Gezeiten und Wellen: Die Hydromechanik der Küstengewässer

Andreas Malcherek Gezeiten und Wellen

Andreas Malcherek

Gezeiten und Wellen Die Hydromechanik der Küstengewässer PRAXIS

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1. Auflage 2010 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg +Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010 Lektorat: Dipl.-Ing. Ralf Harms | Sabine Koch Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: Ten Brink, Meppel Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in the Netherlands ISBN 978-3-8348-0787-8

Vorwort Begonnen hat es mit einem Vorlesungsskript zum Thema Morphodnamik der Küstengewässer, die ich an der Technischen Universität Hamburg-Harburg gehalten habe. Dabei erwiesen sich die Themen Gezeitenkunde und Seegangswellen als so umfänglich, dass sie nun dieses Buch füllen. Als damaliger Mitarbeiter der Bundesanstalt für Wasserbau (BAW) stellte ich dieses Skriptum auch auf den dortigen Internetseiten der allgemeinen Fachöffentlichkeit zur Verfügung. Die Zugriffe und Downloads erfolgten nicht nur, wie ursprünglich erwartet, aus dem akademischen, sondern aus vielen Bereichen der Wasser- und Schifffahrtsverwaltung, der Port Authorities und der an der Küste tätigen Landesbehörden. Dieses große Interesse erstaunte mich zunächst, gibt es doch hinreichend Fachliteratur in Form von Monographien und Fachzeitschriften. Diese sind aber fast alle in englischer Sprache geschrieben. Zum Studium von Artikeln aus Fachzeitschriften benötigt man außerdem ein fundiertes Vorwissen und vor allem viel Zeit. Im Laufe meiner Lehrtätigkeit an der Universität der Bundeswehr München sind sowohl die Hydromechanik als auch die Morphodynamik der Küstengewässer zu zwei eigenständigen Lehrveranstaltungen herangewachsen. Mit diesem Buch soll für die ’Hydromechanik der Küstengewässer’ eine gemeinsame Wissensbasis angeboten werden, um • um Studierenden der Fachrichtungen Bau- und Umweltingenieurwesen, Ozeanographie oder Geophysik die Besonderheiten der Küste nahezubringen, • neuen Mitarbeitern in den Fachinstitutionen die Möglichkeit der Einarbeitung zu geben, • die hinter den numerischen Simulationsmodellen stehende Hydromechanik zu erklären, • die quantitativen Antworten der Computermodelle auch qualitativ nachvollziehbar zu machen, • und ein einheitliches Fundament des Fachgebiets für die Diskussion im Rahmen des Integrierten Küstenzonenmanagements zu bieten. Meiner Freundin Dipl.-Ing. Friederike Piechotta danke ich sowohl für die Abbildungen und Daten, die sie mir als Leiterin der Gewässerkunde des Wasser- und Schifffahrtsamts Bremen zur Verfügung gestellt hat, als auch für die vielen Anregungen und Diskussionen. Ich möchte das Buch meinem Vater Horst Malcherek (1932–1998) in Liebe und Dankbarkeit widmen.

Inhaltsverzeichnis

Einführung 1

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Gravitation, Coriolis- und Gezeitenkräfte 1.1 Die Gravitationskraft . . . . . . . . . 1.2 Die Corioliskraft . . . . . . . . . . . 1.3 Gezeitenerzeugende Kräfte . . . . . . 1.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . .

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Die Vorhersage des Tidewasserstands 2.1 Pegelmessungen des Wasserstands . . . . . . . 2.2 Die Partialtidenanalyse . . . . . . . . . . . . . 2.3 Der Partialtidenzoo . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Partialtidenamplituden in der Deutschen Bucht 2.5 Die Partialtidensynthese . . . . . . . . . . . . 2.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . .

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Gezeitenwellen 3.1 Das tiefengemittelte Modell der Hydromechanik . 3.2 Die Dichte von Meerwasser . . . . . . . . . . . . 3.3 Wellenfunktion und Wellengleichung . . . . . . . 3.4 Die Flachwassertheorie der Tidewellen . . . . . . 3.5 Partialtidewellen in der Deutschen Bucht . . . . . 3.6 Die Entstehung von Flachwassertiden . . . . . . 3.7 Die Entstehung von Tidewellen . . . . . . . . . . 3.8 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . .

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Tidedynamik in Ästuaren 4.1 Die Dämpfung von Tidewellen . . . . . . 4.2 Reflektion von Tidewellen . . . . . . . . 4.3 Sedimenttransport unter Tidewellen . . . 4.4 Der Einfluss von Querschnittsänderungen 4.5 Tidekennwerte und ihre Analyse . . . . . 4.6 Der Ausbau der Tideästuare . . . . . . . 4.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . .

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VIII

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Inhaltsverzeichnis

Die Theorie idealer Wellen 5.1 Die ideale rotationsfreie Strömung . . . . . . . . . . . 5.2 Lineare Theorie langer Wellen kleiner Amplitude . . . 5.3 Wellenausbreitung in beliebige Richtungen . . . . . . 5.4 Advektion, Orbitalbahnen und Driftbewegungen . . . . 5.5 Stokeswellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Hydromechanische Belastungen von Offshore-Anlagen 5.7 Die Tide als ideale Welle . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Transformation der Welleneigenschaften 6.1 Die Veränderung von Wellenzahl und Wellenlänge 6.2 Die Energie von Oberflächenwellen . . . . . . . . 6.3 Die Bilanzierung der Wellenenergie . . . . . . . . 6.4 Die Propagation der Tidewellenenergie . . . . . . . 6.5 Das Brechen der Wellen . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . .

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111 111 117 126 129 134 136 143 143

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145 145 147 150 158 159 163

Windinduzierte Strömungen in Küstengewässern 7.1 Die atmosphärischen Zirkulationen . . . . . . . 7.2 Windschubspannungen . . . . . . . . . . . . . 7.3 Der Windstau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Sturmfluten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Der Bemessungswasserstand . . . . . . . . . . 7.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . .

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Seegang 8.1 Die Erfassung des Seegangs . . . . . . . . . 8.2 Die Stochastik des Seegangs . . . . . . . . . 8.3 Die spektrale Verteilung der Seegangsenergie 8.4 Modellfunktionen für Seegangsspektren . . . 8.5 Numerische Seegangssimulation . . . . . . . 8.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . .

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Turbulente Strömungen in Küstengewässern 9.1 Messung und Auswertung turbulenter Geschwindigkeitsfelder 9.2 Navier-Stokes- und Reynoldsgleichungen . . . . . . . . . . . 9.3 Das logarithmische Grenzschichtprofil . . . . . . . . . . . . . 9.4 Die Rauheit der Sohle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Das Querprofil der Tidegeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . 9.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Inhaltsverzeichnis

10 Die Grenzschicht unter Wellen 10.1 Die Grenzschichtgleichung für Wellen . . . . . . 10.2 Die oszillierende laminare Grenzschichtströmung 10.3 Die oszillierende turbulente Grenzschicht . . . . 10.4 Die Kombination von Strömung und Welle . . . . 10.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . .

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11 Strömungen, Turbulenz und Wellen 11.1 Die Zerlegung des Strömungsfeldes . . . . . . . . . . 11.2 Die Wellenwirkung auf die vertikale Strömungsstruktur 11.3 Das Wirbelviskositätsprinzip für die Wellengleichung . 11.4 Welleninduzierte Strömungen am Strand . . . . . . . . 11.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Anhang

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Literaturverzeichnis

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Sachverzeichnis

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Einführung Sicherlich gehören die Küsten zu den attraktivsten und gleichzeitig aufregendsten Landschaften der Erde. Fast die Hälfte der Menschheit hat es daher hierher gezogen, wenn man einen Küstenstreifen von ca. 100 km Breite betrachtet [43]. Der Grund für diese Bevölkerungsdichte lag ursprünglich in der Möglichkeit, terrestrische und aquatische Ressourcen gleichzeitig nutzen zu können, also sowohl Fischfang als auch Jagd und Landwirtschaft zu betreiben. Sehr bald kam auch die Möglichkeit der Schifffahrt für den Handel und die Kriegsführung hinzu. Diese Vorteile des Wirtschaftraums Küste haben sich in verschiedenen Sektoren bis heute fortentwickelt: Zur Schifffahrt gehören auch die Hafenwirtschaft, der Schiffbau und die maritime Logistik. An der Küste haben sich Zweige der erzeugenden und verarbeitenden Industrie angesiedelt, deren Rohstoffe direkt durch die Seeschifffahrt angeliefert werden. So wird der Unrat aus den Straßen Neapels in der Müllverbrennungsanlage Bremerhaven verbrannt. Japanische und US-amerikanische Kraftfahrzeuge werden hier von spezialisierten Betrieben auf den deutschen TÜV vorbereitet. Die maritime Ressourcennutzung geht heute weit über Fischerei und Marikultur hinaus: Neben Erdöl- und Erdgas werden aus den Meeren auch Sand und Kies und regenerative Energien gewonnen. In Deutschland hat sich in den Küstenregionen zudem eine intensive Landwirtschaft angesiedelt. Schließlich haben Küsten immer auch ein hohes touristisches Potential. Die Küste ist aber nicht nur Wirtschafts-, sondern auch ein Naturrraum, in dem drei Sphären aufeinandertreffen: Die Atmosphäre mit sehr kurzfristigen Wettererscheinungen und langfristigen Klimaschwankungen wirkt auf die ebenfalls sehr dynamische marine Hydrosphäre mit Seegang, Gezeitenbewegungen, Sturmfluten und langfristigen Meeresspiegel- und Meeresströmungsschwankungen. Diese stehen dem Festland gegenüber, welches im Vergleich zu seinen Kontrahenten sehr undynamisch ist. Die Versicherungen fürchten die Küste als den am stärksten gefährdeten Lebensraum auf der Erde: Sie liegt oft an den Grenzen von tektonischen Platten, womit Erdbeben, Vulkanausbrüche und Tsunamis verbunden sind. Meteorologische Extremereignisse wie Sturmfluten und Hurrikane treffen die Küsten, wodurch diese direkt von den Folgen des Klimawandels durch den Meeresspiegelanstieg betroffen sind. Für viele Bereiche der Erde wird gerade im Zusammenhang mit dem Klimawandel von entscheidender Bedeutung sein, zu beurteilen, ob eine Küste bei dem zu erwartenden Meeresspiegelanstieg noch zu halten ist oder ob und in welchem Umfang diese und das betroffene Hinterland aufgegeben werden muss. Für einige Inselstaaten, deren Land sich nur wenige Meter über dem derzeitigen Meeresspiegel erhebt, wird es aber keine andere Lösung geben, als ihr Land aufzugeben. So kaufen Bewohner der Malediven schon jetzt Grundstücke in anderen Staaten, und das pazifische Tuvalu möchte sogar als souveräner Staat Asyl in anderen Ländern beantragen. A. Malcherek, Gezeiten und Wellen, DOI 10.1007/978-3-8348-9764-0_1, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

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Einführung

Abbildung 1: Die deutsche Bucht als Satellitenbild. Von Westen kommend beginnt das Bild bei den vor der niederländischen Küste liegenen westfriesischen Inseln und zeigt dann die ostfriesischen Inseln, deren Länge fortwährend abnimmt. Diese Inseln sind Düneninseln, die durch äolischen Transport über den davorgelagerten Wattflächen entstanden sind. Als Buchten sind der Dollart an der Ems und der Jadebusen zu erkennen. Als Ästuare münden Ems, Weser und Elbe in die Nordsee. Die nordfriesischen Inseln zeugen von Küstenverlusten an einer Küstenlinie, die einstmals über Sylt, Amrum und die Halbinsel Eiderstedt lief.

Küstengewässer Das vorliegende Buch beschränkt sich nur auf das Küstengewässer, und so soll dieses zunächst einmal kategorisiert werden. Alle Gewässer werden in Grund- und Oberflächengewässer eingeteilt. Als Oberflächengewässer bezeichnet man den von Wasser eingenommenen Raum zwischen einer Sohle und dem Wasserspiegel, der das Gewässer von der Atmosphäre trennt. Ausdehnung und Form eines Oberflächengewässers sind damit wesentlich durch die Gestalt der Sohle und das darüber befindliche Wasservolumen geprägt.

Einführung

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Erde Mond

Abbildung 2: Das Volksmärchen von den zwei Flutbergen zur Entstehung von Ebbe und Flut.

Küstengewässer sind eine Klasse der Oberflächengewässer. Ihr entscheidendes und gemeinsames Merkmal ist das Vorhandensein einer landseitigen Berandung, der Küstenlinie. Die seeseitige Abgrenzung des Küstengewässers zum Meer oder Ozean ist nicht so eindeutig, da die Übergänge fließend sind. Aber auch hier kann das Vorhandensein der Küste als Abgrenzungsmerkmal des Küstengewässers gelten: Das Küstengewässer geht dort in die offene See über, wo das Vorhandenensein der terrestrischen Berandung keinen wesentlichen Einfluss auf das Strömungsgeschehen hat. Durch die Nähe des Landes können Küstengewässer im Gegensatz zu Meeren und Ozeanen nicht allzu tief sein. An der Nordsee ist die Küstenlinie nicht immer mit Wasser benetzt, vor ihr liegen großflächige Wattgebiete, die während jeder Tide periodisch trockenfallen bzw. mit Seewasser überspült werden. Form und Ausdehnung des reinen Gewässerkörpers können daher erheblich schwanken. An der Ostseeküste sind dagegen tideabhängige Wasserstandsschwankungen nicht zu verzeichnen. Die EU-Wasserrahmenrichtlinie bezeichnet die Küstengewässer als Übergangsgewässer. Dieser Begriff suggeriert, dass auch die Prozesse und Phänomene in Küstengewässern irgendwie entweder schon im Fluss oder im Meer in Reinform auftreten. Denken wir aber nur an die Brandungszone mit den vielfältigen Formen des Wellenbrechens, so sieht man, dass das Küstengewässer ein eigenständiger Naturraum ist, der als solcher auch bezeichnet werden sollte.

Strömungen in Küstengewässern In Küstengewässern muss man sich mit drei Arten von Strömungen beschäftigen. Im Bereich von Flussmündungen dringt Flusswasser in das Küstengewässer ein. Flussströmungen sind quasistationär, d. h. ihre mittlere Strömungsgeschwindigkeit ändert sich nur sehr langsam in Abhängigkeit von den kontinentalen hydrologischen Bedingungen. Die mittlere Strömung wird aber immer von turbulenten Fluktuationen überlagert. Da das Flusswasser nach einigen Transformationen dem Niederschlag entstammt, ist es im Gegensatz zum Meerwasser nicht salzhaltig. Die beiden anderen Strömungsarten sind periodisch: Tide- oder Gezeitenströmungen entstehen durch die Gravitationswirkung von Sonne und Mond auf die Ozeane. An vielen Orten an der Küste erklären Schautafeln wie die in Abbildung 2 die Entstehung von Ebbe und Flut folgender-

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Einführung

maßen: Danach gibt es auf der Erde zwei Flutberge, deren einer durch die Anziehungskraft des Mondes und deren anderer durch die Zentrifugalwirkung der Rotation von Erde und Mond um einen gemeinsamen Schwerpunkt entstehen. Durch die tägliche Rotation der Erde um ihre Achse entstehen an jedem Punkt auf der Erdoberfläche zweimal am Tag Ebbe und Flut. Nehmen wie einmal an, die Erde drehe sich tatsächlich unter zwei Flutbergen. Sie sei zudem – bis auf eine kleine Insel am Äquator – vollständig mit Wasser bedeckt. Auf dieser kleinen Insel leben wir. Könnten wir in dem uns umgebenden Ozean schwimmen gehen? Sicherlich nicht. Wenn die Erde unter diesen beiden Flutbergen rotiert, die ja zum Mond bzw. in die ihm entgegengesetzte Richtung ausgerichtet sind, dann haben diese Flutberge von unserer Insel aus beobachtet eine sehr hohe Bewegungs-, d. h. Strömungsgeschwindigkeit. Jeder Flutberg rauscht von einem festen Punkt der Erdoberfläche aus gesehen genau einmal am Tag um die Erde. Seine Bewegungsgeschwindigkeit u ist also u = UE /24h, wobei UE  40000 km der Erdumfang ist. Das Wasser des Flutberges strömt unsere kleine Insel also etwa mit 1600 km/h an. Baden ist also extrem gefährlich, ja sogar die Insel selbst ist in ihrem Bestand gefährdet. Wir werden die tatsächliche Ursache von Ebbe und Flut und das Verhalten der Gezeitenwellen in den Kapiteln 1 bis 4 kennen lernen. Es sind viel mehr als zwei Flutberge, die sich gemächlich durch die Ozeane bewegen. Als zweite periodische Bewegungsart werden Wellen und Seegang in den Kapiteln 5 bis 8 behandelt. Hierdurch sind die Strömungen der Küstengewässer und Ozeane direkt mit denen der Atmosphäre gekoppelt. Schließlich können in Küstengewässern noch zwei Arten von Extremereignissen in jährlichem Rhythmus auftreten. Extreme Niederschlagsereignisse sowie das Abtauen des Schnees im Frühjahr führen zu Hochwasserwellen in den Flüssen, die große Feststoffmengen in die Küstengewässer transportieren. Von der Meeresseite sind Sturmfluten mit gravierenden Gefahren für Menschen und Kulturgüter verbunden und verursachen oftmals erhebliche morphologische Veränderungen. Die drei Strömungsarten wirken an den verschiedenen Küsten der Erde in unterschiedlicher Stärke. So sind die hydrodynamischen Verhältnisse an der deutschen Ostseeküste durch die Seegangsverhältnisse und den Windstau dominiert, da keine wesentlichen Zuflüsse vorhanden sind und die Tide nicht nennenswert in die Ostsee eindringt. An der deutschen Nordseeküste wirken alle drei Strömungsarten, wobei die Gezeiten vielerorts dominierend sind.

Die Hydromechanik der Küstengewässer Um diese verschiedenen Strömungen der Küstengewässer zu verstehen und auch beherrschbar zu machen, werden wir uns der Hydromechanik bedienen, die die großen Erfolgskonzepte der Mechanik auf inkompressible Fluide anwendet, zu denen auch das Meerwasser oder die Luft der Atmosphäre gehören. Das erste und grundlegende dieser Erfolgskonzepte ist das der Kraft. Kräfte bewirken Beschleunigungen, d. h. Geschwindigkeitsänderungen, wodurch alle Bewegungen in den Küstengewässern angeregt werden. In Kapitel 1 beginnen wir daher mit den großskaligen, auf unserem Erdkörper wirkenden geophysikalischen Kräften und versuchen, ihre zeitlichen und räumlichen Variationen zu beschreiben.

Einführung

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Im darauf folgenden Kapitel werden wir für den Wasserstand als grundlegender Größe der Hydromechanik der Oberflächengewässer Methoden erarbeiten, um ihn in Küstengewässern aus der Kenntnis der Variationen der geophysikalischen Kräfte zu prognostizieren. In Kapitel 3 wenden wir uns dann der kinematischen Grundgröße Geschwindigkeit zu, die in der Hydromechanik die Strömungsgeschwindigkeit ist. Hier werden wir das zweite Newtonsche Gesetz bzw. die Impulserhaltung dazu verwenden, eine Bewegungsgleichung für die Beschleunigung abzuleiten, deren Integration die Strömungsgeschwindigkeit berechenbar macht. Im anschließenden Kapitel wird das Erabeitete dann auf die Ästuare als eine wichtige Küstengewässerklasse angewendet. Das Kapitel 5 kann man, die mechanischen Grundkonzepte als Leitfaden nehmend, also dem Druck gewidmet denken. Der Druck ist eine Größe, die die makroskopische Welt mit der mikroskopischen verbindet, die Mechanik mit der Thermodynamik. Wir werden diesen Gedanken nicht direkt aufgreifen, wohl aber den Druck in unsere Bewegungsgleichungen einführen und damit die Gesetzmäßigkeiten reibungsfreier Wellen erforschen und im folgenden Kapitel anwenden, um Veränderungen der Welleneigenschaften an einem Strand zu verstehen. Das Kapitel 7 ist zwar den atmosphärischen Einflüssen auf die Küstengewässer gewidmet, führt aber auch ein schon komplexeres Erfolgskonzept der Mechanik ein, das der Spannungen. Sie beschreiben Flächenkräfte, die überall und in jedem Kontinuum wirken, ja selbst auf beliebig gedachten Schnittflächen. Angewendet wird das Konzept der Spannungen zur Bestimmung des vertikalen Geschwindigkeitsprofils unter Gezeitenströmungen, der Sohlschubspannungen unter Wellen sowie der welleninduzierten Strömungen. In Kapitel 9 werden wir die Erhaltungssätze von Masse und Impuls für jeden einzelnen Punkt im Gewässer aufstellen. Diese konzeptionelle Vorgehensweise sagt also etwas über die infinitesimalen Gleichgewichte, man bezeichnet die so entstehenden Erhaltungssätze auch als differentiell formuliert. Angewendet werden diese in dreidimensionalen Simulationsmodellen, mit denen man turbulente Strömungen simuliert. In vielen Fällen ist es hinreichend, das Küstengewässer als eine Fläche zu begreifen, so wie es auf einer Karte dargestellt wird. Für jeden Punkt dieser Gewässerfläche werden dann wieder die Erhaltungsgleichungen differentiell formuliert. Ein solches konzeptionelles Modell kann keine Aussagen über die vertikalen Strukturen im Gewässer machen. Man bezeichnet diese in Kapitel 3 vorgestellten Modelle als zweidimensional-tiefengemittelte Modelle. Ferner gibt es noch die Modelle, die sich ein Gewässer als Linie vorstellen, wie etwa Flüsse auf einer Landkarte dargestellt werden. Die Strömungseigenschaften werden nur noch als Mittelwerte über den gesamten Querschnitt erfasst. Diese Modelle bezeichnet man daher als eindimensional-querschnittsgemittelt. Sie lassen sich nicht auf die flächenhaften Küstengewässer anwenden, wohl aber auf flussähnliche Ästuare und werden daher in diesem Zusammenhang in Kapitel 4 dargestellt. Es soll nicht unerwähnt bleiben, dass die vorgestellte bunte Palette von hydromechanischen konzeptionellen Modellen und mechanischen Begriffen dem an der Küste tätigen Wissenschaftler und Ingenieur einen bunten Blumenstrauß an Möglichkeiten bietet, ein Problem adäquat und kreativ zu lösen.

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Einführung

Die Mathematik der Küstengewässer Die Mathematik bietet als exakte Sprache durch ihr hierarchisches System von Axiomen, Definitionen und Regeln die Möglichkeit, komplexe Zusammenhänge nahezu beliebig kurz und prägnant zu beschreiben. Hierdurch bekommt die Mathematik ihre enorme Bedeutung in Naturwissenschaft und Technik, aber zunehmend auch in allen gesellschaftswissenschaftlichen Bereichen. Die beliebig große Speicherfähigkeit von Symbolen macht aber auch die Schwierigkeit des Umgangs mit Mathematik aus, schließlich muss man immer noch in der Lage sein, diese formale Sprache zu entschlüsseln und sich etwas unter ihren Symbolen vorstellen zu können. Die Gesetze der Hydromechanik der Küstengewässer werden durch partielle Differentialgleichungen beschrieben; Objekte aus dem Fundus der mathematischen Sprache, mit denen man sich erfahrungsgemäß nur sehr langsam anfreunden kann. Warum man solche komplexen Gebilde braucht, sei an einem Gang durch den Zoo der mathematischen Objekte demonstriert: Ganz unten stehen dort die Zahlen. Egal ob es sich dabei um natürliche, ganze, reelle oder komplexe Zahlen handelt – mit einer einzelnen Zahl (auch als physikalische Größe mit einer Einheit ausgestattet) kann man recht wenig anfangen. Interessanter werden da schon Funktionen, z. B. von der Zeit: Als Zeitreihen können sie den Wasserstand oder die Strömungsgeschwindigkeit an einem Messort beschreiben. Was hinter ihnen für Gesetzmäßigkeiten stecken, kann man z. B. durch die Methoden der Zeitreihenanalyse aufdecken. Da Küstengewässer sich aber über einen bestimmten Raum erstrecken, sind die zu betrachtenden Funktionen von den Raumkoordinaten und der Zeit abhängig. So werden physikalische Größen wie der Druck oder die Temperatur über einen Bereich eines Küstengewässers also durch Funktionen mehrerer Variablen beschrieben. Noch komplizierter wird es, wenn wir auch die Strömungsgeschwindigkeit mathematisch beschreiben wollen, sie hat als Vektor drei Komponenten. Ihre räumlichen und zeitlichen Variationen werden durch eine vektorwertige Funktion mehrerer Variablen beschrieben. Stellen wir uns nun einmal vor, dass wir die vektorwertige Funktion der Strömungsgeschwindigkeit an jedem Ort und zu jeder Zeit in der Nordsee kennen. Diese sehr komplizierte Funktion würde natürlich nicht die Strömungsgeschwindigkeit in der Karibik beschreiben, da sie ja für die Nordsee gilt. Wir sind also an den allgemeinen Gesetzmäßigkeiten hinter der Geschwindigkeitsfunktion der Nordsee interessiert und das aus zweierlei Gründen: Zum einen wollen wir mit diesen allgemeinen Gesetzmäßigkeiten Lösungen auch für andere Küstengewässer gewinnen und zum anderen gibt es nicht einmal für die Nordsee eine solche Geschwindigkeitsfunktion. Funktionen sind wiederum Lösungen von Differentialgleichungen, also werden die physikalischen Gesetze der Hydromechanik durch Differentialgleichungen mathematisch beschrieben. Vektorwertige Funktionen, d. h. eigentlich nur mehrere Funktionen, sind Lösungen von Differentialgleichungssystemen. Sind die Funktionen noch von mehreren Variablen abhängig, dann landen wir bei partiellen Differentialgleichungssystemen. Durch eines passives Lesen wird man ihren Inhalt und ihre Funktionsweise nicht durchdringen, hier hilft nur beständiges Üben. Dabei seien in zunehmendem Schwierigkeitsgrad die folgenden Schritte empfohlen:

Einführung

1. 2. 3. 4. 5.

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Vorgebene Lösungen in die Differentialgleichung einsetzen und bestätigen. Verhalten von Lösungen studieren. Vereinfachungen und Spezialfälle analysieren. Herleiten der Differentialgleichung. Eigene analytische bzw. numerische Lösungen konstruieren.

Der Aufwand lohnt sich, da Differentialgleichungen auch in anderen Disziplinen der Ingenieurund Naturwissenschaften benötigt werden. Neben dem Umgang mit harten Differentialgleichungen sollte man aber auch gute Abschätzungen mit Stift und Papier gewinnen können. Im Zeitalter der numerischen Simulation komplexer Natursysteme könnte man dazu verleitet werden, nur noch die physikalischen Grundgesetze und entsprechende numerische Lösungsverfahren zu lehren. Dies kann und darf nicht das alleinige Bildungsziel der Natur- und Ingenieurwissenschaften sein. Vielmehr muss man immer noch in der Lage sein, gute Abschätzungen mit Stift und Papier zu gewinnen, um sich die Kritikfähigkeit nicht nur gegenüber fehlerhaften Computersimulationen zu bewahren. Ferner fördert der spielerische schnelle Umgang mit Stift und Papier die Kreativität.

Aufgaben des Küsteningenieurwesen Im Unterschied zu den nach Erkenntnissen strebenden Naturwissenschaften versuchen die Ingenieurwissenschaften, diese für die Zwecke des Menschen zu nutzen. Die Gestaltung der Küste zum Nutzen und zum Schutz des Menschen ist dabei die Aufgabe des Küsteningenieurwesens . Hierbei sind Kenntnisse in der Hydromechanik der Küstengewässer grundlegend, was an den folgenden Aufgabenstellungen verdeutlicht werden soll: Seeschifffahrt und Verkehrswasserbau Ein Schiff mit einem gewissen Tiefgang benötigt immer eine Handvoll Wasser unter dem Kiel. Für die Seeschifffahrt müssen bei der Revierfahrt in den flachen Küstenzonen die Wasserstände und auch die Strömungsgeschwindigkeiten vorhergesagt werden. Die Wasser- und Schifffahrtsbehörden sprechen hier von der Sicherheit und Leichtigkeit des Schiffsverkehrs. Im Zuge der zunehmenden Globalisierung werden weltweit die Häfen ausgebaut, um den zunehmenden Tonnagen im Schiffsverkehr Herr zu werden. Eine hydromechanische Grundfunktion von Häfen ist der Schutz vor Seegang, um die Unruhe von Schiffen beim Entladen zu verringern. Bei der Anlage eines Hafenbeckens sind daher die Wellenverhältnisse abzuschätzen. Desweiteren gilt es, den Feststoffeintrag in Hafenbecken zu reduzieren, um die Unterhaltungskosten durch Baggerungen zu minimieren. Fallbeispiel: Die Verlagerung der Medemrinne Wie komplex die Aufgaben bei der Unterhaltung der Seewasserstraßen sein können, soll das Beispiel der Medemrinne im Mündungsgebiet der Elbe demonstrieren. Die Medemrinne ist eine natürlich entstandene Abzweigung des Fahrwassers vor Cuxhaven (siehe Abbildung 3). An ihrem nördlichen Rand kann eine starke Erosion beobachtet werden,

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Einführung

bathymetry mMSL

-20.

-11.667

0

-5.833

0

5.

5.00 km

Klotzenloch

Medem Rinne

Cuxhaven

Abbildung 3: Die Topographie im Mündungsgebiet der Elbe (Quelle: BAW).

wobei das dabei erodierte Material in den südlichen Bereichen der Medemrinne deponiert wird (Abbildung 4). So kommt es zu einer Verlagerung der Rinne nach Norden, wobei es im schlimmsten Fall zu einer Vereinigung mit dem darübergelegenen Klotzenloch kommen könnte. In diesem Fall würde eine durchgängige Tiderinne von seewärts kommend über das Klotzenloch durch die Medemrinne in die Elbe geformt, womit eine Verödung des an Cuxhaven vorbeigeführten Fahrwassers nicht auszuschließen wäre. Um dieses Risiko und die Wirksamkeit von strombaulichen Gegenmaßnahmen zu untersuchen, muss man also die Sedimenttransporte berechnen und die Morphodynamik simulieren können. Dazu muss man von der hydromechanischen Seite insbesondere die Belastung der Sohle durch die Sohlschubspannung berechnen können. Ressourcennutzung und Energiegewinnung Für die konstruktive Gestaltung von Offshore-Anlagen zur Förderung fossiler Energieträger oder zur regenerativen Energiegewinnung müssen die äußeren Belastungen durch die Strömungskräfte von Tideströmungen und Seegang bekannt sein.

Einführung

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Abbildung 4: Morphologische Veränderungen des Mündungsgebietes der Elbe zwischen den Jahren 1992 und 1997 (Quelle: BAW).

Eine nahezu unerschöpfliche Ressource wird in Zukunft auch das Meerwasser selbst sein. Bei einer wachsenden Weltbevölkerung und einem steigendem Bedarf an Trinkwasser werden in ariden Zonen Meerwasserentsalzungsanlagen eine größere Rolle bei der Trinkwasserversorgung spielen. Hier steht man vor der Aufgabe, die Rückleitung des stark aufgesalzten Restwassers so zu gestalten, dass dieses sich schnellstmöglichst wieder verdünnt und nicht etwa zur Entnahmestelle transportiert wird. Küstenschutz Beim Küstenschutz durch Deichbau besteht die grundlegende Aufgabe darin, zunächst einmal die erforderliche Deichhöhe zu bestimmen. Diese setzt sich aus dem Tidehochwasserniveau, dem die Sturmflut erzeugenden Windstau und dem Seegang zusammen. Hier werden also Kenntnisse aus allen Bereichen der Küstenhydromechanik benötigt. Ökologie und Umweltschutz Hydromechanische Fragestellungen der Ökologie und des Umweltschutzes betreffen zumeist die Ausbreitung und den Transport von bestimmten Schad- oder Nährstoffen. Als Beispiele seien die Veränderung des Salzgehalts infolge Ausbaumaßnahmen der Schifffahrtswege und die damit verbundenen Veränderungen der Lebensräume von Halophyten oder halophoben Pflanzen genannt. Bei der Einleitung von Abwärme aus Kraftwerken in die Küstengewässer dürfen gewisse Grenz-

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Einführung

werte nicht überschritten werden. Im schlimmsten Fall können alternierende Tideströmungen das warme Wasser wieder an die Einleitungsstelle zurückbringen. Ferner will man oftmals die Ausbreitungswege von Schadstoffeinträgen durch die Industrie und die Landwirtschaft oder durch die Erdöl- und Erdgasförderung in Offshore-Anlagen bestimmen. Dies ist nur dann möglich, wenn die Strömungsverhältnisse in den Küstengewässern bekannt sind. Tourismus In touristisch genutzten Küstenregionen ist man oftmals auf die Unterhaltung von Sandstränden angewiesen. Eine fundierte Planung der Landschaftspflege und der u. U. erforderlichen Aufspülungen setzt detaillierte Kenntnisse der Prozesse in der Brandungszone voraus. Das wohl beeindruckendste Projekt ist der Bau von drei künstlichen Inselgruppen in der Form von Palmen und einer Inselgruppe in Weltkartenform mit einer Luxuswelt für Superreiche im Emirat Dubai, welches hierdurch seine Küste von 64 auf über 180 km verlängert. Um die Stabilität der neu entstehenden Strände zu beurteilen, kann man also nicht von den alten Strömungsund Seegangsverhältnissen ausgehen, da diese durch die Umgestaltung der Küste vollständig verändert werden. Militärische Anwendungen Hinreichende Kenntnisse der Küstenhydromechanik sind auch bei der Planung und Durchführung von Landeunternehmen mit amphibischen Einheiten erforderlich. So muss die Beurteilung der Eignung eines Strandabschnitts zunächst erst einmal die morphologischen Gegebenheiten berücksichtigen: • Der Gradient des Ufers: Die Landungsboote der Marine besitzen je nach Fahrzeugtyp einen Tiefgang von bis zu 2.30 m. Das Uferprofil muss so beschaffen sein, dass die Landungsboote nahe genug an das Land heranfahren können, damit die vorhandene Wassertiefe die maximale Wattiefe der landenden Fahrzeuge nicht überschreitet. Vorgelagerte Sandbänke schließen die Eignung eines Küstenstreifens aus. • Bodenbeschaffenheit: Die Landungsboote sind sehr anfällig gegen einzelne Steinbrocken, die den Schiffsboden beschädigen. Um einen weitgehend materialschonenden Einsatz zu gewährleisten, sind Strände mit großen Steinen und Felsbrocken wenig geeignet. Im Verteidigungsfall ist dieses Kriterium natürlich nur bedingt aussagefähig. Beim Landezeitpunkt kann es witterungsbedingte Einsatzbeschränkungen durch Seegang geben: Die Landungsboote sind nur bis zu einer gewissen Maximalhöhe gegen Seegangswellen geschützt. Ferner wird die Manövrierfähigkeit bei hohen Windgeschwindigkeiten und Seegang eingeschränkt. Nicht selten widersprechen sich die Zielsetzungen der hier angesprochenen unterschiedlichen gesellschaftlichen Interessengruppen. Im Rahmen des integrierten Küstenzonenmanagements soll es hier zu einer Berücksichtigung aller Interessen bzw. einem Ausgleich kommen. Alle damit verbundenen Tätigkeiten finden an der Küste in einem der dynamischsten geomorphologischen Systeme statt. Jede Bautätigkeit in Küstengewässern ist damit nicht als Umformung eines statischen Systems in ein anderes, sondern als Absetzen eines Ereignisses in einem

Einführung

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offenen Raum zu verstehen. Küsteningenieure verändern diese Systeme auch mittel- und langfristig. Diese Tatsache soll sie allerdings nicht zur Tatenlosigkeit erziehen, sie soll lediglich in die Planungen mit einbezogen werden. Damit ist letztlich auch ein Bildungsziel verbunden: die verantwortliche Ingenieurpraxis in einer dynamischen Umwelt.

Der Bildungsauftrag hinter der Hydromechanik der Küstengewässer Die Herausgabe eines neuen Buches ist immer mit der kritischen Frage „Gibt es das nicht schon” verbunden. Tatsächlich gibt es sowohl zur Hydromechanik der Küstengewässer als auch zum Küsteningenieurwesen schon eine Unmenge von zumeist englischsprachigen Werken. Jede wissenschaftliche Disziplin muss aber auch auf die Veränderungen in ihrer Umgebung reagieren, wodurch gewisse Lehrinhalte plötzlich unwichtig werden und andere an Bedeutung gewinnen. Die vielleicht wichtigste immer noch stattfindende gesellschaftliche Veränderung ist die Demokratisierung von Computerleistung und dazugehöriger Software. So haben sich z. B. Officeanwendungen heute zu Kulturtechniken gemausert, die fast überall zugänglich sind. Tabellenkalkulationsprogramme wie Microsoft Excel bieten so die Möglichkeit, Parameter in (fast) jeder analytischen Lösung zu variieren, wodurch das Problemverständnis erheblich verbessert wird. Ebenfalls lassen sich gewöhnliche Differentialgleichungen sehr einfach mit einem Eulerverfahren mit Hilfe von Tabellenkalkulationsprogrammen lösen, zumindest sollte man den Versuch nicht scheuen. Bei partiellen Differentialgleichungen bietet es sich an, eine Raumrichtung zu studieren und in den anderen homogene Verhältnisse anzunehmen. Und last but not least liefern Tabellenkalkulationsprogramme so gute Graphiken, dass man hiermit schon schöne Ergebnisdarstellungen erhält. Die Abbildungen 2.5 – 2.8, 3.6, 3.8, 3.9, 3.12, 4.3, 4.9, 4.12 – 4.14, 5.4, 5.6, 5.7, 5.10, 6.1 – 6.4, 6.6, 7.1, 7.4, 7.7, 7.12, 7.13, 8.2, 8.7, 8.8, 8.11, 8.15, 9.6, 9.8, 10.3, 10.4, 10.8, 10.9, 10.11 – 10.13, 11.3 und 11.7 sollen als Übungen verstanden werden und dazu ermutigen, sie selbst in einem Tabellenkalkulationsprogramm zu reproduzieren. Sie zeigen zudem, wieviel Küstenhydromechanik mit dem einfachen Personal Computer heute machbar ist. Die Möglichkeiten von mathematischen Softwaresystemen auf symbolischer (z. B. Mathematica, Derive) oder numerischer Basis (z. B. MATLAB® ) gehen darüber weit hinaus. Numerische Lösungsverfahren für gewöhnliche und Grundtypen von partiellen Differentialgleichungen sind vorimplementiert. Damit kann der Anwender ohne tiefgreifende numerische Kenntnisse für viele technische und naturwissenschaftliche Problemstellungen Lösungen auf dem PC generieren. Wesentlich spezieller auf die Fachaufgabe zugeschnitten sind dann die HydrodynamischNumerischen (HN) Simulationsmodelle (z. B. das Telemac-System [23]). Sie benötigen große Mengen an Eingangsdaten und produzieren noch größere Mengen an Ergebnissen. Abgerundet wird die Palette an Software durch die Anwendung von Geographischen Informationssystemen (GIS) bei der Aufbereitung, Analyse und Darstellung von flächenhaften Naturdaten. Vieles von dem Genannten war früher nur auf Supercomputern lauffähig oder konnte nur von Experten bedient werden. Die Rechenleistung eines modernen Laptops übersteigt die eines Su-

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Einführung

percomputers der neunziger Jahre des vergangenen Jahrhunderts mittlerweile bei weitem. Die notwendigen Kenntnisse aus der Hydromechanik der Küstengewässer zur Anwendung auf allgemein verfügbaren Computern will dieses Buch vermitteln.

1 Gravitation, Coriolis- und Gezeitenkräfte Nach dem Sternenhimmel berichtet wohl kaum ein anderes Naturphänomen wie das mächtige Kommen und Gehen des Wassers an den Küsten so augenfällig darüber, dass die Eigenrotation der Erde unter dem Einfluss von Sonne und Mond steht. Wir wollen dieses Kapitel diesem geophysikalischen Kräftesystem widmen, welches das Strömungsgeschehen in den Küstengewässern antreibt. Zunächst müssen wir uns mit der betragsmäßig wichtigsten Kraft, der Gravitationskraft der Erde beschäftigen, die die Ursache für den Lauf der Flüsse von höher gelegenen Bereichen des Festlandes in die Meere ist. Die Corioliskraft ist eine Scheinkraft und eine interessante Folge eines physikalisch nicht perfekt, aber aus pragmatischen Gründen sinnvoll gewählten Bezugssystems. Entdeckt wurde sie von Euler, und Laplace berücksichtigte sie darauf in seinen Tidetheorien. Mit ihrer Benennung schmückt sich nun aber ein relativ unbedeutender Mathematiker (Gaspard Coriolis, 1792–1843), der 1835 eben auch einen Aufsatz zu diesem Thema veröffentlichte. Den zwei Giganten Euler und Laplace wird dadurch aber nur ein Bruchteil von ihrem Ruhm genommen; schließlich werden wir schon genügend durch das Viele verwirrt, was nach ihnen benannt ist. Die von Newton entschlüsselten gezeitenerzeugenden Kräfte sind ebenfalls in das Reich der Gravitationskräfte einzuordnen. Sie sind aber betragsmäßig so gering, dass sie in Fließgewässern vernachlässigt werden können. Auch an der Küste haben diese Kräfte selbst keinen erheblichen Einfluss, wir treffen hier jedoch auf Strömungen, die aus den Ozeanen kommend sich im Takt der Gezeitenkräfte bewegen.

1.1 Die Gravitationskraft Die Legende besagt, dass sich das Gravitationsgesetz Isaac Newton beim Beobachten eines fallenden Apfels eingab. Dass die Dinge zur Erde hin fallen, war ja schon seit menschengedenk bekannt. Wirklich neu ist nun der Gedanke, dass auch der kleine Apfel die Erde anzieht. Das Gravitationsgesetz beinhaltet also eine qualitative Gleichberechtigung der Massen; sie ziehen sich alle gegenseitig an. Quantitativ wird die Anziehungskraft zwischen zwei Punktmassen m1 und m2 durch das Newtonsche Gravitationsgesetz F =γ

m1 m2 r2

mit der universellen Gravitationskonstante γ = 6.67 · 10−11 N m2 / kg2 beschrieben. Die Anziehungskraft wird durch drei verschiedene physikalische Entitäten bestimmt, die jede für sich etwas über die Philosophie der Natur erzählen: A. Malcherek, Gezeiten und Wellen, DOI 10.1007/978-3-8348-9764-0_2, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

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1 Gravitation, Coriolis- und Gezeitenkräfte

• Die Anziehungskraft wird qualitativ gleichberechtigt durch die beteiligten Massen m1 und m2 bestimmt. Diese Gleichberechtigung ist allerdings nur qualitativ: Die Kombination von Newtonschen Bewegungs- und Gravitationsgesetz bestätigt, dass der kleine Apfel den wesentlichen Teil des Weges zur Erde zurücklegt, während sich die träge Erde kaum von der Stelle bewegt. Politisch gesehen manifestiert das Gravitationsgesetz eine Plutokratie: Der, der viel hat, herrscht über den, der etwas weniger hat.

• Die zweite Entität ist der Abstand r zwischen den Massen. Die Art und Weise, wie er in das Gravitationsgesetz eingeht, gibt einen Hinweis darauf, wie sich zwei Massen mitteilen, dass sie vorhanden sind und ihre gegenseitige Bewegungen nun nach den zwischen ihnen wirkenden Gravitationskräften ausrichten: Der reziprok-quadratisch eingehende Abstand weist nämlich auf ein Abstrahlungsgesetz hin. So nimmt die Intensität der von einer Punktquelle ausgehenden Lichtstrahlung, aber auch der Teilchenstrahlung oder der akustischen Lautstärke, mit dem Abstand quadratisch ab, weil die die Quelle umhüllende Kugelfläche πr2 mit dem Abstand quadratisch wächst. Immer weniger Intensität verteilt sich also auf immer mehr Fläche. Sind es also Elementarteilchen, sogenannte Gravitonen, die die Massen abstrahlen, um mit den anderen Körpern über die zwischen ihnen wirkenden Gravitationskräfte zu kommunizieren? Es gibt einige Beobachtungen, die der Gravitonenhypothese widersprechen. So ist die Übertragung von Elementarteilchen mit einer gewissen Dauer verbunden, auch wenn diese sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. Dies führt zu einem gewissen Zeitversatz in der Kommunikation der Gravitationskraft, der in der Astronomie nicht bestätigt werden kann. Mit seiner allgemeinen Relativitätstheorie konnte Albert Einstein zeigen, dass es eine besondere Geometrie des Raumes gibt, die die Gravitationskraft zwischen den Massen kommuniziert. In ihr krümmt jede Masse den Raum so, dass sich die anderen Massen in ihm entsprechend dem Gravitationsgesetz bewegen. • Die universelle Gravitationskonstante γ ist eine von etwa zwanzig Naturkonstanten, die nicht weiter ableitbar sind. Zu ihnen gehören die Masse des Elektrons oder die Feinstrukturkonstante. Das Besondere dieses Satzes von Naturkonstanten ist die Einstellung ihrer Werte: Nur diese Kombination ermöglicht eine Welt, so wie wir sie kennen. Hätte auch nur eine dieser Naturkonstanten einen anderen Wert, so würden sich vielleicht keine stabilen Atome oder Sterne bilden, der Kosmos hätte eine vollkommen andere Struktur, die Welt wäre nicht so, wie sie ist. Die Fragen, warum diese Naturkonstanten so sinnvoll aufeinander eingestellt sind, ob man hier überhaupt von sinnvoll sprechen kann und ob es Parallelwelten mit anderen Einstellungen gibt, gehören in das Reich der Kosmologie und Naturphilosophie.

Versuchen wir nun, nach diesen ausschweifenden Reflexionen zum eigentlichen Thema zurückzukehren.

1.1 Die Gravitationskraft

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Vektorielle Darstellung des Gravitationsgesetzes In seiner bisherigen Form drückt das Gravitationsgesetz noch nicht den Sachverhalt aus, dass die Kraft ein Vektor mit Betrag und Richtung ist. Es lautet in vektorieller Form: F = −γ m1 m2r. r3 Die Vektorschreibweise enthält im Nenner nun ein Potenzgesetz dritter Ordnung, welches mit dem darauf folgenden Abstandsvektorr wieder zum quadratischen Abstandsgesetz wird. Weist der Ortsvektorr vom Körper der Masse m1 zu dem der Masse m2 , dann ist F die Anziehungskraft der Masse m1 auf die Masse m2 . u 3  m2

u  m1

   r, −F

Abbildung 1.1: Ortsvektorr und Anziehungskraft F zwischen zwei Massen m1 und m2 .

Die Gravitationsbeschleunigung Das von einem Körper der Masse m1 induzierte Gravitationsfeld g lässt sich durch seine Kraftwirkung auf einen Testkörper der Masse m2 ausmessen. Man definiert also das vom Testkörper unabhängige Gravitationsfeld g als: g =

F m1 = −γ 3 r, m2 r

wobeir nun vom Ort der Masse m1 auf einen beliebigen Testort weist. Spezifizieren wir dies für einen Körper, der sich auf der Erdoberfläche befindet. Es lässt sich zeigen, dass eine Kugel mit homogener Massenverteilung außen so wirkt, als wäre die gesamte Masse ME = 5.977 · 1024 kg, in ihrem Mittelpunkt vereinigt. Damit wird der Abstand des Massenschwerpunkts zu einem Körper auf der Erdoberfläche gleich dem mittleren Erdradius RE = 6371.04 km. Die Gravitationsbeschleunigung ist dann g=γ

ME , R2E

sie bekommt den rechnerischen Wert g = 9.82 m/s2 . Tatsächlich ist aber der Erdradius nicht konstant, sondern nimmt von den Polen zum Äquator hin zu. Ferner treten im Untergrund der Erde große Dichteunregelmäßigkeiten auf, wodurch man von Ort zu Ort sehr unterschiedliche Gravitationsbeschleunigungen erhält, die man als Schwereanomalien bezeichnet. So kann etwa ein Tiefseeberg eine lokale Erhöhung der Gravitationskonstante zur Folge haben, so dass sich über ihm der Meeresspiegel bis zu fünf Metern über den

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1 Gravitation, Coriolis- und Gezeitenkräfte

mittleren Meeresspiegel anhäuft. In ähnlicher Weise macht sich die Abnahme der Gravitationskonstante über einer Tiefseerinne als Einsenkung des Meeresspiegels um bis zu 60 m bemerkbar [64]. In seinem Roman „Der Schwarm” beschreibt F. Schätzing [68] das Phänomen: „In den achziger Jahren hatte die amerikanische Marine mit der Untersuchung eines erstaunlichen Phänomens begonnen. Geosat, ein Radarsatellit, war in eine polnahe Umlaufbahn geschossen worden. Den Meeresboden sollte und konnte er nicht kartieren. Radar durchdrang kein Wasser. Die Aufgabe von Geosat bestand vielmehr darin, die Meeresoberfläche als Ganzes zu vermessen, und zwar auf wenige Zentimeter genau. Eine Abtastung großer Flächen, so hoffte man, würde aufzeigen, ob der Meeresspiegel – abgesehen von Ebbe- und Flutschwankungen – überall gleich hoch lag oder nicht. Was Geosat enthüllte, übertraf alle Erwartungen. Man hatte geahnt, dass die Ozeane selbst im Zustand absoluter Ruhe nicht völlig glatt seien. Jetzt aber offenbarte sich eine Struktur, die der Erde das Aussehen einer riesigen knolligen Kartoffel verlieh. Sie waren voller Dellen und Buckel, Aufragungen und Einmuldungen. Hatte man lange Zeit angenommen, dass die Wassermassen der Weltmeere gleichmäßig über den Erdball verteilt seien, vermittelte die Kartierung ein ganz anderes Bild. Südlich von Indien etwa lag der Meeresspiegel rund 170 Meter tiefer als vor Island. Nördlich von Australien wölbte sich das Meer zu einem Berg, der 85 Meter über dem Durchschnitt lag. Die Meere waren regelrechte Gebirgslandschaften, deren Ausprägungen der Topographie zu folgen schienen. Große unterseeische Gebirgszüge und Tiefseegräben pausten sich mit einigen Metern Höhenunterschied auf der Wasseroberfläche durch. Schuld waren die Unregelmäßigkeiten in der Gravitation. Ein unterseeischer Berg fügte dem Meeresboden Masse hinzu, also wirkte die Schwerkraft dort höher als in einem Tiefseegraben. Sie zog das umliegende Wasser seitlich zu dem Tiefseeberg hin und schichtete einen Buckel auf. Über den Gebirgen wölbte sich die Meeresoberfläche, über den Gräben fiel sie ab. Eine Weile sorgten Ausnahmen für Verwirrung, etwa wenn sich Wasser über einer Tiefseeebene hochwölbte, bis man dahinter kam, dass manche der dortigen Bodengesteine von extremer Dichte und Schwere waren, und somit stimmte die Gravitationstopographie wieder. Die Neigungen all dieser Deckel und Buckel waren so flach, dass man sie an Bord eine Schiffes nicht registrierte. Tatsächlich wäre man dem Phänomen ohne die Satellitenkartierung nie auf die Spur gekommen.” Übung 1: Wie groß ist die Gravitationsbeschleunigung g in 10 km Höhe über der Erdoberfläche?

Integrale Form des Gravitationsgesetzes Für einen solchen heterogenen Körper wie die Erde reicht das Modell der Punktmassen nicht mehr aus. Dieses besitzt nur dann Gültigkeit, wenn die Ausdehnung der Massen klein gegenüber ihrem Abstand r ist. In diesem Fall müssen wir die Erde in infinitesimal kleine Massenpakete zerlegen und die Anziehungswirkung auf den Körper an der Erdoberfläche bestimmen. Die Masse mE der Erde wird dann zu dem Integral der Erddichte über den von der Erde ausgefüllten Raum Ω :

1.1 Die Gravitationskraft

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mE =



ρ(r )dΩ .

Ω

Der Vektor r ist dabei der Ortsvektor der Massenelemente der Erde in einem beliebigen Koordinatensystem. Ist r nun der Ortsvektor des Körpers an der Erdoberfläche, so zeigt r − r von einem Massenelement der Erde zu unserem Bezugskörper und wir können die Gravitationskraft als infinitesimale Summe der Gravitationskräfte aller Massenelemente auf unseren Körper darstellen: 

F = −γm2

Ω

ρ(r )     r − r dΩ r − r 3

Somit wird die Gravitationsbeschleunigung zu: g = −γ

 Ω

ρ(r )     r − r dΩ r − r 3

Meer

W’ r’

r

Abbildung 1.2: Auf einen Ort r an der Wasseroberfläche über einem Meeresbecken ist die Gravitationswirkung der benachbarten lateralen Erdkruste wegen ihrer höheren Dichte r größer als die des benachbarten Wassers. Die Wasseroberfläche senkt sich somit ab, bis die Summe der Gravitationskräfte ausgeglichen ist. Der marine Geoid ist also eine Äquipotentialfläche der Gravitationskraft.

Die Integralformel zur Gravitationskraft verteilter Massen plausibilisiert die Tatsache, dass die Meeresoberfläche ein Pausbild des darunterliegenden Meeresboden ist (Abbildung 1.2). Die flächendeckende Ausmessung des Gravitationsfeld über die Erdoberfläche in der Gravimetrie kann man also auch dazu verwenden, Modelle über die Verteilung der Massendichte im Erdinneren aufzustellen.

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1 Gravitation, Coriolis- und Gezeitenkräfte

6Nordpol y @ I z @ 

ω

r

φ

Äquator Abbildung 1.3: Lage des lokalen kartesischen Koordinatensystems auf dem Geoid.

Ein Koordinatensystem für Küstengewässer In unserer mathematischen Ausbildung haben wir fast immer nur trainiert, in kartesischen xyzKoordinaten zu denken. Somit wollen wir bei diesen bleiben und heften ihren Ursprung an irgendeinen passenden Punkt auf der Erdoberfläche (Abbildung 1.3). In diesem liege die • x-Achse in West-Ost-Richtung, • y-Achse in Süd-Nord-Richtung und die • z-Achse in vertikaler Richtung in den Himmel weisend. Die Gravitationsbeschleunigung nimmt dann die Form ⎛

fz = −g

bzw.

⎞ 0 f = −g = ⎝ 0 ⎠ −g

an. Die Gravitationsbeschleunigung g setzen wir in unseren Breiten mit g = 9.81 m2 /s an. Wird das Untersuchungsküstengewässer allerdings zu groß, so lässt sich die spärische Gestalt der Erdoberfläche nicht mehr ohne große Verzerrungen auf eine horizontale Grundfläche projizieren. Dann sollte man auf rθ φ -Kugelkoordinaten umsteigen und u. U. auch Schwankungen der Gravitationsbeschleunigung durch Schwereanomalien berücksichtigen. Das Gravitationspotential Kräfte und Geschwindigkeiten sind bekanntermaßen dreidimensionale Vektoren. Das erhöht im Vergleich zu skalaren Größen auch die Rechenarbeit um einen Faktor drei. Man war in der Ver-

1.2 Die Corioliskraft

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gangenheit daher sehr glücklich, wenn man Vektoren auf einen Skalar abbilden konnte. Dann würde man die aufwendigen Rechnungen skalar machen können und das Ergebnis schließlich wieder auf Vektoren umrechnen. Dies ist die Grundidee des Potentials, welches eine Vektorgröße ersetzt. Die Gravitationskraft ist eine konservative Kraft, d. h. ihre Rotation verschwindet. Daher existiert für sie ein skalares Potential φ der Form: g = −grad φ Es lässt sich zeigen, dass das allgemeine Gravitationsfeld durch das Potential φ (r) = −γ

 Ω

ρ(r ) dΩ   r − r 

erzeugt wird. Die Tatsache, dass eine Kugel mit homogener Massenverteilung außen so wirkt, als wäre die gesamte Masse in ihrem Mittelpunkt vereinigt, führt dann zu dem Gravitationspotential φ (R) = −γ

M , R

wobei R der Abstand vom Kugelmittelpunkt ist.

1.2 Die Corioliskraft Das kartesische Koordinatensystem mit seinem Ursprungspunkt auf der Erdoberfläche ist kein Inertialsystem, da sich die Koordinatenachsen mit der Erde drehen und somit eine beschleunigte Bewegung vollziehen. Die hierdurch entstehende Scheinkraft wird als Corioliskraft bezeichnet. Sie lässt sich intuitiv durch folgendes Gedankenexperiment erfassen: Würde man vom Nordpol aus auf die Erde herabblicken, so könnte man feststellen, dass sie sich entgegen dem Uhrzeigersinn dreht. Schleudern wir mit übermenschlicher Kraft einen Stein vom Nordpol aus, so bewegt er sich nach dem ersten Newtonschen Gesetz in der Polebene geradlinig, wohingegen sich die Erde unter ihm wegdreht. Hatten wir ein festes Ziel im Auge, so wäre der Stein rechts am Ziel vorbeigegangen. In einem erdfesten Koordinatensystem müssen wir diesen Corioliseffekt als Scheinkraft berücksichtigen, ansonsten würde der Stein in einem mathematischen Modell entgegen aller Erfahrung sein Ziel treffen. Der siderische Tag Werfen wir zunächst einen Blick auf die Rotationsgeschwindigkeit der Erde. Die auf der Erde wahrgenommene Länge des Tages, man sollte besser des Sonnentages sagen, wird durch zwei Bewegungen bestimmt: die Rotation der Erde um ihre Achse und die Rotation um die Sonne. Wenn es überhaupt eine nicht-zusammengesetzte Rotationsbewegung des Erdsystems gibt, dann nur die, die auf den Fixsternhimmel bezogen ist. Man bezeichnet als siderischen Tag die zwischen zwei Meridiandurchgängen eines Fixsternes verstreichende Zeit. Der siderische Tag beschreibt also die Rotation der Erde nicht in einem geooder heliozentrischen, sondern in einem absoluten Bezugssystem.

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1 Gravitation, Coriolis- und Gezeitenkräfte

Erde B’ A’ A

B

Sonne TAA’=86400s TBB’=86164s

Abbildung 1.4: Zum Unterschied zwischen siderischem und Sonnentag

Der Sternentag ist 3 min 56.56 s kürzer als der Sonnentag, da im Laufe eines Jahres die Erde relativ zum Fixsternhimmel eine volle Umdrehung mehr als relativ zur Sonne macht. Die Winkelgeschwindigkeit des siderischen Tags ist somit 7.29 · 10−5 rad/s, wir bezeichnen sie im folgenden mit ω: |ω| =

2π = 7.29 · 10−5 rad/s 86164s

Zur quantitativen Berücksichtigung der Corioliskraft betrachtet man einen Geschwindigkeits rotierenden System (Index r). Der Betrag vektor ur in einem mit der Winkelgeschwindigkeit ω  beschreibt die Rotation der Erde um ihre eigene Achse. der Winkelgeschwindigkeit ω Im Inertialsystem sei die Geschwindigkeit mit ua (Index a wie absolut) bezeichnet, die Umrechnung ist  ×r, ua = ur + ω wobei r der Ortsvektor von Erdmittelpunkt aus gesehen ist. Um die durch die Erdrotation hervorgerufene Scheinkraft zu bestimmen, muss die Beschleunigung des rotierenden Geschwindigkeitsvektors im Absolutsystem berechnet werden. Dazu betrachten wir zunächst einen beliebigen sich im Raum bewegenden Vektor A. Seine auf den absoluten Raum bezogene zeitliche Änderung sei mit daA/dt bezeichnet. Im rotierenden Bezugssystem misst man für denselben Vektor A eine andere Änderung, diese sei mit drA/dt bezeichnet. Zwischen diesen beiden Änderungsgeschwindigkeiten besteht die Beziehung daA drA  × A, = +ω dt dt

1.2 Die Corioliskraft

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die man sich an zwei Sonderfällen plausibilisieren kann: Ruht A im rotierenden Bezugssystem,  × A, ruht A dann ist seine absolute Bewegung offenbar eine Rotation mit der Geschwindigkeit ω im absoluten Bezugsystem, dann muss man im rotierenden eine der Eigenrotation entgegenge × A feststellen. setzte Bewegung −ω Setzen wir nun für den Beliebigkeitsvektor A die Absolutgeschwindigkeit ua ein. Da wir im Relativsystem leben, ist es das Ziel der folgenden kleinen Umformung, die absolute Beschleunigung da ua /dT vollständig durch Größen des Relativsystems auszudrücken, den Index a also durch den Index r zu ersetzen: da ua dt

=

da ur da  ×r) + (ω dt dt

=

 dr ur d ω d r  × ur + a ×r + ω  × a +ω dt dt dt  =0

⎛ =

⎞

⎜ drr ⎟ dr ur  ×⎜  ×r⎟  × ur + ω +ω +ω ⎝ ⎠ dt dt  = ur

=

dr ur  × (ω  ×r)  × ur + ω + 2ω dt

In der zweiten Zeile wurde die Änderung im Absolutsystem auf das mitrotierende System transformiert und die Produktregel auf das Vektorprodukt angewendet. Da die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation konstant ist, ist der dritte Term in der zweiten Zeile Null. Hier wird ferner die zeitliche Änderung des Ortsvektors im Absolutsystem in das rotierende System transformiert, womit die dritte Zeile der Herleitung entsteht. In der Ergebniszeile stellt der zweite Term die Coriolisbeschleunigung und der dritte Term die Zentrifugalbeschleunigung dar. Letzterer wirkt schwerkraftmindernd und wird mit der Gravitationsbeschleunigung g0 der Erde zu einer effektiven Schwerebeschleunigung g zusammengezogen. Am Nordpol wirkt keine Zentrifugalbeschleunigung, da der Winkel zwischen Rotationsgeschwindigkeit und Ortsvektor Null ist. Die Erdbeschleunigung resultiert hier allein aus der wirkenden Massenanziehung und ist g0 = 9.8321 m2 /s. Am Äquator schmeichelt der Blick auf die Waage dem Übergewichtigen, denn hier wird die Gravitation durch die Zentrifugalbeschleunigung g = g0 − ω 2 r vermindert. Geologische Effekte ergeben hier dann den Wert g = 9.7799 m2 /s. Die Pariserinnen müssen mit g = 9.8094 m2 /s leben. Für den Coriolisterm ergibt sich so unter Vernachlässigung vertikaler Geschwindigkeiten sowie der Vertikalkomponente gegenüber der Gravitationsbeschleunigung g ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ −ωz v −ωv sin φ ωy w − ωz v  × ur = 2 ⎝ ωz u − ωx w ⎠  2 ⎝ ωz u ⎠ = 2 ⎝ ωu sin φ ⎠ , 2ω 0 ωx v − ωy u 0 ⎛

22

1 Gravitation, Coriolis- und Gezeitenkräfte

wobei φ die geographische Breite ist. Daher berücksichtigt man den Einfluss der Coriolisbeschleunigung meistens nur in den horizontalen Kräften. Bei den Vertikalkräften kann man die Corioliskraft gegenüber der Gravitationskraft vernachlässigen. Um schließlich die rotierende Erde wie ein Inertialsystem zu behandeln, müssen wir die Scheinkräfte mit umgekehrten Vorzeichen berücksichtigen. Als Ergebnis halten wir fest: In einem erdfesten Nichtinertialsystem mit x-Achse in West-OstRichtung, y-Achse in Süd-Nord-Richtung und z-Achse in vertikaler Richtung lautet der Vektor der Kraftdichte f : ⎞ 2ωv sin φ f = −g − 2ω  ×u  ⎝ −2ωu sin φ ⎠ −g ⎛

(1.1)

Wegen ihres geringen Betrages braucht die Corioliskraft einen gewissen Raum, um sich zu entfalten. Sie ist verantwortlich für die großräumigen Rotationen der Wassermassen in den Ozeanen bzw. der Luft in der Atmosphäre. Um Phänomene wie die geostrophischen Strömungen, die Ekmanspirale oder kreisförmige Trägheitsströmungen zu analysieren, muss man die Corioliskraft als äußere Kraft f in den entsprechenden Bewegungsgleichungen berücksichtigen. Übung 2: Eine Billardkugel bewegt sich auf einem in Süd-Nord-Richtung orientierten Tisch mit der Geschwindigkeit u = 20 cm/s nach Norden. Berechnen Sie die Ablenkung der Kugel durch doppelte zeitliche Integration der Beschleunigungsgleichung: y¨ = fy Um wieviel Zentimeter wird die Billardkugel nach einem Meter abgelenkt? Der Billardtisch befindet sich auf 54o nördlicher Breite.

1.3 Gezeitenerzeugende Kräfte Die Geschichte der Erforschung der gezeitenerzeugenden Kräfte lässt die wissenschaftliche Gemeinschaft nach D.E. Cartwright in einem sprunghaften und erfolgsorientierten Lichte erscheinen: „The fact is, that when a scientific problem does not yield to currently available tools, scientists tend to turn to other subjects which, if not easier, at least have the attraction of novelity. The tides have been an old subject for a long time.” [10] Die Gezeitenphänomene waren also auf der einen Seite zu alltäglich, und kein Wissenschaftler konnte hier die Lorbeeren einer Neuentdeckung gewinnen. Auf der anderen Seite gab und gibt es auch kein wissenschaftliches Werkzeug, welches ihren Entstehungsmechanismus einfach erklären kann. Das Grundproblem besteht darin, die in halbtägigem Rhythmus wiederkehrenden Gezeiten mit der ganztägigen Rotation der Erde unter dem Einfluss von Sonne und Mond in Einklang zu

1.3 Gezeitenerzeugende Kräfte

23

bringen. Dennoch wurde das Phänomen Tide schon immer dem Mond zugeordnet. Dies liegt vor allem an dem sogenannten Spring-Nipp-Zyklus, der sich über einen halben Monat erstreckt. In frühen arabischen Dokumenten wurden dies auf die Erwärmung und Ausdehnung des Wassers in den Meeren durch die Zu- und Abnahme des Mondlichtes zurückgeführt. Aber auch hier bestand das Grundproblem, einen halbmonatlichen mit einem monatlichen Effekt zu erklären. Der Babylonier Seleucus machte die tägliche Bewegung des Mondes durch die Erdatmosphäre und die damit verbundenen Druckschwankungen für die Gezeitenvariation des Wasserstandes verantwortlich. Galileo Galilei (1564–1642) führte allerdings die tägliche Rotation der Erde auf ihrer Bahn um die Sonne als Gezeitenursache an: Wie in einem Karussell (z.B. die „Krake”) ist die Schleuderbewegung des Wassers auf der sonnenabgewandten Seite wesentlich größer als auf der sonnenzugewandten. Hierdurch entstünden die Tidewellen. René Descartes (1596–1650) versuchte das zweimalige Auftreten der Tidephasen pro Tag durch die Theorie des Äthers zu erklären, der den Weltenraum ausfüllt und unterhalb des Mondes, aber auch auf der gegenüberliegenden Seite, zusammengedrückt und dichter ist. Die richtige Erklärung gab Isaac Newton in seinem 1687 veröffentlichten Hauptwerk „Philosophae Naturalis Principia Mathematica”. Hiernach sind es die Gravitationskräfte von Mond und Sonne, die auf die Hydrosphäre wirken. Diese werden nahezu durch die Zentrifugalkräfte der gemeinsamen Rotationsbewegung ausgeglichen. Aber nur nahezu. Die nicht ausgeglichenen Kraftanteile bezeichnet man als gezeitenerzeugende Kräfte. Wie diese entstehen, wird in der Unterschrift zu Abbildung 1.5 erklärt, der man sich zunächst zuwenden sollte. Versuchen wir nun, die Gezeitenkraft auch quantitativ zu erfassen. Der sehr ferne Himmelskörper der Masse M sei dazu punktförmig in einem Abstand R angenommen. Er wirkt auf alle Geschehnisse an einem Ort im Abstand d auf der Erde durch sein Gravitationspotential φG : φG (d) = −γ

M d

Der gezeitenerzeugende Himmelskörper und die Erde bewegen sich um einen gemeinsamen Schwerpunkt, in dem die Gravitationsbeschleunigung per definitionem genau durch die Zentrifugalbeschleunigung der gemeinsamen Bewegung kompensiert wird. Hier gilt also für das Potential der Zentrifugalbeschleunigung: φZ (R) = −φG (R) = γ

M R

Die gezeitenerzeugende Beschleunigung an einem Ort d ist nun einfach die Summe aus Zentrifugalund Gravitationsbeschleunigung: φtide (d) = φZ (d) + φG (d) Schaut man sich die Abmessungen der Größen in Abbildung 1.5 in der Realität an, so ist vor allem der Himmelskörper M, d. h. der Mond oder die Sonne, sehr, sehr weit entfernt. Dadurch werden verschiedene Größen wie z. B. die Abstände d und R sehr ähnlich oder andere Verhältnisse wie z. B. ΔR/R sehr klein. Daher folgen nun einige Reihenentwicklungen, die schon nach dem ersten oder zweiten Term aufgrund dieser Kleinheiten abgebrochen werden können.

24

1 Gravitation, Coriolis- und Gezeitenkräfte

FG(d) FZ(d)

q FZ(R)

FG(R) DR

Abbildung 1.5: Im gemeinsamen Schwerpunkt von Erde und Himmelskörper M heben sich Gravitationsund Fliehkraft gegenseitig auf. An jedem anderen Punkt an der Erdoberfläche kann dies jedoch nicht der Fall sein, da Gravitationskraft und Zentrifugalkraft nicht auf einer Linie liegen. Zudem sind sie betragsmäßig nicht gleich. Damit ist die Summe der Kräfte nicht Null, ihre Resultierende ist die gezeitenerzeugende Kraft.

