Matematica e cultura in Europa

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Author: Mirella Manaresi

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Matematica e cultura in Europa

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Matematica e cultura in Europa a cura di Mirella Manaresi

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MIRELLA MANARESI Dipartimento di Matematica Alma Mater Studiorum - Università di Bologna

Realizzazione tecnica del volume: Elisa Lauretani, Camilla Valentini Dipartimento di Matematica, Università di Bologna

ISBN-10 88-470-0346-6 ISBN-13 978-88-470-0346-0 Quest’opera è protetta dalla legge sul diritto d’autore. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all’uso di figure e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla riproduzione su microfilm o in database, alla diversa riproduzione in qualsiasi altra forma (stampa o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. Una riproduzione di quest’opera, oppure di parte di questa, è anche nel caso specifico solo ammessa nei limiti stabiliti dalla legge sul diritto d’autore, ed è soggetta all’autorizzazione dell’Editore. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L’utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc, anche se non specificamente identificati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti.

Springer fa parte di Springer Science+Business Media springer.it © Springer-Verlag Italia 2005 Stampato in Italia

Traduzioni: Davide Aliffi, Maura Lauretani, Anna Rosolini Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano In copertina: bozzetto di Francesco Giannini; foto di scena di Galois di Luca Viganò; poliedro di Lucio Saffaro (per gentile concessione della Fondazione Saffaro, Bologna) Stampa: Arti Grafiche Nidasio (Milano)

Questo volume è stato realizzato nell’ambito del progetto: “Diffusion and improvement of mathematical knowledge in Europe”, finanziato dalla Comunità Europea nel quadro del Programma Socrates

European Commission

Prefazione

La matematica `e sicuramente disciplina di base per tutte le scienze, cui fornisce un metodo e un linguaggio comune, ma `e anche indispensabile strumento per lo sviluppo della tecnologia. Gli studi matematici, in cui l’Europa ha una lunga e forte tradizione, sono stati da sempre parte essenziale nella formazione e nella cultura dei giovani di tutta l’attuale Comunit` a Europea. D’altra parte, sono stati anche gli studi scientiﬁci a permettere di costruire relazioni tra le popolazioni europee ﬁn dal Medio Evo, prodromi di quell’unit` a culturale che sarebbe stata alla base dell’odierna integrazione europea. In anni pi` u recenti l’organizzazione nei Paesi europei di convegni internazionali ha attratto molti giovani matematici dall’Europa Orientale e dall’ex Unione Sovietica. Questi nuovi legami hanno rivestito grande importanza per lo sviluppo degli studi scientiﬁci nelle nazioni coinvolte, accrescendo la cooperazione tra stati di diversa tradizione culturale e sociale con un reciproco arricchimento e gettando in qualche modo una premessa importante per il recente allargamento della Comunit` a. Oggi alcuni Paesi europei, come Francia, Germania, Gran Bretagna e Italia sono fra le prime nazioni del mondo per la ricerca matematica. Per motivi culturali, ma anche per mantenere la capacit`a di innovazione tecnologica, `e molto importante continuare questa tradizione, conservando e possibilmente innalzando l’attuale livello di eccellenza. Per far ci` o `e necessario che tutti i Paesi della Comunit` a riescano ad attrarre agli studi matematici studenti di talento, anche in un momento in cui a livello mondiale vi sono segnali di una diminuzione dell’interesse delle nuove generazioni per le scienze. Questa necessit`a `e talmente sentita, che la Commissione Europea ha previsto il ﬁnanziamento di programmi che promuovano iniziative tese ad attrarre i giovani alle discipline scientiﬁche. Il progetto europeo Mathematics in Europe, nell’ambito del quale `e stato realizzato questo volume che ne documenta parte delle attivit` a, `e nato a questo scopo. Grazie al DVD, curato da Marco Di Girolami e Camilla Valentini e allegato al volume, `e possibile rivivere i vari eventi attraverso la voce e le immagini dei protagonisti.

VI

Prefazione

Il progetto Mathematics in Europe Il progetto Diﬀusion and improvement of mathematical knowledge in Europe 1 (in breve Mathematics in Europe), ﬁnanziato dalla Comunit` a Europea nell’ambito del Programma Socrates, `e stato pensato con il proposito di contribuire ad aumentare l’interesse dei giovani verso la matematica, condizione essenziale per preservare e sviluppare la tradizione e il livello di eccellenza della disciplina in Europa. Il progetto, coordinato dal Dipartimento di Matematica dell’Universit` a di Bologna (responsabile scientiﬁco Mirella Manaresi), coinvolge le Universit` a di Bochum (resp. scient. Hubert Flenner), Parigi VII (resp. scient. Salomon Ofman), Cipro (resp. scient. Alekos Vidras) e Durham (resp. scient. Brian Straughan). Uno dei motivi che hanno creato disaﬀezione per gli studi matematici `e probabilmente la modalit` a di insegnamento della disciplina a livello scolastico, in cui generalmente si privilegiano gli aspetti tecnici, trascurando le interazioni con le altre discipline e le altre scienze, nonch´e le applicazioni. In tal modo si perde la percezione delle enormi potenzialit`a della matematica e della versatilit` a del sapere matematico nelle applicazioni ai problemi di tutti i giorni. L’accezione comune vede, infatti, nel matematico una ﬁgura isolata dal mondo, dedita ad attivit` a profonde ma di scarso impatto, se non a tempi lunghi, sulla vita delle persone. Ci` o crea una immotivata diﬃdenza verso gli studi matematici, quasi fossero una scelta di isolamento e tende ad allonta` provato, inoltre, che il potere di narne i giovani potenzialmente interessati. E attrazione degli studi universitari in un particolare campo non dipende solo dalle aﬃnit`a culturali e dalle inclinazioni manifestate dal singolo verso le discipline in oggetto, ma anche dall’interesse suscitato nel giovane dal complesso delle attivit`a espletate nel proprio lavoro dalla ﬁgura professionale rappresentativa di tali studi e dalla sua rilevanza sociale. Nella societ` a di oggi queste ultime motivazioni spesso prevalgono su quelle culturali: tutti desiderano fare una “professione di successo”, anche se a volte non `e chiaro quali siano le gratiﬁcazioni e le possibilit` a di crescita personale che la accompagnano. Alla luce di queste considerazioni, lo strumento con cui il progetto si `e proposto di raggiungere i propri obiettivi `e un’opera di divulgazione del signiﬁcato della ﬁgura professionale del matematico nella societ`a attraverso un dibattito sulla cultura matematica e sulle interazioni con la vita quotidiana. I cinque gruppi coinvolti nel progetto hanno organizzato varie attivit` a (si veda http://www.dm.unibo.it/socrates), talora non convenzionali, quali incontri, seminari, convegni, mostre, rassegne cinematograﬁche e teatrali, aventi lo scopo di mettere in luce la vastit` a delle applicazioni della matematica, i vari aspetti del lavoro dei matematici e le interazioni tra matematica, scienza, tecnologia, cultura e arte. Tra le iniziative proposte a Bologna hanno avuto particolare successo le rassegne Matematica e Cinema II e Matematica e 1

Il contenuto del progetto non riﬂette necessariamente la posizione della Comunit` a Europea e non implica alcuna responsabilit` a da parte della stessa.

Prefazione

VII

Teatro e il convegno Mathematics and Culture in Europe, di cui questo volume documenta parte delle attivit` a. Nella primavera del 2004 il progetto ha contribuito alla mostra SAFFARO le forme del pensiero, allestita dall’Ateneo di Bologna in collaborazione con la Fondazione Saﬀaro, attraverso la preparazione del materiale video proiettato alla mostra, dell’opuscolo divulgativo La Geometria dei Poliedri a cura di Marco Di Girolami e Camilla Valentini, mettendo a disposizione delle scolaresche visite guidate sugli aspetti matematici dell’opera dell’artista, nella speranza che la suggestione delle opere esposte potesse stimolare la curiosit`a dei giovani verso le forme geometriche, e organizzando il ciclo di conferenze La Geometria dei Poliedri. Ma il contributo forse pi` u signiﬁcativo `e stato il riordino e la catalogazione nell’Archivio Lucio Saﬀaro, consultabile via web alla pagina http://www.unibo.it/saﬀaro, dei documenti accumulati dall’artista nel corso di tutta la vita e che sono testimonianza preziosa della sua attivit` a di studio. Grazie alla collaborazione iniziata nel 2000, questi documenti sono stati aﬃdati dalla Fondazione Saﬀaro al Dipartimento di Matematica, che li custodisce nel Laboratorio di Didattica della Matematica. Il prezioso lavoro di catalogazione svolto da Maria Grazia Cupini e Isabella Luzi, insieme al lavoro di organizzazione dell’archivio web, curato da Sandra Fermani, Valeria Montesi e Camilla Valentini, ha permesso al progetto di lasciare un risultato permanente. Il punto di partenza per l’elaborazione del progetto `e stata l’esperienza fatta nel 2000 dal gruppo di Bologna con l’organizzazione di una serie di eventi in occasione dell’Anno Mondiale della Matematica e di Bologna Citt` a Europea della Cultura (http://www.dm.unibo.it/bologna2000), di cui le attivit` a del progetto sono la naturale continuazione. Iniziatore e ispiratore di questo tipo di attivit` a `e Michele Emmer, che, con i convegni Matematica e Cultura di Venezia, ﬁn dal 1997 ha aperto la strada a un nuovo terreno di incontro e di dialogo tra matematici, scienziati, letterati, uomini di spettacolo. In questa occasione desideriamo rivolgergli un aﬀettuoso ringraziamento per gli stimoli e le idee ricevute. Un sincero ringraziamento va anche a tutti i colleghi italiani e stranieri che hanno lavorato per le attivit` a del progetto, ma in particolare a R¨ udiger Achilles, Laura Guidotti, Michele Mulazzani, Paolo Salmon, Angelo Vistoli e Camilla Valentini, anima organizzativa di tutte le manifestazioni. Un caloroso ringraziamento anche a Cristina Di Girolami, Marco Di Girolami, Elisa Lauretani, Anna Maria Pulcini e Sandra Fermani, la squadra di giovani che con la loro professionalit` a e il loro entusiasmo hanno fornito il supporto tecnico alle varie attivit`a. Inﬁne un aﬀettuoso e riconoscente pensiero a Giorgio Dons`ı per il costante sostegno e incoraggiamento.

Bologna, maggio 2005

Mirella Manaresi

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Indice

Parte I Cultura matematica, formazione e media La preparazione matematica delle matricole nelle universit` a europee: risultati di un test R¨ udiger Achilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Metodi statistici per la misurazione delle competenze: analisi della preparazione matematica delle matricole Stefania Mignani, Roberto Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Matematica e media: strumenti, aspettative, risultati Simonetta Di Sieno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 I problemi della matematica nel Regno Unito James F. Blowey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Metamorph da Escher all’architettura virtuale Michele Emmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Due esempi di spazi triestesi illimitati e compatti Franco Ghione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Fare luce su un universo oscuro Carlton Baugh, Pete Edwards, Carlos Frenk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Matematica e cartoni animati Gian Marco Todesco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Pittori, assassini, matematici Peter Deuﬂhard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Lucio Saﬀaro, artista della geometria Michele Emmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

X

Indice

The mathematical logic of narrative Apostolos Doxiadis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Parte II Matematica e Cinema A Beautiful Mind Regia di Ron Howard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Un eponimo ricorrente: Nash e la teoria dei giochi Marco Li Calzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 The Bank Regia di Robert Connolly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 The Bank : Matematica, Economia e Responsabilit` a Sociale per un nuovo millennio Riccardo Cesari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Moebius Regia di Gustavo R. Mosquera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Moebius: un ﬁlm e un invito alla topologia Massimo Ferri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Cube Regia di Vincenzo Natali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Cube: un’occasione per parlare di numeri primi Alberto Perelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 L’amore ha due facce Regia di Barbra Streisand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 La matematica divertente? Michele Emmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Enigma Regia di Michael Apted . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Fermat’s Last Theorem Regia di Simon Singh, John Lynch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Alcune riﬂessioni su Fermat’s Last Theorem Mirella Manaresi, Angelo Vistoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Non ho tempo Regia di Ansano Giannarelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

Indice

XI

Parte III Matematica e Teatro La Logica del Teatro Piergiorgio Odifreddi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Napoleone Magico Imperatore Testo di Sergio Bini, in arte Bustric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 A proposito di Napoleone Magico Imperatore Sergio Bini, in arte Bustric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 ´ Napoleone, la matematica e l’Ecole Polytechnique Claude Viterbo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Zio Petros e la congettura di Goldbach Testo di Apostolos Doxiadis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Zio Petros tra scienza, letteratura e teatro Angelo Savelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 Qualche celebre problema nella storia della Teoria dei Numeri Umberto Zannier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Proof Testo di David Auburn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 Proof : matematica e nuova drammaturgia Andrea Paolucci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 Un matematico legge Proof Angelo Vistoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 Galois Testo di Luca Vigan` o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 ´ Evariste Galois, un Tragico Eroe Romantico Luca Vigan` o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 Evariste Galois Paolo Salmon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 Arcadia Testo di Tom Stoppard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 Perﬁno in Arcadia sesso, letteratura e. . . matematica Leonardo Angelini, Francesco Giannini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 Wilde in Arcadia Laura Guidotti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

XII

Indice

Padre Saccheri : un matematico sul palcoscenico Maria Rosa Menzio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 La matematica ` e teatrale? Michele Emmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

Parte I

Cultura matematica, formazione e media

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Questa prima sezione riunisce i contributi dei relatori del convegno internazionale Mathematics and Culture in Europe, che si `e tenuto a Bologna nei giorni 22-23 ottobre 2004 (http://www.dm.unibo.it/socrates/convegno), organizzato congiuntamente da tutti i partner del progetto Mathematics in Europe e l’articolo di Michele Emmer Lucio Saﬀaro artista della geometria, ispirato alla conferenza da lui tenuta nell’ambito del ciclo La Geometria dei Poliedri (http://www.dm.unibo.it/socrates/saﬀaro). Nonostante la diversit` a della situazione nei Paesi partecipanti, convinzione comune dei colleghi italiani e stranieri coinvolti nel progetto `e che, indipendentemente dagli studi aﬀrontati nella scuola superiore, la maggior parte dei giovani dei cinque Paesi nutra una sorta di diﬃdenza preconcetta per gli studi di matematica, dovuta anche ad una scarsa conoscenza del ruolo professionale dei matematici nella societ`a attuale. Cercare di far cogliere l’importanza della cultura matematica e il signiﬁcato dell’essere matematici oggi sembrava, pertanto, necessario. Di qui l’organizzazione del convegno, con lo scopo di mostrare a un vasto pubblico la centralit` a del ruolo della matematica non solo per il progresso della tecnologia e della scienza, ma anche in numerose espressioni artistiche e letterarie. Al tempo stesso si `e voluto discutere sulla formazione matematica attualmente oﬀerta ai giovani europei dalla scuola superiore e dell’aiuto che pu` o venire dai media ad un corretto orientamento delle predisposizioni individuali verso gli studi scientiﬁci. Il convegno era rivolto a docenti e studenti universitari, a insegnanti e studenti di scuola media e pi` u in generale a tutte le persone coinvolte nella formazione dei giovani. Accanto alla scarsa conoscenza del ruolo del matematico nella societ`a, dal confronto tra i partner del progetto `e anche emerso il dubbio che la preparazione matematica oﬀerta dalla scuola superiore possa talora esercitare un eﬀetto deterrente sulla decisione di intraprendere studi scientiﬁci e, in particolare, quelli matematici. Il convegno ha voluto aﬀrontare anche questo aspetto, peraltro centrale nel progetto, presentando i risultati di un test sulla preparazione matematica delle matricole che accedono alle facolt`a tecnicoscientiﬁche delle cinque universit` a coinvolte nel progetto. Questa indagine `e stata pianiﬁcata con lo scopo di acquisire un punto di partenza per iniziative atte a favorire la mobilit` a degli studenti nell’ambito dei programmi previsti dalla Comunit` a Europea ed `e stata realizzata sottoponendo gli studenti ad un test comune all’inizio del primo semestre dell’anno accademico 2003/2004. I risultati dell’indagine, presentati insieme all’analisi statistica del questionario utilizzato per eﬀettuare il test, nonch´e a un confronto con altre indagini condotte a livello internazionale, hanno fornito ai partecipanti al convegno molti spunti di riﬂessione sulla qualit` a della formazione matematica pre-universitaria nei cinque Paesi. La tavola rotonda su Matematica e media: strumenti, aspettative, risultati `e stata un’occasione di confronto tra protagonisti e operatori della divulgazione matematica e il pubblico, rivolta soprattutto a chiarire se e che cosa `e cambiato negli ultimi anni nel rapporto

tra matematica e mezzi di comunicazione di massa e il ruolo che questi ultimi possono svolgere nel fornire una corretta presentazione del ruolo professionale del matematico. La presenza di forme geometriche quali nastro di M¨ obius e bottiglia di Klein nella progettazione architettonica, l’analogia tra la rappresentazione del corpo umano nella pittura e nelle moderne tecniche diagnostiche per immagini, ma anche l’utilizzo degli algoritmi matematici per la simulazione al computer su cui si basano le pi` u recenti teorie sulla struttura dell’universo, le tecniche matematiche che hanno profondamente modiﬁcato il processo di realizzazione dei ﬁlm di animazione, sono alcuni dei temi trattati in questa sezione. Apostolos Doxiadis, matematico e scrittore, autore del romanzo Zio Petros e la congettura di Goldbach, da cui `e stata tratta una lettura scenica della rassegna Matematica e Teatro, con il suo intervento ha concluso in maniera molto coinvolgente il convegno, incarnandone completamente lo spirito. Si `e deciso di pubblicare in inglese il suo articolo The mathematical logic of narrative per non togliere al lettore il piacere di cogliere le sfumature volute dall’autore, che probabilmente nella traduzione sarebbero andate perdute.

La preparazione matematica delle matricole nelle universit` a europee: risultati di un test R¨ udiger Achilles Elaborazione dati:

Marco Di Girolami e Camilla Valentini Dipartimento di Matematica, Universit` a di Bologna Piazza di Porta S. Donato 5, 40126 Bologna [email protected]

Ringraziamenti. Questo articolo `e in parte frutto di un lavoro collettivo. A una prima stesura hanno contributo: James Blowey (Durham), Hubert Flenner (Bochum), Laura Guidotti (Bologna), Salomon Ofman (Paris 7), Mirella Manaresi (Bologna), Evangelia Samiou (Cipro), Brian Straughan (Durham) e Alekos Vidras (Cipro). Un ringraziamentio va anche ai contributi di Peter Eichelsbacher (Bochum), Giuseppe Mulone (Catania), Stefan Schr¨ oer (D¨ usseldorf, gi` a a Bayreuth), Bernd Siebert (Freiburg), Jean-Jacques Szczeciniarz (Paris 7, gi` a a Bordeaux 3). Si ringraziano, inﬁne, tutti i colleghi coinvolti nell’organizzazione del test e nella distribuzione del questionario.

Introduzione Negli ultimi anni l’insegnamento della matematica a livello universitario ha subito profondi cambiamenti. Da una parte sempre pi` u numerosi sono i curricula che presentano almeno un corso di matematica obbligatorio, dall’altra `e sempre pi` u piccola la percentuale di studenti che sceglie di studiare matematica o discipline che richiedano una buona preparazione matematica. Si percepisce una generale disaﬀezione, se non addirittura avversione, per le discipline scientiﬁche e in particolare per la matematica. Sorge spontanea una domanda: gli studenti europei che si aﬀacciano all’universit` a sono adeguatamente preparati per seguire i corsi di matematica che incontreranno nei loro studi universitari? Malgrado la crescente importanza della matematica in tutte le scienze e in quasi tutti gli aspetti della vita umana, i docenti universitari hanno spesso l’impressione che gli studenti non abbiano familiarit` a con i necessari prerequisiti matematici e che questa

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R¨ udiger Achilles

` solo una percezione soggettiva? situazione sia in costante peggioramento. E Ci sono diﬀerenze signiﬁcative tra Paese e Paese? ` ben noto che il grado di preparazione scientiﬁca, in particolare mateE matica, degli studenti di un Paese ha un notevole impatto sulla competitivit` a economica di quel Paese. Per questo motivo negli ultimi anni sono stati condotti diversi studi comparativi sulla alfabetizzazione matematica degli studenti, studi che presentano interesse non solo pedagogico ma anche economico e politico. Nell’ambito del progetto europeo Socrates “Diﬀusion and improvement of mathematical knowledge in Europe”(in breve “Mathematics in Europe”), coordinato dalla prof. M. Manaresi del Dipartimento di Matematica dell’Universit`a di Bologna e a cui partecipano le Universit` a di Bochum (responsabile prof. H. Flenner), Cipro (responsabile prof. A. Vidras), Durham (responsabile prof. B. Straughan), Parigi 7 (responsabile prof. S. Ofman), `e stato preparato un questionario a scelta multipla per provare a dare una risposta alle domande precedenti sulla preparazione matematica. Questo lavoro riporta i risultati del test a cui sono state sottoposte 3441 matricole di corsi di studio i cui curricula prevedevano almeno un corso di matematica obbligatorio. Il questionario `e stato distribuito nel settembre/ottobre 2003, durante la prima settimana di frequenza ai singoli corsi. ` interessante confrontare i risultati ottenuti attraverso il nostro test con E quelli ottenuti attraverso altri test progettati in modo totalmente diverso e che hanno interessato un numero molto pi` u vasto di studenti. In questa nota si far` a riferimento solamente a due importanti indagini comparative: “Trends in International Mathematics and Science Study” (TIMSS) e “OECD Programme for International Student Assessment” (PISA), per i cui risultati completi si rimanda rispettivamente a [12] e [11]. Nel 1999 i ministri dell’istruzione universitaria di 29 paesi europei hanno ﬁrmato a Bologna un documento (Dichiarazione di Bologna), che `e stato il punto di partenza per un importante processo di armonizzazione dei vari sistemi europei di formazione universitaria noto come Processo di Bologna. I test di cui parleremo evidenziano che un analogo processo di armonizzazione sarebbe opportuno in Europa anche per l’istruzione secondaria, almeno per quanto concerne la matematica.

Il progetto e i suoi partner Come abbiamo detto, il test rientra tra le iniziative previste dal progetto “Mathematics in Europe” ﬁnanziato dalla Comunit` a Europea nell’ambito del Programma Socrates. Per una migliore comprensione dei risultati del test `e opportuna una breve presentazione delle universit` a che partecipano al progetto. Universit` a di Bologna. L’Universit` a di Bologna `e una delle pi` u grandi universit`a italiane, avendo pi` u di 100 000 iscritti. Fondata nel 1088, `e certamente

Preparazione matematica: risultati di un test

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la pi` u antica in Europa. Per le sue tradizioni, la sua ottima fama e non ultimo per il vivace clima culturale della citt` a di Bologna, attrae studenti da tutta Italia, ma soprattutto dalle regioni adriatiche dell’Italia, cio`e da: EmiliaRomagna, Marche, Abruzzo, Puglia e Veneto. Gli studenti si iscrivono ai vari corsi di laurea dopo aver ottenuto il diploma di scuola media superiore, in generale senza prove di ammissione. Una delle poche eccezioni `e costituita dal corso di Biotecnologie (a numero chiuso e con esame di ammissione). Nei tempi recenti l’Universit` a ha costituito facolt` a e corsi di laurea triennali e specialistici nelle vicine citt`a di Cesena, Faenza, Forl`ı, Imola, Ravenna, Reggio Emilia e Rimini. Universit` a di Parigi 7 - Denis Diderot. L’Universit` a di Parigi 7 si trova nel ˆIle de France, la regione francese che ha la maggiore densit`a di istituzioni universitarie. Fondata nel 1970 come tredicesima delle diciassette universit` a del ˆIle de France, Parigi 7 fu intitolata nel 1994 a Denis Diderot. Parigi 7 ha circa 27.000 studenti ed `e caratterizzata, fra le universitat` a parigine, da un alto grado di interdisciplinariet` a. Gli studenti che vogliono studiare matematica devono avere il Baccalaur´eat Scientiﬁque (Bac S). Dal 2004-2005 l’Universit` a di Parigi 7 ha organizzato l’oﬀerta formativa adeguandosi allo schema europeo: Licences-Masters-Ecoles doctorales. Ruhr-Universit` a di Bochum. L’Universit` a di Bochum `e stata la prima universit`a fondata nella Repubblica Federale Tedesca nel dopoguerra. Dal 1965, anno di apertura, ad oggi l’Universit` a di Bochum si `e sviluppata rapidamente e oggi ha circa 32.000 studenti provenienti per la maggior parte dalla regione della Ruhr, alla cui riconversione industriale ha contribuito in modo decisivo. L’Universit` a di Bochum oﬀre una vasta gamma di percorsi formativi ed `e stata tra le prime universit` a tedesche che hanno introdotto lo schema europeo: Bachelor, Master e Doktorat. Universit` a di Cipro. A Cipro l’istruzione universitaria si `e sviluppata soprattutto dal 1960, anno in cui il Paese ha ottenuto l’indipendenza. L’Universit`a di Cipro `e stata fondata nel 1991 ed `e l’unica universit` a statale nella Repubblica Cipriota. Ogni anno sono ammessi all’universit` a circa 550 studenti, quasi tutti dopo il superamento di esami di ammissione stabiliti dal Ministero dell’Istruzione e della Cultura. Si noti che l’universit` a programma in modo autonomo il numero degli studenti per ciascuna facolt` a, per cui, in generale, gli studenti concorrono per un posto nel corso di studi di loro scelta. Nell’anno accademico 2003/2004 `e stata attivata la Scuola di Ingegneria. L’ammissione a tale Scuola richiede un punteggio minimo negli esami di ammissione, punteggio non richiesto, invece, per la Scuola di Scienze. Una particolarit` a dell’Universit` a di Cipro sta nel fatto che gli studenti maschi entrano all’universi` a dopo 26 mesi di servizio militare nella Guardia Nazionale, mentre le studentesse iniziano l’universit` a immediatamente dopo l’esame di maturit`a. L’Universit` a di Durham. L’Universit` a di Durham, fondata nel 1832, `e la terza universit` a pi` u antica di Inghilterra. L’universit` a `e organizzata in colleges

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No. di univ. che richiedono un certo punteggio

ed `e situata nella citt` a di Durham e nella vicina Stockton. L’ammissione alle universit` a inglesi `e selettiva, sulla base di punteggi detti A-level (Advanced level) o Scottish Higher e di un colloquio. In Inghilterra tali A-level sono certiﬁcati da tre enti esaminatori (examination boards: si vedano i siti web [2], [3], [4]) e sono stabiliti da questi enti con l’approvazione della Qualiﬁcations and Curriculum Authority (QCA). Gli studenti svolgono gli esami nelle loro scuole secondarie ma vengono valutati dai tre enti esaminatori, che assegnano al superamento della prova i voti A, B, C, D, E, dove A `e il massimo, e a cui corrispondono i punteggi 120, 100, 80, 60, 40, rispettivamente. In matematica gli A-level sono basati su sei moduli scelti fra 7 di Matematica Pura, 6 di Fisica, 6 di Statistica e 2 di Matematica Discreta. Ci sono molte combinazioni possibili, ma circa la met` a delle domande sono di Matematica Pura, incluse anche le derivate, gli integrali e semplici equazioni diﬀerenziali, vedi [6]. La domanda per entrare in una universit` a inglese va fatta tramite l’Universities & Colleges Admissions Service (UCAS), vedi http://www.ucas.ac.uk. Gli studenti scelgono le universit` a, che a loro volta fanno un’oﬀerta condizionata dal raggiungimento di un punteggio minimo di A-level. L’oﬀerta standard dell’Universit` a di Durham `e di AAB = 340 punti, che `e fra le pi` u alte in Inghilterra, come risulta dalla Figura 1, che raﬃgura quante sono le universit` a inglesi che hanno un certo punteggio minimo di entrata. Se uno studente non raggiunge il punteggio minimo di entrata delle universit` a scelte, gli pu`o venire assegnato dall’UCAS uno dei posti rimasti liberi.

Punteggi minimi richiesti dalle università inglesi

Punteggio minimo

Figura 1. Numero di universit` a inglesi e loro punteggi di entrata

Le statistiche sul numero di domande degli studenti, con incluso alcuni dati rilevanti (et` a, punteggi, ecc.), si possono trovare sul sito web dell’UCAS

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all’indirizzo http://www.ucas.ac.uk/ﬁgures/, da cui `e stata estratta anche la Figura 1. Altre universit` a che hanno preso parte al test. Grazie ai contatti scientiﬁci di alcuni membri del progetto sono stati inseriti nel test gruppi di studenti di altre universit` a: in Germania dell’Universit` a di Bayreuth (che, fondata nel 1975, `e la pi` u giovane universit` a tedesca con oltre 9.000 studenti provenienti da tutta la Germania) e della Albert-Ludwig Universit` a di Friburgo (che, fondata nel 1457, conta circa 21.500 studenti), in Francia dell’Universita di Bordeaux 3 Michel de Montaigne (che, fondata nel 1441, riformata nel 1968-1970, ha circa 15.000 studenti prevalentemente in scienze sociali e umanistiche) e in Italia dell’Universit` a di Catania (che, fondata nel 1434, ha circa 14.000 studenti, principalmente siciliani).

Diﬀerenze fondamentali nei sistemi di formazione dei cinque paesi partner L’istruzione secondaria nei paesi partner presenta grandi diﬀerenze. Per una informazione dettagliata sui sistemi educativi europei si pu` o consultare il data base EURYDICE, EURYBASE [1]. Il numero delle ore di matematica negli ultimi tre anni della scuola secondaria e i programmi di matematica svolti sono particolarmente importanti nel nostro contesto. Gi` a si presentano diﬀerenze signiﬁcative a seconda dei vari tipi di scuola in ciascun Paese, ad esempio in Italia e in Francia. Per ciascuno dei paesi partner la Tabella 1 d` a informazioni sull’et` a di ammissione all’universit` a, sul numero degli anni di studio richiesti e se `e previsto un concorso di ammissione. I dati della terza colonna si riferiscono unicamente alle universit` a partner e non si esclude che altre universit` a dei paesi partner si regolino in maniera diﬀerente. Tabella 1. Sistemi di istruzione Paese

Et` a minima Numero di anni di di iscrizione scuola precedenti

Ammissione per concorso

Italia Germania Inghilterra Cipro Francia

19 19 18 18 18

no no s`ı s`ı no

13 13 13 12 12

Di fatto l’et`a media degli studenti che entrano nelle universit` a `e a volte pi` u alta rispetto ai valori riportati per vari motivi: servizio militare, ripetizione di anni scolastici, studenti lavoratori. Si noti che nel Regno Unito i bambini iniziano la scuola a cinque anni.

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In quasi tutti i paesi partner gli studenti possono optare per un curriculum che preveda un livello avanzato di preparazione matematica o scegliendo un particolare tipo di scuola o scegliendo corsi avanzati all’interno del tipo di scuola prescelto. Ad esempio gli alunni di un “lyc´ee d’enseignement g´en´eral et technologique” francese, alla ﬁne della seconda classe, comune a tutti, scelgono il tipo di baccalaureato: uno dei tre tipi generali (economico-sociale “Bac ES”, letterario “Bac L” o scientiﬁco “Bac S”) o uno dei sette tipi tecnologici. In Germania il curriculum `e molto diverso a seconda del tipo di istruzione secondaria superiore. Gli allievi del “Gymnasiale Oberstufe” devono studiare materie di tre gruppi (lingue, letteratura e belle arti; scienze sociali; matematica/scienze naturali/tecnologie) e possono scegliere un corso avanzato di matematica. In Inghilterra non ci sono materie obbligatorie a livello secondario superiore. Gli studenti possono scegliere materie nell’ambito dell’oﬀerta della scuola o di altre istituzioni educative a seconda della qualiﬁcazione che cercano. In Italia, invece, la preparazione matematica degli studenti dipende essenzialmente dal tipo di scuola secondaria frequentata, la cui scelta avviene all’et` a di 14 anni. Ci sono molti tipi di scuole secondarie superiori: Licei (classico, scientiﬁco, linguistico, artistico, psico-pedagogico), Istituti Tecnici, Istituti professionali, che danno una formazione matematica molto diversa. Una volta superato l’esame di stato ﬁnale, lo studente italiano pu` o iscriversi alla facolt`a che preferisce, indipendentemente dai propri studi secondari.

Scopo e predisposizione del questionario Lo scopo del test era quello di valutare i livelli di conoscenza matematica degli studenti dei paesi partner e confrontarli per: -

stimolare la discussione sui programmi di matematica della scuola secondaria superiore in ciascuno dei paesi partecipanti al progetto; dare suggerimenti per l’insegnamento della matematica nel primo anno di universit` a; poter proporre eventuali modiﬁche ai programmi dei corsi universitari che possano facilitare la mobilit` a degli studenti che desiderano passare periodi di studio all’estero in uno dei paesi partner.

Proprio per le diversit` a dei diversi sistemi educativi non era facile disegnare un test che prendesse in esame le conoscenze matematiche comuni nei diversi paesi partner. Ci si `e accordati su un test che riﬂettesse le conoscenze e le capacit`a matematiche che uno studente di matematica, scienze o ingegneria dovrebbe avere nel momento di ingresso nell’universit` a. Queste comprendono: -

comprensione delle propriet` a fondamentali delle funzioni elementari (funzioni trigonometriche, logaritmiche, esponenziali), capacit` a di derivare e integrare queste funzioni e le loro combinazioni;

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-

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logica di base e comprensione delle operazioni logiche come negazione, implicazione, equivalenza, ecc.; uso corretto delle formule e delle tecniche algebriche standard; comprensione delle tecniche geometriche elementari e capacit`a di risolvere problemi geometrici elementari di geometria piana.

Si `e disegnato il test A costituito da 14 domande focalizzate su sette ambiti fondamentali con due domande per argomento (si veda sotto). Dal Syllabus della Unione Matematica Italiana [9] sono state prese le domande 1, 2, 3, 4, 5, 8, e 9 e le altre domande sono stato basate su un test orientativo svolto in passato per gli studenti di ingegneria di Durham. Le domande del questionario, raggruppate per argomento, sono state le seguenti: Logaritmi e funzione esponenziale (domande 2 e 9) 2. La soluzione dell’equazione log2 (log3 x) = 3 `e c) x = 36 d) x = 36 a) x = 3 b) x = 34 e) nessuna √ delle risposte suddette `e corretta 9. Il numero 0, 9 `e uguale a a) 0,3 b) 0,81 c) un numero fra 0, 81 e 0, 9 d) un numero fra 0, 9 e 1 e) nessuna delle risposte suddette `e corretta Equazioni e disequazioni (domande 4 e 11) 2

4. La disuguaglianza x x−1 > 0 vale a) per ogni x = 0 b) solo per x > 1 c) solo per x < −1 d) solo per x < −1 e per x > 1 e) nessuna delle risposte suddette `e corretta √ 1 1 11. Le frazioni 37 + 18 e √3−1 + √3+1 (di cui la seconda espressa nella forma m+n 3) sono uguali √ a √ b) 31/56 e 13 3 rispettivamente a) 4/5 e 13 3 rispettivamente √ √ c) 4/5 e 3 rispettivamente d) 31/56 e 3 rispettivamente e) nessuna delle risposte suddette `e corretta Logica (domande 1 e 8) 1. Il prodotto di sette numeri interi `e negativo. Questo implica che a) tutti i sette numeri sono negativi b) uno `e negativo e gli altri sono positivi c) tre sono negativi e gli altri sono positivi d) cinque sono negativi e gli altri sono positivi e) nessuna delle risposte suddette `e corretta 8. La frase “non `e vero che tutti gli studenti sono diligenti” `e equivalente alla frase a) tutti gli studenti non sono diligenti b) almeno uno studente non `e diligente c) nessuno studente `e diligente d) almeno uno studente `e diligente e) nessuna delle risposte suddette `e corretta Calcolo diﬀerenziale (domande 6 e 13) 6. La funzione y = 36x − 3x2 − 2x3 assume a) in −2 minimo relativo −68 e in 3 massimo relativo 27

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b) in 2 minimo relativo 44 e in −3 massimo relativo −81 c) in 2 massimo relativo 44 e in −3 minimo relativo −81 d) in −2 massimo relativo −68 e in 3 minimo relativo 27 e) nessuna delle risposte suddette `e corretta 13. La derivata di (1 − x2 ) ln(1 − x2 ) rispetto ad x `e a) −2x + 2x ln(1 − x2 ) b) 2x − 2x ln(1 − x2 ) 2 2 c) −2x + 2x ln(1 − x ) d)1 − 2x ln(1 − x2 ) e) nessuna delle risposte suddette `e corretta Calcolo integrale (domande 7 e 14)

π

7. Utilizzando l’integrazione per parti, l’integrale 2

a) 12 sen(π ) b) −2 c) −π d) 0 e) nessuna delle risposte suddette `e corretta −1/3 14. L’integrale (3x + 2)n dx (n > 1) `e

0

x sen x dx `e

−2/3

1 1 1 b) n3 c) 3(n−1) d) 3(n+1) a) n+1 e) nessuna delle risposte suddette `e corretta

Geometria (domande 5 e 12) 5. Un triangolo ABC ha in B e C angoli di 30◦ e due lati di 40 cm. L’altezza rispetto √ √ al lato BC `e uguale a b) 20 cm c) 20 3/3 cm d) 80 cm a) 10 3 cm e) nessuna delle risposte suddette `e corretta 12. Le due rette nel graﬁco (Fig. 2) si intersecano in

5

4

3

2

1

–4

–3

–2

–1

0

x –1

Figura 2. Graﬁco della domanda 12 a) x = −1 e y = 2 b) x = −2/3 e y = 5/3 c) x = −3/5 e y = 8/5 d) x = −11/20 e y = 31/20 e) nessuna delle risposte suddette `e corretta

1

2

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Trigonometria (domande 3 e 10) 3. L’equazione sen(2x) = 2 sen x vale a) per ogni x b) solo per x = 2kπ dove k `e un intero arbitrario c) solo per x = kπ dove k `e un intero arbitrario d) per nessun valore di x e) nessuna delle risposte suddette `e corretta 10. Quale dei seguenti graﬁci (Fig. 3) a) b) c)

1

a

b

d)

e) nessuno di questi

c

d

0.5

0

2

4

x

6

8

–0.5

–1

Figura 3. Graﬁco della domanda 10 `e quello della funzione sen(2x + π/2)?

Le domande del test sono state formulate con queste intenzioni: -

misurare la capacit`a di comprensione e le abilit`a di calcolo; cercare di ridurre la possibilit` a degli studenti di “tirare a indovinare” introducendo l’opzione “nessuna delle risposte suddette `e corretta”; vedere se gli studenti cadono in errori comuni; non richiedere l’uso della calcolatrice; prevedere una semplice crocetta come modalit`a di risposta; aﬀrontare i sette argomenti diﬀerenti gi`a nelle prime sette domande.

Il tempo previsto per la risposta del test a scelta multipla (esattamente una risposta corretta su cinque possibilit` a) era di cinquanta minuti. Le domande del test sono state presentate agli studenti con ordinamenti diversi, per cui, oltre alla versione A c’era una seconda versione B, ottenuta invertendo l’ordine delle domande. Il test A `e stato usato a Cipro, in Inghilterra e in Germania. In quest’ultimo Paese `e stato usato anche il test B, ma solo nell’Universit`a di Bayreuth e

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le due versioni del test hanno dato risultati diversi: le risposte corrette per la versione A (distribuita a 109 studenti) sono state il 45%, mentre per la versione B (distribuita a 112 studenti) sono state il 52%. In Francia le domande sono state presentate nell’ordine 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14. In Italia, pur rispettando i criteri visti sopra, le domande sono state presentate in ordine crescente di (presunta) diﬃcolt` a: 1, 7, 9, 6, 2, 12, 13, 3, 4, 10, 5, 8, 11, 14. Questa scelta `e stata suggerita da alcuni docenti preoccupati che gli studenti fossero scoraggiati dalle domandi diﬃcili all’inizio del questionario. Si `e visto poi che questa presunta diﬃcolt` a non riﬂetteva le diﬃcolt`a reali percepite dagli studenti. In Inghilterra e in Germania `e stato detto esplicitamente che per ogni domanda c’era una sola risposta corretta tra le scelte possibili, mentre in Italia questo `e stato comunicato solo ad alcuni gruppi di studenti. Sfortunatamente la collaborazione con i colleghi S. Mignani e R. Ricci del Dipartimento di Scienze Statistiche dell’Universit` a di Bologna `e iniziata solo dopo che il questionario era stato preparato e gi` a parzialmente distribuito. Dobbiamo comunque ringraziare questi colleghi per l’analisi accurata dei risultati e per l’esame critico del questionario, che sono sintetizzati nel loro articolo [8] nel presente volume. Applicando tecniche di Item Response Theory, Mignani e Ricci hanno messo in evidenza che il questionario aveva un basso potere discriminate per basse abilit` a degli studenti.

I partecipanti al test, la raccolta dei dati e i risultati Hanno partecipato al test 3441 studenti di matematica, ﬁsica, informatica, scienze biologiche e naturali, astronomia, della Facolt` a di Ingegneria e di altre Facolt`a in cui vi sono corsi di servizio di matematica. Il numero degli studenti varia sensibilmente fra Paese e Paese e da universit`a e universit` a: 316 per Bochum, 221 per Bayreuth, 350 per Friburgo, 196 studenti per l’Universit` a di Cipro, 392 per quella di Durham, 46 per Parigi VII, 60 per Bordeaux, 1648 per Bologna, 275 per Catania. Gli studenti dell’Universit` a di Bologna sono in numero notevole (nonostante la mancata presenza degli studenti di Ingegneria, che non hanno potuto partecipare al test in quanto gi` a impegnati in un test attitudinale previsto dalla Facolt` a) e uno studio statistico molto dettagliato `e stato condotto sulle loro risposte, si veda la Tabella 3. I dati raccolti hanno permesso di fare confronti basati sulle singole domande e/o sui singoli corsi di laurea. C’erano poi informazioni aggiuntive, non disponibili per tutti i paesi partner. Ad esempio, le universit` a di Cipro, di Durham e le universit` a tedesche hanno elaborato i loro risultati anche in base al genere degli studenti. I risultati non hanno mostrato diﬀerenze signiﬁcative in base al genere. Inoltre i dati tedeschi contenevano l’informazione se lo studente avesse frequentato nella scuola secondaria un corso di matematica di base oppure avanzato. Nei dati francesi e italiani si faceva distinzione fra risposte sbagliate e risposte non date.

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I risultati del test sono riportati nella Tabella 2. Tabella 2. I risultati del test Disciplina Fisica

Risposte corrette (in %) Italia Germania 57, 2 47, 0 (Catania)

Scienze

Scienze dell’Inform. Matematica Ingegn. Telematica Chimica Industriale Conservazione dei Beni Culturali Biotecnologie Scienze Statistiche Chimica e Chimica dei Materiali Astronomia Informatica Chimica e Tecnologia Farmaceutiche Architettura Farmacia Tec. Chim. Amb. Gestione Riﬁuti Scienze di Internet Economia Scienze Naturali Scienze Biologiche Agraria Agraria Altro Storia della Scienza e Logica (Bordeaux)

Inghilterra Cipro Francia 42, 0

32, 4 49, 0 (Bayreuth) 47, 5 (Friburgo)

55, 1

54, 3 (Cesena) 48, 8 45, 2 67, 0 42, 1 (Catania) 47, 9 (Friburgo) 45, 5 (Catania) 37, 5 56, 3 48, 6 22, 1(Faenza)

49, 9 55, 6 46, 9

44, 8 43, 9 40, 9 40, 4 39, 8 38, 6

46, 1

36, 7 36, 6 (Catania) 33, 0 32, 5 (Rimini) 31, 3 29, 4 26, 6 25, 8 22, 4 (Imola) 10, 4

61, 3

31, 9 54, 6 51, 7 (Friburgo) 21, 4

I risultati mostrano un’impressionante disparit` a fra le abilit` a matematiche degli studenti delle universit` a che richiedono un esame di ammissione e gli studenti delle universit` a ad accesso libero. Fra quelle con esame di ammissione l’Universit` a di Durham ha ottenuto il punteggio pi` u alto con 61% di risposte

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corrette sul campione totale e precisamente 67% di risposte corrette dagli studenti di matematica, 56% dagli studenti di ingegneria e 55% dagli altri corsi di laurea. Va ricordato che nelle universit` a inglesi si entra per concorso presentando un buon punteggio negli A-level o negli Scottish Higher. Infatti, solo 11 dei 392 studenti sottoposti al test sono entrati pur non avendo il punteggio minimo richiesto e gli studenti di matematica di Durham avevano (con 340) un punteggio immediatamente inferiore a quello massimo raggiungibile per tre A-levels che `e 360, cio`e tre voti A. Per questo motivo si pu`o dire con certezza che gli studenti di matematica di Durham sono un gruppo omogeneo di ottimi studenti. Analogamente nell’Universit` a di Cipro si entra per concorso e per l’ammissione alla Scuola di Ingegneria `e necessario un certo punteggio nell’esame di ammissione. Le universit` a degli altri quattro paesi hanno avuto risultati inferiori senza particolari diﬀerenze: gli studenti di Matematica risultano o i migliori o comunque nel gruppo dei migliori. Questo potr` a essere un fattore che favorisce la mobilit`a degli studenti di matematica fra i paesi partner. Vale la pena osservare che quasi due terzi degli studenti di altri corsi di laurea hanno una preparazione di matematica insuﬃciente, pur avendo bisogno di strumenti matematici nella loro disciplina. Per le universit` a tedesche si pu`o osservare che gli studenti, che hanno frequentato un corso avanzato di matematica nella scuola secondaria, superano nettamente gli studenti che hanno frequentato solo un corso di base (con un margine di circa 10% di risposte corrette). La Tabella 3 mostra i corsi di laurea dell’Universit` a di Bologna raggruppati in clusters. Gli studenti di Matematica e quelli di Biotecnologie sono nel primo gruppo; si noti che il corso di Biotecnologie `e l’unico fra quelli indicati nella ` interessante notare che i corsi di laurea Tabella 3 ad essere a numero chiuso. E che rientrano nel cluster con il punteggio pi` u basso presentano anche punteggi peggiori in ogni singola domanda eccetto l’ultima. Esaminando i risultati degli studenti di Matematica domanda per domanda (si vedano Tabella 4 e Figura 3) si nota che in tutti i paesi partner gli studenti hanno diﬃcolt` a soprattutto in trigonometria (domande 3 e 10), nel calcolo diﬀerenziale (domanda 6 o domanda 13 a secondo del Paese) e nel calcolo integrale (domande 7 e 14). In genere gli studenti hanno avuto migliori risultati dove era richiesta soprattutto capacit` a di calcolo (domanda 11).

Confronto con le indagini PISA e TIMSS Per quanto il nostro test sia basato su un campione limitato, vale la pena confrontarlo con PISA e TIMSS, indagini di grande respiro per la valutazione delle competenze matematiche e scientiﬁche degli studenti. PISA (Programme for International Student Assessment) `e un’indagine internazionale promossa dall’Organizzazione per la Cooperazione e lo Svilup-

Preparazione matematica: risultati di un test Tabella 3. Risultati di Bologna aggregati in clusters Discipline

Risposte corrette (in %)

Fisica Scienze dell’Informazione (Cesena) Matematica Chimica Industriale (Bologna) Conservazione dei Beni Culturali Biotecnologie Scienze Statistiche (Bologna) Chimica e Chimica dei Materiali Astronomia Informatica (M–Z) Chimica e Tecnologia Farmaceutiche Farmacia Tecnologie Chimiche per l’Ambiente e per la Gestione dei Riﬁuti Scienze di Internet Economia Scienze Naturali Scienze Biologiche Agraria Verde Ornamentale (Imola) Chimica Industriale (Faenza) Agraria

57, 2 54, 3 48, 8 48, 6 44, 8 43, 9 40, 9 40, 4 39, 8 38, 6 36, 7 33, 0 32, 5 31, 3 29, 4 26, 6 25, 8 22, 4 22, 1 10, 4

Tabella 4. Risultati degli studenti di matematica in ogni singola domanda Universit` a Numero di Risposte corrette (in %) per le domande: studenti No.1 No.2 No.3 No.4 No.5 No.6 No.7 Bologna Bochum Friburgo Durham Cipro Parigi 7 Totale

74 54 107 105 38 46 424

51 63 79 79 39 63 67

57 37 27 65 81 93 55

18 31 24 39 47 61 34

55 7 16 22 39 76 32

64 48 44 76 78 22 57

36 63 52 77 28 72 57

18 24 20 56 31 61 35

No.8 No.9 No.10 No.11 No.12 No.13 No.14 Bologna Bochum Friburgo Durham Cipro Parigi 7 Totale

74 54 107 105 38 46 424

95 87 92 94 81 80 90

42 69 77 83 39 54 65

26 24 51 54 42 43 42

86 65 65 92 94 37 75

65 59 58 78 78 24 62

49 31 32 52 81 57 47

23 24 35 70 39 28 40

17

18

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Figura 4. Risultati degli studenti di matematica in ogni singola domanda

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Preparazione matematica: risultati di un test

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po Economico (OCSE) per accertare conoscenze e capacit`a dei quindicenni scolarizzati con periodicit`a triennale e consentire un monitoraggio del sistema dell’istruzione. PISA (si veda [11]) ha l’obiettivo di veriﬁcare in che misura i giovani che escono dalla scuola dell’obbligo abbiano acquisito alcune competenze giudicate essenziali per svolgere un ruolo consapevole e attivo nella societ`a e per continuare ad apprendere per tutta la vita (lifelong learning). La prima indagine PISA nel 2000 [7] era focalizzata sulla lettura; la seconda nel 2003 [5] era focalizzata sulla matematica e sul problem-solving. Nel 2000 presero parte all’indagine circa 265.000 studenti di 32 paesi (compresi tutti i partner del nostro progetto eccetto Cipro); per la matematica, ambito secondario di PISA 2000, una particolare enfasi fu posta sui concetti di cambiamento e relazione e di spazio e forma. Si scelsero questi per poter includere una vasta gamma di percorsi scolastici senza dare troppo peso alle abilit` a di calcolo. Nel 2003 parteciparono a un test di due ore nelle loro scuole ben pi` u di 250.000 di studenti di 41 paesi per valutare le loro competenze in matematica, lettura, scienze e problem-solving. Furono coinvolti tutti i 30 paesi OCSE e altri 11 paesi partner; per la Gran Bretagna il test 2003 non fu ritenuto attendibile per il basso tasso di risposte e Cipro non partecip` o. I risultati sulla matematica di PISA 2003 sono disponibili in [5], [11]. Essi riguardano quattro aree speciﬁche: “spazio e forma”, “cambiamenti e relazioni”, “quantit` a”, “incertezza”. Esiste poi un risultato complessivo riportato nella Tabella 5 per i soli paesi partner. Tabella 5. PISA: punteggi di matematica dei paesi partner Punteggio Errore Posizione Posizione medio standard superiore inferiore Regno Unito Francia Media OCSE Germania Italia

PISA 529 517 500 490 457

2000 (2,5) (2,7)

6 10

10 15

(2,5) (2,9)

20 26

22 28

Francia Media OCSE Germania Italia

PISA 511 500 503 466

2003 (2,5)

11

15

(3,3) (3,1)

14 25

18 26

Si deve osservare che sette paesi OCSE (tra cui l’Italia) hanno ottenuto risultati analoghi nelle diverse aree, mentre per undici paesi (fra cui Francia e Germania) ci sono grandi diﬀerenze tra i risultati per le varie aree. La Tabella 5 conferma sostanzialmente i risultati del nostro test. Infatti, nell’indagine

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R¨ udiger Achilles

PISA 2000 la Gran Bretagna ha superato la Francia, la Germania e l’Italia in quest’ordine. Un confronto delle due indagini PISA 2000 e 2003 mette in luce la sostanziale invarianza della classiﬁca: si osserva un miglioramento piccolo ma degno di nota della Germania nell’area della matematica. PISA deﬁnisce la competenza matematica come la capacit`a di un individuo di identiﬁcare e comprendere il ruolo che la matematica gioca nel mondo reale, di operare valutazioni fondate e di utilizzare la matematica e confrontarsi con essa in modi che rispondono alle esigenze della vita quotidiana. Di conseguenza non interessa vedere se gli studenti abbiano appreso determinate nozioni e abilit` a, ma se padroneggino e siano in grado di utilizzare le conoscenze e le abilit` a acquisite. Il nostro test invece `e stato progettato per valutare le conoscenze e le abilit` a matematiche cos`ı come sono insegnate a scuola (si veda all’inizio del paragrafo “Scopo e predisposizione del questionario”). Un’altra diﬀerenza `e che gli studenti del progetto PISA avevano circa 15 anni mentre il nostro test si rivolgeva a gruppi di studenti matematicamente pi` u maturi e gi`a selezionati dal loro interesse per l’universit` a. PISA mostra che all’et`a di quindici anni nella maggior parte dei paesi le prestazioni matematiche dei maschi sono migliori, soprattutto al livello pi` u elevato della scala, mentre in generale la diﬀerenza di sesso non `e signiﬁcativa. Quando si interpretano le diﬀerenze osservate bisogna tenere conto che in molti paesi il sesso e il tipo di scuola, i curricula e i corsi scelti sono correlati. Dai risulti del nostro test, invece, non emergono diﬀerenze dovute al sesso. Il TIMSS (Trend in International Mathematics and Science Study, gi` a noto come il Third International Mathematics and Science Study; si veda [12]) `e un progetto di ricerca promosso dalla IEA (International Association for the Evaluation of Educational Achievement) e ha lo scopo di fornire ai politici, agli educatori, ai ricercatori ed agli operatori del settore, informazioni sui risultati di apprendimento in contesti educativi speciﬁci. Il TIMSS si basa su rilevazioni quadriennali degli apprendimenti di matematica e scienze soprattutto degli studenti al quarto e all’ottavo anno di scolarit` a (corrispondente alla IV classe della primaria e alla III media italiana rispettivamente). Dalla prima rilevazione nel 1995 ﬁno a quella pi` u recente nel 2003 sono stati coinvolti circa 50 paesi e studenti del terzo, quarto, settimo, ottavo anno di scolarit` ae dell’ultimo anno della scuola secondaria. I contenuti matematici delle indagini TIMSS riguardavano frazioni e il senso dei numeri, misure, rappresentazione ed analisi di dati e probabilit` a, geometria e algebra. I dati dell’indagine TIMSS 2003 relativi ai paesi partner sono stati riportati nella Tabella 6. Si noti che la Francia e la Germania non hanno partecipato alla rilevazione. Anche in questo caso l’Inghilterra `e tra i migliori, ma `e interessante ad osservare che l’Italia `e leggermente al di sopra delle medie internazionali mentre nell’indagine PISA `e notevolmente al di sotto della media internazionale. Per i dettagli sui risultati di PISA e TIMSS, riguardanti anche le indagini per aree geograﬁche e per tipo di scuola, il lettore interessato pu` o con-

Preparazione matematica: risultati di un test

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Tabella 6. TIMSS 2003: punteggi di matematica dei paesi partner Punteggio (errore standard) o

4 anno di scolarit` a Inghilterra 531 (3,7) Cipro 510 (2,4) Italia 503 (3,7) Media internazionale 495(0, 8) a 8o anno di scolarit` Inghilterra 498 (4,7) Italia 484 (3,2) Media internazionale 467(0, 5) Cipro 459 (1,7) ∗

∗

Procedura di campionamento delle classi non approvata

sultare il sito web dell’Istituto Nazionale per la Valutazione del Sistema dell’Istruzione [10].

Conclusioni Pur non dando risposte deﬁnitive, i risultati del test danno informazioni signiﬁcative sul livello delle conoscenze matematiche delle matricole universitarie. Gli studenti dell’Universit` a di Durham (una delle migliori universit` a britanniche) hanno ottenuto il punteggio pi` u alto, ma il test non permette una classiﬁca precisa degli altri paesi partner del progetto. Sono state evidenziate diﬃcolt`a in trigonometria, nelle derivate e negli integrali. Va per` o notato che in alcuni paesi partner il calcolo diﬀerenziale e integrale non fa parte dei programmi scolastici di tutti i tipi di scuola (come sarebbe auspicabile), ma solo in alcuni. Per facilitare la mobilit` a degli studenti `e quindi della massima importanza rendere uniformi le conoscenze matematiche di base in tutti i paesi europei. Dalla Tabella 4 si possono dedurre le eventuali diﬃcolt` a degli studenti che desiderino passare all’estero un periodo di studio; la Tabella potr`a quindi essere utile a coloro che progettano i curricula del primo anno di universit` a. Il test non esamina tutti gli aspetti dei programmi scolastici nei paesi partner, ad esempio uno studente inglese potrebbe entrare all’universit` a conoscendo gi`a elementi di meccanica razionale, cosa che non succede per nessuno degli altri partner. I risultati del test indicano che gli studenti che non hanno frequentato un corso avanzato di matematica nella scuola secondaria potrebbero trovarsi in forte disagio andando a studiare matematica o scienze in un altro Paese europeo.

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R¨ udiger Achilles

Nel settembre/ottobre 2004 il test `e stato ripetuto nelle Universit` a di Cipro (su un campione di 230 studenti) in quella di Durham (con un campione di 361 studenti) e in quella di Bochum: sono stati essenzialmente confermati i risultati del 2003, anche se gli studenti di Durham hanno raggiunto un punteggio leggermente pi` u alto (65% rispetto al 61% del 2003). Questo aumento percentuale `e probabilmente dovuto al fatto che per la prima volta nel 2004 agli studenti `e stato mandato materiale per autovalutare la propria preparazione prima del loro arrivo a Durham.

Riferimenti bibliograﬁci [1] [2] [3] [4] [5]

EURYDICE data base EURYBASE, http://www.eurydice.org/ Examination board AQA: http://www.aqa.org.uk/ Examination board Edexcel: http://www.edexcel.org.uk/ Examination board OCR: http://www.ocr.org.uk/ First Results from PISA 2003 - Executive Summary, http://www.pisa.oecd.org/dataoecd/1/63/34002454.pdf [6] G. James (2002) Mathematics in schools: Implications for undergraduate courses in engineering and other numerate disciplies, Mathematics Today, 146, pp. 140146 [7] Knowledge and Skills for Life - First Results from PISA 2000, Executive Summary, http://www.pisa.oecd.org/dataoecd/44/32/33691620.pdf [8] S. Mignani, R. Ricci Metodi statistici per la misurazione delle competenze: analisi della preparazione matematica delle matricole. In questo volume. [9] (1999) Syllabus di Matematica. Conoscenze e capacit` a per l’accesso all’Universit` a. Suggerimenti dell’Unione Matematica Italiana per la preparazione all’accesso alle Facolt` a scientiﬁche. Unione Matematica Italiana, Bologna [10] Sito web dell’Istituto Nazionale per la Valutazione del Sistema dell’Istruzione: http://www.cede.it/ [11] Sito web del Programme for International Student Assessment of the Organisation for Economic Co-operation and Development (PISA), http://www.pisa.oecd.org [12] Sito web del Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS), http://nces.ed.gov/timss/ and http://timss.bc.edu/ [13] The International Commission on Mathematical Instruction ICMI, Bulletin No. 43, December 1997. ICMI Study On the Teaching and Learning of Mathematics at University Level Discussion Document, http://www.mathunion.org/ICMI/bulletin/43/Study.html#curriculum

Metodi statistici per la misurazione delle competenze: analisi della preparazione matematica delle matricole Stefania Mignani, Roberto Ricci Dipartimento di Scienze Statistiche “Paolo Fortunati” - Universit` a di Bologna Via Belle Arti, 41 - 40126 Bologna [email protected]; [email protected]

Introduzione La valutazione delle competenze di uno studente `e un processo [8] che si compone di diverse fasi, tutte ugualmente importanti. Il processo di valutazione si articola infatti in tre momenti distinti, strettamente legati tra di loro, che trovano nel metodo statistico una loro base scientiﬁca: la deﬁnizione dell’oggetto di misurazione, la predisposizione di un adeguato strumento e l’analisi dei risultati ottenuti. Inoltre la scelta di uno strumento di misurazione non `e neutrale rispetto all’impostazione generale del sistema formativo oggetto di analisi, a qualunque livello esso sia inteso. In questo lavoro, l’oggetto di misurazione `e il livello di preparazione matematica di studenti che si apprestano ad iniziare un percorso universitario che preveda un esame di ambito matematico. Lo strumento impiegato `e un questionario composto da un insieme di domande a risposta multipla. Adeguati metodi statistico-psicometrici permettono di analizzare in modo scientiﬁcamente fondato i risultati del questionario e oﬀrono elementi per una valutazione delle competenze coerenti con le speciﬁcit`a del processo di insegnamento-apprendimento. Le analisi proposte si basano su metodologie sviluppatesi in ambito psicologico-educazionale alla ﬁne degli anni Sessanta. Tali strumenti permettono di valutare le competenze dello studente e le caratteristiche delle domande proposte nel questionario.

La valutazione statistica: la competenza come costrutto latente La fase di valutazione per accertare il livello di preparazione di un individuo sul tema oggetto di veriﬁca prevede l’analisi dei risultati ottenuti

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Stefania Mignani, Roberto Ricci

somministrando un questionario contenente domande, dette anche item, oppurtanamente deﬁnite. L’impostazione seguita tradizionalmente si fonda sulla Teoria Classica dei Test (TCT), che prevede di associare ad ogni item un punteggio in base alla risposta data dall’individuo e di determinare un giudizio globale come somma dei singoli punteggi. Tale metodologia presenta l’indubbio vantaggio di essere semplice da applicare e di basarsi su procedure ormai consolidate. Tuttavia essa non consente di formulare dei giudizi che siano indipendenti dal gruppo di soggetti che hanno risposto al questionario, determinando quindi notevoli diﬃcolt` a di comparazione tra gruppi di studenti. Si deve aggiungere inoltre che la TCT non dispone di strumenti che permettano di esprimere un giudizio sulla qualit` a delle domande, ovvero sulla loro maggiore o minore diﬃcolt`a o sulla loro capacit`a di cogliere le diﬀerenze di preparazione tra studenti diversi per conoscenze ed abilit` a. Agli inizi degli anni Sessanta, in ambito psicometrico-educazionale, si `e sviluppata una nuova impostazione metodologica, nota come Item Response Theory [5], che tratta, in un’unica soluzione, le caratteristiche delle domande e la competenza (in questo contesto chiamata abilit`a) del soggetto, intesa come dimensione latente sottostante al processo di apprendimento. Seguendo questa teoria vengono deﬁniti opportuni modelli che esprimono la probabilit` a di rispondere esattamente ad una domanda in funzione delle competenze dello studente e delle caratteristiche della domanda stessa, traducendole in un’unica scala. Secondo l’IRT [4] la variazione nelle risposte fornite `e attribuita formalmente a parametri riguardanti sia gli item sia i soggetti. In altri termini la risposta di un individuo ad un particolare item dipende sia dalle sue caratteristiche (capacit`a, attitudine, . . . ) sia da quelle dell’item (diﬃcolt` a, potere discriminante, . . . ). La relazione tra la risposta e la dimensione latente viene descritta attraverso una funzione monotona non decrescente, secondo la quale all’aumentare del livello dell’abilit` a dello studente aumenta la probabilit` a di rispondere correttamente ad un item. La distinzione tra i diversi modelli IRT dipende dalla forma funzionale adottata, dal numero dei parametri e dalla tipologia delle risposte all’item. Queste ultime possono ricondursi sostanzialmente a tre tipologie: risposta dicotomica quando le opzioni sono solo due (vero/falso, s`ı/no); risposta politomica quando le opzioni tra cui scegliere quella esatta sono pi` u di due (multiple-choice item) e risposta ordinale quando la scelta di una data opzione rappresenta un determinato livello di preparazione. In questo ultimo caso non si deve ragionare in termini di risposta esatta o sbagliata, ma l’opzione prescelta, anche se non quella completamente corretta, fornisce comunque un’informazione sul livello di conoscenza raggiunta. L’apparato metodologico-concettuale su cui si sviluppa l’IRT presenta alcuni vantaggi rispetto alla soluzione che segue la TCT [3]. In particolare una volta che il questionario `e stato validato a seguito di una accurata fase di calibrazione degli item, ovvero dopo che sono stati testati su un numero adeguato di soggetti veriﬁcandone la coerenza col costrutto da misurare, le caratteri-

Metodi statistici per la misurazione delle competenze

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stiche di un item non dipendono dal campione di soggetti in base al quale sono state determinate. Ci`o permette di costruire gruppi di domande equivalenti in termini di capacit` a di misurazione da cui attingere per la formulazione di questionari standardizzati in funzione della competenza che si vuole misurare. Inoltre, adottando un modello di IRT, si pu` o valutare l’equivalenza, in termini di performance, di gruppi di rispondenti con caratteristiche diverse.

I modelli di Item Response Theory Come gi`a accennato precedentemente, l’IRT si basa sul concetto fondamentale di abilit` a, intesa come costrutto non direttamente osservabile, in termini statistici “variabile latente”. Il livello di abilit` a di una persona `e messo in relazione con le risposte ad un test attraverso un modello matematico; esso permette di individuare sia il livello della variabile latente sia le propriet` a delle domande che sono collegate alle risposte. Pi` u precisamente la funzione matematica descrive la relazione tra la probabilit` a di fornire una certa risposta ad un item ed il livello di abilit` a individuale. Ciascun modello `e caratterizzato da uno o pi` u parametri i cui valori numerici apportano delle informazioni circa le propriet`a delle domande stesse. Queste ultime, dette propriet` a psicometriche, permettono di mettere in evidenza alcune peculiarit` a dei quesiti, come la loro diﬃcolt`a, la loro capacit` a di diﬀerenziare rispondenti con preparazione diversa, ecc. La scelta di un particolare modello dipende da diverse considerazioni sulla natura dei dati e sulle ﬁnalit` a conoscitive per cui si `e predisposto il test. Un aspetto rilevante riguarda infatti la tipologia delle domande, le cui modalit` a di risposta sono strettamente legate alle caratteristiche del processo di valutazione. Un altro elemento fondamentale nella selezione del modello pi` u adeguato `e strettamente legato alla fase di valutazione che si sta aﬀrontando: occorre infatti distinguere il momento della calibrazione del questionario dal momento pi` u tecnico della misurazione. Questo comporta, come vedremo in seguito, il ricorso a soluzioni modellistiche diverse anche se ovviamente tutte appartenenti allo stesso apparato metodologico dell’IRT. I modelli per risposte dicotomiche Il questionario pu` o essere composto da item che prevedono due sole possibili risposte (ad esempio vero o falso, s`ı o no, . . . ); in tal caso i dati che vengono considerati nel modello si deﬁniscono dicotomici. La probabilit` a Pi (θ) di dare la risposta deﬁnita come corretta ad una particolare domanda i `e espressa in funzione dell’abilit` a, indicata con θ. Per ognuna delle domande si pu` o quindi costruire una funzione non decrescente chiamata curva caratteristica dell’item (CCI). A seconda della forma funzionale e dei parametri della curva si hanno modelli che si caratterizzano per le diverse propriet`a psicometriche considerate.

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La soluzione pi` u frequentemente adottata considera come forma funzionale quella esponenziale. In tale modo, tracciando un graﬁco nel quale si posizionano sull’asse delle ascisse i valori di θ, solitamente con θ ∈ [−3; 3] e sull’asse delle ordinate i valori della probabilit` a Pi (θ), ovviamente compresi tra 0 ed 1, la curva assume una forma ad S , in cui a bassi livelli di abilit` a corrispondono basse probabilit` a di rispondere correttamente alla domanda, mentre ad alti valori di θ corrispondono elevate probabilit` a. Ci`o signiﬁca che all’aumentare di θ aumenta anche Pi (θ) (vedi Fig. 1).

Figura 1. Curva caratteristica di un item

Il numero diverso di parametri che possono essere inclusi nella forma esponenziale deﬁniscono altrettanti modelli con caratteristiche diﬀerenti.

Il modello a un parametro: il modello di Rasch Questo modello introdotto da Rasch nel 1960 [6] rappresenta la soluzione pi` u spesso adottata per la sua semplicit`a calcolatoria e interpretativa. Sia Xi l’i -esimo item del questionario, indicata con Xi = 1 la risposta a di scegliere la prima corretta e con Xi = 0 la risposta sbagliata, la probabilit` opzione, dato un certo livello θ, `e cos`ı deﬁnita: e(θ−bi ) (1) 1 + e(θ−bi ) dove bi `e il parametro di diﬃcolt` a dell’item i, ossia il valore dell’abilit` a per cui il soggetto ha una probabilit` a uguale a 0,5 di fornire una risposta corretta. La Figura 2 rappresenta la curva caratteristica di due item con diverso parametro di diﬃcolt` a. P (Xi = 1|θ) = Pi (θ) =

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Figura 2. Curva caratteristica di due item con diversa diﬃcolt` a

La curva 2 si riferisce ad un item pi` u diﬃcile in quanto per avere una probabilit` a 0,5 di rispondere correttamente occorre avere un livello di abilit` a pi` u alto. Infatti si pu` o notare che la curva 2 `e spostata verso destra rispetto alla curva 1.

Il modello a due parametri Pu` o essere interessante studiare un’altra caratteristica psicometrica di un quesito: il potere discriminante che descrive la capacit`a di una domanda di diﬀerenziare gli esaminati in base al livello di abilit` a. Il modello a due parametri, introdotto da Birnbaum nel 1968 [2], assume la seguente formulazione: eai (θ−bi ) (2) 1 + eai (θ−bi ) dove ai rappresenta il parametro di discriminazione. Dal punto di vista matematico questo parametro risulta proporzionale alla pendenza della curva nel punto θ = bi . Dal punto di vista teorico `e deﬁnito su tutto lo spazio R, tuttavia sotto il proﬁlo applicativo (fenomenico) `e ristretto all’intervallo [0; 2,0], in quanto un valore negativo rappresenterebbe il caso in cui soggetti con abilit`a alte hanno una probabilt` a minore di scegliere l’opzione corretta rispetto a soggetti con abilit`a pi` u basse. Questa ultima circostanza `e rappresentata dalla Figura 3 dove si pu` o comprendere con facilit` a come un valore negativo di a produca risultati non auspicabili. Infatti si pu` o notare come in un tale situazione al crescere dell’abilit`a θ lo studente abbia una probabilit` a via via decrescente di fornire una risposta corretta. P (Xi = 1|θ) = Pi (θ) =

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Figura 3. Curva caratteristica di un item con potere discriminante negativo

La Figura 3 rappresenta la curva caratteristica di due item con diverso potere discriminante.

Figura 4. Curve caratteristiche di un item con diverso potere discriminante

La curva 1 presenta maggiore potere discriminante evidenziato da una maggiore pendenza nel punto di ascissa θ = bi : a parit`a di variazione crescente dell’abilit`a aumenta maggiormente la probabilit` a di risposta corretta. Un valore pi` u elevato del parametro di discriminazione permette quindi di cogliere meglio le diﬀerenze delle abilit`a tra i soggetti.

Metodi statistici per la misurazione delle competenze

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Il modello a tre parametri Esiste anche la possibilit` a di includere nel modello un terzo parametro (guessing parameter ) che rappresenta la probabilit` a di rispondere in modo corretto alla domanda anche se non si possiedono adeguate conoscenze o se si possiede un livello di abilit` a molto basso. Il modello a tre parametri assume la seguente formulazione: eai (θ−bi ) (3) 1 + eai (θ−bi ) Il parametro ci rappresenta l’asintoto orizzontale inferiore della curva, ovvero la probabilit` a di un soggetto con abilit` a molto bassa di dare la risposta esatta alla domanda i. Infatti `e possibile immaginare che, indipendentemente dal livello di preparazione, un soggetto abbia sempre una probabilit` a non nulla di scegliere a caso la risposta corretta. Tale probabilit` a `e ovviamente inversamente proporzionale al numero delle opzioni di risposta proposte per ciascun item. La Figura 3 rappresenta la curva caratteristica di un item con parametro di guessing diverso da zero. P (Xi = 1|θ) = Pi (θ) = ci + (1 − ci )

Figura 5. Curva caratteristica di un item secondo il modello 3-PL

Dal punto di vista applicativo ci viene intepretato come probabilit` a di scegliere a caso la risposta corretta, e pertanto assume un ruolo pi` u rilevante quando si hanno diverse risposte tra cui scegliere, situazione descritta nel paragrafo successivo.

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I modelli per risposte politomiche: il modello multiple-choice La formulazione tipica di una domanda a risposta multipla `e caratterizzata da un insieme di opzioni di cui una corretta e le restanti errate. Queste ultime vengono comunemente denominate “distrattori” poich´e costituiscono una sorta di eﬀetto di disturbo per i rispondenti, specie per quelli che non conoscono la risposta corretta. Come per i modelli precedenti, anche il modello multiple-choice `e descritto da funzioni di risposta che consentono di eﬀettuare un’analisi graﬁca delle performance della domanda considerata. La teoria classica dei test non permette di studiare adeguatamente il comportamento delle opzioni non corrette poich´e essa si basa sull’assunzione di monotonicit` a della relazione tra abilit` a e probabilit` a di scegliere una data risposta. Tale andamento della funzione di risposta non pu` o essere seguito dalle opzioni non corrette, perch´e una modellizzazione adeguata deve dar ragione del fatto che i distrattori di un item, ovvero le opzioni non corrette, hanno probabilit` a di essere selezionati che pu`o essere crescente o decrescente per abilit`a medio-basse, ma certamente decrescente per abilit`a alte. In altri termini, la formulazione delle risposte errate deve essere tale che esse siano via via meno in grado di attirare le preferenze dei rispondenti pi` u preparati. Il modello multiple-choice `e caratterizzato da una funzione parametrica che permette di tracciare un graﬁco come quello della Figura 4.

Figura 6. Funzioni di risposta di un modello Multiple-choice

L’analisi della performance di un item [9], specie nella fase di calibrazione della domanda stessa, pu` o essere realizzata eﬃcacemente proprio utilizzando graﬁci come quelli della Figura 4. In particolare le funzioni di risposta per cia-

Metodi statistici per la misurazione delle competenze

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scuna delle m opzioni di un item multiple-choice sono espresse dalla seguente relazione: P (Xi = h|θ) = Pi (θ) =

exp[ah θ + ch ] + dh exp[a0 θ + c0 ] m k=0 exp[ak θ + ck ]

(4)

dove θ rappresenta, come di consueto, la variabile latente. Pi` u precisamente la (4) indica la probabilit` a che la risposta dell’individuo ricada sull’opzione h, con h = 1, 2, . . . , m. La categoria 0 indica, invece, un’opzione ﬁttizia di risposta indicata con DK (don’t know ). L’idea `e che gli individui che non conoscono la risposta esatta formino una classe teorica la cui funzione di risposta `e: exp[a0 θ + c0 ] P (Xi = 0|θ) = m k=0 exp[ak θ + ck ]

(5)

I soggetti che appartengono a questa classe forniscono una risposta scegliendo a caso una determinata opzione ed il parametro d della (4) rappresenta proprio la proporzione di coloro che scelgono quella risposta in modo casuale. La lettura dei parametri si diﬀerenzia invece da quella illustrata per i modelli che prevodono domande a risposta dicotomica. Il parametro a rispecchia in un certo qual modo l’ordinamento delle opzioni. Per domande opportunamente calibrate le opzioni con bassi valori di a (solitamente negativi) mostrano su quasi tutto il dominio di θ un andamento decrescente, mentre quella con il valore maggiore di a, l’opzione corretta, un andamento sostanzialmente monotono non decrescente. Le alternative con valori intermedi hanno invece un funzione di risposta non monotona. Il parametro c rispecchia invece la frequenza relativa di selezione di ciascuna opzione.

Il test nell’ambito del progetto “Mathematics in Europe” Uno degli aspetti considerati nell’ambito del Progetto Socrates “Mathematics in Europe” `e la valutazione della competenza matematica degli studenti che si aﬀacciano all’universit` a per seguire un percorso formativo che preveda almeno un esame di contenuto matematico. A tale riguardo `e stato predisposto un questionario, somministrato alle matricole di alcuni corsi di studio dei cinque stati partecipanti al progetto: Cipro, Francia, Germania, Gran Bretagna e Italia (si veda [1]). Il questionario `e composto da 14 domande a scelta multipla (multiple choice item) con cinque modalit`a di risposta di cui una sola esatta. Le domande possono essere classiﬁcate in tre gruppi tematici omogenei: 1) equazioni e disequazioni (domande 2, 4, 9, 11), 2) calcolo diﬀerenziale ed integrale (domande 6, 7, 13, 14), e 3) logica, trigonometria e geometria (domande 1, 3, 5, 8, 10, 12).

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Il questionario `e stato somministrato a 3441 studenti all’inizio dell’anno accademico 2003-2004. Nella Tabella 1 `e riportato il numero dei partecipanti di ciascun ateneo coinvolto nel progetto. Tabella 1. Studenti partecipanti Universit` a

Studenti

Bayreuth (D) Bochum (D) Bologna (I) Bordeaux (F) Catania (I) Cipro (CY) Durham (GB) Freiburg (D) Parigi VII (F)

221 316 1648 60 275 196 392 350 46

Ai risultati del questionario1 , opportunamente codiﬁcati, sono applicati i modelli psicometrici descritti nei paragraﬁ precedenti2 .

La performance delle domande La calibrazione L’analisi delle caratteristiche di ciascuna domanda e conseguentemente la misurazione dell’abilit` a dello studente `e concettualmente preceduta dalla veriﬁca della coerenza degli item con il costrutto da misurare. Questo momento `e rappresentato dalla fase di calibrazione che permette di selezionare i quesiti adeguatamente formulati sia sotto il proﬁlo della domanda sia delle risposte. A tal ﬁne la calibrazione pu` o essere eﬀettuata impiegando il modello di Thissen descritto nel paragrafo sui “modelli per risposte politomiche”. Secondo questo modello `e necessario valutare l’andamento della curva caratteristica di ciascuna opzione di risposta corretta o errata. L’analisi condotta sul questionario somministrato ha mostrato una performance accettabile per la maggior parte delle domande; solo per alcune sarebbe auspicabile apportare delle modiﬁche per migliorarne le propriet` a psicometriche. Pi` u in dettaglio, la formulazione dell’opzione corretta della maggior parte delle domande `e adeguata per soggetti con livello di abilit` a medio-alta. Al 1 2

L’elaborazione non comprende i dati dei due atenei francesi in quanto non sono state rese disponibili le informazioni relative ai singoli questionari. Per l’elaborazione `e stato utilizzato il software MULTILOG 7.0.3.

Metodi statistici per la misurazione delle competenze

33

contrario, per i rispondenti con abilit` a pi` u bassa, la probabilit` a di selezionare l’opzione corretta non cresce al crescere dell’abilit`a, anzi per taluni item si registra un andamento decrescente. Per alcune domande (4, 6 e 8) si evidenzia un comportamento non adeguato, ovvero diverso da quello rappresentato nella Figura 4: per livelli di abilit` a medio-bassi risulta troppo ampio l’intervallo di valori di abilit` a in cui la probabilit` a di scegliere una risposta sbagliata `e maggiore di quella di selezionare la modalit` a giusta. Tuttavia non si `e ritenuto opportuno escludere nessuna domanda anche se l’analisi successiva volta allo studio delle abilit`a non pu` o prescindere da quanto emerso nella fase di calibrazione. La stima dei parametri Il momento logico successivo a quello della calibrazione `e rappresentato dalla determinazione numerica (stima) delle caratteristiche psicometriche di ciascun item e dell’abilit` a. La realizzazione di questa fase `e eﬀettuata utilizzando il modello a tre parametri, pi` u agile dal punto di vista computazionale e pi` u esplicativo sotto il proﬁlo statistico. La scelta di questo modello trova anche giustiﬁcazione nel fatto che le opzioni di risposta errate sono tutte equivalenti dal punto di vista del contenuto. Alla luce di ci` o si sono ridotte a due le modalit`a di risposta: corretta e sbagliata. Le tabelle seguenti riportano una classiﬁcazione dei tre gruppi di domande in base ai valori dei tre parametri stimati per ciascun item3 . Tabella 2. Parametro di diﬃcolt` a Livello di bi Basso Medio Moderatamente alto

Gruppi tematici Logica, Geometria e Trigonometria Equazioni e Disequazioni Calcolo integrale e diﬀerenziale

Tabella 3. Parametro di discriminazione Livello di ai Basso Moderatamente basso Medio

3

Gruppi tematici Logica, Geometria e Trigonometria Equazioni e Disequazioni Calcolo integrale e diﬀerenziale

Anche in questo caso l’elaborazione `e stata eﬀettuata con MULTILOG 7.0.3.

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Stefania Mignani, Roberto Ricci Tabella 4. Parametro di guessing Livello di ci

Gruppi tematici

Moderatamente basso Moderatamente alto

Eq. e Diseq., Calcolo integrale e diﬀ. Logica, Geometria e Trigonometria

Dalla Tabella 2 si pu` o rilevare che nessun item ha un elevato parametro di diﬃcolt`a. Le domande relative al calcolo integrale e diﬀerenziali sono comunque quelle risultate pi` u diﬃcili, ovvero che richiedono un pi` u elevato livello di abilit` a per avere una probabilit` a di fornire una risposta corretta pari a 0,5. Un’analisi pi` u approfondita richiede di considerare congiuntamente anche i valori dei parametri di guessing e di discriminazione. Infatti come si deduce dalle Tabelle 3 e 4 gli item pi` u facili sono quelli che meno discriminano soggetti con abilit`a diverse e che presentano guessing pi` u elevato. Questo pu`o determinare una ridotta capacit` a del questionario di graduare adeguatamente gli studenti con abilit` a pi` u basse.

La performance degli studenti L’analisi basata semplicemente sul numero di risposte corrette non permette di cogliere adeguatamente le diﬀerenze tra le performance degli studenti. I risultati ottenuti con gli strumenti di IRT oﬀrono invece la possibilit` a di graduare con maggiore dettaglio il livello di preparazione matematica raggiunto da ogni rispondente. Infatti una delle peculiarit` a principali dell’IRT `e quella di determinare simultaneamente la stima dei parametri che descrivono le propriet`a psicometriche di ciascuna domanda e l’abilit` a di ogni studente. Quest’ultima `e ottenuta considerando congiuntamente le risposte a tutte le domande del questionario. In particolare l’abilit` a di un soggetto `e calcolata associando le risposte a ciascuna domanda mediante il seguente prodotto (funzione di verosimiglianza): n

[Pi (θ)]ui [1 − Pi (θ)]1−ui

(6)

i=1

dove n `e il numero di item che compongono il questionario (nel caso in esame 14) e dove ui assume il valore 1 se Xi = 1 e 0 se Xi = 0. Il valore di θ di ogni individuo `e determinato applicando alla (6) una procedura di stima statistico-numerica denominata marginal maximum likelihood. La distribuzione delle abilit` a cos`ı stimate per l’intero gruppo di studenti `e illustrata nella Figura 5. Alcuni indicatori di sintesi di tale distribuzione sono riportati nella Tabella 5.

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Figura 7. Distribuzione complessiva delle abilit` a Tabella 5. Indicatori di sintesi Indicatori

Valori

Minimo Massimo Mediana Media Deviazione std

-1,494 2,530 0,018 0,089 0,778

La distribuzione evidenzia un comportamento sostanzialmente soddisfacente dell’abilit`a degli studenti, come confermato anche dai valori degli indicatori di sintesi riportati in Tabella 5. Infatti entrambi i valori medi si posizionano intorno allo 0, valore centrale dell’intervallo delle abilit` a. Occorre sottolineare per`o che, come evidenziato nel paragrafo “La Calibrazione”, il questionario non gradua con suﬃciente precisione gli studenti con abilit` a basse. Infatti la distribuzione in Figura 5 presenta asimmetria positiva, ovvero la coda sui valori positivi `e pi` u lunga di quella sui valori negativi. Si nota inoltre che il massimo eﬀettivo raggiunto dalle abilit` a `e abbastanza vicino a quello teorico, mentre ci` o non accade per il valore minimo, confermando ulteriormente la capacit` a del questionario di cogliere meglio le performance degli studenti con abilit` a alte. Secondo l’impostazione IRT, stimati i parametri di ciascuna domanda, `e possibile calcolare le abilit`a per sottogruppi di rispondenti per individuare eventuali similarit` a o diﬀerenze. Nel caso in esame pare interessante analizzare le performance degli studenti dei diversi Stati. La Figura 6 illustra a sinistra la distribuzione dell’abilit` a degli studenti italiani e a destra quella degli studenti tedeschi.

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Stefania Mignani, Roberto Ricci

Figura 8. Distribuzione dell’abilit` a - Italia e Germania

La Figura 7 illustra a sinistra la distribuzione dell’abilit` a degli studenti britannici e a destra quella degli studenti ciprioti.

Figura 9. Distribuzione dell’abilit` a - Gran Bretagna e Cipro

La Tabella 6 riporta gli indicatori di sintesi delle distribuzioni degli studenti dei quattro Stati. Dal confronto delle distribuzioni non emergono diﬀerenze sostanziali e si conferma quanto sottolineato per valori bassi dell’abilit` a. Tuttavia gli studenti britannici e ciprioti presentano una performance migliore, come evidenziato anche dagli indicatori di sintesi. Occorre per` o tenere conto che i gruppi non sono omogenei rispetto al corso di studio intrapreso, infatti le matricole di

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Tabella 6. Indicatori di sintesi Indicatori

Italia Germania G. Bretagna Cipro

Minimo Massimo Mediana Media Deviazione std

-1,494 2,530 -0,072 -0,008 0,776

-1,494 2,530 0,194 0,260 0,761

-0,882 2,530 0,969 0,931 0,655

-1,016 1,889 0,459 0,463 0,631

Gran Bretagna e Cipro sono iscritte a corsi a forte contenuto scientiﬁco. Dal punto di vista fenomenico i risultati ottenuti indicano una preparazione matematica sostanzialmente adeguata delle nuove matricole. Tuttavia il questionario predisposto ha mostrato alcuni punti critici che non devono essere trascurati e che suggeriscono eventuali modiﬁche e miglioramenti da apportare in una nuova fase di progettazione della ricerca, al ﬁne di trovare conferma di quanto emerso.

Riferimenti bibliograﬁci [1] R. Achilles La preparazione matematica delle matricole nelle universit` a europee: risultati di un test. In questo volume. [2] A. Birnbaum (1968) Some latent trait models and their use in inferring an examinee’s ability, in: F.M. Lord, M.E. Novick (eds.), Statistical theories of mental test scores, Addison-Wesley Publishing Co, Reading, MA 1968 [3] R.K. Hambleton, H. Swaminathan (1985) Item Response Theory, Kluwer Nijhoﬀ Publishing, Boston [4] F.M. Lord (1980) Applications of item response theory to practical testing problemas, Erlbaum, Hillsdale, N.J. [5] F.M. Lord, M.E. Novick (1968) Statistical theories of mental test scores, Addison-Wesley Publishing Co, Reading, MA [6] G. Rasch (1960) Probabilistic Models for Some Intelligence and Attainment Tests, Danish Institute for Educational Research, Copenhagen [7] L. Steinberg, D. Thissen (1984) A response model for multiple choice items. Psychometrika, 49, pp. 501-519 [8] S.S. Stevens (1946) On the theory of scales of measurement, Science, 161, pp. 677-680 [9] H. Wainer (1989) The future of item analysis, Journal of Educational Measurement, 26, pp. 191-208

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Matematica e media: strumenti, aspettative, risultati a cura di Simonetta Di Sieno† Centro matematita, Dipartimento di Matematica “F. Enriques” Via Saldini 50, 20133 Milano [email protected]

SIMONETTA DI SIENO: Qualche anno fa, se avessimo avuto la possibilit` a di incontrarci per discutere della divulgazione matematica in Italia, ci saremmo probabilmente dovuti limitare a descrivere una situazione molto diﬃcile e ad analizzarne le cause, per un verso remote e per l’altro esterne al mondo matematico: dalla ﬁlosoﬁa delle due culture al disinteresse dei media verso le discipline scientiﬁche e verso la matematica in particolare. E ci saremmo preoccupati di giustiﬁcare la necessit` a della divulgazione. In ﬁn dei conti, ricercatori di grande rilievo come Jean Dieudonn´e escludono che la scienza sia una cosa facile da capire e da spiegare in poche righe di giornale o in pochi minuti di trasmissione. E pensano che la vera comunicazione venga svolta (o dovrebbe essere svolta) all’interno delle scuole e delle universit`a e che non ci siano facili scorciatoie per comprendere appieno idee e concetti che spesso sono il prodotto di anni di studi e di ricerche. Negli ultimi tempi invece l’attenzione che i media dedicano alla “regina delle scienze” si `e fatta comunque pi` u viva, ﬁno a diventare quasi un fatto di costume. Cosi oggi abbiamo invitato i relatori a costruire un momento di riﬂessione comune sullo stato della comunicazione matematica, in modo che ne venga un quadro utile non solo per chi come noi si trova oggi a lavorare in quest’ambito, ma anche per i docenti delle scuole secondarie che in realt`a sono i veri divulgatori della matematica. Cominciamo, in maniera forse un po’ inusuale, chiedendo al dott. Massimo Armeni, che non `e un matematico, che quando era ragazzino non amava la matematica, ma che ora `e il responsabile del Pirelli Internetional Award (un premio per la comunicazione scientiﬁca multimediale del gruppo Pirelli) e quindi con la matematica deve confrontarsi, di spiegarci perch´e da parte del suo staﬀ ci sia una grossa sollecitazione a presentare prodotti matematici. Quale importanza assegna ad una buona divulgazione matematica? Qual `e la †

Con interventi di Massimo Armeni, Umberto Bottazzini, Carla Cardano, Michele Emmer, Marco Franciosi, Piergiorgio Odifreddi, Chiara Orsi, Giuliano Spirito.

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Simonetta Di Sieno

situazione da questo punto di vista? MASSIMO ARMENI: Che cosa c’entra la Pirelli con la divulgazione scientiﬁca? Alcune risposte sono ovvie: non si costruisce tecnologia se non si parte dalla scienza sia per quanto riguarda l’attivit` a di ricerca (per fare un pneumatico serve pi` u un matematico che un ingegnere, adesso) sia per quanto riguarda le applicazioni industriali, la produzione vera e propria. Ma esiste un rapporto che attiene di pi` u alla dimensione culturale della scienza - e della matematica in particolare - che ha gi`a una storia interessante: negli anni Cinquanta e Sessanta del secolo scorso i famosi quaderni Pirelli sono stati punto di riferimento culturale importantissimo per diversi scienziati e matematici. Ora, come `e gi`a stato accennato da Simonetta, negli ultimi anni c’`e stato un interessamento particolare dello staﬀ del premio Pirelli nei confronti della matematica. Tutto `e nato da una mia curiosit` a personale: nell’albo d’oro delle prime sei-sette edizioni dei nostri vari premi ﬁno al 2001, trovai tantissimi ﬁsici, chimici, e. . . un solo matematico; quindi mi sono domandato: perch´e non ci sono matematici? Una risposta poteva essere che i matematici non avevano vinto perch´e non avevano partecipato in un numero signiﬁcativo. Sono andato a controllare e ho veriﬁcato che, delle candidature che ci erano arrivate, il 5% poteva essere attribuito alla matematica. Sembrava una percentuale signiﬁcativa, ma entrando nel dettaglio mi sono reso conto che, pi` u che matematici, i partecipanti erano graﬁci e/o artisti che con il computer si divertivano a illustrare, esplorare alcune teorie matematiche, ma che nessuno di loro si preoccupava di spiegare che cosa succedeva. E quindi la percentuale diventava molto meno importante. Continuavo a non aver risposta per le domande: `e la gente che riﬁuta la matematica? Oppure `e la matematica che riﬁuta la gente? Ho cominciato allora a darmi da fare: mi sono messo a scrivere e la punta dell’iceberg (tale `e stata la mia impressione quando ho cominciato a trattare con chi di questa disciplina si occupa) mi ha risposto, ho cominciato a parlare con un po’ di matematici, ho messo dei post-it sui newsgroup delle varie associazioni e. . . la situazione `e migliorata, perch´e la notizia del premio `e circolata un po’ di pi` u e siamo passati dal 5% al 10%. I numeri sono diventati statisticamente pi` u signiﬁcativi, ma soprattutto `e migliorata la qualit` a delle partecipazioni tanto che per due anni di seguito abbiamo avuto due vincitori dall’ambito matematico. Ma torniamo alla punta dell’iceberg. Io vorrei capire (e vi rilancio la domanda) perch´e la matematica sembri, dal mio osservatorio, un po’ pi` u chiusa delle altre discipline, un po’ pi` u indiﬀerente alle questioni della comunicazione. Io credo che la multimedialit` a sia una grande opportunit` a per chi vuole comunicare matematica. Ho fatto un piccolo esercizio su Internet: una ricerca con “matematica e multimedialit` a” su un motore di ricerca inglese mi ha dato in eﬀetti una serie di risultati enormi, straordinari. Li ho divisi nelle seguenti categorie: cd e software didattici; giochi matematici per adulti e per bambini; le cosiddette web community, cio`e gli spazi virtuali di appassionati, non solo

Matematica e media: strumenti, aspettative, risultati

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insegnanti; riviste; magazine on line e in genere risorse per l’insegnamento, cio`e risorse che costituiscono il metodo pi` u veloce ed eﬃcace per l’aggiornamento degli insegnanti. Quello che appare `e quindi soltanto una punta di iceberg, una punta che sporge, ma che ha una grande parte ancora sott’acqua: ora occorre darsi da fare per portarla fuori dall’acqua. Imparando da altri: nel caso della ﬁsica, per esempio, la punta `e molto fuori dall’acqua! Sono stato a Pavia nei giorni scorsi ad una riunione dell’AIF (Associazione Insegnanti di Fisica) in cui si discuteva delle iniziative da prevedere per il 2005, anno della ﬁsica: era un ﬁorire di proposte e tutti quanti partecipavano in maniera attiva. Io auspico che ci`o accada anche per la matematica. DI SIENO: Con l’auspicio di Massimo entriamo direttamente nel vivo della questione. I tentativi per superare la sensazione di estraneit`a che molti avvertono nei confronti della matematica (Massimo si domanda: `e la matematica che riﬁuta la gente?) e per portare all’evidenza la parte dell’iceberg che sta sott’acqua hanno come teatro molti settori della comunicazione: il prof. Umberto Bottazzini del Dipartimento di Matematica dell’Universit` a di Milano pu` o descriverci quanto accade nel mondo dei quotidiani e dirci come valuta la stato della divulgazione matematica sui nostri giornali. UMBERTO BOTTAZZINI: Per rispondere alla domanda di Simonetta lasciatemi ricordare un poco la storia che ho sperimentato vivendo ormai da tanti anni nel mondo dei periodici. Quando ho cominciato, il capo redattore mi ha detto: “Guarda che i tuoi lettori saranno analfabeti in matematica, quindi devi immaginare di scrivere per un lettore del genere”. In realt` a il punto di partenza non era esattamente vero (i lettori non sono cos`ı analfabeti), per` o l’indicazione d` a un’idea del tipo di linguaggio che si riteneva adeguato per parlare di argomenti di tipo scientiﬁco, in particolare matematico. Inoltre le cose che scrivevo allora (e scrivo oggi) sono ospitate in un inserto culturale del quotidiano, non un inserto del genere “scienza e tecnica”, ma un inserto che tratta i pi` u diversi argomenti di “cultura e varia umanit` a”, come si diceva una volta. Lo spazio che ho ora sta in una pagina che si intitola: “Scienza e ﬁlosoﬁa”, tanto per essere espliciti. Che cosa si pu`o fare allora? Che tipo di comunicazione? Io preferisco parlare di comunicazione pi` u che di divulgazione, perch´e mi sembra che quello che si pu`o fare sulla carta stampata sia comunicare l’interesse e stimolare a leggere, pi` u che divulgare nel senso di raccontare ogni particolare del risultato. Per comunicare, una delle cose che secondo me `e utile, almeno una che io ho usato molto, `e il fatto di raccontare delle storie, cio`e l’usare anche la storia come elemento di introduzione al tema che si vuole trattare in un certo testo. Il testo in genere `e una recensione di un libro, quindi si tratta di un passaggio “di secondo grado”: il mio non `e un lavoro di divulgazione, ma `e un lavoro di comunicazione di lavori di divulgazione. ` evidente a tutti che La situazione `e cambiata dai miei primi articoli. E siamo di fronte a una maggiore produzione nel campo della comunicazione-

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divulgazione matematica rispetto a quindici anni fa; adesso io sono sommerso da libri di questo tipo, mentre allora ce n’erano cinque o sei all’anno, se andava bene. Inoltre c’`e un livello di divulgazione pi` u raﬃnato: si pubblicano libri su argomenti abbastanza soﬁsticati. Ad esempio, l’ultimo articolo che ho scritto riguarda un libro che parla dell’ipotesi di Riemann, un pezzo che sarebbe stato impensabile quindici anni fa. Cos`ı come sarebbe sembrato fantascienza il fatto che un editore pubblicasse un libro sull’ipotesi di Riemann. Ci`o detto, che cosa si pu`o fare sui quotidiani? Si possono fare due tipi di cose essenzialmente, di cui il primo `e appunto scrivere sui libri cercando di spiegare quale `e l’importanza dell’argomento trattato e cercando di invogliare alla lettura. Io penso che questo sia gi` a un buon risultato che talvolta si ottiene e talvolta no. Naturalmente tutti quelli che hanno scritto recensioni di libri sanno che di un libro si pu` o dire genericamente bene oppure si pu`o dire che ci sono errori o imprecisioni. A mio parere un’analisi puntuale di un testo `e molto diﬃcile da fare in un articolo di giornale, in un articolo per un quotidiano con la tiratura di 400.000 copie, perch´e si farebbe un lavoro che interessa soltanto una frazione trascurabile di lettori. Secondo me invece vale la pena, e personalmente l’ho fatto spesso, di esporre delle riﬂessioni fortemente critiche quando si ha a che fare con un libro che riteniamo controproducente: di fronte a un libro che sta avendo un grande successo editoriale, mi `e capitato di scrivere, anche se normalmente non faccio queste cose, “attenzione, questo libro `e pieno di errori, di sciocchezze”. Se invece `e un bel libro, lo dico apertamente, anche se gi`a si capisce (credo) dalla recensione. Un’altra cosa che si pu` o fare, e talvolta si fa, `e quella di commentare risul` successo ad esempio tati matematici che raggiungano il mondo dei giornali. E nel caso della prima veriﬁca della relativit` a, quando il New Work Times pubblic`o un articolo in prima pagina con il titolo “Rivoluzione della scienza. . . ”. Lo stesso quotidiano ha messo in prima pagina anche il risultato di Wiles a proposito del teorema di Fermat e del resto anche in Italia a volte i grandi risultati hanno avuto l’onore della prima pagina. Sfortunatamente, non sempre `e andata bene come con Wiles: in un paio di altre occasioni sono state messe in prima pagina delle notizie false, come quella della dimostrazione della congettura di Poincar´e qualche anno fa. Cos`ı bisogna stare molto attenti: si corre il rischio di riprendere notizie che girano o su Internet o su qualche giornale e il lettore ignaro si trova una notizia che non corrisponde al vero. DI SIENO: Umberto dice: “Incoraggiamo la lettura”. Ora, guidare alla lettura di libri di divulgazione `e sicuramente un obiettivo interessante per chi si occupa di comunicazione della matematica, ma lo `e altrettanto per chi lavora nel mondo della scuola? Chiediamo al prof. Giuliano Spirito che, scrittore di libri di divulgazione che hanno avuto grande successo di pubblico, insegna al Liceo Scientiﬁco “Cavour” di Roma, se il lavoro di divulgazione che si compie nel mondo della scuola `e di un tipo diverso da quello descritto ﬁn qui e, soprattutto, se l’operazione di incoraggiamento che i matematici fanno sui giornali o la scrittura stessa di libri per il pubblico dei non addetti ai lavori

Matematica e media: strumenti, aspettative, risultati

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sono attivit`a che vale la pena di compiere e che nella scuola lasciano traccia. GIULIANO SPIRITO: Il punto da cui intendo partire per il mio ragionamento `e questo: quanta consapevolezza c’`e - a livello di grande pubblico, docenti e studenti compresi - del fatto che la matematica `e strumento di conoscenza critica e di cultura? Che la matematica sia utile `e certamente opinione diﬀusa e condivisa. Si pensa subito agli sviluppi tecnologici e si pensa anche all’utilit` a della matematica per orientarsi nella vita pratica (per pagare le tasse, per leggere e riempire un bollettino di conto corrente, per leggere l’estratto conto, negli acquisti, specie in periodo di saldi, quando bisogna fare i conti con le percentuali. . . ). Molto meno acquisito, anche in ambienti emancipati e colti, `e il fatto che la matematica sia da una parte anche lo strumento per “una cittadinanza critica” e, dall’altra, una componente signiﬁcativa del pensiero degli esseri umani, della maniera con cui gli esseri umani “organizzano e danno forma alle loro idee” e con cui “leggono, interpretano, strutturano la realt` a”. Queste consapevolezze, a mio avviso, non sono “passate”; non sono “passate” tra la gente e persino, in qualche misura, tra gli addetti ai lavori. E dunque, pur in una sede in cui `e anche giusto compiacersi dei passi avanti, dei primi risultati ottenuti, vorrei sottolineare che la strada da fare, specialmente se ragioniamo non su piccole minoranze, ma sulle grandi masse degli studenti e delle persone, `e davvero ancora molta. Dunque: cittadinanza critica. La matematica non viene percepita come strumento utile in questa direzione; e s`ı che nella nostra societ`a di “snumerati” - secondo la bella deﬁnizione di Paulos - ce ne sarebbe bisogno. Basta pensare al fatto che la televisione e i giornali parlano tranquillamente di citt` a “pi` u cara” e citt`a “meno cara” riferendosi alle citt`a, rispettivamente, in cui l’inﬂazione, ovvero l’aumento del costo della vita, `e stato maggiore o minore. Ma c’`e di peggio. Poich´e i numeri, come si sa, sono circondati da un’aura di rispetto, persino di timore, il loro uso si presta a operazioni sostanzialmente scorrette se non truﬀaldine. Pensiamo alla pubblicit` a: il 50% in pi` u di latte, il 70% in pi` u di lucentezza, e cos`ı via. Messaggi cos`ı precisi e oggettivi producono ossequio e reverenza; i venditori di qualsivoglia merce lo sanno perfettamente: la quantiﬁcazione conferisce credibilit` a. Peccato che poi il 50% in pi` u di latte della pubblicit` a di una nota azienda alimentare sia una comunicazione di nessun contenuto informativo: il 50% in pi` u rispetto a chi e a cosa, dato che una percentuale da sola non signiﬁca assolutamente nulla? Dunque, nella sostanza, una pubblicit` a ingannevole, veicolata attraverso la forza indiscutibile dei numeri. Ma il vero e proprio festival dell’uso della matematica (e in particolare dei numeri) per conferire autorevolezza e verit` a a un messaggio, lo abbiamo visto in occasione delle recenti elezioni del parlamento europeo. Piazze e strade di tutta Italia sono state invase da manifesti in cui accanto al volto del Presidente del Consiglio, era presente, ogni volta, un breve slogan e un numero: 7646 miliardi di lire in pi` u per la scuola, 28.622.000 italiani pagano meno tasse, e

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cos`ı via. Ma aﬀermare, ad esempio, che la scuola `e stata beneﬁciata con 7000 miliardi “in pi` u”, vuol dire trascurare il piccolo particolare che la spesa per la scuola `e costituita in grandissima parte dagli stipendi dei dipendenti; e dunque un modesto rinnovo contrattuale basta per spiegare il dato. Mentre, come `e noto a chiunque operi nella scuola, i ﬁnanziamenti per l’istruzione sono stati, in realt`a, drasticamente ridotti in questi anni morattiani (attraverso l’aumento del numero di alunni per classe, il taglio di classi, la riduzione del sostegno ai portatori di handicap, la riorganizzazione delle cattedre degli insegnanti senza nessuna cura per la continuit` a didattica ecc.). La verit`a `e che - come sa ogni matematico, ma contrariamente a quello che pensa ogni snumerato - non c’`e nulla di pi` u opinabile e arbitrario dei numeri, quando sono usati fuori dal contesto! Alla luce di quanto detto, credo che l’obiettivo di rendere la matematica uno strumento di consapevolezza critica sia una sorta di dovere civico per chi si occupa di matematica a qualsiasi titolo (insegnamento, divulgazione ecc.). Anche mostrandone la parzialit` a, la signiﬁcativit` a non assoluta, facendola discendere dal trono di una pretesa verit` a unica, intangibile, fuori del tempo e dello spazio, indipendente dal contesto. E mettendone in discussione un’immagine tanto presuntuosa quanto inadeguata, di cui si compiacciono a volte gli stessi cultori della materia, con un’operazione che forse la renderebbe un po’ meno respingente e indigesta per studenti e curiosi. Veniamo ora al fatto che la matematica, come dicevo, `e una componente signiﬁcativa del pensiero degli esseri umani, di come gli esseri umani “organizzano e danno forma alle loro idee” e di come “leggono, interpretano, strutturano la realt` a”. ` proprio questa aﬀermazione che giustiﬁca il famoso “valore formativo” E della matematica, che altrimenti non si saprebbe dove far risiedere. Certamente tra i partecipanti al convegno c’`e chi molto meglio di me potrebbe intrattenerci su questo: non sono un matematico, ma pi` u semplicemente un insegnante di matematica. Tuttavia mi sembra di poter dire che, nell’insegnamento (a tutti i livelli, ﬁnanche a livello universitario) e forse anche nella divulgazione, perdiamo molte occasioni per far apprezzare questi aspetti “fondanti” della matematica. Il discorso sarebbe lungo. Mi limito quindi a un paio di spunti, che sono anche due piccole “provocazioni”. Io penso (provocazione versus ingegneri-tecnologici-applicativi) che la matematica sia da una parte un gioco nell’aria, comunque in regioni senza polvere, come Thomas Mann fa dire a un suo personaggio nel romanzo Altezza reale, ma che dall’altra sia un azzardo, uno splendido azzardo “contro-natura”, del pensiero umano (in questo caso la provocazione `e rivolta agli irrazionalisti, agli anti-illuministi). O almeno, penso che la matematica sia anche queste cose: da una parte gioco della mente, dall’altra “ﬁngersi inﬁniti mondi”, come dice il poeta, e che il suo possibile fascino sia in gran parte legato a questi due aspetti.

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E penso anche che questi due aspetti siano oscurati dalla tradizione didattica e dalla divulgazione, perdendo una grande occasione di ammaliamento, oltrech´e di utilizzo sino in fondo della valenza formativa del far matematica. La matematica `e (diciamo pure `e anche): l’improbabile luogo in cui si stabilisce che una coppia di fagiani e un paio di giorni hanno qualcosa in comune (come diceva Russell, ricordandoci quanta fatica ci sar`a certamente voluta per arrivare a questa conquista del pensiero); il luogo dove i punti non sono, non possono essere, granellini, se vogliamo che la costruzione si regga, e dunque il luogo in cui un segmentino contiene inﬁniti punti; il luogo dove si gioca con l’inﬁnito, laddove tutte le nostre esperienze sono “al ﬁnito”, come sottolineava Dantzig, e dunque il luogo dove la parte e il tutto, il discreto e il denso possono avere la stessa numerosit`a, come ci ha insegnato Cantor; il luogo dove ogni teoria passabilmente complessa nel momento in cui viene sistematizzata `e di necessit`a incompleta, come ci ha mostrato G¨odel. Per non parlare dei chicchi di riso sulla scacchiera o dei possibili ordinamenti in uscita dalla sala di coloro che sono seduti in prima ﬁla, situazioni in cui i numeri si gonﬁano e ci sfuggono inesorabilmente e inopinatamente di mano. Dunque la matematica `e territorio ricco di sorprese e di avventure spericolate della mente; la matematica `e possibile strumento di lettura della realt` a, certo, ma `e anche costruzione di mondi. C’`e da chiedersi: quanto “passa” nella didattica e nella divulgazione della matematica della suggestione, dell’emozione intellettuale, del piacere di pensare che c’`e in tutto questo? Temo, ahim`e, molto molto poco. Eppure questa, o almeno anche questa, mi sembra la sﬁda; la sﬁda bella e avvincente, che possiamo e forse dobbiamo aﬀrontare. DI SIENO: Giuliano ha incominciato a parlare anche della matematica “segreta”, quella, per esempio, che ci d`a la possibilit`a di confrontarci con l’inﬁnito. Ma perch´e nella pubblica opinione la matematica continua ad essere identiﬁcata con la capacit` a di lavorare con i numeri? Vuol dire che di questa matematica che `e anche sensazione, emozione e cultura non si riesce a fare divulgazione? Lo chiedo al prof. Michele Emmer dell’Universit` a “La Sapienza” di Roma, che del resto ho conosciuto proprio in occasione di un suo articolo ` cambiato qualcosa? dal titolo “La divulgazione non `e possibile”. E MICHELE EMMER: Io allora dissi “alla divulgazione non ci credo” e continuo a non crederci. La divulgazione si fa a scuola, si fa all’Universit` a; sui giornali e sui media si fanno altre cose. E il motivo sta esattamente nel linguaggio di questi strumenti. Quando venticinque anni fa mi `e capitato di cominciare a fare qualcosa che riguardava la matematica, l’ho fatto perch´e mi ero convinto che si potesse tranquillamente parlare di matematica come si parlava di qualsiasi altra cosa. Il problema `e di cultura generale, di diﬀusione della cultura: se si sono aperti nuovi spazi anche per quanto riguarda la cultura scientiﬁca, ci` o non vuol dire aﬀatto che ci sia una ricaduta n´e didattica n´e di apprendimento ecc., perch´e

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queste sono altre cose. (Il calo delle iscrizioni a Matematica secondo me `e totalmente indipendente da una buona divulgazione). Questo `e un punto da tener presente: quando uno scrittore scrive `e normale che gli si chieda di scrivere una cosa che sia interessante, il cui linguaggio sia adeguato. E ci`o vale per chiunque si occupa di media, perch´e - ripeto - i luoghi perfetti per fare divulgazione e comunicazione sono le scuole, l’Universit` a. Quando si parla di cultura, il fatto che matematica sia o non sia cultura `e un problema superato. Ci` o non signiﬁca che il 95% delle persone pensino che lo sia; semplicemente, non se ne sono accorti. Nessuno pensa che il 100% della popolazione debba essere informata sulla dimostrazione di Wiles; la cosa importante `e che se uno volesse la pu`o sapere. Mentre vent’anni fa era impossibile parlare sui giornali di teoremi matematici, adesso `e possibile e lo si pu`o fare con un linguaggio adeguato, con una correttezza “giusta”. Ci` o non vuol dire che non ci possono essere resistenze a pubblicare, ma succede per qualsiasi cosa anche perch´e i giornali, al contrario di altri mezzi di informazione, hanno la necessit`a di dare una risposta in tempi immediati. Allora per esempio pensiamo alla congettura di Poincar´e, all’ipotesi di Riemann: basterebbe che un giornalista facesse un controllo semplicissimo, andasse in rete sul sito dell’AMS, guardasse quali sono i risultati negli ultimi due-tre giorni e si accorgerebbe che quel risultato non c’`e. Ma chi non fa questo controllo ﬁnisce ` in prima pagina con notizie errate. Io ho visto sul Pais, in prima pagina: “E stata dimostrata l’ipotesi di Riemann”. Sarebbe bastata mezz’ora per veriﬁcare la notizia: la veriﬁca di una notizia `e una questione di correttezza che non riguarda solo la matematica. Il fatto importante, sicuramente nuovo, `e che oggi si parla pi` u di fatti come questo, mentre vent’anni fa se qualcuno avesse dimostrato l’ipotesi di Riemann nessuno ne avrebbe scritto. Perch´e? Che cosa `e successo? Ad esempio in mezzo c’`e che `e stato dimostrato il teorema di Fermat, che `e stato scritto un libro sul teorema di Fermat e che questo libro ha avuto un enorme successo. Si `e mostrata la possibilit` a di parlare di matematica “con successo di pubblico”. Per` o c’`e un libro soltanto se. . . qualcuno lo vuole scrivere e comunque le cose non sono automatiche: non `e che se uno scrive su un giornale un articolo bellissimo, di dodici pagine, su una cosa correttissima, allora immediatamente il giorno dopo `e aumentata la conoscenza matematica! No. Secondo me bisogna distinguere: un bel libro, un bel ﬁlm sono strumenti che danno delle possibilit` a, poi le possibilit` a vanno colte o non colte, e su questo possiamo intervenire anche come insegnanti. DI SIENO: Chiediamo alla dott. Chiara Orsi, laureata in Matematica, che ha appena terminato un Master in Comunicazione Scientiﬁca e che ha lavorato per qualche tempo presso la RAI, di cominciare a spostare l’attenzione dai quotidiani ad altri media, a partire da quello per cui ha un’esperienza pi` u diretta, cio`e la radio, e di dirci se, a suo avviso, vi si pu` o intravedere un atteggiamento nuovo rispetto a qualche tempo fa nei confronti della divulgazione della Matematica.

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CHIARA ORSI: Per aiutare a compiere una valutazione di questo genere, ho considerato le trasmissioni di carattere scientiﬁco generale che attualmente vanno in onda su reti nazionali e che si occupano anche di matematica. E ho analizzato, relativamente al periodo che va dal gennaio 2003 all’ottobre 2004, il numero di puntate che ciascuna trasmissione ha dedicato a temi riguardanti la matematica e gli argomenti trattati. Le trasmissioni che ho preso in considerazione sono “Radio3 Scienza”, quotidiano scientiﬁco di Radio3, della durata di mezz’ora; “Il volo delle oche”, quotidiano scientiﬁco di Radio24, della durata di venti minuti e “Le scienze”, quotidiano scientiﬁco di Radio1, della durata di cinque minuti. Oltre a questi programmi a carattere prettamente scientiﬁco vorrei menzionare “Alle 8 della sera” di Radio2, in quanto, pur essendo una trasmissione di cultura generale che si occupa prevalentemente di storia, negli ultimi due anni ha dedicato due cicli, entrambi di 20 puntate, uno all’Ultimo Teorema di Fermat e uno alla storia della Logica. Tornando alle trasmissioni a carattere prettamente scientiﬁco, la percentuale di puntate che ciascuna trasmissione ha dedicato a temi inerenti alla matematica `e la seguente: -

“Radio3 Scienza”: 19 puntate su un totale di 464 (dal 07/01/2003 al 08/10/2004), corrispondenti a circa il 4%; “Il volo delle oche”: 8 puntate su un totale di 380 (dal 05/05/2003 al 08/10/2004), corrispondenti a circa il 2%; “Le scienze”: 3 puntate su un totale di 464 (dal 07/01/2004 al 08/10/2004), corrispondenti a circa lo 0.7%.

