überlagern sich die Spektren zu allen Unterträgern. Bei unabhängigem Bitstrom resultiert das in Bild 4-36 schematisch dargestellt Leistungsdichtespektrum. Das Leistungsdichtespektrum zu einem Unterträger ist nicht auf den nominalen Frequenzkanal der Breite F begrenzt, sondern fließt nach links und rechts aus: Es treten Interferenzen im Spektrum auf. Jedoch treffen auf die Frequenzen der Unterträger jeweils Nullstellen im Spektrum aller anderen Unterträger; somit treten an diesen Stellen keine spektralen Interferenzen auf, womit sich abermals die Orthogonalität zeigt.

4.4 Digitale Modulationsverfahren

145

Leistungsdichtespektren der Unterkanäle

Bild 4-36 erinnert an die si-Interpolation von Abtastfolgen in Bild 3-3. Hier überlagern sich die Spektren der Unterträger in idealer Weise zu einer gleichmäßigen Belegung des Übertragungsbandes, sodass es vollständig genutzt wird. Durch die begrenzte Zahl der Unterträger geschieht dies in den Anwendungen allerdings nur näherungsweise, wobei besonders an den Rändern des Übertragungsbandes Abweichungen auftreten.

F

F

Frequenz f0

f1

fk Übertragungsband

fK1

Bild 4-36 Leistungsdichtespektrum des OFDM-Multiträgersystems im Übertragungsband (schematisch)

Für die ausstrahlten Leistungsdichtespektren realer Geräte sind Vorschriften in Form von Masken einzuhalten, die sogenannte Sendemaske (Transmitter Spectral Mask). Damit werden auch Grenzen für die Abstrahlung außerhalb des Übertragungsbandes, die Außerbandstrahlungen (Spurious Emissions), vorgegeben. Bild 4-37 zeigt beispielhaft die Maske für den WLANStandard IEEE 802.11a/g und ein Simulationsergebnis für OFDM-Signale. Um die Vorgaben des Standards einzuhalten, sind besondere Maßnahmen notwendig, wie z. B. das Weglassen von Unterträgern am Rand des Frequenzbandes, die Einführung eines Schutzbandes (Guard Band), oder eine besondere Impulsformung für das Basisbandsignal.

0

normierte Leistungsdichte

0

in dB

in dB 10

Sendemaske

20

20

28

30

40 10

0

9 11

20

30

40

f fc in MHz Bild 4-37 Maske für die vom Sender ausgestrahlte Leistungsdichte nach IEEE 802.11a/g und Leistungsdichtespektrum des OFDM-Signals (Simulation mit Schutzband und Schutzintervall, ohne Impulsformung oder Filterung)

146

4 Modulation eines sinusförmigen Trägers

Anmerkungen: (i) Die Sendemaske ist symmetrisch um die Mittenfrequenz fc des Übertragungsbandes. Der Unterträger bei der Mittenfrequenz wird nicht belegt, um bei der Demodulation mit direkt mischendem Empfänger, einem Geradeausempfänger (Direct-conversion Receiver), eine Gleichspannungskomponente zu vermeiden. In Bild 4-37 wird die Forderung nach einer Dämpfung von 40 dB für Spektralkomponenten mit | f – fc | t 30 MHz verletzt. (ii) Zur Unterträgerbelegung beim WLAN-Standard, siehe Abschnitt 8.6.3. (iii) Die 20dB-Bandbreite beim WLAN beträgt 22 MHz.

Erzeugung von OFDM-Signalen Den Kern der Mehrträgermodulation OFDM stellt die Inverse DFT in (4.32). Sie bildet jeweils K komplexen Datensymbole auf eine Folge von K komplexen Abtastwerten des OFDM-Basisbandsignals ab. Das Blockschaltbild in Bild 4-38 fasst die bisherigen Überlegungen zusammen. Darüber hinaus deutet es weitere notwendige Verfahrenschritte bzw. Optionen für Verbesserungen an, die zurzeit Gegenstand der Forschung sind [Roh08]. Am Anfang steht der zu übertragenden Bitstrom links. Jeweils ein Block von Bits wird auf die Unterkanäle aufgeteilt und in die komplexen Datensymbole abgebildet, englisch Mapping genannt. Üblich sind Zuweisungen aus den BPSK-, M-PSK- und M-QAM-Konstellationen. Die entstandenen K Symbole der Unterkanäle werden durch die IDFT gemeinsam moduliert. Auf der Ausgangsseite der IDFT entsteht das komplexe Basisbandsignal. Vor der Weitergabe an den Sender sind verschiedene Nachverarbeitungen notwendig bzw. vorteilhaft. Für die Detektion ist wichtig, ISI zu vermeiden. Deswegen werden in den praktischen Anwendungen zwischen den OFDM-Symbolen Schutzintervalle GI (Guard Interval) eingeführt. Durch das zusätzliche Schutzintervall TG erhöht sich die Übertragungsdauer eines OFDMSymbols. Man spricht von einem Kernsymbol der Dauer Ts, was für die Abstände der Unterträger wichtig ist (4.34), und der tatsächlichen Dauer der Übertragung TT = Ts + TG. Die Dauer des Schutzintervalls ist eine kritische Größe. Einerseits soll es groß genug sein, damit „Ausschwingvorgänge“ im Übertragungskanal abgeschlossen sind, andererseits so klein wie möglich, damit der (Daten-)Durchsatz und der Anteil an Symbolenergie möglichst wenig reduziert wird.

komplexe komplexes Datensymbole Basisbandsignal

Bitstrom

d0

D0

d1

D1

Symbolzuweisung

Quadraturkomponenten

Zyklische Erweiterung

IDFT dK1

Schutzintervall Spitzenwertreduktion

DK1

A D

Quadraturmischer

Impulsformung reelles Bandpass-Signal

Bild 4-38 Erzeugung von OFDM-Signalen (vereinfacht)

4.4 Digitale Modulationsverfahren

147

Weil das Übertragungsmedium jeweils nur für die Zeit Ts zur Datenübertragung genutzt wird, reduziert sich der relative Durchsatz auf

Drel

Ts Ts TG

(4.38)

Beträgt das Schutzintervall 20 %, wie beim WLAN Standard IEEE 802.11a/g, wird der Durchsatz auf 80 % gesenkt. Damit fällt auch die spektrale Effizienz auf 80 % des Wertes ohne Schutzintervall. Entsprechendes gilt für die Signalenergie des Kernsymbols, was bei der üblicherweise begrenzten Sendeleistung zu einer erhöhten Fehlerwahrscheinlichkeit führt. Anmerkungen: (i) Das Schutzintervall von TG = 0,8 Ps entspricht einer Umweglänge von 240 m. (ii) Für DVB-T sind die Verhältnis TG / Ts = 1/4, 1/8, 1/16 und 1/32 vorgesehen.

Für die Detektion ist weiter wichtig, dass die Basisbandsignale die Eigenschaft der Orthogonalität nicht verlieren. Deshalb sollten „Einschwingvorgänge“ vor der Detektion mit der DFT im Übertragungskanal abgeklungen sein. Abhilfe schafft hier die zyklische Erweiterung des Kernsymbols. Das heißt, der hintere Abschnitt des Kernsymbols wird im Schutzintervall dem Kernsymbol vorangestellt, siehe Bild 4-39 mit der vorangestellten Präfix CP (Cyclic Prefix). Beim praktischen Betrieb der Sender zeigt sich eine weitere Schwierigkeit. Während Modulationsverfahren, wie die herkömmliche FM oder die M-PSK Signale mit konstanter Einhüllenden produzieren, liefert die OFDM-Modulation eine hohe Signaldynamik: Spitzenwerte des Betrags des Basisbandsignals können bis um den Faktor 10log10(K) dB von der mittlere Amplitude, dem Effektivwert, abweichen; bei K = 52 sind das circa 17 dB. m-tes Symbol

(m1)-tes Symbol CP

Zyklische Erweiterung

TG

Ts

(m+1)-tes Symbol

Bild 4-39 Zyklische Erweiterung mit Präfix im Schutzintervall

Letzteres stellt die Übertragung mit leistungseffizienten Verstärkern vor Probleme, weil diese nichtlineare Kennlinien aufweisen, die bei hoher Aussteuerung zu merklichen linearen Signalverzerrungen führen. Mögliche Maßnahmen gehen hier von nachträglicher Filterung zur Unterdrückung unzulässiger Außerbandstrahlung bis zur adaptive Kontrolle zur Spitzenwertreduktion. Die Maßnahmen haben ihre eigenen Vor- und Nachteile. Beispielsweise können einzelne Träger zur Spitzenwertreduktion reserviert werden. Ihre Amplituden werden jeweils so bestimmt, dass der Spitzenwert abgebaut wird. Damit gehen allerdings Unterträger für die Datenübertragung verloren, sodass der maximal erzielbare Durchsatz sinkt. Anmerkung: In der Literatur wird das Problem unter den Stichworten Peak-to-Average Ratio (PAR) bzw. Peak-to-Average Power Ratio (PAPR) behandelt.

Abschließend sei noch darauf hingewiesen, dass durch eine Impulsformung, siehe Bild 4-25, das Problem der Außerbandstrahlung, siehe Bild 4-37, reduziert werden kann.

148

4 Modulation eines sinusförmigen Trägers

OFDM ist heute ein Standardverfahren für Übertragungssysteme in unterschiedlichen Anwendungsfeldern, weil sie als adaptives Mehrträgerverfahren den Übertragungskanal hervorragend nutzen und sich auf unterschiedliche Dienstszenarien einstellen kann. Ihre technische Realisierung stellt jedoch in der Praxis hohe Anforderungen. In der nächsten Mobilfunkgeneration nach UMTS, genannt 3GPP UMTS LTE (3rd Generation Partnership Project UMTS Long Term Evolution) wird OFDM eingesetzt. Für die nahe Zukunft bleibt OFDM eine vielversprechende Option für unterschiedliche Anwendungsgebiete.

4.5

Zusammenfassung

Durch die Modulation von sinusförmigen Trägersignalen werden Sprachtelefonsignale, Audiound Fernsehsignale sowie Datensignale im Frequenzmultiplex gebündelt und gemeinsam über Weitverkehrsstrecken, Richtfunkstrecken oder im Rundfunk übertragen. Im Rundfunk wurde in den 1920er Jahren die technologisch einfacher zu beherrschende Amplitudenmodulation eingeführt. Sie zeichnet sich besonders als Einseitenbandmodulation durch eine hohe spektrale Effizienz aus. Die Amplitudenmodulation ist aber vergleichsweise anfällig gegen Störungen, sodass sie in der Funktechnik Ende der 1930 Jahre durch die robustere Frequenzmodulation abgelöst wurde. Letztere ist ein nichtlineares Modulationsverfahren, bei dem Bandbreite gegen Störfestigkeit getauscht werden kann. Bei der leitungsgebundenen Übertragung wurde mit dem analogen Trägerfrequenzsystem für öffentliche Telefonnetze eine relativ leistungsfähige aber sehr aufwendige analoge Technik auf der Basis der Einseitenbandmodulation weltweit eingeführt. Wegen der in der Rundfunktechnik bei technischen Neuerungen, wie dem Stereotonrundfunk oder das Farbfernsehen, unverzichtbaren Kompatibilität zu den bereits millionenfach vorhandenen Empfängern basiert der heutige analoge Hör- und Fernsehrundfunk vielfach noch auf dem Stand der Technik der 1950er Jahre. Die Ablösung durch digitale Systeme hat jedoch bereits begonnen. Solange die digitale Übertragungstechnik zur Ausstrahlung von mehr Fernsehkanälen statt besserer Bildqualität benutzt wird, werden die Vorteile der digitalen Technik jedoch nicht vollständig sichtbar. Hier hat 2010 der öffentlich rechtliche Rundfunk in Deutschland mit dem Regelbetrieb für HDTV eine wichtige Vorreiterrolle übernommen. Spätestens in den 1960er Jahren wurden die Grenzen der analogen Übertragungstechnik in der Fachwelt allgemein erkannt. In modernen Telekommunikationsnetzen sind heute die analogen Trägerfrequenzsysteme durch digitale Übertragungssysteme und insbesondere im Weitverkehr durch optische Systeme abgelöst. Auf Richtfunkstrecken wurde die FM durch die QAM mit hoher Stufenzahl ersetzt. Weitere Beispiele sind der digitale Mobilfunk oder die terrestrische Ausstrahlung des digitalen Fernsehens. Digitale Modulationsverfahren, wie die digitale QAM, verbinden die Bandbreiteneffizienz der Amplitudenmodulation mit der Störfestigkeit der digitalen Übertragung. Insbesondere ermöglichen die Fortschritte der Digitaltechnik zunehmend komplexere Verfahren der digitalen Signalverarbeitung und aufwendigere Fehlerkorrekturverfahren, sodass das Potenzial der digitalen Übertragungstechnik heute noch nicht ausgeschöpft ist. Dies gilt besonders für alle Arten der Funkkommunikation, wie die drahtlosen lokalen Netze oder die öffentlichen Mobilfunknetze, für die heute mit OFDM ein bewährtes und flexibles Übertragungsverfahren mit weiterem Entwicklungspotenzial bereitsteht.

4.6 Aufgaben zu Abschnitt 4

4.6

149

Aufgaben zu Abschnitt 4

Aufgabe 4.1

a) Wodurch unterscheiden sich die kohärente und die inkohärente Demodulation? b) Worin liegen Vor- und Nachteile der kohärenten Demodulation? Aufgabe 4.2

In Bild A4.2-1 ist ein Ausschnitt des Signals u(t) dargestellt. Das Signal hat die Grenzfrequenz fg und wird gemäß dem Blockschaltbild im Bild A4.2-3 moduliert. a) Um welches Modulationsverfahren handelt es sich? b) Was muss für die Trägerfrequenz fT sinnvollerweise gelten? c) Skizzieren Sie den prinzipiellen Verlauf des Modulationsproduktes.

U0

u(t)

uM(t)

u(t) t1

t2

Bild A4.2-1 Signalausschnitt

t

cos(ZTt)

U0

Bild A4.2-3 Blockdiagramm des Modulators

Aufgabe 4.3

In Bild A3.3-1 ist das Spektrum U( jZ) eines Telefonsprachsignals u(t) schematisch dargestellt. Das Signal wird mit einem Träger mit der Frequenz von 12 kHz moduliert, siehe Bild A4.3-2. a) Skizzieren Sie das Betragsspektrum des Modulationsproduktes uM(t).

A 3,4

U( j Z)

0,3 0,3

in kHz

3,4

Z 2S

Bild A4.3-1 Betragsspektrum u(t)

b) Das Signal wird nun gemäß dem Blockdiagramm in Bild A4.3-3 demoduliert. Skizzieren Sie den prinzipiellen Verlauf des resultierenden Betragsspektrums von ud(t).

uM(t)

cos( Zt)

c) Welche Grenzfrequenz fg muss der ideale Tiefpass (TP) haben, damit das Signal u(t) fehlerfrei zurückgewonnen werden kann?

Bild A4.3-2 Modulator

uM(t)

ud(t) id. TP ud,TP(t)

fg cos( Zt) Bild A4.3-3 Demodulator

150

4 Modulation eines sinusförmigen Trägers

Aufgabe 4.4

Ein FM-Trägersignal bei 1 MHz wird mit einem Eintonsignal mit der Signalfrequenz 10 kHz frequenzmoduliert. Der Frequenzhub ist 24,048 kHz. a) Welche prinzipielle Form hat das Betragspektrum des FM-Signals? b) Wie groß ist die Bandbreite des FM-Signals? Begründen Sie Ihre Antwort. c) Ist die Trägerfrequenz im FM-Spektrum enthalten? Begründen Sie Ihre Antwort. Aufgabe 4.5

Vergleichen Sie die analoge AM und die digitale ASK-Modulation bezüglich der Signalbandbreite und der Störfestigkeit. Aufgabe 4.6

a) Skizzieren Sie die Signalraumkonstellation der QPSK-Modulation, die als BPSK in den Quadraturkomponenten erzeugt wird. b) Tragen Sie im Bild die Zuordnung der Signale zu den Bitkombinationen der Nachricht ein. Verwenden Sie einen Gray-Code. c) Welchen Vorteil bietet die Gray-Codierung und auf welche Annahme gründet sich dieser? d) Wodurch unterscheidet sich die M-PSK-Modulation gegenüber einer rechteckförmigen MQAM im Signalraum? e) Welcher Vorteil und Nachteil ergibt sich daraus für die M-PSK? Aufgabe 4.7

a) Was ist die Aufgaben eines Quadraturmischers? b) Wofür steht das Akronym OFDM? Nennen Sie drei Anwendungen mit OFDM. c) Erklären Sie das Prinzip der OFDM-Modulation? Welche Bedingung muss dabei eingehalten werden? Aufgabe 4.8

Für ein OFDM-Übertragungssystem mit Funkübertragung ist die Bandbreite 20 MHz vorgesehen. Es soll eine DFT/IDFT der Länge 64 verwendet werden. Um Störungen in den Nachbarbändern auf einen zulässigen Wert zu begrenzen, werden 6 bzw. 5 Unterträger am Rande des Übertragungsbandes nicht verwendet. Zusätzlich wird der Unterträger bei der Mittenfrequenz (Bandmitte) nicht übertragen, damit einfachere Empfängerschaltungen verwendet werden können. Als Schutzintervall wird 1/5 der OFDM-Symboldauer vorgeschlagen. Bewerten Sie den Systemvorschlag indem Sie folgende Fragen beantworten. a) Wie groß ist der Frequenzabstand der Unterträger? b) Wie groß ist die OFDM-Symboldauer? c) Zwischen welchen Werten schwankt die spektrale Effizienz, wenn eine Umschaltung zwischen einer BPSK- und einer 64-QAM-Modulation der Unterträger möglich sein soll? d) Warum sollte eine Umschaltmöglichkeit wie in (c) vorgesehen werden? e) Was ist für die Funkübertragung aufgrund des Schutzintervalls zu beachten?

151

5

Digitale Übertragung im Basisband

Der Begriff digitale Übertragung im Basisband fasst eine Vielzahl von Anwendungen und entsprechend unterschiedliche, technische Lösungen zusammen, bei denen keine Frequenzumsetzung mit einem sinusförmigen Trägersignal wie in Abschnitt 4 geschieht. Die folgende Darstellung beschränkt sich auf die grundlegenden Prinzipen und wichtigsten Begriffe. Zunächst wird am Beispiel des ASCII-Codes und der weitverbreiteten RS-232-Schnittstelle eine Einführung in den Themenkreis gegeben. Danach werden die beiden wesentlichen Störeinflüsse, das Rauschen und die Bandbegrenzung, anhand einfacher Modellüberlegungen behandelt. Schließlich wird der Zusammenhang zwischen der Datenrate, der Bandbreite und dem Signalrauschverhältnis aufgezeigt. Den Abschluss bildet ein Hinweis auf die Entwicklung des digitalen Teilnehmeranschlusses.

5.1

Grundbegriffe

Typische Beispiele einer digitalen Übertragung im Basisband liefern die S0- und UK0-Schnittstellen des ISDN-Netzes in Bild 1-4 und die leitungsgebundene Datenkommunikation in lokalen Rechnernetzen. Hinzu kommt die leitungsgebundene Datenübertragung zwischen PCs, Druckern, speicherprogrammierbaren Steuerungen, Mikrocontrollern usw. Bei der Kommunikation von Maschine zu Maschine ergeben sich Anforderungen, die sich von den Bedingungen der bekannten Sprachtelefonie unterscheiden. So werden an die Fehlerrobustheit hohe bis höchste Anforderungen gestellt, bis hin zur fast fehlerfreien Übertragung. Typisch für die physikalische Übertragung sind Wahrscheinlichkeiten kleiner 106 für einzelne quasizufällige Bitfehler, englisch Bit Error Rate (BER) genannt. Ebenso wichtig ist, dass die Daten in der richtigen Reihenfolge, vollständig und ohne Wiederholung, sowie ohne zusätzliche fremde Daten empfangen werden. Anders als in der Sprachtelefonie sind die zeitlichen Anforderungen in der Regel eher gering. Allerdings existieren auch Anwendungen, bei der es auf eine schnelle bzw. gleichmäßige Übertragung ankommt. Anmerkung: (i) Die geringe Fehlerwahrscheinlichkeit aus der Sicht der Anwendungen wird erst durch das Protokoll mit Kanalcodierung erreicht, siehe Abschnitte 6 und 8. (ii) In der Steuerungs- und Regelungstechnik ist die Echtzeitfähigkeit der Datenübertragung eine wichtige und unter Umständen sogar sicherheitsrelevante Frage. Darunter versteht man die Übertragung von Steuerinformationen innerhalb der von den Prozessen vorgegeben Zeit. (iii) Bei Videobetrachtung ist eine gleichmäßige Übertragung der Daten erwünscht, damit beispielsweise das Bild nicht plötzlich einfriert.

Mehr als bei der Verständigung zwischen Menschen, die zur Not improvisieren können, sind für die Datenkommunikation gemeinsame Protokolle und Schnittstellen erforderlich. Um eine länderübergreifende Telegrafie zu ermöglichen, wurde bereits 1865 in Paris der internationale Telegrafenverein gegründet. Aus ihm ist die heute für den TK-Sektor maßgebliche International Telecommunication Union (ITU) hervorgegangen. Eine wichtige Rolle spielt auch die International Standardization Organization (ISO), unter anderem mit dem bekannten OpenSystem-Interconnect (OSI) –Referenzmodell, das in Abschnitt 6 behandelt wird. Ein bekanntes Beispiel für die Standardisierung ist der American Standard Code for Information Interchange, kurz ASCII-Code genannt. Er hat als Internationales Alphabet Nr. 5 (IA5) M. Werner, Nachrichtentechnik, DOI 10.1007/978-3-8348-9742-8_5, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010

5 Digitale Übertragung im Basisband

152

der ITU-Empfehlung V3 von 1968 oder ISO-Standard ISO R 646 weltweite Bedeutung. Es existieren auch verschiedene lokale Anpassungen wie die deutsche Version DIN 66003, die acht in der deutschen Schriftsprache gebräuchliche Zeichen einführt, siehe Tabelle 5-1 und Tabelle 5-2. Anmerkung: DIN steht für das Deutsche Institute für Normung e.V., dem Nachfolger des 1917 gegründeten Normenausschusses der Deutschen Industrie e.V., Berlin.

Beim ASCII-Code werden sieben binäre Zeichen, die Bits (Binary Digit), benutzt um 27 = 128 Zeichen, Meldungen und Befehle darzustellen. Die ersten beiden unterlegten Spalten in Tabelle 5-1 beinhalten Sonderzeichen für Meldungen und Befehle zur Kommunikationssteuerung, wie die positive Empfangsbestätigung ACK (Acknowledgement) oder wie dem (Schreibmaschinen-) Wagenrücklauf CR (Carriage Return) der Fernschreibtechnik. Die Zeichen werden als Bitmuster, in der Regel beginnend mit dem Bit b1, übertragen. Zusätzlich kann zur Einzelfehlererkennung ein Paritätsbit hinzugestellt werden. Dann sind pro ASCII-Zeichen 8 Bits, also ein Oktett oder ein Byte, zu senden. Tabelle 5-1 ASCII-Code nach DIN 66003

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 b4

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 b3

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 b2

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 b1

Tabelle 5-2

0 0 0 NUL SOH STX ETX EOT ENQ ACK BEL BS HT LF VT FF CR SO SI

0 0 0 1 1 0 DLE Space DC1 ! DC2 ’’ DC3 # DC4 $ NAK % SYN & ETB ´ CAN ( EM ) SUB * ESC + FS , GS RS . US /

0 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; < = > ?

1 0 0 § A B C D E F G H I J K L M N O

1 0 1 P Q R S T U V W X Y Z Ä Ö Ü ^ _

1 1 0 ` a b c d e f g h i j k l m n o

1 1 1 p q r s t u v w x y z ä ö ü ß DEL

Deutsche Norm DIN 66003 und ISO-Standard

DIN 66003

§

Ä

Ö

Ü

ä

ö

ü

ß

ISO R 646

@

[

\

]

{

|

}

~

b7 b6 b5

5.1 Grundbegriffe

153

Beispiel ASCII-Code-Darstellung mit gerader und ungerader Parität Als Beispiel wählen wir die Initialen E.T. und stellen sie mit gerader und ungerader Parität dar. Dazu entnehmen wir Tabelle 5-1 die Bitmuster für die Buchstaben „E“ und „T“ sowie das Satzzeichen „.“. Gerade Parität liegt vor, wenn die Zahl der Einsen im Codewort einschließlich des Paritätsbits gerade ist. Entsprechend wir das Paritätsbit jeweils gesetzt. Für gerade Parität erhalten wir die Bitfolge 10100011 01110100 00101011 01110100. und bei ungerader Parität 10100010 01110101 00101010 01110101. _______________________________________________________________________________ Ende des Beispiels

Grundsätzlich unterscheidet man bei der Datenübertragung zwischen synchroner und asynchroner Übertragung. Bei der Asynchronübertragung liegt während der gesamten Übertragungszeit kein einheitliches Zeitraster, wie der Schritttakt, zugrunde. Die Übertragung geschieht mit einzelnen Datenwörtern oder kurzen Rahmen, z. B. den ASCII-Zeichen, die mit einer Synchronisationsphase beginnen und dazwischen unterschiedlich lange Pausen zulassen. Man spricht auch von einem Start-Stopp-Verfahren. Ein wichtiges Beispiel ist die auf PCs oft noch vorhandene RS-232-Schnittstelle. Sie wird im nächsten Unterabschnitt beschrieben. Bei der Synchronübertragung wird ein Takt im Sender erzeugt und dem Empfänger zur Verfügung gestellt. Es liegt der Übertragung eines Rahmens ein einheitliches Zeitraster zwischen Sender und Empfänger zugrunde, was den Datenempfang erleichtert. Dadurch können lange Rahmen und deutlich höhere Datenraten als bei der asynchronen Übertragung realisiert werden, allerdings mit höherem Aufwand. Ferner wird zwischen serieller und paralleler Übertragung unterschieden. Werden die Bits eines Datenwortes oder Rahmens nacheinander über eine Leitung gesendet, spricht man von serieller Übertragung. Eine höhere Bitrate erreicht man bei paralleler Übertragung durch gleichzeitiges Versenden mehrerer Bits, meist ein Datenwort mit acht Byte oder ganzzahlige Vielfache davon, über entsprechend viele Leitungen. Die logische Einbettung der Datenübertragung in komplexere Kommunikationssysteme ist in Bild 5-1 dargestellt. Die Anbindung an das TK-System, z. B. das öffentliche TK-Netz, geschieht mit der Datenübertragungseinrichtung (DÜE) als Leitungsabschluss, englisch Data Circuit-terminating Equipment (DCE). Den Informationsaustausch zwischen DÜE und der Datenendeinrichtung (DEE), englisch Data Terminal Equipment (DTE), regelt die Datenschnittstelle DSS. Man unterscheidet, je nachdem ob die Kommunikation nur in eine Richtung, abwechselnd in beide Richtungen oder gleichzeitig in beide Richtungen erfolgt, zwischen der Simplex-, Halbduplex- bzw. Duplexübertragung.

DEE

DÜE DSS

Bild 5-1

TK-System

DÜE

DEE DSS

Einbettung der Datenübertragung mit Datenendeinrichtung DEE, Datenschnittstelle DSS und Datenübertragungseinrichtung DÜE

5 Digitale Übertragung im Basisband

154

5.2

RS-232-Schnittstelle

In diesem Abschnitt werden einige für die Datenübertragung im Basisband wichtige Zusammenhänge am Beispiel der RS-232-Schnittstelle aufgezeigt. 1962 wurde von der Electronic Industries Alliance (EIA) in den USA die Schnittstelle RS-232 als Recommended Standard zur seriellen Datenkommunikation eingeführt. Damit begann eine wahre Erfolgsgeschichte. Seit 1997 liegt die Schnittstellenbeschreibung in sechster Überarbeitung als EIA-232-F Standard vor. Anmerkung: Die EIA-232-F entspricht funktional der V24- und elektrisch der V28-Schnittstelle der ITU, die sich selbst bei ihrer Standardisierung an der damals aktuellen Version der RS-232-Schnittstelle orientierte. Die V24/V28-Schnittstelle regelt die Anbindung von Modems an öffentliche TK-Netze und wurde 1996 bzw. 1993 definiert. Der mechanische Aufbau folgt dem Standard ISO 2110. V24, V28 und ISO 2110 wurden in die deutsche Normen DIN 66020, DIN 66259 bzw. DIN 41652 übertragen.

Die RS-232-Schnittstelle sieht eine 25-polige Steckverbindung vor, siehe Bild 5-2. Von den 25 Verbindungsleitungen werden nur zwei zur eigentlichen Datenübertragung verwendet. Zwei weitere stellen gemeinsame elektrische Bezugspotenziale her. Die anderen dienen zur Steuerung und Meldung, stellen Taktsignale und Hilfskanäle zur Verfügung, und unterstützen Tests bzw. sind nicht belegt.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . 19 DTR 20 21 RI 22 23 24 25

TxD RxD RTS CTS DSR SG DCD

1 2 3 4 5 6 7 8 9

DCD RxD TxD DTR GND DSR RTS CTS RI

DCD

zeigt der DEE an, ob DÜE ausreichenden Signalpegel empfängt RxD Empfangsdaten von der DÜE zur DEE TxD Sendedaten von der DEE an die DÜE DTR zeigt der DÜE die Betriebsbereitschaft der DEE an GND Betriebserde DSR zeigt der DEE die Betriebsbereitschaft der DÜE an RTS zeigt der DÜE an, dass Sendebetrieb gefordert wird CTS zeigt der DEE die Sendebereitschaft der DÜE an (Quittung RTS) RI meldet ankommenden Ruf

Stift 1 2 3 4 5

6 7

8 9

Bild 5-2 Umsetzung der 25-poligen RS-232-Schnittstelle auf eine 9-polige Steckverbindung (D-SUB)

5.2 RS-232-Schnittstelle

155

Häufig wird zur Realisierung einer Datenübertragung, zum Beispiel zum Anschluss an die analoge a/b-Schnittstelle der Telefonleitung, nur ein Teil der Leitungen benutzt. Typischerweise werden neun Leitungen plus Schutzerde verwendet. Der Anschluss eines PC geschieht oft mit einer 9-poligen D-SUB-Steckverbindung. Die Umsetzung des 25-poligen Anschlusses auf einen 9-poligen zeigt Bild 5-2. Wenn keine Steuerleitungen benutzt werden können, spricht man von einem X-On/X-OffHandshake-Betrieb, siehe Bild 5-3. Hierbei wird das ASCII-Sonderzeichen DC1 zum einschalten bzw. erneutem einschalten des Senders über die Datenleitungen TxD bzw. RxD verwendet. Mit dem ASCII-Sonderzeichen DC3 wird der Sender gestoppt. Handshaking heißt, dass die Übertragung durch eine Sendeaufforderung angestoßen und durch eine Quittierung abgeschlossen wird.

DCD RxD TxD DTR GND DSR RTS CTS RI

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

DCD RxD TxD DTR GND DSR RTS CTS RI

Bild 5-3 Umsetzung zweier RS-232-Schnittstellen mit 9-poligen Steckverbindung (SUB-D) für den X-On/ X-OffHandshake-Betrieb

Die elektrische Nachrichtenübertragung auf den Schnittstellenleitungen RxD und TxD wird am Beispiel der Übertragung des ASCII-Zeichens „E“ erläutert. In Bild 5-4 ist der Signalverlauf schematisch dargestellt. Zugelassen ist der Spannungsbereich von 25V bis +25V, wobei Werte kleiner 3V dem logischen Zustand „1“ und über 3V dem logischen Zustand „0“ entsprechen. Der markierte Bereich dazwischen ist nicht definiert. Vor der Übertragung liegt die Spannung auf dem typischen Wert von 12V. Die Übertragung beginnt mit einem positiven Rechteckimpuls, dem Startbit, der Dauer eines Taktintervalls T. Daran schließen sich die sieben Bits des ASCII-Zeichens und das Paritätsbit, hier für gerade Parität, an. Zum Schluss werden ein oder wie im Beispiel zwei Stoppbits eingefügt. Damit wird sichergestellt, dass der Beginn der nächsten Zeichenübertragung stets durch einen positiven Spannungssprung gekennzeichnet wird. Das Einfügen von Start-, Paritäts- und Stoppbits reduziert die effektive Bitrate. Das folgende Zahlenwertbeispiel erläutert die in der Übertragungstechnik eingeführten unterschiedlichen Größen und ihre Zusammenhänge. Bei einer typischen Übertragungsrate von 9600 Baud1, d. h. einer Schrittgeschwindigkeit von 9600 Schritten pro Sekunde, beträgt das Taktintervall T circa 0,104 ms. Im Beispiel in Bild 5-4 werden 11 Taktintervalle benötigt um ein Symbol (Zeichen) zu übertragen. Damit ergibt sich eine Symboldauer Ts von circa 1,15 ms. Die maximale Symbolrate beträgt somit 872 symbol/s, wobei die Übertragung von Steuerinformation und Meldungen diese aus der Sicht des Nutzers nochmals reduziert. Da pro Symbol sieben Informationsbits übertragen werden, ist die (effektive) Bitrate Rb etwa 6,109 kbit/s. Die Übertragung besitzt eine Effizienz von 7 / 11 = 0,636. Die RS-232-Schnittstelle ist auf Übertragungsraten von 20 kBaud bei einer Leitungslänge von bis zu 15 m ausgelegt. Die Verwendung nur einer gemeinsamen Masseleitung (Betriebserde) macht sich einschränkend bemerkbar. Höhere Übertragungsraten können durch spezielle Maßnahmen erreicht werden, z. B. [TiSc02] und [Wit02]. 1

Mit der Pseudoeinheit „Baud“ wird der französische Ingenieur und Pionier der Telegrafie Jean Maurice Emile Baudot geehrt: 1845, †1903.

Startbit

7 Datenbits

Paritätsbit Stoppbit Stoppbit

5 Digitale Übertragung im Basisband

156

Spannung in V

0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1

12 Logisch „0“ 3

Logisch unbestimmt Zeit

3

Logisch „1“

12 Taktintervall T

Gesamte Übertragungsdauer Bild 5-4

Signal zur Übertragung des ASCII-Zeichens „E“ mit gerader Parität und einem Start- und zwei Stoppbits

Leistungsfähigere Realisierungen der asynchronen Kommunikation auf dem Prinzip der RS232-Schnittstelle benutzen einen integrierten programmierbaren Baustein, den UART-Controller (Universal Asynchronous Receiver/Transmitter). In vielen Mikrocontrollern ist ein UARTController bereits integriert. UART-Controller zeichnen sich im Allgemeinen durch eine große Flexibilität aus. Die Parameter der Übertragung sind per Software einstellbar. So werden typischerweise die Schrittgeschwindigkeit 300, 600, 1200, 2400, 4800, 9600, 19200, 38400, 57600 und 115200 Baud unterstützt. In speziellen Anwendungen sind auch höhere Übertragungsgeschwindigkeiten anzutreffen. Es können jeweils 5, 6, 7 oder 8 Datenbits verwendet werden. Weiter kann in der Regel keine Parität, eine gerade oder eine ungerade Parität und die Zahl der Stoppbits 1, 1,5 oder 2 eingestellt werden. Auch die Spannungspegel können variieren. So existieren Bausteine, die mit Spannungen zwischen 0 und 5 V arbeiten. Im PC- und Konsumelektronikbereich haben sich in den letzten Jahren zwei neue serielle Bussysteme durchgesetzt. Mit dem Universal Seriell Bus (USB) sind in der Version USB 2.0 (HISpeed) aus dem Jahr 2000 Bitraten bis zu 480 Mbit/s und Hot Plug and Play, also Verbinden und Trennen der Geräte im eingeschalteten Zustand und automatischer Erkennung, möglich. Dazu konkurriert der IEEE-1394-Bus mit Bitraten von bis zu 800 Mbit/s, der auch unter den Namen Fire Wire oder i.Link vermarktet wird. Bei der USB-Schnittstelle handelt es sich um ein elektrisches Stecksystem aus vier Leitungen, wobei eine für die Masseleitung (GND, 4) und eine für die Spannungsversorgung (VBus, 1) von 5 V reserviert ist, siehe Bild 5-5. USB-Geräte verwenden ein Protokoll, das voluminöse und teuere Kabel mit Steuerleitungen überflüssig macht. Man spricht allgemein von intelligenten Terminals. Am USB-Bus lassen sich mehrere Geräte in einer Mehrfach-Sternstruktur anschließen, wobei ein Gerät, Host genannt, als Master die zentrale Steuerung übernimmt. Die nächste USB-Generation, USB 3.0 Super Speed, wurde 2008 vorgestellt. Sie soll eine Übertragungsgeschwindigkeit von 4,8 Gbit/s erreichen. Erste Produkte wurden 2010 gezeigt. Anmerkungen: (i) USB-Stecker gibt es auch in kleineren Bauformen, Mini-USB und Micro-USB. (ii) In Abschnitt 6 wird anhand des HDLC-Protokolls ein Einblick in die Aufgaben und Funktionsweise eines Protokolls vorgestellt. (iii) Die 1993 als Kabelersatz konzipierte Infrarotschnittstelle IrDA (Infrared Data Association) hat sich, obwohl Ende der 1990er Jahre in Laptops, Druckern, usw. weit verbreitet, nicht

5.3 Digitale Basisbandübertragung

157

durchgesetzt, weil sie ein Ausrichten der Geräte erfordert. Heute werden Datenkabel meist durch Kurzstreckenfunksysteme ersetzt, z. B. Bluetooth, ZigBee oder häufiger WLAN, siehe Abschnitt 9. Stecker A

Stecker B 1

- D+ D- +

2 7,26 mm

4,50 mm 4

3 2 1 12 mm

4 3 8 mm

Bild 5-5 Standardbauformen der USB-Stecker (Spannung 1, D- 2, D+ 3, Masse 4,)

5.3

Digitale Basisbandübertragung

In diesem und den folgenden Unterabschnitten wenden wir uns den übertragungstechnischen Grundlagen zu. Wir gehen vom shannonsche Übertragungsmodell aus und ergänzen darin die Leitungscodierung und Impulsformung im Sender und Synchronisation und Detektion im Empfänger, siehe Bild 5-6. Die Funktionen der Komponenten werden anhand eines einfachen Beispiels vorgestellt. Bitstrom Quelle

bn

Sender Leitungscodierung

Impulsformung

u(t)

Basisbandsignal

Kanal Bitstrom Sinke

bˆn

Empfänger Detektion

y(t)

Takt Synchronisation Bild 5-6 Modell der digitalen Basisbandübertragung

Quelle Wir nehmen an, dass die Quelle unabhängige gleichwahrscheinliche Binärzeichen bn {0,1} an den Sender abgibt. Eine Quelle mit binärem Zeichenvorrat wird Binärquelle genannt und die Zeichen kurz Bits. Die Unabhängigkeit und die Gleichverteilung der zu übertragenden Zeichen werden in der Informationstechnik in der Regel vorausgesetzt. Gegebenenfalls werden beide Eigenschaften durch geeignete Maßnahmen wie der (Daten-)Verwürfelung, auch Scrambling genannt, in der Zeichenfolge angenähert.

5 Digitale Übertragung im Basisband

158 Sender

Der Sender besteht im Wesentlichen aus zwei Komponenten: der Leitungscodierung und der Impulsformung. Sie haben die Aufgabe, das Signal für eine effektive Übertragung an die physikalischen Eigenschaften des Kanals anzupassen. Dabei sind meist folgende Anforderungen zu berücksichtigen: x Das Signal soll gleichstromfrei sein. Also keine Spektralanteile um die Frequenz null aufweisen, damit eine galvanische Kopplung mit Übertragern, d. h. magnetisch gekoppelte Spulen, ohne Signalstörung möglich wird. x Das Signal soll eine hohe spektrale Effizienz besitzen, um bei begrenzter Bandbreite eine hohe Bitrate zu erreichen. x Das Signal soll mit einem hohen Taktgehalt die Synchronisation erleichtern. x Das Signal soll eine geringe Störempfindlichkeit besitzen, damit die Detektion zuverlässig gelingt. x Sender und Empfänger sollen eine geringe Komplexität besitzen, um Kosten, Baugröße, Energieaufnahme usw. klein zu halten. Der Hintergrund und die Konsequenzen dieser Forderungen werden im Verlauf dieses Abschnitts noch genauer erläutert.

Damit sind bereits zwei wichtige Parameter der Datenübertragung festgelegt: die Bitdauer Tb, auch Bitintervall genannt, und die Bitrate R = 1bit / Tb.

Basisbandsignal

Im Beispiel wird der Bitstrom in ein binäres Signal mit zwei entgegen gesetzten Amplituden, ein bipolares Signal, umgesetzt. Das Sendesignal u(t) ist für die Bitfolge 101101 in Bild 5-7 veranschaulicht, vgl. auch Bild 5-4. Jedem Bit wird ein Rechteckimpuls als Sendegrundimpuls 0 1 1 0 1 Bitstrom 1 zugeordnet. Seine Amplitude ist positiv, falls Tb eine „1“ gesendet wird, andernfalls negativ. 1

1

0

3

T/Tb

Anmerkungen: (i) Im Folgenden werden die BasisBild 5-7 Bipolares Signal (normiert) bandsignale meist in normierter Darstellung skizziert, d. h. mit den Amplituden 1, 0 und 1. (ii) In der digitalen Basisbandübertragung werden auch die Begriffe Schrittdauer und Schrittgeschwindigkeit verwendet. Diese Begriffe stammen aus der Telegrafie, siehe auch Pseudoeinheit Baud auf Seite 158. Eine Schrittgeschwindigkeit von 50 Baud entspricht 50 elementaren Schritten pro Sekunde. Wird, wie in Bild 5-7 binär übertragen, so entspricht ein elementarer Schritt einem Rechteckimpuls. Dann stimmen Schrittgeschwindigkeit und (Brutto-) Bitrate überein.

Die Annahme idealer Rechteckimpulse ist für die weiteren Überlegungen ausreichend. In der Übertragungstechnik werden die tatsächlichen Impulsformen durch die Angabe von Toleranzbereichen, den Sendeimpulsmasken, vorgegeben. Die Sendeimpulsmaske der ISDN-S0-Schnittstelle ist in Bild 5-8 zu sehen. Aus der zu übertragenden Bitrate von R = 192 kbit/s resultiert die Bitdauer Tb | 5,21 Ps. Anmerkung: Die Datenrate auf der S0-Schnittstelle bestimmt sich aus den Anteilen für die beiden BKanäle (2 u 64 kbit/s), dem D-Kanal (16 kbit/s) und weitere Bits für die Organisation der Übertragung (48 kbit/s). Zur einfacheren Taktableitung wurde R als Vielfaches der Bitrate eines B-Kanals gewählt.

5.3 Digitale Basisbandübertragung

159

Übertragungskanal Der physikalische Übertragungskanal, kurz 5,73 Ps Kanal, wird meist durch vereinfachte Model5,21 Ps le beschrieben. Im Falle eines idealen Kanals 110 % erhält der Empfänger das gesendete Signal. 100 % 90 % In der Realität treten zwei zusätzliche Effekte auf. Zum ersten ist das Empfangssignal 0,75 V 50 % 4,69 Ps mit einer rauschartigen Störung beaufschlagt. Zum zweiten resultiert durch den Kanal und/ oder durch eine Filterung zur Unterdrückung 5% des Rauschens im Empfänger eine Bandbe6,25 Ps grenzung des Empfangssignals. Zur Veran10,42 Ps schaulichung ist in Bild 5-9 ein Ausschnitt aus dem gemessenen Signal eines ISDN-S0Bild 5-8 Sendeimpulsmaske (positiver Impuls) Busses zu sehen. Die Leitungslänge war für die ISDN-S0-Schnittstelle etwa 150 m, so dass der Einfluss des Kanals und damit die Abweichung von der Wunschform in der Sendeimpulsmaske Bild 5-8 deutlich wird. Die Bandbegrenzung und das Rauschen werden in den Unterabschnitten 5.5 und 5.6 in die Überlegungen einbezogen. 10 Ps

Spannung

0,5 V

Zeit Bild 5-9 Basisbandsignal des ISDN-S0-Busses (gemessen)

Empfänger Die Aufgabe des Empfängers ist es, aus dem Empfangssignal y(t) die gesendete Bitfolge der Quelle zu rekonstruieren. Er führt dazu folgende drei Schritte durch, siehe Bild 5-10: Synchronisation o Rückgewinnung der Zeitlage der Rechteckimpulse. Abtastung

o Das Empfangssignal y(t) wird bei idealer Synchronisation in der Mitte der Rechteckimpulse abgetastet.

Detektion

o Der Detektion liegt eine Schwellwertentscheidung zugrunde. Ist der Abtastwert, die Detektionsvariable y[n], größer oder gleich 0, so entscheidet der Empfänger auf das Zeichen „1“, andernfalls wird das Zeichen zu „0“ gesetzt.

Anmerkung: Die Entscheidung für den Signalwert 0 kann beliebig gewählt werden, da sie die Fehlerwahrscheinlichkeit insgesamt nicht beeinflusst.

5 Digitale Übertragung im Basisband

160

Synchronisation des Bittakts y(t)

y(t) 1 Abtastzeitpunkte nTb

Empfangssignal

y[n]

t/Tb 1 0 1 2 3 4 5

Entscheider b 1 0

0

bˆn y

y[n] 1

Detektierter Bitstrom

n

1 0 1 2 3 4 5 bˆn = {1, 0, 1, 1, 0, 1, …}

Bild 5-10 Blockschaltbild (vereinfacht) des Empfängers und der zugehörigen normierten Signale

Häufig werden auch speziell an den Sendegrundimpuls angepasste Filter, sogenannte MatchedFilter, verwendet die unter gewissen Randbedingungen das Verhältnis von Nutzsignalleistung und Störsignalleistung im Detektor maximieren. Der Einsatz eines Matched-Filters erhöht die Zuverlässigkeit der Detektion und wird im Abschnitt 5.7 vorgestellt. Als eine Anwendung sei die asynchrone serielle Schnittstelle eines Mikrocontrollers für das Signal in Bild 5-4 genannt, z. B. der HC-11 der Firma Motorola [Mot91]. Im Empfangsteil des Mikrocontroller wird das Signal 16fach höher abgetastet, als die vorab eingestellte Übertragungsrate angibt. Eine spezielle Logik mit Fehlerbehandlung detektiert den Beginn der Datenwörter. Wird ein Startbit erkannt, werden von den 16 Abtastwerten innerhalb jedes der folgenden Datenbits die jeweils innersten drei Abtastwerte durch eine Schwellwertentscheidung ausgewertet und eine Mehrheitsentscheidung durchgeführt.

Leitungscodierung

In Bild 5-11 werden typische Beispiele gezeigt. Die Übertragung der Bits durch das unipolare NRZ-Signal, auch On-off Keying (OOK) genannt, und das bipolare NRZSignal unterscheiden sich nur durch eine Gleichspannungskomponente. OOK ist für

Bitstrom 1 0 1 1 0 0 1 0

1 0

Mark Space Mark Mark Space Space Mark Space

Die Aufgaben der Leitungscodierung wurden in Abschnitt 5.3 bereits mit dem Sender vorgestellt. In der Datenübertragungstechnik haben sich historisch verschiedene Formen binärer Leitungscodes als firmenspezifische Lösungen entwickelt. Man unterscheidet grundsätzlich zwei Arten von binären Leitungscodes: Codes bei denen innerhalb eines Bitintervalls die Signalamplitude nicht auf den Wert null zurückkehrt, die NRZ-Codes (Nonreturn-to-Zero), und Codes, bei denen dies geschieht, die RZ-Codes (Return-to-Zero).

Basisbandsignale (normiert)

5.4

Zeit

Unipolar NRZ (On-off Keying)

1 Bipolar NRZ 1 1 0 1 1

Unipolar RZ Biphase-Code (Manchester)

Bild 5-11 Beispiele für binäre Leitungscodes

5.4 Leitungscodierung

161

den Übergang auf eine optische Übertragung von Interesse, da beispielsweise damit Leuchtdioden (Light Emitting Diode, LED) für eine Infrarotstrecke angesteuert werden können. Bei der unipolaren RZ-Übertragung ist die Dauer der elektrischen Impulse im Vergleich mit dem unipolaren NRZ-Signal halbiert. Das Spektrum wird also um den Faktor zwei verbreitert. Dem Nachteil des breiteren Spektrums steht der Vorteil gegenüber, dass das RZ-Signal den doppelten Takt enthält, d. h. die doppelte Anzahl von Flanken anhand derer die Synchronisationseinrichtung den Bittakt erkennt. Darüber hinaus ergibt sich ein Schutzabstand gegen die Impulsverbreiterung, siehe Abschnitt 5.6. In lokalen Rechnernetzen wird häufig der Manchester-Code verwendet, z. B. bei der 10BaseTEthernet-Übertragung über ein verdrilltes Kabelpaar (Twisted Pair, TP) oder bei der Übertragung mit Koaxialkabel nach IEEE 802.3. Bei einer Gleichverteilung der Bits ist er gleichstromfrei. Der Manchester-Code wird auch Biphase-Code genannt, da das Signal innerhalb eines Bitintervalls Tb zwischen den beiden Phasen „1“ (0) und „–1“ (S) wechselt. Durch den Phasenwechsel in jedem Bitintervall besitzt er einen hohen Taktgehalt. Selbst bei langen 0- oder 1Folgen kann die Synchronisation im Empfänger aufrechterhalten werden. Dies ist bei den anderen Beispielen in Bild 5-11 nicht immer der Fall.

Space

Mark

Space

Mark

Space

Space

Mark

Mark

Space

Mark

Eine weitere in den Anwendungen bedeutende Klasse von Leitungscodes bilden die ternären Leitungscodes. Ein wichtiger Vertreter ist der AMI-Code. Das Akronym AMI steht Bitstrom 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 für „Alternate Mark Inversion“ und 1 beschreibt die alternierende Codie0 rung der logischen Eins als positiven Zeit 1 und negativen Impuls. Die logische Bild 5-12 Basisbandsignal (norm.) zum AMI-Code Null wird ausgetastet. Ein Codierungsbeispiel ist in Bild 5-12 angegeben. Es werden zwar drei Symbole, gekennzeichnet durch die Amplitudenstufen –1, 0 und +1, verwendet, jedoch wird pro Symbolintervall nur je ein Bit übertragen. Man spricht deshalb von einem pseudoternären Code. Seine Effizienz im Sinne der im dreistufigen Codealphabet enthaltenen Redundanz, siehe Abschnitt 7.1, ist 1/ld(3) | 0,63. Der AMI-Code besitzt ausreichenden Taktgehalt, wenn lange Nullfolgen vermieden werden. Er wird deshalb häufig zusammen mit einem Scrambler eingesetzt. Alternativ kann eine spezielle Coderegel für den Fall, dass n Nullen aufeinander folgen, implementiert werden. Man spricht dann vom High Density Bipolar Code, kurz HDBn-Code. Abschließend sind zum Vergleich die Verteilungen der Sendeleistungen im Frequenzbereich, die Leistungsdichtespektren bei der bipolaren NRZ-Übertragung, der Übertragung mit dem Manchester-Code und dem AMI-Code in Bild 5-13 gegenübergestellt. Für die NRZ-Übertragung folgt das Leistungsdichtespektrum dem Quadrat der si-Funktion, wegen der direkten Zuordnung der Bits zu den Rechteckimpulsen. Der Manchester-Code und der AMI-Code sind gleichstromfrei. Obwohl die Basisbandsignale zu den beiden Codes ebenfalls aus Rechteckimpulsen zusammengesetzt sind, ergibt sich insbesondere eine Nullstelle des Spektrums an der Frequenzstelle null. Beim Manchester-Code ist der Signalmittelwert in jedem Bitintervall selbst null, sodass unabhängig von den zu sendenden Bits im Mittel kein Gleichanteil auftreten kann.

5 Digitale Übertragung im Basisband

162

Leistungsdichtespektrum (normiert)

1

NRZ-Code

0,8 AMICode

0,6

ManchesterCode

0,4 0,2 0

0

1

2

fT

Bild 5-13 Verteilung der Sendeleistung der Basisbandsignale im Frequenzbereich

Beim AMI-Code ist die Gleichstromfreiheit auf die Codierungsregel zurückzuführen, die eine Abhängigkeit vom Signalverlauf einführt. Man spricht von einer Codierung mit Gedächtnis. Im Gegensatz dazu sind der bipolare NRZ- und der Manchester-Code gedächtnislos. Die Coderegel mit Gedächtnis des AMI-Codes kann aus Bild 5-12 herausgelesen werden. Die Bits mit dem logischen Wert „1“ werden alternierend positiven und negativen Rechteckimpulsen zugeordnet. Damit ist die Codierung von der jeweils letzten Zuordnung abhängig. Wie in Bild 5-13 zu sehen ist, konzentriert sich bei der AMI-Codierung die Leistung im Spektrum um die Frequenz f | 1/(2T). Das gilt besonders, wenn man eine zusätzliche Impulsformung, z. B. durch einen Sendetiefpass mit fg = 1 / T, berücksichtigt. Der Manchester-Code belegt dazu im Vergleich ein etwas breiteres Band. Anmerkung: Die Codierung mit Gedächtnis eröffnet die Möglichkeit gezielt Leitungscodes für Anwendungen zu entwickeln.

5.5

Störung durch Rauschen

Ein physikalisches Phänomen der elektrischen Nachrichtenübertragung ist die Rauschstörung. Durch die thermische Bewegung der Elektronen überlagern sich den elektrischen Signalen regellose Störkomponenten, die sich nur mit statistischen Größen im Mittel beschreiben lassen. Messungen sowie theoretische Überlegungen führen auf das in Bild 5-14 gezeigte Modell des additiven weißen gaußschen Rauschens (AWGN, Additive White Gaussian Noise). Der Begriff weißes Rauschen leitet sich aus der Betrachtung im Frequenzbereich ab. Da alle Frequenzkomponenten des Rauschsignals im Mittel gleiche Leistung haben, also ein konstantes Leistungsdichtespektrum vorliegt, wird in Anlehnung an die additive Farbmischung in der Optik das Rauschen als weiß bezeichnet. Man beachte, die parsevalschen Formel (2.91) liefert für ein konstantes Leistungsdichtespektrum eine unendliche Leistung. Weißes Rauschen stellt eine Idealisierung ähnlich der Impulsfunktion in Abschnitt 2.12.1 dar. Weißes Rauschen ist stets in Verbindung mit einer Bandbegrenzung, wie durch ein Bandpass- oder Tiefpassfilter, zu sehen.

5.5 Störung durch Rauschen

163

Wir verzichten hier auf theoretische Herleitungen und heben nur die im Weiteren wichtigen Eigenschaften des AWGN-Kanals hervor. Die Überlegungen werden durch das Modell der digitalen Übertragung in Bild 5-14 unterstütz. Dem bipolaren Sendesignal mit der Amplitude uˆ wird im Kanal ein Rauschsignal additiv überlagert. Am Kanalausgang tritt die Summe aus Sendesignal (Nutzsignal) und Rauschsignal auf.

Die Amplituden der Rauschstörung sind zu jedem Zeitpunkt normalverteilt (gaußverteilt) mit Mittelwert P = 0 und Varianz V 2. Als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion erhält man die gaußsche Glockenkurve1 in Bild 5-15.

f ( x)

§ x2 · exp ¨ ¨ 2 V 2 ¸¸ V 2S © ¹ 1

(5.1)

Die Amplituden der Rauschstörung zu zwei beliebigen verschiedenen Zeitpunkten t1 und t2 sind voneinander unabhängig. Die Schwellwertentscheidung im Empfänger darf deshalb für jedes Bit unabhängig von früheren oder späteren Entscheidungen betrachtet werden. Man spricht in diesem Fall auch von einem gedächtnislosen Kanal. Sendesignal

Empfangssignal

Kanal

1 0 1

1 0 1

Zeit

Zeit

Rauschsignal Zeit

0

Bild 5-14 Vereinfachtes Modell der digitalen Übertragung im Basisband mit additiver Rauschstörung

Der Einfluss des AWGN-Kanals auf das Empfangssignal ist in Bild 5-14 deutlich zu erkennen. Die gesendeten Rechteckimpulse, grau hinterlegt, liefern für jedes Bitintervall den Mittelwert, um den das Empfangssignal zufällig schwankt. Die Größe der Schwankungen hängt von der Varianz V 2 der Rauschstörung ab. Im Bild liegt, um das Rauschen sichtbar hervorzuheben, ein Verhältnis von Standardabweichung des normalverteilten Rauschens zu der Amplitude des Sendesignals von V uˆ 1 2 vor.

1

0,4

V

f(x)

P(X >2) 0 4

2

0

2

x

Bild 5-15 Gaußsche Glockenkurve: Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der (0,1)-Normalverteilung

Carl Friedrich Gauß: 1777, †1855, deutscher Mathematiker, Astronom und Physiker.

4

5 Digitale Übertragung im Basisband

164

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Rauschamplitude betragsmäßig den Wert der Sendeamplitude uˆ übersteigt, kann deshalb der 2V-Regel der Normalverteilung entnommen werden. Um innerhalb eines Rechteckimpulses einen Nulldurchgang im Empfangssignal zu erzeugen, muss die Rauschamplitude der Sendesignalamplitude entgegen gerichtet sein. Die Wahrscheinlichkeit für einen Nulldurchgang innerhalb eines Rechteckimpulses ist dann etwa 0,023. Die Wahrscheinlichkeit entspricht der hinterlegten Fläche in Bild 5-15 für x > 2. Tatsächlich sind in Bild 5-14 nur wenige derartige Nulldurchgänge zu beobachten. Nach der Vorüberlegung zur Rauschamplitude wird nun die Wahrscheinlichkeit für ein falsch detektiertes Bit berechnet. Wegen der additiven Rauschstörung sind jeweils für ein Bit die kontinuierlich verteilten Detektionsvariablen y ruˆ n auszuwerten. Bei der Detektion liegt die in Bild 5-16 dargestellte Situation vor. Wird das Zeichen „1“ übertragen (b = 1), resultiert als bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion die rechte Kurve, andernfalls die linke Kurve (b = 0). Für die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zum Zeichen „1“ ergibt sich aus dem AWGN-Modell fY |1 y

§ > y uˆ @2 · ¸ exp ¨ ¨ 2 V 2 ¸ V 2S © ¹ 1

Sie entspricht einer Normalverteilung mit Mittelwert P

(5.2)

uˆ und Varianz V 2.

Der Schwellwertdetektor entscheidet auf den Wert „1“, wenn die Detektionsvariable nichtnegativ ist, d. h. y t 0. Wird für das Bit der Wert „1“, d. h. uˆ , übertragen und nimmt die Rauschamplitude einen Wert kleiner als uˆ an, so ist die Detektionsvariable negativ und der Detektor trifft eine 0,8 fY|0(y) fY|1(y) Fehlentscheidung. Ein Bitfehler tritt auf. Anmerkung: Da beide Bits „1“ und „0“ gleichwahrscheinlich auftreten und sich die bedingten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen für y = 0 schneiden, wird die Entscheidungsschwelle auf den Wert 0 gelegt. Dadurch wird die Fehlerwahrscheinlichkeit minimal. Der Wert y = 0 kann ohne Einfluss auf die Fehlerwahrscheinlichkeit beliebig entschieden werden, da er nur mit der Wahrscheinlichkeit null („so gut wie nie“) auftritt.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Bitfehler, die Bitfehlery uˆ 0 uˆ wahrscheinlichkeit Pb, wird nach Bild 5-16 und der Bild 5-16 Bedingte WahrscheinlichWahrscheinlichkeitsdichtefunktion (5.2) bestimmt. Die keitsdichtefunktionen der Wahrscheinlichkeit für den geschilderten ÜbertragungsDetektionsvariablen fehler entspricht der grau unterlegten Fläche in Bild 5-16. P Y 0 | b 1

0

³

f Y |1 ( y ) dy

(5.3)

f

Die Symmetrie der gaußschen Glockenkurve führt auf eine Form, die mit einer Substitution der Variablen und wenigen Zwischenschritten in die komplementäre Fehlerfunktion (erfc) überführt werden kann.

5.5 Störung durch Rauschen

P Y 0 | b 1

165 uˆ § 1 1 y2 · dy ³ exp ¨ 2¸ 2 0 V 2S © 2 V ¹

1 1 2 S

uˆ V 2

³

e

x2

dx

0

(5.4)

1 § uˆ · erfc ¨ ¸ 2 ©V 2 ¹

Anmerkungen: (i) erfc(.) steht für Complementary Error Function; siehe auch Error Function erf(.) mit erfc(x) = 1 erf(x) und gaußsches Fehlerintegral oder Fehlerfunktion. (ii) Für nichtnegative Argumente startet die komplementäre Fehlerfunktion bei erfc(0) = 1, und nimmt für wachsende Argumente schnell monoton ab, wobei sie asymptotisch gegen 0 geht.

Um die Bitfehlerwahrscheinlichkeit zu bestimmen, muss auch die Übertragung des Bits „0“ berücksichtigt werden. Da vorausgesetzt wird, dass beide Zeichen gleichwahrscheinlich auftreten, P(b=1) = P(b=0) = 1/2, und die bedingten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen bzgl. der Entscheidungsschwelle symmetrisch liegen, erhält man für beide Zeichen die gleiche Beiträge, so dass sich insgesamt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit einstellt

Pb

1 § uˆ · erfc ¨ ¸ 2 ©V 2 ¹

(5.5)

In der Nachrichtentechnik ist es üblich, die Bitfehlerwahrscheinlichkeit auf das Verhältnis der Nutzsignalleistung S zu der Rauschsignalleistung N, dem S/N-Verhältnis, zu beziehen. Man spricht auch kurz vom SNR, englisch Signal-to-Noise Ratio. Weiter ist es üblich, das SNR im logarithmischen Maß anzugeben. Man beachte, dass bei Leistungsgrößen der Vorfaktor 10 zu nehmen ist. §S· ¨ ¸ © N ¹dB

§S· 10 log10 ¨ ¸ dB ©N¹

(5.6)

Anmerkungen: (i) Bei Amplituden, wie z. B. der Dämpfung, wird der Vorfaktor 20 verwendet. Da die Signalleistung proportional zum Quadrat der Amplitude ist, liefern beide Ansätze den gleichen dB-Wert. (ii) Mit den Anfängen der Telefonie und des Sprech- und Hörfunks hat sich die Bezeichnung SignalGeräuschverhältnis eingebürgert, weil dort die Störungen oft als Geräusche hörbar waren. Manchmal wird auch der verkürzte Ausdruck Signal-Rauschverhältnis oder Signal-Störverhältnis verwendet, da die Störungen, z. B. in der Bildverarbeitung (Bildrauschen) oder der digitalen Datenübertragung, nicht mehr nur Audiosignalen zugeordnet sind. (iii) Das SNR ist erfahrungsgemäß ein gutes Maß, um den benötigten technischen Aufwand bzw. die Qualität der Nachrichtenübertragung abzuschätzen. Insbesondere wird oft die Leistungsfähigkeit verschiedener digitaler Übertragungsverfahren auf der Basis der Bitfehlerwahrscheinlichkeit und des dazu notwendigen minimalen SNR verglichen.

Im Beispiel ergibt sich mit S N uˆ 2 V 2 für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit Pb

1 S erfc 2 2N

(5.7)

Die Abhängigkeit der Bitfehlerwahrscheinlichkeit vom SNR zeigt Bild 5-17. Denkt man sich die Rauschleistung als konstant, so wird das SNR durch die Signalaussteuerung bestimmt. Sind die Signalleistung und die Rauschleistung im Mittel gleich, so liegt ein SNR von 0 dB vor. In diesem Fall ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit mit 0,16 relativ hoch. Mit

5 Digitale Übertragung im Basisband

166

zunehmender Signalamplitude vergrößert sich das SNR. Bei dem in Bild 5-14 vorliegenden Verhältnis resultiert ein SNR von 6 dB. Die zugehörige Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist in Bild 5-17 markiert und entspricht dem vorher abgeschätzten Wert für einen Nulldurchgang des Empfangssignals innerhalb eines Rechteckimpulses. Wächst das SNR weiter, so nimmt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit rasch ab. Ein in realen Datenübertragungssystemen typischer Wert für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist 106. Durch Kanalcodierung lässt sich dieser, weiter senken. Durch eine Kanalcodierung mit Fehlererkennung und Wiederholungsanforderung ist oft eine Bitfehlerwahrscheinlichkeit von 109 und darunter erreichbar. Einfache Verfahren zum Schutz gegen Übertragungsfehler werden in Abschnitten 8 vorgestellt. 10

0

Pb

1 S erfc 2 2N

0,023

2

10

6 104 106 108

0

5

10

S/N in dB

15

Bild 5-17 Bitfehlerwahrscheinlichkeit Pb bei bipolarer Basisbandübertragung im AWGN-Kanal in Abhängigkeit vom Signalrauschverhältnis (SNR)

5.6

Übertragung im Tiefpasskanal

Im Falle eines tiefpassbegrenzten Kanals, z. B. durch die frequenzabhängige Leitungsdämpfung, die Bandbegrenzung am Empfängereingang oder den Matched-Filterempfang, entsteht das Empfangssignal aus dem gesendeten Signal durch Tiefpassfilterung. Anmerkung: Die Berechnung der Dämpfung einer homogener Leitungen (ideale Zweidrahtleitung) zeigt, dass die Dämpfung ab 1 kHz mit etwa f wächst [VlHa00].

Ein Tiefpass schneidet die Spektralkomponenten bei hohen Frequenzen ab. Da diese für die schnellen Änderungen im Zeitsignal verantwortlich sind, tritt eine Glättung des Signals ein. Für das bipolare Signal bedeutet das: Die senkrechten Flanken der Rechteckimpulse werden verschliffen und benachbarte Impulse überlagern sich. Man spricht von der Impulsverbreiterung und der sich daraus ergebenden Nachbarzeicheninterferenz (ISI, Intersymbol Interference). Die Impulsverbreiterung lässt sich auch im Zeitbereich anhand der Faltung des gesendeten Signals mit der Impulsantwort des Tiefpasses nachvollziehen. Im Falle eines RC-Tiefpasses werden die Rechteckimpulse wie in Bild 5-18 verzerrt. Aus der Bitfolge 1011010010 resultiert als Sendesignal zunächst die grau hinterlegte Folge von Rechteckimpulsen. Am Ausgang des RC-Tiefpasses sind die Lade- und Entladevorgänge an der Kapazität sichtbar, siehe auch Bild 2-14 und 2-26. Die beiden Grafen unterscheiden sich im Verhältnis der Zeitkonstanten W = RC zur Bitdauer Tb.

5.6 Übertragung im Tiefpasskanal

167

Basisbandsignal

1 0,5

t / Tb

0

W = 2Tb /S

0,5

W = Tb /S

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Bild 5-18 Rechteckimpulsfolge vor und Signal nach der Tiefpassfilterung mit dem RC-Glied mit der Zeitkonstante W und der Bitdauer Tb (normierte Darstellung)

Im Fall W = Tb /S und damit für die 3dB-Grenzfrequenz aus (2.56) f3dB = 1/(2Tb) wird die Kapazität bei jedem Vorzeichenwechsel des Signals fast vollständig umgeladen. Tastet der Empfänger das Signal jeweils am Ende des Bitintervalls ab, y[n] = yTP(t = nTb) und n = 1, 2, ... , so resultiert im Wesentlichen die Amplitude des Sendesignals gleich dem Maximalwert. Der Einfluss der Tiefpassfilterung auf die Detektion ist gering. Halbiert man jedoch wie im gestrichelten Grafen die Bandbreite, d. h. f3dB = 1/(4Tb), hängen die Amplituden der Abtastwerte deutlich von der Bitfolge ab. Insbesondere bleiben die Ladeund Entladevorgänge sichtbar unvollständig; besonders gut zu erkennen, wenn das Vorzeichen des Sendesignals schnell wechselt, wie bei der Bitkombination 1,0,1. Die Nachbarzeicheninterferenzen lassen sich am Oszilloskop sichtbar machen. Dazu zeichnet man durch geeignete Triggerung die empfangenen Impulse übereinander. Das Augendiagramm entsteht. Aus dem punktierten Signalverlauf in Bild 5-18 resultiert das Augendiagramm in Bild 5-19. Die möglichen Abtastwerte in den optimalen Detektionszeitpunkten sind durch weiße Kreise markiert. Anmerkungen: (i) Im Bild lassen sich grob 8 mögliche Abtastwerte unterscheiden. Wegen 23 = 8 überlagern sich im wesentlichen jeweils 3 Nachbarsymbole. (ii) Das Augendiagramm wurde durch Simulation aus einer zufälligen Bitfolge der Länge 100 bestimmt. Optimaler Detektionszeitpunkt

Basisbandsignal

1

Reserve 0

Entscheidungsschwelle

Auge

Augenöffnung

1

Bitdauer

Zeit

Bild 5-19 Augendiagramm zu Bild 5-18 (W = 2Tb /S , normierte Darstellung)

5 Digitale Übertragung im Basisband

168

Je nachdem welche Vorzeichen benachbarte Impulse tragen, ergeben sich verschiedene Signalübergänge. Der ungünstigste Fall resultiert bei wechselnden Vorzeichen. Dann löschen sich die benachbarten Impulse zum Teil gegenseitig aus. Der dort abgetastete Signalwert liegt demzufolge näher an der Entscheidungsschwelle. Entscheidend für die Robustheit der Übertragung gegenüber additivem Rauschen ist die vertikale Augenöffnung. Der minimale Abstand zur Entscheidungsschwelle im Detektionszeitpunkt gibt die Reserve an, d. h. um wie viel der Abtastwert durch die additive Rauschkomponente entgegen seinem Vorzeichen verfälscht werden darf, ohne dass eine Fehlentscheidung eintritt. In Bild 5-19 ist dabei eine ideale Synchronisation vorausgesetzt. Dann wird das Detektionssignal in der maximalen Augenöffnung abgetastet. Tritt jedoch ein Synchronisationsfehler wie in Bild 5-20 auf, so nimmt die Reserve merklich ab und die Zahl der Übertragungsfehler spürbar zu. Fehlerhafter Detektionszeitpunkt

Basisbandsignal

1

0

Effektive Reserve

Auge

Effektive Augenöffnung

-1

Bitdauer

Zeit

Bild 5-20 Augendiagramm zu Bild 5-18 mit Synchronisationsfehler (W = 2Tb /S, normierte Darstellung)

Reale Datenübertragungsstrecken können oft in guter Näherung als tiefpassbegrenzte Kanäle modelliert werden, wobei dem Empfangssignal zusätzlich ein Rauschsignal n(t) überlagert wird.

y (t )

yTP (t ) n(t )

(5.8)

In Bild 5-21 ist das zugehörige Übertragungsmodell dargestellt. Anmerkung: Die Beschreibung des Kanals als lineares System schließt lineare Verzerrungen (Dämpfungs- und Phasenverzerrungen) ein; nichtlineare Verzerrungen bleiben gegebenenfalls unberücksichtigt.

Der prinzipielle Verlauf des Empfangssignals ist in Bild 5-22 skizziert. Durch die Nachbarzeicheninterferenzen und die Überlagerung mit dem Rauschsignal weichen die Abtastwerte y[n] (Kreise) mehr oder weniger von den beiden ursprünglich gesendeten Amplitudenwerten r uˆ ab. Im Beispiel ist ein SNR von 20 dB vorgegeben. Demzufolge fallen im Bild die Rauschamplituden relativ klein aus.

5.6 Übertragung im Tiefpasskanal

169

Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit kann wie folgt abgeschätzt werden: Zunächst wird die Augenöffnung bestimmt. Aus Bild 5-19 ergibt sich eine relative Kanal n(t) Augenöffnung von circa 58 %. Da die Fehler vor u(t) yTP(t) y(t) allem dann auftreten, wenn die Nachbarzeicheninterferenzen die Abtastwerte der Detektionsvariablen nahe an die Entscheidungsschwelle heranführen, legen wir der Rechnung den ungünstigsten Fall zugrunde. Die Augenöffnung von 58 % entspricht einem um den Faktor 0,582 reduzierten effektiven Bild 5-21 Digitale Basisbandübertragung mit Bandbegrenzung und SNR von nunmehr 15,26 dB. Aus Bild 5-17 kann nun additivem Rauschen die BER zu Pb | 108 abgeschätzt werden. Die BER ist relativ klein, was dem Eindruck aus Bild 5-22 entspricht.

Basisbandsignal

Anmerkungen: (i) Die BER ist hier klein in dem Sinne, dass im Mittel nur ein Bitfehler auf 100.000.000 übertragenen Bits beobachtet wird. Groß aber in dem Sinne, dass in manchen Anwendungen Bitfehlerwahrscheinlichkeiten kleiner 109 gefordert werden. (ii) Ein Vergleich mit den Verhältnissen in Bild 5-14 zeigt, dass die zusätzliche Berücksichtigung der Nachbarzeichenstörungen dort ein effektives SNR von 1,26 dB ergibt. Die in Bild 5-17 eingetragene Bitfehlerwahrscheinlichkeit erhöht sich dann von 2,3 % auf über 10 %.

1

t / Tb

0

1

0

2

4

6

8

10

Bild 5-22 Empfangssignal nach TP- Filterung und mit additiver Rauschstörung, vgl. Bild 5-18 und Bild 5-19 (W = 2Tb /S, S/N = 20 dB, normierte Darstellung)

Die geringe Bitfehlerwahrscheinlichkeit zeigt auch das simulierte Augendiagramm in Bild 5-23 links an. Durch die Rauschstörung verschmieren sich die Signalübergänge zwar zu breiten Bändern, aber das Auge bleibt in der Simulation deutlich geöffnet. Keines der 100 übertragenen Bits wurde falsch detektiert. Anmerkung: Da in beiden Bildern die Leistung des Rauschens klein ist, treten große Störamplituden selten auf. Werden für das Augendiagramm mehr Bits übertragen, so verbreitern sich die Übergänge. Letztenendes schließen sich bei genügend langer Messung die Augen, weil Bitfehler nicht ausgeschlossen sind.

An dieser Stelle bietet es sich an, die bisherigen Überlegungen zur digitalen Übertragung im Basisband zusammenzufassen. Die Aufgabe des Empfängers ist es, die gesendeten Daten anhand des Empfangssignals zu rekonstruieren. Dazu tastet er im Bittakt das Empfangssignal ab und führt eine Schwellwertdetektion durch. Ist im Falle der bipolaren Übertragung die Amplitude des Abtastwertes größer gleich 0, so wird auf das Bit auf „1“ entschieden, andernfalls auf „0“. Durch die Bandbegrenzung auf dem Übertragungsweg entstehen Nachbarzeicheninterferenzen, deren Einfluss auf die Detektion anhand des Augendiagramms beurteilt werden kann.

5 Digitale Übertragung im Basisband

170

Bitdauer

Bitdauer Basisbandsignal

Basisbandsignal

1

0

1

1

0

1

Zeit

Zeit

Bild 5-23 Augendiagramme nach TP- Filterung und mit additiver Rauschstörung, vgl. Bild 5-18 und Bild 5-19 (W = 2Tb /S, S/N = 20 dB (links) und 30 dB (rechts), Simulation mit 100 Bits)

Die am Beispiel von Rechteckimpulsen und RC-Tiefpassfilterung vorgestellten Effekte sind typisch für die digitale Übertragung im Basisband. Hier wird ein wesentlicher Vorteil der digitalen Übertragungstechnik gegenüber der analogen deutlich. Solange die Rauschkomponente die Reserve nicht überschreitet, kann im Empfänger die gesendete Nachricht (Bitfolge) fehlerfrei rekonstruiert werden. Dies ist insbesondere dann von Interesse, wenn Signale zum Transport über weite Strecken in Zwischenverstärkern mehrmals verstärkt werden müssen, vgl. Tabelle 4-1. Im Gegensatz zur digitalen Übertragung werden bei der analogen Übertragung die Rauschanteile jedes mal mit verstärkt und zusätzlich das Rauschen des Verstärkers hinzugefügt, so das SNR nach jedem Zwischenverstärker kleiner wird. Das begrenzt die Reichweite und setzt eine teuere, weil rauscharme Übertragungstechnik voraus.

5.7

Bei der digitalen Übertragung kann, solange kein Detektionsfehler auftritt, die gesendete Nachricht im Empfänger fehlerfrei rekonstruiert werden.

Je weiter die vertikale Augenöffnung ist, desto robuster ist die Datenübertragung gegen Rauschen. Je flacher der Augenverlauf in der maximalen Öffnung ist, umso robuster ist die Datenübertragung gegen Synchronisationsfehler.

Matched-Filterempfänger

Wie im letzten Abschnitt gezeigt wurde, kann die Rauschstörung viele Übertragungsfehler verursachen. Eine Rauschunterdrückung ist deshalb wünschenswert oder sogar notwendig. Dies leistet das Matched-Filter. Wir nähern uns der Idee des Matched-Filters zunächst auf anschaulichem und historischem Weg. Eine in der Luftfahrttechnik wichtige Aufgabe ist die Detektion von Flugzeugen durch zurückgestrahlte Radarsignalechos im unvermeidlichen Hintergrundrauschen. Gehen wir von einem gesendeten und unverzerrt empfangenen Rechteckimpuls aus, so erhält man für die Energie- bzw. Leistungsbetrachtung im Frequenzbereich die Überlagerung des si2-Energiespektrums, siehe auch Bild 2-27, für den Nutzanteil und das konstante Rauschleistungsdichtespektrum der Rauschstörung in Bild 5-24. Das Rauschleistungsdichtespektrum sei näherungs-

5.7 Matched-Filterempfänger

171

weise konstant im betrachteten Frequenzbereich, so dass der Einfachheit halber das Modell des weißen Spektrums verwendet werden darf. Anmerkung: Da es sich im Beispiel des Radarsignals um ein gepulstes Trägersignal handelt, siehe OOK in Abschnitt 4.5, liegt nach dem Modulationssatz das si2-Spektrum symmetrisch um die Trägerfrequenz fT. Im Falle der Basisbandübertragung ist fT gleich 0 Hz zu setzen.

Überall dort, wo das Rauschleistungsdichtespektrum größer als das Energiespektrum des Nutzsignals ist, dominiert das Rauschen. Es ist nahelie| XT ( f ) |2 gend, all diese Frequenzkomponenten durch Filterung zu unterdrücken und so das S/N-Verhältnis zu verbessern. Im Beispiel wäre ein einfaches BandRauschpass- bzw. Tiefpassfilter mit passender Sperrfreleistungsquenz geeignet, siehe Abschnitt 2.7.3. Dabei wird dichtespektrum allerdings auch dem Nutzsignal Energie entzogen und das Signal verzerrt. Hier kommt die besondere 5 3 1 0 1 ( f fT )T 5 Fragestellung der Detektion, wie sie auch bei der digitalen Übertragung auftritt, zum tragen. Eine formtreue Signalrekonstruktion ist nicht notwen- Bild 5-24 Energiedichte des Nutzsignals und Leistungsdichte des Rauschsignals dig, sondern nur das Auftreten eines Echos ist im Frequenzbereich möglichst zuverlässig zu detektieren. Wir gehen das Problem in Bild 5-25 systematisch an. Es soll ein lineares Empfangsfilter, das spätere Matched-Filter, so entworfen werden, dass das S/N-Verhältnis im Detektionszeitpunkt für ein Signal x(t) der endlichen Dauer T bei additiver weißer Rauschstörung maximal wird. weißes Rauschen n(t)

optimaler Detektionszeitpunkt t0

Empfangsfilter

Nutzsignal x(t)

h(t)

y(t)

y(t0)

Bild 5-25 Empfangsfilter zur Rauschunterdrückung

Am Filterausgang ergibt sich die Nutzsignalleistung im, zunächst noch nicht bestimmten, optimalen Detektionszeitpunkt t0 mit dem Frequenzgang des Filters durch inverse Fouriertransformation der Eingangs-Ausgangsgleichung im Frequenzbereich (2.92) mit (2.86)

S

y

2

t0

§ 1 f · ¨ X jZ H jZ e jZt0 d Z ¸ ¨ 2S ¸ f © ¹

³

2

(5.9)

Für die Störleistung gilt mit der Leistungsübertragungsfunktion des Filters bei konstantem Rauschleistungsdichtespektrum N0 N

N0

1 2S

f

2 ³ H jZ

f

dZ

(5.10)

5 Digitale Übertragung im Basisband

172 Das zu maximierende SNR ist dann

2

f

S N

1 1 N 0 2S

jZt0

³ X jZ H jZ e

f

f

³

dZ (5.11)

H jZ

2

dZ

f

wobei für das Quadrat des reellen Wertes y(t0) auch das Betragsquadrat eingesetzt werden darf. Wir lösen die Aufgabe mit der schwarzschen Ungleichung, indem wir den Zähler abschätzen. f

³

X jZ H jZ e jZt0 d Z d 2

f

f

³

f

f

X jZ d Z ³ H jZ e jZt0 d Z 2

2

(5.12)

f

Wichtig ist, dass die Gleichheit in der Abschätzung nur gilt, wenn X jZ und H jZ e jZt zueinander proportional sind. Mit anderen Worten, das Empfangsfilter auf das Sendesignal angepasst ist, d. h. ein Matched-Filter vorliegt. 0

H MF jZ X * jZ e jZt0

(5.13)

Die Proportionalitätskonstante wird hier zu eins gewählt. Die Rücktransformation in den Zeitbereich geschieht durch Anwenden der Sätze der Fouriertransformation. Die Bildung des konjugiert komplexen Spektrums bedeutet für die Zeitfunktion eine Spiegelung der Zeitachse. Für ein gesendetes rechtsseitiges Signal x(t) ergibt sich dann zunächst formal ein linksseitiges Zwischenergebnis. Der Faktor exp( jZ0t) bedeutet eine Zeitverschiebung um t0 nach rechts. Wählt man t0 gleich der Zeitdauer des Nutzsignals T resultiert schließlich die rechtsseitige Impulsantwort des reellwertigen Matched-Filters

hMF (t )

x ( t T )

(5.14)

Für das SNR im optimalen Detektionszeitpunkt am Ausgang des Matched-Filters gilt

§S· ¨ ¸ © N ¹ MF

1 2S

f

2 ³ X jZ

f

N0

dZ

Ex N0

(5.15)

Damit ist das SNR mit der parsevalschen Formel (2.91) gleich dem Verhältnis aus der Energie des Sendesignals zur Rauschleistungsdichte. Man beachte auch, dass das SNR nicht von der speziellen Form des Sendegrundimpulses abhängt. Nachdem das Konzept und die Dimensionierungsvorschrift für das Matched-Filter vorgestellt wurde, wird noch auf drei für die Anwendung wichtige Punkte hingewiesen: Betrachtet man rückblickend nur den Betrag des Frequenzganges (5.13), dann wird die Überlegung der Rauschunterdrückung durch eine einfache Bandpass- bzw. Tiefpassfilterung in Bild 5-25 bestätigt und präzisiert. Modellrechnungen zeigen, dass sich bei rechteckförmigen Sendegrundimpulsen bereits mit dem einfachen RC-Tiefpass ein SNR erreichen

5.7 Matched-Filterempfänger

173

lässt, das nur etwa 1 dB unterhalb des mit dem Matched-Filter erzielbaren Wertes (5.15) liegt. Im Falle der AWGN-Störung kann gezeigt werden, dass beim Matched-Filter-Empfänger auch die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung minimal wird. Man spricht von der Maximum-Likelihood-Detektion und in der Radartechnik von einem optimalen Suchfilter. Die Herleitung des Matched-Filter kann unmittelbar auf stationäres farbiges Rauschen, d. h. Rauschen mit nicht konstantem Rauschleistungsdichtespektrum, erweitert werden. Dann erhält man als Matched-Filter das sogenannte Wiener-Filter, in dessen Frequenzgang die Form des Leistungsdichtespektrums der Störung mit eingeht. Beispiel Bipolare Basisbandübertragung im AWGN-Kanal mit Matched-Filter-Empfang

Wird die Datenübertragung durch additives Rauschen stark gestört, so bietet sich der Einsatz eines Empfängers mit Matched-Filter an. Dessen Empfangsfilter ist speziell an den Sendegrundimpuls angepasst, sodass in den Detektionszeitpunkten ein größtmögliches S/N-Verhältnis erreicht wird. Bild 5-26 stellt das zugrunde liegende Übertragungsmodell vor. Die linearen Verzerrungen werden als vernachlässigbar vorausgesetzt.

Impulsformer

bn

g(t)

u(t)

Kanal

MatchedFilter

r(t)

hMF(t)

Abtastzeitpunkte

nTb y(t)

y[n]

Bitstrom AWGN

Abtaster

n(t)

Bild 5-26 Basisbandübertragung im AWGN-Kanal

Der zu übertragende Bitstrom bn {0,1} wird im Impulsformer in das bipolare zeitkontinuierliche Sendesignal umgesetzt

u (t )

¦ A g t nT n

b

n

(5.16)

mit den Amplituden An = 2bn 1 (= r1) und dem auf das Bitintervall [0,Tb[ zeitbegrenzten rechteckförmigen Sendegrundimpuls g(t), siehe auch Bild 5-7. Das Empfangsfilter wird als Matched-Filter an den Sendegrundimpuls angepasst. Die Impulsantwort des Matched-Filters wird gleich dem zeitlich gespiegelten und um eine Bitdauer verschobenen Sendegrundimpuls gesetzt. Die Impulsantwort des Matched-Filters ist hier wegen der Symmetrie des Sendegrundimpulses dazu identisch.

hMF t

g Tb t

g t

(5.17)

Nach Bild 2-41 liefert die Faltung von g(t) mit hMF(t) als Detektionsgrundimpuls einen Dreieckimpuls der Breite 2Tb. Dessen Höhe ist gleich der Energie des Sendegrundimpulses Eg. Demgemäß ergibt sich der Nutzanteil am Abtastereingang als Überlagerung von um ganzzahlig Vielfache der Bitdauer verzögerten Dreieckimpulsen der Höhe Eg, die entsprechend dem jeweilig korrespondierenden Bit noch mit +1 bzw. 1 gewichtet sind.

5 Digitale Übertragung im Basisband

174

In Bild 5-27 werden das Empfangssignal (oben) und das Detektionssignal (unten) gezeigt. Die Übertragung wurde am PC simuliert. Um den Effekt der Störung deutlich zu machen, wurde bei der Simulation ein relativ großer Rauschanteil vorgegeben. Man erkennt im Empfangssignal ein typisches regelloses Rauschsignal, dem in den Bitintervallen die Sendesignalamplituden uˆ bzw. uˆ als Mittelwerte aufgeprägt sind. Das Detektionssignal ist darunter gezeigt. Zusätzlich ist das Detektionssignal im unverrauschten Fall als schattiert angedeutet. Man kann erkennen, wie sich im ungestörten Fall (Nutzsignal) das Detektionssignal aus der Überlagerung der Empfangsimpulse zusammensetzt. Deutlich zeigt sich, wie die Rauschstörung durch die Filterung reduziert „herausgemittelt“ wird. Anhand des Bildes lassen sich zwei wichtige Eigenschaften erkennen: x Die zu den Abtastzeitpunkten t = nTb gewonnenen Detektionsvariablen y[n] liefern nach der Schwellwertdetektion die gesendeten Bits. x Zu den Abtastzeitpunkten ist jeweils nur ein Empfangsimpuls wirksam, sodass in den Detektionsvariablen keine Interferenzen benachbarter Zeichen auftreten.

r(t) 1

t /Tb

1 0

y(t) 1

2 y[1] y[3]

4

6

8

y[4]

y[6]

y[9]

t /Tb 1 y[2]

y[5]

y[7]

y[8]

Bild 5-27 Durch AWGN gestörtes Empfangssignal r(t) und Detektionssignal y(t) mit den Detektionsvariablen y[n] (normierte Darstellung)

5.8

Nyquist-Bandbreite und Impulsformung

Im Abschnitt 5.6 wird deutlich, dass die Bandbegrenzung des Kanals wegen der Nachbarzeichenstörungen die Bitfehlerwahrscheinlichkeit stark erhöhen kann. Es stellt sich die wichtige Frage: Wie viele Bits lassen sich in einem Kanal mit vorgegebener Bandbreite übertragen? Eine erste Antwort kann dem Spektrum der Rechteckimpulse entnommen werden. Unter der Annahme der Unabhängigkeit der Quellensymbole ist das Leistungsdichtespektrum des bipolaren Signals durch das Spektrum des Rechteckimpulses (2.89) vorgegeben.

§ T · S (Z ) Tb2 si ¨ Z b ¸ 2¹ ©

(5.18)

5.8 Nyquist-Bandbreite und Impulsformung

175

Es liegt keine strikte Bandbegrenzung vor, siehe Bild 2.27. Eine grobe Abschätzung für die benötigte Bandbreite liefert die erste Nullstelle im Leistungsdichtespektrum f0 = 1/Tb. Bei einer Bitrate von 64 kbit/s entspricht das einer Bandbreite von 64 kHz. Anmerkungen: Für stochastische Signale wird die Verteilung der mittleren Signalleistung im Frequenzbereich durch das Leistungsdichtespektrum beschrieben, siehe auch parsevalsche Formel. Da Leistungen betrachtet werden, ist das Betragsspektrum des Rechteckimpulses zu quadrieren. Sind die Symbole der Quelle korreliert, wie z. B. bei einer Codierung mit Gedächtnis, gilt die einfache Beziehung nicht mehr. Das wird in der Leitungscodierung gezielt benutzt um beispielsweise gleichstromfreie Basisbandsignale wie den AMI-Code zu erzeugen, siehe Bild 5-13.