So bezeichnet der Wert ΔR die Verkürzung des Abstands eines Bezugsort auf der Erdoberfläche zum gezeitenerzeugenden Gestirn. Damit folgt mit Hilfe der Neumannreihe näherungsweise:   M 1 ΔR φZ (d) = γ  γM + 2 R − ΔR R R Dieser Abstand ist ΔR = RE cos θ und somit gilt für das Gesamtpotential der Tidebeschleunigung:   1 1 RE φtide (d) = γM − + cos θ 2 R d R Der Ortsabstand von dem betrachteten Gestirn d kann als Funktion des Zenitwinkels θ umgeformt werden:  d = R2 − 2RRE cos θ + R2E Im Tidepotential steht der Kehrwert des lokalen Abstandes d, der sich auch als 1 1 =  d R2 RE R 1 − 2 R cos θ + RE2 darstellen lässt. Da das Verhältnis von Erdradius RE zu Gestirnsabstand R sehr klein ist, sollte man den Ausdruck ebenfalls in einer Potenzreihe entwickeln können. Zur Abkürzung setzen wir u = RRE und x = cos θ und entwickeln um x = 0: √

1 1 − 2xu + u2

=√

1 1 + u2

+ √

x2 u2 3 3 + √ 5 + ... 2 2 2 1+u 1+u xu

Nun werden die Wurzeln in den Nennern um u = 0 entwickelt:

1.3 Gezeitenerzeugende Kräfte

√

25

1 3 1 = 1 − u2 + xu + x2 u2 + ... 2 2 2 1 − 2xu + u

Nach der Rücksubstitution bekommt man für den Kehrwert des Gestirnsabstandes    R2 1 1 RE 1  = 1 + cos θ − 3 cos2 θ − 1 E2 + ... d R R 2 R und für das Gezeitenpotential: φtide 

 1 γMR2E  3 cos2 θ − 1 3 2 R

Dieser Ausdruck enthält das Quadrat des Kosinus; er ist also direkt unter dem gezeitenerzeugenden Gestirn und auf der gegenüberliegenden Seite maximal. Auf beiden Seiten senkrecht dazu wird dieser Ausdruck minimal. Die graphische Darstellung dieser Funktion haben wir schon in Abbildung 2 kennengelernt, bloß dass es sich dabei nach unseren bisherigen Erkenntnissen nicht um Flutberge, sondern lediglich um Spitzen des Gravitationsbeschleunigungspotentials handelt. Wie groß die mit diesem Potential verbundenen Beschleunigungen sind, wollen wir im folgenden Abschnitt untersuchen. Horizontal- und Vertikalkomponente der Gezeitenbeschleunigung Die Ableitung des Gezeitenpotentials nach dem Erdradius erbringt die Vertikalkomponente der Gezeitenbeschleunigung in einem erdfesten Koordinatensystem: az = −

 ∂ φtide γMRE  = − 3 3 cos2 θ − 1 ∂ RE R

Sie wirkt auf der dem Gestirn zugewandten Erdseite schwerkraftmindernd und hat im vertikalen Kräftespiel der Erde lediglich den Einfluss einer geringen Störung, da die Gravitationsbeschleunigung des Mondes einen Maximalwert von 1.07 · 10−6 m/s2 annimmt und somit von der dominanten Erdgravitation in den Schatten gedrängt wird. Anders sieht dies allerdings im horizontalen Messen der Kräfte aus. Für die Horizontalkomponente in Richtung des Gestirns gilt: aθ = −

1 ∂ φtide 3 γMRE γMRE sin 2θ = 3 3 cos θ sin θ = RE ∂ θ R 2 R3

Für den Mond ergibt sich eine maximale horizontale Gravitationsbeschleunigung von 8.23 · 10−7 m/s2 . Diese wenn auch sehr winzige Beschleunigung muss sich jedoch nur mit der Coriolisbeschleunigung messen, die bei einer Strömungsgeschwindigkeit von 1 m/s einen Maximalwert von 1.46 · 10−4 m/s2 annimmt und bei entsprechend kleineren Strömungsgeschwindigkeiten mit der Gravitationsbeschleunigung von Sonne und Mond vergleichbar wird. Die horizontalen Gezeitenbeschleunigungen verschwinden direkt unterhalb des Gestirns θ = 0 und im rechten Winkel zum Gestirn, da sie dort von der Zentrifugalkraft ausgeglichen werden.

26

1 Gravitation, Coriolis- und Gezeitenkräfte

Die Gezeitenkonstante G Man kann sich ein wenig Schreib- und Rechenarbeit ersparen, wenn man die Erdradius RE , Sonnen- bzw. Mondmasse M und Sonnen- bzw. Mondabstand R zu einer Konstanten, der so genannten Gezeitenkonstante G (in [m2 /s2 ]), eines Gestirns zusammenfasst: 3 γMR2E 4 R3 Sie gibt an, welchen quantitativen Einfluss ein Gestirn auf die Erde hat. Sie ist für den Mond GL = 2.621 m2 /s2 und für die Sonne GS = 1.207 m2 /s2 , für alle übrigen Gestirne ist sie vernachlässigbar. Obwohl die Masse der Sonne 27 Millionen mal größer als die des Mondes ist, hat dieser einen stärkeren gezeitenerzeugenden Einfluss als die Sonne. Dies liegt daran, dass die Sonne 350mal weiter entfernt ist als der Mond. Daher ist das Gravitationsfeld der Sonne 178mal stärker als das des Mondes. Der Vorfaktor 3/4 erscheint zunächst nur eine kleine Übung des elementaren Bruchrechnens zu sein, denn nun schreibt sich das Gezeitenpotential als:    2  1 2 2 φtide  G 3 cos θ − 1 = 2G cos θ − 3 3 G :=

Seine Bedeutung aber wird später klarer. Bei Voll- und Neumond addieren sich die Wirkungen von Sonne und Mond, es entstehen Springtiden, bei denen nicht nur das Hochwasser besonders hoch aufläuft, sondern auch das Niedrigwasser besonders niedrig abläuft. Der Tidehub ist also stark erhöht. Bei zunehmendem oder abnehmenden Halbmond (Quadraturen) wirken Sonnen- und Mondkräfte gegeneinander. Es kommt zu Nipptiden mit einem sehr niedrigem Tidehub. Das Verhältnis der Gezeitenkonstanten von Sonne und Mond ist 0.47:1, daher ist das Verhältnis der Anregungen bei Spring- und Nipptide (1 + 0.46)/(1 - 0.46) = 2.7.

1.3.1 Die Position eines Gestirns am Himmel Zur Berechnung der gezeitenerzeugenden Kräfte müssen die (scheinbaren) Bewegungen von Sonne und Mond berechenbar gemacht werden. Dazu benötigt man zur Beschreibung der Positionsänderungen ein Koordinatensystem der Himmelssphäre, welches aus zwei Winkeln besteht. Da sich die Rotationsachse der Erde im Rahmen eines Menschenlebens nicht wesentlich verschiebt, bietet sich der Schnittkreis der Äquatorebene mit der Himmelssphäre als Großkreis an, auf den die beiden Winkel bezogen werden. Das so konstruierte Bezugssystem bezeichnet man daher als äquatoriales Koordinatensystem. Die Deklination δ misst den Winkel zwischen der Äquatorkreisebene und dem Gestirn. Definitionsgemäß ist die Deklination eines Gestirns nördlich des Äquators positiv und südlich des Äquators negativ. Den Nullpunkt des Äquatorkreises bezeichnet man als Frühlingspunkt, er liegt derzeit am Rande des Steinzeichens Wassermann. Die Rektaszension Φ (engl. right ascension) eines Gestirns beschreibt nun den Winkel zwischen Frühlingspunkt und Gestirn auf dem Himmelsäquator.

1.3 Gezeitenerzeugende Kräfte

27

d F Erde Frühlingspunkt

Abbildung 1.6: Äquatoriales Koordinatensystem mit Rektaszension und Deklination.

Die Fixsterne zeichnen sich dadurch aus, dass sie eine feste Deklination und Rektaszension (zumindest im Verlauf eines Menschenlebens) haben. Die Himmelskoordinaten von Sonne, Mond und der Planeten ändern sich aber fortwährend. Der Mond umkreist einmal in 27.32166 Tagen das Gestirnsfirmament, man bezeichnet diesen, auf die Fixsterne bezogenen Zeitraum als siderischen Monat. Dabei ändert er nicht nur die Rektaszension, sondern auch die Deklination fortwährend. Für die Rektaszension des Mondes gilt 2π 2π t= t, 27.32d 2360591s wobei die Zeit t = 0 jeweils auf den Durchgang des Gestirns durch den Frühlingspunkt bezogen ist. Die Deklination des Mondes schwankt zwischen ±5o 9 . Die Sonne umkreist das Firmament einmal im Jahr genauer in 365.25 Tagen. Somit gilt für die Rektaszension der Sonne: ΦM := ΩM t =

2π 2π t= t 365.25d 31557600s Die Deklination der Sonne schwankt dabei zwischen 23.5o am 21. Juni und –23.5o am 22. Dezember. Die Bahn der Sonne am Firmament wird als Ekliptik bezeichnet. ΦS := ΩS t =

1.3.2 Die Änderung des Zenitwinkels eines Gestirns Im gezeitenerzeugenden Potential wird allerdings nicht die Kenntnis von Deklination oder Rektaszension, sondern der Zenitwinkel θ gefordert. Ist der Beobachtungsort dem Gestirn zugewandt, dann setzt sich der Zenitwinkel subtraktiv aus geographischer Breite φ und Deklination zusammen, ist er vom Gestirn abgewandt, dann muss das Doppelte des Polwinkels noch hinzugefügt werden (siehe Abbildung 1.7). Der Zenitwinkel schwankt also periodisch zwischen den Werten θ = φ − δ und θ = π − φ − δ .

28

1 Gravitation, Coriolis- und Gezeitenkräfte

w f

q d

M

Abbildung 1.7: Die tägliche Änderung des Zenitwinkels θ eines Gestirns in Abhängigkeit von geographischer Breite φ und Deklination δ .

Ohne Beweis sei angeführt, dass sich diese Aufspaltung des Cosinus des Zenitwinkels als cos θ = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos (λ + Ωt − ωt) darstellt, wobei Ωt = Φ die Rektaszension des Gestirns und λ die geographische Länge des Beobachtungsorts sind. Durch das Quadrat des Kosinus wird das gezeitenerzeugende Potential nun sehr länglich: 

φtide

 = + +

1 2G (sin φ sin δ + cos φ cos δ cos (Ωt − ωt)) − 3  1 1 2G sin2 φ sin2 δ − + cos2 φ cos2 δ 3 2 2 sin φ sin δ cos φ cos δ cos(ωt − Ωt −λ )  M1,S1 ⎞ 1 cos2 φ cos2 δ cos(2ωt − 2Ωt −2λ )⎠  2



2

M2,S2

In der ersten Zeile des zweiten, umgeformten Ausdrucks sind konstante Terme zusammengefasst, die nur von der Deklination und der geographischen Breite abhängen. In der zweiten Zeile folgen zwei Terme, die von der einfachen und der doppelten Rotationsgeschwindigkeit der Erde abhängen. Im Potential der gezeitenerzeugenden Kraft tauchen also zwei zusammengesetzte Frequenzen auf: Das Einfache und das Doppelte der Differenz der Änderung der Rektaszension des Mondes ΩM bzw. der Sonne ΩS und der Rotationsgeschwindigkeit der Erde ω. Diese Frequenzen werden je nach ihrem Erzeuger mit Buchstaben (M für Mond, S für Sonne) bezeichnet. Ein Index gibt ferner an, ob es sich dabei um die Grundperiode aus dem Gezeitenpotential oder ein Vielfaches davon handelt. Man bezeichnet diese Grundfrequenzen dann als Partialtiden.

1.3 Gezeitenerzeugende Kräfte

Bezeichnung M1 M2 S1 S2

29

Zusammensetzung ω − ΩM 2ω − 2ΩM ω − ΩS 2ω − 2ΩS

Periode 24h 51m 12h 25m 27s 24h 12h

Tabelle 1.1: Die natürlichen vier Partialtiden des Gezeitenpotentials

Übung 3: In einem Himmelsatlas sind Deklination und Rektaszension eines Gestirns mit 15o und 275o angegeben. Wie weit steigt das Gestirn in Kassel (geographische Breite 51o , geographische Länge 9o 30 ) höchstens über den Horizont? M1 - und M2 -Gezeit Die M1 -Gezeit ist die fast tägliche, durch den Mond erzeugte Tide, deren Periode durch die Zeitspanne zweier Durchgänge des Mondes durch den Meridian bestimmt ist. Da der Mond während einer täglichen Erdrotation dieser auf seiner Bahn immer ein Stückchen vorauseilt, durchzieht der Mond nur alle 24 Stunden und 51 Minuten den Meridian, die Winkelgeschwindigkeit ist somit ωM1 = 2π/89460s = 7.02 · 10−5 rad/s. Die M2 -Gezeit ist die durch die Entwicklung des Gezeitenpotentials des Mondes entstehende Periodenverdopplung der M1 -Gezeit und damit eine halbtägige Tide. Ihre Winkelgeschwindigkeit ist ωM2 = 4π/89460s = 1.40 · 10−4 rad/s. S1 - und S2 -Gezeit Die S1 -Gezeit ist die tägliche, durch die Sonne erzeugte Tide, deren Periode durch die Zeitspanne zweier Durchgänge der Sonne durch den Meridian bestimmt ist. Ihre Winkelgeschwindigkeit ist somit ωS1 = 2π/86400 s = 7.27 · 10−5 rad/s. Die S2 -Gezeit ist die durch die Entwicklung des Gezeitenpotentials der Sonne entstehende Periodenverdopplung der S1 -Gezeit und damit eine halbtägige Tide. Ihre Winkelgeschwindigkeit ωS2 ist 4π/86400s = 1.45 · 10−4 rad/s. Die Kraftwirkung der gezeitenerzeugenden Potentiale von Sonne und Mond kann man durch die Bildung des Gradienten in Kugelkoordinanten bestimmen. Die Dominanz der M2 -Gezeit Aus der Betrachtung der Gezeitenkonstanten für Sonne und Mond hatten wir gefolgert, dass die Mondgezeiten weitaus stärker sind als die Sonnengezeiten. Wir wollen nun zeigen, dass von diesen wiederum die halbtägige Gezeit kräftiger als die ganztägige ist, die M2 -Gezeit also das Geschehen dominiert. Dazu nehmen wir vereinfachend an, dass die Deklination δ von Sonne und Mond Null ist, ihre Bahn also über dem Äquator verläuft. Dann setzt der Vorfaktor sin δ den ganztägigen Gezeitenpotential zu Null, der Vorfaktor cos δ vor dem halbtägigen Potentialanteil wird maximal.

30

1 Gravitation, Coriolis- und Gezeitenkräfte

Diese Tendenz gilt natürlich auch für kleine Deklinationen, so dass die halbtägige und damit die M2 -Gezeit in der Regel dominiert. Übung 4: Der Mond bekommt einen Bruder Ein Asteroid der Masse Ma = 73.5 · 1020 kg und der Geschwindigkeit va = 5200 km/h wird auf seinem Weg durch das Sonnensystem von der Erdgravitation eingefangen und rotiert nun als zweiter Mond um die Erde. (a) Berechnen Sie aus dem Gleichgewicht von Fliehkraft Ma v2a /Ra und Massenanziehungskraft den Bahnradius Ra des Asteroiden um die Erde. (b) Berechnen Sie die Gezeitenkonstante des Asteroiden. In welchem Maße wird er das Tidegeschehen auf der Erde beeinflussen ? (c) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit der A1 - und A2 -Gezeit, wenn der Asteroid den gleichen Drehsinn wie die Erdrotation aufweist. Übung 5: Der Jupitermond Europa weist eine glatte Oberfläche mit rillenförmigen Strukturen auf, die an die Eisfelder in den Polarregionen der Erde erinnern. Man vermutet, dass unter der dicken Eisdecke von Europa ein flüssiger Ozean schwappt. Die Gezeitenkräfte verursachen dort Strömungen, die Wärmeenergie an die Umgebung abgeben und das Wasser flüssig halten. An der Oberfläche des Mondes herrschen nämlich Temperaturen von minus 150 Grad Celsius. Der Mond ist mit einer Eiskruste überzogen. Der darunter vermutete Ozean könnte Schätzungen zufolge bis zu 100 km tief sein. Schätzen Sie aus den folgenden Daten die Masse des Jupiters und die Gezeitenkonstante auf Europa ab und vergleichen Sie diese mit irdischen Verhältnissen. Masse von Europa: 4.8 · 1022 kg, Durchmesser von Europa: 3121.6 km, Radius der Umlaufbahn um Jupiter: 670900 km, Umlaufzeit um Jupiter: 3.551 Tage, Gravitationskonstante auf Europa: 1.32 m/s2 , Mittlere Dichte von Europa: 3.01 kg/m3 , Zum Jupiter zeigt stets dieselbe Seite von Europa (gebundene Rotation). Übung 6: Für welches Gestirn (Sonne oder Mond) und in welchen geographischen Breiten kann der ganztägige Gezeiteneinfluss über den halbtägigen dominieren ?

1.3.3 Der Erdabstand von Sonne und Mond Mit der scheinbaren Bewegung von Sonne und Mond am Himmelsfirmament als Änderung von Deklination und Rektaszension hat man noch nicht die fortwährende Änderung der Abstände von Sonne und Mond zum Erdschwerpunkt erfasst. Diese Abstandsänderung beinhaltet verschiedene Periodizitäten. Zum einen beschreibt der Mond keine Kreisbahn um die Erde, sondern bewegt sich auf einer Ellipse, in deren einem Schwerpunkt sich die Erde befindet. Somit hat der Abstand ein Minimum (Mondbahnperigäum) und ein Maximum. Gleiches gilt für die Bahn der Erde um die Sonne.

1.4 Zusammenfassung

31

Abbildung 1.8: Der erdnächste Punkt der Mondbahn rotiert alle 8.85 Jahre einmal um das Firmament.

Diese Bewegung wird durch die Periode des Monats beschrieben. Hinzu kommt allerdings eine Rotation der Ellipse selbst; das Mondperigäum rotiert dabei einmal in 8.85 Jahren am Firmament. Das Sonnenperigäum tut dies nebenbei bemerkt alle 20 940 Jahre. Diese Mondbahn ist, wie schon erwähnt, gegenüber der Ekliptik geneigt. Man bezeichnet die Schnittpunkte der Mondbahnellipse mit der Ekliptik als Knoten; im aufsteigenden Knoten wechselt der Mond von der südlichen zur nördlichen Breite, im absteigenden Knoten in umgekehrter Richtung. Auch diese Knoten und damit die Achse der Ellipse führen eine Rotationsbewegung mit einer Periode von 18.613 Jahren aus. Nach der Theorie der Mondbewegung von Brown (zitiert nach [26]) kann man den Abstand des Mondes RM wieder als trigonometrische Reihe der Form ±∞ 4 RM = ∑ ∑ Ak cos(kωit), RM k=0 i=1

wobei sich die Winkelgeschwindigkeiten aus Kombinationen der Rotationsbewegungen der Ellipsen zusammensetzen. Diese periodischen Bewegungen müssen in der Gezeitenkonstante G berücksichtigt werden und führen zu weiteren periodischen Abhängigkeiten des Gezeitenpotentials. Wir wollen an dieser Stelle die erdnahe Astronomie mit dem Eindruck verlassen, dass man die Bewegungen von Sonne und Mond wohl verstehen und prognostizieren kann, die Sache aber so kompliziert ist, dass wir sie den Spezialisten überlassen. Wer sich weiter in das Gebiet vertiefen will, sei auf die historischen Monographie zur Erforschung der Tide von Cartwright [10] verwiesen. Eine gute Einführung in die mathematische Beschreibung der Tide ist in [18] zu finden. Als weitere Literatur zu diesem Thema seien [2], [26] und das Standardwerk der Ozeanographie [12] genannt.

1.4 Zusammenfassung Die Strömungen in Küstengewässern werden geophysikalisch durch Gravitations-, Coriolis- und Gezeitenkräfte angetrieben. Die Gravitationskraft dominiert in der Vertikalen, ihre Beschleunigung (g = 9.81 m/s2 ) weist in Abhängigkeit von der geologischen Beschaffenheit des darunterliegenden Erdkörpers leichte lokale Variationen auf. In der Horizontalen wirkt auf ein bewegtes Fluid die von der geographischen Breite abhängige Corioliskraft, ihre Beschleunigung liegt je nach Geschwindigkeit in der Größenordnung bis zu 10-4 m/s2 . Eine Besonderheit der Coriolis-

32

1 Gravitation, Coriolis- und Gezeitenkräfte

kraft ist ihre Fähigkeit, Rotationen (z. B. in Form von großskaligen Wirbeln) im Strömungsfeld zu induzieren. Die Beschleunigungen der Gezeitenkräfte sind noch kleiner als die Corioliskräfte (10-6 m/s2 ), wirken aber auch auf ruhende Fluide. Sie weisen periodische Variationen auf, deren Signale sich in den Tidewasserständen nachweisen lassen.

2 Die Vorhersage des Tidewasserstands Eine zentrale Aufgabe des Küsteningenieurwesens ist die Vorhersage des Tidewasserstands. Wattwanderer an der deutschen Nordseeküste müssen sich auf diese Angaben verlassen können, um nicht von der einlaufenden Flut lebensgefährlich überrascht zu werden. Seeschiffe mit sehr großen Tiefgängen können manche Häfen nur bei Tidehochwasser anlaufen und planen ihre Fahrt schon frühzeitig nach den zu erwartenden Tideverhältnissen. Sturmfluten erreichen ihre Scheitelwasserstände zumeist dann, wenn auch die Tide ihren Hochwasserstand annimmt. Die Bevölkerung in den tiefer gelegenen Küstengebieten muss dann entsprechend gewarnt werden. Zur Vorhersage der Tideverhältnisse gibt es verschiedene Methoden: Zunächst kann man die hydrodynamischen Gleichungen in einem numerischen Modell der Weltmeere unter Berücksichtigung der gezeitenerzeugenden Kräfte lösen. Diese Methode ist allerdings sehr aufwendig. Sich auf die Simulation der heimatlichen Meere und Küstengewässer zu beschränken, reicht allerdings nicht, da man ein solches Modell wieder mit dem Tidewasserstand an den Modellrändern speisen muss. Die andere Möglichkeit besteht in der Zeitreihenanalyse, die den Tidewasserstand aus den vorangegangenen Pegelaufzeichnungen vorausberechnet. Dabei hilft die Tatsache, dass nicht nur die Gezeitenkräfte periodisch mit den Frequenzen der Partialtiden oszillieren, sondern auch das Wasserstandssignal. Da der Wasserstand aber das Ergebnis eines Strömungsprozesses ist, kommen weitere Partialtiden nicht-astronomischen Ursprungs hinzu.

2.1 Pegelmessungen des Wasserstands Der Wasserstand wird an Pegeln (Abbildung 2.1) bestimmt, bei denen zwei Messverfahren zum Einsatz kommen.

2.1.1 Schwimmerpegel Schwimmerpegel messen die vertikale Auslenkung eines Schwimmers in einem Pegelschacht (Abbildung 2.2), welcher durch ein Zulaufrohr mit dem Gewässer verbunden ist. In den heute nicht mehr verwendeten mechanischen Schreibpegeln wurde der Wasserstand im Schacht vom Schwimmer auf das Schwimmerseil und von dort über ein Übersetzungsgetriebe auf den Schreibarm des Pegels umgelenkt. Die Bewegung des Schreibarms wurde auf eine Trommel mit dem aufgespannten Pegelbogen übertragen. Eine mechanische Uhr transportierte die Trommel mit einer Umdrehung pro Tag weiter. Nach einer Woche wurden die Pegelbögen dann gewechselt. Die Aufzeichnungen überlagerten sich nicht, da eine Tide im Mittel 12 Stunden und 25 Minuten beträgt. Bei zwei Tiden pro Tag haben die Kurven von einem Tag zum anderen einen Versatz von ca. 50 Minuten. A. Malcherek, Gezeiten und Wellen, DOI 10.1007/978-3-8348-9764-0_3, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

34

2 Die Vorhersage des Tidewasserstands

Abbildung 2.1: Am Pegel Elsfleth werden die Daten des klassischen Schwimmer- mit dem modernen Radarpegel verglichen.

Heute werden im Zuge der „WasserstandsDatenFernÜbertragung” (WDFÜ) die mechanischen Schreibpegel durch digitale Pegel ersetzt, die eine Datenübertragung ermöglichen. Auf dem Wasser befindet sich ein Schwimmer, der an einem Lochband befestigt ist. Das Lochband wird durch ein Gegengewicht über das Rad eines Winkelcodierers gespannt. Auf diese Weise wird jede Änderung des Wasserstands auf das Rad eines Winkelcodierers übertragen. Die Radneigung wird vom Winkelcodierer als binärer Zahlencode übersetzt, der im Folgenden an die WDFÜ weitergeleitet und übertragen wird.

2.1.2 Radarpegel Beim Radarpegel erfolgt die Wasserstandsmessung berührungslos aus der Luft. Bei diesem Messprinzip sendet ein Sender gepulste Radarsignale einer Sendefrequenz von ca. 24 GHz aus. Die ausgesendeten Pulspakete werden an der Wasseroberfläche reflektiert und vom Sensor registriert. Die Wasserstandshöhe (x) wird hierbei aus der Laufzeit zwischen dem Versenden und dem Empfangen des Signals berechnet. Die Abtastrate beträgt 44 Hz, d. h. der Sensor misst pro Sekunde 44 Werte; dies entspricht einer Anzahl von 2.640 Messwerten pro Minute. Von der WDFÜ wird alle 5 Sekunden ein Messwert abgerufen. Analog zum Schwimmerpegel werden somit pro Minute 12 Messwerte erfasst und temporär in der WDFÜ zur Mittelwertbildung (Minutenwerte) zwischengespeichert. Die Mittelwertbildung erfolgt durch arithmetische Mittlung der Messwerte. Bei diesem Messprinzip wird der Wasserstand einschließlich sämtlicher dynamischer Effekte aus Wind- und Wellenschlag gemessen, da eine mechanische Dämpfung fehlt. Diese gewässerkundliche Erfassung des Wasserstands erfolgt z. B. im Bereich der Tideweser und ihrer Nebenflüsse an 25 Pegeln. In Abbildung 2.3 sind diese Werte am Pegel Elsfleth über den Verlauf eines Jahres gezeigt. Wie man diese Daten nun aufbereiten kann, um sie für

2.2 Die Partialtidenanalyse

35

PEGELHAUS

REGISTRIERGERÄT

SCHWIMMERSCHACHT

x

b

h

Abbildung 2.2: Prinzip des Schwimmerpegels (links) und des Radarpegels (rechts): Aus der Laufzeit des Radarpulses wird der Abstand x bestimmt. Die Wassertiefe h ist dann die Differenz zwischen Bodenabstand b des Senders und der Laufstrecke x (nach WSA Bremen).

die Prognose des Gezeitenwasserstands in zukünftigen Jahren zu verwenden, wird im Folgenden gezeigt. Übung 7: Mit dieser Übung sollen Sie das Messprinzip des Radarpegels detaillierter durchdringen. Der Radarpegel befinde sich 3 m über der Wasseroberfläche. Unter der Annahme, dass sich die Radarsignale in Luft genau mit Lichtgeschwindigkeit c = 300 000 km/s ausbreiten, (a) berechnen Sie die Laufzeit des Signals vom Sender zum Empfänger. (b) Kann man die Laufzeit mit einer Uhr messen? (c) Überlagert sich das gesendete Signal bei der Abtastfrequenz von 44 Hz mit dem folgenden Signal? (d) Wissen Sie mit welchem physikalischen Prinzip man die Laufzeit ohne direkte Zeitmessung bestimmen kann?

2.2 Die Partialtidenanalyse Die ganz offensichtlich harmonisch-schwankenden Daten kann man nun durch eine endliche harmonische Reihe der Form h(t) = h +

Ntide

∑ Ak cos (ωkt + φk )

k=1

approximieren. Mit Curve Fitting Tools in mathematischen Softwaresystemen lässt sich diese Aufgabe recht einfach bewerkstelligen. Man bekommt als Ergebnis eine Liste von Kreisfrequen-

36

2 Die Vorhersage des Tidewasserstands 4

3

Wasserstand [m]

2

1

0

-1

-2

-3

0.5

1

1.5 Zeit [s]

2

2.5

3 x 10 x 10

6

4

3

Wasserstand [m]

2

1

0

-1

-2

-3

0

0.5

1

1.5 Zeit [s]

2

2.5

3 x 10

7

Abbildung 2.3: Detail (oben) und Jahresverlauf (unten) des Wasserstands am Pegel Elsfleth (Datenquelle: Wasser- und Schifffahrtsamt Bremen).

2.2 Die Partialtidenanalyse

37

zen ωk und von dazugehörigen Amplituden Ak und Phasenverschiebungen φk . Vergleicht man die Ergebnisfrequenzen mit denen der Partialtiden, so wird man den Einfluss der M2 - und der S2 -Gezeit sofort erkennen, aber auch viele Frequenzen, die uns bisher noch nicht über den Weg gelaufen sind. Dabei wird aber sofort deutlich, dass die Wasserstandszeitreihen an gezeitenbeeinflussten Küsten wie der deutschen Nordseeküste durch die harmonisch schwankenden Kräfte von einer ganzen Reihe von Partialtiden geprägt werden, deren Winkelgeschwindigkeiten ωk vorgegeben sind. Die Phasen φk nivellieren die Anteile der einzelnen Partialtiden auf ein gegebenes Bezugsdatum t = 0, welches geeignet zu wählen ist (etwa der 1. Januar 0:00 Uhr des betrachteten Jahres). Zur Vorhersage des Tidewasserstands bestimmt man also zunächst die Vorfaktoren Ak und φk aus vorangegangenen Pegelmessungen und führt die Funktion h(t) dann in der Zeit beliebig weit in die Zukunft. Bevor wir uns dem großen Zoo von Partialtiden zuwenden, soll ein Blick auf die Least-SquareApproximation mit harmonischen Funktionen geworfen werden. Nutzer von Curve Fitting Tools können den folgenden Abschnitt überschlagen. Die Least-Square-Approximation Die Amplituden Ak und die Phasen φk der einzelnen Partialtiden werden nun so bestimmt, dass für die gegebenen Pegelmessungen hi zu den Zeitpunkten ti die Summe aller Abweichungen  r = ∑ hi − h − 2

2

Ntide

i

∑ Ak cos (ωkti + φk )

k=1

minimal wird. Man bezeichnet r dabei auch als Residuum. Dieses wird minimal, wenn die Bedingungen ∂ r2 =0 ∂ Ak

und

∂ r2 =0 ∂ φk

erfüllt sind. Die dabei entstehenden Ausdrücke enthalten allerdings Produkte der gesuchten Variablen Ak und φk und sind als Gleichungssystem nur mit erhöhtem Aufwand zu lösen. Mit Hilfe des trigonometrischen Additionstheorems cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β lassen sich aber neue Variablen xk und yk für zusammengehörige Amplituden und Phasen in der Form hi − h −

Ntide

(φk ) cos (ωk ti ) −Ak sin (φk ) sin (ωk ti ) ∑ Ak cos





k=1

xk

yk

einführen. Das Residuum r bekommt nun die Darstellung  r = ∑ hi − h − 2

i

Ntide

2

∑ (xk cos ωkti + yk sin ωkti )

k=1

und wird dort minimal, wo die Ableitungen

38

2 Die Vorhersage des Tidewasserstands

∂ r2 =0 ∂ xk

und

∂ r2 =0 ∂ yk

k = 1, ..., Ntide

Null sind. Bestimmt man diese Ableitungen, so entstehen 2Ntide lineare Gleichungen für die Unbekannten xk und yk . Somit bleibt ein wohldefiniertes lineares Gleichungssystem zu lösen, welches schließlich Amplitude und Phase für jede eingehende Partialtide liefert. Der Algorithmus benötigt zum Berechnen der Kennwerte von Ntide Partialtiden lediglich doppelt so viele, also 2Ntide Pegelmessungen als Stützstellen in der Zeitreihe. Damit die verschiedenen langfristigen astronomischen Frequenzen erkannt werden, sollte der analysierte Zeitraum natürlich wesentlich länger sein.

2.3 Der Partialtidenzoo Wir hatten im vorangegangenen Kapitel das Gravitationspotential von Mond und Sonne unter der täglichen Rotation der Erde beschrieben, welches die vier periodischen Anteile M1 , M2 , S1 und S2 enthält. Es wurde ferner erwähnt, dass weitere Rotationen hinzukommen und in ähnlicher Form analysiert werden müssen. Diese als Partialtiden bezeichneten periodischen Anteile werden nach einer Nomenklatur benannt, die auf A.P. Doodson zurückgeht, der sich auf die Vorarbeiten von William Thomson (auch Lord Kelvin genannt, 1824–1907) und Georg Howard Darwin (ein Sohn des berühmten Biologen, 1845–1912) stützte. In deren Arbeiten wurde die Tide als von fiktiven Satelliten erzeugt vorgestellt, die die Erde als Scheinwesen in der äquatorialen Ebene mit einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit umkreisen. Diese Satelliten wurden mit K, L, M, N und O bezeichnet. Später wurde diesen noch ein Index beigefügt, der die tägliche Wiederkehr dieser Partialtide angibt. Die Frequenz der Partialtiden mit langen Periodendauern wird hingegen in anderer Weise gekennzeichnet (z. 3B. mit f, mf, sa). Im Partialtidensystem nach Doodsen kommen die M1 - und die S1 -Tide nicht vor, obwohl sie die mathematische Analyse folgerichtig hervorbringt. Stattdessen wurden zwei andere Partialtiden eingeführt, die sich nicht aus der Analyse des Gezeitenpotentials ergeben, die K1 - und die O1 -Gezeit. Da dieses Partialtidensystem heute standardmäßig zur Analyse des Tidesignals verwendet wird, müssen wir einen Blick darauf werfen.

2.3.1 Die fundamentalen Grundfrequenzen Die für die Partialtidenanalyse verwendeten Kreisfrequenzen ωk sind Linearkombinationen eines Systems von wenigen fundamentalen Grundfrequenzen, die mit folgenden astronomischen Zeitperioden zusammen hängen (MSD = Mean Solar Days = 24 h): • mittlerer Mondtag T1: der (mittlere) Zeitraum zwischen zwei aufeinanderfolgenden Durchgängen des Mondes durch denselben Meridian (1.035050 MSD). Der mittlere Mondtag erzeugt die M1 -Gezeit, die allerdings nicht verwendet wird. • siderischer (oder tropischer) Monat s: der (mittlere) Zeitraum zwischen zwei aufeinanderfolgenden Durchgängen des Mondes durch den Frühlingspunkt (27.321582 MSD).

2.3 Der Partialtidenzoo

Abkürzung T1 s h p N p1

39

Periode 1.03505 MSD 27.321582 MSD 365.2422 MSD 8.85 Jahre 18.61 Jahre 20 900 Jahre

Kreisfrequenz [rad/s] 7.025946 · 10-5 2.661707 · 10-6 1.991063 · 10-7 2.249789 · 10-8 1.069889 · 10-8 9.526621 · 10-12

Entsprechung M1 Mm Sa -

Tabelle 2.1: Zusammenstellung der fundamentalen Grundfrequenzen.

• siderisches (oder tropisches) Jahr h: der (mittlere) Zeitraum zwischen zwei aufeinanderfolgenden Durchgängen der Sonne durch den Frühlingspunkt (365.2422 MSD). • Rotation des erdnächsten Punktes der Mondbahn p: der (mittlere) Zeitraum für einen vollständigen Umlauf des erdnächsten Punktes der Mondbahn auf der Himmelskugel (8.85 Jahre). • Rotation des aufsteigenden Knotens der Mondbahn N: der (mittlere) Zeitraum für einen vollständigen Umlauf des aufsteigenden Knotens der Mondbahn (Schnittpunkt der aufsteigenden Mondbahn mit der Ekliptik) auf der Himmelskugel (18.61 Jahre). • Rotation des sonnennächsten Punktes der Erdbahn p1: der (mittlere) Zeitraum für einen vollständigen Umlauf des sonnennächsten Punktes der Erdbahn auf der Himmelskugel (ca. 20 900 Jahre). Die mit den vorgenannten Perioden verbundenen Frequenzen können in einer unendlichen Anzahl von Harmonischen oder Linearkombinationen in den Tidesignalen beobachtet werden. In der Gezeitennomenklatur setzt sich eine Gezeit der Darstellung T1 + s – 2 h somit aus der Kreisfrequenz des mittleren Mondtages plus der Kreisfrequenz des siderischen Monats minus der doppelten Kreisfrequenz des siderischen Jahres zusammen. Eine alternative Darstellung ist mit dem siderischen Tag T anstelle des mittleren Mondtags T1 aufgebaut. In diesem Fall kann man Zusammensetzung der Partialtiden durch die Beziehung T1 = T – s + h umrechnen.

2.3.2 Hauptfrequenzen der Gezeiten Die wichtigsten Partialtiden, die so genannten Hauptfrequenzen, sind neben der M2 - und der S2 Gezeit die im Folgenden vorgestellten. Ihre Zusammensetzung aus den astronomischen Grundfrequenzen stellt die Tabelle 2.2 dar.

40

2 Die Vorhersage des Tidewasserstands

Abkürzung K1 O1 P1 Q1 M2 N2 L2 S2 K2 Ssa Mm Mf Sa ν2

Zusammensetzung T1 + s T1 – s T1 + s – 2h T1 – 2s + p 2T1 2T1 – s + p 2T1 + s – p 2T1 + 2s + 2h 2T1 + 2s 2h s–p 2s h 2T1 – s + 2h – p

Charakter Tägliche Gezeit Tägliche Gezeit Tägliche Gezeit Tägliche Gezeit Halbtägige Gezeit Halbtägige Gezeit Halbtägige Gezeit Halbtägige Gezeit Halbtägige Gezeit Halbjährliche Gezeit Monatliche Gezeit Halbmonatliche Gezeit Jährliche Gezeit Halbtägige Gezeit

Kreisfrequenz ω [rad/s] 7.29212 · 10− 5 6.75977 · 10− 5 7.25229 · 10− 5 6.49584 · 10− 5 1.40512 · 10− 4 1.37879 · 10− 4 1.43158 · 10− 4 1.45444 · 10− 4 1.45842 · 10− 4 3.98213 · 10− 7 2.63920 · 10− 6 5.32341 · 10− 6 1.99097 · 10− 7 1.38233 · 10− 4

Tabelle 2.2: Hauptkomponenten der Gezeiten.

• Die K1 -Gezeit Die K1 -Gezeit beschreibt die Periode des siderischen Tages, sie ist somit ωK1 = 2π/86164s = 7.29 · 10−5 rad/s. Sie ersetzt nun historisch ungeschickterweise die S1 -Gezeit im DoodsonSystem. Die folgenschweren Konsequenzen erkennt man bei der Betrachtung des trigonometrischen Additionstheorems. Zerlegt man in der harmonischen Analyse eine korrekte Frequenz ωr in zwei falsche ω f 1 und ω f 2 , dann entstehen weitere Produktterme:   cos (Ωr ) = cos ω f 1t − ω f 2t = sin ω f 1t sin ω f 2t + cos ω f 1t cos ω f 2t Interpretiert man eine der harmonischen Funktionen in den Produkttermen nun als Amplitude des zweiten, so bekommt man zeitabhängige Amplituden, die die harmonische Analyse wesentlich komplexer gestalten. • Die O1 -Gezeit Die eintägige Hauptmond- oder O1 -Gezeit hat die Zusammensetzung T1 – s. Die Periode der O1 -Gezeit ist somit 25 h 46 min, was einer Winkelgeschwindigkeit von ω = 2π/92760s = 6.76 · 10−5 rad/s entspricht. • Mm- und Mf-Gezeit Die Mm-Gezeit („Moon monthly”) beschreibt die monatliche Änderung der Deklination δ (t) des Mondes, die zwischen ±5o 9 relativ zur Ekliptik schwankt. Die Länge des

2.3 Der Partialtidenzoo

41

Abkürzung MP1 SO1 MNS2 2MS2 MSN2 2SM2 MO3 MK3 MN4 M4 MS4 MK4 S4 M6 2MS6 M8

Zusammensetzung M2 – P1 S2 – O1 M2 + N2 – S2 2M2 – S2 M2 + S2 – N2 2S2 – M2 M2 + O1 M2 + K1 M2 + N2 2M2 M2 + S2 M2 + K2 S2 + S2 3M2 2M2 + S2 4M2

Charakter Ganztägige Gezeit Ganztägige Gezeit Halbtägige Gezeit Halbtägige Gezeit Halbtägige Gezeit Halbtägige Gezeit Dritteltägige Gezeit Dritteltägige Gezeit Vierteltägige Gezeit Vierteltägige Gezeit Vierteltägige Gezeit Vierteltägige Gezeit Vierteltägige Gezeit Sechsteltägige Gezeit Sechsteltägige Gezeit Achteltägige Gezeit

Tabelle 2.3: Flachwasserkomponenten der Gezeiten.

siderischen Monates beträgt 27.32166 Tage, also ist die Kreisfrequenz der Mm-Gezeit ω = 2π/2360590 s = 2.6617 · 10−6 rad/s. Da auch die Deklination im gezeitenerzeugenden Potential unter dem Quadrat steht, entsteht auch zur Mm-Gezeit ein Periodendoppel, die M f -Gezeit („Moon fortnight”). Sie hat die Kreisfrequenz ω = 4π/2360590 s = 5.3234 · 10−6 rad/s. • Sa- und Ssa-Gezeit Die Deklination der Sonne verursacht unsere Jahreszeiten, sie schwankt gegenüber der Ekliptik im Laufe eines Jahres (365.25 Tage) um ±23o 27 (Wendekreis des Krebses bzw. des Steinbocks). Diese Bewegung hat eine Kreisfrequenz von ω = 1.99102·10−7 rad/s und wird als Sa-Gezeit („Sun annual”) bezeichnet. Ihr Periodendoppel ω = 3.98204·10−7 rad/s wird als Ssa-Gezeit („Sun semi-annual”) bezeichnet. Beide Tiden sind sehr schwer zu analysieren, da langjährige Beobachtungen benötigt werden.

2.3.3 Flachwasserfrequenzen der Gezeiten Neben den astronomischen Einflüssen, welche die Hauptfrequenzen der Gezeiten bestimmen, treten insbesondere in den Flachwassergebieten der Schelfmeere und küstennahen Meeresbereiche zusätzliche Signalkomponenten auf, die Linearkombinationen der Hauptfrequenzen sind. Ihre Entstehung kann den nichtlinearen dynamischen Prozessen zugeschrieben werden, welche

42

2 Die Vorhersage des Tidewasserstands 120,00

halbtägig

Amplitude [cm]

100,00

80,00

60,00

40,00

20,00

achteltägig

vierteltägig

halbjährig ganztägig

14 tägig 27 tägig

0,00 0,1

ganzjährig

1,0

10,0

100,0

1000,0

Periode [d]

Abbildung 2.4: Das Partialtidenspektrum für den Pegel Helgoland (Daten aus [58])

die Bewegung des Wassers beeinflussen. Wir werden uns im folgenden Kapitel mit diesen intensiver beschäftigen. Auch diese Gezeiten werden durch eine Kombination aus Ziffern und Buchstaben abgekürzt. Führende Ziffern (z. B. 2) weisen auf eine Frequenzvervielfachung (z. B. Verdopplung) gegenüber der Hauptkomponente hin. Die nachfolgenden Großbuchstaben (zwei oder mehr) geben die Zusammensetzung der Tide aus den Hauptkomponenten an. Der nachlaufende Index 1, 2, 3 usw. bezeichnet wie schon bei den Hauptkomponenten die (ungefähre) tägliche Eintrittshäufigkeit (tägliche, halbtägige usw. Wiederkehr). Die Frequenz der zusammengesetzten Tide ergibt sich dabei als Summe oder Differenz der Frequenzen der Hauptkomponenten. Die Tabelle 2.3 gibt eine Zusammenstellung verschiedener wichtiger Flachwasserkomponenten der Gezeiten und ihren Zusammenhang mit den Hauptkomponenten der Gezeiten an.

2.3.4 Das diskrete Partialtidenspektrum Abbildung 2.4 zeigt ein aus der Partialtidenanalyse mit insgesamt 50 Partialtiden für den Pegel Helgoland gewonnenes Spektrum. Die höchsten Werte nimmt darin die Gruppe der halbtägigen Tiden ein. Die niedrigsten Perioden entstammen den achteltägigen Partialtidesignalen. Am langfristigen Ende steht die ganzjährige Sa-Partialtide mit einer Amplitude von fast 20 cm. Diese jährlichen Effekte verursachen die elliptische Bahn der Erde um die Sonne und die Neigung der Erdachse. Eine Partialtidenanalyse kann daher nicht für einen kürzer fristigen Zeitraum gemacht werden.

2.4 Partialtidenamplituden in der Deutschen Bucht

43

Das Spektrum ist diskret, die einzelnen Werte im Graphen können also nicht durch Linien verbunden werden. Nur die angegebenen Perioden sind mit von Null verschiedenen Amplituden besetzt. Würde man dieses Spektrum noch mit wesentlich kleineren Perioden (im Sekundenbereich und darunter) fortsetzen, so könnte man dann auch die Signale des Seegangs und der Turbulenz ausmachen. In diesem Bereich ist das Spektrum dann allerdings kontinuierlich. Übung 8: Berechnen Sie die Kreisfrequenzen ω und daraus die Perioden T der ν2- und der MSN2-Gezeit.

2.4 Partialtidenamplituden in der Deutschen Bucht Wendet man die Partialtidenanalyse auf die an einem Pegel gewonnenen Wasserstandsmessdaten an, dann bekommt man die Amplituden und Phasenverschiebungen der Partialtiden an diesem einen Ort. Ein wesentlich aussagekräftigeres Bild erhält man, wenn man die Partialtidenanalyse auf die Ergebnisse eines numerischen Simulationsmodells etwa der Deutschen Bucht anwendet. Da ein solches Modell die Wasserstandsentwicklung an jedem Berechnungsknoten und damit flächenhaft über das gesamte Modellgebiet kennt, kann man nach der Partialtidenanalyse aller Knotenwasserstandszeitreihen ein flächenhaftes Bild von den Amplituden und Phasenverschiebungen der Partialtiden bekommen. So sind die Abbildungen 2.9 bis 2.12 aus dem Nordseemodell der Bundesanstalt für Wasserbau [63] entstanden. Sie zeigen die Amplitude der einzelnen Partialtiden farbig. So hat die K1 -Gezeit z. B. im Bereich von Helgoland eine Amplitude von etwa 10 cm. Ein Vergleich der jeweiligen Farblegenden zeigt, dass die M2 -Gezeit dabei die größte Amplitude besitzt. Ihr folgen der Reihe nach die S2 -, dann K1 - und O1 - und schließlich M4 - und M6 -Gezeit. Desweiteren zeigen die Abbildungen auch, dass die Gezeiten in Übereinstimmung mit den Ergebnissen des Abschnitts 3.7 eine Flachwassererscheinung sind: So steigt die Amplitude am küstenfernen linken oberen Bildrand der Abbildung 2.10 von 0.4 m in Küstennähe auf über 1.6 m an. Die Ursache für diesen Effekt werden wir im Kapitel 6 analysieren.

2.5 Die Partialtidensynthese Kennt man die Amplitude und Phasen der wichtigsten Partialtiden an einem Ort, dann lässt sich der Tidewasserstand mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogrammes in Abhängigkeit von der Zeit (z. B. in der ersten Spalte) bestimmen. Dabei kann man jeweils eine weitere Spalte für die einzelnen Partialtidensignale Ak cos (ωk ti + φk ) reservieren und diese dann in einer letzten Spalte zum Gesamtsignal aufsummieren. Die Partialtidensynthese ist mit einer solchen Software ein einfaches Unterfangen. Dies war allerdings nicht immer so, da vor dem IT-Zeitalter solche Hilfsmittel noch nicht zur Verfügung standen. So wurde die Partialtidensynthese noch bis 1966 am Bundesamt für Seeschifffahrt und Hydrographie mit einer mechanischen Gezeitenrechenmaschine durchgeführt, wobei 62 Partialtiden addiert wurden.

44

2 Die Vorhersage des Tidewasserstands

2.5.1 Die astronomischen Korrektionen In der Praxis muss jedoch die soeben eingeführte Wasserstandsvorhersagemethode etwas modifiziert werden. Dies hat folgenden Grund: Wir hatten in Abschnitt 1.3.3 gelernt, dass neben der Bewegung des einzelnen gezeitenerzeugenden Gestirns am Firmament auch der Abstand desselben langfristige Periodizitäten aufweist. Dadurch wird die Gezeitenkonstante G ihrem Namen widersprechend eine (langfristige) periodische Funktion. Und in der Folge werden auch die Amplituden des gezeitenerzeugenden Potentials und der einzelnen Partialtiden langfristig periodisch. Gleiches gilt auch für die Phasen. Wählt man nun als Basiskomponenten der Fourieranalyse einen gewissen Satz an so genannten Stammtiden aus dem großen Repertoire an Partialtiden, dann muss die Zeitabhängigkeit der Amplituden und der Phasen noch irgendwie in der Stammtiden aufgelöst werden. Dies geschieht durch die Substitutionen Ak = jk Hk

und φk = (V0 + ν)k − gk ,

womit die harmonische Wasserstandsvorhersagezeitreihe h(t) = h +

Ntide

∑

jk Hk cos (ωk ti + (V0 + ν)k − gk )

k=1

lautet. Die eigentliche Amplitude einer Partialtide k ist nun Hk , während jk eine sogenannte astronomische Korrektion ist, die aus den langfristigen Schwankungen des gezeitenerzeugenden Potentials resultiert. V0 ist nun der Phasenwinkel für einen festgesetzten Bezugszeitpunkt, üblicherweise der erste Tag des aktuellen Jahres, 00:00 Uhr UTC (Universal Time Coordinated). Entsprechend korrigiert νk die langfristigen Effekte in der Phase. Die Daten für die astronomischen Korrektionen werden vom Bundesamt für Seeschifffahrt und Hydrographie ermittelt und sind in Tafelwerken für die Pegel der deutschen Nordseeküste tabelliert [9]. Die Werte jk liegen in der Regel um den Wert 1.0 herum. Bei der M2 -Tide beträgt die Abweichung z. B. maximal 4 % der Amplitude. Übung 9: Nehmen wir einmal an, dass an einem Pegel (h = 4.0 m) nur die M2 -Partialtide einen wirklichen Einfluss habe. Für diese seien j = 1, H = 1.3 m und ν = g = 0. Am 1.1.2006 00:14 UTC werde Pegelwert 1.43 mNN gemessen. Bestimmen Sie den Phasenwinkel V0 bezogen auf den Beginn des Jahres.

2.5.2 Der Spring-Nipp-Zyklus Um besonders markante Charakteristika der Tidewasserstandszeitreihen zu erkennen, wollen wir die dominante M2 -Gezeit einmal mit der etwa gleichlangen S2 -Gezeit, dann mit einer längeren, ganztägigen und einer kürzeren, vierteltägigen Gezeit kombinieren. Die Kombination der fast gleich langen S2 - und M2 -Gezeit verursacht laut Abbildung 2.5 eine Schwebung in der Amplitude der dominanten M2 -Gezeit. Bei dieser wird die Amplitude rhythmisch mehr oder weniger verstärkt. Man bezeichnet dieses pulsierende Variieren einer Grundamplitude in der Schwingungstechnik auch als Modulation.

2.5 Die Partialtidensynthese

45

7,50

7,00

Wassertiefe[m]

6,50

6,00

5,50

5,00

Nipptiden

Springtiden

4,50 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Zeit [Tagen]

Abbildung 2.5: Ein aus S2 (A = 20 cm) und M2 (A = 1 m) Anteilen zusammengesetztes Gezeitensignal zeigt die Nipp-Springtiden-Modulation der Gezeiten.

Um die Länge dieser Schwebung zu bestimmen, wollen wir diese Überlagerung zweier Schwingungen mathematisch analysieren. Liegt dazu die Wasseroberfläche zS (t) im zeitlichen Mittel bei 0mNN, dann gilt: zS (t) = A1 sin ω1t + A2 sin ω2t = (A1 − A2 ) sin ω1 t + A2 (sin ω1t + sin ω2t) Nun wird das trigonometrische Additionstheorem für den Sinus angewendet:     ω1 + ω2 ω1 − ω2 ... = (A1 − A2 ) sin ω1 t + 2A2 cos t sin t 2 2

 modulierte Amplitude Da (ω1 + ω2 )/2 ebenfalls wieder eine halbtägige Tide ist, wird diese also mit der Kreisfrequenz (ω1 − ω2 )/2 = 5 · 10−6 rad/s moduliert. Dies entspricht einer Periode von ca. 14.5 Tagen, den man als Spring-Nipp-Zyklus bezeichnet. Die Tiden mit den höchsten Amplituden heißen Springtiden. Bei ihnen läuft das Tidehochwasser besonders hoch auf und das Tideniedrigwasser besonders niedrig ab. Die Tiden mit den niedrigsten Amplituden heißen dann Nipptiden.

2.5.3 Die tägliche Ungleiche Betrachten wir nun den Fall, dass die Tide sich an einem Ort nur aus einem ganztägigen und einem halbtägigen Signal zusammensetzt. Beginnen wir mit der nicht-kanonisierten M1 - und

46

2 Die Vorhersage des Tidewasserstands 7,50

7,00

Wassertiefe[m]

6,50

6,00

5,50

5,00

4,50

4,00 0

2

4

6

8

10

12

14

Zeit [Tagen]

Abbildung 2.6: Ein aus M1 (A = 20 cm) und M2 (A = 1 m) Anteilen zusammengesetztes Gezeitensignal. Die sich einstellende tägliche Ungleiche wiederholt sich Tag für Tag exakt gleich. 7,50

7,00

Wassertiefe[m]

6,50

6,00

5,50

5,00

4,50

4,00 0

2

4

6

8

10

12

14

Zeit [Tagen]

Abbildung 2.7: Ein aus K1 (A = 20 cm) und M2 (A = 1 m) Anteilen zusammengesetztes Gezeitensignal. Die tägliche Ungleiche ist unregelmäßig.

2.5 Die Partialtidensynthese

47

der M2 -Gezeit. Erstere hat hier genau die doppelte Periode von zweiterer. Damit wird der dominanten halbtägigen Gezeit genau zu jedem zweiten Tidehochwasser noch etwas hinzugefügt und zu jedem zweiten Tidehochwasser etwas abgezogen. Gleiches gilt für das Tideniedrigwasser, wodurch die so genannte tägliche Ungleiche der Tide entsteht, die in Abbildung 2.6 dargestellt ist. In der kanonischen Partialtidenanalyse wird anstelle der M1 - die K1 -Tide verwendet. Sie hat nicht exakt die doppelte Periode wie die dominante M2 -Gezeit. Daher verschiebt sich der Effekt der täglichen Ungleiche mit der Zeit. Dies kann man in Abbildung 2.7 sehr deutlich sehen, wenn man etwa die Lage jedes zweiten Tideniedrigwassers mit dem Auge auf der Zeitachse verfolgt. Bei der Berücksichtigung von Mond- und Sonnengezeiten vermittelt die aus den Amplituden der Partialtiden S2 , M2 , K1 und O1 berechnete Formzahl der Gezeiten F F=

K1 + O1 M2 + S2

einen quantitativen Eindruck über die tägliche Ungleichheit bzw. die Form der Gezeitenkurve während eines Tages. Es gilt folgende Einteilung: F = 0,00–0.25 : halbtägige Gezeitenform F = 0,25–1.50 : gemischte, überwiegend halbtägige Gezeitenform F = 1,50–3.00 : gemischte, überwiegend ganztägige Gezeitenform F > 3.00 : ganztägige Gezeitenform Bei der halbtägigen Gezeitenform treten zwei Hoch- und Niedrigwasser pro Tag von annähernd gleicher Größe auf. Dies ist auch noch bei der gemischten, überwiegend halbtägigen Gezeitenform der Fall, allerdings sind die Höhen stark voneinander verschieden. Beim Übergang zur gemischten, überwiegend ganztägigen Gezeitenform treten gelegentlich nur noch ein Hochwasser sowie starke Ungleichheiten bezüglich der Höhe auf. Bei der ganztägigen Gezeitenform tritt fast immer nur noch ein Hochwasser pro Tag auf. An den Küsten in der Deutschen Bucht herrschen halbtägige Gezeitenformen vor.

2.5.4 Die Asymmetrie der Tide In Abbildung 2.8 ist nun die Überlagerung der dominanten M2 - mit der halb so kurzen M4 -Gezeit dargestellt. Hier wird die Phasenverschiebung zwischen den beiden ein wesentliches Charakteristikum des von ihnen erzeugten Gesamtsignals. Betrachten wir zunächst den Fall, dass die M4 -Gezeit der M2 -Gezeit um 90o hinterherhinkt. Das Tideniedrigwasser wird dann bauchig und gestreckt, das Tidehochwasser wird steiler, dafür in seiner Dauer kürzer. Der umgekehrte Fall tritt ein, wenn die M4 -Gezeit der M2 -Gezeit um 270o hinterherhinkt. Bei einer Verschiebung von 180o wird der Tidestieg steil, der Tidefall flach und kann dabei sogar einen Buckel ausbilden. Die kurzperiodischeren Partialtiden führen also zu einer Asymmetrisierung des harmonischen Gezeitensignals. Im Folgenden müssen wir uns der Aufgabe stellen, die Entstehung von Flachwassertiden genauer zu analysieren, und dabei ein Augenmerk darauf legen, ob es Gesetzmäßigkeiten für die

48

2 Die Vorhersage des Tidewasserstands 7,50

7,00

Wassertiefe[m]

6,50

6,00

5,50

5,00

-180°

4,50

-90° -270° 4,00 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

Zeit [Tagen]

Abbildung 2.8: Ein aus M2 (A = 1 m) und M4 (A = 20 cm) Anteilen zusammengesetztes Gezeitensignal bei verschiedenen Phasenverschiebungen der M4 -Gezeit.

Phasenverschiebung zwischen der M2 - und der M4 -Gezeit gibt. Übung 10: Von einem Pegel sind folgende Partialtideamplituden und Phasen bekannt: Partialtide M2 K1 S2 O1

Amplitude [m] 1.000 0.300 0.100 0.002

Phase [rad] 0.30 0.04 1.20 2.00

Synthetisieren Sie mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogrammes die so entstehende Gesamttide und stellen Sie diese graphisch über einen einwöchigen Zeitraum dar. Wie groß ist der Formfaktor F ? Übung 11: Berechnen Sie die Schwebungsdauer des aus M2 - und N2 zusammengesetzten Tidesignals.

2.5 Die Partialtidensynthese

Abbildung 2.9: Amplitude und Phase der K1 -Gezeit nach dem Nordseemodell [63] (Quelle: BAW).

49

50

2 Die Vorhersage des Tidewasserstands

Abbildung 2.10: Amplitude und Phase der M2 -Gezeit nach dem Nordseemodell [63] (Quelle: BAW).

2.5 Die Partialtidensynthese

Abbildung 2.11: Amplitude und Phase der O1 -Gezeit nach dem Nordseemodell [63] (Quelle: BAW).

51

52

2 Die Vorhersage des Tidewasserstands

Abbildung 2.12: Amplitude und Phase der S2 -Gezeit nach dem Nordseemodell [63] (Quelle: BAW).

2.6 Zusammenfassung

53

h vs. t fit 1

2.5 2

Wasserstand [m]

1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −2.5 2.785

2.79

2.795

2.8 Zeit [s]

2.805

2.81 7

x 10

Abbildung 2.13: Der Vergleich eines Teils der Originalzeitreihe des Wasserstands am Pegel Elsfleth mit dem aus der Analyse von 15 Partialtiden synthetisch gewonnenen Wasserstand zeigt z. T. erhebliche Abweichungen.

2.6 Zusammenfassung In diesem Kapitel haben wir die grundlegende Methode kennengelernt, die Gezeiten an einem bestimmten Ort zu prognostizieren, sofern dort an einem Pegel hinreichend lange Aufzeichnungen des Gezeitenwasserstands vorhanden sind. Diese Zeitreihe wird durch eine harmonische Summe vorgegebener Frequenzen approximiert und dann in die Zukunft verlängert. Diese vorgegebenen Frequenzen entstammen der einzelnen astronomischen Grundfrequenzen der gezeitenerzeugenden Kräfte sowie gewissen Linearkombinationen derselben. Man bezeichnet diese als Partialtiden. Die Verlässlickeit des dargestellten Verfahrens beschränkt sich auf die Eintrittszeiten der Extremwasserstände. Der tatsächliche Wasserstand wird auch durch die meteorologischen und hydrologischen Bedingungen (Oberwasser in einem Ästuar) oder aus der Nordsee kommende Fernwellen beeinflusst (Abbildung 2.13).

3 Gezeitenwellen Nachdem wir im vorangegangenen Kapitel gelernt haben, wie man mit der Schwingung des Gezeitenwasserstands an einem festen Ort arbeitet, um ihn zukünftig zu prognostizieren, wollen wir unsere Aufmerksamkeit nun den räumlichen Eigenschaften der Gezeiten widmen. Vergleicht man die Kurven des Gezeitenwasserstands an verschiedenen, aufeinanderfolgenden Orten, so wird eine zeitliche Verzögerung in den Eintrittszeiten einer bestimmten Tidephase erkennbar. Damit entpuppen sich Ebbe und Flut sehr schnell als Bewegung einer langen Wasserwelle. Dabei ist die Ankunft eines Wellenbergs mit einem Tidehochwasser und eines Wellentals mit einem Tideniedrigwasser verbunden. Dieser Zusammenhang ist in den Abbildungen 3.2 und 3.3 zu erkennen. Sie zeigen verschiedene synoptische (griech.: überblickend, d. h. flächenhaft zu einem festen Zeitpunkt) Informationen des Nordseemodells der Bundesanstalt für Wasserbau. Farbig ist der Wasserstand d. h. die Lage der freien Oberfläche zS , dargestellt. Die Vektoren weisen in die Richtung der Strömungsgeschwindigkeit, ihre Länge ist ein Maß für den Betrag der Geschwindigkeit. Ferner wird die Lage des Bodens zB durch schwarze Isolinien angedeutet. Ein solches Computermodell hat den Vorteil, dass man die zeitliche Veränderung der Ergebnisse Schritt für Schritt nachvollziehen kann. In der Animation würde man dann die Bewegung der Wasseroberfläche erkennen, die hier auf Papier nur für zwei Zeitpunkte wiedergegeben ist. In der Abbildung 3.2 sieht man aus dem Ärmelkanal kommend ein Tidehochwasser (in rot). Folgen wir der Küste des Kontinents, dann erkennt man vor den westfriesischen Inseln (in sehr hellem blau, fast noch grün) ein Tideniedrigwasser, welchem in der Deutschen Bucht vor der Mündung von Weser und Elbe ein weiteres Tidehochwasser folgt. Der Küste Englands von Schottland zum Ärmelkanal folgend sehen wir eine zweite Tidwelle in die Nordsee Richtung Süden einlaufen. Ihr Niedrigwasser wird etwas später auf das aus dem Ärmelkanal kommende Hochwasser treffen, wodurch dieses erheblich geschwächt wird. In Abbildung 3.3 sind die Tideverhältnisse vier Stunden später dargestellt. Das Tideniedrigwasser der westfriesischen Inseln ist nun in die Deutsche Bucht eingelaufen und hat sich dort aufgesteilt, d. h. weiter erniedrigt. Dies liegt einerseits an dem bündelnden Effekt, den die Rechtwinkligkeit der Deutschen Bucht auf die Wassermassen hat, andererseits führt die Reflektion der Tidewelle zu ihrem Aufsteilen. Mit diesem Effekt werden wir uns in der Ästuartheorie noch befassen. Wir wollen in diesem Kapitel zunächst die dem Computermodell zugrundeliegenden Gleichungen kennenlernen. Sie sind deshalb wichtig, weil sie das reale Gezeitengeschehen in der Nordsee sehr gut reproduzieren. Wir werden dann nachweisen, dass die Tide tatsächlich eine Welle ist, wobei dieser Begriff vorher konkretisiert wird. Weitere daran anschließende Analysen werden zeigen, dass die sehr kleinen gezeitenerzeugenden Kräfte tatsächlich in der Lage sind, Gezeitenwellen zu erzeugen, und wie die sogenannten Flachwassertiden entstehen, die den Partialtidenzoo um noch einige weitere Spezies bereichern. A. Malcherek, Gezeiten und Wellen, DOI 10.1007/978-3-8348-9764-0_4, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

56

3 Gezeitenwellen

Abbildung 3.1: Tidehoch- und -niedrigwasser an der Weser in Bremen.

3.1 Das tiefengemittelte Modell der Hydromechanik In der Einleitung wurde etwas suggestiv behauptet, dass die Abbildungen 3.2 und 3.3 die Strömungsgeschwindigkeiten in der Nordsee darstellen. Dies gilt es ein wenig zu konkretisieren. Tatsächlich ist die Geschwindigkeit z. B. am Boden wesentlich kleiner als in der Mitte der Wassersäule oder an der Wasseroberfläche. Sie kann sogar dort durch die Wirkung des Windes in eine andere Richtung weisen als in den tieferen Schichten. Die in den Abbildungen dargestellten Geschwindigkeiten sind genauer gesagt nur die Mittelwerte der Strömungsgeschwindigkeiten über die vertikale Wassersäule zwischen dem Boden und der aktuellen Wasseroberfläche. In vielen praktischen Anwendungen reicht es, das Tiefenmittel der Geschwindigkeit zu kennen, und wir wollen ihre West-Ost-Komponente mit u und ihre Süd-Nord-Komponente mit v bezeichnen. Ein mathematisches Modell, welches nur diese tiefengemittelten Geschwindigkeiten bestimmen kann, bezeichnet man daher auch als tiefengemitteltes Modell. Die Abbildungen zeigen die Wasserstände und die Vektoren der Strömungsgeschwindigkeiten in der als Ebene aufgespannten Nordsee zu verschiedenen Zeitpunkten. Die hydrodynamischen Größen sind also Funktionen der West-Ost-Richtung x, der Nord-Süd-Richtung y und der Zeit t. Ein hydrodynamisch-numerisches Modell der Nordsee muss also Lösungen für • die tiefengemittelte Ost-West-Geschwindigkeit u(x, y,t), • die tiefengemittelte Süd-Nord-Geschwindigkeit v(x, y,t) • und die Wassertiefe h(x, y,t) oder die Lage der Wasseroberfläche zS (x, y,t) produzieren.

3.1.1 Die Vertikalgeschwindigkeit unter Tidewellen Gezeitenwellen besitzen die besondere Eigenschaft, dass das Auf und Ab des Wasserstandes an einem Ort nicht durch Vertikalgeschwindigkeiten zustande kommt. Die Wasserstandsänderungen kommen durch die Horizontalbewegung wellenförmigen Meeresoberfläche.

3.1 Das tiefengemittelte Modell der Hydromechanik

57

Abbildung 3.2: Synoptische Darstellungen des Wasserstands in der Nordsee am 20.8.07 18:00 und 4 Stunden später (Quelle: BAW).

58

3 Gezeitenwellen

N

DK

GB

D

NL

Isolinien der Bathymetrie: -10, -30, ... -110 [mNN ]

1.60 m/s Zeitpunkt: 21.08.2002-04:00

Nordsee-Modell

Topographie (Watt) [mNN]

-2.5

0 Wasserstand [mNN]

2.5

-1.6

0

1.6

BAW-Hamburg 0

250.00 km

Abbildung 3.3: Synoptische Darstellungen des Wasserstands in der Nordsee am 20.8.07 18:00 und 4 Stunden später (Quelle: BAW).

3.1 Das tiefengemittelte Modell der Hydromechanik

59

Damit legt sich der Verdacht nahe, dass man die Vertikalgeschwindigkeit w selbst vernachlässigen kann. Um dies zu bestätigen, gehen wir einmal davon aus, dass sie die Vertikalbewegung der Wasseroberfläche bewirkt. Sie kann also als dzS (t) dh(t) = dt dt abgeschätzt werden. Nehmen wir nun an, dass die Wasserstandsänderungen nur von der dominanten M2 -Gezeit der Winkelgeschwindigkeit erzeugt werden. Dann ist w

w  Aω cos ωt ≤ Aω und mit einer angenommenen Amplitude von einem Meter ergibt sich somit eine Vertikalgeschwindigkeit von unter Aω = 1.40 ·10−4 rad/s · 1 m = 1.40 ·10−4 m/s = 0.14 mm/s. Partialtiden mit größeren Winkelgeschwindigkeiten ergeben demnach auch größere Vertikalgeschwindigkeiten; sie haben in der Regel aber auch kleinere Amplituden, so dass sie ebenfalls sehr klein sind. Man kann die Vertikalgeschwindigkeit unter Tidewellen im Vergleich zu den Horizontalgeschwindigkeiten also prinzipiell vernachlässigen. Dies gilt natürlich nur dort, wo keine Unregelmäßigkeiten am Boden die Horizontalgeschwindigkeit in die Vertikale ablenken. Übung 12: Schätzen Sie die maximale Vertikalgeschwindigkeit unter einer O1 -Gezeit von einer Amplitude von 12 cm ab.

3.1.2 Die Dynamik des Wasserspiegels Um eine Bestimmungsgleichung für den Wasserstand aufzustellen, muss man sich zunächst fragen, wann und warum sich dieser eigentlich in einem Küstengewässer ändert. Die dabei bestehenden Möglichkeiten sind in Abbildung 3.4 vorgestellt. Wasserspiegeländerungen durch Divergenzen und Konvergenzen Im linken Bild ist eine Situation skizziert, in der die Geschwindigkeit in Strömungsrichtung abnimmt. Die vorderen Geschwindigkeitsteilchen bremsen also zunehmend die von hinten aufrückenden. Wäre dies beim Marsch einer Kolonne der Fall, so würden die hinteren seitwärts ausweichen müssen. Wasserteilchen haben aber auch die Möglichkeit, nach oben auszuweichen, wodurch sich die Wassertiefe erhöht. Solche Zonen bezeichnet man als Konvergenzzonen. Sie sind durch abnehmende Strömungsgeschwindigkeiten in Bewegungsrichtung charakterisiert: Konvergenzzonen:

∂u ∂v , <0 ∂x ∂y

oder

−

∂u ∂v ,− >0 ∂x ∂y

Umgekehrtes passiert natürlich, wenn die Bewegungsgeschwindigkeit in Strömungsrichtung zunimmt; der Wasserspiegel sinkt ab. Man bezeichnet einen solchen Bereich auch als Divergenzzone. Er ist durch eine zunehmende Geschwindigkeit in Laufrichtung gekennzeichnet: Divergenzzonen:

∂u ∂v , >0 ∂x ∂y

oder

−

∂u ∂v ,− <0 ∂x ∂y

60

3 Gezeitenwellen

Abbildung 3.4: Bewegungsformen der freien Oberfläche. Links: Aufstau durch Geschwindigkeitsabnahme, rechts: Advektion von Oberflächengradienten.