Da questi dati emerge come di matematica non si sia parlato molto. Le percentuali legate alla matematica sono pi` u basse di quelle relative alle altre scienze, a parte la chimica, che `e la scienza di cui si `e parlato di meno. Tutti sappiamo che parlare di matematica ad un pubblico di non addetti ai lavori `e comunque diﬃcile, ma forse parlarne alla radio, tra i vari media, `e particolarmente arduo. Ogni mezzo di diﬀusione ha caratteristiche proprie: una rivista ha un supporto graﬁco, in una mostra ci sono oggetti che possono essere guardati e a volte toccati e manipolati, la televisione ha una combinazione di immagini e suoni. La radio invece `e solo ed esclusivamente suono; quando si tratta di matematica, il fatto di avere a disposizione solamente la voce diventa sicuramente una diﬃcolt` a. Tuttavia la presenza di ostacoli pu` o anche costituire una bella sﬁda per i divulgatori: fare della buona divulgazione matematica alla radio signiﬁca essere riusciti a tradurre concetti matematici in un linguaggio comune e a fare, potremmo dire, una chiacchierata di matematica. Un’altra caratteristica della radio di cui bisogna tener conto `e il fatto che sovente essa viene ascoltata mentre si fanno altre cose, oppure `e lasciata accesa come sottofondo. Quindi `e molto importante riuscire ad attirare l’attenzione dell’ascoltatore e nello stesso tempo lasciargli la possibilit`a, nel caso in cui

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si distragga, di riprendere le ﬁla del discorso in qualsiasi momento. A me sembra che, nelle trasmissioni che sono andate in onda, i curatori siano riusciti abbastanza bene a far fronte a tali diﬃcolt` a, nel senso che, in linea di massima, le puntate sono state gradevoli da ascoltare e comprensibili ad un pubblico medio. In alcuni momenti il discorso si `e fatto un po’ pi` u complicato, ma comunque il senso generale `e sempre stato chiaro. Per quanto riguarda gli argomenti trattati ho riassunto in maniera sintetica qual `e stato il tema di ciascuna puntata: -

L’aritmetica `e innata? (Il volo delle oche, 15/10/04) Risultati del progetto pilota per la valutazione dell’istruzione (Radio3 Scienza, 14/10/04) Gregorio Ricci Curbastro e il suo ruolo nella formulazione della relativit` a generale (Radio3 Scienza, 07/10/04) Cos’`e il caso per un matematico? (Radio3 Scienza, 05/10/04) Formula pieghe dei tessuti (Le Scienze 27/09/04) Numeri primi (Radio3 Scienza, 17/08/04) Ennio De Giorgi (Radio3 Scienza, 28/07/04) Soluzioni delle equazioni della dinamica dei gas (Il volo delle oche, 15/07/04) Alan Turing (Il volo delle oche, 08/06/04) Sistemi di voto (Radio3 Scienza, 02/06/04) Renato Caccioppoli (Radio3 Scienza, 16/04/04) Crittograﬁa (Il volo delle oche, 07/04/04) Speciale sulla matematica (Radio3 Scienza, 04/03/04) La logica in Sherlock Holmes (Radio3 Scienza, 19/02/04) Macchine matematiche (Il volo delle oche, 14/01/04) Teoria dei giochi - Se la guerra si arrendesse alla matematica (Radio3 Scienza, 22/12/03) Numeri e armonia (Radio3 Scienza, 25/11/03) Matematica e gioco d’azzardo (Radio3 Scienza, 21/11/03) Modelli economici sull’andamento del mercato (Il volo delle oche, 01/10/03) Com’`e cambiato il lavoro dei matematici con il computer? (Il volo delle oche, 15/09/03) Vito Volterra (Radio3 Scienza, 12/08/03) Srinivasa Ramanujan (Radio3 Scienza, 08/08/03) Intervista a Mandelbrot (Il volo delle oche, 01/08/03) Insegnamento della matematica (Radio3 Scienza, 15/07/03) Il progetto culturale della cibernetica (Radio3 Scienza, 20/06/03) Perch´e in Italia ci dimentichiamo spesso della matematica? (Radio3 Scienza, 09/05/03) Un modello di traﬃco (Radio3 Scienza, 30/04/03) Divulgazione matematica (Radio3 Scienza, 10/04/03) Ricerca matematica - Rendere visibile l’invisibile (Le Scienze, 19/03/03) Matematica - Il ruolo della ricerca italiana (Le Scienze, 25/02/03)

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Anche se lo spettro `e piuttosto limitato, il fatto interessante `e che sono stati utilizzati diversi approcci per avvicinare il pubblico alla matematica: si `e parlato di storia e di personaggi della matematica, dando l’idea dell’importanza del ruolo che la matematica ha avuto e continua ad avere nella storia del pensiero e delle idee; si `e parlato della bellezza e del fascino di questa disciplina; si `e parlato (sempre, parlato!) dei problemi dell’insegnamento, della divulgazione e della ricerca in Italia; si `e parlato della matematica come strumento utile in altre discipline, e quindi del suo ruolo nella societ` a e della sua presenza, il pi` u delle volte non evidente, in molte delle esperienze di tutti i giorni. L’unico approccio un po’ trascurato `e stato quello ludico, cio`e quello che mostra come con la matematica si possa anche “giocare”. Qual `e stato l’interesse del pubblico? Non ho dei riferimenti precisi, ma posso dire che la trasmissione “Radio3 Scienza” prevedeva le telefonate in diretta da parte degli ascoltatori e che, durante le puntate di matematica, il numero di telefonate era nella media delle altre puntate: ci` o signiﬁca che gli argomenti trattati hanno suscitato interesse quanto gli altri. A me piace vedere la radio come un salotto virtuale in cui a volte si ascolta musica e a volte si chiacchiera. Bene, possiamo ritenere che la matematica sia entrata a far parte in maniera signiﬁcativa degli argomenti discussi in questo salotto e che quindi sia stato fatto un primo passo. DI SIENO: Credo che Chiara abbia introdotto un elemento nuovo rispetto a quello di cui si discuteva ﬁn qui, cio`e la reazione del pubblico. Chiedo al prof. Piergiorgio Odifreddi dell’Universit` a degli Studi di Torino come si possa attirare l’attenzione del pubblico e comunicare nel contempo qualche contenuto di un certo spessore: sei uno degli ospiti preferiti della radio, ma anche uno che parla spesso in contesti diversi. Il pubblico com’`e? PIERGIORGIO ODIFREDDI: Parlo spesso di libri. Per il primo dei due cicli di trasmissioni “Alle 8 della sera” di cui parlava Chiara, ho parlato del teorema di Fermat. Non mi sarei mai sognato di fare una trasmissione di un mese sul teorema di Fermat, ma me l’ha chiesto proprio il direttore della radio: dirige sia Radio2 che Radio3 ed evidentemente era intrigato da questo argomento. Ho iniziato con un titolo a eﬀetto come “Chi ha ucciso Fermat: cronaca di una morte annunciata” e sono partito da lontano; ho cercato di ripercorrere un po’ la storia del numero, poi del teorema stesso, ma nel frattempo era passato un mese e non sono potuto andare a svelare il fatto che non avevo assolutamente idea di che cosa fosse la dimostrazione di Wiles. Quanto alla reazione del pubblico, mi hanno riferito che si `e trattato del ciclo che ha provocato il maggior numero di contatti in un sito dedicato a tale scopo. E che nell’accordo fatto dalla radio con l’editore Sellerio di Palermo per trascrivere due di questi cicli di trasmissioni, `e previsto che uno sia proprio quello su Fermat. Anche il secondo ciclo, dedicato alle vite dei logici ha avuto una risposta abbastanza buona da parte del pubblico, ma non saprei quantiﬁcarla in termini

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di auditel. So farlo invece per la televisione. Una volta, per la trasmissione che va in onda alle 10 di mattina, credo su Rai2, e che si chiama “Cominciamo bene”, mi hanno detto: “Vorremmo fare tutta la mattina sulla matematica”. Io ho accettato, sono andato, ho portato il solito pallone da calcio, delle arance con cui si fa vedere il problema di Keplero; loro si sono ingegnati, hanno fatto interviste (a Maiorca, il campione di immersione marina, e alla cantante che ha vinto il Festival di Sanremo) tutte incentrate sulla “reazione” alla matematica. Bene, quella trasmissione ha avuto il 9% di share: per loro, `e stato il massimo di ascolto e adesso mi hanno chiesto di ritornare. Quindi un certo interesse nel pubblico che segue alcune trasmissioni c’`e nei confronti di “queste cose di matematica”. Peraltro, a che cosa tutto ci`o serva, onestamente non lo so, e probabilmente condivido le perplessit` a di Michele. Forse andiamo solo a far vedere che il matematico non `e quel pazzo con l’occhio stralunato che ci si aspetta, ma `e un personaggio normale. . . come tutti gli altri: nessuno si stupisce di avere un politico in trasmissione, e ora neppure un matematico. C’`e una trasmissione che si chiama “Enigma” (mi sembra che sia al suo terzo anno di programmazione), in prima serata su Rai3. Mi avevano chiamato due o tre volte a fare “l’anticristo”: che cosa si va a fare in mezzo ad una banda di scalmanati, in cui ci sono anche il Cardinale, l’Esorcista, il Mago? Mi hanno detto: “Venga a fare la voce della Ragione”. Ma se uno fa la voce della Ragione in mezzo ai matti, sembra lui un matto, il risultato `e sicuro. Poi ci sono le trasmissioni “scientiﬁche”, da quella di Piero Angela a quella di Alessandro Cecchi Paone, ma, per quanto ne so, di matematica non si `e mai visto nulla. E del resto, nel momento in cui ci dovessero dire: “Fate una trasmissione sulla matematica”, che cosa si fa? Noi avevamo proposto un “numero zero” perch´e ad un certo punto sembrava che fosse in cantiere su Rai Educational una serie di trasmissioni con i ragazzi proprio sulla matematica. Ma il “numero zero” `e rimasto zero e poi. . . `e cambiato anche il direttore. E in un mondo in cui tutto sembra perfettamente casuale (se uno non si trova nel posto giusto al momento giusto non si fa nulla), il progetto `e ﬁnito prima di cominciare. In tutto ci` o a me sembra che di politica culturale non ci sia proprio nulla. Ora scrivo su Repubblica. L’estate scorsa, ad un certo punto, in prima pagina ﬁnalmente `e arrivata la matematica: uno avrebbe potuto sperare che si trattasse di interviste a Premi Nobel, Medaglie Fields. . . io ho fatto un’intervista a Edward Witten e non `e uscita mai, “chi `e Witten?”, ho cercato di spiegare che `e il nuovo Einstein, ma. . . “a noi interessa quello vecchio!”, s`ı, ho capito, ma non si pu` o intervistare! E la cosa `e ﬁnita l`ı. L’episodio che `e ﬁnito in prima pagina `e la storia di un giornalista che fa cronaca, va in Libano a fare i bagni, e trova un matto che dice: “Sono trent’anni che sto cercando di dimostrare l’assioma delle parallele”. Ma bravo! Non si pu`o fare, ma lui ﬁnisce in prima pagina non come matto, ma come il matematico che riuscir`a a dimostrare l’assioma delle parallele. . . si sono presi una bufala.

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La divulgazione non `e qualcosa che si improvvisa; `e una professione che bisogna imparare e che bisogna riuscire a fare nel migliore dei modi: e questa `e una faccenda che richiede molto impegno. DI SIENO: Lasciamo cadere a malincuore l’osservazione di Piergiorgio secondo la quale fare il divulgatore `e una professione, perch´e ci porterebbe a discutere di se e come la comunit`a dei matematici si muove per costruire questa professionalit` a e quindi ci condurrebbe velocemente a un nodo centrale della questione, cio`e l’atteggiamento dei matematici verso la comunicazione ai non addetti ai lavori. Ma continuiamo a descrivere qual `e la situazione extra-moenia cercando di capire se quanto abbiamo detto ﬁn qui a proposito di inserti scientiﬁci o di pubblicazioni o di trasmissioni in cui la scienza e in particolare la matematica vengono “ghettizzate” `e condiviso anche da persone che, pur non provenendo dal mondo della matematica, fanno anche divulgazione matematica. Lo chiedo alla prof. Carla Cardano che lavora per l’inserto “TuttoScienze” di La Stampa. CARLA CARDANO: Non sono una matematica, di solito mi occupo di Biologia, per`o mi sono trovata nella situazione di poter scrivere per le pagine di “TuttoScienze” di La Stampa sulle iniziative messe in campo in questi ultimi anni a Bologna a proposito della “regina delle scienze”. Cos`ı comincio descrivendo qual `e lo spazio che viene dato su “TuttoScienze” alla matematica, per estendere poi le osservazioni ad altre testate. Per avere una voce autorevole ho chiesto notizie al direttore di “Tuttoscienze”, il dottor Bianucci. Egli riferisce che, secondo un’analisi fatta da Ilesis per la Sissa di Trieste, “TuttoScienze” d` a pi` u spazio alla matematica di tutti gli altri inserti, seguita dall’inserto de Il sole 24 ore. Bianucci ritiene che la matematica, come scienza trasversale, meriti molta attenzione, ma che sui quotidiani non si possa andare oltre aspetti narrativi e aneddotici: da questo punto di vista pensa che la matematica sia una vera “miniera” essendo spesso i matematici personaggi singolari. In realt` a “Tuttoscienze” ha fornito ultimamente pi` u di quanto il suo direttore pensi: oltre agli aspetti da lui citati, sono emerse ulteriori, diverse, aperture verso la matematica, che hanno modiﬁcato i rapporti fra i diﬀerenti tipi di articoli. Infatti il numero di articoli che coinvolgono la matematica `e rimasto, su “TuttoScienze”, costante nel tempo, mentre si `e modiﬁcato lo spettro degli argomenti. Ci sono gli scritti per cos`ı dire classici, riguardanti gli aspetti descrittivi e aneddotici, che raccontano squarci di storia della matematica, comprese le biograﬁe spesso insolite dei matematici (e questi si sono mantenuti in numero pi` u o meno costante nel tempo); poi quelli dedicati alle applicazioni della matematica nelle scienze sperimentali, nell’intelligenza artiﬁciale, nell’informatica, nell’economia (scritti di questo tipo sono stati sempre presenti, ma ora sono meno numerosi); e articoli che si occupano di giochi matematici (questi sono andati diminuendo sensibilmente nel tempo). Quali le novit` a allora? La presenza di scritti, non di matematica, che riportano di essa applicazioni meno conosciute, come modelli predittivi;

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e poi, solo da qualche tempo, la presenza di altri scritti che “raccontano” e discutono della ricerca pura, di argomenti come il teorema di Fermat, la teoria dei frattali, la teoria del caos. Ancora troviamo la matematica descritta quasi come forza creatrice nell’arte e nell’architettura, nelle produzioni mediatiche e nell’interpretazione di fenomeni complessi. Inﬁne la matematica nel cinema e nel teatro: articoli, inconsueti ﬁno a pochi anni fa, che riferiscono di come essa abbia ispirato registi, scrittori di libri e di teatro, che hanno messo i matematici al centro di esperienze emotive, di avvenimenti tragici o divertenti, di passioni e di emozioni, mostrando della matematica una dimensione umana ricca e complessa. Ho allargato poi lo sguardo per vedere che cosa `e avvenuto in altri inserti o riviste, per esempio nella stampa di alta divulgazione: su Le Scienze c’`e stata negli ultimi tempi una crescita complessiva, molto sensibile, dello spazio dedicato alla matematica, dovuta all’aumento di rubriche e di notizie di attualit` a. Invece sul bimestrale Sapere, la matematica sembra essere presente in modo abbastanza costante. Un’osservazione: sia su “Tuttoscienze” che su Le Scienze `e diminuito molto il numero di giochi matematici. Questo fatto pu` o indicare che la matematica ha raggiunto nella divulgazione uno spettro pi` u ampio rispetto a prima, con argomenti nuovi a scapito dei vecchi, e che aspetti che si discostano dai classici “quesiti” sono ritenuti pi` u interessanti. Quale la situazione sui mensili popolari, letti dai giovani? Poco consolante per alcuni. Su Focus non compare la matematica, eccetto per cenni insigniﬁcanti e, secondo me, pure maldestri, oltremodo superﬁciali e approssimativi. Ma la constatazione pi` u sconcertante `e relativa a Quark che mostra l’assenza della matematica o al massimo la sua presenza occasionale. Dopo aver consultato sette numeri del 2003, non ne avevo ancora trovato traccia. Possibile? Finalmente, nel numero di luglio 2003, compare un’intervista a Odifreddi, di una pagina, in risposta al quesito posto da un lettore. Ironicamente, il lettore chiedeva a che cosa servisse la matematica! La rivista da lui scelta gli aveva ﬁno ad allora suggerito che servisse a ben poco! Al contrario Newton ospita una rubrica in cui un problema concreto viene presentato, analizzato, formalizzato dal punto di vista matematico e inﬁne risolto. Secondo me questo `e un buon modo per indurre non solo una partecipazione attiva di chi legge, ma anche per promuovere una spinta alla formalizzazione, uno stimolo all’astrazione, un forte suggerimento al rigore. Non dimentichiamo che precisione e rigore sono caratteristiche della matematica e che la buona divulgazione dovrebbe senz’altro stimolarle, o almeno farle presenti. La mia analisi non si pu` o certo considerare esauriente, ma mi sembra renda possibile mettere in evidenza gli obiettivi degli articoli divulgativi sulla matematica: quello di rendere visibile una disciplina che, per la sua diﬃcolt` a, e per la diﬃcolt`a a “raccontarla”, spesso `e stata trascurata dai media; quello di presentare aspetti della matematica che la scuola trasmette in maniera molto limitata, come il suo ruolo di disciplina di ricerca pura per eccellenza, che comprende anche quello di precursore della tecnologia; l’obiettivo di riuscire

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a far apprezzare il suo ruolo insostituibile nelle altre discipline, come quello di fornire modelli interpretativi e predittivi, formalizzazione in ﬁsica, chimica ecc, elaborazione dei dati in biologia e medicina ecc. Un ultimo obiettivo, ma non meno importante: far s`ı che la matematica entri a far parte della vita e della cultura in senso lato, nei suoi vari aspetti, creativi, artistici e umani. Baster`a tutto ci` o ad avvicinare il pubblico, i giovani alla matematica? Da un punto di vista generale e generico, direi di s`ı. Ma la matematica `e rigore, precisione, disciplina intellettuale, fatica. Sicuramente mai come ora c’`e bisogno di disciplina e abitudine al rigore intellettuale. Quindi tutti quelli che lavorano in questa direzione non possono che agire in modo positivo. L’inﬂuenza della matematica sulla societ`a potr`a essere costruttiva, eﬃcace, positiva nella misura in cui riuscir` a a costruire una forte barriera all’approssimazione, alla superﬁcialit` a, alla mancanza di rigore intellettuale. DI SIENO: Chiudiamo questo primo giro di osservazioni con l’intervento di un ricercatore di Geometria Algebrica che, essendosi cimentato con operazioni di divulgazione, pu` o oﬀrirci qualche spunto di riﬂessione su quanto possa essere utile e ricco di conseguenze un rapporto privilegiato del mondo della ricerca con quello della divulgazione. Chiediamo al dottor Marco Franciosi dell’Universit`a di Pisa a quali realizzazioni ha partecipato. MARCO FRANCIOSI: Un’osservazione preliminare. Io, che in generale mi occupo di Geometria Algebrica, di recente insieme ad altri matematici del mio dipartimento ho avviato un rapporto di collaborazione con alcuni medici. Fino a poco tempo fa per noi matematici la medicina era una “scienza-non scienza”, in cui i metodi scientiﬁci rigorosi, di cui ci vantiamo di avere l’assoluto dominio, non venivano quasi mai presi in considerazione; d’altro canto spesso i medici usavano strumenti di carattere matematico e statistico senza il necessario rigore, arrivando talvolta ad errori di interpretazione e di modellizzazione. Invece da qualche anno siamo di fronte in generale a un diﬀerente atteggiamento da parte della comunit` a medica nei confronti della matematica, vista non solo come utile strumento per l’analisi dei dati, ma anche come possibile linguaggio per arrivare ad una eﬃcace modellizzazione. In tale contesto si inserisce la collaborazione che stiamo portando avanti con alcuni neonatologi. Le loro richieste sono partite dal desiderio di conoscere problematiche e strumenti relativi alla “Teoria del Caos”, nella volont` a di applicare queste tecniche all’analisi di dati biomedici. La collaborazione si `e avviata e si sta sviluppando non solo attraverso l’analisi dei dati, ma anche nel tentativo di proporre e sviluppare modelli signiﬁcativi in campo biomedico con eventuali applicazioni alla diagnostica. Che cosa c’entra questo con lo stato della divulgazione? A me sembra che essere posti di fronte alla necessit`a di comunicare con ricercatori di provenienza diversa ed essere indotti a intraprendere ricerche cos`ı interdisciplinari sia un modo forte non solo per convincerci della presenza della matematica nel mondo generale della cultura, ma anche per convincerci della necessit`a

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di costruire con metodo e determinazione un ponte fra cultori di matematica “teorica” e. . . il resto del mondo. Per quanto riguarda la mia esperienza diretta nella divulgazione, credo di poter dire, collegandomi a ci` o che diceva Michele Emmer, che negli ultimi anni la situazione si `e evoluta sicuramente in positivo. Mi sono sempre occupato, sia pure a un livello un po’ minimale, di divulgazione, perch´e ho sempre visto la necessit`a da parte di un matematico di avere un contatto con la gente, di poter parlare e comunicare soprattutto con i giovani. Un paio di associazioni culturali mi hanno chiesto pi` u volte di andare nei licei a parlare degli argomenti che mi stanno a cuore, sia che si trattasse di attivit`a di orientamento preuniversitario sia che dovessi presentare un ﬁlm (classico in queste situazioni `e il Teorema di Fermat). In tale contesto ho avuto la fortuna che un mio amico, che di mestiere fa il regista cinematograﬁco, mi abbia proposto di fare insieme un documentario su Fibonacci. Cos`ı mi sono trovato a scrivere il soggetto, a preparare la sceneggiatura, a “pensare” e successivamente “seguire” il ﬁlm in tutte le fasi della sua lavorazione. Mi sono divertito tantissimo nel fare tutto ci` o; devo dire per`o che lo sforzo pi` u intenso `e stato quello di tentare, partendo da Fibonacci, di riuscire a dire che cosa sia e che cosa rappresenti la matematica. Questo ﬁlm `e stato spesso portato nelle scuole o addirittura. . . al cinema. Dalle varie proiezioni a cui ho assistito ho ricavato una conferma dell’importanza del legame che sussiste fra la divulgazione e l’attivit`a dei docenti in generale. Accanto a giornate in cui tutti facevano confusione e non si riusciva a comunicare, un po’ come quando in classe arriva il nuovo supplente, ce ne sono state altre in cui, avendo i docenti preparato gli studenti raccontando chi era Fibonacci e che cosa aveva fatto, sono riuscito a stabilire un buon rapporto con i ragazzi. Partendo da Fibonacci, dai suoi scritti e anche dai suoi giochi e enigmi (del Duecento, ma ancora attuali), sono riuscito a comunicare matematica e, talvolta, a dire qualcosa “di ricerca”. DI SIENO: Abbiamo in questo modo chiuso il primo giro di interventi. Passo ora la parola al pubblico. MASSIMO FERRI: Ci sono due problemi che mi sembrano presenti e importanti nella divulgazione matematica. Uno `e legato al fatto che per poter parlare di matematica eﬀettivamente occorrono delle deﬁnizioni, e ci`o crea una barriera di potenziale per il possibile fruitore, che diﬃcilmente pu` o essere superata. Se devi cominciare leggendo delle deﬁnizioni, non ﬁnisci l’articolo o il libro. Credo che questo sia un problema. Come aﬀrontarlo? Il secondo `e invece legato alla domanda: perch´e non riusciamo mai a comunicare al grande pubblico il fatto che la matematica sia una materia in fervente attuale progresso? Come si pu`o ovviare a questa situazione? FRANCIOSI: Nella mia esperienza, quando sono riuscito a instaurare un rapporto di comunicazione diretta con i ragazzi, sono stato capace, almeno cos`ı

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mi hanno riferito i loro professori, di dare un’idea della matematica attuale, mostrando che c’`e molto da fare e che peraltro nella ricerca matematica ci sono dei progressi quotidiani. Quando ho potuto parlare direttamente a piccoli gruppi, ci` o `e accaduto naturalmente, spiegando alcuni esempi signiﬁcativi nel tentativo di raccontare un metodo di lavoro. Ma occorre avere una situazione al contorno che faciliti questa comunicazione. Non `e cosa che si possa fare in una sala cinematograﬁca piena di gente, senza la possibilit` a di stabilire un qualche rapporto umano. MIRELLA MANARESI: A mio avviso uno degli obiettivi importanti della comunicazione `e quello di trasmettere ai giovani il messaggio che la matematica `e utile, se non necessaria, in molti settori e che con una buona formazione matematica si possono fare molti lavori interessanti. Nella mia esperienza di insegnante, mi `e capitato spesso di trovarmi di fronte giovani che avevano passione per la matematica ma che, proprio dagli insegnanti di matematica della scuola secondaria, venivano consigliati di studiare o informatica o ingegneria perch´e una formazione in queste discipline, a loro parere, poteva aprire la strada a lavori pi` u interessanti rispetto a quello del matematico. Questa opinione appare del tutto errata, se confrontata con gli esempi forniti dai nostri laureati. Allora ecco una prima domanda: “Come dare agli insegnanti di scuola secondaria e a chi `e vicino ai giovani, gli strumenti per convincersi innanzitutto in proprio, e per convincere poi i giovani che hanno passione per la matematica, che `e possibile vedere in questa disciplina un futuro professionale credibile e stimolante?” Una seconda domanda nasce, invece, dall’osservazione che spesso la matematica `e presentata con un alone di mistero o di magia. Ricordo che mia nonna, che aveva pi` u di novant’anni e aveva terminato i suoi studi con la quarta elementare, rimaneva incantata dalle apparizioni televisive di un noto ﬁsico, perch´e, come diceva, “Quell’uomo ne sa tanta”, anche se mai mi `e parsa interessarsi ad alcuno degli argomenti da lui trattati. Rimaneva aﬀascinata dalla erudizione in s´e, non dal contenuto. Che cosa si pu` o fare per evitare che la matematica venga comunicata e recepita in modo da lasciare stupefatti e aﬀascinati, anche se estranei? EMMER: In eﬀetti, la televisione `e il regno della chiacchiera in cui l’informazione si fa al di l` a dei contenuti. Ma questo non succede solo con la matematica, accade con tutto, rispecchia le scelte di questo Paese: l’informazione viene approfondita in un dibattito in cui contano i primi piani, chi viene inquadrato in un modo, chi in un altro. Quindi da questo punto di vista secondo me non c’`e possibilit`a. Ho avuto la fortuna di assistere a una delle cose che ha fatto Zichichi, che ha messo in scena una rappresentazione in cui lui stesso interpretava Dio, gli studenti si inchinavano e chiedevano a Dio le risposte sulla vita, e Dio rispondeva.

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` chiaro che ci sono dei mezzi per poter contrastare questo tipo di operaE zione, per`o una cosa di cui mi sono convinto `e che per la televisione l’unico modo che ci sia `e. . . non guardarla: il modo e il linguaggio dello strumento televisivo sono fatti in una certa maniera e non c’`e verso di cambiarli. Perci` o `e impensabile che uno possa fare comunicazione, su qualsiasi argomento, e in particolare su argomenti di matematica. Pu` o succedere prima o poi che venga scelta una questione matematica o di qualsiasi altro genere, ma `e del tutto casuale e funzionale al fare la trasmissione. BOTTAZZINI: Vorrei aggiungere un’osservazione a quello che ha detto Michele. Anche qui `e stato aﬀermato, e credo siate tutti d’accordo, che rispetto a 10-15 anni fa oggi la matematica “tira” di pi` u. Se ne pu` o dedurre che nel nostro Paese ci sia stata una crescita di razionalit`a, conoscenza scientiﬁca, ecc.? A me non sembra. Allora ci si deve chiedere: perch´e si stampano pi` u libri di matematica, perch´e si fanno pi` u ﬁlm che parlano di matematica, che cosa `e successo? La mia risposta `e che, in realt`a per una serie di fattori diversi che non saprei molto bene identiﬁcare, c’`e stato un incremento di irrazionalismo, un aumento di atteggiamento mistico, e la matematica rientra in quest’ambito: si guarda alla matematica come a una scienza esoterica, e i personaggi che si vanno a cercare, a parte Nash, sono di questo genere. Anche quella del Teorema di Fermat `e una storia che dura duecento anni. . . ; il mistero, l’enigma. . . sono invece parole da abolire perch´e `e esattamente attraverso di esse che si veicolano una serie di approcci sbagliati alla ` per questo che risulta diﬃcile parlare di quanto sottolineava matematica. E Mirella: la matematica non interessa perch´e si applica in tante situazioni, ma perch´e `e una scienza astratta, misteriosa. DAL PUBBLICO: Siccome la divulgazione matematica costituisce il ponte tra una cultura prettamente matematica ed una cultura in senso generale, si `e mai pensato ad una modalit` a di presentazione della matematica come disciplina che parta da acquisizioni culturali generali? Sarebbe interessante deﬁnire un approccio unitario all’insegnamento della matematica dalla scuola elementare ﬁno a quella superiore. SPIRITO: Alla libreria Feltrinelli - ormai a Roma quasi tutte le librerie sono Feltrinelli - ci sono stanze e stanze di libri; poi in un angolo, in un vicolo cieco, ci sono cinque o sei scaﬀali di libri scientiﬁci, molti meno dei libri dedicati alla “New Age”, all’Astrologia o alla cucina orientale. All’interno di questo angoletto c’`e uno scaﬀale e mezzo che `e di libri di matematica e di questi 3/4 hanno la caratteristica di essere libri in cui il fascino della matematica non sta nel fatto che ti permette di capire qualcosa di pi` u, ma in qualche senso nell’opposto, nel fatto che `e magica, che non si capisce. . . Quindi la situazione non `e del tutto rosea. . . La divulgazione di una disciplina i cui “mattoni” si innalzano l’uno sull’altro `e intrinsecamente complessa: per raccontare una cosa spesso bisogna

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raccontarne troppe prima. Questo `e secondo me il problema che spiega perch´e anche un egregio matematico pu`o non essere un buon divulgatore. Se uno non `e disponibile a fare un lavoro di destrutturazione e poi di ricostruzione, con un’ottica radicalmente diversa da quella dello scambio all’interno dell’Accademia, non riesce a fare divulgazione signiﬁcativa. Non meraviglia dunque che la divulgazione signiﬁcativa e bella sia poca. E poi: che cosa divulgare della matematica? Io, ad esempio, non trovo fondamentale raccontare la dimostrazione del Teorema di Fermat; forse `e una deformazione professionale di chi lavora a contatto con i grandi numeri della scuola, ma non mi sembra questo, in un Paese di “snumerati”, il punto fondamentale su cui agire. Dal mio punto di vista di “operatore culturale di massa”, per cos`ı dire, mi sembra che ci sia di che divulgare anche senza entrare nell’attualit` a degli ultimi risultati della ricerca; mi sembra che seppure ci fermassimo agli inizi del Novecento, gi`a vi sarebbero tante cose importanti, belle e formative che in eﬀetti la gente, anche colta, anche avendo studiato matematica per tredici anni nella scuola, ignora allegramente e che invece potrebbe e forse dovrebbe conoscere. Penso ad alcuni degli esempi prima da me ricordati: il passaggio dalla geometria granulare alla geometria di precisione e poi dalla geometria unica alle geometrie plurali; la crisi dei fondamenti e la logica matematica; penso all’irruzione della matematica dell’incerto nel panorama della cultura matematica, e cos`ı via. Vorrei inﬁne tornare un attimo sul problema dei ruoli della divulgazione e della scuola. Non so se sia la divulgazione o la scuola a poter aiutare a compiere un percorso signiﬁcativo nella cultura matematica; tendo a ritenere che entrambe abbiano una missione, in qualche misura convergenti. Purch´e, per`o, la didattica della matematica nella scuola assuma dalla divulgazione un di pi` u di capacit`a aﬀabulatoria, di gusto della contaminazione, di attenzione alla semantica (e un di meno di pedanteria nel linguaggio e di formalismo spinto nella trattazione). E purch´e, viceversa, la divulgazione sia capace di ispirarsi alla didattica, o almeno alla didattica migliore, nel mettere in campo un’interazione forte con il lettore, stimolandolo a interagire in qualche modo con il testo scritto; dunque non limitandosi a “stupirlo” ma prendendolo per mano e accompagnandolo nella costruzione di un proprio itinerario di scoperta e di conoscenza. PAOLO SALMON: Sono il decano del Dipartimento di Matematica di Bologna, e ormai sto trascorrendo gli ultimi mesi in qualit` a di professore fuori ruolo in attesa del pensionamento deﬁnitivo, ma ho delle aspirazioni in ambito divulgativo, aspirazioni che discendono da una lunga esperienza, non solo come insegnante ma anche come ricercatore. E ora dichiaro qui le mie ambizioni. Dopo aver insegnato per dodici anni la Teoria di Galois, vorrei dare un contributo alla divulgazione di questa teoria che collega tra loro due ﬁloni di ricerca matematica apparentemente diversi: l’estensione di campi mediante radicali e la teoria dei gruppi ﬁniti risolubili. Il Teorema Fondamentale di Galois lega fra loro questi due fatti e ha come corollario il teorema di Ruﬃni-Abel sulla

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Simonetta Di Sieno

non risolubilit` a per radicali di equazioni di grado superiore o uguale al quinto. L’ambizione `e notevole: vorrei partire da equazioni di primo, secondo, terzo e quarto grado, e poi gradualmente introdurre quegli elementi di Teoria di Galois che portano a quei risultati fondamentali. DAL PUBBLICO: Occorre precisare chi sono i destinatari del processo di divulgazione cui si riferiva il prof. Salmon. Se parliamo del pubblico in generale, certamente non gli interessano i contenuti, le deﬁnizioni e le tecniche. Se partiamo da questi, la divulgazione `e destinata al fallimento Potrebbe invece raccogliere l’interesse di un pubblico pi` u vasto la presentazione dei problemi che possono essere risolti con la matematica. Lavoro in un museo scientiﬁco e vedo, almeno nell’ambito dei musei, che molto spesso, chi fa progetti per comunicare matematica o altre scienze pure, lo fa senza pensare a chi ne usufruir` a, alla sua formazione culturale e alla capacit`a di recepire questi contenuti. Forse bisogna partire dal pubblico e diversiﬁcare la divulgazione a seconda dei possibili utenti. DI SIENO: Non rinuncio, rispondendo a questa domanda e concludendo questa nostra riﬂessione di oggi, a dire che compito mio, come ricercatore di matematica che ormai si occupa di comunicazione, `e quello di trasmettere contenuti. Con l’espressione “trasmettere i contenuti” intendo qui il trasmettere i problemi, le domande, i metodi di risoluzione, i risultati della disciplina di cui si parla, non i tecnicismi. La diﬃcolt` a sta nel trovare un livello giusto di comunicazione, ma se il nodo che si va a trattare `e un nodo importante, trasversale per le sensibilit`a del pubblico, che coinvolge sensazioni e sentimenti e curiosit`a intellettuali diverse, suscitare domande `e un’operazione possibile e addirittura si possono costruire primi cenni di avvio alle risposte. Non mi aspetto che la gente si appassioni a quello che posso apprezzare io stessa, ma voglio che colga quando una chiave di lettura `e cos`ı potente da permettere di “capire” situazioni molto diﬀerenti, quando uno strumento pu` o intervenire in contesti diversi. Voglio che capisca che sta vedendo la punta di un iceberg che in realt` a scende nella profondit` a delle cose. Voglio che scopra (o riscopra) il gusto del lasciarsi trascinare dalla curiosit` a, del guardare quello che c’`e dentro o che c’`e dietro a un fenomeno, voglio che torni a domandarsi “perch´e?” una cosa funziona come funziona. E voglio avere la certezza di potergli dare tanta risposta quanta `e in grado di godersi. Abbiamo un bisogno disperato che la gente cominci (o torni) a pensare che `e interessante scoprire il perch´e di un fenomeno o di una aﬀermazione, e che se vuole pu` o trovare aiuto nell’impresa.

I problemi della matematica nel Regno Unito∗ James F. Blowey Department of Mathematical Sciences, South Road, Durham, DH1 3LE, U.K. [email protected]

Introduzione La matematica nel Regno Unito `e in cattive acque. Questa situazione `e peggiorata da parecchi fattori recenti, che includono i seguenti. -

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Gli studenti nella scuola percepiscono la matematica come diﬃcile, noiosa e inutile. Questo atteggiamento `e raﬀorzato dai mezzi di comunicazione di massa, che vedono come positivo l’ammettere di non capire la matematica. Gli studenti hanno una scelta di materie pi` u ampia, con un’oﬀerta di materie pi` u di moda, pi` u “tranquille” e originali. Il numero di studenti di scuola che sostengono gli esami di qualiﬁcazione pre-universitaria nel Regno Unito `e calato del 25% dal 1991. Molti laureati in matematica negli ultimi anni hanno preferito carriere pi` u redditizie nel mondo degli aﬀari, invece dell’insegnamento. Molti insegnanti di scuola secondaria hanno lasciato la professione; in pi` u, un terzo degli insegnanti attualmente in servizio hanno espresso il desiderio di abbandonare nei prossimi cinque anni. Certe classi hanno docenti senza laurea.

Lo scopo dell’analisi, denominata “Making Mathematics Count”, dell’istruzione matematica della scuola superiore, condotta da Adrian Smith (cfr.[12]), `e: “raccomandare modiﬁche nel curriculum, nelle qualiﬁcazioni e nella pedagogia per gli studenti dai 14 anni in su, nelle scuole, nelle universit` a e nelle istituzioni di istruzione superiore, allo scopo di rendere possibile a questi studenti l’acquisizione della conoscenza e delle competenze matematiche necessarie per le esigenze del mercato o per un proseguimento degli studi.” Una delle loro conclusioni `e che in Inghilterra c’`e una carenza di 3.500 insegnanti di matematica, pi` u di uno per ogni scuola secondaria del paese, e che il sistema attuale tradisce le aspettative di studenti, insegnanti e altri ∗

Traduzione di Anna Rosolini

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James F. Blowey

dipendenti. Nelle parole del Professor Smith: “La matematica ha un’importanza centrale nella societ`a moderna. Per questo trovo estremamente preoccupante che cos`ı tante delle persone coinvolte ritengano che ci sia una crisi nell’insegnamento e nell’apprendimento della matematica.” Ora il governo ha fatto qualche passo per aﬀrontare il problema in Inghilterra, e ha nominato Celia Hoyles al ruolo di Chief Adviser for Mathematics in Inghilterra. Il suo ﬁne `e di fare avanzare l’istruzione matematica realizzando la strategia del governo per la matematica, e sostenere la materia a tutti i livelli. Se non avr` a successo, il governo dovr`a probabilmente fare qualcosa per impedire che le universit` a chiudano dipartimenti di “importanza strategica”, come hanno gi`a fatto per la Fisica e la Chimica. Nonostante ci`o, a causa del calo degli studenti che studiano queste materie, dipartimenti continuano a chiudere, come per esempio il Dipartimento di Fisica a Newcastle upon Tyne e il Dipartimento di Chimica della Exeter University. Anche l’intervento di scienziati insigniti del premio Nobel, quale Sir Harry Kroto, famoso per la scoperta del Buckminster Fullerene, che ha accusato l’Universit`a di Exeter [4] di un approccio troppo drastico e distruttivo, non ha avuto eﬀetto. Questo `e lo scenario dei problemi della Matematica nel Regno Unito. A Durham abbiamo fatto dei tentativi per rivalutare la matematica anche attraverso la partecipazione al progetto “Diﬀusion and Improvement of Mathematical Knowledge in Europe” che coinvolge le Universit` a di Bologna, Bochum, Durham, Cipro, Parigi VII; ulteriori informazioni sono disponibili sul sito http://maths.dur.ac.uk/MiE/. In questo articolo descrivo un corso universitario dell’ultimo anno, “Mathematics Teaching” (Insegnamento della Matematica) che tengo e che aﬀronta parzialmente questi problemi. Nel prossimo paragrafo si delineano gli scopi, gli obiettivi e gli elementi del corso. Nei successivi tre paragraﬁ sono indicati vari aspetti del corso: esplorazione, peculiarit` a e dimostrazione.

Gli elementi del corso: Mathematics Teaching Questo corso `e diverso da tutti gli altri corsi di matematica oﬀerti nel mio dipartimento: non considera la matematica da un punto di vista educativo, ma piuttosto ricorda agli studenti come la matematica pu` o essere bella ed accessibile e, allo stesso tempo, sviluppa le loro capacit`a critiche. Oﬀre agli studenti competenze chiave, interagisce con le scuole superiori locali, introduce gli studenti all’insegnamento. Una delle prime modiﬁche che ho apportato al corso `e stato lo sviluppo di risorse di apprendimento elettroniche nell’ambito del Virtual Learning Environment (VLE)1 Blackboard. Ci sono vantaggi nell’uso di un VLE; il pi` u importante `e che i forum di discussione oﬀrono agli studenti la possibilit`a di confrontarsi su problemi e di scambiarsi idee in un contesto 1

N.d.T.: ambiente di apprendimento virtuale.

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aperto, cosa che non succede negli altri corsi. Questo ha fornito un’ulteriore competenza chiave agli studenti. Le competenze chiave sono quelle abilit`a generiche e trasferibili che il governo e buona parte dell’industria considerano indispensabili per la ﬂessibilit` a e l’adattabilit` a al mondo del lavoro. Quanto pi` u gli studenti universitari sviluppano competenze chiave, tanto pi` u sono richiesti nel mercato economico. Queste sono le competenze chiave che gli studenti ottengono nel corso: -

Competenze accademiche (Saggio) - Ricerca bibliograﬁca; Sintesi di dati; Pensiero critico e analitico; Apprendimento attivo; Sviluppo di progetti; Creativit`a. Sapersi gestire (Tirocinio) - Apprendimento meditato; Approccio attivo. Comunicazione (Presentazione) - Produzione scritta; Presentazioni orali/visuali; Ascolto attivo. Interpersonali (Tirocinio) - Lavoro di gruppo; Comprensione/tolleranza del prossimo; Trattativa; Valutazione tra compagni; Adattabilit` a.

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Queste competenze chiave si raggiungono mediante: -

Un breve saggio sulla propria educazione e le proprie esperienze matema` interessante notare che gli spunti che emergono dai saggi oﬀrono tiche. E una motivazione agli studenti nelle successive visite nelle scuole. I cinque migliori saggi vengono pubblicati anonimi su Blackboard, come spunto di riﬂessione per il corso. Gli studenti devono organizzare autonomamente il proprio tirocinio. Devono comportarsi con tatto e riguardo, prestare aiuto quando `e richiesto, ma senza interferire. Gli studenti svolgono lavoro di gruppo per preparare una presentazione della loro esperienza di tirocinio, con particolare enfasi su temi quali: league tables 2 , istruzione con gruppi maschi/femmine separati, incentivi all’interno della scuola, specialist status schools 3 . I contenuti delle presentazioni vengono pubblicati su Blackboard, per fornire ulteriori spunti di riﬂessione. Un documento di 1500 parole sull’esperienze di apprendimento degli allievi nelle scuole secondarie sede di tirocinio. Una tesina avanzata di matematica, di 4000 parole, su un argomento scelto dallo studente. Gli argomenti sono spesso interessanti e fantasiosi; questo contribuisce a sviluppare originalit` a. Alcuni esempi di argomenti: (i) La commedia Arcadia di Tom Stoppard, la cui protagonista `e una ragazza dotata di grande talento per la matematica. L’autrice della tesina immagina di essere un’insegnante che accompagna una classe ad

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2 3

N.d.T.: valutazioni delle prestazioni di una scuola, introdotte nel 1993 e poste in discussione recentemente. N.d.T.: scuole che individuano una speciﬁca identit` a attraverso una specializzazione all’interno di dieci aree: artistica, economica, ingegneristica, umanistica, linguistica, matematico-informatica, musicale, scientiﬁca, sportiva, tecnologica.

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assistere ad Arcadia e deve successivamente spiegare agli studenti la matematica menzionata nella commedia. (ii) Argomenti di dinamica includono “come andare in bicicletta” e “il canottaggio a otto visto come sistema dinamico”. (iii) Le freccette come strumento per insegnare un corso di recupero di matematica, seguito da analisi avanzate che utilizzano probabilit` a, catene di Markov, Teoria dei numeri e la dinamica della traiettoria di una freccetta. (iv) Origami e i fondamenti della geometria euclidea, incluso la trisezione di un angolo con tecniche origami. (v) Dislessia, autismo e matematica. - L’esposizione di relazioni oﬀre agli studenti la possibilit` a si sviluppare ed estendere le proprie competenze usando sussidi a scelta: lavagna, Powerpoint, pagine web, lavagna luminosa. Il corso “Mathematics Teaching” `e molto interessante, piacevole e diﬃcile da insegnare e rende possibile conoscere personalmente tutti gli studenti; la grande maggioranza di essi `e interessata al corso, che `e il preferito di molti. Mi ha fatto capire che gli studenti di matematica della University of Durham hanno talento matematico (fatto che qualcuno sembra aver dimenticato), eccellenti capacit`a di comunicazione ed entusiasmo. Dal punto di vista professionale ho ottenuto dal corso anche i seguenti beneﬁci addizionali: 1. Conoscere i coordinatori di matematica delle 11 scuole locali. 2. Lavorare attivamente con la Student Community Action4 . L’attivit`a svolta nell’ambito di tali progetti d` a agli studenti un’ulteriore prospettiva sulle diﬃcolt`a di apprendimento degli alunni. 3. Organizzare incontri con i consulenti per la Matematica delle Sedi locali del Dipartimento dell’Educazione.

Esplorazione matematica Inizio questa sezione con alcune citazioni relative alla soluzione di problemi: “Una grande scoperta risolve un grande problema, ma c’`e una briciola di scoperta nella soluzione di qualsiasi problema. Il tuo problema pu` o essere semplice; ma se mette alla prova la tua curiosit` a e mette in gioco le tue capacit`a di invenzione, e se tu lo risolvi con i tuoi mezzi, puoi provare la tensione e il trionfo della scoperta. Queste esperienze, ad un’et`a adatta, possono creare un gusto per il lavoro intellettuale e lasciare la loro impronta sulla mente e sul carattere per tutta una vita [10].” “La capacit`a di risolvere i problemi `e al centro della matematica [3].” 4

N.d.T.: un’associazione studentesca che oﬀre agli studenti la possibilit` a di fare volontariato in progetti locali.

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“La forza che spinge la matematica sono i problemi. Un buon problema `e quello la cui soluzione, pi` u che sistemare un punto morto, apre una prospettiva interamente nuova [8].” “Alcuni tra i migliori problemi in matematica sono anche i pi` u semplici [8].” I quattro principi di George P´ olya per la soluzione dei problemi [10] sono: 1. 2. 3. 4.

Avere un arsenale di strategie per la soluzione di problemi. Aﬀrontare la soluzione di problemi con creativit` a. Attaccare i problemi usando diverse strategie. Acquisire maggior conﬁdenza nell’uso signiﬁcativo della matematica.

Il numero di McNuggett Al McDonalds si possono acquistare confezioni di Chicken McNuggets composte da 6, 9 e 20 pezzi (escludiamo gli “Happy Meals” e il “The Pound Menu”, nei quali `e possibile averne 4). Un “McNumero” `e deﬁnito come la quantit` a di McNuggets che si pu` o acquistare combinando 6, 9 e 20 pezzi. Per esempio: 44 = 4 × 6 + 20, 45 = 5 × 9, 46 = 6 + 2 × 20, 47 = 3 × 9 + 20, 48 = 8 × 6, 49 = 9 + 2 × 20. Il pi` u grande numero non McNumero `e 43, poich´e `e impossibile risolvere l’equazione diofantina 43 = 6 × a + 9 × b + 20 × c, come si pu`o veriﬁcare; si vede inoltre dalle uguaglianze precedenti che i successivi sei numeri sono McNumeri. Ci`o che rende il numero 43 particolarmente interessante `e il fatto che `e di una unit`a pi` u grande di 42! La serie comica di fantascienza “Guida galattica per gli autostoppisti” di Douglas Adams spiega che la risposta alla questione fondamentale della vita, dell’universo e di tutto, fornita dal supercomputer Pensiero Profondo ad un gruppo di topi, `e “quarantadue”. La costante di Kaprekar 6174 Si prenda un qualsiasi numero di quattro cifre (non tutte uguali)5 ; si ordinino le cifre in modo crescente e decrescente, ottenendo due numeri di quattro cifre. Si sottragga il numero pi` u piccolo al numero pi` u grande. Si ripeta il procedimento con il risultato ottenuto e cos`ı via - alla ﬁne si trova il numero 6174, la costante di Kaprekar. Per esempio: 5

Se una delle cifre `e 0, si applichi il procedimento usando 0 come cifra iniziale per il numero ottenuto con l’ordinamento crescente.

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9532 −2359 7173

7731 −1377 6354

6543 −3456 3087

8730 −0378 8352

8532 −2358 6174

In linea di principio, ci potrebbero essere molti cicli, ma per stringhe di lunghezza 4 in base 10 esiste un unico ciclo non banale. Quello che succede per stringhe di altra lunghezza o in altre basi viene lasciato al lettore da investigare. Numeri ciclici Perch´e il numero 142857 `e interessante? Calcolando le moltiplicazioni seguenti: 142857 × 1 = 142857, 142857 × 4 = 571428, 142857 × 7 = 999999

142857 × 2 = 285714, 142857 × 5 = 714285,

142857 × 3 = 428571, 142857 × 6 = 857142,

si vede che i risultati sono semplicemente un riordinamento delle cifre del numero di partenza 142857. Questo non `e sorprendente, dal momento che l’espansione decimale di 1/7 `e 0, 142857. Numeri con questa propriet` a vengono chiamati numeri ciclici. Un metodo per trovare numeri ciclici in base n (che mi `e stato suggerito da Nathanael Cockburn, uno studente del corso Mathematics Teaching) `e di prendere un numero di d cifre in base n in cui tutte le cifre siano uguali a n − 1, dividerlo per d + 1 e veriﬁcare poi che abbia la propriet` a desiderata. In base 17 un numero del genere `e (1, 9, 4, A, D, F, 7, C, 6, 3)17 dove A = 10, B = 11, etc. in modo che (1, 9, 4, A, D, F, 7, C, 6, 3)17 × 1 = (1, 9, 4, A, D, F, 7, C, 6, 3)17 (1, 9, 4, A, D, F, 7, C, 6, 3)17 × 2 = (3, 1, 9, 4, A, D, F, 7, C, 6)17 .. . (1, 9, 4, A, D, F, 7, C, 6, 3)17 × 9 = (D, F, 7, C, 6, 3, 1, 9, 4, A)17 (1, 9, 4, A, D, F, 7, C, 6, 3)17 × A = (F, 7, C, 6, 3, 1, 9, 4, A, D)17 Per ulteriori considerazioni sui numeri ciclici cfr. [15]. La successione di Fibonacci Consideriamo una coppia di conigli neonati, un maschio e una femmina, in un campo. Supponiamo che i nostri conigli non muoiano mai e che la femmina

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metta al mondo sempre due conigli (un maschio e una femmina) ogni mese a partire dal secondo mese: cos`ı alla ﬁne del mese successivo la femmina mette al mondo un’altra coppia di conigli. Questo problema `e stato considerato da Fibonacci, che ha mostrato che il numero di coppie di conigli, alla ﬁne del mese n, `e dato da {fn }∞ n=1 = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .} dove si inizia con 1 e 1 e per trovare il successivo termine della successione si sommano gli ultimi due termini, o, in simboli, fn = fn−1 + fn−2

con f1 = f2 = 1.

Questa viene chiamata successione di Fibonacci e compare in natura in una miriade di situazioni: conchiglie; rami di una pianta; disposizione di foglie, petali di ﬁori e semi; sugli ananas e sulle pigne; nelle mele. Una cosa che ho scoperto nello studio per il mio Ph.D. `e il risultato seguente: il numero di modi per ottenere un numero intero n come somma di numeri dispari `e fn . Per esempio 1=1 2 = 1+1

(1) (1)

3 = 1 + 1 + 1, 3 4 = 1 + 1 + 1 + 1, 3 + 1, 1 + 3 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 3 + 1 + 1, 1 + 3 + 1, 1 + 1 + 3, 5.

(2) (3) (5)

La dimostrazione `e diretta e piuttosto semplice se si usa il metodo di induzione. La dimostrazione per induzione `e una dimostrazione nella quale ogni passo deve essere giustiﬁcato. Tuttavia adopera un metodo interessante che consente di dimostrare un’aﬀermazione per un arbitrario numero n dimostrandola prima per 1, per esempio, poi mostrando che se l’aﬀermazione si suppone vera per n = k − 1, allora `e vera anche per n = k. L’idea `e che se vuoi mostrare che sai salire all’n-esimo gradino di una scala, devi solo mostrare che sai salire sul primo gradino (n = 1), e poi che sai salire da un qualsiasi gradino (n = k − 1) al successivo (n = k). L’aﬀermazione citata `e stata provata per n = 1 e n = 2. Per dimostrare il risultato in generale si supponga l’aﬀermazione vera per n = k − 1 e si dividano i modi di scrivere n = k come somma di numeri dispari in due classi distinte: (A) L’ultimo numero nel modo in cui k `e scritto `e un 1 - ignorando questo 1 si ottiene una espressione che ha come somma k − 1. Il numero di queste espressioni `e quindi fk−1 . (B) L’ultimo numero nel modo in cui k `e scritto `e maggiore o uguale a 3 sottraendo 2 a questo ultimo numero si ottiene una espressione che ha come somma k − 2. Queste espressioni sono fk−2 . Dal momento che le due classi sono distinte, il numero di modi di scrivere n = k `e fk−1 + fk−2 .

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James F. Blowey

I numeri di Fibonacci appaiono nei posti pi` u sorprendenti, per esempio per generare terne di numeri che soddisﬁno l’equazione x2 + y 2 = z 2 , cio`e le terne pitagoriche. Se si pone x = 2fn−1 fn ,

y = fn−2 fn+1 ,

z = (fn−1 )2 + (fn )2

allora, dopo aver eliminato i fattori comuni tra x e y si ottiene n (x, y, z)

3 (4,3,5)

4 (12,5,13)

5 (15,8,17)

6 7 (80,39,89) (208,105,233)

che sono terne che soddisfano x2 + y 2 = z 2 . I numeri di Lucas sono simili ai numeri di Fibonacci, tranne che iniziano ` interessante notare che anche con numeri diversi: {2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, . . .}. E i numeri di Lucas generano terne pitagoriche n (x, y, z)

4 (24,7,25)

5 6 7 . (56,33,65) (77,36,85) (396,203,445)

Uno dei fatti sui numeri di Fibonacci che viene riscoperto pi` u spesso `e che se si prende il primo numero di Fibonacci preceduto da uno zero dopo la virgola decimale, e poi si sposta la virgola di un posto a sinistra per ogni numero successivo, la somma di questi numeri `e 1/89: 0, 01 +0, 001 +0, 0002 +0, 00003 +0, 000005 +0, 0000008 +0, 00000013 +0, 000000021 .. . 0, 01123595505618 . . . = 1/89 Questo fatto si dimostra facilmente ponendo x = 0, 1 nella funzione generatrice, cio`e x = f1 x + f2 x2 + f3 x3 + · · · . 1 − x − x2 Inﬁne, il pi` u grande numero di Fibonacci primo, f81839 `e stato segnalato nell’aprile del 2001 da David Broadbent e Bouk de Water. Per un’analisi pi` u approfondita dei numeri e della successione di Fibonacci cfr. [5].

“Peculiarit` a” interessanti Complementare al nove Il metodo del complementare al nove consiste nel sostituire una sottrazione con un’addizione. Siano m e n numeri naturali con m > n e m di d cifre. Si

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riscrive la diﬀerenza m − n, sostituendo al numero n il numero 10d − 1 − n. Si somma poi questo numero al numero m, inﬁne si toglie la prima cifra e la si somma all’ultima cifra. Il numero trovato `e la diﬀerenza m − n. Ecco due esempi: 437 437 −249 ↔ +750 188 1187 → 188

437 437 −49 ↔ +950 388 1387 → 388

Moltiplicazione diagonale Per calcolare il prodotto xy, dove x `e un numero di m cifre e y di n, si pu` o applicare il metodo della moltiplicazione diagonale; questo consiste nello scrivere le cifre all’esterno di un rettangolo composto da n per m quadrati. In ciascun quadrato si scrive al di sopra e al di sotto della diagonale rispettivamente la prima e la seconda cifra del prodotto dei due numeri corrispondenti. Inﬁne, sommando lungo le varie diagonali si ottengono le cifre del prodotto. Per esempio: 54 × 32 = 1728 5 3 2 1

7

4

....................................................................................... .. .. ... ..... .. ..... .. ..... .... ..... .... ..... .... .... ... ... ... ..... ..... .... ... ......... .... ......... .... ........ .. ...... .. .................................................................... .................................................................. . ... . ... . . .. . . . . . . .... .. .... .. ..... ..... .... ..... .... ... ..... ..... ..... ... ......... ..... ......... .... ........ .... ........ .... . ........ . ... ............................................................................

1

1

5

1

2

0

0

2

8

8

Figura 1. Moltiplicazione diagonale

Si pu`o capire facilmente questo metodo scrivendo x=

n i=0

xi 10i ,

y=

m j=0

yj 10j

cos`ı xy =

m n

xi yj 10i+j

i=0 j=0

e riscrivendo la somma in modo che i + j sia costante. Il paradosso del compleanno Questo `e un risultato molto sorprendente che sembra andare contro il buon senso: in un gruppo di almeno 23 persone, la probabilit` a che ci siano due compleanni coincidenti `e pi` u di 1/2. Questo `e un esperimento simpatico da provare in una classe. Per la dimostrazione, supponiamo che i compleanni siano indipendenti ed equiprobabili. Se m = 365 giorni di un anno, ci sono in totale m possibili esiti

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per la prima persona, m2 per le prime due persone, e quindi mp possibili esiti per le prime p persone. Sia H1 il numero di tutti gli esiti (tra i mp possibili) in cui tutte le persone hanno compleanni diversi. Ci saranno m possibili date per la prima, m − 1 per la seconda, m − 2 per la terza, e cos`ı: H1 = m(m − 1) · · · (m − (p − 1)). Quindi la probabilit` a che in un insieme di p persone nessuna abbia lo stesso compleanno di un’altra `e: 1 (p − 1) H1 =1 1− ··· 1 − p m m m e la probabilit` a che almeno due persone abbiano lo stesso compleanno `e 1−

p−1

i=0

1−

i m

che `e maggiore di 1/2 per p ≥ 23. Mescolare un mazzo di carte Mescolando “in dentro”, un mazzo disposto originariamente come 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 diventa 5, 1, 6, 2, 7, 3, 8, 4. Mescolando “in fuori”, l’ordine del mazzo diventa invece 1, 5, 2, 6, 3, 7, 4, 8. Un mazzo di otto carte ritorna all’ordine originale dopo solo tre mescolate “in fuori”: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 1, 5, 2, 6, 3, 7, 4, 8 1, 3, 5, 7, 2, 4, 6, 8 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 mentre mescolando “in dentro” sono necessari otto passaggi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 5, 1, 6, 2, 7, 3, 8, 4 7, 5, 3, 1, 8, 6, 4, 2 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 Un mazzo di 52 carte ritorna al proprio ordine originale dopo 52 mescolate “in dentro”, ma con soltanto 8 mescolate “in fuori”. Difatti, per mischiare bene un mazzo di 52 carte bastano 8 o 9 mescolate “in dentro”, cfr. [14].

I problemi della matematica nel Regno Unito

69

Monete false Sono date 12 monete, che sembrano tutte uguali, ma una `e falsa ed ha un peso diverso. Usando una bilancia a piatti si pu` o determinare quale moneta `e falsa in tre pesate. Con quattro pesate `e facile: si dividono le monete in tre gruppi di quattro. O i due gruppi hanno lo stesso peso, e quindi la moneta falsa `e nell’altro, oppure si sostituisce il gruppo pi` u leggero con quello tenuto da parte. Cos`ı si conclude quale gruppo contiene la moneta falsa e se questa `e pi` u leggera o pi` u pesante. Con altre due pesate si determina qual’`e la moneta falsa. La soluzione eﬀettuando tre pesate `e molto pi` u diﬃcile, ma una ricerca su Internet fornisce molte diverse soluzioni. Geopiano Un geopiano a nove chiodini consiste di un’asse di legno con nove chiodini sistemati in una matrice 3 × 3 ed un elastico che viene tirato intorno ai chiodi - `e molto utile per svolgere calcoli di aree ad un livello elementare. Ci sono otto triangoli diversi che si possono costruire su un geopiano e sedici diversi quadrilateri, che si possono trovare per tentativi:

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Figura 2. Triangoli e quadrilateri possibili in un geopiano 3 × 3

L’area di ciascuno di questi triangoli `e facile da calcolare, tuttavia gli alunni preferiscono l’orientazione abituale per fare il calcolo. Lo Stomachion `e un rompicapo simile al Tangram costituito da 12 pezzi su un geopiano 12 × 12 e veniva giocato dai greci antichi. Lo scopo del gioco `e di ridisporre i pezzi per formare ﬁgure interessanti: un elefante, un’oca che vola, un orso, un cacciatore, un cane, una torre, un vaso, un gladiatore con rete ed elmetto (cfr. [13]). Questo viene ritenuto il rompicapo pi` u antico.

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Figura 3. L’antico gioco Stomachion

Nel novembre del 2003 si `e trovato che esistono esattamente 536 possibili diverse disposizioni dei pezzi in modo da formare un quadrato, considerando identiche soluzioni che sono equivalenti per rotazione e riﬂessione, cfr. [7].

La dimostrazione Introduzione “La maggior parte degli studenti che intraprendono l’istruzione universitaria non si rendono pi` u conto che la matematica `e una disciplina precisa, nella quale la dimostrazione gioca un ruolo essenziale [9].” Alcune semplici dimostrazioni che gli studenti inglesi √ possono aver incon2 `e irrazionale (suptrato prima dell’universit` a sono la dimostrazione che √ √ ponendo che 2 sia razionale, cio`e 2 = p/q, dove p e q non hanno fattori comuni, si giunge ad una contraddizione) e la dimostrazione del fatto che i numeri primi sono inﬁniti (usando di nuovo una dimostrazione per assurdo, si suppone che il numero di primi sia ﬁnito; se tali primi sono {p1 , p2 , . . . , pr } allora il numero p1 p2 · · · pr + 1 o `e un numero primo non incluso nella lista, oppure risulta divisibile per un primo che non appartiene alla lista). Riguardo quest’ultimo esempio, `e bene notare che un numero della forma p1 p2 · · · pr + 1 non `e necessariamente primo, per esempio 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30031 = 59 × 509. Nella dimostrazione l’essenziale sono i dettagli. Esistono molti tipi diversi di dimostrazione e di terminologia: -

Dimostrazione diretta - l’abbiamo gi` a incontrata molte volte in questo articolo. Un ulteriore esempio riguarda la somma della serie geometrica: 1 + x + x2 + · · · + xn =

1 − xn+1 1−x

per

x = 1

(6)

I problemi della matematica nel Regno Unito

-

71

che pu`o essere dimostrata direttamente moltiplicando 1 + x + x2 + · · · + xn per 1 − x, sempliﬁcando e poi dividendo per 1 − x = 0. √ Dimostrazione per assurdo - un esempio `e la dimostrazione che 2 `e irrazionale. Dimostrazione per induzione - abbiamo incontrato questa dimostrazione nel paragrafo sulla successione di Fibonacci. Condizione necessaria e suﬃciente. Proposizione inversa e contronominale. Controesempi - li abbiamo visti nell’ambito delle considerazioni sul numero di primi e li incontreremo di nuovo nel prossimo paragrafo.

Esempi cautelativi Questo paragrafo contiene alcuni esempi che mostrano che veriﬁcare la verit`a di un’aﬀermazione per alcuni valori non ne garantisce la validit` a per tutti i valori. Le regioni di un cerchio Un punto su una circonferenza individua una regione del cerchio. Due punti sulla circonferenza e la retta che li congiunge determinano due regioni. Continuando a sezionare un cerchio nel modo descritto (si veda la ﬁgura seguente) si costruisce la seguente tabella: numero di punti 1 numero di regioni 1

2 2

3 4

4 8

5 6 7 8 9 10 11 12 13 16 31 57 99 163 256 386 562 794

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•

In eﬀetti, il numero di regioni soddisfa la formula 1 4 (n − 6n3 + 23n2 − 18n + 24) 24

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James F. Blowey

e la dimostrazione `e basata sulla formula di Eulero, cfr. [1] per i dettagli. La falsa congettura di Mertens Si deﬁnisca la funzione di M¨ obius µ : N → {−1, 0, 1} come segue: ⎧ ⎪ se n ha uno o pi` u fattori primi ripetuti. ⎨0 µ(n) := 1 se n = 1. ⎪ ⎩ (−1)k se n `e il prodotto di k primi distinti. I primi valori di µ(n) sono: n

1

µ(n) 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

−1

−1

0

−1

1

−1

0

0

1

−1

0

.

La funzione di Mertens viene deﬁnita come: M (n) :=

n

µ(k).

k=1

√ La congettura di Mertens aﬀerma che per n > 1 si ha |M (n)| < n; l’aﬀermazione `e vera per n < 500000 ma nel 1985 `e stata trovata una dimostrazione indiretta che la congettura `e falsa. Alcuni esperti hanno provato che la congettura `e vera per n ≤ 1012 e ritengono che sia vera per n ≤ 1030 , ma si sa che esiste un controesempio (non ancora individuato) per n < 3, 21 × 1064 La congettura di Mertens ha importanti implicazioni, poich´e la validit` a di qualsiasi disuguaglianza della forma √ |M (n)| ≤ C n per ogni C ﬁssato implicherebbe l’ipotesi di Riemann, che `e uno dei problemi da sette milioni di dollari del Clay Institute. Questi problemi sono importanti questioni classiche che resistono alla soluzione da molti anni: -

la congettura di Birch and Swinnerton-Dyer; la congettura di Hodge; l’equazioni di Navier-Stokes; P o NP; la congettura di Poincar´e; l’ipotesi di Riemann; la teoria di Yang-Mills;

cfr. [11] per ulteriori informazioni. La dimostrazione per induzione Come abbiamo visto, non basta veriﬁcare la validit` a di un’aﬀermazione per alcuni valori per dimostrarla in generale. Una tecnica alternativa alla

I problemi della matematica nel Regno Unito

73

dimostrazione diretta `e la dimostrazione per induzione, che `e spesso applicata dagli studenti con pi` u entusiasmo che comprensione. La dimostrazione per induzione rappresenta un metodo molto potente ed `e usata dappertutto in matematica. Il metodo di induzione richiede di dimostrare che un’aﬀermazione `e vera: (a) per un valore iniziale m; (b) per n + 1, supponendo che l’aﬀermazione sia valida per n. Questo non `e dissimile dagli assiomi di Peano che possono essere usati per costruire N. La si pu`o considerare un eﬀetto domino che mostra la verit` a di un’aﬀermazione per m, m + 1, . . . Esistono alcune variazioni, per esempio la doppia induzione, o dimostrare un’aﬀermazione per m, m − 1, . . . oppure per numeri pari/dispari. Alcune delle diﬃcolt` a che ci si possono aspettare da un alunno tipico possono essere relative al concetto su cui si basa la dimostrazione: trascurare di veriﬁcare il passaggio (a); diﬃcolt` a con i calcoli nel passaggio (b); non riuscire ad accettare la logica, ossia il supporre che un’aﬀermazione sia vera; il considerare che le dimostrazioni siano comunque fatica sprecata. Per un approccio alla dimostrazione per induzione che aiuti gli studenti a raggiungere una buona comprensione del metodo e sicurezza nella sua applicazione, si possono utilizzare i problemi seguenti: n

1 = n,

i=1 n i=1

i2 =

n

(2i − 1) = n2 ,

i=1

n i=1

n(n + 1)(2n + 1) , 6

n i=1

i3 =

i=

n(n + 1) , 2

n2 (n + 1)2 , 4

...

e dimostrare che le uguaglianze sono valide per n = 1, . . . Auspicabilmente gli studenti dovrebbero scoprire questi risultati sperimentando un po’, per accrescere l’esperienza educativa. Inoltre gli studenti dovrebbero esercitarsi molto e vedere variazioni del metodo di induzione, per esempio nel valore iniziale, come nelle aﬀermazioni: n i=0

xi =

1 − xn+1 , 1−x

3(n3 + 8n) per ogni n ∈ Z, n! > 2n per ogni n ≥ 4.

Analogamente, per dimostrare che il termine generico della successione di Lucas Ln+2 = Ln+1 + Ln , L0 = 2, L1 = 1 `e

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James F. Blowey

Ln =

√ n √ n 1+ 5 1− 5 + 2 2

ci sono due valori iniziali da veriﬁcare prima di aﬀrontare il passaggio induttivo. Pronti per la dimostrazione Il teorema di Pitagora Se si prende un triangolo rettangolo con ipotenusa c e cateti a e b, con una tassellazione si ottiene il quadrato in Figura 4, poich´e la somma degli angoli interni di un triangolo `e 180◦ .

c

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a

b

x

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y

h

a

b

Figura 4. Tassellazione tramite un triangolo rettangolo. Altezza h di un triangolo

Osservando che l’area del quadrato pi` u grande `e c2 , quella del pi` u piccolo `e 2 (b − a) e quella di ciascun triangolo `e ab/2, si ricava che c2 = (b − a)2 + 4 ×

ab = a2 − 2ab + b2 + 2ab = a2 + b2 . 2

La formula di Erone esprime l’area di un triangolo di lati a, b, c: area =

s(s − a)(s − b)(s − c)

dove s =

a+b+c . 2

Una dimostrazione della formula di Erone comincia ponendo c = x + y, come in Figura 4(b). Si osservi che usando il teorema di Pitagora si ottiene che b2 = h2 + y 2 = h2 + c2 − 2cx + x2 =⇒ 2cx = a2 + c2 − b2 e che l’area del triangolo `e ch/2. Applicando di nuovo il teorema di Pitagora si ottiene

I problemi della matematica nel Regno Unito

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c2 a2 − c2 x2 2cx + 2ca 2ca − 2cx c2 h2 = = × 4 4 4 4 a2 + c2 − b2 + 2ca 2ca − (a2 + c2 − b2 ) = × 4 4 (a + c)2 − b2 b2 − (a − c)2 = × 4 4 a+c+b a+c−b b−a+c b+a−c × × × = 2 2 2 2 = s × (s − b) × (s − a) × (s − c)

Area2 =

Prendendo le radici quadrate si ricava la formula di Erone. Problemi combinatori Rettangoli su una scacchiera n × n 2 Ci sono n(n+1) rettangoli su una scacchiera n × n. Per vederlo, si pu` o 2 cominciare a contare i rettangoli per righe. Nella riga 1, che ha altezza 1, ce ne sono n dimensioni del rettangolo 1 × 1 numero di rettangoli n

2×1 n−1

··· ···

n×1 1

quindi risulta: numero di rettangoli nella prima ﬁla = n + (n − 1) + · · · + 1 =

n(n + 1) . 2

Poich´e ci sono n righe di altezza 1, il numero totale di rettangoli di altezza 1 `e n × n(n + 1)/2. Per contare i rettangoli di altezza 2 si comincia dalla riga pi` u in basso; come prima“numero di rettangoli=n(n + 1)/2”, ma ci sono solo n − 1 righe, quindi il numero `e (n − 1) × n(n + 1)/2. Proseguendo questo ragionamento: numero di rettangoli nella scacchiera n(n + 1) n(n + 1) n(n + 1) + (n − 1) × + ··· + = n× 2 2 2 2 n(n + 1) n(n + 1) = (n + (n − 1) + · · · + 1) × = . 2 2 Usando una tecnica diversa per contare i rettangoli, si pu` o dimostrare che 2 n(n + 1) numero di rettangoli = 1 + 23 + · · · + n3 = . 2 Una questione pi` u semplice `e chiedere quanti quadrati ci sono su una scacchiera n × n. La risposta `e

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numero di quadrati = 1 + 22 + · · · n2 =

n(n + 1)(2n + 1) 6

che si ricava con un procedimento analogo a quello applicato per i rettangoli. Riso su una scacchiera n × n Se si mette 1 grano di riso sul primo quadrato di una scacchiera, 2 sul 2 secondo, 4 su terzo, . . . e 2n sull’ultimo, il totale `e: 2

1 + 2 + 2 + ··· + 2

n2

2

2 2n +1 − 1 = = 2n +1 − 1 2−1

perch´e la somma `e la serie geometrica e si utilizza l’equazione (6) con x = 2 e “n = n2 ”. Numeri quadrati che sono anche triangolari I quadrati e i numeri triangolari sono dati rispettivamente da n2 e da

i

i=1

cio`e n1 n2 1 n i1

n

2 4

3 9

4 16

5 25

6 36

7 49

8 64

9 81

10 11 12 13 100 121 144 169

3

6

10

15

21

28

36

45

55

66

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91

i=1

Esistono inﬁniti numeri che sono sia triangolari sia quadrati, per esempio 1, 36, 1225, . . . C’`e una relazione ricorsiva per generarli: Sn+1 = 4Sn (8Sn + 1),

S1 = 1.

Quindi S2 = 36, S3 = 41616 e cos`ı via. Evidentemente questa formula non li genera tutti. Diamo una dimostrazione per induzione che questa formula genera numeri triangolari e quadrati. Si `e gi`a provato che S1 `e sia triangolare sia quadrato. Supponiamo che Sn sia quadrato e triangolare, cio`e Sn = r2 ,

Sn =

1 s(s + 1). 2

Per costruzione Sn+1 `e un numero triangolare: 8S

Sn+1 =

n (8Sn )(8Sn + 1) = i 2

i=1

quindi rimane da mostrare che Sn+1 `e un quadrato. 1 Sn+1 = 4Sn (8Sn + 1) = 4r2 (8r2 + 1) = 4r2 (8 × s(s + 1) + 1) 2 = 4r2 (4s2 + 4s + 1) = (2r(2s + 1))2

I problemi della matematica nel Regno Unito

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che `e un quadrato; questo conclude la dimostrazione. I numeri che risolvono l’equazione di Pell: 8x2 + 1 = y2 giocano un ruolo di rilievo nella teoria dei numeri. 8x2 + 1 = y 2

Sn

8 × 12 + 1 = 32 1 8 × 62 + 1 = 172 36 8 × 352 + 1 = 992 1225 8 × 2042 + 1 = 5772 416162 8 × 11892 + 1 = 33632 1413721 8 × 69302 + 1 = 196012 480224900 8 × 403912 + 1 = 1142432 1631432881

s-esimo r -esimo numero numero triangolare quadrato 1 1 8 6 49 35 88 204 1681 1189 9800 6930 57121 40391

` possibile dimostrare che i quadrati si possono ottenere quadrando i termini E della successione generata dalla formula ricorsiva un = 6un−1 − un−2 ,

n > 1, u0 = 0, u1 = 1.

Congetture Sono elencate sotto alcune congetture straordinariamente facili da enunciare; con le eccezioni dell’ultimo teorema di Fermat e del teorema dei quattro colori, per quanto mi risulta sono tutte ancora aperte. L’ultimo teorema di Fermat L’ultimo teorema di Fermat aﬀerma che non esistono terne non nulle di interi che risolvono l’equazione xn + y n = z n quando n > 2; ci sono voluti secoli per dimostrarlo, cfr. [6] per una prospettiva storica. Si pu` o dire che questo risultato ha reso Andrew Wiles il pi` u famoso matematico vivente. La congettura dei primi gemelli I primi gemelli minori o uguali a 100 sono {(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), · · · } e la congettura dei primi gemelli `e che ne esista un numero inﬁnito. La congettura dei primi di Mersenne I primi di Mersenne sono numeri primi della forma 2n − 1, per esempio {3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, . . .} Fino ad ora ne sono stati trovati 41; si congettura che ne esista un numero inﬁnito.

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I numeri perfetti sono dati dalla somma dei loro fattori; per esempio, i primi sei numeri perfetti sono: 6 = 1×2×3=1+2+3 28 = 1 × 22 × 7 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 496 = 1 × 24 × 31 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 8128 = 1 × 26 × 127 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 Da questo elenco si pu`o sospettare che i numeri perfetti siano collegati ai primi di Mersenne tramite la relazione 2n−1 (2n − 1); eﬀettivamente `e vero che n `e un numero pari perfetto se e solo se ha la forma 2n−1 (2n − 1) e 2n − 1 `e primo, cfr. [2]. I primi di Mersenne non vanno confusi con i primi di Fermat, n che sono numeri primi della forma 22 + 1. La congettura di Goldbach La congettura forte di Goldbach, cfr. [16], aﬀerma che tutti gli interi positivi pari maggiori o uguali a 4 possono essere scritti come somma di due primi. Per esempio 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, . . . , 40 = 17 + 23, 42 = 19 + 23, . . . La congettura `e stata veriﬁcata da Tom´ as Oliveira e Silva ﬁno a 2 × 1017 utilizzando una distributed computer search. La congettura debole di Goldbach `e che tutti i numeri dispari maggiori o uguali a 9 siano la somma di tre primi dispari, per esempio 9 = 3 + 3 + 3,

11 = 3 + 3 + 5,

13 = 3 + 3 + 7,

15 = 3 + 5 + 7,

...

La congettura non `e ancora stata dimostrata, ma Wang e Chen hanno dimostrato nel 1989 che la congettura `e vera per ogni numero maggiore o uguale a 1043000 . Quindi, per dimostrare la congettura debole di Goldbach basta dimostrare che ogni singolo numero dispari minore di 1043000 `e la somma di tre primi dispari! I colori di una mappa Il teorema dei quattro colori aﬀerma che ogni mappa piana pu` o essere colorata usando quattro colori in modo tale che regioni che hanno un bordo comune non siano dello stesso colore (tranne nel caso che il bordo comune sia un solo punto), si veda la Figura 5. Questo `e stato congetturato per la prima volta da Francis Guthrie nel 1853. Si pu`o dimostrare che sei colori sono suﬃcienti, e si pu`o facilmente scendere a cinque colori; ma ridurre il numero a quattro `e risultato molto diﬃcile. Dimostrazioni errate sono state trovate indipendentemente da Kempe nel 1879 e da Tait nel 1880. La dimostrazione di Kempe fu accettata per una decina

I problemi della matematica nel Regno Unito

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Figura 5. Colorare una mappa con quattro colori

di anni, ﬁnch´e Heawood mostr`o un errore usando una mappa con 18 regioni. Heawood congettur`o che il limite per il numero di colori che sono suﬃcienti per colorare mappe su una superﬁcie con g buchi `e (7 + 1 + 48g)/2

dove x `e la funzione parte intera di x, cio`e il pi` u grande intero minore o uguale a x. Per esempio (7 +

g 0 √ 1 + 48g)/2 4

1 7

2 8

3 9

4 10

5 11

6 12

7 12

8 13

9 13

10 14

Questa congettura fu dimostrata nel 1968 con due eccezioni: la sfera (ed il piano) e la bottiglia di Klein. Quando il teorema dei quattro colori fu dimostrato nel 1976, con una dimostrazione che utilizzava strumenti informatici, la bottiglia di Klein rimase l’unica eccezione, con la formula di Heawood che fornisce come limite 7, mentre il limite corretto `e 6. Tuttavia, poich´e parte della dimostrazione consiste in un’analisi esaustiva, fatta al computer, di molti casi distinti, alcuni matematici non l’accettarono. Non sono ancora stati trovati errori, cos`ı la dimostrazione pare valida. Una dimostrazione potenziale indipendente `e stata costruita nel 1996 ed un’altra, ancora pi` u concisa (12 pagine), ma tuttora non veriﬁcata, fu proposta da Cahit nel 2004. Questo `e un bell’esempio con cui terminare questo articolo, perch´e `e occorso molto tempo per dimostrare il risultato, ed `e una buona esempliﬁcazione della frase di P´olya: “Talvolta `e pi` u vantaggioso risolvere lo stesso problema con metodi diversi che risolvere molti problemi diversi.” Ci`o che rende questo esempio cos`ı importante per me `e che Heawood fu nominato Lecturer di matematica a Durham University, dove ha lavorato tutta la vita, ricoprendo varie cariche, ﬁno alla pensione nel 1939 a 78 anni. Heawood aveva una passione al di fuori della matematica e dell’universit` a: nel 1928 il Castello di Durham (ora parte del bel sito patrimonio mondiale dell’UNESCO) venne trovato pericoloso, con le fondamenta che si spostavano sullo strapiombo su cui `e costruito. Erano necessari fondi ingenti per

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salvare il castello e l’universit` a non riusc`ı a raccoglierli. Heawood tuttavia non si arrese e per anni lavor` o praticamente da solo, come Segretario del Durham Castle Restoration Fund, per raccogliere i fondi. Senza i suoi sforzi il Castello di Durham oggi non sarebbe ancora in piedi. Dirac disse di Heawood: “La sua sincerit`a trasparente, la devozione, il buon cuore, l’eccentricit` a e la straordinaria miscela di ingenuit` a e di sagacia gli hanno assicurato non solo l’ammirazione dei colleghi, ma anche la loro stima ed il loro rispetto.” Una vera ispirazione per chiunque cerchi di risolvere un problema impossibile come quello della matematica nel Regno Unito.

Riferimenti bibliograﬁci [1] A. Bogomolny, Partitioning a Circle, http://www.cut-the-knot.com/Generalization/cuttingcircle.shtml [2] C.K. Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists, http://www.utm.edu/research/primes/mersenne/ [3] W.H. Cockcroft (1982) Mathematics counts: report of the Committee of Inquiry into the Teaching of Mathematics in Schools, London HMSO [4] A. Fazackerley, Desperate for a spark to ignite student interest , Times Higher Education Supplement, 3rd December 2004, pp. 6-7, http://www.thes.co.uk/search/story.aspx?story id=2018127 [5] R. Knott, Fibonacci Numbers and Golden sections in Nature, http://www.ee.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/ﬁb.html [6] J.J. O’Connor - E.F. Robertson, Pierre de Fermat, http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/∼history/Mathematicians/ Fermat.html [7] E. Pegg Jr., The Loculus of Archimedes, Solved , http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames 11 17 03.html [8] I. Stewart, http://members.aol.com/istewjoat/homepage.html [9] Tackling the mathematics problem, (1995) http://www.lms.ac.uk/policy/tackling/report.html [10] G. Polya (1945) How to Solve It, Princeton [11] The Clay Millennium Problems, (2000) http://www.claymath.org/millennium/ [12] The Post-14 Mathematics Inquiry, (2004) http://www.mathsinquiry.org.uk/ [13] The Stomachion, http://www.geocities.com/tangramfan/stomachion.html [14] L.N. Trefethen - L.M. Trefethen (2002) How many shuﬄes to randomize a deck of cards?, Proceedings: Mathematical, Physical & Engineering Sciences, 456, pp. 2561-2568(8), 2000 [15] E.W. Weisstein, Cyclic Number , MathWorld - A Wolfram Web Resource, http://mathworld.wolfram.com/CyclicNumber.html [16] E.W. Weisstein, Goldbach Conjecture, MathWorld - A Wolfram Web Resource, http://mathworld.wolfram.com/GoldbachConjecture.html

Metamorph da Escher all’architettura virtuale Michele Emmer Dipartimento di Matematica, Universit` a di Roma “La Sapienza” P.le Aldo Moro 2, 00185 Roma [email protected]

Premessa Escheriana Nell’ottobre del 1964 l’artista graﬁco olandese Maurits C. Escher doveva tenere un ciclo di conferenze negli USA e in Canada, dove viveva suo ﬁglio George. Poco dopo essere arrivato in Canada, Escher fu ricoverato in un ospedale di Toronto per essere operato d’urgenza. Il ciclo di conferenze venne annullato. Tuttavia Escher che era una persona molto meticolosa aveva scritto il testo della conferenza e questo testo `e stato conservato e pubblicato nel 1986 nel libro Escher on Escher: Exploring the Inﬁnite [6]. Il capitolo che contiene il testo si chiama “Lectures that were never given”. Escher intendeva tenere una conferenza sul tema del ricoprimento periodico di una superﬁcie, un’arte in cui era diventato un maestro. Alla ﬁne della conferenza voleva mostrare come conclusione la famosa incisione Metamorphose II degli anni 1939-1940 dalle dimensioni inusuali di 195 per 4000 cm. ` una storia per immaEcco come Escher stesso descrive la sua opera: “E gini che consiste di molti stati successivi di trasformazione. La parola stessa Metamorphose serve come punto di partenza. Sistemata orizzontalmente e verticalmente sul piano, con le lettere O e M come punti di intersezione, le parole sono gradualmente trasformate in un mosaico di quadrati bianchi e neri, che, a loro volta, si trasformano in rettili. Se mi `e permesso un parallelo con la musica, si potrebbe dire che, sino a questo punto, la melodia `e scritta in due-quarti. Ora il ritmo cambia: elementi bluastri sono aggiunti a quelli bianchi e neri, e si arriva ad una melodia in tre-quarti. Poco alla volta ogni ﬁgura si sempliﬁca in un esagono regolare. A questo punto ecco un’associazione di idee: gli esagoni rimandano alle celle di un alveare, e non appena questo pensiero si fa luce una larva di ape comincia ad apparire in ogni cella. In un attimo ogni larva adulta si trasforma in un’ape matura, e presto gli insetti volano nello spazio. La vita delle mie api `e breve, perch´e le loro nere silhouette servono presto ad un’altra funzione, servono da sfondo a dei pesci bianchi. Questi a loro volta si trasformano a poco a poco, e negli spazi tra di loro appaiono le forme di

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uccelli neri. Allora, in lontananza, contro lo sfondo bianco, iniziano ad apparire delle silhouette di piccoli uccelli rossi. Quello che rimane del bianco assume anch’esso la forma di un uccello, cos`ı che motivi composti di tre uccelli, ognuno con la sua speciﬁca forma e colore, riempiono interamente la superﬁcie in un pattern ritmico. E poi di nuovo la sempliﬁcazione: ogni uccello `e trasformato in un rombo, e questa trasformazione d` a luogo ad una seconda associazione di idee: un esagono composto di tre rombi crea un eﬀetto plastico, apparendo in prospettiva come un cubo. Da un cubo ad una casa `e solo un passo, e con ` una tipica piccola citt` le case `e stata costruita una citt` a. E a del Sud d’Italia sul Mediterraneo, con, come capita spesso sulla costa amalﬁtana, una torre saracena che si erge nell’acqua, unita alla costa da un ponte. Ora emerge la terza associazione di idee: la citt`a e il mare sono lasciati alle spalle, e l’interesse `e adesso concentrato sulla torre: con gli altri pezzi su una scacchiera. Nel frattempo la striscia di carta in cui `e scritto Metamorphose diventa sempre ` tempo di ﬁnire la storia, e questa opportunit`a `e fornita dalla pi` u grande. E scacchiera, dai quadrati bianchi e neri, che all’inizio emergevano dalle lettere ed ora ritornano alla stessa parola Metamorphose. E con questo sono arrivato alla ﬁne della mia storia.” Ho utilizzato questa incisione di Escher come conclusione del mio ﬁlm The Fantastic World of Escher [4]. Non conoscevo quelle parole di Escher quando realizzai il ﬁlm. Ne conoscevo altre in cui Escher suggeriva che molte delle sue “idee visive”, delle sue storie, andavano lette con un linguaggio cinematograﬁco. Idea certo non nuova, perch´e gi`a le opere di Giotto nella Cappella degli Scrovegni a Padova, e di molti altri artisti di epoche diverse, hanno raccontato “storie” per immagini. E il cinema ha poi riraccontate quelle storie come ha fatto Luciano Emmer prima della seconda guerra mondiale con le storie di Giotto; le immagini dell’artista che diventano fotogrammi di una storia da raccontare senza parole, pure immagini e musica, come suggeriva Escher. Escher `e stato aﬀascinato dal tema della metamorfosi, si pu`o dire che il ciclo delle grandi incisioni dal titolo Metamorphose sia il suo testamento artistico. Dal testo della conferenza che doveva tenere e non ha mai tenuto si comprende, si coglie che quello che interessava di pi` u Escher era la possibilit`a di inserire nell’opera l’idea stessa di trasformazione, di fornire una chiave di incertezza e mutazione continua. Era quel processo, che in qualche modo non ha mai termine, di una forma che si trasforma in un’altra ed un’altra ancora, che lo aﬀascinava. Ecco perch´e era molto interessato alle decorazioni, all’arte islamica, ma mancava, a suo parere, in quelle perfette geometrie, l’idea della trasformazione continua, senza ﬁne, all’inﬁnito. Era un artista dell’inﬁnito Escher. Dell’inﬁnito e della metamorfosi. Ecco perch´e all’inizio della conferenza che ho tenuto al convegno di Bologna1 ho voluto mostrare Metamorphose II di Escher. Ma non l’incisione originaria, bens`ı la realizzazione che ne ho fatto in animazione continua con la macchina da presa verticale, quella che si chiama in cinema la truka. Con 1

Matematica e Cultura in Europa, 22 ottobre 2004

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il cinema si aggiunge il movimento suggerito da Escher. Inoltre la macchina da presa obbliga a tenere lo sguardo solo nel punto preciso in cui avviene la trasformazione. Le idee visive di Escher acquistano una dimensione in pi` u. Con il cinema l’illusione della trasformazione continua `e quasi perfetta. In realt`a cos`ı come non lo `e l’immagine di Escher, anche la ripresa cinematograﬁca non `e un’immagine in movimento, perch´e al cinema abbiamo l’illusione di vedere trasformazioni continue; in realt` a vediamo fotogrammi uno dietro l’altro, in sequenza, e chi guarda l’immagine che scorre ha l’impressione che si tratti di una trasformazione continua. Quando si fecero i primi esperimenti di cinema si prov` o con 60 fotogrammi al secondo, ma la gente si sentiva male, provava un senso di vomito, allora si opt` o per 24, anche per motivi economici. Mi `e sembrato mostrando quelle immagini di Escher, trasformate da me in una realt` a in movimento, di poter eﬃcacemente introdurre il tema della metamorphose nell’architettura contemporanea.

Mostra Internazionale di Architettura del 2004 Sono andato a visitare la Mostra Internazionale di Architettura di Venezia del 2004. Il tema della Biennale era appunto Metamorph. Appena entrato nei saloni della mostra mi `e venuto in mente Escher, ovviamente. “Molti dei grandi atti creativi nell’arte e nella scienza possono essere visti come fondamentalmente metamorﬁci nel senso che comportano la riformulazione concettuale dei principi ordinatori da un ambito dell’attivit` a umana a un’altra analogia visiva. Vedere qualcosa come essenzialmente simile a un’altra `e servito come strumento chiave nell’evoluzione della forma mentis in ogni campo della ricerca umana. Ho usato l’espressione “intuizioni strutturali” per cercare di catturare la mia sensazione in relazione al modo in cui tali metamorfosi concettuali operano nelle arti visive e nelle scienze. Esiste qualcosa che accomuna i creatori delle opere d’arte e gli scienziati negli impulsi, nella curiosit` a, nel desiderio di produrre immagini comunicative e funzionali di quello che vedono e si sforzano di capire? L’espressione “intuizioni strutturali” cerca di catturare quello che mi proponevo di dire in una frase, ovvero che scultori, architetti, ingegneri, designer e scienziati spesso condividono un profondo coinvolgimento con le magiche strutture che emergono nelle conﬁgurazioni e nei processi della natura in quelli semplici come in quelli complessi. Credo che l’uomo ricavi una soddisfazione profonda dalla percezione dell’ordine all’interno del caos, una soddisfazione che dipende dal modo in cui i nostri cervelli hanno sviluppato i meccanismi per l’estrazione dei patterns sottesi, statici e dinamici.” Cos`ı scrive Martin Kemp, storico dell’arte, specializzato nei rapporti tra arte e scienza, nell’articolo Intuizioni strutturali e pensiero metamorﬁco nell’arte, architettura e scienze, contenuto nel volume Focus [7], uno dei volumi che compongono il catalogo della Mostra Internazionale di Architettura di Venezia 2004.

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Nel suo articolo Kemp parla soprattutto di architettura. E l’immagine che accompagna le parole di Kemp `e quella di uno dei tanti progetti di Frank O. Gehry, architetto di cui non si pu` o ovviamente non fare cenno parlando di architettura moderna, di trasformazioni continue, di architettura non ﬁnita, di architettura inﬁnita (Fig. 1).

c Keith Mendenhall Figura 1. F.O. Gehry, Walt Disney Concert Hall, Courtesy of for the Gehry Partners Studio

Come di grande complessit`a, di enorme numero di varianti, sviluppate tramite l’innovazione tecnologica, essenziale, di superﬁci continue in trasformazione parla il curatore della mostra Kurt W. Forster, citando del matematico Ian Stewart l’articolo intitolato Nature’s numbers: discovering order and Pattern in the Universe (1995). Parole chiave: pattern, struttura, motivo, ordine, metamorfosi, variazioni, trasformazioni, matematica [8]. Scrive Forster: “I recenti ediﬁci fondati sulle superﬁci continue manifestano chiaramente la loro dipendenza per quanto riguarda ideazione e realizzazione dall’uso della tecnologia informatica. Le inﬁnite trasformazioni e gli scambi tra i metodi tradizionali e il software hanno moltiplicato e modiﬁcato il processo di elaborazione e di realizzazione dei progetti. Non esiste, o quasi, metodo che non possa essere integrato nel circuito dei calcoli numerici, ma ancora pi` u ricca di conseguenze della ﬂessibilit`a di elaborazione e del costante andirivieni tra immagine e oggetto `e la migrazione dell’architettura verso la sfera del virtuale e del simulato.”

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Ancora Forster a proposito di Gehry: “Quello che interessa evidentemente a Gehry `e il processo, nel senso del processo dinamico utilizzato per arrivare al risultato strutturale ed estetico.” Parole, progetti, idee della Biennale 2004 che erano visivamente molto legate a quanto volevo scrivere sui legami tra matematica, architettura, topologia, trasformazione. Parole, progetti, idee, in continuit` a con la Biennale precedente del 2002 da cui volevo partire. C’`e un inizio della storia da raccontare. L’allestimento del padiglione della Biennale di Venezia, che ha suscitato molte discussioni, `e stato assegnato a due famose architette: Hani Rashid e Lise Anne Couture. Nell’articolo scritto per il catalogo, dal titolo Asymptote, l’architettura di Metamorph, ecco come sintetizzano il loro progetto di allestimento: “La trasformazione delle Corderie (la sede centrale della mostra) che Asymptote ha realizzato `e emersa da sequenze morﬁche animate generate al computer e derivate dalle regole della geometria prospettica applicata alle azioni e alle dinamiche necessarie a torcere e legare insieme gli spazi delle Corderie. Metamorph costituisce un’esperienza spaziale essendo essa stessa un terreno di ﬂusso e di movimento. L’architettura della mostra, a partire dall’installazione e dal progetto espositivo per arrivare all’identit` a graﬁca e al progetto del catalogo, costituisce un’esperienza ﬂuida che fonde insieme l’Arsenale, i Giardini e Venezia, rendendo esplicita un’interpretazione contemporanea dell’architettura in cui le aﬃnit` a e le diversit` a si mescolano producendo gli eﬀetti di ﬂusso e metamorfosi nella forma e del pensiero” [11] (Fig. 2). Uno degli studi dell’allestimento cos`ı viene descritto, signiﬁcativamente: “Studio della superﬁcie topologica che si sviluppa all’interno dello spazio delle Corderie e che determina i movimenti e le curvature utilizzati nella progettazione dei ripiani.” Facciamo un passo indietro. Siamo agli inizi degli anni Novanta. Nel 1992 l’architetto Eisenman (a cui `e stato assegnato il Leone d’oro per l’architettura proprio alla mostra del 2004) e i suoi collaboratori progettano a Berlino un grattacielo, Max Reinhardt Haus; la struttura dell’enorme ediﬁcio `e basata su una superﬁcie topologica ben nota, il nastro di Moebius. Ben van Berkel nel 1993 progetta e costruisce la casa Moebius. Ebbene questi due progetti avevano il posto d’onore nella grande sala delle Corderie. Come a voler ricordare che quella `e stata una tappa importante nell’architettura contemporanea, nell’idea di trasformazione, di metamorphos. Un richiamo esplicito alla topologia (di cui si parler` a nel seguito). Fino a qualche anno fa questi erano progetti utopici, e molti lo sono ancora; gli architetti si divertivano a fare progetti che poi non venivano realizzati. Ecco allora la storia che vorrei raccontare, molto brevemente. Partendo dalla precedente Mostra di Venezia, quella del 2002.

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c Asymptote Figura 2. Asymptote, progetto allestimento Mostra Venezia 2004

Mostra Internazionale di Venezia del 2002 Nell’estate del 2002 si `e tenuta a Venezia la Biennale di Architettura. Tra i tanti progetti e le tante idee in mostra, alcune molto interessanti, altre solo pi` u o meno stravaganti, vi era il progetto per un museo del mondo ellenico, del gruppo di architetti chiamato Anamorphosis Architects, formato da Nikos Georgiadis, Tota Mamalaki, Kostas Kakoyiannis, Vaios Zitounolis. Progetto in cui grande enfasi era data alla spazialit` a della costruzione, un grande spazio continuo in trasformazione, con quelle linee curve che si avvolgono a spirale contorcendosi, e al centro, al centro di una grande spirale, la sede espositiva del periodo classico della civilt` a greca. Quell’ediﬁcio era in qualche senso l’inizio e la ﬁne (temporanea) di un discorso iniziato con la geometria euclidea migliaia di anni fa. Una geometria che `e stata alla base, insieme alla ﬁlosoﬁa greca, del formarsi della civilt` a occidentale come la conosciamo oggi. Senza dimenticare ovviamente l’inﬂuenza di tante altre civilt` a, prima tra tutti quella islamica che ha permesso all’Europa di riscoprire la civilt` a greca dimenticata (Fig. 3). Ci sono alcune questioni da indagare per capire almeno in parte come hanno contribuito nel corso dei secoli elementi ﬁlosoﬁci, artistici, scientiﬁci, culturali in una parola, alla sintesi di un progetto come quello per la civilt` a ellenica. Una sorta di viaggio all’interno della civilt` a occidentale degli ultimi

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Figura 3. Anamorphosis Architects, Athens, Greece, Project for the museum of the c Anamorphosis Architects Hellenic world (2002)

duemila anni e pi` u, privilegiando dal mio punto di vista, gli aspetti culturali legati alla geometria, alla matematica, all’architettura.

Lo spazio ` e matematica “Parmi di scorgere ferma credenza che nel ﬁlosofare sia necessario appoggiarsi all’opinioni di qualche celebre autore, s`ı che la mente nostra, quando non si maritasse col discorso d’un altro, ne dovesse in tutto rimanere sterile ed infeconda; e forse stima che la ﬁlosoﬁa sia un libro e una fantasia d’un uomo, come l’Iliade e l’Orlando Furioso, libri ne’ quali la meno importante cose `e che quello che vi `e scritto sia vero. La cosa non ist`a cos`ı. La ﬁlosoﬁa `e scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico l’universo), ma non si pu` o intendere se prima non s’impara a intender la lingua e conoscer i caratteri, ne’ quali `e scritto. Egli `e scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre ﬁgure geometriche, senza i quali mezzi `e impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi `e un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.” Parole di Galileo Galilei scritte ne Il Saggiatore, pubblicato a Roma nel 1623. Senza le strutture matematiche non si pu`o comprendere la natura. La matematica `e il linguaggio della natura. Facciamo un salto di molti secoli. Nel 1904 un famoso pittore cos`ı scriveva ad Emile Bernard: “Traiter la nature par le cylindre, la sph`ere, le cˆone, le tous mis en perspective, soit que

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chaque cˆot´e d’un objet, d’un plan, se dirige vers un point central. Les lignes parall`eles `a l’horizon donnent l’´etendue, soit une section de la nature. Les lignes perpendiculaires ` a cet horizon donnent le profondeur. Or, la nature, pour nous hommes, est plus en profondeur qu’en surface, d’o` u la n´ecessit´e d’introduire dans nos vibrations de lumi`ere, repr´esent´ee par les rouges et le jaunes, une somme suﬃsante de bleut´es, pour faire sentir l’air.” Commentava lo storico dell’arte Lionello Venturi che di cilindri, di sfere e di coni non se ne vedono nelle pitture di C´ezanne, che di lui si tratta, quindi la frase esprimeva un’ideale aspirazione ad un’organizzazione di forme trascendenti la natura, non altro. Negli stessi anni in cui C´ezanne dipingeva, anzi qualche tempo prima, il panorama della geometria era cambiato dagli anni di Galileo. La geometria nel corso della seconda met`a del XIX secolo era profondamente mutata. Lobacevskij e Bolyai tra gli anni 1830-1850 costruiscono i primi esempi di geometrie non-euclidee, in cui non era valido il famoso V postulato di Euclide sulle rette parallele. Non senza dubbi e contrasti, Lobacevskij chiamer`a la sua geometria (oggi denominata geometria non-euclidea iperbolica), geometria immaginaria, tanto era in contrasto con il senso comune. La geometria non-euclidea rest`o ancora per alcuni anni un aspetto marginale della geometria, una sorta di curiosit` a, ﬁno a che non venne incorporata nella matematica come sua parte integrante attraverso le concezioni generali di G.F.B. Riemann (1826-1866). Nel 1854 Riemann tenne davanti alla Facolt` a dell’Universit` a di Gottinga la famosa dissertazione dal titolo Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria), che verr` a pubblicata solo nel 1867. Nella sua presentazione Riemann sosteneva una visione globale della geometria come studio di variet`a di un numero qualsiasi di dimensioni in qualsiasi genere di spazio. Secondo la concezione di Riemann la geometria non doveva neppure necessariamente trattare di punti o di spazio nel senso ordinario, ma d’insiemi di n-ple ordinate. Nel 1872 Felix Klein (1849-1925), divenuto professore ad Erlangen, nel discorso inaugurale, noto con il nome Programma di Erlangen, descriveva una geometria come lo studio delle propriet` a delle ﬁgure aventi carattere invariante rispetto a un particolare gruppo di trasformazioni. Di conseguenza ogni classiﬁcazione dei gruppi di trasformazioni diventava una codiﬁcazione delle diverse geometrie. Ad esempio, la geometria euclidea del piano `e lo studio delle propriet`a delle ﬁgure che rimangono invarianti rispetto al gruppo di trasformazioni rigide del piano formato dalle traslazioni e dalle rotazioni. Jules Henri Poincar´e aﬀermava che “gli assiomi geometrici non sono n´e giudizi sintetici a priori, n´e fatti sperimentali. Sono convenzioni; la nostra scelta, fra tutte le convenzioni possibili, `e guidata da fatti sperimentali, ma ` resta libera e non `e limitata dalla necessit`a di evitare ogni contraddizione. E cos`ı che i postulati possono restare rigorosamente veri, anche se le leggi sperimentali che hanno determinato la loro adozione non sono che approssimative. In altri termini, gli assiomi della geometria non sono che deﬁnizioni travestite. ` vera la geometria euclidea? Essa non Pertanto, che pensare della domanda: E

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ha nessun senso. Cos`ı come non ha senso domandarsi se il sistema metrico sia vero e siano falsi i vecchi sistemi di misura; o se le coordinate cartesiane siano vere, e false quelle polari. Una geometria non pu` o essere pi` u vera di un’altra; pu` o solo essere pi` u comoda. La geometria euclidea `e, e rester`a, la pi` u comoda.” Si deve sempre a Poincar´e la nascita uﬃciale di quel settore della matematica che oggi si chiama Topologia con il volume Analysis Sitˆ us, traduzione latina del nome greco, pubblicato nel 1895: “Per quanto mi riguarda, tutte le diverse ricerche delle quali mi sono occupato mi hanno condotto all’Analysis Sitˆ us (letteralmente Analisi della posizione)”. Poincar´e deﬁniva la topologia come la scienza che ci fa conoscere le propriet`a qualitative delle ﬁgure geometriche non solo nello spazio ordinario, ma anche nello spazio a pi` u di tre dimensioni. Se a tutto questo si aggiunge la geometria dei sistemi complessi, la geometria dei frattali, la teoria del caos e tutte le immagini “matematiche” scoperte (o inventate) dai matematici negli ultimi trent’anni utilizzando la computer graphics, si comprende facilmente come la matematica abbia contribuito in modo essenziale a cambiare pi` u volte la nostra idea di spazio, dello spazio in cui viviamo e dell’idea stessa di spazio. Ch´e la matematica non `e mero strumento di ricette di cucina, ma ha contribuito, quando non ha determinato, il modo che abbiamo di concepire lo spazio sulla terra e nell’universo. In particolare nei riguardi della topologia, la scienza della trasformazioni, la scienza degli invarianti. Si veda ad esempio a New York il progetto di Frank O. Gehry per il nuovo museo Guggenheim di Manhattan. Un progetto ancora pi` u stimolante, ancora pi` u topologico di quello per il Guggenheim di Bilbao. (Fig. 3) Certo il salto culturale `e notevole; costruire utilizzando tecniche e materiali che consentano di realizzare la trasformazione rendendola quasi continua, una sorta di contraddizione tra la costruzione ﬁnita e la sua deformazione. ` un segno interessante che si cominci a studiare l’architettura contempoE ranea utilizzando anche gli strumenti che la matematica, la scienza mette a disposizione. Strumenti culturali oltre che tecnici. Vale la pena sottolineare come la scoperta (o invenzione) delle geometrie non euclidee e delle dimensioni pi` u alte, a partire dalla quarta, siano uno degli esempi pi` u interessanti anche per le profonde ripercussioni che molte delle idee dei matematici avranno sulla cultura umanistica, sull’arte. Come per ogni buon viaggio bisogna tracciare un itinerario, itinerario in cui saranno presenti gli elementi che si utilizzano per dare un senso alla parola Spazio.

Gli elementi fondamentali Il primo elemento `e senza ombra di dubbio lo spazio che Euclide `e venuto delineando, con le deﬁnizioni, gli assiomi, le propriet` a degli oggetti che in

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Figura 4. F.O. Ghery, Project for the new Guggenheim museum in Mahattan, c Keith Mendenhall for the Gehry Partners Studio Courtesy of

questo spazio devono trovare posto. Spazio che sar`a quello della perfezione, lo spazio platonico. L’uomo come matrice e misura dell’universo, idea che attraversa i secoli. La matematica, la geometria che devono spiegare tutto, anche la forma degli essere viventi: Le curve della natura, titolo di un famoso libro del Novecento di Cook che certo non si immaginava quanto potesse essere vero ritrovare in forme della natura, addirittura in quelle che sono all’origine della vita, alcune curve matematiche. Dal famoso libro di D’Arcy Thompson Crescita e forma del 1914 alla teoria delle catastroﬁ di Ren´e Thom, alla complessit`a e all’eﬀetto Lorentz ed ai sistemi dinamici non lineari. Il secondo elemento `e la libert` a; la matematica, la geometria sembrano essere il regno dell’aridit` a. Chi non si `e occupato mai di matematica, chi non ha mai studiato con interesse la matematica a scuola, non riesce a capire la profonda emozione che pu` o suscitare la matematica, n´e concepire che la matematica sia un’attivit` a altamente creativa. N´e che sia il regno della libert`a dove non solo si inventano (o scoprono) nuovi oggetti, nuove teorie, nuovi campi di attivit`a della ricerca, ma si inventano anche i problemi. Non avendo inoltre il matematico bisogno in molti casi di ingenti risorse ﬁnanziarie, si pu` o ben dire che la matematica `e il regno della libert` a e della fantasia. E certo del rigore. Del corretto ragionare. Il terzo elemento su cui riﬂettere `e come tutte queste idee vengono trasmesse ed assimilate, magari non comprese a fondo e solo orecchiate dai diversi settori della societ`a. Ha scritto l’architetto Alicia Imperiale nel capito-

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lo “Tecnologie digitali e nuove superﬁci” del libro Nuove bidimensionalt` a [9]: “Gli architetti si appropriano liberamente di metodologie speciﬁche di altre discipline. Ci`o pu` o essere attribuito al fatto che ampi cambiamenti culturali si veriﬁcano pi` u velocemente in altri contesti che in architettura”. E ha aggiunto: “L’architettura riﬂette i cambiamenti che avvengono nella cultura, e secondo molti, con un ritmo dolorosamente lento. Gli architetti, cercando costantemente di occupare un ruolo di avanguardia, pensano che le informazioni prese a prestito da altre discipline possano essere rapidamente assimilate all’interno della progettazione architettonica. Tuttavia, la traducibilit` a, il trasferimento di un linguaggio in un altro, rimane un problema. Gli architetti guardano sempre pi` u spesso ad altre discipline e ad altri processi industriali per ispirarsi, e fanno un uso sempre maggiore della progettazione al computer e di software per la produzione industriale originariamente sviluppati per altri settori”. Pi` u avanti la Imperiale ricorda che “`e interessante notare che, nell’era dell’informazione, discipline un tempo distinte, sono legate tra loro attraverso un linguaggio universale: il codice binario digitale”. Il computer risolve tutti i problemi? Il quarto elemento `e il computer, il computer graﬁco, la macchina logica e geometrica per eccellenza, l’idea realizzata di una macchina intelligente in grado di aﬀrontare problemi diversissimi se siamo capaci di farle comprendere il linguaggio che usiamo. L’idea geniale di un matematico, Alan Turing, portata a termine sotto lo stimolo di una guerra. Una macchina costruita dall’uomo, in cui `e stata inserita una logica anche quella costruita dall’uomo, pensata dall’uomo. Uno strumento molto soﬁsticato, insostituibile, non solo in architettura. Uno strumento, appunto. Il quinto elemento `e il progresso, la parola progresso. Se si considerano le geometrie non euclidee, le nuove dimensioni, la topologia, l’esplosione della geometria e della matematica nel Ventesimo secolo, si pu`o parlare di progresso? Delle conoscenze senz’altro, ma non nel senso che i nuovi risultati cancellano i precedenti. Usano dire i matematici che “la Matematica `e come il maiale, non si butta via nulla, prima o poi anche le cose che sembrano pi` u astratte ed anche insensate possono venire utili”. Scrive la Imperiale che la topologia `e eﬀettivamente parte integrante del sistema della geometria euclidea. Dove quello che `e sfuggito a chi ha scritto queste parole `e che cosa voglia dire la parola spazio in geometria. Parole, appunto. Dove invece il cambiare geometria serve per aﬀrontare problemi che sono diversi perch´e `e diversa la struttura dello spazio. Lo spazio sono le propriet` a, non gli oggetti contenuti. Parole. Il sesto elemento sono le parole. Una delle grandi capacit`a dell’umanit`a `e di dare un nome alle cose. Molte volte nel “nominare” si usano parole che sono gi`a nell’uso corrente. Questa abitudine crea alle volte dei problemi perch´e si ha l’impressione sentendo queste parole di capire o perlomeno intuire di che cosa si tratti. In matematica `e successo spesso negli ultimi anni con parole come frattali, catastroﬁ, complessit`a, iperspazio. Parole simboliche, metaforiche. Anche topologia e dimensionalit` a e serialit`a fanno oramai parte

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del linguaggio comune, o almeno degli architetti. Riassumendo, il viaggio si svolge tra parole, computer, assiomi, trasformazioni, parole, libert` a. Una parola avr` a una grande importanza in questo viaggio nell’idea di spazio: la topologia. Per gli altri aspetti rimando al libro Mathland: dalle superﬁci piatte alle ipersuperﬁci [5].

Dalla Topologia all’architettura virtuale “Verso la met`a del XIX secolo la geometria prese uno sviluppo completamente nuovo e destinato a divenire presto una delle grandi forze della matematica moderna”. Parole di Courant e Robbins nel famoso libro Che cosa `e la matematica? “Il nuovo argomento, detto analysis sitˆ us o topologia, ha come oggetto lo studio delle propriet` a delle ﬁgure geometriche che persistono anche quando le ﬁgure sono sottoposte a deformazioni cos`ı profonde da perdere tutte le loro caratteristiche metriche e proiettive”. Poincar´e deﬁniva la topologia come la scienza che ci fa conoscere le propriet` a qualitative delle ﬁgure geometriche non solo nello spazio ordinario ma anche nello spazio a pi` u di tre dimensioni. La topologia dunque ha come oggetto lo studio delle propriet` a delle ﬁgure geometriche che, sottoposte a deformazioni cos`ı profonde da perdere tutte le loro propriet` a metriche e proiettive, per esempio la forma e le dimensioni, tuttavia restano invariate. Le ﬁgure geometriche mantengono cio`e le loro propriet` a qualitative. Si pensi a ﬁgure costruite con materiale deformabile ad arbitrio su cui non siano possibili n´e lacerazioni n´e saldature; vi sono propriet` a che si conservano quando una ﬁgura cos`ı costruita viene deformata a piacere. Nel 1858 il matematico ed astronomo tedesco August Ferdinand Moebius (1790-1868) descrisse per la prima volta in un lavoro presentato alla Accademia delle Scienze di Parigi una nuova superﬁcie dello spazio tridimensionale, superﬁcie che oggi `e nota con il nome di Nastro di Moebius. Nel suo lavoro Moebius ha spiegato come sia possibile costruire in modo molto semplice la superﬁcie che oggi porta il suo nome. Tra l’altro, la striscia di Moebius `e il primo esempio di superﬁcie su cui non `e possibile ﬁssare un’orientazione, cio`e distinguere tra due facce. Scrivono ancora Courant e Robbins: “Dapprima, la novit` a dei metodi usati nel nuovo campo non diede modo ai matematici di presentare i loro risultati nella forma deduttiva tradizionale della geometria elementare: invece i pionieri, come Poincar´e, furono costretti a basarsi largamente sull’intuizione geometrica. Anche oggi [il libro di Courant e Robbins `e del 1941] uno studioso di topologia trover` a che insistendo troppo nel rigore formale dell’esposizione si pu`o facilmente perdere di vista il contenuto geometrico essenziale di una quantit` a di particolari formali”. La parola chiave `e intuizione geometrica. Ovviamente i matematici nel corso degli anni hanno provveduto a portare la topologia nell’ambito della

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matematica pi` u rigorosa, ma quell’aspetto d’intuizione `e rimasto. E proprio questi due aspetti, quello delle deformazioni che pur conservano alcune propriet` a della ﬁgura geometrica, e quella dell’intuizione, giocano un ruolo profondo nell’idea di spazio e di forma che a partire dal secolo XIX arriva sino ai giorni nostri. Alcune delle idee della topologia saranno intuite dagli artisti e dagli architetti nel corso dei decenni, prima dagli artisti, poi molto pi` u tardi dagli architetti. Val la pena raccontare la storia della scoperta di una forma topologica da parte di un grande artista del Novecento. Una forma che, quando l’artista la scopr`ı, esisteva gi`a nel mondo delle idee matematiche. Si tratta del grande artista e architetto del Novecento Max Bill, scomparso nel 1994. Cos`ı scriveva Bill raccontando nell’articolo Come cominciai a fare le superﬁci a faccia unica in quale occasione scopr`ı le superﬁci di Moebius (Bill ha chiamato le sue sculture dalla forma di nastri di Moebius Endless Ribbons, nastri senza ﬁne) [1]: “Marcel Breuer, il mio vecchio amico della Bauhaus, `e il vero responsabile delle mie sculture a faccia unica. Ecco come accadde: fu nel 1935 a Zurigo dove, insieme a Emil e Alfred Roth stava costruendo le case di Doldertal che ai loro tempi ebbero grande seguito. Un giorno Marcel mi disse di aver ricevuto l’incarico di costruire, per una mostra a Londra, un modello di casa dove tutto, persino il caminetto, doveva essere elettrico. Ci era ben chiaro che un caminetto elettrico che splende ma non ha fuoco non `e un oggetto dei pi` u attraenti. Marcel mi chiese se mi sarebbe piaciuto fare una scultura da metterci sopra. Cominciai a cercare una soluzione, una struttura che si potesse appendere sopra ad un caminetto e che magari girasse nella corrente d’aria ascendente e, grazie alla sua forma e al movimento, agisse come sostituto delle ﬁamme. L’arte invece del fuoco! Dopo lunghi esperimenti, trovai una soluzione che mi sembrava ragionevole”. La cosa interessante da notare `e che Bill pensava di aver trovato una forma completamente nuova. Fatto ancora pi` u curioso, l’aveva trovata (inventata?) giocando con una striscia di carta, nello stesso modo in cui Moebius l’aveva scoperta molti anni prima! “Non pass` o molto tempo che qualcuno si congratul` o con me per la mia reinterpretazione fresca ed originale del simbolo egiziano dell’inﬁnito e del nastro di Moebius. Non avevo mai sentito nominare n´e l’uno n´e l’altro. La mia conoscenza matematica non era mai andata al di l`a dei comuni calcoli architettonici e non avevo un grande interesse per la matematica”. Il Nastro senza ﬁne venne presentato per la prima volta alla Triennale di Milano nel 1936. “Gi` a ﬁn dagli anni ’40 - scriveva Bill - pensavo ai problemi di topologia. Da essi sviluppai una specie di logica della forma. Le ragioni per cui venivo continuamente attratto da questo tema particolare sono due: 1) l’idea di una superﬁcie inﬁnita - che `e tuttavia ﬁnita - l’idea di un inﬁnito ﬁnito; 2) la possibilit`a di sviluppare superﬁci che - come conseguenza delle leggi intrinseche sottese - portino quasi inevitabilmente a formazioni che provano l’esistenza della realt`a estetica. Ma sia 1) che 2) indicavano anche un’altra direzione. Se le strutture topologiche non orientate esistessero solo in virt` u

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della loro realt`a estetica, allora, nonostante la loro esattezza, non avrei potuto esserne soddisfatto. Sono convinto che il fondamento della loro eﬃcacia stia in parte nel loro valore simbolico. Esse sono modelli per la riﬂessione e la contemplazione”. Si pu`o dire che come nel caso della quarta dimensione l’oggetto che ha pi` u colpito l’immaginazione `e stato l’ipercubo, o cubo a quattro dimensioni, nel caso della topologia questo ruolo lo ha avuto il nastro di Moebius. Queste forme che hanno tanto interessato Max Bill negli anni Trenta non potevano non interessare gli architetti, anche se passeranno alcuni anni; bisogna arrivare alla diﬀusione della computer graphics che consente di visualizzare gli oggetti matematici di cui si `e parlato, che permette cio`e di supportare l’intuizione che altrimenti, per chi matematico non `e, riesce diﬃcile da manipolare.

Il nastro di Moebius Ecco cosa scrive nel capitolo Superﬁci topologiche Alicia Imperiale [9]: “Gli architetti Ben van Berkel e Caroline Bos di UN Studio discutono l’impatto sull’architettura delle nuove scoperte scientiﬁche. Le scoperte scientiﬁche hanno radicalmente cambiato la deﬁnizione del termine “Spazio” attribuendogli una forma topologica. Anzich´e come modello statico di elementi costitutivi, si percepisce lo spazio come qualcosa di malleabile, mutevole, e la sua organizzazione, la sua ripartizione, la sua appropriazione diventano elastiche”. Ecco il ruolo della topologia, cos`ı come lo vede un architetto: “La topologia `e lo studio del comportamento di una struttura di superﬁcie sottoposta a deformazione. La superﬁcie registra i cambiamenti degli slittamenti spaziotemporali diﬀerenziali in una deformazione continua. Ci` o comporta ulteriori potenzialit`a per la deformazione architettonica. La deformazione continua di una superﬁcie pu` o condurre all’intersezioni di piani esterni e interni in un continuo mutamento morfologico, esattamente come nel nastro di Moebius. Gli architetti usano questa forma topologica nel progetto di casa, inserendo campi diﬀerenziali di spazio e tempo in una struttura altrimenti statica” (Fig. 4). Naturalmente anche alcune parole ed idee nel passare dall’ambito strettamente scientiﬁco a quello artistico e architettonico sono deformate, viste da un’ottica diversa. Ma questo non `e aﬀatto un problema n´e vuole essere una critica. Sono le idee che circolano liberamente ed ognuno le interpreta a ` essenziale in suo modo cercando di coglierne, come la topologia, l’essenza. E tutto questo il ruolo della computer graphics che permette di inserire quella variabile di deformazione-tempo che sarebbe altrimenti impensabile oltre che irrealizzabile. Continua la Imperiale a proposito del nastro di Moebius: “La casa di Van Berkel ispirata al nastro di Moebius (Moebius House) `e pensata come una struttura programmaticamente continua, che integra il continuo mutamento di coppie dialettiche scorrevoli che ﬂuiscono l’una nell’altra, dall’interno al-

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c Ben van Berkel (UN Studio/van Berkel & Bos), Figura 5. Moebius House 1993-97

l’esterno, dalle attivit` a di lavoro a quelle del tempo libero, dalla struttura portante alla struttura non portante.” Negli stessi anni Peiter Einsenman progettava la Max Reinhardt Haus a Berlino [3]. “L’ediﬁcio ad archi, costitutito da forme intersecanti e sovrapposte, presenta una struttura uniﬁcata che si separa, si comprime, si trasforma e inﬁne si ricongiunge sul piano orizzontale al livello dell’attico. L’origine della forma `e rappresentata dal nastro di Moebius, una forma geometrica tridimensionale caratterizzata da un’unica superﬁcie interminabile che sottost` a a tre operazioni iterative. Nella prima, i piani sono generati dall’estensione dei vettori e dalla triangolazione delle superﬁci. . . La seconda iterazione capovolge il nastro, eﬀettua un’operazione simile a quella della prima fase e quindi appone queste superﬁci sulla forma iniziale, creando in tal modo una forma fantasma.

