fRACTIONS CONTINUES JEAN TRIGNAN
EDITIONS DU CHOIX
Couverture: Bédouin PeineJarre.
© 1994 Editions du Choix B.P. 129 - 95103 Argenteuil CEDEX.
Tous droits réservés. Aucun extrait de ce livre ne peut être reproduit sous quelque forme et par quelque procédé que ce soit, sans le consentement préalable de l'éditeur.
ISBN: 2 - 909028-16-X Imprimerie lOUIS JEAN, GAP. Dépot légal: Avril 1994
Prix conseillé: 96F
Introduction aux Problèmes d'approximation • Fractions continues • Différences finies par
J. Trignan Agrégé de mathématiques Professeur à l'Ecole Préparatoire de l'Armement de la DeN de Toulon
LmRAIRIE SCIENTIFIQUE ET TECHNIQUE
ALBERT BLANCHARD 9, RUE DE MÉDICIS, PARIS 6<
3
Introduction. Comme l'indique J. Dieudonné dans son abrégé d'histoire des mathématiques l'histoire des fractions continues est à chercher dans la Chine ancienne et dans la Grèce antique. Les fractions continues ont été très utilisées durant le 17ième et lS ième siècle par des mathématiciens célèbres tels que Bombelli, Huygens et Euler ce qui leur a permis de trouver des approximations intéressantes de nombres irrationnels ou transcendants comme v'13, y15, 1r, e, ainsi que de résoudre un grand type d'équations diophantiennes. A l'heure actuelle on assiste à un renouveau des fractions continues dont les applications pratiques sont nombreuses. Par exemple les circuits électriques en parallèles ont des admittances qui s'ajoutent (c'est-à-dire que les inverses des impédances doivent être additionnés afin de définir l'admittance totale). On peut donc utiliser la théorie des fractions continues pour rendre compte de ces circuits électriques. Elle peut être aussi utilisée pour simuler les modes de relaxation qui trouvent généralement leur origine dans la fractalité dont les applications pratiques se font de plus en plus nombreuses (suspension Crones). J'ai cru bon de terminer cette petite étude, par une approche des tables de différences finies, autre moyen pratique d'obtenir des approximations de fonctions compliquées. A noter les derniers textes proposés au CAPES, qui illustrent aussi l'intérêt de cette théorie. Jean Trignan, à Sablet.
1
1 1 1 1 1 1 1 1
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1 1 1
Table des matières 1 Développement en fraction continue d'un nombre rationnel. 7 7 1.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.2 N o t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Représentation sous forme de fraction continue limitée d'un rationnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 11 1.4 Développement d'un rationnel en fraction continue finie. 1.5 Définition et calcul des réduites. 13 1.6 Propriétés des réduites. 16 2 Equations diophantiennes. 2.1 Etude d'un exemple à l'aide de la méthode d'Euler. . 2.2 Résolution de l'équation diophantienne ax - by = 1. 2.3 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Résolution de l'équation diophantienne ax - by = c. 2.5 Résolution de l'équation diophantienne ax + by = c. 2.6 Résolution de l'équation générale Ax ± By = ±C. .
17 17 19 21 25 26 29
3 Développement en fraction continue d'un nombre irrationnel. 3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Développement en fraction continue d'un irrationnel. 3.3 Calcul des réduites. . . . 3.4 Propriétés des réduites. 3.5 Suite des réduites. . . . 3.6 Propriétés d'approximation des réduites. 3.7 Interprétation géométrique de Klein des fractions continues. 3.8 Résolution de i'équation du second degré x 2 = ax + 1. . ..
31 31 32 35 35 37 40 43 44
4
47
Fractions continues périodiques. 4.1 Introduction. . . . . . . . . . . 4.2 Démontrons généralement cette propriété.
5
47 49
Table des matières
6
4.3 4.4 4.5 4.6
Théorème de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Développement en fraction continue de VN. . . . . . . . . .. Equation de Pell x 2 - Ny2 = ±1. Recherche d'une solution particulière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Recherche de l'ensemble des solutions de x 2 - Ny2 = ±1. ..
53 57 58 62
Problèmes. 5.1 Deux méthodes d'approximation de VA, A E Rf-. 5.1.1 Méthode de Héron: (2 e siècle AV. JC). 5.1.2 Méthode des fractions continues. . . 5.2 C.A.P.E.S. interne Session de 1990. . . . . . 5.2.1 Approximation de J2 par une suite de nombres rationnels. . . . . . . . . . . . . . . . .. 5.2.2 Approximation de la fonction tangente hyperbolique par une suite de fonctions rationnelles. . . 5.2.3 Développement en fractions continues. . . 5.2.4 Développement en fraction continue de e.
65 65 65 66 67
6
Introduction à la théorie des opérateurs. 6.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . 6.2 Ensemble 0 des opérateurs. . . . . 6.3 Etude de quelques éléments de O.
79 79 79 80
7
Applications combinatoires des opérateurs. 7.1 Application des opérateurs à des fonctions polynômes. 7.2 Application des opérateurs à l'analyse combinatoire. .
87 87 89
8
Application des opérateurs. Tables de différences finies. 93 8.1 N o t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 8.2 Construction d'une table de différence finie pour une suite de nombres réels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 93 8.3 Construction d'une table de différences finies pour une fonction f de F.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 8.4 Détermination d'une fonction polynôme à partir de P(O) ... Llnp(O). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 8.5 Détermination d'une fonction polynôme à partir de P(xo) ... LlhP(xo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 100 8.6 Approximation d'une fonction par une fonction polynôme.
5
68 69 71 76
Chapitre 1
Développement en fraction continue d'un nombre rationnel. 1.1
Définitions.
1. Une expression du type
s'appelle fraction continue. Les termes al, a2, ... , an, ... , bI, b2, ... , bn , ... étant réels ou complexes, n le nombre des termes pouvant être fini ou infini. 2. On appelle fraction continue arithmétique une expression de la forme
Le premier terme al appartenant à Z, les autres termes a2, a3, a4,' .. appartenant tous à N*. 3. Enfin dans ce premier chapitre, on étudiera les fractions continues finies, c'est-à-dire des expressions de la forme précédente dans lesquelles le nombre de termes (al, a2, a3, ... , an) est fini. On les appellera des fractions continues limitées.
7
8 Chapitre 1. Développement en fraction continue d'un nombre rationnel.
1.2
Notations.
Remarquons que l'écriture d'une telle fraction continue limitée
est encombrante, on utilisera l'écriture
Les signes + écrits en bas dans la première expression, permettent de représenter l'écriture en "descente" de la fraction continue. Les termes aI, a2, a3,' .. , an s'appellent quotients partiels de la fraction continue.
1.3
Représentation sous forme de fraction continue limitée d'un rationnel.
Soit un nombre rationnel de la forme p/q avec (p, q) E ZxZ* et représentonsle sous forme de fraction continue. Donnons d'abord quelques exemples.
:
a) Développement en fraction continue de i~~
• Effectuons la division euclidienne de 233 par 177 233 = 177 x 1 + 56 d'où
o < rI =
56 < 177
56 233 _ 1 177 - + 177
que l'on peut écrire 1 233 177 = 1 + 177 56
• Effectuons la division euclidienne de 177 par 56 177 = 56x3 + 9 d'où
177 9 56 = 3 + 56
0< et
r2
= 9 < 56
233 177
=
1 1 + 3+
* 9"
1.3. Représentation sous forme de fraction continue limitée d'un rationne1.9 • Effectuons la division euclidienne de 56 par 9
56=9x6+2 d'où
0<
56=6+~ 9
= 2
<9
233 = 1 + 1 177 3+
et
9
T3
1
+1
-;;-;-r6
• Effectuons la division euclidienne de 9 par 2
9=2x4+1 d'où
.9 1 "2=4+"2
0<
T4
= 1
<2
233 1 -=1+ 1 177 3+ 6 1
et
+4+f
• Effectuons la division euclidienne de 2 par 1
2=lx2+0
T5
= 0
et le calcul se termine ici, d'où:
233 177 = 1 +
1 1
3+~
= [1,3,6,4,2]
H!
• Remarquons que l'on pourrait écrire aussi le dernier termè sous une autre forme, en effet
d'où le développement en fraction continue de
233 177 = [1,3,6,4,1,1] On verra par la suite que c'est l'unique manière d'obtenir un développement en fraction continue différent.
10 Chapitre 1. Développement en fraction continue d'un nombre rationnel.
Disposition pratique : 233~ 1771 56
56~~
Il
9~16 2~f4
012
233 177 = [1,3,6,4,2]
(3) Développement en traction continue de g~
:
Utilisions la disposition pratique 177 1 233
~~~~IO et on recommence la division précédente d'où; 177 233 = [0,1,3,6,4,2] ceci permet de suggérer que si p q q p
=
[al. a2, a3,···, an]
avec p
'Y) Développement en fraction continue' de - ~~ : Utilisons la disposition pratique: -37 [44 44 1 7
7 ~_16
2L1.rT
012
r::r-
>q
1.4. Développement d'un rationnel en fraction continue finie.
37 - 44
Observons que positifs.
al
11
= [-1,6,3,2] = [-1,6,3,1,1]
peut être négatif, alors que
a2, a3, a4, . .. , an
sont
Observons aussi que le développement fraction continue de 354 177x2 t l A l ' d 177 " l l 466 = 233x2 es e meme que ce Ul e 233' malS SIon ca cu e [1,3,6,4,2] = 1 + ~ + + ~ + ~, on obtient g~ et non ~~~.
i
La fraction pjq est donc une fraction irréductible.
1.4
Développement d'un rationnel en fraction continue finie.
On démontrera le théorème suivant : Théorème 1.1 Toute fraction continue arithmétique finie est un nombre rationnel, et réciproquement tout rationnel peut s'exprimer sous forme de fraction continue arithmétique finie, et cette représentation est unique. La première partie du théorème est évidente. Démontrons la réciproque.
a) Divisons p par q
o ~ rI < q appartenant à Z, si rI = 0 la fraction continue est
avec
al
Si rI
t- 0, on a:
(3) Divisons q par
p - = al q
rI
q et rI sont positifs donc
Si
r2 =
0, on a :
1
+.!J...
Tl
12 Chapitre 1. Développement en fraction continue d'un nombre rationnel. Si r2
=1=
'Y) Divisons
rI
0, on a:
rI
par
r2
et r2 sont positifs donc a3
>0
Deux cas se présentent alors r3 = 0 ou r3 dernier reste nul supposons rn .
rn-2
0 et ainsi de suite jusqu'au
=1=
= anrn-l + rn
rn
=0
En effet ce calcul se termine au bout d'un nombre fini de divisions puisque les restes successifs rI, r2, r3, ... ,rn forment une suite décroissante d'entiers positifs minorée par q entier positif donné. Le rationnel p/q peut s'écrire sous la forme
P
- =al q
1 +a2 +
1
a3
+
L'unicité du développement en résulte. Remarque 1 : On peut cependant modifier le dernier terme an en effet
an 1
d'où
an
= (an -
=
1)
+1
1 l
(an -l)+ï
d'où Si
an = 1 1
an-l
+ a:
1
an-l
+1
P
-q = [a!, a2, a3, ... ,an-l + IJ
Remarque 2 : Remarquons la similitude de la méthode précédente avec celle de l'algorithme d'Euclide permettant de rechercher le PGCD de deux nombres pet q. Le dernier reste non nul donc ici rn-l, étant le PGCD de p et q.
13
1.5. Définition et calcul des réduites.
1.5
Définition et calcul des réduites.
Considérons le développement en fraction continue finie d'un nombre rationnel p/q P - = [al, a2, a3, ... , an] q
Définitions : Les al, a2, a3, ... , an s'appellent quotients partiels, et les diverses fractions
sont respectivement la première, la seconde, la troisième réduite. La nième réduite étant
Calcul des diverses réduites:
Cl
-
C2
-
C3 C4
=
al - - Pl 1 ql 1 al+- = a2 1 al+a2 + 1 al+a2 +
avec
Pl
= al;
ql = 1
ala2 + 1 P2 =avec P2 = ala2 + 1; q2 = a2 a2 q2 1 ala2a3 + al + a3 P3 - = = a3 a2a3 + 1 q3 1 1 ala2a3a4+ala2+ala4+a3a4+1 P4 - = a3 + a4 a2a3a4 +a2+a4 q4
Remarquons que :
d'où
{ P3 = a3P2 + Pl q3 = a3q2 + 1
De même on peut écrire pour C4 :
(1)
14 Chapitre 1. Développement en fraction continue d'un nombre rationnel. d'où {
+ P2 = a4q3 + q2
P4 = a4P3 q4
(2)
Supposons que : avec {
Pi
= aiPi-1 + Pi-2
qi = aiqi-I
(3)
+ qi-2
et démontrons que
avec { Pi+1 = ai+1Pi qi+1 = ai+Iqi
+ Pi-I + qi-I
On a
que l'on peut écrire
+ atI-) Pi-I + Pi-2 = ( ai + ai~l) qi-I + qi-2
( ai
(ai a i+1
+ l)Pi-1 + ai+1Pi-2
(ai a i+1
+ l)qi-1 + ai+Iqi-2
en mettant ai+1 en facteurs Ci+1 =
ai+1(aiPi-1
+ Pi-2) + Pi-I
ai+1 (aiqi-I
+ qi-2) + qi-I
ce qui donne en utilisant la formule (3) Ci+I=
+ Pi-I ai+1qi + qi-I
ai+1Pi
Pi+1 qi+1
La démonstration par récurrence est donc effectuée
Théorème 1.2 Le numérateur Pi et le dénominateur qi de la réduite Ci de la fraction continue [ai, a2, ... ,an] satisfont aux égalités.
15
1.5. Définition et calcul des réduites.
Pi = aiPi-l qi = aiqi-l
{
+ Pi-2 + qi-2
i E {3,4,5, ... ,n}
avec {
Pl = al ql = 1
Remarque: Cette formule de récurrence peut être prolongée pour le calcul des réduites Cl et C2 d'où
{ PO = 1; P-l = 0 qo = 0; q-l = 1
d'où
{ Pl = al; Po= 1 ql = 1; qo = 0
Disposition pratique: Calculer les réduites du développement en fraction continue de
121
21 = [5, 1, 3, 5] En utilisant les formules et compte tenu de la remarque précédente =
Pl = QlPo +P-I = 5xl +0 = 5
ql
= QlqO +
P2 = Q2PI + Po = lx5 + 1 = 6
q2
= Q2ql + qo = lxl + 0 = 1
C2 = ~
P3 = Q3P2 +PI = 3x6+5 = 23
q3
=
Q3q2
+
ql
= 3xl + 1 = 4
C3= ~
P4 = Q4P3 + P2 = 5x23 + 6 = 121
q4
=
Q4q3
+
q2
= 5x4 + 1 = 21 .
