Matematica 1 Guia

Matemática

Guía de estudio del Bloque 1

Educación Adultos 2000

Secretaría de Educación Subsecretaría de Educación Proyecto Educación Adultos 2000 Coordinador pedagógico: Lic. Roberto Marengo Equipo técnico-pedagógico: Lic. Ayelén Attías Lic. Valeria Cohen Lic. Daniel López Lic. Norma Merino Lic. Noemí Scaletzky Lic. Alicia Zamudio EQUIPO DE EDICIÓN: Coordinadora de producción de materiales: Lic. Norma Merino Procesamiento didáctico: Lic. Mónica Benavídes Especialistas en Contenidos: Prof. Beatriz Marelli Prof. Dora Guil Prof. Ernesto José Maqueda Colaboración en la edición: Lic. Sandra Muler (pedagógica) Dra. Fabiana Leonardo (legal) Diseño gráfico: Alejandro Cácharo

Ilustración de portada: “Obras” de Arquímedes, en la edición de París, 1615

Matemática

Guía de estudio del Bloque 1

Educación Adultos 2000

MATEMÁTICA BLOQUE 1 Copyright Secretaría de Educación del Gobierno de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires Subsecretaría de Educación Gobierno de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires Proyecto Educación ADULTOS 2000 Av. Díaz Velez 4265 - Tel./Fax: 4981-0219 (C1200AAJ) - Ciudad Autónoma de Buenos Aires Buenos Aires, Julio de 2002 Queda hecho el depósito que establece la ley 11.723 ISBN 987-549-035-0

Índice

Matem Maá tet miác ticaa

Introducción Unidad 1: lenguaje de la matemática - conjuntos de puntos 1.a. 1.b. 1.c. 1.d.

5

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Lenguaje simbólico Conjuntos: operaciones Conjuntos de puntos Conteo

Sección Sección Sección Sección

A - Guía de lectura para el libro 1 B - Guía de lectura para el libro 2 C - Actividades sobe lo leído D - Autoevaluación de la Unidad 1

Unidad 2: números naturales

12 14 15 30

37

2.a. Números Naturales 2.b. Operaciones 2.c. Ecuaciones Sección Sección Sección Sección

A - Guía de lectura para el libro 1 B - Guía de lectura para el libro 2 C - Actividades sobe lo leído D - Autoevaluación de la Unidad 1

38 41 45 66

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3

Unidad 3: fracciones

71

3.1. Idea de fracción 3.2. Representación 3.3. Operaciones Sección actividades previas a la lectura Sección A - Guía de lectura para el libro 1

72 83

Usted encontrará el Índice de las unidades 4, 5 y 6 al comienzo de la Guía de estudio 2 del Bloque 1.

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Introducción

Matem Maá tet miác ticaa

Vamos a comenzar el estudio del Bloque 1 de Matemática. Iremos orientándolo en la lectura del libro y sugiriéndole actividades para afianzar su comprensión de los distintos temas.

Sobre la organización de esta guía El Programa de estudio está dividido en 6 unidades. En esta Guía de estudio 1 encontrará el desarrollo de las Unidades 1, 2 y 3. Para cada unidad, iremos enfocando los diferentes temas haciendo un camino de ida y vuelta entre: • una guía para la lectura de esos temas en el libro que Ud. haya elegido para estudiar, parte por parte , • una propuesta de actividades sobre lo leído que iremos sugiriéndole a medida que avance en el estudio. Resolverlas le permitirá: decidir si está en condiciones de seguir avanzando con la lectura o si necesita detenerse un rato más en lo anterior; orientarse respecto de cuáles son los temas más importantes y cuáles no; agregar alguna cosa que no se encuentra en el libro y que está en el programa. En todas las unidades habrá una propuesta de actividades para aplicar lo leído. Además, en algunas ocasiones, incluiremos actividades previas al trabajo con el libro. • Y algunas propuestas de autoevaluación que le permitirán comprobar en qué medida ha logrado los aprendizajes necesarios para continuar con la unidad siguiente y, finalmente, decidir si está preparado para rendir el examen correspondiente a este bloque. Como los libros que le vamos a proponer, entre los cuales Ud. elegirá uno, son bastante diferentes, hemos preparado una guía de lectura específica para cada uno.

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Le explicamos cómo lo hicimos: Cada unidad está dividida en secciones: • Sección Actividades previas a la lectura: propuesta de actividades para que realice antes de comenzar el estudio del texto. Esta sección aparecerá sólo en algunos casos. • Sección A: guía de lectura para quienes usen el libro 1 (así llamaremos desde ahora al de Editorial Santillana). • Sección B: guía de lectura para quienes usen el libro 2 (así llamaremos desde ahora al de Editorial Aique). • Sección C: propuesta de actividades sobre lo leído. Al final de esa sección, encontrará nuestras respuestas para comparar. • Sección D: autoevaluación. Esta sección aparece en algunas unidades y al finalizar el trabajo del bloque completo. De tal modo,

 Libro 1

 Libro 2

• si Ud. tiene el libro 1 deberá leer siempre la Sección A, la Sección C y la Sección D. Y, en los casos en que corresponda, la Sección Actividades previas a la lectura. • En cambio, si tiene el libro 2, leerá la Sección B, la Sección C y la Sección D. Y, en los casos en que corresponda, la Sección Actividades previas a la lectura.

Antes de comenzar con la tarea, queremos hacerle algunas recomendaciones que, creemos, lo ayudarán a organizarse y lograr mejores resultados...

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Sobre las actividades que le vamos a proponer Siempre intente contestar. Si no puede hacerlo, es probable que necesite volver al texto a revisar lo que ya leyó. Vuelva a leer para ver si hay alguna cuestión vinculada al ejercicio que se le pasó por alto la primera vez. Luego intente responder nuevamente. Después de haber agotado todos sus recursos, puede controlar su respuesta con la que le proponemos. Controlar su respuesta significa ya haber podido dar una. Quizá podría estar pensando: "si no puedo dar una respuesta, al menos miro lo que hicieron e intento entenderlo". Puede hacerlo, pero no le servirán nuestras respuestas si Ud. solo no pudo hacer un camino. Recuerde que son las situaciones y sus propias estrategias las que le irán dando sentido a cada concepto. En todo caso, siga con otra actividad, y vaya construyendo una lista con dudas para cuando tenga tiempo de preguntarle al consultor. Él lo guiará para que pueda resolver la situación.

Sobre el libro con el que trabajará Le proponemos trabajar con los siguientes libros: Libro 1 - P. Sadovsky, M.P. Melguizo, C.L. Rubinstein de Waldman, Matemática 1, Editorial Santillana (ediciones 1988 o posteriores). Libro 2 - M. Bindstein, M. Hanfling, Matemática 1, Editorial Aique, (ediciones 1994 o posteriores).

 Libro 1  Libro 2

• Tenga en cuenta que, si no tiene ninguno de los libros propuestos, puede encontrarlos en la Sede del Proyecto Educación Adultos 2000.

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 Libro 1

Si Ud. va a trabajar con el libro 1, tenga en cuenta que: • En algunas páginas de este libro (como en las páginas 17 y 18, por ejemplo) aparecen actividades o ejercicios al pie de las mismas. En la guía iremos indicándole si es necesario resolver estas actividades. • En el texto, aparecen algunas preguntas como, por ejemplo, en la página 19 (del 6° al 10° renglón). Intente ir respondiéndolas a medida que va leyendo. En esos casos, las consignas en la guía serán del tipo "Lea y responda". • Si Ud. consiguió una edición de las más antiguas (por ejemplo de 1988), tenga presente que la misma tiene algunos errores de edición que fueron corregidos en ediciones posteriores. Siempre que podamos, le avisaremos sobre el inconveniente que podría presentársele en la lectura. De cualquier modo, manténgase alerta y en caso de duda recurra a la sede a consultar otra edición o a un profesor. • Este libro cuenta con un "Breve Diccionario de Matemática" en la página 208, que es otro recurso que le puede resultar útil. • En las páginas 212 y siguientes Ud. tiene las "Respuestas a las actividades" del libro. Usándolas bien, Ud. puede autoevaluarse. Además, ante cualquier duda, concurra a las consultorías lo antes posible. Y si puede reunirse con algún compañero, la tarea le resultará más fácil y más amena.

 Libro 2

Si Ud. trabaja con el libro 2: • En el borde izquierdo o derecho de muchas páginas de este libro, aparecen recuadros rosados. Cuando se indique una página para leer, dicha lectura incluye esos recuadros. • En las páginas 249 y siguientes Ud. tiene las "Respuestas a los problemas" del libro. Usándolas bien, Ud. puede autoevaluarse. Además, ante cualquier duda, concurra a las consultorías lo antes posible. Y si puede reunirse con algún compañero, la tarea le resultará más fácil y más amena.

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Si va a guiarse por algún otro libro, el índice le será de mucha utilidad. En cada caso busque en él los temas de la unidad del programa que necesite. •En este caso, no va a contar con el recurso de la guía de lectura. Pero sí podrá usar los otros recursos, tales como Actividades sobre lo leído y Actividades de autoevaluación. Estos últimos le permitirán autoevaluar su lectura y su aprendizaje.

Una aproximación a la lectura del libro de Matemática • Tome el libro que eligió para estudiar y busque el índice. Fíjese qué partes contiene. • Recorra los distintos capítulos identificando los temas del programa que corresponden a cada uno. Generalmente los libros están divididos en capítulos y cada uno de ellos tiene un título principal y varios subtítulos. Algunos libros tienen índice alfabético de temas, otros no. En las últimas hojas de los libros aparecen las respuestas a las actividades que se proponen; éstas le servirán de autoevaluación de las actividades que haya resuelto. Sólo recurra a ellas una vez que haya finalizado con cada actividad.

Después de estas recomendaciones, le proponemos comenzar con la guía de lectura.

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MatemáBltoqiucea1

Unidad 1: Lenguaje de la

matemática - Conjuntos de puntos Los contenidos y propósitos de esta unidad son:

1.a. Lenguaje simbólico 1.b. Conjuntos: operaciones 1.c. Conjuntos de puntos 1.d. Conteo En esta unidad presentaremos los elementos geométricos utilizando el lenguaje de conjuntos. Aprovecharemos esta oportunidad para destacar la importancia de conocer el lenguaje propio de la matemática. Vincularemos también los conceptos conjuntistas con problemas sencillos de conteo. Le proponemos que: • Reconozca distintas formas de expresión de la matemática: símbolos, gráficos, fórmulas, representaciones geométricas. • Distinga figuras geométricas tales como: puntos, rectas, planos, semirrectas, segmentos, ángulos y use la simbología que representa a cada uno de ellos. • Reconozca las operaciones entre conjuntos de puntos (entes geométricos) y entre otros conjuntos para resolver problemas de conteo.

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 Libro 1 Sección A - Guía de lectura para el libro 1 En las primeras páginas de la lectura aparece con frecuencia la expresión "números naturales". Queremos contarle, por si no los recuerda, que los números naturales son: 0, 1, 2, 3,..., 100, 101 ... y así siguiendo. A este conjunto de números la matemática lo nombra con la letra N. 1. En el capítulo 1 ("El lenguaje de la Matemática"), lea las páginas: • 6 - (Introducción) • 7 - ("Representaciones", "Lenguaje coloquial y Lenguaje simbólico") • 8 - ("La generalización en Matemática") • 9 - ("Representaciones geométricas") hasta donde dice "... estamos simbolizando". 2. De las "Actividades" de las páginas 10 y 11, resuelva: • Ejercicio 1. Puntos a), b), c), ch), d), f), g) • Ejercicio 2. • Ejercicio 3. • Ejercicio 4. Puntos a), b), c) Nota: En algunas ediciones, por ejemplo la de 1988, en el ejercicio 2 hay un error. Debe decir: 12 < a ≤ 13. Recuerde: En las páginas 212 y siguientes Ud. tiene las "Respuestas a las actividades" del libro. Usándolas bien, Ud. puede autoevaluarse.

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Bloque 1

3. En el capítulo 2 ("Conjuntos"), lea y responda las preguntas propuestas en las páginas: • 12 - (Introducción) y • 13 - ("Conjunto. Elemento. Pertenencia.") 4. Lea la página 14 ("Definiciones por comprensión y por extensión") y resuelva el ejercicio 1 del pie de esa página. Le recomendamos que antes de completar la tabla, traduzca a lenguaje coloquial cada uno de los "requisitos de admisión", por ejemplo: para la categoría juvenil el requisito de admisión es: "12 ≤ e < 18". Al traducirlo resulta: Los postulantes de la categoría juvenil deben tener entre 12 años o más y menos de 18 años. Le proponemos realizar un pequeño intervalo en la lectura para invitarlo a trabajar con otro de los recursos que lo acompañará en su

$

aprendizaje. Sección C - actividades sobre lo leído Resuelva las Actividades n° 1. y 2. y luego vuelva al ítem 5. de esta guía de lectura. 5. Lea la página 16 ("Relación de inclusión") hasta donde dice "... que no pertenece a B" y resuelva el ejercicio 6. a) y b) del pie de esa página. 6. Lea y responda las preguntas propuestas en la página 17 ("Unión e Intersección de conjuntos") y resuelva el ejercicio 7 del pie de esa página. 7. Lea y responda las preguntas de la página 18 ("Diferencia de conjuntos") hasta el recuadro que dice "A - B es el conjunto...... y no pertenecen a B". Nota: El plano de la página 18 es el mismo que el plano 3 de la página 17. En algunas ediciones, dicho plano no está claro. 8. Lea y responda las preguntas de la página 19 ("Problemas de conteo"). Resuelva los ejercicios 10. a) y 11. a) del pie de esa página.

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9. De las páginas 20 y 21, resuelva las "Actividades": 2, 4 (en la actividad 4 no complete la fila encabezada con TC en la tabla y le recomendamos traducir al lenguaje coloquial la condición). 10. Del capítulo 4 ("Figuras geométricas"), lea y responda las preguntas propuestas en las páginas 30 (Introducción), 32 ("Punto. Recta. Plano". "Semirrecta". "Segmento". "Ángulo") y 33 ("Figuras planas"). 11. Resuelva el ejercicio 1 del pie de la página 33.

