•
matematlca e cultura 2008 a cura di Michele Emmer
~ Springer
MICHELE EMMER
Dipartimento di Matematica "G. Castelnuovo" Universita degli Studi «La Sapienza") Roma
ISBN 978-88-470-0793-2 e-ISBN 978-88-470-0794-9 Springer fa parte di Springer Science+Business Media springer.com © Springer-Verlag Italia 2008 Quest'opera eprotetta dalla legge suI diritto d'autore. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all'utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica 0 televisiva, alla registrazione su microfilm 0 in database, 0 alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata 0 elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La riproduzione di quest'opera, anche se parziale, e ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dallalegge sul diritto d'autore ed esoggetta all'autorizzazione dell'editore. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L'utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc. anche se non specificamente identificati, non implica che tali denominazioni 0 marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti.
Traduzioni: Massimo Caregnato per gli articoli di B. Miller, S. Roberts, C. Shaw, N. Sinclair e D. Pimm, S. Singh, J. Weeks, K.O. Widman e B. Beckman; Isabelle Werner per l'articolo di J. Ellinghaus Coordinamento editoriale: Marina Forlizzi Redazione: Barbara Amorese Illustrazioni di Omaggio a Hugo Pratt: Fabio Santin Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Fotocomposizione e impaginazione: Graficando, Milano Stampa: Signum Srl, Bollate, Milano In copertina: incisione diMatteo Emmer tratta da "La Venezia perfetta", Centro Internazionale della Grafica, Venezia, 1993; immagini di Emanuela Fiorelli, Roberto Mantovani, Brad Miller, Antonino Saggio, Jeff Weeks Occhielli: incisioni di Matteo Emmer, Ope cit. 11 congresso e stato realizzato grazie alla collaborazione di: Dipartimento di Matematica Applicata, Universita di Ca' Foscari, Venezia; Dipartimento di Matematica ((G. Castelnuovo", Universita di Rorna "La Sapienza"; Dipartimento di Matematica, Universita di Bologna; Dipartimento di Matematica, Politecnico di Milano; Dipartimento di Matematica, Universita di Pisa; Dipartimento di Matematica, Universita di Trento; Galileo - Giornale di scienza e problemi globali; Dipartimento di Scienze per I'Architettura dell'U niversita di Genova; Liceo Scientifico U. Morin di Mestre; S. P. "Maternatica: Scienza senza Frontiere", Universita di Leece; UMI - Unione Matematica Italiana. Stampato in Italia Springer-Verlag Italia Srl, via Decembrio 28, I - 20137 Milano
La torre d'avorio 1 Dr FAUSTO SALERr
Ciascuno di noi ha nella propria casa un luogo preferito, dove rifugiarsi quando desidera stare solo con se stesso per riflettere e dare il giusto peso a quel che accade nella vita 0 semplicemente per godere della compagnia di un buon libro. Anche il dottor Gastald non sfuggiva a questa regola e, quando gli impegni glie10 consentivano ed il tempo era clemente, amava passare il suo tempo in uno spicchio dell'orto che si apriva dietro alIa sua abitazione. Si trattava di un rettangolo di Paradiso, come diceva lui, delimitato per due lati dal muretto di mattoni rossi, erosi dall'umidita, che 10 separava dal giardino del vicino e, per gli altri due, dalle sottili colonne che reggevano un pergolato sul quale un glicine aveva disteso le sue braccia vegetali. Un gelsomino abbarbicato al muro ed un cespuglio di rosmarino contribuivano a rendere l'aria sempre pervasa da freschi profumi. E fu proprio in quelluogo che mastro Fabrius, passato a salutare il dottore in quel prirno pomeriggio d' estate, 10 trovo seduto davanti ad un tavolino di nera ghisa, decorato con motivi floreali. "Buon pomeriggio, mio caro amico" gli disse Fabrius recuperando un'altra sedia poco discosta e facendosi aria con un giornale che teneva in mano. "Siete pronto per la disfida?" domando, estraendo da una scatola in legno, appoggiata per terra, una scacchiera in alabastro dalle caselle bianche e verdi. Gastald saluto I'amico con allegria; aveva giusto voglia di esercitarsi nel gioco degli scacchi verso il quale provava una grandissima attrazione, pur essendo un pessimo giocatore. I due, posata la scacchiera suI tavolo, iniziarono a disporre silenziosamente i pezzi, anch'essi d' alabastro. "Tocca a voi, dottore" disse Fabrius e quello, respirato il profumo d'un tardivo flore di gelsomino, mosse un pedone aprendo la partita. Dopo mezz'ora la situazione sul campo stava gia volgendo a favore di Fabrius giunto a minacciare pericolosamente il re avversario. "Amico mio, giocando con voi ho sempre l'impressione che gia dalla prima mossa sappiate dove io voglia andare a parare" commento il dottore.ammirato per Ie capacita dell'amico. Fabrius sorrise eliminando una delle torri di Gastald. «Non esageriamo, diciamo che cerco di analizzare in modo matematico 10 svolgersi della partita. Si tratta di calcolare, seppur all'inizio in modo assai grossolano, le probabilita che una mossa mi sia favorevole 0 sfavorevole a breve e a lungo terrnine" rispose godendosi la brezza leggera che faceva stormire i grappoli cadenti dei fiori del glicine.
1
Racconto tratto da I numeri del cuore, C. Ciliberto, F. Saleri, E. Strickland, Springer- Verlag Italia, Milano, 2008
cuttura 2008 "La matematica in un gioco! Sembra c'entrare anche dove meno te 10 aspetti' riprese Gastald che non riusciva pili a concentrarsi sulla partita. "Dovrei iniziare a studiarla seriamente, rna la trovo cost distante dalla realta, sembra quasi che serva solo per risolvere esercizi 0 per meravigliare gli amici con giochi ed enigmi." Fabrius mosse al posto del dottore che accetto umilmente il suggerimento delI'amico, "Questa puo essere l'impressione che ricava chi l'abbia frequentata solo in gioventu a scuola, come noi due, rna, come diceva I'Imperatore al nostro signor Laplace, (11 progresso ed il perfezionamento della matematica sono intimamente legati alla prosperita dello stato'" afferrno quello con semplicita, Gastald, sorpreso sia per l'erudizione dell'amico sia per il fatto che un uomo d'armi potesse aver pronunciato quelle parole, non era pero del tutto convinto. "Sara sicuramente vero, rna il ricordo di alcuni miei docenti di maternatica, persone distaccate, quasi dimentiche del mondo, mi impedisce di vedere gli studiosi di questa materia come partecipanti attivi al benessere dello stato. Anzi, penso sempre che i matematici tendano a chiudersi, come talvolta si dice, in una torre d' avorio" e dopo questa affermazione fece una mossa che decreta, a suo sfavore.Ia fine della partita. "Caro dottore, siete troppo distratto oggi!" esclamo Fabrius, per poi riprendere: "Tornando alla vostra torre, immagino che vi sia venuto in mente questa luogo comune anche grazie alla novella che eapparsa sull'ultimo numero della Gazette:' Gastald scosse la testa, non aveva ancora avuto il giornale, e Fabrius, premuroso, glielo porse immediatamente, gia aperto alla pagina giusta. Nel mezzo di essa, in grassetto, campeggiava un titolo. (La torre d'avorio', cui sotto si poteva leggere pili in piccolo: 'Realta 0 Mito? Un racconto di Florie Louise Atamis' e gia questa fatto, che fosse cioe scritto da una donna dal cognome orientaleggiante,lo intrigo. "Non emolto lungo. Anzi, visto che la partita a scacchi eprematuramente terminata, sapete che vi dico? Leggetelo ora. 10, nel frattempo, faccio un salto a casa per cambiarrni, prendere qualcosa per far merenda pili tardi (ho un salame che sapeste...) e poi tornare qua a prendervi per andare assieme a farci un giro sulla spiaggia. Che ne dite?" domando Fabrius alzandosi e riponendo pezzi e scacchiera alloro posto.Su Gastald il mare, che non era che a un tiro di schioppo dal paese, esercitava un'attrazione irresistibile e di conseguenza accetto con entusiamo la proposta dell' amico proponendogli di chiedere anche a Louise, la maestra del paese, di unirsi a loro. "Perfetto, passo prima da lei allora, Adesso sono le tre. Diciamo che per un quarto alle quattro al pili tardi sara di ritorno con la signorina Louise. Voi intanto leggete e poi ci scambieremo le impressioni reciproche lungo il percorso. A pili tardi" disse Fabrius prima di uscire di gran carriera dal campo visivodel dottore. Gastald, salutato l' amico, dopo aver controllato che gli abiti che aveva indosso fossero adatti per la passeggiata, attacco la lettura del racconto, immergendosi completamente nell'atmosfera evocata dalla scrittrice. "Corne avveniva ogni mattina da svariati anni Zacaria Mallius si leva dalla branda che fungeva da letto, si sciacquo il volto in un bacile d'acqua fredda e diede un' occhiata al cielo dalla piccola finestra che si apriva in alto nella sua stanza. Si trat-
tava in verita di una feritoia pili che di una finestra vera e propria, un pertugio rettangolare appena pili largo di un braccio, situato troppo in alto perche ci si potesse affacciare e dotato di un battente che si poteva manovrare tirando opportunamente una cordicella. L'anta si apri dolcemente permettendo all'aria fresca di entrare per rimpiazzare quell a appesantita della notte appena trascorsa. Una rondine, pili sentita che vista in quel microscopico spicchio di cielo azzurro che poteva osservare, saluto il suo risveglio, rna a lui poco importava tanto grande era la smania di riprendere il suo lavoro. Del resto, soltanto una persona incaricata di una missione veramente speciale avrebbe accettato di vivere come un recluso in quelle due stanzette che costituivano una sorta di cella monacale. Quanto tempo fosse trascorso da allora Zacaria non 10 sapeva. All'inizio, e ne erano testimonianza i numerosi segni verticali allineati su una parete, aveva cercato di tener conto dello scorrere dei giorni come fanno i carcerati, rna, progressivamente, si era accorto che non aveva alcun senso: lui si trovava in quelluogo come premio per Ie sue superiori capacita, non certo per punire un chissa quale misfatto. La porta stessa di quella stanza che, assieme al piccolo bagno e ad un altro locale, costituiva il suo spazio vitale, non era chiusa a chiave. Se ne era avveduto il giorno in cui, per sbaglio, aveva sbattuto contro la maniglia e l'uscio si era aperto senza opporre alcuna resistenza. Subito aveva provveduto a richiudere la porta, quasi avesse paura di oltrepassare la soglia 0 che qualcuno dall' esterno potesse entrare nel suo mondo perfetto fatto di calcoli e astrazioni. Si,perche Zacaria Mallius era un illustre matematico cui era stato dato il compito di trovare la soluzione di un problema che assillava i suoi colleghi da centinaia d'anni. Ricordava ancora con emozione il momenta nel quale il suo mentore, il senatore Valerio Lucius ormai sulla settantina, 10 aveva chiamato nel suo studio dal pavimento decorato da mosaici usurati dal tempo e gli aveva annunciato che era stato scelto fra centinaia di studenti per proseguire ulteriormente gli studio "Mallius, la Matematica vi ha scelto tra una moltitudine di allievi provenienti dalle pili lontane province dell'Impero per seguirla in un pili arduo cammino" gli aveva detto quello, accompagnando ogni parola con un affannato respiro. "Lei comprendera appieno la responsabilita che Ie affidiamo e Ia carriera che le stiamo schiudendo. Sono certo che non vorra deludere noi e quella Scienza cheindegnamente rappresentiamo" aveva concluso abbassando il capo, incoronato da capelli bianchi come la neve, facendogli cost capire che il colloquio poteva dirsi concluso. "Certamente" si era limitato a rispondere mettendosi quasi sull'attenti e in quell'avverbio c'erano tutta l'emozione e l'orgoglio che si erano appena impadroniti di lui. Uscito dallo studio, attraversato un lungo e silenzioso corridoio sul quale si affacciavano porte ermeticamente chiuse, aveva finalmente potuto dar sfogo alla sua felicita esultando come un qualunque giovanotto della sua eta. Lei, dai capelli neri e lucenti comel'acqua sorgiva suI fondo di un pozzo, 10 attendeva nell'atrio sorretto da colonne di stile ionico, ansiosa per I'esito di quel colloquio. Alla notizia si erano abbracciati, ebbri di gioia come solo due giovani sanno essere, ed anche se alcune lacrime le avevano rigato il viso nello scoprire che lui sarebbe dovuto partire per una lontana provincia, l'amore che le ardeva nel petto la sostennee II destino le aveva riservato pero un futuro assai diverso da quello che lei sperava. Nella scuola di perfezionamento, situata nella caotica capitale dell'Impero,
metematica e culture 2008
lui si era infatti distinto fra tutti per capacita e dedizione, risultando 10studente migliore degli ultimi dieci anni, il che 10aveva posto all'attenzione dei piu illustri matematici del suo tempo. Una lettera con tanto di sigillo dell'Imperatore 10informo che era stato convocato davanti ad una commissione di importanti studiosi e li fu messo di fronte alIa scelta pili alta: rinunciare alIa vita comune per consacrarsi alIa ricerca della soluzione di quel problema che ancor'oggi 10sfidava. I'Impero contava su di lui, gli era stato detto, da uomini dal volto austero, avvolti in candide toghe. Pieno com'era di richiami al dovere e sedotto dal fascino della gloria, non aveva avuto dubbi. 11 suo assenso era stato deciso e, a quelli che gli chiedevano se non dovesse prima consigliarsi con qualcuno, aveva risposto che bastava a se stesso. L'indomani, senza salutare nessuno, era partito per il capoluogo dove sorgeva la sua destinazione ultima, una torre a tronco di cono ricoperta da una pietra di color avorio ed eretta secoli prima, proprio nel cuore della citta, per ospitare persone come lui, completamente dedite alIa matematica. Li, silenziosi servitori avrebbero soddisfatto i suoi bisogni non facendogli mai mancare nulla in modo che la sua mente, priva di preoccupazioni e distrazioni, potesse dedicarsi totalmente ai suoi studio Ancor oggi gli si riempiva i1 petto di piacere pensando al coraggio che aveva avuto, alIa deterrninazione che aveva mostrato nello scegliere quella strada eliminando dal suo cammino ogni altra cura. E se qualcuno avesse potuto spiarlo in perenne lotta con teorie sempre pili complesse ed ardite, avrebbe potuto pensare che col tempo fosse diventato un uomo frustrato; in fondo, in tanti anni non era riuscito ad aggredire come avrebbe voluto il suo obiettivo, ne 1'1mpero si era fatto vivo con lui per seguire i suoi progressi 0 sostenerlo con il suo incoraggiamento. I suoi lemmi avevano st colmato i fossati che ostacolavano la soluzione del problema ed i suoi teoremi avevano certamente approntato macchine in grado di ereare delle brecce nelle mura che la difendevano, rna I'affondo finale era lontano a venire. Ebbene, quel qualcuno si sarebbe sbagliato: con 1'0biettivo ben fisso nella mente si comportava come quel generale che, cinta d'assedio una fortezza troppo ben difesa per essere assaltata d'impeto, decida di tagliarle tutti gli approvvigionamenti e le vie di fuga in modo che al momenta opportuno cada senza combattere. Se anche ci fossero voluti decenni non gli importava: sapeva che quell'Impero, apparentemente dimentico del suo lavoro, non aspettava che lui per quel compito e lui non 10 avrebbe deluso. Anche quel giorno sarebbe dunque passato come tutti gli altri, con i1 capo chino su papiri srotolati e sulle pergamene 0 con i1 gesso, che mai mancava, a sbriciolarsi sulla lavagna sotto la pressione delle sue dita; sarebbe stato cOSI se non si fosse verificato un banale contrattempo. Bisogna sapere che nella torre d' avorio i pranzi venivano serviti invariabilmente ad ore fissate: uno sportellino, posto nella parte inferiore della porta della cella, veniva aperto al momento dei pasti in modo da permettere i1 passaggio di un vassoio suI quale erano posati i piatti con le cibarie ed allo stesso modo gli occupanti della torre si liberavano dei loro rifiuti. I servitori, che erano assolutamente invisibili per gli ospiti della torre, prestavano molta attenzione a non fare nessun rumore in modo da non arrecare disturbo. Persino quando a giorni alterni dovevano provvedere alle pulizie di una delle due stanze, si facevano annunciare da un campanellino in modo da permettere all'occupante di non interrompere i1 suo lavoro rinchiudendosi nella stanza attigua. Del resto
era loro severamente vietato parlare con i matematici della torre, ogni comunicazione avvenendo in forma scritta e riguardando esclusivamente questioni inerenti illavoro 0 richieste di materiale. Quel giorno invece accadde che 10 sportellino della cella di Zacaria, pur essendo regolarrnente controllato, non volle aprirsi e il servitore incaricato di portare il pranzo, forzando esageratamente quell'anta, fini per aprire l'intera porta, cadendo rovinosamente all'interno della. cella. Zacaria, che non incontrava una persona da tempo immemorabile, resto alquanta turbato per l'ingresso inatteso e rimase indeciso sul da farsi. II ragazzo, perche di questa si trattava, si rialzo prontamente da terra scuotendo il cibo che gli si era rovesciato addosso. "Scusaterni, signore" balbetto con un curioso accento non appena ebbe completamente realizzato quel che gIi era accaduto, cercando al contempo di puIire per terra. "Lo sportello era inceppato, ho tirato e spinto, la porta si eaperta. E suecesso tutto cost in fretta! Che disastro" ripresemettendosi a piangere. Zacaria non vedeva l'ora che sene andasse per riprendere il suo lavoro, rna nel vederlo immobile, troppo scosso per cap ire cosa avrebbe dovuto fare, decise di avvicinarsi. "Suvvia, suvvia, non preoccupatevi" gli disse tra il paterno ed il formale, non sapendo bene che tono usare. «Ora ripulite, portatemi una nuova porzione e tutto andra a posto" aggiunse, pensando invece che avrebbe fatto in modo che quell'incapace venisse scacciato. II ragazzo si asciugo le lacrime in una manica della tunica' lasciando disegnata sul volto una strisciadi sugo rosso. Avra avuto sl e no quindici anni e tremava ancora come una foglia. "Sedetevi un attimo" 10 invito Zacaria, pentendosi subito delle sue parole, perche il ragazzino, spostando la sedia, fece cadere alcuni fogli che planarono poco lontano. "Sensate, sono proprio maldestro, Ii raccolgo subito" disse il giovane facendo per alzarsi, rna l'uomo 10 fermo: aveva gia fatto troppi disastri e non voleva che ne combinasse altri. Sfortunatamente pero, alcuni di quegli scritti si erano irrimediabilmente macchiati, cadendo esattamente nella zona sporcata dal pranzo rovesciato, Zacaria avrebbe voluto piangere per la rabbia: non solo aveva perso tempo senza aver mangiato, rna vedeva pure distrutto illavoro di qualche giorno. "Andatevenel" urlo, "Subitol" aggiunse in preda ad una crisi isterica ed il ragazzo, raccolti alla bell'e meglio rifiuti e fogli, scomparve dalla porta. Mallius, restato solo, si mise veramente a piangere. Non aveva mai, da quando era nella torre, buttato al vento tante ore della sua vita, ore che magari, giunto alla fine dei suoi giorni, si sarebbero rivelate fondamentali per poter concludere il suo compito. Aveva i nervi tanto scossi che finl per crollare in un sonno senza sogni, denso e pesante come il mercurio. Un sibilo leggero 10 risveglio: 10 aveva prodotto una pergamena, fatta passare sotto la porta dall'esterno.Guardo meglio e s'avvide che nel frattempo un altro foglio si era unito al primo e poi un altro ancora. Presili in mana constatochesu di essi erano stati ricopiati, nei minimi dettagli, i passaggi riportati sui fogli sporcati. (Deve essere stato quel ragazzo' penso rimettendosi a sedere. 'Chissaquali e quanti errori avra introdotto' sbuffo mettendosi a controllare quelle equazioni, rna piu scorreva le formule e piu le riconosceva corrette cosr come le aveva vergate. Anzi, con immensa sorpresa, si accorse che l'anonima mana che le aveva ricopiate suggeriva ad un certo punto un cambiamento, avendo rilevato un errore di calcolo.
culture 2008 Era nel frattempo giunta la sera, 10 sportello dal quale sarebbe arrivato il cibo doveva essere stato riparato (0 per 10 meno i rumori provenienti dan'esterno glielo avevano fattopensare) ed in effetti, ana solita ora, l'anta si aprl ed una mana silenziosa spinse all'interno il vassoio e ad attenderla c'era Zacaria. In un attimo la porta si aprl, come gia era accaduto a mezzogiorno, rna questa volta a tirarla a se fu Mallius in persona. II ragazzo ruzzolo come la prima volta, fissando atterrito l'occupante della stanza. "Vi prego signore, non puniterni, non e colpa mia, ve 10 giuro" disse coprendosi il volto con le rnani. "Lo so, perche sono stato io ad aprire la porta" rispose semplicemente il matematico. "Ora voglio che tu mi dica chi ha ricopiato le mie formule" gli intimo con durezza. II ragazzo 10 guardo di nuovo con due occhi grandi e scuri, due perle nere che luccicavano in un limpido mare. "Sono stato io" e parlo con una voce dolce, quasi femminile, che colpi profondamenteZacaria. (CTu? Non ci credo! Se sei stato veramente tu, per quale ragione questa calcolo sarebbe sbagliato?" gli chiese sicuro di metterlo in croce. II ragazzo si levo in piedi, tiro su con il naso, prese in mana il foglio e con grande semplicita spiego all'uomo esattamente quello che non andava. Zacaria Mallius impallidl e per la prima volta osservo quello scricciolo d'uorno in modo diverso, non soltanto perche aveva trovato un errore nei suoi calcoli, rna perche nel correggerlo gli aveva fatto intravedere una strada di sviluppo della sua teoria totalmente diversa da quella che fino ad allora aveva seguito, una via che meritava d' essere percorsa. "Siediti" gli disse e, avvicinataun'altra sedia al tavolo, prese a spiegargli quel che stava facendo. Dopo mezz'ora gli comunico chepoteva andarsene, rna di tornare l'indomani senza dir nulla a nessuno delloro incontro. Non gli importava che 10 avesse capito nelle sue spiegazioni, gli interessava soltanto che 10 stesse a sentire. II ragazzo, che si era limitato ad ascoltare quel che il matematico gli stava dicendo, non rispose ed user dalla stanza, rna il giorno dopo torno al tacito appuntamento ed ascolto le proposizioni che Zacaria Mallius gli sottoponeva; 10 fece quel giorno ed il giorno dopo ed il giorno dopo ancora. Passarono gli anni ed ormai per Zacaria quel momenta era diventato il culmine della giornata, l'istante nel quale avrebbe mostrato i passi avanti che aveva fatto 0 motivato i ripensamenti ed i cambiamenti che aveva dovuto intraprendere 0 semplicemente avrebbe esposto le sue riflessioni. Fu dunque una dolorosa sorpresa quando una sera, lasciata socchiusa la porta come d'abitudine per l'ingresso del ragazzo, ormai fattosi uomo, quello non giunse. E non venne neppure nei giorni seguenti, sostituito da un altro servitoreo E con il passare del tempo la porta venne nuovamente rinchiusa ed il cibo passato solo attraverso l' anta che serviva allo scopo. Zacaria Mallius non poteva soffrire, non doveva soffrire, troppo alto era 10 scopo che si era dato, anche se I'assenza del serale ascoltatore gli pesava. Cost, esattarnente come aveva fatto con la donna dai capelli neri che 10 aveva invano aspettato nella sala dalle colonne ioniche molti decenni prima, decise di dimenticarsi del ragazzo che silenziosamente 10 aveva a lungo visitato.
Passarono gli anni e per Zacaria la vita ripresea scorrere regolata dalle ferree leggi della torre. Cio nonostante, ogni tanto, avvicinandosi il momenta della cena, si accorgeva di tendere piu del necessario I'orecchio nella speranza di sentir risuonare di nuovo sui pavimenti di pietra della torre il passo di quel giovane uomo. E fu proprio in occasione di uno di quei momenti che percept delle voci provenire dal corridoio. Incuriosito da quella stranezza, avvicino l' orecchio all'uscio e pote udire distintamente due servitori che discorrevano a bassa voce, convinti di non essere ascoltati. "Hai vistoi Uno che serviva un tempo come noi e entrato infine tra gli ospiti della torre" diceva uno all' altro. "Chi era? Ah, ho capito. Lo ricordo bene, aveva due occhi che ti inchiodavano quando ti guardava. Era entrato a servire ch' era un ragazzino. Pensa che si raeconta che si fermasse ad ascoltare quello della stanza 31416 e che 11 abbia scoperto la sua passione per la matematica" rispondeva I'altro. "Veramentei Poveraccio, che brutta fine.Chiuso per sempre in questa sepolcro. Diverra anche lui come tutti gli altri! E dove sta?" ribatte l' altro. "Nella 27183 che si eliberata da poco" e dopo questa frase non pote piu udire nient' altro perche i due uomini si allontanarono. Zacaria Mallius avrebbe dovuto essere orgoglioso di se stesso perche, non c'era dubbio.I'uomo del quale parlavano era proprio il ragazzo che per tanti anni 10 aveva ascoltato e che ora, anche grazie ai suoi insegnamenti, non solo aveva deciso di studiare la maternatica, rna era stato ritenuto degno dell'onore di entrare nella torre d'avorio, Eppure non 10 era, neppure un poco. Cosa volevano dire quei due dicendo che aveva fatto una brutta fine? In che senso sarebbe diventato come gli altri? Una facile risposta era quella di dire che sarebbe diventato un matematico di prima grandezza come tutti quelli che si trovavano nella torre, rna Zacaria aveva sentito nella loro voce un to no di biasimo e di dispiacere. Forse che lui non era un uomo degno di ogni rispetto? Forse che non aveva sacrificato tutto per la sua gente, per degli studi che sarebbero serviti immensamente all'Impero, come gli avevano detto prima di accompagnarlo nella torre? Per la prima volta gli occhi tristi di una donna dai neri capelli emersero dalla sua memoria e 10 fissarono con rammarico misto a dolcezza. Cerco di scacciarli, rna ad essi si sostituirono quelli limpidi di un giovincello che aveva avuto la sventura di rovesciare un vassoio nella sua stanza e gli venne in mente iltermine sventura e non fortuna, come sarebbe accaduto qualche tempo prima. 'Che disastro' si disse, 'ho condotto un'altra anima a morire in questa torre inseguendo un sogno che a nessuno interessa' e, seduto con la testa fra Ie mani, si mise a piangere amaramente. Fu un numero, 27183, che 10 scosse. Ma certo, era ancora in tempo per salvarlo! Non doveva far altro che trovarlo e convincerlo ad abbandonare il compito che gli era stato affidato. La porta della sua cella si apri docilmente e per la prima volta da quando era entrato in quelluogo Zacaria si ritrovo in corridoio. Sull'uscio, ormai alle sue spalle, una targa con sovra scritto 31416 ricordava a tutti il numero della stanza. Fatti pochi passi in salita, il corridoio era infatti leggermente pendente, noto che la cella successiva riportava il numero 31417, doveva quindi andare nella direzione opposta. La torre aveva uno sviluppo elicoidale e per arrivare alla 27183 calcolo che avrebbe dovuto percorrere un considerevole cammino, manulla 10 spaventava vi-
matemetlca e cultura 2008
sto che ora il suo scopo era quello di salvare una persona. Cammino per tutta la notte senza mai fermarsi e senza incontrare nessuno per quel monotono corridoio. Le porte si succedevano tutte uguali se non per il numero che progressivamente diminuiva. 'Nascondevano tutte stanze occupate da qualcuno 0 alcune erano vuote o dedicate alla servitui' si chiese approfittando di una pausa per rifiatare, ma subito scaccio l'interrogativo e riprese il cammino. Pinalmente, quando i piedi cominciavano a dolergli ed i primi accenni di crampi 10perseguitavano, si ritrovo di fronte alla cella 27183. II cuore batteva tanto forte che sembrava volesse uscire dal petto. Chi avrebbe trovato dietro quella porta? II ragazzo disposto ad ascoltarlo come tanti anni prima 0 un uomo reso schiavo di una missione che 10 aveva totalmente assorbito? Non poteva saperlo se non spingendo l'uscio, e cost fece. II battente ruoto lentamente sui cardini e Zacaria Mallius entro in una stanza che non aveva nulla ache vedere con la sua: da una vetrata, che ricopriva l'intera parete rivolta all' esterno, il cerchio del sole, seppur basso sull'orizzonte, proiettava i suoi caldi raggi. Zacaria a causa della luce diretta dovette riparare gli occhi con una mana per riuscire a vedere e solo allora si rese conto che una figura, in controluce, era in piedi davanti alla vetrata. Stava guardando fuori, forse ammirata dallo spettacolo del sorgere del nostro astro. "Zacaria, sii il benvenuto" gli disse senza voltarsi. "Vieni avanti per goderti questo miracolo!" e a quell'invito Zacaria Mallius avanzo sapendo chi gli stava parlando. Aveva riconosciuto infatti subito la voce di quel ragazzo che tanti anni prima era entrato nella sua stanza. II sole si era ormai levato al di sopra della linea dell'orizzonte e illuminava la citta che si stendeva ai piedi della torre. Dovevano essere mo1to in alto perche si riusciva ad avvertire la rotondita del pianeta. Mallius era, per la prima volta da tempo, confuso, rna riusci comunque a parlare: "Devi andartene da qui. Non ridurti come me, rinuncia all'incarico che ti e stato affidato finche sei in tempo. L'Impero..." L'uomo si volse verso di lui sorridendo. "Caro Zacaria.I'Impero non esiste piu da diversi anni. Si esgretolato sotto il suo stesso peso quando genti nuove sono penetrate nei suoi confini" gli disse senza muoversi. Mallius non riusciva a credere a quelle parole. "Siediti, ti prego e ti spieghero tutto" e, fatto accomodare Zacaria, gli racconto quel10 che era successo in quegli anni, delle battaglie che erano state combattute spargendo fiumi di sangue, di come alla fine le frontiere fossero state travolte e la capitale stessa fosse stata saccheggiata e di come infine le nuove genti si fossero con il tempo fuse con le vecchie prendendo il meglio delle une e delle altre. "Sai, in questa torre ci sono gia stato. No, non solo quando venivo ad ascoltarti, rna molto tempo dopo quando venni incaricato di dimostrare se una certa congettura fosse vera 0 falsa. Ci riuscii tra 10 stupore generale in pochi giorni e divenni tanto famoso nel mondo conosciuto da salire rapidamente ai vertici del consesso dei matematici finche non divenni il responsabile della torre d' avorio. La sa1vai dal crollo della civilta che l'aveva vo1uta, facendo in modo che nessuno degli occupanti si accorgesse di quel che stava avvenendo fuori fino a quando il mondo non avesse trovato un nuovo equilibrio" spiego con semplicita, "Ed e in questa stanza dove vivi?" chiese con esitazione Zacaria. "No, io non abito in questa edificio" rispose senza esitazioni il suo interlocutore.
la
d'avorio
"Ma come, io ho sentito..." disse Zacaria balbettando, rna l'uomo 10 interruppe: "Tu hai sentito quello che io volevoche tu sentissi. Ho ordinato io ai quei due inservienti di parlare vicino alIa tua porta ben sapendo che avresti potuto origliare. La sera di ieri era gia la terza nella quale ripetevano quei discorsi. Vedi Zacaria, volevo sapere se tu avresti avuto il coraggio di abbandonare la tua cella, la tua casa, per venire da me ed ho avuto la risposta che cercavo," Zacaria si alzo per rimettersi subito a sedere.Non sapeva ne cosa dire, ne cosa fare. "Fuori dalla torre il mondo emolto cambiato, tante certezze sono svanite, la lingua che univa i popoli sta scomparendo ed il futuro appare piu incerto e proprio per questa la gente ha bisogno di te, dei matematici che l'Impero, nella sua pomposa cecita, ha finito per rinchiudere in questa torre. Problemi nuovi e stimolanti non aspettano che le vostre intelligenze se solo avrete il coraggio di uscire da questa luogo protetto" concluse affacciandosi nuovamente verso I' esterno. Zacaria 10 aveva ascoltato silenzioso, come aveva fatto il suo interlocutore quando lui gli parlava delle sue teorie. "Quello che mi hai dettomi ha molto rattristato. Tutto cio che conoscevo ed in cui credevo non esiste pin. Una vita di dedizione e lavoro completamente sprecatao Come posso esserti d'aiutoi" gli disse con una profonda tristezza nel cuore mentre il suo pensiero andava al passato. Curiosamente, non erano pero i viali ornati da templi bianchi come l'avorio 0 le statue colossali di divinita 0 la baldanza dei legionari che si percuotevano 10 scudo con il gladio ad apparirgli nitidamente, rna una donna sola in mezzo ad una stanza che, muta, gli ricordavaquanto lui avrebbe potuto essere felice se I'avesse scelta. E la disperazione si impadronl del suo animo perche gli parve allora che con il suo mondo lui stesso era andato perduto. L'uomo che gli era accanto, comprese il suo stato, gli si pose davanti e gli appoggio le mani sulle spalle. "Zacaria, guardami, ti prego, non tutto eperduto" gli disse con voce calma e serena. "Credevi nella Matematica e nelle sue potenzialita ed implicitamente credevi quindi nell'uomo, nella sua capacita di.migliorare il mondo. Ebbene tutto questo c'e ancora. E scomparsa un'istituzione che tutti, sbagliando, pensavano immortale, rna solo il nostro spirito 10 e. D'altra parte, anche questa torre non e stata concepita nella forma attuale. Fu SI edificata per raccogliere le migliori menti matematiche del mondo conosciuto, rna era completamente ricoperta di vetrate come questa, che permettessero alIa luce del mondo esterno di entrare e riflettessero su di esso scintillanti fantasie, quasi a significare come la Matematica sia aperta aIle sollecitazioni del mondo e restituisca a quello meravigliose costruzioni. Non vi erano limiti d'accesso e chiunque 10 desiderasse poteva entrare nell'edificia e chiedere di discutere i suoi problemi. Con il passare degli anni ed il divenire sempre piu incerto della situazione i vari Imperatori decisero di fortificare la torre, impedendo illibero accesso, e di ricoprirne la superficie esterna con la pietra color avorio per renderla meno appariscente ed invitante per le razzie di quelli che chiamavamo barbari. In questa modo pero ne decretarono I'isolamento. I problemi affrontati dai suoi occupanti, seppur stimolanti e di primissimo piano nelloro settore, venivano avvertiti come alieni dalla gente comune e dopo neppure un secolo, persino nella citta dove la torre sorge, si era perso il senso vero di questa
matemance e
2008
monumento" spiego l'uomo guardando le lora immagini riflesse nella vetrata verso la qua1e si erano ora voltati. "Aiutarni a riportare la torre al suo compito originario, questa ti chiedo. Contagia con l'entusiasmo che dimostrasti a me da giovane pili persone possibili all'interno ed all' esterno della torre. Te la senti di lasciar germogliare i numeri che hai nel cuore e di lasciarli fiorire in modo che la gente ritrovi la bellezza per la matematica e non 1aveda come uri'inutile torre volta asfidare il cieloi" chiese a Zacaria con quella stessa dolcezza che aveva da ragazzino. Zacaria non rispose subito. Abbandonare la sua cella, il suo mondo con un solo problema.Ia sua lavagna con i gessi sempre presenti per gettarsi in un mondo che nel frattempo era completamente mutato? Pura follia avrebbe risposto solo il giorno prima, rna non oggi. Ed anche la donna dai capelli corvini parve per un attimo sorridergli nella mente ed incitarlo ad andare, senza rernore, perche sapeva che c'era in lui un amore pili forte di quello che puo legare un uomo ed una donna. "Vedo che l'Impero, 0 comunque tu 10voglia chiamare, ha di nuovo bisogno di me e mi ha posta un nuovo problema. Accetto! Quando si cominciai" domando ed i due uomini si strinsero in un abbraccio fraterno illuminati dal sole ormai alto nel cielo," Gastald non aveva sollevato neppure per un secondo gli occhi dalla Gazette tanto il racconto 10aveva preso e solo allora si accorse che due persone 10stavano silenziosamente fissando a pochi passi da lui. Si trattava di Louise e Fabrius che erano arrivati da qualche minuto e non avevano voluto disturbarlo. Si alzo di scatto per la sorpresa, finendo per rovesciare la sedia dove era seduto, felice che i suoi due amici fossero It, "Vedo che il racconto vi ha catturato" disse Fabrius risollevando la seggiola da terra. "Di cosa state parlandoi" domando incuriosita Louise ed il dottore Ie porse la Gazette. "L'ho letto anch'io e devo dirvi che mi ha lasciataun poco meravigliata perche...", rna Fabrius 1ainterruppe. "Perrni tutti! Scusatemi signorina se intervengo, rna propongo a voi ed al dottore di discutere della novella e di quel che avete pensato leggendola, mentre andiamo al mare, alla moda dei peripatetici, 0 finiremo per far troppo tardi" esclamo ridendo e gli altri due, scambiatisi con gli occhi un sorriso, risposero all'unisono: cc.Agli ordini, mon capitainl" emai passeggiata si dimostro pili animata ed interessante di quella.
Introduzione
Matematici, perche? Nel film Signorina Effe di Wilma Labate, uscito nelle sale agli inizi .deI2008,la protagonista, interpretata da Valeria Solarino, euna studentessa di matematica che si staIaureando al Politecnico di Torino. Sono gli anni Ottanta, gli anni della marcia dei 40.000, impiegati e dirigenti della FIAT, che si oppongono allungo sciopero degli operai. Sara la sconfitta dei sindacati dei metalmeccanici alla FIAT, malgrado la famosa visita di Enrico Berlinguer, allora segretario del Partito Comunista Italiano. Una ragazza colta, pienadi interessi, sensibile la protagonista, che vuole cambiare il mondo in cui vive. Hanno pensato gli sceneggiatori che doveva essere una studentessa di matematica. Giustamente, verrebbe da dire. Stessa scelta era stata fatta anni fa, nel 2003, in un altro film La meglio gioventu di Marco Tullio Giordana, per una delle protagoniste del film, una ragazza piena di entusiasmo, piena di vita, che corre a Firenze a dare una mana dopo la grande alluvione del 1966.Studentessa di matematica, appassionata di musica, idealista, desiderosa di cambiare. Che poi delusa finira con il diventare una brigatista rossa. Delle scelte di vita in cui il primo pensiero non ecerto quello di ottenere dei risultati economici e dei privilegi, rna piuttosto di correre dietro a una passione, a un entusiasmo che domina su tutto. Se mi econsentito un piccolo ricordo personale, quando nel1981 partecipai alIa grande rassegna di cinema dell'Estate Romana nell'area archeologica di Massenzio con il mio breve film Bolle di sapone, non c'era molta gente a vederlo. E qualche giorno dopo ebbi dei garbati, rna fermi rimproveri da colleghi che mi dissero che un matematico, un profess ore universitario non partecipa a cose del genere! Certo i tempi sono cambiati, sono passati 27 anni da allora. Nel bene e nel male. Si parla molto di pili di matematici e di matematica ai giorni nostri, non sempre a proposito, molte volte a sproposito. Lo spettacolo sta alle volte prendendo il sopravvento su tutto.
Introduzione
Questi volumi sono iniziati con la grande ambizione di dire una parola importante sui rapporti tra la matematica e la cultura, e nello stesso tempo essere dei libri interessanti e divertenti da leggere. Credo che ci siamo riusciti. Grazie all'aiuto di tanti. Tra i quali quello di Fausto Saleri al cui ricordo questa volume
ededicato.
E sempre a lui ededicato il breve film in DVD reaIizzato durante il convegno del 2007 che si pub richiedere alla seguente email:
[email protected]. Se sara possibile, con il ricavato vorremmo istituire una borsa di studio a lui dedicata. MICHELE EMMER
Indice
matematica e letteratura
L'ultimo Teorema di Fermat. Mettere in scena la matematica
Simon Singh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
matematica e culture
I Quipu e la geometria dello spazio sacro presso gli Inca
Giulio Magli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
NausikaaMandana Rahmati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
L'infinito attraverso i1 gioco dei numeri: geometria e numeri nel giardino islamico
vite di matematici
L'autobiografia riluttante di G.H. Hardy
Marco Abate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Mario Geymonat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Siobhan Roberts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
Suggestioni di Archimede nella poesia latina e nelle ricerche scientifiche moderne
II re dello spazio infinito
matematica e arte
II mio lavoro, Ie ragioni del materiale
EmanuelaFiorelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
Antonino Saggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
Michele Emmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
Roberto Mantovani, Francesco Serafini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
Laboratorio di idee in movimento. Sculture vive di Santiago Calatrava
II Mazzocchio da Paolo Uccello a Lucio Saffaro Lo studiolo virtuale di Urbino
matematica e apptlcazlonl
Mettete gli stivali: arriva l'acqua alta
Elio Canestrelli .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
Aritmetica per la Costituzione: la ripartizione dei seggi al Senato
Marco Li Calzi
-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
Stefano Siviero, Daniele Terlizzese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
GianMarco Todesco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
179
Modelli matematici in azione: il caso di una banca centrale Sistemi a particelle
matematica e cinema
Dall'Astrattismo all'astratto
Carlo Montanaro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193
[urgen Ellinghaus
0. . . . . . . . . . . . . . . .
199
10 stile e la visibilita nella matematica Nathalie Sinclair, David Pimm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213
Paolo Maroscia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
227
A proposito della genesi del film La lettre scellee du soldat Doblin e di alcuni casi non quantificabili
matematica, estetica e poesia
Alcune osservazioni intorno all'estetica, Matematica e poesia
matematica e investigazione
Crimini e misfatti matematici
Michele Emmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
245
Kjell-Ove Widman, Bengt Beckman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
261
Catherine Shaw. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
269
La storia di Arne Beurling
Matematica e romanzi gialli matematica e spazio
La forma dello spazio: imparare facendo
Jeff Weeks . .. . .. . ... .. . . .. . . .... . .... . . .. . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . .
279
DanielaBertol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
285
Architettura e Cosmologia: percezioni del cielo sulla terra
matematica e simboli I segni della matematica: le origini della moderna simbologia
Maria Linda Falcidieno, Saverio Giulini, Massimo Malagugini. . . . . . . .
297
matematica e bolle di sapone
Bolle di sapone: un lungo viaggio
Michele Emmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
317
BradMiller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323
Bubble Shadows (Ombre di Bolle)
omaggio a Hugo Pratt
Venezia nei luoghi diHugo Pratt
LucianoMenetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
335
matematica e letteratura
./
/
/
r
MYt
L'ultimo Teorema di Fermat. Mettere in scena la matematica SIMON SINGH
Nel1995 il Professor Andrew Wiles della Princeton University e finalmente riuscito a dimostrare l'ultimo Teorema di Fermat. Tutta la stampa popolare l'aveva considerata la dimostrazione del secolo, in grado di risolvere il pili famigerato problema della storia della matematica. II Dipartimento scientifico della BBC a Londra produce regolarmente una serie di documentari scientifici intitolata Horizon. In essa vengono affrontati argomenti che spaziano dall'ambiente alla medicina, dalI'evoluzione all)astronomia, rna raramente vengono trattate questioni come la matematica. Alla fine, pero.anche la matematica ha avuto la sua storia da raccontare. Ne11996) assieme a John Lynch, un direttore di produzione della BBC, ho diretto e prodotto un documentario sulla dimostrazione di Andrew Wiles dell'ultimo Teorema di Fermat. Ha ottenuto 1,8 milioni di telespettatori alla prima messa in onda e da allora estato trasmesso in tutto il mondo, Stati Uniti compresi, dove estato incluso nella serie NOVA della PBScon il titolo di The Proof-La dimostrazione. Inoltre, il documentario ha vinto un premio BAFTA come miglior documentario dell'anno del Regno Unito e ha ricevuto una candidatura al premio americano Emmy. Una delle parti pili importanti, che da sola giustifica parzialmente il successo del documentario, ela sequenza iniziale. In questa breve intervento esaminero l'apertura del documentario e cerchero di illustrare i processi mentali che l'hanno ispirata e Ie modalita in cui e stata realizzata.
La sequenza iniziale Dopo i titoli di testa diHorizon ela sigla musicale.il programma si apre con Ie immagini di diverse sagome scure all'interno di una stanza misteriosa, mentre Andrew Wilesspiega che la ricerca matematica emolto simile all) esplorazione di una casa buia. Questa sequenza eseguita dalle immagini di Andrew Wiles che lavora alla sua scrivania, mentre la sua voce in sottofondo illustra il momenta decisivo, quandoha improvvisamente compreso di essere giunto alla dimostrazione dell'ultimo Teorerna di Fermat. Infine, Wiles parla direttamente alla macchina da presa e completa la narrazione della sua scoperta matematica. II racconto di come egiunto alIa scoperta ecost emozionante che il professore ha un momenta di esitazione, non e in grado di proseguire e si scosta dall'inquadratura, Questa sequenza iniziale ha una durata di 2 minuti e 20 secondi.
matematica e cl!ltltra 2008
Le ricerche prima delle riprese Prima di procedere alle riprese, abbiamo dedicato tre mesi alle ricerche sulla storia dell'ultimo Teorema di Fermat e all'analisi dei fatti che hanno portato alla dimostrazione di Wiles. Ci sono stati colloqui con molti matematici impegnati in quest'area di ricerca ed estato raccolto molto materiale sulla questione, dallibro "I'ultimo problema" di E.T. Bell a notizie recenti apparse sulla stampa. In sostanza, nel diciassettesimo secolo, il matematico Pierre de Fermat sostenne di avere trovato la dimostrazione del fatto che una particolare equazione non ha soluzioni intere. Egli non la scrisse, rna si limito a lasciare una provocante nota a margine, nella quale diceva di disporre di tale dimostrazione. Tre secoli dopo, nessuno aveva ancora riscoperto la dimostrazione di Fermat e la cornunita matematica aveva perso le speranze di riuscire a trovarla; rna all'eta di dieci anni, Andrew Wiles si impose l'obiettivo di riscoprire ladimostrazione di Fermat. Nel1986, quando era gia profess ore a Princeton, si rese conto di poter essere in grado di dimostrare l'ultimo Teorema di Fermat affrontando un problema noto come Congettura di Taniyama-Shimura. Ci sono voluti sette anni di lavoro in gran segreto per completare la dimostrazione rna si accorse di aver commesso un errore. La fama e la gloria internazionale si trasformarono improvvisamente in un'umiliazione pubblica. Per fortuna, nel1995 riusci a sistemare la sua dimostrazione e, alla fine, riusci a espugnare I'ultimo Teorema di Fermat. Prima di procedere alle riprese, avevamo definito una bozza dell'intero programma, sulla base delle nostre ricerche. Oggi mi edifficile ricordare i contenuti e la forma di quella bozza, poiche dopo le riprese fu subito gettata via.All'inizio delle procedure di post produzione, non importava pili cosa speravamo 0 ci aspettavamo che dicessero gli intervistati; quello che contava era piuttosto cia che essi avevano effettivamente detto davanti alla macchina da presa. In altre parole, i1 documentario e stato completamente reinventato durante le sei settimane di post produzione effettuate sulla base del materiale a nostra disposizione.
La storia della villa al buio La sequenza iniziale del film aveva una funzione cruciale, perche entro i primi minuti gli spettatori decidono se hanno intenzione di guardare l'intero programrna 0 cambiare canale. L'apertura era doppiamente importante perche si trattava di un programma sulla maternatica, e di per se non eun argomento che crea interesse spontaneo nella maggior parte degli spettatori. Nel corso delle nostre interviste, Wiles aveva cercato di darci un'idea di cosa volesse dire essere un matematico: Entri nella prima stanza della villa e la trovi completamente buia. Per cui inciampi improvvisamente nella mobilia, rna pian piano finisci per imparare dove si trovano gli oggetti. Infine, dopo circa sei mesi,scopri dove si trova l'interruttore della luce, 10 accendi e improvvisamente si illumina tutto. E puoi vedere esattamente dove ti trovi. Quindi ti sposti nella stanza seguente e passi altri sei me-
si al buio. Pertanto, ognuna di tali scoperte (anche se alle volte esse sono temporanee, potendo durare un giorno 0 due) non enient'altro che il risultato - e non potrebbe esistere senza - di molti mesi di vita difficile al buio che la precede. Ci sembrava questa il modo ideale per aprire il documentario, poiche rendeva il senso generale di una ricerca senza concentrarsi sul tipo di equazioni e immagini che avrebbero potuto scoraggiare i potenziali spettatori. Questa apertura era anche un tentativo di proporre i matematici come degli esploratori che si avventurano in un territorio sconosciuto, scoprendo nuove idee nelle regioni inesplorate dell'universo matematico. II tipo di immagini utilizzate in questa sequenza (ombre e sagome scure) si e rivelato utile anche nel resto del documentario, dove l'abbiamo usato per indicare i periodi della ricerca di Wiles in cui il matematico si etrovato a inciampare nel buio intellettuale, nel tentativo di trovare una nuova intuizione.
"11 momenta pili importante della mia vita professionale" La sequenza della residenza al buio si conclude con uno stacco su una scena che mostra Wiles allavoro alla sua scrivania. Si tratta di una scrivania caotica con pile di documenti suI punto di rovesciarsi. Sullo sfondo, la vocedi Wiles ci racconta: All'inizio di settembre ero seduto qui alla mia scrivania, quando all'improvviso, in maniera totalmente inaspettata, ho avuto questa incredibile rivelazione. Quindi passiamo alle immagini di Wiles che parla alla macchina da presa. La frase che sta pronunciando suscita in lui una tale emozione che non gli consente di concluderla:
Estato il momenta - il momenta pili importante della mia vita professionale. Nulla che saro ancora in grado di fare potra... Scusatemi. II motivo della sua reazione sta nel fatto che, mentre pronunciava queste parole,Wiles si trovava seduto alla scrivania sulla quale aveva lavorato per risolvere un problema che l'aveva ossessionato per decenni, rammentando il momenta in cui aveva finalmente realizzato il suo sogno, ottenendo la dimostrazione dell'ultimo Teorema di Fermat. In ogni caso, e davvero notevole che Wiles abbia mostrato tantaemozione, dato che di solito e uno studioso piuttosto riservato, e in quell'occasione si trovava davanti a una macchina da presa, circondato da circa mezza dozzina di persone, compresi l'assistente di produzione, il fonico e il tecnico luci. Dunque, per quale ragione Wiles si e dimostrato COS1 emotivo in una situazione del genere? Innanzitutto, a quel punto delle riprese l'intera squadra aveva trascorso quasi cinque giorni con Wiles. Ogni mattina venivano realizzate delle riprese di lui e nel pomeriggio si svolgevano Ie registrazioni delle interviste. Si pote quindi rendere conto che eravamo interessati a lui e alla sua storia e, durante le pause per il caffe
maternatica e cultura 2008
o per il pranzo, i membri della troupe gli facevano delle domande generiche, per esempio sulle sue ricerche attuali 0 su come era stato capace di mantenere segreto il suo lavoro per cost tanti annie Questo livello di comprensione umana estato indispensabile per permettere al nostro cameraman, Joe Vitagliano, di catturare il momento dell' esitazione di Wiles. Prima dell'intervista avevamo probabilmente concordato di realizzare una ripresa abbastanza standard di Wiles dal busto in su, rna Joe ha percepito che illivello emotivo stava crescendo e che la scena avrebbe avuto un maggiore impatto se la ripresa si fosse concentrata solo sul viso di Wiles.Di solito, pero, 10 zoom euna tecnica che non viene utilizzata nei film, poiche non rientra tra le modalita in cui gli umani vedono le cose - se sposto la mia visione dal muro intero all'orologio appeso al muro, non sto facendo uno zoom sull' orologio, rna piuttosto faccio un salto (0 uno stacco) dal muro intero all'orologio. Sfortunatamente, in questa caso, l'unica possibilita di cui Joe disponeva era zoomare su Wiles mentre parlava, rna e riuscito a farlo in maniera cosi.impercettibile da non dare l'impressione ana maggioranza degli spettatori che una zoomata era effettivamente in corso. Innanzitutto, ha cominciato 10 zoom durante una pausa tra le parole di Wiles; poi la zoomata eproseguita molto lentamente; infine, l'operatore ha fermato 10 zoom durante un'altra pausa e prima che Wiles fosse sopraffatto dall'emozione.
Un'immagine vale mille parole Poco tempo dopo la produzione di questa film con John Lynch, ho scritto un libro sul tema dell'ultimo Teorema di Fermat. Sono certamente molto orgoglioso del mio libro, rna mi e stato impossibile comunicare nei miei scritti l'emozione trasmessa nella sequenza di apertura di questa documentario. Spesso si dice che un'immagine vale mille parole, ma con 25 fotogrammi al secondo e con una durata di 140 secondi, si puo dire che questa sequenza di apertura vale ben oltre un milione di parole. Sono infinitamente grato al professor Wiles e agli altri matematici che hanno contribuito in maniera cost eloquente al film e che ci hanno permesso di raccontare la loro storia.
matematica e culture
I Quipu e lageometria dello spazio sacro presso gli Inca GlULlO MAGLl
La civilta degli Inca Spesso nella studio delle conoscenze delle antiche civilta ci si imbatte in un complesso e affascinante problema. Ci si rende infatti conto che eimpossibile ,- oltre che insensato - cercare di districare cio che noi intendiamo come "scienza", dal pensiero religioso e simbolico da una parte, e dalle strutture e sovrastrutture che su esso fondavano il proprio potere, dall'altra [1].Questo,tuttavia, non significa affatto che gli antichi affrontasseroi problemi in modo meno serio del nostro. r esempio piu nota esenza dubbio quello dei Maya:le lora conoscenze astronomiche non avevano infatti nulla da invidiare a quelle dei Greci (peresempio.Ia lora stima della durata del ciclo delle fasi lunari era pili accurata di quella di Tolomeo), rna 10 studio dei fenomeni celesti era indissolubilmente legato alla religione e alla gestione del potere, tanto che spesso si afferma (sbagliando, ovviamente) che erano"astrologi e non astronomi" [2].Di fatto, equindi necessario rinunciare ai nostri schemi mentali e tentare di immergersi nella mentalita di persone che avevano una visione della natura completamente diversa dalla nostra. II caso in cui, forse, questa operazione ein assoluto la piu difficile,rna anche, proprio per questo, affascinante, equello degli Inca. La storia della civilta nel continente sud-americano elunga e complessa [3] e l'impero degli Inca costituisce soltanto l'ultimissima fase di questa storia millenaria. Le prime notizie certe sugli Inca risalgono infatti al1200 quando questa bellicosa tribu (di cui non sappiamo il nome, perche la denominazione "Inca" poi adottata dagli Spagnoli era in realta solo l'appellativo del sovrano) originaria dell'altopiano di Cusco, nell' odierno Peru, comincio pian piano a estendere il proprio territorio. Nell'arco di meno di due secoli illoro dominio arrive a costituire un enorme impero, che comprendeva tutti iterritori dell'America sud-occidentale, cheoggi si estendono dalla Colombia all'Argentina. Fu a questa impero che le poche centinaia di Spagnoli del conquistatore Pizarro si trovarono davanti quando misero piede in Peru nel1532. Anche se edifficile da credere, a meno di un anno di distanza il piu grande stato dell' America precolombiana non esisteva gia pili, e iniziava una distruzione meticolosa esistematica della cultura, della religione e delle tradizioni degli Inca. Di conseguenza, la maggior parte delle nostre
matematica e culture 200 8
conoscenze sulla civilta Inca provengono da fonti indirette, spesso confuse 0 comunque "di parte": le cronache scritte in Spagnolo dopo la conquista. Tuttavia, naturalmente, degli Inca ci parlano innanzi tutto le loro stesse opere. Essi furono, infatti, costruttori form idabili. Erano, per esempio, maestri nelle opere idrauliche e di terrazzamento, che permettevano un'agricoltura efficiente e molto produttiva, e nella costruzione di strade, che attraversavano l'impero per migliaia di chilometri seguendo due direttrici principali, una lungo la costa e una in quota (gli animali da soma andini, i lama, non sono adatti al traino di carri, e per questa motivo le strade Inca erano percorse a piedi; non certo dunque, come qualcuno ha il coraggio di scrivere ancora oggi, perche "non avevano inventato la ruota") . Gli edifici in pietra venivano costruiti tramite l'incastro a secco (cioe senza malta o altri leganti) di grossi, talvolta enormi blocchi di andesite (una pietra dura simile al granito), secondo due modalita diverse, rna altrettanto perfezionate . Ne primo caso, i blocchi venivano tagliati in parallelepipedi tutti uguali e disposti in corsi orizzon tali sovrapposti. Nell'altro caso, detto opera poligonale,i blocchi venivano tagliati in bizzarre forme di poligoni irregolari, e poi incastrati perfettamente l'uno con l'altro. Gli incastri, a dispetto della difficolta estrema nella loro realizzazione, venivano eseguiti con precisione maniacale e millimetrica, quasi sconcertante, come accade di vedere, per esempio nelle grandi muraglie del Sacsahuaman, a Cusco (Fig. 1).
Fig. I. Mura poligonali Inca sul Sacsahuaman, Cusco (da Magli 2005)
Illivello di perfezione tecnica raggiunto dalle costruzioni andine trova pochissimi termini di paragone nella storia dell'architettura ed einteressante notare che le costruzioni che pili si avvicinano a quelle Inca si trovano nel Centro Italia, dove esistono magnifiche ed enigmatiche cinte murarie megalitiche (per esempio, ad Alatri , Norba e Circei), la cui datazione - abitualmente attribuita all'eta romana - e di fatto molto incerta (Fig. 2; per una introduzione completa alle costruzioni megalitiche del Centro Italia efr. [4]). Lo stato Inca era detto Tahuantinsuyu 0 "Le Quattro Parti della Terra" ed era organizzato secondo un rigido schema centralizzato; in particolare, la burocrazia statale teneva accuratamente conto della popolazione, registrando sesso, eta e con-
I Quipu e la ge ometria della spazi o sacro pre sso gli Inca
Fig. 2. Mura poligonali sulla fronte di nord-ovest dell' acropoli di Alatri (da Magli 2007)
dizione sociale di ogni elemento delle Ayllu, unita agricole autonome, che riunivano gruppi di famiglie dediti alle stesse attivita e governate da un capo ereditario. La lingua dello stato era il Quechua, parlato ancoraoggi inalcune zone rurali e del quale si hanno dizionari di epoca coloniale. Il governo del paese era affidato a una rigida gerarchia al cui vertice si trovavano le famiglie nobili, che risiedevano nella capitale, Cusco. Le tasse venivano risco sse sotto forma di prodotti 0 di lavoro obbligatorio nelle imprese statali, e gli archivi centrali registravano quindi meticolosamente anche entrate, raccolti e prestazioni di lavoro. Il metodo di registrazione dei dati degli Inca era chiamato Quipu (Fig. 3).
··... t' 0
:
•
. 0
eo
~ 0
0
•
•
I)
'I
0
Fig. 3. Un funzionario statale addetto alle registrazioni sui Quipus dalla Cronica di Poma de Ayala. In basso a sinistra e raffigurato un abaco 0 yupana
matenlatica e culture, 2008
Un Quipu e all'apparenza un oggetto semplice: si tratta infatti di un fascio di cordicelle disposte "ad albero" e legate a una corda primaria, sulle quali sono presenti dei nodi. Se 10 si guarda con attenzione, tuttavia, ci si rende conto che le cordicelle (che possono essere anche centinaia) hanno lunghezze, dimensioni e colori differenti e portano nodi realizzati in molti modi diversi. Purtroppo, la nostra conoscenza dei Quipu eestremamente lacunosa. Essi infatti vennero sistematicamente distrutti dai conquistatori, tanto che oggi ne rimangono solo alcune centinaia; tuttavia, e certo che la quantita di informazioni che era possibile registrare in un Quipu era vastissima. Innanzi tutto era possibile registrare numeri, su base decimale, che corrispondevano ai nodi: un nodo a 8, per esempio, indicava una singola unita, un nodo lungo le unita da 2 a 9, e gruppi di nodi indicavano suecessivamente decine, centinaia eCCe (questi Quipu "numerici" potevano, dunque, essere letti rapidamente scorrendoli con le mani). I Quipu venivano poi utilizzati, assieme alle cosiddette yupana (abachi 0 pallottolieri), come supporto per compiere operazioni algebriche, incluse, per esempio le divisioni in frazioni semplici [5]. In definitiva, dunque, si trattava di un sistema per registrare dati numerici assolutamente equivalente a qualunque altro. InoItre, moIte"funzioni accessorie"rendevano i Quipu vicini a un vero e proprio sistema di scrittura, perche l'utilizzo di nodi e colori diversi permetteva di associare concetti ai numeri (per esempio, cordelIa rossa = numero dei lama in un villaggio). In ogni caso, si esempre affermato, fin dalle cronache scritte poco dopo la conquista, che gli Inca non ebbero mai una vera e propria forma di scrittura. La cosa risulta naturalmente difficile da credere, ed esistono dei documenti ritrovati e pubblicati di recente (i ManoscrittiMiccinelli, redatti dal gesuita meticcio BIasValera e da altri confratelli nel periodo immediatamente successivoalla conquista), che testimoniano dell'esistenza di una forma di scrittura di tipo sillabico, basata su una combinazione di Quipu e di immagini intessute con essi [6].
Tempo, spazio e astronomia presso gli Inca La concezione del tempo nell' America precolombiana era profondamente diversa dalla nostra. Per noi il tempo "scorre uguale a se stesso", in un procedere "lineare" e monotono. Noi abbiamo, infatti, la divisione del tempo in secondi e minuti (sessanta), ore (ventiquattro), giorni (sette), mesi (dodici) e anni, maquesti ultimi sono "senza fine", al 2007 segue il 2008, al 2008 il 2009 ecc. Invece, per i Maya, per esempio, anche gli "anni" erano in numero finito; raggiunto questo, terminava una lunghissima "eta" (equivalente a 5125 anni solari) e si ricominciava a contare. Spesso si dice dunque che il tempo pre-colombiano era ciclico; io preferisco la parola "ricorsivo" perche ovviamente non eil tempo a ripetersi, masolo il modo in cui viene misurato. Eopportuno notare a questa proposito che, anche se non c'e dubbio sul fatto che queste ricorrenze fossero pensate come una sorta di «Eta del Mondo", non emai stato dimostrato che il termine di un periodo dovesse, nell'immaginario dei Maya,corrispondere al verificarsi di immani cataclismi naturali, come invece vorrebbe chi sostiene le cost dette catastrofiche "profezie" per il2012, anna in cui l'attuale "Eta" Maya avra termine.
E probabile che gli Inca avessero una concezione dello scorrere del tempo analoga a questa. In ogni caso, per gli Inca il tempo - 0 almeno il tempo sacro, quel10 legato alle attivita rituali -era in qualche modo un concetto «concreto" indistinto dallo spazio, tanto evero che il vocabolo quechua corrispondente significava tempo e spazio contemporaneamente. Si comprende allora come ogni aspetto del mondo naturale che avesse carattere di ciclicita, come i cicli agricoli e quelli dei corpi celesti, facesse parte della stessa struttura simbolica; all'interno di questa anche i numeri erano concepiti in modo diverso da quello occidentale; in particolare 10 zero era a sua volta in qualchemodo un concetto "concreto": esso corrispondeva alIa luna, un corpo celeste che e "assente" (il "nostro" zero), rna solo ciclicamente [7,8]. Essendo tempo e spazio in qualche modo .indistinguibili, la "vita religiosa" degli Inca comprendeva la venerazione di oggetti, luoghi e fenomeni naturali. In un certo senso l'intero paesaggio, disseminato di "cose da venerate" (huacas) era considerato sacro. Cio che ci interessa particolarmente qui ela geometria, terribilmente complessa e affascinante, secondo la quale questa spazio sacro era concepito e organizzato. Innanzi tutto, il territorio dell'impero era detto "stato dalle quattro parti" proprio perche era suddiviso in quattro grandi "cantoni" (suyus): Chinchaysuyu e Antisuyu, associati con "hanan" 0 "sopra", Collasuyu eCuntisuyu, associati con "hurin" o "sotto", All'intersezione (ideale e reale-amministrativa) delle "quattro parti" si trovava la capitale, Cusco, cuore dell'impero e vero proprio centro dell'universo Inca. La divisione in quattro parti, 0 "quadripartizione", della superficie terrestre fu comune amoltissime civilta in tutto il mondo, tanto che i quattro punti cardinali venivano accuratamente indicati da immagini 0 pietre nelle tombe Maya, rna anche, per esempio, in quelle cinesi [1]. Tuttavia nel caso degli Inca i quattro "cantoni" non corrispondevano ai quattro punti cardinali; non eaffatto chiaro come si originarono i loro confini, ed equantomeno possibile che il fatto che siano "storti" rispetto ai punti cardinali rifletta un'analoga divisione che gli Inca operavano nel cielo, utilizzando le configurazioni della Via Lattea (cioe la striscia luminosa delle stelle della nostra galassia). La Via Lattea era infatti uno degli elementi fondamentali dell'astronomia Inca. Era interpretata come un fiume celeste, "controparte" cosmica delle acque che scorrevano nei fiumi terrestri; visivamente.Ia parte piu brillante della Via (dal Cigno fino alle stelle vicine al polo celeste sud, come la Croce del Sud e il Centauro) appare divisa in due fasce luminose che recano al centro una zona piu oscura. Qui gli Inca identificavano delle costellazioni a nebulosaoscura, cioe "contorni" di figure che - a differenza delle nostre costellazioni, ottenute unendo con disegni immaginari selle brillanti - corrispondono a sagome scure nel cielo. E interessante notare che di queste costellazioni si trova testimonianza gia nelle opere dei cronisti, rna questa modo di rappresentare immagini nel cielo e cosi lontano dal nostro, che nessuno aveva mai capito di che cosa si trattasse realmente. Soltanto negli anni settanta dello scorso secolo, con la pubblicazione del fondamentale lavoro sul campo dell'antropologo Gary Urton [9], si e potuto finalmente rendere giustizia alle costellazioni Inca. Urton ha infatti ritrovato le tracce dell'immaginario Inca del cielo presso la popolazione odierna dei Misrninay, che vive in villaggi a poche decine di chilometri da Cusco, e ha potuto individuare con certezza mol-
matematica e cultu ra 2008
te delle antiche costellazioni, disposte "in processione" tra Ie nostre costellazioni Sagittario, Scorpione, Croce del Sud, Vela e Puppis (Fig. 4).
Fig. 4. Le costellazio ni Inca a nebulosa scu ra individuate da Gary Urton: 1) Rospo; 2) Volpe; 3) Piccolo Lama; 4) Lama; 5-6) Pernici 7) Serpente (da Magli 2005)
Da alcune testimonianze e documenti risulterebbe anche una ulteriore costellazione oscura, chiamata chuqui chincay e corrispondente alIa sagoma di un puma. La localizzazione di questa costellazione non eappurata con certezza; secondo alcuni potrebbe essere nella "coda" dello Scorpione, mentre chi scrive ha recentemente proposto di localizzarla piu a nord,presso il Cigno [10]. II motivo e, ancora una volta, legato alle profonde connessioni tra Ie conoscenze "scientifiche" - in questo caso, astronomiche - e it mondo simbolico degli Inc a. Risulta infatti da alcune cronache, in particolare quella di Sarmiento de Gamboa, che Cusco fu pianificata per assumere, se vista dall'alto, il profilo di un puma (Fig. 5).
Fig. 5. Pianta di Cusco redatta nel19 secolo da E. Squier. Si individua facilmente il profilo della citta Inca, che ricorda quello di un puma
--
e
presso
Inca
Di fatto ancora oggi varie zone di Cusco portano nomi che si riferisconoalle parti di questa animale, in particolare la zone dove confluivano i due torrenti cittadini (oggi coperti) che delimitavano la citta e detta pumachupan cioe
I Quipus e la concezione radiale della spazio Come abbiamo visto, 10 stato era "quadripartite" e i quattro "cantoni" si incrociavano nel centro ideale del mondo, Cusco, A questa divisione se ne aggiungeva un'altra,molto pili fine, della citta stessa e deisuoi dintorni, che faceva capo al Coricancha, il tempio principale. Da esso, infatti, avevano origine 41linee ideali, dette ceques. Lungo il percorso di ognuno dei ceques si trovavano numerose huacas, "siti degni di venerazione", di vario tipo, fra cui sorgenti, colline, grotte 0 altriluoghi ritenuti sacri, per un totale di 328.AIle linee corrispondevano anche divisioni sociali della popolazione, e Ie persone che vivevano lungo ogni ceque avevano obblighi di "manutenzione" nei confronti delle relative huacas. Si trattava di obblighi sia di tipo amministrativo (per esempio, controllare la distribuzione delle acque dalle sorgenti) che di tipo rituale, come portare offerte nei giorni previsti. Conosciamo la struttura del sistema ceque soprattutto in base alla Relazione del cronista Bernabe Cobo, che riporta nome edescrizione di ogni singola huaca. Tuttavia, la mappatura archeologica del sistema sul territorio si e dimostrata impresa tutt'altro che sernplice e si e conclusa solo di recente, con l'identificazione di circa il 500/0 delle huacas (si veda [11] e le referenze n citate); le altre sono state distrutte 0 si trovano sotto le abitazioni moderne. Iprincipali risultati di tale ricerca si possono riassumere nel modo seguente: 1.I ceques sono in generale delle linee spezzate; tuttavia, non si intersecano. 2. Esistono huacas divarie tipologie: sorgenti (290/0), pietre (290/0), colline 0 passi collinari (10%), edifici sacri(90/0), campi pianeggianti (90/0). II rimanente 140/0 e composto da tombe elo grotte. Curiosamente, la distribuzione delle tipologie nelle linee non sembra obbedire a nessun ordine, gerarchia 0 significato prestabiliti. 3. Solo pochissime delle huacas erano rimuovibili (per esempio, grandi pietre). Dunque l'intero sistema fu accuratamente pianificato sul territorio in maniera unitaria. Questa complessa e raffinata struttura "cosmografica" pone ovviamente il problema della sua nascita e interpretazione. Da questa punto di vista le nostre conoscenze sono molto frammentarie. In particolare, senza alcun dubbio il sistema conteneva dei riferimenti a osservazioni astronomiche; per esempio, la collina detta Chinchincalla ospitavadue piloni usati per osservazioni solari e questi piloni costituivano la terza huaca del tredicesimo ceque del Cuntisuyu. La presenza di allineamenti astronomici e il fatto che le huacas siano proprio 328 portarono Tom
matematica e culture 2008
Zuidema [12,13] a supporre che il sistema ceque corrispondesse, di fatto, a un vero e propro calendario rituale, basato sul mese lunare siderale e composto da 12 mesi di 27 giorni e un terzo. II totale era dunque di 328 giorni, e - secondo Zuidema - i 37 giorni necessari a riallineare il calendario con quello solare di 365 giorni corrispondevano al periodo di invisibilita delle Pleiadi, un gruppo di stelle senza dubbio molto importante nell'astronornia Inca. Questa interpretazione, senza dubbio suggestiva, non epero confermata ne dall'indagine archeologica [14] ne da quella sui documenti disponibili [15], edunque l'astronomia, anche se certamente giocava un ruolo importante, non pub da sola fornirci la chiave per I'interpretazione della struttura simbolica del sistema. Forse, tuttavia, questa chiave econtenuta proprio nei Quipu. Infatti.I'impressione generale che si trae dalla geometria radiale dello spazio Inca esenza dubbio analoga alIa forma mentis che corrisponde ai Quipus e, di fatto, una pianta dei ceques di Cusco non sembra altro che un Quipu disteso, una replica monumentale di un Quipu, come fu notato gia da vari commentatori e comee confermato dai manoscritti Miccinelli [6]. Di fatto, io ritengo che possa trattarsi di qualcosa di pili di una semplice analogia formale. In altri termini, penso che il sistema ceque potrebbe non essere la rappresentazione di un generico Quipu, rna quelladi uno specifico Quipu, nel quale dunque erano riportate delle specifiche informazioni (per esempio, sulla data di fondazione e sui fondatori della citta) [10]. Per cercare di cap ire se questa interpretazione evalida e necessariocostruire un database di tutti gli elementi del sistema e stabilire se il modo in cui essi furono disposti pub essere decodificato assegnando un significato numerico a ogni tipologia, esattamente come si procederebbe nell'analisi di un vero Quipu. Dopo oltre quindici anni di attivita di ricerca in astrofisica, spero adesso di portare avanti questa ricerca nel futuro; naturalmente, tenendo bene in mente Ie parole pronunciate dal re Inca Pachacuti e riportate dal cronista Garcilasode La Vega: "Colui che cerca di contare Ie stelle senza neanche saper contare i nodi e i segni dei Quipu, dovrebbe essere fatto oggetto di scherno".