Eine zweite, anschaulichere Antwort liefert die folgende Überlegung zur Nyquist-Bandbreite1. Wir betrachten ein bipolares Signal, bei dem abwechselnd die Bits 0 und 1 gesendet werden. Zum ersten ergibt sich dann ein Signal mit größter Variation und damit größter Bandbreite. Zum zweiten erhält man das periodische Signal in Bild 5-28, welches in eine Fourierreihe entwickelt werden kann.

Basisbandsignal

Periode

2Tb

1 0

Grundschwingung 0

2

4

t / Tb

1

Bild 5-28 Bipolares Signal zur alternierenden Bitfolge 101010... (normierte Darstellung)

Es ist offensichtlich, dass der in Bild 5-10 beschriebene Empfänger aus der Grundschwingung in Bild 5-28 die zum bipolaren Signal identischen Abtastwerte entnimmt. Der Kanal muss also mindestens die Grundschwingung übertragen. Wir schätzen die notwendige Bandbreite mit der Nyquist-Frequenz ab. fN

1 2 Tb

(5.19)

Im Vergleich zur ersten Abschätzung wird hier nur noch die halbe Bandbreite benötigt. Bild 5-18 zeigt, dass im Falle des RC-Tiefpasses, dessen 3dB-Grenzfrequenz der NyquistBandbreite entspricht, die Nachbarzeichenstörungen tatsächlich sehr gering sind. Zur binären Übertragung mit der Bitrate Rb wird eine Kanalbandbreite benötigt, die mindestens gleich der Nyquist-Bandbreite ist. BN

1

1 Rb 2 bit

(5.20)

Harry Nyquist: 1889, †1976, US-amerikanischer Physiker und Ingenieur schwedischer Abstammung. In den 1920er und 1930er Jahren grundlegende Arbeiten zum Abtasttheorem und Rauschvorgängen.

5 Digitale Übertragung im Basisband

176

Die bisherigen Überlegungen gingen von einem bipolaren Signal aus. Die verwendeten Rechteckimpulse führen zu Sprungstellen im Signal und damit zu einem relativ langsam abklingenden Spektrum. Es stellt sich hier die Frage: Würde eine andere Impulsform eine bandbreiteneffizientere Übertragung ermöglichen? Zur Beantwortung der Frage gehen wir von einem Tiefpasskanal aus, dessen Grenzfrequenz gleich der Nyquist-Frequenz ist. Dazu wählen wir für den Sendegrundimpuls ein ideales Tiefpass-Spektrum, das den Kanal vollständig ausfüllt. Mithilfe der inversen Fouriertransformation kann das Zeitsignal, der Sendeimpuls, bestimmt werden. Aufgrund der Symmetrie zwischen der Fouriertransformation (2.85) und ihrer Inversen (2.86) erhält man zu einem Rechteckimpuls im Frequenzbereich, dem idealen Tiefpass-Spektrum, einen si-Impuls im Zeitbereich, siehe Bild 5-29. 2 T § t · si ¨ S ¸ l ® b ¯0 © Tb ¹

für f d f N sonst

1 / (2Tb )

(5.21)

Anmerkung: Diese fundamentale Symmetrieeigenschaft der Fouriertransformation wird Dualität zwischen Zeit- und Frequenzbereich genannt, siehe auch Bild 2-28.

x(t)

X( f ) F

äquidistante Nullstellen

t / Tb 6

4

2

0

2

4

6

fTb 1/2

0

1/2

Bild 5-29 si-Impuls und Spektrum des idealen Tiefpasses als Fourierpaar in normierter Darstellung

Man beachte die Nullstellen des si-Impulses. Sie liegen äquidistant im Abstand Tb. Benützt man si-Impulse zur Datenübertragung, so überlagern sich zwar die Impulse; sie liefern aber in den optimalen Detektionszeitpunkten keine Interferenzen, wie Bild 5-30 zeigt. Impulse mit dieser Eigenschaft erfüllen das 1. Nyquist-Kriterium. Damit ist gezeigt, dass eine interferenzfreie Datenübertragung bei der Nyquist-Bandbreite prinzipiell möglich ist. Anmerkung: Vergleiche Interpolationsbedingung der si-Interpolation in Bild 3-3 und Spektrum des OFDM-Signals in Bild 4-37.

Mit dem si-Impuls als Sendegrundimpuls ist eine digitale Übertragung mit der NyquistBandbreite im Basisband ohne störende Nachbarzeicheninterferenzen prinzipiell möglich. Bei der realen Nachrichtenübertragung ist jedoch weder ein ideales Tiefpass-Spektrum gegeben noch liegt exakte Synchronität vor. Letzteres führt dazu, dass der optimale Abtastzeitpunkt nicht genau getroffen wird. Deshalb werden je nach Anwendung verschiedene Impulsformen eingesetzt, wobei ein guter Kompromiss zwischen Realisierungsaufwand, Bandbreite und Robustheit gegen Störungen angestrebt wird. Eine häufig verwendete Familie von Impulsen sind die Impulse mit Raised-Cosine-Spektrum, kurz RC-Spektrum.

5.8 Nyquist-Bandbreite und Impulsformung

177

Abtastzeitpunkte 1 Abtastwert si-Impuls t / Tb

1 Bild 5-30 Digitale Übertragung mit interferenzfreien si-Impulsen

X RC ( f )

f für d 1D °A fN ° °° A ª f § S ·º ª¬ f 1 D f N º¼ ¸ » für 1 D d 1 D ® «1 cos ¨ f f 2 2 D N N © ¹¼ ° ¬ °0 sonst ° °¯

(5.22)

Zwei Beispiele für RC-Spektren sind in Bild 5-31 rechts zu sehen. Sie sind strikt bandbegrenzt mit der Grenzfrequenz fg = (1+D)fN. Der Parameter D, mit 0 d D d 1, bestimmt die Flankenbreite und damit das Abrollen der Flanke. Er wird Roll-off-Faktor genannt. Ist D = 0, so liegt Durch spezielle Impulsformen, wie z. B. ein ideales Tiefpass-Spektrum vor. Ist D = 1, so solche mit Raised-Cosine-Spektrum, erhält man eine nach oben verschobene Kosikann eine binäre Datenübertragung im nus-Halbwelle. Ein in den Anwendungen übliBasisband mit einer Bandbreite von circa cher Wert ist D = 1/2. Die tatsächlich benötigte 1,5fN verwirklicht werden. Bandbreite für die Datenübertragung ist dann 1,5fN. Die dazu gehörenden Impulse haben die Form

xRC (t )

§ t · cos ¨ SD ¸ Tb ¹ § t · © A si ¨ S ¸ 2 © Tb ¹ § t · 1 ¨ 2D ¸ Tb ¹ ©

(5.23)

Es lassen sich zwei wichtige Eigenschaften ablesen. Zum Ersten sorgt die si-Funktion wie in Bild 5-29 für äquidistante Nullstellen, so dass wieder wie in Bild 5-30 theoretisch ohne Nachbarzeicheninterferenzen abgetastet werden kann. Zum Zweiten bewirkt der Nenner einen zusätzlichen quadratischen Abfall der Impulse mit wachsender Zeit t. In der linken Hälfte in Bild 5-31 sind die Impulse für die Roll-off-Faktoren D = 0,5 und 0,2 zu sehen. Es bestätigen sich die gemachten Aussagen.

5 Digitale Übertragung im Basisband

178 1

D = 0,5

xRC(t)

1D 1 1+D

1

NyquistFlanke

XRC( f )

0,5

D = 0,5

0,5 0 0,5 5 1

0 2

t / Tb 5

0

1

D = 0,2

xRC(t)

0

f / fN 2 1

NyquistFlanke

XRC( f )

0,5

D = 0,2

0,5 0 0,5 5

0

0 2

t / Tb 5

0

f / fN 2

Bild 5-31 Raised-Cosine-Spektren X( f ) und zugehörige Impulse x(t) für die Roll-off-Faktoren D = 0,5 und 0,2

In der Anwendung, siehe Bild 5-26, wird die Übertragungsfunktion XRC( jZ) gleichmäßig auf den Impulsformer und das Empfangsfilter aufgeteilt mit G( jZ ) X RC ( jZ ) . Man bezeichnet den Sendegrundimpuls deshalb auch als Root-RC-Impuls. Anmerkung: Bei dieser Wahl ist die Autokorrelationsfunktion des Rauschanteils des Detektionssignals gleich dem Detektionsgrundimpuls. Die abgetasteten Detektionsvariablen sind dann unkorreliert (weißes Rauschen) bzw. im gaußschen Fall sogar unabhängig, sodass der optimale Fall für den Empfang mit Matched-Filter vorliegt.

1 Zeit

0 1 Bitdauer

Basisbandsignal

Basisbandsignal

In Bild 5-32 ist das zugehörige simulierte Augendiagramm für die Übertragung mit Root-RCImpulsen gezeigt. Ohne Bandbegrenzung ergibt sich die maximale Augenöffnung in der Bildmitte. Bei einer Bandbegrenzung durch einen RC-Tiefpass mit W = 2Tb / S erhält man das rechte Teilbild. Im Vergleich zur Übertragung mit Rechteckimpulsen in Bild 5-20 resultiert mit 0,69 eine deutlich größere Augenöffnung. Die SNR-Degradation beträgt hier 3,2 dB, also 1,5 dB weniger als bei der Übertragung mit Rechteckimpulsen.

1 Zeit

0 1 Bitdauer

Bild 5-32 Augendiagramme für die Übertragung mit Root-RC-Impulsen in Kanälen ohne (links) und mit Bandbegrenzung durch einen RC-Tiefpass (rechts) (normierte Darstellung)

5.9 Kanalkapazität

5.9

179

Kanalkapazität

Die bisherigen Überlegungen zeigen, wie die Kanalbandbreite die maximale Bitrate beschränkt. Für die Datenübertragung in Telefonkanälen mit der Bandbreite von 4 kHz liefert die Nyquist-Bandbreite (5.20) eine maximale Bitrate von 8 kbit/s. Heutige Modems für analoge Telefonanschlüsse stellen Bitraten bis zu 56 kbit/s bereit. Wie ist das möglich?

Datenniveaus

Die Steigerung der Bitrate wird durch die Verwendung mehrstufiger Modulationsverfahren erreicht. Statt wie bei der bipolaren Symbole Übertragung nur die Amplituden uˆ und uˆ zuzulassen, werden 11 1 beispielsweise bei der Pulsamplitudenmodulation (PAM) mehrere Amplitudenstufen, sogenannte Datenniveaus, verwendet, siehe 10 1/3 auch Abschnitt 4-5. Ein einfaches Beispiel macht dies deutlich: Fasst man zwei Bits zu einem Symbol zusammen, so ergeben sich 00 1/3 vier mögliche Symbole die mit vier unterschiedlichen Amplitudenwerten dargestellt werden können. Ist die maximale Sende01 1 amplitude auf uˆ beschränkt, so bieten sich die Amplituden uˆ , uˆ / 3 , uˆ / 3 und uˆ an. Der Schwellwertdetektor legt dann die Entscheidungsschwellen genau zwischen diese Werte. Dadurch Bild 5-33 Amplitudenstufen für die 4-PAM wird erreicht, dass die Abstände zwischen den Datenniveaus und (normiert) den Entscheidungsschwellen mit uˆ / 3 jeweils gleich sind. Entsprechend zu Bild 5-16 ist dann die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung zwischen benachbarten Symbolen identisch. Es ist offensichtlich, dass hier bei Rauschstörung die Zahl der Bitfehler deutlich ansteigt, da im Vergleich zur bipolaren Übertragung bereits eine um 1/3 geringere Rauschamplitude eine Fehlentscheidung herbeiführen kann. Bei fester Bandbreite und Anwendung von mehrstufigen Modulationsverfahren begrenzt das Signalrauschverhältnis die maximale Bitrate. Diese grundsätzlichen Überlegungen finden in der Informationstheorie als shannonsche Kanalkapazität ihre mathematische Formulierung. Mit C der Kanalkapazität in bit/s, B der Bandbreite des Kanals in Hz, und S der Signalleistung und N der Störleistung des AWGN gilt [Sha48]. C bit

S· § B log 2 ¨1 ¸ N © ¹

(5.24)

Anmerkung: Man beachte den Zweierlogarithmus (binärer Logarithmus, Logarithmus dualis), der in Verbindung mit der Pseudoeinheit „bit“ in der Informationstheorie üblich ist, siehe Abschnitt 8.

Die Bedeutung der shannonschen Kanalkapazität liegt vor allem darin, dass der grundlegenden Zusammenhang von der zur Verfügung stehenden Bandbreite, dem SNR und der theoretisch fehlerfrei übertragbaren maximalen Bitrate auf mathematischem Wege hergestellt wird. Damit objektiviert sie die Erfahrungen aus der Praxis und liefert einen wichtigen Vergleichsmaßstab zur Beurteilung neuer Übertragungskonzepte in der Forschung. Nicht zuletzt rechtfertigt die Formel für die Kanalkapazität die axiomatische Begründung der Informationstheorie in Abschnitt 8. Die maximal übertragbare Bitrate wird durch die Bandbreite und das Signalrauschverhältnis begrenzt. Bitrate, Bandbreite und S/N-Verhältnis sind in gewissen Grenzen gegeneinander austauschbar.

5 Digitale Übertragung im Basisband

180

Auf praktische nachrichtentechnische Systeme ist die Formel (5.24) mit Vorsicht anzuwenden, da ihr spezielle Modellannahmen zugrunde liegen (AWGN-Kanal, Bandbegrenzung im Kanal wie beim idealen Tiefpass oder Bandpass, normalverteiltes Nutzsignal), die in der Realität so nicht gegeben sind. Beispiel Telefonmodemübertragung im Teilnehmeranschluss

Wir zeigen die Anwendung anhand eines vereinfachten Beispiels. Im Zusammenhang mit der TF-Technik der Telefonie wird einem Teilnehmer für die transparente Übertragung ein Kanal mit etwa 4 kHz Bandbreite zur Verfügung gestellt. Für das SNR im Empfänger kann ein Wert von 60 dB in der Nähe der Endvermittlungsstelle bzw. 20 dB im Abstand von 4,2 km (40 dB Kabeldämpfung bei Aderdurchmesser 0,4mm) angenommen werden [KaKö99], [Loc02]. Wie groß ist die maximale theoretisch fehlerfreie übertragbare Bitrate? Wir schätzen mit (5.24) die Kanalkapazität ab

1 10 kbit/s | 26,6 kbit/s

C60dB

4 log 2 1 1060 10 kbit/s | 79,7 kbit/s

C20dB

4 log 2

20 10

(5.25)

Wir schließen daraus, dass dem Teilnehmer nahe der Endvermittlungsstelle theoretisch eine Bitrate von deutlich mehr als der üblichen 56 kbit/s angeboten werden könnte. Der weiter entfernte Teilnehmer wird trotz seines „neuen“ Modems die Bitrate von 56 kbit/s nicht erreichen. Wir wiederholen die Abschätzung für einen breitbandigen digitalen Teilnehmeranschluss, der die Kupferdoppeladern bis etwa 2 MHz nutzen kann. Dann sollte eine Übertragung mit über zehn Mbit/s möglich sein.

C20dB

5.10

2 log 2 1 1020 10 Mbit/s | 13,3 Mbit/s

(5.26)

Digitaler Teilnehmeranschluss

Hundert Jahre nach der Patentanmeldung eines gebrauchsfähigen Telefons durch A. G. Bell wurde die Zahl der Telefone 1976 weltweit auf ungefähr 380 Millionen geschätzt. In nur 100 Jahren hatte sich ein weltumspannendes Telefonnetz entwickelt, das in den industrialisierten Ländern seine Fäden in Form von Kupferdoppeladern in fast jedes Haus erstreckt. Vor dem Hintergrund der hohen Kosten für neue Teilnehmeranschlussleitungen und der fast überall verfügbaren Kupferdoppeladern war Ende des letzten Jahrhunderts offensichtlich, dass ein Eintritt in das Informationszeitalter für viele Menschen nur möglich ist, wenn die bestehenden Kupferdoppeladern für die Datenübertragung effektiv genutzt werden. Anmerkung: Heute spricht man von der Teilhabe am Internet und einer drohenden digitalen Spaltung, die viele Bürger ohne „schnellen/breitbandigen“ Internetzugang zurücklässt.

Die damit verbundenen technischen Herausforderungen haben in den letzten 10 Jahren zunächst zu einer Vielfalt an Lösungen geführt, wobei einige als Zwischenschritte keine Marktbedeutung erlangten oder bereits wieder verschwunden sind. Im Folgenden soll eine kleine Übersicht der Entwicklung ohne technische Details gegeben werden.

5.10 Digitaler Teilnehmeranschluss

181

Den Ausgangspunkt bildet der herkömmliche Teilnehmeranschluss in Bild 5-34: Von der Ortsvermittlungstelle OVSt (Local Central Office, End Office) aus wird über mehrere Verzweiger (Cabinet) der „Teilnehmer“ (Customer Premises) angeschlossen. Dabei können je nach örtlichen Gegebenheiten unterschiedliche Kabeltypen, weitere Verzweiger oder auch Verstärker zu Einsatz kommen.

Endverzweiger Installationskabel

EVz

Kabelverzweiger Vzk

KVz

Ortsvermittlungsstelle Hk

OVSt

„Teilnehmer“ Verzweigungskabel

Hauptkabel

Teilnehmeranschlussleitung

Bild 5-34 Teilnehmeranschlussleitung als Teil des Zugangsnetz mit symmetrischem Kupferkabelnetz

Im digitalen Netzzugang ist die Bandbegrenzung der Telefonie auf 4 kHz bedeutungslos, so dass auch Signale mit größerer Bandbreite übertragen werden können. Allerdings degradiert die Übertragungsfähigkeit der Kupferdoppelader-Leitungen langsam mit steigender Frequenz; der Dämpfungskoeffizient nimmt mit etwa f zu. Auch die Störungen nehmen mit steigender Frequenz zu, wie das Übersprechen (Crosstalk) zwischen den Leitungen in den Kabelbündeln und das Einstreuen von Amateurfunksignalen (Radio Noise). Anmerkung: Man spricht von NEXT (Near-End Crosstalk) und FEXT (Far-End Crosstalk). Die NEXTStörung ist kritischer, weil sie in der Nähe des Empfängers entsteht, meist durch das Signal des eigenen (Self-NEXT) oder benachbarten (Foreign-NEXT) Senders, während die FEXT-Störung durch die Leitung gedämpft wird.

Die herkömmliche Teilnehmeranschlussleitung für die Sprachtelefonie wird mit aufeinander abgestimmten Modems in der Endvermittlungsstelle und beim Teilnehmer breitbandig genutzt. Die digitalen Übertragungsverfahren werden unter dem Begriff xDSL (Digital Subscriber Line) zusammengefasst, siehe Tabelle 5-3. Sie ermöglichen die Übertragung von hohen Bitraten für Multimediadienste mit Audio- und Videokomponenten [BlMa08], [SSCS03]. Anmerkungen: (i) Eine weitere Steigerung der effektiven Datenrate ist unter Umständen durch Datenkompression möglich, siehe Abschnitt 8. (ii) Moderne Kabelmodems vermessen vor Beginn der Datenübertragung den Übertragungskanal. Sie passen die Bitrate/Symbolrate auf den Kanal an und entzerren das Empfangssignal vor der Detektion. Darüber hinaus wenden sie Verfahren zur Datenkompression und Kanalcodierung an und benutzen fehlertolerante Übertragungsprotokolle.

Ein wichtiges Beispiel liefert die digitale ADSL-Übertragung (Asymmetric Digital Subscriber Line) über eine verdrillte Zweidrahtleitung als Teilnehmeranschluss. In Bild 5-35 ist die Frequenzbelegung schematisch dargestellt. Zur Kompatibilität wird der Frequenzbereich unterhalb von 4 kHz für die herkömmliche analoge Telefonie (Plain Old Telephone Service, POTS) frei gehalten. Durch einen Tiefpass (Splitter) kann das analoge Telefonsignal abgetrennt werden.

5 Digitale Übertragung im Basisband

ISDN

ADSL aufwärts

POTS

Leistungsdichte

182

4 25

ADSL abwärts

120 140

Frequenz in kHz

1100

Bild 5-35 Frequenzbelegung auf der Zweidraht-Teilnehmeranschlussleitung bei ADSL-Übertragung (schematische Darstellung)

Tabelle 5-3

Digitale Anschlusstechniken für das herkömmliche Kupferkabel der Teilnehmeranschlussleitung (Digital Subscriber Line, DSL)

DSL-Technik

Bitraten und Bemerkungen

DSL

Herkömmlicher ISDN-Anschluss mit 2 u 64 kbit/s (B-Kanäle) und 16 kbit/s (D-Kanal) im Duplex (1986*)

ADSL (Asymmetric)

1, 2, 3 u 1,544 Mbit/s (T1) bzw. 2,048 Mbit/s (E1) im hochratigen Übertragungskanal (abwärts/zum Teilnehmer) und 64 (128) ... 768 kbit/s ( ...1 Mbit/s) im sogenannten Steuerkanal (aufwärts/zur Vermittlungsstelle) 1995 ADSL2 mit …8,192 Mbit/s und …1,024 Mbit/s 2002, ITU-T G.992.3 ADSL2+ mit …24,576 Mbit/s und …1,024 Mbit/s, doppelte Bandbreite (2,208 MHz, DMT mit 512 Unterträgern) 2003, ITU-T G.992.5

HDSL (High bit-rate)

1,544 Mbit/s (T1) oder 2,048 Mbit/s (E1) im Duplex, Vierdrahtleitung 1992, ITU G.991.1 HDSL2, Bitrate wie HDSL über Zweidrahtleitung 1998/2000 HDSL4, Bitrate wie HDSL mit vergrößerter Reichweite über Vierdrahtleitung

SHDSL (Symmetric)

Wie HDSL, Bitrate skalierbar von 192 kbit/s bis 2,304 Mbit/s, herkömmliche Telefone können weiter benutzt werden (Notspeisefähigkeit), Zweidrahtleitung 2000, ITU-T G.991.2

ESHDSL

Enhanced SHDSL, …5,696 Mbit/s 2003/5, ITU-T G.991.2

VDSL (Very high-rate)

VDSL(1) für kurze Anschlusslänge (…300 m), sehr hohe Bitrate (… 52 Mbit/s) 2001 VDSL2, 30 MHz Bandbreite, DMT mit 4096 Unterträgern 2004/6, ITU-T G.993.2

T1-System: in Nordamerika um 1960 entwickeltes PCM-System. E1-System: Weiterentwicklung von T1 für Europa (ITU-Standard), siehe Abschnitt 6. * Die Jahreszahlen beziehen sich auf die Veröffentlichung relevanter Standards bzw. die Markteinführung.

5.10 Digitaler Teilnehmeranschluss

183

Bei einer ISDN-Übertragung im Basisanschluss wird der Bereich bis etwa 120 kHz belegt, siehe Bild 5-35. Werden eine ISDN-Anlage und ein ADSL-Modem gleichzeitig betrieben, ergibt sich eine frequenzmäßige Überlappung mit dem ADSL-Signal in Aufwärtsrichtung, d. h. vom Teilnehmer zur Vermittlungsstelle, da die spektrale Leistung des Aufwärtssignals (Upstream Signal) hauptsächlich im Frequenzband von circa 25 bis 140 kHz liegt. In diesem Fall kann vorgesehen werden, die Bitrate zu reduzieren, um eine mögliche ISDN-Sprachübertragung nicht zu stören. Durch das Abwärtssignal (Downstream Signal) wird hauptsächlich das Frequenzband von etwa 25 bis 1100 kHz belegt. Wegen des in Abwärtsrichtung breiteren Frequenzbandes lassen sich entsprechend höhere Bitraten als in Aufwärtsrichtung realisieren. So sind in den verschiedenen Varianten der ADSL-Technik in Aufwärtsrichtung (16) 64...768 (1024) kbit/s und in Abwärtsrichtung ...6 (...10) Mbit/s vorgesehen. Die tatsächlich erreichbaren Bitraten hängen von den örtlichen Gegebenheiten (Aderdurchmesser, Leitungslänge, usw.) und Störungen (Funkrauschen, Impulsgeräusche, Übersprechen, usw.) ab. Zum Schluss sei angemerkt, dass die angegebenen Frequenzen nur Richtwerte darstellen, auf die die Signale nicht strikt bandbegrenzt sind. Seit etwa 2005 ist die Weiterentwicklung ADSL2+ verfügbar. ADSL2+ ist kompatibel zu seinen Vorgängern. Es benutzt ebenso ein Mehrträgerverfahren, genannt DMT (Discrete Multitone), das auf dem OFDM-Verfahren in Abschnitt 4.5, allerdings ohne HF-Träger, beruht. Im Sender und Empfänger kommt die IFFT bzw. FFT der Blocklänge 512 zum Einsatz. Da doppelt so viele Unterträger wie bei ADSL verwendet werden, verdoppelt sich die Bandbreite auf 2,208 MHz. Als Besonderheit verfügt ADSL2+ über eine dynamische Anpassung der Unterträger, genannt DSM (Dynamic Spectrum Management). Die Sendepegel der einzelnen Unterträger werden während des Betriebs an die sich verändernden Bedingungen oder Anforderungen angepasst. So ist es möglich, Störungen zu erkennen, die Datenrate zu maximieren oder die Sendeleistung auf das notwendige Maß zu begrenzen und so den Durchsatz des Kabels (Bündel von Zweidrahtleitungen) für alle Teilnehmer gemeinsam zu verbessern. Vorgesehen ist ADSL2+ mit der Bitrate von mindestens 16 Mbit/s für die Anwendungen TriplePlay (Telefon+Internet+Fernsehen) und IPTV (Internet-Fernsehen). Bild 5-36 gibt einen Überblick über die Leistungsfähigkeit modernen DSL-Verfahren. Beeindruckend ist die schnelle Entwicklung in den letzten 20 Jahren. Seit der Einführung von ISDN 1986 bis heute hat sich die verfügbare Bitrate von 144 kbit/s auf 52 Mbit/s gesteigert. Anmerkungen: (i) Ein Preisvergleich pro Bit zwischen ISDN vor 20 Jahren und VDSL heute, würde wahrscheinlich noch eindrucksvoller Zahlen liefert. (ii) Für die Verteilung von HDTV (High Definition TV) kommt ADSL2+ jedoch an seine Grenzen. So wird zurzeit an passiven optischen Netzwerken (PON, Passive Optical Network) mit Lichtwellenleitern gearbeitet, die zu bezahlbaren Preisen Bitraten über 1 Gbit/s zu den Teilnehmern (FTTH, Fiber To The Home) bzw. in deren Nähe (FTTC, Fiber To The Curb) (Endverteiler) bringen sollen. (iii) Die für die Verteilung von Fernsehsignalen verlegten Koaxialkabel, Breitband-Kommunikationskabel, bieten für die letzten Kilometer zu Teilnehmer noch ausreichende Ausbaureserven für die nächsten Jahre.

Beispiel Übertragungskapazität von ADSL2+ im Teilnehmeranschluss

Einen Hinweis auf die Größe der erzielbaren Bitrate liefert die shannonsche Kanalkapazität. Dazu betrachten wir nochmals (5.25), jetzt aber mit der Bandbreite 2,2 MHz. Die Auswertung der Formel liefert für die SNR-Werte 60 dB und 20 dB die Kapazitäten von circa 43 bzw. 14 Mbit/s. Also in etwa die in Bild 5-36 für ADSL2+ angegeben Werte. _______________________________________________________________________________ Ende des Beispiels

5 Digitale Übertragung im Basisband

184

50 M

0,3 km

VDSL

Bitrate in Abwärtsrichtung in bit/s

25 M

1 km

1 km

1 km

ADSL2+

1,3 km

2 km

12 M 10 M

0,3 km

ADSL2

6M

3 km

ESHDSL o 1,2 km

ADSL SDSL o 2 km SHDSL o 2,6 km

2M 1,5 M

4 km

SDSL o 2,3 km SHDSL/HDSL2 o 3 km

1M 768 k

SDSL o 3 km SHDSL o 4 km

400 k

SDSL o 4,3 km SHDSL o 5 km 5 km

144 k

ISDN o 5 km 144 k

768 k

400 k

2M

1 M 1,5 M

6M

12 M 10 M

Bitrate in Aufwärtsrichtung in bit/s Bild 5-36 DSL-Datenraten und Reichweiten (nach [SSCS03] und ergänzt, die Angaben zu den Reichweiten beziehen sich jeweils auf bestimmte Leitungstypen)

5.11

Zusammenfassung

Die digitale Basisbandübertragung ist überall dort anzutreffen, wo es gilt, digitale Information über kurze Entfernungen auszutauschen. Je nach Anwendung existieren sehr unterschiedliche Anforderungen bzgl. Komplexität, Störfestigkeit und Bitrate. Als wichtigste Komponenten der Übertragungskette sind die Leitungscodierung und die Impulsformung im Sender, der Kanal und der Empfänger mit Synchronisations- und Detektionseinrichtung hervorzuheben: Die Leitungscodierung und Impulsformung hat die Aufgabe, den Bitstrom in ein an den Kanal angepasstes Signal umzusetzen. Spezielle Anforderungen, wie ein kompaktes Spektrum oder Gleichstromfreiheit, können durch die Wahl des Leitungscodes und der Form des Sendegrundimpulses erfüllt werden. Als wichtige Beispiele sind hier Codes mit Gedächtnis, wie der AMI-Code, und interferenzfreie Impulsformen, wie der Root-RC-Impuls, zu nennen.

5.11 Zusammenfassung

185

Die Übertragungsstrecken lassen sich oft näherungsweise als Tiefpässe modellieren, an deren Ausgängen den Nachrichtensignalen Störsignale überlagert werden. Durch die Bandbegrenzung im Tiefpasskanal treten Dämpfungs- und Phasenverzerrungen auf, die die gesendeten Impulse verbreitern, sodass sie sich gegenseitig stören. Die Nachbarzeicheninterferenzen machen die Übertragung anfällig gegen Rauschen. Wie stark die Übertragungsqualität jeweils degradiert, kann an der Augenöffnung im Augendiagramm abgelesen werden. Der erfolgreiche Empfang der Nachricht setzt das Erkennen des Bittaktes im Empfangssignal voraus. Dazu dient die Synchronisationseinrichtung. Sie wird durch einen hohen Taktgehalt im Sendesignal unterstützt. Halten sich die Störungen in normalen Grenzen, arbeiten die üblicherweise eingesetzten Synchronisationseinrichtungen zuverlässig. Ein Verlust der Synchronisation macht den Nachrichtenempfang meist unmöglich. Für die digitale Übertragung ist deshalb typisch, dass sie entweder zuverlässig funktioniert oder gar nicht. Um die Wirkung der Rauschstörung zu verringern, kann ein Empfänger mit Matched-Filter eingesetzt werden. Er maximiert das S/N-Verhältnis und verringert demzufolge die Wahrscheinlichkeit für Übertragungsfehler. Im Falle eines AWGN-Kanals wird die Fehlerwahrscheinlichkeit sogar minimiert. Als wichtige allgemeine Zusammenhänge sind die Nyquist-Bandbreite und die shannonsche Kanalkapazität zu nennen: x Die Nyquist-Bandbreite liefert eine Abschätzung der erforderlichen Bandbreite für die binäre Basisbandübertragung. Sie ist gleich dem Kehrwert der zweifachen Bitdauer, bzw. Symboldauer bei mehrstufiger Übertragung. In praktischen Anwendungen ist mit einem etwa 1,5-fachen Wert der Nyquist-Bandbreite zu rechnen. x Die shannonsche Kanalkapazität beschreibt den grundlegenden Zusammenhang zwischen dem für die Übertragung notwendigen Aufwand in Form von Bandbreite und Signalleistung und dem erzielbaren Gewinn in Form der Bitrate bei vorgegebener Rauschleistung. Moderne Standards zur digitalen Basisbandübertragung bedienen sich komplexer Methoden der digitalen Signalverarbeitung, die sich dynamisch an die Übertragungsbedingungen anpassen, wie die adaptive Entzerrung des Empfangssignals, die Berücksichtigung der Nachbarzeicheninterferenzen durch Detektion ganzer Bitfolgen, den Einsatz aufwendiger Kanalcodierverfahren, usw. Die Darstellung dieser Verfahren würde den Rahmen einer Einführung sprengen, weshalb darauf verzichtet wird. Es sind jedoch erst diese anspruchsvollen Methoden, die zusammen mit den Fortschritten der Mikroelektronik die moderne Informationstechnik ermöglichen. Ergänzt werden die vorgestellten Methoden durch die drahtlose Kommunikation, sei es durch die Infrarotübertragung, z. B. IrDA-Standard (Infrared Data Association), oder durch die Funkübertragung, z. B. Bluetooth, WLAN nach IEEE 802.11, HIPERLAN (High Performance LAN). Vergessen werden sollte auch nicht, dass die physikalische Übertragung sowie die damit unterstützten Dienste die Existenz eines leistungsfähigen an die jeweilige Aufgabe angepassten Protokolls voraussetzen. Die Möglichkeiten den herkömmlichen Teilnehmeranschluss mit Kupferdoppeladern für breitbandigen Internetanschluss zu nutzen sind heute schon weit ausgereizt. Geht man von der Bitrate 100 Mbit/s für alle aus, so gehört die Zukunft der Glasfaser.

186

5 Digitale Übertragung im Basisband

5.12 Aufgaben zu Abschnitt 5 Aufgabe 5.1

a) Geben Sie das Bitmuster nach ASCII-Code für das Zeichenpaar „NT“ an. b) Skizzieren Sie für das Zeichenpaar in a) das Basisbandsignal entsprechend der RS-232Schnittstelle. Verwenden Sie eine Codierung mit ungerade Parität und 1,5 Stoppbits. Aufgabe 5.2

a) Was versteht man unter Leitungscodes mit Gedächtnis und wozu werden sie verwendet? b) Skizzieren Sie das Basisbandsignal der Bitfolge 0101110... bei AMI-Codierung. Aufgabe 5.3

a) Geben Sie die drei prinzipiellen Verarbeitungsschritte im Empfänger bei der digitalen Übertragung im Basisband an. b) Mit welchen Störeinflüssen ist bei der digitalen Übertragung im Basisband zu rechnen? c) Was versteht man unter Nachbarzeichenstörungen? d) Welche Bedeutung hat die Augenöffnung? e) Wie wirkt sich ein Synchronisationsfehler bei der Detektion aus? f) Welchen Zweck dient die Impulsformung bei der digitalen Basisbandübertragung. Nennen Sie eine häufig verwendete Impulsform. Aufgabe 5.4

a) Es soll ein Datenstrom von 64 kbit/s im Basisband binär übertragen werden. Wie groß muss die Bandbreite B des zugehörigen Übertragungskanals theoretisch mindestens sein und wie nennt man diese minimale Bandbreite? Wie groß ist die in den Anwendungen tatsächlich benötigte Bandbreite typischerweise? b) In welchem Verhältnis stehen bei der Nachrichtenübertragung die Bitrate, die Bandbreite und das SNR zueinander? c) Wie kann die Bitrate einer Datenübertragung bei fester Bandbreite gesteigert werden? Mit welchem Nachteil wird dies erkauft? d) Nennen Sie einen wichtigen Vorteil der digitalen Nachrichtenfernübertragung gegenüber der analogen. Aufgabe 5.5

a) Welches Problem soll das Matched-Filter in der Datenübertragungstechnik lösen? b) Worauf ist das Matched-Filter anzupassen? c) Was bedeutet optimal im Zusammenhang mit dem Matched-Filter? Aufgabe 5.6

a) Wofür steht das Akronym ADSL? b) Warum ist die erzielbare Bitrate von DSL-Anschlüssen von der Länge der Anschlussleitung abhängig? c) Warum können Modems für ADSL2+ wesentlich höhere Bitraten übertragen als die Sprachtelefon-Modems?

187

6

Telekommunikationsnetze

Moderne öffentliche Telekommunikationsnetze bestehen aus einer Vielzahl unterschiedlicher Netzkomponenten und ermöglichen verschiedenartige Dienste. Da es den Teilnehmern freigestellt ist, welchen Dienst sie zu welcher Zeit von welchem Ort aus in Anspruch nehmen möchten, kann der Telekommunikationsverkehr nicht im einzelnen vorhergeplant werden. Endgeräte und Netzkomponenten müssen situationsbedingt untereinander Nachrichten austauschen und Übertragungswege gesucht werden. Hinzu kommt unverzichtbar die wirtschaftliche Darstellbarkeit. Ähnlich wie in der herkömmlichen analogen Sprachtelefonie das Frequenzmultiplex, sind in modernen digitalen Netzen Kanäle zu bündeln, um Telekommunikation für viele Menschen bezahlbar zu machen. In diesem Abschnitt wird zunächst das Zeitmultiplex zur Bündelung digitaler Nachrichtenströme vorgestellt. Danach werden Grundbegriffe der Nachrichtenübermittlung behandelt und mit dem OSI-Referenzmodell das Protokoll als Grundlage des geregelten Nachrichtenaustausches eingeführt. Als Beispiel wird das historisch wichtige und heute noch aktuelle High-level Data Link Control (HDLC) Protokoll vorgestellt. Die darauf folgenden Abschnitte stellen Anwendungen, wie ATM, Breitband-ISDN, Lokale Netze und die Protokollfamilie TCP/IP kurz vor.

6.1

Zeitmultiplex, PDH und SHD

Für die Übertragung analoger Sprachkanäle wurden Systeme zur Vielfachnutzung von Übertragungsmitteln, wie Koaxialkabel und Richtfunkstrecken, eingeführt. Bei den herkömmlichen Trägerfrequenzsystemen, siehe Abschnitt 4.2.7, werden die Sprachkanäle im Frequenzmultiplex, also jeder Sprachkanal frequenzmäßig getrennt, übertragen. Ebenso wie bei der analogen Sprachübertragung wäre es unwirtschaftlich, wollte man jedes digitale Sprachsignal, siehe PCM in Abschnitt 3.5, über eine eigene Leitung übertragen. Zur Bündelung der digitalen Gesprächskanäle in der Telefonie wurde Ende der 1960er Jahre die PDH-Hierarchie, die Plesiochronous Digital Hierarchy, eingeführt. Nachfolgend wird ein kurzer Überblick über das PDH-System gegeben. An ihm lassen sich grundlegende Tatsachen erkennen, und bis heute gültige Festlegungen verstehen. Die Grundstufe des PDH-Systems ist das PCM-30-System, bei dem 30 PCM-Kanäle zum Primärmultiplexsignal zusammengefasst werden. Die PCM-Kanäle werden oktettweise zeitlich ineinander verschränkt, also in Gruppen aus je 8 Bits (1 Byte). Man spricht von einer Zeitmultiplex-Übertragung. Den 30 Gesprächskanälen werden zusätzlich zwei Organisationskanäle beigefügt. Es werden aufeinander folgende Rahmen gebildet, die je Kanal ein Oktett aus 8 Bits (1 Byte) tragen. Daraus ergeben sich 256 Bits pro Rahmen. Bei einer Abtastfrequenz von 8 kHz stehen für den Rahmen 125 Ps zur Verfügung. Der Rahmenaufbau wird in Bild 6-1 gezeigt. Das 1. Oktett im Rahmen ist abwechselnd entweder ein Rahmenkennungswort (R) oder ein Meldewort (M). Das 2. bis 16. Oktett gehört zu den ersten 15 Gesprächskanälen mit jeweils einer Bitrate von 64 kbit/s für PCM-Sprache. Das 17. Oktett dient zur Zeichengabe, wie der M. Werner, Nachrichtentechnik, DOI 10.1007/978-3-8348-9742-8_6, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010

6 Telekommunikationsnetze

188

Zielinformation, z. B. den Rufnummern. Danach schließen sich die Oktette der restlichen 15 Gesprächskanäle an. Rahmenkennungswort und Meldewort sind typisch für die digitale Übertragung. Da die Zuordnung der Oktette zu den Gesprächskanälen sowie den Funktionen Zeichengabe und Meldung von der Lage im Rahmen abhängen, ist die Erkennung des Rahmenanfangs für die Kommunikation unverzichtbar. Mit dem Meldewort besteht die Möglichkeit der Inbandsignalisierung, d. h. der Übertragung für die Steuerung der Verbindung wichtiger Informationen während laufender Gespräche. Der Aufbau des Rahmenerkennungs- und des Meldeworts und die Bedeutung der einzelnen Bits werden im Schnittstellenprotokoll festgelegt. Im Meldewort ist das Bit X für die internationale Verwendung reserviert; das Bit D dient als Meldebit für dringenden Alarm und Bit N als Meldebit für nicht dringenden Alarm. Die vier Bits Y sind für die nationale Verwendung reserviert. Obwohl pro Meldewort nur ein D- und ein N-Bit zur Verfügung stehen, entspricht das einer Datenverbindung mit der Bitrate von je 4 kbit/s, da alle 250 Ps ein D- und ein N-Bit übertragen werden. PCM-30-Zeitmultiplexrahmen 256 Bits in 125 Ps

29 30 R 1 2 3

15 Z 16

Rahmenkennung

X 0 0 1 1 0 1 1

28 29 30 M 1

Zeichengabe

Meldung

1 2 3 4 5 6 7 8

X 1 D N Y Y Y Y

Bild 6-1 PCM-30-Zeitmultiplexrahmen

PCM-30-Systeme wurden in Deutschland ab 1971 eingesetzt. Man beachte den Unterschied zu ISDN, dass erst Ende der 1980 Jahre eingeführt wurde. Aus Kompatibilitätsgründen wurden für die ISDN-Basiskanäle ebenfalls 64 kbit/s festgelegt. Bei der Übertragung von ISDN-Verbindungen im PCM-30-System müssen die zugehörigen ISDN-D-Kanäle auf das Z-Oktett abgebildet werden. Dies ist jedoch nur eingeschränkt möglich. Aus PCM-30-Systemen wird die PDH-Hierarchie in Bild 6-2 aufgebaut. Jeweils vier Untersysteme werden in einem Multiplexer zusammengeführt, bis schließlich im PCM-7680-System 7680 Gesprächskanäle gebündelt werden. Durch Hinzufügen von weiteren Organisationszeichen bzw. eventuellen Stopfbits zur Taktanpassung wird die Bitrate jeweils etwas mehr als vervierfacht. Wegen der nicht strikten Synchronität zwischen den Datenströmen spricht man hier von einem plesiochronen (annähernd synchronen) digitalen Multiplexsystem.

PCM 30

64 kbit/s

PCM 120

2 Mbit/s

PCM 480

8 Mbit/s

PCM 1920

34 Mbit/s

PCM 7680

140 Mbit/s

565 Mbit/s

Bild 6-2 PCM-Zeitmultiplexsysteme (PDH, Bitraten gerundet)

189

6.1 Zeitmultiplex, PDH und SHD

In Tabelle 6-1 sind einige weitere Details zusammengestellt. Insbesondere die Verwendung von Lichtwellenleitern (LWL) macht eine wirtschaftliche Übertragung bei hohen Bitraten über weite Strecken möglich, vgl. Tabelle 4-1. Anmerkungen: (i) Das erste transatlantischen Kabel aus zwei Lichtwellenleitern (TAT-8) mit je 280 Mbit/s an Bitrate wurde 1988 in Betrieb genommen. Zum Vergleich, ab 1956 stellte TAT-1 36 analoge Sprachkanäle bereit. (ii) In den USA, Kanada und Japan werden jeweils 24 PCM-Kanäle im T1-System (DS-1 Format mit 1,544 Mbit/s) zusammengefasst, und ein etwas modifiziertes PDH-System aufgebaut. Tabelle 6-1 PCM-Zeitmultiplexsysteme System Zahl der Nutzkanäle Bitrate in Mbit/s Leitung Regeneratorabstand in km

PCM 30

PCM 120

PCM 480

PCM 1920

PCM 7680

30

120

480

1920

7680

2,048

8,448

34,368

139,264

564,992

sym. Kabel (verdrilltes Adernpaar)

sym. Kabel / Koaxialkabel

2

6,5

Koaxialkabel (Koax.) / Lichtwellenleiter (LWL) 4, Koax. 40, LWL

4, Koax. 40, LWL

1,5, Koax. 35, LWL

Das PDH-Konzept in Bild 6-2 spiegelt den Stand der Technik Anfang der 1980er Jahre wider, d. h. insbesondere den Stand der Mikroelektronik und der Übertragungstechnik für Koaxialkabel. Es besitzt einen grundsätzlichen Nachteil. Wie fädelt man einen einfachen Gesprächskanal in einen hochratigen Multiplexkanal ein und aus? Indem man alle Hierarchiestufen von unten bis oben bzw. von oben bis unten durchläuft. Es ist klar, dass ein derartig aufwendiges und unflexibles Verfahren wirtschaftlich nicht optimal sein kann. 1987 wurde deshalb von der ITU-T, vormals CCITT, die synchrone digitale Hierarchie, die Synchronous Digital Hierarchy (SDH), vorgeschlagen. Bei der Ausarbeitung der Details wurde berücksichtigt, die bisher inkompatiblen Multiplexsysteme in Europa, Japan und Nordamerika zu harmonisieren und die sich abzeichnenden neuen Möglichkeiten der optischen Übertragung zu nutzen. Anmerkungen: (i) In Nordamerika wird das zur ITU-T kompatible System SONET genannt, von Synchronous Optical Network, da zur Übertragung optische Systeme eingesetzt werden. (ii) Die Grenzen der optischen Übertragungstechnik sind heute noch nicht ausgereizt. Bereits 1996 wurden in Japan und den USA Übertragungsversuche mit über 1 Tbit/s (1012 bit/s) über 40 ... 150 km erfolgreich durchgeführt. Zurzeit werden typisch faseroptische Fernübertragungsstrecken mit 10 Gbit/s pro Wellenlänge und 16 unterschiedliche Wellenlängen pro Faser kommerziell eingesetzt. Durch den Wellenlängenmultiplex stehen so 160 Gbit/s zur Verfügung. Die Standardisierung eines Optical Transport Network (OTN) mit Bitraten von 2,5, 10, 40 und 120 Gbit/s pro Faser durch die ITU-T ist in Vorbereitung. (iii) Unter den Schlagwörtern Fiber To The Home (FTTH) und Fiber To The Curb (FTTC) wird zurzeit ebenfalls der „breitbandige“ Teilnehmeranschluss mit Lichtwellenleitern vorangetrieben.

Als Grundelement der SDH-Übertragungstechnik wird das STM-1-Transport-Modul mit einer Bitrate von 155,52 Mbit/s verwendet, das die bisherigen PCM-Multiplexsysteme niedrigerer Bitraten zusammenführt. Möglich wird dies durch die moderne Mikroelektronik, die schnellen Zugriff und Auswertung der übertragenen Oktette erlaubt. Bild 6-3 zeigt den prinzipiellen Aufbau des STM-1-Transport-Moduls.

6 Telekommunikationsnetze

190

Oktette

9

3

SOH

1

PTR

5

SOH

260

Transportgruppen und virtuelle Container

Bild 6-3 Aufbau des STM-1-Transport-Moduls

Innerhalb eines Rahmens von 125 Ps Dauer werden sequenziell 2430 Oktette übertragen. Die Oktette sind logisch in Form einer Matrix angeordnet, die 9 Zeilen und 270 Spalten aufweist. Die ersten 9 Oktette einer Zeile haben jeweils organisatorische Aufgaben. Dazu gehören die Bits der Verkehrslenkung und der Qualitätsüberwachung des SDH-Netzes im Feld SOH (Section Overhead) und die Zeiger im Feld PTR (Pointer). Die Zeiger verweisen auf die im STM-1-Transport-Modul eingebetteten Multiplexsysteme, den Transportgruppen und virtuellen Containern. Transportgruppen und virtuelle Container besitzen wiederum jeweils Kopffelder, die POH-Bits (Path Overhead), die die Information über den inneren Aufbau enthalten. So können mehrerer Container bzw. Transportgruppen ineinander verschachtelt werden. Die Verschachtelung der Bits unterschiedlicher Containern und Transportgruppen geschieht oktettweise. Es werden jeweils 8 Bits eines niederratigen Systems zusammengefasst. STM-1-Transport-Module erlauben eine relativ flexible Gestaltung des Kommunikationsnetzes. Durch den Einsatz von leistungsfähigen Netzknoten, SDH-Cross-Connect genannt, und einfacheren Add/Dropp-Multiplexern wird der Zugriff auf Signale bestimmter Bitraten ermöglicht. Allerdings entsteht ein zusätzlicher Aufwand durch die notwendige Übertragung der Kopffelder. Hinzu kommt, dass Transportgruppen und Container feste Größen besitzen, sodass gegebenenfalls Stopfbits eingefügt werden müssen; und so die effektive Bitrate etwas gemindert wird. Beginnend mit den STM-1-Transport-Modulen wird die SDH-Hierarchie mit den STM-4-, STM-16- und STM-64-Transport-Modulen aufgebaut. Ein STM-64-Transport-Modul kann über LWL mit 10 Gbit/s (SONET OC192) transportiert werden.

6.2

Nachrichtenübermittlung

Der Begriff Nachrichtenübermittlung setzt sich zusammen aus den Begriffen Nachrichtenübertragung, der Übertragung von Nachrichten zwischen zwei Geräten oder Netzknoten, und der Nachrichtenvermittlung, der zielgerichteten Organisation des Nachrichtenflusses in einem Telekommunikationsnetz zwischen bestimmten Teilnehmern. Das Telekommunikationsnetz, kurz TK-Netz genannt, ermöglicht dabei den Nachrichtenaustausch zwischen zwei Netzzugangspunkten, an denen die Teilnehmer mit dem TK-Netz verbunden sind, siehe Bild 6-4.

191

6.2 Nachrichtenübermittlung

Teilnehmer/ Benutzer

TK-Netz

A Verbindungsleitung

Quelle/ Ziel Netzknoten/ Vermittlungsstelle

Übertragungsweg Teilnehmer/ Benutzer B NetzzugangsQuelle/ Ziel punkt

Bild 6-4 Elemente des Telekommunikationsnetzes

Das TK-Netz hat die Aufgabe, den Teilnehmern Dienste zur Verfügung zu stellen. Darunter versteht man die Fähigkeit des TK-Netzes Nachrichten einer bestimmten Art mit bestimmten Merkmalen, wie zeitlichen Vorgaben und Qualitätsindikatoren, zu übertragen. Aus der Sicht der Teilnehmer steht über allem die Anwendung, die über die Benutzerschnittstelle auf die jeweilige Endeinrichtung zugreifen kann. Die Endeinrichtungen wiederum nutzen über die Netzschnittstelle an den Netzzugangspunkten den Dienst des TK-Netzes. Die dazu notwendige Kopplung der Geräte untereinander wird Nachrichtenverbindung genannt. Meist wird der Begriff in Zusammenhang mit den Endeinrichtungen gebraucht. Man spricht dann von der Nachrichtenverbindung zwischen den Teilnehmern, Einrichtungen oder Stationen A und B. Sie kann beispielsweise mittels einer fest geschalteten und exklusiv zu nutzenden Leitung oder einer virtuellen Verbindung geschehen. Anmerkung: Als Symbol für eine Vermittlungsstelle wird in Bild 6-4 in Anlehnung an die früheren Bretter mit steckbaren Leitungen (Koppelfelder), bei denen die Verbindungen von Hand durchgeführt wurden (Durchschaltevermittlung), ein sich überkreuzendes Leitungspaar verwendet.

Ein weiterer wichtiger Begriff ist der Kanal (Channel). Damit ist die kleinste logisch einem Dienst zugeordnete physikalische Einheit des Übertragungsmediums gemeint, wie z. B. dem D-Bit im Meldewort des PCM-30-Zeitmultiplexrahmens, ein Frequenzkanal bei der GSMFunkübertragung, eine Wellenlänge bei der optischen Übertragung in einem Lichtwellenleiter, oder ein Code bei der UMTS- Funkübertragung. In der Nachrichtentechnik werden verschiedene Vermittlungsarten eingesetzt. Es werden die Leitungsvermittlung und die Paketvermittlung unterschieden. Tabelle 6-2 enthält eine kurze Gegenüberstellung. Die Paketvermittlung wird entweder als verbindungsorientiert oder verbindungslos bezeichnet. Die verbindungsorientierte Paketübertragung (im Virtual-circuit – Packet Network) zeichnet sich wie die Leitungsvermittlung durch die drei Phasen Verbindungsaufbau (Call Establishment), Nachrichtenaustausch (Data Transfer) und Verbindungsabbau (Call Disconnect) aus.

192

6 Telekommunikationsnetze

Entsprechend der Zielinformation und Dienstmerkmale wird zunächst ein geeigneter Weg durch das Netz gesucht (Routing). Dem gefundenen Weg zwischen zwei Netzknoten wird eine Verbindungsnummer VCN (Virtual-circuit Number, Logical Channel Number) zugeordnet und in die entsprechenden Wegwahltabellen (Routing-Table) eingetragen. Bild 6-5 veranschaulicht das Prinzip. In den Netzknoten werden die VCN gemäß den Wegwahltabellen umgewertet und die Datenpakete weitergeleitet. Der Vorteil der verbindungsorientierten Übermittlung liegt auf der Hand. Durch die vorbereitende Wegsuche und die kurzen VCN-Nummern wird die Vermittlung der Pakete stark vereinfacht. Darüber hinaus können Ressourcen reserviert werden, sodass gewisse Dienstgüten (QoS, Quality of Service) garantiert werden können. Tabelle 6-2 Arten der Vermittlung Leitungsvermittlung Durchschaltevermittlung (Circuit Switching)

Paketvermittlung Speichervermittlung (Packet Switching, Storeand-forward Switching)

Der physikalisch fest zugeteilte Kanal wird zu Beginn der Kommunikation aufgebaut (Verbindungsaufbau, Circuit Establishment) und erst am Ende der Übertragung wieder abgebaut (Verbindungsabbau, Circuit Disconnect)

Die Nachricht wird in (Daten-)Pakete zerlegt. Die Übertragung geschieht entweder verbindungsorientiert (Connection-oriented) oder verbindungslos (Connection-less)

Herkömmliche analoge öffentliche Fernsprechnetze (POT, Plain Old Telephony), digitale Netze auf PCM-Basis mit plesiochroner digitalen Hierarchie (PDH), GSM-Sprachübertragung im Mobilfunknetz

Datex-P, LAN (Ethernet), synchrone digitale Hierarchie (SDH), ATM Backbone, GPRSDatenübertragung im Mobilfunknetz, Internet

- Kanal wird nicht während der gesamten Verbindungszeit belegt. - Zuverlässige schnelle Übermittlung der Nachricht, wenn Verbindung aufgebaut. - Kanäle können von mehreren Teilnehmern quasi gleichzeitig genutzt werden. / Verbindungsaufbau erfordert freien Kanal von A nach B. - Optimierte Netzauslastung durch dynamische Kanalzuteilung möglich (unsymmetrischer / Verbindung belegt den Kanal auch dann, Verkehr). wenn keine Daten ausgetauscht werden (Sprechpausen, Lesen am Bildschirm, / Zwischenspeichern der Pakete erfordert Tastatureingabe). Speicher in den Netzknoten. / Zustellzeit ist eine Zufallsgröße. Kritische Qualitätsmerkmale: Paketverlust Kritisches Qualitätsmerkmal: Blockierwahrschein(Packet Loss) und schwankende Zustellverlichkeit (Blocking Probability) zögerung (Cell-delay, Jitter)

Bei der verbindungslosen Paketvermittlung, auch Zellenvermittlung genannt (im Connectionless Packet Network, Message Switching) geschieht kein Verbindungsaufbau und –abbau. Jedes Paket trägt die zur Zustellung notwendige Information. Man spricht von einem Datagramm (Datagram) mit dem Absender (Source), der Zieladresse (Destination), einer eventuellen Steuerinformation (Control) und der eigentlichen Nachricht (Payload). Ein typisches Beispiel ist die ATM-Zelle, die später noch vorgestellt wird.

193

6.3 OSI-Referenzmodell

Pakete nach E

Weg 1

3

A

3

Weg 2 7

Pakete nach F

Wegwahltabelle (C) Ein Aus Port VCN Port VCN A 3 D 3 B 7 D 4

7

3 7

C 4 3

B

3

Wege 1 und 2 Wegwahltabelle (D) Ein Aus Port VCN Port VCN C 3 E 1 C 4 F 3

4

E 3 1

D 3

1

1

3 3

F

Bild 6-5 Verbindungsorientierte Paketvermittlung mit Wegwahltabellen in den Netzknoten

6.3

OSI-Referenzmodell

Um die Entwicklung offener Telekommunikationssysteme voranzutreiben, hat die internationale Organisation ISO (International Standards Organization) 1984 ein Referenzmodell für den Nachrichtenaustausch vorgestellt, das OSI-Referenzmodell (Open Systems Interconnection, ISO-Norm 7489). Die ursprüngliche Absicht der ISO, ein einheitliches Protokoll für alle Telekommunikationsanwendungen zu schaffen, hat sich nicht verwirklicht. Durch unterschiedliche Anforderungen in verschiedenen Anwendungsbereichen, wie z. B. der Datenübertragung in lokalen Rechnernetzen und der Funkübertragung in der Mobilkommunikation, kommen heute unterschiedliche Protokolle, wie das TCP/IP (Transmission Control Protocol/Internet Protocol) oder das Protokoll RLC/MAC (Radio Link Control/Medium Access Control) für GSM, zum Einsatz. Trotzdem ist der Erfolg des OSI-Referenzmodells unbestritten. Er beruht auf dem hierarchischen Architekturmodell, das Vorbildcharakter hat. Die Kommunikationsfunktionen werden in sieben überschaubare, klar abgegrenzte Funktionseinheiten geschichtet, wobei benachbarte Schichten (Layer) über definierte Aufrufe und Antworten, den Dienstelementen (Service Primitives), miteinander verknüpft sind. In Bild 6-6 wird das OSI-Referenzmodell für eine Nachrichtenübertragung vom Endsystem A über ein Transitsystem, z. B. dem öffentlichen TK-Netz, zum Endsystem B vorgestellt. Die Kommunikation läuft prinzipiell vertikal beim sendenden Endsystem von oben nach unten und beim empfangenden Endsystem von unten nach oben. Gleiche Schichten verschiedener Systeme sind über logische Kanäle verbunden. Das sind Kanäle, die in der Regel physikalisch

6 Telekommunikationsnetze

194

nicht vorhanden sind, aber von den Protokollinstanzen, wie solche behandelt werden dürfen. Sie wird durch geeignete Dienstelemente unterstützt. Die Datenübertragung zwischen den Systemen erfolgt über die physikalischen Übertragungseinrichtungen, die jeweils aus der Bitübertragungsschicht gesteuert werden. Die Schichten des OSI-Referenzmodells in Bild 6-6 lassen sich nach ihren Aufgaben in vier Gruppen einteilen: Die oberen drei Schichten stellen primär den Bezug zur Anwendung her. Zusammen mit der Transportschicht werden die obersten vier Schichten meist im Endgerät implementiert. Die unteren vier Schichten regeln den Transport der Daten von A nach B. Die Vermittlungsschicht, die Datensicherungsschicht und die Bitübertragungsschicht entsprechen den üblichen Funktionen eines TK-Netzes.

Endsystem A Anwendung

Darstellung

Endsystem B

7

Application Layer

6

Presentation Layer

Kommunika- 5 tionssteuerung

Anwendungsorientierte Schichten

Session Layer

4 Transport Layer Ende-zu-Ende-Verbindung

Transport Transitsystem

3 Vermittlung

Sicherung

Bitübertragung

2

1

Vermittlung

Network Layer

Sicherung

Data Link L.

Bitübertragung

Physical Layer

Netzorientierte Schichten

Physikalische Übertragungseinrichtungen Bild 6-6 OSI-Referenzmodell für Telekommunikationsprotokolle

6.3 OSI-Referenzmodell

195

Nachfolgend werden die einzelnen Schichten kurz vorgestellt. Die Anwendungsschicht (7) stellt die kommunikationsbezogenen Funktionen der Anwendung bereit. Hierzu gehören beispielsweise die Funktionen eines Anwendungsprogramms, zum gemeinsamen Erstellen eines Dokumentes eine Textübertragung und eine Bildtelefonie aus einem Textverarbeitungsprogramm am PC heraus zu starten. Dafür ist beispielsweise auch die Nachfrage notwendig, ob eine Bildübertragung zum gewünschten Partner verfügbar ist. Die Darstellungsschicht (6) befasst sich mit der Darstellung (Syntax und Semantik) der Information soweit sie für das Verstehen der Kommunikationspartner notwendig ist. Im Beispiel der gemeinsamen Dokumentbearbeitung sorgt die Darstellungsschicht dafür, dass den Teilnehmer gleichwertige Text- und Grafikdarstellungen angeboten werden, obwohl sie Hard- und Software von unterschiedlichen Herstellern mit unterschiedlichen Grafikauflösungen benutzen oder Zeichen im ASCII oder Unicode dargestellt werden. Die Kommunikationssteuerungsschicht (5) dient zur Koordinierung (Synchronisation) der Kommunikation einer Sitzung (Sitzungsschicht). Sie legt fest, ob die Verbindung einseitig oder wechselseitig (nacheinander oder gleichzeitig) stattfinden soll. Die Kommunikationssteuerungsschicht verwaltet Wiederaufsatzpunkte (Checkpoints), die einen bestehenden Zustand solange konservieren, bis der Datentransfer gültig abgeschlossen ist. Sie sorgt dafür, dass bei einer Störung der Dialog bei einem definierten Wiederaufsatzpunkt fortgesetzt werden kann. Auch Berechtigungsprüfungen (Passwörter) sind ihr zugeordnet. Beispielsweise könnte durch die Synchronisation verhindert werden, dass die Partner einen Textabschnitt gleichzeitig verändern oder nach einer Störung mithilfe der Wiederaufsatzpunkte bereits überarbeitete Textabschnitte richtig eingefügt werden. Die Transportschicht (4) verbindet die Endsysteme unabhängig von den tatsächlichen Eigenschaften des benutzten TK-Netzes und eventuellen Transitsystemen. Da sie die Endezu-Ende-Verbindung bereitstellt, kommt ihr eine besondere Bedeutung zu. Die Transportschicht übernimmt aus der Schicht 5 die geforderten Dienstmerkmale (z. B. Datenrate, Laufzeit, zulässige Bitfehlerrate, usw.). Sie wählt gegebenenfalls das TK-Netz entsprechend den dort verfügbaren Diensten aus und fordert von dessen Vermittlungsschicht den geeigneten Dienst an. Sie ist auch für eine Ende-zu-Ende-Fehlersicherung der Übertragung zuständig, d. h. dass die Daten fehlerfrei, in der richtigen Reihenfolge, ohne Verlust oder Duplikation zur Verfügung stehen. Die Vermittlungsschicht (3) legt anhand der Dienstanforderung und der verfügbaren logischen Kanäle die notwendigen Verbindungen zwischen den Netzzugangspunkten der Teilnehmer fest (Verkehrslenkung, Routing). Sie organisiert den Verbindungsaufbau und Verbindungsabbau zwischen den Netzzugangspunkten. Gegebenenfalls kann die Verbindung über mehrere Teilstrecken (Transitsysteme) erfolgen. Die Datensicherungsschicht (2) ist für die Integrität der empfangenen Bits auf den Teilstrecken zwischen zwei Netzknoten, einer Punkt-zu-Punkt-Übertragung, zuständig. Bei der Datenübertragung werden in der Regel mehrere Bits zu einem Übertragungsblock, einem (Daten-)Rahmen ((Data) Frame) zusammengefasst und es wird ein bekanntes Synchronisationswort eingefügt, um im Empfänger den Anfang und das Ende der Rahmen sicher zu detektieren. Durch gezieltes Hinzufügen von Prüfbits im Sender kann im Empfänger eine Fehlererkennung und/oder Fehlerkorrektur durchgeführt werden. Wird ein nicht korrigier-

6 Telekommunikationsnetze

196

barer Übertragungsfehler erkannt, so wird in der Regel automatisch die Wiederholung des Rahmens angefordert (Automatic Repeat Request, ARQ). Die Bitübertragungsschicht (1) stellt alle logischen Funktionen für die Steuerung der physikalischen Übertragung der Bits zur Verfügung. Sie passt den zu übertragenden Bitstrom an das physikalische Übertragungsmedium an und erzeugt aus den ankommenden Signalen wieder einen Bitstrom. Die Schichten der Endsysteme A und B sind in Bild 6-6 über logische Kanäle miteinander verbunden. Sie ermöglichen den Nachrichtenaustausch zwischen den Instanzen, den aktiven Elementen, der jeweiligen Schichten nach im Protokoll vorab festgelegten Regeln. In Bild 6-7 wird die logische Abfolge der elementaren Nachrichten, Dienstelemente (Service Primitives) genannt, zwischen den Partnerinstanzen (Peer Entities) der Protokollschichten dargestellt, wobei ein Dienst mit Bestätigung (Confirmed Service) angenommen wird. Im System A ruft die Instanz der Schicht N als Dienstnehmer (Source Entity) mit dem Dienstelement Request eine Instanz der nachfolgenden Schicht N1 als Diensterbringer (Serving Entity) auf und übergibt die notwendigen Parameter. Die Instanz der Schicht N-1 stellt ein passendes Protokolldatenelement (Protocol Data Unit, PDU) für die Übertragung zu einer Partnerinstanz des Systems B zusammen. In den eventuell weiteren darunter liegenden Schichten wird ganz entsprechend verfahren. Logisch gesehen kommunizieren die Partnerinstanzen der Schicht N direkt miteinander, weshalb von einem Peer-to-peer-Protokoll gesprochen wird. Darum werden die tiefer liegenden Schichten in Bild 6-7 auch nicht dargestellt. Die Partnerinstanz des B-Systems übergibt die Daten im Dienstelement Indication an die zuständige Instanz der Schicht N im System B. Da ein Dienst mit Bestätigung aktiviert wurde, sendet die Instanz mit dem Dienstelement Response eine Nachricht über eine PDU der Schicht N1 zurück. Diese wird schließlich als Dienstelement Confirm der den Dienst auslösenden Instanz übergeben. Anmerkungen: (i) Für den Dienst Verbinden (Connect) gibt es die Dienstelemente connect.request, connect.indication, connect.response und connect.confirmation. (ii) Im TCP/IP-Referenzmodell werden für die Transportschicht mit dem Transport Control Protocol (TCP) und für die Internetschicht (Vermittlungsschicht) mit dem Internet Protocol (IP) Prozeduren und Formate vorgegeben.

Layer

System A

System B

Source Entity

Destination Entity

N c Request Layer

h Confirm

Serving Entity

e Indication

f Response

Serving Entity

N1 d (N1)-PDU

g (N1)-PDU Peer-to-peer Protocol (Layer N1)

Bild 6-7

Abfolge der Dienstelemente zur Kommunikation zwischen den Partnerinstanzen einer Protokollschicht

197

6.3 OSI-Referenzmodell

Eine für den Nachrichtenaustausch gängige Methode ist in Bild 6-8 dargestellt. Die Darstellungsschicht des sendenden Systems packt die zu übertragende Nachricht als Daten in die PDU. Sie stellt die der Darstellungsschicht im empfangenden System zugedachte Nachricht als Kopf (Header, H) voran und reicht das Paket an die Kommunikationssteuerungsschicht weiter. Die Schichten 5 bis 2 verfahren im Prinzip ebenso. Die Sicherungsschicht stellt die Daten in einer für die Bitübertragung geeigneten Form zusammen. Wichtig dabei ist, dass die Weitergabe transparent erfolgt, d. h. die diensterbringende Instanz keinerlei Kenntnis über die Bedeutung der Inhalte der PDUs benötigen. Nur so ist die funktionale Unabhängigkeit der Schichten gewährleistet. Ein häufig verwendetes Übertragungsprotokoll der Schicht 2 ist das HDLC-Protokoll (Highlevel Data Link Control). In diesem Fall werden die Rahmen wie in Bild 6-8 zusammengestellt. Anfang und Ende eines Rahmens werden jeweils mit 8 Flagbits (F) „01111110“ angezeigt. Es schließt sich ein Oktett für die Adresse (A) und ein oder zwei Oktette für die Steuerung (Control, C) des Rahmenflusses an. Hinter dem Datenfeld werden 16 Paritätsbits als Rahmenprüfsumme (Frame Check Sequence, FCS) angehängt, die eine Fehlerüberwachung durch Fehlererkennung im Empfangssystem erlauben. Das empfangende System nimmt die Bits in der untersten Schicht entgegen und rekonstruiert die Rahmen. Die jeweiligen PDUs werden von unten zur obersten Schicht hin aufgeschnürt. Jede Schicht entnimmt den für sie bestimmten Anteil, den Kopf, und reicht den Rest nach oben weiter. Es ist offensichtlich, dass durch das Protokoll ein zusätzlicher Übertragungsaufwand entsteht, der sich bei manchen Anwendungen als Übertragungsverzögerung störend bemerkbar machen kann. Andererseits wird es durch die Kommunikationssteuerung möglich, nicht nur die Nachrichtenübertragung zwischen den Teilnehmern zu organisieren, z. B. das Nummerieren der Pakete damit sie in der richtigen Reihenfolge zugestellt werden können, sondern auch den Netzbetrieb zu optimieren. Pakete und Rahmen können als reine Steuernachrichten markiert werden. Betriebsinformationen, wie die Komponentenauslastung oder eine Fehlermeldung, lassen sich so in den normalen Nachrichtenverkehr einschleusen. Moderne digitale TK-Netze werden zentral in einer OAM-Einrichtung (Operation Administration and Maintenance) überwacht und ihr Betrieb nach aktuellem Verkehrsbedarf optimiert.

Darstellung

PDU

TH

F A C

PDU PDU

KH

VH

Anwendung

PDU PDU Bits

FCS F

Empfangsrichtung

Senderichtung

DH

Daten

Kommunikationssteuerung Transport Vermittlung Sicherung Bitübertragung

Bild 6-8 Nachrichtenaustausch zwischen den Protokollschichten des Sende- und Empfangssystems

6 Telekommunikationsnetze

198

6.4

HDLC- und LAP-Protokoll

Anfang der 1970er Jahre wurde von der Firma International Business Machines (IBM) das bitorientierte Protokoll Synchronous Data Link Control (SDLC) entwickelt. Es entspricht der Sicherungsschicht, der Schicht 2 im OSI-Referenzmodell. Daran angelehnt hat 1976 die OSI das Protokoll High-Level Data Link Control (HDLC) als ISO-Norm verabschiedet. Im gleichen Jahr wurde von der CCITT, heute ITU, das Protokoll unter dem Namen Link Access Protocol (LAP) für die Schicht 2 des weitverbreiteten X.25-Protokolls für Paketdatennetze adaptiert. Eine Erweiterung zu einem symmetrischen Duplexprotokoll, bei dem beide Seiten gleichberechtigt Steuerfunktionen wahrnehmen, wurde 1980 von der CCITT als Link Access Protocol in Balanced Mode (LAPB) festgelegt. Modifikationen des HDLC-Protokolls finden sich heute beispielsweise im ISDN-Teilnehmeranschluss als LAPD-Protokoll (Link Access Procedure on D-Channel) oder in GSM als RLPProtokoll (Radio Link Protokoll). Weitere Beispiele finden sich auf der Infrarotschnittstelle der Infrared Data Association (IrDA) oder in der Bluetoothempfehlung für Kleinzellenfunknetze (Personal Area Network, PAN). Das HDLC-Protokoll hat beispielgebenden Charakter. Es löst die elementaren Aufgaben einer Schicht-2-Verbindung in effizienter Weise. Je nach Ausprägung, z. B. durch Auswahl einer Teilmenge der möglichen Steuerbefehle und Meldungen, können unterschiedliche Anwendungen realisiert werden. Die Steuerung und Nutzdatenübertragung wird bitorientiert mit Rahmen durchgeführt. Bild 6-9 zeigt den Aufbau. Jeder Rahmen beginnt mit einem Vorspann (Kopffeld) aus einem Oktett (Octet), dem Header, und endet mit einem Nachspann aus einem Oktett, dem Trailer. Der Header fungiert als Rahmenerkennungswort und besitzt deshalb ein eindeutiges Bitmuster, das Flag genannt wird. Das Flag wird ebenfalls im Trailer übertragen und schließt so jeden Rahmen ab. Es darf deshalb nicht an anderer Stelle im Rahmen vorkommen. Durch systematisches Einfügen von Nullen, dem Zero Insertion, in die Informationsfolge wird die Bittransparenz gewährleistet. Anmerkungen: (i) Bittransparenz bedeutet, dass jede beliebige Kombination von Bits als Information zugelassen ist. Sollen sechs oder mehr aufeinander folgende Einsen übertragen werden, so wird jeweils nach fünf Einsen eine Null eingefügt, Zero Insertion oder allgemeiner Bit Stuffing genannt. Im Empfänger werden die eingefügten Nullen erkannt und entfernt. (ii) Da die Bitfolge der Nachricht vorab nicht bekannt ist, wird hier die Zahl der tatsächlich zu übertragenden Bits eine Zufallsgröße.

Als zweites Oktett wird das Adressfeld mit der Zieladresse übermittelt. Daran schließen sich ein oder zwei Oktette mit Steuerinformation, das Steuerfeld, an. Anmerkung: Durch die Verwendung von Adressen wird die Kommunikation zwischen mehreren Stationen, wie die Punkt-zu-Mehrpunkt-Verbindung im Normal-Response Mode (NRM), möglich. Da genau ein Oktett zur Verfügung steht, können maximal 28 = 256 unterschiedliche Adressen angegeben werden.

Header

Address

Control

Information

FCS

Trailer

1 Octet 01111110

1 Octet

1 or 2 Octets

t0

2 Octets

1 Octet 01111110

Bild 6-9 Rahmenaufbau des HDLC-Protokolls

199

6.4 HDLC- und LAP-Protokoll

Das optionale Informationsfeld, auch Datenfeld (Data oder Information Field) genannt, besitzt eine variable Länge mit bis zu 128 Oktetten. Die Bitfehlererkennung im Adressfeld, Steuerfeld und Datenfeld wird durch die Prüfzeichen im Feld Frame Check Sequence (FCS) unterstützt. Üblicherweise wird der zyklische Code CRC-16 (CCITT), Cyclic Redundancy Check Code, eingesetzt, siehe Abschnitt 8.3.9. Man unterscheidet zwischen Rahmen mit Daten, Information Frames genannt, Rahmen mit Meldungen zur Flusskontrolle, sogenannte Supervisory Frames, und nicht nummerierten Rahmen mit Steuersignalen, den Unnumbered Frames. Man spricht kurz vom I-, S- bzw. U-Format. Anmerkung: Die Flusskontrolle regelt den zeitlichen Ablauf der Übertragung der Rahmen, wie Reihenfolge und Wiederholungen. Durch die Flusskontrolle und die spezialisierten Formate wird eine effektive Kommunikation im Sinne einer schnellen, möglichst fehlerfreien Übertragung der Nutzinformation unterstützt.

Die unterschiedlichen Formate sind an den Steuerfeldern wie in Bild 6-10 zu erkennen. Bit 1 unterscheidet zwischen dem I-Format und den Steuernachrichten. Mit dem Bit 2 werden das Sund das U-Format auseinandergehalten. Bit

1

Information (I)

0

Supervisory (S)

1

Unnumbered (U)

1

2

3

4

5

6

7

N(S)

P/F

N(R)

0

S

P/F

N(R)

1

M

P/F

M

8

Bild 6-10 Control Field der Steuermeldungen im HDLC-Rahmen

Im I-Format wird in Bit 2 bis 4 die Sendenummer N(S) übertragen, sodass ein korrekter Empfang von der Gegenstation mit der Empfangsnummer N(R) = N(S) + 1 im I-Format und SFormat quittiert werden kann. Anmerkungen: Mit drei Bits für die Sende- bzw. Empfangsnummer werden zur Flusskontrolle 23 = 8 aufeinander folgende Rahmen durchnummeriert. Es wird modulo-8 durchgezählt, sodass nach der Nummer sieben mit null wieder von vorne begonnen wird. In der Extended Version des Protokolls, der Version mit einem Steuerfeld aus zwei Oktetten, werden die Sende- und Empfangsnummern auf jeweils 7 Bits erweitert. Damit lassen sich 128 Rahmen fortlaufend nummerieren. Die Nummerierung der Rahmen erlaubt eine effizientere Übertragen als bei einfachem Stop-and-WaitARQ-Verfahren (Automatik Repeat Request, ARQ). Bei Letzterem wird ein neuer Rahmen erst übertragen, wenn sein Vorgänger quittiert wurde. Dadurch entstehen unter Umständen Wartezeiten, die den Datendurchsatz reduzieren. Mit den nummerierten Rahmen des HDLC-Protokolls ist der Einsatz des Go-back-n-ARQ-Verfahrens mit selektiver Wiederholung (Selective Repeat) möglich. Dabei werden auch ohne Quittierung zunächst weitere Rahmen übertragen, sodass etwas verspätete Quittierungen die Übertragung nicht unterbrechen. Darüber hinaus werden mit einer Quittierung auch vorherige Rahmen mit quittiert.

Das Bit 5 im Control Field dient in Befehlen als Poll-Bit. P gleich „1“ fordert die Gegenstation zum sofortigen Senden einer Meldung auf. Die Gegenstation antwortet in ihrer Meldung mit Bit 5 als Final-Bit mit F gleich „1“.

6 Telekommunikationsnetze

200

Die mit S und M markierten Bitpositionen in den S- bzw. U-Formaten kennzeichnen unterschiedliche Steuernachrichten. In Tabelle 6-3 wird die Codierung für einige wichtige Steuernachrichten vorgestellt. Rahmen im S-Format dienen der Steuerung und Überwachung der Datenübertragung. Mit den zwei Bits 3 und 4 können vier Nachrichten dargestellt werden. Die Nachricht Receive Ready (RR) zeigt die Empfangsbereitschaft für einen weiteren Rahmen an. Mit Receive Not Ready (RNR) wird der Gegenstation signalisiert, dass keine weiteren Daten empfangen werden können. Reject (REJ) weist auf einen fehlerhaft erkannten Rahmen hin. In Verbindung mit einer Quittierung jeden Rahmens, bedeutet REJ, dass der Rahmen mit der Empfangsnummer N(R) als fehlerhaft erkannt wurde. Werden mehrere Rahmen quittiert, so müssen alle Rahmen mit N(S) t N(R) wiederholt werden. Mit Selective Reject (SREJ) wird der Empfang eines bestimmten Rahmens als fehlerhaft zurückgemeldet und eine erneute Übertragung angefordert. Rahmen im U-Format signalisieren keine Empfangsnummern. Sie dienen zum Aufbau und Abbau der Verbindung und der Übertragung von Mitteilungen innerhalb der Sicherungsschicht zwischen den Stationen. Die Befehle Set Asynchronous Balanced Mode (SABM) und SABM Extended (SABME) initialisieren die Schicht-2-Verbindung. Im einfachen Fall wird die Rahmennummerierung modulo8 und in der Extended Version modulo-128 vorgenommen. Mit Disconnect (DISC) wird der Verbindungsabbau ausgelöst. Die Meldung Unnumbered Acknowledgement (UA) bestätigt den Empfang eines Rahmens ohne Folgennummer. Die Meldung Disconnect Mode (DM) zeigt an, dass Befehle der Schicht-2-Verbindung nicht ausgeführt werden können. Mit Frame Reject (FRMR) wird ein Fehlerzustand angezeigt, der nicht durch Rahmenwiederholung beseitigt werden kann. Im Datenfeld wird eine Fehlerbeschreibung mitgeliefert. Abschließend sei daran erinnert, dass in den Anwendungen nicht alle Steuerbefehle und Meldungen realisiert sein müssen. Die Anwendung des HDLC-Protokolls in typischen Verbindungssituationen wird in Bild 6-11, dem Nachrichtenflussdiagramm (Message Sequence Chart, MSC) skizziert. Tabelle 6-3

Beispiele der Codierung von Befehlen (B) und Meldungen (M) der I-, S- und UFormate im Steuerfeld des HDLC-Rahmens

Format

Nachricht

Funktion

I S S S S U U U U U U

I RR RNR REJ SREJ SABM SABME DISC UA DM FRMR

B/M B/M B/M B B B B M M M

1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1

3 N(S) 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1

Bitmuster 4 5 P/F 0 P/F 0 P/F 1 P/F 1 P/F 1 P 1 P 0 P 0 F 1 F 0 F

6

1 1 0 1 0 0

7 N(R) N(R) N(R) N(R) N(R) 0 1 1 1 0 0

8

0 0 0 0 0 1

201

6.4 HDLC- und LAP-Protokoll

A

B

A

B

A

B

I(0,0) I(0,1)

I(3,0)

I(1,1)

RNR(4)

SABM

I(2,1)

RR(0,P)

UA

I(1,3)

RNR(4,F)

Timeout

SABM

I(3,2)

RR(0,P)

I(2,4)

RR(4,F)

DISC

I(3,4)

I(4,0)

UA

RR(4)

Verbindungsaufbau und Verbindungsabbau

Datenaustausch I(N(S),N(R))

Überlastsituation I(N(S),N(R))

Bild 6-11 Nachrichtenflussdiagramm: HDLC-Protokoll nach [Sta00]

Das linke Bild zeigt den Verbindungsaufbau und -abbau in der zeitlichen Reihenfolge von oben nach unten. Dabei wird auch eine Zeitüberwachung (Timer) verwendet. Da die Bestätigung des Befehls SABM durch die Meldung UA nicht innerhalb der vorgesehenen Zeit eintrifft, wird der Befehl wiederholt. Anmerkung: Der Verbindung liegt ein Zustandsmodell mit Zeitüberwachung und Fehlerbehandlung zugrunde, dessen Darstellung den hier vorgesehenen Rahmen sprengen würde.

In der Bildmitte wird ein typischer Datenaustausch dargestellt. Rechts ist die Situation einer Überlastung der Station A zu sehen. Nach dem Empfang von Daten (I-Format) mit Sendenummer N(S) = 3 ist beispielsweise der Empfangspuffer für Daten voll. Die Station A kann keine neuen Daten (I-Format) aufnehmen. Sie signalisiert dies mit der Meldung RNR, wobei sie gleichzeitig den Empfang des letzten Rahmens quittiert. Die Station B stellt die Übertragung von Daten (I-Format) ein. Sie signalisiert in gewissen Zeitabständen der Station A Empfangsbereitschaft und fordert dabei die Station mit dem Poll-Bit, P = 1, auf sich zu melden. Die Station A antwortet, solange sie nicht Empfangsbereit für Daten ist, mit der Meldung RNR, wobei sie mit dem Final-Bit, F = 1, den Polling-Aufruf quittiert. Schließlich ist die Station A wieder empfangsbereit und die Datenübertragung wird fortgesetzt. Zwei typische Fehlerbehandlungen sind in Bild 6-12 dargestellt. Links wird die Reihenfolge der Rahmen verletzt. B erkennt den Fehler und sendet die Meldung REJ, wobei der Rahmen 3 quittiert wird. Die Sation A wiederholt die Übertragung beginnend mit Rahmen 4. Rechts in Bild 6-12 wird eine ähnliche Situation vorgestellt. Allerdings wird nun der Fehler durch Ablaufen eines Timers erkannt; B quittiert nicht rechtzeitig den Empfang. Station A signalisiert Empfangsbereitschaft verbunden mit einen Polling-Aufruf. Die Station B antwortet mit der Meldung „Empfangsbereitschaft“ und quittiert den Polling-Aufruf sowie den letzten „richtig“ empfangenen Rahmen mit Daten.

6 Telekommunikationsnetze

202 A

B

A

I(3,0)

RR(4) Timeout

I(4,0) I(5,0)

B I(3,0)

I(4,0)

REJ(4)

RR(0,P)

I(4,0)

RR(4,F)

I(5,0)

I(4,0) RR(5)

I(6,0)

Fehlerbehandlung (Reject Recovery)

Fehlerbehandlung (Timeout Recovery)

Bild 6-12 Nachrichtenflussdiagramm: Fehlerbehandlung mit HDLC-Protokoll nach [Sta00]

6.5

ATM und Breitband-ISDN

Vom ITU-ATM-Forum wurde 1988 ein weltweites, diensteintegrierendes und breitbandiges digitales Telekommunikationsnetz, das Breitband-ISDN (BISDN), mit ATM-Übertragungstechnik vorgeschlagen. ATM steht für Asynchronous Transfer Mode und bedeutet einen Strom von Paketen, hier ATMZellen genannt, wobei die Synchronisation Zelle-fürZelle erfolgt. Die Nachrichten, wie digitalisierte Sprache, Facsimile-Daten, Videodaten, usw., werden in kurze Abschnitte zerlegt und in Zellen übertragen, siehe Bild 6-13.

Sprache Audio Fax Daten Video

B-ISDN

Motivation für die Ausgestaltung des Zellenformats war die Herausforderung sehr unterschiedliche Dienste, wie die zeitkritische Sprachtelefonie, mit jeweils relativ geringem Datenvolumen, und der zeitunkritische Filetransfer, mit relativ großem Datenvolumen, in einer gemeinsamen TK-Infrastruktur effizient zu bedienen. Zur Lösung wurden zwei Prinzipien herangezogen:

Atomisierung: Da kein einheitliches Zellenformat für alle Dienste optimal sein kann, werden die Datenströme in sehr kurze Abschnitte zerlegt und so die notwendige Flexibilität auch für zukünftige Anforderungen geschaffen.

Bild 6-13 ATM-Zellen für ein einheitliches Übertragungsformat für das B-ISDN

203

6.5 ATM und Breitband-ISDN

Verkehrsvertrag: Um den Anforderungen unterschiedlicher Dienste gerecht zu werden, und insbesondere auch von deren Mix im Multiplex profitieren zu können, werden an den Netzzugangspunkten die Dienstparameter ausgehandelt und eine verbindungsorientierte Paketübertragung mit Verbindungsauf- und -abbau durchgeführt. Die Zellen tragen wie gewöhnliche Postpakete eine vollständige Zieladresse, sodass jede einzelne für sich zugestellt werden kann. Derartige Zellen bzw. Pakete werden in der Übertragungstechnik als Datagramme bezeichnet. Bild 6-14 zeigt das Format einer ATM-Zelle. Am Anfang stehen 5 Oktette im Kopf der Zelle (Header) mit der für die Lenkung der Zelle notwendigen Information. Danach folgen 48 Oktette (Information Field, Payload) mit der eigentlich zu übertragenden Information der übergeordneten Protokollschicht. 56

Header 1 1 2 3 4 5 CLP GFC HEC PT VCI VPI

53 Information Field

4 5 GFC

VPI

VPI

8 Bits Address

1 Octet

Octets

Ein Blick auf die Struktur des Header lässt die Vorteile der ATM-Technik erahnen. Zunächst steht mit 28 Bits zur Adressierung prinzipiell die enorme Zahl von über 268 Millionen Adressen innerhalb des Netzwerks zur Verfügung. Anders als beispielsweise beim Internetprotokoll unterstützt das Adressfeld die Kanalbündelung durch die Oktette VPI (Virtual Path Identifier) und VCI (Virtual Channel Identifier). Ströme von ATM-Zellen lassen sich somit logisch zusammenfassen, sodass in ATMNetzen eine Netzebene mit VP-Vermittlungsknoten aufgebaut werden kann, die nur auf der Basis des VPI eine vereinfachte Vermittlung wie in Bild 6-5 vornehmen kann.

VCI VCI PT

VCI

CLP

HEC Cell Loss Priority Generic Flow Control Header Error Control Payload Type Virtual Channel Identifier Virtual Path Identifier

Durch die drei Bits des PT-Feldes (Payload Type) wird der Nachrichtentyp angegeben. Es kann zwischen Sprachkommunikation, DatenBild 6-14 Aufbau der ATM-Zellen kommunikation oder internen Nachrichten zur Netzsteuerung unterschieden werden. Von den 8 Möglichkeiten ist die Bitkombination „111“ für etwaige spätere Spezifikationen reserviert. Das Bit CLP (Cell Loss Priority) erlaubt die Deklarierung der Nachrichtenpriorität und damit eine dynamische Anpassung des Nachrichtenverkehrs an die Netzbelastung. Eine denkbare Anwendung ist, Zellen mit geringer Nachrichtenpriorität bei Netzüberlastung zu verwerfen, aber sonst zu günstigen Sondertarifen zu befördern. Schließlich enthält das HEC-Oktett (Header Error Control) die Prüfsumme eines zyklischen Blockcodes (Cyclic Redundancy Check, CRC), sodass Fehler im Kopffeld erkannt werden können, siehe Abschnitt 8.3.7. Darüber hinaus erlaubt das HEC-Oktett auch das Erkennen eines ATM-Header im Bitstrom, da Bitfehler üblicherweise sehr selten auftreten und der CRCCode fast alle Fehlermuster erkennt. Man beachte auch, dass in der ATM-Zelle auf einen zusätzlichen Schutz der Information gegen Bitfehler verzichtet wird. Anmerkung: Da die für die Ende-zu-Ende-Verbindung zuständige Transportschicht üblicherweise eine Fehlerkontrolle durchführt und Bitfehler bei der Übertragung zwischen den Netzknoten sehr selten sind, wird mit dem Verzicht auf eine Fehlerprüfung in den Netzknoten der Aufwand reduziert.