$

Resuelva, ahora, el resto de los puntos de la Sección C - actividades sobre lo leído

 Libro 2 Sección B - Guía de lectura para el libro 2 1. En el capítulo 1 ("Las primeras nociones de geometría"), lea las páginas: 14, 15, 16 y 17 de la introducción. 2. Lea los "Problemas y reflexiones" en las páginas 18, 19, 20 y 21 y resuelva las actividades 1, 2, 3 y 4 propuestas en esas páginas. 3. Lea a partir del título "Rectas, ángulos, distancias..." en la página 22 hasta donde dice "... en dos ángulos llanos o semiplanos", en la página 23. Además, lea el 2° recuadro del borde derecho de esta página. 4. Lea "Para reconocer figuras" en las páginas 24 y 25 y resuelva el problema 6. 5. Resuelva el problema que aparece bajo el título "Para combinar figuras" en la página 25. 6. Lea "Otra forma de definir" y "Combinando figuras" en las páginas 26 y 27. Resuelva los problemas 11 y 12 de las páginas 27 y 28. 7. Mire el cuadro rosado de la página 31, que contiene símbolos matemáticos.

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Bloque 1

8. El capítulo 2 ("Números Naturales") tiene una "Introducción" en las páginas 34, 35, 36 que le pedimos que lea. 9. En la página 38 aparecen "Problemas y reflexiones para saber contar". Lea y resuelva las actividades 1 y 2. Después lea la página 39 a partir del título "Algunos métodos de conteo" y de la página 40 lo que figura bajo el título "Tablas de doble entrada". 10. Resuelva los problemas 4 y 5 que aparecen en "Para leer y confeccionar gráficos" en las páginas 41 y 42. 11. Resuelva los ejercicios 7 y 9 de la página 44 (Son ejercicios "Para utilizar lo aprendido sobre conteo").

Le proponemos realizar un pequeño intervalo en la lectura para invitarlo a trabajar con otro de los recursos que lo acompañará en su aprendizaje:

$

Sección C - actividades sobre lo leído Resuelva todas las actividades allí planteadas

Sección C - Actividades sobre lo leído Actividad n°1 La empresa "XYZ", que produce piezas de tornería, fabrica semanalmente una cantidad de piezas que se simboliza con la letra q. Es decir, se utiliza la letra q para representar "todas las posibles producciones semanales de la empresa". La cantidad q es de 300 o más piezas, pero nunca más de 311. En Matemática, esto se puede simbolizar así:

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300 ≤ q < 312 (o también 300 ≤ q ≤ 311). Escriba todas las producciones posibles de esta empresa. • En cambio la empresa "MRQ" semanalmente fabrica una cantidad q que cumple con la condición 250 ≤ q ≤ 1500. 1. Indique 10 cantidades posibles de producción para este caso. 2. ¿Por qué cree que le dijimos sólo 10 y no todas las posibles producciones como en el ítem anterior?

Nota: Queremos destacar, especialmente para los que siguen la lectura del que llamamos libro 2, que: - La empresa "XYZ", puede producir: 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, o lo que es lo mismo, que q puede tomar cualquiera de esos valores. - En términos matemáticos podemos decir que el conjunto P de la producción semanal de esta empresa es: P = {300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311}.

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Bloque 1

Este conjunto está definido "por extensión" dado que están nombrados todos los elementos pertenecientes a él. Se dice que, por ejemplo, 302∈ P (que se lee 302 pertenece al conjunto P). - La Matemática también determina o define este conjunto P así: P ={q ∈N: 300 ≤ q < 312} que se lee "el conjunto P está formado por los números naturales mayores o iguales que 300 y menores que 312". Un conjunto definido de esta forma, es decir, dando una característica que identifique solamente a los elementos del conjunto, se dice que está definido "por comprensión".

Si Ud. tiene el libro 2, continúe con las actividades.

 Libro 2

Actividad nº 2 Ahora, le proponemos la siguiente situación: Luego de un proceso de preselección para cubrir puestos de trabajo, se organizó una tabla como la que sigue: Nombre A B C D E F G

Edad (en años) “e” 23 37 21 29 32 45 42

An tigüedad laboral (en años) “a” 2 15 1 5 7 21 20

Sueldo deseado (en pesos) “ s” 500 1300 400 500 1000 1800 2000

Los puestos vacantes son para desempeñarse como cadetes, recepcionistas u operadores financieros. Para cada tipo de trabajo se determinó un criterio de selección.Observe en la tabla que para designar una edad posible se utilizó la letra e, para representar una posible antigüedad se indicó la letra a, y la letra s para expresar los valores de sueldos.

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Algunos de los requisitos para la selección, de acuerdo con el tipo de empleo, se dan a continuación: Cadetes : 18 < e < 25

Recepcionistas: 5 ≤ a < 15

Operadores financieros: 1000 < s ≤ 2000

Ahora le pedimos que traslade algunas de las cosas aprendidas en este curso a la situación que acabamos de plantear. 1. ¿Cómo diría en lenguaje coloquial el requisito señalado para el puesto de cadete? 2. Traduzca a lenguaje coloquial el requisito impuesto al puesto de recepcionista. 3. Complete la frase: El puesto de operador financiero lo obtendrá alguno de los solicitantes que pretenden ganar................. 4. Indique cuáles son los candidatos a cada uno de los puestos de trabajo. 5. Si otro de los requisitos para el puesto de operador financiero es que tenga más de 20 años de antigüedad, a. ¿quién o quiénes se pueden quedar con el puesto? b. ¿cómo escribiría en lenguaje simbólico los dos requisitos correspondientes al puesto de operador financiero? Actividad nº 3 El siguiente cuadro tiene 5 columnas. En la primera columna hay ejemplos de expresiones que se usan en matemática. En la segunda columna se expresa cómo se lee el ejemplo en lenguaje coloquial. En la tercera columna se ha destacado el símbolo matemático que interviene en el ejemplo. En la columna siguiente las correspondientes "lecturas" o expresiones del símbolo en forma coloquial. Y, en la última columna el nombre del concepto que se está simbolizando. Pero está incompleto y Ud. deberá completarlo.

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Ejemplo

El ejemplo se lee:

Símbolo El símbolo se lee :

a es igual a 11

a = 11

=

40 es mayor que 30 p < 18

Con cepto involucrado:

“es igual a”

igualdad

“es mayor que”

relación de mayor

< b es distinto que 32

40 ≥ c

Bloque 1

Todos los símbolos fueron utilizados en el texto que leyó, o son usados en la escuela primaria. Si no reconoce alguno de ellos, búsquelo primero en el libro y luego en las respuestas.

≠

desigualdad

40 es mayor o igual que los valores de c

c≤2

relación de menor o igual 115 es un número natural o 115 pertenece al conjunto N

8 ∉ {1,2,3} 38 A A= {1;2;3}

∈

∉

“no pertenece a”

A={....}

conjunto

Si Ud. tiene el libro 1, ahora vuelva a la guía de lectura.

 Libro 1

Actividad nº 4 Se encuestó a los empleados de una empresa. Con ella se detectó que de los 62 empleados: • sólo 20 eran mujeres, • 40 empleados eran argentinos, • 10 empleados de sexo masculino eran extranjeros. 1. A partir de la información dada complete el siguiente diagrama de Carroll: Mujeres

Hombres

Total

Argentinos Extranjeros Total

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2. La situación económica de la empresa exige que se disminuya el plantel de empleados. Se propusieron a la Comisión Directiva tres criterios diferentes para realizar los despidos. Los criterios son: a. Se procederá con el despido si el empleado "es mujer o es extranjero". b. Se despedirá a todas las mujeres extranjeras, o dicho de otra forma: se despedirá si es mujer y extranjera. c. Las mujeres no extranjeras serán despedidas. Le pedimos que indique qué cantidad de empleados sería despedida según cada uno de los criterios. 3. A partir de lo que respondió en los ítems anteriores le pedimos que complete el siguiente cuadro, tomando en cuenta que: A es el conjunto de empleadas mujeres y B el conjunto de los empleados extranjeros Para el criterio:

La respuesta se puede grafic ar:

Lo graficado se La operación Lo simbolizado expresa entre se le e: simbólicamente conjuntos es :

“mujer o extranjero” A

B

A

B

A

B

“mujer y extranjera”

“mujeres no extranjeras”

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Bloque 1

Actividad nº 5 Las personas de la siguiente lista, forman la Comisión Directiva de la Asociación cooperadora de una entidad pública. 1. JUAN PÉREZ 2. JOSÉ GARCÍA 3. PEDRO ROCA 4. MARÍA MARTÍN 5. MARIO LÓPEZ 6. MAURO RETA 7. LUIS LEÓN 8. RAÚL SOLÁ Para poder cumplir con diversas tareas formaron distintas subcomisiones: • Subcomisión de tesorería (T), con los dos primeros de la lista. • Subcomisión organizadora de recursos para obtener dinero (R), con los tres siguientes de la lista. • Subcomisión revisora de cuentas (C), integrada por MAURO RETA. • Subcomisión de relaciones públicas (P), con los restantes integrantes de la Comisión Directiva. 1. Le pedimos que escriba el conjunto de las personas que componen: • la Comisión Directiva • cada una de las subcomisiones. 2. Si MAURO RETA renunciara a la función de revisor, ¿qué diría Ud. respecto de la subcomisión C? Nota 1: Si queremos escribir a los integrantes de la comisión directiva como un conjunto, resulta:

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D = {JUAN PÉREZ; JOSÉ GARCÍA; PEDRO ROCA; MARÍA MARTÍN; MARIO LÓPEZ; MAURO RETA; LUIS LEÓN; RAÚL SOLÁ} Y, para cada una de las subcomisiones: T = {JUAN PEREZ; JOSE GARCÍA} R = {PEDRO ROCA; MARÍA MARTÍN; MARIO LÓPEZ} C = {MAURO RETA} P = {LUIS LEÓN; RAÚL SOLA} • Fíjese que, por ejemplo, los miembros de la subcomisión R lo son también de la comisión directiva D. Dicho en términos matemáticos es: "Los elementos del conjunto R pertenecen también al conjunto D". Por eso decimos que R es un subconjunto del conjunto D y también decimos que el conjunto R está incluido en el conjunto D. Para expresar simbólicamente que "R está incluido en D" lo hacemos así: R ⊂ D Los conjuntos, T, C y P también son subconjuntos de D o están incluidos en D. • Si MAURO RETA renunciara a su función de revisor de cuentas, resultaría que esa subcomisión no tendría integrantes. O sea el conjunto C se quedaría sin elementos. En Matemática, si un conjunto no tiene elementos se lo llama conjunto vacío y se lo designa con la letra Φ.

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Bloque 1

Nota 2: Ahora, una sutileza, pero muy importante. Por ejemplo, decimos que el conjunto C ={MAURO RETA} está incluido en el conjunto D, ya que tiene la categoría de conjunto (o de subcomisión). En cambio, si pensamos a MAURO RETA solamente como un integrante de la Comisión Directiva, decimos que MAURO RETA pertenece a la Comisión Directiva. Esto último, escrito en símbolos, es así: - {MAURO RETA} ⊂ D - MAURO RETA ∈ D Actividad nº 6 1. A continuación expresamos en lenguaje gráfico (o geométrico) algunos entes o figuras geométricas. Le pedimos que dé el nombre de cada una de ellos y que los exprese simbólicamente. (Para ello utilice las letras que quiera).

2. Para responder a esta Actividad necesita tener en cuenta lo que leyó y trabajó sobre las operaciones entre conjuntos y que las figuras geométricas son conjuntos de puntos. Para los gráficos que se dan a continuación, identifique qué figura o ente geométrico resulta de las siguientes operaciones:

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H H MO 1 O M m r 1n H H MO 7 O M Dé su respuesta en lenguaje coloquial y simbólico. O

r

n

M P

Actividad nº 7 Volvamos a tener en cuenta que los entes geométricos son conjuntos de puntos. En el siguiente cuadro damos frases escritas en lenguaje coloquial. Le pedimos que las traduzca a: • lenguaje gráfico (o geométrico), • lenguaje simbólico. Para eso, complete el cuadro.

En lenguaje simbólico

La recta r está La recta r incluida en el plano está α y el punto F está incluida en en α y no pertenece el plano α. a la recta r

El punto M pertenece a la recta t, y la semirrecta OM es la opuesta a la semirrecta O L

El segmento AD está incluido en la recta p

En lenguaje geométrico o gráfico

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Bloque 1

Respuestas a las actividades sobre lo leído Si no pudo resolver las actividades o tiene dudas, antes de leer nuestra resolución puede recurrir a las indicaciones que le damos al comienzo de la respuesta a cada ejercicio. Allí le indicamos los números de página de su texto en donde encontrará el antecedente necesario en la lectura para responder.