Bibliografia [1] [2] [3] [4] [5] [6]
G.Magli (2005) Misteri eScopertedell'Archeoastronomia, Newton Compton eds., Roma M. Coe (2001) The Maya, Thames and Hudson, NewYork M. Moseley (2001) The Incas and TheirAncestors, Thames and Hudson, London G. Magli (2007) Segreti delleantiche citta megalitiche Newton Compton eds., Roma G. Urton (2003) Signsof the Inka Khipu, (University of Texas Press, Austin) L. Laurencich Minelli (2007) Exsul Immeritus BIas Valera Populo Suo e Historia et Ru-
dimenta Linguae Piruanorum. Indios, gesuiti e spagnoli in due documenti segreti sul Perdel XVII secolo CLUEBBologna [7] L.Laurencich Minelli (2001) Illinguaggio magico-religioso dei numeri, deiflli e della musicapresso gli Inca Esculapio, Bologna [8] L. Laurencich Minelli (2004) Lo zero concreto nel mondo inca e maya e cenni sul calco10 degliInca, in: Calcolo precolombiano Julio Macera Dall' Orso ed.; (Bardi, Roma) pp. 289-314
[9] G. Urton (1982) At the Crossroads of the Earth and the Sky:An Andean Cosmology, University of Texas Press, Austin [10] G. Magli (2005) Mathematics, Astronomyand Sacred Landscape in the Inka Heartland Nexus Network Journal- Architecture And Mathematics 7 p. 22-32 [11] B.Bauer (1998) The Sacred Landscape of the Inka: The Cusco Ceque System, University of Texas Press, Austin [12] R.T.Zuidema (1964) TheCeque System of Cusco: TheSocial Organization of the Capital of the Inca, Brill, Leiden [13] R.T.Zuidema (~977) TheInca calendar. In Aveni,A.F. (ed.), Native American Astronomy, University of Texas Press, Austin, pp. 219-259 [14] B.Bauer, D. Dearborn (1995) Astronomyand Empire in the AncientAndes:The Cultural Origins of Inka Sky Watchtng, University of Texas Press, Austin [15] L.Laurencich Minelli, G. Magli (2007) A calendarQuipuof the early 17 centuryand its relationship with the Inca astronomy, pre-print, www.arxiv.orglabsIOB01.1577
L'infinito attraverso il gioco dei numeri: geometria e numeri nel giardino islamico NAUSIKAA MANDANA RAHMATI
Vorrei illustrare alcune idee elaborate intorno allo studio dei giardini persiani, precursori dei modelli sui quali sono stati basati i successivi impianti islamici esportati dall 'oriente all'occidente, con le conquiste dei popoli mussulmani nel corso dei secoli. La rice rca di linee geometriche che furono poi applicate al giardino , oltre a essere associate a una filosofia basata sull'idea cosmic a dell'universo, erano il fondamento suI quale si basavano i lavori di progettazione per una pili facile realizzazione dell'impianto idrico. Fin dall'antichita il modello geometrico del giardino mantiene una relazione importante con la filosofia cosmica e religiosa. Incontriamo ripetutamente la divisione del giardino in quattro parti, attraversato da due assi perpendicolari, al cui incrocio si trova, a volte una vasca d'acqua, a volte un padiglione; riferimento cosmologico della suddivisione quadripartita del mondo mazdeo [1].
Fig.I. Ricostruzioneipotetica del palazzo di Artaserse II, Susa,Iran,V sec.a.c., tratta da: M. Kansari, M. R. Moghtader,M. Yavari, (1998) Tha Persian Garden. Echoes ofParadise, Mage Publishers, Washington
I --·--·--·-... . matemat ica e culture 2008
-----~· _----- - _·_----- --- -_ ·_·_-~----_·
i I
I
. ---------
.
Q~est~ porter~ in se?uito, ~e.l co.rso d~ ~ucces~ivi periodi st~rici: al~a creazione di divers I modelh architettonici nei quah 11 tracciato regolare e variabile, pur conservando, di base, la stessa antica regola matematica [2].
1I,.- ••
r----r"l • •
·d
Fig. 2. Pianta e sezione del giardino del palazzo di al-Badi, Marrakech, 1578,tratta da: C.Von Hantelman, D.Zoerin (2001) Gardens of Delight: the Great Islamic Gardens, Dumont Monte
Di per se il giardino, sempre visto come luogo di relax e di piacere, ein realta quel-
10 spazio delimitato creato dall'uomo, prodotto da un ordinamento d'elementi na-
turali e considerato di alto interesse materiale e spirituale. In funzione della sua origine, del passato storico e dei suoi valori estetici, sensoriali e botaniei, il giardino ebbe modo d' essere oggetto delle piu svariate interpretazioni. Proprio perche fornisce vaste argomentazioni, si deve esaminarlo ricercando i lineamenti generali della relazione tra l'uomo e la natura, dal punto di vista materiale e anche da quello spirituale, e vedere il giardino non solo come ambiente agricolo , botanico, architettonico, estetico e decorativo, rna anche come bisogno del cuore e della mente, come luogo di riposo, di solitudine e meditazione, quello cioe che videro, interpretarono e applicarono le popolazioni dell'antica Persia, e le successive popolazioni arabe. Per poter avere un' idea piu precisa sul percorso dei canoni architettonici e sulle influenze storiche del giardino islamico, enecessario fare un quadro di quello che fu la storia artistica della Persia antecedente all' era islamica, tenendo in cons iderazione vari fattori, tra i quali le contaminazioni di diversi gruppi etnici e sociali e le differenze religiose all'interno dello stesso Islam, che ebbero effetti diversi e incisivi in relazione al periodo storico. Non si deve altresl sottovalutare l'influenza della conformazione geografica e climatica dei territori dell'espansione islamica, che s'identificano con regioni aride e spesso desertiche, dove la presenza dell'acqua, e la conseguente formazione di un'oasi ricca di vegetazione, costituiscono un bene inestimabile, visto spesso come un dono divino. Eper questa che il tema del giardino s'inserisce in un vasto contesta, che comprende sia un'analisi temporale e geografica sia un'analisi specifica degli elementi fondamentali che 10 formano.
L'infinito attraverso iI gioco dei numeri: ge o met ria e num eri nel giardino islamico
Aspetti storico-religiosi Analizzando il punto di vista religiose, dai documenti che sono stat i ritrovati, catalogati e interpretati si ricava la sensazione che la religione fu onnipotente nella vita degli abitanti della Persia. Sin dalle origini, essa costituiva il fondamento della vita; il pensiero religioso e quello politico erano strettamente legati l'uno all'altro. Diversi culti religiosi erano praticati nell'antic a Persia, rna l'unica religione monoteista, che ininterrottamente praticata sin dal tempo degli Achemenidi (700-330 a.C,) e fino ai giorni nostri, e la religione fondata da Zarathustra. Gli Dei di quest'antica religione iranica, Mithra (dio della luce), Ahura Mazda (dio della creazione e del fuoco) e la dea Anahita (Dea dell'acqua), costituiscono il fondamento del credo zoroastriano, che venerava pero Ahura Mazda come unico "signore" e i "quattro" elementi della vita, con i quali i fedeli hanno il compito di proteggersi dall'impurita: il fuoco, la terra, l'acqua e l'aria. Secondo gli scritti dell'Avesta, libro sacro del credo zoroastriano, Zarathustra ebbe la visione della lotta cosmica tra le forze del bene e del male, tra Dio e Satana. Una suddivisione in due mondi contrapposti, una distinzione tra la materia e 10 spirito, associata a una volonta mistica e filosofica, a cui si collega una regola matematica di vita , in cui la vita si contrappone alla morte e dove l'acqua, con il suo eterno fluire diviene l'elemento principale, simbolo della fede fonte di vita [3]. In questa antica religione persiana il piu grande elernento, venerato da Ahura Mazda era l'acqua, alla quale si attribuiva un carattere femminino e fecondante [4]. Fin dalle origini, molti miti affermano la nascita della vita dalle acque, anticipando l'attuale ipotesi scientifica in cui le prime cellule viventi apparvero nell 'acqua,
1
~ il
R--
0-
I
I
qJ I"
I.r-<.
I"-,,.
...... """""--- -...
- I-=--
r"-"
-
I
~
I
rI
Fig. 3. Ricostruzione della pianta del Tempio d'Anahita a Bishapur (Iran), tratta da: M. Kansari, M. R. Moghtader, M. Yavari, (1998) Tha
Persian Garden. Echoes of Paradise, Mage Pu-
blishers, Washington
matematica e culture 2008
I
_._--_._---
...
Questo misticismo ha influenzato notevolmente il modello di giardino. Esso era strumento di meditazione, la raffigurazione terrestre del paradiso celeste, rifletteva il cosmo, il potere e allo stesso tempo creava una perfetta unione tra globo e divinita. Questa unione era riprodotta attraverso l'uso della forma quadrata, forma statica del mondo fisico, e attraverso il cerchio, espressione dell'infinito, dell'universo e dell'eterno assoluto [5]. Alcune immagini di vasellame, attribuite a epoca pre-islamica, mostrano vasche d'acqua annesse all'albero simbolo della vita; altre ritraggono il mondo diviso in quattro parti, con al centro una vasca d'acqua, anticipando nel disegno a croce 10 schema fondamentale dal quale si sviluppera la forma del giardino persiano, il chahar-bagh, 0 quattro giardini. Alcuni frammenti di mattoni dipinti, risalenti all'VIII secolo a.c., furono rinvenuti in un palazzo a Baba-Jan nel Luristan (Iran); essi pare rappresentino la suddivisione in quattro del mondo [4].
Fig. 4. Frammenti di mattoni dipinti, VII sec. a.c., tratta da: M. Kansari, M. R. Moghtader, M. Yavari, (1998) Tha PersianGarden. Echoesof Paradise, Mage Publishers, Washington
Dall'inizio dell'Egira di Maometto (622 d.C.), comincio il computo degli anni dell'era islamica. Con il profeta Maometto, le diverse tribu nomadi, provenienti dai deserti del sud dell' Arabia, si unificarono, dando origine a un'unica razza, che rapidamente si dedico alla conquista dei territori vicini a lora in nome di "Dio" . La Persia, fu il primo paese a essere conquistato dalla nuova fede. Per secoli fedele alla riforma zoroastriana, il suo popolo aveva adorato gli elementi naturali e, anche quando mutarono i credi religiosi, questo culto naturalistico continuo a essere una caratteristica fondamentale. Come tutti gli altri popoli orientali, anche quelli del mondo arabo erano, per natura, portati a conservare il pili possibile le stesse usanze, gli stessi costumi, le medesime tradizioni per secoli. Insieme alle altre usanze, i persiani conservarono illoro radicato amore per le piante e i giardini; nonostante l'avvento dell'Islam, riuscirono a mantenere vivo illegame con il giardino, integrando in esso i nuovi stili e adattandolo alle nuove epoche. A questa nuova religione corrispondevano colti e riti nuovi, che costituirono una caratteristica costante della civilta islamica. Cosll'arte e l'architettura andavano a rinnovarsi di elementi specifici dellafede mussulmana, strettamente legata al concetto di un'architettura occulta, sempre connessa al simbolismo cosmologico.
L'infinito attraverso iI gioco de i numeri: geometr ia e numeri net giardino islamico
Fig. 5. Caravanserraglio nel Pangiab (India) XVII sec. (rielaborazione grafica dell'autrice)
Fig. 6. Madrese-Ye Musta nsiriya: tipica scuola cora nica ira nica (r iela boraz ione grafica dell'autri ce)
Fig.7.Veduta della Masjed-e Imam a Esfahan, Iran (rielaborazione grafica dell'autrice)
Tra Ie varie architetture nuove, ricordiamo l' hammam (bagno pubblico), il Karavansaray (caravanserraglio, Fig.5),la madrasa (scuola coranica, Fig.6) e la masjid (mo-
schea, Fig. 7); tutti edifici in cui il giardino s'inserisce come elemento predominanteo Nella Masjid il disegno architettonico proponeva il simbolismo religioso del giardino, attraverso la vasca d'acqua che riflettendo i quattro iwan, che la racchiudono, diventa parte centrale del rito in cui si concentra tutta l'energia religiosa [2].
matematica e cult ure 2008
- - -_._-------------_.
__._---- -
_._- -
Elementi geometrici e simbolici Architetture Fin dall'inizio della costruzione delle prime citta persiane, vennero adottati metodi che in seguito perseguirono anche le popolazioni del mondo orientale e occidentale. La prima impronta urbana si fondava su assi centrali rappresentanti una croce, come quella di Herat (Fig. 8) e di Sultanabad, (Fig. 9) [6]. La stessa immagine della citta era molto simile a quella di un giardino, dal quale prese la denominazione, quali per esempio la citta-giardino d' Ashraf (Fig. 10) 0 quell a d'Esfahan, in Iran, chiamate in origine chaharbagh.
A@
'\7 Fig. 8. Ricostruzione della citta di Herat e i suoi giardini all'inizio del XVI sec. (rielaborazione grafica dell'autrice)
Fig. 9. Carta della citta di Sultanabad, Iran, 1851, tratta da: M. Mehryar, EE Tehran i (2000) Picto-
rialDocuments of Iranian Cities in the Qajar Pe-
riod, Shahid Beheshti University, Iranian Cultural Heritage Organization, Tehran (IRAN)
Fig. 10. Ricostruzione della planimetria della citta di Ashraf, Iran, datata al1611
L'infinito attraverso il gioco dei numeri: geometria e numeri nel giardino islamico Le citta erano, di norma, costruite secondo un impianto avente come base strutturale il quadrato, la cui forma organizzava la planimetria generale e la pianta dei vari edifici, nonche quella dei giardini. n suo rapporto con la croce ne fa un simbolo eli pienezza, totalita e universalita : quattro settori della terra, quattro punti cardinali. Al quattro si attribuisce un carattere altamente cosmologico e per questo affine alla "tetrakys pitagorica", che con la somma della sua combinazione numerica 1+2+3+4 da 10, numero della completezza [7]. L'uso della forma quadrata diventa, quindi, matrice e generatrice delle linee architettoniche dei vari giardini.
Ill . . ... .........---'•.. -M.JM. ·"·1 Fig. 11. La duplicazione del quadrato: planimetria, sezione e vista del Shalimar Bagh a Lahore, 1637,tratta da: C.Von Hantelman, D. Zoerin (2001) Gardens of Delight: the GreatIslamic Gardens, Dumont Monte
Profondi conoscitori della matematica e della geometria, custodi delle conoscenze scientifiche dell'antich ita, esperti nella classificazione e nella descrizione delle specie botaniche, gli Arabi applicarono al giardino rigide regole geometriche ed elaborarono un impianto nel quale trovarono posta criteri desunti dal giardino persiano e da quello romano. Una leggenda araba fa derivare le cifre numeriche da una sigla che rappresenterebbe un quadrato diviso da due diagonali che s'intersecano a forma di croce, simbolo universale di collegamento fra materia e spirito, fra mondo terrestre e Dio [7].
Fig. 12. Ricostruzione dello schema numerico-geometrico dell'Anello di Salomone
matematica e cultura 2008
Le caratteristiche dell'organizzazione del giardino sono state considerate come principi matematico-geometrici, messi in pratica con linee e angoli e, simbolicamente, considerati nelle architetture e nelle decorazioni. Nella composizione dell' Alhambra (Spagna), per esempio, i due patii sono posti a forma di L, pur mantenendo, ognuno, illoro impianto primitivo persiano.
Fig. 13. Composizione degli schemi geometrici dei patii dell'Alhambra a Granada (ricostruzione grafica dell'autrice)
Gli elementi inerenti Ie strutture architettoniche variano a seconda della sceIta dell'impianto geometrico del suolo e del suo trattamento. Spesso i giardini erano strutlurati su quote differenziate, mediante chabutra e takht (banchine e piattaforme rialzate) e con l'inserimento cadar (piano inclinato su cui scone I'acqua), buhayra (vasca d'acqua) e strutture architettoniche contenitrici come gallerie, pergole, portali, canali, muri, minareti; oltre alla scelta di particolari materiali utilizzati per Ie pavimentazioni e Ie decorazioni delle superfici (materiali ceramici, ceramica vetrata, terra drenata, marmo, gres, pietra, gesso); queste uItime erano spesso trattate con una vasta gamma di cromatismi, applicati a disegni rigorosamente geometrici.
Fig. 14. A sinistra: piastrelle nella Madrese di Fe'z. A destra: ceramiche del portale della Masjid [orne, a Yazd (foto dell'autrice)
l'infinito attraverso il gioco dei numeri: ge ometria e numeri nel giardino islamico
Si ottennero cost notevoli effetti decorativi, mediante un sottile utilizzo delle forme geometriche che riproponevano spesso il tema della dualita, Il due, simbolo di eguaglianza e di opposizione, egenerato dall'uno e indica la riflessione e l'equilibrio. La mitologia persiana abbina a questa cifra due aspetti: quello del giorno e quel10 della notte, un mondo terrestre e quello dell'aldila [5]. Il progetto dei giardini e la loro costruzione e, di norma, una combinazione di forme architettoniche circondate da mura piu 0 meno alte. Esse isolavano il giardino-paradiso dal mondo esteriore. Le mura, che delimitavano cOSI illotto quadripartito, rappresentavano la materializzazione del mondo dell'aldila e attraverso la sua forma quadrilatera, e quindi antidinamica, si contrapponeva al movimento scorrevole e ciclico dell'universo, rappresentato dal cerchio e collegato a esso attraverso la figura ottagonale, sfruttata architettonicamente per la costruzione dei padiglioni. Per ottenere la forma ottagonale si deve considerare, oltre ai quattro punti cardinali, i quattro punti intermedi che formano, con essi, un'insieme di otto direzioni. Questo simbolismo eriscontrabile soprattutto nelle costruzioni architettoniche delle moschee e nelle tombe-giardino, dove il mausoleo e posta al centro dell'incrocio degli assi principali. Il numero otto, infatti, raggiunge la perfezione e l'infinito e, come tale, rappresenta il punto d'arrivo all'eternita [5].
Fig. IS. Linee generatrici del giardino del Taj Mahal, Agra, 1632 (ricostruzione grafica dell'aut rice)
matematica e cultura 2008
--_.._--_._ -
- - ---- -
Combinazione e multiplo del quattro, 1'otto richiama l'equilibrio cosmico, essendo con la sua combinazione geometrica piu vicina al cerchio, intermediario tra il mondo terrestre e quello dei cieli. I padiglioni venivano spesso situati a capo dell'asse Iongitudinale divisorio principale del giardino, simbolizzati architettonicamente da due palazzi: la vita terrestre intesa come dimora con due porte, una per entrare (nascita) e una per uscire (morte) . Da qui nasce 10 sviluppo dei rytid 0 patio arabo. Tra i vari, ricordiamo il Patio de I'Acequia Real nel Generalife a Granada.
Fig. 16. Alcuni esempi di patii e giardini secondo la divisone del "Due" (ricostruzione gra fica dell'autrice)
Acqua 11 giardino, quindi, seguiva il tradizionale archetipo del chahdr-bag]: (quattro giardini: l'incrocio di due canali perpendicolari determinava quattro campi rettangolari, rappresentanti le quattro parti del mondo, 0 i quattro elementi sacri di Zarathrusta), spesso sviluppato su terreni in pendio 0 su terrazzamenti, per favorire e facilitare I'irrigazione, sviluppando secondo rigide simmetrie infiniti spazi armonici [8]. Eil mezzo che mette in sintonia cosmo e mondo tangibile, definendo COS! I'asse orizzontale e l'asse verticale. I due assi determinano il concetto di giardino, come una riflessione cosmologica dal cui centro scaturiscono Ie forze verso il mondo paradisiaco, simbolicamente interpretate da un albero 0 da una struttura architettonica, come un padiglione 0 una vasca d'acqua, a significare I'asse zenitale in cui Ie forze esterne confluiscono al centro del mondo.
L'infinito attraverso il gioco de i numer i: geometria e numeri net giardino islamico
Fig. 17. In alto: vista del padiglione centrale di Shotorgului-e Fath All Shah, tratta da: H. Farrokhyar (1995) A paradise on
themargin ofKavir (Salt desert), The architecture of thegarden: Kashan-Pin, Development of
Fin Garden Building, Kashan , (IRAN). In basso : mausoleo di [ahangir, Lahore, XVII sec. Tratta da: C. Von Hantelman, D. Zoerin (2001) Gardens of
Delight: the Great Islamic Gardens, Dumont Monte
Fig. 18.Schemi che riproducono Ie forze cosmologiche scaturite dall'impianto geometrico del giardino islamico (ricostruzione grafica dell'autrice)
matematica e culture 2008
Si nota la frequente applicazione del numero due e dei suoi multipli alle ripartizioni del giardino attraverso i canali d'acqua. Molti, infatti, sono per 10 meno suddivisi in due parti. Lesuccessive ripartizioni divengono conseguenza della moltiplicazione del due, fino a raggiunge l'apice con il numero otto, che rappresenta il "Paradiso" e definisce simbolicamente l'icona matematica dell'infinito (00). Anche nel Corano, nella Sura 55,46-68, il numero due e evidente: Per chi avra temuto di presentarsi al cospetto del suo Signore ci saranno due giardini... In entrambi sgorgano due fonti... in entrambi due specie di ogni frutto ... E ci saranno altri due giardini oltre a quelli ... di verde scurissimo ... in entrambi due sorgenti sgorganti. .. [9). 11 canale principale del giardino era interrotto, a distanze regolari, da altri piccoli canali ortogonali, che si aprivano su piccole vasche quadrate: queste, assumevano forme di vario tipo e avevano dimensioni piu 0 meno grandi.
~N
~ -;:
I.....
&-- .
\
v,:..
..... -v N
!
1--
!r
.
r~ ~ 1--
"-':
n -,rr'
[g] i;a~
..r'h
D
~·H ~
t
I-'
l-..L J....j.
·D ~
.
•
D? e.,
:il
,
J t
~
,
.
,
Fig. 19. Suddivisione dei lotti, dati dalle geometrie multiple dei canali d'acqua (ricostruzione grafica dell'autrice)
l'infinito attraverso il gioco dei numeri: ge ometria e numeri nel gia rdino islamico
Da questa controllo iniziale dell'amministrazione dell'acqua, sorsero sistemi che a loro volta resero possibili i grandi giardini-paradisi, situati in austeri territori desertici, come quelli di Ciro il Grande (VI sec. a.Ci); infatti, "paradiso" deriva dall'antica lingua persiana pairi-daeza (recinto murato). Questa dualita, tra il fisico e 10 spirituale, rifletteva i molti interessi della vita persiana e la forte continuita dello sviluppo del giardino attraverso i secoli. Molti aspetti della cultura persiana, tra questi il disegno dei giardini, con la sua enfasi nel dare importanza e celebrazione all'acqua, richiamo l'attenzione degli arabi. Durante il periodo dell'invasione araba in Persia, gli insegnamenti del profeta Maometto furono salvati nel Corano, con abbondanti referenze ai giardini e, in forma piu profonda, all'idea del paradiso come giardino, dove l'abbondanza d'acqua proveniente dai fiumi della vita e quello che sgorga attraverso le fonti, era un elemento chiave. Quello che gli Arabi videro nei giardini persiani era in armonia con le descrizioni del sacro testa del Corano e le due fonti d'ispirazione si fusero per dettare le regole del giardino islamico .
Fig. 20. Miniatura rappresentante Maometto nel giardino delle Delizie. Tratto da: Corano - Qazvin, Iran, 1581
La presenza dell'acqua, quindi, era essenziale; non solo ricopriva un ruolo principalmente architettonico, nel sottolineare e dividere le diverse zone del giardino, rna simbolizzava anche la presenza della vita in contrasto con le montagne e il deserto, che circondava le citta. Inoltre, stretti canali , 0 balze situate in posizioni centrali nel giardino, mirarono alla funzione simbolica, rappresentazione dell'abbondanza divina, generatrice della vita del paesaggio paradisiaco immaginario dei Mazdei. Nel paesaggio di Xvarnah eimmaginata la residenza della Dea delle acque, sorgente di vita intorno alla quale crescono le piante [5].
matematica e cultura 2008
Fig. 21. Miniatura delPaesaggio diXvarah, trattoda:Antologia persiana, 1398 (Turkive Islam Muzesi, Istanbul) Vegetazione
Riguardo al sistema vegetativo, nei giardini venivano proposte le piante e i fiori, considerati appartenenti al paesaggio celeste; unitamente alle indicazioni sulle specie da utilizzare, venivano forniti anche i criteri per illoro posizionamento. La disposizione del verde assume un ruolo rilevante e significativo. Le varie specie vegetali assumono la loro posizione ottimale, secondo delle precise regole compositive, dove niente pare lasciato al caso e, spesso, la propria collocazione dipende dalla struttura degli impianti idrici. In una lettera di Pietro della Valle che viaggio in Persia nel XVII sec. si trova scritto: ... Non c'e altro nei giardini che alberi spessissimi di frutti, piantati per ordine in fila,e tutti bassi con rami molto sparsi, che a cavallo et a piedi si possono i frutti coglier con le rnani; e son distinti e compartiti a quadri grandi, cioe: un quadro tutto fichi, un altro tutto di peschi, e cost tutti gli altri ... [10]. Cio nonostante,la tradizione del giardinaggio persiano non favorival'arte topiaria: la principale regola dei persiani non era quella di potare gli alberi, forzandoli ad assumere una determinata forma, rna quella di conservarli in modo ordinato e secondo la propria natura. Lo schema a divisione delle aiuole in forma di chahtirbagh, spesso poste a un livello inferiore rispetto a quello dei viali, permette una fa-
L'infinito att raverso iI gioco dei numeri: geometria e numeri nel giardino islamico
cile irrigazione mantenendo fresca la terra coltivata, necessaria a causa della forte evaporazione naturale per l'umidita, All'interno del giardino si creava una gerarchia nella disposizione delle varie specie vegetative: erano indispensabili gli alberi di grandi dimensioni, come aceri, pioppi e nod (latifoglie), abeti, cedri e cipressi (conifere), che servivano a ombreggiare e a offrire refrigerio. I cipressi venivano collocati regolarmente a fianco dei viali, poiche questa particolare dislocazione e conformazione definiva la prospettiva. Fondamentali erano anche le masse arboree d'altezza media e i frutteti, la cui dislocazione e fioritura erano fondamentali elementi ornamentali. La coltivazione di quest'ultimi offriva l'opportunita al visitatore di usufruire della bellezza dei loro fiori e della delizia dei loro frutti.
/J.
Fig. 22. A1cune rappresentazioni della presenza del cipresso, come albero generatore delle linee geometriche del giardino islamico
Sono numerosi gli alberi piantati per dare ombra: arbusti, latifoglie, conifere e masse arboree d'altezza media, la cui ornamentazione si attiene a un tracciato geometrico per le bordure. Vengono predisposte piante alternate con foglie perenni e tempo ranee, in modo tale da avere una fioritura per tutte le stagioni. Ogni specie viene selezionata per i propri caratteri: il fior di loto a otto petali, come il cipres so sono simbolo della vicinanza alIa divinita, In Spagna, nel Patio de Los Narajos nella Moschea di Cordova, i filari di aranci traspongono nel patio esterno la ritmica successione dei filari interni di colonne che, sormontate da archi, determinano le 19 navate della moschea; in altri, come quello di Santa Isabel nell' Aljaferia di Zaragoza, disegnano il giardino [11].
mat ematica e cult ure 2008
Fig. 23. Patio di Santa Isabella, nel palazzo dell'Aljaferia a Saragoza. Immagine a sinistra, tratta da: C.Von Hantelman, D.Zoerin (2001) Gardens ofDelight: theGreat Islamic Gardens, Dumont Monte
11 giardino islamico, quindi, riferisce la sua origine a forme geometriche, a numeri, a filosofie matematiche, le quali costituiscono il fondamento culturale della genesi e archetipo della vita.
Bibliografia [1) G. Bellinger (1989) Enciclopedia dellereligioni, Garzandi Editore s.p.a., Milano [2) 1. Zangheri, B. Lorenzi, N.M. Rahmati (2006) II Giardino Islamico, Leo S. Olschki, Firenze [3) G. Schweizer (1986) I Persiani, da Zarathustra a Khomeini, Garzandi editore Sip.a., Milano [4) M. Kansari, M. R. Moghtader, M. Yavari, (1998) ThaPersian Garden. Echoes of Paradise, Mage Publishers, Washington [5) H. Corbin (1986) Corpo spirituale e Terra celeste. Dall'Iran mazdeoall'Iran sciita,Adelphi Edizioni, Milano [6) M. Mehryar (2000) EE Tehrani, Pictorial Documents of Iranian Cities in theQajar Period, Shahid Beheshti University, Iranian Cultural Heritage Organization, Tehran (IRAN) [7) S. Boncompagni (2006) II mondodei simboli. Numeri, lettere efiguregeometriche, Edizioni Mediterranee, Roma [8) H. Farrokhyar (1995) A paradise on the margin ofKavir (Salt desert), The architectureof the garden: Kashdn-Fin, Development of Fin Garden Building, Kashan, (IRAN) [9) Corano (1996) Edizione Integrale, Newton, Roma [10) P. Della Valle (1972) Lettere dallaPersia, Torno I, in II Nuovo Ramusio VI, a cura di E Gaeta e 1. Lockhart, Istituto Poligrafico dello Stato, Roma p. 34 [11) Marquesa De Casa Valdes, M. Y M. Valdes Ozores (1973) [ardines de Espana, Aguilar, Madrid
• • vite di matematlci
MYt
L'autobiografia riluttante di G.H. Hardy MARCO ABATE
A Mathematician's Apology di Godfrey H. Hardy e probabilmente il testa pili nota scritto da un matematico sul fare matematica, ed e spesso citato a sostegno dell'inutilita e inapplicabilita della matematica, viste come valori positivi. Anche se non esattamente in questi termini, e inserite (come vedremo) in un contesto che ne varia e modifica il significato, affermazioni di tal genere sono effettivamente contenute nellibro diHardy, In questa intervento, pero, voglio invece concentrarmi su un' altra possibile lettura del testo: voglio affrontarlo come un'autobiografia. Questo diverso punto di vista perrnettera, credo, di capirne meglio il significato e 10 spirito con cui e stato scritto, e, forse, anche di interpretare pili correttamente le affermazioni di Hardy cOSI spesso citate (pili 0 meno a proposito). S'intende che Hardy stesso era ben cosciente della duplice natura del testo, del suo procedere a cavallo fra il saggio e l'autobiografia. Infatti, mentre a p. 63 1 dice: I proposeto put forward an apologyfor mathematics [Mi propongo di presenta-
re un'apologia della matematica],
a p. 65 precisa
But I should say at once that my defence of mathematics will be a defence of myself, and that my apology is bound to be to some extent egotistical. [Ma devo dire subito che lamia difesa della matematica sara una difesa di me stesso, e che la mia apologia non potra non essere almeno in parte egocentrica]. Un'altra indicazione chiara della natura autobiografica dellibro econtenuta nel titolo e di primo acchito potrebbe sfuggire allettore italiano. Prima di tutto, la parola apology in inglese ha mantenuto il significato etimologico di "discorso in difesa di" e non ha assunto il significato di "discorso in esaltazione di", che ha invece la parola italiana apologia. Dunque A Mathematician's Apology eun discorso in difesa di un matematico. Ma nondi un matematico generico; l'uso del genitivo sassone (A Mathematician's Apology e non Apology of a Mathematician) indica che si tratta delladifesa di un matematico specifico, ben determinato. Se Hardy
1
I numeri di pagina si riferiscono all'edizione [I} del testa. Le traduzioni dall'inglese sana mie.
Ina1temiathc:a e cultura 2008
avesse voluto difendere la categoria dei matematici, avrebbe probabilmente usato il genitivo ordinario (Apology of a Mathematician), che non suppone I'appartenenza a una persona specifica. Quindi Hardy intende difendere un matematico preciso. E, come vedremo, sara presto chiaro che, sotto le spoglie di un saggio sull'importanza della matematica, Hardy ha voluto parlare di se stesso, ha voluto cercare un senso alIa propria vita. Ma per poter cap ire davvero l'aspetto autobiografico di questa libro occorre conoscere qualcosa della vita di Hardy e del particolare momenta personale in cui il testa estato scritto. Per questa motivo la prossima sezione contiene una breve biografia di Hardy, essenzialmente desunta dalla prefazione a [1] e da [2] (si veda anche [3]).
Cenni biografici Godfrey Harold Hardynacque il7 febbraio 1877,a Cranleigh, da una famiglia della media borghesia. Studente estremamente brillante (in matematica, rna non so10) fin da giovane, grazie a una serie di borse di studio pote frequentare le migliori scuole inglesi, venendo ammesso al Trinity College di Cambridge, di cui divento fellow nel1900, a soli 22 anni. In prima approssimazione possiamo suddividere la sua carriera in tre periodi distinti. II primo (1900-1910) 10 stabilisce come una figura di prima grandezza all'interno della cornunita matematica inglese, principalmente grazie alIa pubblicazione nel 1908 del testo A Course of Pure Mathematics, e al ruolo fondamentale da lui svolto nella riforma del 1909 dei Mathematical Tripos. La sua rilevanza fu sancita dalla nomina a fellow della Royal Society nel191 0, quando Hardy aveva 33 anni (ed era quindi molto pili giovane della grande maggioranza degli altri fellow). Per capire il significato di A Course of PureMathematics all'interno della matematica inglese bisogna risalire alla fine del diciassettesimo secolo. Una delle conseguenze della diatriba su chi avesse inventato il calcolo infinitesimale (Newton o Leibniz) fu che i matematici inglesi (schierati come un sol uomo a favore di Newton) recisero in gran parte i rapporti con i matematici del continente. La situazione rimase sostanzialmente invariata per i due secoli successivi; di conseguenza, tranne rare eccezioni, i matematici inglesi dell'inizio del Novecento non erano a conoscenza dei tumultuosi sviluppi dell'analisi matematica avvenuti nell'Ottocento grazie alle scuole francesi e tedesche, sviluppi che avevano trasformato una serie di tecniche potenti, rna basate su fondamenta approssimative e piene di possibili contraddizioni, in una disciplina rigorosa, ben fondata e anche pili potente, l'Analisi Matematica. II testa di Hardy eil primo in lingua inglese a presentare l'Analisi Matematica moderna, e contribut in maniera fondamentale allo svecchiamento della matematica inglese - ottenen do un successo tale da essere tuttora in stampa [4], un secolo dopo la prima edizione. L'opera di svecchiamento condotta energicamente da Hardy si applico anche alla struttura stessa dei college inglesi. Una delle tradizioni pili consolidate (risa-
l~aU1:0bIOgrafla
rttuttante
lente quasi ai tempi di Newton) dei college era quella dei Mathematical Tripos [5]: una sorta di gara matematica che si svolgeva ogni anno, aperta a tutti gli studentie I primi classificati diventavano famosi, e venivano corteggiati dai college piu prestigiosi. II guaio era che i problemi dei Tripos avevano ormai assunto una struttura standardizzata, e la preparazione matematica universitaria era quasi completamente strutturata in funzione della preparazione per questi problemi. Gli studenti erano fortemente sollecitati a imparare l'insieme di tecniche necessarie per risolverli e a non perdere tempo studiando argomenti (tipicamente piu teorici 0 piu moderni) non strettamente correlati ai Tripes, 0, peggio, cercando di creare matematica nuova. Hardy mise in gioco tutto il suo prestigio e la sua (notevole) vis polemica per cambiare questa stato di cose, introducendo un sistema piu flessibile e meno rigido e stantio; e la riforma introdotta nel1909 deve molto al suo contributo. II secondo periodo (1911-193.8) della carriera di Hardy e quello matematicamente piu fecondo, in cui ottenne Ia maggior parte dei risultati matematici per cui ericordato, in teoria dei numeri e in analisi complessa. Nel1911 inizio la collaborazione trentennale con I.E. Littlewood; e nel1913 quella (famosissima, su cui non voglio spendere una sola parola, rimandando a [2] e [6] per dettagli) con S. Ramanujan. Nel1914 scoppio la prima guerra mondiale. Hardy, unpacifista convinto, si espose (fallendo) per evitare I'ingresso della Gran Bretagna in guerra. La sua posizione al Trinity College non fu messa in dubbio, rna l'atmosfera non gli era piu congeniale: durante la guerra si rifugio completamente nella matematica, lavorando indefessamente con Ramanujan. Nel1919, forse in seguito agli strascichi professionali legati all'espulsione di Bertrand Russell dal Trinity Collegeper Ie sue posizioni pacifiste (espulsione fortemente avversata da Hardy), e forse anche in seguito all'aggravarsi dello stato di salute di Ramanujan, costretto a tornare in India dove sarebbe morto qualche mese dopo, Hardy lascio Ia sua alma mater, accettando la posizione di Savilian Professor al New College di Oxford, dove rimarra dodici anni, tra i piu produttivi della sua carriera-. Ritornera al Trinity College ne11931, accettando la Sadleirian chair, posto che gli avrebbe permessodi continuare a vivere nel college anche dopo il pensionamento, clausola non prevista dalla sua posizione a Oxford, ed essenziale per un don celibe come lui. In questi trent'anni Hardy godette di buona salute, e mantenne abitudini essenzialmente invariate. Questo felicestato di cose fu interrotto bruscamente nel1939 da un grave infarto, che 10 lascio fortemente debilitato. Inoltre, nel1939 inizio la seconda guerra mondiale. Hardy era sempre un pacifista convinto, rna chiaramente la posizione di un pacifista in Gran Bretagna durante la seconda guerra mondiale era estremamente piu difficile di quanta non fosse durante la prima. Inoltre il cattivo stato di salute gli impedi di trovare il consueto rifugio nellavoro matematico. Hardy cadde in una profonda depressione, che caratterizzo tutto il terzo periodo (1939-1947) della sua carriera.E in questa stato d'animo che scrisse,neI1940,A Mathematician's Apology. Nel1942 si ritiro per motivi di salute, e, dopo un fallito tentativo di suicidio, ormai ridotto a un invalido recluso nella sua stanza, mort il 1 dicembre 1947,a Cambridge.
2
Hardy ha scritto i suoi lavorimigliorifra i 40 e i 60 anni, con buona pace di coloro che ritengonocheper produrre buona matematica occorra essere giovani.
cultura 2008
Perche faccio queUo che faccio1 Di cosa tratta A Mathematician's Apology? Hardy 10 spiega chiaramente all'inizio: I shall ask, then, why is it really worth while to make a serious study of mathematics? What is the properjustification of a mathematician's life? [Chiedero, dunque, perche vale davvero la pena studiare seriamente matematica? Qual ela corretta giustificazione della vita di un matematico?] (p.65).
Vale la pena di notare che le due domande non sono esattamente equivalenti: la prima eimpersonale, generale, mentrela seconda ha un aspetto piu personale, legato al singolo matematico. Questa dualita, questa oscillare fra saggio impersonale e considerazioni legate al singolo - Hardy stesso, anche se ancora non nominato - pervade l'intero libro (che diventa esplicitamente autobiografico nel finale ).. Hardy inizia la sua argomentazione distinguendo fra due possibili aspetti da considerare:
The first [question1 is whether the work which he does is worth doing; and the second is why he does it, whatever its value may be [La prima [domanda] e se vale la pena fare illavoro che fa; e la seconda eperche 10 fa, indipendentemente dal suo valore] (p.66).
II modo con cui Hardytratta sbrigativamente il secondo aspetto rivela un lato interessante della sua personalita (e dell'ambiente dei college inglesi). Dopo aver spiegato che si tratta di un lato secondario del problema che vuole trattare, Hardy afferma che ci sono essenzialmente due possibili risposte alIa domanda del perche uno fa quello che fa. La prima e: (1) I do what I do because it is the one and only thing that I can do at all well. [(1) 10 faccio quello che faccio perche ela sola e unica cosa che riesco a fare bene] (p.67), affermazione che Hardy subito chiosa dicendo I am not suggesting that this is a defence whichcan be made by mostpeople, since most peoplecan do nothing at all well. [Non sto suggerendo che questa difesa possa essere usata da molta gente, in quanta molta gente non e in grado di far bene alcunche] (p.67)
e che
If a man has any genuine talent, he should be ready to make almost any sacrificein order to cultivate it to thefull. [Se un uomo possiede un talento genuino qual-
siasi, dey'essere pronto a fare quasi qualunque sacrificio pur di coltivarlo appieno] (p. 68).
La seconda risposta possibile e: (2) There is nothing that I can do particularly well. Ido what I do because it came my way. [(2) Non c'e nulla ch'io sappia fare particolarmente bene. Faccio
quello che faccio perche mi ci sono trovato] (p. 73), che Hardy commenta in questa modo:
It is a conclusive reply, but hardly one likelyto be made by a man with any pride; and I may assume that none of us would be content with it. [E una risposta de-
finitiva, rna e improbabile sia usata da chiunque abbia un minima di orgoglio; e posso assumere che nessuno di noi ne rimarrebbe soddisfatto] (p.73).
Lo snobismo di Hardy eassolutamente evidente: da una parte mostpeople (la maggior parte della gente), il cui destino e per lui irrilevante; dall'altra us (noi), gli unici che Hardy ritiene degni del suo interesse. Hardy si comporta come un aristocratico: chiunque non appartenga alla sua classe non edegno di nota. Questo era un sentire comune all'interno dei college inglesi dell'epoca; rna eimportante sottolineare che si tratta di un' aristocrazia culturale e non di censo 0 di classe. Hardy (che non era ne nobile ne ricco) e i suoi colleghi avevano considerazione solo per coloro che ritenevano intellettualmente loro pari, indipendentemente dalla ricchezza 0 dall'estrazione sociale. Ramanujan eun esempio evidente: pur trattandosi di un povero impiegato indiano, Hardy 10 tratto del tutto alIa pari - anzi.Io considerava superiore a lui. In ogni caso, i discorsi di Hardy sono rivolti e riguardano solo gli appartenenti a questa aristocrazia intellettuale, al ristretto circolo di persone in grado di fare almeno una cosa davvero bene.
Curlosita, orgoglio, ambizione Una digressione successiva sul perche ci si voglia occupare di ricerca scientifica ha un sapore simile:
There are many highly respectable motives which may lead men to prosecute research, but three whicharemuch moreimportant than the rest. Thefirst (without which the rest must come to nothing) is intellectualcuriosity, desire to know the truth. Then, professional pride, anxiety to be satisfied with one's performance (... ). Finally, ambition, desire for reputation (... ) [Ci sono molti motivi altamente rispettabili che possono condurreuomini a occuparsi di ricerca, rna tre sonomolto pili importanti degli altri. II primo (senza il quale il resto non conta nulla) ela curiosita intellettuale, il desiderio di conoscere la verita, Poi, l'orgoglio professionale, l'ansieta di essere soddisfatti dalla propria performance (...). Infine, l'ambizione, il desiderio di avere una reputazione( ... )] (p.79). Dal punto di vista di Hardy, l'ambizione eun sentimento strettamente positivo.
matemettc» e
2008
Euna forza che spinge a ricavare il meglio possibile da se stessi, in modo da ottenere il riconoscimento pubblico del proprio valoree
A man'sfirst duty, a young man'sat any rate, is to be ambitious. [II primo dovere di un uomo, 0 almeno di un uomo giovane.e essere ambizioso] (p.77).
Ambition has been the drivingforcebehind nearlyall the bestwork of the world.
[L'ambizione estata la forza trainante dietro quasi tutti i lavori migliori nel mondo] (p.78).
La curiosita intellettuale porta a cercare di scoprire qualcosa di nuevo: l' orgoglio professionale a lavorare bene; e l'ambizione a spingersi a richiedere il meglio. In ogni caso, si tratta di motivazioni strettamente personali, che rispondono a bisogni propri dell'individuo. Con un pizzico di cinismo, Hardy ritiene che
So ifa mathematician, ora chemist, orevena physiologist, were to tellme that the
drivingforce in his work had been to benefit humanity, then I should not believe him. [Cost se un matematico, 0 un chimico, 0 persino un medico, mi dicesse che
la forza che l'ha spinto nel suo lavoro estata voler beneficiare l'umanita, io non devo credergli] (p.79). Beneficiare l'umanita esolo un modo (altamente benvenuto) di soddisfare la propria ambizione e il proprio orgoglio professionale, non una motivazione primaria. II medico fa del bene principalmente perche ne ricava una soddisfazione personale, e non soltanto per motivi altruisti. A questa punto Hardy avanza un' osservazione apparentemente curiosa:
If intellectual curiosity, professional pride, and ambition are the dominant incentives to research, then assuredly no one has afairer chance of gratifying them than a mathematician. [Se curiosita intellettuale, orgoglio professionale, e am-
bizione sono gli incentivi dominanti per la ricerca, allora sicuramente nessuno piu di un matematico ha possibilita di soddisfarli] (p.80).
La principale giustificazione di questa osservazione anticipa quello che, come vedremo, sara uno dei temi principali dellenostre argomentazioni:la permanenza. Infatti,
fA mathematician's] subject is the most curious of all - there is none in which truth plays such odd pranks. It has the most elaborate and the most fascinating technique, and gives unrivalled openings for the display of sheerprofessional skill. [II campo di studio [di un matematico] eil piu curioso fra tutti - in nessun altro Ia verita gioca scherzi altrettanto strani. Richiede le tecniche pili elaborate e affascinanti, e offre impareggiabili occasioni per 10 sfoggio di pura abilita professionale] (p. 80).
Ma soprattutto
Finally, as history proves abundantly, mathematical achievement, whatever its
intrinsic worth,is the most enduring ofall. [Infine, come la storia dimostra ampiamente, Ie conquiste matematiche, indipendentemente dal loro valore intrinseco, sono le piu durature] (p. 80). Quale migliore soddisfazione della propria ambizione del sapere che il proprio lavoro verra ricordato per sempre? Ne riparleremo.
Bellezza, serleta, importanza La parte centrale di A Mathematician's Apology e dedicata a una discussione sull'utilita della matematica - distinta, come vedremo, dall'importanza. Siccome si tratta di un aspetto relativamente secondario per la nostra analisi, mi limitero a riassumerlo brevemente. Prima di tutto, Hardy distingue fra due tipi di matematica; una matematica banale, che non gli interessa, e una matematica "superiore", Come esempi di matematica banale cita i problemi di scacchi (oggi citeremmo il sudoku) e buona parte delle tecniche puramente computazionali usate nelle applicazioni della matematica all'ingegneria. Cerca poi di individuare caratteristiche che contraddistinguano la matematica superiore:
The best mathematics is serious as well as beautiful. [La matematica migliore e seria oltre che bella] (p. 89). Diverse pagine sono dedicate a cercare di definire il concetto di matematica ccseria" (tramite caratteristiche quali generalita, profondita e significativitai, rna 10 stesso Hardy e cosciente della difficolta di un talecompito. Anche piu difficile e identificare cosa contraddistingua la bellezza di un teorema (0 di un quadro, 0 di un poema, se eper questo); Hardy si limita a citare
(... ) a very high degree of unexpectedness, combinedwith inevitability and economy. [(... ) un alto grado di imprevedibilita, combinato con inevitabilita ed economia] (p. 113).
Rimane il fatto che la bellezza euna caratteristica essenziale della matematica migliore. Nelle parole di Hardy,
Themathematician's patterns, likethepainter's or thepoet's, must be beautiful (...). Beauty is thefirst test: there is no permanent place in the worldfor ugly mathematics. [Lestrutture' del matematico, come quelle del pittore 0 del poeta, devono essere belle(...). La bellezza eil primo test: nel mondo nonc'e posto permanente per matematica brutta] (p.85).
(Notate la ricomparsa della "perrnanenza" come valore dirimente.) Una volta stabilito quale matematica gli interessa, la domanda che si pone e:
3
"Struttura" riproduce soloparte dei significatie delleconnotazioni del termine inglesepattern, chesignificaanche "modello", "campione", "disegno".
questa matematica e "utile"? Da buon matematico, Hardy per rispondere prima di tutto offre una definizione di utilita: A science or an art may be said to be 'useful' if its development increases, even indirectly, the material well-beingand comfort of men. [Una scienza 0 un'arte possono essere dette 'utili' se illoro sviluppo accresce, anche indirettamente, il benessere e il conforto materiale degli uomini] (p. 115).
Con questa definizione del concetto di utile, Hardy non ha dubbi:
(... ) very little of mathematics is useful practically, and that little is comparatively dull. [(... ) ben poca matematica e utile in pratica, e quel poco e relativa-
mente noioso] (p.89).
Per Hardyl'unica matematica "utile" e quella da lui ritenuta "banale"; il resto, la matematica importante, e del tutto inutile.
The generalconclusion, surely, stands out plainly enough. If useful knowledge is, as we agreedprovisionallyto say, knowledge wich is likely, now or in the comparatively nearfuture, to contribute to the material comfort of mankind, then thegreat bulk of higher mathematics is useless. [La conclusione generale, di sicuro, e suf-
ficientemente chiara. Se la conoscenza utile e, come abbiamo provvisoriamente convenuto, conoscenza che e probabile possa, ora 0 in un futuro sufficientemente prossimo, contribuire al conforto materiale dell'umanita, allora la gran parte della matematica superiore e inutile] (p.135).
Questa conclusione e vissuta da Hardy in modo ambiva1ente. Da un lato, si avverte l'orgoglio della c1asse superiore che si eleva al di sopra dei meri interessi materiali. Ino1tre, per un pacifista come lui l'inutilita della sua matematica ha una conseguenza fondamentale':
Thereis one comfortingconclusion which is easyfor a realmathematician. Real mathematics has no effects on war. [C'e una conclusione confortante e facile per
un vero matematico. La vera matematica non ha effetti sulla guerra] (p. 140).
Ma l' onesta intellettuale di Hardy 10 porta necessariamente a vedere l'altro lato della medaglia: se la matematica e inutile, non e possibile usare l'utilita come criterio per giustificarne10 studio.Lavita di un matematico non pub esseregiustificatain questi termini; ne quella di un matematico generico, ne quella del matematico specificoHardy. I have neverdone anything 'useful'. No discovery of mine has made, or is likely to
make, directly or indirectly, for good or ill, the least difference to the amenity of the world. [Non ho mai fatto alcunche di 'utile'. Nessuna mia scoperta hafatto,
o e probabile che faccia,direttamente 0 indirettamente, nel bene nima differenza per le amenita del mondo] (p.151).
0
nel male,la mi-
Ma allora cosa giustifica l'esistenza di un matematico? La risposta sta altrove, in qualcosa per Hardy molto pili importante della mera utilita pratica. 4
La seconda guerra mondiale avrebbe cambiato anche questa, per esempio tramite I'utilizzo della matematica (anche quella che Hardy avrebbe considerato "seria") in crittografia.
Arte e lmrnortallta II fatto eche
It will be obvious by now that I am interestedin mathematics only as a creative art. [Sara ormai chiaro che sono interessato allamatematica solo in quanta arte creativa] (p. 115).
Per Hardy, qualunque giustificazione, qualunque significato possa avere la vita di un matematico deve derivare dal fatto che creare matematica e del tutto equiparabile alla creazione di opere artistiche. Quindi
( ) the real mathematics, (...) must bejustified as art if it can bejustified at all.
[( ) la vera matematica, (...).dey'essere giustificata come arte ammesso che possa essere giustificata] (p. 139). Mathematics is not a contemplative but a creative subject. [La matematica e un campo creativo, non contemplativo] (p. 143).
II parallelo fra matematica e arte deriva dal fatto che entrambe creano strutture (pattern); solo gli strumenti usati cambiano. A mathematician, like a painter or a poet, is a maker of patterns. If his patterns are morepermanent than theirs, it is because they are made with ideas. [Un matematico, come un pittore 0 un poeta, e un creatore di strutture. Se Ie sue sono piu durature delle loro, eperche sono fatte di idee] (p.84).
II matematico manipola le idee come il pittore manipola i colori 0 il poeta le parole. Ma i colori sbiadiscono, e i linguaggi cambiano; invece le idee restano. Ritorna il concetto di "perrnanenza" cOSI importante per Hardy, che ribadisce:
(...) the mathematics which is eternal because the best of it may, like the best literature, continue to causeintense emotional satisfaction to thousands ofpeople after thousands ofyears. [(...) la matematica che eeterna perche quella miglio-
re puo, come la migliore letteratura, continuare a causare intensa soddisfazione emotiva a migliaia di persone dopomigliaia d'anni] (p.131). Stiamo avvicinandoci al punto cruciale. La maternatica, come l'arte, per quanto apparentemente inutile, puo causare piacere (emotivo, non solo intellettuale); ed eun piacere che resta, che permane nel tempo, che viene ricordato.
What we do may be small, but it has a certain character of permanence;and to haveproduced anything of the slightest permanent interest, whetherit be a couple of verses or a geometrical theorem, is to have done something utterly beyond the powersof the vast majority of men. [Quello che facciamo puo essere piccolo, rna ha un qualche carattere di permanenza; e aver prodotto alcunche del minimo interesse perrnanente, sia esso un paio di versi 0 un teorema geometrico, e aver
rnatematlca e cultuee 2008
fatto qualcosa totalmente al di la delle possibilita della grande maggioranza degli uomini] (p.76).
I'aver creato qualcosa che merita di essere ricordato, l' aver prodotto qualcosa da tramandare ai posteri, ci pone al di sopra della grande maggioranza dell'umanita, ci fornisce un senso, un motivo per la nostra vita. E la matematica, proprio perche manipola idee e concetti astratti, offre maggiori possibilita per la creazione di qualcosa che rimanga. So Greek mathematics is ''permanent'', morepermanent even than Greek litera-
ture. Archimedes will be remembered when Aeschylus isforgotten, because languages die and mathematical ideas do not. "Immortality" may be a silly word, but probably a mathematician has the best chance of whatever it may mean. [Quindi la matematica greca e"duratura", anche pili duratura della letteratura greca. Archimede sara ricordato quando Eschilo e dimenticato, perche Ie lingue muoiono e Ie idee matematiche no. "Immortalita" e forse una parola stupida, rna probabilmente un matematico ha la migliore occasione di ottenere qualsiasi cosa essa significhi] (p. 81).
Godfrey Harold Hardy Come osservato all'inizio, A Mathematician's Apology e stato scritto in un momento molto duro della vita di Hardy. Le pessime condizioni di salute accomunate allo scoppio della seconda guerra mondiale l'avevano fatto cadere in una profonda depressione. I writeabout mathematics because, likeany othermathematician whohaspassed sixty, I haveno longer thefreshness of mind, the energy, or thepatience to carryon
effectively with my properjob. [Scrivo sulla matematica perche, come ogni altro matematico che ha superato i sessant' anni, non ho pili la freschezza mentale, l' energia 0 la pazienza per continuare efficacemente il mio vero lavoro] (p. 63).
E ancora pili esplicitamente:
It is plain now that my life, for what it is worth, is finished, and that nothing I can do canperceptibly increase or diminish its value. [E ormai chiaro che la mia
vita, per quel che vale, efinita, e che nulla ch'io possa fare potra aumentarne diminuirne il valore in modo percepibile] (p.148).
0
C'e una tristezza di fondo che traspare da tutto il testo. Mascherandolo da saggio sull'importanza della matematica in generale, Hardy sta in realta riflettendo sulla propria vita, sta impietosamente chiedendosi se tutto quello che ha fatto ha un
senso 0 se estata tutta fatica sprecata, se ha lasciato un segno 0 se scomparira come non fosse mai esistito. Nella parte finale del testa abbandona ogni pretesa di saggio generale, e l'aspetto autobiografico, la valutazione della propria vita, esce in primo piano: I said at the beginningthat anyonewho defends hissubjectwillfind that he is defending himself; and my justification of the life of a professional mathematician is bound to be, at bottom, ajustification of my own. [Ho detto all'inizio che chiun-
que difenda il proprio campo scoprira che sta difendendo se stesso; e la mia giustificazione della vita di un matematico professionista e forzata essere, in ultima analisi, una giustificazione della mia vita] (p. 144).
Come abbiamo visto, Hardy rifiuta la semplice giustificazione di aver fatto qualcosa di "utile"; non esu questa piano che vuole essere giudicato:
Judged by all practicalstandards, the value of my mathematical life is nil; and outsidemathematicsit is trivial anyhow. I havejust one chance of escaping a verdict of complete triviality, that I may bejudged to have created somethingworth creating. [Giudicato secondo qualsiasi metro pratico, il valore della mia vita matematica enullo; e al di fuori dellamatematica e comunque banale. Ho una sola possibilita di evitare un verdetto di completa banalita, ed ech'io possa essere giudicato aver creato qualcosa che valesse la pena creare] (p. 151).
In questa senso, le sue argomentazioni non si applicano solo ai matematici, rna a tutti gli artisti. II senso della propria vita consiste nell'aver creato qualcosa che possa essere ricordato; nell' aver lasciato un segno nella memoria dell'umanita,
The case for my life[...] is this: that I haveaddedsomethingto knowledge, and helped othersto add more; and that thesesomethings have a value which differs in degree only, and not in kind, from that of the creations of the great mathematicians, or of any of the otherartists, great orsmall, who have left somekind of memorial behind them. [II caso per 1amia vita [...] e questa: che ho aggiunto qua1cosa alla conoscenza, e aiutato altri ad aggiungerne ancora; e che questi qua1cosa abbiano un valore che differisca solo in grado, e non in genere, da quello delle creazioni dei grandi maternatici, 0 di qualsiasi altro artista, grande 0 piccolo, che abbia lasciato un qualche tipo di memoriale dietro di se] (p. 151).
Hardy non riusci piu a riprendersi dalla depressione. Pochi mesi prima di morire, affermava di essere cost inutile da non essere neppure capace di suicidarsi. Eppure, a sessant'anni dalla sua morte, Ie sue riflessioni e la sua matematica sono ancora ricordate, vive e attuali; io sono qui a scriverne, e voi a leggerne. Usando il suo metro di giudizio, possiamo dirgli che ha vissuto una vita degna di essere vissuta: ha raggiunto l'immortalita,
marematica e culture 2008
Bibliografia [1] G.H. Hardy (1940) A Mathematician's Apology, with a Foreword by C.P. Snow, Canto edition 1992, decima ristampa 2005, Cambridge University Press, Cambridge. Traduzione italiana: Apologia di un matematico. Garzanti, Milano, 2002 [2] R. Kanigel (1991) The man who knew infinity, Little, Brown and co., London. Traduzione italiana: L'uomo che vide l'infinito. Rizzoli, Milano, 2003
[3] http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hardy.html
[4] G.H. Hardy (1908) A Course of PureMathematics. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Cambridge, 1993 [5] http://en.wikipedia. org/wiki/Cambridge_Mathematical_Tripos [6] M.Abate (testi), P.Ongaro (disegni) (2001) Laformula di Ramanujan. Martin Mystere 230, Sergio Bonelli Editore, Milano
Suggestioni di Archimede nella poesia latina e nelle ricerche scientifiche moderne MARIO GE YMONAT
L'antico siracusano rimane senza dubbio un modello da imitare anche per gli scienziati di oggi: non a caso sulla Fields Medal, il prestigioso premio internazionale per la matematica, sono riprodotti un profilo stilizzato di Archimede e il suo nome scritto in greco. Ho scritto un piccolo libro, Il grandeArchimede [1], arricchito da una presentazione di Luciano Canfora e, a partire dalla seconda edizione, da un'introduzione del russo Zhores Alferov, premio Nobel per la fisica nel 2000.
Figg. 1,2. La Fields Medal riporta sui recto un ritratto di Arehimede con il suo nome in greco e il motto latino Transiresuum pectus mundoque potiri [Traseendere il proprio animo e dominare I'universo], tratto dagli Astronomica di Manilio. Sui verso si legge Congregati ex toto orbe mathematici ob scripta insignia tribuere [I matematici radunati da tutto il mondo attribuirono per gli scritti eeeelientiJ, mentre il nome dello scienziato che riceve il premio e l'anno di conferimento sono sui bordo
Volendo fare un volume piacevole, l'ho arricchito con illustrazioni tratte da pagine di manoscritti medievali e di edizioni rinascimentali, dagli emblematici affreschi dello "Stanzino delle Matematiche" agli Uffizi, dai francobolli a lui dedicati e persino dall 'allegra trasmigrazione di Archimede nei fumetti per i ragazzi (1' Archimede Pitagorico di Walt Disney). Al suo fascino si sono mostrati sensibili artisti del passato e del presente: alla fine del Quattrocento Piero della Francesea ricopio nel Trattato d'abaco oltre 70 pagine delle sue opere tradotte in latino e nel 2006 il russo Zurab Tsereteli ha costruito a Mosca un'imponente statua che 10 rappresenta.
matematica e culture 2008
SuI persistente interesse per Archimede nel mondo moderno ha esercitato un ruolo importante la simpatia umana del personaggio, ironico e autoironico come i migliori scienziati di oggi. Si ricordi il sorriso divertito con cui prendeva in giro i boriosi colleghi di Alessandria, ai quali aveva inviato due falsi teoremi (10 raeconta egli stesso nella prefazione a Spirali) di cui gli altezzosi scienziati d'Egitto non si accorsero subito. E si pensi pure al quesito aritmetico a ben otto incognite che egli espose in un poemetto, il Problema bovino, dove con finta ingenuita indagava la quantita e qualita delle mandrie del Sole che pascolavano in tutta la Sicilia (1a soluzione esatta, trovata ne11880, richiede un numero di oltre duecentomila cifre!). Giocoso rna tutt'altro che semplice epure 10Stomachion. In questa breve trattato di geometria combinatoria Archimede si occupava di un quadrato diviso in 14 pezzi, una specie di puzzle la cui ricomposizione in diverse figure poteva stimolare creativita e fantasia.
Figg.3,4. Nello Stomachion Archimede prende in esame un sofisticato gioco-puzzle,le innumerevoli possibilicombinazioni di 14pezziin cui era divisoun quadrato,che avevano forma di triangoli isosceli e scaleni, di quadrangolie altri poligoni,da cui con adeguatafantasia e replicando alcuni pezzisi potevano comporre le pili varie figure:un cane che abbaia, una torre e persino un elefante
Per la modernita dello spirito scientifico di Archimede e rivelatore il generoso entusiasmo con cui salutava Ie proprie scoperte. Cosl mentre conduceva una serie di ricerche sulle proprieta della leva, giunse ad affermare con estroso ottimismo: "Daterni un punto d'appoggio e sollevero il mondo".
Suggestioni di Archimede nella poesla latina e nelle ricerche scie ntifiche moderne
Fig.5. "Datemi un punto d'appoggio e sollevero il mondo": il principio della leva illustrato in un affresco sui soffittodella Stanzino delle Matematiche nellaGalleria degliUffizi a Firenze
Erimasto famoso il suo grido Eureka! Eureka! [Ho trovato! Ho trovato!], quando, facendo un bagno, comprese i1 carattere del peso specifico e non ebbe imbarazzo a correre nudo annunciandolo con entusiasmo per le strade di Siracusa (sviluppo poi rigorosamente la scoperta nel trattato sui Galleggianti, dove preciso che "un corpo immerso in un liquido riceve dal basso verso l'alto una spinta uguale al peso del liquido spostato", il principia di Archimede, basilare per la navigazione di tutti i tempi). In effetti il matematico antico continua a trasmetterci un messaggio illuminista di fiducia nella scienza e nel progresso umano: non e un caso che Enrico Bombieri abbia dedicato a lui quasi per intero la lezione magistrale tenuta due anni fa a Crotone quando gli fu assegnato il PremiaPitagora. Alla decifrazione e all'interpretazione odierna di Archimede ha contribuito un codice del secolo X su cui vale la pena di spendere qualche parola [2]. Giusto cento anni fa, net 1906, il filologo danese Heiberg 10 scoprl a Costantinopoli e pubblico rapidamente do che riuscl a leggervi [3]. Dopo la prima guerra mondiale peraltro il manoscritto ando perduto net trasferimento di quella biblioteca da Costantinopoli ad Atene, per riapparire a un'asta di Christie's a New York nel1998, dove fu venduto per oltre due milioni di dollari. L'acquirente attuale 10 ha ora generosamente depositato al Museo d'Arte di Baltimora. Que! manoscritto ha dato impensati stimoli in America per nuove ricerche di paleografia combinata con la chimica e la fisica, con una serie di luci artificiali al Rochester Institute of Technology e, da ultimo, a Stanford in California, dove, con l'aiuto del potente sin-
matematica e culture 2008
crotrone di quella universita, si stanno ricostruendo i tracciati degli inchiostri antichi attraverso le molecole di ferro che ancora permangono in fogli altrimenti illeggibili. La vitalita di Archimede, anche al di fuori dell'impero bizantino, esottolineata dal fatto che alcune sue opere ci sono pervenute solo in traduzione araba (i musulmani non hanno mai tradotto Omero, Ie cui divinita pagane potevano rappresentare un pericolo per la loro religione, rna ebbero un grande interesse per la scienza e in non pochi casi scambiarono un ricco prigioniero bizantino con qualche manoscritto di matematica 0 di medicina). Araba e, per esempio, la versione del trattato Sui cerchi reciprocamente tangenti, pubblicata in Germania nel 1975 [3].
Gli scritti del matematico antico furono accolti con ammirazione e uno speciale interesse anche in Occidente alla fine del Medioevo, quando vennero tradotti in latino e trovarono cost nuovi lettori. Di fronte a essi i dotti dell'inizio del Cinquecento provarono la sensazione di un limite impossibile da superare, rna Archimede si rivelo invece in pochi decenni un motore stimolante per il rinnovamento della scienza: Galileo guardo a lui "con infinito stupore", Keplero e Newton 10 considerarono come un collega e, del resto, il russo Alferov 10 ritiene un premio Nobel ante litteram.
Fig. 6. Archimede in meditazione al tavolo di lavoro, fra libri e strumenti scientifici,in un quadro di Domenico Fetti dipinto aRoma ne11620, in pieno "secolo galileiano". Si trova adesso nella Gemiildegalerie Alte Meister di Dresda, in Germania
'fII'llfiI"iII!'.!t.'fII"~l!iII!'.li
scientifiche rnodeme
Quello che piu interessa in questa sede sono i contributi di Archimede alIa matematica, che si rivelano nella realta come una gara continua tra la complessita della materia e le sue originali e brillanti dimostrazioni. Con raffinata modestia, 10 scienziato si dice sorpreso che i corpi geometrici gli palesino un cost grande numero di caratteristiche, rimaste ad altri fino a quel momenta ignote. Va a sua gloria il calcolo antico pili preciso del rapportofra la circonferenza e il suo diametro, il famoso pi greco, rna molto produttive furono anche Ie sue .ricerche sulle Spirali, un trattato nel quale egli riuscl quasi magicamente a dimostrare che il terzo giro della spirale doppio del secondo, il quarto triplo, il quinto quadruplo sempre del secondo e COS! via. Una serie di risultati innovativi sievidenziano pure nella Quadratura dellaparabola e si puo ricordare l'interesse di Archimede per le simmetrienon banali dei poliedrisemiregolari, menzionati in un intrigante scolio alla Collezione matematica di Pappo: in quella ricerca 10 scienziato siracusano si occupo, fra l'altro, dell'icosaedro troncato, formato da 12 pentagoni e 20 esagoni regolari, il modello del nostro pallone da football. Archimede ando particolarmente orgoglioso del trattato su La sfera e il cilindro, dove giungeva a risultati di esattezza e semplicita sorprendenti, come quello che la superficie della sfera misura esattamente quattro volte quelladel cerchio massimo.La sfera, modello del cielo, era guardata con venerazione dagli antichi, e nelle sue opere il nostro scienziato sembra muoversi verso di essa come in un sogno ([4]). Egli stesso si impegnoconcretamente a fabbricare alcuni splendidi planetari, due dei quali venneroportati a Roma come "preda di guerra" dal generale conquistatore Marcello. Per influenza del proprio padre, Archimede si interesso seriamente anche di astronomia e all'inizio del suo Arenario si trova latestimonianza pili antica della dottrina eliocentrica, che prima di Copernico era stata proposta in Grecia da Aristarco di Sarno. II breve, rna denso Arenario, dedicato al giovane tiranno di Siracusa Gelone, godette giustamente di una straordinaria fortuna. In esso Archimede si riprometteva di contare i granelli di sabbia necessari per riempire lavolta celeste, unnumero che si avvicina pericolosamente all'infinito: non perdendosi d'animo, il matematico siracusano,con prodigiosa fantasia e,uno stile giocoso, invento un sistema numerico capace di esprimere quantita elevatissime (i granelli di sabbia contenuti dentro la sfera delle stelle fisse non sarebbero pili diquelli che noi potremmo indicare con 1063 ) . Cio che ci incanta delle scoperte di Archimede e illoro carattere originale e fortemente innovativo. Ma oggi non possiamo non guardare con ammirazione e entusiasmo anche alIa sua ardimentosa difesa di Siracusa contro l'esercito invasore nemico, un esempio di impegno civile e preoccupazione morale comune anche ai migliori scienziati a noi contemporanei. Della sua vita, delle sue macchine belliche e della tragica morte siamo informati come di nessun altro scienziato antico: da Polibio e da Plutarco, da Livio, da Valerio Massimo e.da altri ancora. Secondo la tradizione, la fantasiosa genialita di Archimede affascino Marco Claudio Marcello,la cui conquista di Siracusa fu a lungo ostacolata dalle potenti macchine belliche da lui messe in campo. Quando nel 212 a.C. quella che era allora una delle pili importanti e fiorenti citta del Mediterraneo cadde nelle sue mani, il comandante romano dette l'ordine di risparmiargli la vita, rna un suo milite, in-
e
e
e
metematice
cultura 2008
nervosito dalla testardaggine dello scienziato a non interrompere le proprie ricerche (Archimede gli avrebbe gridato: Noli turbare circulos meosl, "Non scompigliare i miei cerchil"), 10 decapito senza indugi, confondendo barbaramente nel sangue gli abbozzi su cui lavorava. Questa ela versione ufficiale,anche se si pub ben osservare che Marcello non aveva mandato delle sentinelle a proteggere I'abitazione dello scienziato e il soldato che vi fece irruzione aveva la spada sguainata e gli chiese insistentemente chi fosse. Non manca chi corne 10 storico padovano Lorenzo Braccesi [5] con buoni argomenti sostiene che la favola della distrazione di Archimede e della balordaggine del milite sarebbe una invenzione successiva per giustificare un atto di barbarie, programmato e commissionato per evitare che, lasciato in vita, egli potesse mettersi al servizio di Annibale, in quegli anni il piu temuto nemico di Roma: i tempi non erano ancora maturi perche i servizi della potenza vincitrice si attivassero per tutelare la vita di qualche ricercatore in cambio della sua futura collaborazione a livellotecnologico (corne alla fme della II guerra mondiale russi e americani fecero con gli scienziati nazisti). I'assassino di Archimede non sarebbe stato dunque un legionario eccitato, rna un freddo sicario, che si presento subito dopo al comandante non per scusarsi dell'accaduto, rna per mostrarne la testa, prova che il suo sporco lavoro era stato compiuto. Per parte mia, sono convinto che la barbara uccisione di Archimede da parte del soldato romano - pur moderata dalla supposta clementia del comandante Marcello, che sara poi la politica ufficiale di Augusto e degli imperatori che a lui suecedettero - abbia indotto un forte senso di colpa e uno speciale interesse per Archimede nei migliori intellettuali di Roma. Parlo soprattutto del I secolo a.C; poiche purtroppo del passo che trattava della presa di Siracusa negli Annales di Ennio, dell'inizio del II secolo, ci e rimasto solo un misero mezzo verso. Venendo dunque al I secolo a.C; il maggiore intellettuale romano che dichiaro apertamente la propria ammirazione per Archimede fu Marco Tullio Cicerone, che ricordava con evidente imbarazzo il trasporto corne preda di guerra aRoma di due suoi planetari (De republica 1,21), rna si mostrava giustamente orgoglioso di averne riscoperto egli stesso la tomba, identificata fra gli sterpi da una sfera e un cilindro, i due solidi di cui Archimede si era occupato nell' opera matematica di cui andava piu fiero, scolpiti in bassorilievo (Tusculanae Disputationes 5,23,64,traduzione di Nino Marinone [6]): Quando ero questore [ne175 a.C.] scopersi il suo sepolcro, tutto circondato e rivestito di rovi e pruni, di cui i Siracusani ignoravano l'esistenza, anzi escludevano che ci fosse. Ricordavo alcuni versi di poco conto, che sapevo trovarsi iscritti sulla sua tomba: dicevano che sulla sommita del sepolcro era posta una sfera con un cilindro. Un giorno scrutavo ogni angolo con 10sguardo (fuori della porta sacra a Ciane c'e un gran numero di sepolcri) e scorsi una colonnetta che non sporgeva molto dai cespugli, su cui stava I'effigie di una sfera e di un cilindro. Subito dissi ai Siracusani (si trovavano con me i piu ragguardevoli cittadini) che pensavo si trattasse proprio di cio che cercavo.Si mando molta gente con falci e illuogo fu ripulito e sgombrato. Quando fu aperto I'accesso, ci avvicinammo allato frontale del piedestallo: si vedeva un'iscrizione quasi dimezzata, in cui i versi
Suggestioni di Archimede nella poesia latina e neUe ricerche scientifiche moderne
erano corrosi verso la fine di ciascuno. Cosl una delle piu celebri citta della Magna Grecia, e una volta anche fra le piu dotte, avrebbe ignorato I'esistenza della tomba del suo piu geniale cittadino, se non gliela avesse fatta conoscere un uomo di Arpino'.
Fig. 7. Cicerone e i maggiorenti di Siracusa osservano compiaciuti la tomba di Archimede, riconosciuta in una fitta macchia di cespugli per il bassorilievo della "sfera inscritta in un cilindro": eun quadro dipinto nel 1787 da Pierre-Henri de Valenciennes, ora al Musee des Augustins di Tolosa, in Francia
L'opera di Archimede piu conosciuta aRoma fu comunque I'Arenario ('Paf..lJlf't'Il~), citata da Igino Gromatico ancora alIa fine del I secolo d.C.: Nam et Archimedem, virum praeclari ingenii et magnarum rerum inventorem, ferunt scripsisse, quantum arenarum capere posset mundus, si repleretur-.