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La terza fase applica un elemento della storia berlinese sulla forma stessa avvolgendo vasti spazi pubblici tra la griglia e lo zoccolo del pianterreno di una struttura gi` a ripiegata. Come il nastro di Moebius che piega due lati in un’unica superﬁcie ripiegandosi su se stesso, la Max Reinhardt Haus rinnega la tradizionale dialettica tra interno e esterno e confonde la distinzione tra pubblico e privato.” Sia la casa di van Berkel che il progetto di Eisenman erano presenti alla Biennale di Venezia del 2004, sorta di archetipi dell’architettura topologica (Fig. 5).

c Max Reinhardt Haus, 1992 Figura 6. Eisenman Architects

La bottiglia di Klein, altro famoso oggetto topologico, scrive Van Berkel, “pu` o essere tradotta in un sistema canalizzante che incorpora tutti gli elementi che incontra e li fa precipitare in un nuovo tipo di organizzazione integrale internamente connessa”; da notare che le parole integrale, internamente connessa hanno in matematica un preciso signiﬁcato. Ma non `e questo un problema perch´e “i diagrammi di queste superﬁci topologiche non vengono usati in architettura in una maniera rigorosamente matematica, ma costituiscono diagrammi astratti, modelli tridimensionali che consentono agli architetti di incorporare nell’architettura idee di spazio e

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tempo diﬀerenziati.” Come detto, se pur con qualche ritardo, gli architetti si sono accorti delle nuove scoperte scientiﬁche nel campo della topologia. Ed oltre che iniziato a progettare e costruire, hanno iniziato a riﬂettere. Nel 1999 nella tesi di dottorato Architettura e Topologia: per una teoria spaziale della architettura, Giuseppa Di Cristina scrive: “La conquista ﬁnale dell’architettura `e lo spazio: questo viene generato attraverso una sorta di logica posizionale degli elementi, cio`e attraverso la disposizione che genera le relazioni spaziali; il valore formale viene cos`ı sostituito dal valore spaziale della conﬁgurazione: ci` o che importa non `e tanto l’aspetto della forma esteriore, quanto la sua qualit` a spaziale. E dunque la geometria topologica, priva di “misure” e propria delle ﬁgure non rigide, non `e qualcosa di puramente astratto che sta prima dell’architettura, ma `e la traccia lasciata da quella modalit`a d’azione nella concretizzazione spaziale dell’architettura”. ` stato pubblicato nel 2001 un volume sul tema Architecture and Science E [2]. Nella prefazione di Di Cristina The Topological Tendency in Architecture si chiarisce che “Gli articoli raccolti in questo volume riguardano direttamente o indirettamente l’approccio topologico che si `e andato sempre pi` u sviluppando in architettura durante l’ultimo decennio. Testimoniano l’intreccio tra la neoavanguardia architettonica ed il pensiero scientiﬁco matematico, in particolare quello topologico; sebbene non sia stata ancora formulata una teoria vera e propria dell’architettura topologica, tuttavia si pu` o parlare di una tendenza topologica da parte degli architetti a livello sia teorico che operativo. In particolare gli sviluppi della geometria o matematica moderna, della psicologia percettiva e della graﬁca computerizzata inﬂuiscono sull’attuale rinnovamento formale dell’architettura e sull’evoluzione del pensiero architettonico. Ci`o che maggiormente interessa gli architetti che teorizzano la logica della curvilineit` a e della pieghevolezza `e il signiﬁcato di “evento”, di “evoluzione”, di “processo”, ovvero di dinamismo insito nelle conﬁgurazioni ﬂuide e ﬂessibili di quella che viene oramai chiamata architettura topologica. Per topologia architettonica si intende la variazione dinamica della forma, agevolata dalle tecnologie informatiche, dalla progettazione assistita dal computer, dai software di animazione. La topologizzazione della forma architettonica secondo conﬁgurazioni dinamiche e complesse conduce il disegno architettonico ad una rinnovata e spesso spettacolare plasticit` a, sulla scia del Barocco e dell’Espressionismo organico.” Ecco cosa intende per Architectural Topology Stephen Perrella, uno degli architetti virtuali pi` u interessanti (Fig. 6): “La topologia architettonica `e la mutazione della forma, della struttura, del contesto e del programma in modelli compositi e dinamiche complesse. Negli ultimi anni, si `e sviluppata una sensibilit` a progettuale grazie alla quale le superﬁci architettoniche e gli elementi topologizzanti della forma vengono esplorati in maniera sistematica e inclusi in diversi programmi architettonici. Inﬂuenzato dalla intriseca temporalit` a dei software di animazione, dalla augmented reality, della produzione industriale computerizzata, e, in generale,

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c The Moebius House Study, Figura 7. Stephen Perrella, Rebecca Carpenter 1997-98

dell’informatica, lo “spazio” topologico diﬀerisce da quello cartesiano perch´e in esso gli eventi temporali diventano parte integrante della forma. Lo spazio, dunque, non `e pi` u un vuoto al cui interno sono contenuti soggetti e oggetti; lo spazio, invece, si trasforma in una ﬁtta ed interconnessa rete di particolarit` a e singolarit`a che si potrebbe deﬁnire “materia” o “spazio pieno”. Questo legame comporta anche, in maniera pi` u speciﬁca, un pervasivo dispiegarsi di teletecnologia nella pratica progettuale, fatto che porta a un’indebita appropriazione del reale ed ad un’involontaria dipendenza dalla simulazione.” Osservazioni in cui conﬂuiscono idee sulla geometria, sulla topologia, sulla computer graphics, sullo spazio-tempo. I nessi culturali nel corso degli anni hanno funzionato: nuove parole, nuovi signiﬁcati, nuovi legami.

Osservazioni ﬁnali Ho cercato di raccontare alcuni momenti importanti che hanno portato ad un mutamento nella nostra concezione di percepire lo spazio, cercando di far cogliere oltre agli aspetti tecnici e formali che pure sono essenziali nella matematica, l’aspetto culturale parlando dell’idea di spazio in relazione ad alcuni aspetti dell’architettura contemporanea. Vorrei solo ricordare due parole

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che hanno una grande importanza: fantasia e libert` a. Sono forse queste le due parole magiche che hanno permesso all’architettura contemporanea di arricchire di molto il patrimonio progettuale. Fantasia e libert` a che derivano dal conﬂuire nel corso degli anni di tanti elementi: la logica dei computer, le nuove geometrie, la topologia, la computer graphics. Perch´e anche se in pochi se ne rendono conto, la matematica `e, o pu` o essere, ripeto, il regno della fantasia e della libert`a. Senza tutto questo sarebbe stato impensabile il progetto del museo del mondo ellenico. Una cultura iniziata in quei luoghi migliaia di anni fa e che negli stessi luoghi viene celebrata con una costruzione altamente simbolica della storia della cultura del Mediterraneo.

Riferimenti bibliograﬁci [1] M. Bill (1949) A Mathematical Approach to Art, ristampato con correzioni dell’autore in M. Emmer (ed) (1993) The Visual Mind: Art and Mathematics, Boston, MIT Press [2] G. Di Cristina (ed) (2001) Architecture and Science, Wiley-Academy, Chichester [3] Eisenman Architects (2004) Max Reinhardt Haus, in Metamorph: Trajectories, catalogo, La Biennale di Venezia, Marsilio ed., p. 252 [4] M. Emmer (2000) The fantastic World of M.C. Escher, DVD e video, 50 minuti, prod. M. Emmer. Versioni italiano, inglese, francese, spagnolo, giapponese. www.mat.uniroma1.it/people/emmer [5] M. Emmer (2004) Mathland: from Flatland to Hypersurfaces, Birkhauser, Boston (It. ed., Testo ed Immagine, Torino, 2003) [6] M.C. Escher (1986) Escher on Escher: Exploring the Inﬁnite, Harry N. Abrams, Inc. Publ, New York [7] K.W. Forster (a cura di) (2004) Metamorph: Focus, catalogo, La Biennale di Venezia, Marsilio ed., pp. 31-43 [8] K.W. Forster (a cura di) (2004) Metamorph: Focus, catalogo, La Biennale di Venezia, Marsilio ed., pp. 9-10 [9] A. Imperiale (2001) New Bidimensionality, Birkhauser, Basel [10] A. Quintavalle (a cura di) (1987) Max Bill, quad. n. 38, Dipartimento Arte Contemporanea, Universit` a di Parma [11] H. Rashid, L.A. Couture (2004) Asymptote, l’architettura di Metamorph, in: K.W. Forster (a cura di), Metamorph: Trajectories, catalogo, La Biennale di Venezia, Marsilio ed., pp. 9-13

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Due esempi di spazi triestesi illimitati e compatti Franco Ghione Dipartimento di Matematica - Universit` a di Roma “Tor Vergata” Via della Ricerca Scientiﬁca - 00133 Roma [email protected]

Il 10 giugno 1854 Bertrand Riemann, alla presenza di Gauss e del consiglio di Facolt` a dell’Universit` a di Gottinga, leggeva la sua dissertazione di abilitazione sulle ipotesi che stanno alla base della geometria [12]. Nei 150 anni che ci separano da quella data la geometria ha fatto enormi progressi anche sul piano ﬁlosoﬁco nella direzione che Riemann aveva intuita ed indicata. Egli ebbe l’ardire di ipotizzare l’esistenza di diﬀerenti spazi triestesi, in tutto simili, localmente, all’ordinario spazio euclideo che i nostri sensi ci fanno percepire, ma, globalmente, profondamente diversi tra loro. Questi spazi potevano essere pensati e coerentemente studiati in s´e, potevano curvarsi intrinsecamente senza che questa curvatura emergesse da uno spazio ambiente piatto, assoluto, nel quale, come le superﬁci curve di Gauss, venissero immersi. Per la prima volta il concetto di inﬁnito spaziale, di inﬁnito nel senso della lontananza e non del numero, poteva essere smontato e questo permetteva di evidenziare fatti nuovi come, ad esempio, la profonda diﬀerenza tra uno spazio illimitato e uno spazio inﬁnito. Riemann immagina chiaramente degli spazi triestesi illimitati ma ﬁniti contrariamente all’intuizione comune che ci spinge ad estrapolare, senza che nessuna esperienza o ragionamento lo consenta, ci`o che l’esperienza comune ci suggerisce sullo spazio che percepiamo intorno a noi. Euclide [4] ha bisogno di postulare il comportamento all’inﬁnito di due segmenti che formano angoli retti con una trasversale: questi se prolungati indeﬁnitamente non si incontrano.

Figura 1. Rette parallele

L’assunzione di questo postulato, che non `e possibile veriﬁcare con l’esperienza, `e assolutamente necessaria per poter dimostrare anche le pi` u semplici propriet` a delle ﬁgure, ad esempio che la somma degli angoli in un triangolo

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`e di due angoli retti. Riemann rinuncia a questo postulato ed indaga sulle diverse possibilit`a, le diverse forme globali che lo spazio potrebbe assumere a partire dalle propriet` a locali, le sole che l’esperienza empirica ci permette di veriﬁcare. I risultati di questa ricerca hanno portato senza dubbio un decisivo e ineliminabile contributo alla comprensione della possibile natura globale dello spazio fornendo ai ﬁsici nuovi modelli geometricamente coerenti. Essi saranno variamente considerati prima da Einstein [6] nella sua straordinaria descrizione dello spazio ﬁsico, curvato dalla materia, e poi, in forme diverse, dalle varie teorie astronomiche che indagano sulla natura dell’Universo e della sua evoluzione e da quelle che studiano le particelle elementari e le loro interazioni. Malgrado questo abbia comportato, oramai da decenni, diverse immagini del mondo, fuori dall’ambiente strettamente scientiﬁco (ﬁsico e matematico) non esiste nessuna percezione di queste idee neppure a livello ﬁlosoﬁco. La possibilit` a che ha il pensiero di deﬁnire coerentemente e poi studiare una moltitudine di spazi triestesi (o anche n-estesi) a partire da loro propriet` a locali viene considerata dai pi` u una incomprensibile stravaganza dei matematici e la percezione diﬀusa di cosa sia la geometria rimane ferma ai triangoli, ai cerchi e a quel poco che ancora si ricorda di geometria euclidea. In realt`a gli enormi sviluppi che in questi 150 anni sono stati compiuti hanno dato la luce a una gran messe di variet` a le cui caratteristiche qualitative (limitatezza o illimitatezza, ﬁnito o inﬁnito, orientabile o non orientabile, compatto o non compatto ecc. ecc.) potevano essere deﬁnite rigorosamente in modo da poter decidere sull’esistenza o meno di spazi coerenti con date caratteristiche globali. Il lavoro di classiﬁcazione, non ancora concluso, ha prodotto criteri di equivalenza per ridurre uno spazio ad un altro e liste di prototipi, con tanto di nome, cognome e carta d’identit` a, che ﬁssano deﬁnitivamente, su esempi eﬀettivi, la possibile compatibilit` a o meno di alcune propriet` a tra loro. Si pu` o ad esempio escludere che possa esistere una variet`a tridimensionale compatta con inﬁniti mondi come ipotizz` o Giordano Bruno [11]. Ma di questo parleremo meglio nel seguito. In questo intervento cercheremo di descrivere due variet`a triestese, illimitate e compatte. Questi oggetti sono profondamente diversi tra loro e possono essere utili come termine di paragone per nuove analogie anche di natura ﬁlosoﬁca o letteraria. Sperando che nomi e simboli non spaventino immediatamente il lettore diciamo subito di cosa si tratta: parleremo del toro piatto, che si denota col simbolo S 1 ×S 1 ×S 1 e della ipersfera che si denota col simbolo S 3 . La prima variet` a pu` o essere utile come modello per una visione ciclica dello spazio mentre la seconda la presentiamo per illustrare un interessante punto vista sull’universo dantesco. Da sempre l’uomo pensante si `e interrogato, guardando, ad esempio, la notte il cielo stellato, sull’estensione del tutto, sulla sua inﬁnit` a, sulla sua forma. Nell’antica astronomia cinese [10] ad esempio, la teoria Kai Thien, immaginava la volta celeste come una specie di semisfera che copre la terra, come una “tazza capovolta” a base quadrata ma via via sempre pi` u tondeg-

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` giante. Questa tazza galleggia sull’acqua e ai 4 lati si trovano i 4 mari. E evidente come questo modello si basi su una analogia che si ottiene osservando il fatto curioso che una tazza capovolta sull’acqua, essendo piena di aria, galleggia. L’osservazione del moto circolare delle stelle attorno alla stella polare fa pensare, piuttosto che a una tazza, a un oggetto pi` u “geometrico” come ad esempio una sfera. Questo oggetto ha una importante caratteristica: se si fa ruotare una sfera attorno ad un diametro (asse di rotazione) i suoi punti descrivono delle circonferenze che si ottengono intersecando la sfera col piano perpendicolare all’asse di rotazione e passante per il punto considerato. Ecco quindi che questo oggetto si presta benissimo a descrivere il cielo e il movimento delle stelle. Sulla base di queste semplici considerazioni anche gli astronomi cinesi contrappongono al modello della tazza quello della sfera detto Hun thien. Si suppone, in questo nuovo modello, la volta celeste come una sfera a met`a riempita di acqua, all’interno della quale galleggia la terra pure sferica. L’analogia principale `e, come in alcuni canti orﬁci, quella dell’uovo: il guscio sta al tuorlo come il cielo sta alla terra e l’albume rappresenta una sorta di liquido sul fondo dell’uovo sul quale galleggia la terra. La sfera ruotando attorno al suo asse, inclinato rispetto all’orizzonte, si porta dietro le stelle che appaiono muoversi lungo dei cerchi mentre quelle pi` u lontane dalla stella polare che resta ﬁssa, nascono dal mare e, dopo aver percorso un arco di circonferenza, come il modello permette di prevedere e l’osservazione diretta conferma, tramontano nel mare. Anche il Sole di giorno segue lo stesso ` curioso osservare come questa teoria si scontrasse contro alcuni cammino. E pregiudizi ﬁlosoﬁci, che ora a noi fanno sorridere, mentre nel contesto cinese, fortemente imbevuto di una favolistica popolare consolidata, dovevano apparire come presupposti importanti da non contraddire nel modello teorico proposto. La diﬃcolt` a consiste in questo: il sole, che `e l’essenza infuocata dello Yang, come pu` o, tramontando, mischiarsi all’acqua che `e l’essenza dello In? La diﬃcolt`a fu alla ﬁne superata pensando che anche i draghi riescono a vivere nell’acqua: il sole dunque diventa simile a un drago che il giorno esce dall’acqua e sputa fuoco e la notte vi si immerge! Questa storia che, per la sua lontananza dalla nostra cultura, ci appare ridicola, mette invece bene in evidenza il ruolo che pregiudizi diﬀusi di natura metaﬁsica, dei quali a volte neppure ci rendiamo conto, possono avere nell’impedire lo sviluppo di nuove concezioni. L’immaginazione resta come prigioniera nella gabbia del pregiudizio, dell’abitudine e la nostra mente diventa impotente e fa resistenza, incapace di aggirare l’ostacolo epistemologico, come aﬀermava Bachelard. Il pensiero comunemente diﬀuso oggi ritiene che l’unico spazio a tre dimensioni, illimitato nelle tre direzioni spaziali, che ha senso concepire e che riusciamo ad immaginare `e quello euclideo. Il processo di estrapolazione dal locale al globale, che Euclide dichiara apertamente col V postulato, viene ignorato e si radica il pregiudizio che, cos`ı come la geometria euclidea `e conforme alla nostra esperienza locale, cos`ı essa debba mantenersi su scale inﬁnitamente grandi o inﬁnitamente piccole del tutto estranee alla nostra esperienza diretta. La via che proponiamo per aggirare questo pensiero

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forte, di ostacolo alla comprensione di ci` o che vogliamo descrivere, consiste nel tentare di trasformare il concetto fossilizzato di spazio, sulle cui caratteristiche globali ben poco possiamo dire di deﬁnitivo, in un concetto vivo, problematico ricostruendo per sommi capi domande, anche ingenue e le risposte che via via si sono cercate. Domanda Archita, discepolo di Pitagora: S’io mi trovassi all’estremit` a dello spazio, ad esempio nel cielo delle stelle ﬁsse, potrei tendere la mano o un bastoncino fuori di quella? o non potrei? L’immagine che ci formiamo nella mente `e molto bella e moderna: ci chiediamo se in ogni punto dello spazio esista un intorno, una sferetta col raggio grande come un bastoncino, che permetta di andare oltre in una qualunque direzione come l’esperienza locale ci suggerisce. La risposta negativa di Aristotele [2] `e chiara e perentoria: Il cielo `e unico solo e completo: non vi sono n´e spazio, n´e vuoto, n´e tempo al di l` a di esso. . . . la forma del cielo deve essere poi di necessit` a sferica: `e questa infatti la ﬁgura che pi` u si adatta al suo essere. . . Questa descrizione dell’Universo come una sfera con la terra ferma al centro oltre la quale non esiste nulla, che oggi ci appare ingenua, si `e invece radicata per secoli e secoli nell’immaginario collettivo preﬁgurando un al di l` a di natura metaﬁsica nel quale trovavano posto i luoghi della divinit` a. Giordano Bruno, che ebbe il coraggio di preﬁgurare un diverso modello, fu per le sue idee geometriche incarcerato 7 anni, torturato e inﬁne ucciso sul rogo. Cos`ı, con una poesia spavalda e carica di libert` a, Giordano Bruno descrive nel suo Dialogo Italiano De l’inﬁnito universo e mondi le sue eretiche concezioni del mondo: . . . ali sicure all’aria porgo n`e temo intoppo di cristallo o vetro ma fendo i cieli e all’inﬁnito m’ergo e mentre dal mio globo agli altri sorgo e per quell’eterio campo penetro: quel ch’altri lungi vede, lascio al tergo e pi` u avanti in un linguaggio pi` u scientiﬁco aﬀerma Noi diciamo che possiamo cogliere col senso l’inﬁnit` a dell’Universo, perch´e il senso sposta sempre il centro dell’orizzonte verso la periferia dell’orizzonte cos`ı che fa essere centro qualsiasi punto della periferia. ` la risposta aﬀermativa alla domanda di Archita, ancora chiara e peE rentoria. Ogni punto dello spazio, anche se ci appare periferico `e centro di

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una sferetta che, come dicevamo sopra, e del tutto simile a ci`o che i nostri sensi ci fanno percepire. Questa idea `e molto importante perch´e preﬁgura uno spazio senza bordo o come dice Riemann illimitato, senza conﬁni, senza barriere insuperabili.

Figura 2. Intorni sferici

Lo spazio che Giordano Bruno immagina di poter esplorare col senso, che sposta il centro verso la periferia, preﬁgura il concetto moderno di variet` a riemanniana triestesa (o tridimensionale) che Riemann (e noi dopo di lui) chiama illimitata [12]: Che lo spazio sia una variet` a illimitata triestesa, `e un presupposto che trova applicazione in ogni concezione del mondo esterno, in base alla quale, in ogni istante, viene integrato l’ambito delle percezioni reali e vengono costruiti i possibili luoghi di un oggetto cercato, presupposto che viene continuamente confermato in queste applicazioni. L’illimitatezza dello spazio possiede dunque una certezza empirica maggiore di qualsiasi esperienza esterna. In ogni punto della variet` a esiste un intorno sferico che ci permette di misurare le distanze nelle tre direzioni spaziali esattamente come avviene nello spazio intorno a noi.

Figura 3. Intorno sferico con metrica

Naturalmente dobbiamo chiedere che queste distanze siano misurate coerentemente e cio`e diano lo stesso risultato se vengono calcolate nella parte

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comune a due intorni.

Figura 4. Intorni sferici con metriche coerenti

Il concetto che nasce `e appunto quello di variet` a Riemanniana triestesa. Se pensiamo ora, con Bruno e Riemann lo spazio come una variet` a illimitata, in ogni punto della quale sia possibile andare oltre, tendere la mano, il discorso sembra chiudersi poich´e non riusciamo ad immaginare nessuna possibile diﬀerenza tra due spazi triestesi ed illimitati, il pensiero si blocca come se quella immagine assorbisse in s´e ogni altra possibilit` a senza lasciare letteralmente altro spazio all’immaginazione. Eppure altre domande possono porsi, tipo quella di Archita, alle quali rispondere, senza farsi inﬂuenzare dai pregiudizi. Facciamone alcune: Nello spazio triesteso e illimitato, dato un punto A esiste o non esiste un punto B (antipodale) che ha la massima distanza possibile da A? Ora, se questo punto B esistesse e io mi muovessi ulteriormente da B, di un palmo ad esempio, mi dovrei avvicinare ad A essendo B il punto pi` u lontano. Ma questo `e concepibile? O i nostri modelli mentali ci fanno decisamente respingere questa idea? Ci domandiamo ancora: Se sono in un punto A e poi mi sposto di un palmo in A1 e poi da A1 ad A2 di un altro palmo ﬁno ad arrivare in A3 , e cos`ı via in A4 , A5 , . . . ecc ecc questi inﬁniti punti possono disperdersi nello spazio o sono destinati comunque ad accumularsi intorno ad un punto avvicinandosi sempre pi` u a lui? Posso trovare un insieme inﬁnito di punti tali che la distanza di due di loro `e sempre maggiore o uguale a un palmo? Posso costruire una rete con inﬁniti nodi? Giordano Bruno risponde con chiarezza in modo aﬀermativo dato che presuppone che nello spazio inﬁnito vi siano inﬁniti mondi i quali sono concepibili solo se distanziati tra loro di una quantit` a che non tende a zero. E questa con-

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cezione si `e via via radicata al punto che anche noi siamo portati spontaneamente a dare la stessa risposta aﬀermativa malgrado n´e l’esperienza empirica n´e alcuna forma di ragionamento possano dimostrare tali ipotesi. Ugualmente alla domanda ` possibile descrivere tutto lo spazio illimitato usando solo un numero ﬁniE to di carte ad esempio un numero ﬁnito di intorni sferici? rispondiamo immediatamente di no. Queste domande in un modo o nell’altro preﬁgurano un concetto geometrico di estrema importanza anche se lontano dalla nostra intuizione dal tono delle risposte che naturalmente siamo portati a dare: si tratta del concetto di compattezza. In realt` a una variet` a riemanniana (illimitata) triestesa pu` o essere o non essere compatta e nel caso sia compatta alle domande precedenti si risponde in modo imprevisto. Poich´e una variet` a `e deﬁnita attraverso intorni sferici che mi permettono di passare da un centro A1 verso un punto periferico A2 che a sua volta posso pensare come centro di una nuovo intorno e poich´e posso proseguire quanto voglio in questa maniera, il sistema pi` u naturale per studiare la struttura globale della variet` a potrebbe essere quello di immaginare un lungo viaggio di esplorazione per vedere se accade qualcosa di particolare. Lo stesso Escher, che allo studio e alla rappresentazione dell’inﬁnito ha dedicato gran parte della sua opera, cos`ı si esprime [7]: “. . . Chiunque si tuﬃ nell’inﬁnito, sia nel tempo che nello spazio, senza interrompersi ha bisogno di punti ﬁssi, di pietre miliari perch´e altrimenti il suo movimento non sarebbe distinguibile dall’immobilit` a. Devono esserci stelle oltre le quali sfrecciare, segnali dai quali egli possa misurare la distanza che ha traversato. Egli deve dividere l’universo in distanze di una data lunghezza, in compartimenti che ricorrano in una serie interminabile. Ogni volta che egli supera un conﬁne tra un compartimento e l’altro, il suo orologio fa tic. . . ” Scegliamo dunque una data direzione, ad esempio quella da ovest ad est e immaginiamo di muoverci lungo una “retta” nello spazio segnando ogni volta con una pietra miliare la posizione che abbiamo raggiunto. La linea retta `e un concetto locale che, da un intorno ad un altro, possiamo prolungare. Partiamo infatti da un punto A, e consideriamo un intorno di questo punto; spostiamoci seguendo la direzione che abbiamo scelto dal punto A lungo un segmento ﬁno ad arrivare al punto B. La cosa `e sempre possibile perch´e la variet` a `e illimitata (e quindi possiamo muoverci in ogni possibile direzione) e in pi` u, nell’intorno di A, abbiamo la possibilit` a di misurare le distanze tra due punti e possiamo anche trovare il cammino pi` u corto che li unisce: tale

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cammino `e, per deﬁnizione, il segmento. Consideriamo ora un intorno di B e prolunghiamo il segmento da AB ﬁno a C.

Figura 5. Prolungamento rettilineo in una variet` a riemanniana

Proseguiamo in questo modo e segniamo con una pietra miliare i punti che via via raggiungiamo.

Figura 6. Prolungamento rettilineo in una variet` a riemanniana

Supponiamo ora che, dopo aver segnato un certo numero di punti, ad esempio dopo 99 pietre miliari, ci troviamo nella situazione seguente:

Figura 7. Retta sul toro piatto

Possiamo continuare ancora a mettere pietre miliari lungo la direzione che abbiamo ﬁssato, da sinistra a destra, coerentemente con l’ipotesi che abbiamo fatto che lo spazio sia illimitato, senza bordi o barriere, ma quello che `e capitato `e che andando avanti troviamo una situazione che gi` a avevamo percorso, dei punti che gi` a avevamo segnato. La linea che abbiamo percorso `e illimitata (cio`e da ogni punto posso muovermi sia in avanti che indietro) ed `e tuttavia di lunghezza ﬁnita. Pi` u precisamente, se, ad esempio, la distanza tra una pietra miliare e l’altra `e di 1 palmo, la linea sar` a lunga 100 palmi. Questa linea `e una variet`a di dimensione uno compatta che possiamo rappresentarci anche (ma per questo abbiamo bisogno di una dimensione in pi` u) come una circonferenza. La circonferenza `e un modello fuorviante anche perch´e quello fa pensare a una variet` a curva mentre la nostra linea non ha alcuna curvatura. La considerazione di questi spazi unidimensionali, illimitati ma compatti, non

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`e cos`ı bizzarra neppure se pensiamo a questo spazio come al tempo. Dato un qualunque istante posso immaginare un tempo futuro e un tempo passato e posso anche coerentemente pensare, come ad esempio avviene nella religione induista, che il tempo ripercorra ciclicamente gli stessi avvenimenti in maniera tale che non sia possibile distinguere un evento da un altro a lui identico, ma accaduto in un diverso ciclo. Tornando alla esplorazione del nostro spazio triesteso, possiamo pensare di esplorarlo lungo due direzioni indipendenti ad esempio da ovest a est e da sud a nord. Come nel caso delle “rette” possiamo costruire, a partire dai dati locali delle piccole regioni “piane” che possiamo prolungare passando da un intorno a un altro.

Figura 8. Prolungamento di un piano in una variet` a riemanniana

Nei vari punti che incontriamo su questo “piano”, costruito pezzetto dopo pezzetto, collochiamo delle coppie di pietre miliari su righe e colonne “parallele” , una (piccola) che ﬁssa la ﬁla e l’altra (grande) la posizione sulla data ﬁla.

Figura 9. Prolungamento lungo due direzioni ortogonali in una variet` a riemanniana

Continuando in questo modo non `e assurdo immaginare di ritrovarci in una situazione di doppia ciclicit` a. Immaginare cio`e che le ﬁle orizzontali si presentino tutte uguali a quella che abbiamo trovato prima, ma che, dopo un certo numero di ﬁle, ad esempio 50, si ritrovi la ﬁla dalla quale eravamo partiti. Supponiamo quindi che, andando avanti nel prolungare la nostra rete, ci si ritrovi, a un certo punto nella situazione descritta dalla ﬁgura seguente:

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Figura 10. Punti di un piano sul toro piatto

Tutto lo schema `e coerente e d`a luogo a una variet` a di dimensione due: un “piano” del nostro spazio, compatto e illimitato. La sua area, pur essendo il “piano” illimitato, `e ﬁnita e, se supponiamo che le pietre miliari siano distanziate di un palmo una dall’altra, questa superﬁcie avr` a un’area di 5.000 palmi quadrati. Il “piano” che in questo modo abbiamo costruito ci permette di sviluppare una geometria piana, metodologicamente uguale a quella euclidea: possiamo parlare di segmenti, di angoli (che `e pure una nozione locale) di cerchi, di triangoli, di altezze, mediane ecc ecc. Si possono fare teoremi e dimostrare, ad esempio che la somma degli angoli interni a un triangolo risulta essere comunque di 180 gradi. Per questo diciamo che questa superﬁcie, questo “piano” `e piatto, non ha curvatura. Naturalmente vi sono profonde diﬀerenze con l’usuale geometria euclidea. Esiste un quadrato massimo (del quale si pu` o calcolare l’area), le rette possono avere lunghezze ﬁnite diverse tra loro. Supponiamo ad esempio di muoverci verso nord-est:

Figura 11. La retta in direzione nord-est sul toro piatto

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proseguendo negli intorni successivi troviamo:

Figura 12. Lunghezza ﬁnita della retta in direzione nord-est sul toro piatto

E dopo 100 passi ritroviamo √ la pietra miliare dalla quale eravamo partiti. La retta `e dunque lunga 100 2 palmi. Ci si pu`o chiedere se esiste una retta di lunghezza massima, o se, dato un punto A di questo piano esiste un punto A antipodale di A e a che distanza da A si trovi. Naturalmente ci si pu` o anche legittimamente chiedere se tutto questo abbia una qualche consistenza o non sia invece una fantasia arbitraria non solo in contrasto con una nostra naturale intuizione geometrica, ma anche internamente contraddittoria. In realt`a l’oggetto che abbiamo descritto tramite le nostre esplorazioni ha una sua coerenza interna e non `e sicuramente pi` u contraddittorio di quanto lo possa essere l’usuale geometria euclidea. Il suo nome `e toro piatto bidimensionale e si indica col simbolo S 1 × S 1 . Questo oggetto pu`o essere deﬁnito rigorosamente e in modo completo servendosi dei numeri reali, riducendo la sua coerenza a quella dell’aritmetica. Consideriamo un piano cartesiano ordinario i cui punti siano denotati con le coordinate (x, y) e identiﬁchiamo lungo le rette orizzontali i punti di coordinate (x, y) , (x + 100, y), (x + 200, y) , (x + 300, y) . . . e lungo le rette verticali i punti (x, y), (x, y + 50), (x, y + 100), (x, y + 150) . . . I punti identiﬁcati li pensiamo come un unico oggetto, una monade indivisibile, che indichiamo con uno stesso segno particolare, una stessa pietra miliare. Cos`ı, ad esempio, scriviamo:

Figura 13. Rappresentazione cartesiana di punti equivalenti del toro piatto

volendo signiﬁcare che in tutti i punti del piano cartesiano di coordinate (3 + 100n, 5 + 50m) comunque siano scelti gli interi n ed m, vi si trova lo stesso oggetto, la stessa pietra miliare. Una immagine che rappresenta bene questa situazione si pu`o ottenere in una rappresentazione dove i punti della stessa

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classe di equivalenza non siano distinguibili tra loro in rapporto ai punti che gli sono vicini. Il disegno seguente rappresenta una possibile “carta geograﬁca” del nostro “piano”:

Figura 14. Carta geograﬁca di un piano su un toro piatto

Vi sono 4 citt`a principali e un’isola. Per andare da A a B possiamo sia andare con la strada che va a oriente sia con quella che va a occidente (che `e pi` u lunga). Ugualmente per andare da A all’isola possiamo andare a sud direttamente a D e da l`ı andare all’isola o dirigerci a nord verso B andare a D con la nave e poi all’isola. Possiamo costruire un atlante per descrivere il nostro toro piatto. Se richiediamo che ogni punto del toro sia interno ad almeno una carta (cio`e non sul bordo) e che i punti di ogni carta corrispondano biunivocamente ai punti di una parte del toro (cio`e non vogliamo che una stessa localit`a si trovi due volte sulla stessa carta), allora con sole 4 carte (ma non di meno) possiamo ricoprire l’intera superﬁcie:

Figura 15. Atlante formato da 4 carte per descrivere un piano sul toro piatto

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L’aggettivo piatto ha ora un signiﬁcato preciso, signiﬁca che, a parte un fattore di scala, le distanza misurate sulle carte, sono uguali alle distanze misurate sul toro. Questo fatto ci permette di sviluppare completamente, a partire dalle carte, la geometria intrinseca di questa superﬁcie. Non `e diﬃcile dimostrare che la somma degli angoli interni a un triangolo `e di 180 gradi, perch´e questo `e quello che accade sulle carte , dimostrare, sempre andando a leggere le carte, che questa superﬁcie contiene un quadrato di area massima e calcolare il valore di quest’area o dato un punto possiamo facilmente trovare il suo antipodale. Tornando ora alla esplorazione del nostro spazio triesteso, che ovviamente contiene inﬁniti “piani” del tipo di quelli che abbiamo costruito precedentemente, dobbiamo considerare oltre alle due direzioni (da ovest a est, da sud a nord) anche una terza direzione indipendente, quella che va dal basso all’alto. Possiamo immaginare di muoverci verso l’alto a partire dal “piano 1” che abbiamo costruito precedentemente costruendo “un piano 2” con le sue pietre miliari un palmo pi` u in alto e poi “un piano 3” e cos`ı via.

Figura 16. Prolungamento lungo tre direzioni ortogonali in una variet` a riemanniana triestesa

Se i vari piani ai vari livelli si presentano uguali tra loro e se, dopo un certo numero di piani, ritroviamo il piano di partenza, allora lo spazio `e un toro piatto triesteso (o di dimensione tre) e la sua descrizione `e del tutto analoga alla descrizione che abbiamo fatto per il toro bidimensionale. Un altro esempio di spazio triesteso illimitato e compatto `e la ipersfera S 3 . Anche questo spazio pu` o essere esplorato col metodo precedente prolungando i dati locali. Partiamo da un punto A e scegliamo una data direzione, ad esempio, come nel caso precedente, da ovest a est. Cominciamo a segnare con delle pietre miliari i punti che via via incontriamo e supponiamo che, come nel caso precedente, dopo 100 pietre si ritrovi il punto A dal quale eravamo partiti.

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Figura 17. Retta ciclica su una ipersfera

Abbiamo ancora un andamento ciclico lungo questa “retta”. La diﬀerenza col caso precedente `e che ora, se ripetiamo questo procedimento lungo una qualunque altra direzione, troviamo sempre lo stesso ciclo: le “rette” sono tutte lunghe 100 palmi. Il fatto che le “rette” siano tutte uguali ci fa sperare in una maggiore regolarit` a, al contrario, questo spazio ci riserva le cose pi` u strane! Prendiamo una seconda ﬁla pi` u a nord di 1 palmo e cominciamo il prolungamento nella stessa direzione precedente da ovest a est:

Figura 18. Prolungamento di due rette parallele su una ipersfera

Quello che osserviamo `e il fatto che man mano che si prosegue la distanza tra i punti corrispondenti su due ﬁle diversi cio`e tra i punti (n, 1) ed (n, 2) diventa sempre pi` u piccola ﬁno a che le due “rette”, esattamente dopo 25 palmi, ﬁniscono per incontrarsi per poi riallontanarsi progressivamente. Cercando, per quanto possibile una immagine, la situazione si presenta in questo modo:

Figura 19. Intersezione di rette parallele su una ipersfera

e se continuiamo ulteriormente il prolungamento, le due “rette” si incontrano ancora, dopo 50 palmi. prima di chiudersi:

Figura 20. Rette parallele su una ipersfera: i punti A e B si identiﬁcano coi punti A’ e B’

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Anche la costruzione di una griglia a maglie quadrate risulta impossibile. Partiamo con tre “rette” nella direzione ovest-est e altre tre nella direzione sud-nord ed eseguiamo bene le misure delle lunghezze dei lati:

Figura 21. Quadrati adiacenti su una ipersfera

risulta che, pur essendo OA = OB e gli angoli in O, A e B angoli retti, la ﬁgura che si forma non `e un quadrato: il lato BC `e pi` u corto del lato OA e il lato AC `e pi` u corto del lato OB. La stessa situazione si ritrova nei rimanenti quadrangoli. Se prolunghiamo le 6 “rette” e cerchiamo di rappresentare globalmente la situazione, otteniamo:

Figura 22. Rette verticali e orizzontali su una ipersfera

Le tre “rette” verticali che iniziano perpendicolarmente alla retta AO ﬁniscono per incontrarsi e ugualmente le “rette” orizzontali. Si formano vari “triangoli” con due angoli retti e il famoso V postulato di Euclide viene meno. Viene meno il fatto che la somma degli angoli interni a un triangolo vale due angoli retti. Crolla anche un altro pilastro della geometria euclidea: il teorema di Pitagora. Nel triangolo P OQ rettangolo in O (ma anche in P !)

Figura 23. Triangolo rettangolo su una ipersfera

l’ipotenusa P Q `e uguale al cateto OQ. Queste stranezze vanno attribuite al fatto che questo spazio ha una curvatura positiva. Il concetto matematico di variet` a curva, tutt’altro che ovvio o intuitivo, trova la sua giusta collocazione

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nello studio della geometria dei triangoli in una variet` a riemanniana: tanto pi` u la somma degli angoli interni di un triangolo `e diversa da due angoli retti e tanto pi` u lo spazio delimitato dal triangolo si curva. Per capire meglio la geometria di questo strano “piano” che abbiamo ricostruito dai dati locali pezzetto per pezzetto, conviene tracciare, invece che “rette”, degli archi di “cerchio”. Quello che accade se ingrandiamo via via i raggi `e molto strano.

Figura 24. Cerchi concentrici di raggio crescente su una ipersfera

Il cerchio diventa sempre pi` u grande e contemporaneamente tende a “raddrizzarsi” ﬁno a quando il raggio arriva a 25 palmi a quel punto il cerchio diventa una “retta” come se il raggio del cerchio fosse inﬁnito. Ma dato che non `e inﬁnito, possiamo aumentarlo ancora: accade una cosa paradossale il cerchio, pur aumentando il raggio, diventa via via pi` u piccolo si curva sempre di pi` u ﬁno a diventare un punto quando il raggio arriva a 50 palmi per poi sparire. Il punto O a cui il cerchio tende `e anche il punto in cui le “rette” uscenti da O si incontrano e i cerchi con centro O e raggio r maggiore di 25 palmi sono anche cerchi di centro O di raggio r = r − 25 palmi secondo una geometria che potremmo rappresentarci con l’immagine seguente dove le circonferenze sono disegnate con colori sempre pi` u leggeri man mano che i raggi aumentano.

Figura 25. Sistema completo di cerchi concentrici su una ipersfera

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Tutto questo `e coerente? O potrebbe generare delle contraddizioni? Per rispondere a questa domanda occorre chiedere aiuto alla geometria euclidea. Se infatti riusciamo a costruire un modello euclideo che riproduca i fatti che abbiamo descritto, una contraddizione nel nostro spazio si ripercuoterebbe in una contraddizione della geometria euclidea. Un modello del nostro “piano” `e facile da immaginare ricorrendo ancora alla geograﬁa. Sappiamo bene che la terra `e circa sferica e che si rappresenta con dei planisferi. Consideriamo ad esempio il bellissimo planisfero del XVII secolo:

Figura 26. Planisfero

In questo planisfero sono rappresentati i meridiani che sono “rette” perpendicolari all’ equatore, che `e pure una “retta”. Il cartografo ha anche disegnato due emisferi centrati nei due poli e l’eclittica che `e una “retta” inclinata di circa 23◦ gradi sull’equatore. Se immaginiamo di disegnare dei cerchi con centro nel polo nord e raggio via via crescente, questi cerchi diventano sempre pi` u grandi ﬁno ad arrivare all’equatore ma poi, aumentando ancora la distanza dal polo nord, i cerchi diventano sempre pi` u piccoli man mano che il raggio aumenta, esattamente come nel nostro“piano”. La ricostruzione dell’esatta geometria della sfera a partire dalla sua rappresentazione sulla mappa non riesce cos`ı agevole come per il toro piatto. In ogni caso il “piano” che abbiamo descritto corrisponde a una superﬁcie sferica nella quale le “rette” sono i cerchi massimi (quelli cio`e che hanno il raggio uguale a quello della sfera), i segmenti sono archi di cerchio massimo e gli angoli tra due “rette” sono gli angoli diedri tra i piani dei due cerchi massimi. Una contraddizione all’interno del nostro “piano” darebbe luogo a una contraddizione nella geometria euclidea della sfera.

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Legittimati nel nostro percorso e nella sua non contradittoriet` a, continuiamo l’esplorazione di S 3 nella sua tridimensionalit` a. Invece che descrivere lo spazio con fette piane una sull’altra come abbiamo fatto nel caso del toro piatto `e meglio descriverlo con “coordinate polari”. Consideriamo cio`e delle sfere concentriche di raggio via via pi` u grande. Non `e diﬃcile immaginare cosa accade:

Figura 27. Sfere concentriche di raggi crescenti su una ipersfera

Le sfere aumentano di volume ﬁno a raggiungere un massimo, quando il raggio `e di 25 palmi e la sfera corrispondente `e un “piano”, continuando poi ad aumentare il raggio le sfere diminuiscono di volume ﬁno ad annullarsi in un punto quando il raggio `e di 50 palmi. Anche questo oggetto tridimensionale che abbiamo descritto attraverso questa esplorazione mentale ha eﬀettivamente una sua coerenza geometrica che rimanda la sua non contradittoriet` a alla non contradditoriet` a dell’algebra. Il nome di questa variet`a `e ipersfera e si denota, come abbiamo detto, col simbolo S 3 . Si tratta di una variet` a di dimensione tre, illimitata, orientabile, compatta (ha un volume ﬁnito) di curvatura costante positiva. Una sua descrizione precisa pu` o essere data usando l’iperspazio R4 delle quaterne ordinate di numeri reali che ha una struttura naturale di spazio metrico. La nostra sfera `e il sottoinsieme di R4 formato dalle quaterne (x, y, z, v) che veriﬁcano l’equazione: x2 + y 2 + z 2 + v 2 = r2 la famiglia di sfere concentriche che abbiamo usato prima per descrivere lo spazio sono le sfere ottenute dando alla grandezza v, la quarta coordinata spaziale, diversi valori da −r ﬁno ad r. ` interessante notare come secondo una interpretazione recente del ﬁsico E a americano Peterson [3], l’universo dantesco sarebbe questo S 3 : una variet` illimitata e compatta dunque che Dante descrive attraverso il suo viaggio nel

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Paradiso, in modo non sostanzialmente dissimile da come abbiamo fatto noi. Dante passa di sfera in sfera, dalla Luna a Mercurio a Venere, ﬁno all’ultima sfera: il primo mobile.

Figura 28. L’emisfero terreno dell’Universo dantesco

Ma quando arriva ai limiti estremi dell’universo, cos`ı come era immaginato nella tradizione aristotelica-medioevale, quando arriva sul primo mobile, Dante vede altre 9 sfere via via pi` u piccole e pi` u luminose che rappresentano i cerchi angelici ﬁno all’ultima che si riduce a un punto luminosissimo.

Figura 29. L’emisfero divino dell’Universo dantesco

Queste sfere corrispondono a una virt` u sempre pi` u grande, ma diversamente da quello che Dante si aspetta, pur abbracciando maggior virt` u diventano sempre pi` u piccole. Dante non comprende e chiede spiegazioni a Beatrice che in questo modo [5] descrive questa visione: Li cerchi corporai sono ampi e arti

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secondo il pi` u e ’l men de la virtute che si distende per tutte lor parti. Maggior bont` a vuol far maggior salute; maggior salute maggior corpo cape, s’elli ha le parti igualmente compiute. Dunque costui che tutto quanto rape l’altro universo seco, corrisponde al cerchio che pi` u ama e che pi` u sape: per che, se tu a la virt` u circonde la tua misura, non a la parvenza de le sustanze che t’appaion tonde, tu vederai mirabil consequenza di maggio a pi` u e di minore a meno, in ciascun cielo, a sua intelligenza. Lo spazio che immagina Dante concilia quello che pareva inconciliabile: uno spazio compatto, ﬁnito, come quello aristotelico, ma illimitato. Se il poeta avesse immaginato in uno spazio inﬁnito una seconda gerarchia di sfere, oltre il primo mobile sempre pi` u grandi corrispondenti a una crescente virt` u divina, arrivando in ultimo al massimo, cio`e alla sfera corrispondente a Dio, si sarebbe potuto immaginare sfere ancora pi` u grandi, sfere pi` u grandi di Dio difﬁcilmente interpretabili da un punto di vista teologico. N´e facilmente poteva il poeta descrivere la visione di una sfera di raggio inﬁnito che corrispondesse a questo massimo divino. Il fatto invece che, aumentando la virt` u le sfere si ingrandiscano ﬁno ad arrivare a un massimo, il primo mobile che tutto quanto rape, per poi aumentando ancora la virt` u, ridursi gradualmente ﬁno ad un punto, permette una rappresentazione visiva e poi poetica di Dio in questo punto. Il punto che, come l’inﬁnito, ha una diversa ontologia rispetto alle sfere, permette, per inversione, la rappresentazione del tutto: lo spazio `e ﬁnito ma contiene Dio che ﬁnito non `e! L’inversione geometrica che l’ipersfera realizza al crescere del parametro v (la virt` u) permette al poeta di contrapporre il “terreno” al “divino” dove accade questo mirabile fenomeno: che l’apparenza delle sostanze tonde non corrisponde alla misura della virt` u che le circonda ma pi` u virt` u corrisponde a pi` u piccolo e meno virt` u a meno piccolo. L’ ipersfera si presta bene per questa metafora dove “terreno” e “divino” sono rappresentati in un unico oggetto, cos`ı concreto da poter essere “visto” e quindi descritto. Dante sembra averne intuito la natura geometrica, cosa della quale `e partico` con una bella metafora infatti che il poeta paragona la forza larmente ﬁero. E chiariﬁcatrice di questo modello: come la Bora che all’improvviso pulisce l’aria e tutto diventa . . . splendido e sereno [. . . ] e come stella in cielo il ver si vide.

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Forse, come molti nostri allievi ci dicono: “Ho capito ma non so dirlo”, cos`ı Dante, in assenza di un linguaggio scientiﬁco, ha tentato di esprimere questa sua straordinaria intuizione geometrica nel linguaggio della poesia che non richiede, come quell’altro, chiarezza e precisione. Le interpretazioni dei commentatori di questo diﬃcile canto del Paradiso (il ventottesimo) non sono univoche e in ogni caso nessuno si riferisce ad un’ipersfera a riprova del fatto che la descrizione poetica non `e suﬃciente per presentare un oggetto non banale della matematica. Le rappresentazioni iconograﬁche tentano di interpretare invece, con immagini locali, ci` o che Dante racconta. Molto bella `e la miniatura del Dante Urbinate, un manoscritto della ﬁne del Trecento, che rappresenta Dante e Beatrice sospesi sul primo mobile che si aﬀacciano sui cieli angelici:

Figura 30. Miniatura relativa al canto 28 del Paradiso nel “Dante Urbinate”

` forse questo il primo tentativo di descrivere con una immagine il paeE saggio che si osserva quando, arrivati all’equatore di una ipersfera, ci si affacci sull’altra met`a: il primo cerchio angelico `e sfumato come a indicare una continuit` a col primo mobile che nel modello `e un “piano”. Per concludere questa breve esplorazione nel mondo delle variet` a triestese possiamo dire che una variet` a riemanniana triestesa e illimitata `e uno spazio nel quale ogni punto ha un intorno sferico dove sia possibile misurare le distanze tra due punti in modo del tutto analogo a quello che accade nello spazio che percepiamo intorno a noi. Una variet` a di questo tipo `e compatta

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Franco Ghione

se ogni insieme inﬁnito di punti si accumula intorno a un qualche punto della variet`a. Esistono diversi esempi di variet` a triestese illimitate e compatte come quelle che abbiamo descritto in questo lavoro: tali variet` a hanno volume ﬁnito e possono rappresentarsi con un insieme ﬁnito di “carte” in modo che ogni punto dello spazio sia rappresentato da un punto interno ad almeno una carta e ogni carta rappresenti biunivocamente una parte dello spazio. Ogni rete che ricopra la variet` a compatta avr` a necessariamente un numero ﬁnito di nodi, di spigoli, di facce e di cubi i cui valori numerici forniscono importantissimi indizi (di natura topologica) sulla forma globale della variet` a. Le variet`a non compatte invece possiedono successioni di punti divergenti, hanno un volume inﬁnito e sono molto pi` u diﬃcili da studiare. Queste variet` a che il pensiero matematico ha individuato e descritto sono uno strumento fondamentale per una interpretazione geometrica del mondo sia nell’inﬁnitamente grande che nell’inﬁnitamente piccolo. L` a dove infatti l’esperienza non pu` o arrivare solo il pensiero astratto ci pu` o venire in aiuto fornendoci dei modelli coerenti coi quali sia possibile formulare ipotesi e descrizioni sempre pi` u accurate del mondo. Ma forse, a voler essere onesti, non `e tanto la voglia di descrivere il mondo attraverso i nostri schemi geometrici che ci stimola in queste ricerche quanto l’ardimento intellettuale che ci spinge ad indagare ci` o che pareva fuori dalla nostra portata come le possibili forme dell’inﬁnito e che si accompagna a quel piacere intenso che si prova quando viene alla luce una nuova forma coerente.

Riferimenti bibliograﬁci [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]

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Fare luce su un universo oscuro∗ Carlton Baugh, Pete Edwards, Carlos Frenk Institute for Computational Cosmology Department of Physics, University of Durham [email protected], [email protected], [email protected]

Una delle sﬁde pi` u diﬃcili che i cosmologi si trovano ad aﬀrontare in questo momento `e quella di spiegare come l’universo abbia assunto il suo aspetto attuale. Per rendersi conto della dimensione del problema, proviamo a considerare la stella a noi pi` u vicina, il Sole. Questa `e solo una dei molti miliardi di stelle che formano quel vasto agglomerato noto come Via Lattea. Guardando il cielo di notte, possiamo vedere che ci sono almeno tante galassie quante stelle esistono nella Via Lattea. Le galassie sono i mattoni fondamentali dell’universo. La chiave per capire come l’universo si `e evoluto ﬁno ad essere il luogo meraviglioso che vediamo oggi consiste nel riuscire a spiegare come sono nate le galassie e come cambiano nel tempo. Vengono subito in mente alcune domande: perch´e le galassie esistono in una variet`a di dimensioni e luminosit` a diverse, e con distribuzione ineguale? Perch´e le galassie hanno forme diverse? Le galassie si sono formate tutte assieme in uno stesso periodo, o il loro processo di formazione `e pi` u complicato? Le galassie cambiano il loro aspetto nel tempo, magari come risultato di incontri ravvicinati, o anche collisioni, con altre galassie? La ricetta di base per costruire una galassia `e ingannevolmente semplice: basta prendere un’enorme nube di gas, aggiungere la forza di gravit` a, e aspettare. Nonostante la semplicit`a di questo schema, la ﬁsica dei processi di formazione delle galassie `e ancora poco conosciuta. Ci` o `e conseguenza del fatto che i processi che si pensa siano importanti nella formazione delle galassie, come il raﬀreddamento dei gas e la formazioni di stelle a partire dai gas raffreddati, sono complessi. Un’ulteriore diﬃcolt` a nasce dal fatto che le galassie sono molto grandi, molto lontane, e si sono evolute, probabilmente, nel corso di miliardi di anni: a diﬀerenza di ci` o che accade in altre discipline scientiﬁche, gli astronomi non possono realizzare semplici esperimenti in laboratorio per mettere alla prova le loro ipotesi sulla formazione delle galassie. Inoltre, non `e possibile andare su una galassia vicina per esaminarla e scoprire come `e fatta. ∗

Traduzione di Davide Aliﬃ

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Carlton Baugh, Pete Edwards, Carlos Frenk

Quel che si richiede, invece, `e un nuovo modo di fare ﬁsica, basato su algoritmi matematici per le simulazioni al computer1 (Fig. 1).

Figura 1. Cosmology Machine dell’Institute for Computational Cosmology, Universit` a di Durham

Con questo metodo, si inventa una ricetta per costruire una galassia, e la si traduce in un insieme di istruzioni che dicono al computer in che modo pensiamo debba essere costruito il modello di galassia. Sempre grazie ad algoritmi matematici la ricetta viene testata eseguendo la simulazione sull’equivalente di una scala temporale cosmologica. Se il prodotto ﬁnale della simulazione assomiglia, sotto qualche aspetto, ad una galassia reale, allora abbiamo imparato qualcosa riguardo al modo in cui si sono costruite le galassie. Altrimenti, possiamo pensare di avere imparato ancora di pi` u sulla formazione delle galassie, perch´e dobbiamo ritornare alla scrivania e riformulare le nostre idee. Oltre a non avere ancora una comprensione completa della ﬁsica che sta dietro la formazione delle galassie, c’`e un altro problema di cui occuparsi. La 1

Mediante algoritmi matematici per le simulazioni al calcolatore `e possibile seguire la formazione di una singola struttura o di un enorme volume che copre una frazione signiﬁcativa dell’universo osservabile. Per aﬀrontare calcoli cos`ı impegnativi occorrono dei supercalcolatori, come la Cosmology Machine nella Figura 1, che si trova all’Institute for Computational Cosmology dell’Universit` a di Durham: un calcolo pu` o tipicamente durare da una settimana a parecchi mesi su un centinaio o pi` u di processori. Il calcolo pi` u grande eseguito ﬁno ad oggi ha seguito l’evoluzione della struttura su larga scala lungo l’intera storia dell’universo, usando un miliardo di particelle per rappresentare la massa dell’universo.

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materia ordinaria che vediamo con i telescopi `e solo una frazione del materiale che costituisce l’universo intorno a noi; il resto della massa dell’universo `e costituito da “materia oscura” invisibile. Sebbene non possiamo vederla, sappiamo che c’`e, a causa della forza gravitazionale supplementare che fornisce nelle galassie e su scale pi` u grandi; la materia oscura controlla la struttura e il destino dell’universo. Alcune teorie recenti suggeriscono che buona parte della materia oscura possa apparire nella forma di nuove particelle subatomiche. Fino ad oggi, nessuno `e riuscito ad isolare particelle di materia oscura in laboratorio, anche se diversi esperimenti sono in corso, incluso uno da parte della UK Dark Matter Collaboration nella miniera di potassio di Boulby (Boulby Potash Mine) nel North Yorkshire. Come se la materia oscura, fatta di invisibili e ancora sconosciute esotiche particelle elementari, non fosse abbastanza diﬃcile da digerire, gli astronomi sono arrivati a pensare che l’universo sia un posto ancora pi` u strano. Le osservazioni di esplosioni di stelle lontane suggeriscono che l’universo in cui viviamo si espande a velocit`a crescente. Questo `e esattamente l’opposto di ci`o che ci si aspetterebbe se l’unico fattore determinante fosse la massa, con la gravit` a che agisce come freno all’espansione. Invece, l’espansione accelerata dell’universo suggerisce che lo spazio sia pieno di una misteriosa e sinistra “energia oscura”. Tuttavia, la diﬃcolt` a aggiuntiva di dover rappresentare nel modello anche il lato oscuro dell’universo, ossia la materia e l’energia oscure, non `e tale da rendere il compito impossibile. In eﬀetti, abbiamo un’idea abbastanza chiara delle condizioni iniziali da inserire nel computer per le simulazioni (Fig. 2).

Figura 2. L’immagine mostra i risultati del primo anno di osservazioni da parte del Wilkinson Microwave Anisotropy Probe; le oscillazioni di temperatura hanno ampiezze dell’ordine delle decine di micro gradi Kelvin attorno ad una temperatura media di 2.726 gradi Kelvin sopra lo zero assoluto. (Per gentile concessione del NASA/WMAP Science Team)

Dopo di ci`o, l’evoluzione della distribuzione di materia oscura, in un universo in cui l’energia oscura pu` o determinare la velocit`a di espansione, `e molto pi` u semplice da modellare dell’evoluzione della materia luminosa visibile. Nel

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caso della materia oscura, dobbiamo considerare solo la forza di gravit` a. Le condizioni iniziali provengono dall’osservazione della radiazione cosmica di fondo nello spettro delle microonde - il “calore” rimasto dopo il Big Bang che riempie tutto l’universo2 . La conﬁgurazione delle ﬂuttuazioni di temperatura nella radiazione di fondo ci d` a informazioni sulla primitiva struttura di densit`a dell’universo. Possiamo pensare a questa conﬁgurazione come ad una “fotograﬁa” dell’universo appena nato. La radiazione di microonde che rileviamo oggi `e stata emessa circa 380.000 anni dopo il Big Bang, che `e avvenuto pi` u di 13 miliardi di anni fa; l’equivalente di una fotograﬁa di una persona di 80 anni fatta il giorno della sua nascita.

Figura 3. Simulazioni al calcolatore della formazione di strutture nella materia oscura. (Simulazioni gentilmente fornite dal Virgo Consortium for Cosmological Simulations) 2

La radiazione cosmica di microonde `e un resto fossile del Big Bang. L’universo primitivo era molto pi` u caldo e denso di quello attuale. Fino a poche centinaia di migliaia di anni dopo il Big Bang, la materia nell’universo era ionizzata: non esistevano atomi elettricamente neutri, poich´e la radiazione che riempiva l’universo aveva abbastanza energia da separare gli elettroni dagli atomi di idrogeno non appena questi si formavano. La distribuzione della radiazione nell’universo rispecchiava quella della massa. Attorno a 380.000 anni dopo il Big Bang, l’espansione dell’universo aveva raﬀreddato la radiazione al punto che questa divenne troppo debole per strappare gli elettroni dagli atomi di idrogeno. La materia e la radiazione smisero di interagire, ma la radiazione conserv` o un’impronta della distribuzione della massa nell’universo a quel tempo. Quest’impronta `e visibile sotto forma di minuscole ﬂuttuazioni nella temperatura della radiazione cosmica di sottofondo.

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La Figura 3 mostra i risultati di una simulazione al calcolatore dell’evoluzione della materia oscura in un grande volume di universo, iniziando subito dopo il Big Bang. Le irregolarit` a nella densit`a della materia oscura, inizialmente piccole, crescono a causa della forza di gravit`a, che attira la materia circostante3 . Il modello prevede, per il presente, una struttura ﬁlamentosa che `e stata chiamata la “rete cosmica”. Questa conﬁgurazione `e simile a quella della distribuzione delle galassie, come pu` o essere osservata nella mappa pi` u grande dell’universo prossimo a noi di cui oggi disponiamo, realizzata dal team 2dFGRS (Fig. 3).

Figura 4. Mappa dello spostamento di due gradi verso il rosso del campo galattico. (Per concessione del 2dFGRS team)

L’immagine mostra la distribuzione delle galassie proiettata lungo la direzione della declinazione nel cielo; la scala all’estremit`a pi` u grossa dei cunei d`a l’ascensione destra nel cielo. La mappa copre due regioni del cielo, una nel 3

Le ﬂuttuazioni di densit` a, inizialmente piccole, crescono a causa di un processo chiamato “instabilit` a gravitazionale”. L’intensit` a dell’ombreggiatura nella Figura 3 indica la densit` a della materia oscura. L’immagine pi` u in alto mostra l’output, riferito al momento attuale, della simulazione del “volume di Hubble”, che copre una vasta parte dell’universo osservabile. Questa simulazione ha seguito la formazione della struttura su larga scala dell’universo utilizzando un miliardo di particelle per rappresentare la materia oscura. L’immagine di mezzo mostra una simulazione di una regione dell’universo pi` u piccola, con una risoluzione maggiore della massa. Tipicamente, una simulazione di questa classe impiega circa 100 milioni di particelle, ed `e usata in combinazione con un modello della formazione delle galassie. Inﬁne, l’immagine in basso mostra una simulazione con altissima risoluzione della massa della formazione di una struttura individuale, o alone, nella materia oscura. L’alone `e piuttosto granuloso; i grani sono il nocciolo degli antenati dell’alone stesso, che sono stati ingrossati o cannibalizzati dalla forza di gravit` a.

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Polo Sud della galassia, e una verso il Polo Nord della galassia. La disposizione a ﬁlamenti delle galassie `e simile alla cosiddetta “rete cosmica” osservabile nelle immagini prodotte dalle simulazioni. Il 2dF Galaxy Redshift Survey `e il risultato di una collaborazione che ha interessato pi` u di 30 astronomi provenienti da pi` u di una dozzina di istituzioni in Australia, UK e USA. La mappa `e stata completata nell’aprile 2002. Nonostante la somiglianza tra le due immagini di Figura 3 e Figura 3, una dell’universo reale, e l’altra del modello generato al computer, non bisogna dimenticare che stiamo confrontando la distribuzione misurata delle galassie con una distribuzione simulata dell’invisibile materia oscura. Come possiamo sapere quale aspetto dovrebbe avere la distribuzione delle galassie nel modello teorico? Per rispondere a questa domanda, due di noi (Carlton Baugh e Carlos Frenk), insieme a Shaun Cole e Cedric Lacey dell’Institute for Computational Cosmology di Durham, e Andrew Benson del Caltech, hanno eseguito una complessa simulazione al calcolatore che ha permesso di seguire la formazione e l’evoluzione delle galassie in un modello di universo contenente sia materia oscura che energia oscura (Fig. 4).

Figura 5. Modello di formazione delle galassie. (Per concessione di Cedric Lacey)

Si possono usare simulazioni al calcolatore della formazione di strutture nella materia oscura per ricostruire l’albero genealogico di un alone di materia

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oscura, in modo da rendere visibili gli antenati o frammenti della struttura nelle fasi iniziali. I complessi fenomeni ﬁsici che si pensa siano importanti nella formazione delle galassie sono poi codiﬁcati in un modello semi-analitico utilizzando questo albero. Il modello di Figura 4 descrive come il gas si raﬀredda, come il gas si trasforma in stelle, e come il processo di formazione delle stelle `e regolato da eventi quali le esplosioni di supernove. La sequenza illustra la formazione di un “bulge” galattico dalla fusione di due galassie a disco. La Figura 5 mostra una previsione della posizione delle galassie in questo universo oscuro. Il modello prevede che la dimensione e la luminosit` a delle galassie siano correlate alla massa delle strutture nella materia oscura: le galassie grandi e luminose si formano con maggior probabilit` a nelle regioni in cui si trovano le strutture di materia oscura pi` u grandi. Una conseguenza fondamentale del modello `e che la propriet`a di presentare addensamenti (clumpiness) nella distribuzione delle galassie deve crescere al crescere della luminosit` a delle galassie stesse.

Figura 6. La distribuzione delle galassie prevista dal modello semi-analitico di formazione delle galassie. La larghezza della regione rappresentata `e di circa 200 Mpc; lo spessore della fetta rappresentata `e di circa 11 Mpc. (Per gentile concessione di Andrew Benson)

Dal punto di vista dell’osservazione, si `e cercato di rilevare questo eﬀetto in un certo numero di mappe gi` a disponibili delle porzioni dell’universo vicine a noi. Tuttavia, non `e stato raggiunto alcun consenso su questo punto tra i di-

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versi gruppi di ricercatori, per via del piccolo numero di galassie rappresentate in queste mappe; alcuni team hanno segnalato che la tendenza all’addensamento delle galassie cresce con la luminosit`a, altri non hanno trovato questo eﬀetto. Il team 2dFGRS ha eseguito misure per un numero di galassie dieci volte maggiore di quello presente in tutte le mappe redatte nell’ultimo millennio. Ci`o ha fornito l’opportunit` a di risolvere il problema una volta per tutte. Il team 2dFGRS, diretto da Peder Norberg (a quel tempo studente di dottorato a Durham e ora membro dell’ETH di Zurigo), ha esaminato ﬁno a che punto il comportamento delle galassie previsto dal modello corrisponde a quello delle galassie reali. Sorprendentemente, le galassie 2dFGRS hanno mostrato esattamente la stessa tendenza all’addensamento crescente con la luminosit`a prevista dalle simulazioni al computer. Questo successo incoraggiante del modello di formazione delle galassie mostra che i teorici sono probabilmente sulla strada giusta, anche se sono ancora all’oscuro riguardo a che cosa costituisca la maggior parte dell’universo.

Matematica e cartoni animati Gian Marco Todesco Digital Video S.p.A.- Roma [email protected] http://www.toonz.com/personal/todesco

Il cartone animato `e una forma artistica straordinariamente ﬂessibile che permette all’autore una totale libert` a espressiva. Non ci sono vincoli legati al rispetto della prospettiva, alla plausibilit` a ﬁsica dell’azione, alla forma e ` diﬃcile che lo spettatore, immerso in un monall’aspetto dei personaggi. E do totalmente fantastico, si renda conto di quanto lavoro e di quanta rigida organizzazione siano necessari per dare corpo alla fantasia. Eppure, come vedremo in seguito, la realizzazione di un lungometraggio a cartoni animati `e un’opera titanica che richiede un enorme impegno. Non stupisce che, negli ultimi quindici anni, il computer sia andato giocando un ruolo sempre pi` u importante anche in questo campo. Ovviamente ci`o ha richiesto l’invenzione e lo sviluppo di programmi dedicati. Tante software house, in tutto il pianeta, si sono specializzate in questo settore, ma a livello professionale i programmi maggiormente utilizzati sono meno di cinque. Fra questi si annovera Toonz, realizzato da una societ`a italiana. Chi scrive `e tra i creatori del programma, il che gli permette di osservare il mondo del cartone animato da una prospettiva insolita. Questa conferenza si propone lo scopo di condividere questa prospettiva e svelare, con qualche esempio, la matematica e l’informatica che operano, non viste, dietro le quinte della scena.

Toonz e il cartone animato tradizionale Nei suoi quasi dodici anni di vita il programma Toonz `e stato utilizzato da centinaia e centinaia di studios in tutto il mondo per realizzare cortometraggi, spot pubblicitari, giochi interattivi, serie televisive e lungometraggi. Citer` o qui solo tre lungometraggi, fra i pi` u noti. Balto (Simon Wells, Amblimation, 1995) fu il primo ad essere realizzato con il nostro software. Il programma era ancora in fase di rodaggio e durante la lavorazione c’`e stata un’intensa e proﬁcua interazione fra il nostro gruppo e ` una splendida fase quella in cui l’artista non sa gli esperti di Amblimation. E

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ancora immaginare cosa sia possibile ottenere dal programma, mentre l’esperto di computer non ha la pi` u pallida idea di cosa l’artista trovi utile. Trovare un linguaggio comune con cui intendersi `e stato al tempo stesso diﬃcile e molto soddisfacente. Un’altra pietra miliare `e stato Anastasia (Don Bluth & Gary Goldman, Fox Animation, 1997). Il ﬁlm, girato in cinemascope, ha comportato la gestione di immagini “enormi” in termini di occupazione di memoria e di potenza di calcolo richiesta. Gli sfondi erano spesso ﬁno a 300 volte pi` u grandi di una comune foto digitale. Inﬁne posso citare con orgoglio il ﬁlm La citt` a incantata (Hayao Miyazaki, Studio Ghibli, 2002) che ha vinto l’Orso d’oro a Berlino nel 2002 e il premio Oscar come miglior ﬁlm animato nel 2003. Tutti gli esempi citati sono realiz-

c Figura 1. La citt` a incantata, Hayao Miyazaki, Studio Ghibli, 2002

zati con la tecnica dell’animazione tradizionale, detta anche “cel animation” dal nome dei fogli trasparenti di celluloide o di acetato su cui venivano fotocopiati i disegni. In questi ﬁlm l’artista disegna direttamente i personaggi, utilizzando spesso tecniche convenzionali, come il pennello o la matita. Oggi il termine cartone animato viene utilizzato in un’accezione molto ampia che comprende anche l’animazione 3D. In un ﬁlm 3D i personaggi, gli oggetti e gli sfondi non vengono direttamente disegnati, ma ne vengono invece creati dei modelli tridimensionali che il computer `e poi in grado di “fotografare” e “ﬁlmare” utilizzando le leggi della prospettica e dell’ottica. Questa tecnica, che ha permesso la creazione di splendidi ﬁlm come Toy Story o il recente Robots, `e completamente diversa dalla precedente e, per quanto aﬀascinante, non verr` a trattata qui.

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Il processo produttivo La produzione di un cartone animato coinvolge centinaia di persone ed `e rigidamente organizzata in diverse fasi. Lo schema generale si `e solidamente delineato ﬁn dai primi anni dell’animazione, quando tutta la produzione era manuale. L’introduzione del computer non ha stravolto il procedimento, limitandosi a modiﬁcare la modalit` a di esecuzione di alcune fasi. Nei paragraﬁ seguenti far`o un breve (e parzialissimo) riassunto dei passi pi` u importanti del processo. La procedura reale `e molto pi` u complessa e varia molto da studio a studio. Per prima cosa dal soggetto si crea una specie di sceneggiatura disegnata, chiamata story board. Nello story board sono riportate, come in un lunghissimo fumetto, tutte le scene del ﬁlm, complete di inquadrature, movimenti di camera, informazioni sulla musica e i dialoghi. Poi viene deﬁnito l’aspetto dei vari personaggi. Ognuno viene riassunto in una tavola che lo ritrae in diﬀerenti pose ed espressioni. Utilizzando come base queste tavole, che garantiscono l’uniformit` a stilistica del personaggio lungo tutto l’arco del ﬁlm, gli animatori disegnano le lunghe sequenze di immagini che sono l’essenza del cartone animato. Per ogni movimento del personaggio l’animatore crea pochi movimenti fondamentali: l’inizio, la ﬁne e altri eventuali momenti salienti. Un assistente utilizza questi disegni come guida e aggiunge delle immagini intermedie. A loro volta gli intercalatori aggiungono altre immagini in modo da arrivare al numero voluto di fotogrammi al secondo: in genere 12 o 24. L’audio `e gi`a stato inciso e la sincronizzazione fra la voce e i movimenti delle labbra dei personaggi `e assicurata da una specie di doppiaggio alla rovescia: sono i disegni a seguire il parlato e non viceversa. Poi, quando un ﬁlm straniero arriva in Italia, subisce un vero doppiaggio che ovviamente peggiora la sincronizzazione. I disegni vengono poi colorati. Questa `e una delle fasi pi` u laboriose e lo ` una pratica comune era in particolar modo prima dell’utilizzo dei computer. E spedire le risme di fogli con i disegni da colorare all’altro capo del pianeta in paesi dove la mano d’opera ha un costo sensibilmente minore. I fondali vengono realizzati da veri pittori, utilizzando le tecniche pi` u varie: acquarello, acrilico, olio, pastelli, carta ritagliata, ecc. Alla ﬁne bisogna mettere insieme il tutto. Ogni fotogramma del ﬁlm `e costituito da tanti strati o livelli diversi: lo sfondo, i personaggi, le ombre, eventuali eﬀetti atmosferici, eccetera. Senza computer era necessario fotocopiare ogni disegno su carta trasparente, sovrapporre tutti i fogli e fotografarli con una speciale cinepresa, fotogramma per fotogramma. Le informazioni che permettono all’operatore della cinepresa di sapere quali componenti siano presenti in ogni fotogramma sono raccolte in una griglia chiamata “foglio macchina”. Nel foglio macchina ci sono anche istruzioni che controllano il movimento della ` una praticinepresa, l’inquadratura e le posizioni relative dei vari livelli. E

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ca molto comune avere uno sfondo molto pi` u largo dell’inquadratura e farlo scorrere nel corso dell’animazione in modo da simulare una carrellata. Per riassumere quantitativamente il processo: un ﬁlm di due ore, a 24 fotogrammi al secondo consiste di pi` u di 170.000 fotogrammi; ognuno di questi, come abbiamo visto, `e il risultato della composizione di diversi elementi. In tutto possono essere necessari anche 300.000 disegni.

La matematica e l’elaborazione al computer entrano in gioco Vediamo adesso in quali fasi produttive possono intervenire la matematica e il computer. A diﬀerenza di ci` o che si potrebbe pensare, la fase del disegno dei personaggi, fotogramma dopo fotogramma, viene ancora realizzata a mano, su carta. Solo recentemente, negli ultimi pochi anni, ci sono stati dei timidi segnali di cambiamento, legati allo sviluppo della nuova generazione di tavolette graﬁche e alla diﬀusione del cartone animato su Web. Sicuramente oggi nella produzione di un lungometraggio a cartoni animati i disegni sono ancora fatti singolarmente a matita. Questi disegni vengono poi acquisiti tramite uno scanner e vengono trasformati in immagini digitali. Da questo punto in poi tutto il procedimento `e digitale, ﬁno alla stampa della pellicola. Il software deve quindi controllare lo scanner, riﬁnire le immagini (magari compensando le diﬀerenze di tratto fra un disegnatore e l’altro), colorare i disegni, deﬁnire e modiﬁcare il foglio macchina, aggiungere eﬀetti di luce, trasparenze, sfocature, ecc. ed inﬁne assemblare tutte le componenti generando i fotogrammi ﬁnali. A questi compiti fondamentali si aﬃancano tutta una ` indispensabile avere degli strumenti per serie di problematiche collegate. E orientarsi nel vasto database delle scene, dei personaggi e dei colori; deve essere possibile generare rapidamente dei ﬁlmati di prova per controllare la ﬂuidit` a dell’animazione prima ancora che i disegni vengano colorati; bisogna gestire le cosiddette “render farm”, gruppi di potenti computer collegati in rete su cui viene distribuito automaticamente il carico di lavoro relativo alla generazione della sequenza ﬁnale; eccetera. Un software che fornisca tutti gli strumenti necessari ﬁnisce con l’essere un oggetto estremamente complesso e articolato. Il codice sorgente, ovvero l’insieme delle istruzioni che costituiscono il programma (dal punto di vista degli sviluppatori) ammonta a pi` u di settecentomila linee. Ogni programma presuppone una serie di modelli che facciano da ponte fra la ottusa precisione del computer e il mutevolissimo e mal deﬁnito mondo reale. Questi modelli fanno generalmente ampio uso di algoritmi matematici. ` impossibile in questa sede fare un elenco completo o anche solo indicativo dei E vari modelli matematici utilizzati, ma spero che i quattro esempi, presentati nei prossimi paragraﬁ, siano suﬃcienti a trasmettere l’idea di fondo.

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Trasformazioni geometriche Abbiamo visto che, nella fase ﬁnale della composizione dei fotogrammi, il software deve essere in grado di generare un’immagine sovrapponendo altre immagini. Ognuna deve poter essere spostata, ruotata e anche scalata secondo le indicazioni riportate nel foglio macchina. Il primo argomento che aﬀronteremo `e proprio questo: come si fa (e cosa signiﬁca esattamente) muovere un’immagine? In questa problematica si vede particolarmente bene cosa signiﬁchi creare dei modelli: prima di rispondere dobbiamo deﬁnire il concetto di immagine, di colore e di movimento. Nella computer graphics `e naturale deﬁnire un’immagine come una griglia rettangolare di punti colorati detti pixel (da picture element). Osservando uno schermo televisivo `e possibile distinguere i singoli pixel. Sempre pi` u spesso anche le immagini cinematograﬁche, sul grande schermo, sono in realt` a fatte di pixel, ma il loro numero `e cos`ı grande (pi` u di 2000 linee contro i circa 600 della televisione) che `e praticamente impossibile rendersene conto.

Figura 2. Un’immagine raster `e un mosaico di tante piccole tessere colorate chiamate “pixel”

Ogni pixel pu` o assumere un colore diverso. Data la particolare struttura della retina umana (in cui sono presenti tre tipi diversi di cellule che servono a discriminare il colore) `e possibile rappresentare lo spazio di tutti i colori percepibili come uno spazio tridimensionale. In altre parole bastano tre numeri per deﬁnire univocamente un colore. Un’immagine colorata `e quindi rappresentabile da un insieme di terne di numeri disposti secondo una griglia rettangolare. Anche trovare un modello per descrivere il movimento non `e diﬃcile. Un movimento non `e altro che una funzione che trasforma un punto del piano P in un altro punto del piano P = f (P ). Se parliamo di traslazioni, rotazioni, ecc. la funzione f prende una forma particolarmente semplice: una combinazione ` spesso molto utile deﬁnire lineare delle coordinate del punto di partenza. E −1 che permette di “ritornare indietro”. anche la funzione inversa f Saper trasformare un punto non vuol dire saper trasformare un’intera immagine. E qui il discorso si fa pi` u complesso e interessante. Abbiamo visto

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Figura 3. Una generica trasformazione geometrica (in questo esempio una rotazione) sposta il pixel P in una posizione P’ intermedia fra pixel vicini

che un’immagine `e un insieme di pixel disposti lungo una griglia rettangolare. Supponiamo, per semplicit` a, che i pixel siano disposti su punti a coordinate intere. Di ogni pixel conosciamo il colore e la posizione. Vogliamo trasformare l’immagine secondo una particolare funzione f . Uno dei problemi che incontriamo subito `e che, nel caso generale, la funzione f non manda esattamente i pixel in altri pixel, ovvero se P ha coordinate intere non `e aﬀatto detto che sia cos`ı anche per f (P ). Un primo algoritmo, che risolve questo ed altri piccoli problemi, `e il seguente: Assegna ad ogni pixel in posizione P il colore del pixel pi` u vicino a f −1 (P ). Purtroppo l’errore che facciamo trascurando la parte decimale delle coordinate si traduce in un vistoso difetto nell’immagine trasformata: le linee inclinate assumono un aspetto scalettato. Questo fenomeno, chiamato aliasing, `e ben conosciuto e viene studiato nell’ambito della teoria dei segnali. La tecnica

Figura 4. In queste immagini con i pixel ingranditi, si vede l’eﬀetto dell’aliasing. Nell’immagine (b) si usa la tecnica della media pesata descritta nell’articolo

risolutiva consiste nel considerare non solo il pixel pi` u vicino, ma anche quelli

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adiacenti e calcolare il colore risultante facendo una media pesata. Un’immagine composta da pixel solo bianchi o neri e sottoposta a questo procedimento potrebbe generare dei pixel di un colore intermedio, proprio in corrispondenza degli angoli della scalettatura che in questo modo diventerebbe molto meno percepibile. Con questo sistema `e possibile eseguire tutte le trasformazioni elementari. Usando funzioni pi` u complicate si riescono ad ottenere eﬀetti interessanti. Ad esempio si pu`o distorcere l’immagine come se venisse riﬂessa su una superﬁcie di acqua increspata.

Figura 5. Una trasformazione non lineare permette di ottenere eﬀetti interessanti

Inoltre la tecnica della media pesata, come spesso succede, oltre a risolvere il problema per cui `e stata sviluppata, si presta ad interessanti variazioni. Se ad esempio si aumenta il numero di pixel che contribuiscono alla media pesata, l’immagine risultante appare sfumata, con i contorni indistinti. Cos`ı `e possibile simulare il fuori fuoco, tecnica utilizzata dai fotograﬁ per mettere in risalto un particolare della scena.

Il pennello virtuale La grandissima maggioranza dei cartoni animati di una certa qualit` a passa attraverso il disegno su carta, ma le cose stanno lentamente cambiando. Gli artisti stanno cominciando ad avere un atteggiamento meno ostile nei confronti del computer e una nuova famiglia di tavolette graﬁche, con lo schermo ` presumibile che la incorporato, permette uno stile di disegno pi` u naturale. E percentuale di cartoni animati interamente digitali, attualmente minoritaria, sia destinata a crescere nei prossimi anni. Ovviamente il software si deve adeguare. Se il disegno nasce direttamente su computer conviene crearne una rappresentazione pi` u articolata e ﬂessibile, piuttosto che conservare semplicemente i pixel. Abbiamo bisogno di un modello geometrico che rappresenti la singola pennellata. Questo modello permette

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di migliorare la procedura di disegno, consentendo modiﬁche e correzioni altrimenti impossibili. Inoltre l’immagine prodotta, non essendo basata sui pixel, `e indipendente dalla risoluzione (ovvero dal numero di pixel disponibili) e pu` o essere usata sia in ambito televisivo, sia in ambito cinematograﬁco senza alcuno scadimento di qualit` a. Nel progettare la forma della pennellata dobbiamo tenere presente che la penna della tavoletta graﬁca, un po’ come un vero pennello, `e sensibile alla pressione e permette di variare con continuit` a lo spessore del segno. Cos`ı `e possibile creare un tratto particolarmente espressivo e personale. Oltre a questa caratteristica la nostra pennellata “geometrica” deve avere un contorno liscio, senza giunture visibili, deve essere computazionalmente leggera (per permettere al computer di disegnare in tempo reale le migliaia di pennellate che formano un disegno) e deve essere perfettamente deﬁnita tramite un ridotto insieme di punti di controllo. Il modello matematico che fa al caso nostro `e la cosiddetta spline. Si tratta di una curva in forma parametrica molto utile e versatile, molto utilizzata nei programmi di CAD. Si tratta di una curva continua e diﬀerenziabile che approssima una spezzata arbitraria: per deﬁnire completamente la curva basta assegnare i vertici della spezzata, i cosiddetti punti di controllo.

Figura 6. La singola pennellata rappresentata da una spline con spessore variabile. Nella ﬁgura sono evidenziati i punti di controllo

Nel nostro caso la curva `e in uno spazio a tre dimensioni, le due relative al piano di disegno e la terza che rappresenta lo spessore variabile. Una serie di algoritmi matematici generano in maniera automatica i punti di controllo senza che il disegnatore se ne debba preoccupare. Anche in fase di correzione e modiﬁca i punti di controllo vengono creati, spostati ed eliminati in maniera automatica, mentre l’artista si limita a spostare, tirare e torcere la curva come se fosse un ﬁlo di metallo.

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Un’altra caratteristica interessante di questo strumento `e la possibilit`a di associare uno “stile” arbitrariamente complicato alla curva stessa. Diventa cos`ı possibile simulare una serie di strumenti convenzionali come la matita, il carboncino o l’acquerello ed `e anche possibile inventare degli strumenti completamente nuovi. In Figura 5 ci sono alcuni esempi.

Figura 7. Diﬀerenti stili applicati alla stessa pennellata

La forma delle nuvole Al di l`a dei personaggi veri e propri e degli sfondi ci sono molte altre componenti che popolano la scena. Ad esempio ci sono i cosiddetti eﬀetti speciali: pioggia, neve, lampi, eccetera. In molti casi il computer pu`o essere utilizzato per creare automaticamente e con un certo livello di realismo questi eﬀetti. Come sempre per progettare l’algoritmo dobbiamo prima creare un adeguato modello matematico. Un esempio emblematico `e dato dalle nuvole o dal vapore. Qual `e la forma ` vero esatta di una nuvola? La domanda `e solo apparentemente provocatoria. E che la nuvola `e per antonomasia una forma sempre cangiante e indeﬁnibile, ma `e anche vero che davanti a varie immagini di colore opportuno alcune sembreranno “pi` u nuvole” di altre. Ovviamente i contorni non devono essere ben deﬁniti, la forma deve essere estremamente irregolare e caotica, tuttavia `e necessario che ci sia una qualche coerenza interna che un’accozzaglia totalmente casuale di pixel chiari e scuri non possiede. La tecnica chiamata Perlin Noise ci permette di trovare la giusta miscela di casualit`a e ordine caratteristica di una vasta gamma di fenomeni naturali che vanno dalle venature del marmo al cielo nuvoloso. Cominciamo aﬀrontando un problema monodimensionale: supponiamo di voler disegnare un proﬁlo montuoso. In altre parole vogliamo trovare una funzione il cui graﬁco assomigli ad un crinale montuoso. Il primo ingrediente della ricetta `e un generatore di numeri pseudo casuali. Si tratta di un particolare algoritmo in grado di generare delle sequenze di numeri con una distribuzione

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statistica molto vicina a quella di una sequenza totalmente casuale, generata per esempio lanciando tante volte uno stesso dado. Con questo strumento e delle tecniche di interpolazione posso generare un graﬁco continuo senza punti angolosi con un andamento apparentemente erratico. La sequenza di numeri pseudocasuali deﬁnisce i valori del graﬁco in corrispondenza dei valori a coordinate intere dell’ascissa. Posso generare una famiglia di funzioni simili a questa, cambiando l’ampiezza, ovvero l’escursione massima dei valori, e la frequenza, ovvero la rapidit` a con cui la funzione cambia: in altre parole modiﬁcando le scale lungo i due assi coordinati. Il perlin noise si ottiene sommando tante componenti di frequenza sempre pi` u alta e di ampiezza sempre pi` u piccola. Questo procedimento genera quell’invarianza di scala che `e cos`ı caratteristica dei fenomeni naturali. Infatti il graﬁco della funzione assomiglia ad una catena montuosa, con picchi e valli che si alternano irregolarmente; lungo i crinali `e possibile individuare altri picchi, pi` u piccoli dotati a loro volta di rugosit`a ancora pi` u piccole e cos`ı via.

Figura 8. Sommando diverse armoniche si ottiene una funzione che simula un proﬁlo montuoso

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L’analogo bidimensionale di questa funzione permette di creare un cielo nuvoloso. Basta associare ad ogni pixel un colore che dipende dal valore della funzione in quel punto.

Figura 9. Perlin noise

Autoﬁll Voglio concludere con un problema non completamente risolto: l’implementazione corrente `e pi` u che perfettibile e la caccia all’algoritmo migliore `e ancora aperta. Il tema `e la colorazione dei livelli. Questa operazione `e stata enormemente velocizzata con l’utilizzo del computer, ma rimane sempre una delle fasi pi` u impegnative e laboriose. La ricchezza e la potenza degli strumenti di colorazione oﬀerti all’utente `e quindi un punto cruciale di tutto il programma. Uno di questi strumenti viene chiamato autoﬁll. In genere due immagini consecutive all’interno dello stesso livello, sono molto simili fra loro e l’autoﬁll permette di colorare automaticamente la seconda immagine utilizzando la prima come riferimento. Dal punto di vista dell’implementazione possiamo dividere il procedimento in tre passi concettualmente distinti: per prima cosa bisogna identiﬁcare le regioni colorate o colorabili, in altre parole tutte le aree chiuse delle due immagini. Poi si confrontano le aree della prima immagine (colorata) con quelle della seconda immagine (ancora da colorare) cercando delle corrispondenze. Inﬁne si colorano tutte le aree della seconda immagine per le quali `e stata trovata una corrispondenza. Il primo passo, l’identiﬁcazione delle aree, `e relativamente semplice. Bisogna trovare tutti gli insiemi connessi di pixel dello ` un problema simile alla ricerca di tutti i percorsi possibili stesso colore. E dentro un labirinto e infatti si possono usare pi` u o meno gli stessi algoritmi. L’ultimo passo `e ovviamente banale, e il vero scoglio `e rappresentato dalla ricerca delle corrispondenze: data un’area nella prima immagine bisogna

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Figura 10. L’autoﬁll consiste nel mettere in relazione regioni omologhe in due immagini simili fra loro

trovare l’area corrispondente nella seconda. Il nostro cervello, che, invece dei pixel, vede direttamente occhi, denti, sopracciglia, lingue, ecc. non ha alcuna diﬃcolt`a, ma il povero programma non ha questa capacit` a eminentemente umana di lettura semantica del disegno. E se guardiamo la sola geometria ci rendiamo conto che, ad esempio, un occhio nel primo disegno `e sensibilmente diverso, per tanti piccoli particolari, dallo stesso occhio nel secondo disegno. Non possiamo aspettarci di trovare due aree perfettamente sovrapponibili, ma dobbiamo accontentarci di una forte somiglianza. Qui il modello da inventare `e proprio questa funzione di somiglianza che ci permetta di misurare la distanza fra due punti nello spazio astratto delle forme possibili. Un primo approccio consiste nell’associare una serie di numeri ad ogni regione. Ad esempio: la posizione, la grandezza, il rapporto fra grandezza e perimetro (che permette di distinguere fra una ﬁgura tondeggiante ed una allungata), eccetera. L’idea `e che questi numeri siano le coordinate cartesiane dello spazio astratto a cui accennavo prima. La normale distanza euclidea in questo spazio pu`o darci una misura di quanto due regioni siano diﬀerenti. Con questa funzione possiamo provare a completare l’algoritmo: per ogni regione ricavo gli indicatori sopra descritti, calcolo tutte le distanze fra ogni regione della prima immagine e tutte le regioni della seconda e di tutte queste distanze estraggo la minore. Questo mi permette di determinare la prima corrispondenza, poi elimino dal gruppo le due regioni selezionate ed itero il procedimento ﬁno ad esaurire le regioni oppure ﬁno a che la distanza minore non supera una certa soglia. Una versione leggermente pi` u complessa di questo algoritmo `e eﬀettivamente implementata e funziona in maniera accettabile in casi semplici. Ovviamente il sistema non funziona se, per esempio, fra la prima e la seconda immagine una regione si `e divisa in due o due regioni si sono fuse. Ma anche quando non si veriﬁcano questi “incidenti topologici”, il numero di errori commessi dall’algoritmo rimane piuttosto alto appena il numero di regioni cresce. Un approccio migliore potrebbe considerare le relazioni fra regioni. Una regione potrebbe essere caratterizzata dal fatto di essere interamente circon-

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data da un’altra regione o per il fatto che conﬁna contemporaneamente con altre due. Probabilmente questa tecnica sarebbe molto eﬃcace nel riconoscere la pupilla, l’iride, il bianco dell’occhio e la palpebra. Un altro approccio possibile potrebbe essere concentrarsi sui punti signiﬁcativi lungo il contorno delle aree: punti angolosi, giunzioni a T ecc. Strade diverse si aprono come quando si percorre un labirinto ed `e diﬃcile giudicare a priori quale sia la pi` u promettente. D’altro canto `e proprio l’assenza di algoritmi per percorrere questo tipo di labirinti che rende l’esplorazione cos`ı interessante.

Riferimenti su WorldWideWeb •

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•

Balto http://www.imdb.com/title/tt0112453/ http://ﬁlmup.leonardo.it/sc balto.htm

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Anastasia http://www.foxhome.com/anastasia/main.html http://www.imdb.com/title/tt0118617/

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Spirited away http://www.spiritedaway.com.au/ http://www.nausicaa.net/miyazaki/sen/

•

Animazione tradizionale http://en.wikipedia.org/wiki/Traditional animation

•

Antialiasing http://www.siggraph.org/education/materials/HyperGraph/aliasing/alias0.htm http://www.widearea.co.uk/designer/anti.html

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Perlin noise http://freespace.virgin.net/hugo.elias/models/m perlin.htm http://mrl.nyu.edu/∼perlin/ http://astronomy.swin.edu.au/∼pbourke/texture/perlin/

•

Spline http://www.doc.ic.ac.uk/∼dfg/AndysSplineTutorial/ http://mathworld.wolfram.com/Spline.html

“This page left intentionally blank.”

Pittori, assassini, matematici

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Peter Deuﬂhard Zuse-Institut Berlin (ZIB) e Freie Universit¨ at Berlin, Fachbereich Mathematik und Informatik deuﬂ[email protected]

Quest’articolo delinea una storia della nostra percezione dell’immagine dell’interno del corpo umano. Illustra di volta in volta tutti i contesti emotivi e le immagini degli esseri umani basate su di essi. I protagonisti sono, al mutare dei tempi e per allitterazione (Maler, M¨ order, Mathematiker): i pittori, gli assassini (o pi` u correttamente: i giustiziati, cio`e anche ladri per necessit` a, adultere ecc.) i matematici e gli informatici (quest’ultimi compresi nel termine matematici) Nella cultura cristiana, ﬁno a tutto il Rinascimento, l’osservazione dell’anatomia interna degli esseri umani era rischiosa. La regola “non ti farai immagini . . . ” era valida certamente solo per la rappresentazione di Dio; ma la Chiesa estese ben presto il divieto agli angeli e ad altri soggetti della vita quotidiana. Per star sul sicuro si cominci` o a rappresentare l’anatomia dei santi defunti in modo allegorico, nella sfera della Vanitas Mundi. Nella cultura islamica, almeno nella maggior parte dei casi, il divieto valeva persino per ogni rappresentazione dell’esterno “degli esseri viventi creati da Dio” (Corano); per lungo tempo l’arte araba ha potuto rappresentare liberamente solo le meraviglie delle forme geometriche e ﬂoreali che ancora oggi possiamo ammirare su maioliche, tappeti o arazzi. Dal Rinascimento i pittori che avevano interesse anche per l’anatomia si opposero per primi al divieto esplicito della quasi onnipotente Chiesa e, introducendosi di notte nei luoghi in cui avvenivano le esecuzioni, sezionavano i cadaveri degli impiccati, naturalmente senza il loro consenso. Leonardo da Vinci (1452-1519), forse il pi` u famoso precursore di questa evoluzione, scrisse nel suo diario ([12], p. 400): “E se tali cose vi interessano, vi ostacola forse la nausea, e se ci`o non vi frena, vi ostacola allora forse la paura di rimanere di ∗

Il saggio “Maler, M¨ order, Mathematiker” `e stato pubblicato per la prima volta in Gegenworte - Zeitschrift f¨ ur den Disput u ¨ber Wissen, 12. Heft, Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften, Berlin, 2003; http://www.gegenworte.org/. Traduzione di Maura Lauretani. Ristampa con il gentile permesso dell’editore.

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notte con questi morti scorticati e sezionati e terribili alla vista; e se ci`o non vi ostacola, vi manca forse l’abilit` a nel disegno. . . ”. Garanzia della veridicit` a della rappresentazione era quindi l’abilit` a nel disegno, si veda Figura 1.

Figura 1. Leonardo da Vinci (1489): Studio anatomico di un cranio ([12], p. 403). Confrontare con Figura 3

Anche quando gli studi anatomici avevano ﬁnalmente trovato spazio in ambito accademico, si preferiva sezionare i cadaveri di condannati. Nella pittura olandese la raﬃgurazione anatomica si attest`o come vero e proprio genere pittorico.

L’interno del corpo (1656): l’assassino Joris Fonteijn La raﬃgurazione artistica pi` u espressiva che conosco `e l’“Anatomia del Dr. Deyman” di Rembrandt, dell’anno 1656 (da non confondere con l’“Anatomia del Dr. Tulp” del 1632). Al tempo le dissezioni erano ancora un tab` u; era contro ogni senso del pudore fare a pezzi, per cos`ı dire pubblicamente, la salma di un cittadino rispettabile. Per contro, i condannati a morte non avevano “onore”, e le loro salme venivano consegnate alla corporazione dei chirurghi (che al tempo non venivano distinti dai patologi e dagli studiosi di anatomia). Senza sistematici metodi di conservazione le dissezioni dovevano naturalmente avvenire subito dopo l’esecuzione. Il dipinto ad olio nei tipici toni del marrone di Rembrandt (Fig. 2) mostra il cadavere del pluriomicida Joris Fonteijn, anche detto “Black Jack”, un sarto ﬁammingo che fu impiccato il 17 gennaio 1656. Il quadro `e dello stesso anno, fu per`o gravemente danneggiato in seguito ad un incendio. Il basso ventre della salma `e aperto, le viscere sono rimosse. Il suo volto, raﬃgurato al centro del quadro (non danneggiato dall’incendio) ﬁssa l’osservatore in modo diretto

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ed `e palesemente umiliato. L’anatomista Deijman (in parte nascosto) tiene in mano la dura mater, il cervello fuoriesce dal cranio aperto.

Figura 2. Rembrandt (1656): L’anatomia del Dr. Deyman

Lo spirito d’osservazione e la sensibilit` a dell’allora cinquantenne Rembrandt si rivolgevano all’uomo nel suo insieme, alla sua transitoriet` a e precariet`a. Ai giorni nostri, generazioni di studenti di medicina sezionano salme che, almeno, hanno dato il loro consenso in vita. Le nostre opinioni in merito alle dissezioni non sono pi` u oggetto di discussioni pubbliche o di regolamentazioni; l’utilit` a in ambito medico prevale nell’opinione pubblica su ogni eventuale perplessit`a. Tuttavia anche oggi gli studenti devono superare, quale rituale d’iniziazione, il senso di disgusto, che abbiamo descritto precedentemente nel contesto storico. La scoperta dei raggi X alla ﬁne del diciannovesimo secolo ha rivoluzionato il mondo delle rappresentazioni visive: per la prima volta era possibile studiare direttamente l’interno dei corpi di esseri ancora in vita (naturalmente entro certi limiti). Le radiograﬁe erano certamente solo ombre, qualcosa di poco soddisfacente.

Comparsa della Matematica In questa situazione entra in scena il matematico austriaco Radon (18871956), che si pose in modo puramente astratto la domanda: “Si pu` o dedurre dall’intensit` a misurata di vari raggi diﬀerenti, che hanno attraversato un materiale, la distribuzione di densit` a all’interno del materiale stesso?”.

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Non aveva pensato proprio ai raggi X. Per risolvere il suo problema astratto introdusse una trasformata che da lui prese nome. Nel 1917 ricav` o una formula di inversione che rispondeva esattamente alla domanda sopra citata. La sua dimostrazione della formula era talmente elegante da essere considerata ancora oggi canonica, si veda ad esempio [4]. Purtroppo la formula di Radon classica `e inapplicabile: anche errori minimi nei dati misurati possono distorcere completamente l’immagine risultante. In linguaggio matematico: il problema risulta essere “mal posto”, ma comunque correggibile. Da allora numerosi matematici, soprattutto in Russia, Germania, Olanda e negli Usa, hanno approfondito questo campo di ricerca, che in tedesco viene deﬁnito Computertomographie (Computertomograﬁa), in inglese pi` u correttamente Computerized Tomography (Tomograﬁa Computerizzata), in italiano Tomograﬁa Assiale Computerizzata(TAC). Guardando alle applicazioni pratiche, ad esempio in medicina, si cerca di rendere pi` u veloce la risoluzione del problema attraverso metodi di calcolo e algoritmi eﬃcienti. Permettiamo un breve excursus per i non esperti. Algoritmi per la Tomograﬁa Assiale Computerizzata. Partendo da un’immagine di N × N pixel (unit` a elementari di un’immagine digitalizzata), bisogna risolvere un’equazione con N 2 incognite. Nel caso tecnicamente rilevante di N = 1024, le incognite sono circa un milione. I procedimenti consueti, che risalgono a Gauss, necessitano di circa N 6 ≈ 1018 operazioni di calcolo e non sfruttano alcuna struttura speciale del problema e quindi sono troppo lenti. Senza conoscere i lavori di Radon, l’ingegnere inglese Hounsﬁeld nel 1968 propose un algoritmo con circa 50N 4 operazioni, una vera a propria rivoluzione per l’epoca, e costru`ı nel 1973 il primo apparecchio commerciale per la TAC. Insieme al ﬁsico Cormack, che gi`a intorno al 1963/64 aveva compiuto studi pionieristici nel campo della TAC, ricevette nel 1974 il premio Nobel per la medicina. Conoscendo i lavori di Radon, i matematici Shepp e Logan presentarono in una pubblicazione del 1974 un algoritmo che necessitava di sole circa N 3 ≈ 109 operazioni (naturalmente senza ricevere il Premio Nobel). Il loro metodo si ritrova ancora oggi nei moderni strumenti per la TAC. Per il calcolo di un milione di variabili, nella tipica TAC, i Personal Computer oggi sul mercato non impiegano pi` u di 5 secondi, mentre i vecchi metodi di Hounsﬁeld avrebbero “sprecato” sugli stessi computer un tempo di calcolo stimato in 70 ore, e sarebbero stati, quindi, scarsamente interessanti per applicazioni cliniche. Questo genere di problemi si presentano, oltre alla TAC, anche nella Risonanza Magnetica (Nuclear Magnetical Risonance, NMR), nella Tomograﬁa a Emissione di Positroni (PET) e nel caso degli ultrasuoni; in tutti questi ambiti si pu` o far ricorso ai veloci algoritmi della TAC o ai loro pi` u eﬃcienti e moderni successori. Nel frattempo ha preso piede “l’elaborazione dell’immagine a scopi medici” per le applicazioni cliniche abituali, si veda Fig. 3. L’unico limite allo sguardo indagatore nell’anatomia interna rimane ancora la quantit`a massima di radiazioni ﬁsiologicamente tollerabile (per TAC e PET), e le limitazioni alla risoluzione dell’immagine.

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Figura 3. Immagine NMR: sezione planare di un cranio

Oggi non `e necessario morire per ottenere rappresentazioni “realistiche” ` evidente il progressivo avvicidell’anatomia interna degli esseri umani. E namento alla “medicina mini-invasiva”, tuttavia i corpi dei giustiziati sono ancora utili, come dimostra il seguente esempio.

L’anatomia interna del corpo (1993): l’assassino Joseph Jernigan Il 5 agosto del 1993 Joseph Paul Jernigan `e stato giustiziato con un’iniezione letale ad Huntsville, in Texas. Dodici anni prima aveva ucciso un anziano durante uno scasso. Jernigan ha lasciato in eredit` a il proprio corpo all’Anatomical Board of the State of Texas. L’uomo `e diventato famoso a livello mondiale come il primo Visible Male (maschio visibile). L’anatomo-patologo Vic Spitzer, uno dei due principali esaminatori del progetto Visible Human (essere umano visibile) si `e espresso nel modo seguente in merito alla scelta del corpo di Jernigan, come scrive letteralmente Wadman ([6], p. 657): “It’s very diﬃcult to ﬁnd an intact, non-traumatized, non-pathologic cadaver. I’m not condoning ` molto diﬃcile execution. But I don’t believe in wasting resources either.” (E trovare un cadavere intatto, non traumatizzato e privo di patologie. Non sto legittimando le esecuzioni, ma non credo neanche che si debbano sprecare certe risorse).

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Di fatto la salma non soddisfaceva tutti i criteri: era sovrappeso (il delinquente inizialmente era talmente grasso che quasi non passava attraverso il dispositivo per la risonanza), gli mancava un testicolo, parte dell’intestino e un dente. Sembrava comunque il migliore candidato a disposizione nell’ambito del progetto Visible Human. L’Anatomical Board prelev` o immediatamente dal luogo dell’esecuzione il cadavere ancora caldo, che fu portato presso un’impresa di pompe funebri locale e immerso in gelatina blu. In seguito venne caricato su un volo charter diretto a Denver e consegnato al Colorado Medical Sciences Center. Circa otto ore dopo l’esecuzione vennero raccolte le prime immagini mediche della salma: per essere applicabili con successo all’intero corpo, le tecniche della Risonanza Magnetica e della TAC necessitavano che l’uomo non fosse morto “da troppo tempo”. Successivamente venne congelato e sezionato in circa 1800 parti dello spessore di 1 mm. Tutte le sezioni furono fotografate e digitalizzate singolarmente. Tutti i pixel (cio`e le unit` a dell’immagine) furono accuratamente salvati in memoria. A ci`o segu`ı una lunga discussione in merito all’eticit` a alla base di tale operazione. Naturalmente al momento di esprimere la propria volont` a a Jernigan non era chiaro che il suo corpo sarebbe stato digitalizzato, e tanto meno che i suoi dati (dal novembre del 1994) sarebbero stati resi pubblici su Internet, insieme al suo nome. Per` o durante il colloquio con il cappellano delle carceri e con il suo avvocato aveva aﬀermato senza esitazioni che voleva “dare in cambio qualcosa per ci`o che aveva sottratto”. Lo stesso mese un’anonima cinquantanovenne casalinga del Maryland divenne la prima Visible Female (femmina visibile). Era deceduta per cause naturali, per una crisi cardiocircolatoria, ed anche lei aveva lasciato il suo corpo in eredit`a, stavolta conoscendo il progetto Visible Human. Oggi i dati del Visible Man (15 GByte) e della Visible Female (40 GByte) sono disponibili gratuitamente su Internet, previa richiesta di permesso alla US National Library of Medicine e, nel rispetto delle condizioni imposte da una citazione corretta, si possono facilmente scaricare. I dati di entrambi i corpi del Visible Human intanto sono stati compressi dal matematico di Brema HeinzOtto Peitgen con tecniche Wavelet, in modo da poterli memorizzare su due CD-ROM. Nel frattempo l’iniziativa Visible Human si `e allargata a macchia d’olio coinvolgendo a livello mondiale paesi come Corea, Cina, Giappone e Germania. Un’enorme massa di dati si sta riversando su di noi.

L’uomo virtuale I: la forma I metodi come TAC o NMR consentono di ottenere solo immagini a due dimensioni, nel migliore dei casi strati di immagini, come gi`a illustrato nella Figura 3; dal Visible Human sono risultate pi` u informazioni ma sempre e comunque bidimensionali. La maggior parte degli uomini sono per` o esseri tridimensionali, eccetto illustri eccezioni descritte da Marcuse [11].

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Solo negli ultimi anni l’informatica e la matematica hanno approntato metodi suﬃcientemente veloci ed aﬃdabili per generare modelli geometrici tridimensionali corretti da strati di immagini bidimensionali: `e cos`ı nato l’uomo virtuale che oggi `e possibile visualizzare con occhiali 3D ed apparecchi visivi abituali e che `e possibile attraversare tramite uno “space mouse”. La Figura 4 mostra una sezione sagittale della ricostruzione tridimensionale di un cranio di un paziente in una proiezione bidimensionale. Quest’immagine `e “vera” solo nel senso che si basa sui dati di misurazione di un individuo ed `e calcolata con metodi aﬃdabili, che comunque non escludono con sicurezza matematica la possibilit`a di errore. Se la confrontiamo per` o con il dipinto di Leonardo da Vinci di 500 anni fa, riprodotto in Fig. 1, ci rendiamo conto con una certa sorpresa di quanto le due rappresentazioni siano vicine.

Figura 4. Il paziente virtuale: sezione di una riproduzione tridimensionale di un cranio. Confrontare con Figura 1

La raﬃgurazione tridimensionale al calcolatore, se programmata in modo opportuno, permette di ottenere comodamente un “oggetto” graﬁco isolato, o in altre parole una qualunque parte del corpo, senza dove far ricorso ad un cadavere! Lo shock emotivo legato a ci`o normalmente non viene pi` u percepito dagli scienziati addetti ai lavori (la solita deformazione professionale), mentre gli osservatori che si confrontano per la prima volta con tali tecniche lo percepiscono ancora (ma per la maggior parte dei casi viene espresso con una risata). Chiaramente in futuro il tirocinio degli studenti di medicina far` a sempre maggiore ricorso ad atlanti anatomici virtuali e tridimensionali1 . Il punto culminante, seppur provvisorio, di questa evoluzione, per l’Accademia delle Scienze di Berlino-Brandeburgo, `e inequivocabilmente il “mem1

VOXELMAN: http://www.uke.uni-hamburg.de/institute/imdm/idv/gallery/index.en.html

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bro virtuale dell’Accademia”: la Figura 5 mostra una parte (forse non cos`ı tipica) che proviene da un coraggioso esperimento su se stesso di un vero ` detto esplicitamente per`o che si tratta in questo membro dell’Accademia. E caso di un matematico ma (a quanto si sa) non di un assassino, i cui dati personali sono ovviamente anonimi2 .

Figura 5. Ginocchio del membro virtuale dell’Accademia: ﬁgura tridimensionale dell’articolazione del ginocchio con muscoli, legamenti e vasi sanguigni

Con la pratica raﬃgurazione dell’uomo, manipolabile tramite calcolatore, sembra ora che il Meﬁstofele di Goethe possa farsi ulteriori beﬀe: “E cos`ı tu hai in mano tutte le parti; purtroppo manca solo il nesso spirituale.”

L’Uomo Virtuale II: la funzione Tuttavia, l’ironia di Goethe non `e pi` u tanto giustiﬁcata. Fisici, ingegneri e matematici, infatti, perseguono nel tentativo di modellare e simulare al computer il funzionamento di ogni singola parte del corpo umano nel modo ` arduo: il solo funzionamento del rene `e conosciuto pi` u dettagliato possibile. E talmente poco che a tutt’oggi non esistono modelli matematici applicabili. Per le tecniche mediche, ed in particolare per la programmazione delle terapie e degli interventi, si sono gi` a aperte nuove prospettive; esempi provenienti dal gruppo di ricerca dell’autore sono rappresentati dalla ipertermia nella terapia anticancro e dalla chirurgia maxillo-facciale. Scopo di queste ricerche `e il sogno di elaborare un modello costruito in forma modulare del funzionamento dell’intero corpo umano che tenga sistematicamente conto dei modelli delle singole parti del corpo. Di fatto con que2

Il sospetto che viene spontaneo `e infondato: non si tratta dell’autore.

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sta combinazione di forma e funzionamento si giustiﬁcherebbe la deﬁnizione di “uomo virtuale”. Nonostante la complessit`a quasi opprimente di questo lavoro interdisciplinare, l’autore ha proposto gi` a intorno al 1985 il progetto denominato HOMUNCULUS, che tuttavia all’epoca non incontrava suﬃciente consenso nella comunit` a accademica. Intanto, per`o, i tempi sono diventati maturi, cos`ı ad esempio il bioingegnerie Hunter di Auckland ha iniziato con il suo gruppo di ricerca la realizzazione di un progetto simile, denominato PHYSIOME [2]. In questo genere di progetti hanno un ruolo chiave i modelli matematici e le simulazioni eﬃcienti. Sguardi dietro le immagini In quasi tutti i campi delle moderne scienze naturali e ingegneristiche, in particolare in quello descritto, la nostra capacit` a di comprensione, intesa come ratio ed emotio, non riesce a stare al passo con i ritmi dello sviluppo tecnologico. Ci fermiamo, quindi, per una breve riﬂessione. Che immagine dell’uomo soggiace a queste rappresentazioni della sua anatomia interna? Che prospettive si aprono davanti a noi? Davvero l’uomo ﬁnir` a per l’essere considerato solo come somma di parti? Non abbiamo gi` a pi` u che le sole “parti” nelle nostre mani? Per poter compiere osservazioni all’interno dei corpi utilizziamo metodi non invasivi messi a punto per l’analisi dei materiali. Ci` o suscita l’immagine del corpo come “somma di materiali”, la stessa ﬁgura tridimensionale orientata all’oggetto associa l’essere umano all’idea di somma delle sue parti. Tuttavia, numerosi scienziati hanno da tempo superato questa rappresentazione troppo semplicistica, dedicandosi gi` a alla modellizzazione del funzionamento delle parti e delle loro interazioni. L’uomo virtuale, come ﬁnora descritto, `e la palese concretizzazione dell’idea di La Mettrie3 dell’homme machine (la macchina uomo). Purtroppo molti contemporanei hanno accettato questa sempliﬁcazione meccanicistica. Per contro c’`e l’umilt`a dei ricercatori attivi in questo campo: la costruzione dell’Uomo Virtuale si dimostra essere tanto complessa da esigere un grado di interdisciplinariet` a senza precedenti. Lungo questa linea di sviluppo ci si pu` o aspettare di andare oltre le “parti”, ma non ci si pu`o aspettare di giungere al “nesso spirituale”. Attualmente ﬁsici e ingegneri sviluppano una nuova generazione di procedure per l’elaborazione di immagini. Appena queste saranno messe a punto, ognuno potr` a disporre a piacimento dei propri dati in forma tridimensionale e, volendolo e avendone la disponibilit` a economica, procedere alla loro registrazione; naturalmente i costi diminuiranno drasticamente all’aumentare della richiesta. Gi`a ora le persone suﬃcientemente benestanti lasciano le loro misure sartoriali alla Pariser Rive Gauche. In futuro sar` a possibile portare con s´e i propri dati in 3D, memorizzati su una carta elettronica e a renderli 3

Julien Oﬀray de La Mettrie, nel 1748 fu fatto membro della Preußische Akademie der Wissenschaften (Accademia Prussiana delle Scienze) da Federico II.

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Peter Deuﬂhard

comodamente disponibili ad altri. Costruiremo persino il Couturier Virtuel (sarto virtuale), forse persino economicamente accessibile a tutti. Questo sarebbe ora un bel “ﬁnale da letteratura popolare” (D¨ urrenmatt). Gli stessi modelli mentali riaﬃorano, per` o, in un contesto pi` u serio: il legame concettuale con la medicina dei trapianti balza agli occhi. Anche qui esiste il pericolo di considerare gli esseri umani come somma delle relative parti o, nel migliore dei casi, come sistema meccanicistico. E anche in questo caso esiste il fattore urgenza: non si pu` o attendere la morte cellulare. Il potere discrezionale dell’individuo di mettere a disposizione il proprio corpo dopo la morte termina nel momento della morte cerebrale, deﬁnita allorch´e il medico rileva lo stato di “encefalogramma piatto”. Bergmann ([7], p. 193) nel libro (che merita di essere letto) scritto con Baureithel su questo tema scrive: “come gi`a il concetto di morte cerebrale basato su una rappresentazione del corpo, in cui gli organi vengono asportati dal loro contesto d’insieme [. . . ], cos`ı anche la terapia dei trapianti si basa [. . . ] sullo stesso principio della frammentariet` a. [. . . ] Il “vecchio” cos`ı come il “nuovo” organo viene assoggettato a un principio meccanicistico di interscambiabilit` a, come suggerisce l’idea di un organo privo di una propria storia” (corsivo dell’autore del presente articolo). In questa zona di frontiera della nostra medicina moderna si manifesta attraverso chiari segnali il “nesso spirituale” del corpo umano (vedere il libro degno di nota di Bergmann/ Baureithel [7]): -

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Il violento rigetto del sistema immunitario, che ha conservato la storia individuale del ricevente, deve essere neutralizzato per il resto della vita del paziente attraverso medicinali come il cortisone (immunosoppressione). Un’alta percentuale dei riceventi, come pure i familiari dei donatori, devono confrontarsi con il fattore psicologico, da qui la nascita di una Psicologia dei Trapianti. L’“estraneo dentro s´e ” crea problemi psicologici e si scontra con la magica immaginazione ereditata dall’uomo. Nella descrizione fenomenologica alcuni scienziati hanno presentato il concetto di memoria dell’organo o memoria del corpo sulla base di osservazioni incontrovertibili fatte “a livello dei materiali” e argomentate ampiamente, per cos`ı dire un ricordo del corpo del donatore da parte dell’organo espiantato. In questo quadro rientrano anche le pi` u recenti indagini sulla possibile esistenza di un “cervello dell’addome” quasi un calcolatore periferico e controparte del cervello, calcolatore centrale.

Inﬁne non vogliamo tralasciare ci` o che `e ovvio: per osservare l’anatomia interna dei corpi umani non si ha pi` u bisogno di condannati a morte. In linea di principio le salme dei giustiziati sono diventate inutili, ora hanno lo stesso diritto di riposare in pace dei cittadini “rispettabili”. I matematici hanno contribuito al fatto che d’ora in poi sotto questo punto di vista la pena di morte sia diventata obsoleta. Tuttavia i condannati a morte mantengono ancora un legame familiare con la donazione di organi. In un documento del 1994 la Human Rights Watch International ha denunciato l’aumento delle condanne a morte nella Repubblica

Pittori, assassini, matematici

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Popolare Cinese: gli organi dei giustiziati, tra i quali ﬁgurano in maggioranza dissidenti politici, vengono venduti a livello internazionale (curiosamente solo a cinesi). ` palese che il legame fra la rappresentazione frammentata dell’immagine E dell’uomo e il frazionamento delle raﬃgurazioni geometriche tridimensionali, `e pi` u stretto di quanto si intuisse inizialmente.

Riferimenti bibliograﬁci [1] U. Baureithel, A. Bergmann (1999) Herzloser Tod. Das Dilemma der Organspende, Klett-Cotta, Stuttgart [2] Chinese Visible Human Project: http://www.chinesevisiblehuman.com [3] P. Deuﬂhard (2000) Therapieplanung an virtuellen Krebspatienten. In: M. Aigner, E. Behrends (eds.) Alles Mathematik. Von Pythagoras zum CD-Player, Vieweg Verlag, pp. 22-30 [4] (1994) Human Rights Watch Asia, vol. 6, no. 9., New York, p. 2 [5] P.J. Hunter, T.K. Borg (2003) Integration from proteins to organs: the Physiome Project, Nature Rev., Molecular Cell Biology, vol. 4, pp. 237-243 [6] H. Marcuse (1998) Der eindimensionale Mensch, Verlag dtv, M¨ unchen [7] F. Natterer (1986) The Mathematics of Computerized Tomography, J. Wiley, New York, and Teubner, Stuttgart [8] Visible Korean Human: http://vkh3.kordic.re.kr/ [9] M. Wadman (1996) Ethics worries over execution twist to Internet’s, visible man, Nature, vol. 382, p. 657 [10] F. Z¨ ollner (2003) Leonardo da Vinci. S¨ amtliche Gem¨ alde und Zeichnungen, Taschen Verlag, K¨ oln

“This page left intentionally blank.”

Lucio Saﬀaro, artista della geometria Michele Emmer Dipartimento di Matematica, Universit` a di Roma “La Sapienza” P.le Aldo Moro 2, 00185 Roma [email protected]

Non accorderemo a nessuno che vi siano corpi pi` u belli di questi. Platone La riduzione degli elementi a una semplice circostanza numerica sembr` o consentire nuove, pi` u riposte speculazioni sull’ordinato svolgersi degli eventi. L’inﬁnito stesso apparve come un’entit` a speculare, mobile e fortemente attiva, capace di spostare grandi masse temporali e di ristabilire un ordine l` a dove il tessuto delle azioni era stato completamente dilacerato. Fu questa ipotesi che ci sorresse nel momento di compiere . . . L. Saﬀaro (1998) Scritti Alteri

La conoscenza Il 16 agosto del 1978 ho ricevuto una lettera dal matematico H.S.M. (Donald) Coxeter. Mi scriveva dall’Universit` a di Toronto (dove `e stato ricordato nel 2004 da un congresso internazionale in suo onore; Coxeter `e scomparso nel 2003) a proposito di un progetto che avevamo e mi faceva il nome di “un italiano interessato agli aspetti geometrici dell’arte, il dottor Lucio Saﬀaro. Ha realizzato dei bei disegni di compenetrazione di poliedri per una Enciclopedia Italiana.” Fu leggendo l’articolo che aveva scritto Saﬀaro, intitolato “Dai cinque poliedri all’inﬁnito”, che mi venne la curiosit` a di incontrarlo. Eravamo nel 1979. Realizzammo insieme una parte del mio ﬁlm dedicato al tema dei solidi platonici [12]. Diventammo amici ed ebbi cos`ı l’occasione di conoscerne a fondo la pittura e la graﬁca e gli scritti, perch´e Saﬀaro si `e anche cimentato nella letteratura. Di recente sono stati pubblicati due piccoli volumi sulle ultime cose che ha scritto [4].

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Saﬀaro, con la timidezza che a volte rasentava la scontrosit`a, aveva un grande sogno: superare il numero dei solidi regolari, semiregolari, catalani, diminuendo le richieste di regolarit` a. E voleva essere accettato come matematico; rimase molto male quando anni fa invi` o un articolo a H.S.M. Coxeter che non prese in considerazione il suo lavoro.