Actividad nº 1 Si usó el libro 1, puede encontrar situaciones similares a las planteadas, en las páginas 7 y 8 y en las actividades 1, 2 y 3 de la página 10. Aquí van las respuestas para que las compare con las suyas:

 Libro 1

Para contestar, pudo haberse guiado por lo expresado en lenguaje coloquial o, quizá, por lo expresado en lenguaje simbólico. La respuesta sobre todas las producciones posibles de "XYZ" figura en la Nota posterior al enunciado. Para la empresa "MRQ": 1. Diez producciones posibles pueden ser: 250, 345, 467, 540, 944, 1290, 1305, 1387, 1452, 1500. 2. Y no se le pide que escriba todas las producciones posibles porque entre el número 250 y el número 1500, hay muchísimos números. Actividad nº 2 Para resolver esta actividad, puede recurrir a la Actividad anterior. Si Ud. leyó el libro 1, tiene una situación similar en la página 14 y en

 Libro 1

la actividad 4 de la página 20. Éstas son las respuestas para que chequee las suyas. 1. Para ser cadete, el aspirante debe tener más de 18 años y menos de 25 años. 2. Para el puesto de recepcionista, se necesita tener 5 o más, pero menos de 15 años de antigüedad laboral. 3. Completamos: El puesto de operador financiero lo obtendrá alguno de los solicitantes que pretenden ganar más de $ 1000 y a lo sumo $ 2000. Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

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4. Teniendo en cuenta lo que tradujo a lenguaje coloquial anteriormente, son candidatos: • a cadete los aspirantes A y C • a recepcionista los aspirantes D y E • a operador financiero los aspirantes B, F y G. 5. a. Si para el puesto de operador financiero, se agrega el requisito de más de 20 años de antigüedad, el que se queda con el cargo es el aspirante F. b. Para expresar en lenguaje simbólico los dos requisitos pedidos para ser operador financiero, podemos escribir: 1000 < s ≤ 2000 y a > 20. Actividad nº 3

 Libro 1  Libro 2

Teniendo en cuenta lo trabajado en las actividades anteriores y lo que haya leído en las páginas 7, 8, 13 y 14 del libro 1, o en la página 31 del libro 2, aquí tiene las respuestas: Símbolo El símbolo se lee:

Ejemplo

El ejemplo se lee:

a = 11 40 >4030 > 30

a es igual a 11 40 es mayor que 30

= >

p < 18

Los valores de p son menores que 18 b es distinto que 32

<

b ≠ 32 40 ≥ c c≤2

40 es mayor o igual que los valores de c c es menor o igual que 2

115 es un número natural o 115 pertenece al conjunto N 38 no pertenece al 38 ∉ {1,2,3} conjunto formado por 1, 2 y 3 El conjunto A está A= {1,2,3} formado por los elementos 1, 2 y 3 o también puede leerse “al conjunto A pertenecen 1, 2 y 3 115 ∈ N

≠ ≥ ≤

“es igual a” “es mayor que” “es menor que” “es distinto que” “es mayor o igual que” “es menor o igual que”

Concepto involucrado: igualdad relación de mayor relación de menor desigualdad relación de mayor o igual relación de menor o igual

∈

“pertenece a”

pertenencia

∉

“no pertenece a”

No pertenencia

A={....}

“conjunto A formado por”

conjunto

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

26

Este ejercicio tiene su antecedente en lo que Ud. leyó y trabajó en la página 19 del libro 1 o en las páginas 38 a 40 del libro 2.

Bloque 1

Actividad nº 4

 Libro 1  Libro 2

1. ¿Ubicó los datos numéricos que aparecen en el enunciado en el diagrama de Carroll? ¿Le quedó así? Mujeres

Hombres

Argentinos

40 10 20

Extranjeros Total

Total

20

62

Después, haciendo las cuentas correspondientes, ¿llegó a completar la tabla así? Mujeres

Hombres

Total

Argentinos

8

32

40

Extranjeros

12

10 20

22

Total

20

42 10

62

2. a. Según el criterio 1, serían despedidas todas aquellas personas que sean o bien mujeres o bien extranjeros. Hay 20 mujeres en total (que serían despedidas) a las que hay que agregar los 10 hombres extranjeros. Entonces, los despedidos, serían 30 personas. b. Según el criterio 2, se despediría a un empleado que es extranjero y es mujer, o sea a las mujeres extranjeras, que son 12. c. Por el criterio 3, las despedidas serían las mujeres no extranjeras, o sea las 8 mujeres argentinas. 3. Para completar el cuadro, Ud. debió haber relacionado cada uno de los tres criterios de despidos con alguna operación entre conjuntos. Para eso, si es necesario, relea las páginas 17 y 18 del libro 1, o las páginas 26, 38 y 39 del libro 2 para rever lo que se refiere a las operaciones entre conjuntos.

 Libro 1  Libro 2

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

27

Para el criterio:

Si A es el conjun to de empleadas mujeres yBb el Lo graficado se La operación conjunto de Lo simbolizado expresa entre empleados se le e: simbólicamente conjuntos es : extranjeros, la respuesta se puede graficar:

“mujer o extranjero” A

A∪ B

“A unión B”

Unión

A∩B

“A intersección B”

Intersección

A–B

“A menos B”

Diferencia

B

“mujer y extranjera” A

B

“mujeres no extranjeras” A

B

Actividad nº 5 Las respuestas a esta Actividad están en la Nota, después del enunciado. Actividad nº 6

 Libro 1  Libro 2

1. Esta Actividad se refiere a lo leído en la página 32 del libro 1, o en las páginas 22, 23 y 27 del libro 2. semirrecta RS r

recta r o H recta GH

S

RS T

R

O

G

H F

Q segmento QP

punto T

ángulo FOH QP

P

^ FOH

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

28

Bloque 1

2. Para responder este ítem, tenga en cuenta lo que leyó en las páginas mencionadas en el ítem 1. y en las páginas donde aparecen las operaciones entre conjuntos del texto que Ud. eligió. Las respuestas son: MO 1 OM = MO (ya que el segmento MO contiene los puntos comunes a las 2 semirrectas). En lenguaje coloquial, se dice que la intersección entre las dos semirrectas es el segmento MO. n ∩ r = {P} (ya que es el punto común a las dos rectas). En lenguaje coloquial: El conjunto intersección entre las rectas n y r es el que tiene al punto P como elemento. MO 7 OM = n (ya que es la recta a la que pertenecen los puntos de al menos una de las dos semirrectas). En lenguaje coloquial: La unión de las dos semirrectas resulta la recta n. Actividad nº 7

 Libro 1  Libro 2

Usamos como antecedente las actividades 5 y 6 anteriores, y las páginas 16 y 32 del libro 1 o las páginas 22 y 23 del libro 2. Aclaramos que para expresar al plano en lenguaje geométrico o gráfico, lo representaremos así: Éstas son las respuestas para que compare las suyas:

La recta r está incluida en el plano α. Lenguaje simbólico

En lenguaje geométrico o gráfico:

r⊂α

La recta r está incluida en el plano α y el punto F está en α y no pertenece a la recta r r ⊂ α , F ∈α y F F∉ r

El punto M pertenece a la recta t, y la semirrecta OM es la opuesta al O L

El segmento AD está incluido en la recta p

M ∈ t, y OM y OLyson OM OL semirrectas son opuestas opuestas

AD ⊂ p

•F α

r

α

r

L

O

M

A t

D p

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

29

Sección D - Autoevaluación de la Unidad 1 Para tener en cuenta: Ud. ya trabajó los temas correspondientes a la unidad N° 1 al completar la guía de lectura y al resolver las actividades propuestas en el cuestionario sobre lo leído. Dichas actividades le permitieron verificar si había leído el texto adecuadamente y completar algunos conceptos que no estaban en su libro. Le proponemos, ahora, una evaluación que Ud. mismo corregirá. Dispóngase a resolverla con el tiempo y la tranquilidad suficientes como para que ningún factor externo afecte su evaluación. Es decir, póngase en situación de prueba, guarde el libro y las guías y al terminar relea y revise sus respuestas como si debiera entregarla a su docente. Imagine que ya entregó su evaluación. Después de esto busque nuestras respuestas para autoevaluarse. Su honestidad en la resolución le permitirá hacer una buena evaluación de su situación actual y le dará buenos indicadores sobre cómo debe seguir trabajando. Por ese motivo, es necesario que no se haga trampas, el único perjudicado sería Ud. Ahora llegó el momento de decidir si ya puede pasar tranquilo a la unidad 2 o si le conviene quedarse un tiempo más trabajando con la unidad 1, revisando los temas que no pudo responder. Ante cualquier duda recuerde que puede asistir a las consultorías.

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

30

Bloque 1

Actividad nº 1 Traduzca de lenguaje coloquial a lenguaje simbólico o de lenguaje simbólico a coloquial, según corresponda. Escriba sus respuestas sobre la línea punteada. 1. c ∈ N y c ≤ 5 ....................................................................................................................... 2. b = 5 + 7 ....................................................................................................................... ^ está incluido en el plano α: 3. El ángulo ABC ....................................................................................................................... 4. AB ⊂ AB ....................................................................................................................... 5. El punto T pertenece a la recta m ....................................................................................................................... Actividad nº 2 En un concurso literario hay tres categorías en las cuales pueden inscribirse los posibles participantes. Para poder anotarse en la categoría A, se requiere haber publicado por lo menos 3 novelas; para la categoría B se pide haber publicado más de 1 y menos de 3 novelas; y en la categoría C se pueden inscribir los que tienen una sola novela publicada. 1. Llamaremos "n" a la cantidad de novelas publicadas. A continuación escriba en lenguaje simbólico, el criterio para poder inscribirse en cada categoría. Categoría A:

Categoría B:

Categoría C:

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31

Los concursantes y la cantidad de novelas que publicó cada uno aparecen en la siguiente tabla: Nombre

Cantidad de novelas

Adela

3

Beatriz

5

Esteban

2

Francisco

1

Graciela

7

Horacio

4

Ignacio

2

Categoría

2. Le pedimos que complete en el cuadro la categoría en la que puede inscribirse cada participante. Actividad nº 3 Suponga Ud., que de los 1500 alumnos inscriptos a un curso de capacitación laboral, algunos terminaron sus estudios secundarios en escuelas comerciales y otros en bachilleratos. Se los dividió, con fines estadísticos, en dos grupos: aquellos cuya edad es inferior a 30 años y aquellos de 30 años o más. Se sabe que en el grupo de los de 30 o más años de edad hay 400 que provienen de escuelas comerciales. Hay 900 menores de 30 años y 800 bachilleres. Se pide que: 1. Vuelque los datos en el diagrama de Carroll de la página siguiente.

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

32

Bloque 1 2. ¿Cuántos de los inscriptos menores de 30 años provienen de una escuela con orientación bachiller? Rta. :............ 3. ¿ Cuántos inscriptos no son bachilleres ? Rta. :............ 4. ¿ Cuántos inscriptos tienen 30 años o más? Rta. :............ Actividad nº 4 Volvamos al ejercicio anterior. Llamamos A al conjunto de los inscriptos al curso de Capacitación laboral que tienen menos de 30 años y B al conjunto de los bachilleres inscriptos al mismo curso. 1. Interprete en el siguiente diagrama de Venn, el conjunto formado por los inscriptos menores de 30 años y que provienen de una escuela con orientación bachiller. B

A

2. Escriba en lenguaje simbólico la operación entre los conjuntos A y B, graficada en el ítem a.

Rta.:............................................................................................................

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33

Actividad nº 5 Traduzca a lenguaje gráfico (o geométrico) y a lenguaje simbólico, las siguientes frases referidas a las rectas r y s. Escriba sus respuestas sobre la línea punteada y en el cuadro. Las rectas r y s: 1- Están incluidas en el plano α ...................................................................................................................... 2- Se cortan en el punto M ...................................................................................................................... 3- No pasan por el punto P; y P es un punto del plano α ...................................................................................................................... Gráfico

Respuestas a la autoevaluación de la unidad n°1 Actividad nº 1 1. Cualquier número natural menor o igual que 5. 2. El número que resulta de sumar 5 y 7. ^ 3. ABC ⊂ α 4. El segmento AB está incluido en la semirrecta AB. 5. T ∈ m

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

34

Bloque 1

Actividad nº 2 1. Los requisitos pedidos para poder inscribirse en cada categoría, escritos en lenguaje simbólico son: Categoría A:

Categoría B:

Categoría C:

n≥3

1
n=1

2. La tabla se completa con los siguientes datos: Adela, Beatriz, Graciela, Horacio pueden inscribirse en la categoría A. Esteban e Ignacio en la categoría B. Y sólo Francisco en la C. Actividad nº 3 1. He aquí el diagrama de Carroll: Bachiller

Comercial

Totales

Menor de 30 años

600

300

900

De 30 años o más

200

400

600

Totales

800

700

1500

Las respuestas que siguen pueden leerse del diagrama anterior. 2. Vemos que hay 600 bachilleres menores de 30 años de edad. 3. Si no son bachilleres, provienen de una escuela con orientación comercial, podemos leer que los alumnos que provienen de escuelas comerciales son 700. 4. Leemos que el total de alumnos de 30 años o más son 600.

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

35

Actividad n° 4 1. El diagrama pedido es: B

A

2. La operación representada es A ∩ B. Actividad n° 5 Las rectas r y s: 1. Están incluidas en el plano α

→

r⊂ α ; s ⊂ α

2. Se cortan en el punto M

→

r ∩ s = {M}

3. No pasan por el punto P

→

P∉r;P∉s

→

P∈α

y P es un punto del plano α

r M

α

•P s

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

36

MatemáBltoqiucea1

Unidad 2: Números naturales Contenidos y propósitos de esta unidad:

2.a. Números Naturales 2.b. Operaciones 2.c. Ecuaciones Los números naturales son de uso cotidiano. En general, no hay dificultades en el cálculo cuando se opera con números naturales, por ser las operaciones que tienen más sentido concreto e intuitivo. Por ello, pondremos la atención en las propiedades y en las posibilidades de resolución de dichas operaciones, para luego extenderlas a otros conjuntos numéricos ya no tan intuitivos. Trabajaremos con distintas situaciones concretas que le den sentido a las operaciones (adición, multiplicación, potenciación y sustracción) y a la vez nos permitan vincular situaciones problemáticas que se resuelven con ecuaciones en este conjunto numérico. Le proponemos que: • Opere con números naturales, combinando las operaciones y reconociendo propiedades y convenciones de uso de paréntesis y corchetes. • Resuelva problemas concretos que expresen situaciones de la vida cotidiana utilizando ecuaciones en este conjunto numérico.

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

37

& Libro 1 Sección A - guía de lectura para el libro 1 • En el Capítulo 6: "Adición y Sustracción de Números Naturales": 1. Lea y responda las páginas 47 ("El conjunto de los números naturales"), 48 ("Representación gráfica de números naturales") y 49 ("Adición de números naturales"). 2. Resuelva el ejercicio 4 del pie de la página 49. 3. Lea y responda las páginas 50 ("Propiedad conmutativa de la adición en N") y 51 ("La adición es una operación binaria"). 4. Resuelva el ejercicio 10 del pie de la página 51. 5. Lea la página 52 ("Uso de paréntesis y corchetes"). 6. Resuelva el ejercicio 11 del pie de la página 52.