204

6 Telekommunikationsnetze

Die Übertragung mit ATM-Zellen bietet grundsätzlich die Möglichkeit im sogenannten ATMCross-Connect einzelne Zellen nach Bedarf in den Bitstrom einzufädeln, zu entnehmen bzw. umzuleiten. Damit wird es prinzipiell möglich, die „Infobahn mit Auf- und Abfahrten für jedermann“ zu realisieren. Darüber hinaus lassen sich flexible Netze mit zentralen Überwachungs- und Steuerungseinrichtungen realisieren. Mit der ATM-Zelle als Transportmittel sollte das von der ITU-T in den 1980er Jahren definierte Ziel des Broadband Integrated Services Digital Network (B-ISDN) realisiert werden. Kernstück der Überlegungen war eine Verkehrssteuerung, bei der die Dienste und Verkehrsparameter mit den Teilnehmern fallweise vereinbart werden; sogenannte Verkehrsverträge abgeschlossen werden. Als Grundlage wurden fünf Dienstklassen spezifiziert, die typische Anforderungen abdecken: Constant Bit Rate (CBR) Die Dienstklasse CBR unterstützt Anwendungen mit permanenter und fester Datenrate. Ein typisches Beispiel liefert die isochronen Übertragungen von Datenströmen, wie sie bei Audio- und Videoanwendungen auftritt, die keine Kompressionsverfahren einsetzten, wie z. B. die PCM-Sprachtelefonie mit der festen Bitrate 64 kbit/s. Real-Time Variable Bit Rate (rt-VBR) Die Dienstklasse rt-VBR umfasst Dienste mit isochroner, aber variabler Bitrate. Hierzu gehören Audio- und Videoanwendungen mit Audio- und Videokompressionsverfahren, z. B. MPEG-Codierung (Moving Pictures Expert Group). Abhängig von den Signalen treten zeitlich schwankende Bitraten auf. Anmerkung: Werden zur gleichen Zeit viele derartige Signale übertragen, tritt in Summe ein Ausgleichseffekt ein. Man spricht von statistischem Multiplexing. So können mehr Verbindungen gleichzeitig angeboten werden als die nominelle, statische Übertragungskapazität erlaubt, siehe auch Bündelgewinn in der Nachrichtenverkehrstheorie [Wer05]. Bei Paketvermittlungssystemen lässt sich der Effekt des statistischen Multiplexing in natürlicher Weise nutzen. Nachteilig ist, dass der Verkehr stoßartigen Charakter annehmen und zu Überlastsituation mit Blockaden führen kann. Für den Betrieb sind deshalb besondere Maßnahmen zu treffen, um einer Überlast vorzubeugen bzw. abzubauen.

Non-Real-Time Variable Bit Rate (nrt-VBR) Die Dienstklasse nrt-VBR ist für Anwendungen vorgesehen, bei denen die Informationen stoßartig im Bündel (Burst) übertragen werden und nur gemäßigte Anforderungen bzgl. der Dauer (Delay) und Schwankungen der Paketzustellzeiten (Jitter) gestellt werden. Beispiele sind die Onlineregistrierung für Bahn und Flugreisen, das Telebanking und allgemein die Datenkommunikation bei der „hochwertige“ asynchrone Übertragungen bereitgestellt werden müssen. Unspecific Bit Rate (UBR) Diese Dienstklasse ergänzt die genannten im Sinne eines Best-Effort-Paketnetzes. Das heißt, es werden den Anwendungen freie Übertragungskapazitäten ohne Garantie der Dienstgüte angeboten. Datenanwendungen, ähnlich wie in TCP/IP-Netzen, werden unterstützt. Im Falle von Überlast im Netz werden zuerst Zellen der UBR-Dienste verworfen. Der Verlust einer ATM-Zelle kann unter Umständen durch die externe Flusskontrolle zum Nachsenden eines größeren Datenblocks also vieler ATM-Zellen durch die Quelle führen, sodass ein sich aufschaukelnder Effekt einsetzt und die Überlastsituation verschärft.

205

6.6 Lokale Netze Available Bit Rate (ABR)

Mit der Dienstklasse ABR sollen Nachteile von UBR vermieden werden. Ziel ist, die von den anderen Dienstklassen nicht genutzte Übertragungskapazität im Netz fair zwischen den Teilnehmern aufzuteilen und dabei Überlastsituationen zu vermeiden. Hierfür werden bei ABR-Diensten im ATM-Transportsystem Flusskontrollen eingeführt und Dienstgüten vereinbart. Eine spezielle AAL-Protokollanpassung (ATM Adaption Layer) sorgt in verschiedenen Varianten für die Zusammenarbeit mit bestehenden Diensten, wie auch dem TCP/IP-Protokoll des Internets. 100 %

Capacity

Die Idee der verbesserten Nutzung der Übertragungskapazität durch die Dienstklassen spiegelt Bild 6-15 wider. Je nach Netzbelastung durch CBR- und VBR-Dienste kann die noch verfügbare Kapazität den ABR- und UBR-Diensten zur Verfügung gestellt werden. Für ABR-Dienste werden spezielle Verkehrsparameter vereinbart: Die minimale und maximale Zellenrate (Minimum Cell Rate, Peak Cell Rate) und eine Quote für den Zellverlust (Cell Loss Ratio). Die maximale Zellenrate ist nicht verbindlich. Die Zellenrate kann durch das Netz bei Bedarf bis zur minimalen Rate reduziert werden.

0%

Available Bit Rate (ABR) Unspecific Bit Rate (UBR)

Variable Bit Rate (VBR)

Constant Bit Rate (CBR) Time

Bild 6-15 Nutzung der Übertragungs-

Der Aufbau eines Breitband-ISDN mit ATMkapazität durch die ATM-DienstTechnik stellt eine technische Herausforderung klassen (schematische dar. Anders als bei der leitungsorientierten ÜberDarstellung) tragung, bei der beim Verbindungsaufbau ein Übertragungsweg fest zugeschaltet wird, muss bei der ATM-Übertragung in der Vermittlungsstelle der Kopf oder zumindest der VPI jeder ankommenden Zelle ausgewertet werden. Der damit verbundene Aufwand ist enorm. Im Beispiel einer STM-4-Verbindung mit der Bitrate von 622,08 Mbit/s sind pro Sekunde circa 1,467 Millionen Zellen zu verarbeiten. Seit 1997 ist ATM bei der deutschen Telekom im Regelbetrieb. In Backbone-Netzen verbindet Hochgeschwindigkeits-ATM-Technik auf Glasfaserstrecken die Verkehrszentren im Weitverkehr. Insbesondere lassen sich auch SDH-Strecken ohne besonderen Aufwand nutzen, wenn man die Transportmodule STM-1 und STM-4 mit ATM-Zellen füllt. Heute kann festgestellt werden: Das von der ITU-T geplante B-ISDN hat sich beim Teilnehmer nicht durchgesetzt. Die grundsätzlichen Lösungen, der Verkehrsvertrag mit Dienstgütevereinbarungen und die verbindungsorientierte Paketvermittlung, sind jedoch wegweisend für zukünftige Netze und werden sich, unter welchem Namen auch immer, in den sogenannten All-IP-Netzen wiederfinden.

6.6

Lokale Netze

In den letzten Jahren hat die Verbreitung von lokalen Netzen (Local Area Network, LAN) und Internetzugängen stark zugenommen. Dazu beigetragen haben preiswerte Netztechnologien und die Etablierung des TCP/IP-Protokolls (Transmission Control Protocol/ Internet Protocol).

6 Telekommunikationsnetze

206 Unter einem LAN versteht man ein örtlich begrenztes Netz mit hoher Übertragungsrate zwischen den Arbeitsstationen (Client) und zentralen Diensterbringern (Server), siehe Bild 6-16. Dabei können die Rollen für verschiedene Dienste (Email-Server, Datenbank-Server, Programm-Server, usw.) unter den Stationen getauscht werden. Die Kommunikation innerhalb eines LAN erfolgt mit Datenrahmen ohne Auf- und Abbau der Verbindung, also verbindungslos. Somit sind nur die beiden untersten Schichten des OSI-Referenzmodells betroffen: die Bitübertragungsschicht und die Datensicherungsschicht.

Local Area Network

Bild 6-16 Lokales Rechnernetz (LAN)

Es können verschiedene Übertragungsverfahren und -medien sowie Protokolle zum Einsatz kommen. Die physikalischen Übertragungsmedien wie ungeschirmte, verdrillte Zweidrahtleitungen (Unshielded Twisted Pair), Koaxialkabel (Baseband Coaxial Cable), Lichtwellenleiter (Optical Fiber) sowie die Ausbreitungsbedingungen bei einer Funkübertragung haben einen großen Einfluss auf die Leistungsfähigkeit des LAN. Ebenso wichtig für die Leistungsfähigkeit sind die physikalische bzw. logische Architektur als Bus-, Ring-, Baum- oder Sternstruktur. Deshalb werden jeweils maßgeschneiderte Verfahren und Protokolle verwendet. Von besonderer Bedeutung ist dabei die Art des Zugriffs der Stationen auf das physikalisch gemeinsam benutzte Übertragungsmedium. In Anlehnung an das OSI-Referenzmodell hat das IEEE (Institute of Electrical and Electronic Engineers) das IEEE-802-Referenzmodell entwickelt. Die Arbeiten wurden 1980 begonnen und bis heute erfolgreich fortgesetzt, wobei jeweils neueste Technologien aufgegriffen werden. Das IEEE-802-Referenzmodell in Bild 6-17 ermöglicht die Integration der verschiedenen LAN-Technologien in den Anwendungen. Da keine Vermittlungsfunktion anfällt, korrespondiert das Modell mit den beiden untersten Schichten des OSI-Referenzmodells: dem Physical Layer und dem Data Link Layer. Weil der Zugriff auf ein geteiltes Übertragungsmedium nicht im üblichen Data Link Layer geregelt wird, werden die für den Zugriff auf das Übertragungsmedium logischen Funktionen in einer eigenen Zwischenschicht, Medium Access Control (MAC) genannt, zusammengefasst. Upper Layer 802.2 Logical Link Control (LLC) Data Link Layer 802.3 802.4 802.5 802.6 802.11 MAC Physical CSMA/CD Token Bus Token Ring DQDB WLAN Layer

802.15

802.16

WPAN

WMAN

Bild 6-17 IEEE-802-Referenzmodell für LAN Protokolle mit der Zwischenschicht Medium Access Control (MAC) (vereinfacht)

207

6.6 Lokale Netze

Im Folgenden werden kurz die Ideen skizziert, die hinter den unterschiedlichen MAC-Formen stehen. Der Name CSMA/CD (Carrier Sense Multiple Access/Collision Detection) bezieht sich auf das quasi wahlfreie Zugriffsverfahren durch die Stationen (IEEE 1985). Beim gleichzeitigen Zugriff mehrerer Stationen auf den gemeinsamen Bus kollidieren die gesendeten Rahmen der unterschiedlichen Stationen und müssen neu übertragen werden. Um Kollisionen zu vermeiden, beobachten die Stationen den Bus und senden erst dann, wenn der Bus nicht belegt ist (CSMA). Bei zwei oder mehr wartenden Stationen sind Kollisionen nicht ausgeschlossen. Kollisionen werden jedoch entdeckt (CD) und planmäßig aufgelöst. Realisierungen sind gemeinhin als Ethernet bekannt. Je nach Bitrate spricht man von Ethernet, Fast Ethernet (802.3u, 1995), Gigabit Ethernet (GbE, 802.3z, 1998) und 10 Gigabit Ethernet (10GbE, 2002) für 10 Mbit/s, 100 Mbit/s, 1 Gbit/s bzw. 10 Gbit/s. Die IEEE-802.3-Empfehlung verwendet die Bezeichnungen 10BASE, 100BASE, 1000BASE und 10GBase. Je nach Übertragungsmedium werden Erläuterungen angehängt, wie 10BASE-T für die Verwendung von ungeschirmten, verdrillten Zweidrahtleitungen (Unshielded Twisted Pair). In Bild 6-18 ist das zugehörige Rahmenformat zu sehen. Die alternierende Folge von Nullen und Einsen der Preamble unterstützt die Synchronisation der Empfangsstation. Der Start Frame Delimiter zeigt den Beginn der Zielinformation (Destination Address, DA) an. Der Absender steht in der Source Address (SA). Mit den folgenden beiden Oktetten wird die Zahl der Oktette der Information, der LLC-Daten, angegeben. Damit ist eine bedarfsabhängige Rahmenlänge möglich. Um die vorgeschrieben Mindestlänge einzuhalten, können„Fülloktette angehängt (Padding) werden. Den Schluss bilden die 32 Prüfbits des CRC-Codes. Sein Schutz erstreckt sich über alle Felder ausgenommen die Preamble.

Octets

7

1

Preamble SFD

6

6

2

46 to 1500

t0

4

DA

SA

L

LLC data

Pad

FCS

Start Frame Delimiter “10101011”

Length of LLC data field in octets

Bild 6-18 Rahmenaufbau nach IEEE 802.3

Token Bus und Token Ring sind Zugriffsverfahren die mit Zuteilung der Sendeberechtigung arbeiten (IEEE 1985). Bei den Tokenverfahren sind die Stationen in einem logische (Token Bus) oder physikalischen Ring (Token Ring) angeordnet. Im Ring wird eine Sendeberechtigung, das Token, zwischen den Stationen herumgereicht. Ein Reservierungssystem mit Prioritätssteuerung sorgt für eine faire, bedarfsgerechte Zuteilung der Sendeberechtigung an die Stationen. Eine Station übernimmt als Monitor die Überwachung der Token. DQDB steht für Distributed Queue Dual Bus, der aus zwei Glasfaserringen (DB) besteht und einen Duplexbetrieb unterstützt (IEEE 1991). Das Zugriffsverfahren fußt auf der Akquisition von Zeitschlitzen mithilfe eines verteilten Anmelde- und Wartesystems (DQ) und ist besonders für hohe Bitraten geeignet, wie sie in MAN (Metropolitan Area Network) benötigt werden.

6 Telekommunikationsnetze

208

FDDI, für Fiber Distributed Data Interface, ist ein speziell auf die Übertragung mit Lichtwellenleitern zugeschnittenes Token-Ring-Verfahren, das dem IEEE-802.5-Verfahren sehr ähnlich ist. WLAN steht für drahtloses (Wireless) LAN auf Funkbasis bzw. seltener (früher) mit Infrarotübertragung. WPAN (Wireless Personal Area Network) und WMAN (Wireless Metropolitan Area Network) sind ebenso wie WLAN funkbasierte Systeme. Sie werden in Abschnitt 9.6 noch ausführlicher behandelt.

6.7

Protokollfamilie TCP/IP

In den meisten lokalen Netzen stehen Internetdienste zur Verfügung. Bekannte Beispiele sind die Übertragung von Dateien und Programmen (File Transfer Protocol, FTP), die elektronische Post (Simple Mail Transfer Protocol, SMTP), der Informationsaustausch zwischen HypertextInformationssystemen, wie das World Wide Web, (Hypertext Transfer Protocol, HTTP) und der Dialog zwischen Stationen via virtuellem Terminal (TELNET). Die Realisierung dieser Anwendungen im LAN erfordert zusätzliche Funktionalitäten, die im OSI-Referenzmodell in den Schichten Network Layer, Transport Layer und Session Layer anzusiedeln sind. Hierfür hat sich die TCP/IP-Protokollfamilie (TCP/IP Protocol Suite) durchgesetzt. Bild 6-19 zeigt eine Übersicht. Den Schichten des OSI-Referenzmodells 3 bis 7 entsprechen die drei Schichten der Protokollfamilie TCP/IP. Protokollfamilie TCP/IP

OSI

5 4 3 2

ARP DNS FTP HTTP ICMP IP IPSec MIME

TCP

HDLC

WWW

Others

UDP

ATM

ARP Token Ring

Address Resolution Protocol Domain Name Service File Transfer Protocol HyperText Transfer Protocol Internet Control Message Protocol Internet Protocol IP Security Multi-Purpose Internet Mail Extension

4

NVP

ICMP

IP Ethernet

DNS

FTP

TELNET

HTTP

6

MIME SMTP

7

FDDI

NVC RARP SIP SMTP TCP TELNET UDP WWW

DQDB

RARP

3 2

Others

Network Voice Protocol Reverse ARP Session Initiation Protocol Simple Mail Transfer Protocol Transmission Control Protocol Telecommunications Network P. User Datagram Protocol World Wide Web

Bild 6-19 Beispiele aus der Protokollfamilie TCP/IP nach [Sta00]

209

6.7 Protokollfamilie TCP/IP

Die Struktur der TCP/IP-Protokollfamilie erschließt sich aus der Entstehungsgeschichte des Internets. Am Anfang, Ende der 1960er Jahren, stand der simple Austausch von Datagrammen zwischen Arbeitsstationen, die über Modem und öffentliche Telefonleitungen Verbindung aufnehmen konnten. Die Protokollfamilie um TCP/IP ist schrittweise entstanden. Neue technische Möglichkeiten, Probleme und Anwendungen haben zu Lösungen geführt, die unter eigenem Namen als Protokolle in die Familie aufgenommen wurden. Beispiele sind WWW als Anwendung und IPSec als Ergänzung zur Verschlüsselung auf der Netzschicht. TCP (Transport Control Protocol) realisiert einen verbindungsorientierten, gesicherten Übertragungsdienst. Es übernimmt die Ende-zu-Ende-Sicherung, die Flusskontrolle und die Adressierung der Anwendung. Die Funktionalität entspricht etwa den OSI-Schichten Session Layer und Transport Layer. Die TCP-Instanzen nehmen von der Anwendungsschicht Nachrichten entgegen und reichen sie in Form von Segmenten an die IP-Instanzen weiter. Das Internetprotokoll (Internet Protocol, IP) löst die Aufgaben der OSI-Schicht Network Layer. Es stellt eine verbindungslose, ungesicherte paketorientierte Übertragung zur Verfügung. Man beachte das IP-Protokoll stellt nicht sicher, dass alle Pakte in der richtigen Reihenfolge oder überhaupt zugestellt werden. Das IP-Protokoll wurde entwickelt, um den Datenverkehr zwischen und über Netze unterschiedlicher Art zu ermöglichen. Weshalb im IP-Protokoll nur geringe Anforderungen an die Fähigkeiten der beteiligten Netze gestellt werden. Anmerkung: Eine ausführliche Darstellung der Protokollfamilie TCP/IP würde den Rahmen dieses Buches sprengen, weshalb hier nur ein erster Eindruck vermittelt werden soll. Für eine Vertiefung siehe z. B. [Con04], [Sta00] und [Tan03].

Das TCP/IP-Protokoll bildet das Bindeglied zwischen der Anwendung und der LLC-Schicht, siehe Bild 6-20. Die Übertragung der Nachrichten geschieht wie in Bild 6-8 bereits skizziert. Jede Protokollschicht fügt ihre, der jeweiligen Partnerinstanz zugedachte Nachricht in einem eigenen Kopffeld hinzu. Gegebenenfalls können Protokolldatenelemente (PDU) der höheren Schicht für die Übertragung in kleinere Elemente zerlegt und in der Empfangsstation wieder zusammengesetzt werden (Fragmentation and Reassembly). Die der physikalischen Übertragung nahe MAC-Schicht ergänzt üblicherweise einen Nachspann (Trailer), beispielsweise wie in Bild 6-18 die Prüfzeichen der FCS. MAC Header

LLC Header

IP Header

TCP Header

APDU

MAC Trailer

TCP Segment IP Datagram LLC Protocol Data Unit MAC Frame Bild 6-20 Rahmenaufbau des LAN-Protokolls mit TCP/IP-Anwendung [Sta00] (AP Application Layer, TCP Transmission Control Protocol Layer, IP Internet Protocol Layer, LLC Logical Link Control Layer, MAC Medium Access Control Layer)

Für das Verständnis des Transports der Daten im Internet sind die zwei Konzepte, Port und Socket, wichtig. In Bild 6-21 wird die Definition der Dienstzugangspunkte Service Access Points (SAPs) an den Schnittstellen der Netzwerk- und Transportschichten, NSAP bzw. TSAP, vorgestellt. Die Adressierung der Zugangspunkte übernimmt auf der Netzwerkschicht die IPAdresse. Die Zugangspunkte der Transportschicht werden mit 16 Bits durchnummeriert und Ports genannt. Es lassen sich 216 = 65.536 mögliche Ports einrichten.

6 Telekommunikationsnetze

210

Im Internet sind manchen Portnummern Dienste fest zugeordnet. Es wird dabei zwischen den „well-known“, d. h. verbindlichen Portnummern 0…1023, und den „registered“ Portnummern ab 1024 unterschieden. Beispielsweise steht 21 für den Dienst File Transfer (FTP), 25 für Simple Mail Transfer Protocol (SMTP) oder 80 für Hyper Text Transfer Protocol (HTTP, World Wide Web). Die Angabe einer IP-Adresse und eines Ports aktiviert einen bestimmten Dienst am Zielhost. Ist der Dienst/Rechner nicht abgesichert, kann er leicht missbraucht werden. So kann über Port 49, dem Login Host Protocol, eine Anmeldung als aktiver Nutzer oder gar Systemadministrator am Host erfolgen.

TSAPs “Ports” Transport Layer NSAPs “IP address”

Network Layer

TPDU NPDU

Application 3

Application 2

Host 2

Application 1

Application 3

Application 2

Host 1

Application 1

Unter einem Socket, englisch für Steckdose, Fassung bzw. Sockel, versteht man eine Programmschnittstelle, einen Aufruf (Dienstelement), der einen neuen Kommunikationsendpunkt erzeugt. Dieser kann danach im Programm über eine Device Number als Ein- und Ausgabemedium, vergleichbar dem Bildschirm, der Tastatur, der Festplatte, usw., angesprochen werden.

Transport Layer Network Layer

Bild 6-21 Dienstzugangspunkte (SAP, Service Access Point) in der Netzschicht (NSAP, Network ASP) und in der Transportschicht (TSAP, Transport SAP)

Das Internetprotokoll hat die Aufgabe die Verbindungen zwischen den höheren Schichten, wie TCP und UDP, und den unteren Schichten des LLC bereitzustellen. Dafür gibt es zwei Dienstelemente (Service Primitive). Das Sendeelement und das Empfangselement mit den Adressen von Absender und Ziel sowie Steuerinformationen. Die Übertragung geschieht in Form von Protocol Data Units (PDU), im Folgenden kurz IPv6-Pakete genannt. Anmerkung: Die Entwicklung der Version 6 des Internetprotokolls wurde bereits 1992 angestoßen. 1995 wurde mit „The Recommendation for the IP Next Generation Protocol“ (RCF 1752) die Grundlage für die heute aktuelle Version 6 gelegt. Heute ist IPv6 die Standardeinstellung an vielen PCs.

IP-Pakete der Version 6, siehe Bild 6-22, können durch Erweiterungskopffelder (Extension Header) variabler Länge sehr flexibel zusammengestellt werden. Auch für zukünftige Entwicklungen ist somit Platz geschaffen. Durch die Zusatzinformationen lassen sich Dienste und Nachrichtenverkehr bedarfsgerecht steuern. Als Kopffelder sind vorgesehen:

IPv6 Header, notwendige Angaben, siehe unten. Hop-by-Hop Header, enthält Zusatzinformationen für die Netzkonten; muss von jedem vermittelnden Netzknoten (Router) im Übertragungsweg ausgewertet werden.

211

6.7 Protokollfamilie TCP/IP

Routing Header, enthält Liste mit den Netzknoten

Octets

des Übertragungsweges, wobei erst der letzte Eintrag die Zieladresse enthält. Die Übertragung geschieht entsprechend der Liste, wobei jeweils der nächste Netzknoten als Adresse in den IPv6 Header eingetragen wird.

IPv6 Header

40

Hop-by-Hop Options Header

variable

Fragment Header, liefert Informationen zur Opti-

Routing Header

mierung der Paketlängen durch die Netzknoten mit Sendefunktionalität (Source Nodes) entsprechend der Übertragungsbedingungen.

Fragment Header

Authentication Header, unterstützt die Integrität und Authentifikation des Paketes (nicht im Bild).

Encapsulation Security Payload Header, unterstützt Maßnahmen zur Sicherung der Vertraulichkeit der Nachricht (nicht im Bild).

8

Destination Options Header TCP Header

variable

Application Data

variable

20

Next Header Field

Destination Options Header, enthält Zusatzinformation für den letzten Zielknoten.

variable

Bild 6-22 Beispiel eines IPv6-Pakets mit Erweiterungskopffeldern und TCP-Segment

Die Extension Header sind optional, jedoch in der Reihenfolge der Aufzählung zu platzieren. Sie beginnen mit dem Oktett „Next Header“, das auf das nächste Kopffeld verweist, und falls erforderlich schließt sich das Oktett „Header Extension Length“ an, das die Länge des jeweiligen Kopffelds angibt. Damit ist es in den empfangenden Netzknoten möglich, nicht relevante Kopffelder zu überspringen und schnell nach Steuerinformationen zu suchen, und so insgesamt die Belastung der Netzknoten zu reduzieren. Der Aufbau des Kopfes des IPv6-Pakets ist in zu Bild 6-23 sehen. Neben der Versionsnummer (Vers) des Protokolls, hier 6, sind 8 Bits für Angaben der Art des Verkehrs (Traffic Class) vorgesehen. Es könnten z. B. die Sprachtelefonie für eine schnellere Übertragung ausgewiesen werden. 0

4

12

Vers Traffic Class Payload Length

Bits 31 Flow Control Next Header Hop Limit

Source Address

Destination Address

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Octets

Anmerkung: Da wegen der gewünschten Zusammenarbeit mit Netzen unterschiedlicher Leistungsfähigkeiten nur geringe Anforderungen an die Netze gestellt werden, ist nicht festgelegt, dass das empfangene Paket die gleichen Traffic-ClassBits enthält wie das ursprünglich gesendete. Hier wird auch das Qualitätsproblem der Internettelefonie (Voice over IP, VoIP) deutlich. Erst wenn alle verwendeten Netze durchgehend soweit ausgebaut sind, also die für die Telefonie geforderten Leistungsmerkmale (QoS) unterstützen, ist Telefonieren in der gewohnten Qualität möglich.

Bild 6-23 Kopffeld des IPv6-Pakets

Die folgenden 20 Bits der Flusskontrolle (Flow Control) sollen den effektiven Transport, d. h. insbesondere die Weglenkung, der Pakete einer Anwendung im Netz unterstützen. Ihre Funktion ist vergleichbar mit den virtuellen Kanal- und Wegangaben VCI bzw. VPI der ATM-Zellen.

6 Telekommunikationsnetze

212

Anmerkung: Auch hiervon kann erst nutzbringend Gebrauch gemacht werden, wenn die Netzknoten die Flow-Control-Bits tatsächlich zur Verkehrslenkung auswerten.

Für die Angabe der Zahl der dem Kopffeld folgenden Oktette des Pakets (Payload Length) sind 16 Bits vorgesehen. Das entspricht einer maximalen Länge von 65.536 Oktetten. Anmerkung: Die Länge, die von allen Netzen mindestens unterstützt werden muss, beträgt 1280 Oktette.

Das Feld Next Header verweist auf den eventuell folgenden Extension Header. Schließlich gibt das Hop Limit die maximale Zahl der Netzknoten an, die das Paket jeweils weiterleiten. Jeder Knoten reduziert den Wert des Feldes um eins. Ist das Hop Limit null, wird das Paket verworfen. Für die Adresse des Absenders sowie des Zieles stehen jeweils 128 Bits zur Verfügung. Ein wesentlicher Anstoß zur Einführung der Version 6 war der Wunsch die Längen der Adressen von 32 Bits der Version 4 auf nunmehr 128 Bits zu vergrößern. Damit stehen theoretisch etwa 6∙1023 Adressen pro Quadratmeter der Erdoberfläche zur Verfügung. Wegen der beabsichtigten hierarchischen Vergabe der Adresse, z. B. nach Regionen, Dienstanbietern, usw. und Vergabe mehrerer Adressen pro Gerät besteht ein noch nicht absehbarer Bedarf. Beabsichtigt ist auch, dass durch die hierarchische Vergabe der Adressen die Verkehrslenkung der Pakete verbessert und damit die Netzbelastung insgesamt reduziert werden kann. Mit der Version 6 werden drei Arten von Adressen eingeführt:

Die Unicast-Adresse kennzeichnet einen speziellen Übergabepunkt; das IPv6-Paket wird genau zu diesem gesendet.

Die Anycast-Adresse gibt eine Gruppe von Übergabepunkten an; das IPv6-Paket wird an den „nächsten“ Übergabepunkt gesendet.

Die Multicast-Adresse definiert eine Gruppe von Übergabepunkten; das IPv6-Paket wird an alle zugehörigen Übergabepunkten gesendet. Mit der Multicast-Adresse sollen neue Internetanwendungen unterstützt werden, wie beispielsweise die Verteilung von Audio- und Videosignalen ähnlich dem heutigen Rundfunk. Weitere Beispiele sind Telekonferenzen mit mehreren Teilnehmern und verteiltes Rechnen, bei dem mehrere Computer an einer Aufgabe arbeiten und die Zwischenergebnisse austauschen. Damit derartige Multimediadienste für viele Anwender praktisch umgesetzt werden können, muss überflüssig mehrfaches Versenden der Pakete und damit eine Überlastung der Netze vermieden werden. Hierfür ist es wichtig, dass die Netzknoten die „kürzesten“ Wege zu den Teilnehmerinnen und Teilnehmern kennen und die Pakete so spät wie möglich vervielfältigt werden. Man beachte, dass hierfür eine „Revolution“ des Internets erforderlich ist. Wurde das Internet, die TCP/IP-Protokollfamilie, ursprünglich zum Datenaustausch zwischen unterschiedlichen Netzen konzipiert, wobei die Netzknoten zum Transport der Pakete nicht viel mehr als den nächsten Netzknoten wissen mussten, so erfordert die breite Anwendung von MulticastDiensten eine Gruppenverwaltung mit dynamischer An- und Abmeldung der Teilnehmer (Internet Group Management Protocol, IGMP) sowie eine gezielte Verkehrslenkung auf der Grundlage der bekannten Netzstrukturen.

6.8

Zusammenfassung

Telekommunikationsnetze (TK-Netze) werden nach verschiedenen Kriterien eingeteilt: öffentliche und private Netze; lokale Netze (LAN), regionale Stadtnetze (MAN) und Weitverkehrs-

6.8 Zusammenfassung

213

netze (WAN); Festnetze und Mobilfunknetze. Hinzu kommen drahtlose lokale Netze (WLAN) und sich spontan bildende und wieder auflösende Kleinzellenfunknetze (Personal Area Network, PAN). In den letzten Jahren werden besonders neue Systeme für die drahtlose Kommunikation entwickelt: Funknetze für den Internetzugang in heute noch unterversorgten Gebieten, wie z. B. die WiMAX-Netze (Worldwide Interoperability for Microwave Access, IEEE 802.16), Funksensornetzwerke für die drahtlose Erfassung von Daten aller Arten, sowie Funknetze auf der Grundlage von Fahrzeug-zu-Fahrzeug-Kommunikationssystemen. Eine scharfe Trennung von TK-Netzen nach diesen Kategorien wird zukünftig schwieriger, da die Netze immer mehr zusammenwachsen und Dienste unter Beteiligung verschiedener Netze und Zugriffstechnologien angeboten werden. Ein Beispiel könnte das Abrufen des persönlichen Adressenverzeichnisses auf dem LAN-Server einer Firma in Fulda durch einen Außendienstmitarbeiter in Barcelona sein. Dazu benutzt der Außendienstmitarbeiter möglicherweise seinen Personal Digital Assistant (PDA) bzw. Smartphone, um über den Umweg eines WLAN des gerade besuchten Kaufhauses schließlich in ein öffentliches TK-Netz zu gelangen. Auch wenn die moderne Nachrichtenübertragungstechnik die einzelnen Verbindungen prinzipiell zur Verfügung stellen kann, so sind derartige Dienste sollen sie für die Teilnehmer attraktiv sein eine große technische und wirtschaftliche Herausforderung. Ebenso wichtig sind die technisch-organisatorischen Voraussetzungen in Form von effizienten Protokollen. Wertvolle Hilfe bei der Suche nach effizienten Protokollen leisten die vorgestellten Prinzipien und Beispiele. Das OSI-Referenzmodell zeigt mit der klaren Trennung von Funktionalitäten und dem hierarchischen Aufbau, wie ein brauchbares Protokoll grundsätzlich auszusehen hat. Beim IEEE-802-Referenzmodell ist die MAC-Schicht besonders erwähnenswert. Sie vermittelt zwischen der LLC-Schicht, die eine einheitliche Verbindung zu den höheren Schichten herstellt und den speziellen Anforderungen der physikalischen Übertragungstechnik. Durch neue MAC-Varianten wird es möglich neue Netzzugangstechnologien wie z. B. die Funktechnik in bestehende TK-Strukturen einzubinden. Das IPv6-Paket des TCP/IP-Protokolls trägt der Forderung nach möglicher Erweiterbarkeit durch die optionalen Erweiterungskopffelder Rechnung. Zukünftige Dienste mit noch nicht absehbaren Parametern und Anforderungen lassen sich damit in bestehende Netze einführen. Besonders beachtenswert ist der geplante Paradigmenwechsel im Internet, den die MulticastDienste der Version 6 erfordern. Dass beispielsweise beim zukünftigen Internetfernsehen jeder Druck auf die Programmtaste zuhause im Internet protokolliert werden könnte, ist nicht für jedermann wünschenswert. Die neuen Möglichkeiten haben auch ihren Preis. Mit Zunahme der Steuerinformation werden nicht nur die zu übertragenden Daten mehr, sondern diese Informationen müssen in den Netzknoten gelesen, auf Fehler geprüft und schließlich in Aktionen umgesetzt werden. Trotz der Fortschritte in der Digitaltechnik bleibt es auch zukünftig wichtig die Netzbelastung durch die Protokolle in vernünftigen Grenzen zu halten, da mit einem weiter anwachsenden Datenverkehrsvolumen zu rechnen ist. Vor diesem Hintergrund ist auch das ATM-Konzept mit der kurzen Paketlänge und der Unterstützung von virtuellen Kanälen mit einfacherer Vermittlung interessant. Damit eignet sich ATM insbesondere für zeitkritische Anwendungen wie die Sprachübertragung. Um eine ATMZelle vor dem Versenden zu füllen, werden 48 Oktette benötigt. Das entspricht bei PCMCodierung einem Sprachsignalausschnitt der Dauer 6 ms. Um ein IP-Paket mit der Länge von circa 1200 Oktetten zu füllen, wird schon eine Wartezeit von 150 Millisekunden benötigt.

6 Telekommunikationsnetze

214

Dieses Beispiel deutet an, welch großen Einfluss das Protokoll auf die Leistungsfähigkeit des TK-Netzes bzw. des unterstützten Dienstes haben kann. Heute sind die grundsätzlichen Fragen der Nachrichtenübermittlung beantwortet und technische Lösungen verfügbar. An weiteren Innovationen wird gearbeitet. Aus Anwendersicht zeichnet sich für die Zukunft ein weiteres Zusammenwachsen unterschiedlicher TK-Netze Technologien, regionale Verbreitung, Betreiber, Endgeräte zu einer einheitlichen globalen TK-Infrastruktur ab. Damit wendet sich der Blick verstärkt den organisatorischen Fragen zu, die durch technische Einrichtungen im TK-Netz gewährleistet werden müssen, der Frage nach Sicherheit (Datenschutz und Datenintegrität) und korrekter Leistungsabrechnung. Man spricht in diesem Zusammenhang von der AAA-Architektur für Authentification, Authorization und Accounting; also der Authentifizierung der Benutzer, der Prüfung der Rechte der Benutzer und der Aufzeichnung der Aktivitäten der Benutzer zur Abrechnung und Kontrolle entsprechend gesetzlicher Vorgaben. Die umfangreiche Sammlung von persönlichen Daten durch private und staatliche Organisationen ist hinlänglich bekannt. Kommt mit den neuen TK-Netzen der gläserne Bürger?

6.9

Wiederholungsfragen zu Abschnitt 6

A6.1 In der PCM-Multiplexhierarchie werden Kanäle zur gemeinsamen Übertragung zusammengefasst. Wie nennt man das System der Grundstufe und wie wird diese Art der gemeinsamen Übertragung bezeichnet? A6.2 Im PCM-30-System werden 30 Teilnehmerkanäle mit je 64 kbit/s zu einem Datenstrom der Bitrate 3264 kbit/s = 2,048 Mbit/s zusammengefasst. Erklären Sie die höhere Bitrate. A6.3 Im PCM-30-Zeitmultiplexrahmen sind im Meldewort vier Bits für die nationale Verwendung reserviert. Diese lassen sich als Kanal für netzinterne Meldungen nutzen. Welche Bitrate hat der Kanal? A6.4 Was ist die Aufgabe eines TK-Netzes? A6.5 Was versteht man unter der Nachrichtenübermittlung? A6.6 Was ist ein Dienst in einem TK-Netz? A6.7 Nennen Sie die beiden grundsätzlichen Vermittlungsprinzipien. A6.8 Nennen Sie die drei Phasen der verbindungsorientierten Kommunikation. A6.9 Was ist eine verbindungslose Nachrichtenübermittlung? Welche Art der Übertragung setzt sie voraus? A6.10 Nennen Sie die sieben Schichten des OSI-Referenzmodells in richtiger Reihenfolge. Welche Schichten sind anwendungsorientiert und welche netzorientiert? Welche besondere Rolle spielt die Transportschicht? Hinweis: in alphabetischer Reihenfolge: Anwendung, Bitübertragung, Darstellung, Kommunikationssteuerung, Sicherung, Transport, Vermittlung alternativ: Application L., Data Link L., Network L., Physical L., Presentation L., Session L., Transport L.

6.9 Wiederholungsfragen zu Abschnitt 6

215

A6.11 Erklären Sie, wie die Kommunikation zwischen den Partnerinstanzen einer Protokollschicht logisch erfolgt. A6.12 Was bedeuten die Akronyme HDLC und LAP? A6.13 Geben Sie den Rahmenaufbau des HDLC-Protokolls an und erklären Sie die Funktion der einzelnen Abschnitte. A6.14 Welche Rahmenformate gibt es im HDLC-Protokoll? Geben Sie die zugehörigen Steuerfelder an. A6.15 Wodurch unterscheiden sich I- und S-Format besonders vom U-Format? A6.16 Was sind die Aufgaben des Poll- und Final-Bit? A6.17 Wozu dienen die Sende- und Empfangsnummern? A6.18 Was versteht man unter Bittransparenz? Wie wird sie im HDLC-Protokoll sichergestellt? A6.19 Was versteht man unter einer gesicherten Übertragung? A6.20 Was bedeuten das Akronym ATM? A6.21 Worin besteht der Vorteil der ATM-Übertragung? A6.22 Was versteht man unter einer Dienstklasse im TK-Netz? Geben Sie zwei Beispiele an. A6.23 Nennen Sie zwei Vorteile, die für die Verwendung von Dienstklassen in TK-Netzen sprechen? A6.24 Welche Schichten des OSI-Referenzmodells finden sich im LAN? A6.25 Wofür steht MAC und welche Funktion hat es? A6.26 Was bedeuten die Akronyme TCP und IP? A6.27 Warum spricht man von einer Protokollfamilie TCP/IP? A6.28 Welche Funktion hat die Protokollschicht TCP? Wie ist sie im OSI-Referenzmodell einzuordnen? A6.29 Welche Funktion hat die Protokollschicht IP? Wie ist sie im OSI-Referenzmodell einzuordnen? A6.30 Was versteht man unter einem Extension Header? A6.31 Welche Arten von Adressen kennt das IP-Protokoll Version 6? Erklären Sie die Funktionen. A6.32 Was bezeichnet beim TCP der Begriff Port und was ist ein well-known Port. A6.33 Welche Konsequenzen hat die Einführung von „Rundverteilungs“-Diensten im Internet ähnlich dem heutigen Hör- und Fernsehrundfunk. Welche Art von Adressen unterstützt derartige Dienste im IP-Protokoll? A6.34 Was bedeutet das Akronym AAA?

216

7

Optische Nachrichtentechnik

Die Kommunikation mit einfachen Gesten und Zeichen ging der Entwicklung der Sprache voraus. Auch nachdem die Menschen sprechen konnten, boten optische Signale, wie Signalfeuer und Rauchzeichen, für lange Zeit die einzige Möglichkeit, schnell Nachrichten über größere Entfernungen auszutauschen. So wurden in Europa noch Anfang des 19. Jahrhunderts optische Telegrafennetze aufgebaut. Aber schon 50 Jahre später wurden sie von der elektrischen Telegrafie, und danach von der Telefonie, verdrängt, die auch bei Nacht und Nebel funktionierten und schließlich bis Ende des 19. Jahrhunderts zu einer weltumfassenden TK-Infrastruktur heranwuchsen. Anmerkung: Der Verdrängungsprozess setzt sich fort: elektronische Post statt Briefe, Internet statt Zeitungen. Wurde mit der Telefonie geschriebene Sprache durch gesprochene ersetzt, so ist seit Mitte des 20. Jahrhunderts eine zunehmende Substitution von Sprache durch Bilder festzustellen. Weil die Sprache unser wichtigster Kulturträger und Wissensspeicher ist, sind dadurch tief greifende gesellschaftliche Veränderungen zu erwarten.

Völlig neue Möglichkeiten der optischen Nachrichtenübertragung ergaben sich ab Mitte des 20. Jahrhunderts durch die Erkenntnisse der modernen Quantenphysik und die Fortschritte der Mikroelektronik. Sie werden heute unter dem Begriff Photonik zusammengefasst: „Photonik [zu Photon und Elektronik]: die, moderne Grundlagentechnologie, die sich mit der Übertragung, Speicherung und Verarbeitung von Informationen mit Licht befasst und dabei die besonderen Eigenschaften von Lichtquanten (Photonen) anstelle von Elektronen nutzt.“ [Bro09] Die Definition aus dem Brockhaus bezieht sich nicht nur auf die optische Nachrichtentechnik im engeren Sinn, sondern schließt Anwendungen in der Sensorik, der optischen Messtechnik, der Medizin, der Foto-, Film- und Bildtechnik ein. Sie grenzt die Photonik jedoch deutlich ab von Anwendungen in der Fotovoltaik (Solarzellen), der Produktionstechnik (Industrielaser) und der Beleuchtungstechnik (LED). Im Rückblick gesehen waren viele Schritte notwendig: Theoretische Zusammenhänge der Quantenphysik mussten formuliert, technologische Grundlagen zur Gewinnung der Materialen und Herstellung der Komponenten geschaffen und die industrielle Produktion, der Aufbau und Betrieb der optischen Nachrichtenübertragungseinrichtungen beherrscht werden. Etwa um 1850 zeigen Daniel Colladon und Jacques Babinet in Paris und John Tyndall in London wie Licht in Wasser auf einer gekrümmten Bahn geführt werden kann. 1880 erhält Alexander G. Bell ein Patent auf das Photophone, das mit Hilfe von Sonnenlicht und Spiegeln Sprache übertrug. Für den Empfang wurde eine Fotozelle aus Selen benutzt. Ende der 1950er Jahre, z. B. durch G. Gould 1957, wird intensiv an Apparaturen zur Lichtverstärkung durch induzierte Strahlungsemission (light amplification by stimulated emission of radiation, Laser) gearbeitet. Th. H. Maiman konstruiert 1960 in Malibu den ersten funktionierenden Laser, einen Rubinlaser. Die erste Licht aussendende Diode, die Leuchtdiode (LED, light emission diode), wird 1962 von Robert N. Hall vorgestellt. M. Werner, Nachrichtentechnik , DOI 10.1007/978-3-8348-9742-8_7, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010

7.1 Lichtwellenleiter

217

Ch. K. Kao und G. A. Hockham schlagen 1966 die Verwendung von Lichtwellenleitern (LWL) zur Nachrichtenübertragung vor. Sie glauben, dass die Dämpfungen in Glas durch verbesserte Herstellungsverfahren auf unter 20 dB/km gesenkt werden können [KaHo66], so dass LWL zu Kupferkabel konkurrenzfähig werden. M. Börner erhält 1966 ein Patent auf die optische Übertragung von Information [Bör66]. Bereits 13 Jahre später, 1979, wird eine Faserdämpfung von 0,2 dB/km erreicht. Ab 1980 beginnt weltweit der Aufbau von LWL-TK-Netzen. 1988 wird das erste transatlantische LWL-Kabel TAT-8 (transatlantic telephone cable) in Betrieb genommen [Huu03]. Es verbindet Tuckerton in New Jersey (USA) mit Widemouth Bay in Cornwall (GB) und Penmarch in der Bretagne (F). Es besitzt eine Länge von über 6700 km. Auf einer Einmodenfaser wird die Bitrate 2280 Mbit/s (7680 Telefonkanäle) bei der Betriebswellenlänge 1300 nm übertragen. Der Außendurchmesser des LWL-Kabels beträgt nur 25 mm. Im Jahr 2000 erreicht die Glasfaserproduktion mehr als 40 Millionen Kilometer pro Jahr; eine maximale Bitrate pro Glasfaser von 1 Tbit/s wird vorgeführt. Die optische Nachrichtentechnik wäre ohne die Quantenphysik nicht möglich. Stellvertretend seien hier nur zwei Beispiele aus über einem Jahrhundert genannt: 1921 erhält A. Einstein ( 1879,†1955) den Nobelpreis für Physik für die Entdeckung des photoelektrischen Effekts (äußerer photoelektrischer Effekt, 1905); 2009 geht der Nobelpreis für Physik an Charles K. Kao ( 1933) für seine bahnbrechenden Beiträge zur Glasfaseroptik. Wichtig für den jüngsten Erfolg der optischen Nachrichtenübertragung sind zwei Entwicklungen in den 1990er Jahren: Zum ersten die optische Verstärkung in den LWL selbst, so dass die aufwendigen elektronischen Verstärker entfallen können und zum zweiten der Wellenlängenmultiplex (WDM, Wave Division Multiplex). Letzterer ermöglicht die Mehrfachnutzung von LWL auch bereits verlegter Fasern, sogenannter „dark fibers“. Es überrascht nicht, dass für die nächsten Jahre der Aufbau von optischen Teilnehmerzugangsnetzen geplant ist. Unter dem Schlagwort Fiber-to-the-Home (FTTH) werden seit einigen Jahren Geschäftsmodelle diskutiert, mittels LWL einer Vielzahl von Teilnehmer Internetzugänge mit 100 Mbit/s und mehr zur Verfügung zu stellen. Den Aufbau einer typischen optischen Nachrichtenübertragungsstrecke zeigt Bild 7-1. Die in der Regel binäre Nachricht der Quelle wird über eine elektrische Verbindung an den optischen Sender herangeführt. Ein elektro-optischer Wandler sorgt für die Umsetzung des elektrischen Signals in ein optisches. Oft kommt eine Amplitudentastung zur Anwendung, bei der die Binärzeichen „0“ und „1“ mithilfe von Lichtimpulsen als „dunkel“ und „hell“ dargestellt werden. Die Lichtimpulse werden in die optische Faserstrecke, den LWL, eingekoppelt. Bei der Übertragung wird das optische Signal gedämpft und durch Dispersion verzerrt. Der optische Empfänger hat die Aufgabe, die Lichtimpulse wieder zu erkennen, sodass daraus die gesendete binäre Nachricht verlässlich geschätzt werden kann.

Nachrichtenquelle

optischer Sender (LASER, LED)

elektrische Verbindung

optische Faserstrecke

optischer Empfänger (Photodiode)

Bild 7-1 Optische Nachrichtenübertragung

Nachrichtensenke

elektrische Verbindung

7 Optische Nachrichtentechnik

218

Die folgenden drei Unterabschnitte geben eine elementare Einführung in die optische Nachrichtentechnik. Es werden die Themenschwerpunkte Lichtwellenleiter, optische Sender und Empfänger sowie optische Übertragungssysteme vorgestellt.

7.1

Lichtwellenleiter

Satellitenkommunikation

WLAN

Mobilfunk

Fernsehen

Rundfunk

Im engeren Sinne wird von Licht gesprochen, wenn es sich um optische Strahlung mit Wellenlängen im von Menschen sichtbaren Bereich von 380 bis 780 nm handelt. Von optischer Strahlung spricht man allgemein bei Wellenlängen von etwa 100 nm bis 1mm, was die Ultraviolett(UV) und Infrarotstrahlung (IR) einschließt. Eine grobe Einordnung des Frequenzbands des sichtbaren Lichts und der Frequenzen der optischen Nachrichtentechnik gibt Bild 7-2.

optische Strahlung optische Nachrichtentechnik

Radiowellen Mikrowellen

IR

UV

Röntgen-/Gamma-/kosmischeStrahlung

1 MHz

1 GHz

1 THz

1 PHz

1 EHz

Frequenz

300 m

300 mm

300 Pm

300 nm

300 pm

Wellenlänge

Bild 7-2 Frequenzspektrum

Das Frequenzband der optischen Nachrichtentechnik ist in Bild 7-3 genauer dargestellt: auf der rechten Bildseite das Spektrum des sichtbaren Lichts, auf der linken die besonders interessanten Frequenzbänder der Lichtwellenleiterübertragung, die DWDM-Bänder (dense wavelength division multiplexing). Sie werden später vorgestellt. Zusätzlich eingetragen sind die optischen Fenster. Sie hängen mit der Dämpfung der Lichtwellenleiter zusammen, wie noch erläutert wird. Anmerkung: Halbleiterlaserdioden für die Compact Disc (CD, 1980), die Digital Versatile Disc (DVD, 1995), Blue-ray Disc (BD, 2002) arbeiten mit den Wellenlängen 780 nm (nahe-infrarot), 650 nm (rot) bzw. 405 nm (blau-violet).

Bei Ausbreitung, Interferenz, Beugung und Polarisation optischer Strahlung steht der Wellencharakter (Wellenoptik) im Vordergrund. Für sinusförmige Wellen sind die Frequenz f, die Lichtgeschwindigkeit c und die Wellenlänge O über die fundamentale Gleichung verbunden

f

cO

(7-1)

Darin sind die Lichtgeschwindigkeit und die Wellenlänge vom Ausbreitungsmedium abhängige Größen. Im Vakuum ist die Lichtgeschwindigkeit mit c0 = 2,99793108 m/s am größten.

L C

S

1500 nm

E

O Wellenlänge

violett

Blau (440485 nm)

Grün (487566 nm)

DWDM-Bänder für Lichtwellenleiter

Gelb (560590 nm)

Rot (590750 nm)

| 850 nm

| 1300 nm

1. Opt. Fenster

219

2. Opt. Fenster

| 1550 nm

3. Opt. Fenster

7.1 Lichtwellenleiter

sichtbares Licht 1000 nm

500 nm

Bild 7-3 Frequenzspektrum der optischen Nachrichtentechnik

Brechungsgesetz und Totalreflexion Trifft ein Lichtstrahl auf eine Grenzfläche zwischen zwei Medien, wird der Strahl gemäß dem fermatschen Prinzip gebrochen, siehe Bild 7-4. Der Einfallswinkel D1 und der Brechungswinkel D2 verhalten sich nach dem snelliuschen Brechungsgesetz wie

sin D1 sin D 2

c1 c2

n2 n1

(7-2)

mit den Brechzahlen n1 und n2 der Stoffe. Die Brechzahlen sind Materialkonstanten, die sich rechnerisch aus den jeweiligen Lichtgeschwindigkeiten ergeben.

Man spricht vom optisch dichteren Stoff, wenn seine Brechzahl größer ist als die des Vergleichsstoffs. Tritt der Lichtstrahl vom optisch dichteren Stoff in den optisch dünneren, so ist der Brechungswinkel größer als der Einfallswinkel; der Lichtstrahl wird vom Lot weg gebrochen. Im Extremfall erreicht der Brechungswinkel 90°, sodass der Lichtstrahl total reflektiert wird.

(7-3)

Lot

Anmerkungen: (i) Die Brechzahl ist stets größer gleich 1. (ii) Einige typische Brechzahlen für die Wellenlänge O = 589 nm (gelbes Natriumlicht) sind 1,333 für Wasser, 1,575 für leichtes Flintglas und 2,417 für Diamant.

c0 ci Lot

ni

D1

Dg

n1 n2

n1

D2

n2

x

Bild 7-4 Lichtbrechung mit den Brechzahlen n1 > n2 und dem Grenzwinkel der Totalreflexion Dg

Für die Führung von Licht ist die Totalreflexion besonders interessant, weil dann das Licht im optisch dichteren Medium verbleibt. Der Grenzwinkel für die Totalreflexion ergibt sich aus dem Brechungsgesetz.

7 Optische Nachrichtentechnik

220

arcsin n2 n1

Dg

(7-4)

Fertigt man einen Lichtwellenleiter (LWL) (optical wave guide, optical fiber cable) in der Form einer dünnen Faser mit einem zylindrischen Kern (core) aus einem Stoff mit der Brechzahl nK und einem optisch dünneren Mantel (cladding) mit der Brechzahl nM < nK, so treten in der Faser Totalreflexionen am Übergang vom Kern zum Mantel auf, wenn der in den Kern eintretende Lichtstrahl einen Einfallswinkel kleiner einem gewissen Wert aufweist. Wegen der gestuften radialen Verteilung der Brechzahl spricht man von einer Stufenindexfaser. Aus Bild 7-5 folgt zunächst für das rechtwinklige Dreieck

sin E cos D

(7-5)

Und weiter resultiert nach dem Brechungsgesetz für den Eintrittswinkel

sin T

nK sin E n0

(7-6)

Speziell für den Grenzwinkel der Toralreflexion Dg folgt für den kritischen Eintrittswinkel, den Akzeptanzwinkel TA der Faser

nK cos D g n0

sin T A

nK ª1 sin 2 D g º¼ n0 ¬

(7-7)

Mit dem Grenzwinkel der Totalreflexion (7-4) und der Brechzahl n0 | 1, z. B. für Luft, erhält man daraus die als charakteristische Kenngröße in der Technik eingeführte numerische Apertur (numerical aperture) der Faser

sin T A

AN

2 nK2 nM

(7-8)

Lot Mantel nM n0

E T

Kern nK

D

Radius

x nM

nK

Bild 7-5 Totalreflexion in der Stufenindexfaser mit dem Brechzahlstufenprofil nK > nM bei dem Eintrittswinkel T

Beispiel Akzeptanzwinkel und numerische Apertur einer Stufenindexfaser

Als typische Werte der Brechzahlen betrachten wir nM = 1,517 und nK = 1,527. Aus (7-4) ergibt sich der Grenzwinkel für die Totalreflexion zwischen Kern und Mantel Dg | 83,4°. Die numerische Apertur (7-8) ist AN | 0,174 und der Akzeptanzwinkel TA | 10°.

7.1 Lichtwellenleiter

221

Wegen der geringen Differenz der Brechzahlen von Kern und Mantel, liegen für die Einkopplung aus der Luft (nL|1) typische Werte der numerischen Apertur zwischen 0,16 und 0,25 und des Akzeptanzwinkels zwischen 9 bis 14°. Anmerkung: Die kleinen Akzeptanzwinkel erfordern in der Praxis eine möglichst genaue Ausrichtung der Licht führenden Bauteile, z. B. bei der irreversiblen Verbindung zweier Fasern durch einen Spleiß. ___________________________________________________________________________ Beispiel wird fortgesetzt

Abschätzung der maximalen Bitrate Bandbreitenlängenprodukt Am Beispiel der Strahlführung in der Stufenindexfaser kann bereits eine wichtige nachrichtentechnische Überlegung durchgeführt werden. Soll Information durch kurze Lichtimpulse übertragen werden, wie z. B. mit der Amplitudentastung (amplitude shift keying, ASK) in Bild 7-6, so müssen die Lichtimpulse im Empfänger am Faserende noch unterscheidbar sein; dürfen die Lichtimpulse durch Dispersion nicht zeitlich ineinander fließen. Anmerkungen: (i) Dispersion, lateinisch für Zerteilen, Zerstreuen, bezeichnet im Allgemeinen die Abhängigkeit einer physikalischen Größe von der Wellenlänge; im engeren Sinne die Abhängigkeit der Brechzahl von der Wellenlänge. Letzteres führt zur Aufspaltung von weißem Licht an einem Prisma. Bei der Übertragung in Lichtwellenleitern verursacht die Dispersion die zeitliche Verbreiterung der Lichtimpulse beim Durchgang durch die Faser. (ii) Aus praktischen Gründen ist es in der Regel günstiger, die Lichtquellen nicht vollständig auszutasten.

1

0

Empfänger opt. Leistung

opt. Leistung

Sender 1 Bitstrom Lichtimpuls

1

0

1 Bitstrom

Lichtwellenleiter

Zeit Bitdauer Tb

Zeit Bitdauer Tb

Bild 7-6 Informationsübertragung über Lichtwellenleiter mit Lichtimpulsen

Der kürzeste Strahlweg ist der Weg entlang der Fasermitte, also seine Länge genau gleich der Faserlänge L. Den längsten Weg legt der Strahl zurück, der unter dem Akzeptanzwinkel in die Faser eintritt. Er durchläuft eine Zickzackbahn, wobei er an den Übergängen von Kern und Mantel jeweils reflektiert wird. Eine einfache geometrische Überlegung anhand Bild 7-5 liefert den maximalen Strahlweg

Lmax

L

sin D g

L

nK nM

(7-9)

und demzufolge den maximalen Umweg 'L

Lmax L

§n · L ¨ K 1¸ n © M ¹

(7-10)

Durch den Umweg verspätet sich der Strahl mit der Lichtgeschwindigkeit im Kern cK = c0 / nK um die maximale Laufzeitdifferenz

7 Optische Nachrichtentechnik

222

't

L c0 nK

§n · ¨ K 1¸ n © M ¹

L nK n K nM c0 nM

(7-11)

Verdoppelt man die Länge der Faser, verdoppelt sich die maximale Umweglaufzeit. In Analogie zur Nyquist-Bandbreite in der Basisbandübertragung in Abschnitt 5.8 kann eine Abschätzung für die Bandbreite des Übertragungssystems „Lichtwellenleiter“ durchgeführt werden. Wählt man die Bitdauer Tb in Bild 7-6 entsprechend der maximalen Laufzeitdifferenz 't, so liefert der doppelte Kehrwert eine Kenngröße für die Bandbreite B

1 2 't

(7-12)

Anmerkung: Statt der Abschätzung mit der maximalen Laufzeitdifferenz 't, verwendet man in der Praxis die Impulsverbreiterung 'W, die man nach Messungen an Ein- und Ausgang des Lichtwellenleiters durch Vergleich der Impulsbreiten als Halbwertsbreite bestimmt.

Da die Bandbreite wegen (7-11) von der Leitungslänge abhängt, wird, um eine einfache Kennzahl zu erhalten, oft das Produkt aus Bandbreite und Länge, das Bandbreitenlängenprodukt der Impulsübertragung in der Dimension [BL] = Hz km angegeben. Im Falle der Stufenindexfaser ergibt sich

BL

c0

nM 2 n K nK n M

(7-13)

Mehrmoden-LWL mit Stufenindexfasern besitzen Bandbreitenlängenprodukte von größer ungefähr 100 MHzkm und eignen sich deshalb nur für kurze Strecken, z. B. in Gebäuden. Beispiel Bandbreitenlängenprodukt einer Stufenindexfaser

Ein typisches Zahlenwertbeispiel zeigt die Konsequenz für die Nachrichtenübertragung auf. Mit den Brechzahlen nM = 1,517 und nK = 1,527 resultiert bei der Leitungslänge von 1 km die maximale Laufzeitdifferenz

't

1,527 1,527 1,517 103 m | 33,7 ns 1 8 1,517 2,998 10 m s

(7-14)

Da sich die Lichtimpulse am Ende des Lichtwellenleiters nicht überlappen dürfen, ist ein Abstand der Lichtimpulse von circa 33,7 ns einzuhalten, so dass nach Bild 7-6 pro Sekunde nicht mehr als etwa 30106 Lichtimpulse übertragen werden können. Die maximale Bitrate ist hier mit 30 Mbit/s relativ gering. Im Zahlenwertbeispiel ergibt sich das Bandbreitenlängenprodukt der Impulsübertragung

B L 2,998 108

m 1,517 | 14,9 MHz km s 2 1,527 1,527 1,517

(7-15)

Analog zur Nyquist-Bandbreite in der Basisbandübertragung resultiert daraus die maximale Bitrate von 30 Mbit/s bei einer Leitungslänge von 1 km. Will man größere Strecken überwin-

7.1 Lichtwellenleiter

223

den, z. B. zwischen zwei Fernvermittlungsstellen im Abstand von 100 km, so ist die Bitrate nur noch 300 kBit/s, also für die beabsichtigte Anwendung inakzeptabel. _______________________________________________________________________________ Ende des Beispiels

Gradientenindexfasern und Einmodenfasern Die Abschätzung der Datenrate über die Laufzeitdifferenz liefert für Stufenindexfasern einen im Vergleich mit herkömmlichen Systemen unattraktiv kleinen Wert. Deshalb wurde nach Verbesserungen gesucht; Ende der 1970er Jahre war eine neue Generation von Fasern, die Gradientenindexfasern, marktreif. Zu den Laufzeitdifferenzen kommt es, weil die reflektierten Strahlen Umwege durchlaufen. Wäre es möglich, die reflektierten Strahlen bzgl. des Mittelpunktstrahls entsprechend zu beschleunigen, würden sie ohne Zeitversatz am Faserende eintreffen. Dies gelingt mit einem speziellen Verfahren. Bei der Herstellung wird die Glasfaser mit Fremdatomen so dotiert, dass ein definiertes Brechzahlprofil im Kern entsteht. Statt eines gestuften Verlaufes der Brechzahl wie in Bild 7-5, wird ein parabolischer Übergang eingestellt. Man spricht deshalb von der Gradientenindexfaser. Bild 7-7 Mitte zeigt die Lösung in schematischer Vereinfachung. Durch die Gradientenindexfaser wird das Problem der Laufzeitdifferenz aufgrund der Fasergeometrie deutlich reduziert, sodass eine brauchbare Lösung für preiswerte Übertragungssysteme vorliegt, die nur moderate Anforderungen an die Lichtquellen und Bitraten stellen. Mit einem Bandbreitenlängenprodukt von über 1 GHzkm sind die Verbindungen auf Orts- und Bezirksnetzebene typische Einsatzgebiete. Die optischen Übertragungen unterliegen weiteren physikalischen Phänomenen, die über das rein geometrische Modell hinausgehen. Ist der Kern des Lichtwellenleiters relativ groß im Vergleich zur Wellenlänge des Lichts, bilden sich unterschiedliche Moden aus, quasi unterschiedliche Strahlengänge, die sich gegenseitig beeinflussen und letztlich die maximal erreichbare Bitrate begrenzen. Fortschritte in der Faserherstellung Anfang der 1980er Jahre ermöglichen die Fertigung extrem dünner Kerne, in denen sich nur noch ein Modus ausbreiten kann, siehe Bild 7-7. Erst durch diese Einmodenfasern werden die heute üblichen hohen Bitraten im Fernverkehr möglich. Anmerkung: Die ITU hat 1980 die ersten Standards für Mehrmoden- und 1984 für Einmodenfasern, G.651 (multimode fiber) bzw. G.652 (singlemode fiber), verabschiedet. Den technischen Fortschritt aufgreifend folgten weitere Empfehlungen in der Reihe G.65X.

Man unterscheidet deshalb Mehrmodenfasern und Einmodenfasern bzw. Mehrmoden- und Einmodenbetrieb. Die Fasern besitzen jeweils einen Grenzwert für die Wellenlänge, ab dem sich nur noch ein Modus ausbreiten kann, die Grenzwellenlänge (cut-off wavelength)

Oc t

S d AN 2, 405

(7-16)

Beispiel Grenzwellenlänge einer Stufenindexfaser

Eine runde Stufenindexfaser mit Kerndurchmesser 10 Pm besitzt die Mantelbrechzahl nM = 1,417 und die Kernbrechzahl nK =1,457. Ab welcher Frequenz tritt in der Faser Einmodenbetrieb auf?

7 Optische Nachrichtentechnik

Radius r

224

Mantel Brechzahl

Kern

nK n0

50…200 Pm

nM Mehrmodenfaser mit Stufenprofil BL > … 100 MHzkm

Radius r

100…600 Pm

Mantel Brechzahl

Kern

nK = f(r) n0

50 Pm

nM Mehrmodenfaser mit Gradientenprofil BL > 1 GHzkm

Radius r

125 Pm

Mantel Brechzahl

Kern

nK n0

5…10 Pm 125 Pm

nM Einmodenfaser mit Stufenprofil BL > 10 GHzkm

Bild 7-7 Grundtypen von Fasern für Lichtwellenleiter mit typischen Bandbreitenlängenprodukten BL

Die Lösung ergibt sich aus der Grenzwellenlänge (7-16). Zur Berechnung benötigen wir die numerische Apertur der Stufenindexfaser (7-8).

Oc t

2 S d nK2 nM

S 105 m 1, 4572 1, 4172

2, 405

2, 405

| 4, 43 ȝm

(7-17)

Für die gesuchte Frequenz gilt fc

cK

Oc

c0 2,99 108 m s 1 t | 46 THz nK Oc 1, 457 4, 43 106 m

(7-18)

7.1 Lichtwellenleiter

225

sodass für die üblichen Betriebsbereiche, siehe optische Fenster bei 850, 1300 und 1550 nm, eine Einmodenausbreitung vorliegt. _______________________________________________________________________________ Ende des Beispiels

Faserdämpfung Die optische Übertragung von Nachrichten mittels Zeigertelegrafen vor circa 200 Jahren fand schnell Grenzen. Durch die atmosphärische Dämpfung werden Lichtsignale mit zunehmender Entwerfung vom Sender schwächer. So war, trotz des Einsatzes von Fernrohren, der typische Abstand der Stationen der optischen Telegrafenstrecke von Berlin nach Koblenz über Köln auf etwa 15 km begrenzt; Nebel machte die Kommunikation unmöglich.

Darüber hinaus sind in Bild 7-8 deutlich lokale Dämpfungsgipfel zu sehen. Sie entstehen vor allem durch Lichtabsorption an OH-Ionen, die als Verunreinigung im Glas verbleiben.

1

0,1

OH

OH

UVAbsorption

800

3. opt. Fenster

OH

2. opt. Fenster

Drei physikalische Effekte sind erkennbar, die die Dämpfung von unten begrenzen: die SiO2-Eigenabsorption im ultravioletten (UV) und im infraroten (IR) Bereich. Hinzu kommt drittens die Rayleigh1-Streuung, die Streuung des Lichts an Inhomogenitäten der Molekülstruktur des Glases, also durch quasi zufällig lokal verteilte kleine Schwankungen der Brechzahl.

10 Dämpfung D in dB/km

Die Dämpfung der Strahlung ist abhängig von der Wellenlänge. Bild 7-8 zeigt den grundsätzlichen Zusammenhang am Beispiel des Stands der Fasertechnik bis etwa 1990.

1. opt. Fenster

Der Ausschluss der Atmosphäre, die geführte Lichtwellenleitung, scheiterte zunächst an der hohen Dämpfung der verfügbaren Gläser. Fensterglas besitzt eine Dämpfung von 50103 dB/km, also eine Eindringtiefe von nur 0,6 m, d. h. eine Dämpfung von 30 dB nach 60 cm. Für den Einsatz von Lichtwellenleitern im Fernverkehr mussten erst Herstellungsprozesse für die industrielle Fertigung hochreiner Gläser entwickelt werden. Die Silikatgläser, Quarzgläser, auf der Basis von SiO2, erreichen heute Dämpfungswerte von etwa 0,3 bis 3 dB/km. Sie ermöglichen den Einsatz von Lichtwellenleitern im Fernverkehr mit typischen Abständen der Vermittlungsstellen von circa 100 km.

IRAbsorption

RayleighStreuung

1000 1200 1400 1600 Wellenlänge O in Pm

Bild 7-8 Faserdämpfung und die drei optischen Fenster, nach [Huu03]

Im Bild lassen sich entsprechend drei Bereiche geringerer Dämpfung ausmachen, die sogenannten drei optischen Fenster bei den Wellenlängen von 850, 1300 und 1550 nm. Sie eignen sich besonders für die Nachrichtenübertragung. Das 2. und das 3. optische Fenster werden deshalb auch für die Übertragung hoher Bitraten über weite Strecken benutzt.

1 John William Strutt, 3rd Baron Rayleigh, 1842,†1919, englischer Physiker und Nobelpreisträger (1904)

7 Optische Nachrichtentechnik

226

Anmerkungen: (i) Für den kommerziellen Einsatz müssen ebenfalls zuverlässige und preiswerte Sendeund Empfangseinrichtungen für die Lichtsignale bei den jeweiligen Wellenlängen verfügbar sein. (ii) Die Trennung der optischen Fenster kann auch für den Duplexbetrieb genutzt werden. (iii) Betrachtet man die Öffnung der optischen Fenster, so liegen Bandbreiten von circa 60, 30 bzw. 20 THz vor. Mit der Faustformel der Übertragung von 1 bit Information pro 1/2 Hz Bandbreite, vgl. Nyquist-Bandbreite, ergibt sich ein geschätztes Potenzial von 220Tbit/s, oder 2 Million Breitbandanschlüsse mit je 100 Mbit/s gebündelt über eine Faser, vgl. auch 100 Base Ethernet (Fast Ethernet).

Verbesserte Produktionsprozesse ermöglichen heute, bei allerdings entsprechenden Kosten, die Herstellung höchstreiner Gläser (ultra low OH fiber), deren Dämpfungskurven effektiv nur durch die Rayleigh-Streuung und die IR-Absorption begrenzt werden. Das Minimum der Dämpfung 0,176 dB/km liegt bei der Wellenlänge 1550 nm. Dispersionsverschobene und dispersionsgeglättete Fasern Das Übertragungsvermögen von LWL wird begrenzt durch die Dämpfung, die die Reichweite bestimmt, und die Dispersion, die die Bandbreite und damit Bitrate beschränkt. Wenn auch die an der Stufenindexfaser anhand einer vereinfachten Modellrechnung aufgezeigte Modendispersion für die Gradientenindex- und Monomodefasern entfällt, so zeigt eine genauere Betrachtung, dass sie nicht völlig verschwindet.

Durch komplizierte Brechzahlprofile ist es möglich, die Gesamtdispersion bei der Wellenlänge der minimalen Dämpfung um 1500 nm zu null werden zu lassen. Man spricht von dispersionsverschobenen Fasern (dispersion-shifted fiber). Alternativ kann auch ein Bereich geringer Dispersion eingestellt werden; es resultieren die dispersionsgeglätteten Fasern (dispersion-flattend fiber).

Dispersionskoeffizient in pskm1nm1

Ursache sind zwei weitere Quellen für Dispersionserscheinungen. Die Materialdispersion wird durch die Abhängigkeit der Brechzahl von der Wellenlänge verursacht. Die in die Faser eingespeisten Lichtimpulse weisen eine gewisse Verteilung der Wellenlänge auf, die durch die spektrale Halbwertsbreite beschrieben wird. Die spektrale Aufweitung kann durch die gewünschte Impulsform, vgl. Zeitdauer-Bandbreite-Produkt, oder die technischen Eigenschaften der optischen Quelle bestimmt sein. Wegen der wellenlängenabhängigen Brechzahl werden die Signalanteile mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten übertragen, weshalb eine Impulsverbreiterung am Empfangsort auftritt. Die wellenlängenabhängige Brechzahl induMaterialziert einen weiteren Dispersionseffekt, die dispersion 20 Wellenleiterdispersion. Beide Effekte werden im Begriff chromatische Dis10 persion (chromatic dispersion) zusammengefasst, siehe Bild 7-9. 0

chromatische Dispersion

10 20 Wellenleiterdispersion

30 1200

1400

1600

1800

Wellenlänge in nm Bild 7-9 Dispersionsgeglättete Faser, nach [HeMa06]

Dispersionsgeglättete Fasern sind besonders interessant für die DWDM-Technik (dense wave division multiplex), bei der beispielsweise 16 Signale mit jeweils der Bitrate 10 Gbit/s auf 16 diskreten Wellenlängen über eine Faser gemeinsam übertragen werden.

7.1 Lichtwellenleiter

227

Bild 7-9 zeigt an einem Beispiel, wie sich die Materialdispersion und die Wellenleiterdispersion bei der Wellenlänge von 1550 nm gegenseitig kompensieren können. Der an der Ordinate aufgetragene Dispersionskoeffizient hat die Dimension ps km1 nm1. Multipliziert man den Dispersionskoeffizienten mit der spektralen Halbwertsbreite in nm1 und der Faserlänge L in km resultiert eine Größe, die in die Abschätzung der Impulsverbreiterung der Faser eingeht. Bei entsprechendem Aufwand lassen sich heute Lichtwellenleiter herstellen, deren Fasern im Einmodenbetrieb bei 1550 nm eine Dämpfung von 0,2 dB/km und ein Bandbreitenlängenprodukt von über 100 GHzkm aufweisen. Lichtwellenleiter Die Glasfasern mit typisch 125 Pm Manteldurchmesser für Gradienten- und Monomodenfasern sind mechanisch empfindlich und müssen deshalb mit einer Schutzbeschichtung umhüllt werden. Dazu wird eine Primärbeschichtung aus Kunststoff mit einer Wandstärke von 50 bis 100 Pm aufgebracht. Man spricht dann von einem Lichtwellenleiter (LWL, optical fiber), siehe auch DIN/VDE 0888. Ein Kunststoffröhrchen mit einer oder mehreren Glasfasern bildet eine LWL-Ader. Um die Glasfasern vor Zugüberlastung zu schützen, werden sie meist lose mit einer 1 % Überlänge in die Röhrchen gelegt. Anders als bei elektrischen Leitungen benötigen die Lichtwellen nur einen lichtleitenden Weg, jedoch je einen für Hin- und Rückrichtung getrennt. Mehrere LWL-Adern können wiederum zu einem LWL-Kabel zusammengefasst werden. Beispielsweise werden 60 LWL zu einem Kabel mit einem Außendurchmesser von 18,5 mm verarbeitet. Je nach Einsatzzweck werden LWL unterschiedlichen Aufbaus, Kapazität und Preis angeboten. Speziell bei der Gebäudeinstallation ist der Biegeradius eine kritische Größe, kleine Biegeradien (z. B. unter 30 mm) können die Kapazität deutlich absenken.

Spaltfehler

Stufenfehler

Kritisch ist auch das Verbinden von LWL. Aufgrund Winkelfehler der schmalen Fasern und der Richtungsempfindlichkeit der Lichteinkopplung, kann es zu inakzeptablen Dämpfungen kommen. Typische Beispiele von Fehlern bei der Stirnflächenkopplung veranschaulicht Bild 7-10. Um Kosten bzw. Dämpfungsverluste klein zu halten, ist es deshalb wichtig, den Einsatz von LWL auch in Gebäuden sorgfältig zu planen. Für die Bild 7-10 Fehler bei der Stirnflächenkopplung von Fasern Verbindung von Glasfasern existieren sowohl auftrennbare Steckverbindungen (Faserstecker, fiber connector) als auch spezielle Werkzeuge und Werkstoffe zum irreversiblen Zusammenfügen, Spleißen (splicing) genannt. Beim Spleißen werden die Glasfasern entweder geklebt oder verschmolzen. Es kommen heute oft Automaten zum Einsatz, die vor der Verbindungsstelle Strahlung ein- und nach der Verbindungsstelle auskoppeln. Über eine Intensitätsmessung wird die Faserführung so lange automatisch geregelt, bis die kleinstmögliche Dämpfung auftritt. Dann werden die Fasern verbunden. Typische Dämpfungswerte von Spleißverbindungen liegen bei 0,02 bis 0,3 dB.

7 Optische Nachrichtentechnik

228 Polymerfasern

Für die optische Übertragung über kurze Strecken, beispielsweise in Gebäuden, steht mit den Kunststofffasern eine preiswerte Alternative zur Verfügung. Optische Polymerfasern (Polymeric Optical Fiber, POF), meist mit PMMA-Kernen (Polymethylmethacrylat) besitzen zwar eine relativ hohe Dämpfung, lassen sich jedoch preisgünstig herstellen und relativ einfach handhaben. POF sind Mehrmodenfasern mit Kerndurchmessern von meist 1 mm, die im sichtbaren Wellenlängenbereich ein Dämpfungsprofil von etwa 10 bis 40 dB pro 100 m aufweisen, siehe Bild 7-11. Die POF sind als Stufenindexfasern (SI-POF), Gradientenindexfasern (GI-POF), Mehrstufenindexfasern (MSI-POF) und als Vielkernfasern (MC-POF) erhältlich. Bei SI-POF beträgt das Bandbreitenlängenprodukt circa 4 MHzkm, bei MSI-POF sind 150 MHzkm erzielbar. Für Übertragungssysteme im Labor werden Datenraten von 2 Gbit/s über 100 m berichtet, so dass in nächster Zukunft mit kommerziellen Systemen für die Gebäudeinstallation von 1 Gbit/s und 50 m zu rechnen ist [Zie10]. Im Zusammenhang mit der geplanten Einführung optischer Teilnehmeranschlüsse (fiber-tothe-home, FTTH), wird an der Entwicklung spezieller Kunststofffasern gearbeitet, die auf die Wellenlängen der optischen Teilnehmeranschlüsse abgestimmt sind, und so die Integration von Zuleitungstechnik und Gebäudeverteilung ohne Wellenlängenumsetzung ermöglichen.

20 10

gelbes Fenster

30

rotes Fenster

40 blau/grünes Fenster

Faserdämpfung in dB/100m

50

0 400

500

600

700

Wellenlänge O in nm Bild 7-11 Dämpfung von PMMA-POF-Fasern nach [Zie10]

7.2

Optische Sender, Empfänger und Verstärker

Die Nutzung von Lichtwellenleitern zur Nachrichtenübertragung setzt geeignete optische Sender und Empfänger voraus. Beim Bau der ersten Laser Anfang der 1960er Jahre wurden Erkenntnisse der Quantenphysik in technische Apparaturen umgesetzt. Gaslaser, Festkörperlaser und schließlich Halbleiterlaser sind heute weit verbreitet. Letztere erfüllen durch hohe Kohärenz und schnelle Modulierbarkeit der Strahlung die Anforderungen an Lichtquellen zur Nachrichtenübertragung. Sie sind relativ einfach einsetzbar und preiswert.

7.2 Optische Sender, Empfänger und Verstärker

229

Prinzip des Halbleiterdiodenlasers Die Laser funktionieren nach dem Prinzip der Lichtverstärkung durch stimulierte Emission (light amplification by stimulated emission of radiation), die jedoch nur unter bestimmten Bedingungen aufrechterhalten wird. Betrachten wir zunächst das grundsätzliche physikalische Phänomen der Wechselwirkung zwischen Atomen und elektromagnetischer Strahlung. Ein Elektron im Energieniveau E1 wird durch Zuführen von Strahlungsenergie auf das Energieniveau E2 angehoben, siehe Bild 7-12 links, dann spricht man von Absorption. Der gegenteilige Effekt, die Emission, tritt ein, wenn das Atom spontan auf das niedrigere Energieniveau zurückfällt. Dabei wird die Energiedifferenz in Form von Strahlung, einem Photon, emittiert. Die Wellenlänge der Strahlung ist an die Energiedifferenz gebunden h c E2 E1

O

(7-19)

mit der planckschen Konstante h = 6,6256 1034 Ws2, (1 Js = 1 Ws2). Während die Emission spontan erfolgt, wird die stimulierte Emission, auch induzierte Emission genannt, durch eine äußere Strahlung ausgelöst. Die Wechselwirkung ist nur möglich, wenn die Energie des Photons zur Energiedifferenz im Atom (7-19) passt. Die stimulierte Emission stimmt in Frequenz, Phase und Polarisation mit der Anregung überein, sodass ein Verstärkungseffekt eintritt. Die resultierende Strahlung ist kohärent. E2

hf

hf

hf

hf

hf

E1 Absorption

Emission

stimulierte Emission

Bild 7-12 Absorption, Emission und stimulierte Emission von Strahlung durch den Wechsel des Energiezustandes eines Elektrons

L

q

O 2

Reflektor

Die kohärente Strahlung wird durch einen optischen Resonator erzwungen. Im einfachsten Fall, einem FabryPérot(FP)-Resonator, genügen zwei reflektierende Flächen, zwischen denen sich eine stehende Welle ausbildet, siehe Bild 7-13. Der Reflektorenabstand Abstand L muss ein Vielfaches der halben Wellenlänge (7-19) betragen.

Reflektor

Damit in einem gewissen Volumen mit vielen Atomen ein nachhaltiger Verstärkungseffekt entstehen kann, muss die kohärente Strahlung stets eine ausreichende Anzahl an Atomen zur stimulierten Emission anregen; die Zahl der spontan emittierenden Atome muss dazu vernachlässigbar klein sein. Man spricht von einer Besetzungsinversion, bei der die Zahl der Elektronen im höheren Energiezustand E2 viel größer ist als die im niedrigeren.

L Bild 7-13 Optischer Resonator

(7-20)

7 Optische Nachrichtentechnik

230

Eine ausreichende Anzahl emissionsfähiger Atome, die Besetzungsinversion, wird durch äußere Energiezufuhr erzwungen. Den prinzipiellen Aufbau eines FP-Halbleiterdiodenlasers zeigt Bild 7-14. Als aktive Zone wirkt die Umgebung des stromdurchflossenen pn-Übergangs mit typischer Dicke von unter 1 Pm. Überschreitet der Strom einen bestimmten Schwellwert, tritt die Besetzungsinversion mit stimulierter Strahlung ein. Die Resonatorenden werden so gestaltet, dass der für die Selbsterregung notwendige Teil der optischen Leistung reflektiert wird; der Rest wird ausgekoppelt.

Strom

Metall

Laseremission Laseremission

p-Typ aktive Zone n-Typ rauhe Oberfläche

planparallele, optisch polierte Oberflächen an beiden Stirnseiten

Bild 7-14 Aufbau eines FP-Halbleiterdiodenlasers

Die Wellenlänge, bzw. Frequenz, der Strahlung wird vom Laser bestimmt. Entsprechend der Abstände der Reflektoren des FP-Resonators ergeben sich die möglichen longitudinalen Moden mit den Frequenzen fq

q

c0 2n L

mit q 1, 2, 3,!

(7-21)

Der Frequenzabstand zwischen benachbarten Moden, freier spektraler Bereich (FSB) genannt, ist somit FSB

c0 2n L

(7-22)

Für die Wellenlängen der Moden resultiert der Abstand 'O

O2 c0

FSB

(7-23)

In Bild 7-15 wird die Situation des Mehrmodenbetriebs veranschaulicht. Im Beispiel bilden sich fünf Resonatormoden aus, die in der aktiven Zone des Lasers verstärkt werden. Nur in einem bestimmten Bereich der Wellenlängen, abhängig vom Halbleitermaterial, wird eine Strahlungsverstärkung, ein optischer Gewinn, erzielt. Und nur wenn der optische Gewinn über einer bestimmten Schwelle liegt, den Resonatorverlusten, kommt es zur Selbstverstärkung.

7.2 Optische Sender, Empfänger und Verstärker

Strahlungsleistung

'O

optischer Gewinn

231

Resonatormoden

Gewinnschwelle/Verlustgerade 1550 Wellenlänge O in nm Bild 7-15 Moden des FP-Halbleiterdiodenlasers

Beispiel Moden des FP-Lasers

Im Zahlwertbeispiel einer Resonatorlänge L = 800 nm und einer hohen Brechzahl des Halbleitermaterials GaAs von n = 3,3 resultiert ein FSB von 56,8 GHz. Soll der Halbleiterlaser bei 1550 nm betrieben werden, so ist der Wellenlängenabstand 'O = 0,455 nm. _______________________________________________________________________________ Ende des Beispiels

Moderne Halbleiterdiodenlaser Wie Bild 7-15 zeigt, ist die Strahlung des FP-Halbleiterdiodenlasers nicht monochromatisch, was in Lichtwellenleitern wegen der Dispersion die erreichbare Bitrate reduziert. Moderne Bauformen von Halbleiterdiodenlasern schränken die optische Gewinnzone soweit ein, dass im Laser nur ein Modus verstärkt wird. In den bisherigen Überlegungen wurde stillschweigend vorausgesetzt, dass die bohrsche Beziehung (7-19) erfüllt ist. Um Halbeiterlaser für die optischen Fenster zur Verfügung stellen zu können, mussten spezielle Materialmischungen und Herstellungsprozesse entwickelt werden. Heute stehen für den Bereich von 800 bis 1600 nm direkte Halbleitermaterialien auf der Basis von Gallium-Arsenid (GaAs) zur Verfügung. Je nach gewünschtem Wellenlängenbereich werden Aluminium (Al), Indium (In), Phosphor (P), Sickstoff (N) hinzudotiert. Brauchbare Kombinationen lassen sich aus dem quarternären Halbleiter InxGa1xAsyP1y für die Wellenlängen von 1300 bis 1550 nm herstellen. Mit dem praktischen Einsatz der ersten Halbleiterdiodenlaser zur Informationsübertragung ergab sich eine Vielzahl von Wünschen an Verbesserungen bzw. Anpassungen, die zu modernen Bauformen geführt haben. Es würde den Rahmen einer Einführung sprengen weitere Probleme und Lösungen darzustellen; für mehr Information siehe z. B. [HeMa06], [Gla97] und [Schi05]. Einige weiterführende Schlagwörter sind: Doppel-Heterostruktur(DH)-Laser, Vertical Cavity Surface Emitting Laser (VCSE-Laser), DBR-Laser (distributed Braggreflection laser) und DFB-Laser (distributed feedback laser), und Quantenfilm-Laser. Modulation Die optische Strahlung kann im Prinzip wie jede elektromagnetische Welle bezüglich Amplitude, Frequenz und Phase moduliert werden. Meist wird der Einfachheit halber und der fehlerrobusten Übertragung wegen eine Amplitudentastung (amplitude shift keying, ASK) vorgenommen. Dabei wird die Amplitude des Diodenstroms in Bild 7-14 für die logischen Werte 0 und 1 zwischen zwei Werten umgetastet. Bild 7-16 zeigt den prinzipiellen Verlauf der Kennlinie der optischen Leistung über dem Diodenstrom. Erst ab einer bestimmten Schwelle

7 Optische Nachrichtentechnik

232

des Diodenstroms tritt die Besetzungsinversion ein und es kommt zur Verstärkung mit kohärenter Strahlung. Im Bild 7-16 ist die Schwelle am Knick in der Kennlinie zu erkennen. Die Schwelle liegt typisch im Bereich von 10 bis 100 mA. Sie verschiebt sich mit wachsender Temperatur zu größeren Werten, weshalb auch Regelungen zur Temperaturstabilisierung eingesetzt werden. Dabei kann mit einer Monitordiode die Strahlungsleistung überwacht und der Diodenstrom geregelt werden. Für den Betrieb werden ein geeigneter Arbeitspunkt und ein Arbeitsbereich gewählt, auf den der modulierende Diodenstrom eingestellt wird. Wegen verschiedener Gründe ist es günstig, die Halbleiterlaserdiode oberhalb des Schwellwerts zu betreiben. Die Amplitudentastung des Diodenstroms wird so zur Intensitätstastung der kohärenten optischen Strahlung. Die Kennlinie realer Halbleiterdiodenlaser ist, anders als in Bild 7-16, im Arbeitsbereich nicht streng linear, weshalb bei analoger Modulation mit nichtlinearen Verzerrungen zu rechnen ist. Derartige Anwendungen sind jedoch möglich. Wesentlich einfacher wird die Situation bei der binären Amplitudentastung. Dann kommt es im Wesentlichen auf einen ausreichenden Kontrast, der Differenz der benutzten Intensitätswerte, an. Verschiedene Effekte begrenzen die Geschwindigkeit, mit der die optische Leistung umgeschaltet werden kann. Sendemodule mit 10 Gbit/s sind Stand der Technik. Maßnahmen zur weiteren Steigerung der Bitraten sind Gegenstand von Forschung und Entwicklung. Kennlinie

Arbeitspunkt

Zeit

Kontrast

optische Leistung

„1“

„0“

Zeit

Strom

Bitdauer

Binärzeichen „0“ „1“ Bild 7-16 ASK-Modulation des Halbleiterdiodenlasers durch den Diodenstrom

Lumineszenzdiode (LED) Lumineszenzdioden (LED, light emitting diode), auch Leuchtdioden genannt, bestehen aus direkten Halbleitermaterialien mit pn-Schicht und werden in Durchlassrichtung gepolt. Sie emittieren inkohärente Strahlung, die durch Rekombination von Ladungsträgern in der pnSchicht entstehen.

7.2 Optische Sender, Empfänger und Verstärker

233

Anders als die Halbleiterlaserdiode besitzt die LED ein breites und kontinuierliches Spektrum. Die Abstrahlung erfolgt über einen weiten Winkelbereich, der durch eine Mikrolinse, verringert werden kann. Die LED eignet sich deshalb für die Übertragung in Mehrmodenfasern und Plastikfasern über kurze Entfernungen mit moderaten Bitraten. Dort bietet die LED-Technik eine robuste, leicht zu handhabende und preiswerte Alternative. Fotodiode Zum Empfang der optischen Signale wird der innere Fotoeffekt benutzt. Bei geeigneter Wellenlänge löst die optischen Strahlung Elektronen aus den Bindungen des Halbleiterkristalls, sodass Elektronen vom Valenzband ins Leitungsband gelangen und für den Stromtransport zur Verfügung stehen. Legt man eine äußere Spannung an, so ist der Strom proportional zur einfallenden Strahlungsleistung. Für den Bandübergang müssen die Photonen mindestens die Energie Eg, den Bandabstand, aufbringen, vergleiche (7-19).

h f t Eg

(7-24)

Daher gibt es eine materialabhängige obere Wellenlänge bzw. untere Frequenz, für die der Fotoeffekt in den Halbleitern auftritt. Häufig verwendete Halbleitermaterialien für Fotodioden sind Silizium (Si) für Wellenlängen um 900 nm, Germanium (Ga) für 1500 nm und Indium-Gallium-Arsenid (InGaAs) für den Wellenlängenbereich von 1300 bis 1600 nm. In Bild 7-17 ist für die genannten Halbleitermaterialien die Abhängigkeit der Empfindlichkeit (responsitivity)

Empfindlichkeit

Diodenstrom Leistung der einfallenden optischen Strahlung

Heute stehen für den gesamten interessierenden Wellenlängenbereich Materialien zur Verfügung. Bei der Auswahl für die Signalübertragung ist nicht nur die Empfindlichkeit von Bedeutung. Dazu gehört der Dunkelstrom (dark current), also der Diodenstrom, der sich ohne Strahlung einstellt. Er liegt typisch unter 1 nA. Hinzu kommt die Rauschleistung pro Hertz Bandbreite (noise-equivalent power), die sich aufgrund verschiedener Störmechanismen ergibt. Und nicht zuletzt die Geschwindigkeit, mit der der Diodenstrom der modulierenden Strahlung folgen kann, also die maximale Bandbreite der Übertragung. Den prinzipiellen Aufbau einer Fotodiode zeigt Bild 7-18 am Beispiel der pin-Foto-

Empfindlichkeit in A/W

von der Wellenlänge der Strahlung in der Dimension A/W angegeben.