I solidi platonici “Quando Dio prese ad ordinare l’universo, da principio il fuoco e l’acqua e la terra e l’aria. . . erano tuttavia in quello stato come conviene che sia ogni cosa dalla quale Dio `e assente;. . . Dio le compose nel modo pi` u bello e pi` u buono che potesse, mentre prima non era cos`ı, questo da noi sia detto d’ogni cosa per sempre. . . Che fuoco e terra e acqua e aria siano corpi `e chiaro ad ognuno. . . Ora bisogna dire quali siano i quattro bellissimi corpi dissimili tra loro, dei quali alcuni sono capaci, dissolvendosi, di generarsi reciprocamente. E se lo scopriamo abbiamo la verit` a intorno all’origine della terra e del fuoco, e dei corpi che secondo proporzione stanno in mezzo. Perch´e non accorderemo a nessuno che vi siano corpi visibili pi` u belli di questi, che formano ciascuno un genere a s´e. Convien dunque di comporre queste quattro specie di corpi insigni per bellezza e allora diremo d’aver compreso suﬃcientemente la loro natura.” Platone nel dialogo Timeo [6]. ` abbastanza facile accorgersi che aumentando via via il numero dei lati dei E poligoni regolari si ottiene una sequenza inﬁnita: triangoli equilateri, quadrati, pentagoni, esagoni e cos`ı via. L’analogo nello spazio a tre dimensioni dei poligoni regolari sono i solidi regolari; il loro numero, lungi dall’essere inﬁnito, `e invece molto piccolo, precisamente cinque. Se non `e noto chi per primo not` o la sequenza inﬁnita dei poligoni regolari, della scoperta dell’esiguo numero di solidi regolari si hanno delle notizie abbastanza precise. Della questione erano perfettamente consapevoli i matematici greci. Platone (427-348 a.C.) mise in relazione i 5 solidi regolari con gli elementi dello spazio ﬁsico, cos`ı come allora era concepito. Nella scuola di Atene come la dipinse Raﬀaello nelle stanze Vaticane, Platone discute con Aristotele tenendo sotto il braccio un volume di cui si legge con chiarezza il titolo: Timeo. Se `e lecito pensare che dei solidi regolari si fossero gi` a occupati i Pitagorici, `e nel dialogo di Platone che si trova la prima descrizione giunta sino a noi dei cinque solidi regolari, noti per questo motivo anche con il nome di solidi platonici. Platone aﬀronta nel Timeo il problema della creazione del mondo; mette in evidenza che gli elementi costitutivi dell’universo sono stati da Dio composti nel modo pi` u bello e pi` u buono che potesse; ognuno di essi ha una forma solida che Platone descrive. La costruzione dei cinque solidi (si capir`a subito perch´e parla solo di quattro) `e basata sul pi` u bello dei molti triangoli, quello che ripetuto forma un terzo triangolo, che `e equilatero. Si tratta di un triangolo rettangolo scaleno con un cateto uguale a met`a dell’ipotenusa. Ecco come Platone descrive la costruzione dei 5 poliedri.

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Figura 1. I cinque solidi platonici

“Se quattro triangoli equilateri si compongono insieme, essi formano per ogni tre angoli piani un angolo solido, che viene subito dopo il pi` u ottuso degli angoli piani. E di quattro angoli siﬀatti si compone la prima specie solida che pu` o dividere l’intera sfera in parti eguali e simili.” Si tratta del tetraedro, che `e elemento e germe del fuoco. (Fig. 1A) “La seconda specie, poi, si forma degli stessi triangoli, riuniti insieme in otto triangoli equilateri. . . e diciamo la seconda per generazione quella dell’aria. . . ”: `e l’ottaedro. (Fig. 1B) “La terza specie `e poi formata di centoventi triangoli solidi congiunti insieme e di dodici angoli solidi, `e quella dell’acqua, l’icosaedro.” (Fig. 1C) “Ma il triangolo isoscele gener`o la natura della quarta specie in modo da formare un tetragono equilatero. . . e la ﬁgura del corpo risultante divenne cubica. . . attribuendo questa forma alla terra.” Il cubo. (Fig. 1D) Inﬁne l’ultimo: “Restava una quinta combinazione e Dio se ne giov` o per decorare l’universo”, il dodecaedro. (Fig. 1E) Se 5 sono (e sempre resteranno!) i poliedri regolari nello spazio a tre dimensioni, i matematici hanno cercato di spezzare questo numero chiuso attenuando le richieste di regolarit` a, cercando cio`e di generalizzare la deﬁnizione per ottenere nuove forme. Fu Archimede (287-212 a.C.) che per primo descrisse una nuova famiglia di poliedri, composta di tredici solidi chiamati semiregolari o archimedei. Un primo tentativo per superare il numero cinque. Nella storia dei poliedri non ci sono nuovi risultati per lungo tempo [11]; si ha un salto che va dall’opera del matematico greco Pappo sino alla riscoperta della matematica greca ed in particolare degli Elementi di Euclide alla ﬁne del Medio Evo.

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Figura 2. Leonardo da Vinci, Solidi, da De Divina Proportione, 1504

Gli artisti, gli architetti, gli artigiani riscoprono dopo un lungo oblio i bellissimi corpi e i poliedri da essi derivati. Da allora diventa diﬃcile distinguere la storia artistica e quella scientiﬁca dei poliedri. Un qualsiasi libro di pratica e teoria della prospettiva rinascimentale `e in gran parte una sequenza di disegni dei solidi dello spazio visti sotto diverse angolature. Tra il 1482 e il 1492 Piero della Francesca scrisse il suo celebre trattato De Quinque Corporibus Regolaribus in cui tra l’altro faceva notare la divina proporzione secondo la quale si intersecano le diagonali di un pentagono regolare. “Multa sunt corpora lateribus constituta, quae insperico corpore locari queunt, ita ut eorum sperae superﬁciem omne scontingunt. Verum quinque ex eis tantum modo sunt regularia: hoc est, queaequales bases habent et latera.” Cos`ı inizia il trattato di Piero (che Saﬀaro riporta all’inizio dell’articolo “Dai cinque poliedri all’inﬁnito” [10], articolo a cui alludeva Coxeter, vedi Fig. 4), in cui `e aﬀrontato il problema delle propriet` a geometriche e della riduzione prospettica dei cinque solidi regolari. Per costruire i solidi archimedei Piero della Francesca utilizza il metodo gi` a usato molti secoli prima della troncatura dei vertici dei poliedri regolari introducendo i nomi “exacedron, duodecedron, abscissum, vacuum”, ecc. Nel Rinascimento lo studio dei poliedri `e indissolubilmente legato alla loro rappresentazione prospettica a sua volta strettamente associata ai problemi fondamentali dell’architettura. Il matematico Luca Pacioli (1445-1514), allievo di Piero della Francesca, incorpor`o il trattato di Piero sui solidi regolari nel suo famoso libro De Divina Proportione pubblicato nel 1509 [2]. Il volume De Divina Proportione deve

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molta della sua fama al fatto che le 60 tavole dei solidi regolari, semiregolari e stellati furono “facte e formate per quella ineﬀabile mano sinistra a tutte discipline mathematici accomodatissima del prencipe oggi fra i mortali, pro prima ﬁorentino, Leonardo da Vinci” [7] (Fig. 2). Del suo allievo Luca Pacioli Piero della Francesca dipinse un ritratto, rappresentandolo come San Pietro, ne La Madonna dell’ovo (oggi all’Accademia di Brera a Milano) mentre un altro ritratto fu portato a termine negli anni 1498-1500, forse da Jacopo de’ Barbaris (si trova al Museo di Capodimonte a Napoli). Questo secondo dipinto `e particolarmente interessante perch´e nell’angolo in alto a sinistra `e raﬃgurato un modello, forse di vetro, di un solido semiregolare: il rombocubottaedro che corrisponde alla tavola XXXV intitolata “Vintisexbasium planus solidus” del De Divina Proportione. Un altro solido, un dodecaedro, ovvero un “Duodecedron planus solidus”, si trova nell’angolo destro in basso. La mano sinistra di Pacioli indica una pagina degli Elementi di Euclide. Ancora pi` u famosa `e l’incisione di Albrecht D¨ urer Melencolia I in cui sono contenuti numerosi simboli alchemici e cabalistici. Vi compare un quadrato magico in cui `e inclusa la data dell’incisione, il 1514. Trattando di questa opera Klibansky, Panosky e Saxl hanno osservato che il poliedro sta a signiﬁcare la geometria descrittiva dato che come in molte altre rappresentazioni della stessa epoca, il solido `e sia un problema che un simbolo di ottica deﬁnita geometricamente, in particolare di prospettiva. In una nota a piede di pagina aggiungono che “la costruzione di poliedri assolutamente regolari o semiregolari ha costituito quasi il problema essenziale della geometria pratica del Rinascimento”. Dopo questa formulazione sicuramente condivisibile, gli autori, occupandosi della particolare forma del poliedro, affermano che tutto sommato il problema pu` o essere lasciato ai matematici, dato che loro lo ritengono di secondaria importanza. Si sa, la matematica `e altra cosa dalla cultura; serve a risolvere problemi tecnici. Atteggiamento notevolmente diverso da quello di D¨ urer stesso che si rec`o in Italia tra l’altro per incontrare il matematico Luca Pacioli e con lui discutere di problemi geometrici. Tra i pi` u interessati durante il Rinascimento alle forme geometriche fu sicuramente Paolo Uccello che venne “accusato” dal Vasari di essere pi` u un matematico che un artista. Scriveva il Vasari: “Onde Donatello scultore suo amicissimo il disse molte volte, mostrandogli Paulo Mazzocchi a punte e quadri tirati in prospettiva per diverse vedute. . . et altre bizarie in che spendeva e consumava il tempo ‘Eh, Pauolo, questa tua prospettiva ti fa lasciare il certo per l’incerto; queste son cose che non servono se non a questi che fanno le tarsie!’ ” Si ritiene sia stato Johannes Kepler (1571-1630) il primo a notare che i solidi regolari si presentano in forma duale tra loro. Nel trattato Harmonices Mundi del 1619 Keplero cos`ı descrive un solido che chiama stellarum duodecim planarum pentagonicarum [3]: “Habet hoc conjiugium et stellam solidam, cujus genesis est ex continuatione quinorum planorum Dodecaedri, ad concur-

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sum omnium in puncto unico”. (Questo matrimonio comprende anche il solido stellato, la cui generazione ha luogo dalla continuazione dei cinque piani del dodecaedro ﬁnch´e si incontrano in un solo punto.) Il solido di cui parla Keplero `e un dodecaedro stellato, la cui scoperta gli `e attribuita; si chiama stellato perch´e su ogni faccia del dodecaedro `e costruita una piramide regolare; Keplero pubblica, sempre nel 1619, le prime rappresentazioni prospettiche di due dodecaedri regolari stellati. Tuttavia una delle due forme ottenute da Keplero compare, realizzata a mosaico, sul pavimento della basilica di San Marco a Venezia; `e attribuita a Paolo Uccello [5] che la realizz`o mentre si trovava a Venezia negli anni 1425-1430, cio`e molti anni prima della scoperta matematica uﬃciale.

Figura 3. Manifesto della Biennale di Venezia del 1986; elaborazione graﬁca del solido stellato di Paolo Uccello da parte di Lucio Saﬀaro

Della presenza del solido stellato si accorse Lucio Saﬀaro [10] nel 1970 e, quando si accorse del poliedro, gli parve incredibile che nessun matematico lo avesse considerato prima. In seguito scopr`ı [8] che il poliedro veniva menzionato con evidente stupore alla pagina 88 di un’opera dello storico tedesco S. G¨ unther, pubblicata nel 1876 [9]. L’immagine del dodecaedro stellato di Paolo Uccello `e divenuta famosa nel 1986 perch´e `e stata scelta come simbolo della Biennale di Venezia dedicata al tema Arte e Scienza [1] (Fig. 3). Successivamente Saﬀaro ha notato che sul pavimento di una cappella della chiesa di San Pantalon, sempre a Venezia, vi sono due tarsie marmoree uguali che rap-

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presentano il secondo dodecaedro stellato di Keplero. Ne `e a tutt’oggi ignoto l’autore; potrebbe trattarsi ancora di Paolo Uccello.

Figura 4. L. Saﬀaro, Omaggio a Keplero, olio su tela, 1967

Nel suo trattato Harmonices Mundi, Keplero si occup`o a fondo di poliedri provando tra l’altro che i solidi semiregolari erano solo tredici e costruendo, oltre ai due poliedri stellati, anche la famosa Stella Octangula, che, come ha notato il matematico Coxeter, aveva gi`a fatto la sua comparsa nel De Divina Proportione, ove Luca Pacioli la chiama Octaedron elevatum. La Stella Octangula si ottiene dalla combinazione di due tetraedri (il tetraedro `e autoduale, cio`e duale di se stesso; per questo `e chiamato da Keplero, che attribuisce un sesso ad ogni solido, ermafrodito). Viene cos`ı descritta, insieme agli altri solidi stellati, da Keplero: “XXVI Propositio: Addi possunt congruentijis perfectissimis regularibus, duae etiam aliae congruentiae, stellarum duodecim planarum Pentagonicarum: et duae semisolidae, Stellarum Octangulae, et decangulae.” Il motivo per il quale Keplero era molto interessato ai poliedri consisteva nel fatto che ne cercava possibili legami con l’astronomia. Nella prefazione al Mysterium Cosmographicum del 1596 Keplero scrive: “In questo piccolo libro, caro lettore, mi sono proposto di dimostrare che il Creatore Ottimo Massimo, nella creazione di questo nostro mondo mobile e nella disposizione dei cieli, ha guardato a quei cinque corpi regolari che hanno goduto di cos`ı gran fama dai tempi di Pitagora e Platone sino ai nostri giorni, e che

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alla loro natura ha uniformato il numero e la proporzione dei cieli, e i rapporti dei moti celesti.” Il matematico Coxeter per descrivere il modello di sistema solare che Keplero elabor`o utilizzando i solidi platonici suggerisce di leggere la descrizione che ne d`a lo scrittore Arthur Koestler in The Watershed. Il modello, anche se del tutto sbagliato, “`e il risultato di calcoli, `e ben dettagliato e provocante. Ma la cosa pi` u importante `e che il modello `e visivamente stimolante perch´e fornisce un vocabolario iconograﬁco per discutere di idee che potrebbero essere troppo astratte per una facile comunicazione. Il modello ha catturato l’immaginazione di moltissime persone oltre a quelle che hanno una competenza speciﬁca in astronomia.” Un modello che, pur sbagliato, valeva pi` u di tante parole, proprio perch´e era basato sul fascino di modelli geometrici descritti pi` u di duemila anni prima come i pi` u belli possibili. Un modello, ispirato al disegno di Keplero, di diametro di 153 cm `e stato realizzato con elementi lignei fresati da Felice Ragazzo nel 1985 e mostrato con il titolo di Dualis Theoria Documenta nella sezione Spazio della Biennale di Venezia del 1986. Lo stesso modello faceva parte della sezione Solidi Platonici della mostra itinerante L’occhio di Horus: itinerari nell’immaginario matematico del 1989. Come si vede Keplero non `e stato un fenomeno isolato di scienziato la cui immaginazione `e stata catturata dai bellissimi corpi. Strutture analoghe a quelle, che tra l’altro si ritrovano in alcuni virus come quello dell’inﬂuenza, si possono osservare nell’architettura moderna. Basti pensare alle realizzazioni di Buckminster Fuller dei primi anni Sessanta, i famosi Geodesic Domes, che sono ottenuti con triangolazioni stellate di strutture icosaedriche. Per non parlare della scoperta in chimica di una struttura che `e stata chiamata Buckminsterfullere, struttura che Saﬀaro ha disegnato prima di conoscerne la scoperta.

Il sogno di Saﬀaro Saﬀaro aveva il grande sogno di superare il numero ﬁnito dei soldi regolari o semiregolari o sottoposti a qualche regola. Saﬀaro era prima di tutto un artista, un artista della geometria nel solco dei grandi artisti del Rinascimento. Un artista che ha sempre disegnato e dipinto poliedri con colori grigi, gialli, azzurri. Non tuttavia un pittore dell’astratto-geometrico. Quei solidi sono l’universo molto concreto, verrebbe da dire reale, in cui Saﬀaro ha vagato per tutta la vita d’artista, raccontando il suo viaggio verso l’inﬁnito e la perfezione. Un “grande aﬀabulatore, in cui tutto quel repertorio apparentemente asettico di schemi geometrici in realt`a nel suo uso funziona come una serie di nuclei di storie mirabili, pronte ad allacciarsi tra loro per il nostro diletto”, ha scritto Renato Barilli nel catalogo della mostra del 2004. Un universo astratto in cui l’emozione trattenuta, quasi volutamente raggelata, riemerge con eleganza. Visitatori da un altro mondo in cui le regole sono ﬁssate dall’artista creatore. Alcuni hanno evocato Escher fermandosi solo all’aspetto esteriore delle illusioni ottiche che in Saﬀaro sono funziona-

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li a farci sentire estranei al suo universo eppure profondamente coinvolti ed ` il mondo del Nord, Bosch, Bruegel, l’universo di appartenenza emozionati. E di Escher, unito alla grande abilit` a degli artisti decoratori islamici. Un mondo geometrico, fantastico ma anche angoscioso, pieno di mostri, di incubi; in cui il movimento `e introdotto dall’illusione. In una sorta di barocchismo visivo, di contaminazioni, di non svelato, nella continua lotta tra il bianco e il nero.

Figura 5. L. Saﬀaro, pagina iniziale dell’articolo del 1983 [16]

L’universo di Saﬀaro, non a caso nel suo primo articolo parte da Piero della Francesca, `e il mondo della luce, del colore primario, della geometrica perfezione; un platonismo rinascimentale in cui non si deve riconoscere

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l’arteﬁce. Quanto di pi` u lontano da Escher. Nei suoi lavori di matematica Saﬀaro viaggia verso l’inﬁnito. In quello del 1976 [10] considera le simmetrie dei soldi regolari, gli assi di rotazione e partendo da uno dei solidi ne sovrappone un altro che fa poi ruotare e ruotare ancora, ottenendo ﬁgure di grande eﬀetto visivo. Prima con un solo asse poi utilizzando tutti gli assi di simmetria. Saﬀaro chiamer` a questo solidi “composto stellato regolare”. Si tratta poi di continuare a ruotare e di continuare ad aggiungere solidi regolari che continuano a ruotare sino a tendere all’inﬁnito. Scrive Saﬀaro: “Restano da stabilire la forma a cui tendono questi nuovi poliedri al tendere all’inﬁnito. La loro superﬁcie sar` a delimitata da un numero sempre maggiore di spigoli mutuamente intersecantesi, e diverr`a come un mare di onde rettilinee, un sommovimento di increspature sempre pi` u ﬁtte e pi` u brevi ﬁno a che questa tempesta per un verso crescente e per un altro sempre diminuente si placher` a nella continuit` a di una superﬁcie curva.” ` vero che Saﬀaro voleva essere accettato come matematico, tuttavia non E sono d’accordo del tutto con Accame quando scrive (nel catalogo del 2004): “Perch´e Saﬀaro non ha portato nella pittura, se non raramente, la complessit`a di molti poliedri da lui scoperti e disegnati, e si `e invece soﬀermato su una ﬁgura matematicamente esaurita, diﬀerentemente caratterizzata da contrazioni, estensioni, raddoppi o anche deformazioni, ma sostanzialmente ripetuta? Perch´e l’esperienza della pittura non `e l’esperienza matematica? Quella tensione verso l’estetico continuamente presente in Saﬀaro orienta tanto la pratica artistica quanto la ricerca matematica che si concentra su elaborazioni formalmente signiﬁcative. La preoccupazione estetica non richiede per`o, nella pittura, la sollecitazioni speculativa della matematica. Le idee o i riferimenti teorici che si trovano nei quadri sono allora determinati da quanto era pi` u radicato nell’intimo di Saﬀaro. Il pensiero dominante e il relativo sentimento che hanno accompagnato la sua vita: il rapporto tra io e inﬁnito. Un modo, una cosciente illusione, quella della pittura, per dare sostanza all’inﬁnito. Cos`ı come ne scopriva e tratteneva una temporanea forma con la matematica.” Io credo che non ci siano due Saﬀaro, quello matematico, speculativo, che raggiunge l’inﬁnito con la matematica e non lo raggiunge invece con la pittura. Nella pittura stessa, l’astrazione, la ﬁssit` a, l’immortalit`a quindi, ecco l’inﬁnito. Il ripetere, il variare, il togliere la partecipazione, il sentimento, o almeno il tentativo, dato che poi l’emozione “sottratta” ritorna. Nella stessa tecnica del dipingere e nelle sue visioni, dove si vuol far sembrare che quegli oggetti siano apparizioni, non realizzati da alcuno. Cos`ı quegli oggetti costruiti dal matematico Saﬀaro sono idee platoniche, sono scoperte che erano gi` a l`a “prima”. Un mondo platonico di idee da scoprire in cui si utilizzano mezzi diversi ma con un solo ﬁne, l’inﬁnito. E non credo che ci sia un problema legato alle diverse tecniche, non credo che si debba distinguere in base ad esse. Come se il video in computer graphics realizzato per la Biennale di Venezia del 1986 non fosse “arte”. Saﬀaro `e un pittore, un artista; anche gli articoli che lui stesso considerava “matematici” sono scritti dal “pittore ” Saﬀaro.

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Cos`ı come quello che scriveva. Non credo che vi fosse una diversa emozione, una diversa concentrazione, un diverso pensiero. Un modo perfetto, un mondo ideale, platonico a cui aspirare con ogni mezzo. Tanto `e vero che in alcuni suoi articoli appaiono poliedri che non sono esteticamente interessanti e Saﬀaro non ne era pienamente soddisfatto; per esempio i poliedri frazionari dell’articolo del 1983 [16] (Fig. 5).

Figura 6. L. Saﬀaro, Solidi, da [16]

Nell’articolo del 1986 si occupa dei deltaedri [17]: “I deltaedri, poliedri composti di soli triangoli equilateri, si possono suddividere in due classi: quella dei deltaedri convessi e quella dei deltaedri concavo-convessi, che ne contiene ` possibile costruire una nuova classe di deltaedri con notevoli inﬁniti. . . E propriet` a geometriche e soprattutto singolare interesse estetico. Va qui notato che l’interesse estetico di un poliedro non coincide necessariamente con quello matematico e viceversa. Vi sono poliedri che pur essendo di straordinaria complessit` a, risultano esteticamente poco interessanti, mentre taluni deltaedri semplicissimi e con debole simmetria, hanno una aspetto attraente e quasi monumentale. Poich´e i poliedri di una certa rilevanza formale si collocano naturalmente come tutte le creazioni artistiche nel giusto mezzo tra una eccessiva semplicit`a e un’eccessiva complessit`a, essi si riducono ancor pi` u ` anche in vista dell’esigenza di ampliare la cerchia di codesti di numero. E poliedri, considerati come invenzioni plastiche del pensiero umano, che si `e sviluppata questa ricerca.” Nell’articolo del 1988 [19] “Per una estetica dei poliedri” Saﬀaro introduce l’idea di poliedri continui. L’articolo termina con il capitoletto “Per una estetica dei poliedri”: “ La grande variet` a di classi vecchie e nuove di poliedri regolari richiederebbe una classiﬁcazione che tenesse conto anche delle propriet`a estetiche e non solo geometriche dei poliedri stessi. Come abbiamo gi`a osservato, l’interesse matematico non deve necessariamente coincidere con quello estetico, l`a dove si tratta di forme che si pongono nello spazio, ﬁgurazioni rappresentative di un momento dell’intuizione, di un atto puro dell’idea, poste in

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un giusto equilibrio tra la soverchia semplicit` a e l’eccesso di complessit`a delle loro strutture. Poich´e sembra che la bellezza platonicamente intesa dei poliedri risieda specialmente nella loro semplicit`a costitutiva, saranno da mettere al primo posto i poliedri costruibili con un solo tipo di faccia ordinandoli secondo la complessit`a del poligonodi base. Si potr` a cos`ı condividere la classe pi` u comprensiva dei poliedri simmetrici nelle due sottoclassi dei poliedri nobilissimi e dei poliedri nobili.” Dove con poliedri nobilissimi si riprende la notazione di Luca Pacioli che chiama nobilissimo il dodecaedro. Saﬀaro chiama nobilissimo il poliedro i cui spigoli siano tutti eguali. Sar` a invece nobile un poliedro che ha due tipi di spigoli.

Figura 7. L. Saﬀaro, Il poliedro M2, olio su tela, 1986

Saﬀaro ha costruito delle nuove classi di poliedri che poi, come pittore, ha realizzato nelle sue opere. Alla Biennale di Venezia del 1986 Saﬀaro presenta il Poliedro M2 (Fig. 6) e La disputa ciclica (Fig. 7) (formata da 360 triangoli). Il poliedro che chiam` o M2, `e costituito di soli triangoli equilateri, precisamente 240, che si incontrano nei vertici a 4 a 4, a 10 a 10, a 12 a 12. I poliedri formati solo da triangoli equilateri sono detti deltaedri. Il pi` u grande deltaedro `e quello formato da 360 triangoli regolari che si incontrano nei vertici a 4 a 4, a 8 a 8, a 9 a 9, e a 15 a 15. I due quadri erano esposti nella sezione Spazio della Biennale di Venezia del 1986. Le due opere erano state realizzate in modo tradizionale su tela, con colori e pennelli. L’avvento della computer graphics, nel caso dei solidi, ha contribuito a modiﬁcare l’approccio scientiﬁco alla loro morfologia nelle diverse discipline. Se Albrecht D¨ urer, a quanto sembra, fu il primo a descrivere come disegnare su un foglio lo sviluppo dei solidi in modo tale che ritagliando il modello ed incollandolo lungo gli spigoli si ottenesse un modello di carta

Lucio Saﬀaro, artista della geometria

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Figura 8. L. Saﬀaro, La disputa ciclica, olio su tela, 1986

del solido voluto, oggi `e di routine studiare le forme solide di cristalli e quasi cristalli utilizzando la graﬁca interattiva che permette di modiﬁcare i dati e quindi il modello nel momento stesso in cui viene studiato. Non poteva restare estraneo a questo ulteriore sviluppo nello studio dei poliedri il lavoro degli artisti. Saﬀaro alla Biennale di Venezia oltre ai due dipinti “tradizionali” presentava, utilizzando la computer graphics, una famiglia di poliedri stellati, del tipo cio`e di quelli realizzati da Paolo Uccello sul pavimento di San Marco. In questo modo Saﬀaro `e riuscito a costruire forme che non si sarebbero potute ottenere altrimenti. Una delle forme pi` u interessanti `e quella composta dalla intersezione di cento icosaedri; alla ﬁne dell’operazione di intersezione tra gli icosaedri compaiono sullo schermo delle forme pentagonali che l’autore stesso non poteva prevedere di ottenere. Come Saﬀaro stesso ha precisato, essenziale per la realizzazione del software `e stata la collaborazione degli ingegneri Frattini e Cavazzini dell’ENEA di Bologna. Quelle immagini fecero parte della grande mostra che organizzai nel 1989 in giro per l’Italia con il titolo “L’occhio di Horus: itinerari nell’immaginario matematico”, mostra sponsorizzata dall’Istituto della Enciclopedia Italiana e i cui materiali furono distrutti dagli allora responsabili dell’Uﬃcio Cultura dell’Istituto. Per motivi ignoti, a me almeno. Saﬀaro aveva partecipato alla prima edizione del convegno “Matematica e Cultura” all’Universit` a Ca’ Foscari di Venezia nel 1997 e con una sua opera fu realizzato il manifesto del convegno. Negli atti ha pubblicato uno degli ultimi articoli,“Poliedri eleganti” [20]. Quando present` o i suoi disegni al convegno, si schern`ı per il titolo che avevo dato al suo intervento: eleganti gli sembrava troppo ambizioso. Non credo aﬀatto che quel titolo lo fosse. Sperando che la cultura (?) frettolosa di questo paese non lo dimentichi. Sono molto lieto che la MIT Press abbia accettato con entusiasmo l’idea di riprodurre un’opera di Saﬀaro

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sulla copertina del libro The Visual Mind 2 [4]. Allora compresi che nessuno sarebbe mai riuscito a vedere la lenta superﬁcie dell’eternit` a, n´e a decifrare la traccia alfabetica che il retaggio dei sentimenti vi lasicava. L. Saﬀaro, Scritti Alteri (1998) Si ringrazia la “Fondazione Lucio Saﬀaro” (via delle Belle Arti 19, Bologna) per la gentile concessione delle immagini.

Riferimenti bibliograﬁci [1] T.R. Castiglione (1954) Un prezioso manoscritto del Rinascimento in Svizzera, Cenobio vol.3 (3/5), pp. 271-288 [2] M. Emmer (a cura di) (1989) L’occhio di Horus: itinerari nell’immaginario matematico, Ist. della Enciclopedia Italiana, Roma [3] M. Emmer (1982) Solidi Platonici, ﬁlm e video della serie Arte e matematica, prod. M. Emmer, Roma [4] M. Emmer (2005) (ed) The Visual Mind 2, Boston, MIT Press [5] P. Gario (1979) L’immagine geometrica del mondo: storia dei poliedri, Stampatori Editore, Torino [6] S. G¨ unther (II, 1876) Vermischte Untersuchungen z¨ ur Geschichte der Mathematischen Wissenschaften, Lipsia [7] J. Kepler (1619) Harmonices Mundi Libri V, Linz [8] G. Macchi (a cura di) (1986) Spazio, catalogo della sezione, Biennale di Venezia [9] J. Malkevitch (1988) Milestones in the History of Polyhedra, in Shaping Space: A Polyhedral Approach (ed. M. Senechal and G. Fleck) Boston, MA, Birkh¨ auser [10] M. Muraro (1955) L’esperienza Veneziana di Paolo Uccello, atti del XVIII Congresso Internazionale di Storia dell’Arte, Venezia [11] L. Pacioli (1509) De Divina Proportione, Venezia [12] Platone (1966) Timeo, in: Opere, Laterza Editori, Bari, vol. II, pp. 459-556 [13] L. Saﬀaro (1989) Anticipazioni e mutamenti nel pensiero geometrico, in M. Emmer (a cura di) L’occhio di Horus: itinerari nell’immaginario matematico, Ist. della Enciclopedia Italiana, Roma, pp. 105-116 [14] L. Saﬀaro (1976) Dai cinque poliedri all’inﬁnito, Annuario EST- Mondadori, Milano, pp. 473-484 [15] L. Saﬀaro (1998) Le lodi di Abdenago, Uphresin Editore, Norcia [16] L. Saﬀaro (1983) Nuove operazioni sui poliedri platonici, Annuario EST-Mondadori, pp. 337-346 [17] L. Saﬀaro (1986-87) Nuovissime operazioni sui poliedri platonici, Annuario EST-Mondadori, pp. 323-331 [18] L. Saﬀaro (1998) Operette morali, Uphersin editore, Norcia [19] L. Saﬀaro (1988/89) Per un’estetica dei poliedri, Annuario EST- Mondadori, pp. 356-360 [20] L. Saﬀaro (1998) Poliedri eleganti, in M. Emmer (a cura di) Matematica e cultura, Springer-Verlag Italia, pp. 71-76

The mathematical logic of narrative Apostolos Doxiadis [email protected]

In recent years, mathematics is increasingly becoming a subject for the narrative arts, mathematicians and the theorems they are trying to prove appearing in starring parts in novels, plays and ﬁlms. This is a welcome development, carrying with it the hope that the queen of the sciences is now, at long last, entering the culture at large, from which it had traditionally been regally isolated. Yet, it is not about the stories of mathematics I want to talk, but about the mathematics of stories. “The mathematics of stories?” - I can almost hear the question. For indeed, unless a story is of the type “Mary bought twelve pieces of candy and wants to divide it equally between her three friends”, what, in Euclid’s name, are its mathematics? Well, let me say it from the start: nobody knows; and so, I do not plan, in what follows, to present you with a well-formed science. I only want to say a few things about the directions in which some people have moved, and are moving, to arrive one day, possibly, at an understanding of aspects of storytelling that can be called, partly, mathematical. For unlike physics, the study of physical nature, where mathematics plays a dominant role, in the study of storytelling - narratology is the grander name of this ﬁeld - mathematics does not appear. Storytelling, after all, is an art. Yet painting is also an art, but mathematics plays a crucial part in it, the discovery of the geometric laws of perspective having helped to usher in one of the greatest eras in the history of Western art. And of course storytelling, like painting, is not just an art. Any of its adept practitioners will tell you that there is only so much that they can do relying solely on feelings and inspiration, without logic and technique, i.e. the very things that guide progress in any scientiﬁc domain. As an early Renaissance master-builder said to his masons: ars sine scientia nihil. Art without science, is nothing. And science often relies heavily on mathematics. Which brings us straight to our subject.

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Before we talk about the possible mathematization of narratology, let us look for a moment at applying mathematics in the general case, the very process of mathematization. There are some basic truths to remind ourselves of, and the ﬁrst is that the mathematization of an extra-mathematical ﬁeld should not be an end in itself - not with narratology, not ever. Mathematization is a tool, a method that is useful only to the extent that it promotes advancement in the ﬁeld itself. We do not mathematize a science just for the fun of it - although fun is a ﬁne personal motive for some mathematizers! - but to increase, through mathematical means, our understanding of its inherent truths. And though, of course, mathematization has often helped mathematics by providing internal challenges and problems - the mathematization of physics very famously so - it is not this dimension that concerns us but the opposite, i.e. if mathematization actuallys helps the subject. If it does, ﬁne. If not, better forget about it. The second truth is that mathematization of a science, to be of some use, should come rather late in the science’s development, i.e. after it has acquired a body of knowledge it can call its own. And, in fact, the cases where this is not the case, where the onslaught of mathematizers on an unsuspecting body of knowledge comes too soon, are the exceptions that prove the rule: for in these cases, the results of mathematization for the subject are usually trivial; much good mathematics, possibly, but little good sense. A good case in point is so-called “Catastrophe Theory” - I will refrain from facile jokes, about what eventually happened to it - created in the nineteen sixties by the French mathematician Ren´e Thom to explain, among other things, phenomena in biology. (In fact, the dramatically named Catastrophe Theory captured the popular imagination back then somewhat in the way that Chaos Theory did more recently - though not to such an extent - as a mathematical magic tool, a potential Theory of Everything.) But Catastrophe Theory didn’t deliver: the mathematical baggage was too heavy and the realities it purported to throw light on could not support it. Too much math is often as bad, or even worse, as too little. At least, when we are using too little we can become aware of the need for more. But when there is too much of the glittery stuﬀ, it becomes like the Emperor’s new clothes. Zero posing for treasure. Which brings us, naturally, to the third truth about mathematization, the reason why it can fail even when the time for it is epistemologically propitious: mathematization should not be done by mathematicians, anyway not by mathematicians alone - expert knowledge of the ﬁeld is also needed. And even if the person attempting the mathematization is a great mathematician - and the father of Catastrophe Theory was just that, he even had a Fields Medal to prove it! -, it doesn’t help. And to give a positive example: though in mathematical circles Game Theory is considered to be John von Neumann’s baby, its successes are undoubtedly also due to the fact that it was developed together with a leading economist, Oscar Morgenstern. Speaking of Game Theory, I remember a good

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story, illustrating my last point, which appears in the book A Beautiful Mind [12]. Early in his career, mathematician John Nash thought he had solved the basic problems of General Relativity and, being at Princeton, what more natural than to ask for an appointment with Albert Einstein, to tell him about it. So, he dilligently presented his insights, lecturing the old sage for an hour. Einstein listened politely and then made just one comment: “Young man, I think it would proﬁt you to learn some physics.” To sum up, Albert Einstein, again - 2005 is his year after all! -, this time talking to a mathematician: “My job is more diﬃcult than yours; what you say has to be right, what I say also has to be true.” Einstein means, of course, that what he says has to adequately describe an external reality, to be true a statement of physics has to tell us something about a world with independent existence, whereas for a mathematical statement being right only means that it follows the rules. The proof of the extra-mathematical pudding shall always be in the eating. So, let us at get to the (potential) mathematization of narrative. By our ﬁrst truth, for mathematical tools or methods to promote the understanding of storytelling, they must be useful to narratology as such, a ﬁeld which is, at present, in a pre-Galilean phase. At present, there are no mathematical results in narratology. The ﬁeld has no general ’laws’, by which some non-trivial truth can be arrived at through some kind of formula. There are no methods to make valid predictions, nothing that can be called narratologically signiﬁcant that can be numerically measured. But, speaking of measuring, let me say that there are two ways, basically, in which a discipline can be mathematized. The ﬁrst is more or less numerical: when people think of mathematization they usually think of numbers. And they have good reasons for that: until a few decades ago, almost all mathematization was about them. The ﬁrst science where mathematics achieved great results, physics, is very numerical: given the velocity and the duration of movement, for example, we can calculate the distance an object has traveled, and so on, i.e. we get clear mathematical laws that connect physical entities, in ways that are measurable. And it is this kind of numerical approach that has also led to the great successes of engineering. But even in psychology, the discipline dealing with that most immaterial of entities, the human psyche, mathematics often contributes useful insights using numbers, though the truths arrived at in this case are statistical. But what about stories? Well, interestingly, there does seem a rather natural way to apply number to stories - I recommend, as an introduction to it, John Allen Paulos’s book Once upon a number [4]. In one sense, Paulos writes in his book, statistics and stories are diametrical opposites, statistics telling us “a little about a lot” and stories “a lot about a little”. But in another way they are related: for storytelling, like statistics, explores the world of alternatives, of potential realities.

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Think of it: a story where the protagonist has zero degrees of freedom is not a very interesting story, unless it is making a point about the monotony and drudgery of the hero’s life. A tale where the environment behaves in a totally predictable way is not much of a tale. For a narrative to be able to hold our interest for any length of time it must often make us wonder about what the hero or heroine will do next. Plot-wise, a story is interesting because either: a) the outcome is unknown or, if it is known, b) because the precise way of arriving at it is unknown. Factors like character or atmosphere or beautiful language apart, we keep turning the pages of a novel to see what will happen in the end or how it will happen, or both. In T.S. Eliot’s words: What might have been is an abstraction Remaining a perpetual possibility Only in a world of speculation [6]. But that “world of speculation” is precisely the world of the storyteller. Although a reader may not be aware of the unrealized possibilities in a narrative, the footfalls down the passage the hero did not take- to paraphrase the poet - still echo, if not in memory then at least in his or her cognitive unconscious. The fact that Macbeth is free to act this way or that, that he may or may not kill Duncan, is what makes his eventual killing of him more terrible. Eliot uses the word “possibility”. Substitute its near-synomym “probability” and you are in mathland. Claude Shannon’s information theory comes to mind, immediately, with its notion of “information measure”. Thus, dramatic events or possibilities can be described by their information value, a relationship can be established between how interesting a story is and how many, and of what likelihood, are the various alternatives of action open to its heroes, at every junction of their paths. Yet, again, it is diﬃcult to see how such a calculus can be anything but a very basic reminder of truths that writer, reader and critics already know. Numbers can only go a certain way in helping us understand the process of storytelling - not too far. This leads us to the second way of mathematization, the way we shall call algebraic, i.e. the way having to do with rules about the manipulation of symbols, a way that did not become apparent before the twentieth century. And if mathematization by numerical techniques owes its ﬁrst inspiration to physics, the algebraic starts with formal logic and then ﬁnds further ground in linguistics as also, later, the area where the two overlap: the study of formal languages, a ﬁeld also intimately related to computers. Speaking of computers, let us go on a small detour. We have been talking mostly about the scientiﬁc approach to a subject. But there is also the engineering approach. And perhaps this is more applicable here, as art, in a sense, resembles engineering more than it does science

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in its basic premises. For as in art, so in engineering, we set out to construct, not to interpret. And, come to think of it, in this engineering also resembles mathematics, for like it, it is axiomatic. Like mathematics, engineering creates its own ﬁctional worlds, the worlds deﬁned by its own axioms (the axioms of a washing machine, for example, or the axioms of a motorcycle) and within the universes described by these axioms it can acquire great predictive power. The branch of modern engineering that is closer to storytelling is obviously computer science and more speciﬁcally the ﬁeld of Artiﬁcial Intelligence, whose aim is to construct simulations of human behavior. Storytelling is one of the human activities AI has tried to simulate, relying on algebraic techniques (you can also call them “algorithmic”, without too much confusion) since the creation of anything by computers has to be based on clear-cut principles and the rules of their combination. Here are a few samples of stories generated by a program, in this case from Meehan’s TaleSpin, from the team of AI - and narrative theory - guru Roger Schank: Story number one: One day Joe Bear was hungry. He asked his friend Irving Bird where some honey was. Irving told him there was a beehive in the oak tree. Joe threatened to hit Irving if he didn’t tell him where some honey was. The End. Story number two: Joe Bear was hungry. He asked Irving Bird where some honey was. Irving refused to tell him, so Joe oﬀered to bring him a worm if he’d tell him where some honey was. Irving agreed. But Joe didn’t know where any worms were, so he asked Irving, who refused to say. So Joe oﬀered to bring him a worm if he’d tell him where a worm was. Irving agreed. But Joe didn’t know where any worms were, so he asked Irving, who refused to say. The End. Not exactly Dickens. But if these early samples are taken at all seriously and they should be, for narratology, like any science, should also study the less successful specimens of the art - they ﬁt quite well in a modernist program. And if they sound more Ionesco than Ibsen, this is because a lot of modernist writing - the Theatre of the Absurd, for example - criticizes the contemporary world-view as that of a world losing its soul, i.e. depending more on form than on substance; and, so, it is very logical that an application of formal rules leads to this kind of ‘story’. But there is a more interesting way in which computers are aiding in the understanding of storytelling. For, in fact, through computers T.S. Eliot’s “paths which we did not take” can, for the ﬁrst time, become the very stuﬀ of ﬁction. In traditional ﬁction, the unrealized alternatives to an action are either stated, as the narrator’s and/or the hero’s thoughts, or make their

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presence felt as oppressive emotions or, more often, though unmentioned still inﬂuence the narrative by their unspoken-of existence in conceptual space, as lacunae, holes giving the bigger structure shape, as in certain sculptures of Henry Moore. But in a new genre, only made possible by computers, they become actual realities. In so-called hypertext ﬁction a hero can do both “A” and “not-A” - though not at precisely the same time - since the reader can follow diﬀerent, often contradictory, courses of action, within the same tale. This is made possible by the immateriality of the electronic medium, which like imagination, is ﬂuid, not ﬁxed by ink on paper. The linear sequence of events is not determined here by the author, who just provides the underlying structures. Assuming that some elements A, B, C, D, E, F, G form the basic conceptual diagram of a story, its graph of possibilities as it were, a classical version of a tale based on it might choose the path ACDF which may, in a certain universe of discourse, read as “boy meets girl, boy marries girl, girl meets second boy, girl leaves ﬁrst boy”. Or, another, less classical alternative, may be ABEG, which may read “boy meets girl, boy and girl live together, boy meets another boy, ﬁrst boy elopes with second boy” and so on. In oldstyle ﬁction, the author would choose one or the other. But in hypertext it is the reader that chooses, and everything is possible, ACDF, ABEG, and many more, are available as diﬀerent readings of the same ﬁction. Of course, what the reader - or rather the “user” - of a hypertext ﬁction (Michael Joyce’s Afternoon is the most famous example here) gains in possibilities, he or she probably loses in aesthetic pleasure. If you are handed an empty canvas and a set of oil colors and told that you are at last totally free from the hegemony of such people as Leonardo and Rembrandt and Manet and you can paint, for your living room wall, your own painting - is that a gain? To be told that you, the reader, can determine whether Raskolnikov will a) kill the old pawnbroker, b) attempt to rehabilitate her or, c) marry her, may liberate you from the oppressive imagination of Dostoyevsky. But is this freedom something to be hoped for by a lover of literature? Freedom is a great thing - in life. But enjoyment of art, narrative art more especially, is a ﬁeld of human activity where we more often than not delight in having fewer, not more, choices. It is no wonder then that “hypertext ﬁction” did not really catch on. Yet, the hypertextual form has ﬂourished, not by wearing the borrowed clothes of another art, but - like any robust new conceptual tool - by inventing its own. And I am here referring of course to the world of electronic games, the new, complex computer games, where the player, or players, are given an intricate environment in which to live and partly create - not ‘read’ or ‘see’ - his or her adventures. But though the making of computer games requires the creation of dense underlying structures that are visually and narratively rich, it is the choices made by the user, the particular sequences of moves which are made every time a player plays a game, that constitute its stories. And it is in these choices, and their underlying grammar, that the mysteries of storytelling lie.

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Before I get to the most promising, to my mind, avenue open to the future mathematizers of narrative, let me go back to the father of narratology. Aristotle, author of the Poetics, was also the father of most sciences - also, famously, of logic. And his great talent, quite similar in structure to Euclid’s, was that of a collector and taxonomist. For it is taxonomy (the idea of a set of criteria by which we can put in order the chaotic material of reality, any reality, reducing it to well-deﬁned classes, i.e. a set of sets ordered by relationships of inclusion, a graph of some sort) that is at the beginning of any serious science. We said earlier that to be mathematizable, a science has to reach a certain level of maturity. And maturity for a science, as for an individual, means among other things the abandonment of the juvenile, narcissistic fantasies of omnipotence. All sciences start out by dreaming of a Theory of Everything. But they begin to advance when they moderate their demands and accept that progress has to be made piecemeal, step-by-arduous-step. So, it comes as no surprise that the ﬁrst person to achieve something important in the mathematization of narrative was a folklorist, i.e. a collector and taxonomist, a man used to ordering masses of material by certain criteria. He did not start by trying to construct some grand scheme, but to classify the particular kind of tales he was collecting. (Let me say here that there is no hierarchically constructed taxonomy of tales, folklore has no Linnaeus. There is of course the Index of Aarne and Thompson [11] - usually referred to by the authors’ names whereby a certain fairytale may be described as “of type AT 432” by its listing number - but it is a totally unstructured catalogue, just a long list really.) But Propp was a follower of the new, back then, before World War II, Russian Formalist School and obviously had the right attitude. He isolated a particular class of tales from the Russian tradition, the “magical folktales”, i.e. the tales - also prominent in other traditions - in which the hero embarks on a journey of adventure, to achieve a certain diﬃcult goal (“Jack and the Beanstalk” is a good example from the western tradition.) And studying these, he found a common structure so clear that the seminal paper where he describes it, “The Morphology of the Russian Magical Folktale” [10], can easily be called mathematical. To ﬁnd, in his ﬁeld of study, rules that were clear enough to merit the name of “formal” (algebraic) Propp did what any good scientist would do: he restricted his ﬁeld of enquiry. Science is a constant struggle between centrifugal and centripetal forces, the centrifugal pulling us towards generalization, big, mega-laws and the centripetal towards speciﬁcity, clear and strong results in particular sectors. And Propp was brilliant enough, or lucky enough, to locate an ideal ﬁeld of enquiry, narrow enough to be clear and formalizable, and general enough to be of import outside his narrow ﬁeld of research. By restricting his attention to a certain kind of story, a sub-genre, Propp was able to locate the “atoms”, if you want, i.e. the minimal elements which can generate all of the stories in question. These minimals elements he called, rather confusingly I think, “functions” and he described some basic rules by

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which they are ordered and combined, a process similar to those we know well from modern algebra, and also similar to work in the study of formal languages, a theory which shares, via Chomsky, its ancestry with the Russian Formalists. In other words, Propp created a basic formalism by which a magical tale can be described as a series of his “functions”, some of which are constant and omnipresent (e.g. the tale always starts when some event causes a state of disequilibrium in the hero’s place of residence and the hero leaves it in order to solve a problem that will put it back into order; and there is always a “magical helper”, i.e. a being with magical qualities to assist the hero) and some are variable, as for example the number of feats the hero must perform in order to achieve a certain goal, or the routine of some sub-goals, the sub-routines we might call them, which describe elements of his basic plot. Propp’s study remained an isolated case for many decades, marginalized by language and culture. But then, the American mythologist Joseph Campbell constructed something similar in his Hero with a Thousand Faces [2], what he called the “monomyth”: a basic structure with “functions”, some constant and some variable, which can describe the basic, central myth of many - if not all - traditions, a basic underlying mythical structure that Campbell called the Journey of the Hero. Again, there was a lull of some decades, during which Propp interested only folklorists - and of these, only the structurally minded - and Campbell only mythologists and “counter-culture” theorists. And then suddenly we are witnessing an explosion, a very marked new wave of people who theorize on storytelling - and this in a way which is not just descriptive but also prescriptive - speaking an unusually exact and uniform language. The curious thing is that this new tendency did not appear in some academic haven, through articles in learned journals or scientiﬁc colloquia, but in the most materialist, and at the same time most illusionist, of places: Hollywood. It is not surprising, really. Think of Archimedes and the tyrant of Syracuse. Think of physicists and the bomb. Think of medicine and the pharmaceutical multi-nationals, Turing and the War eﬀort, Boole and IBM. We don’t like it, but it’s a fact of life: science and industry, knowledge and money, live in non-Euclidean geometries, their lifelines, although parallel, often intersect too often. Einstein and Truman. Vladimir Propp and Stephen Spielberg. It does make sense: the spirit behind engineering is the practical mentality of commerce. A scientist wants the truth. An engineer wants eﬀectiveness. And he or she is paid to ﬁnd it, by a business company which wants to use the discovery to make money. So, it is no paradox really that Hollywood should now be spearheading a kind of research in storytelling, and this with very practical aims: to ﬁnd a foolproof way of creating a good story, quickly and cheaply or, if that is too much to ask, to ﬁnd some “objective” criteria by which it can be judged, criteria that producers, people who really only know how to read spreadsheets, can understand. Aristotle was immediately commissioned and acknowledged to be the guru of all storytellers. And then two parallel strands developed, both very systematic and increasingly formalist in their approach:

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the one studied character and its relationship with action, with its origin in Stanislavski (who has solid roots in Aristotle) and the very exact elaboration and formalization of his ideas by Lajos Egri’s in the book The Art of Dramatic Writing [7]. And the other worked on plot, with heavy debts to both Propp and Campbell, and a whiﬀ of Carl Jung. The two strands started to come together in books such as Syd Field’s Screenplay [3] and Robert McKee’s Story [5], the gospels of modern Hollywood script-writing. These books attempt to describe an archetypal, ideal script, often reminding us that art is all about imagination, originality and invention, but, at the same time, warning us sternly that their system is the only one leading to success, the one underlying the most diverse ﬁlms, from Ben Hur to L’Aventura, from ET to Yojimbo. The authors of these books - and their usual readers even more so! - would be quite surprised, I think, to ﬁnd their titles mentioned in the references of an lecture at a meeting including the word ‘mathematics’ in its title. But any mathematical reader will immediately see that in them is being developed a theory or storytelling, diagrams and all, that we could easily call axiomatic and formal, to a certain extent, something smacking of the Theory of Everything that any budding science dreams of. Some of the basic axioms of this Hollywood narratology are: 1 All stories are really quest stories. 1.1 If a story does not appear to be a quest story at ﬁrst glance, delve deeper into it and unearth the quest story within it. 1.2 If you fail in 1.1 drop the story, it probably ain’t worth the paper it’s written on. 2 All quest stories are about a sympathetic hero searching for, and ﬁnding, a treasure. 2.1 The treasure may be material (money, object, secret weapon, world cup) or immaterial (love, salvation, knowledge, etc.) 3 The interest of the story is determined by certain factors, among them which: a) how important is the ‘treasure’, b) how bad the hero/heroine want it, c) how diﬃcult the quest is. The more diﬃcult, the more tickets at the box oﬃce. 4 The diﬃculty of the journey is incarnated in a person, called the Antagonist. And so on. Obviously, serious people know that these generalizations, like all generalizations, represent an extremist viewpoint. The pattern is too clean for comfort, in fact so clean that a person possessing the rudiments of scientiﬁc training, and some good sense, immediately suspects that: a) it is probably often wrong or, b) even if it is right and we all start following it, this will mean the end of cinema - and storytelling - as we know them. But, of course,

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Apostolos Doxiadis

a great percentage of Hollywood ﬁlms is created using these principles, guiding writers, producers, as well as the ‘screen doctors’ - yes, such a specialty exists! - who are called in to examine faulty product and to suggest remedies. And this is not so much because this new Hollywood theory is good science, as because it has become established, and most Hollywood ﬁlms being made follow its premise, at least to a certain extent. Watch the last ten, say, animated feature ﬁlms, produced by the big studios. Examine them for patterns, ` a la Propp or Campbell. You will ﬁnd an exact pattern in each one, that ﬁts their theories, especially as codiﬁed by the likes of Field and McKee, like a glove. And if you have doubts, read Vogler’s The Writer’s Journey [8], a sort of “Campbell-for-screenwriters” and then look at the ﬁlms once more. I am not a Hollywood producer, and I do not particularly care for the future of the big American ﬁlm industry. I have an artist’s reﬂexes and somehow admire Mizoguchi more than Cecil B. DeMille, Bergman more than Spielberg - though I will readily admit that both Cecil B. DeMille and Spielberg are great storytellers. But to live in a world where ﬁlms would be made by some story-generation program is not - I repeat not! - my image of utopia. So, as a writer of ﬁctions I rebel - every cell in my body rebels, to this mania for storytelling “how to” books and recipes. When, as an audience member in a movie house, I detect the invisible - to the hoi polloi - hand of the script doctor guiding the ﬁlm I’m watching by applying the principles of Syd Field with mathematical exactitude, I get angry. But as a person who has studied and loves mathematics, I cannot help but feel that these guys have caught on to something really interesting. And, knowing a few things about the history of science in its social context, it does not surprise me that what is at some level a very elaborate and very costly series of experiments to try and reduce all writing to formulas - and don’t forget please that we even people who do not know about Field and McKee call such ﬁlms “formulaic” - should come from the business world and not from academia. It’s not the ﬁrst time something of this kind happens! In other words: I think that this new approach to storytelling being developed in Hollywood, the ideas of some great scholars being put to use to cater to the pressures of the market, shows us a fruitful way in which to study storytelling with mathematical means, with the aim of understanding it better. The showbiz yuppies, the screenwriters and the “script doctors” and the “script analysts”, the writers of books with titles like How Aristotle will help you write a blockbuster have created a model which, inane as it is as general recipe for making art, can fertilize, if we let it, the science of storytelling. And this kind of approach is very open to mathematization. Of course, not all stories can be reduced to quests - but many can, and we know that science proceeds piecemeal. And quests are known to be particularly friendly to mathematics: there is a lot of mathematics to explore them with, from graph theory to algorithmic information theory to game theory. And the algebraic approach needed to work with the laws of combination is there.

The mathematical logic of narrative

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Human culture does not progress solely through the work of the angels, les bons sentiments font de la mauvaise litt´erature and we can ﬁnd treasure in the unlikeliest of places.

Riferimenti bibliograﬁci [1] J. Campbell (1972) The Hero with a Thousand Faces, Bollingen, Princeton [2] L. Egri (1972) Art of Dramatic Writing: Its Basis in the Creative Interpretation of Human Motives, Touchstone, New York [3] T.S. Eliot (1963) “Four Quartets”, Collected Poems, 1909-1920, Faber & Faber Ltd., London [4] S. Field (1984) Screenplay: The Foundations of Screenwriting; A step-by-step guide from concept to ﬁnished script, Dell, New York [5] R. McKee (1997) Story: Substance, Structure, Style and the Principles of Screenwriting, Regan Books, New York [6] S. Nasar (2001) A Beautiful Mind: The Life of Mathematical Genius and Nobel Laureate John Nash, Simon & Schuster, New York [7] J.A. Paulos (1999) Once upon a Number: The Hidden Mathematical Logic of Stories, Basic Books, New York [8] V. Propp (1968) Morphology of the Folktale, University of Texas Press, Austin [9] S. Thompson (1989) Motif-Index of Folk-Literature: A Classiﬁcation of Narrative Elements in Folktales, Ballads, Myths, Fables, Mediaeval Romances, Exempla, Fabliaux, Indiana University Press, Bloomington [10] C. Vogler (1998) The Writer’s Journey, Second Edition: Mythic Structure for Writers, Studio City, Michael Wiese Publications

I matematici sono generalmente ignorati al di fuori del proprio ambiente di lavoro: la maggior parte del pubblico non conosce i nomi anche dei pi` u grandi di loro e, se si esclude l’attivit` a di docenti, non si ha idea di che cosa si occupino. Inoltre, essi sono sicuramente ritenuti persone intelligenti, se non altro perch´e coltivano una disciplina vissuta come ostica da molti, ma sono anche percepiti come esseri sostanzialmente asociali, nel convincimento che la scelta di dedicarsi a studi cos`ı astratti abbia un che di anomalo. Anche il cinema, che da un lato inﬂuenza l’immaginario collettivo, ma dall’altro ne riﬂette gli umori, per lungo tempo ha ignorato i matematici che non fossero docenti di matematica e di questi ultimi `e stata per lo pi` u sottolineata la diﬃcolt`a nel comunicare con gli altri (si veda il ﬁlm Bianca di Nanni Moretti del 1984 o il ﬁlm di Barbra Streisand L’amore ha due facce del 1996). In alternativa a ci`o il cinema ha utilizzato i matematici per dare vita a personaggi strani quali killer (Bianca 1984, Presunto innocente 1991) o detective. Investigatori in quanto viene riconosciuta ai matematici la capacit` a di risolvere enigmi complicati, assassini in quanto i matematici sono “evidentemente” credibili nel ruolo di criminali asociali che utilizzano le proprie capacit` a per depistare le indagini e sfuggire alla giustizia. Solo negli ultimi anni i matematici sono stati ritratti dal cinema nello svolgimento del proprio lavoro, non necessariamente di insegnanti. Con la rassegna Matematica e Cinema II (www.unibo.it/socrates/cinema), organizzata da Mirella Manaresi, Michele Mulazzani e Camilla Valentini nell’ambito del progetto europeo Mathematics in Europe quale naturale prosecuzione della rassegna Matematica e Cinema, che nel 2000 ebbe tanto successo a Bologna, si `e voluto parlare di matematica e del lavoro dei matematici traendo spunto da come sono rappresentati nel cinema. La formula `e stata la stessa sperimentata nel 2000: ogni proiezione `e stata seguita da un incontro-dibattito generalmente con un matematico che ha approfondito gli spunti forniti dal ﬁlm. Il successo del ﬁlm A beautiful mind del 2001 ha fatto scoprire al grande pubblico che la matematica `e strumento importante per l’economia. Eppure il legame tra matematica ed economia `e molto forte sin dai tempi di Luca Pacioli, che nel 1494 nella sua Summa espose per primo in una pubblicazione a stampa i principi della partita doppia, e si `e raﬀorzato nel tempo, tanto che negli ultimi trentacinque anni diversi matematici hanno vinto il Nobel per l’Economia. In The Bank del 2001 viene attribuito alla matematica e ai matematici un potere che in realt`a non hanno: quello di poter prevedere completamente gli andamenti di borsa e i crolli dei mercati ﬁnanziari. Sebbene non abbiano tale potere, sono sempre pi` u numerosi i matematici impiegati nei centri studi di grosse banche e in societ`a di consulenza, in quanto, nonostante un margine di imprevedibilit` a e di errore che non pu` o essere eliminato, i modelli matematici sono indispensabili per studiare e prevedere l’andamento dei

mercati ﬁnanziari (anche nel ﬁlm Le invasioni barbariche del 2004 uno dei protagonisti principali `e un matematico che si occupa di ﬁnanza). In Enigma, sempre del 2001, ispirato alla vita di Alan Turing, si parla del fondamentale lavoro dei matematici nel campo della crittograﬁa durante la seconda guerra mondiale. In M¨ obius del 1996 il protagonista `e un matematico che ha lavorato alla progettazione della metropolitana di Buenos Aires e, anche se il ﬁlm `e basato su un presupposto non vero dal punto di vista matematico, emerge l’importanza reale del lavoro dei matematici a supporto della progettazione di infrastrutture complesse. Il ﬁlm Cube del 1997, oltre a dare un’immagine positiva di una giovane studentessa di matematica, oﬀre lo spunto per parlare di numeri primi, capitolo antichissimo ma sempre molto attuale della matematica, importante anche per le numerose applicazioni. Gli ultimi due ﬁlm della rassegna (Fermat’s Last Theorem del 1996 e Non ho tempo del 1973), molto diversi per epoca e per tecniche cinematograﬁche, sono stati dedicati a due grandi matematici: Andrew Wiles, che nel 1995 ha dimostrato l’Ultimo Teorema di Fermat e Evariste Galois, grande genio del XIX secolo, incompreso dai suoi contemporanei. La rassegna ha avuto grande successo: ogni luned`ı per otto settimane il Cinema Perla di Bologna `e stato riempito da circa 500 giovani e meno giovani che hanno seguito con interesse anche i ﬁlm non proprio leggeri ed `e stato bello condividere alcune riﬂessioni sulla matematica con gli ospiti e con il pubblico della rassegna, traendo spunto dai ﬁlm. Le due rassegne bolognesi hanno ispirato altre sedi (Roma, Trieste, Piacenza), che hanno organizzato analoghi cicli, e anche questo pu`o considerarsi un risultato positivo. Nel frattempo sono usciti nuovi ﬁlm che possono oﬀrire spunti per parlare di matematica, quali Dopo mezzanotte di Davide Ferrario, mentre `e in preparazione il ﬁlm Proof con Anthony Hopkins e Gwyneth Paltrow.

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Parte II

Matematica e Cinema

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A Beautiful Mind

A Beautiful Mind (USA, 2001, col, 129’) Regia: Ron Howard Soggetto: Sylvia Nasar Sceneggiatura: Akiva Goldsman Scenograﬁa: W.P. Thomas, L.E. Rollins Montaggio: Mike Hill, Dan Hanley Fotograﬁa: Roger Deakins Musiche: James Horner Costumi: Rita Ryack Eﬀetti speciali: Will Caban Interpreti: Russell Crowe, Jennifer Connelly, Ed Harris, Paul Bettany, Christopher Plummer Produzione: U.S.A. - 2001 - Dramm Dibattito con Marco Li Calzi (Universit` a Ca’ Foscari, Venezia)

Il ﬁlm, tratto dalla biograﬁa scritta da Sylvia Nasar, narra la vicenda umana e professionale del matematico John Forbes Nash, nato nel 1928 e premio Nobel per l’Economia nel 1994. Nash `e stato aﬄitto per molti anni da una grave forma di schizofrenia, che `e riuscito in parte a tenere sotto controllo grazie anche alla sua forza di carattere. Vincitore di 4 Globi d’oro e 4 Oscar (miglior ﬁlm, regia a Ron Howard, attrice non protagonista a Jennifer Connelly, sceneggiatura non originale a Akiva Goldsman), il ﬁlm si avvale della straordinaria interpretazione di Russell Crowe, l’attore australiano premio Oscar per Il Gladiatore, che riesce ad essere convincente in un ruolo che

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copre circa cinquant’anni di vita del protagonista. La sceneggiatura `e avvincente ed `e molto eﬃcace nel rendere palpabile la sindrome schizofrenica del protagonista. Indipendentemente dal giudizio personale che ognuno pu` o esprimere sul ﬁlm, questo, insieme al libro della Nasar, ha avuto il grosso merito di portare all’attenzione dell’opinione pubblica i legami tra matematica ed economia che, molto stretti ﬁn dai tempi dall’antichit` a, hanno contribuito a consolidare la metodologia scientiﬁca delle scienze economiche e negli ultimi anni hanno portato diversi matematici a vincere il Nobel per l’Economia. ` stato scritto tantissimo sul libro della Nasar e sul ﬁlm, pertanto ci limitiaE mo a segnalare alcuni articoli, rinviando al sito web del progetto per ulteriori referenze. Desideriamo ringraziare l’Unione Matematica Italiana che ci ha permesso di ripubblicare nel volume l’articolo di Marco Li Calzi. Per approfondimenti: A. Basile, M. Li Calzi (2000) Chi ha detto che un matematico non pu` o vincere il Nobel?, in: M. Emmer (a cura di) Matematica e Cultura 2000, SpringerVerlag Italia, Milano, pp. 109-120 A. Basile, M. Li Calzi (2000) Economisti e Matematica dal 1494 al 1969. Oltre l’arte di far di conto, in: M. Emmer (a cura di) Matematica e Cultura 2000, Springer-Verlag Italia, Milano, pp. 95-107 M. Emmer (2001) A Beautiful Mind, (Recensione), Bollettino U.M.I., La Matematica nella Societ`a e nella Cultura, Serie VIII, vol IV-A, pp. 331-339 H.W. Kuhn (2003) La Matematica al cinema: analisi di un caso esemplare, in: M. Emmer (a cura di) Matematica e Cultura 2003, Springer-Verlag Italia, Milano, pp. 135-149 J. Milnor (1998) John Nash and “A Beautiful Mind”, Notices Amer. Math. Soc., vol. 45, 10, pp. 1329-1332 S. Nasar (1998) A Beautiful Mind, Simon and Schuster, New York; ed. italiana: Il genio dei numeri, Rizzoli, Milano, 1999 J.J. O’Connor, E.F. Robertson John Forbes Nash http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Mathematicians/Nash.html A. Phillips (2003) Il romanzo della contabilit` a in partita doppia, in: M. Emmer (a cura di) Matematica e Cultura 2003, Springer-Verlag Italia, Milano, pp. 177-191 Ulteriori indirizzi web si possono trovare visitando il sito del progetto: http://www.dm.unibo.it/socrates/cinema/abeautifulmind.html

Un eponimo ricorrente: Nash e la teoria dei giochi∗ Marco Li Calzi‡ Dipartimento di Matematica Applicata, Universit` a “Ca’ Foscari” di Venezia Dorsoduro 3825/E, 30123 Venezia [email protected]

Introduzione Quando istitu`ı il premio che oggi porta il suo nome, Alfred Nobel dispose che la Matematica fosse esclusa dalle categorie eligibili. Naturalmente, questo non ha impedito ad un manipolo di matematici di vincere comunque il premio Nobel per l’importanza dei loro contributi in altre discipline come la Fisica o l’Economia. Il matematico John F. Nash ha vinto nel 1994 il premio Nobel per l’Economia1 in condivisione con J.C. Harsanyi e R. Selten “for their pioneering analysis of equilibria in the theory of non-cooperative games” [2]. Pochi anni dopo, Nash ha avuto il singolare onore di diventare il primo matematico e premio Nobel ad ispirare - ancora vivente - una biograﬁa [10] e successivamente un ﬁlm, recensito anche su riviste di matematica [3, 5]. Il successo del ﬁlm, premiato nel 2002 con quattro2 Academy Awards (meglio noti come premi Oscar), ha reso familiari il nome di Nash ed il suo legame con la teoria dei giochi anche tra il grande pubblico. In teoria dei giochi, peraltro, il nome di Nash `e associato ad almeno tre nozioni distinte da egli stesso introdotte: l’equilibrio di Nash, la soluzione di Nash ed il problema3 di Nash. La violenta (e breve) ﬁammata di interesse ∗

‡ 1

2 3

Preparato in occasione dell’Assemblea UMI del 18 maggio 2002; pubblicato nel Bollettino UMI, Serie A, “La Matematica nella Societ` a e nella Cultura”, vol 6, 2003, pp. 3-26. Per gentile concessione dell’Unione Matematica Italiana. Ringrazio A. Basile, S. Coen, C. Mezzetti, M.C. Molinari ed un revisore anonimo per i loro commenti. Il vero nome del premio `e “The Bank of Sweden Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel.” Il premio per l’Economia, infatti, non era previsto nelle disposizioni di Nobel ed `e stato istituito nel 1969. Miglior ﬁlm, miglior regista, miglior attrice non protagonista e migliore sceneggiatura non originale. Per ragioni storiche, il problema `e meglio noto con il nome di programma di Nash. Fortunatamente, l’eponimo `e lo stesso.

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accesa dal ﬁlm nei mass-media si `e concentrata soprattutto sul primo contributo, ignorando sia gli altri due concetti intitolati a Nash sia i suoi importanti contributi all’analisi e alla geometria [7]. Incuriositi dalla ricorrenza con cui la teoria dei giochi ha eletto Nash eponimo, qui proviamo a spiegare il senso e la portata dei tre contributi che portano il suo nome.

“I believe in assigning value to things” Molte persone hanno cercato nel ﬁlm A Beautiful Mind qualche riferimento al lavoro di Nash in teoria dei giochi. Ce n’`e uno davvero caratteristico che pochi hanno notato. Nella ﬁnzione cinematograﬁca, durante il suo corteggiamento ad Alicia, Nash pronuncia una battuta a doppio senso: “No. I don’t believe in luck. But I do believe in assigning value to things”, ovvero “No, non credo alla fortuna. Credo all’importanza di dare un valore alle cose”. La teoria dei giochi, infatti, presume che una persona razionale possa attribuire una valutazione numerica ad ogni cosa e se ne serva per decidere il miglior corso d’azione. Formalmente, indichiamo con C l’insieme delle possibili conseguenze associate alle azioni che una persona pu` o intraprendere. Supponiamo che il nostro agente abbia una funzione di utilit` a ui che associa ad ogni conseguenza c in C un numero reale ui (c) che descrive l’utilit` a che questi ritrae dalla conseguenza c. Lo scopo dell’azione razionale `e scegliere un’azione che conduce ad una conseguenza che massimizza l’utilit`a. Dunque, gli agenti razionali agiscono in modo da massimizzare la loro funzione di utilit` a. Ad esempio, supponiamo che un monopolista abbia una funzione di domanda lineare q(p) = max{a − p, 0}, con a > 0. La funzione di domanda q(p) descrive la quantit` a di bene che il monopolista riesce a vendere ad un prezzo p; come `e naturale, maggiore `e il prezzo, minore `e la quantit` a venduta. Se la sua utilit`a corrisponde alle dimensioni del fatturato p · q(p), l’azione razionale del monopolista `e ﬁssare come prezzo di vendita p∗ = a/2. L’esistenza di una funzione di utilit` a nel caso di conseguenze certe `e stata dimostrata dal matematico G. Debreu, premio Nobel per l’Economia nel 1983, in [4]. Tuttavia, in molti casi l’esito delle nostre azioni `e soggetto a qualche forma di incertezza che si risolve soltanto dopo che abbiamo gi` a scelto come agire. Ad esempio, l’utilit` a di una puntata sul rosso alla roulette di un casin`o dipende da quale numero esce successivamente. In questo caso, che utilit` a dovremmo attribuire ad un’eventuale puntata fatta prima di conoscere il colore del numero? Per aﬀrontare questa diﬃcolt` a, basta trovare un modo di deﬁnire l’utilit` a della lotteria (ovvero, della distribuzione di probabilit` a) che associa al rosso una vincita pari alla puntata e ad ogni altro evento una corrispondente perdita. Se indichiamo con L(C) l’insieme delle distribuzioni di probabilit` a sulle conseguenze C, stiamo cercando una funzione di utilit` a U deﬁnita sull’insieme delle lotterie L(C). J. von Neumann [16] ha dimostrato che possiamo deﬁnire

Un eponimo ricorrente: Nash e la teoria dei giochi

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questa funzione come il valore atteso della funzione di utilit` a u o, in breve, come l’utilit` a attesa della lotteria. Se p `e la probabilit` a che esca il rosso, questo vuol dire che l’utilit` a attesa di puntare 10 euro sul rosso pu` o essere calcolata come U = p · u(10) + (1 − p) · u(−10). Persino alla fortuna si pu` o dare un valore! Se, come `e naturale, identiﬁchiamo una lotteria degenere δc con la corrispondente conseguenza c, risulta U (δc ) = u(c). Quindi, uniﬁcando il caso di conseguenze certe e il caso di lotterie, diremo che gli agenti razionali agiscono in modo da massimizzare la loro utilit` a attesa. Prima di lasciare questa sezione, notiamo una propriet` a d’invarianza che ci sar`a utile pi` u avanti, nel paragrafo “La soluzione di Nash”. L’insieme delle lotterie che massimizzano il valore atteso di u(·) `e lo stesso di quelle che massimizzano il valore atteso di au(·) + b se a > 0. Pertanto, il criterio di massimizzazione dell’utilit`a attesa `e invariante rispetto a trasformazioni aﬃni crescenti della funzione di utilit` a u. In altre parole, per decidere il miglior corso d’azione, un agente razionale pu` o basare i suoi calcoli di massimizzazione su un elemento scelto arbitrariamente nella famiglia au(·) + b con a > 0.

L’ottimo di Pareto La scena del ﬁlm A Beautiful Mind maggiormente citata in relazione alla teoria dei giochi mostra Nash intento a suggerire a quattro amici come organizzare il corteggiamento di cinque ragazze, una delle quali `e bionda e molto pi` u attraente delle altre quattro, che sono more. Il videoclip della scena `e accessibile via Internet [1]. Proviamo a descrivere la situazione come un gioco, ovvero come un problema di interazione strategica. In generale, un gioco `e caratterizzato da un insieme di giocatori i = 1, 2, . . . , n ciascuno dei quali sceglie simultaneamente quale strategia adottare nell’insieme Si . Il vettore s = (s1 , s2 , . . . , sn ) delle strategie adottate dai giocatori determina una conseguenza c alla quale ogni giocatore i = 1, 2, . . . , n associa un’utilit` a ui (c). Poich´e la conseguenza c `e funzione del vettore delle strategie s, per comodit`a di scrittura nel seguito indichiamo la funzione composta u(c(s)) come u(s). Nella scena del ﬁlm, i giocatori sono cinque: Nash e i suoi quattro amici. Ognuno di essi ha la stessa funzione di utilit` a, che attribuisce valore a a sedurre la bionda, b a sedurre una qualsiasi delle more e 0 a essere respinto, con a > b > 0. Ognuno di essi pu` o adottare come strategia di corteggiare una qualsiasi delle cinque ragazze, ma il successo `e garantito soltanto se il corteggiamento non `e insidiato da un rivale. A chi dovrebbero rivolgere la loro attenzione i giocatori? L’ovvia risposta `e che sarebbe opportuno che ciascuno dei cinque corteggiasse una ragazza diversa. Come spiega lucidamente Nash, in questo modo nessuno intralcia gli altri e i cinque amici possono congiuntamente conseguire

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la massima utilit`a possibile. Questa proposta di soluzione del problema del corteggiamento `e nota in economia come ottimo paretiano 4 . Un vettore (o combinazione) di strategie s `e un ottimo paretiano se non esiste nessun altra combinazione s tale che ui (s ) ≥ ui (s) per ogni i e valga almeno una disuguaglianza stretta. Adottare congiuntamente una strategia che non `e un ottimo paretiano signiﬁca ridurre l’utilit` a di qualcuno senza aumentare l’utilit` a di nessuno. Giocare congiuntamente un ottimo paretiano signiﬁca evitare di sprecare utilit` a e dunque risulta molto naturale suggerire che l’azione sociale si orienti verso un ottimo paretiano. Tuttavia, anche se l’ottimo paretiano `e collettivamente razionale, non `e detto che lo sia individualmente. L’esempio pi` u noto `e il Dilemma dei prigionieri. La polizia ha fermato due pregiudicati che devono scontare un anno di prigione ciascuno per un crimine minore. Il procuratore sospetta (ma non pu` o provare) che i due malfattori siano complici in un crimine maggiore, punibile con ulteriori cinque anni di prigione. Nel tentativo di renderli punibili per il crimine maggiore, il giudice avanza separatamente a ciascuno di loro una proposta: “Se accusi il tuo socio del crimine maggiore, ti abbuono l’anno di prigione per il crimine minore. E, se il tuo socio non ti implica nel crimine maggiore (nel qual caso dovrai farti cinque anni di prigione), ti libero subito.” La situazione pu` o essere descritta come un gioco tra i due pregiudicati, che hanno come possibili strategie l’opzione di accusare o no il socio e come funzione di utilit` a l’opposto del numero di anni di prigione che rischiano di farsi. L’interazione strategica fra i due pregiudicati - chiamiamoli Tom e Jerry - pu`o essere rappresentata mediante una matrice dove Tom sceglie la riga e Jerry la colonna. Ad esempio, se Tom (a)ccusa il suo complice, ma Jerry (n)on a di 0 per lo accusa si ottiene la conseguenza c2 , a cui corrisponde un’utilit` Tom ed un’utilit` a di −6 per Jerry. Sulla sinistra, la Figura 1 riporta in alto la matrice delle conseguenze e in basso la matrice delle relative utilit`a, sotto la convenzione che il primo numero designa l’utilit` a di Tom ed il secondo l’utilit` a di Jerry. Sulla destra, invece, abbiamo rappresentato come punti le coppie di utilit` a corrispondenti a ciascuna conseguenza. Nel Dilemma dei prigionieri, tutte le combinazioni di strategie sono ottimi paretiani, salvo quella in cui i due si accusano a vicenda. Infatti, mentre in caso di omert`a ognuno dovrebbe scontare soltanto un anno di prigione, accusarsi a vicenda li terrebbe entrambi per cinque anni in prigione e questo esito `e uniformemente peggiore. Graﬁcamente, nella parte destra della Figura 1 si vede immediatamente che il punto c1 (reciproca delazione) `e dominato dal punto c4 (omert`a). Dal punto di vista individuale, tuttavia, l’omert` a non `e una soluzione credibile. Ecco la linea di condotta suggerita dall’avvocato al primo malfattore: “Hai due opzioni: accusare il tuo socio oppure no. Se lo accusi, ti fai un anno di prigione in meno. Quindi, se lui non ti accusa, esci subito (invece di farti un anno); se lui invece ti accusa, sconti cinque anni (invece di sei). Comunque 4

In questo caso, l’eponimo `e l’ingegnere ed economista Vilfredo Pareto (1848-1923).

Un eponimo ricorrente: Nash e la teoria dei giochi u2

t

Jerry Tom a n

a c1 c3

n c2 c4

Jerry a n Tom a −5, −5 0, −6 n −6, 0 −1, −1

c3

c4

c1

t

0

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6 u1

t c2

t

Figura 1. Il Dilemma dei prigionieri

vada, ti conviene accusarlo”. Naturalmente, l’avvocato del secondo malfattore suggerisce una linea di condotta analoga ed entrambi i prigionieri scelgono di accusarsi a vicenda, condannandosi a cinque anni di prigione ciascuno. In questo caso, le ragioni individuali prevalgono sulla razionalit` a collettiva.

L’equilibrio di Nash L’idea che la razionalit`a individuale preceda quella collettiva sottende e giustiﬁca il concetto di equilibrio di Nash. Dato un gioco, il giocatore i ha il diritto irrinunciabile di scegliere la strategia che preferisce nell’insieme Si . Supponiamo che qualcuno proponga ai giocatori la soluzione s∗ e poi li lasci liberi di decidere autonomamente e in isolamento se seguire o no il consiglio. Certamente non ci aspetteremmo che la raccomandazione sia seguita se uno dei giocatori, immaginando che tutti gli altri si conformino al consiglio, pu` o ottenere un’utilit` a maggiore giocando una strategia si diversa da quella proposta. Un agente razionale, infatti, agisce in modo da massimizzare la sua funzione di utilit` a. Pertanto, condizione necessaria aﬃnch´e la soluzione proposta sia rispettata da tutti `e che essa massimizzi l’utilit`a di ciascun giocatore quando tutti gli altri si attengono alla soluzione proposta. In termini formali, questa condizione necessaria si esprime dicendo che s∗ `e un equilibrio di Nash se ui (s∗1 , . . . , s∗i , . . . , s∗n ) ≥ ui (s∗1 , . . . , si , . . . , s∗n )

(1)

per ogni giocatore i e per ogni strategia si in Si . Nash [11] ha dimostrato che ogni gioco con un numero ﬁnito di giocatori e di strategie (detto per brevit`a gioco ﬁnito) ammette almeno un equilibrio

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se estendiamo la deﬁnizione al caso in cui i giocatori possono scegliere le proprie strategie anche probabilisticamente. Pi` u formalmente, dato l’insieme delle strategie (pure) Si del giocatore i, chiamiamo strategia mista di i una distribuzione σi che assegna probabilit` a σi (si ) alla strategia pura si ; indichiamo con Σi l’insieme delle sue strategie miste. Ad ogni combinazione di strategie miste σ in Σ = Σ1 ×. . .×Σn corrisponde una lotteria che ogni giocatore valuta secondo la sua utilit` a attesa Ui . Una combinazione di strategie miste σ ∗ `e un equilibrio di Nash se σi∗ attribuisce probabilit` a positiva soltanto a strategie pure che massimizzano l’utilit` a attesa del giocatore i, per ogni i = 1, 2, . . . , n, quando i suoi avversari giocano le strategie miste previste da σ ∗ . Teorema 1 Ogni gioco ﬁnito ammette un equilibrio di Nash. Dimostrazione. La dimostrazione di Nash [12] che riportiamo `e caratteristica del suo stile pulito e conciso. Essa consiste nel mostrare che un equilibrio di Nash corrisponde ad un punto ﬁsso la cui esistenza discende dal teorema di Brouwer. Data una combinazione di strategie miste σ ed il vettore U (σ) delle corrispondenti utilit` a attese dei giocatori, indichiamo con Ui (si , σ−i ) l’utilit` a attesa del giocatore i che adotta la strategia pura si mentre gli altri continuano a giocare la loro parte di σ. Per ogni i, deﬁniamo il vantaggio di passare alla strategia si (quando gli altri continuano a giocare la loro parte di σ) come vi (si , σ−i ) = max{0, Ui (si , σ−i ) − Ui (σ)}. Associamo ad ogni componente σi di σ la trasformazione σi (si ) =

σi (si ) + vi (si , σ−i ) 1 + si vi (si , σ−i )

e denotiamo σ la corrispondente combinazione di strategie miste. Questo deﬁnisce una mappa continua da Σ a Σ che soddisfa le ipotesi del teorema di Brouwer. Per deﬁnizione, σ `e un equilibrio se e solo se tutti i vantaggi di ogni giocatore sono nulli. Quindi ogni equilibrio `e un punto ﬁsso di questa mappa. Resta da far vedere che ad ogni punto ﬁsso corrispondono vantaggi nulli per ogni giocatore i. Supponiamo che σ sia un punto ﬁsso. La strategia mista σi del giocatore i soddisfa σi (si ) =

σi (si ) + vi (si , σ−i ) . 1 + si vi (si , σ−i )

(2)

D’altra parte, poich´e Ui (σ) `e un valore atteso, min Ui (si , σ−i ) ≤ Ui (σ) ≤ max Ui (si , σ−i ). si

si

Ad una strategia pura si che sia punto di minimo per Ui (si , σ−i ) corrisponde a un vantaggio vi (si , σ−i ) = 0. Sostituendo in (2), la costante di proporzionalit` risulta si vi (si , σ−i ) = 0. Quindi tutti i vantaggi di i sono nulli.

Un eponimo ricorrente: Nash e la teoria dei giochi

195

Risolto il problema dell’esistenza, il concetto di equilibrio di Nash `e diventato un criterio formale per giudicare la plausibilit` a di una speciﬁca combinazione di strategie come soluzione di un gioco. Questo ha messo a disposizione degli economisti e degli altri scienziati sociali un test molto semplice a cui sottoporre le loro teorie [9]. Se gli agenti sono razionali e se il comportamento previsto da un modello economico non `e un equilibrio di Nash, `e molto diﬃcile sostenere che il modello sia ben speciﬁcato: almeno uno degli agenti preferir`a fare qualcosa di diverso! Nel caso del Dilemma dei Prigionieri, accusarsi reciprocamente `e l’unico equilibrio di Nash, ma non `e un ottimo di Pareto. L’ottimo di Pareto e l’equilibrio di Nash possono essere diversi, come accade ogni volta che la razionalit`a individuale e quella collettiva non sono allineate. Nel problema di corteggiamento descritto sopra, invece, qualsiasi combinazione di strategie in cui ogni ragazzo corteggia una ragazza diversa `e sia un ottimo di Pareto sia un equilibrio di Nash. Il problema ammette pi` u “soluzioni” possibili, a cui corrispondono utilit` a diverse: chi prende la bionda consegue un’utilit` a maggiore degli altri. Nella ﬁnzione cinematograﬁca, Nash spiega agli amici che se ciascuno di loro va con una mora diversa questo realizza un ottimo paretiano5 . La sua spiegazione si trasforma naturalmente in un’implicita raccomandazione perch´e soddisfa la condizione necessaria di razionalit`a individuale. Ci` o che Nash non dice `e che questo lascerebbe a lui la bionda, realizzando fra tutti i possibili equilibri quello che gli consente di puntare alla bionda indisturbato. Come un agente razionale, Nash agisce in modo da sfruttare le sue (superiori) conoscenze per massimizzare la sua utilit`a - magari a spese di quella degli amici. L’esempio del corteggiamento evidenzia un problema caratteristico nei casi in cui un gioco ammette pi` u equilibri di Nash. Come possiamo selezionare l’equilibrio “giusto”? L’approccio che ha suscitato maggiore interesse, generando centinaia di lavori nei vent’anni precedenti all’assegnazione del Nobel a Nash, `e stato direttamente ispirato dal suo lavoro. I teorici dei giochi della generazione successiva, infatti, hanno studiato come raﬀorzare il criterio associato all’equilibrio di Nash generando condizioni necessarie pi` u stringenti della (1). Questo programma di raﬃnamento dell’equilibrio di Nash ha individuato concetti di equilibrio pi` u esigenti, che implicano requisiti di coerenza pi` u forti per le teorie economiche e sociali [15]. Il pi` u diﬀuso tra questi concetti `e noto con il nome di perfezione nei sottogiochi e si deve a Selten, uno dei due covincitori del Nobel di Nash. Il concetto si applica ai giochi che si sviluppano in pi` u fasi, dove i giocatori devono considerare strategie che tengano conto anche di quanto `e successo prima che tocchi a loro giocare. Ecco un esempio. Supponiamo che il gioco del corteggiamento descritto sopra si svolga in modo dinamico: i ragazzi lasciano il tavolo uno a uno secondo 5

Quindi non `e vero - come qualcuno ha aﬀermato un po’ frettolosamente - che in questa scena Nash illustra il suo concetto di equilibrio.

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un ordine prestabilito e avvicinano la ragazza che desiderano. Per semplicit` a, facciamo ﬁnta che ci siano soltanto due ragazze (una bionda ed una mora) e soltanto due pretendenti (John Nash ed il suo amico Martin) e che la prima mossa spetti a Martin. Intuitivamente, la soluzione che prevediamo `e che il primo ragazzo scelga la bionda e lasci a Nash la mora. Questo `e un equilibrio di Nash. Consideriamo adesso la seguente situazione. Prima che Martin si alzi, Nash gli bisbiglia: “se adesso vai per la bionda, sappi che verr` o a romperti le uova nel paniere”. Se Martin crede a questa minaccia, gli conviene andare per la mora e conseguire un’utilit`a di b invece dello 0 che otterrebbe sgomitando con Nash per guadagnarsi le attenzioni della bionda. Quanto a Nash, se Martin gli crede e gli lascia campo libero, pu` o andare per la bionda e conseguire un’utilit` a di a invece che b. Poich´e nessuno dei due pu`o ottenere un’utilit` a maggiore modiﬁcando soltanto la sua strategia, anche questo `e un equilibrio di Nash. Tuttavia, poich´e l’equilibrio si tiene soltanto se Martin crede alla minaccia di Nash, Martin dovrebbe chiedersi se questa minaccia `e davvero credibile o se Nash sta bluﬀando. Se Martin si alza e va dalla bionda, Nash ha di fronte due scelte: pu` o fare buon viso a cattivo gioco e prendersi la mora conseguendo un’utilit` a di b, oppure portare a termine la sua minaccia ma conseguire un’utilit` a di 0. Dal momento che Nash `e razionale, non trover` a nel suo interesse portare a termine la minaccia e dovr`a accontentarsi della mora. Quindi, se Martin sfrutta la “prevedibilit` a” del comportamento razionale di Nash, pu`o distruggere il secondo equilibrio e ripristinare la soluzione intuitiva. Il criterio di perfezione nei sottogiochi di Selten accerta in modo sistematico la credibilit`a delle minacce e delle promesse dei giocatori e scarta gli equilibri di Nash che non passano questo test di credibilit` a. Con qualche formalismo aggiuntivo, l’esistenza degli equilibri perfetti nei sottogiochi per un gioco ﬁnito `e un corollario del teorema di Nash. L’altro covincitore del Nobel di Nash, Harsanyi, `e autore invece dell’estensione formale del concetto di equilibrio di Nash al caso in cui qualcuno dei giocatori non conosca esattamente tutte le caratteristiche del gioco che sta giocando. Ad esempio, nel gioco del corteggiamento questa situazione si veriﬁcherebbe se qualcuno dei ragazzi non fosse sicuro sulle preferenze degli altri e sospettasse che John o Martin preferiscono una delle more alla bionda. Questo introduce ulteriori livelli di incertezza nel ragionamento: “se John preferisce la mora, non verr` a a rompermi le uova nel paniere; ma se invece preferisce la bionda...”. Harsanyi ha suggerito un modo di darne adeguata rappresentazione formale ed ha introdotto il concetto di equilibrio di Bayes-Nash estendendo la logica sottostante al concetto di equilibrio di Nash e la sua dimostrazione di esistenza6 .

6

Beninteso, sia Harsanyi sia Selten hanno dato altri contributi alla teoria dei giochi. In particolare, hanno congiuntamente sviluppato una teoria che seleziona per ogni gioco ﬁnito un unico equilibrio di Nash.

Un eponimo ricorrente: Nash e la teoria dei giochi

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La soluzione di Nash Torniamo al nostro gioco di corteggiamento sempliﬁcato, in cui Nash e Martin devono decidere come avvicinarsi alle due ragazze7 . I due stanno discutendo che cosa fare: non sorprendentemente, Nash caldeggia l’equilibrio in cui prende lui la bionda, mentre Martin insiste per giocare l’equilibrio in cui Nash prende la mora. La discussione va avanti da un pezzo, quando il barista si fa avanti e dice loro: “Ragazzi, un po’ di decenza: sembrate due mercanti ` mai possibile che non possiate trovare un che stiano trattando un tappeto! E modo per cooperare?”. Stimolato dal rimprovero, Nash lascia la bionda a Martin e si siede a riﬂettere su quanto `e appena successo. Ci sono due parti in conﬂitto che desiderano trovare un accordo di cooperazione per dirimere al meglio le loro divergenze. Si pu`o fornire loro un suggerimento adeguato per risolvere il conﬂitto in modo ragionevole? Ad esempio, se il governo ed i sindacati sono impegnati in un braccio di ferro sulla legislazione in materia di lavoro, possiamo aiutarli a cogliere gli aspetti salienti del conﬂitto e fornire loro un criterio generale per comporlo? In termini pi` u generali, come possiamo descrivere un problema di contrattazione e che tipo di soluzione possiamo suggerire? Supponiamo che due agenti in conﬂitto - che chiameremo Primo e Seconda - abbiano aperto un negoziato. Sia C l’insieme (ﬁnito) delle conseguenze che le due parti possono congiuntamente assicurarsi attraverso un accordo di cooperazione. Supponiamo che l’accordo possa essere raggiunto anche ricorrendo a lotterie: ad esempio, Nash e Martin potrebbero risolvere il loro problema di corteggiamento decidendo di tirare a sorte chi va con la bionda. Chiamiamo X = L(C) l’insieme delle lotterie sulle conseguenze. Nell’insieme X identiﬁchiamo con d l’esito associato al caso in cui le trattative siano interrotte e il negoziato fallisca, ovvero che cosa succede in caso di disaccordo. Ad esempio, il naturale punto di disaccordo relativamente al gioco di corteggiamento `e che sia Nash sia Martin mirino alla ragazza bionda. Supponiamo inﬁne che ciascuno dei due agenti valuti gli elementi di X in base alla propria utilit` a attesa a. e indichiamo con u = (u1 , u2 ) il vettore delle funzioni di utilit` Diciamo che la terna (X, u, d) deﬁnisce un problema di contrattazione, di cui possiamo dare una vantaggiosa rappresentazione nello spazio delle utilit` a attese. Infatti, poich`e l’utilit` a attesa di una lotteria su C non `e altro che una combinazione convessa delle utilit` a corrispondenti agli elementi di C, a ciascun problema di contrattazione (X, u, d) corrisponde un insieme compatto e convesso K in R2 , i cui elementi sono coppie (U1 , U2 ) di utilit` a attese che gli agenti conseguono in corrispondenza di un esito in X. Chiamiamo K la rappresentazione utilitaristica di (X, u, d). La Figura 2 fornisce la rappresentazione utilitaristica del problema di contrattazione fra Martin e Nash. Sulla sinistra abbiamo riportato la rappresentazione mediante matrici del gioco di corteggiamento in cui i due sono 7

La scena che segue non `e tratta dal ﬁlm, ma `e ancora frutto di pura invenzione.

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6u2 Martin b m Nash b c1 c2 m c3 c4

Martin a n Nash b 0, 0 a, b m b, a 0, 0

t c3 @ @

@

K

t c1 = c4

@

@

@ c2 @ t

- u1

Figura 2. Un problema di contrattazione

impegnati. Sulla destra, abbiamo rappresentato le coppie di utilit` a corrispondenti ai quattro possibili esiti del gioco: si noti che c1 e c4 corrispondono allo stesso punto, perch´e concentrare tutti gli sforzi su una sola ragazza conduce comunque all’insuccesso. L’insieme K di tutte le utilit` a attese che i giocatori possono ottenere da un accordo di cooperazione si ottiene come involucro convesso dei punti corrispondenti alle utilit` a del gioco sottostante. Come nell’esempio, `e possibile che a elementi diversi di X corrisponda la stessa coppia di utilit`a attese (U1 , U2 ) in K. Tuttavia, poich´e gli agenti sono interessati soltanto all’utilit` a che ritraggono, ogni esito nella controimmagine di (U1 , U2 ) `e da considerarsi equivalente. Se Primo riceve la stessa utilit`a da un pianoforte o da un quadro, e Seconda riceve la stessa utilit` a da un’auto o da una pelliccia, `e irrilevante se i due trovano un accordo che attribuisce a Primo il pianoforte e a Seconda l’auto oppure un accordo che attribuisce a Primo il quadro e a Seconda la pelliccia. Quindi la soluzione del problema di contrattazione (X, u, d) va cercata nella sua rappresentazione utilitaristica K. Ci saranno utili due piccoli accorgimenti. Come si ricorder` a, nel secondo paragrafo abbiamo spiegato che sia u1 sia u2 sono deﬁniti a meno di trasformazioni aﬃni crescenti. Possiamo sfruttare uno dei due gradi di libert` a in a modo da garantire Ui (d) = 0 per i = 1, 2. Quindi, senza perdita di generalit` supporremo - come nella Figura 2 - che la rappresentazione utilitaristica K sia normalizzata in modo che l’esito di disaccordo corrisponda ad un’utilit` a nulla per entrambi i giocatori. Inoltre, supporremo che K contenga almeno un punto (U1 , U2 ) con Ui > 0 per i = 1, 2 in modo da assicurare che il problema di contrattazione oﬀra ad entrambi i giocatori l’opportunit` a di conseguire un’utilit` a superiore a quella corrispondente al disaccordo; se cos`ı non fosse, almeno un giocatore non avrebbe alcun interesse ad intavolare una trattativa. Queste ipotesi assicurano che ogni rappresentazione utilitaristica K sia

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un sottoinsieme compatto e convesso di R2 contenente l’origine ed un punto interno a R2+ . Il nostro problema consiste nel trovare un criterio generale per risolvere i problemi di contrattazione. Dal punto di vista matematico, ci basta associare ad ogni problema di contrattazione una soluzione ammissibile. Quindi dobbiamo deﬁnire una funzione ϕ che associa ad ogni rappresentazione utilitaristica K una coppia di punti ϕ(K) = (U1 , U2 ) in K. Data la “soluzione” ϕ, ogni esito in X che genera la coppia di utilit` a attese (ϕ1 (K), ϕ2 (K)) rappresenta un accordo di cooperazione. La prima domanda a cui intendiamo rispondere `e la seguente. Esistono condizioni necessarie per restringere l’insieme delle funzioni ϕ che rappresentano una soluzione ragionevole del problema di contrattazione? Gi` a prima di Nash, la teoria economica aveva individuato le due condizioni necessarie seguenti, richieste per ogni (X, u, d): ` individuale: ϕi (K) ≥ 0 per i = 1, 2. A1. Razionalita A2. Ottimo paretiano: non esistono punti (U1 , U2 ) in K per cui valga Ui ≥ ϕi (K) per i = 1, 2 con almeno una disuguaglianza stretta. L’assioma di razionalit` a individuale impone che un accordo di cooperazione garantisca a ciascuno degli agenti un’utilit` a non inferiore a quella che potrebbe ottenere rompendo le trattative e forzando il disaccordo. Nella Figura 3 abbiamo rappresentato graﬁcamente due problemi di contrattazione. Nel a individuale implica che le soluzioni a problema K1 l’assioma di razionalit` sinistra del segmento individuato dai punti c1 e c3 non sono accettabili per il primo giocatore. Nel problema K2 , invece, questo assioma non restringe l’insieme delle possibili soluzioni. L’assioma di ottimalit` a paretiana richiede che un accordo di cooperazione non sprechi risorse, come accadrebbe se nell’insieme K esistesse un punto che assicura ad almeno un agente un’utilit` a superiore senza ridurre l’utilit` a ottenuta dall’altro. In alcuni casi, questo assioma `e suﬃciente per individuare in modo unico la soluzione: ad esempio, nel problema K1 l’unico ottimo paretiano `e c4 . Formalmente, una funzione ϕ che soddisfa l’assioma di ottimalit`a paretiana seleziona come soluzione del problema di contrattazione K1 il punto ϕ(K1 ) = c4 . Tuttavia, queste due ovvie condizioni necessarie non bastano a caratterizzare una funzione. Ad esempio, nel problema K2 l’insieme degli ottimi di Pareto `e costituito dal segmento compreso tra c3 e c4 . Tutti i punti del segmento soddisfano entrambi gli assiomi. Questo suggerisce naturalmente la seconda domanda: possiamo fornire condizioni suﬃcienti? Nash [13] ha risposto aﬀermativamente, fornendo la prima caratterizzazione di una soluzione al problema di contrattazione. I nuovi assiomi proposti da Nash sono tre8 : 8

Gli economisti conoscono A4 con il nome di “assioma di indipendenza dalle alternative irrilevanti”.

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c3

u2 c4 6 t ( ( ( B t ((( ( B B

c2

t \ \

B

B Bt c5

\ \ t c1

c3

B

K1 \

u2 6

-

u1

c2 t

t

c1

K2

u2 = u 1

t @ @

@ @ tc4

t

c5

-

u1

Figura 3. Due problemi di contrattazione

A3. Simmetria: se K `e invariante rispetto a permutazioni dei due agenti, ϕ1 (K) = ϕ2 (K). A4. Invarianza rispetto alle contrazioni: se K ⊂ K e ϕ(K) ∈ K , ϕ(K ) = ϕ(K). A5. Invarianza rispetto alle trasformazioni di scala: ϕ(aK) = aϕ(K), per ogni a > 0. Nell’assioma di simmetria, l’invarianza di K rispetto alle permutazioni di agenti signiﬁca che per ogni lotteria che assegna utilit` a U1 a Primo e U2 a Seconda ne esiste un’altra che assegna utilit` a U2 a Primo e U1 a Seconda. Graﬁcamente, ci`o equivale a supporre che K sia simmetrico rispetto alla bisettrice del primo quadrante. Quando K `e simmetrico, per ogni argomento che pu` o essere oﬀerto in favore di Primo ne esiste uno del tutto analogo in favore di Seconda. L’assioma sancisce che in questo caso l’unica raccomandazione possibile `e trattare i due allo stesso modo. Ad esempio, nel problema K2 della Figura 3 la combinazione degli assiomi di ottimalit` a paretiana e simmetria impone come soluzione il punto intermedio del segmento compreso tra c3 e c4 , corrispondente all’intersezione della bisettrice con l’insieme degli ottimi paretiani. L’invarianza rispetto alle contrazioni formalizza la seguente idea. Consideriamo due distinti problemi di contrattazione (X, u, d) e (X, u, d) a cui corrispondono le due rappresentazioni K e K , con K ⊂ K. Anche se gli elementi costituenti del primo problema possono essere diversi da quelli del secondo, in termini di utilit` a il primo problema consente di realizzare un maggior numero di conﬁgurazioni del secondo. Quindi, ancora in termini utilitaristici, il primo problema ammette un numero maggiore di opzioni. Supponiamo adesso che nel primo problema sia stata individuata una soluzione ϕ(K) e che questa soluzione sia disponibile anche in K . Giacch´e ϕ(K) `e stata ritenuta una soluzione ragionevole nel problema che ammetteva un numero maggiore di opzioni, essa resta una soluzione ragionevole anche nel secondo problema.

Un eponimo ricorrente: Nash e la teoria dei giochi

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L’ultimo assioma, inﬁne, stabilisce che la soluzione `e invariante rispetto a trasformazioni di scala delle funzioni di utilit` a degli agenti. La normalizzazione invocata per attribuire utilit` a nulla all’esito di disaccordo, infatti, ha eliminato soltanto uno dei due gradi di libert` a associati alla funzione di utilit` a di ciascun agente. L’assioma garantisce che la scelta associata al secondo grado di libert`a non possa modiﬁcare la controimmagine di ϕ, ma soltanto il suo valore. In questo modo, non `e possibile manipolare la raccomandazione associata a ϕ scegliendo una rappresentazione diversa (ma equivalente) delle funzioni di utilit` a. La soluzione di Nash associa ad ogni insieme K la coppia (U1N , U2N ) in K che massimizza il prodotto U1 · U2 . Essa `e caratterizzata dai cinque assiomi sopra elencati. Tuttavia, poich´e si pu`o dimostrare che la combinazione degli ultimi quattro implica l’assioma di razionalit` a individuale, l’enunciato pi` u economico del risultato di Nash `e il seguente. Teorema 2 La soluzione di Nash `e l’unica soluzione che soddisfa A2-A5. ` immediato veriﬁcare che la soluzione di Nash soddisfa Dimostrazione. E A2-A5 (nonch´e A1). Resta da far vedere che se ϕ soddisfa A2-A5, essa `e la soluzione di Nash. Scegliamo arbitrariamente una rappresentazione utilitaristica K e indichiamo con U N = (U1N , U2N ) il punto corrispondente alla soluzione di Nash. Dobbiamo mostrare che ϕ(K) = U N . Poich´e K ha intersezione non vuota con l’interno di R2+ , A2 implica N U > 0. Dunque possiamo scegliere a = (a1 , a2 ) in R2+ tale che aU N giaccia sulla bisettrice del primo quadrante. Riscaliamo la rappresentazione K rispetto ad a e consideriamo la nuova rappresentazione K = aK, che ammette una retta di supporto con pendenza −1 nel punto aU N . Consideriamo la rappresentazione utilitaristica associata all’insieme simmetrico S = {(U1 , U2 ) ∈ R2+ : U1 + U2 ≤ a1 U1N + a2 U2N }. A2 e A3 implicano ϕ(S) = aU N . Poich´e K ⊂ S e aU N ∈ K , A4 implica ϕ(K ) = aU N . La conclusione segue in virt` u di A5. Stabilendo la possibilit` a di risolvere per via assiomatica i problemi di contrattazione, Nash ha stimolato un’ampia letteratura interessata a investigare sistemi alternativi di assiomi per generare regole ragionevoli di risoluzione dei conﬂitti. Il suo contributo ha aperto la strada allo studio ed alla formalizzazione di principi generali a cui gli agenti interessati a risolvere un problema di cooperazione possono far riferimento per sostenere le loro proposte e difendere i loro diritti. L’approccio, naturalmente, si estende ad ambiti diversi: nel 1979, ad esempio, Kaneko e Nakamura [6] hanno caratterizzato l’analogo della soluzione di Nash quando il problema di contrattazione coinvolge n agenti. Restando nell’ambito dei problemi di contrattazione fra due agenti, vale la pena descrivere anche due fra le principali proposte di soluzione alternative a quella di Nash. Entrambe fanno riferimento allo stesso ambiente descritto sopra ed in particolare associano ad ogni rappresentazione utilitaristica K -

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dove K `e un sottoinsieme compatto e convesso di R2 contenente l’origine ed un punto interno a R2+ - un punto (U1 , U2 ) appartenente a K. La soluzione egalitaria - assiomatizzata da Kalai nel 1977 - suggerisce di scegliere nell’insieme dei punti di K che sono ottimi di Pareto il punto (U1E , U2E ) per il quale vale U1E − U1 (d) = U2E − U2 (d). Questa soluzione propone di risolvere i conﬂitti scegliendo un esito che assicuri ad entrambi gli agenti il medesimo incremento di utilit` a rispetto al caso di disaccordo. Ci`o dovrebbe assicurare una composizione equa del conﬂitto. Purtroppo, questa soluzione non `e invariante rispetto alle trasformazioni di scala e quindi seleziona esiti diversi a seconda del modo - pur equivalente - con cui rappresentiamo le funzioni di utilit` a degli agenti. Intuitivamente, i due gradi di libert` a che abbiamo nell’adozione di una funzione di utilit` a possono essere usati per distorcere la scelta egalitaria. La soluzione di Nash, invece, non `e soggetta a questa manipolabilit` a. La soluzione di Kalai e Smorodinski - assiomatizzata nel 1975 - introduce l’idea che la soluzione di un problema di contrattazione debba tenere conto anche delle aspettative pi` u ottimistiche che un agente pu`o nutrire. In particolare, sia Mi la massima utilit`a in K che l’agente i = 1, 2 pu`o ottenere subordinatamente al fatto che sia rispettato l’assioma di razionalit` a individuale. La coppia (M1 , M2 ) individua un punto ideale le cui coordinate rappresentano la massima utilit`a che i giocatori possono individualmente sperare di conseguire. Naturalmente, nella maggior parte dei casi, il punto ideale non appartiene9 a K e quindi i due giocatori non possono sperare di potere ottenere congiuntamente la loro massima utilit` a. Tuttavia, secondo Kalai e Smorodinski, il o legittimamente avanzare. livello di Mi inﬂuenza le richieste che l’agente i pu` La soluzione di Kalai e Smorodinski propone di scegliere nell’insieme dei punti di K che sono ottimi di Pareto il punto (U1K , U2K ) che rende gli incrementi di utilit` a conseguiti dai giocatori rispetto al caso di disaccordo proporzionali a Mi . Questa soluzione soddisfa i medesimi assiomi della soluzione di Nash (in particolare, `e invariante rispetto alle trasformazioni di scala) ad eccezione dell’invarianza rispetto alle contrazioni.

Il problema di Nash In una situazione di interazione strategica, due o pi` u giocatori determinano l’esito congiuntamente ma lo valutano individualmente utilizzando funzioni di utilit` a diverse. Un gioco ed un problema di contrattazione rappresentano modelli diversi di interazione strategica. Nel caso di un gioco, ogni giocatore `e individualmente libero di scegliere quale strategia adottare all’interno di un insieme prestabilito. In un problema di contrattazione, i giocatori esplorano congiuntamente l’insieme delle conseguenze possibili su cui cercare un accordo. 9

Se il punto ideale appartiene a K, l’assioma A2 `e suﬃciente per farne la soluzione del problema di contrattazione.

Un eponimo ricorrente: Nash e la teoria dei giochi

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Dato un gioco G, possiamo farlo precedere da una fase di contrattazione in cui si tenta di raggiungere un accordo su come giocarlo: se il negoziato ha successo, i giocatori adottano congiuntamente la combinazione di strategie concordata. Se il gioco G ammette pi` u equilibri di Nash, la contrattazione pu` o servire semplicemente a scegliere quale equilibrio giocare. Una volta concordato l’equilibrio, ciascuno dei giocatori trover` a nel suo stesso interesse fare la sua parte. In generale, la contrattazione pu` o selezionare anche esiti che non sono equilibri di Nash. Ad esempio, se nel Dilemma dei Prigionieri il giudice lasciasse negoziare tra i due malfattori una dichiarazione congiunta, questi probabilmente si metterebbero d’accordo in modo da evitare di accusarsi a vicenda. Quindi, se partiamo da un gioco G e lo facciamo precedere da una fase di contrattazione, il nuovo gioco che ne risulta non conduce necessariamente allo stesso esito. Formalmente, supponiamo di deﬁnire una trasformazione cooperativa ψ che associ ad ogni gioco G un altro gioco ψ(G) che rappresenta la situazione in cui, oltre alle strategie speciﬁcate nel gioco originale G, ad ogni giocatore sia attribuita anche la possibilit` a di contrattare con gli altri l’adozione congiunta di uno speciﬁco piano di cooperazione. Il problema di Nash [14] consiste nel deﬁnire un concetto di soluzione cooperativa per un gioco G che corrisponda ad un equilibrio di Nash del gioco trasformato ψ(G). La motivazione per questo problema discende dal desiderio di stabilire che la soluzione cooperativa del gioco G possa essere giustiﬁcata come equilibrio del gioco di cooperazione associato. Modernamente, la teoria dell’implementazione ha ripreso ed opportunamente generalizzato questo problema. Qui ne discutiamo la versione nota con il nome di implementazione mediante equilibri di Nash, per la quale sono note condizioni sia necessarie sia suﬃcienti di risoluzione. Nella deﬁnizione di un gioco, possiamo distinguere le regole (chi gioca, quali strategie sono lecite, che cosa pu`o accadere) e le preferenze dei giocatori (rappresentate dalle loro funzioni di utilit` a). Si noti che, a diﬀerenza dell’uso comune, le preferenze dei giocatori sono parte integrante della deﬁnizione di un gioco. Se le funzioni di utilit` a non sono ancora state speciﬁcate, si preferisce parlare di un formato di gioco. Dato un insieme di conseguenze C ed un gruppo di n giocatori, indichiamo con Γ l’insieme dei corrispondenti formati di gioco. Se indichiamo con F un formato di gioco in Γ e con u = (u1 , . . . , un ) il vettore delle funzioni di utilit` a degli n giocatori, la coppia (F, u) individua un gioco. Un concetto di soluzione cooperativa `e una mappa ϕ(u) che associa ad ogni vettore di funzioni di utilit` a u un insieme di conseguenze in C. Indichiamo con E(F, u) la mappa che associa ad ogni gioco (F, u) l’insieme dei suoi equilibri di Nash. Dato un concetto di soluzione cooperativa ϕ, il problema di Nash consiste nel trovare un formato di gioco F tale che ϕ(u) = E(F, u) per ogni vettore u. Se ϕ(u) = E(F, u) per ogni u, diremo che ϕ `e implementabile da F . Si noti che richiediamo che tutti gli equilibri di Nash del gioco conducano all’esito previsto da ϕ(u). Ci`o esclude la possibilit`a che, in caso di molteplicit`a degli equilibri, i giocatori ne giochino uno che non “implementa” ϕ(u).

204

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La risoluzione del problema di implementazione si presta ad un’applicazione molto importante, che possiamo illustrare con riferimento alla contrattazione fra due giocatori. Supponiamo che un arbitro imparziale desideri calcolare la soluzione di Nash per un speciﬁco problema di contrattazione, ma non conosca le funzioni di utilit` a delle due parti. Se esiste un formato di gioco F che implementa la soluzione di Nash, l’arbitro pu` o limitarsi a prescrivere che le due parti giochino il gioco basato su F : posto che giochino un equilibrio, i giocatori giungeranno da soli a conseguire le utilit` a raccomandate dalla soluzione di Nash. Pu` o essere utile illustrare questi concetti con un esempio. Nell’episodio biblico noto come giudizio di Salomone, due madri si contendono un bambino. L’ovvia soluzione `e assegnare il bambino alla vera madre, ma Salomone non ne conosce l’identit` a. Date le preferenze delle due donne, il problema consiste nel trovare un formato di gioco in cui la loro interazione faccia emergere l’aﬃdamento alla vera madre come l’esito di equilibrio. Supponiamo che le due donne si chiamino rispettivamente Anna e Beth. Le conseguenze possibili sono tre: α (il neonato `e aﬃdato ad Anna), β (il neonato `e aﬃdato a Beth) e γ (il neonato `e ucciso e diviso a met`a tra le contendenti). Ciascuna donna agisce all’insaputa dell’altra scegliendo fra tre strategie: pu` o dichiarare che il neonato va aﬃdato ad Anna (a), a Beth (b) oppure che va ucciso (c). Il formato del gioco ideato da Salomone si trova nella Figura 4.

a a α Anna b γ c β

Beth b c γ α β α β γ

Figura 4. Il giudizio di Salomone

Secondo questo formato di gioco, se entrambe le donne scelgono a ed unanimamente indicano Anna come vera madre, il bambino `e assegnato a questa. Tuttavia sono possibili anche esiti meno banali: ad esempio, supponiamo che Anna giochi b e Beth c. In questo caso, il gioco assegnerebbe il bambino ad Anna. Nonostante Anna dichiari che la vera madre `e Beth, il fatto che questa lo preferisca morto rivela che Beth non pu` o essere la madre e che Anna ha mentito per non rischiare che il bambino sia ucciso. Supponendo che la vera madre sia Anna, la Bibbia riporta che questo fu quanto accadde, conducendo alla giusta soluzione. La sapienza di Salomone si esercita nel disegnare il formato di gioco, lasciando alle scelte dei giocatori il compito di fare emergere la verit` a. Dal punto di vista di Nash, tuttavia, il formato di gioco scelto da Salomone non `e all’altezza della sua fama di saggezza. La coppia di strategie (b, c), infatti, non `e un equilibrio. La Bibbia lascia intendere che la fun-

Riferimenti bibliograﬁci

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zione di utilit` a di Anna `e u1 (α) > u1 (β) > u1 (γ), mentre quella di Beth `e u2 (β) > u2 (γ) > u2 (α). Con queste preferenze, se Anna dichiara b, Beth ottiene un’utilit` a superiore se dichiara b invece di c. Giocando razionalmente, Beth non dovrebbe chiedere la spartizione del bambino ma sostenere di essere lei la madre. Poich´e (b, b) e (c, b) risultano gli unici equilibri del gioco proposto da Salomone, il formato da questi proposto - in presenza di giocatori razionali - in realt`a assegna il bambino alla donna sbagliata. Tuttavia, prima di mettere in dubbio la saggezza di Salomone, esaminiamo di nuovo il problema sottoposto alla sua attenzione alla luce dei risultati della teoria dell’implementazione. Una soluzione cooperativa ϕ si dice monotona se, dati due vettori u e u ed una conseguenza c ∈ ϕ(u) tale che c ∈ ϕ(u ), esistono un giocatore i ed una conseguenza c tali che ui (c) ≥ ui (c ) and ui (c ) > ui (c). Si dice invece che la soluzione ϕ non `e soggetta a veti se c ∈ ϕ(u) quando c massimizza l’utilit`a di almeno n − 1 giocatori. Vale il seguente risultato [8]. Teorema 3 Se ϕ `e implementabile, allora essa `e monotona. Inoltre, se n ≥ 3 e ϕ `e monotona e non soggetta a veti, allora essa `e implementabile. La prima parte del teorema pu` o essere usata per dimostrare che il problema sottoposto a Salomone `e un esempio di soluzione non implementabile. I possibili vettori di funzioni di utilit` a sono due: u1 (se la vera madre `e la prima), 1 1 1 1 con u1 (α) > u1 (β) > u1 (γ) e u2 (β) > u12 (γ) > u12 (α); oppure u2 (se la vera madre `e la seconda), con u21 (α) > u21 (γ) > u21 (β) e u22 (β) > u22 (α) > u22 (γ). La soluzione ϕ per cui ϕ(u1 ) = α and ϕ(u2 ) = β non `e implementabile perch´e non `e monotona: α ∈ ϕ(u1 ) e α ∈ ϕ(u2 ) ma non esistono un esito c e un giocatore i per cui valga u1i (α) ≥ u1i (γ) e u2i (γ) > u2i (α). Qualsiasi gioco si proponga alle due madri, non si pu` o garantire che l’equilibrio corrisponda alla soluzione desiderata. Dunque il problema proposto `e impossibile da risolvere. Indipendentemente dalla sua reputazione di saggezza, se la falsa madre avesse agito razionalmente in modo da massimizzare la sua utilit`a, Salomone non avrebbe mai potuto trovare il modo per scoprirla! Ne traiamo una morale in due parti. Primo, solo la matematica pu` o dirci che un problema pratico che stiamo cercando di risolvere non ammette soluzione e che faremmo bene a dirottare altrove le nostre energie. Secondo, se le circostanze non ci consentono di eludere il problema (il bambino ha bisogno di una madre!), pu` o essere massimamente saggio far conto sull’incapacit`a di molte persone di agire in modo del tutto razionale.