~ = 12~1
= QiPi-1 +
Pi-2
Qiqi-l
+
Ci=l!i. q,
qi
Pi
qi-2
q-l
= 5xO + 1 = 1
Cl =
i
ce qui peut se simplifier dans le schéma suivant : i
-1
0
1 2 54 1 4
3
Pi
0
~1
3~ ~V~v~~
qi
1
~O
~1
~1
~4
5/1
6/1
23/4
ai
Ci=l!i. q,
4 5 ~
21 121/21
~
ex: 121 = 5x23 + 6 ex: 21 = 5x4 + 1
16 Chapitre 1. Développement en fraction continue d'un nombre rationnel.
1.6
Propriétés des réduites.
Remarquons que : • • •
POq-1 - P-IqO = 1 x 1 - 0 x 0 = 1 = (_1)0 PlqO - Poql = al x 0 - 1 x 1 = -1 = (_1)1 P2ql - Plq2 = (ala2 + 1) x 1- ala2 = 1 = (-1)2
pour i = 0 pour i = 1 pour i = 2
Supposons que Piqi-l - Pi-Iqi = (_I)i et démontrons que Pi+l qi - Piqi+l = (-1 )i+l . On a Piqi-l - Pi-Iqi = (_I)i et
D'où
Vi E {O,I,2, ... ,n} Piqi-l-Pi-lqi = (_I)i Concluons en indiquant que d'après le théorème de Bezout, Pi et qi sont deux nombres premiers entre eux .. En effet tout nombre divisant Pi et qi doit diviser aussi leur différence qui est (_I)i donc 1 ou -1, les seuls diviseurs communs de Pi et qi sont 1 ou -1, ils sont donc premiers entre eux. Les réduites Ci = ~ (i ~ 1) sont des fractions irréductibles.
Théorème 1.3 Quel que soiti E {O,I,2, ... ,n} Piqi-l-Pi-lqi = (_I)i et toutes les réduites Ci = ~ (i ~ 1) d'une fraction continue arithmétique sont des fractions irréductibles.
r.
Chapitre 2
Equations diophantiennes.· 2.1
Etude d'un exemple à l'aide de la méthode d'Euler.
Il s'agit de résoudre avec (x, y) E Z x Z l'équation
8x + 3y
= 61
(1)
appelée équation diophantienne. On utilisera pour cela la méthode utilisée par Euler qui consiste à remplacer la résolution de l'équation initiale par la résolution d'une équation analogue, mais à coefficients plus petits.
a) Résolvons l'équation par rapport à la variable qui a le plus petit coefficient 61-8x (2) y= 3
/3) Mettons en évidence le plus grand multiple de 3 contenu dans 61 et 8 61 = 3x20 + 1
8=3x2+2
Remplaçons dans (1)
= 3 x 20 + 1 - (3 x 2 + 2)x = (20 _ 2x) + 1 - 2x 3 3 que l'on peut écrire sous la forme: y
y =
(20 - 2x)
+t 17
1- 2x avec t = - 3
Chapitre 2. Equations diophantiennes.
18 qui donne:
2x + 3t = 1
(3)
'Y) Résolvons l'équation (3) suivant la variable x 1 - 3t 1 - (2 x 1 + l)t x = - 2 - = ----!...-2--~ d'où
1-t
x=-'-t+-2
1-t
x = -t+u
(4)
avec u= -2-
que l'on peut écrire 2u = 1- t, d'où t = 1- 2u, t et u étant des entiers relatifs. 6) Remplaçons dans x et y, t par la valeur 1 - 2u, on a
x
= 2u -
1+u
= -1 + 3u
et pour y: y = (20 -
2x) + t = 20 - 2(-1 + 3u) + 1 - 2u = 23 - 8u
e) La solution générale de l'équation (1) est donc {
X = -1 + 3u Y = 23 - 8u
uEZ
(5)
Vérification : Dans l'équation (1) remplaçons x et y par les valeurs trouvées dans (5), on obtient: 8(-1 + 3u)
+ 3(23 -
8u)
= -8 + 24u + 69 -
24u
= 61
L'équation (5) admet donc une infinité de solutions appartenant à Z. Par exemple
u x y
-2 -7 39
-1 -4 31
0 -1 23
1 2 15
2 5 7
3 8 -1
2.2. Résolution de l'équation diophantienne ax - by
= 1.
19
Supposons que l'on veuille les solutions positives. On a alors {
X
= -1 + 3u > D
Y = 23 - 8u
d'oùu> l d'oùu < ~3 8
>D
ce qui donne u = 1 et u = 2. Les couples de solutions positives de 8x
+ 3y = 61
sont alors:
(2;15) et (5;7)
2.2
Résolution de l'équation diophantienne ax - by = 1.
a) Position du problème: Il s'agit de trouver les couples (x; y) E Z2 de l'équation diophantienne
ax-by=1 avec (a; b) E N*2 et tels que a et b soient premiers entre eux que l'on notera (a~b) = 1.
(3) Recherche d'où solution particulière: L'idée directrice est que quelque soit i E {D, 1,2, ... ,n} Piqi-l - Pi-Iqi = (_1)i Pi-l, Pi étant les numérateurs et qi-l, qi étant les dénominateurs des réduites Ci de la fraction continue arithmétique î.
Transformons donc
î
en fraction continue arithmétique finie
a
b=
[al, a2, a3,···, an-l, an]
puis calculons les différentes réduites
Cl, C2, C3,··., Cn.
Les deux dernières réduites Pn-l qn-l
Cn-l = - - ;
Pn qn
a b
Cn=-=-
vérifient or
Pn = a, qn = b
Chapitre 2. Equations diophantiennes.
20
d'où Si n est pair, le nombre de quotients partiels al, a2, ... , an est pair et (_I)n = 1, qui est aqn-l - bPn-1 = 1
li
on a ainsi obtenu une solution patriculière (xo; Yo) de l'équation diophantienne ax - by = 1, que est
Yo = Pn-l) Si n est impair, on a (_1)n = -l. On modifie alors le développement en fraction continue de remplaçant 1 1 par si a n >1
î
en
a
1
par
an-l
si
+1
an
=1
on obtient alors un nombre de quotients partiels pair. [aI, a2,··. ,an - 1, IJ
[al, a2,· .. ,an-l
+ IJ
si
an
=1
En appliquant la méthode précédente, on obtient de nouveau avec Cn-l = ~:=~, et Cn = ~, la solution particulière (xo; YO) = (qn-I;Pn-l) de l'équation diophantienne ax - by = 1
1) Recherche de la solution générale: Une fois trouvée une solution particulière (xo; YO) de l'équation ax - by = 1, on peut trouver facilement la solution générale. En effet on a :
{
ax-by= 1 axo - byo = 1
Par soustraction membre à membre
a(x - xo)
= bey - YO)
21
2.3. Exemples.
b divisant le second membre, doit diviser le premier membre, or a et b sont premiers entre eux, c'est donc que b divise x - xo, donc x - xo est un multiple de b
x - xo
= tb
tE Z
En remplaçant donc le premier membre x - xo par tb
a(tb) = b(y - YO) d'où
y-yo=ta
tE Z
Les solutions (x; y) E Z2 de l'équation ax - by
(xo
+ tb ;
Yo
+ ta)
= 1 sont de la forme: (6)
t EZ
8) Réciproquement : (xo; YO) étant une solution particulière de l'équation ax - by = 1, en rémplaçant t par un entier relatif quelconque dans (6), alors, les valeurs correspondantes de x et y satisfont l'équation ax - by = 1. En effet:
ax - by = a(xo + tb) - b(yo
Il 2.3
+ ta) = axo -
byo
=1
Les couples de la forme (xo + tb; Yo + ta) t E Z constituent la solution générale de l'équation diophantienne ax-by = 1
Exemples.
1. Résoudre dans Z2 l'équation diophantienne
634x -75y
=1
• La fraction continue correspondante est 634 75 = [8,2,4,1,6]
Chapitre 2. Equations diophantiennes.
22
Remarquons qu'elle contient un nombre impair de quotients partiels. On peut donc lui substituer [8,2,4,1,5,1] qui est un développement en fraction continue équivalent mais contenant un nombre pair de quotients partiels. • Calculons les réduites correspondantes. i
-1
0
0 1
1 0
ai
Pi qi
8
Ci=~ • Pour n = 6
1 8 8 1 ï
{ Pn-1 qn-1
2 2 17 2 17
"2
3 4 76 9
4 1 93 11
5 5 541 64
6 1 634 75
76
93
541 64
75
9
11
= P5 = 541 = Yo = q5 = 64 = Xo
La solution générale de l'équation 634x - 75y
(x
634
= 1 est
= Xo + tb = 64 + 75t; Y = Yo + ta = 541 + 634t)
tEZ
Vérification : • Pour t = 1 on a alors x
= 64 + 75 = 139
y
= 541 + 634 = 1175
Remplaçons x et y par leurs valeurs dans le premier membre de l'équation initiale: 634 x 139 - 75 x 1175
= 88126 -
88125
=1
• Pour t quelconque appartenant à Z. On a 634 x (64 + 75t) -75x (541
+ 634t)
= 634 x 64 -75x541 = 1
2. Résoudre dans Z2 l'équation diophantienne
634x -75y =-1
23
2.3. Exemples.
• Commençons par transformer la fraction 67~ en une fraction continue arithmétique avec un nombre impair de quotients partiels, donc de réduites. i
-1
0
0 1
1 0
1 8 8 1
ai Pi qi
8
q-El. - qi
ï
2 2
17 2 17
3 4 76 9
4 1 93 11
76
93
9
2"
5 6 634 75
11
634
75
Pour n = 5, on a P5q4 - Q5P4
= (_1)5 = -1
c'est-à-dire 634Q4 - 75p4
or ici P4
= -1
= 93 et Q4 = 11, on a bien 634 x 11 - 75 x 93
= -1
• Une solution particulière de l'équation initiale est le couple
(xo
= 11 ; Yo = 93)
Soustrayons membre à membre les deux égalités. 634x - 75y
= -1
634 x 11 -75x93 = -1 on obtient 634(x - 11) - 75(y - 93) = 0
ou 634(x - 11) = 75(y - 93)
Mais 634 et 75 étant premiers entre eux. On a {
x-Il = 75t y - 93 = 634t
tE Z
Chapitre 2. Equations diophantiennes.
24
• D'où la solution générale de 634x - 75y
(X
= -1 sera le couple
= 11 + 75t; Y = 93 + 634t)
tEZ
Remarque générale : Supposons trouvée une solution particulière (xo; Yo) avec Xo = qn-l , Yo = Pn-l de l'équation ax - by = 1 (ar--..b) = 1 On peut alors trouver facilement une solution particulière notée de ax - by = -1 (a r--.. b) = 1 {
Xl
= b - Xo = b - qn-l
YI
=a-
Yo
=a-
(Xl,
yI)
Pn-l
En effet:
car aqn-l - bpn-l = 1 puisque le nombre de quotients partiels est pair (voir résolution de ax - by = 1). La solution générale de l'équation ax - by = -1 est donc le couple
(X
= Xl + tb; Y = YI + ta)
tE Z
Exemple: Résoudre l'équation diophantienne 634x - 75y = -1, sachant que l'on a trouvé une solution particulière (xo; YO) = (64; 541) de l'équation 634x - 75y = 1
Première méthode : Utilisons le fait que {
ce qui donne ici {
= b-
Xo YI = a - Yo Xl
= 75 - 64 = Il YI = 634 - 541 = 93 Xl
Le couple (11;93) est une solution particulière de 634x - 75y = -1. La solution générale sera:
(X
= 11 + 75t
; Y = 93
+ 634t) t
E Z
25
2.4;R:ésolution de l'équation diophantienne ax - by = c.
Deuxième méthode : Le couple (64; 541) étant une solution particulière de l'équation
634x -75y = 1 on aura 634 x 64 -75x541 = 1 en multipliant par (-1) 634 x (-64) -75x(-541) =-1. Le couple (-64; -541) est une solution particulière de l'équation
634x -75y =-1 La solution générale sera le couple
(x
2.4
= -64 + 75t; Y = -541 + 634t)
t
E
Z
Résolution de l'équation diophantienne ax-by=c (a----b)=1.
Supposons que l'on connaisse une solution particulière (xo; Yo) de l'équation ax-by=l On aura: axo - byo = 1 Multiplions par c les deux membres:
a(cxo) - b(cyo) = c Donc (cxo; CYo) sera une solution particulière de ax - by = c. La solution générale étant :
(x
= CXo + bt; Y = CYo + at)
t
E Z
Exemple 1: Résoudre l'équation 634x - 75y = 5 (x; y) E Z2.
Chapitre 2. Equations diophantiennes.
26
Dans l'exemple précédent, on avait trouvé une solution particulière de l'équation 634x - 75y = 1 qui était: (XO j YO)
= (64 j 541)
d'où
634 x 64 - 75 x 541 = 1 Multiplions par 5 les deux membres de l'égalité précédente:
634x (64x5) -75x (541 x5) = 5 donc (5xO j 5yo) = (320 j 2705)
est une solution particulière de l'équation 634x - 75y = 5 La solution générale sera alors (x
= 320 + 75t j Y = 2705 + 634t)
t E Z
Exemple 2: Résoudre l'équation 634x - 75y = -5 (x j y) E Z2. En multipliant cette fois-ci par (-5) les deux membres de l'égalité
634 x 64 - 75 x 541 = 1 on obtient la solution particulière (-5xO j -5yo) = (-320 j -2705)
La solution générale de l'équation initiale sera (x
2.5
= -320 + 75t j Y = -2705 + 634t)
tE Z
Résolution de l'équation diophantienne ax + by = c (a """"' b) = 1.
Supposons d'abord (a, b) E N*2
et (a"'--"'b)
=1
2.5. Résolution de l'équation diophantienne ax + by
= c.