I
2
In latino: "Cui us [Archimedis] ego quaestor ignoratum ab Syracusanis, cum esse omnino negarent , saeptum undique et vestitum vepribus et dumetis indagavi sepul crum. Tenebam enim quondam sen ariolos, quos in eius monumento esse inscriptos acceperam, qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro. Ego autem cum omnia conlustrarem oculis (est enim a porta sacra Cyanes magna frequentia sepulcrorum), animum adverti columellam non multus a dumis eminentem, in qua inerat sphaerae figura et cylindri, Atque ego statim Syracusanis (erant autem principes mecum) dixi me ilIud ipsum arbitrari esse quod quae rerem. Inm issi cum faicibus multi purg arunt et aperuerunt locum. Quo cum patefactus esset aditus, ad adversam basim accessimus: apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum dim idiatum fere. Ita nobilis sim a Graeciae civitas, quondam vero etia m doctissima , sui civis un ius acut issimi monumentum ignorasset, nisi ab homine Arp inate didicisset", Si legge nel Corpus Agrimensorum Romanorum, p. 148,4-7 Thulin ("Infatti dicono che Archimede, uomo di splendido ingegno e inventore di cose straordinarie, abbia scritto che quantita di chicchi di sabbia potesse contenere l'un iverso, se ne venisse riemp ito"),
culture 2008 rArenario era stata esaltato pochi anni prima in una poesia da Silio Italico,che si rivolgeva a lettori che evidentemente ne avevano notizia (Punica 14.350-351):
Non illum mundi numerasse capacis harenas vana fides' A me sembra probabile che Catullo nei vv. 7-13 del suo carme 5 ammicchi proprio a quell'opera sui grandi numeri: Da mi basia mille, deinde centum, dein mille altera, dein secunda centum, deinde usque altera mille, deinde centum; dein, cum milia multa fecerimus, conturbabimus ilIa, ne sciamus, aut ne quis malus invidere possit, cum tantum sciat esse basiorunr' Non mancava qui forse un'allusione alle colonne dell' abaco, 10 strumento usato comunemente per i calcoli aritmetici nei mercati. Peraltro i richiami dotti alla matematica si sostanziano anche nel carme 7: Quaeris quot mihi basiationes tuae, Lesbia, sint satis superque. Quam magnus numerus Libyssae arenae lasarpiciferis iacet Cyrenis, oraclum Iovis inter aestuosi et Batti veteris sacrum sepulcrum, aut quam sidera multa, cum tacet nox, furtivos hominum vident amores, tam te basia multa basiare vesano satis et super Catullo est; quae nee pernumerare curiosi possint nee mala fascinare lingua" Qui al quinto verso I' oraclum Iovis eil tempio di Ammone nell' oasi africana di Siwa,al verso 4 Cyrenis ela regione di nascita dell'ammirato poeta Callimaco, al verso 6 Batto e il mitico fondatore di Cirene, mentre magnus numerus al terzo verso e pernumerare all'undicesimo sono vocaboli peculiari dell'aritmetica, Se il nu-
3 4
5
"Che egli avesse contato i granelli di sabbia che il mondo contiene non / era vana credenza». "Dammi mille baci e poi cento, / poi altri mille e poi altri cento, / e poi ininterrottamente ancora altri mille e altri cento ancora; / infine, quando ne avremo sommate moIte migliaia, / altereremo i conti 0 per non tirare il bilancio / 0 perche qualche maligno non ci possa lanciare il malocchio, / quando sappia I'ammontare dei baci". "Tu mi chiedi, 0 Lesbia: a quale numero arrivano i tuoi baci, / perche io mi senta sazio e nauseato./ Quale elevato numerodi granelli di sabbia africana / si stende nella Cirenaica fertile di silfio, / tra I'oracolo del torrido Giove / e la venerabile tomba dell'antico Batto, / quale sconfinato numero di stelle, quando la notte e silenziosa, / sbircia gli amori clandestini degli esseri umani, / tale e10sterminato numero di baci / che devi dare a Catullo, pazzo d'amore, perche si senta sazio e nauseato; / che tale cifra i ficcanaso non possano contare, / ne le lingue dei maligni ci lancino contro il malocchio".
°
rtcercne scientiflche moderne
mero dei baci richiesti a Lesbia viene paragonato a quello enorme dei granelli di sabbia della costa africana, non eimprobabile che il poeta romano avesse in mente proprio l'inizio della qsaJlJli'tll~, dove Archimede affermava di volersi occupare del numero dei granelli di sabbia, «non solo di quelli che sono intorno a Siracusa e nel resto della Sicilia, rna anche di quelli che sono in ogni regione, sia abitata sia non abitata"[7]. II richiamo ai granelli della sabbia africana ritorna nell'epitalamio 61 (206-210), dove la quantita dei giochi d'amore che Catullo augura agli sposi novelli e un'accattivante esagerazione poetica, anche tenendo conto del Kamasutra: Ille pulveris Africi siderumque micantium subducat numerum prius, qui vestri numerare vult multa milia ludi" Nella generazione successiva a Catullo di numeri si diletto particolare Virgilio, il quale, come ricorda nel secolo IV l'autorevole vita Donatiana (§15): Inter cetera studia medicinae quoque ac maxime mathematicae operam dedit? Si possono leggere in questa prospettiva i versi 73-75 dell'egloga VIII, dove la conclusione deus... gaudet indica come i numeri procurino un particolare piacere alle stesse divinita: Terna tibihaec primum triplici diversa colore licia circumdo, terque haec altaria circum effigiem duco; numero deus impare gaudet" Nelle Georgiche (2, 103-106) Virgilio ricorda il numero dei granelli della sabbia africana in relazione alle qualita di vino note gia allora (e·oggi sarebbero molte di piul): Sed neque quam multae species nee nomina quae sint est numerus, neque enim numero comprendere refert; quem qui scire velit, Libyci velit aequoris idem discere quam multae Zephyro turbentur harenae?
6
7
8
9
"Calcoli prima il numero / dei granelli di sabbia africana /0 delle stelle lucenti, / colui che vuole contare / Ie molte migliaia dei vostri / giochi d' amore", "Fra gli altri studi si occupo anche di medicina e soprattutto di matematica", "Prima di tutto ti metto attorno a tre a tre questi fili / di.tre diversi colori, e tre volte porto la sua immagine / intorno a questo altare; del numero dispari gioisce il dio", "Ma quante Ie specie, e con quali nomi, non / si pub enumerare; chi volesse conoscerlo, / vorrebbe anche imparare quanti grani di sabbia / della pianura libica si agitano allo Zefiro".
matematka e cultura 2008
II nome dello scienziato siracusano inizia metricamente con un cretico (lunga-breve-lunga) e non poteva quindi entrare in un poema in esametri, rna Virgilio, che evidentemente 10 ammirava (corne del resto ammirava il poeta siracusano Teocrito), 10 dissimula abilmente nella risposta a una domanda, insieme ingenua e raffinata, su una coppa istoriata che un pastore rivolge nella III egloga, vv. 40-42: In medio duo signa, Conon et - quis fuit alter, descripsit radio totum qui gentibus orbem, tempora quae messor, quae curvos arator habereti" Gli Scholia Veronensia ci testimoniano che ancora nel IV e V secolo parecchi critici ritenevano che il poeta si riferisse qui a Archimede (Nonnulli Archimedem) e questa convinzione eresa esplicita in una nota giuntaci sotto il nome del grammatico Valerio Probo: Alterum post Cononem quem dicat, incertum est, sed suspicatur Archimedem, quoniam Cononis discipulum". Si ricordi che la Chioma di Berenice di Callimaco era stata tradotta pochi anni prima in latino nel carme 66 di Catullo, che si apre con un esplicito omaggio alIa disciplina astronomica, di cui Conone era stato uno dei massimi rappresentanti (Omnia qui magni dispexit lumina mundi, "Colui che numero tutti gli astri della volta stellata"), ne possiamo dimenticare il rapporto intenso, seppur contrastato, che Catullo ebbe con Cicerone, al quale aveva dedicato il solenne rna ironico carme 49 (Disertissime Romuli nepotum, "0 il piu facondo dei nipoti di Romolo"). Si puo aggiungere che radius significava in latino anche "raggio del cerchio", uno degli argomenti centraIi della geometria di Archimede. Ma si puo ancora ricordare che il paragone con il grande numero dei granelIi di sabbia ritorna intrigante nell'inizio emblematico dell' ode 28 del primo libro di Orazio: Te maris et terrae numeroque carentis harenae mensorem..., Archyta." Qui terrae... mensorem euna evidente perifrasi di "geometra", e non sembra inverosimile che proprio i1 nome di Archimede, che corne abbiamo visto iniziava con un cretico e non poteva entrare in un verso dattilico, possa essere stato scambiato con il nome di Archita, il filosofo pitagorico che non risulta, pero, essersi mai occupato del numero dei granelli disabbia. L'ipotesi eavanzata con garbata pru-
"Nel mezzo due figure, Conone [l'astronomo della corte egiziana con cui Archimede fu realmente in corrispondenza] e - chi fu l'altro, che agli uomini disegno con la bacchetta tutto quanta il cielo, quali siano Ie stagioni per il mietitore, quali per il curvo aratore?" 11 "Chi dica per secondo dopo Conone e incerto, rna si sospetta che sia Archimede, per il fatto che era state allievo di Conone." , 12 "Te, 0 Archita, che misuravi il mare e la terra e l'innumerabile arena".
10
Archhnede
nelle ricerche scientifiche moderne
denza da Robin G.M. Nisbet e Margaret Hubbard, nelloro autorevole commento a Orazio (p. 321): In his \}Jaflfli'tl1<; or 'Sand-Reckoner' Archimedes achieved the impossible; he showed that the sand could be counted even if the whole universe were filled with it [...] There is no evidence that Archytas had previously counted the sand; Archimedes does not mention him, and his own treatise is said to show characteristic originality. But it would be rash to assume that Horace has simply confused Archytas and Archimedes. Obviously he had heard of the 'Paflfll'tl1<; [...] So Horace ascribed the counting of the sand to Archytas, as the sort of thing that mathematicians did. A poet would have no respect for facts in a matter of this kind".
Bibliografia M. Geymonat (2006) Il grande Archimede, Sandro Teti Bditore, Roma R. Netz, W. Noel (2007) Il codice perduto di Archimede, Rizzoli, Milano J.L. Heiberg (Ed.) (1910-1915) Archimedis opera omnia cum commentariis Eutocii, voll. I-III, Teubner, Leipzig; corrigenda adiecit E.S.Stamatis (1972); vol. IV ed. Y.DoldSamplonius (1975) [4] R. Netz (2001) Archimede, in: Storia della Scienza I, Istituto della Enciclopedia Italiana.Roma [5] L. Braccesi (2007) Eassassinio di Archimede, in: Hesperia 22 [6] N. Marinone (1976), traduzione di Cicerone, Tusculanae Disputationes,Utet, Torino [7] Archimede, Opere (1974) a cura di A. Frajese, Utet, Torino [8] R.G.M. Nisbet, M. Hubbard (1970) A Commentary on Horace OdesBook 1, Clarendon Press, Oxford [9] T.L. Heath (1897) The Works of Archimedes, edited in Modern Notation with Introductory Chapters, con un Supplement (1912; reprint Dover, New York 1953) [10] M. Geymonat (2007) Archimede: spirito moderno di uno scienziato antico, in: Bollettino della Unione Matematica Italiana, Serie VIII, vol. X-A [1] [2] [3]
13
"Nel suo Arenario Archimede raggiunse I'impossibile: egli mostro che i granelli di sabbia potrebbero essere contati anche se ne fosse riempito l'intero universo [...] Non c'e prova che Archita avessein precedenza contato i granelli di sabbia;Archimedenon 10 nomina, e si diceche il suo trattato abbia specifichecaratteristichedi originalita,Ma sarebbe avventato presumere che Orazio abbia semplicemente confuso Archita con Archimede.Ovviamenteil poeta latino aveva sentito parlare dell'Arenario [...] Cost egli attribut il conteggio dei granelli di sabbia ad Archita, come il tipo dicose che facevanoi matematici. In una faccenda di tal genere un poeta non avrebbe avuto rispetto per i fatti",
II re della spazio infinito 1 SIOBHAN ROBERTS
"Potrei viver confinato dentro a un guscio di noce e sentirmi re della spazio infinite," William Shakespeare, Amleto, Atto II, Scena 2 (Citato da Coxeter a proposito della "Pinitezza dei triangoli", Introduzione alla geometria) Fui iniziata alla prospettiva del mondo di Coxeter in occasione di un viaggio accademico, durante il quale partecipammo alla cerimonia di benvenuto per Ie nuove reclute della Royal Society of Canada. In attesa dell'inizio delle formalita, Coxeter e io ci trovavamo nella biblioteca della villa di proprieta del presidente dell'Universita di Toronto. Con una mano, Coxeter reggeva un bicchiere di vino rosso pericolosamente inclinato, e con l'altra un pasticcino con un ripieno forse troppo ricco. "Questa pasta alla crema eun po' fuori luogo", osservo, come sempre vestito con minuziosita in giacca e cravatta. Tra un saluto dei suoi ammiratori e un augurio dei colleghi, Coxeter alzo il braccio per indicare qualcosa It vicino e mi chiese: "Di che forma e quel tavolo?". Gia m'immaginavo fosse una domanda a trabocchetto. Ma io dissi quello chevedevo. Era un cerchio. Mi corresse: "Se fossi appeso al soffitto, guardando dall'alto, allora sarebbe un cerchio". Ma dalle coordinate della nostra posizione nella stanza, la prospettiva era deviata e trasformata. Egli vedeva il tavolo come un'ellisse e aggiunse, come nota a margine,che aveva addirittura scritto un saggio sull'argomento, intitolato poeticamente In qual caso un cerchio pUD apparir come un'ellissei [1] Ebbi I'opportunita di conoscere Donald Coxeter nel2001 quando era giornalista per il quotidiano National Post a Toronto. Lo seguii aIle conferenze sulla geometria a Banff e Budapest, per Ie qualiaveva arditamente accettato l'invito, nonostante i suoi 94 anni di eta. Seguendo Coxeter nei suoi viaggi, mi accorsi che per definire la geometria gli piaceva ripetere spesso un vecchio detto, "La geometria e 10 studio di segni e disegni", diceva: segni nel senso di numeri e disegni nel senso di figure. Durante Ie mie ricerche, mi vennero riferiti diversi aneddotimolto eloquenti, che ben rappresentano Coxeter studioso di geometria, con il suo stile elegante e assolutamente essenziale. Molti dei suoi studenti mi raccontavano delle
1
e
Questo intervento tratto da 11 re della spazio infinito. Storia dell'uomo che salvo la geometria, pubblicato in Italia da Rizzoli, Walker/USA, Profile/UK, e Anansi/Canada.
matematica e cultura 2008
piccole dimostrazioni pratiche di geometria, come ricavare un pentagono da una striscia di carta, piegandola adeguatamente (Fig. 1). "Si pub ricavare in maniera precis a la figura di un pentagono con le diagonali," spiegava Coxeter nella sua Introduction to Geometry, "facendo un semplice nodo con una lunga striscia di carta e appiattendolo con cura" [2].
Fig.L Unpentagono ricavato piegando una striscia di cartaconl'esposizione della sezione dorata
Si tratta di un vecchio trucchetto di geometria, tra i preferiti di Coxeter, assieme a un'altra dimostrazione pratica che riguardava il modellino di uno dei solidi platonici, i cinque solidi regolari che costituivano il fondamento e la materia prima di gran parte dellavoro di Coxeter. Era solito ricavare un modellino di dodecaedro a partire da un elastico e due ciotole di cartone fatte di pentagoni , dette anche reti (Fig. 2). II solido prende forma con la pressione di un elementare sistema a molla ottenuto sistemando I'elastico in corrispondenza degli angoli delle reti. Gli studenti ricordavano che, durante le lezioni, a Coxeter piaceva fare un po' di teatro, fingendo di aver perso il suo modellino con l'elastico, "Oh, rna guarda!", esclamava a meta lezione,"E ora do ve e andato a finire il mio dodecaedro?". Si guardava in giro, rovistando tra le sue cose, alzando una pila di carte 0 aprendo un libro e poi, a un certo punto, ecco che il modellino saltava fuori all'improvviso.
Fig.2. Undodecaedro "a molla" ricavato condue reti di pentagoni e un elastico
IIre dello spazio infinito
Quelli citati sono solo due piccoli esempi del carattere di Coxeter. Molto pratico come studioso di geometria, amava toccare con mana i propri modelli, per valutare cosi le loro diverse prospettive e proprieta.Attribuiva molta importanza all'impatto visivo, che gli permetteva di alimentare la sua fervida intuizione. Molte volte ho sentito dire che "Coxeter riusciva veramente a VEDERE le cose" , Accompagnando Coxeter alle sue conferenze, mi capito di sentire dire molte volte che era considerato "l'uomo che aveva salvato la geometria". Forse una lusinga un po' iperbolica, rna che certamente eben rappresentata in una vignetta del compianto matematico David Logothetti, raffigurante Coxeter nei panni di un beechino che riesuma la sua amata geometria (Fig. 3).
Coxeter exhuming Geometry.
Fig. 3. "The man who saved geometry" (L'uomo chesalvo lageometria) di David Logothetti (per gentile concessione di Faith Logothetti)
E risaputo tra i conoscitori della materia che la tradizione antica della geometria classica e stata detronizzata durante il XX secolo, quando si ritenne che fosse ormai superata. Al suo posto, furono incoronate l'algebra e la matematica astratta: tutti simboli, lettere, equazioni fastidiosamente ondeggianti, nessuna forma 0 solido. Nonostante Coxeter fosse un esperto sia di algebra che di geometria, era prima di tutto uno studioso di geometria classica (che, per i miei canoni, generalmente rientra nella seconda categoria). II suo interesse per la geometria classica non venne meno neanche negli anni pili bui , consentendo alla tradizione di conservarsi fino agli ultimi venti cinque anni del secolo, quando fu nuovamente assurta a materia di studio in diversi ambiti. Ogniqualvolta osavo dire che stavo scrivendo un libro sull'uomo che aveva salvato la geometria dalla quasi-estinzione, per esempio quando il discorso veniva fuori durante una cena con amici, la conversazione subiva una battuta d'arresto, 0 forse pili d'una. Le persone cambiavano espressione nel ricordare le lezioni scolastiche di matematica, trascorse ad armeggiare con compassi e goniometri e a imparare a memoria teoremi sui triangoli. La geometria era impressa nella loro men te come un'esperienza traumatizzante e come una materia che avevano lasciato alle spalle con sollievo. La conversazione riprendeva solo quando qualcuno si lan-
matematica e cultura 2008
I
~Qnesto
ciava in commenti del tipo: tizio ha salvato la geometriaili Per qnale assurdo motivo l'ha fatto? Avrebbe risparmiato a tutti molte pene, se solo l'avesse lasciata morirel". Quando ebbi l'opportunita di conoscere Coxeter, pero, intravidi diverse qualita che in breve tempo mi conquistarono senza indugi. Era l'uomo, il professore allo stesso tempo geniale e distratto, ancora in grado di lavorare con le proprie forze - rinfrancato da uno stomacante elisir, che era solito assumere prima di coricarsi, fatto di liquore al caffe Kalhua, una specie di grappa alla pesea, a volte una spruzzata di vodka, il tutto mescolato con latte di soia (era vegetariano). Ed era anche Coxeter il matematico, un'ispirazione per persone quali Douglas Hofstadter, M.e. Escher, Buckminster Fuller, John Horton Conway e Emma Castelnuovo .
( S 5-/t
~)
Fig. 4. Lo schizzetto di Coxeter di una cupola geodetica (per gentile concessione di Susan Coxeter Thomas)
Coxeter era un grande ammiratore delle cupole geodetiche di Buckminster Fuller (Fig. 4), e scrisse un saggio intitolato Virus macromolecules and geodesic domes [3], nel quale confrontava la struttura di particolari cupole geodetiche con quella dei virus. La struttura della sfera alta 11 metri che Fuller costrul sulla vetta del Monte Washington era simile a quella dell'herpes virus e alla varicella; l'adenovirus, noto per essere la causa del comune raffreddore e della polmonite, fu riconosciuto da Coxeter nella struttura a icosaedro del padiglione degli Stati Uniti all' esposizione di Kabul, in Afghanistan. Fuller, dal canto suo, dedico illibro
II re della spazio infinito
Synergetics, Explorations in the Geometry of Thinkinga Coxeter. Riporto qui di se-
guito la dedica:
In virtu dello straordinario lavoro di una vita nel campo della matematica,
il prof. Coxeter eLO studioso di geometria del nostro burrascoso
ventesimo secolo, spontaneamente acclamato curatore terrestre dell'inventario storico della scienza dell'analisi delle figure. Dedico a lui questa lavoro, con particolare stima e in ringraziamento a TUTTI gli studiosi di geometria di TUTTI i tempi della cui importanza per l'umanita egli eun esempio. [4] Coxeter e l'artista olandese M.e. Escher instaurarono un rapporto di ispirazione reciproca. Escher aveva un interesse particolare per il concetto di infinito, esemplificato dalle improbabili costruzioni che aveva concepito, come gli edifici con le rampe infinite di scale. Aveva anche realizzato diversi disegni intitolati "divisioni regolari del piano", con motivi in chiaroscuro di pesci, uccelli 0 lucertole, alternati come pezzi corrispondenti in un puzzle. Ma a Escher non piaceva il fatto che la sua rappresentazione dell'infinito si dovesse fermare di netto al bordo della pagina, percio era alla ricerca di un modo per rappresentare l'infinito in maniera pin convincente. Escher aveva conosciuto Coxeter nel1954 al congresso internazionale dei matematici e in seguito avevano iniziato una collaborazione sui generis, attraverso corrispondenza e visite occasionali. In una lettera, Coxeter chiedeva a Escher il permesso di riprodurre uno dei suoi disegni in un saggio sulla simmetria che stava ultimando. Quando Escher ricevette una copia della pubblicazione di Coxeter [5], l'artista fu felice di vedere la riproduzione del suo disegno, rna fu ancora piu felice nell'imbattersi in uno dei diagrammi del piano iperbolico di Coxeter. Esso forniva una visione piu avvincente dell'infinito, con i disegni dei triangoli che si rimpicciolivano man mana che si allontanavano dall' 0 rizzonte della sfera. Escher raccontava che, nel vedere questa figura, ebbe un vero e proprio shock: aveva finalmente rotto il suo blocco mentale. Cerco di abbozzare uno schema in maniera da riprodurre tale struttura (Fig. 5), quindi ricostrulla figura lui stesso, per poi crearne la propria personale interpretazione, inclusa nella _" serie Circle Limit- in particolare nella serie Circle LimitIII, della quale Escher invio una copia a Coxeter, con la dedica To
Proffessor [sic] H.S.M. Coxeter, with gratitude (Fig. 6).
Fig. 5. I disegni a matita di Escher sul diagramma di Coxeter che dimostrano la copertura del piano iperbolico (per gentile concessione di Doris Schattschneider)
matematica e cultura 2008
Fig. 6. Circle Limit III di Escher con la dedica a Coxeter "con gratitudine," 1959. (Copyright © 2008 the M.C. Escher Company- Holland. All rights reserved. www.mcescher.com)
Mentre lavorava alla serie Circle Limit, net parlare, Escher aveva addirittura coniato il verba to Coxeter ed era solito dire I'm Coxetering today. Dal canto suo, il matematico scrisse diversi saggi [6-9] in cui analizzava l'''intuizione geometrica" di Escher, il quale non aveva alcuna formazione scolastica di questo tipo. Secondo Coxeter, i risultati che lui stesso aveva raggiunto nella trigonometria, Escher li aveva raggiunti solo grazie all'intuizione. Escher parlava di "forrnule magiche", riferendosi all'analisi matematica avanzata che Coxeter aveva fatto della sua arte, sostenendo di non capirci una parola. La nozione di intuizione geometrica e cia che Coxeter ed Escher avevano davvero in comune. Coxeter stesso si considerava un artista. Una volta gli chiesi perche aveva fatto quello che aveva fatto - 0 forse, all'epoca in cui 10conobbi, la domanda era pin perche continuava a farlo, dato che la maggioranza dei suoi colleghi era gia in pensione. Coxeter mi diede una risposta secca: "Nessuno chiede agli artisti perche fanno quello che fanno. 10sono come un artista. Casualmente, la mia mente eossessionata da forme e schemi". Per cui, cOSI come Escher lavorava matematicamente, Coxeter, in qualita di matematico, lavorava artisticamente.
Fig. 7. Un giovane Coxeter con la tasca piena di penne (per gentil e concessione di Susan Coxeter Thomas)
IIre dello spazio infinito
Quando era ancora un talentuoso giovane matematico (Fig. 7) a Londra, Coxeter subl grandemente il fascino della quarta dimensione. Scrisse anche un saggio sull'argomento, poi premiato, intitolato Dimensional Analogy, che stese su numerosi quaderni di appunti. Nella prima adolescenza, fu anche un abile pianista e compositore (Fig. 8) e si diletto inventando una lingua, che chiamo Amellaibian (Fig. 9). Fig. 8. Da adolescente, Coxeter compose Ie musiche per l'opera treatrale di G.K. Chesterton "Magic" (per gentile concessione di Susan Coxeter Thomas)
I,.,
T ~ . ",," , •• c ,U ,t
A..,CUA'",' ",N • • ,.
T' 6£1'"_"",
'r"-Cr ......... "1. ...
, ."'(,, ("
4" 10 . 14) ; "" ", ,,, ,.~ A.... • :,.o ,~
"""P".s. 'tltL,
I~
14.) .
r'/ •
IH.,."',,"' IlI , (;1."'NT /w
I 2
..
CL Cl.
0''' , 'f1I 1t1.. ,..
, I~
"£'d'S
"'."t>
f l ' 10"" 2
J e tD 1II1>
r
C'
l o +-'1 or
~ "'01 £
(;U, ...
a Il:LA'
':'
6 u, "4 n
UWT /r
fTLAHri:>
Gl. "lII Jr,l$
'7
10+7 - (; \,A,,,,,,,O C LA , "'SI'II
q
1.0 " 2K lp .
2,)(
tiT •
"slfT', 6
'0+'
I . ~ 10 .....
Z, a-
IS.
N ~""I'
& LI'''',.o ('l "~~l"
"
Iq . 10"
~ ':
~t:
10+4- ... fi. Lj.Hf'O U"ll.'Y'f"
IS e 10"
Fig. 9. Una pagina tratta dal racconto di Coxeter scritto nella sua lingua inventata, l'Amellaibian (per gentile concessione di Susan Coxeter Thomas)
10 + '-
".
GLAN 1'O , ~tAN'f J"
. .., - 10·., .. (h.,A"'~o
I 14
"'. ~
(JLA"Tlly t ... . . ~c.. ; Att., 'N Till.
I
'hllfr
12
AI .,..WC' 1r,. • • ,.·~
(6LNlfTiI CI.-'.", •
"CI, nU
• , .,..
.... ,.... ... , T1U. 1'4"£."'""LI I
r~",.
"'1'
>\"'l.
AI
W.,..., , .. t:
CLA.lItl"~.LA"'. ·
G'1Ji,.";' GLI"~ I~ I . Go LA N T ~ rt-wr ,» C.LA'"" .. T-' J.AN....;
If + I ':' Ct" "'1"'1'~ &Lt.\olTO 'LA JlU/ .
:a1C, 10+ 1.!.:
Ct. ,. ......, .,. - M~lIII'fq
,LJ,tr. IH'T.
Ma l'ossessione del giovane Coxeter per la quarta dimensione 10 portava addirittura a trascurare alcuni principi base della matematica. Quando venne il momenta di immergersi nei libri, in preparazione degli esami di ingresso a Cambridge, il suo tutor gli proibl di pensare alla quarta dimensione, se non la domenica. Alla fine, dopo aver provato due volte l'esame, vinse una borsa di studio al Trinity College. Alla base della passione di Coxeter per le forme geometriche c'e la nozione di simmetria. Come Coxeter disse una volta Tutta la matematica estudio della simmetria, 0 di come cambiare una cosa senza veramente cambiarla. Inoltre , e la simmetria che, nelle sue varie forme, soggiace all'ordine, alle leggi e alla razionalita dell'universo, e quindi anche allinguaggio della matematica.
- - - -- - -- - _._-'
matematica e cultura 2008
Ho imparato da Coxeter che esistono due categorie distinte di simmetria: simmetrie infinite, come quelle di una sfera, e simmetrie discrete, come quelle possedute dai solidi regolari. Un modo semplice per distinguerle, mi fu spiegato , ericordarsi un aneddoto sull' astrofisico Fritz Zwicky: egli era noto per chiamare "bastardi sferici" Ie persone che non gli andavano a genio . Partiva dal ragionamento che queste persone , comunque Ie considerasse, erano sgradevoli 0 prive di interesse. Quindi, per alcuni gusti, Ie simmetrie infinite non hanno grandi attrattive: sono, di fatto, prevedibili e di conseguenza meno interessanti delle simmetrie discrete, materia di studio preferita da Coxeter,che in particolare, si occupo di simmetrie discrete di poIitopi come il dodecaedro quadridimensionale 0 l'iperdodecaedro (Fig. 10).
Fig. 10. Copia originale di Coxeter del disegno di W.A Wythoff dell'iperdodecaedro (per gentile conces sione di Asia Ivic Weiss)
Uno dei metodi con cui Coxeter studiava Ie simmetrie di forme e solidi era l'uso di specchi (Fig. 11). Egli utilizzava caleidoscopi con specchi fatti su misura, che curava con particolare attenzione (lucidandoli e assicurandosi scrupolosamente che i cardini fossero ben stretti) e che portava con se quasi ovunque (la madre gli aveva cucito appositamente un involucro in feltro per evitare danneggiamenti durante il trasporto).
Fig. I!. Coxeter mentre monta uno dei suoi caleidoscopi personali dell'epoca di Cambridge (per gentile concessione di Susan Coxeter Thomas)
II re dello spazio infinito
I disegni e le forme geometriche erano generati sistemando un oggetto, come una stecca 0 una palla, in un punto particolare del collo del caleidoscopio. Riflesso dal caleidoscopio,l'oggetto formava un'immagine geometrica composita. Con tre specchi si riuscivano a produrre figure tridimensionali, come il dodecaedro (Fig. 12).
Fig. 12. Lamappatura di un dodecaedro su una sfera, generata dagli specchi di un caleidoscopio a icosaedro (per gentile concessione di SeymourSchuster)
Coxeter svolgeva ricerche sulle dimensioni multiple, dove le forme ruotano e si riflettono, replicando le proprie proprieta nello spazio degli specchi, che el'iperspazio . Avevasviluppato una vera e propria passione per questa tipo di politopi a piu dimensioni, tanto che durante il periodo del suo servizio a Princeton, nei primi anni trenta, divenne conosciuto come "Mr. Politopo", Fece scoperte significative sui politopi, arrivando a elencare tutte le simmetrie generate dai riflessi. Cio nonostante, come annoto nel suo diario, dopo che gli era balzata in mente la prima idea di quello che poi sarebbe diventato il diagramma di Coxeter (Fig. 13), le reazioni al suo lavoro erano spesso riduttive.
@~-.~-.
5
Fig.13. Undiagrammadi Coxeter per un icosaedro, generatoentro un caleidoscopio a icosaedro (per gentileconcessione di Doris Schattschneider)
matematica e cultura 2008
Coxeter aveva fatto di questo studio illavoro di una vita, rna un matematico di Princeton quale Solomon Lefschetz 10 freddo commentando: "Ebello pensare a cose inu tili ogni tanto". La geometria di Coxeter si trovava in forte declino proprio mentre la sua carriera cominciava a muovere i primi passi negli anni 30. La geometria classica era considerata un passatempo della domenica pomeriggio, ne pili ne meno che uno svago con dei giocattoli. Ipoteticamente, come avvenne p~r la scomparsa del latino, se scomparisse la geometria classica di Coxeter,nessuno se ne accorgerebbe troppo, se non qualche aficionado. Nell'era dei supercomputer e della teoria delle superstringhe,lo studio essenziale della geometria classica esenz'altro diventato obsoleto. Tuttavia, seguendo Coxeter nei suoi viaggi, mi fu chiaro che la moderna ragion d'essere della geometria era qualcosa di pili che non un semplice tributo alIa bellezza delle forme .In realta, la bellezza era cio che animava Coxeter, per la quale aveva quasi una disposizione elitaria. Rimuginava su ellissi e cerchi, esagoni e icosaedri. Si ral Iegrava a guardare la semplice geometria della schiuma, delle spugne, degli alveari, dei girasoli. Ma Ie applicazioni della geometria vanno ben oltre. Molte persone non notano la geometria pili di quanta non notino la curvatura della Terra camminandoci sopra, rna a uno sguardo pili attento,la geometria appare dove meno te l'aspetti. Algoritmi geometrici producono Ie curve, disegnate al computer, di un' automobile Mercedes e di film a cartoni animati come Gli incredibili della Pixar. Le molecole dei cibi che mangiamo e delle medicine che assumiamo hanno strutture geometriche. Osservata con uno stereomicroscopio,la molecola della menta verde e10 specchio della molecola del cumino tedesco: aIle loro strutture simmetriche si devono Ie diverse proprieta e il gusto. La geometria molecolare svolge un ruolo cruciale nel funzionamento del sistema immunitario e nello studio dei medicinali. La forma 0 Ia struttura di un medicinale deve essere tale da legarsi come un pezza di un puzzle alIa struttura della proteina appropriata. Se i medicinali non riescono a Iegarsi, non possono nemmeno svolgere Ia Ioro funzione. Allo stesso modo, Ie cruciali interazioni tra Ie immunoglobuline e le proteine si basano su un'unione del tipo "chiave-serratura" 0 "adattamento-corrispondenza" di forme molecolari compatibili (Fig. 14).
&~-, ~ ( (...J
i ...
J
Fig. 14. Un diagramma schematico di un'immunoglobulina, che illustra la sua interazione a "chiave-serratura" con le proteine (per gentile concessione di Sean Law)
II re della spazio infinito
Una volta delineati questi parametri del valore della geometria pura e applicata in generale, in seguito ho voluto comprendere esattamente come fece Coxeter a "salvare" la geometria, come spesso si dice. In un certo senso, egli non fece altro che perseverare stoicamente. Persevero con Ie forme che amava. Pratico la geometria con incomparabile semplicita e bellezza. E oltretutto, con il suo stile elegante, divento anche un grande divulgatore. E il suo libro Regular Polytopes [10] divenne una bibbia per i maternatici: John Ratcliffe,della Vanderbilt University, ne teneva una copia nel suo studio e un'altra a casa propria, per consultarla nelle sue serate. Per concludere degnamente il quadro, i suoi libri non erano soltanto matematicamente coinvolgenti, erano anche scritti con uno stile eloquente e arguto. Stuzzicava l'attenzione dellettore con inaspettati cambi di registro quali"...dividendo il prodotto delle prime tre espressioni per il prodotto delle ultime due, e indulgendo a un'autentica orgia di soppressioni, si ottiene... "2.
Fig. 15. Sbarco da un yolo Aerlingus (per gentile concessione di Susan Coxeter Thomas)
Inoltre, egli viaggio in lungo e in largo, quasi come un missionario (Fig. IS}.Durante la sua carriera, attraverso l'Oceano Atlantico quasi cinquanta volte. Una sera del gennaio 19S9, durante una nevicata, prese il treno notturno per recarsi da Toronto a Philadelphia, dove doveva tenere un discorso, e approfitto del viaggio per sisternare il suo intervento. Il giorno seguente, annoto nel suo diario: Circa una quarantina di persone sono scoppiate in un applauso spontaneo dopo il mio intervento di died minuti su L'impacchettamento delle sfere nello spa-
zio e la schiuma.
2
Ndt: nell'originale inglese: "...dividingtheproductof thefirst threeexpressions by theproductof the last two,and indulgingin a veritable orgyof cancellation, we obtain..."
2008
II mese seguente, tenne un conferenza sullo stesso tema davanti a un pubblico di settanta insegnanti. Due mesi pili tardi, parlo di "1'impacchettamento delle sfere nella spazio e la schiuma" agli alunni pili bravi di un istituto. Un'opera del diciassettesimo secolo gli fornll'ispirazione per un titolo che i1 suo giovane pubblico potesse trovare divertente: Vegetable Statics [11].Vi si dibatteva i1 metodo per calcolare quanti piselli, una volta compressi in un grande contenitore cubico, avrebbero potuto essere adiacenti al pisello centrale. Lavorando in sedi diverse, con i suoi viaggi e le sue pubblicazioni, Coxeter entro gradualmente in contatto con un vasto pubblico, assicurandosi un folto gruppo di ardenti seguaci. Tuttavia, contro di lui c'era anche una forte corrente di oppositori. Ne11959, 10 stesso anna in cui Coxeter presento a diversi tipi di pubblico i1 tema dell'impacchettamento perfetto di sfere e delle straordinarie proprieta dei caleidoscopi, dei triangoli e poliedri e dei numeri di Fibonacci (spesso usando un ananas come oggetto esemplificativo), qualcosa su questa sponda dell' AtIantico andava remando esattamente nella direzione opposta. In Francia, durante una conferenza in cui si discuteva dell'urgente bisogno di riformare il piano nazionale di studi di matematica, un famoso matematico francese balzo dalla propria sedia durante una riunione e, sbattendo i1 pugno sul tavolo, grido: "A bas Euclide! Mort aux triangles!" [(~bbasso Euclide! Morte ai triangoli!"]. Secondo una leggenda che ho sentito raccontare tra matematici, questa grido di battaglia fu proferito da Nicolas Bourbaki, il quale aveva intrapreso la stesura di una rigorosa e assiomatica enciclopedia in vari volumi e totalmente senza diagrammi [12]. l' avversione per le forme e i diagrammi si basava sulla difesa dell'interesse della purezza. Tutti i risultati matematici dovevano essere raggiunti esclusivamente dall'intelletto - dalla razionalita - piuttosto che dai sensi. La nostra percezione delle cose non e affidabile, i nostri occhi ci rendono vittime della soggettivita edell'errore. Un articolo apparso su Scientific American riferiva che Nicolas Bourbaki e il suo approccio rivoluzionario avevano preso d'assalto non solo la Francia, rna anche la comunita matematica internazionale. "Circolano numerose storie su di lui;' diceva l' articolo,"e il suo mito cresce di giorno in giorno ... Le sue opere vengono lette e ampliamente citate in tutto il mondo. A Rio de Janeiro,due giovani hanno tratto quasi tutta la lora istruzione in campo matematico dalle sue opere, e ci sono rinomati matematici a Berkeley che ritengono nociva la sua influenza" [13]. Lintroduzione all'articolo si concludeva con una frase emblematica: "La cosa pili strana riguardo a Bourbaki, comunque, eil fatto che egli non esiste veramente". Nicolas Bourbaki era in realta uno pseudonimo usato da una societa segreta composta dalla cremede la creme dei matematici francesi (Fig. 16).
IIre dello spazio infinito
Fig. 16.Vignetta tratta da Scientific American, maggio 1957,che rappresenta Bourbaki sotto forma di "una folia disordinata di matematici francesi " (da "Nicholas Bourbaki", di Paul R. Halmos. Copyright © Scientific American, Inc. All rights reserved)
Quando affrontai con Coxeter la vicenda di Bourbaki e del suo intervento che voleva la "Morte ai triangoli!" - che, per inciso, fu perpetrato da Jean Dieudonne, il segretario della societa Bourbaki -, il profess ore rimase piuttosto tranquillo, anche grazie allo sguardo retrospettivo che gli conferiva la vecchiaia. "Ognuno ha diritto ad avere la propria opinione", mi disse . "Ma Bourbaki, purtroppo, aveva torto". Coxeter,in realta, costitul un'alternativa ben accolta a Bourbaki. "Coxeter mi ha salvato da Bourbaki", spiega Marjorie Senechal, del Smith College."Per me, Coxeter fu l'antitesi di Bourbaki. Ha mantenuto vivo il fuoco della Geometria e ci ha incoraggiato, spinto ad andare avanti". Ma poi, il pendolo della geometria econ certezza tornato indietro. Nel 1980,la copertina della rivista della MathematicalAssociation of America rappresentava uno scheletro incappucciato, il fantasma della geometria, con il suo dito ossuto ciondolante su di un rotolo usurato di pergamena con il diagramma del cerchio dei nove punti, uno dei primi teoremi che si studia in qualsiasi corso di geometria elementare. II titolo chiedeva La geometria emarta? La risposta di allora fu un sonoro "No". Quello stesso numero conteneva un'intervista a Coxeter, in cui diceva: "Oh, penso che la geometria si stia sviluppando tanto velocemente quanta gli altri tipi di matematica. Solo che la gente non se ne sta accorgendo" [14]. Almeno, non la maggioranza dei matematici. Le scoperte di Coxeter nel campo dei politopi stavano, di fatto, diventando strumenti matematici di valore inestimabile, noti come numeri di Coxeter e gruppi di Coxeter, strumenti che qualche matematico considera essenziali almeno quanta i numeri stessi, e che trascendono l'ambito della geometria, dal momenta che si sono rivelati utili nei settori piu popolari dell'algebra. Grazie a essi estata sviluppa-
matemat ica e cultu re 2008
ta una branca della matematica chiamata teoria dei gruppi. Si tratta dello studio sistematizzato della matematica della simmetria: mi dissero che questa era una materia spinosa e impenetrabile, che avrei dovuto lasciar perdere. Ma come avrei potuto? Sitrattava dell'area in cui illavoro di Coxetersi esprimevaal meglio. Lo stesso Coxeter mantenne la discussione sui gruppi a un livello molto concreto, ancora una volta attraverso l'impiego dei suoi specchi.Eglidescrisse i gruppi di Coxetercome«1'espressione algebrica del numero di immagini di un oggetto, che possono essere viste in un caleidoscopio". Un'esperienza di vita quotidiana che ben illustra un gruppo di Coxeter equella di guardarsi in uno specchio appeso in bagno.Tu sei Ii nella stanza e la tua immagine riflessa e dall'altra parte. Per cui,in un certo senso ci sono due "te stesso" e la descrizione matematica di cio eche si tratta di "un gruppo di Coxeter di ordine due". Charles Addams pubblico una vignetta sui New Yorker che raffigurava la bottega di un barbiere con uno specchio davanti al cliente e uno specchio paralle10 alle sue spalle, generando una serie infinita di immagini, dimostrando involontariamente un gruppo di Coxeter di ordine infinito (nella vignetta pubblicata dal New Yorker, nella settima immagine il cliente si trasforma nel diavolo) (Fig. 17).
Fig.I7. La vignetta di Charles Addams apparsa nel1957 sul New Yorker che involontariamente illustra un gruppo di Coxeter di ordine infinito (Copyright © Teeand Charles, Addams Foundation. All rights reserved)
Coxeter, naturalmente, cercava forme e schemi geometrici negli specchi, e in questa modo tradusse le simmetrie delle forme in algebra, ed enumero tali simmetrie in un sistema di gruppi di Coxeter, i quali fornivano un ponte dal valore inestimabile che legava la geometria all'algebra, allargando cost il campo di entrambe. Fu in questa modo che Coxeter trascese le sue radici classiche, posizionandosi sulla cuspide della geometria "moderna". «Laprospettiva di Coxeter eoggi parte del sostrato matematico", spiega Ravi Vakil, un giovane studioso di geometria a Stanford. «E nell'aria che respiriamo". Allo stesso tempo, illavoro di Coxeter nella geometria pura trovava, e continua a trovare , un'involontaria applicazione nella scienza: come spesso succede in matematica, cio che e bello diventa anche utile. Un esempio della geometria di Coxeter applicata in chimica fornisce una prova di quello che estato denominato il«gapgeometrico" [15]:l'idea che un declino nella geometria porti a un impoverimento non
IIre dello spazio infinito
solo della matematica, rna anche della scienza e dell'intera societa, Sir Harry Kroto e uno dei tre chimici che vinse il premio Nobel per la scoperta del C60, ora sviluppato come superconduttore nella creazione di potenti elettromagneti, come quelli usati nei macchinari per la risonanza magnetica e nella tecnologia dei telefoni cellulari. Inoltre, il C60 eattualmente oggetto di ricerca per un suo potenziale uso medicinale in farmaci che potrebbero essere in grade di combattere il cancro, l'AIDS e le malattie neurodegenerative. Kroto in persona mi confermo che con una conoscenza approfondita dellavoro gia svolto da Coxeter, la lunga e difficile ricerca della forma della mole cola del C60 sarebbe stata molto pill rapida. In precedenza, erano solo due le forme allotrope di carbonic conosciute: la grafite, usata per la mina delle matite, nella quale gli atomi sono ammassati in sottili strati con ordine esagonale, e i diamanti, i cui atomi sono disposti in una serie tridimensionale con collegamenti a forma di tetraedro. Sulla base dell'osservazione di vibrazioni che indicavano la presenza di molecole composte da 60 atomi di carbonio, gli scienziati ritenevano esistesse un'ulteriore forma di carbonio. Ma Kroto e i suoi colleghi non erano del tutto sicuri della sistemazione che tali atomi avrebbero potuto assumere in un'unica molecola. La struttura che alIa fine Kroto riuscl a scoprire ricorda vagamente la forma di un pallone da calcio, con 20 facce esagonali e 12 facce pentagonali, ognuna di esse costituita da un atomo di carbonio. Si tratta di uno dei poliedri regolari complessi che Coxeter trovava cosl interessanti da studiare: I'icosaedro tronco, uno dei solidi archimedei. L'unico punto di riferimento di Kroto nel tentativo di determinare la forma di questa molecola era il fatto che gli ricordava la cupola geodetica di Buckminster Fuller, per cui decise di soprannominare il C60 'buckminsterfullerene.' In seguito alIa scoperta del C60 , dopo alcune ricerche, Kroto giunse a considerare illibro di Coxeter RegularPolytopes un suo riferimento essenziale. Per tale motivo, Kroto, ritiene che le tracce dell'opera di Coxeter siano da ritrovare in qualunque sua successiva ricerca sulle mole cole, giganti di Fullerene (Fig. 18).
Fig. 18. Diagramma schematico di diversi tipi di fullereni, dalla sinistra: C60 , C240 , CS40 ' C960 • (per gentlle concessione di Sir Harry Kroto)
matematica e cuitura 200B Si mise allavoro per ricostruire il C240 , il CS40 ' il C960 e addirittura il C6000 , usando una copia dellibro RegularPolytopes come manuale [16]. Un ultimo esempio dell'onnipotenza e della portata della geometria classica di Coxeter si riscontra in un'affermazione di Brian Greene, un fisico delle superstringhe della Columbia University e autore de L'universo elegante [17]. "Non c'e forse modo migliore di prepararsi allescoperte scientifiche del futuro", secondo Green,"che imparare illinguaggio della geometria", Si riferiva in particolare all' enigma della fisica moderna: i fisici sono partiti da dove si era fermato Einstein nella ricerca di una "teoria del tutto", un'unica teoria capace di unificare tutte le forze della natura. L'ultima rivoluzione nella fisica negli ultimi venticinque anni senza dubbio la teoria delle superstringhe. Essa salto fuori durante una delle mie interviste a Coxeter. Si stava parlando di Alice nel paese delle meraviglie (0, piuttosto, dell'edizione con note di Martin Gardner) [18], una delle sue opere letterarie preferite. Chiesi a Coxeter perche gli piacevano cost tanto le razionali assurdita di Alice. Mi rispose:
e
"E come leggere qualcosa a proposito di
una parte della matematica che sai essere bella, rna che non capisci fino in fondo. Come la teoria delle stringhe, che rimane per me un mistero, tanto quanta alcune persone non riescono a capire niente dell'undicesima 0 sedicesima dimensione", A questa riguardo, inconsapevolmente, sembrava che Coxeter sapesse qualcosa.
L'annoso problema della teoria delle stringhe e che gli stessi teorici delle stringhe
non sono capaci di spiegarla. Fanno spallucce e dicono: "Potrebbe essere giusto, rna potrebbe essere anche sbagliato", Lovidi personalmente.in occasione di una conferenza internazionale sulla teoria delle stringhe a Toronto. In una delle sessioni, i teorici delle stringhe esposero pubblicamente i lora "panni sporchi", Ci fu un'angosciante discussione su quando sarebbe avvenuta la prossima, e ormai da molto attesa, scoperta sulla teoria delle stringhe. Lenny Susskind da Stanford parlo in maniera incomprensibile su qualcosa di incomprensibile; dopodiche mise le mani avanti dicendo: "Non chiedetemi di spiegarvi quello che ho appena detto". E a proposito della mancanza di progressi negli ultimi dieci anni, scherzo dicendo che l'unica cosa da fare era "sperare che l'amministrazione Bush continui a retribuirci", II problema della teoria delle stringhe I'assenza di prove sostanziali, dato che occupa solo undici (0 poco pili) minuscole dimensioni, che sono troppo microscopiche per essere osservate. L'ipotesi che entro queste undici dimensioni risieda una nuova specie di particelle subatorniche, note come particelle supersimmetriche 0 sparticelle. La pili grande promessa della teoria delle stringhe e legata al maggior esperimento - e il pili costoso - della storia del genere umano, il Large Hadron Collider, un nuovo acceleratore di particelle presso il CERN, attualmente nelle fasi finali di costruzione dopo venti anni, del quale si prevede I'entrata in funzione nella primavera 2008. La grande caccia per la supersimmetria, come la caccia del Carbonio 60, cominciata. Tutto cio mi ha fatto pensare: sembrera un po' azzardato, rna i gruppi di Coxeter potranno forse essere utili per spiegare i misteri della teoria delle stringhe e della supersimmetria? Ho provato a immettere le parole "Coxeter e teoria delle strin-
e
e
e
II re dello spazio infinito
ghe" net motore di ricerca di Google e ho ottenuto un risultato rilevante in un intervento pubblico (tratto dagli articoli [19,20]) sulla teoria delle stringhe di Marc Henneaux, un esperto di buchi neri della Libera Universita di Bruxelles. Il titolo, a grandi caratteri maiuscoli, era: Solidi platonici e teoria della relativita di Einstein: inaspettati collegamenti I solidi platonici, naturalmente, sono i blocchi fondamentali della geometria e i giocattoli con cui Coxeter ha passato il tempo durante i suoi quasi 90 anni trascorsi da studioso della geometria (Fig. 19).
Fig. 19. Incoronato con solidi platonici (per gentile concessione di Faith Logothetti)
Sfogliail'interevento in cui Henneaux discuteva la geometria spazio-tempo della gravita e i problemi della relativita di Einstein. Suggeriva che le simmetrie potrebbero essere la chiave di tutto e rilevava che i solidi platonici sono la "porta dorata" verso la simmetria. Verso la fine, in maniera abbastanza scontata, l'autore faceva riferimento all'opera di Coxeter e concludeva con la considerazione che "i gruppi di Coxeter potrebbero in questo modo segnalare I'esistenza di una simmetria ancora piu grande". Questa sarebbe una risposta piu che soddisfacente al perche la perdita della geometria classica di Coxeter sarebbe incommensurabile, esistenzialmente infinita, su una scala universale nell'ordine di una dimensione ancora sconosciuta. Questo pensiero mi ha fatto ricordare una considerazione sulla geometria che avevo re-
matematicae cultura 2008 centemente visto in un posto del tutto inaspettato. Guidando la mia macchina lungo la strada principale di una piccola cittadina dell' Ontario, un deserto culturale fatto solo di parcheggi, distributori di carburante, ristoranti fast-food e piccoli negozi uno dietro l'altro - un cartellone di un noleggio auto attire la mia attenzione .Vi era scritto a grandi caratteri: "SENZA GEOMETRIA, LA VITA NON QUADRA" (Fig. 20).
Fig. 20. Conferma dell'onnipresenza della geometria. Foto scattat a dall'autrice a Belleville in Ontario, Canada, 2002 Mi colpl perche ricordava molto una di quelle frasi a doppio senso di Coxeter. 01tretutto, era un ottimo modo di riassumere l'esperienza che avevo vissuto scrivendo la biografia di Coxeter. La geometria everamente dappertutto. Bisogna soltanto cercaria.
Bibliografia [1] D. Coxeter (1998) Whence does an ellipse looks like a circlet, C. R. Math.Acad.Sci. Soc. R. Can., 20(4), pp.124-127 [2] H.S.M.Coxeter (1961) Introduction to Geometry, John Wiley & Sons Inc., New York [3] D. Coxeter(1971) Virus macromoleculesand geodesicdomes, in A spectrum of mathematics (Essayspresented to H. G. Forder), Auckland University Press, Auckland, pp. 98-107 [4] B. Fuller (1975) Synergetics, Explorations in the Geometryof Thinking, Macmillan, New York [5] D. Coxeter (1957) Crystal symmetry and its generalizations (Pre sidential Address). Trans. Roy. Soc. Canada Sect. Ill, 51 (3), pp.l-13 [6] D. Coxeter (1971)The mathematical implications of Escher's prints, in The World ofM. C. Escher (Ed. J. 1. Locher), Abrams, New York, pp. 49-52 [7] D.Coxeter (1979)The non-Euclidean symmetry of Escher's picture "Circle Limit III", Leonardo 12,pp. 19-25 [8] D. Coxeter (1986) Coloured symmetry, in M. C. Escher: art and science (Rome, 1985) North-Holland, Amsterdam, pp. 15-33. [9) D.Coxeter (1996) The trigonometry of Escher 's woodcut "Circle Limit III" in Math. Intelligencer 18(4), pp. 42-46
II [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21]
delle
D. Coxeter (1948) RegularPolytopes, Methuen & Co. Ltd., London S.. Hales (1727) Vegetable Statics, W. and J. Innys, London Bourbaki (1999) Elements of the History of Mathematics, Springer, New York P.Halmos (1957) Nicolas Bourbaki, ScientificAmerican, pp. 88-99 D. Logothetti (1980) An interview with H.S.M. Coxeter, The Two- Year College MathematicsJournal II, pp.18-20 W. Whiteley (1999) The decline and rise of geometry in 20 th century North America, in Proceedings of the CanadianMathematics Education Study Group H. Kroto (1992) C60: Buckminsterfullerene, The celestial sphere that fell to earth, Angewandte Chemi 31, pp. 111-129 B. Green (1999) The Elegant Universe, Vintage Books, New York L. Carroll, M. Gardner (1960) The Annotated Alice,Clarkson N. Potter, New York M. Henneaux (2001) "E(1o) and BE(1o) and Arithmetical Chaos in Superstring Cosmology;' Physical Review Letters 86:4 pp. 749-52 Henneaux (2002) "Einstein Billiards and Overextensions of Finite Dimensional Simple Lie Algebras:'Iournalof High EnergyPhysics Henneaux (2003) "Cosmological Billiards;' Classical and Quantum Gravity, 20
matematica e arte
MYt
II mio lavoro, Ie ragioni del materiaIe E MANUELA FIORELLI
II mio lavoro nasce da un'esigenza di relazione con il mondo, tra me e il mondo, fra le cose del mondo. Cercavo un materiale che mi potesse aiutare in questa mia intenzione e alla fine Tho travato: il filo. II filo per me e un mezzo di esplorazione, un punto in pianta, una superficie di taglio, un segno nello spazio; e relazione visibile e tangibile, estensibile se eelastico, tubolare, circolare, pupilla, sonda, linea protesa a indagare, a immaginare. Traiettorie di yolo. Linea di confine che forza confini. II filo e quasi mai interrotto in questo suo cercare, in questa suo formare involontario, che solo rende visibile cio che e solo immaginato 0 esistente rna da noi disvelato e riconosciuto. Linee di forza, polarita, occhi di ciclone nel cui centro vorremmo trovarci per vedere il mondo roteare intorno a noi, mulinelli d'acqua nei torrenti estivi, vorticosi cieli di Van Gogh, gusci di conchiglie da tagliare con bisturi affilatissimo per ripercorrere con gli occhi e le dita la spirale ossea strutturante, i segni luminosi del firmamento. Filo che buca 10 spazio e 10 ricuce con un ritmo febbrile, rna non di una febbre a 40, bensl di una coscienza e sensibilita estrema, che ci fa intuire simultaneamente tempi e spazi multipli, caleidoscopici, sfaccettati. II mio spazio intimo si raggruma in sottili filamenti preziosamente organizzati, isole delica tissime nel caos che esso stesso ha prodotto. Tempo minuscolo di
matematica e cult ure 2008
i=~nte I
:lldditil. fragile illusione di ordine. Filo di ntgno imperlato di brina, segno vibrante nel vento, impercettibilmente sonoro e cangiante di luce. II filo elastico ha in se la proprieta dell'estensione, del debordamento da se stesso, del prolungamento e dell'assottigliamento se tirato fino a un limite. Riesce a diventare 2,3 volte se stesso senza perdere la sua forza, anzi manifestandola nella sua opposizione allo strappo, adattandosi a ogni ostacolo senza perdere la sua identita di filo. La tensione e la condizione del filo. Senza essa perderebbe aderenza alle cose. La tensione fisica del filo ela proiezione della tensione psico-fisica che noi abbiamo con il mondo. Tensione che non ammette prolassi, sfilacciature, assottigliamenti, indebolimenti rna che invece protende a relazionarsi, a trovare nuovi ancoraggi 0 passaggi per poi dispiegarsi 0 avvilupparsi.Tensione come forza invisibile che c'e e ci sara nel tempo, tenace e resistente fino allo sfinimento. La ripetizione del segno come conferma continua, come prova di non casualita, rna anche come configurazione di superfici attraverso la molteplicita dei segni. Una linea vicino all'altra a formare una pelle osmotica. II colore ha ragione empatica, di atmosfera, narrativa. La tintura per controllare, come in camera oscura, ilgiusto tono. Una tecnica antica imparata in Turchia. Le condizioni iniziali determineranno la traiettoria che prendera il filo e la conseguente "forma"che ne risultera. La forma e il risultato del particolare punto di vista dell'osservatore, che osserva l'oggetto da tutti i lati, e dell'osservato. Come dice Giulio Paolini, artista no to, anche l'opera ci osserva. Quindi la relazione nasce da noi che guardiamo l'oggetto e dall'oggetto che guarda noi. La superficie esterna del filo diventa interna all'opera, in un gioco di rimandi e di scatole cinesi. La forma e aperta e quindi non si pub chiamare forma. Non c'e un dentro e un fuori, un sopra e un sotto, rna solo forma in formazione, pelle percettiva e sensibile ai piu piccoli spostamenti delle condizioni iniziali. Esse determineranno il suo dispiegarsi e ilsuo contrarsi, il suo ritmo monotono 0 concitato. La forma non e forma perche non se ne pub ricava-
Installazione, Genius, Loci, Viterbo, 2005
II mio lavo ro, Ie ragioni del mate riale
re un calco per riprodurla. Essa, come il nastro di Moebius, non ha superfici interne 0 esterne, aperte 0 chiuse, rna solo dialogo aperto. L'installazione nasce dall'esigenza di relazione fra le cose. I miei fili come le mie mani, come prolungamento dei miei sensi che si amplificano nella molteplicita delle superfici toccanti e nella lora estensione. Volonta di delimitare pezzi di spazio invisibili per manifestarli all'occhio e al tattoo Porzione di spazio polarizzata, rubata all'indistinto. Proiezione del mio sentire. Fili come corpi adattabili, elastici, che nascono dalla relazione con do che incontrano. L'ostacolo non e piu un ostacolo rna un elemento da raccordare, anzi indispensabile per il filo che a lui si conforma. E sostegno e ragion d'essere. L'ostacolo eil sassetto fastidioso che 1'0strica trasforma in morbida perla. 10 come non io, pelle protesa all'assottigliamento, alla trasparente porosita, pelle proiettiva di emozioni, contemplante passivo di forme che si generano spontaneamente dall'informe , fuoco e cristallo.
100 metri, box in plexiglass e fila elastica, 2007
matematica e cultura 2008
I
~ Archicolor, 2005
Installazione, Sculpture Space , Utic a, N.Y., 2002
II mio lavoro, Ie ragioni del materiale
l' oggetto invisibile, I premio Ace. Naz. San Luca, 2004
Dos IV, 2004
J
r--'----
matematica e cultu re 20 08
- - -------- - ---- ._ - _ ._ - - -
I
Origine con argine, XXXIX Premio Vasto, 2006
II mio lavoro, Ie ragioni del materiale
Coquillage, 2002
Numen,2007
matema tica e cult ure 2008
Affetto ottico, 2006
II mio lavoro, Ie ragioni del materiale
Connect, 2005
Installazione "5-forma", galleria Costantini, Milano, 2006
J
mat emat lca e cult ure 2008
Disarchitexture, 2004
Spazio specchio, 2007
II mio lavoro, Ie ragioni del materiale
'I
/ /
"
Caosmo IV, 2006
Installazione "Effimera", Inner Space Multimedia, Poznan, Polonia, 2002
F~~ti"'.,,-,,,ltu,. 20~.
I
_
- - '--
", , ' -
Caosmo VI, 2006
/
Fugacentrica,2005
-' -
II mio lavoro, Ie ragioni del materiale
Reverie, XIVQuadriennale, Palazzo Reale, Napoli,2003
Installazione "Il caos esatto", Convegno Matematica e cultura 2007, Venezia
_ J
matematica e cultura 2008
=
=
Superficie biomorfica, 2007
Laboratorio di idee in movimento. Sculture vive di Santiago Calatrava A NTONINO SAGGIO
Per Santiago Calatrava l'analisi scientifica, il calcolo, la modellazione matematica si intrecciano in maniera quasi indissolubile con la ricerca artistica ed espressiva. In tutte le sue mostre una parte cospicua esempre rappresentata da sculture e installazioni. Legittimo e quindi che in un congresso di studiosi che si interessano ai rapporti tra la matematica e l' arte, il suo lavoro susciti interesse e curiosita, Vediamo di ripercorrere alcune tappe di questo lavoro e di calarci poi net suo mondo espressivo tra scultura, costruzione, calcolo e arte.
Fig. I. Disegni di Santiago Calatrava a sinistra modello del progetto per il Reichstag 1992
matematica e culture 2008
La ricerca di Calatrava Calatrava nasce nel1951 a Valencia e nella citra spagnola segue sin da giovanissimo corsi serali d' arte, mentre frequenta la scuola primaria e secondaria. Dopo il diploma si iscrive alla Scuola d'arte della sua citta e, successivamente, alla Facolta di architettura, dove ottiene la laurea nel1973. Nel '75, decide di lasciare la Spagna e di andare al Politecnico di Zurigo a studiare ingegneria civile.Ottiene il dottorato nel1979 con una dissertazione sulla Foldability of Spaceframes e inizia a lavorare come assistente nell'Istituto di Statica prima e di Costruzioni leggere poi. Sotto la guida di Chri stian Menn sviluppa in questo ambito accademico una concezione tridimensionale di piastre e sezioni in cui tutti e tre gli assi spaziali hanno uguale importanza.
Fig. 2. Ritratto di Santiago Calatrava
Nell981 apre uno studio a Zurigo, partecipa a concorsi e ha le prime commesse in Spagna e in Svizzera. Vince nel1984 il concorso per la stazione di Stadelhofen di Zurigo,la cui realizzazione 10 proietta nel circuito internazionale, gli permette di ottenere prestigiosi incarichi e di aprire un secondo studio a Parigi. Negli ultimi anni il suo lavoro elegato a realizzazioni anche molto ampie e di grande visibilita internazionale, come la "Citta della scienza" di Valencia e "11 parco Olimpico" di Atene 2004.
Fig. 3. Stazione Stad elhofen , Zurigo, 1983-1990
laboratorio di idee in movimento. Sculture vive di Santiago Calatrava
Fig.4. Stadio Olimpico, Atene, 2000-2004 Fig . 5 . Percorso a l Parco Olimp ico, Alene, 2000-2004
Fig . 6. Staz ione eli Oriente, Lisbona,
1993-1996
_ _J
mate matica e culture 2008
Fig. 7. Stazione di Oriente, il palmeto sui binari, Lisbona 1993-1996. Sinistra La copertura semovente del Reichstag, Berlino 1992
Fig.8. Reichstag, Berlino 1992
Fig. 9. Parco della Scienza, Valencia 1996-2003
Laborato rio di idee in movimento. Sculture vive di Santiago Calatrava
Ingegneria come arte del possibile Dietro questo curriculum non vi e solo la storia di un architetto, rna vi possiamo anche trovare condensata l'originalita della sua ricerca. Mentre per i grandi architetti-ingegneri come Nervi 0 Morandi il momenta espressivo ed estetico delle strutture e il punto d'arrivo di un'impostazione matematico-scientifica, Calatrava percorre il percorso inverso. Calcolo e conoscenza tecnica sono necessita di approfondimento di una vocazione che etutta artistica. In un caso la forma ela sublimazione pili alta del calcolo, nell'altro il calcolo e10 strumento per ottenere la forma. Di pili: se l'ingegneria tradizionale si muove alla ricerca della soluzione spazialmente ed esteticamente pili ricca, tra le molte tecnicamente equivalenti, per Calatrava essa e solo strumento per dare forma alla ricerca spaziale, trasformandosi da arte della razionalita in arte della possibilita.
Fig. 10. Studi di Sergio Musmeci per Ponti, 1956-1959, Ponte sui Basento Potenza 1967-1969, in Basso Sala delle fiere, Pierluigi Nervi , Torino, 1960, e Riccardo Morandi pilastro del Salone della Macchine Torino, 1960
Se qualcuno gli domanda il perche della progettazione di una determinata architettura infatti la sua risposta esempre:"Perche no, se e possibile? L'ingegneria e l'arte del possibile". II confine tra illecito e l'illecito, tra il giusto e l'ingiusto e secondario, ininfluente. In realta affermazioni come queste sono giustificate non dalla lora perentoria assolutezza, rna dal valore della ricerca espressiva che le motiva, in questo caso spinta con una certa originalita nei territori dell' astrattismo e degli equilibri din amici cari, per esempio, al nostro Fausto Melotti. Calatrava ancor prima di essere costruttore e infatti scultore e rinfresca (insieme all'americano Frank Gehry) la complicita e l'interdipendenza che scultura e
matematica e cultura 2008
architettura avevano nell'opera di maestri come Michelangelo, Borromini e Bernini. Nella scultura Torus del 1985 due cubi si appoggiano asimmetricamente sulla punta di altrettanti coni e sono tenuti in posizione da tiranti. Sono volumi sospesi nella spazio a formare una composizione staticamente controllata e allo stesso tempo, ben lontana da ogni astratta razionalita: segnano simbolicamente le due generazioni di distacco che intercorrono con i compassiribaltati,logo e marchio di Morandi. In opere come l'aeroporto di Bilbao,con il suo guscio che parte da terra per slanciarsi nell'aria, oppure nelle due ali divaricate della stazione a Lione, ritroviamo 10 stesso mondo espressivo di Torus e di altre sculture, trasformato in macrostrutture che ricordano Eero Saarinen, FelixCandela e Jern Utzon, rna che segnano allo stesso tempo un punto innovativo nel panorama internazionale. L'opera di Calatrava ha, infatti, solo un'apparente contiguita con gli architetti-costruttori come Renzo Piano, Norman Foster e Richard Rogers. In quel caso ci si trova di fronte a una ricerca espressiva che fa tesoro della tecnologia contemporanea, nel caso di Calatrava materiali e tecnica sono tradizionali , rna assemblati alla luce di una ricerca plastica, che fa tesoro proprio del suo essere scultore prima che architetto e ingegnere. Fig. 11. Scultura in Ebano 1989 ca.
Sculture di Calatrava Ed entriamo ora gradualmente nel grande mondo delle sculture di Calatrava. Un vero e proprio lab oratorio di ricerca estetica. Un luogo autonomo e allo stesso tempo intimamente correlato alla sua rice rca costruttiva e architettonica. Due mi sembrano i riferimenti principali di Calatrava. Innanzitutto la ricerca "oggettuale" delle tensioni nella spazio in chiave macchinista nel Bauhaus. Questa ricerca ha avuto pili tardi, nell'Italiano Fausto Melotti, degli interessanti sviluppi, che, se da un lato conservavano l'approccio astratto e macchinista del Funzionalismo Bauhausiano, dall'altro assumono del tutto ina spettate valenze oniriche e poetiche. Una specie di "realismo magico applicato alla scultura".
Fig. 12. Sculture di Fausto Melotti, Immagini dai laboratori del Bauhaus
Laborato rio di ide e in movimento. Sculture vive di Santiago Calatrava
Dall'altra parte in Calatrava ediretto, soprattutto negli ultimi anni come vedre mo in seguito, un rapporto con il grandissimo scultore britannico Charles Moore. Nel 2000 Calatrava ha esposto a Palazzo Strozzi a Firenze molti pezzi che incorporano una tensione verso concavita e cavita che occupano e creano 10 spazio, prassi evidentemente molto diversa dai vettori lanciati nello spazio e dalle forze in opposizione di tipo macchinista.
Fig.B. Mostra di Calatrava a Palazzo Strozzi, Firenze, 2000
Nella mostra di Firenze in cui erano dedicate molte sale alle sculture si comprendono alcune relazioni andata e ritorno tra scultura e architettura. In Calatrava la ricerca plastica eassolutamente necessaria alla sua architettura. Ne costituisce l'indispensabile supporto e campo di esplorazione.
Fig. 14.Viste della Mostra a Palazzo Strozzi
- - -_ ._--- ---
matematica e culture 2008
Sicuramente molte opere e sculture di Calatrava appaiono alla ricerca del raggiungimento di un equilibrio faticoso,un equilibrio,come dire,raggiunto solo in un attimo. Tiranti, puntoni, equilibri, strutture a fuso per veicolare le forze e rispondere come una sezione plastica alle tensioni sono temi che viaggiano trasversalmente e si ritrovano tanto nelle sculture che nell'architettura.
Fig. 15. Sculture alia mostra di Palazzo Strozzi
Una serie di opere scultoree pili recenti di Calatrava, invece, dove nel gioco dinamico delle forze espresse nello spazio prevalgono composizioni pili ieratiche e statiche, anche se spesso arricchite da inaspettate cavita, ricordano appunto Moore oppure dei tagli inaspettati nella materia che richiamano Lucio Fontana.
Fig. 16. Scultura di Henry Moore, Lucio Fontana allavoro
Queste opere sono realizzate attraverso macchine a controllo numerico. In questo caso dei pezzi di materia, spesso di marmo di Carrara, sono incisi, levigati, scolpiti secondo la logica stessa di alcune operazioni eseguite al computer. Come le rotazioni, le estrusioni su assi in movimento 0 come se alla materia si applicassero delle autentiche operazioni booleane, che fanno apparire le sculture come dei pezzi di anti-materia: come se fossero pieni, descrivendo pero con le loro forme uno spazio cavo, un possibile spazio abitato.
Laboratorio di idee in movimento. Sculture vive di Santiago Calatrava
,- ~
.
~
. .-z-
Fig.17.Sculturein Marmo alIa Mostra di Palazzo Strozzi
In ogni caso, al montaggio asimmetrico di forze dinamiche nella spazio delle sculture della prima fase, si sostituisce una pesantezza levigata e bolsa, forse interessante come ricerca scultorea autonoma, rna pericolosissima quando trasportata in architettura. Era un pericolo molto evidente gia a una visita alla mostra fiorentina del 2000 e, purtroppo, confermato per quello che sembra aspettarci a Roma per la Citta della Sport (che non vorrei farvi vedere, per carita di patria, rna che fa pensare a un Calatrava appesantito alla Botero, se non addirittura alla Mario Botta, in cui tanto le planimetrie che si risolvono in montaggi simmetrici e neo monumentali quanta i singoli pezzi della scala architettonica sembrano riecheggiare tutto il peggio di una mal interpretata tradizione romana classica).
Fig. 18. La citta del nuoto, TorVergataRoma, 2006
matematica e culture 2008 Ma questa saggio vuole mettere in evidenza alcuni aspetti vitali della ricerca, ormai pili che ventennale, di Calatrava e centrare la discussione sul tema del movimento, che ha un rapporto anch'esso molto stretto tra scultura e architettura.
Fig. 19. La Sala del volo alla mostra di Palazzo Strozzi
Le architetture semimoventi di Calatrava La caratteristica del progettare di questa scultore-ingegnere (rna anche, architettoscienziato) e una tensione plastica ed estetica verso le membrature. Dominare le tensioni, calcolarne le sezioni, disegnare le poligonali di equilibrio sono gli strumenti per realizzare le sue visioni. La scultura ela base, l'ingegneria l' arte del possibile, l' architettura la necessaria conseguenza. Ma e l' amore per le strutture vegetali e anatomiche la linfa delle sue creazioni. Non solo per l'armonica sagomatura delle armature rispetto agli sforzi, ne per la conformazione antiscatolare e organica degli spazi, rna perche i rami degli alberi, e soprattutto gli scheletri degli esseri viventi, sono strutture che si muovono.
Fig. 20. La Sala delle sculture e strutture semoventi a Palazzo Strozzi
Laboratorio di idee in movimento. Sculture vive di Santiago Calatrava
Non a caso una delle sue prime opere e la porta di un magazzino industriale e la sua tesi di dottorato riguarda propria la possibilita di piegarsi e racchiudersi delle strutture. Sia che le sue costruzioni si muovano effettivamente (come le porte dei magazzini Ernsting, il ponte sul Garonne in Francia, il padiglione del Kuwait per l'esposizione di Siviglia del '92 0 quello progettato per le celebrazioni della confederazione elvetica a Zurigo), sia che esse siano ferme suggeriscono sempre la possibilita del movimento. Per Luigi Nervi la forma perfetta (classica, immobile) e la ragione del calcolo, per Riccardo Morandi l'equilibrio e il raggelamento dell' attimo prima del crollo, rna per Santiago Calatrava eil movimento, anche solo immaginato 0 virtuale, l'ispirazione feconda .
Fig. 21. Strutture in movimento Le opere piu affascinanti di Calatrava sono infatti le sue architetture semoventi. Nei magazzini Ernsting ogni asta che compone la chiusura, ruotando lungo una linea curva, si apre e si chiude ottenendo un notevole effetto di tridimensionalita dinamica. Nel padiglione Swissbau a Basilea 10 studio sul movimento della struttura permea tutto l'edificio, che e una vera macchina semovente. La composizione si basa su una serie di costole che sono incernierate lungo un muro in cemento armato, con dei dischi la cui rotazione si ripercuote nel movimento ascendente e discendente delle costole. E un misto di tutto il suo operare. La scultura come base di ispirazione, l'ingegneria come scienza del possibile, la rice rca scientifica universitaria e, infine, l'amore per la natura e per le sue strutture vegetali e anatomiche. A Torontoha realizzatola strabiliante Galleriae Heritage Square al BayStreet Place. Pensare all'aspirazione verticale del gotico con il viaggio delle forze dalle volte aIle membrature di sostegno, apprezzare il raccordo che la nuova galleria segna in un isolato caratterizzato da diversi edifici preesistenti e da due nuovi grattacieli, immergersi nella luce che dall'alto si riverbera nelle ossature, con fantasmagorici giochi di ombre e di vibrazioni che si rispecchiano sul granito del pavi mento non basta. Percorrendo questa galleria siamo, con Calatrava , dentro la pancia di un dinosauro: la gabbia toracica si sta per espandere in un respiro possente, gli arti si devono muovere, le grandi fauci si aprono e si chiudano (come, per altro, fanno ef-
matematica e cultura 2008
fettivamente per permettere la chiusura di notte). Natura e tecnica sono mescolate insieme a presente e passato. II tema del movimento effettivo delle strutture genera opere originali, come nell'emergere della copertura di che si apre e si chiude come un girasole, per ripresentarsi nello stato di quiete schiacciata suI suolo nel centro di soccorso di St. Galle, oppure in strutture protese come un mantra all'attacco, 0 an cora come nella stu penda pensilina progettata per Venezia, in cui delle mensole sono applicate su dischi rotanti, generando un movimento armonioso e bellissimo.