6

7. Resuelva las Actividades 1, 2 y 3 de la página 60. Vaya a: Sección C - actividades sobre lo leído para resolver la Actividad nº 1. 8. Lea la página 53 ("Ecuaciones"). 9. Resuelva los ejercicios 12 y 13 del pie de la página 53. 10. Lea y responda la página 54 ("Solución de ecuaciones"). 11. Resuelva los ejercicios 14 y 15 del pie de la página 54. 12. Lea la página 55 ("Operación sustracción"). 13. Resuelva las Actividades 4 y 8 de la página 60. 14. Lea la página 56 ("Propiedades de la sustracción"). 15. Resuelva los ejercicios 17, 18, 19 y 20 del pie de la página 56.

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

38

17. Resuelva las Actividades 5, 12 y 13 de las páginas 60 y 61.

Bloque 1

16. Lea y responda la página 57 ("Propiedades de la suma algebraica").

6

Vaya a: Sección C - actividades sobre lo leído para resolver las Actividades n°2 y 3. • En el Capítulo 7: "Multiplicación y División de Números Naturales": 1. Lea y responda las páginas 62 (Introducción) y 63 ("Multiplicación en N"). 2. Resuelva el ejercicio 1 del pie de la página 63. 3. Lea y responda la página 64 ("Algunas convenciones para realizar cálculos"). 4. Resuelva el ejercicio 6 del pie de la página 64. 5. Lea y responda las páginas 65 y 66 ("Propiedades de la multiplicación en N"). 6. Resuelva el ejercicio 7 del pie de la página 66 y los ejercicios 9 y 10 de la página 67. 7. Lea y responda la página 69 ("División en N"). 8. Resuelva el ejercicio 16 del pie de la página 69. 9. Lea y responda la página 70 ("Propiedad distributiva de la división"). 10. Resuelva el ejercicio 17 del pie de la página 70. 11. Lea y responda la página 72 ("Lenguaje coloquial y lenguaje simbólico"). 12. Resuelva el ejercicio 22 del pie de la página 72. 13. Lea la página 74 ("Operadores inversos"). Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

39

14. Resuelva el ejercicio 26 del pie de la página 74. 15. En las páginas 76 y 77, resuelva las Actividades 6, 10, 11 -excepto los ítems ch), k), l), m), ñ) y p))-, 12, 14, 17, 18 y 20.

6

Vaya a: Sección C - actividades sobre lo leído para resolver las Actividades n° 4, 5, 6, 7 y 8. • En el Capítulo 8: "Potenciación de Números Naturales": 1. Lea y responda las páginas 78 (Introducción), 79 ("La operación potenciación") y 80 ("Potencias de exponente 2"). 2. Resuelva los ejercicios 1, 2, 3 y 4 del pie de la página 80. 3. Lea y responda la página 81 ("Potencias de exponente 3"). 4. Lea y responda las páginas 82 y 83 ("Propiedades de la potenciación en N"). 5. Resuelva los ejercicios 12 y 13 del pie de la página 83.

6

6. Resuelva las Actividades 1, 2, 5 y 9 de la página 84. Vaya a: Sección C - actividades sobre lo leído para resolver la Actividad nº 9. • En el Capítulo 9: "Divisibilidad en el Conjunto de los Números Naturales": 1. Lea las páginas 86 (Introducción) y 87 ("Relación de divisor"). 2. Resuelva los ejercicios 1 y 3 del pie de la página 87. 3. Lea la página 88 ("Criterios de divisibilidad"). 4. Resuelva los ejercicios 7 y 8 del pie de la página 88. 5. Lea y responda la página 89 ("Cómo obtener los divisores de un número").

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

40

Bloque 1

6. Resuelva el ejercicio 10 del pie de la página 89. 7. Lea y responda la página 90 ("Múltiplos comunes de varios números"). 8. Resuelva los ejercicios 11, 12 y 13 del pie de la página 90. 9. Lea la página 91 ("División entera en N"). 10. Resuelva el ejercicio 14 del pie de la página 91. 11. Lea los primeros 8 renglones de la página 92 ("Números pares e impares") hasta donde dice "... un número par". No deje de leer los 3 primeros recuadros rosados del margen derecho de esa página. 12. Resuelva las Actividades 5 y 11 de la página 94. Vaya a:

6

Sección C - actividades sobre lo leído para resolver la Actividad nº 10.

Sección B - guía de lectura para el libro 2

& Libro 2

• Retomaremos la lectura del Capítulo 2: "Números Naturales", sobre el cual Ud. ya estuvo trabajando en la Unidad 1. 1. Resuelva los ejercicios 10 y 11 de las páginas 44 y 45 ("Para calcular"). 2. Lea las páginas 46, 47 y 48 ("Operaciones básicas con números naturales"). 3. Resuelva el ejercicio 12 de la página 49 ("Para saber si se puede asociar"). 4. Lea la página 50 ("Propiedad asociativa"). 5. Resuelva el ejercicio 13 de la página 50 ("Para cambiar el orden"). 6. Lea la "Propiedad conmutativa" en la página 51.

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

41

6

Vaya a: Sección C - actividades sobre lo leído para resolver la Actividad nº 1. 7. Resuelva los ejercicios 14 y 15 ("Para obtener lo mismo") en las páginas 51 y 52. 8. Lea en las páginas 52 y 53 la "Propiedad distributiva". 9. Resuelva el ejercicio 16 ("Para restar una resta") de la página 53. 10. Lea la página 54 ("El uso de paréntesis al combinar adiciones y sustracciones"). 11. Resuelva los ejercicios 17 y 18 ("Para saber qué resolver antes") de las páginas 54 y 55. 12. Lea las páginas 55 y 56 ("El orden de prioridad de las operaciones"). 13. Resuelva los problemas 19, 20, 22, 23, 24 y 27 ("Para utilizar lo aprendido sobre operaciones con números naturales") de las páginas 56, 57 y 58.

6

Vaya a: Sección C - actividades sobre lo leído para resolver las Actividades n°2 y 3. 14. Resuelva de "Más problemas" los ejercicios 30 y 33 de la página 59. • En el Capítulo 3: "Ecuaciones en el Conjunto de Números Naturales": 1. Lea la "Introducción" de la página 62. 2. Resuelva los ejercicios 1, 2 y 3 ("Para traducir enunciados") de la página 64. 3. Lea la página 65 ("Lenguaje coloquial y simbólico. Variables y constantes").

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

42

Bloque 1

4. Resuelva los ejercicios 4 y 5 ("Para averiguar lo desconocido") de la página 66. 5. Lea las páginas 67, 68, 69 y principio de la 70 ("Resolución de ecuaciones"). 6. Resuelva los ejercicios 6, 7 y 8 ("Para resolver más problemas con ecuaciones") de la página 70. 7. Lea "Más sobre traducción de enunciados y resolución de ecuaciones" en las páginas 71 y 72 hasta donde dice "... el cadete recibió $ 26." 8. En las páginas 74 y 75 hay problemas "Para utilizar lo aprendido sobre traducción de enunciados y resolución de ecuaciones". Resuelva los problemas 16, 17, 18 y 20. 9. Resuelva los problemas 26 a), b), c) y e) y 35 de las páginas 77 y 78. Vaya a: Sección C - actividades sobre lo leído para resolver las actividades n° 4, 5, 6, 7 y 8.

6

• En el Capítulo 11: "Potencias y raíces" 1. Resuelva el ejercicio 1 ("Para abreviar") de la página 228. 2. Lea la página 229 que se refiere a la potenciación de números naturales. Vaya a: Sección C - actividades sobre lo leído para resolver la Actividad nº 9.

6

• En el Capítulo 5: "Divisibilidad en el Conjunto de los Números Naturales": 1. Lea la "Introducción" de la página 100. 2. Resuelva los ejercicios 1 y 2 ("Para repartir bien") de la página 102.

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

43

3. Lea "Múltiplos y divisores. Números primos y compuestos" en las páginas 102 y 103. 4. Resuelva los ejercicios 3 y 4 ("Para encontrar los divisores") de la página 104. 5. Lea en las páginas 104 y 105 la "Descomposición de un número en sus factores primos". Nota: En la página 105, en el 8° renglón falta agregar 2 . 2 . 5; en el 9° renglón falta el número 20; y en el 12° renglón falta el 20 en el conjunto de los divisores de m. 6. Resuelva los ejercicios 5, 6 y 7 ("Para distribuir cantidades distintas en partes iguales") de las páginas 105 y 106. 7. Lea "Mayor divisor común" (páginas 106 y 107). Nota: En el recuadro rosado de la página 107 dice cuándo un número es divisible por 2. Aprovechamos para recordar que los números divisibles por 2 se llaman números pares. Además, si un número no es divisible por 2, se llama número impar. 8. Resuelva los ejercicios 8 y 9 ("Para encontrar cuándo coinciden") de las páginas 107 y 108. 9. Lea "Menor múltiplo común" en las páginas 108 y 109. 10. Resuelva el ejercicio 10 ("Para calcular fácilmente el mdc y el mmc") de la página 109. 11. Lea en las páginas 109 y 110 el "Cálculo del mdc y del mmc". 12. "Para utilizar lo aprendido sobre divisibilidad", resuelva el problema 17 de la página 111.

6

13. Resuelva los problemas 20 y 23 de la página 112. Vaya a: Sección C - actividades sobre lo leído para resolver la Actividad nº 10.

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

44

Bloque 1

Sección C - actividades sobre lo leído Actividad nº 1 Ud. ha leído, en su libro, cuestiones referidas a distintos temas. Para ejemplificar cada tema, en el libro han aparecido situaciones de la vida cotidiana. Además, cada tema tiene un vocabulario, ejemplos numéricos y un lenguaje simbólico vinculado con él. El cuadro que se presenta a continuación se refiere a las cuestiones mencionadas. Para completarlo revise su lectura. Nota: En la segunda columna, la primera situación corresponde al libro 1, y la segunda al libro 2. Cuando esté en blanco, complétela con una situación correspondiente a su libro. Tema

En el libro, ¿se usó alguna situación de la vida cotidiana para mostrar este tema?

Vocabulario

Ejemplo numérico

Lenguaje simbólico

Conjunto de los números naturales

1. Contar con los dedos de la mano 2. Contar la cantidad de alumnos de 1° año

Para este tema no hay vocabulario específico

8

N

Propiedad asociativa de la adición Propiedad conmutativa de la adición

a, b, c ∈ N a+b=c

Términos o sumandos Suma

Adición de números naturales 1. Libro 1: no hay referencia 2. Cálculo de las edades de Mariano y Silvina

Conmutar

4+(5+7)= 4+12=16

a, b, c ∈ N a+(b+c) = (a+b)+c

8+11=19 11+8=19

a, b ∈ N a+b=b+a

Tanto si Ud. tiene el libro 1 como si tiene el libro 2, ahora vuelva a la guía de lectura.

& Libro 1 & Libro 2

Actividad nº 2 Organice y complete un cuadro similar al de la Actividad nº 1, para el tema Sustracción.

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

45

Actividad nº 3 1. Al final de cada día, la empleada de la biblioteca de una escuela controla los movimientos de libros efectuados en la jornada. Para eso registra minuciosamente cada ingreso o salida de libros. El día 31 de marzo, a la hora de cierre, se encontró con el siguiente listado: · Apertura: 2543 ejemplares · Préstamos a docentes: 132 libros · Préstamos a alumnos: 856 libros · Devoluciones: 270 libros · Donación de editoriales: 624 libros · Donación del Ministerio de Educación: 67 libros · Enviados al taller de reparación: 76 libros · Recibidos del taller de reparación: 48 libros Le pedimos que calcule con cuántos libros abrirá la biblioteca el 1 de abril.

o con el signo '=' o '≠' según corresponda: a. 24 + (11 + 17) o 24 + 11 + 17 b. 85 - (25 + 15) o 85 - 25 + 15 c. 85 + (25 - 15) o 85 + 25 + 15 d. 12 - 5 - 7 o 12 - (5 + 7) e. 15- (5 - 3) o 15 - 5 + 3 3. Complete el o con el signo '=' o '≠' según corresponda, para 2. Complete el

a = 36, b = 12, c =8

o a - (b + c) b. a - b + c o a + (b - c) a. a - b + c

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

46

oa-b+c d. a + (b - c) o a + b - c e. a + b + c o a + (b + c)

Bloque 1

c. a - (b - c)

4. Teniendo en cuenta lo que respondió en los ejercicios 2. y 3. de esta Actividad nº 3, complete en el con el signo '=' o '≠' según corresponda:

o

oa-b-c b.- a + (b - c) o a + b - c c. a + (b + c) o a + b + c d. a - (b - c) o a - b + c e. a - (b + c) o a - b - c a. a - (b - c)

5. Verifique sus respuestas a las actividades 2., 3. y 4. con las nuestras. Después, teniendo en cuenta lo que respondió en esos ejercicios, complete las siguientes frases para que sean verdaderas: · En un cálculo donde intervienen sumas y restas, para suprimir paréntesis precedidos por un signo "-" debe: ...................................................................................................................... · En un cálculo donde intervienen sumas y restas, para suprimir paréntesis precedidos por un signo '+', debe: ...................................................................................................................... 6. En el ejercicio 1. de esta actividad, Ud. calculó la cantidad de libros con la que abrirá la biblioteca el 1 de abril. Teniendo en cuenta las conclusiones de los ejercicios anteriores, escriba dos maneras distintas de realizar dicho cálculo, usando paréntesis. · ............................................ · ............................................ Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

47

& Libro 2

Si Ud. tiene el libro 2, ahora vuelva a la guía de lectura.