Riferimenti bibliograﬁci [1] A Beautiful Mind Clip, http://www.countingdown.com/theater/trailers/player/401396 [2] Accademia Reale delle Scienze di Svezia, “Press release” dell’11 ottobre 1994 relativa al The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel

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Marco li Calzi

[3] L.M. Butler (2002) “Movie review: A Beautiful Mind”, Notices of the American Mathematical Society, 49, pp. 455-457 [4] G. Debreu (1954) “Representability of a preference ordering by a numerical function”, in: R.M. Thrall, C.H. Coombs, R.L. Davis (a cura di), Decision Processes, Wiley, New York, pp. 159-165 [5] M. Emmer (2001) “Recensione: A Beautiful Mind ”, Bollettino U.M.I. IV-A, pp. 331-339 [6] M. Kaneko, K. Nakamura (1979) “The Nash social welfare function”, Econometrica, 47, pp. 423-436 [7] H.W. Kuhn, S. Nasar (2001) (a cura di), The Essential John Nash, Princeton University Press, Princeton [8] E. Maskin (1999) “Nash equilibrium and welfare optimality”, Review of Economic Studies, 66, pp. 23-38. (Il lavoro `e circolato in forma di working paper dal 1977 al 1998) [9] R.B. Myerson (1999) “Nash equilibrium and the history of economic theory”, Journal of Economic Literature, 37, pp. 1067-1082 [10] S. Nasar (1998) A Beautiful Mind, Simon and Schuster, New York. Traduzione italiana: Il genio dei numeri, Rizzoli, Milano, 1999 [11] J.F. Nash (1950) “Equilibrium points of n-person games”, Proceedings of the National Academy of Sciences, 36, pp. 48-49 [12] J.F. Nash (1951) “Non-cooperative games”, Annals of Mathematics, 54, pp. 286-295 [13] J.F. Nash (1950) “The bargaining problem”, Econometrica, 18, pp. 155-162 [14] J.F. Nash (1953) “Two-person cooperative games”, Econometrica, 21, pp. 128140 [15] E. van Damme (1991) Stability and Perfection of Nash Equilibria, seconda edizione, Springer-Verlag, Berlino. Prima edizione: 1987 [16] J. von Neumann, O. Morgenstern (1953) Theory of Games and Economic Behavior, terza edizione, Princeton University Press, Princeton. Prima edizione: 1944

The Bank

The Bank (Australia, 2001, 110’) Regia: Robert Connolly Sceneggiatura: Robert Connolly Scenograﬁa: Luigi Pittorino Montaggio: Nicholas Meyers Fotograﬁa: Tristan Milani Musiche: Alan John Costumi: Annie Marshall Interpreti: D. Wenham, A. Lapaglia, S. Budd, S. Rodgers, M. McCelhinney Produzione: Arenaﬁlm - Showtime Australia Dibattito con Riccardo Cesari (Universit` a di Bologna)

Simon (Anthony Lapaglia), direttore della Central Bank di Melbourne, la pi` u importante banca australiana, assume e ﬁnanzia le ricerche del giovane matematico Jim Doyle (David Wenham), che, utilizzando la teoria del caos (in particolare la ricerca degli attrattori e dei punti ﬁssi) e la geometria frattale di Mandelbrot, sta cercando di elaborare un algoritmo che consenta di prevedere l’andamento e gli eventuali crolli del mercato azionario. Il successo

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delle ricerche di Jim aprirebbe le porte ad ingenti speculazioni, che Simon, uomo avido e senza scrupoli, non vuole lasciarsi sfuggire, per accrescere il suo potere e la sua gi`a ingente ricchezza. La Central Bank e i suoi imbrogli sono anche causa del fallimento e del lutto che colpiscono una famiglia della piccola borghesia. Le due vicende si intrecciano nel corso del ﬁlm con la storia privata di Jim, che inizia una relazione con Michelle, giovane impiegata della banca, il cui idealismo si scontra con i metodi spietati di Simon. Il ﬁlm, opera prima dello sceneggiatore e regista australiano Robert Connolly, con un passato di produttore cinematograﬁco, `e in un certo senso un ﬁlm giallo a sfondo economico. Certamente non un capolavoro, The Bank, `e un ﬁlm piacevole e interessante e al tempo stesso `e una spietata e lucida denuncia dell’attuale sistema economico-ﬁnanziario e dello strapotere del sistema bancario. La parte pi` u interessante del ﬁlm `e sicuramente il duello psicologico tra il matematico e il banchiere, splendidamente interpretato da Antony Lapaglia, che ha la faccia giusta per il ruolo. Nonostante alcune vicende siano piuttosto scontate, il ﬁlm `e di grande attualit` a e oﬀre molti spunti di riﬂessione, in particolare sul lavoro dei matematici in campo ﬁnanziario. Infatti, nonostante essi non abbiano il potere quasi magico che gli `e attribuito dal ﬁlm, sono sempre pi` u numerosi i matematici impiegati nei centri studi di grosse banche e in societ`a di consulenza, in quanto i modelli matematici sono indispensabili per studiare e prevedere l’andamento dei mercati ﬁnanziari, pur con quel margine di imprevedibilit` a e di errore che non pu` o essere eliminato nei sistemi condizionati anche dalle scelte umane. Per approfondimenti: G.I. Bischi, R. Carini, L. Gardini, P. Tenti (2003) Sistemi dinamici e caos deterministico, Let. Mat. Pristem 47, pp. 15-26 G.I. Bischi, R. Carini, L. Gardini, P. Tenti (2004) Sulle orme del caos. Comportamenti complessi in modelli matematici semplici, Bruno Mondadori, Milano M. Emmer (2003) The Matematics of Enigma, in: M. Emmer, M. Manaresi (eds) Mathematics, Art, Technology and Cinema, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg , pp. 145-151 H.O. Peitgen, H. Jurgnes, D. Sauper, C. Zaltem (1990) Fractals, with E. Lorenz and B. Mandelbrot, produced by Spectrum Videothek Heidelberg, Germany D. Williams (1991) Probability with martingales, Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge University Press, Cambridge Ulteriori indirizzi web si possono trovare visitando il sito del progetto: http://www.dm.unibo.it/socrates/cinema/thebank.html

The Bank : Matematica, Economia e Responsabilit` a Sociale per un nuovo millennio Riccardo Cesari Dip. di Matematica per le Scienze Economiche e Sociali, Universit` a di Bologna viale Filopanti 5, 40126 Bologna [email protected]

Due antefatti -

-

Nel febbraio 1995, Nick Leeson, un giovane trader dell’uﬃcio di Singapore della blasonata Barings Bank, “la banca della Regina”, fondata nel 1762 e scampata a Napoleone, alla rivoluzione argentina, e a due guerre mondiali, porta al fallimento l’intera banca in cui lavora a causa dell’enorme esposizione in futures al SIMEX (Singapore Mercantile Exchange) che, eludendo i controlli, egli ha accumulato rilanciando una speculazione al rialzo sul Nikkei. La perdita supera 1.3 miliardi di dollari (830 milioni di sterline; [11, 5]). Il rialzo si avr` a solo 4 mesi dopo (Fig. 1). Il gruppo bancario olandese ING acquister`a la Barings alla cifra simbolica di una sterlina. Nel marzo 2000 tocca i massimi la bolla speculativa della New Economy, che per anni ha trasformato in montagne di soldi ogni iniziativa avviata nel campo delle nuove tecnologie, dei computer, delle telecomunicazioni e della information technology (IT). Dal mese successivo la bolla scoppia (Fig. 2) facendo magicamente sparire nel nulla enormi capitali scritti sulla carta e quindi sull’acqua.

Il ﬁlm The Bank, opera prima dello sceneggiatore e regista australiano Robert Connolly esce nel 2001, anno del nuovo millennio ma anche anno segnato da tragici eventi (la strage delle Twin Towers di New York dell’11 settembre). ` la storia di un giovane, Jim Doyle, un matematico, un “quant” come si E dice nel gergo della ﬁnanza quantitativa [4] che, utilizzando la teoria del caos e la geometria frattale di Mandelbrot, sta cercando di elaborare una formula che consenta di prevedere gli andamenti di borsa e i crolli del mercato azionario, con l’obiettivo di fare ingenti speculazioni. A Melbourne il direttore della pi` u importante banca australiana, uomo avido, spietato e senza scrupoli, lo assume

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Riccardo Cesari

Figura 1. Indice Nikkei nel 1995

Figura 2. La bolla della New Economy

e ﬁnanzia le sue ricerche, intravedendo nel giovane matematico la chiave per diventare ancora pi` u ricco e potente. Parallelamente una famiglia della piccola borghesia `e costretta al fallimento ed `e colpita da un terribile lutto per colpa di un imbroglio messo in opera dalla stessa banca. Le due storie si intrecciano nel corso del ﬁlm e, come sottofondo, vi `e una terza storia, quella privata del protagonista. Il ﬁlm, `e in un certo senso un ﬁlm giallo a sfondo economico. Jim Doyle, infatti, ha una missione da compiere: vendicare il padre impiccatosi quando Jim era ancora un bambino, per i debiti accumulati proprio con la Centabank. La vendetta, a lungo meditata, riuscir` a come gi`a era riuscita a Armonica-

The Bank : Matematica, Economia e Responsabilit` a Sociale . . .

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Charles Bronson in C’era una volta il West (Sergio Leone, 1968), ma questa volta senza duello al sole bens`ı facendo implodere la banca dentro una soﬁsticata operazione su futures. Lo aveva gi`a mostrato La stangata (George R. Hill, 1973): nell’epoca del capitalismo e della borsa si pu` o far trionfare il bene usando succo di pomodoro al posto del sangue cos`ı come si possono compiere stragi con un timbro falso.

Gli ingredienti e i protagonisti Il ﬁlm ha tre protagonisti e altrettanti ingredienti: 1) Jim (D. Wenham) o Matematica e Probabilit` a: il giovane matematico di talento, esperto di geometria frattale e sistemi caotici; 2) Simon (A. LaPaglia) o Economia e Finanza: lo spregiudicato amministratore delegato della Centabank; 3) Michelle (S. Budd) o Etica e Responsabilit` a Sociale: la giovane impiegata della banca, capace di ragionare ancora in termini di un’etica non stravolta dal denaro. Jim, ovvero Matematica e Probabilit` a Jim convince Simon di essere capace di costruire un modello in grado di prevedere (tick by tick o intraday) l’andamento del mercato borsistico. La domanda da porsi `e: il mondo pu` o essere descritto e previsto da un (complicato) modello matematico? Se la risposta `e s`ı, siamo nel mondo del caos deterministico: la confusione `e solo apparente; dietro c’`e un disegno e un destino e un modello che pu` o descriverlo. Se la risposta `e no, siamo nel mondo stocastico, aleatorio e imprevedibile: la confusione `e reale e la modellistica quantitativa pu` o ridurre l’incertezza ma mai eliminarla; il futuro macroscopico e microscopico (v. il principio di Heisenberg) `e intrinsecamente incerto. Albert Einstein (1944), pur avendo dato contributi importanti alle ricerche probabilistiche, non nascose una sua qualche predilezione per la prima visione: Dio non gioca a dadi. Al contrario, John Maynard Keynes (1921) aveva ripreso la metafora dei giochi di sorte: la Natura che interroghiamo `e un’urna; non sapremo mai con certezza il colore della prossima pallina, ma al massimo possiamo indurre la distribuzione di frequenza delle prossime 1000 estrazioni o la distribuzione di 1000 sequenze di 1000 estrazioni. . . La Figura 3 illustra la variazione giornaliera del prezzo del futures sul Bund a 10 anni: `e un andamento caotico o stocastico? Ad esempio, i due graﬁci seguenti, tratti da [12], derivano uno da un modello perfettamente deterministico, l’altro da un modello stocastico (Fig. 3). In particolare, il graﬁco (a) `e il risultato di un modello deterministico (crescita logistica) esprimibile con l’equazione dinamica: Xt+1 = kXt (1 − Xt )

X0 = c

(1)

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Figura 3. Variazioni giornaliere del futures sul Bund a 10 anni

Figura 4. Processo stocastico o processo caotico?

Per 3.57 < k < 4 c’`e un inﬁnito numero di condizioni iniziali c che producono sentieri temporali a-periodici, vale a dire serie storiche in cui nessun valore si ripete mai due volte. Di conseguenza, una legge deterministica pu` o generare un’apparente aleatoriet` a. Il graﬁco (b) `e invece il risultato genuinamente aleatorio di un processo stocastico in cui ogni valore viene estratto secondo una distribuzione di probabilit` a. Alla base della teoria del caos deterministico c’`e la convinzione che la casualit`a del mondo `e solo apparente: dietro c’`e un “disegno”, un modello, una trama precisa che devono solo essere svelate e messe a nudo; dietro la scena del mondo c’`e una Spectre, un Grande Vecchio o un Grande Fratello che governa tutto [6]; i modelli caotici forniscono le basi matematiche della teoria del complotto universale. Due sono i modi tipici in cui un modello deterministico pu` o generare il caos apparente. In certi casi, basta una piccola modiﬁca delle condizioni iniziali (es. un arrotondamento, Fig. 4) per creare grandi modiﬁche nei risultati ﬁnali (eﬀetto butterﬂy). Secondo la teoria degli attrattori, piccoli movimenti determinano grandi catastroﬁ: il battito d’ali di una farfalla in Brasile pu` o scatenare un tornado in Texas [10].

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Figura 5. Sentiero logistico con k = 3.99 e diverse condizioni iniziali

In altri casi, la complessit`a viene creata con la ripetizione inﬁnita di un modello semplice: input semplici generano output complessi (v. la teoria dei frattali di Mandelbrot, 1987 [2] e Fig. 5).

Figura 6. Modello frattale con base triangolare

Nella visione stocastica, al contrario, il mondo non `e mai prevedibile. Il valore di domani yt+1 dipende dal valore di oggi yt cui si aggiunge una insopprimibile componente stocastica, ε, di errore, che impedisce alla teoria f (.) di essere perfettamente esplicativa e previsiva: yt+1 = f (yt ) + εt+1

(2)

Ad esempio il prezzo futures del Bund a 10 anni, y, sembra relativamente prevedibile con un modello econometrico GARCH (generalized autoregressive conditional heteroshedastic model, Fig. 6). Ma tale modellizzazione `e stata fatta ex post (alla ﬁne del periodo, conoscendo come si sono svolte le cose) mentre dovrebbe essere fatta ex ante,

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Figura 7. Prezzo futures e stima GARCH non condizionata

vale a dire prima di osservare gli andamenti dei fenomeni considerati. In altre parole, la previsione yˆt+1 per il tempo t + 1 deve essere fatta condizionatamente all’informazione al tempo t. In tal caso il modello `e molto meno buono (Fig. 7): una regola per il giorno t del tipo “se yˆt+1 > yt compro futures; se yˆt+1 < yt vendo futures” farebbe perdere −0.33% in 5 giorni lavorativi (−17% annuo).

Figura 8. Previsioni condizionate del prezzo futures

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Simon, ovvero Economia e Finanza Simon, l’Amministratore Delegato della Centabank, `e chiaramente l’antagonista negativo del ﬁlm. Le sue 3 I non sono “inglese, Internet e impresa”, ma “ignoranza, ingordigia e illegalit` a.” L’ignoranza `e testimoniata del fatto che non conosce uno dei risultati chiave dell’economia dei mercati ﬁnanziari: in mercati eﬃcienti (e il mercato futures `e un mercato eﬃciente) i prezzi hanno movimenti imprevedibili, vale a dire sono guidati da processi stocastici per i quali la migliore previsione condizionata del prezzo futuro `e il prezzo corrente [7]. Tutta l’informazione disponibile `e gi`a contenuta nei prezzi mentre l’informazione “privata” `e costosa e non sempre eﬃcace. L’ingordigia sembra essere la caratteristica comune del Consiglio di Amministrazione (Board ) della banca: dopo una crescita del +16% ottenuta nell’anno precedente mediante la chiusura di 1100 ﬁliali e il licenziamento del 30% degli impiegati, gli azionisti di controllo vogliono il +20% nell’anno in corso e il +24% nell’anno successivo. L’obiettivo `e la crescita di breve periodo (short-termism) a tutti i costi, anche con metodi illegali. Le recenti cronache ﬁnanziarie (e giudiziarie) internazionali, dai casi americani di Enron e Worldcom ai casi nostrani di Cirio e Parmalat, ci hanno abituato ad associare cinicamente ﬁnanza e illecito, economia e ingiusto arricchimento, commercio e truﬀa. Gli interessi della propriet`a aziendale (shareholders), in un’ottica miope di breve termine, vengono perseguiti a scapito degli interessi degli altri soggetti coinvolti (stakeholders: dipendenti, clienti, societ`a) e, nel lungo periodo, anche a scapito degli interessi fondamentali della stessa azienda. Michelle, ovvero Etica e Responsabilit` a Sociale La banca, dice un noto aforisma, `e quella istituzione che ti fa un prestito se riesci a provare di non averne bisogno. Pi` u drasticamente, Bertold Brecht aveva scritto: cos’`e rapinare una banca in confronto a fondarne una? Emblematico, al riguardo, il caso di Muhammad Yunus (2000) [3], il banchiere dei poveri, che con l’originale formula del microcredito ha cambiato la vita di milioni di poveri del suo paese, il Bangladesh, partendo dalla semplice osservazione che la povert` a, nella maggior parte dei casi, non `e legata alle caratteristiche dell’individuo, ma solo alla sua totale mancanza di un capitale iniziale in grado di far scattare il meccanismo di crescita della ricchezza e di miglioramento delle condizioni di vita: presta a una donna povera i pochi dollari necessari per comprare una macchina da cucire ed ella sapr` a spezzare il cerchio della miseria per s´e e la sua famiglia e ti restituir`a il prestito con gli interessi. Se si ritorna alle origini della scienza economica (Adam Smith) si scopre che le sue radici sono nella scienza morale e nell’etica. Solo oggi l’economia sta recuperando la sua originaria dimensione etica, aﬃancando alla logica del

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bilancio economico quella del bilancio sociale e del bilancio ambientale (triple bottom line). Le imprese diventano cos`ı strumenti di investimento nella misura in cui sanno far crescere non solo il capitale economico ma anche quello umano, sociale e ambientale. A tal ﬁne si sta diﬀondendo la pratica di assegnare un rating etico alle societ`a per orientare i risparmiatori verso gli investimenti “socialmente responsabili” (SRI), capaci di creare valore non solo a breve ma anche nel lungo periodo, quando la qualit` a dei fondamentali sapr` a far emergere la validit` a di scelte economicamente eﬃcienti e socialmente compatibili. Matematica, Economia ed Etica possono cos`ı diventare gli ingredienti di una nuova disciplina interattiva che combini il rigore delle scienze quantitative ai principi dell’economia di mercato e alle istanze della convivenza sociale e del benessere collettivo.

Riferimenti bibliograﬁci [1] A. Butler (1990) A methodological approach to chaos: are economists missing the point?, Federal Reserve Bank of St. Louis Review, march, pp. 36-49. Ora in http:// research.stlouisfed.org/publications/review/90/03/Methodological Mar Apr1990.pdf [2] E. Derman (2004) My life as a Quant. Reﬂections on Physics and Finance, Wiley, New York [3] U. Eco (1988) Il pendolo di Foucault, Bompiani, Milano [4] N. Leeson (1996) Rogue trader, Little, Brown and Co., London [5] E.N. Lorenz (1979) On the prevalence of aperiodicity in simple systems, in: M. Grmela e J. E. Marsden (eds.) Global Analysis: Proceedings of the Biennial Seminar of the Canadian Mathematical Congress Held at the University of Calgary, Alberta, Springer-Verlag, New York, pp. 53-75 [6] B.B. Mandelbrot (1987) Gli oggetti frattali, Einaudi, Torino [7] P.A. Samuelson (1965) Proof that properly anticipated prices ﬂuctuate randomly, Industrial Management Review, 6, 2, pp. 41-49 [8] M. Yunus (2000) Il banchiere dei poveri, Feltrinelli, Milano [9] P.G. Zhang (1996) Barings bankruptcy and ﬁnancial derivatives, World Scientiﬁc, Singapore

Moebius

Moebius (Argentina, 1996, col, 91’) Regia: Gustavo R. Mosquera Soggetto: A.J. Deutsch Sceneggiatura: N. Urruty, A. Onativia, G. Lifschitz, P. Cristiani, M.A. Mira, G.R. Mosquera Scenograﬁa: Federico Ostrofsky Musica: Mariano Nunez West Interpreti: G. Angelelli, A. Levy, J. Petraglia, R. Carnaghi Produzione: G.R. Mosquera, M.A. Mira, Fundacion Universidad del Cine, Buenos Aires Dibattito con Massimo Ferri (Universit` a di Bologna)

Nel metr`o di Buenos Aires scompare un convoglio con trenta passeggeri. Gli investigatori che si occupano di scoprire cosa `e successo chiedono aiuto al giovane matematico Daniel Pritt (Angelelli), un topologo (non un topografo!), che lavorava nello studio che ha progettato la metropolitana. Emerge che il percorso di quest’ultima ha appunto la forma di un nastro di Moebius (da cui il titolo del ﬁlm), superﬁcie con la propriet` a che se si percorre un giro su di essa ci si ritrova “dalla parte opposta”, scomparendo alla vista di chi `e rimasto fermo. Naturalmente dopo due giri si ritorna nella posizione di partenza. Il regista utilizza, invece, questo spunto matematico come pretesto per far scomparire il treno, che, girando all’inﬁnito sul nastro di Moebius, non torna mai alla stazione da cui `e partito.

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Il ﬁlm, che trae spunto da un romanzo di A.J. Deutsch, `e stato ﬁnanziato e realizzato dall’Universidad del Cine di Buenos Aires, diretto da Gustavo Mosquera, all’epoca docente presso tale universit` a, con la collaborazione tecnica ` un ﬁlm d’autore, degli allievi, alcuni dei quali sono anche attori nel ﬁlm. E suggestivo nella descrizione dell’ambiente e dei meccanismi burocratici, in cui il regista (come ha avuto modo di dire intervenendo alla rassegna Matematica e Cinema del 2000) ha usato la matematica per evocare la tragedia dei desaparecidos. Moebius `e probabilmente il ﬁlm pi` u bello della rassegna e, oltre a oﬀrire lo spunto per parlare di topologia (si veda l’articolo di Massimo Ferri), ha anche il merito di presentarci la ﬁgura di un matematico impegnato nel suo lavoro di supporto alla progettazione, con problemi pratici da aﬀrontare e da risolvere. Per approfondimenti: A. Bonﬁglioli, C. Valentini (eds) (2000) Matematica Arte e Tecnologia: da Escher alla Computer Graphics, Edizioni Aspasia, Bologna A.J. Deutsch (1950) Una metropolitana di nome Moebius, in: Urania n. 302, A. Mondadori Editore, Milano M. Emmer (2000) Il nastro di Moebius: dall’arte al cinema, in: M. Emmer (a cura di) Matematica e Cultura 2000, Springer-Verlag Italia, Milano, pp. 147-152 G. Mosquera (2002) Alcune riﬂessioni sulla creazione di “Moebius”, in: M. Emmer, M. Manaresi (a cura di) Matematica, Arte, Tecnologia, Cinema, Springer-Verlag Italia, Milano, pp. 104-110 G. Mosquera (2003) A few Reﬂections on the creation of the Film “Moebius”, in: M. Emmer, M. Manaresi (eds) Mathematics, Art, Tecnology and Cinema, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, pp. 156-162 J.J. O’Connor, E.F. Robertson August Ferdinand M¨ obius http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Mathematicians/Mobius.html

J.J. O’Connor, E.F. Robertson A history of Topology http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/∼history/HistTopics

Ulteriori indirizzi web si possono trovare visitando il sito del progetto: http://www.dm.unibo.it/socrates/cinema/moebius.html

Moebius: un ﬁlm e un invito alla topologia Massimo Ferri Dipartimento di Matematica, Universit` a di Bologna Piazza di Porta S.Donato 5, 40126 Bologna [email protected]

Introduzione Il ﬁlm Moebius (Fig. 1) presenta diversi spunti di interesse. Innanzi tutto fu concepito come un grande esercizio cinematograﬁco nell’ambito dell’attivit` a della Universidad del Cine di Buenos Aires; come tale venne realizzato con un investimento ﬁnanziario assai ridotto: circa 250.000 dollari. Tuttavia ottenne un successo di pubblico non indiﬀerente ed una distribuzione internazionale. Inoltre utilizza coraggiosamente concetti e termini ostici per il grande pubblico: quelli della topologia (regolarmente confusa con la topograﬁa dai recensori!). Inﬁne si colloca in un genere diﬃcilmente deﬁnibile, suggerendo pi` u livelli di lettura. In questo articolo mi occuper`o quasi solo degli aspetti matematici toccati dal ﬁlm, cercando di espandere, in termini assolutamente non tecnici, gli elementi che possono aver sollecitato la fantasia degli autori.

Il ﬁlm Realizzato nel 1996 per la regia del Prof. Gustavo Mosquera, Moebius si ispira ad un racconto di un astronomo americano, A.J. Deutsch [2]. La trama vede un matematico, pi` u precisamente un topologo, impegnato a risolvere il mistero della scomparsa di un treno della metropolitana. Il racconto ha gi`a contorni pi` u fantastici che fantascientiﬁci; questa tendenza si accentua, naturalmente, nelle mani di un sudamericano: la realizzazione cinematograﬁca presenta i toni sfumati ed onirici di un Garc´ıa Marquez piuttosto che le lucide fantasie di un Borges (al quale ci sono espliciti omaggi nel ﬁlm). Al di l`a della sola tradizione letteraria, nella trascrizione del racconto si aggiunge un elemento strettamente argentino. Dice lo stesso Mosquera: “Incominciai a riscrivere il testo sostituendo al nome delle stazioni sotterranee quello di alcune stazioni che gi`a esistevano a Buenos Aires [. . . ]. In questo modo per`o tutto cominci`o ad acquistare un signiﬁcato speciale [. . . ], il cambiamento dei

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Massimo Ferri

luoghi era piuttosto semplice se lo si confrontava con il profondo cambiamento di signiﬁcato che risultava dal solo immaginare i dialoghi possibili intorno alla sparizione di un treno con della gente. . . proprio in un paese in cui si erano appena avute tante persone scomparse per motivi politici” [8].

Figura 1. La locandina del ﬁlm Moebius

Il riferimento `e chiaramente allo sconcertante fenomeno dei “desaparecidos”: almeno 12.000 persone rapite e mai pi` u restituite dal regime autoritario argentino fra il 1976 ed il 1983, oltre a molte altre migliaia di cui furono consegnate le salme. Nel ﬁlm ci sono indizi espliciti che fanno riferimento a questo livello di lettura. Tuttavia il livello pi` u evidente `e quello fantastico. Nonostante si faccia riferimento alla topologia della rete metropolitana ed in particolare (importando un errore gi` a presente nel racconto) ad una “singolarit` a” di un nastro di Moebius, non c’`e mai la pretesa di (pseudo)scientiﬁcit`a della fantascienza. La topologia compare quasi come una sorta di trampolino con cui la mente si possa lanciare al di l` a dell’esperienza quotidiana, identiﬁcata con la geometria dell’esperienza materiale. Ma il nastro di Moebius `e eﬀettivamente un oggetto “fuori dal nostro mondo”? Prima di tutto: che cos’`e un nastro di Moebius? Quali sono i suoi aspetti ` matematici che possano risultare cos`ı inconsueti da rasentare il fantastico? E un fenomeno isolato o si trova all’interno di una famiglia di oggetti topologicamente interessanti? Queste sono le domande a cui cercher`o di rispondere nei prossimi paragraﬁ. Avviso ﬁn d’ora che non dar` o deﬁnizioni ed enunciati precisi, riservandomi di citare nel paragrafo “Gli strumenti adeguati”, i termini a cui far riferimento per uno studio vero e proprio. Questo articolo `e esclusivamente un invito alla topologia, certo non un articolo di topologia.

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Figura 2. Costruzione di tronchi di cilindro e del nastro di Moebius

Il nastro di Moebius ` facilissimo costruire un nastro di Moebius; prima per` E o cominciamo con qualcosa di pi` u abituale. Prendiamo una striscia rettangolare di tela; ci sono diversi modi di cucire insieme due suoi lati. Il pi` u semplice (quello che adotteremmo per formare con la striscia una cintura) d` a luogo ad una ﬁgura familiare: un cilindro. (Pi` u propriamente `e quello che in geometria analitica `e chiamato tronco di cilindro; in geometria solida `e la superﬁcie laterale di un cilindro). Questa costruzione `e indicata nella parte superiore della Figura 2 dalle due frecce verticali: esse devono essere identiﬁcate (cucite insieme) rispettando il verso delle frecce. Si noti che, come ci aspettiamo, il bordo del cilindro cos`ı costruito `e formato da due curve separate; inoltre, proprio come una normale cintura, ha due facce: una interna ed una esterna. Notiamo subito una diﬀerenza essenziale rispetto alla geometria a cui siamo abituati: qui non si parla di un cilindro rigido, ma di un oggetto che possiamo pensare di deformare anche curvando segmenti, modiﬁcando aree ecc. Nel prossimo paragrafo lo stireremo addirittura su un piano! Ma noi siamo interessati ad un’altra costruzione. Invece che identiﬁcare i due lati “direttamente” come prima, eseguiamo prima una torsione di mezzo giro, rovesciando uno dei due lati, come nella parte inferiore della Figura 2; questo `e indicato anche questa volta dal verso delle frecce (si noti la freccia di destra, rovesciata rispetto a prima). Abbiamo costruito un modello concreto di nastro di Moebius. La prima diﬀerenza notevole consiste nel bordo: ora `e costituito da una sola curva. La seconda rilevante diﬀerenza rispetto al cilindro consiste nel fatto che il nastro di Moebius ha una sola faccia: si pu` o passare

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da una parte all’altra del nastro senza attraversare il bordo. Questa propriet`a `e splendidamente raﬃgurata da una stampa di M.C. Escher: Band van M¨ obius II simpaticamente parodiata in un logo dell’Universit` a del Maryland, riprodotto nella Figura 3; ne riparleremo pi` u avanti. Si noti anche un’altra peculiarit`a che nel ﬁlm risulta travisata: `e vero che una tartaruga che percorra una volta il nastro si trova al punto di partenza, ma dall’altra parte della superﬁcie, e quindi “`e l`ı ma non `e l`ı” come il treno scomparso del ﬁlm. Per`o dopo un ulteriore giro (in generale dopo un numero pari di giri) si ritrover` a al punto di partenza e dalla stessa parte!

Figura 3. Tartarughe che percorrono un nastro di Moebius

Un cenno storico: il nome tradizionalmente attribuito a questo oggetto deriva dall’astronomo e matematico tedesco August Ferdinand Moebius (Schulpforta 1790 - Lipsia 1868; graﬁa equivalente: M¨ obius), che lo ide`o nel 1858 e lo descrisse in una pubblicazione del 1865 [7]. Tuttavia lo stesso oggetto era stato studiato precedentemente da un altro matematico tedesco: Johann Benedikt Listing (Frankfurt am Main 1808 - G¨ ottingen 1882) [6].

Sviluppo ed immersione La Figura 2 mostra i due principali artiﬁci con cui i topologi usualmente si raﬃgurano una superﬁcie: lo sviluppo e l’immersione. Lo sviluppo consiste nel rappresentare un oggetto partendo da una ﬁgura facilmente concepibile e immaginando identiﬁcazioni di alcune sue parti: per esempio partendo da un poligono con istruzioni di incollamento (come nella maggior parte delle confezioni di cartone), ma anche da oggetti tridimensionali (si veda il paragrafo “Oltre il nastro di Moebius”). Questo procedimento `e molto comodo ed `e

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comunque basato su una matematica rigorosa. L’immersione `e forse pi` u naturale, ma pi` u scomoda: consiste nel raﬃgurare l’oggetto in questione in uno spazio pi` u “grande”: per esempio il nostro spazio euclideo tridimensionale. Lo sviluppo permette di apprezzare le propriet` a intrinseche dell’oggetto che si vuole studiare, senza confonderle con il modo in cui possiamo disporlo in uno spazio ambiente. Quando un topologo lavora sullo sviluppo di una superﬁcie, pensa un po’ nei termini di un abitante della Flatlandia immaginata da Abbott [1], cio`e come se non esistesse una terza dimensione. Possiamo immaginare il cilindro aperto e spianato in un rettangolo come nella parte superiore della Figura 2; allora possiamo pensare di strisciare lungo il rettangolo ﬁno a raggiungere la freccia che lo delimita a sinistra; a quel punto possiamo oltrepassarla, ma rientrando subito attraverso la freccia che ne costituisce il lato destro. L’immersione (la “cintura” che troviamo subito sotto nella Figura 2) `e senz’altro pi` u naturale ma, per esempio, non ci permette di vedere tutta la superﬁcie senza che una parte venga nascosta dietro ad un’altra. Inoltre c’`e un altro problema: ci possono essere diverse immersioni, non equivalenti fra loro, dello stesso oggetto. Finora, infatti, non abbiamo ancora parlato del terzo oggetto dall’alto nella Figura 2. Ne possiamo costruire un modello partendo al solito da una striscia di tela e torcendola, questa volta, di un giro intero prima di cucire insieme i due lati indicati dalla freccia; per intenderci, l’omino piatto di Flatlandia non si accorgerebbe della diﬀerenza: la topologia `e la stessa che otterremmo senza torcere la fascia. Noi, che viviamo nello spazio euclideo tridimensionale, vediamo invece una diﬀerenza notevole fra le due immersioni: infatti le due curve che formano il bordo sono allacciate fra di loro come anelli di una catena, se operiamo la torsione di un giro, mentre non lo sono se non torciamo: ce ne possiamo rendere conto se tagliamo la fascia lungo la linea tratteggiata. (A proposito, riesce il lettore ad immaginare che cosa succede se si taglia lungo la linea tratteggiata un nastro di Moebius?). Dal punto di vista intrinseco dell’omino piatto, ci sono due sole possibilit` a di identiﬁcazione dei lati verticali della striscia: con le frecce rivolte dalla stessa parte (entrambe in su, o equivalentemente entrambe in gi` u), oppure con le frecce rivolte da parti opposte (una in su e l’altra in gi` u). Nel nostro spazio, invece, lo stesso oggetto pu`o essere immerso in inﬁniti modi diversi (identiﬁcando i lembi dopo una torsione di uno, due, . . ., n giri completi). Sempre a proposito di immersioni in spazi euclidei, si noti che il cilindro si pu`o immergere (“stirandolo”) anche in un piano, sotto forma di corona circolare. Questo non `e possibile con il nastro di Moebius: comunque proviamo a farlo, ci sar`a sempre quella specie di accavallamento del bordo che si vede nelle ﬁgure; `e forse questa la singolarit` a a cui fanno riferimento il racconto ed il ﬁlm; non si tratta per` o di una singolarit` a della superﬁcie, ma della sua proiezione su un piano. Ma al di l`a della costruzione casalinga con la striscia di tela, l’immersione del nastro di Moebius nel nostro spazio ha un fondamento matematico si-

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Figura 4. Il nastro di Moebius come luogo di segmenti

curo? S`ı, c’`e una costruzione formale, illustrata nella Figura 4: il nastro viene visto come luogo tracciato da un segmento che venga trascinato lungo una circonferenza (orizzontale in ﬁgura) e contemporaneamente ruoti di mezzo giro attorno al proprio punto medio.

Orientabilit` a La propriet`a di avere due facce come il cilindro, o una sola come il nastro di Moebius `e strettamente correlata ad un’immersione. Si pu`o, a tale proposito, notare che anche le versioni “ritorte” del cilindro presentano due facce separate dal bordo. Nello stesso modo, anche le altre possibili immersioni del nastro di Moebius (ottenute torcendo di un giro e mezzo, o due giri e mezzo, ecc.) hanno una sola faccia. Questa `e la manifestazione di un carattere importante della superﬁcie: il cilindro `e orientabile, mentre il nastro di Moebius `e non orientabile. Il carattere di orientabilit` a `e dunque associato all’immersione e non alla topologia intrinseca della superﬁcie? No: l’orientabilit` a pu`o essere deﬁnita nel modo seguente, senza considerare la superﬁcie come parte di uno spazio ambiente. Si noti che cilindro e nastro di Moebius sono molto simili localmente: per ogni punto dell’uno o dell’altro c’`e un intorno1 del punto nella superﬁcie che `e sostanzialmente un pezzo di piano (o meglio di semipiano, considerando la presenza del bordo). In ogni punto, dunque, possiamo considerare un riferimento cartesiano del pezzo di piano che ne costituisce l’intorno. Muovendoci lungo una curva sulla superﬁcie, possiamo trascinare con continuit` a, cio`e senza scatti, il riferimento. Deﬁniamo la superﬁcie orientabile se, qualunque sia il percorso chiuso che parte e arriva in uno stesso punto, il riferimento di partenza e quello d’arrivo sono coincidenti o tutt’al pi` u basta una rotazione (non un ribaltamento) per sovrapporre l’uno all’altro. Basta, per` o, che ci sia un percorso chiuso per cui questo non succede perch´e la superﬁcie sia deﬁnita non 1

Attenzione: come molte altre, la nozione di intorno `e trattata qui in modo discorsivo, ma `e in realt` a oggetto di una deﬁnizione rigorosa. Lo stesso vale per l’omeomorﬁsmo, che formalizza l’idea di somiglianza espressa nel seguito. Si veda il paragrafo “Gli strumenti adeguati”.

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Figura 5. Facciamo scorrere una lettera lungo un percorso particolare

orientabile. Il concetto pu` o essere illustrato eﬃcacemente trascinando lungo un percorso chiuso una ﬁgura che non abbia simmetria assiale, per esempio una lettera “N”. Si veda la Figura 5, dove possiamo seguire la lettera lungo un particolare percorso nel cilindro e nel nastro di Moebius; per comodit` a, lo stesso fenomeno `e riportato anche nelle loro immersioni.

Figura 6. Altre identiﬁcazioni di lati di un rettangolo

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Oltre il nastro di Moebius Possiamo estendere il trucco dello sviluppo al di l` a dei due oggetti considerati ﬁnora: infatti possiamo eseguire l’identiﬁcazione anche fra i due lati orizzontali del rettangolo. Nella Figura 6 in alto vediamo l’identiﬁcazione delle due curve di bordo del cilindro. Non `e diﬃcile immaginare una immersione della superﬁcie (senza bordo) risultante nel nostro spazio: `e il toro, quella specie di salvagente disegnato subito sotto. Le cose si complicano se eseguiamo la stessa identiﬁcazione ma partendo dal nastro di Moebius, come nella parte inferiore della Figura 6: i lati corti identiﬁcati con versi discordi, e quelli lunghi concordi. Qui la tecnica dello sviluppo `e veramente indispensabile: si segue abbastanza bene quello che pu` o succedere all’omino piatto di Flatlandia quando attraversa sia i lati verticali sia quelli orizzontali; nel caso del toro, l’immersione `e molto pi` u ostica in quanto una parte della superﬁcie ne nasconde un’altra; nel caso dell’altra identiﬁcazione l’immersione nel nostro spazio `e addirittura impossibile! La superﬁcie che si ottiene fu studiata da Felix Christian Klein (D¨ usseldorf 1849 - G¨ ottingen 1925) [4]. Si tratta di una superﬁcie senza bordo, non orientabile, chiamata bottiglia di Klein. Purtroppo non `e possibile immergere la bottiglia di Klein nel nostro spazio; `e invece possibile immergerla in uno spazio euclideo 4-dimensionale! Nel nostro spazio tridimensionale possiamo vederne solo una proiezione (Fig. 7).

Figura 7. Una proiezione tridimensionale della bottiglia di Klein

Notiamo un fatto importante: ogni proiezione bidimensionale del nastro di Moebius presenta necessariamente delle singolarit`a, cio`e punti con intorni non euclidei (vale a dire non fatti come un cerchio, eventualmente deformato con continuit` a). Nello stesso modo, anche ogni proiezione tridimensionale della bottiglia di Klein ha singolarit` a in cui ci appare come un tubo che si autointerseca; si tratta, per` o, appunto di singolarit` a della proiezione e non della superﬁcie stessa. La bottiglia di Klein ha un’altra caratteristica interessante:

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tagliandola in modo opportuno, si scompone in due nastri di Moebius. Riesce il lettore a capire come praticare il taglio? (Suggerimento: lavorare sullo sviluppo). Una considerazione di carattere combinatorio: le possibili identiﬁcazioni a coppie dei lati di un rettangolo sono in numero ﬁnito. Ignorando le diverse immersioni possibili, dal punto di vista intrinseco si pu` o dunque ottenere solo un insieme ﬁnito di oggetti. Quali saranno? Si ritroveranno, in pi` u di un modo, bottiglie di Klein e tori; inoltre si trover` a un’altra superﬁcie non orientabile e non immergibile nello spazio euclideo tridimensionale: il piano proiettivo. C’`e per`o uno schema di identiﬁcazioni che d` a luogo alla superﬁcie pi` u semplice possibile: la superﬁcie sferica. Naturalmente s’intende la sfera in senso topologico, non geometrico, cio`e a meno di deformazioni continue: la superﬁcie di una palla che pu` o essere bella tonda ma pu`o anche essere sgonﬁa ed ammaccata. Riesce il lettore a trovare questo schema di identiﬁcazioni?

Figura 8. Sviluppo del toro tridimensionale

C’`e un’altra direzione in cui generalizzare il procedimento: aumentare la dimensione. Infatti possiamo considerare un parallelepipedo, al posto del rettangolo, ed eﬀettuare un’identiﬁcazione delle facce a coppie. Un esempio `e illustrato nella Figura 8; l’oggetto che si ottiene `e localmente fatto come il nostro spazio (ma non globalmente) ed `e l’analogo tridimensionale del toro. Naturalmente non lo possiamo raﬃgurare con un’immersione e ci dobbiamo accontentare del suo sviluppo. La generalizzazione si spinge in realt` a anche alla dimensione 4 ed oltre, ma allora occorrono eﬀettivamente gli strumenti adeguati anche per una pur vaga intuizione di quello che succede.

Gli strumenti adeguati Il primo strumento adeguato per il lavoro di un matematico `e una terminologia precisamente deﬁnita. Non `e questo il luogo dove fornire le deﬁnizioni,

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ma forse `e opportuno almeno menzionare quali sono i termini corretti con cui si descrivono in modo rigoroso gli aspetti sorvolati nei paragraﬁ precedenti. Gli stessi concetti di relazione e di equivalenza, che possono sembrare tanto intuitivi da non necessitare di deﬁnizione, sono invece elementi deﬁniti con precisione nell’ambito della teoria degli insiemi. Anche le identiﬁcazioni che abbiamo visto pi` u volte hanno una formalizzazione: il passaggio a quoziente. Entriamo gi`a nella topologia quando parliamo di intorni e di continuit` a; anche immersione e proiezione sono termini deﬁniti rigorosamente. Le due relazioni di equivalenza che abbiamo confrontato nel paragrafo “Sviluppo ed immersione” sono l’omeomorﬁsmo, rispetto a cui risultano equivalenti - o, come si suol dire, omeomorﬁ - due cilindri anche se immersi in modo diverso, e l’isotopia ambientale che invece distingue le diverse immersioni. Una superﬁcie `e un caso particolare, quello della dimensione 2, di variet` a n-dimensionale, la cui deﬁnizione `e imperniata sul fatto che per ogni punto ci sia un suo intorno omeomorfo ad un intorno di un punto in uno spazio euclideo di dimensione n. Per le variet` a con bordo, come (tronco di) cilindro e nastro di Moebius, il modello `e un semispazio euclideo invece che uno spazio. Gli strumenti con cui si studiano attualmente le variet` a sono quelli della topologia algebrica, cio`e i gruppi di omotopia - in particolare il primo, detto anche gruppo fondamentale - i moduli di omologia e di coomologia, i gruppi di cobordismo e tanti altri invarianti in continuo sviluppo. Tranne la sfera ed il piano proiettivo, tutte le variet` a citate sono spazi ﬁbrati, a cui `e dedicato un importante capitolo della topologia. Un altro settore estremamente vitale `e la teoria dei nodi che studia a fondo problemi di isotopia ambientale. Molto interessante `e poi l’interazione fra la topologia di una variet` a e le strutture geometriche che si possono deﬁnire su di essa. Il fatto che le variet`a costituiscano i pi` u tipici spazi delle conﬁgurazioni e spazi delle fasi permette alla topologia di interagire con la ﬁsica matematica soprattutto attraverso la topologia diﬀerenziale, in particolare lo studio dei campi vettoriali e delle funzioni di Morse. Le prime nozioni di topologia e di topologia algebrica sono abbastanza facilmente accessibili; esiste un’ampia letteratura a diversi livelli [9, 5, 3].

Conclusioni Che cosa c’`e in un nastro di Moebius di tanto interessante da ispirare un racconto e un ﬁlm? Forse il fatto che, pur essendo facile costruirne un modello concreto, esso presenta diverse peculiarit`a apprezzabili anche solo con un’indagine superﬁciale, ma certo molto di pi` u con strumenti matematici opportuni. Inoltre oﬀre un barlume di una parte della matematica rigorosa ma meno “rigida” della geometria scolastica: la topologia.

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Riferimenti bibliograﬁci [1] E.A. Abbott (1966) Flatlandia, Adelphi, Milano [2] A.J. Deutsch (1950) A subway called Moebius, in: C. Fadiman, (ed.) Fantasia Mathematica. Ristampa: Copernicus Books, New York, 1996 [3] A. Hatcher (2002) Algebraic Topology, Cambridge Univ. Press, Cambridge UK [4] F.Ch. Klein (1882) Ueber Riemann’s Theorie der algebraischen Functionen und ihrer Integrale, Leipzig [5] C. Kosniowski (1988) Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli, Bologna [6] J.B. Listing (1862) Der Census r¨ aumlicher Complexe oder Verallgemeinerung des Euler’schen Satzes von den Polyedern, Abhandlungen der k¨ oniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu G¨ ottingen 10, mathematische Klasse, pp. 97-182 ¨ [7] A.F. M¨ obius (1865) Uber die Bestimmung des Inhalts eines Polyeders. Berichte u ¨ber die Verhandlungen der k¨ oniglich-s¨ achsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, mathematisch-physische Klasse 17, pp. 31-68. Ristampato in: A. F. M¨ obius, Gesammelte Werke t.2, Leipzig 1886, pp. 473-512 [8] G.R. Mosquera (2002) Alcune riﬂessioni sulla creazione di “Moebius”, in: M. Emmer, M. Manaresi (a cura di) Matematica, arte, tecnologia, cinema, Springer-Verlag Italia, pp. 204-210 [9] I.M. Singer, J.A. Thorpe (1980) Lezioni di topologia elementare e geometria, Boringhieri, Torino

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Cube

Cube (Canada, 1997, col, 90’) Regia: Vincenzo Natali Sceneggiatura: V. Natali, A. Bijekic Scenograﬁa: Jasua Stefanovic Montaggio: John Sanders Fotograﬁa: Derek Rogers Musica: Mark Korven Costumi: Wendy May Moore Interpreti: N. DeBoer, N. Guadagni, D. Hewlett, A. Miller, J. Richings, W. Robson, M.D. Wint Produzione: Mehre Meh per la Trimark Pictures Dibattito con Alberto Perelli (Universit` a di Genova)

Sei persone si trovano rinchiuse in un’immensa e misteriosa costruzione metallica, formata da stanze cubiche, intercomunicanti attraverso sportelli e contrassegnate da numeri di nove cifre. Alla ricerca di una via di uscita dal Cubo le persone si spostano da una stanza all’altra, ma debbono guardarsi da trappole mortali che sono situate in alcune di esse. Tra i prigionieri c’`e una studentessa di matematica, che riesce a capire che le stanze non sicure sono quelle contrassegnate da numeri primi o da potenze di numeri primi. Mentre il gruppo a poco a poco si riduce, inizia una serie di calcoli febbrili per stabilire

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quali stanze siano sicure. Il ﬁlm, del regista italo-canadese Vincenzo Natali, ha vinto numerosi premi a festival internazionali. Nel 2000 `e stato uno dei pi` u apprezzati della rassegna Matematica e Cinema, cui `e intervenuto il consulente matematico del ﬁlm, David Pravica. Si tratta di un ﬁlm angosciante e con un fondo di pessimismo sulla stupidit` a umana, attenuato solo in parte da una nota di ﬁducia nelle capacit` a e nella forza d’animo della giovane studentessa di matematica. La pellicola, tuttavia, oﬀre lo spunto per parlare di numeri primi, capitolo antichissimo ma sempre molto attuale della matematica, importante anche per le numerose applicazioni. L’articolo di Alberto Perelli illustra alcune famose congetture concernenti i numeri primi e alcune applicazioni di risultati noti riguardanti tali numeri. Per approfondimenti: M. Du Satoy (2003) The music of the primes, Fourth Estate, UK - HarperCollins, US, ed. italiana: L’enigma dei numeri primi, Rizzoli, 2004 M. Emmer (2002) Il cubo, in: M. Emmer, M. Manaresi (a cura di) Matematica, Arte, Tecnologia, Cinema, Springer-Verlag Italia, Milano, p. 228 M. Emmer (2003) Recensioni di Cube (regia di V. Natali) e Hypercube (regia di A. Sekula), in: Bollettino U.M.I., La Matematica nella Societ` a e nella Cultura, Serie VIII, vol. VI-A, pp. 183-190 A. Languasco, A. Perelli (2002) Crittograﬁa e ﬁrma digitale, in: M. Emmer, M. Manaresi (a cura di) Matematica, Arte, Tecnologia, Cinema, SpringerVerlag Italia, Milano, pp. 99-106 J.J. O’Connor, E.F. Robertson Prime numbers http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/∼history/HistTopics/Prime numbers.html

D.W. Pravica, H.L. Ries (2002) La Matematica di “Cube”, in: M. Emmer, M. Manaresi (a cura di) Matematica, Arte, Tecnologia, Cinema, SpringerVerlag Italia, Milano, pp. 223-227 (2002) Intervista a Vincenzo Natali, in: M. Emmer, M. Manaresi (a cura di) Matematica, Arte, Tecnologia, Cinema, Springer-Verlag Italia, Milano, pp. 221-222 Ulteriori indirizzi web si possono trovare visitando il sito del progetto: http://www.dm.unibo.it/socrates/cinema/cube.html

Cube: un’occasione per parlare di numeri primi Alberto Perelli Dipartimento di Matematica, Universit` a di Genova via Dodecaneso 35, 16146 Genova [email protected]

Alcuni personaggi, tra cui una studentessa di matematica, si trovano inspiegabilmente rinchiusi in un misterioso ediﬁcio a forma di grande cubo. Il Cubo `e suddiviso in tante stanze cubiche pi` u piccole, ognuna con un’apertura per lato da cui si pu` o passare alle stanze adiacenti. Alcune stanze sono ﬁsse mentre altre possono scorrere e cambiare posizione; in questo modo la struttura interna del Cubo `e periodicamente in movimento. La situazione `e ulteriormente complicata dal fatto che alcune delle stanze contengono trabocchetti mortali ai quali `e praticamente impossibile sfuggire una volta entrati. Nel disperato tentativo di trovare una via di uscita dal Cubo, i personaggi cercano di capire se e come si possa prevedere se la stanza in cui si sta per entrare sia sicura o no. Ben presto i prigionieri del Cubo si rendono conto a loro spese che tale previsione non `e aﬀatto facile, ma ad un certo punto la studentessa di matematica nota che ogni apertura `e contrassegnata da un numero di nove cifre e osserva che le aperture contrassegnate da numeri primi hanno condotto a stanze non sicure. In seguito la studentessa si accorger`a che in realt`a le stanze non sicure sono contrassegnate da potenze di numeri primi; inizia quindi, con l’aiuto dell’immancabile “calcolatore umano” alla Rain Man, una serie di febbrili calcoli per testare la sicurezza delle stanze in cui man mano si decide di passare; alla ﬁne i superstiti riusciranno a individuare una via di uscita. Questa `e, in estrema sintesi e in buona approssimazione, la trama del ﬁlm Cube del regista italo-canadese Vincenzo Natali. Il punto per noi interessante `e che il ﬁlm rappresenta un’ottima occasione per fare una passeggiata nel mondo dei numeri primi; un mondo tradizionalmente racchiuso nell’universo della matematica pura, ma che in tempi recenti ha dato importanti contributi allo sviluppo delle telecomunicazioni.

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Alberto Perelli

Numeri primi La deﬁnizione tradizionale ed elementare di numero primo `e la seguente: un intero positivo p `e primo se `e divisibile solo per 1 e per se stesso; i primi numeri primi sono 2 (unico numero primo pari), 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . . Esistono poi molte propriet` a che caratterizzano i numeri primi e che possono essere quindi utilizzate come deﬁnizioni alternative; il lettore ne pu` o trovare alcune nelle prime pagine dell’interessante articolo di Zagier [12]. I numeri primi hanno da sempre suscitato l’interesse dei matematici; gli antichi Greci ne hanno scoperto alcune propriet` a fondamentali, in particolare il Teorema Fondamentale dell’Aritmetica. Ogni intero si fattorizza in modo unico come prodotto di numeri primi. As esempio, il numero 24 si fattorizza come 24 = 23 · 3, e non `e possibile scrivere 24 come prodotto di numeri primi in modo diverso da quello appena scritto; in altre parole, i numeri primi sono i “mattoni” con cui si costruiscono ` interessante notare che la propriet` tutti i numeri interi. E a di fattorizzazione unica degli interi `e alla base di molte altre simili propriet` a in contesti decisa` interessante notare inoltre che, sebbene i mente pi` u avanzati e soﬁsticati. E Greci conoscessero bene e utilizzassero la propriet`a di fattorizzazione unica, il primo enunciato formale del Teorema Fondamentale dell’Aritmetica con relativa dimostrazione appare nella famosa opera Disquisitiones Arithmeticae di Gauss, dei primi dell’Ottocento. La fattorizzazione unica ha molte interessanti conseguenze; una delle pi` u √ 2, che si dimostra per assurdo come semplici `e la ben nota irrazionalit` a di √ √ segue. Supponiamo che 2 sia razionale, ovvero che si possa scrivere √ 2 = a/b con a, b numeri interi. Moltiplicando per b si ottiene allora che 2b = a, ed elevando al quadrato si deduce inﬁne che 2b2 = a2 . Ma questo `e in contraddizione con la fattorizzazione unica, in quanto al lato sinistro dell’equazione il numero primo 2 compare con esponente dispari, mentre al lato destro compare con esponente pari. Come gi`a osservato sopra, la propriet` a di fattorizzazione unica degli interi `e stata sostanzialmente data per scontata dai tempi degli antichi Greci ﬁno ai primi dell’Ottocento. In eﬀetti, la dimostrazione `e semplice, in particolare quella dell’esistenza della fattorizzazione, ma non banale, specialmente per quanto riguarda l’unicit` a. Sono infatti ben noti sistemi numerici molto semplici per i quali la fattorizzazione esiste ma non `e unica. Un esempio classico, dovuto a Hilbert, `e il seguente. Si considerino gli interi della forma 4k + 1 con k = 0, 1, 2, 3, . . .; questi numeri formano un “sistema numerico” chiuso rispetto alla moltiplicazione (e quindi simile al sistema formato da tutti gli interi positivi), ma la fattorizzazione unica non vale. Infatti si ha 693 = 9 · 77 = 21 · 33, e 9, 77, 21 e 33 sono “primi” in tale sistema, nel senso che non possono essere ` da notare che, in contrasto con il caso di tutti ulteriormente fattorizzati. E

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gli interi positivi, questo sistema numerico non `e chiuso rispetto all’addizione; tale piccola diﬀerenza `e cruciale per il problema della fattorizzazione unica, in quanto le propriet` a additive entrano in gioco nella dimostrazione del Teorema Fondamentale dell’Aritmetica. Un’altra domanda che i Greci si posero, e a cui diedero una risposta, `e: esiste un numero ﬁnito o inﬁnito di primi? Il fatto che gli interi si fattorizzino come prodotto di numeri primi suggerisce che esistano inﬁniti numeri primi, e la conferma `e data dal famoso Teorema di Euclide. Esistono inﬁniti numeri primi. La dimostrazione originale del teorema di Euclide `e a ragione considerata un piccolo gioiello della matematica; la riportiamo di seguito, e rimandiamo al capitolo I del libro Aigner-Ziegler [1] per altre cinque semplici dimostrazioni. Supponiamo che esista solo un numero ﬁnito di primi, siano essi p1 , p2 , . . . , pk . Consideriamo allora il numero N = p1 · · · pk + 1; chiaramente N > pk , quindi N non `e primo. Ma altrettanto chiaramente N non `e divisibile per alcuno dei primi p1 , . . . , pk , quindi N non `e neanche composto, assurdo. Parallelamente alle questioni di carattere prettamente teorico appena discusse, i Greci si posero anche il problema, pi` u “concreto”, di esibire esplicitamente i numeri primi. Il crivello di Eratostene `e un metodo molto semplice per la ricerca dei numeri primi basato sulla seguente ovvia osservazione: se √ un dato intero n non `e divisibile per alcun numero primo ﬁno a n, allora n `e un numero primo; l’osservazione `e ovvia in quanto √ ogni intero composto n deve necessariamente avere un divisore primo ≤ n. Il crivello di Eratostene consente allora di determinare tutti i numeri primi ﬁno a un dato limite N nel modo seguente. Si scrivono tutti gli interi da 2 a N ; si seleziona 2 (il primo numero primo) e si cancellano tutti i suoi multipli; si seleziona il primo intero non cancellato (in questo caso 3, il secondo numero primo) e si cancellano tutti i suoi multipli; si ripete questa operazione con il successivo intero √ non cancellato (ovvero 5) e cos`ı via ﬁno a N . Per quanto osservato sopra, i numeri non cancellati sono tutti e soli i numeri primi ﬁno a N . Il crivello di Eratostene `e stato ed `e tuttora utilizzato per costruire le tavole dei numeri primi; ovviamente, esso pu`o essere utilizzato anche per stabilire se un dato numero `e primo. Come gi`a osservato, il crivello di Eratostene `e un algoritmo molto semplice, ma `e anche molto “lento”, nel senso che richiede una notevole quantit` a di calcoli; nel linguaggio dell’informatica si usa dire che tale algoritmo ha elevata complessit` a computazionale. Ci`o nonostante il crivello di Eratostene rimane sostanzialmente il miglior algoritmo a disposizione per la costruzione delle tavole dei numeri primi; sono stati invece ideati test

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di primalit` a, ovvero algoritmi per veriﬁcare se un dato intero `e primo, sensibilmente pi` u veloci, basati su argomenti teorici decisamente pi` u soﬁsticati; vedremo pi` u avanti, quando parleremo (molto brevemente) della crittograﬁa, la rilevanza applicativa dei moderni test di primalit` a. Questo `e esattamente il punto di collegamento con il ﬁlm Cube: la studentessa di matematica, coadiuvata dal “calcolatore umano”, applica appunto un test di primalit` a ai numeri che contrassegnano le aperture per capire se esse conducono a stanze sicure. Per secoli, dopo il teorema di Euclide, non vi fu un vero progresso nello studio della distribuzione dei numeri primi tra gli interi; gli sforzi si concentravano sulla ricerca di una qualche formula che fornisse i numeri primi, ma tali sforzi erano destinati al fallimento. Talvolta accade che quando non si riesce a dare una risposta a una domanda si abbia maggior successo cambiando tipo di domanda. Nel nostro caso la “domanda giusta” fu posta da Gauss verso la ﬁne del Settecento, suggerendo di studiare il comportamento asintotico, per x → ∞, della funzione π(x) che conta il numero dei numeri primi ﬁno a x. Basandosi su un’ingegnosa analisi delle tavole dei numeri primi a sua disposizione, Gauss congettur`o che x π(x) ∼ , log x ovvero che il rapporto tra π(x) e la funzione x/ log x tende a 1 per x → ∞. La congettura di Gauss stimol` o la ricerca in questa nuova direzione. Fino alla met`a dell’Ottocento la distribuzione dei numeri primi venne studiata con metodi molto ingegnosi ma elementari, ovvero facenti uso di strumenti di analisi reale e dell’aritmetica. Il culmine di tali ricerche fu toccato verso la met`a dell’Ottocento ed `e rappresentato dal Teorema di Chebyshev. Esistono due costanti 0 < a < 1 < b tali che per x suﬃcientemente grande x x ≤ π(x) ≤ b . a log x log x In altre parole, il teorema di Chebyshev stabilisce che l’ordine di grandezza della funzione π(x) `e x/ log x, e rappresenta una prima approssimazione alla congettura di Gauss. Infatti, la congettura di Gauss seguirebbe se si fosse in grado di provare che le costanti a e b del teorema di Chebyshev possono essere scelte arbitrariamente vicine a 1 (ovvero: a = 1 − ε e b = 1 + ε con ε > 0 arbitrariamente piccolo, e x suﬃcientemente grande in dipendenza da ε), ma le idee introdotte da Chebyshev non sembrano in grado di poter raggiungere un tale traguardo. ¨ Nel 1859 esce il fondamentale lavoro di Riemann Uber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr¨ osse (Sul numero di numeri primi minori di una data grandezza), e con esso l’analisi complessa entra prepotentemente sulla scena dei numeri primi. I numeri primi sono particolari esempi di

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numeri reali, e i numeri reali possono essere rappresentati geometricamente come i punti di una retta. L’analisi reale studia le propriet` a delle funzioni reali, ovvero deﬁnite sui numeri reali; poich´e π(x) `e una funzione reale, l’uso dell’analisi reale `e del tutto naturale nello studio di π(x). La retta reale pu`o essere pensata come asse delle ascisse del piano cartesiano, e il piano cartesiano `e una rappresentazione geometrica dei numeri complessi, ovvero dei numeri della forma a + ib con i numero immaginario deﬁnito dalla propriea delle funzioni deﬁnite sui t`a i2 = −1. L’analisi complessa studia le propriet` numeri complessi; il suo utilizzo nello studio della funzione π(x) rappresenta quindi un salto di qualit` a nei metodi di attacco al problema della distribuzione dei numeri primi. Molto sinteticamente, l’idea di Riemann parte dall’identit` a di Eulero ∞ 1 1 = (1 − s )−1 s n p p n=1

valida per tutti i numeri reali s > 1. L’importanza dell’identit` a di Eulero deriva dal fatto che il lato destro `e un prodotto (inﬁnito) in cui compaiono solo i numeri primi p, mentre il lato sinistro `e una somma (inﬁnita) estesa a tutti gli interi positivi n, e quindi i numeri primi non compaiono pi` u esplicitamente. Osserviamo per inciso che la dimostrazione dell’identit` a di Eulero si basa sul teorema di fattorizzazione unica; di pi` u, essa rappresenta una formulazione analitica della fattorizzazione unica. Riemann considera l’identit` a di Eulero come un’identit` a tra funzioni di variabile complessa e intuisce che se si riuscissero a stabilire certe propriet`a di tali funzioni, allora si potrebbero dedurre notevoli conseguenze sulla distribuzione dei numeri primi, in particolare la congettura di Gauss; inoltre, il fatto che al lato sinistro dell’identit` a di Eulero non appaiano esplicitamente i numeri primi oﬀre a Riemann l’eﬀettiva possibilit`a di stabilire molte delle propriet` a richieste. In altre parole, le propriet` a della funzione zeta di Riemann ζ(s) =

∞ 1 ns n=1

come funzione della variabile complessa s possono essere utilizzate, tramite l’identit` a di Eulero, per studiare la distribuzione dei numeri primi. Nel suo unico lavoro in teoria dei numeri Riemann stabilisce molte delle principali propriet` a delle funzione ζ(s), ma non tutte quelle necessarie per dimostrare la congettura di Gauss. Il suo programma viene portato a termine indipendentemente da Hadamard e de la Valle´e Poussin, che nel 1896 dimostrano il Teorema dei Numeri Primi, come viene oggi chiamata la congettura di Gauss. In seguito, il metodo di Riemann, ovvero l’utilizzo dell’analisi complessa nello studio dei numeri primi, `e stato sviluppato da generazioni di brillanti matematici e ha portato alla creazione di una disciplina, la teoria analitica dei numeri, in cui un vasto spettro di problemi della teoria dei nu-

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meri viene aﬀrontato con una variet` a di tecniche analitiche. Il successo del metodo di Riemann fu tale che le tecniche elementari passarono progressivamente in secondo piano: i metodi analitici non solo fornivano risultati pi` u forti, ma erano anche concettualmente pi` u semplici. Nella prima met`a del Novecento si diﬀuse addirittura la convinzione, soprattutto grazie all’inﬂuenza dell’insigne matematico inglese G.H. Hardy, che il Teorema dei Numeri Primi potesse essere dimostrato soltanto con metodi analitici. Sostanzialmente, tale convinzione si basava sul fatto che il Teorema dei Numeri Primi `e equivalente a una certa propriet` a di non annullamento della funzione zeta di Riemann; Hardy riteneva che la dimostrazione di una tale propriet` a dovesse necessariamente coinvolgere l’uso dell’analisi complessa. Nel 1949 dest`o grande stupore la dimostrazione da parte di A. Selberg e P. Erd¨ os del Teorema dei Numeri Primi con metodi elementari, ovvero per mezzo ` da notare che in di argomenti aritmetici e con strumenti di analisi reale. E questo contesto “elementare” non signiﬁca aﬀatto “facile”: infatti, come gi`a accennato in precedenza, i metodi di Selberg ed Erd¨ os sono concettualmente pi` u soﬁsticati di quelli analitici. Concludiamo ricordando che il successo della funzione zeta di Riemann in teoria dei numeri primi ha fortemente contribuito alla nascita di una grande variet`a di funzioni di variabile complessa con caratteristiche simili alla funzione ζ(s), chiamate funzioni L. Attualmente vengono deﬁnite opportune funzioni L in vari contesti (aritmetici, algebrici, geometrici, . . . ) nel tentativo, spesso coronato da successo, di ottenere informazioni sulle strutture in oggetto mediante lo studio delle propriet` a analitiche delle funzioni L; ricordiamo, a titolo di esempio, che sono stati ottenuti brillanti risultati sulla distribuzione dei numeri primi nelle progressioni aritmetiche, sulla struttura dei campi di numeri algebrici e sullo studio delle equazioni diofantee. A completare il panorama delle funzioni L, sono state parallelamente introdotte le funzioni L automorfe, associate alle forme modulari e, pi` u in generale, alle rappresentazioni automorfe. Tali funzioni sono di natura apparentemente diversa dalle precedenti, ma il programma di Langlands, una congettura di vasto respiro, predice che le funzioni L automorfe siamo l’elemento uniﬁcatore della teoria delle funzioni L, nel senso che ogni funzione L sia in realt`a una funzione L automorfa. A tal proposito ricordiamo soltanto che un caso speciale (ma particolarmente importante) del programma di Langlands, riguardante le funzioni L associate alle curve ellittiche, `e alla base della dimostrazione di Andrew Wiles dell’Ultimo Teorema di Fermat.

Alcuni problemi aperti La teoria dei numeri primi, come del resto quasi tutte le discipline matematiche, pullula di problemi aperti; alcuni, per quanto aperti da decenni o

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addirittura da secoli, vengono considerati poco pi` u che curiosit`a (ad esempio l’esistenza di numeri perfetti dispari; ricordiamo che un numero n si dice perfetto se `e uguale alla somma dei suoi divisori, escluso il numero n stesso) e non ricevono grande attenzione dai matematici professionisti, mentre altri hanno rappresentato (e tuttora rappresentano) l’obiettivo primario di generazioni di matematici. Ovviamente la distinzione tra un problema aperto importante e uno meno importante ha una componente soggettiva, ma ci` o che generalmente ne valuta l’importanza `e quanto la sua soluzione si presume possa sviluppare le conoscenze matematiche. Vediamo allora alcuni dei problemi aperti classici in teoria dei numeri primi, la cui importanza `e ampiamente riconosciuta. Ci limitiamo a illustrare brevemente due problemi, l’Ipotesi di Riemann e il problema dei numeri primi rappresentati dai polinomi, mentre rimandiamo all’articolo di Umberto Zannier in questo volume per una panoramica sul problema di Goldbach, ovvero il problema della rappresentazione dei numeri pari (≥ 4) come somma di due numeri primi. Qui ricordiamo soltanto che la diﬃcolt` a del problema di Goldbach `e dovuta al fatto che i numeri primi sono deﬁniti tramite propriet`a moltiplicative, mentre il problema riguarda propriet` a additive dei numeri primi. Ricordiamo inoltre che un problema strutturalmente simile a quello di Goldbach `e il problema dei primi gemelli, ovvero l’esistenza di inﬁniti numeri primi p tali che p+2 sia ancora primo (ad es. 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19, . . . ). L’Ipotesi di Riemann, generalmente riconosciuta come il pi` u importante problema attualmente aperto della matematica, pu` o essere espressa in vari modi. La formulazione pi` u elementare riguarda la qualit` a dell’approssimazione di π(x) (che conta il numero dei primi ﬁno a x) per mezzo della funzione x/ log x. In realt`a, per essere precisi si deve considerare come approssimazione di π(x) la funzione logaritmo integrale li(x) deﬁnita da x dt ; li(x) = log t 2 `e noto infatti che tale funzione fornisce una migliore approssimazione rispetto a x/ log x, pur avendone lo stesso ordine di grandezza. Il problema `e quindi stimare l’ordine di grandezza del termine di errore R(x) = π(x) − li(x), ovvero l’errore che si compie approssimando π(x) mediante li(x). I migliori risultati noti in questa direzione sono decisamente insoddisfacenti, poich´e forniscono stime (senza entrare troppo nel dettaglio) non molto migliori di R(x) ≤ xe− √

√

log x

(ricordiamo che la funzione e log x cresce pi` u lentamente di ogni potenza di x); d’altra parte, `e noto che R(x) non pu` o avere ordine di grandezza inferiore

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√ a x. L’Ipotesi di Riemann predice che l’ordine di grandezza del termine di √ errore R(x) sia essenzialmente x. Una formulazione equivalente dell’Ipotesi di Riemann riguarda la distribuzione degli zeri complessi della funzione ζ(s) (ovvero dei valori s tali che ζ(s) = 0); precisamente, essa predice che tali zeri siano tutti sulla linea critica (ovvero la retta deﬁnita da s = 12 ). Questa formulazione, pur essendo meno intuitiva della precedente, `e probabilmente pi` u signiﬁcativa in quanto porta direttamente al cuore della teoria della funzione ζ(s) (e pi` u in generale delle funzioni L), ovvero al problema della natura degli zeri, attualmente misteriosa. Il Teorema dei Numeri Primi determina (quantomeno in prima approssimazione) la legge di distribuzione dei numeri primi tra i numeri naturali. Le tecniche su cui `e basata la sua dimostrazione possono essere opportunamente modiﬁcate per studiare la distribuzione dei numeri primi nelle progressioni aritmetiche. Il risultato che si ottiene `e analogo al Teorema dei Numeri Primi; in particolare si dimostra che ogni progressione aritmetica nq + a (a e q ﬁssati e n = 1, 2, 3, . . .) con q e a primi tra loro contiene inﬁniti numeri primi. Poich´e le progressioni aritmetiche sono i polinomi di grado 1 a coeﬃcienti interi, `e naturale chiedere se un risultato analogo valga in generale per i polinomi, ovvero se i valori di un polinomio sono numeri primi inﬁnite volte. ` chiaro per`o che occorre imporre qualche limitazione, in quanto un poliE nomio che si fattorizza come prodotto di altri polinomi (ovvero un polinomio riducibile) non pu` o rappresentare inﬁniti numeri primi. Operando una piccola sempliﬁcazione, il problema `e allora: `e vero che ogni polinomio irriducibile rappresenta inﬁniti numeri primi? Congetturalmente la risposta `e aﬀermativa, ma le tecniche che portano al Teorema dei Numeri Primi, e relative varianti per le progressioni aritmetiche, non funzionano nel caso dei polinomi di grado ≥ 2; l’attuale situazione `e mortiﬁcante: non solo non `e noto alcun esempio di polinomio irriducibile con grado ≥ 2 che rappresenti inﬁniti numeri primi, ma non si riesce neppure a dimostrare che un tale polinomio esiste (senza esibirlo esplicitamente). La diﬃcolt`a del problema deriva dal fatto che i valori di un polinomio di grado ≥ 2 formano una successione sparsa (ﬁno a x ci sono circa 1 x d valori di un polinomio di grado d), e le tecniche attualmente note mal si adattano allo studio dei numeri primi in successioni sparse.

Una recente applicazione Come accennato nell’introduzione, in tempi recenti i numeri primi hanno avuto importanti applicazioni nel campo delle telecomunicazioni; precisamente, essi sono stati utilizzati per la costruzione di algoritmi crittograﬁci a chiave pubblica. Ricordiamo molto brevemente che la crittograﬁa si occupa della trasmissione sicura dell’informazione (da sempre di grande importanza nel mondo della ﬁnanza, del commercio, della sicurezza militare, . . . ), e

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la crittograﬁa a chiave pubblica, nata negli anni Settanta, `e sostanzialmente caratterizzata dal fatto che le chiavi di cifratura/decifratura (che nella crittograﬁa classica vengono preventivamente e segretamente concordate tra gli utenti) possono tranquillamente essere rese pubbliche senza che ci`o ne comprometta la sicurezza. Una tale possibilit` a rende molto pi` u ﬂessibili i sistemi crittograﬁci, che possono di conseguenza essere utilizzati su scala molto pi` u vasta (ad esempio su Internet) e con diverse ﬁnalit`a (ad esempio per realizzare la ﬁrma digitale). Descriviamo brevemente il metodo crittograﬁco RSA (Rivest-Shamir-Adleman, 1978), che pu` o essere considerato il prototipo degli algoritmi crittograﬁci a chiave pubblica e che, appunto, `e basato sui numeri primi. Ogni utente sceglie due numeri primi molto grandi p e q (di circa 300 cifre) e calcola N = pq

φ(N ) = (p − 1)(q − 1);

sceglie inoltre un intero e coprimo con φ(N ) e calcola l’intero d tale che de ≡ 1 (mod φ(N )). Osserviamo che tali operazioni hanno bassa complessit` a computazionale (ovvero i computers eseguono velocemente tali operazioni). A questo punto la chiave pubblica di ogni utente `e costituita dai due numeri N ed e (tali numeri vengono resi pubblici a tutti gli utenti), mentre ogni utente tiene segreti i numeri p, q e d, la chiave privata. Il metodo crittograﬁco RSA funziona nel modo seguente. Un utente che voglia inviare un messaggio M (che possiamo pensare espresso mediante una stringa di cifre, quindi mediante un numero) a un altro utente B opera la cifratura di M C = M eB (mod NB ) e invia C all’utente B; notare che A `e in possesso della chiave pubblica di B costituita dai numeri NB ed eB e pu` o quindi calcolare C. Per riottenere il messaggio originale M , l’utente B opera la decifratura di C M = C dB (mod NB ) utilizzando la propria chiave segreta dB , e ﬁnalmente legge il messaggio M ; osserviamo che l’ultima equazione vale grazie al teorema di Fermat-Eulero, un famoso risultato in teoria elementare dei numeri. A questo punto `e naturale chiedersi: perch´e il metodo RSA `e sicuro? Il fatto `e che per decifrare (ovvero per calcolare M a partire da C) `e necessario conoscere dB , facente parte della chiave privata di B; ma per calcolare dB `e necessario conoscere φ(NB ), e per il calcolo di φ(NB ) `e necessario fattorizzare NB . In altre parole, a partire dai dati della chiave pubblica `e possibile in linea di principio calcolare i dati necessari per la decifratura, ma per far questo `e necessario fattorizzare un numero molto grande; la sicurezza del metodo RSA risiede nell’elevata complessit` a computazionale degli algoritmi di fattorizzazione attualmente noti: la decifratura `e possibile in linea di principio, ma in pratica richiede un tempo enorme, il che rende di fatto sicuro il metodo

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RSA. Ad esempio, un supercomputer impiega parecchi mesi per fattorizzare un numero prodotto di due primi che un normale personal computer impiega pochi secondi a calcolare. Osserviamo che la sicurezza e la praticit`a del metodo RSA dipendono in ultima analisi dalla marcata diﬀerenza tra la complessit`a computazionale degli attuali test di primalit` a (che si utilizzano per costruire i primi p e q) e quella degli attuali algoritmi di fattorizzazione (che si devono usare per decifrare se non si ha a disposizione la chiave privata); osserviamo inﬁne che si congettura che la complessit`a computazionale degli algoritmi di fattorizzazione sia genuinamente molto elevata (ovvero anche il migliore possibile di tali algoritmi avr` a complessit`a computazionale elevata), ma al momento tale congettura `e aperta: `e quindi teoricamente possibile che venga scoperto un algoritmo di fattorizzazione veloce, con le conseguenze che si possono facilmente immaginare.

Letture consigliate Un’ottima introduzione (in lingua italiana) alla teoria elementare dei numeri, contenente tra l’altro le propriet` a aritmetiche fondamentali dei numeri primi, `e il Davenport [3]; il classicissimo Hardy-Wright [5] fornisce una panoramica decisamente pi` u completa della teoria elementare dei numeri. Questi due testi sono accessibili a motivati studenti liceali in quanto non richiedono particolari prerequisiti matematici; un’ulteriore lettura che non richiede prerequisiti `e l’interessante libro di Conway-Guy [2] (in lingua italiana), in cui sono presentati a un livello molto accessibile vari argomenti e problemi legati alla teoria dei numeri. I testi che seguono richiedono invece quantomeno alcuni strumenti di livello universitario, in particolare le nozioni fondamentali dell’analisi complessa. Un’interessante panoramica sulla moderna teoria dei numeri primi `e contenuta in Tenenbaum-Mend`es France [10]; questo libro non si soﬀerma molto sugli aspetti tecnici ed `e quindi accessibile anche a un pubblico senza una formazione matematica universitaria. Il testo successivo `e Ingham [6], che contiene un’introduzione alla classica teoria analitica dei numeri primi. Il livello sale con il Davenport [4], che contiene anche risultati avanzati relativi alla distribuzione dei numeri primi nelle progressioni aritmetiche, e soprattutto con il recente trattato di Iwaniec-Kowalski [7], che copre una rilevante parte della moderna teoria analitica dei numeri; questo testo richiede una notevole quantit` a di conoscenze matematiche, inclusa una buona preparazione di base in teoria dei numeri. Per quanto riguarda la funzione zeta di Riemann, il testo di riferimento classico `e il Titchmarsh [11]. Inﬁne, per approfondimenti della crittograﬁa e relative connessioni con la teoria dei numeri rimandiamo al classico Koblitz [8], e al recente Languasco-Zaccagnini [9] per un’ottima introduzione in lingua italiana.

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In conclusione desidero ringraziare Alessandro Languasco per un’attenta lettura del manoscritto e per alcuni utili suggerimenti e chiarimenti.

Riferimenti bibliograﬁci [1] M. Aigner, G.M. Ziegler (1999) Proofs from the Book, seconda edizione, Springer Verlag, Berlin [2] J.H. Conway, R.K. Guy (1999) Il Libro dei Numeri, Hoepli, Milano [3] H. Davenport (1994) Aritmetica Superiore, Zanichelli, Bologna [4] H. Davenport (1980) Multiplicative Number Theory, seconda edizione, Springer Verlag, New York [5] G.H. Hardy, E.M. Wright (1979) An Introduction to the Theory of Numbers, quinta edizione, Oxford University Press, Oxford [6] A.E. Ingham (1990) The Distribution of Prime Numbers, Cambridge University Press, Cambridge [7] H. Iwaniec, E. Kowalski (2004) Analytic Number Theory, American Mathematical Society Publications, Providence [8] N. Koblitz (1994) A Course in Number Theory and Cryptography, seconda edizione, Springer Verlag, New York [9] A. Languasco, A. Zaccagnini (2004) Introduzione alla Crittograﬁa, Hoepli, Milano [10] G. Tenenbaum, M. Mend`es France (2000) The Prime Numbers and their Distribution, American Mathematical Society Publications, Providence [11] E.C. Titchmarsh (1986) The Theory of the Riemann Zeta-function, seconda edizione, Oxford University Press, Oxford [12] D. Zagier (1977) Die ersten 50 Millionen Primzahlen, supplemento alla rivista Elemente der Mathematik, Birkh¨ auser, Basel

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L’amore ha due facce

L’amore ha due facce (The mirror has two faces, USA, 1996, col, 126’) Regia: Barbra Streisand Soggetto e sceneggiatura: Richard LaGravenese Scenograﬁe: Tom John Montaggio: Jeﬀ Werner Fotograﬁa: Dante Spinotti, Andrzej Bartkowiak Musica: Marvin Hamlisch Costumi: Theoni V. Aldredge Interpreti: Jeﬀ Bridges, Barbra Streisand, Pierce Brosnan, George Segal, Mimi Rogers, Lauren Bacall, Brenda Vaccaro, Austin Pendleton, Elle Macpherson Produzione: Barbra Streisand, Arnon Milchan Dibattito con Michele Emmer (Universit` a Roma La Sapienza)

Dopo una serie di ﬁlm drammatici, una commedia brillante in cui uno dei protagonisti `e un matematico. Ancora una volta al cinema lo stereotipo di un docente di matematica con grosse diﬃcolt`a a comunicare con gli altri, in

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particolare con i propri studenti. Il protagonista maschile (Jeﬀ Bridges) `e un matematico, professore della Columbia University, che, pur attraente ﬁsicamente, `e noioso e incapace di appassionare gli allievi alla sua materia. Gli si contrappone la protagonista femminile (Barbra Streisand), una non pi` u giovane professoressa di letteratura della stessa Universit`a, che, sebbene “bruttina e zitella”, `e molto amata dagli studenti per le sue lezioni brillanti e divertenti. Spiritosa e intelligente, la professoressa di letteratura riuscir` a in qualche modo a cambiare il collega matematico, inizialmente convinto che il sesso rovini i rapporti uomo-donna e per questo alla ricerca di una compagna con cui condividere solo interessi culturali e amicizia. Il ﬁlm, che prende spunto dal francese Le Miroir ` a Deux Faces (1958) di A. Cayatte, `e una commedia brillante il cui punto di forza `e costituito da un formidabile gruppo di attori non protagonisti, tra i quali ci limitiamo a citare Mimi Rogers e Lauren Bacall, rispettivamente la sorella bella e ruba-uomini e la madre con un passato di grande fascino e bellezza della protagonista. Alla matematica il ﬁlm ricorre solo per disegnare un uomo goﬀo e fuori dal mondo, anche se tra gli argomenti matematici che vengono citati ci sono ancora una volta i numeri primi, in particolare la congettura dei primi gemelli: esistono inﬁniti numeri primi p tali che p+2 sia ancora primo (ad esempio 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19, . . . ). L’articolo di Emmer oﬀre una panoramica delle commedie brillanti in cui si parla di matematica o in cui uno dei protagonisti `e un matematico, mentre per referenze sui numeri primi si rimanda ai lavori di Perelli e Zannier in questo volume. Per approfondimenti: M. Emmer (2001) I matematici al cinema, in: M. Emmer (a cura di) Matematica e Cultura 2001, Springer-Verlag Italia, Milano, pp. 181-198 M. Emmer (2002) I matematici al cinema, in: M. Emmer, M. Manaresi (a cura di) Matematica, Arte, Tecnologia, Cinema, Springer-Verlag Italia, Milano, pp. 169-199 M. Emmer (2003) Mathematics and Cinema, in: M. Emmer, M. Manaresi (eds) Mathematics, Art, Tecnology and Cinema, Springer-Verlag, BerlinHeidelberg, pp. 109-137 G.H. Hardy (1941) A Mathematician’s Apology, Cambridge Univ. Press, Cambridge; ed. italiana: Apologia di un matematico, Garzanti, Milano, 2002 R. Osserman (2002) La matematica al centro della scena, in: M. Emmer (a cura di) Matematica e Cultura 2002, Springer-Verlag Italia, Milano, pp. 85-99 Ulteriori indirizzi web si possono trovare visitando il sito del progetto: http://www.dm.unibo.it/socrates/cinema/lamorehaduefacce.html

La matematica divertente? Michele Emmer Dipartimento di Matematica, Universit` a di Roma “La Sapienza” P.le Aldo Moro 2, 00185 Roma [email protected]

“Insegnante: Spero che la matematica vi piaccia e spero che potremo lavorare bene insieme pur tentando continuamente di risolvere problemi. . . S`ı, cominciamo a conoscerci. . . Se c’`e qualcuno che ha delle domande da fare lo faccia senza timore. Studente: ecco io parlo a nome di un gruppo di lavoro interdisciplinare che si `e formato per studiare il rapporto tra scienza, arte e letteratura. Ecco noi volevamo chiedere qualcosa riguardo il quadrato magico raﬃgurato nell’incisione di Albrecht D¨ urer Melencolia I. Insegnante: S`ı, Melencolia, me lo ricordo. Studente: Pare che nel Rinascimento si fosse convinti che il quadrato magico di ordine quattro potesse scacciare sentimenti come la malinconia e la tristezza. Insegnante: Ah s`ı! Interessante. Quindi. . . Studente: Vede il professore ci ha detto che D¨ urer ha ﬁssato in basso la data del quadro che `e infatti stato composto nel 1514. Mi sta seguendo? Insegnante: S`ı. Studente: Ecco noi vorremmo sapere come fa a dare sempre 34 sommando ogni riga e ogni colonna e ogni diagonale. Insegnante: d`a sempre 34. . . Studente: S`ı, se lei ce lo pu`o far vedere. Insegnante: Mah! Mi sembra un po’ fuori dal programma e poi magari non a tutti interessa. . . Studenti: S`ı, s`ı, ci interessa, s`ı, lo spieghi, lo spieghi! Insegnante: Vi interessa. . . ehm; come primo giorno di scuola non sarebbe meglio un po’ ambientarsi. . . Studente: Ma guardi professore che non `e obbligato. Insegnante: S`ı, certo. . . Ehm! (si alza e va alla lavagna; resta incerto sul da farsi; viene salvato dal suono della campanella che interrompe la lezione).” Il dialogo tra il nuovo insegnante di matematica di nome Michele e gli studenti, `e tratto dal ﬁlm Bianca di Nanni Moretti del 1984. Moretti vi im-

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personava l’insegnante di matematica alle prese con la diﬃcolt`a di trattare la matematica in modo meno pedante e noioso, di aﬀrontare in particolare le possibili relazioni tra matematica e arte. Un insegnante di matematica che soﬀre della mancanza di ordine ed armonia che regna nel mondo degli uomini, che vorrebbe che tutto funzionasse come in matematica, in modo preciso, razionale, conseguente, che arriver` a ad uccidere i suoi amici per ricostituire quell’ordine di cui sente la mancanza. Un matematico che si improvvisa killer aﬃnch´e il mondo segua le giuste e noiose regole dell’ordine e dell’armonia. ` diventata oramai una tradizione che a Venezia e a Bologna si parli di E matematica e cinema. Rassegne, incontri, convegni, libri. Dato che molto ho gi`a scritto sui rapporti tra cinema e matematica, mi limiter`o ad alcune brevi considerazioni. Anche perch´e appartengo alla generazione precedente a quella di Nanni Moretti, regista di Ecce Bombo, che non ne poteva pi` u del “dibattito” sul cinema [12]. Parler` o solo di alcuni ﬁlm, quindi. Di ﬁlm in cui il matematico non `e matto, non si uccide, non uccide, non `e tormentato, aﬄitto, disperato. Delle commedie insomma. Insomma non parler`o di A Beautiful Mind. Negli anni Sessanta l’attrice francese Brigitte Bardot era all’apice del successo1 . Nel 1965 venne realizzato un ﬁlm che si intitolava semplicemente Dear Brigitte e naturalmente tutti capivano all’istante di chi si trattasse. Era un ﬁlm americano interpretato da James Stewart e la Bardot impersonava se stessa [4]. Era l’oggetto dei sogni del ragazzino ﬁglio di Stewart nel ﬁlm. Stewart invece era un poeta ed insegnante di letteratura inglese in un’universit` a degli USA. Era in perenne conﬂitto con gli “scienziati” della sua universit` a e considerava arida e poco formativa la cultura scientiﬁca e matematica in particolare. Un giorno nella casa scoppia la tragedia. Il ﬁglio che frequenta le scuole elementari `e un genio della matematica. O meglio, `e un ragazzo che ha una grande capacit`a di fare calcoli a mente. La sua insegnante scopre per caso questa grande abilit` a del ragazzo e tutta contenta va a trovare i genitori. All’aﬀermazione dell’insegnante che il ﬁglio `e un prodigio della matematica Stewart sbianca in volto, mette una mano sulla spalla della madre per confortarla. Quindi, uscita l’insegnante, si mette a parlare con il ﬁglio, pregandolo di non dire a nessuno di questa sua capacit`a, fonte di tanti guai, soprattutto del fatto che passando per strada la gente grider` a all’indirizzo del ﬁglio: “Quello `e un matematico”, frase che Stewart pronunzia con disgusto, commentando “Noi non vorremmo mai che succedesse qualcosa del genere!” (Fig. 1). Dal ﬁlm con Stewart molte cose sono cambiate, anche l’atteggiamento verso la matematica e i matematici. Baster`a ricordare che quando nel 1998 si svolse a Berlino il congresso mondiale di matematica tenne una conferenza su invito lo scrittore Hans Magnus Enzensberger. Il motivo era la capacit` a 1

Mio padre Luciano Emmer fece un provino alla met` a degli anni Cinquanta a Brigitte Bardot per un suo ﬁlm, credo che fosse Le ragazze di piazza di Spagna o Terza liceo, ma la scart` o scegliendo rispettivamente Lucia Bos`e e Ilaria Occhini. Poi il fenomeno Bardot esplose con il ﬁlm E Dio cre` o la donna, con la regia di Roger Vadim.

La matematica divertente?

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Figura 1. Locandina di Dear Brigitte.

di raccontare la matematica che lo scrittore tedesco aveva dimostrato con il libro Il Mago dei numeri (in Italia edito da Einaudi). Il titolo della conferenza di Enzensberger era “Ponte levatoio fuori servizio: matematica - un anatema culturale”. Diceva Enzensberger: “A nessuno sembra dar fastidio il fatto che l’esclusione della matematica dalla sfera della cultura corrisponde a una specie di castrazione intellettuale. Il paradosso culturale con cui abbiamo a che fare potrebbe anche essere ulteriormente accentuato. Ci sono degli ottimi motivi per aﬀermare che viviamo in un periodo d’oro della matematica. In ogni caso le prestazioni contemporanee sono in questo campo sensazionali. Temo che le arti ﬁgurative, la letteratura e il teatro uscirebbero alquanto malconci dal confronto.” (Il testo della conferenza, H.M. Enzensberger: “Drawbridge Up Mathematics - A Cultural Anathema Mitteilungen DMV 1991/1”, `e stato pubblicato in versione italiana nel volume Gli elisir della scienza, Einaudi, 2004. Con poca accuratezza dato che il testo viene classiﬁcato come “inedito”). Enzensberger era stato un po’ troppo pessimista, si potrebbe dire, alla luce dei tanti libri, dei tanti ﬁlm, mostre e spettacoli teatrali che riguardano la matematica e i matematici che sono stati realizzati negli ultimi anni. Si vincono gli Oscar per le storie legate ai matematici, si vincono i premi Pulitzer e Tony Award per il teatro sempre con storie di matematici. Per storie drammatiche, bisogna dire. E le commedie, come quella di Stewart e Moretti? Non ci sono dubbi che sia una vera matematica, non un’insegnante, la Jill Clayburgh di That’s is my turn [4], uno dei primi ﬁlm di un giovanissimo Michael Douglas. Il ﬁlm inizia con il matematico (la Clayburg) che fa lezione.

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La lezione `e per nulla banale, corretta dal punto di vista matematico; lei tenta di rintuzzare le domande troppo precise ed invadenti del solito studente bravo che vuol metterla in diﬃcolt` a, studente che formula domande per mettere in imbarazzo il docente che alla ﬁne esclama: “Va bene, questa cosa si chiarir`a in seguito”. Probabilmente la lezione di matematica pi` u raﬃnata che si sia mai vista al cinema. Due anni prima della conferenza di Enzensberger, Barbra Streisand dirige e interpreta un ﬁlm dal titolo L’amore ha due facce. Tra l’altro, dopo questo ﬁlm, la Streisand decide di non lavorare pi` u nel cinema, promessa che ha interrotto nel 2004 con il ﬁlm intitolato in italiano Mi presenti i tuoi di Jay Roach. Protagonista del ﬁlm della Streisand, un matematico della Columbia University di New York, interpretato da Jeﬀ Bridges [6] (Fig. 2). Ecco la scena iniziale del ﬁlm che serve a presentare il personaggio, il matematico appunto.

Figura 2. Locandina di L’amore ha due facce

Matematico: “L’eleganza della deﬁnizione, `e bellissima; questo mi ricorda una frase di Socrate: se misura e simmetria sono assenti da qualsiasi composizione in qualsiasi forma, la rovina spetta sia agli elementi che alla composizione. Misura e simmetria sono bellezza e virt` u nel mondo intero”, (sbadigli tra i pochi studenti presenti) ` carino; per te `e etero?” Studentessa 1: “E Studentessa 2: “Oh s`ı, troppo noioso per essere gay.”

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Matematico: “Oggi vi lascio andare mezz’ora prima. Stasera devo tenere una conferenza su un mio nuovo libro; se qualcuno di voi `e interessato si fermi un attimo. Ah, bene, grazie” (nessuno degli studenti si trattiene). Altri interpreti del ﬁlm George Segal e Lauren Bacall, che `e stata candidata all’Oscar come attrice non protagonista. Bridges `e un professore di matematica imbranato, incapace di comunicare, che ha pochissimi studenti a lezione e quei pochi si annoiano a morte. Il matematico imparer`a come si insegna la matematica dalla scatenata insegnante di letteratura Streisand, capace di tenere avvinti centinaia di studenti alle sue lezioni. Con un linguaggio incisivo, accattivante, osceno a volte. Un matematico n´e buono n´e cattivo, un fessacchiotto di cui si dovrebbero intuire le capacit` a matematiche (?) che peraltro restano nell’ombra. Il matematico Bridges ama la musica classica, `e incapace di ricordarsi qualcosa, `e incapace di fare qualcosa di pratico; `e una specie di handicappato mentale. Non si capisce nemmeno se sa fare il matematico dato che di matematica, tranne qualche banale esempio iniziale, non si parla nel ﬁlm. Insomma, se nel ﬁlm su Renato Caccioppoli e su altri matematici, il binomio genio e sregolatezza aveva risvolti drammatici, nel ﬁlm della Streisand si ha a che fare con uno stereotipo edulcorato di genio e smemoratezza. Ecco il testo di un’altra scena. Il matematico deve presentare un suo libro: “Ed ora l’autore del libro Verit` a assoluta; il professore della Columbia University Grey Parkin. Bridges: ‘Sono onorato da questo caloroso benvenuto. Ora che sono qui alla ﬁne di questo mio viaggio mi torna in mente una frase che disse Cartesio: che io sia sveglio e che io dorma due pi` u tre far`a sempre cinque. Il quadrato non potr` a mai avere pi` u di 4 lati e non sembra possibile che verit` a cos`ı chiare ed evidenti possano essere sﬁorate dall’ombra del dubbio. Mi ci sono voluti pi` u di 14 anni per scrivere questo libro. Ed `e con rammarico che dico addio a questo mio libro che da anni divora i miei giorni e le mie notti. Scusate sono un po’ stordito; credevo che l’avrei presa diversamente; io pensavo di sapere di pi` u invece no; io non so niente in realt` a; grazie a tutti per essere venuti.’ (Ha visto la sua ex ragazza).” Certo non sono molti i ﬁlm in cui i matematici appaiono simpatici, divertenti e privi di problemi e preoccupazioni. D’altra parte perch´e si dovrebbe scegliere un matematico per fargli fare la parte che potrebbe fare un qualsiasi architetto o scrittore? Un matematico deve avere una storia particolare, a sottolineare la particolarit` a del suo lavoro. E la pazzia, la schizofrenia sono sempre in agguato come nel famoso spettacolo teatrale di David Auburn Proof, di cui si aspetta la versione cinematograﬁca con Anthony Hopkins e Gwyneth Paltrow. Per ultimo ho lasciato Fermat’s Last Tango, un musical, con le musiche di Joshua Rosenblum, e i testi di Joanne Sudney Lessner, canzoni di Lessner e Rosenblum, in scena a Broadway nel 2001-2002 [11]. Nel dicembre 1996 Joshua Rosenblum lesse la recensione del libro di Amir Aczel Fermat’s Last Theorem

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[10] nel The New York Times. Ne parl` o a Joanne Sydney Lessner e le chiese “Si pu`o fare un musical su questo?”. Lei rispose: “Certo!”. In questo modo nasce l’idea di realizzare un musical sull’avventura di Andrew Wiles e la dimostrazione del teorema di Fermat. Nel 1996 Simon Singh aveva realizzato il ﬁlm sulla storia della dimostrazione e qualche mese dopo aveva pubblicato il libro con lo stesso titolo [2]. La grande idea che aveva avuto Singh e con lui John Lynch producer per la BBC della serie “Horizon” [10] era che la storia di Wiles e della sua dimostrazione poteva diventare grande cinema, dato che la storia era un’avventura umana emozionante e piena di colpi di scena, un vero dramma (Fig. 3).

Figura 3. Locandina di Fermat’s Last Tango

Sarebbe stato insensato pensare di realizzare un musical sulla storia di Wiles se non ci fosse stato il grande successo del ﬁlm e del libro di Singh. Molte persone conoscevano la storia e quindi era possibile che gli spettatori del musical avrebbero seguito la storia senza problemi. Joanne Lessner era la moglie di Joshua Rosenblum, pianista, direttore d’orchestra e compositore. Lei stessa aveva scritto i testi e le canzoni per altri musical. Che cosa volevano ottenere i due autori con un musical intitolato Fermat’s Last Tango? Nelle note d’autore che accompagnano la videocassetta realizzata sullo spettacolo (e ﬁnanziata dal “The Clay Mathematics Institute”), Lessner scrive che `e soprattutto divertire. “Dopo aver visto lo spettacolo siete tutti invitati a trovare una dimostrazione pi` u semplice del teorema!”.

Riferimenti bibliograﬁci

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La storia della dimostrazione e della vita di Andrew Wiles `e seguita in modo preciso nel musical. Il lavoro che hanno fatto i due autori `e stato quello, caso raro per un musical, di documentarsi in modo preciso sugli episodi importanti nella vita di Wiles e sugli aspetti anche matematici della dimostrazione. Lessner e Rosenblum hanno la giusta intuizione, inserire altri matematici famosi accanto a Fermat, a formare una sorta di piccolo coro che, come nelle tragedie greche, commenta ed interviene nella storia. Sono i guardiani del paradiso dei matematici dove Keane (come si chiama il personaggio Wiles nel musical) vorrebbe entrare. I quattro matematici sono Carl Friedrich Gauss, Pitagora, Euclide, Sir Isaac Newton. Naturalmente i protagonisti sono Daniel Keane e Pierre de Fermat. Il brano e la scena pi` u divertente del musical `e quella in cui si rimprovera a Keane di essere troppo vecchio, di non aver potuto ricevere la medaglia Fields. La canzone `e Mathematics is a young man’s game. Nel complesso una scommessa vinta quella di realizzare un musical matematicamente corretto, divertente e interessante. Insomma si pu`o anche ridere con i matematici!

Riferimenti bibliograﬁci [1] A. Aczel (1996) Fermat’s Last Theorem, Four Walls Eight Windows, New York [2] M. Emmer, M. Manaresi (a cura di) (2003) Mathematics, Art, Technology, Cinema, Springer, Berlin; edizione italiana, Springer, Italia, 2002 [3] H. Koster (1965) Dear Brigitte, con James Stewrat, Billy Mumy, Glynis Jonhs, Ed Wynn e Brigitte Bardot, USA [4] (2001) Fermat’s Last Tango, musical, musica di J. Rosenblum, testi di Jo. S. Lessner, canzoni di Lessner e Rosenblum, produzione York Theatre Company, USA [5] J. Lynch (1996) Fermat’s Last Theorem, video, BBC [6] J. Lynch (2002) Alcune riﬂessioni sulla costruzione del ﬁlm, in: M. Emmer, M. Manaresi, (a cura di), Matematica, arte, tecnologia, cinema, Springer- Verlag Italia, Milano, pp. 266-267; edizione inglese 2003 [7] S. Singh (1997) Fermat’s last Theorem, Rizzoli [8] S. Singh (1999) L’ultimo teorema di Fermat: il racconto di scienza del decennio, in: M. Emmer, (a cura di) Matematica e cultura 2, Springer-Verlag Italia, Milano, pp. 40-43 [9] B. Streisand (1996) L’amore ha due facce, con Barbra Streisand, Jeﬀ Bridges, Pierce Brosnan, George Segal, Lauren Bacall, Brenda Vaccaro, USA

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Enigma

Enigma, Das Geheimnis (GB/Germany/USA, 2001, 117’) Regia: Michael Apted Soggetto: Robert Harris Sceneggiatura: Tom Stoppard Montaggio: Rick Shaine Fotograﬁa: Seamus McGarvey Musica: John Barry Consulente scientiﬁco: Tony Sale Interpreti: Dougray Scott, Kate Winslet, Saﬀron Burrows, Jeremy Northam, Nikolaj Coster Waldau, Tom Hollander Produzione: Lorne Michaels, Mick Jagger per la Jagged Films, Broadway video Dibattito con Teo Mora (Universit` a di Genova)

Il ﬁlm `e ambientato nel 1943, durante la seconda guerra mondiale, quando, nell’imminenza di un attacco dei sommergibili nazisti a un convoglio nell’Atlantico, gli inglesi si rendono conto di non essere pi` u in grado di decodiﬁcare i messaggi nemici, in quanto i tedeschi hanno cambiato il codice segreto di comunicazione. Enigma `e la complessa macchina usata dai tedeschi per codiﬁcare e decodiﬁcare i messaggi segreti di comunicazione militare. Tom Jericho (Dougray Scott), un giovane matematico brillante, che in precedenza aveva decifrato il vecchio codice, torna nel centro segreto britannico di Bletchey Park a 40 chilometri da Londra, dopo un esaurimento nervoso, per cercare di decifrare il nuovo codice. A Bletchey Park, Gerico scopre

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anche la scomparsa della giovane collega Claire (Suﬀron Borrows) di cui era innamorato e insieme ad un’altra collega (Kate Winslet) cerca di venire a capo di questo enigma. C’`e un nesso tra questi due enigmi? Claire `e la talpa che a Bletchey Park lavora con i tedeschi? Il ﬁlm, diretto da Michael Apted e prodotto da Mike Jagger, `e tratto da un romanzo di Robert Harris, ispirato alla storia vera del grande matematico Alan Turing, precursore dei computers, che, tuttavia, nel ﬁlm non viene mai citato. La sceneggiatura `e di Tom Stoppard, per la cui biograﬁa si rimanda alla scheda di presentazione di Arcadia nella parte dedicata al teatro. Nonostante l’azione si svolga durante la seconda guerra mondiale e nella storia giochi un ruolo chiave anche la scoperta delle Fosse di Katyn e del massacro stalinista che gli alleati vogliono tenere nascosto, Enigma non `e un ﬁlm di guerra. Il ﬁlm, che vanta un’accurata ricostruzione ambientale, `e piuttosto una spy story e un thriller, con qualche elemento sentimentale. Nel 2000 il regista Johnatan Mostow aveva realizzato il ﬁlm U-571 (produttore Dino De Laurentis), attribuendo agli americani il merito di aver decodiﬁcato i messaggi militari tedeschi. Allo stesso modo `e stato rimproverato al ﬁlm di Apted di non aver menzionato il ruolo dei crittoanalisti polacchi nel successo ottenuto dagli alleati contro Enigma.

La macchina Enigma La macchina Enigma discende direttamente dal disco cifrante inventato nel XV secolo da Leon Battista Alberti, costituito da due dischi di rame concentrici, di diametro diverso, ruotanti intorno ad un perno. Lungo il bordo di ciascun disco era riportato un alfabeto. Per ogni posizione relativa dei due dischi, si stabiliva una diversa corrispondenza tra le lettere dei due alfabeti. In tal modo Alberti aveva realizzato un dispositivo molto semplice per criptare messaggi attraverso una sostituzione di lettere, che rimase in uso per cinque secoli e fu usato anche nella guerra di secessione americana. Nel 1918 l’inventore tedesco Arthur Scherbius, che insieme all’amico Richard Ritter aveva fondato una societ` a innovativa che si occupava di prodotti diversi (dalle turbine ai guanciali riscaldati), mise a punto una versione elettromeccanica del disco cifrante dell’Alberti. La sua invenzione, che fu chiamata Enigma, doveva passare alla storia come uno dei sistemi crittograﬁci pi` u sicuri mai realizzati. La prima versione di Enigma consisteva di una tastiera per immettere le lettere del testo in chiaro, un’unit` a scambiatrice che cifrava la lettera trasformandola nel corrispondente elemento del crittogramma e un visore con varie lampadine, che accendendosi indicava la lettera da inserire nel crittogramma. Per generare il crittogramma l’operatore premeva il tasto corrispondente alla lettera da crittare, l’impulso elettrico raggiungeva l’unit` a scambiatrice e, dopo essere stato elaborato, andava a illuminare il visore in corrispondenza della lettera crittata. Lo scambiatore, uno spesso disco di gomma attraversato da

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una complessa rete di ﬁli, era la parte pi` u importante della macchina. I ﬁli elettrici entravano nello scambiatore in 26 punti (per un alfabeto di 26 lettere), seguivano un percorso caratterizzato da vari gomiti, e inﬁne emergevano dalla parte opposta in altri 26 punti. I circuiti interni dello scambiatore determinavano il modo in cui il testo in chiaro veniva crittato. Lo scambiatore deﬁniva un alfabeto cifrante e la macchina veniva utilizzata per realizzare una cifratura per sostituzione monoalfabetica.

Figura 1. Macchina Enigma

Il passo successivo dell’idea di Scherbius consisteva nel far ruotare automaticamente il disco scambiatore di un ventiseiesimo di giro dopo la cifratura di ogni lettera. In questo modo l’alfabeto cifrante cambiava dopo la cifratura di ogni lettera, ossia lo scambiatore deﬁniva 26 alfabeti cifranti e Enigma veniva usata per eﬀettuare una cifratura polialfabetica. Lo scambiatore rotante era la caratteristica principale del progetto di Scherbius, ma era anche il suo punto debole, in quanto dopo 26 rotazioni il disco tornava nella posizione iniziale. Il problema poteva essere evitato utilizzando pi` u scambiatori. Il secondo scambiatore iniziava a muoversi quando il primo aveva completato un giro (secondo il principio utilizzato nel contachilometri). In questo modo la macchina aveva 26 × 26 alfabeti cifranti. La macchina venne poi ulteriormente arricchita di un ulteriore scambiatore, un riﬂessore, un pannello a prese multiple e un anello e divent` o un congegno in grado sia di generare crittogrammi di tipo polialfabetico, sia di ammettere un enorme numero di chiavi. La prima macchina fu brevettata nel 1918. Era contenuta in una scatola di 34 × 28 × 15 centimetri e pesava 12 kg. Schrebius la present` o a uomini d’affari, diplomatici e militari, mostrando a ognuno la versione pi` u appropriata. Tra il 1925 e il 1944 l’invenzione di Schrebius fu venduta in 30.000 esemplari alle forze armate del Reich, in versione diversa dai pochi esemplari venduti a uomini d’aﬀari. Enigma fu anche impiegata in servizi civili tedeschi di importanza strategica quali le ferrovie. Schrebius mor`ı nel 1929, quindi non

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vide l’esito della sua invenzione. Macchine analoghe ad Enigma erano state costruite indipendentemente in Olanda (da Alexander Koch), in Svizzera (da Arvid Damm) e in America (da Edward Hebern), ma a diﬀerenza di quella di Schrebius queste macchine non trovarono mercato. Per aumentare la sicurezza delle loro comunicazioni militari, i tedeschi utilizzavano due chiavi di cifratura: una chiave giornaliera e una chiave di messaggio. L’assetto di Enigma corrispondente alla chiave giornaliera veniva utilizzato non per trasmettere messaggi interi, bens`ı una seconda chiave, detta appunto chiave di messaggio diversa per ciascun messaggio e usata per cifrare il testo di quel particolare messaggio.

I matematici e Enigma Dopo la prima guerra mondiale i crittoanalisti britannici, cos`ı come quelli americani e francesi, avevano continuato a sorvegliare le comunicazioni militari tedesche e, sebbene dal 1926 avessero cominciato a intercettare messaggi di cui non venivano a capo, non si erano troppo allarmati in quanto il predominio militare delle loro nazioni era indiscusso. Chi, invece, aveva continuato a lavorare alacremente era stato il Biuro Szyfr´ ow polacco, in quanto la situazione politica della Polonia non permetteva ai crittoanalisti di rilassarsi. Grazie ad un accordo di cooperazione militare franco-polacco, ﬁrmato all’indomani della prima guerra mondiale, i polacchi ricevettero dai servizi segreti francesi documenti di cui questi erano venuti in possesso grazie al tradimento di un funzionario del Chiﬀrierstelle tedesco e che suggerivano le caratteristiche dei circuiti di Enigma nella versione militare. A prima vista Enigma sembrava inespugnabile e questo port` o i polacchi ad adottare una nuova strategia di reclutamento per il Biuro Szyfr´ ow. Fino a quel momento le persone ritenute pi` u adatte per decifrare i messaggi cifrati erano gli umanisti e i linguisti, in quanto conoscitori del linguaggio e delle sue leggi, ma, constatata l’impossibilit` a di questi di comprendere il funzionamento di Enigma, si pens` o che la formazione tecnico-scientiﬁca potessere essere pi` u adatta a scoprire i punti deboli di un congegno elettromeccanico. Per la prima volta al corso di crittograﬁa organizzato dal Biuro vennero invitati venti matematici dell’Universit` a di Poznan. Questa era situata in una zona ex prussiana e, pertanto, molti dei suoi studenti conoscevano il tedesco. Alcuni dei matematici mostrarono grande attitudine alla decifrazione e fra questi il pi` u brillante era Marian Rejewski, un ventitreenne desideroso di trovare lavoro nel campo delle assicurazioni. Grazie alle sue competenze matematiche, che gli permisero di ideare un nuovo modo di analizzare le concatenazioni di lettere, e alle informazioni ricevute dai servizi segreti francesi, Rejewski riusc`ı a far breccia in Enigma, almeno nella versione utilizzata dalla Luftwaﬀe. Per poter decifrare i messaggi nemici Rejewski aveva anche costruito delle macchine, chiamate bombe, che lavoravano in parallelo, ognuna delle quali era una simulazione di Enigma. Per diversi anni i polacchi furono in grado di scoprire

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i cambiamenti via via apportati dai tedeschi al loro metodo di cifratura, ma nel 1939 i tedeschi aumentarono la sicurezza del loro sistema portando da sei a dieci i cavetti del pannello a prese multiple di Enigma, il che implicava per i polacchi la necessit`a di costruzione di una nuova batteria di bombe (ben 54), il cui costo non era compatibile con il bilancio del Biuro. A questo punto i polacchi furono costretti a chiedere l’aiuto dei francesi e degli inglesi. Nell’agosto 1939, due settimane prima dell’invasione della Polonia da parte di Hitler, due riproduzioni di Enigma costruite dai polacchi arrivarono a Londra. Gli Alleati, che erano rimasti senza parole di fronte alla scoperta di Rejewski, si resero conto della necessit`a di reclutare crittoanalisti anche fra i matematici e gli scienziati. Gli inglesi avevano la Government Code and Cypher School a Bletchley Park, non lontano da Londra. All’inizio del conﬂitto mondiale il personale del centro era costituito da circa 200 unit` a, alla ﬁne della guerra lavoravano a Bletchey Park circa 7000 operatori, reclutati in gran parte dalle Universit` a di Oxford e Cambridge; inoltre il bilancio del centro era tale da consentire agli inglesi di costruire il numero di bombe necessario a violare la nuova versione di Enigma. Il lavoro nel centro era febbrile, in quanto ogni volta che i tedeschi introducevano qualche cambiamento al loro sistema di codiﬁca, iniziava una lotta contro il tempo per cercare di capire i nuovi codici di cifratura. Il lavoro di Bletchley Park si svolgeva nel pi` u completo segreto, visto anche che nel 1940 Hardy, professore a Cambridge, scriveva: “La vera matematica non ha alcun eﬀetto sulla guerra. . . . Il matematico ha la coscienza pulita: la matematica `e un’occupazione innocua.”

Alan Turing Alan Mathison Turing era nato a Londra il 23 giugno 1912. A scuola Turing ebbe vita diﬃcile con gli insegnanti, per le cui indicazioni aveva meno interesse che per le proprie idee, ma questo non gli imped`ı di vincere premi per la matematica e mostrare ﬁn da giovanissimo uno spiccato interesse per la chimica. Ancora studente liceale lesse i lavori di Einstein sulla relativit` a e si interess`o di meccanica quantistica attraverso i lavori di Eddington. Nel 1931 ottenne una borsa di studio per entrare al King’s College di Cambridge per studiare matematica. Anche qui egli segu`ı prevalentemente le proprie idee e nel 1933 i suoi interessi iniziarono a rivolgersi anche alla logica matematica. Nel frattempo Turing si un`ı ai movimenti anti-militaristi inglesi, ma fu estraneo sia al marxismo sia al paciﬁsmo. Si laure` o nel 1934 e nella primavera del 1935 frequent` o il corso avanzato di Max Newman sui fondamenti della matematica, dove studi`o i risultati di G¨ odel sull’incompletezza e i problemi di Hilbert sulla decidibilit` a, iniziando a lavorare a queste idee. Nel 1935 fu premiato quale miglior studente del King’s College di Cambridge per i risultati fondamentali di probabilit` a contenuti nella sua tesi On the Gaussian error function; nel 1936 ebbe il premio Smith. Nel 1936 pubblic` o sui Proceedings of the London

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Matematical Society il lavoro On Computable Numbers1 , with an application to the Entscheidungsproblem, in cui egli introdusse una macchina astratta, ora chiamata macchina di Turing, che passa da uno stato all’altro usando un ﬁssato insieme ﬁnito di regole.

Figura 2. Alan Turing

Forse l’aspetto pi` u importante del lavoro di Turing sulla macchina che da lui ha preso il nome `e che egli descrisse un moderno computer prima che la tecnologia fosse in grado di realizzarlo. Nel 1936 Turing divent` o studente di dottorato a Princeton, dove svolse ricerche sotto la guida di Church. Torn` o in Inghilterra nel 1937 per le vacanze estive e poi deﬁnitivamente nel 1938. Mentre era a Princeton pubblic` o Systems of Logic Based on Ordinals, lavoro pieno di idee sul ruolo dell’intuizione nelle dimostrazioni matematiche. A Princeton Turing aveva anche lavorato all’idea di costruire un computer e, tornato a Cambridge in Inghilterra, aveva cercato di costruire un’analoga macchina per investigare l’ipotesi di Riemann, ma la Government Code and Cypher School lo coinvolse nel tentativo di decodiﬁcare i codici di Enigma e nel 1939 questo divent` o un lavoro a tempo pieno. Solo recentemente, caduto il segreto di stato sui documenti relativi al lavoro svolto da Turing a Bletchey Park, `e emersa l’importanza delle sue brillanti idee per decifrare i codici e per costruire le macchine a ci`o necessarie, idee che hanno salvato molte vite sia di militari sia di civili. Insieme ad un altro matematico, W.G. Welchman, Turing svilupp` o la bomba, ideata dai matematici polacchi, e in particolare da Marian Rejewski, che, come si `e visto, alla ﬁne degli anni Trenta erano stati capaci di decodiﬁcare i messaggi inviati dalle macchine Enigma della Luftwaﬀe. I messaggi criptati dalle macchine Enigma della Marina Tedesca erano pi` u diﬃcili da decodiﬁcare, ma grazie all’approccio statistico di Turing e alle informazioni ottenute dai servizi segreti, i matematici di Bletchey Park riuscirono a spuntarla. 1

I numeri calcolabili sono numeri reali la cui espressione decimale pu` o essere prodotta da una macchina di Turing; essi formano un insieme numerabile, quindi la maggior parte dei numeri reali non `e computabile.

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Successivamente, per`o, i tedeschi cambiarono il loro sistema di codiﬁca dei messaggi. Questo `e il momento in cui inizia il ﬁlm. Turing non fu coinvolto direttamente nella violazione di questi codici pi` u complicati, ma `e stato provato che le sue idee furono decisive per questo successo. Nel 1945 fu infatti premiato per i suoi determinanti contributi al successo bellico. Alla ﬁne della guerra lo scienziato fu invitato dal National Physical Laboratory di Londra a disegnare un computer. Il suo report, sottoposto nel marzo 1946, proponeva l’Automatic Computing Engine (ACE), un computer nel senso moderno. Nell’anno accademico 1947-48 Turing torn` o a Cambridge e i suoi interessi si estesero anche alla neurologia e alla ﬁsiologia, oltre all’atletica, a cui si era sempre dedicato ﬁn da ragazzo. Nel 1948 Newman oﬀr`ı a Turing una posizione di reader all’Universit` a di Manchester e anche qui quest’ultimo lavor` o alla costruzione di un computer e delle subroutines di cui si componevano i programmi per tale macchina. Nel 1950 Turing pubblic` o sulla rivista Mind il lavoro Computing machinery and intelligence, che anticipa molti dei problemi che si sarebbero presentati con lo sviluppo dei computers e contiene idee pionieristiche sull’intelligenza artiﬁciale. Nel 1951 fu eletto membro della Royal Society di Londra, principalmente per i suoi risultati sulla macchina di Turing del 1936. Nel 1952 Turing, che si era rivolto alla polizia perch´e minacciato da lettere anonime e perch´e aveva subito un furto con scasso, fu arrestato per violazione della legge sull’omosessualit`a. Accettando le cure ormonali in luogo della carcerazione, pot`e tornare alle sue occupazioni accademiche e ai suoi studi. Turing, che aveva continuato a lavorare segretamente per la Government Code and Cypher School, fu trovato morto nel suo letto il 7 giugno 1954 per avvelenamento da cianuro, sostanza contenuta in una mezza mela trovata accanto al corpo. Non furono fatte indagini, trattandosi per la polizia di un caso evidente di suicidio: essendo uno scienziato e non una spia, nessuno poteva aver interesse a ucciderlo inscenando un suicidio. La madre ha sempre sostenuto che si sia trattato di un incidente mentre conduceva esperimenti di elettrolisi, mentre i colleghi di Cambridge non erano convinti della versione uﬃciale. Si adombr` o anche il sospetto che Turing nel suo lavoro fosse venuto a conoscenza di segreti importanti per la sicurezza nazionale e che destasse preoccupazione nei servizi segreti inglesi e americani per i suoi incontrollabili viaggi all’estero e i suoi contatti con giovani sconosciuti. Moltissime sono le letture che possono essere consigliate su Turing e sul lavoro dei matematici durante la seconda guerra mondiale. In particolare segnaliamo le biograﬁe di Harris e di Hodges, l’articolo di Betti e il libro di Sing, che dedica parte del terzo e tutto il quarto capitolo alla macchina Enigma. Oggi molti sono i matematici impegnati in organismi pubblici o in centri studi di grosse aziende nello studio di algoritmi di crittograﬁa necessari per la sicurezza delle reti informatiche, delle comunicazioni e delle transazioni economiche via rete. Segnaliamo l’articolo di Languasco e Perelli sugli aspetti della crittograﬁa legati alla ﬁrma digitale.