Fig. 22. Pensilina semovente per Venezia
II movimento delle sculture (come le onde esposte a Firenze ne12000, in cui ogni asta si muove indipendentemente simulando Ie onde del mare), rna anche delle stesse architetture in Calatrava non e mai meccanico, non evoca 10stridore delle macchine, rna gli armoniosi movimenti vegetali e animali che ha lungamente studiato. Ed eproprio in questa contributo alIa riflessione architettonico-contemporanea che il suo intervento edi maggiore interesse e originalita, Naturalmente la sua ricerca si pub evolvereancora di pili quando i movimenti delle sue sculture e architetture siano dotate di sensori e attuatori e,quindi, animate anche di informazioni elettroniche. In questo caso si tenderebbe verso un ambiente permeato anche dalla sensibilita verso un ambiente sensibile, capace di interagire con uomo e ambiente. Ma questa e l'inizio di un'altra storia.
Laboratorio di idee in movimento. Sculture vive di Santiago Calatrava
Fig. 23. Art Museum, Milwaukee, 1994-2001
Bibliografia [1] L.5utherland (1991) Calatrava Dynamic Equilibrium, Verlag, Zurigo [2] S. Polano (1996) Santiago Calatrava operacompleta,Electa Milano [3] A. Saggio (febbraio 1992) Un artista in cantiere. Santiago Calatrava, Costruire, n. 105, pp.122-123 [4] A.Saggio(1994) SantiagoCalatrava. Uno spagnolo in movimento, Costruire, n. 130,marzo, pp. 160-164 [5] A. Tzonis (2005) Santiago Calatrava. Opera completa, Rizzoli, Milano [6] AA.VV. (2007) Calatrava. Complete Works 1979-2007, Taschen, Monaco [7] Per le animazioni relative alle sculture epossible consultare il sito: http://www.arc1.uni-
roma1.it/saggio/Conferenze/MatematicaEmmer/Sculture.htm
II Mazzocchio da Paolo Uccello a Lucio Saffaro M ICHELE E MMER
La storia comincia: Paolo Uccello Paolo Uccello,eccellente pittore fiorentino, (1397-1475) il quale perche era dotato di sofistico ingegno, si diletto sempre di investigare faticose e strane opere nell'arte della prospettiva, e dentro tanto tempo vi consume che se nelle figure avesse fatto il medesimo, pili raro e mirabile sarebbe divenuto. Ove altrimenti facendo, se la passe in ghiribizzi mentre visse e fu non manco povero che famoso . Per il che Donato (Donatello) che 10 conobbe spesso gli diceva, essendo suo caro e domestico amico: "Eh, Paulo, cotesta tua prespettiva ti fa lasciare il certo per l'incerto". E questo avveniva perche Paulo ogni giorno mostrava a Donato mazzocchi a facce tirati in prospettiva, e di quegli a punte di diamanti con soma diligenza bizarre vedute per essi, Conduceva bruccioli (trucioli, un lungo truciolo form a una spirale che vista di scorcio poteva prestarsi aIle complicate scomposizioni prospettiche di Paolo Uccello) in su i bastoni che scortassero perche si vedesse di dentro e 'I di fuori e Ie grossezze di quelli, e palle a settantadue facce molto difficili.
Fig. 1. Paolo Uccello, Mazzocchio, disegno, (GDSU) Galleri a degli Uffizi, Firenze, su con cessione del Ministero per i Beni e le Attivita Culturali
matematica e cult ure 2008
Aggiunge il Vasari .in Le vite de' piu eccellenti architetti, pittori, et scultori italiani, da Cimabue, insino a' tempi nostri [1] Sotto queste due storie di mana d' altro, pili basso, vi fece il Diluvio con I'Arca di Noe... Opera tutta di bonta e d'eccellenza infinita che gli acquisto grandissima fama . Diminui le figure ancora per via di linee in prospettiva, e fece mazzocchi et alter cose in tale opra certo bellissime [2].
Figg.2,3, 4. Paolo Uccello, II diluvio, Chiostro verde, S.Maria Novella, Firenze,su concessione del Servizio Musei Comunali di Firenze
L'opera di Paolo Uccello si trova nel chiostro verde della Basilica di Santa Maria Novella a Firenze, cost chiamato perche Uccello negli affreschi utilizza terre verdi.Il chiostro verde, costruito dopo il1350 da fra'Iacopo Valenti (Terre Verdi:le specie mineralogiche che danno la colorazione sono principalmente dei silicati idrati di ferro, magnesio, alcali. Tra queste, la glauconite che si presenta disseminate nelle argille). Anche nella famosa Battaglia di San Romano compaiono mazzocchi.
IIMazzocchio da Paolo Uccello a lucio Saffaro
Figg.5,6.Paolo Uccel10, Battaglia di San Romano, dal film I solidi Platonici di M.
Emmer
Masolino e Masaccio A partire dal1422 circa Masolino, con l'aiuto di Masaccio, lavora alla Cappella Brancacci a Firenze. La cappella Brancacci esituata all'interno della chiesa di Santa Maria del Carmine a Firenze . Committente del cido di affreschi, a cui si deve anche la scelta del tema, fu Felice Brancacci. tema del cido di affreschi la salvezza dell'umanita operata dal Signore attraverso Pietro. Le scene rappresentano il peccato originale con la cacciata di Adamo ed Eva dal Paradiso terrestre e storie della vita di San Pietro. I lavori furono iniziati intorno al1422 da Masolino e dal suo aiutante Masaccio, il quale continuera da solo dopo la partenza di Masolino per l'Ungheria.
n
e
maternatica e culture 2008 Figg.7,8. Masaccio, La guarigione del10 storpio e la resurrezione di Tabita, Chiesa del Carmine, Cappella
Brancacci, Firenze,
su concessione del Servizio Musei Comunali di Firenze
Masaccio applica alla pittura le nuove teorie rinascimentali sulla prospettiva. I primi affreschi non permettono di stabilire bene la predominanza di un artista sull' altro. Masaccio morira ne11428, a soli 27 anni, durante un viaggio di studio aRoma, lasciando l'opera incompiuta. Questa fu terminata quasi 50 anni dopo da Filippino Lippi, che cerco di mantenere 10 stile del maestro. In particolare Masolino realizza la Guarigione dello storpio e la Resurrezione di Tabita. A Masaccio sono attribuiti l'impostazione prospettica, i palazzi, la piazza. Le due scene sono separate dal particolare di due personaggi in vestito moderno, che passeggiano indifferenti parlando dei loro affari. "Due indicibili giovanottini stoffati e in mazzocchio, da parer sagome per il sarto di moda a Firenze nella stagione 1424-1425",scrisse Roberto Longhi.
II Mazzocchio da Paolo Uccello a Lucio Saffaro
II mazzocchio, dunque Che cosa era il mazzocchio? La parola deriva da mazza 0 mazzo di cui e un diminutivo. Ovvero puo derivare dallatino maxuca tramite il diminutivo maxuculus. Quantita di cose strette insieme a guisa di mazzo e quindi gambo sottile pannocchiuto in cima e in modo speciale tallo di radicchio od anche specie di grano grosso .Anello che si forma intorno ad un tronco d' albero. Per similitudine si chiamo cOSI il berretto. Perche Paolo Uccello era cosi interessato ai mazzocchi? E perche Donatello, per bocca di Vasari, 10 rimprovera di un suo eccessivo interesse per quella forma geometrical Certo non era il copricapo che interessava Uccello, rna quella specie di cerchio sfaccettato che era una stilizzazione geometrica del cappello. Fig. 9. Paolo Uccello, Calice, disegno, (GDSU) Gal-
leria degli Uffizi, Firenze, su concessione del Ministero per i Beni e le Attivita Culturali
mate matica e cult ura 2008
Nel famoso disegno di Paolo Uccello, noto come il Calice agli Uffizi di Firenze compaiono diversi mazzocchi. Talbot, che ha dedicato un articolo alIa costruzione del Calice [3], scrive: La mie tesi eche il progetto dell'intero Calice, la sua elevazione, e basato 0 derivato dalla stessa costruzione geometrica e dagli stessi procedimenti che avreb bero dovuto essere richiesti per la costruzione del pin grande mazzocchio presente nel disegno. La costruzione del piano di questo mazzocchio a 32 facce, con la sua sezione verticale ottagonale, avrebbe richiesto il disegno di un quadrato, la costruzione di un ottagono all'interno di quel quadrato, e poi un'ulteriore suddivisione per dare le 16 e poi le 32 sezioni che descrivono la circonferenza.
l'
I ~~----I ,./
Fig. 10. Kern, Ipotesi per la costruzione del mazzocchio di P. Uccello
Piero della Francesca (1420-1492) nel Deprospectiva pingendi,composto negli ultimi anni prima della morte, nellibro primo, XXVII, traccia un mazzocchio in prospettiva, spiegando come si doveva costruirlo.
I
."
Fig. 11.Piero della Franeesea, Mazzocchio
II MaZZ()CClrUO da Paolo Uccello
a
Lucio Saffaro
Margaret Daly Davis nel volume Piero della Francesca's Mathematical treatises [4] ricorda che Piero nel Libellus de quinque corporibus regolaribus presentava la corretta misurazione di parti di edifici come colonne, volte, apsidi, cupole e similie La loro corretta rappresentazione prospettica era di estrema importanza per gli architetti, per i pittori e, inoltre, per chi doveva realizzare i meticolosi disegni per i fabbricanti di intarsi, come ricorda 10 stesso Piero nella dedica a Guidobaldo del Monte della Summa arithmetica.Ricorda ancora la Daly Davis che I principali motivi dei primi lavori a intarsio erano usualmente semplici oggetti a carattere geometrico, 0 vaste piazze e palazzi, resi in prospettiva. Coloro che lavoravano illegno ed erano esperti nella tecnica della prospettiva, venivano chiamati nel Quattrocento Maestri di prospettiva.
Nelle Memorie di Benedetto Dei, citate dalla Davis, gli intarsiatori sono ricordati come "Maestri di prospettiva in Firenze tutti fiorentini nell'anno 1470". Ne sono nominati 14, a cui se ne aggiungono altri 19. Inoltre "Florentia bella a 66 botteghe di speziali e a 84 botteghe di Iegnaiuoli di tarsie e 'ntagliatori", Per dire quanta era diffusa quest'arte. La maggior parte dei disegni che dall'architetto 0 dal pittore passavano all' artigiano per esser realizzati in legno si sono perduti,ma di alcuni e rimasta traccia, come i1 mazzocchio diPaolo Uccello 0 quello diPieronelDe prospectiva pingendi 0 ancora quello attribuito a Leonardo da Vinci.
Intarsi e geometria Alan e Judith Ferr Tormey scrivono un articolo sul Scientific Americannel1982 intitolato Renaissance Intarsia: the Art of Geometry [5]: Alla meta del XV secolo avvenne una importante trasformazione nell'arte dell'intarsio, che passo dall'essere considerata una attivita decorativa e di abbellimento di secondaria importanza per diventare I'arte geometrica per eccellenza. I pannelli a intarsio rappresentano nella stragrande maggioranza architetture complesse, immaginarie 0 reali in prospettiva, come se fossero viste attraverso una finestra aperta. Praticamente ogni pannello euna illusione di prospettiva tridimensionale. L'improvviso fiorire e la susseguente grande fortuna dell'intarsio coincideva con la sforzo di dare all'arte una base matematica, e la storia dello sviluppo di quest'arte esemplifica molto efficacemente la fusione di arte, matematica e filosofia durante il Rinascimento. Nella pratica dell'intarsio si selezionano e quindi si tagliano un gran numero di pezzi di legno di diversa origine e colore, utilizzando come base un cartone 0 un disegno. Era quindiessenziale per gli intarsiatori avere i disegni degli oggetti che volevano riprodurre, e dovevano avere questi disegni tracciati in accordo con la prospettiva. Non fu certo una coincidenza che l'attivita artistica degli intarsiatori si svihippo a Pirenze 0 nelle vicinanze della citra, dato che a Firenze stava emergendo la teoria della prospettiva lineare. Una forma d' arte, l'intarsio, che era strettamente legata all'idea di una rappresentazione del mondo basata sulla matematica. Fu so-
matematica e cultura 2008
10grazie alIo sviluppo e alIa eodifieazione della prospettiva ehe gli intarsiatori furono eapaci di sviluppare la loro abilita, Serviva una teoria ben delineata e compresa per far diventare l'intarsio da attivita artigianale un'arteo Aggiungono i Tormey ehe sotto I'influenza del Timeo di Platone, Piero della Franeesea eereava di rieondurre le forme alIa geometria dei Solidi Platon ici e dei solidi geometrici da loro derivati. Era quindi del tutto evide nte ehe i pannelli a intarsio pili interessanti era quelli ehe eontenevano oggetti geometrici. Ne1 1519,qualche anno dopo la morte di Piero, fra' Giovanni da Verona realizza i pannelli ad intarsio per il Monastero di Monte Oliveto Maggiore vicino Siena .
Fig. 12. Fra Giovanni da Verona, lntarsio, Monastero di Monte Oliveto Maggiore. Su concessione della Soprintendenza per il patrimonio storico artistico per le provincie di Siena e Grosseto
I Tormey suggeriscono ehe fra' Giovanni doveva forse aver avuto accesso ad alcuni disegni di Piero 0 di altri. Nell'artieolo, sulla base dellibro di Daniele Barbaro Pratica dellaProspettiva (1569) e di uno storieo della matematica tedesco, G. 1. Kern, i Tormey forniseono una possibile via per disegnare in prospettiva un mazzocehio.Si comi ncia con il tracciare due ottagoni equilateri alIa stessa distanza da una lin ea ver tiea le. 9
9
h
a
a
16
P
8
P
8 h
16
Fig. 13.Immagine di A. e J. F.Tormey, tratta dall'articolo del Scientific American (5)
II Mazzocchio da Paolo Uccello a Luci o Saffaro
Nel secondo passo le linee tracciate prima, per esempio 1-8,devono diventare diametri di 4 semicerchi concentrici. I semicerchi sono divisi in 12 archi eguali. Quindi si connettono i punti finali degli archi. Si ottengono 4 poligoni concentrici che sono un'immagine piana del mazzocchio vista da sopra.
Fig.14.Immagine di A.e J. F. Tormey, tratta dall'articolo del Scientific American [5]
Ora si devono inserire i punti ottenuti al secondo passo nella costruzione fatta al primo passo. Si traccia una linea verticale per ognuno dei punti, finche interseca le due linee orizzontali della costruzione iniziale. 9
10
a
b
c
11
e 13
12 d
f
14
8
4c--~--~:",;,,:,~-r--""r---r--.j--4-..:..t--':"'+---.:...J~~_ _.,L-~8 9
b
c
11
e 13
12 d
f
14
9
h 15
16
Fig. IS.Immagine di A.e J. F. Tormey, tratta dall'articolo del Scientific American [5]
n quarto stadio e un'elaborazione del metodo di Alberti. Ogni poligono e determinato da 8 punti. Si tracciano le diagonali, per esempio dai punti 9-16 sino al distance point e si tracciano le linee orizzontali dai punti dove le diagonali incontrano una verticale. DISTANCE
I
POINT
I
'",,-
I
,
/
I:I )\
i
I
I
,/
I
I:
I
\
II
I
«<: / /
Fig.16.Immagine di A. e J. F. Tormey, tratta dall'articolo del Scientific American [5]
matematica e culture 2008
I
- - --· - -- ~ ·_ - -- - - _·_ - -- - -
Il quinto passo e ritenuto plausibile dai Tormey. Si tracciano le linee verticali, che salgono sino a incontrare un piano verticale che include la parete superiore del mazzocchio. Quindi dai punti d'intersezione le Iinee si estendono verso Il punto di fuga dell'orizzonte.I'intersezione di queste ultime con le linee orizzontaIi del pas so precedente danno un poIigono in prospettiva. VANISHINGPOINT
Fig. 17.Immagineeli A.e J. F. Tormey, tratta dalI'articolo del Scientific
American [5]
Ripetendo di nuovo i due passi precedenti per 7 volte si ottiene il mazzocchio in prospettiva.
Fig.IS.Immagine di A.e J. F. Tormey,tratt a dall'articolo del Scientific American [5]
Aggiungeva Daniele Barbaro che la costruzione del mazzocchio era considerata molto difficile anche alla fine del XVI secolo. Proprio per questa il mazzocchio diventa il simbolo della geometria e compare nei lavori a intarsio piu interessanti, nel Duomo di Modena, per esempio. La bottega meglio organizzata, a cui furono commissionate le piu importanti opere dell'epoca, fu quella dei fratelli Cristoforo e Lorenzo Canozi da Lendinara, che erano in contatto con la pittura di Piero della Francesca. I fratelli di Lendinara contribuirono con la loro bottega e i loro collaboratori a diffondere il genere in tutto il nord ItaIia. In particolare, Luca Padoli, nel De Divina Proporzione scrive che Lorenzo da Lendinara era "suo caro fratello" con Piero. Nel1645 i fratelli realizzano nel Duomo di Modena degli stalIi intarsiati per l'abside, in cui compare il mazzocchio.
II Mazzocchio da Paolo Uccello a Lucio Saffaro
Fig. 19-22. Intarsi nel Duomo di Modena, dettagli, foto dell'autore
Ai maestri di prospettiva si rivolgeva la classe culturalmente pili elevata, per realizzare studioli simboli di un'ideale solitudine riflessiva. Le tarsie per 10 studiolo di Federico da Montefeltro a Palazzo Ducale di Urbino vengono realizzate tra il1474 e il1476 da Baccio Pontelli.
Fig. 23. Baccio Puntelli, Studiolo, Palazzo DucaIe, Urbino, dettaglio. Su concessione del Ministero per i Beni e Ie attivita' culturali. Soprintendenza PSAEdi Siena e Grosseto
matematica e culture 2008 Molti dei ritratti che vi erano contenuti si trovano oggi al Louvre. Dove, tra l'altro, si trova anche un pannello in cui sono ricordati i personaggi importanti del tempo: Donatello, Paolo Uccello, Giotto, Brunelleschi e Giovanni Manetti, matematico. La tavola e attribuita a Paolo Uccello, al Louvre giace nei sotterranei. Titolo: I fondatori dell'arte fiorentina.
Fig.24. Paolo Uccello, Ifondatori del/'artefiorentina , dal film I solidi Platonici di M. Emmer
Vasari nella prima edizione delle Vite attribuisce il quadro, che si trovava all'epoca in casa dell'architetto Giuliano daSangallo, a Masaccio 0 alIa sua cerchia. Nella seconda edizione del 1568Vasari invece scrive: Amo Paulo, sebbene era persona stratta le virtu degli artefici suo i; e perche ne rimanesse ai posteri memoria, ritrasse di sua mano, in una tavola lunga, cinque uomini segnalati, e la ten eva in casa per memoria lora; l'uno era Giotto pittore, per illume e principio dell'arte; Filippo di ser Brunelleschi il secondo, per l'architettura; Donatello per la scultura; se stesso per la prospettiva ed animali; e per la matematica Giovanni Manetti suo amico con quale conferiva assai e ragionava delle cose di Euclide . Pope -Hennessy ritiene che Manetti potrebbe essere Antonio Manetti che era nelle liste degli intarsiatori riportate nelle Memorie di Benedetto Dei [6].Simile a quello di Urbino e 10 studiolo eseguito per il palazzo di Gubbio, ora conservato al Metropolitan Museum. Andre Chastel definira l'arte a intarsio il Cubismo del Rinascimento.Con la fine dell'interesse per la prospettiva e degli studi geometrici ad essa legati, l'arte dell'intarsio declina rapidamente sino a scomparire. Molti capolavori vennero distrutti nei secoli successivi .
II Mazzocchio da Paolo Uccello a Lucio Saffaro
I solidi stellati Nel1569 a Venezia Daniele Barbaro pubblica Lapratica della prospettiva, in cui sono contenuti molti riferimenti a Piero della Francesca. Vi si trovano disegni di molti corpi geometrici, anche stellati, e mazzocchi piu 0 meno complicati, come ricorda la Davis.
..,...
f - - - - - - - - - - - -~-----
-- - - - -
Figg. 25,26. D. Barbaro. La pratica della
prospettiva
Molti anni prima Paolo Uccello era arrivato a Venezia. Si ritiene sia stato Johannes Kepler il primo a notare che i solidi regolari si presentano in forma duale tra loro. Nel trattato Harmonices Mundi del 1619 Keplero cost descrive un solido che chiama Stellarum duodecim planarum pentagonicarum:
Habet hocconjiugium et stellam solidas, cujus genesis estex continuatione quinorum planorum Dodecaedri, ad concursum omnium in puncto unico [Questo matrimonio comprende anche ilsolido stellato,la cui generazione ha luogo dalla continuazione dei cinque piani del dodecaedro finche si incontrano in un solo punto].
II solido di cui parla Keplero e un dodecaedro stellato,la cui scoperta gli e attribuita; si chiama stellato perche su ogni faccia del dodecaedro e costruita una piramide regolare. Keplero pubblicava nel1619 le prime rappresentazioni prospettiche di due dodecaedri stellati.
matematica e culture 2008
Ss
Tt
Fig. 27.
J. Kepler,
Dodecaedri stellati
Tuttavia una delle due forme ottenute da Keplero compare, realizzata a mosaico, suI pavimento della basilica di San Marco a Venezia ed eattribuita a Paolo Uccello che la avrebbe realizzata mentre si trovava a Venezianegli anni 1425-1430, cioe molti anni prima della scoperta matematica ufficiale. Evento molto raro dovuto al fatto che i veri matematici dell'epoca si possono considerare gli artisti.
Fig. 28. Paolo Uccello, Dodecaedro stellato, rno aico, an Marco, Venezia
Della presenza del solido stellato attribuito a Paolo Uccello si accorse l'artista Lucio Saffaro. Quando nel1970 noto il poliedro, gli parve incredibile che nessun matematico 10 avesse preso prima in considerazione. In seguito scoprira che il poliedro veniva menzionato con evidente stu pore in un lavoro dello storico tedesco S. Gunther pubblicato nel1876.Saffaro aveva osservato che i lievi difetti che si riscontrano nella rappresentazione del poliedro si possono ascrivere al tentativo di dare maggiore profondita spaziale alIa immagine e posso essere facilmente giu-
II Mazzocchioda Paolo Uccelloa LucioSaffaro
stificati. Si puo anche supporre che Ie correzioni siano state apportate dai maestri mosaicisti nel momenta dell'esecuzione all'insaputa di Paolo Uccello, che potrebbe aver fornito lora solo il modello geometrico del poliedro.
Fig. 29.Lucio Saffaro, Manifestoper la Biennale internazionale d'arte di Venezia, 1986
L'immagine del dodecaedro stellato di Uccello e divenuta famosa nel 1986 perche estata scelta come simbolo della Biennale d' Arte di Venezia dedicata al tema Arte e Scienza. n che non impedisce che la pregevole opera d'arte stia decomponendosi, essendo posta suI pavimento di una delle entrate della basilica: vi passano sopra migliaia di persone al giorno.Successivamente Saffaro ha notato che suI pavimento di una cappella della chiesa di San Pantalon, sempre a Venezia,a due passi dallugo dove si svolgono i convegni Matematica e cultura, vi sono due tarsie marmoree uguali, che rappresentano il secondo dodecaedro stellato di Keplero . Ne e a tutt'oggi ignoto l'autore, potrebbe trattarsi sempre di Paolo Uccello.Alla mostra e nel catalogo L'Occhio di Horus: itinerari nell'immaginario matematico del 1989 [7] vi era oltre a opere di Saffaro sui poliedri stellati, una ricostruzione in legno per incastri senza colla e chiodi del mazzocchio, realizzata da Felice RagazzooErano in mostra anche alcuni disegni preparatori.
Figg.30,31. FeliceRagazzo, Modelli in legno di mazzocchio
matematica e cultura 2008
Fig. 32. Ben [akober e Iannich Vu, Mazzocchio, tubo lare d'acciaio, Prato, Porta Frascati (1995), dono dell'Unione Ind ustriale Pratese alla citta di Prato
II fascino di quel cappello fiorentino del Cinquecento resiste e continua a interessare artisti e designer. E la storia iniziata a Firenze prosegue in modo vir tuale ripartendo dallo studiolo di Urbino. Si veda l'ar ticolo in questo volume [8].
Un artista come Mimm o Paladino ha scelto la forma del mazzocchio per l'ins tallazione all'Ara Pacis realizza ta insieme con Brian Eno. Nello spazio realizzato dall'architetto Richard Meier per "contenere" l'Ara Pacis, un mo numento romano assol utamente unico, il "solido" mazzocchio circondato dalla musica di Eno. Musica, arte classica, Rinascimento, mo dernita, post modernita, nel nome di quella forma antica e contemporanea.
Fig. 33.Mimmo Paladino, Senza titolo, alluminio, diametro 3 metri (2008), foto di Ferdinando Scianna
Bibliografia [1] G.Vasari (1550) Le vite de' piu eccellenti architetti, pittori, et scultori italiani, da Cimabue, insino a' tempi nostri, nell'edizione per i tipi di Lorenzo Torrentino, Firenze, Einaudi ed ., Torin o, 1986, vol. 1, p. 236-237 [2] in [I) , p. 239 [3] R. Talbot (ottobre 2006) Design and Perspective Construction: Whyis the'Chalice' theshape it is?, in corso di stampa in:Atti del convegno TheArt ofMathin Perspective Studies, Urbino [4] M. D. Davis (1977) Piero della Francesca's Mathematicaltreatises. The 'Trattato d'abaco' and 'Libellus de quinque corporibus regularibus, Longo editore, Ravenna (5) A. e J. F.Tormey (luglio 1982) Renaissance Intarsia: theArt of Geometry, Scientific Ame rican, vol. 247 p. 136-143 [6] J. Pope -Hennessy (1969) Paolo Uccello, Phaidon Press, Londra, p.157-158 [7] M. Emmer (a cura di) (1989) L'occhio di Horus: itinerarinell'immaginario matematico, Ist , Enciclopedia Italiana, Roma [8] in questo volume, p. 127
Lo studiolo virtuale di Urbino ROB ERTO M ANTOVANI, FR ANCESCO SER AFINI
Le nuove tecnologie digit ali, oggi, offrono straordinarie potenzialita per l'incremento della conoscenza e dello studio in diversiambiti di ricerca. Illoro utilizzo spazia, infatti, in amp i settori produttivi: dal design per la progettazione di oggetti, al prototipo di veicoli per le aziende automobilistiche, alle tecniche aeronautiche per la simulazione dei voli, all'ingegneria edile per la resa visiva e I'impatto ambientale delle opere finite. Recentemente an che i beni culturali, e in particolare le discipline umanistiche, stanno traendo da queste nuove tecniche grande beneficio : basti pensare alle numerose ricostruzioni virtuali nel campo del patrimonio artistico e culturale 0, per esempio, all'archeologia computazionale per la ricostruzione di monumenti, siti archeologici 0 citta del passato. Un approccio di questo tipo estato recentemente sviluppato anche dal Gabinetto di Fisica dell'Universita di Urbino, una struttura universitaria finalizzata alla didattica e alla ricerca storico-scientifica che raccoglie nei suoi Iocali anche una tra le pin importanti collezioni universitarie di strumenti scientifici presenti nel nostro Paese, databile tra la seconda meta del XVIII e i primi anni del XX secolo (vedi Fig. I).
Pig.L Museo del Gabinetto di Fisica dell'Universita di Urbino: scorcio espositivo
,----matematica e cultura 2008
Per questa raccolta sono state realizzate negli ultimi anni numerose ricostruzioni virtuali multimediali e interattive, finalizzate all'alta divulgazione storico-scientifica e, primariamente, alIavalorizzazione della cultura scientificae artistica urbinate. Nell'ambito di queste attivita, nel2006,e stata per la prima volta realizzata la ricostruzione virtuale interattiva e multimediale del famoso studiolo del Duca Federico da Montefeltro (1422-1482), senza dubbio illuogo pili suggestivo dell'intero Palazzo Ducale di Urbino. La ricostruzione permette di muoversi liberamente all'interno dello studiolo, effettuare degli zoom, interagire con esso e osservare in dettaglio ogni particolare di questo ristretto e affascinante ambiente, dalle meravigliose decorazioni a intarsio, al cicIo pittorico degli uomini illustri, fino al policromo soffitto a lacunari, ornato di emblemi e imprese federiciane (vedi Fig. 2).
Fig. 2. Studiolo: ricostruzione virtual e dell'angolo Est-Sud
Questa realizzazione e avvenuta all'interno di una mostra dal titolo Radicie sviluppo della tradizionescientifica urbinate: Federico da Montefeltro e if Gabinetto di Fisica dell'Universita, organizzata dal Gabinetto di Fisica per celebrare i cin-
quecento anni della nascita dell'Universita di Urbino. L'idea di base della mostra e stata quella di sottolineare Ie origini culturali e scientifiche della collezione strumentale urbinate, poiche proprio negli splendidi intarsi prospettici dello studio10 del duca si possono ammirare i pili antichi strumenti scientifici che la storia di Urbino abbia mai registrato.
Lostudiolo virtuale di Urbino
Lo Studiolo e la Scienza Unitamente a quello di Gubbio (ideato successivamente dallo stesso Federico e ora ubicato al Metropolitan Museum di New York) 10 studiolo di Urbino, i cui lavori terminarono nel1476, rappresenta uno degli ambienti principeschi meglio conservati e piu completi del secondo umanesimo che siano giunti fino ai giorni nostri. In esso Federico materializzo il suo poliedrico universo culturale, simbolizzato dai ritratti di ventotto uomini illustri e dalle immagini metaforiche (ma rinnovate) della cultura medievale delle arti liberali del trivium (retorica, grammatica e logica) e del quadrivium (aritrnetica, geometria, musica e astronomia) . Questo eccezionale ambiente, primariamente studiato dagli storici dell'arte - Andre Chastel, con espressione densa e felice, 10 defini un sacrario del pensiero e della meditazione - offre anche allo storico della scienza significativi spunti di ricerca. Esso rappresenta, infatti, una delle prime e piu alte forme di commistione tra Ie arti e il sapere tecnico-scientificodel primo Rinascimento. Due elementi concorrono a suffragare tale tesi: da una parte I'analisi del programma iconografico sviluppato nello studiolo, nel quale risaltano, all'interno di complessi significati allegorici, anche realistici e precisi disegni di strumenti scientifici e musicali; dall'altra 10 studio della traduzione visiva del programma stesso, affidata alla pittura fiammingo-spagnola (la galleria dei ritratti degli uomini famosi, ideali interlocutori del Duca) (vedi Fig. 3) e alla tarsia prospettica, una tra Ie piu emblematiche e raffinate tecniche visive e illusionistiche del primo rinascimento.
Fig.:tudiOlO~ri""tm,ion, virtuale della quadreria degli nomini illustri (angelo N:d-E";
I
I
matematica e culture 2008
Quest'ultima, in particolare, e basata su una magistrale conoscenza della teo ria prospettica, frutto di quel maturo sodalizio tra arte e scienza che si realizzo in Italia fin dalla prima meta del quattrocento dai "signori della prospettiva", veri e propri maestri intarsiatori che operarono principalmentenel nord d'Italia per committenze di ambienti eccIesiastici. Gli intarsi lignei parietali dello studiolo simulano, illusionisticamente, uno studio con sgabelli, allegorie e una serie di scansie semiaperte che lasciano intravedere una moltitudine di soggetti e oggetti personali del Duca: virtu cardinali e teologali, libri, armi, emblemi, strumenti musicali e scientifici, un ricco corredo di simboli volti a celebrare il composito universo culturale delle arti liberali di cui Federico era un profondo conoscitore. Gli strumenti scientifici, in particolare, sottolineano il notevole interesse del Duca verso Ie arti del quadrivium, i cui attributi, a differenza di quelli del trivium, disegnati sparsi e perlopiu incompleti nel ciclo, sono invece riprodotti in forma compiuta in due pannelli contigui della parete Sud (Fig. 4).
Fig. 4. Studiolo: pannelIi relativi agli attributi delle Arti del Quadr ivio
La realta virtuale Per ricostruzione in realta virtuale si intende un'applicazione al computer in grado di ricostruire fedelmente 0 in scala oggetti e ambienti tridimensionali. Questo tipo di applicazione si dist ingue, rispetto ad altre tecniche ricostruttive, per la sua elevata interattivita e per l'utilizzo di azioni e movimenti non prevedibili nel mondo reale. L'utente, infatti, tramite opportuni comandi e un sistema di visualizzazione, e in grado di esplorare e interagire in real time con un vero e proprio mondo spaziale 3D dove e possibile manipolare oggetti, cioe muoverli, smontarli, interrogarli e farli funz ionare. Per realizzare tutto cio e necessario conoscere in primo luogo Ie misure reali degli oggetti e degli ambienti da ricostruire, quindi operare con software professionali di modellazione e di visualizzazione. I programmi di modellazione permettono di ricostruire geometricamente oggetti e ambienti, decidendone colori e materiali e giocando su diversi parametri, quali la
Lo studiolo virtuale di Urbino
riflettivita, la trasparenza e I'emissivita, In questa fase assume notevole rilievo il delicato processo di texturizzazione delle superfici ricostruite al fine di conferire a esse il maggiore realismo possibile. Tale realismo viene anche completato montando appropriate luci e scegliendo specifiche simulazioni di funzionamento. I programmi di visualizzazione permettono, invece,di costruire l' applicazione vera e propria, con la quale andra a interagire l'utente. Con essi si determinano metodi e comandi per la manipolazione spaziale 3D, nonche eventuali collegamenti a zone sensibili delle ricostruzioni per la visualizzazione di testi 0 l'ascolto di suoni.
Lo studiolo virtuale La ricostruzione virtuale multimediale e interattiva dello studiolo e stata per la prima volta mostrata al pubblico nel settembre 2006 in occasione della mostra precedentemente citata. Per la sua visualizzazione si escelto un sistema semi-immersivo su computer desktop ad alte prestazioni, fruibile da pili utenti e collocato in una piccola stanza da proiezione, dotata di impianto di amplificazione audio, nella quaIe vi era la costante presenza di un operatore che eseguiva i comandi e forniva le spiegazioni storico-scientifiche dell'applicazione. Tutto illavoro e stato lungo e laborioso. L'ambiente estato ricostruito con fedelta, che si e cercato di mantenere molto alta.A questofine estata preventivamente predisposta un'accurata e totale mappatura fotografica dello studiolo ducale , nonche precise rilevazioni planimetriche per la riduzione in scala. Con un programma di modellazione si sono realizzati il modello geometrico dello studiolo e le ricostruzioni virtuali di un buon numero di soggetti raffigurati nelle tarsie e nella quadreria, quali libri, manoscritti musicali,oggetti personali, strumenti musicali e scientifici.La struttura geometrica parietale del1'ambiente estata completata anche con la ricostruzione in profondita di alcuni ripostigli realmente presenti tra gli intarsi e con la ricostruzione virtuale del pannello che raffigura 1'armadio relativo alle arti del quadrivio (Fig. 5).
Fig. 5. Studiolo: wireframe della ricostruzione virtuale
matematica e culture 2008
I
Successivamente si e proceduto alla texturizzazione di tutte le ricostruzioni, utilizzando, per la massima parte, il materiale fotografico digitale ad alta risoluzione ripreso nello studiolo. La fase di montaggio delle foto e la calibrazione dei colori e stata effettuata tramite alcuni programmi di gestione delle immagini; si e cosl ottenuto un primo ambiente del tutto simile a quello reale. L'applicazione estata elaborata con un software di visualizzazione appositamente programmato con il suo linguaggio proprietario, per fornire all'operatore illibero movimento di esplorazione 3D, la gestione dei movimenti e degli ipertesti degli oggetti tridimensionali ricostruiti nonche l'interazione con le pareti dello studiolo. II movimento spaziale a 3600 dell'operatore e degli oggetti virtuali e stato ottenuto con specifici comandi per le rotazioni e per le traslazioni, attivabili tramite tastiera 0 mouse. Per l'operatore l'unica limitazione erisultata quella di simulare il comportamento reale di non oltrepassare le pareti. A tal fine si ecollegato all'occhio dell'operatore virtuale una forma poligonale (avatar), in grado di riconoscere le collisioni con Ie pareti e arrestarsi automaticamente. L'interazione con gli intarsi parietali e la quadreria degli uomini illustri e risultata piu complessa. Sfruttando zone sensibili attivabili con un click di mouse, 0 comandi specifici eseguibili su tastiera, si sono programmate innumerevoli azioni, quali cambiare la cromia dei quadri, visualizzare e modificare scritte, far ascoltare suoni e voci, aprire ante, porte e scansie, far fuoriuscire dai disegni delle pareti copie virtuali di oggetti 3D (Fig. 6).
Fig. 6. Studiolo: alcuni degli oggetti virtuali ricostruiti
Lefinalita raggiunte sono state molteplici. L'applicazione ci fornisce un'idea di come dovesse apparire il ciclo figurativo degli uomini illustri al tempo di Federico: utilizzando un comando da tastiera e possibile alternativamente passare dalle attuali quattordici riproduzioni color seppia alle corrispondenti copie a colori (i quadri originali sono conservati al Louvre di Parigi), ricreando in tal modo l'atmosfera dell'ambiente originale; un secondo tasto permette, invece, di visualizzare di colpo le ventotto iscrizioni latine che Federico aveva voluto far apporre sotto ogni qua-
lo studiolo virtuale di Urbino
dro per magnificare il singolo personaggio e che, successivamente, per il taglio dei quadri, erano andate perdute. Cliccando due volte su ciascuna di queste iscrizioni laudative e possibile anche ascoltarne, tramite una voce fuori campo, una traduzione in italiano. Un'altra azione che si e programmata (tramite tasto) permette, invece, di visualizzare la traduzione italiana di una bella ed elegante iscrizione latina, intagliata in caratteri romani, presente lungo una stretta fascialignea perimetrale, che tutt'intorno circonda il soffitto. L'iscrizione latina, tradotta, cost recita: Federico da Montefeltro, Duca di Urbino, Conte di S. Leo e Durante, Capitano generale del Serenissimo Re di Siciliae Gonfaloniere di Santa Romana Chiesa 1476. Numerose azioni interattive sono state programmate anche lungo le pareti a intarsio. Cliccando sui pannello della parete sud, che riproduce un armadio a due scansie con anta aperta, l'applicazione visualizza il medesimo armadio in 3D,con all'interno la ricostruzione tridimensionale di tutti gli oggetti raffigurati nel pannello (Fig.7).
Fig. 7. L'armadio relativo alle Arti del Quadrivio: reale (a sinistra), wireframe (al centro), virtuale (a destra)
Si tratta di un armadio particolarmente significativo, per il complesso e raffi nato programma iconografico presente nelle decorazioni delle tarsie, soprattutto se posto in relazione alla nuova simbologia dell'umanesimo matematico, che proprio in questo periodo inizia a diffondersi; l'armadio riporta, infatti, oltre ad alcuni libri, un calamaio e un rosario, anche i disegni di alcuni oggetti-simbolo, riconducibili aIle arti del quadrivium, quali il mazzocchio (geometria), la tavoletta d'abaco (aritmetica), l'astrolabio (astrologia) e la sfera armillare (astronomia). La ricostruzione 3D, tramite opportuni comandi, offre l'opportunita di estrarre tutti gli oggetti dalle loro collocazioni originali, quindi di traslarli liberamente nello spazio e ruotarli a 3600 per osservarne i dettagli costruttivi e di su-
matematica e culture 2008
perficie. La medesima manipolazione spaziale si applica per molti altri oggetti ricostruiti virtualmente, tutti attivabili dalle pareti; l'effetto finale che si ottiene, forse tra i pill spettacolari, e quello di animare 10 spazio dello studiolo con una miriade di oggetti fluttuanti, quasi fossero sospesi in un ambiente a gravita zero. L'attivazione esemplice: cliccando sopra un particolare oggetto presente in un quadro 0 nelle decorazioni lignee si estrae e si visualizza, nelle immediate vicinanze, il corrispondente oggetto 3D,che puo essere zoomato, ruotato e spostato nello spazio grazie a una combinazione mouse-tasto e messo in funzione tramite tastiera. Ad esempio, nel quadro che raffigura Tolomeo, il grande astronomo alessandrino e raffigurato nell'atto di osservare con attenzione una sfera armillare , che egli stesso sostiene con la mana sinistra (la medesima sfera, semplificata, e presente anche negli intarsi); cliccando su di essa si estrae la corrispondente sfera virtuale (Fig. 8), che, con una combinazione di comandi tastiera-mouse, puo essere spostata in qualsiasi punto della stanza, messa in rotazione rispetto ai due assi, orizzontale e verticale, ed esplorata muovendo l'occhio dell'operatore attorno a essa.
Fig. 8. La sfera armillare nel quadro di Tolomeo e nelle tarsie (ai lati) e ricostruita virtualmente (al centro)
Sulla base di uno studio storico-scientifico si e poi programmato di far muo vere in senso orario e antiorario (tramite tasti) i due circoli pill interni della sfera armillare. Ancora, nel quadro che ritrae Euclide nell'atto di utilizzare un compasso su tavoletta, si e simulato il movimento di apertura e chiusura del compasso virtuale ricostruito. Esso e stato texturizzato con una colorazione simile all'ottone, e quando ci si muove attorno a esso, alternativamente si illumina e va in ombra. II computer, in modo del tutto realistico, calcola l'illuminazione della finestra, unica fonte di luce presente nello studiolo e, in base aIle leggi dell'ottica, fornisce istante per istante la corretta illuminazione dell'oggetto. Sofisticate tecniche di manipolazione spaziale sono state programmate anche per molti altri oggetti virtuali. Cost,cliccando sull'orologio meccanico, raffigurato sull'anta di una porta, si visualizza 10 strumento, un complesso sistema di parti meccaniche costituite da uno scappamento a verga (tra i pill antichi che si conoscano), un bilanciere, alcune ruote dentate e tre pesi. L'orologio, oltre a essere traslato, ruotato ed esplorato nei minimi dettagli, puo anche essere messo in funzione (Fig. 9).
Lostudiolo virtuale di Urbino
Fig.9. I'orologio meccanico ricostruito virtualmente e nelletarsie
La simulazione si attiva con uno specifico tasto. Vengono visualizzati i movimenti di tutte le parti meccaniche, compreso un ingegnoso meccanismo di sblocco, che attivava il suono di una campanella (riprodotto nella simulazione) e permetteva al Duca di programmare la propria sveglia diurna 0 notturna. La ricostruzione e la programmazione dei movimenti dinamici virtuali estata accompagnata, per alcuni oggetti, anche dall'ascolto di brani musicali. Lo studiolo, infatti, presenta tra i suoi intarsi ben dieci strumenti musicali di vario tipo, ossia tre flauti, due liuti, un tamburo, una viola da braccio, un organo da tavolo, un cembalo e un clavicordo. Cliccando su ciascuno di essi si materializza la corrispondente ricostruzione virtuale e, contemporaneamente, si attiva l'ascolto del relativo brano strumentale, quest'ultimo scelto all'interno di un repertorio musicale il pili possibile coevo al periodo di costruzione dell'ambiente, Negli intarsi sono presenti anche due codici musicali, disegnati a mo' di libri aperti, i cui spartiti riproducono le note e i versi di due famose canzoni anonime della seconda meta del quattrocento, Bella gerit e I'ay pris amour, entrambe ricostruite musicalmente su fonti manoscritteo I codici sono stati riprodotti virtualmente e attivandoli, si possono ascoltare le loro antiche e suggestive musiche. La fedele ricostruzione tridimensionale della maggior parte degli oggetti della studiolo non e stata facile da eseguire. Molti di essi, per via delloro disegno prospettico, non lasciano intravedere parti e dettagli costruttivi importanti per cui, onde supplire a tali carenze e ricostruire gli oggetti con la maggiore fedelta storica possibile, sono stati necessari specifici studi iconografici e consulenze esterne. Prendiamo, quale esempio per tutti, la ricostruzione effettuata dell'organo positivo, simbolicamente associato alla musica, posizionato lungo la parete sud, in un pannello contiguo a quello che ritrae l'armadio contenente gli altri attributi del quadrivio precedentemente citati. Esso e rappresentato nella sua parte anteriore, in prospettiva frontale verticale, e mostra in dettaglio la tastiera, il somiere e le diciassette canne disposte simmetricamente a cu-
matematica e culture 2008
spide. Questa rappresentazione nulla ci dice su altre sue caratteristiche costruttive quali, per esempio, Ia presenza nel retro di una seconda fila di canne, Ie forme e il numero dei mantici che alimentano Ia cassa di distribuzione dell'aria 0 il tipo di materiali utilizzati. Estato quindi necessario svolgere un dettagliato studio documentario e descrittivo degli organi positivi 0 da tavolo di fine Quattrocento, attingendo soprattutto al repertorio storico iconografico in circolazione. Si sono anche interpellati costruttori di organi antichi e storici della musica, per presentare 10 strumento ricostruito in una veste che fosse, storicamente, pili aderente ai modelli che circolavano in quel periodo. II risultato finale conseguito equello mostrato in Figura 10.
Fig. 10.L'organo positivo nelle tars ie (a sinistra) e ricostruito virtualmente (a destra)
Lo strumento, secondo la nostra interpretazione finale, veniva suonato con entrambe Ie mani, mentre, contemporaneamente, un operatore posto suI retro provvedeva ad azionare alternativamente i due mantici, ciascuno dei quali provvisto di pesi, che assicuravano alle canne un flusso d'aria costante.
Conclusioni Le caratteristiche dell'applicazione qui esposte non forniscono un quadro completo delle azioni e degli effetti che l'operatore virtuale e in grado di svolgere e mostrare al suo pubblico; molte altre manipolazioni non descritte sono state programmate e molte altre speriamo, in futuro, di poteraggiungere. Riteniamo, tuttavia, che quanto esposto possa fornire allettore curioso e interessato una sufficiente idea delle notevoli potenzialita didattiche e di ricerca offerte dall'applicazione. In un'epoca altamente tecnologica, qual eIa nostra, l'approccio ai beni culturali attraverso sistemi di virtual heritage apre nuovi e rilevanti orizzonti nel campo della pedagogia scientifica. Le attuali frontiere delle tecnologie digitali, anche se non
stUICUCllO
virtuale di
ancora in grado di rendere indistinguibile la simulazionedalla realta e, quindi, di sostituire tout courtl' enorme valore culturale ed emozionale dell'esperienza diretta, possono tuttavia offrire significative opportunita euristiche sia in relazione ai metodi di apprendimento cognitivo sia in quelli per la divulgazione a distanza. Le recenti rivoluzioni delle reti telematiche (internet a banda larga), degli accessi wireless e delle tecnologie multimediali e il costante incremento di potenti personal computer a prezzo contenuto, oggi permettono di fornire a milioni di utenti sparsi nel mondo un numero sempre maggiore di informazioni integrate, quali immagini, animazioni, testi e suoni. Inquesto contesto la fruizione del bene culturale in realta virtuale, avvalendosi di un approccio metodologico di elaborazione e control10 dell'inforrnazione interattiva in uno spazio imitativo della realta, rna pur sempre privo della fluidita temporale, pub innescare quel benefico processo di incremento dell'esperienza cognitiva individuale e collettiva, che in alcuni casi, trascendendo la realta empirica, eanche in grado di modificarne il carattere, l'interpretazione, il valore,
matematica e applicazioni
Mettetegli stivali: arriva I'acquaalta ELla CANESTRELLl
II·titolo richiama la battuta del neo sindaco di Venezia, Massimo Cacciari, pronunciata negli anni '90:((C' eacqua alta?Veneziani,mettete gli stivali", Un modo semplice e provocatorio per esprimere perplessita nei confronti dei vari e costosi progetti che tentano di risolvere il problema della salvaguardia di Venezia dalle acque alte. Questo articolo si propone di introdurre inizialmente il fenomeno dell' alta marea, inquadrandolo in un contesto spaziale e ternporale, e successivamente di presentare in modo conciso i vari modelli quantitativi utilizzati per la previsione dell'acqua alta nella laguna di Venezia. Da11800in poi i1 caso piu rilevante di acqua alta nella laguna di Venezia eavvenuto il4 novembre 1966 con + 194cm sullivello medio del mare. Purtroppo, ben pochi, tranne i Veneziani, hanno veramente presente quanta e accaduto. Anche I'anna scorso, a distanza di 40 anni, sono stati mandati in onda numerosi servizi televisivi rievocativi di quei giorni, rna I'attenzione dei media si e concentrata, ora come allora, molto piu su Firenze che su Venezia.
Alta marea nel mondo e a Venezia L'alta marea nel mondo e dovuta a due cause principali: astronomica e meteorologica [1]. In prima approssimazione, il contributo astronomico edeterminato dalla luna e dal sole, che, come spiega la legge di gravitazione universale, esercitano una forza di attrazione sulla terra facilmente quantificabile con larghissimo anticipo.Anche tutti gli altri corpi celesti esercitano un' attrazione sulla terra, rna, date le lora masse e le lora distanze, il contributo sullivello della marea terrestre equasi nullo e, ai fini pratici, del tutto trascurabile. II contributo meteorologico, invece, emolto piu difficile da prevedere e quantificare e dipende da numerosi fattori, quali la pressione atmosferica e, quindi, l'intensita e direzione dei venti, le precipitazioni, la profondita delle acque.Ia forma del territorio ecce Se passiamo ad analizzare la laguna di Venezia, un particolare fenomeno, chiamato sessa, si aggiunge a quelli sopra descritti, dovuto alla specifica conformazione del mare Adriatico (Fig. 1). Esaminiamo come tener conto di tutte queste cause a fini previsivi [2,3].
matematica e culture 2008
Calcoliamo illivello di marea in laguna, come somma di due contributi: astronomico e meteorologico (quest'ultimo deve tener conto anche della sessa). Contributo astronomico
Si utilizza 10 sviluppo in componenti armoniche, cioe una formula del tipo: liv = Ao+ LAj cos( (OJ H
in cui liv e illivello di marea calcolato, Ao e illivello medio di riferirnento, Aj l'ampiezza, (OJ la velocita angolare,
Viene determinato esaminando in alcune localita, opportunamente individuate, la pressione atmosferica e calcolando intensita e direzione dei venti. Per quanto riguarda questi ultimi, c'eda tenere presente che il mare Adriatico elungo, stretto e poco profondo, quindi venti da Sud-Est (scirocco) e da Nord-Est (bora) pro ducono accumulo di acqua nella laguna di Venezia.Relativamente alIa pressione atmosferica, il suo effetto edi tipo "barometrico inverso", cioe un aumento di pressione produce un abbassamento dellivello di marea, mentre una diminuzione di pressione provoca un innalzamento dellivello. Inoltre Ie perturbazioni suI mare Adriatico agiscono come un'impulso su una barra monodimensionale, la quale entra in risonanza a una sua propria frequenza fondamentale, avente un periodo di circa 22 ore. Quest'ultimo fenomeno viene chiamato sessa.
Fig. 1: Mare Adriatico e gradienti barici
Mettete
stivali:
Quindi puo accadere che nei giorni successivi al passaggio di una perturbazione (con effetto via via smorzato nel tempo), i due contributi di marea astronomica (periodo: 24 ore circa) e di sessa (periodo: 22 ore circa) entrino in fase e quindi si sommino. Una domanda sorge spontanea: il fenomeno dell'acqua alta in laguna di Venezia e recente oppure si presentava anche nel passato? Rispondere non e difficile perche esistono numerose testimonianza storiche che dimostrano il verificarsi del fenomeno fin dal Medio Evo. Per un approfondimento di tale questione si cons iglia di consultare il cap. II dellibro di A. Giordani Soika [4]. Per quanta riguarda tempi pili tecenti, sono disponibili le serie storiche dei dati di marea a Venezia dal1872 [5]. Dalloro grafico epossibile osservare che la frequenza e l'altezza di marea eandata aumentando nel tempo [6]. II liveII0 medio del mare (eustatismo) si einnalzato in media di circa 2,7 ern per decennio.
Effetti dell'acqua alta a Venezia e mezzi di allertamento Numerosi e dannosi sono gli effetti dell'acqua alta sulla vita della citta insulare [3]. Innanzitutto, se si vuole evitare di mettere i piedi "a mollo", bisogna percorrere molte calli, campielli, rive ecc. indossando stivali e, comunque, l'attraversamento e difficoltoso. Le abitazioni a piano terra, i negozi e le attivita commerciali vengono invase dall'acqua del mare, danneggiando merci e cose. Imezzi pubblici (ACTV), quelli di soccorso e di sicurezza (polizia, carabinieri, vigili urbani, vigili del fuoco, idroambulanze, ecc.) e gli altri mezzi pubblici e privati di trasporto su acqua trovano canali e rii intransitabili soprattutto per la difficolta a passare sotto i ponti. Tra i possibili rimedi per evitare l'acqua alta in laguna ein corso di realizzazione il "progetto Mose", che prevede la chiusura, mediante dighe mobili delle tre bocche di porto che collegano la laguna al mare Adriatico, nelle ore di prevista alta marea. Tale chiusura presenta, accanto a effetti positivi, anche altri negativi, tra i quali va considerato, oltre alle modifiche all'ambiente lagunare, il temporaneo impedimento del traffico portuale, una delle attivita economiche pili rilevanti per Venezia e il suo entroterra [7]. Per meglio valutare tale impatto estato approntato parecchi anni fa un modello di simulazione per il traffico portuale, ipotizzando la chiusura temporanea delle bocche di porto in coincidenza con i periodi di alta marea [8]. In modo pili semplice, un confronto tra la distribuzione oraria del traffico portuale e la frequenza oraria delle alte maree porta a una prima approssimata valutazione. Qualora sia stato previsto, con congruo anticipo, l' arrivo dell' acqua alta, allora vengonoutilizzati numerosi mezzi di allertamento e di informazione per trasmettere la notizia alIa popolazione. Tra questi citiamo: il suono delle sirene poste in cima ad alcuni campanili, i comunicati trasmessi dalle radio e tv locali, gli sms inviati ai telefoni cellulari, i pannelli luminosi installati in punti strategici, Ie segreterie telefoniche del Centro Maree, il sito web del Comune, le comunicazioni verbali 0 automatiche ai centralini delle grandi utenze eCCe
2008
Previsioni e modelli di previsione Prevedere illivello di marea a Venezia con un anticipo di parecchie ore 0 addirittura di alcuni giorni non e facile. Del resto, tale attivita viene svolta, su base scientifica attendibile, solo dagli anni '70. A cia ha contribuito certamente una maggiore consapevolezza della gravita del fenomeno, a seguito dell'eccezionale evento di altamarea del 4 novembre 1966 e il suo dannoso impatto sulla vita lagunare. Anche il continuo miglioramento delle previsioni meteorologiche su bassa scala territoriale ha portato a un miglioramento delle capacita previsive. E non da ultimo, il sensibile incremento della capacita di calcolo elettronico distribuito a basso costa (personal computer e workstation) ha consentito 10 sviluppo e l'implementazione di rigorosi modelli quantitativi. Per prevedere correttamente, infatti, occorre innanzitutto uno studio accurato del fenomeno e delle sue cause, e a cia abbiamo brevemente accennato nel secondo paragrafo. Poi bisogna costruire un modello di previsione, fissando anche la precisione che tale modello dovrebbe fornire. E auspicabile che il modello, pur garantendo la precisione richiesta, sia anche il piu semplice possibile, e comunque permetta il conseguimento del risultato (la previsione) in tempi ragionevoli. Da un punto di vista quantitativo e a grandi linee, attualmente possiamo dividere i modelli di previsione in due categorie: modelli deterministici (in condizioni di certezza) e modelli stocastici (probabilistici 0, piu in generale, in condizioni di incertezza).
Modelli di previsione deterministici Come abbiamo gia accennato nel secondo paragrafo, il contributo astronomico allivello di marea edi tipo deterministico e calcolabile, con la precisione del centimetro, nel modo ivi indicato. In questa e nei successivi paragrafi, ci limiteremo pertanto a considerare il solo contributo rneteorologico, utilizzando differenti tipologie di modelli. Tra i modelli deterministici annoveriamo i modelli matematici di tipo idrodinamico [9, IO].Essi utilizzano, per il calcolo del contributo meteorologico, sistemi di equazioni differenziali aIle derivate parziali, che vengono risolti per via approssimata. Si possono utilizzare modelli ad ampia scala (mar Adriatico) 0 a scala piu ristretta (golfo di Venezia 0 la sola laguna di Venezia) [11]. Si presentano sotto la seguente forma:
au a ( p) (aZu aZu) a ar Po a aX og X av a ( p) -A (aZv aZv) - -1 ('r, -'r --fU+gH-+-.at ax ~+Pog axz ayz Po r a~ + au + av =0 at ax ay
1 ( r -r=O ) --fV+gH- r + -z - ~ p - -AH - + z sx bx t
(1)
) =0
(2)
H
b
y
(3)
Mettete
stiveli: arrlva
alta
Le equazioni idrodinamiche sono ricavate dalla legge di Newton (1) e (2) e dalla legge di conservazione dellamassa (3) in un sistema di riferimento rotante (rotazione terreste). Viene inoltre applicata l'approssimazione shallow-water, perche il mare (Adriatico) ha dimensione verticale (in media 300 m) molto inferiore alla dimensione orizzontale (circa 800 km). Nelle equazioni (1) e (2) sono state introdotte delle forzanti atmosferiche, pressione (p) e vento (ts), Le equazioni vengono risolte per via numerica. Quindi vanno discretizzate nel tempo e nello spazio mediante griglie di calcolo. A ciascun punto spaziale della griglia viene associata la profondita del mare in quel punto. II tempo viene pure suddiviso in passi di ampiezza ~t. Sarebbero richiesti i dati delle forzanti su tutti punti del reticolo, rna cia non e attualmente possibile. Si utilizzano allora dei modelli numerici che riproducono 10 stato dell'atmosfera e ricostruiscono approssimativamente l'intero campo a partire da alcuni dati puntuali. Presso l'Istituzione Centro Previsioni e Segnalazione Maree (ICPSM) sono operativi due modelli numerici deterministici: - HYPSE,sviluppato presso il Dipartimento di Fisica dell'Universita di Padova, - SHYFEM, sviluppato presso ISMAR-CNR di Venezia. I tempi di calcolo richiesti sono elevati e rendono attualmente tali modelli poco utilizzabili a fini previstivi immediati, rna il continuo incremento delle potenzialita di calcolo fa sperare che presto diventino maggiormente operativi.
Modelli di previsione stocastici lineari Considerati gli elevati tempi di calcolo richiesti dai modelli deterrninistici, tuttavia sono stati costruiti altri modelli in grado di approssimare in modo soddisfacente le altezze di marea future mediante analisi della storia passata e delle leggi che ne determinano il contributo meteorologico. Consideriamo ora modelli stocastici di tipo lineare, riservando al paragrafo suecessivo la presentazione di modelli stocastici non lineari. Inquadriamo tra i modelli stocastici non lineari quelli che si basano su metodi statistici autoregressivi e a media mobile (ARMA) e utilizzano la teoria dei minimi quadrati. A partire dal primo modello (MARCO),reso operativo da P.Canestrelli eA. Tomasin nelI98I [12], molti altri si sono susseguiti nel tempo (modello semplificato, completo, esteso [13]), raggiungendo ragguardevoli capacita previsive. II modello completo (e in modo analogo gli altri modelli stocastici) [14] prevede illivello di marea a Venezia dal tempo t+1 al tempo t+ ~ utilizzando 70 0 pin predittori: Input: 30 valori di marea (Punta della Salute da t a t-29); 20 valori di pressione atmosferica in 4 stazioni (Genova, Alghero, Venezia e Bari) in 5 istanti t, t-3, t -6, t-9, t-12; 20 valori di gradiente barico elevati al quadrato (con segno) per 4 coppie di 10-
matemetice e cultura 2008 calita opposte nel mare Adriatico (Pola-Rimini, Zara-Falconara/Pescara, Spalato-Termoli, Dubrovnik-Bari, vedi Fig. 1). Output: un valore di previsione della marea per ogni anticipo orario (da 1 a 48 ore). In formule: ~h(t +~)
= al(~)~h(t) + a2~h(t - 1) + ... + a3o(~)~h(t - 29) + + b1pve(t) + b2pve(t - 3) + + b.pvei] - 12) + + c1pge(t) + c2pge(t - 3) + + c.pvei] - 12) + + d1pal(t) + d2pal(t - 3) + + dspal(t - 12) + + e1pba(t) + e2pba(t - 3) + + e.pbat: - 12) + + h~ppr(t)2 + fz~ppr(t - 3)2 + + fs~ppr(t- 12)2 + + gl~pzf(t)2 + g2~pzf(t - 3)2 + + gs~pzf(t - 12)2 + + hl~PSt(t)2 + h2~PSt(t - 3)2 + + hs~pst(t - 12)2 + + 11~pdb(t)2 + 12~pdb(t - 3)2 + + lsl1.pdb(t - 12)2.
Per la calibrazione dei coefficienti a, b, c, d, e, f g, h,1si utilizzano le serie storiche di marea a Venezia e di pressione nelle varie localita e si minimizzano gli scarti quadratici tra i dati previsti e quelli osservati con il metodo dei minimi quadrati. Numerosi altri sottomodelli sono stati creati utilizzando sottoinsiemi opportuni dei dati (per esempio, i dati dei soli mesi di ottobre, novembre e dicembre; i dati con contributo meteorologico oppure con gradiente barico superiore a una soglia prefissata ecc.) [15]. Pin recentemente sono stati sviluppati dei modelli che utilizzano non solo le osservazioni, rna anche le previsioni dei valori barici nelle varie localita (modello esteso). Un rilevante problema comune a tutti i modelli stocastici consiste nel come valutarne l'attendibilita [12]. Occorre fissare degli indicatori atti a misurare l'attendibilita delle previsioni prodotte dai vari modelli in esame, A tal fine vengono considerati opportuni indici statistici (errore medio, deviazione standard, errore assolute medio, errore massimo, indice di accuratezza ecc.), che permettono di valutare I' efficienza dei modelli. Allo stato attuale dell'arte, con il modello lineare piu attendibile (esperto esteso) si ottiene, su circa 15.000 casi esaminati, con un anticipo di 18 ore un errore assoluto medio di 3-4cm e un errore massimo di 25-26 cm. Con gli stessi casi,non appena si consideri un anticipo di 48 ore l'errore assoluto medio passa a quasi 5 em e l'errore massimo a 36-37 cm.
Modelli di previsione stocastici non lineari
e
In tempi piu recenti si pensato di utilizzare alcune tecniche proprie dell'intelligenza artificiale per costruire dei modelli di previsione in grado di esplorare, 01tre alle relazioni lineari tra i dati osservati anche le loro eventuali relazioni di non Iinearita [16].
Tra queste tecniche estata posta maggiore attenzione al clustering, alla fuzzy logic e alle reti neurali. Forniamo ora un breve panorama descrittivo di tali tecniche. Tecniche di clustering
Esse rispondono alla necessita, basilare per ogni scienza, di raggruppare in maniera oggettiva e quantificabile elementi, dati, individui, variabili, caratteristiche, misure, relazioni ecc. simili tra loro. Si tratta, cioe, di suddividereun insieme di dati in sottoinsiemi (detti clusters), in modo tale che gli elementi di unostesso sottoinsieme siano il pili possibile simili tra loro e contemporaneamente il pili dissimili da quelli appartenenti agli altri sottoinsiemi. Lo scopo equello di suddividere in gruppi (classi) le osservazioni, cost da avere un grado di associazione alto tra elementi di uno stesso gruppo (alta omogeneita nel gruppo) e basso tra elementi di gruppi diversi (alta eterogeneita tra gruppi). Questo scopo puo essere raggiunto in vari modi, rna queste tecniche si servono di metodi quantitativi (matematico-statistici) rigorosi, cercando di superare opinioni e sensazioni personali e di rendere il metodo quanta pili oggettivo possibile. FuzzyLogic 0 logica sfocata Permette di affrontare e quindi tentare di risolvere problemi e situazioni, che per loro natura sono vaghi, imprecisi, incerti, sfumati, di tipo pili qualitativo che quantitativo. Con la fuzzy logic si hanno a disposizione strumenti adeguati a penetrare e, quindi, affrontare e operare in situazioni concrete, che quasi mai sono perfettamente strutturate, rna presentano contorni incerti e indefiniti. E un grande contributo, soprattutto sul piano metodologico, che questa approccio ha apportato, permettendo di esaminare matematicamente aspetti reali a elevato contenuto di incertezza e rischio e di cercare di fornire risposte attendibili. Inoltre va fatto notare che un sistema fuzzy (a operatori algebrici) dotato di un numero sufficiente di regole ein grado di approssimare qualsiasi funzione reale continua con precisione arbitraria. Reti neurali
Possiamo definire una rete neurale artificiale come un sistema di elaborazione dati tipicamente non lineare, adattativo e a impostazione teorica non predeterminata, capace di emulare funzioni vettoriali continue. Un tale sistema ha la caratteristica di essere stabile e robusto, quindi scarsamente condizionabile da rumore 0 altri disturbi. Inoltre saltuari e non sistematici errori nei dati non ne modificano significativamente le prestazioni e, comunque, tolgono efficienza al sistema in modo graduale con illoro intensificarsi. Econ l'avvento e il progressivo sviluppo dei calcolatori che le reti neurali artificiali accrescono la loro importanza, perche in ultima analisi queste non sono altro che un insieme di istruzioni (cioe un programma) da inserire in un calcolatore. Tuttavia sono dotate di una precisione, per cost dire, "sfocata", che le rende inadeguate per il calcolo algebrico preci.. so, rna molto efficienti, per esempio, per il riconoscimento di forme e l'elaborazione di immagini. Analogamente ai sistemi a logica sfocata, riescono a fornire buoni risultati anche se i dati di input sono imprecisi, ambigui e talvolta in contraddizione tra loro.
maternatica culture 2008
Ed eappunto al fine di cercare di governare la cornplessita del problema relativo alla previsione dellivello di marea che l'ICPSM, il Consorzio Venezia Ricerche e il Dipartimento di Matematica Applicata dell'Universita Ca' Foscari di Venezia hanno deciso di collaborare a un progetto dal titolo "Realizzazione di un sistema di previsione di marea e diffusione alla popolazione veneziana", che ha ricevuto un contributo finanziario dal M.I.U.R.Tale progetto ha prodotto dei modelli di previsione che utilizzano le tecniche di intelligenza artificiale sopra citate. Pili in particolare,l'utilizzo di tecniche di clustering e della fuzzy logic, si concretizza in un algoritmo di ricerca di andamenti (patterns) simili all'insieme di dati a disposizione antecedenti temporalmente al caso in esame e di attribuzione a ciascun pattern di un grado di similarita con il caso in esame. La previsione e poi realizzata tramite il metodo della regressione pesata, mediante i pesi forniti dai valori di similarita, L'approccio neurale porta, invece, alla realizzazione di una rete artificiale polinomiale di tipo GMDH [17]. Inoltre, una ulteriore rete neuraleartificialedi tipo MLP viene implementata con 10 scopo di combinare in modo ottimale le previsioni ottenute dai vari metodi e di ottenere un'ulteriore previsione mediamente migliore di quelle prodotte separatamente da ciascuna metodologia. I risultati di questi ultimi modelli vanno testati in fase operativa online per almeno tutto l'anna 2007 e confrontati con i modelli stocastici lineari, in assoluta parita di condizioni. A tal fine, presso l'ICPSM stanno funzionando in fase di testing online due modelli stocastici non lineari: CVR-DMA-FUZZYCLAST e CVR-DMA-GMDH. Presso il Dipartimento di Matematica Applicata dell'Universita Ca' Foscari di Venezia sono inoltre in fase di avanzato sviluppo altri due modelli di intelligenza artificiale: CVR-DMA-MLP CVR~DMA-ENSEMBLE. Si auspica che tutti questi sforzi congiunti portino a un miglioramento delle previsioni a medio e lungo termine (12-48 ore), e quindi a una significativa riduzione sia dell'errore medio assoluto, sia soprattutto dell' errore massimo. Cio consentirebbe inoltre di ridurre al minimo gli eventuali periodi di chiusura delle bocche di porto del realizzando progetto Mose, con un conseguente minor impatto sia suI traffico portuale che sull'ambiente lagunare.
Bibliografia Istituzione Centro Previsioni e Segnalazioni Maree(ICPSM) (2006) Calendario delle maree2007, Venezia [2] P.Canestrelli, M. Cerasuolo, C.Corte (1997) L'altamarea a Venezia: il fenomeno e Ie strategie operative, Comune di Venezia CPSM,Venezia [3] P.Canestrelli, M. Cerasuolo, C. Corte, F. Pastore (1998) La mareaa Venezia e l'impatto sulleattivita umane, Comune di Venezia CPSM [4.] A. Giordani Soika (1976) Venezia e il problemadelle acque alte, supplemento al Vol. XXVII del Bollettino del Museo Civico di Storia Naturale di Venezia [5] D.Battistin, P.Canestrelli (2006) 1872-2004 La seriestorica delle mareea Venezia, (con annesso cd di dati), Istituzione Centro Previsioni e Segnalazioni Maree, Venezia [1]
ME~ttE~tequ
[6] [7] [8] [9] [10] [11]
[12] [13] [14] [15] [16] [17]
stivali: arrlva
alta
L.Carbognin, G.Taroni (1982) Verifica statistica di ipotesifunzionali conparametristimati. Applicazioneagli eventidelle acque alte a Venezia, CNR, Progetto FinaIizzato Informatica, Rapporto n. 29,1-20 + appendice E. Canestrelli, P. Costa, A. Marguccio, C. Muscara (1982) Regolazione delle maree in laguna: effetti sull'.attivita portualeveneziana,Documento di sintesi del rapporto, Associazione degIi IndustriaIi della Provincia di Venezia E. Canestrelli (1984) Un modello di simulazione per il porto di Venezia, in "L'analisi degli insediamenti umani e produttivi", a cur a di G. Leonardi e G.A. Rabino, F.AngeIi Ed., Milano Comune di Venezia (2005) Appunti delle lezioni, Corso di aggiornamento TecnicoProfessionale per il personale dell'Istituzione Centro Previsioni e Segnalazioni Maree, Venezia G. Cecconi, P. Canestrelli, M. Di Donato, M. Cecchinato (1997) I nuovi sistemi per la previsionedell'acquaalta a Venezia, Quaderni TrimestraIi - Consorzio Venezia Nuova, Anno V n.3 e 4, pp 23-39 P. Canestrelli, L. Zampato (2005) Sea-level forecasting at the Centro Previsioni e Segnalazioni Maree (CPSM) of the Venice Municipality, in: Flooding and environmental challenges for Venice and its lagoon: State of knowledge, ed. C.A.Fletcher and T.Spencer, Cambridge University Press P. Canestrelli, A. Tomasin (1981) Sull'attendibilita di un modello empirico-statistico per la previsionedell'acqua alta a Venezia, Comune di Venezia CPSM e CNR Istituto per 10 Studio delle Grandi Masse, Venezia P.Canestrelli, F.Pastore (2000) Modelli stocastici per laprevisionedellivello di marea a Venezia, in: La ricerca scientifica per Venezia - II Progetto Sistema Lagunare Veneziano, Vol.II, Torno II, Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, Venezia P.Canestrelli (1999) ((II sistema statisticodel Comunedi Venezia per la previsionedel livello della mareadellacitta.Risultati teorici e infase di operativita", Comune di Venezia CPSM.,Venezia P.Canestrelli - F.Moretti (2004) Una prima applicazione di modellostatisticodi tipo esperto, Comune di Venezia CPSM,Venezia J. M. Zaldivar, F.Strozzi (1998) Predizione dellemareenellalaguna di Venezia usando la teoriadei sistemi non-lineari, Liuc Papers n.SS, Serie Metodi quantitativi 6, lugIioagosto A. Moro (2001) Un approccio GMDH per l'analisi del fenomeno delle maree a Venezia, tesi di laurea in Economia e Commercio, a.a. 2001/02, Universita Ca' Foscari di Venezia
Aritmetica per la Costituzione: la ripartizione dei seggi al Senato MARCO LI CALZI
Anche Ie Costituzioni devono "fare i conti" con l'aritmetica. Per esempio, l'articolo 1 della Costituzione degli Stati Uniti d'America (1789)sottopone al Congresso l' obbligo di risolvere un problema aritmetico di equa rappresentanza degli Stati nell'organo legislativo: a ogni Stato deve essere assegnato un numero di rappresentanti al Congresso proporzionale alla sua popolazione. Come vedremo, questa problema non ammette una soluzione esatta e determinare quale sia la migliore approssimazione e difficile. Negli Stati Uniti, l'approssimazione in uso - stabilita per legge dal Congresso - e stata cambiata piu volteo Ne11948,invece, Ia Costituzione della Repubblica Italiana ha preferito non demandare al Parlamento la rice rca della soluzione al problema, fissando esplicitamente la regola da seguire negli articoli 56 (per la Camera dei Deputati) e 57 (per il Senato della Repubblica). Con la riforma costituzionale del 1963,l'articolo 57 e stato modificato in piu punti introducendo fra l'altro un metoda diverso per la ripartizione dei seggi al Senato. I due metodi producono spesso ripartizioni identiche, rna godono di proprieta diverse.