& Libro 1

Si Ud. tiene el libro 1, vuelva a la Guia de lectura. Actividad nº 4 1. Organice y complete un cuadro similar al de la Actividad nº 1, para el tema Ecuación. 2. En el tema de ecuaciones, el Libro 2 habla de "hacer" y "deshacer" como "acciones en la resolución" de ecuaciones. Para referirse a dichas "acciones" el Libro 1 utiliza la idea de "operador directo" (hacer) y "operador inverso" (deshacer). Por ejemplo así: Operador directo: Es como una máquina que "multiplica por 2". Es decir que a cada número que entra a la máquina lo multiplica por 2 y da un resultado de salida. Operador inverso: en relación con el anterior, es una máquina que deshace lo que hace la anterior.

Entra 3→

Sale →6

“por 2”

Operador directo: “hace”

Entra 6→

Sale “divide por 2”

→3

Operador inverso: “deshace”

Otro ejemplo: Entra 5→

Sale “suma 3”

Operador directo: “hace”

→8

Entra 8→

Sale “resta 3”

→5

Operador inverso: “deshace”

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

48

8→

→ 16 →

“por 2”

Bloque 1

Se pueden combinar operadores:

“menos 5” → 11=8.2-5

Se puede armar la ecuación 3x-7=2:

x→

“por 3”

→

3x

→

“menos 7”

→ 2=3x-7

Se puede desarmar o resolver la ecuación 3x-7=2:

2→

“suma 7”

→ 2+7 →

“divide por 3”→ 9:3=x → 3=x

3. Le pedimos que dibuje los operadores que "hacen" las siguientes ecuaciones y luego los operadores que "deshacen" las mismas, para obtener el valor de x. a. 8x + 7 = 79 b. (x+3): 4 = 12 c. x: 4 +3 = 12

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

49

Actividad nº 5 Le damos una "vuelta más" a las ecuaciones. 1. En la fábrica "Jugolín" hay máquinas que elaboran jugos. Llamaremos "x" a la cantidad de litros que elabora cada máquina durante una hora de funcionamiento. Y ésta será la "incógnita". a. Si una máquina funciona durante 3 horas, ¿con qué cuenta puede calcularse la cantidad de litros de jugo elaborados por dicha máquina durante ese período de tiempo? b. ¿Y si trabajara durante 5 horas?

$

Observe: Si la máquina elabora "x" litros durante una hora, para calcular la cantidad de litros que elabora en tres horas, hacemos la cuenta 3.x. Y si la máquina trabaja durante 5 horas, la cantidad de litros que elabora se calcula con la cuenta: 5.x. 2. Un día se observó la producción de jugos en cuatro máquinas distintas, con la intención de averiguar cuál máquina produce más jugo por hora. Al iniciar el control, había 40 litros en el depósito de cada una de las máquinas. Y al concluir el día, cada uno de dichos depósitos tenían 100 litros. Las máquinas no funcionaron simultáneamente. • Una de ellas funcionó durante una hora a la mañana y 2 horas a la tarde. El encargado de la observación anotó la producción de jugo de esta máquina, en ese día, así: 40 + 1.x + 2. x = 100

Litros finales

Litros agregados por las dos horas que funcionó a la tarde Litros agregados por la hora que funcionó a la mañana Litros iniciales

Fíjese que lo que anotó el encargado es una ecuación de incógnita x. No pierda de vista lo que significa x en esta ecuación.

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

50

Bloque 1

• Otra máquina funcionó una hora a la mañana, una hora a la tarde y una hora a la noche. • La tercera máquina funcionó 3 horas a la mañana. • Y la última, 2 horas a la mañana, 2 horas a la tarde y 2 horas a la noche. a. ¿Cómo anotaría este encargado la producción observada para las otras máquinas? b. Si las ecuaciones que escribió el encargado fueran: 40 + 1.x + 2.x = 100 40 + 1.x + 1.x + 1.x = 100 40 + 3.x = 100 40 + 2.x +2.x + 2.x = 100 - ¿Con cuál de ellas cree que sería más fácil determinar la cantidad x de litros que elabora en una hora la correspondiente máquina? - ¿Tiene presente el recurso de los operadores que "hacen" y "deshacen"? c. ¿Cuántas horas en total funcionó cada máquina durante el día? d. Escriba, para las dos primeras máquinas, la ecuación en "x" que describe la producción de jugo en ese día, de modo que en ella pueda leerse la suma total de horas que funcionó la máquina. e. ¿Qué puede decir de las ecuaciones que obtuvo? Observe: La ecuación 40 + 1.x + 2.x = 100 correspondiente a la

$

primera máquina, también puede escribirse como 40 + 3.x = 100, ya que la suma total de horas es 3, pues la máquina funcionó durante 3 horas. Y esta última ecuación Ud. ya sabe resolverla utilizando el recurso de "hacer" y "deshacer". Además, las tres primeras ecuaciones resultan ser iguales.

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

51

f. Al gerente de la fábrica le interesa saber cuál o cuáles de las máquinas elabora mayor cantidad de litros por hora de funcionamiento. Si Ud. tuviera que informarle al respecto, ¿qué le diría? g. Para cada una de las máquinas, muestre cómo puede calcularse la cantidad de litros "x" que elaboran en cada hora de funcionamiento. 3. Si le proponemos resolver la ecuación 40 + 1.x + 2.x = 100 , ¿cómo le conviene escribirla para poder resolverla utilizando el recurso de "hacer" y "deshacer"? 4. Reescriba cada uno de los miembros de las siguientes ecuaciones de modo que sea posible hallar x utilizando el recurso de "hacer" y "deshacer". Halle el valor de x en cada caso. Al resolver, trate de imaginar en cada nueva ecuación la situación concreta planteada anteriormente: a. 50 + x + 3.x = 170 b. 2.x + 20 + x = 110 Actividad nº 6 Veamos otras situaciones de la fábrica que elabora jugos. 1. Una máquina funcionó desde las 8 hs. hasta las 11 hs. Antes de empezar a funcionar la máquina, el depósito tenía 40 litros y cuando el reloj marcaba las 10 horas el depósito tenía 80 litros. a. Teniendo en cuenta que x es la cantidad de litros que elabora la máquina por hora, escriba, como lo haría el empleado de la fábrica, una ecuación de incógnita x, que describa lo ocurrido en el depósito entre las 8 y las 11 horas. b. El empleado de la fábrica tiene que explicarle a un compañero, que no sabe matemática, pero sí tiene muchos años trabajando con estas máquinas, que la ecuación pedida en el ítem anterior es: 3. x + 40 = 80 + x Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

52

Nota: Una forma posible de argumentar sería: Entre las 8 y las 11 hs. transcurren tres horas, luego en este período entran al depósito 3x litros que se le suman a los 40 que ya tenía el depósito.

Bloque 1

¿Qué argumentos cree que podría utilizar el empleado para que su compañero le entienda?

$

Como a las 10 hs. el depósito tenía 80 litros, a las 11 hs. tenía "x" litros más. Por eso es: 3. x + 40 = 80 + x c. Le pedimos, ahora, que escriba una ecuación de incógnita x, que describa lo ocurrido en el depósito entre las 8 y las 10 hs. 2. Tenga en cuenta: • la ecuación que describe lo ocurrido en el depósito entre las 8 y las 11 hs.: 3 . x + 40 = 80 + x

(ítem b. del ejercicio anterior);

• y la que describe la situación entre las 8 hs. y las 10 hs: 2 . x + 40 = 80 (ítem c. del ejercicio anterior). Le preguntamos: a. ¿El valor de x, que hace cierta la igualdad de la segunda ecuación, también verifica la primera? Compruebe su respuesta. Nota: Se dice que dos ecuaciones que tienen igual solución son equivalentes.

$

b. Desde la situación concreta, ¿tiene sentido decir que las ecuaciones 3. x + 40 = 80 + x y 2 . x + 40 = 80 son equivalentes? ¿Por qué? c. Desde lo matemático, ¿qué cuentas pueden hacerse sobre la primera ecuación para obtener la segunda? Nota: Si compara la ecuación que describe lo que ocurre entre las 8 hs. y las 11 hs., que es: 3.x + 40 = 80 + x; con la ecuación que describe lo que ocurre entre las 8hs. y las 10 hs., que es: 2.x + 40 = 80, Ud. podrá

$

notar que si a la primera ecuación se resta x en ambos miembros de la Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

53

igualdad, se obtiene la segunda ecuación. Por otro lado, esto nos permitió llevar la primera ecuación a otra equivalente que es más fácil de resolver. Verifique que el valor x = 20 es solución de las dos ecuaciones. 3.a. Interprete la siguiente expresión, siendo x la cantidad de litros que elabora una máquina por hora de funcionamiento: 3 . x + 40 = 120 - x b. Busque un recurso para resolver la ecuación. Al hacerlo no pierda de vista la situación concreta. Escriba los pasos que seguiría al resolverla. c. Dé el valor de x que es solución de la misma. (No se olvide de verificar si dicho valor es correcto). 4. Resuelva las siguientes ecuaciones: a. 3 . x + x - 25 - x = 11 b. 2 = 4 . x + x - 32 - 3.x + 4 c. 3 . x - 7 = 1 + x d. 2 . x - 28 + x = 4 - x

& Libro 1

Si Ud. tiene el libro 1, continue con las Actividades no 7 y 8.

& Libro 2

Si Ud. tiene el libro 2, continúe con las Actividades n° 7 y 8. Actividad nº 7 Teniendo en cuenta lo dicho para el cuadro de la Actividad nº 1, complete el siguiente cuadro:

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

54

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

55

Propiedad distributiva del divisor respecto de una suma o resta

División de números naturales

Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y resta

Propiedad conmutativa de la multiplicación

1. Tiempo empleado por un deportista para recorrer 48 Km 2. Cajero del Banco Pcia.

1. Caminos para volver de Mar Dulce a Sierra Chica. 2. Lavarse los dientes y después peinarse.

1. Caminos para ir de Sierra Chica a Mar Dulce. 2. Cajero del banco Pcia.

Multiplicación de números naturales

Propiedad asociativa de la multiplicación

En el libro, ¿se usó alguna situación de la vida cotidiana para mostrar este tema? ¿Cuál?

Tema

Distribuir un divisor en cada término de la suma o de la resta

Distribuir un factor en cada término de la suma o de la resta

Paréntesis Asociar

Vocabulario

(8-4):2= 8:2-4:2

(8+4):2=8:2+4:2

3.(4.9) =(3.4).9

Ejemplo numérico

Bloque 1

Con: a:d ∈ N ; b:d ∈ N yd≠0 (a+b):d = a:d + b:d (a-b):d = a:d - b:d

a, b, c ∈ N a:b=c b≠0

a, b ∈ N a.b=b.a

a, b, c ∈ N a.(b.c) = (a.b).c

a, b, c ∈ N a.b=c

Lenguaje simbólico

Actividad nº 8 1. Ante la cuenta: 300 - 100 . 2 Juan dice: el resultado es 400 . En cambio Luis afirma que el resultado es 100. a. ¿Quién de los dos respetó el convenio matemático? b. ¿Cuál de las siguientes situaciones planteadas pueden resolverse o interpretarse con la cuenta dada? • "Si tenía $300 en mi billetera, y pagué 2 cuotas de un crédito de $100 cada una". ¿Cuánto dinero me queda? • Al iniciar el día en el stock de una fábrica hay 300 paquetes de un producto. Durante el día se vendieron 100 paquetes. Si cada paquete tiene 2 unidades del producto, ¿cuántas unidades quedan al terminar el día?. b. ¿Cómo debería escribirse la cuenta que interpreta la situación que no puede expresarse con la cuenta dada?

$

Nota: Es probable que Ud. pueda resolver las situaciones anteriores sin ninguna dificultad. Pero que, en el momento de escribir las cuentas, tenga dudas o le resulte complicado decidir si es Juan o Luis el que tiene razón. Trate de resolver esta duda teniendo en cuenta que tan sólo debe respetar un "convenio". Este convenio está expresado en su libro. Fíjese que no saber el convenio no lo inhibe de resolver las situaciones concretas, pero en lo "simbólico" puede llevarlo a resultados erróneos si no lo respeta. 2. Resuelva, de acuerdo al convenio matemático, las siguientes cuentas combinando sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y el uso de paréntesis: a. 15.3 - 12 : 4 - 7.3 = b. (12 + 2) : 7 - 2 =

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

56

Bloque 1

c. 5 + (8 + 20) . (13 - 4) - 10 = d. (13 + 24 : 8) :2 - (4 + 2 ) = 3. Sabiendo que a = 8 ; b = 2 y c = 5, resuelva las siguientes cuentas. Si en algún caso pueden resolverse de dos formas distintas, indíquelo. a. a + b.c = b. a : b + c = c. a . (b + c ) = d. ( a + b ) : c = 4. Se sabe que a, b y c son números naturales, es decir: a∈N, b∈N y c∈N. Exprese en forma coloquial en qué orden resolvería las siguientes cuentas. Indique si en algún caso puede resolverse de dos formas distintas. a. a + b.c = b. a : b + c = c. a . (b + c ) = d. ( a + b ) : c =

Tanto si Ud. tiene el libro 1 como si tiene el libro 2, ahora vuelva a la guía de lectura.

& Libro 1 & Libro 2

Actividad nº 9 Arme y complete un cuadro similar al de la Actividad nº 1 para los temas: "Potenciación de números naturales"; "Propiedad del producto de potencias de igual base"; "Propiedad del cociente de potencias de igual base"; "Propiedad de potencia elevada a otra potencia".

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

57

& Libro 1 & Libro 2

Tanto si Ud. tiene el libro 1 como si tiene el libro 2, ahora vuelva a la guía de lectura Actividad nº 10 Arme y complete un cuadro similar al de la Actividad nº 1 para los temas: divisores, múltiplos, mínimo común múltiplo o menor múltiplo común; máximo común divisor o mayor divisor común; división entera o cociente entero.

Respuestas a las actividades basadas en la lectura Actividad nº 1 Tema

En el libro, ¿se usó alguna situación de la vida cotidiana para mostrar este tema?