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Per approfondimenti: J. Barkley Rosser (1982) Mathematics and mathemathicians in World War II, Notices Amer. Math. Soc., 29, pp. 509-515 R. Betti (2003) Un invito a: La crittograﬁa, Let. Mat. Pristem 49, pp. 30-44 B. Booß-Bavnbek, J. Høyrup (2003) Matematica e guerra, Let. Mat. Pristem 47, pp. 5-12 B. Booß-Bavnbek, J. Høyrup (eds) (2003) Mathematics and war, Birkha¨ user, Basilea M. Comoglio Alan Turing: L’enigma di un genio http://matematica.uni-bocconi.it/dossierTuring/comogliom.htm M. Emmer (2003) The Mathematics of Enigma, in: M. Emmer, M. Manaresi (eds) Mathematics, Art, Tecnology and Cinema, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, pp. 145-151 G.H. Hardy (2002) Apologia di un matematico, Garzanti, Milano R. Harris (1996) Enigma, Mondadori, Milano F.H. Hinsley (1975) British Intelligence in the Second World War: Its Inﬂuence on Strategy and Operations, HMSO, London A. Hodges (1983) Storia di un Enigma. Vita di Alan Turing, Bollati Boringhieri, Torino A. Hodges Alan Turing, http://www.turing.org.uk/ A. Hodges Review of the ﬁlm Enigma http://www.cryptographic.co.uk/enigmareview.html D. Kahn (1966) The Codebreakers, the Story of Secret Writing Schribner, New York D. Kahn (1996) Seizing the Enigma, Arrow, London A. Languasco, A. Perelli (2002) Crittograﬁa e ﬁrma digitale, in: M. Emmer, M. Manaresi (a cura di) Matematica, Arte, Tecnologia, Cinema, SpringerVerlag Italia, Milano, pp. 99-106 M. Li Calzi (2004) Matematica dalla guerra alla pace: la ricerca operativa, in: M. Emmer (a cura di) Matematica e Cultura 2004, Springer-Verlag Italia, Milano, pp. 51-60 J.J. O’Connor, E.F. Robertson Alan Mathison Turing http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Mathematicians/Turing.html S. Singh (1999) Codici e segreti, Rizzoli, Milano M. Smith (1999) Station X, Channel Four Books, London C. Teucher (ed) (2004) A. Turing: Life and Legacy of a Great Thinker, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York Ulteriori indirizzi web si possono trovare visitando il sito del progetto: http://www.dm.unibo.it/socrates/cinema/enigma.html

Fermat’s Last Theorem

Fermat’s Last Theorem (GB, 1996, 49’)

Regia: Simon Singh, John Lynch Documentario Produzione: BBC Horizon

Dibattito con Angelo Vistoli (Universit` a di Bologna)

Il 23 giugno del 1993 il matematico inglese Andrew Wiles, professore all’Universit` a di Princeton, al termine della propria conferenza su “Forme modulari, curve ellittiche e rappresentazioni di Galois” nell’ambito di un convegno internazionale presso il “Sir Isaac Newton Institute” di Cambridge, annunci`o alla comunit` a scientiﬁca presente di aver risolto un problema a cui aveva

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lavorato per anni nel pi` u completo isolamento: la congettura di TanyamaShimura per curve ellittiche semistabili, risultato che implicava la congettura di Fermat. I giornali di tutto il mondo ripresero la notizia e per una volta anche la matematica ebbe gli onori della prima pagina, visto che si trattava di un problema rimasto irrisolto per oltre 350 anni. Il manoscritto di Wiles fu immediatamente sottoposto al vaglio di una commissione di esperti e il 23 agosto 1993 Nick Katz, uno degli specialisti che lo esaminavano, comunic` o via e-mail a Wiles di aver scoperto una piccola lacuna nella dimostrazione. All’inizio Wiles pens` o che la cosa fosse facilmente rimediabile, ma ben presto si accorse che la questione era piuttosto complicata. I1 4 dicembre 1993 Wiles fu costretto ad annunciare alla comunit` a scientiﬁca che una parte della sua dimostrazione non era completa. A sei mesi dalla conferenza di Cambridge sembrava che il sogno che Wiles aveva cullato ﬁn da bambino di dimostrare l’Ultimo Teorema di Fermat si fosse deﬁnitivamente infranto. Fortunatamente non fu cos`ı: grazie anche all’aiuto di uno degli scienziati incaricati di esaminare il manoscritto, Richard Taylor, assistente all’Universit` a di Cambridge, il 25 ottobre del 1994 Wiles pot`e annunciare che erano stati sottoposti agli Annals of Mathematics i manoscritti di due articoli: Curve ellittiche modulari e ultimo teorema di Fermat di Andrew Wiles, e Propriet` a teoriche di anello di alcune algebre di Hecke di Richard Taylor e Andrew Wiles, con i quali la dimostrazione dell’Ultimo Teorema di Fermat poteva ritenersi completata. I due articoli apparvero sugli Annals nel maggio 1995. Il ﬁlm racconta la storia dell’Ultimo Teorema di Fermat e la storia personale di Wiles, facendo parlare Wiles e i matematici che con i loro risultati hanno contribuito a costruire la teoria delle curve ellittiche e delle forme modulari. Tanto `e stato scritto sull’Ultimo Teorema di Fermat, sul ﬁlm e sul libro di Simon Singh Fermat’s Last Theorem. Sing e Linch hanno raccontato rispettivamente ai convegni Matematica e Cultura di Venezia 1998 e di Bologna 2000 come la BBC `e arrivata alla decisione di realizzare il ﬁlm e quali sono stati i problemi incontrati. Nel seguito ci limiteremo a segnalare alcuni riferimenti bibliograﬁci non contenuti nell’articolo di Manaresi e Vistoli. Per approfondimenti: M. Emmer Lo Scherzo di Fermat - Una straordinaria avventura nel segno della Matematica, L’Unit` a 2.12.1997 http://www.mat.uniroma3.it/scuola orientamento/scuola/scherzo.htm

A. Fiocca (2002) Recensione di “Fermat: i sogni di un magistrato all’origine della matematica moderna” (articolo di G. Giorello e C. Senigaglia, in: I grandi della scienza, Le Scienze, Anno IV, n. 24, dicembre 2001), Bollettino U.M.I. La Matematica nella Societ`a e nella Cultura, Serie VIII, Vol. V-A, pp. 549-560

Fermat’s Last Theorem

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G. Giorello, C. Senigaglia (2001) Fermat: i sogni di un magistrato all’origine della matematica moderna, in: I grandi della scienza, Le Scienze, Anno IV, n. 24 JJ. O’Connor, E.F. Robertson John Andrews Wiles http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Mathematicians/Wiles.html

JJ. O’Connor, E.F. Robertson Pierre de Fermat http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Mathematicians/Fermat.html

S. Singh L’ultimo Teorema di Fermat, Rizzoli Editore, Milano S. Sing Fermat Corner http://www.simonsingh.net/Fermat Corner.html Indirizzi web si possono trovare visitando il sito del progetto: http://www.dm.unibo.it/socrates/cinema/fermat.html

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Alcune riﬂessioni su Fermat’s Last Theorem Mirella Manaresi, Angelo Vistoli Dipartimento di Matematica, Universit` a di Bologna Piazza di Porta S.Donato 5, 40126 Bologna [email protected]; [email protected]

Fermat’s Last Theorem `e un documentario della BBC del 1996, realizzato nell’ambito della serie di divulgazione scientiﬁca Horizon. Nasce da un’idea di John Lynch, che lo scrive e lo produce, ed `e diretto da Simon Singh. La matematica `e un argomento notoriamente diﬃcile da trattare nei media. Tuttavia il documentario televisivo `e stato ben accolto e ha vinto numerosi premi internazionali (compreso il Premio Italia come miglior documentario) e il libro, scritto da Simon Singh (la traduzione italiana `e [8]), `e stato un best seller internazionale. Come osserva Singh in [9], la spiegazione del successo sta forse nel fatto che la storia dell’Ultimo Teorema di Fermat ha molti elementi del ﬁlm hollywoodiano. La storia `e notissima, ci limitiamo a riassumerla. ` ben noto dall’antichit` E a che ci sono numerose terne di numeri naturali a, b e c tali che a2 + b2 = c2 (le terne pitagoriche). Intorno al 1637 il sommo matematico francese Pierre de Fermat (1601–1665) annot`o sul margine di un libro di avere trovato una dimostrazione meravigliosa del fatto che la somma di due cubi non poteva mai essere un cubo, la somma di due quarte potenze non poteva essere una quarta potenza, eccetera. In termini moderni, l’equazione an +bn = cn non ha soluzione in interi positivi con n > 2. Dopo la sua morte, il ﬁglio pubblic` o una collezione di suoi scritti, includendo la famosa annotazione, che suscit`o progressivamente un interesse sempre maggiore. Molti matematici lavorarono a questo problema: ecco alcuni dei punti principali della storia. -

Il caso n = 4 fu risolto dallo stesso Fermat, che dimostr`o che un quadrato non `e mai somma di due quarte potenze. Intorno al 1750 Eulero dimostra l’impossibilit` a per n = 3. All’inizio dell’800 tutte le aﬀermazioni di Fermat erano state dimostrate o confutate, tranne l’ultimo teorema (da qui il nome). Nel 1825 Dirichlet e Legendre dimostrano l’impossibilit` a per n = 5. Nel 1839 Lam´e dimostra l’impossibilit` a per n = 7.

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Tra il 1844 ed il 1857 Kummer dimostra l’impossibilit` a per n ≤ 100, usando i suoi numeri ideali e la teoria dei campi ciclotomici, da lui creata. L’importanza del suo lavoro va ben oltre il teorema di Fermat. Nel 1985 Granville e Heath–Brown dimostrano che il teorema `e vero per “quasi tutti” gli esponenti n. Nel 1992 il teorema era stato dimostrato per n ≤ 4.000.000. Finalmente, nel 1994 Andrew Wiles dimostra l’ultimo teorema di Fermat, per via molto indiretta.

La storia di Wiles `e molto romantica. Nel 1963, all’et`a 10 anni, si imbatte nel problema e ne rimane aﬀascinato. Studia teoria dei numeri e ottiene risultati molto importanti, ma non sull’ultimo teorema di Fermat. Nel 1986, dopo avere appreso di un risultato importante di K. Ribet, decide di tornare alla sua passione di bambino e di dedicare la propria vita all’ultimo teorema di Fermat. Dopo sette anni di lavoro in isolamento, annuncia di avere risolto il problema e balza alla notoriet` a internazionale (appare sulla CNN e sulla prima pagina del New York Times); ma pochi mesi dopo viene scoperta una lacuna nella sua dimostrazione. Inﬁne, con l’aiuto di R. Taylor, riesce a colmare la lacuna. Finalmente dopo 360 anni il problema di Fermat `e risolto. Il documentario, molto ben fatto, `e basato sull’idea vincente di parlare di un risultato di matematica raccontando la storia personale di chi lo ha dimostrato, dei suoi sogni di ragazzo, delle sue emozioni. Grande `e l’emozione che il documentario riesce a comunicare, grazie anche al notevole fascino personale di Wiles. Per chi volesse saperne di pi` u sul ﬁlm, consigliamo la lettura di [9, 7, 5]. In questa sede non discuteremo della dimostrazione di Wiles, n´e della storia dell’ultimo teorema di Fermat: su questi argomenti, consigliamo la lettura del libro di Singh, che, per quanto pieno di errori storici e fattuali, `e anche estremamente godibile. Per approfondire ulteriormente, si potranno leggere gli articoli [6] e [2]. Faremo invece alcune considerazioni che ci sorgono spontanee vedendo il ﬁlm.

Il ruolo dell’emozione nelle scoperte scientiﬁche C’`e un momento straordinario in questo documentario, nel quale Wiles, raccontando dell’istante nel quale ha capito come colmare la lacuna nella sua dimostrazione, si commuove e si gira dall’altra parte, imbarazzato. Questo naturalmente va contro l’idea comune del matematico, e dello scienziato in generale: quella di una persona fredda, che nel proprio lavoro usa solo la testa e non il cuore. La realt`a `e completamente diversa. Per risolvere un problema scientiﬁco diﬃcile bisogna esserne ossessionati, nello stesso modo in cui si `e consumati dalla passione amorosa. La ricerca pu` o, e deve, procurare emozioni intensissime. Del resto, secondo le neuroscienze contemporanee, l’emozione `e una

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componente fondamentale delle nostre capacit`a cognitive, come risulta per esempio dagli studi fondamentali di Antonio e Hannah Damasio (vedi [3] e [4]).

La matematica come attivit` a individuale e attivit` a collettiva L’attivit` a del matematico `e concepita dal pubblico come attivit` a solitaria, una risoluzione di puzzle nella quale l’aspetto sociale `e inesistente. Questo `e confermato, in un certo qual modo, dal ﬁlm: Wiles ha lavorato per anni in isolamento senza parlare con nessuno della dimostrazione che via via prendeva forma e concretezza. Eppure, l’idea del genio solitario che in splendido isolamento fa quello che tutti gli altri ritengono impossibile `e molto romantica, ma quasi sempre completamente falsa. Prima di tutto, quello che ha fatto Wiles `e estremamente inusuale. Nella realt`a una grossa parte del lavoro matematico `e fatto in collaborazione. Il numero di lavori con due o pi` u autori `e sempre pi` u alto (esistono grandi matematici che lavorano solo in collaborazione). E anche quando il lavoro viene ﬁrmato da un solo autore, questi normalmente ringrazia altri che l’hanno aiutato in qualche modo, suggerendo delle idee, comunicandogli risultati e referenze che questi non conosceva, migliorando qualche risultato, trovando un errore in una versione precedente dell’articolo, o anche semplicemente ascoltando. Nei convegni, le conferenze non sono la parte fondamentale: sono pi` u importanti le chiacchierate informali durante gli intervalli, con colleghi che normalmente non si ha modo di incontrare, in cui si scambiano idee e progetti. Anche la posta elettronica `e molto importante, possiamo fare domande a colleghi che sono su un altro continente; e spesso andiamo in altre universit` a o centri di ricerca per visite brevi, o anche per soggiorni di un anno. Senza tutto ci`o le nostre idee si esaurirebbero presto per mancanza di stimoli. Persino Wiles, pur con la sua insolita capacit` a di lavorare in isolamento, ad un certo punto ha sentito la necessit` a di comunicare con qualcuno. Un altro aspetto altrettanto importante viene rivelato chiaramente dal ﬁlm: come dice B. Mazur, il lavoro di Wiles, per quanto importantissimo, si appoggia sul lavoro di decine di matematici (tra cui lo stesso Mazur); e la maggior parte di questo lavoro non `e direttamente collegato con l’ultimo teorema di Fermat. Il progresso in matematica `e frutto del lavoro di una collettivit`a, che crea una teoria. I poli della conoscenza in matematica sono due, le teorie e i problemi. Le teorie vengono create per risolvere problemi: lo sviluppo delle teorie crea poi molti nuovi problemi. Le teorie organizzano la nostra conoscenza: senza di esse la matematica sarebbe una collezione di problemi slegati e il progresso sarebbe lentissimo. Wiles `e riuscito a dimostrare l’ultimo teorema di Fermat dopo che G. Frey, J. P. Serre e K. Ribet avevano mostrato che questo era una conseguenza della congettura di Shimura–Taniyama–Weil nella teoria delle

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curve ellittiche; e questa, pur considerata diﬃcilissima, non era un problema isolato, i metodi per aﬀrontarlo esistevano in parte. E una teoria complessa come quella delle curve ellittiche e delle forme modulari `e frutto del lavoro di molte persone, ciascuna delle quali d` a un contributo grande o piccolo. Questo `e un punto sul quale vorremmo insistere. Prima che fosse stabilito il collegamento con la congettura di Shimura–Taniyama–Weil, il problema di Fermat era un problema isolato: famosissimo, diﬃcilissimo, ma non centrale. In fondo, se qualcuno avesse trovato un controesempio, non sarebbe cambiato molto. Tutt’altro discorso per la congettura di Shimura–Taniyama–Weil: se questa avesse dovuto rivelarsi falsa, il modo di vedere certe parti della matematica avrebbe dovuto essere rivisto radicalmente. Questa congettura `e collegata a moltissima altra matematica, la sua importanza `e inﬁnitamente superiore a quella dell’ultimo teorema di Fermat. Quindi Wiles si basava su idee di altri: poi le sue idee a loro volta sono state riprese, raﬃnate, sempliﬁcate: e questo lavoro `e strettamente connesso con la veriﬁca di una dimostrazione, altro compito essenziale della comunit` a. Questa veriﬁca `e stato di grande rilievo nel caso della dimostrazione di Wiles, in quanto ha permesso di trovare un errore. E questo si collega con il prossimo punto.

Gli errori L’esperienza della matematica che la maggioranza delle persone ha nelle scuole superiori non lascia adito a dubbi: un ragionamento `e giusto o sbagliato, tertium non datur. Una dimostrazione `e una successione di passi, ciascuno dei quali deve essere corretto. L’errore `e errore, e basta. Eppure nel documentario il grande matematico Goro Shimura dice del suo collega e amico Taniyama che “faceva buoni errori”. Ma come pu`o un errore essere “buono”? La realt`a `e molto pi` u complessa. Una dimostrazione `e fatta di piccoli passi, ma non `e solo una successione di piccoli passi. Si pu` o essere “sicuri” che qualcosa `e vero, pur non avendone una dimostrazione rigorosa e viceversa si pu` o avere davanti una successione di passaggi logici tutti apparentemente corretti, ma non essere convinti che la dimostrazione sia giusta. Per avere una ragionevole certezza che un risultato sia vero occorre la veriﬁca di tutti i passi della dimostrazione, insieme all’intuizione di quello che sta succedendo. Una dimostrazione pu` o essere convincente ma non rigorosa, oppure rigorosa ma illeggibile. E anche la deﬁnizione di “piccolo passo” `e alquanto soggettiva: ci succede spesso che, nel dovere spiegare una riga di un articolo ad uno studente, dobbiamo riempire due pagine di spiegazioni. La nostra mente non `e fatta per seguire una successione di passaggi logici: nella pratica `e quasi impossibile scrivere una dimostrazione lunga e complessa, senza commettere qualche errore. Nella maggior parte dei casi si tratta di

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banalit` a facili da correggere: `e probabile che il lettore esperto non se ne accorga neppure, perch´e la sua mente colma automaticamente queste piccole lacune. Ma anche grandissimi matematici fanno spesso errori pi` u sostanziali. La matematica non `e un esercizio formale, non va studiata come tale. Diceva il grande Andr´e Weil: “La logica `e l’igiene del matematico, ma non gli fornisce alcun cibo; il pane quotidiano con il quale egli vive sono i grandi problemi” [10].

Qual era la dimostrazione originale di Fermat? Probabilmente non lo sapremo mai, ma possiamo essere quasi certi di una cosa: era sbagliata, e lui stesso se ne era accorto. Fermat enunci` o il risultato nel 1637, circa 30 anni prima della morte; ma nelle sue corrispondenze ha menzionato solo la dimostrazione nel caso n = 4. Se avesse avuto la dimostrazione nel caso generale probabilmente non l’avrebbe resa pubblica, ma certamente avrebbe sﬁdato gli altri matematici del tempo a produrla. Quando si `e reso conto dell’errore, non ha pensato di cancellare la nota che aveva scritto a margine dell’Aritmetica di Diofanto. Certamente non poteva immaginare che la sua nota sarebbe stata resa pubblica, e avrebbe destato tanto interesse nella comunit`a matematica. Resta il problema di stabilire se esiste una dimostrazione elementare dell’ultimo teorema di Fermat. Non lo sappiamo; ma se esiste sospettiamo debba avere alla base un’idea completamente nuova.

Esistono applicazioni della congettura di Fermat e del teorema di Wiles? Non se ne conoscono. Tuttavia la matematica che interviene nella dimostrazione di Wiles ha avuto notevoli applicazioni pratiche. Il teorema di Wiles `e un risultato sulle curve ellittiche. Lo studio delle curve ellittiche `e alla base, ad esempio, di algoritmi per la fattorizzazione in primi dei numeri interi, un argomento di importanza essenziale per la crittograﬁa. Strumenti raﬃnatissimi di teoria dei numeri intervengono anche nella progettazione di reti telefoniche. Sono innumerevoli gli esempi di teorie sviluppate per ragioni interne alla matematica, che si sono inaspettatamente rivelate fondamentali in applicazioni pratiche. Uno degli esempi pi` u notevoli `e la logica matematica, una disciplina nata da esigenze di rigore e sistematicit`a, e le cui inﬂuenze esterne venivano dalla ﬁlosoﬁa. Ebbene, oggi la logica `e alla base dell’informatica teorica, e qui trovano applicazioni concetti matematici di natura estremamente astratta. Naturalmente, quando un ramo della matematica viene applicato, deve piegarsi in qualche modo a esigenze che non sono pi` u solo interne. Se da un

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punto di vista puramente matematico pu` o essere perfettamente soddisfacente sapere che una certa equazione ha una soluzione, questo per le applicazioni `e irrilevante: occorre sapere calcolare la soluzione. Inoltre, l’uso sempre pi` u diﬀuso dei computer ha cambiato in qualche misura la natura della ricerca matematica: ﬁno a poco tempo fa molti algoritmi avevano un’importanza prevalentemente teorica, perch´e non eravamo in grado di usarli in casi complicati. Ora i calcoli si possono fare, e il problema dell’eﬃcienza degli algoritmi `e sempre pi` u importante. Da una parte `e fondamentale non perdere il contatto con altre discipline, che hanno sempre fornito un enorme stimolo alla ricerca matematica. Dall’altra, l’essenziale `e fare della buona matematica, che sia essa pura o applicata; e possiamo essere sicuri che la matematica pura di oggi sar`a la matematica applicata di domani. Concludiamo con una citazione da [1], articolo del quale consigliamo la lettura. “In un futuro prossimo si pu` o prevedere che lo strumento matematico, attraverso l’informatica e i computer, entrer` a sempre di pi` u a far parte della nostra societ`a. Ma non credo che la matematica si spezzer`a in due, matematica astratta e matematica applicata: parafrasando il motto di Pasteur sulla scienza, non esiste la matematica applicata ma piuttosto l’applicazione della matematica.”

Riferimenti bibliograﬁci [1] E. Bombieri (2001) La matematica nella societ` a di oggi, Bolettino U.M.I. (La Matematica nella Societ` a e nella Cultura), Serie VIIII, Vol. IV-A, pp. 1–10 [2] D.A. Cox (1994) Introduction to Fermat’s Last Theorem, Amer. Math. Monthly 101, pp. 3–14, http://math.stanford.edu/∼lekheng/flt/cox.pdf [3] A. R. Damasio (1995) L’errore di Cartesio, Adelphi, Milano [4] A. R. Damasio (2000) Emozione e coscienza, Adelphi, Milano [5] M. Emmer (2002) L’ultimo teorema di Fermat: il ﬁlm, in: M. Emmer, M. Manaresi (a cura di) Matematica, arte, tecnologia, cinema, Springer-Verlag Italia, Milano, pp. 268-269 [6] F. Q. Gouvea (1994) A Marvelous Proof, Amer. Math. Monthly 101, pp. 203– 222, http://math.stanford.edu/∼lekheng/flt/gouvea.pdf [7] J. Lynch (2002) Alcune riﬂessioni sulla costruzione del ﬁlm, in: M. Emmer, M. Manaresi (a cura di) Matematica, arte, tecnologia, cinema, Springer-Verlag Italia, Milano, pp. 266-267 [8] S. Singh (1997) L’ultimo teorema di Fermat, Rizzoli, Milano [9] S. Singh (1999) L’ultimo teorema di Fermat: il racconto di scienza del decennio, in: M. Emmer (a cura di) Matematica e cultura 2, Springer-Verlag Italia, Milano, pp. 40-43 [10] A. Weil (1948) L’avenir des Math´ ematiques, in: AA. VV., Les grands courants de la pens´ee math´ ematique, Cahiers du Sud. Tradotto in inglese come The future of Mathematics, Mathematical Monthly, 57, 1950

Non ho tempo

Non ho tempo (Italia, 1973, 105’) Regia e Soggetto: Ansano Giannarelli Sceneggiatura: Ansano Giannarelli, Edoardo Sanguineti Consulenza scientiﬁca: Lucio Lombardo Radice Scene: Beppe Mangano Montaggio: V. Santini, C. Scellino Fotograﬁa: Luigi Verga Musica: Vittorio Gelmetti Sonoro in presa diretta: M. Magara Interpreti: M. Garriba, F. Agostini, L. Lombardo Radice, M. Fabbri, F. Birri Dibattito con Michele Emmer (Universit` a Roma La Sapienza) e con Paolo Salmon (Universit` a di Bologna)

´ Evariste Galois, uno dei pi` u grandi matematici del XIX secolo, nonch´e uno dei padri della matematica moderna, visse nel periodo della storia francese tra gli ultimi anni di Napoleone, la restaurazione borbonica, la rivoluzione del 1830. Galois nacque a Bourg-la-Reine vicino a Parigi il 25 ottobre 1811 (nello stesso anno in cui Napoleone ebbe il sospirato erede). Suo padre era un repubblicano, capo del partito liberale del paese e nel 1814, dopo il ritorno sul trono di Luigi XVIII, divenne sindaco. La prima educazione gli fu impartita dalla madre, donna religiosa e amante dei classici. Nell’ottobre 1823 entr`o al liceo Louis-le-Grand. Nei primi due anni ebbe un buon rendimento

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scolastico e vinse il primo premio per il latino, poi inizi` o a provare disinteresse per la scuola, situazione che peggior` o quando fu costretto a ripetere un anno scolastico. In questo periodo inizi` o a interessarsi alla matematica, anche ´ ements de G´eom´etrie di Legendre e delle opere attraverso la lettura degli El´ di Lagrange. Nonostante a 15 anni leggesse gi` a lavori scritti per matematici professionisti, la noia per le materie scolastiche lo port`o a non essere apprezzato dagli insegnanti, che spesso lo consideravano presuntuoso. Anche riguardo alla matematica egli ignor`o i suggerimenti del suo insegnante Verdier, che lo invitava a lavorare in modo pi` u sistematico. Senza essersi adeguatamente ´ preparato tent` o l’esame di ammissione all’Ecole Polytechnique, migliore scuo´ la francese del periodo, e non fu ammesso. Nel 1828 entr` o all’Ecole Normale, dove segu`ı le lezioni di matematica del prof. Louis-Paul-Emile Richard, che provava grande simpatia per il giovane Galois ed era convinto che meritasse di ´ essere ammesso all’Ecole Polytechnique. Nel 1829 Galois pubblic` o il suo primo lavoro sulle frazioni continue e contemporaneamente fece alcune scoperte fondamentali sulla teoria delle equazioni polinomiali. Sottopose questi suoi risultati all’Accademia delle Scienze, ma Cauchy, che pure aveva gi`a pubblicato lavori sul comportamento delle funzioni rispetto alle permutazioni delle variabili, respinse il manoscritto. Stessa sorte tocc`o a un altro manoscritto di Galois, presentato successivamente. Entrambi i manoscritti andarono perduti. Il 2 luglio 1829 il padre di Galois si suicid` o e durante i funerali il giovane venne coinvolto in alcuni disordini; pochi giorni dopo fall`ı per la seconda volta ´ l’esame di ammissione all’Ecole Polytechnique. La leggenda vuole che durante l’esame egli abbia gettato un cancellino in faccia all’esaminatore Dinet. Nel febbraio 1830 Galois present` o le sue ricerche all’Accademia delle Scienze per competere al Gran Premio per la Matematica. Il manoscritto fu preso dal segretario Fourier, che mor`ı prima di averlo letto e non fu pi` u ritrovato tra le sue carte. Secondo Dupry, uno dei pi` u importanti biograﬁ di Galois, il giovane vide in queste sfortunate vicende la diﬃdenza della scienza uﬃciale e accademica, risultato di una societ`a e di un regime politico (quello borbonico) che preferiva la mediocrit` a al genio. Nel luglio 1830, durante i disordini che seguirono alla soppressione della libert`a di stampa da parte del re Carlo X e che portarono sul trono Luigi Filip´ po, Duca di Orleans, Galois fu cacciato dall’Ecole Normale per aver scritto un articolo contro il direttore. Tent` o con scarso successo di dare lezioni private di matematica e nel gennaio 1831 mand` o all’Accademia la nuova memoria “Sulle condizioni di risolubilit` a delle equazioni per radicali”, che fu aﬃdata a Poisson e Lacroix per essere esaminata. Nel frattempo Galois era entrato nell’artiglieria della Guardia Nazionale, organizzazione repubblicana i cui ufﬁciali furono arrestati per cospirazione, ma poi assolti. Galois fu arrestato il 9 maggio 1831 per alcune frasi pronunciate durante un banchetto, ma venne liberato il 15 giugno dello stesso anno. Il 4 luglio 1831 Poisson respinse la sua memoria dichiarandola incomprensibile. Il 14 luglio Galois fu di nuovo arrestato perch´e a capo di una dimostrazione repubblicana e condannato a sei mesi di carcere, durante i quali continu` o a dedicarsi alla matematica. Subito dopo

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la liberazione si infatu` o di una giovane di nome Stefanie, ma da frammenti di lettere che ci sono pervenuti si desume che fu respinto e ne soﬀr`ı molto. Poco dopo fu sﬁdato a duello in circostanze misteriose. Per alcuni il duello fu motivato da ragioni “d’onore” legate alla vicenda con Stefanie, per altri la questione amorosa fu solo un pretesto per eliminare un avversario politico. ` anche possibile che a sﬁdarlo fosse un compagno di lotta politica: tra le E ipotesi che sono state fatte c’`e sia quella che il giovane matematico sia stato sacriﬁcato dai suoi stessi compagni di fede per far scoppiare una sommossa, sia quella che lui stesso possa essersi oﬀerto in sacriﬁcio a tale scopo. Anche se recenti studi hanno parzialmente corretto la leggenda, si dice che, certo di andare incontro alla morte, il 29 maggio 1832, giorno precedente il duello, passasse l’intera notte a riordinare freneticamente i suoi manoscritti matematici e a scrivere una famosa lettera-testamento all’amico Auguste Chevalier, in cui delineava tutte le sue scoperte, in particolare il legame tra i gruppi e le equazioni polinomiali1 . Si dice anche che in quella notte egli abbia aggiunto a margine di uno dei suoi teoremi una frase diventata famosa: Il y a quelque chose ` a compl´eter dans cette d´emonstration. Je n’ai pas le temps (C’`e qualcosa da completare in questa dimostrazione. Non ne ho il tempo). Questa frase d`a il titolo al ﬁlm di Giannarelli. Il 30 maggio 1832 Galois rimase gravemente ferito in duello e il giorno successivo mor`ı di peritonite all’ospedale Coquin. Il 2 giugno, giorno in cui si svolsero i funerali, mor`ı il generale Lamarque, l’eroe che Napoleone in punto di morte aveva nominato maresciallo di Francia. I giornali, pieni di notizie ´ sulla morte del generale, menzionarono appena le esequie del signor Evariste Galois, artigliere della Guardia Nazionale di Parigi e membro della Societ` a degli Amici del Popolo. Pertanto, se Galois fu sacriﬁcato o si sacriﬁc` o per ragioni politiche, il suo sacriﬁcio fu vano. Ci vollero decenni prima che la comunit` a scientiﬁca comprendesse appieno la portata dei risultati di Galois, che fanno di lui uno dei padri della matematica moderna. L’articolo di Paolo Salmon nella sezione del volume dedicata al teatro `e una presentazione elementare della Teoria di Galois, mentre nell’appendice del libro di Infeld `e delineata brevemente la storia dei manoscritti di Galois dopo la sua morte e di come questi siano stati recepiti dalla comunit` a scientiﬁca.

Il ﬁlm Nel 1973 Ansano Giannarelli trae spunto dalla vicenda umana del grande matematico per fare un ﬁlm sul “movimento” di quegli anni, presentando un Galois grande rivoluzionario. Nel ﬁlm i ruoli principali sono ricoperti da attori non professionisti. Il professor Richard `e interpretato da Lucio Lombardo 1

Si veda l’articolo di Paolo Salmon in questo volume.

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Radice, che del ﬁlm `e stato anche il consulente scientiﬁco e di cui Michele Emmer traccia un commosso ricordo nel suo articolo La matematica `e teatrale? inserito nella sezione di questo volume dedicata al teatro. Nell’articolo Emmer illustra molto bene il modo in cui il ﬁlm `e stato realizzato: “Riprese cinematograﬁche in presa diretta, macchina da presa a mano, bianco e nero. Un ﬁlm da cineforum, sperimentale, esagerato, a tratti molto didascalico. [. . . ] All’epoca i telegiornali degli studenti venivano girati in 16 millimetri, rigorosamente in bianco e nero, e questo `e sicuramente uno dei motivi per cui il ﬁlm di Giannarelli `e in bianco e nero. Anche la tecnica di ripresa `e volutamente sciatta perch´e cos`ı erano fatti quei telegiornali, l’idea `e che venivano realizzati il prima possibile e quindi non si badava allo stile. Contava il “messaggio”. Naturalmente il problema `e che quando si vuole realizzare un ﬁlm che volutamente non ha uno stile, sorgono dei problemi, perch´e lo scopo di fare un ﬁlm `e cosa diversa dal realizzare un cinegiornale del movimento.” L’articolo di Emmer rievoca anche il clima culturale in cui il ﬁlm `e nato, “. . . clima che spiega perch´e il ﬁlm di Giannarelli venne realizzato in un certo modo, un modo che oggi appare del tutto superato. E anche allora, a chi era appassionato di cinema.” Un parere analogo esprime anche il Mereghetti, secondo cui “. . . il meccanismo di straniamento didattico che sta alla base dell’operazione oggi `e diﬃcilmente sopportabile.” Non possiamo tacere poi che il parallelo tra Galois e Pietro Valpreda, che all’epoca suscitava applausi a scena aperta, oggi risulta estremamente irritante. Il pregio principale del ﬁlm `e di essere testimonianza dell’epoca in cui `e stato girato. L’unica immagine a colori, una bandiera rossa che sventola sulle barricate parigine, evoca I funerali di Togliatti che Renato Guttuso realizz`o nel 1972. Il ﬁlm `e stato inserito nella rassegna Matematica e Cinema II anche per mostrare ai giovani due modi diversi in cui il grande matematico francese `e stato visto a distanza di trent’anni2 . Il ﬁlm di Giannarelli e l’opera teatrale di Luca Vigan`o (del 2002) ci presentano due Galois diversi: rivoluzionario il primo, matematico, rivoluzionario e innamorato, ma soprattutto un ragazzo di vent’anni, il secondo. Nei dibattiti che hanno seguito la proiezione del ﬁlm e la lettura scenica tratta dal lavoro di Vigan` o molti interventi hanno aﬀrontato il tema di come e perch´e l’opera di Galois sia stata accolta dalla comunit` a scientiﬁca del tempo. Non si pu`o escludere che anche oggi un manoscritto alquanto ermetico, in cui si presume risolto un problema aperto da secoli, non verrebbe preso troppo sul serio da un’importante rivista di matematica, se a inviare il lavoro fosse uno sconosciuto diciottenne e non un matematico professionista che gi`a ha dato ampia prova delle proprie capacit` a. La vita di Galois ha ispirato biograﬁe (ad esempio quelle di Dupuy, Bell e Toti Rigatelli), romanzi (ad esempio quelli di Infeld e Petsinis) e ﬁlm (di Astruc e Baudrier, oltre a quello di Giannarelli). 2

Si veda l’articolo di michele Emmer La matematica `e teatrale? in questo volume.

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Per approfondimenti: ´ ´ A. Astruc (1965) L’Eloge des Mathem`ematiques: Evariste Galois, Francia ´ A. Astruc (1994) Evariste Galois, Flammarion, Parigi D. Baudrier (1984) Evarist Galois, Francia E.T. Bell (1965) Men of Mathematics (2 vol.), Penguin, Harmonsworth, Middlesex E.T. Bell (1952) Mathematics, Queen and Servant of Science, Bell, London ´ J. Bertrand (1899) La vie d’Evariste Galois, par P. Depuy, Bull des Sciences Mathematiques, pp. 198-212 J. Champbell (1973) The Hero with a Thousand Faces, Princeton University Press, Princeton ´ A. Dalmas (1982) Evariste Galois r´evolutionnaire et g´eom`etre, Fasquelle, Paris 1956, Ristampa Le Noveau Commerce, Paris, edizione italiana: C. Motti (a cura di) Vita del Galois, Tumminelli, Roma, 1945 ´ ´ P. Depuy (1896) La vie d’Evariste Galois, Annales de l’Ecole Normale (3) 13, pp. 197-266 M. Emmer (2005) La matematica `e teatrale?, in questo volume L. Infeld (1957) 13 ore per l’immortalit` a, Feltrinelli Editore, Milano ´ L. Kollros (1949) Evariste Galois, Birkh¨ auser, Basel P. Mereghetti (2004) Il Mereghetti dizionario dei ﬁlm, Baldini & Castoldi Editore, Milano ´ JJ. O’Connor, E.F. Robertson Evariste Galois http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Mathematicians/Galois.html T. Petsinis (1997) The French Mathematicians, Penguin Books, London ´ R.T. Rothman (1989) Genius and biographers: the ﬁctionalization of Evariste Galois, in Science `a la Mode Phisical Factions and Fictions. Princeton University Press, Princeton reperibile all’indirizzo web: http://dilip.chem.wfu.edu/Rothman/galois.html ´ P. Salmon (2005) Evariste Galois, in questo volume I. Steward (1989) Galois Theory, Chapman and Hall, London ´ R. Taton (1947) Le relations d’Evariste Galois avec les math´ematiciens de son temps. Cercle International de synth`ese, Revu d’histoire des sciences et de leurs applications, 1, p.114 ´ L. Toti Rigatelli (1996) Evariste Galois, Birkh¨auser Verlag, Basel J. Vuillemine (1962) La Philosophie de l’Alg`ebre, Press Universitaire de France Ulteriori indirizzi web si possono trovare visitando il sito del progetto: http://www.dm.unibo.it/socrates/cinema/nonhotempo.html

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Parte III

Matematica e Teatro

per Bustric, autore e attore intelligente e sensibile, i cui spettacoli riescono a divertire e al tempo stesso a commuovere, dall’altra, il fatto che Napoleone sia stato il primo fra i capi di stato dell’era moderna a capire l’importanza che la scienza, e in particolare la matematica, pu`o rivestire per la prosperit`a e il progresso di uno stato, ci `e sembrato incarnare perfettamente lo spirito del progetto europeo Mathematics in Europe. Scopo di quest’ultimo `e appunto quello di cercare di attrarre giovani alla matematica per poter mantenere i livelli di eccellenza della disciplina, come condizione necessaria per lo sviluppo scientiﬁco e tecnologico della Comunit` a Europea. Quando ormai era andata in stampa tutta la documentazione pubblicitaria della rassegna, grazie alla segnalazione di alcuni colleghi, abbiamo scoperto l’opera di una giovane drammaturga torinese, Maria Rosa Menzio, che, laureata in matematica, scrive testi teatrali in parte ispirati alla vita di illustri matematici. Pur essendo troppo tardi per inserire il suo Padre Saccheri nella rassegna bolognese, abbiamo chiesto all’autrice di scrivere come `e nata l’idea di quest’opera e abbiamo collocato il contributo nella sezione di questo volume dedicata al teatro. Questa sezione trova un’appropriata conclusione con l’articolo di Michele Emmer, che fornisce un’ampia panoramica sulla “matematica portata in scena”. Nella scheda relativa ad ogni spettacolo vengono fornite referenze bibliograﬁche utili per chi volesse approfondire gli argomenti ad esso collegati, mentre sul sito web dello spettacolo possono essere reperiti indirizzi di altri siti interessanti per ulteriori approfondimenti.

Dopo Matematica e Cinema, ci si aﬃda ad una delle forme d’arte pi` u antiche, il teatro, per stimolare la discussione sul ruolo culturale della matematica. Per la prima volta in Italia, a Bologna, nell’ambito del progetto europeo Mathematics in Europe `e stata organizzata la rassegna Matematica e Teatro (a cura di Laura Guidotti, Mirella Manaresi e Camilla Valentini), costituita da cinque rappresentazioni teatrali di vari autori contemporanei, i cui testi, molto diversi per stile e contenuto, hanno avuto come ﬁlo conduttore la matematica e i matematici. Ogni rappresentazione `e stata seguita da un incontro di approfondimento con studiosi esperti delle tematiche trattate. La rassegna Matematica e Teatro ha voluto anche essere un invito ad approfondire, attraverso la partecipazione ad eventi teatrali godibili di per s´e, la riﬂessione su come il mondo vede la ﬁgura del matematico e sui relativi preconcetti, con l’auspicio che questa possa contribuire a sgombrare il campo da stereotipi ormai superati e porti i giovani a formarsi un’immagine realistica di una ﬁgura professionale a nostro parere di grande attualit` a. Quando si parla di matematica e teatro il pensiero va subito a due opere teatrali che negli ultimi anni hanno avuto un enorme successo internazionale: Arcadia di Tom Stoppard e Proof di David Auburn, e pertanto si `e ritenuto che queste due opere non potessero mancare nella rassegna. Nonostante i trionﬁ sui palcoscenici americani e inglesi, esse sono poco conosciute in Italia: Arcadia `e andata in scena nell’ottobre 2002 a Roma, presso l’ex mattatoio Testaccio, sede della Facolt`a di Architettura dell’Universit` a Roma Tre, con la regia di Leonardo Angelini e Francesco Giannini, mentre Proof `e andata in scena nell’agosto 2002 a La Versiliana Festival con la regia di Enrico Maria Lamanna. Negli ultimi anni hanno anche incontrato il favore dei lettori biograﬁe di matematici e romanzi aventi per protagonista un matematico. Fra questi spicca sicuramente Zio Petros e la Congettura di Goldbach del matematico e scrittore greco Apostolos Doxiadis, che, tradotto in 25 lingue, `e diventato un bestseller internazionale. Una lettura scenica tratta dal romanzo era stata messa in scena a Firenze dalla Compagnia Pupi e Fresedde diretta da Angelo Savelli presso la sede del museo Il Giardino di Archimede, ed `e sembrato interessante presentarla anche a Bologna, sia per la novit` a rappresentata dal romanzo di Doxiadis nel panorama culturale europeo, sia perch´e forniva occasione di parlare di famose congetture in teoria dei numeri. Avendo inserito nella rassegna Matematica e Cinema un’opera su Galois del 1973 (Non ho tempo di Ansano Giannarelli) `e sembrato interessante rendere omaggio ad uno del padri della matematica moderna con un’opera attuale (Galois di Luca Vigan` o), attraverso la quale si potesse cogliere come `e cambiato nell’arco di trent’anni il modo di percepire la ﬁgura del grande matematico e che contemporaneamente desse occasione di parlare ancora una volta di un capitolo fondamentale della matematica: la teoria di Galois. La scelta di aprire la rassegna Matematica e Teatro con un’opera su Napoleone non `e stata casuale. Da una parte `e stata dettata dall’ammirazione

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La Logica del Teatro Piergiorgio Odifreddi Dipartimento di Matematica, Universit` a di Torino Via Carlo Alberto 10, 10123 Torino [email protected]

Come diceva Oscar Wilde, “chi dice la verit` a, prima o poi viene scoperto”. Chi mente, invece, pu` o sperare di farla franca. Soprattutto se lo fa apertamente come il teatro, che almeno nella sua forma classica non solo non nasconde le sue menzogne, ma le dichiara esplicitamente in ogni sua fase: spegnendo le luci, aprendo i sipari, facendo recitare gli attori truccati e mascherati, terminando con inchini e applausi, chiudendo il sipario e riaccendendo le luci. Tutti questi artiﬁci mirano a separare nettamente la sala dal palcoscenico, il pubblico dagli attori, la realt`a dalla ﬁnzione, e dichiarano continuamente agli spettatori: “Tutto ci`o che vedete e sentite `e falso”. Naturalmente chi dice di mentire non mente, perch`e altrimenti direbbe la verit`a. Ma non dice neppure la verit` a, perch`e altrimenti mentirebbe. Dunque, il teatro non dice n`e il vero n`e il falso, e manifesta piuttosto un paradosso: appunto quello del mentitore, scoperto da Eubulide di Mileto nel quarto secolo avanti Cristo. Inoltre, poich`e recitare `e appunto mentire, anche chi recita incarna un paradosso: quello, scoperto da Diderot nel 1773, che “la sensibilit` a fa gli attori mediocri, l’estrema sensibilit` a gli attori limitati, il sangue freddo e il cervello gli attori sublimi”. L’aﬃnit` a che il teatro esibisce con il paradosso, non pu`o (o non deve) sorprendere: se esso `e una metafora di vari aspetti della vita, perch`e non potrebbe (o non dovrebbe) esserlo anche di quelli logici? E infatti, a ben pensarci, la separazione fra attori e pubblico si pu` o considerare una rappresentazione teatrale della contrapposizione fra linguaggio e metalinguaggio: in entrambi i casi siamo di fronte a parole che vengono dette o recitate a un livello, e comprese o interpretate a un altro livello. E in ogni momento `e necessario, per seguire la conversazione o lo spettacolo, sapere esattamente a che livello ci si trova: se nel luogo del senso sulla scena, o in quello del signiﬁcato nella sala. La confusione dei livelli pu` o invece essere rischiosa, e corre il rischio di naufragare nel fraintendimento o, addirittura, nel disturbo mentale. Ad esempio, l’ebefrenia si manifesta nella perenne limitazione all’aspetto puramente letterale della comunicazione, e la schizofrenia nella continua ricerca di signiﬁ-

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cati reconditi al di l` a di esso. Una confusione controllata dei due livelli innesca invece il detonatore del paradosso, che la logica aborrisce ma l’arte blandisce. A questo proposito viene immediatamente in mente il teatro dell’assurdo, ma dal punto di vista logico la sua paradossalit` a `e insoddisfacente: essa rimane infatti tutta interna, e deriva soltanto dal contesto linguistico. Pi` u interessanti, dal nostro punto di vista, sono invece i paradossi che scaturiscono dall’esplosione e dall’implosione dei ruoli e dei luoghi: cio`e, di attori e palcoscenico da un lato, e pubblico e sala dall’altro. Il modo pi` u sottile di far esplodere il teatro consiste nell’inserire all’interno dell’opera un richiamo all’opera stessa, provocando cos`ı un regresso inﬁnito analogo a quello del paradosso di Achille e la tartaruga. O, meglio ancora, all’analogo paradosso della mappa di Royce: una mappa perfetta di un territorio, che deve contenere una mappa della mappa, che deve contenere una mappa della mappa della mappa, e cos`ı via all’inﬁnito. L’esempio teatrale pi` u noto di questo procedimento `e l’Amleto di Shakespeare, nel quale a un certo punto si mette in scena una tragedia che `e pressappoco la stessa dell’Amleto, che deve contenere un Amleto nell’Amleto, che deve contenere un Amleto nell’Amleto nell’Amleto, e cos`ı via all’inﬁnito. Ma il trucco `e vecchio e ubiquo: nell’Iliade, Elena ricama una veste di porpora che rappresenta la storia dell’Iliade; nella seicentoduesima delle Mille e una notte, Sheherazade racconta una storia che `e la stessa delle Mille e una notte; nel Ramayana, i ﬁgli di Rama trovano rifugio in una selva dove un asceta insegna loro a leggere un libro che `e, appunto, il Ramayana; nel Sogno della camera rossa, il protagonista prevede in sogno gli avvenimenti del romanzo, . . . Oltre a farlo esplodere, creando un’illusione mentale di una vicenda potenzialmente inﬁnita analoga all’illusione ottica generata da due specchi riﬂessi uno nell’altro, il teatro si pu` o far implodere ripiegandolo e facendolo parlare di se stesso. L’esempio moderno pi` u noto di questo metateatro `e la trilogia di Pirandello composta da Sei personaggi in cerca di autore, Ciascuno a modo suo e Questa sera si recita a soggetto, ma ci sono dei precedenti: valga, fra tutti, l’Improvvisazione di Versailles di Moli`ere, che mise in scena se stesso e la propria compagnia durante le prove. Anzi, pi` u in generale, esempi analoghi si possono trovare in tutte le arti: in letteratura, nei personaggi della seconda parte del Don Chisciotte che hanno letto la prima; in musica, nelle orchestre sul palcoscenico nel Don Giovanni di Mozart; in pittura e nel cinema, nelle rappresentazioni del pittore in Las Meninas di Velasquez, e del regista in 8 e 1/2 di Fellini, . . . Un tipo diverso di implosione si ottiene facendo invadere la platea dalla scena, o la scena dalla platea. Ad esempio, gi`a Aristofane in Grecia e Plauto a Roma facevano rivolgere gli attori direttamente al pubblico, con un accorgimento che costituisce l’analogo delle divagazioni letterarie rivolte direttamente al lettore che si trovano, ad esempio, in classici quali Don Chisciotte di Cervantes, Tristram Shandy di Sterne e Jacques il fatalista di Diderot. Aristofane e Plauto facevano anche partecipare il pubblico alla scena: sia indirettamente,

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attraverso il coro, che direttamente, chiamandolo in causa in appositi momenti che i greci chiamavano par` abasi , “sﬁlata”. Questa interattivit` a, che pu` o arrivare alla discesa ﬁsica degli attori fra il pubblico e alla salita del pubblico in palcoscenico, mira naturalmente a smascherare la ﬁnzione scenica da un lato, e ad abolire la distinzione dei livelli dall’altro. In questo modo il teatro trova la sua salvezza non nella menzogna della ﬁnzione ma nella verit` a della realt` a, all’insegna del motto: “Questo non `e un teatro”. Cos`ı come il paradosso di Diderot scompare nella constatazione che l’attore ritrova se stesso non nella menzogna della recitazione ma nella verit`a dell’interpretazione, all’insegna del motto: “Questo non `e un attore”. Nel corto circuito dei livelli il teatro e la logica trovano cos`ı un naturale punto d’incontro, che scatena automaticamente la spontanea comicit` a tipica dei paradossi. E poich`e senza risate la vita sarebbe diﬃcile da sopportare, rendiamo grazie al teatro e alla logica per il sostegno che ci danno nel “vivere, che `e un correre alla morte”.

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Napoleone Magico Imperatore

Napoleone Magico Imperatore Scritto e interpretato da: Sergio Bini (Bustric) Diretto da: Sergio Bini, con la collaborazione di: Eric Pujalet-Plaa Scene: Luca Ruzza Costumi: Eric Pujalet-Plaa Musiche a cura di: Roberto Secchi Dibattito con Claude Viterbo ´ (Ecole Polythecnique Paris)

Napoleone `e il primo fra i capi di stato dell’era moderna a capire l’importanza della scienza e in particolare della matematica. Egli soleva, infatti, ripetere che il progresso e il perfezionamento della matematica sono strettamente legati con la prosperit` a dello Stato. Seguendo questa sua convinzione, ´ Napoleone aveva fatto dell’Ecole Polytechnique l’orgoglio del suo impero e aveva nominato conti dell’impero i maggiori matematici del tempo, onorandoli della sua personale amicizia. Gi` a prima di diventare imperatore, tra gli oltre 150 esperti in vari campi che aveva portato con s´e nella sua spedizione in Egitto, ﬁguravano Monge, Fourier e Berthollet. L’articolo di Claude Viter´ bo Napoleone, la matematica e l’Ecole Polytechnique illustra il rapporto tra Napoleone e la scienza dei suoi tempi. Fin da ragazzo Napoleone aveva mostrato interesse e attitudine per la matematica e a lui viene attribuito un grazioso teorema di geometria

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elementare: Teorema di Napoleone. Se si costruiscono triangoli equilateri sui lati di un qualunque triangolo (tutti internamente o tutti esternamente al triangolo dato) e si congiungono fra loro i centri di tali triangoli equilateri si ottiene ancora un triangolo equilatero (triangolo di Napoleone). Inoltre, le circonferenze circoscritte ai tre triangoli equilateri costruiti sui lati del triangolo di partenza si incontrano nel centro del triangolo di Napoleone.

Questo teorema apparve per la prima volta nel 1825 in un articolo di W. Ruthenford su The Ladies Diary. Ruthenford lo chiama “teorema di Napoleone”, anche se non ci sono prove che possano collegarlo a Bonaparte. Seppur improbabile, non `e tuttavia impossibile che il risultato sia stato scoperto o provato da Napoleone. Sergio Bini, in arte Bustric, `e laureato in Disciplina delle Arti, Musica e Spettacolo (DAMS) presso l’Universit` a di Bologna. La sua passione per la recitazione e lo spettacolo lo porta a creare, dopo un periodo di studi con John Strasberg, la compagnia teatrale “Bustric”. Diventa cos`ı autore, interprete e regista degli spettacoli che mette in scena unendo magistralmente giochi di prestigio, canto, recitazione e pantomima, arti che Bini ha appreso a Roma frequentando la scuola di Roy Bosier e a Parigi frequentando la scuola di circo di Annie Fratellini e Pierre Etaix e quella di pantomima di Etienne Decroux. Bustric `e anche attore cinematograﬁco e televisivo. Tra le sue prove di attore ricordiamo che ha recitato nel ﬁlm Premio Oscar La vita `e bella di Roberto Benigni e nel Quartiere di Silvano Agosti; `e stato protagonista della

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serie televisiva Questa casa non `e un albergo e ha dato vita a uno stupendo cammeo nella ﬁction RAI Orgoglio. In Napoleone Magico Imperatore Bustric descrive con sensibilit`a e poesia un personaggio complesso e moderno. La versione andata in scena a Bologna `e una rivisitazione del testo originale anche alla luce degli studi fatti dall’autore sul Napoleone matematico. Per approfondimenti: R. Betti (2005) Il miracolo di Morley e altre regolarit` a dei triangoli. http://matematica.uni-bocconi.it/betti/morley.htm C. Bonferroni (1950) Un teorema sul triangolo e il Teorema di Napoleone, Boll. Unione Mat. Ital., III Ser. 5, pp. 85-89 V. Cardone (1996) Gaspard Monge scienziato della rivoluzione, CUEN, Napoli H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer (1967) Geometry Revisited, Random House, New York R.H. Eddy, R. Fritsch (1994) The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle. Math. Mag. 67, pp. 188-205 F. Schmidt (1990) 200 Jahre franz¨ osische Revolution–Problem und Satz von Napoleon. Didaktik der Mathematik 19, pp. 15-29 E. Weisstein Napoleon’s Theorem, da MathWorld-A Wolfram Web Resource, http://mathworld.wolfram.com/NapoleonsTheorem.html D. Wells (1991) The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, Penguin, London, pp. 74-75, pp. 156-158 J.E. Wentzel (1992) Converses of Napoleon’s Theorem, Amer. Math. Monthly 99, pp. 339-351 Ulteriori indirizzi web si possono trovare visitando il sito del progetto: http://www.dm.unibo.it/socrates/teatro/bustric.php

A proposito di Napoleone Magico Imperatore Sergio Bini, in arte Bustric [email protected]

Jaroslav Hasek, il creatore del “buon soldato Svejk”, era famoso per la sua pigrizia. Un giorno un suo amico, considerando che fosse peccato che un cos`ı grande talento andasse sprecato, lo chiuse in casa da solo con una risma di fogli di carta bianchi. Qualche giorno dopo torn` o a vedere che cosa avesse scritto, ma trov`o la casa vuota. Hasek era sparito lasciando la casa piena di barchettine di carta bianche. Nel dormiveglia di un bel mattino, mentre mi trovo quasi per caso a fabbricare una barchetta di carta, mi torna in mente questa vecchia storia e. . . accidenti!, penso all’articolo su “Napoleone e Matematica” che debbo scrivere. Come mi sento pigro. . .

Figura 1. Sergio Bini, in arte Bustric, foto Eric Pujalet-Plaa

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Sergio Bini, in arte Bustric

Ci provo. . . Mi chiamo Sergio Bini e sono attore e autore di spettacolo. Ho preso parte alla rassegna “Matematica e Teatro” a Bologna nell’ottobre 2004. La mia presenza aveva lo scopo di creare un momento di svago “matematico”. . . Per quanto riguarda lo svago d’accordo, `e il mio mestiere. Sul matematico. . . veramente ho dovuto studiare molto. Ho dovuto adattare il mio spettacolo “Napoleone” ad una circostanza particolare e cerca cerca ho ` stata una riscoscoperto un Napoleone diverso da come lo avevo pensato. E perta. Matematica. Grazie. Quest’articolo `e una riﬂessione su quell’incontro. Napoleone Magico Imperatore Dramma buﬀo in un atto scritto e interpretato da Sergio Bini, in arte Bustric. Napoleone mor`ı in esilio dopo aver conosciuto la Gloria, che uomo! Amo gli eroi tragici perch´e, anche se ﬁniscono male, gli va sempre bene. Napoleone simbolo invidiato del potere ha avuto una popolarit` a straordinaria, la sua carriera fu folgorante. Sempre spettinato, romantico, alla moda, solitario, soldato che sapeva parlare ai soldati, piaceva e piace molto. Rappresenta il rischio, l’avventura, e il desiderio senza limiti. ` quello che quando vedeva una sedia pi` E u grande della sua gli veniva voglia di sedercisi sopra. Buono e cattivo, geniale e volgare, `e il despota terribile, l’innamorato, `e l’uomo delle riforme, l’idealista, il calcolatore e lo stratega. Il malato. Ho scelto questo personaggio, perch´e complesso e moderno, anzi contemporaneo, un mito vivente, dato che c’`e sempre qualcuno che si crede lui e io ne sono la prova. Finalmente su di lui vedrete qualcosa di umano, allegramente inventato, ma fedele nella sostanza alla Storia. Non un ﬁlmone celebrativo, ma un “Magico imperatore”, capace di volare, rubare e cantare. Su Napoleone si sono dette e scritte tante cose, pare pi` u di un libro al giorno ` troppo! dalla sua morte. E Ho deciso che questa volta lui dovr` a adattarsi a me, diventer` a l’uomo di spettacolo, il comico, il prestigiatore e il giocoliere mentre io sar`o epico ed eroico. E poich´e non si potrebbe nascondere alcun aspetto di Napoleone senza fargli torto, vi mostrer`o tutto di lui. Vestir`o i suoi costumi, m’impadronir` o delle piramidi e dei suoi eserciti, combatter`o le sue battaglie nella neve, possieder`o le sue donne e la sua Gloria. Di lui saprete tutto. Ne rimarrete tutti invidiosi. . . Buon divertimento. Questa sopra `e la presentazione dello spettacolo e rileggendola adesso mi rendo conto che manca un elemento molto importante, che ho scoperto proprio

A proposito di Napoleone Magico Imperatore

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´ grazie alla professoressa Manaresi e al professor Viterbo dell’Ecole Politecnique. Manca Napoleone amante della scienza, della ricerca, della geometria, della matematica. Eppure lo era. Pare che Napoleone avesse inventato un teorema, che si dice appunto di Napoleone. Qualcuno lo mette in dubbio, per` o `e un fatto “verosimile”. Per il gioco del teatro dire verosimile `e come dire vero. Punto e basta. Sarebbe bello rileggere Napoleone come amante e sostenitore della ricerca scientiﬁca e della geometria, immerso in calcoli e disegni geometrici. Come fosse un Leonardo da Vinci conquistatore. . . e forse se Leonardo fosse stato imperatore avrebbe davvero realizzato le sue spettacolari macchine da guerra e macchine volanti. Napoleone era cosciente di sapere, quando Lagrange disse: “Nul n’atteindra la gloire de Newton: il n’y avait qu’un monde a` d´ecouvrir” (Nessuno raggiunger` a la gloria di Newton: c’era solo un mondo da scoprire), Napoleone rispose (gi`a tradotto, sapete, era Corso): “se non fossi stato imperatore, sarei stato il nuovo Newton, perch´e se Newton ha scoperto le leggi dell’inﬁnitamente grande, quelle dell’inﬁnitamente piccolo sono ancora da scoprire”. Napoleone in Egitto fond` o una specie d’accademia delle scienze, costituita dagli scienziati che aveva portato con s´e e da qualche uﬃciale interessato alla materia. I generali che lo vedevano passare delle ore a discutere con Monge, Fourier e Berthollet erano piuttosto seccati e avevano soprannominato l’Istituto “la maitresse favorite du G´en´eral” (c’`e bisogno di tradurre?). Ho scoperto la sua amicizia per Monge, matematico “rivoluzionario” creatore della geometria descrittiva, e mi sono detto che, se dovessi ripensare oggi lo spettacolo su Napoleone, forse lo rifarei tutto visto attraverso gli occhi di Monge. Monge era suo amico, forse uno dei rari amici che gli fu fedele sempre. Era un amico “alla pari”, un amico normale: un lusso per uno come Napoleone. Un racconto in terza persona `e pi` u semplice da raccontare, la memoria pu`o essere parziale, non si ha l’obbligo della cronologia, basta un particolare per evocare una scena. Assomiglia al teatro, perch´e anche il teatro racconta di riﬂesso. Il teatro ´e proprio l’immagine che gli spettatori si fanno di ci`o che accade in scena. Non `e sul palco che accade, ma nelle menti di chi guarda. Il teatro di per s´e `e dunque un’immagine riﬂessa, un racconto mediato dallo spettatore. Il teatro non esiste, come non esiste un Napoleone raccontato da un suo amico. La ﬁnzione rende liberi. . . Monge potrebbe divenire un ponte per avvicinarci e guardare il grande uomo. Fa tenerezza pensare allo scienziato che confessa di non voler partire per la campagna d’Egitto, perch´e troppo vecchio per un viaggio cos`ı diﬃcile. Napoleone dovette non solo convincere Monge, ma anche sua moglie. Nasce cos`ı una scena famigliare e umana che ci fa capire cosa fosse veramente un viaggio. Un piccolo dettaglio pieno di umanit` a, che permette di ritrovarsi in una vicenda tanto lontana. . . Un piccolo particolare a volte diviene un segno profondo e tragico.

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Sergio Bini, in arte Bustric

Ricordo, fra i tanti che ho visto su Napoleone, un ﬁlm con Marlon Brando dove c’`e una scena in cui una povera madre dava al Generale una sciarpa di lana che aveva fatto per il ﬁglio. La donna pregava Napoleone di portarla al suo ragazzo, perch´e in guerra faceva freddo. Questa scena, anche se storicamente improbabile, mi aveva commosso assai pi` u di tutti i corpi straziati mostrati poco dopo in battaglia. Perch´e? La nostra capacit`a di comprensione del dolore `e limitata. Ma torniamo alla geometria. Perch´e geometrica potrebbe essere la forma di un pensiero che si organizza intorno a dei vertici per potersi svolgere ed esprimere. Questa forma a volte `e regolare, altre volte no. La geometria del pensiero `e forse un’altra essenza del fare teatro. Non segue necessariamente la legge della logica, va altrove e cerca la sua forma nella natura. Un domatore un giorno mise la testa per una volta di troppo nella bocca del suo leone. Questo la chiuse e se lo mangi`o. Detta cos`ı la storia non `e interessante, ma aggiungiamo il fatto che, mentre il leone teneva fra i denti la testa del domatore, questi chiese al suo assistente, con voce trepidante: “Muove la coda?”. L’assistente rispose: “No.” Il domatore disse: “Allora `e la ﬁne!”. Il contrasto fra l’immagine gioiosa di una coda che scodinzola e la tragedia in corso ci fa precipitare nella realt` a. In una parola fa divenire vera questa storia. Anzi, verosimile. Come per eﬀetto di una regola, di un teorema: la descrizione di un particolare dimostra la verosimiglianza del racconto. Ma anche la forma del racconto d` a verit` a alla ﬁnzione. E questa forma c’entra, ne sono convinto, con la geometria. Non so se sbaglio, ma credo che riuscire a tradurre attraverso segni e formule geometriche e matematiche un pensiero, che diviene scientiﬁco proprio grazie a queste formule e segni, sia un lavoro assai creativo e allo stesso tempo rigoroso. Per questo riscrivere il Napoleone attraverso gli occhi di uno scienziato potrebbe essere interessante e potrebbe, forse, mostrarci un Imperatore assolutamente nuovo. Forse pi` u conseguente e cosequenziale di come lo descrivo io, forse pi` u teso a voler raggiungere una verit`a oggettiva, mentre io cerco dentro di me lo scienziato cerca fuori. Eppure io immagino uno scienziato come un eroe fuori dal tempo, che combatte con la mente. Capace di soﬀermarsi su particolari apparentemente insigniﬁcanti e farli diventare costruzioni gigantesche. Un uomo che porti con s´e un suo mondo. Dare al calcolo il valore poetico che credo possegga. Ecco, scoprire nuovi possibili eroi e perch´e no, vincere la paura che incute la parola Matematico. Vorrei che uno scienziato fosse un po’ infantile, come un ragazzino che non dimentica le promesse che si `e fatto quando era bambino. Mescolare, trasformare, scoprire e guardare da altri punti di vista. Nella speranza che ci`o sia possibile e nella speranza di poter forse un giorno collaborare assieme.

“This page left intentionally blank.”

Napoleone, la matematica e ´ l’Ecole Polytechnique Claude Viterbo ´ Centre de Math´ematiques Laurent Schwartz, Ecole Polytechnique 91128 Palaiseau Cedex, France [email protected]

Introduzione Vorrei prima di tutto ringraziare gli organizzatori di questo ciclo Matematica e Teatro, per avermi dato l’occasione di assistere al bellissimo e commovente spettacolo di Sergio Bini (in arte Bustric). Il passaggio dal suo “Napoleone, Magico Imperatore”, ad un “Napoleone Matematico Imperatore” non dovrebbe essere troppo diﬃcile, visto che matematica e magia hanno molte cose in comune. Innanzi tutto, la magia, come la matematica, non permette approssimazioni: uno spettacolo di magia in cui tutti i giochi fossero approssimativi non sarebbe pi` u magico. La matematica e la magia hanno in comune anche la bellezza e la concisione. Un teorema, come un gioco di prestigio, deve sorprenderci in modo conciso, non pu`o essere banale, n`e dilungarsi. Un bel teorema deve enunciarsi in poche parole, cos`ı come un gioco di prestigio deve essere semplice e chiaro. Come la magia deve avere senso, sia aprendo le porte ad altre magie, sia diventando - come nello spettacolo di Sergio Bini - linguaggio teatrale, allo stesso modo la matematica deve avere senso sia aprendo le porte ad altra matematica, sia diventando il linguaggio della scienza. E, inﬁne, anche tra il piacere provato dall’illusionista che riesce a creare un bello spettacolo e quello provato dal matematico che elabora una bella teoria, ci sono molte cose in comune1 .

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Un paragone tra l’arte del clown e la matematica si pu` o trovare nel bel libretto ´ di Pierre Etaix e Claude de Calan Le clown et le savant. Abbiamo cosi scoperto un nesso tra lo spettacolo di Bustric e questa conferenza: Bini ha studiato con ´ ´ Etaix e de Calan `e ﬁsico teorico all’Ecole Polytechnique.

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Claude Viterbo

Scienza, Potere e Societ` a tra il 1750 e il 1850 Vorrei ora brevemente accennare alla formazione scientiﬁca di Napoleone e illustrare come la relazione tra Scienza, Potere e Societ`a sia cambiata tra il 1750 e il 1850, cio`e tra il periodo che precede la Rivoluzione e quello che segue l’Impero2 . Nato in Corsica nel 1769, Napoleone studia prima alla Scuola Militare di Brienne, poi a quella di Parigi, dalla quale esce come sottotenente di artiglieria. Era tra i pi` u bravi del suo corso per la matematica. Ma cerchiamo di capire perch´e, alla ﬁne del Settecento, un futuro uﬃciale di artiglieria doveva studiare matematica. Dal 1400 al 1700 sia la matematica sia l’arte militare subiscono mutamenti fondamentali. Per la matematica, all’algebra (pervenutaci dalla civilt` a arabomusulmana) si deve aggiungere la scoperta del calcolo diﬀerenziale e integrale con le sue applicazioni meccaniche. D’altra parte, l’arte militare `e sconvolta dall’introduzione dell’artiglieria e dal perfezionamento delle fortiﬁcazioni. Il legame tra matematica e arte bellica `e antico, risale almeno ad Archimede e ai suoi specchi ustori usati dai Siracusani per incendiare le navi romane. Per quanto riguarda l’artiglieria, gi` a nel 1530, il matematico Tartaglia cerca di determinare l’angolo di inclinazione di un cannone per ottenere la massima gittata. Egli aﬀerma che tale angolo `e di 450 e pretende di dimostrarlo matematicamente e sperimentalmente. Si pu`o dubitare sia della dimostrazione di Tartaglia (visto che credeva che la traiettoria del proiettile fosse composta di una retta e di un arco di cerchio: ci volle quasi un secolo prima che Galileo scoprisse che tale traiettoria `e una parabola), come della validit` a degli esperimenti (infatti le cariche di polvere ed i proiettili non essendo normalizzati rendevano diﬃcile la realizzazione di esperimenti ripetibili). Con l’uniformizzazione dell’artiglieria, introdotta in Francia nel Seicento da Vauban e nel Settecento da Gribeauval, l’artigliere passa da una condizione di “artigiano”, a una condizione di “ingegnere”, le cui conoscenze avevano una portata universale e si trasmettevano in modo “scientiﬁco”. Cosi un solo artigliere poteva comandare pi` u batterie di pezzi, simili tra loro. Questa trasmissione scientiﬁca delle conoscenze dell’artigliere port`o alla creazione delle prime scuole per uﬃciali di artiglieria. La creazione dei cosiddetti corpi tecnici - Ponti e Strade (Genio Civile), Genio Militare, Polveri, Costruzioni Navali, Idrograﬁa - era pi` u antica e legata a scuole che ne aprivano l’accesso, ma l’artiglieria era in pi` u un’arma combattente. Nel 1716 le cariche di uﬃciale di artiglieria cessano di essere ereditarie. La nobilt` a cerca, nonostante ci`o, di riservarsi l’accesso a queste scuole e dunque alla carriera di uﬃciale, ma d’altra parte non era detto che i nobili fossero i pi` u dotati per la matematica, e pertanto il sistema oscill`o tra aristocrazia e democrazia.

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Raccomandiamo la lettura di [3], dal quale questo articolo `e largamente ispirato.

´ Napoleone, la matematica e l’Ecole Polytechnique

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L’insegnamento era pressappoco indicato dal contenuto del manuale di B´ezout, Corso di matematica all’uso delle Guardie Marine e degli Artiglieri, apparso verso il 1770, che rimase il classico di questo tipo di istruzione. In quattro volumi, cominciando dall’aritmetica elementare si arriva alle applicazioni del calcolo diﬀerenziale ai calcoli delle traiettorie dei proiettili, dei loro rimbalzi, della resistenza delle travi, dell’eﬀetto del vento sulle vele, delle oscillazioni degli oggetti galleggianti, ecc. . . Questo manuale diventa presto un classico; fu studiato da Napoleone, come piu tardi da Stendhal. Per via della sua importanza nella preparazione degli uﬃciali, la matematica era dunque studiata in modo abbastanza diﬀuso alla ﬁne del Settecento. Contemporaneamente, vari movimenti intellettuali, come gli enciclopedisti, tra cui lo scrittore Diderot e il matematico D’Alembert, oppure Condorcet, precursore del positivismo, vedono il progresso delle scienze, e in modo particolare della matematica, come fonte di progresso per l’umanit` a. La rivoluzione chiuse le amministrazioni tecniche, chiuse l’Accademia delle Scienze, ghigliottin` o vari scienziati (Bailly, Lavoisier, Condorcet), ma poi, davanti al pericolo delle guerre rivoluzionarie, prevalse il motto “Poco importa che un gatto sia bianco o nero, se mangia i topi `e un buon gatto”3 . E nel frattempo Monge e Carnot, che avevano potuto conservare posizioni importanti (Monge era stato Ministro della Marina), riescono a fare capire l’importanza della scienza per il nuovo regime. Poich´e la Francia non poteva pi` u importare acciaio, Monge, Vandermonde e Berthollet scrivono un manuale sui metodi per produrlo in grande scala, un altro sulla fabbricazione dei cannoni, ecc. . . 4 .

Guerre Napoleoniche e Scienza Nel 1796, al comando dell’“Arm´ee d’Italie” Napoleone giunge in Italia, dove conosce Volta, Spallanzani, Mascheroni e comincia un’operazione di seduzione degli scienziati. Frequenta anche Monge e Berthollet e riporta in Francia (tra altre cose. . . ) il libro di Mascheroni sulla geometria del compasso, e forse il teorema detto “di Napoleone”, potrebbe essere dovuto a Mascheroni. Il Trattato di Tolentino, tra Napoleone e il Papa Pio VI, prevede la cessione di molti libri antichi, tra cui varie opere scientiﬁche. Grazie all’amicizia con Monge e Berthollet, tornando dall’Italia, viene eletto all’Accademia delle Scienze. Entrandovi, Napoleone fa entrare l’Accademia in politica. In tale occasione, Napoleone scrive al Presidente dell’Accademia: “Cittadino Presidente, il suﬀragio degli uomini illustri dell’Istituto mi onora. Sono ben conscio che, 3 4

Famosa frase di Deng Xiao Ping, che chiude deﬁnitivamente la pagina della “rivoluzione culturale”. Ovviamente anche nel campo industriale, il passaggio da trasmissione artigianale delle conoscenze a trasmissione scientiﬁca ebbe la sua importanza.

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prima di essere loro uguale, sar` o a lungo il loro alunno. Se ci fosse un modo pi` u espressivo di fargli sapere la stima che sento per loro, lo userei. Le vere conquiste, le uniche che facciamo senza nessun rammarico, sono le vittorie sull’ignoranza. L’occupazione pi` u onorevole, come la pi` u utile per le nazioni, `e di contribuire all’ampliamento delle idee umane. La vera potenza della Repubblica Francese deve oramai consistere nel non permettere che esista un’idea nuova che non le appartenga. Firmato Buonaparte” L’episodio successivo dell’avventura militare e scientiﬁca di Napoleone sar`a la campagna d’Egitto. Parte portando con s`e 160 scienziati: matematici, ﬁsici, geograﬁ, geologi, naturalisti, pittori, ecc, tra i quali Monge, Berthollet, Fourier, Geoﬀroy Saint Hilaire, ecc. Arrivato in Egitto crea l’Istituto d’Egitto, succursale locale dell’Accademia delle Scienze, che i Generali chiamano “la favorita del Generale”. Dal punto di vista storico, linguistico, artistico, la spedizione fu un grandissimo successo: essa segna la nascita dell’egittologia. Dal punto di vista ﬁsico-matematico, a parte la spiegazione del fenomeno del miraggio da parte di Monge, non sembra che la campagna sia stata molto fruttuosa: i lavori di Fourier avrebbero potuto essere stati fatti a Parigi. E se anni dopo Champollion pot`e usare la pietra di Rosetta per decifrare i gerogliﬁci, `e perch´e qualcuno aveva pensato di farne una copia, prima che gli Inglesi la portassero a Londra come preda di guerra. Infatti, dal punto di vista militare la spedizione `e una catastrofe: i 30 000 soldati saranno rimpatriati dalla Marina Inglese nel 1801! Eppure si pu` o dire che nel “subconscio francese” questa spedizione `e considerata un successo: mobili, strade, case tutta Parigi ricorda il “ritorno d’Egitto”5 . Non c’`e dubbio che gli scienziati avevano avuto un ruolo in questa operazione di magica. . . propaganda.

´ L’Ecole Polytechnique ´ Nel 1794 Monge aveva creato la Scuola Normale e l’Ecole Polytechnique. La Scuola Normale doveva formare i professori che a loro volta avrebbero istruito i maestri di scuola in ogni distretto. Gli allievi furono scelti tra i giovani pi` u dotati e i professori tra i pi` u grandi scienziati dell’epoca: Monge, Berthollet, Lagrange, Laplace, Ha¨ uy (ﬁsico). Dur` o solo qualche mese, perch´e non erano previste strutture locali per accogliere gli allievi, ma rimase un esempio idealizzato di insegnamento democratico6 . 5

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Esiste a Parigi una rue d’Aboukir per celebrare non la sconﬁtta della Marina Francese contro gli Inglesi, ma una vittoria terrestre ottenuta un anno dopo contro i Turchi. Si trova anche rue du Caire, place du Caire (sulla quale uno stabile ha una facciata in stile “egiziano”), rue des Pyramides, ecc. . . Le lezioni della Scuola Normale del 1795 sono state ripubblicate sotto la direzione di Jean Dhombres dall’editore Dunod.

´ Napoleone, la matematica e l’Ecole Polytechnique

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´ L’Ecole Polytechnique raccolse l’eredit` a di diverse scuole di Genio Civile, in particolare quella di M´ezi`eres, anch’essa diretta da Monge. La formazione era centrata sulla Geometria Descrittiva, creata da Monge, con l’intento di permettere ad artigiani e ingegneri di comunicare tra loro. Aperta a un centinaio di allievi ogni anno senza condizioni, doveva, secondo il suo fondatore, formare degli ingegneri “liberi professionisti” e non, come era il caso per la Scuola di M´ezi`eres sotto la monarchia, personale per le amministrazioni tecniche. Napoleone invece vuole “ingegneri funzionari dell’impero”. Nel 1806 la scuola diventa militare e le amministrazioni tecniche sono lo sbocco naturale degli studenti. Queste amministrazioni si curano della parte applicata del´ l’insegnamento e quello dell’Ecole Polytechnique diventa sempre pi` u teorico. Nasce la tecnocrazia: gli studenti trovano facilmente lavoro e fanno carriere rapide7 . ´ Il matematico Laplace approﬁtta delle riforme per fare dell’Ecole Polytechnique un centro di formazione di scienziati, cosa che realizza con un certo successo: tra i primi allievi troviamo matematici come Cauchy, Chasles, Poisson, Poncelet, ﬁsici e chimici come Biot, Gay-Lussac, Arago, Fresnel, Coriolis. . . Nasce dunque la professione di scienziato: gli scienziati hanno un mestiere ´ (insegnare), un luogo di formazione (l’Ecole Polytechnique). Questo modello `e quello che conosciamo ora e segna la sparizione dello scienziato dilettante8 , categoria di cui Napoleone `e forse uno degli ultimi rappresentanti. Questo insegnamento di massa (per l’epoca) rende necessario la rifondazione del calcolo diﬀerenziale su basi solide, il che sar`a opera di Lagrange e poi di Cauchy. L’Ottocento sar` a l’epoca dei grandi trattati di Analisi, e quel´ ´ li francesi proverranno spesso dalle lezioni dell’Ecole Polytechnique. L’Ecole Polytechnique dominer` a la scienza francese ﬁno al 1850. Successivamente l’Universit` a fondata da Napoleone nel 1806 e la Scuola Normale, rifondata da Napoleone a Parigi nel 1808 e a Pisa nel 1810, riprendono il sopravvento9 . Ma il modello di societ` a scientiﬁca rimane quello. Un cronista dell’epoca, il Conte Henri de Saint-Simon10 nota che nel giro di pochi anni si prendono informazioni su un giovane non pi` u chiedendo quanti autori greci e latini ha studiato, ma se conosce il calcolo diﬀerenziale e le altre scienze.

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` signiﬁcativo il titolo di [1]. E Per esempio l’abate Nollet, oggigiorno poco conosciuto, era considerato uno dei maggiori ﬁsici nel Settecento. Autore di un manuale di ﬁsica in sei volumi, fu precettore di Luigi XVI. In un tempo in cui la matematica diventava il linguaggio delle scienze, la sua ignoranza in tale campo gli fu fatale. Basta citare oltre Lagrange e Cauchy, i trattati di Liouville e Jordan. Nella seconda met` a dell’Ottocento, i trattati di Analisi di Picard e Goursat provengono invece da corsi della Sorbonne. Da non confondere con l’omonimo cronista della corte di Luigi XIV.

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Napoleone e la Scienza dei suoi tempi Come membro dell’Accademia delle Scienze, poi fondatore dell’Istituto d’Egitto, Napoleone ebbe contatti diretti con la scienza e gli scienziati. Oggigiorno Napoleone non `e considerato uno scienziato, anche se ebbe un ruolo attivo all’Accademia, dove fu relatore di diverse comunicazioni, come quella del “fardier di Cugnot”, primo veicolo autonomo a vapore. Ci sembra interessante osservare la razionalit`a scientiﬁca molto moderna di Napoleone. Su Gall, inventore della frenologia, il quale pretendeva di determinare il carattere di un individuo secondo la forma del cranio, Napoleone aveva giudizi che ancora oggi possono stupire per la loro lucidit` a. In questo passo delle sue Memorie, l’opinione scientiﬁca di Napoleone si associa a quella del conoscitore di uomini: “Ho molto contribuito a screditare Gall [. . . ]. La natura non `e cos`ı povera. Se fosse grossolana al punto di annunciarsi tramite le forme esterne, si andrebbe dritti alla meta e saremmo pi` u dotti. Ma i suoi segreti sono pi` u delicati e sfuggenti: ﬁnora hanno eluso tutto. Un tale, piccolo e gobbo, `e un gran genio, tale altro gran bell’uomo non `e che uno stolto.” E sull’inventore del “magnetismo”, Mesmer, esprime analoghi giudizi: “Mesmer produceva degli eﬀetti su una persona magnetizzandola di fronte. Questa stessa persona, magnetizzata da dietro a sua insaputa non provava pi` u nulla. . . Tutti i ciarlatani dicono cose molto spiritose, i loro ragionamenti possono essere esatti, ci seducono, ma le loro conclusioni sono sbagliate, perch´e mancano i fatti [. . . ] tutte queste ciarlatanerie si distruggono con un unico argomento, pur semplice: tutto questo potrebbe essere, ma niente di questo `e.” Inﬁne, Napoleone era conscio dell’importanza della scienza per lo sviluppo del paese. Da Vitebsk, in Russia, nell’agosto 1812, all’inizio della campagna di Russia, ringrazia cosi Laplace, di avergli mandato il suo trattato di teoria della probabilit` a: “Signor Conte Laplace, ricevo con piacere il vostro trattato di calcolo delle probabilit` a. Tempo addietro l’avrei letto con interesse, oggi mi debbo limitare a testimoniare la soddisfazione che provo ogni volta che la vedo darci nuove opere che perfezionano ed estendono la prima tra le scienze. Queste contribuiscono a rendere la nazione illustre. Il progresso ed il perfezionamento della matematica sono intimamente legati alla prosperit` a dello stato.”

Napoleone, matematica e romanticismo La Restaurazione del 1815, e cio`e il ritorno di Luigi XVIII, segnano la ﬁne di questo periodo. Se sotto l’Impero l’orizzonte francese si era allargato in modo eccezionale sia dal punto di vista geograﬁco (comprendeva una buona parte dell’Europa, arrivando ﬁno all’Egitto), che intellettuale (soprattutto scientiﬁco), con la Restaurazione il mondo e i suoi ideali furono ridimensionati, lasciando una giovent` u orfana dell’Impero, e, in pratica, riducendo le

´ Napoleone, la matematica e l’Ecole Polytechnique

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´ possibilit`a di carriera degli studenti dell’Ecole Polytechnique. Se si aggiunge ´ a ci`o che il fondatore dell’Ecole Polytechnique, Gaspard Monge, fu escluso e sostituito da Cauchy, monarchico e poco apprezzato dagli studenti, si ´ capisce perch´e molti allievi dell’Ecole Polytechnique rimasero “Bonapartisti”, il che signiﬁcava a quei tempi “progressista” e furono implicati in numerose contestazioni e moti rivoluzionari degli anni tra il 1830 e il 1848. Come conseguenza di questa nostalgia napoleonica, che avr`a pure un ruo´ lo importante nel primo romanticismo, l’Ecole Polytechnique veniva spesso chiusa e gli studenti “licenziati”. ´ Sembra anche che molti ﬁgli di soldati dell’Impero trovino nel Ecole Polytechnique l’unica possibilit` a di mantenere il proprio status sociale. Questo primo romanticismo dei “ﬁgli della nobilt` a dell’Impero” `e molto attirato dalla ´ matematica. V. Hugo e Stendhal, che studia all’Ecole Centrale di Grenoble, si ´ sono entrambi preparati per l’ammissione all’Ecole Polytechnique, come pure Isidore Ducasse, che dedica un “Canto di Maldoror” alla matematica. . . “O matematica severa, non vi ho dimenticata da quando le vostre sagge lezioni, pi` u dolci del miele, ﬁltrarono ﬁn al mio cuore, come un’onda rinfrescante. Aspiravo indistintamente, gi` a nella culla, a bere dalla vostra sorgente, pi` u antica del sole, e continuo a calpestare il sagrato del vostro tempio solenne, io il pi` u fedele dei vostri iniziati. [. . . ] Aritmetica, algebra, geometria, trinit` a grandiosa, triangolo di luce ! Chi non vi ha conosciuta `e un folle! [. . . ] O santa matematica, possiate col vostro commercio eterno consolare il resto dei miei giorni dalla cattiveria dell’uomo e l’ingiustizia del Gran-Tutto.” Nel Lucien Leuwen di Stendhal, la matematica `e legata alla politica e alla virt` u, proteggendo dalla corruzione dell’aristocrazia ultra-monarchica della Restaurazione. Non `e poi cos`ı comune trovare la citazione di un’opera matematica contemporanea in un’opera letteraria, come in questa conversazione tra Lucien e il suo ex-compagno Coﬀe: “Ma dimmi, credi tu che un governo repubblicano sarebbe meno assurdo di questo? - Sarebbe meno assurdo ma pi` u violento. . . [. . . ] Ogni governo `e un male, ma un male che ci protegge da un male peggiore. . . etc. . . - `e proprio quello che mi diceva Gauthier, l’uomo pi` u saggio che abbia mai incontrato, un repubblicano di Nancy. Peccato che non sia qui a ragionare con noi. E un uomo che legge la Teoria delle funzioni di Lagrange come te, `e cento volte meglio di me, etc. . . ” Questa cultura matematica dei letterati sparisce nella generazione successiva. Nel Dictionnaire des id´ee re¸cues, alla voce Matematica Flaubert scrive: “Inaridisce il cuore”11 .

Conclusioni Il periodo Napoleonico si trova all’incrocio di diverse correnti di pensiero: 11

E a quella Polytechnique: “Il sogno di ogni madre”. . .

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- il positivismo, che, anche se nato con Condorcet o D’Alembert prima della rivoluzione, trova la sua somma espressione in Auguste Comte, allievo, ´ poi professore, all’Ecole Polytechnique12 . - la volont` a di democratizzazione dell’insegnamento e l’importanza data a un’educazione popolare. In una repubblica nella quale ciascuno dovrebbe contribuire al governo, Condorcet fa giustamente notare che “il pastore dotato che invece di studiare rimane a guardare il gregge, non fa danno a se stesso, - dopo tutto `e forse pi` u felice cos`ı - ma reca danno alla patria, privandola del beneﬁcio della sua intelligenza”. Questi due aspetti convergono nell’enciclopedismo di d’Alembert, che vuol porre la tecnica su basi scientiﬁche, nella volont` a di Monge di creare “artisti-ingegneri” e nell’universalismo che vuol estendere non solo la libert` a, ma anche i beneﬁci delle scienze e delle tecniche, come per esempio, il sistema metrico, al resto del mondo; - la professionalizzazione della ricerca scientiﬁca e l’invenzione del mestiere di scienziato, che si legano a un modo nuovo di trasmissione della scienza. Viene comunemente accettata l’importanza della matematica come linguaggio della scienza e anche come modo di pensare, di riconoscimento tra scienziati. Possono essere certamente proposte molte altre interpretazioni dello sviluppo della matematica nella societ`a francese dell’Ottocento, ma vorrei concludere con Stendhal che nella sua autobiograﬁa La vita di Henry Brulard scrive: “Amavo ed amo ancora la matematica per se stessa, come una scienza che non ammette l’ipocrisia e l’inesattezza, le due cose che odio di pi` u.”

Riferimenti bibliograﬁci ´ [1] B. Belhoste (2002) La formation d’une technocratie (L’Ecole Polytechnique et ses ´el`eves de la r´evolution au Second Empire), Belin, Paris ´ [2] C. de Clan, P. Etaix, Le clown et le savant, Editions Odile Jacob, Paris [3] J. Dhombres, N. Dhombres (1989) Naissance d’un nouveau pouvoir: sciences et savants en France 1793-1824, Payot, Paris [4] F. von Hayek (1979) The Counter-revolution of Science: Studies on the Abuse of Reason, (LibertyPress, 7440 North Shadeland, Indianapolis, Indiana 46250) [5] J. Langins (1994) La Formation Polytechnicienne 1794-1994, Dunod, Paris

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´ Le teorie socialiste, secondo Hayek, cominciano all’Ecole Polytechnique. Di fat´ ti Charles Fourier `e allievo dell’Ecole Polytechnique, Saint-Simon la frequenta e molti suoi seguaci ne sono allievi. Da l`ı, le teorie sociali idealizzate, spesso a connotazione matematica (I Falansteri di Fourier, per esempio, societ` a sperimentali ideali composte da 1620 (!) abitanti in uno stesso palazzo). Senza condividere l’ipotesi di Hayek, sembra chiaro che l’idea di un mondo da capire e da costruire, ´ propagata dall’Ecole Polytechnique `e all’opposto del liberalismo di ispirazione inglese.

Zio Petros e la congettura di Goldbach

Zio Petros e la congettura di Goldbach di Apostolos Doxiadis Lettura scenica a cura di: Angelo Savelli Compagnia Pupi e Fresedde Firenze Interpreti: Giovanni Fochi, Massimo Grig` o, Fabio Mascagni, Andrea Bruno Savelli Regia: Angelo Savelli Dibattito con Umberto Zannier (Scuola Normale Superiore di Pisa)

La congettura di Goldbach aﬀerma che ogni numero intero pari maggiore di 2 `e somma di due numeri primi. Questa congettura venne formulata da Christian Goldbach (matematico non illustre e istitutore del ﬁglio dello zar Pietro II di Russia) in una lettera ad Eulero datata 7 giugno 1742. La congettura `e tuttora aperta. L’articolo di Umberto Zannier illustra la congettura di Goldbach e altre famose congetture in teoria dei numeri e in esso vengono indicati molti riferimenti bibliograﬁci utili a chi voglia approfondire queste tematiche. Si veda anche l’articolo di Alberto Perelli in questo volume. La lettura scenica `e tratta dal romanzo di Apostolos Doxiadis Zio Petros e la congettura di Goldbach, che racconta la storia di Petros Papachristos, anziano e mite appassionato di scacchi, che conduce un’esistenza solitaria ed eccentrica ad Ekali, un isolato borgo nei pressi di Atene. La famiglia Pa-

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pachristos `e formata da persone concrete e tutte dedite alla loro azienda, che giudicano zio Petros il prototipo del fallito. Il nipote, per`o, vuole far luce sui segreti di questo zio. Scopre cos`ı un’esistenza votata alla matematica, spesa nel tentativo di risolvere uno dei grandi problemi della teoria dei numeri tuttora irrisolto: la congettura di Goldbach. La precoce genialit` a aveva fatto ottenere a Petros giovanissimo risultati brillanti da lui, per` o, deﬁniti conto del droghiere e lo aveva avviato a una brillante carriera universitaria in Germania e lo aveva portato a frequentare i pi` u grandi matematici dell’epoca (Hardy, Littlewood, Ramanujan). Zio Petros, per il quale ottenere buoni risultati equivaleva alla mediocrit`a, era poi scomparso dalla scena per dedicarsi totalmente al raggiungimento della meta che il suo orgoglio lo aveva portato a preﬁggersi nella ricerca dell’eccellenza. Le imprese straordinarie non sono fatte per essere comprese da tutti. Solo il nipote prediletto si avviciner` a alla verit` a, mentre il resto della famiglia preferir` a continuare a pensare che: “Il grande segreto della vita `e di porsi sempre degli obiettivi raggiungibili.” Il romanzo di Doxiadis non `e una storia per soli appassionati di matematica, in quanto questa diventa strumento per indagare le passioni, le aspettative inconfessabili e le pulsioni dell’anima. Bestseller internazionale tradotto in 25 lingue, nel 2000 ha vinto il Premio Peano per il miglior libro di divulgazione matematica. Apostolos Doxiadis `e nato a Brisbane, in Australia, nel 1953, ma `e cresciuto in Grecia. Ha studiato matematica alla Columbia University di New ´ York e in seguito si `e occupato di matematica applicata all’Ecole Pratique ´ des Hautes Etudes di Parigi, lavorando a modelli matematici del sistema nervoso. Dopo gli studi matematici, il suo amore per l’arte l’ha portato ad essere autore e regista di teatro e cinema, scrittore di romanzi come Vite Parallele (1985), Makavettas (1988), Tre Piccoli uomini (1997), Zio Petros e la congettura di Goldbach (1997), che `e forse il suo romanzo pi` u famoso. Con il ﬁlm Terirem (1986) ha vinto il premio dell’International Center for Artistic Cinema (CICAE) all’International Film Festival di Berlino nel 1988. La Compagnia Pupi e Fresedde, che ha messo in scena lo spettacolo, `e stata fondata a Firenze nel 1976 da Angelo Savelli e Pino De Vittorio. Per approfondimenti: A. Doxiadis (2000) Zio Petros e la Congettura di Goldbach, Bompiani, Milano R. Kanigel (2003) L’uomo che vide l’inﬁnito. La vita breve di Srinivasa Ramanujan, genio della matematica, Rizzoli, Milano J.J. O’Connor, E.F. Robertson Christian Goldbach http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/∼ history/Mathematicians/Goldbach.html

E.W. Weisstein Goldbach Conjecture da: MathWorld– Wolfram Reserch http://mathworld.wolfram.com/GoldbachConjecture.html

Ulteriori indirizzi web si possono trovare visitando il sito del progetto: http://www.dm.unibo.it/socrates/teatro/goldbach.php

Zio Petros tra scienza, letteratura e teatro Angelo Savelli drammaturgo e regista teatrale [email protected]

Ho conosciuto il romanzo Zio Petros e la congettura di Goldbach [6] del matematico greco Apostolos Doxiadis grazie alla calorosa segnalazione del professor Enrico Giusti. Chiss` a se senza quel suggerimento io, uomo di teatro e quindi, si spera, di “cultura”, avrei mai comprato quel piccolo libricino con quello strano e misterioso titolo. Cos`ı facendo mi sarei senz’altro perso qualcosa di molto importante. Gli stimoli sorti dalla lettura di questa piacevolissima opera sono stati cos`ı forti che ho subito deciso di portarla in scena. Non potendo allestire, per motivi economici, un vero `e proprio spettacolo, ne ho realizzato una “lettura scenica” o, come si dice nell’ambiente, una “mise en espace”: attori che leggono il copione, all’interno di una sintetica rete di movimenti, con pochi costumi e oggetti scenici, ed un calibrato uso di luci e musiche; una forma pi` u leggera di rappresentazione che oltre che a costare meno oﬀre anche la possibilit`a di una maggiore leggerezza di racconto non vincolandolo al realismo della tradizionale rappresentazione teatrale. Lo spettacolo `e nato all’interno dei locali del neonato “Giardino di Archimede - un museo per la matematica” di Firenze e si `e disteso nei vari spazi del museo come rappresentazione itinerante. L’evento ha riscosso un notevole successo ed `e stato ripetuto a Bologna, Pisa e Torino, dove pur mantenendo la sua forma di “lettura scenica” `e stato rappresentato su palcoscenici tradizionali. Il libro parla di un matematico che decide di dedicare tutta la sua vita alla ricerca della soluzione di uno dei grandi problemi irrisolti della matematica: “La congettura di Goldbach”, la quale aﬀerma che “ogni numero pari superiore a due `e la somma di due numeri primi”. La molla di partenza per questa ricerca `e riconquistare l’amore di una ﬁdanzata perduta accreditandosi come un grande scienziato. Poi l’eros lascia il passo all’ambizione ﬁne a se stessa ed al brivido della sﬁda ardua ed impossibile. Per raggiungere questo risultato, il protagonista prima si chiude in se stesso, per timore che, mettendo in comune le sue scoperte, qualcun altro possa arrivare prima di lui alla soluzione, poi lentamente scivola nella misantropia e nella depressione e inﬁne nella follia, quando scopre il “Teorema d’incompletezza” di G¨ odel, se-

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condo il quale una teoria formale dei numeri comprende necessariamente delle proposizioni vere ma indimostrabili. La verit` a non `e sempre dimostrabile. Da cui ne deriva che non sapremo mai se un problema `e semplicemente molto diﬃcile da dimostrare o semplicemente indimostrabile. Una morte molto teatrale, in una notte di lampi e tuoni, in una casa isolata e invasa dai fagioli (usati per contare al posto dei simboli sulla lavagna) mette ﬁne a questa titanica follia del protagonista lasciando balenare un ultimo dubbio su una sua illuminante dimostrazione della Congettura. Tutta la storia `e raccontata dal nipote che, pur rinunciando alla carriera matematica, intrapresa anche per ammirazione dello scorbutico zio, conserver` a di quell’esperienza non solo il ricordo dell’amalgama di verit` a e di bellezza che si rivela con la comprensione di un teorema importante, ma anche il sentimento tangibile dell’esistenza della pura dimensione ideale. Ho sentito muovere a questo libro, da parte di alcuni matematici, delle critiche che vertevano sostanzialmente sul fatto che la storia desse un’idea negativa della matematica, che dal libro non trasparisse la passione per la matematica, che mancasse, cio`e, il fascino della disciplina e che tutto fosse appiattito sul tema della competizione. Io pur non potendo parlare da matematico, non condivido queste critiche. Nel senso che parlando da drammaturgo e da regista teatrale, quello che mi ha interessato moltissimo `e stato proprio il racconto di questa nevrotica sﬁda solitaria, proposta non certo come metafora della ricerca matematica ma come sconﬁtta di un radicalismo (“o `e il massimo o non `e nulla” contrapposto al “poniti solo obbiettivi raggiungibili”) che poteva trovare espressione anche in altre discipline: la scalata di una impervia parete rocciosa, la realizzazione di un’opera unica e monumentale, ecc. La mancata condivisione del sapere e dei risultati intermedi, l’isolamento maniacale, il sottile compiacimento per la scomparsa dei possibili rivali pi` u dotati, rappresentano i semi di una follia individuale e metodologica che porta a dei risultati devastanti. Ed `e anche per questo che nella rappresentazione, forzando forse un po’ il testo, ci siamo presi la libert`a di accentuare certe spigolosit`a del carattere di Zio Petros - grazie anche all’istrionismo dell’attore protagonista Massimo Grig` o - spingendole verso delle coloriture ironiche quando non addirittura comiche. Anche se c’`e una grande simpatia per il personaggio ed un rispetto per i risvolti drammatici della sua vicenda, noi non l’abbiamo visto come l’eroe positivo che agisce e patisce in funzione del raggiungimento di un obbiettivo contrastato, ma come un uomo avviato verso un vicolo cieco, portando in s´e i germi della propria sconﬁtta. Detto questo non vorrei, per` o, che sfuggisse la grande novit` a di questo Zio Petros, il suo approccio innovativo alla problematica del rapporto tra arte e scienza. Per capire questo dobbiamo fare un piccolo passo indietro. A me sembra che il modo corrente e pi` u diﬀuso con cui la letteratura, il cinema, il teatro si avvicinano alla scienza sia sostanzialmente di due tipi: - il biograﬁsmo

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- la fantascienza. In tutti e due i casi, sia ben chiaro, si parla di ﬁnzione, di prodotti d’ingegno e non di documentari o dissertazioni. Nel primo caso si prende la ﬁgura storica di uno scienziato e se ne racconta, romanzandola o sceneggiandola, la vita o qualche episodio particolare e all’interno di questo racconto s’inseriscono citazioni di alcuni elementi scientiﬁci. Nel secondo caso si prendono dei dati scientiﬁci e intorno a queste premesse realistiche si costruiscono possibili scenari immaginari. Prescindendo da ogni giudizio di valore, vorrei notare, oggettivamente, che nel primo caso gli scienziati sono visti, quasi sempre, come personaggi eccezionali e bizzarri, nel secondo caso la scienza sembra sempre genitrice d’incubi, di catastroﬁ o di universi inquietanti. Gli esempi cinematograﬁci e letterari sono innumerevoli e sono sotto gli occhi di tutti; dai vari Beautiful mind [12] e Morte di un matematico napoletano [13] ai romanzi dei vari Jules Verne e Philip Dick. Quanto al teatro possiamo sicuramente annoverare tra le “ﬁction” testi di grande eﬀetto e solida composizione come il testo del tedesco Friedrich Durrenmatt I ﬁsici [7] che racconta il mistero di un gruppo di ﬁsici che forse si ﬁngono pazzi per sfuggire alla responsabilit` a della creazione di armi di massa; o i testi del ceco Karel Capek: L’aﬀare Makropulos [3], che discetta del prolungamento della vita ﬁno all’immortalit` a, o R.U.R. [4], che ipotizza una rivolta dei robot. Da notare che `e proprio in quest’ultimo testo che appare per la prima volta la parola “robot”, che in ceco signiﬁca “operaio”, per indicare appunto l’operaio meccanico. Sul versante del biograﬁsmo dobbiamo invece rimarcare la presenza di un capolavoro assoluto del genere: La vita di Galileo di Bertolt Brecht [2]. Opera non solo teatralmente bellissima ma soprattutto preparata in anni di minuziose ricerche e documentazioni, attraverso colloqui con scienziati e continuamente rimaneggiata ﬁno alla versione post-bellica del 1945; dove, sotto l’impressione dello scoppio delle prime bombe atomiche, appare sulla bocca di Galileo quel monito agli scienziati a non perdere la strada del bene dell’umanit`a per diventare un manipolo di “gnomi inventivi pronti a farsi assoldare per qualsiasi scopo”. Ma in questa storia di rapporti tra arte e scienza c’`e anche un’altra possibile strada, ricca di sviluppi interessanti. E sono gli scienziati stessi ad indicarcela anche se poi spetta forse agli artisti elaborarla e continuarla: quella dei contenuti scientiﬁci che entrano nella forma del racconto e della rappresentazione. Non `e da oggi che gli scienziati usano la letteratura e, nella fattispecie, il teatro per parlare a modo loro di scienza. Possiamo addirittura risalire a Galileo Galilei. Infatti Galileo non solo `e da considerarsi l’iniziatore della letteratura scientiﬁca italiana ma anche dell’uso dello schema teatrale in funzione della divulgazione scientiﬁca. Infatti il suo Dialogo dei massimi sistemi `e congegnato come una pi`ece teatrale in tre atti, con tanto di scenograﬁa (la casa del suo amico Sagredo a Venezia), tre personaggi dialoganti caratterizzati ﬁsi-

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camente e psicologicamente (Sagredo, Salviati e Simplicio) e un intreccio che si sviluppa attraverso contrasti e rivelazioni. Solo che questo “conﬂitto” non attiene, come normalmente avviene, ad una “storia sentimentale” o ad un “giallo” ma allo scontro di due visioni cosmologiche. Saltando dal ’600 ad oggi, gli esempi di questo tipo non sono numerosissimi ma neanche rari. Mi limiter` o a segnalarne tre recenti. Quello del chimico Carl Djerassi, il creatore della pillola anticoncezionale, che per esempio in I.C.S.I. [5] immagina il dialogo, in uno studio televisivo, tra un’indisponente intervistatrice ed uno scienziato impegnato nelle ricerche sulle ultime frontiere delle tecniche riproduttive. O quello del ﬁsico Robert Gilmore che in Alice nel paese dei quanti [9] cerca di utilizzare lo schema e la protagonista del famoso romanzo di Lewis Caroll per aiutare il pubblico nell’impresa proibitiva di farsi un’idea di cosa sia la ﬁsica quantistica. O quello a noi pi` u vicino del matematico Enrico Giusti che in La matematica in cucina [10], aﬃdando il dialogo a due simpatici “casalinghi”, Gianni e Pinotto, ci svela come inaspettatamente anche una tranquillissima cucina possa trasformarsi in un pericoloso covo di formule matematiche. Ed `e proprio Enrico Giusti che, in un punto di questa sua cucina matematica, ci svela il modello teatrale originale di tutti questi esperimenti, pi` u o meno riusciti. Quando infatti Pinotto fa notare che raddoppiando il foro circolare di un misuratore di una porzione di spaghetti da cuocere si ottengono non due porzioni bens`ı quattro, Gianni ha un’illuminazione e si ricorda che una considerazione del genere, a proposito del raddoppio dei quadrati, era gi` a presente in Platone. S`ı, in Platone. Nel famoso dialogo Menone, il dialogo sulla conoscenza. Ed `e proprio lo schema del dialogo platonico che sembra segnare un punto di forte convergenza tra scienza e teatro. La scienza `e conoscenza; ma anche il dialogo teatrale `e conoscenza, `e progressiva rivelazione, `e dialettica maieutica. Insomma: la forma dialogata aggiunge alla dimostrazione scientiﬁca qualcosa che non gli `e aﬀatto estraneo. E cos`ı ritorniamo al matematico Doxiadis ed al suo Zio Petros. Aﬀerma Apostolos Doxiadis che da sempre gli uomini conoscono il mondo in due modi: o in modo analitico, scientiﬁco, oppure attraverso le storie. Rispetto al suo campo, egli rileva la novit` a che i matematici possono parlare di matematica attraverso le storie, in un modo non tradizionale: storie o biograﬁe matematiche che non illustrano soltanto i fatti ma che sono invece, o anche, storie di problemi. E ne d` a la prova lampante con il suo romanzo. Un’altra persona che avesse scritto della congettura di Goldbach, avrebbe fatto vedere Goldbach che va a cena da un altro matematico o che si innamora della vicina di casa; e nel frattempo scarabocchia un po’ di formule, per` o senza farne troppe perch´e danno fastidio: una lavagnina sullo sfondo con qualche formulina e via. E siccome non c’`e storia senza conﬂitto, occorrer`a mostrare anche qualche cattivo che dia del ﬁlo da torcere al nostro eroe. In Zio Petros, invece, la grande novit` a `e costituita dal tentativo di portare all’interno della narrazione i concetti del racconto non tenendoli come ele-

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menti descrittivi esteriori, ma calandoli nella struttura stessa del racconto. In questo romanzo, infatti, il vero protagonista e il vero antagonista della storia sono proprio la “congettura di Goldbach” e il “teorema d’incompletezza di Goedel”, che, attraverso l’incarnazione in personaggi di fantasia, entrano in relazione tra loro e si scontrano. L’entrata in scena - colpo di scena - del teorema determina un cortocircuito nel conﬂitto drammatico con la congettura, provocando una catastrofe senza catarsi. E a noi, poveri teatranti logorati dal raccontare in maniera ripetitiva storie ripetitive, questa `e parsa una boccata d’aria. A noi che, anche capendo che questo mondo della scienza `e importante, quando lo andiamo a raccontare ﬁniamo per raccontarlo come se fosse ancora la Locandiera di Goldoni. Il tentativo indicato da Doxiadis, da un punto di vista formale e artistico, a me pare molto interessante anche perch´e gli attori non sono costretti a lavorare sul personaggio in senso tradizionale, psico-ﬁsico, perch´e nel momento in cui sono sul palcoscenico per “dar corpo ad un concetto” non possono fare riferimento agli approcci attoriali normali e devono seguire un ﬁlo che non `e quello sentimentale, psicologico, ecc., ma quello dello svolgimento di un teorema mentale. Questo tentativo di creare un condizionamento o quanto meno una corrispondenza tra la forma del racconto ed il suo contenuto, relativamente al teatro ed alla scienza, potrebbe sicuramente essere spinto molto pi` u avanti. A mia conoscenza, per`o, esperienze di questo tipo sono purtroppo molto rare. Non posso, dunque, esimermi qui da citarne, anche se brevemente, almeno due tra le pi` u rappresentative. Il primo esempio `e il testo Copenaghen di Michael Frayn [8], dove si racconta di un misterioso incontro, avvenuto a Copenaghen nel 1941, tra il ﬁsico nucleare tedesco Werner Heisenberg e il suo maestro, il danese Niels Bohr, presente la moglie di quest’ultimo. Forse Heisenberg era in procinto di fornire ai nazisti la bomba atomica. Forse poteva ma non voleva. Forse voleva sapere da Bohr se gli americani l’avessero gi`a. Forse voleva da lui una spinta a non costruirla. . . Heisenberg `e celebre per aver formulato il “principio d’indeterminazione”, il quale dice - scusate l’approssimazione - che l’osservazione modiﬁca il fenomeno e che nello studio delle particelle non arriveremo mai a conoscere esattamente al tempo stesso, per esempio, la velocit`a o la collocazione di una di esse. Nel caso di questo riuscitissimo testo teatrale, l’autore ha cercato di trasportare questo principio nella struttura del racconto creando una sorta di “drammaturgia dell’indeterminazione”. Mettendo a fuoco, di volta in volta, la posizione di uno dei personaggi si sfuocano le altre e la conoscenza completa dell’incontro risulta impossibile. Cos`ı come difatti `e successo nella realt`a. Il secondo esempio `e lo spettacolo Inﬁnities di Luca Ronconi [1] su testi di John Barrow. Ronconi ha preso dei materiali che Barrow gli ha fornito sul tema dell’inﬁnito e dei paradossi ad esso collegati e li ha scenicamente

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collocati all’interno di cinque bellissimi spazi della Bovisa a Milano, nell’antico magazzino delle scene e dei costumi della Scala, per un aﬀascinate spettacolo itinerante. Questi materiali erano infatti divisi in cinque sezioni: l’albergo inﬁnito di Hilbert, l’inﬁnitezza della vita, la biblioteca inﬁnita, gli insiemi inﬁniti di Cantor e i viaggi nel tempo. Ma il bello `e che Ronconi, cos`ı come aveva fatto per la trasposizione scenica del Pasticciaccio di Gadda, non ha sceneggiato il testo scientiﬁco di Barrow ma lo ha trasportato in scena nudo e crudo, manovrandolo come materiale verbale della sua scrittura scenica. Anche qui gli attori non dovevano e non potevano interpretare dei personaggi, perch´e la scelta non era quella di portare in scena dei personaggi che si interessassero dell’inﬁnito, ma di ricreare delle scene che avessero il paradosso dell’inﬁnito impresso nella loro struttura. Infatti le cinque stanze non erano visitabili solo in senso consecutivo, orizzontale, ma potevano essere ulteriormente rivisitate anche pi` u d’una volta in tutta libert` a. In questo caso lo spettatore, non avrebbe mai ritrovato la stessa scena che aveva gi`a visto prima. Non ci si bagna mai due volte nello stesso ﬁume. E dunque avrebbe trovato sempre qualcosa di diverso: un attore, una battuta, una prospettiva visiva. Vista in pianta graﬁca, la struttura dello svolgimento dello spettacolo (simpaticamente soprannominata il “frattale Ronconi”) assomiglia ad una progressione matematica per il drammaturgo e ad un inferno di rotazioni per gli attori, costretti ad un tour de force straordinario, pur di rendere l’impressione di una rappresentazione che potrebbe durare all’inﬁnito. A questo punto mi resta da fare un’ultima ma importante considerazione. C’`e anche un’altra prospettiva, parallela e non alternativa a quelle precedenti, in cui inquadrare i rapporti tra teatro e scienza. E ce la indica proprio Bertold Brecht quando aﬀerma che la sua aspirazione non era tanto quella di fare un “teatro scientiﬁco”, quanto piuttosto un “teatro per un’epoca scientiﬁca”. Io credo che Brecht volesse dire che si parla tanto di una responsabilit` a degli scienziati ma forse dovremmo cominciare a parlare anche di una responsabilit`a degli artisti rispetto al presente. Come fanno i poeti, gli scrittori, i drammaturghi a raccontare il nostro mondo contemporaneo prescindendo dalla conoscenza che oggi ne abbiamo grazie al lavoro e alle riﬂessioni degli scienziati? Certo, sono campi diversi, con linguaggi diversi e funzioni diverse. Quando Galileo diceva che la religione serve ad aiutarci a capire “come si va in cielo” e la scienza serve a farci capire “come funziona il cielo” intendeva certamente evitare la pericolosa confusione tra discipline; ma intendeva anche far capire che la verit` a - anche quella divina - `e una sola; e se vogliamo fare delle metafore, va bene, altrimenti `e inutile aﬀermare che il sole si `e fermato in Gabaon se `e la terra che gira intorno al sole. Eppure ancora oggi tanti artisti continuano a pensare che la scienza sia roba degli scienziati e a raccontare l’uomo e il mondo con lenti metodologiche e sensibilit`a che deﬁnire romantiche `e fargli un piacere. ` evidente la spaccatura tra scienza e cultura umanistica che noi oggi viviaE mo a causa anche della mancata socializzazione del sapere scientiﬁco; sapere

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che si `e fatto oggi talmente complesso e specializzato da produrre una sorta di rinuncia alla sua comprensione da parte della gran massa dei cittadini, i quali si limitano ad usufruire “a scatola chiusa”, per il proprio benessere individuale, dei suoi prodotti ﬁnali, aﬃdando poi invece le proprie aspettative cognitive a pratiche sconﬁnanti nell’irrazionale e nella superstizione. Ma questo non giustiﬁca l’inveterata tendenza per cui tanti uomini di cultura stentano ad assimilare nel loro lavoro le nuove prospettive aperte dalle conquiste della scienza ed a tradurle in immagini e visioni del mondo, libere quanto si vuole ma consone al presente. Per cui dobbiamo essere riconoscenti a quegli artisti che, per i loro interessi scientiﬁci, rappresentano invece delle felici ed alte eccezioni a questa regola: Italo Calvino, Luis Borges, Carlo Emilio Gadda, Georges Perec, Jos`e Saramago, Umberto Eco, Ian McEwan, il Michel Houellebecq del devastante Le particelle elementari [11] ed altri ancora. E, forse capostipite di tutta questa genealogia, il meraviglioso Lucrezio del De rerum natura. Nell’ambito delle mie competenze e delle mie possibilit`a anch’io sto cercando di dare un piccolo contributo alla ricucitura di questa spaccatura. Infatti da due anni conduco insieme con la mia compagnia Pupi e Fresedde - Teatro di Rifredi (Teatro Stabile d’Innovazione di Firenze) un progetto intitolato “Scienza e Teatro”, che intende promuovere le integrazioni tra teatro e discipline scientiﬁche. Abbiamo cominciato aﬀrontando proprio quelle due tradizionali lenti narrative di cui parlavamo prima: il biograﬁsmo e la fantascienza. Lo abbiamo fatto - speriamo in maniera originale - creando due spettacoli: uno, Eppur si muove, sull’opera e la vita di Galileo e l’altro, Dottor Faust e la cabala del Golem, sui temi della manipolazione genetica. Il primo cerca di mettere a fuoco la centralit`a della costituzione del “metodo scientiﬁco”, basato sull’osservazione, l’esperimento e la geometrizzazione dei risultati, non solo per il pensiero di Galileo ma per tutta la scienza moderna. Il secondo cerca di esorcizzare e di ricondurre all’interno di un dibattito scientiﬁco e ﬁlosoﬁco tutte le fantasie e gli incubi relativi all’abbattimento dei conﬁni della conoscenza scientiﬁca e della libert`a di ricerca. Il primo, scientiﬁcamente controllato dal professor Enrico Giusti, ha ﬁnito per inglobare non solo contributi di scienziati, da Pitagora a Richar Feynmann, ma anche quelli di drammaturghi, da Shakespeare a Brecht. Il secondo, scientiﬁcamente ispirato ai testi del biologo Marcello Buiatti, prende a pretesto la ﬁgura del sulfureo scienziato Faust, che fa un patto con il diavolo per esaudire la sua sete di conoscenza, per compiere una fantastica cavalcata nei secoli partendo da Marlowe e Goethe ﬁno a incrociare Frankestein, Jekyll e “Blade runner”. Dopo di che abbiamo proseguito il nostro progetto realizzando la lettura scenica di Zio Petros e la congettura di Goldbach, come auspicio e prefazione a nuovi esperimenti d’incrocio tra scienza e teatro nell’ottica innovativa ﬁn qui espressa.

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Purtroppo c’`e una certa insensibilit` a delle istituzioni nei confronti di queste problematiche (le tematiche politico/sociali - integrazione, emarginazione, ambiente, pari opportunit` a, ecc. - sono molto pi` u gettonate) ed anche una certa diﬃdenza del grande pubblico che non le rende certo facilmente commerciabili. Ma io mi auguro lo stesso di poter trovare, nei prossimi anni, i mezzi e le collaborazioni per continuare a sviluppare questo progetto e per non spezzare quello stimolante e creativo dialogo che si `e stabilito tra noi teatranti e una serie di scienziati di varie discipline.

Riferimenti bibliograﬁci [1] J. Barrow, L. Ronconi (2003) Inﬁnities, Quaderni del Piccolo Teatro di Milano, Milano [2] B. Brecht (1963) La vita di Galileo, Einaudi, Torino [3] K. Capek (1971) L’aﬀare Makropulos, Einaudi, Torino [4] K. Capek (1971) R.U.R., Einaudi, Torino [5] C. Djerassi (2004) I.C.S.I., Di Renzo Editore, Roma [6] A. Doxiadis (2000) Zio Petros e la congettura di Goldbach, Bompiani, Milano [7] F. Durrenmatt (1972) I ﬁsici, Einaudi, Torino [8] M. Frayn (2003) Copenaghen, Sironi Editore, Milano [9] R. Gilmore (1996) Alice nel paese dei quanti, Raﬀaello Cortina Editore, Milano [10] E. Giusti (2004) La matematica in cucina, Bollati Boringhieri, Torino [11] M. Houellebecq (1999) Le particelle elementari, Bompiani, Milano [12] R. Howard (regia) (2001) A Beautiful Mind Prod., Dreamwork, USA [13] M. Martone (1992) Morte di un matematico napoletano, Teatri Uniti/Angio Films, Italia

Qualche celebre problema nella storia della Teoria dei Numeri Umberto Zannier Scuola Normale Superiore Piazza dei Cavalieri 7, 56126 Pisa [email protected]

Questo articolo prende spunto dal mio intervento dell’11 ottobre 2004 nell’ambito della rassegna “Matematica e Teatro”, coordinata dal Dipartimento di Matematica della Universit` a di Bologna; in eﬀetti esso `e in sostanza una versione ampliata di quanto fu detto allora, compreso il breve dibattito che segu`ı. In quell’occasione, tenuto conto anche delle ﬁnalit` a divulgative dell’iniziativa, cercai di rivolgermi a un pubblico il pi` u ampio possibile, cio`e non necessariamente provvisto di conoscenze matematiche speciﬁche (il che si adatt`o credo al pubblico eﬀettivamente presente, che comprendeva ad esempio intere classi di studenti di scuola superiore). In queste note ho adottato il medesimo principio, in particolare evitando i tecnicismi e inserendo talvolta osservazioni ben note o forse scontate per chi non sia proprio nuovo del soggetto. L’occasione in questione prevedeva anzitutto una rappresentazione teatrale (tenuta dalla Compagnia Pupi e Fresedde di Firenze) basata sul libro Zio Petros e la congettura di Goldbach di Apostolos Doxiadis (Bompiani, Milano 2000). Lo spettacolo mi piacque e mi rallegrai tra l’altro della vasta partecipazione, non certo comune laddove compaia la matematica. Era questa una conseguenza per me positiva del romanzo in questione. Per contro, come feci presente all’inizio della mia breve conferenza, il libro non mi era aﬀatto piaciuto, dico dal punto di vista del “matematico”, ossia al di l`a dalle sue (comunque dubbie) qualit` a letterarie. Infatti mi sembra che l’autore abbia confuso la bellezza della matematica con la competitivit`a dei matematici; `e ﬁn troppo chiaro come quest’ultimo aspetto sia implicita e inevitabile componente di ogni avventura umana che preveda una meta fuori dal comune. Ma proprio per questo la competitivit` a non `e qualcosa di caratteristico della matematica. Invece il racconto di Doxiadis non trasmette, o quantomeno io non vi ho colto, il fascino con cui la matematica ha sempre attratto i propri cultori, oggi come nell’antichit` a, a prescindere da riconoscimenti accademici e non, come motivazioni per scienziati e pensatori. Comunque, non mi dilungher` o oltre su questo aspetto pur interessante, ma passer`o invece al Problema di Goldbach, alla base del racconto e della serata

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Umberto Zannier

bolognese. Christian Goldbach fu uomo di cultura, appassionato tra l’altro di matematica e amico e corrispondente di Leonhard Euler, il grande scienziato noto pi` u o meno a tutti come “Eulero”. Bench´e non risulti da parte di Goldbach alcuna conquista matematica di rilievo, egli pass`o alla storia per aver posto, appunto ad Eulero nel 1742, il problema di dimostrare la seguente asserzione: Congettura di Goldbach: Se N `e un numero intero, pari e maggiore di 2, allora si possono trovare numeri primi P e Q con N = P + Q.

Quantunque vi siano fortissime motivazioni, sia teoriche che sperimentali, a ` facile veriﬁcarla per sostegno della sua validit` a, essa `e tuttora indimostrata. E i primi valori di N ; ad esempio: 4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 3+5, 10 = 3+7 = 5+5, 12 = 5 + 7, 14 = 3 + 11 = 7 + 7,. . . ; e naturalmente, ﬁssato che sia il numero pari N , per quanto grande, potremo stabilire con un numero ﬁnito di tentativi ` chiaro tuttavia che, mentre il se N sia o no la somma di due numeri primi. E fallimento di questo tipo di test anche da parte di un singolo N invaliderebbe la congettura, questa non potrebbe invece essere mai confermata proseguendo indeﬁnitamente in queste veriﬁche. La domanda sollevata da Goldbach ha continuato da allora ad interessare i matematici; assieme ad altri problemi1 , talvolta di simile natura, `e diventata uno dei simboli di questione matematica insoluta e per questo un’ossessione per molti dilettanti in cerca di fama imperitura. ` spontaneo chiedersi il perch´e di una tale attenzione; cosa distingue E questo problema dalla moltitudine di altri, analoghi o non, che sono o potrebbero essere stati formulati? In eﬀetti molti esperti non considerano la congettura di Goldbach come “matematicamente importante” in s`e; in un certo senso `e solo una curiosit` a, attraente al pari di altre. Parte della sua rilevanza nasce dal duplice aspetto della semplicit`a di formulazione e diﬃcolt` a di ` una domanda che ci rivela quanto sfuggenti siano il concetto e soluzione. E la struttura dei numeri, anche quelli con cui “si conta”, ed essa diventa cos`ı una specie di “esame”, una provocazione per saggiare quanto eﬃcaci siano i nostri strumenti di indagine matematica. Torneremo brevemente pi` u avanti su questo importante, ma ambiguo e indeﬁnibile, aspetto della collocazione e gerarchia dei problemi all’interno dell’intera matematica. Ora invece discuteremo altre questioni analoghe che hanno svolto un ruolo storico importante e che hanno ispirato ricerche matematiche le cui ripercussioni sono andate ben oltre le motivazioni originarie.