(7-25)

1,2 Ge

1 0,8

InGaAs

Si

0,6 0,4 0,2 0 0

500

1000

1500

2000

Wellenlänge O in nm Bild 7-17 Abhängigkeit der Empfindlichkeit von der Wellenlänge Owichtiger Materialien für Fotodioden, Silizium (Si), Germanium (Ge), Indium-Gallium-Arsen (InGaAs) (nach [BuHi03])

7 Optische Nachrichtentechnik

234

diode. Die pin-Fotodiode besteht im Wesentlichen aus drei Schichten: einer stark p-dotierten (p+), einer eigenleitenden (i, intrinsic) und einer stark n-dotierten (n+) Schicht. Die Fotodiode wird in Sperrrichtung betrieben. Man spricht vom Fotodiodenbetrieb (photoconductive mode) im dem die Fotodiode als Verbraucher arbeitet. Im Gegensatz dazu steht der Fotoelementbetrieb für die Stromerzeugung in Solarzellen. Durch die äußere Spannung werden die freien Ladungsträger aus der i-Schicht abgezogen und es bildet sich dort eine Raumladungszone, ein starkes elektrisches Feld, aus. Dabei entsteht ein gewünscht vergleichsweise großer Bereich, sodass die optische Strahlung meist dort absorbiert wird. Die durch Absorption entstehenden Elektron-Loch-Paare werden im elektrischen Feld der Raumladungszone getrennt und tragen unmittelbar zum Diodenstrom bei.

Antireflexschicht p+ i

Photon

Anmerkungen: (i) Die pin-Fotodiode ist der pn-Fotodiode überlegen, da bei letzterer langsame Diffusionsvorgänge am Diodenstrom beteiligt sind, die die Bandbreite begrenzen. (ii) In praktischen Ausführungen wird die intrinsische Schicht oft durch eine schwach leitende Mittelzone, p (S) oder n (Q), ersetzt. (iii) Eine weitere Art von Fotodioden sind die Lawinen-Fotodioden (APD, avalanche photo diode). Sie haben eine relative hohe Empfindlichkeit, aber die Kennlinien sind im Arbeitsbereich nichtlinear.

Kontakt Isolation SiO2 ElektronLoch-Paar

n+ IF

Kontakt

Bild 7-18 Aufbau einer pin-Fotodiode und Entstehung eines Elektron-Loch-Paars in der i-Schicht durch Absorption optischer Strahlung

Optische Verstärker Die Information in der optischen Strahlung kann nur wiedergewonnen werden, wenn die Detektoren ihre Funktion erfüllen. Also die empfangene optische Leistung größer als die jeweilige Empfindlichkeit des Detektors ist. Die Signaldämpfung im LWL, wenn auch bei Einmodenfasern gering, begrenzt die maximale Leitungslänge einschneidend. Wie in der elektronischen Übertragung über Kabel, ist ein wirtschaftlicher Weitverkehr nur möglich, wenn die optischen Signale geeignet verstärkt werden. Darüber hinaus eröffnen optische Verstärker Spielräume für Optimierungen in praktisch allen Übertragungskomponenten. Man unterscheidet zwei Typen optischer Verstärker: die Halbleiterverstärker und die Faserverstärker. Die Halbleiterverstärker funktionieren im Prinzip wie Halbleiterlaser (semiconductor laser amplifier, SLA; semiconductor optical amplifier, SOA), wobei die ankommende Strahlung die kohärente Emission des Lasers in der aktiven Zone stimuliert. Die Eigenschaften der Halbleiterlaser sind stark abhängig von der Wellenlänge der optischen Signale, was ihren Einsatz als breitbandigen Verstärker in einem Wellenlängenmultiplexsystem erschwert.

7.2 Optische Sender, Empfänger und Verstärker

235

Faserverstärker (optical fiber amplifier, OFA) wurden ab den 1990er Jahren kommerziell verfügbar und haben der optischen Nachrichtentechnik einen entscheidenden Schub verliehen. Dabei gibt es zwei grundsätzliche Unterschiede, je nachdem ob die Fasern speziell dotiert werden oder nicht. In den Standardfasern treten zwei quantenmechanische Effekte auf, die sich zur Signalverstärkung nutzen lassen: der Raman- und Brillouin-Effekt. Der Einsatz von Raman- und Brillouin-Verstärker unterliegt gewissen Einschränkungen und die erzielbaren Verstärkungen bewegen sich im Bereich von einigen dB, weshalb sie nicht so verbreitet sind, wie die nachfolgend vorgestellten EDFA-Verstärker. Eine Alternative bzw. Ergänzung zu den genannten Verstärkern liefert die spezielle Dotierung der Fasern über einen kurzen Bereich von einigen Metern. Dann ist optisches Pumpen möglich: Eine zusätzliche eingespeiste leistungsstarke Strahlung, die Pumpstrahlung, hebt Elektronen in höhere Energieniveaus des Dotierungsmaterials. Diese gelangen, gegebenenfalls über Zwischenschritte, in das angeregte Niveau und stellen eine Besetzungsinversion her. Durch die ankommende optische Strahlung stimuliert, fallen die Elektronen zurück in das Grundniveau, wobei sie kohärente Strahlung abgeben. Dabei ist eine Verstärkung von bis zu 30 dB typisch. Den prinzipiellen Aufbau eines Faserverstärkers zeigt Bild 7-19. Zur dotierten Faser kommen noch die selektiven Faserrichtkoppler für das Einkoppeln der Pumpstrahlung. Die Isolatoren sperren den Durchgang von Strahlung gegen die Pfeilrichtung. Sie verhindern insbesondere eine Rückkopplung zum Sendelaser, wenn der Faserverstärker als Senderverstärker eingesetzt wird.

Pumpstrahlung

dotierte Faser

selektiver Faserrichtkoppler

Spleiß

Isolator

Spleiß

Eingangssignal

selektiver Faserrichtkoppler

Ausgangssignal

Isolator Pumpstrahlung

Bild 7-19 Prinzipielle Aufbau eines Faserverstärkers

Pumpstrahlung und Dotierungsmaterial müssen je nach gewünschter Wellenlänge des optischen Signals geeignet gewählt werden. Weit verbreitet sind die EDFA-Verstärker (erbium doped fiber amplifier), weil sie für das gesamte, im Weitverkehr viel genutzte DWDM-C-Band einsetzbar sind, siehe Bild 7-3. Im C-Band von 1530 bis 1565 nm werden im Wellenlängenmultiplex bis zu 160 (320) Kanälen mit Frequenzabstand von je 25 (12,5) GHz eingesetzt. Anmerkungen: (i) EDFA-Verstärker sind seit circa 1990 verfügbar. 1995 wurde mit TAT-12 das erste transatlantische LWL-Kabel mit EDFA-Verstärkern in Betrieb genommen. Dabei sanken die Kosten pro Kanal auf 1/9 im Vergleich zu TAT-8 [Huu03]. (ii) Heute sind auch EDFA-Verstärker für das L-Band, 1570 bis 1610 nm, verfügbar. (ii) ITU-T-Empfehlung G.694.1 von 2002 zu DWDM.

Für die EDFA-Verstärker zeigt Bild 7-20 schematisch den wesentlichen Teil des Energieniveauschemas. Häufig verendet werden InGaAs-Pumplaser bei 980 nm. Die so energetisch angehobenen Elektronen fallen nach einem Zwischenschritt in das angeregte Niveau, wo sie eine Besetzungsinversion herstellen, sodass ein optisches Signal im C-Band eine kohärente Strahlung stimulieren kann.

7 Optische Nachrichtentechnik

Energie

236

1480 nm

980 nm

800 nm

650 nm

Pumpstrahlung

530 nm

angeregtes Niveau

optisches Signal Wellenlänge 1530 bis 1565 nm

Grundniveau Bild 7-20 Energieniveauschema von Erbium

7.3

Optische Übertragungssysteme

Nachdem Ende der 1970er Jahre Feldtests mit faseroptischer Übertragung erfolgreich gewesen waren, begann Anfang der 1980er Jahre weltweit der Aufbau kommerzieller Systeme. 1988 wurde bereits das erste transatlantische LWL-Kabel TAT-8 in Betrieb genommen. Optische Transportnetze In den 1980er Jahren entwickelte Bell Labs in den USA ein optisches Netzwerk mit synchroner digitaler Hierarchie (synchronous digital hierarchy optical network, SONET), das 1988 von der CCITT, heute ITU-T (International Telecommunication Union), auf internationale Bedingungen angepasst und als SDH (synchronous digital hierarchy) standardisiert wurde, siehe auch Abschnitt 6.1. Die SDH-Hierarchie fußt auf einer Punkt-zu-Punkt-Übertragung mit optischen Trägern (optical carrier, OC-3) mit einer Übertragungskapazität von mindestens 155,52 Mbit/s, dem STM-1-Transportmodul entsprechend. In den höheren Hierarchiestufen werden jeweils vier Transportmodule der zuliefernden niederen Hierarchiestufen zusammengefasst: Es entstehen STM-4-, STM-16- und STM-64-Transportmodule mit den Bitraten 622,08 Mbit/s (OC-12), 2488,32 Mbit/s (OC-48) bzw. 9953,28 Mbit/s (OC-192). Der stark gewachsene Bandbreitenbedarf durch den Datenverkehr in lokalen Netzen (lokal area network, LAN) und im Internet sowie technologische Fortschritte, wie die Einmodenfaser und der EDFA-Verstärker, haben zu einer Erweiterung der SDH-Hierarchie zu größeren Bitraten geführt. Um das Jahr 2000 verabschiedete die ITU-T Empfehlungen für das optische Transportnetzwerk (optical transport network, OTN), auch optische Transporthierarchie (optical transport hierarchy, OTH) genannt. Das Grundelement der Übertragung bildet die OPU-1 (optical payload channel unit) mit der Übertragungskapazität von etwa 2,5 Gbit/s, die einem STM-16-Transportmodul bzw. dem OC-48 entspricht. Mit OPU-2 und OPU-3 werden Bitströme mit circa 10 bzw. 40 Gbit/s unterstützt. Für einen kostengünstigen Einsatz der optischen Übertragungssysteme ist es wichtig, optische Signale bündeln bzw. trennen und vermitteln zu können. Die dafür erforderlichen Netzkomponenten bezeichnet man als optischer Add/Drop-Multiplexer (optical add/drop multiplexer, OADM) bzw. optischer Crossconnector (optical cross-connect, OXC).

7.3 Optische Übertragungssysteme

237

Dazu entwickelt wurde die Technik des Wellenlängenmultiplexes (wavelength division multiplexing, WDM), bei dem optische Signale unterschiedlicher Wellenlängen (optische Träger) gebündelt werden. Mit dem Coarse WDM (CWDM, G.694.2) hat die ITU-T 2003 ein System aus 18 optischen Trägern vorgeschlagen. Beginnend bei der Wellenlänge 1271 nm wird im Abstand von 20 nm der Wellenlängenbereich bis 1611 nm belegt. Er reicht etwa vom 2. bis zum 3. optischen Fenster und schließt somit das dazwischenliegende lokale Dämpfungsmaximum ein, siehe Bild 7-8. Anwendungen, die auf bereits verlegte, „nicht wasserfreie“ Fasern zurückgreifen, verwenden deshalb nicht alle Wellenlängen. Darüber hinaus stehen für den gesamten Wellenlängenbereich keine EDFA-Verstärker zur Verfügung, sodass CWDM-Systeme typisch auf städtische Ballungsräume (metropolitan area network, MAN) mit Entfernungen bis circa 60 km beschränkt bleiben. Den Aufbau eines CWDM-Systems veranschaulicht Bild 7-21 mit den wichtigsten Komponenten und ihre Funktionen. Oben links beginnend wird das Zubringersignal, z. B. eines STM16-Systems durch einen Elektro-optischen(E/O)-Umsetzer mit einer Laserdiode auf ein optisches Trägersignal mit der Wellenlänge Oi umgesetzt. Für die Übertragung über einen LWL bündelt ein optischer Multiplexer bis zu N optische Träger, O1 bis ON. Ein breitbandiger optischer Verstärker hebt die Leistungen der (verwendeten) Trägersignale an, und erhöht so die Reichweite. Optische Add/drop-Multiplexer (OADM) ermöglichen das ein- und auskoppeln einzelner optischer Träger. Die Überkreuzkopplung verschiedener optischer Träger übernimmt der optische Crossconnect (OXC). Schließlich trennt der optische Demultiplexer die optischen Träger, im Bild durch Bandpässe dargestellt. Nach Verstärkung des optischen Trägers, wird durch den Optisch-elektrischen(O/E)-Umsetzer wieder eine Signal eines STM-16-Systems erzeugt. Anmerkung: Für effizienteren Betrieb werden dynamisch konfigurierbare OADM, sogenannte ROADM (reconfigurable OADM), und OXC eingesetzt.

STM-16-System | 2,5 Gbit/s

Oi

E/O

opt. MUX

O1

Oi

breitbandiger optischer Verstärker

O1, O2,…, ON

O1, O2,…, ON

ON

Oj OXC

Oj

E/O

opt. DEMUX

O1

STM-16-System | 2,5 Gbit/s

OADM

O1 , O2 , O3 , O4 , O5 , O6 ,! , ON

O1 , O2 ,!, ON

O1 , O2 , O3 , O4 .O5 , O6 ,! , ON

O1 , O2 ,! , ON

ON Bild 7-21 CWDM-System, vereinfachte Darstellung von Schlüsselkomponenten

238

7 Optische Nachrichtentechnik

Der Wunsch nach höheren Bitraten und Reichweiten folgend, wurde 2003 von der ITU-T (G.694.1) ebenfalls ein Wellenlängensystem mit optischen Trägern festgelegt, deren Wellenlängenabstände wesentlich kleiner sind als bei CWDM. Man spricht deshalb von dichtem WDM (dense WDM, DWDM). Die Referenzfrequenz ist 193,1 THz, was der Wellenlänge von etwa 1553 nm im C-Band, im 3. optischen Fenster, entspricht. Die optischen Träger liegen zur Referenzfrequenz in Abständen die ganzzahlige Vielfache von 25, 50 bzw. 100 GHz sind. Bei einem Frequenzabstand von 25 GHz ist die minimale Differenz der Wellenlängen nur noch 0,2 nm im Vergleich zu 20 nm bei CWDM. Im C-Band und im L-Band, von 1525 bis 1565 nm bzw. 1570 bis 1610 nm, lassen sich damit jeweils bis zu 160 optische Träger unterbringen. Bei diesen Wellenlängen können überdies mit EDFA-Zwischenverstärkern alle 80 bis 100 km fast beliebige Reichweiten erzielt werden. Zu beachten ist andererseits, dass mit geringerem Frequenzabstand die technischen Anforderungen wachsen und wegen gegenseitiger Störung die übertragbare Bitrate abnimmt, sodass kommerzielle Systeme stets einen Kompromiss darstellen. Dies hat unter anderem zu einer Zahl von firmenspezifischen Lösungen geführt. Kommerziell verfügbare Systeme können heute 64u40 Gbit/s also 2,56 Tbit/s über 1000 km transportieren. Das entspricht 40 Millionen PCM-Sprachtelefonkanälen (unidirektional) über einen LWL. Optisches Ethernet Von Beginn der LWL-Übertragung an wurde parallel zu den öffentlichen TK-Netzen versucht, die Vorteile der faseroptischen Übertragung auch für LANs und MANs zu erschließen. Bereits der 1992 verabschiedete IEEE-802.3-CSMA/CD-Standard, bekannt als Ethernet, beinhaltete eine faseroptische Variante, 10Base-F (fiber optics) genannt. 1995 wurde Ethernet von 10 Mbit/s zu Fast Ethernet mit 100 Mbit/s erweitert. Abermals drei Jahre später, 1998, wurde Gigabit Ethernet (GbE, IEEE 802.3z) als quasi neuer Standard eingeführt. Zur Vereinfachung sind nur mehr Punkt-zu-Punkt-Verbindungen (pointto-point, P2P) erlaubt. Das typische Schema einer Netzkonfiguration zeigt Bild 7-22. Dort sind drei GbE-Switches (Schalter) in einer Ringstruktur verbunden. Die Ringstruktur bietet den Vorteil, dass bei Ausfall eines Segmentes, einer P2P-Verbindung, weiterhin alle Switches erreichbar sind. Sie wird deshalb oft im MAN eingesetzt. Die GbE-Switches besitzen mehrere Signalein- und -ausgänge, sogenannte Ports, zwischen denen sie die Ethernetrahmen nach den Mac-Adressen der Schicht 2 verteilen können. Somit kann beispielsweise eine Datenübertragung von einem Server, einem zentralen Rechner der Dienste zur Verfügung stellt (Dienststeller), auf eine Arbeitsstation (work station) als Client (Dienstnehmer) erfolgen, oder es können zwei Arbeitsstationen verbunden werden. Aus Gründen der (Abwärts-)Kompatibilität mit bestehenden Einrichtungen ist es oft vorteilhaft, Switches zu verwenden, die mehrere Standards bzw. Übertragungsmedien unterstützen. Im Beispiel könnten die Arbeitsstationen über Fast Ethernet angebunden sein. Die GbE-Varianten mit LWL-Übertragung werden unter der Bezeichnung 1000Base-X zusammengefasst. Je nach Einsatzzweck kommen unterschiedliche Lösungen zur Anwendung, wie zwei Mehrmodenfasern mit O = 1310 nm im 2. optischen Fenster für kurze Segmente bis circa 550 m oder eine Einmodenfaser mit Wellenlängenduplex mit O1 = 1310 nm und O2 = 1490 nm im 3. optischen Fenster für größere Segmentlängen bis zu 10 km.

7.3 Optische Übertragungssysteme

239

Central server

Workstations

Workstations

GbE Switch

Workgroup 1

GbE Switch

Workgroup 2

GbE Switch

2 optical fibers, P2P Bild 7-22 Gigabit Ethernet über LWL im LAN/MAN mit Ringtopologie

Ab dem Jahr 2002 wurden Empfehlungen für das 10 Gigabit Ethernet (10GbE) verabschiedet. Es unterstützt Punkt-zu-Punkt-Verbindungen mit 10 Gbit/s im Vollduplex-Betrieb. Je nach Anwendung und Budget kommen verschiedene Varianten zum Einsatz. Eine Zusammenstellung der Varianten mit einigen physikalischen Merkmalen listet Tabelle 7-1 auf. Anmerkung: Seit 2007 wird an Empfehlungen zum 40GbE und 100GbE gearbeitet. Proprietäre Lösungen für entsprechende Bitraten sind bereits kommerziell erhältlich. Tabelle 7-1 Varianten des 10 Gigabit Ethernet (10GbE) Bezeichnung1

Wellenlänge

Fasern2

Zulässige Länge

10GBase-SR

850 nm

2 MMF

65 (300) m

10GBase-SW

850 nm

1 MMF

65 (300) m

SONET/SDH

10GBase-LX4

4 Wellenlängen (WDM) von 1269 bis 1356 nm

2 MMF

300 m

10 km mit SMF

10GBase-LR

1310 nm

2 SMF

10 km

10GBase-LW

1310 nm

2 SMF

10 km

10GBase-ER

1550 nm

2 SMF

40 km

10GBase-EX

1550 nm

2 SMF

40 km

SONET/SDH

1

Wellenlängen : S, short; L, long, E, extra long; Typ der Codierung und Rahmenformat (R, W, X); Anzahl der Wellenlängen (WDM)

2

MMF, Mehrmodenfaser (multimode fiber); SMF, Einmodenfaser (singlemode fiber)

Passive optische Netzwerke Mit der Verbreitung von PC und Internet hat die Zahl der Ethernet-LANs und der Wunsch nach Zusammenschaltung über öffentliche Netze, d. h. breitbandige Teilnehmeranschlüsse, zugenommen. Mit Blick auf das Ende der 1980er Jahre entwickelte Konzept der passiven optischen Netze (passive optical network, PON) wurde GbE weiterentwicklet und als 1000Base-

7 Optische Nachrichtentechnik

240

PX10/20 im Jahr 2004 standardisiert. Für derartige PONs hat sich die Bezeichnung G-EPON durchgesetzt. Für 2010 oder kurz danach wird die Verabschiedung des Standards für das 10GEPON erwartet. Man spricht hier aus Teilnehmersicht auch vom Ethernet-Anschluss auf dem ersten Kilometer (Ethernet on the first mile). Parallel dazu haben die großen öffentlichen Netzbetreiber und Netzausrüster für die Teilnehmeranschlüsse über die ITU-T Empfehlungen für PONs mit den Bezeichnungen APON (ATM), BPON (Broadband) und GPON entwickelt. GPON sieht eine unsymmetrische Bitrate von circa 2,5 Gbit/s hin zum Teilnehmer (downlink) und 1,25 Gbit/s hin zum Netz (uplink) vor. Die Konzepte und Aktivitäten zum faseroptischen Teilnehmeranschluss werden unter dem Schlagwort FTTx zusammengefasst. Dabei stehen FTTH für Fiber-to-the-home, FTTC für Fiber-to-the-curb (Bordsteinkante), FTTCab für Fiber-to-the-cabinet (Schaltschrank, Kabelverzweiger Kvz), FTTB für Fiber-to-the-business und FTTP für Fiber-to-the-premise („Grundstück/Besitz des Kunden“). Beim PON wird aus wirtschaftlichen Gründen weitgehendst auf elektrische Komponenten verzichtet und vom Netz zu den Teilnehmern eine Punkt-zu-Mehrpunkt-Verbindung (point-tomultipoint, P2M) installiert. Den grundsätzlichen Aufbau veranschaulicht Bild 7-23. Vom Netz ausgehend, beginnt das PON in der Vermittlungsstelle (central office, CO) mit einem Abschluss für die optische Leitung (optical line termination, OLT). Über einen LWL wird das optische Signal in die Nähe der Teilnehmer gebracht. Dort sorgt ein Splitter dafür, dass das Signal in die LWL zu den Teilnehmern aufgespaltet wird. Die Endpunkte für die optischen Signale bilden die optischen Netzabschlüsse (optical network termination, ONT) bei den Teilnehmern bzw. ONU (optical network unit), wenn sich weitere Zuleitungseinrichtungen, wie eine DSL-Strecke, anschließen. Prinzipiell können unterschiedliche Multiplex- und Duplexverfahren zum Einsatz kommen, wie beispielsweise der Wellenlängenduplex mit je einer Wellenlänge für die Abwärts- und Aufwärtsrichtung. Dabei erhalten alle Teilnehmer das gleiche optische Signal. In Aufwärtsrichtung wird dann ein Zeitmultiplex eingesetzt; den Teilnehmer werden nach Bedarf Zeitschlitze für die Übertragung eingeräumt.

ONT FTTB Backbone Network

CO OLT

FTTH

passiver Splitter

FTTCab ONU

ONT

DSL

Bild 7-23 Passives optisches Netz (PON) für den Teilnehmeranschluss

NT

7.4 Wiederholungsfragen zu Abschnitt 7

241

Zusammenfassung Die optische Nachrichtentechnik hat in wenigen Jahrzenten eine Entwicklung genommen, mit der sie in vielen Häusern angekommen ist. FTTH- und FTTB-Verbindungen werden 2008 bereits von mehr als 50 % der Menschen in Südkorea genutzt; Deutschland verpasst mit weniger als 1 % Teilnehmer einen Platz in der Spitzengruppe der 20 führenden Länder. Auch in Deutschland wird der Bedarf an optischer Anschlusstechnik in den nächsten Jahren stark wachsen. Durch das hochauflösende Fernsehen (high definition TV, HDTV) sind Bitraten von 20 bis 30 Mbit/s pro TV-Kanal erforderlich. Die Initiative der Bundes- und Länderregierungen für einen Breitbandanschluss für jeden mit mindestens 1 Mbit/s greift zu kurz; mindestens 100 Mbit/s sind notwendig. Auch auf der Netzwerkseite kündigen sich weitere Innovationen in der optischen Übertragungstechnik an. Kommerzielle Übertragungssysteme mit noch höheren Bitraten, OPU-4 mit circa 120 Gbit/s (3 u OPU-3) oder 100 Gigabit Ethernet, sind in der Entwicklung bzw. wurden vorgeführt. In Zukunft wichtig bleiben die Anstrengungen konkurrierende Systeme, seien es spezielle Firmenlösungen, Lösungen auf der Basis von IEEE 802.3 (G-EPON) oder der ITU-T (GPON) möglichst effizient zusammenzuführen. Optische Netze auf der Grundlage des Wellenlängenmultiplex entsprechen in natürlicher weise Netzen mit einer Leitungsvermittlung. Um von den Vorteilen der heute vorherrschenden paketorientierten Übertragung, wie IP- und Ethernetverkehr, zu profitieren, sind weitere Anstrengungen in Forschung und Entwicklung notwendig.

7.4

Wiederholungsfragen zu Abschnitt 7

A7.1

Erklären Sie das Prinzip der Lichtwellenleitung in Glasfasern.

A7.2

Wodurch unterscheiden sich Stufenindex-, Gradientenindex- und Einmodenfasern? Welche Konsequenzen hat das für Leitung der Lichtwellen?

A7.3

Was beschreibt das Bandbreitenlängenprodukt? Welche Bedeutung hat es für die Nachrichtenübertragungstechnik?

A7.4

Was versteht man unter den drei optischen Fenstern? Unterstützen Sie Ihre Erklärung durch eine Skizze.

A7.5

Das dauerhafte Verbinden von Glasfasern nennt man Spleißen. Warum muss beim Spleißen von Einmodenfasern besondere Sorgfalt aufgewendet werden?

A7.6

Wofür steht das Akronym LASER? Erklären Sie das Funktionsprinzip des Lasers.

A7.7

Was versteht man unter einem Faserverstärker und warum ist er in der Nachrichtenübertragungstechnik wichtig? Nennen Sie einen verbreiteten Typ von Faserverstärkern.

A7.8

Wofür steht das Akronym WDM? In welchem Zusammenhang steht dazu der Begriff „dark fiber“?

A7.9

Welche Bitraten sind heute für Glasfaserstrecken typisch? Welche Reichweiten sind für diese Bitraten ohne besondere Maßnahmen möglich?

242

8

Grundbegriffe der Informationstheorie und der Kanalcodierung

Die Informationstheorie liefert eine mathematisch-physikalische Definition der Information und macht sie so zu einer messbaren Größe. Damit wird es möglich, Information in technischen Systemen quantitativ zu bestimmen und ihren Fluss zu optimieren. Eine wichtige Anwendung der Informationstheorie ist die Redundanz mindernde Quellencodierung. Als Beispiel wird in Abschnitt 8.2 die Huffman-Codierung vorgestellt. Die Kanalcodierung hingegen fügt der Nachricht gezielt Redundanz hinzu, sodass der Empfänger Übertragungsfehler erkennen und eventuell sogar korrigieren kann. Dies kann, wie in Abschnitt 8.3 gezeigt wird, beispielsweise durch die zusätzlichen Prüfzeichen der Hamming-Codes oder der CRC-Codes geschehen.

8.1

Information, Entropie und Redundanz

Aus der täglichen Erfahrung wissen wir: Eine Information (Nachricht) hat einen Neuigkeitswert. Tatsachen, die wir bereits kennen, stellen für uns keine Information dar. Diese Überlegung führt zur Wahrscheinlichkeit, denn Ereignisse, die man erwartet, haben eine hohe Auftrittswahrscheinlichkeit. Umgekehrt haben unerwartete, überraschende Ereignisse eine kleine Auftrittswahrscheinlichkeit. Informationsgehalt und Wahrscheinlichkeit stehen offenbar in gegenläufigem Zusammenhang. Aus der Vorstellung eines grundsätzlichen Zusammenhangs von Wahrscheinlichkeit und Information entwickelte Claude E. Shannon den mathematisch-technischen Informationsbegriff [Sha48]: Wenn es das Wesen der Information ist, Ungewissheit aufzulösen, dann stellt jedes Zufallsexperiment eine Informationsquelle dar. Das Wissen um den Versuchsausgang beseitigt die dem Experiment innewohnende Ungewissheit. Ebenso wie das Experiment mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung im Mittel beschrieben werden kann, sollte auch Information im Mittel beschreibbar sein. Hierzu führte Shannon den mittleren Informationsgehalt, die Entropie, ein. Die Gründung des Informationsbegriffes auf Experimente und die sie beschreibenden Wahrscheinlichkeiten macht die Information zu einer mit statistischen Mitteln empirisch zugänglichen Größe. X Der leichteren Verständlichkeit und der Kürze x1, x3, x1, x2, x2, x3,… Q halber wird im Folgenden der Informationsbegriff anhand des Informationsgehaltes eines Zeichens eingeführt. Ausgangspunkt ist eine Informations- Bild 8-1 Diskrete Informationsquelle mit quelle, die pro Zeittakt ein Zeichen absetzt, siehe Zeichenvorrat X {x1, x2, x3, x4} Bild 8-1. Es soll die typische Fragestellung beantwortet werden: Eine diskrete (Nachrichten-)Quelle X mit dem Zeichenvorrat (Alphabet) X = {x1, x2, ..., xN} sendet pro Zeitschritt ein Zeichen. Die Wahrscheinlichkeit des i-ten Zeichens xi ist pi. Welchen Informationsgehalt hat das i-te Zeichen? M. Werner, Nachrichtentechnik, DOI 10.1007/978-3-8348-9742-8_8, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010

243

8.1 Information, Entropie und Redundanz

Der zur Beantwortung der Frage benötigte Informationsbegriff kann auf den folgenden drei Axiomen aufgebaut werden: Axiom 1 Der Informationsgehalt I eines Zeichens xi X mit der Wahrscheinlichkeit pi ist ein nichtnegatives Maß. I ( pi ) t 0

(8.1)

Axiom 2 Die Informationsgehalte unabhängiger Zeichen (xi, xl) mit der Verbundwahrscheinlichkeit pi,l = pi pl addieren sich.

I ( pi ,l )

I ( pi ) I ( pl )

(8.2)

Axiom 3 Der Informationsgehalt ist eine stetige Funktion der Wahrscheinlichkeiten der Zeichen. Axiom 1 und 2 stellen sicher, dass sich Information nicht gegenseitig auslöscht. Andernfalls würde der Grundsatz, Information löst stets Ungewissheit auf, verletzt. Axiom 3 drückt den Wunsch aus, dass eine kleine Änderung der Auftrittswahrscheinlichkeit nur zu einer kleinen Änderung des Informationsgehaltes führen soll. Im Axiom 2 wird aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten die Addition der Informationsgehalte. Dies führt zur Logarithmusfunktion, die die Multiplikation in die Addition abbildet. Man definiert deshalb: Der Informationsgehalt eines Zeichens mit der Wahrscheinlichkeit p ist

I p ld p mit [ I ] = bit

(8.3)

Es wird meist der Zweierlogarithmus in Verbindung mit der Pseudoeinheit bit verwendet. Übliche Schreibweisen sind log2(x) = ld(x) = lb(x) für den Logarithmus dualis bzw. Binärlogarithmus (binary logarithm). Anmerkung: Die Umrechnung des Logarithmus zu verschiedenen Basen erfolgt mit: loga(x) = logb(x) / logb(a) = logb(x) loga(b).

Bild 8-2 zeigt den Funktionsverlauf des Informationsgehalts. Der Informationsgehalt des sicheren Ereignisses ist null. Mit wachsender Unsicherheit nimmt der Informationsgehalt stetig zu, bis er schließlich im Grenzfall des unmöglichen Ereignisses gegen unendlich strebt. Die Definition des Informationsgehalts (8.3) spiegelt die eingangs gemachten grundsätzlichen Überlegungen wider und erfüllt offensichtlich die Axiome 1 und 3.

10

unmögliches Ereignis für p = 0

I ( p) bit 5

sicheres Ereignis für p = 1 0

0

0,5

p

1

Bild 8-2 Informationsgehalt I(p) eines Zeichens mit der Wahrscheinlichkeit p

Der Informationsgehalt einer diskreten Quelle wird als Erwartungswert der Informationsgehalte aller Zeichen bestimmt. Man spricht vom mittleren Informationsgehalt oder in Anlehnung an die Thermodynamik von der Entropie der Quelle.

244

8 Grundbegriffe der Informationstheorie und der Kanalcodierung

Shannon verwendet, den grundsätzlichen Überlegungen folgend, eine axiomatische Definition der Entropie, woraus der Informationsgehalt eines Zeichens wie in (8.3) folgt [Sha48]. Er führt als Beispiel die früher verbreiteten Lochkarten an. Eine Lochkarte mit N möglichen Positionen für ein bzw. kein Loch kann genau eine aus 2N verschiedenen Nachrichten aufnehmen. Nimmt man zwei Lochkarten, so ergeben sich bereits 22N verschiedene Möglichkeiten. Die Zahl der möglichen Nachrichten steigt quadratisch. Andererseits sollte erwartet werden, dass zwei Lochkarten zusammen doppelt soviel Information speichern können als eine. Es drängt sich somit der Logarithmus zur Beschreibung des Informationsgehalts auf. Mit log( 2N ) = Nlog(2) und log( 22N ) = 2Nlog(2) ergibt sich die erwartete Verdopplung. Man beachte auch, dass 2N und 22N genau die Wahrscheinlichkeiten der Nachrichten widerspiegeln, wenn alle Nachrichten gleichwahrscheinlich sind, sodass die Definition des Informationsgehaltes gemäß log( 2N ) sinnvoll ist. Für den Fall einer (endlichen) diskreten gedächtnislosen Quelle, bei der die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Zeichen nicht von den vorhergehenden Zeichen abhängen, definiert man: Eine diskrete, gedächtnislose Quelle X mit dem Zeichenvorrat (Alphabet) X = {x1, x2,…, xN} und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten p1, p2, ..., pN besitzt die Entropie

H X

N

¦ pi ld pi

bit

(8.4)

i=1

Das einfachste Beispiel einer diskreten gedächtnislosen Quelle ist die Binärquelle mit dem Zeichenvorrat X = {0, 1} und den Wahrscheinlichkeiten p0 = p und p1 = 1 p. Ihre Entropie Hb(p), manchmal auch shannonsche Funktion genannt, ist H b ( p) bit

p ld p 1 p ld 1 p

(8.5)

Der Funktionsverlauf ist in Bild 8-3 zu sehen. Setzt die Quelle stets das Zeichen „1“ ab, p = 0, so ist die Entropie gleich 0 bit. Da man in diesem Fall weiß, dass die Quelle stets „1“ sendet, gibt sie keine Information ab. Sind beide Zeichen gleichwahrscheinlich, p = 1/2, so wird die Entro1 pie maximal. Ein Beobachter, der die Aufgabe hätte, jeweils das nächste Zeichen vorherzusagen, H b ( p) maximale würde im Mittel genauso häufig richtig wie bit Ungewissheit falsch raten. 0,5 Die Entropie der Binärquelle nimmt im Maximum den Wert 1 bit an. Dies entspricht genau einer Ja/Nein-Entscheidung (Antwort) um das aktuelle Zeichen zu erfragen: ist das Zeichen „0“? Die Entropie gibt Antwort auf die zwei Fragen:

0

Gewissheit 0

Gewissheit 0,5

p

1

Bild 8-3 Entropie der Binärquelle

Wie viele Ja/Nein-Entscheidungen sind mindestens notwendig, um das aktuelle Zeichen zu erfragen? Wie viele Bits benötigt man mindestens, um die Zeichen der Quelle zu codieren?

245

8.1 Information, Entropie und Redundanz

Um die Bedeutung der Entropie aufzuzeigen, betrachten wir das Zahlenwertbeispiel in Tabelle 8-1. Die Entropie der diskreten, gedächtnislosen Quelle mit sechs Zeichen ist circa 2,25 bit. Tabelle 8-1 Diskrete gedächtnislose Quelle mit dem Zeichenvorrat X = {a, b, c, d, e, f}, den Wahrscheinlichkeiten pi, den Informationsgehalten I(pi) und der Entropie H(X) xi

a

b

c

d

e

f

pi

0,05

0,15

0,05

0,4

0,15

0,2

I(pi)

4,32 bit

2,74 bit

4,32 bit

1,32 bit

2,74 bit

2,32 bit

| 2,25 bit

H(X)

Zunächst betrachten wir in Tabelle 8-2 die einfache BCD-Codierung anhand des Zeichenindex. Der BCD-Code ist ein Blockcode mit gleichlangen Codewörtern. Da sechs Zeichen vorliegen, müssen je Codewort drei Bits verwendet werden. Anmerkung: BCD steht für Binary Coded Decimal. Im Beispiel werden die Zeichen entsprechend ihren Spaltennummern 1 bis 6 binär codiert.

Tabelle 8-2

BCD-Codierung der Zeichen nach ihren Indizes

Zeichen

a

b

c

d

e

f

001

010

011

100

101

110

Codewort

Andererseits kann überlegt werden, wie groß die Entropie einer Quelle mit sechs Zeichen maximal sein kann. Die Entropie einer diskreten gedächtnislosen Quelle mit N Symbolen wird maximal, wenn alle Symbole gleichwahrscheinlich sind, also maximale Ungewissheit vorliegt. Dieses Maximum ist der Entscheidungsgehalt (des Zeichenvorrats) der Quelle.

H0

ld N bit

(8.6)

Der Entscheidungsgehalt einer diskreten gedächtnislosen Quelle mit sechs Symbolen ist 2,58 bit. Dem steht im Beispiel die Entropie von 2,25 bit gegenüber. Die Differenz aus dem Entscheidungsgehalt einer Quelle und ihrer Entropie wird Redundanz genannt. R

H0 H ( X )

(8.7)

Die Entropie besagt im Beispiel, dass im Mittel 2,25 Ja/Nein-Entscheidungen notwendig sind und deshalb die Zeichen der Quelle im Mittel mit 2,25 Bits codiert werden können. Ein Verfahren, das einen in diesem Sinne aufwandsgünstigen Code liefert, ist die Huffman-Codierung im nächsten Abschnitt.

8 Grundbegriffe der Informationstheorie und der Kanalcodierung

246

8.2

Huffman-Codierung

Die Huffman-Codierung1 gehört zur Familie der Codierungen mit variabler Codewortlänge. Ein bekanntes Beispiel ist das Morsealphabet 2. Häufige Zeichen werden möglichst mit kurzen Codewörtern belegt, um so den mittleren Aufwand klein zu halten. Derartige Codierverfahren bezeichnet man als redundanzmindernde Codierung oder Entropiecodierung. Im Beispiel des Morsealphabets in Tabelle 8-3 wird der häufige Buchstabe E mit dem einen Zeichen „ . “ und der seltene Buchstabe X mit den vier Zeichen „ - . . - “ codiert. Tabelle 8-3 Buchstaben, Morsezeichen [Obe82] und relative Häufigkeiten hr in der deutschen Schriftsprache [Küp54] Buchstabe

Morsezeichen

hr

Buchstabe

Morsezeichen

hr

Buchstabe

Morsezeichen

hr

A

.-

0,0651

J

.---

0,0019

S

...

0,0678

B

-...

0,0257

K

-.-

0,0188

T

-

0,0674

C

-.-.

0,0284

L

.-..

0,0283

U

..-

0,0370

D

-..

0,0541

M

--

0,0301

V

...-

0,0107

E

.

0,1669

N

-.

0,0992

W

.--

0,0140

F

..-.

0,0204

O

---

0,0229

X

-..-

0,0002

G

--.

0,0365

P

.--.

0,0094

Y

-.--

0,0003

H

....

0,0406

Q

--.-

0,0007

Z

--..

0,0100

I

..

0,0782

R

.-.

0,0654

Anmerkungen: (i) Die Ziffern 0 bis 9 werden mit je 5 Zeichen codiert. Für Sonderzeichen, Satzzeichen und Meldungen stehen weitere Codewörter zur Verfügung. (ii) Das Morsealphabet benötigt ein Kommazeichen.

Huffman hat für diskrete gedächtnislose Quellen gezeigt, dass die von ihm angegebene Codierung mit variabler Wortlänge einen optimalen Präfixcode liefert [Huf52]. Das heißt, der Huffman-Code liefert die kleinste mittlere Codewortlänge. Er ist außerdem ohne Kommazeichen zur Trennung der Codewörter eindeutig decodierbar. Bei einem Präfixcode ist kein Codewort Anfang eines anderen Codeworts.

Anmerkung: Die Huffman-Codierung spielt in der Bildcodierung eine wichtige Rolle. Sie ist Bestandteil des JPEG-, MPEG- und H.261-Standards. Auch zur Codierung von digitalen Audiosignalen, wie bei MP3, wird die HuffmanCodierung eingesetzt.

Die Huffman-Codierung geschieht in drei Schritten, siehe Kasten auf der nächsten Seite. Am Beispiel der Quelle in Tabelle 8-1 wird die Codierung vorgeführt.

1 2

David Huffman: 1925, †1999, U.S.-amerikanischer Ingenieur. Samuel F. B. Morse: 1791, †1872, U.S.-amerikanischer Maler und Erfinder, „Vater der Telegrafie“

247

8.2 Huffman-Codierung Huffman-Codierung 1. Ordnen Ordne die Zeichen nach fallenden Wahrscheinlichkeiten.

2. Reduzieren Kombiniere1 die beiden Zeichen mit den kleinsten Wahrscheinlichkeiten zu einem neuen zusammengesetzten Zeichen. Ordne die Liste neu wie in Schritt 1 und fahre fort, bis alle Zeichen zusammengefasst sind. 3. Codieren Beginne bei der letzten Zusammenfassung; ordne jeder ersten Ziffer des Codeworts eines Zeichens der ersten Komponente des zusammengesetzten Zeichens eine „0“ und der zweiten Komponente eine „1“ zu. Fahre sinngemäß fort, bis alle Zeichen codiert sind. 1

Im Falle mehrerer Zeichen mit derselben Wahrscheinlichkeit werden die Zeichen kombiniert, die am wenigsten bereits zusammengefasste Zeichen beinhalten. Damit erreicht man bei gleicher mittlerer Codewortlänge eine in der Übertragungstechnik günstigere, weil gleichmäßigere Verteilung der Codewortlängen.

Im Beispiel erhält man im ersten Schritt die in Bild 8-4 angegebene Reihenfolge der Zeichen in der ersten Spalte mit den Wahrscheinlichkeiten pi in der zweiten Spalte. Im zweiten Schritt werden die beiden Zeichen mit den kleinsten Wahrscheinlichkeiten „c“ und „a“ zu einem Zeichen kombiniert. Die neuen beiden Zeichen mit den kleinsten Wahrscheinlichkeiten „ca“ und „e“ werden jetzt zusammengefasst. Für das zusammengesetzte Zeichen erhält man die Wahrscheinlichkeit 0,25. Damit ist sie größer als die Wahrscheinlichkeiten für „b“ und „f“. Letztere sind nun die beiden kleinsten Wahrscheinlichkeiten. Es werden „b“ und „f“ zusammengefasst. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit hat den Wert 0,35. Die nunmehr beiden kleinsten Wahrscheinlichkeiten, für „bf“ und „cae“, ergeben zusammen die Wahrscheinlichkeit 0,6. Die beiden verbleibenden Wahrscheinlichkeiten für „d“ und „caebf“ müssen zusammen den Wert 1 ergeben. Anmerkung: Bei dem von Hand durchgeführten Beispiel haben wir auf das explizite Sortieren verzichtet, d. h. das Hochziehen des Zusammengesetzten Zeichens „cae“ unter das Zeichen „d“. Dadurch erhält man ein grafisch einfacheres Verfahren, dessen Code allerdings nicht mehr bitkompatibel zu dem Code mit Umsortieren wie für Programmieraufgaben typisch sein muss. Zeichen

pi

d

0,4

f

0,2

b

0 0,35

0,15

e

0,15

a

0,05

c

0

1

0 0

0,25 0,1

0,05

ca

1

cae

0

bf

1,0 0,6 caebf 1

1

1 Bild 8-4 Huffman-Codierung (von Hand)

caebfd

248

8 Grundbegriffe der Informationstheorie und der Kanalcodierung

Im dritten Schritt werden den Zeichen die Codewörter zugewiesen. Hierbei beginnt man ganz rechts und schreitet nach links fort. Bei jeder Weggabelung (Zusammenfassung von Zeichen) wird dem Pfad nach oben die „0“ und dem Pfad nach unten die „1“ (oder jeweils umgekehrt) zugewiesen. Der Pfad für die Codezuteilung für das Zeichen „a“ ist in Bild 8-4 fett gedruckt. Man erhält schließlich den Huffman-Code in Tabelle 8-4. Tabelle 8-4 Huffman-Code zu Bild 8-4 d

f

b

e

a

c

0,4

0,2

0,15

0,15

0,05

0,05

Codewort

0

100

101

110

1110

1111

Codewortlänge Li in bit

1

3

3

3

4

4

Zeichen xi Wahrscheinlichkeit pi

Ein Code ist umso effizienter, je kürzer seine mittlere Codewortlänge ist. Die mittlere Codewortlänge bestimmt sich aus der Länge der einzelnen Codewörter Li gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit der jeweiligen Codewörter (Zeichen) pi. N

L

¦ pi Li

(8.8)

i 1

Im Beispiel ist die mittlere Codewortlänge mit L | 2,3 bit (Binärzeichen) nahe an der Entropie H(X) | 2,25 bit. Eine wichtige Kenngröße der Codierung ist das Verhältnis von Entropie zu mittlerer Codewortlänge, die Effizienz des Codes oder auch Datenkompressionsfaktor genannt. Sie erreicht im Beispiel den Wert K | 0,976. Effizienz des Codes

K

H(X ) L

(8.9)

Aus dem Beispiel wird deutlich: Je größer die Unterschiede zwischen den Wahrscheinlichkeiten der Zeichen sind, desto größer ist die Ersparnis an mittlerer Wortlänge durch die Huffmann-Codierung. Für die Anwendung ist die Frage wichtig: Wie effizient kann der Code bestenfalls sein? Die Antwort gibt das Quellencodierungstheorem von Shannon für diskrete gedächtnislose Quellen. Quellencodierungstheorem Es existiert ein binärer Code, sodass die mittlere Codewortlänge beliebig nahe an die Entropie herankommt. Die Informationstheorie zeigt aber auch, dass dabei durch Kombination der Zeichen unter Umständen sehr lange Codewörter entstehen, die einer praktischen Umsetzung des Quellencodierungstheorems entgegenstehen. Durch Zusammenfassen von Zeichen zu Blöcken lassen sich jedoch oft akzeptable Ergebnisse erzielen.

249

8.2 Huffman-Codierung

Für den Empfänger ist die Umkehrung der Codierung wichtig. Die Decodiervorschrift des Huffman-Codes folgt unmittelbar aus Bild 8-4. Durch Verzicht auf das Umordnen kann der Codebaum in Bild 8-5 direkt aus dem Bild 8-4 abgelesen werden. Er liefert die anschauliche Interpretation der Codiervorschrift. Für jedes neue Codewort beginnt die Decodierung an der Wurzel. Wird eine „0“ empfangen, so schreitet man auf dem mit „0“ gewichteten Zweig, auch Kante genannt, nach oben. Im Beispiel erreicht man das Blatt „d“. Das gesendete Symbol ist demzufolge „d“ und man beginnt mit dem nächsten Bit von vorne an der Wurzel. Wird eine „1“ empfangen, wählt man den Zweig nach unten. Man erreicht im Beispiel einen Verzweigungsknoten. Das nächste Bit wählt einen der beiden folgenden Zweige aus. So fährt man fort, bis ein Blatt erreicht ist. Danach beginnt die Decodierung für das nächste Zeichen wieder an der Wurzel. Anmerkung: Man spricht von einem gerichteten Baum: von der Wurzel über die Zweige (Äste) zu den Blättern.

Blatt (Endknoten) Wurzel (Anfangsknoten)

d

0

0

0

1

1 Zweig (Kante)

0

1 1

Verzweigungsknoten

f b e 0

a

1

c

Bild 8-5 Codebaum zum Huffman-Code in Bild 8-4

So einfach die Codierung und Decodierung nach Huffman ist, sie besitzt drei Nachteile: Die unterschiedlichen Codewortlängen führen zu einer ungleichmäßigen Bitrate und Decodierverzögerung. Datenkompressionsverfahren reduzieren die Redundanz und erhöhen deshalb die Fehleranfälligkeit. Im Falle der Huffman-Codierung können durch ein falsch erkanntes Bit gegebenenfalls alle nachfolgenden Zeichen falsch decodiert werden. Die Huffman-Codierung setzt die Kenntnis der Wahrscheinlichkeiten der Zeichen oder zumindest geeigneter Schätzwerte voraus. Diese sind jedoch oft nicht bekannt bzw. ihre Schätzung ist relativ aufwendig. Für die Komprimierung von großen Dateien werden deshalb oft sogenannte universelle Codierverfahren wie der Lempel-Ziv-Welch-(LZW-)Algorithmus eingesetzt. Sie beginnen die Komprimierung ohne a priori Wissen über die Statistik der Daten [Sal04], [Str09], [Wer08c]. Anmerkungen: (i) Bei der Datenkompression in der Audio- und der Videocodierung unterscheidet man zwischen Redundanz und Irrelevanz. Man spricht daher von Redundanz bzw. Irrelevanzreduktion, siehe auch Abschnitt 3.8. (ii) Das vorgestellte Konzept der Entropie lässt sich auf Quellen mit Gedächtnis, d. h. Quellen bei denen bereits gesendete Zeichen den weiteren Verlauf beeinflussen, und die Informationsübertragung über Nachrichtenkanäle erweitern. Letzteres führt auf den wichtigen Begriff der Transinformation und schließlich der shannonschen Kanalkapazität. Eine einführende Darstellung hierzu findet man z. B. in [Wer08c].

8 Grundbegriffe der Informationstheorie und der Kanalcodierung

250

8.3

Kanalcodierung

Bei der Übertragung und Speicherung von Information existieren zahlreiche Fehlermöglichkeiten. Um wichtige Daten gegen Fehler zu schützen, werden jeweils passende Verfahren der Kanalcodierung eingesetzt. Zur Einführung in die Aufgabenstellung der Kanalcodierung betrachten wir beispielhaft die weitverbreiteten Paritätscodes. Anmerkung: Eine Einführung in die mathematischen Grundlagen der Paritätscodes gibt z. B. [BeZs02].

8.3.1

Paritätscodes

Binäre Paritätscodes Ein wichtiges Beispiel für die Anwendung von Paritätscodes wird in Abschnitt 5.2 mit der RS-232Schnittstelle vorgestellt. Dort werden die sieben Bits des Nachrichtenworts durch ein Paritätsbit so zum Codewort ergänzt, dass die Exor-Verknüpfung „“ (Modulo-2Addition, siehe Tabelle 8-5) aller Bits entweder „0“ oder „1“ ist. Man spricht von gerader bzw. ungerader Parität.

Tabelle 8-5 Wahrheitstafel der Exor-Verknüpfung 0 1

0 0 1

1 1 0

Anmerkung: Die Exor-Verknüpfung ist assoziativ und kommutativ.

Im Beispiel ergänzen wir die sieben Bits der ASCII-Codewörter der Zeichen „M“ und „W“ zur geraden bzw. ungeraden Parität. Wir erhalten aus Abschnitt 4.1, Tabelle 4.1, die ASCII-Codewörter und ergänzen sie in Tabelle 8-6 zum Codewort. Wir überprüfen das Ergebnis anhand des Zahlenwertbeispiels für M und gerader Parität.

Tabelle 8-6 Codewörter mit Paritätsbits Zeichen M W

11 0 1 0 0 1 0

ASCII-Code 1101 001 0111 101

0

gerade 0 1

Parität ungerade 1 0

(8.10)

Mit dem Paritätscode werden durch die Prüfsumme (8.10) einfache Fehler im Codewort erkannt. Eine Reparatur des fehlerhaften Bits ist nicht möglich, da die Fehlerstelle unbekannt ist. Treten zwei Fehler auf, so ist das nicht erkennbar, wie man durch ein Beispiel schnell zeigen kann. Bei binären Paritätscodes sind alle n-fachen Fehler mit n gerade nicht erkennbar. Man spricht bei nicht erkennbaren Fehlern von Restfehlern. Anmerkung: In Anwendungen können Restfehler ein Problem bereiten. Tritt beispielsweise bei einer Softwareaktualisierung ein unerkannter Fehler auf, entsteht ein ungewollter Programmabschnitt, der sporadisch zu Fehlern führen kann. Erst durch den Einsatz geeigneter Fehlerschutzmaßnahmen, wie die Anwendung der CRC-Codes in Abschnitt 8.4, werden Geschäftsmodelle mit Online-Upgrade-Diensten möglich.

Paritätscode mit Kreuzsicherung Sollen Doppelfehler erkennbar sein, ist ein zusätzlicher Fehlerschutz erforderlich. Dies ermöglicht der zweidimensionale Paritätscode mit Kreuzsicherung. Die Idee lässt sich anhand eines Lochstreifens erklären, siehe Bild 8-6.

251

8.3 Kanalcodierung

Blockparität (Längsparität) Zeichenparität (Querparität)

Tritt beispielsweise ein Doppelfehler in einer Querspalte des Lochstreifens (erweitertes Zeichen) auf, dann ist dies zwar anhand der Querparität nicht zu erkennen, jedoch werden durch die Längsparität zwei Spuren als fehlerhaft erkannt. Da der Paritätscode für jede Zeile und jede Spalte n Fehler mit n ungerade erkennt, sind alle einfachen, doppelten und dreifachen Fehler erkennbar. Für einen Restfehler müssen mindestens vier Fehler in bestimmten Mustern auftreten, wie z. B. in zwei benachbarten Zeilen und Spalten.

Paritätszeichen der Längsparität Transportrichtung Vorschublöcher Paritätszeichen der Querparität

Bild 8-6 8-Spur-Lochstreifen mit Kreuzparität Anmerkungen: (i) Für Lochstreifen existieren (ungerade Parität mit Stanzloch für die unterschiedliche Formate, wie 5-Spur, 7-Spur logische „1“) und 8-Spur-Lochstreifen mit herstellerspezifischen Codes. Für das Beispiel wurden der Einfachheit halber der ASCII-Code und die ungerade Parität gewählt. Die logische Eins wird durch ein Stanzloch repräsentiert. (ii) Bei der Fehlererkennung werden die Zeilen und Spalten einschließlich der Paritätsbits betrachtet. Durch die zusätzlichen Paritätsbits entstehen allerdings zusätzliche Fehlermöglichkeiten.

Paritätscodes mit Erkennung von Vertauschungsfehlern Die Idee des Paritätscodes kann allgemein formuliert und auf den praktisch wichtigen Fall der Erkennung von Vertauschungsfehlern erweitert werden. Bei der Eingabe von Daten, wie Kontonummern, Bestellnummern, usw., durch Menschen treten als Fehler meist Zahlendreher auf. Beispielsweise wird statt der Ziffernfolge „3 4“ die Ziffernfolge „4 3“ eingetippt. Es ist deshalb von besonderem Interesse derartige Fehler anhand von Prüfzeichen erkennen zu können. Wir stellen das Konzept anhand der Codierung der International Standard Book Number (ISBN) vor. Dazu führen wir schrittweise die notwendigen Begriffe und Zusammenhänge ein. Wir gehen von einem Alphabet (Zeichenvorrat) mit den Ziffern 0, 1, …, q1 aus der Menge der ganzen Zahlen aus. Ein Code der Länge n zur Basis q ist dann eine beliebige Menge von Folgen a1, a2, …, an mit Elementen aus dem Alphabet. Die Folgen werden Codewörter genannt. Ein Paritätscode liegt vor, wenn für jedes Codewort gilt

a1 a2 " an modq

0

(8.11)

also die Summe a1 + … + an ein Vielfaches von q ist. Jeder Paritätscode erkennt alle Einzelfehler

Durch elementare Überlegungen kann gezeigt werden, dass durch Auswerten der Prüfgleichung (8.11) alle Einzelfehler erkannt werden. Dazu behaupten wir die Fehlerprüfung erkennt den Fehler nicht und zeigen den Widerspruch.

Wir gehen von einem Codewort aus und nehmen an, dass das i-te Element fehlerhaft sei. Ein unerkannter Fehler, Restfehler, tritt auf, wenn die Prüfgleichung (8.11) mit dem Fehler ai ergibt

8 Grundbegriffe der Informationstheorie und der Kanalcodierung

252

a1 a2 " ai " an mod q

?

(8.12)

0

Wegen der Modulo-q-Operation und weil ursprünglich ein Codewort vorlag, dürfen wir auch schreiben

0

?

a1 " ai " an mod q a1 " ai " an mod q

a1 a1 " ai ai " an an mod q ai ai mod q

0

(8.13)

Damit die Gleichung erfüllt wird, muss die Zahl ai ai durch q teilbar sein. Anmerkung: Eine natürliche Zahl a ist durch eine andere natürliche Zahl b teilbar, wenn sie ein Vielfaches von b ist. Beispielsweise ist 8 durch 4 teilbar, 9 nicht. 4 ist nicht durch 8 teilbar.

Da jedoch für alle Ziffern des Zeichenvorrats gilt 0 d ai q

(8.14)

gilt insbesondere auch für den Betrag der Differenz

0 d ai ai q

(8.15)

Somit ist die Differenz in (8.13) nicht durch q teilbar und die Prüfsumme kann nicht wie gefordert 0 ergeben. Der Fehler, ai z ai , wird erkannt. Um zusätzlich Vertauschungen zu erkennen, führen wir die ganzzahligen Gewichte w1, w2, …, wn-1 so ein, dass für den Paritätscode mit Gewichten gilt

w1 a1 w2 a2 " wn1 an1 an mod q

0

(8.16)

also die Summe w1a1 + … + wn-1an-1 + an ein Vielfaches von q ist. Anmerkung: Es kann auch ein zusätzliches Gewicht wn eingeführt werden, das jedoch teilerfremd zu q sein muss. Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler 1 ist. Beispielsweise sind zwei Primzahlen, z. B. 3 und 5, teilerfremd. Die Zahlen 6 und 8 sind nicht teilerfremd, da sie den gemeinsamen Teiler 2 besitzen.

Bei der Wahl der Gewichte ist zu beachten, dass alle Gewichte wi und q teilerfremd sind. Dies kann wie in (8.13) gezeigt werden. Damit Einzelfehler nicht erkannt werden, muss gelten ?

ª¬ wi ai ai º¼ mod q 0

(8.17)

Weil die Differenz der Ziffern teilerfremd ist, kann die Prüfgleichung nicht null ergeben, wenn das Gewicht wi teilerfremd zu q ist. Der Code erkennt Einzelfehler. Nun zeigen wir, dass bei geeigneter Wahl der Gewichte Vertauschungsfehler an den beliebigen Stellen i und j erkannt werden. Dazu gehen wir wieder wie in (8.13) vor. Damit der Vertauschungsfehler nicht erkannt wird, muss gelten

253

8.3 Kanalcodierung ?

0 ª wi ai w j a j w j ai wi a j º mod q ¬ ¼

ª w w j ai a j º mod q ¬ i ¼

(8.18)

Wie oben erhalten wir den Widerspruch für (wi wj) teilerfremd zu q, da die Zahl (ai aj) stets teilerfremd zu q ist.

Ein Paritätscode der Länge n zur Basis q mit den Gewichten w1, w2, …, wn erkennt die Vertauschung an den Stellen i und j, falls die Zahl wi wj teilerfremd zu q ist

Nachdem die Konstruktionsvorschriften für Paritätscodes mit Erkennung von Vertauschungsfehlern vorgestellt wurden, wenden wir uns dem Beispiel des ISBN-Codes zu.

Beispiel ISBN-Code

Für den ISBN-Code ist es praktisch, für die Ziffern des Codes die auf Tastaturen üblichen Ziffern 0, 1, …, 9 zu wählen. Damit kommt als Basis q eine Zahl größer gleich 10 infrage. Die Forderung nach teilerfremden Gewichten legt die Wahl der Basis als Primzahl nahe, sodass als Basis die kleinste mögliche Primzahl 11 gewählt wird. Mit der Basis 11 ist im Code die Zahl 10 als Ziffer aufzunehmen. Um Verwechslungen vorzubeugen, wird für die Zahl 10 die römische Ziffer X verwendet. Mit diesen Vorüberlegungen kann der ISBN-Code definiert werden: Der ISBN-Code ist ein Paritätscode der Länge n = 10 zur Basis q = 11 mit dem Alphabet {0, 1, …, 9, 10 = X} und den Gewichten g1 = 10, g2 = 9, …, g10 = 1. Der ISBN-Code erkennt einen Einzelfehler und eine Vertauschung zweier Elemente. Seine Prüfziffer a10 berechnet sich aus

10 a1 9 a2 8 a3 " 2 a9 a10 mod11

0

(8.19)

Als Beispiel wählen wir das Buch des Verfassers „Digitale Signalverarbeitung mit MATLAB, 2. Aufl.“ im VIEWEG Verlag mit der ISBN 3-528-13930-7. Darin steht 3 für Deutschland, 528 für den VIEWEG Verlag und 13930 für das Buch im Verlagsprogramm. Für die letzte Ziffer, die Prüfziffer, folgt § · ¨10 3 9 5 8 2 7 8 6 1 5 3 4 9 3 3 2 0 a 10

N ¸¸ mod11 ¨ 213 1911 4 7 ¹ ©

0

(8.20)

Wir verifizieren die Aussagen zur Fehlererkennung, indem wir den Ländercode 0 für die U.S.A. als erste Ziffer in die Prüfgleichung eingeben.

§ · 6 7 ¸ mod11 0 9 5 8 2 7 8 1 5 3 4 9 3 3 2 0 ¨10

¨ ¸ 190 1711 3 © ¹

3

(8.21)

3

(8.22)

Vertauschen der 5. und 6. Ziffern wird ebenfalls erkannt.

§ · ¨10 3 9 5 8 2 7 8 6 3 5 1 4 9 3 3 2 0 7 ¸ mod11

¸ ¨ 223 20113 © ¹

254

8 Grundbegriffe der Informationstheorie und der Kanalcodierung

Anmerkung: Der 10-stellige ISBN-Code ist 2007 durch den 13-stelligen ISBN-Code ersetzt worden, der kompatibel zum EAN-13-Code (European Article Number) ist. Mit den heute üblichen BalkencodeLesegeräten (Barcode reader) an den Kassen ist der Schutz vor Zahlendrehern überflüssig geworden.

8.3.2

Kanalcodierung zum Schutz gegen Übertragungsfehler

Das Beispiel der digitalen Übertragung in Abschnitt 5 zeigt: Reale Übertragungssysteme sind nicht perfekt. In vielen Anwendungen muss mit Fehlern bei der Übertragung und Speicherung von Daten gerechnet werden, insbesondere bei Speichermedien hoher Dichte (Magnetspeicher, Compact Disc (CD), … ); der Nachrichtenübertragung bei begrenzter Signalleistung (Satellitenkommunikation); der Nachrichtenübertragung über stark gestörte Kanäle (Mobilfunk, Stromversorgungsleitungen) und bei extremen Zuverlässigkeitsanforderungen (CAD-Daten, Programmcode, nach Datenkompression). In all diesen Fällen wird die Kanalcodierung zur Fehlerkontrolle eingesetzt. Die Codierungstheorie stellt auf die jeweilige Anwendung bezogene Verfahren zur Verfügung. Es lassen sich zwei grundsätzliche Fälle unterscheiden: Fehlerkorrigierende Codes, der Empfänger erkennt und korrigiert Fehler; Fehlererkennende Codes, der Empfänger erkennt Fehler und fordert gegebenenfalls die nochmalige Übertragung der Nachricht an. Die letzte Methode setzt einen Rückkanal voraus und findet vor allem in der Datenübertragung Anwendung, wenn die Fehlerwahrscheinlichkeit ohne Codierung bereits klein ist und es auf eine hohe Zuverlässigkeit ankommt. Ein typischer Wert für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ohne Codierung in Datennetzen ist 106 (bei optischer Übertragung über Lichtwellenleiter auch 1012). Durch zusätzliche Kanalcodierung auf der Übertragungsstrecke kann in der Netzschicht eine Bitfehlerwahrscheinlichkeit von 109 und darunter erreicht werden. Durch weitere Fehlerschutzmaßnahmen der Transportschicht bzw. höherer Schichten können Restfehler quasi ausgeschlossen werden. Anmerkung: Die Gefahren durch Restfehler können nur anwendungsbezogen diskutiert werden.

Die Darstellung der verschiedenen Kanalcodierverfahren würde den Rahmen einer Einführung bei Weitem sprengen. In den folgenden Unterabschnitten wird deshalb die Idee der Kanalcodierung exemplarisch anhand einfacher linearer Blockcodes vorgestellt. Den Abschluss bildet die Vorstellung der in der Datenkommunikation am weitesten verbreiteten Fehlerprüfung, die Anwendung zyklischer Codes. Zur Einführung betrachte man das Übertragungsmodell mit Kanalcodierung in Bild 8-7. Es wird von einer blockorientierten Übertragung ausgegangen. Die Quellencodierung liefert ein binäres Nachrichtenwort fester Länge, z. B. u = (1010). Die Kanalcodierung ordnet im Encoder dem Nachrichtenwort ein binäres Codewort entsprechend der Codetabelle, Tabelle 8-7, zu. Im Beispiel ist das Codewort v = (0011010). Dort wird ein Hamming-Code1 verwendet, dessen Besonderheiten später noch genauer erläutert werden.

1

Richard W. Hamming: 1915, †1998, U.S.-amerikanischer Mathematiker und Computerwissenschaftler.

255

8.3 Kanalcodierung

Quelle

Sinke

Quellencodierung

Quellendecodierung

Nachrichtenwort u

uˆ

Encoder

Kanalcodierung

Decoder

Codewort v

decodiertes Nachrichtenwort (Schätzwert)

r Empfangswort

Sender

Kanal

Empfänger

Bild 8-7 Übertragungsmodell mit Kanalcodierung

Der Sender generiert ein dem Codewort entsprechendes Signal, welches über den Kanal an den Empfänger gesandt wird. Im Empfänger wird das ankommende Signal ausgewertet und ein binäres Empfangswort r erzeugt. Der Decoder vergleicht das Empfangswort mit den Codewörtern. Stimmt das Empfangswort mit einem Codewort überein, so wird das zugehörige Nachrichtenwort ausgegeben. Stimmt das Empfangswort mit keinem Codewort überein, so wird ein Übertragungsfehler erkannt. Soll eine Fehlerkorrektur stattfinden, müssen dazu geeignete Regeln existieren. Aus diesen einfachen Überlegungen folgen bereits zwei wichtige Aussagen:

Restfehler: Wird ein Codewort durch die Kanalstörung in ein anderes Codewort abgebildet, kann die Störung nicht erkannt werden.

„Gute Codes“ besitzen eine mathematische Struktur, die die Fehlererkennung und gegebenenfalls die Fehlerkorrektur unterstützt.

Im Beispiel des (7,4)-Hamming-Codes werden die 24 = 16 möglichen Nachrichtenwörter auf 16 Codewörter der Länge 7, d. h. auf 16 von 27 = 128 möglichen binären Vektoren der Länge 7 abgebildet. Die Auswahl der Codewörter erfolgt so, dass sie sich in möglichst vielen Elementen unterscheiden. Wie in Tabelle 8-7 nachzuprüfen ist, unterscheiden sich alle Codewörter in mindestens drei Elementen. Tabelle 8-7 Codetabelle des (7,4)-Hamming-Codes Nachrichtenwort

Codewort

Nachrichtenwort

Codewort

0000 1000 0100 1100 0010 1010 0110 1110

000 0000 110 1000 011 0100 101 1100 111 0010 001 1010 100 0110 010 1110

0001 1001 0101 1101 0011 1011 0111 1111

101 0001 011 1001 110 0101 000 1101 010 0011 100 1011 001 0111 111 1111

256

8.3.3

8 Grundbegriffe der Informationstheorie und der Kanalcodierung

Lineare Blockcodes

Eine wichtige Familie von Codes sind die linearen binären Blockcodes. Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass die Nachrichten- und Codewörter als Vektoren aufgefasst und der Codier- und Decodiervorgang mit der linearen Algebra beschrieben werden kann. Die Elemente der auftretenden Vektoren und Matrizen sind „0“ oder „1“. Mit ihnen wird im Weiteren unter Beachtung der Modulo-2-Arithmetik in Tabelle 8-8 in gewohnter Weise gerechnet. Wegen der Vektoreigenschaft der Codewörter wird von Codevektoren, Empfangsvek- Tabelle 8-8 Verknüpfungstafeln der toren, usw. gesprochen. Modulo-2-Arithmetik Anmerkung: Mathematisch gesehen liegt ein binärer Körper oder Galois-Körper (Galois Field) der Ordnung 2 vor. Erwähnt sei hier eine wichtige Erweiterung der Codierung durch den Übergang auf Galois-Körper höherer Ordnung. Eine Familie derartiger Codes sind die Reed-Solomon-Codes, die beispielsweise bei der Audio-CD verwendet werden.

0 1

Addition 0 1 0 1 1 0

Multiplikation 0 1 0 0 0 1 0 1

:

Der Encoder eines (n,k)-Blockcodes bildet die 2k möglichen Nachrichtenwörter bijektiv auf 2k n-dimensionale Codewörter ab, siehe Bild 8-8. Nachrichtenwort

Codewort Encoder

u = (u0, u1, …, uk1)

v = (v0, v1, …, vn1)

Bild 8-8 Abbildung durch den Encoder eines (n,k)-Blockcodes

Statt der k Bits des Nachrichtenwortes sind nun die n Bits des Codewortes zu übertragen. Man spricht von einer redundanten Codierung mit der Coderate

R

k n

(8.23)

Je kleiner die Coderate, umso mehr Redundanz besitzt die Codierung; desto größer ist allerdings auch der Übertragungsaufwand. Die Codierung linearer (n,k)-Blockcodes wird durch die Generatormatrix Gkun und die Codiervorschrift festgelegt. Es wird das Nachrichtenwort als Zeilenvektor von links mit der Generatormatrix multipliziert. v

u:G

(8.24)

Im Beispiel des (7,4)-Hamming-Codes besitzt die Generatormatrix vier Zeilen und sieben Spalten.

G 4u7

§1 ¨ ¨0 ¨1 ¨ ©1

1 0 1 0 0 0· ¸ 1 1 0 1 0 0¸ 1 1 0 0 1 0¸ ¸ 0 1 0 0 0 1¹

(8.25)

257

8.3 Kanalcodierung

Anwenden der Codiervorschrift für alle Nachrichten liefert alle Codewörter der Tabelle 8-7. Für das Nachrichtenwort u = (1 0 1 0) erhält man beispielsweise das Codewort

v

§1 ¨ 0 1 0 1 0 : ¨¨ 1 ¨ ©1

1

0 0 0· ¸ 0 1 0 0¸ 0 0 1 0¸ ¸ 0 0 0 1¹

0 1

1 1 1 1 0 1

0

0 1 1 0 1 0

(8.26)

In Tabelle 8-7 fällt auf, dass in allen Codewörtern das jeweilige Nachrichtenwort im hinteren Teil direkt abgelesen werden kann. Einen solchen Code bezeichnet man als systematisch. Bei einem systematischen Code kann die Nachricht direkt aus dem Codewort abgelesen werden. Dass ein systematischer Code vorliegt, ist an der Generatormatrix festzustellen. Es tritt die Einheitsmatrix Ik als Untermatrix auf.

G k un

Pkunk

Ik

(8.27)

Anmerkung: Ik steht für Identity Matrix. Der Index k gibt die Dimension der Matrix an. In der Literatur wird die Einheitsmatrix manchmal auch an den Anfang gestellt. Damit vertauschen sich nur die Plätze der Elemente im Codewort. An den Eigenschaften des Codes ändert sich nichts.

Demgemäß spricht man im Codewort von Nachrichtenzeichen und, wie später noch deutlich wird, von Prüfzeichen.

v

8.3.4

§ · ¨ v0 " vn k 1 vn k " vn 1 ¸ ¨ ¸ k Nachrichtenzeichen ¹ © n k Prüfzeichen

(8.28)

Syndromdecodierung

Die Aufgabe des Decoders ist es, anhand des Empfangsworts r und dem Wissen über die Codierung die gesendete Nachricht zu rekonstruieren. Im Beispiel des systematischen (7,4)-Hamming-Codes ist eine Fehlerprüfung einfach möglich. Da ein systematischer Code vorliegt, können die Nachrichtenzeichen des Empfangsworts neu codiert werden. Stimmen die so erzeugten Prüfzeichen nicht mit den empfangenen überein, liegt ein Fehler vor. Die Idee wird mathematisch als Prüfgleichungen formuliert. Für den (7,4)Hamming-Code ergeben sich aus der Codiervorschrift und der angenommenen Nachricht uˆ (r3 , r4 , r5 , r6 ) die drei Prüfgleichungen entsprechend den ersten drei Spalten der Generatormatrix.

8 Grundbegriffe der Informationstheorie und der Kanalcodierung

258

r0

r1

r3

r3

r4

r6

r5 r5

s1

r2 r4 r5 r6

Prüfzeichen

s0 s2

(8.29)

Codierungsvorschrift

Liefert eine Prüfsumme nicht 0, liegt ein Übertragungsfehler vor. Denn durch die Addition des jeweiligen Prüfzeichens r0, r1 bzw. r2 ergeben die Prüfgleichungen unter Beachtung der Modulo-2-Arithmetik bei Übereinstimmung den Wert 0. Die Prüfgleichungen eines systematischen linearen Blockcodes lassen sich direkt aus der Generatormatrix ablesen und in Matrixform angeben. Mit der Prüfmatrix

H n k un

I nk

PkTun k

(8.30)

erhält man die Prüfvorschrift der Syndromdecodierung mit dem Syndrom

s

r : HT

§ I · r : ¨ nk ¸ © Pk un k ¹

(8.31)

Ein Fehler wird erkannt, wenn mindestens ein Element des Syndroms ungleich 0 ist. Im Beispiel des (7,4)-Hamming-Codes erhält man für den Fall einer ungestörten Übertragung, d. h. r = v = (0011010),

s

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ 0 0 1 1 0 1 0 : ¨ 1 ¨0 ¨ ¨1 ¨1 ©

0 1 0 1 1 1 0

0· ¸ 0¸ 1¸ ¸ 0¸ 1¸ ¸ 1¸ 1 ¸¹

0

0 0

(8.32)

Tritt ein Übertragungsfehler auf, z. B. im vierten Element, d. h. r = (0010010), zeigt das Syndrom den Fehler an.

s

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ 0 0 1 0 0 1 0 : ¨ 1 ¨0 ¨ ¨1 ¨1 ©

0 0· ¸ 1 0¸ 0 1¸ ¸ 1 0¸ 1 1¸ ¸ 1 1¸ 0 1 ¸¹

1

1 0

(8.33)

259

8.3 Kanalcodierung

Probiert man alle möglichen Fehlerstellen einzeln durch, erhält man die Syndromtabelle für Einzelfehler in Tabelle 8-9. Man erkennt darin, dass der i-ten Fehlerstelle die i-te Spalte der Prüfmatrix als Syndrom zugeordnet ist. Da alle Zeilen von HT verschieden sind, kann die Fehlerstelle eindeutig erkannt und korrigiert werden. Anmerkung: Die Spalten von H sind verschieden, wenn Zeilen von Pkunk zueinander verschieden sind und mindestens zwei Elemente gleich 1 sind, was in Abschnitt 8.3.8 zur Konstruktion der HammingCodes noch benutzt wird.

Man beachte auch: Mit n k = 3 stehen drei Prüfstellen und somit drei Elemente für das Syndrom zur Verfügung. Damit lassen sich genau 23 = 8 verschiedene Syndrome darstellen. Das Syndrom mit nur „0“ in den Elementen zeigt den Empfang eines Codeworts an. Die restlichen sieben Möglichkeiten sind jeweils einer der n = 7 möglichen Fehlerstellen im Empfangswort zugeordnet. Tabelle 8-9 Syndromtabelle des (7,4)-Hamming Codes für Einzelfehler Fehlerstelle im Empfangswort r Syndrom s

r0

r1

r2

r3

r4

r5

r6

100

010

001

110

011

111

101

Die am Beispiel des (7,4)-Hamming-Codes eingeführten Größen und Beziehungen für lineare Blockcodes werden nachfolgend mithilfe der linearen Algebra zusammengefasst. Den Ausgangspunkt bildet der n-dimensionale binäre Vektorraum mit Modulo-2-Arithmetik. In ihm ist der k-dimensionale Unterraum C mit 2k Codewörtern eingebettet, siehe Bild 8-9. Der Code C wird durch k linear unabhängige Basisvektoren g1, ..., gk aufgespannt. Sie bilden die Zeilen der Generatormatrix des Codes.

G k un

§ g1 · ¨ ¸ ¨ # ¸ ¨g ¸ © k¹

Pkunk

Ik

(8.34)

Im Falle eines systematischen Codes kann die Generatormatrix in die Matrix P und die Einheitsmatrix I zerlegt werden. Zu C existiert ein dualer Unterraum Cd so, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren aus C und Cd stets null ergibt. Das heißt, alle Vektoren aus C sind zu allen Vektoren aus Cd orthogonal und alle Vektoren mit dieser Eigenschaft sind in den beiden Unterräumen enthalten. Der duale Vektorraum wird durch die n k linear unabhängigen Basisvektoren h1, ..., hn-k aufgespannt. Sie liefern die Prüfmatrix

H n k un

§ h1 · ¨ ¸ ¨ # ¸ ¨h ¸ © nk ¹

I nk

PkTun k

wobei der rechte Teil der Gleichung für systematische Codes gilt.

(8.35)

8 Grundbegriffe der Informationstheorie und der Kanalcodierung

260

n-dim. binärer Vektorraum mit Modulo-2-Arithmetik Code C

Code Cd

k-dim. Unterraum

(n-k)-dim. Unterraum

Nullvektor 0

Bild 8-9 Vektorraumstruktur des Codes

Bei der Syndromdecodierung benutzt der Empfänger die Eigenschaft der Orthogonalität des Codes.

G : HT

(8.36)

0

Für jedes Codewort v C liefert die Syndromberechnung den Nullvektor.

s

v : HT

(8.37)

0

Jedes Empfangswort, welches nicht im Code enthalten ist, führt zu einem vom Nullvektor verschiedenen Syndrom. s

r : HT z 0 für r C

(8.38)

Nachdem die Vektorraumstruktur des Codes betrachtet wurde, wenden wir den Blick wieder der Übertragung und der Decodierung zu. Für die Analyse der Syndromdecodierung kann die Übertragung wie in Bild 8-10 auf der Bitebene modelliert werden. Der Kanal stellt sich als Modulo-2-Addition (Exor-Verküpfung) des zu übertragenden Codewortes v mit dem Fehlerwort e (Error) dar. Ist das i-te Element des Fehlerworts „1“, so ist das i-te Element des Empfangsworts gestört. Das Fehlerereignis im letzten Beispiel, die Störung des vierten Elements im Empfangswort in (8.33), wird mit dem Fehlerwort e = (0 0 0 1 0 0 0) ausgedrückt. Die Syndromdecodierung liefert wegen der Linearität und der Orthogonalität

s

r : HT

v e : HT

e : HT

(8.39)

Kanal Nachrichtenwort u

Codewort Encoder

v

EXOR

Empfangswort r=v e

Decoder

e Fehlerwort Bild 8-10 Übertragungsmodell auf der Bitebene

decodiertes Nachrichtenwort

261

8.3 Kanalcodierung

Die Gleichung bildet die Grundlage für das Verständnis der Fehlererkennungs- und Fehlerkorrektureigenschaften der Syndromdecodierung. Es lassen sich die folgenden Fälle unterscheiden: Fall 1: s = 0 e C

mit

e=0

) fehlerfreie Übertragung

oder

ez0

) Restfehler, Fehler nicht erkennbar

Fall 2: s z 0 e C

) Übertragungsfehler wird erkannt

Für den Decodierprozess bedeutet das: Im 1. Fall gibt der Decoder das decodierte Nachrichtenwort aus. Ein Übertragungsfehler wird nicht erkannt. Im 2. Fall stellt der Decoder einen Übertragungsfehler fest. Er kann nun eine Fehlermeldung ausgeben und oder einen Korrekturversuch durchführen. Ein Beispiel mit dem (7,4)-Hamming-Code verdeutlicht das Fehlerkorrekturvermögen. Die Syndromtabelle zeigt, dass jeder Einzelfehler eindeutig erkannt wird. In diesem Fall ist es möglich, die Fehlerstelle zu korrigieren. Tritt jedoch ein Doppelfehler auf, wie bei u = (1 0 1 0), v = (0 0 1 1 0 1 0) und r = (1 1 1 1 0 1 0), so kann er am Syndrom nicht eindeutig erkannt werden. Im Beispiel erhält man als Syndrom die vierte Spalte der Prüfmatrix s = (1 1 0). Der Korrekturversuch würde einen Fehler in der detektierten Nachricht uˆ (0 0 1 0) erzeugen. Das Beispiel macht deutlich, dass der Einsatz der Kanalcodierung auf die konkrete Anwendung und insDer Decoder kann ein falsches besondere auf den Kanal bezogen werden muss. Liegt Nachrichtenwort ausgeben, wenn ein AWGN-Kanal wie in Abschnitt 5 vor, sind die ein Restfehler auftritt oder ein Übertragungsfehler unabhängig. Die Wahrscheinlichfehlerhafter Korrekturversuch keit für einen Doppelfehler ist demzufolge viel kleiner durchgeführt wird. als für einen Einfachfehler. Korrekturversuche werden dann in den meisten Fällen erfolgreich sein. Liegt ein Kanal mit nur Fehlerpaaren vor, z. B. durch Übersteuerungseffekte denkbar, ist die Korrektur von Einzelfehlern sinnlos. Anmerkung: Ebenso wichtig für die praktische Auswahl des Kanalcodierverfahrens sind die Einbeziehung der Eigenschaften der Sinke und die Frage nach den Bedingungen der technischen Realisierung.

8.3.5

Hamming-Distanz und Fehlerkorrekturvermögen

Im vorhergehenden Abschnitt wurden die grundsätzlichen Eigenschaften linearer binärer Blockcodes und der Syndromdecodierung vorgestellt und am Beispiel des (7,4)-HammingCodes veranschaulicht. Offen bleibt dort jedoch die Fragen: Was sind „gute Codes“ und wie findet man sie? Im Folgenden wird auf diese Fragen eine kurze einführende Antwort gegeben. Zum leichteren Verständnis des Decodiervorgangs benützt man die geometrische Vorstellung des Vektorraums. Bild 8-11 veranschaulicht einen Ausschnitt des n-dimensionalen binären Vektorraums mit den Codewörtern und den restlichen Vektoren. Der Nullvektor ist gesondert markiert. Der Encoder sende ein Codewort v1. Die Übertragung sei gestört. Es können die im letzten Abschnitt diskutierten drei Fälle auftreten:

8 Grundbegriffe der Informationstheorie und der Kanalcodierung

262 c erkennbarer und korrigierbarer Fehler

d erkennbarer Fehler

e1 v2

r1

e Restfehler

e3

e2

v1

v2

v1

r2

v1 r3 = v 2

Korrigierkugel zu v1 0

0

0

Bild 8-11 Vektorraum mit Codewörtern v und Empfangswörtern r

c Im ersten Fall sei die Störung durch den Fehlervektor e1 beschrieben. Man erhält das Empfangswort r1 innerhalb der grau unterlegten Korrigierkugel zu v1. Die Korrigierkugel eines Codeworts ist dadurch gekennzeichnet, dass alle Empfangswörter in der Korrigierkugel bei der Decodierung auf das Codewort abgebildet werden. Im Beispiel wird ein Fehler erkannt und das richtige Codewort v1 decodiert. d Im zweiten Fall sei e2 wirksam. Das Empfangswort r2 liegt in der Korrigierkugel von v2, sodass die Detektion das falsche Codewort v2 ergibt. Da das Empfangswort kein Codewort ist, wird ein Fehler erkannt. e Im dritten Fall wird das Codewort durch e3 in das Codewort v2 verfälscht und ein nicht erkennbarer Restfehler tritt auf.

Aus dem Bild wird deutlich, dass für das Fehlerkorrekturvermögen des Codes die Abstände zwischen den Codewörtern wichtig sind. Da es sich um binäre Vektoren handelt, muss der Abstand geeignet gemessen werden. Man definiert den Abstand zweier binärer Vektoren als die Zahl ihrer unterschiedlichen Komponenten und nennt ihn Hamming-Distanz

d vi , v j

n 1

¦ vi,l v j,l

(8.40)

l 0

Äquivalent zu (8.40) ist die Formulierung mit dem Hamming-Gewicht, der Zahl der von „0“ verschiedenen Elemente eines Vektors.

d vi , v j

wH vi v j

(8.41)

Ein kleines Beispiel mit den Codewörtern v1 = (1101000) und v2 = (0110100) aus Tabelle 8-7 veranschaulicht die letzten beiden Definitionen. Die Hamming-Distanz der beiden Codewörter beträgt

d v1 , v 2

1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0

4

(8.42)

und für das Hamming-Gewicht der Exor-Verknüpfung der beiden Codewörter gilt

d v1 , v 2

wH v1 v 2

wH ª¬1011100 º¼

4

(8.43)

263

8.3 Kanalcodierung

Will man den für das Fehlerkorrekturvermögen entscheidenden minimalen Abstand zwischen den Codewörtern bestimmen, so ist die Hamming-Distanz für alle Paare von Codewörtern zu betrachten. Da wegen der Abgeschlossenheit des Vektorraumes jede Linearkombination von Codewörtern wieder ein Codewort ergibt, ist die minimale Hamming-Distanz zweier Codewörter gleich dem minimalen Hamming-Gewicht im Code ohne Nullvektor. d min

min wH v

(8.44)

vC \^0`

Im Beispiel des (7,4)-Hamming-Codes ergibt sich aus Tabelle 8-7 die minimale HammingDistanz dmin = 3. Für das Fehlerkorrekturvermögen folgt aus den bisherigen Überlegungen und Beispielen: Ein linearer binärer (n,k)-Blockcode mit minimaler Hamming-Distanz dmin t 2t + 1 kann dmin 1 Fehler erkennen und bis zu t Fehler korrigieren.

8.3.6

Perfekte Codes und Hamming-Grenze

In Bild 8-11 wird der Fall ausgeklammert, dass ein Empfangswort keiner Korrigierkugel eindeutig zuzuordnen ist. Man spricht von perfekten oder dichtgepackten Codes wenn alle Empfangswörter innerhalb der Korrigierkugeln liegen und somit auch bei Übertragungsfehlern eindeutig decodiert werden können. Nur wenige bekannte Codes sind wie die Hamming-Codes perfekt. Ein Code ist perfekt oder dichtgepackt, wenn alle Empfangswörter innerhalb der Korrigierkugeln liegen.

Aus den Überlegungen zu perfekten Codes kann die Anzahl der Prüfstellen abgeleitet werden, die notwendig sind, um t Fehler korrigieren zu können.

Geht man von einem dichtgepackten linearen binären (n,k)-Blockcode mit minimaler HammingDistanz dmin = 2t + 1 aus, so existieren genau 2k Codewörter und damit 2k Korrigierkugeln. In jeder Korrigierkugel sind alle Empfangsvektoren mit Hamming-Distanz d d t vom jeweiligen Codevektor enthalten. Dann ist die Zahl der Empfangswörter in jeder Korrigierkugel

§n· §n· 1 n ¨ ¸ " ¨ ¸ 2 © ¹ ©t ¹

t

§n·

¦ ¨© l ¸¹

(8.45)

l 0

Da die Anzahl der korrigierbaren Empfangswörter nicht größer als die Gesamtzahl aller Elemente im n-dim. binären Vektorraum sein kann, folgt

2 n t 2k

t

l 0

und somit

§n·

¦ ¨© l ¸¹

(8.46)

264

8 Grundbegriffe der Informationstheorie und der Kanalcodierung

2n k t

t

§ n·

¦ ¨© l ¸¹

(8.47)

l 0

Die Gleichheit gilt nur bei perfekten Codes. Die Gleichung (8.47) wird die Hamming-Grenze genannt. Sie verknüpft die Anzahl der Prüfstellen n k mit dem Fehlerkorrekturvermögen t des Codes. Am Beispiel des (7,4)-Hamming-Codes mit t = 1 verifiziert man (8.47) schnell.