Wir wollen diesen Prozess mathematisch beschreiben, d. h. wir müssen die bisher sprachlich formulierten Zusammenhänge in mathematische Symbolik umsetzen. Dabei übersetzen wir: • die zeitliche Änderung des Wasserstands durch

∂h ∂t

• die räumliche Änderung der Strömungsgeschwindigkeit in Strömungsrichtung durch oder

∂v . ∂y

∂u ∂x

Der Begriff „Änderung” muss jeweils noch dahingehend konkretisiert werden, ob es sich um eine Zu- oder eine Abnahme handelt. Dabei ist eine Ableitung immer positiv, wenn es sich um eine Zunahme in Koordinatenrichtung handelt. In einer Konvergenzzone steigt der Wasserstand, die Strömungsgeschwindigkeit nimmt in Koordinatenrichtung aber ab. Somit gilt: ∂u ∂v ∂h  − ,− ∂t ∂x ∂y Übung 13: Identifizieren Sie in der Abbildung 3.2 eine Divergenzzone, in der der Wasserstand abnehmen, und in der Abbildung 3.3 eine Konvergenzzone, in der der Wasserstand zunehmen wird. Advektive Wasserspiegeländerung Die zweite Möglichkeit der Wasserspiegellagenveränderung besteht darin, dass die Strömung einfach eine andere Wasserspiegellage an den Beobachtungsort herantransportiert. Hierzu bedarf es zunächst einmal einer räumlichen Änderung des Wasserspiegels, d. h. ∂∂ hx oder ∂∂ hx müssen (bei ebener Sohle) ungleich Null sein. Ferner muss die Geschwindigkeit entgegengesetzt zum Wasserspiegelgradient ausgerichtet sein, damit es zu einer Erhöhung des Wasserstandes kommt. Es ergibt sich damit die folgende Proportionalität: ∂h ∂h ∂h  −u , −v ∂t ∂x ∂y Beide Zusammenhänge sind bisher nur Proportionalitäten, also keine Gleichungen, mit denen man die Wasserspiegeländerung tatsächlich berechnen kann.

3.1 Das tiefengemittelte Modell der Hydromechanik

t+Dt

61

DzS /Dt DzS

t

zS

qy2

qx2 = u2 h2

qx1 = u1 h1

l2 = Dy

qy1 l1 = Dx

Abbildung 3.5: Massenbilanz an einem Kontrollvolumen der Wassersäule.

Bilanzierung der Volumenströme Um zu exakten Gleichungen zu gelangen, muss man die Wassermengen in der Wassersäule bilanzieren. Ihre Abmessung wird durch die Wassertiefe h h(x, y,t) := zS (x, y,t) − zB (x, y) bestimmt, die die Differenz zwischen der geodätischen Höhe der freien Oberfläche zS und der Sohle zB ist. Zur Bilanzierung schneiden wir ein prismatisches Stück Wassersäule der Grundfläche A aus dem Fließgewässer heraus (siehe Abbildung 3.5) und betrachten in diesem die eintretenden und austretenden Wasservolumen. Die Vorzeichen der durch die einzelnen Kantenflächen durchgehenden Volumenströme Qi (in [m3 /s]) seien so gewählt, dass positive dem Kontrollvolumen zugeführt und negative Ströme Wasser heraustragen. Damit ändert sich das Gesamtvolumen der prismatischen Wassersäule in der Form: ∂V = ∑ Qi ∂t i Den Volumendurchfluss Qi kann man durch den sogenannten spezifischen Durchfluss qi als Volumendurchfluss pro Breitenmeter darstellen. Ist li also die Länge einer Kante des Prismas, dann ist: Qi = qi li Ersetzt man dieses in der Bilanzgleichung und teilt durch die Grundfläche A = V /h, dann folgt: ∂h = ∂t

∑ qi l i i

A

62

3 Gezeitenwellen

Bisher haben wir noch nicht berücksichtigt, dass der spezifische Durchfluss ein zweidimensionaler Vektor ist, der sich aus dem Vektor der tiefengemittelten Geschwindigkeit als  q =

uh vh



bestimmt. Um die Richtungsinformation der vektoriellen spezifischen Durchflüsse richtig zu bilanzieren, werden die Normaleneinheitsvektoren ni auf den einzelnen Kanten zu Hilfe genommen, die senkrecht auf der Kante stehen und aus dem Kontrollvolumen hinausweisen. Damit ist das Skalarprodukt qini auf einer Kante i positiv, wenn der Fluss das Kontrollvolumen verlässt, und negativ, wenn er in dieses eindringt. Für die zeitliche Entwicklung der Wassertiefe gilt damit: ∂h =− ∂t

∑qini li i

A

Diese Gleichung bildet die Grundlage einer wichtigen numerischen Verfahrensklasse, der Methode der Finiten Volumen. Bei dieser wird die Grundfläche des Modellgebiets, also z. B. die Deutsche Bucht in einzelne Polygone (z. B. Dreiecke) zerlegt. Die Wassersäule über diesen Polygonen stellt dann die finiten Volumina dar. Zur Berechnung der Wasserstandsänderungen benötigt man die spezifischen Durchflüsse qi auf den Kanten, die mit Hilfe der Impulsgleichungen bestimmt werden. Wie in der Abbildung 3.5 ebenfalls angedeutet, ist ein Kontrollvolumen viel zu ungenau, um die zeitliche Entwicklung der Wassertiefe an einem bestimmten Punkt zu bestimmen, denn man weiß nicht, ob der Wasserstand über das gesamte Kontrollvolumen gleichmäßig oder nur in bestimmten Zonen ansteigt. Die Information wird also umso genauer, desto kleiner man das Kontrollvolumen wählt. Wir wollen also den Grenzübergang A → 0 wagen. Dazu nehmen wir an, dass die Grundfläche A ein achsenparalleles Rechteck ist, A = ΔxΔy. Für eine zur y-Achse parallele Kante ist der Normaleneinheitsvektor dann in bzw. entgegengesetzt zur x-Richtung orientiert, auf dieser Kante ist also qSni = qS x und die Länge der Kante ist li = Δy. Die rechte Seite wird dann zu:   qS ni li Δqx Δy Δqy Δx = lim + lim ∑ i A→0 i ΔxΔy→0 A ΔxΔy ΔxΔy  = =

lim

ΔxΔy→0

Δqx Δqy + Δx Δy



∂ qx ∂ qy + = div q ∂x ∂y

So bekommt man als Ergebnis für die Dynamik der Wassertiefe ∂h + div q = 0 ∂t oder ausgeschrieben:

3.1 Das tiefengemittelte Modell der Hydromechanik

∂ h ∂ uh ∂ vh + + =0 ∂t ∂x ∂y

63

(3.1)

Eine Änderung der Wassertiefe wird also immer dann erfolgen, wenn der Durchfluss an einem Punkt nicht ausgewogen ist. Übung 14: Zeigen Sie durch die Anwendung der Produktregel, dass die Gleichung (3.1) tatsächlich die Änderung des Wasserspiegels durch Divergenzen und Konvergenzen und durch Advektion vorhersagt.

3.1.3 Die tiefengemittelte Bilanz des Impulses Stellt man sich das Küstengewässer als eine Menge von sich in der horizontalen Ebene bewegenden Wasserteilchen vor, dann kann man die Impulsgleichungen durch die Kraftbilanz auf diese Teilchen gewinnen. Das zweite Newtonschen Axiom stellt dabei einen Zusammenhang zwischen den wirkenden äußeren Kräften und den Reaktionen eines Partikels her. In der Hydromechanik bezieht man die Kräfte immer pro Masse f und bekommt für die Beschleunigung eines Fluidpartikels: Du  =f Dt Auf der linken Seite dieser Vektorgleichung steht die Beschleunigung, die jedes Fluidmolekül durch die Kräfte f auf der rechten Seite erfährt. Dabei ist es natürlich unmöglich, jedes einzelne Wassermolekül der Weltmeere auf seiner Trajektorie zu verfolgen. Vielmehr interessiert man sich für die Geschwindigkeit an festen Bezugspunkten, welche ein ortsfestes Messgerät oder auch die Knotenpunkte des Rechengitters eines numerischen Modells sein können. Diese Umrechnung auf ein ortsfestes Bezugssystem geschieht durch die so genannten advektiven Terme: Du Dt  Beschleunigung eines Fluidpartikels

=

∂u ∂t 

∂u ∂u + u +v ∂x ∂y  lokale Advektive Beschleunigung Beschleunigung an einem festen Ort

Die auf jedes Fluidpartikel wirkende Gesamtkraft f ist eine Summe aus vielen Einzelkräften, von denen wir die Coriolis- und die Gezeitenkräfte schon kennengelernt haben: Du  = fFOF + f innereReibung + fCoriolis + f Tide + fSohle + fWind Dt Die linke Seite wird wieder durch die advektiven Terme von der Beschleunigung des Einzelteilchens auf die lokale Beschleunigung überführt. Auf der rechten Seite steht die Summe der verschiedenen wirkenden Kraftdichten:

64

3 Gezeitenwellen

• Der wichtigste Term der rechten Seite ist die treibende Wirkung eines Gefälles der freien Oberfläche, d. h. der Wasseroberfläche: fFOF = −g grad zS Das Minuszeichen führt dazu, dass eine Kraft in die Richtung der fallenden Wasseroberfläche wirkt. Dieser Kraftanteil treibt besonders die Flüsse von den Bergen in die Ozeane. • Im Rahmen dieses Kapitels werden die inneren Reibungen im Fluid und die Corioliskraft nicht benötigt. Wir vernachlässigen sie hier also, weisen aber darauf hin, dass sie in einem Computermodell berücksichtigt werden müssen, welches Küstenströmungen tiefengemittelt simuliert. • Als wichtigsten eine Strömung bremsenden Anteil findet man in tiefenintegrierten Modellen die mit der Sohlschubspannung τB verbundene Kraftdichte: fSohle = − 1 τB hρ Sie wirkt der Bewegung entgegen, daher das Minuszeichen. Die Division durch die Wassertiefe erklärt sich aus der Tatsache, dass die Sohle anteilig umso weniger Einfluss auf das Strömungsgeschehen hat, je tiefer die Wassersäule ist. Das Gleiche gilt für den Wind an der Wasseroberfläche, der über die Windschubspannung τWind eine Kraft auf den Wasserkörper ausübt, die durch fWind = 1 τWind h ρ gegeben ist. Damit bekommen wir die Impulsgleichungen (ohne innere Fluidreibung) zusammen mit der Wasserstandsgleichung ∂u ∂u ∂ zS 1 τBx 1 τWind,x ∂u +u +v = −g − + + fx,tide ∂t ∂x ∂y ∂x h ρ h ρ ∂v ∂v ∂v ∂ zS 1 τBy 1 τWind,y +u +v = −g − + + fy,tide ∂t ∂x ∂y ∂y h ρ h ρ

(3.2)

∂ h ∂ uh ∂ vh + + = 0, ∂t ∂x ∂y die die tiefengemittelte Strömung vollständig bestimmen. Sie werden in solchen numerischen Modellen gelöst, mit denen die Daten in den Abbildungen produziert wurden.

3.2 Die Dichte von Meerwasser

65

1035

1030

S=40‰ 1025

S=30‰ Dichte [kg/m³]

1020

1015

S=20‰

1010

S=10‰ 1005

1000

S=0‰

995

990 0

5

10

15

20

25

30

Temperatur [°C]

Abbildung 3.6: Die Dichte von Meerwasser nimmt (außer an der Dichteanomalie) mit zunehmender Temperatur ab und steigt mit zunehmendem Salzgehalt. Bei stabiler Schichtung liegt das warme über dem kalten Wasser.

3.2 Die Dichte von Meerwasser Der Begriff Impuls ist immer mit dem der Masse verbunden. Diese ist in der Hydromechanik aber schlecht abgrenzbar, da man es hier nicht mit einzelnen festen Körpern, sondern einem Kontinuum zu tun hat, in dem sich nahe beieinanderliegende Bereiche verschieden schnell bewegen können. Man ist daher genötigt, alle Betrachtungen auf unendlich kleine Kontrollvolumina zu beziehen, wodurch die Dichte ρ, d. h. die Masse pro Volumen, in die Gleichungen einzieht. Die Dichte des Wassers in Küstengewässern ist in erster Linie vom Salzgehalt, dann von der Temperatur und schließlich von den mitgeführten Inhaltsstoffen abhängig.

3.2.1 Temperaturabhängigkeit der Dichte Die Dichte von reinem Wasser ist temperaturabhängig. Die maximale Dichte von 1000 kg/m3 erreicht es bei 4 oC (genauer 3.94 oC), darüber und darunter nimmt sie kontinuierlich ab. Als wichtigste Parametrisierung der Dichte von Wasser wurde 1980 von dem Joint Panel on Oceanographic Tables and Standards der UNESCO eine empirische Zustandsgleichung definiert, die die international anerkannten Messwerte des U.S. Naval Hydraulic Office reproduziert [78].

66

3 Gezeitenwellen

Diese legt die Dichte reinen Wassers ρ(T ) in kg/m3 als Polynom fünften Grades von der Temperatur T in Grad Celsius als ρ(T ) = a0 + a1 T + a2 T 2 + a3 T 3 + a4 T 4 + a5 T 5

(3.3)

fest, mit a0 = a3 =

+999.842594 +1.001685 · 10−4

a1 = a4 =

+6.793952 · 10−2 −1.120083 · 10−6

a2 = a5 =

−9.095290 · 10−3 +6.536332 · 10−9 .

Es gibt auch Approximationen der Temperaturabhängigkeit der Dichte mit Polynomen geringerer – jedoch mindestens zweiter – Ordnung.

3.2.2 Abhängigkeit vom Salzgehalt Salze verhalten sich in wässeriger Lösung völlig anders als in „trockenem” Zustand, da sie Ionen bilden, zwischen denen elektrodynamische Kräfte wirken. Daher läßt sich die Dichte von Salzwasser nicht durch eine Mischkalkulation bestimmen. Im Joint Panel on Oceanographic Tables and Standards wird die Dichte als Funktion der Salinität S in Promille bestimmt zu

ρ(S, T ) = ρ(T ) + (b0 + b1 T + b2 T 2 + b3 T 3 + b4 T 4 )S + (c0 + c1 T + c2 T 2 )S3/2 + d0 S2

(3.4)

mit:

b0 = +8.24493 · 10−1 b3 = −8.2467 · 10−7 c1 = +1.0227 · 10−4

b1 = −4.0899 · 10−3 b4 = +5.3875 · 10−9 c2 = −1.6546 · 10−6

b2 = +7.6438 · 10−5 c0 = −5.72466 · 10−3 d0 = +4.8314 · 10−4 .

3.2.3 Abhängigkeit von gelösten Stoffen Liegt ein gelöster Stoff der Dichte ρc in der Massenkonzentration c vor, dann liefert eine lineare Interpolation folgende Abschätzung für die Dichte: ρ(S, T, c) = ρ(S, T ) +

ρc − ρ(S, T ) c ρc

Für c = 0 bleibt die Dichte des Wassers ρ(S, T ), und für den Extremfall c = ρc hat die Lösung die Dichte des gelösten Stoffes. Im Folgenden werden wir mit dem klassischen Wert ρ = 1000 kg/m3 arbeiten, es soll allerdings nicht unerwähnt bleiben, dass die Dichte des Meerwassers hiervon um einige Prozente abweichen kann.

3.3 Wellenfunktion und Wellengleichung

zS

67

wt A

zS

L x Abbildung 3.7: Grundbegriffe zur Wellenfunktion: Amplitude A, Wellenlänge L, Phasenverschiebung ωt.

3.3 Wellenfunktion und Wellengleichung Das Auf und Ab des Gezeitenwasserstands an einem Pegel wird durch die Bewegung (Propagation) von Gezeitenwellen verursacht. Um diese zu analysieren, sollen die wichtigsten Grundbegriffe der Wellenphysik wiederholt werden. Eine Welle ist eine sich im Raum fortbewegende harmonische Funktion. Sie besitzt also eine räumliche und eine zeitliche Abhängigkeit, die durch die mathematische Funktion zS (x,t) = zS + A sin (kx − ωt)

(3.5)

dargestellt werden kann. Dabei benennen wir die Welle mit zS , da wir im Folgenden wellenförmige Bewegungen der Wasseroberfläche zS betrachten werden. Zu jedem festgehaltenen Zeitpunkt, also etwa t = 0, handelt es sich um eine Sinusfunktion, die mit der Amplitude A um den mittleren Wert zS pendelt. Ihre Wellenlänge ist 2π , k was man schnell dadurch bestätigen kann, dass dieser Zusammenhang sich nach der sogenannten Wellenzahl k auflösen und in die Sinusfunktion einsetzen lässt:   2π zS (x) = zS + A sin x L L=

Somit beschreibt die Wellenzahl k die Anzahl der Wellen auf der Länge 2π. Umgekehrt ist eine Welle an einem festen Ort (etwa x = 0) eine Schwingung zS (t) = zS + A sin (−ωt) ,

68

3 Gezeitenwellen

deren Periode durch 2π ω gegeben ist. Eine Welle bewegt sich also in einer Periode T um eine Wellenlänge L voran. Die hiermit verbundene Geschwindigkeit bezeichnet man als Phasengeschwindigkeit c: T=

c :=

L T

Halten wir uns vor Augen, dass die Funktion sin(kx − φ ) gegenüber der Funktion sin(kx) einfach um den Betrag φ auf der x-Achse nach rechts verschoben ist, dann sieht man leicht ein, dass die Zeit t in sin(kx − ωt) dieselbe einfach zunehmend nach rechts verschiebt. Wir werden im Folgenden zeigen, dass man aus den hydromechanischen Bewegungsgleichungen unter bestimmten Umständen die folgende lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung 2 ∂ 2 zS 2 ∂ zS − c =0 (3.6) ∂t 2 ∂ x2 herleiten kann. Dies ist die Wellengleichung der mathematischen Physik für die Wasseroberfläche. Anstelle der Lage der Wasseroberfläche zS können in anderen Bereichen der angewandten mathematischen Physik hier andere schwingungsfähige Größen stehen. Bei den elektromagnetischen Wellen sind dies die elektrische und die magnetische Feldstärke und bei elastischen Wellen die Verschiebung. Ansonsten ist die Form der Wellengleichung aber immer gleich: Sie besagt, dass die Beschleunigung der Wasseroberfläche proportional zur zweiten Ableitung nach den Raumkoordinaten ist. Setzt man die Wellenfunktion in die Wellengleichung ein, dann bekommt man mit der so genannten Dispersionsbeziehung eine zweite Beziehung für die Phasengeschwindigkeit:

ω (3.7) k Somit ist c die Phasengeschwindigkeit der Welle, also die Geschwindigkeit, mit der sich z. B. der Wellenberg oder das Wellental in positiver x-Richtung fortbewegt. ω 2 − c2 k 2 = 0

bzw. c =

Übung 15: Setzen Sie die Funktion (3.5) in die Gleichung (3.6) ein und beweisen Sie, dass damit die Dispersionsbeziehung (3.7) gilt.

3.4 Die Flachwassertheorie der Tidewellen Wir wollen in diesem Abschnitt verstehen lernen, unter welchen Bedingungen es in der Hydromechanik wellenartige Strömungen gibt und wie die Ausbreitung der Tidewellen funktioniert. Das Vorgehensprinzip dazu ist in der Wellenmechanik immer dasselbe. Wenn man weiß, dass auf irgendeinem Gebiet der Physik wellenartige Erscheinungen beobachtet werden, sucht man aus der Kombination von Massen- und Impulslerhaltung die Wellengleichung zu gewinnen.

3.4 Die Flachwassertheorie der Tidewellen

69

Dazu sind z. T. erhebliche Vereinfachungen notwendig. Diese Vorgehensweise wird aber dadurch gerechtfertigt, dass das Vorhandensein von Wellen in der Natur darauf hinweist, dass es auch in der Theorie einen Herleitungsstrang geben muss, der diese Wellen erklärt. Wir verwenden für den Nachweis der Existenz von Gezeitenwellen die Gleichungen der tiefengemittelten Strömung. Das Koordinatensystem werde so gelegt, dass sich die Gezeitenwellen nur in x-Richtung ausbreiten, alle Abhängigkeiten von der y-Koordinate fallen also weg, die vGeschwindigkeit ist Null. Dann bleiben als Massenerhaltungs- und als Impulsgleichung für die tiefengemittelte Geschwindigkeit u: ∂ h ∂ uh + =0 ∂t ∂x ∂u ∂u ∂ zS 1 τBx +u +g =− + fx,tide ∂t ∂x ∂x h ρ Die Kontinuitätsgleichung leiten wir nach der Zeit t ab, um sie später einfacher mit der Impulsgleichung kombinieren zu können: ∂ 2 h ∂ ∂ uh ∂ 2 h ∂ = 2 + + 2 ∂t ∂t ∂ x ∂t ∂x



∂ uh ∂t

 =0

In der Impulsgleichung kann man den nichtlinearen advektive Term u ∂∂ ux vernachlässigen. Dies kann man zeigen, sobald man das Ergebnis für die Geschwindigkeitslösung kennt. Wir wollen hier aber auch die Sohlschubspannung vernachlässigen. Diese Vereinfachung ist im flachen Wasser eigentlich nur damit zu rechtfertigen, dass die folgende Theorie dadurch recht einfach wird. In Abschnitt 9.5 werden wir die Sohlschubspannung dann gebührend berücksichtigen. Man reduziert die Impulsgleichung also auf: ∂u ∂h ∂ zS = −g + fx,tide = −g + fx,tide ∂t ∂x ∂x

(3.8)

Die letzte Identität geht dabei von einer ebenen Sohle aus. Setzen wir das Ergebnis nun in die Kontinuitätsgleichung ein, so ergibt sich:    ∂ 2h ∂h ∂  ∂ gh =− h fx,tide − 2 ∂t ∂x ∂x ∂x bzw.    ∂ 2 zS ∂ zS ∂  ∂ gh =− h fx,tide − 2 ∂t ∂x ∂x ∂x Bei der Anwendung der Produktregel entsteht im zweiten Term das Produkt der Ableitungen von Wasserstand h und der freien Oberfläche zS , also das Produkt zweier kleiner Ausdrücke, welches deshalb vernachlässigt wird:

70

3 Gezeitenwellen

Pegel

Breite

Länge

HW

NW

Nordenham Brake Elsfleth

53o 28’ 53o 19’ 53o 16’

8o 29’ 8o 29’ 8o 29’

+20 min +47 min +60 min

+19 min +67 min +86 min

Tabelle 3.1: Position verschiedener Weserpegel und Eintrittszeiten von Hoch- und Niedrigwasser bezogen auf den Pegel Bremerhaven Alter Leuchtturm.

∂ fx,tide ∂ 2 zS ∂ 2 zS − gh = −h ∂t 2 ∂ x2 ∂x Diese Gleichung entspricht nun tatsächlich der linearen Wellengleichung der mathematischen Physik, wenn man die tideerzeugende Kraft fx,tide auf der rechten Seite unberücksichtigt lässt: ∂ 2 zS ∂ 2 zS − gh =0 ∂t 2 ∂ x2 Wir wollen nun das Ausbreitungsverhalten von Tidewellen analysieren, die durch die astronomischen Kräfte angeregt wurden und sich nun selbständig durch die Ozeane bewegen.

3.4.1 Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Tidewellen Aus dem Vergleich der aus der Flachwassertheorie hergeleiteten Wellengleichung mit der der mathematischen Physik bekommt man für Tidewellen die Dispersionsbeziehung: c=

 gh

Tidewellen laufen also umso schneller, je tiefer das Wasser ist. So hat die Tidewelle in 10 m tiefem Wasser eine Fortpflanzungsgeschwindigkeit von etwa 10 m/s. Dies bedeutet, dass die Eintrittszeitendifferenz des Tidehochwassers an zwei 1 km voneinander entfernten Orten etwa 1 min 40 s ist. Dies bedeutet aber nicht, dass die Strömungsgeschwindigkeit des Wassers 10 m/s ist. Kann man nun die genannte Formel dazu verwenden, Eintrittszeiten von Tidehoch- oder Niedrigwasser an der Küste aus der Propagation (d. h. Fortbewegung von Wellen) der Tidewelle zu berechnen? Leider ist dies in der Praxis nicht so leicht möglich: Im Gezeitenkalender der Bundesamts für Seeschifffahrt und Hydrographie werden die Eintrittszeiten von Tidehoch- und Tideniedrigwasser jeweils für das folgende Kalenderjahr veröffentlicht. Dabei werden die Eintrittszeiten täglich für bestimmte Bezugsorte angegeben. Der Leser kann sich dann selbst für andere Orte durch die angegebenen Zeitdifferenzen die entsprechenden Eintrittszeiten bestimmen. Wir wollen die im Gezeitenkalender gemachten Angaben mit Hilfe der Phasengeschwindigkeitsformel für Tidewellen analysieren. Die Pegel Nordenham und Elsfleth liegen relativ genau auf der Nord-Süd-Achse und haben einen Abstand von 12 Bogenminuten, was 12 Seemeilen (1 sm = 1852 m) bzw. 22.2 km entspricht. Für das Hochwasser ist die Eintrittszeitendifferenz 40 min, woraus sich eine Wassertiefe von h = 8.74 m bestimmen lässt.

3.4 Die Flachwassertheorie der Tidewellen

71

2 0 0 0

M 1

1 8 0 0

K 1

,S 1

1 6 0 0

W e lle n lä n g e [k m ]

1 4 0 0 1 2 0 0

M 2

1 0 0 0

S

8 0 0

2

M 4

M 8

6 0 0 4 0 0 2 0 0 0 0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

W a s s e r tie fe [m ]

Abbildung 3.8: Die Wellenlänge einiger Partialtiden in Abhängigkeit von der Wassertiefe.

Bei Niedrigwasser ist die Eintrittszeitendifferenz zwischen diesen beiden Pegeln 67 min und somit die Wassertiefe nur h = 3.11 m. Das Hochwasser hat also eine größere Propagationsgeschwindigkeit als das Niedrigwasser, da es sich über einer größeren Wassertiefe ausbreitet. Tatsächlich stimmen die so bestimmten Werte aber nicht mit der Realität überein. Die mittlere Wassertiefe liegt zwischen den zwei genannten Pegeln bei etwa 10 m. Die Ursache dieser Fehlkalkulation liegt darin, dass im Ästuar der Weser sich die einlaufende Tidewelle mit einer reflektierte Welle überlagert wird. Wir kommen hierauf aber noch zurück. Übung 16: Bestimmen Sie die für die Ausbreitung der Tidewellen relevanten theoretischen Wassertiefen für das Hoch- und das Niedrigwasser in der Weser zwischen Brake und Elsfleth.

3.4.2 Die Länge von Tidewellen Aus der Dispersionsbeziehung folgt für die Wellenlänge L einer Tidewelle: ω 2 − ghk2 = 0

⇒

L=

2π  2π  = gh = ghT k ω

Sie steigt also mit der Quadratwurzel der Wassertiefe. Dieser Zusammenhang ist in Abbildung 3.8 für die wichtigsten Partialtiden dargestellt. Man sieht, dass Tidewellen tatsächlich wesentlich länger als das Wasser tief sind und sie somit als ideale Flachwasserwellen bezeichnen kann.

72

3 Gezeitenwellen

Die Ergebnisse der Flachwassertheorie der Tidewellen für die Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wellenlänge wurden unter der Annahme einer einzigen Ausbreitungsrichtung und homogener Verhältnisse transversal zu dieser gemacht. Reale Küstengewässer sind natürlich geometrisch viel komplexer strukturiert. Wir wollen am Beispiel der Nordsee untersuchen, ob die Ergebnisse dennoch zutreffend sind und sich der theoretische Aufwand gelohnt hat. Der Abbildung 3.2 kann man entnehmen, dass sich die aus dem Ärmelkanal kommende Tidewelle von diesem bis in die Deutsche Bucht erstreckt. Es ist nun schwierig abzuschätzen, welchen Weg über welche Wassertiefen die Welle dabei genau nimmt. Das ist allerdings auch nicht erforderlich: Der Hauptanteil der Tideamplitude ist die M2 -Partialtide, die bei 30 und 40 m Wassertiefe eine Länge von 700 bis 900 km hat. Dies entspricht in etwa der genannten Entfernung auf dem Seeweg vom Ärmelkanal nach Cuxhaven, womit sich die dargestellte Theorie bewahrheitet. Übung 17: Schätzen Sie die Wellenlänge der M2 -Tidewelle in den großen Oezanbecken (Atlantik, Pazifik) ab. Nehmen Sie dazu vereinfacht eine Wassertiefe von 1000 m an. In welchem Verhältnis steht diese Wellenlänge zur Ausdehnung der Ozeanbecken?

3.4.3 Die Strömungsgeschwindigkeit unter Tidewellen Nach dem Gezeitenwasserstand interessiert man sich in vielen Anwendungen auch für die mit der Tidewelle verbundene tiefengemittelte Strömungsgeschwindigkeit u. Setzt man die Lösung für die freie Oberfläche in die reduzierte Impulsgleichung (3.8) ohne Gezeitenkräfte ein, dann kann man aus der Impulsgleichung für sie die folgende Lösung  g sin (kx − ωt) (3.9) u(x,t) = A h √ bestimmen. Dabei haben wir wieder die Dispersionsbeziehung k = ω/ gh verwendet. Der zeitliche Verlauf von Wasserstand und Strömungsgeschwindigkeit ist in Abbildung 3.9 dargestellt. Man sieht, dass Wasserstand und Strömungsgeschwindigkeit in Phase sind, d. h. bei Hoch- und Niedrigwasser treten jeweils die größten Strömungsgeschwindigkeiten auf. Wir wollen schauen, ob dieser Zusammenhang der Gleichphasigkeit von Wasserstand und Strömungsgeschwindigkeit auch in der Nordsee, dargestellt durch das validierte Nordseemodell der BAW, zu beobachten ist. Hierzu sind in den Abbildungen 3.2 und 3.3 auch die Strömungsgeschwindigkeiten als Vektoren dargestellt. Konzentriert man seine Aufmerksamkeit dabei auf die an der ostenglischen Küste von Norden einlaufende Tidewelle, so erkennt man im Tideniedrigwasserbereich (Abbildung 3.2) nach Norden, d. h. entgegengesetzt zur Laufrichtung der Gezeitenwelle gerichtete Strömungsgeschwindigkeiten. Im Tidehochwasserbereich, der vor England in Abbildung 3.3 zu sehen ist, ist die Strömungsgeschwindigkeit in Laufrichtung der Gezeitenwelle, d. h. nach Süden gerichtet. Die Flachwassertheorie der Gezeitenwellen kann deren Ausbreitungsgeschehen also qualitativ richtig prognostizieren. Es sei hier allerdings angemerkt, dass wir später Küstengewässer kennenlernen werden, in denen Wasserstand und Strömungsgeschwindigkeit nicht mehr in Phase sind. Als Ursache werden wir die Reflektion der Tidewelle identifizieren.

3.4 Die Flachwassertheorie der Tidewellen

73

7

5

Tidestieg bei negativer Geschwindigkeit

3

bei positiver Geschwindigkeit

1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-1

-3 Wasserstand [m] Strömungsgeschwindigkeit [m/s] Sohlschubspannung [N/m²] -5

Zeit t/T

Abbildung 3.9: Wasserstand, Strömungsgeschwindigkeit und Sohlschubspannung bei einer (reflektionsfreien) M2-Tide mit einer Amplitude von 1 m über einer mittleren Wassertiefe von 5 m (ks = 1.5 mm).

Übung 18: Weisen Sie mit der Strömungsgeschwindigkeit unter Gezeitenwellen nach, dass der Term u ∂∂ ux sehr klein sein muss und vernachlässigt werden kann.

3.4.4 Tidefall und Tidestieg Wir wollen die mit dieser Wellenlösung verbunden Füll- und Entleerungsprozesse unter Tidewellen einmal genauer analysieren, denn hier treten noch einige Details auf, die erklärungsbedürftig sind. Der Tidestieg, d. h. die Zeit zwischen dem Tideniedrig- und dem Tidehochwasser weist eine Änderung des Vorzeichens der Strömungsgeschwindigkeit auf, obwohl der Wasserstand kontinuierlich steigt. Damit müssen zwei verschiedene Prozesse für das Ansteigen des Wasserstandes verantwortlich sein. Man versteht sie, wenn die tiefengemittelte Kontinuitätsgleichung bei konstanter Breite mit Hilfe der Produktregel in der Form ∂h ∂u ∂h = −h − u ∂t ∂x ∂x geschrieben wird. Der erste Term der linken Seite erhöht den Wasserstand dann, wenn eine örtliche Verminderung der Strömungsgeschwindigkeit vorliegt, wenn also in ein Kontrollvolumen mehr ein- als ausfließt. Er wirkt erst in der zweiten Hälfte des Tidestiegs, da hier die Strömungsgeschwindigkeit in Wellenausbreitungsrichtung weist und auch in diese Richtung abnimmt. In der ersten Hälfte des Tidestiegs steigt der Wasserstand, obwohl das Wasser entgegengesetzt zur

74

3 Gezeitenwellen

Ausbreitungsrichtung fließt. Hier ist der zweite Term für den Tidestieg verantwortlich, da er die stromaufwärts liegenden höheren Wasserstände advektiv zum Betrachtungsort transportiert. Die erste Hälfte des Tidefalls ist dann wieder durch das Herantransportieren des Wellentals geprägt, die zweite Hälfte durch eine tatsächliche Verminderung des Wasservolumens.

3.5 Partialtidewellen in der Deutschen Bucht In den Abbildungen 2.9 bis 2.12 sind neben den Amplituden auch die Phasen der Partialtiden (bezogen auf einen einheitlichen Zeitpunkt) dargestellt, deren Bedeutung sich erst mit der Betrachtung der Tide als Welle erschließt. Wir wollen das Lesen dieser wichtigen Angabe üben. Da ein Großkreis der Erde von 360o einem Zeitraum von 24 h entspricht, stellen die im Abstand von 7.5o dargestellten Phasenisolinien Zeitdifferenzen von 30 min dar. Schauen wir uns nun die 0o -Isolinie der K1 -Gezeit an, die die Insel Juist touchiert, und stellen uns vor, dass sie den Maximalwert dieser Gezeit repräsentiert. Dann nimmt die K1 -Gezeit diesen Maximalwert 30 min später am Strand von Langeroog und eine Stunde später an der Ostspitze von Wangerooge an. Je größer der Abstand der Phasenisolinien also ist, umso schneller läuft die einzelne Partialtidenwelle. Damit entnimmt man der Abbildung 2.9 aber auch, dass die K1 -Tidewelle im flachen, küstennahen Wasser schneller als im tiefen Wasser zu sein scheint. Dies steht allerdings im offensichtlichen Widerspruch zu den Ergebnissen des Abschnitts 3.4.1, in dem wir herausgefunden haben, dass die Tidewelle im tiefen Wasser schneller als im flachen Wasser ist. Dieser Widerspruch kann durch die korrekte Berücksichtigung der Ausbreitungsrichtung aufgelöst √ werden: Tatsächlich breitet sich die K1 -Welle im tiefen Wasser mit der Geschwindigkeit gh aus und läuft von dort aus senkrecht zur Küste in die flacheren Gewässer ein. Das Tidesignal breitet sich hier also nicht parallel zu Küste aus.

3.6 Die Entstehung von Flachwassertiden Wir wollen testen, ob die aus der Flachwasserwellentheorie gewonnenen Lösungen die nicht ganz so erheblich vereinfachten Gleichungen der tiefengemittelten Strömung lösen. Dazu bleiben wir bei der ursprünglichen Kontinuitätsgleichung in der eindimensionalen Form: ∂ h ∂ uh + =0 ∂t ∂x Bringt man den zweiten Term auf die rechte Seite und integriert über die Zeit, dann ergibt sich für die Wassertiefe formal: 

∂ uh dt ∂x Multipliziert man also die tiefengemittelte Strömungsgeschwindigkeit mit der Wassertiefe, leitet den Ausdruck nach x ab und integriert über die Zeit, dann sollte bis auf eine additive Konstante wieder die Lösung für die Wassertiefe herauskommen. Wir probieren dies für unsere Flachwasserwellenlösungen und bekommen nach kurzer Rechnung: h(x,t) = h(x, 0) −

3.6 Die Entstehung von Flachwassertiden

75

h(x,t) = h + A sin (kx − ωt) +

 π A2 sin 2kx − 2ωt − 2 2h

Es entsteht also eine neue Lösung mit einem weiteren periodischen Term, der die zur Ausgangsfrequenz verdoppelte Frequenz enthält und zur Ausgangswelle um −π/2 phasenverschoben ist. Diesen Prozess bezeichnet man ganz allgemein als Periodenverdopplung infolge von Nichtlinearitäten in der das dynamische Verhalten bestimmenden Differentialgleichung. Ist unsere Ausgangswelle die M2 -Gezeit, dann entsteht hieraus durch Periodenverdopplung die sogenannte M4 -Gezeit. Ihre Amplitude ist umso größer, je flacher das Gewässer ist, also bezeichnet man die durch Periodenverdopplung entstehenden zusätzlichen Tiden auch als Flachwassertiden, um sie von den astronomischen Tiden zu unterscheiden. Und ganz analog entsteht zur S2 -Gezeit die S4 -Gezeit. Um zu testen, ob die nun erhaltenen Lösungen die Kontinuitätsgleichung auch tatsächlich erfüllen, sollte man diese wieder testweise einsetzen. Man kann sich leicht denken, dass dann sukzessive weitere Terme mit Periodenverdopplungen entstehen, deren Amplitude aber immer kleiner wird, so dass man diese vernachlässigen kann. Die Gesetze der tiefenintegrierten Strömung enthalten aber noch weitere nichtlinearen Terme in der Impulsgleichung, diese sind die advektiven Terme und die Sohlschubspannung. Wir betrachten als nächstes also die tiefengemittelte Impulserhaltung in einem von Sohl- und innerer Reibung freiem Küstengewässer: ∂u ∂u ∂ zS +u +g =0 ∂t ∂x ∂x Die formale Lösung für die tiefengemittelte Strömungsgeschwindigkeit lautet nun: u(x,t) = −

 

∂u ∂ zS u −g ∂x ∂x

 dt

Setzen wir auf der rechten Seite für u und h die Grundlösungen der Flachwasserwellentheorie ein, so bekommt man:    g 1 A2 g π sin (kx − ωt) + sin 2kx − 2ωt − u(x,t) = A h 4 h h 2

(3.10)

Der nichtlineare advektive Term produziert also zu jeder Grundperiode der Geschwindigkeit eine Periodenverdopplung. Man kann die nun verbesserten Lösungen wieder in die zu Integralgleichungen umgeformten Massen- und Impulsgleichungen einsetzen, wodurch man wieder Periodenverdopplungen, aber auch Verbesserungen in den schon vorhandenen Termen erhält. Diese sind  π 3 A2 + ... sin 2kx − 2ωt − 4 h 2    g 3 A2 g π u(x,t) = A sin (kx − ωt) + sin 2kx − 2ωt − + ... h 4 h h 2 h(x,t) = h + A sin (kx − ωt) +

76

3 Gezeitenwellen

Abbildung 3.10: Amplitude und Phase der M4 -Gezeit nach dem Nordseemodell [63] (Quelle: BAW).

3.6 Die Entstehung von Flachwassertiden

Abbildung 3.11: Amplitude und Phase der M6 -Gezeit nach dem Nordseemodell [63] (Quelle: BAW).

77

78

3 Gezeitenwellen

und sie gefallen uns viel besser, weil das Verhältnis der Amplituden von Ausgangs- und periodenverdoppelter Welle für den Wasserstand und die Geschwindigkeit nun gleich ist. Die periodenverdoppelte Welle ist also ebenfalls eine Flachwaserwelle. Es sei an dieser Stelle bemerkt, dass die nichtlineare Sohlreibung ebenfalls Flachwassertiden produziert, die allerdings zu einer Periodenverdreifachung führen. Dies liegt daran, dass der in der Geschwindigkeit quadratische Reibungsterm eigentlich eher einer kubischen Funktion ähnelt, wenn man die Tatsache ernst nimmt, dass hier das Produkt aus Geschwindigkeit und Geschwindigkeitsbetrag steht. So entstehen aus der M2 - die M6 - und aus der S2 - die S6 -Partialtiden. Übung 19: An einem Pegel habe die Amplitude der M2-Tide einen Wert von 1.2 m bei 11 m Wassertiefe. Berechnen Sie die Amplitude der M4-Tide mit Hilfe der Flachwassertheorie.

3.7 Die Entstehung von Tidewellen Nachdem wir die wichtigsten Eigenschaften von Gezeitenwellen mit Hilfe der Flachwassertheorie ergründet haben, kommen wir zum Schluss dieses Kapitels zum eigentlichen Anfang: Kann man die Entstehung von Tidewellen auch mathematisch erfassen? Die Antwort lautet ja, man muss in einem numerischen Simulationsmodell (in Kugelkoordinaten) die Topographie der gesamten Weltmeere abbilden und darin die gezeitenerzeugenden Kräfte möglichst vollständig berücksichtigen. Es zeigt sich dann, dass die im Vergleich zu den anderen geophysikalischen Kräften sehr geringen gezeitenerzeugenden Kräfte tatsächlich in der Lage sind, die in den Meeren befindlichen Wassermassen zum Schwingen zu bringen. Bevor man allerdings die Gezeitenverhältnisse in den Weltmeeren durch Computersimulation nachbilden konnte, hat man den Nachweis, dass die so geringen Tidekräfte tatsächlich für Ebbe und Flut verantwortlich sein können, durch analytische Lösungen der Flachwassergleichungen erbracht. Ein solches Modell ist das äquatoriale Kanalmodell, welches auf Arbeiten von Young aus den Jahren 1813 und 1823 (nach [39]) zurückgeht. In diesem stellt man sich eine Erde vor, die überall mit Land bedeckt ist. Diese globale Landmasse wird lediglich von einem Kanal unterbrochen, der vollständig um den Äquator läuft. Über diesem stehe ein Trabant, der von Masse und Abstand unser Mond sein kann. Zur weiteren Vereinfachung des Problems sei seine Position an der Rektaszension Φ = 0 und der Deklination δ = 0 über der sich unter ihm drehenden Erde fixiert. Dann wird das gezeitenerzeugende Potential im Äquatorkanal zu:   1 1 1 φtide = 2G − + + cos (2λ − 2ωt) 3 2 2 Um den Betrag der gezeitenerzeugenden Kraft entlang des Äquatorkanals zu bekommen, muss das Potential nach den entsprechenden Regeln für Kugelkoordinaten nach der geographischen Länge λ abgeleitet werden: fλ = −

1 ∂ φtide 2G sin (2λ − 2ωt) = RE ∂ λ RE

3.7 Die Entstehung von Tidewellen

79

0,1 M2

0,09

S2 0,08

Tideamplitude [m]

0,07

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

0 0

2000

4000

6000

8000

10000

Wassertiefe [m]

Abbildung 3.12: Die Amplituden der M2 - und der S2 -Gezeit in einem Äquatorialkanal als Funktion der Wassertiefe.

Bezüglich der geographischen Länge wird die Tidewellengleichung zu: 4Gh ∂ 2 zS ∂ fλ ∂ 2 zS = − 2 cos (2λ − 2ωt) − gh 2 2 = −h 2 ∂t RE ∂ λ RE ∂ λ RE Sie ist analytisch lösbar, womit wir für den Tidewasserstand die von der Zeit und der geographischen Länge abhängige Wellenfunktion Gh zS = − cos(2λ − 2ωt) gh − ω 2 R2E bekommen. Nimmt man eine Wassertiefe von 1000 m an, so würde sich nach dieser Theorie eine lunare Tideamplitude von ca. 1.3 cm einstellen. Hinzu kommt der solare Anteil, so dass wir im Äquatorialkanal insgesamt eine Tideamplitude von 2 cm und einen Tidehub von 4 cm haben. Die angenommenen Verhältnisse sind natürlich nicht realistisch, denn ein solcher umlaufender Kanal existiert am Äquator nicht und der Mond zieht seine Bahnen nicht über demselben. Dennoch gibt es einen Meeresweg, auf dem das Wasser die Möglichkeit hat, die Erde zu umlaufen. Dies ist das Zirkumpolarmeer über dem Südpol. Tatsächlich ist der Tidehub dort wesentlich höher als der vom analytischen Modell vorhergesagte. In ähnlicher Art und Weise wurden die Gezeitenverhältnisse im Atlantischen Ozean durch einen Kanal entlang eines Meridians oder im Pazifik durch ein kreisförmiges Becken analytisch approximiert [39]. An den Küsten kennen wir allerdings ganz andere Tidehubverhältnisse: Warum sich hier im flachen Wasser die Tidewellen so stark aufsteilen, werden wir in Kapitel 6 gemeinsam mit den Seegangswellen untersuchen.

80

3 Gezeitenwellen

3.8 Zusammenfassung Die Gezeiten entstehen durch die Propagation von langen Welle kleiner Amplitude in flachem Wasser. Ihre zeitlichen Variationen von Wasserstand und Geschwindigkeit setzen sich aus der Linearkombination der einzelnen Partialtiden zusammen, die jeweils als Flachwasserwellen beschreibbar sind. Tidewellen werden durch die gezeitenerzeugenden Kräfte auf den Weltmeeren angeregt. Ihre Amplitude ist in den tiefen Ozeanen sehr gering, die hohen Tidehübe entstehen erst, wenn die Wellen die flachen Küstengewässer erreichen. Ebbe und Flut bzw. Hoch- und Niedrigwasser sind daher ein Prozess, der in Küstengewässern markant ist und sie von anderen Gewässern unterscheidet. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Tidewellen entspricht der Wurzel aus dem Produkt von Gravitationsbeschleunigung und Wassertiefe, sie breiten sich also umso schneller aus, je tiefer das Wasser ist. Die Länge der Gezeitenwellen hängt von der Wassertiefe und ihrer Frequenz ab; sie kann mehrere tausend Kilometer umfassen.

4 Tidedynamik in Ästuaren Als Ästuar bezeichnete man ursprünglich den trichterförmigen, durch die Tide beeinflussten Mündungsbereich eines Flusses. Die Elbe- und Wesermündung haben also die typische Ästuargestalt, die in Abbildung 1 gut zu erkennen ist. Diese sehr genaue Definition einer geomorphologischen Struktur hat sich im Laufe der Zeit immer weiter aufgeweitet. So wurden dann auch nicht trichterförmige Flussmündungen als Ästuare bezeichnet, womit an der deutschen Nordseeküste nicht nur Elbe und Weser zur Familie der Ästuare gehörten, sondern auch die Ems adoptiert wurde. Zudem ist das Merkmal der Tidebeeinflussung mittlerweile nicht mehr notwendig, wenn man das Eindringen des salzigen Meerwassers in die Flussmündung als weiteres Ästuarmerkmal zulässt [48]. Hierdurch werden die Unterwarnow und Untertrave an der Ostsee ebenfalls zu Ästuaren. Und um den Begriff noch weiter aufzuweichen, wird auch noch die Jade in die Familie aufgenommen, womit das Merkmal fällt, Teil eines Flusses zu sein. Ungeachtet der Begriffsdefinition soll im Folgenden nur die Tidedynamik in Ästuaren behandelt werden, so wie sie an der deutschen Nordseeküste die Systeme Ems, Jade, Weser, Elbe und Eider mit ihren Nebenflüssen prägt. Die Tidedynamik ist sicherlich der wichtigste, aber nur einer von vielen physikalischen Prozessen, die das System Ästuar prägen. Zusammen mit den durch den Wind induzierten Wellen transportieren die resultierenden Strömungen Salz, Feststoffe und Wärme (Abbildung 4.1). G e z e it e n W ä r m e a b s t r a h lu n g N ip p S p r in g

W in d

4

S o n n e n e in s t r a h lu n g 2 0

S trö m u n g

W e lle n

1 0

F lo c k u n g 6

2 0

O r b it a lb e w e g u n g

in t e r n e W e lle n Z e rb re c h e n L e b e w e s e n

A b s in k e n T u r b u le n z

O b e rw a s s e r 1

s t a b il

_

2

D iffu s io n

D ic h t e s c h ic h t u n g

S e d im e n t a t io n 8

in s t a b il +

2 0

R e s u s p e n s io n

h o c h

B o d e n s c h u b s p a n n u n g

M a r it im e Z o n e

T e m p e ra tu r S a lz g e h a lt

4

g e r in g

K o n s o lid ie r u n g

S e d im e n t o lo g ie

D ü n e n

S c h w e b s t o f f k o n z e n t r a t io n F lu id M u d

G e s c h ic h t e t e Z o n e

G r a d ie n t e n z o n e

S a lz w a s s e r b e r e ic h

G e s a m ts y s te m

t id e b e e in f lu s s t e S ü ß w a s s e r z o n e S ü s s w a s s e r b e r e ic h

Ä s tu a r

Abbildung 4.1: Physikalische Prozesse im Ästuar (aus [40]). A. Malcherek, Gezeiten und Wellen, DOI 10.1007/978-3-8348-9764-0_5, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

82

4 Tidedynamik in Ästuaren

Ufer Meeresmündung

B(x)

Flussseite

x Ufer

Abbildung 4.2: Lage des Koordinatensystems in einem Ästuar.

Das salzige Meerwasser vermischt sich in der so genannten Brackwasserzone mit dem frischen Flusswasser. Die mit dem Flusswasser eingetragenen fluvialen Sedimente mischen sich mit Sedimenten marinen Ursprungs. Temperatur, Salz- und Fesstoffgehalt beeinflussen die Dichte des Wassers, wodurch sich in einem rückgekoppelten Prozess auch die Strömungen verändern. All diesen Prozessen im Ästuar ist in der Vergangenheit ein besonderes fachwissenschaftliches Interesse entgegengebracht worden, weil diese als Seewasserstraßen zu den weit im Binnenland liegenden Hafenstädten wie Hamburg und Bremen genutzt werden. Daher ist man insbesondere an einer Bilanzierung des Feststofftransports in einem Ästuar interessiert, da positive Bilanzen in einem als Seewasserstraße genutzten Ästuar immer mit erheblichen Baggerungskosten verbunden sind.

4.1 Die Dämpfung von Tidewellen Wenn ein Ästuar der tidebeeinflusste Teil einer Flussmündung ist, dann drängt sich sofort die Frage auf, wie tief die Tide in eine Flussmündung eindringt, bzw. wie schnell sie gedämpft wird und von welchen Faktoren dieses Dämpfungsverhalten abhängt.

4.1.1 Eindimensionale, kanalartige Strömungen Um dies zu analysieren, wenden wir uns nun einer einfacheren konzeptionellen Modellebene zu, welche ein beidseitig durch ein Ufer begrenztes Oberflächengewässer annimmt und nur noch die über den so definierten Querschnitt gemittelten physikalischen Größen betrachtet. Ein solches eindimensionales Modell ist also auf Flüsse und Ästuare anwendbar, nicht aber auf flächenhafte Küstengewässer, Randmeere oder Ozeane. Selbstverständlich lassen sich alle im Folgenden dargestellten Prozesse in Tideästuaren auch mit zweidimensionalen tiefengemittelten oder dreidimensionalen numerischen Modellen simulieren. Die darin enthaltenen Modellgleichungen sind jedoch zu komplex, um die Phänomene anschaulich zu erklären und zu verstehen. Die eindimensionalen Modellgleichungen kann man durch Integration der tiefengemittelten Gleichungen (3.2) über die Gewässerbreite unter Beachtung gewisser Randbedingungen an den Ufern herleiten [49].

4.1 Die Dämpfung von Tidewellen

83

Nimmt man vereinfachend an, dass der Flussschlauch geradlinig in x-Richtung orientiert ist, so kann sich die Querschnittsfläche F sowohl im räumlichen Verlauf als auch zeitlich durch Wasserstandsbewegungen ändern, F = F(x,t). Folgend kann man die nun über den Querschnitt gemittelten Geschwindigkeiten u und die Querschnittsfläche F durch das Lösen der so genannten Saint-Venantschen Gleichungen ∂ F ∂ uF + =0 ∂t ∂x ∂u ∂ zS ∂u +u = −g − gIE ∂t ∂x ∂x erhalten. Die erste Gleichung beschreibt dabei die Massen- bzw. für inkompressible Fluide die Volumenerhaltung. Anschaulich besagt sie: Die durchströmte Querschnittsfläche F ändert sich immer dann, wenn die Durchflüsse Q = uF örtlich nicht ausgeglichen sind, ihre Ableitung also von Null verschieden ist. Die zweite Gleichung beschreibt die Impulsbilanz in einem solchen System. Die Strömung (eigentlich die Wasserteilchen auf ihren Bahnlinien) wird dabei durch das Gefälle der Wasseroberfläche beschleunigt.

4.1.2 Das Energieliniengefälle in Ästuaren In den Saint-Venantschen Gleichungen wird der Verlust an Strömungsenergie durch das Energieliniengefälle IE beschrieben, welches wir nun für Ästuare berechnen wollen. Es beinhaltet die Energieverluste durch • • • • •

die Sohlschubspannung molekulare und turbulente Impulsdiffusion Abdämpfung der Strömungsgeschwindigkeit an den Ufern Verluste in Kurven Verluste durch vereinzelte (Bauwerke) und flächenhafte Hindernisse (z. B. Bewuchs).

Zur Quantifizierung des Energieliniengefälles kann man das Gesetz von Colebrook-White verwenden. Es lautet: IE = λ

1 |u|u dHyd 2g

Dabei ist der hydraulische Durchmesser bei breiten Gewässern etwa das Vierfache der Wassertiefe: dHyd  4h. Damit bekommt die eindimensionale Impulsgleichung die Form: ∂u ∂ zS λ ∂u +u = −g − |u|u ∂t ∂x ∂ x 8h Man kann sich fragen, warum in diesem Ansatz nicht das Geschwindigkeitsquadrat, sondern das Produkt aus dem Geschwindigkeitsvektor und dessen Betrag angesetzt wurde. Dieser Trick bewirkt, dass das Energieliniengefälle immer das gleiche Vorzeichen wie die Geschwindigkeit hat. Dies gilt es insbesondere in Ästuaren zu beachten, da hier die Geschwindigkeitsrichtung alternierend ist.

84

4 Tidedynamik in Ästuaren

Das Energieliniengefälle ist also quadratisch von der Geschwindigkeit abhängig. Diese Nichtlinearität bereitet bei der analytischen Lösung der Differentialgleichungen einige Schwierigkeiten, so dass eine Linearisierung durch ∂u ∂u ∂ zS λ +u = −g − f u mit f = |u| ∂t ∂x ∂x 8h vorgenommen wird, annehmend, dass der Reibungsbeiwert f eine Konstante ist.

4.1.3 Die Wellengleichung mit Dämpfung Neben dem Wasserstand verändert sich auch die Strömungsgeschwindigkeit unter Gezeitenwellen wellenförmig, es muss also auch für sie eine Wellengleichung gelten, in die wir nun die Dämpfung einbauen wollen. In der Kontinuitätsgleichung gehen wir von einem vereinfachten Ästuar konstanter Breite B und konstanter mittlerer Tiefe h aus und nehmen wieder an, dass die örtlichen Variationen der Geschwindigkeit größer als die des Wasserstandes sind: ∂u ∂h +h =0 ∂t ∂x In der Impulsgleichung wird der nichtlineare Advektionsterm vernachlässigt: ∂u ∂ zS = −g − fu ∂t ∂x Die erste Gleichung wird wieder nach dem Ort x, die zweite Gleichung nach der Zeit t abgeleitet. Dieses Mal soll aber die Wassertiefe h eliminiert werden. Mit ∂∂zxS = ∂∂ hx folgt: ∂ 2u ∂u ∂ 2u − gh 2 = − f 2 ∂t ∂x ∂t Auf der rechten Seite haben wir nun tatsächlich die Wellengleichung für die Strömungsgeschwindigkeit, auf der linken Seite wird der Energieverlust durch Reibung beschrieben. Man nennt diese Differentialgleichung auch Telegraphengleichung, da sie die ursprünglich zur Beschreibung der Elektronengeschwindigkeit in Leitern unter Wechselspannnung aufgestellt wurde. Und natürlich hat so eine wichtige Gleichung auch eine analytische Lösung1 , sie lautet:    g f exp − t sin(kx − ωt) u(x,t) = A 2 h Die Geschwindigkeit der Tidewelle wird also im Laufe der Zeit exponentialförmig gedämpft. Bei der ungedämpften Tidewelle konnte man die Strömungsgeschwindigkeit durch die Mul tiplikation mit dem Wurzelausdruck serstand die Beziehung

g/h erhalten. In Analogie hierzu sollte nun für den Was-

 f zS (x,t) = h + A exp − t sin(kx − ωt) 2 

f

−2t interessierte Leser kann diese selbst durch die Transformation u(x,t) = u(x,t)e ˜ gewinnen: Setzt man diese in die Telegraphengleichung ein, so bleibt eine reine Wellengleichung für u˜ übrig.

1 Der

4.1 Die Dämpfung von Tidewellen

85

1

0,9

Relative Amplitudendämpfung

0,8

l=0.016

0,7

l=0.16

0,6

l=1.6

0,5

l=16

0,4

0,3

0,2

0,1

0 1

10

100

1000

10000

100000

Lauflänge / Wassertiefe

Abbildung 4.3: Die Dämpfung von Tidewellen als Funktion der Lauflänge für verschiedene Dämpfungskoeffizienten λ .

gelten. Tatsächlich ergibt dessen exakte Bestimmung aber eine etwas andere Formulierung, die bei kleiner Dämpfung allerdings in die dargestellte übergeht. Um diese Lösung auf Ästuare anzuwenden, wollen wir den Verlauf einer Tidewelle von der Mündung bei x = 0 mit der Amplitude  A0 in das Ästuar hinein verfolgen. Da sich die Tidewelle mit der Phasengeschwindigkeit c = gh in das Ästuar hineinbewegt, hat sie nach der Zeit t den Weg x = ct zurückgelegt. Wir können damit   f x zS (x,t) = h + A(x) sin(kx − ωt) mit A(x) = A0 exp − √ 2 gh schreiben und kommen zu den wichtigen Erkenntnissen: • Die Tideamplitude nimmt durch Dämpfung in das Ästuar hinein sehr schnell ab. • Die Dämpfung ist proportional zur Rauheit des Systems dargestellt durch die Parameter f oder λ . • Die Dämpfung ist umso effektiver,je flacher das Ästuar ist. Umgekehrt führt eine Vertiefung der mittleren Wassertiefe h zu einer geringeren Dämpfung der Tideamplitude. Zum Ausbreitungsverhalten von Gezeitenwellen in Ästuaren gibt es weiterführende Theorien, die z. B. auch das Flacherwerden des Ästuars zum Fluss hin oder aber auch die Trichterförmigkeit berücksichtigen [5]. In Abschnitt 6.4 werden wir ein anderes, aber viel aufwendigeres Verfahren kennenlernen, bei dem die Nichtlinearität des Reibungsterms nicht vernachlässigt wird. Hier bekommt man das Ergebnis:

86

4 Tidedynamik in Ästuaren

Abbildung 4.4: Das Burchardkai in Hamburg. Der zunehmende Tiefgang der Schiffe erfordert Vertiefungen der zu den Häfen Hamburg und Bremen führenden Ästuare von Elbe und Weser.

  A(Δx) λ A0 Δx −1 = 1+ A0 6π h h In Abbildung 4.3 ist dieser Zusammenhang für eine Tidewelle dargestellt, deren Amplitude ein Zehntel der Wassertiefe beträgt. Ein Blick auf diese Abbildung zeigt, dass das Dämpfungsverhalten sehr sensibel durch die Größenordnung des Reibungsbeiwerts λ bestimmt wird. Der Reibungsbeiwert λ ist für ein reales Ästuar nicht wirklich berechenbar, da er von der Struktur der anstehenden Sohle und der Ufer, von lokalen Rauheiten, wie Bewuchs oder etwaig vorhandenen Buhnen, aber auch von den Strömungseigenschaften abhängt. So ist beim anstehenden Boden nicht nur die örtlich variable Kornrauheit, sondern auch die durch Riffel oder Dünen entstehende Formrauheiten zu berücksichtigen. In die Strömungseigenschaften gehen die Turbulenzverhältnisse und die Feinstruktur des vertikalen und lateralen Geschwindigkeitsprofils ein. Es ist daher schwierig, die tatsächliche Dämpfung der Tidewellenamplitude mit den angegebenen Zusammenhängen zu berechnen, diese Aufgabe bleibt der numerischen Simulation vorbehalten. Sie erklären aber, warum die Tidewelle auf der offenen See so wenig Dämpfung erfährt, und was passiert, wenn die Tideästuare künstlich vertieft werden.

4.1.4 Die Eindringtiefe von Tidewellen in Ästuaren Das flussseitige Ende eines Ästuars kann man durch die Reichweite des Tideeinflusses definieren, also dort, wo die Tideenergie vollständig dissipiert ist. Nach unseren beiden Zusammenhängen

4.1 Die Dämpfung von Tidewellen

87

für die Dämpfung der Tideamplitude A ist diese aber auch in unendlicher Entfernung von der Ästuarmündung immer noch, wenn auch äußerst gering, zu spüren. Setzt man also ganz willkürlich das oberstromseitige Ästuarende dort an, wo die Tideamplitude auf ein Hundertstel ihres Ausgangswertes gefallen ist, dann wäre die Ästuarlänge L durch L = c1/100

h2 A0 λ

gegeben, wenn die Wassertiefe h konstant ist. Übung 20: Zeigen Sie, dass die Konstante c1/100 = 594π ist. Natürlich ist diese Abschätzung nicht exakt, und das will sie auch gar nicht sein. Sie besagt aber etwas über die Verhältnisse in einem Ästuar. So nimmt die Eindringtiefe mit dem Quadrat der Wassertiefe zu. Vertieft man das Ästuar von der Wassertiefe h1 auf die Wassertiefe h2 , dann verändert sich die Eindringtiefe der Tidewelle nach: h2 L1 = 12 L2 h2 Damit bewirkt eine Vertiefung der Wassertiefe von 5 m auf 7 m und nachfolgend auf 10 m jeweils eine Verdopplung der Eindringtiefe der Tidewelle. Übung 21: Der Reibungsbeiwert einer 5 m tiefen Flussmündung kann mit λ = 0.2 abgeschätzt werden. Wie tief dringt eine Tide von 4 m Tidehub in das Ästuar? Was passiert nach einer Vertiefung auf 5.5 m ?

4.1.5 Tidewehre Die fortwährende Sicherung der Konkurrenzfähigkeit der weit im Binnenland liegenden Häfen von Hamburg und Bremen bei zunehmenden Tiefgängen der Seeschiffe hat in der Vergangenheit immer wieder Vertiefungen von Elbe, Weser oder Ems erforderlich gemacht. Um das übermäßige Eindringen der Tide in das Binnenland mit • einer weiterreichenden Versalzung der Böden, • größeren durch Sturmfluten bedrohten Flächen und • einer Absenkung der Flußsohle und damit verbunden des Grundwasserspiegels zu verhindern, war man genötigt, das mit den Vertiefungen verbundene Eindringen der Tide in das Binnenland durch Tidewehre zu begrenzen. So wurden von 1906 bis 1911 das Weserwehr in Bremen-Hemelingen und von 1957 bis 1960 das Tidewehr in Geesthacht gebaut. In Abbildung 4.6 sieht man das neue Weserwehr, welches aus insgesamt fünf Wehrfeldern besteht. Als Wehrverschlüsse werden Fischbauchklappen verwendet, deren Höhe so gewählt wird, dass sich im Oberwasser ein Normalstau von NN + 4.3 m einstellt (Abbildung 4.7). Da das mittlere Tideniedrig- und das mittlere Tidehochwasser im Unterlauf niedriger als der Normalstau im

88

4 Tidedynamik in Ästuaren m NN

Verlauf der Sohle in der Unterweser 1884 - 2006

0,0

-5,0

Sohle 1888

5m Ausbau 1887/95 7m Ausbau 1913/16 erweit. 7m Ausbau 1921/24

8m Ausbau 1925/29 8.7m Ausbau 1953/58 -10,0 9m Ausbau 1973/79

-15,0

Sohle 2006

-20,0 km 0,0 Brücke

8,5 Oslebshausen

17,5 Vegesack

26,1 Farge

33,3 Elsfleth

39,2 Brake

57,3 Nordenham

65,0 Bremerhaven

Abbildung 4.5: Historie der Vertiefungen in der Unterweser zwischen 1888 und 2006 (Quelle: Wasser- und Schifffahrtsamt Bremen).

Oberwasser liegen, findet ein fortwährender Strom vom Fluss in das Ästuar statt. Die Tide wird somit am Wehr vollständig gekehrt. Dies hat allerdings erhebliche Konsequenzen für die Tidedynamik im Ästuar, da wesentliche Charakteristika nun verändert werden.

4.2 Reflektion von Tidewellen Im vorangegangenen Kapitel haben wir gelernt, dass die zeitliche Entwicklung von Wasserstand und Strömungsgeschwindigkeit unter einer Tidewelle in Phase sind: Immer dann, wenn der Wasserstand einen Extremwert (Tidehoch- oder Tideniedrigwasser) annimmt, weist auch der Betrag der Strömungsgeschwindigkeit einen maximalen Wert auf. Die Ästuare der deutschen Nordseeküste zeigen jedoch ein vollkommen anderes Verhalten, als es soeben beschrieben wurde, wie in Abbildung 4.8 zu sehen ist. Hier liegen die Nullpunkte (auch Kenterpunkte genannt) der Geschwindigkeiten nahe an den Extremwerten des Wasserstandes. Dieser unscheinbare Effekt ist das Ende einer Wirkungskette, deren Ursache die anthropogene Umformung des Ästuars zu einer Wasserstraße ist. Ursache dieses atypischen Verhaltens ist die Reflektion der Tidewelle. Ganz allgemein werden Wellen reflektiert, wenn sie gegen ein undurchdringliches Hindernis, etwa eine Kaimauer oder ein freiliegendes Riff, laufen. An dieser Begrenzung muss die Normalgeschwindigkeit der Wellenbewegung Null sein. An einem Wehr nimmt die Strömungsgeschwindigkeit den Wert der Abflussgeschwindigkeit

4.2 Reflektion von Tidewellen

89

Abbildung 4.6: Das Weserwehr in Bremen-Hemelingen mit seinen fünf Wehrfeldern.

des Oberwassers an. Um im Folgenden die Reflektion der Tidewelle an Tidewehren zu verstehen, wollen wir der Einfachheit halber davon ausgehen, dass der Oberwasserabfluss so gering ist, dass er vernachlässigt werden kann.

4.2.1 Reflektion ohne Dämpfung Die Strömungsgeschwindigkeit unter Tidewellen ist nach Gleichung (3.9) sinusförmig von Ort und Zeit abhängig. In ihr gibt es also keinen besonderen Ort x, an dem die Strömungsgeschwindigkeit dauerhaft Null ist. An einem Wehr (ohne Abfluss) ist dies aber genau der Fall: Die auf die Bewandung treffende, senkrechte Geschwindigkeitskomponente ist Null. Um das Verhalten der Welle an einem solchen Hindernis zu beschreiben, müssen wir die Reflektion der Welle an der Begrenzung berücksichtigen, d. h. die Lösung für die einlaufende mit der reflektierten Welle überlagern. Dazu nehmen wir das undurchlässige Hindernis, d. h. das Wehr am Ort x = 0 an, die Welle laufe aus der negativen x-Richtung ein. Man kann leicht bestätigen, dass die folgende Gleichung für Bewegung der freien Oberfläche zS (x,t) = zS + A sin (kx − ωt) + A sin (−kx − ωt) = zS − 2A cos kx sin ωt



 Einlaufende Welle Reflektierte Welle

90

4 Tidedynamik in Ästuaren

Abbildung 4.7: Querschnitt des Weserwehrs in Bremen-Hemelingen (Quelle: Wasser- und Schifffahrtsamt Bremen).

ebenfalls eine Lösung der Wellengleichung ist. Die so beschriebene Welle besteht aus zwei Komponenten, dabei läuft eine genau in entgegengesetzter Richtung (dargestellt durch die Wellenzahl −k) als die uns bisher vertraute. Im hinteren Teil der Gleichungskette wurde nur das Additionstheorem für den Sinus angewendet, wir werden diese Form später benötigen. Die tiefengemittelte Strömungsgeschwindigkeit ist für die beiden überlagerten Wellen nach der Impulsgleichung:  u(x,t) = A

  g g g sin (kx − ωt) − A sin (−kx − ωt) = 2A sin kx cos ωt h h h

Tatsächlich sind die Orbitalgeschwindigkeiten am Hindernisort x = 0 nun Null, das Wehr wird also nicht durchströmt. Durch die Überlagerung von einlaufender und reflektierter Welle entstehen aber eine Reihe von weiteren Besonderheiten: 1. Verdopplung der Amplituden: Die lokalen Amplituden von Wasserstand und Geschwindigkeit werden nun mit dem Abstand vom Reflektionspunkt moduliert, wobei an manchen Stellen doppelt so große Amplituden auftreten. So hat der Wasserstand direkt am Wehr nun die doppelte Amplitude 2A und damit auch den doppelten Tidehub. Dies ist natürlich

4.2 Reflektion von Tidewellen

91

2,5

140

Wasserstand Strömungsgeschwindigkeit

2

120 1,5

Wasserstand [m NN]

0,5 80 0 60 -0,5 -1

Geschwindigkeit [m/s]

100

1

40

-1,5 20 -2 -2,5 09.02.2005 00:00

0 09.02.2005 03:00

09.02.2005 06:00

09.02.2005 09:00

09.02.2005 12:00

09.02.2005 15:00

09.02.2005 18:00

09.02.2005 21:00

Datum, Uhrzeit

Abbildung 4.8: Wasserstand (blau), Strömungsgeschwindigkeit (rot) und -richtung (magenta) am Weserpegel Elsfleth (WSA Bremen).

beim Bau des Wehres bei den unterstrom liegenden Dämmen zu berücksichtigen. Die Verdopplung des Tidehubs tritt ferner bei x = −π/k und allen Vielfachen auf, ist also von der Wellenzahl k der Gezeitenwellen abhängig. 2. Wasserstandsknoten: Ferner entstehen als Knoten bezeichnete Orte, an denen der Wasserstand keine Tidevariation mehr aufweist. Diese Knoten sind allerdings sehr tückisch, da an ihnen die Geschwindigkeiten Maximalwerte erreichen. 3. Geschwindigkeitsknoten: Umgekehrtes gilt für die Geschwindigkeitsknoten, an denen die Tidegeschwindigkeit Null ist, der Wasserstand aber seine größten Variationen aufweist. 4. 90o -Phasenverschiebung zwischen Wasserstand und Geschwindigkeit: Schließlich sind an einem festen Ort die zeitlichen Variationen von Wasserstand und Geschwindigkeit nicht mehr phasengleich, sondern genau gegenphasig, jeweils eine Größe nimmt ihren Maximalwert dann an, wenn die andere ihren Nulldurchgang hat. Genau dieses Verhalten zeigt auch der Weserpegel Elsfleth in Abbildung 4.8. Alle genannten Phänomene sind von der Wellenzahl k abhängig, also für jede Partialtide einzeln zu betrachten. Dies bedeutet z. B., dass an einem Geschwindigkeitsknoten der M2 -Gezeit die K1 -Gezeit immer noch eine Geschwindigkeitskomponente haben kann, in einem realen Ästuar dort also kein dauerhaftes Stillwasser auftritt. Die mit der Reflektion der Gezeitenwellen verbundenen Effekte sind in Abbildung 4.10 sehr deutlich zu erkennen. Dort sind die Amplituden der Partialtiden M2 , M4 , M6 und M8 an den Weserpegeln aus der Deutschen Bucht kommend bis nach Bremen aufgetragen. Der Verlauf des

92

4 Tidedynamik in Ästuaren

8

7

6

5

4 Wasserstand [m] Strömungsgeschwindigkeit [m/s]

3

Sohlschubspannung [Pa] 2

1

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-1

-2

Zeit t/T

Abbildung 4.9: Wasserstand, Strömungsgeschwindigkeit und Sohlschubspannung bei Überlagerung von einlaufender und reflektierter Welle gleicher Amplitude.

dominanten M2 -Signals hat allerdings nichts mit der Reflektion der Tide zu tun und wird später erklärt. Für die Flachwassertiden erkennt man aber Knoten, an denen die Amplitude durch die Interferenz mit der reflektierten Welle stark abnimmt. Tatsächlich ist der erste Knoten der M8 -Tide bei einer Wassertiefe von 10 m ca. 19.5 km vom Wehr (Farge) entfernt. Der zu diesem Ort nächstgelegene Pegel Vegesack zeigt hier ein deutliches lokales Minimum der Amplitutde. Für die M4 -Tide liegt der erste Wasserstandsknoten 39.1 km unterhalb des Wehres, der nächste Pegel ist dann Farge. Übung 22: Beweisen Sie, dass der durch Reflektion entstehende erste Wasserstandsknoten der M8 -Gezeit bei einer Wassertiefe von 10 m 19.5 km vom Wehr entfernt ist.