Vocabulario

Ejemplo numérico

Lenguaje simbólico

Conjunto de los números naturales

1. Contar con los dedos de la mano 2. Contar la cantidad de alumnos de 1° año

Para este tema no hay vocabulario específico

8

N

Adición de números naturales

1. Calcular la cantidad total de lápices 2. Juego de almacén de Ariel y Leonardo

Términos o sumandos Suma

2+3=5

a, b, c ∈ N a+b=c

Propiedad asociativa de la adición

1. Libro 1: no hay referencia 2. Cálculo de las edades de Mariano y Silvina

Paréntesis Asociar

4+(5+7)= 4+12=16

a, b, c ∈ N a+(b+c) = (a+b)+c

Propiedad conmutativa de la adición

1. Truco del mago para resolver sumas 2. Lavarse los dientes y después peinarse

Conmutar

8+11=19 11+8=19

a, b ∈ N a+b=b+a

Actividad nº 2 Tema

En el libro, ¿se usó alguna situación de la vida cotidiana para mostrar este tema?

Vocabulario

Ejemplo numérico

Lenguaje simbólico

Sustracción de números naturales

1. Balanza con pesos diferentes en los platillos 2. Juego de almacén de Ariel y Leonardo

Diferencia o resta Minuendo Sustraendo

15-2=13

a, b, c ∈ N c-b=a

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

58

Bloque 1

Actividad nº 3 1. El 1 de abril la biblioteca abrirá con 2488 libros. 2. Completamos los

o:

a. 24 + (11 + 17) = 24 + 11 + 17 b. 85 - (25 + 15) ≠ 85 - 25 + 15 c. 85 + (25 - 15) ≠ 85 + 25 + 15 d. 12 - 5 - 7 = 12 - (5 + 7) e. 15 - (5 - 3) = 15 - 5 + 3 3. Una vez completados los

o , queda:

a. a - b + c ≠ a - (b + c) b. a - b + c ≠ a + (b - c) c. a - (b - c) = a - b + c d. a + (b - c) = a + b - c e. a + b + c = a + (b + c) 4. Aquí están los signos que van: a. a - (b - c) ≠ a - b - c b. a + (b - c) = a + b - c c. a + (b + c) = a + b + c d. a - (b - c) = a - b + c e. a - (b + c) = a - b - c 5. Las frases completas son: • En un cálculo donde intervienen sumas y restas, para suprimir paréntesis precedidos por un signo '-', debe cambiarse el signo de cada uno de los términos que figuran entre los paréntesis. • En un cálculo donde intervienen sumas y restas, para suprimir paréntesis precedidos por un signo '+', debe conservarse el signo de cada uno de los términos que figuran entre los paréntesis.

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

59

6. El cálculo puede realizarse, entre otras formas, así: • 2543 - (132 + 856) + (270 + 624 + 67) - 76 + 48 • 2543 + 270 + 624 + 67 + 48 - (132 + 856 + 76) • 2543 - (132 + 856) + 270 + 624 + 67 - 76 + 48

$

Nota: Ud. puede haber encontrado otras maneras igualmente válidas a las dadas por nosotros. Si tiene alguna duda sobre ellas, puede consultarlas con el profesor en las Sedes del Proyecto. Actividad n° 4 1.

Tema

En el libro, ¿se usó alguna situación de la vida cotidiana para mostrar este tema?

Vocabulario

Ejemplo numérico

Lenguaje simbólico

Ecuación

1. Pesarse con el perro y sin el perro - Operadores

Incógnita Igualdad Miembros Solución o raíz Pasaje de términos

2x+6=14

a≠0 a, b, c ∈ N ax+b=c

2. Balanza

2.a. • Arma: 8x + 7 = 79 x →(multiplica por 8) → 8x→ (suma 7)→ 8x+7 →(sale) 79=8x + 7 • Desarma: 8x + 7 = 79→ (resta 7)→ 72→(divide por 8)→ (sale) 9=x b. • Arma (x+3):4=12 x→ (suma 3)→ (x+3)→ (divide por 4)→ (x+3):4→ (sale) 12= (x+3):4 • Desarma (x+3): 4=12→(multiplica por 4)→48→(resta 3)→(sale) 45=x c. Resulta x = 36

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

60

Bloque 1

Actividad nº 5 1. Se respondió en la nota que está a continuación de este ejercicio. 2.a. El ítem a. tiene la respuesta en el ítem b. b. La ecuación más fácil de responder es 40 + 3.x = 100, pues se puede usar el recurso de los operadores que "hacen" y "deshacen". c. Las tres primeras máquinas sumaron 3 horas de funcionamiento en ese día y la cuarta máquina, 6 horas. d. y e. La ecuación pedida es la misma para las dos máquinas: 40 + 3x = 100. f. y g. Las tres primeras máquinas elaboran la misma cantidad x de litros por hora, ya que la misma ecuación describe la producción de jugo de cada una de ellas. Esta ecuación es: 40 + 3.x = 100 Si la resolvemos: 100 - 40 = 3.x ; 60:3 = x ; x = 20. (Verifíquelo). Y para la cuarta máquina la ecuación es 40 + 6x = 100. Si la resolvemos es 100-40 = 6x ; 60:6 = x ; x = 10 Esta máquina produce menos jugo por hora que las otras. Fíjese que: si tiene en cuenta la situación, la cuarta máquina necesitó más horas para que su depósito pasara de tener 40 litros a 100 litros, luego es lógico pensar que producía menos jugo por hora que las otras máquinas. 3. Si le proponen resolver 40 + x + 2x = 100, para resolverla conviene escribirla así: 40 + 3.x = 100 4.a. Nos conviene escribir la ecuación como: 50 + 4.x = 170 Resolviendo nos queda: 170 - 50 = 4.x ; 120 : 4 = x ; x = 30 b. 3.x + 20 = 110 ; 110 - 20 = 3.x ; 90 : 3 = x ; x = 30

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

61

Actividad nº 6 1. a. y b. La respuesta está en la nota. c. La ecuación es: 2.x + 40 = 80 2. a. En la ecuación 2x + 40 = 80 resulta que: 80 - 40 = 2x ; 40:2 = x ; es decir que x = 20 Y este valor de x verifica la otra ecuación, pues: 3.20 + 40 = 80 + 20 ; 60 + 40 = 100; 100 = 100 b. Sí tiene sentido porque la incógnita x es la cantidad de litros que elabora la máquina en una hora. Y cada ecuación describe dos situaciones distintas de la misma máquina. c. Respondido en la nota. 3. a. Una interpretación posible es: Expresa lo ocurrido con una máquina entre las 8 y 11 horas y se sabe que al comenzar tenía 40 litros y cuando el reloj marcaba las 12 horas el depósito tenía 120 litros. b. y c. 3x +40 = 120 - x ; (de 8 a 11 horas). Luego 3x + x + 40 = 120 (de 8 a 12 hs.). 4x + 40 = 120 ; 120 - 40 = 4x ; 80 = 4x ; 80:4 = x ; 20 = x 4. a. 3x - 25 = 11 ; 11 + 25 = 3 x ; 36:3 = x ; x = 12 b. 2 = 2x - 28 ; 2 + 28 = 2x ; 30/2 = x ; x = 15 c. La ecuación 3.x - 7 = 1 + x es equivalente a la ecuación 3.x - x - 7 = 1 O sea: 2.x - 7 = 1 ; 1 + 7 = 2.x ;

8:2 = x ; x = 4

d. 2.x - 28 + x = 4 - x es equivalente a la ecuación 3.x - 28 = 4 - x , y ambas son equivalentes 3.x + x - 28 = 4 ; 4.x - 28 = 4 ; 4 + 28 = 4.x ; 32:4 = x x=8

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

62

1. Cálculo del sueldo trimestral de Rosaura y ejercicios 9 y 10 de pág. 67 2. Cálculo de la cantidad de alumnos de 1° 6° y de 1° 7°

1. Tiempo empleado por un deportista para recorrer 48 Km 2. Cajero del Banco Provincia 1. Cantidad a pagar por cada uno de los 5 amigos en la confitería 2. Precio pagado por el consorcio Elba III por una sola caja

Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y resta

División de números naturales

Propiedad distributiva del divisor respecto de una suma o resta

Distribuir un divisor en cada término de la suma o de la resta

Dividendo Divisor Cociente

Distribuir un factor en cada término de la suma o de la resta

Conmutar

1. Caminos para volver de Mar Dulce a Sierra Chica. 2. Lavarse los dientes y después peinarse

Propiedad conmutativa de la multiplicación

(8-4):2= 8:2-4:2

(8+4):2=8:2+4:2

15:3=5

3.(8+1-5)= 3.8+3.1-3.5

7.5=5.7

3.(4.9) =(3.4).9

Paréntesis Asociar

1. Cálculo de la cantidad de botellas de la estantería 2. Cálculo de las edades de Damián y Sergio

Propiedad asociativa de la multiplicación

7.8=56

Multiplicación Factores Producto

1. Caminos para ir de Sierra Chica a Mar Dulce. 2. Cajero del Banco Provincia

Multiplicación de números naturales

Ejemplo numérico

Vocabulario

En el libro, ¿se usó alguna situación de la vida cotidiana para mostrar este tema? ¿Cuál?

Tema

Bloque 1

Con: a:d ∈ N ; b:d ∈ N y d ≠ 0 (a+b):d = a:d + b:d (a-b):d = a:d - b:d

a, b, c ∈ N a:b=c b≠0

con a, b, c ∈ N

a.(b+c)=a.b+a.c a.(b-c)=a.b-a.c

a, b ∈ N a.b=b.a

a, b, c ∈ N a.(b.c) = (a.b).c

a, b, c ∈ N a.b=c

Lenguaje simbólico Actividad n° 7

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

63

Actividad nº 8 1. a. Luis respetó el convenio matemático de multiplicar primero y después restar. b. La situación de la billetera. c. Para la situación del stock, la cuenta debe escribirse así: (300 - 100).2 En este caso, primero se resta y después se multiplica. 2. Como leyó en su libro, por convención el orden para operar es: 1°) cuentas entre paréntesis; 2°) multiplicaciones y divisiones; 3°) adiciones y sustracciones. Teniendo en cuenta este orden, los resultados de las cuentas son: a. 21; b. 0; c. 247; d. 2 3. Los resultados de las cuentas son: a. 18; b. 9; c. 56; d. 2 • La cuenta c. se puede resolver de 2 maneras distintas: haciendo a.(b + c) o si no a.b + a.c · En la cuenta d. no se puede distribuir porque al hacerlo no quedan números naturales. 4. a. Primero multiplico b por c y después le sumo a. b. Primero divido a por b y después le sumo c. c. Primero sumo b más c y a este resultado lo multiplico por a o de otra forma: multiplico a por b y le sumo el resultado de multiplicar a por c. d. Primero sumo a con b y lo que resulta lo divido por c o de otra forma: divido a por c y el resultado lo sumo al cociente entre b y c.

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

64

Tema

En el libro, ¿se usó alguna situación de la vida cotidiana para mostrar este tema?

Vocabulario

Ejemplo numérico

Lenguaje simbólico

Potenciación de los números naturales

1. Transmisión de noticias de un pueblo 2. “Cadena de la suerte”

Base Exponente Potencia

34=81

a, b, n ∈ N an=b

Propiedad del producto de potencias de igual base

No hay respuesta

No hay respuesta

53.52=125.25 =3625

an.am=an+m a, m, n ∈ N

Propiedad potencia de potencia

No hay respuesta

No hay respuesta

(23)4=212

(an)m=an.m a, m, n ∈ N

Propiedad del cociente de potencias de igual base

No hay respuesta

No hay respuesta

53:52=125:25 =5

an:am=an-m a, m, n ∈ N n≥m

Bloque 1

Actividad n° 9

55=3625

51=5

Actividad n° 10 Tema

En el libro, ¿se usó alguna situación de la vida cotidiana para mostrar este tema?

Vocabulario

Ejemplo numérico

Lenguaje simbólico

Divisores

1. Colocar mojones entre San Carlos y Costa Linda 2. Equipos armados por el prof. de Ed. Física

División Divisor Factores Multiplicación Divisible por

7 es divisor de 21

a, b ∈ N a≠0

1. Máquina expendedora de helados 2. En el libro 2 no hay referencia

Multiplicación Múltiplo Factor Divisor

21 es múltiplo de 7

Mínimo común múltiplo o menor múltiplo común

1. Salidas de ómnibus a Gral. Caminos y La Lejana 2. Entrega de proveedores al supermercado

Divisor Factor Múltiplo

m.c.m(2;5)=10 ó m.m.c(2;5)=10

m.c.m (a;b) ó m.m.c (a.b)

Máximo común divisor o mayor divisor común

1. Repartir bolitas en paquetes iguales 2. Colocar postes en el frente del lote

Divisor Factor

m.c.d(21;7)=7 ó m.d.c(21;7)=7

m.c.d (a;b) ó m.d.c (a;b)

División entera o cociente entero

1. Repartir caramelos en partes iguales 2. Cajero del Bco. Provincia

Cociente entero

25=3.8+1

a=b.q+r

Múltiplos

resto

a|b b=k.a con k ∈ N

0≤r
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65

Sección D - autoevaluación de la Unidad 2 Actividad nº 1 El 1 de marzo, el Sr. Méndez cobró su sueldo de $ 1250. Ese mismo día fue al supermercado con su esposa Ana y gastaron $ 184. Al día siguiente, tuvo que pagar las facturas del gas ($ 35) y la de teléfono ($ 52). El 3 de marzo, Ana cobró $ 780 por su trabajo y tuvo que pagar las expensas ($ 107). • ¿Cuál o cuáles de las siguientes sumas algebraicas sirven para calcular cuánto les queda a los Méndez para gastar el resto del mes? a. 1250 - ( 184 - 35 - 52) + 780 - 107 b. 1250 - (35 + 52 + 184) + 780 - 107 c. 1250 - 35 - 52 -184 + 780 - 107 d. 1250 + 780 - (184 + 52 + 35 + 107) • Resuelva la o las cuentas que considere correctas. Actividad nº 2 Complete los casilleros o con el símbolo '=' o el símbolo '≠': a. (35 + 15 - 40): 5

o7+3-8

o 24. 5 c. 12. 7 - 9. 7 o (12 - 9). 7 d. 45 + 8 - 2 o 45 + 2 - 8 e. 4 : 4 o 4 f. (2 ) o 2 g. (2 + 3) o 2 + 3 h. (4. 3) o 4 . 3 i. (35 + 7). 2 o 35 + 7. 2 b. 30 - 6. 5