27 4

8.3.7

1 §7· 8 t ¦¨ ¸ l 0©l ¹

§7· §7· ¨ ¸ ¨ ¸ 1 7 ©0¹ ©1¹

8

(8.48)

Restfehlerwahrscheinlichkeit

Ausgehend von den bisherigen Überlegungen kann die Wahrscheinlichkeit für einen nicht erkannten Übertragungsfehler bestimmt werden. Ein Übertragungsfehler wird nicht erkannt, wenn das gesendete Codewort in ein anderes Codewort verfälscht wird. Aus der Abgeschlossenheit des Codes C folgt, dass das Fehlerwort selbst ein Codewort sein muss. Damit sind alle Fehlermöglichkeiten bestimmt und die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten Unabhängigkeit vorausgesetzt liefert die Restfehlerwahrscheinlichkeit. Hierzu gehen wir von unabhängigen Übertragungsfehlern mit der Wahrscheinlichkeit Pe für jedes Element, der Bitfehlerwahrscheinlichkeit, aus. Damit beispielsweise das Fehlerwort e = (0011010) resultiert, müssen genau drei fehlerhafte und vier fehlerfreie Bits auftreten. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist (Pe)3(1Pe)4. Man erkennt: für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlerworts ist das Hamming-Gewicht von e entscheidend. Für die Restfehlerwahrscheinlichkeit sind alle möglichen Fehlerwörter in Betracht zu ziehen. Demzufolge kommt es auf die Häufigkeiten der Hamming-Gewichte im Code, die Gewichtsverteilung des Codes, an. Mit Ai gleich der Anzahl der Codewörter mit Hamming-Gewicht i erhält man die Restfehlerwahrscheinlichkeit n

PR

¦

Ai Pei 1 Pe

n i

(8.49)

i d min

Für den (7,4)-Hamming-Code mit der minimalen Hamming-Distanz dmin = 3 kann die Gewichtsverteilung aus Tabelle 8-7 entnommen werden. Es gilt A0 = 1, A1 = A2 = 0, A3 = 7, A4 = 7, A5 = A6 = 0 und A7 = 1. Ist die Fehlerwahrscheinlichkeit Pe bekannt, liefert (8.49) die Restfehlerwahrscheinlichkeit in Tabelle 8-10. Eine Hilfe zur Interpretation der Zahlen liefert ein Beispiel: Soll ein Bitstrom von 4 Gbit/s übertragen werden, so fallen 109 Codewörter pro Sekunde an. Um bei der Bitfehlerwahrscheinlichkeit von Tabelle 8-10 Restfehlerwahrscheinlichkeit PR des (7,4)Hamming-Codes für die Bitfehlerwahr106 einen Restfehler zu erhalten, scheinlichkeit Pe sind im Mittel 71017 Codewörter zu übertragen. Bei der angegebenen Pe 103 104 105 106 8 Bitrate sind dafür 710 Sekunden, PR 7,0109 7,01012 7,01015 7,01017 also über 22 Jahre, notwendig.

265

8.3 Kanalcodierung

Die Bestimmung der Gewichtsverteilung kann bei längeren Codes aufwendig sein. Deshalb ist es wünschenswert, die Restfehlerwahrscheinlichkeit ohne Kenntnis der Gewichtsverteilung abzuschätzen. Eine einfache Abschätzung von oben liefert PR

n

Ped min

¦

i d min

Ai Pei d min 1 Pe 2k 1 Ped min

n i

(8.50)

1

Beispiel (7,4)-Hamming-Code

Bei einer binären Datenübertragung im Basisband werde ein (7,4)-Hamming-Code eingesetzt. Die Übertragung sei hinreichend genau durch das Modell eines AWGN-Kanals mit einem SNR von 6 dB und einer Bitrate von 16 kbit/s beschrieben. Wird ein Übertragungsfehler detektiert, so wird ein nochmaliges Senden des Codeworts veranlasst. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Codewort ungestört übertragen wird? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Übertragungsfehler nicht detektiert wird? c) Welche effektive Nettobitrate, tatsächlich im Mittel übertragene Zahl an Nachrichtenbits, stellt sich bei der Übertragung ein? Lösungen a) Ein Codewort wird dann fehlerfrei übertragen, wenn jedes einzelne Bit des Codeworts fehlerfrei detektiert wird. Da bei der Übertragung im AWGN die Detektion der Bits unabhängig ist, gilt mit Pe, der Wahrscheinlichkeit für einen Bitfehler, für die gesuchte Wahrscheinlichkeit P0

1 Pe 7

(8.51)

Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit kann Bild 5-17 entnommen werden. Pe | 0, 023

(8.52)

Es resultiert die gesuchte Wahrscheinlichkeit für ein fehlerfrei übertragenes Codewort

1 0, 023 7 | 0,85

P0

(8.53)

b) Die Wahrscheinlichkeit für einen unerkannten Übertragungsfehler, die Restfehlerwahrscheinlichkeit, ergibt sich nach (8.49) PR

7 0,0233 0, 9774 7 0,0234 0,9773 0, 0237 | 7, 9 105

(8.54)

Die obere Schranke (8.50) liefert einen ähnlichen Wert.

PR 2k 1 Ped min

15 0, 0233 | 18 105

(8.55)

c) Die effektive Bitrate des Kanals verringert sich durch das Nachsenden fehlerhaft erkannter Empfangswörter. Im Mittel werden nur etwa 85 % der Codewörter richtig empfangen. Der Fall des mehrmaligen Nachsendens wird der Einfachheit halber weggelassen. Der Fall der

8 Grundbegriffe der Informationstheorie und der Kanalcodierung

266

unerkannten Fehler kann hier wegen der kleinen Restfehlerwahrscheinlichkeit vernachlässigt werden. Die Zahl der tatsächlich pro Zeiteinheit übertragenen Nachrichtenbits ist nochmals kleiner, da die übertragenen Prüfbits abzuziehen sind. Man erhält insgesamt eine effektive Bitrate Rb,eff

k 4 0,85 16 kbit/s P0 Rb | | 7, 77 kbit/s n 7

(8.56)

Anmerkung: Das im Beispiel gewählte SNR von 6 dB liefert für eine übliche Bitübertragung eine untypisch große Bitfehlerwahrscheinlichkeit. Dementsprechend ungewöhnlich groß ist auch der Verlust an effektiver Bitrate.

_______________________________________________________________ Ende des Beispiels Im Beispiel wird die Abhängigkeit der Bitfehlerwahrscheinlichkeit von dem SNR im Übertragungsmodell des AWGN-Kanals angesprochen. Hier ergibt sich ein Aspekt der digitalen Übertragung, der nicht übersehen werden darf. Der Einfachheit halber gehen wir von einer binären Übertragung mit konstanter „Nutz“-Bitrate und gleichbleibender mittlerer Sendeleistung aus. Weiter sei das typische Modell des AWGNKanals mit Matched-Filterempfänger aus Abschnitt 5.5 zugrunde gelegt. Dann ist das SNR (5.15) proportional zur Dauer des Sendegrundimpulses. Der Übergang von den Nachrichtenwörtern mit vier Elementen auf die Codewörter mit sieben Elementen bewirkt, dass statt vier jetzt sieben Sendegrundimpulse im gleichen Zeitintervall zu übertragen sind. Folglich verkürzen sich die Sendegrundimpulse auf 4/7 der Dauer im uncodierten Fall. Die Energie der Sendegrundimpulse nimmt nun ebenfalls um den Faktor 4/7 ab, sodass sich das SNR um circa 2,4 dB verschlechtert. Oder umgekehrt, im uncodierten Fall läge ein SNR von 8,4 dB vor, was die Bitfehlerwahrscheinlichkeit (4-7) von Pb = 0,0043 ergibt. Im uncodierten Fall ist die Wahrscheinlichkeit für eine fehlerfreie Übertragung der vier Informationsbits wesentlich größer als in (8.53). P0

1 0, 0043 4 | 0,98

(8.57)

Zusammenfassend ist festzustellen: Durch die Codierung nimmt zunächst die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei der Übertragung im Kanal zu. Diesen Verlust gilt es, bei der Decodierung wettzumachen. Man spricht dann von einem Codierungsgewinn. Eine genauere Betrachtung des Problems führt auf ein Schwellenverhalten. Zunächst muss die Bitfehlerwahrscheinlichkeit durch konventionelle Mittel auf einen gewissen Wert reduziert werden, dann kann mit der Kanalcodierung die Bitfehlerwahrscheinlichkeit weitgehendst beliebig klein gehalten werden.

267

8.3 Kanalcodierung

8.3.8

Eigenschaften und Konstruktion der Hamming-Codes

Eine wichtige Familie von einfachen linearen Blockcodes bilden die Hamming-Codes. Für jede natürliche Zahl m t 3 existiert ein Hamming-Code mit folgenden fünf Eigenschaften: Codewortlänge

n = 2m 1

Anzahl der Nachrichtenstellen

k=nm

Anzahl der Prüfstellen

m=nk

Fehlerkorrekturvermögen

t = 1, dmin = 3

Perfekter Code

;

Die Konstruktion der Hamming-Codes erfolgt anhand der Prüfmatrix (8.35). Folgende Überlegungen liefern die Konstruktionsvorschrift. c Entsprechend den früheren Ergebnissen zur Syndromdecodierung kann jeder Einzelfehler nur dann eindeutig erkannt werden, wenn alle Spalten der Prüfmatrix paarweise verschieden sind. d Damit die Bedingung für die minimale Hamming-Distanz, dmin = 3, erfüllt ist, muss jede Zeile der Generatormatrix G mindestens dreimal 1 enthalten, weil jede Zeile von G selbst ein Codewort ist. Aus (8.34) folgt, dass dann jede Zeile der Matrix P bzw. jede Spalte der transponierten Matrix PT mindestens zweimal 1 aufweist. e Die transponierte Matrix PT liefert k unabhängige Spalten mit je m Zeilen zur Prüfmatrix. Da die Zeilenelemente der Spalten nur mit 0 oder 1 belegt werden können, existieren zunächst 2m Möglichkeiten verschiedene Spalten anzugeben. Weil in jeder Spalte mindestens zweimal 1 vorkommen muss, sind die Spalten mit nur 0 (1 Möglichkeit) und nur einer 1 (m Möglichkeiten) nicht zugelassen. Es verbleiben genau 2m m 1 = k Möglichkeiten unterschiedliche Spalten anzugeben.

Daraus folgt: Die Spalten der transponierten Matrix PT werden durch alle m-Tupel mit Hamming-Gewicht t 2 gebildet. Beispiel (15,11)-Hamming-Code

Das Beispiel des (15,11)-Hamming-Codes verdeutlicht den Zusammenhang.

H 4u15

§ ¨ 1 0 0 0 ¨ ¨ 0 1 0 0 ¨ 0 0 1 0 ¨ 0 0 0 1 ¨

¨ I4 ©

1 0 0 1 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0

1 1 0 1 1 1 1 0

0 0 1 0 1 1 0 1 1 1

Hamming Gewicht

wH 2

wH 3

· 1 ¸ ¸ 1 ¸ 1 ¸ ¸ 1 ¸ N ¸ wH 4 ¹

Aus der Prüfmatrix kann mit (8.35) und (8.34) die Generatormatrix bestimmt werden.

(8.58)

8 Grundbegriffe der Informationstheorie und der Kanalcodierung

268

G11u15

8.3.9

§ · ¨ 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ¸ ¨ ¸ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ¸ ¨ 0 1 1 0 ¨ 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ¸ ¨ ¸ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ¸ ¨ 1 0 1 0 ¨ ¸ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ¸ ¨ 0 1 0 1 ¨ 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ¸ ¨ ¸ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ¸ ¨ 1 1 1 0 ¨ 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ¸ ¨ ¸ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ¸ ¨ 1 0 1 1 ¨ 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ¸ ¨ ¸ ¨ 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ¸

¸ ¨© P I11 ¹ 11u4

(8.59)

CRC-Codes

Sollen Daten, z. B. beim Aktualisieren der Betriebssystem-Software, über das Internet oder LAN übertragen werden, so ist eine zuverlässige Erkennung von Bitfehlern in den Übertragungsrahmen unverzichtbar. Hierfür haben sich Cyclic Redundancy Check (CRC) Codes bewährt. In den einschlägigen Protokollen, siehe Abschnitt 6, werden ihre Prüfsummen in den Rahmenfeldern CRC, FCS (Frame Check Sequence), kurz auch Checksum, und HEC (Header Error Control) sichtbar. Für CRC-Codes sprechen die herausragenden Fehlererkennungseigenschaften und die flexible und effiziente Implementierung. Eine Fehlerkorrektur ist in gewissen Grenzen möglich. Auf sie wird jedoch in der Regel zugunsten einer zuverlässigeren Fehlererkennung verzichtet. Bild 8-12 zeigt das Prinzip der Fehlerprüfung. Die Berechnung der binären Prüfsumme FCS aus dem binären Nachrichtenwort u ist allgemein eine Funktion f (u). Das binäre Codewort v der Länge n liegt in systematischer Form vor, d. h. getrennt in k Nachrichtenstellen und (nk) Prüfstellen. Bei der Übertragung können in allen Elementen Bitfehler auftreten. Dabei wird angenommen, dass einzelne Bitfehler (Bit Error) oder Gruppen von Bitfehlern, Fehlerbündel (Error Burst) genannt, quasi zufällig im binären Empfangswort r erscheinen. Im Empfänger wird aus r der empfangene Nachrichtenanteil ur entnommen und dazu die Prüfsumme FCSc berechnet. Sind die empfangene Prüfsumme FCSr und die im Empfänger berechnete Prüfsumme FCSc verschieden, so liegt ein Übertragungsfehler im Nachrichtenteil und/oder der Prüfsumme vor. Man beachte: Die umgekehrte Aussage ist nicht richtig! Trotz identischer Prüfsummen kann eine Verfälschung eines Codewortes in ein anderes Codewort, ein sogenannter Restfehler, vorliegen. Die Wahrscheinlichkeit für einen Restfehler ist allerdings bei den üblichen CRC-Codes gering, wie noch gezeigt wird.

269

8.3 Kanalcodierung

Encoder

Sender

Rahmenprüfsumme

FCS = f (u) Nachrichtenwort u

u

FCS

Codewort v Kanal

Empfänger

Decoder FCSr

Fehler entdeckt

Nein

ur

FCSr = FCSc ?

r Empfangswort

FCSc = f (ur)

Ja Kein Fehler entdeckt Bild 8-12 Prinzip der Fehlerprüfung

Die Fehlerprüfung durch CRC-Codes beruht darauf, dass alle Codewörter als Produkt aus dem zugehörigen Nachrichtenwort und einem den Code erzeugenden Generatorwort dargestellt werden können. Mathematisch geschieht das mit der Polynomdarstellung der binären Nachrichtenwörter, Codewörter und Generatorwörter. Man spricht von Polynomen über dem GaloisKörper GF(2). Das heißt, die Bits der Wörter bilden entsprechend ihrem Platz im Wort die Koeffizienten der zugeordneten Polynome. Den eineindeutigen Zusammenhang zwischen der Vektordarstellung (Blockdarstellung) und der Polynomdarstellung zeigt das Zahlenwertbeispiel. u

(u0

u1 u2 )

(0 1 1) l u ( X )

u0 X 0 u1 X 1 u2 X 2

X X2

(8.60)

In der Polynomdarstellung spielt die Variable X selbst keine Rolle, außer dass der zugehörige Exponent die Position des Koeffizienten im Vektor anzeigt. Gerechnet wird mit den Polynomen wie gewohnt. Nur die Rechenoperationen der binären Koeffizienten werden nach der bekannten Modulo-2-Arithmetik durchgeführt. CRC-Codes stellen eine Erweiterung der Hamming-Codes dar. Um Nachrichtenwörter, die mehrere tausend Bits umfassen, effektiv zu codieren und zu decodieren, sind die Codier- und Decodiervorschrift mit der Generatormatrix bzw. Prüfmatrix nicht geeignet. Hier sind effektivere Algorithmen notwendig, die nur von zusätzlichen Strukturen im Code abgeleitet werden können. Eine wichtige Familie derartiger Codes sind die zyklischen linearen (n,k)-Blockcodes. Sie kennzeichnet zusätzlich, dass jede zyklische Vertauschung eines Codeworts stets wieder ein Codewort liefert. Diese zunächst wenig auffällige Eigenschaft liefert die Grundlage der CRC-Codes. Um den hier abgesteckten Rahmen nicht zu sprengen, wird auf die mathematische Herleitung zugunsten einer ausführlicheren Vorstellung der Anwendung verzichtet. Die mathematische Herleitung und weitere Literaturhinweise findet man z. B. in [Fri95], [LiCo04], [Wer08c].

8 Grundbegriffe der Informationstheorie und der Kanalcodierung

270

Ausgehend von einem primitiven Polynom p(X) mit einem Grad m eines zyklischen HammingCodes, wird das den Code erzeugende Generatorpolynom als Produkt definiert

gX

1 X p X

(8.61)

Ein derartiger Code wird auch Abramson-Code genannt. In Tabelle 8-11 sind einige wichtige meist von der ITU empfohlene Beispiele zusammengestellt. Es ergibt sich ein binärer zyklischer (n,k)-Code mit der Codewortlänge n, der Zahl der Prüfstellen r und der Zahl der Nachrichtenstellen k 2m 1 ; r

n

m 1 ; k

nr

(8.62)

Dabei ist die Zahl der Prüfstellen r gleich dem Grad des Generatorpolynoms g(X). Anmerkungen: (i) Der aus dem zyklischen (n,m)-Hamming-Code entstandene (n,k)-CRC-Code hat die gleiche Codewortlänge wie der Hamming-Code. Durch die Codeerweiterung ist die zu codierende Nachricht um eine Stelle verkürzt. Aus dem zyklischen (7,4)-Hamming-Code (m = 3) wird durch die Codeerweiterung der (7,3)-CRC-Code (r = 4) (ii) Ein Polynom p(X) vom Grad m über GF(2) wird primitiv genannt, wenn es (a) irreduzibel ist, d. h. durch kein anderes Polynom mit Grad größer null und kleiner m ohne Rest geteilt werden kann, und (b), wenn die kleinste Zahl n für die p(X) das Polynom X n + 1 ohne Rest teilt, n = 2m 1 ist. (iii) Primitive Polynome findet man durch gezieltes Probieren mit dem Computer oder entnimmt sie aus Tabellen in der Literatur. (iv) Eine Erweiterung der Theorie auf nichtbinäre Codes liefert die in der Informationstechnik verwendeten Reed-Solomon- (RS-) und die BoseChaudhuri-Hoquenhem (BCH-) Codes. (v) Man beachte, der Begriff CRC wird in der Literatur manchmal auch verwendet, wenn ein zyklischer Code eingesetzt wird, z. B. bei GSM in der Sprachübertragung oder bei der ISDN S2M-Schnittstelle. Tabelle 8-11 Generatorpolynome einiger wichtiger CRC-Codes (Abramson-Codes) Code

Generatorpolynom g(X) 2

CRC-5

4

1+X +X +X

1

CRC-8

Bluetooth DM-Rahmen

2

8

2

5

7

8

HEC bei Bluetooth

3

4

7

8

UMTS2

1+X+X +X

Header Error Control (HEC) bei ATM

1+X+X +X +X +X 1+X+X +X +X +X CRC-121

1 + X + X 2 + X 3 + X 11 + X 12 3

CRC-16 (IBM ) 1

2

15

5

12

1+X +X

+X

16

+X

16

1+X +X

CRC-24

5

6

1+X+X +X +X

23

2

4

5

1

2 3

UMTS Firmenspezifische Lösung

CRC-16

CRC-321

Anwendung

5

HDLC, LAPD, PPP, Bluetooth, UMTS, u. a. +X

24

7

UMTS 8

1+X+X +X +X +X +X +X + X 12 + X 16 + X 22 + X 23 + X 26 + X 32

10

+

HDLC, PPP, ATM AAL-Typ 5, u. a.

Comite Consultatif International des Télégraphes et Téléphones (CCITT), 1956 aus der International Telephone Consultative Committee (CCIF, 1924) und International Telegraph Consultative Committee (CCIT, 1925) entstanden. 1993 in der International Telecommunication Union (ITU) aufgegangen. Universal Mobile Telecommunications System (UMTS) International Business Machines (IBM), in den USA häufiger verwendet

271

8.3 Kanalcodierung

Die durch ein Generatorpolynom nach (8.61) definierten CRC-Codes haben bzgl. der Fehlererkennung besondere Eigenschaften: Alle Fehlermuster bis zum Hamming-Gewicht drei, d. h. bis zu drei fehlerhaften Bits im Empfangswort, werden erkannt. Alle Fehlermuster mit ungeradem Gewicht werden erkannt, also 1, 3, 5, 7, 9, … Bitfehler. Alle Fehlerbündel1 bis zur Länge m + 1 werden erkannt. Von allen möglichen Fehlerbündeln1 der Länge m + 2 wird nur eine Quote von 2m nicht erkannt. Von allen möglichen Fehlerbündeln1 mit größerer Länge als m + 2 wird nur eine Quote von 2(m+1) nicht erkannt. 1

einschließlich der End-around-Fehlerbündel, siehe Bild 8-13.

Anmerkung: Zyklische Codes mit Generatorpolynomen mit Grad r haben das gleiche Fehlererkennungsvermögen bzgl. der Fehlerbündel wie die CRC-Codes, wenn oben r statt m + 1 gesetzt wird.

0 ... 0 1001 0 … 0 0 ... 0 1101 0 … 0 0 ... 0 1011 0 … 0 0 ... 0 1111 0 … 0

0 ... 0 10001 0 … 0 0 ... 0 10111 0 … 0 0 ... 0 11111 0 … 0 0 ... 0 11001 0 … 0

Fehlerbündel der Länge 4

Fehlerbündel der Länge 5

11 0 ... 0 101 End-AroundFehlerbündel der Länge 5

Bild 8-13 Beispiele für Codewörter mit Fehlerbündel mit „1“ für einen Bitfehler und „0“ für keinen Bitfehler

Beispiel CRC-16-Codes Der CRC-16-Code in Tabelle 8-11 besitzt ein Generatorpolynom mit Grad r = m + 1 = 16. Den Nachrichten werden in den Codewörtern je 16 Prüfzeichen beigestellt. Die Länge der Codewörter beträgt n = 2m1 = 215 = 32768. Davon sind k = 32752 Nachrichtenstellen. Damit lassen sich binäre Nachrichten mit bis zu 212 = 2048 Oktette codieren. Anmerkungen: (i) Kürzere Nachrichten können gedanklich durch vorangestellte Bits mit den Werten 0 passend verlängert werden. Praktischerweise lässt man sie weg, so dass kein zusätzlicher Aufwand entsteht. Man spricht dann von verkürzten Codes. (ii) Verkürzte Codes haben weniger Bits und damit weniger mögliche Positionen für Bitfehler. Die Fehlerwahrscheinlichkeit, d. h. insbesondere die Restfehlerwahrscheinlichkeit, wird dadurch kleiner.

Durch den CRC-16-Code werden alle Fehlerbündel der Länge r = 16 erkannt. Sind im gesicherten Teil des Rahmens maximal zwei benachbarte Oktette von Bitfehlern betroffen, so wird ein Fehler angezeigt. Von Fehlerbündeln der Länge 17 werden 1215, d. h. mehr als 99,996 %, erkannt. Bei allen längeren Fehlerbündeln ist die Erkennungsquote größer als 99,9998 %. Bei den berechneten Quoten ist noch nicht berücksichtigt, dass alle Fehlerereignisse mit drei oder weniger Bitfehlern und alle ungeraden Anzahlen von Bitfehlern durch die Fehlerprüfung erkannt werden. _______________________________________________________________________________ Ende des Beispiels

8 Grundbegriffe der Informationstheorie und der Kanalcodierung

272

Bevor ein praktisches Zahlenwertbeispiel zur Fehlerprüfung vorgestellt werden kann, ist noch eine Modifikation des Algorithmus einzuführen. Die theoretischen Überlegungen gehen von der Produktdarstellung der Codewörter mit dem Generatorpolynom (8.61) aus. Dies führt allerdings nicht zu systematischen Codes. Mit einer relativ einfachen Modifikation kann ein äquivalenter systematischer Code angegeben werden. Es ergibt sich ein systematischer CRCCode mit gleichen Eigenschaften, wenn die um r Positionen verschobenen Nachrichtenwörter mit ihren Divisionsresten zu Codewörtern ergänzt werden. In der Polynomdarstellung X r u ( X ) b( X )

v( X )

(8.63)

Darin ist b(X) der Rest, der sich nach Division von X ru(X) mit dem Generatorpolynom ergibt

b( X )

X r u( X ) mod g( X )

(8.64)

Das Verfahren ermöglicht unmittelbar die Fehlerprüfung nach Bild 8-12. Es wird nachfolgend an einem Beispiel erläutert. Beispiel CRC-4-Code - Codierung und Fehlerprüfung Für das Beispiel wählen wir den CRC-4-Code mit dem Generatorpolynom mit Grad r = 4. gX

1 X p X 1 X 1 X X 3

1 X 2 X 3 X 4

(8.65)

Anmerkungen: (i) Man beachte die Modulo-2-Arithmetik in den Polynomkoeffizienten mit 11 = 0. (ii) p(X) = 1 + X + X 3 ist das primitive Polynom zum zyklischen (7,4)-Hamming-Code.

Es resultiert ein (7,3)-CRC-Code mit der Codewortlänge n = 7 und k = 3 Nachrichtenstellen. Die Codierung stellen wir beispielhaft für das Nachrichtenwort u = (1 0 1) vor. Hierfür dividieren wir X 4u(X) durch das Generatorpolynom g(X) mit dem euklidischen Divisionsalgorithmus in Tabelle 8-12. Wir erhalten das Codepolynom v(X) = X 6 + X 4 + X + 1 bzw. äquivalent den Codevektor v = (1 1 0 0 1 0 1). Das Empfangswort wird auf die Zugehörigkeit zum Code geprüft. Dazu führen wir erneut die Division mit dem Generatorpolynom durch, siehe Tabelle 8-13. Wie gefordert ergibt sich als Rest das Nullpolynom 0(X). Bei der Decodierung spricht man von dem Syndrom s(X), da im Falle s(X) z 0(X) ein Fehler sicher erkannt wird. Tabelle 8-12 Euklidischer Divisionsalgorithmus für die Codierung des CRC-4-Codes Verschobene Nachricht X

6

X6

+X +X 5

:

+X 4

4

+X 2 +X 4

+X 3

+X

4

+X

3

+X

4

+X

3

+X +X

2

+X

2

+X +1 X

+1

3

2

X +X +X +1

+X 2

X5 X5

Generatorpolynom

4

= b(X) Rest

Faktorpolynom =

X2 + X + 1

273

8.3 Kanalcodierung Tabelle 8-13

Euklidischer Divisionsalgorithmus für die Syndromberechnung (Fehlerprüfung) mit dem Empfangswort r = v = (1 1 0 0 1 0 1) Empfangspolynom

X

6

+X

X6

+X 5

+X 4

+X 2

5

+X

4

+X

4

+X

4

+X

+1

+X

+1

:

4

3

Faktorpolynom

2

X +X +X +1

=

X2 + X + 1

+X 2

X5 X

Generatorpolynom

4

+X

3

+X

3

+X

3

+X +X

2

+1

+X

2

+1 0

= 0(X) = s(X) Syndrom

Anmerkungen: (i) Syndrom, griechisch für das Symptom in der Medizin, an dem eine Krankheit erkannt werden kann. (ii) Der systematische Aufbau der Tabelle 8-12 und Tabelle 8-13 und ihrer Einträge verifiziert die allgemeine Gültigkeit des Codierverfahrens. Dass die guten Eigenschaften der Fehlererkennung des CRC-Codes zu g(X) tatsächlich vorliegen, d. h. der Code äquivalent ist, kann allgemein gezeigt werden.

Die Fehlererkennung demonstrieren wir an zwei Beispielen. Im ersten bringen wir einen Bitfehler in der ersten Nachrichtenstelle im Codewort ein und berechnen das Syndrom in Tabelle 8-14. Tabelle 8-14

Euklidischer Divisionsalgorithmus für die Syndromberechnung (Fehlerprüfung) mit dem Empfangswort r = (1,1,0,0,0,0,1), also Fehler bei r4

Empfangspolynom mit Fehler X

6

X6

+X 5

+X 4

X5

+X 4

5

4

X

+X

Generatorpolynom

+X

+1

+X

+1

:

4

3

2

X +X +X +1

Faktorpolyn. =

X2 + X

+X 2

+X

3

+X

3

+X +1

= s(X) z 0(X) Syndrom zeigt Fehler an!

Im zweiten Beispiel verifizieren wir die Behauptung, dass eine ungerade Anzahl von Bitfehlern stets erkannt wird. Dazu nehmen wir alle sieben Bits als gestört an und berechnen das Syndrom in Tabelle 8-15. Das Syndrom zeigt wie erwartet den Fehler an. _______________________________________________________________________________ Ende des Beispiels

Die Codier- und Decodieralgorithmen auf der Basis des euklidischen Divisionsalgorithmus sind oben in Form von systematischen Bearbeitungen von Tabellen realisiert. Eine Umsetzung in eine relativ einfache Hardware ist deshalb möglich. Es wird im Encoder und Decoder jeweils ein linear rückgekoppeltes Schieberegister benötigt. Die prinzipiellen Schaltungen erklären sich am einfachsten anhand eines Beispiels.

8 Grundbegriffe der Informationstheorie und der Kanalcodierung

274 Tabelle 8-15

Euklidischer Divisionsalgorithmus für die Syndromberechnung (Fehlerprüfung) mit dem Empfangswort r = (0 0 1 1 0 1 0) Empfangspolynom

+X

5

+X

5

+X

4

+X

3

+X

3

+X 4 +X

4

+X

Generatorpolynom 2

+X +X

3

3

2

X +X +X +1

Faktorpolynom =

X+1

+X +X 2

3

:

4

+X

+X

2

+1 +X

+1

Syndrom zeigt Fehler an!

Beispiel CRC-4-Code Schaltungen zur Syndromberechnung Wir beginnen der Einfachheit halber mit der Schaltung zur Syndromberechnung. Sie führt die Polynomdivision entsprechend dem euklidischen Divisionsalgorithmus wie in Tabelle 8-13 durch. Die Schaltung und ihre Funktion werden in Bild 8-14 gezeigt. Sie besteht aus einer Kette von sieben (n) 1-Bit-Registern. Die vier (r) letzten Register, s0 bis s3 (sr), sind die Syndromregister. Sie enthalten nach drei (k) Takten den Divisionsrest, das Syndrom. Dabei wird in zwei Phasen vorgegangen. Anmerkungen: (i) Die Ergänzungen in Klammern beziehen sich auf den allgemeinen Fall eines (n,k)CRC-Codes. (ii) Im Fall eines verkürzten Codes werden die nicht übertragenen Bits übersprungen.

Im ersten Schritt, der Ladephase, wird das Empfangswort rechtsbündig in die Registerschaltung geladen, d. h. s3 (sr) enthält v6 (vn1), s2 (sr1) enthält v5 (vn2), usw. In Bild 8-14 sind für v = (1 1 0 0 1 0 1) die Werte in der Zeile für den Takt „0“ eingetragen. Mit dem zweiten Schritt beginnt die Rückführungsphase. Das ganz rechte Syndromregister s3 (sr) koppeln wir entsprechend dem Generatorpolynom g(X), (g0 g1 g2 g3) = (1 0 1 1), zurück. Dabei wird jeweils eine Modulo-2-Addition eingesetzt. Nach dem ersten Takt erhalten wir in Bild 8-14 die zweite Zeile der Tabelle, nach dem zweiten Takt die dritte, usw. Nach drei (k) Takten resultiert der Divisionsrest in den Syndromregistern. Im Beispiel ist das Empfangswort ein Codewort. Das Syndrom ist demzufolge das Nullpolynom. _______________________________________________________________________________ Ende des Beispiels

Anmerkung: Unter Berücksichtigung der Eigenschaften des Galois-Körper GF(2) handelt es sich bei der Schaltung um ein rekursives lineares zeitinvariantes System. Man spricht deshalb auch von einem linear rückgekoppelten Schieberegister.

Die Codierung mit einer Schieberegisterschaltung, d. h. Ergänzen der Nachricht durch den Divisionsrest, geschieht ähnlich wie die Syndromberechnung. Durch eine leichte Modifikation ergibt sich eine besonders effiziente Schaltung. Zur Codierung ist die verschobene Nachricht, allgemein X ru(X), durch das Generatorpolynom zu dividieren. Die Verschiebung des Nachrichtenwortes um r Positionen nach rechts vor der Division ist äquivalent zu einer Einspeisung des Nachrichtenwortes nach dem Syndromregister sr.

275

8.3 Kanalcodierung

g0 Empfangswort

g1 = 0 s0

g2

s1

Takt

g3

s2

s3

Syndromregister

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

0

2 3

Bild 8-14 Schieberegisterschaltung zur Syndromberechnung für den CRC-4-Code mit dem Generatorpolynom g(X) = 1 + X 2 + X 3 + X 4

Beispiel CRC-4-Code Schaltungen zur Codierung Die Schaltung zur Codierung des CRC-4-Codes ist in Bild 8-15 zu sehen. Sie arbeitet in zwei Phasen, gekennzeichnet durch die Schalterstellungen c bzw. d. In der ersten Phase wird unten die Nachricht in drei (k) Takten in das Codewortregister geschoben und gleichzeitig oben in den b-Registern der Divisionsrest berechnet. Danach wird in der zweiten Phase in vier (r) Takten der Divisionsrest als Prüfstellen b0 bis b3 unten in das Codewortregister geschoben. Damit es dabei zu keiner Neuberechnung in den b-Registern kommt, wird oben die Rückführung aufgetrennt. Es ergibt sich schließlich das systematische Codewort, das nun übertragen werden kann. Das Zahlenwertbeispiel in Tabelle 8-12 kann in Bild 8-15 ganz entsprechend zu Bild 8-14 nachvollzogen werden. d Schalter g0

g2 b0

b1

Nachrichtenwort

g3 b2

S2

c b3

Schalter

d S1 u0

u1

u2

c

Codewort v0

v1

v2

v3

v4

v5

v6

b0

b1

b2

b3

u0

u1

u2

Bild 8-15 Schieberegisterschaltung zur Codierung für den CRC-4-Code mit dem Generatorpolynom g(X) = 1 + X 2 + X 3 + X 4 Anmerkung: Da im Internet nicht alle Stationen über spezielle Hardware zur Codierung und Decodierung der CRC-Codes verfügen, wird oft ein schneller Algorithmus eingesetzt, der sich auf eine oktettweise Decodierung mit vorbereiteten Tabellen stützt. Es wird eine höhere Geschwindigkeit mit höherem Speicherbedarf erkauft.

8 Grundbegriffe der Informationstheorie und der Kanalcodierung

276

Beispiel (10,15)-CRC-Code für Bluetooth Durchsatz Für die Datenübertragung in Kleinzellenfunknetzen mit Bluetooth ist ein Rate-2/3-Code optional. Es wird der zu übertragende Bitstrom in Blöcke à 10 Bits zerlegt und jeder Block um 5 Prüfbits ergänzt. Zum Einsatz kommt der (10,15)-CRC-Code mit dem Generatorpolynom aus Tabelle 8-11.

1 X p X 1 X 1 X X 4

gX

1 X 2 X 4 X 5

(8.66)

Aus dem Generatorpolynom leitet sich die Schaltung des systematischen Encoders in Bild 8-16 ab. Anmerkung: Eine Schaltung zur Decodierung mit Korrektur eines einzelnen Bitfehlers, Meggitt-Decoder genannt, findet man z. B. in [Wer08c].

d Schalter g0

g2 b0

b1

b2

b3

S2

c

g4 b4

Schalter d S1

Nachrichtenwort u0

u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7

u8

u9

c

Codewort v0

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8

v9 v10 v11 v12 v13 v14

b0

b1

b2

b3

b4

u0

u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7

u8

u9

Bild 8-16 Schieberegisterschaltung zur Codierung für den (10,15)-CRC-Code mit dem Generatorpolynom g(X) = 1 + X 2 + X 4 + X 5

Der CRC-Code erlaubt die Korrektur eines Bitfehlers und besitzt die oben genannten Fehlererkennungseigenschaften. Gehen wir vom üblichen Fehlermodell der unabhängigen Einzelfehler mit einer typischen Bitfehlerwahrscheinlichkeit von Pe = 103 aus, so ist die Wahrscheinlichkeit für eine fehlerfreie (successful) Übertragung bzw. fehlerhafte Ps

P0 P1

1 Pe 15 15 Pe 1 Pe 14 1 14 Pe 1 Pe 14 | 0, 999896 Ps

1 Ps | 1, 041 104

(8.67)

Die Wahrscheinlichkeit für einen unerkannten Fehler, einen Restfehler, kann mit der minimalen Hamming-Distanz dmin = 3 nach (8.50) abgeschätzt werden.

PR 2k 1 Ped min

210 1 Pe3

1,023 106

(8.68)

277

8.3 Kanalcodierung

Von allen Fehlerbündel beliebiger Länge werden bei einem CRC-Code höchstens 2m =24 = 1/16 nicht erkannt. Also kann die obere Grenze für den Restfehler noch etwas enger gezogen werden.

PR 2 m 2k 1 Ped min

0,64 106

(8.69)

Anmerkung: Die tatsächliche Restfehlerwahrscheinlichkeit lässt sich durch eine Monte-Carlo-Simulation schätzen, wenn sie nicht so klein ist, sdass überlange Rechenzeiten auftreten.

Für Anwender ist der Datendurchsatz wichtig, d. h. wie viele Bits werden pro Zeit im Mittel übertragen. Mit obigen Überlegungen sind die Grundlagen gelegt, um der Frage nach dem Durchsatz noch etwas nachzugehen und wertvolle Hinweise für die Anwendung zu gewinnen. Die Funkübertragung geschieht bei Bluetooth im Zeitmultiplex mit Zeitschlitzen der Dauer von 625 Ps. Unter anderem sind für die (Daten-)Rahmen (Baseband Packet) die drei Formate, DM1, DM3 und DM5 (Data medium speed) definiert. Dabei belegen die Rahmen 1, 3 bzw. 5 Zeitschlitze. Sie enthalten 240, 1500 bzw. 2745 Bits im jeweiligen Datenfeld, sodass bei der Coderate 2/3 160, 1000 bzw. 1830 Informationsbits pro Rahmen übertragen werden. Ein Rahmen wird störungsfrei übertragen, wenn alle Codewörter richtig empfangen werden die relativ unwahrscheinlichen Restfehler können vernachlässigt werden. Damit ergibt sich mit L, der Anzahl der Codewörter im Rahmen, die Wahrscheinlichkeit für die erfolgreiche Übertragung bzw. nicht erfolgreiche

Ps,Rahmen

PsL bzw. Ps,Rahmen

1 PsL

(8.70)

Dementsprechend beträgt der relative Durchsatz an Rahmen

Drel

Ps,Rahmen

ª1 P 15 15 P 1 P 14 º e e e «¬ »¼

L

(8.71)

Einen interessanten Aufschluss über die Leistungsfähigkeit der Formate in Abhängigkeit von der Übertragungsqualität liefert die Auswertung des relativen Durchsatzes bzgl. der Zahl der übertragenen Nachrichtenbits und der belegten Zeitschlitze für typische Bitfehlerwahrscheinlichkeiten. Die Berechnung der Formel (8.71) für die drei Formate liefert die Grafen in Bild 8-17. Bei geringer Bitfehlerwahrscheinlichkeit, links im Bild, besitzt das Format DM5 den größten Durchsatz. Nimmt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit zu, nimmt der Durchsatz ab, da weniger Rahmen erfolgreich übertragen werden. Etwa ab der Bitfehlerwahrscheinlichkeit 3103 schneidet das Format DM3 besser ab; die Wahrscheinlichkeit eines Bitfehlers ist bei kürzerem Rahmen geringer. Ab der Bitfehlerwahrscheinlichkeit von circa 102 ist es günstiger, das Rahmenformat DM1 zu verwenden. Die relativ einfachen Modellüberlegungen zeigen bereits, dass es für einen möglichst hohen Durchsatz vorteilhaft ist, unterschiedliche Rahmenlängen zu definieren und die Formate, entsprechen der Übertragungsqualität, umzuschalten. Insbesondere liefert Bild 8-17 mit den beiden Schnittpunkten der Grafen (o) Zahlenwerte für die Umschaltpunkte. Anmerkungen: (i) In der Literatur werden unter Berücksichtigung weiterer bluetoothspezifischer Überlegungen für die drei Rahmenformate im ungestörten Fall die gerundeten Werte 109, 387 bzw. 478 kbit/s als maximale Durchsätze angegeben. (ii) Ähnliche Überlegungen zeigen, dass bei einem Verzicht auf die Rate 2/3-Codierung mit Fehlerkorrektur der Durchsatz bereits ab einer Bitfehlerrate von 103 deutlich einbricht.

8 Grundbegriffe der Informationstheorie und der Kanalcodierung

278

400

DM5

Durchsatz in Bit pro Zeitschlitz

350 300

DM3

250 200 150

DM1 100 50 0 104

103

102

101

Bitfehlerwahrscheinlichkeit Pe Bild 8-17 Bitdurchsatz bei Bluetooth für die drei Rahmenformate DM1, DM3 und DM5 in Abhängigkeit von der Übertragungsqualität, der Bitfehlerwahrscheinlichkeit Pe

8.4

Zusammenfassung

Information ist in unserer alltäglichen Vorstellung subjektiv und kontextbezogen. Will man Information im physikalisch-technischen Sinne erfassen, so ist eine Definition als messbare Größe notwendig. Hier hat sich die axiomatische Definition durch Shannon bewährt. Zu deren Verständnis geht man von der Vorstellung aus, dass Information Ungewissheit auflöst. Ungewissheit herrscht überall da, wo ein Zufallsexperiment stattfindet. Ist der Versuchsausgang bekannt, ist die Ungewissheit beseitigt. Jedes Ereignis eines Zufallsexperimentes besitzt demzufolge einen Informationsgehalt. Shannon weist den Ereignissen eines Zufallsexperimentes einen Informationsgehalt nach ihren Auftrittswahrscheinlichkeiten zu. Dabei erweist es sich als nützlich, das Negative des Logarithmus der Auftrittswahrscheinlichkeit zu verwenden. Im Falle des Zweierlogarithmus wird die Pseudoeinheit „bit“ gesetzt. Sie spiegelt die praktische Anwendung wider. So kann eine Informationsquelle mit mittlerem Informationsgehalt, Entropie genannt, nach dem Quellencodierungstheorem auch prinzipiell durch einen binären Code dargestellt werden, dessen mittlere Codewortlänge in Binärzeichen beliebig nahe an die Entropie herankommt. Ein praktisches Verfahren hierzu ist die redundanzmindernde Huffman-Codierung. Zu der Frage „Was ist Information?“ kommt in der Nachrichtentechnik eine zweite wichtige Frage hinzu: Wie kann die Information gegen technische Fehler bei der Übertragung und Speicherung geschützt werden? Die Antwort darauf liefert die Kanalcodierung. Durch gezieltes Hinzufügen von Prüfzeichen können Fehler erkannt und gegebenenfalls korrigiert werden. In einfacher Form geschieht dies bei Paritätscodes. Eine wichtige Codefamilie bilden die linearen Blockcodes, wie z. B. die Hamming-Codes. Die Codewörter linearer Blockcodes werden als binäre Vektoren aufgefasst.

279

8.5 Aufgaben zu Abschnitt 8

Codierung und Fehlerdetektion durch die Syndromdecodierung fußen auf den Eigenschaften des zugrunde liegenden Vektorraums. Wichtig ist der minimale Hamming-Abstand. Er gibt an, an wie vielen Stellen sich die Codewörter mindestens unterscheiden und damit, wie robust der Code gegen Übertragungsfehler ist. Die Syndromdecodierung ist nicht perfekt, Restfehler sind nicht ausgeschlossen. Die Restfehlerwahrscheinlichkeit kann jedoch kontrolliert werden. In der Praxis besonders nützlich hat sich eine spezielle Art der linearen Blockcodes erwiesen, die CRC-Codes. Fordert man, dass jede zyklische Vertauschung eines Codeworts eines linearen Blockcodes wieder ein Codewort liefert, entsteht die Familie der zyklischen Codes. CRCCodes besitzen neue mathematische Eigenschaften, die besonders nützlich sind für effektive Konstruktion der Codes, effiziente Codier- und Decodierschaltungen mit Schieberegistern und nicht zuletzt hervorragende Fehlererkennungseigenschaften, also geringe Restfehlerwahrscheinlichkeit. Letzteres macht sie besonders interessant für alle Arten der gesicherten, rahmenorientierten Datenübertragung mit Fehlerüberwachung und Wiederholungsanforderung.

8.5

Aufgaben zu Abschnitt 8

Aufgabe 8.1

Einer diskreten gedächtnislosen Quelle mit acht Zeichen sind die Wahrscheinlichkeiten pi in Tabelle A8.1 zugeordneten.

Tabelle A8.1 Wahrscheinlichkeiten der Zeichen xi i

1

2

3

4

5

6

7

8

pi

1/2

1/4

1/8

1/16

1/32

1/64

1/128

1/128

Berechnen Sie den Entscheidungsgehalt, die Entropie und die Redundanz der Quelle. Aufgabe 8.2

Einer diskreten gedächtnislosen Quelle mit sechs Zeichen sind die Wahrscheinlichkeiten pi in Tabelle A8.2 zugeordneten. a) Berechnen Sie den Entscheidungsgehalt, die Entropie und die Redundanz der Quelle.

Tabelle A8.2 Wahrscheinlichkeiten der Zeichen xi i

1

2

3

4

5

6

pi

0,08

0,20

0,05

0,12

0,30

0,25

b) Führen Sie eine Huffman-Codierung durch und geben Sie die Effizienz des Codes an. c) Skizzieren Sie den Codebaum zum Huffman-Code. Aufgabe 8.3

Eine diskrete gedächtnislose Quelle habe das Alphabet X = {x1, x2, ..., x4} mit den in Tabelle A8.3 zugeordneten Wahrscheinlichkeiten pi.

Tabelle A8.3 Wahrscheinlichkeiten der Zeichen xi i

1

2

3

4

a) Führen Sie eine Huffman-Codierung durch.

pi

0,4

0,2

0,2

0,2

b) Führen Sie erneut eine Huffman-Codierung durch, wobei Sie x1 beim Zusammenfassen zuletzt mit einbeziehen. Welcher der beiden Codes ist zur Datenübertragung besser geeignet? Begründen Sie Ihre Antwort.

8 Grundbegriffe der Informationstheorie und der Kanalcodierung

280 Aufgabe 8.4

Eine diskrete gedächtnislose Quelle habe den Zeichenvorrat X = {x1, x2, ..., x6} mit den in Tabelle A8.4 zugeordneten Wahrscheinlichkeiten pi. a) Berechnen Sie den Entscheidungsgehalt, die Entropie und die Redundanz der Quelle. b) Führen Sie eine für die Datenübertragung günstige Huffman-Codierung durch und geben Sie die Effizienz des Codes an.

Tabelle A8.4 Wahrscheinlichkeiten der Zeichen xi i

1

2

3

4

5

6

c) Skizzieren Sie den Codebaum zum Huffman-Code.

pi

0,4

0,2

0,2

0,1

0,05

0,05

Aufgabe 8.5

a) Überprüfen Sie die Richtigkeit der ISBN-Nummer 3-528-03951-5. b) Bestimmen Sie die ISBN-Nummer für ein Buch des Verlages Mc Graw-Hill, U.S.A., mit der Verlagskennung 07 und der internen Nummer 085971. Aufgabe 8.6

Zu einem linearen, binären und systematischen (6,3)-Blockcode sind die Gleichungen zur Berechnung der Prüfzeichen gegeben. v1

u1 u2 , v2

u1 u2 u3

und v3

u1 u3

a) Geben Sie die Generatormatrix an. b) Stellen Sie die Codetabelle auf. c) Geben Sie die minimale Hamming-Distanz des Codes an. d) Es wird r = (110110) empfangen. Geben Sie die Nachricht an. Führen Sie gegebenenfalls eine Fehlerkorrektur durch. Aufgabe 8.7

Zur Fehlererkennung werden die sieben Bits der ASCII-Zeichen (American Standard Code for Information Interchange) oft durch ein Paritätsbit zu einem Datenwort ergänzt. Tatsächlich war dieser Gedanke der Grund dafür, dass man sich beim ASCII-Code auf 27 = 128 Symbole beschränkte, um mit dem Paritätsbit die typische Wortlänge von 8 Bit = 1 Byte zu erreichen. Man unterscheidet zwischen gerader und ungerader Parität. Bei gerader Parität werden die 7 Bits des ASCII-Zeichens durch das Paritätsbit so ergänzt, dass die Modulo-2-Addition aller 8 Bits, die Prüfsumme, „0“ ergibt. Bei ungerader Parität liefert die Prüfsumme den Wert „1“. Für die folgenden Überlegungen wird eine Störung entsprechend dem AWGN-Kanalmodell mit der Bitfehlerwahrscheinlichkeit Pe angenommen. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für ein fehlerfreies Datenwort. b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen erkennbaren Wortfehler. c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen nicht erkennbaren Wortfehler. d) Schätzen Sie die Größen in (a), (b) und (c) für Pe = 103, 106 und 109 ab.

8.5 Aufgaben zu Abschnitt 8

281

Aufgabe 8.8

Bei einer binären Datenübertragung im Basisband wird ein (7,4)-Hamming-Code eingesetzt. Die Übertragung kann hinreichend genau durch das Modell eines AWGN-Kanals mit einer Bitfehlerwahrscheinlichkeit Pe = 106 und einer Bitrate von 16 kbit/s beschrieben werden. Wird ein Übertragungsfehler detektiert, so wird ein nochmaliges Senden des Codeworts veranlasst. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Codewort ungestört übertragen wird? b) Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit ab, dass ein nicht erkennbarer Übertragungsfehler auftritt. c) Welche effektive Nettobitrate (tatsächlich im Mittel übertragene Zahl an Nachrichtenbits) stellt sich bei der Übertragung näherungsweise ein? Aufgabe 8.9

Nennen Sie die Vor- und Nachteile der Huffman-Codierung. Aufgabe 8.10

Erklären Sie den Begriff Restfehlerwahrscheinlichkeit im Zusammenhang mit der SyndromDecodierung. Aufgabe 8.11

Was versteht man unter einem CRC-Code? Warum werden CRC-Codes in der Datenübertragungstechnik häufig eingesetzt? Begründen Sie Ihre Antwort. Aufgabe 8.12

Erklären Sie das Prinzip der Fehlerprüfung mit Prüfsummen. Werden bei der mit CRC-Code geschützten Datenübertragung alle Fehler erkannt? Begründen Sie Ihre Antwort. Aufgabe 8.13

Bei der Übertragung von ATM-Zellen wird das HEC-Feld mit der CRC-8-Prüfsumme nach Tabelle 8-11 gesetzt. a) Welche Codewortlänge besitzt der CRC-8-Code? Wie groß ist der Nachrichtenanteil? b) Nimmt die Fehlerwahrscheinlichkeit bei Codeverkürzung zu, bleibt gleich oder nimmt ab? Begründen Sie Ihre Antwort. c) Codieren Sie die Nachricht u = (1 0 1 0 … 0). d) Ist im Empfangswort r = (0 0 1 1 0 0 0 1 0 … 0) ein Fehler enthalten? Begründen Sie Ihre Antwort.

282

9

Mobilkommunikation

Im 19. Jahrhundert begann mit der Telegrafie und später dem Telefon der Siegeszug der elektrischen Nachrichtentechnik. 1832 sagte Michael Faraday die Existenz elektromagnetischer Wellen voraus. 1864 stellte James C. Maxwell die grundlegende mathematische Theorie bereit und beschrieb die Wellenausbreitung 1873. Und als 1888 Heinrich R. Herz die experimentelle Bestätigung der maxwellschen Theorie gelang, war die Zeit reif für die drahtlose Telegrafie. Bereits 1895 führten Guglielmo M. Marconi in Bologna, Alexander St. Popov in Sankt Petersburg und Ferdinand Schneider in Fulda die drahtlose Telegrafie vor. 1899 gelang Marconi die Funkübertragung von Morsezeichen über den Ärmelkanal (52 km) und 1901 von England nach Neufundland (3600 km). Anmerkung: In Deutschland unternahmen zunächst A. K. H. Slaby und G. W. A. H. v. Arco Funkexperimente in größerem Maßstab, wobei militärische Anwendungen im Blickpunkt lagen.

Vor 1900 wurde die drahtlose Telegrafie bereits für die Seenotrettung eingesetzt. Schon 1901 experimentierte Marconi mit einer Funkanlage in einem Autobus. Zunächst waren jedoch die Funkgeräte und die benötigten Generatoren bzw. Batterien groß und schwer. Und weil bei den anfänglich niedrigen Frequenzen Antennen großer Abmessungen eingesetzt werden mussten, wurden die Funkgeräte zunächst in Schiffen und erst später in Flugzeugen und Kraftfahrzeugen eingebaut. Erst die Miniaturisierung durch die Mikroelektronik, die mit der Erfindung des Transistors 1947 durch J. Bardeen, W. H. Brattain und W. Shockley eingeleitet wurde, machte Funkgeräte „tragbar“. Heute ermöglicht die Mikroelektronik, komplexe Signalverarbeitungsalgorithmen der modernen Nachrichtentechnik in handliche und bezahlbare Geräte zu integrieren. Im Folgenden werden wichtige technische Grundlagen der modernen Mobilkommunikation mit Blick auf die Systemlösungen vorgestellt. Zunächst wird mit GSM (Global System for Mobile Communications) ein öffentliches, zellulares, digitales Mobilfunknetz erläutert. Es wurde primär für die leitungsvermittelte Sprachtelefonie entwickelt und wird darum als Mobilfunknetz der 2. Generation bezeichnet. Die ersten GSM-Netze gingen 1991/92 in den kommerziellen Betrieb. Anmerkungen: (i) Als Netze der 1. Generation, werden die früheren analogen Netze wie das A-, B- und C-Netz in Deutschland bezeichnet. (ii) Das C-Netz benutzte bereits eine digitale Signalisierung, die Sprachübertragung war jedoch analog.

Danach wird die Ergänzung von GSM zu einem paketvermittelten Datennetz vorgestellt: GPRS (General Packet Radio Service) genannt und 2001 kommerziell eingeführt. Man bezeichnet GPRS als ein Netz der 2,5-ten Generation, einen Zwischenschritt zur 3. Generation. Mit UMTS (Universal Mobile Telecommunication System) wird die 3. Generation von öffentlichen Mobilfunknetzen behandelt. Erstmals steht damit ein System zur Verfügung, das primär für paketorientierte Datenübertragungen und Multimediaanwendungen konzipiert wurde. Dementsprechend werden an UMTS besondere Anforderungen an Flexibilität und Übertragungskapazität gestellt. Für den schnellen Datentransfer wurde die UMTS-Erweiterung HSPA (High Speed Packet Access) eingeführt und die Bezeichnung 3,5-te Generation vergeben.

M. Werner, Nachrichtentechnik, DOI 10.1007/978-3-8348-9742-8_9, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010

9.1 Global System for Mobile Communications (GSM)

283

Seit 2010 ist die 4. Mobilfunkgeneration im Probebetrieb LTE (Long Term Evolution) für UMTS. Damit sollen die öffentliche Mobilkommunikation und die drahtlose Vernetzung von Notebooks und Smartphones über WLAN (Wireless Local Area Network) weiter zusammenwachsen.

9.1

Global System for Mobile Communications (GSM)

9.1.1

Mobilkommunikation für jedermann

Anfang der 1990er Jahre ist in Deutschland die Mobilkommunikation durch die digitalen Mobilfunknetze D1 und D2 erstmals für die breite Öffentlichkeit erschwinglich geworden. Der heute erreichte Ausbau mit vier Netzbetreibern ermöglicht einen Zugang praktisch „überall und jederzeit“, siehe Bild 9-1. Darüber hinaus stellt GSM Merkmale zur Verfügung, die unter dem Schlagwort intelligente Netze die modernen öffentlichen Telekommunikationsnetze prägen. Darunter versteht man Telekommunikationsnetze, die durch den massiven Einsatz von Mikrocomputern zur Informationsverarbeitung die nötige Flexibilität und „Intelligenz“ besitzen, um die Teilnehmermobilität und die kundenspezifischen Dienstanforderungen zu ermöglichen. Das Angebot an mobilen Telekommunikationsdiensten, kurz Teledienste genannt, ist bei GSM noch eingeschränkt. Mobilfunknetze der 2. Generation sind primär auf die leitungsvermittelte Sprachübertragung und „schmalbandige“ Teledienste, wie die Übermittlung von Kurznachrichten, ausgelegt. Die Erwartungen der Konsumenten stellen an Mobilfunknetze hohe Anforderungen bei schwierigen physikalischen Ausbreitungsbedingungen der Funkwellen. Dieser Abschnitt will einen Einblick in die Mobilkommunikation am Beispiel des weltweit am meisten verbreiteten Mobilfunksystems GSM geben und so auch eine Vorstellung vermitteln, welch enormer technischer und organisatorischer Aufwand für die moderne Mobilkommunikation erforderlich ist. Mit GSM wurden zentrale Fragen der Mobilkommunikation beispielhaft beantwortet. Auch wenn heute die 4. Mobilfunkgeneration vor der Einführung steht, ist ein guter Weg sich in den Mobilfunk einzuarbeiten, mit dem vergleichbar übersichtlichen GSM zu beginnen.

Durchdringung

100 % 80 % 56,1

60 %

59,1

64,8

48,2 40 %

23,5 13,9

20 % 1

1,8

2,5

1992

1993

1994

3,8

5,6

8,3

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

Jahr

Bild 9-1 GSM-Teilnehmer in Deutschland in Millionen [Quelle: Der Spiegel 12/04] bei circa 82,5 Millionen Einwohnern in Deutschland 2003 und prozentualer Anteil an der Bevölkerung (Durchdringung)

284

9 Mobilkommunikation

Die technische Grundlage für GSM ist der GSM-Standard, eine umfassende Empfehlung für den Aufbau und den Betrieb eines kompletten Mobilfunksystems. Die Geschichte von GSM beginnt etwa 1979. Einige wichtige Stationen der Entwicklung sind: 1979 Freigabe des Frequenzspektrums für die öffentliche Mobilkommunikation durch die World Administrativ Radio Conference (WARC). 1982 Einsetzen der Studiengruppe Groupe Spéciale Mobile durch die Conférence Européen des Administrations des Postes et des Télécommunications (CEPT). 1987 Vorlage des Systemkonzepts. Wesentliche europäische Netzbetreiber verpflichten sich zur Einführung von GSM-Netzen ab 1991/92. 1988 Spezifizierung von GSM durch das European Telecommunications Standards Institute (ETSI) beginnt. 1992 In Deutschland werden unter den Namen D1 (T-Mobile Deutschland) und D2 (Vodafone D2) Mobilfunknetze nach dem GSM-Standard in Betrieb genommen; 1994 folgt EPlus (E-Plus Mobilfunk) und 1998 E2 (O2 Germany). 1993 Die GSM-Netze erreichen weltweit über 1 Million Teilnehmer. 1995 Die GSM Phase 2 mit Zusatzdiensten, wie FAX-Daten und Short Message Service (SMS), wird verabschiedet und 1996 eingeführt. Das verbesserte Sprachcodierverfahren Enhanced Full Rate Codec (EFR) wird eingesetzt. Das erste GSM-Netz in den USA geht in den kommerziellen Betrieb. 1997 ETSI standardisiert den Paketdatendienst General Packet Radio Service (GPRS) für GSM Das Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) verabschiedet die WLANEmpfehlung IEEE 802.11 mit bis zu 2 Mbit/s im 2,4 GHz-ISM-Band 1999 ETSI standardisiert die 3. Generation von Mobilfunksystemen Universal Mobile Telecommunication System (UMTS, Release 3, auch unter Release 99 bekannt) 2000 Die schnellere Datenübertragung High Speed Circuit Switched Data (HSCSD) wird verfügbar. Auf der CeBIT 2000 wird GPRS mit der Datenrate von 53,6 kbit/s vorgeführt. Die Versteigerung der UMTS-Lizenzen in Deutschland erbringt circa 50 Milliarden Euro. 2001 Die GSM Phase 2+ geht mit dem General Packet Radio Service (GPRS) Phase 1 in den kommerziellen Betrieb. Die Einführung eines neuen Kanalkodierverfahrens ermöglicht in einem Verkehrskanal eine maximale Datenrate von 14,4 statt bisher 9,6 kbit/s. Erste umfangreichere Feldversuche mit UMTS auf der Isle of Man. 2002 GPRS Phase 2 mit Bitraten bis 112 kbit/s geplant; Datenübertragung mit Enhanced Data Rates for GSM Evolution (EDGE). In Österreich geht ein UMTS-Netz in den kommerziellen Betrieb. UMTS Release 5 mit HSDPA (High-Speed Downlink Packet Access) wird verabschiedet. Für Kleinstfunkzellen und Kurzstreckenkommunikation wird von einem Firmenkonsortium (Special Interest Group) die Empfehlung Bluetooth V1.1 eingeführt 2003 WLAN-Empfehlung IEEE 802.11g mit OFDM und bis zu 54 Mbit/s im 2,4 GHz-ISMBand

9.1 Global System for Mobile Communications (GSM)

285

2004 GSM ist der weltweit führende Mobilfunkstandard mit mehr als 1,2 Milliarden Teilnehmern; UMTS-Netze in Deutschland im kommerziellen Betrieb; Weiterentwicklung der Bluetoothempfehlung verabschiedet: Bluetooth V2.0 + EDR (Enhanced Data Rate). 2006 Über 2 Milliarden GSM-Teilnehmer 2007 Weltweit werden mehr als 1 Milliarde Mobilfunkgeräte im Gesamtwert von über 140 Milliarden US-Dollar verkauft. Anmerkung: Mit der Weiterentwicklung des Mobiltelefons (Mobile Phone) zum praktischen Multifunktionsgerät scheint der zunächst in Deutschland verbreitete Name „Handy“, englisch unter anderem für bequem oder praktisch, erstmals angemessen. Die logische Weiterentwicklung stellen heute die sogenannten Smartphones dar, die die Eigenschaften eines Personal Digital Assistant (PDA) mit denen eines Mobiltelefons verbinden.

2008 Mehr als 10 Millionen UMTS-Anschlüsse in Deutschland. Einführung von High Speed Packet Access (HSPA). 2009 WLAN-Empfehlung IEEE 802.11n (Next Generation WLAN) mit HT-OFDM und Bitraten von 72,2 bis 600 Mbit/s. 2010 Probebetrieb für die 4. Mobilfunkgeneration Long Term Evolution (LTE). Der überwältigende Erfolg von GSM beruht letzten Endes auf nichttechnischen Faktoren. GSM ist von der ETSI als offener Standard so konzipiert, dass ein Wettbewerb zwischen den Herstellern von Netzkomponenten, den Netzbetreibern und den Anbietern von Zusatzdiensten jeweils möglich wird. GSM ist ein gelungenes Beispiel dafür, wie konkurrierende Wettbewerber durch Zusammenarbeit einen neuen Markt zum Nutzen der Kunden erschließen können. Für den Teilnehmer bedeutet GSM statt der bis Anfang der 1990er Jahren herkömmlichen apparatbezogenen Telefonie durch einen einzigen öffentlichen Anbieter (Staatsmonopol) eine am Teilnehmer orientierte Telekommunikationsinfrastruktur, siehe Tabelle 9-1. GSM unterstützt die Mobilität der Teilnehmer und der Mobilgeräte. Tabelle 9-1 Mobilkommunikation mit GSM Zugang und Sicherheit Dienste

Anbieter

Mobilitätsmanagement für Teilnehmer und Mobilgeräte, Geräteidentifizierung, Zugangskontrolle, Nachrichtenverschlüsselung Anonymität der Teilnehmer Digitale Übertragung in unterschiedlichen Formaten: x Sprache in normaler (13 kbit/s, „full rate“) und etwas reduzierter Qualität (5,6 kbit/s, „half rate“) x Leitungsorientierte Datenübertragung mit bis zu 9,6 kbit/s (14,4 kbit/s) und mit HSCSD bis zu 57,6 kbit/s x Paketorientierte Datenübertragung mit GPRS mit mittleren Bitraten von circa 1 bit/s bis 112 kbit/s x EDGE mit Bitraten bis 384 kbit/s x Zusatz- und Mehrwertdienste Offener Standard mit internationaler GSM-Gerätezulassung, Wettbewerb der Netzbetreiber

Die Teilnehmermobilität wird ähnlich wie bei Geldausgabeautomaten durch die geräteunabhängige SIM-Card (Subscriber Identity Module) und die PIN (Personal Identification Number) ermöglicht. Die SIM-Card unterstützt das temporäre Wechseln zwischen den GSM-

286

9 Mobilkommunikation

Netzen in In- und Ausland, das Roaming. Damit kann ein GSM-Teilnehmer jedes SIM-Cardfähige Mobilgerät „wie sein eigenes“ benutzen. Bei den Mobilgeräten werden zwei Betriebsarten unterschieden: der aktive Betrieb und der Betrieb im „Idle Mode“. Im aktiven Betrieb wird durch den Handover, d. h. dem „Weiterreichen“ von einer Funkstation zur nächsten, dafür gesorgt, dass eine laufende Sprach- oder Datenverbindung auch dann aufrecht erhalten bleibt, wenn der Teilnehmer seinen Aufenthaltsort wechselt. Ein Beispiel ist das Telefonieren im fahrenden Auto. Im Idle Mode tauschen Mobilgerät und Netz in gewissen Abständen Nachrichten über die Qualität der Funkverbindung (Messprotokolle) aus. Dadurch ist es möglich, die Aufenthaltsorte der erreichbaren Teilnehmer zu verfolgen und die Teilnehmer gezielt zu rufen. Erst durch Abschalten des Mobilgeräts wird der Kontakt zum Netz beendet. Die international anerkannte Zulassung des Mobilgeräts erlaubt den Betrieb in jedem Land mit GSM-Netz. Die Mobilität setzt einen Netzzugang voraus, egal wo im Funkbereich des Netzes ein Teilnehmer sein Mobilgerät einschaltet. Dieser physikalisch offene Netzzugang „über die Luft“ muss gegen Missbrauch besonders geschützt werden. GSM-Netze verfügen dazu über vier Sicherheitsmerkmale: Endgeräteidentifizierung durch das Netz anhand der eindeutigen Gerätekennung Zugangsberechtigung nur nach Teilnehmeridentifizierung Vertraulichkeit der Daten auf dem Funkübertragungsweg durch Verschlüsselung Anonymität der Teilnehmer und ihrer Aufenthaltsorte durch temporäre Teilnehmerkennungen Zu den Sicherheitsmerkmalen tritt der Aspekt der elektromagnetischen Verträglichkeit hinzu. Durch die Einführung von Geräteklassen und Sicherheitsabständen für Sendeanlagen, einer aufwendigen Planung der Senderstandorte und einer adaptiven Steuerung, bei der die Sender mit möglichst niedriger Ausgangsleistung arbeiten, werden die gesetzlichen Vorsorgewerte für die erlaubte elektromagnetische Abstrahlung meist deutlich unterschritten. Hinzu kommt, dass die Leistungsflussdichte elektromagnetischer Wellen bei Freiraumausbreitung quadratisch mit dem Abstand zum Sender abnimmt, also pro Verdopplung des Abstandes um den Faktor 4 (6 dB), siehe Tabelle 9-2. Modellrechnungen für die Ausbreitung über einer ebenen Fläche ergeben sogar eine Abnahme um den Faktor 16 (12 dB) bei Verdopplung des Abstandes. Tabelle 9-2 Abnahme der Leistungsflussdichte mit wachsendem Abstand vom Sender Abstand relative Leistung bei Freiraumausbreitung

1m

2m

4m

8m

16 m

32 m

100 %

25 %

6,25 %

1,56 %

0,391 %

0,098 %

In der modernen, öffentlichen Mobilkommunikation treten neben die klassische Sprachübertragung weiterer Dienste. Da es sich hierbei letzten Endes um Datenübertragungen handelt, bleibt es der Fantasie der Dienstanbieter und Teilnehmer überlassen, welchen Nutzen sie daraus ziehen. Ein typisches Beispiel ist die Übermittlung von Kurznachrichten (SMS) an eine einzelne Person oder als Rundruf an eine Benutzergruppe. SMS-Dienste finden auch zunehmend bei der automatischen Fernüberwachung von Maschinen und Anlagen ihre Anwendung.

9.1 Global System for Mobile Communications (GSM)

287

Die bei GSM anfänglich verfügbaren Datenübertragungsraten bis 9,6 kbit/s reichen jedoch nicht aus, um typische Internetseiten oder gar Audio- oder Videosequenzen in annehmbarer Zeit zu übertragen. Hinzu kommt, dass die einfachen Mobiltelefone nicht zur Darstellung von Web- und Multimediainhalten geeignet sind. Der Versuch der speziellen Anpassungen von Internetinhalten durch das Wireless Application Protocol (WAP) und die Wireless Markup Language (WML) an die Möglichkeiten von GSM hat sich zunächst nicht durchgesetzt. Eine für die meisten Teilnehmer akzeptable einfache Internetfähigkeit von GSM ist erst in Verbindung mit den neuen Datendiensten GPRS und EDGE möglich. Anmerkung: Zusätzliche Informationen zum Thema GSM findet man bei der GSM Association, der Vereinigung von GSM-Netzbetreibern und Herstellern, im Internet unter www.gsmworld.com und zur Entwicklung von GSM und UMTS www.umtsworld.com.

9.1.2

GSM-Netzarchitektur

Moderne öffentliche Mobilkommunikationsnetze zeichnen sich durch die Teilnehmermobilität, die Sicherheitsmerkmale und eine hohe Teilnehmerzahl aus. Die GSM-Netzarchitektur in Bild 9-2 trägt dem Rechnung. Sie besteht aus einem zellularen Netzaufbau mit den Betriebs- und Wartungszentren, den Operation and Maintenance Center (OMC), und den Vermittlungsstellen, den Mobile Switching Center (MSC). Ein Einblick in die Funktionen der Netzkomponenten und ihres Zusammenwirkens lässt sich am einfachsten am Beispiel des Verbindungsaufbaus zwischen einer Mobilstation, der Mobile Station (MS), und dem GSM-Festnetz gewinnen: Befindet sich die MS nach dem Einschalten im Funkbereich eines GSM-Netzes, so passt sie sich den lokalen Funkparametern (Trägerfrequenz, Sendezeitpunkte und Sendeleistung) einer geeigneten Basisstation, der Base Transceiver Station (BTS), an und nimmt mit ihr Funkverbindung auf. In der BTS wird das Funksignal empfangen und die enthaltene Nachricht über die Steuereinrichtung der Basisstation, dem Base Station Controller (BSC), an die MSC weitergeleitet. Dabei wird die Mobilgerätenummer, die International Mobile Station Equipment Identity (IMEI), der MS mit übertragen und anhand des Mobilgeräteregisters, dem Equipment Identification Register (EIR), überprüft. Ist das Mobilgerät nicht gesperrt, wird von der MSC die Teilnehmeridentifizierung angestoßen. Befindet sich die MS in ihrem Heimatbereich, wird sie in der MSC im Heimatregister, dem Home Location Register (HLR), geführt und die Teilnehmeridentifizierung kann mit der lokalen Identifizierungseinrichtung, dem Authentification Center (AUC), durchgeführt werden. Danach ist die MS im Netz als erreichbar gemeldet und kann selbst einen Dienst anfordern oder gerufen werden. Befindet sich der Teilnehmer nicht in seinem Heimatbereich, sucht die MSC zunächst im Besucherregister, dem Visitors Location Register (VLR), ob er bereits gemeldet ist. Ist das der Fall, wird die Teilnehmeridentifizierung mit den vorliegenden Daten durchgeführt. Andernfalls nimmt die besuchte MSC die Verbindung mit der Heimat-MSC auf und trägt nach der Identifizierung den Teilnehmer in das VLR ein. Die Heimat-MSC wird über den neuen Aufenthalt des Teilnehmers informiert. Für den Teilnehmer ankommende Anrufe werden anhand der Rufnummer zur Heimat-MSC geleitet und dann von dort zur besuchten MSC weitervermittelt. Die Kommunikation zwischen den Teilnehmern innerhalb eines GSM-Netzes wird intern abgewickelt. Die Vermittlungsfunktionen werden in den MSCen durchgeführt. Ist ein Teilnehmer außerhalb des GSM-Netzes, z. B. im normalen Telefonnetz, so wird über eine geeignete Gateway-MSC die Verbindung nach außen hergestellt.

288

9 Mobilkommunikation

RSS

NSS

BSS

OSS

SSS

HLR BTS

VLR B

BSC

C MSC

MS

AUC Authentification Center BSC Base Station Controller BSS Base Station Subsystem BTS Base Transceiver Station EIR Equipment Identity Register GMSC Gateway MSC HLR Home Location Register MS Mobile Station

OMC

E A interface

Abis interface

Um (air) interface

BTS

BTS

EIR

F

O interface

MS

AUC

GMSC

other networks

BSC

MSC Mobile Switching Center NSS Network and Switching Subsystem OMC Operation and Maintenance Center OSS Operation and Maintenance Subsystem RSS Radio Subsystem SSS Switching Subsystem VLR Visitor Location Register

Bild 9-2 GSM-Netzarchitektur der Phase 1

Der Aufwand, der für den Aufbau und den Betrieb der in Deutschland nahezu flächendeckenden GSM-Netze notwendig ist, wird anhand der folgenden Zahlen (Stand 1997) deutlich. Im EPlus-Netz wurden mit seinen bis dahin etwa 750.000 Teilnehmern an den elf Standorten in Bild 9-3 14 MSCen mit insgesamt 230 BSCen und 5500 BTSen eingesetzt. Für den Netzaufbau wurden circa 2,5 Mrd. EUR investiert und damit etwa 3500 neue Arbeitsplätze geschaffen. Im Jahr 2010 hat E-Plus in Deutschland etwa 2500 Mitarbeiter und über 18 Millionen Teilnehmer. Das Netz von E-Plus verfügt über 10 MSC-Server, 20 Media-Gateways und 16500 GSM-Basisstationen. Der Aufbau der bestehenden vier digitalen Mobilfunknetze ist noch nicht abgeschlossen. Stand früher die flächendeckende Versorgung im Vordergrund, so geht es heute um den bedarfsgerechten Ausbau und die Einführung neuer Dienste. Mit den später noch beschriebenen GSMErweiterungen GPRS und EDGE steht ein Migrationspfad zu einem Netz der 3. Generation offen.

9.1 Global System for Mobile Communications (GSM)

9.1.3

289

GSM-Funkschnittstelle

Das Beispiel des Verbindungsaufbaus macht deutlich, dass zum ordnungsgemäßen Betrieb des GSM-Netzes ständig eine Vielzahl unterschiedlicher Steuerinformationen zwischen den Netzkomponenten ausgetauscht werden muss. Damit ein solcher Informationsaustausch stattfinden kann, muss vereinbart sein wer, was, wann, wo und wie senden darf. Das geschieht durch die Schnittstellen und ihre Protokolle. Das Nadelöhr eines jeden Mobilfunksystems ist die Funkschnittstelle zwischen den Mobilstationen und den Basisstationen, die auch Luftschnittstelle genannt wird. Über sie werden sowohl die von den Teilnehmern angeforderten Teledienste durchgeführt als auch für den Netzbetrieb notwendige Nachrichten ausgetauscht.

Hamburg(2)

Hannover Dortmund

Berlin(2)

Düsseldorf Leipzig(2) Frankfurt a.M.

Karlsruhe

Nürnberg

Stuttgart München

Der Vergleich mit einem Nadelöhr trifft zu, Bild 9-3 MSC Standorte im Netz von E-Plus weil das zur Verfügung stehende Frequenzband (Mitte 1997) aus physikalischen Gründen begrenzt ist und die benötigte Bandbreite mit der zu übertragenen Informationsmenge in der Regel wächst. Für den wirtschaftlichen Aufbau und Betrieb eines öffentlichen Mobilfunknetzes ist eine hohe spektrale Effizienz gefordert, um bei vorgegebenem Frequenzband möglichst viele Teilnehmer bedienen zu können.

9.1.3.1

Funkzellen und Frequenzkanäle

Auf der Basis des Ende der 1980er Jahre freigegebenen Frequenzbandes und der damals verfügbaren Technologie wurde für GSM eine digitale Übertragung für schmalbandige Teledienste konzipiert. Die gewählte Frequenz- und Kanalaufteilung im 900-MHz-Bereich (GSM 900) ist in Bild 9-4 zusammengestellt. Das verfügbare Frequenzband teilt sich in ein unteres Frequenzband (890-915 MHz) für die Kommunikation von den Mobilstationen (MSen) zu den Basisstationen (BTSen) und in ein oberes Frequenzband (935-960 MHz) für die Kommunikation in umgekehrter Richtung. Das Frequenzband von 2 u 25 MHz ist in 2 u 125 Frequenzkanäle à 200 kHz Bandbreite aufgeteilt. Zwei Frequenzkanäle im Abstand von 45 MHz bilden jeweils ein Duplexpaar für die wechselseitige Kommunikation. Die Duplexfrequenzkanäle 0 und 125 werden zum Schutz der Nachbarbänder frei gehalten. In Deutschland teilen sich zwei Netzbetreiber das vorgestellte Frequenzband. Dem D1-Netz der Deutschen Telekom sind die Duplexfrequenzkanäle 14 bis 49 sowie 82 bis 102 zugeordnet. Für das D2-Netz der Mannesmann AG Mobilfunk stehen die Duplexfrequenzkanäle 1 bis 12, 51 bis 80 und 105 bis 119 zur Verfügung. Seit 2002 werden für das D1- und D2-Netz die Marktnamen T-Mobile- bzw. Vodafone-Netz verwendet.

290

9 Mobilkommunikation

BTSÖ Ö MS

960 MHz Frequenzkanäle

Sendeband

Mobilstationen (MS)

890-915 MHz

Basisstationen (BTS) 935-960 MHz

125 100 99 98

Duplex-Frequenzabstand

45 MHz

Duplex-Frequenzkanalbandbreite

2 u 200 kHz

Teilnehmer pro Frequenzkanal

8/16 (Full/Half Rate)

Frequenz

935 MHz

915 MHz MSÖ BTS

Duplex-Abstand 45 MHz

0

Time Division Multiple Access (TDMA)-Rahmen

125 100 99 98 0

4,615 ms Frequenzkanal 200 kHz

7 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1

576,9 Ps Zeitschlitz

Zeit

890 MHz Bild 9-4 GSM-900-Frequenzbänder und TDMA-Kanalaufteilung

Zusätzlich zur Aufteilung in die Frequenzkanäle tritt bei GSM eine Time-division-multipleaccess(TDMA)-Komponente hinzu, siehe Bild 9-4. Jeder Frequenzkanal wird durch zeitlich aufeinander folgende TDMA-Rahmen belegt. Jeder TDMA-Rahmen beinhaltet acht Zeitschlitze der Dauer von etwa 0,57 ms. Fordert ein Teilnehmer eine Full-Rate-Sprachübertragung an, wird ihm falls verfügbar vom Netz ein Frequenzkanal und Zeitschlitz zugewiesen. Das Mobilgerät nutzt den zugewiesenen Zeitschlitz in jedem folgenden TDMA-Rahmen, bis die Sprachübermittlung beendet wird. Im Fall der Half-Rate-Sprachübertragung teilen sich zwei Teilnehmer einen Zeitschlitz. Dadurch können doppelt so viele Gespräche gleichzeitig abgewickelt werden. Die digitale Übertragung innerhalb eines Zeitschlitzes wird im nächsten Abschnitt genauer erläutert. Hier sollen zunächst die Überlegungen zur spektralen Effizienz und den Frequenzkanälen weitergeführt werden. Mit der Anzahl der Frequenzkanäle und der Zeitschlitze ist die Funkkapazität der ursprünglichen GSM-900-Netze von D1 und D2 ungefähr 8 u 124 = 992 Sprachkanäle für die Full-RateSprachübertragung. Eine BTS könnte über maximal 992 Full-Rate-Sprachkanäle gleichzeitig verfügen. Die Zahl der Sprachkanäle pro BTS ist jedoch weiter eingeschränkt, da sich die Funksignale benachbarter BTSen stören können.

9.1 Global System for Mobile Communications (GSM)

291

Die Aufteilung der Frequenzkanäle auf die BTSen, die Frequenzplanung, ist für die Kapazität von GSM-Netzen von entscheidender Bedeutung. Bild 9-5 zeigt das Prinzip eines Frequenzplans mit regelmäßiger Frequenzwiederholung. Im Bild werden vier bzw. sieben Funkzellen zu je einem Cluster zusammengefasst. Deren Frequenzbelegungen wiederholen sich im Funknetz. Aus geometrischen Gründen können die Clustergrößen nur die Werte 1, 3, 4, 7, 9, 12, 13, usw. annehmen. Anmerkung: Die Ähnlichkeit der Funkzellen mit Bienenwaben im Modell ist nicht zufällig. Nur mit gleichseitigen Dreiecken, Quadraten bzw. Hexagonen kann die Ebene überlappungsfrei und vollständig abgedeckt werden, siehe auch Parkettierung.

Dem rechten Teilbild liegt der GSM-typische Wert eines Frequenzwiederholungsfaktors von 7 zugrunde. Damit ergibt sich die zellulare Funkkapazität von 992 / 7 = 142 Full-Rate-Sprachkanälen pro Funkzelle. Bei der Funkzellenplanung ist die Funkzellengröße entsprechend dem erwarteten Verkehrsaufkommen in einem Gebiet so zu wählen, dass die Funkzelle gut ausgelastet wird, aber auch keine für die Teilnehmer störende Überlast auftritt. Des Weiteren ist zu beachten, dass mindestens ein Kanal pro BTS für die Übertragung von Funkparametern und Signalisierung zu reservieren ist.

4 1

2 3 2

4 1 4 1 4 1

2

4 1 4

3

Bild 9-5

1 4

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2

1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3

4 1

N=4 4

2

1

4 1 4 1 4 1 4 1

3

6 3 2

2 3 2 3 2

7 5 6

2 3

1

1 4 1 4 1 4 1

3

2 3 2

2 4

5

3

4 1 7

2

5 6

3 2 4 1 7 5 6 3 2 4 1

5 6 3 2 4 1 7 5 6 3 2

1 7 5 6 3 2 4 1 7 5

3 2 4

N=7 6 3

1 7 5 6 3 2 4

2 4 1 7 5 6 3

6 3 2 4 1

7 5 6

1

3

7 5

Frequenzplan mit Gruppenbildung für die Funkzellen (4er- und 7er-Cluster links bzw. rechts in schematischer Darstellung)

Die tatsächliche Funkkapazität eines Mobilfunknetzes hängt von den Verhältnissen vor Ort, der Topologie und der Morphologie, und der Robustheit des Funkübertragungsverfahrens gegen Störungen ab. Dabei spielt nicht zuletzt das erwartete Verkehrsaufkommen eine Rolle. In GSM ist – ohne weitere Maßnahmen – der Funkzellenradius außerdem durch eine systembedingte Begrenzung der zulässigen Laufzeiten der empfangbaren Funksignale auf maximal 35 km beschränkt. Die Frequenzplanung mit Standortwahl wird mit speziell dafür entwickelten Planungswerkzeugen an Rechnern vorgenommen. Typische Abmessungen der Funkzellen variieren von etwa hundert Meter in Innenstädten, wie z. B. in Bahnhofs-, Flughafen- oder Messehallen, bis einige Kilometer auf dem Land.

292

9 Mobilkommunikation

Das Mobilfunknetz E1 von E-Plus (1994) und E2 von Viag Interkom (1998, seit 2002 O2 Germany) basiert auf einem für den Frequenzbereich um 1800 MHz modifizierten GSM, dem GSM-1800-Standard, früher DCS 1800 genannt. Für die GSM-1800-Netze sind die Frequenzbänder von 1710-1785 MHz für die Kommunikation von MS zur BTS bzw. 1805-1880 MHz für die umgekehrte Richtung vorgesehen. E-Plus sind davon die 75 Frequenzkanäle im Bereich 1760,2-1775 MHz bzw. 1855,2-1870 MHz zugeteilt. Da sich die Funksignale bei den Frequenzen um 1800 MHz etwas schlechter ausbreiten als bei 900 MHz, ist das Netz für kleinere Funkzellen ausgelegt als bei D1 und D2. Der Nachteil der höheren Anzahl der erforderlichen BTSen wird durch eine größere Teilnehmerkapazität und eine geringere Sendeleistung wettgemacht. Die Kapazität der GSM-Netze in Deutschland wurde ursprünglich auf zusammen annähernd 30 Millionen Teilnehmer geschätzt (vorausgesetzt höchstens 10 % der Teilnehmer telefonieren gleichzeitig). Tatsächlich wurde in Deutschland im Jahr 2003 die Zahl mit 64,8 Millionen Teilnehmern mehr als verdoppelt. Die große Nachfrage nach GSM-Diensten und die weltweit teilweise unterschiedlich verfügbaren Frequenzbänder haben bis heute zu den GSM-Frequenzbändern in Tabelle 9-3 geführt. Die Frequenzbereiche 880-890 bzw. 925-935 werden als GSM-Erweiterungsbänder, Extension Bands, bezeichnet. Die Frequenzen um 1900 MHz werden z. B. in den USA verwendet. In Skandinavien sollen bisher analoge Mobilfunksysteme durch GSM 400 ersetzt werden. Mit RGSM (Railway) wurde eine spezielle Anpassung für den Betriebsfunk bei Eisbahngesellschaften geschaffen. Tabelle 9-3 GSM Frequenzbänder (nicht überall verfügbar) Frequenzband (aufwärts) GSM 400

450,4 457,6 MHz 478,8 486 MHz

460,4 467,6 MHz 488,8 496 MHz

GSM 850

824 849 MHz

869 894 MHz

GSM 900

890 915 MHz

925 960 MHz

880 915 MHz

925 960 MHz

E-GSM

1

R-GSM2

1 2

Frequenzband (abwärts)

876 915 MHz

921 960 MHz

GSM 1800

1710 1785 MHz

1805 1880 MHz

GSM 1900

1850 1910 MHz

1830 1990 MHz

E-GSM wie GSM 900 mit je 10 MHz Erweiterungsbändern (Extended) R-GSM für Eisenbahnanwendungen (Railway)

9.1.3.2

Mobilfunkübertragung

Die Sprachsignale werden in den MSen bzw. im GSM-Festnetz fortlaufend digitalisiert und als Folge von Binärzeichen (Bits) dargestellt. Die Bits werden in Blöcken zusammengefasst und ähnlich wie ein Strom von Paketen auf einem Fließband Block für Block in den zugeordneten Zeitschlitzen der kontinuierlich aufeinanderfolgenden TDMA-Rahmen übertragen. Die digitale Übertragung innerhalb eines Zeitschlitzes geschieht mit sogenannten Bursts. Bild 9-6 zeigt den logischen Aufbau, den Burstrahmen, des für die Full-Rate-Sprachübertragung

9.1 Global System for Mobile Communications (GSM)

293

verwendeten Normal Burst. Ohne tief in die Einzelheiten zu gehen, fällt auf, dass von den 148 (+8,25) Bits nur 114 für die eigentlichen Teledienste zur Verfügung stehen. Bis auf die beiden Stealing Flag zur Kennzeichnung einer bei dringendem Bedarf eingefügten Signalisierungsnachricht ist der Rest für die reine Funkübertragung notwendig. Hinzu kommt, dass die 114 Informationsbits nicht uneingeschränkt für die Nutzinformation des Teledienstes zur Verfügung stehen. Bei der Full-Rate-Sprachübertragung ist zum Schutz gegen Übertragungsfehler eine redundante Kanalcodierung erforderlichen. Tatsächlich werden nur 65 „Sprachbits“ pro Burst effektiv übertragen. Damit wird pro Normal Burst mehr als die Hälfte der Funkübertragungskapazität für den Fehlerschutz und die Signalisierung aufgewendet. Diese Überlegungen lassen sich anhand der Bitraten nochmals nachvollziehen. Aus der Dauer eines TDMA-Rahmens mit acht Zeitschlitzen mit je circa 156 Bits ergibt sich theoretisch eine maximale Bitrate pro Frequenzkanal von etwa 8 u 156 bit / 4,615 ms = 270 kbit/s; also je Zeitschlitz rund 33,8 kbit/s. TDMA-Rahmen 4,615 ms

Zeit

012345670123456701234567 Zeitschlitz

Stealing Flag

0,577ms Anzahl der Bits 3

57 Information (Sprache,Daten)

1

26

1

57 Information (Sprache,Daten)

3 8,25 Schutzabstand

Flankenformungsbits „000“ Trainingsfolge „00100 10111 000001 00100 10111“

Flankenformungsbits „000“

Bild 9-6 Rahmenstruktur des Normal Burst

Für die eigentliche Nachricht pro Zeitschlitz reduziert sich die Bitrate auf 22,8 kbit/s, wovon für die Full-Rate-Sprachübertragung schließlich nur noch etwa 13 kbit/s übrig bleiben. In den letzten beiden Bitraten ist ferner berücksichtigt, dass jede 13. Wiederholung eines Zeitschlitzes für die Signalisierung, z. B. zur Übertragung von Messprotokollen, frei zu halten ist. Der geringe Anteil an effektiv zur Verfügung stehender Bitrate ist typisch für die Mobilkommunikation. Grund dafür sind im Wesentlichen die in Bild 9-7 veranschaulichten Störeinflüsse durch den Mehrwegeempfang und die im Netz selbst erzeugte Störung, die Gleichkanalstörung. Das von der BTS als elektromagnetische Welle ausgesandte Funksignal wird in der Umgebung der MS am Boden, Bäumen, Häusern, usw. reflektiert und gestreut, sodass sich viele Teilwellen an der Empfangsantenne überlagern. Es treten die für die Mobilkommunikation typischen kurzzeitigen starken Einbrüche in der Empfangsfeldstärke aufgrund gegenseitiger Auslöschungen auf.