4.2.2 Reflektion mit Dämpfung Im vorangegangenen Abschnitt hatten wir der Einfachheit halber die Dämpfung der Gezeitenwelle vollständig außer Acht gelassen. Durch diese wird aber nicht nur die einlaufende Welle auf ihrem Weg, sondern auch die am Wehr reflektierte, rücklaufende Welle fortwährend gedämpft. Hierdurch hat an einem festen Ort die reflektierte Welle grundsätzlich eine kleinere Energie als die einlaufende Welle, da sie einen wesentlich längeren Weg zurückgelegt hat (Abbildung 4.11). Wir wollen dieses Verhalten am Beispiel einer bei x = −L in ein Ästuar konstanter Tiefe einlaufenden Tidewelle studieren, die an einem Wehr bei x = 0 reflektiert wird. Die Amplitude der einlaufenden Welle sei A0 , sie wird auf ihrem Wege fortwährend auf den lokalen Wert Ae (x)

4.2 Reflektion von Tidewellen

93

1,85 1,80 1,75

Amplitude [m]

1,70 1,65 Messung M_2

1,60

Messung M_4

1,55

Messung M_6

1,50

Messung M_8

1,45 1,40 0,20 0,18 0,16

Amplitude [m]

0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02

Pegel

ke

G ro

ße

W es

er br üc

ge s

ac

k

rg e Ve

Fa

h le t El sf

e Br ak

ds te er t Br em er ha ve n N or de nh am

at R

ob b

en

sü

wa rs g D

Pl at lu m

M el

Al te

W es

er

e

0,00

Abbildung 4.10: Die Amplituden der aus Messungen gewonnenen Partialtiden in der Weser (x-Achse nicht maßstäblich).

  λ A0 L + x −1 Ae (x) = A0 1 + 6π h h abgeschwächt. Die am Wehr reflektierte Welle hat am Ort x die Amplitude

94

4 Tidedynamik in Ästuaren

Ae(x)

Ar(x)

x x=-L: Meeresmündung

x=0: Tidewehr

Abbildung 4.11: Überlagerung von einlaufender und reflektierter Welle mit Dämpfung.

  λ A0 L − x −1 Ar (x) = A0 1 + , 6π h h so dass das zeitliche Verhalten des Wasserstandes durch das Gesetz zS (x,t) = zS + Ae (x) sin (kx − ωt) + Ar (x) sin (−kx − ωt) und für die tiefengemittelte Geschwindigkeit  u(x,t) =

g (Ae (x) sin (kx − ωt) − Ar (x) sin (−kx − ωt)) h

√ gilt, wobei die Wellenzahl k durch die Dispersionsbeziehung im Flachwasser k = ω/ gh gegeben ist. Kennt man nun also alle Amplituden und Phasen der einlaufenden wesentlichen Partialtiden M2 , S2 , K1 und O1 an der Mündung des kanalartigen Ästuars, so kann man den zeitlichen Verlauf der Tide an jedem Ort des Ästuars durch Summierung über die einzelnen Partialtiden gewinnen. Dabei darf man hier leider nicht die Werte aus der Partialtidenanalyse nach Abschnitt 2.2 verwenden, da diese das Gesamtsignal, d. h. einlaufende und auslaufende Welle, beinhalten, wir hier aber nur das einlaufende Signal benötigen. Dieses einfache Rechenverfahren lässt sich mit jedem Tabellenkalkulationsprogramm durchführen und simuliert bei entsprechenden Geometrien schon ein sehr realistisches Systemverhalten des Ästuars. Dass dies so ist, sei durch einen Blick auf Abbildung 4.12 belegt. Bei der angenommenen Phasenverschiebung erhält man die oft beobachtete kurze Flut- und lange Ebbedauer. Hierdurch wird die maximale Flutstromgeschwindigkeit wesentlich größer als die maximale Ebbestromgeschwindigkeit, womit in der kürzeren Zeit das Tidevolumen in das Ästuar eingetragen wird, welches es bei Ebbe wieder verlässt.

4.3 Sedimenttransport unter Tidewellen

95

2

Wasserstand [m] /Geschwindigkeit [m/s]

1,5

1

0,5

0

-0,5

-1

-1,5

-2 0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

16,00

18,00

20,00

Zeit [h]

Abbildung 4.12: Berechnung der zeitlichen Variationen von Wasserstand und tiefengemittelter Strömungsgeschwindigkeit in einem kanalartigen Ästuar. Berücksichtigt wurden die M2 - und die M4 -Gezeit; letztere ist gegenüber ersteren um den Winkel π phasenverschoben.

4.3 Sedimenttransport unter Tidewellen Die Morphodynamik eines Ästuars ist einerseits durch den Feststoffeintrag aus dem oberstromseitigen Fluss und andererseits durch den Ein- oder Austrag am seeseitigen Rand geprägt. Nur wenn diese in der Bilanz ausgeglichen sind, befindet sich das Ästuar in einem langfristigen morphologischen Gleichgewicht. Die in das Ästuar eingetragenen und sich dort befindenden Feststoffe werden als zumeist lockere Sedimente durch die am Boden wirkende Sohlschubspannung transportiert. Kennt man in einem Fließgewässer die tiefengemittelte Geschwindigkeit u, die Wassertiefe h und die Rauheit der Sohle ks , so kann man die resultierenden Sohlschubspannungen nach der Formel von Nikuradse τB κ2 = 2 uu ρ ln 12h ks

mit κ = 0.41

bestimmen. In Abbildung 3.9 sind diese über den Verlauf einer Tideperiode (ohne Reflektion) dargestellt. Dabei sind Belastungen während der Ebbe- wesentlich größer als während der Flutphase, da während der Ebbe dieselben tiefengemittelten Strömungsgeschwindigkeiten wie bei geringeren Wasserständen wirken.

96

4 Tidedynamik in Ästuaren

0 ,0 0 0 0 6

0 ,0 0 0 0 4

T r a n s p o r tk a p a z itä t [m ²/s ]

0 ,0 0 0 0 2

0

-0 ,0 0 0 0 2

-0 ,0 0 0 0 4

-0 ,0 0 0 0 6

-0 ,0 0 0 0 8

-0 ,0 0 0 1

-0 ,0 0 0 1 2 0

0 ,1

0 ,2

0 ,3

0 ,4

0 ,5

0 ,6

0 ,7

0 ,8

0 ,9

1

Z e it t/T

Abbildung 4.13: Sedimenttransportkapazität unter einer M2 -Tidewelle (τcr = 0.25 N/m2 ). Der tidegemittelte Nettotransport findet in Ebbestromrichtung statt.

Dies hat Auswirkungen auf die resultierenden Feststofftransportkapazitäten, deren zeitlicher Verlauf in Abbildung 4.13 gezeigt ist. Die Berechnung erfolgte dabei mit der Formel von MeyerPeter und Müller [52], [53]: qS =

8 (τB − τcr )3/2 ρ 1/2 (ρS − ρ)g

Die Ebbestromdominanz ist im Feststofftransport noch deutlicher ausgeprägt, wodurch Feststoffe fluvialen Ursprungs auch durch die Tidewelle weiter in die Ozeane transportiert werden. Das Ästuar besitzt somit eine erhöhte Selbsträumkraft, die bildlich gesprochen dadurch entsteht, dass die eindringende Tidewelle die Bodensedimente, sich an ihnen abstoßend aus dem Ästuar drängt. Morphodynamik und Tidewellenreflektion Von der durch den Bau von Tidewehren erzeugten reflektierten Welle können wir nun annehmen, dass sie genau das Gegenteil macht, also das Material in Flussrichtung transportiert. Damit würde die Selbsträumkraft des Ästuars erheblich geschwächt. Tatsächlich sind die Verhältnisse aber etwas komplizierter, da Wasserstand und Strömungsgeschwindigkeit sich ja unter einer Phasenverschiebung überlagern. Die sich daraus ergebenden Transportkapazitäten sind im Fall einer Reflektion ohne Dämpfung in Abbildung 4.14 dargestellt, dabei stellt sich ein leichter Nettotransport von See kommend in das Ästuar ein.

4.4 Der Einfluss von Querschnittsänderungen

97

2,00E-05

1,50E-05

Transportkapazität [m²/s]

1,00E-05

5,00E-06

0,00E+00 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-5,00E-06

-1,00E-05

-1,50E-05

-2,00E-05

Zeit t/T

Abbildung 4.14: Sedimenttransportkapazität unter einer M2 -Tidewelle und deren Reflektierten gleicher Amplitude (τcr = 0.25 N/m2 ). Der tideinduzierte Nettotransport ist nahezu Null.

Diese verminderte Selbsträumkraft wird durch die Asymmetrie der Tidewelle noch verstärkt, d. h. durch die im Vergleich zu den Ebbestromgeschwindigkeiten höheren Flutstromgeschwindigkeiten, wie in Abbildung 4.8 zu sehen ist. Hierdurch sind die Transportraten während der Flut überproportional höher als während der Ebbephase, so dass ein Stromauftransport von marinen Sedimenten in das Ästuar entsteht. Langfristig wehrt sich das Ästuar also gegen die Vertiefung, wodurch ein fortwährender Unterhaltungsaufwand in Form von Baggermaßnahmen an solchen zu Seewasserstraßen umfunktionierten Natursystemen zu erwarten ist.

4.4 Der Einfluss von Querschnittsänderungen Bisher war das betrachtete Ästuar immer kanalartig, d. h. sowohl Breite als auch Tiefe änderten sich in seinem Verlauf nicht. Wir bleiben weiterhin bei der Simplifikation des Ästuars als Kanal mit senkrechten Uferwänden, lassen nun aber Breitenänderungen B(x) in Laufrichtung x zu. Die Querschnittsfläche ist somit F(x) = B(x)h(x). Man probiere nun selbst, die ungedämpfte Wellengleichung herzuleiten:   ∂ 2 zS g ∂ ∂ zS − Bh =0 ∂t 2 B ∂x ∂x Für sie wurde von Green [39] eine Näherungslösung entwickelt, die für die Amplitude ein nach ihm benanntes Ähnlichkeitsgesetz beinhaltet. Zur Herleitung setzt er die Versuchslösung

98

4 Tidedynamik in Ästuaren

zS (x,t) := A(x)F(x +



ght)

in die Wellengleichung ein, die sich dann auf die Lösungsbedingung    A(x) F(x) A(x) B(x) 1 h(x) F(x) A(x) 2 + + + + =0 A(x) F(x) A(x) B(x) 2 h(x) F(x) A(x) reduziert. Diese kann leider nur näherungsweise erfüllt werden, indem sie in die zwei Anteile   A(x) B(x) 1 h(x) A(x) + + =0 A(x) B(x) 2 h(x) A(x) und   A(x) B(x) 1 h(x) 2 + + =0 A(x) B(x) 2 h(x) zerlegt wird. Letzterer wird für A(x) = CB(x)−1/2 h(x)−1/4

bzw.

1/2 1/4

A0 B 0 h 0

= A(x)B(x)1/2 h(x)1/4

gelöst. Jede Reduktion der Breite oder Wassertiefe führt also zu einem Aufsteilen der Tideamplitude. Dabei ist eine Breitenreduktion wirksamer als eine Tiefenreduktion. So wird bei halbierter Breite und konstanter Tiefe die Tideamplitude um das 1.4-fache, bei halbierter Tiefe und konstanter Breite um das 1.2-fache erhöht. Bezüglich ihrer Wirkung auf die Tideamplitude kann man die Dämpfung und das Aufsteilen durch die Trichterförmigkeit in ihrer Wirkung gegeneinander abwägen [67]. Dabei unterscheidet man synchrone Ästuare, bei denen die Amplitude im Verlauf etwa konstant ist, weil sich die Bündelung der Tideenergie und die Dämpfung gegenseitig neutralisieren. Bei hypersynchronen Ästuaren überwiegt die Trichterförmigkeit gegenüber der Dämpfung. Dies ist bei der Unterweser der Fall, die bei Bremerhaven etwa 2 km breit ist und sich bis zum Wehr Hemelingen auf 400 m verengt. Damit verbunden ist ein Anstieg der Amplitude der M2 Tide zwischen den Pegeln Alte Weser und Nordenham (Abbildung 4.10 oben) um fast 40 cm. Im stromaufwärts folgenden kanalisierten Teil der Weser überwiegt dann zwischen Nordenham und Farge der dämpfende Effekt durch die Sohlreibung. Hier spricht man von hyposynchronen Ästuarbereichen: Die Tide nimmt in das Ästuar hinein ab.

4.5 Tidekennwerte und ihre Analyse Fassen wir noch einmal zusammen, welche Wirkzusammenhänge wir bisher kennengelernt haben, die die Gezeitencharakteristik eines Küstengewässers prägen: • Die Gezeiten werden durch astronomische Kräfte erzeugt, die eine Reihe von periodischen Vorgängen unterschiedlicher Frequenz beinhalten. Diese gehen von halbtägigen bis zu Perioden von über zehntausend Jahren, die entsprechende Variationen des Tidesignals induzieren.

4.5 Tidekennwerte und ihre Analyse

99

• Hinzu kommen weitere durch nichtlineare Wechselwirkungen entstehende kurzfristigere Signale, die man als Flachwassertiden bezeichnet. • Diese Tidewellen überlagern sich gegenseitig, propagieren durch die Weltmeere und Küstengewässer und werden dabei fortwährend gedämpft. • Treffen sie auf ein Hindernis (in eine Bucht oder an ein Wehr), so werden sie reflektiert. • Schließlich werden sie durch die Form des Küstengewässers lokal abgeflacht oder aufgesteilt. Um diese Prozesse nicht alle analysieren (oder verstehen) zu müssen, besteht nach DIN 4049 auch die Möglichkeit, das Gezeitenverhalten in einem Küstengewässer durch charakteristische Tidekennwerte gewässerkundlich zu beschreiben, die man einzig aus der Langzeitbeobachtung gewinnen kann.

4.5.1 Tidekennwerte des Wasserstandes Die Hauptkennwerte des Wasserstandes sind zunächst einmal die Extremwasserstände Tidehochwasser (Thw) und Tideniedrigwasser (Tnw). Die Differenz dieser beiden Kennwerte bezeichnet man als Tidehub (Thb), ihr arithmetisches Mittel als Tidehalbwasser. Als Tidemittelwasser (Tmw) wird das Integralmittel der Tidekurve bezeichnet, die Auftragung des Tidemittelwassers als waagerechte Linie trennt also zwei Flächen gleichen Inhalts. Im Rahmen der Wellentheorie der Tide kommt dem Tidehub als Amplitudendoppel eine besondere Bedeutung zu, denn sein Quadrat ist proportional zur Wellenenergie: 1 ew = g Thb2 8 Der Tidehub berichtet also direkt über die energetischen Prozesse im Ästuar. Dabei kann die Tideenergie von See kommend in das Ästuar hinein grundsätzlich nur abnehmen. Die wesentlichen energiedissipierenden Wirkmechanismen sind dabei die Sohlschubspannung und die innere Reibung. Dennoch kann die Trichterförmigkeit des Ästuars auch Tideenergie bündeln, wodurch es zu einer Zunahme des Tidehubs in das Ästuar hinein kommen kann. Ferner kann die Reflektion der Tidewelle an abrupten Querschnittsverengungen oder an einem Wehr zu einer Zunahme des Tidehubs führen. Der Tidehub ist wegen seiner Schlüsselrolle in der Beschreibung des Strömungsklimas ein Klassifizierungsmerkmal für Übergangs- und Küstengewässer. So bezeichnet man solche Gewässer mit einem Tidehub • kleiner als 2 m als mikrotidal, • zwischen 2 m und 4 m als mesotidal und • größer als 4 m als makrotidal. An der deutschen Nordseeküste hat man es mit mesotidalen, an der Ostseeküste mit mikrotidalen Verhältnissen zu tun.

100

4 Tidedynamik in Ästuaren T id e k e n n w e r te d e s W a s s e r s ta n d s 2

K e n te rp u n k ta b s ta n d k _ f

T id e h o c h w a s s e r T h w

E b b e

1 /2 T h b

F lu t

T id e fa ll

F lu ts tr o m k e n te r p u n k t K f 1

T id e h u b T h b

T id e h a lb w a s s e r

K e

E b b e s tro m k e n te rp u n k t K e

-1

1 /2 T h b

0

N N ] W a s s e rs ta n d [m

T id e s tie g

T id e m itte lw a s s e r T m w

T id e n ie d r ig w a s s e r T n w F lu ts tr o m d a u e r T _ f

-2

E b b e s tro m d a u e r T _ e

K e n te rp u n k ta b s ta n d k _ e F lu td a u e r T _ F

fla e c h e n g le ic h E b b e d a u e r T _ E

T id e d a u e r T _ T -3 3

5

7

9

1 1

1 3

1 5

1 7

1 9

2 1

Z e it [h ]

Abbildung 4.15: Tidekennwerte des Wasserstandes (Quelle: BAW).

B e tr a g d e r S tr o e m u n g s g e s c h w in d ig k e it [m /s ]

1

fla e c h e n g le ic h

K e n te rp u n k ta b s ta n d k _ f T h w

0 .8

m a x . F lu ts tr o m g e s c h w in d ig k e it

fla e c h e n g le ic h

T id e k u r v e

0 .6 m a x . E b b e s tr o m g e s c h w in d ig k e it

F lu ts tr o m

0 .4

E b b e s tro m

m it. F lu ts tr o m g e s c h w in d ig k e it

0 .2

m it. E b b e s tr o m g e s c h w in d ig k e it

S ta u w a s s e r G re n z g e s c h w in d ig k e it E b b e s tro m k e n te rp u n k t K e 0 T n w

F lu ts tr o m k e n te r p u n k t K f

S ta u w a s s e rd a u e r K e

-0 .2

K e n te rp u n k ta b s ta n d k _ e F lu ts tr o m d a u e r T _ f

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K e

T n w

S ta u w a s s e rd a u e r K f

0

2

4

E b b e s tro m d a u e r T _ e 6

8

1 0

1 2

1 4

Z e it [h ]

Abbildung 4.16: Tidekennwerte der Strömungsgeschwindigkeit (Quelle: BAW).

4.5 Tidekennwerte und ihre Analyse

101

Anhand Abbildung 4.17 soll der Tidehub in der Jade auf diese Art und Weise interpretiert werden. Er steilt sich von See kommend von etwa 2.4 m auf über 3.8 m an. Die Ursachen für dieses Ansteigen sind zum einen die relative Verengung des Querschnittes vor Wilhelmshaven und zum anderen vor allem die Reflektion der Tidewelle an der südlichen Berandung. Das Tidemittelwasser entzieht sich einer einfachen Interpretation. In erster Näherung kann man annehmen, dass es der Wasserstand ist, der sich einstellen würde, wenn im Ästuar keine Tide vorhanden wäre und somit den Gradienten der freien Oberfläche produziert, mit dem das Oberwasser transportiert wird. Die auftretendenden Gradienten sind jedoch wesentlich größer als man sie von normalen Abflussbedingungen her gewohnt ist. Die Unzulänglichkeit des Bildes liegt in der Tatsache verborgen, dass die Tidewelle auch im Mittel den Wasserstand beeinflusst, so wie es von kurzen Wellen (Wave setup und setdown) bekannt ist. So steigt das Tidemittelwasser in der Regel in das Ästuar hinein an, man beobachtet aber insbesondere im Bereich der Mündung oft auch ein Abfallen des Tidemittelwassers. Tidehoch- und Tideniedrigwasser lassen sich nun als Abhängige von Tidehub und Tidemittelwasser interpretieren. Nimmt der Tidehub infolge Energiedissipation zum flussseitigen Ende ab und das Tidemittelwasser zu, so steigt das Tideniedrigwasser in diese Richtung stark an, während das Tidehochwasser im Vergleich zu ersterem nahezu auf konstantem Niveau verläuft. Auf der Zeitebene ist die Tidedauer die Zeit zwischen zwei Tideniedrigwasserereignissen, die Flutdauer die Zeit zwischen Tideniedrig- und Tidehochwassereintritt, die Ebbedauer die Zeit zwischen Tidehoch- und Tideniedrigwassereintritt.

4.5.2 Tidekennwerte der Strömungsgeschwindigkeit Bei der Strömungsgeschwindigkeit sind zunächst einmal die Eintrittszeiten ihrer Nullpunkte charakteristisch, der Ebbestromkenterpunkt bezeichnet dabei das zeitliche Ende der seewärts gerichteten Strömung, der Flutstromkenterpunkt das zeitliche Ende der stromaufwärts gerichteten Strömung. Zeiten sehr geringer Strömung bezeichnet man als Stauwasser, ihre zeitliche Ausdehnungen sind die entsprechenden Stauwasserdauern. Die Bundesanstalt für Wasserbau bezieht die Stauwasserdauern auf Geschwindigkeiten unter 10 cm/s. Die Zeit von der Ebbestrom- zur Flutstromkenterung wird als Flutstromdauer, die Zeit von der Flutstrom- zur Ebbestromkenterung als Ebbestromdauer bezeichnet. Die Extremwerte der Strömungsgeschwindigkeit sind die maximale Flutstrom- und die maximale Ebbestromgeschwindigkeit. Davon zu unterscheiden sind die mittleren Flut- und Ebbestromgeschwindigkeiten, die die jeweiligen Integralmittel über die Flutstrom- bzw. Ebbestromdauer bezeichnen. Wir hatten schon festgestellt, dass die Extremwerte des Wasserstandes bei einer reinen Tidewelle zeitgleich mit den Extremwerten der Strömungsgeschwindigkeiten eingenommen werden. Haben in einem Ästuar mit reflektierendem Wehr einlaufende und reflektierte Welle dieselbe Amplitude, dann werden die Extremwerte des Wasserstands zu den Kenterpunktzeiten angenommen. Man kann nun die als Kenterpunktabstand Ebbe (Flut) bezeichnete Differenz zwischen dem Eintreten des Tideniedrigwassers (Tidehochwassers) und Ebbestromkenterpunkt (Flutstromkenterpunkt) als Maß für die Dämpfung der reflektierten Welle nehmen: Ist der Kenterpunktabstand an einem Ort Null, dann ist die reflektierte Welle so groß wie die einlaufende

102

4 Tidedynamik in Ästuaren

34

30.

34 0

40.

34 0

50.

34 0

60.

0

59

40.

0

59

50.

0

59

60.

0

Mittlerer Thb

HN-Verfahren Telemac-2D

59

20.

0

59

30.

0

developed by EDF, Chatou

Zeitraum: 14.06.1990-00:00 bis 25.06.1990-10:00

Topographie mNN Isolinien fuer Topographie

in mNN 0.00

5.00

10.00

-2.5

-1.25

0

1.25

2.5 mittlerer Thb m

2.4

0

5.00

3.

3.6

4.4

10.00 km

Programm HVIEW2D

29.09.1999

Abbildung 4.17: Der mittlere Tidehub in der Jade steigt von See kommend von 2.6 m auf über 4 m im Jadebusen an. Ursächlich hierfür ist die Reflektion der Tidewelle (Quelle: BAW).

Welle. Liegt der Kenterpunktabstand bei etwa 3 Stunden, dann ist keine reflektierte Welle vorhanden, diese also vollständig gedämpft.

4.6 Der Ausbau der Tideästuare

103

4.5.3 Zeitliche Schwankungen der Tidekennwerte Die genannten Tidekennwerte variieren in einem Ästuar sowohl von Ort zu Ort als auch von Tide zu Tide. Die zeitlichen Variationen bei festem Ort sind dabei im Wesentlichen astronomischen und meteorologischen Ursprungs. Diese zeitlichen Variationen der Tidekennwerte werden nach DIN 4049 durch weitere Kennwerte erfasst. So wird der überhaupt bekannte höchste Wert (Abk. HH, Bsp.: HHTnw) nur selten im Rahmen einer numerischen Simulation auftreten und muss den entsprechenden hydrologischen Jahrbüchern entnommen werden. Für einen beliebigen Betrachtungs- oder Simulationszeitraum unterscheidet man den höchsten auftretenden Wert (Abk. H, Bsp.: HTnw), die arithmetischen Mittelwerte (Abk. m, Bsp.: mTnw), den niedrigsten (Abk. N, Bsp.: NTnw) und den niedrigsten überhaupt aufgetretenen Wert (Abk. NN, Bsp.: NNTnw).

4.5.4 Tidekennwertanalyse Um diese sowohl räumlichen als auch zeitlichen Variationen der Tidekennwerte vollständig zu erfassen, bietet sich die dreidimensionale oder die tiefenintegrierte numerische Simulation des entsprechenden Ästuars an. Der Simulationszeitraum sollte mehrere Tiden – im Idealfall einen vollständigen Nipp-Spring-Zyklus – umfassen. Als Ergebnis erhält man Wasserstand und Strömungsgeschwindigkeiten auf jedem Knoten des Berechnungsgitters als Funktion der Zeit. In der numerischen Tidekennwertanalyse werden diese zeitabhängigen Funktionen zur Bestimmung der einzelnen Tidekennwerte analysiert. So wird eine Wasserstandszeitreihe zunächst auf lokale Minima untersucht, man erhält so die verschiedenen Tideniedrigwasser, kann von diesen das arithmetische Mittel und so das mittlere Tideniedrigwasser (mTnw) bilden. In derselben Weise wird mit den Tidedauern, den Tidehochwassern etc. fortgefahren. Die Ergebnisse lassen sich flächenhaft darstellen, womit synoptische Tidekennwertdarstellungen entstehen. In Abbildung 4.18 ist als Beispiel das mittlere Tideniedrigwasser synoptisch für den Simulationszeitraum von 14.6.1990 bis zum 25.6.1990 für die Jade dargestellt.

4.6 Der Ausbau der Tideästuare Der Ausbau der Küstengewässer zu leistungsfähigen Wasserstraßen hat erhebliche Auswirkungen auf die Tidedynamik im Ästuar. Dies haben wir schon am Beispiel der Tidewehre herausgearbeitet, die zu einer Reflektion der Tide und in der Folge zu einer Phasenverschiebung von Wasserstand und Strömungsgeschwindigkeit führen, wodurch die Selbsträumkraft des Ästuars gegenüber den von Oberstrom eingetragenen Sedimenten erheblich geschwächt wird. Wir wollen die Auswirkungen weiterer Vertiefungen, Verbreiterungen oder aber Verengungen des Ästuars mit Hilfe der dargestellten Theorie qualitativ prognostizieren. Der künstliche Eingriff durch wasserbauliche Maßnahmen überlagert die natürlichen Vorgänge. Es entsteht eine Interaktion zwischen beiden mit eigenständigen Auswirkungen. Grundsätzlich lassen sich folgende physikalischen Wirkungsmerkmale identifizieren.

104

4 Tidedynamik in Ästuaren

34

30.

34 0

40.

34 0

50.

34 0

60.

0

59

40.

0

59

50.

0

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60.

0

Mittleres Tnw

HN-Verfahren Telemac-2D

59

20.

0

59

30.

0

developed by EDF, Chatou

Zeitraum: 14.06.1990-00:00 bis 25.06.1990-10:00

Topographie mNN Isolinien fuer Topographie

in mNN 0.00

5.00

10.00

-2.5

-1.25

0

1.25

2.5 mittleres Tnw mNN

-2.5

0

5.00

-2.1

-1.7

-1.

10.00 km

Programm HVIEW2D

29.09.1999

Abbildung 4.18: Das mittleres Tideniedrigwasser in der Jade fällt von -1.4 m am seeseitigen Rand nördlich von Wangerooge auf -2.2 m im Jadebusen (Quelle: BAW).

4.6 Der Ausbau der Tideästuare m NN

105 Verlauf der Wasserständein der Unterweser 1884 - 2006

3,0 Thw 2002/06 Thw 1884/88

2,0

Thw 1916/20

1,0

Tnw 1884/88

0,0 Tnw 1916/20

-1,0 Tnw 2002/06

-2,0 km 0,0 Brücke

8,5 Oslebshause

17,5 Vegesack

26,1 Farge

33,3 Elsfleth

39,2 Brake

57,3 Nordenham

65,0 Bremerhaven

Abbildung 4.19: Historie der Wasserstände in der Unterweser zwischen 1884 und 2006 (Quelle: Wasserund Schifffahrtsamt Bremen).

4.6.1 Vertiefungen Eine reine Vertiefung eines Ästuars führt zu einer geringeren Dämpfung der von der See einschwingende Tidewelle, so dass mehr Tideenergie in das Ästuar stromaufwärts gelangt. Daraus rührt eine Zunahme des Tidehubs. Die Absenkung des Tideniedrigwassers ist dabei weitaus größer als die Erhöhung des Tidehochwassers, weil die ausbaubedingte relative Änderung bei Niedrigwasser wesentlich mehr Gewicht bekommt als bei Hochwasser. Diese ausbaubedingten Änderungen sind in Abbildung 4.19 am Beispiel der Unterweser für die sich nach einer Ausbaustufe neu einstellenden Tidehoch- und Niedrigwasserlinien dargestellt. Verfolgt man dabei zunächst die Thw- und die Tnw-Linien von 1884/1888, so ist eine in das Ästuar leicht ansteigende Tidehochwasserlinie zu erkennen, die erst oberhalb von Oslebshausen stark aufsteilt. Zu dieser Zeit stieg jedoch das Niedrigwasser noch steiler als die Hochwasserlinie in das Ästuar hinein an. Der Tidehub wurde oberhalb von Elsfleth so stark gedämpft, dass an der Wilhelm-Kaisen-Brücke in Bremen ein Tidehub von nicht einmal 30 cm zu verzeichnen war. Im Laufe der verschiedenen Vertiefungen hat sich vor allem die Tiedniedrigwasserlinie fast vollständig der Horizontalen angeglichen, so dass sich heute der tideaufsteilende Effekt der Trichterförmigkeit und die Dämpfung der Tidewelle fast vollständig ausgleichen. Es ist daher zu erwarten, dass zukünftige Vertiefungen die Wasserstände des Systems nicht mehr so stark beeinflussen, da es in der Vergangenheit schon zu erheblichen Veränderungen gekommen ist. Die im Vergleich zur Erhöhung des Tidehochwassers weitaus größere Absenkung des Tideniedrigwassers bedingt auch eine Absenkung des Tidemittelwassers. Hiermit ist in der Regel auch eine Absenkung des Grundwasserspiegels in den angrenzenden Flächen verbunden,

106

4 Tidedynamik in Ästuaren

wodurch die Standsicherheit von Spundwänden und anderen Uferkonstruktionen beeinträchtigt werden kann. Die Veränderung der Strömungsgeschwindigkeit ist durch zwei gegenläufige Prozesse bestimmt: • Zum einen wird der durchflossene Querschnitt durch die Vertiefung aufgeweitet. Dies hat eine Abnahme der Strömungsgeschwindigkeit am Ort der Vertiefung zur Folge. • Zum anderen bedingt die Zunahme des Tidehubs eine Erhöhung des Tidevolumens, welches durch den vertieften Querschnitt bei Ebbe ab- und bei Flut zufließen muss. Dies ist mit einer Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit verbunden. Die Prognose der zu erwartenden Änderung der Strömungsgeschwindigkeit bei einer Vertiefung kann deshalb nicht einmal qualitativ prognostiziert werden, sondern muss einer mehrdimensionalen Simulation vorbehalten bleiben. Eine gesondert zu betrachtende Situation liegt in den breiten Ästuarmündungen vor, in denen von der Hauptrinne Nebenarme abzweigen, die große angrenzende Wattflächen be- und entwässern. Durch die Vertiefung der Hauptrinne wird deren Bedeutung für die Wasserführung gestärkt, sie wird im Verhältnis zu den Nebenrinnen und Flachwasserbereichen hydraulisch glatter, da die Wirkung der Sohlrauheit sich aufgrund der größeren Tiefe reduziert. Über den Gesamtquerschnitt betrachtet werden die Strömungsgeschwindigkeiten in der Hauptrinne gestärkt und in den Nebenrinnen geschwächt. Durch die größeren Wassertiefen vergrößert sich zudem die Tidewellengeschwindigkeit in der Hauptrinne, wodurch die angrenzenden Wattflächen nicht mehr durch die Nebenarme, sondern direkt durch die Hauptrinne be- und entwässert werden. Die geringere Wasserführung in den Nebenarmen führt in der Folge zu einer Verschlickung oder Versandung derselben, wodurch sie sich zurückentwickeln oder sogar absterben.

4.6.2 Verbreiterungen Bei schmaleren Nebenflüssen der großen Tideästuare, wie z. B. der Hunte, wurden immer wieder auch Verbreiterungen durchgeführt, deren schifffahrtliche Notwendigkeit die Abbildung 4.20 sehr eindrücklich zeigt. Im Gegensatz zu Vertiefungen ändern Verbreiterungen das Laufzeitverhalten der Tidewelle nicht. Durch die so genannte laterale Dispersion, d. h. die Ausbildung eines Grenzschichtprofils an den lateralen Begrenzungen des Gewässers, erniedrigt sich allerdings auch hier die Energiedissipation des Systems, da relativ gesehen weniger Strömung im Gesamtquerschnitt durch die laterale Reibung gebremst wird. Für alles weitere sind zwei Grenzfälle zu unterscheiden: Verbreiterung im Unterlauf Findet die Verbreiterung im Unterlauf, d. h. im Bereich der Ästuarmündung, statt, erhöht sich durch die geringere Rauheit der Tidehub. Die Effekte sind dabei dieselben wie bei der Vertiefung, d. h. das Tideniedrigwasser senkt sich weiter ab als das Tidehochwasser ansteigt.

4.6 Der Ausbau der Tideästuare

107

Abbildung 4.20: Schiffsüberführung auf der Hunte (Quelle: Wasser- und Schifffahrtsamt Bremen).

Verbreiterung im Oberlauf Eine Verbreiterung im Oberlauf des Ästuars, d. h. an dessen flussseitigem Ende, führt zu einer Erhöhung des Tideprismas im gesamten Ästuarverlauf. Dabei bezeichnet man als Tideprisma das Wasservolumen, welches zwischen Tideniedrig- und Tidehochwasser oberhalb eines bestimmten Ästuarquerschnitts aufgefüllt werden muss. Das Tideprisma ist also eine ästuarspezifische Funktion, die von der Mündung zur Tidegrenze (z. B. dem Tidewehr) kontinuierlich bis auf Null abfällt. Mit der Verbreiterung im Oberlauf muss das zusätzliche Tidevolumen durch alle Querschnitte des Ästuars hindurchgeführt werden. Dies führt zu einem entsprechenden Anstieg der Strömungsgeschwindigkeit im gesamten Unterlauf. Da auf der anderen Seite die Rauheit des Systems mit der Strömungsgeschwindigkeit quadratisch ansteigt, wird nicht das gesamte zusätzlich erforderliche Wasservolumen durch die Querschnitte transportiert, wodurch der Tidehub reduziert wird. Verbreiterungen im Oberlauf eines Ästuars können damit als Ausgleichsmaßnahmen gegen vertiefungsbedingte Absenkungen des Tideniedrigwassers in Betracht gezogen werden.

4.6.3 Verengungen Bei einer reinen Verengung des Systems verändert sich die Tidewellengeschwindigkeit nicht. Das System wird allerdings hydraulisch undurchlässiger, da sich das Verhältnis von hydraulischem Radius zu durchströmtem Querschnitt erhöht. Die von der See einschwingende Tidewelle unterliegt damit einer größeren Dämpfung und Reflexion, was oberhalb der Verengung mit einer Abnahme des Tidehubs verbunden ist.

108

4 Tidedynamik in Ästuaren

Hunte-Achse

mittlerer Thb

Gebiet Teilgebiet Name der Studie Art der Datengenerierung

: : : :

( 19.09.1994-21:45:00 bis 28.09.1994-03:55:00 )

Ist-Zustand

Hunte-Aestuar Tide-Hunte Ausbau der Hunte

Istzustand

Variante ausbau

Variante var2

Variante maxi

HN-Verfahren TELEMAC-2D

Variante kolk

Variante siel

4,00 3,80 3,60 3,40

[m]

3,20 3,00 2,80 2,60 2,40 2,20 2,00 0,00

5,00

10,00

15,00 Profil - Kilometer

20,00

25,00 erstellt am : 11.03.98

Abbildung 4.21: Der durch numerische Simulation bestimmte Tidehubverlauf in der Hunte: Dargestellt sind neben dem Istzustand (1994) die Computersimulationsergebnisse für verschiedene Ausbauvarianten, die mit den Kürzeln ausbau, var2, maxi, kolk und siel bezeichnet wurden. Der Istzustand zeigt eine starke Abnahme des Tidehubs im Bereich der engen Fülljer Kurven bei km 18. Eine weitere Engstelle befindet sich bei km 10.8, an der im Istzustand ebenfalls eine Drosselung der Tideenergie zu verzeichnen ist. Nach Oldenburg hin nimmt der Tidehub durch Reflektion der Tidewelle wieder leicht zu. In der Ausbauvariante ausbau wurde die Fahrrinne überall auf 28 m verbreitert und durchlaufend eine Solltiefe von 4.3 m hergestellt. Hierdurch fällt insbesondere die Drosselung bei km 10.8 weg, wodurch sich eine Tidehuberhöhung bis nach Oldenburg durchzieht. In der Variante var2 wird eine Verbreiterung der Stadtstrecke in Oldenburg berücksichtigt. Das zusätzlich zu füllende und zu entleerende Tidevolumen verringert den Tidehub wieder. In der Variante maxi werden alle Kolke verfüllt, an denen die aktuelle Sohle unterhalb der Solltiefe liegt. Dies hätte eine Reduktion des Tidehubs unter den Istzustand zur Folge. In der Variante kolk werden nur die Kolke zwischen km 15.1 und 16.2 verfüllt. In der Variante Siel erfolgt eine Kolkverfüllung zwischen km 15.4 und 16.2 und zwischen km 7.9 und 8.8. Diese Varianten machen deutlich, wie schwer es ist, eine Tidehubänderung infolge Verbreiterung (oder Vertiefung) durch andere Maßnahmen auszugleichen (Quelle: BAW)

4.7 Zusammenfassung

109

Für die Veränderung der Strömungsgeschwindigkeit stehen sich wieder zwei entgegengesetzt wirkende Faktoren gegenüber. Die Querschnittsverengung bedingt eine Zunahme, das verkleinerte Tidevolumen eine Abnahme der Strömungsgeschwindigkeit. Werden die oberen Bereiche des Ästuars verengt, dann ist das verkleinerte Tidevolumen der dominante Faktor, die Geschwindigkeit wird im unteren Bereich des Ästuars abnehmen. Werden die unteren Bereiche des Ästuars verengt, dann ist die Querschnittsreduktion der dominante Faktor, die Strömungsgeschwindigkeiten werden im Bereich der Verengung erhöht. Die grundlegenden physikalischen Prozesse, die Fortschrittsgeschwindigkeit der Tidewelle, die Dämpfung der Tidewelle durch Energiedissipation aufgrund von Reibung im Ästuar, die Reflexion der Tidewelle durch die topographische Form des Ästuars und die Veränderung der Topographie durch die Strömung bilden komplexe, nichtlineare Wechselwirkungen, zu denen noch weitere Prozesse hinzukommen. Die Wirkung von Ausbaumaßnahmen kann daher nicht aus bisherigen Ausbauten durch lineare Extrapolation abgeschätzt werden. Im Interesse einer möglichst genauen Quantifizierung ist dafür ein Computersimulationsmodell erforderlich, welches die maßgeblichen physikalischen Prozesse berücksichtigt und die Wechselwirkungen nachbilden kann.

4.7 Zusammenfassung In einem durch ein Wehr begrenzten Ästuar ist neben der Dämpfung der Tideenergie und damit verbunden des Tidehubs noch die Überlagerung von einlaufender und reflektierter Welle zu berücksichtigen. Aufgrund ihres periodischen Charakters lässt sich das zeitliche Verhalten der Tide durch Tidekennwerte repräsentieren, die allerdings räumlich variieren. Von diesen Tidekennwerten haben wir die des Wasserstandes und der Geschwindigkeit besprochen. Aber auch die Tidekennwerte sind zeitlichen Schwankungen unterworfen, die neben langfristigen Tendenzen und meteorologischen Einflüssen vor allem aus der Tatsache resultieren, dass das Tidesignal nicht aus einer einzigen Periode, sondern aus einem diskreten Spektrum von Perioden aufgebaut ist.

5 Die Theorie idealer Wellen Denkt man an der Küste an Wellen, so stechen einem zuerst die Oberflächenwellen des Seegangs mit Wellenlängen im Maßstab des Meters ins geistige Auge, nicht aber die unüberblickbaren Gezeitenwellen mit Wellenlängen im Bereich von hunderten Kilometern. Beiden Bewegungsarten ist die Periodizität gemeinsam, auch wenn Seegangswellen keinesfalls sinusförmig zu sein scheinen. Im Unterschied zu den Gezeitenwellen kann die Länge von Seegangswellen in tiefem Wasser auch viel kleiner als die Wassertiefe sein. Dieser Fall ist durch die Flachwassertheorie der Gezeitenwellen nicht abgedeckt. Die beide Phänomene beschreibende Theorie wurde von Pierre Simon de Laplace (1749– 1827) für die Reaktion der Ozeane auf die tideerzeugenden Kräfte aufgestellt; man bezeichnet ihre Gleichungen daher heute als Laplacesche Tidegleichungen. Sie berücksichtigen die Corioliskräfte und sind in sphärischen Koordinaten für tiefengemittelte Strömungen aufgestellt. Der siebte britische königliche Astronom George Biddell Airy (1801–1892) wollte aber auch die vertikale Struktur der Strömungen unter Gezeitenströmungen auflösen. Sich auf kanalartige Strömungen beschränkend, konnte er sich auf kartesische Koordinaten zurückziehen und vernachlässigte zudem die Corioliskraft. Obwohl Airy seine Theorie für Gezeitenwellen entwickelte, wird sie heute grundlegend zur Beschreibung von Seegangswellen verwendet. Die meisten Wellenphänomene kann sie qualitativ und oft auch quantitativ gut erklären.

5.1 Die ideale rotationsfreie Strömung Nachdem wir seit Kapitel 3 mit den Differentialgleichungen für die tiefengemittelte Strömung arbeiten, wollen wir nun die vollständige dreidimensionale Struktur der einzelnen Küstenströmungen erfassen. Dazu soll uns zunächst die Näherung der idealen Strömung ausreichen. Hier werden die inneren Reibungen, d. h. die Viskosität des Wassers, vernachlässigt. Die mit dieser Theorie hergeleiteten Ergebnisse beschrieben viele Strömungen und darunter insbesondere auch Oberflächenwellen so gut, dass man im 19. Jahrhundert davon ausging, dass die Viskosität grundsätzlich vernachlässigt werden könne.

5.1.1 Die Kontinuitätsgleichung Auch die dreidimensionalen Bewegungsgleichungen eines Fluids bestehen aus Massen- und Impulserhaltungsgleichungen. Die Massenerhaltungsgleichung für inkompressible Fluide bezeichnet man dabei auch als Kontinuitätsgleichung. Wir wollen hier auf ihre Herleitung verzichten und sie beschreibend verstehen. Sie lautet: ∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z

oder

div u = 0

A. Malcherek, Gezeiten und Wellen, DOI 10.1007/978-3-8348-9764-0_6, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

112

5 Die Theorie idealer Wellen

6 ? - r - r

-

-

6 y

?

6 (a)

∂u ∂v < 0, >0 ∂x ∂y

(b)

∂u ∂v < 0, >0 ∂x ∂y

x Abbildung 5.1: Eine Geschwindigkeitskonvergenz in x-Richtung kann auf zwei Weisen durch eine Geschwindigkeitsdivergenz in y-Richtung ausgeglichen werden.

Die Kontinuitätsgleichung beinhaltet alle drei Geschwindigkeiten gleichberechtigt. Jede von ihnen wird nach ihrer Richtung abgeleitet. Daher wird die Kontinuitätsgleichung in der Numerik auch nicht als Bestimmungsgleichung für eine der Geschwindigkeiten verwendet. Vielmehr ist sie eine Bedingung, die das Geschwindigkeitsfeld erfüllen muss, damit es die Massenerhaltung nicht verletzt. Blicken wir nochmals auf die Gleichung für die Dynamik des Wasserspiegels (3.1). Auch sie enthielt räumliche Geschwindigkeitsgradienten, die im Falle einer Geschwindigkeitskonvergenz zu einem Anheben und bei einer Divergenz zu einem Abfallen des Wasserstandes führte. Was passiert, wenn wir nun nicht mehr die gesamte Wassersäule, sondern nur einen einzigen Punkt betrachten, der vollständig im Wasser liegt? Da Wasser inkompressibel ist, sich also an einem Punkt nicht aufstauen kann, muss eine Konvergenz der einen Geschwindigkeitskomponente durch eine Divergenz einer anderen Geschwindigkeitskomponente ausgeglichen werden. Um uns die Sache besser vorstellen zu können, beschränken wir uns auf eine flächenhafte Strömung. Nehmen wir eine Geschwindigkeitskonvergenz in x-Richtung an, d. h. die u-Geschwindigkeit wird, wie in Abbildung 5.1 dargestellt, in x-Richtung kleiner. Am Betrachtungspunkt würde sich dann Wasser aufstauen. Das geht aber nicht, also muss es vom Betrachtungspunkt in eine andere Richtung durch eine Geschwindigkeitsdivergenz gleicher Stärke wieder abfließen, was gleichbedeutend mit ∂u ∂x  Divergenz

=

∂v ⇒ − ∂y  Konvergenz

∂u ∂v + =0 ∂x ∂y

ist. Diese Gleichung verlässt die 2D-Papierebene, wenn man die dritte Geschwindigkeitsableitung hinzfügt, womit die Kontinuitätsgleichung plausibilisiert ist.

5.1 Die ideale rotationsfreie Strömung

113

Übung 23: Warum ist die vertikale Geschwindigkeitsableitung Teil (a) als auch in Teil (b) größer als Null?

∂v ∂y

in Abbildung 5.1 sowohl in

Übung 24: Ist die Kontinuitätsgleichung für stationäre, inkompressible Strömungen erfüllt, wenn die folgenden Komponenten der Geschwindigkeit gegeben sind? u = 2x2 − xy v = x2 − 4xy w = −2xy − yz + y2

Übung 25: Die Geschwindigkeitskomponente u einer zweidimensionalen inkompressiblen Strömung ist gegeben durch: u = Ax3 + By2 1. Wie lautet die Geschwindigkeitskomponente v unter der Annahme, daß für alle x an der Stelle y = 0 gilt: v = 0? 2. Handelt es sich hier um eine Potentialströmung ? (Begründung !) Übung 26: Welche der folgenden Geschwindigkeitsfelder ist divergenzfrei? ⎛ (a) u(x, y, z) = ⎝ ⎛ (b) u(x, y, z) = ⎝ ⎛ (c) u(x, y, z) = ⎝ ⎛ (d) u(x, y, z) = ⎝

u(x, y, z) v(x, y, z) w(x, y, z) u(x, y, z) v(x, y, z) w(x, y, z) u(x, y, z) v(x, y, z) w(x, y, z) u(x, y, z) v(x, y, z) w(x, y, z)

⎞

⎛

⎠=⎝ ⎞

⎛

⎠=⎝ ⎞

⎛

⎠=⎝ ⎞

⎛

⎠=⎝

⎞ sin(kx) sin(ky) ⎠ sin(kz) ⎞ sin(kx) − sin(ky) ⎠ 0 ⎞ sin(k(x + y)) − sin(k(x + y)) ⎠ sin(kz) ⎞ sin(k(x + y + z)) − sin(k(x + y + z)) ⎠ 0

5.1.2 Druckkräfte In unseren bisherigen Differentialgleichungen für die Bewegung des Wassers in den Küstengewässern ist der Druck als wichtige physikalische Größe noch nicht aufgetaucht, obwohl man ihn wohl auch nicht sonderlich vermisst hat. Wir sollten uns dennoch mit dem Druck etwas ausführlicher beschäftigen, weil er die Strömung in einem Oberflächengewässer über die gesamte

114

5 Die Theorie idealer Wellen

p

Dz

p+Dp

Dy Dx

Abbildung 5.2: Druckinduzierte Kräfte in einem Fluid. Auf das dargestellte Fluidelement ΔxΔyΔz wirkt die Kraft Fx = −ΔpΔyΔz.

Wassertiefe antreibt. Daher soll nun untersucht werden, wie Druck und Kraft bzw. die daraus resultierende Beschleunigung zusammenhängen. Der Druck ist eine skalare Zustandsgröße, er kann also an jedem Ort einen anderen Betrag haben, wirkt aber an einem Ort in alle Richtungen gleich. Er ist eine Normalkraft: Schneidet man aus einem Fluid ein beliebiges, der Einfachheit halber würfelförmiges Teilstück heraus, so wirken die Druckkräfte senkrecht (normal) auf dessen Oberfläche. Wir wollen die Wirkung des Druckes auf die Impulsbilanz analysieren. Dazu betrachten wir die in Abbildung 5.2 dargestellten Druckkräfte auf ein Fluidvolumen. Auf die linke Begrenzungsfläche wirkt die Kraft Fx = pΔyΔz auf das Kontrollvolumen. Auf der rechten Seite wirke dagegen der Druck p + Δp, die Kraftwirkung erfolgt allerdings in negativer x-Richtung: Fx+Δx = −(p + Δp)ΔyΔz Die Addition beider liefert die resultierende Kraft Fres = −ΔpΔyΔz, die wir pro infinitesimalen Volumen betrachten: lim

ΔxΔyΔz→0

∂p Fres =− ΔxΔyΔz ∂x

Teilen wir diese Gleichung noch durch die Dichte ρ, dann steht auf beiden Seiten der Dimension nach eine Kraft pro Masse, die mit fx bezeichnet werden soll: fx = −

1 ∂p ρ ∂x

Entsprechendes gilt auch für die anderen beiden Raumrichtungen.

5.1 Die ideale rotationsfreie Strömung

115

Die Druckkraft, hier dargestellt als Kraft pro Masse, bewirkt nach dem Newtonschen Gesetz Beschleunigungen im Fluid, die durch die Gleichungen ∂u 1 ∂p =− ∂t ρ ∂x ∂v 1 ∂p =− ∂t ρ ∂y

(5.1)

∂w 1 ∂p =− −g ∂t ρ ∂z beschrieben werden. In der Vertikalen wurde zudem noch die Gravitationsbeschleunigung berücksichtigt. Natürlich müssten wir in die horizontale Impulsbilanz auch die Coriolis- und Gezeitenkräfte einbeziehen. Man kann sie aber in der Wellentheorie vernachlässigen, da sie erst dann phänomenologisch in Erscheinung treten, wenn sie großräumig, wie z. B. bei der Entstehung und Ausbreitung von Tidewellen, wirken dürfen.

5.1.3 Die rotationsfreie Strömung Die drei Impuls- und die Kontinuitätsgleichung bilden ein System von vier partiellen Differentialgleichungen für die vier Unbekannten u, v, w und p. Ein solches System ist mit den Methoden der numerischen Mathematik heutzutage sehr einfach zu lösen. Im Zeitalter vor der Erfindung des Computers war man aber auf numerische Handrechnungen oder analytische Lösungen angewiesen. Hier hatte ein System von vier partiellen Differentialgleichungen immer etwas Erschreckendes an sich. Daher kann man vielleicht nachvollziehen, welche Vereinfachung es bedeutete, als man die Zahl der unbekannten Funktionen auf die Hälfte und damit die Zahl der zu lösenden Differentialgleichungen ebenfalls auf Zwei reduzieren konnte. Dieser Glücksgriff gelang dadurch, dass man vektorielle Größen wie die Kraft oder die Geschwindigkeit durch eine skalare Größe ersetzte, die man als Potential bezeichnet. In unserem Fall wurde das Geschwindigkeitspotential φ eingeführt, welches als u = grad φ

(5.2)

definiert ist. Nun muss man sich zunächst fragen, ob oder besser unter welchen Bedingungen eine skalare Funktion φ tatsächlich in der Lage ist, eine vektorielle Funktion u zu ersetzen, schließlich können drei Funktionen wesentlich mehr Information als eine Funktion speichern. In der Vektoranalysis wird bewiesen, dass dies dann möglich ist, wenn die durch die Impulsgleichungen charakterisierte Strömung rotationsfrei ist, es soll also rot u = 0 gelten, da die Rotation eines Gradienten immer Null ist. Und tatsächlich erfüllen die durch die Impulsgleichungen beschriebenen Geschwindigkeitsfelder diese Bedingung der Rotationsfreiu heit, was man beweisen kann, wenn man von ihnen die Rotation, d. h. rot ∂ ∂t bildet.

116

5 Die Theorie idealer Wellen

Man bezeichnet solche durch ein Geschwindigkeitspotential darstellbare Strömungen auch als Potentialströmungen. Setzen wir die Potentialdarstellung der Geschwindigkeit in die Kontinuitätsgleichung ein, so zeigt sich, dass das Geschwindigkeitspotential der sogenannten Laplacegleichung ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ + 2 + 2 =0 ∂ x2 ∂y ∂z

(5.3)

gehorcht. Damit lassen sich die Geschwindigkeiten in einer idealen rotationsfreien Strömung durch eine Differentialgleichung modellieren, die zu den wohl am weitesten untersuchten partiellen Differentialgleichungen mit einer Fülle von analytischen und numerischen Lösungsverfahren gehört: Mit Hilfe der Funktionentheorie kann man sehr unterschiedliche (komplexe) Lösungen konstruieren, die Anwendungen nicht nur in der Hydromechanik, sondern auch der allgemeinen Mechanik und der Elektrostatik finden. Die Universalität der Laplacegleichung ist in diesem Sinne ideal, woher auch der Name für diese Strömungsart kommt. Nach der Bestimmung des Geschwindigkeitspotentials durch die Lösung der Laplacegleichung und der Berechnung des Geschwindigkeitsfeldes aus der Definitionsgleichung des Geschwindigkeitspotentials bleibt noch die Berechnung des Druckes. Auch hier hat es sich bewährt, die Gravitationskraft, die natürlich auch ein Vektor ist, durch ein Potential zu ersetzen. Hier setzt man f = −grad φ f und bezeichnet alle Kraftarten, die sich durch ein skalares Potential ersetzen lassen, als konservativ. Ein solches Potential existiert für die Gravitationskraft, es ist bis auf eine additive Konstante z0 eindeutig bestimmt und lautet: φ f = g(z − z0 ) Setzen wir nun die Definitionsgleichung des Geschwindigkeitspotentials in die Impulsgleichungen ein, so bekommen wir die drei Gleichungen:  grad

∂φ p + g(z − z0 ) + ∂t ρ

 =0

Die Tatsache, dass der Gradient einer Funktion überall Null ist, kann nur bedeuten, dass die Funktion selbst konstant ist: p ∂φ + g(z − z0 ) + = const ∂t ρ Schlagen wir die Konstante der linken Seite dem konstanten gz0 auf der rechten Seite zu, dann stellt sich insgesamt die Aufgabe, das folgende partielle Differentialgleichungssystem zur Berechnung idealer Wellen

5.2 Lineare Theorie langer Wellen kleiner Amplitude

117

Abbildung 5.3: Die Form der Wasseroberfläche sieht manchmal wie eine harmonische Funktion (Sinus oder Cosinus) aus. Ist es daher gerechtfertigt, das Verhalten von Wasserwellen allgemein durch solche Funktionen zu beschreiben?

∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ + 2 + 2 =0 ∂ x2 ∂y ∂z (5.4) p ∂φ + g(z − z0 ) + = 0 ∂t ρ zu lösen. Die erste Gleichung stellt die Volumen- oder Massenerhaltung, die zweite Gleichung die Impuls- bzw. Energiebilanz dar.

5.2 Lineare Theorie langer Wellen kleiner Amplitude Durch das Gleichungssystem (5.4) lassen sich sehr unterschiedliche ideale Strömungen beschreiben. Wir wollen uns aber auf Oberflächenwellen konzentrieren und müssen die Lösungsmöglichkeiten daher einschränken, indem das Geschwindigkeitspotential φ schon geeignet angesetzt wird. Daher gehen wir von einer sich in x-Richtung ausbreitenden Welle aus, die nach dem Kapitel 3.3 durch Funktionen der Form sin(kx − ωt) oder cos(kx − ωt) beschrieben werden. Die Welle sei in der Querrichtung y vollkommen homogen, die Ableitungen in diese Richtung fallen also weg. Die vertikale Struktur der Welle kennen wir nicht; wir versuchen also eine Testlösung der Form: φ (x, z,t) = cos (kx − ωt) f (z)

118

5 Die Theorie idealer Wellen

Diese setzt man in die Laplacegleichung ein, d. h. bildet die Summe der zweiten Ableitungen nach x und z. Das, was übrig bleibt, sollte Null sein. Somit bekommt man für das Vertikalprofil die Bedingung: d2 f (z) = 0 dz2 Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung, d. h. sie hat zwei linear unabhängige Lösungen. Diese sind f1 (z) = ekz und f2 (z) = e−kz und durch ihre Linearkombination kann die allgemeine Lösung −k2 f (z) +

f (z) = Aekz + Be−kz konstruiert werden. Zusammenfassend hat die Potentialfunktion nun die Form:   φ (x, z,t) = cos (kx − ωt) Aekz + Be−kz Um die beiden Unbekannten A und B zu bestimmen, müssen wir die Problemstellung mit weiteren Angaben zu der wellenartigen Strömung füttern. Wir nehmen eine horizontale Sohle zB (x) = 0 an. Direkt an der Sohle muss die senkrechte Geschwindigkeitskomponente w Null sein, damit Wasser nicht durch die Sohle dringt. Dies mündet in folgende Bedingung für das Geschwindigkeitspotential:  ∂ φ  w(zB ) = =0 ∂ z z=zB =0 Unsere Potentiallösung erfüllt diese Randbedingung an der Sohle genau dann, wenn für die unbekannten Vorfaktoren A = C und B = C gilt. Die Summe zweier Exponentialfunktionen mit Exponenten umgekehrten Vorzeichens ergibt ferner den Cosinus hyperbolicus, so dass die gesuchte Potentialfunktion die Form φ (x, z,t) = C cos (kx − ωt) cosh(kz) mit neuer Konstante C annimmt. Diese wollen wir bestimmen, indem wir uns die Verhältnisse an der freien Oberfläche genauer ansehen. Sie verändert ihre vertikale Position zS fortwährend. In erster Näherung kann man annehmen, dass deren Änderungsgeschwindigkeit der dortigen vertikalen Geschwindigkeit der Strömung entspricht: ∂ zS ∂φ = ∂z ∂t Aus dieser Randbedingung soll die freie Oberfläche zS als Unbekannte eliminiert werden, damit wir es nur noch mit einer einzigen gesuchten Funktion φ zu tun haben. Über die zeitliche Änderung der freien Oberfläche können wir etwas durch Ableiten der Bernoulligleichung erfahren: wS =

∂ 2φ ∂ p ∂ zS + =0 +g ∂t 2 ∂t ∂t ρ

5.2 Lineare Theorie langer Wellen kleiner Amplitude

119

20

h=0.05m

h=0.1m h=0.2m

h=0.5m

18

h=1m 16

h=2m Wellenperiode [s]

14 12

h=5m

10

h=10m 8

h=20m 6 4 2 0 0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

100,00

Wellenlänge [m]

Abbildung 5.4: Die Dispersionsbeziehung für Airywellen stellt einen eindeutigen Zusammenhang zwischen Wassertiefe, Wellenlänge und -periode her.

Da der Druck an der freien Oberfläche konstant ist, ist seine zeitliche Ableitung dort Null. Das, was übrig bleibt, setzen wir in die Randbedingung an der freien Oberfläche ein und erhalten die sogenannte Cauchy-Poisson-Bedingung, die nur noch φ enthält: −g

∂ 2φ ∂φ = 2, ∂z ∂t

(5.5)

in die wir nun die Potentiallösung an der freien Oberfläche φ (x, zS ,t) = C cos (kx − ωt) cosh kh einsetzen. So erhalten wir die fundamentale Dispersionsbeziehung für Airywellen:

ω 2 = gk tanh(kh)

(5.6)

Diese Gleichung stellt einen eindeutigen Zusammenhang zwischen der Periode einer Welle T = 2π/ω und ihrer Wellenlänge L = 2π/k her: Eine Welle mit gegebener Periode nimmt bei einer bestimmten Wassertiefe nur eine Wellenlänge an. Dieser Zusammenhang ist in Abbildung 5.4 graphisch dargestellt. Dort kann man z. B. ablesen, dass eine 40 m lange Welle in 10 m tiefem Wasser eine Periode von ca. 6 s haben muss. Die exakten Werte bekommt man natürlich

120

5 Die Theorie idealer Wellen

nur durch die Gleichung (5.6) heraus. Man erkennt auch, dass eine Welle in flachem Wasser kürzer werden muss, da die Periode gleich bleibt. Es sei angemerkt, dass man als Dispersion in der Physik ganz allgemein die Änderung von Welleneigenschaften mit den Eigenschaften des Trägermediums bezeichnet, hier also der Wassertiefe. Oftmals benötigt man die Umkehrung der Dispersionsbeziehung, man möchte also die Wellenzahl als Funktion der Kreisfrequenz und Wassertiefe berechnen. Da die Dispersionsbeziehung aber keine geschlossene analytische Umkehrung besitzt, sei hier eine exzellente Näherung von Hunt [27] angegeben. Sie lautet (kh)2 = x4 +

x2 6

1 + ∑ di x2i i=1

√

mit x = ωh/ gh und d1 = 0.6, d2 = 0.35, d3 = 0.1608, d4 = 0.0632098765, d5 = 0.0217540484 und d6 = 0.0065407983. Übung 27: Implementieren Sie die Umkehrung der Dispersionsfunktion in einem Tabellenkalkulationsprogramm und stellen Sie die Wellenlänge als Funktion der Wellenperiode für 1 m und 2 m tiefes Wasser graphisch dar. Übung 28: Bei einem Segeltörn fällt der Tiefenmesser unseres Bootes aus. Wir beobachten auf der Wasseroberfläche nahezu harmonische (d. h. sinusförmige) Wellen mit einer Periode von 4 s und einer Wellenlänge von 16 m. Wie tief ist das Wasser an dieser Stelle? Nach einiger Zeit des Umherirrens haben die Wellen eine Periode von 3 s und eine Länge von 14 m. Wie verhält es sich hier mit der Wassertiefe? Fahren wir in tieferes oder flacheres Wasser?

5.2.1 Die Form der freien Oberfläche Aus den bisherigen Entwicklungen wird nicht deutlich, wo die reale Wellenamplitude A in unsere Lösungen eingeht. Daher wollen wir nun untersuchen, wie die willkürliche Konstante C mit der tatsächlichen Amplitude der Oberflächenwellen zusammenhängt. Dazu wenden wir die linearisierte Bernoulligleichung auf die Wasseroberfläche an, wo der atmosphärische Druck zu Null angenommen wurde:  ∂ φ  + g(zS − z0 ) = 0 ∂t z=zS Durch Einsetzen der Potentiallösung φ ergibt sich für die freie Oberfläche zS (x,t) die implizite Gleichung zS (x,t) = z0 −C

ω cosh k(zS (x,t) − zB ) sin (kx − ωt) , g

(5.7)

die explizit nicht nach zS auflösbar ist. Um dennoch eine Lösung für die freie Oberfläche zu erhalten, führen wir die Wassertiefe h = zS − zB als Pseudokonstante ein. Mit dieser Vereinfa-

5.2 Lineare Theorie langer Wellen kleiner Amplitude

121

chung schränkt man den Gültigkeitsbereich der nachkommenden Theorie auf Wellen ein, deren Amplitude klein gegenüber der Wassertiefe ist: zS (x,t) = z0 −C

ω cosh kh sin (kx − ωt) g

Offensichtlich ist z0 also die mittlere Lage der freien Oberfläche, die wir in unserer Nomenklatur mit zS bezeichnen. Der zweite Summand beschreibt die sinusförmige Wellenbewegung der freien Oberfläche, der Vorfaktor ist dann die reale Amplitude A der Welle: A = −C

ω cosh kh g

Ersetzen wir nun die willkürliche Konstante C, dann bekommen wir für die Form der freien Oberfläche die harmonische Funktion: zS (x,t) = zS + A sin (kx − ωt) Man kann nun versuchen, diese Anfangslösung iterativ wieder in die implizite Lösung (5.7) einzusetzen, um so der in der Natur beobachtbaren realen Wellenform ein wenig näherzukommen. Diese Prozedur divergiert allerdings, wobei das Wellental von Iteration zu Iteration flacher und der Wellenberg immer steiler wird. Dies ist als Strafe für die vielen Vereinfachungen in der Airytheorie zu werten.

5.2.2 Die Orbitalgeschwindigkeiten Ersetzen wir die Konstante C nun auch in der Potentialfunktion φ durch die Amplitude A, so erhält sie die Form: φ (x, z,t) = −A

g cosh kz cos (kx − ωt) ω cosh kh

(5.8) ω cosh kz = −A cos (kx − ωt) k sinh kh In der zweiten Zeile wurde die Dispersionsbeziehung angewendet. Mit der Potentialfunktion für die harmonische Welle kann man durch den Gradienten derselben die Geschwindigkeiten in der Welle bestimmen: u(x, z,t) = Aω

cosh kz sin (kx − ωt) sinh kh

(5.9) sinh kz w(x, z,t) = −Aω cos (kx − ωt) sinh kh Wichtig ist es, an dieser Stelle tatsächlich die aktuelle (h = zS − zB = zS ) und nicht die mittlere Wassertiefe zu verwenden. Die vertikale Struktur der Horizontalgeschwindigkeiten u und v wird durch den Cosinus hyperbolicus beschrieben. Diese Funktion nimmt an der Sohle den Wert eins an, wodurch die Horizontalbewegung sich dort mit der Geschwindigkeit

122

5 Die Theorie idealer Wellen 4

Wellenausbreitungsrichtung

zS(x,t)

x 10 2.5

2

1.5

1

0.5

zB(x)

0

Abbildung 5.5: Geschwindigkeitsverteilung (Vektoren) und Druckfeld (Farben) unter einer Airywelle. In dem oberen Bereich der Wassersäule überwiegen die aus der Oberflächenwelle resultierenden Druckschwankungen, während in Bodennähe die hydrostatische Druckverteilung durch bodenparallele Isobaren erkennbar ist. Je länger die Welle ist, desto tiefer reicht ihr Druckeinfluss in die hydrostatischen Schichten.

u(x, zB ,t) = uB (x,t) =

Aω sin (kx − ωt) sinh kh

(5.10)

vollzieht. Die Vertikalgeschwindigkeit ist hier Null, das Faktum beschreibend, nach dem kein Wasser die Bodenfläche durchdringt. Zur Wasseroberfläche nimmt die horizontale Orbitalgeschwindigkeit unter einer Welle immer steiler zu, wie in Abbildung 5.5 skizziert. Auf dem Wellengipfel erreicht sie ihr Maximum Agk/ω, die Teilchen bewegen sich also dort umso schneller, je größer die Amplitude und je kleiner Kreisfrequenz und Wellenlänge sind. Durch die Analyse der Geschwindigkeitslösungen lassen sich ferner noch folgende Aussagen beweisen: • An jedem festen Ort (z. B. x = 0) sind die Geschwindigkeiten im zeitlichen Mittel Null. Mit Airywellen ist also keine Nettoströmung verbunden. • Je höher die Frequenz der Welle, desto größer sind die Geschwindigkeiten auf den Orbitalbahnen. • Oberflächenwellen dringen in ihrer Wirkung umso tiefer in den Wasserkörper ein, je größer ihre Periode ist.

5.2 Lineare Theorie langer Wellen kleiner Amplitude

123

Übung 29: Mitteln Sie die Airylösung für die horizontale Wellengeschwindigkeit u(x, z,t) = Aω

cosh (kz) sin (kx − ωt) sinh (kh)

über die Wassertiefe, indem Sie das Integral 1 h

zS

u(x, z,t)dz := u(x,t) 0

berechnen. Vereinfachen Sie die Lösung für das Flachwasser (Hinweis: Identifizieren Sie die Phasengeschwindigkeit) und beweisen Sie die Beziehung:  u(x,t) = A g/h sin(kx − ωt) für Tidewellen.