7

5

2

3 2

5

2

2

2

2

2

2

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Bloque 1

Actividad nº 3 Juan, Pedro y Alicia son nietos de Doña Rosa. Juan visita a su abuela cada 3 días, Pedro la visita cada 4 días y Alicia cada 6 días. ¿Cada cuántos días Doña Rosa recibe a sus tres nietos en su casa? Actividad nº 4 Halle el mcm y el mcd de 18 y 15. Actividad nº 5 Un fabricante de piezas de tornería las vende a $ 15 cada una. Además, cobra $ 3 por llevarlas al domicilio del cliente. Un cliente le dijo que le pagaría $ 108 cuando tuviera las piezas en su casa. ¿Cuántas piezas de tornería necesita este cliente? a. Exprese simbólicamente una ecuación que le permita resolver este problema. b. Resuelva la ecuación que planteó. c. Responda la pregunta del problema. d. Verifique su respuesta. Actividad nº 6 Resuelva las siguientes ecuaciones y verifique los resultados obtenidos: a. 3 x + 8 = 2. x + 25 b. 135 - x = 88

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

67

Respuestas de la autoevaluación de la unidad 2 Actividad nº 1 Para resolver el problema Ud. puede optar por las sumas algebraicas identificadas con los ítems b, c o d. Al resolver cualquiera de estas tres cuentas, resulta 1652. Por lo tanto, a los Méndez le quedan $ 1652 para gastar durante el resto del mes. Actividad nº 2 Completamos con los signos correspondientes en cada caso: a. (35 + 15 - 40): 5 = 7 + 3 - 8 b. 30 - 6. 5 ≠ 24. 5 c. 12. 7 - 9. 7 = (12 - 9). 7 d. 45 + 8 - 2 ≠ 45 + 2 - 8 e. 47: 45 = 42 f. (23)2 ≠ 25 g. (2 + 3)2 ≠ 22 + 32 h. (4. 3)2 = 42. 32 i. (35 + 7). 2 ≠ 35 + 7. 2 Actividad nº 3: Cada 12 días, Doña Rosa recibirá la visita de sus tres nietos al mismo tiempo. Actividad nº 4: mcm (15, 18) = 90 y mcd (15, 18) = 3

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Bloque 1

Actividad nº 5: a. La ecuación que permite resolver el problema es: 15 . x + 3 = 108, donde con la letra x se simboliza la cantidad de piezas de tornería. b. La solución de la ecuación anterior es x = 7 c. Por lo tanto, el cliente solicitó 7 piezas de tornería. d. La respuesta se verifica ya que 15 . 7 + 3 = 108 Actividad nº 6: Las soluciones de las ecuaciones planteadas son: a. x = 17; b. x = 47

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MatemáBltoqiucea1

Unidad 3: Fracciones

Contenidos y propósitos para esta unidad:

3.1. Idea de fracción 3.2. Representación 3.3. Operaciones Presentaremos a las fracciones como "partes de la unidad", en situaciones concretas de uso cotidiano, con la intención de darle un sentido a la fracción y a las operaciones: adición, sustracción, multiplicación y división entre números fraccionarios. Le proponemos que: • Frente a una situación problemática pueda expresarse a través de fracciones y traducirlo simbólicamente. • Opere con fracciones y reconozca el significado de fracciones equivalentes. • Aplique esta idea de fracción a distintas situaciones concretas, como por ejemplo a problemas con porcentajes. • Represente fracciones en la recta numérica.

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Sección actividades previas a la lectura Antes de que empiece a leer en su libro lo correspondiente a esta unidad, vamos a presentar algunas situaciones que lo orientarán en esa lectura. Es decir, le ayudarán a decidir a qué darle importancia o con qué quedarse de lo que lea. Actividad nº 1 Suponga que le dicen: "Hay dos mitades de chocolates, te doy una a vos y me quedo con la otra". ¿Cree Ud. que el reparto es equitativo? ¿Por qué? Actividad nº 2 Imagine ahora que las mitades a que se hace referencia anteriormente son las dibujadas a escala a continuación:

Chocolín

Chocotón

¿Qué comentario haría respecto de la respuesta dada en la Actividad nº 1? ¿Qué aclaración sería necesario incluir en el enunciado de la Actividad nº 1? Actividad nº 3 Suponga que, en su trabajo, se anuncia en un cartel la siguiente propuesta: "LOS EMPLEADOS QUE REALICEN LOS TRABAJOS EXTRA QUE SURJAN DURANTE EL MES, RECIBIRÁN, POR ELLO, UN PAGO DE MEDIO SUELDO" A fin de mes, se produjo una seria discusión entre un empleado y el contador. El empleado no había cobrado lo que él esperaba por haber cumplido con las tareas indicadas. Al día siguiente se cambió el cartel por... "recibirán un pago de medio sueldo de obrero". ¿Qué cree que ocurrió? ¿Por qué cree que se produjo la confusión y la discusión? Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

72



Bloque 1

Comentario: En la primera situación, probablemente Ud. pensó, en un primer momento, que los chocolates en cuestión eran iguales. Y por eso le habrá parecido equitativo el reparto. Seguramente, Ud. cambió de idea al enterarse que los chocolates no eran de igual tamaño. Generalmente se da por supuesto que se trata de dos chocolates iguales. Queremos destacar en este momento que si queremos comparar "medios" de "chocolates", esos "chocolates" deben ser del mismo tamaño. Algo similar ocurre en la Actividad n°3, en la que probablemente el empleado de la discusión tenía un sueldo de una categoría mayor a la de obrero y creyó que el medio sueldo estaba referido al suyo. Diremos que, si necesitamos comparar "medios" de "algo", debemos referirnos siempre a la misma unidad. Una vez que está fijada o aclarada la unidad, podemos decir o hablar de "medios". Actividad nº 4 En una inmobiliaria venden una extensión grande de terreno. Para ello, lo han dividido en "lotes" como el dibujado a escala a continuación:

Como cada lote es muy grande, la inmobiliaria los ha fraccionado en partes iguales. Confeccionó los planos y se redactaron las correspondientes escrituras de ventas. Por eso, cada fracción de lote no puede ser subdividida.

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Planos de las "fracciones de lote" que vende la inmobiliaria • Medios de un "lote"

La parte sombreada es "un medio lote". • Tercios de un "lote"

La parte sombreada es "un tercio de lote". • Cuartos de un "lote"

La parte sombreada es "un cuarto de lote". • Sextos de un "lote"

La parte sombreada es "un sexto de lote". • Doceavos de un "lote"

La parte sombreada es "un doceavo de lote".

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Bloque 1

1. Mire los planos y responda: a. ¿Cuántos "medios lotes" forman un lote? b. Si se quiere formar un lote con "tercios de lote", ¿cuántos de ellos hacen falta? c. ¿Cuántos "cuartos de lote" entran en un lote? d. Para obtener "sextos de lote", ¿en cuántas partes iguales hay que dividir al lote? e. ¿Cuántos "doceavos de lote" hay en un lote? Comentario: Como dijimos en el comentario anterior, para hablar de "medios", "tercios"... debe precisarse a qué unidad se refiere. En este



caso se usó como unidad el "lote", que está representado a escala en el plano. La inmobiliaria fraccionó al "lote" de la siguiente manera: • Tomó uno de los lotes, es decir una unidad, y lo dividió en dos partes iguales. A cada parte la llamó "un medio lote". Esto puede escribirse así: 1/2 de lote (o también 1 de lote). 2 • A otra unidad la dividió en tres partes iguales, y a cada parte la llamó "tercio de un lote". O 1/3 de lote (o 1 de lote). 3 • En forma similar determinó los "cuartos de lote" (1/4 de lote); los "sextos de lote" (1/6 de lote) y los "doceavos de lote" (1/12 de lote). 2. En una oportunidad, un cliente quiere "un medio lote" y la inmobiliaria no dispone de uno de ellos. El empleado le ofrece a cambio otras fracciones de lotes, pero de tal manera que cubran igual superficie, es decir que entre todas formen una superficie de igual tamaño que el medio lote pedido. a. ¿Cuántos "cuartos de lote" debería ofrecerle? b. ¿Y si fueran "sextos de lote"? ¿Y "doceavos de lote"?

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75

3. Otro cliente quiere "un tercio de lote", pero éstos se acabaron. a. ¿Con qué tipos de fracciones de lotes de los que vende esta inmobiliaria, podría cubrir exactamente la superficie de un tercio de lote? b. Si para reemplazar el "tercio de lote" se le ocurre usar terrenos del tipo "sextos de lote", ¿Cuántos necesitaría? ¿Y si usara "doceavos de lote"? 4. El empleado de la inmobiliaria se inquietó un poco al ver que se complicaba su tarea. Debía cambiar los pedidos de los clientes por otros equivalentes. Se dijo: "Tengo que organizarme para hacer más eficiente la atención al público". Se le ocurrieron dos cosas importantes: a. En primer lugar, calcó y recortó los planos de lotes y fracciones de lotes que vende la inmobiliaria. ¿Cuál cree que fue su intención? ¿Cómo cree que usaría los planos para decidir, por ejemplo, que "dos cuartos de lote" es lo mismo que "un medio lote"? b. En segundo lugar, confeccionó la tabla que figura a continuación. Para llenar la tabla, pensó así, por ejemplo: "Como un tercio de lote (1/3 de lote) equivale a 2 terrenos de sextos de un lote, completo la tabla poniendo un 2 en la columna de los sextos". Dado que el encargado no terminó la tabla, le pedimos a Ud. que la complete. ¿Por qué cree Ud. que hay algunos casilleros sombreados? Terreno de

medios de lote

tercios de lote

un lote equivale a:

2

3

cuartos de lote

sextos de lote

doceavos de lote

2

4

un medio de un lote equivale a: un tercio de un lote equivale a: un cuarto de un lote equivale a: un sexto de un lote equivale a:

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Bloque 1

Comentario: En el cuadro anterior puede leerse, por ejemplo, que "un tercio de lote equivale a cuatro doceavos de lote". 1 Esto se puede escribir así: 1 de lote = 4 veces de lote 12 3 1 1 o de lote = 4. de lote 3 12 4 1 o de lote = de lote 12 3

Otro ejemplo que puede leerse de la tabla es que: "un lote equivale a 6 sextos de lote". Y se puede escribir así: 1 lote = 6 veces 1 de lote 6 1 1 lote = 6. de lote 6 6 1 lote = de lote. 6 5. a. Teniendo en cuenta el comentario anterior, escriba de varias formas que "un medio lote es equivalente a tres sextos de lote". b. Escriba todas las equivalencias de "un lote" que pueden leerse de la tabla. c. Escriba todas las equivalencias de "un medio lote" que pueden leerse en la tabla. 6. Como el empleado sabía algo de Matemática, se le ocurrió "simbolizar" el "lote" con un segmento (aunque el plano ya es un símbolo del "lote"), y dijo: • El segmento tiene longitud 1, ya que el lote es la unidad. • La mitad del segmento representa a "1/2 de lote". Pero la mitad del segmento es un medio de la unidad, o sea "1/2 de u" o "1/2 de 1", o simplemente 1 .

2

Le quedó así: 0

1/2

1

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

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Con el mismo criterio que usó el empleado, represente: a. •

1 3

•

1 6

•

1 4

•

1 12

•

2 6

•

3 12

•

2 12

•

2 4

•

3 6

•

2 2

•

3 3

•

4 4

•

6 6

•

12 12

•

6 12

b.



2 en el segmento, 4 1 resultó que está en el mismo lugar que . Los "dos cuartos" y el "un Comentario: Cuando, por ejemplo, representó

2

medio" están referidos a la misma unidad. Y, si los comparamos, 2 1 resultan ser iguales o equivalentes. Es decir que: = . 4 2 1 2 Decimos que "el número fraccionario es el mismo que " 4 2 7. Teniendo en cuenta las representaciones que hizo en 6., dé ejemplos de fracciones equivalentes. Actividad nº 5 1. Le pedimos ahora que: a. Represente "los planos" de cada una de las siguientes ventas: • Dos "tercios de lote" • Tres "cuartos de lote" • Cinco "tercios de lote" • Once "sextos de lote" Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

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Bloque 1

b. Indique para cada venta si vendió más o menos que un "lote". c. Simbolice, ahora, cada una de las "ventas" en un segmento que represente al lote como unidad y escríbalas como números fraccionarios.



Comentario: Si representamos al lote así:

Queremos que observe que dos "tercios de lote" es:

Y esto se escribe: 2 veces 1/3 de lote o 2 de 1/3 de lote o 2. 1/3 o 2/3 de lote. Esto mismo, expresado con números fraccionarios es: 2 veces 1/3 o 2 de 1/3 o 2/3. Y su representación en el segmento unidad es: | 0

|

| 2 3

| 1

Si representamos cinco "tercios de lote"vemos que se vendió un poco más que 1 Lote. 1 lote

1 lote

Y se escribe: 5 de 1/3 = 5.1/3 = 5/3. Y se representa: | 0

|

|

| 1

|

| 5 3

| 2

2. a. Suponga que el lote mide 300 m². ¿Cuántos m² representan, en este caso, los 2/3 de lote? b. Si le dijeran que la superficie de 2/3 de lote es de 400 m², en este caso, ¿cuántos m² mediría el lote completo?