1

Pensiamo qui ad esempio all’Ultimo Teorema di Fermat, recentemente dimostrato da A. Wiles e altri, o all’Ipotesi di Riemann, di formulazione pi` u tecnica.

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La congettura di Goldbach `e un esempio di problema additivo nella Teoria dei Numeri2 , in quanto appunto concerne certe somme3 . Non discuteremo qui le tecniche sviluppate nei tentativi di soluzione. Piuttosto, approﬁttando di questo spunto, ricorderemo brevemente altri celebri problemi additivi di tipo aritmetico. Premettiamo che, grossomodo, nei problemi additivi ci si chiede quali numeri si ottengano sommando addendi di “tipo speciale”. Nel caso della congettura di Goldbach, “speciale” vuol dire “numero primo”; tuttavia ovviamente esistono altre scelte naturali per il tipo di addendi, ossia restringendoli a successioni che per qualche motivo siano matematicamente rilevanti; ne vedremo alcuni esempi.

Somme di tre primi La formulazione originaria di Goldbach era in realt` a leggermente diversa bench´e equivalente a quella vista, e conteneva implicitamente anche un’altra congettura di tipo additivo, ossia: Se N `e un numero dispari e maggiore di 5 allora si possono trovare tre numeri primi P, Q, R con N =P +Q+R Questa ipotesi, della stessa natura e anzi conseguenza immediata della precedente, `e stata dimostrata dal matematico russo I.M. Vinogradov nel 1937 per tutti i numeri dispari N da un certo punto in poi. Questa restrizione non `e essenziale poich´e pu` o essere superata con una veriﬁca empirica. Le soﬁsticate tecniche dimostrative (introdotte dai matematici G.H. Hardy, J.E. Littlewood e S. Ramanujan che incontreremo ancora) costituiscono un importante esempio di applicazione dell’Analisi Matematica allo studio dei numeri interi 1, 2, 3 . . ., due discipline solo apparentemente scollegate. Ecco come un problema a priori innocuo e isolato pu` o condurre a introspezioni inattese e fruttuose. Ricordiamo anche che prima di Vinogradov era stato L. Schnirelman a ottenere un avvicinamento a queste conclusioni con altri metodi, di natura combinatoria. Aveva dimostrato che ogni intero N si pu` o scrivere come somma N = P1 + . . . + Ph di numeri primi, in cui il numero h di addendi non supera 800.000. Al di l`a dal fatto che questo numero di addendi possa apparire molto grande, il punto signiﬁcativo `e che esso non aumenti all’aumentare di N . 2

3

Classicamente la Teoria dei Numeri riguarda le propriet` a dei numeri interi. Tuttavia questo studio ha spesso richiesto un allargamento del campo di indagine, e dunque il soggetto oggi sconﬁna in moltissimi altri nella matematica. Si noti invece che gli addendi, i numeri primi, sono deﬁniti moltiplicativamente: sono gli interi maggiori di 1 che non sono prodotto di altri due numeri siﬀatti.

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Somme di due quadrati di numeri interi Furono considerate gi` a nel III secolo d.C. da Diofanto di Alessandria e, meno sistematicamente, anche in tempi pi` u lontani. Un’attenzione per esse fu probabilmente suggerita, in modo pi` u o meno diretto, dal Teorema di Pitagora: come si sa, esso aﬀerma che il quadrato dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo `e la somma dei due quadrati dei cateti. D’altro canto, la successione dei “quadrati perfetti” `e tra le prime a presentarsi in matematica e costituisce pertanto una scelta naturale. Sulle somme di due quadrati di interi si sa ad esempio che: Ogni numero primo P che lasci resto 1 nella divisione per 4 si pu` o scrivere come somma di due quadrati perfetti: P = A2 + B 2 ,

A, B numeri interi opportuni.

Esempi: 5 = 12 + 22 , 13 = 22 + 32 , 17 = 12 + 42 , 29 = 22 + 52 , 37 = 12 + 62 , 41 = 42 + 52 , 53 = 22 + 72 , 61 = 52 + 62 ,. . . Invece i primi 7,11,19,. . . non sono somma di due quadrati, perch´e lasciano resto 3 nella divisione per 4. Questo enunciato fu ipotizzato da Pierre de Fermat nel 1640 in una lettera al religioso Mersenne. Fermat `e una ﬁgura leggendaria nella storia della scienza, quasi una ﬁgura letteraria. Per professione fu giurista a Tolosa e si occup`o di matematica e ﬁsica solo “per diletto”, tanto che non pubblic` o quasi nulla4 . Tuttavia fu lungimirante autore di scoperte e intuizioni della massima portata; celebre `e il principio di Fermat in ottica: egli immagin`o come il fenomeno di rifrazione della luce dipendesse dalla ricerca di un percorso di minimo tempo piuttosto che di minimo spazio; concezione questa di straordinaria anticipazione, soprattutto tenuto conto che non si sapeva allora che la luce avesse velocit`a ﬁnita. In matematica, contribu`ı all’invenzione del calcolo diﬀerenziale, ma soprattutto si pu` o dire che con le sue domande e soluzioni di grande originalit` a inizi` o la moderna Teoria dei Numeri (cf.[12]). Il teorema sopra enunciato sulle somme di due quadrati fu dimostrato solo nel 1747 da Eulero, che subito comunic` o la conquista all’amico Goldbach, con una lettera. L’argomentazione di Eulero, bench´e non complicatissima, `e molto sottile e immaginativa. Egli prima dimostra che se P `e un numero primo come nell’enunciato, allora esistono somme di due quadrati A2 + B 2 che sono divisibili per P senza che lo siano A o B. (Ad es. 52 + 12 = 26 `e divisibile per 13; `e in questa fase che il resto 1 nella divisione per 4 `e importante.) Poi mostra che vi sono due alternative: o A2 + B 2 = P , il che d`a la conclusione voluta, oppure si pu` o trovare un’altra somma di due quadrati, con le stesse propriet` a della precedente, ma pi` u piccola. Si pu` o allora ripartire col medesimo ` chiaro che, proseguendo in questo modo, la seconda alternativa principio. E 4

Fermat `e un ottimo esempio che sfugge alla ristretta concezione di Doxiadis.

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non potr` a ripresentarsi sempre e dunque a un certo punto concluderemo con la prima (cf. [4] o [12] per un’esposizione completa). Il metodo di Eulero, in cui ci si riporta a interi sempre pi` u piccoli, sorge da uno dei principi base di Fermat: la cosiddetta discesa inﬁnita. Non possiamo qui soﬀermarci su questo, ma rimandiamo a [12] per una discussione in un’ampia prospettiva che arriva ﬁno ai metodi moderni. Questo teorema enuncia un fatto elegante e insieme profondo, che collega l’essere somma di due quadrati, una propriet` a semplice di un intero, con i numeri primi, un concetto altrettanto semplice ma a priori assai lontano. Inoltre vi `e la condizione che P abbia resto 1 nella divisione per 4; `e piuttosto facile veriﬁcare che essa `e necessaria: tutte le somme dispari di due quadrati la veriﬁcano; tuttavia la suﬃcienza `e assai pi` u recondita, e in eﬀetti la conclusione non `e necessariamente vera se si omette la richiesta che il numero P sia primo (si consideri ad esempio P = 21 = 4 × 5 + 1, che lascia resto 1 nella divisione per 4 ma non `e somma di due quadrati). L’asserzione di Fermat `e tanto attraente per la propria essenzialit` a quanto sottile ed enigmatica (come si render`a presto conto chi, senza conoscenze speciﬁche, tenti di farsene una ragione). Al di l`a di questi aspetti un po’ soggettivi, essa `e storicamente importante nella matematica anche perch´e contribu`ı in modo decisivo allo sviluppo della teoria della scomposizione in elementi primi, in ambiti diversi da quello classico dei numeri interi; in eﬀetti, la formula di fattorizzazione √ √ A2 + B 2 = A + B −1 A − B −1 colleg`o la questione √di Fermat con i numeri interi Gaussiani, ossia quelli della forma a + b −1, con a, b numeri interi usuali. √La formula√mostra ad esempio√che certi √ numeri primi, come 5 = (2 + −1)(2 − −1), o 13 = (2 + 3 −1)(2 − 3 −1), non restano primi, ma si fattorizzano in questo ambito pi` u vasto. Tutto ci` o diede inizio alla teoria aritmetica dei numeri algebrici, che a sua volta motiv` o e produsse pi` u avanti il concetto di ideale, oggi fondamentale e inevitabile in algebra e in geometria.

Somme di quattro quadrati Fermat asser`ı anche che: Ogni numero intero N che sia positivo si pu` o scrivere come somma di quattro quadrati perfetti: N = A2 + B 2 + C 2 + D 2 ,

A, B, C, D numeri interi opportuni.

Esempi: 1 = 02 + 02 + 02 + 12 , . . . , 5 = 02 + 02 + 12 + 22 , . . . , 7 = 12 + 12 + + 12 + 22 , . . . , 11 = 02 + 12 + 12 + 32 , . . .

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Non `e inoltre diﬃcile vedere che soli tre quadrati non sono suﬃcienti per numeri come 7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, . . . , 4h (8m + 7), . . .5 . Fermat non produsse alcuna dimostrazione, e nemmeno Eulero, che l’aveva invano cercata dopo il successo con i due quadrati. La prima dimostrazione completa fu data da Lagrange nel 1770 con idee aritmetiche in parte tratte da quelle di Fermat ed Eulero. (Come per i due quadrati, anche qui veniva usato un principio di discesa.) Pi` u avanti C.G.J. Jacobi diede un’altra sorprendente dimostrazione, basata sulla teoria delle funzioni theta, come la serie di potenze ϑ(x) = 1 + 2x + 2x4 + 2x9 + 2x16 + . . . =

∞

2

xn ,

n=−∞

laddove gli esponenti assegnati alla variabile x sono appunto i quadrati perfetti 0 = 02 , 1 = (±1)2 , 4 = (±2)2 , 9 = (±3)2 , 16 = (±4)2 , . . . Per illustrare come questo si leghi con l’enunciato di Fermat, osserviamo che la quarta potenza di ϑ(x) si scrive come 2 2 2 2 xa +b +c +d ϑ(x)4 = a,b,c,d

dove a, b, c, d assumono ciascuno tutti i valori interi possibili (positivi e negativi). Vediamo dunque che tra gli esponenti di x nel termine destro ﬁgurano precisamente gli interi che sono somma di quattro quadrati a2 , b2 , c2 , d2 . Se raggruppiamo insieme tutte le quaterne (a, b, c, d) per cui la somma dei quattro quadrati assume un valore dato N , e se r(N ) denota il numero di queste quaterne, avremo ∞ r(N )xN . ϑ(x)4 = N =0

Osserviamo che r(N ) rappresenta dunque il numero di modi in cui N si pu` o scrivere come somma di quattro quadrati6 . L’enunciato di Fermat (ossia il Teorema di Lagrange) diventa allora equivalente all’asserzione che “r(N ) `e maggiore di zero, per ogni intero positivo N ”. Jacobi, con altre motivazioni, aveva sviluppato una vasta e profonda teoria per le funzioni di tipo “ϑ”, trovando per esse propriet` a meravigliose e inattese. Da tutto ci`o dedusse non solo il Teorema di Lagrange, ma un risultato molto pi` u preciso, ossia che “Il numero r(N ) di rappresentazioni di N come somma di quattro quadrati `e uguale a otto volte la somma dei divisori di N che non sono multipli di 4” ed `e pertanto positivo. Le funzioni di tipo “ϑ” e le loro generalizzazioni sono divenute col tempo fondamentali nella geometria delle curve algebriche, in particolare delle curve 5 6

Furono poi Legendre e Gauss a dimostrare il teorema molto pi` u diﬃcile per cui gli unici interi positivi che non sono somma di tre quadrati sono del tipo 4h (8m + 7). Si tiene qui conto della posizione degli addendi e del loro segno.

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ellittiche7 . Qui abbiamo un altro esempio di profondo legame matematico tra problemi e teorie diversissimi. Va anche ricordato che fu proprio questo approccio di Jacobi a ispirare Hardy e Ramanujan, e poi Littlewood; Hardy e Littlewood inventarono tecniche con cui studiare funzioni simili alle ϑ di Jacobi, ma pi` u generali e con propriet` a meno stringenti. Per mezzo di un’analisi ﬁne del comportamento asintotico di queste funzioni (mano a mano che il numero complesso x si avvicina al cerchio unitario), riuscirono ad aﬀrontare con pieno successo problemi additivi pi` u generali. Furono queste le idee che permisero poi anche a Vinogradov di aver ragione delle somme di tre primi e sono questi i principi con i quali si `e tentato un attacco alla congettura di Goldbach. Come si diceva essa `e tuttora aperta, ma questi metodi hanno quantomeno permesso di avvicinarvisi (ad esempio si sa che in un certo senso ben preciso le eventuali eccezioni sono “rare”).

Somme di potenze superiori Simili enunciati esistono per le altre potenze al posto dei quadrati; il problema soggiacente `e noto come Problema di Waring, dal matematico che lo sollev`o nel 1770; alcuni casi furono studiati gi` a nell’800, ﬁno a una soluzione per tutte le potenze da parte di D. Hilbert agli inizi del ’900. Hilbert utilizz` o tra l’altro il Teorema di Lagrange. Il principio alla base di queste dimostrazioni si pu` o spiegare bene nel caso della rappresentazione di un numero come somma di quarte potenze. Usando appunto il risultato visto sui quattro quadrati dedurremo, seguendo Liouville (1859), che ogni intero positivo N `e somma di 53 quarte potenze (includendo come al solito lo zero: 0 = 04 )8 . Per dimostrare l’asserto osserviamo l’identit` a algebrica 6(a2 + b2 + c2 + d2 )2 = (a + b)4 + (a − b)4 + (c + d)4 + (c − d)4 + +(a + c)4 + (a − c)4 + (b + d)4 + (b − d)4 + +(a + d)4 + (a − d)4 + (b + c)4 + (b − c)4 , che pu`o essere veriﬁcata meccanicamente “aprendo le parentesi” per mezzo della propriet` a distributiva. Questa identit` a implica il seguente fatto importante: il sestuplo del quadrato di una somma di quattro quadrati `e una somma di dodici quarte potenze. 7 8

Tali curve non sono ellissi; la denominazione deriva storicamente dalla loro rilevanza nella questione del calcolo del perimetro di un’ellisse. Il numero 53 si pu` o in eﬀetti abbassare a 19; tuttavia quello che veramente conta, almeno in prima istanza, `e che il numero di addendi NON dipenda dal numero N da rappresentare.

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Ora, sia N l’intero positivo che vogliamo scrivere come somma di 53 quarte potenze. Se r `e il resto di N nella divisione per 6 potremo scrivere N = 6M +r. Per il teorema di Lagrange, M potr` a essere scritto come somma di quattro quadrati: M = t2 + u2 + v 2 + z 2 e dunque N = 6t2 + 6u2 + 6v 2 + 6z 2 + r. Sempre per il teorema di Lagrange ciascuno tra t, u, v, z si potr`a scrivere come somma di quattro quadrati e pertanto, in virt` u del fatto importante sopra osservato, ciascuno tra 6t2 , 6u2 , 6v 2 , 6z 2 sar`a somma di 12 quarte potenze. Allora 6t2 + 6u2 + 6v2 + 6z 2 sar` a somma di 48 quarte potenze. Ma il resto r `e compreso tra 0 e 5 e dunque sommando altri cinque addendi tra “zeri” e “uni” arriviamo al totale di 53, il che conclude l’argomentazione. Il principio di Hilbert per trattare il caso di potenze qualsiasi consisteva nel costruire identit` a simili ma pi` u generali di quella vista. Con tecniche pi` u soﬁsticate oggi ad esempio si sa dimostrare che: Ogni numero intero positivo N si pu` o scrivere come somma di 9 cubi, oppure di 19 quarte potenze (sempre di interi) e cos`ı via con enunciati analoghi per tutte le potenze superiori. Dopo l’approccio di Hilbert, interessante ma oggi superato, le idee principali che portano alle dimostrazioni di teoremi come questi sono quelle cui si accennava poc’anzi, introdotte da Hardy e Littlewood agli inizi del ’900 e sviluppate ulteriormente da Vinogradov per dimostrare tra l’altro la citata ipotesi di Goldbach sulle somme di tre primi.

Equazioni Diofantee I problemi sopra considerati si possono vedere anche come esempi di Equazioni Diofantee, dal matematico Diofanto (III sec. d.C.) che ispir`o in seguito Fermat. Sono le equazioni da risolvere con numeri interi (o razionali). In eﬀetti, scrivere ad esempio un numero dato N come somma di quattro quadrati signiﬁca risolvere l’equazione diofantea N = x2 + y 2 + z 2 + w 2 nelle variabili x, y, z, w, che devono qui assumere valori interi. Le equazioni diofantee comparvero gi` a nell’antichit` a (ben prima di Diofanto), probabilmente motivate anche dal fatto che i numeri interi e razionali fossero i soli numeri concepiti e comunque i soli coi quali si sapesse operare. I Pitagorici, che avevano il culto dei numeri, ne consideravano sequenze speciali (i numeri ﬁgurati), associate a conﬁgurazioni geometriche notevoli, come i numeri quadrati (del tipo n2 ) o i numeri triangolari (del ). Nascevano in tal modo alcuni naturali problemi tipo 1 + 2 + . . . + n = n(n+1) 2 ed equazioni diofantee: ad esempio trovare i numeri simultaneamente quadrati e triangolari conduce all’equazione diofantea 2m2 = n(n + 1) (che ammette inﬁnite soluzioni intere, corrispondenti a inﬁniti numeri quadrati e triangolari, come 12 = 1, 62 = 36, 352 = 1225, . . ., in cui 1, 6, 35, . . . si ottengono facendo di volta in volta il sestuplo del numero precedente e togliendo quello che ancora precede; cf. [6]).

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Al contrario dei teoremi sopra incontrati, molti enunciati in questa teoria sono tuttavia di tipo negativo, ossia aﬀermano l’impossibilit` a di certe rappresentazioni numeriche. Tanto per citare un esempio, in verit` a molto speciale, si pu`o mostrare che il numero 7 NON si pu` o rappresentare come diﬀerenza di un quadrato e di un cubo. In altri termini: o risolvere con X, Y numeri interi. L’equazione 7 = X 2 − Y 3 non si pu` Spesso `e diﬃcilissimo trovare una dimostrazione per questo tipo di impossibilit` a, mentre pu` o essere facile ipotizzarla. Inoltre molte questioni diofantee, tra cui quelle viste, sono formulabili in modo elementare, il che le rende spesso attraenti anche per chi non abbia competenze speciﬁche. Il problema generale di trovare un metodo sistematico per decidere se una data equazione diofantea abbia o meno soluzioni fu posto esplicitamente da Hilbert nel 1900, come decimo di una famosa lista di ventitre problemi, destinati a condizionare profondamente la matematica contemporanea. Fu per molti una sorpresa la dimostrazione (ottenuta da Y. Matijasevic intorno al 1970 come coronamento di una serie di risultati parziali di altri autori) che un metodo siﬀatto addirittura non esiste: il problema, in termini tanto generali, `e troppo complesso per ammettere una soluzione meccanica data da un algoritmo di calcolo. Per contro, oggi si sono compiuti passi notevoli verso una comprensione di ci`o che regola l’esistenza e la distribuzione delle soluzioni di equazioni diofantee; in particolare, `e piano piano emerso che le soluzioni intere e razionali sono, per cos`ı dire, condizionate dalle soluzioni in numeri pi` u generali, come i numeri reali o complessi. Queste soluzioni pi` u generali sono state sistematicamente studiate nella geometria algebrica ﬁn dal suo sorgere, il che ha reso questa branca protagonista nel contesto diofanteo. A titolo di esempio celebre, molti ricorderanno la celebre equazione diofantea Xn + Y n = Zn che compare nel cosiddetto Ultimo Teorema di Fermat, solo recentemente dimostrato da A. Wiles e altri; `e stato oggetto di attenzione anche da parte dei rotocalchi. Fermat ipotizz` o (anzi aﬀerm`o, in linguaggio leggermente diverso) che per n maggiore di 2 l’equazione non avesse soluzioni intere, a parte quelle “banali”, ossia con qualche incognita uguale a zero. Per n = 2 si ottiene invece l’Equazione Pitagorica X 2 + Y 2 = Z 2 le cui soluzioni intere corrispondono, in virt` u appunto del Teorema di Pitagora, ai triangoli rettangoli con lati di lunghezza intera. Si noti che ora alcune soluzioni intere non banali, come 32 + 42 = 52 , esistono, e anzi le soluzioni sono inﬁnite (anche quelle primitive, ossia con le incognite senza fattori primi comuni), descritte tutte da formule come X = (a2 − b2 )c, Y = 2abc, Z = (a2 + b2 )c in cui a, b, c assumono valori interi arbitrari.

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Parte del fascino della questione si deve al fatto che Fermat scrisse la propria aﬀermazione sul margine della pagina del libro di Diofanto che trattava l’Equazione Pitagorica. Egli sostenne di aver trovato una meravigliosa dimostrazione di impossibilit` a per n > 2, ma che il margine non poteva contenerla (“. . . hanc marginis exiguitas non caperet”). Oggi si `e praticamente certi che l’argomentazione di Fermat, che si `e tentato di ricostruire, contenesse lacune. Tuttavia dalle sue poche note risulta come egli avesse una dimostrazione rigorosa di impossibilit` a nel caso n = 4, mediante il suo metodo della “discesa inﬁnita” al quale si alludeva sopra. Quell’approccio era poi stato adottato da Eulero (per n = 3) e sviluppato sostanzialmente da altri illustri autori successivi (tra cui spicca E. Kummer) ﬁno a tempi relativamente recenti, portando alla conferma dell’ipotesi per moltissimi valori di n, quantunque non per tutti. La dimostrazione ﬁnale di Wiles poggia invece su altri principi, estremamente reconditi e indiretti. La sﬁda lanciata dall’asserzione di Fermat ha notevolmente contribuito allo sviluppo di importanti teorie matematiche. In generale, la teoria delle equazioni diofantee `e oggi molto ricca e, come si accennava, strettamente intrecciata con altri rami primari della matematica, come l’algebra e la geometria.

L’importanza dei problemi I singoli problemi sono indispensabili per il progresso e la vitalit` a della matematica. Talvolta, anche se a priori apparentemente insigniﬁcanti, hanno condotto a sviluppi imprevedibili di teorie di vasta portata. Questo `e accaduto con i problemi matematici di carattere pratico e applicativo, ma anche speculativo. Ed `e stato probabilmente questo che ha indotto Hilbert a formulare ` per contro (nel 1900) la lista dei ventitre problemi a cui abbiamo alluso. (E raro, che io sappia, che una teoria importante venga creata “dal nulla”, ossia senza uno speciﬁco problema che indirizzi pensiero e obiettivi.) Tornando al contesto ﬁn qui discusso, sottolineo che abbiamo sopra ricordato solo una piccola parte delle questioni su cui si impernia la Teoria dei Numeri, limitandoci a un ambito classico e vicino alla congettura di Goldbach. Questi problemi possono apparire molto speciﬁci o addirittura frivoli. Come nel caso della congettura di Goldbach ci si pu` o comunque chiedere, ad esempio: - Perch´e questi problemi si sono rivelati interessanti? - Cosa li distingue tra le molte altre questioni analoghe che potrebbero essere proposte? L’importanza di un problema `e diﬃcile a giudicarsi e anche solo a deﬁnirsi; pu` o essere il frutto di varie componenti, come:

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la possibilit`a di applicazioni ad altre discipline o a questioni concrete (nell’ambito della Matematica ma anche delle Scienze Naturali, delle Scienze dell’Informazione o dell’Economia. . . ); l’essenzialit`a, rappresentativit` a e centralit` a del problema nell’ambito di un intero ﬁlone di ricerca; la quantit` a e la profondit` a di tecniche, di collegamenti e di applicazioni matematiche che il problema solleva.

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Si pu`o poi aggiungere che un problema matematico, per poter essere attraente, non deve essere di soluzione troppo evidente, e nemmeno apparire inattaccabile e fuori dalla portata dei nostri mezzi9 . Alcune di queste caratteristiche sono in eﬀetti presenti nei problemi sopra ricordati. Sarebbe lungo entrare qui in dettaglio, tuttavia si `e osservato qua e l`a come essi abbiano contribuito a sviluppare o quantomeno ad arricchire altri soggetti matematici: lo studio delle funzioni incontrate da Hardy, Ramanujan e Littlewood, motivato dalla congettura di Goldbach e da altri problemi additivi, ha avuto poi importanza nell’analisi armonica, la teoria algebrica della fattorizzazione e degli ideali `e sorta con problemi come quello di Fermat sulle somme di due quadrati, le “funzioni theta” di Jacobi, importanti nella geometria delle curve ellittiche, sono pure entrate nei problemi aritmetici e l’intera teoria delle equazioni diofantee `e continuamente stata fonte di ispirazione per algebra e geometria algebrica (e reciprocamente). Potremmo anche continuare ricordando le recenti e fondamentali applicazioni della Teoria dei Numeri a problemi del mondo reale, come ad esempio l’uso dei numeri primi e di certe loro propriet` a aritmetiche (scoperte da Fermat, Eulero, Gauss. . . ) nell’ambito della crittograﬁa; chi l’avrebbe mai detto? Comunque, a parte tutto ci` o, il giudicare la rilevanza delle singole questioni `e in parte soggettivo. Spesso si `e parlato di un aspetto artistico ed estetico nella matematica. Ebbene, proprio come nell’arte, la sensibilit` a (in questo caso del matematico, nella scelta dei problemi) fa spesso capo a qualcosa di istintivo e inconscio. In eﬀetti un’attrazione per l’enigma in s´e, a prescindere da speciﬁche motivazioni esterne, spesso `e ed `e stata spontanea.

A quando le soluzioni? Ci si pu`o chiedere: quanto tempo dovremo attendere prima che un problema come quello di Goldbach venga chiarito? Va da s´e che una tale questione ha senso solo un po’ come gioco o scommessa; chi si `e avventurato in simili previsioni, seppure in presenza di elementi che permettessero una valutazione non arbitraria, si `e spesso sbagliato. 9

` chiaro come questi aspetti dipendano da fattori soggettivi ma anche dallo stato E di sviluppo delle scienze matematiche nel momento in cui il problema viene posto.

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La situazione, dal punto di vista formale, `e in realt`a la peggiore possibile; alludo qui alle limitazioni poste da un teorema come quello di incompletezza di G¨odel, che compare anche nel racconto di Doxiadis e che venne pure richiamato nel dibattito che segu`ı il mio intervento a Bologna. Cercher`o di spiegarmi, senza peraltro entrare in alcun tecnicismo o enunciato formale, il che tra l’altro mi vedrebbe impreparato. Quando parliamo di “dimostrazione” di un teorema, cosa abbiamo in mente? Ebbene, grossomodo intendiamo una successione ﬁnita di passaggi logici ammissibili, ossia che poggino o sugli assiomi che abbiamo deciso di adottare oppure su certe regole deduttive formali (motivate se si vuole, almeno all’inizio, da un “senso comune”). Ora, come G¨odel ha mostrato, un tale sistema deduttivo non `e mai completo, nel senso che certe domande rimarranno comunque senza risposta certa. La questione di Goldbach potrebbe essere una di queste? A priori, s`ı! In effetti, l’enunciato alla base della congettura consta di INFINITE aﬀermazioni: Il numero 4 `e somma di due primi, il numero 6 `e somma di due primi,. . . e cos`ı via. Chiediamoci: Perch´e mai dovrebbe esistere un sistema FINITO di deduzioni in grado di abbracciare l’inﬁnit` a di quelle asserzioni? Bench´e questo talvolta accada (come nel caso del teorema di Vinogradov dei tre primi o del teorema di Lagrange dei quattro quadrati o. . . ), non esiste nulla a garantirlo in generale. Naturalmente, se la congettura di Goldbach fosse falsa, allora esisterebbe la possibilit`a, almeno teorica, di scoprire uno speciﬁco numero intero N a contraddirla (ossia un numero intero N > 2 che fosse pari ma che non fosse la somma di due primi). Ma se fosse vera? Allora altri due casi si potrebbero presentare. (i) Un primo caso (fortunato) `e quello in cui eﬀettivamente esistesse una successione ﬁnita di passi dimostrativi ammessi dalle nostre regole che alla ﬁne conducesse a una conclusione aﬀermativa. Trovare una tale successione equivarrebbe allora a dimostrare la congettura. (ii) Un secondo caso `e invece quello in cui tale successione non esistesse. Non potremmo allora dimostrare la congettura nel nostro sistema deduttivo, a prescindere dalla sua validit` a. Un tale stato delle cose non `e aﬀatto soddisfacente. Se fossimo nei primi casi (congettura falsa oppure vera e dimostrabile) potrebbe rivelarsi comunque umanamente fuori portata trovare vuoi un controesempio vuoi una dimostrazione, che potrebbe richiedere tempi cosmici. Ma se fossimo nell’ultimo caso (congettura vera ma indimostrabile) rimarremmo nell’incertezza eternamente; infatti non potremmo mai stabilire di trovarci proprio in quel caso, in quanto saperlo ci direbbe appunto che la congettura `e vera. Questo pu`o sembrare un gioco di parole, ma non lo `e; detto in altri termini, si pensi che: se sapessimo che la congettura `e indecidibile (ossia indi-

Qualche celebre problema nella storia della Teoria dei Numeri

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mostrabile e anche irrefutabile) sapremmo automaticamente che non esistono interi pari N non somma di due primi (ch´e altrimenti la congettura sarebbe dimostrabilmente falsa), e dunque in realt` a sapremmo che la congettura `e vera. Questa situazione ha il sapore di una condanna divina, di un supplizio di Tantalo dell’acqua del sapere, a punizione della superbia nel pensare di poter sapere. Per fortuna la matematica `e ricca di motivazioni e di obiettivi, nonch´e di teoremi veri e dimostrabili. Che casi come quello ipotizzato si possano presentare, anche per questioni apparentemente “alla portata”, `e s`ı da tenere sempre ben presente, ma senza esasperazione. Va anche detto che questa consapevolezza pu`o tra l’altro contribuire a fruttuose spinte verso nuove mete, una volta che quelle vecchie non diano pi` u segni di vita.

Riferimenti bibliograﬁci [1] M. Gardner (1975) Sui vari tipi di numeri ﬁgurati e sulle loro insolite propriet` a, Le Scienze, 80 [2] G.H. Hardy, E.M. Wright (1975) An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford Univ. Press [3] A. Weil (1980) Teoria dei Numeri, Einaudi, Torino

Ringrazio Pietro Corvaja, Giorgio Marcon e Giovanni Panti per varie osservazioni e commenti.

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Proof

Proof di David Auburn Compagnia del Teatro dell’Argine ITC Teatro di San Lazzaro Interpreti: Micaela Casalboni e Lorenzo Ansaloni Regia: Andrea Paolucci Dibattito con Angelo Vistoli (Universit` a di Bologna)

La storia si svolge a Chicago ed `e incentrata sulle vicende di quattro persone: Catherine, una giovane matematica di 25 anni che ha sacriﬁcato gli ultimi anni della propria vita per prendersi cura del padre malato Robert, brillante matematico e professore universitario ma mentalmente instabile, Claire, sorella maggiore di Catherine, e Hal, giovane matematico allievo di Robert, che `e anche interessato a Catherine. Tutto ha inizio con la morte di Robert in seguito a un infarto. Claire, tornata a Chicago per il funerale, spera di riuscire a vendere la casa del padre e di riportare la sorella con s´e a New York. Intanto ha inizio una relazione sentimentale tra Hal e Catherine. Quest’ultima d` a a Hal uno dei quaderni di Robert contenente la dimostrazione di un importante teorema di teoria dei numeri, che Catherine sostiene essere sua. Proprio a questa dimostrazione `e legato il titolo dell’opera, anche se in realt` a il termine proof (che appunto signiﬁca “dimostrazione” ma anche “prova”) fa riferimento sia alla dimostrazione di tale

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teorema (Auburn non scende nei particolari, ma si limita a dire che `e un teorema che da sempre i matematici cercavano di dimostrare: “a mathematical theorem about prime numbers, something mathematicians have been trying to prove since. . . since there were mathematicians, basically.”), sia alla prova della sua paternit` a. Nonostante quanto aﬀermi Catherine, Hal e Claire sono convinti che non possa essere lei l’autrice di tale dimostrazione. Hal si rende conto che si tratta del lavoro di un genio e non riesce ad attribuirlo ad altri che a Robert. La diﬃdenza di Claire nasce, invece, da una convinzione ben pi` u grave: se da un lato `e evidente che Catherine ha ereditato dal padre parte del talento per la matematica, dall’altro `e possibile che abbia ereditato anche la tendenza all’instabilit` a mentale, cosa di cui lei stessa ha paura. I temi dell’amore ﬁliale e dell’amore sentimentale si intrecciano con quelli della genialit`a matematica, della malattia mentale e della loro possibile ereditariet`a. Americano, nato nel 1969, David Auburn non ha particolari conoscenze di matematica, come ha ammesso lui stesso nell’intervista rilasciata ad Osserman, Direttore dei Progetti Speciali del Mathematical Sciences Research Institute (MSRI). Dopo essersi laureato in ﬁlosoﬁa politica all’Universit` a di Chicago, Auburn si `e trasferito a New York, dove ha iniziato a dedicarsi al teatro, da sempre sua grande passione, frequentando la Juilliard School. Con Proof Auburn ha iniziato ad acquistare una solida fama nel teatro statunitense. L’opera ha ottenuto numerosi riconoscimenti e premi da parte della critica internazionale: il prestigioso Premio Pulitzer for Drama 2001, il Joseph Kesselring Prize, il Drama Desk Award, tre Tony Award nel 2001 per la miglior sceneggiatura, per miglior attrice protagonista e miglior regista. Nonostante il grosso successo internazionale, in Italia Proof `e stato rappresentato solo al Festival “La Versiliana” nel 2002 con la regia di Enrico Maria Lamanna e protagonisti Rosalinda Celentano, Alessio Boni, Alessandra Acciai ed Emilio Bonucci. Proof diventer` a presto anche un ﬁlm. Sono infatti in corso le riprese che vedono come protagonisti Anthony Hopkins e Gwyneth Paltrow nel ruolo di Robert e Catherine rispettivamente (per ulteriori informazioni si veda http://www.boxoﬃceprophets.com/tickermaster/listing.cfm?TMID=1293). Per approfondimenti: G.L. Alexanderson Osserman Interviews David Auburn, author of Proof http://www.maa.org/features/proof.htm D. Auburn (2001) Proof: A Play, Faber and Faber, New York D. Bayer (2000) Proof, Notices Amer. Math. Soc. 47 n. 9, pp. 1082-1084 R. Hersh (2001) Mathematical Menopause, or A Young Man’s Game?, Math. Intelligencer, 23, n. 3, pp. 52-60

Proof

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R. Kirby (2002) Conversations about Mathematics, Notices Amer. Math. Soc. 49, n. 3, pp. 333-334 A. Ochert The mathematical mind. Madness, genius, and what mathematicians are really like. http://www.alumni.berkeley.edu/Alumni/Cal Monthly/April 2002/ The mathematical mind.asp S. Robinson An Admirable Approximations of Mathematical Culture http://www.siam.org/siamnews/01-02/proof.htm M. Saul (2001) The Mathematician’s Proof Notices Amer. Math. Soc. 48, n. 1, pp. 596-597 J. Wimp (2001) Proof The Math. Intelligencer 23, n. 2, pp. 73-74 Ulteriori indirizzi web si possono trovare visitando il sito del progetto: http://www.dm.unibo.it/socrates/teatro/proof.php

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Proof : matematica e nuova drammaturgia Andrea Paolucci drammaturgo e regista teatrale [email protected]

Il gruppo che dirigo, la Compagnia del Teatro dell’Argine, si occupa di drammaturgia contemporanea ﬁn dalla sua fondazione, nel 1994. Per una compagnia come la nostra, composta da ben tre registi, quattro drammaturghi e una decina di attori - fare nuova drammaturgia signiﬁca anche e soprattutto creare ex novo tutto lo spettacolo, testo compreso: mettere all’opera, attorno a un’idea, o a un tema, o a un certo genere di teatro, autore regista e attori, e farli lavorare insieme e allo stesso tempo, e non separatamente e in fasi successive. Signiﬁca insomma ripristinare il modello classico del dramaturg “a bordo palco”, modello molto comune in Europa, non cos`ı tanto in Italia. Forse per questo, quando dal Dipartimento di Matematica `e venuta la sollecitazione a lavorare sul bellissimo Proof di David Auburn1 , la prima cosa che mi `e venuta in mente non `e stata la classica messa in scena per dir cos`ı “lineare” del testo. Anche il contesto ha avuto un peso nella scelta dello stile da dare alla nostra rappresentazione: la bella rassegna Matematica e Teatro fa lavorare insieme sul palcoscenico professori di matematica e artisti di teatro e ospita un pubblico composto da esperti, insegnanti e studenti di matematica ma anche da spettatori comuni, da amanti del teatro e da semplici curiosi. Da qui `e nata l’idea di proporre una lettura scenica del copione di Auburn, che restituisse l’essenza del testo attraverso tre forme teatrali combinate armonicamente fra loro: la drammatizzazione vera e propria, la lettura a leggio e la narrazione. Ciascuna di queste forme oﬀre vantaggi diversi, teatralmente parlando. La drammatizzazione vera e propria - la forma pi` u classica del teatro, con gli attori che interpretano dei personaggi e si muovono su una scena che rappresenta il luogo dell’azione (in questo caso la casa di Catherine) - `e senz’altro la forma dell’emozione che deriva dall’immedesimazione, non solo quella degli attori nei personaggi, ma anche quella, tacita, degli spettatori nelle vicende e nelle atmosfere rappresentate. Ho deciso che cos`ı fossero recitate le scene di Catherine con il padre, Robert, in parte perch´e sono scene davvero 1

D. Auburn (2001) Proof, Faber and Faber, New York.

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Andrea Paolucci

molto delicate e intime, in parte perch´e sono dei ﬂashback o dei sogni (o delle visioni, come all’inizio il sospetto della malattia mentale ci fa pensare) della nostra protagonista, e, in assenza di scenograﬁe, luci, costumi, volevo un espediente che aiutasse il pubblico a distinguere queste scene dalle altre, che facesse emergere e risaltare queste scene rispetto a quelle che si svolgono nel tempo presente. La lettura a leggio mi ha consentito di scorrere agevolmente, ma senza perdere in chiarezza narrativa, i numerosi passaggi di trama e di restituire il ritmo straordinario che questo testo - come ogni testo ben scritto - possiede; ha inoltre consentito al pubblico di accettare in modo molto naturale taluni “giochi” fra gli attori come, per citare solo il pi` u eclatante, il fatto che l’attore Lorenzo Ansaloni passasse a interpretare ben tre personaggi diversi (uno dei quali una donna, la sorella di Catherine) nel corso dei 60 minuti di lettura. Inﬁne, la narrazione, forma teatrale antica quanto il mondo e negli ultimi anni tornata alla ribalta, ha consentito da un lato di trascorrere dall’uno all’altro genere in maniera molto armonica; dall’altro lato, ha dato modo di soﬀermarsi e di descrivere alcune curiosit`a per cos`ı dire “tecniche” del testo Proof, ovvero i diversi meccanismi di scrittura che Auburn mette in campo nella sua pi`ece: un uso sapiente della lingua, dei tempi e dei modi della scrittura teatrale, con dialoghi davvero eﬃcaci; un trascorrere da scene decisamente comiche al sapore impalpabile dei ﬂashback con protagonista il padre di Catherine; la distribuzione, ﬁn dall’inizio della pi`ece, di “indizi” apparentemente insigniﬁcanti che poi diventano essenziali tessere per comporre il puzzle ﬁnale; il saper scrivere teatro scrivendo quello che, di fatto, `e anche un giallo, con tanto di successivi e inaspettati colpi di scena; la profondit` a psicologica e l’originalit` a nella creazione dei quattro personaggi, uno pi` u ricco e sfaccettato dell’altro, e in particolare dello straordinario personaggio di Catherine; inﬁne, ovviamente, la caratteristica che ha fatto scegliere Proof per la rassegna, ovvero l’abilit` a di coniugare i linguaggi del teatro ai contenuti della matematica senza tradire n´e gli uni n´e gli altri e certo non in modo pedante. Inﬁne, viene la caratteristica essenziale della narrazione: il rivolgersi direttamente al pubblico presente, tirandolo dentro l’azione non solo in maniera indiretta e passiva, come accade con la drammatizzazione, ma coinvolgendolo attivamente e stimolandolo direttamente: gli attori parlano agli spettatori, raccontano, spiegano, li lasciano quando `e il momento di rivestire il personaggio e poi li ritrovano quando, smessi i panni del personaggio, insieme a loro riﬂettono su ci` o che `e successo sul palco. Il risultato - almeno cos`ı spero - dovrebbe essere una partitura policroma che, pur avendo al suo interno stili e modi diversi (e, anzi, forse proprio grazie a questo), restituisca con coerenza e armonia la storia di Proof attraverso una gamma di sapori, emozioni, suoni, movimenti il pi` u possibile varia e multiforme.

Un matematico legge Proof Angelo Vistoli Dipartimento di Matematica, Universit` a di Bologna Piazza di Porta S.Donato 5, 40126 Bologna [email protected]

Quando cominciai ad interessarmi di matematica, alle scuole superiori negli anni Settanta, fu perch´e ero aﬀascinato dalla materia stessa, e non certo perch´e questa fosse di moda, o avesse un aspetto romantico e avventuroso. Negli occhi del grande pubblico questa era arida e morta, e i matematici erano personaggi grigi e strani, la cui sola attivit` a comprensibile era l’insegnamento. Ora le cose sono cambiate, come testimonia, per esempio, il grande successo del ﬁlm A beautiful mind. La matematica `e diventata un fenomeno culturale di moda, gli scaﬀali delle librerie sono pieni di libri che ne parlano. Tuttavia, i matematici sono ancora percepiti come bizzarri e un po’ alieni. Non sono pi` u grigi; in compenso, quelli veramente bravi sono malati di mente. Proof `e un lavoro teatrale che ha avuto a Broadway un successo colossale, rendendo rapidamente famosissimo il nome dell’autore, David Auburn. Nel 2001 ha vinto i due premi pi` u prestigiosi negli Stati Uniti, il Premio Pulitzer e il Premio Tony per il teatro. Anche qui i temi centrali sono la matematica e la malattia mentale. Come si spiega il successo di questo lavoro? Alcuni dei punti di forza sono evidenti anche a un profano come me. Prima di tutto, `e molto divertente. I dialoghi sono spumeggianti. Qualcuno dei colpi di scena lascia quasi senza ﬁato, a cominciare dalla prima scena, quando scopriamo che Robert `e morto. E poi (punto non secondario) la storia `e interessante, e il personaggio di Catherine, pur cos`ı intrattabile, suscita la nostra simpatia, noi vogliamo che esca dalla sua depressione e si goda la vita, perch´e sentiamo che se lo merita. Inﬁne, `e scritto benissimo, e la struttura logica del lavoro `e impeccabile (a questo un matematico `e particolarmente sensibile). La matematica gioca un ruolo molto importante: tre dei quattro personaggi sono matematici. Robert era un genio, ed era anche schizofrenico. Catherine ha ereditato il genio del padre, e forse anche la follia. Hal un genio non `e, ma non `e neppure malato di mente; tuttavia, `e anch’egli un matematico, e ha perci`o degli aspetti fantasiosi e creativi, ed `e interessato a una persona diﬃcile ma profonda come Catherine. Inﬁne Claire, la sola che non si occupa di matematica, `e la pi` u normale di tutti; `e un po’ noiosina, un po’ limitata, fuori dal suo ambiente. Cerca di fare del proprio meglio, ma si trova spaesata.

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Angelo Vistoli

L’implicazione `e chiara: il talento matematico si traduce in originalit` a, e il genio `e cos`ı originale che corre il rischio di diventare matto. ` riuscito l’autore a Ma cosa pensa un matematico leggendo Proof ? E cogliere il nostro mondo? La risposta `e, come spesso succede: in parte. Auburn ha, chiaramente, un grande orecchio per i dialoghi (forse una dote indispensabile per uno scrittore di teatro). Ha passato del tempo con dei matematici, e si sente. Alcune delle cose che i personaggi dicono suonano vere. Per esempio, quando Claire dice che il jojoba serve per la salute dei capelli, Catherine ribatte i capelli sono tessuto morto, non hanno “salute”; questo tipo di precisione logica nel linguaggio comune `e tipico dei matematici. Anche un certo uso del linguaggio tecnico nella conversazione `e indovinato; e quella del gruppo rock composto di matematici che suonano una canzone che si chiama i, che consiste del non suonare nulla per tre minuti (come Catherine indovina subito, `e un numero immaginario) `e una battuta matematica riuscita. Un’altra cosa: i matematici sono spesso percepiti come maghi geniali, dalla cui mente la matematica scaturisce come per magia, gi`a in forma deﬁnitiva. La realt`a `e ben diversa, la ricerca `e fatta di lavoro duro e continuativo; e questo vale anche, e soprattutto, per i grandi matematici. Questi possono essere diversissimi tra di loro, ma tutti, credo senza eccezioni, sono lavoratori infaticabili. Ebbene, in Proof troviamo questo scambio di battute. Hal: I miei articoli vengono respinti. E a ragione: quello che faccio `e banale. Mi mancano le grandi idee. Catherine: Non sono le grandi idee che contano. Devi continuare a martellare su un problema. Hal: Non `e questo che faceva tuo padre. Catherine: S`ı, in un certo qual modo faceva cos`ı. Attaccava una questione lateralmente, da angoli strani, alle spalle, continuava a lavorarci. In realt` a sgobbava. Solo che era talmente pi` u veloce di chiunque altro che dall’esterno sembrava magia. Questa ai miei occhi `e una descrizione molto convincente. Altre cose sono meno centrate. Hal si riferisce continuamente ai matematici come geeks (un geek `e, secondo il sito it.wikipedia.org, “una persona solitaria che `e aﬀascinata dalla tecnologia e dalla fantasia”; il termine `e usato negli Stati Uniti, spesso in modo spregiativo, per scienziati e ingegneri). Questo alle mie orecchie suona male, non `e una cosa che un matematico direbbe. E la soglia del ridicolo viene ampiamente superata quando Hal descrive un convegno al quale `e appena stato, con party, alcool e sesso, nel quale i matematici pi` u anziani usano droghe per tenersi al passo con i pi` u giovani. Questo `e quasi certamente ispirato alla storia di Paul Erd¨ os, grande matematico e personaggio estremamente bizzarro, che viveva senza ﬁssa dimora e pare facesse uso di anfetamine (vedi [3]). Posso assicurare per`o che si tratta di un caso unico, e che nei molti convegni a cui ho partecipato non ho mai assistito all’uso di droghe.

Un matematico legge Proof

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Un altro tema che emerge prepotente dal lavoro `e la connessione tra creativit` a e malattia mentale. Ma esiste questa connessione? Credo che la domanda sia troppo vaga, credo che occorra speciﬁcare di che tipo di creativit` a e che tipo di malattia mentale stiamo parlando. Esistono numerosi studi che documentano una connessione tra creativit` a artistica (in particolare tra scrittori) e disturbi dell’umore, specialmente sindrome bipolare (quella che una volta era nota come sindrome maniaco-depressiva). Gli studi fatti sono numerosi, vedi per esempio [5] e [6]. Per quanto riguarda gli scienziati invece la connessione non pare dimostrata in modo convincente. Inoltre dalla descrizione della malattia di Robert fornita da Auburn `e chiaro che questa non `e sindrome bipolare, ma una qualche forma di schizofrenia: e anche per quanto riguarda gli artisti, non pare esista una correlazione tra talento e schizofrenia. Vorrei fornire un punto di vista personale e dichiaratamente non scientiﬁco sul problema. Io non credo che la percentuale di malati di mente tra i matematici sia pi` u alta che quella tra, per esempio, gli impiegati di banca. Limitiamoci a parlare dei matematici di alto livello che io ho conosciuto (sono parecchi, ma non costituiscono certo un campione scelto secondo una metodologia statistica rigorosa). Alcuni sono estremamente noiosi, altri invece interessantissimi e molto divertenti. Forse la percentuale di persone interessanti `e pi` u alta che non nella media della popolazione: ma questo non pare cos`ı sorprendente, visto che la matematica, praticata ad alto livello, `e un lavoro estremamente creativo. Tra di essi c’`e qualche depresso, so di qualche caso di suicidio, ma sono pochissimi; e anche le malattie mentali conclamate sono abbastanza rare. Una cosa che posso credere invece `e che la sindrome di Asperger sia pi` u comune tra i matematici che non nella popolazione generale (vedi per esempio [4]). Si tratta di una forma lieve di autismo; le persone che ne sono aﬀette hanno delle serie diﬃcolt` a nel rapporto con gli altri, che rende loro diﬃcile lo sviluppo di relazioni sociali normali, accompagnati da una tendenza a sviluppare degli interessi ristretti, idiosincratici e ripetitivi. Le capacit` a logiche sono spesso normali, e talvolta eccezionali. Conosco un paio di casi di matematici a cui `e stata diagnosticata la malattia, e qualcun altro il cui comportamento sembra perfettamente conforme alle descrizioni (beninteso, stiamo ancora parlando di una sparuta minoranza). C’`e anche una teoria secondo la quale questa sindrome (molto pi` u comune tra gli uomini) non `e una malattia, ma una forma estrema della diﬀerenza tra il cervello maschile e quello femminile (vedi [1]). Anche in questo caso per`o, non sono aﬀatto sicuro che ci sia una connessione tra sindrome di Asperger e talento matematico. Se ammettiamo che il numero di casi sia relativamente alto tra matematici, ﬁsici e informatici la spiegazione potrebbe essere molto semplice. Se una persona “normale” ha un certo talento matematico, questa potrebbe comunque ﬁnire a fare, per esempio, l’amministratore di un’azienda. D’altra parte chi `e aﬀetto da sindrome di Asperger, e che appare agli altri come una persona goﬀa e strana, non ha questa possibilit` a, ed `e molto pi` u probabile che ﬁnisca in una profes-

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Angelo Vistoli

sione nella quale l’aspetto e il comportamento non hanno un’importanza cos`ı predominante. La connessione tra follia e genialit` a `e quello che Dawkins chiama un meme di grande successo [2]; e Proof contribuir` a certo alla sua diﬀusione. Ma un’opera teatrale non `e uno studio scientiﬁco: Robert `e un genio, `e anche malato di mente, ed entrambe queste caratteristiche sono essenziali per la trama. E tutto sommato non possiamo lamentarci: i matematici sono rappresentati con molta simpatia, e senza condiscendenza. Proof `e un lavoro estremamente godibile, con personaggi interessanti e umani. Non possiamo chiedere molto di pi` u, e mi auguro di vedere nel futuro altre opere di questo livello che cercano di rappresentare il nostro mondo.

Riferimenti bibliograﬁci [1] S. Baron-Cohen (1994) Mindblindness: An Essay on Autism and Theory of Mind, M.I.T. University Press [2] R. Dawkins (1976) The Selﬁsh Gene, Oxford University Press [3] P. Hoﬀman (1998) The man who loved only numbers, Hyperion [4] I.O. James (2003) Autism and Mathematics, The Mathematical Intelligencer [5] K.R. Jamison (1994) Touched with ﬁre: Manic Depressive Illness and the Artistic Temperament, Free Press Paperbacks [6] A.M. Ludwig (1995) The Price of Greatness, The Guilford Press

Galois

Galois di Luca Vigan` o Lettura drammatizzata Produzione del Teatro Stabile di Genova Interpreti: Andrea Nicolini, Flavio Parenti, Pietro Tammaro Dibattito con Luca Vigan` o (ETH Z¨ urich)

´ Evariste Galois mor`ı a Parigi il 31 maggio 1832, in seguito alle ferite riportate in duello. Non aveva che vent’anni, era nato il 25 ottobre 1811. Perch´e quella ﬁne cos`ı assurda? Ancora oggi, non si conosce esattamente il motivo del duello, n´e l’identit` a dell’altro duellante. Forse la provocazione da parte di un avversario politico, forse una questione amorosa, forse a ucciderlo fu davvero un amico fraterno, come Luca Vigan` o ha scelto di raccontare nel testo teatrale Galois, andato in scena nel maggio del 2002 e poi nel gennaio-febbraio 2005 al Teatro Stabile di Genova per la regia di Marco Sciaccaluga. Come ha scritto nel suo articolo, Vigan` o ci presenta un Galois matematico, rivoluzionario e innamorato, ma soprattutto un ragazzo di vent’anni gi` a profondamente deluso dalla matematica, dalla politica e dal suo amore. Vani erano stati, infatti, i tentativi di far accettare i suoi lavori all’Accademia delle Scienze e ci sarebbero voluti decenni prima che la comunit` a scientiﬁca com-

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prendesse appieno la portata dei suoi risultati. Altrettanto inutili erano stati i ´ tentativi di superare l’esame di ammissione all’Ecole Polytechnique. La mancanza di una preparazione sistematica, ma forse, soprattutto, il suo modo di lavorare non corrispondente agli schemi della scuola dell’epoca, gli erano stati fatali. Poco si sa della sua passione, ma da frammenti di lettere che ci sono pervenuti si desume che fu respinto dalla giovane Stefanie e ne soﬀr`ı molto. Il testo di Vigan`o porta in primo piano la tragedia di un uomo, un ragazzo, che a vent’anni ha gi` a vissuto tre vite (quella del matematico, del rivoluzionario e dell’innamorato) e che sente di aver fallito in ognuna di esse. Nella scheda di presentazione del ﬁlm Non ho tempo `e stata riportata una breve biograﬁa di Galois ed `e stato fatto un accenno ai risultati che fanno di lui uno dei padri della matematica moderna. L’articolo di Paolo Salmon vuole essere una presentazione elementare di questi risultati. Per i riferimenti bibliograﬁci sulla vita e le opere si rimanda alla scheda del ﬁlm suddetto e agli articoli di Salmon, Emmer e Vigan` o in questa sezione. Luca Vigan` o (http://www.inf.ethz.ch/∼vigano/), nato a Genova nel 1968, si `e laureato in Ingegneria Elettronica presso l’Universit` a di Genova nel 1994, ha conseguito il Dottorato in Informatica presso l’Universit` a di Saarbr¨ ucken nel 1997, l’Abilitazione in Informatica presso l’Universit` a di Freiburg nel 2003. Attualmente `e ricercatore presso il Politecnico di Zurigo, dove si occupa di protocolli di sicurezza delle reti informatiche. Fin dai tempi del liceo Vigan` o ha iniziato a scrivere e a mettere in scena spettacoli teatrali e nel 1994 ha vinto il Premio Flaiano under 32 con Gli astanti. La lettura scenica drammatizzata a cura del Teatro Stabile di Genova (http://www.teatrostabilegenova.it/) andata in scena a Bologna `e tratta dal testo originale di Luca Vigan` o e interpretata da tre degli attori che parteciparono alla messa in scena di Genova del 2002 e che successivamente hanno partecipato a quella del 2005. Per approfondimenti: Si vedano le indicazioni contenute nella scheda del ﬁlm Non ho tempo. Indirizzi web si possono trovare visitando il sito del progetto: http://www.dm.unibo.it/socrates/teatro/galois.php

´ Evariste Galois, un Tragico Eroe Romantico Luca Vigan`o Information Security Group ETH Zurich CH-8092 Zurich, Switzerland http://www.inf.ethz.ch/∼vigano

Introduzione ´ Evariste Galois mor`ı a Parigi il 31 maggio 1832, in seguito alle ferite riportate in duello. Non aveva che vent’anni - era nato il 25 ottobre 1811 - ma aveva gi`a troppo vissuto. Come un eroe tragico, in cui genio e stupidit`a si fondono insieme. Perch´e quella ﬁne cos`ı assurda? Ancora oggi, non si conosce esattamente il motivo del duello, n´e l’identit` a dell’altro duellante. Forse la provocazione da parte di un avversario politico: legato ai movimenti radicali, Galois conobbe anche il carcere a causa delle sue idee e azioni rivoluzionarie. Forse una questione di donne. Forse a ucciderlo fu davvero un amico fraterno, come ho scelto di raccontare io nel testo teatrale Galois, messo in scena nel gennaio-febbraio 2005 dal Teatro Stabile di Genova per la regia di Marco Sciaccaluga1 . Si dice che, certo di andare incontro alla morte, Galois pass` o la notte precedente il duello a scrivere una lunga lettera-testamento e, soprattutto, a riordinare - freneticamente - i suoi manoscritti di algebra, aggiungendo in margine ad uno dei teoremi una frase che `e passata alla leggenda: “C’`e qualcosa da completare in questa dimostrazione. Non ne ho il tempo.” (“Il y a quelque chose `a compl´eter dans cette d´emonstration. Je n’ai pas le tems.” [sic]). Anche se recenti ricerche hanno corretto la leggenda di quell’ultima notte e di un Galois completamente incompreso dai suoi contemporanei, dimostrando come il suo lavoro fosse in parte gi` a apprezzato dalla comunit` a scientiﬁca a

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Il testo `e stato pubblicato nella Collana del Teatro Stabile di Genova in un volume [14] che contiene anche una stesura precedente di questo articolo; una stesura ancora precedente `e apparsa in [13]. La prima rappresentazione del testo `e avvenuta in forma di mise-en-espace nel Maggio 2002 al Teatro Stabile di Genova, sempre per la regia di Marco Sciaccaluga, e letture drammatizzate del testo sono state proposte a Venezia e Roma nel 2003, oltre che al Teatro Antoniano di Bologna, il 21 Ottobre 2004, nell’ambito della rassegna “Matematica e Teatro”.

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lui contemporanea2 , e anche se i suoi manoscritti furono ﬁnalmente pubblicati nel 1846, ci vollero decenni prima che le dimostrazioni venissero completate e si comprendesse appieno la portata dei suoi risultati, i quali fanno di Galois uno dei padri dell’algebra moderna. Una storia aﬀascinante, quella di Galois. Ma come farla rivivere in teatro? Come coniugare la biograﬁa e la leggenda? Facendosi guidare dalla Storia, certo. E dall’Algebra. Ma concedendosi nel raccontarle la pi` u totale libert`a, per portare in primo piano la tragedia di un uomo, un ragazzo, che a vent’anni ha gi`a vissuto tre vite: quella del matematico, quella del rivoluzionario, quella dell’innamorato. E che, bruciato dalla passione, stanco e sicuro di aver fallito in ognuna di loro, non sa pi` u avere tempo di viverle ancora. L’Idea: un Personaggio Aﬀascinante Ci`o che maggiormente mi aﬀascina nella ﬁgura di Galois `e il suo essere un personaggio poliedrico: non solo un geniale matematico precoce, ma anche un attivista politico, oltre che, e forse soprattutto, un normale ragazzo vittima delle prime palpitazioni amorose e della paura di aﬀrontare la vita. E del resto non pochi sono gli autori che sono stati aﬀascinati da Galois, magari, come nel mio caso, dopo essersi imbattuti durante gli studi universitari nella storia della sua breve vita e della sua assurda morte: come pu`o uno dei padri della matematica moderna essere stato al tempo stesso un ragazzo cos`ı sciocco da farsi uccidere in duello a soli vent’anni? Certo, anche altri scienziati sono andati incontro ad una morte violenta o precoce, o entrambe le cose insieme; altri hanno vissuto una vita “drammatica”, che ben si presta ad essere raccontata in teatro, al cinema, o in un romanzo. E in eﬀetti molte sono le opere, i ﬁlm e i testi, teatrali o narrativi, che hanno raccontato la storia di un matematico o, pi` u in generale, di uno scienziato. Esempi recenti sono: i testi teatrali Partition (di Ira Hauptman, 2003), che racconta la tragica e breve vita dell’autodidatta matematico indiano Srinivasa Ramanujan (18871920); Proof (di David Auburn, 2001), che mette in scena i conﬂitti all’interno di una famiglia di matematici; Copenhagen (di Michael Frayn, 1998), in cui viene rappresentato un incontro/scontro tra i ﬁsici nucleari Niels Bohr e Werner Heisenberg, a Copenhagen appunto, nel 1941; e Arcadia (di Tom Stoppard, 1993), in cui l’azione si sposta brillantemente tra il presente e il passato per raccontare, tra l’altro, la storia di una ragazza prodigio in matematica. I ﬁlm Enigma (Germania/Gran Bretagna 2001, regia di Michael Apted, sceneggiatura di Tom Stoppard dal romanzo di Robert Harris), sul quale aleggia lo

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Si vedano, a questo proposito, la bella biograﬁa romanzata di Alexandre Astruc [1], gli accurati libri di Piero Pagli e Laura Toti Rigatelli [12, 6], e, in particolare, il saggio di Tony Rothman [9], che illustra come la leggenda sia in gran parte da addebitare alla fantasia di Paul Dupuy [4], il primo biografo di Galois, e soprattutto a quella di E.T. Bell [2].

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spirito del matematico Alan Turing3 ; A Beautiful Mind (USA 2001, regia di Ron Howard, sceneggiatura di Akiva Goldsman dal libro di Sylvia Nasar), molto romanzata biograﬁa premio Oscar del matematico schizofrenico John Forbes Nash, Nobel 1994 per l’economia; Π (Π - Il Teorema del Delirio, USA 1997, regia e sceneggiatura di Darren Aronofsky), in cui un matematico si convince che il mondo, la vita e Dio si possano spiegare attraverso i numeri e le lettere dei primi libri della Bibbia; Good Will Hunting (Will Hunting - Genio Ribelle, USA 1997, regia di Gus Van Sant, sceneggiatura premio Oscar di Matt Damon e Ben Aﬄeck), che racconta la maturazione di un giovane genio matematico allo stato brado da bidello al MIT a ricercatore, e uomo, grazie alla psicanalisi ma soprattutto all’amore; e anche I.Q. (Genio per Amore, USA 1994, regia di Fred Schepisi, sceneggiatura di Andy Breckman e Michael Leeson), una commedia nella quale, oltre ad un Einstein professore d’amore e di vita, spiccano, quali personaggi di contorno, giocherelloni e svitati, i ﬁsici Boris Podolsky e Nathan Rosen, e il matematico Kurt G¨odel4 ; e il romanzo di Tom Petsinis sullo stesso Galois [7] (dopo le precedenti biograﬁe romanzate scritte da Leopold Infeld [5] e John Sommerﬁeld [11], oltre a quella gi` a citata di Astruc), cos`ı come i libri di Leonardo Sciascia e Erasmo Recami sul ﬁsico Ettore Majorana [10, 8]. In molte di queste opere, e in altre meno recenti ancora (come I Ragazzi di Via Panisperna - Italia 1988, regia di Gianni Amelio, scritto dallo stesso Amelio con Vincenzo Cerami e Alessandro Sermoneta - che racconta la storia del gruppo di ﬁsici italiani guidato da Enrico Fermi, tra cui spicca Ettore Majorana), il matematico/scienziato viene rappresentato come un genio asociale, ai limiti dell’autismo, incapace di avere qualunque tipo di rapporto, o quasi, con chi lo circonda. Non per scelta, ma per destino: `e il prezzo da pagare in cambio del sapere. Per il mio Galois, cos`ı come per molti altri dei personaggi ispirati a persone realmente esistite - quali appunto Majorana, Ramanujan, Nash, Turing, G¨ odel, ma anche per il suicida Renato Caccioppoli (1904-1959) di Morte di un Matematico Napoletano (Italia 1992, regia di Mario Martone, scritto dallo stesso Martone con Fabrizia Remondino) - le cose non sono poi molto diverse. Ma d’altronde la Storia ci dice che per Galois and` o davvero, o pressappoco, cos`ı. Scrive Christopher Vogler [15], riprendendo i temi del saggio [3] di Joseph Campbell, che esistono vari tipi di eroe, ma che tutti comunque diventano tali abbandonando il villaggio per aﬀrontare un viaggio alla ricerca di un “elisir”, qualunque esso sia; ad esempio, il potere, la ricchezza, il sapere, la grazia. C’`e l’eroe che ritorna al villaggio portando con s´e l’elisir, e portando quindi la 3

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Accanto al corpo senza vita di Alan Turing (1912-1954), matematico pioniere dell’informatica, venne trovata una mela, addentata, avvelenata con il cianuro. Pur non chiarendo tutte le circostanze, e lasciando anzi molti dubbi tuttora irrisolti, un’inchiesta concluse che si trattava di suicidio. Kurt G¨ odel (1906-1978), uno dei pi` u grandi logici del ventesimo secolo, tanto giocherellone e svitato non fu: negli ultimi anni della sua vita, si convinse che qualcuno stesse cercando di avvelenarlo e riﬁut` o il cibo ﬁno a morire d’inedia.

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propria saga eroica verso una risoluzione, un denoument, circolare. C’`e invece l’eroe che, come Galois, il mio Galois, non torner`a al villaggio per riportare il fuoco della conoscenza, perch´e il suo viaggio lineare lo ha allontanato talmente dal villaggio umano che egli ormai parla un linguaggio “altro” rispetto a chi ha lasciato indietro; senza potere, n´e, in ﬁn dei conti, volere, tornare indietro, perch´e se quello `e il prezzo da pagare per la matematica, allora Galois vuole, `e pronto a pagarlo. Poco importa, almeno questo egli crede, essere diverso da chi lo circonda, incapace di avere un rapporto con chi lo ama, anzi, vorrebbe poterlo amare; poco importa, almeno questo egli crede, ﬁnch´e la Storia prima e l’Amore poi (pur se non ricambiato) lo riportano di peso in mezzo agli uomini. E allora Galois si scopre davvero “altro”, ma senza possibilit` a, capacit`a, di comunicare. E ne soﬀre, e decide di agire di conseguenza, ﬁno all’ineluttabile compiersi della tragedia. Ecco un tragico eroe romantico, un romantico eroe tragico.

Un Tragico Eroe Romantico, un Romantico Eroe Tragico ´ Non si pu`o raccontare la storia di Evariste Galois prescindendo dalle sue tre passioni: la Matematica, la Politica, l’Amore. Si pu` o, questo s`ı, scegliere di privilegiare una delle sue passioni, e raccontarla da questo punto di vista, come ad esempio nel ﬁlm di Ansano Giannarelli Non ho tempo (Italia 1973, scritto dallo stesso Giannarelli con Edoardo Sanguineti e la consulenza di Lucio Lombardo Radice), dove Galois assurge ad eroe prettamente politico. D’altra parte Galois `e, o meglio, fu, eﬀettivamente un giovane, poco pi` u che adolescente, che, come quasi tutti i giovani di qualunque epoca storica, cerca di cambiare il mondo ribellandosi allo status quo. Nel suo caso speciﬁco, un giovane che contesta il potere, sia politico sia accademico, e che vuole quindi migliorare il mondo con la sua matematica, oltre che con la rivoluzione. Nello scrivere il mio testo, ho fatto convivere contemporaneamente in Galois tutte le sue passioni, cercando di evitare di farne solamente uno schizofrenico come John Nash, un paranoico come il Max Cohen di Π, o un ´ violento disadattato come Will Hunting. Il mio Evariste Galois `e un ragazzo (anche se lui detesta qualunque riferimento alla sua giovane et` a) coinvolto, in parte suo malgrado, in tre “avventure” pi` u grandi di lui e che, sentendosi respinto da tutti e tre i suoi amori, sentendo di aver fallito in ognuna delle sue tre vite, sceglie di morire pur di liberarsi da questi fardelli insopportabili: quello della Matematica, quello della Storia e della Politica, e quello del Primo Amore (Fig. 1)5 .

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Questa fotograﬁa, come tutte le altre qui pubblicate, `e tratta dalla messa in scena del Teatro Stabile di Genova, gennaio-febbraio 2005, per la regia di Marco Sciaccaluga, ed `e ad opera di Bepi Caroli.

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Figura 1. Scena 19, Galois (Flavio Parenti): “Ma non c’`e pi` u tempo! Non pi` u!”

Il peso della Matematica, il peso della Storia e della Politica La matematica si trasforma da passione in fardello per il mio Galois a causa dell’incapacit` a da parte della stragrande maggioranza dei suoi contemporanei di comprendere ci`o che egli aveva gi`a compreso, e, anzi, con lo smacco di vedere parte dei propri risultati attribuiti solamente al defunto Abel, che a questi risultati era arrivato contemporaneamente ed indipendentemente6 . E un peso insopportabile sono anche la Storia e la Politica, con le molteplici insurrezioni che ebbero luogo a Parigi negli ultimi anni di vita di Galois, alle quali egli partecip` o o comunque cerc`o di partecipare, quali, in particolare, le Tre Giornate Gloriose della ﬁne del Luglio del 1830. Come raccontare allora la Matematica e la Storia senza trivializzarle? Come raccontare questi due fardelli cos`ı immensi senza renderli futili o incomprensibili, o, ancor peggio dal punto di vista drammaturgico, meramente didascalici? Integrandoli pienamente nello sviluppo del personaggio, rendendo la Matematica e la Storia parte fondamentale della storia di Galois, che anzi non esisterebbe senza di esse. Ma realizzando nel contempo questa integrazione senza la pretesa che le trame politiche o, ancor pi` u, l’algebra e i suoi teoremi si comprendano appieno. Ci` o che importa davvero `e che lo spettatore sia in grado di percepire queste passioni: non `e necessario spiegarle a fondo, perch´e qualunque spiegazione eccessiva frenerebbe la tensione, e si rivelerebbe pertanto controproducente dal punto di vista drammaturgico. Mettere cio`e in grado lo spettatore di intuire e partecipare al conﬂitto, di condividere simpaticamente l’eccitazione e le pene di Galois causate dalla Matematica e dalla 6

Quella del matematico norvegese Niels Henrik Abel (1802-1829), contemporaneo ed involontario concorrente di Galois, morto, anch’egli giovanissimo, di stenti in attesa del riconoscimento dei propri risultati - riconoscimento che arriv` o postumo, poco dopo il suo decesso - `e un’altra storia che meriterebbe di essere raccontata.

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Storia. E se `e certamente pi` u semplice scandire la vita di un personaggio al ritmo della Storia, inserendolo nel contesto degli eventi, e gli spettatori con lui, nel mio testo io ho cercato di fare altrettanto con la Matematica, rendendola elemento narrativo, teatrale, di primo piano. Nel susseguirsi delle scene, la matematica di Galois diventa quindi sempre pi` u geniale ma al tempo stesso pi` u frenetica, meno comprensibile dagli altri personaggi e dagli spettatori (Fig. 2 e Fig. 3). Perch´e in eﬀetti non `e drammaturgicamente necessario che essa sia pienamente comprensibile - cosa che d’altronde sarebbe impossibile per chi non fosse esperto in algebra, e quindi sia per gli altri personaggi sia per la stragrande maggioranza degli spettatori - quanto piuttosto che essa rappresenti l’evoluzione dello stato d’animo di Galois e del suo, come dicevo, scoprirsi “altro” e incapace di comunicare ﬁno all’ineluttabile compiersi della tragedia.

Figura 2. Scena 7, Galois e il professor Richard (Massimo Mesciulam): “Nemmeno voi, professore, non capite nemmeno voi!”

Il peso del Primo Amore Fallite queste due prime passioni, infatti, non resta che la terza. Quella, umanamente, forse, pi` u importante. Quella che costituisce il peso maggiore, quello del Primo Amore e dei sensi di colpa causati da questo amore. Mi sono qui concesso una grande libert` a biograﬁca, immaginando che la St´ephanie per cui Galois aveva perso davvero la testa - “St´ephanie”, scriveva Galois a bordo pagina dei suoi appunti di matematica, come un adolescente qualunque (si vedano le riproduzioni dei manoscritti di Galois in [14, 1, 12, 6]) - fosse la promessa sposa del suo migliore amico, Vincent Duchˆatelet (Fig. 4). E un’altra libert` a che mi sono concessa `e quella di condensare in Vincent e nel personaggio di Auguste Chevalier, amico sia di Galois sia di Vincent, non solo

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Figura 3. Scena 25, Auguste Chevalier (Pietro Tammaro) e Galois: “Auguste ascolta Galois, sforzandosi di capire.”

Figura 4. Scena 2, Galois, St´ephanie Faultrier (Giulia Ragni), e Vincent Duchˆ atelet ´ (Luca Giordana): “Evariste, questa `e lei. St´ephanie Faultrier.”

i veri Vincent ed Auguste e altri giovani rivoluzionari, ma anche il fratello Alfred Galois. In realt`a, il mio Galois `e amato. Dal suo mentore Louis-Paul-Emile Richard, suo insegnante di matematica al collegio, che ne capisce il genio matematico e, seppur inascoltato, lo incoraggia caldamente e ripetutamente a proseguire nella sua carriera di ricerca. Da Fran¸cois-Vincent Raspail, presidente della rivoluzionaria Societ` a degli Amici del Popolo, della quale sono membri anche Galois e Vincent, che ne riconosce l’aﬄato politico. Da Vincent

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Figura 5. Scena 24, Galois e St´ephanie, e, sullo sfondo, Il Detenuto (Matteo Alfonso): “Una volta! Una volta sola!”

e Auguste, che ne adorano il genio oltre che ad amarlo come un fratello. Da St´ephanie stessa, che lo ammira tanto da conﬁdare solo a lui i propri tormenti e paure, e chiederne l’aiuto. Sar` a proprio questa conﬁdenza, male interpretata dal mio Galois, che la scambia per attrazione sessuale nei suoi confronti (Fig. 5), a portarlo ad assalire St´ephanie cercando di baciarla, cosa che, una volta fermato dall’arrivo improvviso di Vincent, non potr` a che portare al duello alla pistola, richiesto da Vincent e subito accettato da Galois. Ma il mio Galois `e anche disprezzato. Dal professore Sim´eon-Denis Poisson, che lo boccia all’esame di ammissione al Polytechnique di Parigi e che, nel mio testo, liberamente rappresenta quel gruppo di accademici che “non capisce la mia matematica e ne ha paura”, come dice il mio Galois. Da Joseph-Daniel ´ Guigniault, direttore dell’Ecole Pr´eparatoire di Parigi, dove Galois si era iscritto dopo la mancata ammissione al Polytechnique, che non gli consente di partecipare alle Tre Giornate Gloriose e poi punisce la sua insubordinazione con l’espulsione. Ma, soprattutto, il mio Galois `e disprezzato da se stesso. ` incapace di volersi bene, o perlomeno di tollerare i propri difetti (quali E certamente l’irruenza, la poca pazienza, e una buona dose di arroganza, che deriva per`o anche dalla certezza nelle proprie capacit`a) nella consapevolezza che in ﬁn dei conti questi difetti sono un piccolo prezzo da pagare per il proprio

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genio. Ed `e proprio questa mancanza di consapevolezza, questo odio per se stesso, a portare il mio Galois a farsi uccidere da Vincent nel duello fratricida nell’ultima scena del testo (Fig. 6):

Figura 6. Scena trentesima e ultima, tutta la compagnia (Fabrizio Matteini, Matteo Alfonso, Giulia Ragni, Massimo Mesciulam, Pietro Tammaro, Luca Giordana, Flavio Parenti)

Il laghetto della Glaci`ere. L’alba. Galois e Vincent si avvicinano lentamente, ﬁno a 15 passi di distanza. GALOIS: Eccomi, Vincent Duchˆ atelet! Sono qui. La campana batte le 6. VINCENT: Spetta a te il primo colpo. GALOIS: Insieme! VINCENT: Insieme? GALOIS: Insieme. VINCENT: Punta allora. Mentre entrambi alzano lentamente il braccio che regge la pistola, si sente, in lontananza, il canto dei rivoltosi (tra cui Raspail e gli altri membri della Societ` a degli Amici del Popolo) che marciano per le strade di Parigi. St´ephanie `e in giardino, e guarda il sole sorgere mentre piange e prega, e prega anche Richard a casa sua. GALOIS: Che aspetti?! Spara! ´ AUGUSTE: (Arrivando di corsa) Evariste! Vincent! ´ VINCENT: Non posso, Evariste. Non posso! GALOIS: Spara, codardo, spara! VINCENT: (Abbassando il braccio) Non posso.

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GALOIS: Spara! Spara! Spara! Il braccio puntato, ma senza sparare, Galois corre verso Vincent, il quale, spaventato, spara: Galois, colpito mortalmente, cade a terra. Buio. “Non piangere. Ho bisogno di tutto il mio coraggio per morire a vent’anni”, disse Galois al fratello Alfred prima di morire all’ospedale Cochin di Parigi, alle ore 10 del 31 maggio 1832, in seguito alla grave ferita all’addome rimediata durante il duello della mattina precedente [12, 6]. “Smetti di piangere, ti prego, smetti! Io ho bisogno di tutto il mio coraggio per morire a vent’anni”, dice il mio Galois all’amico Auguste nella penultima scena, quando questi compie un estremo, vano, tentativo di convincerlo a non presentarsi all’appuntamento per il duello. Ci vuole davvero un grande coraggio per sprecare cos`ı tanto genio, ´ per buttare via una vita in maniera cos`ı assurda. Evariste Galois quel coraggio lo ha avuto, purtroppo.

Riferimenti bibliograﬁci ´ [1] A. Astruc (1994) Evariste Galois, Flammarion, Parigi ´ Astruc `e anche autore del ﬁlm medio-metraggio L’Eloge des Math´ematiques: ´ Evariste Galois, Francia, 1965 [2] E.T. Bell (1937) Men of Mathematics, Simon and Schuster, New York [3] J. Campbell (1973) The Hero with a Thousand Faces, Princeton University Press, Princeton ´ ´ [4] P. Dupuy (1896) La Vie d’Evariste Galois, Annales de l’Ecole Normale 13, pp. 197-266 Versione italiana: Vita del Galois, a cura di C. Motti, Tumminelli, Roma (1945) ´ [5] L. Infeld (1948) Whom the Gods Love: The Story of Evariste Galois, Whittlesey House, New York Versione italiana: 13 ore per l’immortalit` a, Feltrinelli, Milano (1957) ´ [6] P. Pagli, L. Toti Rigatelli (1998) Evariste Galois. Morte di un matematico, Archinto, Milano [7] T. Petsinis (1997) The French Mathematician, Penguin Books, London [8] E. Recami (2000) Il Caso Majorana, Di Renzo Editore, Roma ´ [9] T. Rothman (1989) Genius and Biographers: The Fictionalization of Evariste Galois, in: Science ` a la Mode (Physical Fashions and Fictions), Princeton University Press, Princeton [10] L. Sciascia (1997) La Scomparsa di Majorana, Adelphi Edizioni, Milano [11] J. Sommerﬁeld (1952) The Adversaries, Heinemann, London ´ [12] L. Toti Rigatelli (1996) Evariste Galois, Birkh¨ auser Verlag, Basel [13] L. Vigan` o (2004) Il mio Galois, in Matematica e Cultura 2004, a cura di M. Emmer, Springer, Berlin Heidelberg New York, pp. 171-178 [14] L. Vigan` o (2005) Galois, Collana del Teatro Stabile di Genova no 112, il melangolo, Genova [15] C. Vogler (1998) The Writer’s Journey (Mythic Structure for Writers), Michael Wiese Productions, Studio City, California

Evariste Galois Paolo Salmon Dipartimento di Matematica, Universit` a di Bologna Piazza di Porta S.Donato 5, 40126 Bologna [email protected]

Premessa Quest’articolo contiene un contributo a una presentazione elementare della teoria di Galois delle equazioni algebriche, a cui `e anteposto qualche richiamo iniziale su alcune deﬁnizioni e propriet` a relative alla matematica coinvolta.

Gruppi, anelli, domini, corpi, campi Le ordinarie operazioni di somma e prodotto, valide nell’insieme N dei numeri naturali (N = {0, 1, 2, . . .}) ed estendibili all’insieme Z dei numeri interi relativi (Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}) possono costituire un valido riferimento per la comprensione delle strutture algebriche fondamentali. Una legge (o regola) di composizione in un insieme I associa a due elementi a, b di I presi nell’ordine un nuovo elemento di I, in generale notato ab. Si dice che la legge `e associativa se (ab)c = a(bc) per ogni terna a, b, c di elementi di I, nel qual caso si scrive semplicemente abc. Se sussiste l’eguaglianza ab = ba per ogni coppia di elementi a, b di I, si dice che la legge `e commutativa. La somma e il prodotto in N e Z precedentemente menzionate sono entrambe associative. Un insieme G, munito di una legge di composizione associativa si dice un gruppo se: 1) esiste in G un elemento e, denominato elemento neutro o identit` a, tale che eg = ge = g per ogni elemento g di G 2) ogni elemento g di G ammette un inverso od opposto (rispetto a e), notato g −1 , tale che gg −1 = g −1 g = e. Se la legge di composizione in G `e commutativa, si dice che G `e un gruppo commutativo o abeliano. Nell’insieme N vi sono due identit` a: 0 rispetto alla somma e 1 rispetto al

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prodotto; per` o, in generale, gli elementi di N non ammettono inverso relativamente alla somma o al prodotto. Invece l’insieme Z `e un gruppo abeliano rispetto alla somma perch´e l’opposto di m `e −m (rispetto all’identit` a additiva 0). Un’applicazione f : G → H di gruppi si dice un omomorﬁsmo (di gruppi) se mantiene il prodotto: f (gl) = f (g)f (l); se, inoltre, f `e biettiva, si dice che f `e un isomorﬁsmo e, nel caso in cui H = G, si usa per f la locuzione automorﬁsmo. Sia A un insieme munito di due leggi di composizione associative denominate somma (o addizione) e prodotto, tali che: 1. A `e un gruppo abeliano rispetto alla somma (a + b = b + a) e 0 e −a indicano rispettivamente l’identit` a additiva e l’opposto di a; 2. esiste un’identit` a 1 rispetto al prodotto; 3. vale la propriet` a distributiva del prodotto rispetto alla somma: a(b + c) = ab + ac. Si dice allora che A `e un anello con identit` a. Se il prodotto `e commutativo, l’anello si dice commutativo. Se il prodotto di due elementi non nulli (= 0) di A `e sempre non nullo, l’anello A dicesi un dominio. L’insieme Z `e un esempio di anello (dominio) commutativo. Si dice che un anello C `e un corpo se gli elementi non nulli di C formano un gruppo rispetto al prodotto, ossia: se a = 0 esiste a−1 in A tale che aa−1 = a−1 a = 1. Se il prodotto `e commutativo (ab = ba), si dice che C `e un campo. Esempi noti di campi sono: 1. Q `e il campo dei numeri razionali, 2. R `e il campo dei numeri reali, 3. C `e il campo dei numeri complessi. Un esempio di campo molto particolare (utilizzato negli studi di informatica) `e costituito da due soli elementi, indicati abitualmente con 0 e 1, dove 1 + 1 = 0; in tale campo 1 non `e divisibile per 2, cio`e non esiste a tale che 2a = a + a = 1. Un esempio di corpo non commutativo `e il corpo dei quaternioni. Se A `e un dominio commutativo, si pu` o costruire un sopracampo di A, denominato campo dei quozienti (o delle frazioni) di A, costituito dalle frazioni a/b (con a, b in A e b = 0), dove si identiﬁca la frazione a/1 con a. Se A, B sono anelli e f : A → B `e un omomorﬁsmo di gruppi additivi tale che f (ab) = f (a)f (b), si dice che f `e un omomorﬁsmo di anelli, analogamente al caso dei gruppi si deﬁniscono gli isomorﬁsmi e automorﬁsmi.

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Equazioni algebriche Sia k un campo e siano a0 , a1 , . . . an elementi di k tali che a0 = 0. Risolvere l’equazione algebrica di grado n a coeﬃcienti in k: a0 X n + a1 X n−1 + · · · + an−1 X + an = 0

(1)

signiﬁca determinare elementi x, y, . . ., denominati radici di (1), in un conveniente sopracampo K di k (K contiene k) tali che, sostituendo in (1) X con x, y, . . ., si ottengano eguaglianze. Se n = 1, l’equazione (1) assume la forma aX + b = 0 e si vede subito (previa moltiplicazione per a−1 ) che l’equazione ha l’unica soluzione x = −ba−1 che `e un elemento di k. Invece, se n 2, l’equazione (1) pu` o avere qualche soluzione in k e anche nessuna soluzione in k. Ad esempio, se k = Q, date le equazioni X2 − 1 = 0

(2)

X2 − 2 = 0 2

3

(3) 2

(X − 2)(X − 1) = X − X − 2X + 2 = 0

(4)

si ha: l’equazione (1) ha le due uniche soluzioni in Q x = 1, √ y = −1, la√(2) non ha soluzioni in Q ma ha in R le due uniche soluzioni x = 2, y = − 2 e la (3) ha in Q la sola√soluzione√x = 1 e in R (estensione di Q) le (uniche) tre soluzioni x = 1, y = 2, z = − 2. Se n = 2, l’equazione (1) assume la forma aX 2 + bX + c = 0

(a = 0)

(5)

ed `e ben nota la formula risolutiva (nota ﬁn dall’antichit` a) valida nei campi dove `e ammessa la divisione per 2: x, y = (−b ± b2 − 4ac)/2a (6) in cui compare un “radicale quadratico” di un elemento appartenente al “campo dei coeﬃcienti”. Dopo vari tentativi eﬀettuati nel corso di vari secoli per “estendere” la formula (6) a equazioni di grado superiore, nel 1545 viene resa nota la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado (detta “di Cardano”) e dovuta al contributo di tre matematici: Scipione Dal Ferro, Niccol` o Fontana detto Tartaglia e Gerolamo Cardano. Le soluzioni dell’equazione vengono ottenute tramite operazioni razionali (somme e sottrazioni, prodotti e divisioni) ed aggiunzioni successive di radicali quadratici e cubici. Quasi contemporaneamente, ad opera di Ludovico Ferrari, vengono scoperte le formule risolutive delle equazioni di quarto grado, anch’esse espresse mediante radicali quadratici e cubici.

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Dunque: le equazioni algebriche di grado n 4 sono “risolubili per radicali”. Se n 5 rimanevano aperti due problemi: I) Esistono soluzioni dell’equazione (1)? II) In caso aﬀermativo, tali soluzioni sono risolubili per radicali (come le equazioni di secondo, terzo e quarto grado)? Alla questione I) una prima risposta `e stata data dal risultato seguente. Il famoso “teorema fondamentale dell’algebra” dimostrato nella seconda met`a del 1700 prima da D’Alembert e poi (pi` u rigorosamente) da Gauss, attesta che se i coeﬃcienti (a0 , a1 , . . . , an ) dell’equazione (1) sono in C (in particolare in R), la (1) ha almeno una soluzione in C. Combinando il teorema suddetto con un risultato di Ruﬃni si ottiene l’esistenza di n radici in C dell’equazione (1) non necessariamente distinte: si suol dire che il campo C `e algebricamente chiuso. Anche se k non `e un sottocampo di C (quale Q, R, C), esiste comunque un’estensione K di k contenente tutte le radici di (1) e dunque si pu` o rispondere aﬀermativamente alla questione I). La prima risposta negativa alla questione II) fu data da Ruﬃni in un articolo apparso nel 1799 con una dimostrazione incompleta poi perfezionata da Abel circa 25 anni dopo. Si ottiene cos`ı il teorema di Ruﬃni-Abel : per ogni n 5 vi sono equazioni di grado n non risolubili per radicali. Se x1 , . . . , xn sono elementi di un sopracampo K di k, si indica con k(x1 , . . . , xn ) il minimo sottocampo di K contenente k e x1 , . . . , xn . Nel caso in cui x1 , . . . , xn siano le radici di (1), si dice che k(x1 , . . . , xn ) `e un campo di decomposizione di (1) su k. Se, per ogni i (1 i n), xi `e un radicale su k(x1 , . . . , xi−1 ), cio`e vi `e un intero ni tale che xni `e un elemento di k(x1 , . . . , xi−1 ), si dice che k(x1 , . . . , xn ) `e un’estensione per radicali di k. Si pu`o allora esprimere la risolubilit` a per radicali dell’equazione (1) in questo modo pi` u preciso: un campo di decomposizione k(x1 , . . . , xn ) di (1) `e contenuto in un’estensione per radicali di k. Un campo di decomposizione `e denominato estensione normale di k. Sia x ∈ K (ovvero: x `e un elemento di K); se x `e radice di (1) ed n `e il minimo grado possibile per un’equazione algebrica di cui x sia radice, si dice che x `e algebrico su k di grado n e si pu`o dimostrare che k(x) `e uno spazio u generalmente, se vettoriale di dimensione n su k con base 1, x, . . . , xn−1 . Pi` k(x1 , . . . , xn ) `e un’estensione di k tale che ogni xi `e algebrico su k(x1 , . . . , xi−1 ) allora k(x1 , . . . , xn ) `e uno spazio vettoriale su k di dimensione di grado ni , ﬁnita pari a ni Queste ultime propriet` a riguardano la cosiddetta teoria delle estensioni algebriche di un campo.

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Il contributo di Galois Evariste Galois ha saputo collegare in modo sorprendente le estensioni algebriche di un campo ai gruppi ﬁniti, pi` u precisamente ai gruppi di permutazioni di un numero ﬁnito di elementi. Se ∆ = k(x1 , . . . , xn ) `e un campo di decomposizione di (1), l’insieme G(∆/k) dei k−automorﬁsmi di ∆, ossia degli automorﬁsmi del campo ∆ che lasciano ﬁssi gli elementi di k, `e un gruppo (se f, f ∈ G(∆/k) e x ∈ ∆, si deﬁnisce f f cos`ı: f f (x) = f (f (x))) denominato gruppo di Galois di (1). Se f ∈ G(∆/k), f trasforma necessariamente una radice xi di (1) in una radice xj di (1). In eﬀetti, se f ∈ G(∆/k), si ha 0 = f (0) = f (a0 + a1 xi + · · · + an xni ) = a0 + a1 f (xi ) + · · · + an f (xi )n e quindi, necessariamente, f (xi ) risolve l’equazione (1) e coincide pertanto con una radice xj di (1). Il fatto che un automorﬁsmo trasformi radici in radici ha come conseguenza la possibilit`a di identiﬁcare G(∆/k) con un sottogruppo del gruppo simmetrico Sn costituito dalle permutazioni di n elementi. In generale una permutazione diSn (= insieme delle permutazioni di 1 2 ... n o, semplicemente, con i1 i2 . . . in (an1, 2, . . . , n) si indica con i1 i2 . . . in che se tale notazione non `e molto usata). Se n = 3, le 6 permutazioni dei 3 elementi 1, 2, 3 sono pertanto: 123 (permutazione identica), 231 e 312 (permutazioni cicliche), 132, 321, 213 e le ultime tre permutazioni sono “scambi” di 2 elementi. Se per`o si usano lettere anzich´e numeri, le 6 permutazioni delle 3 lettere I, R, A sono IRA, RIA, RAI, ARI, AIR, IAR (ovvero tutti i possibili anagrammi di IRA, IRA compresa). ` importante la nozione di sottogruppo. In generale, se G `e un gruppo E e H `e un suo sottoinsieme, si dice che H `e un sottogruppo di G, se H `e un gruppo rispetto alla legge di composizione in G. Se H `e un sottogruppo di G e g ∈ G, l’insieme gH = {gh|h ∈ H} si dice classe laterale sinistra e, analogamente, si deﬁnisce la classe laterale destra Hg. Se, per ogni g ∈ G, le due classi coincidono, cio`e gH = Hg (senza che ci`o implichi gh = hg per ogni h in H), si dice che H `e un sottogruppo normale di G. Sia ∆ = k(x1 , . . . , xn ) un’estensione normale di k e sia I l’insieme dei campi intermedi tra k e ∆. Nel risultato basilare della teoria di Galois, denominato Teorema fondamentale, viene stabilita una applicazione biettiva f (corrispondenza biunivoca) tra l’insieme I e l’insieme J dei sottogruppi di G(∆/k) cos`ı deﬁnita: se K ∈ I, f (K) `e costituito dagli automorﬁsmi di ∆ che lasciano ﬁssi gli elementi di K e, viceversa, f −1 (H) `e il sottocampo di ∆ costituito dagli elementi lasciati ﬁssi dagli automorﬁsmi di H. Tale corrispondenza f rovescia le inclusioni e conserva la normalit` a (cio`e: il campo intermedio K `e un’estensione normale di k se e solo se f (K) `e un sottogruppo normale di G(∆/k)).

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Il teorema fondamentale di Galois consente di dedurre propriet` a di teoria dei campi da propriet` a di teoria dei gruppi di permutazioni, ad esempio: le estensioni intermedie tra k e ∆ sono ﬁnite (perch´e i sottoinsiemi di un insieme di m elementi sono 2m ); inoltre: l’estensione intermedia K `e normale su k se f (K) `e un sottogruppo normale di G(∆/k), eccetera. Ma vi `e un altro risultato riposto della teoria di Galois la cui dimostrazione `e particolarmente diﬃcile e laboriosa (criterio di risolubilit` a di Galois) che collega la risolubilit` a per radicali di una equazione algebrica alla risolubilit` a dei gruppi, secondo la deﬁnizione seguente in cui si ricorre alla nozione di “gruppo quoziente” illustrata in modo divulgativo nel prossimo paragrafo. Deﬁnizione Si dice che un gruppo G `e risolubile se ammette una catena ﬁnita di sottogruppi, ognuno contenente il successivo G ⊇ G1 ⊇ . . . Gr+1 = {e} (dove {e} contiene la sola identit` a e) tale che Gi+1 `e un sottogruppo normale di Gi per ogni (1 i r) e i gruppi quozienti Gi /Gi+1 sono abeliani. Teorema (criterio di risolubilit` a di Galois) L’equazione (1) `e risolubile per radicali se e solo se il gruppo di Galois G(∆/k) `e risolubile. Il criterio di risolubilit` a di Galois contiene una risposta al quesito posto da Abel: caratterizzare in qualche modo le equazioni risolubili per radicali.

Presentazione elementare dei gruppi quozienti Sia data una conﬁgurazione rettangolare costituita da 12 (= 3 × 4) punti tali che i 3 punti della base sono ripetuti quattro volte verso l’alto e allineati su 3 colonne di 4 elementi ciascuna. • •

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• •

La suddetta presentazione del prodotto 3 × 4 = 12 pu`o essere utilizzata anche per il quoziente 12/4 = 3, in quanto, mediante tale operazione inversa, i 4 punti di ciascuna colonna vengono identiﬁcati ad uno solo (ad esempio: a quello situato sulla base) onde il risultato della divisione (o quoziente) `e appunto 3. Si perviene allo stesso risultato considerando il prodotto cartesiano A × B (= insieme delle coppie (a, b) dove a, b variano rispettivamente in A, B) di due insiemi tali che A = {a, b, c} ha 3 elementi e B = {x, y, u, z} ha 4 elementi.

Evariste Galois

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Allora A × B `e costituito dalle 12 coppie (a, x), (b, x), (c, x), . . . , (c, z) e si pu` o supporre che (a, x), (b, x), (c, x) siano situati sulla base del rettangolo, (a, x), (a, y), (a, u), (a, z) sulla prima colonna, eccetera. Nel quoziente (A × B)/B tutti gli elementi di una colonna vengono identiﬁcati ad uno solo come nel caso numerico prima descritto, onde (A × B)/B = A. Se A e B non sono insiemi ﬁniti, il ricorso al prodotto cartesiano e al risultato ottenuto per il quoziente `e sempre valido (anche in mancanza del disegno). Sia ora H un sottogruppo di G e siano gH le sue classi laterali sinistre. Indicando con ∅ l’insieme vuoto, si veriﬁca facilmente che gH ∩ g H = ∅

⇔

g ∈ g H e g ∈ gH

⇔

gH = g H

cio`e: due laterali coincidono oppure sono disgiunti, ovvero: l’unione dei laterali sinistri ricopre G senza sovrapposizioni. L’applicazione i : H → gH data da i(h) = gh `e biettiva (se gh = gh , si ha h = h previa moltiplicazione a sinistra per g −1 ) e dunque tutti i laterali sinistri eH = H, gH, g H, . . . hanno lo stesso numero di elementi. Se g ∈ gH si ha g H = gH ovvero una classe `e determinata, previa moltiplicazione a destra per H, da un suo elemento qualsiasi. Scelto per ogni classe gH un suo elemento f , si ottiene l’insieme F = {f, f , . . .} in corrispondenza biunivoca con I = {. . . , gH, g H, . . .} =insieme dei laterali sinistri. Inoltre l’applicazione: F × H −→ G = gH = F H(= {f h | f ∈ F, h ∈ H}) data da (f, h) → f h `e biettiva. Identiﬁcando allora, mediante le due corrispondenze precedenti, F × H con G e F con I, e tenendo altres`ı presente il quoziente (F × H)/H = F , si potrebbe dare un signiﬁcato al “quoziente” G/H deﬁnendo G/H = I. Ma vi `e un inconveniente: ripetendo quanto gi` a fatto anche per le classi laterali destre Hg e notando il loro insieme con J(= {. . . , Hg, Hg , . . .}), si otterrebbe anche G/H = J: risultato contraddittorio se I = J. Se, per`o, si ammette per ipotesi che il sottogruppo H sia normale, cio`e gH = Hg per ogni g ∈ G, non solo risulta I = J, ma si pu` o deﬁnire il prodotto di due laterali gH, g H ponendo (gH)(g H) = gg H (giustiﬁcata da (gH)(g H) = g(Hg )H = g(g H)H = gg H). Quindi G/H `e ben deﬁnito ed `e un gruppo, denominato gruppo quoziente di G modulo H. Nei “quozienti” esaminati qui, tutte le identiﬁcazioni nell’insieme originario riguardano sottoinsiemi aventi lo stesso numero di elementi. Tuttavia l’identiﬁcazione `e generalizzabile senza quell’ipotesi restrittiva introducendo le “relazioni di equivalenza”.

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Algebra e geometria Lo stretto legame tra le equazioni algebriche e la geometria `e attestato dal titolo di un testo in pi` u volumi Teoria geometrica delle equazioni che gli autori (F. Enriques e il suo pi` u giovane collaboratore O. Chisini) hanno scelto per un’opera dedicata ai fondamenti della geometria algebrica, i cui oggetti pi` u elementari sono le curve algebriche piane. L’intersezione di una curva algebrica piana con una retta `e costituita da un numero ﬁnito di punti, le cui coordinate sono soluzioni di un’equazione algebrica del tipo (1) preso in esame ﬁn dall’inizio. Il titolo dei libri citati di Enriques-Chisini, apparsi nei primi decenni del secolo, riﬂette la mentalit` a diﬀusa tra i grandi geometri algebrici italiani di quel periodo, secondo cui vi era una superiorit` a della geometria sull’algebra. In eﬀetti, mentre i corsi di geometria impartiti nei vari anni previsti per la laurea in Matematica, erano molteplici ﬁn dalla seconda met`a del 1800, il primo corso fondamentale di algebra nelle Universit` a italiane `e stato introdotto soltanto nel 1960. Eccezionalmente, in precedenza, qualche docente come G. Zappa a Napoli e poi a Firenze, aveva trattato in corsi avanzati argomenti relativi a “gruppi, corpi, equazioni”: `e questo il titolo del libro apparso nel 1962 con cui i suoi due autori G. Zappa e R. Permutti, che si sono avvalsi degli appunti raccolti negli anni cinquanta del secolo scorso dal secondo autore alle lezioni del primo, presentavano argomenti di algebra ﬁno alla teoria di Galois inclusa. Indipendentemente dalla geometria algebrica, in cui i collegamenti tra algebra e geometria possono essere spinti a grandi altezze, a livello elementare le equazioni di secondo grado costituiscono un legame semplice con le costruzioni con riga e compasso. Se un problema geometrico (del tipo di alcuni quesiti posti frequentemente in passato nei licei scientiﬁci) conduce a un’equazione di secondo grado, allora gli elementi incogniti del problema sono costruibili con riga e compasso, talvolta in modo non immediato per cui erano particolarmente apprezzate costruzioni pi` u riposte ma pi` u rapide dette “sintetiche”. Vale la seguente caratterizzazione generale (inclusa nel testo menzionato di Zappa-Permutti): un segmento di lunghezza x `e costruibile con riga e compasso a partire da n segmenti assegnati di lunghezze rispettive a1 , . . . , an se e solo se x appartiene a una estensione del campo Q(a1 , . . . , an ) ottenuta per aggiunzione di un numero ﬁnito di radicali quadratici. Da tale caratterizzazione, a cui si perviene senza ricorso alla teoria di Galois, ma sfruttando soltanto propriet` a delle cosiddette estensioni algebriche di un campo, discende la risposta (negativa) ad alcuni problemi classici affrontati a pi` u riprese dai matematici dell’antichit` a: la quadratura del cerchio, la trisezione dell’angolo e la duplicazione del cubo, tutti relativi a costruzioni non eseguibili mediante riga e compasso. Anche ad altre questioni geometriche pi` u particolari, sempre di gusto classico, quali la costruibilit` a o meno con riga e compasso dei poligoni regolari di n lati, si pu`o quasi sempre dare una risposta senza l’ausilio della teoria di Ga-

Evariste Galois

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lois. Per`o, il teorema fondamentale di Galois pu` o riuscire utile per abbreviare le dimostrazioni o darne versioni pi` u eleganti.

Matematica sulle barricate. Morire a vent’anni . . . L’ingegno matematico si rivela spesso precocemente, anche se ad et`a non cos`ı tenere quali si sono avute nel caso di pur rari musicisti eccezionali, come Mozart, che componeva gi`a prima di aver compiuto dieci anni. Non raramente, la pi` u notevole produzione scientiﬁca di un matematico di rilievo appare in un’et` a compresa tra i 25 e i 40 anni. Galois (1812-1832), morto tragicamente a 20 anni, ha lasciato un’impronta profonda e durevole nell’algebra, avviando le sue scoperte sorprendenti quando ` un caso assolutamente eccezionale; pu`o essere aveva soltanto 17 o 18 anni. E accostato a Galois soltanto il suo contemporaneo Abel (1802-1829), i cui contributi fondamentali in diversi settori della matematica sono stati ottenuti in un’et` a compresa fra i 19 e i 27 anni. Il titolo del testo [2] `e Matematica sulle barricate, che evidenzia il principale interesse non matematico del giovane Galois: lo spirito rivoluzionario che lo ha portato a combattere dalla parte dei repubblicani nel periodo della restaurazione borbonica in Francia intorno al 1830. Purtroppo, per` o, Galois non `e morto combattendo sulle barricate. La sua vita `e stata troncata da un colpo di pistola partito dal suo avversario in un duello architettato in modo subdolo e controverso: le modalit` a degli eventi preparatori di quella tragica conclusione, a cui forse ha concorso la volont` a dello stesso Galois, non sono mai state accertate con sicurezza. La passione politica e l’amarezza per i mancati trionﬁ di una lotta contro le classi dominanti possono aver spinto Galois ad un sacriﬁcio per la causa rivoluzionaria, secondo la ricostruzione degli eventi presentata in [2]. Certamente il suo impegno politico gli aveva costato continue ed accese discussioni, nonch´e un periodo di reclusione carceraria. Ma le delusioni di Galois erano state cocenti anche nella sua vita scientiﬁca ed aﬀettiva. La sua do´ manda d’ingresso all’Ecole Polytechnique era stata respinta per incapacit` a degli esaminatori di comprendere il valore gi` a palese dell’aspirante. Una sua importante memoria scientiﬁca presentata all’Accademia delle Scienze venne smarrita (come gi`a era occorso a Abel). La sua attivit`a di studio e lavoro ´ presso l’Ecole Preparatoire spesso non era dovutamente apprezzata. A tutto questo si deve aggiungere almeno una grande delusione amorosa, certamente non compensata dalle pur valide amicizie di cui Galois si era circondato. Galois aveva ritenuto di dover accettare la sﬁda in duello e la sua fragilit` a, gi`a messa a dura prova da tante delusioni, lo conduceva a una totale rassegnazione: le sue ultime lettere, scritte in alternanza a sforzi sovrumani di stendere con la penna ﬁno allo stremo ulteriori contributi alla matematica, attestano il suo presagio di una morte ritenuta ineluttabile.

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Galois mor`ı il 31 maggio 1832, all’indomani del duello, in conseguenza delle tremende ferite riportate. La memoria contenente il suo apporto determinante alla teoria delle equazioni algebriche fu pubblicata dopo circa 15 anni e sono occorsi altri decenni per il pieno accoglimento e la diﬀusione su larga scala dei suoi risultati fondamentali.

Arte ispirata a Galois Non `e sorprendente che vi sia stato un signiﬁcativo riﬂesso della breve quanto intensa vita di Galois, conclusa cos`ı tragicamente, sulla letteratura (anche non strettamente matematica) e, pi` u recentemente, anche su altri settori artistici quali il cinema e il teatro. Nell’ambito di varie manifestazioni promosse negli ultimi anni dal Dipartimento di Matematica dell’Universit` a di Bologna, soprattutto per iniziativa di Mirella Manaresi (Matematica e Cinema; Matematica e Teatro; Matematica, Arte, Scienza e Tecnologia) si `e trovato lo spazio per la proiezione del ﬁlm Non ho tempo, sulla vita di Galois, con la partecipazione di Lucio Lombardo Radice che impersonava il professor Richard, protettore di Galois. ` stata inoltre data a Bologna la rappresentazione teatrale Galois di Luca E Vigan` o in forma ridotta rispetto a quella presentata a Genova (prima nel 2002 e poi nel 2004/2005), in cui l’autore propone, con libert` a d’invenzione, una sua “versione” sulla sventura amorosa di Galois, preludio al drammatico duello che conclude tragicamente la giovane vita di uno dei pi` u grandi geni matematici di tutti i tempi scoperto troppo tardivamente.

Riferimenti bibliograﬁci [1] R. Dedekind (1990) Lezioni sulla teoria di Galois, Sansoni, Firenze [2] R. Franci, L. Toti Rigatelli (1979) Storia della teoria delle equazioni algebriche, Mursia, Milano [3] L. Infeld (1957) Tredici ore per l’immortalit` a. La vita del matematico Galois, Feltrinelli, Milano [4] L. Toti Rigatelli (1989) La mente algebrica. Storia degli sviluppi della teoria di Galois nel XIX secolo, Bramante, Busto Arsizio [5] L. Toti Rigatelli (1993) Matematica sulle barricate. Vita di Evariste Galois, Sansoni, Milano [6] L. Vigan` o (2005) Galois, Il Melangolo, Genova [7] G. Zappa, R. Permutti (1963) Gruppi, corpi, equazioni, Feltrinelli, Milano

Arcadia

Arcadia di Tom Stoppard traduzione di Filippo Ottoni Regia: Leonardo Angelini e Francesco Giannini Interpreti: Giulia Angelino Thomasina Valentina Chico Hannah Marcus John Cotterell Bernard Giuseppe Russo Septimus Alessandro Scaretti Mr. Chater Franco Valeriano Solﬁti Valentine Cinzia Villari Lady Croom Scenograﬁa: Licinia Aliberti, Adriano De Ritis, Francesco Giannini, Giuseppe Squillaci Costumi: Maria Petrilli con Elisabetta Gotor Disegno luci: Michelangelo Vitullo Musiche originali: Simona Bedini arrangiamenti Simona Bedini e Marco Dalla Chiesa Graﬁca: Francesco Benvenuti Dibattito con Laura Tedeschini Lalli (Universit` a di Roma Tre)

La commedia, scritta nel 1993, `e ambientata in due momenti storici che si alternano continuamente: il primo Ottocento e i giorni nostri. In entrambi

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i momenti l’azione si svolge a Sidley Park, nel salone di una signorile villa settecentesca. Pur non apparendo direttamente come personaggio, il tramite tra i due periodi `e Lord Byron, attorno al quale si sviluppa tutto lo spettacolo: nel 1809 egli `e famoso poeta e libertino, mentre nel 1993 diventa il mito accademico, poeta e letterato oggetto dell’interesse degli studiosi. Nel 1809 i personaggi principali sono: Thomasina, una tredicenne appartenente alla nobile famiglia inglese dei Coverly, ragazzina prodigio in matematica, con intuizioni che anticipano alcuni importanti risultati, il suo precettore Septimus e la madre di Thomasina. Di questo periodo Stoppard ci racconta vicende personali, intrighi amorosi, tradimenti, equivoci, duelli, oltre a lasciare largo spazio ad argomenti matematici quali teoria del caos, termodinamica, equazioni di curve, algoritmi iterati, Ultimo Teorema di Fermat, di cui Wiles ha annunciato la dimostrazione proprio due mesi dopo la prima messa in scena di Arcadia. Nelle vicende attuali troviamo, invece, come protagonisti lo storico Bernard Nightingale, che si reca nella villa per trovare prove sull’uccisione di uno sconosciuto scrittore da parte di Lord Byron, Hannah Jarvis, scrittrice anch’essa interessata a Sidley Park, e Valentine Coverly, giovane matematico discendente della nobile famiglia proprietaria della villa, avviato alla ricerca in biomatematica. I tre, attraverso i documenti e i quaderni di Thomasina ritrovati nella villa, cercano di ricostruire gli eventi passati e Valentine riesce a cogliere le straordinarie intuizioni della tredicenne. Colpisce la negativit` a con cui Stoppard delinea la ﬁgura di Bernard Nightingale, accademico presuntuoso e arrivista, che, spinto dalla brama di successo, cerca prove che avvalorino la sua tesi precostituita, senza mai preoccuparsi di veriﬁcare in modo scientiﬁco che le proprie supposizioni siano fondate. L’ottusit` a e l’arroganza accademica di Bertand si contrappongono volutamente alla semplicit` a del genio evocato della giovane Thomasina. Tom Stoppard, nato a Zlin in Cecoslovacchia nel 1937, `e uno dei pi` u raﬃnati sperimentatori teatrali dei nostri giorni. Negli anni Cinquanta lavora come giornalista e critico teatrale in Inghilterra, nel 1966 esordisce come autore teatrale con Rosencrantz e Guildestern sono morti, di cui sono protagonisti i due personaggi minori dell’Amleto. Nel 1990 da questo dramma viene tratto un ﬁlm che vince il Leone d’Oro a Venezia. Oltre a occuparsi di teatro, Stoppard ha scritto anche testi televisivi e sceneggiature cinematograﬁche, tra cui ricordiamo Shakespeare in love (1998), con cui ha vinto l’Oscar per la sceneggiatura, ed Enigma (1999). Tra le opere teatrali pi` u importanti possono essere citate The Real Thing (1982), Hapgood (1988), in cui ci sono ampi riferimenti alla meccanica quantistica, Indian Link (1995), The Invention of Love (1997). La sua ultima commedia The Coast of Utopia `e del 2002.

Arcadia

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In una conversazione con Robert Osserman (per visionare il documento si veda http://www.siam.org/siamnews/04-99/play.htm), illustre matematico, gi`a professore all’Universit` a di Stanford e Direttore dei Progetti Speciali del MSRI (Mathematics Sciences Research Institute), Stoppard aﬀerma di essere aﬀascinato dalla matematica, a cui si `e avvicinato attraverso pubblicazioni divulgative, e di nutrire molta curiosit` a per essa. Stoppard ritiene che la matematica sia molto potente a vari livelli, ma che la diﬃcolt`a per uno scrittore stia nello stabilire una diﬀerenza fra l’esposizione del materiale scientiﬁco e il suo uso in maniera organica e non gratuita. Alcuni critici hanno ritenuto che nel creare la ﬁgura di Thomasina Stoppard si sia ispirato ad Ada Lovelace (1815-1851), ﬁglia di Lord Byron, giovane matematica di grande talento e collaboratrice di Charles Babbage (1791-1871), matematico inglese che lavor`o alla progettazione di una calcolatrice meccanica che anticipa i moderni calcolatori. Di fronte ad una precisa domanda di Osserman, Stoppard smentisce questa ipotesi, aﬀermando di non essersi ispirato a nessuno in particolare per la ﬁgura di Thomasina, ma di ritenere che il fascino del personaggio stia proprio nel fatto che si tratta di una ragazzina del tutto normale, se si esclude il suo talento per la matematica. Per approfondimenti: G.I. Bischi, R. Carini, L. Gardini, P. Tenti (2003) Sistemi dinamici e caos deterministico, Let. Mat. Pristem 47, pp. 15-26 R. Devaney Chaos, Fractals, and Arcadia http://math.bu.edu/DYSYS/arcadia/introduction.html

A. Jackson (1995) Love and the Second Law of Thermodynamics: Tom Stoppard’s Arcadia, Notices Amer. Math. Soc. 42, n.11, pp. 1284-1287 http://plue.sedac.ciesin.org/geocorr/doc/arcadia.html

S. Landau (1996) Rising to the Challenge, Notices Amer. Math. Soc. 43, n.6, p. 652 L. Hershman-Leeson (1997) Conceiving Ada, USA-Germania J.J. O’Connor, E.F. Robertson Charles Babbage http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Mathematicians/Babbage.html

J.J. O’Connor, E.F. Robertson Augusta Ada King, countess of Lovelace http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/∼history/Mathematicians/Lovelace.html

J. Spenser (2001) Geek Chic, Notices Amer. Math. Soc. 48, n. 2, p. 165 Ulteriori indirizzi web si possono trovare visitando il sito del progetto: http://www.dm.unibo.it/socrates/teatro/arcadia.php

“This page left intentionally blank.”

Perﬁno in Arcadia sesso, letteratura e. . . matematica∗ Leonardo Angelini, Francesco Giannini registi teatrali [email protected], [email protected] www.progettoarcadia.org

Septimus, che cos’`e un amplesso carnale? [12] Con questa frase comincia Arcadia, comincia lo spettacolo, comincia il gioco di raﬃnati rimandi culturali innescati dall’autore. Spiegare come si possa principiare da “un amplesso carnale” per arrivare a parlare di matematica e ﬁsica - oltre che di architettura, letteratura inglese e pittura - potrebbe sembrare un compito arduo. Eppure, parafrasando un’altra battuta del testo, si potrebbe dire che [. . . ]c’`e molta pi` u carnalit` a in un libro di algebra [. . . ] che in Arcadia. Infatti Stoppard si diverte a narrare con un certo distacco le relazioni amorose tra i suoi personaggi, mentre mette pi` u passione - appassionando di pi` u lo spettatore - quando lascia anticipare di due secoli, ad una ragazzina di sedici anni, la “scoperta” della teoria del caos. Dissertazioni su feed-back, algoritmi iterati, determinismo, l’ultimo teorema di Fermat: i riferimenti scientiﬁci si insinuano nei dialoghi dei personaggi e risultano un tema conduttore dello spettacolo. Ma facciamo un passo indietro: gli avvenimenti. Nel grande salone di una settecentesca villa inglese del Derbyshire, si alternano i personaggi di due periodi storici: il primo decennio dell’Ottocento e i giorni nostri. Nel XIX secolo un tutore d` a lezioni di matematica a Thomasina, la ﬁglia dei “padroni di casa”, i Conti di Croom. Al tempo stesso si trastulla con la moglie di Chater - uno degli ospiti -, pur essendo innamorato della Contessa, Lady Croom. . . Mentre Thomasina appare intelligente, arguta, geniale, la contessa sua madre si “dispera” per le trasformazioni che - per ordine di suo marito - stanno stravolgendo il giardino della villa, luogo abituale delle ∗

Arcadia di Tom Stoppard `e andato in scena per la prima volta al Lyttelton Theatre, Royal National Theatre di Londra il 13 Aprile 1993 con la regia di Trevor ` stato pubblicato dalla Faber and Faber nel 1993 e in edizione italiana Nunn. E nel 2004 [12] con la traduzione di Alessandra Serra e Anna Maria Parnanzini. Le citazioni del testo presenti nell’articolo sono riportate nella traduzione per la scena di Filippo Ottoni.

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Leonardo Angelini, Francesco Giannini

frivolezze tipiche della nobilt` a del tempo. Inﬁne il povero Chater, corniﬁcato dal tutore, si barcamena tra la propria mediocrit` a e la voglia di aﬀermarsi [. . . ] come uomo e come poeta [. . . ].

Figura 1. Foto di scena: Giuseppe Russo (Septimus) e Giulia Angelino (Thomasina) foto: Marco Fedele di Catrano

Ai giorni nostri, i personaggi che si alternano sulla scena sono invece due ricercatori e una scrittrice. Tutti cercano di sfruttare la storia della villa, dei suoi giardini, dei documenti che conserva, per ricavare informazioni preziose alle loro ricerche. Naturalmente si ritrovano a spulciare gli stessi documenti (un libro con i progetti del giardino, una prima copia dell’English Bards di Byron, i registri della caccia. . . ), ad indagare lo stesso periodo storico - gli stessi personaggi/persone che incontriamo nella villa nel 1809 -, confondendo spesso le loro teorie con scoperte sensazionali. A ﬁne spettacolo, quando quasi tutti gli elementi del giallo intellettuale sono svelati, non interessa che i ricercatori abbiano travisato i documenti in loro possesso, che il tutore abbia passato il resto della vita in un eremo dopo la morte della sua allieva, o che ` stato Lord Byron non abbia sparato a Chater (il povero poeta corniﬁcato). E tutto un pretesto, un gioco, una bellissima trama ordita per tenere lo spettatore attento, mentre si parlava d’altro. . . L’ultimo teorema di Fermat “entra in scena” durante la lezione che il tutore Septimus tiene, come ogni mattina, alla ﬁglia dei Conti di Croom, Thomasina. Lo scopo `e tenere occupata almeno un paio d’ore la ragazzina - in realt`a poco interessata all’argomento -, con la dimostrazione di un teorema che aveva tenuto impegnati i maggiori matematici per 150 anni. E che li avrebbe impegnati ﬁno all’estate del 1993. . .