La formulazione del problema Facciamo un passo indietro, in modo da vederci meglio. Supponiamo che un generoso benefattore abbia donato 21 computer identici, da distribuire fra le tre scuole elementari di un plesso in proporzione al numero degli studenti. La scuola Aha 548 studenti; la scuola B ha 432 studenti; la scuola C ha 158 studenti. Rappresentiamo Ia situazione nella Tabella I.La prima colonna eintestata alle scuole. La seconda colonna riporta il numero degli studenti e Ia terza colonna fornisce illoro numero in percentuale suI totale dei 1138 studenti del plesso. La quota nella quarta colonna e data dal prodotto fra questa percentuale e il numero di
matematica e cultura 2008 ~-_._-------
computer disponibili; essa rappresenta il numero esatto di computer che una ripa rtizione perfettamente proporzionale dovrebbe assegnare a ciascuna scuola. Tabella 1. La ripartizione dei computer fra tre scuole Scuola
no. studenti
% studenti
quota
A
548
48,16 %
10,11
B
432
37,96%
7,97
C
158
13,88%
2,92
1138
100%
21
Totale
L'ovvio problema e che i computer sono beni indivisibili: non e possibile assegnare una frazione di computer a una scuola. Quindi non possiamo dare 10,11computer ana scuola A, come prescrive la quota proporzionale. Come si deve pro cedere allora per distribuire i 21 computer? Una soluzione parziale rna piuttosto naturale assegna a ciascuna scuola almeno la parte intera della sua quota: 10 computer ad A, 7 a B,e 2 a C. In questa modo si distribuiscono 19 computer. Ne restano da attribuire ancora 2, e quindi almeno una scuola ricevera necessariamente un numero di computer inferiore alIa sua quota mentre almeno un'altra scuola ne avra di pili. Dobbiamo trovare un criterio generale per decidere chi deve essere favorito . II problema dell' equasuddivisione consiste nel trovare una maniera equa per ripartire un insieme di oggetti identici e indivisibili in modo (quanto pili possibile) proporzionale. Questi oggetti identici e indivisibili da suddividere e i parametri di proporzionalita possono essere i pili diversi: i computer per le scuole di un plesso in relazione al numero degli studenti; le biglie dena collezione del nonno fra gli eredi secondo Ie quote di legittima; 0 i turni di riposo in proporzione alle ore lavorate. Ma la struttura matematica del problema non cambia: in generale, le quote sono numeri razionali, mentre il numero degli oggetti assegnati deve essere intero. La soluzione che cerchiamo consiste nel trovare una configurazione di numeri interi che meglio approssima l'ideale di proporzionalita rappresentato dalle quote. II problema dell'equa suddivisione diventa particolarmente rilevante quando interessa i seggi dena Camera da distribuire in proporzione al numero dei voti ricevuti da ciascun partito (in un sistema proporzionale) oppure i seggi del Senato da assegnare a ciascuna regione in proporzione alle rispettive popolazioni (in un sistema federale) . Per semplicita, in questa lavoro facciamo riferimento al secondo caso, che comprende sia la ripartizione dei seggi del Congresso fra i 50 stati degli USA sia l'assegnazione dei seggi del Senato fra Ie 20 regioni della Repubblica Italiana. Riprendiamo l'esempio precedente, rna supponiamo di volere assegnare 21 seggi fra Ie tre regioni A, B e C in proporzione alIa loro popolazione. Per maggior realismo, il numero degli abitanti di una regione eottenuto moltiplicando per diecimila il numero degli studenti nell'esempio precedente. Come si vede immediatamente nella Tabella 2, non cambiano ne la percentuale di abitanti ne la quota e quindi in generale il problema einvariante rispetto a una trasformazione omogenea del criterio di proporzionalita,
Aritmetic a per la Costituzione: la ripa rtizione dei seggi al Senato
Utilizzando la soluzione parziale che assegna a ogni regione un numero di seggi non inferiore alla parte intera della sua quota, possiamo attribuire 10 seggi ad A, 7 aBe 2 a C. Con questa suddivisione, la regione A non ha la maggioranza assoluta dei seggi. A seconda di come attribuiamo i due seggi residui, la bilancia del potere puo spostarsi in modo significativo. Se diamo ancora un seggio ad A, questa ottiene la maggioranza assoluta dei seggi (e il controllo del Senato) senza rappresentare la maggioranza assoluta degli abitanti. In casi come questa, il problema dell'equa suddivisione si confonde con il problema di determinare 0 limitare il potere di ciascuna regione. Noi tratteremo il problema dell'equa suddivisione in base ad argomenti di equita e di buon senso, indipendenti dagli effetti sulla distribuzione di potere. Tabella 2. La ripartizione dei seggi fra tre regioni Regione
no. abitanti
% abitanti
quota
A
5.480.000
48,16 %
10,11
B
4.320.000
37,96%
7,97
C
1.580.000
13,88%
2,92
11.380.000
100%
21
Totale
II metodo di Hamilton La prima proposta storicamente documentata per risolvere il problema dell'equa suddivisione fu avanzata da Alexander Hamilton (1755-1804) nel1791, subito dopo che il primo censimento aveva determinato la popolazione nei 13 stati che avevano firmato la Dichiarazione di Indipendenza degli Stati Uniti. La illustriamo con riferimento all'esempio in Tabella 21• Per prima cosa, ad ogni regione si assegna un numero di seggi uguale allaparte intera della sua quota. Dunque A riceve inizialmente 10 seggi, B ne riceve 7 e C solo 2. In questo modo sono assegnati 19 seggi e ne restano da attribuire ancora 2.I seggi residui sonoassegnati aglistati chehanno i restipiu alti. Nella fattispecie, i resti sono 0,11 per A; 0,97 per B; 0,92 per C. Quindi i due seggi residui sono attribuiti rispettivamente aBe C. L'assegnazione finale e 10 seggi ad A, 7+ 1=8 a B e 2+1=3 a C. Intuitivamente,i seggi residui sono attribuiti secondo un ordine di priorita, determinato dallivello dei resti: a un resto piu alto corrisponde un "maggior" diritto ad avere uno dei seggi ancora disponibili. La storia non finisce qui. La proposta di Hamilton, approvata a maggioranza dal Congresso, fu inviata al Presidente Washington che, invece di promulgarla, appose il primo veto presidenziale nella storia degli USA. Il veto presidenziale e una clausola di salvaguardia costituzionale, che consente al Presidente di rinviare al Congresso una legge; in questa caso, per l'approvazione diventa necessaria una maggioranza qualificata di 2/3. In seguito al veto, il Congresso riesamino la legge gia approvata e decise di sostituire il metodo di Hamilton con un metodo proposto da Thomas Jefferson (1743-1826), di cui parleremo piu avanti.
1
Netprossimoparagrafo it testa incorsivodescrive it metodo generate, mentre it testain stampatello esemplifical'applicazione.
matematica e cultura 2008 Nel corso degIi anni sono state proposte diverse soluzioni per il problema dell'equa suddivisione. I metodi di ripartizione pili importanti si devono a Hamilton (1791), Jefferson (1791), Webster (1830), Adams (1830), Dean (1832) e Hill (1911). Non e affatto semplice determinare quale metodo sia pili equo. Lo stesso Congresso degIi USA ha modificato la legge elettorale pili volte, anche se talvolta db eavvenuto essenzialmente per ragioni di convenienza politica. Sinteticamente, possiamo dire che il metodo di Jefferson e stato adottato dal1792 a11840. 11 metodo di Webster esubentrato dal1840 a11850, mentre quello di Hamilton estato in vigore dal1850 al1911. 11 metodo di Webster e stato ripristinato dal1911 al 1941, quando estato soppiantato dal metodo di Hill in uso an cora oggi.
Tre paradossi 11 metodo di Hamilton appare una soluzione piuttosto naturale, rna, sorprendentemente, ci sono ottime ragioni per metterlo in discussione. Vediamo la prima con l'aiuto della Tabella 3, dove abbiamo riportato un esempio di ripartizione di sette seggi fra quattro stati adattato da Young (1995). Tabella 3. 11 paradosso della popolazione Regione
pop.
quota
seggi
pop.
quota
seggi
A
752
5,013
5
753
3,984
4
B
101
0,673
1
377
1,995
2
C
99
0,660
1
96
0,508
0
98 1050
0,653 7
0 7
97 1323
0,513 7
1 7
D Totale
Nella parte sinistra della tabella leggiamo le popolazioni (in migliaia), Ie relative quote e l'assegnazione dei seggi seguendo il metodo di Hamilton. Nella parte destra vediamo le popolazioni alIa successiva elezione: in seguito a nascite, morti e tlussi migratori,la popolazione complessiva eaumentata da 1050a 1323.Questo aumento non si edistribuito in modo uniforme fra le quattro regioni. Come enaturale, ci aspettiamo che Ie nuove quote e la nuova ripartizione dei seggi (calcolata con il metodo di Hamilton) sulla parte destra risentano dei cambiamenti demografid. Confrontando la parte sinistra con la destra, osserviamo una situazione paradossale: mentre la popolazione di A eaumentata e quella di D ediminuita, il numero dei seggi di A esceso da 5 a 4 e quello di D esalito da 0 a 1. In altre parole, i seggi si spostano in direzione opposta all'aumento della popolazione! Efacileimmaginare a quaIi tensioni e dubbi sull'equita del metodo possa dare luogo questa situazione. Uno scenario in cui la popolazione di una regione cresce e quella di un'altra regione diminuisce, mentre Ie rispettive assegnazioni di seggi si muovono in direzione opposta, enoto come Paradosso della popolazione. Come mostra l'esempio, l'uso del metodo di Hamilton espone al rischio che si possa verificare un paradosso della popolazione. Altri metodi, come vedremo, garantiscono che db non possa avvenire.
Aritm etica per la Costituzione: la ripa rtizione dei seggi al Senato
Un'altra situazione imbarazzante a cui espone l'uso del metodo di Hamilton ela seguente: supponendo che le popolazioni restino costanti, un aumento del numero totale dei seggi da assegnare puo ridurre il numero dei seggi attribuiti a una particolare regione. (Naturalmente, vale anche il contrario: una riduzione del numero totale dei seggi puo comportare 1'aumento dei seggi attribuiti a una regione.) Questo scenario e nota come Paradosso dell'Alabama, dal nome dello stato per il quale nel 1880 l'Ufficio del Censimento americana rilevo il rischio che si manifestasse il fenomeno .Vediamo un esempio nella Tabella4. Nella parte sinistra, si attribuiscono 10 seggi fra tre regioni; nella parte destra si ripartiscono 11 seggi. Le popolazioni sono costanti. Tabella 4. Il paradosso dell' Alabama Regione
pop.
A
600
B
600 200 1400
C Totale
quota 4,286
seggi
pop.
4
600
quota 4,714
4,286
4
600
4,714
1,429 10
2 10
200 1400
1,571 11
seggi 5 5 1 11
Come si puo notare, la regione C si vede attribuiti 2 seggi quando (a sinistra) ce ne sono 10 da ripartire rna soltanto 1 quando (a destra) i seggi totali salgono a 11. l' aumento dei seggi produce un "furto" ai danni di C difficile da comprendere e da giustificare, visto che null'altro e cambiato. L'uso del metodo di Hamilton espone al rischio che si verifichi un paradosso dell'Alabama, che almeno in teoria puo diventare un ostacolo ingombrante a una proposta di variazione del numero dei parlamentari. Fortunatamente, esistono metodi di ripartizione dei seggi immuni da questa paradosso. Il terzo paradosso a cui esoggetto il metodo di Hamilton fu scoperto ne11907, quando l'Oklahoma entro a far parte degli Stati Uniti d' America. Prima del suo ingresso, il Congresso disponeva di 386 seggi. Fu calcolato che il numero equo di seggi da attribuire all'Oklahoma fosse 5. Per non costringere nessuno degli altri stati a cederne qualcuno, fu deciso di aggiungere ai seggi gia esistenti cinque nuovi seggi per l'Oklahoma, portando il totale a 391. L'ovvia intenzione era di assegnare i nuovi seggi all'Oklahoma, lasciando a tutti gli altristati il numero di seggi che avevano prima. Come prescriveva la legge, fu applicato il metodo di Hamilton per ripartire 391 seggi fra tutti gli stati, rna accadde qualcosa di inatteso: il metodo confermava l' attribuzione di 5 seggi all'Oklahoma, rna imponeva anche allo stato di New York di cederne uno al Maine. In altre parole,1'aggiunta di nuovi seggi interamente assegnati a un nuovo stato finiva per modificare anche le vecchie attribuzioni! Questo tipo di scenario enota come paradosso dei nuovi statio Ancora una volta, il metodo di Hamilton si rivela soggetto a un paradosso da cui sono immuni altri metodi di ripartizione. Vale la pena segnalare che fu proprio il paradosso dell'Oklahoma a dare il colpo di grazia all'uso del metodo di Hamilton negli Stati Uniti, che fu abrogato nel 1911 .
matematica e cultura 2008
I metodi con divisore A questa punto ci sembra tempo di vedere qualche metodo di ripartizione diverso daquello di Hamilton. Cominciamo naturalmente dal metodo di Jefferson,che dopo il veto di Washington nel1792 divenne il primo metodo ufficialmenteadottato per la ripartizione dei seggi del Congresso USA.Vale la pena di menzionare che in ambito europeo il metodo di Jefferson e comunemente attribuito a Victor d'Hondt (1841-1901), un giurista belga appassionato di matematica, che inconsapevolmente 10 ripropose ne11878. II metodo di Jefferson richiede di scegliere un divisore d, che rappresenta il numero ideale di abitanti (0 elettori) che dovrebbe corrispondere a ogni seggio e di calcolare per ogni regione i un quoziente qi= PiI d pari al rapporto tra la sua popolazione e il divisore. A ogni regione eattribuito un numero di seggiuguale alla parte intera del quoziente. II numero complessivo di seggi assegnati dipende dal divisore scelto. Se questonumero efissato all'inizio, si rende necessario scegliere un divisore che generi il giusto numero complessivo di seggi, Ad esempio, se prendiamo il caso riportato in Tabella 2 e, per semplicita, esprimiamo Ie popolazioni in decine di migliaia, i1 divisore d=90 genera i quozienti qA=6,09, qB=4,80 e qc=I,76 con parte intera rispettivamente 6,4, e 1.Questi tre valori rappresentano i seggi rispettivamente assegnati aIle tre regioni. In questa caso, il metodo di Jefferson ripartisce un totale di 11 seggi. Se desideriamo suddividere esattamente 21 seggi, basta diminuire il divisore a d=50: i quozienti diventano qA=10,96, qB=8,64 e qc=3,16 e Ie rispettive parti intere 10,8 e 3. II metodo di John Quincy Adams (1767-1848) edel tutto analogo,rna attribuisce a ogniregione un numero di seggi uguale al quoziente arrotondato per eccesso (il metodo di Jefferson arrotonda invece per difetto). Con riferimento al solito esempio, la scelta del divisore d=90 conduce ad assegnare ad A, B, e C rispettivamente 7, 5 e 2 seggi, per un totale di 14. Scegliendo opportunamente d=60, invece, si possono suddividere esattamente 21 seggi attribuendone rispettivamente 10,8 e 3. II metodo di DanielWebster (1782-1852), invece,propone di attribuire a ogniregione un numero diseggi uguale alquoziente arrotondato all'intero pitt vicino. In ambito europeo questa metodo ecomunemente attribuito ad Andre Sainte-Lague (1882-1950), un matematico francese che 10 riscopri ne11910.Nel solito esempio, il divisore d=90 genera rispettivamente 6,5 e 2 per A, B e C,per un totale di 13.Scegliendo opportunamente d=55, invece, i 21 seggi sono suddivisi rispettivamente in 10,8 e 3. Questi tre metodi sono collegialmente noti comemetodi con divisore, perche si differenziano soltanto nel modo in cui arrotondano i quozienti generati dal divisore comune. Oltre a essi, esistono altri due metodi con divisore (Dean, 1832;Hill, 1911), che risolvono in modo piii originale il problema di arrotondare il quoziente a un numero intero. Per semplicita, confineremo la discussione ai metodi di Adams, Jefferson e Webster, rna quanta attribuiremo ai metodi con divisore vale anche per i due metodi qui sottaciuti. Come si pub controllare, rispetto al problema di suddividere 21 seggi fra Ie tre regioni della Tabella 2, sia il metodo di Hamilton sia i metodi con divisore producono tutti la stessa ripartizione finale: 10 seggi ad A, 8 aBe 3 a C. II sospetto che, al di la della specifica formulazione matematica, conducano tutti alla stessa suddivi-
Aritmetica per la Costituzione: la ripartizione dei seggi al Senato
sione e legittimo, rna (ahimel) infondato: in generale, ciascuno di questi metodi pub condurre a una suddivisione diversa da tutti gli altri . Abbiamo aperto con un esempio in cui tutti concordano perche vogliamo valutare i metodi secondo Ie 10ro proprieta generali e non secondo il particolare risultato ottenuto in un esempio .
Criteri di prlorlta Ritorniamo adesso al metodo di Hamilton, per chiederci quale sia la causa di tutti i paradossi a cui espone il suo uso. Essa risiede nell'uso di due logiche diverse, che non sono coerenti tra loro. II metodo di Hamilton, infatti, funziona in due stadi. Nel primo stadio, si assegna un numero di seggi uguale alla parte intera della quota . Nel secondo stadio, si attribuiscono i seggi residui sulla base dei resti piu alti, Poiche non esiste nessuna relazione matematica rilevante dal punto di vista dell'equita tra la parte intera e i resti di una divisione, l' attribuzione dei seggi al primo stadio si basa su un criterio indipendente da quello usato per i seggi residui. Questo rende il metodo soggetto a incongruenze, che i paradossi presentati nella Sezione 3 rendono manifeste. Se vogliamo formulare un metodo di ripartizione coerente (e dunque immune dai paradossi), occorre ragionare diversamente e trovare il modo di assegnare tutti i seggi seguendo un solo criterio. Un'idea effieace eassegnare i seggi seguendo un ordinamento di priorita, espresso da un indice numerico. I seggi si attribuiscono uno per volta alIa regione con l'indice di priorita piu alto, fino a quando tutti sono stati assegnati. Un indice di priorita naturale eil rapporto pls , tra la popolazione della regione i e il numero di seggi a questa gia attribuito. Questo indice misura il numero di abitanti che corrispondono in media a un seggio . Per esempio, se PA/SA=1000 e PB/SB=700, vuol dire che ci sono 1000 abitanti per ogni seggio assegnato ad A e 700 per ogni seggio assegnato a B. Le regioni con un indice piu alto sono relativamente sottorappresentate e, quindi, hanno una priorita maggiore nell'assegnazione di un ulteriore seggio. Vediamo come funziona il metodo, riprendendo i dati della Tabella 2 (per semplicita, Ie popolazioni sono indicate in decine di migliaia). Dobbiamo attribuire 21 seggi. Scriviamo in testa a ogni colonna (a partire dalla terza) il numero progressivo dei seggi da 0 a 20 e riportiamo in ogni casella il rapporto tra la popolazione della regione sulla relativa riga e il numero di seggi sulla relativa colonna. Ci prendiamo la licenza di scrivere "infinite" nella terza colonna, dove appare zero al denominatore. Tabella 5. La ripartizione di 21 seggi fra tre regioni Seggi
2
3
4
indice
indice
indice
indice
0
20 indice
Regione pop.
indice
A
548
infinito
548
274
182,7
137,0
indice 27,4
B
432
infinito
432
216
144,0
108,0
21,6
C
158
infinito
158
79
52,7
39,5
7,9
culture 2008
All'inizio nessun seggio estato attribuito e quindi i1 rapporto P/Si vale "infinite" per tutti, come si legge nella terza colonna. Assegniamo un seggio a ciascuna regione. Gli indici di priorita per l' assegnazione del quarto seggio diventano 548 per A, 432 per B e 158 per C,come indicato nella quarta colonna. Adesso A ha l'indice pili alto e, quindi, le assegniamo un secondo seggio,portando a quattro il totale dei seggi gia attribuiti. I nuovi indici di priorita per I'assegnazione del quinto seggio sono 274 per A,432 per Be 158 per C,cost che B riceve un secondo seggio. Iterando il procedimento, gli indici di priorita per I'attribuzione del sesto seggio sono ora 274 per A, 216 per Be 158 per C e quindi A riceve un terzo seggio. Gli indici relativi al settimo seggio sono 182,7 per A, 216 per Be 158 per C: i1 seggio e assegnato a B. E cost via, fino a quando i1 ventunesimo seggio e attribuito ad A. La ripartizione finale conferisce 10 seggi ad A, 8 aBe 3 a C;gli indici di priorita al termine del processo sono rispettivamente 54,8; 54,0 e 52,7. La procedura appena descritta dispensa i seggi uno per volta secondo il criterio di priorita fornito dal rapporto P/Si. Come si dimostra matematicamente, essa equivale al metodo di Adams. Ovviamente si possono usare criteri di priorita diversi. Per esempio, l'uso del metodo di Jefferson e equivalente al criterio di priorita fornito dal rapporto P/(Si+ I), che eil rapporto fra la popolazione di una regione e il numero dei seggi ricevuti dopo I'assegnazione del seggio in discussione. II metodo di Webster sta a mezza strada fra questi due e usa come criterio di priorita il rapporto P/(Si+!).
L'importanza di essere coerenti II metodo di Hamilton assegna i seggi seguendo due criteri di priorita diversi: prima la parte intera, poi i resti. I metodi con divisore, invece, sono equivalenti a una procedura che dispensa i seggi uno per volta, seguendo sempre 10 stesso criterio di priorita, Abbiamo affermato nella sezione precedente che il metodo di Hamilton esoggetto ai paradossi perche si basa su due logiche distinte. In questa sezione sostanziamo matematicamente questa affermazione sulla base dei Teoremi 8.3 e 8.4 in Balinski e Young [1]. Un metodo di ripartizione dei seggi ecoerente quando la suddivisione di un numero fissato di seggi fra due stati non dipende dagli altri stati presenti. Facciamo un esempio, con riferimento alla Tabella 6. Guardando allato sinistro della tabella, supponiamo di dover ripartire fra le regioni A e B un totale di 17 seggi, II metodo di Hamilton e quello di Webster concordano nell'assegnare 15 seggi ad A e 2 a B. Guardando allato destro della tabella, supponiamo di dover ripartire fra le tre regioni A, B e C un totale di 21 seggi, I metodi di Hamilton e Webster concordano nell'assegnare un totale congiunto di 17 seggi alle regioni A e B, rna divergono sul dettaglio della suddivisione. II metodo di Hamilton assegna 15 seggi ad A quando C eassente e 14 quando C epresente; ovvero, uno dei 17 seggi passa da A a B se compare un terzo incomodo C.Pertanto, il metodo di Hamilton non e coerenteo II metodo di Webster, almeno in questa esernpio, fornisce sempre la stessa suddivisione. Per affermare che esso esempre coerente, riesce utile la prossima caratterizzazione.
Aritmetica per la Costituzione: la ripart izione dei seggi al Senato
Tabella 6. Coerenza nella ripartizione di 17 seggi tra A e B Regione
pop.
Hamilton
Webster
A
727
15
15
B
123
2
2
123
3
2
17
222 1072
4 21
4 21
C Totale
850
17
pop. 727
Hamilton
Webster
14
15
Introduciamo due definizioni preliminari. Un metodo di ripartizione e bilanciato se il numero di seggi assegnato a due stati con popolazioni uguali differi-
see al pill di uno. Se consideriamo il caso di due sole regioni con popolazioni identiche, un metodo ideale dovrebbe ovviamente assegnare a ciascuna 10 stesso numero di seggi; rna questa e possibile soltanto quando il numero totale dei seggi e pari. Se e dispari, il meglio che si puo fare e dare un seggio in pill a una delle due regioni. Un metodo bilanciato garantisce questa risultato. Diciamo invece che un metodo e imparziale quando l'assegnazione dei seggi dipende solo dalle popolazioni e dal numero totale dei seggi. La caratterizzazione dei metodi coerenti e la seguente. Teorema 1. Un metodo e coerente, bilanciato e imparziale se e solo se si bas a su un solo criterio di priorita,
La coerenza, come mostra una lettura attenta della definizione, esclude che possana verificarsi i paradossi dell' Alabama e dei nuovi statioDunque ogni metodo di ripartizione riconducibile a un solo criterio di priorita e immune da due dei tre paradossi presentati. Come abbiamo visto, i metodi con divisore si basano su un criterio unico di priorita e quindi sono coerenti. Naturalmente, in generale la classe dei metodi coerenti e molto ampia. Tuttavia, se imponiamo anche il requisito dell'immunita dal paradosso della popolazione, essa puo essere ulteriormente rifinita. Un metodo di ripartizione eomogeneo se l'assegnazione dip en de solo dalle dimensioni relative delle popolazioni e dal numero tot ale dei seggi. Come abbiamo visto all'inizio, questa e un requisito del tutto plausibile, Altrettanto naturale ela richiesta che un metodo di ripartizione sia esatto, ovvero che a ogni stato sia attribuito un numero di seggi uguale alla sua quota, qualora tutte le quote proporzion ali siano numeri interi. Teorema 2. Fra i metodi che sono coerenti, imparziali, omogenei ed esatti, soltanto i metodi con divisore evitano il paradosso della popolazione. II Teorema 1 afferma che la coerenza (che rende immuni da due paradossi) richiede che il metodo di ripartizione si fondi su un solo criterio di priorita. II Teorema 2 caratterizza i metodi con divisore come gli unici che risultano immuni da tutti e tre i paradossi discussi nella Sezione 3. Questo ci permette di sostenere che un metodo con divisore e superiore rispetto al metodo di Hamilton perche evita tutti i paradossi.
matematica e cultu re 2008
L'ultimo paragrafo della precedente sezione lascia presagire che riteniamo i metodi con divisore superiori al metodo di Hamilton. Dobbiamo pero ammettere che in realta nessun metodo di ripartizione eperfetto : in questa sezione mostriamo che non esiste alcun metodo di ripartizione ragionevole che soddisfi due proprieta molto naturali. Questo ci costringera a prendere partito: quale che sia il metodo di ripartizione che sceglieremo, almeno una delle due proprieta non sara soddisfatta. Certamente, un buon metodo di ripartizione deve essere monotono: se la quo ta di una regione aumenta, il numero di seggi a essa attribuiti non deve diminuire. Questo e un requisito di buon senso, che non metteremo in discussione. Le altre proprieta che cercheremo di soddisfare simultaneamente sono due. Primo, un metodo di ripartizione deve essere immune al paradosso della popolazione: non pub accadere che una riduzione della popolazione consenta a una regione di guadagnare un seggio a spese di un'altra dove la popolazione invece e cresciuta. La seconda proprieta e che il metodo di ripartizione deve assegnare a una regione un numero di seggi che non dista dalla quota pili di uno. Per esempio, a una quota di 3,14 corrispondono non meno di 3 e non pili di 4 seggi. In altre parole, il numero di seggi assegnato deve essere compreso fra l'arrotondamento per difetto e l'arrotondamento per eccesso della quota. Per comodita, chiamiamo l'assenza di questa proprieta violazione della quota . Vale il seguente risultato di impossibilita: Teorema 3. Ogni metodo di ripartizione monotono che non viola mai la quota esoggetto al paradosso della popolazione. Di questa teorema forniamo la facile dimostrazione. Riprendiamo l'esempio riportato nella Tabella 3, nel quale bisogna suddividere 7 seggi fra quattro regioni. Per comodita di lettura, ricopiamo nella Tabella 7lepopolazioni e le quote. Relativamente ai dati sullato sinistro della tabella, Ie quote di A, B, C, D sono rispettivamente: 5,013;0,673; 0,660 e 0,653. Per non violare la quota, dobbiamo assegnare ad A tra 5 e 6 seggi e a ciascuna delle altre tre regioni tra e 1 seggio. Come si controlla facilmente, esistono soltanto due assegnazioni monotone che non violano la quota. La prima assegna 5 seggi ad A e uno ciascuno aBe C;la seconda assegna 6 seggi ad A e uno a B. In entrambi casi, D non riceve nessun seggio e A almeno cinque.
°
Tabella 7. II paradosso della popolazione Regione A
pop. 752
quota 5,013
pop. 753
B
101
0,673 0,660
377
quota 3,984 1,995
96
0,508
0,653 7
97 1323
0,513 7
C D Totale
99 98 1050
at Senate
Procedendo in modo analogo per i dati sullato destro della Tabella,troviamo che esistono soltanto tre assegnazioni monotone che non violano la quota. La prima assegna 4 seggi ad A, 2 aBe 1 a D; la seconda attribuisce 4 seggi ad A e uno .ciascuno a B, C, D; la terza assegna 3 seggi ad A, 2 aBe 1 ciascuno aCe D. In ogni caso, A riceve al piu 4 seggi e D ne riceve certamente almeno 1. Confrontando i dati relativi alle popolazioni con le assegnazioniminime e massime, troviamo che A passa dai 5 seggi minimi dellato sinistro ai 4 seggi massimi dellato destro mentre la sua popolazione aumenta; invece D passa dagli 0 seggi del lato sinistro a 1 seggio, mentre la sua popolazione diminuisce. Comunque si scelgano i seggi da attribuire ad A, ne segue che l'obbligo di non violare la quota ci forza in un paradosso della popolazione. Sappiamo gia che il metodo di Hamilton e soggetto al paradosso della popolazione. II Teorema 3 rivela che tutti i metodi con divisore, invece, sono soggetti a violare la quota. In ultima analisi, pertanto, si tratta di decidere quale dei due sia il maIe minore. Per un resoconto dettagliato di altre proprieta e delle differenze tra questi e altri metodi di ripartizione, si veda [1].
La soluzione italiana Vediamo in dettaglio che cosa dice la Costituzione della Repubblica Italiana in relazione alla scelta del metodo di ripartizione. II primo comma dell'art. 57 nella versione originale del 1948 recita: A ciascuna Regione eattribuito un senatore per duecentomila abitanti 0 per frazione superiore a centomila.
Questo eil metodo di Webster con divisore comune d=200.000. II numero dei seggi al Senato non efissato a priori, rna dipende dalle dimensioni della popolazione. La riforma costituzionale del 1963 ha sostituito la norma corne segue: II numero dei senatori elettivi edi trecentoquindici. [... ] La ripartizione dei seggi tra le Regioni [...l si effettua [...] in proporzione alla popolazione delle Regioni, [...] sulla base dei quozienti interi e dei piu alti resti. Questo e il metodo di Hamilton con un numero di seggi prefissato a 315 che, dal1963 a oggi, e sempre stato piu alto di quanta avrebbe comportato la formulazione originale. Come sappiamo dall'esempio della Tabella 7, i due metodi possono produrre ripartizioni diverse. Sulla base dei dati demografici rilevati da11948 a oggi e delle altre disposizioni di legge, tuttavia, l'uso dell'uno 0 dell' altro finora avrebbe sempre prodotto la stessa ripartizione. Considerato che ai fini pratici i metodi sono finora risultati equivalenti, si sarebbe tentati di immaginare che nel1963 illegislatore abbia semplicemente cambiato idea sui vantaggi relativi del metodo di Webster rispetto a quello di Hamilton. La lettura degli atti relativi, tuttavia, non riporta alcun passaggio esplicito in proposito.
matemance e cutture 2008
l' evidenza indiretta suggerisce una storia diversa. La decisione consapevole fu di innalzare il numero di seggi al Senato. Invece di ridurre il valore del divisore comune, fu scelto di fissare il numero dei seggi, Come sappiamo, quando il numero di seggi efissato, l'applicazione del metodo di Webster richiede la ricerca del divisore appropriato. I'ipotesi pili probabile eche l'adozione del metodo di Hamilton sia imputabile a una presunta maggiore semplicita di calcolo. Certamente, essa ha eliminato l' obbligo di rendere esplicito il valore del divisore comune d, facilmente interpretabile come il "costo medio" di un senatore in termini di abitanti necessari per avere diritto ad un seggio. Per effetto di un' altra disposizione costituzionale (circa il numero minimo di seggi garantiti), questa "coste medio" emolto diverso da una regione all'altra. Usando i dati del censimento del 2001, esso va da circa 85.000 abitanti per senatore in Basilicata a oltre 201.000 per la Calabria.
Biblloqrafla [1] M.L. Balinski, H.P.Young (2001) FairRepresentation: Meetingthe Idealof OneMan, One Vote, seconda edizione, Brookings University Press, Washington DC [2] V. d'Hondt (1878) Question electorale - La Representation proportionnelle des partis. Parun electeur. Bruxelles [3] A. Sainte-Lague (1910) La representation proportionnelle et les Mathematiques, Revue generale des Sciences pures et appliquees 21, 846-852 [4] H.P.Young (1995) Equity: In Theory and Practice, Princeton University Press, Princeton NJ
Modelli matematlcl in azione: il caso di una banca centrale STEFANO SIVIERO, DANIELE TERLIZZESE
Perche un madelia? Per decidere in modo oculato tra varie azioni disponibili occorre avere un'idea delle loro conseguenze, cOSI da poterle confrontare e selezionare quelle pili gradite. Per anticipare le conseguenze delle varie azioni epoi necessario avere un'idea del funzionamento del sistema nel quale la decisione viene presa, un'idea del modo in cui le nostre azioni - le cause - generano delle conseguenze sulle altre grandezze del sistema - gli effetti. La prima affermazione eovvia (sebbene, per motivi oscuri, virtualmente impossibile da far accettare ai nostri figli); la seconda 10 eleggermente meno, anche perche talvolta efalsa. Se un bicchiere di cristallo pieno d' acqua e poggiato su un tavolo e viene spinto oltre il bordo, possiamo anticipare con sufficiente sicurezza che il bicchiere cadra in terra, I'acqua in gran parte uscira e quasi certamente il vetro si rompera, anche se non sappiamo nulla di gravitazione universale 0 di legami molecolari. La previsione non richiede una comprensione del funzionamento del sistema perche, in questa caso, I'esperienza e sufficiente: l' osservazione nel passato di azioni simili e delle conseguenze a cui hanno dato luogo basta a convincerci che anche questa volta la stessa sequenza di causa ed effetto si realizzera, Spesso pero l'esperienza non e sufficiente: quando nel sistema sono all' opera simultaneamente pili forze e difficile capire se I'osservazione di una determinata conseguenza dipenda dalla decisione presa 0 da altri fattori che nel frattempo si sono modificati. Per fare un esempio, immaginiamo che la banca centrale debba modificare il valore del "tasso ufficiale di interesse" (il prezzo a cui Ie banche commerciali possono rifornirsi di fondi liquidi presso la banca centrale) in modo da tenere sotto controllo l'inflazionenei periodi a venire.' Se osserviamo cia che, nel passato, ha fatto seguito a scelte di questa tipo, notiamo che talvolta un aumento del tasso di
1
SuI perchesi ritiene chesia desiderabile evitare che i prezzi salgano 0 scendano tropporapidamente non ci si pUD dilungarein questa sede.Bastisolodire che tutti gli agenti economicihanno maggioridifficoltaaformulare leproprie decisioniquando sono.piu incertisui prezzi cheprevarrannonelfuturo, e che un'inflazione elevata ed erratica rendeper l'appunto maggiore tale incertezza. Piu in generale, si pUD pensare che nel decideresul tassodi interessela banca centralepotrebbetenere in conto anchegli effetti su altre variabilidel sistema.
2008
interesse estato seguito da una moderazione della crescita e dell'inflazione, talvolta cio non esuccesso, talvolta si everificato persino l'opposto. Molte, troppe cose possono succedere simultaneamente per poter attribuire il risultato osservato all'azione intrapresa. Un rialzo dei tassi di interesse rende il denaro piu caro per le banche, le quali alzano pertanto l'interesse da loro richiesto per prestare alla clientela; la clientela, trovando piu costoso approvvigionarsi di denaro, abbandonera alcuni progetti, ridimensionando quindi i propri piani di spesa (per investimenti, per consumi); il raffreddamento della domanda fara sl che chi vuole vendere debba essere disposto a ribassare le proprie richieste, moderando quindi, aparitadi ognialtracircostanza, i prezzi. La clausola "a parita di ogni altra circostanza" appare ingannevolmente innocua, mentre edi fondamentale importanza. Nell'ipotetica sequenza descritta il risultato finale dipende da un numero elevatissimo di azioni e reazioni individuali, ciascuna delle quali einfluenzata da numerosi fattori: per fare solo alcuni esempi, la reazione di una banca commerciale dipendera dal grado di liquidita del proprio bilancio e dalle sue aspettative circa le decisioni future della banca centrale; le imprese potranno reagire in maniera diversa a seconda di come percepiscono le prospettive sul futuro, che a loro volta dipenderanno da quello che potra succedere ai prezzi delle materie prime 0 alla domanda da parte di altre economie 0 alla tassazione 0 alla spesa pubblica, tutti fattori che possono modificare in modo autonomo anche la domanda delle famiglie. Se potessimo eliminare gli effetti di tutte queste circostanze e fattori concomitanti - fattori di "confondimento" - potremmo osservare l'effetto "puro" di una variazione del tasso ufficiale di interesse. Cia e quanta si ottiene, nelle scienze naturali, da un ben disegnato esperimento in cui ciascuno dei fattori di confondimento viene opportunamente controllato - per esempio mantenendone costante l'effetto - cOSI da poterne eliminare l'influenza. Questo e quanta si pub ottenere, almeno in prima approssimazione, attraverso l'uso di un modello, quando sia impossibile condurre un esperimento controllato su un sistema economico - visto che i sistemi economici hanno l'irritante tendenza a fare di testa loro. II modello equindi una rappresentazione artificiale del sistema economico che riproduce, in via inevitabilmente semplificata e approssimata, i vari meccanismi all'opera e che consente di "spegnere" in modo selettivo tutte quelle influenze che impediscono di osservare l'effetto "puro" delle decisioni che siamo interessati a valutare. Usando il modello ci avviciniamo, percio, alla situazione in cui ci troveremmo se potessimo condurre un esperimento controllato sul sistema economico. C'e un secondo motivo per usare un modello. Abbiamo gia implicitamente suggerito, nell' esempio fatto in precedenza, che alcuni dei meccanismi all'opera nel sisterna possono essere interdipendenti, con una ragnatela complicata e multiforme di reazioni e controreazioni in cui una variabile ne influenza un' altra e ne e a sua volta influenzata. Per fare solo un esempio,la reazione delle famiglie alla modifica del costa del denaro decisa dalla banca centrale,in generale,dipendera dalla reazione delle imprese, che ridimensionando illoro livello di attivita possono influenzare il numero di persone occupate in attivita lavorative e, quindi, il reddito spendibile dalle famiglie; reciprocamente, la reazione delle famiglie sara tenuta in considerazione dalle imprese nel decidere di quanta modificare i propri piani di spesa.
dl una banca centrale Tenere traccia dei canali molteplici e, in genere, non indipendenti, attraverso i quali Ie decisioni dei singoli agenti hanno un effetto sul sistema economico eoperazione complessa: difficilmente pub essere fatta in modo sintetico e intuitivo,anche in maniera solo approssimativamente affidabile,senza disporre di uno strumento che tenga conto, in qualche misura, delle varie possibili influenze reciproche e consenta di calcolarne l'effetto finale e complessivo. Questo strumento e, per l' appunto, un modello. In definitiva, dunque, un modello del sistema economico e, sul piano concettuale, una rappresentazione schematica di un certo numero di relazioni di causaeffetto, corrispondenti ai meccanismi all' opera nel sistema stesso; in pratica, eun sistema simultaneo di equazioni, tipicamente dinamiche, la cui soluzione e dipendente in genere dai valori assunti da un sottoinsieme delle variabili, dette "esogene" - sono invece dette "endogene" Ie variabili per le quali il sistema di equazioni viene risolto. Un esempio di madelia A fini puramente esemplificativi e per introdurre un minimo di terminologia, consideriamo un modello "minimalista" per un'economia nella quale non esistano scambi commerciali con l' estero e in cui i prezzi siano fissi:
Consumo = a + b x Reddito disponibile + residua, Reddito disponibile = ElL - lmposte lnvestimento = c x ElL - d x Tasso di interesse + residua, ElL = Consumo + lnvestimento Si tratta di quattro equazioni, la cui soluzione fornisce i valori di quattro variabili endogene - consumo, investimento, PIL (prodotto interno lordo), reddito disponibile - in funzione dei valori di due variabili esogene - imposte e tasso di interesse; in linea di principio sono variabili esogene del sistema anche i due termini di residuo (che colgono Ia parte della variabile a sinistra non attribuibile alle aItre variabili a destra) ma tipicamente essi vengono posti nella soluzione pari a zero; le lettere a, b, c, d sono parametri (0 coefficienti), che caratterizzano la forma funzionaIe utilizzata per rappresentare Ia relazione tra le variabili - in questo caso tutte Ie equazioni sono lineari, sono prive di dinamica e i vaIori dei parametri si intendono tutti positivi. Per risolvere effettivamente il sistema devono essere assegnati ai parametri dei valori numerici; questa si ottiene attraverso procedure di stima del modello: tecniche statistiche volte a garantire I'accostamento, secondo un' opportuna metrica, tra le variabili generate dal modello e quelle osservate nella realta (detto altrimenti, le tecniche di stima cercano di rendere minima una qualche funzione delle variabili residuo). Questo argomento non verra trattato ulteriorrnentein queste pagine-. La prima e la terza equazione rappresentano relazioni causali (0 comportamentali) tra Ie variabili: corrispondono in modo pili 0 meno approssimato e indiretto ai comportamenti di soggetti nel sistema economico (in questa esempio: imprese, famiglie; pili in generale, i modelli della macroeconomia descrivono anche il comportamento di: autorita di politica fiscale e monetaria, intermediari finanziari, operatoriesteri); Ia seconda e Ia quarta sono identita:
2
Peruna esposizioneaccessibile delleprincipali tecnichedi stima per modelli econometricisi veda [J}.Un testopiu avanzato e recentissimo e[2}.
matematica cultur« 2008
definitorie (la seconda) 0 rappresentative di una relazione di equilibrio, cioe di un vincolo di coerenza contabile (la quarta). I'esempio, sebbene rudimentale, ci consente di vedere con immediatezza il ruo10 del modello nel valutare la conseguenza di una certa azione, per esempio l'aumento del tasso di interesse. In primo luogo, si vede facilmente che un aumento del tasso di interesse portera a una riduzione del PIL soltanto se non ci sara stata, simultaneamente, una riduzione delle imposte (sufficientemente grande); la variazione delle imposte e un esempio di quei fattori di confondimento che rendono difficile valutare.l'effetto della decisione contemplata. Nel risolvere il modello essa pub essere sterilizzata (basta tenere le imposte costanti). In secondo luogo, si vede che il canale attraverso il quale la variazione del tasso di interesse modifica il PIL non e solo quello diretto rappresentato dalla terza e dalla quarta equazione, rna anche quello indiretto che passa per l'effetto che il PIL ha sul reddito disponibile (seconda equazione), che questa ha sul consumo (prima equazione), e sulla retroazione del consumo sul PIL (quarta equazione): e quindi necessario, per poter produrre valutazioni affidabili, risolvere simultaneamente le quattro equazioni. Sulla natura dei modelli
In una economia di mercato quasi tutte Ie decisioni sono prese, in Iarga misura in modo indipendente, da una molteplicita di soggetti. Le statistiche pero ci mostrano, nella maggioranza dei casi, il risuitato netto di questa miriade di decisioni: Ie variabili economiche sono spesso l'aggregazione (per somma, per media) di un numero elevato di componenti individuali, relative a singole famiglie 0 imprese, ciascuna risultante da decisioni in certa misura diverse, in relazione alle diversita di condizioni iniziali, di vincoli a cui i soggetti sono sottoposti, di obiettivi che li muovono all' azione, di interpretazioni della realta in cui si trovano ad agi'"" re, di aspettative sul futuro e sul comportamento degli altri. Nel modellare il sistema economico si possono allora seguire due "filosofie", La prima, che potremmo etichettare come "tradizionale", esemplificata nel modello del paragrafo precedente, corrisponde a stabilire relazioni causali direttamente tra Ie variabili aggregate. Nel far questa il "comportamento" rappresentato nel modello sara in buona sostanza un artefatto deH'aggregazione, una qualche media di comportamenti, magari molto diversi tra loro, finanche opposti. E per questa stesso motivo la giustificazione di tale comportamento medio sara necessariamente poco precisa e stringente, dal momenta che la teo ria economica fornisce indicazioni relativamente univoche (anche se non necessariamente corrette) quasi esclusivamente con relazione ai comportamenti individuali. Per esempio, poiche nelle decisioni individuali il reddito euna delle principali determinanti del consumo, nel modello il totale dei consumi delle famiglie viene modellato come funzione del totale dei redditi percepiti dalle famiglie; sulla forma della relazione funzionale tra le variabili aggregate la teoria fornisce poche indicazioni (oltre al fatto che si tratta di una relazione tendenzialmente monotona crescente: pili reddito conduce a pili consumi). Questo tipo di "filosofia" epropria di molti dei modelli econometrici attualmente in uso presso Ie banche centrali e gli organismi internazionali (un esempio concreto, su cui torneremo nel seguito, e il modello econometrico trimestrale della Banca d'Italia): essi presentano un insieme di relazioni cau-
MoaeUi matematid in .-;,.~;,;--,. . . caso at una banca centrale mil
sali, rna la specificazione di tali relazioni esolo in parte coerente con una teoria ben articolata del funzionamento del sistema economico", Lo svantaggio di questa approccio eappunto l'assenza di un riferimento teorico stringente e sistematico; il vantaggio ela capacita di "adattarsi ai dati", proprio perche non costretti dalla camicia di forza di una teoria che potrebbe rivelarsi errata. Una filosofia alternativa di modellazione, che per contrasto potremmo definire "moderna", porta a rappresentare non le relazioni tra variabili aggregate rna i processi decisionali individuali, per poi aggregarne i risultati. Pili esplicitamente: i soggetti che popolano il sistema economico si comportano per ipotesi in accordo con una qualche teoria (tipicamente, si assume un comportamento razionale, che si traduce nel risolvere problemi di ottimo vincolato); si richiede che le scelte individuali siano tra lora coerenti secondo un qualche criterio (tipicamente, si impongono condizioni di equilibrio che specificano la coerenza tra la domanda e l'offerta aggregate e la coerenza con le risorse disponibili); si sommano i risultati delle scelte individuali, ottenendo relazioni tra variabili aggregate. E opportuno sottolineare che, allo stato attuale, la limitata disponibilita di informazioni sulle scelte individuali (i cosiddetti microdati), i vincoli computazionali e la stessa disponibilita di teorie coerenti e complete del comportamento economico rendono impossibile mettere in pratica questa "filosofia" nella sua forma pura: in concreto, non si riesce a dar conto della varieta e articolazione dei comportamenti individuali e si ricorre ad artifici come quello di immaginare l' esistenza di un numero molto limitato di "agenti rappresentativi", il cui comportamento produca risultati coerenti con quanta si osserva nella variabili aggregate', Vantaggi e svantaggi di questa approccio sono speculari rispetto a quelli indicati per l'approccio tradizionale; esso eperaltro ancora in via di definizione e il suo sviluppo eattivamente perseguito sia in ambienti accademici sia tra le banche centrali e gli organismi internazionali (anche la Banca d'Italia sta sviluppando modelli di questa tipo). Come accennato all'inizio del paragrafo, i modelli economici devono fare i conti con un fenomeno peculiare. Le unita elementari del mondo dell'economia, gli atomi che in quel mondo agiscono, sono esseri umani: entrano in relazione tra loro, stabiliscono dei piani di azione formando delle aspettative sui piani d'azione degli altri, cercano di anticiparne e talvolta prevenirne le mosse future; le aspettative sulla situazione futura dell'economia intluenzano quindi i1 presente.Abbiamo percio un sistema dinamico in cui, per cost dire, il tempo non scorre in una sola direzione, come invece accade nelle scienze fisiche. La presenza di flussi causali dal futuro al presente richiede strumenti matematici in parte nuovi, non necessari per descrivere il comportamento delle grandezze nelle scienze fisiche. Introduce inoltre la possibilita che aspettative sul futuro determinino oggi le condizioni che renderanno quelle aspettative realizzate (il fenomeno e efficacemente descritto dall' espressione inglese self-fulfilling expectations, aspettative che si autorealizzano). Quale sia il modo migliore di cogliere in un modello questa aspetto e questione caldamente dibattuta e sulla quale non potremo soffermarci, salvo rilevare che, almeno in una certa misura, l'approccio moderno sembra pili in grado di fornire una risposta soddisfacente. 3
4
Questouso minimale della teoria eportato alle estreme conseguenze nei cosiddetti modelli VAR (modelli di tipo autoregressivo vettoriale); in questi lapreselezione, sulla basedellateoria economica, di quali variabilidebbanoapparire in quali relazioni causa-effettonon viene affatto operata: ogni variabilepuo apparirein ogni equazione,se questo ecio che apparecoerente(da un punto di vista puramente statistico)con i dati. La validita di tali artifici edimostrabilesoloin condizionipiuttosto restrittive,e l'utilizzo dell'agenterappresentativo eoggettodi criticheabbastanza radicali.
culture 2008
I modelli in Banca d'italia II madelia econometrica trimestrale
II modello econometrico dell'economia italiana utilizzato in Banca d'Italia si inserisce in una tradizione "modellistica" cominciata quasi mezzo secolo fa: i primi lavori di specificazione e stima di relazioni matematiche atte a rappresentare i comportamenti di consumatori, imprese, settore pubblico, settore estero, risalgono infatti agli inizi degli anni sessanta. Da allora, si sono succedute diverse generazioni di modelli, che differivano dai precedenti per una pluralita di motivi: modifiche ai paradigmi teorici di riferimento (per esernpio, le aspettative erano pressoche ignorate dalla scienza economica 50 anni or sono, mentre svolgono ora un ruolo rilevante); cambiamenti nei meccanismi istituzionali dell'economia (per esernpio, l'abolizione dell'indicizzazione dei salari - la cosiddetta scala mobile); comprovata incapacita del modello di garantire un sufficiente grado di accostamento ai dati (un esempio di interventi di questa natura verra fornito pili avanti); nuova, specifica attenzione a certi fenomeni 0 perdita di interesse per altri (interi modelli, 0 loro parti, sono stati accantonati nella storia della modellistica econometrica in Banca d'Italia), Quando un modello viene impiegato con regolarita, la necessita di, e l'aspirazione a "fare meglio" portano ad aggiustamenti, piccoli e grandi, quasi quotidiani; il modello econometrico tende a somigliare a un organismo quasi vivente, in continua mutazione. La manciata di equazioni del primo modello della Banca d'Italia e cresciuta nel tempo, fino a trasforrnarsi, intorno al 1990, in un insieme di quasi 1000 equazioni (per un decimo relazioni causali, per la restante parte identita); il numero di equazioni si epoi gradualmente ridotto: la versione attualmente in uso del modello ne comprende circa 700 (poco meno di nove equazioni su dieci sono identita)", II modello descrive il comportamento di una pluralita di agenti (consumatori, imprese, autorita della finanza pubblica, operatori esteri), il funzionamento di numerosi mercati (dei beni, dei servizi, del lavoro, degli scambi internazionali), l'evoluzione di un ampio numero di variabili (produzione, prezzi, salari, occupazione e disoccupazione, esportazioni e importazioni, saldi del bilancio pubblico, tassi di interessi, moneta e credito). II modello ha un equilibrio di lungo periodo: in assenza di disturbi, esso raggiunge una situazione nella quale tutti gli agenti hanno raggiunto i propri obiettivi, cornpatibilmente con i vincoli ai quali Ie loro azioni sono sottoposte, e il sistema si riproduce nel tempo immutato - fatto salvo un fattore di scala. La presenza di diverse fonti di disturbo, di errori di valutazione, di costi associati al cambiamento, generano frizioni che possono mantenere il sistema lontano dall'equilibrio per periodi anche prolungati. La Figura 1 riporta 25 delle circa 700 equazioni del modello: le relazioni che descrivono le scelte di spesa da parte dei consumatori (corrispondono approssimativamente, alla prima equazione nel modello esemplificativo del primo paragrafo). Rispetto all'esernpio, Ie equazioni del modello sono molto pili numerose (non si limitano a descrivere il consumo privato nel suo insieme, rna separatamente quel5
Peruna introduzioneal modelloeconometrico trimestrale dellaBancad'Italiasipossono consultare [3, 4].
n Figura 1:
dl una banca centrale
Llnee di codice del modeUoeeonometrico trimestrale della Banca d'Italia relative aile scelte di consume
EQUATION> DLCECOR TSRANGB 1971 2 2001 4 EQ:> DLCECOR ., COO + COl 1< LAG(DLCECOR,l) + C02 * (LAG{CBCORD ,l>/LAG{WNBGCK2/PCFNDUD,2}) + C03 '* (LAG(REDISR2,1) / LAG(WNl!:QCK2!PCFNDUD,2» + C04 * LAG(RRl\TE/100) + COS '* DEL (LOO(REDISR2) ) + C06 * (DU742-DU782+DO'841) + C07 .. DUS42 IDENTITY> CBCORD EQ:> CBCORD .. EXP(DLCECOR + LOO{LAG(CBCORD» ) IDENTITY:> RRATE EQ> RRAT! .. TAOS· « (1+INFELP/100) **4·1) *1(0) *LEARNC IDENTITY:> CFNDURD EQ> Ci'NDURD '" CECORD - CDIMPRD BQUATION> COURSD TSRANGB 1971 1 2001 4 BQ:> CDURSD.. CO0 + COl * LAG(I.oOG{STDURD/CFNDURD) ,1) + C02 1< LAG(CDURSD,l) + C03 .. LAG(CDURSD,2) + C04 .. LAG (LOG(NTAF/NTAMTO), 2) + COS * DBL (LOQ(PCFDUD!PCFNDUD) ) + C12 * LOG(PCFDUD!PCFNDUD) + CO? * (1-DUBF901) *LAG ( (l~RATB) ,1) + C09 .. 0U791 POL> C05 0 4 IDENTITY > CFOURD EQ> cFDURD '" cDtmSD .. LAG(STOURD, 1) / 4 IDENTITY :> SToURD EQ> STDURD .. 39 I 40 ... (LAG(STDURD) + CPDURD) (39 I 40) **41 * LAG(CPDURD, 40) IDENTITY > CPZRD EQ;> CFZRD .. CFNDURD + CFPURD IDENTITY :> cPIRD BQ> CFIRD .. CFZRD + CFNERD - CFNIRO IDENTITY :> CDIMPRD EQ;> cDIMPRD;:; DISRATB"" LAG(STDURD,l) IDENTITY> CFNSRD BQ> CFNSRD ,. CFNDURD + CFN'ERD • CFNIRD IDENTITY :> CFSVRD BQ> CFSVRD '" QCFSV * CFZRD
IDENTITY> TARIF70 EQ> TARIF70 ., RAPTAR '" CFZRD IDENTITY > AFP70 EQ> AFF70 ;:; RAPAFF '* CFZRD IDENTITY> CNDNR EQ> CNDNR .. CFNDURD - TARIF7 a - AFP? 0 IDENTITY > QBEN EQ> QBBN :: PESOS '" CFZRD IDENTITY> QGAS EQ> QGAS ., (PESOO+PESOM) '" CFZRD IDENTITY> QDIE BQ> QDIE .. PESOD * CFZRD IDENTITY> QENB EQ> Q:BNE PESOE '" CFZRD IDENTITY :> CNDNNR EO> CNDNNR CNDNR • QBEN ~ QGAS ~ QBNE - QDIE EQUATION> LCmERD TSRANGE 1982 1 2001 4 EQ> LCFNBRD COO + COl" LOO(GDPOECD) + C02 .... LAG(LCFNBRD) + C03 * DU891 + C04 * DU922 + C05 .. LOO{PALTORA*ITCAMA/PCFNSD) RESTRICT> COl + C02 "' 1 IDENTITY > CFNERD EQ> CFNBRD "' EXP (LCFN!RD) IDENTITY > COMl?TUP EQ> COMP'!'UP= PCFZD J PCFNID EQUATION> LcFNIRD 'l.'SRANSE 1982 1 2001 4 EQ> LCFNIRD .. COO + COl * LOO(CFZRD) + C02 '" LAG(LOG(CFNIRD) ) + C03 '* LAG(LOG{CFNIRD), 2) + C04 '" LOO(COMPTUP) + C05 '* DBL(LOG(CFZRD» + C06 .. (DU923-0U912) + C07 ." (DU961-DU891-DO'893) RESTRICT> COl + C02 + C03 :: 1 PDL> COS 2 5 F IDENTITY :> CFNIRD EQ> CPNIRD = SXP(LCPNIRD)
=
= =
10 per beni durevoli, non durevoli, di servizi, di energia elettrica, di benzina, per sco-
pi di turismo, e cosl via)" e pin complicate (il consumo non dipende solo dal reddito corrente, rna anche da altre variabili, come la ricchezza e i tassi di interesse, nonche da variabili riferite a periodi passati - si tratta quindi di una relazione dinamica - e la forma funzionale espesso non lineare).
Una suite di modelli II grado di complicazione del frammento di modello econometrico trimestrale (poco pin di un trentesimo del modello intero) presentato nella Figura 1 potra sembrare gia molto elevato. In realta, illivello di dettaglio del modello econometrico a volte insufficiente: per questa motivo, esso viene talvolta impiegato in congiunzione con altri modelli-satellite, capaci di cogliere aspetti particolari dell'economia 0 di tenere conto di informazioni molto specifiche. In altre parole, esiste in Banca d'Italia un ventaglio di modelli, spesso (rna non necessariamente) utilizzati a corredo del modello econometrico trimestrale. Sono disponibili: un modello dettagliato dell'inflazione; uno delle voci del bilancio pubblico; uno (commerciale) per l'economia internazionale; diverse versioni di un modello costruito seguendo la strategia di modellazione "moderna": un modello di micro-simulazione, che descrive il comportamento di consumo e di risparmio di un numero elevato di singoli agenti economici, identificati da caratteristiche economiche (per esempio: reddito, ricchezza) e socio-
e
6
Qualegradodi dettaglio nelladescrizione deifenomeni pUD ritenersiadeguatoin un modello? Non esisteuna risposta univoca. In parte, dipendedallefinalita dell'utilizzatore e del suo committente,dalladisponibilita dei dati, dall'aggregabilita di relazioniin principiodiverse. Inoltre, la capacita di interpretare e trasmettere ad altri i risultatigeneratida un modelloespesso meno agevole quando sonopiu numerosee complicate le relazioniche 10 compongono.
cultUt~a
2008
demografiche (per esempio: eta, stato civile, istruzione); e altri ancora. Un'analogia pub aiutare a capire l'utilizzo di vari modelli: nel compiere un viaggio tra due citta europee utilizzeremo inizialmente una carta cittadina; la riporremo una volta raggiunta l'autostrada, dove bastera consultare una carta, meno dettagliata, delle vie di scorrimento veloce; anche questa verra poi accantonata, aIle porte della citta d'arrivo, in favore di una seconda carta cittadina. Avremo impiegato quindi tre diversi modelli. In linea di principio avremmo potuto impiegare un solo modello: una carta dell'intera Europa caratterizzata dallo stesso grado di dettaglio delle mappe cittadine. La consultazione di una carta siffatta sarebbe pero estremamente disagevole, e la carta stessa avrebbe dimensioni tali da renderne pressoche impossibile il trasporto; il suo grado di dettaglio sarebbe il pili delle volte manifestamente inutile, finanche dannoso", I principali usidei modelli I modelli dell'economia sono usati essenzialmente per tre finalita: - per elaborare previsioni sull'evoluzione delle principali grandezze economiche nel futuro; - per valutare e confrontare le conseguenze di diverse linee di azione, al fine di selezionare quella ritenuta pili soddisfacente; - per interpretare e comprendere gli andamenti dell'economia nel passato. La prima finalita non richiede particolari spiegazioni: ne sono ovvi tanto il significato quanta l'interesse. La seconda pub riguardare la scelta tra un insieme in cui le alternative sono esplicitamente indicate, oppure il disegno dell'azione che rispetta determinati criteri (tipicamente: ottimizza un funzionale opportunamente specificato). Essa riflette nel modo pili diretto l'intenzione di usare i modelli come strumenti di ausilio alIa decisione, che e I'aspetto sottolineato in questo lavoro. La terza si esplicita, in genere, nella costruzione di scenari controfattuali: sostituendo per alcune variabili il profilo temporale osservato nel passato con un altro opportunamente definito - per esempio, un profilo costante - si ottiene una simulazione di cio che sarebbe successo se quelle variabili avessero assunto valori diversi da quelli che hanno di fatto assunto, e in questa modo se ne pub meglio apprezzare il contributo al risultato complessivo osservato nel periodo storico. Capire perche il passato si e svolto in quel modo e non in altri pub servire, oltre che a soddisfare la naturale curiosita di chi studia i fatti dell' economia, anche per valutare quali lezioni quel passato pub insegnarci riguardo al presente e al futuro. Nel seguito forniremo tre esempi concreti, uno per ciascuno di questi tre ambiti di utilizzo di un modelIo dell' economia.
7
II progresso tecnicoha in realta messoa disposizioneun modellostradale dettagliatissimo, maneggevole, di facile consultazione: il GPS. In qualchemisura, un aumento delgrado di dettagliodei modellipermessodaglisviluppi in campo informatico eavvenuto, e sta avvenendo,anche in economia. Tuttavia, poiche i risultati dei modellieconomici non vanno soloprodotti ma anche spiegatiall'utilizzatorefinale (il quale ha bisogno di essere convinto della plausibilitadei meccanismisottostantii risultatiche il modelloproduce), enostracongettura chel'impiego di un solo modellodettagliatissimonon si riveleramai una via pienamente praticabile.
Modelli matematid in azione: il caso di una ba nca centrale
Un modello in azione Previsioni
Fare previsioni e spesso fonte di imbarazzo: capita, fin troppo frequentemente, di sbagliare. Con il senno di poi si potrebbero, naturalmente, selezionare esempi in cui la previsione si e dimostrata corretta. E pero pili onesto, e certamente pili interessante, presentare un episodio in cui un rilevante errore di previsione ha stimolato una modifica del modello; questa poi ha consentito, in un successivo episodio, di formulare una previsione approssimativamente corretta. E, in altri termini, un esempio di come l'uso del modello spinga a imparare dagli errori compiuti, COS1 da introdurre le modifiche che ne eviteranno il ripetersi. Nella tarda estate del 1992 e nuovamente nei primi mesi del 1995 si verifi carono in Italia due episodi di rilevante svalutazione del cambio: due vere e proprie crisi valutarie. Nel1992, a partire dal mese di agosto la lira si deprezzo, perdendo in pochi mesi oltre il 30 per cento del proprio valore (misurato rispetto a una media delle altre valute; parte alta della Fig. 2).
(a)
( h)
Tasso di cambio cffettivo nomina le della lira. 1l)t)1.1-1'J'J3.12
In fluzlon e prevlsta per iI It),) 3 (aggiornamc nti previsivi 1l)t)1.1 ·1 lJ93. 12 )
I
I, I
I I
Infla zi one e llett ivame nte osservata ex post ~",L.. ,
I
i
_
Fig. 2.
I
I
,--~
maremanca e culture 2008 II deprezzamento della lira non era un evento senza precedenti, era anzi stato quasi una costante nel secondo dopoguerra. Era pero pressoche senza precedenti l' entita della svalutazione. Normalmente, la perdita di valore esterno di una valuta porta a un aumento dell'inflazione interna proporzionale, grosso modo, all'incidenza delle importazioni suI totale dei consumi moltiplicata per l' entita della svalutazione: a parita di altre circostanze, i beni importati diventano infatti piu costosi in proporzione alIa svalutazione e cio si riflette sull'indice dei prezzi al consumo. Le previsioni fatte nel1992 riflettevano questa valutazione: nel corso del 1991 e fino alIa meta del 1992, in una situazione di sostanziale stabilita del cambio della lira, ci si attendeva per la media del 1993 un tasso di inflazione al consumo di poco superiore al 4 per cento; dopo la svalutazione Ie previsioni vennero riviste al rialzo in misura sensibile; approssimativamente: 300/0 di svalutazione x 20% di quota delle importazioni suI consumo = 6% di maggiore inflazione La previsione per il1993 passo quindi, tra la primavera e l' autunno del 1992, da poco piu del 4 al l Oper cento (parte bassa della Fig. 2). Ci si rese rapidamente conto che l'inflazione italiana non stava reagendo al deprezzamento della lira in modo coerente con quanta codificato nelle equazioni del modello, e le proiezioni vennero successivamente riviste al ribasso. Alla fine, nel 19931'inflazione al consumo fu solo del 4,7 per cento, di poco superiore a quanta si prevedeva prima della svalutazione, intorno alIa meta del 1992: la reazione del modello e dei suoi utilizzatori alIa svalutazione della lira si era rivelata esagerata. L'insuccesso stimolo un esame approfondito del modello. Nella versione allora in uso le imprese estere che vendevano suI mercato italiano decidevano il prezzo nella propria valuta e 10 trasformavano nel prezzo di vendita in Italia, semplicemente moltiplicandolo per il tasso di cambio, trasferendo cost sul prezzo in lire ogni oscillazione del cambio", L' evidenza disponibile fino agli inizi degli anni novanta - fino a quando Ie oscillazioni del cambio della lira erano state relativamente contenute - non era tale da sollevare dubbi circa l'ipotesi di traslazione immediata e completa di quelle oscillazioni sui prezzi praticati dagli operatori esteri in Italia; sul piano statistico, l'ipotesi non poteva essere rifiutata. Con il passaggio del cambio lira/marco da 700 a 1.000 nel giro di poche settimane, tuttavia, una traslazione siffatta avrebbe presumibilmente annullato, nell'immediato, le vendite dei produttori tedeschi di automobili in Italia: l'ipotesi che la traslazione potesse essere incompleta, almena nel breve periodo - fino a quel momenta trascurata - si impose all'attenzione. L'esame dei dati effettivamente ne confermo la validita: nel caso di un deprezzamento della lira le imprese estere tendevano per un certo periodo ad accettare una compressione dei propri profitti, praticando prezzi in lire che non riflettevano pienamente la svalutazione, al fine di contenere l' erosione delle proprie quote di mercato. Secondo Ie analisi allora condotte, il comportamento delle imprese estere era inoltre asimmetrico: apprezzamenti della lira venivano traslati 8
Perfare un esempio, il modello prevedeva chei produttoridi automobiliin Germania, deciso un prezzodi 10.000marchiper un dato modello, avrebbero venduto quel modelloper 7.000.000di lirein Italia con un cambiodi 700 lireper marco,e a 10.000.000con un cambiopari a 1.000.
Modelli matemat ici in azio ne: il caso di una banca centrale
sui prezzi piu rapidamente dei deprezzamenti. Infine, il comportamento delle imprese estere tendeva a influenzare, nella stessa direzione, quello delle imprese italiane, che dovevano reagire aIle strategie altrui per limitare a propria volta le perdite di quote di mercato. Un punto e interessante: questa ipotesi di traslazione temporaneamente incompleta (e asimmetrica) era in grado di descrivere l'evidenza meglio di quella precedente (traslazione completa e immediata) anche limitando l'analisi al periodo antecedente la svalutazione del 1992; semplicemente, prima di quella svalutazione non se ne era sentita la necessita e a nessuno era venuto in mente di formularla e sottoporla a verifica statistica. Le equazioni che descrivevano i comportamenti delle imprese vennero modificati sulla base dei risultati descritti. Quando, circa due anni dopo, si ripresento un caso analogo, il modello era attrezzato per farvi fronte e non sbaglio. Ira la meta del 1994 e i primi mesi del 1995,la lira si deprezzo nuovamente, ancor piu che nel1992-1993 (di quasi il35 per cento) . Le previsioni di inflazione vennero riviste alrialzo, dal3 per cento a circa i16. Ma, a differenza dell'episodio precedente, non vi fu alcun eccesso di reazione alla svalutazione: la revisione delle previsioni fu graduale e adeguata aIle circostanze (Fig. 3)9.
(n)
(b )
Tasso di camhlo dTeuh'o nomlnale della lira. 1993.1-1995 . t2
Inn llzlon e pr evtst a per il 1t)C-) S ( 1I ~a.: i l) r n.ll me n li p re vlsivi t9'J3.I -l l)C)5.12)
Infla zio ne effetlivamente osservata ex po st
<,
•
...
,L-
,
9
...
--'
Fig.3.
Una panoramica delle problematiche relative all'utilizzo di modelli econometrici a fini previsivi e[ornita da [5]. Le modifiche apportate al modello econometrico trimetrale a seguito degli errori di previsione registrat i all'indomani dalla crisi di cambio della lira nell'autunno del 1992 sono documentate in [6].
mat e mat ica e cultu re 2008
Valutazione di misure di politica economica Nel corso della campagna elettorale del 2006 venne avanzata da parte di uno dei due schieramenti una proposta volta a rilanciare, indirettamente, la competitivita dei produttori italiani: nel programma della coalizione di centro-sinistra era presente il progetto di tagliare i contributi sociali e quindi il costo dellavoro, al fine di consentire una riduzione dei prezzi di vendita e di innalzare la competitivita delle imprese italiane, compensando la riduzione di gettito cost generata con altri interventi fiscali. Le caratteristiche specifiche della proposta erano solo parzialmente individuate; per poterne simulare gli effetti con il modello era necessario fare delle ipotesi - necessariamente arbitrarie - sugli aspetti incerti 0 non esplicitati.La precisa misurazione quantitativa ottenuta dipendeva quindi anche dalle ipotesi accessorie formulate, sulle quali non ci dilungheremo: non equesta la sede, infatti, per entrare nei dettagli degli esercizi condotti; peraltro, la proposta che estata messa in atto successivamente si discosta, sotto numerosi aspetti, da quella presa a riferimento nell'esercizio condotto. L'esempio ha dunque esclusivamente un valore illustrativo del metodo seguito.
Simulazione perturbata realizzata con un modello "di nuova generazione "
S imulazione perturbata realizzata con il modello econometrico "tradizio nale"
Anno 0
Anno 1
Anno 2
Anno 3
Anno 4
AnnaS
Fig.4.
In primo luogo, si costruisce una simulazione priva dell'intervento in questione, che fornisce una valutazione degli andamenti tendenziali: la simulazione di base (linea tratteggiata nella Fig. 4).Viene poi effettuata una seconda simulazione, modificando i contributi sociali dell'entita indicata nella proposta e tutti gli altri aspetti che si ipotizza facciano parte del "pacchetto": la simulazione perturbata (linea continua nella Fig. 4). La differenza tra le due simulazioni fornisce una valutazione di quali sarebbero, secondo il modello, le conseguenze di quell'azione. In questo caso, un iniziale rna contenuto effetto negativo sul PIL, pili che compensa-
ModeUi matematicl in azlone: Ucaso dl una banca centrale
to da una maggiore crescita gia dal secondo anno. La valutazione basata sul modello econometrico tradizionale e sostanzialmente confermata da quella basata su un modello di nuova generazione (Fig. 4, pallino; per motivi che non epossibile presentare in questa sede, il modello impiegato fornisce in questa caso una valutazione affidabile solo dell'effetto finale del taglio dei contributi, non dell'impatto di tale misura nel corso del tempo). Ovviamente, la decisione ultima su manovre di politica economica, in particolare in materia fiscale,deve tenere conto, in aggiunta agli effetti macroeconomici colti con il modello trimestrale, anche di eventuali conseguenze microeconomiche (per esempio, delle eventuali implicazioni distributive). Per queste sono necessari modelli con caratteristiche diverse: un esempio e il modello di microsimulazione (cfr. secondo paragrafo). L'impiego di modelli econometrici per analisi di politica economica con modalita analoghe a quelle descritte e molto diffuso. Esso tuttavia e oggetto di una critica che non epossibile ignorare, dovuta a Robert Lucas, Jr.{premio Nobel per I'economia nel1995)lO: ogni agente econornico, se razionale, modifichera il proprio comportamento qualora percepisca modifiche, attuali 0 anche solamente previste per il futuro, del contesto in cui opera - contesto che include il comportamento delle autorita di politica economica. Quindi, relazioni comportamentali (equazioni di un modello) appropriate in un certo contesto potrebbero rivelarsi non appropriate in contesti diversi. Valutare e confrontare contesti differenti con il medesimo modello pub essere pertanto attivita futile, 0 comunque scarsamente informativa {inlinea di principio, poiche i modelli di nuova generazione incorporano direttamente i processi decisionali degli agenti invece di codificarne uno specifico comportamento, essi dovrebbero essere immuni da quella critica - essi sono nati proprio per risponderle - perche dovrebbero automaticamente modificarsi al mutare del contesto: la questione e tuttavia piu complessa e l'effettiva robustezza di tali modelli alla critica di Lucas eoggetto di aspro dibattito )11. Ora, se la critica di Lucas e sul piano logico ineccepibile - almeno se si accetta la premessa che il comportamento degli agenti economici eperfettamente razionale - sul piano pratico pub essere scarsamente rilevante (non 10 e, per esempio, nell'esperimento illustrato nella Fig.4, in cui si osserva una notevole somiglianza tra la risposta di un modello "tradizionale" e quello di un modello di nuova generazione). Nondimeno.la critica suggerisce l'opportunita di analisi di robustezza: si impiegano modelli diversi, e si modificano eventualmente alcuni meccanismi di ogni dato modello, per verificare che i risultati non siano legati alle caratteristiche specifiche dello strumento impiegato ma abbiano valenza piu generale. Comprensione del passato
I' economia italiana si caratterizza ormai da diversi anni, nel confronto con gli altri paesi europei, per una sistematica e non trascurabile minore crescita. Da che cosa dipendei Qual estato il contributo relativo di diversi fattori che possono essere stati all'opera? Rispondere a queste domande e rilevante in se e, soprattutto, pub servire a capire se la distanza verra riassorbita e che cosa si dovrebbe fare per annullarla. I'analisi che presenteremo si limita a scalfire la superficie di problemi co-
10
11
Cfr [7].