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Actividad nº 6 Para cada una de las preguntas que se le hacen a continuación le sugerimos que se imagine las representaciones gráficas o que realice dichas representaciones o que utilice el recurso del empleado. 1. a. Si vende 2/3 de lote y luego 1/3 de lote, ¿cuántos tercios de lote vendió en total? b. Si vende 1/12 de lote y luego 7/12 de lote, ¿cuántos doceavos de lote vendió en total? 2. a. Si se vende 3/4 de lote y después 2/4 de lote, ¿cuántos cuartos de lote se vendieron? ¿Alcanza con un lote? b. Si se vende 3/4 de lote y después 1/2 de lote, lo que se vendió en total en esta oportunidad, ¿es equivalente a lo vendido en el caso anterior? 3. a. Si se vende 3/6 de lote y después 2/6 de lote, ¿cuántos sextos de lote se vendieron? ¿Alcanza con un lote? b. Si se vende 1/2 de lote y después 1/3 de lote, ¿se vende lo mismo que en el caso anterior? c. Se venden 1/6 y después 2/3. La cantidad total vendida, ¿a cuántos sextos lotes es equivalente? 4. a. Si se vende 1/4 de lote y después 2/3 de lote. ¿En qué tipo de fracción de lote conviene expresar el total vendido? b. Si se venden 3/4 y después 2/3. Exprese lo que se vende en total.



Comentario: Cuando, por ejemplo, se vende 1/3 de lote y después 2/3 de lote y queremos expresar el total de la venta, decimos "se vendieron 3 tercios de lote". Estamos sumando las cantidades vendidas, o estamos sumando los "tercios de lote".

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Bloque 1

Esto se escribe así: 1/3 de lote + 2/3 de lote = 3/3 de lote. Que, además, es equivalente a un lote. Pero, ¿se pueden sumar "tercios de lotes" con "cuartos de lote"? Por ejemplo, en la situación 4.a.: se venden 1/4 de lote y después 2/3 de lote y queremos expresar el total de la venta. Es decir, queremos obtener: 1/4 de lote + 2/3 de lote. La primera venta es en "cuartos" y la segunda en "tercios". Y sólo se pueden sumar, medios con medios, tercios con tercios, cuartos con cuartos y así siguiendo. Pero, como seguramente ya se dio cuenta, existen ventas equivalentes. Y podríamos reemplazar una venta por otra equivalente. Lo que hay que preguntarse es: ¿pueden expresarse las dos ventas con fracciones de lote del mismo tipo? En este caso podemos decir que: 1/4 de lote es equivalente a 3/12 de lote, y que 2/3 de lote es equivalente a 8/12 de lote, por lo tanto, la venta total es 11/12 de lote. Y, si lo expresamos como números fraccionarios es: 1 2 3 8 11 + = + = 4 3 12 12 12 Reflexión sobre las Actividades previas de esta unidad. En las actividades propuestas anteriormente, a partir de situaciones concretas, Ud. pudo reinterpretar la idea de fracciones, fracciones equivalentes y suma de fracciones. Decimos reinterpretar porque seguramente ya lo había hecho en alguna oportunidad anterior. Seguramente no le resultó difícil. Y creemos que Ud. puede recurrir a estas actividades cada vez que lo crea necesario.

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En la lectura de su libro, que deberá realizar a continuación, se encontrará con: • Nuevas situaciones concretas, con sus respectivas representaciones gráficas. • Un nuevo vocabulario. • Definiciones y sus respectivas notaciones simbólicas. En este momento pretendemos que en su lectura aproveche especialmente las situaciones concretas y sus representaciones gráficas. Le sugerimos que lo haga de la misma forma que en las actividades propuestas anteriormente. Son las situaciones concretas y sus representaciones las que le irán dando "sentido" a estos nuevos conceptos. Y le permitirán adquirir una buena herramienta para resolver problemas vinculados con este tema. Por supuesto que, a medida que lea, irá incorporando todo el vocabulario correspondiente a este tema, que seguramente no le resultará tan desconocido. Retomaremos las definiciones y las notaciones simbólicas en la Unidad 6. Por eso en este momento no profundizaremos más y no plantearemos autoevaluación, lo que sí ocurrirá en laUnidad 6. Lo invitamos ahora a trabajar con la guía de lectura correspondiente a su libro.

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 Libro 1

Bloque 1

Sección A - guía de lectura para el libro 1 • En el capítulo 11: "Números fraccionarios" 1. Lea y responda las páginas 108 y 109 ("Necesidad de ampliar el conjunto N"). Resuelva los ejercicios 1, 2, 3 y 4 del pie de la página 109. 2. Lea y responda la página 110 ("Relación con la unidad"). Resuelva los ejercicios 5, 6, 7 y 8 del pie de página. 3. Lea y responda la página 111 ("Elección de la unidad. Fracciones de la unidad"). Resuelva el ejercicio 9 del pie de página. 4. Lea y responda la página 112 ("Adición y sustracción de fracciones 1/a") (Nota: En la edición 1988, el primer recuadro de esta página debe terminar así: b. (1/a) u). Resuelva los ejercicios 11 y 12 del pie de página. 5. Lea y responda las páginas 113 ("Representación de submúltiplos decimales"), 114 ("Expresión decimal de las fracciones decimales") y 115 ("Fracción 1/a de una cantidad natural cualquiera"). 6. Lea y responda las páginas 116 ("El conjunto de los números fraccionarios") y 117 ("Amplificación y simplificación de fracciones"). Resuelva los ejercicios 21 y 22 del pie de la página 117. 7. Lea y responda en la página 118 desde el título "Adición y sustracción de fracciones de distinto denominador". Resuelva el ejercicio 24 del pie de página. 8. Lea y responda las páginas 119 ("Fracción 1/a de una cantidad 1/b. Producto 1/a . 1/b"), 120 ("Fracción a/b de una cantidad c/d"), 121 ("División de fracciones") y 122 ("Porcentaje"). 9. Resuelva las "Actividades": 2, 3, 6, 8, 9, 10, 19 y 20 de las páginas 124 y 125. Vaya a Sección C - actividades sobre lo leído para resolver todos los ejercicios.

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 Libro 2 Sección B - guía de lectura para el libro 2 • En el capítulo 8: "Números racionales": 1. Resuelva los ejercicios 1 y 2 de las páginas 166 y 167 ( "Problemas y reflexiones para fraccionar y para medir"). Lea las páginas 167 y 168 ("Fracciones. Fracciones equivalentes"). 2. Resuelva el ejercicio 4 de las páginas 170 y 171 ("Para comparar"). Lea las páginas 172 y 173 hasta la frase referida a la medida de la puerta ("Expresiones decimales. Orden"). 3. Resuelva los ejercicios 8 y 11 de la página 175 ("Para utilizar lo aprendido sobre significado y orden de números racionales"). 4. Resuelva los ejercicios 15 y 17 de las páginas 176 y 177 ("Más problemas"). • En el capítulo 9: "Operaciones elementales con números racionales": 1. Resuelva los ejercicios 3, 4, 5 y 6 de las páginas 183 y 184 ("Problemas y reflexiones para calcular"). Lea las páginas 185 y 186, hasta el título: "Para traducir y resolver" . (No lea el recuadro de la página 186). 2. Resuelva el ejercicio 11 de la página 188 ("Para utilizar lo aprendido sobre operaciones con números racionales"). 3. Resuelva los ejercicios 21 y 22 de las páginas 189 y 190 ("Para saber cuántos por cada 100"). Lea la página 190 y el principio de la página 191 ("Porcentajes").

$

Vaya a Sección C - actividades sobre lo leído para resolver todos los ejercicios.

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Bloque 1

Sección C - actividades sobre lo leído Actividad nº 1 Le pedimos que exprese con sus palabras, como si le estuviera contando a un compañero de estudio, lo que hay que hacer frente a las siguientes situaciones: 1. Hallar fracciones equivalentes. 2. Sumar fracciones. 3. Multiplicar dos fracciones. 4. Resolver un problema en el que tiene que dividir dos fracciones. Si le hace falta recurra a su libro. Actividad nº 2 1. Observe los gráficos representados a continuación: I

II

a. Ahora imagine que Ud. debe pintar la zona sombreada en cada uno de ellos. La cantidad de pintura que debe usar para pintar la zona sombreada en el cuadrado I, ¿es mayor, menor o igual que la que necesitará para pintar la zona sombreada en el cuadrado II ? b. Indique la fracción que representa la zona sombreada en cada uno de los cuadrados. 2. A continuación le damos una frase que se refiere a la figura de la derecha. Decida si dicha frase es verdadera o falsa. Dé argumentos que justifiquen su respuesta. FRASE: "Podemos decir que la zona sombreada representa una cuarta parte de la figura".

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85

Actividad nº 3 Una Universidad ofrece a la comunidad un curso gratuito de computación. Por razones de infraestructura y organización, decidió dividir la oferta en 3 sedes con cupos limitados. 1. El cupo fijado para la Sede 1 fue de 1200 alumnos. El primer día de inscripción se anotó las 3/4 partes del cupo. • ¿Cuántos alumnos se inscribieron ese día? 2. En la Sede 2, se inscribieron 480 personas, que representan los 3/5 del cupo. a. ¿Cuántas personas más se pueden anotar? b. ¿Cuál es el cupo de esta sede? 3. En la Sede 3, se inscribieron 1750 personas, que representan las 7/4 partes del cupo de la sede. a. Sin calcular cuál es el cupo de la Sede, indique, basándose en la información dada sobre la inscripción, ¿cómo resulta ser la cantidad de alumnos inscriptos respecto del cupo de la Sede? Piense argumentos que justifiquen su respuesta. b. ¿Cuál es el cupo de la Sede? Actividad nº 4 Resuelva los siguientes ejercicios. Para ello, recuerde el convenio establecido sobre el orden en las operaciones. a.

3 1 4 + ⋅ 5 2 5

b. 1 + (

5 2 − 1) : 2 3

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1 4 1 ⋅ +3: 2 3 2

d.

1 7 1 1 7 1 ⋅ +  − ⋅ ⋅ 5  3 2 2 5 6

Bloque 1

c.

Actividad nº 5 1. Según datos recogidos por el Departamento de Comercialización de una empresa de productos lácteos, el 45 % de una población de 3000 habitantes consume alguno de sus productos. • ¿Qué cantidad de consumidores eligen productos de esta empresa? 2. Una sala de teatro con capacidad para 250 personas presenta todos los años una obra nueva. El dueño del teatro impone una cláusula en el contrato por la cual él puede decidir el levantamiento de la obra en cartel si, en promedio, el número de entradas vendidas en cada día del fin de semana no supera el 30 % de las localidades del teatro. La obra actualmente en cartel vende, en promedio, 85 entradas los Sábados y 78 los Domingos respectivamente. ¿Qué podrá decidir el dueño del teatro respecto del futuro de la obra en cartel?

Respuestas a las actividades sobre lo leído Actividad nº 1 Le indicamos en qué página de su libro debe buscar este tema. Para el libro 1: 1. pág.117 - 2. 118 - 3.119 - 4. 121 Para el libro 2: 1. pág.168 - 2. 185 - 3.186 - 4. 186

 Libro 1  Libro 2

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Actividad nº 2 1. a. La cantidad de pintura necesaria es la misma para ambas zonas ya que los cuadrados son iguales y fueron divididos ambos en 8 partes iguales. b. En ambos casos, la zona sombreada es 1/8 del cuadrado. 2. La frase es falsa. Las 4 partes en las que se dividió la figura no son iguales. Actividad nº 3 1. Sede 1:Podemos representar al cupo de alumnos como representamos a los lotes en las actividades previas a la lectura. Del mismo modo que fraccionamos a los lotes, también podemos fraccionar al cupo en "cuartos de cupo" (ahora la unidad es el "cupo"). 300

300

300

300

Cada cuarto equivale a 300 personas. La zona sombreada representa a 3 cuartos del cupo. Por lo tanto, el primer día se inscribieron 900 personas. 2. Sede 2: a. Podemos pensar de la misma forma que en la Sede 1. En este caso fraccionamos en quintos de cupo. Si los 480 inscriptos son los tres quintos del cupo (3/5), los dos quintos restantes representan a la cantidad de personas que faltan para completar el cupo. Si tres quintos equivalen a 480 personas, cada quinto equivale a 160 personas (480 : 3). Entonces, pueden inscribirse 320 personas más (dos quintos del cupo total). b. El cupo de la Sede es de 800 personas. 3. Sede 3: a. Se informa que la cantidad de inscriptos representa los 7/4 del cupo. Pensando como en el caso de los lotes: si se vendieron 7/4 de lote, ¿se vendió más o menos que un lote? Del mismo modo, si es el cupo el que se fracciona en cuartos, 7/4 del cupo representa un número mayor que el cupo. Podemos decir, entonces, que el número de inscriptos superó al cupo de la Sede. Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

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Bloque 1

b. Si fraccionamos al cupo en cuartos y 1750 inscriptos equivale a los 7/4 del cupo, cada cuarto equivale a 250 inscriptos (1750 : 7). El cupo de la Sede equivale a cuatro cuartos, es decir a 1000 alumnos. Actividad nº 4 Las cuentas resultan: a. 1

b. 13/4

c. 20/3

d. 9/20

ó alguna fracción equivalente a éstas. Actividad nº 5 1. Si consideramos que la población tomada es de 3000 habitantes, debemos calcular el 45% de dicha cantidad. Es decir que 45 personas de cada 100 de dicha población consumen productos lácteos. O, 45 por cada 1/100 de la población consumen dicho producto. Como 1/100 de la población es igual a 30, resulta que 45 . 30 = 1350. Por eso decimos que 1350 personas consumen productos lácteos. 1 Queremos que observe lo siguiente: 45. ( .3000) da el mismo 100 1 resultado que . (45.3000) y el mismo resultado que 45 . 3000. 100 100 Compruebe lo dicho anteriormente y piense cuál de los cálculos le resulta más significativo a Ud. 2. Para poder tomar una decisión, el empresario calculó cuántas entradas representan al 30% de la capacidad total de la sala. 250 . 30 = 75 . Es decir, que no se 100 levantará la obra mientras se vendan 75 localidades, en promedio. El 30% de la capacidad de la sala es:

Como la obra vende, en promedio, más de 75 localidades, el dueño del teatro no podrá decidir levantar la obra.

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