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Thomasina: Se non mi insegnate voi il vero signiﬁcato delle cose, chi altro lo far` a? Septimus: Ah, s`ı, provo vergogna. L’amplesso carnale `e un accoppiamento sessuale, che consiste nell’introduzione dell’organo genitale maschile nell’organo genitale femminile per ﬁni di procreazione e di piacere. L’ultimo teorema di Fermat, invece aﬀerma che quando X, Y e Z sono numeri interi, ognuno elevato alla potenza di N , la somma dei primi due non potr` a mai essere uguale al terzo quando N `e maggiore di 2. Fermat `e ancora il pretesto per allontanare Thomasina, quando la lezione si interrompe per l’ingresso di Chater (costretto a chiedere “soddisfazione” al tutore, sorpreso con sua moglie. . . ): Septimus: Milady, portate Fermat nella sala della musica. Avrete una cucchiaiata in pi` u di marmellata se troverete la dimostrazione. Thomasina: Non c’`e nessuna dimostrazione, Septimus. Quello che `e perfettamente ovvio `e che `e stato uno scherzo per farvi impazzire tutti. I riferimenti al teorema sembrano esaurirsi nella prima scena. Se non fosse che nel presente (scena IV) Hannah, scrittrice e ricercatrice, momentaneamente ospite nella villa per studiarne l’evoluzione del giardino, trova una cartellina con dei graﬁci ed un libro elementare di algebra recante la seguente nota: Hannah:“Io, Thomasina Coverly, ho trovato un metodo meraviglioso per cui tutte le forme della natura debbono rivelare i loro segreti numerici e disegnarsi da sole, unicamente attraverso i numeri. Essendo questo margine troppo ristretto per il mio scopo, il lettore `e invitato a cercare altrove la Nuova Geometria delle Forme Irregolari scoperta da Thomasina Coverly.” Signiﬁca qualcosa? ` evidente come Thomasina imiti la nota lasciata a margine da Fermat E (“Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema che non pu` o essere contenuta nel margine troppo ristretto della pagina”), proponendo la sua intuizione come scherzo per far impazzire tutti. E in eﬀetti sembra davvero possano impazzire tutti : nell’evoluzione del plot si paventa la possibilit` a che il tutore sia impazzito passando il resto della sua vita nell’eremo; che nei giorni nostri Valentine - matematico e ricercatore a Oxford, ﬁglio degli attuali Conti - sia intento nel cercare di scoprire - senza successo - dove portino gli studi lasciati da Thomasina, ossessionato da quella frase profetica. Pi` u avanti, nella settima ed ultima scena, il rimando con l’ultimo teorema di Fermat continua quando Septimus chiede spiegazioni alla sua allieva circa la nota lasciata nel libro. Thomasina risponde schietta che lo considera solamente uno scherzo. Il tutto mentre Valentine - compresente sulla scena, col suo computer ed insieme ad Hannah - traccia un graﬁco degli appunti e delle formule lasciate da Thomasina: Hannah: [. . . ] Oh! Ma. . . che bello! Valentine: Il mondo dei Coverly. [In inglese “the Coverly set”. ndr]

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Figura 2. Foto di scena: Giulia Angelino (Thomasina); foto: Marco Fedele di Catrano

Hannah: Il mondo dei Coverly! Mio Dio, Valentine! Valentine: Dammi un dito. Vedi? Isolette di ordine in un oceano di cenere. Disegni che si formano dal nulla. Non posso farti vedere quanto `e profondo. Ogni disegno `e un particolare del disegno precedente ingrandito. E cos`ı via. All’inﬁnito. Mica male, eh? Valentine, convinto che le scoperte scientiﬁche abbiano un loro tempo ed una loro logica evoluzione, dopo averla deﬁnita una scimmia al pianoforte, arriva a parlare di Thomasina e delle sue intuizioni - rivelatesi esatte ma impossibili da svilupparsi prima di due secoli - in questi termini: Valentine: [. . . ]Lei non ne conosceva la matematica, neanche lontanamente. Ma aveva capito il signiﬁcato di quelle cose, con molto anticipo, come chi vede un’immagine. Il divertissement teatrale su Fermat diventa quasi surreale se si considera che il 13 Aprile 1993 debutt` o lo spettacolo Arcadia al Royal National Theatre di Londra e, il 21-22-23 giugno dello stesso anno, Andrew Wiles presentava al Sir Isaac Newton Institut la sua relazione “Curve ellittiche modulari e Ultimo teorema di Fermat” [6]. La dimostrazione di Wiles dell’ultimo teorema di Fermat si basava su passaggi logici e dimostrazioni acquisite in quattro secoli di studi scientiﬁci. L’interrogativo e il dubbio tuttora presente `e che cosa avesse eﬀettivamente visto Fermat. L’alternanza tra scherzo e genialit`a, l’opposizione tra gioco e scienza, che si sono intrecciati per quattro secoli nella risoluzione dell’enigma del teorema, sono anche il fulcro di Arcadia.

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Figura 3. Bozzetto per l’allestimento nell’Aula Absidale S. Lucia; disegno: Francesco Giannini

Ma Stoppard interseca la matematica con la letteratura, poesia, pittura, architettura, paesaggio. . . Se il luogo scenico vero e proprio `e il salone della villa, molti degli avvenimenti - non visti - si svolgono nel giardino, di volta in volta narrati, descritti o ipotizzati. Il procedere del testo sul limite tra gioco e rigore, passando continuamente da una parte all’altra, amalgamando ﬁnzione e realt`a/storia, continua nei riferimenti alla pittura, quando i personaggi si trovano a trattare la trasformazione del giardino della villa. Lady Croom: [. . . ] Laddove ora aleggia la tranquillit` a, pastorale raﬃnatezza del giardino inglese, avremo l’eruzione di una tetra foresta e di un gigantesco dirupo, di ruderi di case mai esistite [. . . ]. I pittori “vedutisti” del Seicento traspongono nelle loro opere i paesaggi descritti dai poeti latini. A loro volta gli architetti della seconda met` a del Settecento inventano il giardino inglese, realizzando le vedute dei pittori seicenteschi, nei parchi delle sontuose ville della campagna inglese. Lo stile pittoresco incombe come mutamento del gusto e dei riferimenti pittorici. Dai paesaggi arcadici di ampio respiro di Poussin e Lorrain, si passa alle atmosfere pi` u cupe ed irregolari di Salvator Rosa. Lady Croom: Ma Sidley Park `e gi` a pittoresco, un quadro incantevole. I pendii sono verdi e agevoli. Gli alberi sono raggruppati ad intervalli che li valorizzano al massimo. Il ruscello `e un nastro serpentino che scaturisce dal lago e scorre in mezzo a prati tranquilli brucati da una giusta quantit` a di pecore collocate con gusto. In breve, `e la natura secondo il volere di Dio, e io posso dire al pittore: “Et in Arcadia ego!” “Eccomi qua in Arcadia”, Thomasina.

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L’ambiguit` a gioco-rigore si rigenera nella famosa iscrizione “et in Arcadia ego”, fonte di diﬀerenti traduzioni, basate su due interpretazioni pittoriche opposte, testimoni di un sostanziale mutamento di vita nel Seicento. Nel testo di Stoppard sono i personaggi del 1809 a riproporre le due versioni, descrivendo stati d’animo opposti fra loro. La traduzione ﬁlologicamente esatta [11] deriva dall’originale quadro del Guercino (et in Arcadia ego, 1621-1623, Galleria Nazionale, Roma), dove due pastori dell’Arcadia, spaventati, sono in secondo piano rispetto ad un teschio, recante l’incisione “et in Arcadia ego” come me` mento mori : “Perﬁno in Arcadia eccomi qua [con riferimento alla morte]”. E Septimus, che dopo aver notato un particolare interesse della Contessa per un altro ospite della villa, riprende la frase gi` a citata da Lady Croom, notando come anche in Arcadia - Villa Coverly - si possa essere infelici. Nel 1647 Poussin col suo dipinto Les bergers d’Arcadie (museo del Louvre, Parigi), propone un’interpretazione pi` u frivola e giocosa, dove l’iscrizione “et in Arcadia ego” da monito ai vivi diviene epitaﬃo del morto, sul quale discorrono serenamente i personaggi dipinti, ora in primo piano e non pi` u spaventati. L’Arcadia torna, con la traduzione proposta da Lady Croom, il luogo ameno dei convivi, dove la nobilt` a inglese del XIX secolo si tratteneva serenamente, fra sesso, letteratura e battute di caccia. Di questi convivi fa le spese Lord Byron, tirato con forza nei dialoghi, citato pi` u volte nella persona e nella poesia senza mai apparire, come accade per il giardino. La sua presenza cerca di incuriosire lo spettatore su un’altra controversia che lascia molti dubbi: quali furono le motivazioni che portarono all’improvvisa partenza di Byron per Lisbona nel 1809? Bernard: [. . . ] Il 16 aprile 1809, pochi giorni prima di lasciare Sidley Park, Byron scriveva al suo avvocato John Hanson : “Se le conseguenze della mia partenza dall’Inghilterra fossero anche dieci volte pi` u disastrose di quanto voi dite, io non avrei scelta; vi sono circostanze che la rendono assolutamente indispensabile, e pertanto debbo lasciare il paese immediatamente.” La lettera fu scritta dalla residenza di famiglia, Newstead Abbey, Nottinghamshire. A un giorno di carrozza, in direzione nord-ovest, si trovava Sidley Park, la tenuta dei Coverly - una famiglia molto pi` u prestigiosa, elevata da Carlo II alla dignit` a di Conti di Croom. . . ”. [. . . ] L’epistolario di Byron ci indica dove egli si trovava l’8 e il 12 aprile. Si trovava a Newstead. Ma il 10 aprile egli si trovava a Sidley Park, come testimonia il registro della caccia ivi conservato [. . . ]. ` evidente come Stoppard intrecci informazioni reali legate alla vita e alla E persona di Byron - il suo epistolario e il suo avvocato John Hanson - con la ﬁnzione ricreata nella trama della pi`ece - Sidley Park. Per Bernard - professore ed esperto di letteratura inglese del primo Ottocento -, tre lettere conservate in un libro ritrovato nella biblioteca di Byron, che parlano di una sﬁda lanciata a Sidley Park l’11 aprile 1809, non lasciano ombra di dubbio: Bernard: [. . . ] Grazie ai nastri, nel libro sono stati conservati tre documenti.

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“Signore, noi due abbiamo una questione da risolvere. Vi attender` o nell’armeria. Firmato E. Chater.” “Mio marito ha fatto ordinare delle pistole. Smentite quel che non pu` o essere provato, per carit` a. Oggi rimarr` o nella mia stanza”, senza ﬁrma. “Sidley Park, l`ı 11 aprile 1809. Signore, siete un imbroglione, uno sporcaccione, un diﬀamatore sulla stampa e il ladro del mio onore. Attendo che mi comunichiate dove e quando ricever` o soddisfazione come uomo e come poeta. Firmato E. Chater.” Hannah: Eccellente. Ma inconcludente. Il libro `e giunto nelle mani di Byron dopo sette anni. Non collega Byron a Chater, o a Sidley Park. E nemmeno a Hodge. In pi` u, non c’`e il bench´e minimo accenno nelle lettere di Byron e questo scandaletto sarebbe stato l’ultima cosa su cui uno come lui avrebbe taciuto. Bernard: Scandaletto? Hannah: Ne avrebbe tirato fuori una storiella divertente. Bernard: Una storiella divertente, un cavolo! (fa una pausa d’eﬀetto) Quello ha ammazzato Chater!

Figura 4. Foto di scena - A. Scaretti (Chater) e G. Russo (Septimus); foto: Marco Fedele di Catrano

Hannah: (fa una pernacchia) Ma d` ai! Bernard: Chater aveva 31 anni. Era autore di due libri. Non si sa pi` u nulla di lui dopo “Eros”. Scompare del tutto dopo l’aprile del 1809. E Byron, Byron ha appena pubblicato la sua satira, “Bardi inglesi e critici scozzesi”, a marzo. Stava cominciando a farsi un nome. Eppure s’imbarca per Lisbona con la prima nave e rimane all’estero per due anni. Hannah, questa per noi pu` o essere la fama! Da qualche parte, tra le carte dei Croom deve pur esserci qualcosa. . .

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In seguito, i documenti che Bernard trover` a durante il suo soggiorno a Sidley Park, accresceranno la sua convinzione di essere vicino ad una scoperta sensazionale. Con una certa cattiveria, Stoppard confuter` a molte delle teorie sostenute dai suoi personaggi, lasciando molti quesiti ancora da svelare, sia in relazione alla trama che agli aspetti storici. Byron non ha ucciso Chater, ma ha dovuto inspiegabilmente lasciare l’Inghilterra. . . Oltre al duello tra Byron e Chater, nella villa c’`e carta suﬃciente per citare altri personaggi letterari dell’Ottocento: Milton, Southey, Jeﬀrey, Lord Holland, Rogers, Moore, Wordsworth, Coleridge. . . Letteratura e paesaggio si intersecano nuovamente, sﬁorando le suggestioni, realmente esistite, che gli architetti paesaggisti ritrovavano nel romanzo gotico inglese, cimentandosi nella costruzione di grotte, foreste, paludi o antri oscuri: Lady Croom: Avete letto troppi romanzi del signor Radcliﬀe, secondo me. Questo `e un giardino per “Il castello di Otranto“ o per “I misteri di Udolfo”. . . Chater: “Il castello di Otranto”, Milady, `e di Horace Walpole. In altri termini, nel 1809 Sidley Park era diventato [. . . ] il romanzo gotico espresso in paesaggio. C’`e tutto tranne i vampiri [. . . ]. Byron `e citato in pi` u occasioni. Nell’ultima scena, quando tutti gli elementi della trama sono ancora in ballo, e il caos ha ormai preso il sopravvento, Hannah si ritrova alla disperata ricerca di un movente che abbia potuto spingere Septimus alla pazzia: Hannah: [. . . ] Tutti quei fogli [. . . ] pieni di dimostrazioni cabalistiche della imminente ﬁne del mondo [. . . ] Per capire il signiﬁcato di quei fogli, lasciati dall’eremita dopo la sua morte, Hannah arriva a citare alcuni versi dell’opera Darkness di Byron. Per spiegare - con una terminologia a lei pi` u congeniale - argomenti prettamente matematici: Hannah: “Ho fatto un sogno che solo sogno non era. Il sole incandescente si estingueva, e le stelle Vagavano scurendosi nello spazio eterno, Prive di raggi e di scie, e la gelida terra Oscillava cieca e annerita nell’aere senza luna.” ` tua? Valentine: E Hannah: Di Byron. Il secondo principio della termodinamica `e un altro tema ampiamente trattato nel testo. Anche in questo caso nasce da un’intuizione/scoperta di Thomasina. Tuttavia, nello svolgersi delle vicende, `e citato per primo dai personaggi del XX secolo e poi da quelli dell’Ottocento. Sono essenzialmente le ricerche di Hannah sul giardino che portano l’attenzione dello spettatore sull’eremita e sui suoi studi. Hannah: “Il testamento del lunatico [l’eremita] ci suggerisce di usare prudenza con la moda francese. . . poich´e fu quel matematico francesizzato [J. B.

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Fourier (1768-1830)] che lo condusse alla melanconica certezza di un mondo senza luce o vita. . . come una stufa di legno che si consuma da s´e, ﬁno a quando la cenere e la stufa sono un tutt’uno e non c’`e pi` u calore sulla terra.” [. . . ] Valentine: Tutto qui? Hannah: (annuisce) Tu ci trovi qualcosa? Valentine: Dove? Siamo tutti segnati dal destino? (in tono informale) Oh, s`ı, certo. . . si chiama la seconda legge della termodinamica. Thomasina arriver` a a parlare di termodinamica solo nell’ultima scena, quando intuir` a che la macchina a vapore dell’architetto di giardini - utilizzata per trasformare il lago in palude - [. . . ] non ricaver` a mai quello che ci si mette dentro [. . . ] ; cio`e disperder`a parte del lavoro prodotto in calore. Il gioco di Stoppard consiste in questo caso nel far trovare ai ricercatori dei nostri giorni un documento di Thomasina (un graﬁco sullo scambio del calore) prima che lei l’abbia realizzato in scena, mettendo gli spettatori al livello dei personaggi: nell’impossibilit` a di comprenderne il signiﬁcato. Lo stesso Valentine, che nella quarta scena spiega ad Hannah/spettatore il signiﬁcato della didascalia di Thomasina (citata in precedenza) sulla nuova geometria delle forme naturali, non riesce a comprendere il signiﬁcato del graﬁco, perch´e cerca di collegarlo al sistema di algoritmi iterati, presente anch’esso negli appunti lasciati dalla ragazzina. Per tutta la parte centrale dello spettacolo, infatti, l’argomento matematico su cui ricade pi` u spesso l’azione riguarda la teoria del caos come nuova geometria che possa disegnare le forme naturali. Ci`o nonostante, sar`a proprio questo graﬁco “collocato” erroneamente, l’elemento chiave per dare una risposta alle ricerche di Hannah sull’identit` a dell’eremita. Valentine sta studiando i sistemi dinamici applicati allo studio dell’incremento demograﬁco in biologia. Cerca di ricostruire un modello matematico che restituisca il graﬁco dell’evoluzione della popolazione del gallo cedrone, ricavandolo dai registri della caccia conservati nella villa, dove sono elencati tutti gli animali abbattuti negli ultimi duecentocinquanta anni: Hannah: [. . . ] Che vuol dire che stai facendo la stessa cosa che faceva lei [Thomasina]? (pausa) Cos’`e che stai facendo tu? Valentine: Veramente io la sto facendo all’incontrario. Lei ha cominciato da un’equazione per arrivare a un graﬁco. Io ho un graﬁco, i dati reali, e sto cercando di trovare l’equazione che darebbe il graﬁco se la usassi nel modo in cui lei ha usato la sua. Iterandola. Hannah: A quale scopo? ` il modo in cui si studia l’incremento demograﬁco in bioloValentine: E gia. Prendiamo per esempio dei pesci rossi nello stagno. Quest’anno ci sono un numero X di pesci rossi. L’anno prossimo ci sar` a un numero Y di pesci rossi. Alcuni nascono, altri vengono mangiati dagli aironi, o che so io. La natura manipola le X e le trasforma in Y . Quindi i pesci rossi - Y - diventano il punto di partenza demograﬁco per quelli dell’anno successivo. Proprio come fa Thomasina. Il valore di Y diventa il valore successivo di X. Il punto

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`e: cosa sta accadendo ad X? In cosa consiste questa manipolazione? Qualsiasi cosa essa sia, pu` o essere espressa con una formula matematica; questo `e l’algoritmo. Ma `e la genialit` a di Thomasina a stupire, il modo in cui la sua semplice osservazione del quotidiano la spinga a cercare delle risposte a fenomeni cui la scienza non si `e ancora interessata:

Figura 5. Bozzetto per l’allestimento nell’Aula Absidale S. Lucia; disegno: Francesco Giannini

Thomasina: Quando si mescola il budino di riso, Septimus, la cucchiaiata di marmellata si spande intorno formando delle strisce rosse come il disegno di una meteora nel mio atlante astronomico. Ma se si mescola in senso inverso, la marmellata non torna ad unirsi. Il budino neanche se ne accorge e continua a diventare rosa tale e quale a prima. Voi non lo trovate strano? [. . . ] Septimus, se esiste un’equazione per una curva a forma di campana, deve esserci un’equazione per una a forma di campanula, e se `e cos`ı, perch´e non una a forma di rosa. Non crediamo forse che la natura sia espressa in numeri? [. . . ] Traccer` o il graﬁco di questa mela e ne trarr` o un’equazione. [. . . ] Oh, al diavolo Hobbes! Le montagne non sono piramidi e gli alberi non sono coni. Dio dovrebbe amare l’artiglieria e l’architettura se la sua unica geometria fosse quella di Euclide. C’`e un’altra geometria che io sono impegnata a scoprire a furia di prove e controprove, vero, Septimus?

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[. . . ] Non vi `e piaciuta la mia equazione sul coniglio? [. . . ] Mangia la sua progenie. Lo stesso Valentine si trover`a poi a spiegare ad Hannah, come le stesse domande che si poneva Thomasina abbiano portato, dopo due secoli, a la nascita di una nuova scienza: il caos [10]. ` incerta se insiHannah: (Prende dal tavolo la foglia di una mela. E stere ancora sull’argomento.) Quindi non si potrebbe disegnare un’immagine di questa foglia iterando un. . . comesichiama? Valentine: (in tono liquidatorio) Certo che si potrebbe. Hannah: (infuriata) Allora, dimmi come! Madonna, ti ammazzerei! Valentine: Se tu conoscessi l’algoritmo e lo riportassi, diciamo, diecimila volte, ogni volta ci sarebbe un punto su qualche parte dello schermo. Non sapresti mai dove si trover` a il prossimo punto. Ma piano piano, cominceresti a distinguere questa forma, perch´e ciascun punto si trover` a all’interno di questa foglia. Non sarebbe una foglia, ma un oggetto matematico. Eppure s`ı. L’imprevedibile e il predeterminato si schiudono insieme per creare ogni cosa nel ` cos`ı che la natura crea se stessa, su tutte le scale, dal ﬁocco modo in cui `e. E di neve alla bufera. Questo mi rende cos`ı felice! Essere di nuovo all’inizio, senza sapere quasi nulla. La gente parlava della ﬁne della ﬁsica. Sembrava che la relativit` a e i quanti potessero risolvere tutti i problemi di questo mondo. Una teoria del tutto. Ma essi spiegavano solo le cose inﬁnitamente grandi e quelle inﬁnitamente piccole. L’universo e le particelle elementari. Quelle di grandezza ordinaria, che sono poi le nostre vite, le cose su cui la gente scrive poesie: le nuvole, le giunchiglie, le cascate, e quello che succede in una tazza di caﬀ`e quando vi si versa il latte - queste cose sono piene di misteri; sono tanto misteriose per noi quanto lo era il cielo per i Greci. Noi siamo pi` u bravi a predire quello che accadr` a ai limiti della galassia o dentro il nucleo di un atomo, che a prevedere se piover` a fra tre domeniche durante la festa della zia in giardino. Perch´e il problema si rivela sempre diverso. Non riusciamo neanche a calcolare quando cadr` a la prossima goccia da un rubinetto che perde, se questa diventa irregolare. Ogni goccia determina le condizioni per quella successiva: la pi` u minuscola variazione fa saltare qualsiasi previsione e il tempo `e imprevedibile allo stesso modo, e sempre lo sar` a. Quando immetti dei numeri in un computer, li puoi vedere sullo schermo. Il futuro `e disordine. Spiragli di conoscenza come questa si sono manifestati cinque o sei ` il volte da quando abbiamo cominciato a stare eretti sulle zampe posteriori. E momento migliore per vivere, quando quasi tutto ci` o che credevi di sapere `e sbagliato. Ancora una volta `e il gioco di rimandi e citazioni, dell’intromissione della ﬁnzione nella realt` a e viceversa, a divertire e coinvolgere lo spettatore. Nelle battute dei personaggi si ritrovano frasi di Mandelbrˆ ot e l’insieme che prende il suo nome; tutti gli esempi pi` u semplici e di pi` u facile comprensione da parte dello spettatore vengono citati: la foglia di felce, la goccia del rubinetto, la previsione del tempo. . . Come le caratteristiche fondamentali dei sistemi di-

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namici: la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali, l’invariabilit` a di scala, gli attrattori strani e il feed-back.

Figura 6. Dettaglio sedie di scena; foto: Licinia Aliberti

Spesso sono solo citazioni, reinterpretazioni delle frasi o solamente spunti. Il personaggio di Thomasina `e ispirato all’unica ﬁglia legittima di Byron, Ada Lovelace: autodidatta che lavor` o con Charles Babbage allo studio di una macchina analitica, l’antesignano del computer. Lo stesso strumento senza il quale Thomasina non pu` o sviluppare la sua intuizione sulla nuova geometria delle forme naturali [2]. A volte le citazioni diventano giochi linguistici o, pi` u invasivamente, arrivano a conformare la stessa struttura della commedia. Tutto il testo si pu`o immaginare come un continuo feed-back, dove le informazioni acquisite dai personaggi di un periodo, divengono il punto di partenza per quelli dell’altro periodo nella scena successiva. Oppure lo si pu` o considerare un sistema non-lineare per il continuo salto temporale - concluso nell’ultima scena dove sono presenti contemporaneamente entrambi i periodi storici -. L’autosomiglianza delle scene ripropone una continua similarit` a delle azioni e delle situazioni in cui si ritrovano i personaggi. Sesso, letteratura e matematica sono attrattori strani, intesi come tematiche dialogiche cui tutti personaggi tendono e su cui di volta in volta ricadono. Sicuramente la teoria del caos `e l’argomento scientiﬁco cui viene dedicato maggiore spazio, che si insinua in tutto il testo e nello spettacolo: “Io, Thomasina Coverly, ho trovato un metodo meraviglioso per cui tutte le forme della natura debbono rivelare i loro segreti numerici e disegnarsi da sole, unicamente attraverso i numeri. Essendo questo margine troppo ristretto per il mio scopo, il lettore `e invitato a cercare altrove la Nuova Geometria delle Forme Irregolari scoperta da Thomasina Coverly.” E pensare che per Thomasina `e stato davvero il margine troppo esiguo la mancanza di spazio - ad impedirle il raggiungimento di un qualsiasi risul-

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tato. . . La messa in scena di un testo come questo non pu`o prescindere dalle tematiche trattate, da adattare in modo che il pubblico le possa seguire nella loro complessit`a. L’occasione dataci dall’Universit` a di Bologna, ci ha permesso di rielaborare il testo in una forma pi` u snella, ma ancora capace di aﬀrontare tutti gli argomenti in modo esaustivo. In particolare `e stato nostro interesse entrare nel soﬁsticato gioco di rimandi e citazioni, di ﬁnzione e realt` a/storia. Nei pochi elementi scenograﬁci presenti nell’allestimento di Bologna, sono state inserite parti stranianti la ricostruzione d’epoca. Nella realizzazione degli arredi, insieme all’attenzione posta nel ricreare elementi stilisticamente compatibili con il periodo storico (in particolare si `e fatto riferimento agli arredi di Chippendale - citato anche nel testo. . . - e alle architetture di Robert Adam), abbiamo riﬁnito gli elementi con graﬁci de la nuova geometria delle forme naturali, che cos`ı bene si sposano con i disegni ﬂoreali e le ricche modanature dell’arredo del primo Ottocento. L’insieme di Mandelbrˆ ot e gli insiemi di Julia hanno cos`ı trovato posto nella decorazione del tavolo, delle colonne e nel disegno delle sedie (Fig. 6).

Figura 7. Bozzetto per l’allestimento nell’Aula Absidale S. Lucia; disegno: Francesco Giannini

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La scelta di usare pochi elementi di scena `e stata indotta dalla particolarit` a dell’Aula Absidale dell’ex complesso monastico di Santa Lucia. L’architettura `e caratterizzata dalle vecchie strutture murarie in mattoni, cui si `e aggiunta una nuova copertura in acciaio e una parete vetrata come fondale per lo spettatore. Presente e passato convivono in questo luogo come nel testo di Stoppard, rendendo superﬂua per la messa in scena ogni aggiunta scenograﬁca che ne alteri l’armonia. Inoltre l’imponente vetrata ci ha permesso di poter allargare la visuale dello spettatore su un giardino raccontato, da cui si vedono continuamente entrare ed uscire i personaggi. Il contesto universitario `e risultato particolarmente stimolante. Oltre ai riferimenti matematici e scientiﬁci gi`a menzionati, in Arcadia c’`e una cruda analisi del mondo accademico contemporaneo rappresentato dai tre ricercatori dei nostri giorni. Stoppard si diverte a tormentarli nelle loro ricerche, apparentemente superﬂue o ﬁni a se stesse. Propone pi` u approcci etico-metodologici opposti tra loro e contraddetti continuamente dai personaggi. Alla ﬁne, le conclusioni cui giungono Bernard, Hannah e Valentine, se non completamente sbagliate, sono improbabili e indimostrabili. Il piacere per il gioco, il divertissement, di Sir Tom Stoppard `e presente anche in altre forme. Pensiamo ai nomi: l’arrogante professore di storia Bernard Nightingale si ispira a Benedict Nightingale, il pi` u importante critico teatrale del London Times. Il nome Coverly `e invece un “prestito” da Michael Coveney, noto critico dell’Observer. Ed inﬁne Thomasina, forse la vera protagonista del testo, di certo la pi` u dolce ed intelligente. Un piccolo genio, con la passione per la scrittura. Thomasina, il cui diminutivo `e Thom. Thomasina, una piccola Tom. Thomasina, Thom, Tom. . . Stoppard! Il gioco inoltre, come sempre nei nostri progetti, `e stato parte fondamentale del lavoro con gli attori. Il periodo di prove `e stato strutturato in due momenti: un primo mese di training - curato dal maestro Francesco Cordio - e di letture d’approccio al testo ed ai personaggi; ed un secondo mese di prove sulle sette scene che compongono Arcadia. Soprattutto nella prima fase di training si `e liberi di giocare: improvvisare, cantare, conoscersi, parlare di tutto fuorch`e d’Arcadia, costruire e ritrovarsi gruppo. Sempre con una dose di raziocinio, di organizzazione: abbandonare totalmente una decina di attori alle proprie “energie” pu`o rivelarsi, se non fatale, quantomeno imbarazzante. . . Arcadia non era stato mai rappresentato in Italia. Occorreva ﬁducia, in tutti e tra tutti. Il training ha avuto dunque un occhio di riguardo ai cosiddetti “esercizi per la ﬁducia”, come camminare ad occhi chiusi guidati da un compagno, o lasciarsi svenire all’indietro ﬁdando che un compagno ti sorregga. Altri esercizi fondamentali erano quelli sullo spazio (camminate, percorsi bendati. . . ) e sulla vocalit` a (potenza, accenti. . . ). Questi esercizi erano utili per avvicinarsi al testo, ai personaggi. Un concetto speciﬁco su cui abbiamo insistito `e quello della (s)compostezza. Arcadia ha personaggi dell’Ottocento e dei giorni nostri. Gli uomini e le donne dell’Ottocento si muovevano e parlavano in modo diverso da oggi. Specialmente se nobili, erano molto pi` u composti. Ai personaggi contemporanei abbiamo lasciato la libert` a di muover-

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Figura 8. Foto delle prove. Marcus J. Cotterell e Valentina Chico

si come volevano: a volte esagitati, privi di armonia, magari un po’ goﬃ. Una parlantina veloce, a tratti irrequieta, un po’ scoordinata. Altro strumento che ci ha permesso di guidare gli attori sulla strada verso il personaggio `e stata quella che noi chiamiamo “la scheda”. Dove sei nato? Quando? Come hai passato la giovinezza? Qual `e il tuo colore preferito? Che rapporti hai con la tua famiglia e col prossimo in generale? Qual `e il tuo maggior pregio ed il tuo peggior difetto? E cos`ı via. . . Alcune risposte possono essere dedotte dal testo, altre sono totalmente lasciate alla fantasia. Questo momento “biograﬁco” `e determinante: `e qui che l’incontro tra attore e personaggio si fa pi` u evidente. Fino a giungere a quell’attimo fuggente in cui le due anime si plasmano l’una sull’altra, per crearne una nuova che arriver` a sulla scena.

Figura 9. Foto di scena. Giuseppe Russo (Septimus) e Giulia Angelino (Thomasina); foto: Marco Fedele di Catrano

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Leonardo Angelini, Francesco Giannini

Da questo punto in poi il lavoro delle prove si `e spostato sul testo. Dopo il lavoro sull’attore e quello sull’attore/personaggio, ci siamo dedicati al personaggio/persona, provando a dare corpo e voce alle nuove persone che sono nate e che dovranno calcare la scena. Si sono indagate le loro emozioni, le loro storie, soprattutto la storia all’interno del testo, cercando allo stesso tempo coerenza e contraddizioni, credibilit` a e meraviglia, debolezze e potenza. Intelletto e cuore, scienza e passione: sono questi i ﬁli che intessono le trame di Arcadia e che ci hanno aﬀascinato e deciso a confrontarci con questo testo. Nostro compito `e stato mantenere il giusto equilibrio tra queste componenti, tra elucubrazioni intellettuali e tradimenti svelati, tra entusiasmi scientiﬁci e sentimentali. Quindi trasmettere agli attori questa necessit`a, questo desiderio di saltare leggeri da una dimostrazione scientiﬁca ad una dichiarazione d’amore. Septimus: [. . . ] La signora Chater `e graziosa e frizzante, dalla voce gradevole e il passo felpato; incarna tutte le qualit` a che la societ` a apprezza nel gentil sesso. Eppure, la sua notoriet` a `e dovuta principalmente a una sollecitudine che la mantiene in un tale stato di umidit` a tropicale da consentirle la crescita di orchidee nelle mutande persino nel mese di gennaio.

Riferimenti bibliograﬁci [1] J. Gleik (1987) Caos, la nascita di una nuova scienza, Viking Penguin, New York [2] J. Hunter (2000) Tom Stoppard Faber Critical Guide, Faber and Faber, London [3] J. Kramer, P. Kramer (1997) Stoppard’s Arcadia: Research, Time, Loss, Modern Drama 40, pp. 1-10 [4] B.B. Mandelbrot (1989) La geometria della natura, Edizioni Teoria, Roma-Napoli [5] S. McCarthy (2001) A Guide to Arcadia, Hodder & Stoughton, London [6] E. Panofsky (1962) Il signiﬁcato delle arti visive, Giulio Einaudi Editore, Torino [7] S. Singh (1999) L’ultimo teorema di Fermat, Biblioteca Universale Rizzoli, Milano [8] T. Stoppard (1993) Arcadia, Faber and Faber, London; ed. it. Giulio Einaudi Editore, Torino, 2004 [9] S. Vees-Gulani (1999) Hidden Order in the “Stoppard set”: Chaos Theory in the Content and Structure of Tom Stoppard’s Arcadia, Modern Drama 42, pp. 411426

Wilde in Arcadia Laura Guidotti Dipartimento di Matematica, Universit` a di Bologna Piazza di Porta S.Donato 5, 40126 Bologna [email protected]

Non `e necessario essere critici teatrali o esperti di letteratura anglosassone per evocare Oscar Wilde assistendo ad una rappresentazione di Arcadia [7]. ` suﬃciente essersi divertiti, magari da ragazzini, a leggere Il fantasma di E Canterville [8] o The Importance of being Earnest 1 [5] per rilevare assonanze fra i due autori. Chi poi, incuriosito da queste somiglianze, volesse documentarsi, scoprirebbe, ad esempio, che The Importance of being Earnest costituisce la rivelazione e pi` u prosaicamente il pretesto (per usare le parole di due personaggi u note di Stoppard: I mostri sacri di Arcadia 2 ) per una fra le opere teatrali pi` [3]. ` un fatto reale che James Joyce nella Zurigo del 1918 abbia organizzato E una compagnia di attori dilettanti per mettere in scena commedie inglesi, prima fra tutte il capolavoro di Wilde; da questo avvenimento Stoppard prende le mosse per costruire I mostri sacri, parafrasi molto libera, quasi impercettibile, di The Importance of being Earnest in cui Lenin, Joyce e Tristan Tzara sono occupati a scambiarsi le parti di rivoluzionari nell’arte, nella societ` a, nella letteratura con eﬀetti parodistici e dissacranti [2]. L’eredit`a di Oscar Wilde `e riconoscibile anche in lavori successivi di Stoppard; non a caso si parla di Stoppard come di un Wilde post-moderno [2]. Questa deﬁnizione pu` o essere condivisa in parte: comune ai due autori `e certamente il desiderio di stupire lo spettatore. 1

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Si preferisce citare il titolo originale della commedia di Wilde, poich´e il doppio senso legato a Earnest come nome proprio e come aggettivo che indica qualit` a morali di seriet` a e aﬃdabilit` a `e intraducibile in italiano. L’importanza di essere onesto, L’importanza di chiamarsi Ernesto, L’importanza di chiamarsi Onesto sono titoli italiani usati in varie occasioni, ma nessuno di questi rende pienamente il doppio signiﬁcato. L’eremita di Sidley Park, inteso come la mistiﬁcazione del romanticismo `e il simbolo perfetto, la rivelazione, per il nuovo libro che Hanna Jarvis pensa di scrivere; per Bernard Nightingale, ambizioso accademico aﬀetto da cinismo culturale, `e tutt’al pi` u un pretesto.

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Come dice Jorge Luis Borges [4]: “Menzionare il nome di Wilde signiﬁca evocare l’immagine di un gentiluomo votato al povero proposito di stupire con cravatte e metafore.” Un secolo dopo Stoppard sostituisce le cravatte (non le metafore) con una prodigiosa capacit` a di manipolare acrobaticamente [6], a ﬁni drammatici, tutti gli aspetti della cultura, non esclusa quella scientiﬁca. Proprio per questa abilit` a il teatro di Stoppard `e in generale linguisticamente e stilisticamente impegnativo, tanto da presentare notevoli diﬃcolt` a di traduzione, e quindi di diﬀusione, al di fuori del mondo anglosassone. Si pu`o invece essere d’accordo con Borges quando aﬀerma [4]: “La sintassi di Oscar Wilde `e, tanto nei versi quanto nella prosa, sempre semplicissima. Dei molti scrittori inglesi nessuno `e tanto accessibile agli stranieri. Lettori incapaci di decifrare un paragrafo di Kipling o una strofa di William Morris cominciano e ﬁniscono nello stesso pomeriggio Lady Windermere’s Fan”, cos`ı come, si potrebbe aggiungere, i racconti di Wilde sono stati il primo approccio alla letteratura inglese per generazioni di ginnasiali italiani. In Arcadia le inﬂuenze wildiane non sono dichiarate come in I mostri sacri, sono comunque decisamente percettibili nella caratterizzazione di personaggi e di atmosfere sceniche. Il secondo atto di The Importance si apre sul giardino pieno di rose di luglio di Manor House nel Hertfordshire. Ad un tavolino pieno di libri `e seduta Miss Prim, governante-istitutrice di Cecily Cardew, giovane straordinariamente carina e di solo diciotto anni che `e poco lontano, intenta ad annaﬃare i ﬁori e ad evitare la lezione di tedesco. La scena iniziale di Arcadia, si apre su una stanza che si aﬀaccia sul giardino di una grande casa nel Derbyshire. Seduti ad un tavolo, intenti a leggere, ci sono Septimus Hodge3 , precettore ventiduenne e Thomasina Coverly, allieva tredicenne, tutta assorta in un manuale di matematica. Due fanciulle inglesi alle prese con l’istruzione, potrebbe essere una sintesi delle due scene; da un’analisi di queste pu` o invece scaturire un confronto fra le due opere. Thomasina `e la vera protagonista di Arcadia, commedia che pu`o aﬀascinare lo spettatore per il funambolico intreccio di temi importanti come la letteratura, la scienza, l’architettura del paesaggio e le sue implicazioni ﬁlosoﬁcostilistiche, calati in una vicenda dalla trama complessa per la quale si rimanda all’articolo di Angelini e Giannini [12] nel presente volume. Ma Arcadia pu` o anche irritare lo spettatore e parte della critica per la diﬃcolt`a di comprensione immediata di un testo oggettivamente lungo e complesso, che a dialoghi brillanti alterna monologhi di sapore didascalico piut` indubbio che il godimento di un tosto prolissi e di scarsa resa drammatica. E testo come Arcadia passi attraverso la conoscenza o quanto meno l’interesse

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A proposito di assonanze, il chiromante del racconto Il delitto di Lord Arthur Savile si chiama Septimus R. Podgers.

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verso gli argomenti che sono oggetto di citazione, anche quelli, non proprio popolari, di ﬁsica e di matematica. Al contrario The Importance non richiede allo spettatore particolari conoscenze n´e attitudini mentali, se non la disponibilit` a a sorridere in modo intelligente di convenzioni e pregiudizi pressoch´e universali. I personaggi di Wilde non trattano di scienza n´e di matematica, argomenti poco usuali nei salotti aristocratici; questo non signiﬁca per` o che a quel tempo l’interesse per le scienze non fosse vivo e diﬀuso nel mondo anglosassone in tutto il secolo diciannovesimo. In particolare la matematica inglese aveva raggiunto posizioni di assoluta preminenza nella logica, con i lavori pionieristici di George Boole (18151864) e Augustus De Morgan (1806-1871), e nell’algebra ad opera di Arthur Cayley (1821-1895), James Sylvester (1814-1897) e soprattutto di William Rowan Hamilton (1805-1865), genio poliedrico, irlandese come Wilde e come lui antico e brillante studente del Trinity College di Dublino. La costruzione dell’algebra dei quaternioni, aveva procurato ad Hamilton una vasta fama e il titolo di baronetto, oltre ad una pensione vitalizia di duecento sterline [10]. Facendo adottare al fantasma di Canterville la “Quarta Dimensione dello Spazio” Wilde, sia pure con intenti comici, lascia intravedere quale diﬀusione e popolarit`a avesse raggiunto presso il grande pubblico (oggi si direbbe nell’immaginario collettivo) un’idea rivoluzionaria come quella di uno spazio di dimensione superiore a tre. La trama di The Importance `e presto detta: si parla di un bugiardo che scopre di avere sempre detto la verit` a. Al termine del primo atto della rappresentazione inaugurale (14 febbraio 1995) gli spettatori rimasero con la strana sensazione che i tramezzini al cetriolo fossero l’argomento principale della pi`ece. In eﬀetti ci`o che conta `e l’eterea verbalit` a del capolavoro di Oscar Wilde dove “i personaggi, pochi e tutti magniﬁcamente caratterizzati, si esprimono mediante squisiti paradossi” [11]. The Importance si sviluppa a ritmo serrato, dando scorrevolezza e compattezza strutturale alla commedia che risulta piacevolmente pi` u breve dei precedenti lavori teatrali di Wilde e dei suoi contemporanei [11]. Forse anche per questo The Importance `e stata una delle commedie pi` u rappresentate nel ventesimo secolo, sia a teatro che in versioni cinematograﬁche e televisive; sar`a interessante confrontare questo successo con la tenuta teatrale nel secolo ventunesimo della pi` u complessa Arcadia. Come l’eremita `e il genius loci di Sidley Park, cos`ı Thomasina potrebbe essere deﬁnita il genius dramatis di Arcadia. Ragazzina prodigio dalle profetiche intuizioni scientiﬁche [11], diverte e commuove anche nei dialoghi meno verosimili. Una tredicenne che odia Cleopatra “perch´e per lei tutto `e amore. Amore nuovo, Amore assente, Amore perduto. . . `e l’unica eroina della storia che riesce a rendere banale il nostro sesso”, avrebbe molte probabilit`a di apparire saccente anche oggi; non la ﬁgura di Thomasina a cui la vena soﬁsticata e a volte artiﬁciosa di Stoppard ha per una volta regalato il raro dono dell’incanto, lo stesso incanto che si ritrova in Cecily Cardew di The Importance e in altri personaggi femminili di Wilde.

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Cecily non ha, n´e potrebbe averle, capacit`a divinatorie sui futuri progressi della ﬁsica e della matematica, ma dimostra ugualmente uno spirito arguto e perspicace che si coniuga senza contrasto con l’innocenza della diciottenne allevata in campagna. ` proprio l’incanto dell’innocenza a fare accostare i due personaggi; un’inE nocenza che non `e ignoranza, ma curiosit` a intelligente per tutto ci`o che deve essere ancora vissuto, insieme ad una straordinaria abilit` a di capire gli adulti, di compatire i loro atteggiamenti contraddittori, di stare al loro gioco per non imbarazzarli. ` chiaro che ci sono cose che a una ragazza `e permesso capire, e tra “E queste l’algebra, ma ce ne sono altre, come abbracciare un quarto di bue, che devono essere tenute nascoste ﬁno a quando non si avr` a una carcassa tutta per s´e”, dice Thomasina, mostrando di avere ben compreso il vero signiﬁcato della metafora abbraccio carnale e, contemporaneamente di aver ben capito di non doverlo comprendere, per non creare guai al precettore che glielo ha chiarito. “Non si deve mai essere pi` u intelligenti dei grandi. Non sta bene”, ha detto Septimus. La sua allieva mostra di avere appreso la lezione, riservando ai dialoghi con lui gli acuti giudizi sugli ospiti e sulla madre Lady Croom. Cecily non ha l’intelligenza fulminante di Thomasina, ma regge ugualmente il gioco: attratta, senza averlo mai conosciuto, dall’immaginario e corrotto cugino Ernest, Cecily risponde ad Algernon, che, pur ﬁngendo di essere il cugino Ernest, nega di essere corrotto: “Se `e cos`ı `e segno che ci ha ingannati tutti in modo assolutamente imperdonabile. Spero proprio che non abbia condotto una doppia vita, ﬁngendosi corrotto ed essendo in realt` a buono tutto il tempo. Sarebbe da ipocrita.” Ad Algernon stupefatto, che, per compiacerla, ammette di essere stato, nel suo piccolo, molto cattivo, risponde “Non credo che dovrebbe andarne cos`ı ﬁero, bench´e sono certa che sia stato molto piacevole”. Cecily e Thomasina, come tutte le giovani incantevoli, aspirano all’amore (malgrado le critiche a Cleopatra) e sono pronte a qualunque prodezza pur di ottenerlo o difenderlo. Cecily rinuncia perﬁno alla buona educazione: “Non `e pi` u tempo di portare la vuota maschera della creanza” e il suo sacriﬁcio `e ripagato da un ﬁnale che vede il trionfo dell’amore declinato su tre coppie felici (almeno ﬁno al calare del sipario). Il teorema di Fermat, il determinismo newtoniano, il secondo principio della termodinamica, gli algoritmi iterati e la geometria frattale [12] occupano i pensieri di Thomasina che sta per compire diciassette anni, ma la sua vera urgenza `e imparare a ballare il valzer, “possibilmente bene come maman, altrimenti non mi guarder` a nessuno”. La scena ﬁnale di Arcadia in cui Thomasina, a piedi nudi in una lieve camicia da notte, balla il valzer con Septimus a lume di candela, `e un momento di magia drammatica e l’unico di autentica commozione per gli spettatori resi gi`a consapevoli del destino dei due giovani, brevissimo per Thomasina

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che scompare la notte dei suoi diciassette anni nel rogo della sua stanza, lunghissimo e solitario per Septimus, l’eremita svelato di Sidley Park. Il fascino ingenuo ed incantevole di Thomasina e Cecily riappare nella Virginia del Fantasma di Canterville. Virginia E. Otis `e “una fanciulla di quindici anni, snella e delicata come una cerbiatta, con una bella espressione di indipendenza nei grandi occhi azzurri”, ﬁglia del ministro plenipotenziario degli Stati Uniti, Hiram B. Otis, esponente di una giovane ma gi` a robusta democrazia. Acquistando Canterville Chase il ministro esprime la granitica convinzione che i “fantasmi non esistono e non credo che le leggi della natura possano fare eccezioni in favore dell’aristocrazia britannica”. In eﬀetti la famiglia Otis, nelle sue varie componenti, considera il fantasma di Sir Simon un condomino importuno da rieducare o da perseguitare a scopo ludico; solo Virginia non partecipa al divertimento generale e mostrando una capacit`a di comprensione letteralmente soprannaturale prova piet` a di una creatura che “da trecento anni non dorme e si sente cos`ı stanco.” Per questo Virginia apre per il fantasma i portali della Casa della morte, perch´e “l’amore l’accompagna sempre e l’amore `e pi` u forte della morte” e non ne ha alcun danno, perch´e “le forze dell’Inferno non possono sconﬁggere la purezza di una fanciulla.” Anche dopo aver ottenuto “il premio di tutte le buone ragazzine americane” e cio`e la corona di duchessa, l’incanto della timida e coraggiosa Virginia non sbiadisce: “Virginia arross`ı” `e la frase di chiusura del Fantasma di Canterville. Alle fanciulle incantevoli di Wilde e Stoppard fanno da contrappunto quelle che potrebbero essere deﬁnite le matrone “a vele spiegate” [7], maestre del disincanto, sincere ﬁno alla brutalit` a, tanto calate nella realt`a da rasentare la stravaganza o la prepotenza. La signora Otis, madre di Virginia, si limita a mostrarsi refrattaria al senso del mistero; Lady Bracknell di The Importance `e l’archetipo della dama vittoriana potente e prepotente, che esprime certezze paradossali in modo autoritario; Lady Croom, madre di Thomasina, `e dotata della stessa autorit`a, ma appare meno incrollabile nelle sue convinzioni, ancora coinvolta e distratta da interessi sentimentali ed erotici, che non sfuggono allo sguardo attento della ﬁglia. Sia Lady Bracknell che Lady Croom devono posizione sociale e autorevolezza ai loro consorti, personaggi assenti dalla scena, a cui viene riservata una calma indiﬀerenza. Lord Croom “ha dedicato tutta la vita alla caccia e per fortuna `e solito dormire dalla parte dell’orecchio buono” restando ignaro degli avvenimenti di una notte agitata e libertina per la moglie e gli ospiti della villa. Sull’istruzione le due Ladies hanno opinioni analoghe: “Non approvo alcun intervento correttivo dell’ignoranza naturale. L’ignoranza `e come un delicato frutto esotico; la tocchi e sparisce”, proclama Lady Bracknell.

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“L’ignoranza dovrebbe essere un recipiente vuoto che aspetta di essere riempito al pozzo della verit` a. . . non deve essere un baule colmo di volgari stranezze”, consiglia Lady Croom al precettore della ﬁglia. Nel primo atto di Arcadia Stoppard si diverte a tratteggiare Lady Croom sulla falsariga di Lady Bracknell: “Signor Chater, siete un ospite benvenuto a Sidley Park, e ﬁnch´e rimarrete qui sappiate che il Castello d’Otranto `e stato scritto da chi dico io, altrimenti a cosa servirebbe avere degli ospiti?” `e la risposta perentoria a chi si `e permesso di correggere la padrona di casa. Sempre al mediocre poeta Chater: “Meglio essere ingiuriati che passare inosservati”. Meno originale ma sempre vera `e l’osservazione che “. . . a cosa servono i libri degli amici se non a essere prestati?”. E a proposito di Byron che sta per abbandonare l’Inghilterra: “Lui dice che mira alla poesia. Ma non si mira alla poesia con le pistole. Magari ai poeti s`ı”. Nel secondo atto il personaggio di Lady Croom perde centralit` a, si umanizza mostrandosi sensibile a lusinghe intellettuali e sentimentali, cedendo a debolezze come la predilezione per un conte polacco assente dalla scena, la cui unica funzione drammatica `e quella di introdurre il valzer a Sidley Park. Inoltre Lady Croom percepisce la superiorit` a intellettuale della ﬁglia: “Sedici anni e undici mesi. Dobbiamo trovarti un marito prima che la tua educazione ti renda irraggiungibile”, dice a Thomasina, mostrando rimpianto e disagio, sentimenti del tutto estranei a Lady Bracknell. Le citazioni di Wilde non riguardano solo i protagonisti di Arcadia, esiste un parallelismo scenico anche fra personaggi minori e persino fra oggetti e giochi di parole. Il maggiordomo Jellaby di Arcadia, Lane e Merriman di The Importance adempiono la stessa funzione di testimoni impassibili ma non passivi, interessati, pronti a fornire informazioni e alibi ai padroni. Il sandwich alla lattuga che compare nel secondo atto di Arcadia in mano a Valentine (che lo divide con la tartaruga) `e una versione debole dei pi` u famosi tramezzini al cetriolo destinati, in teoria, a Lady Bracknell. Sia in Arcadia che in The Importance viene suonato un “pianoforte nella stanza accanto”; sulla qualit` a dell’esecuzione di Algernon Wilde non si pronuncia, facendo dire al cameriere Lane interpellato: “Non mi `e parso corretto ascoltare, signore”. L’esecuzione di Thomasina `e invece pessima, come riconoscono sia Stoppard che Lady Croom. Nessuno dei due autori, poi, resiste alla tentazione del gioco di parole suggerito dal termine italiano pianoforte: “Per quanto riguarda il piano, il mio forte `e il sentimento”, dice Algernon seccato per la risposta diplomatica di Lane. “Allora fatele suonare solo il piano per il momento, quando avr` a imparato di pi` u le concederete anche il forte”, ordina Lady Croom a Septimus ripartendo a vele spiegate verso il giardino. Fra la composizione de I mostri sacri (1975) e quella di Arcadia (1993) intercorrono quasi vent’anni e numerosi altri lavori di Stoppard, sia teatrali che cinematograﬁci.

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Oscar Wilde, come si `e visto, continua ad essere una presenza importante anche se immediatamente meno visibile. Sarebbe interessante sapere dallo stesso Stoppard se le analogie con il teatro di Wilde in Arcadia siano intenzionali o spontanee, frutto di un lungo processo di assimilazione involontaria. In ogni caso, anche Wilde, come Lady Croom, potrebbe aﬀermare “et in Arcadia ego”. Neppure Thomasina potrebbe contraddirlo.

Riferimenti bibliograﬁci [1] L. Angelini, F. Giannini (2005) Perﬁno in Arcadia sesso, letteratura e. . . matematica, nel presente volume [2] J.L. Borges (1984) Altre inquisizioni, in: Tutte le opere, J.L. Borges, Mondadori Milano [3] S. Chiellini (1999) Il teatro della citazione acrobatica: “Arcadia” di Tom Stoppard. Riﬂessioni sulla particolare natura del titolo teatrale, STRUMENTI CRITICI / a.XIV, n.3, pp. 461-495 [4] M. d’Amico (1990) Introduzione, in: L’importanza di essere onesto, O.Wilde, Oscar Mondadori, Milano [5] M. Kline (1972) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, New York [6] E. Marenco (1984) Introduzione, Di parodia in parodia, acrobaticamente, in: Teatro delle parodie, T. Stoppard, Costa & Nolan, Genova, pp. 5-22 [7] T. Stoppard (1984) Teatro delle parodie Acrobati I mostri sacri, Costa & Nolan, Genova [8] T. Stoppard (2003) Arcadia, Einaudi, Torino [9] O. Wilde (1987) Il fantasma di Canterville e altri racconti, Oscar Mondadori, Milano [10] O. Wilde (1990) L’importanza di essere onesto, Oscar Mondadori, Milano

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Padre Saccheri : un matematico sul palcoscenico∗ Maria Rosa Menzio drammaturga [email protected]

Come drammaturga che si occupa ora di testi su teatro e scienza, spesso mi `e stato chiesto di spiegare come `e nata l’idea del mio primo dramma di argomento matematico, cio`e di Padre Saccheri [1]. Cominciamo con qualche notizia di carattere biograﬁco. Girolamo Saccheri fu matematico e logico. Nacque a Sanremo nel 1667 e mor`ı a Milano nel 1733, di violente febbri cerebrali. Entr` o come novizio nel collegio dei Gesuiti di Genova nel 1685, e venne successivamente inviato a Milano e a Torino. La sua prima opera, i Quaesita geometrica, gli diede subito fama di valente studioso, che si accrebbe con la stima di Padre Ceva e con la pubblicazione, nel 1697, della Logica demonstrativa. In quest’ultima opera viene elaborato quello schema dimostrativo che andr` a sotto il nome di dimostrazione per assurdo e che Padre Saccheri utilizzer`a nella sua opera principale, Euclides ab omni naevo vindicatus, datata 1733. In essa Saccheri tent`o di dimostrare il quinto postulato di Euclide, noto anche come “postulato delle parallele”, la cui evidenza era parsa dubbia ﬁn dall’antichit` a. Con la ferrea logica che lo distingueva, si conferm` o un innovatore: infatti, con l’intenzione di procedere per assurdo, dimostr` o numerosi teoremi propri della geometria non-euclidea. Da questi ultimi per` o, purtroppo, trasse l’errata convinzione di essere riuscito nel proprio intento. In realt` a aveva estrapolato all’inﬁnito alcune propriet` a valide invece soltanto al ﬁnito. Oltre ai fatti citati, e oltre alla bravura scacchistica del valente matematico, bravura storicamente provata, il presente dramma `e frutto di fantasia: sono infatti immaginarie sia la ﬁgura del notaio, zio di Saccheri sia quella di Violante, la ballerina di cui Saccheri s’innamora. Immaginario `e anche il ∗

Padre Saccheri `e stato segnalato al Premio Fondi-La Pastora 1998 ed `e andato in scena in prima nazionale al Teatro Gobetti di Torino il 20-02-2002, regia di Gabriele Vacis, attori protagonisti Laura Curino e Michele Di Mauro.

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“baratto” della geometria che il nostro grande matematico fa con l’Inquisitore. Dramma a cinque personaggi, dunque. Girolamo Saccheri stesso e la ballerina Violante, poi lo zio, pure lui aﬀascinato da Violante; quindi Magal`ı, la domestica di Saccheri, l’unica che cerca di capire l’idea fondante delle geometrie non-euclidee, e diventa poi allieva del matematico, segretamente innamorata di lui; ultimo personaggio, ma non meno importante, la Figura che cambia ogni volta colore del mantello: diventa cos`ı la Figura in Viola, la Figura in Giallo, la Figura in Nero, la Figura in Rosso, cio`e rispettivamente il Confessore, il Professore, L’Inquisitore, Il Grande Tentatore, il Chirurgo Vivisettore, il grande Falciatore, addirittura il Demonio. . . vale a dire le grandi fasi, i momenti cruciali della vita di Saccheri. Quelli dove c’era una scelta da fare, un crocevia a cui fermarsi per prendere una decisione. Ho strutturato il testo in modo cinematograﬁco. Ho scelto di proporre anche ai non-specialisti un argomento diﬃcile, che richiede un orecchio attento e puntuale, all’interno di una storia quotidiana, la storia di un uomo alle prese con le proprie ambizioni e le ombre delle proprie paure. Teatro e Scienza sono entrambi materie in cui si vola in alto (e non per niente Saccheri si innamora di Violante!) e si cerca un mondo diverso. Il montaggio `e veloce, e ho cercato di orchestrare in modo incalzante i vari piani (evanescenti, febbrili o reali) del personaggio di Saccheri. C’`e dunque l’amore contro la morte, l’amore e il suo potere di fronte alle scelte, il volo contro la caduta, la paura, il buio e la luce. Ecco la sintesi, dunque. Saccheri sul letto di morte si confessa: la sua vita `e stata una grande menzogna, perch´e lui `e stato uno spergiuro, un assassino e un fallito. Di qui si aprono le scene successive, retrospettive della sua vita e dei “punti di scelta”. Si comincia con lo zio, che proibisce al nipote di uscire con quella danzatrice-indovina che ha una condotta sregolata. La Domestica, poi, chiede a Saccheri di farsi svelare il trucco: infatti la ragazza balla a pi` u di sette metri di altezza dal suolo. Gelosa dell’amore che lui prova per la ballerina dai capelli rossi, la Domestica `e orgogliosa del ruolo di uditrice-allieva che avr` a nella vita del padrone: infatti lei sar` a, come si `e detto, l’unica a capire le idee di lui e a spronarlo a seguire la strada giusta. Poi iniziano i dissapori con lo zio: l’uomo proibisce deﬁnitivamente al nipote di rivedere Violante, e il nipote riceve lettere anonime in cui si annuncia una tresca dello zio stesso con la ragazza. Altra retrospettiva: il primo trionfo scolastico di Saccheri, con il grande Professore che lo nomina “vicemaestro” per le sue intuizioni matematiche. . . E la Domestica lo riporta al presente, gli chiede di lasciar perdere la ballerina. Lui non `e fatto per le rivoluzioni familiari contro lo zio; la rivoluzione che lui deve fare `e quella della geometria, scoprire se per un punto fuori di una retta passa una sola parallela ad una retta data, oppure tante. Se c’`e la parallela “giusta” oppure no.

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Ma forse lui deve farsi frate per espiare: infatti ha ucciso un uomo. . . Ha ucciso lo Zio per gelosia di Violante. . . Ancora indietro nel tempo: la tentazione. Lucifero chiede se c’`e qualcosa per cui venderebbe l’anima. Saccheri risponde che vuole la gloria, e vuole l’amore di Violante, o la vendetta. Vendetta contro lo zio che ha insidiato la sua donna. Il Grande Tentatore gli promette entrambe: gloria e vendetta. Non l’amore. . . Ancora una scena di carattere matematico, dove la domestica, pensando al mondo curvo di Saccheri e ai dubbi di lui, aﬀerma: “Certo per` o che. . . uno potrebbe provarci, con un mondo un po’ curvo. Una geometria pi` u vicina all’esperienza comune. Perch´e forse ci sono due tipi di geometria. Una `e la geometria dei giorni feriali, e sta vicina alla vita di ogni giorno. L’altra geometria, quella di Euclide per capirci, invece `e buona solo per la domenica e per i preti. E se `e cos`ı, a una come me le viene voglia di combattere.” Ultima scena del primo atto: il grande Accusatore (Inquisitore, in realt` a) propone a Saccheri un baratto vergognoso: non sar` a processato per l’omicidio dello zio solo se riporter`a all’ordine la geometria, se la ripulir` a da tutte le idee concrete e libertine che circolano in giro. Saccheri comprende la natura del patto: il suo intelletto in cambio della sua anima. Atto secondo: la discussione centrale sulle geometrie non-euclidee. La domestica dice che suo padre faceva il muratore. E dice che “le colonne mio padre le costruiva dritte col ﬁlo a piombo, e il ﬁlo a piombo `e attirato dal centro della terra. Ma visto che la terra `e rotonda, le colonne non sono mica tanto parallele. Vanno a incontrarsi, appunto, nel centro del mondo. Noi qui ci abbiamo un triangolo, non un rettangolo: perch´e se voi prolungate ben bene le colonne, loro s’incontrano al centro del mondo, come ho detto. Dunque, (disegna) colonna uno, lato uno; colonna due, lato due; e la trave che ci possiamo mettere sopra fa il lato tre. E allora gli angoli della trave non possono essere retti.” Saccheri ribatte che quella “`e una rivoluzione! Dunque la natura in realt` a `e curva, e le rette e gli angoli, se sono su una sfera, non sono gli angoli soliti, allora forse il quinto postulato funziona solo in un mondo piatto, mentre su una superﬁcie curva `e falso! Ma allora forse la geometria dipende dalla ﬁsica, e allora bisogna avere sempre chiaro che senso dare ai concetti primi.” Colpo di scena: Violante `e arrestata dall’Inquisizione, perch´e sospetta di stregoneria, visto che balla a sette metri di altezza dal suolo. Saccheri `e disperato, e ricorda le parole di lei: “Il tuo gioco preferito era creare con la mente. Avevi sempre paura di quello che nasce dai sentimenti. Ma `e dai lombi delle donne che nasce la storia.” Continuano le discussioni e le lezioni con la domestica, la quale gli dice: “Vengo da una famiglia povera, per` o mi piacerebbe che voi sapienti foste pi` u vicini alla vita vera, che parlaste la lingua del popolo, che i triangoli si potessero disegnare sul paiolo dove mia madre rimestava la polenta e le vostre rette fossero come i rami contorti dell’ulivo del giardino.

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Senza le sempliﬁcazioni delle rette dritte cos`ı”. E Saccheri risponde: “La retta cos`ı non `e una sempliﬁcazione, `e l’ideale!” E cede al ricatto dell’Inquisitore. Ritorno al presente: Saccheri non accetta di aver compiuto errori cos`ı atroci, e vorrebbe tornare al passato. Il Diavolo gli ricorda il patto, e allora Saccheri gliene propone un altro: una sﬁda a duello. Se perde, si tiene la vita cos`ı come l’ha vissuta, con tutti gli errori e le infamie commesse. Se vince, torna giovane, rivive tutto il passato, geometria compresa. Il Diavolo accetta ed inizia un duello bizzarro: una partita a scacchi. Giocata secondo il codice infernale, questa partita vedr` a Saccheri perdere deﬁnitivamente ogni speranza. Terza parte: tutto crolla. Violante `e uccisa da un’archibugiata dell’Inquisizione, e Saccheri cede al ricatto. Riceve la bolla con l’assoluzione, e in cambio d`a alla Chiesa il manoscritto Euclide vendicato in cui puriﬁca la geometria da ogni traccia di modernismo. La Domestica lo rimprovera, e lui si difende: ha avuto paura, ed era in colpa, di un peccato commesso tanto tempo prima. In realt`a era stato lui a causare la morte dello zio. L’aveva ucciso facendo entrare nella sua stanza un nugolo di api, e lo zio era morto a causa delle punture subite. Ancora la Domestica lo invita a ripensarci, dicendo: “Vedete, padrone, ora sto sbucciando una mela: e il movimento della mia mano `e curvo. Guardate bene il coltello: l’abbiamo costruito noi esseri umani, e l’abbiamo fatto diritto, diritto secondo la retta di Euclide. E ora guardate la mela. La mela, vedete, la mela `e stata fatta curva secondo natura. E nel tagliare la mela dobbiamo sempre spostare l’angolazione del coltello verso la buccia, in un tentativo di approssimazione inﬁnita. Approssimazione dell’opera umana alla natura.” Lui risponde: “La geometria che vorresti tu porterebbe solo un sacco di problemi.” E lei: “Quando un problema porta a un altro, la conoscenza `e vicina. Parola vostre, di tanto tempo fa.” Ma Saccheri chiude la discussione con le parole che riassumono tristemente la sua esistenza: “La conoscenza `e una ferita.” Epilogo: si torna sul letto di morte di Padre Saccheri, e la Figura in Nero lo consola. Non `e un fallito, anzi ha gettato le prime basi di una geometria nuova, che verr`a chiamata non-euclidea. Saccheri ha dato inizio a una rivoluzione! Il Grande Confessore infatti gli dice: “Le parallele su una superﬁcie curva possono essere inﬁnite. Prendi una superﬁcie cos`ı, e una retta che ovviamente sar`a un po’ curva, e vedi che le sue parallele per questo punto sono inﬁnite. ` una cosa diversa da Rette parallele vuol dire rette che non s’incontrano mai! E rette equidistanti, cio`e che hanno sempre la stessa distanza. Di parallele per un punto ce n’`e inﬁnite, di equidistanti una sola. Questa. Il segreto era tutto qui.” V’`e una sorta di circolarit` a nel dramma, e non solo perch´e inizia e ﬁnisce sul letto di morte del protagonista. In realt` a Saccheri non sapr`a mai arrivare in fondo alle geometrie non-euclidee, cos`ı come non `e mai riuscito ad arrivare in fondo nei suoi rapporti sentimentali con la ragazza. Il grande matematico `e caduto di fronte al principio di autorit` a, di fronte alla propria coscienza, cos`ı com’`e caduta Violante sotto i colpi dell’Inquisizione.

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Questa la sintesi del dramma. Ma la domanda che mi `e stata posta pi` u di frequente `e questa: com’`e nato Padre Saccheri ? Perch´e scrivere proprio di lui, fra i tanti eroi che potevano essere scelti? E come fare a scrivere teatro? Innanzitutto c’`e stata la scelta del personaggio, e scrivendo drammi storici su ﬁgure di matematici io prediligo ﬁgure poco note. Importanti dal punto di vista scientiﬁco, s`ı, ma a cui la storiograﬁa uﬃciale ha dato scarso rilievo. E ﬁn qui c’eravamo. Saccheri era quasi uno sconosciuto. Ma `e stato il primo ad aprire una strada nuova. Per poi rinnegare tutto, `e vero, infatti il merito delle geometrie non-euclidee `e andato ai russi e ai tedeschi (Lobacevskij e Riemann, per intenderci). Io ho studiato matematica, conosco le geometrie non-euclidee, ma in teatro occorre altro che la comprensione dell’argomento. E io volevo che tutti si interessassero a padre Saccheri. Allora ho inventato il personaggio della Domestica, una donna che, prendendo spunto dagli umili lavori in cucina, diventa l’unica conﬁdente e allieva di padre Saccheri, addirittura lo supera in quanto a intuizione, per` o - ecco lo stratagemma per portare dalla mia parte il pubblico non matematico - parla della geometria con il linguaggio quotidiano, per mezzo delle parole della vita di tutti i giorni. Anzi, ad essere sincera, all’inizio la ﬁgura era di un Domestico che aiutava Saccheri a “scoprire” le geometrie non-euclidee. Un Domestico perch´e pensavo che a quei tempi, di solito, di femmine non se ne parlava neppure, in una casa con due scapoli un po’ bigotti, uno giovane e l’altro meno. Poi mi sono detta che c’erano due considerazioni da fare. Innanzitutto una di ordine economico. I cinque personaggi del dramma hanno bisogno di cinque attori. Quattro uomini e una donna. Ma il Domestico e Violante, come vedremo in seguito, non compaiono mai in scena contemporaneamente. Dunque, se il Domestico diventa una Domestica, pu`o bastare un’attrice sola. E questa era la prima considerazione. La seconda era una considerazione sociopolitico-femminista. Mi piaceva di pi` u che la molla, la spinta a fondare una geometria nuova fosse data a Saccheri da una donna, di umili origini per di pi` u. E poi c’era pi` u equilibrio nel dramma. Come attori-attrici eravamo tre a due invece che quattro a uno. Inoltre era pi` u rivoluzionario ancora avere una donna come ispiratrice, mentre la Curia faceva (`e il caso di dirlo) carte false per mettere a tacere il modernismo in geometria. Inﬁne Saccheri aveva due donne che lo amavano. Anzi una che lo amava in silenzio, la Domestica appunto, e un’altra che si lasciava amare. Dalla prima prendeva e alla seconda dava. Ma i conti non tornavano mai. . . Poi c’`e stata la narrazione. E anche qui dovevo fare due cose. Prima di tutto documentarmi sulla storia reale di Saccheri, cio`e leggere tutta, o quasi, la letteratura a disposizione su di lui. La sua vita, i suoi scritti, la fortuna matematica dell’opera Euclides ab omni naevo vindicatus. La seconda cosa

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era l’invenzione, la parte di fantasia, i personaggi, l’amore, la gloria, la gelosia, la vendetta, la caduta. La magia della danzatrice. E una volta che il canovaccio della vicenda drammatica mi `e stato chiaro in mente, l’ho scritto, l’ho buttato gi` u subito. Era il soggetto, che prendeva forma su computer. La crisalide. Era lungo meno di una pagina. Ho poi inventato i particolari, i modi di dire di ogni personaggio, ho cercato cio`e di caratterizzarli in modo univoco. Cio`e allo Zio, a Violante, alla Domestica, a Saccheri stesso, ho dato un volto, una storia, un carattere. Tutta una vita. La Domestica un po’ brontolona che dice sempre “in questo caso i casi sono tre”, la danzatrice che `e eterea con Saccheri e sfrontata con lo Zio. . . E dopo averci pensato su bene, dopo averli sognati di notte, sono tutti diventati ` solo a quel miei amici. Questo vuol dire che li avrei riconosciuti per strada. E punto che mi sono sentita pronta per la scrittura drammatica vera e propria, soltanto quando ho avuto il materiale sulla punta delle dita. E di scritture drammatiche ne ho fatte due. La stesura numero uno, corretta e riletta ovviamente pi` u volte, e la stesura numero due, quella per l’eventuale pubblicazione, quella che si d` a in mano al regista. La stesura numero uno `e quella cronologica, cio`e la vicenda nel suo ﬂuire temporale diritto, senza retrospettive. Il racconto. Sono partita da Saccheri bambino, orfano, che ha come tutore lo zio notaio; poi Saccheri ragazzo col maestro e col Professore; poi Saccheri giovanotto, sempre aﬀettuosamente protetto dalla Domestica. Quindi l’incontro con la donna che cambier` a il corso della sua vita. L’amore di Violante. Il sogno, la meta inarrivabile. E sfortunatamente della stessa donna s’innamora anche lo Zio. A questo punto la vita di Saccheri esce dalla normalit` a, e diventa leggenda. Ecco infatti il primo importante incontro con la Figura in Rosso: Saccheri che `e geloso gli chiede la vendetta, Saccheri che `e orgoglioso gli chiede la gloria. Deriva di qui il patto col Diavolo, momento centrale nella trama del dramma. La Domestica intanto lo sprona a seguire vie insolite, pi` u vicine alla vita della gente del popolo, vie che possono rispecchiare maggiormente la realt`a del mondo, e lui arriva alla “geometria nuova”. Lo zio muore assassinato dalle api, e nel frattempo lui giunge a scoprire importanti parti della geometria sulle superﬁci curve. Ma tutto si paga, e lui si fa frate per espiare. Ed ecco la duplice beﬀa del destino. L’Inquisizione uccide la danzatrice Violante, accusata di stregoneria perch´e balla a sette metri di altezza dal suolo, e la stessa Inquisizione propone (anche lei) un patto diabolico a padre Saccheri: non sar` a processato per l’omicidio dello zio solo se ripudier` a la geometria nuova. E Saccheri accetta: ecco la prima sconﬁtta, a cui segue la seconda, quando in un ulteriore incontro col Diavolo gli chiede di rivivere tutta la vita e rimediare agli errori. Il Diavolo gli propone di giocarsela a scacchi e, come `e ovvio, Saccheri `e irrevocabilmente sconﬁtto.

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La Figura in Rosso per` o lo consola: nonostante tutte le sciocchezze che ha commesso, ha comunque aperto ai posteri una strada nuova, e lui diventer` a famoso, il suo nome sar`a ricordato nei secoli a venire. Alla ﬁne Saccheri `e sul letto di morte, e rammenta, rivive in un attimo, tutta la sua vita. La Domestica Magal`ı - solo ora lui lo capisce - lo amava profondamente e lo ha sempre spinto nell’unica direzione giusta. Pu` o accusare solo se stesso se ha sbagliato tutto. Ma la ﬁne `e vicina, troppo vicina, e se anche ora lui comprende tutta la portata della sua scoperta (la geometria nuova) non c’`e pi` u per lui n´e spazio, n´e tempo. Questa era la prima stesura. Ma raccontarla cos`ı non mi piaceva. Tanto valeva, allora, farne un romanzo di duecento pagine, con dialoghi, pensieri, eccetera. Mica c’era bisogno del teatro. Il teatro che per me `e soprattutto emozione. E allora che cosa fare? Ecco, appunto, bisognava farne una seconda stesura. Innanzitutto ho pensato di cominciare dalla ﬁne. Mettere lo stesso istante (Saccheri sul letto di morte, con la Grande Falciatrice alle spalle) sia all’inizio sia alla ﬁne del dramma. Una sorta di circolarit` a. Lui che ricorda sul punto di spirare, ricorda tutta la vita. Ma i ricordi non vengono cos`ı, in ordine cronologico, come se lo avesse ordinato il medico. Nessuno, sull’ondata dei ricordi, pensa ad esempio alla settimana precedente visualizzando in testa prima il luned`ı, poi il marted`ı, poi il mercoled`ı eccetera. Anzi, prima gli viene magari in mente il gioved`ı, poi legato al gioved`ı un dettaglio del luned`ı, quindi salta al sabato che si collega al luned`ı per un altro particolare. . . E allora ho scritto quel che poteva pensare Girolamo Saccheri morendo. I ricordi della sua vita. L’ho scritto a casaccio, liberamente come in una seduta di terapia analitica, liberamente come se Saccheri fossi stata io. In fondo lo conoscevo bene, io, Saccheri. Che cosa ho fatto poi? Ho scritto l’ordine delle scene. Ordine che ho mantenuto, quasi invariato, nel testo deﬁnitivo. Ho soltanto spostato, nella stesura ﬁnale, quei ricordi che mi venivano in mente uno di seguito all’altro e che avevano gli stessi personaggi come protagonisti. Perch´e il dramma non fosse monotono e non stancasse il pubblico. Voglio dire che ho cercato di dare il giusto “ﬁato” scenico alternando sul palco coppie diverse di personaggi. La successione stessa degli episodi pu`o essere vista come un graﬁco matematico. Anche se non `e per niente facile: ma, strada facendo, si impara sempre meglio.

Riferimenti bibliograﬁci [1] M.R. Menzio (2005) Spazio, tempo, numeri, stelle, Bollati Boringhieri, Torino

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La matematica ` e teatrale?∗ Michele Emmer Dipartimento di Matematica, Universit` a di Roma “La Sapienza” P.le Aldo Moro 2, 00185 Roma [email protected]

“Su, signorina, cominci` o il vecchio, chinandosi sul quaderno accanto alla ﬁglia. . . La principessina guardava con spavento gli occhi del padre luccicanti vicino a lei. . . Il vecchio perdeva la pazienza; muoveva in su e in gi` u con fracasso la poltrona sulla quale era seduto e faceva degli sforzi su se stesso per non andare sulle furie e quasi ogni volta s’infuriava, sbuﬀava, e a volte buttava il quaderno. La principessina sbagli` o la risposta. - E poi non saresti una sciocca! - grid` o il principe, respingendo il quaderno e voltandosi rapidamente in l` a. ` impossibile, principessina, `e impossibile, - disse, quando la principessina, -E preso e chiuso il quaderno con le lezioni assegnate, gi`a si preparava ad andarsene, - la matematica `e una gran cosa, signora mia. E io non voglio che tu sia come le nostre stupide ragazze. Persevera e ﬁnirai per amarla. . . E le diede un colpetto con la mano sulla guancia. - La grullaggine ti andr` a via di capo.” Chi pronuncia queste frasi `e il principe Andrei Bolkonskij, e si rivolge alla principessa Marja Bolokonskaja, sua ﬁglia. Sono due dei protagonisti di Guerra e Pace di Lev Tolstoj terminato di scrivere nel 1869. Quasi le stesse frasi si sono udite nel dicembre 2004 all’Auditorio della musica di Roma, quello ideato da Renzo Piano. Messa in scena della prima parte di Guerra e Pace da parte del talentuoso regista Russo P¨etr Fomenko con la sua compagnia de “I Fomenki” di Mosca. Una delle scene scelte da Fomenko per la riduzione teatrale `e appunto quella della “lezione di geometria”. E mentre il padre rimprovera la ﬁglia, un’amica della ﬁglia gioca a fare le bolle di sapone, modelli matematici per eccellenza! Ai nostri giorni `e “normale” che a teatro e al cinema si parli di matematici, si metta in scena la matematica, come ha fatto Luca Ronconi con Inﬁnities ∗

Una parte di questo articolo `e stato pubblicato con il titolo Matematica e teatro: una grande emozione in [12], pp. 7-21.

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al Piccolo Teatro di Milano nel 2002 e 2003. ` semplice, semplicissimo. La matematica `e semplice. E ` l’anima delle “E cose. . . le intuizioni, Auguste, le intuizioni. La matematica non sarebbe nulla senza le intuizioni. . . Il vero spirito della matematica sono le intuizioni”. Cos`ı esclama Galois, nel carcere di Saint-P´elagie. O meglio queste sono le parole che Luca Vigan` o, informatico e autore teatrale, mette in bocca al giovanissimo matematico nello spettacolo Galois, in scena ﬁnalmente in forma completa al Teatro Stabile di Genova dal 13 gennaio al 5 febbraio 2005 [12].

Figura 1. Galois di Luca Vigan` o - Scena 1: il detenuto (Matteo Alfonso)

Era la prima volta che vedevo lo spettacolo in forma completa, con tutti i personaggi e le scene, peraltro molto “minimal”, quasi inesistenti. Con una geniale invenzione registica, quella enorme lavagna nera che sovrasta tutta la scena, su cui sono tracciati dei numeri da 1 a 30, dei simboli matematici, delle formule. E quei numeri vengono cancellati dal bidello, da uno dei personaggi, che numerano le scene. E quindi scandiscono il tempo, lo dividono, lo ricompongono, costruiscono l’impatto drammatico di quanto sta succedendo. Ci si aspetta quel cancellare, alle volte rapido, alle volte atteso per molto tempo. Non ha forse scritto il regista Peter Greenaway che i numeri sono la miglior storia da raccontare, con un inizio, una ﬁne, e un culmine di attesa? Parole simili a quelle del Galois di Vigan` o pronunciava il matematico Lucio Lombardo Radice nel 1973 nel ﬁlm di Ansano Giannarelli Non ho tempo [4]. Radice impersonava Louis-Paul-Emile Richard, l’insegnante di matematica protettore di Galois. Impersonava se stesso Lombardo Radice, con quel

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suo approccio tra il protettivo e il coinvolgente che era tipico delle sue lezioni all’Universit` a di Roma. Quel corso di Algebra Astratta a cui partecipavano per snobismo anche studenti di ﬁlosoﬁa, pronti a scappare quando si cominciava a fare conti, non solo a ﬁlosofeggiare1 . Alcune frasi su Lucio Lombardo Radice, il maestro di Galois del ﬁlm, quello che scrive con la penna e dice: “sar`a un grande matematico”. Radice ha anche collaborato con i testi insieme a due matematici; forse quelli che hanno tracciato delle radici quadrate in una scena del ﬁlm? Io avevo visto il ﬁlm nel 1973, e quella scena con la radice di due devo dire che gi` a allora mi aveva un po’ sconvolto; rivista trent’anni dopo `e una cosa allucinante. Avrebbe dovuto dare l’idea di quale matematica si occupava Galois. . . Lucio Lombardo Radice, di cui io sono stato prima studente, poi collega all’Universit` a di Roma e controrelatore ad una tesi il giorno prima che morisse. Mi dispiace molto che nel 2003 al convegno di Venezia non sia potuto venire Pietro Ingrao, che `e stato sposato con la sorella di Lucio Lombardo Radice. Pietro Ingrao ha tenuto a Roma un ricordo di Radice, scomparso da dieci anni, raccontando come Radice era quello che aveva fatto scoprire la cultura europea ai giovani antifascisti romani del ’36-’38, parlando di cubismo, di Kafka. Ecco cosa scriveva Lucio Lombardo Radice nel 1972. Tra le tante cose di cui si `e occupato nella sua vita, Lombardo Radice scrive un libro, che si intitola Gli accusati [6]. Gli accusati erano Franz Kafka, Michail Bulgakov, Aleksandr Solzenistyn, che nel 1972 non poteva essere nominato, Milan Kundera, che era un giovane allora. Nella prima pagina del libro Gli accusati `e scritto: “Saggi su Franz Kafka, Michail Bulgakov, Aleksandr Solzenistyn, Milan Kundera, sui non appartenenti che appartengono nel profondo, scritti per portare avanti il discorso iniziato a Praga nel 1963 da Edward Goldst¨ ucker e da altri marxisti europei col proposito di dare all’autore de Il processo cittadinanza nel socialismo”. Lucio Lombardo Radice `e il primo difensore dei dissidenti, faceva parte del Comitato Centrale del Partito Comunista e non ne `e mai uscito. Questa `e la postfazione di Lombardo Radice: “Il lettore ha senza dubbio trovato da solo la chiave di questi quattro saggi e il ﬁlo logico che li collega. Chi li ha scritti non si `e davvero voluto togliere il gusto di una divagazione, di una scorribanda nella critica letteraria. Ho compreso in un certo momento come le testimonianze di scrittori come Bulgakov, Solzenitsyn e Kundera, mi consentivano di penetrare forse pi` u in profondit` a, forse ﬁno alle radici della 1

` con piacere che posso testimoniare che forse Nota del curatore del volume: E i tempi stanno cambiando: a Bologna alcuni studenti di ﬁlosoﬁa, che scelgono Algebra I come corso a libera scelta, non scappano aﬀatto, anzi imparano a fare gli esercizi come gli studenti di matematica e talora superano l’esame con la lode. Mi piace pensare che riuscire ad attrarre questi studenti sia in parte merito di ci` o che si `e fatto negli ultimi anni per presentare la matematica ad un pubblico pi` u vasto.

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crisi attuale del socialismo europeo, nato dalla rivoluzione di ottobre. O forse pi` u esattamente ho trovato in opere letterarie, romanzi e novelle il punto di vista, l’approccio che era pi` u congeniale alla mia riﬂessione storico-politica sul socialismo europeo di ceppo sovietico e sulla sua attuale crisi.” Di Franz Kafka, di cui non si parlava all’epoca in quei Paesi, e ancora adesso, dato che Kafka a Praga viene considerato uno scrittore tedesco, Lombardo Radice scrive: “Dopo il 1956, ma soprattutto dopo il 1968, l’angoscia di Kafka `e diventata per me richiamo a una ininterrotta e tesa vigilanza, e il motivo del clinamen, che domina l’opera dello scrittore di Praga, `e stato da me sentito come ammonimento contro ogni forma assoluta (ﬁdeistica) di ottimismo storico; ho ritrovato nell’uomo Kafka e nel personaggio Kafka un modello etico, colui che sempre combatte pur non avendo mai certezze, mai garanzie.” Lombardo Radice scrive queste parole nel 1972, lo stesso periodo in cui si realizza il ﬁlm. Un ﬁlm, quello di Giannarelli, sul “movimento” di quegli anni, con un Galois grande rivoluzionario. Riprese cinematograﬁche in presa diretta, macchina da presa a mano, bianco e nero. Un ﬁlm da cineforum, sperimentale, esagerato, a tratti molto didascalico. Durante il ’68-’69 uno dei protagonisti della vita politica e sociale del paese era il movimento degli studenti; uno degli strumenti che veniva utilizzato era il cinegiornale del movimento; molti dei cineasti pi` u noti dell’epoca ﬁlmavano manifestazioni, occupazioni, scontri con la polizia, e poi alla sera in due cinema di Roma si rivedeva su pellicola quello che era successo tre o quattro giorni prima. Naturalmente tutto questo si rivedeva solo in quei cinema; la televisione trasmise qualcosa sugli scontri di Valle Giulia qualche anno dopo, per cui allora si parlava di “contro informazione”. Naturalmente per realizzare queste riprese vi erano delle esigenze; un’esigenza era che i ﬁlm fossero in bianco e nero. Contrariamente a quanto accade oggi, dato che costa molto di pi` u realizzare un ﬁlm in bianco e nero che non a colori; il motivo `e banale: oggi tutti realizzano ﬁlm a colori, e quindi i laboratori che stampano in bianco e nero sono molto pochi. All’epoca i telegiornali degli studenti venivano girati in 16 millimetri, rigorosamente in bianco e nero, e questo `e sicuramente uno dei motivi per cui il ﬁlm di Giannarelli `e in bianco e nero. Anche la tecnica di ripresa `e volutamente sciatta, perch´e cos`ı erano fatti quei telegiornali: venivano realizzati il prima possibile e quindi non si badava allo stile. Contava il “messaggio”. Naturalmente il problema `e che, quando si vuole realizzare un ﬁlm che volutamente non ha uno stile, sorgono dei problemi, perch´e lo scopo di fare ` una un ﬁlm `e cosa diversa dal realizzare un cinegiornale del movimento. E cosa pensata che viene realizzata anni dopo; anche l’attore principale `e un ricercatore universitario e non un attore professionista, e il ﬁlm `e pieno di declamazioni. Tutti sono molto presi dai loro ruoli. La rabbia, la ribellione deve essere evidente. Una delle cose importanti in un ﬁlm `e che alla ﬁne si deve aver realizzato

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ovviamente un ﬁlm, che funziona in quanto tale. Come nella vita, la grande capacit`a del regista consiste nello scegliere; non tutto quello che si ﬁlma `e corretto dal punto di vista della narrazione cinematograﬁca, anche se politically correct. Il metodo dei cinegiornali del movimento di quegli anni era l’accumulazione, perch´e era giusto, era la documentazione (che tra l’altro giace da qualche parte negli archivi della RAI) di quello che succedeva. Ovviamente non la realt`a, perch´e nel momento in cui si ﬁlma qualsiasi cosa, si sta gi`a manipolando la realt` a. In fase di montaggio si sceglie di prendere alcune immagini e non altre. L’idea dei cinegiornali era accumulare informazioni per diﬀonderle, e questi ﬁlm, questi documentari, venivano mandati in giro per l’Italia, venivano visti a Milano, a Roma si vedevano quelli di Milano e cos`ı via. Questo era un po’ il clima “cinematograﬁco” dell’epoca. Il clima che spiega perch´e il ﬁlm di Giannarelli venne realizzato in un certo modo, un modo che oggi appare del tutto superato. E anche allora, a chi era appassionato di cinema. Dal ﬁlm di Giannarelli al testo di Luca Vigan` o Galois sono passati trent’anni. Era nel 1973 una quasi assoluta novit` a parlare di matematici al cinema. Certo Evariste Galois, il matematico che ottiene dei risultati scientiﬁci eccezionali nel corso dei pochissimi anni della sua vita, che partecipa alle rivoluzioni che scuotono la Francia, che muore in duello per motivi che non saranno mai del tutto chiariti, `e un personaggio eccezionale per raccontare una “storia”. Rivoluzionario, genio, ribelle, giovanissimo. Che muore all’alba per un colpo di pistola. Per una donna, per la rivoluzione? Con una storia parallela quasi contemporanea a quella dell’altro matematico che morir`a, il 6 aprile 1829, a 27 anni, Niels Henrik Abel, norvegese. Anche lui, come Galois, incompreso dai grandi matematici del tempo. Anche lui dimenticato, dopo la morte divenuto uno dei grandi scienziati dell’epoca. Dopo la morte, appunto. Le storie parallele di Galois e Abel che mettono in evidenza la meschinit`a, la volgarit` a, l’incapacit` a, l’invidia, di grandi matematici come Legendre e Cauchy. Baster`a ricordare che il giovane Galois a 17 anni aveva aﬀrontato il problema che Abel aveva lasciato aperto. In una memoria del 1828 (che sar`a pubblicata solo dieci anni dopo, destino comune a Galois) Abel tracciava il suo programma di lavoro (si veda il volume di Laura Toti Rigatelli Matematica sulle barricate [11]) Si trattava di: 1) trovare tutte le equazioni di un grado determinato che sono risolubili algebricamente (cio`e per radicali), 2) giudicare se un’equazione data `e, oppure no, risolubile algebricamente. Galois non poteva conoscere questi lavori e nel 1829 scrive due memorie Recherches alg´ebriques e Recherches sur les equations alg´ebriques de degr´e premier. Vengono presentate dal suo protettore Richard alla Accademia delle Scienze e illustrate nelle sedute del 25 maggio e 1 giugno. Al matematico Cauchy vennero aﬃdati i due manoscritti. Cauchy non present` o mai i lavori alla Accademia delle Scienze. Poi lasci`o la Francia per motivi politici. Stessa sorte ebbe un lavoro che Galois present` o nel 1828 per il Grand Prix de

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Math´ematiques. La memoria di Galois venne aﬃdata a Fourier che mor`ı poco dopo ed anche quel lavoro and` o perduto. Insomma una storia “esemplare” da raccontare. In cui cercare di cogliere, raccontando degli avvenimenti unici, il lampo del genio che praticamente da solo, nel poco tempo a disposizione, arriva a “rivoluzionare” la matematica, risolvendo dei problemi che erano non risolti da tempo. Alcuni dei problemi, e sono casi rari in matematica, possono essere “raccontati” anche a coloro che hanno studiato, magari poco, la matematica solo a scuola. La risoluzione delle equazioni algebriche per radicali. Chi non ha dovuto risolvere le equazioni algebriche di secondo grado? Certo parlare di matematica a teatro, al cinema, sui giornali `e impresa ardua. “Diremo poi che un gruppo H `e un ‘sottogruppo invariante’ di un altro gruppo G, quando la trasformazione di H per una sostituzione qualunque di ` Galois che parla G `e eguale a H, ovvero GHG−1 = H oppure GH = HG.” E (usando le parole di Vigan` o), nel carcere, cercando di farsi ascoltare dal suo terrorizzato compagno Auguste: “Fermati, fermati, non ci capisco niente. Forse sono troppo stupido.” e Galois che risponde: “Ma come fai a non vedere?!” Uno dei problemi del portare in scena i “matematici” sta nel fatto che quando si vuole far capire di cosa si occupano o si `e costretti a fornire esempi di una semplicit`a disarmante o altrimenti si rischia di avere nel pubblico la reazione di Auguste. Una sorta di riﬁuto a priori. Come se il solo pronunciare parole legate alla “matematica” facciano rispuntare negli spettatori incubi di giovent` u. Certo a nessuno viene in mente di “spiegare” durante uno spettacolo teatrale che cosa sia un gruppo o la teoria delle equazioni algebriche di Galois. Non avrebbe alcun senso. Ha scritto Luca Ronconi [10]: “Credo che - come gi`a anni fa in Italia hanno dimostrato, sul versante delle lettere, scrittori quali Vittorini e Calvino, ma come non citare con loro anche il nome dell’ingegner Gadda - nell’era della scienza in cui viviamo, nel saeculum cio`e che forse pi` u di ogni altro ha visto i copioni della vita di ogni giorno adeguarsi direttamente o indirettamente ai precetti del pensiero scientiﬁco, la scienza potrebbe rilevarsi il pi` u conveniente palcoscenico per ospitare un’azione drammatica genuinamente contemporanea. Perch´e il linguaggio della scienza, trasferendosi in teatro, possa sviluppare tutto il suo potere eversivo e innovativo ritengo sia necessario che venga fedelmente trascritto in scena, evitando ogni ﬁltro esplicativo. In altre parole per progettare uno spettacolo autenticamente “scientiﬁco”, e non semplicemente di argomento scientiﬁco, sono convinto che si debba rinunciare alla strategia politicamente corretta della divulgazione e si debba piuttosto puntare sulla natura squisitamente esoterica della raﬃnatissima scienza specialistica odierna.” Nella presentazione nello spettacolo Inﬁnities `e scritto che Ronconi non voleva realizzare uno spettacolo divulgativo/dimostrativo. Quanto piuttosto una mostra; non si assiste allo spettacolo per l’esigenza di comprendere, ma “solo” per avere la possibilit` a di cogliere, aﬀerrare qualche idea, ma soprattutto per essere coinvolti dalla esperienza teatrale. La matematica come

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emozione, si potrebbe dire. Come esclama lo stesso Galois nello spettacolo di Vigan`o, la matematica come intuizione. Il tempo, il breve tempo della esistenza di Galois `e un elemento di grande fascinazione; ha l’ansia dei vent’anni, ` una frase di Galois vuole tutto e subito (era il tema del ﬁlm di Giannarelli). E “Tout voir, tout entendre, ne perdre aucune id´ee”, insieme alla celebre “Non ho tempo” scritta la notte prima di morire, quando sta cercando di mettere ordine nei suoi lavori di matematica. ` importante che lo spettacolo di Vigan` E o sia stato ripreso a breve distanza ` il segnale che anche in Italia vi `e una ripresa dalla prima messa in scena. E di interesse per le grandi storie, i grandi temi. E con Galois si tratta di genio, rivoluzione, amore e morte. E della matematica.

Figura 2. Galois di Luca Vigan` o - Scena 16: Vincent Duchatelet (Luca Giordana), Auguste Chevalier (Pietro Tammaro), Galois (Flavio Parenti), Georges Lebas (Fabrizio Matteini), Francois-Vincent Raspail (Massimo Mesciulam)

Un nuovo interesse Rispetto a qualche anno fa si `e aperto uno spazio importante per la diﬀusione della cultura matematica. Anche a teatro. Ribadendo che non si tratta di “divulgare” alcunch´e. Il teatro, il cinema, la letteratura non devono “divulgare”. Emozionare, coinvolgere, far arrabbiare, far discutere, non “spiegare”. Ha osservato qualche anno fa il matematico francese Jean Dieudonn´e in un

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vasto saggio dal titolo Pour l’honneur de l’esprit humain, titolo tradotto in italiano con notevole fantasia L’arte dei numeri [2]: “La situazione della matematica nel quadro delle attivit` a dell’uomo `e paradossale.” In eﬀetti quasi tutti coloro che oggi vivono nei paesi sviluppati riconoscono che la matematica `e una disciplina fondamentale e necessaria praticamente in tutti i settori della scienza e della tecnica; inoltre `e opinione abbastanza diﬀusa che il solo fatto di avere una discreta conoscenza della matematica apra la strada a un numero sempre crescente di attivit`a lavorative. Questo ruolo della matematica `e peraltro da tempo gi` a riconosciuto, anche se parzialmente, come prova il fatto che Ulrich, il protagonista de L’uomo senza qualit` a [7], osservava che: “Non occorre davvero dilungarsi troppo sull’argomento, giacch´e quasi tutti gli uomini oggi - la prima edizione del libro `e del 1930 - si rendono ben conto che la matematica `e entrata come un demone in tutte le applicazioni della vita.” Salvo poi aggiungere che se non tutti credono alla storia del diavolo a cui si pu`o vendere l’anima, “quelli che di anima se ne intendono”, cio`e preti, storici e artisti “attestano che essa `e stata rovinata dalla matematica, e che la matematica `e l’origine di un perﬁdo raziocinio che fa, s`ı, dell’uomo il padrone del mondo, ma lo schiavo della macchina.” Anzi il crollo della cultura europea sarebbe avvenuto perch´e “l’uomo non albergava pi` u in cuore n´e fede n´e amore, n´e innocenza n´e bont` a.” Ma chi la pensava, e magari ancora la pensa, cos`ı? Musil notava con ironia che tutti coloro che hanno questa pessima opinione della matematica da ragazzi e scolari dovevano essere stati cattivi matematici; `e insomma l’invidia che li ispira. Per Ulrich invece questo atteggiamento di tanti contribuiva ad aumentare il suo innamoramento “pi` u umano che scientiﬁco” per la scienza: “Egli amava la matematica per via di quelli che non la potevano soﬀrire.” Se tanti parlano della matematica, magari per avversione, e tanti non ne parlano per disinteresse, tantissimi ignorano di che cosa eﬀettivamente si tratti. Non soltanto quindi la stragrande maggioranza della gente non riesce nemmeno a comprendere di che cosa si occupino i matematici, ma una delle opinioni correnti pi` u diﬀusa, e pi` u sbagliata, come sottolinea Dieudonn´e, `e quella secondo la quale “nella matematica non vi sia pi` u nulla da scoprire, e che il matematico si limiti a insegnare quanto ha ereditato dai secoli passati.” Per riassumere le opinioni pi` u diﬀuse, la matematica `e quindi una scienza diﬃcile, incomprensibile ai pi` u, priva di una sua storia e, di conseguenza, priva di novit` a, a tal punto `e incomprensibile che non si ha nemmeno un’idea seppur vaga di come passino le loro giornate i tanti matematici che esistono al mondo. Inoltre un’altra delle grandi domande che si pongono quasi tutti coloro che sono stati a scuola `e: a che cosa serve la matematica? Come se i matematici, la matematica, dovessero in qualche modo giustiﬁcare agli occhi ` chiaro che il teatro, il cinema non hanno come del mondo la loro esistenza. E ﬁnalit` a di dare una risposta a queste domande. Tuttavia negli ultimi anni si `e avuto un risveglio di interesse per la matematica e le storie dei matematici. Dalle vicende legate alla dimostrazione dell’Ultimo Teorema di Fermat (a Broadway `e stato addirittura realizzato un musical dal titolo Fermat’s Last

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Tango) ai tanti libri che hanno avuto un successo inatteso in tutto il mondo, baster`a citare il libro di Hans M. Enzensberg Il mago dei numeri. A teatro vi `e un momento abbastanza preciso in cui inizia questo interesse.

La matematica in scena In questi ultimi anni il pubblico associa sicuramente l’immagine del matematico a quella di Russell Crowe nel ﬁlm A Beautiful Mind [3]. Mentre sino a qualche anno fa se si chiedeva a qualcuno il nome di un matematico, i pi` u si ricordavano di Archimede e Pitagora, oggi il nome di John Nash `e molto conosciuto. Certo nell’immaginario collettivo si associa il genio del grande matematico a problemi “mentali”, il vecchio tema di genio e sregolatezza. Una delle caratteristiche delle persone autistiche o che hanno sintomi simili `e di ricordare i numeri di tante cifre e fare calcoli velocissimi. Tutti ricordano il protagonista del ﬁlm Rain Man, Dustin Hoﬀman. Nel novembre 2003 `e stato pubblicato un articolo che si intitolava Autism in Mathematics [5]. Autore il matematico Ioan M. James del Dipartimento di Matematica di Oxford. Scrive James: “I tratti caratteristici dell’autismo lieve sono la grande determinazione e capacit`a di ﬁssare la propria attenzione su di una singola cosa, il che permette alla persona di eccellere. Questo `e particolarmente vero per il particolare tipo di autismo che va sotto il nome di sindrome di Asperger.” James elenca le caratteristiche di queste persone che tra l’altro “hanno avversione a guardare dritto negli occhi, hanno una espressione peculiare, diﬃcolt`a di adattamento sociale, una grande passione esclusiva come per l’informatica.” E la matematica, ovviamente. In una ricerca eﬀettuata all’Universit` a di Cambridge sugli studenti, `e stato messo in evidenza che i sintomi della sindrome di Asperger sono statisticamente pi` u diﬀusi tra gli studenti di matematica e ﬁsica. James riporta anche i risultati di altre ricerche che sembrano accreditare, al contrario di quello che pensava Musil, che per eccellere i matematici devono avere comportamenti che li fanno “diversi”. Ovviamente James da buon matematico riporta gli articoli dei medici e di Asperger e si pone delle questioni a cui non sa dare una risposta. Hans Asperger era un pediatra viennese che nella sua tesi di dottorato nel 1944 aveva per primo descritto i sintomi ed aveva notato che le persone aﬀette avevano una qualche abilit` a in matematica e tendevano ad avere successo nella carriera scientiﬁca. Bisogna dire che dai molti ﬁlm, spettacoli teatrali, libri che hanno per protagonisti matematici, che siano personaggi reali od inventati, emergono matematici che hanno problemi nella loro genialit` a. Matematici schizofrenici (come John Nash la cui vita `e tratteggiata nel ﬁlm e nel libro A Beautiful Mind ), comunque malati di mente come Kantor o G¨odel in una parte della loro vita, o pieni di problemi e di angosce, che tentano di uccidersi o che ci riescono come Renato Caccioppoli (parte della cui storia `e raccontata nel ﬁlm Morte di un matematico napoletano). Dopo il grande successo a teatro arriva sugli

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schermi il ﬁlm tratto dalla commedia di David Auburn Proof. Protagonista Anthony Hopkins, regia di John Madden, sceneggiatura di Rebecca Miller. Scelto per essere un grande attore, non per essere stato il famoso Hannibal the Cannibal, padre di tutti i “pazzi da legare” del cinema. Curioso quello che Hopkins ha dichiarato in una intervista: “In verit` a a scuola andavo malissimo, non ho una vera educazione, non ho mai fatto l’universit` a. E nella vita non avrei mai potuto fare il professore, sono troppo stupido.” Ma evidentemente ha il ﬁsico e lo sguardo del ruolo, del genio della matematica, come si esige per il protagonista di Proof, commedia anch’essa liberamente ispirata alla vita di Nash. Ci sar`a spazio anche per la protagonista femminile, nel ﬁlm Gwyneth Paltrow, anch’essa matematica, ﬁglia del personaggio interpretato da Hopkins. Il titolo rimanda al doppio signiﬁcato di “dimostrazione” e di “prova”. Di quale dimostrazione si tratta viene solo accennato, sembra che sia l’ipotesi di Riemann. Il dramma della follia, il grande matematico era divenuto pazzo, la ﬁglia teme di diventarlo, la dimostrazione del teorema non `e chiaro se sia stata fatta dal padre o dalla ﬁglia, il cui talento non `e mai stato riconosciuto, oﬀuscato da quello del padre. La grande stagione dei matematici a teatro comincia con Arcadia di Tom Stoppard. Stoppard, premio Oscar per la sceneggiatura del ﬁlm Shakespeare in love, ha una vera passione per la ﬁsica e la matematica. Si veda la videocassetta che Stoppard ha realizzato con il matematico Robert Osserman per conto del MSRI (Mathematical Science Research Institute) di Berkeley, California [8]. Nel video Osserman e Stoppard discutono degli aspetti matematici di Arcadia mentre da una parte del palcoscenico alcuni attori recitano le scene di cui discutono. Ovviamente Stoppard aﬀerma di non capire nulla della matematica che utilizza nei suoi lavori, di badare al fatto che le cose funzionino dal punto di vista teatrale o cinematograﬁco. Non ci sono dubbi comunque che Stoppard si sia documentato. Qualche anno fa, Stoppard vinse il Leone d’Oro alla mostra del cinema di Venezia con il ﬁlm Rosencrantz e Guildenstern sono morti di cui era regista (era l’autore del testo teatrale con lo stesso titolo, grande successo nei paesi di lingua inglese). Il Re: “Ben giunti, miei cari Rosencrantz e Guildenstern! A parte il gran desiderio di vedervi, anche il bisogno che abbiamo di voi ci ha indotti a sollecitare la vostra venuta. Avrete certo gi` a sentito qualcosa della metamorfosi di Amleto. Non saprei chiamarla altrimenti, perch´e egli non somiglia pi` u, n´e di fuori, n´e di dentro, a quello che era. Quale altro motivo, oltre la morte di suo padre, possa averlo tratto cos`ı fuor di senno, io non so immaginare. Perci` o supplico entrambi, voi che siete cresciuti insieme a lui sin dall’infanzia e avete dimestichezza con gli umori della sua giovent` u, di trattenervi alla Corte per qualche tempo. Dovreste cercar di svagarlo con la vostra compagnia, e cogliere ogni occasione che si presenti per rendervi conto se lo aﬄigga un qualche cruccio segreto, cui si possa, una volta conosciuto, trovar rimedio.” Cos`ı compaiono Rosencrantz e Guildenstern nella scena seconda del secondo atto dell’Amleto di William Shakespeare (1564-1616). L’Amleto (titolo ori-

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ginale The Tragedy of Hamlet, Prince of Denmark ) `e probabilmente stato scritto nel 1600 o nel 1601. I due personaggi sono presenti in scena sempre insieme, durante tutta la tragedia parlano ed agiscono insieme; moriranno ` Aminsieme alla ﬁne del dramma. Risultano indistinguibili l’uno dall’altro. E leto nel quarto atto a porre una leggera distinzione tra i due. Rispondendo a Rosencrantz, presente naturalmente anche Guildenstern, che gli chiede che ﬁne ha fatto fare al cadavere di Polonio, padre di Ofelia, Amleto prima risponde paragonandolo ad una spugna “che succhia il favore, le ricompense, gli uﬃci del re.” Quindi aggiunge che “quando il re vuol sapere che cosa avete raccimolato, non fa che spremervi, spugne che non siete altro: ed eccovi daccapo asciutte.” Rosencratz risponde che non comprende; Amleto ribatte: “Ne godo: orecchio ottuso, non beve discorso acuto.” Probabilmente Amleto si rivolge ad entrambi, non solo a Rosencrantz; i due non fanno che entrare ed uscire dalla scena sempre insieme! Sono cos`ı confusi nei loro ruoli, quasi intercambiabili che nel ﬁlm di Tom Stoppard loro stessi si chiedono di continuo chi `e l’uno e chi `e l’altro; se nelle loro conversazioni, raﬃnatissime e assolutamente irresistibili, l’uno (Guildenstern o Rosencrantz) risulta pi` u acuto (meno ottuso) dell’altro (Rosencratz o Guildenstern), quello pi` u ottuso (meno acuto) dei due, nei momenti in cui si astrae dal dialogo con l’altro (Guildenstern o Rosencratz) si lascia aﬀascinare da esperienze di ﬁsica e di calcolo delle probabilit`a. Durante il loro viaggio alla reggia, giocano a testa o croce scommettendo la moneta ad ogni lancio. Tirano la moneta per 156 volte ed esce sempre testa. Sar`a soltanto nell’incontro con il capocomico, lo straordinario Richard Dreyfuss, che uscir` a ﬁnalmente croce. Quel continuo risultato del gioco pone dei problemi a uno dei due (Guildenstern o Rosencrantz) che chiede all’altro perch´e non si preoccupi minimamente di un evento cos`ı straordinario che si sta veriﬁcando: 156 volte testa. In Arcadia Stoppard immagina la storia di una matematica autodidatta, giovanissima. La protagonista di Arcadia `e una ragazzina di 13 anni, Thomasina Coverly, che nel 1809 anticipa di molti anni la scoperta di Mandelbrot dell’insieme che porta il suo nome e dei frattali. Ovviamente invece che Mandelbrot set (Insieme di Mandelbrot) Thomasina chiama l’insieme Coverly set. Le intuizioni di matematica di Thomasina vengono scoperte da un matematico del XX secolo sua discendente, Valentine. La trama dell’opera `e centrata su Lord Byron la cui moglie Annabella aveva interessi matematici. Molto pi` u profondo era invece il talento matematico della ﬁglia di Byron, Ada che speriment` o con Charles Babbage i primi tentativi di utilizzo di macchine per il calcolo. Ad Ada e al suo tragico destino `e ispirata la ﬁgura di Thomasina. I lavori di matematica Ada li ﬁrmava con la sigla A.L.L.; solo trent’anni dopo la morte si scopr`ı chi si celava sotto lo pseudonimo. A riprova che non esiste una matematica femminile o maschile. Thomasina, come scopre Valentine, aveva iniziato a penetrare nella teoria che oggi chiamiamo del Caos, dei sistemi dinamici ed in quella delle geometrie non-euclidee. La sua morte tragica a sedici anni le impedir` a di portare avanti le ricerche. Ovviamente non solo di

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questo parla il testo di Stoppard che ha una capacit` a di scrittura, di inventiva, di mischiare le carte, veramente notevole. Nella pi`ece si parla di matematica, di giardini, di nobili inglesi, di duelli, di Byron evocato ma mai presente e di equivoci, di come la giovane matematica e lo storico che ai giorni nostri cercano di capire dai documenti che cosa successe all’epoca di Thomasina, ricostruiscano in modo assurdo gli eventi passati. L’unica che comprende il talento matematico precoce di Thomasina `e il matematico dei giorni nostri. Perch´e “la matematica `e la vera opera di Dio”: un teorema rester`a per sempre. Lo ha scritto tra gli altri Roger Penrose [9]. La vera esplosione a teatro di storie legate ai matematici si `e avuta nel 2000 e nel 2001. Nel 2000 (forse perch´e era l’anno mondiale della matematica?) erano contemporaneamente in scena a New York, nei teatri a Broadway o oﬀ-Broadway diversi spettacoli in cui i protagonisti erano dei matematici. Il The New York Times del 2 giugno 2000 ha dedicato due intere pagine del supplemento spettacoli al tema “Science Finding a Home on Stage” (La scienza sta trovando casa sulla scena). L’autore dell’articolo Bruce Webern formulava la previsione che uno degli spettacoli in scena oﬀ-Broadway Proof fosse candidato ad un grande successo. In eﬀetti `e stato proprio cos`ı. Weber nel lungo articolo sul NYT forniva anche una spiegazione della grande produzione di spettacoli sulla scienza: “In tutti questi lavori la ricerca della conoscenza scientiﬁca `e vista come una ricerca della bellezza e della verit`a, che `e esattamente quello che fanno gli artisti. Al fondo vi `e la constatazione che la scienza, come l’arte e l’amore, `e una grande impresa umana condannata all’incertezza. . . Inoltre tutti questi spettacoli, anche al di l` a delle loro diverse riuscite artistiche portano acqua alla lotta contro l’anti-intellettualismo di certa cultura americana. Tutti questi spettacoli mostrano come l’intelligenza non esiste in antitesi alla coscienza, alle emozioni, al senso comune; anzi, ne `e grande parte.”

Galois: una storia unica La mattina del 30 maggio 1832 Galois venne colpito all’addome da un colpo di pistola sparato da venticinque passi. La pallottola attravers` o l’addome ma non provoc` o la morte immediata. Laura Toti Rigatelli nel libro Matematica sulle barricate ritiene che qualcuno recuper` o Galois abbandonato sul ciglio della strada e lo port` o all’ospedale Cochin. Il fratello Alfred accorse all’ospedale. Il 31 maggio Galois mor`ı dopo avere detto al fratello: “Non piangere, mi occorre tutto il mio coraggio per morire a vent’anni”. Era nato il 25 ottobre 1811 a Bourg-la-Reine, un sobborgo di Parigi. Qualche giorno prima aveva scritto delle lettere. La prima rivolta a tutti i repubblicani: “Prego i patrioti, miei amici, di non rimproverarmi di morire in altro modo che per il paese. Io muoio vittima di un’infame civetta, e di ` in un miserabile pettegolezzo che si spegne la due vittime di questa civetta. E mia vita.” In un’altra scrive tra l’altro: “Miei buoni amici, sono stato sﬁdato

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da due patrioti. Mi `e stato impossibile riﬁutare. Vi chiedo perdono di non aver avvertito n´e l’uno n´e l’altro. Ma i miei avversari mi avevano intimato SUL MIO ONORE di non avvertire nessun patriota. . . Serbate il mio ricordo perch´e la sorte non mi ha concesso abbastanza vita perch´e la patria conosca il mio nome. Muoio vostro amico.” Questa insistenza sulle parole “muoio”, “devo morire” ha fatto scrivere alla Toti Rigatelli che in realt` a si trattava di un duello simulato in cui Galois aveva deciso di morire per essere una sorta di vittima sacriﬁcale per la rivoluzione. Galois scrive l’ultima lettera ad Auguste, dicendogli di avere “fatto nuove scoperte nel campo dell’analisi matematica”. Nella lettera riassume la memoria che aveva presentato all’Accademia delle Scienze e che contiene quella che oggi `e nota come teoria di Galois e vi aggiunge nuovi teoremi e congetture. Alla ﬁne scrive: “Mi manca il tempo.” Inﬁne una richiesta all’amico: “Chiedi pubblicamente a Jacobi e Gauss (due famosi matematici) di esprimere il loro parere non sulla verit` a ma sull’importanza di questi teoremi.” La memoria che l’Accademia aveva respinto verr`a pubblicata solo quattordici anni dopo. Uno dei testi fondamentali dell’algebra moderna. Galois nella memoria trovava le condizioni necessarie e suﬃcienti aﬃnch´e un’equazione algebrica di grado n qualunque fosse risolubile per radicali. Cos`ı come tutti hanno imparato a scuola per le equazioni di secondo grado. Non solo il problema veniva risolto, ma nel farlo Galois chiariva che bisognava associare un nuovo ente matematico alle equazioni ed analizzare questo nuovo ente. Si tratta del termine “gruppo” che Galois deﬁnisce per la prima volta, gruppo delle sostituzioni sulle radici dell’equazione e che oggi si chiama “gruppo di Galois”. Galois, nella scena VII del testo di Vigan` o, ` solo questione di struttura! La struttura di questo esclama: “La struttura! E elemento, e del gruppo che viene da lui generato.” Il concetto di gruppo `e il primo esempio di struttura algebrica. Di questo si occupa la matematica. Alla domanda “Che cosa sia la matematica” hanno tra i tanti risposto Richard Courant e Herbert Robbins nella introduzione del loro libro What is Mathematics: an elementary Approach to Idea and Methods [1]: “Attraverso i secoli i matematici hanno considerato gli oggetti del loro studio, quali ad esempio, numeri, punti, ecc., come cose esistenti di per s´e. Poich´e questi enti hanno sempre sﬁdato ogni tentativo di un’adeguata descrizione, lentamente sorse nei matematici del XIX secolo l’idea che la questione del signiﬁcato di questi oggetti come cose sostanziali, se pure ha un senso, non lo avesse nel campo della matematica. Le uniche aﬀermazioni rilevanti che li riguardano non si riferiscono alla realt` a sostanziale, e stabiliscono soltanto delle relazioni tra gli ‘oggetti matematici non deﬁniti’ e le regole che governano le operazioni con essi. Nel campo della scienza matematica, non si pu`o e non si deve discutere ci`o che i punti, le rette, i numeri sono eﬀettivamente: ci`o che importa e ci`o che corrisponde a fatti ‘veriﬁcabili’ sono la struttura e le relazioni, che due punti determinino una retta, che i numeri si combinino secondo certe regole per formare altri numeri, ecc. . . . Fortunatamente, la mente creatrice dimentica le opinioni ﬁlosoﬁche dogmatiche ogni volta che esse ostacolerebbero le

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scoperte costruttive. Cos`ı per gli studiosi come per i profani, non `e la ﬁlosoﬁa ma l’esperienza attiva che sola pu`o rispondere alla domanda: che cosa `e la matematica?” Una deﬁnizione che riﬁuta di essere una deﬁnizione ma che `e la migliore deﬁnizione possibile! L’unico modo per capire la matematica `e l’esperienza attiva. Aggiungono sempre Courant e Robbins: “Come espressione della mente umana, la matematica riﬂette la volont` a attiva, la ragione contemplativa e il desiderio di perfezione estetica. I suoi elementi fondamentali sono la logica e l’intuizione, l’analisi e la costruzione, la generalit` a e l’individualit` a. Tradizioni diverse potranno mettere in evidenza aspetti diversi, ma `e soltanto la reazione di queste forze antitetiche e la lotta per la loro sintesi che costituiscono la vita, l’utilit` a e il valore supremo della scienza matematica.” Nell’ottobre del 1831 Galois scrisse una prefazione alle sue ricerche di matematica. Lo scritto non fu incluso nei testi che furono pubblicati solo nel 1906. Il curatore riteneva che Galois avesse scritto sotto l’eﬀetto dell’alcool o di una forte febbre.

Figura 3. Galois di Luca Vigan` o - Scena 3: Joseph-Daniel Guigniault (Massimo Mesciulam), Galois (Flavio Parenti), il detenuto (Matteo Alfonso)

` il racconto delle sue disavventure: E “Non riguarda il mio argomento dire come e perch´e mi si trattiene in prigione: ma devo dire come i manoscritti si smarriscano il pi` u delle volte nei raccoglitori dei signori membri dell’Istituto bench´e io non capisca una tale incuria da parte degli uomini che hanno sulla coscienza la morte di Abel. . . Tutto

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concorre a farmi pensare che nel mondo scientiﬁco l’opera che sottopongo al pubblico sar` a ricevuta con il sorriso della compassione; che i pi` u indulgenti mi tasseranno di mancanza di abilit` a; e che sar`o paragonato a questi uomini instancabili che trovano tutti gli anni una nuova soluzione della quadratura del cerchio. . . Tutto ci` o che precede l’ho detto per provare che `e coscientemente che mi espongo allo schermo degli stolti. Se con cos`ı poche possibilit`a di essere capito, pubblico malgrado tutto il frutto delle mie veglie `e per ﬁssare le date ` che purtroppo non si dubita che il libro pi` delle mie ricerche. . . E u prezioso del pi` u dotto sarebbe quello in cui dicesse tutto quello che non sa; `e che non si dubita che un autore non nuoccia tanto ai suoi lettori come quando dissimula una diﬃcolt`a. Quando la concorrenza, cio`e l’egoismo, non regner` a pi` u nelle scienze, quando ci si assocer`a per studiare, invece di mandare alle Accademie pacchi sigillati, ci si aﬀretter`a a pubblicare le proprie minime osservazioni per poco che siano nuove e si aggiunger` a Non so il resto. All’alba presso il laghetto della Glaci`ere, Galois all’amico Vicent intima: “Spara! Spara! Spara!” Il braccio puntato (ma senza sparare), Galois corre verso Vicent, il quale, spaventato, spara: Galois, colpito mortalmente, cade a terra. Buio.”

Riferimenti bibliograﬁci [1] R. Courant e H. Robbins (1941) What is Mathematics: an elementary Approach to Idea and Methods, Oxford University Press, New York; ed. it. Bollati Boringhieri, Torino, 1971 [2] J. Dieudonn´e (1989) L’arte dei numeri, Mondadori, Milano [3] M. Emmer, M. Manaresi a cura di (2003) Mathematics, Art, Techonoly and Cinema, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York [4] A. Giannarelli (1973) Non ho tempo, ﬁlm con Mario Garriba, Franco Agostini, Lucio Lombardo Radice, Marisa Fabbri, Italia [5] I. M. James (2003) Autism in Mathematics, The Mathematical Intelligencer, Springer, vol. 25, n. 4, pp. 62-65 [6] L. Lombardo Radice (1972) Gli accusati, De Donato Ed., Bari [7] R. Musil (1972) L’uomo senza qualit` a, 2 volumi, Einaudi, Torino [8] R. Osserman (2002) La matematica al centro della scena, in M. Emmer (a cura di) Matematica e cultura 2002, Springer-Verlag Italia, Milano, pp. 85-93 [9] R. Penrose (1989) The Emperor’s New Mind, Oxford University Press, New York; ed. it. La mente nuova dell’imperatore, Rizzoli, 1992 [10] L. Ronconi (2002) La scienza in scena, in M. Emmer, Matematica e cultura 2002, Springer-Verlag Italia, Milano, pp. 79-83 [11] L. Toti Rigatelli (1993) Matematica sulle barricate: vita di Evariste Galois, Sansoni ed., Firenze [12] L. Vigan` o (2005) Galois, Il Melangolo, Genova