Un confronto tra filosofie di modellizzazione tradizionale e moderna si trova in [8].
matematica culture 2008
sl complessi: non saremo in grado di risalire alle cause ultime, e quindi l'individuazione dei rimedi non potra essere affrontata, neanche in via preliminare. Ancora una volta, ci interessa mettere in luce il metodo piuttosto che i risultati specifici. II primo aiuto che il modello fornisce e nell'individuazione dei potenziali fattori in gioco. Guardando al reddito nazionale (PIL) come somma delle componenti di domanda (consumi, investimenti, esportazioni e via dicendo) si puo andare alIa ricerca di quelle che hanno mostrato andamenti maggiormente discosti da quelli degli altri paesi europei, e questo puo suggerire la direzione in cui approfondire l'analisi. Questo tipo di ricerca induce a puntare l'attenzione sulle esportazioni, che balzano all'occhio per la loro performance particolarmente deludente nel confronto internazionale. Da che puo dipendere? Di nuovo il modello guida nella ricerca: le quantita di beni esportate da un paese sono determinate, essenzialmente, dal totale della domanda espressa dagli altri paesi (Ie importazioni mondiali) e dal prezzo praticato, per 10 stesso bene, dal paese al quale siamo interessati, relativamente al prezzo praticato da tutti gli altri. La domanda mondiale e, in prima approssimazione, la stessa per tutti; la debolezza delle esportazioni italiane va quindi presumibilmente attribuita all' andamento dei prezzi relativi. A 10ro volta j prezzi relativi hanno una componente (approssimativamente) comune i prezzi dei competitori esteri - e una componente specifica dell'Italia, i prezzi praticati dalle imprese nazionali. Questi dipendono dai costi che esse si trovano a dover fronteggiare (in primo luogo, il costo dellavoro) e dalle loro scelte di profitto. La dinamica del costo dellavoro per unita di prodotto e data dalla somma (delle dinamiche) delle retribuzioni e dei contributi sociali a carico delle imprese, meno la produttivita, Abbiamo quindi di fronte alcuni possibili colpevoli del ritardo: le scelte di prezzo (e di profitto) delle imprese; le richieste salariali; il cuneo dovuto alle imposte sullavoro; la produttivita, II passo successivo e quello di identificarne l'importanza; per fare questo l'utilizzo del modello e essenziale. Prendiamo a termine di paragone la Germania, un paese europeo approssimativamente allo stesso grado di sviluppo dell'Italia. Rispetto alla Germania, in Italia la crescita cumulata dei salari nel decennio 1996-2005 e stata superiore per circa 15 punti percentuali; la differenza si riduce a circa 10 punti quando si tiene conto degli oneri contributivi (quando cioe si guarda al costo dellavoro); la crescita cumulata della produttivita estata inferiore per circa 15 punti percentuali; nel complesso, quella del costo dellavoro per unita di prodotto e stata superiore per oltre 25 punti percentuali. Utilizzando questo termine di paragone possiamo costruire due esperimenti controfattuali", II primo consiste nel misurare quale sarebbe stata l'evoluzione dell'economia italiana con una dinamica salariale in linea con quella tedesca; nel secondo esercizio la dinamica della produttivita dell'Italia viene invece fissata pari a quella della Gerrnania", La costruzionedi controfattuali (controstorie 0, comevengonoanchechiamate, ucronie) eesercizio filosoficamente,oltrechetecnicamente, irtodi difficolta, cheverranno completamente trascurate in questalavoro (peruna divertente esposizionedei rischi cui ci esponeesplorandoil passato con la lente delle controstorie si veda [9J). E comunque utile controllarnei risultati attraversoanalisi di robustezza. 13 Produttivitae salarinon sonovariabilireciprocamente indipendenti; in equilibrio il salarioreale("depurato dell'inJlazione") si muoveconlaproduttivita.IIdisegno degliesercizi non tienecontodi talevincoloe immagina inveceche salarie produttivita sipossanomuoverein manieraautonomagli uni dall'altra. Cisonomodiper tenerconto,almeno in qualchemisura,delladistorsione cosz introdotta;darneillustrazione esulapero dagliscopidi questalavoro.
12
Modelli matematici in azione: iI caso di una ban ca centrale
Secondo Ie simulazioni, se la crescita dei salari 0 quella della produttivita fossero state uguali a quelle osservate in Germania la nostra economia sarebbe in media cresciuta, nella prima meta del decennio 2000, di almena un punto percentuale all'anno in piu rispetto a quanto verificatosi effettivamente - nell'ipotesi che la diversa dinamica dei costi non fornisca l'occasione per un ampliamento dei margini di profitto (Tav. 1).La maggiore crescita del PIL non deriverebbe esclusivamente da maggiori esportazioni - pur essendola debolezza delle esportazioni a motivare la modifica introdotta: effetti di rilievo si sarebbero visti anche sulle altre componenti della domanda; in particolare la crescita dei consumi sarebbe stata maggiore anche nell'ipotesi che i salari nominali fossero cresciuti molto meno che nella storia. Tavola 1. Esperimenti controfattuali: "Che cosa sarebbe successo se l' evoluzione di alcune variabili-chiave in Italia fosse stata in linea con quella in Germania?" PIL
Esportazioni
Domanda
Inflazione
Competitivita
Storia, 2001-2005
0,6
- 0,6
1,0
2,6
-5,8
Uguale dimensione salariale
1,6
2,1
1,7
2,1
-4,5
uguale dinamica della produttivita
1,8
2,9
1,7
1,9
-4,2
Note: 1. Pertutte Ievariabili la tavola riporta i tassi di variazione mediannui nelperiodo 2001-2005 2. In entrambe Iesimulazionicontrofattuali il ricarico operate dalle impresesui costo dellavoro per unita di prodotto e stato mantenutoinvariato ai valori storici.
L'analisi, come anticipato, si limita a ricostruire Ie determinanti pin prossime meno profonde - del rallentamento della nostra economia. Lascia senza risposta altre domande: perche la produttivita ecresciuta cosl poco? Perche i salari sono eresciuti cost tanto? Lascia totalmente in ombra la domanda fondamentale, che in definitiva motiva la riflessione intrapresa: che si pub fare per migliorare, in futuro.Ia situazione? L'assenza di risposte lascera forse insoddisfatto illettore, e di questa ci rammarichiamo. Speriamo solo di aver dato sufficientemente conto, con questa e con gli altri esempi forniti, delle potenzialita di uno strumento attraverso il quale la matematica lascia il campo dell'astrazione ed entra in quello dell'azione,
matemattce e cultura 200S
Bibliografia [1] J.H.Stock,M.W. Watson (2003) Introduction toEconometrics,Addison Wesley;traduzione italiana: Franco Peracchi (a cura di) (2005) Introduzione all'econometria, Pearson [2] F. Canova (2007) Methodsfor Applied Macroeconomic Research, Princeton University Press [3] D. Terlizzese (1993) 11 modelloeconometrico dellaBancad'Italia: Una versione in scala 1:15, Ricerche quantitative per la politica economica, Banca d'Italia - CIDE [4] F.Busetti, A. Locarno, L. Monteforte (2005) The Bank of Italy's Quarterly Model, in: Gabriel Fagan, Julian Morgan (a cura di) Econometric Models of the Euro-area Central Banks,Edwar Elgar [5] S. Siviero, D. Terlizzese (2000) La previsionemacroeconomica: Alcuni luoghicomuni da sfatare, Rivista italiana degli economisti, 2(5), pp. 291-322 [6] S. Siviero, D.Terlizzese (1997) Crisi di cambio e innovazioninei comportamenti: Alla ricerca di discontinuitastrutturali nel modelloeconometrico dellaBancad'Italia, Ricerche quantitative per la politica economica 1995, Banca d'Italia - CIDE [7] R.E. Lucas, Jr. (1976) Econometric Policy Evaluation: A Critique, in: Karl Brunner, Allan H. Meltzer (a cura di) The Phillips Curve and LaborMarket, North-Holland [8] I. Visco (2005) Dalla teoriaallapratica nei modelli macroeconomici. L'eclettismo postkeynesiano lavoro presentato al Convegno "Franco Modigliani tra teoria economica e impegno sociale", Accademia dei Lincei, 17-18 febbraio 2005 [9] R. Preston McAfee (1983) American EconomicGrowth and the Voyage of Columbus, American Economic Review, 73 (4), pp. 735-740
Sistemi a particelle GIAN MARCO TODESCO
La computergraphics esiste da poco piu di 50 anni e ha conosciuto negli ultimi due decenni uno sviluppo turbinoso. Anche se si tratta di una disciplina complessa e difficile, il suo utilizzo nel campo dei videogiochi e nell'industria cinematografica rendono immediatamente visibili al grande pubblico i confini della ricerca piu avanzata del settore. Le nuove tecniche sono sperimentate e messe a punto in film nei quali gli effetti speciali hanno un peso rilevante (e spesso preponderante, rna questa eun'altra storia). Per esernpio, il metallo liquido che costituisce l'androide T1000 nel film Terminator 2 [1] celebrava l'introduzione di una tecnica nota come morphing, mentre il proliferare di personaggi pelosi in film come Monsters & Inc [2],0 IceAge [3] testimonia i progressi fatti nel campo del pelo digitale. La relazione fra computer graphics e industria cinematografica ebidirezionale: la disponibilita di un nuovo effetto speciale puo condizionare l' estetica dei film prodotti successivamente, e viceversa le esigenze e la capacita visionaria di alcuni registi indirizzano e stimolano la ricerca mentre Ie case di produzione assicurano i finanziamenti necessari, Finalizzata alla realizzazione di immagini realistiche 0 comunque credibili e consistenti, la computer graphics utilizza modelli matematici tratti dalla fisica oppure definiti in modo empirico, alla rice rca del compromesso fra la qualita del risultato e il tempo di elaborazione necessario per ottenerlo. Regolare i parametri dell' effetto, per ottenere il risultato migliore, e un lavoro difficile, che richiede sensibilita artistica oltre alla competenza tecnica. L'obiettivo piu ambizioso ela riproduzione di elementi del mondo naturale (I'aspetto diafano della pelle umana, quello translucido del marrno.Ia superficie dell'acqua increspata da onde che si frangono ecc.), in genere piu difficili da modellare in modo soddisfacente. Nel film Star Trek II [4] la bomba sperimentale Genesis viene usata per "terraformare" un asteroide brullo, creando atmosfera e vegetazione e rendendo il planetoide adatto alla vita. Dal punto di vista visivo, 10 scoppio della bomba deve generare un muro di fuoco che avvolge tutto il pianeta. William T. Reeves e gli altri esperti di computer graphics della Lucasfilm Ltd, incaricati di creare la scena, si resero conto di dover sperimentare un approccio nuovo per creare efficacemente queste immagini. Infatti il fuoco euna forma fuzzy, cioe mal definita nei contorni e molto diversa dalle superfici lisce e lucide che, all'inizio degli anni Ottanta,
matematlca e culture 2008 cominciavano a essere generate digitalmente con accettabile realismo. II nuovo approccio scelto prevedeva di descrivere il muro di fiamme, non con un insieme di forme geometriche ben definite, rna con un grandissimo numero di punti geometrici, ognuno in movimento secondo una traiettoria indipendente. L'idea non era nuovissima: per esempio, i video giochi dei primi anni '60 utilizzavano nuvole di punti (in uno spazio bidimensionale) per simulare Ie esplosioni. Ma nel film la tecnica venne spinta a un livello molto pill alto: nei momenti centrali della sequenza, pill di 750.000 punti luminosi danno forma al muro di fiamma. Possiamo considerare questa sequenza la nascita dei "sistemi a particelle" 0 "effetti particellari" (in inglese,particle system). Da quel momento la tecnica verra utilizzata sempre pill spesso, perfezionandosi (rna senza grandi cambiamenti rispetto al10 schema definito da Reeves nel1983 [5]) e rivelandosi molto efficace e sorprendentemente duttile: con i sistemi a particelle epossibile realizzare fuoco, esplosioni, nuvole, furno, zampilli di acqua, scintille, foglie e fiori che cadono, nebbia, neve, pioggia, code di meteore e comete, e anche pelo, capelli, erba eccetera. Oggi tutti i principali strumenti professionali per I'animazione digitale 3D e 2D incorporanodei sistemi a particelle. Inoltre l'ottimo rapporto fra la qualita dell'immagine prodotta e il tempo di calcolonecessario permette di utilizzarli negli ambienti interattivi: video giochi (come Quake [6]),mondi virtuali (come Second Life [7]) e video installazioni. In questa conferenza studieremo questa tecnica cercando di esplorarne Ie caratteristiche e i molteplici campi di applicazione.
Schema generale Un sistema a particelle e costituito da un numero variabile di oggetti simili, chiamati appunto particelle, ognuno dei quali esoggetto a un determinato insieme di regole. Le particelle possono essere puntiformi, 0 possono avere una forma arbitrariamente complessa (in effetti, il termine particella pub essere fuorviante). Le particelle vengono create da un emettitore, in genere un normale elemento della scena digitale, che pub essere manipolato dall'operatore con tecniche convenzionali. L'emettitore pub essere visibile (per esempio, una bacchetta magica che emette una scia di stelline luminose 0 una sigaretta da cui si leva un filo di fum 0 ) oppure pub essere invisibile e servire soltanto per controllare il flusso delle particelIe (ad esempio l'emettitore che genera la pioggia). Ogni particella e definita mediante un determinato insieme di parametri, come per esempio la posizione, la velocita, il colore, l' eta (ovvero il numero di secondi 0 di fotogrammi trascorsi dalla sua creazione) e la durata di vita (cioe l'eta massima oltre la quale deve essere eliminata). La realizzazione dell'effetto prevede due fasi. Per ogni fotogramma dell'animazione c' euna fase di calcolo in cui nuove particelle possono essere aggiunte al sisterna, Ie particelle che hanno esaurito la loro vita vengono eliminate e ogni particella evolve secondo Ie regole predefinite, modificando i suoi parametri interni: la sua posizione, il colore, la dimensione, la trasparenza ecc, Poi c' euna seconda fase di visualizzazione (0 rendering), in cui le particelle vengono finalmente disegnate e contribuiscono a formare l'immagine finale.
Siste mi a partice lle
L'emettitore regola il numero di particelle generate a ogni fotogramma. Questo numero pub variare nel tempo (per esempio, nel caso di un treno a vapore la cui ciminiera emetta degli sbuffi di fumo). L'emettitore pub rimanere fermo nel caso di fuoco 0 esplosioni, mentre si deve muovere per tracciare una scia: un razzo in movimento genera un insieme di particelle inizialmente ferme lungo tutta la sua traiettoria. I fuochi d'artificio reali hanno spesso una struttura ricorsiva: il razzo principale contiene razzi piu piccoli, che vengono liberati quando il primo arriva al culmine della traiettoria ed esplode.A loro volta, i razzi piu piccoli possono esplodere liberandone traccianti an cora piu piccoli. Per realizzare quest'effetto (0 altri simili) anche i sistemi a particelle sono ricorsivi: una particella pub, per esempio, essere a sua volta un emettitore.
Dinamica I
I , I '
I'
/
" , '
I
, ,
I '
'/ ,
,, ,
, I
,
/,
,
,, I
'I'
I-=--
/
I
"
" /
"
,
Fig. 1. Pioggia
Nell'immagine qui accanto un semplicissimo sistema a particelle viene utilizzato per rappresentare una pioggerella primaverile. Le particelle sono le singole gocce d'acqua che cadono.Arrivate suI pavimento,le gocce formano delle ellissi che si allargano, sbiadendo fino a scomparire. L'impressione visiva ela pioggia che cade su un pavimento bagnato, formando delle increspature circolari. In questo caso la dinamica che governa il sistema a particelle e piuttosto semplice. A ogn i istante vengono generate delle nuove particelle (gocce) in una posi zione casuale, subito sopra al campo visivo. Ogni particella si muove con velocita uniforme lungo una direzione diagonale diretta grosso modo verso il basso . Possiamo supporre che la resistenza aerodinamica delle gocce di pioggia bilanci la forza di gravita, esattamente come succede per un molto piu grande e molto piu pesante paracadutista, e quindi che le gocce si muovano verso il basso con velocita costante. II vento rende la direzione obliqua. Le particelle cambiano stato quando
matematica e cultura 2008
r----- ·
----- -- - - - - -- - _.
la loro posizione scende sotto illivello del suolo: in fase di disegno esse non appariranno pin come gocce d' acqua in caduta, rna come increspature circolare della superficie dell'acqua, che si espandono diventando via via piu fioche fino a scomparire. Ogni particella viene eliminata dal sistema quando il raggio dell'increspatura supera una determinata dimensione. Un modello appena piu complesso realizza uno zampillo.
Fig. 2. Uno zampillo
A ogni fotogramma vengono generate nuove particelle sempre nella stessa posizione e dotate di una velocita diretta lungo un ugello d'uscita. Le particelle si muovono sotto l'effetto della gravita, descrivendo una parabola. Ogni particella deve ricordarsi due grandezze vettoriali: la sua posizione (come nel caso della pioggia), rna anche la sua velocita, A ogni fotogramma la velocita della particella viene modificata per effetto della gravita e acquisisce una piccola componente diretta verso il basso. Anche la posizione viene aggiornata, tenendo conto del valore corrente della velocita. Per ottenere un effetto che ricordi i veri zampilli, bisogna evitare che tutte le particelle seguano esattamente la stessa traiettoria. Invece di simulare esattamente la dinamica del fluido epiu semplice definire una variazione casuale della velocita in uscita. I computer sono dispositivi predicibili, rna epossibile fargli generare, con degli opportuni algoritmi, delle sequenze di numeri detti pseudo-casuali. Queste sequenze hanno delle proprieta statistiche simili a quelle che ci si asp etta in una sequenza di numeri generati lanciando un dado perfetto. I numeri pseudo-casuali vengono usati spesso nelle tecniche di computer graphics quando serva una distribuzione non regolare e nei sistemi a particelle svolgono un ruolo determinante. Nel caso della pioggia, per esempio, le goccevengono generate in una posizione casuale al di sopra dell'area inquadrata. Nel caso dello zampillo la velocita delle nuove particelle non e esattamente la stessa. Per ottenere questo risultato l'operatore che controlla il definisce una velocita media Vo e gli associa una determinata variazione Dv. Al momento di creare una particella il sistema utilizzera un generatore di numeri pseudo-casuali per ottenere la velocita della particella in modo che sia com-
Sistemi a partiCelle
Fig. 3. Differenti valoridi
' - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ' DV
presa fra vo-Dv e vo+Dv. La definizione di parametri cosiddetti fuzzy, il cui valore effettivo si distribuisca stocasticamente attorno a una media, ecaratteristico dei sistemi a particelle. Le particelle normalmente sono soggette a forze tratte dal mondo della fisica come la gravita che modifica la velocita della particella, aggiungendo una componente diretta lungo una direzione (in genere verso il basso, rna anche verso l'alto, per particelle che si considerano pill leggere dell' aria, come quelle che costituiscono il fuoco), l'attrito, che smorza la velocita, il magnetismo, che agisce sulle particelle facendogli seguire percorsi circolari, eccetera. Spesso queste forze vengono utilizzate in maniera "creativa" I prescindendo dai modelli fisici reali. Per esempio, si pub usare una forza magnetica per governare le particelle di polvere che costituiscono un tornado. Un'ultimo elemento da considerare el'interazione delle particelle fra loro e con l'ambiente circostante. Nel caso pill semplice non c'e alcuna interazione: le goccedi pioggia dell'esempio precedente arrivano sempre fino al pavimento, ignorano l' eventuale presenza di altri oggetti che compongono la seena. Nell'immagine accanto, invece, 10 zampillo si scontra con una parete immaginaria.
I Fig.4. Zampillo con parete
I
---------~
matematica e cultura 2008
Per ottenere questo effettoa ogni istante ogni particella controllala sua posizione rispetto alIaparete.Sesi trova dallato sbagliatoquesto significache ci dovrebbe essere stato un contatto.Laposizionee il momento esatto del contattovengonocalcolate e in base a quellesi calcola la nuova direzionee la nuovaposizioneeffettiva. Le interazioni reciprochefra particelle sono molto piu complicate (e dispendiose in termini di tempo di calcolo) e molto spessovengonoignorate.Nediscuteremonei prossimi paragrafi.
Rendering L'aspetto grafico di una singolaparticellapuo (e in generedeve) esseremoltosemplice,anche solo una piccola macchia colorata:la qualita dell'immagine finale deriva principalmente dal numero delle particelle impiegate e dalla complessita del loro movimento. Per esempio, in una scena del film La citta Incantata [8] un drago si dissolve in una nuvoladi frammenti dispersi lentamente dal vento:ogni frammento epoco piu che un puntino luminoso. Ovviamente il disegno associato aIle particelle va scelto con intelligenza e dipende dal tipo di effetto che si sta realizzando. Spesso le particelle si muovono moltovelocemente, cioela posizione di un particella in duefotogrammi consecutivi variamoho rispettoaIle suedimensioni. In questocaso, rappresentare la particella con un punto 0 con un cerchietto puo dare originea un difetto noto come strobing: le particelle si muovono a scatti e l'illusione del movimento continuosi perde.In una realeripresadal vivo l'otturatoredellamacchina da presa rimane apertoper un piccolo intervaIlo di tempo (pochimillesimi di secondo) durante il qualegli oggetti veloci compiono un movimento apprezzabile.L'immagine risulta"mossa": gli oggetti puntiformiappaiono comedelle scie. Questo effetto/difetto sichiama motionblur. Simulare il motion blur durante il renderingdelleparticelle praticamente eliminai fenomeni di strobing. Infatti, nell'esempio dellapioggia cheabbiamo vistoprima, Iesingole gocce non sono rappresentate comepunti 0 cerchietti (comesuggerirebbe la fisica), rna piuttostocomepiccole lineeaIlungate lungola direzione delmoto. L'immagine accanto rappresenta una fiamma. La dinamica delle particelle e ancora piuttosto semplice: a ogni particella sono associati un peso negativo, che la trasporta verso l'alto,un effetto di trascinamentodovuto al vento e una componente di disturbo stocasticache simulala turbolenza. Modelli piu sofisticati possono aggiungere altre forze in modo da generare i vortici. Passando al rendering, nella generazione dellafiamma la sceltadei co- Fig. 5. Fuoco. Immagine tratta da Wikimedia lori edeterminante. Nelmondo del- Commons http://endwikipedia.org/wikilimala computergraphics, ognicolorepuo ge:particlcsys-fire.jpg
Sistemi a particell e
essere rappresentato da un miscuglio dei tre colori primari rosso, verde e blu. Queste componenti si sommano seguendo delle regole precise : per esempio, rosso e verde formano il giallo, mentre il bianco edato dalla somma di tutti e tre i colori. La singola particella del fuoco e rappresentata da una piccola macchia di colore rosso, con una piccola componente di verde e una piccolissima componente di blu. Durante la fase di disegno si fa in modo che una particella non copra l'altra, rna invece i colori si sommino. In questo modo le zone interessate da molte particelle prendono un tono giallo-arancio e la zona centrale della fiamma, dove si muovono tantissime particelIe, appare quasi bianca. Gli orli rimangono invece rossi. Questa tecnica permette di ottenere dei risultati accettabili ed equella utilizzata per la sequenza della bomba Genesis. Per ottenere una fiamma di migliore qualita si possono usare delle fotografie di piccole fiammelle. Questa tecnica, usata in un sistema particellare a tre dimensioni, prevede di associare a ogni particella un quadrilatero rivolto esattamente verso la telecamera virtuale (per evitare distorsioni prospettiche non volute, che rovinerebbero l'illusione). Su questa quadrilatero viene applicata,con un procedimento chiamato texture mapping, l'immagine desiderata (la foto della fiammella). Questi pannelli rivolti verso il punto di vista e che permettono di associare a ogni particella un'immagine cromaticamente molto ricca, si chiamano billboard. Illoro uso e molto frequente nei sistemi a particelle. Vengono in genere utilizzati per creare fiamme, fumo, caseate di scintille, nevicate ecc. Tecniche di rendering pill sofisticate permettono di ottenere una qualita ancora migliore, rna richiedono un maggiore tempo di calcolo e rallentano la generazione dell' effetto, fino a renderlo inapplicabile a sistemi in tempo reale (giochi, mondi virtuali 0 installazioni interattive che richiedono la generazione di almeno una dozzina di fotogrammi al secondo). Per esempio, una nuvola 0 una torre di fumo che si leva da un grande incendio hanno un aspetto pill convincente se il materiale di cui sono fatti fa ombra su se stesso, in modo che le parti superiori abbiano un colore pill chiaro delle parti inferiori. Inoltre, un po' di luce filtra attraverso la nuvola, creando una distribuzione dei chiari scuri molto caratteristica. La computer graphics offre diverse tecniche di gestione delle ombre, che possono essere applicate in questa caso. Un altro esempio di approccio, che privilegia la qualita rispetto alla velocita, permette di creare delle convincenti masse fluide in movimento. Le particelle non vengono direttamente disegnate, rna sono usate per definire una superficie equipotenziale, una specie diguaina elastica che le contiene . Di questa superficie si fa poi il rendering associandogli delle carat" ." teristiche superficiali appropriate a seconda del fluido rappresentato (trasparente per l'acqua, metallica per il mercurio ecc.). La tecnica prende il nome di metaballs [9] 0 blobmesh. Fig.6. Zampillo realizzato con metaballs
matematica e cultura 2008
-- - - _.. i !, Infine, va citato un approccio completamente diverso che crea la forma a parti,
!
_--- - ,.".. _---------~ - --_ . ~
re dall'intera traiettoria. Per ogni fotogramma.la particella effettua tutto il suo cido vitale, descrivendo una curva nello spazio, ed eproprio questa curva a venire visualizzata. L'insieme delle curve presentera una coerenza spaziale (curve vicine avranno un aspetto simile), rna ogni curva potra essere diversa dalle altre. Con questa tecnica e possibile generare un'amplissima famiglia di strutture complesse, difficilmente gestibili in modo tradizionale: i fili d' erba di un prato, peli e capelli .
Fig. 7. Cubo che emette fasci colorati. Immagine tratta da Wikimedia Commons
http://endwikipedia.org/wiki/image:strand_ emitter.jpg
Stormi, banchi, greggi, mandrie Associando aIle particelle forme molto pili complesse si apre la strada a un nuovo tipo di effetto: la cosiddetta simulazione di folIe 0 crowdsimulation. In film come Il gobbo di Notre Dame [10] 0 II signoredegli anelli [11] sono presenti delle scene formate da molte migliaia di "comparse" ognuna delle quali non e altro che una "particella" di forma e comportamento complesso. C'e uno spettro continuo fra i sistemi a particelle e i simulatori di folIe. A un estremo ci sono entita capaci di un comportamento estremamente complesso, governato da un sistema di intelligenza artificiale . All'altro estremo si utilizzano gli stessi schemi visti nei paragrafi precedenti, associando delle semplici animazioni aIle singole particelle.
Fig. 8. "Storrno"
Per esempio, e possibile utilizzare un sistema a particelle per generare uno stormo di uccelli composto da centinaia di unita, Ogni particella viene generata in una posizione casuale, subito a destra dell'inquadratura, Durante I'animazione tutte si muovono con velocita costante, da destra a sinistra e, durante il rendering, il modello associato batte Ie ali. Eindispensabile che la sequenza del battito d' ali abbia un' origine scelta a caso, in modo da evitare che tutti i volatili battano le ali "a tempo". Per migliorare la verosimiglianza eutile disporre gli uccelli su vari piani, piu 0 me no lontani dalla telecamera virtuale. In questa modo gli uccelli pin vicini appariranno piu grandi e si muoveranno piu in fretta, generando una sensazione di tridimensionalita dello stormo. Se si vuole che gli uccelli seguano delle traiettorie piu interessanti e necessario farli interagire fra loro. Uno schema semplice prevede che ogni uccello: 1. eviti altri uccelli cambiando direzione se necessario; 2. mantenga grossomodo la velocita dello stormo; 3. cerchi di stare vicino agli altri uccelli. Con queste regole il comportamento complessivo diventa molto pili naturale e interessante. Le particelle gestite da questi sistemi vengono a volte chiamate boid (da bird object) [12]. Epossibile rendere 10 schema pili complesso, selezionando un certo numero di boid "leader". Questi si muovono secondo un percorso predeterminato dagli animatori. Tutte Ie altre cercano di seguire illeader pili vicino, evitando le collisioni. In questa modo il comportamento del gruppo appare molto naturale e nello stesso tempo puo venire diretto in maniera precisa. Questa tecnica e stata utilizzata, per esempio, per generare la carica degli gnu nel film II Re Leone [13 e 14]. Con questa schema ogni boid deve interagire con tutti gli altri per evitare le collisioni e seguire il gruppo. Questo eun compito computazionalmente pesante. II numero di interazioni da considerare einfatti pari a N(N-l)/2 per N boid. Se N raddoppia, allora il numero di interazioni praticamente quadruplica. Diventa quindi importante sviluppare delle tecniche che abbattano il numero di confronti necessari. Per esempio, si possono raggruppare periodicamente i boid in base alla loro posizione e verificare le interazioni solo fra i boid dello stesso gruppo.
Sistemi a particelle come strumento di studio e di divulgazione Sistemi che simulano i1 comportamento di un grande numero diparticelle soggette a forze semplici hanno un'utilita che travalica il regno della computer grafica. In natura esistono numerosi fenomeni complessi il cui comportamento e una caratteristica emergente, che deriva in maniera indiretta da un modello semplice. Per esempio, consideriamo N corpi sottoposti alIa mutua attrazione gravitazionale. Determinare il comportamento di un corpo dotato di massa e sottoposto all'attrazione gravitazionale degli altri (N-i) erelativamente semplice (ignorando gli effetti rela-
matematica e cultu re 2008
tivistici). Invece il comportamento complessivo di tutti gli N corpi e estremamente complesso e non pub essere ricavato analiticamente se non in pochi casi semplici. Un sistema particellare permette di simulare l'evoluzione del sistema con una grande precisione . Questo approccio viene effettivamente utilizzato in cosmologia per studiare la formazione di strutture nell'universo a grande scala oppure eventi estremamente complessi, come 10 scontro fra galassie. II numero di particelle da far interagire (milioni 0 addirittura miliardi) e molto piu grande del numero di particelle utilizzate per gli effetti di computer grafica. Gli algoritmi per limitare il numero di interazioni individuali da considerare diventano cruciali ed estremamente complessi. In un campo completamente diverso, l'urbanistica, i sistemi di crowd simulation vengono utilizzati per simulare l'effetto dell'allargamento di una piazza 0 la chiusura di una strada. Ogni boid rappresenta un pedone, che va per la sua strada cercando di evitare gli ostacoli. La folIa risultante fluisce nel reticolo di strade in maniera molto complicata che il simulatore riesce a descrivere efficacemente. Voglio concludere con due esempi piu semplici, che hanno una finalita didattica piu che di analisi. In entrambi i casi si pub notare un comportamento complesso che emerge a partire da regole semplici. II primo esempio e un modello di gas costituito da un grande numero di piccole sfere poste all'interno di una scatola . All'inizio le sfere hanno velocita e posizioni casuali all'interno della scatola.
•
I
Fig. 9. Gas a palline con istogramma delle velocita
Le regole sono relativamente semplici : ogni sfera si muove in linea retta, a velocita costante fino a quando non si scontra con un'altra sfera 0 con le pareti del contenitore. Gli urti sono perfettamente elastici. Nel caso di scontro fra sfere di dimensioni diverse si tiene conto della differenza di massa. Un trucco molto efficace per limitare i calcoli (ogni particella interagisce con tutte le altre) consiste nel prevedere il prossimo scontro e aggiornare la previsione solo quando le due particelle coinvolte hanno cambiato direzione. Se il numero di particelle non etroppo grande rispetto alle dimensioni della scatola, il numero
Sistemi a particell e
di scontri per unita di tempo (e quindi il numero di calcoli da fare) rimane relativamente piccolo. In questa modo e possibile visualizzare l'animazione di diverse centinaia di palline in tempo reale. Questo modello cOSI semplice ci permette di studiare i principi di base della termodinamica. Ad esempio possiamo esaminare la distribuzione delle velocita delle palline trovando un buon accordo con la teoria. Oppure possiamo simulare il mota browniano, aggiungendo una pallina molto pin grossa che si muove erraticamente per effetto dei continui scontri con Ie altre.
Fig. 10. Moto Browniano
Nell'ultimo esempio definiamo una lunga strada a una sola corsia affollata di macchine che vanno nella stessa direzione. Ogni macchina vuole andare a una velocita leggermente diversa (evitando di tamponare la macchina seguente). I tempi di reazione non sono istantanei. , ·WOIT , rOllOSO' 1"'011 10"
'-00' 1''''OO'y t ROO!'"
I "UO'~
1'"
ocrJ~.
,'"fll/-4tr
' '''00'''''' I·OO'~
I
R
00'
~~ .
' ·01'00" I" oro~'
I -OrIO" pO l' ' ' '
, "OI'Y IRQI '!" . -01'\11'
1·01')'. -01'«1" ,"OI'H"
. -Ol':su' IROn$'"
•"' or Otl'
' -OXIn" . -02'10" .·01'1'I ~ 02"::!O" I R02'
2'·
' -01')0" , '"OZOJS" ' ''02'40"
,,,or,u'
..-or sc-
.-01" '" , "0)'011' ,"oJO,' , -OJ'lt1"
' - 0.1'IS"
Fig. 11. Simulazione di code automobilistiche
matematlca e culture 2008
Con questa configurazione semplicissima si osserva che quando il numero di macchine che impegnano la strada supera una certa soglia cominciano a comparire delle oscillazioni nella densita media sotto forma di code, che si formano apparentemente senza motivo e si dissolvono nella stesso modo poco dopo . Questa piccola simulazione ein grado di dirci qualcosa su una delle tante stranezze della vita di tutti i giorni.
,, "
Bibliografia J. Cameron (1991) Term inator 2: JudgmentDay (film) P.Docter (200l) Monsters, Inc. , Pixar (film) C. Wedge, (2002) IceAge, 20th Century Fox (film) N. Meyer (1982) Star Trek: The Wrath of Khan, Paramount (film) Reeves, W. T.(Apr. 1983) Particle Systems - a Technique for Modelinga Class of FuzzyObjects.,ACM Trans. Graph. 2, 2, pp. 91-108 DOl= http://doi.acm.org/10.1145/357318.357320 [6] J. Carmack (1996), Quake,id Software (videogioco) (http://www.quake.com) [7] P.Rosedale (2003) Second Life (mondo virtuale), Linden Research, Inc. (http://www.se-
[1] [2] [3] [4] [5]
condlife.com)
[8] H. Miyazaki (200l), Sen to Chihiro no kamikakushi, Studio Ghibli (film) [9] J. F.Blinn (July 1982) A Generalization ofAlgebraicSurfaceDrawing,ACM Transactions on Graphics 1(3), pp. 235-256 [10] G. Trousdale, K. Wise (1996), The Hunchback of NotreDame, Disney (film) [11] P.Jackson (2001) The Lord of the Rings: The Fellowship ofthe Ring (film) [12] C. Reynolds, Boids (Flocks, Herds and Schools: a DistributedBehavioralModel), Proceedings of the 14th annual conference on Computer graphics and interactive techniques, pages 25-34, 19871995. (anche in http://www.red3d.comlcwr/boidsl) [13] R. Allers, R. Minkoff (1994) The Lion King, Disney (film) [14] The Lion King: FilmNotes, 1994, http://www.lionking.org/text/FilmNotes.html
matematica e cinema
Dall'Astrattismo all'astratto CARLO MONTANARO
Ultima nata tra Ie forme di creativita, la cinematografia ha dovuto, nel secolo scorso, superare incomprensioni e pregiudizi prima di essere accettata nel novero delle "arti" importanti. La sua popolarita accomunata all'indotto economico che ne sottende necessariamente I'esistenza, hanno Iimitato nel tempo e continuano, paradossalmente, a tratti, ancora a limitarne la portata espressiva perfino in questa nostra epoca sempre pill dipendente dalle immagini artificiaIi. Eppure attraverso la cinematografia si epotuto dimostrare I'esistenza della concettualita (l'oggettivazione del soggetto e la soggettivazione dell'oggetto). Oltre che dotare l'arte figurativa di quella marcia in pill che e rappresentata dalla gestione controllata e armonica del tempo. Ha ricordato Hans Richter nel: La tela da cavalletto rappresentava un limite e per superare questa limite si doveva trovare un "inizio" e una "fine" tra lora progressivi. Cosl abbiamo (lui, Richter insieme con Viking Eggeling, n.d.r.) introdotto delle tele arrotolabili. Grazie a questi rolli abbiamo scoperto, senza volere, un modo d' espressione dinamico differente dalla pittura da cavalletto. Siamo agli inizi degli anni '20. Richter ed Eggeling riescono a convincere la pili importante casa produttrice tedesca, la potentissima UFA (Universum Film Aktiengesellschaft), a offrire lora assistenza tecnica per trarre, da quei rolli (0 "papiri") immagini in movimento: ovvero considerando 10 spazio della schermo un quadro delimitato da una cornice buia si sono messi a fare cinema. Ma contrariamente a quanta avevamo creduto quei rolli non potevano servirci come "partitura" per un film. Per un paio d' anni ci eravamo sforzati di orchestrare delle forme, rna per obbedire alle leggi del cinema bisognava che orchestrassimo il tempo. Eil tempo che doveva diventare il fondamento estetico di questa nuovo "strumento". Bisognava ricominciare da zero [...l: mi misi a filmare dei rettangoli e dei quadrati di carta di tutte le grandezze, e passando dal grigio pill scuro al bianco; [...] li facevo ingrandire e sparire, Ii muovevo a sbalzo 0 Ii facevo scivolare, non senza calcolare con cura i tempi, e seguendo ritmi precisi [...]. Agendo in modo simile a quanta avevo tentato negIi anni precedenti, con la tela e i "papiri", E provavo una sensazione nuova, che condensava tutte Ie mie prime esperienze artistiche: la sensazione del ritmo. Sono ancor'oggi persuaso che
cultura 2008 il ritmo.ovvero I'articolazione delle unita di tempo, costituisce la sensazione per eccellenza che pub provocare ogni espressione del movimento nell'arte del cinema'. II frutto di questa esperienza, che apre la strada alIa consapevolezza del cinema d'artista, e Rhytmus 21 e nella famosa gestione del tempo, per comprenderne Ie logiche armoniche, viene amichevolmente coinvolto Ferruccio Busoni, compositore italiano seguace del contrappunto. Rhytmus 21 e l'opera che apre il cinema d' artista in funzione dell'astratto. I rettangoli e i quadrati, tra loro ortogonali, trovano nell'opera successiva, Rhytmus 23, l' ampliarsi del dialogo con I'introduzione di elementi obliqui. Rhytmus 25, dovrebbe aver introdotto il colore sovrapposto a mana sulla pellicola positiva: una ulteriore sperimentazione andata perduta, ancorche pili matura dato che il numero indicato dal titolo corrispondeva a quello dell'anno di produzione. Da parte sua con SymphonieDiagonale: Eggeling pone come postulato due diagonali che tracciano un'ipotetica X sulla superficie dello schermo. Queste linee non appaiono mai; sono invece suggerite dai movimenti di figure curvilinee che si spostano ora suI primo asse ora suI secondo senza mai porvisi in modo simultaneo. Per esempio, due figure a forma di pettine dal dorso ricurvo si spostano in direzioni opposte lungo una diagonale, e diminuiscono in proporzione man mana che si avvicinano all'angolo dello schermo. Poi 10 stesso movimento viene ripetuto secondo il secondo asse. La prima parte del film di Eggeling costituisce una esposizione definita del come, a ogni movimento, corrisponda un eco all'incontrario, creando forme che sembrano divenire sempre piu complesse. Un'organizzazione ritmica viene ottenuta variando la velocita con cui Ie figure si spostano lungo gli assi, 0 con cui appaiono 0 spariscono nella profondita dello schermo (come se Ie linee della X rappresentassero la superficie di due piani in prospettiva). Nel centro del film noi assistiamo ad un prolificare di forme che si sviluppano in curve e linee talmente complesse che, per il momento, la diagonale pare perdersi per poi ritrovarsi spiazzata durante I'elaborazione di un solo albero di figure. Cost i1 film viene a rappresentare qualcosa di simile alia perdita di tono in musica. II ritorno ad alternanze semplici, verso la fine del film, eassociato a strutture piu complesse che lasciano allo spettatore l'impressione di un tema e di variazioni molto aggrovigliate-, Anche per Eggeling, insomma, una fase astratta e di grande pregnanza visuale, rimasta unica malgrado altri fossero i progetti, anche a causa della scomparsa dell'artista pili anziano e "scapigliato" (malgrado la nascita nordica) di Richter. II quale Richter, trovando corrispondenze addirittura di sapore teorico nell'approfondimento del nuovo linguaggio, se da un lato percorrera una strada parallela sperimentale nella forma, rna commerciale nella sostanza, continuera piu 0 rneno per tutta la lunga vita di ricercare anche nella celluloide . Racconta ancora Richter: Era un sogno che aveva ispirato il mio Filmstudie, benche il sogno si sia poi protratto fino all' alba. II risultato ottenuto fu, con un ritmo di base lento, un corteo
1
2
In Hans Richter, Ed.DuGriffon,Neuchatel196S, riportato in Cinema dadaiste e surrealiste (1976) CentreGeorges Pompidou. In P.Adams Sidney (1976) Le cinema dadaiste et surrealiste, CentreGeorges Pompidou.
Dal!'Astrattismo all'astratro
di teste sospese che si trasformavano in occhi, di occhi che si trasformavano in lune, poi in una specie di piselli, i piselli in pioggia, la quale fa increspare la superficie dell' acqua fino a formare delle onde, che, infine, trasportavano le teste... Rifiutavo, allora, di cercare un significato a tutto cia. Lasciavo semplicemente che le idee si formassero e si sviluppassero in uno stato, per cost dire, virginale, di sogno, e io m'abbandonavo dolcemente all'imprevedibilita e spontaneita di questa sogno. [...] Ma questa era stato sufficiente per fare-di me un surrealistai" Al di la della domanda retorica che ribadisce, tra I'altro, il profondo legame tra gli artisti dei primi anni del '900 perfino nel passaggio tra Dada e Surrealismo, quello che caratterizzava i film precedenti, ovvero il ritmo ottenuto con la tecnica del passo uno (leggi cartone animato) in Filmstudie veniva in parte affidato a immagini concrete, come le facce in esposizione multipla, gli occhi da bambola, i piccioni in yolo e perfino, diagonale, i colpi di scure di un taglialegna. Come a cercar di ritrovare nella realta riproducibile nel cinema quella qualita formale che prima pareva si potesse rappresentare solo tramite una gestione artificiale perche fatta di carta pill 0 meno ritagliata 0 colorata. II cinema, insomma, dava l'idea di volersi rifare sulle sperimentazioni artistiche trasversali,offrendo comunque materiali adeguati all'evolversi dellinguaggio. Corn'e accaduto per [oris Ivens, olandese, figlio di fotografo mercante di fotografia che si appassiona giovanissimo di cinema, fonda con amici un Cine Club (la Film Liga) che passa presto a provare a produrre come indipendente. De Brug (II ponte) e una di queste operine (oggi si direbbe "un corto" ) che descrivono, attentissime alle qualita formali delle inquadrature e del montaggio, la gestione di un enorme ponte meccanico situato a Rotterdam. Ogni immagine e descrittiva e astratta nel contempo affidata come alla rigorosita del bianco e nero. Cercai un argomento da studiare con la "camera" che fosse ancora pill fondamentale come abicl del movimento e del ritmo, tuttavia non mi ritenni capace di affrontare la complessita di una storia, 0 movimenti umani. Quando i miei amici sentirono cia che volevo - un soggetto inanimato, rna con un'ampia variabilita di movimenti e di forme - Ravenstein, un ingegnere delle ferrovie, mi propose di andare a vedere il ponte ferroviario sulla Mosa, a Rotterdam. [... ] Per me il ponte rappresentava un oggetto di ricerca, su cui potevo studiare movimenti, luce, forme, contrasti, ritmo e i rapporti di tutti questi fattori tra 10r04 • Con la fine degli anni '20, allora, la sperimentazione artistica va a coincidere con quella pill squisitamente cinematografica. Allargandosi poi, com'e giusto che accada, a quella sui contenuti per Ivens sempre pill arrabbiato contro qualsivoglia prevaricazione (si e fatto tutte le guerre del '900) politico-sociale che andava (lui soprannominato com' e sin troppo facile capire, l"'olandese volante") a controllare nelluogo dove accadeva. Un'importante componente dellinguaggio cinematografico e, da sempre, la musica. Musica suonata sin dagli inizi dal vivo in cinema e teatri e, nel tempo, sempre
3
4
Etudes Cinematographiques (1965) N.38/39.
loris Ivens (1979) 10 cinema, autobiografia di un cineasta, Longanesi.
maternatica e culture 2008
piu interallacciata, nel senso che anche nel periodo muto le composizioni (originali o pastiches di motivi preesistenti) funzionavano "in sincrono" con le suggestioni visuali. Questa connessione profonda poteva, paradossalmente, funzionare perfino senza musica. Ralph Steiner, fotografo e cineasta americano, offre una testimonianza straordinaria relativamente ad H20, il suo corto d' esordio, basato sui riflessi di luce sull' acqua, filmati in un rigoroso bianco e nero, i cui contrasti - come per tanta fotografia - erano amplificati da uno strepitoso utilizzo dei filtri colorati. II mio primo film non rho neanche fin ito - non c'era niente che si muoveva. Quello successivo, H 20, mi dicono gli storici del cinema, estato it secondo "film d'arte" fatto da un americano - il primo e stato Manhatta di Paul Strand e Charles Sheeler. Poiche il mio primo film, quello abortito, mostrava oggetti inamovibili, come soggetto del secondo ho scelto l'acqua in movimento. Non sapevo niente del montaggio - come quasi tutti gli autori non hollywoodiani - rna convinsi Aron Copland ad aiutarmi. Sosteneva di non sapere nulla di cinema, rna gli dissi che un compositore doveva sapere qualcosa dell'unita e della progressione e che questi concetti erano molto importanti nel montaggio. Non tanto tempo fa ho rivisto quel film per la prima volta in quasi quarant'anni e ho pensato che Aaron e io non eravamo stati molto bravi riguardo I'organizzazione", Malgrado il vezzo autolesionista dell'autore, H 20, resta uno degli esempi piu straordinariamente consapevoli dell'uso della luce nel cinema; la precisa derivazione fotografica completata dal movimento, comporta l'annullamento di qualsiasi riferimento materico arrivando alla pura, e per questa magica, astrazione. Ma il piu essenziale, minimalista tra i realizzatori cinematografici esenza dubbio Len Lye,neozelandese trapiantato poi, dopo anni di Inghilterra, negli Stati Unitie Studioso animista delle origini del suo popolo maoro, ricercatore di materiali (nella scultura ha progettato e realizzato enormi mobili semoventi e rumorosi). Lye e stato il primo in assoluto a realizzare la "scrittura diretta" della pellicola, cara a certe utopie di sapore futurista. Con Color box (1934) si apre una strada nuova nel cinematografo, quella dei film realizzati "senza macchina da presa", che sara ripresa da altri, tra i quali il mitico Norman McLaren. Lye,dalla fine degli anni '50, va oltre provando a "scavare" nell'emulsione fotografica. Utilizzando addirittura una pellicola piuttosto piccola.la semiprofessionale Iornm, riesce, grazie alla sua straordinaria abilita, a "grattare" segni complessi che gestisce, fotogramma dopo fotogramma, con movimenti essenziali rna efficacissimi. E, ovviamente, perfettamente in sincrono con delle musiche primitive molto evocatrici. Siamo di fronte all'ultimo, estremo limite dell'astrazione, giocato nella gestione diretta della luce, dal momenta che, togliendo I'emulsione a una pellicola non rivelata, quello che il supporto trasparante permette colpisca 10 schermo eI'emissione del raggio della fonte luminosa. Spruzzo la celluloide 0 la inumidisco con una spugna, la fisso con del nastro adesivo al bancone e comincio a graffiarla... Con la punta incido l'emulsione
5
Moving Pictures, Ilfotografo regista1895-1990 (1992) Venezia.
Dall' Astrattismo ali'astratto
nera e comincio a fare dei segni. [... l Non epossibile capire che cosa si sta realizzando, perche la mana si muove meccanicamente... Quando abbiamo gia completato una serie di questi segni, supponiamo per tre secondi di proiezione, se volessimo ripassare sopra al disegno 0 cambiarlo la punta si bloccherebbe; e pertanto necessario completare la sequenza altrimenti si e obbligati a ricorrere al montaggio ... Ho scoperto che riesco a entrare in una specie di trance ipnotica e comincia a fare questi movimenti da spastico, la cosa funziona", Ammanta sempre di componenti tra il mistico e l'esoterico le sue dichiarazioni Len Lye. Ma dalla breve citazioni si evince con quale determinazione fosse necessario lavorare per dar corpo a pure sensazioni (Particles in space) finito ne11980, e frutto di successivi ripensamenti) materializzate attraverso dei segni apparentemente casuali, ma che riescono a coinvolgere fino a dare la sensazione di aver assistito al passaggio tra il caso e l'ordine, a una sorta celebrazione dell' origine stessa del mondo. Un'astrazione, quindi, addirittura materica nel grattage. Che i pill moderni sistemi di elaborazione delle immagini mai potranno ne simulare ne eguagliare.
Filmografia Rythmus Symphonie Diagonale Filmstudie
De Brug H20 Particles on space
6
produzione: UFA origine: Germania 1921/23 produzione UFA origine: Germania 1921/24 produzione: Richter origine: Germania 1926 Richter in america ha sincronizzato il film con un brano musicale tratto da La creazione del mondo di Darius Milhaud produzione: CAPI origine: Olanda 1928 produzione: Steiner origine: USA 1929 produzione: National Endowment of the Arts (USA) e Queen Elizabeth II Arts Council (New Zeland) origine: nuova Zelanda 1980
Len Lye Speaksat the Film MakersCinematheque- in Film Culture n. 44, 1957.
matematica e cultura 2008 ~._--
i
i
I
I
Rythmus produzione: UFA origine: Germania 1921/23
Symphonie Diagonale produzione UFA origine: Germania 1921/24
Filmstudie produzione: Richter origine: Germania 1926
A proposito della genesi del film La /ettre see/lee du so/dat Dab/in' e di alcuni casi non quantificabili JURGEN ELLINGHAUS
l' apertura nel maggio del 2000 del "plico sigillato" n. 11.668 conservato dal feb-
braio del 1940 nell'archivio dell'Accademia delle scienze di Parigi, seguita dalla sua presentazione, a cura di Bernard Bru et Marc Yor [1], in un numero speciale dei Comptes rendus de l'Academie des sciences, ha suscitato un ritorno di interesse scientifico, letterario e mediatico, per la vita e I'opera del matematico Wolfgang Doeblin (1915-1940) e, di rimbalzo, per il destino del padre, 10 scrittore Alfred Doblin (1878-1957) [2].11 nostro film documentario si inserisce in parte nella dinamica di riscoperta del destino di questa matematico senza pari, inestricabilmente legato al passato bellico franco- tedesco della prima meta del XX secolo-, Che sia detto immediatamente: l'obiettivo del nostro film non era quello di portare nuovi chiarimenti di ordine scientifico legati a questa riscoperta. I contributi teorici di Wolfgang Doeblin sono stati affrontati in modo dettagliato da specialisti rinomati e abbiamo potuto basarci sui lora lavori e sui lora preziosi consigli', In effetti, il nostro interesse primario non etanto di ordine matematico. In seguito a una comunicazione da parte del germanista Wolfgang Schaffner [4] durante i1 IX Convegno Internazionale della Internationale Alfred-Dbblin-Gesellschaft a Parigi, nel giugno del '93, l'attenzione dell' autore di queste pagine fu richiamata dal1
2
3
IurgenEllinghaus / HubertFerry, Derversiegelte BriefdesSoldatenDbblin (Lalettrescellee du soldat doblin)[Lalettera sigillata del soldato Doblin] documentario televisivo. Produzione:AMIP, 52 rue Charlot, 75003Paris, per ARTE e la radiotelevisione berlinese RBB; 86 mn, 2005. Primediffusioni: 26 giugno2006(ARTE), 28 giugno2007(RBB). Versione54 mn: La lettre cacheedu soldat Doblin [La lettera nascostadel soldatoDoblin]AMIP, in coproduzione con i canali Histoire e France 3 Alsace, 2006. Distribuzione: Doc & Co, 13 rue Portefoin, 75003 Paris. Al momenta della capitolazionefrancese di giugno 1940, un fante sconosciuto si tolse la vita nel villagiodi Housseras, nei Vosgi. Quattroanni dopo.fu identificatocome"soldato DOBLIN, Vincent". Si trattavadel matematicoWolgang Diiblin(chefirma, in quanta scienziato,con il nome di "WolfgangDoeblin"), uno deifigli delfamoso scrittore tedesco Alfred Dahlin("BerlinAlexanderplatz"), il quale, antinazista e di origineebrea,aveva dovuto scappare dallaGermania conlafamigliane11933. Naturalizzatofrancese nel1936, Wolfgang Doeblin proseguira lesue ricerche nel campodei movimenti aleatoriin probabilitadurante il servizio militare e nellecondizioni estremedella ''finta guerra". I suoi ultimi manoscrittiSur l'equation de Kolmogoroff [Sull'equazione di Kolmogorov], arrivaticome"plicosigillato"all'Accademia dellescienzedi Parigiinfebbraio 1940, quattro mesiprima della morte,all'eta di 25 anni, verrannostudiati solone12000. Ilfilm descrive il suopercorso cheva da Berlinoa Parigie dalleArdenne ai Vosgi, e tenta di ridisegnare il suo itinerario personale,intellettuale e scientifico. Ci porta sui luoghi che hanno segnato la gioventu di Wolfgang, studente di liceoribellee universitariosoprala media, e anche nelleregionicheattraversera questasemplicesoldatofrancese nato tedescodurante la disfattafrancesedel 1940. Non vorreidimenticaredi ringraziare i professori Bru e Yorper la loragenerosita, disponibilitae lapazienza concui hanno risposto a molte domande e sollecitidurante il nostrolavoro: senza la loracollaborazione, non avremmopotuto portarequestaprogettoa termine.Numerosiparticolari biografici e scientifici sonostatipoi sviluppatinellavoro piu completo dedicato allavita e all'opera di WolfgangDoeblin [3]. Siamodebitoriall'autoreMarcPetitpergli scambi amichevolie per il preziosoaiuto checi ha permessodi accedere a documenti chepensavamopersiper sempre.
rnatematica e culture 2008
l'esilio francese della famiglia Doblin tra il1933 e il1940. II contributo riguardava l'impegno di Alfred Doblin nella cellula parigina di contro-propaganda germanofona, posta sotto la responsabilita del Commissario generale all'Informazione.Io scrittore e drammaturgo Jean Giraudoux [5]. Alcuni germanisti francesi e esuli tedeschi erano incaricati di elaborare la risposta francese - in lingua tedesea - diretta contro i1 potente macchinario di propaganda nazional-socialista del Reich e i1 suo "Rundfunk", Ricordiamo che questa impegno di Alfred Doblin sul fronte della propaganda - destinato alla diffusione su onde corte 0 tramite potenti altoparlanti attraverso le linee nemiche - coincide in parte con i1 periodo di servizio militare di suo figlio Wolfgang, chiamato aIle armi dall'esercito francese dal novembre 1938, nel settore difensivo delle Ardenne', Sensibilizzato dalla collaborazione alIa creazione radiofonica di Un theatre de guerre del compositore Patrick Roudier [8], il quale aveva esplorato, a partire dell'archivio della propaganda radiofonica europea degli anni 1941-1945,questa campo di battaglia di un genere nuovo, speravamo di ritrovare gli elementi di un radio-teatro dalle dimensioni pin delimitate, quello degli scontri franco-tedeschi di 1939-1940. Una prima trasmissione dedicata all' esilio della famiglia Doblin in Francia, che poteva solo sfiorare l'argomento [9] dovrebbe essere seguita da ricerche approfondite destinate a localizzare i supporti sonori 0 stampati di questa rocambolesco episodio della "guerra delle onde". Ma gia, le ricerche intraprese da Wolfgang Schaffner al Servizio storico dell'Esercito e la testimonianza di Alfred Doblin stesso [10] avevano portato all'ipotesi della scomparsa 0 della distruzione delle tracce registrate riguardanti questa impresa totalmente dimenticata [11]. D'altra parte, Ie circostanze non permettevano di riprendere Ie ricerche. Una prima visita a Housseras, nel settembre del '93, rimarra anch'essa senza immediata conseguenza. La placca commemorativa militare alla memoria di Vincent Doblin sulla tomba di famiglia era an cora spezzata. La scritta Mortpour ia France aHousseras (Vosges) Ie 21 juin 1940 ([Caduto per la Francia a Housseras (Vosgi) il 21 giugno 1940]), cioe quattro giorni dopo la richiesta di armistizio sottomessa al Reich dal Maresciallo Petain, rimaneva un' enigma per il visitatore. Le testimonianze pubblicate fino ad allora erano rare, piuttosto confidenziali e non senza errori", Alla fine del 2001, dopo aver letto la pubblicazione gia citata di Bernard Bru e Marc Yor, il progetto di un film documentario dedicato alla sorte di Wolfgang Doeblin e nato da una decisione comune con Hubert Ferry. II rendiconto dell'Accademia delle scienze porta, nella parte biografica, i risultati molto dettagliati delle indagini intraprese da Bernard Bru e fa seguito alle sue ricerche precedenti, rese pubbliche quasi un decennio prima [13]. Ci saremmo presto resi conto che Ie tracce di Wolfgang Doeblin erano sparpagliate sia nello spazio che nel tempo. Se la sorte di Alfred Doblin scrittore e della sua famiglia era molto documentata e conosciuta dal pubblico interessato in Germania [14],era praticamente ignorata in Francia. Se il seguito della storia - per la parte che riguarda Ia carriera scientifica e militare di Wolfgang Doeblin - riappariva finalmente in Francia, era ancora totalmente sconosciuta in Germania. Ma ancora pin della sua biografia, sono Ie sorprendenti analogie e contraddizioni tra l'itinerario del personaggio e i fenomeni oggetto delle sue ricerche scientifiche, tra l' errare dell'uomo e la voglia di controllo del matematico ad aver atti-
4
5
WolfgangSchaffner([4], p. 134), ipotizza lafine agosto1939 comedata dell'entratadi AlfredDbblin alla CGI(CommissariatoGenerale all'Inforazione). Questoviene contraddettoda altrefonti (si veda,per esempio, [6] 0 [7]). Troveremo una prima evocazionecommoventedella tomba Doblina Housseras in [12].
A proposito della genesi del film La /ettre scellee du so/datDoblin
rata la nostra attenzione. In effetti, esconcertante constatare fino ache punto le "linee" e i "movimenti" della vita di "Vincent Dohlin" trovano corrispondenze in campo probabilististico, i "movimenti aleatori", queste "derive"delle "particelle" descritte nei suoi teoremi. Einfine intrigante che Ie sue preoccupazioni di uomo e di matematico siano finalmente cost vicine alle interrogazioni di suo padre, da cui tutto semhra separarlo. Alfred Doblin, per tutta la vita, ha cercato di sapere cosa ne e della liberta e del posta dell'individuo in un mondo entrato nella "modernita": comhattuto tra determinismi e casi socio-storici, l'uomo-particola deve trovare la sua via, in un universo ormai secolarizzato, che si presenta a lui come quello della decomposizione e del disordine. Lo attraversa, errando, privo delle promesse 0 della consolazione di un qualche disegno divino. A meno che non finisca con il rimettersi, dopo quelle lunghe erranze, e come avverra nel caso di Alfred Dahlin stesso, alla Fede salvatrice . Wolfgang, al contrario, scegliera un'altra via. Uomo ribelle, rifiutera la condanna pronunciata nei suoi confronti, alla quale pero non potra sottrarsi. Risultato di una successione di "movimenti aleatori" che hanno formato linee, parallele in un primo tempo, separate poi, che si incrociano e si separano di nuovo per ricongiungersi definitivamente pili tardi, abbiamo interpretato l'itinerario e l'ultimo gesto di Wolfgang Doeblin anche come manifestazione di una delle pili crudeli facezie della condizione umana della nostra epoca: quella dell'esperienza dell'individuo improvvisamente costretto all'esilio e in seguito progressivamente privato del controllo suI proprio dest ino. Quest'esperienza ci sembra avere un valore universale; fu condivisa nel XX secolo da decine di milioni di individui, che vissero e vivono ancora questa stesso sentimento: essere stranieri, lora malgrado, e subire la propria sorte come costretti da forze oscure e indomabili, all'immagine dell'eroe dobliniano di BerlinAlexanderplatz: "Franz efuribondo che qualcuno l'ahbia potuto costringere, nessuno pili deve costringerlo, nemmeno il pili forte . Egli leva il pugno contro questa forza oscu ra, sente che c'e qualcosa contro di lui, rna non puo vedere cos'e. II martello deve scendere su di lui .e colpirlo" [15].
Fig. 1. Forte di Charlemont, Givet (Ardenne) , riprese al Centre d'Entrain ement Commando, novembre 2004.Foto di Hubert Ferry
marematica e culture 2008
Intenzioni della regia Ci siamo fissati l' obiettivo di rendere conto, tramite un film documentario televisivo, destinato a un pubblico non scientifico, dell'importanza della biografia, della portata dell'opera matematica di Wolfgang Doeblin e delle circostanze della sua tragica scomparsa. Questo implicava la ricostruzione di questa successione fatale di eventi: l'alternanza delle costrizioni storiche e delle scelte personali (politiche, professionali e militari) che finiranno col portarlo alIa perdizione. II nostro film avrebbero dovuto cost dare le chiavi che perrnettono allo spettatore di intravedere illegame intimo che allaccia vita e opera di questa singolare personaggio. Una prima tappa consisteva nell'esplorare tutte Ie risorse bibliografiche e biografiche disponibili e nel prendere contatto con i testimoni che avevano incrociato la strada di Wolfgang Doeblin. Potevamo basarci sulle indicazioni date dal professor Bru nel rendiconto dell'Accademia delle scienze e, nei Vosgi, sui buoni consigli e sul sostegno amichevole dell'Associazione Doblin-Housseras [16]. Sulla base dei risultati delle nostre prime identificazioni dei luoghi e delle nostre ricerche e letture (alla Biblioteca Nazionale di Francia, nell'archivio di Fontainebleau, Berlino, Vincennes, Parigi), abbiamo quindi potuto redigere un primo progetto, depositato alIa fine dell'estate del 2002 al Centre National de la Cinematographie. Questo progetto e stato arricchito in seguito dai nostri colloqui con i professori Bru e Yor, i1 signor Claude Doblin e 10 studio dei documenti che abbiamo potuto consultare ulteriormente nei fondi Alfred e Wolfgang Doblin, presso l'Archivio della letteratura tedesca di Marbach. Completata la lettura dei numerosi documenti di archivio e, soprattutto, della corrispondenza di Wolfgang Doeblin, e dopo aver ottenuto l'accordo della maggior parte dei testimoni, la forma piu giusta da dare al nostro film ci e sembrata quella di una trama che avrebbe alternato testimonianze dei vivi e letture di testi scritti dalI'ormai scomparso protagonista. Lo scambio epistolare con amici e professori, i suoi taccuini, Ie note e le bozze, che non riguardano solo argomenti di ordine matematico, forniscono numerosi indizi sull'evoluzione della condizione personale, in particolare durante il servizio militare. Una delle nostre prime scelte consisteva nel rinunciare alle immagini di archivio filmato; ci sembrava pili interessante basare i1 nostro racconto esclusivamente sulIe immagini del presentee Ci siamo permessi una sola eccezione: brani di "Nuits electriques" [Notti elettriche] di Eugene Deslaw [17]. Questo film sperimentale era appena stato restaurato e Ie sue luci "in negative" delle notti berlinesi della fine degli anni '20 facevano, nella lora astrazione quasi onirica, cost magnificamente eco alIa testimonianza di Claude Doblin a proposito delle ronde notturne di suo padre nella Berlino di "Alexanderplatz" e della sua partenza in esilio [18]. Un altro punto fermo riguardava il ruolo delle spiegazioni scientifiche e la 10ro messa in immagine. Non potendo nel film dare un'idea estensiva del calcolo stocastico, abbiamo deciso dilimitare l' esposizione dei dati scientifici a quello che ci sembrava indispensabile per la comprensione dell'itinerario di Wolfgang, della sua "traiettoria aleatoria continua", fatta di "passi con punti successivi", di "accelerazioni", di "traiettoria ostacolata" e di altre "variabili sfavorevoli con effetti a distanza",
A proposito della genesi del film La /ettre sce//ee du soldat Doblin
Per conservare l'unita estetica, abbiamo preferito non ricorrere a immagini di animazione. Al contrario, immagini di "movimenti aleatori", di modelli e di forme astratte, che sono nate dalle spiegazioni scientifiche (movimenti browniani, catene di Markov... ) torneranno come Zeit motiv pin volte lungo il film. Forme e movimenti osservati durante le nostre riprese li farebbero da eco: schemi e linee irregolari osservabili nei paesaggi 0 che risultano da semplici fenomeni meteorologici (pioggia 0 neve), oppure movimenti che derivano da certe attivita umane, che si riferiscono al caso e all'aleatorio.
Fig. 2. Forte di Charlemont, Givet (Ardenne) : soldati durante l'allenamento al "villaggio bosniaco", novembre 2004. Foto di Hubert Ferry
Di archivi e di altri imprevisti Le nostre ricerche furono contornate da alcune delusioni, rna anche di diverse sorprese positive: il fondo di archivio detto "di Mosca", recentemente diventato accessibile per la consultazione al Centre desArchives Contemporaines de Fontainebleau (CAC, Archives Nationalesy, non conteneva i documenti previsti che riguardavano le attivita di centro-propaganda di Alfred Doblin al CGI. Ci dava, invece, la scheda amministrativa e poliziesca francese della famiglia Doblin costituita da11933, in particolare con la richiesta di carta di soggiorno di Wolfgang ("L'acces aux universites allemandes m'etant barre je suis venu en France pour y faire la licence-es-sciences et y rester toujours" [Essendomi stato negato l'accesso alle universita tedesche, sono venuto in Francia per conseguire la laurea in scienze e rimanerci per sempre]) e anche alcune fotografie d'identita della meta degli anni '30. Queste fotografie diventavano preziose per il nostro film, poiche la disgregazione della famiglia Doblin sin dal1933 si rifletta anche nella rarefazione delle foto di famiglia, COS1 numerose invece nei decenni precedenti.
6
Confiscate nel1940 dalle forze tedesche di occupaz ione, l'archivio degli uffici delle amministrazioni francesi fu trasferito in Germania nel1944, dovefu sequestrato dalle truppe russe ne11945. Fu integrato nell'Archivio centrale speciale di Stato dell'URSS in un deposito situato a nord di Mosca, e posto sotto l'autorita del NKVD e poi del KGB. Questi documenti sono stati restituiti dalla Russia alla Francia tra i/1994 e i/200l. Tra l'archivio attribuito al CAC si trova in particolare i/ [ondo, notevole, della Direzione della Sicurezza generale del Ministero degli lnterni (ammin istrazione della polizia), fatto di documenti che coprono i/ periodo 1880-1940. Per p iu ampi dettagli: http ://www.archivesnationales.culture.gouv·frlcaclfr·
matemanca e
2008
Poco prima delle nostre ricerche, la ricercatrice francese Muriel Favre aveva 10calizzato una registrazione della propaganda tedesca, che mirava a destabilizzare il morale delle popolazioni francesi durante la "guerra delle onde" [20]. Questo frammento, datato gennaio 1940, conservato nell'archivio della televisione di Stato della Repubblica Democratica Tedesca (DDR/RDT), permette di misurare la perfidia rna anche l' abilita degli attacchi propagandistici nazisti contro i quali il CGI voleva reagire. Testi di contropropaganda scritti da Alfred Doblin, pubblicati sotto il titolo Disques pour lefront [21], sono infine serviti come base per le nostre ricostituzioni sonore. Una delle scoperte pin importanti e quella della trascrizione dattilografica di un'intervista radiofonica sulla frequenza berlinese Funkstunde fino allora attribuita a Wolfgang e al fratello maggiore Peter, nel fondo Alfred Doblin dell' Archivio della Letteratura tedesca di Marbach [22]. Gli ulteriori confronti con rendiconti pubblicati dalla stampa berlinese il giorno dopo la diffusione dimostrano che Wolfgang ebbe questa colloquio con suo padre, il 26 febbraio 1929 [23]. Questi documenti costituiscono i pezzi migliori per chi cerca di farsi un'idea dell'universo del giovane, che aveva appena compiuto 14 anni al momenta di questa incontro padre-figlio. La conversazione verte, in effetti, su tutti gli argomenti che potevano agitare la mente di uno studente delle superiori berlinese "alla moda" alla fine degli anni Venti.Dibattono sia della condizione degli animali domestici sia della violenza alliceo, delle punizioni corporali - a scuola 0 a casa -del vegetarianismo, delle letture "che rimbecilliscono" oppure di sport. II giovane respinge quest'ultimo con serieta e, con la stessa serieta, rigetta la religione - come tra l' altro ogni convizione che non sia basata su idee acquisite tramite un atto intimo e individuale di riflessione. La rivendicazione precoce e radicale del (( Sapere aude Abbi il coraggio di essere saggio!" kantiano, che Wolfgang esprime qui non e priva delle affermazioni che faceva suo padre in altre circostanze, rna che andavano rigorosamente nella stessa direzione: Die Dinge mitssen in meinem Garten wachsen!Ichkaufe nicht aufeinem Markt! ([Le cose (Ie idee, n.d.l.a.) devono crescere nel mio giardino! Non compro suI mercato!]) (si veda [10], p. 101). Osiamo affermare che la massima filosofica si e mutata qui in un tratto di carattere, habitus che, al di la di ogni divergenza intellettuale 0 politica che hanno potuto opporre padre e figlio, anche violentemente, collega di pin i due personaggi tra loro, animati da uno stesso senso (innato?) della ribellione permanente. Occorre segnalare che nessun argomento di ordine politico sembra essere stato sfiorato durante questa conversazione. Abbiamo potuto ritrovare Ie fonti da cui Wolfgang traeva la sua inspirazione nei suoi quaderni di scuola, che sono conservati anche a Marbach. Ci annotava con cura Ie sue letture, facendo distinzione tra "libri che ho letto" e "libri che consulto sempre (Marx: Das Kapital)", "riviste che leggo ogni tanto" 0 "regolarmente", Siamo riusciti a decifrare praticamente tutte Ie iscrizioni nei suoi quaderni, decriptazione non facile, poiche Wolfgang usava la scrittura tedesca "Sutterlin", insegnata a quel tempo nelle scuole prussiane. Risalta il forte entusiasmo per Ie opere a tematica economica, come Ie opere di storici, quali Eugen Fischer-Baling, Franz Mehring e per i teorici del socialismo, in particolare gli "austromarxisti" (Max Ad1er'Rudolf Hilferding, Karl Renner... ). Questi ultimi avevano un ruolo importan-
A Dr()DC)Slt:O dt~na genesi del film La lettre scelleedu so/dot Dab/in
te nei dibattiti nel movimento operaio e, in particolare, dell'ala sinistra della socialdemocrazia tedesca prima.deI1933. Questo lungo elenco di letture testimonia un chiaro interesse per le vicende politiche e conferma, d' altra parte, gli altri suoi interessi, enumerati gia nel suo curriculum vitae da maturando", In termini ideologici, Wolfgang sembra voler riprendere dove suo padre, il quale superb a poco a poco le sue posizioni politiche per girarsi verso interrogazioni spirituali e metafisiche, si era fermato. Wolfgang, evidentemente, punta sulle scienze - obiettive, moderne, innovatrici - per spiegare la marcia del mondo. I documenti citati, cost come la lettera destinata a uno dei suoi insegnanti della Scuola degli Studi politici di Berlino (DHP) nell'autunno 1932 (si veda [25], p.138), con una breve rna significativa professione di fede politica, costituivano, ai nostri occhi, gli elementi principali intorno ai quali si doveva articolare, nel nostro film, il raeconto della formazione intellettuale e delle convinzioni politiche del Wolfgang studente delle superiori. La DHp8 occupa un posto importante: Il insegnano, sin dall'inizio della Repubblica di Weimar, (CIa politica" 0 piuttosto, le scienze allora dette "della democrazia". La scuola propone anche insegnamenti di sociologia politica, cosa innovativa per la Germania. Nuovi campi di azione si aprivano allora ai giovani scienziati, attratti dai metodi innovativi delle scienze sociali moderne, ancora balbettanti in Europa. Nuovi attrezzi di conoscenza dalle possibilita immense e dalle capacita promettenti diventavano accessibili ai futuri ricercatori", Si notera in quel contesto che l'austromarxista viennese Paul Lazarsfeld (1901-1976),giovane matematico, fu all'origine di uno degli studi formativi della sociologia moderna tutt'oggi considerato come uno dei grandi classici in materia di indagini sociali [28]. Nel quadro dei suoi lavori scientifici'", Lazarsfeld aveva cominciato a mettere le sue conoscenze matematiche al servizio di un'utopia sociale; si possono legittimamente supporre delle motivazioni analoghe in Wolfgang Doeblin. Rimpiangiamo di non aver potuto trovare posto nel nostro film per altre scoperte che riguardavano il "periodo berlinese": una serie di quadri di Mah-Jong trovati nei cartoni di Marbach. Claude Doblin ci conferrnera durante uno dei nostri colloqui che suo fratello era appassionato da quel gioco, in Cina una volta riservato ai circoli del potere, e che comincio a invadere le case borghesi europee negli anni Venti. Lasceremo ad altri la cura di esplorare illegame tra questa gioco, che mischia caso e strategia guerriera, e il destino di un adolescente europeo, che dedichera pili tardi la carriera alle probabilita, pur vestendo, costretto dalle circostanze, gli abiti del guerriero ... Avremmo anche voluto integrare nel nostro film alcuni brani tratti dalle (cinque) poesie che Wolfgang Doeblin, alias soldato Vincent Doblin, copio nel suo taccuino del 1938-1939: ci trovammo Tristesse, di Alfred de Musset, e soprattutto La mort
Quest'ultimo fa anche parte dei documenti berlinesidel fonda WolfgangDoeblin di Marbach ed e riprodotto in [24J. Peri documenti in versioneoriginale, ci riferiamoall'edizione tedescadellostessolibro [25}. 8 La storia della DeutscheHochschule fur Politik (DHP 0 DHfPa secondadellefonti), istituzione di insegnamento private di influenza liberalee repubblicana; e trascrittain [26J. 9 Si veda [27} per un'idea istruttiva dell'evoluzionedelleindagini sociali, dei lorometodi e in particolaredel ricorso crescente allestatistichein scienzesociali. 10 A questa proposito, si veda una prospettiva appassionantedei lavori di Lazarsfeld, della sua lettura dellafisica socialedi Adolphe Ouetelet (1796-1874) e del suo rapportoal calcolo delleprobabilita [29J. 7
matematica e cult ure 2008 r--'·~ --------- -------_· _-~~-~ _ · '~ · -~ ~ ~~ ~
i
du loup, di Alfred de Vigny. Non crediamo che la scelta di questi grandi classici del romanticismo francese sia un caso - le relazinni ci sembrarono troppo numerose, esplicite 0 implicite, tra il vissuto 0 l'avvenire del nostro protagonista e il suo interesse rivolto a una certa tradizione lirica. Questo titolo, "La morte del lupo" (illupo - in tedesco: "Wolf" - diminutivo di "Wolfgang", soprannome usato dai suoi cari, ancora oggi dai fratelli) richiamo la nostra attenzione. Rileggendo la poesia, notammo alcuni leit motiv che aprono prospettive tanto ricche quanta inaspettate per l'interpretazione della storia di Wolfgang, delle sue scelte e del suo ultimo gesto. Notammo poi con sopresa un altro fenomeno intrigante, quello della "moltiplicazione degli Alfred": Alfred Doblin, Alfred de Vigny,Alfred de Musset - riferimenti familiari, affinita elettive intellettuali e spirituali, che suggeriscono una "trinita familiare" 0, addirittura, "paterna", che pesera molto sui pochi anni di vita che rimanevano a Wolf-il-Iupo.Questo tipo di segno si ripete, come "venendo dall'alto". Perche non era finito con il gioco d'azzardo e delle coincidenze. Al momento delle riprese del nostro colloquio con il professor Abragam nella "piccola" sala delle sedute dell' Accademia delle scienze, alla ricerca di un posto per la videocamera, ci trovammo a un tratto di fronte a due busti, uno accanto all'altro sui muri di quest'aula sontuosamente ornata: Alfred de Vigny e Alfred de Musset. .. Mettiamo altri casi sul conto dei "regali di riprese": la Deutsche Hochschule fur Politik, citata prima, era alloggiata, sin dalla creazione nel1920, presso l'antica Scuola di architettura prussiana, la Schinkelsche Bauakademie", cosl nominata secondo il famoso Baumeister berlinese Karl Friedrich Schinkel. Questo edificio, molto danneggiato sotto i bombardamenti del 1945,fu definitivamente rasato sotto la RDT. Pero dal1999 avevano eretto, sul vecchio posto, ad alcuni metri da Alexanderplatz e a lato del nuovo Ministero degli affari esteri della Repubblica federale ormai berlinese, una facciata modello. Essa, sotto forma di trompe-l'ceil appoggiato contro un frammento di ricostruzione della stessa Bauakademie, serve da supporto per un'iniziativa la cui meta ela ricostruzione di questo gioiello dell'architettura prussiana.