27
• On développera la fraction %en fraction continue avec un nombre pair de quotients partiels. On aura alors • Ecrivons l'équation ax + by = c sous la forme
ax+by=cxl et remplaçons 1 par aqn-l - bpn-l, ce qui donne
ax + by
= c(aqn-l -
bPn-l)
que l'on peut écrire sous la forme
a(cqn-l - x)
= b(CPn-l + y)
(1)
Comme b divise le second membre, il doit diviser le premier membre. Or (a'--"'b) = 1, c'est donc que
cqn-l -
X
= tb
d'où
(2)
x = CQn-l - tb En remplaçant cqn-l -
X
par tb dans (1), on obtient
(3)
y = at - CPn-l
Réciproque : Quel que soit t E Z, remplaçons x et y par les valeurs précédemment trouvées dans ax + by, on obtient:
a(cQn-l - tb)
+ b(at -
CPn-l)
= c(aQn-l - bPn-l) = ex 1 = c
Théorème 2.1 L'équation diophantienne ax + by = c avec (a, b) E N*2 et (a'--"'b) = 1 admet une infinité de solutions de la forme
(x = cqn-l - tb ; Y
=
at - CPn-l)
t E Z
28
Chapitre 2. Equations diophantiennes. Exemple 1: Résoudre l'équation diophantienne 61x + 58y = 3.
• Recherchons d'abord une solution particulière de 61x - 58y = 1 Développons ~~ en fraction continue arithmétique, on obtient : 61 58 = [1,19,2,1]
Le tableau des réduites nous permet de trouver une solution particulière de l'équation 61x - 58y = 1, qui est (xo
= q3 = 39
j
Yo
= P3 = 41)
• L'équation 61x + 58y = 3 s'écrit sous la forme 61x + 58y
= 3(aq3 -
bp3)
= 3(61 x39 -
58x41)
que l'on peut écrire: 58(y + 41 x3) = 61(3x39 - x)
mais (61-----58) = 1, d'où: {
= 3 x 39 - 58t = 117 - 58t y = 6lt - 41 x 3 = -123 + 6lt
t EZ
X
Exemple 2: Résoudre l'équation diophantienne 61x + 58y = -3 d'après eexemple précédent, l'équation précédente s'écrit 61x + 58y = -3(61x39 - 58x41)
d'où 61(x + 3x39) = 58(41 x3 - y)
d'où les solutions (x
= -117 + 58t
j
Y = 123 - 6lt)
tE Z
~~F'Réso1ution
2.6
de l'équation générale Ax ± By = ±C.
29
Résolution de l'équation générale Ax±By = ±C.
Supposons A et B entiers positifs. Les équations suivantes 2x+5y=3 -2x - 5y = 3
2x-5y=3 -2x+5y=3
sont de la forme étudiée pour les deux premières. Les deux autres se déduisent de et de 2x - 5y = -3 2x+5y =-3 Toutes les équations de la forme Ax ± By = ±C n'admettent pas forcément des solutions entières. Supposons que le PGCD de A et B soit d que l'on note (A,.......B) = d. Si d ne divise pas C, aucune des équations de la forme Ax ± By = ±C n'admet de solution entière. Par contre si d divise C, on divisera les deux membres par d et l'équation va se réduire à l'une des formes déjà traitées ax + by
= c on ax - by = c avec (a,....... b) = 1
Théorème 2.2 Toute équation de la forme Ax±B = ±C admet une infinité de solutions entières si et seulement si le PGCD de A et B divise C. Dans ce cas en divisant A, B, C par le PGCD de A et B les équations se réduisent à l'une des formes ax + by = con ax - by = c.
Exemple 1: Résoudre l'équation diophantienne 183x - 174y = 9
174 = 2x3x29 . Remarquons que 183 = 3x61 . Le PGCD de 183 et 174 noté (183,.......174) = 3, et divise 9 . . L'équation devient après avoir simplifié par 3 les deux membres 61x - 58y = 3
et admet d'après les méthodes précédentes, la solution générale
(x
= 117 + 58t ; Y = 123 + 61t)
t E Z
1
1
30
Chapitre 2. Equations diophantiennes.
Exemple 2 : Résoudre l'équation diophantienne 183x - 174y
= 5.
Cette équation n'est pas résoluble dans ZxZ car le PGCD de 183 et 174 qui est 3 ne divise pas 5.
Chapitre 3
Développement en fraction continue cl 'un nombre irrationnel. 3.1
Introduction.
On a déjà vu dans le chapitre 1 que tout nombre rationnel pouvait se développer en fraction continue arithmétique finie et que réciproquement toute fraction continue arithmétique finie représentait un nombre rationnel. On va maintenant développer en fraction continue des nombres irrationnels, les fractions continues en résultant seront infinies . • Les nombres irrationnels que l'on considèrera sont de la forme a ± /b c appelés irrationnels quadratiques avec (a, b) E Z x Z* et b E N*, non carré parfait car ils proviennent du calcul des racines de l'équation
• Il existe d'autres nombres irrationnels, appelés nombres irrationnels transcendants, comme 7r et e. En utilisant des approximations décimales de ceux-ci, on pourra calculer quelques uns des premiers termes des fractions continues correspondantes.
31
32 Chapitre 3. Développement en fraction continue d'un nombre irrationnel.
3.2
Développement en fraction continue cl 'un irrationnel.
a) Soit x un irrationnel donné positif. Appelons al le plus grand entier inférieur ou égal à x al = E(x)
On a x
Donc
X2
(3) Appelons
1
1 0< - <1
= al + -X2
X2
= __1_ > 1 et est irrationnel, x - al
a2= E(X2),
on peut écrire
X2
x
étant irrationnel.
sous la forme 0< -
1
X3
Donc
X3
1
=- - > 1 et est irrationnel, X2 X2 - a2
< 1
étant irrationnel.
"Y) On peut répéter indéfiniment ce calcul, on obtient 1
x
=
al+X2
X2
=
a2+X3
X3
=
a3+X4
X2>
1
X3>
1,
a2 ~
1
X4>
1,
a3 ~
1
1 1
an
1
+-Xn+l
avec (al, a2,· .. , an, .. .) entiers positifs (X2, X3," . ,xn , ... ) quotients complets irrationnels. Cette suite (al, a2, ... , an, ... ) ne pouvant par être finie, car alors un entier serait égal à un nombre irrationnel. 8) Pour trouver le développement en fraction continue de l'irrationnel x, on remplace dans l'expression
1l.
3;2. Développement en fraction continue d'un irrationnel. X2
par la valeur donnée par
X2
1
= a2 + -
X3
X3
obtient
> 1;
33 a2 ~
1 etc., on
~r
que l'on note
Théorème 3.1 Le développement en fraction continue d'un irrationnel est illimité.
Exemple : Déterminer le développement en fraction continue de
a) Soit
V17
V17 un irrationnel positif donné.
On a d'où
1
avec
0< -
X2
< 1
Donc 1 X2 = m - 4
et
X2=
1 V17+4 V17-4 = (V17-4)(V17+4)
=m+4
On peut écrire à ce stade
V17=4+
1
m+4
(3) Appelons
a2
= E( V17 + 4)
= 8
d'où X2
1
= 8 + --; X3
X3 =
1 --8 = X2 -
1
V17 17 -
4
= m+4
34 Chapitre 3. Développement en fraction continue d'un nombre irrationnel. On peut écrire à ce stade 1
W=4+
1
8 + -W=17=-+-4 Comme X2 = X3 = Vfj + 4, le calcul se prolonge indéfiniment et on obtiendra pour X4, XS, ..• toujours le même resultatm + 4. Les quotients partiels étant tous égaux à 8. D'où le développement de..jï7 sera. 1 1 1
W = 4+ 8 + 8 +
... +
8+
·r
... = [4,8,8, ... , 8, . ~ = [4,8]
La notation [4,8] avec 8 surligné indique que 8 se répète indéfiniment. Réciproquement, montrons que la fraction continue [4,8] réprésente le nombre irrationnel v'ï7. . Soit
1
1
x = 4+ -
1
+8+
8+8+
que l'on écrira sous la forme 1 1 x = 4 + - avec y = 8 + -
1
1
8+8+
y
-
+8+
... =
1
8+Y
Y est racine de l'équation
y2 _ 8y -1 = 0 qui admet pour racine y étant positif y = 4 + v'I7 D'où
1
1
x=4+- =4+---:::=
y 4+v'I7 en multipliant et divisant encore une fois par la quantité conjuguée
v'I7 - 4
x=4+
v'I7 - 4 1
=4-4+W=W
On pourrait aussi démontrér que
JIT =
[3, 3, 6J;
v'3ï =
[5,1,1,3,5,3,1,1, lOJ
v'13 = [3,1,1,1,1,6] Lagrange a démontré que le développement d'un nombre irrationnel quadratique en fraction continue était périodique à partir d'un certain rang.
35
3.3. Calcul des réduites.
3.3
Calcul des réduites.
Le calcul des réduites d'une fraction continue illimitée
est analogue en calcul des réduites d'une fraction continue finie. Pn O n a en = , avec qn
pour tout entier
n 2: 1
On posera comme dans le cas d'une fraction continue finie P-1
=0
Po
=1
Exemple: Calculer la dixième réduite de y'I3, avec
Vi3 = [3,1,1,1,1,6] i
ai Pi qi
-1
0 1
0 +-1 +-0
1 3 3 1 3
Ci
ï
2 1 4 1 4
ï
3 1 7 2 7
"2
4 1 11 3 11
'3
5 1 18 5 18
5"
6 6 119 33 119
33
7 1 137 38 137
38
8 1 256 71
9 1 393 109
1 649 180
256
393 109
649 180
TI
10
La dixième réduite est PlO 649 ClO=-=. qlO 180
3.4
Propriétés des réduites.
1 Propriété: Les numérateurs Pn, et les dénominateurs qn des réduites en = Pn de la fraction arithmétique illimitée qn
vérifient la relation
n2:0
36 Chapitre 3. Développement en fraction continue d'un nombre irrationnel. Cette propriété démontrée dans le chapitre 1 est indépendante du fait que la fraction continue soit finie ou infinie. 2 Propriété: Divisons les deux membres de
(n 2: 0) par le produit qnqn-l
i= 0, on obtient Pn Pn-l (_l)n ----=
c'est-à-dire Cn - Cn-l =
quel que soit (n 2: 2)
1
(n 2: 2)
(-l)n
~--'-
qnqn-l
-~
Cn - Cn-l - qnqn-l
3 Propriété: Calculons maintenant
or Pn
= anPn-l + Pn-2;
qn
= anqn-l + qn-2
En remplaçant Pn et qn par les valeurs précédentes dans l'équation donnant Cn - Cn-2, on aura
après réduction :
D'où en supposant les qn > 0
Si n 2: 3
a n ( _l)n-l
Cn - Cn-2 = --'---'--
qnqn-2
3.5. Suite des réduites.
3.5 Ct)
37
Suite des réduites. • D'après la 2ième propriété
pour n 2: 2 en supposant tous les qn positifs, on a pour n = 2 C2 - Cl = q2lql > 0 d'où Cl < C2 pour n = 3 C3 - C2 = - q3~2 < 0 d'où C3 < C2 • D'après la 3ième propriété pour n 2: 3
pour n
=3
C3 - Cl
trois positifs d'où
Cl
a3 0 . . = a3(-1)2 = -> pUIS qUI a3, q3, ql sont tous q3ql q3ql
< C3 •
• En conclusion
(3) De façon analogue en posant dans la 2ième propriété n = 3 et n = 4 et dans la 3ième propriété n = 4, on trouverait
etc ...
D'où Cl
<
C3
< C5 < ... < C2n-1 < ... < C2n < ... <
C()
< C4 < C2
Théorème 3.2 Les réduites d'indice impair d'une fraction continue arith métique infinie constituent une suite croissante; les réduites d'indice pair constituent une suite décroissante. Les termes de la première suite étant inférieurs aux termes de la seconde.
38 Chapitre 3. Développement en fraction continue d'un nombre irrationnel. • La suite partielle de terme général (C2kH), c'est à dire formée des réduites d'indice impair est une suite croissante majorée par C2. Elle converge donc vers une limitel:S; C2. • La suite partielle de terme général (C2k), c'est à dire formée des réduites d'indice pair est une suite décroissante minorée par Cl. Elle converge donc vers une limite l' 2: Cl. • Montrons maintenant que ces deux suites sont adjacentes, c'est- à- dire que (_1)2k 1 C2k - C2k-1 =
= ---q2kq2k-1
q2kq2k-1
tend vers zéro lorsque k tend vers +00, ce qui est évident car la suite des (qn) tend vers +00 lorsque n tend vers +00 d'où l = l'.
Théorème 3.3 Toute fraction continue arithmétique illimitée tend vers une limite l qui est la plus grande de toutes les réduites d'indice impair et la plus petite de toutes les réduites d'indice pair. Montrons maintenant que cette limite l coincide avec x valeur initiale de la fraction continue. 1
avec Xn
1
1
= an + - -
+
an+l
1
+
a n +2
et donc Xn+l = an+l
... = an + - -
Xn
> an, et
X n +l
(2)
+ > an+l'
étant positif XnH 1
1
Xn+l
an+l
(1)
Xn+l
1
+-a n +2
D'après (1) Donc
1
--<-or X n = an
1
1
Xn+l
an+l
+ - - < an + - -
d'où an
<
Xn
<
an
l + -an+l
(3)
39
3.5.. Suite des réduites.
Il s'agit de.montrer què.xest compris entre deu:x:réduites successives Cn et Cn+ 1. Soient les trois expressions Cn Xn
Cn+!
. L ,expreSSIOn al
-
-
-
1
al+a2
1
+
+ an-l
1
al+a2
+ an
1
+
1
+ an-l
l
al+a2
1
1
+
+
Xn
1
+ an
+ an+!
, t . + -1 + -1 + ... + -1 - etant commune aux rOIS expres-
a2 a3 an-l sions, il s'agit donc de comparer les termes
D'après (3) 1
-----=-1-
an+ - an+l
~, ~, an
Xn
1
1
Xn
an
_1_. an+l
< - <_.
ce qui entraîne Cn+! < X n < Cn. x est donc toujours compris entre deux réduites successives. Mais on sait que C2k-l < C2k, d'où k E {1,2,3, ... ,n, ... }
c'est-à-dire: Cl
< C3 < ... < C2k-l < ... < x < ... < C2k < ... < C4 < C2
Or lorsque k tend vers l'infini les réduites d'indice pair (C2k) et les réduites d'indice impair (C2k-d ont la même limite l. Donc x = l. Théorème 3.4 Soit [al, a2, ... , an, ... ] le développement en fraction continue d'un nombre irrationnel x, la limite vers laquelle tendent toutes .les réduites de la fraction continue est le nombre x.