5.2.3 Der Druck unter Airywellen Am Anfang dieses Kapitels hatten wir den Druck neben der Gravitation als die zweite wichtige Kraft kennengelernt, die eine Strömung antreibt. Wir wollen sein Verhalten nun explizit unter Airywellen bestimmen. Dazu verwenden wir die linearisierte Bernoulligleichung p ∂φ + g(z − zS ) + = 0, ∂t ρ setzen die für das Geschwindigkeitspotential erhaltene Lösung ein und bekommen: cosh kz sin (kx − ωt) cosh kh Er verändert sich also gleichphasig mit der freien Oberfläche und der horizontalen Strömungsgeschwindigkeit. Untersuchen wir zunächst seinen Wert an der Sohle zB : p(x, z,t) = ρg (zS − z) + ρAg

p(x, zB ,t) = ρgzS + ρgA sin (kx − ωt) Eine solche Druckverteilung bezeichnet man als hydrostatisch, denn sie ergibt sich aus dem Gewicht der pro Fläche darüberruhenden Wassersäule. Der hydrostatische Druck ist also das Produkt aus Wasserdichte, Gravitationsbeschleunigung und der Höhe der darüber liegenden Wassersäule. Diese Tatsache eröffnet zudem die einfache Möglichkeit, Wellenhöhen in der Natur durch Druckmessungen an der Sohle, etwa durch Druckmessdosen, zu bestimmen. Aber auch im Fall extremer Flachwasserwellen kh → 0 ist der Druck hydrostatisch. Man kann mit Hilfe der entsprechenden Additionstheoreme zeigen, dass lim

kh→0

gilt und somit für den Druck

cosh kz =1 cosh kh

124

5 Die Theorie idealer Wellen

p(x, z,t) = ρg (zS − z) + ρAg sin (kx − ωt) = ρg (zS − z) folgt. Die dargestellte Betrachtungsweise gilt insbesondere für Tidewellen. Diese haben Wellenzahlen zwischen 10-5 –10-4 m-1 und somit kann man kh ∼ 10-4 –10-3 m-1 bei einer Wassertiefe von ca. 10 m abschätzen.

5.2.4 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit von Airywellen Airywellen bewegen sich mit der Phasengeschwindigkeit  g g ω tanh(kh) = tanh(kh) c= = k k ω fort. Die Tatsache, dass die Phasengeschwindigkeit von der Wellenzahl k abhängig ist, ist wieder ein Merkmal der Dispersion. Die Einzelwelle ist also umso schneller, je größer ihre Wellenlänge und je tiefer das Wasser ist. Das Ergebnis vereinfacht sich fürzwei Spezialfälle. Im sogenannten Tiefwasser (h/L > 1) ist tanh(kh) > 0.999, und es gilt c =

g k;

die Phasengeschwindigkeit ist also nur von der Wellen√ länge abhängig. Im Flachwasser (tanh(kh)  kh) gilt c = gh. Tiefwasserwellen sind also im Gegensatz zu Flachwasserwellen dispersiv. Die Begriffe Tiefwasser und Flachwasser sind in der Wellentheorie relative Begriffe, die sich auf die Wellenlänge beziehen. Eine Tidewelle mit einer Länge von etwa hundert Kilometern ist damit in jedem Ozean eine Flachwasserwelle. Wellengruppe und Gruppengeschwindigkeit Wir wollen nun Effekte betrachten, die durch die Überlagerung von Wellen mit ungleichen Wellenlängen bzw. Wellenzahlen entstehen. Dabei beschränken wir uns auf zwei sich in x-Richtung ausbreitende Wellen gleicher Amplitude, deren Frequenzen ω1 und ω2 und Wellenzahlen k1 und k2 sind, die jeweils nur geringfügig von den Mittelwerten ω und k abweichen: A A sin (k1 x − ω1t) + sin (k2 x − ω2t) 2 2   ω1 − ω2 k1 + k2 ω1 + ω2 k1 − k2 x− t sin x− t = A cos 2 2 2  2 ω 1 − ω2 k1 − k2 x− t sin (kx − ωt)  A cos

 2 2

 Ausgangswelle Modulation Die zusammengesetzte Welle in Abbildung 5.6 ist nicht einfach das Doppelte der Ursprungswelle. Vielmehr verbinden sich die Einzelwellen zu Wellenzügen (engl. wave trains) oder Wellengruppen, in denen die Amplitude der Einzelwellen zunächst von Null auf ihren Maximalwert ansteigt, um dann wieder auf Null abzufallen. Dies besagt auch die soeben hergeleitete Gleichung, in ihr erkennen wir die Ausgangswelle im hinteren Teil der Gleichung und im vorderen Teil wird die Wellenamplitude mit der Frequenz zS (x,t) =



125

Auslenkung

5.2 Lineare Theorie langer Wellen kleiner Amplitude

Wellengruppe Zeit

Abbildung 5.6: Eine durch Überlagerung von zwei einzelnen Wellen entstandene Wellengruppe. ω1 −ω2 2

2 und der Wellenzahl k1 −k moduliert. Diese Modulation oder Störung der Ursprungswelle 2 ist also wieder eine Welle, sie breitet sich mit der Gruppengeschwindigkeit

cg =

ω1 − ω 2 dω = k 1 − k2 dk

aus. Zwischen der Phasen- und der Gruppengeschwindigkeit vermittelt die sogenannte Rayleighsche Gleichung cg = c + k

dc dk

Die Gruppengeschwindigkeit fällt im dispersionsfreien Fall dω dk = 0 mit der Phasengeschwin< 0 ist c kleiner, bei anormaler Dispersion cg digkeit zusammen. Bei normaler Dispersion dω g dk größer als die Gruppengeschwindigkeit2 . Die Gruppengeschwindigkeit von Airywellen Die Gruppengeschwindigkeit cg von Airywellen ist somit:   c 2kh dω = 1+ cg = dk 2 sinh 2kh Übung 30: Beweisen Sie diese Beziehung. 2 Die

Begriffsbildung lehnt sich an das in menschlichen Gruppen übliche Verhalten an: Im Normalfall ist die Gruppe langsamer, träger als die Einzelperson. Eine Massenhysterie ist in diesem Sinne anormal.

126

5 Die Theorie idealer Wellen

2

1,8

Gruppengeschwindigkeit cg [m/s]

Wellenlänge 5 m 1,6

1,4

1,2

1

0,8

Wellenlänge 1 m 0,6

0,4

0,2

0 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Wassertiefe h [m]

Abbildung 5.7: Die Gruppengeschwindigkeit als Funktion der Wassertiefe für Wellenlängen von 1 m bis 5 m.

Bei Oberflächenwellen ist die Gruppengeschwindigkeit grundsätzlich kleiner als die Phasengeschwindigkeit, im Tiefwasser ist erstere nur halb so groß wie zweitere. Verfolgt man die Gruppengeschwindigkeit bei konstanter Wellenlänge vom tiefen in das flache Wasser (Abbildung 5.7), so fällt ein besonderes Verhalten auf. Im Tiefwasser ist die Gruppenge

schwindigkeit einzig von der Wellenlänge abhängig, es gilt dort cg = 12 gk . √ Im Flachwasser gilt cg = gh, die Gruppengeschwindigkeit nimmt also linear mit der Wassertiefe ab. Im Übergangsbereich steigt die Gruppengeschwindigkeit aber an, um dann in den linearen Abklang einzuschwenken. Die Wellengruppe erfährt hier also eine Beschleunigung. Es sei allerdings betont, dass dies nur für die Gruppengeschwindigkeit gilt. Die Phasengeschwindigkeit, d. h. die eigentliche Ausbreitungsgeschwindigkeit, nimmt in flacher werdendem Wasser kontinuierlich ab. Die physikalische Bedeutung der Gruppengeschwindigkeit ist jedoch viel allgemeiner, als dass sie nur die Ausbreitungsgeschwindigkeit in Wellengruppen beschreibt, was im folgenden Kapitel gezeigt werden soll.

5.3 Wellenausbreitung in beliebige Richtungen Hat man es mit einer Wellenart zu tun, die sich nur in eine Richtung ausbreitet, dann kann man die x-Achse so orientieren, dass sie die Ausbreitungsrichtung beschreibt. In realen Küstengewässern überlagern sich allerdings verschiedene Wellen zum Seegang, die nicht nur unterschiedliche Perioden und Höhen, sondern auch unterschiedliche Richtungen haben können. Dies ist insbesondere bei der bei Seglern sehr unbeliebten Kreuzsee der Fall, wo sich etwa bei der Durchfahrt zwischen zwei Inseln küstennormal und -parallel verlaufender Seegang kreuzen können.

5.3 Wellenausbreitung in beliebige Richtungen

127

Wir wollen daher die mathematische Symbolik so erweitern, dass beliebige Ausbreitungsrichtungen der Wellen beschrieben werden können. Dazu ersetzt man die Wellenzahl k durch einen Wellenzahlvektor k = (kx , ky )t , dessen Betrag k = k wieder dem Verhältnis 2π/L entspricht. Die Richtung des Wellenzahlvektors weist nun in die Ausbreitungsrichtung der Welle. Die Laufkoordinate x muss durch den zweidimensionalen Vektor x = (x, y)t ersetzt werden. In dieser Darstellung werden die Orbitalgeschwindigkeiten dann z. B. zu: u(x, y, z,t) = Aω

  kx cosh k(z − zB ) sin kx − ωt k sinh kh

v(x, y, z,t) = Aω

  ky cosh k(z − zB ) sin kx − ωt k sinh kh

w(x, y, z,t) = −Aω

  sinh k(z − zB ) cos kx − ωt sinh kh

k

Die Vorfaktoren kkx und ky übernehmen dabei die Aufgabe, den Geschwindigkeitsvektor in Wellenausbreitungsrichtung zu orientieren. Alle anderen Ergebnisse der idealen Wellentheorie lassen sich so auf beliebige Wellenrichtungen ausweiten. Ferner wurde die Darstellung auf den Fall erweitert, dass die Sohle nicht bei z = 0, sondern auf einer beliebigen geodätischen Höhe z = zB liegt. Die dargestellte Theorie ist damit allerdings keinesfalls für eine variable Topographie zB (x, y) gültig. Übung 31: Bestimmen Sie den Wellenzahlvektor k für folgende Wellen: 1. Eine 10 m lange Welle, die in Richtung 300o (Norden ist 0o , im Uhrzeigersinn) läuft. 2. Eine nach Westen laufende Welle der Periode 5s in 20 m tiefem Wasser.

5.3.1 Die Phasenfunktion Das Verständnis der mathematischen Beschreibung von Wellen wird durch das eingehende Studium der so genannten Phasenfunktion S(x, y,t) =kx − ωt = kx x + ky y − ωt sehr erleichtert. Das sie das Argument der cosinus-Funktion ist, stellen festgehaltene Werte der Phasenfunktion S(x, y,t) = const = S0 Linien in Raum und Zeit dar, auf denen die Auslenkung der freien Oberfläche denselben Wert annimmt. So wird das Wellental durch S0 = π und der Wellenberg durch S0 = 0 beschrieben. Senkrecht zu einer Phasenlinie steht der Normaleneinheitsvektor:   1 k1 nk = k k2

128

5 Die Theorie idealer Wellen

y k

S5 S4 S3 S2 S1 x Abbildung 5.8: Eine Gruppe von fünf Phasenlinien (etwa der Wellenberg), die in Richtung des Wellenzahlvektors k propagieren.

Wir wollen nun eine einzelne Phasenlinie S(x, y,t) = S0 mit der Zeit verfolgen. Die totale Änderung der Phase dS kann man einerseits aus ihrer Bestimmungsgleichung und andererseits aus der Definition des totalen Differentials gewinnen: dS = 0 = grad Sdx +

∂S dt =kdx − ωdt ∂t

Somit beschreibt die Wellenzahl k den räumlichen Gradienten der Phase k = grad S und die Kreisfrequenz ω die zeitliche Veränderung der Phase an einem festen Ort: ∂S ∂t Die Geschwindigkeit einer Phase, die Phasengeschwindigkeit c, ist durch −ω =

c = nk

− ∂∂tS dx ω = = = Lν  dt k grad S

gegeben.

5.3.2 Das Gesetz von der Erhaltung der Wellengipfel Die neu eingeführten Definitionen der Wellenzahl und der Kreisfrequenz implizieren neue Bestimmungsgleichungen für dieselben. Da die Rotation des Gradienten (der Phasenfunktion) immer Null ist, gilt: rot k = 0

5.4 Advektion, Orbitalbahnen und Driftbewegungen

129

Ferner kann man von ω den Gradienten und vonk die Zeitableitung bilden und erhält das Gesetz von der Erhaltung der Wellengipfel ∂k + grad ω = 0, ∂t

(5.11)

welches sich physikalisch recht einfach interpretieren lässt: An einem festen Ort kann die Dichte der Wellengipfel nur dann zunehmen (∂k/∂t > 0), wenn an einem benachbarten Ort weniger Wellen pro Zeit ankommen (grad ω < 0).

5.4 Advektion, Orbitalbahnen und Driftbewegungen Es wurde schon erwähnt, dass die Mittlung der Orbitalgeschwindigkeit über eine Wellenperiode oder eine Wellenlänge Null ist. Daher hat es zunächst den Anschein, also ob mit einer Welle nichts transportiert würde. Dass dies allerdings falsch ist, kann man schnell sehen, wenn man einen Korken oder einen anderen Schwimmkörper in einem Küstengewässer ohne mittlere Strömungen aussetzt: Dieser bewegt sich Welle für Welle langsam in Wellenausbreitungsrichtung. Damit ist mit einer Welle also doch ein Nettotransport der Wassermassen, aber auch von Schwimm-, Schweb- oder Sinkstoffen (Sedimenten) verbunden, der als Driftbewegung bezeichnet wird. Seegangswellen haben also einen erheblichen Einfluss auf die Gewässerqualität und Morphodynamik. Um diese Driftbewegungen zu analysieren, muss man sich zunächst einmal mit der Theorie der Advektion beschäftigen. Dazu betrachten wir ein Partikel in einem raum- und zeitabhängigen Geschwindigkeitsfeld, ⎞ u(x, y, z,t) u(x,t) = ⎝ v(x, y, z,t) ⎠ , w(x, y, z,t) ⎛

welches sich zur Zeit t0 am Ort x0 befindet. Wir nehmen dabei an, dass dieses Partikel entweder massenlos und unendlich klein ist, oder aber die Dichte des umgebenden Wassers hat, sich also ohne jegliche Verzögerung mit dem umgebenden Wasser mitbewegt. Den zukünftigen Ort dieses Partikels kann man durch die Integration der Geschwindigkeit x(t) =x0 +

t

u(x(t),t)dt

(5.12)

0

über die Zeit erhalten. Wichtig ist hier allerdings, dass man dabei im Integral die Geschwindigkeit u(x(t),t) am jeweiligen Aufenthaltsort des Partikels x(t) verwendet. Damit wird die Bestimmung der Partikeltrajektorie allerdings zu einem impliziten Problem, denn der Aufenthaltsort steht sowohl auf der linken Seite, als auch in der Geschwindigkeit unter dem Integral. Dies bedeutet oftmals, dass die Bahnlinie eines Partikels nicht explizit bestimmbar ist, so z. B. auch bei der Bewegung in einer Airywelle. Die x-Komponente ist in diesem Fall:

130

5 Die Theorie idealer Wellen

x(t) = x0 +

t

Aω 0

cosh kz(t) sin (kx(t) − ωt) dt sinh kh

Der x-Aufenthaltsort taucht sowohl auf der linken Seite als auch auf der rechten Seite dieser Integralgleichung auf, wo er aus dem Sinus nicht explizit herauslösbar ist.

5.4.1 Die Orbitalbahnen unter Airywellen Eine Lösung der Integralgleichung der Trajektorie bekommt man dann, wenn die Zeitabhängigkeit der Partikelkoordinaten auf der rechten Seite vernachlässigt, x(t) also durch x und z(t) durch z ersetzt wird. Nun kann das Integral berechnet werden, und man erhält für die x- und die z-Koordinate der Partikelbewegung: cosh kz cos (kx − ωt) sinh kh sinh kz sin (kx − ωt) z(t) − z0 = A sinh kh Man erkennt, dass die Trajektorien die Gleichung der Ellipse x(t) − x0 = A

(x(t) − x0 )2 (z(t) − z0 )2 + =1 R2x R2z mit den Halbachsen cosh kz sinh kz und Rz = A sinh kh sinh kh erfüllen. In erster Näherung bewegen sich die Partikel in Airywellen also auf geschlossenen Ellipsen, deren vertikale Halbachse an der Sohle Null (das entspricht einer Hin- und Herbewegung auf einer Linie) und an der Wasseroberfläche – wie nicht anders zu erwarten – der Wellenamplitude entspricht. Das Ergebnis besagt aber auch, dass unter Airywellen damit keine Driftbewegung von gelösten Stoffen stattfindet, was dem tatsächlichen Verhalten dieser Stoffe nicht entspricht. Rx = A

5.4.2 Die Stokessche Driftgeschwindigkeit Um das Driftphänomen unter Wellenbewegungen rechnerisch zu erfassen, muss nun eine verbesserte Lösung zum Trajektorienproblem aufgestellt werden. Dazu betrachten wir die Partikelgeschwindigkeit u(x(t),t) an einem Partikelort x(t). Es sollte grundsätzlich egal sein, ob man den Partikelort vorgibt, oder ob man ihn mit Hilfe von Gleichung (5.12) berechnet hat. Damit sollte u(x(t),t) = u(x0 + gelten.

t 0

u(x(t),t)dt ,t)



x(t)



5.4 Advektion, Orbitalbahnen und Driftbewegungen

131

Wellenausbreitungsrichtung

zS(x,t)

zB(x)

Abbildung 5.9: Profil der Stokesschen Driftbewegung unter einer Airywelle (durchgezogen) und einer rotationsbehafteten realen Welle (gestrichelt).

Im folgenden Schritt entwickelt man die Geschwindigkeitsfunktion in eine Taylorreihe, die man nach dem ersten Glied abbricht. Wir erinnern daran, dass eine Funktion einer vektorwertigen Variable in der Form f (x0 + Δx) = f (x0 ) + Δx∇ f (x0 ) + ... entwickelt wird. Dies bedeutet, dass u(x(t),t)  u (x0 ) + ∇u (x0 )

t

u(x,t)dt

0

eine Approximation erster Ordnung an die Geschwindigkeit eines Partikels auf seiner Bahn ist. Im Fall einer Welle interessieren am Ende aber nicht die Einzelheiten der Bewegung im Verlauf einer Wellenperiode, sondern nur der Gesamtdrift nach einer Wellenperiode. Dazu mittelt man die Geschwindigkeit auf der Trajektorie über eine Wellenperiode und eine Wellenlänge. Das Ergebnis bezeichnet man als Stokessche Driftgeschwindigkeit: ⎛

ω ω uS = 2π 2π

2π/ω  2π/ω 

⎝u (x0 ) + ∇u (x0 )

0

0

t

⎞ u(x0 ,t)dt ⎠ dtdx

0

In diese Gleichung setzt man nun die Orbitallösungen für Airywellen ein. Mit Hilfe eines mathematischen Programms bekommt man dann schnell heraus, dass es keinen Stokesdrift in der Vertikalen gibt. In der horizontalen Richtung bleibt aber: uS (z) = A2 ωk

cosh(2kz) 2 sinh2 (kh)

132

5 Die Theorie idealer Wellen 1

h=1m h=10m h=100m

Driftgeschwindigkeit [m/s]

0,1

0,01

0,001

0,0001

0,00001 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Wellenlänge [m]

Abbildung 5.10: Die Stärke des Stokesdrifts an der Wasseroberfläche für eine Welle einer Amplitude von 10 cm für verschiedene Wassertiefen.

Diese Geschwindigkeit ist über die gesamte Wassersäule positiv, die so berechnete Driftbewegung unter Wellen scheint also mit einem Nettotransport von Wassermassen in Wellenausbreitungsrichtung verbunden zu sein. In einem stehenden Gewässer kann dies aber nicht sein, so dass man eine von Nettoströmungen freie Stokessche Driftgeschwindigkeit dadurch bekommt, dass man hiervon den tiefengemittelten Wert der Driftgeschwindigkeit wieder abzieht: uS (z) =

  sinh(2kh) A2 ωk cosh(2kz) − 2kh 2 sinh2 (kh)

Das Profil ist in Abbildung 5.9 dargestellt. Die absolute Stärke des Stokesdrifts an der Wasseroberfläche (z = h) steigt offenbar mit dem Quadrat der Wellenhöhe. Zur Analyse der anderen Abhängigkeit ersetzen wir die Kreisfrequenz durch die Dispersionsbeziehung: uS (h) =

A2



  gk3 tanh(kh) sinh(2kh) cosh(2kh) − 2kh 2 sinh2 (kh)

Das Ergebnis in Abbildung zeigt, dass der Stokesdrift umso stärker ist, je kürzer die Welle ist, da ein Schwimmkörper auf einer solchen Welle natürlich umso mehr Orbitalbewegungen ausführt. Der Stokesdrift ist zudem in tieferem Wasser stärker als in flachem Wasser. In Laborexperimenten beobachtet man im Widerspruch zur dargestellten Theorie auch direkt an der Sohle eine Driftgeschwindigkeit in Wellenrichtung, so dass sich das ebenfalls in Abbildung 5.9 dargestellte residuelle Geschwindigkeitsfeld ergibt. Erklären kann man dieses nur dann, wenn man die Vereinfachung der Rotationsfreiheit fallenlässt [45]. Damit verlassen wir aber auch die Theorie der idealen Wellen.

5.4 Advektion, Orbitalbahnen und Driftbewegungen

133

Wellenausbreitungsrichtung

zS(x,t)

zB(x)

Abbildung 5.11: Orbitalbewegungen unter einer Airywelle.

5.4.3 Advektion Das Mitbewegen eines Stoffes oder einer physikalischen Eigenschaft mit der Strömung bezeichnet man ganz allgemein als Advektion. Der Stokesdrift ist also die über die Wellenperiode gemittelte Advektion der Wassermassen durch die Orbitalgeschwindigkeiten. Wir wollen in diesem Abschnitt analysieren, wie sich der einem Strömungspartikel anhaftende Impuls auf seiner Bahnlinie verändert. Hinter dieser scheinbar sehr exotischen Fragestellung steckt natürlich das Newtonsche Bewegungsgesetz, welches besagt, dass jede Impulsänderung eines Partikels mit einer Kraft verbunden ist. Beziehen wir nun also das Geschwindigkeitsfeld auf den Aufenthaltsort des Partikels x(t), dann bekommt es die Darstellung: ⎛

⎞ u(x(t), y(t), z(t),t) u(x(t),t) = ⎝ v(x(t), y(t), z(t),t) ⎠ w(x(t), y(t), z(t),t) Nun können wir nach der zeitlichen Änderung der Geschwindigkeit fragen, die das Partikel auf seiner Bahn erfährt. Diese besondere Ableitung wollen wir mit Du/Dt bezeichnen, um sie von der zeitlichen Änderung der Geschwindigkeit an einem festen Ort ∂u/∂t zu unterscheiden. Schauen wir uns dazu zunächst die Änderung einer beliebigen physikalischen Größe f (x, y, z,t) auf der Bahnlinie (x(t), y(t), z(t)) an. Dort hat diese Größe die Werte f (x(t), y(t), z(t),t) und die Bahnableitung ist: Df ∂ f dx ∂ f dy ∂ f dz ∂ f = + + + Dt ∂ x dt ∂ y dt ∂ z dt ∂t Die darin auftauchenden Zeitableitungen des Ortes sind aber nichts anderes als die Geschwindigkeiten selbst, womit man die nach Lagrange benannte Darstellung

134

5 Die Theorie idealer Wellen

Df ∂f ∂f ∂f ∂f = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z bekommt. Für das Geschwindigkeitsfeld bedeutet dies nun:

Du = Dt

∂u ∂u ∂u ∂u +u +v +w ∂t ∂x ∂y ∂z

Dv = Dt

∂v ∂v ∂v ∂v +u +v +w ∂t ∂x ∂y ∂z

Dw = Dt

∂w ∂w ∂w ∂w +u +v +w ∂t ∂x ∂y ∂z

(5.13)

Die tatsächlich von einem Partikel erfahrene Beschleunigung unterscheidet sich also von der reinen zeitlichen Änderung des Geschwindigkeitsfelds durch weitere Terme, die auch die örtlichen Gradienten im Geschwindigkeitsfeld berücksichtigen.

5.4.4 Die Eulergleichungen Nachdem wir nun die tatsächliche Beschleunigung eines Partikels in einem Geschwindigkeitsfeld kennen, können wir die dreidimensionalen Bewegungsgleichungen unter der Berücksichtigung von Druck- und sonstigen Kräften aufschreiben. Diese bezeichnet man zusammen mit der Kontinuitätsgleichung als Eulergleichungen, sie lauten in der Kurzschreibweise: div u = 0 1 Du = − div p + f Dt ρ Auch hier wird deutlich, dass erst mit einem Druckgradienten eine Nettokraft auf ein Fluidpartikel ausgeübt wird, da ein solcher Gradient auf der einen Seite des Partikels eben stärker oder schwächer drückt wie auf der anderen Seite. Man beachte, dass die zweite Gleichung die drei Impulsgleichungen in alle Raumrichtungen in einer sehr kompakten Schreibweise enthält. Übung 32: Schreiben Sie die vier Eulergleichungen nur unter Verwendung von partiellen Ableitungen vollständig aus.

5.5 Stokeswellen Die Theorie der Airywellen ist umso richtiger, je kleiner die Wellenamplitude A im Vergleich zur Wassertiefe h ist, denn es muss die Näherung zS (t) − zB = h  const. gelten. Für hohe Wellen in flachem Wasser besitzt die Airytheorie also nur eine beschränkte Gültigkeit.

5.5 Stokeswellen

135 4

x 10 2.5 Wellenausbreitungsrichtung

2

zS(x,t)

1.5

1

0.5

0

zB(x)

Abbildung 5.12: Oberflächenform, Druckverteilung und Geschwindigkeiten unter einer Stokeswelle.

Ferner berücksichtigt die Airytheorie die nichtlinearen advektiven Terme der Eulergleichungen in ihrer Impulsgleichung nicht, wodurch nur Wellen geringer Steilheit beschrieben werden. Die in der Natur auftretenden Wellen sind aber überwiegend recht steil, auch wenn die Amplitude klein bleibt. G. G. Stokes [73] hat daher 1847 eine Wellentheorie veröffentlicht, die die Nichtlinearitäten im Rahmen einer Störungstheorie annähernd berücksichtigt. Wir wollen hier auf die Darstellung der komplizierten Herleitung verzichten und uns gleich dem Ergebnis zuwenden. Es lautet für das Geschwindigkeitspotential einer in x-Richtung laufenden Welle [42]:

φ (x, z,t) =

−A

ω cosh kz sin (kx − ωt) k sinh kh

cosh 2kz 3 − A2 ω sin 2 (kx − ωt) 8 sinh4 kh Die Oberflächenwelle erhält dann die Gestalt:

zS (x,t) = zS + A cos (kx − ωt) +

A2 k (2 + cosh(2kh)) cosh(kh) cos 2 (kx − ωt) 4 sinh3 kh

Ihre Form in Abbildung 5.12 zeigt den Einfluss des Korrekturterms der doppelten Kreisfrequenz, der durch die mit Nichtlinearitäten verbundene Periodenverdopplung entsteht. Man erkennt, dass schon diese erste Korrektur die Wellengipfel wesentlich steiler macht, während die Wellentäler länger und flacher werden.

136

5 Die Theorie idealer Wellen

Die Geschwindigkeiten unter einer sich in x-Richtung fortpflanzenden Stokeswelle sind: 3 cosh kz cosh 2kz cos (kx − ωt) + A2 kω u(x, z,t) = Aω cos 2 (kx − ωt) sinh kh 4 sinh4 kh



 Airy Stokes 2. Ordnung w(x, z,t) = −Aω

3 sinh kz sinh 2kz sin (kx − ωt) − A2 kω sin 2 (kx − ωt) sinh kh 4 sinh4 kh

Die Stokestheorie ist allerdings nicht auf Tidewellen anwendbar. Dies ist leicht zu sehen, wenn man die freie Oberfläche für den Fall einer langen Welle in flachem Wasser (kh → 0 ⇒ sinh(kh) → 0, cosh(kh) → 1) vereinfacht, sie wird dann zu zS (x,t) = zS + A cos (kx − ωt) +

3A2 cos 2 (kx − ωt) 4k2 h3

womit der Korrekturterm 2. Ordnung beliebig groß wird. Übung 33: Leiten Sie die Formel für die Berechnung der Horizontalgeschwindigkeit u für Stokeswellen aus deren Geschwindigkeitspotential φ her.

5.6 Hydromechanische Belastungen von Offshore-Anlagen Das absehbare Versiegen der fossilen Brennstoffe als Energiequelle und die Auswirkungen des Treibhauseffekts machen die Suche nach der Gewinnung von regenerativen Energien zu eine der wichtigsten Ingenieuraufgaben der nahen Zukunft. Über den Küstengewässern bietet sich der Wind besonders deshalb als regenerative Energiequelle an, weil die Windgeschwindigkeiten über der im Vergleich zum Land weniger rauen Wasseroberfläche hier weitaus größer sind. Zum anderen sind die Küstengewässer im Unterschied zur offenen See noch recht flach, so dass eine Gründung des Bauwerks möglich ist. Eine Offshore-Windenergieanlage (Abk. OWEA) ist nicht nur den größeren Windlasten, sondern auch den Strömungskräften des Seegangs und der Gezeiten ausgesetzt und muss im Vergleich zu Landbauwerken weitaus größeren mechanischen Belastungen Stand halten. Daneben ist die OWEA selbst keine statische Struktur in einer sonst dynamischen Umgebung, sondern wird durch den Rotor in Eigenschwingungen versetzt, die bei verschiedenen Betriebszuständen unterschiedlich auf die äußeren Anregungen reagieren. Bei der Gründungsplanung spielt neben den äußeren Belastungen und den Gewichtskräften der gesamten Konstruktion auch die Tatsache eine Rolle, dass das Bauwerk auf einem u. U. sehr dynamischen Meeresboden stehen soll. Der zumeist sandige Boden des Küstengewässers besitzt durch Sedimenttransportprozesse eine eigene Morphodynamik. Hierdurch können Auswaschungen des Bodens um die Bauwerkspfeiler – sogenannte Kolke – auftreten, die die Standsicherheit der Anlage gefährden. Bei der Planung eines solch komplexen Systems gilt es, nicht nur die Sicherheit der Anlage, sondern auch die Zuverlässigkeit und Wirtschaftlichkeit über den gesamten Lebenszyklus

5.6 Hydromechanische Belastungen von Offshore-Anlagen

137

M(t)

H(t)

V(t)

WELLENLAST ZUG- /DRUCK WECHSELBELASTUNG

TON

SEITLICHE BETTUNG

SAND MANTELREIBUNG

SPITZENDRUCK

Abbildung 5.13: Gründung einer Offshore-Windenergieanlage als Jacket-Konstruktion. Durch die Seegangswellen und die Gezeiten entstehen Horizontal- und Vertikalkräfte, die zudem in jedem Pfeiler unterschiedlich sein können, da jeweils verschiedene Wellenphasen angreifen. Alle diese Kräfte und Momente müssen sicher in den Boden abgeführt werden (Abbildung nach [44]).

zu beurteilen. Dies kann durch den Bau von Prototypen und durch die Simulation des Verhaltens der Gesamtanlage im Computermodell geschehen. Ein solche integrierte Simulationsumgebung besteht aus verschiedenen Modulen: Neben der Elastodynamik der aus verschiedenen Komponenten zusammengesetzten Windkraftanlage, deren Betriebszustände durch verschiedene Steuerungs- und Regelungsstrategien gefahren werden, müssen für die Belastungen aus der Hydro- und Atmosphäre verschiedene Szenarien entworfen und berücksichtigt werden. Wir wollen uns hier natürlich nur auf die hydromechanischen Belastungen durch Gezeiten und Seegang konzentrieren und schauen uns dazu die in Abbildung 5.13 dargestellte Konstruktion an. Sie soll zum einen die Last der Windenergieanlage tragen und den Belastungen des Seegangs stand halten. Dieser induziert sowohl horizontale als auch vertikale, zeitabhängige Kräfte, die zu Zug- oder Druckbelastungen in den einzelnen Stäben führen.

138

5 Die Theorie idealer Wellen

5.6.1 Die Morison-Formel Sowohl Windenergieanlagen als auch Bohrinseln sind auf zylindrischen Strukturen gegründet, womit die Bestimmung der Strömungskräfte auf Zylinder zu einem Standardproblem der Offshoretechnik wird. Hierfür wird die Formel von Morison [54] FW = ρCMV ∂u + 1 ρCD Au|u| ∂t 2 verwendet. Sie besteht aus zwei Anteilen, dem Massen- und dem Widerstandsanteil. 5.6.1.1 Der Widerstandsanteil Der Strömungswiderstand eines Körpers ist proportional zur Anströmfläche A, und zum Quadrat der Anströmgeschwindigkeit, die in einem solchen Abstand vom Körper gemessen wird, dass dieser die Geschwindigkeit noch nicht durch Umströmungseffekte verändert hat. Dennoch wirkt auf den Körper selbst nur das durch ihn selbst veränderte Geschwindigkeitsfeld und die daraus resultierenden Spannungen sowie das Druckfeld direkt an der Körperoberfläche. Diese Diskrepanz zwischen Anströmgeschwindigkeit in der Ferne und den Verhältnissen direkt am Körper wird durch den CD -Beiwert ausgeglichen. Der CD -Beiwert ist zum einen von der Reynoldszahl Re uD ν abhängig. Diese dimensionslose Zahl berechnet sich aus dem Betrag der Anströmgeschwindigkeit u, dem Durchmesser des Zylinders D und der kinematischen Viskosität ν = 1 · 10−6 m2 /s. Zum anderen beeinflusst die Rauheit der Zylinderoberfläche den CD -Beiwert, wobei man i. A. eine glatten Oberfläche annimmt. Dann kann man den cD -Wert des Kreiszylinders nach Schlichting [69] durch Re =

Re < 800: 800 ≤ Re < 6000: 6000 ≤ Re < 11000: 11000 ≤ Re:

CD = 3.07/Re0.168 CD = 1.0 CD = 1.0 + 0.2 (Re - 6000)/5000 CD = 1.2

approximieren. Übung 34: Geben Sie den Reynoldszahlbereich für eine Gezeit einer Amplitude von 1 m in 10 m tiefem Wasser an, die einen Pfeiler des Durchmessers 1 m anströmt. Der Massenanteil Der erste Summand in der Morison-Formel ist einerseits vom Volumen V des angeströmten Körpers und andererseits von der Beschleunigung der Anströmgeschwindigkeit abhängig. Er berücksichtigt also die instationären Effekte bei der Anströmung von Körpern. Der Ansatz geht ei-

5.6 Hydromechanische Belastungen von Offshore-Anlagen

139

gentlich auf Boussinesq zurück. Er berücksichtigte die Tatsache, dass bei der Anströmung eines Körpers durch ein beschleunigendes Fluid ein negatives Druckgefälle nach der Impulsgleichung du = −grad p dt entsteht. Da der Druck nun über den Körper ein Gefälle aufweist, entsteht eine Nettokraft, die man durch den ersten Summanden parametrisieren kann. Den Parameter CM bezeichnet man als Massenkoeffizienten. Seine Werte liegen zwischen 0.95 und 2, wobei letzterer für den sicheren Entwurf von Offshore-technischen Anlagen empfohlen wird. ρ

5.6.2 Die Kräfte der Gezeitenströmungen Um die Kräfte der Gezeitenströmungen auf einen zylindrischen Pfeiler einer Offshore-Anlage zu bestimmen, müssen die Kennwerte der einzelnen Partialtiden am Konstruktionsort bekannt sein. Hieraus kann man sich die tiefengemittelten Strömungsgeschwindigkeiten nach der Flachwassertheorie bestimmen und die Morison-Formel auf einen Zylinder des Durchmessers D umschreiben. Die Kraft in Strömungsrichtung ist dann:   D2 D D ∂u ∂u 1 FW (t) = ρCM π h(t) + ρCD Dh(t)u|u| = ρh(t) +CD u|u| CM π 4 ∂t 2 2 2 ∂t Dabei ist zu beachten, dass nun sowohl das Zylindervolumen als auch die angströmte Fläche vom variablen Gezeitenwasserstand h(t) abhängig sind. Für den CD -Beiwert kann man den Maximalwert 1.2 ansetzen, denn die Reynoldszahl des Problems liegt fast immer über 10 000. Prinzipiell hat man mit den Koeffizienten der Partialtiden alles, um den exakten zeitlichen Verlauf der Gezeitenkraft auf den Pfeiler bestimmen zu können. Um einen Eindruck von ihrer Größenordnung zu bekommen, wollen wir sie näherungsweise bestimmen. Dazu kann man zuerst den Massenanteil vernachlässigen: Die Zeitableitung wird zu einer Multiplikation mit der Kreisfrequenz der Partialtiden, die für die dominante M2-Gezeit ωM2 = 4π/89460s = 1.40 ·10−4 rad/s ist. Es bleibt: D ρ ρ FW (t) = ρh(t) CD u|u| = cW D gA2 sin2 (kx − ωt) ≤ cW D gA2 g 2 2 2 Man bekommt das Ergebniss, dass die Widerstandskraft unabhängig von der Wassertiefe h ist. Dies ist für Offshoreanlagen sehr erfreulich, da diese zumeist in tiefem Wasser erbaut werden sollen, um z. B. bei Windkraftanlagen die möglichst hohen Windgeschwindigkeiten auf der offenen See ausbeuten zu können. Zudem sind im Tiefwasser der deutschen Bucht auch die Gezeitenamplituden geringer als in Küstennähe, was ein Blick auf die dominante M2 -Gezeit in Abbildung 2.10 belegt. Werfen wir nun einen Blick auf die Maximalbeträge der wirkenden Kräfte. Für einen Pfeiler eines Durchmessers von D = 1 m und einer Gezeitenamplitude von ebenfalls A = 1 m bekommt man Belastungen von 5.9 kN. Um diese Zahl bewerten zu können, wollen wir sie mit der Gewichtskraft des Pfeilers vergleichen. Dieser besteht aus einem Stahlrohr, dessen Gesamtdichte

140

5 Die Theorie idealer Wellen

natürlich von der Bewandungsstärke abhängig ist. Diese wird von Anlage zu Anlage sehr unterschiedlich sein, immer aber so bemessen werden, dass die Gesamtdichte größer als die des Wassers ist, damit die Anlage nicht aufschwimmt. Somit wird für die Gewichtskraft des Pfeilers die Abschätzung FG ≥ ρgπ

D2 h 4

gelten, was bei einer Wassertiefe von 10 m mindestens 77 kN entspricht. Damit spielt die Gezeitenströmung nur eine untergeordnete Rolle in der Konstruktion der Anlage, was allerdings nicht heißt, dass sie vernachlässigt werden kann. Übung 35: An der Position (RW 3400 000, HW 5960 000) in Richtung WSW von Helgoland (markiert durch ein Bezugskreuz in den Abbildungen) soll eine Offshore-Windkraftanlage auf einem einbeinigen kreisförmigen Zylinder (d = 1 m) errichtet werden. Die mittlere Wassertiefe ist dort 32 m. Schätzen Sie die durch die Tideströmungen auf das Bauwerk wirkenden Kräfte ab. 1. Entnehmen Sie dazu aus den Abbildungen 2.9 bis 2.12 die Amplituden und Phasen der dargestellten Partialtiden. 2. Synthetisieren Sie die sich ergebenden Tidewasserstände mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms. 3. Berechnen Sie hieraus das zeitliche Verhalten der tiefengemittelten Strömungsgeschwindigkeit. 4. Berechnen Sie die auf das Bauwerk wirkende maximale Strömungskraft mit dem entsprechenden cW -Wert und der tiefengemittelten Strömungsgeschwindigkeit.

5.6.3 Wellenkräfte auf Pfeilerbauwerke Im Unterschied zu den Gezeitenströmungen kennen wir für Wellen schon die Geschwindigkeitsverteilung über die Wassertiefe. Die damit verbundene Verteilung der angreifenden Strömungskräfte über den Pfeiler ist deshalb wichtig, weil sehr ungleichmäßige Kraftverteilungen innere Spannungen induzieren, die zu Materialversagen führen können. Zudem ist das Bauwerk schwingungsfähig und muss daher so konstruiert werden, dass seine Eigenfrequenzen nicht im Bereich der anregenden Frequenzen der Seegangswellen oder von Strömungsschwingungen liegen. Da die Geschwindigkeitsverteilung bei einer Welle über die Wassertiefe stark variiert, müssen wir die Morison-Formel nun differentiell anwenden. Dazu ersetzen wir die Gesamtwassertiefe durch ein infinitesimales Höhenelement dz des Pfeilers: dFW (t) = ρ

  D D ∂u CM π +CD u|u| dz 2 2 ∂t

und bekommen die Gesamtkraft durch die Integration über die benetzte Pfeilerhöhe h(t):

5.6 Hydromechanische Belastungen von Offshore-Anlagen

FW (t) =

  D D ∂u +CD u|u| dz CM π ρ 2 2 ∂t

h(t)

h(t)

0

0

dFW =

141

Sind die Amplitude, die Wassertiefe, die Periode oder die Wellenlänge bekannt, dann kann man nun die resultierende Kraft, deren Richtung sowie das Moment Mres (t) =

  D D ∂u CM π +CD u|u| dz ρz 2 2 ∂t

h(t)

h(t)

0

0

zdFW =

bestimmen. Dabei werden zumeist Stokestheorien höherer Ordnung verwendet, da diese analytischen Formeln auf Computern nicht wesentlich mehr Arbeit bereiten als die Airytheorie. Es bleibt das Problem zu lösen, wie hoch die die Konstruktion angreifenden Wellen sind und welche Wellenlänge bzw. -periode sie haben. Hierauf werden wir in Kapitel 8 zurückkommen. Die Abbildungen 5.14 und 5.15 zeigen den zeitlichen Verlauf der Kraftdichte dFW (t)/dz auf einen Zylinder mit einem Meter Durchmesser in 10 m tiefem Wasser. Der Pfeiler wird durch eine Stokeswelle mit einer Periode von 4 s und einer Amplitude von einem Meter belastet. Verglichen werden die vollständige Berechnung nach der Morison-Formel mit der reinen Widerstandsanteil, d. h. CM = 0. Wie nicht anders zu erwarten, steigt die Belastung zur Wasseroberfläche in beiden Fällen hin stark an. Bei der vollständigen Morison-Formel sind die Gesamtbeträge aber fast dreimal so hoch wie bei der stationären Widerstandsformel. Dies zeigt sehr eindringlich, dass die Massenkräfte bei Wellenbelastungen nicht vernachlässigt werden dürfen. Ein weiterer Unterschied zeigt sich bei den Belastungsrichtungen. Bei der vollständigen Berechnung wird der Pfeiler am Wellenberg gestaucht und am Wellental gedehnt. Die unvollständige, stationäre Berechnung weist zu diesen Phasen nur Querkräfte auf. Wir wollen dem konstruktiven Ingenieur an dieser Stelle über die Schulter schauen und ihn fragen, welche Konsequenzen unsere Ergebnisse haben. Setzt er ein elastisches Materialverhalten des Pfeilers an, so ist jede räumliche Änderung der äußeren Belastung mit einer Verformung verbunden. Betrachtet man dabei den Pfeiler als unendlich dünnen Stab des Elastizitätsmoduls E und passt sich die Verschiebung ξx (z) des Pfeilers jederzeit sofort der Wellenbelastung an, so kann man diese näherungsweise als ∂ 2 ξx 8 ∂ FW,x (z,t) = ∂ z2 EπD2 ∂z berechnen. Das Integral dieser Gleichung lässt sich noch analytisch auswerten. Das Ergebnis zeigt eine Verschiebung, die in Richtung der Wasseroberfläche noch stärker steigt als die Kurve der Belastungskraft. Die angedeutete Rechnung soll zeigen, wie komplex die tatsächliche Bemessung eines auf Pfeilern gegründeten Offshorebauwerks ist. In der Praxis sind zudem noch Wellenschlag durch brechende Wellen, zeitabhängige Beschleunigungskräfte, die Oberflächenrauheit des Pfeilers, Pfeilerschwingungen durch Wirbelablösungen und eventuell der Einfluss anderer Pfähle in einer Pfahlgruppe zu berücksichtigen. Die konstruktive Gestaltung der Pfeiler geschieht natürlich ebenfalls nicht durch eine analytische Berechnung, sondern nutzt numerische Verfahren wie die

142

5 Die Theorie idealer Wellen

10

Pfeilerhöhe z[m]

8

6

4

2

0 0

1

2

3

4

5

Zeit t[s]

Abbildung 5.14: Die vertikale Verteilung der differentiellen Wellenkraftvektoren auf ein Pfeilerbauwerk über die Zeit. Farbig ist deren Betrag (in N/m) unterlegt.

10

Pfeilerhöhe z[m]

8

6

4

2

0 0

1

2

3

4

5

Zeit t[s]

Abbildung 5.15: Die vertikale Verteilung der differentiellen Wellenkräfte ohne Massenanteil auf ein Pfeilerbauwerk über die Zeit. Farbig ist deren Betrag (in N/m) unterlegt.

Finite-Elemente-Methode und bezieht die dreidimensionale Ausdehnung der Pfeiler sowie instationäre Effekte wie elastische Wellen mit ein.

5.7 Die Tide als ideale Welle

143

5.7 Die Tide als ideale Welle Die Theorie idealer Wellen findet heute überwiegend Anwendung zur Erklärung von Seegangsphänomenen. Sie ist aber auch in der Lage, die verschiedensten Eigenschaften von Gezeitenwellen richtig wiederzugeben. Für diese gilt wegen ihrer großen Wellenlänge immer die Flachwasserapproximation kh → 0. Damit wird die Propagationsgeschwindigkeit gleich der Gruppengeschwindigkeit: c = cg =



gh

Dass auch die hydrostatischen Druckverhältnisse unter einer ungestört laufenden Tidewelle von der idealen Wellentheorie richtig wiedergegeben werden, wurde schon erwähnt. Die tiefengemittelte Horizontalgeschwindigkeit kann man unter einer Airywelle als u(x,t) =

Aω sin (kx − ωt) h k

bestimmen; sie ist proportional zur Wellenamplitude, aber umgekehrt proportional zur Wasser√ tiefe. Ersetzt man hier die Phasengeschwindigkeit c = ω/k = gh, so bekommt man auch hier Übereinstimmung mit der Flachwassergezeitentheorie. Warum kann man dann nicht die Airytheorie vollständig für die Beschreibung der horizontalen und vertikalen Verhältnisse unter Tidewellen akzeptieren? In der idealen Wellentheorie ist es vor allem die Vertikalgeschwindigkeit, die die Wasseroberfläche nach oben und unten treibt. In der Flachwassertheorie der Gezeiten ist es die horizontale Bewegung, die die Gezeitenwellen durch die Meere schiebt. Ferner zeigt die Vertikalverteilung der Geschwindigkeit unter Gezeitenwellen in der Natur kein zunehmendes Ansteigen der Geschwindigkeit unter der Wasseroberfläche. Hier wird die tatsächliche Geschwindigkeitsverteilung erst durch die Grenzschichttheorie erklärt werden. Ferner ist es nicht möglich, die Entstehung von nichtlinearen Flachwassergezeiten als höhere Harmonische der astronomischen Grundtiden zu erklären. Somit eignet sich die ideale Wellentheorie nur bedingt zur Beschreibung von Gezeitenphänomenen.

5.8 Zusammenfassung Die lineare ideale Airytheorie gilt für harmonische Oberflächenwellen, deren Amplitude klein gegenüber der Wassertiefe ist. Ihr wesentliches Ergebnis ist eine Dispersionsbeziehung, die besagt, dass jede Wellenperiode bei gegebener Wassertiefe genau eine Wellenlänge hat. Unterhalb einer Airywelle nimmt die Geschwindigkeit vom Boden ausgehend zur Wasseroberfläche immer steiler zu. Dabei weist sie unter dem Wellengipfel in Wellenausbreitungsrichtung, unter dem Wellental entgegengesetzt dazu. Die wichtigsten Zusammenhänge sind in der Tabelle 5.1 für den allgemeinen Fall und die Spezialfälle Tief- und Flachwasser zusammengefasst. Im zeitlichen Mittel ist mit Airywellen ein Massenstrom verbunden, den man als Stokesdrift bezeichnet. Er findet an der Wasseroberfläche in und an der Sohle entgegengesetzt zur Wellenausbreitungsrichtung statt.

144

5 Die Theorie idealer Wellen

Kreisgeschwindigkeit ω Phasengeschwindigkeit c Gruppengeschwindigkeit cg (c)

Allgemein

Tiefwasser

Flachwasser

 gk tanh(kh) g tanh kh k g tanh kh ω

√  gk g g = k ω 1 c 2

√ k gh √ gh c

Tabelle 5.1: Phasen- und Gruppengeschwindigkeit in der Airytheorie.

Die idealen Wellentheorien sind nicht in der Lage, eine Reihe von Prozessen zu erklären, die bei Oberflächenwellen eine wichtige Rolle spielen. Diese sind insbesondere • • • • •

der Energie- und Impulseintrag durch den Wind, das Brechen von Wellen, der Einfluss der Sohlrauheit, die viskose Energiedissipation in der Wassersäule und die Wechselwirkung von Wellen und Turbulenz.

Ihnen haben wir uns in den folgenden Kapiteln zu widmen.

6 Die Transformation der Welleneigenschaften Die Dispersionsbeziehung für ideale Wellen diktiert einen eindeutigen Zusammenhang zwischen ihrer Periode und Wellenlänge, der von der Wassertiefe abhängt. Nun ändert sich die Wassertiefe in einem Küstengewässer aber • räumlich gesehen durch die variable Sohltopographie, die zum Ufer oder Strand hin auf Null abfällt und • zeitlich durch die Gezeitenbewegungen der Wasseroberfläche. Damit müssen sich auch die Eigenschaften von Seegangs- und Gezeitenwellen also insbesondere • ihre Wellenlänge bzw. ihre Wellenzahl, • ihre Wellenhöhe bzw. ihre Wellenenergie und • ihre Laufrichtung fortwährend ändern. Die Transformationen dieser Welleneigenschaften werden durch Strömungs- oder Seegangsmodelle direkt reproduziert, weil die Prozessursachen schon in den zu lösenden Gleichungen stecken. Wir wollen in diesem Kapitel aber ein einfaches Zweigleichungsmodell für die Transformation einer Einzelwelle entwickeln, welches auch mit einem Tabellenkalkulationsprogramm lösbar ist. Hierdurch wird der Leser in die Lage versetzt, diese Prozesse an von ihm vorgegebenen topographischen Profilen wie dem eines Strandes zu studieren. Wir werden in diesem Kapitel den Begriff Amplitude A durch die Wellenhöhe H = 2A ersetzen, um dadurch zum Ausdruck zu bringen, dass die nun betrachteten Wellen keinesfalls mehr harmonisch sein müssen.

6.1 Die Veränderung von Wellenzahl und Wellenlänge Die Veränderung des Betrags der Wellenzahl in Abhängigkeit von der Wassertiefe bekommt man sehr schnell aus der Umkehrung der Dispersionsbeziehung (5.6) etwa durch die Formel von Hunt heraus. Um die Wirkung von Wassertiefenänderungen auf die Wellenzahl quantitativ zu bewerten, betrachten wir eine sich in x-Richtung auf einen Strand zubewegende Welle. Die örtliche Änderung der Wellenzahl wird also durch die Dispersionsbeziehung dann vollständig beschrieben, wenn man das Profil der Wassertiefe und die Kreisfrequenz ω der Welle vorgibt. In Abbildung 6.1 sind die sich ergebenden Wellenlängen für ein lineares Strandprofil der Neigung 1:100 dargestellt. Man sieht sehr deutlich, dass die Wellen die Sohle umso eher spüren, je länger sie sind: Die 1 m lange Welle spürt den Strand erst ab einer Wassertiefe von ca. 40 cm. Als sichere Aussage kann man festhalten, dass die Sohle keinen Einfluss auf die Ausbreitung A. Malcherek, Gezeiten und Wellen, DOI 10.1007/978-3-8348-9764-0_7, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

146

6 Die Transformation der Welleneigenschaften

2 5

2 0

E in la u flä n g e 2 0 m W e lle n lä n g e b z w . S o h lh ö h e [m ]

1 5

E in la u flä n g e 1 0 m 1 0

5

E in la u flä n g e 1 m 0 -1 0 0 0

-9 0 0

-8 0 0

-7 0 0

-6 0 0

-5 0 0

-4 0 0

-3 0 0

-2 0 0

-1 0 0

0 -5

S o h lh ö h e -1 0

-1 5

S tra n d a b s ta n d x [m ]

Abbildung 6.1: Die Änderung der Wellenlänge über einem Strandprofil der Neigung 1:100 von drei einlaufenden Wellen.

der Welle hat, wenn die Wassertiefe größer als die Wellenlänge ist, Sohle und Welle haben dann keinen Kontakt. Ferner kann man sehen, dass die Wellenlänge in Strandrichtung, d. h. über abnehmender Wassertiefe, abnimmt. Dies bestätigt den subjektiven Eindruck, dass man am Strand immer sehr kurze Wellen sieht, während man auf einer Schifffahrt auch längere Wellen beobachten kann. Für realistische zweidimensionale Topographien ist allerdings auch die Richtung der Wellenzahl und damit die Ausbreitungsrichtung einer Welle zu bestimmen. Dazu muss man die Winkelgeschwindigkeit ω im Gesetz von der Erhaltung der Wellengipfel (5.11) ∂k + grad ω = 0 ∂t durch die Dispersionsbeziehung für Airywellen substituieren. Für den Gradient der Kreisfrequenz gilt grad ω(k, h) =

∂ω ∂ω ∂ω grad k + grad h =cg grad k + grad h ∂h ∂h ∂k

und schnelle Umformungen ergeben dann:  gk3 ∂k  +cg grad k = − √ grad h ∂t 2 tanh kh cosh2 kh

(6.1)

6.2 Die Energie von Oberflächenwellen

147

Diese Vektorgleichung für den Wellenzahlvektor besteht auf der linken Seite aus der Advektion des Wellenzahlvektors mit der Gruppengeschwindigkeit und auf der rechten Seite aus einem Quell-/Senkterm für die Änderung des Wellenzahlvektors mit der Wassertiefe. Übung 36: Beweisen Sie die Beziehung cosh2 (x) − 1 = sinh2 (x) mit Hilfe der Definition der hyperbolischen Funktionen über die Exponentialfunktion.

6.2 Die Energie von Oberflächenwellen Der physikalische Begriff der Energie und ihrer Erhaltung in abgeschlossenen Systemen ermöglicht es, sehr unterschiedliche Prozesse miteinander in Beziehung zu setzen. So entstehen Seegangswellen aus dem Eintrag von Windenergie aus der Atmosphäre, und Gezeitenwellen werden durch die Erdrotation im Gravitationsfeld von Sonne und Mond erzeugt. Will man abschätzen, wieviel Energie dabei von der Atmosphäre in die Ozeane oder aber der Erdrotation durch Gezeitenreibung entzogen wird, dann brauchen wir eine Quantifizierung der Energie sowohl in Seegangs- als auch Gezeitenwellen.

6.2.1 Die Wellenenergiedichte Da Wellenfelder immer eine gewisse räumliche Ausdehnung haben, werden wir einen Ausdruck für die pro Fläche gespeicherte Energie suchen und diesen dann über die uns interessierende Fläche integrieren. In der Wellentheorie hat man schließlich noch die Dichte des Wassers aus der spezifischen Wellenenergiedichte ew herausgenommen, die nun einfach als Ew =



ρew dS

S

Ew

die in der Grundfläche S gespeicherte Wellenenergie. Es gilt nun, einen definiert ist. Dabei ist Ausdruck für die spezifische Wellenenergiedichte ew von Airywellen zu finden, den man der Einfachheit halber auch als Wellenenergie bezeichnet.

6.2.2 Der Energiebegriff der Hydromechanik In der Hydromechanik reicht es in der Regel, das Wechselspiel von kinetischer, potentieller und Druckenergie zu betrachten. Diese drei Anteile addieren sich für einen Körper der Masse m und des Volumens V zu der Gesamtenergie u2 + Mgz + pV 2 Da es in der Hydromechanik aber nicht sinnvoll ist, Einzelmassen zu betrachten, wird diese durch Division entfernt: E =M

148

6 Die Transformation der Welleneigenschaften

E u2 p = + gz + M 2 ρ Integriert man diese Energie pro Masse über die Wassertiefe, so entsteht der Einheit nach eine Rechenvorschrift für die Wellenenergiedichte. Da die einzelnen Anteile aber über die Wellenperiode harmonisch schwanken, bildet man noch den Mittelwert über die Wellenperiode: 1 e := T

T zS

w

E 1 dzdt = M T

0 0

T zS  2 u

2

+ gz +

0 0

p ρ

 dzdt

Im Folgenden wird gezeigt, dass die Wellenenergiedichte gleich dem halben Amplitudenquadrat multipliziert mit der Gravitationsbeschleunigung ist: 1 ew = gA2 2 Diese Formel gilt sowohl für Airy- als auch für Gezeitenwellen. Bei letzteren würde man die Amplitude durch den Tidehub ersetzen: 1 ew = g(Thb)2 8 Man betrachte als Anwendung eine Fläche von einem Quadratkilometer, die homogen mit Seegang einer Amplitude von 10 cm überdeckt ist. In dieser Fläche ist eine Energie von 9.81/2 · 1000 · 0.1 · 0.1 · 1000 · 1000 J = 49 MJ gespeichert. Will man auf die technischen Details des Beweises zur Wellenenergiedichte verzichten, kann man gleich in den Abschnitt 6.3.1 springen. Kinetische Energie Die kinetische Energie der Airywelle besteht aus dem Anteil: ewk

:=

1 T

zS T 2 u

2

dtdz

0 0

Für die zeitlichen Mittlungen kann man folgende elementare Formeln leicht beweisen 1 T

T

sin2 (kx − ωt)dt =

0

1 T

T 0

1 cos2 (kx − ωt)dt = , 2

wenn man beachtet, dass die Kreisfrequenz ω = 2π/T ist. Damit bekommt die kinetische Energie in der zeitlichen Mittlung die Gestalt: 1 T

T 2 u 0

1 dt = A2 ω 2 2 4



cosh2 kz sinh2 kz + sinh2 kh sinh2 kh



6.2 Die Energie von Oberflächenwellen

149

Die verbleibende Tiefenintegration lässt sich wegen sinh2 x = cosh2 x − 1 auf 1 ewk = A2 ω 2 4

zS 

2 0

 cosh2 kz 1 dz − sinh2 kh sinh2 kh

und das noch häufig benötigte Integral zS

cosh2 kzdz =

0

1 1 cg (sinh 2kh + 2kh) = sinh 2kh 4k 2k c

bzw. zS 0

cg g cosh2 kz 1 cg sinh 2kh cg dz = = coth kh = 2 2 2k c sinh kh ck c ω2 sinh kh

(6.2)

zurückführen, womit man für die kinetische Wellenenergie ewk

  cg hω 2 1 2 = A 2 g− 4 c sinh2 kh

bekommt. Den verbleibenden Sinus hyperbolicus formen wir mit Hilfe der Beziehung   2cg hω 2 gkh tanh kh gkh 2gkh = = = = g − 1 sinh kh cosh kh sinh 2kh c sinh2 kh sinh2 kh

(6.3)

zu unserem Endergebnis für die kinetische Energie von Airywellen 1 ewk = gA2 4 um. Wesentlich schneller erkennt man, dass die Herleitung für die Geschwindigkeit unter Gezeitenwellen (3.9) u exakt dem gleichen Ergebnis führt:

ekw

h = T

T 0

1 A2 g 2 sin (kx − ωt) dt = gA2 2 h 4

Übung 37: Beweisen Sie unter Zuhilfenahme von hyperbolischen Pythagoras und Gleichung (6.3) die Beziehung: zS 0

cg  sinh2 kz g  1 − dz = ω2 c sinh2 kh

150

6 Die Transformation der Welleneigenschaften

Potentielle Wellenenergie Der potentielle Wellenenergieanteil lässt sich rechnerisch recht einfach integrieren: ewp

1 = T

zS T

gzdtdz =

0 0

g 2T

T 0

  1 1 2 z2S (t)dt = g A + zS 2 2 2

Potentielle Energie ist immer auf ein gewisses, zu definierendes Energieniveau bezogen. Dieses wollen wir hier bei g/2zS 2 festlegen. Mit dieser Wahl für die Bezugsenergie bekommt man: 1 ewp = gA2 4 Die Gleichheit von kinetischer und potentieller Energie im zeitlichen Mittel bezeichnet man auch als Äquipartitionierung der Energie in Wellen. Da schon die Summe dieser beiden Anteile das gewünschte Ergebnis liefert, sollte die Druckenergiedichte unter Wellen Null sein. Die Druckenergie Tatsächlich kann man recht einfach bestätigen, dass der Ausdruck ewd

=

1 T

T zS 0 zB

p dzdt ρ

mit der Drucklösung sowohl unter einer Airy- als auch einer Gezeitenwelle Null ist.

6.3 Die Bilanzierung der Wellenenergie Nach dem Zusammenhang zwischen Wellenenergie und Amplitude ist jeder Wellenenergietransport auch mit einer Amplitudenänderung verbunden. Der Plan besteht also darin, eine Bilanzgleichung für die Wellenenergie zu finden und diese zur Berechnung der Wellenamplituden zu nutzen. Eine solche Bilanzgleichung muss die Veränderungen der Wellenenergie durch deren Transport, deren Produktion und deren Dissipation berücksichtigen.

6.3.1 Der Wellenenergiefluss Als Hilfsgröße zur Beschreibung dieses Energietransports benötigt man den Wellenenergiefluss Φw . Er ist als das Produkt von Wellenenergiedichte ew und der mittleren Transportgeschwindigkeit uwT der Wellenenergie definiert, Φw = ewuwT . Der Wellenenergiefluss dient dazu, den Fluss von Wellenenergie durch ein Liniensegment senkrecht zur Energietransportgeschwindigkeit zu beschreiben. Diese pro Zeit und Länge durchfließende Energie ist umso größer, je höher die Wellenenergiedichte und die Transportgeschwindigkeit sind. Wir analysieren zunächst, ob eine Oberflächenwelle mit ihrer eigenen Bewegung auch Energie transportiert, und beginnen dazu mit der kinetischen Energie. Falls dies der Fall ist, so interessiert

6.3 Die Bilanzierung der Wellenenergie

151

uns die dazugehörige Transportgeschwindigkeit, damit wir diese zur Energiebilanzierung nutzen können. Wir beginnen mit der kinetischen Energie der Welle. Sie hat die Form 12 (u)2 , hat also zu jedem Zeitpunkt der Wellenperiode einen anderen Wert. Der Fluss einer Größe entsteht dadurch, dass man die Größe selbst mit der Geschwindigkeit multipliziert, mit der sie transportiert wird. Dies ist hier die Orbitalgeschwindigkeit. Mitteln wir dieses Produkt über eine Wellenperiode T , dann bekommt man für den Fluss der kinetischen Wellenenergie: Φw := 1 k T

zS T

u

zB 0

u2 dtdz = 0 2

Das Ergebnis kann man recht einfach mit einer mathematisch-symbolischen Software nachvollziehen. Nach diesem wird durch die Wellenbewegung selbst keine kinetische Energie transportiert. Kommen wir nun zur potentiellen Energie. Auch ihr Fluss verschwindet im zeitlichen Mittel: Φwp := 1 T

zS T

ugzdtdz

zB 0

Nur für die Druckenergie ist das zeitliche Mittel ungleich Null, und der über die Wassertiefe integrierte Fluss ist: Φwd :=

zS zB

1 updz =cg ew ρ

Dabei stehen auf der linken Seite nur die zwei horizontalen Komponenten der Geschwindigkeit, da die Gruppengeschwindigkeit auf der rechten Seite nur zwei Komponenten hat. Die vertikale Komponente des Flusses an Druckenergie ist ebenfalls Null. Zusammenfassend wird die Summe der drei Energiearten mit der Gruppengeschwindigkeit cg transportiert, der nun eine wichtige Bedeutung zukommt. Dieses Ergebnis gilt wieder für Gezeiten- und Seegangswellen.

6.3.2 Energie aus Seegang und Gezeiten Wir wollen nun abschätzen, wieviel Energie der Seegang und die Gezeiten mit sich transportieren. Um den Betrag der tatsächlichen Energie pro Zeit P durch einen Querschnitt der Länge L zu bestimmen, welcher orthogonal zur Ausbreitungsrichtung cg ist, muss die Energieflussdichte Φw mit der Dichte des Wassers ρ multipliziert und über L integriert werden. Letztere Operation geht in eine Multiplikation mit L über, wenn der Betrag der Wellenenergiedichte Φw über L konstant ist: 1 P = Φw ρL = ew cg ρL = gA2 cg ρL 2

152

6 Die Transformation der Welleneigenschaften

70,00 h=20m 60,00

50,00

Leistung [MW]

h=10m 40,00 h=5m 30,00 h=2m 20,00 h=1m 10,00

0,00 1,00

10,00

100,00

1000,00

10000,00

Wellenlänge [m]

Abbildung 6.2: Wellenenergiefluss über einen Querschnitt von einem Kilometer Länge bei einer Amplitude von einem Meter in Abhängigkeit von der Wellenlänge für verschiedene Wassertiefen.

Um das Ergebnis bewerten zu können, betrachten wir einen ein Kilometer langen Strandabschnitt (L = 1000 m). Aus dem Tiefwasser komme eine 10 m lange Welle auf den Strand zu. Besitzt diese Welle eine Wellenhöhe von 20 cm, so dringt in diesen Strandabschnitt eine Leistung von P = Lew cg ρ = 96 kW ein. Würde diese Energie vollständig in elektrische Energie umgewandelt werden können, so würde der Strandabschnitt auf jedem laufenden Meter durch eine 100 Watt-Glühbirne hell erleuchtet werden können. Tatsächlich läuft diese soeben abgeschätzte Wellenenergie irgendwann ungenutzt auf einen Strand auf. Da an flachen Stränden keine nennenswerte Reflektion der Wellenenergie zu verzeichnen ist, drängt sich die Frage auf, wo die einlaufende Energie verbleibt, ob sie also in Wärme oder in Sedimenttransport umgesetzt wird. Zur Abschätzung der Energie in Gezeitenwellen gehen wir von einer Tideamplitude von einem Meter aus, die durch einen Querschnitt von einem Kilometer läuft. In Abbildung 6.2 ist diese Leistung in Abhängigkeit von der Wellenlänge für verschiedene Wassertiefen graphisch dargestellt. Gezeitenwellen mit ihren Wellenlängen von ca. 100 km findet man also am rechten Rand der Abbildung. Würde man also die in ein 1 km breites Ästuar einlaufende Tideenergie vollständig ernten können, so hätte ein solches Gezeitenkraftwerk eine Leistung von fast 70 MW (Atomkraftwerke produzieren eine Leistung von ca. 1000 MW). Übung 38: Einen Kilometer vor einem Strand sei die Wassertiefe 18 m, die linear zum Strand hin auf Null abnimmt. Am seeseitigen Rand laufen Wellen der Höhe 1.3 m mit einer Periode von 6 s ein.

6.3 Die Bilanzierung der Wellenenergie

153

1. Wieviel Wasser befindet sich in einem 1 km langen Strandabschnitt zwischen den Bezugslinien? 2. Wie groß sind die Phasen- und die Gruppengeschwindigkeit an der seeseitigen 18m-Bezugslinie? 3. Die Energie der Wellen wird durch Sohlreibung und Wellenbrechen in dem betrachteten Strandabschnitt vollkommen dissipiert. Wieviel Energie ist das an einem Tag? 4. Angenommen, die Energie werde vollständig in Wärme umgesetzt. Das Wasser hat eine Temperatur von 20o C und eine Wärmekapazität von 4.17 · 106 J/m3 K. Wie groß wäre dann an einem Tag die Temperaturerhöhung der Wassermasse?

6.3.3 Die Bilanzgleichung für die Wellenenergie Wir wollen nun eine Bilanzgleichung für die Wellenenergie aufstellen. Nehmen wir dazu zunächst einmal an, dass die Wellen auf ihrem Weg keine Energie gewinnen oder verlieren; dann ist der Energiefluss durch jeden Querschnitt senkrecht des Weges konstant: Φw = ewcg = const. ⇒ div (ewcg ) = 0 Wenn diese Divergenz aber ungleich Null ist, so ist die Bilanz durch einen Querschnitt unausgeglichen, d. h. die Wellenenergiedichte selbst muss sich verändern. Dabei kann man zeigen, dass dann die Bilanzgleichung ∂ ew + div (cg ew ) = 0 ∂t gilt. Die Herleitung funktioniert prinzipiell genauso wie die der Wasserstandsgleichung (3.1). Mit dem Divergenzterm werden Konvergenzen und Divergenzen im Fluss der Wellenenergie identifiziert, die dann eine Erhöhung bzw. Erniedrigung derselben bewirken. Im Unterschied zur Wasserstandsgleichung gibt es bei der Wellenenergie aber auch Prozesse, die diese vernichten oder erzeugen. Für letzteres ist die Sohlschubspannung verantwortlich, die der Welle fortwährend Energie entzieht. In Abschnitt 10.3.6 wird gezeigt werden, dass diese Energiedissipationsrate bei Seegangswellen gleich dem Produkt aus Sohlschubspannung und bodennaher Orbitalgeschwindigkeit ist und sich als ∂ ew + div ( cg ew ) = −2 fw ∂t



ew k sinh 2kh

1.5 (6.4)

darstellen lässt. Darin beschreibt fw die Sohlrauheit unter Wellen. Dieser Parameter wird später behandelt, man kann ihn z. B. durch Gleichung (10.3) bestimmen. Zusammen mit der Gleichung (6.1) für die Wellenzahländerung haben wir ein Zweigleichungsmodell für das zeitliche und räumliche Verhalten einer Einzelwelle gewonnen. Dieses Modell werden wir im Folgenden zur Analyse der Transformation von Welleneigenschaften bei variierender Wassertiefe einsetzen. Für Gezeitenwellen hat der Energieverlust durch die Sohlschubspannung allerdings eine andere Darstellung. Man kann aber auch hier eine entsprechende Energiebilanz aufstellen.