Fig.3. Berlino: trompe l'ceil della Schinkelsche Bauakademie con, in fondo, i resti del Palast der Republik [Palazzo della RepubblicaJ, aprile ZOOS. Foto di Jilrgen Ellinghaus Per fastoria dell'edificio, si potrafar riferimentoal sito dell'associazione Pbrderverein Bauakademie e.V., www.schinkelsche-bauakademie.de.
11
oroeossto dena Al momenta delle riprese a Berlino nell'aprile 2005, abbiamo constatato che un semplice movimento panoramico della cinepresa permetteva di passare dalluogo stesso dove Wolfgang aveva avuto a che fare con i suoi avversari nazisti all'antico "Palazzo della Repubblica", che riparava ai tempi, tra I'altro, il parlamento tedescoorientale. II tetto era munito, durante i mesi precedenti jl suo smantellamento, di un enorme scritta bianca, visibile da Iontano, con la parola ZWEIFEL (= IL DUBBIG). Che bell'omaggio, certo involontario, in un tale posta segnato dalle tracce di tutti i regimi politici tedeschi che si sono succeduti sin dai re di Prussia, a quel10 che, sulle onde della radio berlinese, ha fatto suo credo, in uno slancio di cartesianesimo, di una delle condizioni del progresso della Ragione: "Nur der Zweifler sucht das Recht - Solo quello che dubita trovera quello che egiusto!"
Bibliografia [1] Comptes rendusde l'Academie dessciences (2000) serie I, vol. 331, numero speciale, Sur l'equationde Kolmogoroff, par ~ Doeblin, (ed. Bernard Bru e Marc Yor),Elsevier, Paris, e Bernard Brul Marc Yor (2002).Comments on the life and mathematical legacy of Wolfgang Doeblin, in: Finance and Stochastics, vol.6, n.l, pp. 3-47 [2] Citiamo, senza pretendere di essere esaustivi, alcune pubblicazioni recenti: Laurent Mazliak (2007/1) On the exchanges betweenWolfgang Doeblin and Bohuslav Hostinsky, Revue d'Histoire des Mathematiques , vol. 13,fasc.1. Laurent Mazliak (2007/2) Ten lettersfrom Wolfgang Doeblin to BohuslavHostinsky, Electronic Journ@l for History of Probability and Statistics, vol. 3, n. I, giugno 2007, accessibile tramite www.jehps.net, consultato il19luglio 2007. Jean-Pierre Kahane (2006) L'affaire Doeblin: Mon souvenir du pli cachete de Wolfgang Doeblin, Mathematiques et sciences humaines n. 176(4), pp. 9-11.Marc Petit (2006) I:affaire Doeblin: Alfred, Wolfgang et quelques autres - regards croisessur l'experience creatrice, Mathematiques et sciences humaines n.176(4), pp. 13-21. Wioletta Magdalena Ruszel (2006) Wolfgang Doeblin - Wegbereiter zum Ito-Kalkiil, tesi di Laurea, Universitat Potsdam, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultat, Institut fur Mathematik. Agnes Handwerk e Harrie Willems (2007) Wolfgang Doeblin, A Mathematician Rediscovered, DVD-Video, Springer VideoMATH, Heidelberg, Berlin, New York.J. Ellinghaus (2007) Die Irrfahrt des Soldaten Dbblin, creazione radiofonica, prod. Radio svizzera tedesca RDS,regia Jiirgen Ellinghaus e Aldo Gardini, 58 mn.; diffusioni: 29 giugno 2007 (DRS), 25 dicembre 2007 (ORF,Australia). Edizione audiolibro: Stiftung Radio Basel (ed), Christoph Merian Verlag, Basel. Jiirgen Ellinghaus (2008) La marche aleatoire du soldat Doblin, Radio France, france Culture, prima diffusione: 3 marzo 2008. A proposito di altri documenti (note.Iavori e corrispondenza) di Wolfgang Doeblin ritrovati ulteriorrnente, durante i lavori di eliminazione dell' amianto sul sito universitario di Paris- Iussieu, vedere : Therese Charrnasson, Stephanie Mechine, Marc Petit, con la collaborazione di Bernard Bru (2005) Archives et manuscrits de Wolfgang Doeblin, in: Revue d'histoire des sciences 1.58,1,pp 225-236 [3] M. Petit (2003) Uequation de Kolmogoroff, Ramsay, Paris, riedizione Folio Gallimard, Paris (2005) [4] W.Schaffner (1995) Logistik der Dichtung, Doblins kriegs- und medientechnische Erprobung der Literatur im Commissariat a l'Information, in : Michel Grunewald (ed.) Internationales Alfred-Dablin-Kolloquium Paris 1993, Peter Lang AG,Bern, pp.127-140 [5] Jean Giraudoux (1987) Messages du Continental, Grasset, Paris [6] Deutsche SchillergesellschaftMarbach (1978) AlfredDiiblin, 1878-1978 (ed. Bernhard Zeller), Kosel-Verlag, Munchen, p. 41
matematrca e culture 2008 [7] [8]
[9] [10]
[11] [12]
[13] [14] [15] [16]
[17] [18] [19] [20] [21] [22]
[23]
[24] [25]
Rapporto di indagine della Sicurezza nazionale al Ministero dell'Informazione del 5 aprile 1940, copia dattilografica, Centre des Archives Contemporaines (Archives Nationales), Fontainebleau, versamento 940440, art. 279 P.Roudier (1992) Un theatre de guerre, (1) Panzerfaust, Con, tra altri, Jean-Pierre Faye. Atelier di Creazione radiofonica, 75 mn. Coproduzione Sender Freies Berlin, Deutsches Rundfunkarchiv, Groupe de Recherches musicales de l'INA, France Culture. Pri. ma diffusione: 25 ottobre 1992 J. Ellinghaus (1993) Fern von "Berlin Alexanderplatz"- AlfredDiiblin im Pariser Exil. Radio France Internationale, Paris I Deutschlandsender Kultur, Berlin, 55 mn. Diffusioni: 22 giugno 1993: RFI, 16 agosto 1993: DS Kultur A. Doblin (1980) Autobiographische Schriften und letzte Aufzeichnungen: Schicksalsreise, Walter-Verlag, Olten I Freiburg i. Br.,p. 126.Edizione francese: Alfred Doblin, Voyage et Destin, recit et confession, Ed. du Rocher, Paris. Pili ottimista : Claude Levy (1966) Note bibliographique sur la propagande en France (1939-1944) in: Revue d'histoirede la Seconde guerre mondiale,n. 64, p. 103 A. Luneau (2001) La drole de guerre, in: J.-N. Ieanneney (ed) L'Echo du siecle, dictionnaire historiquede la radio et de la television en France, Hachette LitteratureslARTE Editions, Paris.pp, 33-35 K. Miiller-Salget (1972) Das Grab von Housseras, in: NeueDeutsche Hefte, Zeit-schriftenverlag Neue Deutsche Hefte, Berlin, vol. 19, Heft 2, n. 134, pp. 81-86. Vedere anche Roger Bruge (1987) Lescombattantsdu 18 juin, tome 3: L'armee broyee, Fayard, Paris, pp.13-16 B.Bru (1993) Doeblins life and work from his correspondence, in: Harry Cohn (ed) Doeblin and modern probability, Contemporary Mathematics, vol. 149,American Mathematical Society, Providence, R.L, pp. 1-64 M. Reich- Ranicki (1977) Heldenvater Doblin, Frankfurter Allgemeine Zeitung, 20 agosto 1977 A. Doblin (1963) BerlinAlexanderplatz,Rizzoli, Milano, p. 239 J. Cressanges (2007) Introduzione, in: Association Housseras-Doblin: Commemoration du cinquantenaire de la mort d'AlfredDiiblin, raccolta pubblicata con il sostegno del Centre d'Etudes Germaniques Interculturelles de Lorraine (C.E.G.LL.), Universites Nancy 2 et Paul Verlaine - Metz, p. 3 BBreH ~eCJIaB ttKiHO-HapHC" Hoeaneanpuueanea -Eugene Deslaw (1928) "Disegno cinematografico" Les nuits electriques, 10 mn, 35 mm, b/n, silenzioso, CNC-Archives Francaises du Film A. Doblin (1980) Abschiedund Wiederkehr, p. 429 Centre des Archives Contemporaines (Archives Nationales), Fontainebleau, versamento 940440, art. 279., dossier 23543, CV07243 M. Favre (2001), Radio Humanite, der Sender der revolutionaren Arbeiterbewegung, 0- Ton des deutschen Geheimsenders gegen Frankreich im Zweiten Weltkrieg, in: Rundfunk und Geschichte, vol. 27, n. 1/2,pp. 62-66 A. Doblin (1972), Schriften zur Politik und Gesellschaft: Disques pour lefront (1-4), Walter-Verlag, Olten und Freiburg i. Br., pp. 416-418 DLA Marbach, Handschriftenabteilung, Manuskripte, HS.1997.0007.00510 Punkstunde,sa.i, Nr. 9 vom 22. Pebruar 1929, p. 263. W.N., Vater und Sohn, in: BerlinerZeitung (B.Z.) am Mittag,Nr. 57,27. Februar 1929; Vorwarts, 27. Februar 1929.Vedere anche: Louis Huguet (1972) Bibliographie Alfred Dbblin, Aufbau Verlag, Berlin und Weimar. Ricostituzione radiofonica parziale dell'intervista in: Jiirgen Ellinghaus (2007) M. Petit (2003) citato secondo I'edizione Folio Gallimard, 2005, p. 156 M. Petit (2005) Die verlorene Gleichung, Eichborn-Verlag, Frankfurt am Main, p. 135
DfC)D()SI1:0
dena genesi del fllm La lettre scellee du sotda: Dob/in
[26] E.Nickel (2000) Die GrUndung der Deutschen Hochschule fur Politik, Berlinische Monatsschrift, n. 6, pp. 100-106 [27] H.Maus(1973)ZurVorgeschichte derempirischen Sozialforschung,in: ReneKonig (ed.) Handbuch der empirischen Sozialforschung, Band 1: Geschichte und Grundprobleme, F. Enke-Verlag, Stuttgart, pp. 21-56 [28] M.Iahoda, P. Lazarsfeld, H. Zeisel (1933) Die Arbeitslosen von Marienthal. Bin soziographischerVersuch uber die Wirkungen langandauernderArbeitslosigkeit. Oesterreichische wirtschaftspsychologischeForschungsstelle (ed.), Verlag S.Hirzel,Leipzig. Versioneitaliana: I disoccupatidi Marienthal, Edizioni Lavoro, Roma, 1986 [29] W. Hagen(1996)AIle und Keiner, Skizzen zu einerArchaologie der Demoskopie, in: Kursbuch 125,K.-M. Michelet T. Spengler (ed.), Rowohlt-Berlin Verlag, Berlin, pp.169-178
matematica, estetica e poesia
Alcune osservazioni intorno all'estetica, 10 stile e la visibilita nella matematica NATHALIE SINCLAIR, DAVID PIMM
Se ho incluso la Visibilita nel mio elenco di valori da salyare e per avvertire del pericolo che stiamo correndo di perdere una facolta umana fondamentale: il potere di mettere a fuoco visioni a occhi chiusi, di far scaturire colori e forme dall'allineamento di caratteri alfabetici neri su una pagina bianca, di pensare per immagini. Penso a una possibile pedagogia dell'immaginazione che abitui a controllare la propria visione interiore senza soffocarla e senza, d'altra parte, lasciarla cadere in un confuso, labile fantasticare, rna permettendo che le immagini si cristallizzino in una forma ben definita, memorabile, autosufficiente, icastica,' Calvino, 1992
Italo Calvino (1992), con l'intento di offrire sei proposte sull'arte della scrittura, espone in questa paragrafo un argomento a favore della visibilita, Egli mette in contrasto il visibile con 10 scritto,l'immagine concepita con l' espressione verbale. II suo argomento non riguarda la scelta di uno piuttosto che dell'altro, rna riguarda invece il favorire 10 spostamento dall'espressione scritta all'immaginato, in maniera da imparare a ricavare "colori e forme" dal testa scritto, piuttosto che cercare di estrarre dall'immagine qualche tipo di interpretazione verbale 0 addirittura "equivalente", L'immaginazione, sostiene Calvino, non etanto uno "strumento di conoscenza", in grado di aiutare a trovare soluzioni che sfuggano alle risorse della lingua, quanta piuttosto un'''identificazione con l' anima del mondo", che tende l' orecchio verso le immagini e le sta ad ascoltare. II messaggio di Calvino e diretto agli scrittori, specialmente a quelli di racconti di fantasia. La sua proposta sulla visibilita, tuttavia, PUQ avere un valore di guida per il nuovo millennio entro un campo molto pili vasto dell'espressione umana che, forse, PUQ comprendere anche la matematica. In questa contributo, vogliamo riflettere su come la qualita della visibilita possa essere tradotta nella matematica, e su come que-
1
N.d.T.:Testotratto dall'originale in italiano:Italo Calvino (1993), Lezioni americane. S~i proposte per il prossimo millennio, OscarMondadori,Milano, p. 103. Testo in corsivonell'originale.
culture 2008 sta qualita intersechi questioni riguardanti l'estetica, il gusto e 10 stile, specialmente nel campo della scrittura matematica. In particolare, si vuole sostenere che nonostante la matematica scritta abbondi di valori e affermazioni estetiche, la base di queste considerazioni einvisibile, nascosta entro le espressioni verbali che non hanno trovato nessuna immagine - e che potrebbero anche opporsi all'essere immaginate. Si potrebbe pensare che esse si oppongano a causa della natura stessa della matematica. Ma la matematica e scritta da matematici, 10 stile, i valori e Ie argomentazioni dei quali potrebbero essere pin flessibili e variegati della disciplina che essi stessi cercano di approfondire. Se fosse proprio cost, e se le speranze di Calvino per il futuro potessero davvero materializzarsi a un livello culturale piu ampio, cosa potrebbe voler dire per la matematica acquisire maggiore visibilitai
II corpo e I'immagine della matematica Henderson e Taimina [1] hanno raccontato di come un saggio dello studioso di geometria David Henderson abbia provocato una valanga di domande da parte di altri matematici. Lo scritto: contiene una dimostrazione molto concisa e semplice (circa una mezza facciata). Questa dimostrazione ha prodotto piu domande da parte di altri matematici che qualsiasi altro suo scritto di ricerca, e la maggior parte delle domande erano del tipo: "Perche e veroi", "Da dove l'hai ricavatoi", "Corne hai fatto a capirlo?" Essi accettavano la dimostrazione a livello logico, rna non erano soddisfatti (p. 66). Parte della sfida che ci pone Calvino equella di identificare cia che, nel contesto della matematica, possiamo opporre alla visibilita, Certamente, cia che viene in mente eI'invisibilita, seguita dal nascosto e dal segreto. Cia che non erappresentato nella scrittura matematica professionistica, si dice, eimportante almeno quanta cia che rappresenta. Ma perche questa velato atteggiamento ela norma accettata? Ritorneremo in seguito su questi antonimi naturali, rna prima di tutto dobbiamo concentrarci sul visibile nel campo dell'immagine, ed esaminare la distinzione di Leo Corry [2, 3] tra il corpo e l'immagine della matematica (terminologia che si riferisce a una precedente e piu ampia distinzione di Yehuda Elkana), che Corry vede come formante "due strati intercollegati di conoscenza matematica" ([3], p.135). Mentre il corpo comprende domande direttamente legate all'oggetto di ogni data disciplina matematica: teoremi, dimostrazioni, tecniche, problemi aperti, le immagini della matematica si riferiscono, e contribuiscono a spiegarle, alle domande che nascono dal corpo della conoscenza, rna che in generale non sono parte, e non possono essere risolte al suo interno, del corpo della conoscenza stesso.
Attune osservaaioni intomo alres1:etlca,
la VISlbllllta nella matematica
Si noti che "corpo" eusato al singolare, mentre esiste una pluralita di immagini possibili. Questo uso non e direttamente visivo quanta il riferimento di Calvino all'rirnmagine", tuttavia tali immagini costituiscono l'intero deposito di informazioni su come noi "vediarno" la disciplina. Dicendo che l'immagine fornisce sia illuogo che il mezzo per affrontare questioni che non possono essere risolte dall'interno del corpo, Corry afferma che i caratteri neri e i simboli sulle pagine bianche che costituiscono i testi formali di matematica, cioe il saggio di ricerca pubblicato, non possono produrre forme e colori che costituiscano l'immagine della matematica. Lo stesso si pub dire riguardo alle arti: questioni di categorizzazione e importanza, per esempio, vengono risolte da commentatori esterni, in particolare critici d'arte che utilizzano nozioni e strumenti di estetica. Pero, dove sono i critici della matematica? Le immagini potranno in questa modo comprendere visioni sull'organizzazione interna della matematica in branche e sottobranche 0 l'importanza dichiarata di una sottobranca rispetto a un' altra (per esempio, il modo in cui i topoi possono essere considerati pili importati della teoria delle categorie), la relazione percepita tra la matematica e la fisica teorica, per dire (un caso insolito per le dimensioni in cui estato pubblicizzato, cioe reso altamente visibile, si trova nel dibattito di Jaffe e Quinn: si veda, per esempio, [4], che si sofferma su questa dibattito e il sottostante disagio sui confini disciplinari e i lora segnali testuali di superficie). La risposta del matematico William Thurston [5] al primo articolo di Jaffee Quinn [6] contiene molte di queste considerazioni sulle immagini, basate sulla propria autorevole esperienza di ricerca matematica, e tra esse riteniamo che ce ne sia una molto importante, data lasua straordinaria natura. In pratica, i matematici non scrivono abitualmente a proposito delle proprie immagini, nel senso inteso da Corry, anche se scrivono a partire da esse. Tali immagini della matematica possono includere anche, secondo Corry, le concezioni metodologiche, filosofiche, semi -filosofiche e anche ideologiche che guidano, consciamente 0 inconsciamente, in maniera dichiarata 0 meno, il lavoro di ogni matematico 0 gruppo di matematici. (p. 135) Un esempio dell'ultimo caso si pub trovare nella provocante osservazione di Lebesgue ([7], p. 122): Gli studi sui fondamenti della matematica e sul metodo matematico lasciano notevole spazio alla psicologia, e addirittura anche all'estetica. Cio pub essere visto in maniera ancora pili sistematica nell'articolazione di Lakatos delle prevalenti (anche se in larga misura non dette) metodologie della sviluppo matematico e della "matedologia" pili orientata al futuro di Borwein e Bailey [8]. Nello scrivere sulla metodologia, fu molto difficile per Lakatos evitare le questioni di estetica, come Lebesgue avrebbe potuto prevedere. Egli sottolinea la necessita di "produttori di immagini" nella matematica: gli studenti X e Y (nella sua classe immaginaria) cercano di capire fino ache punto eancora interessante continuare a generalizzare la formula di Eulero. X insiste che si tratta di una questio-
culture 2008
ne di gusto. Allora Y chiede,"Perche non ci sono critici matematici, cost come ci sono critici letterari, a sviluppare il gusto matematico attraverso la critica pubblica?" (p. 98). E David Corfield [9, 10], filosofo che ha lavorato sotto e oltre il mantello Lakatosiano, ha raccolto degli aspetti di questa sfida.
La possibilita di una critica estetica nella matematica II filosofo della matematica Thomas Tymoczko [11] ritiene che la critica matematica sia essenziale, dal momenta che i matematici vogliono credere che ne la realta ne l'utilita possano fondare i loro valori di giudizio. In altre parole, i valori estetici determinano cia che i matematici scelgono di studiare, come 10 studiano, e perche ritengano i propri valori utili [12]. Difatti, diversi matematici hanno descritto il modo in cui la bellezza motivi e guidi la loro opera nel campo della matematica (si veda [13]). Hardy [14] parla del matematico come di colui che cerca soltanto le strutture pin belle. Poincare suppone che i matematici generino nuove idee sulla base della loro "particolare sensibilita [estetica]" ([15], p. 2048), mentre Krull ([16], p. 49) spiega che i matematici hanno degli obiettivi piu estetici che epistemologici: I matematici non si occupano meramente di trovare e dimostrare teoremi, rna vogliono anche organizzare e assemblare i teoremi in maniera che appaiano non solo corretti, rna evidenti e avvincenti. .A fianco di questi scritti sulla matematica, spesso Ie conversazioni tra i matematici vertono su asserzioni sulla bellezza 0 eleganza in relazione a certi problemi, teorerru u dimostrazioni. II problema di queste asserzioni, secondo il matematico Giancarlo Rota ([17], pp. 132-133), e che esse contribuiscono solo a oscurare ulteriormente (piuttosto che rendere visibile) la pratica matematica:
La bellezza matematica e l'espressione che i matematici hanno inventato per ammettere, in maniera indiretta, il fenomeno dell'illuminismo, evitando al contempo di riconoscere la mancanza di chiarezza di questa fenomeno. [... ] Questa scappatoia euna tappa di un'attivita amata dai matematici, quella di costruire un mondo perfetto, immune dalla confusione del mondo reale, un mondo dove quello che pensiamo debba essere vero si riveli essere vero, un mondo libero dalle delusioni, le ambiguita, i fallimenti di quell' altro mondo in cui viviamo-. Naturalmente, i matematici possono usare anche tali espressioni per comunicare a proposito dello stato e dell'appartenenza - qualcuno che fa un'osservazione sulla bellezza di un'idea matematica potrebbe anche sostenere di appartenere al gruppo di persone che conosce e apprezza la matematica. I'estetica, in questa modo, svolge un ruolo sia epistemologico che sociale. Leincisive osservazioni di Rota non fanno altro che sostenere la visione di Corry,
2
N.d.T.: Traduzione di Massimo Caregnato. Per la traduzione pubblicata in Italia, si veda Giancarlo Rota (1997) Pensieri indiscreti, Garzanti,Milano:' Testoin corsivonell'originale.
visibilita nella matematica
che i matematici sono incapaci di fornire una qualita della visibilita capace di riferirsi all'immagine della matematica (anche se, come vedremo in seguito, la visibilita potrebbe essere possibile anche entro il corpo stesso della matematica). E interessante considerare i tentativo di critica di Tymoczko nello stabilire se esiste un' alternativa possibile 0 desiderabile alla "scappatoia" di Rota. La motivazione di Tymoczko e stabilire che la matematica e veramente un'arte (un'altra questione che non puo essere risolta entro il corpo della matematica) e poiche qualsiasi arte eanche accompagnata dalla critica dei suoi oggetti, egli deve dimostrare che la critica epossibile anche in relazione agli oggetti matematici - in particolare in riferimento alle dimostrazioni. Invece di concentrarsi sullo stabilire se una particolare dimostrazione sia precisa 0 imprecisa (0 sia bella 0 meno), egli tenta una forma di critica che ricordi quella del critico d' arte, il quale fornisce un modo di vedere 0 sentire un'opera d'arte cercando di attirare l'attenzione su certe caratteristiche del mondo e, cost facendo, migliora il nostro apprezzamento o articola per noi il movimento delle nostre stesse sensazioni (p. 71). Tymoczko cerca qualcosa in piu che chiarire semplicemente cio che i matematici potrebbero voler dire con termini quali "bellezza" ed "eleganza" (vogliono veramente dire, come suggerisce Hardy [14], "profondita" e "valore" , oppure anche "inaspettato" ed "economia'T), Tymoczko vuole anche ricreare l'esperienza che produce la sensazione estetica di piacere e conoscenza. II critico deve ricavare un'immagine avvincente dal testa di partenza (sia esso scritto su carta 0 dipinto su tela). Tymoczko sceglie la dimostrazione tradizionale del teorema fondamentale dell'aritmetica, il quale dice che ogni numero naturale maggiore di 1 0 e un numero primo 0 si puo esprimere come prodotto di potenze prime con fattorizzazione canonica. Egli viola la scaletta tradizionale della dimostrazione matematica, introducendo un certo ritmo, che indugia su alcune dichiarazioni mentre sorvola su altre (si veda [18] per una valutazione del valore letterario dell'indugiare, che si ben si oppone alla "rapidita", un'altra delle sei proposte di Calvino). Tymoczko rende esplicite le dimensioni psicologiche dell'argomento, rilevando che, per esempio, la disinvoltura della prima tappa, in cui si prova I'esistenza, porta soltanto a una maggiore frustrazione quando si incontrano le difficolta delI'unicita, Egli fa degli accenni ad alcune delle componenti soddisfacenti e persuasive della dimostrazione, che hanno molti punti in comune con l'estetica (per esempio, la dimostrazione e abbellita dalla presenza dell' algoritmo euclideo del MCD, che appare abbastanza inaspettatamente, e la possibilita di fare appello a un' ottima tecnica da sempre soddisfazione). Egli definisce il proprio tentativo di critica come una performance attraverso cui cerca di descrivere un'f'opera vissuta". Infatti, grazie al suo uso della prefigurazione (Ie difficolta che devono ancora emergere) e deiflashback (la riflessione su una tecnica particolarmente utile), egli scolpisce nuovamente la dimostrazione nel tempo. Nel farlo, cambia anche la natura della sua voce di autore, cost come il modo di rivolgersi allettore: saltando da "noi" e 'nostro' "io" e "mio" in tali digressioni, e anche rivolgendosi allettore direttamente con il "tu", Tymoczko sostiene che la sua interpretazione della dimo-
matematlca e cultura 2008
strazione sara ricordata pili facilmente. Se cost fosse, sara stato in grado di trasferire l'espressione scritta entro una modalita pili sensoriale, che risultera in una sua maggiore visibilita, E qui sorge un problema di pubblico. Per chi e scritta tale critical Sapendo di non potersi aspettare che un numero troppo grande di persone capisca la matematica in questione, Tymoczko indica come suo pubblico gli stessi matematici di professione. In questa modo, il matematico non solo e colui che crea nuove dimostrazioni, rna anche colui che apprezzera le dimostrazioni degli altri - e a volte e anche colui che dovra "interpretare" la dimostrazione davanti ai colleghi e agli studenti (si veda [19] e [20], per ulteriori informazioni su questa implicita analogia teatrale.) Notiamo che questa improvvisa riduzione dei partecipanti al tentativo di critica matematica di Tymoczko ha un sentore vagamente nepotistico, quasi a voler mantenere le cose in famiglia. La potenziata visibilita che ne deriva sara in grado di uscire dalla ristretta cerchia di matematici e produrre immagini condivise in maniera pili ampia? Dopotutto, con il valore della maggiore visibilita, Calvino stava cercando di comunicare con l'anima del mondo. Facendo un passo indietro, ricordiamo che Tymoczko efermo nel ritenere Ie dimostrazioni matematiche e i teoremi come opere d'arte. Che il teorema fondamentale dell' aritmetica sia considerato un' opera d' arte e una riflessione fondamentale per l'immagine della maternatica. La questione inerente ese Ie caratteristiche e i valori estetici possano essere applicati in maniera appropriata aIle opere d'arte matematiche. E nel considerare la questione, Tymoczko e costretto ad abbandonare 10 stile d'espressione paradigmatico che domina la scrittura nel corpo della matematica. Qui utilizziamo la distinzione di Jerome Bruner [21] tra la modalita narrativa e quella paradigmatica di pensare, per distinguere la proposta di Tymoczko da quella che si trova nei tradizionali libri di testo di matematica. La modalita paradigmatica eun modo esplicito, logico, di ragionare suI mondo dei fatti. La narrativa riguarda essenzialmente il resoconto di una sequenza di eventi e implica una qualita drammatica, una sequenzialita (e spesso, la riorganizzazione delle esperienze nella dimensione temp orale), creando collegamenti tra 10 straordinario e l' ordinario e l'irrilevanza dei fatti (il reale e l'immaginario si fondono facilmente). Se la dimostrazione formale e il tipico esempio della modalita paradigmatica, allora la reinterpretazione della' dimostrazione di Tymoczko certamente adotta uno stile piu narrativo. Egli ricerca esattamente una qualita drammatica e racconta di proposito la storia nel tempo, in maniera da far evolvere nuovi significati a partire da ogni tappa che sussegue a un'altra, Le caratteristiche di Bruner del creare collegamenti e irrilevanza fattuale potrebbero essere pili difficili da identificare. Riguardando questa insieme di imrnagine, estetica e narrativa, siamo tentati dalla possibilita di evocare nuove immagini attraverso I'uso di narrative che incorporino l'insieme pili completo delle caratteristiche. Tuttavia, gli stili e Ie pratiche contemporanee nella scrittura matematica certamente non rendono facile questa compito.
osservazlcni
visibUita nella marematlca
Aspetti della stile matematico Candia Morgan [22] ha tentato di definire alcune caratteristiche dello stile discorsivo di un moderno articolo di ricerca di argomento matematico. I' elenco comprende: - un ampio uso di nominalizzazioni, piuttosto che di forme verbali, che trasforma i processi in oggetti e che serve anche a nasconderne la causa; - un uso di forme verbali non attive; - un' assenza di riferimenti all'attivita umana; - una voce dell'autore distante e assenza di riferimenti diretti allettore; - i tempi verbali alla forma progressiva del presente; - una preferenza per gli imperativi impersonali sull'uso pronominale (per esempio si consideri, si supponga, ecc.); - un uso prevalente di connettori, che segnalano la relazione di ogni frase alle frasi precedenti e seguenti (per esesempio, rna, quindi, per cui, allora,di conseguenza ecc.). Inoltre, queste caratteristiche interagiscono amplificando gli effetti discorsivi di ognuna di esse.Queste alcune delle caratteristiche superficiali che identificano un articolo di una rivista matematica come un testa paradigmatico. Ricerche successive (per esempio [23,24]) hanno esaminato le opinioni dei matematici di professione sugli aspetti dello stile della scrittura matematica, in particolare in relazione ai tentativi degli studenti universitari principianti di acquisire maggiore padronanza della stessa. Tuttavia,non esemplicemente una questione di come si dovrebbe fare; ci sono sempre questioni riguardanti il perche di una determinata forma piuttosto che di un'altra. Quali sono i risultati di questa stile? (si veda [4]). Cosa andrebbe perso se venisse modificato 0 ibridato, specialmente in relazione alle modalita narrative piuttosto che a quelle paradigmatiche? Parte dell'intento dichiarato erendere completamente trasparente la "struttura logica"del testo. Ma,in parte, un possibile e piu nascosto obiettivo riguarda la creazione del senso stesso di certezza e autorita decontestualizzata che si ritiene sia la caratteristica principale della matematica. Solomon e O'Neill [25] oppongono con fermezza la matematica alla narrativa (illustrando illoro argomento su una varieta di testi del matematico irlandese del diciannovesimo secolo William Rowan Hamilton), sostenendo che la differenza risiede esattamente in questa "collante" di strutturazione logica contro quella cronologica (e le loro manifestazioni di superficie in termini di tempi verbali, uso di pronomi nominali, connettori tra le frasi e altre scelte lessicali). E interessante notare che negli scritti di Hamilton, tale collante sintattico cambiava a seconda che la sua scrittura fosse per note personali, lettere agli amici 0 quando scriveva i suoi saggi per le riviste 0 monografie (apparentemente rivolti ai suoi colleghi). Un esame delle lettere e degli appunti rivela una struttura pili complessa di una semplice narrativa. I testi contengono due componenti distinte: il testo matematico eimmerso entro una narrativapersonale. La differenza tra i testi eindicata dal sistema dei tempi, la scelta dei riferimenti deittici e le forme di coesione testuale utilizzate 3 (p. 216).
3
N.d.T. Testoin corsivo nell'originale.
matemarica e culture 2008
Quale potrebbe essere l'aspetto di uno stile piu narrativo nella matematica? In cosa si potrebbe differenziare da quanto attualmente vediamo negli scritti professionistici matematici, e tali differenze sono rilevanti? In particolare, potrebbe fornire un margine piu ampio per scrivere delle immagini della matematica, piuttosto che solamente del suo corpo? Queste domande ci conducono alIa natura del "collante" semantico/sintattico che tiene uniti i testi matematici, quel collante che, in maniera problematica, sembrava assente nella prosa dei principianti. Ma riteniamo anche che ci sia un locus limitrofo di interesse - forse di maggiore interesse - che ela questione del pubblico e del suo ruolo (sia in teoria che in pratica) nel dare una forma alIa scrittura matematica.
Una questionedi pubblico e di comeci si rivolge I'atteggiamento di Euclide [verso illettore] emolto chiaro: egli dimostra di non fare per niente caso all' esistenza dei lettori. [... ] Egli non si rivolge mai allettore. ([26], p. 25)
Una delle questioni piu difficili implicata nella complessa correlazione tra lingua e matematica riguarda la strutturazione della forma per contenuto e del contenuto per forma. Uno degli aspetti meno considerati di questa influenza reciproca riguarda la natura e l'influenza del pubblico sulla lingua, specialmente sulla lingua scritta della matematica, il cui lettore empirico (un pubblico potenziale, rna assolutamente non esclusivo) potrebbe non condividere il tempo e 10 spazio dell'autore. Tuttavia, come Bachtin [27] insisteva, ogni enunciazione umana ecaratterizzata dall'avere un destinatario, cioe una disposizione verso l' altro. Indice essenziale (costitutivo) dell' enunciazione eil suo rivolgersi a qualcuno, il suo avere un destinatario.A differenza delle unita significanti della lingua - parole e proposizioni - che sono impersonali, non appartengono a nessuno e non hanno destinatario, l' enunciazione ha un autore (e, quindi, un' espressivita, del che gia abbiamo parlato) e un destinatario. Questo destinatario puo essere il diretto partecipante-interlocutore del dialogo nella vita quotidiana, una collettivita differenziata di specialisti in un campo specifico della comunicazione culturaIe, un pubblico piu 0 meno differenziato, un popolo, i contemporanei, i compagni di idee, gli avversari e i nemici, un sottoposto, un capo, un inferiore, un superiore, un vicino, un estraneo ecc., pub essere anche un altro, del tutto indeterminato e non concretizzato [... ]4. Pertanto,la questione del pubblico segnalata dal titolo di questo paragrafo riguarda il fatto che un testo matematico ha, in effetti, un destinatario, e non sempre si tratta di una questione ben chiara, come indicato dalla citazione precedente di John Fauvel. I matematici, in realta, ne sono abbastanza consapevoli. Norman Steenrod, per esempio, nei paragrafi di apertura del suo contributo per la monografia della Ma4
N.d.T.:Testo tratto dalla traduzione apparsain Italia in MichailBachtin (1988), VAutore e l'eroe. Teoria letteraria e scienze umane, Einaudi, Torinopp- 284-285. Testoin corsivo nell'originale.
Aitune osservazioni intorno aU'esteti4ca, 110 stile e Ia visibilita nella matematlca thematical Association of America, How to Write Mathematics (Steenrod et al., 1973, p. 1) osserva: Un'obiezione di rilievo alla definizione di criteri per l' eccellenza dell'esposizione e il fatto che l'efficacia di uno sforzo d'esposizione dipende molto anche dalle conoscenze e dall'esperienza dellettore. Una dimostrazione chiara ed estremamente precisa per un lettore potrebbe risultare noiosa per qualcun altro che ne ha gia vista una simile. Lo stesso lettore potrebbe trovare una parte pedantemente chiara e un'altra parte ingannevole, anche se l'autore credeva di aver scritto in maniera ugualmente dettagliata entrambe le parti. E Paul Halmos, nel suo ampio contributo per la stessa pubblicazione, dichiara:
Mi piace defin ire il mio pubblico, non solo in senso ampio e vago (per esempio, studiosi di topologia 0 studenti universitari del secondo anno), rna anche in senso molto specifico e personale. Mi aiuta pensare a una persona, magari qualcuno con cui ho discusso dell'argomento un paio di anni fa,o magari un collega amichevole, rna deliberatamente ottuso, e tenere questa persona ben in mente mentre scrivo. (p. 22) Se cio pub facilitare il compito dello scrittore, un simile pubblico "virtuale" potrebbe tuttavia non avere conseguenze sulla leggibilita del risultato finale. La matematica formale non esempre stata scritta in questa modo. Anche se esiste una varieta di generi scritti usati nella matematica piu sofisticata, non c' ebisogno di andare molto indietro nel tempo per trovare delle varianti. Richard Dedekind ([28], pp. 9-10), per esempio, dichiara che Ie sue considerazioni sulla continuita della linea retta sono cosl familiari e note a tutti, che molti riterranno la loro ripetizione piuttosto superflua. Nonostante tutto, ho ritenuto questa ricapitolazione necessaria per introdurre adeguatamente la questione principale, Questo perche il modo in cui i numeri irrazionali sono solitamente presentati ebasato direttamente sul concetto di grandezze estremamente grandi, che non e mai stato definito in maniera precisa e che spiega un numero come il risultato della misurazione di tale grandezza attraverso un'altra dello stesso tipo. Invece, io ritengo che l'aritmetica debba essere sviluppata sulla base di se stessa. " Parlando della definizione di continuita, egli prosegue cosl: Come ho gia detto, credo di non sbagliare ritenendo che la verita di questa affermazione verra da tutti accettata; la maggioranza dei miei lettori sara molto delusa nell'apprendere che a causa di questa osservazione, che costituisce un luogo comune, il segreto della continuita verra rivelato,A questa proposito, vorrei dire che saro lieto se il principio sopraesposto verra ritenuto cost ovvio da tutti e cost in sintonia con la propria idea di linea; poiche io sono del tutto incapace di fornire una prova della sua correttezza,e nessuno ha il potere di farlo. (pp.II-12).
culture 2008
Quindi, egli rivela I'assunzione nascosta di continuita, che e stata usata nella geometria e nell' analisi per secoli. II resoconto di Dedekind presenta diverse caratteristiche sorprendenti, se letto in relazione agli scritti matematici pubblicati verso la fine del ventesimo secolo.Vi euna forte voce narrativa alIa prima persona ed eindirizzato a un generico e indifferenziato «tutti", che si suppone abbiano certe caratteristiche di conoscenza, dettagli di supposizione che contribuiscono a quello che Eco [29] ha definito il "lettore modello" di un testa (per un dibattito su questa nozione in relazione al testa maternatico, si veda [30]).
Conclusioni Dalla magia rinascimentale d'origine neoplatonica parte l'idea dell'imrnaginazione come comunicazione con l'anima del mondo.' [31] La teoria di Bachtin, secondo la quale l' avere un destinatario eun elemento centrale di ogni cornunicazione, solleva il problema di perche nella prosa matematica pin formale tali elementi siano sistematicamente assenti. Non ci rimane altro che chiederci a chi sia rivolto un tale enunciato-testa matematico cosl snaturato, privato dei pronomi e del tempo e di altri legami specifici con il mondo deittico delI'umano hie et nunc. Calvino aveva indirizzato le sue sei proposte agli scrittori, in particolare a quelli dei racconti di fantasia. Ma - qualcuno potra sicuramente supporre - i testi matematici sono I'antitesi completa della fantasia, soprattutto nel loro stile paradigmatico antiquato che trasuda franchezza, certezza e verita lontane da considerazioni prive di senso. Eppure... eppure... Quali sono alcune fantasie dei matematici, fantasie che, nonostante si sforzino al massirno, vengono incise nei loro scritti matematici? II matematico Brian Rotman scrive del "sogno della ragione", un' efficace fantasia di permanenza e di certezza: L'oggetto del desiderio eun discorso puro, immutato nel tempo, in cui le affermazioni dimostrate siano dimostraste per sempre (e in qualche modo sono sempre state vere), dove tutte Ie questioni sono determinate, e tutte Ie risposte sono assolutamente certe. ([32], pp. 187-188) Viene in mente come nell' arte europea pre- impressionista si pensasse che gli artisti dovessero eclissarsi dalle proprie opere (quasi letteralmente, assicurandosi che nessuna traccia delloro pennella potesse rimanere visibile). Le convenzioni intorno all'assenza del pronome, per esempio, si alleano con altri strumenti linguistici per rimuovere la mana dello scrittore del testo matematico, la voce del parlante di tali enunciazioni matematiche.
5
N.d.T.:Testo tratto dall'originalein italiano:Italo Calvino (1993) Lezioni americane. Sei proposte per il prossimo millennio, OscarMondadori,Milano, p. 98.
la vlsibiUta
E tale fantasia si scontra in maniera rilevante anche con le questioni estetiche. Un pensiero molto amato dai maternatici, a questa proposito, e che esistono giudizi indipendenti dal tempo e dal contesto sull'importanza, il valore, la permanenza e la bellezza su cui su concordano tutti (si veda anche [33]). Nonostante l'importante opera degli storici della rnaternatica, Corry [34] e Netz [35] in particolare, che con grande maestria hanno esaminato queste questioni del cambiamento e della relativa ternporaneita a un livello molto elaborato, e ancora abbastanza frequente ascoltare e leggere queste affermazioni stereotipate di trascendenza. Infine, le questioni relative alla modalita di rivolgersi servono anche a mascherare il destinatario, celando anche il fatto che sin dall'inizio era inteso che ce ne fosse uno. Un modo di vedere il desiderio di Calvino di maggiore visibilita e riconoscimento dell'anima del mondo in qualita di ascoltatore attento alla maternatica, quindi, e quello di vedere la stessa anima del mondo come il vero destinatario del testa matematico (e forse e anche di gran lunga preferibile a un io ipercritico e dissociato del matematico-autore). I riti e i rituali dello scritto matematico formale possono essere, pertanto, visti nei termini di quale sia la maniera corretta di rivolgersi a un pubblico cost elevato. E come ci ricorda Achille, in maniera un po' interessata, all'inizio dell'Iliade ([36], p. 29): «Colui che ascolta gli del, eda essi ascoltato'". Tuttavia, dobbiamo anche ricordare I'osservazionedi John Nash,fornita in risposta a un professore a proposito dell'apparente profonda distanza tra 'un maternatico, un uomo che si dedica alla ragione e alla dimostrazione logica' e credere nell'esistenza degli extraterrestri( [37], p. 11): Poiche le idee sugli esseri sovrannaturali mi sono occorse allo stesso modo delle mie idee maternatiche, allora le ho prese sul serio. Esiste una modalita narrativa, che pub essere utilizzata per raccontare in maniera diversa una dimostrazione maternatica, che permetta la costruzione di un'immagine, 0 che consenta una comunicazione pili chiara con l'anima del mondo? E se si, potranno tali idee stabilire qualcosa suI corpo della matematica? E infine, siamo tutti destinati, come lettori matematici e ascoltatori pitagorici, a rimanere nient'altro che, come dice il poeta Robert Kroetsch (1989),"coloro che origliano una preghiera ai santi" 7 (p. 163)?II che ci lascia col dubbio se, in realta, non sia l'udibilita, tanto quanta la visibilita, il valore di Calvino piu appropriato per la matematica.
6 7
N.d.T.:Traduzione di MassimoCaregnato. N.d.T.:Traduzione di MassimoCaregnato.
matemanca e culture 2008
Bibliografia [1] D. Henderson, D. Taimina (2006) Experiencing meaningsin geometry, in: Sinclair, N., Pimm, D. and Higginson, W. (eds), Mathematics and theAesthetic: NewApproaches to an Ancient Affinity, New York, NY,Springer, pp. 58-83 [2] L. Corry (2001) Mathematical structures from Hilbertto Bourbaki: the evolutionof an image of mathematics, in: Bottazzini, U. and Dahan Dalmedico, A. (eds), Changing Images of Mathematics: from the French Revolutionto the New Millennium, London, Routledge, pp. 167-185 [3] L. Corry (2006) Axiomatics, empiricism, and anschauung in Hilbert's conception of geometry: betweenarithmeticand generalrelativity,in: Perreiros, J. and Gray, J. (eds), TheArchitecture ofModern Mathematics: Essays in History and Philosophy, Oxford, Oxford University Press, pp. 133-156 [4] A. Csiszar (2003) Stylizingrigor; or, why mathematicianswriteso well,Configurations 11(2),239-268 [5] W. Thurston (1994) Onproofandprogress in mathematics, Bulletin of the American Mathematical Society 30(2),161-177 [6] A. Jaffe, F. Quinn (1993) "Theoretical mathematics": towards a cultural synthesis of mathematicsand theoretical physics, Bulletin of the American Mathematical Society 29(1), 1-13 [7] H. Lebesgue (1941) Lescontroverses sur la theorie desensembles et la questiondesfondements, in: Gonseth, F. (ed.), LesEntretiensde Zurich, Zurich, S. A. Leeman, pp. 109122 [8] J. Borwein, D. Bailey (2004) Mathematics by Experiment: Plausible Reasoningin the 21st Century, Natick, MA, A. K. Peters [9] D. Corfield (2002) Argumentation and the mathematical process, in: G. Kampis, L. Kvasz, M. Stoltzner (eds.), AppraisingLakatos: Mathematics, Methodology and the Man, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, pp. 115-138 [10] D. Corfield (2007) Narrative and the rationality of mathematicalpractice, unpublished paper. (http://www.dcorfield.pwp.blueyonder.co.uk/HowMathematicians.pdf) [11] T.Tymoczko (1993) Value judgments in mathematics: can we treat mathematicsas an arti, in: White, A. (ed.) Essays in HumanisticMathematics, Washington, DC, The Mathematical Association of America, pp. 62-77 [12] D. Pimm (2006) Drawing on the imagein mathematics and art, in: N. Sinclair, D. Pimm, W.Higginson (eds.) Mathematics and theAesthetic: NewApproaches to an AncientAffinity, New York, NY,Springer, pp. 160-189 [13] N. Sinclair (2006) Theaesthetic sensibilities of mathematicians, in: N. Sinclair, D. Pimm, W.Higginson (eds.) Mathematics and theAesthetic: NewApproaches to an AncientAf [mity, New York, NY,Springer, pp. 87-104 [14] G. Hardy (1940) A Mathematician's Apology, Cambridge, Cambridge University Press [15] H. Poincare (1908/1956) Mathematical creation, in: J.Newman (ed.), The World ofMathematics, New York, NY,Simon and Schuster, vol. 4, pp. 2041-2050 [16] W. Krull (1930/1987) The aestheticviewpoint in mathematics,The Mathematical Intelligencer 9(1),48-52 [17] G.C. Rota (1997) Indiscrete Thoughts, Boston, MA, Birkhauser [18] U. Eco (1994) Six Walks in the Fictional Woods, Cambridge, MA, Harvard University Press [19] N. Sinclair (2005) Chorus, colours, and contrariness in school mathematics,THEN, 1 (http://thenjournal.org/feature/801) [20] D. Pimm (2007) Euclid, overheard: noteson performance, performatives and proof (an intertextual, interrogative monologue), in: Gadanidis, G. and Hoogland, C. (eds.). Di-
all'estetlca, 10 stile e la visibUita nella matemetlca gital Mathematical Performance, London, ON, Faculty of Education, University of We-
stern Ontario, pp. 25-35 [21] J. Bruner (1986) Actual Minds, Possible Worl~s, Cambridge, MA, Harvard University Press [22] C. Morgan (1998) WritingMathematically: the Discourse of Investigation, London, Palmer Press [23] L. Burton, C. Morgan (2000) Mathematicians writing, Journal for Research in Mathematics Education 31(4),429-453 [24] E. Nardi, P.Iannone (2005) To appearand to be: mathematicianson their students'attemptsat acquiring the"genre speech" of university mathematics, in: M. Bosch (ed.), Pro-
ceedings of the Fourth Congress of the European Societyfor Research in Mathematics Education, pp. 1800-1810 (http://ermeweb.free.fr/CERME41) [25] Y.Solomon, J. O'Neill (1998) Mathematics and narrative, Language and Education 12(3),210-221 [26] J. Fauvel (1988) Cartesian and Euclidean rhetoric, For the Learning of Mathematics 8(1),25-29 [27] M. Bakhtin (1952/1986) The problem of speech genres, in: C. Emerson, M. Holquist (eds.) Speech Genres and OtherLate Essays, Austin, TX, University of Texas Press, pp. 60-102 [28] R. Dedekind (1879) Was Sind und was Sollen die Zahlen? Braunschweig, Vieweg [29] U. Eco (1979) The Role of the Reader: Explorations in the Semiotics of Texts, Bloomington, IN, Indiana University Press [30] E. Love, D. Pimm (1996) "This is so": a text on texts, in: A. Bishop et al. (eds.) InternationalHandbookof Mathematics Education, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, pp.371-409 [31] I. Calvino (1992) Six Memosfor the Next Millennium, London, Jonathan Cape [32] V.Walkerdine (1988) TheMasteryof Reason: Cognitive Development and the Production of Rationality, New York, NY,Routledge [33] D.Wells (1990) Arethese the mostbeautiful?, The Mathematical Intelligencer 12(3),37-41 [34] L. Corry (2004, 2nd edn) ModernAlgebra and the Riseof MathematicalStructures, Basel, Birkhauser Verlag [35] R. Netz (2004) The Transformation of Mathematics in the EarlyMediterranean World: from Problems to Equations, Cambridge, Cambridge University Press [36] E. Rieu (1950; trans.) The Illiad, Baltimore, MD, Penguin Books [37] S. Nasar (1998) A Beautiful Mind, New York, NY,Simon and Schuster [38] R. Kroetsch (1989) Hear Us 0 Lord and the Orpheus occasion, in: Kroetsch, R., The LovelyTreachery of Words: Essays Selected and New, Toronto, ON, Oxford University Press,pp.163-178 [39] I. Lakatos (1976) Proofs and Refutations: the Logicof MathematicalDiscovery, Cambridge, Cambridge University Press [40] D. Pimm, R. Beatty, J. Moss (2007) A question of audience, a matter of address, in: Pitta-Pantazi.D, (ed.),Proceedings of theFifth Congress of theEuropean Society for Research in Mathematics Education, Nicosia (http://ermeweb.free.fr/CERME5/) [41] P.Roth (1974) My Life as a Man, New York, NY,Holt, Rinehart and Winston
Matematica e poesia PAOLO MAROSCIA
Quando si parla di "maternatica e poesia", gli atteggiamenti possono essere molto diversi. Per esempio, 0 si dice che si tratta di due attivita che hanno ben poco in comune, se non addirittura che sono agli antipodi tra loro, oppure ci si limita a osservare che entrambe hanno SI qualcosa in comune, rna solo in senso lato, come accade per tutte le attivita creative 0 artistiche, oppure ancora, si considera il contributo fornito dalla matematica allo studio, alla comprensione, e perfino alla sperimentazione di testi poetici. Quest'ultimo atteggiamento si riscontra, tuttavia, solo tra gli studiosi affascinati dallo strutturalismo, dalla semiotica e dalla matematica combinatoria, mentre il primo, legato a pregiudizi e tradizioni radicate nel sentimento comune, appare il piu diffuso e, pertanto, verra qui considerato con attenzione. I'obiettivo principale di questa articolo e quello di illustrare un aspetto peculiare dei rapporti tra poesia e matematica, apparentemente non esplorato finora. Si tratta precisamente del ruolo che la poesia svolge, in molti casi, illuminando varie zone d' ombra che circondano simboli, oggetti e proprieta matematiche, e facendo cOSI emergere un mondo ricco di suggestioni e di significati, al di la dellinguaggio formale e della struttura assiomatico-deduttiva. L'articolo e diviso in tre partie Nella prima, vengono analizzati alcuni dei pregiudizi pili diffusi nei confronti della matematica e nei confronti della poesia. Cio permettera, tra l'altro, di avvicinare le due attivita in questione e di agevolare 10 studio dei rapporti tra di esse. La seconda parte ededicata soprattutto all'esame di alcuni testi poetici, tra i tanti a disposizione, che gettano una nuova luce su vari aspetti importanti dell' attivita matematica: cio a sostegno della tesi centrale dell'articolo, sopra enunciata. Nella terza parte, si accenna ai rapporti tra matematica e poesia nel XX secolo, mostrando, tra l'altro, come il matematico e il poeta si ritrovino ad affrontare e a condividere, in tale periodo, alcuni problemi a livello profondo. Illavoro termina con alcune osservazioni finali, rna non conclusive, essendo impensabile poter sviluppare adeguatamente un argomento cOSI vasto e complesso, in poche pagine. Quanto alla bibliografia, anch'essa limitata per ragioni di spazio, segnaliamo i riferimenti da [1] a [10] per spunti e considerazioni varie, di particolare interesse per i temi qui trattati.
cultura 200S
Alcuni luoghi comuni Cominciamo con la matematica. Qui la lista dei pregiudizi emolto lunga: c'e solo l'imbarazzo della scelta. Partiamo dal Dizionario dei luoghi comuni di Gustave Flaubert (1821-1880) [11], dove troviamo una voce specifica: (( Matematiche. Inaridiscono il cuore". C'e poi un passo di Leopardi, nella Zibaldone, che contiene un'analisi di alcuni aspetti cruciali che sono alla base dell'apparente aridita della matematica: Percio la maternatica, la quale misura quando il piacer nostro non vuol misura, definisce e circoscrive quando il piacer nostro non vuol confini [...], analizza quando il piacer nostro non vuole analisi ne cognizione esatta della cosa piacevole [... ], la rnatematica, dico, dey'essere necessariamente I' opposto del piacere. (Zib.247-248) Ma evero che la matematica e"intrinsecamente" un'attivita priva di emozioni e decisamente poco piacevole? In realta le cose non stanno affatto cost, Basterebbe guardare agli inizi della storia della matematica, nel mondo occidentale, e quindi, innanzitutto, alle figure di Talete, Pitagora, Platone, Euclide, Archimede. L'intreccio profondo con la filosofia greca, in particolare, da subito un'idea della straordinaria ricchezza culturale, in senso lato, del pensiero matematico [12-14]. Illuminante, in proposito, euna celebre frase di Voltaire: "C'era pili immaginazione nella testa di Archimede che in quella di Omero"; per di pili, numerose sono state le risonanze del pensiero di Archimede tra i poeti dell'antichita [15]. Una risposta migliore alle osservazioni di Flaubert e di Leopardi potrebbe essere fornita da un passo autobiografico di Giacomo Debenedetti (1901-1967), forse il pili 'grande critico letterario italiano del Novecento, il quale cost ricorda i suoi studi iniziali di Matematica, all'universita, prima di passare a quelli di Giurisprudenza e approdare infine a quelli di Lettere [16]: Ero un giovane malinconico ed entusiasta, facevo il biennio di matematica al Politecnico di Torino. Ero completamente rapito da quei teoremi, da quei calcoli, da quegli algoritmi, dalla bellezza propriamente lirica di quei ragionamenti, di quelle associazioni, di quei passaggi, dal trionfo ogni volta inebriante con cui si giungeva alle splendide cadenze dei risultati verificabili, dopo illungo palpitare nell'inseguimento delle formule successive a volte ansioso, implacabile nell'accelerare il cuore, come quando si respirano i cromatismi della musica di Tristano. Naturalmente, non mancano testimonianze di analogo tenore da parte di matematici "professionisti", tra i quali, H. Poincare, J. Hadamard, H. Weyl, A. Borel, E. De Giorgi, R. Osserman eCCe (0 di umanisti "matematici", come R. Musil, L.Sinisgalli, P.Valery, F. Le Lionnais, R. Queneau, J. Roubaud, G. Perec, H.M. Enzensberger, ecc.). Ci limiteremo qui a riportare due passi significativi.
Matematica e II primo edi Andre Weil (1906-1998), uno dei pili grandi matematici del XX secolo [17,]: Nulla epili fecondo, come tutti i matematici sanno, di quelle oscure analogie, di quei torbidi riflessi da una teo ria all' altra, di quegli accarezzamenti furtivi, di quelle discordanze inspiegabili; nulla dunque da pili piacere al ricercatore. Arriva un giorno in cui l'illusione si dilegua, il presentimento si muta in certezza, le teorie gemelle rivelano la lora origine comune prima di svanire ... II secondo edi Renato Caccioppoli (1904-1959), forse il pili geniale matematico italiano della prima meta del secolo scorso, il quale, in una conferenza a Parma nel1949, cost riassumeva la sua attivita di rice rca nel campo dell' Analisi Funzionale [18]: Credo che possiamo ascrivere a nostro merito di aver affrontato una serie di problemi concreti e di aver portato in queste questioni un certo sana realismo proprio di noi italiani. Dunque, concludendo, non metodo, rna indirizzo generale. Un punto di vista se volete; gusto potra chiamarlo uno scettico, programma potra chiamarlo un politico e, perche no? stato d'animo potrebbe chiamarlo un poeta, cost come Anouilh diceva che il paesaggio euno stato d'animo e cosl un complesso di teorie potrebbe essere in ultima analisi uno stato d'animo ... Dunque, dalle ultime citazioni, emerge un'immagine della matematica che non corrisponde affatto al cliche tradizionale. In realta, come racconta Debenedetti, epossibile sperimentare concretamente il piacere e la bellezza della matematica, anche a livello elementare: basta pensare, per esempio, alla "vecchia" tavola pitagorica 0 alla semplice equazione di secondo grado 0, ancora, al Teorema di Pitagora, secondo cui in ogni triangolo rettangolo, il quadrato dell'ipotenusa euguale alla somma dei quadrati degli altri due lati. Quest'ultimo risultato, di straordinaria eleganza e profondita, possiede addirittura un forte contenuto poetico, come ha osservato la poetessa polacca Wislawa Szymborska, Premio Nobel per la Letteratura nel1996 [19]: ...Non ho difficolta a immaginare un'antologia dei pili bei frammenti della poesia mondiale in cui trovasse posta anche il teorema di Pitagora. Perche no? Ll c'e quella folgorazione che e connaturata alla grande poesia, e una forma sapientemente ridotta ai termini pili indispensabili, e una grazia che non a tutti i poeti e stata concessa. Passando ora alla poesia, c' eda notare che anch' essa appare prigioniera di alcuni pregiudizi. Infatti, si ritiene comunemente che essa sia il regno dell'immaginazione e del sentimento; il tutto, in assoluta Iiberta, senza regole. Ma in realta, anche la poesia e soggetta a regole [20]. Innanzitutto, c'e il codice linguistico, che riguarda la scelta delle parole in una lista di possibilita alternative e i vari modi di
cultura 2008
combinare Ie parole nei versi, tra i quali, in particolare, la rima. E poi, soprattutto, c' e il codice poetico,che si e formato e consolidato nel corso dei secoli, sulla base dell' attivita e della produzione poetica di numerosissimi autori, il quale consiste di metodi e procedimenti specifici che servono ad ampliare e arricchire le possibilita dellinguaggio, utilizzando, in primo luogo, Ie varie "figure retoriche". Dunque, anche l' attivita poetica deve rispettare, in qualche modo, delle regole precise, sicche, parafrasando la "definizione" della matematica, data in [21], come un treno di numeri che corre su binari di regole si potrebbe "definire" la poesia come un treno di parole/che corre/su binari di regole. Vediamo subito alcuni esempi concreti. Cominciamo con un esempio "classico" [20], che riguarda una prima versione manoscritta della poesia A Silvia di Giacomo Leopardi (1798-1837), la quale inizia cosl: Silvia, sovvienti an cora quel tempo della tua vita mortale,
Ebbene, Leopardi poteva scegliere, al posta di "sovvienti", un altro verba tra vari sinonimi. Per esempio, rammentare, cioe riportare alla mente, oppure ricordare, ossia riportare al cuore, 0 ancora rimembrare, vale a dire ridare membra. Ma, a pensarci bene, trattandosi di una lirica che rievoca la "vita mortale", il verba pili appropriato eproprio "rimembrare", che equello che comparira poi nella versione definitiva, Un altro esempio, tra i tanti, di scelta accurata dei termini si trova in una poesia di Eugenio Montale (1896-1981), nella quale riecheggia, in lontananza, un antico paradosso di Zenone [22]: Tu sola sapevi che il mota non ediverso dalla stasi, che il vuoto eil pieno e il sereno ela pili diffusa delle nubi. Si noti il termine scientifico "stasi", diverso da "quiete", e inoltre, il sapiente effetto poetico creato dalle contrapposizioni, disposte in ordine decrescente di intensita: moto/stasi, vuoto/pieno, sereno/nubi, con l' accento finale posta sull'immagine evanescente di un (cielo) sereno, in cui si stempera I'atmosfera iniziale di forte contrasto.
Matelinat:ica e
Ma vi sono anche regole piu nascoste, legate al ritmo, alla rima e alla lunghezza dei versi, da rispettare. Vi si adegua perfino un poeta "trasgressivo" come Aldo Palazzeschi (1885-1974), come si vede in questa breve poesia.di ispirazione matematica [23]: Uno due tre
caffe caffe caffe,
Quattro cinque sei lei lei lei. Sette otto nove piove piove piove. Zero. Nero. Si noti che, al di la dell' aria scanzonata, sono proprio le regole del codice poetico a creare un effetto piacevole, intorno a questi numeri "in liberta", ricchi di suoni, odori e colori. Tuttavia, non e facile definire, in modo preciso, la "specificita" dellinguaggio poetico. In proposito, riportiamo alcune considerazioni molto interessanti, espresse mediante illinguaggio dei numeri complessi, contenute in una lettera [2] del poeta-matematico Leonardo Sinisgalli (1908-1981) al grande critico letterario Gianfranco Contini (1912-1990): Carissimo Gianfranco, cerca di approfondire questa idea che mi son fatta della poesia: un quantum, una forza, una estrema animazione esprimibile mediante un numero complesso a+bj: idealis mundi monstrum, inter ens et non ens amphibium (Leibniz); quantita silvestre (Cardano); somma di un reale e di un immaginario (Cartesio); un vettore, diremo noi con Marcolongo. [... ] Ma torniamo ai numeri complessi e alla poesia, al binomio a-bj, dove a e b sono quantita reali e j eil famoso operatore immaginario. Questo operatore da un senso, un'inclinazione al numero che per sua natura e orizzontale e inerte.Io rende attivo.Io traduce in una forza. A me pare analoga I'azione di j a quella che il poeta esercita sulla C(cosa". Le parole per formare un verso devono avere una particolare inclinazione (scritta cosi, questa frase sembra ora addirittura lapalissiana). Voglio dire, insomma, che il simbolo j ci darebbe un'idea di quella che el'alterazione provocata dallinguaggio sulla realta, del rapporto cioe tra "cosa" e "immagine"... Leggendo queste righe, si ritrova un po'T atmosfera suggestiva di alcune celebri pagine di Robert Musil, dedicate al "mistero" dei numeri complessi [24]. Pili in particolare, l'intuizione di Sinisgalli sembra accordarsi con la "definizione" di poesia data dal grande poeta del Novecento Ezra Pound (1885-1972), come attivita rivolta a rinnovare continuamente il linguaggio, il quale rischierebbe altrimenti di consumarsi con l'uso quotidiano, perdendo cosl la capacita di comunicare [20]. Un'eco di questa nuova concezione della poesia si ritrova, in particolare, in questi versi di Umberto Saba (1883-1957), uno dei massimi poeti italiani del Novecento [25]:
10 sono .. .io sono appena un ciabattino.l Vecchie suole s'affanna a rifar nuove.
matematica e culture 2008
La matematica nascosta nei versi Prima di entrare nel vivo dell'argomento di questa paragrafo, che costituisce la parte centrale dell' articolo, conviene accennare a una caratteristica importante della poesia, che svolge un ruolo addirittura fondamentale nella matematica. Si tratta della concisione, che non ha solo un aspetto formale, legato alIa disposizione ottimale delle parole nei singoli versi, rna ha soprattutto un aspetto din amico, dato, per cOSI dire, da un concentrato di energia espressiva che colpisce il lettore, in profondita, Gli esempi migliori forse sono dati da alcuni incipit,ben noti:
Quisfuit, horrendos primus qui protulit enses?
Piove. E mercoledl. Sono a Cesena Vergine madre, figlia del tuo figlio
April is the cruellest month, ...
(Tibullo) (Marino Moretti) (Dante) (T.S.Eliot)
Ma oltre alIa concisione, vi e un'altra proprieta fondamentale in matematica, la
simmetria, che epresente anche nella poesia, sia pure in forme e accezioni pecu-
liari, e che riguarda sia la struttura dei singoli versi che la disposizione dei versi stessi, all'interno della composizione poetica. Tralasciando la Divina Commedia, miniera inesauribile di spunti e riferimenti concreti [26], un esempio tra i tanti edato da un celebre verso di Lucrezio, nel De rerum natura, 1, 101, a proposito del sacrificio di lfigenia [27]:
Tantum religio potuit suaderemalorum.
E un verso di grande potenza espressiva e dotato di una simmetria trasparente, centrata suI verbo potuit, con Ie corrispondenze ai due lati: tantum/malorum, religio/suadere.
Naturalmente, non e difficile citare nozioni, formule e risuitati matematici in cui la concisione e Ia simmetria giocano un ruolo fondamentale, anche a livello elementare: per esempio, Ie congruenze tra numeri interi, il triangolo di Tartaglia, i numeri di Fibonacci, i poligoni e i poliedri regolari, le matrici quadrate, i numeri complessi, il teorema fondamentale dell' aritmetica, ecc. E bene segnalare tuttavia che, accanto ad alcuni tratti comuni importanti, come la concisione e la simmetria, grazie ai quali la poesia e la matematica contribuiscono, in particolare, all'educazione alIa bellezza e alIa formazione del pensiero (cfr. per es.I l, 4, 28-32]), vi sono altri aspetti che differenziano notevolmente Ie due attivita; su cio, torneremo pili avanti. Passiamo finalmente a illustrare alcuni testi poetici, in cui compaiono collegamenti significativi con la matematica, anche se non in modo esplicito e diretto, come, per esempio, nei Cantidi Maldoror [33]. Va detto subito che il materiale a disposizione, in proposito, e ampio e copioso, comprendendo testi appartenenti a varie civilta letterarie e a varie epoche, sicche i pochi esempi citati potranno dare solo un'idea del contributo che la poesia e in grado di offrire alIa matematica. Tale contributo - vale la pena precisare - consiste soprattutto in un ampliamento di orizzonti del mondo della matematica, al di la dei confini segnati dallinguaggio for-
Matematica e malizzato e dai procedimenti logico-deduttivi, che porta, in particolare, alla scoperta di una straordinaria ricchezza e profondita di significati, legati all'attivita matematica.Tutto cio reso possibile dalla poesia, come vedremo, proprio perche essa
e
e
un linguaggio diverso da quello che usiamo per comunicare nella vita quotidiana e di gran lunga pin ricco, piu completo, piu compiutamente umano; un linguaggio al tempo stesso accuratamente premeditato e profondamente involontario capace di connettere fra loro le cose che si vedono e quelle che non si ve_dono, di mettere in relazione cio che sappiamo con cio che non sappiamo. [34] I testi poetici di seguito riportati (cfr., nell'ordine, [35-42]) saranno seguiti da brevi commenti. Notturno per Mondrian Piu 0 meno, croci armoniose dell'alfabeto che non parla mai. Di se solo perfetto cimitero di segni l'infinito.
Alfonso Gatto (1909-1976)
Gia il titolo, con il riferimento esplicito all'arte astratta di Mondrian e il termine "notturno", vagamente musicale, crea un'atmosfera ideale per esplorare la ricchezza semantica del segno + . In esso c'e innanzitutto il segno - ,e poi c'e la croce, con la sua "arrnonica simmetria", racchiusa nell'ortogonalita, rna c'e anche il dramma silenzioso delle persone analfabete che scrivono la propria firma con una croce, e poi c'e l'immagine del cimitero, delle croci perfettamente allineate disposte sulle tombe, a perdita d'occhio, cOSI da lasciarci intravedere e immaginare addirittura l'infinito.
I'ombra L'ombra di una retta e sempre una retta; non e quasi mai un cerchio l'ombra di un cerchio
Leonardo Sinisgalli
I primi due versi sono rassicuranti, poiche descrivono un fatto ben noto, per esperienza. La sorpresa compare nei due versi successivi, dove si assiste a un vero capovolgimento, a livello di significati: la circonferenza, che una linea rigida, per eccellenza, essendo "costretta' nella sua forma dalla proprieta di equidistanza dal centro, si rivela a un tratto un oggetto flessibile, che si las cia trasformare docilmente in altre linee curve. Sono quattro versi brevi, rna intensi, raccolti in una forma compatta, mediante un gioco di inversioni e di opposizioni (e/non e, sem-
e
cultura 2008
pre/quasimai). Sembra quasi di avvertire una traccia di "furore maternatico" tradotto in poesia.
I'm Nobody! Who are you? Are you - Nobody - too? Then there's a pair of us! Dont tell! They'd advertise- you know! How dreary - to be - Somebody! How public - like a Frog To tell your name - the livelong June To an admiring Bog!
Emily Dickinson (1830-1886)
Colpisce, in questi versi, il ritmo chiaro eben scandito, come se si trattasse di una serie di fotogrammi, nitidi e staccati tra loro in modo brusco e quasi nervoso, con tutti quei punti esclamativi. .. Si ha come l'impressione di trovarsi davanti a una serie di brevi passaggi matematici, che girano intorno allo zero, poiche si respira un forte desiderio, anzi, il piacere, di non essere "nessuno", Si avverte cost una profonda attrazione verso il nulla, acuita dal fatto che, nonostante l'apparente forma di dialogo, si tratta in realta di un monologo, sviluppato con grande sincerita e partecipazione. L'infinito Sempre caro mi fu quest'ermo colle, E questa siepe, che da tanta parte Dell'ultimo orizzonte il guardo esclude. Ma sedendo e mirando, interminati Spazi di Ia da quella, e sovrumani Silenzi, e profondissima quiete 10 nel pensier mi fingo; ove per poco II cor non si spaura. E come il vento Odo stormir tra queste piante, io quello Infinito silenzio a questa voce Vo comparando: e mi sovvien l'eterno, E Ie morte stagioni, e la presente E viva, e il suon di lei. Cost tra questa Immensita s'annega il pensier mio; E il naufragar m'e dolce in questo mare.
Giacomo Leopardi
L'idillio leopardiano efin troppo noto ed e stato cosi tanto studiato e analizzato, che sarebbe davvero temerario pensare di scrivere delle osservazioni, in qualche modo originali. Ci limitiamo qui a segnalare soltanto un possibile filo di collegamento tra i due brani precedenti. Precisamente, accostando i versi di Dickinson e di Leopardi, sembra emergere un legame profondo e misterioso tra il nulla,
cioe 10 zero, e l'infinito, attraverso il "cupiodissolvi", qualcosa di simile, sia pure in tutt'altro contesto, appare anche nella poesia di Gatto sopra riportata. Ebbene, un tale legame ha una notevole importanza in matematica, dove 10 zero e l'infinito vengono trattati come "due facce di una stessa medaglia": basta tradurre tutto nel linguaggio formalizzato e considerare la funzione che manda x in l/x , con I'avvertenza di supporre x*"O . Dunque non si tratta di una novita per i maternatici, rna e senz'altro sorprendente e affascinante il modo in cui i poeti riescono a percepire e a esprimere tutto cio, Per alcune osservazioni di carattere filosofico, ampie e approfondite, legate soprattutto alla concezione dell'infinito in Leopardi, rimandiamo a [38]. Zenon! Cruel Zenon d'Eleel M' as- tu perce de cette fleche ailee Qui vibre, vole, et qui ne vole pas! Le son m'enfante et la fleche me tue! Ah! Le soleil... Quelle ombre de tortue Pour l'ame.Achille immobile a grands pas!