40 Chapitre 3. Développement en fraction continue d'un nombre irrationnel.
3.6 et)
Propriétés d'approximation des réduites. Posons 1 x=al+a2
1 a3 +
+
avec Xn+l
avec
Xl,
1
= an+l + - an+2
1
+
--
an+3 +
... =
[an+l' an+2, ... ]
X2, ... ,Xn positifs.
On considèrera xn+l comme s'il s'agissait d'un quotient partiel, alors qu'il contient une infinité de quotients partiels an+l, a n+2, ... et n'est pas un entier. On a
Xn+IPn X = [al,a2, ... ,an,Xn+1 ] = Xn+lqn
+ Pn-l + qn-l
ce qui donne : (n ~ 2) d'où
donc 1X
Or si n ~- 2,
Pn 1 1 qn-l Il Pn-ll - qn = Xn+lqn X - qn-l
(1)
x n+1 > 1 et qn > qn-l > 0, d'où:
L'égalité (1) précédente devient:
x -Pn - 1 < 1x -Pn-ll --
1
qn
qn-l
(n
~
2)
que l'on peut écrire
lx - Cnl < lx - Cn-ll
(2)
41
3.6. Propriétés d'approximation des réduites.
Théorème 3.5 Toute réduite est une meilleure approximation de x que la réduite précédente. •
(3)
En posant touJours x =
X n+1Pn
X n+1qn
+ Pn-1 + qn-1
on a
car
=1 > 0, d'où qn(xn+1qn + qn-1) > qnqn-1 > q~-l· IPn~lqn - Pnqn-11
or x n+1 > 1 et qn, qn-1 On en tire donc : car qn > qn-1
Pn 1 < 1 qn qnqn-1
1x - -
1
Théorème 3.6 Pour tout irrationnel positif x, on peut trouver une infinité de rationnels de la forme ~ avec (P ,....... q) = 1 qui approchent x à moins de ~ près.
Exemple 1: La fraction l~~il étant donnée, trouver une fraction de numérateur et dénominateur inféreurs et donnant une valeur approchée de 15625 à 10-3 près 1024 . Tout d'abord transformation de \5~il en fraction continue Ona
15625 1024
= [15,3,1,6,2,1,3,2,1]
et calculons les réduites correspondantes. i ai Pi qi Ci
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1· 15 3 1 2 6 1 2 3 0 1 15 46 61 412 885 1297 4776 10849 15625 1 0 1 3 4 27 58 85 313 711 1024
-1
0
15
T
46
"3
61
"4
412
27
885
58
1297
85
4776 313
10849
"""'7ï1
15625 1024
42 Chapitre 3. Développement en fraction continue d'un nombre irrationnel. Cherchons les réduites Cn
= Pn qn
et Cn+l
= Pn+l
qn+l
telle que
1 < 0 0006 15625 _ Pn 1 < 1 1024 qn. qn qn+l ' 15625 ., que l' erreur car on veut approch er - au moyen d e Pn - de te Ile mamere 1024 qn commise soit inférieure à O,OOI. On trouve P4 412 P5 885 C5=-=C4=-=q4 27 q5 58 1
15625 4121 1024 - 27
<
1
1
= 27 x 58 < 0,0006
q4q5
on peut done apprOXImer . , 0 001 ,15625 a, pres 1024
412 par 27·
Exemple 2: Trouver une fraction approchant
Le développement en fraction continue de
v'19 à 0,0001 près.
v'19 est périodique et donne
v'19 = [4,2,1,3,1,2, 8J Calculons les réduites correspondantes. i
-1
0
0 1
1 0
ai
Pi qi
4
Ci
La re'd· mte
1 4 4 1 ï
C7
2 2 9 2
3 1 13 3 13
9
2
1421 = P7 q7 = 326
S-
4 3 48 11
5 1 61 14
6 2 170 39
7 8 1421 326
48
61 14
39
170
1421 326
n
Il est te e que
14211 1 1v'19 - 326 < q? . , L'approximation recherchee de
1
= 3262 < 0,00005
v'19 est donc
1421 326·
... ... ... ... ...
3.7. Interprétation géométrique de Klein des fractions continues.
3.7
43
Interprétation géométrique de Klein des fractions continues.
Soit a un nombre irrationnel, dont le développement en fraction continue est admettant pour réduites
, ...
,o ..
Soit a irrationnel positif pour simplifier.
a) Traçons la droite d'équation y = ax, qui ne passe par aucun point d'abscisse et d'ordonnée entières sauf l'origine, car sinon le nombre a = '!{ serait rationnel. x (3) L'ensemble (LI) des points de coordonnées
correspondant aux réduites d'indice impair sont en dessous de la droite d'équation y = ax. ,) L'ensemble (L 2 ) des points de coordonnées
correspondant aux réduites d'indice pair sont au-dessus de la droite d'équation y = ax. Ces deuxensembles (LI) et (L2) constituent les deux lignes polygonales se rapprochant de plus en plus de la droite d'équation y = ax. Exemple: Tracer le diagramme de Klein du développement en fraction continue de a = JI3 = [3,1,1,1,1,6].
44 Chapitre 3. Développement en fraction continue d'un nombre irrationnèl. Les réduites correspondantes sont
3
4
7
Il
18
1 ' 1 ' 2 ' 3" ' "5'
119 33 '
• Les points correspondants aux réduites d'indice impair, de coordonnées
(1,3) (2,7) (5,18) ... sont en dessous de la droite d'équation y = v'ï3 x. • Les points correspondants aux réduites d'indice pair, de coordonnées
(1,4) (3,11) (33,119) ... sont au-dessus de la droite d'équation y ~ v'ï3 x. • Les deux ensembles (LI) et (L2) constituent les deux lignes polygonales se rapprochant de plus en plus de la droite y = ax, que l'on peut considérer comme leur asymptote commune.
3.8
Résolution de l'équation du second degré x 2 = ax + 1.
Signalons enfin encore une utilisation des fractions continues permettant d'approximer la racine positive de toute équation algébrique. Soit l'équation du second degré
x2
= ax+ 1
avec a
>0
Divisons par x-les deux membres de l'équation, on a avec x
1
1
i= 0
1
x=a+;;=a+-1 1 =a+ a+a+--x a+··· On peut donc dire que
[a,a,a, ... ,a, ... ] est le développement en fraction continue de la racine positive de l'équation x 2 - ax -1 = O.
3.8. Résolution de l'équation du second degré x 2 = ax + 1.
45
Par exemple l'équation x 2 = x + 1 admet une racine positive, dont le développement en fraction continue est
x= [1,1,1, ... , 1, ... ] Les réduites successives de cette fraction continue donnent une approxima. toujours . bon mm·11eure d e l a so1· utlOn 1 +2v'5 . Les réduites successives de cette fraction continue donnent une approxi1 + v'5 mation toujours meilleure de la solution - - 2
Chapitre 4
Fractions continues périodiques. 4.1
Introduction.
Au chapitre 1 on a vu qu'un nombre rationnel admettait un développement en ,fraction continue et que ce développement était fini. Au chapitre 3 on a remarqué que le développement en fraction continue d'un nombre irrationnel quadratique de la forme a±cv'b avec (a, c) E Z x Z*, b E N* était périodique à partir d'un certain rang ou périodique pur.
v'ï7 = [4,8], 4+
v'ï3 = [3,1,1,1,1,6]
v'ï7 = [8]
périodique pur
1 + VïO = rr211 3 L.1., -", .1.J
périodique pur
Nous allons maintenant étudier les nombres irrationnels quadratiques représentés par des développements en fractions continues, leur développement étant périodique pur. Donnons tout d'abord un exemple. Exemple: 'frouver l'irrationnel quadratique a, tel que
a) Dans le chapitre 3, on a vu que a peut s'écrire 1
1
1
a=2+3+4+a
47
Chapitre 4. Fractions continues périodiques.
48
avec
où E!!.qn, et Pn-l correspondent respectivement aux réduites Cn et Cn-l. n qn-l Appliquons cette règle à a = [2, 3, 4] Construisons la table des réduites. z·
-1 ·,0
~
Pi qi
0 1
1 0
1 '2· 3 2 3 4 2 7 30 1 3 13
4 a 30a+7 13a+3
ce qui donne ap3+p2 30a+7 a---- aq3 + q2 - 13a + 3. a vérifie l'équation du second degré. 13a2 - 27a - 7 = 0
(1)
{3) Considérons maintenant l'irrationnel quadratique {3 obtenu en inversant la période de a. 1 1 1 {3=[4,3,2]=4+ 3 + 2 + 7J La table des réduites est alors : i
-1
0
0 1
1 0
~
Pi qi
1 4 4 1
2 3 13 3
3 2 30 7
4 {3 30{3 + 13 7{3+3
ce qui donne {3 = {3P3 + P2 = 30{3 + 13 {3q3 + q2 7{3 + 3 {3 vérifie l'équation du second degré. 7{32 - 27{3 - 13 = 0 que l'on peut écrire 13 (_~)2 _ 27
(-!) -7 = 0
(2)
49
4.2. Démontrons généralement cette propriété. a et ( -
~) sont donc les solutions de l'équation du second degré 13x2
-
27x -7 = 0
!
Remarquons que {3 = 4 + + ~ + ~ est tel que {3 > 1 donc o < ~ < 1 et -1 < -~ < 0 et a est la racine positive de l'équation 13x2 - 27x - 7 = O. On trouve facilement a=
27 +
v'I093 26
et
f.l _ fJ -
27 -
v'I093
26
En conclusion la fraction continue périodique pure a représente donc un nombre irrationnel quadratique.
4.2
Démontrons généralement cette propriété.
Posons on a
et
,
,
P~ et P~-l représentent respectivement la nième et la
qn qn-l la fraction continue [an, an-l, . .. , a2, al]. D'où
{ ' -=
Pn -Pn q~ qn
(n _l)ième réduite de
et
a étant périodique pure, on peut l'écrire 1 1 a=al+a2+ a2+
avec d'après le chapitre 3
+
1 an
+
1 a
Chapitre 4. Fractions continues périodiques.
50
cette équation donnant
(3) Inversons la périodique de a, on obtient: {3= a n
1
+-an-l
et {3
1
+
p'
l'
qn
p'
n-l 1
al
+
= {3p~ + P~-l {3q~
.-!!.
+
1 {3
+ q~-l
"' ., étant les n 1eme et (n - l)leme réduite de
qn-l
On sait que: et avec {3 =
{3Pn {3Pn-1
+ qn + qn-l
{3 satisfait alors à l'équation du second degré.
(4) que l'on peut écrire sous la forme
a et
~1
sont donc les deux solutions de l'équation du second degré
(5)
51
4.2. Démontrons généralement cette propriété. Remarquons que {3 est representé par la fraction continue
où an, an-I, ... , a2, al sont des entiers positifs, donc {3
>
1 0
<~ <
1 et
< -~ < O. Une racine de l'équation (5) est comprise entre -1 et 0, l'autre racine étant superieure à l. On peut aussi démontrer la réciproque. -1
Théorème 4.1 (direct) Si aI, a2,.'" an sont des entiers positifs, le nombre a > 1 réprésenté par la fraction continue périodique pure
est la racine positive d'une équation du second degré à coefficients entiers. Le nombre {3. {3 = [an, an-l. ... ,a2, aIl obtenu en inversant la période de a, est tel que -~ = a', a' étant l'autre racine ou racine conjuguée de l'équation satisfaite par a et -1 < a' < O. Théorème 4.2 (réciproque) Si a > 1 est un irrationnel quadratique satisfaisant à une équation du second degré à coefficients entiers, et si la deuxième racine a' (ou conjuguée) de cette équation est telle que -1 < a' < O. Alors la fraction continue qui est le développement de a est une fraction continue périodique pure. Cette propriété de a et a' caractérise des nombres irrationnels quadratiques, appelés nombres irrationnels quadratiques réduits dont le développement en fraction continue est périodique pur.
Exemple 1: Montrer que 1 + J2 est un nombre irrationnel quadratique réduit, et déterminer son développement en fraction continue.
On a en posant a
a
= 1 + J2 et a' = 1 - J2 avec
= 1 + v'2 > 1 et
- 1
< a' = 1 - v'2 < O.
52
Chapitre 4. Fractions continues périodiques.
Il s'agit donc d'un nombre irrationnel quadratique réduit et son développement en fraction continue doit donc être périodique pur. En effet avec
al
= 1 + V2 = a
1 + V2 = 2 + 1 +1v22 = 2 + (1 + ~ = 2 - 1 + V2 = 1 + V2 2)(1v2- v2) 2 D'où
1+V2=2+
1
a = [2]
l
2+-2+.
Exemple 2: Montrer que ..;'8 n'est pas un nombre irrationnel quadratique réduit, et déterminer son développement en fraction continue.
Posons a = ..;'8 et a' = -..;'8, ..;'8 est bien supérieur à 1, mais -..;'8 n'est pas compris entre 0 et 1 1
VS=2+X2
Calcul de
X2 :
1
VS-2=X2
d'où X2
1 2v2 + 2 = 2v2 _ 2 = 4
on a donc
1
V8=2+ ~ ,,;;;2
On a E
(1+°) = 1, d'où: 2
Calcul de
X3 : X2
=
1
1+X3
1+v2=1+...!.. 2
X3
2
53
4.3. Théorème de Lagrange. d'où
1+V2-2 2
1
=
X3
et
=
x 3
2 = 2(V2+1) =2(h+1) V2-1 (V2-1)(V2+1)
On obtient à ce stade
vis =
1
2+-1 1+X3
On a E (2( V2 + 1)) = 4 Calcul de
X4 : X3
=
1
4+X4
1
2(h + 1) - 4 = -
d'où
= 2h - 2
X4
d one
X4
=
V2+1 2
.,
et on reVlent a
1
X4
2V2+2
= 2V2 - 2 = -8---4-
X2·
Le développement en fraction continue de
J8 sera donc
vis = [2,1,4] 4.3
Théorème de Lagrange.
Le développement en fraction continue d'uri nombre irrationnel quadratique quelconque est périodique à partir d'un certain rang. Il s'agit de démontrer que lorsqu'un nombre irrationnel quadratique a se développe en fraction continue, on atteint à partir d'un certain rang un quotient an+! qui est un nombre irrationnel quadratique réduit, et à partir de ce rang la fraction est périodique, d'après ce que l'on a vu précédemment. Supposons que 1 a=a1+a2
On sait alors que
+
1 a3
+
Chapitre 4. Fractions continues périodiques.
54
avec a et an+! irrationnels quadratiques an+l > l. Le nombre conjugué de a étant noté a', on a de même
,
, an+lPn a= a~+l qn
ce qui permet de trouver
a~+!