154

6 Die Transformation der Welleneigenschaften

6.3.4 Shoaling Wir haben im ersten Abschnitt gelernt, dass sich die Wellenlänge einer sich einem Strand nähernden Welle verringert. Nun soll untersucht werden, was dabei mit der Wellenamplitude passiert. Man bezeichnet die Änderung der Wellenhöhe infolge der Wassertiefenänderung ganz allgemein als Shoaling, und wir wollen hierzu in diesem Abschnitt das klassische analytische Berechnungsverfahren und im Folgenden ein eindimensionales Simulationsverfahren kennenlernen, welches man mit einem Tabellenkalkulationsprogramm einfach auswerten kann. Wir gehen zunächst davon aus, dass die Sohländerung so allmählich ist, dass sie den Energiestrom nicht wesentlich beeinflusst. Dann können wir erwarten, dass der durch einen beliebigen Querschnitt senkrecht zum Strand fließende Energiestrom gleich dem aus dem Tiefwasser kommenden Energiestrom (Index 0) ist:  cg 0 1 2 1 2 H gH cg = gH0 cg 0 ⇒ = 8 8 H0 cg  Setzt man für die Gruppengeschwindigkeit im Tiefwasser die Approximation cg 0 = 1/2 g/k an, so folgt nach kurzer Rechnung für die Entwicklung des Verhältnisses der Wellenhöhe H zu ihrem ungestörten Tiefwasserwert H0 in Abhängigkeit von Wassertiefe h und Wellenlänge L: H 1 =   H0   tanh 2π h 1 + L

4π Lh



sinh 4π Lh

Dieses Verhältnis wird auch als Shoalingkoeffizient bezeichnet, es ist in Abbildung 6.3 graphisch dargestellt. Man sieht dort, dass eine (von rechts) aus dem Tiefwasser kommende Welle bei abnehmender Wassertiefe zunächst an Höhe verliert: In diesem Bereich nimmt die Gruppengeschwindigkeit zu, wodurch die Wellenhöhe abnimmt. Ab einer Wassertiefe von ca. einem Zwanzigstel der Wellenlänge L steilt sich die Welle dann zum Strand hin stark auf. Da sowohl Gruppen- als auch Phasengeschwindigkeit im flacheren Wasser abnehmen, wird dabei auch die Wellenlänge reduziert. Die Abbildung 6.3 lässt vermuten, dass das Aufsteilen von Wellen durch Shoaling nur selten oder in wenigen Bereichen des Strandes auftritt. Diese Vermutung ist allerdings falsch, wenn man bedenkt, dass der Shoalingkoeffizient von dem Verhältnis Wassertiefe zu Wellenlänge abhängt. Je länger also eine Welle ist, desto eher steilt sie sich auch auf. Diesen Prozess des Shoalings macht die Gezeiten zu einem Flachwasserphänomen, welches in den tiefen Ozeanen eine wesentlich geringere Bedeutung hat. So besitzt die M2 -Gezeit in weiten Bereichen des Pazifiks und des Atlantiks eine Amplitude von unter 30 cm. Erst in den flachen Randmeeren steilt sich die Amplitude auf oftmals mehr als einen Meter auf, was auf Shoaling und Reflexion zurückzuführen ist. Übung 39: Die Tiefenlinien des in der vorigen Aufgabe erwähnten Strandes laufen parallel. Berechnen Sie 55 m vor dem Strand die Wellenhöhe, die sich durch den Einfluss aus Shoaling ergeben, wenn die Wellen 60o zur Strandnormalen einlaufen. Die einlaufenden Wellen haben bei einer Wassertiefe von 50 m eine Länge von 50 m und eine Höhe von 1 m.

6.3 Die Bilanzierung der Wellenenergie

155

1 ,6

1 ,4

F la c h -/T ie fw a s s e r a m p litu d e

1 ,2

1

0 ,8

0 ,6

0 ,4

0 ,2

0 0

0 ,0 5

0 ,1

0 ,1 5

0 ,2

0 ,2 5

0 ,3

0 ,3 5

0 ,4

0 ,4 5

0 ,5

W a s s e r tie fe h / W e lle n lä n g e L

Abbildung 6.3: Darstellung der Abnahme der Tiefwasserwellenamplitude durch den Shoalingkoeffizienten. Dieses Berechnungsverfahren berücksichtigt weder die Wellenzahländerung noch die Wellenenergiedissipation durch Sohlreibung

6.3.5 Shoaling und Sohlreibung Bei der vorangegangenen Herleitung haben wir vorausgesetzt, dass die Wellenlänge bei der Annäherung an den Strand konstant bleibt, was, wie wir im ersten Abschnitt gesehen haben, nicht der Fall ist. Ferner bekommt auch die Sohlreibung bei abnehmender Wassertiefe immer mehr Bedeutung. Um diese Effekte richtig einzubeziehen, gehen wir von der eindimensionalen stationären Bilanzgleichung für die Wellenenergie aus d (cg ew ) = −2 fw dx



ew k sinh 2kh

1.5 ,

wenden die Produktregel an, bringen davon die eine Hälfte auf die rechte Seite und bekommen für die Änderung der Wellenenergie auf ihrer Bahnlinie: dew ew dcg fw =− −2 dx cg dx cg



ew k sinh 2kh

1.5

Genau wie bei der Änderung der Wellenzahl können wir nun ein Tabellenkalkulationsprogramm verwenden, um auch die Änderung der Wellenenergie für ein gegebenes Strandprofil durch das sukzessive Anwenden der Rechenvorschrift ewi+1 − ewi ew cgi+1 − cgi fw =− i −2 i Δx cgi Δx cgi



ewi ki sinh 2ki hi

1.5

156

6 Die Transformation der Welleneigenschaften

0,35

0,3

Einlauflänge 10 m Einlauflänge 20 m

Amplitude [m]

0,25

0,2

Einlauflänge 1 m 0,15

0,1

0,05

0 -1000

-900

-800

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

Strandabstand [m]

Abbildung 6.4: Eindimensionale Berechnung der Wellenamplitude am in Abbildung 6.1 dargestellten linearen Strandprofil der Neigung 1:100. Die einlaufende Welle hat eine Wellenhöhe von 60 cm, es sind drei unterschiedliche Einlaufwellenlängen dargestellt. Der Reibungsbeiwert f w ist nach der Formel von Swart (10.3) berechnet.

zu bestimmen. Da wir hier auch die Wellenzahl benötigen, sollte die gesamte Berechnung in einer Tabelle stattfinden. Das Ergebnis für die Wellenamplitude ist für das lineare Strandprofil in Abbildung 6.4 zu sehen. Es berücksichtigt also die Prozesse der Wellenzahländerung, des Shoaling und der Sohlreibung. Betrachten wir zunächst die Welle, die mit einem Meter Wellenlänge aus dem Tiefwasser einläuft. Eine solche recht kurze Welle hat auch eine hohe Frequenz und verliert bei Bodenkontakt durch ihre Zappeligkeit sehr schnell ihre Energie. Das andere Extrem bildet die lange Welle, die in Abbildung 6.4 mit einer Wellenlänge von 20 m einläuft. Sie läuft weit auf den Strand auf, wird dabei durch Shoaling noch erhöht und verliert dann durch Sohlreibung ihre Energie. Das so entwickelte Modell des Wellenauflaufs am Strand ist dem klassischen analytischen Berechnungsverfahren weit überlegen. Da es nur ein Tabellenkalkulationsprogramm benötigt, sollte es grundsätzlich bevorzugt werden. Es verliert allerdings dort seine Validität, wo der Prozess des Wellenbrechens eine Rolle spielt.

6.3.6 Refraktion Als Refraktion bezeichnet man die Änderung der Ausbreitungsrichtung einer Welle infolge räumlicher Änderungen der Ausbreitungsgeschwindigkeit. Bei Oberflächenwellen wird die Refrakti√ on vor allem durch die Wassertiefenabhängigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c = cg = gh im Flachwasser verursacht.

6.3 Die Bilanzierung der Wellenenergie

157

Strand

cg1Dt

b1

y

b2

cg2Dt

h1

h2

x Abbildung 6.5: Refraktion von Wellen am Strand. An der gestrichelten Linie sei ein plötzlicher Tiefensprung von der Wassertiefe h2 auf die Wassertiefe h1 .

Betrachten wir einen nicht parallel zu den Wassertiefenlinien auf einen Strand einlaufenden Wellenkamm (Abbildung 6.5). Die Bereiche, die früher flacheres Wasser erreichen, werden im Gegensatz zu den noch im tiefen Wasser verweilenden Wellenkammbereichen immer langsamer. Hierdurch dreht sich der Wellenkamm zum Strand hin, und es erscheint so, als ob Wellen fast immer senkrecht auf den Strand treffen, auch wenn der sie erzeugende Seewind eine ganz andere Richtung besaß. Zur quantitativen Analyse der Refraktion betrachten wir einen Kammabschnitt der Breite b1 , der mit einer Tiefenlinie h1 = const einen Winkel α1 bildet. Nach dem Snellschen Brechungsgesetz der geometrischen Optik wird seine Breite bei Ankunft an der Tiefenlinie h2 = const nach der Formel b2 cos α2 = b1 cos α1 gedehnt, wobei der Winkel α2 aus der leicht einsichtigen geometrischen Beziehung cg sin α2 = 2 sin α1 cg1 berechnet werden kann. Um den Effekt von Refraktion und Shoaling gemeinsam zu erfassen, betrachte man den Energietransport mit einem gewissen Kammabschnitt: 1 2 1 gA cg b1 = gA22 cg 2 b2 2 1 1 2

158

6 Die Transformation der Welleneigenschaften

Da die Breite b in Richtung des flacheren Wassers größer wird, flacht sich die Welle durch Refraktion ab, wird aber durch Shoaling weitaus mehr aufgesteilt. Natürlich wird auch die Refraktion in unserem, aus den beiden Gleichungen (6.1) und (6.4) bestehenden Wellenmodell berücksichtigt, wenn man die Wellenzahl k und die Gruppengeschwindigkeit cg als Vektoren nimmt.

6.4 Die Propagation der Tidewellenenergie Während ihres Laufes durch das Ästuar, aber auch durch die Meere, werden Tidewellen fortlaufend durch Sohlreibung und Turbulenzproduktion gedämpft. Diese Dämpfung ist einerseits mit einem Verlust an Tidewellenenergie und damit mit der Abnahme des Tidehubs bzw. der Amplitude der Welle verbunden. Da die Gruppengeschwindigkeit von Tidewellen die Wurzel aus dem Produkt von Wassertiefe und Gravitationsbeschleunigung ist, kann man die Ausbreitung der Tidewellenenergie in einem Ästuar durch die Differentialgleichung ∂ ew  ∂ ew + gh = −ε w ∂t ∂x modellieren, wobei ε w den Energieverlust der Tidewelle beschreibt. So wie die Impulsgleichung in eine Energiegleichung transformiert wurde, erhält man den Energieverlust aus dem Impulsverlustterm durch Multiplikation mit der Strömungsgeschwindigkeit, Integration über die Vertikale und Mittlung über die Tideperiode: εw =

λ 1 8T

T

|u|u2 dt =

0

λ 6π



2ew h

3/2

Die Ausbreitung der Gezeitenwellen wird daher durch die Gleichung λ ∂ ew  ∂ ew + gh =− ∂t ∂x 6π



2ew h

3/2

beschrieben. Die Entwicklung der Wellenenergie auf einer Bahnlinie schreibt sich dann als: λ Dew =− Dt 6π



2ew h

3/2

Ist die Wassertiefe konstant, dann haben wir nun eine gewöhnliche Differentialgleichung für ew vom Typ f  = −c f 3/2 mit der allgemeinen Lösung  −2 c ew (t) = (ew0 )−1/2 + (t − t0 ) 2 vor uns. Resubstituieren wir ew durch die Amplitudendarstellung 1/2gA2 und gehen davon aus, √ dass die Welle in der Zeit t − t0 den Weg Δx = (t − t0 ) gh zurücklegt, dann wird die Amplitude auf dem Weg Δx folgendermaßen gedämpft:

6.5 Das Brechen der Wellen

159

A0

A(Δx) = 

1 + A0 √c8h Δx



Ersetzen wir noch den Vorfaktor c, dann haben wir die Gleichung   A(Δx) λ A0 Δx −1 = 1+ A0 6π h h für die Dämpfung der Tideamplitude hergeleitet, die in Kapitel 4.1.3 schon verwendet wurde. Dieser Zusammenhang ist aus mehreren dimensionslosen Gruppen zusammengesetzt. Zunächst findet man auf der linken Seite die relative Abnahme der Tideamplitude nach einer gewissen Lauflänge Δx. Auf der rechten Seite stehen der dimensionslose Reibungsbeiwert λ und die jeweils auf die Wassertiefe bezogene Anfangsamplitude und die Lauflänge.

6.5 Das Brechen der Wellen Wenn Oberflächenwellen sehr flache Bereiche im Küstenvorfeld oder das Ufer erreichen, beginnen sich die aus dem Tiefwasser kommenden Wellenkämme uferparallel als Wirkung der Refraktion auszurichten. Dabei wird die Wellenhöhe durch Shoaling größer und die Wellenlänge kleiner und damit die Wellensteilheit größer. Das zunehmende Aufsteilen der Welle wird erst durch ihr Brechen beendet. Beim Brechen einer Welle wird ihre Energie zum Teil in turbulente kinetische Energie umgewandelt, wodurch die Wellenhöhe abnimmt. Der Wasserkörper wird durch Lufteinschluss inhomogen, und sein Strömungsfeld ist nicht mehr rotationsfrei. Bei den Kriterien, wann und wie dieser hochenergetische Prozess stattfindet, unterscheidet man • Kriterien, die die Eigenschaften der Welle am Brechpunkt verwenden (Index b), • Kriterien, die die Tiefwassereigenschaften der Welle verwenden (Index 0) und • Kriterien, die Eigenschaften des Seegangsspektrums verwenden. Das wohl bekannteste Brechkriterium ist das von Miche, es ist der ersten Kategorie zuzuordnen. Einfacher zu handhaben, aber ungenauer, sind solche Kriterien, die die Transformationsprozesse der Welle im Küstenvorfeld in das Kriterium integrieren und so die Wassertiefe am Brechpunkt in Abhängigkeit von den Einlaufeigenschaften der Welle im Tiefwasser bestimmen.

6.5.1 Das Kriterium von Miche Das Brechen einer Welle kann mit dem Stolpern eines Fußgängers verglichen werden. Die Unheil bringende Kinematik ensteht dadurch, dass die Füße sich langsamer bzw. der Kopf sich schneller als der Körperschwerpunkt bewegen. Eine Welle bricht, wenn die Orbitalgeschwindigkeit der Partikel auf dem Wellengipfel größer als die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist. Dieses Kriterium wollen wir quantitativ im Rahmen der linearen Wellentheorie auswerten. Für die Orbitalgeschwindigkeit auf dem Wellengipfel hatten wir den handlichen Ausdruck gk Hb 2ω hergeleitet, für die Ausbreitungsgeschwindigkeit ωg tanh kh. Damit ergibt sich als theoretisches Kriterium für das Brechen von Wellen:

160

6 Die Transformation der Welleneigenschaften

3 ,5 0 L = 2 0 m 3 ,0 0

k r it. A m p litu d e A [m ]

2 ,5 0

2 ,0 0 L = 1 0 m 1 ,5 0

1 ,0 0 L = 5 m 0 ,5 0 L = 1 m 0 ,0 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

W a s s e r tie fe h [m ]

Abbildung 6.6: Das Kriterium für Wellenbrechen nach Miche für die Wellenlängen 1, 5, 10 und 20 m. Liegt die Wellenamplitude in Abhängigkeit von der Wassertiefe oberhalb der Kurve, so bricht die Welle.

Hb 1 2πh > tanh L π L Tatsächlich sind Wellen vor dem Brechen aber nicht mehr harmonisch; sie bilden steile Kämme und flache Täler aus. Nach dem Kriterium von Miche bricht die Welle dadurch früher bei: Hb 2πh > 0.142 tanh L L Das Kriterium von Miche ist ein lokales Kriterium, welches die Kenntnis von Wellenhöhe und Wellenlänge direkt am Brechpunkt voraussetzt. Diese beiden Werte kann man durch das vorgestellte Zweigleichungsmodell numerisch bestimmen. Die vorgestellte Bedingung soll für Tief- und für Flachwasserwellen analysiert werden. 2πh Im Flachwasser gilt tanh 2πh L  L und somit soll nach Miche die maximale Wellenhöhe Hmax = 0.89h sein. Reale Wellen brechen oft schon wesentlich früher: Die höchsten Wellen brechen schon, wenn die Wassertiefe etwa ein Fünftel ihrer Amplitude unterschreitet, also Hmax  0.4h. Im Tiefwasser ist das Brechen von Wellen der entscheidende Effekt zur Begrenzung der Wellenhöhe bei dem unter dem Wind wachsenden Seegang. Dort ist die Phasengeschwindigkeit  g/k und somit begrenzt die theoretische Beziehung 

gk Hmax = 2 ω

g k

6.5 Das Brechen der Wellen

161

bzw. Hmax = 2

g g =2 ω2 (2π)2 ν 2

(6.5)

die Wellenhöhe. Diese ist also umso kleiner, je größer die Wellenfrequenz ist. Hochfrequente Wellen neigen eher dazu, gebrochen zu werden. Übung 40: Zu einem Strand hin falle die Wassertiefe linear nach h(x) = 6.3 m – 0.02 x ab. Wo bricht eine 12 m lange und 1.2 m hohe Welle ?

6.5.2 Brecherarten In Abhängigkeit von der Steilheit der Welle und den topographischen Verhältnissen unterscheidet man beim Brechen einer Welle vier verschiedene Typen von Brechern [17], [33], die auch sehr gut beobachtbar sind. Unter welchen Bedingungen eine Welle in welchen Brechertyp verendet, hat Battjes (1974) [3] in folgendem Kriterium kondensiert. Dazu berechne man zunächst die dimensionlose Iribarrenzahl tan α ζ0 =  H0 /L0

mit

tan α =

∂ zB ∂x

und

H0 = 2A0 ,

wobei der Index 0 die Einlaufwerte im Tiefwasser bezeichnet. Entsprechend ergibt sich dieser Parameter für die Werte am Ort des Brechens durch die Indizierung: tan α ζb =  Hb /Lb

mit

tan α =

∂ zB ∂x

und

Hb = 2Ab

Wir werden mit Hilfe der Seegangsspektren später eine weitere Definition der Iribarrenzahl ζm−1,0 kennenlernen, deren Unterscheidungswerte hier auch schon angegeben werden sollen. 1. Bei überlaufenden Brechern (auch Schwallbrecher, engl. spilling breaker) gleitet Schaum (white caps) den vorderen Hang der Welle hinab. Solche sicherlich nicht als Brecher in der Gewaltigkeit des Wortes wahrgenommenen Wellen treten über sehr flachen Strandprofilen auf. Diese Art von Brechern treten bei Werten von ζ0 < 0.5, ζb < 0.4 bzw. ζm−1,0 < 0.2 auf. 2. Rollende oder Sturzbrecher (engl. plunging breaker) habe die klassische Form einer nach vorne überkippenden Welle. Sie treten über sehr flachen bis mittel geneigten Strandprofilen bei 3.3 > ζ0 > 0.5, 2 > ζb > 0.4 bzw 0.2 < ζm−1,0 < 2...3 auf. Beobachtet man einen solchen am Strand, so fällt sofort die Langsamkeit des Prozesses auf: Der rollende Brecher baut sich erst allmählich auf und bleibt recht lange in der instabilen Position, bevor er kippt. 3. Bei einstürzenden Brechern (engl.: collapsing breaker) bildet die vordere Front eine rechtwinklige Stufe. Beim Brechen erscheint die Welle geradezu zu explodieren. Sie treten über mittel bis starken Strandneigungen auf, es gilt ζ0 > 3.3, ζb > 2 bzw. ζm−1,0 > 2..3. Über diesen kann sich auf Grund der nicht hinreichenden Lauflänge kein rollender Brecher mehr ausbilden.

162

6 Die Transformation der Welleneigenschaften

Abbildung 6.7: Rollender Brecher (Plunging breaker) im oberen Mittelteil des Bildes.

Abbildung 6.8: Einstürzender Brecher (Collapsing breaker).

4. Hochbrandende oder Reflexionsbrecher (engl.: surging breaker) sind eigentlich keine Brecher, sie schießen den stark geneigten Strand hinauf ohne zu brechen. Sie treten bei etwas größeren Werten als die Sturzbrecher auf, ein eigener Wertebereich für ζ wird in der Literatur nicht angegeben.

6.6 Zusammenfassung

163

An natürlichen Stränden treten kontinuierliche Mischformen in der dargestellen Reihenfolge auf.

6.5.3 Der Auflaufbereich Schauen wir nochmal auf die Abbildung 6.4, so erkennt man, dass die Wellenbrecher am Strand als lange Wellen geboren wurden. Die kurzen Wellen haben schon lange vor der Brandungszone soviel Energie abgegeben, dass ihre Restamplitude nicht mehr ausreicht, um einen ordentlichen Brecher abzugeben. Nachdem eine lange Welle gebrochen ist, formieren sich die Wassermassen zu einer Restwelle, die die Form einer Bore hat. Als solche bezeichnet man eine solitäre Welle, deren vordere Front sich nahezu vertikal ausrichtet, deren Oberfläche also weit von der harmonischen Form abweicht. Der Bereich zwischen dem Ufer und der Brecherlinie wird also fortwährend von periodischen Boren überspült. Man bezeichnet ihn deshalb auch als Auflaufbereich. Die Boren verlieren auf ihrem Weg sehr schnell an Energie und Wellenhöhe H = 2A. Dies erfolgt nach einem empirischen Gesetz von Andersen und Fredsøe [1]   Δx H = 0.5 + 0.3 exp −0.11 h hb Hier wird also davon ausgegangen, dass die verbleibenden Boren auf eine Wellenhöhe zusammenstürzen, die 80% der lokalen Wassertiefe entspricht.

6.6 Zusammenfassung In diesem Kapitel wurde eine Zweigleichungswellentheorie entwickelt, die basierend auf der Erhaltung der Wellengipfel die Wellenzahl und auf der Wellenenergieerhaltung die Wellenamplitude berechenbar macht. Sie ist die Grundlage für energetische Wellenmodelle, die man in den unterschiedlichsten Formen finden kann. Hierzu hatten wir zunächst die Energie von Airywellen studiert, die proportional zum Quadrat ihrer Amplitude ist. Als Anwendung dieser Theorie haben wir den Lebensweg der Wellen vom tiefen in das flache Wasser bis zum Strand verfolgt. Die Wellenkämme neigen dazu, sich durch Refraktion strandparallel auszurichten, während sich die Wellen durch Shoaling aufsteilen. Beim Erreichen einer gewissen Grenzhöhe brechen die Wellen schließlich. Als Berechnungsverfahren wurden klassische nulldimensionale Methoden vorgestellt, die Refraktion und Shoaling einzig als Funktion der Anfangs- und Endwassertiefe durch gewisse Koeffizienten bestimmen. Diese Verfahren sind allerdings sehr ungenau, da sie die tatsächliche Topographie zwischen diesen beiden Orten nicht berücksichtigen. Besser sind die hier vorgestellten eindimensionalen Methoden, die, wie die Abbildungen belegen sollen, mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms schnell realisiert werden können.

7 Windinduzierte Strömungen in Küstengewässern Neben den gezeitenerzeugenden Kräften astronomischen Ursprungs ist der zweite Akteur die Atmosphäre, die die Küstengewässer in Bewegung versetzt. Die Winde in deren unteren Schicht treffen über der offenen See auf die Wasseroberfläche, wodurch sich zwischen beiden Medien eine Spannung ausbildet. Diese Spannung erzeugt die windinduzierten Strömungen, die in diesem Kapitel behandelt werden sollen. Die mit ihnen verbundenen Geschwindigkeiten sind wesentlich geringer als die von Tideströmungen, können aber die dominante Bewegungsform sein, wenn der Gezeiteneinfluss wie bei der Ostsee gering ist. Die turbulenten Druckschwankungen des Windes rauen die Wasseroberfläche auf, es bilden sich Wellen, die in ihrer Gesamtheit als Seegang bezeichnet werden. Dem Zusammenhang zwischen den Wind- und den Seegangsverhältnissen wollen wir uns aber erst im folgenden Kapitel zuwenden. Bei einer dauerhaften Windbelastung steilt sich die Wasseroberfläche in Windrichtung auf, man bezeichnet dieses Phänomen als Windstau. Stürme können diesen Windstau so erhöhen, dass die dahinterliegende Küste bei einer Sturmflut durch den aufgestauten Wasserspiegel und den schweren Seegang bei Tidehochwasser besonders gefährdet ist. Diese meteorologisch bedingten Extremereignisse sind wegen ihres stochastischen Charakters die eigentlichen Herausforderungen im Küstenschutz.

7.1 Die atmosphärischen Zirkulationen Die Energiebilanz des Gesamtsystems Erde (einschließlich der Atmosphäre) wird durch die Einstrahlung von Sonnenenergie und die Energieabstrahlung von der Erde in den Weltraum bestimmt. Derzeitig scheinen diese beiden Energieflüsse nicht im globalen Gleichgewicht zu sein, womit Klimaänderungen verbunden sind. Unabhängig von den anthropogenen Klimaänderungen sind diese Flüsse in den verschiedenen Breitengraden der Erde auch natürlicherweise nicht gleich. So ist der Energieeintrag an den Polen infolge des sehr schrägen Einfalls der Sonnenstrahlung auf eine wesentlich größere Fläche verteilt als am Äquator, über dem das Sonnenlicht im Jahresmittel senkrecht einfällt. Da die Abstrahlung der Energie im Vergleich dazu in allen Breitengraden nahezu gleich ist, hat man es in den Tropen mit einer positiven und in den Polregionen mit einer negativen Energiebilanz zu tun. In den Tropen würde es also fortwährend wärmer und an den Polen kälter, wenn nicht die globalen atmosphärischen sowie die ozeanischen Zirkulationen die Energiebilanz der unterschiedlichen Breiten durch den Transport von Wärme ausgleichen würden. A. Malcherek, Gezeiten und Wellen, DOI 10.1007/978-3-8348-9764-0_8, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

166

7 Windinduzierte Strömungen in Küstengewässern

7.1.1 Die vertikale Druckverteilung in der Atmosphäre Genau wie die Strömungen in den Oberflächengewässern, werden die die Strahlungsbilanz ausgleichenden atmosphärischen Zirkulationen durch Druckgradienten angetrieben. Wir wollen daher zunächst einfache Modellvorstellungen für die vertikale Druckverteilung in der Atmosphäre kennenlernen, um dann einen Eindruck von den wesentlichen Einflussgrößen der globalen Windsysteme zu bekommen. Wir stellen uns die Luft als ein ideales Gas vor, welches durch die Zustandsgleichung pV = nRT beschrieben wird. Im Gegensatz zu Flüssigkeiten haben Gase die Eigenschaft, das ihnen zur Verfügung stehende Volumen auszufüllen, dieses wird in der Gleichung mit V bezeichnet. Die Gasmenge wird durch die Anzahl der Mole n beschrieben. Die Gaskonstante R = NA k setzt sich aus der Avogadrokonstante NA = 6.022 · 1023 und der Boltzmannschen Konstante k = 1.38 · 10−23 J/K zusammen. Die Zustandsgleichung idealer Gase ermöglicht es uns also, entweder den Druck eines Gases in einem bestimmten Volumen bei gegebener Temperatur oder aber letztere bei gegebenen Druck zu bestimmen. Für die Impulsbilanz eines Fluids benötigt man neben dem Druck auch dessen Dichte ρ. Diese ergibt sich, wenn wir die Masse des Gases durch das zur Verfügung stehende Volumen teilen: pMmol RT Darin ist Mmol die Masse eines Mols, die Gasmasse ist somit nMmol . Für die im Wesentlichen aus molekularem Stickstoff und Sauerstoff zusammengesetzte Luft nimmt man Mmol = 29.2 g an. ρ=

Übung 41: Legen Sie dar, warum die Molmasse von Luft etwa Mmol = 29.2 g ist. Wir wollen nun die vertikale Druckverteilung in einer ruhenden Atmosphäre bestimmen. Von der Impulsbilanz in vertikaler Richtung (5.1) bleibt dann nur noch die sogenannte hydrostatische Differentialgleichung: ∂p = −ρg ∂z Setzt man die Dichte von Luft hier ein, so bekommt man eine Differentialgleichung erster Ordnung, ∂p Mmol g =− p(z), ∂z RT deren Lösung 

−Mmol gz p(z) = p0 exp RT0



7.1 Die atmosphärischen Zirkulationen

167

10

9 T=293K

8

T=273K

Höhe [km]

7

6

5

4

3

2

1

0 0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

rel. Druck p/p 0

Abbildung 7.1: Das auf den Bodenluftdruck bezogene Druckprofil der Atmosphäre bei verschiedenen Bodentemperaturen.

ist. Dieser funktionale Zusammenhang für die Druckverhältnisse in der ruhenden Atmosphäre berücksichtigt allerdings das vertikale Temperaturprofil nicht. Obwohl dieses den fortwährenden Schwankungen des Wetters unterworfen ist, kann man grob annehmen, dass die Temperatur jeden Höhenkilometer um ca. 6.5 o C abnimmt: T (z) = T0 − αz

α = 6.5 K/km

Damit wird die Differentialgleichung der vertikalen Druckabnahme zu: Mmol g ∂p =− p(z) ∂z R(T0 − αz) In der Lösung dieser Differentialgleichung  p(z) = p0

αz 1− T0

 Mmol g Rα

ist der Druck in einer bestimmten Höhe sowohl vom Bodenluftdruck als auch von der Bodentemperatur abhängig. Damit ist das Druckprofil in den Tropen durch die höheren Temperaturen grundsätzlich anders als in den Polregionen. Die graphische Darstellung dieser Formel in Abbildung 7.1 macht deutlich, dass der Druck mit zunehmender Höhe über der Erdoberfläche umso schneller abnimmt, je kälter es am Erdboden ist. Folgt man somit einer Fluglinie in 10 km Höhe vom Äquator zum Nordpol, so ist auf dieser eine ständige Abnahme des Luftdrucks zu verzeichnen. Dieser Druckgradient induziert eine vom

168

7 Windinduzierte Strömungen in Küstengewässern

Äquator

Abbildung 7.2: Durch die globale atmosphärische Konvektion bewegt sich Kaltluft bodennah von den Polen zum Äquator, während in den höheren Schichten Warmluft zu den Polen transportiert wird.

Äquator zu den Polen gerichtete Höhenströmung, die am Boden durch eine von den Polen zum Äquator gerichtete Gegenströmung ausgeglichen wird. Diese Zirkulationsströmung hat genau die ausgleichende Wirkung im Wärmehaushalt der Erde, die in der Einleitung beschrieben wurde. Ohne diese globale Konvektionsströmung, die fortwährend wie auf einem Förderband Wärmeenergie vom Äquator zu den Polen transportiert, würden sich die tropischen Breiten mehr aufheizen, während die Polargebiete noch wesentlich kälter wären. Übung 42: Wiederholung Druckeinheiten: Wie groß ist der Luftdruck in 4 km Höhe, wenn auf Meeresspiegelniveau eine Temperatur von 14 o C und ein Luftdruck von 1 atm herrscht?

7.1.2 Hadleyzonen Bei der Betrachtung der Längenkreise auf dem Erdglobus stellt man unweigerlich fest, dass diese vom Äquator zum Pol aufeinander zulaufen. Gleiches gilt auch für die polwärts gerichteten Winde in der oberen Troposphäre. Dadurch werden in den höheren Breiten immer mehr Luftmassen angestaut. Der bodennahe Druck steigt hierdurch ebenfalls an, er ist ja (im hydrostatischen Sinne) nichts anderes als das Gewicht der darüberliegenden Luftmassen. Durch diesen Konvergenzeffekt der Längenkreise entsteht auf etwa 30o Breite ein bodennahes Hochdruckgebiet, von welchem die bodennahen Luftmassen in Richtung Äquator und Pol weggedrückt werden. Der Effekt dieser subtropischen Hochdruckzone ist in Abbildung 7.3 dargestellt. Er bricht die globale Konvektionszone in drei als Hadleyzonen bezeichnete Konvektionszellen auf. In der äquatorialen und der polnahen Zelle werden die Luftmassen in der oberen Troposphäre in Pol-

7.1 Die atmosphärischen Zirkulationen

169

T H

T H

H

H

H

H

Äquator

H

H T

T

Abbildung 7.3: Das Zerfallen der globalen Konvektionszelle auf jeder Halbkugel in drei sogenannte Hadleyzonen. Ferner sind die subtropischen Hoch- und die subpolaren Tiefdruckgebiete, die zyklonischen und antizyklonischen Bewegungen dargestellt.

richtung transportiert, in den mittleren Breiten findet man nun allerdings einen polwärts gerichteten Transport der Luftmassen. In diesen Hadleyzonen findet immer noch ein Ausgleich des globalen Strahlungsungleichgewichts statt. Die Konvektionsströme bewegen sich nun aber in jeder Hemisphäre auf einem dreigeteilten Förderband.

7.1.3 Die Wirkung der Corioliskraft In diese globalen Konvektionszellen greift auf der rotierenden Erde noch die Corioliskraft ein. Ihre Wirkung kann man sehr schnell erkennen, wenn man sich einmal die mit ihnen verbundenen Beschleunigungen anschaut. Für die West-Ost-Geschwindigkeit u gilt dann: ∂u = 2ωv sin φ ∂t Wir analysieren zunächst die bodennahe Situation in Äquatornähe. Dort strömen auf der Nordhalbkugel aus Norden kommend Winde zum Äquator hin. Die y-Geschwindigkeit v ist somit negativ, es entsteht nach der obigen Gleichung eine negative Beschleunigung in x-Richtung, die die westwärts gerichteten, äquatornahen Passatwinde erzeugt. Der gegenteilige Effekt entsteht unter der Hadleyschen Konvektionszone der mittleren Breiten. Hier sind die bodennahen Winde auf der Nordhalbkugel nach Norden gerichtet (v > 0), damit erzeugt die Corioliskraft hier eine Beschleunigung in West-Ost-Richtung. Die subtropischen Hochund die subpolaren Tiefdruckgebiete ziehen hier vornehmlich von Westen nach Osten.

170

7 Windinduzierte Strömungen in Küstengewässern

120,00

Geostrophischer Wind [m/s]

100,00

30° 40° 50°

80,00

60° 80° 60,00

40,00

20,00

0,00 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Druckdifferenz [hPa] auf 100 km

Abbildung 7.4: Der geostrophische Wind für verschiedene geographische Breiten als Funktion der Luftdruckdifferenz auf 100 km.

7.1.4 Der geostrophische Wind Normalerweise finden alle Strömungen vom hohen in Richtung des tiefen Drucks statt. Die Corioliskraft bewirkt aber in der Atmosphäre ein Rotieren des Windfeldes um Hoch- oder Tiefdruckgebiete. Um dies zu verstehen, betrachten wir das so genannte geostrophische Windmodell. Der geostrophische Wind ist der Wind, der aus einem Gleichgewicht zwischen Druckgradient und Corioliskraft entsteht: 0=− 0=−

1 ∂p + 2ωv sin φ ρA ∂ x

1 ∂p − 2ωu sin φ ρA ∂ y

⇒ ⇒

v=

1 1 ∂p 2ω sin φ ρA ∂ x

u=−

1 1 ∂p 2ω sin φ ρA ∂ y

Die von einem solchen Windmodell erzeugten Windgeschwindigkeiten sind im Abbildung 7.4 dargestellt. Man sieht dort, dass die geostrophischen Winde bei gleichen Druckgradienten am Äquator wesentlich größer als an den Polen sind.

7.1.5 Hoch- und Tiefdruckgebiete Um die Form des Geschwindigkeitsfeldes des geostrophischen Windes zu analysieren, legen wir den Ursprung eines horizontalen xy-Koordinatensystems direkt in das Zentrum eines Hochdruckgebietes. Damit nimmt der Druck in alle Richtungen ab, somit ist der Druckgradient in positiver

7.2 Windschubspannungen

171

x-Richtung negativ. Damit entsteht dort ein nach Süden weisender geostrophischer Wind. Wiederholt man diese Überlegungen für die anderen drei Koordinatenrichtungen, so stellt man fest, dass der Wind auf der Nordhalbkugel der Erde (sin φ > 0) um ein Hochdruckgebiet im Uhrzeigersinn und um ein Tiefdruckgebiet entgegen dem Urzeigersinn kreist. Letztere Bewegung um ein Tiefdruckgebiet bezeichnet man als Zyklon, die um ein Hochdruckgebiet als Antizyklon. Auf der Südhalbkugel der Erde sind die Drehrichtungen genau umgekehrt. Die dargestellten globalen Windsysteme bedingen unter Berücksichtigung der jahreszeitlichen Schwankungen, der Verteilung der Landmassen nebst deren Ausgestaltung und der stochastischen Schwankungen das Wetter. Dieses ist über der Nordsee vielfach vom Durchziehen von Tiefdruckgebieten geprägt, die in der deutschen Bucht überwiegend mit aus Westen kommenden Winden verbunden sind.

7.2 Windschubspannungen Nachdem wir uns mit atmosphärischen Zirkulationen und den daraus entstehenden Windsystemen vertraut gemacht haben, wollen wir uns nun den Wechselwirkungen zwischen Hydro- und Atmosphäre zuwenden. Diese können auf der physikalischen Ebene als Massen-, Energie- und Impulsaustausch stattfinden. Beim Massenaustausch zwischen den beiden Sphären denken wir zunächst einmal an das Wasser selbst, welches durch Niederschläge und Verdunstung ausgetauscht wird und auf dem Festland den hydrologischen Kreislauf erzeugt. Für das aquatische Leben ist der Sauerstoffeintrag aus der Atmosphäre und für den globalen Klimawandel der Kohlendioxidaustausch von erheblicher Bedeutung. Der Energieaustausch zwischen den beiden Sphären findet durch Strahlung und Wärmeaustausch statt. Für die Hydrodynamik spielt der Impulsaustausch zwischen den beiden Sphären allerdings die wichtigste Rolle. Um diesen zu beschreiben, benötigen wir ein weiteres Erfolgskonzept der Mechanik, das Konzept der Spannungen.

7.2.1 Spannungen Viele Kräfte entstehen erst dadurch, dass die verschiedenen Sphären, Körper oder Stoffe an Kontaktflächen miteinander in Berührung kommen. Die in solchen Kontaktflächen wirkenden Kräfte bezeichnet man als Flächenkräfte, da sie neben anderen Abhängigkeiten mit der Größe der Kontaktfläche wachsen, also proportional zum Flächeninhalt sind. Will man das Wesen solcher Flächenkräfte analysieren, interessiert der tatsächliche Betrag der Kraft zunächst nicht, weil er ja einfach mit der Fläche wächst. Viel interessanter ist somit die Frage, wovon die spezifische Kraft pro Fläche abhängt, da man mit dieser neuen Größe dem Wesen der Flächenkraft analytisch näher kommt. Diesen Quotienten aus Kraft F und Flächeninhalt A bezeichnet man als Spannung τ = F/A. Nun hat die Kraft aber eine Richtung, d. h. sie ist ein Vektor und hat in die drei Raumrichtungen drei unterschiedliche Komponenten. Dies wollen wir durch einen Index j berücksichtigen, der die drei Raumrichtungen x, y oder z repräsentiert. Damit wird aber auch die Spannung zu einem Vektor mit den Komponenten τ j = Fj /A.

172

7 Windinduzierte Strömungen in Küstengewässern

tzz tzy tzx

tyz

tyy

z

tyx

txx txy txx

y x Abbildung 7.5: Die Bezeichnungen im Spannungstensor. Der erste Index bezieht sich auf die Normalenrichtung der jeweiligen Ebene, der zweite Index auf die Kraftkomponentem.

Leider ist die Spannung damit immer noch nicht vollständig erfasst, schließlich kann eine Fläche im Raum beliebig orientiert sein, also z. B. in der xy-Ebene, in der yz-Ebene oder irgendwie windschief im Raum liegen. Die Orientierung einer Fläche berücksichtigt man durch den auf ihr liegenden Normaleneinheitsvektor: So würde man also eine in der xy-Ebene liegende Fläche als Az -Fläche und eine in der yz-Ebene als Ax -Fläche bezeichnen. Eine beliebig im Raum liegende Fläche hat nun wieder drei Komponenten, die durch den Index i dargestellt werden sollen. Damit wird aber die Spannung zu einer doppelt indizierten physikalischen Größe, schließlich muss die Orientierung der Bezugsfläche und die Kraftkomponente spezifiziert werden, es gilt also: τi j = Fj /Ai . Diese Indizierungskonvention hat sich allgemein durchgesetzt: Der erste Index gibt die Richtung des Normalenvektors in der Fläche an, in der die Spannung wirkt. Der zweite Index gibt die Richtung der Kraft an, die die Spannung erzeugt. Die Gesamtheit aller Spannungen, kann man zu einer Matrix zusammenfassen, die man als Spannungstensor P bezeichnet: ⎛

τxx P = ⎝ τyx τzx

τxy τyy τzy

⎞ τxz τyz ⎠ τzz

Will man nun den Vektor τ aller in einer bestimmten Fläche wirkenden Spannungen ermitteln, so muss man zunächst den Normaleneinheitsvektorn dieser Fläche bestimmen und dann mit dem Spannungstensor multiplizieren: τ = Pn

7.2 Windschubspannungen

Medium Wasser Luft (20 o C)

173

Dichte ρ 1000 kg/m3 1.21 kg/m3

kinemat. Viskosität ν 1 · 10−6 m2 /s 1 · 10−5 m2 /s

dynam. Viskosität ρν 1.0 mPa s 0.01228 mPa s

Tabelle 7.1: Hydromechanische Eigenschaften von Wasser und Luft bei 20 o C.

Das Konzept der Spannungen und des Spannungstensors ist zunächst recht kompliziert und man braucht viel Übung, es tatsächlich zu durchdringen. Für den Anfänger auf diesem Gebiet reicht es, sich einen Tensor als matrixartige physikalische Größe vorzustellen, die von zwei Indizes abhängig ist.

7.2.2 Innere Spannungen in Newtonschen Fluiden In einem Fluid steht jedes Flüssigkeitselement in Kontakt mit den es umgebenden Flüssigkeitselementen. Bewegt sich ein benachbartes Element schneller, langsamer oder einfach in eine andere Richtung, so werden durch den Kontakt Kräfte auf das Bezugsflüssigkeitselement übertragen. Diese Kräfte haben wir bisher nicht in den Bewegungsgleichungen der Hydromechanik berücksichtigt. Dazu müssen wir fragen, wie groß diese Kontaktkräfte durch die inneren Spannungen τi j und welche Kräfte mit ihnen verbunden sind. Bewegen sich zwei benachbarte Flüssigkeitselemente mit gleicher Geschwindigkeit parallel zueinander, so werden sie friedlich nebeneinander koexisitieren und sicher keine Kräfte miteinander austauschen. Diese inneren Spannungen sind also nur vorhanden, wenn im Fluid lokale Geschwindigkeitsgradienten ∂ ui /∂ x j auftreten. Dabei bezeichnen die Indizes i an der Geschwindigkeit und j am Ort wieder die drei Raumrichtungen. In Newtonschen Fluiden beschreibt man die dabei entstehenden Spannungen in der Form:   ∂ ui ∂ u j τi j = ρν + ∂ x j ∂ xi Sie nehmen also linear mit den Scherungen des Geschwindigkeitsfelds zu. Ferner steigen die inneren Spannungen mit der Dichte ρ und der dynamischen Viskosität ν des Fluids. Sowohl die viskosen Eigenschaften von Wasser als auch von Luft lassen sich durch dieses Newtonsche Spannungsgesetz beschreiben, die Standardwerte für die Dichte und die Viskosität sind dazu in Tabelle 7.1 angegeben. Übung 43: Schreiben Sie alle möglichen Ausdrücke τxx , τyy , τzz , τxy , τxz und τyz aus der Indexnotation in die kartesische Notation mit den Koordinaten x, y und z und den Geschwindigkeiten u, v und w.

7.2.3 Innere Spannungen in der Grenzfläche zwischen Wasser und Luft Wir wollen dieses komplizierte Konzept nun anwenden, um den Impulsaustausch an der Grenzfläche Wasser-Luft zu beschreiben.

174

7 Windinduzierte Strömungen in Küstengewässern

z

uA(z)

Atmosphäre Wasserkörper

u(z) Abbildung 7.6: Die Grenzschicht zwischen Atmosphäre und Wasserkörper. In der Atmosphäre bildet sich ein logarithmisches Geschwindigkeitsprofil aus.

Nach dem allgemeinen Schnittprinzip werden die an der Oberfläche des Wasserkörpers durch den Wind verursachten Schubspannungen mit gleichem Betrag in den Wasserkörper übertragen. Gehen wir davon aus, dass die Wasseroberfläche vollkommen horizontal ist. Nehmen wir ferner an, dass sowohl der Wind als auch die Strömung des Wassers an der Wasseroberfläche parallel zu ihr und in x-Richtung ausgerichtet sind, dann haben wir es mit der atmosphärischen Strömung uA (z) auf der einen Seite und mit der Strömung des Wassers u(z) auf der anderen Seite zu tun. Beide Geschwindigkeiten seien in der Horizontalen homogen, womit alle Ableitungen nach x und y Null sind. Als mögliche Spannungen tauchen dann in der Atmosphäre (Index A) nur noch die Komponente τzx = ρA νA

∂ uA ∂z

und in der Wassersäule τzx = ρν

∂u ∂z

auf. Diese beiden Spannungen sind an der Wasseroberfläche gleich: τWind = ρA νA

∂ uA ∂u = ρν ∂z ∂z

an der Wasseroberfläche

(7.1)

Man bezeichnet diese Spannung auch als Windschubspannung. Hiermit haben wir einen Zusammenhang zwischen der Steigung der Geschwindigkeiten direkt unter- und direkt oberhalb der Wasseroberfläche gewonnen: Die Geschwindigkeit in der Luft steigt also nach Gleichung (7.1) und den Werten in Tabelle 7.1 ca. achzig mal stärker an als im Wasserkörper. Dies ist in Abbildung 7.6 skizziert. In ihr wird ferner davon ausgegangen, dass

7.2 Windschubspannungen

175

die Geschwindigkeit selbst an der Grenzfläche stetig ist. Diese Gleichheit der Geschwindigkeiten ist auf der molekularen Ebene sehr verständlich, da hier „Luft”- und Wassermoleküle durch Stöße fortwährend Impuls austauschen und sie in der Grenzschicht dadurch ihre Bewegungsgeschwindigkeiten angleichen.

7.2.4 Die untere Grenzschicht der Atmosphäre Leider sind die Verhältnisse in der Grenzschicht zwischen Atmosphäre und Wasserkörper nicht so einfach, wie es jetzt dargestellt wurde. Zum einen ist die Strömung in beiden Sphären turbulent. Hierdurch bilden sich chaotische Geschwindigkeitsschwankungen aus, die in der Berechnung nicht berücksichtigt wurden. Ferner ist die Wasseroberfläche durch die Ausbildung von Oberflächenwellen nicht eben, wodurch die Atmosphäre sie als mehr oder weniger rau empfindet. Das Geschwindigkeitsprofil einer turbulenten Strömung über einer ebenen, aber rauen Grenzfläche hat i. A. die Form des universellen logarithmischen Geschwindigkeitsprofils: uA (z) =

u∗ z ln κ z0

mit

τWind = ρA u2∗

Die Ausprägung des Profils hängt also über die so genannte Windschubspannungsgeschwindigkeit u∗ von der Windschubspannung an der Wasseroberfläche selbst ab. Die Rauheit der Wasseroberfläche wird durch den Parameter z0 beschrieben. Mathematisch ist er nichts anderes als der Nullpunkt des logarithmischen Geschwindigkeitsprofils. Diese Rauheit ist nicht konstant, sondern von der Welligkeit der Wasseroberfläche abhängig. Klassischerweise wird sie in der Form z0 = α

u2∗ g

beschrieben, wobei der Beiwert α nach Charnock [11] 0.015 und nach Wu [81] 0.0185 ist. Mit den beiden letzten Formeln können nun die Schubspannungsgeschwindigkeit, die Windschubspannung und die Rauheit der Wasseroberfläche iterativ als Funktion der Windgeschwindigkeit uA (z) berechnet werden. Solche Iterationsverfahren kommen immer dann zustande, wenn verschiedene physikalische Prozesse miteinander gekoppelt sind. Die Gewinnung von Winddaten über Küstengewässern ist schwieriger als man zunächst annehmen möchte. Grundsätzlich stehen hierzu Messungen der Wetterdienste zur Verfügung. Deren Messstationen liegen aber oftmals über dem Land, wobei das Modell das Windfeld über der Gewässeroberfläche benötigt. Dieses kann von dem über Land gemessenen erheblich abweichen, weil der bodennahe Wind nicht nur von der großräumigen Wetterlage, sondern auch von der lokalen Topographie und der Bodenrauheit abhängig ist. Somit ist insbesondere in Küstengebieten und über Seen die Anwendung eines numerischen Modells der atmosphärischen Grenzschicht empfehlenswert, da man hier ganze Flickenteppiche von Bodenrauheiten (Wasserflächen, Wiesen, städtische Bebauung, Wald etc.) vorfindet.

176

7 Windinduzierte Strömungen in Küstengewässern 5 4,5

Windschubspannung [Pa]

4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0

5

10

15

20

25

30

35

Windgeschwindigkeit [m/s]

Abbildung 7.7: Die Windschubspannung in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit in 10 m Höhe.

7.2.5 Parametrisierungen der Windschubspannung Die iterative Berechnung der Windschubspannung ist heute mit Tabellenkalkulationsprogrammen bis hin zu komplexen hydronumerischen Simulationsverfahren recht einfach möglich. In früheren Zeiten scheute man aber solche iterativen Verfahren und suchte explizite, d. h. direkt zu berechnende Parametrisierungen für die Windschubspannung. Der Standardansatz lautete hier: τWind = ρACD (z) uA (z) uA (z) wobei CD als Windschubkoeffizient bezeichnet wird, der von der Höhe der Windgeschwindigkeitsmessung über dem Boden abhängt. Bei Windstille findet man nach dieser Gleichung keine Spannungen zwischen Wasserkörper und Atmosphäre. Dies ist aber nicht richtig, vielmehr würde sich in diesem Fall eine, wenn auch sehr dünne, Grenzschicht aus mitbewegter Luft ausbilden, die zu einem entsprechenden Impulsfluss aus der Wassersäule führt. Ferner ist in der Realität keine Spannung zwischen diesen beiden Sphären zu verspüren, wenn Wasser und Luft sich mit derselben Geschwindigkeit fortbewegen. Dies wird von unserer Gleichung ebenfalls falsch prognostiziert. Wir wollen beide Effekte dadurch berücksichtigen, dass wir auf der rechten Seite der letzten Gleichung nur die Relativbewegung zwischen Atmosphäre und Wassersäule betrachten: τWind ρA = CD ( uA (z) − uS )  uA (z) − uS  ρ ρ Der Windschubkoeffizient CD wird i. A. auf die Messhöhe des Windes z = 10 m über Boden angegeben. Er ist keine Konstante, sondern von der Windgeschwindigkeit abhängig. In Abbildung 7.8 sind verschiedene Parametrisierungen für den Windschubkoeffizienten dargestellt. Sie

7.2 Windschubspannungen

177

3.0 CD [10−3 ] 2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

(e) .................................................................................................... .. . .. (b) .. . ... . . . .. . ...... ... (c) .. . ......................... (a) .. ...... ........... ................................ ................... (d) ................... .... .... .................. . . . . . . . ...... ... . ........................ . . . .... .. . ............... ... .. .. ... .. . .. . . .......................

0.0 0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

40.0

Windgeschwindigkeit u10 [m/s] Abbildung 7.8: Windschubkoeffizienten CD (10) in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit.

(a) Wieringa (1974): (b) Smith und Banke (1975): (c) Garratt (1977): (d) Wu (1980): (e) Flather (1976) [15]:

−3 CD = 0.62u0.37 10 · 10 für 4.5 m/s ≤ u10 ≤ 15 m/s CD = (0.63 + 0.066u10 )10−3 für 3.0 m/s ≤ u10 ≤ 21 m/s CD = (0.75 + 0.067u10 )10−3 für 4.0 m/s ≤ u10 ≤ 15 m/s CD = (0.8 + 0.065u10 )10−3 für 3 m/s ≥ u10 ≥ 15 m/s ⎧ für u10 ≤ 5m/s 0.565 · 10−3 ⎨ −3 CD = (0.137u10 − 0.12) 10 für 5 ≤ u10 ≤ 19.2m/s ⎩ 2.513 · 10−3 für u10 ≥ 19.2m/s

zeigen alle einen Anstieg mit der Windgeschwindigkeit, was auf die Ausbildung von Wellen zurückgeführt werden kann, denn durch diese steigt die Rauheit der Wasseroberfläche. Ab etwa 15 m/s erreicht der Windschubkoeffizient einen konstanten Wert, da die Wellen bei zunehmender Windgeschwindigkeit nicht unbegrenzt wachsen können.

178

7 Windinduzierte Strömungen in Küstengewässern

Sturmtidekurve

Astronomische Tide

Windstaukurve

Abbildung 7.9: Die Differenz zwischen astronomischer Tide und Sturmtidekurve ergibt die Windstaukurve.

Übung 44: Wie groß ist die Windschubspannung bei einer Windgeschwindigkeit von u10 = 35 m/s?

7.3 Der Windstau Zur Dimensionierung von Küstenschutzmaßnahmen müssen die Erhöhungen des Wasserstands durch die in Windrichtung wirkenden Windschubspannungen bestimmt werden. Die hierdurch eintretende Veränderung des Wasserstands bezeichnet man als Windstau. Der Windstau lässt sich empirisch recht einfach bestimmen, wenn man nur die mit der Partialtidenanalyse vorhergesagte Wasserstandskurve mit der tatsächlich an einem Pegel gemessenen vergleicht. Die Differenz dieser beiden ergibt dann die Windstaukurve (siehe Abbildung 7.9).

7.3.1 Die Neigung des Wasserspiegels unter Windbelastung Den theoretischen Zusammenhang zwischen Windschubspannung, Wasserspiegelgradient und Strömungsgeschwindigkeit haben wir in den tiefengemittelten hydrodynamischen Gleichungen (3.2) schon kennengelernt. Wir wollen mit diesen Gleichungen analysieren, von welchen Gegebenheiten die Höhe des Windstaus abhängig ist. Das Gleichungssystem vereinfacht sich dabei erheblich, wenn man ein stehendes Gewässer betrachtet, über welches ein kräftiger, aber gleichmäßiger, in x-Richtung orientierter Wind weht. Hierdurch werden zunächst Strömungen induziert, bis die Wasseroberfläche eine neue Gleichgewichtslage angenommen hat. Um eine erste grobe Abschätzung für ihre neue Form zu erhalten, gehen wir davon aus, dass die windinduzierten Strömungen zur Ruhe kommen, wenn die neue Gleichgewichtslage erreicht ist. Wir setzen

7.3 Der Windstau

179

die tiefengemittelten Strömungsgeschwindigkeiten zu Null, vernachlässigen die Sohlschubspannung und bekommen aus den tiefengemittelten Impulsgleichungen: ∂ zS = ρACD u2A ∂x Ganz offensichtlich steilt sich die Wasseroberfläche also in Windrichtung auf. Begrenzt die Küste allerdings die Bewegung der Wassermassen, so ist der Effekt noch größer: Wenn die durch den Wind angetriebenen Wassermassen irgendwann einmal an die Küste kommen, werden sie an der Wasseroberfläche durch den Wind immer noch in Küstenrichtung transportiert, am Boden bildet sich aber eine Rückströmung aus, so dass im Tiefenmittel kein Wassertransport mehr stattfindet. Die bodennahe Rückströmung dieser Zirkulation induziert eine Sohlschubspannung τB . Im Tiefenmittel würde dies durch die Gleichung ρgh

∂ zS = ρACD u2A − τB ∂x ausgedrückt. Die Sohlschubspannung kann nun allerdings nicht mit einer tiefengemittelten Formel wie der von Nikuradse bestimmt werden. Da Sohl- und Windschubspannung also ein umgekehrtes Vorzeichen haben, führt eine windinduzierte Zirkulationsströmung zu einer weiteren Erhöhung des Windstaus. ρgh

7.3.2 Die windinduzierte Zirkulationsströmung Zur tatsächlichen Berechnung des Windstaus fehlt die Kenntnis der mit der Zirkulationsströmung verbundenen Sohlschubspannung, für die man wiederum das vertikale Geschwindigkeitsprofil kennen muss. Wir berechnen letzteres aus dem Spannungsprofil in der Wassersäule. Über die Spannung τxz nehmen wir an, dass sie linear von dem Wert der Windschubspannung an der Wasseroberfläche τW auf den Wert der Sohlschubspannung −τB über die Wassersäule abfällt:  z z τxz = τW − τB 1 − h h Für diese Spannung gilt ferner in Newtonschen Fluiden wie Wasser: τxz = ρν

∂u ∂z

Durch Gleichsetzen dieser beiden resultierenden Bestimmungsgleichungen für die innere Spannung bekommt man: ρν

 ∂u z z = τW − τB 1 − ∂z h h

Diese Differentialgleichung erster Ordnung ist einfach durch Integration zu lösen: u(z) =

1 τW − τB z2 τB − z 2 ρν h ρν

180

7 Windinduzierte Strömungen in Küstengewässern

u10 zS

u(z) zB Abbildung 7.10: Geschwindigkeitsprofil und küstennahe Zirkulationsströmung unter Windstau.

Die Lösung berücksichtigt für z = zB = 0 sogleich das Verschwinden der Strömungsgeschwindigkeit an der Sohle als Randbedingung. Dabei ist bei gegebener Windschubspannung die Sohlschubspannung aber immer noch unbekannt. Um sie zu bestimmen, verwenden wir die Annahme, dass der Wind solange wirkt, bis sich eine Zirkulationsströmung eingestellt hat. Diese transportiert an der Oberfläche immer noch Wassermassen zur Küste, die aber in Bodennähe wieder abgeführt werden. In einer solchen Zirkulationsströmung sind die Nettotransporte und damit das Integral der Strömungsgeschwindigkeit über die Wassersäule Null: h

u(z)dz = 0

0

Hieraus kann man schnell die Bedingung 1 τB = − τW (7.2) 4 herleiten. Damit bekommt die Zirkulationsströmung das Profil  2  z z τW h mit uS = , u(z) = uS 3 2 − 2 h h 8ρν welches in Abbildung 7.10 beispielhaft dargestellt ist. Mit der angegebenen Formel überschätzt man die Winddriftgeschwindigkeiten an der Wasseroberfläche um ein Vielfaches. Dies liegt daran, dass Strömungen in Küstengewässern grundsätzlich turbulent sind. Hierdurch bekommt das Wasser eine Scheinviskosität νt , die wesentlich höher als die molekulare Viskosität ν ist. Man bezeichnet diese auch als turbulente oder Wirbelviskosität. Dennoch zeigt unser Modell die wesentlichen Zusammenhänge auf. So tranportiert die sohlnahe Rezirkulation des Wassers bei landwärts gerichteten Stürmen große Sedimentmassen mit sich, die zu erheblichen Landverlusten führen können.

7.3 Der Windstau

181

Abbildung 7.11: Beispiel von sturmerzeugten Landverlusten an der brasilianischen Küste.

Diese Landverluste werden nicht durch seewärts gerichtete Stürme wieder ausgeglichen, da sich in diesem Fall natürlich keine Zirkulationsströmung ausbildet, da diese ja erst durch das Vorhandensein der Küste als Berandung der Wasserbewegung entsteht. Zur Ausbildung einer langfristig stabilen Küstenlinie müssen also auch Mechanismen vorhanden sein, die dem Strand wieder Sedimente zuführen. So wurde schon erwähnt, dass mit dem Seegang Transportprozesse in Ausbreitungsrichtung, d. h. zur Küste hin, verbunden sein können, wenn man die Einzelwellen durch eine rotationsbehaftete reale Strömungstheorie beschreibt. Beispiel: Es soll die Zeit bestimmt werden, nach der ein Schwimmstoff einen 2 km in Windrichtung liegenden Ort spätestens erreicht hat. Die Windgeschwindigkeit betrage 8 m/s. Dazu müssen wir zunächst einen Maximalwert für die turbulente Viskosität νt bestimmen, da sie mit den geringsten Driftgeschwindigkeiten verbunden ist. Wir werden sie später nach Gleichung (9.2) als ! 1 νt,max = κu∗ h 4

mit

κ = 0.41

und

u∗ =

|τB | + |τW | ρ

abschätzen können. Mit den gesammelten Informationen kann man nun die hinter der Abbildung 7.12 stehende Tabelle erzeugen. Aus dieser liest man eine minimale Driftgeschwindigkeit von 1 cm/s ab. Der Schwimmstoff erreicht den angegebenen Ort also nach ca. 55 Stunden. Übung 45: Beweisen Sie die Beziehung (7.2).

182

7 Windinduzierte Strömungen in Küstengewässern

0,12

Oberflächengeschwindigkeit [m/s]

0,1

0,08

0,06

0,04

0,02

0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Windgeschwindigkeit [m/s]

Abbildung 7.12: Minimale windinduzierte Driftgeschwindigkeit an der Wasseroberfläche.

7.3.3 Windwirklänge und Windstau Wir wollen die gewonnenen Zusammenhänge nun nutzen, um die Höhe des zu erwartenden Windstaus abzuschätzen. Die windinduzierte Neigung der Wasseroberfläche ist nun: 5 ∂ zS = ρACD u210 − τB = ρACD u210 ∂x 4 Gehen wir ferner davon aus, dass der Wind konstant über eine Länge Δx = L weht, die so genannte Windwirk- oder Fetchlänge, dann bekommt die Ableitung die Form: ρgh

ΔzS =

5 ρA CD Lu210 4 ρ g h

In manchen Darstellungen in der Literatur (z. B. [43]) bleibt die Sohlschubspannung unberücksichtigt, wodurch der Vorfaktor 5/4 wegfällt. Der Windstau wächst also mit der Windwirklänge und sogar quadratisch mit der Windgeschwindigkeit. Er ist ferner umso größer, je kleiner die Wassertiefe ist. Dies macht sich in den Windstaukurven insofern bemerkbar, als dass diese bei Tideniedrigwasser wesentlich größer sind. Dennoch werden die Scheitelwerte des Sturmflutwasserstands zumeist immer noch bei Tidehochwasser erreicht. Für die Nordsee mit einer mittleren Wassertiefe von ca. 50 m ergibt sich z. B. bei einem Sturm der Windstärke 8 (ca. 20 m/s) und einer Windwirklänge von 100 km ein Windstau von ca. 2.5 m. Die vorgeführte Berechnung dient in der Praxis allerhöchstens zur Abschätzung der Größenordnung des Windstaus. In der Realität ist

7.4 Sturmfluten

183

6,0E-05

h = 5m h = 25m h = 50m

Oberflächenneigung [-]

5,0E-05

4,0E-05

3,0E-05

2,0E-05

1,0E-05

0,0E+00 0

5

10

15

20

25

30

Windgeschwindigkeit [m/s]

Abbildung 7.13: Die Neigung der Wasseroberfläche durch küstennahen Windstau bei verschiedenen Wassertiefen. Um den Windstau zu erhalten, sind die Werte mit der Windwirklänge zu multiplizieren.

• die Fetchlänge nicht klar definiert, • die Windgeschwindigkeit nicht homogen • und die Wassertiefe nicht konstant. Somit ist man im Küstenschutz auf die empirische Analyse der vorangegangenen, zu Windstau führenden Ereignisse angewiesen.

7.4 Sturmfluten Als Sturmflut bezeichnet man recht sachlich eine Zeitspanne mit hohen Wasserständen an den Küsten, die vorwiegend durch starke Winde hervorgerufen werden. Sturmfluten haben allen Küsten der Weltmeere erheblichen Schaden zugefügt und stellen eine ständige Bedrohung des dortigen, terrestrischen Lebensraums dar. Eine dauerhafte Besiedlung konnte erst mit der Entwicklung von baulichen Schutzmaßnahmen gegen Sturmfluten stattfinden. Ab dem 1. Jh. n. Chr. legte man erhöhte Wohnplätze an, die so genannten Wurten oder Warfen. Ab dem 11. Jh. begann der Deichbau, zunächst durch die Errichtung von Ringdeichen um die zu schützenden Ländereien, die bis zum 13. Jh. zu einer geschlossenen Deichlinie verbunden wurden. Der folgende Newsflash zu den Sturmfluten an der Nordseeküste zeigt eine fortwährende Abnahme der Sturmfluttoten, die den zunehmenden technischen Möglichkeiten der Deichbaukunst zu verdanken ist:

184

7 Windinduzierte Strömungen in Küstengewässern

• 17. Februar 1164: Die Julianenflut fordert zwischen Rhein- und Elbemündung ca. 20 000 Todesopfer. Der Jadebusen beginnt zu entstehen. • 16. Januar 1219: Erste Marcellusflut, ca. 36.000 Tote an der westfriesischen Küste • 1228: Sturmflut in Friesland und Holland, ca. 100.000 Tote. • 25. Dezember 1277: Weihnachtsflut, der Dollart entsteht, ca. 30 Dörfer werden zerstört • 14. Dezember 1287: Luciaflut, 50.000 Tote. • 23. November 1334: Clemensflut, Vergrößerung des Jadebusen, die Dörfer Arngast und Jadelee versinken. • 15. bis 17. Januar 1362: Zweite Marcellusflut (Grote Mandränke), ca. 100.000 Tote von Flandern bis Dänemark. Butjadingen und Stadland zwischen Jade und Weser werden zu Inseln. • 18. November 1421: Sturmflut an der holländischen Küste (St.Elisabeth-Flut). • 1. November 1436: Allerheiligenflut an der deutschen Nordseeküste • 26. September 1509: Cosmas-und-Damian-Flut, größte Ausdehnung des Dollarts und des Jadebusen. • 16. Januar 1511: Antoniusflut, das Jade-Unterweser-Gebiet wird zerissen. • 2. November 1532: Überflutungen von Flandern bis Nordfriesland. • 1. November 1570: Deiche von Holland bis Jütland werden zerstört (Allerheiligenflut), etwa 10.000 Tote zwischen Ems und Weser. • 11. Oktober 1634: Burchardiflut (Zweite Grote Mandränke), die Insel Strand wird zerstört, ca. 9.000 Tote. • 25. Dezember 1717: 2. Weihnachtsflut an der ostfriesischen Küste, ca. 12.000 Tote, 90.000 Stück Vieh ertrinken. • 3./4. Februar 1825, Halligflut. • 1. Februar 1952, Hollandsturmflut hauptsächlich Niederlande, 2100 Tote, 300.000 Menschen müssen fliehen. • 16./17. Februar 1962: Orkan Vincinette treibt Hamburg in eine Sturmflut, 340 Tote. • 3. Januar 1976: Januarflut. • 24. November 1981, Nordfrieslandflut. • 26. bis 28. Februar 1990: zwei Sturm-, zwei Orkanflutn und eine Windflut.

7.5 Der Bemessungswasserstand

185

Die Sturmfluten an der deutschen Nordseeküste entstehen durch Tiefdruckgebiete, die über die nördliche Nordsee ziehen. Über der Nordsee angekommen bewirken diese Sturmtiefs entgegengesetzt zum Uhrzeigersinn drehende geostrophische Winde, die aus Westen kommend einen Windstau in der deutschen Bucht bewirken. Bei den Zugbahnen dieser Sturmtiefs unterscheidet man drei Typen [59]: • Die Entstehung eines Sturmtiefs des Jütlandtyps liegt an der Küste Nordamerikas südlich des 60. Breitengrads, wo der Golfstrom auf den Labradorstrom trifft. Auf ihrer von Westen nach Osten verlaufenden Zugbahn ziehen diese Tiefs meist sehr schnell. Dabei kommt es zu heftigen Stürmen über der Nordsee, die jedoch nur von kurzer Dauer sind. Bei diesem Typ kann es vor allem an den Küsten Schleswig-Holsteins zu hohen Windstaukurven kommen. • Die Sturmtiefs des Skandinavientyps bilden sich zwischen Grönland und Island und ziehen von dort Richtung Skandinavien, welches sie zwischen dem 60. und 65. Breitengrad queren. Die Tiefs verharren oftmals an einer Stelle, so dass es an der deutschen Nordseeküste zu mehrere Tage anhaltenden Nordweststürmen kommt. • Zwischen den beiden Sturmtiefs des Jütland- und des Skandinavientyps verlaufen die des Skagerrag-Typs, welche den 8. Längengrad zwischen dem 57. und 58. Breitengrad queren. Besonders fatal ist hier, dass der Wind im gesamten Nordseeraum auf die Küste gerichtet ist, wodurch diese komplett betroffen ist. Die Sturmflut vom 16./17. Februar 1962 wurde durch ein ausgedehntes Tief vom Skandinavientyp ausgelöst. Zeitgleich zog das Azorenhoch extrem weit nach Norden, wodurch es zu hohen Druckgradienten kam. Obwohl diese Wetterlage in der deutschen Bucht nur Windstärken von acht bis neun erreichte, lief diese Sturmflut besonders hoch auf, weil zudem der Scheitel einer Fernwelle zeitgleich in die Deutsche Bucht einlief und den Wasserstand an den Küsten um weitere 80 cm anhob.

7.5 Der Bemessungswasserstand In Deutschland werden Hochwasserschutzanlagen am so genannten Bemessungswasserstand (auch: maßgeblicher Sturmflutwasserstand oder Bemessungshochwasserstand, Abk.: BHW) ausgerichtet. Siefert gibt hierzu folgende Definition (aus [38]): Der Bemessungswasserstand ist der für einen vorgegebenen Zeitraum zu erwartende höchste Wasserstand, auf den eine Hochwasserschutzanlage unter Berücksichtigung des säkularen Anstiegs und des Oberwasserzuflusses zu bemessen ist. Möglicher Seegangseinfluss ist darin nicht enthalten.

7.5.1 Bestimmungsverfahren Da Küstenschutz in der Bundesrepublik Deutschland Angelegenheit der Bundesländer ist, wird der Bemessungswasserstand in den einzelnen Küstenländern unterschiedlich bestimmt. Dabei kommen die folgenden Teilverfahren zum Einsatz:

186

7 Windinduzierte Strömungen in Küstengewässern

• Nach dem Vergleichswertverfahren soll der Bemessungswasserstand nicht niedriger sein als der Wasserstand bei der bisher größten, aufgetretenen Sturmflut. • Das Einzelwertverfahren betrachtet die Summe der verschiedenen Einflüsse einzeln. Ein nach diesem Verfahren bestimmter Bemessungswasserstand sollte daher immer höher sein als beim Vergleichswertverfahren. Dieses kommt nur noch zur Anwendung, wenn die Datenlage für das Einzelwertverfahren nicht hinreichend ist. • Da der Bemessungswasserstand mit den vorgenannten Verfahren nicht für jeden Punkt der Küstenlinie bestimmt werden kann, kommt zudem die numerische Modellierung zum Einsatz. Hierdurch können Bereiche der Küstenlinie erkannt werden, an denen der Bemessungswasserstand infolge geometrischer Effekte lokal erhöht werden muss oder erniedrigt werden kann. Am seeseitigen Rand des numerischen Modells wird eine Bemessungswasserstandskurve eingesteuert. • Durch die Bestimmung von Eintrittswahrscheinlichkeiten im Rahmen eines statistischen Ansatzes kann die Sicherheit noch erhöht werden. Natürlich kann man den Bemessungswasserstand so hoch setzen, dass ein Überschreiten kaum wahrscheinlich wird. Hiermit sind aber erheblich höhere Investitions- und Unterhaltungskosten verbunden. Somit ist die Festlegung des Bemessungswasserstandes immer das Ergebnis eines politisch-gesellschaftlichen Entscheidungsprozesses.