294

9 Mobilkommunikation

Funkfeldhindernis Umwege BTS Beugung

Reflexion Gleichkanalstörung

BTS

Streuung direkter Weg MS

Bild 9-7 Mobilfunkübertragung mit Mehrwegeempfang und Gleichkanalstörung

Große Funkfeldhindernisse, wie Berge oder Hochhäuser, können das Funksignal abschatten, sodass die Empfangsfeldstärke stark abnimmt. Man spricht dann anschaulich auch von einem „Funkloch“. Große Funkfeldhindernisse können durch Reflexionen starke Signalechos mit großen Laufzeitdifferenzen hervorrufen. Umwege von circa 1100 m führen bereits zu einer Laufzeitverschiebung um etwa der Dauer eines Bits und damit zur gegenseitigen Störung der Bits, Nachbarzeichenstörung bzw. englisch Intersymbol Interference (ISI) genannt. Wegen der Frequenzwiederholung im Netz können sich die Funksignale der MSen bzw. der BTSen gegenseitig stören, was als Gleichkanalstörung bezeichnet wird. Der Ortswechsel der MS führt zu veränderlichen Übertragungsbedingungen. Die genannten Störeinflüsse treten meist gleichzeitig auf und können die Mobilfunkübertragung unmöglich machen. Bei GSM werden deshalb in Verbindung mit der digitalen Übertragung verschiedene Maßnahmen zur Verbesserung der Übertragungsqualität getroffen: Leistungsregelung ) Die Empfangsqualität wird bezüglich der Empfangsleistung sowie der erkannten Bitfehler in der BTS und der MS fortlaufend überwacht und die Sendeleistung so eingestellt, dass die geforderte Übertragungsqualität mit möglichst niedriger Sendeleistung eingehalten wird. Handover ) Weil die MS während einer aktiven Verbindung nicht dauernd sendet und empfängt, kann sie auch im aktiven Betrieb regelmäßig die Empfangsleistungen von bis zu sechs benachbarten BTSen messen. Die Messprotokolle werden von der MS zur BTS übertragen. Ist die Funkversorgung durch eine andere BTS besser, so wird vom Netz ein unterbrechungsfreier Wechsel, Handover genannt, zur besser empfangbaren BTS durchgeführt. Ein Wechsel kann auch entfernungsabhängig durchgeführt werden. Man unterscheidet wie in Bild 9-8 zwischen internem und externem Handover. Im letzteren Fall wird beim Funkzellenwechsel der Bereich einer MSC überschritten. Eine aufwendige Gesprächsumleitung im Netz wird dann notwendig. Da der Handover für den Teilnehmer während eines Gespräches unterbrechungsfrei erfolgt, spricht man bei GSM von einem Seamless Handover.

9.1 Global System for Mobile Communications (GSM)

295

Anchor-MSC

BTS

BTS

BSC

MSC-A

MSC-B BTS BSC

Interner Handover

BTS Externer Handover

Bild 9-8 Funkzellenwechsel (Handover) während eines laufenden Gesprächs

Frequenzsprungverfahren ) Um Störungen aus anderen Funkzellen zu verringern, kann optional im GSM-Netz die starre Frequenzkanalzuordnung aufgegeben werden. Nach fest vereinbarten Regeln wird je Zeitschlitz ein anderer Frequenzkanal benutzt. Sich gegenseitig störende BTSen bzw. MSen werden entkoppelt, da sie die Frequenzkanäle nach verschiedenen Mustern variieren. In GSM spricht man von einem Slow Frequency Hopping im Gegensatz zu Fast Frequency Hopping bei dem etwa für jedes Bit ein Frequenzsprung durchgeführt wird. Diskontinuierliche Übertragung von Sprache ) Während der vom Sprachcodierer erkannten Sprechpausen werden (fast) keine Bursts gesendet. Damit werden nur etwa 2/3 der Rahmen benutzt und so die Gleichkanalstörungen reduziert. Weil ein völliges Abschalten in den Sprechpausen durch die Teilnehmer als störend empfunden wird, werden sie im Empfänger durch angepasste Pausengeräusche, dem Comfort Noise, gefüllt. Ungleichmäßige Kanalcodierung für Sprache ) Bei der Kanalcodierung werden zusätzliche Prüfbits erzeugt, mit denen sich Übertragungsfehler erkennen bzw. korrigieren lassen. GSM verwendet für die Sprachübertragung ein gestuftes Verfahren. Die Digitalisierung der Sprache geschieht für die Full-Rate-Übertragung nach dem RELP-Verfahren (Residual Excitation Linear Prediction). Der Sprachencoder erzeugt aus je 20 ms langen Ausschnitten des Sprachsignals einen Block mit 260 „Sprachbits“. Die Bits werden nach Bedeutung für den Höreindruck in weniger wichtige, wichtige und sehr wichtige Bits eingeteilt, siehe Bild 9-9. Die 50 sehr wichtigen Bits werden mit 3 Prüfzeichen eines CRC-Codes (Cyclic Redundancy Check) zur Fehlererkennung ergänzt und danach gemeinsam mit den 132 wichtigen Bits durch einen Faltungscode der Rate 1/2 codiert, d. h. pro Bit wird ein zusätzliches Prüfbit erzeugt. Zusätzlich entstehen bei der Faltungscodierung acht Bits, da die zu codierenden Bits mit vier Bits, auch Tailbits genannt, definiert abgeschlossen werden. Die 78 weniger wichtigen Bits bleiben ungeschützt. Aus einem Block von 260 „Sprachbits“ entstehen so insgesamt 456 Bits für die Übertragung. Werden weniger wichtige Bits bei der Übertragung gestört, mindert das den Höreindruck kaum. Störungen der wichtigen Bits werden durch die Decodierung meist repariert. Erkennt der Empfänger an den Prüfbits des CRC-Codes der sehr wichtigen „Sprachbits“, trotz des vorhergehenden Reparaturversuches,

296

9 Mobilkommunikation

einen Fehler, so wird der gesamte Block verworfen und durch eine Sprachextrapolation, dem Error Concealment, ersetzt. So kann die Störung von bis zu 16 aufeinander folgenden Sprachrahmen verschleiert werden. Anmerkung: Das Sprachcodierverfahren RELP für die Full-Rate-Übertragung beruht auf dem Stand der Technik Anfang der 90er Jahre. Mit der damals verfügbaren Komplexität der Mikroelektronik sollte die Bitrate bei noch akzeptabler Qualität möglichst klein werden. Für eine kurze Darstellung des RELP-Verfahrens siehe z. B. [VHH98]. CRC-Codes und Faltungscodes werden in [Wer08c] behandelt.

Interleaving (Bitverschachtelung) ) Da die Übertragungsqualität von Zeitschlitz zu Zeitschlitz stark schwanken kann, was besonders bei der Anwendung des Frequenzsprungverfahrens gilt, werden die Rahmen mit Sprachbits ineinander verschränkt übertragen. Die Hälfte der Informationsbits eines Zeitschlitzes ist von je einem Sprachbitrahmen. Die 456 Bits werden auf 8 u 57 Bits, also auf acht Bursts (circa 37 ms), aufgeteilt. Fällt ein Zeitschlitz wegen einer Übertragungsstörung oder einer mit Hilfe des Stealing-Flag eingeschobenen Signalisierungsmeldung aus, so kann der Fehler durch die Kanalcodierung korrigiert werden. Die Bitverschachtelung ist bei der Datenübertragung besonders wirksam, da dort die Verschachtelungstiefe ohne Rücksicht auf die Verarbeitungszeit relativ groß gewählt werden kann. Bei GSM Phase 2 beträgt die Bitverschachtelungstiefe für Datendienste bis zu 19 Bursts, also etwa 87 ms. Kanalentzerrung ) Durch die in der Mitte der Bursts übertragene bekannte Trainingsfolge, die Midamble, kann im Empfänger die bei der Übertragung erfolgte Verzerrung des Signals gemessen und zur Rekonstruktion der Nachricht berücksichtigt werden. Bei GSM können Laufzeitunterschiede über etwa 4 Bits ausgeglichen werden, was einer Umweglänge von circa 4,8 km entspricht. Sprachcoder

260 Bits

alle 20ms

umsortieren nach Fehlerempfindlichkeit höchste Empfindlichkeit

Ia

0 49 50 0 49 53

Ib

Blockcode

Ia 0

181 184

geringste Empfindlichkeit 182 378

259

455 Bit

Tail

Ib 52 53

II

II 188

378

455

kein Fehlerschutz

Faltungscode R = 1/2

Ia+Ib 0

Bit

II 377 378

455

Bit

Bild 9-9 Aufbau eines Sprachbit-Rahmens (Full Rate)

9.1 Global System for Mobile Communications (GSM)

297

Die zum Teil aufwendigen Maßnahmen zur Verbesserung der Übertragungsqualität sind die Voraussetzung für die im Vergleich zur bisherigen Analogtechnik hohe Sprachqualität. Ebenso wichtig sind die nicht unmittelbar hörbaren Vorteile. Die Maßnahmen reduzieren die Störungen in den anderen Funkzellen und sorgen insgesamt für eine höhere spektrale Effizienz. Für den Teilnehmer bedeuten sie einen sparsameren Energieverbrauch in den Mobilgeräten, und nicht zuletzt eine möglichst geringe elektromagnetische Exposition. Aus den letztgenannten Gründen empfiehlt es sich beispielsweise auch nicht, bei schlechtem Empfang in abgeschirmten Räumen oder im Auto ohne Außenantenne mit einem Handgerät zu telefonieren. Ein Nachteil der digitalen Übertragungstechnik ist der abrupte Zusammenbruch der Übertragung bei zu starker Störung. Während bei der analogen Sprachübertragung eine zunehmende Störung als solche hörbar ist, wird sie bei der digitalen Übertragung durch die Kanalcodierung zunächst unterdrückt. Ist die Störung jedoch so stark, dass nicht mehr ausreichend viele Bits richtig erkannt werden, ist die Nachricht verloren. Das Gespräch bricht unvermittelt ab. Die ungünstigen Übertragungseigenschaften im Mobilfunk sind für die Datenübertragung besonders kritisch. Bleibt die Sprache auch bei einer Störung von einigen Prozent der übertragenen Bits noch verständlich, so sollte bei einer Datenübertragung, z. B. einem Download von Software, zum Schluss jedes einzelne Bit korrekt sein. Aus diesem Grund sieht der GSMStandard Datenübertragungsdienste mit stärkerem Fehlerschutz als bei der Sprachübertragung vor. Wenn es die physikalische Mobilfunkübertragung erlaubt, sind in GSM Phase 2 seit 1996 transparente Datenübertragungsdienste bis zu 9,6 kbit/s möglich. Bei den später noch vorgestellten Datenübertragungsdiensten bzw. -verfahren HSCSD, GPRS und EDGE werden in GSM-Netzen heute wesentlich höhere Bitraten unterstützt.

9.1.3.3

Logische Kanäle und Burst-Arten

Der Betrieb der Funkschnittstelle eines öffentlichen Mobilfunknetzes erfordert einen hohen organisatorischen Aufwand. Deshalb stellt GSM maßgeschneiderte Steuer- (Signalisierungs-) und Verkehrskanäle als logische Kanäle bereit, deren Nachrichten innerhalb der beschriebenen Frequenzkanäle und Zeitschlitze übertragen werden. Bild 9-10 zeigt die Struktur der Verkehrskanäle, die Traffic Channel (TCH). Sie werden je nachdem, ob sie den Zeitschlitz mit einem anderen Teledienst teilen, in zwei Gruppen unterschieden, die nochmals in Sprach- und Datenkanäle untergliedert werden. Etwas aus der Rolle fällt der Rundfunkkanal CBCH, der Cell Broadcast Channel, der beispielsweise dazu benutzt wird, Kurznachrichten an alle Mobilgeräte in einer Funkzelle zu senden. Für die Organisation der Funkübertragung werden die Steuerkanäle, die Control Channel (CCH), in Bild 9-11 verwendet. Sie erfüllen jeweils ganz spezielle Aufgaben. Ihre genaue Beschreibung würde den vorgesehenen Rahmen sprengen, weshalb hier nur beispielhaft das Einbuchen einer MS vorgestellt wird. Da nach dem Einschalten der MS vor dem eigentlichen Einbuchen erst die Funkzellenparameter bestimmt werden müssen, kommen dabei spezielle Bursts zur Anwendung. Nach dem Einschalten durchsucht die MS die GSM-Bänder nach einem empfangbaren Broadcast Control Channel (BCCH) mit Frequency Correction Burst (FCB). Der FCB zeichnet sich durch ein festes Bitmuster aus lauter Nullen aus. Eine Übersicht über die beim Verbindungsaufbau verwendeten fünf GSM-Burst-Arten zeigt Bild 9-12.

298

9 Mobilkommunikation

TCH/FS Mobile B-Channel 22.8 kbit/s Traffic Channel

TCH/F9.6

Data 9.6 kbit/s

TCH/F4.8

Data 4.8 kbit/s

TCH/F2.4

Data 2.4 kbit/s

Bm

TCH

Cell Broadcast Channel

Full-rate Speech 11.4 kbit/s

Lower-rate Mobile Channel 11.4 kbit/s

TCH/HS

Lm

TCH/H4.8

Data 4.8 kbit/s

TCH/H2.4

Data 2.4 kbit/s

CBCH

Half-rate Speech 6.5 kbit/s

Bild 9-10 GSM-Verkehrskanäle Broadcast Control Channel Group

BCCH

Broadcast Control Channel : 782 bit/s

BCCH

FCCH

Frequency Correction Channel

MS MS MS

BS

Control Channel

CCH Dm

Common Control Channel Group

CCCH

Dedicated Control Channel Group

DCCH BS

MS

SCH

Synchronization Channel

PCH

Paging Channel : 782 bit/s BS

MS

RACH

Random Access Channel : 34 bit/s BS MS

AGCH

Access Grant Channel : 782 bit/s BS MS

SDCCH

Stand-alone Dedicated Control Channel : 782 bit/s

SACCH

Slow Associated Control Channel T : 382 bit/s; C : 391 bit/s

FACCH

Fast Associated Control Channel FR : 9200 bit/s; HR : 4600 bit/s

Bild 9-11 GSM-Steuerkanäle

9.1 Global System for Mobile Communications (GSM)

299

Zusammen mit dem Modulationsverfahren, dem Gaussian Minimum Shift Keying (GMSK), resultiert daraus ein relativ schmalbandiges Signal, das mit 67 kHz über der Bandmitte des Frequenzkanals liegt. Nach erfolgreichem Empfang des FCB kennt die MS den Frequenzkanal und grob das Zeitschlitzraster für den Empfang der BTS. Als nächstes versucht die MS im Synchronization Channel (SCH) den Synchronization Burst (SB) zu detektieren. Weil die MS noch nicht richtig synchronisiert ist, wird die Detektion der Nachricht im SB durch eine 64 Bit lange Trainingsfolge unterstützt. Nach der erfolgreichen Detektion des SB ist die MS zeitlich synchronisiert und kennt die für das Anklopfen wesentlichen Netzparameter. Sie sendet dazu im Random Access Channel (RACH) den Access Burst (AB). Der AB ist deutlich kürzer als der Normal Burst. Weil die MS die Entfernung und damit die Laufzeit zur BTS nicht kennt, muss verhindert werden, dass der AB außerhalb des für den RACH vorgesehenen Zeitschlitzes bei der BTS eintrifft. Mit der verkürzten Länge des AB ist dies für Funkzellenradien bis etwa 35 km gegeben. Anmerkung: Wird der darauf folgende Zeitschlitz vom Verkehr ausgeschlossen, also der Schutzabstand de facto um einen Zeitschlitz verlängert, so können auch größere Funkzellen unterstützt werden. Dies ist beispielsweise zur Anbindung des küstennahen Schiffverkehrs sinnvoll.

Empfängt die BS einen AB, so antwortet sie im Access Grant Channel (AGCH) mit einer Bestätigung und weist der Mobilstation für die weitere Signalisierung einen exklusiven Steuerkanal, den Dedicated Control Channel (DCCH), für Senden im Uplink (U) und Empfangen im Downlink (D) zu. Bild 9-13 fasst den Vorgang nach dem Einschalten der MS zusammen. Normal Burst 3

Training Sequence 26 bits

Encrypted Data (Speech) 57 bits

Encrypted Data (Speech) 57 bits

3 8.25

Frequency Correction Burst Fixed Bitpattern 57 bits

3

3 8.25

Synchronisation Burst 3

Extended Training Sequence 64 bits

Data 39 bits

Data 39 bits

3 8.25

Dummy Burst Fixed Bitpattern 58 bits

3

Training Sequence 26 bits

Fixed Bitpattern 58 bits

Access Burst 8

Data 36 bits

Synchronization Sequence 41 bits

3

576.9 Ps Tail Bits

Midamble

Stealing Flag

Data

Guard Period

Bild 9-12 Burst-Arten für die GSM-Übertragung

68.25

3 8.25

300

9 Mobilkommunikation

Mobilstation (MS) 1. Frequenzsynchronisation Frequenzkanal der BCCH-Gruppe in der Funkzelle suchen und grobes Zeitraster feststellen 2. Zeitsynchronisation

Basisstation (BTS) FCCH

SCH

Zeitstruktur der Funkzelle feststellen und Daten über die Funkzelle detektieren 3. Anklopfen mit dem Access Burst über den RACH 4. weitere Signalisierung über den zugewiesenen Steuerkanal

RACH

FCCH mit Frequency Correction Burst (FB) regelmäßig senden

SCH mit Syncronization Burst (SB) regelmäßig senden

regelmäßig horchen

DCCH (D) Bestätigung und Zuteilung eines Steuerkanals für die weitere Signalisierung DCCH (U)

Bild 9-13 Verbindungsaufbau MS – BTS

Abschließend sei angemerkt, dass SMS-Nachrichten über die SDCCH- bzw. SACCH-Kanäle zugestellt werden. Die Verwendung des SDCCH ermöglicht die Übertragung während eines laufenden Telefongespräches. Über den SDCCH werden auch die Messprotokolle zur Unterstützung der Handover-Steuerung (Mobile Assisted Handover) gesendet.

9.1.4

High Speed Circuit Switched Data (HSCSD)

Mit der Verbreitung des Internet mit seinen Multimediainhalten sind die Ansprüche an die Geschwindigkeit der Datenübertragung gestiegen. Hier blieb GSM Phase 2 mit den im günstigsten Fall erreichbaren 9,6 kbit/s hinter dem aus dem Festnetz als Standard bekannten 56 kbit/s für analoge Modems bzw. 64 kbit/s für ISDN-B-Kanal-Modems weit zurück. Aus diesem Grund wurde in GSM die Bündelung von Verkehrskanälen eingeführt. Als High Speed Circuit Switched Data (HSCSD) ist der entsprechende Dienst seit dem Jahr 2000 für HSCSD-fähige MSen in Deutschland verfügbar. Durch Zusammenfassen von bis zu vier Verkehrskanälen für einen Teilnehmer, Half-Rate sowie Full-Rate-Kanäle (mit modifizierter Kanalkodierung mit 14,4 kbit/s), lassen sich Datenraten bis zu 57,6 kbit/s realisieren. Die HSCSD hat jedoch für den Teilnehmer den Nachteil, dass ihm die gebündelten Verkehrskanäle exklusiv zugeordnet und somit verrechnet werden, auch wenn z. B. beim Editieren am Notebook oder beim Betrachten einer Web-Seite, keine Daten zur Übertragung anstehen. Man spricht von leitungsvermittelter Datenübertragung (Circuit Switched Data). Eine denkbare Anwendung ist beispielsweise die kurzzeitige Übertragung „großer“ Datenmengen aus dem Netz (Download) in verkehrsschwachen Zeiten und bei guter Verbindung zur Basisstation. Durch die Einführung von GPRS und UMTS hat die Attraktivität von HSCSD abgenommen. HSCDS ist nicht in allen GSM-Netzen in Deutschland verfügbar.

9.1 Global System for Mobile Communications (GSM)

9.1.5

301

GSM-Sicherheitsmerkmale

Die Grundvoraussetzung für die Akzeptanz eines öffentlichen Mobilfunknetzes ist der Schutz vor missbräuchlichem Netzzugang, die Vertraulichkeit der Nachrichten und die Anonymität der Teilnehmer und ihres Aufenthaltsorts. In GSM-Netzen haben deshalb die Sicherheitsmerkmale einen sehr hohen Stellenwert. Besonders angreifbar ist die Funkübertragung, da sie für jedermann zugänglich ist. Auf sie konzentrieren sich die Sicherheitsvorkehrungen. Für die leitungsgebundene Übertragung sind keine besonderen Maßnahmen vorgesehen, da die Telefonate meist in das öffentliche Telekommunikationsnetz gehen und ein höherer Sicherheitsstandard als dort demzufolge auch nicht garantiert werden kann. Anmerkung: Letzteres ist heute mit zunehmendem Datenverkehr über das Internet überholt. Mobilkommunikationssysteme sollen heute Ende-zu-Ende-Verschlüsselung unterstützen, wie z. B. bei UMTS vorgesehen.

Die Prüfung der Netzzugangsberechtigung nach Teilnehmeridentifizierung geschieht in zwei Schritten. Im ersten Schritt identifiziert sich der Teilnehmer durch die PIN bei der SIM-Card im Mobilgerät. Dadurch wird das Übertragen der PIN über die angreifbare Luftschnittstelle vermieden. Im zweiten Schritt wird die SIM-Card durch das Netz überprüft. Dies geschieht vereinfachend gesprochen durch eine zufällig ausgewählte Frage an die SIM-Card, die nur sie anhand ihres eingebauten Sicherheitsalgorithmus richtig beantworten kann. Nach dem Einschalten des Mobilgerätes ist zuerst, falls nicht bereits als Plug-In fest eingebaut, die SIM-Card einzuführen. Die SIM-Card ist eine Plastikkarte, in die ein Chip mit Mikrocontroller und Speicher eingesetzt ist, siehe Bild 9-14. Mit der vier- bis achtstelligen Geheimzahl (PIN) identifiziert sich der Teilnehmer gegenüber der SIM-Card. Wird die PIN dreimal hintereinander falsch eingegeben, wird die Karte gesperrt und kann nur mit der separaten achtstelligen Geheimzahl PUK (PIN Unblocking Key) wieder freigegeben werden. Zehnmaliges falsches Eingeben der PUK macht die SIM-Card unbrauchbar. Als einziger Dienst ohne SIM-Card ist der Notruf zugelassen. Anmerkung: Die SIM-Card hat sich mittlerweile mehr und mehr zu einem Mittel des elektronischen Bezahlens entwickelt. Heute lassen sich beispielsweise über Mobiltelefone Fahrkarten für den öffentlichen Nahverkehr und Parktickets lösen sowie Internetzugänge über WLAN-Hotspots freischalten.

Die Identifizierung der Teilnehmer durch das Netz erfolgt auf der Basis der SIM-Card nach dem Challenge-Response-Verfahren in Bild 9-15. Dabei wird wieder weder Schlüssel noch Geheimzahl über die angreifbare Luftschnittstelle übertragen. Stattdessen generiert das AUC nach dem Zufallsprinzip eine 128 Bit lange Zahl RAND, von Random Number. Bei der Länge von 128 Bits gibt es etwa 3,41038 verschiedene Möglichkeiten, sodass ein zweimaliges Auftreten der gleichen Zahl – hier der gleichen Frage an den gleichen Teilnehmer – sehr unwahrscheinlich ist. Die Zahl RAND wird an die MS übertragen. Dort wird in der SIM-Card die Zahl RAND zusammen mit einem geheimen, teilnehmerspezifischen Schlüssel Ki aus 128 Bits in dem ebenfalls geheimen Algorithmus A3 verarbeitet. Das Ergebnis, der 32 Bit lange Wert SRES, von Signed Response, wird ans Netz zurückgegeben. Im AUC wird der Wert SRES ebenfalls berechnet. Das Netz vergleicht die beiden Werte; und nur wenn sie übereinstimmen, wird der MS die Zugangsberechtigung erteilt.

302

9 Mobilkommunikation

Clock

RAM 1…3 KByte

CPU 8/16 bit

ME

Data

I/O

EPROM 16…64 KByte

Address

1…5 (10) MHz

CPU Central Processing Unit EPROM Erasable Programmable ROM I/O Input/ Output

ROM 40…100 KByte

ME ROM RAM

Mobile Equipment Read Only Memory Random Access Memory

Bild 9-14 Funktionsblöcke einer SIM-Card nach [Sau07]

Die Einzelheiten des Verfahrens und die Teilnehmerschlüssel sind geheim und werden bei den jeweiligen Netzbetreibern unter besonderen Sicherheitsvorkehrungen verwaltet. Die notwendige Geheimhaltung des Verfahrens wird von Experten kritisiert, da sie ein zusätzliches Sicherheitsrisiko darstellt. Im Gegensatz dazu kennt die Kryptologie Verfahren, bei denen die Algorithmen öffentlich bekannt sein dürfen. Bei der Verschlüsselung der Nachrichten zeigt sich ein weiterer Vorteil der digitalen Übertragung. Durch eine einfache Exor-Verknüpfung der Bits mit der Verschlüsselungssequenz wird die Nachricht für den, der die Verschlüsselungssequenz nicht kennt, unkenntlich gemacht, siehe Bild 9-16.

MS

Ki

Funkstrecke RAND

c A3-Algorithmus d SRESMS

Netz c

SRESMS

d

Ki

RAND

A3-Algorithmus SRES

SRESMS

=?

Ja

Bild 9-15 Teilnehmeridentifizierung mit dem Challenge-Response-Verfahren

Nein

9.1 Global System for Mobile Communications (GSM)

303

Verschlüsselungssequenz

Verschlüsselungssequenz

...1101 0001 Nachricht

verschlüsselt

...0100 1101

...1001 1100

Funkübertragung

...1101 0001 verschlüsselt

entschlüsselt

...1001 1100

...0100 1101

EXOR

EXOR

Bild 9-16 Verschlüsselung der binären Nachrichten durch Exor-Verknüpfung

Die Verschlüsselungssequenzen werden in GSM mit speziellen Verfahren in der MS und im Festnetz erzeugt. Das Prinzip ist in Bild 9-17 skizziert. Um die angreifbare Luftschnittstelle zu umgehen, wird der Schlüssel Kc für die Verschlüsselungssequenz nicht übertragen. Der Schlüssel Kc umfasst 64 Bits und wird anhand des Schlüssels Ki, der Zufallszahl RAND und dem netzbetreiberspezifischen geheimen Algorithmus A8 ebenfalls auf der SIM-Card berechnet. Mit Hilfe von Kc, der auf der Luftschnittstelle signalisierten TDMA-Rahmennummer (RNr.) und dem geheimen, in der MS befindlichen Algorithmus A5 werden dann die Verschlüsselungssequenzen S1 und S2 fortlaufend berechnet. Die Verschlüsselung wird bereits bei der Teilnehmeridentifizierung durch das Prüfwort CKSN getestet. Während der Kommunikation im Normal Burst werden jeweils die 114 Nachrichtenbits der Teilnehmer verschlüsselt. Bei der Signalisierung zwischen dem Netz und der MS, wie beispielsweise das Rufen des Teilnehmers, muss eine unverschlüsselte Teilnehmerkennung übertragen werden. Um das Erstellen von Bewegungsprofilen der Teilnehmer auszuschließen, wird in GSM dem Teilnehmer bereits bei seiner Identifizierung eine temporäre Mobilteilnehmerkennung, die Temporary Mobile Subscriber Identity (TMSI), verschlüsselt zugewiesen. Die TMSI ist im gesamten Bereich der MSC gültig und wird auch im Netz verwendet. Wechselt die MS in den Bereich einer anderen MSC, wird von der aufnehmenden MSC eine neue TMSI zugeteilt.

Ki

MS

RAND

Netz RAND

A8-Algorithmus RNr.

A8-Algorithmus

Kc

Kc

A5-Algorithmus S1

Ki

A5-Algorithmus

Funkübertragung

S2

RNr.

S1

c

d

d

c

Bild 9-17 Verschlüsselung und Entschlüsselung der Nachrichten

S2

304

9 Mobilkommunikation

Die Umsetzung des Sicherheitskonzepts von GSM entspricht heute nicht mehr den technischen Möglichkeiten potenzieller Angreifer. Das Bundesamt für Sicherheit in der Informationstechnik (BSI), www.bsi.bund.de, kommt in seiner Internetpublikation 2009-0710_Sicherheitshinweis_GSM_pdf. zu der Bewertung: „Die Kommunikation mit GSM-Mobiltelefonen ist ohne hinreichende Sicherheitsmaßnahmen als unsicher anzusehen.“

9.2

General Packet Radio Service (GPRS)

Eine üblicherweise kostspielige, leitungsvermittelte Übertragung ist für eine typische InternetAnwendung mit stoßweisem Nachrichtenverkehr wenig geeignet. Beim Blättern in Webseiten mit abwechselnden Pausen für das Betrachten und Laden der Seiten ist nur kurzzeitig eine hohe Übertragungskapazität erforderlich. Hierfür eignet sich die aus dem Internet bekannte paketorientierte Übertragung besser. Ein weiteres Beispiel ist die häppchenweise Übertragung kleiner bis mittlerer Datenvolumina in verkehrsschwachen Zeiten. So könnten Außendienstmitarbeiter via Mobiltelefon über Nacht ihre Bestellungen übermitteln und Kataloge und Preislisten aktualisieren. Der Bedarf an paketorientierten Diensten mit entsprechend attraktiven Tarifmodellen wurde von den GSM-Netzbetreibern so hoch eingeschätzt, dass GSM um einen paketorientierten Teledienst, dem General Packet Radio Service (GPRS), ergänzt wurde. Bedingung war, die Kompatibilität mit der GSM-Luftschnittstelle: Die Frequenzkanäle und die Zeitschlitze mussten beibehalten werden. Neu gestaltet wurden die Verwaltung und Zugriffssteuerung der Funkressourcen sowie die Architektur auf Seiten des Festnetzes. GPRS ist seit 2000 in Österreich und 2001 in Deutschland verfügbar.

9.2.1

Paketübertragung mit Dienstmerkmalen

Die leitungsvermittelte Sprachtelefonie fußt auf dem Prinzip Geht-oder-geht-nicht, je nachdem ob eine freie Leitung vorhanden ist, und erfolgt in den drei Phasen: Verbindungsaufbau, Nachrichtenaustausch und Verbindungsabbau. Ganz anders ist das bei der Paketübertragung konkurrierender MSen auf der Luftschnittstelle. Die paketorientierte Datenübertragung in GPRS bringt neue Dienstanforderungen mit sich. Diese werden durch Dienstgüteprofile festgelegt. Während die Übertragung von Sprachrahmen den Sprachfluss nicht unterbrechen darf, liegen bei der Datenübertragung in der Regel keine eng begrenzenden Zeitanforderungen vor. Dafür sollen die empfangenen Daten fehlerfrei sein. Ist ein Sprachrahmen gestört oder gar verloren, so ist ein Nachsenden wegen der damit verbundenen unzulässigen Verzögerung überflüssig. Ist hingegen ein Datenrahmen gestört oder geht gar verloren, sollte er erneut übertragen werden. Für die Paketübertragung ist deshalb in der Regel eine gesicherte Übertragung erwünscht. Fehlererkennende Codes, Flusskontrolle, Quittierung und Übertragungswiederholung sind in den entsprechenden Protokollschichten vorzusehen. Der Vorteil der Paketübertragung, die bessere Systemauslastung, erschließt sich für GPRS erst, wenn die Übertragungskapazität der Luftschnittstelle flexibel genutzt werden kann (Capacity on Demand). Hierfür sind der Vielfachzugriff durch die MSen und die Verteilung der Frequenzkanäle und Zeitschlitze effektiv zu lösen (Radio Ressource Management). Im Folgenden werden grundsätzliche Konzepte und Anforderungen der Paketübertragung und die Umsetzung bei GPRS vorgestellt.

9.2 General Packet Radio Service (GPRS)

9.2.1.1

305

GPRS-Dienstgüte

Mit GPRS werden paketorientierte Teledienste eingeführt, die sich durch die Dienstgüte, die Geräteklasse und/oder Benutzerklasse, wie z. B. die gleichzeitige Benutzung unterschiedlicher Dienste, unterscheiden können. Die Einbeziehung der Dienstgüte (QoS, Quality of Service) spielt in Datennetzen eine zunehmend wichtigere Rolle. In GPRS sind die fünf Merkmale Dringlichkeit, Verzögerung, Verlässlichkeit, Spitzendurchsatz und mittlerer Durchsatz festgelegt. Die Dienstgüteeigenschaften sind definiert oder können durch Messungen statistisch erfasst und im Betrieb überprüft werden. GPRS kennt drei Dringlichkeitsklassen. Klasse 1 steht für hohe, Klasse 2 für normale und Klasse 3 für niedrige Priorität. Beispielsweise können bei hohem Verkehrsaufkommen Datenpakete der Klasse 1 übertragen werden, während andere Datenpakete zurückgestellt werden. Die zulässigen Verzögerungen bei der Übertragung zwischen zwei GPRS-Dienstzugangspunkten werden in die vier Verzögerungsklassen in Tabelle 9-4 eingeteilt. Es wird zwischen kurzen und langen Paketen unterschieden. Angegeben werden jeweils die mittlere Verzögerung und der Wert, der bei 95 % der Pakete nicht überschritten werden darf (0,95-Quantil). Die Werte schwanken zwischen etwa einer Sekunde und sechs Minuten. Mit den relativ langen Verzögerungen wird den typischen burstartigen Störungen der Mobilfunkübertragung Rechnung getragen. Bei der Klasse 4 werden vom Netz keine Werte garantiert. Hierfür hat sich der englische Begriff „Best Effort“ eingebürgert. Tabelle 9-4 GPRS-Verzögerungsklassen QoS 1 2 3 4

128-Byte-Paket Mittelwert 95%-Wert 0,5 s 1,5 s 5s 25 s 50 s 250 s

1024-Byte-Paket Mittelwert 95%-Wert 2s 7s 15 s 75 s 75 s 375 s Best Effort

Die Verlässlichkeit der zugestellten Datenpakete wird über die Art der Übertragungssicherung charakterisiert. Dabei wird zwischen vier Fehlerarten unterschieden: ein verloren gegangenes Paket, ein dupliziertes Paket, ein Paket in falscher Reihenfolge oder ein verfälschtes Paket. Die ersten drei Fehlerarten können durch eine Flusskontrolle und das verfälschte Paket durch eine Kanalcodierung bekämpft werden. Anmerkung: Ein verspätetes Paket wird in der Regel als verloren gewertet. Wird es doch noch zugestellt, ist es wie ein fremdes Paket zu verwerfen.

Es existieren fünf Verlässlichkeitsklassen. In Tabelle 9-5 sind in der ersten Spalte die Klassen genannt. Von Klasse 1 nach Klasse 5 nimmt die Verlässlichkeit ab. Die zweite bis fünfte Spalte bezieht sich jeweils auf den GPRS-Protokollstapel. Er wird im nächsten Unterabschnitt vorgestellt. In Tabelle 9-5 bewegt man sich von links nach rechts logisch gesehen von oben nach unten im Protokollstapel. Man nähert sich quasi der Luftschnittstelle von oben an. GTP steht für das GPRS Tunnel Protocol mit dem die Daten im Festnetzteil übertragen werden. Die Protokollschicht Logical Link Control (LLC) ist für den Austausch der Datenpakete zwischen Vermittlungsschicht und Mobilstation in Form von LLC-Rahmen zuständig.

306

9 Mobilkommunikation

Tabelle 9-5 GPRS-Verlässlichkeitsklassen Klasse

GTP1

LLCRahmen2

LLCDaten

RLCBlock3

Verkehrsart

1

ACK4

ACK

PR5

ACK

nrt

2

UACK4

ACK

PR

ACK

nrt

3

UACK

UACK

UPR5

ACK

nrt

4

UACK

UACK

UPR

UACK

rt

5

UACK

UACK

UPR

UACK

rt

1 2 3

GTP LLC RLC

GPRS Tunnel Protocol Logical Link Control Radio Link Control

4 5 6

ACK / UACK PR / UPR RT / NRT

Sicherheit verlustsensitiv, fehlersensitiv gering verlustsensitiv, fehlersensitiv nicht verlustsensitiv, fehlersensitiv nicht verlustsensitiv, fehlersensitiv nicht verlustsensitiv, nicht fehlersensitiv

Acknowledged / Unacknowledged Protected / Unprotected Real Time / Non Real Time

Für die LLC-Rahmen kann optional eine Flusskontrolle mit Quittierung (ACK, Acknowledgement) und ein fehlererkennender Code (FCS, Frame Check Sequence) (PR, Protected) eingesetzt werden. Die Segmentierung der LLC-Rahmen in zu den Zeitschlitzen der Luftschnittstelle passende Blöcke, siehe Bild 9-6, wird in der Schicht Radio Link Control (RLC) durchgeführt. Dabei kann optional ein Faltungscode verwendet werden, mit dem Fehler erkannt und korrigiert werden können. Je nachdem, welche Sicherungsverfahren eingesetzt werden, können Paketverluste oder gestörte Pakete erkannt werden. Klasse 1 stellt mit der Flusskontrolle und der fehlererkennenden Codierung einen verlustsensitiven und fehlersensitiven Übertragungsmodus zur Verfügung. Bei der Klasse 3 wird keine Flusskontrolle und kein fehlererkennder Code in der LLC-Schicht verwendet. Jedoch werden die RLC-Blöcke mit dem Faltungscode geschützt, sodass viele Fehler erkannt werden können. Bezüglich der Zeitanforderungen sind zwei Modi vorgesehen: Echzeit- (Real-Time-, rt-) und Nicht-Echzeit- (Non-Real-Time-, nrt-)-Übertragung. Im Falle des nicht zeitkritischen nrt-Verkehrs können zuverlässige Verfahren zur Flusskontrolle (ACK) und Fehlersicherung (PR) auf den höheren Protokollschichten eingesetzt werden. Damit lassen sich im üblichen Rahmen der Restfehlerwahrscheinlichkeiten verlässliche Dienste konfigurieren. Wird, wie in den Klassen 4 und 5, rt-Verkehr gewählt, also eine harte Zeitanforderung gestellt, wird auf die Flusskontrolle und die Fehlersicherung auf GTP- und LLC-Ebene verzichtet. Damit lassen sich Verluste von LLC-Rahmen und RLC-Blöcken nicht mehr erkennen. Die Übertragung ist nicht verlustsensitiv. Wird auch noch, wie bei der Klasse 5, auf die Kanalcodierung in der RLC-Schicht verzichtet, so sind auch Bitfehler nicht mehr erkennbar. Die Übertragung ist nicht fehlersensitiv. Anmerkung: Die Anwendung der Klasse 5 muss nicht bedeuten, dass die Daten überhaupt nicht geschützt sind. Hier wird nur seitens des GPRS-Netzes kein Schutz vorgesehen. Es bleibt den Anwendern überlassen, die Daten vor dem (Sende-) GPRS-Zugangspunkt mit der gewünschten Redundanz zu versehen und nach Übernahme am (Empfangs-) GPRS-Zugangspunkt zu kontrollieren. Unter Umständen ist es nützlicher auf den zusätzlichen Fehlerschutz durch GPRS zu verzichten.

9.2 General Packet Radio Service (GPRS)

307

Explizite Werte für die Fehlerwahrscheinlichkeiten findet man in [EVB01] Tabelle 11.2. Sie geben einen Eindruck von der geplanten Zuverlässigkeit der GPRS-Datenübertragung. Für die Klasse 1 wird die Wahrscheinlichkeit für ein verloren gegangenes Paket, ein dupliziertes Paket, ein Paket in falscher Reihenfolge oder ein verfälschtes Paket jeweils mit 109 angegeben. Und in der Klasse 3 sind die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten 102, 105, 105 und 102. Als letztes Dienstgütemerkmal wird der Durchsatz betrachtet. Für GPRS sind Klassen für den Spitzendurchsatz und den mittleren Durchsatz festgelegt. Für den mittleren Durchsatz ist eine weite Spanne mit 19 Klassen vorgegeben. Sie beginnt mit Klasse 1 für „Best Effort“, Klasse 2 für | 0,22 bit/s, Klasse 3 für | 0,44 bit/s, Klasse 4 für | 1,11 bit/s und endet mit Klasse 19 mit | 111 000 bit/s (112 kbit/s). Anmerkung: Die Werte für die anderen Klassen erhält man, wenn man die Werte der Klassen 2 bis 4 jeweils um den Faktor 10 erhöht.

9.2.1.2

Zugriff auf die GSM-Luftschnittstelle

Endgeräte mit der Fähigkeit zur Multislot-Operation, d. h. auf mehreren Zeitschlitzen eines TDMA-Rahmens zu übertragen, kommen den Wünschen der Teilnehmer nach leistungsfähigen mobilen Internetanwendungen entgegen. Die Multislot-Fähigkeit von GPRS verbindet den Vorteil der Kanalbündelung von HSCSD ohne den Nachteil der exklusiven Kanalbelegung. Kurzzeitig können freie Ressourcen aus dem Pool der GSM-Frequenzkanäle und zugehörigen Zeitschlitzen zu einem schnellen Download genutzt und wieder freigegeben werden. Die dynamische Kanalzuteilung ermöglicht eine verbesserte Systemauslastung. Die Kunden profitieren von meist schnellen Datenübertragungen mit attraktiveren Abrechnungsmodellen nach Datenvolumen. Aber auch Anwendungen mit eher sporadischem Verkehr profitieren von der dynamischen Kanalzuteilung, da gelegentliche Datenpakete aufwandsgünstig eingeschoben werden können. Anmerkung: Die dynamische Kanalzuteilung und die nachfolgend beschriebene Codeumschaltung sind zwei Beispiele, wie durch den Einsatz von Mikrocontrollern und Software nachrichtentechnische Systeme adaptiv werden. Die Leistungsfähigkeit der modernen Mobilkommunikation, speziell bei UMTS und WLAN, beruht auf der Anpassungsfähigkeit der Übertragungsverfahren allerdings für den Preis größerer Komplexität in Hard- und Software.

Für das Verständnis des Zugriffs auf die GSM-Luftschnittstelle Um ist ein kurzer Blick auf die GPRS-Protokollarchitektur notwendig. Bild 9-18 zeigt die Protokollschichten für die Datenübertragung (Transmission Plane). Für die logische Steuerung der Verbindung zwischen MS und BSS ist die Radio-Link-Control(RLC)-Schicht zuständig. Sie verbindet die Logical-LinkControl(LLC)-Schicht mit der Medium-Access-Control(MAC)-Schicht. Die LLC-Schicht stellt für die Übertragung LLC-Rahmen, wie in Bild 9-19 gezeigt, bereit. Sie bestehen in der Regel aus Rahmenkopf (FH, Frame Header), z. B. für Steuerinformation für die Flusskontrolle, dem Informationsfeld mit den zu übertragenden Daten (Information, Payload) und der Fehlerprüfsumme (FCS, Frame Check Sequence). Die RLC-Schicht nimmt die LLC-Rahmen entgegen, segmentiert sie auf geeignete Länge und fügt eigene Steuerinformation und Redundanz hinzu. Bild 9-19 zeigt das Prinzip für die BSS. Die Zahlenwerte beziehen sich beispielhaft auf das Codierschema CS3 (Coding Scheme 3), was später noch erläutert wird.

308

9 Mobilkommunikation

BSS

MS Data Link Layer Physical

BSS BSSGP RFL LLC MAC

SNDCP LLC RLC MAC PLL RFL

SGSN

Relay

Um

RLC MAC PLL RFL

Base Station Subsystem BSS GPRS application protocol physical Radio Frequency Layer Logical Link Control Medium Access Protocol

BSSGP NSP Physical Layer

NSP PLL RLC SGSN SNDCP

Gb

SNDCP LLC RLC MAC Physical Layer

Network Service Protocol Physical Link Layer Radio Link Control Serving GPRS Support Node SubNetwork Dependent Convergence

Bild 9-18 GPRS-Protokollarchitektur für die Datenübertragung auf der Luftschnittstelle (Transmission Plane)

Eine besondere Rolle spielen die Bits im Feld USF. Sie helfen beim Lösen des Vielfachzugriffproblems. Um Kollisionen von Datenpaketen der MSen, d. h. gegenseitige Zerstörung der Nachrichten auf der Luftschnittstelle, zu vermeiden, wird in GPRS das Master-Slave-Konzept umgesetzt. Das BSS (Master) zeigt im Feld USF an, welche Kanäle im Uplink frei sind und welche MSen (Slave) sie jeweils nutzen dürfen. Man bezeichnet die Signalisierungsbits deshalb als Uplink State Flags (USF). Ihrer Wichtigkeit entsprechend werden die USF-Bits vorab durch zusätzliche Codierung geschützt. Aus je einem RLC-Block wird für die Funkübertragung ein Radio Block mit der festen Länge von 456 Bits erzeugt. Dazu wird ein Faltungscode eingesetzt. Im Beispiel des CS3 wird der RLC-Block unter Hinzunahme von vier Schlussbits (Tailbits) mit der Rate 1/2 codiert. Aus den 338 Bits des RLC-Blocks entsteht ein Codewort der Länge 676 Bits. Um die für die GSMBurststruktur geforderte Länge von 456 Bits zu erhalten, werden nach einem bestimmten Muster etwa 1/3 der Bits entfernt. Man spricht vom Punktieren bzw. punktierten Faltungscode. Die resultierende Coderate ist circa 1/(22/3) = 3/4. Anmerkung: Die punktierten Stellen in den Codewörtern sind auch im Empfänger bekannt. Bei der Decodierung wird die Punktierung berücksichtigt, sodass sie zwar keine Prüfstellen liefert, aber selbst keine Fehler induziert. Allerdings verringern sich die Coderaten und damit die Robustheit der Codierungen gegen Übertragungsfehler.

Die Bits des Radio-Block werden verschachtelt und in vier Segmente à 114 Bits aufgeteilt, entsprechend den 114 Informationsbits eines Normal-Burst. Die weitere Übertragung kann nun von der physikalischen Schicht übernommen werden. In der RLC-Schicht ist je nach Übertragungsverhältnissen bzw. Dienstanforderungen pro Zeitschlitz eine der vier Kanalcodierungsschemata CS1 bis CS4 vorgesehen, sodass sich die Datenraten 9,05, 13,4, 15,6 oder 21,4 kbit/s ergeben. Erreicht wird das durch Punktierung eines Faltungscodes. Dabei wird der Anteil der Bits zum Fehlerschutz bei guten bis sehr guten Übertragungsbedingungen von 50 % auf ungefähr 33 %, 25 % oder 0 % reduziert, was den Coderaten 1/2, circa 2/3, 3/4 und 1 (keine Redundanz) entspricht. Steuernachrichten werden mit CS1 bestmöglich geschützt.

9.2 General Packet Radio Service (GPRS)

LLC-Rahmen

309

FH

Information

FCS

Segmentierung Segment

RLC-Block (CS3) Bits

USF

H

6

19

Segment

Segment

Faltungscodierung mit Rate 1/2

Codewort

Segment

Information

BCS

293

16

334 Bits + 4 Tailbits

676 Bits Punktierung

Radio-Block

456 Bits Interleaving und Segmentierung Burst-Segment Burst-Segment Burst-Segment Burst-Segment Bits

114

114

114

114

Bild 9-19 Rahmenverarbeitung der Radio-Link-Control-Schicht (RLC) für das Codierschema CS3 in der BSS

Bei Bündelung von acht Zeitschlitzen, entsprechend multimodefähige MS und BTS vorausgesetzt, und CS4-Codierung bei störungsfreier Übertragung ergibt sich ein theoretischer Maximalwert der Datenrate von 171,2 kbit/s. Vor der Codierung werden auch einige Signalisierungsbits (z. B. USF, Header, BCS) hinzu gegeben, siehe Bild 9-19. Aus der Sicht der Teilnehmer reduziert sich die effektive Bitrate ohne Kanalbündelung deshalb auf 8, 12, 14,4 oder 20 kbit/s. Durch zusätzliche Kanalbündelung sind im praktischen Einsatz Nettobitraten von circa 56 kbit/s, vergleichbar zu einfachen Telefonmodems, darstellbar.

9.2.2

GPRS-Systemarchitektur

Die GSM-Netzarchitektur der Phase 1, siehe Bild 9-2, wurde primär für die mobile Sprachtelefonie konzipiert. Für die Realisierung der paketorientierter Übertragungsdienste von GPRS muss eine neue Systemarchitektur eingesetzt werden. Sie wird, wie in Bild 9-20 gezeigt, parallel zum ursprünglichen Network Subsystem (NSS) in Bild 9-2 aufgebaut, das GPRS Switching Subsystem (GSS).

310

9 Mobilkommunikation

RSS

NSS

BSS

OSS

HLR

AUC

GR MS

BTS

MSC VLR

BSC

MS

EIR

D

Gr

OMC

Gs

Gf

BTS SGSN

Gb BTS

GGSN SGSN GR GSS Gx

BSC

Gateway GPRS Support Node Serving GPRS Support Node GPRS Register GPRS Switching Subsystem GSS Interfaces

GGSN

Gn

Gd SMS-GMSC SMS-IWMSC

GMSC IWMSC MSC PDN SMS

Gi Gp

PDN

GPRS PLMN

Gateway MSC Interworking MSC Mobile Switching Center Packet Data Network Short Message Service

Bild 9-20 GSM-Systemarchitektur für GPRS

Der externe Netzzugang geschieht über den Gateway GPRS Support Node (GGSN). Er dient als Verbindung zu externen paketorientierten Netzen (Packet Data Network) und ist für die Protokollumsetzung zuständig, wie z. B. das Zuordnen von Internetpaketen zu den GPRS-Teilnehmern. Der Serving GPRS Support Node (SGSN) unterstützt die Funktionalitäten der GPRSDienste, -Geräte und -Teilnehmer. Er hat Zugriff zu den dafür notwendigen Datenbankerweiterungen im HLR und im EIR. Für das Mobilitätsmanagement der GPRS-Teilnehmer steht ihm das VLR zur Verfügung. Die Übertragung der Datenpakete vom SGSN geschieht direkt auf die BSC und dann über die Luftschnittstelle, wo Frequenzkanäle und Zeitschlitze je nach Verkehrsbedarf dynamisch zwischen Sprachübertragung, leitungsorientierter (HSCSD) und paketorientierter (GPRS) Datenübertragung aufgeteilt werden. Da grundsätzlich auch MSen vorgesehen sind, die nur GPRS unterstützen, muss GPRS die bereits aus GSM bekannten Aufgaben eines Mobilfunksystems ebenfalls lösen. Dazu gehören beispielsweise das Einbuchen von Teilnehmern, die Unterstützung von Sicherheitsmerkmalen, das Bereitstellen eines Mobilitätsmanagement, usw. Konsequenterweise besitzt GPRS dafür auf der Luftschnittstelle eine Struktur logischer Kanäle wie GSM mit Verkehrskanälen, z. B. den Packet Data Traffic Channel (PDTCH) und maßgeschneiderten Steuerkanälen, wie den Packet Random Access Channel (PRACH). Eine Übersicht über die logischen Kanäle gibt Bild 9-21.

9.3 Enhanced Data Rates for GSM Evolution (EDGE)

311

PRACH Packet Random Access Channel Packet Common Control Channel

BS

PPCH

PCCCH

Packet Data Channel

PDCH

MS

Packet Paging Channel BS

MS

PAGCH

Packet Access Grant Channel BS MS

PNCH

Packet Notification Channel BS MS

PBCCH Packet Broadcast Control Channel BS Packet Traffic Channel

MS MS MS

PDTCH Packet Data Traffic Channel

PTCH PACCH BS

Packet Associated Control Channel

MS Bild 9-21 Logische GPRS-Kanäle

9.3

Enhanced Data Rates for GSM Evolution (EDGE)

Zu den wirtschaftlichen Gründen treten zwei wichtige technische Impulse für die Weiterentwicklung der GSM-Netze hinzu. Zum ersten hat der zunehmende Ausbau der GSM-Netze in Ballungsräumen zu Funkzellen mit Abmessungen von wenigen hundert Metern und darunter geführt. Deren momentane Zustände sind den Steuerrechnern im Mobilfunknetz durch die ständigen, automatischen Erhebungen von Verbindungs- und Funkparametern bekannt. Zum zweiten ermöglicht der Fortschritt der Digitaltechnik heute leistungsfähigere Mikroprozessoren in den Endgeräten. Damit lassen sich anspruchsvollere Algorithmen der digitalen Signalverarbeitung softwaregesteuert einsetzen. Beide Impulse münden in die Idee des „Software Radio“; also eines Endgeräts, welches die Funkschnittstelle in Absprache mit dem Netz je nach gewünschtem Dienst und den speziellen Bedingungen in der Funkzelle einstellt. Mit Enhanced Data Rates for GSM Evolution (EDGE) gehen die GSM-Netze einen weiteren Schritt in Richtung „Software Radio“. EDGE wurde 1997 als Weiterentwicklung der HSCSDund GPRS-Datendienste von der ETSI vorgeschlagen. Um den gleichzeitigen Betrieb von herkömmlichen Endgeräten und neuen EDGE-Geräten zu ermöglichen, werden die Frequenzkanäle und das TDMA-Raster beibehalten. Durch ein Bündel von Maßnahmen können falls die Situation in der Funkzelle es erlaubt auf der Funkschnittstelle höhere Bitraten zur Verfügung gestellt werden. EDGE ersetzt das bisherige Modulationsverfahren GMSK durch die 8-PSK-Modulation (Phase Shift Keying, Phasenumtastung). Statt wie bei GMSK ein Bit pro Zeitschritt, werden gleichzeitig 3 Bits übertragen, wie Bild 9-22 veranschaulicht.

312

9 Mobilkommunikation

Im

Im 000

„1“ „0“

Re

010

011

001

Re 111

101 MSK Übertragung eines Bits pro Zeitschritt (Übergangsmöglichkeiten beschränkt)

100 8-PSK

110

Übertragung dreier Bits pro Zeitschritt (alle Übergänge möglich)

Bild 9-22 Symbole der MSK-Modulation (| GSM) und 8-PSK-Modulation (EDGE) Die 8-PSK-Modulation besitzt acht Symbole, die gleichmäßig auf einem Kreis angeordnet sind. Hier kann pro Zeitschritt beliebig gewechselt werden, sodass mit jedem Symbol drei Bit (23 = 8) angezeigt werden. Anmerkung: Die GMSK-Modulation von GSM kann im Wesentlichen als modifizierte MSK-Modulation auf die Offset-QPSK mit Impulsformung zurückgeführt werden. Pro Zeitschritt, d. h. Bitintervall Tb = 576,9 Ps / 156,25 | 3,69 Ps, wird ein Bit übertragen, da ein Symbolwechsel nur zu einem der beiden Nachbarsymbole möglich ist.

Warum wurde nicht gleich die 8-PSK-Modulation bei GSM eingesetzt? Die Antwort findet man in den Besonderheiten der Mobilfunkübertragung, siehe Abschnitt 9.2.3.2. Die GMSKModulation stellt einen guten Kompromiss zwischen hoher Bandbreiteneffizienz und großer Robustheit gegen Störungen dar. Für GSM-Empfänger ist die Zielgröße des Quotienten aus der Leistung des Nutzsignals (Carrier) durch die Leistung der Störsignal (Interferer), C/IVerhältnis genannt, 15 bis 20 dB (30…100). Für die 8-PSK-Modulation ist ein etwa 20 dB größeres C/I-Verhältnis, also etwa der Faktor 100, erforderlich. Da die Funkübertragung mit der 8-PSK-Modulation störanfälliger als das bisherige Verfahren ist, werden, eine neue Sendeleistungsregelung (Link Quality Control, LQC) und eine von aktuellen Messdaten abhängige dynamische Anpassung der Modulation und der Codierung nach einem neuen Enhanced Coding Scheme (ECS) eingesetzt. Pro Zeitschlitz sind Bruttobitraten von 29, 32 und 43 kbit/s vorgesehen. Mit Kanalbündelung sind, bei ausreichender Kanalqualität, bis zu 384 kbit/s möglich. EDGE kann prinzipiell für GPRS und HSCSD eingesetzt werden. Man spricht dann von Enhanced GPRS (EGPRS) oder Enhanced CSD (ECSD). Weil die EDGE-Übertragung bei höheren Datenraten anfälliger ist, ist abhängig von der jeweiligen Funkfeldsituation mit Abstrichen im tatsächlich erzielten Datendurchsatz zu rechnen. Anmerkung: Als Mindestkriterium für Mobilfunknetze der 3. Generation hat die ITU die Datenrate von 384 kbit/s festgelegt. Für Betreiber von GSM/GRPS-Netzen eröffnet EDGE somit einen Migrationspfad zu einem Netz der 3. Generation, was im Zusammenhang mit Verlängerungen von Betriebsgenehmigungen und Frequenzvergaben eine wichtige Rolle spielen kann.

9.4 Universal Mobile Telecommunication System

9.4

313

Universal Mobile Telecommunication System

Beflügelt von GSM, Internet und den Erfolgen der New Economy setzte sich bei den in Wirtschaft und Politik Verantwortlichen die Meinung durch, nur durch eine rasche Einführung eines neuen multimediafähigen Mobilfunknetzes mit neuen Frequenzbändern könne der Bedarf an neuen Diensten und Übertragungskapazitäten in naher Zukunft gedeckt werden. Internationale Forschungsprojekte wurden aufgelegt und in Koordinierungsgremien und Standardisierungsorganisationen weltweit die Arbeit intensiviert. So sollte um das Jahr 2000 ein möglichst global harmonisiertes Mobilfunksystem der 3. Generation eingeführt werden. Die Arbeiten in China, Europa, Korea, Japan und den USA führten schließlich nicht zu einem einheitlichen System, jedoch entstand ein hohes Maß an gegenseitiger Abstimmung im 3rd Generation Partnership Project (3GPP und 3GPP2). Anmerkungen: (i) Die weltweite Einführung der digitalen Mobilfunksysteme der 2. Generation geschah uneinheitlich. Wichtig waren neben den aktuellen technischen Entwicklungen und den wirtschaftlichen Überlegungen der Hersteller und Betreiber auch industriepolitische Entscheidungen in den jeweiligen Ländern. Es haben sich zwei Systeme durchgesetzt: GSM/GPRS und cdmaONE, ein in den USA entwickeltes System mit CDMA-basierter Luftschnittstelle. (ii) Für die wirtschaftlich erfolgreiche Einführung der 3. Generation ist wichtig, die in die 2. Generation getätigten Investitionen weiter nutzen zu können. Man spricht von einer Migration der Systeme. Dementsprechend haben sich zur Standardisierung durch die ITU, dort IMT 2000 (International Mobile Telecommunications) genannt, zwei Partnerschaften gebildet. In der Projektgruppe 3GPP schlossen sich zur Unterstützung von UMTS zusammen: ANSI T1 (ANSI Standards Committee T1, USA), ARIB (Association of Radio Industries and Businesses, Japan), CWTS (China Wireless Telecommunication Standard Organization, China), ETSI (European Telecommunications Standards Institute, Europa), TTA (Telecommunication Technology Association, Korea) und TTC (Telecommunication Technology Committee, Japan). Die Weiterentwicklung des Systems cdmaONE zu CDMA 2000 hat sich die Projektgruppe 3GGP2 vorgenommen. Mitglieder sind: ANSI T1, ARIB, CWTS, TIA, TTA und TTC. Beide Projektgruppen arbeiten zusammen, was auch durch die Mehrfachmitgliedschaften zum Ausdruck kommt.

In Europa definierte ETSI 1999 mit dem Release 3, auch Release 99 genannt, wesentliche Eckdaten für die erste Phase des Universal Mobile Telecommunication System (UMTS). UMTS stützt sich auf die bei der WARC 1992 zugewiesenen Frequenzbänder für den öffentlichen Mobilfunk von 1885 … 2025 MHz und 2110 … 2200 MHz. Diese sind nicht ausschließlich für terrestrische Systeme der 3. Generation bestimmt und werden in manchen Ländern teilweise auch anderweitig genutzt. Für UMTS steht in Europa das Frequenzband von 1900 … 1980 MHz und 2110 … 2170 MHz exklusiv zur Verfügung. Man beachte die unterschiedlichen Breiten der beiden Frequenzbänder. Zweimal 60 MHz sind für den Frequenzduplexmodus (FDD, Frequency Division Duplex) mit dem Duplexabstand 190 MHz reserviert. Im unteren Band findet der Abschnitt von 1900 … 1920 MHz keine Entsprechung. Deshalb wurde unter anderem auch ein Zeitduplexmodus (TDD, Time Division Duplex) standardisiert. Für ihn steht zusätzlich der Bereich von 2010 … 2025 MHz zur Verfügung. Im Jahr 2000 versteigerte die Bundesrepublik Deutschland öffentlich Frequenzbänder mit je 5 MHz Breite. Den Zuschlag erhielten sechs Unternehmen für zusammen etwa 50 Milliarden Euro. In den Informations- und Kommunikationstechnik- (ITK-) Sektor wurden große Erwartungen gesetzt. Sie haben sich nicht erfüllt. Die Börsennotierungen vieler Dotcom- und ITKFirmen sind weltweit stark gefallen und manche Unternehmen mussten ganz aufgeben. Zwei der Firmen mit ersteigerten UMTS-Lizenzen haben inzwischen ihre Pläne fallen gelassen. Die Einführung von UMTS wird neben der allgemein gedämpften wirtschaftlichen Lage auch da-

314

9 Mobilkommunikation

durch gehemmt, dass aus heutiger Sicht das Potenzial von GPRS nicht ausgeschöpft wurde; d. h., der Markt an Datendiensten nicht ausreichend entwickelt wurde und der Branche dadurch die für die UMTS-Investitionen erforderliche Wertschöpfung versagt blieb. Anmerkung: Das Platzen der sogenannten Dotcomblase im Jahre 2000 verdeutlicht das Beispiel der Deutschen Telekom besonders. Die Aktie der Deutschen Telekom fiel nach ihrem Höchststand am 6. März 2000 von 103,5 € bis 30. September 2002 auf 8,42 €, also unterhalb ihres Ausgabekurses. Auch im Mai 2010 bewegte sich die Aktie der Deutschen Telekom im Bereich um 8,5 bis 9 €.

Auch wenn die Einführung von UMTS nicht in der erhofften Geschwindigkeit erfolgte, die Geschäftspläne von Herstellern und Netzbetreiber bzw. die politischen Vorgaben zu optimistisch waren, sind die UMTS-Netze in ihren Möglichkeiten GSM/GPRS-Netzen so weit überlegen, dass sich UMTS schließlich durchsetzte. Im Jahr 2008 werden in Deutschland bereits mehr als 10 Mio. UMTS-Anschlüsse gezählt. UMTS baut als 3. Mobilfunkgeneration auf GSM und GPRS auf. Mit GSM wurde ein Mobilitätsmangement für Teilnehmer und Mobilstationen mit einem lange bewährten Sicherheitskonzept eingeführt. GPRS erweiterte das leitungsorientierte GSM um die Paketübertragung mit effektivem Dienstmanagement. Die bei GSM und GPRS implementierten Lösungen findet man entsprechend bei UMTS wieder. Weil eine ausführliche Darstellung den abgesteckten Rahmen sprengen müsste, werden im Folgenden nur drei wichtige Aspekte von UMTS kurz vorgestellt: das Dienstspektrum, die Systemarchitektur und die Luftschnittstelle.

9.4.1

UMTS-Dienste

Am Anfang der technischen Planungen für UMTS standen unter anderem die Fragen nach dem verfügbaren und benötigten Frequenzspektrum. Dazu wurden ein Dienstemodell eingeführt und die Fragen spezifischer gestellt: Welche heutigen und zukünftigen Teledienste in Festnetzen sollen in UMTS unterstützt werden? Welche Teledienste sollen für UMTS hinzukommen? Welche Parameter haben die Dienste? Welche Vorgaben an Nettobitraten, Dienstsymmetrien, Nutzungsgraden, Codierfaktoren, Bitfehlerquoten und Übertragungszeiten sind zu beachten? Nimmt man noch mögliche Betriebsumgebungen, wie Wohngegenden, Geschäftsgebäude, usw. mit typischen Zahlen an Benutzern und Verkehrsverhalten hinzu, resultieren Modelle, mit denen sich für bekannte Übertragungsverfahren Schätzwerte für den zukünftigen Bandbreitenbedarf bestimmen. Eine Betrachtung der Modelle würde hier zu weit gehen. In [Wal01] wird eine Schätzung der Bandbreitenbedarf von circa 400 MHz für das Jahr 2005 und 580 MHz für 2010 geschätzt. Anmerkung: Bei der Abschätzung des Verkehrsbedarfes in der (Vor-) Planungsphase spielen wirtschaftspolitische Überlegungen eine große Rolle. Geht es doch darum, in internationalen Gremien kostbare Frequenzbänder für die Mobilkommunikation zu akquirieren und in den Firmen Investitionsentscheidungen in beträchtlichen Höhen vorzubereiten. Letzten Endes überzeugen eher rational nachvollziehbare Modelle.

Aus den Überlegungen zum Dienstmodell ergaben sich um das Jahr 2000 drei besondere Anforderungen für UMTS: Kundenzufriedenheit: effiziente Unterstützung des Dienstemix mit hoher Dienstgüte wie im Festnetz. Dienstangebot: Datenraten für Multimediaanwendungen auf der Luftschnittstelle von bis zu 384 kbit/s in der Fläche und bis zu 2 Mbit/s in geschlossenen Räumen.

9.4 Universal Mobile Telecommunication System

315

Frequenzressourcen: effiziente Nutzung durch dynamische Bitratenzuteilung auf der Luftschnittstelle nach Dienstanforderungen und Kanaleigenschaften.

9.4.2

UMTS-Systemarchitektur

Die Systemarchitektur von UMTS fußt auf GSM/GPRS und der von ETSI vorgeschlagenen globalen Multimedia-Transportplattform für Mobilität, Global-Multimedia-Mobility (GMM) Architektur genannt. Sie unterstützt die Migration bestehender Systeme der 2. Generation zu UMTS und die zukünftige Weiterentwicklung durch Trennung in physikalische Bereiche. Die physikalischen Bereiche werden Domänen genannt und UMTS wird wie in Bild 9-23 gegliedert. Auf der Teilnehmerseite der Luftschnittstelle Uu wird vom Mobile Equipment (ME) gesprochen. Es enthält die logischen Funktionen für die Funkübertragung und Bedienung der Teilnehmerschnittstelle. Die entsprechenden Teile werden Mobile Termination (MT) bzw. Terminal Equipment (TE) bezeichnet. Eine besondere Rolle spielt das Subscriber Identification Module, kurz USIM für UMTS SIM oder Universal SIM genannt. Das Sicherheitskonzept von UMTS wurde verglichen mit GSM erweitert und die USIM-Card selbst wesentlich leistungsfähiger. Die Luftschnittstelle verbindet das ME in der User Equipment Domain (UED) mit dem Funkzugangsnetz (Radio Access Network, RAN) in der Access Network Domain (AND). Das Funkzugangsnetz kann ein UMTS Terrestrial Radio Access Network (UTRAN) oder ein GSM/ EDGE (GERAN) basiertes Base Station Subsystem (BSS) sein. Das Funkzugangsnetz stellt die Träger zur drahtlosen Nachrichtenübertragung bereit. Ihm obliegen das Management der Funkressourcen und die Unterstützung der Gerätemobilität, wie Handover und Makrodiversity. Das Funkzugangsnetz stellt über die Schnittstelle Iu den Zugang zum Kernnetz (Core Network, CN) in der Core Network Domain (CND) her. Um eine möglichst große Flexibilität und das Zusammenwirken unterschiedlicher Netze bzw. Technologien zu ermöglichen, wird die CND in drei Teilbereiche durch die Schnittstellen Yu und Zu getrennt: der Serving Network Domain (SND), der Transport Network Domain (TND) und der Home Network Domain (HND). Beispielsweise könnte, die SIM-Card-Kompatibilität und ein Roaming-Abkommen vorausgesetzt, ein UMTS-Kunde aus Österreich seine USIM in den USA in einem cdma2000-Gerät benutzten. Vom jeweiligen Ort des Teilnehmers unabhängige Dienste, wie die Authentifizierung oder das Freischalten zusätzlicher Diensten durch den Teilnehmer, würden im Teilnehmernetz (HDN) in Österreich vorgenommen werden. Als Transportnetz könnte eine B-ISDN-Netz oder ein TCP/IP-Netz auftreten. Das benutzte Mobilfunknetz in den USA entspricht dem SND. Es erbringt die ortsbezogenen Funktionen im Kernnetz.

Cu

Mobile Equipment Domain

User Equipment Domain

Uu Air Interface

USIM Domain

Access Network Domain

Iu

Serving Network Domain

Yu Transport Zu Network Domain

Core Network Domain Infrastructure Domain

Bild 9-23 Beschreibung der UMTS-Systemarchitektur mit Domänen

Home Network Domain

316

9 Mobilkommunikation

Eine weitere Sichtweise auf die Systemarchitektur von UMTS liefert der Blick auf die Zugangsebene in Bild 9-24. Die Systemarchitektur unterstützt die Migration von GSM und GPRS auf UMTS. Sie orientiert sich im Kernnetz (CN) an GSM und GPRS. Entsprechend GSM und GPRS besitzt sie einen leitungsvermittelten Teil (Circuit Switching Domain, CSD) und einen paketvermittelten Teil (Packet Switching Domain, PSD). Über die Schnittstellen IuCS und IuPD werden die Verbindungen zum Funkzugangsnetz UTRAN hergestellt. Anmerkung: Parallel dazu können übergangsweise an MSCen im CSD und SGSNs im PSD BSSen weiter betrieben werden.

Die Schnittstelle Iu ist von besonderer Bedeutung. Sie ermöglicht eine Abtrennung der die Funktechnologien und die Funkressourcenverwaltung betreffenden Funktionen vom Kernnetz. Dahinter steht der Wunsch, die GSM/GPRS-Systemarchitektur im Kernnetz schrittweise zu ersetzen. Geplant sind neben neuen Funktionalitäten, z. B. für Multimediadienste, den Nachrichtentransport und die Signalisierung neu zu organisieren. Eine verbindungsorientierte ATM-Paketübertragung von Nachrichten und Signalisierung, ähnlich dem B-ISDN, ist zunächst geplant. Ein Umstieg auf ein All-IP-Network mit einem IP Multimedia Subsystem (IMS) auf der Grundlage der Protokolle RTP/TCP/IP ist in den Standardpaketen 4 und 5 vorgesehen. Anmerkung: ATM Asynchronous Transfer Mode, B-ISDN Broadband Integrated Services Digital Network, IP Internet Protocol, RTP Real Time Protocol, TCP Transport Control Protocol.

Bild 9-24 zeigt eine mögliche zukünftige Systemarchitektur. Die Schnittstellen im Kernnetz im Bild der Übersichtlichkeit halber nicht eingetragen basieren auf einer Internetprotokollversion mit Dienstgütesteuerung. Die teilnehmerspezifischen Daten werden im Home Subscriber Server (HSS) bereitgestellt, ähnlich dem HLR und AuC in GSM. Die Packet Switching Domain wird durch ein IP Multimedia Subsystem (IMS) ergänzt. Es ist für die Steuerung und den Paketzugriff auf Multimediadienste mit bestimmten Dienstgüteparametern zuständig. Die Dienste selbst werden über das Service Subsystem angeboten. Sie können von den Netzbetreibern oder externen Dienstanbietern zur Verfügung gestellt werden. Mit der UMTS-Systemarchitektur wird Neuland betreten. Die wirtschaftliche Verbindung von Multimedia und Dienstgüte mit Internetprotokoll und Mobilfunk stellt eine große technische und organisatorische Herausforderung dar. Über Erfolg und Misserfolg der Konzepte wird die praktische Erfahrung in der Zukunft entscheiden. Radio Access Network

Core Network

IuCS

Uu

Network Operator Circuit Switching Domain (4)

(3) Air Interface

Service Subsystem (5) Home Subscriber Server (5)

UTRAN

User Equipment

Service Provider

IuPS

Packet Switching Domain (3)

IP Multimedia Subsystem (5)

Bild 9-24 UMTS-Systemarchitektur nach den Standardpaketen 3 (1999), 4 und 5 (2004) [BGT04]

9.4 Universal Mobile Telecommunication System

9.4.3

317

UMTS-Luftschnittstelle

Für GSM wurden in den 1980er Jahren bereits breitbandigere Konzepte erörtert, als das schließlich ausgewählte GMSK-Verfahren mit Frequenzkanälen je 200 kHz Bandbreite. 1995 wurde in den USA ein Übertragungsverfahren mit 1,25 MHz Bandbreite vorgeschlagen. Der Systemvorschlag wurde als TIA/IS-95 (Telecommunication Industry Association Interim Standard 1995) bekannt und zu cdmaONE weiterentwickelt. Der Name weist auf die Funktechnologie Code Division Multiple Access (CDMA) hin. Es handelt sich um eine Spreizbandtechnik, bei der die informationstragenden Signale, z. B. Telefonsprache, über die Luftschnittstelle mit einer wesentlich größeren Bandbreite übertragen werden. Die Vorteile von CDMA werden im Mobilfunk jedoch bei der Bandbreite von 1,25 MHz meist nicht ausreichend genutzt. Das Übertragungsverfahren von cdmaOne wird deshalb als Schmalband-CDMA bezeichnet. Für UMTS wurde die Bandbreite 5 MHz gewählt. Man spricht vom Breitband-CDMA oder WCDMA (Wideband CDMA). Anmerkung: Bei den Bandbreiten handelt es sich um Frequenzkanalabstände. Die tatsächlich genutzten Bandbreiten sind etwas geringer; bei UMTS circa 4,6 MHz.

9.4.3.1

Spreizbandtechnik mit Rake-Empfänger

Charakteristisch für die Mobilfunkübertragung ist der Mehrwegeempfang. An der Empfangsantenne überlagern sich unterschiedlich verzögerte, phasenverschobene und gedämpfte Kopien des Sendesignals, siehe Bild 9-7. Die Überlagerung führt zu Interferenzen, die bis zur Signalauslöschung führen können. In GSM wird deshalb eine aufwendige Entzerrung mit Kanalschätzung eingesetzt. Der Mehrwegeempfang kann jedoch durch die Spreizbandtechnik in Verbindung mit einem Rake-Empfänger genutzt werden. Der Rake-Empfänger sammelt die Teilsignale ein, wie ein Rechen (Harke, engl. rake) mit seinen „Fingern“ Laub einsammelt. Man spricht von der Mehrwegediversität (multipath diversity). Bild 9-25 veranschaulicht das Prinzip. In der Sendestation (S) wird ein Spreizcode ausgesandt. Der Spreizcode besteht aus einer binären Folge von Rechteckimpulsen, den Chips mit der Chipdauer Tc. Das Sendesignal gelangt als elektromagnetische Wellen auf verschiedenen Wegen zur Empfangsstation (E). Im Bild sind vereinfachend drei Wege eingezeichnet, darunter die kürzeste mögliche Verbindung, die Sichtverbindung (LOS, Line of Sight). Je nach Länge der Wege ergeben sich die Laufzeiten W0, W1 und W2. An der Empfangsantenne überlagern sich die elektromagnetischen Wellen und somit die Signale zu den Wegen. Die Signale weisen zu den Laufzeiten unterschiedliche Phasenverschiebungen und Dämpfungen auf. Der Rake-Empfänger soll die Signale konstruktiv kombinieren. Seine Realisierung greift auf die digitale Signalverarbeitung zurück. Das von der Antenne kommende Signal wird zunächst gemäß der Chipdauer Tc abgetastet. Bei UMTS ist die Chiprate mit 3,84 Mchip/s vorgegeben. Die Chipdauer Tc beträgt somit circa 0,2604 Ps. Das abgetastete Signal wird in eine Kette von Verzögerern eingespeist. Hinter jedem Verzögerer befindet sich ein Abzweig, Rake-Finger genannt. Jede Verzögerung um Tc entspricht mit der (Vakuum-)Lichtgeschwindigkeit von ungefähr 3108 m/s einer Weglängendifferenz von etwa 78 m. Bei L Rake-Fingern können so Signalechos in dem Zeitfenster (Echofenster) der Dauer LTc erfasst werden. Da für UMTS überwiegend kleine Zellen mit Radien von einigen hundert Meter vorgesehen sind, reichen wenige

318

9 Mobilkommunikation

Rake-Finger aus. Innerhalb des Echofensters ist der linke Rake-Finger für das Signal mit der längsten Laufzeit und der rechte Rake-Finger für das Signal mit der kürzesten Laufzeit zuständig, sodass die Signale quasi gleichzeitig weiterverarbeitet werden. Zur Detektion wird in jedem Rake-Finger das Signal mit der Spreizfolge multipliziert (u) und über die Dauer der Spreizfolge summiert (6). Die Operation entspricht einem signalangepassten Filter, einem Matched-Filter, oder äquivalent einem Korrelator. Es resultiert prinzipiell die Autokorrelationsfunktion des Spreizcodes gewichtet mit einer vom Mobilfunkkanal herrührenden Phasenverschiebung und Dämpfung. Das Maximum der Autokorrelationsfunktion ist gleich der Energie der Spreizfolge.

Funkfeldhindernisse Spreizcode

Tc

2. Echo 1. Echo

W1

t

W2 Laufzeiten

W0

LOS S

E

Abtaster nTc

Matched-Filter / Korrelator

Spreizcode 1,1,1,1, 1,1, 1, 1

Kanalkoeffizienten

Summen über die Länge des Spreizcodes

Kanalkoeffizientenadaption

Verzögerungskette

Tc

Kombinierer

Signalgemisch von der Antenne

Rake-Empfänger

6

Tc

6

Tc

6

6

c0

c1

c2

cL-1

KA0

KA1

KA2

KAL1

Entscheider

Bild 9-25 Spreizbandtechnik mit Rake-Empfänger in der Mobilfunkübertragung

9.4 Universal Mobile Telecommunication System

319

Wegen des Mehrwegeempfanges liegt jedoch jeweils ein Gemisch aus verschoben und gewichteten Kopien der Spreizfolge an. Darum liefert jeder Rake-Finger entsprechend verschobene und gewichtete Kopien der Autokorrelationsfunktion. Zur späteren konstruktiven Kombination darf jedoch nur das dem Rake-Finger zugedachte Teilsignal mit der passenden Wegverzögerung beitragen. Deshalb muss die Autokorrelationsfunktion bis auf die Stelle null, wo sie gleich der Signalenergie ist, näherungsweise verschwinden. Dies kann durch die Auswahl der Spreizfolge näherungsweise erreicht werden. Anmerkung: Zur Vereinfachung der weiteren Verarbeitung kann am Ausgang des Matched-Filters die Abtastfrequenz entsprechend der Zahl der Chips der Spreizfolge reduziert werden.

Die Mehrwegediverstiät wird in einer Kombinationsschaltung, kurz Combiner, durch konstruktives Addieren der Ausgangssignale der Matched-Filter realisiert. Es wird das Prinzip des Maximum-Ratio-Combiner angewandt, der das Verhältnis der Leistungen von Nutzsignal und Rauschen maximiert. Im idealen Fall resultiert als Nutzanteil die Summe der Energien der empfangenen Spreizcodes aller Rake-Finger. Dazu werden in den Rake-Fingern die Phasenunterschiede durch Multiplikation mit den komplexen Kanalkoeffizienten c0, c1, … ausgeglichen. Die Teilsignale überlagern sich phasenrichtig und addieren sich konstruktiv. Die Beträge der Koeffizienten berücksichtigen die Dämpfung der Signale. Das heißt, ein Weg mit relativ großer Ausbreitungsdämpfung wird vor dem Zusammenführen relativ gesehen nochmals abgeschwächt, da er vergleichsweise wenig Signal und viel Rauschen beiträgt. Ein Rake-Finger ohne Nutzanteil erhöht nur das Rauschen. Er sollte erkannt und abgeschaltet werden. Der Combiner verwendet Schätzwerte für die Phasenverschiebungen und Dämpfungen im Mobilfunkkanal. Sie werden von speziellen Einrichtungen zur Kanalkoeffizientenadaption (KA) bereitgestellt. Die Güte der Schätzungen beeinflusst die Qualität der Detektion im Entscheider. Anmerkungen: Im realen Betrieb ändern sich die Kanalkoeffizienten mit der Zeit und müssen fortlaufend geschätzt werden. Zur Kanalschätzung werden, wie in der Midamble bei GSM, im Empfänger bekannte Bitmuster (Pilot Bits) gesendet.

Die Chipdauer ist ausschlaggebend für die Fähigkeit des Empfängers, die Mehrwegeausbreitung zu nutzen. Die für UMTS gewählte Chipdauer stellt einen Kompromiss zwischen den Gegebenheiten des Mobilfunkkanals und der Komplexität des Übertragungsverfahrens dar. Nimmt man, wie in Bild 9-25 zu sehen, vereinfachend Rechteckimpulse für die Spreizfolge an, ergibt eine Bandbreite des Funksignals von etwa 1/Tc. Durch eine Impulsformung wird bei UMTS eine Bandbreite von circa 4,6 MHz eingestellt.

9.4.3.2

CDMA-Vielfachzugriff

Im Sender werden die Nachrichten auf die Bandbreite von etwa 4,6 MHz gespreizt. Der Vorteil der Bandspreizung liegt nicht nur in der gesteigerten Robustheit der Übertragung, der Mehrwegediversität, sondern auch in der effizienten Lösung des vielfachen Zugriffs auf die Funkressourcen durch die Teilnehmer und der flexiblen Dienstabwicklung. Bild 9-26 illustriert das Prinzip des Vielfachzugriffs durch Codespreizung. Die Funkübertragung in UMTS basiert auf dem Prinzip des Code Division Multiple Access (CDMA). CDMA bedeutet: Es werden Daten für mehrere Teilnehmer und/oder Dienste gleichzeitig und im gleichen Frequenzband übertragen. Die Signale unterscheiden sich durch spezifische Codes. Dabei werden die Bandbreiten der Nachrichtensignale für die Übertragung typischerweise um Faktoren von 10 bis 1000 aufgeweitet. Daher der Name Spreizbandtechnik (Spread-spectrum Techniques).

320

9 Mobilkommunikation

Empfänger für A Sender A

Code A

Code A

t

++++

t Nachricht A

Tb

codierte Nachricht A

codierte Nachricht A

t

„Bit

t „Chip“ Tc

decodierte Nachricht A t

Empfänger für B Code B

++++

t

codierte Nachricht A

t

Bild 9-26 Prinzip des Code Division Multiple Access (CDMA) im Zeitbereich

In Bild 9-26 wird das Basisbandsignal (Bitstrom) der Nachricht des Teilnehmers A fortlaufend mit dem Codesignal A multipliziert. Das Codesignal besteht aus einer bestimmten Folge von kurzen Rechteckimpulsen, den Chips, mit positiven oder negativen Vorzeichen. Im Beispiel treffen auf ein Bit der Nachricht acht Chips des Codesignals. Wegen dem reziproken Zusammenhang von Zeitdauer und Bandbreite, wird das Spektrum des Nachrichtensignals um den Faktor acht gespreizt. Man spricht vom Spreizfaktor oder Prozessgewinn Gp , englisch Processing Gain, wie später noch erläutert wird. Und es gilt Gp = Tb / Tc. Im Empfänger A wird synchron nochmals mit dem Code A multipliziert. Dadurch heben sich die im Sender durch den Code eingeprägten Vorzeichenwechsel auf. Das Nachrichtensignal wird wiederhergestellt. Im Empfänger B wird der Code des Teilnehmers B verwendet. Die Bandspreizung bleibt im Wesentlichen bestehen. Eine anschließende Tiefpassfilterung unterdrückt die unerwünschten Signale weitgehendst. Die Wirkung der Spreizung im Frequenzbereich veranschaulicht Bild 9-27. Die Nachrichtensignale werden zur Übertragung gespreizt und überlagern sich auf dem Übertragungsweg. Durch das codespezifische Bündeln (Entspreizen) werden die jeweiligen Nachrichtensignale wieder hergestellt. Die unerwünschten, überlagerten Signale bleiben breitbandig, sodass sie nach Tiefpassfilterung nur wenig stören. Die Störung wird um so kleiner, desto größer der Prozessgewinn ist. Im Übertragungsband ist zusätzlich das Spektrum eines schmalbandigen Störers eingezeichnet. Das Entspreizen wirkt für fremde Signale wie Spreizen. Schmalbandige Störsignale werden über eine größere Bandbreite verschmiert, sodass nur ein kleiner Teil als Störung nach der Tiefpassfilterung wirksam wird.

9.4 Universal Mobile Telecommunication System

321

zu Nachricht A

Tiefpass schmalbandiger Störer

f

zu Nachricht A f

zu Nachricht A Bündeln

Spreizen

Frequenz f

f

zu Nachricht B f

zu Nachricht B Bild 9-27 Prinzip des Code Division Multiple Access (CDMA) im Frequenzbereich

Die für die CDMA-Übertragung notwendigen Operationen entsprechen der Signalverarbeitung in den Matched-Filtern des Rake-Empfängers. Zu den Interferenzen aufgrund des Mehrwegeempfangs (Multipath Interference) kommen nun noch Interferenzen durch die Signale der anderen Teilnehmer bzw. Dienste, die Vielfachzugriffsinterferenzen (Multiuser Interference) hinzu. Am Ausgang des Matched-Filters treten zusätzlich die Kreuzkorrelationen zwischen den Spreizcodes als Störungen auf. Sie sollten null sein. Dies wird vorab durch die Auswahl der Spreizcodes näherungsweise erreicht. Es verbleibt jedoch ein gewisser Störanteil. Je größer der Prozessgewinn ist, umso kleiner ist die Störung. Demzufolge wird die mögliche Zahl der Teilnehmer durch den Prozessgewinn beschränkt. Man spricht von einem interferenzbegrenzten Übertragungssystem. Die sich aus dem CDMA-Verfahren ergebenden Möglichkeiten lassen sich am Beispiel der Abwärtsstrecke des UMTS-FDD-Modus anschaulich erläutern. Bild 9-28 zeigt den prinzipiellen Aufbau der Nachrichtenaufbereitung in der Basisstation (Node B). Den Ausgangspunkt bilden die zu erbringenden Dienste, wie z. B. die Sprachtelefonie mit einer Nettobitrate von 12,2 kbit/s, die leitungsvermittelte Übertragung eines ISDN-B-Kanals mit 64 kbit/s oder die leitungsvermittelte Übertragung mit der Bitrate 384 kbit/s. Die zugehörigen Bitströme werden entsprechend ihren Bitraten auf die Chiprate 3,84 Mchip/s gespreizt. Anmerkung: In UMTS werden obige Basisdienste CS64 und CS384 (CS, Carrier Switched) genannt.

Spreizcode 1 Bitstrom 1 Spreizcode 2 Bitstrom 2 Spreizcode n Bitstrom n

Chipstrom 1 Verwürfelungscode Chipstrom 2

zur Sendeantenne

Chipstrom n

Bild 9-28 Spreizen und Verwürfeln im Node B für die Abwärtsstrecke

322

9 Mobilkommunikation

Als Spreizfaktoren können die Werte von 4 bis 256 in Tabelle 9-6 gewählt werden. Damit ist es möglich, Dienste mit sehr unterschiedlichen Bitraten mit einem einheitlichen Übertragungsverfahren zu realisieren. Wichtig für den praktischen Betrieb ist, dass die Wirkungen der wechselseitigen Störungen direkt von den Spreizfaktoren abhängen. Eine Übertragung mit kleinem Spreizfaktor und hoher Bitrate, z. B. das schnelle Laden eines Videos aus dem Internet, verdrängt entsprechend viele Übertragungen mit großen Spreizfaktoren und kleinen Bitraten, wie z. B. Sprachtelefonie-Kanäle, und umgekehrt. Tabelle 9-6 Konfigurationen der Datenübertragung in UMTS im Dedicated Physical Data Channel (DPDCH) Formate

0

1

2

3

4

5

6

(Brutto-)Bitraten in kbit/s

15

30

60

120

240

480

960

Spreizfaktoren

256

128

64

32

16

8

4

Die gespreizten Signale der Teilnehmer bzw. Dienste, die Chipströme, werden zur Übertragung zusammengeführt. Vor der eigentlichen Funkübertragung wird ein Verwürfelungscode (Scrambling Code) eingesetzt. Es handelt sich um einen pseudozufälligen Code (Pseudo-noise Sequence) mit günstigen Korrelationseigenschaften. Da benachbarten Sendern unterschiedliche Verwürfelungscodes zugeordnet werden, wird die Störung bei Interferenz stark reduziert. Ebenso wichtig ist, dass dadurch eine Identifikation der Node B möglich wird und die Spreizcodes in jedem Node B und UE unabhängig vergeben werden können. Man beachte auch, dass durch das Verwürfeln keine Spreizung erfolgt, da der Verwürfelungscode ebenfalls im Chiptakt Tc generiert wird.

9.4.3.3

Nah-Fern-Effekt, Leistungsregelung und Zellatmung

Der CDMA-Vielfachzugriff zur gleichen Zeit im gleichen Frequenzband setzt voraus, dass sich die Signale der Teilnehmergeräte (UE) mit etwa gleicher Leistung an der Basisstation (Node B) überlagern. Bild 9-29 veranschaulicht die Situation. UE 1 befindet sich relativ nah am Node B und UE 2 relativ fern. Durch den größeren Abstand erfährt das Funksignal von UE 2 eine größere Dämpfung als das von UE 1. Würden beide Teilnehmergeräte mit gleicher Leistung senden, könnten die durch UE 1 verursachten Interferenzen den Empfang des Signals von UE 2 übermäßig stören. Der Effekt der unterschiedlichen Empfangsleistungen aufgrund der entfernungsabhängigen Funkfelddämpfungen wird Nah-Fern-Effekt bezeichnet.