+ Pn-l + qn-l
en fonction de
a'
, a' qn-l - Pn-l an+l = a'qn - Pn
En mettant qn-l en facteur au numérateur et qn en facteur au dénominateur, on obtient a' ~l Cn
(a' - ~) a'-~
= _ qn-l ~
= _ qn-l ~
(a' - Cn-l) a'-Cn
Pn et = -,
Cn-l = Pn-l - - e't ant les re'd·t Ul es d e a. qn qn-l D'après l'étude faite au chapitre 3, on sait que
lim Cn
n~+oo
= n--++oo lim Cn-l = a
d'où
a' a' - a lim - ---n-l - - - - - 1 n--++oo a' - Cn - a' - a Or lorsque n croît Cn est tantôt supérieure à 1, tantôt inférieure à 1, en a' - Cn-l conséquence lorsque n crOIt" tend vers 1 mais en étant tantôt a-Cn supérieure à 1, tantôt inférieure à l. De plus, dans a' __ qn-l Cn-l) n+l qn a' - cn f'__
A
(a' -
qn et qn-l sont des entiers positifs et 0
< qn-l < qn donc qn-l < qn
Etant donné une valeur de n, rendant la fraction
a' - Cn-l
--~...::.<1
a'-cn
la valeur de a~+l donnée par
pn-l) =
, _ qn-l ( a' - ~ a n+l - - qa' _ fu n
qn
_ qn-l (a' - Cn-l)
qn
a' -
cn
l.
4.3. Théorème de Lagrange.
55
sera comprise entre -1 et O. Ce qui prouve que an+! est un nombre irrationnel quadratique réduit et la fraction continue développement de a sera périodique à partir de ce rang.
Chapitre 4. Fractions continues périodiques.
56
Exemple Montrer que a = 8±fI n'est pas un nombre irrationnel quadratique réduit, et montrer que son développement en fraction continue est périodique à partir du 3e rang.
Tout d'abord a = 8+f1 > 1 mais a' = 8-fI ~ 0.213 n'est pas compris entre -1 et 0, donc a' n'est pas un nombre irrationnel quadratique réduit. Effectuons son développement en fraction continue.
8+
1 v'37 =1+-
avec
al
=
1 v'37 =1+-
avec
a2
=
1 v'37 =1+-
avec
a3
=
1 v'37 =3+-
avec
a4
=
1 v'37 =2+-
avec
a5
=
9 al
a2
a3
a4
= = = =
1+
4 3+
7
4+
3 5+
4
al
a2
a3
a4
a5
1+
v'37
E(al) = 1
4
3+
v'37
E(a2) = 1
4 4+
v'37
E(a3) = 3
3 5+
v'37
E(a4) = 2
4
3+
v'37 =a2
4
étant un irrationnel quadratique réduit. En effet
a2
et
-1
< a~ < 0
Le développement en fraction continue est donc périodique à partir de 8 + v'37 9 = [1,1, 1,3,2)
a2
VN.
4.4. Développement en fraction continue de
4.4
57
Développement en fraction continue de Vii.
Remarquons tout d'abord que N étant un entier positif
N> 1
donc
- v'N <-1
et
donc VN, (N n'étant pas un carré parfait), n'est pas un nombre irrationnel quadratique réduit et son développement en fraction continue ne sera pas périodique pur. Posons 1
et
- 1 < al
-
v'N < 0
d'où al + VN est un nombre irrationnel quadratique réduit et son développement en fraction continue est périodique pur. Posons 1
1
1
ce qui permet de dire que 1
1
1
ou
v'N =
[al, a2, a3, ... , an, 2al)
Le développement en fraction continue de donc périodique à partir du deuxième rang. Exemples:
Jïl = [3,3,6]
VN
J28 = [5, 3, 2, 3, 10)
(N non carré parfait) est
V23 = [4,1,3,1,8)
Remarque: Sur les exemples precédents, on peut remarquer que si l'on élimine le dernier terme 2aI, la période est symétrique. La partie symétrique pouvant ou non avoir un terme médian.
Chapitre 4. Fractions continues périodiques.
58
Démontrons cette propriété. Soit a conjugué.
= al + VN et
Le développement en fraction continue de de a en inversant la période. Or
-~ a
1
d'où
a'
= al- .vFl.son :
s'obtient à partir de celui
1
1
111
-=
al
VN - al
=an
+--
(1)
an-l +
Mais on peut aussi obtenir le développement en fraction continue de ~NI y/v-al
à partir du développement en fraction continue de VN 1
VN=al+a2
1
+
a3
1
+
a3 +
1
1
1
+ an
1
1
+
2al
1
+ a2
+
111
(2) + an + 2al + a2 + Or le développement en fraction continue d'un même nombre est unique. On a alors en comparant les développements (1) et (2)
Le développement en fraction continue de VN est donc du type
4.5
Equation de PeU x 2 - N y2 = ±1. Recherche d'une solution particulière.
Il s'agit de résoudre l'équation x 2 _Ny2 = ±1, avec (x,y) E N 2 et N n'étant pas un carré parfait. Montrons que le développement en fraction continue de VN permet de résoudre l'équation x 2 - Ny2 = 1 ou x 2 - Ny2 = -1 à condition pour cette
4.5. Equation de Peil x 2_Ny2 = ±l. Recherche d'une solution particulière. 59 dernière qu'il y ait une solution. 1
1
1
•.. ==
où
On sait que
VN =
Œn+IPn Œn+lqn
+ Pn-l + qn-l
où les Pn-I,Pn, qn-Iqn sont les numérateurs et dénominateurs des réduités Cn-l = Pn-l et Cn = fu qui précèdent immédiatement le terme 2al, ce qui qn-l qn donne
VN =
(JN + al) Pn + Pn-l (JN + al) qn + qn-l
que l'on peut écrire sous la forme
VN (VN +al) qn + qn-IVN = (VN + al)Pn +Pn-l qui est équivalente à :
Les deux membres sont égaux si et seulement si {
Nqn alqn
= alPn + Pn-l
+ qn-l =
Pn
ce qui donne { Pn-l :: Nqn - alPn qn-l - Pn - alqn
Cependant Pnqn-l - qnPn-1 = (-l)n ce qui donne en remplaçant Pn-l et qn-l par les valeurs précédentes
en réduisant
Chapitre 4. Fractions continues périodiques.
60 Si n est pair :
p~-Nq~=1
= 1 est donc
Une solution particulière de l'équation x2 - Ny2 Xl
=Pn
Si n est impair : On poursuit le calcul avec la deuxième partie de la période du développement en fraction continue de VN, en effet:
-IN
=
1 al+-
=
1 al+-
a2 a2
1
+
+
1 an + 2al + 1 1
+
+
an
+
an+!
1
+
1 an + 2al + 1 1
+
+
a2n + a2n+1
+
Les an se retrouvent alors en a2n. On a alors et donc Xl
= P2n
qui est une solution particulière de l'équation x2 - Ny2 = l. Remarquons que l'on peut toujours trouver une solution particulière de l'équation x2 - Ny2 = 1, ceci n'est pas toujours possible pour les l'équations x2 - Ny2 = -1, par exemple l'équation x2 - 3y2 = -1, n'admet aucune solution entière. Exemple 1: Trouver une solution particulière de l'équation
Le développement en fraction continue de
Vï9 =
v'I9 est
[4,2,1,3,1,2,8)
On a ici
n=6
n est pair
4.5. Equation de Pell x2-Ny2 = ±l. Recherche d'une solution particulière.61
La table des réduites donne
170 C{l
= 39
d'où
= P6 = 170
Xl
;
= q6 = 39
YI
et X~
-
19y~
= 1702 -19x392 =
28900 - 28899
=1
Exemple 2: Trouver une solution particulière de l'équation
Le développement en fraction continue de .j29 est
J29 =
[5,2, 1, 1,2, lOJ
Ici n = 5, nombre impair, on obtient à l'aide de la table des réduites P5 q5
70 13
C5=-=-
En remplaçant dans x2 - 29y2 = 1, on obtient:
702
-
29 X 132 = -1
et non
+1
En poursuivant le calcul des réduites avec la deuxième partie de la période on trouve
n
5
6
7
8
9
10
en
70 13
727 135
1524 283
2251 418
3775 701
9801 1820
Donc Xl
= PlO = 9801
YI
= QlO = 1820
En remplaçant dans X~
-
29y~
= 96059601 - 96059600 = 1
62
Chapitre 4. Fractions continues périodiques.
4.6
Recherche de l'ensemble des solutions de x 2 - N y2 = ±1.
L'équation x2 - Ny2 = 1 (N entier positif non carré parfait) admet toujours une solution. Il n'en est pas de même pour l'équation x2 - Ny2 = -l. Nous allons montrer que : Si (Xl, YI) est la solution minimale positive de x2 - Ny2 = 1 toutes les autres solutions positives (x n , Yn) sont données par Xn
+ Yn VN =
en prenant successivement n Développons (Xl Par exemple
+ YI v'N) n
+ YI VN) n
= 1,2,3, ...
à l'aide de la formule du binôme de Newton.
= xi + Nyr = 2XIYI solution de x2 - Ny2 = 1, en effet {
Il s'agit bien d'une
(Xl
X2
Y2
=
car (Xl, YI) est une solution de x2 - N y2 = l. Par récurrence on peut démontrer que si (Xl, YI) est la solution minimale de x2 - Ny2 = 1 ; (x n , Yn) avec Xn
+ Yn VN =
(Xl
+ YI VN) n
est une solution de x2 - N y2 = l. On pourrait aussi se servir du nombre conjugué, si on pose Xn
+ Yn VN =
Xn
- ynVN = (Xl - YIVNf
(Xl
+ YI VN) n
4.6. Recherche de l'ensemble des solutions de x2 - Ny2
= ±1.
63
décomposons
X~ - N y~
Xn
(x n - Yn v'N) = (Xl + YI v'N) n (Xl - YI v'N) n = + Ynv'N)
-
(X n
=
(xi - N yI
r=
1
et Yn sont donc les solutions de l'équation x2 - Ny2
Exemple l'équation
= 1.
Trouver d'autres solutions que la solution minimale de
Le développement en fraction continue de
J3 est
v'3 = [1,1,2] si n = 2, n est pair. La table des réduites donne Xl
= P2 = 2
C2
=f
d'où
YI = q2 = 1
(2,1)
est la solution minimale positive. On obtient la solution entière positive suivante
(X2, Y2)
en écrivant
d'où: X2 =
7
Y2
=4
est une autre solution. De même, on obtient la solution entière positive suivante (X3, Y3) X3
+ Y3 v'3 = (Xl + YI v'3) 3 = (2 + v'3) 3 = 26 + 15v'3
d'où: X2 =
26
Y2 =
15
Chapitre 4. Fractions continues périodiques.
64
est une autre solution. On pourrait aussi démontrer que : si x2 - NY2 = -1 admet une solution minimale entière positive (XI,YI), alors toutes les autres solutions positives (x n , Yn) de cette équation peuvent se calculer à partir de la première par la formule
En posant n = 1,3,5,7, ... De même à partir de (Xl, YI) toutes les solutions positives de x2 - N y2 = 1 s'obtiennent par la formule X
n+ ynVN =
(Xl
+ YI VN) n
En posant n = 2,4,6, ...
Exemple: La solution minimale de x2 - 5y2 Pour n = 2 X2
+ Y2\-/5" =
= -1 est Xl = 2;
YI
= 1.
(2 + v'5)2 = 9+ 4v'5
X2 = 9 ; Y2 = 4 est solution de x2 - 5y2 = 1; 81 - 5 x 16 = 1. Pour n = 3 X3 x3=38
+ Y3 v'5 =
(2 + v'5t = 38 + 17v'5
Y3=17 est solution de x2-5y2=-I; 38 2 -5xI72 =-I.
Chapitre 5
Problèmes. 5.1 5.1.1
Deux méthodes d'approximation de
VA,
A E R~.
Méthode de Héron: (2 e siècle AV. Je).
1. Posons x
= VA
• Soit ao une valeur approchée par excès de x, on pose bo = A ao Montrer que bo est une valeur approchée par défaut de x. En déduire un encadrement de x. • On pose al = aot bo . Montrer que al est valeur approchée par excès de x. Donner un nouvel encadrement de x. On itère le procédé. Vérifier qu'alors an+! = ~ (an + :.) \:In EN. 2. Etude de la suite définie par Un+!
= ~ (Un + :,,);
Uo >
VA.
• Soit f la fonction définie sur R+ par f (x) = ~ (x + ~ ). Etudier les variation de f. Tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan. • Utiliser cette courbe pour représenter les premiers termes de la suite (un). (On pourra choisir A = 10 et Uo = 4). • Montrer que pour tout n de N Un 2:
VA.
• Etudier les variations de la suite (un).
65
66
Chapitre 5. Problèmes. • En déduire que la suite (Un) converge vers une limite que l'on précisera. 3. (un) étant la suite définie au 2), on pose pour tout n de N. Vn
un-VA un+VA
=
• Déterminer une relation de récurrence liant v n +1 et V n . En déduire l'expression de V n en fonction de n et Uo.
Iun - VAl
• Démontrer que pour tout n et N • On pose A
= 10, Uo = 4. Vérifier que Vo S
s (uo + VA)
V
n.
! et que
VnEN
En déduire une majoration de l'erreur lorsqu'on prend valeur approchée de VlO.
5.1.2
U3
pour
Méthode des fractions continues.
On pose encore x
= VA
1. Soit N l'entier naturel tel que N S x On pose A = x 2 = N2 + R Montrer alors que :
R
x=N+~=N+
+x
< N + 1.
R 2N +
quelles égalités obtient-on si A
=N+
R N+x
=2?
Si A
R 2N +
R 2N ---.IL +N+x
= 10 ?
2. Soit (un) la suite définie par Uo
= 3
Un+l = 3 + 3
1
+Un
VnEN
• Tracer la courbe représentative de la fonction x f-t 3+ 3~x dans un repère orthomormé du plan. A l'aide de cette courbe représenter graphiquement les premiers termes de la suite (un).
67
5.2. C.A.P.E.S. interne Session de 1990. • Montrer que, pour tout n et N
Un < Ji() => Un+l > Ji() et Un > Ji() => Un+1 < Ji() • On pose pour tout n et N V n =U2n et W n = U2n+l' Etudier les variations des suites (v n ) et (w n ). En déduire qu'elles convergent.
à
IUn+l - uni :s IUn - nn-ll et que IUn+l - uni :S lu! - ual· En déduire que les suites (v n) et (w n ) ont la même limite.