7.5.2 Das Einzelwertverfahren Beim Einzelwertverfahren werden die einzelnen, den Wasserstand bei einer Sturmflut determinierenden Prozesse betrachtet und unabhängig voneinander ausgewertet. Diese sind • das mittlere Tidehochwasser (MThw), • die maximale Springtidenerhöhung (HSpThw), d. h. der Höhrenunterschied zwischen dem höchsten Springtidehochwasser und dem mittleren Tidehochwasser, • der Windstau, • der säkulare Meeresspiegelanstieg. Die ersten beiden Spiegelpunkte erfassen die astronomische Tide. Sowohl das mittlere Tidehochwasser als auch die maximale Springtidenerhöhung werden empirisch-gewässerkundlich aus Pegelmessungen und Auswertung der gewonnenen Daten bestimmt. Die Methoden der Partialtidenanalyse aus Kapitel 2 kommen hier nicht zur Anwendung, obwohl sie genauer wären: Hier ergäbe sich der maximale Tidehochwasserstand einfach aus der Summe aller Partialtideamplituden (Warum?). Der Windstau wird in der Regel vereinfachend als Differenz zwischen der tatsächlichen Wasserstandszeitreihe und der mittleren Tidekurve bestimmt. Damit enthält ein so definierter Windstau nicht nur meteorologische Einflüsse wie Wind, Temperatur und Luftdruck, sondern auch astronomische Anteile, Eigenschwingungen der Nordsee und Fernwellen aus dem Atlantik. Der säkulare Meeresspiegelanstieg wird aus der Extrapolation der fünfzig- oder fünfundsiebzigjährigen Wasserstandszeitreihe für die nächsten hundert Jahre bestimmt. Ein Zuschlag für die Folgen des globalen Klimawandels von 0.5 m wird manchmal hinzugefügt.

7.6 Zusammenfassung

187

7.5.3 Anwendung im Küstenschutz Die deutsche Nordseeküste wird durch Seedeiche geschützt. Deren Bemessungshöhe richtet sich nach den Bemessungswasserstand. Das Böschungsprofil wird so ausgebildet, dass das Bauwerk bei Seegangsbelastung möglichst nicht beschädigt wird. Hierzu müssen die zu erwartende Hochwassertiefe und die Seegangsparameter am Fuß des Bauwerks bekannt sein. Sturmflutsperrwerke in den Mündungen der Ästuare reduzieren dabei die zu verteidigende Deichlinie. Sie werden bei Sturmflut geschlossen und verhindern das Eindringen der hohen Sturmflutwasserstände in das Binnenland. Dort müssen allerdings entsprechende Hochwasserpolder angelegt werden, da das Oberwasser bei geschlossenem Sperrwerk nicht zur See abfließen kann. Zudem erreicht das Oberwasser gerade bei Sturmfluten große Werte, da die Orkantiefs mit Starkregenfällen auch im küstennahen Binnenland verbunden sind. Zur weiteren Vertiefung des Themas sei auf die EAK 2002 [38] verwiesen. Übung 46: Bestimmen Sie den Bemessungswasserstand nach dem Einzelwertverfahren für das folgende hypothetische Meer: 1. Es treten wieder nur die folgenden Partialtiden Partialtide M2 K1 S2 O1

Amplitude [m] 1.000 0.300 0.100 0.002

Phase [rad] 0.30 0.04 1.20 2.00

auf. Wie groß ist dann die Summe aus Mthw und HSpThw? 2. Es sind bisher nur Orkane der Windgeschwindigkeit u10 = 35 m/s aufgetreten. Wie groß ist die Neigung der Wasseroberfläche bei einer mittleren Wassertiefe von 40 m? 3. Wie groß ist der Windstau dann bei einer Windwirklänge von 30 km? 4. In den letzen 75 Jahren wurde ein Meeresspiegelanstieg von 6 cm gemessen. Wie groß ist der säkulare Meeresspiegelanstieg unter Berücksichtigung des Klimawandels? 5. Wie hoch ist der Bemessungswasserstand?

7.6 Zusammenfassung Die zwei großen Treiber des globalen Wettergeschehens sind der Ausgleich von Wärmeenergie zwischen den tropischen und den arktischen Breiten und die Erdrotation, die durch die Corioliskraft berücksichtigt werden kann. Beim geostrophischen Windmodell wird ein Gleichgewicht von Coriolis- und Druckkraft zur Berechnung der Windgeschwindigkeit angesetzt. Mit ihm kann man aus einer Isobarenkarte eine erste Abschätzung der Windgeschwindigkeit bekommen.

188

7 Windinduzierte Strömungen in Küstengewässern

Die durch den Wind ausgeübte Spannung auf die Wasseroberfläche führt zu einem Windstau, was den Wasserstand über große Distanzen erheblich anheben kann. In der Wassersäule entsteht dabei eine Zirkulationsströmung, die mit bodennahen Feststofftransporten entgegengesetzt zur Windrichtung verbunden ist. Zur Festsetzung eines Bemessungswasserstands für die Deichhöhe an der Küste werden vorangegangene Sturmflutereignisse empirisch ausgewertet. Unter Berücksichtigung des zu erwartenden Meeresspiegelanstiegs wird dann auf zukünftig zu erwartende Sturmfluthöhen geschlossen.

8 Seegang Obwohl die sehr unregelmäßige Bewegung der Wasseroberfläche auf Küsten- und großflächigen Binnengewässern auf den ersten Blick nur sehr wenig mit harmonischen Airywellen zu tun zu haben scheint, kann man dieses als Seegang bezeichnete Phänomen als eine Überlagerung solcher Wellen modellieren. Für den Seegang interessieren sich verschiedene wissenschaftliche Disziplinen: • In der Ozeanographie bestimmt der Seegang die Dynamik der oberen ozeanischen Schicht und der dortigen Durchmischungsverhältnisse. • Seegang macht aus einer glatten eine raue Wasseroberfläche. Dieser Sachverhalt geht in die Wetter- und Klimamodelle der Meteorologen ein. • Im Küsteningenieurwesen ist Seegang eine weitere Belastung von Bauwerken während Sturmfluten. Seegang gefährdet zudem die Sicherheit des Schiffsverkehrs. • Die aus dem Seegang entstehende Brandung liefert aber auch den Surfern die perfekte Welle. Durch den Seegang werden die Küstengewässer zu morphodynamisch einzigartigen Systemen. Sie unterscheiden sich von den Flüssen in der permanenten Belastung ihrer Sohle durch Gezeitenströmungen. Zudem bieten Flüsse dem Wind in der Regel so wenig Angriffsfläche, dass sich auch kein Seegang ausbildet. Die Ozeane sind dagegen so tief, dass die Wirkung des Seegangs nicht bis an die Sohle dringt. Lediglich in großflächigen Seen kann man auch seegangsinduzierte Sedimenttransporte beobachten, hier gibt es allerdings keine Gezeitenströmungen. Die Erkundung der Seegangsverhältnisse beginnt mit seiner Beobachtung. Da Seegang ein stochastisches Phänomen ist, benötigen wir gewisse statistische Parameter, um ihn zu beschreiben. Sie werden wir im folgenden Abschnitt kennenlernen. Es ist allerdings nicht ausreichend, schon vorhandenen Seegang nur empirisch zu ergründen, man möchte ihn in vielen praktischen Anwendungen auch vorhersagen können. Hierzu sind theoSohlbelastung durch Flüsse Seen, Talsperren Meere, Ozeane Küstengewässer

permanente Strömungen als Schleppspannung in Zu- und Abflüssen ozeanische Zirkulationen in Ästuaren

Gezeiten nein nein ja ja

Seegang nein falls großflächig keine Grundberührung ja

Tabelle 8.1: Belastung der Sohle durch verschiedene Bewegungsarten in unterschiedlichen Gewässerklassen. A. Malcherek, Gezeiten und Wellen, DOI 10.1007/978-3-8348-9764-0_9, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

190

8 Seegang

retische Modellvorstellungen zur Seegangsentstehung, -ausbreitung und -vernichtung erforderlich, die oftmals von der idealen Wellentheorie ausgehend die spektrale Darstellung des Seegangs nutzen.

8.1 Die Erfassung des Seegangs Die Bewegung der Wasseroberfläche, d. h. exakter die geodätische Höhe der freien Oberfläche zS als Funktion der Zeit, kann durch optische Verfahren wie die in Kapitel 2.1 beschriebenen Radarpegel erfolgen. Das für die Tidebewegung gewählte Aufzeichnungsintervall von fünf Sekunden muss für die Seegangserfassung allerdings erheblich reduziert werden. Ein anderes Messverfahren wird in Wellenbojen eingesetzt [25]. Diese führen auf der Wasseroberfläche schwimmend die Bewegung der Wellen mit aus. In ihrem Inneren befindet sich ein an mindestens vier Federn schwingender Körper, dessen Bewegungen aufgezeichnet werden. Aus der Dynamik dieses Masse-Federn-Systems kann die Bewegung der Boje zurückgerechnet werden. Ein mögliches Ergebnis einer solchen Wasserstandsmessung ist in Abbildung 8.1 dargestellt. Von der idealen Wellentheorie herkommend wirft ein Blick auf die Abbildung zumindest die Frage auf, was man bei einem solchen Ergebnis als Wellenperiode oder -amplitude zu verstehen hat. Die hierfür erforderliche Auswertung kann prinzipiell auf zwei Arten erfolgen: • Die Auswertung im Zeitbereich zerlegt die Zeitachse in einzelne, aufeinanderfolgende Wellen. Diese sind dann natürlich nicht harmonisch. • Die Auswertung im Frequenzbereich nimmt an, dass das gesamte Signal aus einer Summe von harmonischen Einzelwellen zusammengesetzt ist und führt eine spektrale Analyse durch. Da die spektrale Analyse wesentlich aufwendiger ist, werden die gewässerkundlichen Auswertungen im Zeitbereich gemacht und die spektralen Parameter aus den gewonnenen Ergebnissen identifiziert. Für die Auswertung im Zeitbereich muss die Zeitachse zunächst in Einzelwellen zerlegt werden. Hier haben sich zwei Verfahren durchgesetzt: • Beim so genannten Nulldurchgangsverfahren (engl. zero down crossing method) wird zunächst der Mittelwert der Zeitreihe zS gebildet, und die Daten werden auf diesen als Nullwert nivelliert (zS (t) − zS ). Dann definiert man als Einzelwelle jeweils den zeitlichen Abstand zwischen zwei von oben kommenden Nulldurchgängen. Liegt unter dem Seegang noch ein Gezeitensignal, ist ein gleitendes Mittel zu Bestimmung des mittleren Wasserstands anzuwenden. • Beim Wellenkammverfahren beginnt eine neue Welle jeweils mit dem Ansteigen des Wasserstands. Hierdurch bekommt man wesentlich mehr Einzelwellen als beim Nulldurchgangsverfahren. Das Wellenkammverfahren kommt ohne die Bildung eines (gleitenden) Mittels aus.

8.1 Die Erfassung des Seegangs

A u s le n k u n g d e r fr e ie n O b e r flä c h e

W e lle 1

2 A

191

W e lle 3

W e lle 2

z 1

2 A

W e lle 4

2 A S

W e lle 5

W e lle 6

W e lle 7

3

2

Z e it

Abbildung 8.1: Bestimmung von Einzelwellen in Seegangssignal nach dem Nulldurchgangsverfahren.

Hat man in dieser Weise die Einzelwellen (Hi , Ti ) herausgeschnitten, so wird ihre Periode ωi = 2π/Ti direkt aus ihrer Dauer bestimmt und die Wellenhöhe aus der Differenz der Minimalund Maximalwerte. Die halbe Wellenhöhe liefert die Amplitude. Nun kann man herangehen, die Ergebnisse statistisch auszuwerten. Hier bieten sich zunächst das arithmetische Mittel der Wellenhöhe H=

1 N ∑ Hi N i=1

oder das quadratische Mittel ! Hrms =

1 N 2 ∑ Hi N i=1

an. Diese Werte unterschätzen allerdings die rein intuitiv in der Natur wahrgenommene Wellenhöhe. Dort machen sich nur die höchsten Wellen bemerkbar, weshalb sich die so genannte signifikante Wellenhöhe H1/3 zur Beschreibung des Seegangs durchgesetzt hat. Sie ist der Mittelwert des oberen Drittels aller Wellenhöhen: H1/3 =

1

N/3

∑ Hi

N 3 i=1

Natürlich gibt es keinen zwingenden Grund, die Verteilung der Wellenhöhen durch ihr höchstes Drittel zu beschreiben. Da dies aber im Küsteningenieurwesen weit verbreitet ist, liegen für

192

8 Seegang

sie entsprechend viele Erfahrungen in Form von Messungen vor. So kann man das arithmetische Mittel der Wellenhöhe mit der signifikanten Wellenhöhe als H = 0.63H1/3 , den Mittelwert des obersten Zehntels aller Wellen als H1/10 = 1.27H1/3 und des obersten Hundertstels als H1/100 = 1.67H1/3 abschätzen. Für die Wellenperiode bietet es sich ebenfalls an, das arithmetische Mittel aus der Zerlegung in Einzelwellen erhaltenen Werte zu verwenden: Tm =

1 N ∑ Ti N i=1

Entsprechend ist T1/3 die mittlere Wellenperiode des obersten Wellenhöhendrittels.

8.2 Die Stochastik des Seegangs Bei den vielen unterschiedlichen Wellen, die sich zum Seegang überlagern, erscheint die tatsächliche Lage der Wasseroberfläche ein Produkt des Zufalls zu sein. Daher lässt sich das Auftreten gewisser Welleneigenschaften nicht exakt, sondern nur noch durch Wahrscheinlichkeitsfunktionen darstellen. Diese geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine gewisse Welleneigenschaft einen Wert in einem bestimmten Wertebereich annimmt. Während man in der Statistik mit einzelnen Kennwerten zur Beschreibung eines probabilistischen Phänomens arbeitet, bedient sich die Wahrscheinlichkeitstheorie bestimmter Funktionen, die die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen quantifizieren sollen. Wir beginnen mit der Häufigkeitsverteilung der Wellenhöhen. Dazu werden die gemessenen Wellenhöhen in einzelne disjunkte Klassen k eingeteilt, wobei eine Einzelwelle in die Klasse k fällt, wenn ihre Wellenhöhe im Intervall [Hk , Hk+1 ] liegt. Die Wahrscheinlichkeit P(k), dass eine Welle in der Klasse k liegt, ist dann P(k) =

m(k) , N

wobei m(k) die Anzahl der in der Klasse k gemessenen Wellen und N die Gesamtwellenzahl ist. Die Wahrscheinlichkeiten P(k) hängen sehr stark davon ab, wie man den Wellenhöhenraum in disjunkte Klassen zerlegt: Wird dieser z. B. in nur eine Klasse [0, ∞] „zerlegt”, so ist P(k) grundsätzlich eins. Umgekehrt führt die Zerlegung in sehr viele Klassen zu sehr kleinen Wahrscheinlichkeiten.

8.2 Die Stochastik des Seegangs

193 1

0,35

0,9

kumulative Wahrscheinlichkeit F(H)

Wahrscheinlichkeitsdichte f(H)

0,3

0,25

0,2

0,15

0,1

0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2

0,05 0,1 0

0 0

2

4

6

8

0

10

2

4

6

8

10

Wellenhöhe H

Wellenhöhe H

Abbildung 8.2: Die Form der Rayleigh-Verteilung als Dichtefunktion (links) und als kumulative Verteilung (rechts) für m0 = 1.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird daher die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion p(H) eingeführt, um von der Abhängigkeit der Klasseneinteilung loszukommen. Dabei ist die Funktion p(H) genau dann eine Wahrscheinlichkeitsdichte zur Wahrscheinlichkeitsfunktion P, wenn P(k) =

H k+1

p(H)dH Hk

gilt.

8.2.1 Die Rayleigh-Verteilung der Wellenhöhe Die Wellenhöhen vieler Seegangsmessungen gehorchen in erster Näherung der so genannten Rayleigh-Verteilung. Diese hat die Form:   H2 H exp − p(H) = 4m0 8m0 In dieser Verteilung erscheint nur ein einziger Kalibrierungsparameter m0 . Für ihn empfiehlt die EAK 2002 [38] 2

m0 =

H 2π

⇒

p(H) =

  π H2 π H exp − , 2 H2 4 H2

während das Coastal Engineering Manual [79] 1 2 m0 = Hrms 8

⇒

p(H) =

  2H H2 exp − 2 2 Hrms Hrms

angibt. Beide Ansätze geben die Verteilung der Wellenhöhe bzw. Amplitude recht gut wieder.

194

8 Seegang

8.2.2 Die kumulative Verteilung oder Summenkurve der Wellenhöhen Aus der Wahrscheinlichkeitsdichte kann man die kumulative Verteilung P(H) =

H

p(H  )dH 

0

gewinnen. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass eine Welle eine Wellenhöhe unterhalb des Werts H hat. Für eine gegebene Seegangsmessung kann man die kumulative Wahrscheinlichkeit durch Auszählen gewinnen; ist M(H) die Anzahl der Wellen, deren Wellenhöhe kleiner als ein bestimmter Wert H ist, dann ist P(H) =

M(H) N

die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Für die Rayleigh-Verteilung ist die kumulative Verteilung analytisch bestimmbar:   2 P(H) = 1 − exp −H 2 /Hrms Sie gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Wellenhöhe einer beliebigen Welle unterhalb des Werts H bleibt. Übung 47: Abbildung 8.3 zeigt einen Seegangsschrieb über 50s Dauer, der nur diskrete Dezimeterwerte aufzeichnet. 1. Bestimmen Sie die mittlere arithmetische und quadratische Wellenhöhe. 2. Welchen Wert hat die signifikante Wellenhöhe? 3. Stellen Sie die Unterschreitungswahrscheinlichkeiten der Wellenhöhen nach der Rayleighverteilung graphisch dar. 4. Bei welcher Wellenhöhe ist hier die Wahrscheinlichkeit, dass sie unter- bzw. überschritten wird, 50 %? Beispiel: Im Küsteningenieurwesen hat man es oft mit dem umgekehrten Fall zu tun: Man will ein Bauwerk, etwa eine Kaimauer, darauf bemessen, dass nur ein bestimmter, sehr geringer Anteil an Wellen über die Mauer läuft, also etwa jede 50 000ste Welle. Dazu sei Hrms = 30 cm gegeben. Die Kaimauer sollte also die Bemessungshöhe HB mit   1 2 = 0.00002 = exp −HB2 /Hrms 50 000 haben und somit 98.7 cm über dem mittleren Wasserstand liegen. 1 − P(HB ) =

Übung 48: Bestimmen Sie die auf den mittleren Wasserspiegel bezogene Höhe einer Kaimauer so, dass nur jede 100 000ste Welle sie uberflutet. 1. Die mittlere quadratische Wellenhöhe Hrms ist 1 m. 2. Die mittlere Wellenhöhe H ist 1 m.

8.3 Die spektrale Verteilung der Seegangsenergie

195

7 6

Wasserspiegelauslenkung [dm]

5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

-1 -2 -3 -4 -5

Zeit in s

Abbildung 8.3: Seegangsschrieb mit diskreten Dezimeterwerten.

8.3 Die spektrale Verteilung der Seegangsenergie Der Nachweis, dass es sich bei den vielen gemessenen Temperaturschwankungen nicht nur um regionale Effekte, sondern um einen globalen Klimawandel mit dramatischen Folgen für unseren Lebensraum handelt, wurde durch langfristige Klimasimulationen mit Computermodellen erbracht. Diese basieren auf der Energiebilanz der Erde, die sich aus den Kompartimenten Atmosphäre, Ozeane und den Kontinenten zusammensetzt. Ein wichtiger Faktor in dieser Energiebilanz ist die in den Ozeanen gespeicherte Seegangsenergie. Sie entsteht aus der Umwandlung atmosphärischer Windenergie in Bewegungsenergie des Wasserkörpers. Um die Vorhersagen der globalen Klimamodelle überhaupt zu ermöglichen, musste also die im Seegang gespeicherte Energie berechenbar gemacht werden.

8.3.1 Die spektrale Energiedichte Diese Bilanz der Seegangsenergie verwendet die schon in der Einleitung erwähnte Tatsache, dass eine wie auch immer geartete Zeitreihe des Wasserstands aus der Überlagerung vieler harmonischer Einzelwellen verschiedener Frequenzen ω = 2πν entsteht. Diese Tatsache ist deshalb wichtig, weil sich diese Einzelwellen in Abhängigkeit von ihrer Frequenz und der Wassertiefe mit verschiedenen Phasengeschwindigkeiten ausbreiten. Da die Energie des Seegangs mit der Betrachtungsfläche S, der Dichte des Wassers ρ und der Gravitationskonstante g wächst, setzt man nun die Energie der Wellen mit Frequenzen im Intervall zwischen ν und ν + dν an als:

196

8 Seegang

E w ([ν, ν + dν]) =



⎛ ρg ⎝

ν+dν 

⎞

S(ν)dν ⎠ dS

ν

S

Die gesamte Seegangsenergie erhält man durch Integration des Frequenzintervalls zwischen 0 und ∞. Die hierin neu auftauchende Funktion S(ν) ist die spektrale Energiedichte des Seegangs oder kurz das Seegangsspektrum. Sie hat die Einheit m2 s. Kennt man diese Funktion, so ist auch die Energetik des Seegangs vollständig bestimmt. Das Seegangsenergiespektrum hängt mit der auf die Fläche und die Wasserdichte bezogenen Wellenenergiedichte ew über ew ([ν, ν + dν]) = g

ν+dν 

S(ν)dν ν

zusammen.

8.3.2 Empirische Bestimmung des Energiedichtespektrums Wie kann man dieses Seegangsspektrum für eine gemessene Zeitreihe zS (t) des Wasserspiegels bestimmen? Hierfür soll nun ein Kochrezept entwickelt werden. Gehen wir davon aus, dass die Messzeitreihe über den Zeitraum T reicht und aus N diskreten Werten besteht. Ganz allgemein kann man dann die zeitliche Änderung der Wasseroberfläche durch N/2

zS (t) =

∑ An cos (2πνnt + φn )

n=0

mit

νn = nν0

und

ν0 =

1 T

darstellen. Eine ähnliche Darstellung des Wasserstandssignals hatten wir schon bei der Partialtidenanalyse kennengelernt. Der Unterschied zwischen beiden besteht in der Auswahl der Frequenzen: Diese waren bei der Partialtidenanalyse durch die exakt definierten Frequenzen der astronomischen (und der im Flachwasser erzeugten) Perioden vorgegeben. Ein solches aus scharfen Frequenzen zusammengesetztes Spektrum bezeichnet man als diskret. Alle dazu gehörigen Perioden waren zudem länger als eine Stunde. Beim Seegang ist das Spektrum dagegen kontinuierlich, d. h. es kann jede Frequenz in einem gewissen Bereich auftreten. Wie genau man dieses Spektrum allerdings auflösen kann, hängt von der Dichte der Messwerte im Messzeitraum ab. Die Amplituden An und die Phasenverschiebungen φn kann man durch eine Fouriertransformation gewinnen. Diese wird in mathematischen Programmpaketen zumeist als komplex-diskrete, schnelle Fouriertransformation (FFT) angeboten. Bei der Fouriertransformation werden die einzelnen Amplituden Ai und die Phasen φi als freie Parameter so eingestellt, dass jeder Messwert der Wasserstandszeitreihe exakt getroffen wird. Dies war bei der Partialtidenanalyse anders: Hier hat man in der Regel durch die Pegelaufzeichnungen mehr Wasserstandsmesswerte als durch die Partialtiden definierte freie Parameter. Die analytisch-harmonische Reihe kann die gemessenen Werte allerhöchstens approximieren.

8.3 Die spektrale Verteilung der Seegangsenergie

197

2

1

x 10

−6

0.9 0.8 0.7 1

0.6 S(f)

Free Surface Elevation [m]

1.5

0.5

0.5 0.4 0.3

0

0.2 0.1

−0.5

0

1000

2000

3000

4000 5000 Time [s]

6000

7000

8000

9000

0

0

0.5

1 Frequency (Hz)

1.5

2

Abbildung 8.4: Eine während des Tidestiegs mit einer Messfrequenz von 4 Hz aufgenommene Wasserstandszeitreihe aus der Weser (Datenquelle: Wasser- und Schifffahrtsamt Bremen). In der Spektralanalyse im rechten Bild zeigen sich sehr niedrige Frequenzen, die auf die Reproduktion des Tidesignals zurückgehen.

Jede diskrete Frequenz νi steht stellvertretend für ein Intervall νi + Δν. Damit gehört zu jeder Frequenz nun die Energiedichte 1 ew (νi ) = gA2 (νi ) = gS(νi )Δν 2 womit man die spektrale Energiedichte als S(νi ) =

mit Δν = ν0 ,

1 A2 (νi ) 2 Δν

bekommt. Damit haben wir alle Zutaten des Rezepts, welches nun folgendermaßen aussieht: 1. Gegeben sei eine Wasserspiegelzeitreihe zS (ti ). 2. Bilden Sie von dieser die Fouriertransformierte, d. h. bestimme die Funktion A(νi ). 3. Bestimmen Sie hieraus die spektrale Energiedichte S(νi ). Beispiel: Die in Abbildung 8.4 dargestellte Zeitreihe aus der Weser zeigt neben dem Ansteigen des Wasserstands zur Phase des Tidestiegs auch ein Rauschen, für welches ein Spektrum gewonnen werden soll. Aus diesem Spektrum sollen die dominanten Frequenzen des Seegangs bestimmt werden. Das dargestellte Spektrum ist das Ergebnis des geschilderten Analyseverfahrens. Es zeigt einen asymptotischen Anstieg zu den sehr kleinen Frequenzen hin. Dies ist darauf zurückzuführen, dass die Fourieranalyse auch das gezeitenbedingte Ansteigen des Signals reproduziert, welches sich mit der Periode der M2 -Gezeit vollzieht. Da die Zeitreihe aber nur zwei Stunden lang ist, kann diese von der Fourieranalyse nicht erkannt werden und wird durch ein Spektrum von kleinen Frequenzen reproduziert. Das Tidesignal muss daher durch ein gleitendes Mittel aus der Zeitreihe herausgenommen werden. Dies geschieht durch die Transformation

198

8 Seegang

Abbildung 8.5: Das aus der Wasserstandszeitreihe durch die Anwendung eines gleitenden Mittels über 20 Sekunden herausgefilterte Wellensignal. Man erkennt Wellenhöhen von zumeist unter 10 cm. Nur bei einer Schiffspassage werden diese überschritten.

Abbildung 8.6: Das Energiespektrum des reinen Wellensignals (links) zeigt wohl eine Struktur, ist aber noch sehr sprunghaft. Das durch gleitendes Mittel gewonnene geglättete Spektrum (rechts) zeigt Peakperioden zwischen 2.5 und 4 Sekunden.

zwS (t) = zS (t) − zS (t), deren Ergebnis in Abbildung 8.5 zu sehen ist. Das aus der Fourieranalyse gewonnene Energiespektrum in Abbildung 8.6 zeigt ein unstetes Verhalten. Beim genauen Betrachten schwanken die Werte zwischen einem Maximalwert und Null hin und her. Dadurch wird der gesamte Bereich unter der Kurve in der Graphik farbig ausgefüllt.

8.4 Modellfunktionen für Seegangsspektren

199

Somit bietet sich eine weitere gleitende Mittlung über das gewonnene Spektrum an, wodurch die im Spektrum gespeicherte Energie nicht verändert wird. Der dargestellte Weg zum einigermaßen glatten Spektrum macht deutlich, dass dieses von einigen Entscheidungen des Datenbearbeiters abhängig ist. Somit ist zu untersuchen, ob ein Seegangsspektrum nicht auf Grund von hydromechanischen Gesetzen eine ganz bestimmte Form haben muss.

8.4 Modellfunktionen für Seegangsspektren Über die möglichen analytischen Formen der Seegangsspektren hat man sich in der Ozeanographie Gedanken gemacht. Hier geht es insbesondere darum, das Seegangsklima auch ohne Messung zu prognostizieren.

8.4.1 Die Phillipsfunktion Die theoretische Beschreibung des Energiespektrums des Seegangs S(ν) könnte beim Brechen als begrenzenden Prozess beginnen: Wellen brechen umso eher, je höher ihre Frequenz und ihre Amplitude sind. Im Tiefwasser hatten wir Gleichung (6.5) als maximale Wellenamplitude hergeleitet. Hieraus folgt für die Energiedichte 1 2 1 g2 Amax = 2 2 (2π)4 ν 4 und für das Frequenzspektrum: S(ν) 

∂ 12 A2max g2 =2 ∂ν (2π)4 ν 5

Diese Abhängigkeit hat Phillips im Jahr 1958 [60], [61] allerdings nicht aus dem Brechkriterium, sondern durch eine Dimensionsanalyse gewonnen. Das nach ihm benannte Spektrum wird heute in der Form SP (ν) =

αg2 (2π)4 ν 5

geschrieben, wobei α als Phillipsparameter bezeichnet wird. Sein Wert ist mit α = 8.1 · 10−3 wesentlich kleiner als der Wert unserer Analyse. Damit kann da Brechen von Wellen nicht für die Form des Energiespektrums verantwortlich sein. Tatsächlich sollen hier sogenannte QuadruplettInteraktionen [36] oder aber die turbulente Dissipation [50] eine wichtige Rolle spielen. Die Phillipsfunktion divergiert für gegen Null gehende Frequenzen, d. h. langperiodische Wellen haben immer größere Amplituden. Dies kann natürlich nicht richtig sein. Das Abklingen der Wellenenergie mit der fünften Potenz der Frequenz wird im Tiefwasser allerdings gut bestätigt.

200

8 Seegang

60

Energiedichte [m²s]

50

40

30

20

10

0 0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

Frequenz [Hz]

Abbildung 8.7: Die Phillipsfunktion (gepunktet), das Pierson-Moskowitz-Spektrum (gestrichelt) und das JONSWAP-Spektrum (durchgezogen) für eine Peakfrequenz von 0.1 Hz.

8.4.2 Das Pierson-Moskowitz-Spektrum Durch die inverse Abhängigkeit der Energieverteilung von der fünften Potenz der Frequenz kann die Seegangsenergie im niederfrequenten Bereich beliebig ansteigen. Dieses unrealistische Verhalten des Phillipsspektrums wird durch das empirisch gewonnene Pierson-Moskowitz-Spektrum [62] verbessert: 

5 SPM (ν) = SP (ν) exp − 4



ν νp

−4 

Die Form des niederfrequenten Astes besitzt bisher keine theoretische Plausibilisierung. Die Autoren haben sie durch probierenden Vergleich mit verschiedenen Potenzen im Exponentialterm mit gemessenen und bereinigten Spektren gewonnen. Für hohe Frequenzen konvergiert der neu eingeführte Faktor gegen eins, hier wird die Phillipsfunktion beibehalten. Im niederfrequenten Bereich divergiert der Exponent gegen minus Unendlich, die Energiedichte wird also wie gewünscht gegen Null gedrückt. Als neuer Parameter ist die Peakfrequenz ν p hinzugekommen, für sie nimmt die Energiedichte ihr Maximum an. Ihrer Bestimmung kommt im Pierson-Moskowitz-Spektrum als einzigem freien Parameter eine zentrale Rolle zu, da dieses sehr sensibel auf diesen Parameter reagiert: Die Gesamtenergie des Seegangs steigt mit abnehmender Peakfrequenz übermäßig stark an. Diese wird durch die Integration der spektralen Energiedichte über alle Frequenzen gewonnen:

8.4 Modellfunktionen für Seegangsspektren

201

0,07

Spektrale Energiedichte [m²s]

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

Frequenz [Hz]

Abbildung 8.8: Der Alterungsprozess eines Pierson-Moskowitz-Spektrums, welches in jungen Jahren eine Peakfrequenz von 0.3 Hz (fette Linie), im mittleren Alter dann 0.4 Hz (mittlere Linie) und im hohen Alter 0.5 Hz (dünne Linie) besitzt.

e =g

∞

w

0

S(ν)dν =

αg3 80π 4 ν p4

Repräsentiert man diese Gesamtenergiedichte ew = 12 gA2 durch eine einzige Welle, so hätte  α g = 0.00144g/ν p2 . So ist bei ν p = 0.1 Hz diese Amplitude ca. diese die Amplitude A = 40 π2ν2 p

1.4 m; bei ν p = 0.2 Hz bleiben nur noch 35 cm. Das Pierson-Moskowitz-Spektrum beschreibt das qualitative Verhalten der Dünung bzw. des alten Seegangs in tiefem Wasser sehr gut. Bei diesem liegt das ihn erzeugende Windereignis lange zurück. Sein Spektrum ist zu einer gewissen Gleichgewichtsform gereift, bei dem besonders hohe Einzelwellen ihre Energie durch nichtlineare Prozesse an schwächere Wellen abgegeben haben. Im Laufe der Zeit verliert die Dünung zunehmend Energie, wobei sich die Peakfrequenz nach den Aussagen des Pierson-Moskowitz-Spektrums erhöht. Der Alterungsprozess findet also überproportional stark bei den hochenergetischen Wellen statt.

8.4.3 Das JONSWAP-Spektrum Das Pierson-Moskowitz-Spektrum versagt kläglich bei der Beschreibung der Geburt des Seegangs, der durch den Impulsübertrag aus dem oberflächennahen Wind der unteren Atmosphäre in die Wassersäule entsteht. Den dabei entstehenden Seegang bezeichnet man als Windsee.

202

8 Seegang

Um diese Windsee zu erforschen, hat eine internationale Projektgruppe aus fünf verschiedenen Organisationen in den Jahren 1968 und 1969 eine Messkampagne vor der Insel Sylt durchgeführt, die als Joint North Sea Wave Project (JONSWAP) [22] bezeichnet wurde. Auf einem 160 km langen, sich von der Küste nach Westen erstreckenden Profil wurde an verschiedenen Messstationen der Seegang aufgenommen. Bei ablandigem Wind konnte so die Entwicklung des Seegangsspektrums bis zum Gleichgewicht verfolgt werden. Dabei wurde herausgefunden, dass der Wind seine Energie vor allem bei einer Peakfrequenz einträgt, wodurch das Spektrum in diesem Bereich bei der Windsee stark überhöht ist. Dieser Effekt kann durch die Multiplikation mit einem weiteren Term in der Form 

SJ (ν) = SPM (ν)γ

exp

−(ν−ν p )2 2σν2 ν p2



modelliert werden. Für ν = ν p wird die Energiedichte um den Überhöhungsfaktor γ gestreckt, der nach den Experimenten des Joint North Sea Wave Projects γ = 3.3 ist. Die Standardabweichung σν ist " σν =

σa = 0.07 σb = 0.09

für ν ≤ ν p für ν > ν p

Es sei angemerkt, dass die Parameter Mittelwerte des an die gemessenen Spektren angefitteten analytischen Spektrums darstellen. So nehmen die Bestfits für σa Werte zwischen 0.02 und 0.28 an, wobei keine eindeutige Abhängigkeit von der Fetchlänge festzustellen ist.

8.4.4 Bestimmung der JONSWAP-Peakfrequenz Für eine Prognose der Seegangssituation muss man im JONSWAP-Spektrum nur die Peakfrequenz ν p bestimmen, da es für alle anderen im Spektrum verwendeten Konstanten Standardwerte gibt. In die Peakfrequenz müssen daher alle Prozesse einbezogen werden, die bisher in das Spektrum nicht eingegangen sind und das Seegangsklima mitbestimmen. Diese sind im Wesentlichen die Windverhältnisse, die durch die Windgeschwindigkeit u10 , die Richtung sowie die so genannte Fetchlänge F repräsentiert werden. Dabei bezeichnet man als Fetch ein zusammenhängendes, konvexes Gebiet, in dem die mittlere Windgeschwindigkeit und Richtung einigermaßen konstant sind. Das Coastal Engineering Manual [79] schlägt als Orientierung hierfür Toleranzen in der Richtung von 15o und in der Geschwindigkeit von 2.5 m/s vor. Eine Küstenlinie begrenzt den Fetch immer, daher kann man bei ablandigem Wind den Abstand zur Küste als Abschätzung für die Fetchlänge nehmen. Besser ist jedoch eine Analyse des Isobarenfeldes, hier ist ein Fetch durch parallele Isobaren in gleichmäßigem Abstand gekennzeichnet. Zur Bestimmung der Peakfrequenz benötigt man zunächst die Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ , die nun natürlich die Windschubspannung an der freien Oberfläche charakterisiert, u2∗ = CD u210 , wobei der CD -Wert mit irgendeiner Beziehung aus Abbildung 7.8 bestimmt wird. In Abhängigkeit von der Fetchlänge F ist die Peakfrequenz dann

8.4 Modellfunktionen für Seegangsspektren

203

Abbildung 8.9: Zur Definition der Fetch- oder Windwirklänge an einem Punkt P. Bei einem homogenen Windfeld ist die Fetchlänge der entgegengesetzt zur Windrichtung gemessene Abstand zur Küste. Daher ergeben sich an P für Ost- und Südwind unterschiedliche Fetchlängen (Hintergrundphoto: Courtesy of NASA).

g νp = 2.727u∗



u2∗ gF

0.33

Nach dieser Beziehung würde die Peakfrequenz mit zunehmender Fetchlänge immer kleiner, die Wellen also immer langperiodiger, so dass sie im Grenzverhalten irgendwann nicht mehr beobachtbar sind. Dieses Verhalten kann natürlich nicht richtig sein, vielmehr sollte es eine Grenzpeakfrequenz geben, die bei größerem Fetch auch nicht mehr unterschritten wird. Diese ist: 1 g 239.8 u∗ Eine weitere Beschränkung der Beziehung für die Peakfrequenz ergibt sich aus der Dauer des Windes. Ist dieser nur sehr kurzfristig vorhanden, so bleibt dem Seegang natürlich nicht genügend Zeit, sich zu entwickeln, man spricht in diesem Fall von dauerbegrenztem im Gegensatz zu fetchbegrenztem Seegang. Hier hilft die Umrechnung der Winddauer TW in eine äquivalente Fetchlänge: ν p,min =

F = 1.523 · 10−3

u2∗ g



gTW u∗

1.5

Sind also Windgeschwindigkeit, Fetch und die Dauer des Windereignisses bekannt, so hat man zusammengefasst folgende Prozedur zur Berechnung der Peakfrequenz durchzuführen:

204

8 Seegang

Peakperiode Tp [s] 100

30

30 15

90

20

25

80

25 20 60

25

50

15

Fetchlänge F [km]

70

15

20

40 10 10

30

20

20

15

5 15

10 10

5 0

5

10

5 10

15

20

25

30

5 35

0

Windgeschwindigkeit u10 [m/s]

Abbildung 8.10: Die Peakperiode des Seegangs als Funktion von Windgeschwindigkeit und wirksamer Fetchlänge. Sehr langperiodische Wellen enstehen vor allem bei großen Windwirklängen.

1. Berechnen Sie CD und u∗ . 2. Bestimmen Sie die wirksame Fetchlänge als Minimum der tatsächlichen und der äquivalenten. 3. Berechnen Sie ν p , womit das JONSWAP- oder TMA-Spektrum bekannt ist. Das dargestellte Verfahren sollte mit Vorsicht angewendet werden, da es nur einen groben Hinweis auf den vorhandenen Seegang gibt und viele reale Szenarien nicht berücksichtigt. Man denke nur an den Fall, dass die Windrichtung sich um etwas mehr als den Toleranzwert ändert, wodurch eine neue Situation entsteht, die aber schon auf vorhandenen Seegang wirkt. Ferner sollte das Verfahren nur im Tiefwasser angewendet werden, weil im Flachwasser Refraktion und Shoaling den Seegang so verändern, dass z. B. die Windrichtung nicht mehr mit der Seegangsrichtung übereinstimmen muss. Übung 49: 30 Meilen vom Festland streift ein homogenes Windfeld für die Dauer von 4.5 h mit 15 m/s bei 10 mNN über die offene See. Der mittlere Wasserspiegel befindet sich bei 0 mNN. Prognostizieren sie mit Hilfe des JONSWAP-Spektrums den Seegang für diese Wettersituation. Stellen Sie dazu das Seegangsspektrum graphisch dar. Berechnen Sie den Windschubspannungskoeffizienten nach Flather.

8.4 Modellfunktionen für Seegangsspektren

205

8.4.5 Die Kitaigorodskiifunktion Die Weiterentwicklung zu einem auch im Flachwasser gültigen Seegangsspektrum ist als Polemik im Zeitalter des kalten Kriegs gegen Phillips im Jahr 1975 von Kitaigorodskii et al. initiiert worden. Als Basis der Energieverteilung von Wellen als raumzeithaften Strukturen kann man sowohl die Frequenz als zeithafte als auch die Wellenzahl als raumhafte Größe verwenden. Dementsprechend beschreibt man die Energieverteilung durch Dichte- bzw. Verteilungsfunktionen über dem Frequenz- (S(ν)) oder dem Wellenzahlspektrum (Sk (k)). Auf den ersten Blick scheint die Umrechnung sehr naheliegend zu sein, man ersetzt die Frequenz ν = ω/2π durch die Dispersionsbeziehung im Tiefwasser ω 2 = gk und bekommt z. B. für die Phillipsfunktion: 2πα Sk (k) =  gk5 Die Umrechnung vernachlässigt jedoch die Tatsache, dass die Energie in sich entsprechenden Frequenz- bzw. Wellenzahlbereichen gleich sein muss, etwas lapidar also: S(ν)dν = Sk (k)dk Somit erhält man die Energiedichteverteilung der Phillipsfunktion über die Wellenzahl als ∂ν α = k−3 ∂k 2 Kitaigorodskii et al. [34] postulierten, dass diese Verteilung der Seegangsenergie im Wellenzahlenraum wesentlich allgemeiner als die Phillipssche Verteilung über den Frequenzraum ist, da man durch die Rücktransformation eine allgemeinere Verteilung erhält, die nicht nur auf das Tiefwasser beschränkt ist. Gnadenlos decken sie dabei die Fehler in den Phillipsschen Annahmen auf: „... although it is obvious in advance that similarity hypotheses for spatial and temporal spectra are far from being of equivalent validity.” Die Rücktransformation geschieht also durch: Sk (k) = S(ν)

S(ν) = Sk (k)

∂k ∂ν

Um die Jakobideterminante ∂∂ νk der Rücktransformation berechnen zu können, müssen wir zunächst die Funktion k(ν) bzw. k(ω) bestimmen, d. h. die Dispersionsrelation umkehren, was explizit nicht möglich ist. Näherungsweise sollte die Umkehrfunktion aber die Form k(ω) =

ω2 χ(ωh ) g

 haben, wobei ωh = ω h/g dimensionslos sein muss. Die Kunstfunktion χ kann man aus der trivialen Eigenschaft der Umkehr- von der Umkehrfunktion bestimmen, die den ursprünglichen Funktionswert ergeben sollte: ω(k(ω)) = ω

206

8 Seegang

Hiermit erhält man die Bestimmungsgleichung χ tanh ωh2 χ = 1, ∂k ∂ν

die man iterativ auswerten kann. Aus k(ω) kann ge Wassertiefen bestimmt werden: S(ν) =

und dann das Frequenzspektrum für beliebi-

αg2 ΦK (ωh ) (2π)4 ν 5

Hierin ist ΦK (ωh ) = χ

−2



2ωh2 χ 1+ sinh 2ωh2 χ



die Kitaigorodskiifunktion. Für diese haben Thompson und Vincent (nach EAK 1993, [37]) eine praktisch einfacher zu handhabende Näherungslösung in der Form ⎧ ⎨ 0.5ωh2 ΦK (ωh ) = 1 − 0.5(2 − ωh )2 ⎩ 1

für ωh ≤ 1 für 1 < ωh ≤ 2 für ωh > 2

angegeben. Besonders zu erwähnen ist der Sachverhalt, dass die Funktion im Flachwasser (ωh ≤ 1) proportional ωh2 ist, wodurch das Frequenzspektrum dort umgekehrt proportional zur dritten und nicht zur fünften Potenz ist. Diese auch empirisch nachweisbare Beziehung bestätigte Kitaigorodskiis Postulat von der Allgemeingültigkeit des Wellenzahlspektrums. Im Tiefwasser ist die Kitaigorodskiifunktion eins, womit hier das Phillipsspektrum gültig bleibt. Diese Fortentwicklung der spektralen Wellenenergiefunktion wurde aber erst im TMA-Spektrum berücksichtigt.

8.4.6 Das TMA-Spektrum Die Verallgemeinerung des JONSWAP-Spektrums auf das Flachwasser kann durch die Multiplikation mit der Kitaigorodskiifunktion vollzogen werden, es ergibt sich das so genannte TMASpektrum: ST MA (ν) = SJ (ν)ΦK (ωh ) Die drei Kapitale des Namens stehen für die Datensätze, mit denen die postulierte Form des Spektrums verifiziert wurde: Der Texel-Datensatz wurde während des Texelsturmes am 3. Januar 1976 in den Niederlanden aufgenommen, MARSEN ist das Marine Remote Sensing Experiment at the North Sea aus dem Jahr 1979 und ARSLOE bezeichnet das Atlantic Ocean Remote Sensing Land-Ocean-Experiment aus dem Jahr 1980 am Eingang der Chesapeake Bay [80]. Abbildung 8.11 zeigt verschiedene TMA-Spektren bei unterschiedlicher Wassertiefe. Offensichtlich ist in der Wassersäule umso weniger Seegangsenergie speicherbar, je geringer die Wassertiefe ist. Dabei bleibt die Peakfrequenz aber gleich.

8.4 Modellfunktionen für Seegangsspektren

207

5 0 4 5 4 0

E n e r g ie d ic h te [m ²s ]

3 5 3 0 2 5 2 0 1 5 1 0 5 0 0

0 ,0 5

0 ,1

0 ,1 5

0 ,2

0 ,2 5

0 ,3

F re q u e n z [H z ]

Abbildung 8.11: Das TMA-Spektrum bei unendlicher (durchgezogen), 20 m (gestrichelt) und m (gepunktet) Wassertiefe. Die Peakfrequenz ist jeweils 0.1 Hz.

8.4.7 Die Richtungsabhängigkeit der Energieverteilung Stellen wir uns ein Küstengewässer mit einer alten, sich nach Westen ausbreitenden Dünung vor. Bei einem starken Nordwind kommt eine neue Komponente hinzu, die sich nach Süden ausbreitet und eine andere Peakfrequenz hat. So entstehen Spektren mit mehreren Peaks und verschiedenenen Ausbreitungsrichtungen. Das Bild des aus Einzelwellen unterschiedlicher Frequenzen zusammengesetzten Seegangs muss also dahingehend detailliert werden, dass die Einzelwellen verschiedene Ausbreitungsrichtungen haben können. Diesen neu hinzugekommenen Sachverhalt kann man durch zweidimensionale Frequenz-Richtungsspektren der Energieverteilung S(ν, θ ) darstellen. Dabei ist im Winkelbereich [θ , θ + dθ ] und im Frequenzbereich [ν, ν + dν] die Energie ew ([ν, ν + dν], [θ , θ + dθ ]) = g

ν+dν  θ+dθ ν

S(ν, θ )dνdθ

θ

gespeichert. Das Beispiel in Abbildung 8.12 zeigt eine Doppelpeakstruktur. Nach Westen läuft eine alte, schon recht schwache Dünung, während in Ostrichtung laufend junger Seegang entstanden ist. Das Frequenz-Richtungsspektrum wird auf der offenen See wesentlich von der Verteilung der Windrichtungen abhängen, in Küstennähe wird das Richtungsspektrum sich landwärts orientieren, da die Windwirkungslänge ablandiger Winde abnimmt.

208

8 Seegang

0.3 m**2*s 0˚ 0 33

30

˚

0.0 m**2*s 0.0 Hz

˚

0.5 Hz

1.0 Hz

energy density (1d) 180 deg 0 deg 0.0 Hz

˚

30

60

0˚

360 deg

0.5 Hz

1.0 Hz

direction (1d) 2 mNN

90˚

270˚

0 mNN -2 mNN 0h

6h

12 h

18 h

24 h

0˚

12

24

0˚

water level

21

0˚

15

0˚

180˚ energy density 0.00 m**2*s/rad GMT

2005 Sep 23 16:54:24

0.05 m**2*s/rad

0.10 m**2*s/rad

Federal Waterways Engineering and Research Institute : File = 12_01_1990_18_00_00_000_Seegang_GP_HE.eps

Abbildung 8.12: Beispiel eines Frequenz-Richtungs-Spektrums. Dargestellt sind zudem als Pfeile die Windund die Strömungsrichtung (Quelle: BAW).

Natürlich kann es für das Frequenz-Richtungsspektrum keine universell gültige analytische Form geben kann, dass es stark von den lokalen Gegebenheiten und den meteorologischen Verhältnissen abhängt. Dies soll jedoch keinesfalls bedeuten, dass das Frequenzrichtungsspektrum unwichtig ist. Insbesondere im Küstenschutz ist es natürlich nicht unerheblich, ob die höchsten Wellen küstenparallel oder -normal laufen.

8.4.8 Signifikante Seegangsparameter Wir wollen nun eine einzige, das gesamte Seegangsspektrum repräsentierende Welle mit einer entsprechenden signifikanten Wellenamplitude, -frequenz und Richtung identifizieren, die einfach zu bestimmen sein sollte und aus der man die Wirkung auf die mittlere Strömung und den Sedimenttransport quantifizieren könnte. Hierzu hatten wir in der stochastischen Seegangsanalyse schon die signifikante Wellenhöhe H1/3 sowie die Peakperiode ν p kennengelernt. Die Kenntnis des Seegangsseptrums bietet aber die Möglichkeit, noch eine Reihe von weiteren signifikanten Parametern zu definieren. Dazu brauchen wir die Momente des Spektrums, die als mn =

∞ 0

definiert sind. Darin ist n eine natürliche Zahl.

ν n S(ν)dν

8.4 Modellfunktionen für Seegangsspektren

Beaufortstärke 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

209

Windgeschwindigkeit [m/s] 0.0–0.2 0.3–1.5 1.6–3.3 3.4–5.4 5.5–7.9 8.0–10.7 10.8–13.8 13.9–17.1 17.2–20.7 20.8–24.4 24.5–28.4 28.5–32.7 > 32.7

Signifikante Wellenhöhe [m] 0 0.1–0.2 0.3–0.5 0.6–1.0 1.5 2.0 3.5 5.0 7.5 9.5 12.0 15.0 > 15

Tabelle 8.2: Zusammenhang zwischen der Windgeschwindigkeit nach der Beaufortskala und der signifikanten Wellenhöhe (aus z. B. [77]).

Die Wellenhöhe Das Moment nullter Ordnung für n = 0 ist nichts anderes als die Integration über die gesamte spektrale Wellenenergie. Diese ist direkt mit der Wellenhöhe über die Gleichungskette   1 ew = gA2 = gm0 ⇒ A = 2m0 ⇒ H = 2 2m0 2 verbunden. Damit bekommt man zwar eine das Spektrum repräsentative Wellenhöhe heraus, die allerdings kleiner als die signifikante Wellenhöhe H1/3 ist. Daher definiert man die sich aus dem Spektrum ergebende signifikante Wellenhöhe als: √ Hm0 = 4 m0 Ihre Werte entsprechen im Tiefwasser etwa der signifikanten Wellenhöhe H1/3 ; im Flachwasser können sich Abweichungen von 10 bis 15 % ergeben. Beispiel: Die signifikante Wellenhöhe einer Dünung der Peakperiode von 4 s soll bestimmt werden. Dazu nehmen wir an, dass die Dünung durch das Pierson-Moskowitz-Spektrum beschrieben wird. Für dieses hatten wir das Moment nullter Ordnung analytisch als m0 =

∞ 0

SPM (ν)dν =

αg2 80π 4 ν p4

210

8 Seegang

bestimmt. Damit ergibt sich der Zusammenhang  √ g α 1 = 0.04 m/s Tp2 Hm0 = 4 m0 = 2 π 80 ν p2 für die signifikante Wellenhöhe und für das zu berechnende Zahlenbeispiel Hm0 = 0.64 m. Diese Aufgabe lässt sich allerdings nicht so einfach für eine Windsee lösen, da das JONSWAPSpektrum sich nicht analytisch geschlossen integrieren lässt. Wir haben somit zwei verschiedene Wege zur Bestimmung der signifikanten Wellenhöhe kennengelernt. Zum einen können wir sie aus Messungen und zum anderen aus einer Abschätzung unter Berücksichtigung der lokalen Windverhältnisse bestimmen. Die erste Methode liefert zwar exakte Werte im Sinne von wahren Verhältnissen, sie ist aber sehr aufwendig und immer nur punktuell einsetzbar. Die zweite Methode über die Bestimmung des Spektrums aus den Windverhältnissen liefert wegen der sehr weichen Daten nur eine ungenaue Prognose der Seegangsverhältnisse. Daher sollte man immer beide Methoden zur Bestimmung der signifikanten Wellenhöhe kombinieren. 8.4.8.1 Die Wellenperiode Neben der Peakperiode Tp als Maximum des Seegangsspektrums und der mittleren Periode Tm hat sich noch eine weitere, recht kryptische Definition einer Wellenperiode in einigen Anwendungen bewährt. Sie lautet: Tm−1,0 =

m−1 m0

Man mache sich klar, dass die Bildung eines Moments mit der inversen Frequenz ν −1 = T und die Normierung mit dem nullten Moment tatsächlich eine Periode ergeben muss. Die Periode Tm−1,0 legt mehr Gewicht auf die langen Perioden im Spektrum. Dies sind die langen Wellen, die auch nach der Transformation im Flachwasser noch den Strand oder ein Küstenschutzbauwerk erreichen (siehe Abbildung 6.4), während die kurzen Wellen ihre Energie schon längst aufgerieben haben. Daher wird dieser Parameter bei der Bestimmung des Wellenauflaufs an Küstenschutzbauwerken verwendet [76]. 8.4.8.2 Die Wellensteilheit Die Wellensteilheit ist das Verhältnis von Wellenhöhe zu Wellenlänge. Besonders steil sind Wellen im Entstehungsstadium, wenn der Wind direkt in die Wasseroberfläche greift. Aber auch vor ihrer Vernichtung am Strand steilen sich Wellen durch die Verkürzung der Wellenlänge im Flachwasser auf. Die Wellensteilheit kann man z. B. durch s0 = Hm0 /L0 definieren, wobei L0 die Tiefwasserwellenlänge gT 2 /2π ist. Dann ist die Dünung durch Steilheiten von s0  0.01 und die Windsee durch s0 = 0.04...0.06 charakterisiert. Es wurde schon erwähnt, dass die Periode Tm−1,0 die Wellen charakterisiert, die am weitesten in das flache Wasser eindringen können. Dementsprechend gibt es auch ein Kriterium für den Brechertyp, welches auf der Iribarrenzahl

RT

H FA

EIN

HAFENEINFAHRT OFFEN

HAFENEINFAHRT MIT MOLE

EINFAHRT

211

EINFAHRT

8.5 Numerische Seegangssimulation

HAFENEINFAHRT ÜBER SCHLEUSE

Abbildung 8.13: Möglichkeiten der Gestaltung einer Einfahrt in ein Hafenbecken. Die offene Einfahrt ist die billigste Lösung. Der Hafen ist nautisch am einfachsten anzusteuern. Der Hafen ist weder vor Seegang noch vor dem Einfluss der Gezeiten geschützt. Die Mole schützt vor Seegang, wenn dieser eine Vorzugrichtung hat. Die doppelt kehrende Schleuse schützt vor Seegang und garantiert einen gezeitenfreien Wasserstand im Hafenbecken. Diese Lösung ist allerdings die teuerste.

ζm−1,0 = 

tan α Hm0 /Lm−1,0

beruht. Wir hatten es in Kapitel 6.5 schon vorgestellt.

8.5 Numerische Seegangssimulation Zur Vorhersage der Seegangsverhältnisse in einem bestimmten Projektgebiet lassen sich aus dem bisher Behandelten drei Arbeitsweisen ableiten: 1. Beginnen sollte ein Seegangsprojekt immer mit langfristigen Messungen, aus denen die statistischen Größen des Seegangs wie das quadratische Mittel oder die signifikante Wellenhöhe bestimmt werden können. Unter der Annahme der Konstanz dieser Parameter lassen sich nun aus den Wahrscheinlichkeitsverteilungen die Eintretenswahrscheinlichkeiten gewisser Wellenhöhen prognostizieren. Das statistische Verfahren lässt sich dadurch in seiner Aussageschärfe verbessern, wenn man die Auswertung getrennt für die verschiedenen Monate des Jahres oder für gewisse meteorologische Ereignisse durchführt. Die Prognosefähigkeit dieser Vorgehensweise hängt also stark von der Kreativität des Sachbearbeiters ab.

212

8 Seegang

2. Die zweite Methode besteht in der spektralen Analyse. Dazu werden aus den Messungen Seegangsspektren gewonnen und diese mit den Modellspektren verglichen. Durch die Berechnung der JONSWAP-Parameter für entsprechende Windverhältnisse bekommt man Einsicht in die Entstehung des Seegangs. 3. Die dritte Möglichkeit besteht in der numerischen Simulation der Seegangsverhältnisse, die im Folgenden behandelt werden soll. Als Beispielprojekt zur Anwendung der numerischen Seegangssimulation sei der Entwurf einer Einfahrt zu einem Hafenbecken betrachtet. Aus der Sicht der Navigation wäre eine offene Zufahrt bei der Ansteuerung des Hafens die einfachste Lösung. Sie bietet aber dem anliegenden Schiff keinen Schutz vor den einlaufenden Wellen. Die teuerste, aber in ihrer Schutzfunktion effektivste Lösung ist der Bau einer Schleuse, die den Hafen von Seegang und Gezeiten abkoppelt. Somit stellt der Bau einer Mole als Wellenbrecher zumeist die optimale Lösung dar, vor allem dann, wenn die Gezeiten eine untergeordnete Rolle spielen. Für den Entwurf einer solchen Lösung sind zunächst die Zielfunktionen des Bauwerks festzulegen. Dies kann z. B. die maximale Wellenhöhe im Hafen bei gegebenen Eigenschaften der einlaufenden Wellen sein. Nachdem man also die natürlichen Gegebenheiten des Istzustandes bestimmt hat (Topographie bzw. Bathymetrie, Wind- und Seegangsverhältnisse im Küstengewässer, Sedimentologie und Morphodynamik) kann man nun versuchen, die Funktionsweise einer ersten Arbeitslösung zu studieren. Die Sichtung unseres bisherigen Methodenrepertoires wird sehr schnell zeigen, dass wir noch kein Verfahren zur Verfügung haben, um die Wellenverhältnisse bei neuen geometrischen Grundkonfigurationen zu prognostizieren. Hier kommen wir nur mit der Simulation der verschiedenen Entwürfe in einem Computer- oder einem Labormodell weiter. Da Computer im Gegensatz zu wasserbaulichen Laboren überall vefügbar sind, sollen die wichtigsten Verfahren auf diesem Gebiet kurz vorgestellt werden.

8.5.1 Die dreidimensionale Simulation Das Verhalten von Wellen und Seegang kann man durch die Lösung der dreidimensionalen Eulergleichungen unter der Berücksichtigung entsprechender Randbedingungen an der Wasseroberfläche oder an den Modellrändern simulieren. Die Eulergleichungen müssen allerdings noch um den Einfluss der inneren, viskosen Spannungen und der Turbulenz erweitert werden, es ensteht dann das Gleichungssystem (9.1). Wendet man ein kommerzielles Simulationssystem an, dann gilt es zu beachten, dass dieses nicht die sogenannte hydrostatische Druckapproximation verwendet. Bei dieser erspart man sich die Lösung der vertikalen Impulsgleichung, die, wenn man etwa w = 0 annimmt, zu 0=−

1 ∂p −g ρ ∂z

verkümmert und die hydrostatische Druckverteilung als Lösung hat. Die hydrostatische Druckapproximation ist allerdings deshalb nicht gültig, weil die vertikale Komponente der Orbitalgeschwindigkeit w unter Wellen eben nicht Null ist.

8.5 Numerische Seegangssimulation t=0s -0.5

H=2m

0.3

-0.3

0

-5 -0 .

1

z [m]

213

0.

u [m/s]

1

2

-10 0 50 t=30s

100

150

200

250

300

400

450

500

550

600

H=2.6m

0.1

-0.1

0 z [m]

350

x [m]

-5 u [m/s] 2

-10 100

150

200

250

300

350

400

450

500

x [m]

600

H=3.3m H=0.8m

0.7

-0.1

0.3

0

0.1

z [m]

550

-0.1

0 50 t=50s

-5 u [m/s] 2

-10 0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

x [m]

Abbildung 8.14: Nicht-hydrostatische Simulation der Bewegung einer solitären Welle in einem langen Kanal mit variabler Bodentiefe für t = 0 s, 30 s und 50 s. Isolinien zeigen die vertikale Geschwindigkeitskomponente (Aus [29]).

Bei der dreidimensionalen Simulation von Wellen muss die zeitliche Auflösung so hoch sein, dass die Periode der Einzelwellen hinreichend genau wiedergegegeben wird. Genauso muss die räumliche Diskretisierung des Modellierungsgebietes die Wellenlänge der Einzelwellen auflösen können. Denken wir dabei an eine Minimalperiode von 10 s, die wir bis in 1 m tiefes Wasser verfolgen wollen, so hätten wir eine Wellenlänge von ca. 30 m aufzulösen, benötigten also Zeitschritte im Sekunden- und horizontale Diskretisierungen im Meterbereich. In Abbildung 8.14 ist eine solche Simulation der Ausbreitung einer solitären Welle dargestellt. Obwohl es sich hierbei auf den ersten Blick scheinbar um eine einzige Welle handelt, ist sie doch aus einem breiten Spektrum von verschiedensten Frequenzen aufgebaut. Die Simulation zeigt, wie diese solitäre Welle unter dem Einfluss der Sohlhöhenänderung in zwei Wellen zerfällt. Dreidimensionale nichthydrostatische Modelle können und werden für einfache und begrenzte Modellgebiete schon gerechnet, sind für großräumige Küstengebiete allerdings extrem rechenaufwendig. Daher wollen wir uns weiteren vereinfachten Verfahren zur Simulation des Seegangs zuwenden.

214

8 Seegang

8.5.2 Boussinesq-Wellenmodelle Das Verhalten von Gezeitenwellen in Küstengewässern kann man mit sehr großer Genauigkeit mit tiefengemittelten Simulationsmodellen reproduzieren und erklären. Die Grundgleichungen haben wir in Kapitel 3.1 aus entsprechenden Massen- und Impulsbilanzen hergeleitet. Eine technisch schwierigere, aber exaktere Herleitung kann man durch die Integration der dreidimensionalen Bewegungsgleichungen des Wassers über die Wassertiefe gewinnen [49]. Dabei wird deutlich, dass tiefengemittelte Gleichungen die hydrostatische Druckapproximation voraussetzen, die für Seegangswellen genau nicht gültig ist. Wendet man die tiefengemittelten Modellgleichungen (3.2) aber trotzdem auf die Simulation von Seegangswellen an, d. h. man wählt die räumliche Auflösung des Gitters so fein, dass die vorhandenen Wellenlängen durch hinreichend viele Knoten und die kleinste Wellenperiode durch hinreichend viele Zeitschritte aufgelöst werden, so weist die numerische Lösung ein im Vergleich zu realen Wellen viel zu träges Verhalten auf. Dennoch ist und bleibt die Bewegung der Wasseroberfläche auch unter Seegangswellen bloß ein Resultat der Wasserbilanzen in der unter ihr liegenden Wassersäule. Somit sollten auch Seegangswellen durch ein tiefengemitteltes Modell der Strömungen unter ihnen reproduzierbar sein, wenn nur die Nettobewegungen der Wassermassen auf der Wasseroberfläche Seegangswellen produzieren. Das Ziel muss es also sein, die hydrostatische Druckapproximation durch eine bessere explizite Lösung für den unter Wellen herrschenden Druck zu ersetzen. Die Idee hierzu hat J. Boussinesq [6] schon in der Mitte des 19. Jahrhunderts entwickelt, obwohl sie erst hundert Jahre später in so genannten Boussinesq-Wellenmodellen zum Einsatz kam. Die Boussinesqsche Druckapproximation unter Wellen In Kapitel 5.4 hatten wir die Eulergleichungen als vollständiges System von vier Gleichungen zur Bestimmung der vier Unbekannten Geschwindigkeit in x, y und z-Richtung sowie des Drucks kennengelernt. Für die explizite Drucklösung verwendet man vorteilhafterweise die vertikale Impulsgleichung, ∂w ∂w ∂w 1 ∂p ∂w +u +v +w =− − g, ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂z vernachlässigt aber die advektiven Terme, da sie eine analytische Lösung erschweren. Es bleibt: ∂w 1 ∂p =− −g ∂t ρ ∂z Diese Differentialgleichung lässt sich explizit für den Druck lösen, wenn man eine Annahme für die andere Unbekannte, die Vertikalgeschwindigkeit w, macht. Von dieser nehmen wir an der Wasseroberfläche an, dass sie dort der Änderungsgeschwindigkeit der Wasseroberfläche selbst entspricht: wS =

∂ zS ∂h = ∂t ∂t

8.5 Numerische Seegangssimulation

215

Auch wenn dies selbstverständlich zu sein scheint, ist es doch nicht ganz richtig: Die Wasseroberfläche kann sich auch durch den Herantransport eines höheren oder niedrigeren Wasserspiegels ändern, hierzu ist dann keine vertikale Strömungsgeschwindigkeit erforderlich. Nehmen wir nun an, dass die Vertikalgeschwindigkeit linear zum Boden hin abnimmt; sie habe die Form: w(z) =

z − zB ∂ h h ∂t

Für z = zS ergibt sich somit wS und für z = zB mit w(zB ) = 0 eine undurchdringliche horizontale Sohle. Setzt man diese Lösung in die vertikale Impulsgleichung ein, so ergibt sich nach wenigen Umformungen:     z − zB ∂ 2 h 1 ∂ h 2 1 ∂p − =− −g 2 h ∂t h ∂t ρ ∂z Das Quadrat der Wasserspiegeländerung wird vernachlässigt, weil es die Problemlösung wieder einmal erschwert. Es wäre tatsächlich zu vernachlässigen, wenn die Änderungsgeschwindigkeiten der Wasserspiegellage klein wären; ihr Quadrat ist dann noch kleiner. Bei Seegangswellen ist dies aber genau nicht der Fall; sie sind mit schnellen Wasserspiegeländerungen verbunden. Trotz dieser Einwände führt man die Vereinfachung aus, um voranzukommen: 1 ∂p z − zB ∂ 2 h =− −g 2 h ∂t ρ ∂z Um nun einen expliziten Ausdruck für den Druck in Abhängigkeit von z zu erhalten, wird letztere Gleichung von z bis zS integriert, man erhält:  2 2  2 z −z ∂ h zS − z p(z) = ρg(zS − z) + ρ S − zB  2h h ∂t 2

 hydrostatisch Wellenbeschleunigung Der Druck in einem Oberflächengewässer besteht aus einem hydrostatischen und einem Wellenanteil. Dieser ist proportional zur Beschleunigung der freien Oberfläche und nimmt zur Gewässersohle hin quadratisch zu. Dort erreicht er   1 ∂ 2h p(zB ) = h g+ ρ 2 ∂t 2 als Maximalwert. Wellenmessung mit Druckmessdosen? Wir wollen überprüfen, ob man die zeitliche Variation der Wellenhöhe mit Druckmessdosen bestimmen kann. Diese werden am Gewässerboden ausgelegt und messen den dort vorherrschenden Druck mechanisch. Ein solches Gerät eignet sich zur Wassertiefenmessung, wenn diese immer proportional zum Bodendruck ist.

216

8 Seegang 11,5

11

Druckhöhe [m]

10,5

10

9,5

9 h(t) 2/s 1,5/s 1/s 0,5/s

8,5

8 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Zeit t / Wellenperiode T

Abbildung 8.15: Bodendruckhöhe nach Boussinesq in 10 m tiefem Wasser unter einer Welle von 1 m Amplitude. Die fette Linie gibt den tatsächlichen Wasserstandsverlauf an, die anderen Linien zeigen den als Druckhöhe bestimmten Wasserstandsverlauf bei verschiedenen Kreisfrequenzen der Welle. Bei kleinen Kreisfrequenzen ergibt sich ein vollkommen anderes Verhalten. Ab etwa ω = 0.1 /s nähern sich Form und Amplitude der Druckhöhe der tatsächlichen Welle an.