UE 3 Node B

UE 1

UE k

UE 2

Bild 9-29 Varianz der mittleren Empfangsleistung (Nah-Fern-Effekt)

In realen Funkfeldern ist die Situation komplizierter als in Bild 9-29 dargestellt. Unabhängig von den tatsächlichen Entfernungen der Stationen können beispielsweise Unterführungen und Häuserzeilen mit Straßenkreuzungen kurzzeitig zu starken Schwankungen der Empfangsleis-

9.4 Universal Mobile Telecommunication System

323

tung führen. Um nachhaltige Störungen durch den Nah-Fern-Effekt zu vermeiden, ist bei CDMA-Mobilfunksystemen eine schnelle Leistungssteuerung in den Funksendern besonders wichtig. Zur Einstellung der Sendeleistungen werden im UMTS FDD-Modus zwei Regelkreise verwendet. Als Regelgröße tritt das Verhältnis der Leistungen von Nutzsignal und Störsignal im Empfänger, das C/I-Verhältnis (Carrier-to-Interference Ratio), auf. Der Sollwert wird dynamisch im jeweils zugeordneten Steuerungsmodul des Funkzugangsnetzes (RAN), dem Radio Network Controller (RNC), bestimmt. Wichtige Einflussgrößen sind die Bitfehlerquote und Übertragungsparameter, wie der Spreizfaktor und die Art der Kanalcodierung. Die Dynamik der Regelung ergibt sich aus der zeitlichen Organisation der Luftschnittstelle bzw. beeinflusst deren Spezifikation. Die Übertragung im FDD-Modus ist in Rahmen und Zeitschlitzen strukturiert. Ein Funkrahmen dauert 10 ms und umfasst genau 38.400 Chips. Die Funkrahmen werden in je 15 Zeitschlitze unterteilt. Folglich ist die Dauer eines Zeitschlitzes 2/3 ms und entspricht 2560 Chips, siehe Bild 9-30. Die beiden Regelkreise werden innerer und äußerer Regelkreis genannt. Der innere Regelkreis ermöglicht eine schnelle Anpassung auf Basis der Zeitschlitze in typischen Schritten von 1 dB, d. h. 25 % mehr oder weniger Sendeleistung. Es werden 1500 Steuerbefehle pro Sekunde übertragen. Der äußere Regelkreis stellt den C/I-Sollwert für den inneren Regelkreis zur Verfügung. Seine Zeitbasis liefern die Funkrahmen. Gegebenenfalls wird alle 10 ms ein neuer C/ISollwert generiert. Die beiden Regelungen setzen eine wechselseitige Kommunikation zwischen Teilnehmergerät und Funknetz voraus. Ist dies nicht der Fall, wie z. B. beim Verbindungsaufbau, wird die Leistung des Senders zunächst aufgrund der im Empfänger gemessenen Leistung der Gegenstation eingestellt. 10 ms Funkrahmen n1

Funkrahmen n

Funkrahmen n+1

38400 Chips 2/3 ms Zeitschlitz 0

Zeitschlitz 1

Zeitschlitz 2

Zeitschlitz 14

2560 Chips Bild 9-30 Zeitstruktur der Luftschnittstelle mit Chipintervall TC = 1/3,84 Ps

Aus der CDMA-typischen Kapazitätsbegrenzung durch die Vielfachzugriffsinterferenzen ergibt sich ein weiterer wichtiger Effekt: die verkehrsabhängige Vergrößerung und Verkleinerung des Versorgungsgebietes einer Funkzellen, anschaulich Zellatmung genannt. Bild 9-31 stellt den Effekt vor. Dort ist links eine Funkzelle bei geringer Verkehrslast dargestellt. Der Teilnehmer (UE k) kann mit der Basisstation (Node B) nur verbunden sein, wenn das C/I-Verhältnis den minimal zulässigen Wert nicht unterschreitet. Dabei ist näherungsweise die Störleistung (I) durch die Vielfachzugriffsinterferenzen proportional der Zahl der aktiven Teilnehmer. Die Empfangsleistung (C) wird über den Sollwert für das C/I-Verhältnis eingestellt. Dazu wird die Sendeleistung so geregelt, dass die mit zunehmender Entfernung wachsende Ausbreitungsdämpfung kompensiert wird. Ist die maximal zulässige Sendeleistung erreicht, kann eine weitere Zunahme der Funkfelddämpfung nicht mehr ausgeregelt werden. Die Verbindung wird beendet.

324

9 Mobilkommunikation

UE k UE 3

UE 1

UE k UE 3

R1 unversorgtes Gebiet

Node B

UE 1

R2

Node B UE 2

UE 2 versorgtes Gebiet geringe Verkehrslast

hohe Verkehrslast

Bild 9-31 Funkzellengröße in Abhängigkeit von der Verkehrslast (Zellatmung, R1 > R2)

Sind, wie in Bild 9-31 rechts veranschaulicht, beispielsweise doppelt soviel Teilnehmer aktiv, so wird zur Erreichung des C/I-Sollwertes entsprechend mehr Sendeleistung benötigt, um die etwa verdoppelte Vielfachzugriffsinterferenz auszugleichen. Zur Kompensation der Funkfelddämpfung steht dann weniger Leistungsreserve im Sender zur Verfügung. Mit der Vereinfachung, dass im Funkfeld die Empfangsleistung proportional zum Quadrat der Entfernung gedämpft wird (Freiraumausbreitung), reduziert sich der maximale Abstand im Beispiel um etwa den Faktor 2. Anmerkung: Im realen Betrieb unterliegt die Funkzellengröße zufälligen Schwankungen. Dies erschwert die Funkzellenplanung erheblich.

9.4.3.4

Zellulare Funkkapazität

Im Regelbetrieb begrenzen die Vielfachzugriffsinterferenzen die Anzahl der aktiven Teilnehmer und Dienste. Mit den vereinfachenden Annahmen kann die zellulare Funkkapazität grob abgeschätzt werden [Vit95]. Wir gehen von gleichem Dienst, z. B. nur Sprachtelefonie, und optimaler Leistungsregelung für alle Teilnehmer aus. Die maximale Zahl an aktiven Teilnehmern Kmax, die an einer Basisstation empfangen werden können, hängt wesentlich ab vom Spreizfaktor (Spreizgewinn) Gp und der Robustheit des Modulationsverfahrens gegen Störungen ab. Letzteres wird durch das für einen Empfang mindestens notwendige Verhältnis von empfangener Energie pro Bit Eb und effektiver Rauschleistungsdichte N0,eff erfasst. Dabei berücksichtigt die effektive Rauschleistungsdichte die Vielfachzugriffsinterferenz. Es resultiert die Abschätzung K max d 1

Eb

Gp

N 0,eff

(9.1) min

Anmerkungen: (i) Eine Verdoppelung des Spreizfaktors Gp bei gleicher Nettobitrate führt im Wesentlichen auf die doppelte zellulare Funkkapazität Kmax. Allerdings zieht sie auch die doppelte Funksignalbandbreite nach sich. (ii) Eine Verdoppelung des Spreizfaktors bei halber Nettobitrate führt ebenfalls auf die doppelte zellulare Funkkapazität. Dabei bleibt die Funksignalbandbreite gleich. Allerdings steht dann pro Teilnehmer / Dienst nur noch die halbe Nettobitrate zur Verfügung. Dies ist bei UMTS beispielsweise durch Umschalten des Sprachcoders zwischen 4,75 bis 12,2 kbit/s möglich (AMR-Codec, Adaptiv MultiRate), siehe auch GSM Full- und Half-Rate-Codec.

9.4 Universal Mobile Telecommunication System

325

Das in die Formel einzusetzende minimale Verhältnis Eb / N0,eff wird durch das gewählte Modulationsverfahren bestimmt. Typische Werte liegen zwischen 6 und 10 dB. Der Spreizfaktor orientiert sich am gewünschten Dienst. Für die Sprachtelefonie sind Nettobitraten von 4,75 bis 12,2 kbit/s vorgesehen. Berücksichtigt man noch eine Codierung mit der Coderate von typisch 1/3, so folgen für die Spreizfaktoren aus Tabelle 9-6 die Werte von 128 bzw. 64. Mit den beiden Spreizfaktoren und dem optimistischen Wert von 6 dB ergibt sich die zellulare Funkkapazität für (nur) Sprachtelefonie von 33 bzw. 17 gleichzeitig aktiven Teilnehmern. Soll eine hohe Teilnehmerdichte bedient werden, wie z. B. in Fußgängerzonen, Sportstadien, usw., sind viele kleine Funkzellen erforderlich. Der Aufwand wird dadurch gemildert, dass bei der Sprachübertragung häufig Mikropausen auftreten. Diese können im Sprachcoder erkannt (VAD, Voice Activity Detection) und Sprachrahmen durch SID-Rahmen (Silence Descriptor) mit einer Nettobitrate von 1,8 kbit/s ersetzt werden. Die Funkkapazität bei reinem Sprachnetzbetrieb verdoppelt sich dadurch in etwa. Werden an den Basisstationen zusätzlich Richtantennen eingesetzt, typischer Weise drei Antennen mit je 120° Hauptkeulenbreite, entstehen kleinere Funkzellen, Sektoren genannt. Damit lassen sich circa 102… 198 aktive Gespräche an einer Basisstation bedienen. Anmerkungen: (i) Die vorgestellte Abschätzung der Funkkapazität ist stark vereinfacht und lässt weitere positive und negative Einflussfaktoren des realen Betriebes außer Acht. Sie gibt eine grobe Orientierung. Die tatsächlich erreichbare Kapazität von UMTS zeigt sich erst in der Praxis bei ausgebauten Netzen. (ii) Für ein flächendeckendes UMTS-Netz werden kleineren Funkzellen und damit mehr Basisstationen als für GSM/GPRS benötigt. Diesem Nachteil steht der Vorteil kleinere Sendeleistungen gegenüber. So ist die maximale Sendeleistung typischer Teilnehmergeräte auf 1W statt 2W bei GSM begrenzt. (iii) Weltweit wird daran geforscht, die Mehrfachzugriffsinterferenzen zu senken. Anordnungen mit mehreren Antennen (MIMO, Multiple Input Multiple Output) und fortschrittliche Verfahren der digitale Signalverarbeitung ermöglichen es, die jeweiligen Funksignale auf die einzelnen Teilnehmer zu richten (Adaptive Beam-forming) sowie Interferenzen rechnerisch zu reduzieren (Multi-user Interference Cancellation).

9.4.3.5

Handover

Die Mobilität der Teilnehmer erfordert in UMTS-Funknetzen ein Mobilitätsmanagement ähnlich dem in GSM/GPRS-Netzen, um beispielsweise Teilnehmern einzubuchen oder zu rufen. Für bestehende leitungsorientierte Verbindungen, z. B. Telefongespräche, ist ein unterbrechungsfreier Wechsel zwischen den Funkzellen, ein Handover, zu realisieren. Bei GSM wird dazu hart vom Frequenzkanal der aktuellen Basisstation (BTS) zum Frequenzkanal der neuen umgeschaltet. Anders beim UMTS FDD-Modus. Da benachbarte Basisstationen (Node B) im gleichen Frequenzband senden und empfangen, kann die Nachricht prinzipiell von mehreren Basisstationen gesendet bzw. empfangen werden. Bild 9-32 veranschaulicht die drei Arten des Handover. Beim Hard Handover ist die Mobilstation jeweils nur mit einer Basisstation verbunden. Der Hard Handover eignet sich besonders für die zeitschlitzbasierenden TDD-Verfahren, wie bei GSM und dem TDD-Modus des UMTS. Beim Soft Handover im FDD-Modus kann eine Verbindung mit bis zu drei Basisstationen gleichzeitig bestehen. Die den Teilnehmern zugeordneten Nachrichten werden netzseitig im RNC auf die jeweiligen Basisstationen aufgeteilt bzw. von diesen kommend kombiniert (Selection Combining, Auswahl des zuverlässigeren Bitstroms). Dabei gibt es keinen festen Umschaltzeitpunkt zwischen den Basisstationen, deshalb der Name Soft Handover. Die Verbindung zur alten Station wird entsprechend der Signalqualität schließlich abgebaut.

326

9 Mobilkommunikation

Soft Handover FDD-Modus

Hard Handover GSM, TDD-Modus

Sektor 1 Softer Handover

Sektor 2

FDD-Modus

Node B Sektor 3 Echo

Bild 9-32 Arten des Handover

Der Soft Handover bietet drei entscheidende Vorteile für das Funknetz: Da sich die Funkstrecken zu den Basisstationen unterscheiden, werden Abschattungen unwahrscheinlicher. Ebenso ergeben sich unkorrelierte, schnelle Schwundprozessen, so dass kurzzeitige Signalauslöschungen unwahrscheinlicher werden. Der Nah-Fern-Effekt wird reduziert. Insgesamt ermöglicht der Soft Handover das Funknetz mit geringeren Sendeleistungen und damit Interferenzen zu betreiben und dadurch seine Kapazität zu erhöhen. Nachteilig ist die zu seiner Realisierung notwendige höhere Komplexität im Funknetz. Anmerkungen: (i) Man spricht auch von Macro-Diversität oder Base-Station-Diversität. (ii) Anders als bei GSM, wo die BSC nicht direkt verbunden sind, existiert bei UMTS die Schnittstelle Iur zwischen benachbarten RNC. (iii) Wegen der spezifischen Verwürfelungscodes der Basisstationen (Node B) müssen beim Soft Handover die Signal der Basisstationen als unterschiedliche Datenströme im Teilnehmergerät (UE) detektiert werden, was den Aufwand in den Geräten enorm erhöht.

Der Softer Handover ist ein Sonderfall des Soft Handover. Wird an einer Basisstation eine Sektorisierung mit Richtantennen vorgenommen, so können die Sende- und Empfangssignale der Antennen getrennt verarbeitet werden. Da die Funksignale an einem Ort vorliegen, sind zur gemeinsamen Verarbeitung aufwendige Verfahren der digitalen Signalverarbeitung (z. B. Maximum Ratio Combining) einsetzbar.

9.4 Universal Mobile Telecommunication System

9.4.3.6

327

Protokollstapel für die UMTS-Luftschnittstelle

GSM und GPRS weisen bereits die grundlegenden Funktionen eines modernen öffentlichen Mobilfunksystems auf: die Verwaltung der Mobilität von Teilnehmern und Geräten (Mobility Management) und die Bereitstellung von Diensten durch Zuteilung geeigneter Betriebsmittel (Radio Resource Management) wie Funkzellen, Frequenzkanäle und Zeitschlitze. UMTS knüpft an GSM/GPRS an, unterstützt jedoch Dienste mit einem weiten Bereich an Dienstmerkmalen sowie die schnelle dynamische Anpassung der Funkübertragung an den wechselnden Verkehrsbedarf im Dienstemix. Die damit verbundene Komplexität im Detail wird durch den Protokollstapel für den Zugriff und die Steuerung der Luftschnittstelle in Bild 9-33 in eine übersichtlichere Darstellung gebracht. Bild 9-33 illustriert beispielhaft die Kommunikation von TCP/IP-Datagrammen (Transport Control Protocol / Internet Protocol) über die Luftschnittstelle. Das TCP/IP-Szenario ist auch deshalb interessant, weil UMTS-Netze zukünftig als All-IPNetze Signalisierungsnachrichten und Nutzdaten mit IP-Datagrammen austauschen werden. Anmerkung: Vergleiche GPRS-Protokollarchitektur in Bild 9-18.

Radio Resource Control

UE

RAN

TCP/ UDP

TCP/ UDP

Transport Layer

IP

IP

Network Layer

PDCP

PDCP

Packet Data Convergence Protocol

RLC

RLC

Radio Link Control

MAC

Medium Access Control

PHY

Physical Layer

RRC

IP Datagrams

Logical Channels MAC

Data Link Layer

Radio Bearers

Transport Channels PHY Uu Air Interface Bild 9-33 Protokollstapel für die Luftschnittstelle am Beispiel einer TCP/IP-Übertragung für den UMTS FDD-Modus

Im Folgenden werden exemplarisch einige wichtige Begriffe und Zusammenhänge vorgestellt. Die Abbildung der IP-Datagramme auf die Luftschnittstelle geschieht in vier Schritten: in der PDCP-Schicht (Packet Data Convergence Protocol), der RLC-Schicht (Radio Link Control), der MAC-Schicht (Medium Access Control) und der PHY-Schicht (Physical Layer). Die PDCP-Schicht stellt die Brücke zum IP-Protokoll her. Im Beispiel nimmt sie IP-Datagramme entgegen bzw. stellt sie zu. Von besonderer Bedeutung ist sie bei der Internettelefonie VoIP (Voice over IP). Es werden typisch kurze IP-Datagramme übertragen, bei denen das Kopffeld mit 20 Oktetten (IPv4) ebenso lang wie die Sprachinformation ist. Dabei sind viele Kopffeld-

328

9 Mobilkommunikation

informationen statisch bzw. bei der Funkübertragung impliziert, wie z. B. die Teilnehmeradresse. Weglassen redundanter Kopffeldinformationen (Header Compression) reduziert die Belastung der Luftschnittstelle deutlich und erhöht so die zellulare Funkkapazität. Anmerkungen: Bei einer Punkt-zu-Multipunkt-Übertragung wird die BMC-Schicht (Broadcast and Multicast Control) vor der RLC-Schicht durchlaufen. In Bild 9-33 ist sie der Einfachheit halber weggelassen.

RLC-Schicht und MAC-Schicht übernehmen die Aufgaben der Datensicherungsschicht (Data Link Layer) im OSI-Referenzmodell. Der Schutz gegen Übertragungsfehler obliegt der RLCSchicht. Die Anpassung an das Übertragungsmedium geschieht in der MAC-Schicht. Die RLC-Schicht bietet (gegebenenfalls via PDCP) der Netzschicht Trägerdienste (Radio Bearer) an, wobei sie die speziellen Eigenschaften des Funknetzes verbirgt. Die IP-Datagramme werden in der RLC-Schicht gegebenenfalls segmentiert bzw. assembliert. Mit der MACSchicht tauscht die RLC-Schicht Datenblöcke bestimmter Längen aus und vereinfacht somit die Organisation von Warteschlangen und Sendezeitpunkten. Die typischen Aufgaben der Datensicherungsschicht erfüllt sie durch die drei möglichen Übertragungsmodi: Gesicherte Übertragung mit Wiederholung (Acknowledged Mode): Datenblöcke mit Flusskontrolle und Fehlererkennung mit gegebenenfalls Anforderung einer Übertragungswiederholung (ARQ, Automatic Repeat Request), Verschlüsselung (Ciphering); Gesicherte Übertragung ohne Wiederholung (Unacknowledged Mode): als fehlerhaft erkannte Datenblöcke werden verworfen, Verschlüsselung; Ungesicherte Übertragung (Transparent Mode): Übertragung ohne Zusatzinformationen (Kopffeld) durch RLC-Schicht, keine Verschlüsselung. Die MAC-Schicht stellt logische Kanäle zur Verfügung. Die Art der transportierten Information, ob Verkehrskanäle oder Steuerkanäle, steht im Vordergrund. Beispiele sind die Nutzdaten (DTCH, Dedicated Traffic Channel), Signalisierung bei bestehender Verkehrsverbindung (DCCH, Dedicated Control Channel) oder außerhalb (CCCH, Common Control Channel) und Systeminformation für alle (BCCH, Broadcast Control Channel). Mit den logischen Kanälen verbunden sind gewisse Anforderungen wie Bitraten, Zustellzeiten, usw. Die MAC-Schicht bildet die logischen Kanäle auf die Transportkanäle der Bitübertragungsschicht (PHY) ab. Aus den Datenblöcken der logischen Kanäle werden Transportblöcke (TB) der Transportkanäle und umgekehrt. Dabei kommt die für den Dienstemix notwendige Flexibilität, aber auch Komplexität, der Funkübertragung im UMTS FDD-Modus zum Vorschein. Um die möglichen Kombinationen von Diensten mit ihren spezifischen Merkmalen effizient zu unterstützen, werden Transportformate (TF) definiert. Sie legen genau fest, wie Transportblöcke in der physikalischen Schicht zu behandeln sind. Beispielsweise wie groß der TB ist. Welche Art des Fehlerschutzes verwendet wird. Und wie groß die zulässige Übertragungszeit (TTI, Transmission Time Interval) in Vielfachen der Dauer eines Funkrahmens, also 10, 20, 40 oder 80 ms, ist. Die TB werden zu Transport Block Sets (TBS) gruppiert und so der Aufwand verringert. Ähnlich werden Transport Format Sets (TFS) mit kompatiblen Transportformaten gebildet. TBS und TFS bilden die Basis für die Abbildung der logischen Kanäle durch die MACSchicht. Anmerkung: Nachrichten unterschiedlicher Teilnehmer können im Multiplex übertragen werden, da sie unabhängig verschlüsselt sind. Für den Fall des transparenten Modus in der RLC-Schicht wird die Verschlüsselung in der MAC-Schicht vorgenommen.

Die Bitübertragungsschicht (PHY) ist für die unmittelbare Funkübertragung der Daten zuständig. Sie stellt die Transportkanäle bereit und unterstützt die Funktionen, die direkt für die

9.4 Universal Mobile Telecommunication System

329

Funkübertragung relevant sind, wie Handover, Synchronisation, Leistungsregelung und Messprotokolle. Die PHY-Schicht ist im Funkzugangsnetz (RAN) in den Node B angesiedelt. Dort werden auch die Kanalcodierung und -decodierung vorgenommen. Im Beispiel einer Coderate von 1/3 wird dadurch aufwendiger Datenverkehr im RAN vermieden. Anmerkung: Siehe auch Soft Handover im Radio Network Controller (RNC) und Softer Handover im Node B.

Der reibungslose und effiziente Betrieb der Luftschnittstelle erfordert eine schnelle und umfassende Steuerung auf der Grundlage aktueller Daten über die Funkbedingungen und die Dienste. Hierfür dient die Funkbetriebsmittelsteuerung (RRC, Radio Resource Control) in der Netzwerkschicht. In der RRC-Schicht werden Daten aus den RLC-, MAC- und PHY-Schichten gesammelt, verarbeitet und die genannten Schichten gesteuert.

9.4.4

High-speed Packet Access (HSPA)

Mit GSM wurde die Mobiltelefonie für viele Menschen zum erschwinglichen Massenprodukt. Eine ähnliche Entwicklung erlebte der PC, der insbesondere auch wegen des Preisverfalls der LCD-Bildschirme als Notebook, oder Sub-Notebook, mobil geworden ist. Hinzu kommen die DSL-Festnetzanschlüsse, die Sprachtelefonanschlüsse in Internetzugängen mit Multimediadiensten umgewandelt haben. Diese drei Entwicklungen haben wesentlich dazu beigetragen, den heutigen Bedarf nach einem mobilen, „breitbandigen“ Internetzugang zu wecken; sei es aus geschäftlichen Gründen oder zu privaten Zwecken, wie Echtzeitspiele im Internet. Für die Mobilfunkbranche liegt die Herausforderung darin, den Teilnehmern größere Datenvolumen in immer kürzerer Zeit zu liefern, siehe Bild 9-34. Darin sind Werte für die Bitrate und die Signallaufzeit für eine Ende-zu-Ende-Verbindung (Round-trip delay) zusammengestellt, wie sie für eine Funkzelle typisch sind [HoTo06]. Mit dem neuen Dienst High-speed Downlink Packet Access (HSDPA) werden heute auf der Basis der WCDMA-Netze Bitraten über 3 Mbit/s bei Verzögerungszeiten von weniger als 100 ms realisiert.

Round-trip delay in ms

600

300

GPRS, 2000

EDGE(GERAN), 2003 UMTS/WCDMA, 2002 UMTS/HSDPA, 2006

0 100 300

1000

Bitrate in kbit/s

3000

Bild 9-34 Entwicklung der Datenübertragung in GSM- und UMTS-Mobilfunknetzen (typische Werte in einer Funkzelle nach [HoTo06])

Im Jahr 2000 begannen im 3GPP-Projekt die ersten Studien für einen schnellen, breitbandigen Datendienst für UMTS. Ähnlich wie bei der Ergänzung von GSM durch GPRS, sollte eine kompatible Lösung für die WCDMA-Luftschnittstelle gefunden werden, die im Zugangsnetz im Wesentlichen durch ein Softwareupdate verwirklicht werden kann.

330

9 Mobilkommunikation

Zunächst wurde die Abwärtsverbindung (Downlink) in den Mittelpunkt gestellt und im März 2002 mit dem UMTS-Release 5 mit der Spezifikation der Systemerweiterung HSDPA begonnen. Avisiert wurde eine Einführung von HSDPA mit einer schrittweisen Steigerung der Bitrate von 1,8, 3,6, 7,2 bis 14,4 Mbit/s. Bei den Zahlenwerten handelt es sich um theoretische Bruttobitraten für den Spitzendurchsatz des typisch stoßartigen Verkehr. Im Jahr 2006 war HSDPA erstmals kommerziell verfügbar. Die technische Umsetzung von HSDPA beruht auf der Beobachtung, dass sowohl das Verkehrsangebot der Teilnehmer als auch die Qualität der Funkübertragung zu den Teilnehmern statistisch schwanken. Da bei der WCDMA-Luftschnittstelle die Übertragungsqualität in kurzen Zeitintervallen überwacht wird, bietet es sich an, die Daten in den Basisstationen (Node B) zu speichern und dann stoßartig zu jeweils dem Teilnehmer (UE) zu übertragen, dessen Übertragungskanal einen hohen Durchsatz erlaubt, siehe Bild 9-35. Die Steuerung für den Datenfluss der HSDPA-Funkübertragung bedient sich dazu unter anderem der Kanalqualität CQI (Channel Quality Information) und des Pufferstatus. Die Priorität einer Übertragung steigt mit der zugehörigen Kanalqualität und dem Füllstand des zugehörigen Pufferspeichers. Um die Verzögerungszeit klein zu halten, wird die Fluss-Steuerung im Node B durchgeführt. Der Pufferspeicher im Node B glättet darüber hinaus den Datenverkehr im Funkzugangsnetz. Die Funkübertragung geschieht logisch im HS-DSCH (High-Speed Downlink Shared Channel), der in einer Funkzelle im Zeitmultiplex geteilt wird. Übertragen wird stoßartig in Zeitintervallen von 10, 20, 40 oder 80 ms. Eine schnelle Anpassung ist dabei durch auf 2 ms verkürzte Funkrahmen möglich. Es wird ein Spreizcode mit dem Spreizfaktor 16 verwendet. Weil nur bei guter Kanalqualität Datenblöcke mit starkem Fehlerschutz übertragen werden, ist die Wahrscheinlichkeit für eine wiederholte Übertragung gering, was für hohen Durchsatz sorgt. Als Fehlerschutz wird ein Turbo-Code mit Punktierung eingesetzt, der mit einem hybriden ARQ-Verfahren (Automatic Repeat Request) ergänzt wird. Das heißt, kann ein fehlerhafter Datenblock nicht mit der mitgesendeten Redundanz korrigiert werden, so wird im nächsten Block nur die vorher durch Punktierung weggelassene Redundanz nachgesendet. Der Empfänger kombiniert im neuen Decodierversuch die Information beider Datenblöcke.

RNC

Pufferspeicher UE1 UE2

Daten, …1 Mbit/s Node B CQI groß

UE1

CQI klein UE2

Bild 9-35 Steuerung der HSDPA-Übertragung in Abhängigkeit von der Kanalqualität (CQI, Channel Quality Information) und des Füllstands des Pufferspeichers

9.5 Wireless Local Area Network (WLAN)

331

Eine Verdopplung der Bitrate liefert bei hoher Kanalqualität das Umschalten der Modulation von QPSK auf 16-QAM. Auch eine dynamische Coderatenanpassung ist möglich. Falls vom UE unterstützt, werden bis zu 15 Codes für eine Verbindung gleichzeitig genutzt. Theoretisch wird so eine Bitrate von bis zu 14,4 Mbit/s möglich. Ein entsprechender Dienst für die Datenübertragung vom UE zum Node B (Uplink) wurde mit dem Release 6 im Dez. 2006 als HSUPA (High-Speed Uplink Packet Access) definiert und ist seit 2007 verfügbar. Da die technischen Anforderungen an ein tragbares Teilnehmergerät (UE) geringer sein müssen als an eine Basisstation (Node B) und weil sich die Signale aller Teilnehmer einer Funkzelle an der Basisstation störend überlagern, sind die erzielbaren Bitraten mit 1… 2 MBit/s für die erste bzw. 3… 4 Mbit/s für die zweite Ausbaustufe geringer. Mit der HSPA-Erweiterung der WCDMA-Luftschnittstelle haben sich die UMTS-Netze weit von den GSM-basierten Mobilfunknetzen der 2. Generation abgesetzt und den Wettbewerb mit WLAN-Hotspot-Lösungen angenommen.

9.5

Wireless Local Area Network (WLAN)

Seit etwa dem Jahr 2000 finden WLAN-Technologien (Wireless Local Area Network) schnell wachsende Verbreitung. Der positive Rückkopplungseffekt zwischen den technischen Innovationen und den sinkenden Preisen des entstandenen Massenmarktes beschleunigte die Entwicklung. Mobiltelefone, Notebooks, PDAs (Personal Digital Assistant), letztere heute durch Smartphones ersetzt, sind oft ab Fabrik WLAN-fähig. Die Geräte können spontan verbunden werden (Ad-hoc Connectivity). Die WLAN-Technologien spielen ihre Stärken besonders im Heim- und Bürobereich aus: Über kurze Strecken können in Wohnungen bequem drahtlos Verbindungen zu DSL-Modems mit hohen Bitraten bereitgestellt werden. Der Vernetzungen von Unterhaltungsgeräten wie Fernseher, Projektoren, Audioanlagen und Heim-PCs als Medienserver wird wachsende Bedeutung vorhergesagt. In Büros ersetzt WLAN die Verkabelung von Rechnern und Peripherie. WLAN vereinfacht insbesondere die Anpassung der ITInfrastruktur an sich wandelnde Organisationsstrukturen. Mit Blick auf die zellularen Mobilfunknetze GSM und UMTS sind WLAN-Angebote an öffentlichen Orten, wie Gaststätten, Flughäfen, Hotels, usw., von besonderem Interesse. Hotspots genannte Zugangspunkte zu WLANs ermöglichen Menschen unterwegs den Zugang zum Internet. Sie treten damit in direkte Konkurrenz zu den Datendiensten in UMTS-Netzen.

9.5.1

WLAN-Empfehlung IEEE 802.11

Die marktbeherrschenden WLAN-Technologien fußen auf der LAN-Standardisierung durch den weltweiten Ingenieursverband Institute for Electrical and Electronics Engineers (IEEE). Im Februar 1980 wurde die IEEE Arbeitsgruppe 802 gegründet. Zunächst aufbauend auf existierende Firmenlösungen, wie Ethernet, wurde ein Protokollmodell, die Serie 802, entwickelt. Es ersetzt die Datensicherungsschicht (Data Link Layer) des OSI-Referenzmodells, siehe Bild 9-36. Unterschiedliche physikalische Bedingungen (Busleitung, Koaxialkabel, Lichtwellenleiter, Infrarot, Funk) und Architekturen (Linienbus, Ring) werden in ein einheitliches Modell integriert. Hierfür wird die Datensicherungsschicht in zwei Teilschichten gespalten: der LLCSchicht (Logical Link Control) und der MAC-Schicht (Medium Access Control). Die LLCSchicht fasst die von der physikalischen Übertragung unabhängigen Funktionen zusammen und stellt die Verbindung zu den übergeordneten Schichten her.

332

9 Mobilkommunikation

Transport Control Protocol (TCP) / User Datagram Protocol (UDP)

Transport Layer Network Layer

Internet Protocol (IP) 802.2 Logical Link Control (LLC) 802.3

802.11

802.15

802.16

“Ethernet“

WLAN

WPAN

WMAN

Physical Layer (PHY)

Medium Access Control (MAC)

Data Link Layer

Physical Layer

Bild 9-36 IEEE-Referenzmodell für LAN- und MAN-Protokolle mit TCP/IP-Anbindung

Die Funktionen der MAC-Schicht realisieren den Zugriff auf die physikalische Übertragung. Insbesondere regelt sie den Vielfachzugriff auf das Übertragungsmedium durch die konkurrierenden Stationen. Ein verbreitetes Beispiel ist die unter dem Begriff „Ethernet“ bekannte Empfehlung 802.3 aus dem Jahr 1985. Die Stationen des LAN sind über ein Kommunikationskabel verbunden, auf das alle Stationen Zugriff haben. Es liegt ein Mehrfachzugriffskanal mit Konkurrenz vor, dessen Gebrauch durch das CSMA/CD-Zugriffsverfahren (Carrier Sense Multiple Access/ Collision Detection) geregelt wird. Dazu beobachten die Stationen den Kanal und senden nur, wenn er als frei erkannt wird. Beginnen zwei Stationen zur gleichen Zeit zu senden, tritt ein Konflikt mit Kollision der elektrischen Signale auf. Konflikte werden erkannt und nach bestimmten Regeln abgebaut. Ersetzt man die Übertragung über eine gemeinsame Leitung durch die Funkübertragung über die gemeinsame Luftschnittstelle, so liegt ein im Prinzip ähnliches Zugriffsproblem vor. Es ist deshalb nicht verwunderlich, dass sobald preiswerte Funktechnologien für lizenzfreie Frequenzbänder verfügbar waren das IEEE-Referenzmodell um entsprechende Funkvarianten erweitert wurde: 802.11 für WLAN, 802.15 für WPAN (Wireless Personal Area Network) und 802.16 für WMAN (Wireless Metropolitan Area Network). Eine Auswahl von IEEE-802-Empfehlungen stellt Tabelle 9-7 vor. Bemerkenswert ist der technische Wandel in wenigen Jahren, der sich in der Tabelle an den verfügbaren Bruttobitraten ablesen lässt. Die Frequenzangaben beziehen sich auf die beiden ISM-Bänder (Industrial, Scientific and Medical) von 2,40 … 2,4835 GHz und 5,15 ... 5,35 GHz. Sie können in vielen Ländern ohne Zulassung oder Anmeldung benutzt werden. Anmerkungen: (i) Der Funkbetrieb in den ISM-Bändern ist lizenz- aber nicht regulierungsfrei. Er ist an die Einhaltung technischer Spezifikationen gebunden. Dazu gehört die Begrenzung der gesendeten Strahlungsleistung (EIRP, Equivalent Isotropic Radiated Power). Überschreiten des Grenzwertes durch nachträgliches Anbringen einer Sendeantenne mit Richtwirkung ist unzulässig. Steigerung der Reichweite durch eine Empfangsantenne mit hohem Gewinn ist selbstverständlich möglich. (ii) Spielt die Reichweite eine wichtige Rolle, sind Verfahren mit kleiner Bitrate aber robusterer Übertragung vorteilhafter. Zum Teil ist bei ungenügender Übertragungsqualität ein automatisches Umschalten zu niedrigeren Bitraten in den Geräten vorgesehen. (iii) Die angegebenen Bitraten beinhalten Steuerinformation und Redundanz zur Fehlerbeherrschung. Faustregel: Für Nutzerdaten stehen unter günstigen Bedingungen etwa 50 % der Bruttobitrate zur Verfügung. In vielen praktischen Fällen bleibt die Nettobitrate sogar deutlich darunter. Sie muss darüber hinaus zwischen allen Stationen einer Funkzelle geteilt werden.

9.5 Wireless Local Area Network (WLAN)

333

Die Arbeitsgruppe 802 versucht auch externe Entwicklungen zu integrieren. Dazu gehören die Ergebnisse der HIPERLAN- (High Performance LAN-) Aktivitäten der ETSI (European Telecommunication Standards Institute) und die Empfehlungen verschiedener Konsortien wie der Bluetooth SIG (Special Interest Group) und der ZigBee-Alliance. Tabelle 9-7 Auswahl von Empfehlungen für drahtlose Netze nach IEEE 802 Empfehlung

Jahr

Bitraten

Kommentar

802.11

1997

1 oder 2 Mbit/s

Drei alternativen Übertragungsverfahren: Diffuse Infrarotübertragung bei den Wellenlängen 0,85 oder 0,95 Pm Frequency Hopping Spread Spectrum (FHSS) mit Frequenzspringen zwischen 79 Frequenzträgern im Abstand von 1 MHz im ISM-Band bei 2,4 GHz Direct Sequence Spread Spectrum (DSSS) mit Bandspreizung durch Barker-Code der Länge 11 im ISMBand bei 2,4 GHz

802.11a

1999

6, 9, 12, 18,24, 36 und 54 Mbit/s

Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM) im ISM-Band bei 5 GHz

802.11b

1999

5,5 oder 11 Mbit/s

802.11d

2001

Automatische Anpassung der Stationen auf länderspezifische Gegebenheiten (International Roaming)

802.11e

2005

MAC-Erweiterung zu QoS und VoIP

802.11f

2003

Kommunikation zwischen Zugangspunkten (Inter Access Point Protocol)

802.11g

2003

…54 Mbit/s

802.11h

2003

802.11i

2004

802.11n

2009

2002 2004

802.15.3

802.11b mit OFDM für höhere Bitraten, Koexistenz Ergänzungen für 802.11a für internationale Zulassung (Europa): dynamische Kanalauswahl (Dynamic Frequency Selection) und Sendeleistungsregelung (Transmit Power Control) Sicherheit/Verschlüsselung (WEP40, WEP128, WPA, WPA2)

72,2… 150… 600 Mbit/s

802.11p/r/s 802.15.1

Erweiterung von 802.11 mit HR-DSSS (High Rate)

…1 Mbit/s

Next Generation WLAN, OFDM-Übertragung, 40 MHz Bandbreite und mehrere Antennen (MIMO, Multiple Input Multiple Output) optional Studiengruppen zu mobilen Stationen (Roaming) und drahtlos vermaschten Netzen (Mesh WLAN) Bluetooth V1.1 (Bluetooth SIG) im 2,4-GHz-ISM-Band, V1.2 (2003)

…2, 3 Mbit/s

Bluetooth V2.0 + EDR (Enhanced Data Rate), V2.1 (2007)

11, 22, 33, 44 und 55 Mbit/s …

High Rate WPAN (low power, low cost)

Tabelle wird auf der nächsten Seite fortgesetzt

334

9 Mobilkommunikation

802.15.4

802.16

(2001) 2004

20, 40 oder 250 kbit/s

Low Rate WPAN (ZigBee Alliance, 2002), besonders für 868/915-MHz-Bänder (868-868,6 MHz in Europa, 902928 MHz in USA)

… (134) 260 Mbit/s

Worldwide Interoperability for Microwave Access (WiMAX), drahtloser Breitband-Internetzugang mit hoher Bitrate und QoS-Unterstützung für stationäre Teilnehmer bis 50 km von der Basisstation Einträger-Übertragung WirelessMAN-SC (Single Carrier) mit Sichtverbindung, im Bereich von 10 bis 66 GHz, Einträger-Übertragung WirelessMAN-SCa ohne Sichtverbindung, im Bereich von 2 bis 11 GHz Mehrträger-Übertragung WirelessMAN-OFDM ohne Sichtverbindung, im Bereich von 2 bis 11 GHz (in Deutschland 2,52,59 und 3,43,6 GHz)

Um die WLAN-Technologie im Umfeld der Mobilkommunikation einordnen zu können, wird im Folgenden der Medienzugriff der WLAN-Technologie vorgestellt. Zunächst werden das Problem des Vielfachzugriffs und seine Lösung in der MAC-Schicht erörtert. Danach richtet sich der Blick auf die physikalische Übertragung. Beispielhaft wird die zunehmend wichtiger werdende Übertragung mit OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) behandelt. Weitere, für den praktischen Einsatz ebenso wichtige Fragen, wie z. B. die nach der Sicherheit, werden der Kürze halber hier nicht vertieft. Obwohl Prozeduren der Authentifizierung, Verschlüsselung (WEP, Wired Equivalent Privacy; WPA, WiFi Protected Access, WAP2), und Ähnliches für die Anwendung von entscheidender Bedeutung sein können.

9.5.2

Zugriff auf die Luftschnittstelle und Netzstrukturen

Während in GSM- und UMTS-Netzen die Funkübertragungen von den Basisstationen zu den Mobilstationen und umgekehrt frequenzmäßig unterschieden werden, konkurrieren im WLAN alle Stationen einer Funkzelle um das gleiche Frequenzband. Weil die Funkreichweite eng begrenzt ist, kann ein Zeitduplexverfahren TDD (Time Division Duplex) eingesetzt werden. Der Zugriff auf die Luftschnittstelle ist nur erfolgreich, wenn jeweils nur eine Station ihren Rahmen sendet. Andernfalls treten Kollisionen auf, ähnlich wie im Ethernet-LAN beim CDMA/ CDVerfahren. Anders als bei der Übertragung mit einer Leitung können die Stationen über die Funkantenne entweder nur senden oder empfangen. Eine Kollision ist damit für die sendenden Stationen nicht erkennbar. Die Stationen senden ihre Rahmen weiter und belegen so nutzlos den Funkkanal. In WLANs ist es deshalb noch wichtiger Kollisionen zu vermeiden. Anmerkung: (i) Für ein TDD-Verfahren sprechen auch die relativ kurzen Signallaufzeiten in WLANs, die große Schutzabstände zwischen den Rahmen erübrigen. Die kurzen Signallaufzeiten resultieren aus den geringen Sendeleistungen und damit verbunden eingeschränkten Funkreichweiten von bis zu einigen hundert Metern, typisch einigen zehn Metern bzw. innerhalb eines geschlossenen Raumes. (ii) In GSMund UMTS werden die Funkressourcen über die Basisstationen zentral zugeteilt. Nur beim Einbuchen stehen die Mobilstationen kurz im Wettbewerb um den Access Channel.

Wie Kollisionen vermieden werden können, wird am Beispiel der 802.11-Empfehlung aufgezeigt.

9.5 Wireless Local Area Network (WLAN)

335

Der Aufbau der Kommunikation im WLAN basiert auf dem Prinzip des „Ist-da-Jemand?“. Eine Station mit Verbindungswunsch horcht zunächst in das vorgesehene Frequenzband, ob sie eine andere Station empfangen kann. Ist keine andere Station aktiv, sendet sie ein BeaconSignal (Leuchtfeuer) mit allen für den Beginn des Verbindungsaufbaus notwendigen Informationen. Gegebenenfalls wird das Beacon-Signal regelmäßig wiederholt. Beim Ad-hoc-Betrieb mehrerer Stationen ohne zentrale Steuerung können zwei Fälle den Durchsatz der WLAN-Verbindungen stark vermindern: verborgende Stationen (Hidden Station) und herausgehobene Stationen (Exposed Station). Anmerkungen: (i) Durchsatz: pro Zeit übertragenes Datenvolumen. (ii) Hierin unterscheiden sich ad-hoc gebildete WLAN von zentral organisierten zellularen Mobilfunknetzen. Erstere bieten nur Best-EffortDienste ohne garantierte Dienstgüte an.

Bild 9-37 links illustriert das Hidden-Station-Problem. Station A möchte an Station B senden. Sie kann wegen der begrenzten Funkreichweite nicht erkennen, dass Station B von Station C (Hidden Station) empfängt. Von Station A gesendete Rahmen kollidieren bei Station B mit denen von Station C und müssen deshalb später nochmals übertragen werden. Während beim Hidden-Station-Problem der Durchsatz durch Wiederholungen reduziert wird, geschieht dies beim Exposed-Station-Problem, indem mögliche Sendezeit ungenutzt verstreicht. Bild 9-37 rechts macht die Situation deutlich. Es besteht eine Verbindung von Station B (Exposed Station) zu Station A. Station C möchte an Station D senden. Weil aber bereits Station B aktiv ist, sendet Station C nicht, obwohl ein kollisionsfreier Empfang durch Station D möglich wäre. Hidden-Station-Problem

Exposed-Station-Problem

A sendet an B, da A nicht erkennen kann, dass B von C empfängt

B sendet an A; C kann nicht erkennen, dass D ohne Kollision erreichbar ist

) B kann wegen Kollision nicht empfangen

A

B

Funkzone A

C

) C wartet und sendet nicht

A

B

C

D

Funkzone C

Bild 9-37 Situationen im WLAN die den Durchsatz vermindern

Die Empfehlung 802.11 sieht für den Betrieb ohne zentrale Steuerung (DCF, Distributed Coordination Function) das CSMA/CA-Zugriffsverfahren (Carrier Sense Multiple Access with Collision Avoidance) vor. Zwei Modi sind möglich. Der erste Modus entspricht dem vom Ethernet bekannten Wettbewerb um den Zugriff auf das freie Medium (CAA, Clear Channel Assessment) mit einer Kollisionsauflösungsstrategie nach dem Backoff-Algorithmus. Hierbei ist eine gewisse Wartezeit, DIFS (DCF Inter-frame Spacing) genannt, bis zum Zugriff mindestens einzuhalten. Ist sie im Vergleich zur typischen Rahmendauer relativ klein, so ist der durch die Wartezeit resultierende Verlust an Durchsatz ebenso klein und tolerierbar. Diese Betriebsart eignet sich bei kleiner Verkehrslast, wo Kollisionen selten auftreten.

336

9 Mobilkommunikation

Anmerkung: Grundlage des Zugriffs bildet das Slotted-Aloha-Verfahren mit Zeitschlitzen der Dauer von 20 Ps für die DSSS- und 50 Ps für die FHSS-Übertragungen.

Mit zunehmender Verkehrslast nimmt die Kollisionswahrscheinlichkeit zu. Der Durchsatz nimmt also genau dann ab, wenn ein hoher Durchsatz gebraucht wird. Kollisionen von wiederholt übertragenen Rahmen führen schließlich zur Blockierung des WLAN. Die Stationen reagieren darauf, indem sie die Übertragungswiederholungen einstellen und eine Fehlermeldung generieren. Um die Wahrscheinlichkeit für solche Blockaden zu reduzieren und insbesondere das HiddenStation-Problem zu umgehen, wird optional ein Verfahren mit virtuellen Reservierungen eingesetzt. Anmerkung: Die Anwendung ist optional, die technischen Voraussetzungen in den Geräten sind jedoch im Standard verpflichtend.

Stationen, die senden wollen, kündigen dies zunächst an und die Zielstationen bestätigen die Empfangsbereitschaft. Bild 9-38 veranschaulicht das Prinzip anhand von vier Stationen, wobei sich die jeweils benachbarten Stationen in Funkreichweite befinden, siehe auch Bild 9-37. Mit dem RTS-Rahmen (Request To Send) kündigt Station C die Übertragung und die geplante Dauer der Station B an. Station B ist empfangsbereit und bestätigt dies mit dem CTS-Rahmen (Clear To Send), der die geplante Dauer enthält. Die Station D empfängt ebenfalls den RTSRahmen und sperrt ihren Sender für die angegebene Übertragungszeit. Die für Station C verborgene Station A empfängt den CTS-Rahmen und sperrt ebenfalls ihren Sender für die dort angegebene Übertragungszeit. Das Verfahren wird deshalb auch RTS/CTS-Erweiterung genannt. Die Stationen A und D reagieren so, als ob der CCA-Test einen belegten Kanal ergäbe. Daher die Bezeichnung virtuelle Reservierung. Die Reservierungsdauer wird im Protokollparameter NAV (Network Allocation Vector) gespeichert. Der Parameter schließt die Zeit für die Quittung, die Übertragung des ACK-Rahmens (Acknowledgement), ein. Die RTS/CTS-Erweiterung reduziert das Hidden-Station-Problem, indem es die beiden Funkzonen der Stationen C und B berücksichtigt und das Zeitfenster für mögliche Kollisionen auf die relativ kurze Dauer der Signalisierung einschränkt werden. Im Vergleich mit drahtgebunden LANs steigt wegen der relativ hohen Bitfehlerwahrscheinlichkeit der Funkübertragung die Wahrscheinlichkeit für Rahmenfehler mit wachsender Rahmenlänge stark an. Deshalb gibt es eine Erweiterung, bei der Datenrahmen in Teilen übertragen werden, das Fragment-Burst-Verfahren.

NAV

Stationen

A CTS

B

ACK

RTS

Datenrahmen

C

NAV

D

Zeit ACK CTS

Acknowledgement Clear To Send

NAV Network Allocation Vector RTS Request To Send

Bild 9-38 Virtuelle Reservierung

9.5 Wireless Local Area Network (WLAN)

337

Die vorgestellten Zugriffsmodi gelten für Konfigurationen ohne zentrale Steuerung (DCFModus). Wird beispielsweise eine Anbindung an das Internet (E-Mail, WWW) gewünscht, ist ein leitungsgebundener Zugangspunkt AP (Access Point) erforderlich, der in der Regel die zentralen Steuerfunktionen übernimmt. Darüber hinaus verspricht eine zentrale Steuerung einen fairen Zugriff auf die Luftschnittstelle und kollisionsfreien Betrieb mit hohem Durchsatz. Eine mögliche Betriebsmittelreservierung unterstützt Dienstgütemerkmale. Eine Konfiguration mit AP wird Infra-structure Configuration genannt und der Zugriffsmodus Point Coordination Function (PCF) bezeichnet. Die Empfehlung 802.11 sieht zwei derartige Betriebsarten für WLANs vor. Bild 9-39 zeigt links die Grundanordnung (BSS, Basic Service Set) mit einem AP zur fixen Infrastruktur und über Funk angebundene Stationen. Rechts ist eine erweiterte Anordnung (ESS, Extended Service Set) zu sehen. Hier werden mehrere BSS über eine gemeinsame feste Infrastruktur verbunden. Ein quasi unterbrechungsfreies Weiterreichen mobiler Stationen, z. B. ein Teilnehmer mit Smartphone wird möglich. Hierzu wird die Funkversorgung so ausgelegt, dass sich benachbarte BSS-Zellen teilweise überlappen. Eine Frequenzplanung ist in diesem Fall erforderlich. Die folgenden Angaben beziehen sich auf das DSSS-Verfahren. Die Signalbandbreite des DSSS-Verfahrens beträgt 22 MHz. Beginnend mit der Mittenfrequenz 2,412 GHz für den Kanal 1 stehen in USA 11 und Europa 13 Frequenzkanäle mit jeweiligem Trägerabstand von 5 MHz zur Verfügung. Ein Kanalabstand von mindestens fünf Ordnungszahlen (25 MHz) vermeidet Interferenzen. Es empfiehlt sich deshalb für das ESS in Bild 9-39 die Kanalwahl von 1 (2,412 GHz), 6 (2,437 GHz) und 11 (2,462 GHz). In Europa sind beispielsweise auch die Kanäle 1, 7 und 13 möglich. Anmerkung: Die Ad-hoc-Kommunikation zwischen zwei Stationen innerhalb einer BSS wird optional durch 802.11e mit der Erweiterung Direct Link Protocol (DLP) unterstützt.

Ein WLAN mit AP verfügt über eine ausgezeichnete Station, die zentrale Steuerungsaufgaben übernehmen kann. Insbesondere kann sie als Taktgeber fungieren, der alle Stationen im Funkbereich folgen. Damit wird ein Zugriffsverfahren mit Prioritäten möglich, die sogar den gleichzeitigen PCF- und DCF-Betrieb zulassen. Die Grundlage bildet der circa 10- bis 100-mal pro Sekunde gesendete Beacon-Rahmen des AP (Basisstation) auf das sich die Stationen im BSS synchronisieren. Nach Abschluss einer Übertragung durch den Quittungsrahmen ACK erfolgt der Medienzugriff jetzt prioritätsgesteuert durch die Stationen. Bild 9-40 veranschaulicht das Verfahren mit unterschiedlichen Rahmenabständen. Basic Service Set (BSS)

Extended Service Set (ESS) BSS1

BSS2 A1

A B C

BSS3 A2

B1

C2

C1

Fixed Access

B2 B3

C3 AP1

AP

A3

AP2

Fixed Access Bild 9-39 Netzstrukturen für WLAN mit Zugangspunkten (AP)

AP3

338

9 Mobilkommunikation

EIFS DIFS PIFS SIFS ACK

Zeit

*

*

*

Steuerrahmen oder nächstes Fragment kann ab hier gesendet werden

DCF-Rahmen kann ab hier gesendet werden, wenn frei

PCF-Rahmen kann ab hier gesendet werden, wenn zugeteilt ACK Acknowledgement DCF Distributed Coordination Function DIFS DCF Inter-frame Spacing

EIFS PIFS SIFS

Extended Inter-frame Spacing PCF Inter-frame Spacing Short Inter-frame Spacing

Bild 9-40 Prioritätsgesteuerter Medienzugriff

Nur die Stationen in aktiver Verbindung, z. B. im Fragment-Burst-Verfahren, können nach dem kürzesten Rahmenabstand SIFS (Short Inter-frame Spacing) die Übertragung mit einem RTS- bzw. CTS-Rahmen fortsetzen. Geschieht dies nicht, kann nach der Zeit PIFS (PCF Inter-frame Spacing) der zentral gesteuerte Verkehr des PCF-Modus abgewickelt werden. Falls keine Station zum Senden aufgefordert wird, kann der AP einen Beacon- oder Polling-Rahmen senden. Beim Polling-Verfahren werden die Stationen abgefragt und gegebenenfalls Sendeberechtigungen durch den AP gegeben. Der Medienzugriff nach den Rahmenabständen SIFS und PFIS erfolgt ohne Wettbewerb, da das Protokoll den Zugriff eindeutig einschränkt. Verstreicht die Zeit DIFS (DCF Inter-frame Spacing) ohne Zugriff, beginnt die Wettbewerbsphase des DCF-Modus. Durch den eingesetzten Backoff-Algorithmus mit zufälligen Verzögerungen ist die Wahrscheinlichkeit klein, dass mehrere sendewillige Stationen gleichzeitig zugreifen. Nach der zugriffsfreien Zeit EIFS (Extended Inter-frame Spacing) kann von einer Station der Empfang eines fehlerhaften Rahmens gemeldete werden. Dieses Ereignis hat die geringste Priorität, da die Kommunikation von der Zielstationen durch Quittungen gesichert wird. Anmerkung: Wegen dem Hidden-Station-Problem können die Stationen nicht eindeutig entscheiden, ob ein Rahmen tatsächlich gesendet wird oder nicht.

Wie beschrieben wurde, unterstützt die IEEE-802.11-Empfehlung den quasi wahlfreien Zugriff auf das Übertragungsmedium im Wettbewerb durch den DCF-Modus sowie den zentral gesteuerten Betrieb im PCF-Modus. Beides sogar in Koexistenz. Der PCF-Modus ermöglicht die Stationen eines BSS mit dem Polling-Verfahren durch den AP (Basisstation) zentral zu steuern. Die Stationen senden dann nur nach Aufforderung durch den AP. Zwei Stationen können im BSS nur über den AP miteinander kommunizieren. Darüber hinaus ist es möglich Stationen für gewisse Zeiten in einen Ruhezustand (Power-Save-Betrieb) zu versetzen. Anmeldungen neuer Stationen und Übertragungen unvorhergesehener Meldun-

9.5 Wireless Local Area Network (WLAN)

339

gen durch die Stationen können regelmäßig durch den DCF-Modus ermöglicht werden. Der PCF-Modus erlaubt die Reservierung und Zuteilung von Übertragungszeiten, sodass Stationen bzw. Dienste bevorzugt werden können. Damit ist eine Unterstützung von Dienstmerkmalen, wie Bitraten und maximalen Zustellzeiten in gewissen Grenzen möglich. Die Qualität der WLAN-Funkübertragung kann zufällig schwanken, da die Konfiguration eines WLAN in der Regel nicht genau geplant ist. Im Büro beispielsweise kann es eine Rolle spielen, wo Mitarbeiter und Gäste gerade ihre Notebooks abstellen. Dazu kommt, dass das ISM-Band für das WLAN nicht exklusiv reserviert ist. Reale Nettobitraten liegen meist deutlich unter 50 % der in Tabelle 9-7 angegebenen BruttoWerte, die auch noch zwischen den Stationen geteilt werden muss. So ergab sich in einer Testinstallation eines Audio-Video-Heimnetzwerkes mit 802.11g (54 Mbit/s) eine Nettobitrate für Punkt-zu-Punkt-Übertragungen von nur 2 bis 16 Mbit/s [HaZo05]. Eine neuerer, vergleichbarer Test mit Geräten nach dem IEEE 802.11g und IEEE 802.11n (Draft) ergab Bitraten von 17 bis 23 Mbit/s bzw. 26 bis 94 Mbit/s [Ahl08]. Man beachte, in vielen WLANs für den Internetzugang wird die Übertragungskapazität durch den Festnetzanschluss begrenzt. Anmerkung: In [Ahl08] findet man auch einen Vergleich mit der PowerLine-Technik die Daten über die Stromversorgungsleitungen (Steckdosen) überträgt.

9.5.3

WLAN-Übertragung mit OFDM

Das Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM)-Verfahren kann sowohl als Multiträger- wie auch als Frequenzmultiplex-Verfahren interpretiert werden. Im Gegensatz zum traditionellen Frequenzmultiplex, mit für jeden Frequenzkanal eigener Sende- und Empfangseinrichtung und relativ großem Trägerfrequenzabstand, wird beim OFDM die digitale Signalverarbeitung eingesetzt, um den Datenstrom gezielt auf viele Unterträger aufzuteilen und bei der Detektion die Signale der verschiedenen Unterträger gemeinsam auszuwerten, siehe Abschnitte 3.6.1 und 4.4.3 Die Idee des OFDM wurde bereits 1957 angewendet und 1966 ein relevantes U.S.-Patent eingereicht. Heute kann OFDM mit digitalen Signalprozessoren sehr effizient realisiert werden. Als softwarebasiertes Verfahren ist im laufenden Betrieb eine Anpassung an veränderte Funkfeldbedingungen und Dienstcharakteristika möglich. OFDM wird deshalb in der Empfehlung IEEE 802.11a und von der ETSI als Hiperlan/2 vorgeschlagen. Beide Empfehlungen sind bezüglich der physikalischen Übertragung sehr ähnlich. Im Frequenzbereich um 5 GHz werden Bitraten von 6 bis 54 Mbit/s unterstützt. Dabei werden je nach Bedarf und Funkfeldbedingungen für die Unterträger die Modulationsverfahren BPSK, QPSK, 16-QAM und 64-QAM eingesetzt und die Fehlerschutzcodierung jeweils angepasst. Die tatsächlich erzielbare Bitrate ist entfernungsabhängig. Tests im Freien zeigen, dass sich Bitraten von 6 und 54 Mbit/s über Funkstrecken von etwa 200…300 m bzw. 20…30 m übertragen lassen. Für WLAN-Anwendungen wurden in Europa ursprünglich die Frequenzbänder von 5,15 bis 5,35 GHz und 5,47 bis 5,725 GHz vorgesehen. Eine Erweiterung für das ISM-Band bei 2,4 GHz wurde 2003 mit der Empfehlung 802.11g eingeführt. Anmerkung: USA: 5,15 bis 5,35 GHz und 5,725 bis 5,825 GHz ; Japan: 5,15 bis 5,25 GHz.

Im vorgesehenen Frequenzbereich sind 20 MHz breite Teilbänder jeweils für eine OFDMÜbertragung mit theoretisch 64 Unterträgern reserviert. Benachbarte Unterträger besitzen

340

9 Mobilkommunikation

gleiche Frequenzabstände, sodass sich der Unterträgerabstand F = 20 MHz / 64 = 0,3125 MHz ergibt. Um Störungen in den Nachbarfrequenzbändern zu vermeiden, werden sechs Unterträger am unteren Rand und fünf am oberen Rand nicht verwendet. Der Unterträger in der Bandmitte, wird um im Empfänger eine störende Gleichkomponente nach abmischen ins Basisband zu verhindern ebenfalls nicht verwendet. Man spricht insgesamt von zwölf Nullträgern, siehe Bild 9-41.

20 MHz 1

6 7 8

31 32 33

58 59 60 64

Frequenz Bild 9-41 Frequenzlagen der 64 Unterträger im Teilband mit Schutzbändern

Weitere vier Unterträger, die Unterträger 12, 26, 40 und 54, sind für die Synchronisation belegt, weshalb für die eigentliche Datenübertragung aus Anwendersicht nur 48 Unterträger zur Verfügung stehen. Die Bandbreiteneffzienz des OFDM-Verfahrens beruht auf der „starken“ Überlappung der Spektren der Unterkanäle. Diese scheint zunächst der Erfahrung aus der Frequenzmultiplextechnik zu widersprechen. Bei Orthogonalität der Unterträger ist jedoch eine Signaltrennung möglich, siehe Abschnitt 4.4.3. Dafür sind der Unterträgerabstand F und die Symboldauer der Unterträgermodulation T fest miteinander verkoppelt. T

1 F

(9.2)

3, 2ȝs

Betrachtet man die Signale der Unterträger gemeinsam, so stellt sich die Erzeugung des OFDM-Sendesignals als Kombination aus Harmonischen der Fourierreihe dar. Darin ist die Teilnachricht in den komplexwertigen Fourierkoeffizienten zu den Unterträgern codiert. Die digitale Signalverarbeitung stellt hierfür einen effizienten Algorithmus, die inverse schnelle Fouriertransformation, Inverse Fast Fourier Transform (IFFT), bereit. Entsprechend den Teilnachrichten werden die Fourierkoeffizienten den jeweilig gültigen Signalraumkonstellationen für BPSK, QPSK, 16-QAM oder 64-QAM entnommen. Ähnliche Überlegungen für den Empfang von OFDM-Signalen liefern eine entsprechende Struktur. Statt der IFFT wird im Empfänger die fast identische FFT verwendet. Abschließend wird eine kurze Überlegung zur Bitrate in der WLAN-Anwendung vorgestellt und ein wichtiger Hinweis zur praktischen Realisierung gegeben. Mit dem Frequenzabstand F der 48 Unterträger und der 64-QAM-Modulation je Unterträger ergibt sich die geschätzte Bitrate Rˆ b

6 bit 48 0, 3125 MHz

90 Mbit/s

(9.3)

Tatsächlich werden in den Empfehlungen IEEE 802.11a und Hiperlan/2 nur 54 Mbit/s realisiert. Dies hat zwei Gründe. Zum ersten werden zusätzliche Prüfbits mit übertragen, so dass nur 3/4 der codierten Bits tatsächlich zu den Nachrichten gehören. Zum zweiten wird aus praktischen Gründen eine so genannte zyklische Erweiterung vorgenommen. Überträgt man nämlich, wie in den bisherigen Überlegungen, nur eine Periode des Basisbandsignals, so resultieren strikte Forderungen an die Genauigkeit der Synchronisation im Empfänger. Insbesondere machen sich dann die im Funkfeld typischen Mehrwegeübertragungen mit unterschiedlichen

9.5 Wireless Local Area Network (WLAN)

341

Laufzeiten störend bemerkbar. Aus diesem Grund wird das Basisbandsignal periodisch etwas fortgesetzt, also zyklisch erweitert. Man spricht von einem Schutzintervall, auch GI (Guard Interval) genannt. Der Empfänger kann dann aus dem „verlängerten“ Signal leichter eine Periode für die Detektion entnehmen. Es wird ein Schutzintervall TG von 800 ns verwendet. Damit verlängert sich die tatsächliche Symboldauer auf TT

T TG

3, 2 ȝs 0,8 ȝs

4 ȝs

(9.4)

Die Bitrate beträgt einschließlich der Kanalcodierung deshalb Rb

3 6 bit 48 4 TT

3 6 bit 48 4 4ȝs

54 Mbit/s

(9.5)

HT-OFDM Heute ist es möglich, noch komplexere Algorithmen für die Übertragungssteuerung und digitale Signalverarbeitung sowie die analoge Signalverarbeitung in miniaturisierten Schaltungen zu integrieren, zum Single-Chip WLAN [Beh08]. Die neue WLAN-Empfehlung 802.11n, mit n für Next Generation, stützt sich auf 802.11a/g und bietet eine erweiterte Auswahl von Optionen für die Funkübertragung an, siehe Tabelle 9-8. Zur Unterscheidung wird von HighThroughput(HT)-OFDM gesprochen. Das Frequenzband wird effizienter genutzt, indem die Zahl der Unterträger für die Datenübertragung von 48 auf 52 erhöht wird, was einen Zuwachs von circa 8,3 % mit sich bringt. Treten in der Funkzelle nur kurze Signallaufzeiten auf, kann das Schutzintervall von 800 ns auf 400 ns halbiert werden. Damit reduziert sich die tatsächliche Übertragungsdauer eines OFDM-Symbols auf 3,6 Ps, was für sich einen Zuwachs des Durchsatzes von 10 % mit sich bringt. Schließlich kann bei sehr guter Übertragungsqualität die Redundanz des Fehlerschutzes verringert werden. Mit der Coderate 5/6 statt bisher 3/4 erhöht sich die Nutzbitrate um etwa 11 %. Insgesamt erlauben die drei Maßnahmen bei HT-OFDM eine Steigerung der Bitrate von 54 auf 72,2 Mbit/s. Die technologischen Fortschritte der letzten Jahre spielen IEEE-802.11n-Systeme erst richtig aus, wenn zwei benachbarte Frequenzkanäle zur Verfügung stehen. Dann können die Frequenzkanäle zusammengelegt werden. HT-OFDM nutzt das durchgehende 40-MHz-Band; die Schutzabstände in der Mitte entfallen. Die Zahl der Unterträger erhöht sich auf 108 und damit die Datenrate auf maximal 150 MHz. Besonders leistungsfähige Geräte können optional mehrere Antennen nutzen, siehe Bild 9-42. Man spricht von der MIMO-Übertragung (Multiple Input Multiple Output). Mehrantennensysteme können genutzt werden zur Antennendiversität, zur Strahlungsbündelung (Beamforming) oder zum Raummultiplex. Damit kann die Sendeleistung reduziert und/oder der Datendurchsatz gesteigert werden. Setzt man das Raummultiplex-Verfahren ein, werden komplexe Algorithmen der Signalverarbeitung zur Kanalschätzung benötigt. Je nachdem, ob die Kanaleigenschaften im Sender und im Empfänger bekannt sind, werden unterschiedliche Verfahren möglich [Kam08]. Im Beispiel in Bild 9-42 werden vier Sende- und zwei Empfangsantennen benutzt. Es ergeben sich vier Kanäle, und somit die Möglichkeit vier unabhängige Signale zu übertragen. Unter idealen Be-

342

9 Mobilkommunikation

dingungen vervierfacht sich die Datenrate, also bei 40 MHz Frequenzkanalbandbreite auf insgesamt 600 Mbit/s. Tabelle 9-8 Bitraten der HT-OFDM-Übertragung (52 Unterträger, 20 MHz Kanalbandbreite, MSC Modulation and Coding Scheme, GI Guard Interval)

MCS

Modulation

Bit pro Unterträger

Bit pro OFDMSymbol

0 1 2 3 4 5 6 7

BPSK QPSK QPSK 16-QAM 16-QAM 64-QAM 64-QAM 64-QAM

1 2 2 4 4 6 6 6

52 104 104 208 208 312 312 312

Datenbit pro FEC-Coderate OFDMSymbol 1/2 1/2 3/4 1/2 3/4 2/3 3/4 5/6

26 52 78 104 156 208 234 260

Bitrate in Mbit/s GI 800 ns

GI 400 ns

6,5 13 19,5 26 39 52 58,5 65

7,2 14,4 21,7 28,9 43,3 57,8 65 72,2

Signal 1 Kanal 1 Signal 2 Kanal 2 MIMOSender

Signal 3 Kanal 3

MIMOEmpfänger

Signal 4 Kanal 4

Bild 9-42 MIMO-Übertragung (Multiple Input Multiple Output) für das Raummultiplex-Verfahren

9.6

Zusammenfassung

Mobilkommunikationsnetze nach dem GSM-Standard integrieren seit Anfang der 1990er Jahre die Fortschritte der modernen digitalen Nachrichtentechnik in ein zuverlässiges und preiswertes Kommunikationssystem, dessen Sicherheitseinrichtungen heute jedoch nicht mehr ganz aktuell sind. GSM war von Anfang an als „lebender“ Standard konzipiert, der sich mit den wachsenden Kundenanforderungen und technischen Fortschritten weiterentwickeln sollte. Dass dies nach fast 20 Jahren seit der ersten Netzeinführung gelungen ist, beweist die überwältigende Zahl von weltweit über 2 Milliarden Teilnehmern. Architektur und Sicherheitsmerkmale von GSM waren beispielgebend für die Entwicklung der nachfolgenden Mobilfunkgenerationen.

9.6 Zusammenfassung

343

Seit dem Beginn der 1990er-Jahre haben sich die Telekommunikation und ihr Umfeld stark gewandelt. An der Abschaffung des Monopols für Sprachdienste 1998 und der Verbreitung des paketorientierten Internets ist dies besonders erkennbar. Hinzu kommt zunehmend der Wunsch nach Multimediainhalten, was Zugänge mit hohen Datenraten erfordert. Die technologischen Grenzen von GSM/EDGE als Mobilfunkstandard der 2. Generation sind offensichtlich. Aus diesem Grund wird bereits seit Anfang der 1990er-Jahre weltweit unter der Koordination der International Telecommunication Union (ITU-R) und in Europa des European Telecommunications Standards Institut (ETSI) an der 3. Generation gearbeitet. Parallel wurden neue Frequenzbänder um 2000 MHz für die Mobilkommunikation reserviert. In Europa werden diese Aktivitäten unter dem Namen Universal Mobile Telecommunication Services (UMTS) zusammengefasst. Im Jahr 2000 wurden in Deutschland die für UMTS-Netze vorgesehenen Frequenzbänder für etwa 50 Milliarden Euro versteigert. UMTS trat zunächst in eine schwierige Konkurrenz mit der Qualität von Festnetzanschlüssen, wie z. B. ADSL und Breitbandkoaxialkabel, und den Preisen etablierter GSM/GPRS-Netze. Nach Angaben der BITKOM hat sich UMTS mit über 22,7 Millionen Teilnehmeranschlüsse 2009 in Deutschland etabliert. Mit den Datendienst HSPA hat UMTS die Herausforderung um mobile breitbandige Internetzugänge angenommen. HSPA ist heute in über 80 Ländern und 200 Netzen verfügbar. 2010 wurde die Weiterentwicklung HSPA+ (Evolved HSPA) verabschiedet mit dem Ziel Bitraten von bis zu 42 Mbit/s im Downlink bzw. 11 Mbit/s im Uplink zur Verfügung zu stellen. Bei entsprechender Preisgestaltung kann damit der schnelle mobile Internetzugang ein Stück weit Realität werden. Parallel dazu nimmt die Verbreitung von WLANs stark zu, die Bruttobitraten bis zu 54 Mbit/s bei einer Reichweite von 50 bis 300 m bieten. Leistungsfähige WLAN-Funkschnittstellen gehören heute zur Serienausstattung von Notebooks und Smartphones. WLAN-Technologien werden immer häufiger in öffentlichen Zugangspunkten (Hotspots) für das Internet verwendet. Mit der nächsten Generation an WLAN-Geräten nach der Empfehlung IEEE 802.11n, wird die Leistungsfähigkeit nochmals wesentlich gesteigert. Hinzu kommen ad-hoc um eine „Person“ herum aufgebaute Funknetze, sogenannte Personal Area Networks (PAN). Seit 2001 steht für PAN-Anwendungen mit der Bluetooth-Empfehlung V1.1 ein breit unterstützter Standard zur Verfügung. Bluetooth ermöglicht, je nach lokalen Bedingungen, Datenraten bis zu 721 kbit/s über Entfernungen von 10 bis 100 m. Seit Ende 2004 werden mit der Weiterentwicklung V2.0 + EDR Bitraten bis zu 3 Mbit/s angeboten. Nicht zu vergessen ist auch WiMAX, ein Standard für den drahtlosen breitbandigen Internetzugang, der noch an Bedeutung zunehmen wird, insbesondere bei der Versorgung ländlicher Gebiete, die nicht über ausreichende DSL-Anschlüsse verfügen, siehe auch Verwendung der digitalen Dividende. An all diesen Standards wird weiter gearbeitet. Varianten mit verbesserten Leistungsmerkmalen sind in der Entwicklung. Die Existenz unterschiedlicher Standards ist im Rückblick teilweise auf die historische Entwicklung der Technik und der Märkte zurückzuführen. Um das Frequenzspektrum möglichst effizient zu nutzen und preisgünstige Geräte anbieten zu können, werden spezifische Lösungen bevorzugt. Anwender wünschen sich jedoch einfach zu bedienende, preiswerte Geräte, die alles können. Es zeichnet sich deshalb eine Entwicklung zu Multimodegeräten ab, die die jeweils geeignete Luftschnittstelle vor Ort unterstützen, hier sind unter dem Stichwort „Software defined radio“ weitere Entwicklungen zu erwarten.

344

9 Mobilkommunikation

Multimodegeräte geben den Anwendern die Freiheit zu entscheiden, ob beispielsweise ein Zugriff auf das Internet über ein Mobilfunknetz oder über einen WLAN-Hotspot geschieht. Die Geschäftsmodelle der Netzbetreiber und Dienstanbieter werden sich darauf einzustellen haben. Für spezielle Aufgaben, z. B. zur Prozess-Steuerung, Gebäudeüberwachung, usw., werden leistungs- und kostenoptimierte Funkmodule auch in Zukunft den Vorzug erhalten. Ihre breite Anwendung steht erst noch bevor. Von Interesse ist dabei auch die Entwicklung auf dem Gebiet der sogenannten Funketiketten (RFID, Radio Frequency Identification), die mit zunehmender Komplexität Eigenschaften von Kommunikationsendgeräten aufweisen.

9.7

Aufgaben zu Abschnitt 9

A9.1 Nennen Sie die drei Sicherheitsmerkmale von GSM aus der Anwendersicht. Wie werden sie umgesetzt? A9.2 Es wird zwischen Teilnehmermobilität und Endgerätemobilität unterschieden. Geben Sie je ein Beispiel an. Wie werden beide durch GSM unterstützt? A9.3 Welches Vielfachzugriffsverfahren wird bei GSM eingesetzt. Geben Sie wesentliche Parameter an. A9.4 Was versteht man unter einem zellularen Funknetz bei GSM? A9.5 Nennen Sie drei Maßnahmen in GSM, um die Funkübertragung robuster gegen Fehler zu machen. A9.6 Wofür steht das Akronym GPRS? Welche Art von Dienst wird durch GPRS bereitgestellt? A9.7 Was heißt EDGE? Was soll mit EDGE erreicht werden? Wie wird EDGE umgesetzt? A9.8 Wofür steht das Akronym UMTS? Auf welchem Prinzip fußt die Funkübertragung im FDD-Modus und warum wurde es ausgewählt? A9.9 Erklären Sie den Nah-Fern-Effekt. Welche negative Auswirkung hat er? Wie wird ihm entgegen gewirkt? A9.10 Was ist die zellulare Funkkapazität? Wodurch wird sie bei UMTS begrenzt? A9.11 Wofür steht das Akronym HSDPA? A9.12 Nach welchem Prinzip funktioniert die Datenfluss-Steuerung bei HSDPA? A9.13 Erklären Sie das Hidden Station Problem und das Exposed Station Problem. A9.14 Wie kann das Hidden Station Problem und das Exposed Station Problem bekämpft werden? A9.15 Wofür steht das Akronym OFDM? Aufgabe 9.16 a) Wieso kann die OFDM-Übertragung sowohl als Frequenzmultiplexverfahren als auch als Modulationsverfahren gedeutet werden? b) Welche zwei Parameter des OFDM-Verfahrens sind wie zu wählen? c) Wodurch wird die „theoretische“ Übertragungskapazität aus b) vermindert? d) Nennen Sie ein typisches Anwendungsgebiet der OFDM-Übertragung.

9.7 Aufgaben zu Abschnitt 9

345

Aufgabe 9.17 a) Welcher Art von Übertragungstechnik wird CDMA zugeordnet? b) Erklären Sie anhand einer Skizze die Wirkungsweise des CDMA-Modulators. c) Wenn die Chiprate 3,84 Mchip/s und die Bitrate 60 kbit/s beträgt, wie groß ist der Spreizfaktor? d) Erklären Sie anhand einer Skizze die Wirkungsweise des CDMA im Frequenzbereich. e) Was versteht man bei CDMA unter Prozessgewinn und warum ist der Prozessgewinn wichtig? Aufgabe 9.18 a) Wie wird bei der HT-OFDM-Übertragung der IEEE-802.11n-Empfehlung der Datendurchsatz im Vergleich mit IEEE 802.11a/g erhöht? b) Wofür steht das Akronym MIMO? c) Wie kommt die Angabe der Datenrate 600 Mbit/s für das Next Generation WLAN zustande?

346

Lösungen zu den Aufgaben Lösungen zu Abschnitt 1 A1.1 Die (elektrische) Nachrichtentechnik befasst sich mit der Darstellung, der Übertragung, der Vermittlung und der Verarbeitung von Nachrichten (in elektronischer Form). A1.2 Ein Signal ist der physikalische Repräsentant einer Nachricht. Eine Schnittstelle definiert die Bedeutung und Reihenfolge und die physikalischen Eigenschaften der ausgetauschten Signale sowie die Orte, an denen die Schnittstellenleitungen auf einfache Weise unterbrochen werden können. Die Regeln für den Datenaustausch an einer Schnittstelle werden durch das Protokoll festgelegt. Es definiert die Datenformate, die möglichen Befehle und Meldungen und zugehörigen Zeitvorgaben. A1.3 Die Quellencodierung stellt die Nachricht in einer Form dar, die für eine aufwandsgünstige Übertragung geeignet ist. Oft wird dabei eine Datenkompression durch Beseitigung von redundanten und irrelevanten Anteilen vorgenommen. Die Kanalcodierung sichert die Nachricht gegen Übertragungsfehler durch zusätzliche Prüfzeichen, sodass im Empfänger Fehler erkennbar und/oder korrigiert werden. Die Leitungscodierung bzw. Modulation erzeugt zur Nachricht ein an die physikalischen Eigenschaften des Kanals angepasstes (Sende-)Signal. A1.4 Shannonsches Kommunikationsmodell Quelle o Sender o Kanal (+ Störung) o Empfänger o Sinke A1.5 TK-Netze ermöglichen die Übermittlung (Vermittlung + Übertragung) von Nachrichten zwischen zwei Netzzugangspunkten. Sie stellen Dienste mit bestimmten Dienstmerkmalen zur Verfügung. A1.6 Verfügbarkeit des Dienstes, Authentizität (Echtheit des Teilnehmers), Vertraulichkeit der Information, Integrität (Information unverfälscht) A1.7 Anwendungsgebiete der digitalen Signalverarbeitung: die Mobilkommunikation (z. B. der Sprachcodec im Mobilgerät), die Medizintechnik (z. B. die Computertomografie, bei der aus Röntgenschichtaufnahmen räumliche Bilder erstellt werden) und die Kommunikationstechnik (z. B. xDSL-Modems für die schnelle Datenübertragung auf der Teilnehmeranschlussleitung).

M. Werner, Nachrichtentechnik, DOI 10.1007/978-3-8348-9742-8, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010

Lösungen zu den Aufgaben

347

Lösungen zu Abschnitt 2 Aufgabe 2.1 wertdiskret

Tabelle A2.1-1 Analoges Signal Digitales Signal Abtastfolge Binäres Basisbandsignal

wertkontinuierlich

zeitkontinuierlich

zeitdiskret

9

9

9

9 9

9 9

9

Aufgabe 2.2 a) Frequenzgang 1 jZC 1 R 1 R jZ C 1 R

H ( jZ )

1 2 jZ CR

1 1 2 1 jZ CR 2

1 1 2 1 jZW

b) Frequenzgang der Dämpfung

c) Skizze des Frequenzgangs der Dämpfung (siehe auch Bild 2-15) mit der 3dB-Grenzkreisfrequenz

Z3dB = 1/ W Hinweis: Die 3dB-Grenzfrequenz bezieht sich auf das Maximum des Betragsfrequenzganges, siehe (2.52) d) Tiefpass e) 3dB-Grenzfrequenz f3dB

20 lg H ( jZ ) dB 10 lg 1 Z 2W 2 dB 6 dB

adB (Z )

1 1 | 8 kHz 2S RC 2

24

a(Z)

18

in dB 12

6dB Steigung pro Oktave

9

6

1/4

1/2

1

2

Bild A2.2-2 Frequenzgang der Dämpfung

0,5

Aufgabe 2.3

|ck|

Amplitudenspektrum (Betrag der Fourierkoeffizienten) zur periodischen Sägezahnschwingung Hinweis: Ergänzend sind die Werte auf der linken Seite, k < 0, eingetragen, um die gerade Symmetrie hervorzuheben.

Z / Z3dB 8

~1/k 4

0

0

4

Bild A2.3-2 Amplitudenspektrum

k

348

Lösungen zu den Aufgaben

Aufgabe 2.4 a) Reaktion am Ausgang des Bandpasses mit Z0 = 2S 1 kHz y (t )

1

S

4

¦ k 1

sin kZ0 t k

1 ª 1 1 1 º «sin Z0 t sin 2Z0 t sin 3Z0 t sin 4Z0 t » S ¬ 2 3 4 ¼

b) Skizze des Amplitudenspektrums (einseitig) 0,2

|ck| 0,1 0

0

4

k

Bild A2.4-2 Amplitudenspektrum

Ergänzung: Reaktion des BP, Ausgangssignal y(t)

1/2

0 1/2

t 0

T0

Bild A2.4-3 Ausgangssignal des BP

Aufgabe 2.5 a) Die Fouriertransfomierte eines Signals bezeichnet man als (Fourier-)Spektrum. Das Betragsquadrat des Spektrums gibt die Verteilung der (Signal-)Energie über der Frequenz an. Ist das Signal periodisch mit der Periode T, so erhält man aus der harmonischen Analyse eine Fourierreihe mit Gleichanteil bei der Frequenz null und Harmonischen bei ganzzahligen Vielfachen der Grundkreisfrequenz Z0 = 2S / T. Es ergibt sich ein Linienspektrum. Anmerkung: Bei periodischen Signalen wird zur Berechnung der Fourierkoeffizienten eine Periode betrachtet. Man erhält die Energie pro Periode, also die mittlere Leistung, siehe Methode der Ersatzspannungsquellen.

b) In RLC-Netzwerken lassen sich bei sinusförmigen Quellenströmen und Quellenspannungen Zweigströme und Zweigspannung im eingeschwungenen Zustand mit der komplexen Wechselstromrechnung bestimmen. Die harmonische Analyse liefert eine mathematische Darstellung periodischer Ströme und Spannungen durch sinusförmige Ersatzquellen, sodass die bekannten Beziehungen der komplexen Wechselstromrechnung angewendet werden können.

Lösungen zu den Aufgaben

349

c) Die parsevalsche Gleichung stellt die Verbindung zwischen der Energie bzw. Leistung des Zeitsignals und dem Betragsquadrat seines Spektrums her. Damit können Energie- und Leistungsbetrachtungen äquivalent in Zeit- und Frequenzbereich durchgeführt werden. d) Unter der Bandbreite eines Signals versteht man die Breite des Frequenzbereiches im Spektrum, kurz (Frequenz-)Band genannt, in dem sich die wesentlichen Frequenzkomponenten des Signals befinden. Liegt eine strikte Bandbegrenzung vor, so besitzt das Signal keine Frequenzkomponente außerhalb des Bandes. e) Einem periodischen Signal mit der Periode T ist eine Fourierreihe und damit ein Linienspektrum zugeordnet. Die Frequenzkomponenten finden sich bei der Frequenz null für den Gleichanteil und ganzzahligen Vielfachen der jeweiligen Grundkreisfrequenz Z0 = 2S / T für die Harmonischen. f) Die zeitliche Dauer eines Signals und dessen Bandbreite stehen in reziprokem Zusammenhang. Je schneller sich ein Signal ändert, umso größer ist seine Bandbreite. Aufgabe 2.6 Siehe Bild 2-18. Aufgabe 2.7 Klirrfaktor d

0,12 0, 042 22 0,12 0, 042

| 0, 054 5, 4%

Aufgabe 2.8

a) Frequenzgang H ( jZ )

R 1 R R jZC

jZCR 1 jZC 2 R

1 jZW 2 1 jZW

b) Frequenzgang der Dämpfung adB (Z )

§1 Z 2W 2 20 lg ¨ ¨ 2 1 Z 2W 2 ©

2 2· · § ¸ dB 10 lg ¨ 1 Z W ¸ dB 6 dB 2 2 ¸ ¨ ¸ © Z W ¹ ¹

c) Skizze des Frequenzganges der Dämpfung mit der 3dB-Grenzkreisfrequenz Z3dB = 1/(2RC) Bild A2.8-2 Frequenzgang der Dämpfung

d) Hochpass e) 3dB-Grenzfrequenz f 3dB

1 1 | 1 kHz 2S 2 RC

a(Z)

24 18

in dB 12 9 6 1/8

6dB Steigung pro Oktave 1/4

1/2

1

Z / Z3dB 4

350

Lösungen zu den Aufgaben

Aufgabe 2.9

a) siehe c) links b) x(t ) l X ( jZ )

2 AT si ZT

c)

x(t)

X( jZ)

2AT

A

Z

t

T

0

T

0

S/T

Bild A2.9-1 Rechteckimpuls der Dauer 2T und sein Spektrum e) f0 = 1/(2T )

Aufgabe 2.10

a) Frequenzgang H ( jZ )

R jZ L R

1 1 jZ L / R

b) Frequenzgang der Dämpfung adB (Z ) 10 lg 1 Z 2 L R

2

dB

c) Siehe auch Lösung zu Aufgabe 2.2 mit der 3dB-Grenzkreisfrequenz Z3dB = R/L 18

adB(Z) 12 in dB

6

6 dB Steigung pro Oktave

3 0 1/4

1/2

1

2

Z / Z3dB 8

Bild A2.10-2 Frequenzgang der Dämpfung

d) Tiefpass e) Induktivität zur 3dB-Grenzfrequenz L

R | 0,8 mH 2S f 3dB

Lösungen zu den Aufgaben

351

Aufgabe 2.11 Frequenzbereich

Zeitbereich

AT1

A

1/T1 t

f

T1 AT2

A

1/T2

t

f

T2 Bild A2.11-1 Zum Zeitdauer-Bandbreite-Produkt

Aufgabe 2.12

a) LTI-Systeme sind linear (L) und zeitinvariant (TI). b) Ist ein System linear, so erhält man bei einer Linearkombination von Eingangssignalen (Erregungen) am Systemeingang die gleiche Linearkombination der zugehörigen Ausgangssignale (Reaktionen) am Systemausgang. c) Das Übertragungsverhalten eines LTI-Systems wird durch die Impulsantwort und den Frequenzgang (Übertragungsfunktion) beschrieben. Impulsantwort und Frequenzgang bilden ein Fourierpaar. d) Das Eingangssignal wird mit der Impulsantwort zum Ausgangssignal gefaltet. e) Das Eingangsspektrum wird mit dem Frequenzgang zum Ausgangsspektrum multipliziert. f) Der Frequenzgang charakterisiert die Übertragungseigenschaften des LTI-Systems im Frequenzbereich. Stellt man, wie in der komplexen Wechselstromrechnung, das sinusförmige Eingangssignal als komplexe Amplitude dar, so ergibt sich die komplexe Amplitude des Ausgangssignals aus der komplexen Amplitude am Eingang mal dem Wert des Frequenzgangs bei der entsprechenden Kreisfrequenz. Damit ist die Amplitude des sinusförmigen Ausgangssignals proportional zum Betrag des Frequenzgangs bei der entsprechenden Kreisfrequenz. Die Phase des Frequenzgangs bei der entsprechenden Kreisfrequenz tritt im Ausgangssignal als Phasenverschiebung in Erscheinung. g) Eine Übertragung ist verzerrungsfrei, wenn das Empfangssignal dem Sendesignal bis auf einen konstanten Amplitudenfaktor und einer konstanten Zeitverschiebung gleicht. Aufgabe 2.13

a) Die Impulsfunktion stellt die mathematische Idealisierung eines sehr kurzen und sehr energiereichen Signals dar. Am Beispiel der Aufladung der Kapazität eines RC-Glieds kann man sich die Impulsfunktion als Spannungsimpuls vorstellen, der die Kapazität so schnell lädt, dass im Rahmen der Messgenauigkeit der Ladevorgang selbst nicht mehr beobachtet werden kann.

352

Lösungen zu den Aufgaben

b) Die Ausblendeigenschaft der Impulsfunktion ist unmittelbar mit der Definition der Impulsfunktion verknüpft. Wird die Impulsfunktion auf ein (im Ursprung t = 0 stetiges) Signal angewendet, so erhält man den Signalwert im Ursprung. Der restliche Signalverlauf wird ausgeblendet. c) Die Faltung zweier identischer Rechteckimpulse ergibt einen dreieckförmigen Impuls mit der doppelten Dauer der Rechteckimpulse. Die maximale Höhe ist gleich der Energie der Rechteckimpulse. Aufgabe 2.14

Das Signal x(t) kann in eine Folge von Rechteckimpulsen der Dauer T zerlegt werden. Wegen der Linearität der Faltung, darf jeder einzelne Rechteckimpuls für sich mit h(t) gefaltet werden. Es ergeben sich jeweils Dreieckimpulse der Dauer 2T und Höhe T, siehe Bild 2-41. Das Ergebnis y(t) = x(t) h(t) setzt sich aus deren Überlagerung zusammen.

y(t) T t/T 0

1

7

T Bild A2.14-2 Ausgangssignal

Aufgabe 2.15

a) Es handelt sich um einen Bandpass. b) Die Sperrfrequenzen sind fs,u = 3 kHz und fs,o = 9 kHz. Die Sperrdämpfung ist im unteren und oberen Bereich gleich. Der Betragsfrequenzgang 20lg( |H(jZ)|) dB beträgt im Sperrbereich 40 dB oder weniger. Die Sperrdämpfung im logarithmischen Maß ist somit 40 dB. Im linearen Maß erhält man die Sperrtoleranz zu G s 1040 20 0, 01 . Spektralkomponenten im Sperrbereich werden zu Signalkomponenten im Durchlassbereich durch den Bandpass um etwa den Faktor 100 oder mehr abgeschwächt.