• Montrer que pour tout n et N
(àf
• Qu'en déduit-on pour la suite (un) ? Combien suffit-il de calculer de termes de la suite (un) pour obtenir à l'aide de celle-ci un encadrement de v'IO d'amplitude inférieure à 10- 6 ?
5.2
C.A.P.E.S. interne Session de 1990.
Première composition de mathématiques. Durée: 5 heures. L'usage d'instruments de calcul, en particulier d'une calculatrice électronique de poche - éventuellement programmable et alphanumérique - à fonctionnement autonome, non imprimante, est autorisé conformément à la circulaire No. 86-228 du 28 juillet 1986. Matériel à fournir: feuilles de papier quadrillé 5 x 5 i feuilles de papier millimétré.
L'objectif du probrème est la détermination d'approximations rationnelles de nombres réels, en particulier e, au moyen de développements en fractions continues. Les trois premières parties sont largement indépendantes. La partie 1 propose la construction d'une suite de nombres rationnels convergeant vers y'2, la partie 2 celle d'une suite de fonctions rationnelles convergeant vers la fonction tangente hyperbolique. La partie 3 introduit la notion de développement de fraction continue et la partie 4 propose la recherche de tels développements en utilisant les résultats des parties précédentes. Dans ce problème, on note (an), (un), (U2n) etc, des suites de nombres réels indéxées par n où n décrit l'ensemble des entiers naturels N.
Chapitre 5. Problèmes.
68
On peut utiliser, sans en faire la démonstration, le résultat suivant : on détermine une suite (xn) de nombres réels et une seule par la donnée de ses deux premiers termes xa et Xl et de la relation de récurrence : Vn ~ 2, X. = "nXn-l + X n -2 où (a,,)n~2 est IUle suite donnée de nombres réels.
Approximation de V2 par une suite de nombres rationnels.
5.2.1
1·
f~
1 i!]
1 ~
A. Construction d'une suite de nombres réels convergeant vers ~
v'2 -
1.
1. Vérifier que
v'2 -
1 est solution de l'équation
X
1
= _1_.
ij
j
2+x
2. Représenter graphiquement (repère orthonormal, unité 10 cm) la fonction f définie sur le segment [0,1] par f(x)
= - 12 . +x
3. Vérifier qu'on définit une suite (un) de réels appartenant au segment [0,1] par Ua = 0 et la relation de récurrence: Vn E N,
Un+l =
2 1
+un
En utilisant le graphique précédent, marquer sur l'axe des abscisses, les points d'abscisses respectives Ua, UI, U2, U3. 4. Montrer que,
En déduire que
puis
Conclure.
B. Propriétés de la suite (un). 1. Vérifier que Vn EN,
Un
est un nombre rationnel.
69
5.2. C.A.P.E.S. interne Session de 1990.
1 1 Î
2. Calculer Un pour les valeurs 1, 2, 3, 4, 5 de n. 3. Montrer que la suite (U2n) est croissante et que la suite (U2n-l) est décroissante.
On pourra s'appuyer, pour démontrer ces propriétés, sur le sens de variation de f.
m
4. Déduire des résultats précédents un encadrement d'amplitude inférieure à 10-3 de J2 - 1 par des nombres rationnels, puis une valeur décimale approchée J2 à 10-3 près.
1 !
5. On pose pour n 2:: 1, Un =
i
~ où Pn et qn sont des entiers naturels premiers entre eux et, pour n = 0, Po = 0, qo = 1.
(a) Déterminer Pl, ql, P2, q2· (b) Montrer que, si a et b sont deux entiers naturels premiers entre eux, il en est de même de b et a + 2b. (c) En déduire que '
5.2.2
Approximation de la fonction tangente hyperbolique par une suite de fonctions rationnelles.
On rappelle que pour tout réel x eX
+ e- x
thx = shx chx
chx=--2
Dans cette partie, on désigne par la même notation un polynôme et fonction polynôme associée.
A. Etude d'une suite de fonctions. 1. Vérifier qu'on définit une suite de fonctions (fn) continues sur R,
par:
'
fo(x) = shx
et la relation de récurrence :
J- f X
'
'
f n+1 (x)
=
2t
o
n
(t) dt
Chapitre 5. Problèmes.
70
2. Expliciter les fonctions
fI
et
h.
3. Montrer que la suite (fn) vérifie la relation: "In
~
!n(x) = 2(2n - l)fn-I(X)
2 "Ix E R
+ 4x 2fn-2(X)
On pourra, par exemple, caractériser fn par l'expression de sa dérivée f~ et la valeur fn(O). 4.
(a) Montrer que si P et Q sont deux polynômes tels que:
Q(x)shx - P(x)chx = 0
VxER
alors les polynômes P et Q sont nuls. On pourra étudier le comportement de Q(x)shx-P(x)chx quand x tend vers +00. (b) Montrer l'existence et l'unicité de deux suites de polynômes (Pn) et (Qn) tels que: "In E N
"Ix E R
(c) Déterminer Po, Qo, Pl, QI et montrer que: "In
~
2 "Ix
E
Pn(x) = 2(2n -l)Pn-I(X) + 4x 2Pn-2(X) Qn(x) = 2(2n -l)Qn-I(X) + 4x 2Qn_2(X)
R
(d) Montrer que les coefficients des polynômes Pn et Qn sont des entiers naturels, que les polynômes Pn sont impairs et les polynômes Qn pairs. (e) Moritrer que "Ix E R
"In E N
et que
Qn(O)
=
(2n)! n!
B. Suite de fonctions rationnelles convergeant vers la fonction tangente hyperbolique. 1. Montrer que
"In E N
"Ix E R+
X2n Ifn(x)1 :s; - , shx n.
5.2. G.A.P.E.S. interne Session de 1990.
71
2. En déduire que '
'
puis que
Pn(x) 1 x2n thx---
1
3. Montrer que, pour tout réel x, la suite (~:t~~) converge vers th x et que la convergence est uniforme sur tout segment de R.
5.2.3
Développement en fractions continues.
Dans la sùite du problème, pour tout réel x, on note E(x) sa partie entière, c'est-à-dire le plus grand nombre entier inférieur ou égal à x. Soit a réel positif, il s'écrit a = E(a) + W où W appartient à l'intervalle [0,1[. On pose ao = E(a). Si west non nul, on peut écrire =E + WI et on a :
6-
1
a=ao+--al +Wl
Si Si
Wl Wl
(6-)
en posant
al
= E
(~)
;1
a = ao + est rationnel. non nul, on peut poursuivre le processus et poser
= 0,
On a donc: 1
a=ao+
1
al
+ a2+W 2
en posant
0,2 =
E
(~l)
On constate que
ce qui suggère l'introduction de l'application T définie sur l'intervalle [0,1[ par T(O) = 0 et '
Chapitre 5. Problèmes.
72
Exemple: Calculer T ( 0 Pour a
-
1) .
= 0, déterminer ao, al, a2 et W2·
A. Suite d'entiers associée à un irrationnel positif. 1. Montrer que
VXE[O,l[
T(x) E [O,I[
et que
Vx ElO, I[ On définit T O = id où id désigne l'application identique de l'intervalle [O,I[ dans lui-même puis, par récurrence, pour tout entier naturel n,
T n +1 =
ra .T n ...
2. Soit w un réel strictement compris entre 0 et 1. On se propose de démontrer que west rationnel si et seulement si m(w) est nul à partir d'un certain rang. (a) Montrer que T(w) est rationnel si et seulement si west rationnel. En déduire que, si west irrationnel, pour tout entier naturel n, m(w) est différent de O. (b) Soient p et q deux entiers tels que 0 < p < q. Montrer que T (~) = ~ où r est le reste de la division euclidienne de p par q. En déduire de, si west rationnel, il existe un entier no 2: 1 tel que r n o+1(w) soit non nul et que, pour tout entier n supérieur ou égal à no, Tn(w) = o. 3. a étant un nombre irrationnel positif, on considère w = a - E(a). Vérifier qu'on définit une suite d'entiers naturels (an), en posant:
5.2. G.A.P.E.S. interne Session de 1990.
73
B. Développement en fraction continue. En se plaçant dans l'hypothèse et avec les notations du A.3, on considère la suite de fonctions (c,on), définie sur R+ par c,oo(x) = ao + x et la relation de récurrence :
Enfin, on pose "In EN, rn = c,on(O), associant ainsi au réel a une nouvelle suite numérique, la suite (r n ). On a donc
ro =
ao
Remarquant que rn ne dépend que de la suite finie (ao, aI, ... , an), on note
L'objectif de cette partie est de démontrer la vers a.
convergen~e
de la suite (r n )
1. Convergence des suites (r2n) et (r2n+1).
(a) Montrer que "In E N,
a = c,on(rn(w))
(b) Montrer que les fonctions c,on sont strictement monotones, décroissantes si n est pair. (c) Déduire des questions précédentes que "In E N,
(d) Vérifier que "In E N
En déduire que la suite r2n est croissante et la suite r2n+1 décroissante. (e) Montrer que chacune des suites (r2n) et (r2n+1) est convergente.
74
Chapitre 5. Problèmes. 2. Expression de (r n ) sous forme de fraction irréductible.
(a) Montrer que Pn + XPn-1 qn - xqn-l
où (Pn) et (qn) sont deux suites d'entiers naturels définies par Po
= ao
Pl
= 1 + aOal
et Pn
= anPn-1 + Pn-2
En déduire que
r n =Pn qn
(b) Propriétés des suites (Pn) et (qn). Montrer que i. Les suites (Pn) et (qn) sont croissantes. ii. Vn E N qn+2 2: 2qn. lll. Vn E N Pnqn+1 - Pn+1qn = (_l)n+1. iv. Vn 2: 1 Pn et qn sont premiers entre eux.
3. Convergence de la suite (r n ). (a) En remarquant que, VnEN
Ipn qn -
Pn+ll qn+l
1
= qnqn+l
montrer que VnEN
(b) Montrer que, VnEN
et
1
Pn _ Pn+l qn qn+1
1
~ ~ 2
5.2. G.A.P.E.S. interne Session de 1990.
75
En déduire que la suite (r n ) converge vers a. On dit qu'on a effectué le développement en fraction continue de la a et on écrit :
r n est nommé développement en fraction continue d'ordre n de a.
(c) En remarquant que I
pn _ Pn+ll :::; ~ IPn-1 _ Pn 1 qn qn+l 2 qn-l qn
montrer que
I~: -al < I~:: -al
i. Soient a, b, c, d, p, q six nombres entiers naturels tels que
(d)
bc-ad=l
et
a
P
b
q
c d
-<-<-
Montrer que
p>a
p>q
q>d
ii. En déduire que, si le nombre rationnel positif P.. est une q
meilleure approximation de a que Pn, alors P > Pn et q qn
4. Exemple : Développement en fraction continue de
V2.
> qn.
Les notations
sont celle de la partie 1. (a) Vérifier que les suites (Pn) et (qn) introduites au 1 sont caractérisées par : Po
=0
Pl
=1
et Pn
= 2Pn-1 + Pn-2
(b) En utilisant le calcul de T ( V2 fraction continue de
V2.
1), donner le développement en
Chapitre 5. Problèmes.
76
5. Cas d'un nombre rationnel. Dans cette question, et seulement dans cette question, on suppose que a est un nombre rationnel, strictement positif, non entier. On pose à nouveau ao = E(a) et w = a - E(a). on sait (3.A.2) qu'il existe un entier no 2: 1 tel que Tn0-l(w) i= 0 et \In 2: no Tn(w) = o. 6. On pose, pour 1
~
n
~
no
(a) Montrer que a = [ao, al, . .. ,an] (notation du 3.B). On dit qu'on a un développement en fraction continue fini de a. On pourra adapter à cette situation l'étude faite dans le cas où a est irrationnel. a étant écrit sous forme fractionnaire E, vérifier q que ao, al, .. . , ano sont obtenus à partir de l'algorithme d'Euclide pour la recherche du plus grand commun diviseur de P et q et qu'on a ano 2: 2. (b) Dans chacun des deux cas, a
ao, al, ... , ano.
193 71
et a
2721
1001' expliciter
Soit (à n ) une suite d'entiers naturels, strictement positifs sauf peut-être ao. On lui associe la suite (r n ) définie par \In E N r n = [ao, al, ... ,an] (voir 3.B). On pourrait, en introduisant les suites (Pn) et (qn) définies à partir de la suite (an), comme au 3.B.2 ainsi que la suite de fonctions (CPn) , démontrer que la suite (r n ) est convergente et que sa limite a, a pour développement en fraction continue [ao, al, ... ,an, ... ], mais nous admettrons ceci dans la fin de ce problème.
5.2.4
Développement en fraction continue de e. Les notations sont celles de partie 2.
1. Développement en fraction continue de th
!.
(a) Vérifier que les suites (Pn) et (qn) sont caractérisées par les conditions:
Po = 0 Pl = 1
5.2. C.A.P.E.S. interne Session de 1990.
77
et Pn
= 2(2n -
qn
= 2(2n -
+ Pn-2 1)qn-1 + qn-2 1)Pn-1
(b) En déduire que le développement en fraction continue de th ~ est: 1 th '2 = [0,2,6,10, ... , 2(2n - 1), ... ]
2. Développement en fraction continue de e. (a) Montrer que
(b) Vérifier que, Vn E N
qn
1 +th~ 1 1- th "2
=
e
> Pn.
, t rer que l (c ) D emon a· SUlt e (qn
+
Pn) a. qn -Pn
' . pour l··t lml e e et p lus preCl-
sément que,
VnEN
q2n
+ P2n < e <
q2n - P2n
q2n+1
+ P2n+1
q2n+ 1 - P2n+ 1
(d) On pose
VnEN Montrer que,
Vn?:. 2
Un
+ U n -2 1)Vn -1 + V n -2
= 2(2n - 1)Un -1
Vn =
2(2n -
Calculer Un et V n pour n = 0 et n = 1. . Dire pourquoi 3f.ll. ne peut être le développement en fraction Vn continue d'ordre n de e. (e) Calculer Un et V n pour les valeurs 2, 3, 4 de n. L'expression des développement en fraction continue de 2721 ' d ' ·IIIt ro d· 1001 suggere Ulre a = [2 ,Cl, C2,· .. ,en, ... ] avec:
VnEN
C3n+1
= C3n+3 = 1
C3n+2
III
et
= 2n + 2
On note Yn la forme irréductible du développement en fraction Zn
continue d'ordre n de a.