Paul Valery (1871-1945)
Questa strofa del Cimitero marino [40] esprime in modo efficace, al di la del tono intellettualistico, I'effetto dirompente di alcuni celebri paradossi di Zenone. Precisamente, attraverso un linguaggio poetico, quasi violento, viene descritta la notevole "forza d'urto" dei paradossi, che investe non soltanto il pensiero logico, o meglio I'attivita razionale, rna I'essere umana in profondita, Prevale tuttavia, in questi versi, una delle caratteristiche principali dell'opera poetica di Valery, ossia I'atteggiamento riflessivo, influenzato dalla familiarita con il metodo scientifico, piuttosto che l'ispirazione vera e propria.
Geometria I'importante e colpire alle spalle. Cost si forma un cerchio dove I'inseguito insegue il suo inseguitore. Dove non si puo pin dire (figure concomitanti fra loro, e equidistanti) chi sia il perseguitato e chi il persecutore. Giorgio Caproni (1912-1990)
La poesia si apre con un messaggio piuttosto raggelante nella sua crudezza, quasi una dichiarazione di principio, che illumina e "spiega" i versi successivi. Infatti, subito dopo il quadro si anima tramite due figure che si inseguono lungo il bordo di un cerchio: si assiste cost a un rovesciamento di ruoli tra I'inseguitore e l'inseguito, cio che porta, alla fine, a una indeterminazione vera e propria. Si ritrova qui
rnatemanca e culture 2008 uno dei temi centrali della poetica di Caproni, quello del cacciatore che e anche un fuggiasco, come se ci fosse una specie di sdoppiamento dell'io, in due persone che cercano di eliminarsi a vicenda. Tutto cio viene espresso in forma incisiva e quasi tagliente, grazie a un notevole labor limae, e rivela, incidentalmente, elementi di "complessita", perfino in una figura semplice come una circonferenza. Anzi e proprio il contesto geometrico, chiaro e ambiguo nello stesso tempo, che consente al Poeta di esprimere con grande efficacia il proprio dissidio interiore, profondo e insanabile. Anche qui, come nel brano precedente di Sinisgalli, e illinguaggio poetico che porta alIa luce qualcosa di "sorprendente" legato alIa circonferenza.
Parabola
Anni di giovinezza grandi e pieni! Mattini lenti, faticoso ascendere di gioventu che avanza come il carro del sole sulla via del meriggio. A colpi di frusta, con grida eccitanti, noi la sproniamo a passare. Ed illusioni, errori, non sono allora che stimoli al tempo e una maniera d'ingannar l'attesa. Giunti che siamo al sommo, volti all'ombra, gli anni van gin rovinosi in pendio. Ne il numerarli ha ormai nessun valore in sl veloce moto. Vincenzo Cardarelli (1887-1959) Si tratta di una poesia limpida, classicheggiante, rna moderna, ossia senza retorica, che rispecchia gli elementi fondamentali dell' opera di Cardarelli. Essa e centrata suI problema del tempo e della sua transitorieta, In particolare, viene ripreso un topos antico: motus in fine velocior, che pub essere applicato in vari contesti, tra i quali, per esempio, la caduta dei gravi, in cui si registra un aumento progressivo della velocita, oppure la vita umana, che verso la fine sembra davvero precipitare. Grazie a questi versi, la parabola con la concavita rivolta verso il basso, qui "analizzata" in dettaglio, appare molto espressiva e ricca di risonanze, a differenza di quella, sia pure pin farniliare, con la concavita verso l'alto.
Lacrisi del XX secolo In questa paragrafo accenneremo alIa particolare situazione in cui si ritrovano la matematica e la poesia alla fine del XX secolo, perche essa offre, a nostro avviso, vari spunti interessanti per osservazioni e riflessioni, che meriterebbero di essere sviluppate e approfondite in altra sede. Innanzitutto occorre notare che sia la matematica che la poesia hanno subito
Matematica e delle trasformazioni notevolissime, quasi epocali, anche in conseguenza della rivoluzione culturale, economica, politica e sociale avvenuta nel secolo scorso. In breve, entrambe hanno perso quell'aura di "sacralita" che le aveva contrassegnate per secoli, fin dalla loro nascita. E non poteva accadere altrimenti, in un'epoca di smarrimento generale, in seguito alla perdita dei valori tradizionali, alla scomparsa dei punti di riferimento e alla frantumazione del sapere, un'epoca in cui, ricorrendo a un verso molto efficace di Montale, il calcolo dei dadi pill non torna. Per avere un'idea del clima culturale, 0 meglio dello Zeitgeist all'inizio del Novecento, possiamo citare alcuni versi della poesia Mi contraddico? di Arturo Graf (1848-1913) [43]: Mi contraddico? Sicuro. Perche te ne meravigli? Non siamo noi forse i figli Del dubbio e dello spergiuro? Non sai (mistero giocondo!) Che la contraddizione El'anima del mondo?
In particolare, nel corso del XX secolo, il poeta ha preso coscienza di un "ridimensionamento" del proprio ruolo: non e piu un profeta 0 un vate, ispirato dalla Musa, depositario di messaggi da consegnare all'umanita (a parte alcune eccezioni importanti, tra cui, Eliot, Blok e D'Annunzio). Egli esoltanto un uomo come tutti gli altri, anche se ha qualcosa di importante da dire. E qui forse basterebbe citare Umberto Saba e la sua opera poetica, caratterizzata da una grande immediatezza e sincerita, senza artifici di alcun tipo, ne rigorosi controlli forrnali, oltreche da una forte moralita, Erimasta famosa la sua dichiarazione di principio: "Ai poeti resta da fare la poesia onesta", dove Saba intendeva per "disonesta" l'insincerita, a livello profondo, verso illettore e verso se stessi. Per dare un'idea della ricchezza del suo messaggio poetico, al di la dellinguaggio diretto e accessibile, riportiamo qui i primi versi di Amai, una delle sue poesie piu significative [25]: Amai trite parole che non uno osava. M'incanto la rima fiore amore, la piu antica difficile del mondo. Amai la verita che giace al fondo,
C'e da sottolineare che, proprio immergendosi pienamente nella realta, senza trascurare aspetti della vita quotidiana, ne termini comuni, apparentemente poveri di significati, Saba riesce a toccare e a raggiungere il "fondo", ossia, a intravedere una risposta ai principali problemi legati alla condizione umana.
eultura 2008
Allo stesso modo, e nello stesso tempo, il matematico ha scoperto, suo malgrado, di non essere pili depositario di verita assolute, certe e rigorosamente dimostrabili. Le dimostrazioni dell'esistenza di proposizioni indecidibili all'interno della matematica (cioe di enunciati di cui non epossibile stabilire ne la verita ne la falsita), e dell'impossibilita di provare la coerenza dell' Aritmetica, date nel1931 dal pili grande logico del Novecento, Kurt Gode~ (1906-1978), hanno inferto un duro colpo, non solo ai matematici professionisti, rna anche ai non addetti ai lavori. La conseguente "perdita della certezza" [44], comparsa in modo improvviso e del tutto imprevedibile, ha costretto il matematico a rivedere il suo ruolo tradizionale, 01treche l'immagine della matematica stessa, senza che cio pregiudicasse tuttavia 10 sviluppo della disciplina. Dunque, nel XX secolo, sia il poeta che il matematico sono scesi, per cOSI dire, dal piedistallo, ossia, dalla cattedra: si tratta di un fatto singolare e straordinario, che accomuna, in qualche modo, le due figure. Pub essere illuminante, a riguardo, l'ultima strofa di una nota poesia di Montale, Non chiederci la parola [22]: Non domandarci la formula che mondi possa aprirti, SIqualche storta sillaba e secca come un ramo. Codesto solo oggi possiamo dirti, cio che non siamo, cio che non vogliamo. In realta, per quanta riguarda la matematica, alcuni segni premonitori erano gia comparsi nel corso delll'Ottocento: prima con la scoperta delle geometrie non euclidee, poi con la nascita della teo ria degli insiemi, ad opera di Georg Cantor (1845-1918), e successivamente con i problemi riguardanti i fondamenti stessi della matematica. Anche nell'ambito della poesia, cOSI come nella letteratura, dopo i trionfi del Romanticismo, erano comparsi, gia verso la meta dell'Ottocento, i primi segni di crisi, di cambiamento di atteggiamento. Emblematico, a tale riguardo, appare uno dei versi pili celebri di Charles Baudelaire (1821-1867),quello che chiude il Prologo delle Fleurs du mal [45]: - Hypocrite lecteur, - mon semblable, - mon frerel A partire dalla fine dell'Ottocento, la "rivoluzione" riguardante i1 ruolo del poeta e la funzione della poesia diventera sempre pili diffusa e marcata, per tutto i1 secolo successivo (cfr. per es. [23,46]). Ritornando alIa matematica, c'e da aggiungere che la crisi avvenuta nel corso del xx secolo ha prodotto altre conseguenze piuttosto problematiche, anche in seguito all'inevitabile crisi dell'unita della disciplina e all'avvento della specializzazione, sempre pili esasperata. In particolare, si eacuito il distacco tra gli oggetti, i metodi, i risultati della ricerca matematica, espressi in un linguaggio sempre pili astratto e formalizzato, e i loro significati espliciti, profondi; cio soprattutto sotto l'influenza del Bourbakismo, che ha dominato la scena per almeno un quarantennio, fino agli anni '80. Un campanello d'allarme riguardo a tale problema compare, di sfuggita, in un articolo del grande matematico Pierre Deligne, Medaglia Fields per la Matematica nel1978. In questa articolo [47] si trovano varie osser-
vazioni abbastanza significative; in particolare, alIa fine della dimostrazione di un lemma fondamentale, sviluppata in modo puramente formale, si legge questa frase un po' inquietante:
Ie serais reconnaissant atoute personne ayant compris cette demonstration de me l'expliquer.
Ela spia di un dis agio pili generale, realmente sentito da molti (citiamo qui, tra gli altri, Gian Carlo Rota, Rene Thorn, Errett Bishop, David Mumford), il quale andrebbe valutato con grande attenzione all'interno della comunita matematica. In proposito, gia molti anni prima, il grande matematico italiano Bruno de Finetti aveva osservato (nell'ambito della Teoria della Probabilita) che "cio che e logico e esatto, rna non dice nulla" [48]. Tuttavia, nonostante Ie enormi difficolta.la Matematica ha avuto nel corso del XX secolo uno sviluppo straordinario in tante direzioni, e per di pili, con ricadute di notevole importanza in numerosi e svariati settori applicativi [10, 49, 50]. Forse in nessuna epoca della storia dell'umanita essa ediventata cOSI pervasiva, anche se cio non ha avuto come conseguenza ne una maggiore visibilita e neppure una maggiore considerazione sociale. Si tratta di un vero e proprio paradosso, sicche si potrebbe parlare della matematica come della "cultura invisibile" del nostro tempo [51]. Osservazioni finali Come abbiamo visto, matematica e poesia hanno vari "punti di contatto", anche perche operano entrambe attraverso la "mediazione dellinguaggio", sia pure di un linguaggio con caratteri e significati diversi [52]. Tale diversita, se da un lato, pub dar luogo a un arricchimento per ciascuna delle due attivita, dall'altro, tuttavia, porta a differenziarle sensibilmente: basta considerare, per esempio, iI problema antico della "intraducibilita" di un testa poetico, dalla lingua originale in un' altra lingua [53]. Ma vi sono anche altre differenze sostanziali, "irriducibili", tra la matematica e la poesia. Ci limiteremo qui a segnalarne brevemente alcune, tra Ie pili rilevanti. La prima riguarda il modo in cui Ie due attivita si sviluppano nel corso del tempo. Nella matematica, si procede soprattutto per accumulazione; inoltre, l'attivita di ricerca sta diventando sempre pili un'attivita di gruppo, a volte di laboratorio [10, 50]. Ma per la poesia, la situazione, com'e noto, e completamente diversa. La seconda riguarda Ie finalit adelle due attivita, La matematica, in qualche modo, resta vincolata sia dal forte desiderio di conoscenza e dalI'ansia della ricerca della Verita, che dallo studio di problemi concreti, con chiari risvolti applicativi. La poesia, invece, apparentemente non ha di questi vincoli. Addirittura, il poeta si compiace dell'inutilita della sua attivita, come fa, per esempio, Montale nella sua NobelLecture dal titolo ((E ancora possibile la poesia?" [54]. In realta, anche una parte dei maternatici, oggi pero sempre meno numerosa, fa altrettanto riguardo alIa propria attivita [3, 10,50].
matematrca e culture 2008
In conclusione, la poesia, avendo meno vincoli espliciti, riesce ad attraversare pin "territori" e) soprattutto, a toccare aspetti e lati umani piu profondi. Cio richiama un'immagine "geometrica")molto felice)del grande poeta Paul Celan (19201970): quella della poesia come un meridiana [55]. Per di piu, essa esprime una grande varieta di visioni del mondo e della vita) utilizzando un'incredibile ricchezza di linguaggi e mezzi espressivi. Pertanto, potrebbe risultare preziosa, anche per i maternatici, I' esortazione di Leon Battista Alberti (1404-1472) ai pittori del suo tempo, contenuta nel Depictura [56]: Consiglio ciascuno pittore molto si faccia famigliare ad i poeti, retorici e agli altri simili dotti di lettere, gia che costoro doneranno nuove invenzioni 0 certo aiuteranno a bello componere sua storia.
Ringraziamenti L'autore desidera ringraziare, in particolare, Mario Geymonat, Enrico Guaraldo) Paolo Zellini, per le osservazioni, i commenti critici e gli incoraggiamenti ricevuti durante la stesura finale dell)articolo.
Bibliografia [1] F.Le Lionnais (1962) Lesgrandscourants de lapenseemathematique,Librairie Scientifique et Technique A. Blanchard, Paris [2] L. SinisgaIli (1992) Furor Mathematicus, Ponte aIle Grazie, Firenze [3] G.H. Hardy (1989) Apologia di un matematico,Garzanti, Milano [4] 1.Calvino (1998) Lezioni americane, Mondadori, Milano [5] R. Osserman (2000) Poesia dell'universo, Tea, Milano [6] R. Hersh (2003) Cos'e davvero la matematica, Baldini Castoldi Dalai, Milano [7] U. Cattabrini, V. Di Paola (a cura di) (1997) Matematica e poesia: un tema difficile?, IRRSAE Toscana [8] G.Farmelo (2005) Equilibrio perfetto. Legrandiequazioni della scienza moderna, II Saggiatore, Milano [9] C. Bartocci (a cura di) (2006) Raccontimatematici, Einaudi, Torino, pp. V-XXVIII [10] C. Bartocci, R. Betti, A. Guerraggio, R. Lucchetti (a cura di) (2007) Vite matematiche. Protagonisti del '900da Hilberta Wiles, Springer, Milano [11] G. Flaubert (1980) Dizionario dei luoghicomuni,Adelphi, Milano, p. 80 [12] C.B.Boyer (1980) Storiadella matematica, Mondadori, Milano [13] M. Kline (1976) La matematica nella cultura occidentale, Feltrinelli, Milano [14] J.D.Barrow (1992) Perche il mondo e matematicoi, Laterza, Bari [15] M. Geymonat (2006) IIgrandeArchimede, Sandro Teti, Roma [16] G. Debenedetti (1999) Saggi, Mondadori, Milano, p. LV [17] A.Wei! (1980) De la metaphysique aux mathematiques, in: Collected Papers, Springer, New York,vol. II, p. 408 [18] A.Alvino, L.Carbone, C. Sbordone, G. Trombetti (a cura di) (1999) In ricordo di Renato Caccioppoli, Giannini, Napoli, p. 117 [19] W. Szymborska (2006) Letture[acoltative, Adelphi, Milano, p. 209
Matematica e [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56]
A. Andreoli (1992) L'abc della letteratura, Sansoni, Firenze E. Zamponi (a cura di) (1986) I draghilocopei, Einaudi, Torino E. Montale (1984) Tutte le poesie, Mondadori, Milano H.M. Enzensberger,A. Berardinelli (2006) Chenoia la poesia,Einaudi, Torino R. Musil (1987) I turbamenti delgiovane Toriess, Mondadori, Milano, pp.101-108 U. Saba (1998) Tutte lepoesie, Mondadori, Milano O. Mandel'stam (2003) Sullapoesia,Bompiani, Milano, pp. 119-158 Lucrezio (1994) La natura dellecose, Rizzoli, Milano, p. 80 H. Weyl (1975) La simmetria, Feltrinelli, Milano J. Dieudonne (1987) Pour l'honneur de l'esprit humain, Hachette, Paris; tr. it.: L'arte dei numeri, Mondadori, Milano, 1989 S. Lang (1991) La bellezzadella matematica, Bollati Boringhieri, Torino M. Emmer (1991) La perfezione visibile,Theoria, Roma P.Maroscia (2004) La bellezza della matematica: l'apollineo e il dionisiaco, in: G. Bruno, A. Trotta (a cura di) Atti Congresso NazionaleMathesis 2004, Sogin, pp. 204-211 Lautreamont (1968) Opere complete, Feltrinelli, Milano G. Raboni, Parole, ritmi e immagini per costruire mondi, "Corriere della Sera", 3 febbraio 2004 A. Gatto (2005) Tutte le poesie, Mondadori, Milano L. Sinisgalli (1980) Imitazioni dall'Antologia Palatina, Edizioni della Cometa, Roma E. Dickinson (1997) Tutte lepoesie, Mondadori, Milano G. Leopardi (1978) Canti, Le Monnier, Firenze P. Zellini (2001) Leopardi, il pensiero matematico e illinguaggio dell'infinito, in: G. Stabile (a cura di) Giacomo Leopardi e ilpensiero scientifico, Fahrenheit 451,Roma, pp. 111-119 P.Valery (1995) 11 cimiteromarino, Mondadori, Milano, p. 20 G. Caproni (1999) Tutte iepoesie,Garzanti, Milano V. Cardarelli (1981) Opere, Mondadori, Milano A. Graf (1906) Le rime della selva, Treves, Milano M. Kline (1985) Matematica: la perdita della certezza,Mondadori, Milano C. Baudelaire (1996) Opere, Mondadori, Milano A. Berardinelli (1991) Cento poeti, Mondadori, Milano P.Deligne (1973) La formule de dualite globale, in: Theorie destopos et Cohomologie etale des schemas (SGA 4), Lecture Notes in Mathematics, vol. 305, Springer-Verlag, Berlin, pp. 481-587 B.de Finetti (1931) Probabilismo. Saggio critico sulla teoria della probabilita e sul valore della scienza, in: Logos (biblioteca di Filosofia, diretta da A.Aliotta), Perrella, Napoli, pp. 163-219 M.Fontana (1996) Percorsi calcolati. Lenuove avventure della matematica, Le mani, Recco L'explosion des mathematiques (2002), Societe mathematique de France, Paris; tr. it.: L'esplosione della matematica, Unione Matematica Italiana, Bologna, 2005 A.L.Hammond (1980) Mathematics - Our Invisibile Culture, in: L.A.Steen (a cura di) Mathematics Today. Twelve Informal Essays, Vintage Books, New York,pp. 15-34 R. Barthes (1988) Dalla scienza alla letteratura, in: 11 brusio della lingua, Einaudi, Torino J.L.Borges (2001) L'invenzione dellapoesia,Mondadori, Milano, pp. 59-74 M. Forti (a cura di) (1986) Perconoscere Montale, Mondadori, Milano, pp.165-173 P.Celan (1993) La verita dellapoesia,Einaudi, Torino L.B.Alberti (1973) Opere volgari (a cura di C. Grayson), Laterza, Bari, vol. III, p. 94 I
matematica e investigazione
MYf
Crimini e misfatti matematici MICHELE EMMER
Play it, Sam. Play"As Time Goes By". La famosa battuta pronunciata da Ingrid Bergman in Casablanca e la canzone di Herman Hupfeld nel film di Michael Curtiz. E un esplicito omaggio a quel film il nuovo film diretto da Steven Soderbergh ne12007, tratto dal romanzo The Good German di Joseph Kanon. Intitolato in italiano Intrigo a Berlino, girato in un fascinoso bianco e nero, riprendendo le tecniche dei nair degli anni quaranta. Interpretato da George Clooney, Cate Blanchett e Tobey Maguire. Con un personaggio, che e in parte la chiave del mistero.
Fig. 1. Poster del film Intrigo a Berlino (The GoodGerman)
Quale personaggio inserireste in una storia misteriosa per renderla ancora pill interessante? Ma certo, un matematico che ha un mistero da nascondere e ha la testapiena di numeri, che forse ha lasciato un quaderno di appunti. Perche un matematico?
cultura 2008
II matematico investigatore Nell'immaginario collettivo l'idea del matematico viene spesso associata al binomio genio e sregolatezza: genio, perche chiunque si occupi di matematica deve essere un genio; sregolatezza, perche per occuparsi di cose simili bisogna non avere tutte le rotelle a posto. E chiaro che un ruolo privilegiato i matematici 10 possono avere nella risoluzione di enigmi complicati, quindi nel ruolo di investigatori; al10 stesso modo i matematici possono essere credibili nel ruolo di criminali che utilizzano le lora capacita per sfuggire aIle indagini. Nel1990 il matematico Mary Gray ha dedicato un articolo al tema matematica e letteratura poliziesca sulla rivista The Mathematical Intelligencer [1]: I'occasione era la pubblicazione di un libro poliziesco dal titolo Advanced Calculus ofMurder di Erik Rosenthal, seguito di Calculus of Murder (di cui e uscita qualche anna fa l'edizione italiana nei gialli Mondadori) [2]. La variante nel titolo dei due libri, Calculus e Advanced Calculus, risulta chiara a chiunque si occupi di matematica. II primo libro tratta di un normale omicidio, il secondo di un omicidio piu complicato, in cui vi e bisogno di una maggiore specializzazione. L'autore non ha resistito alla tentazione di usare una piccola raffinatezza maternatica, piuttosto che indicare il seguito del primo libro semplicemente con il numero 2. II giudizio della Gray e che il secondo volume sia molto mediocre, al contrario del primo, che ha avuto un notevole successo. Calculus ofMurder e interessante per molti motivi. Prima di tutto perche, essendo stato scritto da un matematico, permette di avere delle informazioni di prima mana dall'interno su come un matematico vede la propria attivita e la propria disciplina e su come ritiene che si debba parlarne ai non adepti. II protagonista eun matematico che utilizza le sue conoscenze per risolvere un caso di omicidio su cui indaga, attivita che svolge per integrare i1 proprio stipendio di docente part-time. E chiaro, quindi, che i1 ruolo della matematica nellibro e quello che ci si potrebbe aspettare: fornisce il metodo di indagine e gli strumenti per risolvere il caso. II matematico vi aggiunge la sua capacita. II personaggio principale fa l'investigatore: e dalla parte dei buoni, per cosl dire. Come in un qualsiasi Iibro, giallo 0 no, l'autore ha la necessita di presentare i1 protagonista del racconto. Pone problemi il fatto che in questa caso il protagonista, che parla in prima persona, sia un maternatico, un matematico investigatore 0 un investigatore matematico? Nessun problema, almena per l'autore che, come detto, e un matematico, II protagonista si presenta nel modo piu usuale, come qualsiasi persona norrnale, parlando di cosa si occupa: Finalmente, nel197 6, ottenni la laurea, il che significava che sapevo tutto 0 quasi tutto sugli operatori lineari limitati definiti su uno spazio di Hilbert separabile infinito-dimensionale... Potrebbe sembrare un modo complicato, un poco snob, di presentarsi. II problema e che, a livello di pubblico, tutti pensano di avere un'idea di cosa faccia un chimico, un fisico, un astronomo: in realta nessuno ha un'idea non solo delle cose di cui i matematici si occupano, rna nemmeno delle parole che usano.
maternatlci Come si sa, i gialli Mondadori si trovano in vendita nelle edicole, nelle stazioni, dappertutto; sono libri che, per definizione, servono a far passare il tempo, libri leggeri, insomma. Si potrebbe legittimamente pensare che gli operatori limitati non siano parte del bagaglio culturale di un qualsiasi viaggiatore. I responsabili della collana poliziesca non se ne sono affatto preoccupati, anzi: hanno voluto che la traduzione, tranne qualche piccola smagliatura, fosse fatta da persone che conoscevano i termini matematici; che l'ambientazione dellibro fosse resa in modo accurato. Una traduzione in ogni caso pili accurata di alcuni testi matematici per prestigiose case editrici scientifiche. Probabilmente chi ha deciso di pubblicare I'edizione italiana ha pensato che sarebbe stato meglio far nascere dei dubbi, e forse delle curiosita, su parole e argomenti di difficile comprensione, piuttosto che affermare delle inesattezze, 0 peggio ancora, delle banalita, Tornando al protagonista del libro, Dan Brodsky, anche un non matematico capisce subito che l'autore e un matematico che conosce il suo mestiere.Brodsky tiene un corso di calcolo all'Universita di Berkeley, rna ha una doppia vita. D'altra parte, se non I'avesse, se si occupasse solo di matematica, non avrebbe certo potuto essere il protagonista di un racconto giallo! Mi sveglio presto la mattina a preparare la lezione per il corso di calcolo dalle nove alle undici. Stavamo studiando le tecniche di integrazione: avevo bisogno di esempi per illustrare l'uso delle sostituzioni trigonometriche. Da questa primo esempio si comprende quale sia la caratteristica del libro, la parte di gran lunga pili interessante, un poco a scapito, forse, della suspense, rna che tuttavia voglio sperare non sia stata saltata a pie' pari dai lettori appassionati di gialli: e quella in cui l' autore fa svolgere al protagonista acute riflessioni sulle difficolta e sulla fatica richieste per insegnare la matematica (argomento che serve naturalmente all'autore per rendere credibile l'ambientazione e il personaggio). Come devono essere svolte delle esercitazioni di matematica? "In quasi tutti i casi basta scegliere fra i problemi del testa per i compiti a casa e svolgerli direttamente in classe". Tuttavia, dato che il corretto svolgimento per completare i calcoli richiesti pub richiedere anche un'ora di tempo, pub accadere che il metodo di soluzione vada perduto tra i dettagli numerici. Bisogna quindi che vi sia "un'attenta considerazione prima di presentare gli esempi in classe". Ricordo che non si sta parlando di un libro di pedagogia e didattica della matematica, rna di un giallo! E molto importante che non si dia l'impressione allo studente di fornire semplicemente delle tecniche di calcolo (derivazione, integrazione), rna delle idee qualitative alla base della moderna analisi matematica. Se nellibro di Rosenthal il matematico protagonista, a parte la professione e la capacita logica, euna persona normale, nella maggioranza dei casi in cui un matematico eil protagonista di un libro, poliziesco in particolare, gli aspetti patologici prendono il sopravvento. Se una persona ha deciso di studiare matematica, di diventare matematico, deve esserci qualcosa che non funziona. Da qui ad affermare che chi studia matematica eda tenere sotto controllo il passo ebreve. Ne12005 ancora Mary Gray ha scritto la recensione di altri libri con contenuti pili o meno polizieschi 0 misteriosi che riguardano la matematica. Tra gli altri il best-
matematica e cultura 2008 !-_._-- ------------ ~-- -
i I
I
1
seller The Da Vinci Code, a proposito del quale scrive che e del tutto assurdo che i matematici abbiano delle obiezioni di tipo scientifico (anche se affermare che la proporzione aurea e un numero razionale e un po' forte ...) [3].
I racconti polizieschi di Catherine Shaw Nel marzo del 2006 mi ecapitato di notare in un'edicola un libro giallo che aveva un titolo che sembrava interessante: Ilproblema dei trecorpi; con un occhiello : II mistero della formula scomparsa [4].Autrice Catherine Shaw. Dell'autrice si diceva che quel nome era uno pseudonimo e che l'autrice era un docente universitario di matematica. Ovviamente ho comprato illibro e l'ho letto . Poi ho letto anche illibro successivodella Shaw: Flowers Stained with Moonlight, pubblicato ne1200S.
Fig. 2. Copertina di The Three Body
Problem
Fig. 3. Copertina di Il problema dei tre
corpi[5)
_. Nolll5
1,68 11ft Itall al
..1 " 2 l1 1/2816
Protagonista delle storie e una giovane insegnante di matematica, Vanessa Duncan, che si trova coinvolta in trame poliziesche che hanno sempre una particolarita: illegame stretto con i matematici e la matematica. In particolare, nel primo libro si tratta di matematici che vengono uccisi per una ragione che eprofondamente matematica. Meno diretto il Iegame nel secondo libro anche se porta il sottotito10 di A Mathematical Mistery. Gli avvenimenti descritti in tutti i libri della serie si svolgono alIa fine dell' ottocento a Cambridge. Sono scritti in forma epistolare, nel
Criminl e misfattl matematlcl
senso che la protagonista descrive quello che le accade in lettere che spedisce alla sorella gemella. Un modo di scrivere che alle volte appesantisce la trama. Un' altra caratteristica dei romanzi della Shaw e che tra i protagonisti della storia compaiono in parti anche non marginali, veri matematici dell'epoca, Inoltre sono citati articoli di matematica, vengono descritti con accuratezza i problemi scientifici di cui si parla. Infine, al termine dei romanzi una nota "matematica" fornisce maggiori dettagli sull' aspetto scientifico. Dunque la storia di IIproblema dei trecorpi inizia con la misteriosa uccisione di un matematico all'universita di Cambridge ne11888.Si tratta di GeoffreyAkers, giovane docente di matematica pura al St John's College,ucciso con un violento colpo alla testa inferto con un attizzatoio di un caminetto. Gli altri matematici e ricercatori di matematica dell'universita' di Cambridge protagonisti della storia si chiamano Arthur Weatherburn, Charles Morrison, Philip Beddoes, Jeremy Crawford, Edward Withers, Arthur Cayleye Grace Chisholm, gli ultimi due effettivamente membri dell'istituto di matematica all'epoca in cui si svolgono i fatti. Di tanti altri veri matematici si parla nel libro, primo fra tutti Henri Poincare, che si occupo del problema degli n-corpi. 11 matematico ucciso ovviamente frequentava gli altri matematici dell'universitao Che tipo di persona era? Gli accadeva spesso di dimenticarsi degli appuntamenti 0 di perdere la nozione del tempo. Aveva un caratteraccio. Non ne sentiro certo la mancanza dichiara una sua conoscente. Come nellibro giallo di Rosenthal, anche nei libri della Shaw vi sono continuamente osservazioni sulla matematica. Parlando di Lewis Carrol, I'autrice scrive che pubblicava enigmi destinati ai giovani: «non c'e modo migliore di insegnare che divertendo," A poco a poco, la Duncan, frequentando l'ambiente dei matematici per cercare i motivi dell'omicidio, si rende conto che deve per forza trattarsi di un motivo matematico. Parlando con il matematico che frequentava I'ucciso (era I'unico che 10 facesse), comincia a comparire l'idea che il problema degli n-corpi debba entrarci qualcosa: "Voleva (il matematico ucciso) parlare a tutti i costi di un'idea eccezionale che gli era venuta ultimamente," Dice Weatherburn. c Che genere di idea?", chiedono i matematici presenti. «A quanta sembra aveva lavorato sul problema degli n-corpi. A un certo punto ha tirato fuori un foglietto dal taschino e ci ha scritto una formula per mostrarmela, dicendo che offriva una soluzione completa e straordinariamente originale per le equazioni differenziali del problema degli n-corpi. Ma poi si e rimesso in tasca il foglio prima che riuscissi a esaminarlo attentamente... Sembrava particolarmente preoccupato per la possibile reazione del professor Crawford". Sembrava che anche il matematico Crawford lavorasse allo stesso problema. "Impossibilel Troppo difficile per un matematico come lui. Quell'uomo ha delle idee, rna gli manca il rigore! Come spera di competere con un genio come il giovane Poincare?"
culture 2008
Viene cost spiegato il motivo che sara alIa base della storia poliziesca. II concorso per il compleanno del re Oscar II di Svezia. "Ma che tipo di re sceglierebbe la matematica per festeggiare il suo anniversario?" chiede la Duncan. cell nostro benefattore e re Oscar II di Svezia. Ha studiato approfonditamente matematica all'universita di Uppsala ed emolto legato alla materia, oltre a essere grande amico del piu insigne matematico svedese, Gosta Mittag-Leffler. II concorso del compleanno eun'idea sua, rna piu che usare la matematica per festeggiare gli anni, si augura di dare un po' di gloria all'unica rivista di matematica svedese e di dare un incentivo alIa ricerca della soluzione", Ed ecco il bando del concorso, pubblicato su Acta Matematica: Sua Maesta re Oscar II, onde dare ulteriore prova del Suo interesse per il progresso delle scienze matematiche, in occasione del Suo sessantesimo compleanno, che cade il21 gennaio 1889,ha deciso di offrire un premio per una scoperta importante nel campo dell'analisi matematica superiore. II premio consistera in una medaglia d'oro con l'immagine di Sua Maesta del valore di duemila franchi, oltre a una somma di duemilacinquecento Corone d'oro, Sua Maesta ha delegato il compito di dar corso aIle Sue intenzioni a una commissione composta da tre membri; i signori Carl Weierstrass a Berlino, Charles Hermite a Parigi e Gosta Mittag-Leffler a Stoccolma. Nel rapporto la commissione ha deciso di attribuire il premio alIa tesi migliore su uno dei seguenti soggetti: 1.Dato un sistema di un numero arbitrario di punti materiali che si attraggono reciprocamente secondo Ie leggi di Newton, proponiamo, partendo dall'ipotesi che due punti non possano mai collidere, di rappresentare Ie coordinate di ciascun punto sotto forma di una serie in una variabile complessa espressa in funzioni di tempo note e che converga uniformemente per ogni valore reale della variabile. Naturalmente nellibro della Shaw e spiegato il problema, partendo dal problema dei due corpi, per esempio Sole e Terra, per poi passare a quello dei tre corpi, i1 Sole e due pianeti. Tu immagini che ciascuno dei due piccoli pianeti abbia un rapporto di gravita solo con il Sole,rna dimentichi l'influenza per quanta minima che ognuno dei due ha sull'aItro. Gli altri tre problemi non sono descritti, rna viene letta la conclusione del concorso: I lavori sottoposti al concorso dovranno pervenire accompagnati da una epigrafe e dal nome e dall'indirizzo dell' autore sigillati in busta chiusa e indirizzati al direttore di Acta Mathematica entro e non oltre ill giugno 1888. Illavoro che Sua Maesta giudichera meritevole del premio, sara pubblicato sulla rivista, purche ancora inedito.
Crimini mlstattl matematlci
Aggiunge nella nota alla fine dellibro la Shaw: II concorso si svolse esattamente come descritto, fino al dettaglio dei manoscritti non firmati, rna identificati da epigrafi; molti degli autori restano ancora oggi sconosciuti. Gli altri matematici danno un giudizio su Akers, quello ucciso, ritenendo che non fosse in grado di risolvere il famoso problema, dato che "pur avendo un ottimo cervello, non aveva la capacita di cogliere il quadro piu ampio delle cose", E qualche riga dopo, viene fornita la motivazione, che si capira alla fine, del primo delitto e dei successivi: Le idee valgono piii di qualsiasi cosa per un matematico che preferirebbe di gran lunga perdere tutto il denaro che ha piuttosto che le sue idee ... Sta forse insinuando che l'assassino possa essere un matematico pronto a uccidere per rubare un'ideai II foglietto che il matematico ucciso ha velocemente mostrato al suo collega diventa la chiave del giallo. Cosa c'era esattamente scritto? La Duncan comincia a pensare che si tratti della chiave per risolvere il problema degli n-corpi. Se uno dei matematici dell'istituto di Cambridge inviera un suo lavoro a Stoccolma emolto probabile che sia l'assassino. La Duncan tra l'altro partecipa alla conferenza che tiene il professor Cayley in difesa della geometria euclidea. Secondo lui, l'unica via di accesso alla matematica eattraverso Euclide, le cui opere hanno toccato la massima perfezione nel pensiero matematico. Le raccomandava con vigore agli scolari piu giovani e sosteneva che illoro studio non deve essere mai abbandonato ... A uno studente che non abbia padroneggiato del tutto gli Elementi non dovrebbe essere permesso di avvicinarsi al tempio della matematica moderna. Qualche giorno dopo viene ucciso un altro matematico, Philip Beddoes, e poi ancora Jeremy Crawford. Tutti i lettori avranno a quel punto capito che il titolo rimanda al famoso concorso e al problema degli n-corpi, rna anche al mistero dell'uccisione dei tre matematici, i tre corpi. Diventa un fatto acquisito che: - l'assassino deve essere un matematico, - gli appunti e la formula scomparsa sono la ragione degli omicidi. Viene incarcerato uno dei matematici che ha vista i tre uccisi poco prima dei delitti e il pubblico ministero descrive le motivazioni dei crimini: Sebbene un profano possa avere difficolta a comprendere un crimine a fini maternatici, la giuria deve rendersi conto che il desiderio di gloria e successo alberga nel cuore dei matematici non meno che in quello di chiunque altro.
2008
La popolazione di Cambridge segue con interesse l' evolversi della situazione, notando che "ultimamente a Cambridge muoiono solo matematici!", Dei delitti eaccusato Arthur Weatherburn, altro matematico, di cui Vanessa Duncan si enel frattempo innamorata. Le motivazioni: Tutto il suo lavoro dipende esclusivamente dal suo lavoro personale e soprattutto dallavoro che svolge al momento, cioe dal posto di ricercatore offertogli dall'universita: un incarico temporaneo, che puo essere rinnovato 0 no. Nulla di straordinario se talvolta ha nutrito il timore che le sue capacita non siano all'altezza del compito. Perche un posto di ricercatore non e una borsa di studio, non viene assegnato per particolari meriti neUo studio bensl per stimolare e sostenere il ricercatore. E la ricerca in matematica eun terreno insidioso, dove epossibile andare incontro all'insuccesso e al faUimento anche quando si sono ottenuti risultati brillanti negli studio Spiega il pubblico ministero che deve trattare del mondo poco noto della ricerca matematica e della psicologia per chiarire le ragioni degli omicidi. La devozione alla matematica e Ie reazioni di fronte a successi e fallimenti possono turbare la mente del matematico, fino a portarlo alla follia... La monomania del matematico, il suo continuo rinchiudersi in un mondo di astrazione totale, il bisogno di creare, la pressione costante, coniugata con la profonda delusione per gli insuccessi, tendono molto naturalmente a produrre un effetto di squilibrio psicologico. La foUia esempre in agguato, pronta a colpire qualsiasi matematico. Esamina gli articoli scritti dal giovane matematico, pochi; nota la sua frequentazione con famosi matematici, primo fra tutti Cayley,e ne conclude che cercava di carpire idee per poter arrivare a produrre un lavoro di ricerca di altissimo valore, che gli avrebbe garantito la fama. E uccide per non dividere la fama con nessuno. "Si sono commessi omicidi per molto meno", ne conclude. Invece il difensore cerca di accusare l'ultimo dei matematici morti, Crawford, morto avvelenato, affermando che si tratta di suicidio, di un matematico non pili giovane, non pili creativo, che si ereso conto che la dimostrazione che aveva carpito ai giovani colleghi non funzionava e si uccide. Tra i testimoni e chiamato a deporre anche Cayley, per dare un suo giudizio scientifico suI matematico accusato. E si parla allora di creativita del matematico, di come nascono Ie idee in matematica, di come si coUabora tra matematici. Da notare che uno dei giudici si chiama Penrose! II processo continua, si cercano Ie prove. II matematico accusato si difende per aver affermato di aver fatto una grande scoperta che riguardava un problema di matrici e non il problema degli n-corpi. Sara la Ducan ha trovare Ie prove di accusa del vero colpevole, ritrovando anche Ie carte scomparse con gli appunti suI problema degli n-corpi. Naturalmente la Duncan trovera la soluzione utilizzando il problema dei tre corpi, facendo una analogia tra il problema matematico e l'uccisione dei tre (corpi) matematici.
Crimini e misfatti matematici
A me sembra ci sia un singolare parallelismo fra il famoso problema dei tre corpi e il mistero che stai disperatamente cercando di risolvere. 10 vedo due satelliti, Akers e Beddoes, che orbitano attorno alIa ben pili grande figura di Crawford e lottano contro le leggi gravitazionali, che li legano inesorabilmente a lui, per riuscire a sganciarsi e a proiettarsi nell'infinito della gloria indipendente. La prova per dimostrare chi eil colpevole consistera nell'andare a Stoccolma, il 1 giugno 1888,giorno in cui si aprono le buste del concorso, per cap ire chi ha partecipato da Cambridge. II colloquio chiarificatore sara con Mittag-Leffler. Che tra l'altro racconta che aveva riconosciuto la calligrafia di Poincare, che vincera il concorso. Aggiunge la Shaw nella nota finale: Poincare scoprl che il manoscritto con cui aveva vinto il premio conteneva un errore, ma se ne accorse solo dopo che il testa era stato stampato sugli Acta Mathematica. Allora insistette perche fossero distrutte tutte le copie della rivista e ristampate, con la debita correzione, a sue spese. l'operazione gli costo tutto il denaro vinto con il premio. Con l'aiuto di Mittag-Leffler la Duncan riuscira a scagionare il suo innamorato matematico e a far scoprire il vero assassino. Un giallo ben costruito che si legge con piacere e che certo puo divertire anche i matematici. Senza voler affermare che eun giallo per soli matematici! II secondo libro della Shaw (non ancora tradotto in italiano) si intitola Flowers
Stained with Moonlight [5].
Fig. 4. Copertina di Flowers Stained with Moonlight
matemattca e c:ultura 2008
La Duncan viene invitata a investigare su un omicidio e con la storia si intrecciano alcune riflessioni soprattutto sull'ultimo teorema di Fermat. A pagina 100viene enunciato il teorema e si racconta del fatto che la famosa dimostrazione, che Fermat affermava di avere, non era mai stata trovata. Riportando la frase scritta al margine della copia di Fermat dellibro di Diofanto "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc Marginis exiguitas non caperet," Si parla in particolare di un certo Korneck, di Kempen, Poznania, che ha riscoperto un vecchio e dimenticato problema, appunto l'ultimo teorema di Fermat. Sfortunatamente fu messo da parte dalla nascita della moderna teoria dei numeri; fu considerato non interessante, 0 troppo complicato, anche se sembra che il mio amico Korneck vi stia dedicando la sua vita. Si racconta anche la storia di Sophie Germain, le difficolta per portare avanti i suoi studi di matematica in un' epoca in cui era vietato alle donne l' accesso all'universita e l'utilizzo della pseudonimo Monsieur Le Blanc. Invio i suoi risultati sul teorema di Fermat a Gauss che le rispose ammirato. Ci sono altre osservazioni, sempre sul teorema di Fermat, come la discussione tra Augustin Cauchy e Gabriel Lame all' Academic des Sciences a Parigi, ove la Duncan si reca per investigare. La discussione tra i due e raccontata in dettaglio, citando gli atti ufficiali dell'Academie. In particolare, quando Lame afferma di aver dimostrato l'ultimo teorema di Fermat citando la nota depositata il primo marzo 1847, affermazione alla quale Cauchy risponde ricordando la sua nota del 19 ottobre 1846, in cui affermava di aver dimostrato 10 stesso teorema. Fu poi Ernst Kummel ha chiarire che entrambi avevano fallito. Tuttavia queste osservazioni matematiche restano ai margini della storia investigativa, come invece non era nell'altro romanzo. Notazioni per applicare un metodo scientifico alIa risoluzione della ricerca del colpevole (quali: "dobbiamo cercare di ragionare come si fa in matematica quando si ha di fronte un apparentemente inspiegabile fenorneno"), compaiono qua e Ia, II che non sarebbe un problema se il racconto avesse un andamento serrato e convincente. Invece eproprio la storia che risulta lunga e tortuosa e le citazioni matematiche non aiutano. II personaggio di G.Korneck, che compare tra i personaggi del romanzo, ha realmente inviato una memoria all'Academie desSciences a Parigi riguardo l'ultimo teorema di Fermat, memoria esaminata da Henri Poincare, che notava come uno dei lemmi citati da Korneck fosse falso, mostrando un controesempio [6]. Catherine Shaw ha pubblicato un altro libro poliziesco nel 2006, The Library Paradox [7], ispirato al paradosso di Bertrand Russel e, nell'estate 2007, ne estato pubblicato un altro che prendera spunto dalle scoperte di Marconi [8].
Altri libri polizieschi matematici Nel1995 Martyn Bedford pubblica Acts of Revision [9], tradotto in italiano con il titolo Esamidi riparazione: un serial killerpost-scolastico. Alla morte della madre, il protagonista trova in solaio in uno scatolone le sue vecchie pagelle di scuola e si
Crimini e misfatti matematici
convince che i professori sono stati la causa di tutte le sue disgrazie. Decide di eliminarli, realta 0 sogno, non si capira. Il capitolo 4 ededicato alla Matematica. Matematica: la scienza che studia gli enti numerici, le loro proprieta e le loro relazioni e combinazioni; Ib scienza che studia le configurazioni dello spazio e la loro struttura, misura ecc.; 2 operazioni matematiche che riguardano un particolare problema, campo di studi ecc. Cosl inizia il capitolo. In cui si racconta che l'insegnante di matematica era pakistano, il professor Teja e il protagonista gli manifestava tutta la sua ostilita per la religione che praticava. E all'avvocato che gli chiede di che religione si trattasse risponde "La matematica. Il Dio dei numeri. Il fatto verificabile. La certezza," E cita una frase di Einstein In quanta si riferiscono alia realta le leggi della matematica non sono assolutamente certe. E in quanto sono assolutamente certe non si riferiscono alla realta. E continua a fantasticare e ricordare il protagonista: Quando gli dissi che non capivo la matematica, lui fece:"Cosa c'e' da capire? Sono solo numeri, tutto si riduce a numeri. Non c'e conoscenza senza calcolo. I numeri", diceva "sono essenziali alla comprensione del mondo. Chi ne sa di pin sull'esistenza, non sono i poeti, gli intellettuali 0 i filosofi, rna chi sa far di conto. I matematici". Non potevano mancare i numeri di Fibonacci, rna il racconto non decolla, tanto meno la trama poliziesca. Tra l'altro il professor Teja era morto da tempo.
I Gialli di S. S.Van Dine Molti anni prima, nel 1925,iniziava a scrivere i suoi gialli S.S. Van Dine, creando il personaggio divenuto famoso di Philo Vance. Una delle prime storie riguarda omicidi tra matematici e si intitola The Bishop Murdercase. Credo sia stata scritta nel1928, anche se ho potuto leggere solo un'edizione del 1929,tradotta poi in italiano con il titolo L'enigma dell'arciere [10] .
THE BISHOP MURDER CASE A PHI LO
s. S.
v AXCE STORY B,
VAS n IXE
P. F. Collier & Soo Corporation :J(§/Y Y ORI(.
Fig. 5. Copertina di The BishopMurder Case, 1929 ._-----_._-_._._ -----~------
I
_J
mat emat ica e cultura 20 08 r-- ---~-- -'-
!
I i
I
I
...- -- - - .
~~ /,,_~\~~ ~f!GAIil
Fig. 6. Copertina di L'enigma dell'arciere
S.S.vllnDlnf
L'EnlGf'\ft DELL'ftLflERE
COMPAGNIA DEL GIALLO GRUPPO NEWfON
Praticamente tutti i protagonisti sono dei matematici, tranne Philo Vance. Dopo i primi omicidi - il primo avviene con arco e frecce (da cui il titolo in italiano) - Vance si convince che l'assassino non pub che essere un matematico e che Ie ragioni degli omicidi non possono che essere matematiche. II capitolo pili interessante e il 21, intitolato Mathematics and murder. Vance discute con il procuratore: "Non c'e nemmeno una persona la cui possibile colpevolezza non sia un insulto alla ragione", dice Markham. "10 non direi. Questo e il crimine di un matematico e fin troppi matematici sono coinvolti nella vicenda". "II crimine di un matematico? A me il caso sembra una serie di atti insensati commessi da un maniaco in preda alla follia omicida". "II nostro criminale e tutt'altro che un folle. I suoi atti non sono per nulla insensati, rna sono terribilmente logici e precisi. Vero,sono stati concepiti con un tremendo cinismo, seguendo un senso dell'umorismo macabro e terrificante, rna presi in se sono assolutamente razionali". "Come potete conciliare questi crimini con Ie filastrocche di Mamma Oca (che l'assassino lascia sul-luogo del delitto) con la mente di un matematico? In che modo possono essere visti come atti logici?" "Per comprendere questi delitti dobbiamo tener conto del bagaglio culturale dello studioso di matematica, poiche tutti i suoi calcoli e Ie sue specializzazioni tendono a enfatizzare la relativa mancanza di significato di questa pianeta e della vita umana. Notate, per prima cosa, la vastissima gamma di colori di cui si occupa un matematico ... Cerca di misurare 10 spazio infinito ... La visione del
(ri mini e misfatti matematici
mondo di un matematico ha prospettive trascendentali, in cui la terra e i suoi abitanti affondano fin quasi a scomparire". "II matematico si impegna in speculazioni astratte e apparentemente contraddittorie che una mente normale non pub nemmeno afferrare.Vive in un regno che per quanta ne sappiamo non ha altro significato se non quello di un'invenzione della mente.. . In questa regno dei moderni matematici, nulla pub esiste re senza le tangenti. Ne Newton ne Leibnitz si sono mai sognati una curva continua senza una tangente, ossia una funzione continua senza un coefficiente differenziale. Va oltre i poteri dell'immaginazione. Nonostante questo, tra i matematici odierni lavorare con curve prive di tangenti e assai comune. Vi sto annoiando?", chiede Vance. "E forse sorprendente che un uomo che ha a che fare con simili concetti colossali e incommensurabili possa col tempo perdere ogni valore e arrivare a provare un enorme disprezzo per la vita umana? Un simile uomo diventerebbe cinico..."."Indubbiamente", risponde Markham. "I concetti della matematica moderna proiettano l'individuo al di fuori della realta . .. L'esistenza di spazi a cinque e sei dimensioni... II solo giocare con la semplice idea dell'infinito esufficiente a scombussolare la mente dell'uomo medio .. . L'infinito efinito! 0 come direbbe 10 scienziato,lo spazio eillimitato, rna finito". Lo scienziato a cui si allude e ovviamente Riemann e le nuove idee sulla geometria, in particolare relative alla curvatura dello spazio. Allusione a Riemann comparsa qualche anno prima anche nel manifesto Du Cubism, [11], a riprova di quanta viaggiano le idee matematiche. La chiave stessa del giallo, la formula matematica per la quale si uccide , elegata al tensore di curvatura di Riemann-Christoffel, importante in teoria relativistica della gravitazione (ringrazio i colleghi di fisica matematica per i dettagli).
Blte~
Bllt.~
,
= -A
=0
(gUt g.~ -
gill
Fig.7.La formula chiavedi TheBishop Murder Case
metemanca e cultur» 2008
La lezione di matematica 1120febbraio 1951 eandato in scena a Parigial Theatre de Poche un incontro tra un insegnante di matematica e una studentessa. Ecco come viene presentato il professore:
E un vecchietto con barbetta bianca; ha gli occhiali, una papalina nera, indossa una lunga casacca nera da maestro di scuola, un solino bianco, cravatta nera. Eccessivamente compito, timidissimo, voce attutita dalla timidezza, molto corretto, molto professore. Si frega continuamente Ie mani; di tanto in tanto un Iampo Iubrico appare nei suoi occhi, rna esubito represso.
II professore insegna tra Ie altre materie matematica: Professore: Signorina, vuole che facciamo un po' d'aritmetica, se non Ie dispiace ... Allieva: Certamente, professore. Non domando di meglio. Professore: E una scienza molto nuova, una scienza moderna, anzi, per essere esatti, eun metodo piuttosto di una scienza... E anche terapeutica. Provera con Ie addizioni, il professore, e I'allieva sara magnifica. Entra subito in crisi con Ie sottrazioni. E con il contare: Professore: Lei sa contare, vero? Fino a quanta sa contare? Allieva: Posso contare... sino all'infinito. Professore: Impossibile, signorina. Allieva: Allora mettiamo fino a sedici. L'allieva non sa distinguere tra un numero piu grande e uno pin piccolo. Da bravo professore, l'insegnante usa degli esempi. Professore: Ecco qui tre fiammiferi. Ed eccone ancora uno che fa quattro. Guardi bene, ce ne sono quattro, ne tolgo uno, quanti ne restano? Allieva: Cinque. Professore: Non ci siamo. Lei ha tendenza a sommare. Ma bisogna anche sottrarre. Non basta integrare, occorre anche disintegrare. E Ia vita. E Ia filosofia. Ela scienza. E i1 progresso, la civilta.
Ebrava con Ie moltiplicazioni, l' allieva, non perche Ie sappia fare, rna perche ha imparato a memoria tutti i possibili risultati che si ottengono moltiplicando tutti i numeri possibili! Ma il professore non e soddisfatto. Professore: In matematica cia che conta e comprendere; solo attraverso un ragionamento simultaneamente induttivo e deduttivo lei avrebbe dovuto trovare il risultato. La matematica enemica mortale della memoria. Percio io non sono affatto soddisfatto.
Nel corso de1.dramma, la timidezza del professore scomparira progressivamente, insensibilmente. I bagliori lubrici dei suoi occhi finiranno per diventare una fiamrna divorante, ininterrotta; d' apparenza pill che inoffensivo al principio dell' atto, egli diventera sempre pill sicuro di se, nervoso, aggressivo,dominatore, tanto da giocarsi a suo piacere l' allieva. Iniziera a torcerle un braccio, a maltrattarla sino a prendere un coltello. Vuole che l'allieva rip eta il nome dell' oggetto - il coltello - in molte lingue. "Professore: Attenzione... II coltello uccide," E il professore uccide l' allieva. A coltellate. E la governante 10 rirnprovera: Governante:
E dire che io la avevo avvertita un momenta fa: l'aritmetica conduce alla filologia e la filologia conduce al delitto...
L'atto unico si chiude con una nuova allieva pronta per la lezione di matematica... Si tratta del dramma comico La lezione di Eugene Ionesco [12]. Un thriller matematico surreale. Nello stesso anno, il1951, Raymond Queneau e Pierre Kast realizzano un breve film di sette minuti. Doveva essere l'inizio di una serie, una sorta di enciclopedia cinernatografica, rna l'impresa non venne continuata. II titolo: A comme Arithmetique [13,14]. Una lezione di aritmetica tenuta dallo stesso Queneau. Con una espressione serissima, 10 scrittore francese enuncia grandi banalita sui numeri. Enuncia alcune loro proprieta, cornpie somme e sottrazioni tra fiammiferi (una influenza diretta della Lezione di Ionesco?), petardi, pezzi di ghiaccio, ciclisti e tante altre cose. Per sottrarre, semplicemente butta gli oggetti dalla finestra. La sua lezione viene interrotta da irnprovvisi lampi di musica e irnmagini. Non si tratta di un film poliziesco, rna certo di una delle pill belle lezioni di matematica surreale mai viste al cinema.
Bibliografia [1] M. W. Gray (1990) Review of Advanced Calculus of Murder by E.Rosenthal,The Mathematical Intelligencer, vol. 12, n. I, p. 77-79 [2] E. Rosenthal (1986) Calculus of Murder, TheMathematical Mistery, St. Martin's Press, New York, 1986; ed. it. Equazione di morte, il Giallo Mondadori, Milano, 1987; Advanced Calculus of Murder, St. Martin's Press, New York [3] M. W. Gray (2005) Reviews, The Mathematical Intelligencer, vol. 27, n. 2, pp. 88-91 [4] C. Shaw (2005) The ThreeBody Problem, a Cambridge Mystery,Allison and Busby Ltd, Londra; ed. it. IIproblema dei tre corpi,Classici del Giallo Mondadori, Milano, 2006; R. Montgomery (October 2006) Review of The ThreeBody Problem, a Cambridge Mystery, Notices of the AMS, Vol. 53, N. 9, p. 1031-1033 [5] C. Shaw (2005) Flowers Stained with Moonlight,Allison and Busby Ltd, Londra [6] in [5] p.267 [7] C. Shaw (2006) The LibraryParadox, Allison and Busby Ltd, London [8] C. Shaw (luglio 2007) Riddle of the River,Allison & Busby Ltd, Loridon [9] M. Bedford (1996) Acts of Revision, Bantam press; ed. it Esami di riparazione, Bompiani, Milano, 1996
metematica e culture 2008 [10] 5.5. Van Dine (1929) TheBishop MurderCase, P.E Collier & Son Corp, New York, ed. it. Tenigma dell'arciere, Compagnia del Giallo, Gruppo Newton, Roma, 1993 [11] A. Gleizes, J. Metzinger (1980) Du Cubism [1912], Presence, Sisteron [12] E. Ionesco (1961) La lezione, Einaudi, Torino [13] P. Kast e R. Queneau (regia di) (1951) A commeArithmetique, con R. Queneau, produzione Le Trident, Francia [14] M. Emmer, I numeridi Queneau, in corso di stampa in atti Queneau: la scrittura e i suoi multipli, Ricerche Malatestiane, Ass. Sigismondo Malatesta, Bulzoni editore Si veda anche: M. Emmer (2007) Visibili armonie:arte, cinema, teatro, matematica, Bollati Boringhieri, Torino
La storia di Arne Beurling KjELL-OVE WIDMAN, BENGT BECKMAN
Uno dei risultati di maggior rilievo ottenuti dai servizi di intelligence durante la seconda guerra mondiale fu la decod ifica del piu complesso sistema di comunicazione crittografica in uso presso i tedeschi, il T52 Geheimschreiber, conosciuto anche come Sturgeon (Storione, Fig.I). L'artefice di questa impresa fu Arne Beurling, un giovane professore svedese di matematica. n suo successo fu reso ancora piu straordinario dal fatto che egli lavoro completamente da solo e partendo praticamente da zero, senza ness una conoscenza iniz iale dei metodi impiegati nei procedimenti di crittografia. Eppure gli occorsero meno di tre settimane per comprendere il funzionamento del sistema e sviluppare un metodo di crittoanalisi. Grazie ana sua scoperta, le auto rita svedesi furono in grado di decifrare e leggere circa 250.000messaggi scambiati tra l'ambasciata tedesca e i1 ministero degli affari esteri a Berlino e tra i1 quartier generale tedesco a Berlino e Ie truppe tedesche in Norvegia e Finlandia.
Fig. I. T-52 Geheimschreiber
Fig. 2. Arne Beurling, 1940
- - - - --- -- ----- - - --
matern atlca e cultu re 2008
Nel1939, allo scoppio della seconda guerra mondiale, Arne Beurling (Fig.2) aveva 34 anni e lavorava gia da due anni come professore di matematica all'Universit30 di Uppsala. Venne arruolato nel Dipartimento di crittoanalisi dello stato maggiore (in seguito noto come FRA) e fu subito in grado di decifrare con grande suecesso le comunicazioni della marina sovietica. Nel1940 gli fu assegnato il compito di decifrare illinguaggio in codice utilizzato dai tedeschi nelle comunicazioni tra Berlino e le forze occupanti in Norvegia. Diversamente dai sistemi russi, i cui principi erano ampiamente noti e studiati, il nuovo sistema tedesco era apparentemente un mistero e si fondava su idee rivoluzionarie rispetto al passato. Il materiale di partenza non fu altro che una serie di dieci 0 dodici telegrammi tedeschi crittografati trasmessi il2S maggio 1940,ognuno della lunghezza di alcune centinaia di caratteri soltanto (Fig. 3). H e S"U'''n
!
·.. ·
If st ...
~- . : ·'_ r :="· .
i. ....
r 5 4 Sf' h •• I S h 4 • • SI J r Il •• U U,,,,,
J S''''h" t." IIISS $I Sh ...... " I til J JJ U J J J J J J. CH """" ~-I . c-;. .. , ~ . l IS .. ,r 1."S l tUvo , Sw,I ISI CIlS.ocIlS, I. rft,n'hu SV.rll . . .. 'nUul'
ce llSlU t . r.. II' Ihp SJJ H 1 5" " " t51 I toSS 55 re Uht I H e " " " 54 z '"
'54 .,1 t JH ,,,,,". hlil.1II1".S "
Sf~"OO 'z '"'' "' v 411 J '1 ",. t,.5 Sdk
"'.' S 141! 51 I aoU 5 J '''''' r 54~ n, t Jcll." U
$k "hi,. U,-S llIJU IS 5 5,1, , I ~ ~ III s.v 11 SSJ' II t 5 SlIt I h I I lIIu" II, rJjI 5" 154 USS4JS' CliS It "SH ! ' .• ,C .. j . . . . ,5II .. c ~IInSV.r. h'~'t4U.. IJ.hJ " UO J"Il' • • 41 ;~ , ..
55
~ .•UO••uhflf l.,J J ,J .SIlI.,h~~ , IISSIl-.-.;;;I;· ;;~~;I~~ ~-;-,7, ....5S~ .._. , I , .... 11" 'lISeS,., r' lllu " ... ..., U I. r ' I Ir t I'" Sq •• us SU , 55
[,h'U.'hh'U,h54JUIIIJ
trS. I I "I ' l t h S Vl 54 U ' S. l f I Il I C ., t O ' t·~ ,
1.!.!~!~.:!.:'" U Shi c III t I,a II,UUD I S I a II" 1151I
"S. ,III ' 4-1I;-~';-S'; S~ ';~~.~·J·h'''~ ~~
I",,, UU", 'U J' Sill t ill I a tl .. t h: I"; ~':;-;;;'a ~-;~·.I.'.~-;-"-;:;Sll
~" II Ut tr -501 S1a II' ,uhell t4 IIJS .!.~!'.!..~.' e llI ~~!.f '~~.f 5_4J' ~-S-~:-f ~'.~-~;;', ~ ~~~ II IS " J h S ' S ~ S S SS h llllll ' h ' ''' h P ll h P '' ''' I '' ' ' ''''·I·~·e ; ~ t-'·1 ir,' l PIli' ".. 14 ' 5 J 1" t" ,Ill 11 1111 t , . , "IIloa I ;'I;;'~ ~;;;~;~-~~ II: ~'O;:::-( .c o , . a.... ' I Uq l k4l1U.,htJ U, .. , "' ''1''''11,. llvd I., ...~~~ t~;;;::: • ' 01 I
t . I
h , Oqdll.aooUn . . . ,lq4'
Jr ,_;~:; ~~-, I d; t l ·l·~ :;;;;;;;;;c
• td l dC,I'. ''''','''UU IIU.ShfSwfh ll.. l' ' Ullh."I I. hnhc 1IIIIt I
U'uSuut o , u" . IlH t 1, ... ldJ •• "oj r ov wClIVJ" "' . 4. v " l , '. "1 ' , II, $o4, . 't l"ll.u"'ll 1SnIMU,.1 t , IIU III U III , t " "U JJ o h . I H . , t , . ;
I IJ
IIld··,,., ,.,,,..04.011 J t t h
.... IUI fa nlll J, I J' 1" I pI 1'I o,,, tu
11" .Ilv •• IIIJ II., 14 4 tllq4 , l u I f4 0" 'd, .. " ll• ., I tJ! 114 ,. Oi l " SIl'" ." vII
, .JI"'OJ tlll."lIt.I'h:'ll t'tl'l tIl IlJ,"l 'Jllklll "'d . ' •• t~1 CII U
IfI"h'SdIll.J' ."Jh'O"f't't' O" I'IIIIlS .'k'I'Sd.I ;.~(
....U.'''''''',.'........ J" II; tJ .~I '.' f't h ili,.., .. ... , u., IJ,.,I. I t
Fig. 3. Telegramma tede sco crittografato
Nell'arco di dieci giorni, egli fu in grado di comprendere il funzionamento della macchina TS2 e del suo sistema di crittografia e, grazie alia collaborazione dei colleghi della FRA,gli servl soltanto un'altra settimana per produrre dei testi completamente decodificati. Vale la pena sottolineare che il Geheimschreiber era considerato il sistema pili sicuro tra i linguaggi crittografati tedeschi. Veniva infatti usato per le comunicazioni tra Berlino e i capi di stato maggiore dell'esercito e dell'aeronautica nei Paesi sotto occupazione (la Norvegia in questa caso) . Per rendere l'idea, il famoso sistema Enigma non veniva ritenuto altrettanto sicuro e veniva usato solo a livello tattico. Corn'e possibile che il pili sicuro dei codici cifrati di una delle nazioni tecnologicamente pili avanzate al mondo potesse essere decifrato da una persona sola, soltanto per mezzo di un testa in codice e senza una conoscenza pregressa del sistema? Con Enigma, Ie cose erano andate diversamente: la sua decifrazione aveva
di
richiesto un lavoro preliminare da parte della Polonia e della Francia, spionaggio e stratagemmi, e un lavoro di squadra coordinato, prima che i britannici potessero disporre in maniera tempestiva di interi testi decifrati. Ci sono, sostanzialmente, due motivazioni: 1.Arne Beurling era un uomo straordinario, da molti considerato un genio. 2. Le circostanze furono allo stesso modo eccezionali e favorevoli. Beurling aveva acquisito familiarita con la crittografia e la crittoanalisi durante il servizio militare, nei primi anni trenta, e aveva destato un po' di preoccupazione quando spiego ai colleghi di essere riuscito a 'rompere' un linguaggio crittografato in uso presso l'esercito svedese attraverso la lettura del testa in chiaro, cioe disponendo del messaggio crittografato e di parte del corrispondente testa di partenza. Rimase poi in contatto con le autorita e quando, il primo settembre 1939,la Germania invase la Polonia, fu immediatamente messo allavoro per interpretare i sistemi russi di scrittura crittografata. La Svezia all' epoca vedeva l'Unione Sovietica come la minaccia piu grande, essendo stata quasi ininterrottamente in guerra con la Russia per 600 anni, fino al1809. Dopo tale data, la Finlandia sembrava aver assunto la funzione di Paese-tampone. Tuttavia, il30 novembre 1939,la Finlandia fu attaccata da imponenti contingenti sovietici. La Russia era di nuovo a caccia, e sembro ovvio che la Svezia sarebbe stata la prossima preda di Stalin. Arne Beurling ebbe un ruolo fondamentale nella decifrazione dei sistemi di crittografia della marina sovietica del Baltico e di altri codici cifrati russi. Su questa fronte, gli svedesi lavorarono in collaborazione con i finlandesi, di fatto gia grandi esperti di codici russi. La loro capacita di lettura dei messaggi cifrati russi fu uno dei fattori chiave nella coraggiosa lotta ingaggiata contro le forze dell'Unione Sovietica. Ma quando, il 9 aprile 1940,le forze armate tedesche attaccarono la Danimarca e la Norvegia,la Sveziasi trovo completamente circondata, da una parte dall'esercito tedesco e dall' altra da quello russo. Gli svedesi si resero subito conto che la neutralita dichiarata dai paesi scandinavi allo scoppio della guerra non avrebbe fornito alcuna protezione: i1 pericolo di un attacco tedesco era imminente. Subito dopo l'invasione della Norvegia, l'ambasciatore tedesco a Stoccolma richiese alle autorita svedesi il permesso affinche le forze armate tedesche potessero continuare a usare la linea telefonica e telegrafica che collegava Oslo a Goteborg e al continente. Quando i1 ministro della difesa rivolse la questione al capo della FRA,egli rispose: "Protestate in ogni possibile modo, rna bisogna ringraziare il cielo per questa opportunita," II governo svedese acconsenti, pertanto, alla richiesta. Questo accordo rese possibile l'installazione di cimici nella centrale dei ripetitori a Goteborg e la registrazione del traffico di messaggi tra le truppe tedesche in Norvegia e il quartier generale a Berlino. Dopo alcune difficolta iniziali, riguardanti il fatto che il sistema T52 era un sistema di telescrivente duplex,la FRA cornincio a registrare messaggi cifrati in massa. In seguito, si venne a sapere che l'ambasciata tedesca a Stoccolma usava un simile sistema criptato e pertanto venne intercettato anche il traffico proveniente da 11. Come spesso accade, i problemi tecnici ostacolarono l'impiego della registrazione del traffico tedesco: si verificarono errori di registrazione e disturbi; e quando Beurling incomincio a esaminare le migliaia di telegrammi in arrivo, si rese
2008
conto che c'erano diversi tipi di errori e alterazioni nei messaggi crittografati. Parte delle comunicazioni avvenivano pero in chiaro, in particolare i1 traffico tra gli operatori del sistema crittografico. Attraverso queste trasmissioni, Beurling riuscl a studiare le abitudini degli addetti tedeschi al linguaggio cifrato e le tecniche che utilizzavano per far fronte aIle difficolta, Ma egli aveva bisogno di una ripetizione della chiave di messaggio, cioe di messaggi crittografati esattamente nello stesso modo, e senza errori. Dopo aver esaminato i messaggi inviati in diverse giornate, ne riscontro un numero interessante, che sembravano essere completi e senza errori, trasmessi il25 e il27 maggio, e si mise a lavorare su questi. Per comprendere meglio sara necessario addentrarsi un po' di pin nel funzionamento del sistema T52. In sostanza, si trattava di ~n terminale telefonico con telescrivente provvisto di un dispositivo codificante. La telescrivente era un sistema precursore della moderna comunicazione di dati, dotato di un sistema di crittografia per cui lettere e numeri erano rappresentati da cinque bit (i sistemi moderni utilizzano un codice a 80 16 bit). Poiche solo 32 caratteri potevano essere rappresentati con cinque bit, esisteva un carattere maiuscolo, molto simile a quello del tasto SHIFT sulle macchine da scrivere e sulle tastiere, che aumentava il numero dei caratteri fino all'incirca a 58. Se un carattere maiuscolo, pero, veniva alterato, per esempio quando arrivava a destinazione in maniera incorretta, una lunga parte del messaggio risultava illeggibile. Per evitare questa evenienza, gli operatori tedeschi inserivano ulteriori caratteri maiuscoli, spesso molti di seguito, come si puo vedere all'inizio del messaggio in Figura 3. Inoltre, all'inizio dei messaggi, gli operatori usavano segnali di chiamata tratti dal codice telegrafico, il codice Q, del tipo QRV= "capitol" 0 espressioni quali ((ALLES KLAR". Un altro punto debole si rivelo il sistema di criptaggio. Le chiavi di criptaggio gestite dagli operatori erano due: una (chiamata QEK) era giornaliera, mentre l'altra veniva scelta a caso dall'operatore per ogni messaggio (QEP). Per facilitare l'azzeramento della QEK,0 Tagesschliissel, il T52 era dotato di un meccanismo a manovella, rna ogni volta che veniva azionato, esso resettava automaticamente anche la variabile QEP,0 Spruchschlitssel. In seguito, pero, molti operatori si dimenticavano di selezionare una nuova chiave QEP, il che naturalmente portava alIa temuta apparizione di messaggi in chiave ripetuta. La ripetizione della chiave era spesso causata anche dalla ritrasmissione di messaggi. Le normali pratiche di criptaggio dell' epoca prevedevano che se un messaggio dovesse essere ritrasmesso, per esempio quando giungeva a destinazione alterato, risultando illeggibile, si utilizzassero esattamente Ie stesse impostazioni della prima trasmissione (per evitare un ulteriore problema con Ie chiavi ripetute). Tuttavia, con il T52, a causa della conversazione dell'operatore che precedeva ogni messaggio, il contenuto della ritrasmissione non era identico all'originale, e apparivano fatalmente due messaggi diversi rna crittografati allo stesso modo. Le chiavi ripetute e Ie frequenti conversazioni tra operatori furono il punto d' attacco di Beurling. Nel confrontare i messaggi in chiave ripetuta, egli nota che brevi sequenze identiche di lettere apparivano in due o pin messaggi, alla stessa distanza dall'inizio e giunse alIa corretta conclusione che esse erano causate dall'uso continuato degli operatori di caratteri maiuscoli e segnali comuni di chiamata. Fu anche in grado di comprendere come i caratteri maiuscoli e i caratteri del codice Q,
La storia di Arne Beurling
come Q, ReV venivano convertiti dal processo di crittografia, e ne dedusse il funzionamento del meccanismo di codifica della macchina T52. Naturalmente, per gli standard attuali, il crittoalgoritmo della T52 non era eccezionale, rna all'epoca sembrava un sistema sicuro e di eccellenza; senz'altro 10sarebbe stato, se usato in maniera appropriata. n processo di crittografia pub essere descritto brevemente come segue: i bit del carattere del testa in chiaro venivano incrociati attraverso il connettivo logico della disgiunzione esclusiva (XOR) con i bit di una sequenza prodotta dalla macchina, per cui i bit risultanti venivano modificati sempre secondo una sequenza di chiave. Talisequenze venivano lette a partire da dieci dischi aventi codici formati dalla successione delle cifre 0 e 1 lungo illoro perimetro (per dettagli si vedano [1-4]). Questi codici avevano diverse lunghezze, il che dava all'intero meccanismo un periodo eccessivamente lungo, circa 9x1017, che costituiva una delle ragioni per cui si credeva che l'algoritmo fosse cost sicuro. Con le moderne tecnologie informatiche, ci sarebbero altre possibilita di condurre un attacco , anche senza ripetizioni della chiave di messaggio. In realta, gia ne11943, la FRA elaboro un attacco sulla base di un solo messaggio avente una certa lunghezza, rna si trattava di un metodo cosl laborioso che fu uti lizzato solo se i sistemi pili semplici non avevano prodotto risultati. Avendo inte rpretato con successo la crittografia T52 solo grazie alla teoria e a carta e penna, Beurling si mise a lavorare sul progetto di una macchina decodifieante cap ace di decifrare automaticamente i messaggi in arrivo. La compagnia telefonica Ericson produsse circa 40 di queste macchine decodificanti, chi am ate "Apps", forma abbreviata per "Apparatus" (Fig. 4