Lösungen zu Abschnitt 3 b) (S/N )dB | 16 6 dB = 96 dB

Aufgabe 3.1

a) fg < fA / 2 = 24 kHz

Aufgabe 3.2

Abtastfrequenz fA = 8 kHz; Wortlänge w = 8 bit; Bitrate Rb = 64 kbit/s

Aufgabe 3.3

d) a) Signalausschnitt von u(t), b) Codenummern, c) Codewörter, siehe Bild A3.3-1. e) Bitstrom

{110, 100, 010, 001, 011, 101, 101, 100, 100, 100, 101}

f) Repräsentanten

{5/8 , 1/8 , 3/8 , 5/8 , 1/8 , 3/8, 3/8, 1/8, 1/8, 1/8, 3/8}

g) Interpolierende Treppenfunktion, siehe Bild oben.

Lösungen zu den Aufgaben

353

1

CodewortNr.

BCDCodewort

Repräsentant

7

111

7/8

6

110

5/8

5

101

3/8

4

100

1/8

3

011

1/8

2

010

3/8

1

001

5/8

0

000

7/8

u(t)

0 0

5

t in ms 10

1

Bild A3.3-1 Digitalisierung eines Signals

Aufgabe 3.4

a) Übersteuerung und granulares Rauschen b) Die Übersteuerung kann durch eine Sättigungskennlinie vermieden werden. Bei expliziter Darstellung der Amplitude 0 tritt kein granulares Rauschen auf. Aufgabe 3.5 Sound-Card

a) max. Signalfrequenz fmax b) S/N c) Bitrate Rb d) Aufnahmezeit

Telefonqualität

Rundfunkqualität

CD-Qualität

< 5,5125 kHz

< 11,025 kHz

< 22,05 kHz

48 dB

48 dB

96 dB

88,2 kbit/s

176,4 kbit/s

1411,2 kbit/s *

| 27 h

| 13,5 h

| 101 min

* stereo

Hinweis: 1 GB = 1024 MB (Megabyte) = 10241024 KB (Kilobyte) = 102410241024 Byte (B) = = 8 1’073’741’824 Bit = 8’589’934’592 Bit. Aufgabe 3.6 PCM-Codierung xd

gleichförmige Quantisierung mit w = 12 bit und Vorzeichen V

PCM-Format w = 8 bit

0,8

1 110 0110 0110

1 111 1001

0,4

0 011 0011 0011

0 110 1001

0,25

1 010 0000 0000

1 110 0000

0,001

1 000 0000 0010

1 000 0010

V = 1 für |x| t 0

354

Lösungen zu den Aufgaben

Aufgabe 3.7

a) Frequenzauflösung 'f = 48 kHz / 1024 | 46,9 Hz b) Kein Unterschied! Die FFT ist nur ein besonders effizienter Algorithmus zur Berechnung der DFT. Aufgabe 3.8

a) Ersetzen eines analogen Filters durch ein digitales Filter nach A/D-Umsetzung mit anschließender D/A-Umsetzung, sodass die gewünschte Funktion des analogen Filters erfüllt wird. b) Es ist das Abtasttheorem zu beachten und eine ausreichende Wortlänge bei der digitalen Signalverarbeitung bereitzustellen. Ferner sind die Eigenschaften realer A/D- und D/A-Umsetzer zu berücksichtigen. c) Ein FIR-Filter ist ein zeitdiskretes Filter mit einer Impulsantwort von endlicher Dauer. Für gewöhnlich wird darunter ein digitales Filter in transversaler Struktur verstanden. d) Ein IIR-Filter ist ein zeitdiskretes Filter mit einer Impulsantwort von unendlicher Dauer. In der Regel wird damit ein digitales Filter mit rekursiver Struktur gemeint. Aufgabe 3.9

a) Verlustlose Codierung ) Aus dem codierten Signal kann im Prinzip das ursprüngliche Signal fehlerfrei wieder gewonnen werden o nur Redundanzminderung. Verlustbehaftete Codierung ) Aus dem codierten Signal kann das ursprüngliche Signal nicht mehr exakt wieder gewonnen werden o auch Irrelevanzreduktion und/oder bewusste Inkaufnahme von Abweichungen. Irrelevanzreduktion ) weglassen von Signalanteile die für den eigentlichen Zweck nicht benötigt werden o siehe z. B. Maskierungseffekte beim Hören. Redundanzreduktion ) Die im Signal mehrfach vorhandene Information (Redundanz) wird benutzt um überflüssige Signalanteile zu entfernen o siehe z. B. Huffman-Codierung. b) Unter der Maskierung versteht man in der Audiocodierung den Effekt, dass bei Mehrtonsignalen gewisse Töne vom menschlichen Gehör nicht wahrgenommen werden. Es gibt sowohl eine Maskierung im Frequenzbereich als auch im Zeitbereich. In der Audiocodierung wird die Maskierung zur Datenkompression durch Irrelevanzreduktion benutzt. Die hohen Kompressionsgrade moderner Audiocodierverfahren sind im Wesentlichen auf die Ausnutzung des Maskierungseffektes zurückzuführen. Aufgabe 3.10

Das Kompressionsverhältnis kann für den AAC-Codec bei etwa CD-Qualität mit CR = 1411,2 kbit/s / 128 kbit/s | 11 abgeschätz werden. Gibt man sich mit etwas geringerer Qualität zufrieden, z. B. beim Einsatz in Umgebungen mit erheblichen Störgeräuschen (Auto, Tram, usw.), so kann mit dem HE-AAC-v2-Codec bei 32 kbit/s das Verhältnis nochmals um den Faktor 4 erhöht werden.

Lösungen zu den Aufgaben

355

Lösungen zu Abschnitt 4 Aufgabe 4.1

Bei der kohärenten Demodulation muss im Empfänger das Trägersignal frequenz- und phasenrichtig bereitgestellt werden. Bei der inkohärenten u(t) Demodulation entfällt die Trägernachbildung. U0

Aufgabe 4.2

t

a) Es handelt sich um eine Zweiseitenband-AM mit Träger.

t1

t2

b) fT >> fg c) Modulationsprodukt siehe schematische Darstellung rechts. Aufgabe 4.3

Betragsspektrum des Modulationsprodukts (a) und des demodulierten Signals (b) in schematischer Darstellung c) Grenzfrequenz des Tiefpasses 3,4 kHz < fg < 20,6 kHz

|UM( jZ)|

A a) 24

16

8

0

8

16

24

16

24

Z/2S in kHz

|Ud( jZ)|

A b) 24

16

8

0

8

Z/2S in kHz

Aufgabe 4.4

a) Da es sich um eine Eintonmodulation handelt, erhält man ein Linienspektrum mit Frequenzanteilen bei ZT r n Z1 2S 1 r n 0, 01 MHz . b) Carson-Bandbreite BC

2 (K 1) f g

§ 24, 048 kHz · 2¨ 1¸ 10 kHz © 10 kHz ¹

68,1 kHz

c) Die Trägerfrequenz ist nicht im FM-Spektrum enthalten, da die Besselfunktion J0(K) für den Modulationsindex K = 2,4048 gleich 0 ist. Aufgabe 4.5

Die analoge AM benötigt für das ESB-Signal dieselbe Bandbreite wie das modulierende Signal selbst. Störungen bei der Übertragung (Rauschen und Verzerrungen) wirken sich auch auf das demodulierte Signal aus. Die ASK-Modulation besitzt wegen dem harten Umtasten Sprünge im Signal und damit ein relativ breites Spektrum. Solange die Störungen und Verzerrungen bei der Übertragung eine fehlerfreie Detektion der digitalen Nachricht zulassen, ist die empfangene Nachricht gleich der gesendeten.

356

Lösungen zu den Aufgaben

Aufgabe 4.6

a,b) Signalraum-Konstellation der QPSKModulation mit Gray-Codierung

Quadraturkomponente

c) Die Gray-Codierung ordnet im Signalraum benachbarten Signalen binäre Codewörter mit möglichst wenig unterschiedlichen Stellen zu. Wird ein Signal bei der Übertragung durch Rauschen gestört, treten meist Verfälschungen in Nachbarsignale auf. Somit wird insgesamt die mittlere Bitfehlerquote möglichst klein gehalten.

01 00 11

Normalkomponente

10

d) Bei der M-PSK-Modulation liegen die Signale zu den Symbolen auf einem Kreis um den Ursprung der komplexen Ebene (Signalraum) und haben somit gleichen Betrag. Bei der rechteckförmigen M-QAM sind die Signale auf einem rechteckförmigen Gitter um den Ursprung, ähnlich den Karos bei kariertem Papier, angeordnet. e) Durch die Anordnung der Signale auf einem Kreis, spielt der Betrag der empfangenen Signale für die Detektion eine untergeordnete Rolle. Die Detektion kann vorteilhaft allein aufgrund der Phaseninformation durchgeführt werden, sodass die Übertragung relativ robust gegen Dämpfungsverzerrungen ist. (Siehe auch differenzielle M-PSK.) Nachteilig ist, dass bei wachsender Anzahl von Symbolen, die Phasenunterschiede zwischen den Signalen kleiner werden, sodass die Detektion störanfälliger wird. Aufgabe 4.7

c) Ein Quadraturmischer setzt ein Bandpass-Signal in die Quadraturkomponenten um, bzw. erzeugt aus den Quadraturkomponenten ein Bandpass-Signal. b) OFDM ist ein digitales Modulationsverfahren für die Mehrträgerübertragung. Dabei sind die Trägersignale zueinander orthogonal, sodass vorteilhaft eine Trägermodulation/-demodulation mit der IDFT bzw. der DFT durchgeführt werden kann. Für das Produkt aus Frequenzabstand der Unterträger F und der Dauer der Kernsymbole Ts muss gelten FTs = 1. a) Orthogonal Frequency Division Multiplexing Digitaler Rundfunk (DAB), digitales Fernsehen (DAB) (sowohl terrestrisch (DAB-T) als auch über Kabel (DAB-C)), WLAN (IEEE 802.11a/g, HIPERLAN/2), drahtloser digitaler Teilnehmeranschluss (WiMAX), digitaler Teilnehmeranschluss (ADSL) Aufgabe 4.8

a) Frequenzabstand der Unterträger

F = 20 MHz / 64 = 312,5 kHz

b) Dauer des Kernsymbols

Ts = 1 / F = 3,2 Ps

Dauer des OFDM-Symbols c) Bitrate

TT = Ts + TG = 4 Ps Rb,BPSK Rb,64QAM

52 1 bit 4 ȝs 52 6 bit 4 ȝs

13 Mbit/s 78 Mbit/s

Lösungen zu den Aufgaben Spektrale Effizienz

357

BPSK

13 Mbit/s / 20 MHz = 0,65 (bit/s)/Hz

64-QAM

78 Mbit/s / 20 MHz = 3,9 (bit/s)/Hz

Die spektrale Effizient schwankt zwischen 0,65 und 3,9 (bit/s)/Hz Anmerkung: In realen Systemen ist die (Netto-)Bitrate, die den Teilnehmern/Diensten zur Verfügung steht, deutlich geringer, weil Informationen zur Steuerung der Übertragung und Redundanz zum Fehlerschutz als Gemeinkosten (Overhead) noch hinzugefügt werden. In der Regel werden zur Unterstützung der Demodulation und Detektion zusätzlich Pilotsignale (Pilotträger) verwendet. Da diese nicht für die Datenübertragung zur Verfügung stehen, reduziert sich die Zahl der Unterträger für die Datenübertragung weiter.

d) Die BPSK-Übertragung ist robuster gegen Störungen als die Übertragung mit 64-QAM. Auf sie kann umgeschaltet werden, wenn die 64-QAM-Übertragung nicht (mehr) möglich ist. Andererseits, ist die Übertragungsqualität für die 64-QAM ausreichend, kann mit ihr ein um den Faktor 6 höherer Durchsatz erzielt werden. e) Das Schutzintervall korrespondiert mit einer Umweglänge der elektromagnetischen Wellen von ca. (3108 m/s) 0,8 Ps = 240 m. Da sich die Symbole bei Mehrwegeausbreitung nicht gegenseitig überlagern sollen (Intersymbolinterferenz), handelt es sich um ein Nahfunksystem mit Reichweiten bis etwa 300 m.

Lösungen zu Abschnitt 5 Aufgabe 5.1

a) b)

Spannung in V

„N” 12

Parität

0 1 1 1 0 0 1 1

Stopp

Start

„T”

0 0 1 0 1 0

1 0

3 3

Zeit t

12

Aufgabe 5.2

a) Bei einem Leitungscode mit Gedächtnis wird durch die Codierungsregel eine Korrelation zwischen den Bits des übertragenen Bitstroms herbeigeführt. Dadurch lässt sich die Verteilung der Leistung im Frequenzbereich formen. Insbesondere lassen sich gleichstromfreie Signale erzeugen, wie z. B. beim AMI- und Basisbandsignal Manchester Code. b) Basisbandsignal mit AMI-Codierung für die Bitfolge 0101110.

1 0 1

0

1

2

3

4

5

t/T

358

Lösungen zu den Aufgaben

Aufgabe 5.3

a) Synchronisation, Abtastung und Detektion. b) Nachsymbolinterferenzen durch Bandbegrenzung (Tiefpasskanal) und Rauschen c) Durch die Bandbegrenzung im Kanal werden die Sendegrundimpulse verbreitert, sodass sich benachbarte Impulse (Symbole) überlagern (Intersymbolinterferenz). Kommt es zur gegenseitigen (teilweisen) Auslöschung, treten in der Detektion Fehler mit erhöhter Wahrscheinlichkeit auf. d) Das Augendiagramm erlaubt eine augenscheinliche Beurteilung der Signalqualität. Je weiter die Augenöffnung, desto robuster ist die Übertragung gegen Störungen durch additives Rauschen und Synchronisationsfehler (Jitter). e) Ein Synchronisationsfehler bewirkt, dass die Detektionsvariable nicht mehr im optimalen Detektionszeitpunkt gewonnen wird und deshalb nicht mehr die volle Rauschreserve des Augendiagramms zur Verfügung steht. f) Durch die Impulsformung wird das Datensignal an den physikalischen Kanal angepasst. Eine geeignete Impulsformung reduziert die benötigte Bandbreite und/oder erhöht die Störsicherheit. Häufig werden Impulse mit Raised-cosine-Spektrum verwendet. Anmerkung: Auch der sogenannte cos2-Impuls, d. h. x(t) = cos2(St/T) für T/2 < t < T/2 ist verbreitet. Seine Form im Zeitbereich entspricht dem RC-Spektrum mit D = 0.

Aufgabe 5.4

a) Die Bandbreite muss mindestens gleich der Nyquist-Bandbreite BN = 32 kHz sein. Typisch für die Anwendung ist eine Bandbreite von ca. 1,5BN. b) Bitrate, Bandbreite und S/N-Verhältnis sind im Sinne der Kanalkapazität in gewissen Grenzen gegenseitig austauschbar. Je größer die Bandbreite und das S/N-Verhältnis sind, umso größer ist die maximale, theoretisch fehlerfrei übertragbare Bitrate. c) Durch die Verwendung einer mehrstufigen Modulation kann die Bitrate ohne Bandaufweitung gesteigert werden. (Die spektrale Effizienz nimmt zu.) Nachteilig dabei ist die mit wachsender Stufenzahl ebenfalls zunehmende Störempfindlichkeit. d) Bei der digitalen Übertragung wird in den Zwischenverstärkern das Sendesignal solange kein Detektionsfehler auftritt ohne Rauschen und unverzerrt regeneriert. Aufgabe 5.5

a) Durch das Matched-Filter im Empfänger wird die Detektion robuster gegen Rauschen. b) Das Matched-Filter ist auf den Sendegrundimpuls anzupassen. c) Für eine gegebene Sendegrundimpulsform und additiver Rauschstörung maximiert das Matched-Filter das S/N-Verhältnis im optimalen Detektionszeitpunkt. Ist die Rauschstörung normalverteilt, so wird die Fehlerwahrscheinlichkeit minimiert. Aufgabe 5.6

a) Asymmetric Digital Subscriber Line Asymmetrischer digitaler Teilnehmeranschluss Anmerkung: In Aufwärtsrichtung (zur Vermittlungsstelle/Netz) wird eine geringere Datenrate zur Verfügung gestellt als in Abwärtsrichtung (zum Teilnehmer). Daher die Bezeichnung asymmetrisch

Lösungen zu den Aufgaben

359

b) Mit wachsender Länge nimmt die Signaldämpfung zu. Hinzu kommt dass im Allgemeinen auch mehr Störungen, wie Übersprechen, eingefangen werden. c) Sprachtelefon-Modems nutzen nur den herkömmlichen Sprachkanal mit 4 kHz Bandbreite. Modems für ADSL2+ können bis zu 2,2 MHz Bandbreite nutzen und verwenden ein adaptives Mehrträgerverfahren: Discrete Multitone (DMT) mit 512 Unterträgern und Dynamic Spectrum Management (DSM). Anmerkung: Sprachtelefon-Modems haben auch heute noch ihre Bedeutung, wenn auf die weltweit (fast) überall verfügbaren Sprachtelefon-Netze zurückgegriffen werden muss.

Lösungen zu Abschnitt 6 A6.1 Primärmultiplexsignal (PCM-30-System), Zeitmultiplex A6.2 Das Primärmultiplexsignal enthält pro Zeitrahmen zu den 30 Oktetten für die Teilnehmerkanäle zwei zusätzliche Oktette. Davon dient ein Oktett zur Rahmenerkennung bzw. für Meldungen und das zweite für die Zeichengabe. A6.3 Das Meldewort wird in jedem zweiten PCM-30-Multiplexrahmen gesendet, also alle 250 Ps. Pro Sekunde sind das 4000 Meldewörter à 4 Bits. Somit ist die Bitrate des Melde-Kanals 4 kbit/s. A6.4 Die Aufgabe eines TK-Netzes ist es, den Nachrichtenaustausch zwischen den Netzzugangspunkten zu ermöglichen, also Nachrichten zu übermitteln. A6.5 Der Begriff Nachrichtenübermittlung fasst die Aufgaben der TK-Netze, das Übertragen und Vermitteln von Nachrichten, in einem Wort zusammen. A6.6 Unter einem Dienst eines TK-Netzes versteht man die Fähigkeit Nachrichten unter Beachtung bestimmter Merkmale, wie z. B. Datenrate, Zeitvorgaben, usw., zu übertragen. A6.7 Leitungsvermittlung und Paketvermittlung A6.8 Verbindungsaufbau, Nachrichtenaustausch und Verbindungsabbau A6.9 Bei der verbindungslosen Nachrichtenübermittlung werden die Nachrichten in Form von Datenpaketen übertragen. Die Datenpakete enthalten Ursprungs- und Zieladresse. A6.10 Die netzorientierten Schichten des OSI-Modells sind: (1) Bitübertragung, (2) Sicherung, (3) Vermittlung. Die anwendungsorientierten Schichten des OSI-Modells sind: (4) Transport, (5) Kommunikationssteuerung, (6) Darstellung, (7) Anwendung. A6.11 Die Kommunikation zwischen den Partnerinstanzen einer Protokollschicht erfolgt nach dem Modell der Dienstanforderung und Diensterbringung. Dabei fordert die Instanz der Schicht N mit einem vordefinierten Dienstelement einen Dienst von einer Instanz der Schicht N-1 an. Für die Partnerinstanzen scheint es so, als ob zwischen ihnen ein (virtueller) Kanal bestünde. A6.12 High Level Data Link Control (HDLC), Link Access Protocol (LAP) A6.13 siehe Bild 6-9 und zugehörige Erklärung. A6.14 siehe Bild 6-10.

360

Lösungen zu den Aufgaben

A6.15 Das U-Format kann keine Empfangsnummer N(R) übertragen und somit den Empfang von Rahmen nicht quittieren. Das U-Format ist für den Auf- und Abbau der Verbindungen und zur Übertragung von reiner Steuernachrichten vorgesehen. A6.16 Mit dem Poll Bit (=1) wird die Gegenstation zum sofortigen Senden einer Meldung, am Final Bit (=1) erkenntlich, aufgefordert. A6.17 Sende- und Empfangsnummern dienen zur gesicherten Übertragung mittels Flusskontrolle. Durch Sende- und Empfangsnummern werden empfangene Rahmen quittiert bzw. die Gegenstation zum Senden des nächsten Rahmens aufgefordert. A6.18 Bittransparenz bedeutet, dass das Bitmuster der zu sendende Bitfolge beliebig sein darf. Im HDLC-Protokoll wird nach fünf Einsen eine Null eingefügt (Zero Insertion), die im Empfänger wieder entfernt wird. A6.19 Bei einer gesicherten Übertragung wird der „richtige“ Empfang eines Rahmens durch die Gegenstation quittiert. A6.20 Asynchronous Transfer Mode (ATM); Übertragung von Datagrammen (ATM-Zellen) mit Paketvermittlung. A6.21 Der besondere Vorteil der ATM-Übertragung besteht in den relativ kleinen ATM-Zellen mit nur 53 Oktetten, sodass lange Wartezeiten zum Füllen der Zellen vermieden werden. Der Header unterstützt die Bündelung von logischen Kanälen und die verbindungsorientierte Paketvermittlung. A6.22 In Dienstklassen werden Dienste mit gleichen oder ähnlichen Merkmalen zusammengefasst, wie z. B. Dienste mit konstanten Bitraten (CBR) oder variablen Bitraten (VBR). Ein Beispiel für einen CBR-Dienst ist die Sprachtelefonie mit einem PCM-Kanal mit 64kbit/s; für den VBR-Dienst die Sprachtelefonie mit einem Audiocodec mit variabler, d. h. signalabhängiger, Bitrate. A6.23 Die Kennzeichnung von Dienstklassen in den Datenpaketen erlaubt die Differenzierung der Datenpakete und ermöglicht so eine unterschiedliche Behandlung. Damit lassen sich unterschiedliche Dienstgüten (QoS) und realisieren und die Auslastung der Netze optimieren. A6.24 Nur die beiden untersten Schichten, die Bitübertragungsschicht und die Sicherungsschicht. A6.25 Medium Access Control (MAC); die MAC-Schicht regelt den Zugriff der Stationen auf das gemeinsame Übertragungsmedium (Leitung, Glasfaser, Funkkanal, usw.). Sie ist der Sicherungsschicht zugeordnet und verbindet die Bitübertragungsschicht mit der ebenfalls der Sicherungsschicht zugeordneten Schicht Logical Link Control, siehe Bild 6-17. A6.26 Transport Control Protocol (TCP), Internet Protocol (IP) A6.27 Durch die Bezeichnung Protokollfamilie TCP/IP wird ausgedrückt, dass es sich um eine Gruppe von Protokollen handelt, die verschiede Kommunikationsdienste auf der Basis des TCP und IP (oder verwandter Protokolle) realisieren, siehe Bild 6-19. Gemeinsam sind die Verwendung von TCP (verbindungsorientiert, gesichert) und IP (verbindungslos, ungesichert) als Transportschicht- bzw. Vermittlungsschicht-Protokolle. A6.28 Die Protokollschicht Transport Control Protocol (TCP) entspricht der Transportschicht im OSI-Referenzmodell. Sie stellt eine verbindungsorientierte und gesicherte Übertragung bereit. Es werden die drei Phasen Verbindungsaufbau, Nachrichtenaustausch

Lösungen zu den Aufgaben

361

und Verbindungsabbau umgesetzt. Die Übertragung wird durch eine Ende-zu-EndeFlusskontrolle mit Quittierung und gegebenenfalls Übertragungswiederholung gesichert. A6.29 Die Protokollschicht Interent Protocol (IP) entspricht der Vermittlungsschicht im OSIReferenzmodell. Die IP-Schicht unterstützt die verbindungslose und ungesicherte Übertragung von Datagrammen (IP-Pakete). A6.30 Unter einem Extension Header versteht man die Möglichkeit, im IPv6-Protokoll optional zusätzliche Header-Abschnitte zu verwenden. Durch das Konzept der Extension Header konnte der obligatorische IPv6-Header vereinfacht und die Flexibilität des Protokolls verbessert werden. A6.31 IPv6 kennt drei Arten von Adressen: Unicast-, Anycast- und Multicast-Adressen, siehe Abschnitt 6.8. A6.32 Rundfunkdienste erfordern wegen der Vielzahl von Teilnehmern eine effektive Verkehrslenkung, die unnötiges Duplizieren von Paketen vermeidet. Dazu ist jeweils eine zentrale Planung auf Kenntnis der aktuellen Netzstruktur vom zentralen Server (Rundfunkstation) zu den Clients (Hörer) erforderlich. Dies steht im Widerspruch zum ursprünglichen Konzept des dezentralen „nicht“ organisierten Netzes. Für Rundfunkdienste sind die Multicast-Adressen vorgesehen. A6.33 AAA, auch Triple A genannt, steht für Authentification, Authorization und Accounting. Damit werden wichtige Funktionen im Zusammenhang mit dem Betrieb von TK-Netzen angesprochen, die durch technische Einrichtungen zu ermöglichen sind. Anmerkung: Für die Akzeptanz eines öffentlichen TK-Netzes spielen Datenschutz, Datensicherheit und faire Leistungsabrechnung einer wichtige Rolle. Man beachte auch die gesetzlichen Vorschriften zur Strafverfolgung (Law Enforcement) die für einen ordnungsgemäßen Betrieb von TK-Anlagen einzuhalten sind.

Lösungen zu Abschnitt 7 A7.1 Die Führung von Lichtwellen in Glasfasern beruht auf dem Prinzip der Totalreflexion der Lichtstrahlen zwischen dem optisch dichteren Kern und dem Mantel, sodass die Lichtstrahlen den Kern nicht verlassen. A7.2 Bei Stufenindexfasern hat die Brechzahl einen sprungförmigen Übergang, eine Stufe, zwischen dem optisch dichteren Kern und dem Mantel. Es breiten sich eine Vielzahl von Lichtstrahlen mit unterschiedlichen Weglängen und damit Laufzeiten zum Faserende aus (Multimodefaser).

Bei der Gradientenindexfaser ist der Übergang der Brechzahl parabolisch, sodass alle Lichtstrahlen einer bestimmten Wellenlänge sich gleichschnell zum Faserende fortpflanzen (Singlemodefaser). Bei der Einmodenfaser ist der Durchmesser des Kerns so gering, dass sich die Lichtwelle nur als Mittelpunktstrahl ausbreiten kann (Singlemodefaser). A7.3 Das Bandbreitenlängenprodukt ist das Produkt der für die Übertragung nutzbaren „Bandbreite“ und der Faserlänge. Hierbei beschreibt die „Bandbreite“ die bei Impulsübertragung mögliche Bitrate im Sinne der Nyquist-Bandbreite. Bei einem Bandbreitenlängenprodukt von 1 GHzkm kann prinzipiell die Bitrate von 2 Gbit/s über 1 km, von 1 Gbit/s über 2 km oder Entsprechendes übertragen werden.

362

Lösungen zu den Aufgaben

A7.4 Als die drei optischen Fenster bezeichnet man die Bereiche lokaler Dämpfungsminima von Glasfasern bei etwa 850, 1300 und 1550 nm. Die optischen Fenster werden durch lokale Dämpfungsmaxima aufgrund von OH-Ionen-Verunreinigungen in den Fasern getrennt, siehe Bild 7-8. Durch spezielle Fertigungsverfahren lassen sich „wasserfreie“ Gläser ohne diese Dämpfungserhöhungen herstellen. A7.5 Beim Spleißen von Einmodenfasern muss besondere Sorgfalt aufgewendet werden, weil die Faser nur circa 5 bis 10 Pm Durchmesser aufweisen. Kleine Abweichungen beim Zusammenfügen, Spalt-, Stufen- und Winkelfehler, führen schnell zu Signaldämpfungen von circa 3 dB. Es werden deshalb oft Spleißautomaten eingesetzt, bei denen die Dämpfungen typisch bei 0,02 bis 0,3 dB liegen. A7.6 LASER steht für light amplification by stimulated emission of radiation, also Verstärkung von Licht durch stimulierte Emission von Strahlung. Das Prinzip des Lasers beruht auf dem quantenmechanischen Effekt, dass Elektronen in Atomen bei spontanen Übergängen aus höheren Energieniveaus auf tiefere unter bestimmten Umständen Photonen aussenden können.

Beim Laser werden die Atome durch Besetzungsinversion, d. h. Überbesetzung der höheren Energieniveaus durch externe Energiezufuhr, im strahlungsfähigen Volumen des Lasers (Halbleiter, Kristall) und durch Stimulation zu kohärentem Aussenden von Strahlung angeregt. Die Stimulation kann durch Strahlungsrückkopplung in einem Resonator (z. B. Fabry-Pérot-Resonator) oder extern zugeführte Strahlung (z. B. Faserverstärker) geschehen. A7.7 Als Faserverstärker bezeichnet man einen speziell dotierten Lichtwellenleiter, in der Regel nur wenige Meter lang, bei dem die Leistung des optischen Signals beim Durchgang verstärkt wird. Dies geschieht nach dem Laserprinzip, wobei durch eine Pumpstrahlung die Besetzungsinversion erzeugt und durch das eingespeiste optische Signal die kohärente Strahlung angeregt wird.

Ein verbreiteter Typ von Faserverstärkern ist der EDFA-Verstärker (erbium-doped fiber amplifier) (Erbium-Verstärker). A7.8 WDM steht für wavelength division multiplexing, dem Wellenlängenmultiplex. Es werden mehrere optische Signale bei verschiedenen Wellenlängen gleichzeitig über eine Faser übertragen.

Wird auf Fasern, wie zu Beginn der LWL-Technik nicht anders möglich, nur mit einer Wellenlänge übertragen, so ist die Faser bezüglich der möglichen aber nicht benutzen Wellenlängen dunkel. Man spricht deshalb von einer „dark fiber“, und drückt damit aus, dass sie noch eine hohe, unausgeschöpfte Übertragungskapazität hat. A7.9 Typisch für Glasfaserstrecken ohne Verstärker sind Segmentlängen von etwa 10 bis 40 km, wie die 1GbE- (1 Gigabit Ethernet) und 10GbE-Systemen mit den Nennbitraten 1 Gbit/s bzw. 10 Gbit/s. Hierzu gehören auch passive optische Netzwerke nach ITU-T Empfehlung, wie das GPON mit der Nennbitrate von 2,5 Gbit/s oder APON und BPON.

Lösungen zu den Aufgaben

363

Lösungen zu Abschnitt 8 Aufgabe 8.1

Entscheidungsgehalt

H0 = ld(8) bit = 3 bit

Entropie

H(X) = 127/64 bit | 2 bit

Redundanz

R | 1 bit

Aufgabe 8.2

a) Entscheidungsgehalt H0 = ld 6 bit | 2,58 bit Entropie

H(X) | 2,36 bit

Redundanz (relative) R | 2,58 bit 2,36 bit = 0,22 bit bzw. r | (12,36/2,58) | 0,085 b) Huffman-Codierung Zeichen

pi

x5

0,30

x6

0,25

x2

0,20

x4

0,12

x1

0,08

x3

0,05

0 1

0,13

0 1

0,45

0 1

0,25

0 1

0,55 0 1

Tabelle Huffman-Code Zeichen xi x5 x6 x2 x4 x1 x3

Wahrscheinlichkeit pi 0,30 0,25 0,20 0,12 0,08 0,05 ¦=1

mittlere Codewortlänge

L | 2,38 bit

Effizienz des Codes

K | 0,99

Codewort 00 10 11 010 0110 0111

Codewortlänge Li in bit 2 2 2 3 4 4

364

Lösungen zu den Aufgaben

c) Codebaum x4 x1

x3

0

x5

0

0 1

1

0

x6

0

1

x2

1

1

Aufgabe 8.3

a) Huffman-Codierung (1) links und (2) rechts i

pi

Codewort Li / bit

i

pi

Codewort Li / bit

1

0,4

00

2

1

0,4

0

1

2

0,2

01

2

2

0,2

10

2

3

0,2

10

2

3

0,2

110

3

4

0,2

11

2

4

0,2

111

4

Obwohl beide Codes die minimale mittlere Wortlänge liefern, ist Code (1) vorzuziehen, da die unterschiedlichen Codewortlängen bei (2) zusätzliche Anforderungen an den Empfänger stellen, wie unterschiedliche Decodierzeiten und zusätzlichen Datenspeicher. Aufgabe 8.4

a) Entscheidungsgehalt H0 = ld(6) bit | 2,58 bit Entropie

H(X) | 2,22 bit

Redundanz

R | 2,58 bit 2,22 bit = 0,36 bit

b) Huffman-Codierung Zeichen

pi

x1

0,40

x2

0,20

x3

0,20

x4

0,10

x5

0,05 0 0,10 1

x6

0,05 1

0 1

0

0,40 0 1

0,20

0,60

0 1

Lösungen zu den Aufgaben

365

Tabelle Huffman-Code Zeichen xi x1 x2 x3 x4 x5 x6

Wahrscheinlichkeit pi 0,40 0,20 0,20 0,10 0,05 0,05 Summe = 1

mittlere Codewortlänge

L = 2,3 bit

Effizienz des Codes

K | 0,965

Codewort 10 00 01 110 1110 1111

Codewortlänge Li in bit 2 2 2 3 4 4 0 0

c) Codebaum

1 0

1

x2 x3 x1 0

1

Aufgabe 8.5

0

x5

1

a) ISBN-Code(wort), da ohne Rest durch 11 teilbar 103 + 95 + 82 + 78 + 60 + 53 + 49 + 35 + 21 + 5 = 220 b) 0-07-085971- X 100 + 90 + 87 + 70 + 68 + 55 + 49 + 37 + 21 + ? = 188 + ? = 198 = 18 11 Aufgabe 8.6

a) Generatormatrix

x4

G

§ 1 1 1 1 0 0· ¨ ¸ ¨ 1 1 0 0 1 0¸ ¨0 1 1 0 0 1¸ © ¹

b) Codetabelle und Hamming-Gewichte Nachricht 000 100 010 110 001 101 011 111

Codewort 000 000 111 100 110 010 001 110 011 001 100 101 101 011 010 111

c) minimale Hamming-Distanz dmin = 3

Hamming-Gewicht 0 4 3 3 3 3 4 4

1

x6

366

Lösungen zu den Aufgaben

d) Syndromdecodierung mit Prüfmatrix Da das Syndrom gleich der 4. Spalte der Prüfmatrix ist, wird unter der Annahme, dass ein Einfachfehler vorliegt, die 4. Komponente des Empfangswortes korrigiert und die Nachricht u = (0 1 0) detektiert.

s

r : HT

§1 ¨ ¨0 ¨0 1 1 0 1 1 0 : ¨ ¨1 ¨1 ¨¨ ©0

0 0· ¸ 1 0¸ 0 1¸ ¸ 1 1¸ 1 0¸ ¸ 1 1 ¸¹

1

1 1

Aufgabe 8.7 a) Ein fehlerfreies Datenwort liegt vor, wenn kein Bit im Wort gestört ist

P0 = (1 Pe)8 b) Ein erkennbarer Wortfehler tritt auf, wenn die Zahl der gestörten Bits im Wort ungerade ist. Dabei sind alle möglichen Fehlermuster (Kombinationen) zu berücksichtigen. Pw,erk

§8· §8· 7 5 3 3 §8· 5 §8· 7 ¨ 1 ¸ 1 Pe Pe ¨ 3 ¸ 1 Pe Pe ¨ 5 ¸ 1 Pe Pe ¨ 7 ¸ 1 Pe Pe © ¹ © ¹ © ¹ © ¹

c) Ein nicht erkennbarer Wortfehler tritt auf, wenn die Zahl der gestörten Bits im Wort gerade ist. Dabei sind alle möglichen Fehlermuster (Kombinationen) zu berücksichtigen. Pw,unerk

§8· 6 4 2 2 §8· 4 §8· 6 8 ¨ 2 ¸ 1 Pe Pe ¨ 4 ¸ 1 Pe Pe ¨ 6 ¸ 1 Pe Pe Pe © ¹ © ¹ © ¹

d) Für hinreichend kleine Bitfehlerwahrscheinlichkeit (Pe<<1) gilt näherungsweise

Pw,erk | 8Pe und Pw,unerk | 28Pe2 sodass sich die folgenden Zahlenwerte ergeben

Pe P0 Pw,erk Pw,unerk

103 0,992 | 8103 | 2,8105

106 0,999 992 | 8106 | 2,81011

Aufgabe 8.8 a) Wahrscheinlichkeit für eine fehlerfreie Übertragung

P0 = (1 Pe)7 | 0,999 993 mit Pe = 106 b) Restfehlerwahrscheinlichkeit

PR | (2k 1)Pe3 = 1,51017

109 0,999 999 992 | 8109 | 2,81017

Lösungen zu den Aufgaben

367

c) Effektive mittlere uncodierte (Netto-)Bitrate

Rb,eff

k 4 0,999993 16 kbit/s P0 Rb | | 9,14 kbit/s n 7

Aufgabe 8.9

Vorteile

Die Huffman-Codierung liefert einen optimalen präfixfreien Code im Sinne der redundanzmindernden Codierung.

Nachteile

Unterschiedliche Codewortlängen führen zu ungleichmäßigen Bitraten und Decodierverzögerungen; erhöhte Fehleranfälligkeit der codierten Nachricht; Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsverteilung der zu codierenden Zeichen erforderlich.

Aufgabe 8.10

Die Restfehlerwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, mit der ein gestörtes Empfangswort nicht als gestört erkannt wird. Restfehler entstehen bei der Syndrom-Decodierung, wenn das gestörte Empfangswort ein Codewort ist, da die Syndrom-Decodierung nur prüft ob ein Codewort empfangen wurde oder nicht. Aufgabe 8.11

CRC-Codes sind lineare (n,k)-Blockcodes, die durch Erweiterung von zyklische HammingCodes mit dem Faktor 1+X im Generatorpolynom entstehen. Sie zeichnen sich durch relativ einfache Codier- und Decodierschaltungen mit rückgekoppelten Schieberegistern und besonders vorteilhaften Fehlererkennungseigenschaften aus. Sie eignen sich für die Übertragung mit Datenrahmen und Fehlererkennung mit Wiederholungsanforderung. Aufgabe 8.12

Üblicherweise werden in der Datenübertragung systematische Codes mit Prüfsummen eingesetzt, sodass im Empfänger zu der erhaltenen Nachricht die Prüfsumme berechnet werden kann. Stimmen die berechnete Prüfsumme und die empfangene Prüfsumme nicht überein, wird ein Fehler erkannt. Weil nur der Empfang eines Codeworts geprüft wird, nicht aber, ob ein gesendetes Codewort bei der Übertragung in ein anders als Empfangswort verfälscht wurde, ist ein Restfehler nicht ausgeschlossen. Aufgabe 8.13

a) n = 27 1 = 127, k = 127 8 = 119, in der ATM-Zelle tatsächlich benützt werden 4 Oktette, also 32 Bits. b) Die Fehlerwahrscheinlichkeit, insbesondere auch die Restfehlerwahrscheinlichkeit nimmt bei Codeverkürzung ab, da bei weniger Bits die Fehlermöglichkeiten in Empfangswort entsprechend abnehmen. c) b(X) = [X 8 (1 + X 2)] mod g(X) = X 4 + X 3 v(X) = X 8 (1 + X 2) + X 4 + X 3 = X 3 + X 4 + X 8 + X 10

368

Lösungen zu den Aufgaben

v = (0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 … 0) Codewort

d) Das Empfangspolynom, r(X) = X 2 + X 3 + X 7, ist vom Grad kleiner als das Generatorpolynom, d. h. grad r(X) = 7 < 8 = grad g(X). Somit ist das Empfangspolynom gleich dem Divisionsrest, also dem Syndrom s(X) = X 2 + X 3 + X 7 z 0. Da das Syndrom ungleich null ist, wird ein Fehler erkannt.

Lösungen zu Abschnitt 9 A9.1 Zugangsberechtigung durch die Teilnehmeridentifizierung (SIM-Card), Vertraulichkeit durch die Verschlüsselung und Anonymität durch die temporäre Teilnehmerkennung. A9.2 Unter Teilnehmermobilität versteht man die Möglichkeit der Teilnehmer überall im Mobilfunknetz die gebuchten Dienste in Anspruch nehmen zu können, wie z. B. Roaming in ausländischen Netzen. Die Gerätemobilität betrifft die Bewegung der Geräte im Netz, wie z. B. den Funkzellenwechsel während eines bestehenden Gesprächs.

Die Mobilität der Teilnehmer und Endgeräte wird in GSM durch Datenbanken (HLR/ VLR/ EIR) und Sicherheitseinrichtungen (AUC) unterstützt, die aktuelle Informationen über den Zugang, die gebuchten Dienste und den Aufenthaltsort enthalten. A9.3 Frequenz- und Zeitmultiplex, FDMA bzw. TDMA. Die Frequenzkanäle haben die Bandbreite 200 kHz. Im Frequenzkanal sind bis zu 8 (FR) bzw. 16 (HR) Gesprächskanäle möglich. A9.4 Das GSM-Funknetz besteht aus Funkzellen. Benachbarte Funkzellen unterscheiden sich in den verwendeten Frequenzbändern, um Gleichkanalstörungen zu vermeiden. Bei genügendem Abstand der Funkzellen können die Frequenzbänder wiederholt werden, um die Kapazität des Funknetzes zu vergrößern. A9.5 Antennen-Diversität, Diskontinuierliche (Sprach-)Übertragung, Frequenzspringen, Handover, Interleaving (Bitverschachtelung), Leistungsregelung, (Kanal-)Entzerrung (Kanalschätzung mit Trainingsfolge), ungleichmäßiger Fehlerschutz durch Codierung. A9.6 General Packet Radio Service. Paketübertragung mit Dienstmerkmalen (Dienstgüte, Verlässlichkeitsklassen). A9.7 Enhanced Data Rates for GSM Evolution. EDGE soll eine im Vergleich zu GPRS höherer Datenrate ermöglichen. Hierfür ist ein Umschalten des Modulationsverfahrens auf 8-PSK bei ausreichender Signalqualität (LQC) und des Codierungsschemas (ECS) auf eine größere Coderate (geringerer Fehlerschutz) vorgesehen. A9.8 Universal Mobile Telecommunication System. Im FDD-Modus wird durch einen Spreizcode das ursprüngliche Frequenzband für die Funkübertragung aufgeweitet (Code Division Multiple Access, CDMA). Durch die im Vergleich zu GSM (200 kHz) größere Bandbreite (5 MHz) wird die Mobilfunkübertragung robuster. Darüber hinaus lassen sich mit unterschiedlichen Spreizfaktoren Dienste unterschiedlicher Bitraten/ Dienstmerkmalen relativ einfach realisieren. A9.9 Der Nah-Fern-Effekt beschreibt die Tatsache, dass an der Basisstation (Node B) die Signale der Mobilstationen (UE) aufgrund der unterschiedlichen Funkfelddämpfungen mit verschiedenen Leistungspegeln empfangen werden. Leistungsstarke Signale über-

Lösungen zu den Aufgaben

369

decken leistungsschwache, sodass letztere nicht mehr ausreichend detektiert werden können. Eine schnelle Leistungsregelung hilft, den Nah-Fern-Effekt abzumildern. A9.10 Die zellulare Funkkapazität ist eine Maßzahl, die angibt, wie oft ein Dienst (i. d. R. die Sprachtelefonie) in einer Funkzelle unabhängig angeboten werden kann. Bei UMTS (CDMA) wird die Funkkapazität durch interferierende Funksignale (Vielfachzugriffsinterferenz) begrenzt. A9.11 High-Speed Downlink Packet Access. Ein Datendienst zur Paketübertragung bei UMTS mit WCDMA. A9.12 Die Steuerung des Datenflusses von HSDPA berücksichtigt insbesondere die Kanalqualität (CQI) zur UE und den Füllstand des zugehörigen Datenspeichers im Node B. Große Kanalqualität und hoher Füllstand erhöhen die Wahrscheinlichkeit für eine Übertragung. A9.13 Beim Hidden Station Problem treten bei der Station B Kollisionen auf, da die für den Sender A verborgene Station C ebenfalls an B sendet. Wegen der notwendigen Übertragungswiederholung sinkt der Durchsatz.

Beim Exposed Station Problem sendet die Station A nicht an B, da A von C ein Signal beobachtet, das aber B nicht stören würde. Wegen der unterlassenen Übertragung sinkt der Durchsatz. A9.14 Durch die Methode der virtuellen Reservierung. A9.15 Orthogonal Frequency Division Multiplexing, einem speziellen Mehrträger-Übertragungsverfahren. Aufgabe 9.16

a) Der Modulator für die OFDM-Übertragung entspricht einem QAM-Modulator mit speziell geformten Signalen für die Normal- und Quadraturzweige, also einer speziellen Form der QAM. Betrachtet man das Sendesignal genauer, so liegt eine Multiplexübertragung vor. Die Nachricht wird auf viele Unterträger verteilt. b) Bei der OFDM-Übertragung stehen die Symboldauer T und der Frequenzabstand der Unterträger F im reziproken Zusammenhang, T F = 1. c) Die theoretische Übertragungskapazität (Datendurchsatz) wird dadurch verringert, dass in den Anwendungen die Symbole während eines gewissen Schutzintervalls periodisch fortgesetzt werden. Also das Übertragungsmedium während des Schutzintervalls nicht für die Datenübertragung zur Verfügung steht. d) Ein wichtiges Anwendungsgebiet ist die Datenübertragung in lokalen Funknetzen (WLAN) nach dem IEEE-802.11a- und HIPERLAN/2-Empfehlungen. Weitere wichtige Anwendungsgebiete sind PowerLine, DSL, WiMAX, DVB-T, IEEE 802.11n. Aufgabe 9.17

a) Bei der CDMA-Übertragung handelt es sich um eine Spreizbandtechnik, da die Bandbreite des CDMA-Signals im Vergleich zur Bandbreite des originären Nachrichtensignals stark aufgeweitet ist. b) Siehe Bild 9-26. c) Der Spreizfaktor ist Gp = Tb /Tc = 3,84106 / 60103 = 64.

370

Lösungen zu den Aufgaben

d) Siehe Bild 9-27. e) Der Prozessgewinn (Processing Gain, Gp) gibt den Vorteil im SNR durch die Spreizung an, der sich gegenüber einem schmalbandigen Störsignal ergibt, siehe Bild 9-27. Aufgabe 9.18

a) Bei HT-OFDM wird die Zahl der Unterträger für die Datenübertragung von 48 auf 52 vergrößert, eine optionale Coderate von 5/6 bei guter Übertragungsqualität eingesetzt und, falls keine darüber hinausgehende Signalechos vorhanden sind, das Schutzintervall auf 400 ns halbiert. Die drei Maßnahmen erhöhen die Datenrate von maximal 54 Mbit/s auf maximal 72,2 Mbit/s. Anmerkung: Es wurde auch das MAC-Protokoll verbessert.

b) Multiple Input Multiple Output, siehe Mehrantennen-Systeme. c) Durch Zusammenfassen von zwei Frequenzkanälen kann die maximale Datenrate auf 150 Mbit/s verdoppelt werden. Wird zusätzlich die Option MIMO mit vier Antennen umgesetzt, so erhöht sich die Datenrate idealerweise auf 600 Mbit/s.

371

Abkürzungen und Formelzeichen Abkürzungen A AAA AAC AAL AB ABR ACK A/D ADSL AGCH AM AMI AMR AND ANSI AP APD ARP ARQ ASCII ASK ATM AUC AWGN

Authentification, authorization and accounting Advanced audio coding ATM adaption layer Access burst Available bit rate Acknowledged Analog/Digital Asynchronous DSL Access grant channel Amplitudenmodulation Alternate mark inversion Adaptive multi-rate Access network domain American National Standards Institute Access point Avalanche photo diode Address resolution protocol Automatic repeat request American Standard Code for Information Interchange Amplitude-shift keying Asynchronous transfer mode Authentification center Additive white gaussian noise

B BCCH BCS BD BFSK BIBO B-ISDM BP BS BSC BSS BTS

Broadcast control channel Block check sequence Blu-ray disc Binary FSK Bounded input bounded output Breitband-ISDN Bandpass Bandsperre Base station controller Basic service set, base station subsystem Base transceiver station

C CBCH CBR CCCH CCH

Cell broadcast channel Constant bit rate Common control channel Control channel

M. Werner, Nachrichtentechnik, DOI 10.1007/978-3-8348-9742-8, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010

372 CCIR CCITT CD CD-DA CDMA CD-ROM CEPT CLP CND CP CQI CRC CS CSD CSMA/CD CSMA/CA CTS CWDM

Abkürzungen und Formelzeichen Comité Consultatif International des Radiocommunication Comité Consultatif International Télégraphique et Téléphonique Compact disc Compact disc digital audio Code division multiple access CD read-only memory Conférence des Administrations Européennes des Postes et Télécommunications Cell loss priority Core network domain Cyclic prefix/ postfix Channel quality information Cyclic redundancy check Coding scheme Circuit switching domain, circuit switched data Carrier sense multiple access / collision detection Carrier sense multiple access / collision avoidance Clear to send Coarse WDM

D dB D/A DAB DBR DCCH DCE DCF DECT DEE DFB DFT DH DIFS DIN DISC DIV DLP DM DMT DNS DQDB 3GGP DSL DSM DSS DTCH DTE DTMF DÜE DVB

Dezibel Digital/Analog Digital audio broadcast Distributed Bragg-reflection (laser) Dedicated control channel Data circuit-terminating equipment Distributed coordination function Digital enhanced cordless telephony Datenendeinrichtung Distributed feedback (laser) Diskrete Fourier-Transformation, Discrete-time Fourier transform Doppel-Heterostruktur(-Laser) DCF inter-frame spacing Deutsches Institut für Normung Disconnect Digitale Vermittlungsstelle Direct link protocol Disconnect mode Discrete multitone Domain name service Distributed queue dual bus 3rd Generation Partnership Project Digital subscriber line Dynamic spectrum management Datenschnittstelle Dedicated traffic channel Data terminal equipment Dual-tone multifrequency Datenübertragungseinrichtung Digital video broadcast

Abkürzungen und Formelzeichen DVD DWDM

Digital versatile disc Dense WDM

E ECS ECSD EDGE EDFA EGPRS E-GSM EIA EIFS EIR EPON ESB ESS ETSI

Enhanced coding scheme Enhanced CSD Enhanced data rates for GSM evolution Erbium dotted fiber amplifier Enhanced GPRS Extended GSM Electronic Industries Alliance Extended inter-frame spacing Equipment identity register Ethernet PON Einseitenband Extended service set European Telecommunication Standards Institute

F FCB FCC FCCH FCS FDD FDDI FFT FLAG FIR FM FP FP FRMR FSK FTP FTTC FTTH

Frequency correction burst Federal Communication Commission Frequency correction channel Frame check sequence Frequency division duplex Fiber distributed data interface Fast Fourier transform Fiber-optic link around the globe Finite impulse response Frequenzmodulation Fixed part Fabry-Pérot (resonator) Frame reject Frequency-shift keying File transfer protocol Fiber to the curb Fiber to the home

G GbE GERAN GFC GGSN GI GI-POF GMM GMSK GPON GPRS GPS GR

Gigabit ethernet GSM/EDGE RAN Generic flow control Gateway GSN Guard interval Graded index POF Global multimedia mobility Gaussian minimum shift keying Gigabit PON General packet radio service Global positioning system GPRS register

373

374 GSM GSN GSS

Abkürzungen und Formelzeichen Global system for mobile communications GPRS support node GPRS switching subsystem

H HE-AAC HEC HP HDBC HDLC HDSL HIPERLAN HLR HSCSD HSDPA HSUPA HT-OFDM HTTP

High efficiency AAC Header error control Hochpass High density bipolar code High-level data link control High bit-rate DSL High performance LAN Home location register High speed circuit switched data High speed downlink packet access High speed uplink packet access High throuput OFDM Hypertext transfer protocol

I IA IAB ICMP IDFT IEC IEEE IETF IFFT IGMP IIR IKT IMEI IMS IMT-2000 IN IP, IPv6 IPSec IR IrDA ISBN ISDN ISI ISM ISO ITG ITK ITU ITU-D/R/T IWMSC

International alphabet Internet Architecture Board Internet control message protocol inverse DFT International Electrotechnical Commission Institute of Electrical and Electronics Engineers Internet Engineering Task Force inverse FFT Internet group management protocol Infinite impulse response Informations- und Kommunikationstechnologie International mobile equipment identity IP multimedia subsystem International Mobile Telecommunication 2000 Intelligentes Netz Internet protocol, IP version 6 IP security Infrarot Infra-red Data Association International standard book number Integrated-services digital network Intersymbol interference Industrial, scientific, medical International Organization for Standardization Informationstechnische Gesellschaft im VDE Informations- und Telekommunikationstechnologie International Telecommunication Union ITU Development/Radio/Telecommunication Sector Interworking MSC

Abkürzungen und Formelzeichen J JPEG

Joint Picture Experts Group

K KW

Kurzwelle

L LAP /B LAPD LAN LED LLC LOS LQC LSB LTI LW LWL

Link access protocol / in balanced mode Link access procedure on D-channel Local area network Light emission diode (Leuchtdiode) Logical link control Line of sight Link quality control Least significant bit Linear time-invariant Langwelle Lichtwellenleiter

M MAC MAN MC-POF MDCT ME MF MIME MIMO MIPS/MIPs MOPS/MOPs MPEG MP3 MS MSC MSK MSI-POF MT MW

Medium access control / multiply and accumulate Metropolitan area network Multi-core POF Modified discrete cosine transform Mobile equipment Matched filter (Matched-Filter) Multi-purpose internet mail extension Multiple input multiple output Mega instructions per second Mega operations per second Moving Picture Experts Group MPEG-1 layer III Mobile station Mobile switching center Minimum shift keying Multimode step index POF Mobile termination Mittelwelle

N NAV nrt NRZ NSP NT NTG NVC

Network allocation vector non-real-time Nonreturn-to-zero Network service protocol Network termination Nachrichtentechnische Gesellschaft, siehe ITG Network voice protocol

O OADM O&M

Optical add-dropp multiplexer Operation and maintenance

375

376 QAM QoS OAM OFA OFDM OLT OMC ONT ONU OOK OSI OTN OXC

Abkürzungen und Formelzeichen Quadraturamplitudenmodulation Quality of service Operation, administration and maintenance Optical fiber amplifier Orthogonal frequency division multiplexing Optical line termination Operation and maintenance center Optical network termination Optical network unit On-off keying Open system interconnection Optical transport network Optical cross-connect

P PAM PAN PA(P)R PCF PCM PD PDA PDCH PDCP PDH PDN PDTCH PDU PIFS PIN PLL PM POF POH PON POT PP PR PRACH PSD PSK PT PTR PUK

Pulsamplitudenmodulation Personal area network Peak-to-average(-power) ratio Point coordination function Pulse-Code-Modulation Phasendiskriminator Personal digital assistant Packet data channel Packet data convergence protocol Plesiochrone digitale hierarchie Packet data network Packet data traffic channel Protocol data unit PCF inter-frame spacing Personal identity number Phase-locked loop, Physical Link Control Phasenmodulation Polymeric optical fiber Path overhead Passive optical network Plain old telephony Portable part Protected Packet random access channel Packet switching domain Phase-shift keying Payload type Pointer Pin unblocking key

Q QPSK QoS

Quaternary PSK Quality of service

Abkürzungen und Formelzeichen R RACH RAN RAND RARP RC REC REJ RFL R-GSM RLC RNC RNR ROM RR RRC rt RTS RZ

Random access channel Radio access network domain Random number Reverse ARP Raised-cosine Rectangular Reject Physical radio frequency layer Railway GSM Radio link control Radio network controller Receive not ready Read only memory Receive ready Radio resource control Real-time Request to send Return-to-zero

S SABM(E) SAP SBR SCB SCH SDH SGSN SHDSL SID SIFS SIG SIP SI-POF SLA SMS SMTP SNR SOA SOH SREJ SRES SS7 STM

Set asynchronous balanced mode (extended) Service access point Spectral band replication Synchronization burst Synchronization channel Synchronous digital hierarchy Serving GSN Symmetric HDSL Silence descriptor Short inter-frame spacing Special Interest Group Session initiation protocol Singlemode step POF Semiconductor laser amplifier Short message service Simple mail transfer protocol S/N-Verhältnis, signal-to-noise ratio Semiconductor optical amplifier Section overhead Selective REJ Signed response Signaling system number 7 SDH transport module

T TA TAT TB TBS

Terminal adapter Transatlantic telephone cable Transport block Transport block set

377

378 TCH TCP TDD TDMA TE TELNET TF TFS TIA/IS-95 TK TKG TMSI TND TP TTI

Abkürzungen und Formelzeichen Traffic channel Transport control protocol Time division duplex Time division multiple access Terminal equipment Telecommunications network protocol Trägerfrequenz/ transport format Transport format set Telecommunication Industry Association interim standard 95 Telekommunikation Telekommunikationsgesetz Temporary mobile subscriber identity Transport network domain Tiefpass Transmission time interval

U UA UACK UART UBR UDP UE UED UKW UMTS UPR USB USF USIM UTRAN UV UWB

Unnumbered acknowledgement Unacknowledged Universal asynchronous receiver/ tTransmitter Unspecific bite rate User datagram protocol User equipment User equipment domain Ultra-Kurzwelle Universal mobile telecommunication system Unprotected Universal serial bus Uplink state flag UMTS SIM UMTS terrestrial radio access network Ultraviolett Ultra-wide band

V VAD VBR VCI VCN VCO VCSE VDE VDSL VLR VoIP VPI

Voice activity detection Variable bit rate Virtual channel identifier Virtual-circuit number Voltage controlled oscillator Vertical cavity surface emitting (laser) Verband der Elektrotechnik, Elektronik und Informationstechnik Very high-bit-rate Visitor location register Voice over IP Virtual path identifier

W WAP WARC

Wireless application protocol World Administrative Radio Conference

Abkürzungen und Formelzeichen WCDMA WDM WEP WLAN WML WMAN WPAN WWW

379

Wideband CDMA Wavelength division multiplexing Wired equivalent privacy Wireless LAN Wireless markup language Wireless metropolitan area network Wireless personal area network World wide web

Z ZSB

Zweiseitenband

Formelzeichen Parameter und Konstanten

D GD, GS 'F

K O W Z : ak, bk, ck, Ck c dmin f fA fD, fS f3dB fg fN fT h j n n p r s s t u, v w AN B BC BN

Dämpfung (attenuation) Durchlass-/Sperrtoleranz (pass-band/stop-band tolerance) Frequenzhub der FM-Modulation (frequency deviation) Modulationsindex der FM-Modulation (modulation index) Wellenlänge (wavelength) Zeitkonstante (time constant) Kreisfrequenz (radian frequency) Normierte Kreisfrequenz (normalized radian frequency) Fourierkoeffizienten (Fourier coefficients) Lichtgeschwindigkeit, in Vakuum/Luft c0 | 2,9979108 m/s (speed of light propagation) Minimale Hamming-Distanz (minimum Hamming distance) Frequenz (frequency) Abtastfrequenz (sampling frequency) Durchlass-/Sperrfrequenz (pass-band/stop-band corner/critical frequency) 3dB-Frequenz (3dB-frequency) Grenzfrequenz (corner/critical frequency) Nyquist-Frequenz (Nyquist frequency) Trägerfrequenz (carrier frequency) Plancksche Konstante, h | 6,62561034 Ws2 (Planck’s constant) Imaginäre Einheit, j2 = 1 (imaginary number/unit) Brechzahl (refractive index) Normierte Zeitvariable (normalized time) Zeichenwahrscheinlichkeit (probability of symbol/letter) Empfangsvektor/-wort, (received sequence) Komplexe Frequenz, s = V + j Z (complex frequency) Syndrom (syndrome) Zeitvariable (time variable) Nachrichtenvektor/-wort, Code- (information sequence, code sequence/word) Wortlänge, in bit (wordlength) Numerische Apertur (numerical aperture) Bandbreite (bandwidth) Carson-Bandbreite (Carson’s bandwidth) Nyquist-Bandbreite (Nyquist’s bandwidth)

380 C C D E F G, HT H0 Kmax L N P Pb PR Q R R Rb S SNR T TA Tb, Tc

Abkürzungen und Formelzeichen Kapazität (capacity, capacitance; capacitor (Kondensator)) Kanalkapazität (channel capacity) (Shannon) Durchsatz (throughput) Energie (energy) Frequenzabstand der Unterträger (sub-carrier spacing) Generatormatrix, Prüfmatrix (generator matrix, parity-check matrix) Entscheidungsgehalt einer Informationsquelle Zellulare Radiokapazität (cellular radio capacity) Induktivität (inductivity, inductance; inductor, coil (Spule)) Störsignalleistung (signal power) Leistung (power) Bitfehlerwahrscheinlichkeit (bit error probability (rate)) Restfehlerwahrscheinlichkeit (residual error probability, error probability of the decoder) Quantisierungsintervallbreite (quantization step) Widerstand (resistance; resistor (als Bauteil)) Redundanz einer Informationsquelle Bitrate (bit rate) Signalleistung (signal power) S/N-Verhältnis (signal-to-noise ratio) Zeitintervall, Zeitdauer (time interval) Abtastintervall (sampling interval) Bitdauer, Chipdauer (bit interval, chip interval)

Funktione , Signale und Operatoren

G(t) a(Z)

Impulsfunktion, Dirac-Impuls (Stoß) (impulse function, delta function) Dämpfungsfrequenzgang bn Bitstrom DFT{.}, DFT1{.} Diskrete Fouriertransformation (DFT), inverse DFT erfc(.) Komplementäre Fehlerfunktion (complementary error function) * Faltung (convolution) F{.}, F1{.} Fouriertransformation, inverse Fouriertransformation f(x) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (probability density function) g(X) Generatorpolynom (generator polynomial) h(t), h[n] Impulsantwort (impulse response) si(.) si-Funktion, sin(x)/x u(t),x(t), y(t) Zeikontinuierliches Signal (continuous-time signal) x[n], y[n] Zeitdiskretes Signal, Folge (discrete-time signal, sequence) H(s), H(z) Übertragungsfunktion (transfer function) H(jZ), H(ej:) Frequenzgang (frequency response) |H(jZ)|, |H(ej:)| Betragsfrequenzgang (frequency response magnitude) H(X) Entropie der Quelle X (entropy) Hb(p) Entropie der Binärquelle mit Zeichenwahrscheinlichkeiten p und 1p I(.) Informationsgehalt eines Zeichens (self-information) P(.) Wahrscheinlichkeit (probability) S(Z) Leistungsdichtespektrum (power density spectrum) Fouriertransformierte (Spektrum) eines zeitkontinuierlichen Signals x(t) X(jZ) X(ej:) Fouriertransformierte (Spektrum) eines zeitdiskreten Signals x[n] X[k] DFT-Koeffizfienten (DFT-Spektrum) der Folge x[n]

381

Literaturverzeichnis [Ahl08] [Asc87]

[Beh08] [BeSt02] [BGT04] [BeZs02]

[BlMa08] [Bör66]

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Sachwortverzeichnis A AAA-Architektur 214 AAC-Codec-Familie 108 Abramson-Code 270 Abtast folge 16 frequenz 77 intervall 16, 77 theorem 77 Abtastung 76, 159 Absorption 229 Access burst/ grant channel 299 Access network domain 315 Accessibility 6 Access point 337 8-PSK-Modulation 139, 311 Acknowledgement 336 Ad-hoc connectivity 331 Admittanz 25 Adressfeld 198 Advanced audio coding (AAC) 103 A-Kennlinie 86 Akzeptanzwinkel 220 Alphabet 251 AMI-Code (alternate mark inversion) 161 American standard code for information interchange (ASCII) 151 Amplitudenmodulation (AM) 111, 117 Amplitudenspektrum 35 Amplitudentastung (ASK) 131, 221, 231 Amplitude-shift keying (ASK) 131 Analog-Digital (A/D) 78 Analoges Signal 17 Analyse durch Synthese 105 Anonymität 286 Anwendungsschicht 195 Anycast-Adresse 212 Asymetric digital subscriber line (ADSL, ADSL2+) 181, 183 Asynchronous transfer mode (ATM) 202 Asynchronübertragung 153 ATM cross-connect 204 ATM-Zelle 203 Atomisierung 202 Augendiagramm/-öffnung 167, 168

Audiocodierung 103 Ausblendeigenschaft 61 Außerbandstrahlung 145 Äußerer Regelkreis 323 Authentification center 287 Authentication header 211 Available bit rate (ABR) 205 AWGN-Kanal 163 B Bandaufweitung 127 Bandbreite 36, 57, 222, 319

Bandbreitenlängenprodukt 222, 223 Bandpass 42 Bandpass-Spektrum 57 Bandsperre 42 Base station controller (BSC)/ transceiver station (BTS) 287 Basic service set 337 Basisbandsignal 131 Basisband 151 BCD-Code (binary coded decimals) 80 Besetzungsinversion 229 Besselfunktion 125 Best effort, 305 Betragsfrequenzgang 38 BIBO-Stabiliät 67 Binäre Frequenzumtastung (BFSK) 131 Binärer Leitungscode 160 Binäres Signal 17 Binärquelle 157, 244 Biphase-Code 161 Bipolares Signal 158 Bit 157 bit 243 Bitdauer/-intervall 131, 158 Bitfolge 77, 158 Bit error rate (BER) 151 Bitfehler/-wahrscheinlichkeit 164, 169 BITKOM 7 Bitrate 155, 158 Bitübertragungsschicht 196 Bluetooth 276 SIG 333 BIBO-Stabilität (bounded input bounded output) 67

M. Werner, Nachrichtentechnik, DOI 10.1007/978-3-8348-9742-8, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010

390 Brechungsgesetz 219 Brechzahlen 219 Breitband ISDN (B-ISDN) 202 Broadcast control channel 297 Butterworth-Tiefpass 42 C Carrier sense multiple access/ collision detection (CSMA/CD) 207, 332 Carson-Bandbreite 126 Cauer-Tiefpass 43, 101 Cell broadcast channel 297 Cell loss priority (CLP) 203 Challenge-response-Verfahren 301 Channel quality information (CQI) 330 Chebyshev-Tiefpass 43 Chip/-dauer/-rate 317, 320 chromatische Dispersion 226 C/I-Verhältnis 323 Clear channel assessment 335 Cluster 291 Coarse WDM 237 Code 251 baum 249 multiplex 12 nummer 79 rate 256 tabelle 77, 80, 254 wort 250, 254 Code division multiple access (CDMA) 319 Codierung mit Gedächtnis 162 Codierungsgewinn 266 Coding scheme (CS) 308 Combiner 319 Comfort noise 295 Confirm 196 Constant bit rate (CBR) 204 Control channel 297 Core network/ domain 315 CTS-Rahmen (clear to send) 336 Cyclic prefix 147 Cyclic redundancy check code (CRC-Code) 106, 199, 268, 295 D Dämpfung 225 sfrequenzgang 38 sverzerrung 55 Darstellungsschicht 195 Datagramm 192, 203 Daten endeinrichtung 153 kompression 103 schnittstelle 153

Sachwortverzeichnis sicherungsschicht 195 übertragungseinrichtung 153 DCS 1800 292 Dedicated control channel 299 Deemphase 53, 130 D1/D2-Netz 289 Demodulator 114 Dense WDM (DWDM) 238 Destination options header 211 Detektion 159 Detektions grundimpuls 173 variable 159 vektor 136 deterministisches Signal 19 Dezibel 38 DFT-Koeffizient 92, 143 DFT-Spektrum 92 Dienst 10, 12, 191, 286 element 193, 196 güte 192, 305 merkmal 12 Dienstemodell 314 Differenzialgleichung (lineare) 24 Differenziator 128 Differenzielle PSK (DPSK) 139 Digitale Quadaraturamplitudenmodulation 135 Digitale Übertragung 131, 151 Digitalisierung 76 Digital-Analog(D/A)-Umsetzer 78 Digitale Signalverarbeitung (DSV) 5, 13, 89 Digitales Signal 17 DIN 66003 152 Dirichlet-Bedingungen 27 Disconnect/ Mode 200 Diskontinuierliche Übertragung 295 Diskrete Fouriertransformation (DFT) 90, 92, 95 Dispersionsgeglättete/-verschobe Faser 226 Dispersionskoeffizient 227 Distributed queue dual bus (DQDB) 207 Domäne 315 Downlink 299 3dB-Bandbreite/-Grenzfrequenz 40, 57 13-Segment-Kennlinie 86 Dringlichkeitsklasse 305 Duplexübertragung 153 Durchlassfrequenz 41 Durchlasstoleranz 41 Durchsatz 147, 277, 305 Dynamik 84 Dynamische Kanalzuteilung 307 E Echtzeit 204, 306

Sachwortverzeichnis EDFA-Verstärker 235 Effektive Wortlänge 87 Effizienz 155, 248 EIA-232-F 154 Eindringtiefe 225 Eingangs-Ausgangsgleichung 44, 52, 65, 66 Einhüllende 18 Einmodenfasern 223 Einseitenbandmodulation 122 Elektromagnetische Verträglichkeit 286 Electronic Industries Alliance (EIA) 154 Emission 229 Empfänger 159 Empfangsnummer 199 Empfangswort 255 Empfindlichkeit 233 Encapsulation security payload header 211 Encoder 77, 254, 256 End-around-Fehlerbündel 271 Energie 20 Energiedichte 51 Energiesignal 21 Enhanced coding scheme 312 Enhanced data rates for GSM evolution (EDGE) 140, 284, 311 Enhanced full rate codec 284 Entropie 3 Entropiecodierung 246 Entscheidungsgebiet 136 Entscheidungsgehalt 245 Equipment identification register (EIR) 287 Equiripple-Verhalten 102 E-Plus-Netz 288 Erbium-Verstärker 235 Error concealment 296 Error vector magnitude (EVM) 136 Ersatzspannungsquellen 32 1. Nyquist-Kriterium 176 Erweiterungskopffelder 210 Ethernet 207, 238 Euklidischen Divisionsalgorithmus 272 European Telecommunications Standards Institute (ETSI) 284 Expander 85 Exponentielle 18 Exposed-station-Problem 335 Extended 200 Extended service set 337 Extension header 210 F Fabry-Pérot(FP)-Resonator 229 Faltung 65 Faltungscode 295

391 Faserverstärker 235 Fast fourier transform (FFT) 106, 183 Fiber distributed data interface (FDDI) 208 Fehler bündel 268 korrekturvermögen 263 prüfung 268 signal 82 vektor 136 Fernsehrundfunk 3 Fiber-optic link around the globe (FLAG) 3 Fiber-to-the (FTTx) 240 Filter 40 Filterentwurf 41 Filterung 52 Final-Bit 199 FIR-Filter (finite impulse response) 97 Flag 198 FM-Schwelle 127 Fourier koeffizient 28 paar 49 reihe 27, 44, 91 summe 91 transformation 49 Fragment header 211 Frame check sequence (FCS) 199, 268, 306 Frame reject (FR) 200 Frequency-shift keying (FSK) 131 Frequenz bänder 112 bereich 51 gang 38, 61, 98 hub 123 komponente 35 modulation 113, 123 multiplex 12, 121, 141 umtastung (FSK) 131 kanal 289 planung 291 sprungverfahren 295 Frequency correction burst 297 Funkzugangsnetz 315 G Gallium-Arsenid (GaAs) 231 Gateway GPRS support node (GGSN) 310 Gateway-MSC (GMSC) 287 Gaussian minimum shift keying (GMSK) 299 gaußsche Glockenkurve 163 gedächtnislosen Kanal 163 gibbsche Phänomen 30, 46

392 General packet radio service (GPRS) 282, 284, 304 Generatormatrix 256 Generatorpolynom 270 Gerätekennung 286 Gewichtsverteilung 264 Gigabit Ethernet (GbE) 238 Gleichanteil 28 Gleichfömige Quantisierung 79 Gleichkanalstörung 293, 294 Gleichstromfrei 158 Global system for mobile communications (GSM) 282 GPRS switching subsystem 309 GPRS suport node (GSN) 309 Gradientenindexfaser 223 granulares Rauschen 81 Gray-Code 134 Grenzwellenlänge 223 Grenzwinkel 219 Grundkreisfrequenz/-schwingung 28 Gruppenlaufzeit 56 GSM/EDGE radio access network (GERAN) 315 Guard interval 146 H Halbduplexübertragung 153 Halbleiterdiodenlasers 230 Halbleiterverstärker 234 Hamming -Abstand 262 -Code 255, 267 -Gewichtes 262 -Grenze 264 Harmonische 28 Harmonische Analyse 27, 92 Harmonische Form 28 Harte Umtastung 133 Header 198 Header error control (HEC) 203 High density bipolar code (HDBC) 161 High efficency advanced audio codec (HE-AAC) 107 Hochpass 42 Hop-by-hop header 210 Hop Limit 212 Hörbereich/-schwelle 104 Hörrundfunk 3 Huffman-Codierung 106, 247 Hüllkurvendetektor 119 Handover 286, 294, 325 Hard handover 325 Header compression 328 Hidden-station-Problem 335

Sachwortverzeichnis High-level data link control (HDLC) 197 High speed circuit switched data (HSCSD) 284, 300 High-speed downlink packet access (HSDPA) 329 High-speed uplink packet access (HSUPA) 331 HIPERLAN 333 Home location register (HLR) 287 Home network domain 315 High-throuput OFDM (HT-OFDM) 341 I Idealer Kanal 159 Idealer Tiefpass 41 IEEE-802-Referenzmodell 206 IIR-Filter (infinite impulse response) 97, 100 Impedanz 25 Impuls antwort 61, 98, 172 former 173 funktion 61 verbreiterung 166 Inbandsignalisierung 188 Indication 196 Induktivität 21 Innerer Regelkreis 323 Informatik 7 Information 4 Information frames 199 Informations feld 199 gehalt 243 technik 3, 4 Informationstechnische Gesellschaft im VDE (ITG) 6 inkohärente Demodulation 114, 119 Instanzen 196 Institute for Electrical and Electronics Engineers (IEEE) 331 Intelligentes Netz (IN) 12, 283 Intelligentes Terminal 156 Interferenzbegrenzt 321 Interleaving 296 International mobile station equipment identity (IMEI) 287 International standard book number (ISBN) 251, 253 International Standardization Organization (ISO) 151 International Telecommunication Union (ITU) 4, 151 Internationaler Telegraphenverein 4 Internet protocol (IP) 209 Interpolation 77

Sachwortverzeichnis Intersymbol interference (ISI) 141, 166, 294 Inverse DFT 92, 340 Inverse Fouriertransformation 49 IP multimedia subsystem (IMS) 316 IPv6-Header 210 Irrelevanzreduktion 8, 104 ISDN-Basisanschluss 10 ISM-Bänder 332 K Kanal 159, 191 codierung 254 entzerrung 296 Kapazität 21, 22 Kaskadenform 101 kausales System 67 Kausalität 67 Kehrlage 116 Kernnetz 315 Kernsymbol 146 Kirchhoffsche Knoten- und Maschenregel 23 Klirrfaktor 56 Kohärente Demodulation 114, 119 Kohärente Strahlung 229 Kommunikationssteuerungsschicht 195 Kompandierung 86 Kompatibilität 108 Komplementäre Fehlerfunktion (erfc) 164 Komplexe Form 28 Komplexe Frequenz 18 Komplexe Amplitude 24 Komplexe Wechselstromrechnung 21, 33, 37 Komplexität 158 Kompressionsfaktor 103 Kompressor 85 Kontrast 232 Konventioneller FM-Empfänger 128 Kosinusimpuls 133 Korrelator 318 Korrigierkugel 262 Kreuzsicherung 250 Kupferdoppelader 180 Kurzzeitspektrum 95 L LAPD-Protokoll 198 Laser 229 Least significant bit (LSB) 81 Leistung 20 Leistungs dichtespektrum 51 regelung 294 signal 21 spektrum 35

393 übertragungsfunktion 52 Leitungsvermittlung 191 Leuchtdioden 232 Licht 218 Lichtwellenleiter (LWL) 3, 220, 227 Lineare Differentialgleichung 23, 62 Lineare Verzerrungen 55 Linearer Blockcode 256 Lineares System 66 Lineares zeitinvariantes System (LTI-) 26, 59 Linearität 66 Link access protocol (LAP) 198 Link access protocol in balanced mode (LAPBM) 198 Link quality control 312 Linienspektrum 35, 126 Lochstreifen 250 Logarithmische PCM 86 Logical link control (LLC) 305, 331 Logischer Kanal 193 Lokales Netz (LAN) 205 Longitudinale Moden 230 Luftschnittstelle 289 Lumineszenzdioden 232 M MAC-Befehl 97 Manchester-Code 161 Mapping 135, 146 Maskierungseffekt 104 Master-slave-Konzept 308 Matched-Filter 172, 318 Materialdispersion 226 MATLAB 48, 101 Maximum-likelihood-Detektion (MLD) 173 Medium access control (MAC) 206, 327, 331 Mehrfrequenzwahlverfahren 96 Mehrwegeausbreitung/-empfang 141, 293 Mehrwegediversität 317 Mehrstufige Modulation 134 Mehrträgerverfahren 140, 141, 183 Meldewort 187 MIMO-Übertragung 341 Minimale Hamming-Distanz 263 Minimum-shift keying (MSK) 133 Mischer 117 Mittlere Codewortlänge 248 Mittlerer Durchsatz 307 Mobile equipment (ME) 315 Mobile station (MS) 287 Mobile switching center (MSC) 287 Mobilität 285 Moden 223

394 Modifizierte diskrete Kosinus-Transformation (DCT) 106 Modulations gewinn 127 grad 117 index 123 produkt 115 satz 116 Modulator 113 Modulierndes Signal 115 Modulo-2-Arithmetik 256 Momentankreisfrequenz 123 Mooresches Gesetz 3 Morsealphabet 246 MPEG-1 Layer III 103 M-PSK 139 MSK-Modulation 133 P-Kennlinie 86

Multicast-Adresse 212 Multiplexer 188 Multipath/Multiuser interference 321 N Nachbarsymbolinterferenzen (ISI) 141, 166 Nachlaufsynchronisation 129 Nachmaskierung 105 Nachricht 4 Nachrichten flussdiagramm 200 technik 1, 4 übermittlung 6, 190 übertragung 5, 190 verbindung 191 vermittlung 6, 190 wort 250, 254 zeichen 257 Nah-Fern-Effekt 322 Nennerkoeffizient\-polynom 36 Network allocation vector (NAV) 336 Nichtlinearen Modulation 123 Nichtlineare Verzerrungen 56 Non-real-time variable bit rate (nr-VBR) 204 Normal burst 293 Normalkomponente 120 Normierten Kreisfrequenz 94 Normierte Zeitvariable 16 NRZ-Code (no-return to zero) 160 Nullstelle 37 Numerische Apertur 220 Nutzsignalleistung 165 Nyquist-Bandbreite/Frequenz 174, 175 O Oberschwingung 28

Sachwortverzeichnis Oktett 187 On-off keying (OOK) 131, 160 Operation and maintenance center (OMC) 287 Optimaler Detektionszeitpunkt 167 Optimales Suchfilter 173 Optische Fenster 225 Optische Nachrichtenübertragung 217 Optische Polymerfaser 228 Optischer Träger (OC) 236 Optisches Transportnetz (OTN) 3, 236 Orthogonal frequency division multiplexing (OFDM) 140, 143, 339 Orthogonalität 93, 260 Ortskurve 19 OSI-Referenzmodell 193 P Packet data convergence protocol 327 Paketvermittlung 191 Parallele Übertragung 153 Parametric stereo 107 Paritäts bit 152 code 251 Parsevalsche Formel 51, 172 Parsevalsche Gleichung 29, 126 Passives optisches Netz (PON) 239 Payload type (PT) 203 PCM-30-System 187 PCM-Sprachübertragung (pulse code modulation) 88 PDH-Multiplexhierarchie 187 Peer-to-peer-Protokoll 196 Perfekter Code 263 Periodischer Rechteckimpulszug 18 Periodisches Signal 18 Phasen frequenzgang 38 modulation 113 regelkreis (PLL) 129 umtastung (PSK) 131 verzerrung 55 Phase-locked loop (PLL) 129 Phase-shift keying (PSK) 131, 311 Photonik 216 Physical layer 327 PIN 285 Plesiochrones Multiplexsystem 188 Point coordination function (PCF) 337 Pol 37 Poll-Bit 199 Polynomdarstellung 269 Port 209

Sachwortverzeichnis Preemphase 53, 130 Primärmultiplexsignal 187 Protokoll 12, 193 datenelement (PDU) 196 Prozessgewinn 320 Präfixcode 246 Prüfgleichungen/-zeichen 257 Prüfmatrix 258 Pseudoternären Code 161 Psychoakustisches Modell 105 Pulsamplitudenmodulation (PAM) 134, 179 Pulsdauer 18 Pulse-Code-Modulation (PCM) 76 Pumpstrahlung 235 Q Quadaraturamplitudenmodulation (QAM) 120 Quadraturkomponenten 120 Quadraturmischer 135 Quality of service (QoS) 10 Quantisierung 76 Quantisierungs bereich/sintervall 79 geräusch 82 kennlinie 76, 80 Quelle 157, 242 Quellencodierungstheorem 248 R Radio access network 315 bearer 328 block 308 link control (RLC) 306, 327 network controller (RNC) 323 network subsystem 316 resource control 329 Radix-2-FFT 96 Rahmen kennungswort 187, 198 prüfsumme 197 Raised-cosine-Spektrum 176 RAKE-Empfänger 317 Random access channel (RACH) 299 Raummultiplex-Verfahren 341 Rauschsignal 168 leistung 165 RC-Glied 31, 36, 37, 39, 40, 45 RC-Hochpass 45 RC-Tiefpass 46, 62, 69 Real-time variable bit rate (rt-VBR) 204 Receive ready (RR)/ not ready (RNR) 200 Rechteckimpuls 18, 50, 58, 69, 132, 158, 174

395 Rechteckimpulszug 29, 31, 36, 45, 46 Redundante Codierung 256 Redundanz 8, 245 Redundanzmindernde Codierung 246 Restfehler 250, 255, 268 Restfehlerwahrscheinlichkeit 264 Regellage 116 Reihenschwingkreises 22 Reject (REJ) 200 Repräsentant 79 Request 196 Response 196 Restfehler 261, 268 wahrscheinlichkeit 264 RLC-Netzwerk 21, 26 RLP-Protokoll 198 Roaming 286 Roll-off-Faktor 177 Root-RC-Impuls 178 Round-trip delay 329 Routing header 211 Routing-Tabelle 192 RS-232-Schnittstelle 154 RTS-Rahmen (request to send) 336 RZ-Code (return to zero) 160 S Sättigung/-skennlinie 81 Schieberegister 273 Schnelle Fouriertransformation (FFT) 90, 96 Schnittstelle 11 Schrittgeschwindigkeit 155 Schutzintervall 146 Schwellwertentscheidung 159 Scrambler 161 Seamless handover 294 6dB-pro-Bit-Regel 83 16-QAM 135 Seitenband 116 Selective reject (SREJ) 200 Sendegrundimpulse 132, 158 Sendeimpulsmaske 145, 158 Sendenummer 199 Sender 158 Serieller Übertragung 153 Service access point (SAP) 209 Serving GPRS support node (SGSN) 310 Serving network domain 315 Set asynchronous balanced mode (SABM) 200 Shannonsches Kommunikationsmodell 7 Shannonsche Funktion 244 Shannonsche Kanalkapazität 179 Short message service (SMS) 284 Sicherheit 6

396 Sicherheitsmerkmale 286 Siebschaltung 40 si-Funktion 30, 50 si-Interpolation 78 Signal 5, 15 raumkonstellation 135 rückführung 100 vektor 136 verzögerung 55 Signal-Quantisierungsgeräusch-Verhältnis (SNR) 82 Signal-to-noise-Ratio (SNR) 82, 127, 165 si-Impuls 176 SIM-Card 285 Simplexübertragung 153 Simulation 96 Sinusförmiger Träger 113 Skalierbarkeit 108 Slow frequency hopping (SFH) 295 Socket 210 Soft/er handover 325, 326 Spannungsgesteuerten Oszillator (VCO) 129 Spectral band replication (SBR) 103, 107 Spektralanalyse 90 Spektrale Auflösung 95 Spektrale Effizienz 132, 158, 289 Spektrum 35, 49 Spektrum der Abtastfolge 94 Sperrfrequenz/-toleranz 41 Spitzenwertreduktion 147 Splitter 181 Spreiz bandtechnik 317, 319 code 317 faktor 320 Spurious emissions 145 Start-stop-Verfahren 153 Stealing flag 293 Steuerfeld 198 Stevenssche Potenzfunktion 85 Stimulierte Emission 229 STM-1 Transport-Modul 189 Stochastisches Signal 19 Stufenindexfaser 220 Superpositionsprinzip 26 Supervisory frame 199 Symbol 134 dauer/rate 155 Synchrone digitale Hierarchie (SDH) 189, 190, 236 Synchronisation 159 Synchronisationsfehler 168 Synchronization burst 299 Synchronization channel 299

Sachwortverzeichnis Synchronübertragung 153 Syndrom 258, 272 decodierung 258 register 274 Systematischer Code 257 Systematischer CRC-Code 272 System/-theorie 15 S/N-Verhältnis (SNR) 82, 127, 165 T Taktgehalt 158 Taktintervall 155 Tastverhältnis 18, 36 Transatlantic telefon cable (TAT) 3 TCP/IP-Protokollfamilie 208 Technik 1 Teilnehmer anschluss 181 identifizierung 301 Telefon 2 Telegrafie 2 Telekommunikation (TK) 6 sgesetz (TKG) 12 snetz (TKN) 6, 10, 190 Temporary mobile subscriber identity (TMSI) 303 Ternärer Leitungscode 161 3rd Generation Partnership Project (3GGP) 313 Tiefpass 40 -Spektrum 57 -Kanal 166 Time division multiple access (TDMA) 290 Token bus/ ring 207 Toleranzschema 41 Totalreflexion 219 Traffic channel 297 Träger 113, 115 Trägerfrequenzsysteme /-technik 121, 122 Trägerkreisfrequenz 113, 115 Trägermodulation 113 Trailer 198 Transmission time interval 328 Transmitter spectral mask 145 Transportblock 328 Transport control protocol (TCP) 209 Transport network domain 315 Transportschicht 195 Trigonometrische Form 27 TriplePlay 183 U Übermittlung 12 Übermodulation 118 Übersteuerung 81

Sachwortverzeichnis

397

Übertragungsfunktion 36 Übertragungsrate 155 UKW-Rundfunk 53, 128 UMTS terrestrial radio access network (UTRAN) 315 Ungleichmäßige Kanalcodierung 295 Unicast-Adresse 212 Universal asynchronous receiver/transmitter (UART) 156 Universal Mobile Telcommunication System (UMTS) 282, 284, 313 Universal seriell bus (USB) 156 Unnumbered acknowledgement 200 Unnumbered frames 199 Unspecific bit rate 204 Unterträgerabstand 340 Untersteuerung 81 Uplink 299 User equipment domain 315

Weiche Umtastung 133 Weißes Spektrum 61 Wellenlängenmultiplex 12, 237 Wellenleiterdispersion 226 Wertdiskretes/-wertkontinuierliches Signal 17 Widerstand 21 Wiener-Filter 173 Winkelmodulation 114 Wireless application protocol (WAP) 287 local area network (WLAN) 208,283, 331 markup language 287 metropolitan area network (WMAN) 208,332 personal area network (WPAN) 208, 332 Wortlänge 79

V

Z

Verbindungslos/-orientiert 191 Verkehrs lenkung 11 parameter 205 vertrag 203, 204 Verlässlichkeitsklasse 305 verlustbehaftete/ -lose Codierung 8, 104 Vermittlungsschicht 195 Vermittlungssystem 3 Verschlüsselung 302 Vertraulichkeit 286 Verwürfelungscode 322 Verzerrungsfrei 54 Verzögerungsklasse 305 Vielfachzugriffsinterferenz 321 Virtual channel/path identifier (VCI/VPI) 203 Virtual-circuit number (VCN) 192 Visitors location register (VLR) 287 Voltage controlled oscillator (VCO) 124, 129 Vormaskierung 105 VPI 203

2er-Komplement-Format 81 Zählerkoeffizient/-polynom 37 10 Gigabit Ethernet (10GbE) 239 Zeichengabekanal 11 Zeichengabe 187 Zeigertelegrafie 2 Zeitdauer-Bandbreite-Produkt 58 zeitdiskretes Signal 17 Zeitinvarianz 67 zeitkontinuierliches Signal 17 Zeitkonstante 33, 40, 166 Zeitmultiplex 12, 187 Zeitreihe 17 Zellatmung 323 Zellenvermittlung 192 Zellulare Funkkapazität 291, 324 Zero Insertion 198 ZigBee-Alliance 333 Zugangsberechtigung 286 Zweiseitenband-AM 116 Zweitor 36 Zyklische Erweiterung 147, 340

W Wideband CDMA (WCDMA) 317 Weber-Fechner-Gesetz 84 Wegwahl-Tabelle 192

X xDSL 181 X-On/X-Off-Handshake 155