Chapitre 5. Problèmes.
78 1.
Montrer que Y3n-2
= 2(2n -
Z3n-2 =
2(2n -
1 )Y3n-5 + Y3n-8 1)Z3n-5
+ Z3n-8
On pourra utiliser la relation de récurrence vérifiée par les suites (Yk) et (Zk) pour les valeurs de k : k E {3n - 2, 3n - 3 , 3n - 4, 3n - 5, 3n - 6} iL Montrer qu'on a Un
= Y3n-2 . V3n-2
(f) Déduire des résultats précédents que e = [2,1,2,1,1,4,1, ... ,en, .. .] (g) Application numérique. Munir la calculatrice d'un programme permettant d'obtenir, à partir de la suite (en), les suites (Yn) et (zn). Compte tenu de la machine, indiquer le plus grand entier nI pour lequel les valeurs affichées de Ynl et znl sont exactes. Préciser le sens de l'erreur commise et majorant de cette erreur . . t'Ion de e. sIon prend -Ynl comme approXima Znl
Chapitre 6
Introduction à la théorie des opérateurs. 6.1
Introduction.
Les opérateurs sont apparus très tôt en mathématique pour des raisons de simplification d'écriture dans les formules, puis on les a étudiés en euxmêmes, en tant qu'objets mathématiques en recherchant leurs propriétés algébriques. On se limitera dans la suite à l'étude de l'ensemble des opérateurs liant l'ensemble des fonctions numériques continues d'une variable réelle x définies dans R.
6.2
Ensemble 0 des opérateurs.
Soit F l'ensemble des fonctions numériques continues d'une variable réelle x, définies dans R:
F =
{III: R
-t
R}
Soit 0 l'ensemble des applications de F dans F tel que:
o = {UI U : F
-t
F}
1. On munit l'ensemble 0 de la loi de composition interne notée définie par
(A + B)(f) = A(f)
V(A, B) E 0 2 VI E F
79
+ B(f)
+
80
Chapitre 6. Introduction à la théorie des opérateurs. Cette loi étant associative, commutative puisque R est commutatif, admet un élément neutre qui est l'opérateur nul noté 0, et tout élément A de 0 admet un symétrique noté -A. L'ensemble 0 muni de la loi + a donc une structure de groupe abélien. 2. On munit de plus 0 d'une opération notée
0
définie par
,(4oB )(f) = AJ~(f)]
'v'(A,B) E 0 2 'v'IE:F
qui est associative , qui possède un élément neutre noté l tel que pour tout f de F, l (f) = f, et qui est distributive à droite pat rapport à l'addition. De plus Ao(B + C) = AoB + AoC si A est linéaire.
6.3
Etude de quelques éléments de O.
Opérateur "~,, : opérateur différence . • Définition: L'opérateur noté' ~f d'une fonction numérique continue dans R est donné par :
'v'x
~f(x) =
E R
f(x +1) - f(x)
On note en généralisant :
'v'x E R
1
~af(x) = f(x +a) -
f(x)
. Opérateur" E" : opérateur translation . • Définition: L'opérateur translation E d'une fonction' numérique continue dans R est donné par :
'v'x
E R
E[J(x)] = f(x + 1)
On note en généralisant :
'v'x E R
Ea[f(x)] = f(x
+ a)
• Application: Montrons que l'inverse de E appartient à O. Notons E- 1 l'opérateur tel que
'v'x E R
E-l[f(x)]
= f(x -
1)
6.3. Etude de quelques éléments de O.
81
On a
E- 1 [E[f(x)]] = E-l[f(x + 1)] = f(x)
VxER
donc, pour tout x de R
E- 1 [E[J(x)]] = f(x) d'où
E- 1 oE = EoE- l = I L'inverse de E dans 0 est E-l. Relation entre les opérateurs .6. et E : • Première relation : On a quel que soit x élément de R
.6.f(x)
= f(x + 1) -
f(x)
= E[f(x)]-
f(x)
= E[J(x)] -
l[f(x)]
.6.f(x) = (E - l)f(x) d'où la relation:
1.6. = E - I
1
• Deuxième relation : On peut définir .6. n par
.6.n
= ~(.6.( ... (.6.f(x))·· ·n =
.6. [.6. n - 1 [f(x)]]
v
n
fois
(E - l).6. n - 1 [f(x)] (E - l)(E - l).6. n - 2 [f(x)]
=
Donc:
(E - l t f(x)
Appliquons la formule du binôme de Newton puis que E et I commutent, on obtient n
.6.n f(x) =
L:) -1)kC~Ek f(x) k=O
avec
Ek[J(X)] = E(E(·· ·(E f(x))·· .)) = f(x ,
.k
d'où:
~
y
+ k)
fois n
VxER
.6.n f(x) = 2)-I)kC~f(x+k) k=O
Chapitre 6. Introduction à la théorie des opérateurs.
82
d'où la relation équivalente dans 0:
ô. n =
n
L
k=O
(-l)kC~Ek
• Troisième relation: D'après la première relation
Ô. =
E - l, on a :
De même que précédemment en appliquant la formule du binôme de Newton:
En = (ô. + I)n =
n
L
k=O
C~ô.k
que l'on peut écrire sous la forme n
En f(x)
= f(x + n) = L
C~ô.k f(x)
k=O d'où
n
f(x
L
+ n) =
C~Ô.kf(x)
k=O Si l'on pose EX[f(O)] = f(x) et sachant que l'on peut prolonger la formule donnant C~ avec (n, k) E N 2 aux valeurs (x, k) E RxN par :
C; = { [~]t o
si x E R et kEN sixERetk~N
[X]k étant le symbole de Pochlammer inférieur tel que: [X]k = x(x - l)(x - 2) ... (x - k + 1) on peut alors écrire
n
f(k) =
L
C;ô. k f(O)
k=O
et en remplaçant
C: par la valeur précédemment définie f(x) =
n ô. {CO) 2: [X]k k. k
k=O
83
6.3. Etude de quelques éléments de ().
formule d'interpolation de Newton. Opérateur "V" : opérateur dérivée . • Définition: On définit l'opérateur dérivée V d'une fonction numérique indéfiniment dérivable sur R par 'v' E R
V f(x)
= tU) = ~ = f'(x)
A l'aide de l'opérateur dérivée V, on peut écrire une formule analogue à la formule d'interpolation de Newton qui estalors la formule de Taylor:
f (x + y) est alors formellement égal à eYV f (x) or f(x
+ y) =
EY f(x)
d'où
:FI étant l'ensemble des fonctions continues et indéfiniment dérivables sur R. On a donc dans ()
Puisque EY = eYV , on a en particulier:
E = eV
1::1
d'où
1
= E - 1 = eV 1::1 =
00
L:
n= I
'T"In
_vI
n.
On peut écrire formellement : V
= InE = ln(l + 1::1)
ce qui après un développement en série classique, donne V =
f n=1
r-
C- 1
1
I::1 n
1
Chapitre 6. Introduction à la théorie des opérateurs.
84 on a donc
1Jf(x)
VfEF
=
f
(_l)n-l b,.nf(x)
n
n=l
d'où
d~f(x) =
f f
(_1):+k- 1
n=lk=O
C~f(x + k)
appelée formule de Polya et Szégo, qui est vraie pour f(x) fonction polynôme on f(x) fonction intégrable, car n
b,.n f(x)
= I) -l)kC~f(x + k) k=O
Opérateur "J-L" : opérateur moyenne . • Définition: On définit l'opérateur moyenne par
J-Lf(x) = f(x
VxER
2
et VfEF
J-Lf
+ 1) + f(x)
1
1
= 2[E(f) + l(f)] = 2[E + l](f)
d'où
• Application: 1. Calcul de b,.[J(x) . g(x)] en fonction de J-L:
V(f,g)
E
F2
b,.[f(x) . g(x)] = f(x
+ 1) . g(x + 1) -
f(x) . g(x)
que l'on peut écrire sons la forme:
b,.[J(x) . g(x)]
+
f(x + 1) . g(x + 1) - f(x + 1) . g(x) + f(x + 1) . g(x) - f(x) . g(x) = f(x + l)[g(x + 1) - g(x)] + g(x)[f(x + 1) - f(x)]
d'où
b,.[J(x) . g(x)]
= f(x + 1) . b,.g(x) + g(x) . b,.f(x)
6.3. Etude de quelques éléments de
o.
85
mais on peut écrire aussi
.6o[f(x) . g(x)] = f(x + 1) . g(x + 1) - g(x + 1) . f(x) + + g(x + 1) . f(x) - f(x) . g(x) = - g(x + l)[f(x + 1) - f(x)] + f(x) [g(x + 1) - g(x)] d'où
.6o[f(x) . g(x)] = g(x + 1) . .6of(x) + f(x) . .6og(x) En ajoutant membre li membre les deux expressions précédentes
.6o[f(x) . g(x)] -
1
"2 [f(x + l).6og(x) + g(x).6of(x) + + g(x + l).6of(x) + f(x).6og(x)] = =
1
"2[.6og(x)[J(x+1)
+ f(x)] + .6of(x)[g(x+1) + g(x)]]
Finalement
.6o[f(x) . g(x)] = .6of(x) . J1.g(x)
+ .6og(x) . J1.f(x)
d'où 1
.6o(f . g) = .6of . J1.(g)
+ .6og . J1.(f)
2. Calcul de .6o(J1.J) :
.6o[J1.f(x)] -
VxER
Or 1 2 f = If =
1
"2 .6o[(E + l)f(x)] 1
=
"2(E - I)(E + l)f(x)
_
~(E2 -
12)f(x)
f d'où 1
.6o[J1.f(x)] = "2 [f(x + 2) - f(x)]
86
Chapitre 6. Introduction à la théorie des opérateurs. Opérateur \7: • Définition: On définit l'opérateur \7 par Vx E R
\7 f(x)
Vf E F
= f(x)
- f(x - 1)
d'où
\7 f(x) = If(x) - E- 1 f(x)
\7f(x) = (I - E-l)f(x)
Dans 0 on a l'égalité 1
\7
= l - E- 1
• Application: Calcul de E[\7 f(x)] Vx E R
Vf E F :
E[\7 f(x)] = E[I - E- 1 ]f(x) = (E - I)f(x) = b.f(x) On a donc dans 0
Eo\7 = E(\7) = b.
Chapitre 7
Applications combinatoires des opérateurs. 7.1
Application des opérateurs à des fonctions polynômes.
Rappel : Posons
[X]k = x(x - l)(x - 2) ... (x - k + 1) [X]k s'appelle "polynôme inférieur k". Le symbole []k s'appelle symbole de Pochlammer inférieur. De même on pose
[X]k = x(x + l)(x + 2) ... (x + k - 1) Le symbole []k s'appelle symbole de Pochlammer supérieur. Cas particulier : Dans le cas où la variable x prend ses valeurs dans N, les polynômes [X]k et [x]k ont des significations combinatoires. En effet:
[n]k
= n(n [1
l)(n - 2) ... (n -
r = [n]n = n(n -
k + 1) = {A~ s~ k :S n o
1) ... 3 x 2 x 1 = n!
87
SI
k
>n
Chapitre 7. Applications combinatoires des opérateurs.
88
1. Calcul de ~[xln :
=
[x + 11n - [xl n = (x + l)x ... (x - n + 2) - x(x - 1) ... (x - n + 1) x(x - 1) ... (x - n + 2)(x + 1 - x + n ~ 1) =
=
n[xln-l
~[xln
d'où
1
~[xln = n[xln-l
1
=
dérivation formelle.
2. Calcul de V'[xln :
V'[xln
[xt - [x - 1t = x(x + 1) ... (x + n - 1) - (x - l)x ... (x + n - 2) x(x + 1) ... (x + n - 2)(x + n - 1- x +1) ::::;: , = n[xl n- 1
= = =
d'où 1 V'[xln
=
= n[xl n - 1
3. Formule de Van der Monde:
Posons:
(x)
~k(x)
= n(n -
= [x + yln
on a :
l)(n - 2) ... (n - k
+ l)[x + yln-k =
[nlk[x
+ yln-k
appliquons la formule d'interpolation de Newton à (x)
(x) = t[xlk [~l,k [yln-k = t k=O·
C~[xlk[yln-k
k=O
Finalement : Formule de Van der Monde
7.2. ,Application. des opérateurs à l'analyse combinatoire.
89
4. Formule de Norlund : Posons maintenant
w(x) = [x
+ yln
on a :
V'kW(X) = n(n- 1) .. . (n - k
+ l)[x + yln-k
Appliquons la formule de Newton généralisée pour un polynôme de degré n
Finalement : Formule de Nôrlund
.7.2
Application des opérateurs à l'analyse combinatoire.
1. Définition des S~ ou nombres de Stirling de 2ième espèce: Si n ~ k, on appelle nombre de Stirling de 2ième espèce, le nombre S~ de partitions d'un ensemble E de n objets en k classes Ai i E {l, 2, ... , k}. Plus concrètement il s'agit du nombre de façons distinctes de ranger un ensemble de n objets distincts dans k boîtes identiques sans laisser de boîtes vides.
90
Chapitre 7. Applications combinatoires des opérateurs. Exemple: Partitions de E = {a, b, c, d}
SJ =1
Sl=7 laI bledl
st= 1
~~b/~
Remarque: Le nombre de surjections d'un ensemble E à n éléments dans un ensemble F à k éléments est égal à Sur [n, k] = k!S~ En effet toute surjection de E = {el, e2, ... , en} dans F = {al, a2, ... , ak} correspond à une partition de E en k classes distinctes al, a2, ... ,ak. Toute partition de E correspond à k! surjections de E dans F.
2. Définition formelle des S~ : Les nombres S~ sont les coefficients de la décomposition de x n dans base des polynômes inférieurs [X]k, d'où n
xn =
E
S~[X]k
n=l
Relation de récurrence sur les S~ :
On a:
[X]k+l = (x - k)[X]k
'Vk E N
91
7.2. Application des opérateurs à l'analyse combinatoire. d'où: c'est-à-dire:
(1) D'après la formule précédente, on a :
n+l
L
xn+l =
S~+l[X]k
k=l Le premier membre peut s'écrire sous la forme n
xn+l = x xn = x
L
n
L
S~[X]k =
k=l
S~X[X]k
k=l
En utilisant la formule (1) n
=
xn+l
L
S~{ [X]k+l + k[X]k}
k=l n
xn+l
=
n
L
S~[X]k+l
+L
k=l
kS~[X]k
k=l
Dans le premier membre les termes de degré inférieur à k ont pour coefficient S~+l' D'où en identifiant avec le second membre: Vk < n On en déduit la table des S~ jusqu'à l'ordre 6 par exemple
n\k 1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1 1
2 0 1 3 7 15 31
3 0 0 1 6 25 90
4 0 0 0 1 10 65
5 0 0 0 0 1 15
6 0 0 0 0 0 1
7 0 0 0 0 0 0
...
... ... ...
... ... ...
92
Chapitre 7. Applications combinatoires des opérateurs. 3. Application combinatoire : On a vu que
~[xJn = n[XJn-l
que l'on peut généraliser
'ik
n
= LS~[XJk
xn
k=l
d'où
~PXn =
n
L
~p (S~[XJk) =
k=l
n
L
S~~P[XJk
k=l
or d'où n
~PXn =
.L S~[k]P[XJk-p
k=l
Expression analytique du nombre de Stirling de 2ième espèce : Pour x = 0, en notant on la valeur de la fonction xn au point 0, on a n
~POn
=L
S~[kJp[OJk-p
(2)
k=l
or
si k =1 p par définition
{ [OJk-p = 0
[OJo
=
1
Dans la formule (2), on a pour k
=p
c'est-à-dire, puisque:
[PJp
et
= p!
qui donne:
spn --
~Pon p!
[OJo
=
1
Chapitre 8
Application des opérateurs. Tables de différences finies. 8.1
Notations.
Etant donnée une suite limitée ou illimitée de nombres réels Yo, YI,· .. ,Yn, on appellera: • différences finies du premier ordre, les nombres : b..yO
= YI
- Yo
b..YI
= Y2 -
YI
b..Yn
= Yn+1 - Yn
• différences finies du deuxième ordre, les nombres:
• différences finies d'ordre k, les nombres: Ak
~
8.2
YP =
Ak-I
~
Yp+1 -
Ak-I
~
YP
Construction d'une table de différence finie pour une suite de nombres réels.
Soit la suite Yo = -66 ; YI = -16 ; Y2 = -2 ; Y3 = 6 ; Y4 = 38 ; Y5 = 124; Y6 = 294
On dispose de la manière suivante le calcul des différences finies des trois premiers ordres :
94
Chapitre 8. Application des opérateurs. Tables de différences finies.
Rangs Y f:::..y f:::..2y f:::..3 y
0 -66 50
1 -16 14
-36 30
-6 30
2 -2 8 24 30
4 t-38
3
16 32 54 30
86 84
5 124 170
6 294
les flèches indiquent comment par exemple, on a obtenu
= Y4
f:::..Y3
- Y3 = 38 - 6 = 32
de même:
8.3
Construction d'une table de différences finies pour une fonction f de F.
Soit f(x) une fonction prenant les valeurs bo, b1 , b2, ... , bn pour les valeurs a, a + h, a + 2h, ... , a + nh de la variable x, formant une suite arithmétique de premier terme a et de raison h. La différence première étant f(a+h) - f(a) l'opérateur qui lui correspond est f:::..h d'où: f:::..hbO
f:::..hbp
bl - bo = f(a
=
+ h) -
bp+1 - bp = f[a
f(a)
+ (p + l)h] - f(a + ph)
On définira de même les différences secondes, troisièmes, d'ordre k par f:::..~bp = f:::..h bp+1 - f:::..hbp f:::..~bp = f:::..~bp+l - f:::..~bp
1
f:::..~bp = f:::..~-lbp+1 - f:::..~bp
La table de différences finies s'écrit alors sous la forme: x f(x) f:::..hf(x) f:::..~f(x)
a bo f:::..hbo
f:::..~f(x)
f:::..~bo
f:::..~bo
a+h b1 f:::..hbl f:::..~bl
a+2h b2 f:::.. hb2
a+3h b3
8.3. Construction d'une table de différences finies pour une fonction! deF95 Exemple: Donnons la table des différences finies pour la fonction ! telle que y = !(x) = cosx de x = ..,...4° à x = 10° la suite des valeurs de x ayant pour raison 2°. L'opérateur correspondant sera donc Â2 _4°
_2°
0°
2°
4°
6°
8°
10°
0.99756
0.99939
1
0.99939
0.99756
0.99452
0.99027
0.98481
112Y
183
61
-61
-183
-304
-425
-546
ll~y
-122
-122
-122
-121
-121
-121
ll~y
0
0
1
0
0
x Y
= cos x
Cas particulier: Considérons la fonction polynôme P de degré n telle que
Calculons successivement P(O), P(l), P(2), ... , P(n) et remarquons que: • les différences finies d'ordre 1 sont de la forme: ÂP(x)
= P(x + 1) -
P(x)
= al + 2a2x + ... + nanx n- 1
polynôme de degré (n - 1) . • de même: Â 2 P(x)
-
ÂP(x + 1) - ÂP(x) est un polynôme de degré (n - 2)
 n P(x)
=
 n- 1 P(x + 1) -  n- 1 P(x) est un polynôme de degré 0
qui est égal à la constante n(n - l)(n - 2) ... an. Les différences d'ordre supérieur à n étant nulles.
96
Chapitre 8. Application des opérateurs. Tables de différences finies.
8.4
Détermination d'une fonction polynôme connaissant les valeurs
P(O) ; ÔP(O) ;
Ô 2 P(O)
; ... ; Ônp(O).
Etudions tout d'abord quelques cas particuliers:
• P(x)
= ao + alX.
On a P(O)
= ua,
LlP(O)
P(O) = ao
= P(l) - P(O) = al
d'où
P(x) = P(O) • P( x) = ao + al x
+ a2x2.
Cas particulier: P(x) On obtient:
+ xLlP(O)
On obtient le cas particulier suivant :
= ao + alX + a2x2.
P(O) = ao { LlP(O) = P(l) - P(O) = al + a2 LlP(l) = P(2)- P(l) = al + 3a2 Ll 2 P(O) = LlP(l) - LlP(O) = 2a2 = al + a2 . d ,ou' P(O) = ao· A vec {LlP(O) Ll2 P(O) = 2a2 on tire
a2 = Ll 2 ~(O)
et
al
= LlP(O) _ Ll 2 ~(O)
Le polynôme P(O) s'écrit alors
P(x)
= P(O) +
1 + Ll ~(O) x2
[LlP(O) - Ll 2 ~(O) x
2
En ordonnant par rapport à P(O); LlP(O); Ll 2 P(O), on obtient
P(x)=P(O)+x
LlP(O) Ll 2p(O) 1 +x(x-l) 1 1. 2.
Cas général: Dans l'espace vectoriel Pn+1 des polynômes à une variable x à coefficient réel de degré inférieur ou égal à n, soit P un polynôme de P n+1, tel que
8A. Détermination d'une fonction polynôme à partit de: P( 0) ... tl. n P( 0)97 La base de l'espace vectoriel 'P n+1 étant la base canOJiique B(l, x, x2', ... , xn), soit B' la base de l'espace vectoriel
B'[l, x, x(x - 1), x(x - l)(x - 2), ... , x(x - 1)., .(x - n + 1)] le polynôme P(x) s'écrit alors
P(x) = Ao + AIX + A2x(x - 1) + ... + Anx(x -1) .. .(x - n + 1) que l'on peut écrire avec le symbole de Pochlammer inférieur n
P(x) = :EAk[x]k k=O
Donnons successivement à
P(O) P(l) P(2) P(3)
= = =
P(n -1) = P(n) -
les valeurs 0, 1, 2', ... ', njon obtient
X
Ao Ao+AI Ao + 2AI + 2!A2 Ao + 3AI + 6A2 + 3!A3 Ao + (n -l)A I + ... + (n -l)!An-1 Ao + nAI + ... + n!An
d'où
Ao Al = A2 -
P(O) P(l) - P(O) = tl.P(O) P(2)-PCI)-""YCI)-PCO)] _ 2. -
tl. 2 ~CO) 2.
tl.n P(O) nI Le polynôme s'écrit alors sous la forme ~
P(x) = P(O)
=
+ x~P(O) + x(x - 1) ~2 P(O) + ... + x(x - 1) ... (x - n + l)~n P(O) 2!
ou sous la forme d'interpolation de Newton
n!
98
Chapitre 8. Application des opérateurs. Tables de différences finies. Détermination d'une fonction polynôme P connaissant les
Exemple valeurs
P(O)
il2 P(O) .,. iln P(O)
ilP(O)
Déterminer un polynôme du 4e degré sachant que P(O)
= 12
P(I)
= 29
P(2)
= 222
P(3)
= 951
P(4)
= 2768
Dressons la table des différences finies; on obtient
0 12
1 29
2 222
17 176
193 536 552
729 1088
x P(x) ilP(x)
il2 P(x) il 3 P(x) il 4 P(x)
360 192
3 951 1817
4
2768
En appliquant la formule d'interpolation de Newton à l'ordre 4 P(x)
P(O)
+
+X
ilP(O)
1!
x(x - l)(x - 2)
+ x(x il3 P(O) 3!
1)
il 2 p(0)
+
2!
+ x(x -
1)(x - 2)(x - 3)
il 4 p(0)
4!
on obtient P(x) = 8x 4
8.5
+ 12x3 -
4x 2 + X
+ 12
Détermination d'une fonction polynôme connaissant les valeurs P(xo) ; Dt.hP(XO) ; ~~P(xo) ; ... ; Dt.hP(xo).
Supposons que la suite des nombres ne débute pas à la valeur 0 de la variable x et n'ait pas pour raison 1, mais débute à la valeur Xo de la variable et ait pour raison h, donc Xo
Xo
+h
Xo
+ 2h
... Xo
+ nh
On effectue alors le changement d'origine et d'échelle u = x ~ Xo rencontrée souvent en statistique, la variable u prend alors avec 0, 1, 2 ... n qui est une suite arithmétique de raison 1 et débutant à O..
8.5. Détermination d'une fonction polynôme à partir de: P(xo) . .. 6.~P(xo)99 Cas particulier: La formule d'interpolation de Newton pour un polynôme de degré 3, qui est
P(x)=P(O)+u
6.P(O)
+u(u-1)
1!
6. 2 P(O) 6. 3 P(O) 2! +u(u-1)(u-2) 3!
xh - Xo , "' etant , · d eVlent a1ors avec u = - ' l' operateur asSOCIe
A
Uh
P() x - Xo 6.hP(xo) (x - xo)(x - Xo - h) 6. 2hP (XO) Xo + - h 1! + h2 2! + (x - xo)(x - Xo - h)(x - Xo - 2h) 6.3hP(XO)
P(x)
+
h3 3! Cas général: La formule d'interpolation de Newton qui est pour la variable u
devient alors
P(x) =
t
6.~P~xo)
[X - x o] h
k=O
k.
k
Exemple: Déterminer une fonction polynôme P du 3e degré admettant le tableau de valeurs suivant :
x P(x)
2,5
2,7
2,9
3,1
3,3
3,5
0,625
2,803
5,469
8,671
12,457
16,875
Dressons la table de différences.
x P(x)
2,5
2,7
2,9
3,1
3,3
3,5
0,625
2,803
5,469
8,671
12,457
16,875
6. 0 ,2P(X)
2,178
2,666
3,202
3,786
4,418
6.~ ,2P(x)
0,488
0,536
0,584
0,632
6.52P(X) ,
0,048
0,048
0,048
En appliquant la formule d'interpolation de Newton avec Xo h = 0,2 on obtient
P(2 5) + x - 2,5 6.
P(x)
,
+
0, 2
P(2 5) 0,2
,
+
2,5 et
(x - 2, 5)(x - 2, 7) 6.~,2P(2, 5) 0, 22
(x - 2, 5)(x - 2, 7)(x - 2,9) 6.5,2P(2, 5) 0,2 3
=
3!
2!
+
Chapitre 8. Application des opérateurs. Tables de différences finies.
100
ce qui donne tous calculs faits
P(x) =
8.6
X3 -
2x 2
+X
-
5
Approximation d'une fonction par une fonction polynôme.
Lors d'une expérience un observateur a relevé les résultats suivants: x
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
P(x)
4401
4709
4983
5220
5419
5579
5699
5778
5815
5812
5767
et on se propose de trouver une fonction polynôme P interprétant aussi bien que possible ce phénomène. En formant la table de différence avec h = 0, 1 et donc l'opérateur ~0,1, on constate que 1 n'est pas une fonction polynôme de degré 2 ou 3. x
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
P(x)
4401
4709
4983
5220
5419
5579
5699
5778
5815
5812
5767
L::..O,2P
308
274
237
199
160
120
79
37
-3
-45
L::..~,2P
-34
-37
-38
-39
-40
-41
-42
-40
-42
L::..5,2 P
-3
-1
-1
-1
-1
-1
-1
2
Cependant comme ~5 11 (x) est peu différent de -Ion recherchera une fonction polynôme du 3 e degré. En partant de la valeur centrale 1(1,3) = 5220 ~o,d(l,
2) = 237
~6 ,d(l, 1)
=
-37
On obtient alors le tableau des différences finies d'un polynôme P(x), les valeurs en gras
P(1,3) = 5220
~o,1P(l, 2)
= 237
~6,lP(1, 1)
= -37
~5,lP(X)
sont les valeurs d'où l'on est parti pour construire le tableau.
= -1
8.6. Approximation d'une fonction par une fonction polynôme. x
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
P(x)
4399
4709
4983
5220
5419
5579
b. O,2P (X)
310
274
237
199
160
120
b.52P(X) ,
-36
-37
-38
-39
-40
b.52P(X) ,
-1
-1
-1
-1
101
Le polynôme d'interpolation de Newton est: P(x)
= +
P(l 3)
, +
x-l, 3 b.
0, 1
P(l 3) 0,1
,
+
(x - 1, 3)(x - 1,4) b.5,I P (1, 3)
0, 12
2!
+
(x - 1, 3)(x - 1, 4)(x - 1,5) b.5,IP(1, 3)
0,1 3
3!
ce qui donne les calculs étant effectués P(x) = 166.66x3
-
4600x2
+ 13498.33x -
4920.
La fonction que l'on vient d'approximer par un polynôme du 3e degré est une fonction de Bessel de première espèce notée JI multipliée par 104 , une table nous donne J1 (1,3) = 0,5220 d'où 104xJl(1,3)
= 0,5220x104 = 5220
et nous trouvons P(l, 3) = 5219,98. Il s'agit d'une très bonne approximation.
LOUIS-JEAN avenue d'Embrun, 05003 GAP cedex Tél. : 92.53.17.00 Dépôt légal: 334 - Avril 1994 Imprimé en France
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