Nehmen wir also an, dass sich die Wassertiefe wieder harmonisch in der Form h(t) = h + A sin (ωt) ändert. Für die Druckhöhe am Boden gilt nun nach Boussinesq:    p(zB )  Aω 2 = h + A sin (ωt) 1 − sin (ωt) ρg 2g Die zweite Klammer enthält einen nicht-hydrostatischen Störterm, der den Druck unter einer Welle nicht mehr proportional zur Wassertiefe skaliert. Dieser Term geht für langperiodische Wellen sehr schnell gegen Null. Den Wasserstand unter Tidewellen kann man also ohne Bedenken mit Druckmessdosen bestimmen. Für kurzperiodische Wellen kann die Phasenverschiebung des Druckverlaufs sogar entgegengesetzt zur Auslenkung der Wasseroberfläche sein (Abbildung 8.15). Druckmessdosen eignen sich daher nicht zur Bestimmung der Wellenhöhen unter Seegangswellen. Die Modellgleichungen der Boussinesq-Wellenmodelle In Boussinesq-Wellenmodellen wird die gewonnene Druckapproximation dazu verwendet, den Oberflächenterm in den horizontalen tiefenintegrierten Impulsgleichungen zu verbessern. Dazu berechnen wir zunächst die Kraftdichte der Druckkraft, so wie sie in den Eulergleichungen auftaucht:

8.5 Numerische Seegangssimulation

−

1 ∂p ρ ∂ xi

217

= −g

 3  2 z − z2 zS − z ∂ h ∂ zS − zB − S ∂ xi 2h h ∂t 2 ∂ xi

∂ − ∂ xi



z2S − z2 zS − z − zB 2h h



∂ 2h ∂t 2

Nach der Indexnotation steht xi hier für die x- oder die y-Koordinate. Der letzte Term auf der rechten Seite werde in erster Näherung vernachlässigt, da er wieder das Produkt zweier Ableitungen enthält. Der verbleibende Ausdruck wird über die Vertikale integriert:

1 − ρ

zS zB

∂p ∂ zS h ∂ 3 h dz = −g − ∂ xi ∂ xi 3 ∂t 2 ∂ xi

Wir erkennen hier also die Beschleunigungen in Richtung der fallenden Wasseroberfläche, aber auch einen zweiten Term mit Zeitableitungen zweiter Ordnung, die mathematisch den Wellencharakter der simulierten Strömung repräsentieren. In Boussinesq-Wellenmodellen wird dieser Term in den tiefengemittelten Modellgleichungen (3.2) also entsprechend hinzugefügt. Boussinesq-Wellenmodelle gibt es in einer Vielfalt von Varianten [70], je nachdem, welche Art von Druckapproximation verwendet wird, welcher Ansatz für die vertikale Verteilung der Geschwindigkeiten gemacht wird oder wie die zweiten Ableitungen in der Zeit umgeformt werden. Allen Boussinesqmodellen ist gemein, dass ihre Lösung einen sehr großen numerischen Aufwand erfordert, da die Einzelwellen immer noch horizontal und zeitlich vollständig aufgelöst werden müssen. Die Vereinfachung gegenüber den vollständig dreidimensionalen nicht-hydrostatischen Modellen besteht lediglich im Wegfall der vertikalen Dimension. Vielfach sind die numerischen Algorithmen zur Lösung der Boussinesqgleichungen sehr instabil, so dass der Aufwand bei der Boussinesqmodellierung mit dem eines vollständig dreidimensionalen Modells ohne Druckapproximation vergleichbar wird. Diese werden seit Mitte der neunziger Jahre des vergangenen Jahrhunderts in großer Breite eingesetzt [29], und sie werden die Notwendigkeit der Entwicklung von Boussinesq-Wellenmodellen nicht nur in Frage stellen, sondern wegen ihrer größeren Allgemeinheit vollständig überflüssig machen. Übung 50: Erweitern Sie die Gleichungen der tiefengemittelten Modellierung (3.2) durch die Boussinesq-Terme zu einem Boussinesq-Wellenmodell. Übung 51: Schätzen Sie die räumliche und zeitliche Auflösung eines Boussinesq-Wellenmodells ab, welches das Verhalten einer Welle von 20 m Länge in 4 m tiefem Wasser simulieren soll. Die Wellenperiode soll mit mindestens sieben Zeitschritten und eine Wellenlänge mit mindestens sieben Ortsschritten diskretisiert werden. Welche Werte müssen für die räumliche Diskretisierung Δx und den Zeitschritt Δt gewählt werden?

218

8 Seegang

8.5.3 Mild-Slope-Modelle Sowohl die dreidimensionalen als auch die Boussinesq-Wellenmodelle sind deshalb sehr rechenaufwendig, weil sie die Wellenbewegung vollständig zeitlich und räumlich auflösen müssen. Bei der Mild-Slope-Modellierung betrachtet man nur Wellen einer gewissen Periode und kann dadurch die Zeitabhängigkeit weglassen. Hierdurch wird der Rechenaufwand erheblich reduziert. Bei den Mild-Slope-Modellen wird davon ausgegangen, dass die Potentiallösung der idealen Wellentheorie (5.8) auch für variable Topographien gültig ist. Dies ist natürlich umso eher der Fall, je flacher der Boden des Küstengewässers ist, daher der Name Mild-Slope-Modelle. Dann sucht man eine passende Differentialgleichung, die die Potentiallösung für veränderliche Wassertiefen h hervorbringt [4]. Herleitung der Mild-Slope-Equation Zur Herleitung gehen wir der Einfachheit halber von einem zweidimensionalen Wellenproblem aus, die Welle breite sich also nur in x-Richtung aus. Die Laplacegleichung ist dann: ∂ 2φ ∂ 2φ + 2 =0 ∂ x2 ∂z Ferner wird das Geschwindigkeitspotential in der komplexen Form g cosh k(z − zB ) i(kx−ωt) e ω cosh kh angesetzt. Die Bildung des Realteils führt sofort wieder auf die bekannte Form des Geschwindigkeitspotentials. Da die Laplacegleichung nicht zeitabhängig ist, spalten wir zunächst die zeitabhängigen Anteile vom Geschwindigkeitspotential ab: φ (x, z,t) = −A

φ = ϕe−iωt Die neue Funktion ϕ ist nicht zeitabhängig und erfüllt die Laplacegleichung ebenfalls. Wir rekapitulieren, dass das Geschwindigkeitspotential die Gleichungen der idealen Wellentheorie erfüllt, die voraussetzten, dass die Sohle keine Gradienten besitzt, also horizontal ebenerdig ist. Nun geht man von einer ortsvariablen Sohle aus und postuliert, dass die Potentialfunktion und die Laplacegleichung weiterhin gültig sind. Dies kann natürlich nicht gehen. Also gibt man der Potentialfunktion zunächst einen gewissen Freiheitsgrad, sich zu verändern. Hierzu ersetzt man dem Term Aeikx durch eine willkürliche Funktion η Aeikx = η, für die nun also eine Bestimmungsgleichung gefunden werden muss. Zur Abkürzung setzen wir noch f (x, z,t) = −

cosh k(z − zB ) , cosh kh

8.5 Numerische Seegangssimulation

219

womit sich das neue Geschwindigkeitspotential nun als gη f ω schreibt. Dieses sollte die Laplacegleichung wieder erfüllen können, da es durch die beliebige Gestalt von η ja neue Freiheiten gewonnen hat. Die Bestimmungsgleichung für η ergibt sich also durch Einsetzen von ϕ in die Laplacegleichung. Für die zweiten Ableitungen von φ gilt:     ∂ 2η ∂2 f ∂h 2 g ∂ f ∂h ∂η ∂ f ∂ 2h ∂ 2ϕ f 2 +2 +η 2 = +η ∂ x2 ω ∂x ∂h ∂x ∂x ∂h ∂x ∂ h ∂ x2 ϕ=

g ∂ 2ϕ = k2 η f 2 ∂z ω Diese mundgerechten Stücke setzen wir in die Laplacegleichung ein: ∂ 2η ∂2 f ∂ f ∂h ∂η f 2 +2 +η 2 ∂x ∂h ∂x ∂x ∂h



∂h ∂x

2 +η

∂ f ∂ 2h g 2 + k ηf =0 ∂ h ∂ x2 ω

Da die Neigung der Sohle sehr gering ist, kann der dritte Term vernachlässigt werden. Ebenso soll die Neigungsänderung und somit der vierte Term vernachlässigbar sein: ∂ f ∂h ∂η g ∂ 2η +2 + k2 η f = 0 2 ∂x ∂h ∂x ∂x ω Multipliziert man diese Gleichung mit f , dann lassen sich die ersten beiden Terme mit Hilfe der Produktregel zu einem einzigen zusammenziehen: f

∂ 2 ∂η g f + k2 η f 2 = 0 ∂x ∂x ω Schließlich stört die Tatsache, dass f noch von der Vertikalkoordinate z abhängig ist. Diese Abhängigkeit kann man durch Integration über die Vertikale beseitigen: zS  zB

 ∂ 2 ∂η g 2 2 f + k η f dz = 0 ∂x ∂x ω

Vertauscht man nun die Integration und die Differentation mit der Leibnizschen Integralformel, so kann man die Hilfsbeziehung zS zB

f dz = 2

zS zB

ccg cosh2 k(z − zB ) dz = g cosh2 kh

anwenden, die aus der Integrationsformel 6.2 und der Dispersionsbeziehung hergeleitet werden kann. Nach einigen weiteren Umformungen kann man zeigen, dass div ccg grad η + ω 2

cg η =0 c

(8.1)

220

8 Seegang

gilt. Diese Gleichung heißt im Englischen Mild Slope Equation. Sie wird in Mild-Slope-Modellen unter Annahme adäquater Randbedingungen gelöst. Die Mild-Slope-Gleichung wurde in der Folge so erweitert, dass auch dissipative Phänomene berücksichtigt werden können, wobei der Sohlschubspannung und dem Brechen der Wellen eine herausragende Bedeutung zukommt. Ablauf der Mild-Slope-Modellierung Im ersten Schritt der Mild-Slope-Modellierung konstruiert man ein horizontales Gitter, welches das Lösungsgebiet überdeckt. Die Gitterauflösung sollte so fein sein, dass die kleinste Wellenlänge noch durch etwa drei bis sieben Knoten aufgelöst wird. Zu jedem Gitterpunkt werden die geodätischen Höhen der Sohle zB (x, y) und die mittlere Lage der freien Oberfläche zS (x, y) abgespeichert. Hiermit ist auch die mittlere Wassertiefe h bekannt. In der Mild Slope Equation erscheint entweder die Frequenz ω oder die Wellenzahl k direkt oder indirekt in der Gruppengeschwindigkeit cg als zu spezifizierender Parameter. Einen dieser Werte muss der Benutzer also vorgeben, der andere wird dann mit Hilfe der Dispersionsbeziehung berechnet. Die Mild-Slope-Gleichung gilt jeweils für eine bestimmte Wellenperiode ω, die vom Benutzer vorgegeben werden muss. Um ein Spektrum von Wellen zu simulieren, wird das Mild-Slope-Modell für die verschiedenen Frequenzanteile gelöst. Das Gesamtsignal kann dann aus den einzelnen Lösungen zusammengesetzt werden. An den Knoten offener Ränder müssen die Amplitude der einlaufenden Wellen, sowie deren Einlaufrichtung vorgegeben werden. An geschlossenen Wänden, wie z. B. Kaimauern, sind der Reflektionskoeffizient und die Phasenverzögerung der reflektierten Wellen zu definieren. Dann wird die Lösung der Mild Slope Equation η bestimmt. Die örtliche Verteilung der Wellenamplitude ist der Betrag von η, die flächenhafte Lösung für das Geschwindigkeitspotential erhält man durch Rückwärtssubstitution φ (x, z,t) = −η(x, y)

g cosh k(z − zB ) −iωt e , ω cosh kh

woraus man in gewohnter Form die dreidimensionalen Orbitalgeschwindigkeiten, den Druck und die freie Oberfläche bestimmen kann. Das Ergebnis der Mild-Slope-Modellierung ist die raum- und zeitaufgelöste Erfassung der Wellenbewegung. Die Zeitauflösung von sich überlagernden Wellen entspricht der Spezifizierung der Phase bei harmonischen Funktionen. Da die Mild-Slope-Theorie aus der idealen, linearen, rotationsfreien Wellentheorie abgeleitet wird, erfasst sie weder viskose Impulsdiffusion und -dissipation, noch die Wirkung der Strömung auf die Wellenausbreitung. Problematisch ist ferner die lineare Überlagerung monochromatischer Einzelwellen ohne gegenseitige Beeinflussung.

8.5.4 Wave Action Modelle Wave Action Modelle verwenden eine Abwandlung der schon vorgestellten Wellenenergiegleichung

8.5 Numerische Seegangssimulation

221

8 0 0

8 0 0

7 0 0

7 0 0

6 0 0

6 0 0

5 0 0

5 0 0

4 0 0

4 0 0

3 0 0

3 0 0

2 0 0

2 0 0

1 0 0

1 0 0

W A V E _ H E IG H T 6 (M ) 4 .0 0 0 0 0 0 3 .6 0 0 0 0 0 3 .2 0 0 0 0 0 2 .8 0 0 0 0 0 2 .4 0 0 0 0 0 2 .0 0 0 0 0 0 1 .6 0 0 0 0 0

0 0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0

7 0 0

8 0 0

1 .2 0 0 0 0 0 0 .8 0 0 0 0 0 0 .4 0 0 0 0 0 0 .0 0 0 0 0 0

0

9 0 0

0

8 0 0

8 0 0

7 0 0

7 0 0

6 0 0

6 0 0

5 0 0

5 0 0

4 0 0

4 0 0

3 0 0

3 0 0

2 0 0

2 0 0

1 0 0

1 0 0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0

7 0 0

8 0 0

9 0 0

V 0 _ S U R F A C E 6 (M /S ) 0 .7 0 0 0 0 0 0 .5 0 0 0 0 0 0 .3 0 0 0 0 0 0 .1 0 0 0 0 0 -0 .1 0 0 0 0 0 -0 .3 0 0 0 0 0 -0 .5 0 0 0 0 0

0

-0 .7 0 0 0 0 0

0 0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0

7 0 0

8 0 0

9 0 0

0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0

7 0 0

8 0 0

9 0 0

Abbildung 8.16: Simulation der Ausbreitung einer Welle einer Periode von 6 sec in einem 10 m tiefen Hafenbecken (Wellenlänge ca. 50 m) mit einem Mild-Slope-Modell. Oben: Berechnungsgitter und Wellenamplitude zu einem beliebigen Zeitpunkt, unten: Orbitalgeschwindigkeiten an der Oberfläche in x- und y-Richtung. Die Welle läuft von der unteren Berandung in das Becken ein, daher ist hier die y-Bewegung dominant. An der oberen diagonalen Berandung werden die Wellen dann reflektiert, wodurch die Bewegungsenergie fast vollständig in die x-Richtung übertragen wird (Quelle: BAW).

∂ ew + div ( cg ew ) = −2 fw ∂t



ew k sinh 2kh

1.5

zur Modellierung der räumlichen und zeitlichen Variation der Wellenamplitude in Abhängigkeit von der Frequenz oder der Wellenzahl. Dabei werden in dieser allerdings weitere Effekte wie der Einfluss des Windes als Quelle der Wellenenergie oder das Brechen von Wellen berücksichtigt. Der Ablauf der auf dieser Gleichung basierenden Seegangsmodellierung ist genauso wie bei der Mild-Slope-Modellierung. Das Rechengitter darf hier allerdings wesentlich gröber sein, da keine Einzelwellen aufgelöst werden, sondern nur die Gradienten in der Wellenenergie erfasst werden müssen. Hier wird die Angabe der Wellenfrequenz bzw. der Wellenzahl zur Berechnung der Wellenund Gruppengeschwindigkeit erforderlich. Ein Spektrum von verschiedenen Frequenzen kann daher nur durch die Überlagerung von Einzelwellen erzeugt werden.

222

8 Seegang

Abbildung 8.17: Simulation der signifikanten Wellenhöhe in der Elbemündung mit dem k-Modell der GKSS (Quelle: BAW).

Im Unterschied zum Mild-Slope-Modell besteht das Ergebnis nur aus einer raumzeitlichen Verteilung der spektralen Wellenenergie und damit auch der Wellenhöhen, von denen man aber nicht auf die zeitliche Entwicklung der einzelnen Wellen zurückschließen kann. Beispiele für die Ergebnisse solcher spektralen Wellenmodelle für die signifikante Wellenhöhe und die Peakperiode zeigen die Abbildungen 8.17 und 8.18.

8.6 Zusammenfassung In diesem Kapitel haben wir drei unterschiedliche Möglichkeiten zur Bestimmung des Seegangsklimas in Küstengewässern kennengelernt. Zunächst kann man Seegang messend erfassen; die Auswertung verwendet stochastische Methoden. Dann haben wir uns dem Phänomen Seegang durch seine spektrale Beschreibung genähert. Das TMA-Spektrum ist unter den Vorgestellten das am allgemeinsten gültige. Die darin enthaltenen Parameter lassen sich aus den Windverhältnissen berechnen, diese Standardspektren gelten daher nur für die Windsee und nicht für die Dünung. Bei der dritten Möglichkeit, der numerischen Seegangssimulation, wurden vier Simulationsmodi vorgestellt und bewertet. Boussinesqmodelle sind tiefenintegrierte Modelle zur direkten

8.6 Zusammenfassung

223

Abbildung 8.18: Peakfrequenz des Seegangs in der Elbemündung mit dem k-Modell der GKSS (Quelle: BAW).

Simulation von Strömung und Seegang, womit sowohl eine Trennung der beiden als auch eine Reduktion auf Einzelwellen vermieden wird. Mit ihnen ist ein erheblicher Rechenaufwand verbunden, so dass sie derzeit durch dreidimensionale nichthydrostatische Modelle verdrängt werden, die trotz ihrer höheren Dimensionalität algorithmisch mit einem geringeren Rechenaufwand bei größerer Allgemeinheit verbunden sind. Eine phasenauflösende Modellklasse sind die Mild-Slope-Modelle, die auf der Theorie der Airywellen aufbauen und die Transformation von Welleneigenschaften über mäßig geneigten Sohlen beschreiben. Diese Klasse von Modellen benötigt keine Zeitauflösung, in der Horizontalen muss das Modellgebiet allerdings die einzelnen Wellenlängen auflösen. Das energetische oder Wave Action Modell kommt mit einer geringen Flächen- und Zeitauflösung aus, so dass es auch großflächige Küstengebiete modellieren kann.

9 Turbulente Strömungen in Küstengewässern Für die Gezeitenströmungen können wir bisher nur die tiefengemittelte Geschwindigkeit berechnen. In vielen Anwendungen benötigt man aber auch die Verteilung der Tidegeschwindigkeit über die Vertikale. So ist diese Geschwindigkeitsverteilung wichtig für die Morphologie des Küstengewässers: Hier ist die an der Sohle wirkende Spannung umso größer, je steiler die Geschwindigkeit dort ansteigt. Übersteigt diese Sohlschubspannung einen gewissen Grenzwert, dann werden die anstehenden Sedimente in ihrer Lage instabil und beginnen sich zu bewegen. Die damit verbundenen Umlagerungen formen eine neue Gewässersohle, deren Form erheblich von der ursprünglichen abweichen kann. Seegangswellen weisen ein sehr ausgeprägtes Geschwindigkeitsprofil auf, welches an der Wasseroberfläche stark ansteilt, womit sich das ganze Strömungsgeschehen in Oberflächennähe abspielt. Dies führt z. B. bei Gründungspfeilern zu großen inneren Spannungen im oberflächennahen Bereich. Ob sich für die Gezeitenströmungen ein ähnliches Bild ergibt, wollen wir in diesem Kapitel untersuchen. Als besonders bedeutend wird sich dabei die Tatsache heraustellen, dass die Strömung nicht nur turbulent ist, sondern die Turbulenz auch die Struktur der Strömung bestimmt. Wäre dies nicht der Fall, dann könnte man die turbulenten Fluktuationen einfach wegmitteln und sich den mittleren Geschwindigkeiten zuwenden. Tatsächlich aber erzeugen die turbulenten Fluktuationen zusätzliche Spannungen im Fluid, die wir in die dreidimensionalen Bewegungsgleichungen einbeziehen müssen. Dieser Schritt bringt uns zu den vollständigen Navier-Stokes- und den Reynoldsgleichungen, die ab jetzt als Modellgleichungen für die Strömungen in Küstengewässern dienen sollen.

9.1 Messung und Auswertung turbulenter Geschwindigkeitsfelder Bevor wir in die Analyse einsteigen, wollen wir erst einmal einen Befund anschauen. Dazu ist in der Abbildung 9.1 eine von einem Messschiff aus gewonnene Geschwindigkeitsverteilung in der Weser dargestellt. Das Schiff hat die 300 m des Querschnitts in drei Minuten abgefahren. Solche Profilfahrten werden zur Bestimmung des Gesamtabflusses Q (in m3 /s) gemacht, den man durch die Integration der Geschwindigkeit über den Querschnitt erhält. Auf den ersten Blick sieht diese Verteilung sehr unregelmäßig fluktuierend aus, es scheinen keine Gesetzmäßigkeiten erkennbar zu sein. Dies ist auf die Tatsache zurückzuführen, dass (fast) alle in der Natur vorkommenden Strömungen turbulent sind. Lässt man nun den Blick vom Boden in Richtung Wasseroberfläche schweifen, so erkennt man unten die geringsten GeschwindigA. Malcherek, Gezeiten und Wellen, DOI 10.1007/978-3-8348-9764-0_10, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

226

9 Turbulente Strömungen in Küstengewässern

V [m/s]

Strömungsprofil, Fliessgeschwindigkeiten original (BT) (Matrix) TIDE-Projekt: Weser km 28,5 vom 20.09.07 Ebbe 20.09.2007 Datei: HB3037t.000 10:27 (Messfahrt von 10:25:33 bis 10:28:55 Uhr)

2

<= 0,00

1 0,00 NN+m

0

<= 0,25

-1 -2

<= 0,50

-3 -4

<= 0,75

Tiefe [NN+m]

-5 -6

<= 1,00

-7 -8

<= 1,25

-9 -10

<= 1,50

-11 -12

>

1,50

-13 -14 -15

-50

0

50

100

150

200

250

300

Station [m]

Abbildung 9.1: Querprofil der Strömungsgeschwindigkeit in der Weser bei km 28.5 gemessen mit einem ADCP-Gerät. Man sieht ein räumlich sehr stark fluktuierendes Geschwindigkeitsfeld, welches in Bodennähe kleine Geschwindigkeiten (blau bis grün), im oberen Drittel hohe Geschwindigkeiten (überwiegend gelb) und in der Nähe der Wasseroberfläche wieder eine leichte Abnahme aufweist.

-keiten, dann einen Anstieg und an wenigen Stellen an der Wasseroberfläche wieder einen leichten Rückgang der Geschwindigkeit. Aussagen über Gesetzmäßigkeiten der Geschwindigkeitsverteilung lassen sich in diesem Bild aber nicht erkennen. Um etwas über das Wesen der turbulenten Strömung zu erfahren, müssen wir an einem festen Ort schon etwas genauer schauen, d. h. länger verweilen und eine möglichst hoch aufgelöste Zeitreihe der Geschwindigkeit aufnehmen. In der Strömungsmesstechnik muss man dabei zwischen Labor- und Feldverfahren unterscheiden. Erstere können nur im Labor angewendet werden, d. h. sie sind mit einer Präparation des Fluids oder des Behälters verbunden, in dem das Fluid fließt. Feldverfahren eignen sich zum Einsatz in der freien Natur. Sie sind in der Regel akustisch (ADV, ADCP) oder mechanisch (Flügelsonden). Um die turbulenten Strukturen einer Strömung zu erfassen, benötigt man hohe zeitliche Auflösungen, die mit Flügelsonden nicht zu erreichen sind. Somit bleiben nur die akustischen Messverfahren: • Das ADV-Gerät (Acoustic Doppler Velocimetry) misst die drei Komponenten der Strömungsgeschwindigkeit an genau einem Ort. Seine zeitliche Auflösung liegt zwischen 50 und 200 Hz.

9.1 Messung und Auswertung turbulenter Geschwindigkeitsfelder

227

2 1 ,8 1 ,6

G e s c h w in d ig k e it [m /s ]

1 ,4 1 ,2 1 0 ,8 0 ,6 0 ,4 0 ,2 0 1 1 0 0

1 1 1 0

1 1 2 0

1 1 3 0

1 1 4 0

1 1 5 0

1 1 6 0

1 1 7 0

1 1 8 0

1 1 9 0

1 2 0 0

Z e it [s ]

Abbildung 9.2: Geschwindigkeit in der Fahrrinne der Weser bei Imsum (Weser-km 74.5) in 1.6 m (durchgezogen), 2.35 m (gepunktet) und 5.10 m (gestrichelt) über der Sohle. Messintervall 2 s. Das Signal ist von Wellen überlagert, deren Periode grob mit 7 sec abgeschätzt werden kann. 1 ,8

1 ,6

1 ,4

G e s c h w in d ig k e it [m /s ]

1 ,2

1

0 ,8

0 ,6

0 ,4

0 ,2

0 1 0 0 0

1 5 0 0

2 0 0 0

2 5 0 0

3 0 0 0

3 5 0 0

4 0 0 0

4 5 0 0

5 0 0 0

5 5 0 0

6 0 0 0

Z e it [s ]

Abbildung 9.3: Gleitendes Mittel der Geschwindigkeiten in der Fahrrinne der Weser bei Imsum (Weser-km 74.5) in 1.6 m (unten), 2.35 m (Mitte) und 5.10 m (oben) über der Sohle. Mittlungsintervall: 6 min.

228

9 Turbulente Strömungen in Küstengewässern

• Das ADCP-Gerät (Acoustic Doppler Current Profiler) misst die Strömungsgeschwindigkeit auf einem Vertikalprofil. Die auf den Profilpunkten aufgenommenen Geschwindigkeiten entsprechen allerdings nicht exakt den dortigen Geschwindigkeiten. Die zeitliche Auflösung des ADCP-Geräts liegt zwischen 5 und 25 Hz. Das ADV-Gerät ist zur Erfassung der Turbulenz dem ADCP-Gerät also vorzuziehen. Letzteres kommt in der Praxis allerdings überwiegend zum Einsatz, da man durch Profilfahrten mit Schiffen so sehr schnell die mittlere Strömungsgeschwindigkeit über die Tiefe und Breite des Gewässers bestimmen kann. Die in Abbildung 9.2 dargestellten Zeitreihen für Geschwindigkeitsmessungen in der Außenweser bei Imsum wurden mit einem stationären ADCP-Gerät gewonnen. Auch hier sind auf den ersten Blick nur chaotische Schwankungen zu erkennen. Unterzieht man die diskreten Geschwindigkeitsdaten allerdings einer gleitenden zeitlichen Mittlung der Form u(ti ) =

1 i+N ∑ u(ti ), 2N + 1 i−N

so zeigt das Ergebnis in Abbildung 9.3 sehr deutlich, dass die mittlere Strömungsgeschwindigkeit in Bodennähe am kleinsten ist, um dann mit der Höhe über dem Boden zuzunehmen. Es offenbart sich also eine Struktur im vertikalen Geschwindigkeitsprofil. Im folgenden Abschnitt sollen die Strömungsgleichungen so erweitert werden, dass sie dieses Profil berechnen und reproduzieren können.

9.2 Navier-Stokes- und Reynoldsgleichungen Bei der Analyse turbulenter Strömungen bekommen die viskosen Spannungen in einem Fluid eine erhebliche Bedeutung. Sie lauteten in der kompakten Indexschreibweise:   ∂ ui ∂ u j + τi j = ρν . ∂ x j ∂ xi Schauen wir uns deren Definition genauer an: Im vorderen Teil der inneren Spannungen steht das Produkt aus Dichte und kinematischer Viskosität, die zusammen in der Größenordnung 0.001 Pa s liegen, also recht klein sind. Daher meinte man bis 1895, diese Kräfte nicht berücksichtigen zu müssen, und beschränkte sich auf die Eulergleichungen als Grundgesetze der Hydromechanik. Erst das Verständnis für die Rolle turbulenter Geschwindigkeitsfluktuationen gab dann den viskosen Spannungen eine neue fundamentale Wichtigkeit. Wir wollen deshalb die Kraftwirkung der inneren Spannungen bestimmen, damit wir diese in den Bewegungsgleichungen berücksichtigen können.

9.2.1 Die Kraftwirkung von inneren Spannungen Bezeichnen wir die mit den inneren Spannungen τi j im einem Newtonschen Fluid verbundene Kraft auf ein Fluidelement in die Richtung j (= x, y oder z) mit FP, j . Um ihre Größe zu bestim-

9.2 Navier-Stokes- und Reynoldsgleichungen

229

men, betrachten wir wieder die einfachste Form eines Fluidelements, den Quader ΔxΔyΔz. Wie in Abbildung 7.5 seien seine Kanten an den Achsen des kartesischen Koordinatensystems ausgerichtet. Zur Kraftkomponente FP, j tragen nach der Indexkonvention die Spannungstensorkomponenten τx j , τy j und τz j bei. In einer rechteckigen, in x-Richtung ausgerichteten Schnittfläche des Flächeninhalts ΔyΔz wirkt also die Kraft ΔyΔzτx j . Beim Quader haben die Normaleneinheitsvektoren auf gegenüberliegenden Berandungsflächen entgegengesetzte Vorzeichen. Bezeichnen wir diese jeweils mit den Indizes 1 und 2, dann ergibt sich die wirkende Kraft durch Multiplikation mit den Flächeninhalten:       FP, j = ΔyΔz τx j,2 − τx j,1 + ΔxΔz τy j,2 − τy j,1 + ΔxΔy τz j,2 − τz j,1 . Teilt man diese Gleichung durch das Quadervolumen V = ΔxΔyΔz und die Dichte ρ, so bekommt man eine neue Bestimmungsgleichung für die Kraftdichte fP : fP, j =

FP, j 1 τx j,2 − τx j,1 τy j,2 − τy j,1 τz j,2 − τz j,1 = + + . ρΔxΔyΔz ρ Δx Δy Δz

Die dargestellte Formel gilt immer noch für einen Quader, eine in der Natur nur selten vorkommende Form. Um zu Aussagen für beliebige geometrische Formen zu gelangen, bedient man sich eines unscheinbaren Grundkonzepts der Infinitesimalrechnung: Man lässt die Quaderabmessungen gegen Null gehen und kommt so zu Aussagen, die für einen einzigen Punkt gelten. In unserer Formel werden die Differenzenquotienten dann zu partiellen Ableitungen: fP, j =

FP, j 1 ∂ τx j ∂ τy j ∂ τz j 1 ∂ τi j = + + = . ρV ρ ∂x ∂y ∂z ρ ∂ xi

Im letzten Term wurde die sogenannte Summenkonvention verwendet, die die Indexnotation zu einer sehr kompakten Schreibweise für partielle Differentialgleichungen macht: Taucht ein Index in einem Term zweimal auf, so wird über ihn von 1 bis 3, d. h. über die Koordinatenrichtungen x, y und z summiert. Die für den infinitesimalen Punkt gewonnene Kraftdichte lässt sich nun durch Integration über ein Volumen Ω beliebiger Form wieder verallgemeinern. Unser spezielles Ergebnis besagt, dass an einem gegebenen Ort die Spannungen erst dann mit einer Kraft verbunden sind, wenn das Spannungsfeld dort lokale Änderungen aufweist. Dies ist eine allgemein in der Mechanik gültige Ausssage, die wir nun auf die Hydromechanik anwenden wollen. Dazu setzt man die Form der viskosen Spannungen für Newtonsche Fluide in die Kraftdichte eines Spannungstensors ein: fP, j =

∂ ν ∂ xi



∂ ui ∂ u j + ∂ x j ∂ xi



 =ν

∂ 2u j ∂ 2 ui + ∂ xi ∂ xi ∂ x j ∂ xi

 .

Hinter dem letzten Term verbirgt sich die Kontinuitätsgleichung. Dies erkennt man, wenn man ihn einmal ausschreibt:   ∂ 2 ui ∂u ∂v ∂w ∂ = + + = 0. ∂ x j ∂ xi ∂ xi ∂ x ∂ y ∂ z

230

9 Turbulente Strömungen in Küstengewässern

Für die viskose Kraft bleibt: fP, j = ν

∂ 2u j = νΔu j . ∂ xi ∂ xi

Sie wird durch die Anwendung des Laplaceoperators auf die Geschwindigkeitskomponente der entsprechenden Kraftrichtung gebildet.

9.2.2 Die dreidimensionalen Bewegungsgleichungen mit inneren Spannungen Eine durch Gezeitenwellen oder Seegangsbewegungen unebene Wasseroberfläche ist mit Druckschwankungen über die gesamte, unter ihr liegende Wassersäule verbunden. Diese Druckschwankungen führen zu horizontalen Druckgradienten, die die Strömungen antreiben. Dieses Geschehen hatten wir in Abschnitt 5.4.4 durch die Eulergleichungen beschrieben. Wir wollen diese nun um die Kraftwirkung der inneren viskosen Spannungen erweitern und kommen so zu den Navier-Stokes-Gleichungen. Dazu schreiben wir die Eulergleichungen zunächst in der Indexschreibweise ∂ ui =0 ∂ xi 1 ∂p ∂ ui ∂ ui +uj =− + fi ∂t ∂xj ρ ∂ xi und ersetzen den Platzhalter fi für alle sonstigen Kräfte durch die viskosen und alle sonstigen Kräfte: ∂ ui =0 ∂ xi ∂ ui 1 ∂p ∂ 2 ui ∂ ui +uj =− +ν + fi ∂t ∂xj ρ ∂ xi ∂ x j∂ x j

(9.1)

Die erste Gleichung enthält den Index i im Zähler und im Nenner, wodurch nach der Summationskonvention die drei Terme der Divergenz entstehen. Die zweite Gleichung enthält den Index j im zweiten Term. Ausgeschrieben bekommt man hier die Lagrangeschen Beschleunigungen (5.13) für die Geschwindigkeitskomponente ui . Im vierten Term ist ∂ x j ∂ x j anstelle von ∂ x2j geschrieben worden, um den Index j doppelt zu schreiben. Es muss also über alle drei Raumrichtungen summiert werden, wodurch die viskosen Spannungen einbezogen werden. In der zweiten Gleichung ist der Index i zudem nicht weiter spezifiziert. Dies bedeutet, dass er die Werte x, y oder z annehmen kann, die Gleichung stellt also alle drei Impulsgleichungen sehr kompakt dar. Diese Gleichungen modellieren die Strömung mit allen turbulenten Schwankungen, also das, was nicht einmal in den Abbildungen 9.1 und 9.2 zu erkennen ist, weil in diesen Strömungen

9.2 Navier-Stokes- und Reynoldsgleichungen

231

noch viel feinskaligere Schwankungen verborgen sind. Will man sie numerisch lösen, dann benötigt man eine entsprechend hohe räumliche Gitterauflösung und einen Zeitschritt, der alle diese Schwankungen erfaßt. Diese als Direkte Numerische Simulation (DNS) bezeichnete Vorgehensweise ist für Küstengewässer allerdings viel zu feinstrukturiert und bisher nicht praktikabel. Übung 52: Schreiben Sie die Bewegungsgleichung mit inneren Spannungen in y-Richtung vollständig aus. Beginnen Sie dabei mit den Lagrangeschen Bahngeschwindigkeiten auf der linken Seite und schreiben Sie den Druckgradienten in y-Richtung auf der rechten Seite und die Divergenz des Spannungstensors aus.

9.2.3 Reynoldsmittlung und Reynoldsspannungen Daher möchte man sich auf die Simulation der mittleren, fluktuationsfreien Strömung beschränken, also das was in Abbildung 9.3 zu sehen ist. Im Vergleich zu den Daten der Originalzeitreihe ui sind beim gleitenden Mittel ui die Fluktuationen ui abgezogen, es gilt also: ui = ui + ui . Diese Zerlegung in mittlere und fluktuierende Anteile kann man nun in die Navier-StokesGleichungen einsetzen. Da die Mittlung einer Fluktuation immer Null ist, ui = 0, kam Osborne Reynolds 1895 auf die geniale Idee, diese Gleichungen selbst zu mitteln, um die Gesetzmäßigkeiten der mittleren Strömung zu gewinnen, in der Hoffnung, dass möglichst viele Fluktuationsterme wegfallen. Zerlegung und Mittlung aller Terme lauten: ∂ (ui + ui ) =0 ∂ xi ∂ (ui + ui ) ∂ 2 (ui + ui ) ∂ (ui + ui ) 1 ∂p + (u j + uj ) =− +ν + fi ∂t ∂xj ρ ∂ xi ∂ x j∂ x j Tatsächlich ergibt sich z. B. für die Ortsableitungen nach der Mittlung: ∂ (ui + ui ) ∂ ui ∂ ui ∂ ui ∂ ui ∂ ui = + = + = . ∂ xi ∂ xi ∂ xi ∂ xi ∂ xi ∂ xi Damit gilt die Kontinuitätsgleichung auch für die mittleren Geschwindigkeiten. Eine entsprechende Gleichungskette kann man für die Zeitableitung und die zweiten Ableitungen aufstellen. Nur bei den advektiven Beschleunigungen bleiben die Produkte aus Fluktuationen stehen: (u j + uj )

  ∂ (ui + ui ) ∂ ui ∂ ui u j = uj + . ∂xj ∂xj ∂xj

Zusammengefasst bekommt man die Reynoldsgleichungen

232

9 Turbulente Strömungen in Küstengewässern

∂ ui =0 ∂ xi 1 ∂p ∂ ∂ ui ∂ ui =− + +uj ∂t ∂xj ρ ∂ xi ∂ x j

 ν

 ∂ ui − ui uj + fi , ∂xj

die bis auf die Korrelationen ui uj nur noch die mittleren Geschwindigkeiten enthalten. Die turbulenten Fluktuationen beeinflussen damit die mittleren Strömungen durch diese Terme, die man zum sogenannten Reynoldsspannungstensor T = −ρui uj zusammenfasst.

9.2.4 Das Prinzip der Wirbelviskosität Bei der genaueren Betrachtung des Problems kann Verzweiflung aufkommen: Man hat weiterhin vier Gleichungen für die vier Unbekannten ui (entspricht u, v, w) und den Druck p. Hinzugekommen sind aber sechs weitere Unbekannte ui uj (entsprechend u u , v v , w w , u v , u w , v w ). Eine erhebliche Vereinfachung der Problematik geht auf Boussinesq [6] zurück: Er ging davon aus, dass die turbulenten Korrelationen direkt proportional zu den Scherungen des mittleren Geschwindigkeitsfeldes sind. Ferner nimmt er an, dass für alle Korrelationsterme dieselbe Proportionalitätskonstante gültig ist. Damit kommt man zu der Ersetzung:     ∂ ui ∂ u j ∂ ui ∂ u j ν + + − ui uj = νt für i = j. ∂ x j ∂ xi ∂ x j ∂ xi Der Nutzen des Wirbelviskositätsprinzips wird deutlicher, wenn man dieses in den Reynoldsgleichungen verwendet: ∂ ui =0 ∂ xi 1 ∂p ∂ ∂ ui ∂ ui +uj =− + ∂t ∂xj ρ ∂ xi ∂ x j

 νt

∂ ui ∂xj

 + fi .

Die Proportionalitätskonstante νt bezeichnet man als turbulente Viskosität. Da die Geschwindigkeitsgradienten an jedem Ort des Geschwindigkeitsfelds unterschiedliche Werte haben können, wird die turbulente Viskosität nun kein konstanter Wert, sondern eine orts- und auch zeitabhängige Funktion sein. Die Bestimmung dieser Funktion ist die Aufgabe der Turbulenzmodellierung. Die Wirbelviskosität in Fließgewässern Die Definitionsgleichung für die Wirbelviskosität kann man heranziehen, um ein Messprogramm für ihre Bestimmung in einem Laborgerinne zu erstellen. Man bestimmt zur Belegung der linken

9.3 Das logarithmische Grenzschichtprofil

233

z/h P=0.2 P=0

nt/(ku*h) Abbildung 9.4: Das Profil der turbulenten Viskosität in Fließgewässern (dargestellt als Π =0) im Vergleich mit aus Messungen gewonnenen Werten (Punkte). Nach [55].

Seite die Eigenschaften des turbulenten Geschwindigkeitsfelds, vergleicht diese mit den Gradienten des mittleren Felds und schließt auf die Größe der turbulenten Viskosität νt . Die Ergebnisse verschiedener Labormessungen sind in Abbildung 9.4 zusammengetragen. Sie lassen sich durch das sogenannte parabolische Viskositätsprofil  z νt (z) = κu∗ z 1 − (9.2) h darstellen. Darin ist u∗ die sogenannte Schubspannungsgeschwindigkeit, die mit der Sohlschubspannung τB über τB = ρu2∗ zusammenhängt. Die turbulente Viskosität wird also zum Boden und zur Wasseroberfäche sehr klein, bis sie auf Null abfällt, und hat ihren Maximalwert genau in der Wassersäulenmitte. Die Konstante κ hat den Wert 0.41 und heißt Karman-Konstante, u∗ hängt von der Sohlschubspannung ab. Im Allgemeinen wird davon ausgegangen, dass dieser Ansatz für alle Oberflächengewässer, also auch für Küstengewässer, gültig ist.

9.3 Das logarithmische Grenzschichtprofil Als Grenzschicht bezeichnet man in der Strömungsmechanik den von einem festen Rand beeinflussten Bereich der Strömung. Dort ist die Strömungsgeschwindigkeit Null. Diese als Stokessche Wandhaftbedingung bezeichnete Tatsache wird auf der mikroskopischen Ebene sehr schnell

234

9 Turbulente Strömungen in Küstengewässern

einsichtig, denn hier haftet mindestens die ersten Schicht von Wassermolekülen am Bodenmaterial. In der Grenzschicht oberhalb der Bewandung steigt die Strömungsgeschwindigkeit vom Wert Null am Rand auf den Wert der ungestörten Strömung. Noch allgemeiner kann man als Grenzschicht den Übergangsbereich zwischen zwei Strömungsgebieten mit unterschiedlichen Eigenschaften verstehen. Die Grenzschichttheorie wird so zu einem der zentralen Themenblöcke der Strömungsmechanik [69]. Die Strömungen in Oberflächengewässern werden von zwei Grenzflächen beeinflusst: Die Sohlfläche stellt einen festen Rand dar, während die Wasseroberfläche als Grenze zur Atmosphäre auf beiden Seiten beweglich ist. Die Strömungen in Flüssen kann man fast immer über die ganze Wassersäule als von der Sohle beeinflusste Grenzschichtströmung verstehen. In den weitflächigeren Küstengewässern kommt bei merklichen Windgeschwindigkeiten eine weitere Grenzschicht zur Atmosphäre hinzu. Diese Grenzschicht ist aus zweierlei Gründen besonders wichtig. Zum einen verliert die Strömung hier durch das Haften an der Sohle ihre Energie. Zum anderen belastet sie die Sohle aber auch durch die in der Grenzschicht entstehenden Schubspannungen, wodurch Sedimenttransportprozesse induziert werden, die zu den erheblichen morphologischen Änderungen führen, denen Küstengewässer ständig unterworfen sind. Für diese Grenzschicht wollen wir zunächst ein aus Differentialgleichungen bestehendes konzeptionelles Modell aufstellen, welches auf der einen Seite möglichst einfach und auf der anderen Seite hinreichend genau zur Beschreibung der Grenzschichtprozesse unter Gezeitenströmungen ist. Wir nehmen dazu den Boden des Küstengewässers bei zB = 0 als horizontal an und legen das Koordinatensystem so, dass die betrachtete Grenzschichtströmung in die x-Richtung läuft. Wie vereinbart, wollen wir uns nur auf die zeitlich gemittelte Geschwindigkeit konzentrieren, obwohl natürlich auch turbulente Geschwindigkeitsfluktuationen in y- und z-Richtung existieren. Somit sind die mittleren Geschwindigkeiten v und w Null. Um uns vollständig auf die Grenzschicht zu konzentrieren, vernachlässigen wir zudem die äußeren Kräfte, d. h. Coriolos- und Gezeitenkräfte. Von der Impulsgleichung in Strömungsrichtung bleibt daher nur noch: ∂u ∂u 1 ∂ p 1 ∂ τxx 1 ∂ τyx 1 ∂ τzx +u =− + + + . ∂t ∂x ρ ∂x ρ ∂x ρ ∂y ρ ∂z Schauen wir uns nun die inneren Spannungen τi j an. Über diese hatten wir unter ähnlichen Annahmen in Abschnitt 7.2.3 für die Atmosphäre-Wasser-Grenzschicht gezeigt, dass nur die Komponente τzx von Null verschieden ist. Geht man ferner von einer in Strömungsrichtung homogenen Geschwindigkeit aus ( ∂∂ ux = 0), dann bleibt die grundlegende Gleichung der Grenzschichttheorie ρ

∂u ∂ p ∂ τzx =− + ∂t ∂x ∂z

zu lösen. Im Unterschied zur Impulsgleichung der idealen Wellentheorie enthält unser neues konzeptionelles Modell nun also auch einen Term für die durch die Viskosität hervorgerufenen inneren Spannungen.

9.3 Das logarithmische Grenzschichtprofil

235

9.3.1 Das vertikale Profil der Scherspannung Bevor wir zu den wellenartigen Bewegungen der Gezeiten und des Seegangs in den Küstengewässern kommen, wollen wir uns dem Grenzschichtprofil in den Flüssen zuwenden. Auch hier haben wir es immer mit turbulenten Strömungen zu tun, es wird aber bei den Mittelwerten von stationären Verhältnissen ausgegangen, solange die Abflüsse sich nur langsam ändern. Die dabei gewonnenen Ergebnisse gelten genauso für Gezeitenströmungen, wenn man diese als quasistationär, d. h. ∂∂tu  0, annimmt. In diesem Fall bleibt von der Grenzschichtgleichung nur noch: 0=−

∂ p ∂ τzx + . ∂x ∂z

Für den Druck p kann man hydrostatische Verhältnisse annehmen, er ist nach Kapitel 3.1.3 dann nur vom Abstand zur Wasseroberfläche zS abhängig, p = ρg(zS − z): ρg

∂ τzx ∂ zS = . ∂x ∂z

Diese Gleichung wird nun über die Vertikale z zwischen Sohle z = 0 und Wasseroberfläche z = h integriert. Die linke Seite wird dadurch mit der Wassertiefe h multipliziert. Die rechte Seite nimmt die Scherspannungen an den Integrationsgrenzen an. Dies ist an der Sohle die Sohlschubspannung τB und an der Wasseroberfläche die Windschubspannung τW : gh

1 ∂ zS = (τW − τB ) . ∂x ρ

Der Gradient des Wasserspiegels ist also in Fließgewässern eine direkte Reaktion auf die Bilanz von Sohl- und Windschubspannung. Durch Substitution folgt: τW − τB ∂ τzx = . h ∂z Durch Integration zwischen Boden und einer beliebigen Höhe z bekommt man die in einer stationären Fließgewässerströmung wirkende Scherspannung:  z z z (τW − τB ) = τxz (z) − τB ⇒ τxz (z) = τB 1 − + τW . h h h Bei einer stationären Fließgewässerströmung pflanzt sich also die Sohlschubspannung als Scherspannung linear von der Sohle bis zur Windschubspannung an der Wasseroberfläche fort, was u. a. in Abbildung 9.5 dargestellt ist.

9.3.2 Das stationäre Geschwindigkeitsprofil in Fließgewässern In Flüssen kann man die Wirkung des Windes zumeist vernachlässigen, da der Wind dort nicht genügend Angriffsfläche besitzt:   z z = ρu2∗ 1 − . τxz (z) = τB 1 − h h

236

z

9 Turbulente Strömungen in Küstengewässern

z=zS

tW nt(z)

tzx(z) p(z) u(z)

tB

z=0

Abbildung 9.5: Die Profile der logarithmischen Geschwindigkeit, des Drucks, der Scherspannung und der Wirbelviskosität in der stationären Flussströmung.

Umgesetzt wird die Scherspannung aber in Turbulenzen, die wiederum mit einer turbulenten Viskosität νt verbunden sind: τxz (z) = ρνt (z)

∂u . ∂z

Mit dem parabolischen Wirbelviskositätsprofil bekommt man die Differentialgleichung   z z  ∂u = ρκu∗ z 1 − ρu2∗ 1 − h h ∂z zur Bestimmung der Geschwindigkeit, die durch das logarithmische Geschwindigkeitsprofil   z u∗ u(z) = ln (9.3) κ z0 gelöst wird. Für z = z0 wird die Geschwindigkeit Null, z0 ist also der Nullpunkt des Geschwindigkeitsprofils.

9.3.3 Das logarithmische Geschwindigkeitsprofil als Datenmodell Werden irgendwo Daten in großem Umfang gemessen, die mit Fluktuationen chaotischen Ursprungs überlagert sind, dann ist zu hinterfragen, ob es tatsächlich Sinn macht, diese Rohdaten zu speichern und langfristig zu archivieren. Fällt diese Entscheidung negativ aus, dann muss man weiter fragen, in welcher Weise kompromierte Informationen aus den Rohdaten herausgezogen werden können, die zukünftig noch nützlich sein können, weil sie wesentliche Merkmale der Rohdaten enthalten. Hierzu benötigt man ein Datenmodell, d. h. eine physikalische Annahme darüber, was die Rohdaten eigentlich enthalten und was letztendlich nur chaotische Fluktuation ist.

9.3 Das logarithmische Grenzschichtprofil

237

1 0 ,9 0 ,8

R e l. W a s s e rtie fe z /h

0 ,7 0 ,6 z 0 /h = 0 .0 1

z 0 /h = 0 .0 0 1

z 0 /h = 0 .0 0 0 1

z 0 /h = 0 .0 0 0 0 1

0 ,5 0 ,4 0 ,3 0 ,2 0 ,1 0 0

5

1 0

1 5

2 0

D im e n s io n s lo s e G e s c h w in d ig k e it u /u

2 5

3 0

*

Abbildung 9.6: Dimensionslose Darstellung des logarithmischen Geschwindigkeitsprofils für verschiedene relative Bedeckungen z0 /h.

Das logarithmische Geschwindigkeitsprofil ist das einfachste Datenmodell für Strömungen in Oberflächengewässern, auch wenn es nur in den wenigsten Fällen tatsächlich gültig ist. Wir gehen im Folgenden also davon aus, dass es für Gezeitenströmungen gültig sei. Das Profil wird durch zwei Parameter bestimmt, die Sohlschubspannungsgeschwindigkeit u∗ und die Höhe des Geschwindigkeitsnullpunkts z0 . Zur Bestimmung dieser werden also zwei mittlere Strömungsgeschwindigkeiten u1 und u2 in zwei unterschiedlichen Höhen z1 und z2 über der Sohle benötigt. Damit dann kann man mit der Profilgleichung (9.3) zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten u∗ und z0 aufstellen   u∗ z1 = u1 ln κ z0   z2 u∗ u2 = ln κ z0 und diese als  z0 =

u

− u1 z 1 z2 2

2  u u−u 2

1

  −1 z1 u∗ = κu1 ln z0 lösen. Abbildung 9.7 zeigt die so gewonnenen Werte für die mittleren Strömungsgeschwindigkeiten aus Abbildung 9.3. Der Nullpunkt des logarithmischen Geschwindigkeitsprofils schwankt

238

9 Turbulente Strömungen in Küstengewässern

0,14

u* z0

0,12

u*[m/s] / z0[m]

0,1

0,08

0,06

0,04

0,02

0 1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

Zeit [s]

Abbildung 9.7: Bestimmung von z0 und u∗ aus den gemittelten Geschwindigkeitszeitreihen bei z = 1.6 m und z = 2.35 m.

dabei auch bei einem so langen Mittlungsintervall noch erheblich. Recht konstant ist aber die Sohlschubspannungsgeschwindigkeit u∗ , die um den Wert 0.07 m/s schwankt. In der Regel hat man natürlich z. B. aus einem ADCP-Gerät wesentlich mehr Messungen über die Tiefe gewonnen. Diese zusätzlichen Informationen kann man durch eine Least-SquareApproximation in die Bestimmung von u∗ und z0 einbeziehen. Übung 53: In einem Küstengewässer werde bei einem Meter über Grund 30 cm/s und drei Meter über Grund 1 m/s Strömungsgeschwindigkeit gemessen. Wie hoch ist die Sohlschubspannung τB ?

9.3.4 Die Intensität der Turbulenz Die Korrelationen u2 i haben in der Statistik eine besondere Bedeutung, da sie ein Maß für die Schwankung einer statistischen Größe sind. Sie sind die Standardabweichungen der Größen ui vom Mittelwert ui . Zudem sind die turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen oftmals normalverteilt, so dass die Wahrscheinlichkeitsdichte der Schwankungen durch f (ui ) =

  u2 1 i √ exp − 2 2σ σ 2π

 mit σ =

ui 2

gegeben ist. Daher ist man vor allem dann an den Diagonalkomponenten des Reynoldsspannungstensors interessiert, wenn man Aussagen über die Turbulenzintensität benötigt.

9.3 Das logarithmische Grenzschichtprofil

239

Wir wollen nun mit dem Wirbelviskositätsansatz u2 berechnen und gehen davon aus, dass die Hauptströmung in Strömungsrichtung homogen ist. Dann sollte diese Geschwindigkeit nach ∂u =0 ∂x keinerlei turbulenten Schwankungen unterworfen sein. Da dies nicht der Fall ist, muss das Wirbelviskositätsprinzip für die Diagonalterme zu   ∂ ui ∂ u j 2 − kδi j −ui uj = νt + ∂ x j ∂ xi 3 −u u = 2νt

erweitert werden, wobei δi j das Kroneckersymbol ist, welches für i = j eins und ansonsten Null ist. Darin ist k die Summe aller drei Turbulenzintensitäten 1 k = ui ui , 2 die als turbulente kinetische Energie (TKE) bezeichnet wird. Zur Berechnung dieser wichtigen turbulenztheoretischen Größe gibt es verschiedene konzeptionelle Ansätze, deren bekanntester das k-ε-Modell ist. Dieses prädiktiert in einem logarithmischen Geschwindigkeitsprofil bei homogenen Bedingungen in Hauptströmungsrichtung eine über die Wassersäule konstante TKE des Betrags u2 k = √∗ cμ

mit

cμ = 0.09.

Damit sind wir nun in der Lage, aus der Schubspannungsgeschwindigkeit über die TKE die Standardabweichung der Geschwindigkeiten von ihrem Mittelwert zu bestimmen.

9.3.5 Einbeziehung der Grenzschicht zur Atmosphäre Wir hatten das sich unter dem Einfluss der Windschubspannung ergebende Geschwindigkeitsprofil in Oberflächennähe in Kapitel 7 schon analysiert, uns aber auf den laminaren Fall beschränkt, d. h. eine konstante molekulare Viskosität angenommen. Wir wollen diese Analyse hier auf turbulente Strömungen erweitern und ein vertikales Geschwindigkeitsprofil konstruieren, welches sowohl die bodennahe Grenzschicht als auch die Windschubspannungen berücksichtigt. Dazu nehmen wir wieder an, dass die in der Wassersäule wirkenden inneren Spannungen linear vom Wert am Boden, der Sohlschubspannung τB bis zum Wert an der Wasseroberfläche, der Windschubspannung τW ansteigen bzw. abfallen:  z z + τW . τxz (z) = τB 1 − h h Gehen wir weiterhin davon aus, dass auch in diesem Fall die turbulente Viskosität ein parabolisches Profil hat, dann bekommt man mit der Definition der turbulent-viskosen Spannungen:   z z z  ∂u τB 1 − + τW = ρκu∗ z 1 − . h h h ∂z

240

9 Turbulente Strömungen in Küstengewässern

10

0Pa 9

-0.4Pa 0.4Pa

8

Bodenabstand [m]

7

6

5

4

3

2

1

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Geschwindigkeit [m/s]

Abbildung 9.8: Beispiele von Geschwindigkeitsprofilen unter drei verschiedenen Windschubspannungen.

Diese Differentialgleichung erster Ordnung wird durch das Geschwindigkeitsprofil     τW z h−z τB + ln ln u(z) = ρκu∗ z0 ρκu∗ h − z0 gelöst. Auch in diesem Profil ist z0 der Nullpunkt der Geschwindigkeit und damit proportional zur Rauheit der Sohle. Damit haben wir ein verbessertes Datenmodell für das vertikale Geschwindigkeitsprofil geτB , τW , z0 und h bestimmt wonnen, welches durch insgesamt vier unabhängige Parameter ρκu ∗ ρκu∗ wird. Diese reduzieren sich auf drei Parameter, weil die Wassertiefe h zumeist mitgemessen wird. Auch bei Windstille bremst die ruhende Atmosphäre die Strömung an der Wasseroberfläche. In diesem Fall ist die durch die Relativbewegung des Wasserkörpers gegenüber der Atmosphäre ausgelöste „Windschubspannung” τWind = −ρACD u2S zu gering, um einen sichtbaren Effekt zu erzeugen.

9.4 Die Rauheit der Sohle Rauheit ist ein Beziehungsbegriff zwischen zwei sich aneinander reibenden (physikalischen) Sphären. Sie wird dann wirksam, wenn sich die beiden in einer (parallelen) Relativbewegung zueinander befinden. Die Rauheit ist mit einer Kraft verbunden, die die Bewegung der schnelleren Sphäre bremst und die langsamere beschleunigt.

9.4 Die Rauheit der Sohle

241

Das problematische am Begriff Rauheit ist sein Beziehungscharakter. Dies sei an folgendem Beispiel verdeutlicht. Wandern wir an einer zerklüfteten Felsküste entlang, so haben wir einen Weg zwischen glatten, teilweise meterhohen Steinen zu suchen, welche manchmal auch überklettert werden müssen. Die Energie, die wir bei dieser Wanderung aufbringen müssen, ist sehr hoch, die Küste wird von uns als sehr rau empfunden. Eine Schnecke empfindet bei ihrem Dahinkriechen auf den durch die Brandung sehr glatt geschliffenen Felsen diese als angenehm eben und glatt. Befinden wir uns mit der Schnecke auf einem ebenen Sandsteinplateau, so wird die Schnecke den Untergrund hier (vielleicht) als rau empfinden, während wir unsere Wanderung auf diesem ohne Mühen fortsetzen. Der Nullpunkt z0 des logarithmischen Geschwindigkeitsprofils ist ein Maß für die Rauheit der Gewässersohle: Bei einer sehr unebenen Sohle kann das Strömungsfeld nicht in die Zwischenräume der Rauheitselemente dringen, der Geschwindigkeitsnullpunkt liegt dann über den Rauheitselementen. Damit ist dieser in irgendeiner Art und Weise mit der Rauheitsgeometrie der Sohle verbunden. Um diese zu beschreiben, hat Nikuradse [57] Rohre mit Sandkörnern verschiedenen Durchmessers beklebt und die Form des sich entwickelnden Geschwindigkeitsprofils bestimmt. Hatten die Sandkörner den Durchmesser ks , dann ergab sich für z0 : ks . 30 Man bezeichnet ks daher auch als äquivalente Rauheit der Sohle. Natürliche Gewässersohlen bestehen aber nicht nur aus Körnern einer Größenklasse, sondern aus einer Korngrößenverteilung. Ferner beeinflussen Sohlstrukturen wie Riffel oder Dünen und die Bewegung des Bodenmaterials selbst die Sohlrauheit, womit die Bestimmung der äquivalenten Sohlrauheit zu einer der schwierigsten Aufgaben der Gewässerhydromechanik ist. Im Allgemeinen geht man heute davon aus, dass diese Anteile additiv zusammengesetzt werden können, man also z0 

ks = ksg + ksr + kts + ksd hat. Darin sind ksg die Kornrauheit, ksr die Riffelrauheit, kts die Transportrauheit und ksd die Dünenrauheit.

9.4.1 Die Kornrauheit Die Kornrauheit des mit Sedimenten bedeckten Küstenbodens ist in irgendeiner Form proportional zum Korndurchmesser d. Da natürliche Sohlen sich aus einem Ensemble von verschiedenartigen Teilchen zusammensetzen, sollte man hier eine die Verteilung charakterisierende Größe heranziehen. Die verschiedenen Ansätze zur Berechnung der Kornrauheit haben alle die Form ksg = adk . Dabei gibt der Korndurchmesser dk die Weite eines Siebes an, welches k % des Materials hing durchläßt. Die kleinste Rauheit gibt Einstein (1942) [13] als ks = d65 an, und die größten Werte g g liegen bei ks = 3d90 (van Rijn (1993) [65]) oder ks = 3.5d84 (Hey (1979) [24]). Die vorgestellten Ansätze sind empirisch gewonnen. Dort hat man das Material direkt in der Hand und kann die entsprechenden Verteilungsparameter durch eine Siebanalyse bestimmen.

242

9 Turbulente Strömungen in Küstengewässern

Abbildung 9.9: Dass die Sohle von Küstengewässern oft von Riffeln überdeckt ist, kann man auf einer Wanderung im Wattenmeer selbst beobachten.

Bezieht man sich nun nur auf die neueren Ansätze, so sollte dieser ksg = 3dm lauten.

9.4.2 Die Riffelrauheit Für Riffel wird allgemein die folgende Beziehung angenommen:   Δr r ks = ar Δr , λr wobei der Faktor ar je nach Studie zwischen 8 und 90 schwankt. Van Rijn [65] setzt ar = 20γr , wobei der Präsenzfaktor γr darüber entscheidet, ob die Riffel auf einer ebenen Sohle (γr = 1) oder auf Dünen (γr = 0.7) gelagert sind. Zur Bestimmung der Riffelrauheit werden also die Riffelhöhe und die Riffellänge benötigt. Im Allgemeinen wird angenommen, dass die Riffellänge sich in der Form λr = αd darstellen lässt. Yalin [82] nimmt α = 500...1000 und bezieht den Durchmesser auf den Medianwert d50 . In einer anderen Publikation nimmt er α = 2250/Re∗ an, wobei hier die sedimentologische Reynoldszahl Re∗ = u∗ d/ν gemeint ist. Für die Riffelhöhe wird in der Regel Δr = λr /7 angenommen.

9.4 Die Rauheit der Sohle

243

h

Dd

ld Abbildung 9.10: Zur Definition von Dünenhöhe Δd , Dünenlänge λd und der mittleren Wassertiefe h.

Für das Auftreten von Riffeln gibt Soulsby [72] gewisse Kriterien an. So muss natürlich die kritische Schubspannung des Bewegungsbeginns überschritten werden, damit sich die Riffel bilden können.

9.4.3 Transportrauheit Findet an einer Sohle Geschiebetransport statt, dann verliert die Strömung Energie, die in die Bewegung der Sedimente umgesetzt wird. Grant und Madsen [20] haben vorgeschlagen, diesen Energieverlust ebenfalls durch eine Erhöhung des Rauheitsbeiwerts um den Wert kts zu beschreiben. Nielsen [56] schlägt hierfür folgende Beziehung vor:  τB − 0.05. kts = 170d (ρS − ρ)gd Dabei kann man als repräsentativen Korndurchmesser d den Medianwert d50 verwenden. Mit ρS ist die Sedimentdichte bezeichnet, ihr Standardwert ist 2650 kg/m3 .

9.4.4 Die Dünenrauheit Als Dünen werden regelmäßige Sohlstrukturen bezeichnet, deren Wellenlänge groß im Vergleich zur Wassertiefe ist. Für die Formrauheit asymmetrischer Dünen der Höhe Δd und der Wellenlänge λd hat Engelund 1977 (zitiert nach [65]) den Ansatz 5 Δ2d exp (−2.5Δd /h) 4 λh vorgeschlagen. Eine höhere Dünenrauheit bekommt man mit der Abschätzung von van Rijn [65]: √ ksd = 12h exp (−κ/ rd )

mit

rd =

ksd = 0.77Δd (1 − exp (−25Δd /λd )) . Sie ist proportional zur Dünenhöhe. Der Exponentialterm konvergiert gegen eins, wenn die Wellenlänge der Düne sehr groß wird. Langwellige Dünen gehen also irgendwann in Topographieunebenheiten über und tragen nicht mehr zur Formrauheit bei.

244

9 Turbulente Strömungen in Küstengewässern

Abbildung 9.11: Dünenstrukturen im Fahrwasser der Außenweser zwischen km 111 und 115. Das Wasser ist umso tiefer, je dunkler die Farbe ist (Quelle: BAW).

9.4.5 Wie bestimmt man die Sohlverhältnisse? Die morphologischen Verhältnisse an der Sohle haben über die Sohlrauheit einen erheblichen Einfluss auf die Hydrodynamik des Küstengewässers. Sie ändern nicht nur die Form des Geschwindigkeitsprofils, sondern sind auch für die Dämpfung der Tidewelle verantwortlich. Dies wird besonders bei der Erstellung numerischer Simulationsmodelle deutlich, in denen verschiedene Sohlrauheiten zu sehr unterschiedlichen Ergebnissen führen können. So dringt bei einer Sohle größerer Rauheit die Tidewelle wesentlich tiefer in das Ästuar. Daher ist die Charakterisierung der Sohlverhältnisse von extremer Wichtigkeit. Prinzipiell gibt es drei Möglichkeiten, diese zu bestimmen: Bei der direkten Feldmessung werden die Sohlformen direkt durch Peilungen oder visuell bestimmt. Bei der indirekten Feldmessung wird das vertikale Geschwindigkeitsprofil aufgenommen und ks bestimmt. Als Beispiel wollen wir die Höhe der anstehenden Rauheitselemente unter dem in Abbildung 9.7 ausgewerteten Geschwindigkeitsprofil bestimmen. Obwohl der Nullpunkt z0 des logarithmischen Geschwindigkeitsprofils dort argen Schwankungen unterlegen ist, können wir einen mittleren Wert von z0  3 cm erkennen. Dies entspricht einer äquivalenten Sohlrauheit von ks  90 cm, was auf 30 cm hohe Rauheitselemente schließen läßt. Diese Rauheitshöhe wird sicherlich nicht durch die anstehenden Sedimentkörner erzeugt, sie haben einen Durchmesser unterhalb eines Millimeters. Ebenfalls kann diese Rauheit auch nicht mit Sohlriffeln verbunden werden, da diese nur wenige Zentimeter hoch sind. Wir werden in Kapitel 10.4.2 sehen, dass die Präsenz von Oberflächenwellen die von der Strömung gefühlte Sohlrauheit erheblich erhöhen kann und damit die hier gewonnenen Daten interpretiert werden.

9.5 Das Querprofil der Tidegeschwindigkeit

245

Beide Methoden haben den Vor- und Nachteil, dass sie jeweils den aktuellen morphologischen Zustand aufnehmen. Verändern sich die Verhältnisse im Gewässer aber etwa durch Ausbaumaßnahmen, langfristige Schwankungen oder durch Klimaänderungen, so kann man diesen zukünftigen Zustand nicht mit denselben Rauheiten simulieren, da sich die Sohlformen ja auch ändern können. Hier benötigt man Prädiktoren für Sohlstrukturen, die allerdings immer noch ein Thema der aktuellen Forschung sind. Diese versuchen, die eventuelle Anwesenheit und dann die Kennwerte von Riffeln oder Dünen in Abhängigkeit von den hydrodynamischen Verhältnissen zu bestimmen.

9.5 Das Querprofil der Tidegeschwindigkeit Wir wollen nun das Geschwindigkeitsprofil vollständig über den Querschnitt eines Ästuars berechnen, um dieses Ergebnis mit dem in Abbildung 9.1 gemessenen zu vergleichen. Dazu könnten wir mit der tiefengemittelten Geschwindigkeit unter Gezeitenwellen nach der Gleichung (3.9) beginnen und diese logarithmisch über die Vertikale aufweiten. Diese Vorgehensweise berücksichtigt aber den Einfluss unterschiedlicher Wassertiefen über den Querschnitt und vor allem das Vorhandensein eines Ufers nicht. Ferner wurde schon in diesem Zusammenhang erwähnt, dass die Sohlschubspannung einen wichtigen Einfluss auf die Geschwindigkeit hat und nicht vernachlässigt werden darf. Daher sollen nun die Gleichungen der tiefengemittelten Strömung dazu herangezogen werden, das Querprofil der tiefengemittelten Geschwindigkeit bei veränderlicher Wassertiefe zu bestimmen.

9.5.1 Die tiefengemittelten Impulsgleichungen mit turbulenter Viskosität Auch in den tiefengemittelten Impulsgleichungen (3.2) muss man die viskos-turbulenten Spannungen berücksichtigen. Mit den entsprechenden Zusatztermen lauten diese dann in Indexschreibweise:   1 ∂ ∂ zS 1 τBi 1 τWind,i ∂ ui ∂ ui ∂ ui hνt + fi,tide . +uj + + = −g − ∂t ∂xj ∂ xi h ρ h ρ h ∂xj ∂xj

 Reynoldsspannungen Wir wollen diese für die Hauptströmung u lösen und dazu zunächst vereinfachen. Geht man im Ästuar davon aus, dass es keine Querströmung (v = 0) gibt und dass die Änderung der Hauptströmung u in Hauptströmungsrichtung sehr klein ist (∂ u/∂ x = 0), dann fallen die advektiven Terme u j ∂ u/∂ x j = 0 weg. Ohne Wind und gezeitenerzeugende Kräfte bleibt:   ∂u ∂u ∂ zS 1 τB 1 ∂ = −g − + hνt . ∂t ∂x h ρ h ∂y ∂y Für die Sohlschubspannung wird die Formel von Nikuradse verwendet. Das Wasserstandsgefälle ist von der Tidephase abhängig. Es ist für eine Tidewelle der Amplidude A und der Wellenzahl k durch

246

9 Turbulente Strömungen in Küstengewässern

∂ zS = Ak cos(ωt) ∂x gegeben. Es bleibt, die turbulente Viskosität in einem tiefengemittelten Modell zu spezifizieren.

9.5.2 Der Ansatz von Elder Den Ansatz von Elder [14] zur Bestimmung der turbulenten Viskosität in tiefengemittelten Modellen basiert einfach auf der Mittlung der parabolischen Wirbelviskosität (9.2) über die Vertikale: 1 νt = κu∗ h. 6 Dieser Ansatz liefert nun vor allem dort turbulente Viskositäten, wo die Wassertiefe oder die Sohlschubspannung sehr groß ist. Die theoretisch vorhergesagte Proportionalitätskonstante κ/6 ist in vielen Anwendungen allerdings zu klein. Deshalb setzte Elder: " 6.0u∗ h im Strömungsrichtung νt = 0.6u∗ h transversal zur Strömungsrichtung Abbildung 9.12 zeigt die Verteilung der tiefenintegrierten turbulenten Viskosität nach dem Ansatz von Elder im Jade-Weser-Gebiet. Deutlich ist dabei das Fahrwasser der Weser und damit die Tiefenabhängigkeit des Ansatzes zu erkennen.

9.5.3 Numerische Lösung der Impulsgleichung über den Querschnitt Die vereinfachte Impulsgleichung über den Querschnitt lässt sich zwar noch mit einem Tabellenkalkulationsprogramm mit Hilfe von Finite-Differenzen-Verfahren lösen, wenn man für jeden Zeitschritt eine Zeile (oder Spalte) reserviert. Dies ist allerdings schon recht umständlich. Konfortabler ist hier die Anwendung einer numerische Software wie MATLAB® . Dort kann man entweder einen Gleichungslöser für parabolische Probleme verwenden oder die rechte Seite mit finiten Differenzen diskretisieren und einen Löser für gewöhnliche Differentialgleichungen anwenden.

9.5.4 Von der tiefengemittelten Geschwindigkeit zum vertikalen Profil Kennt man durch eine solche Vorgehensweise die tiefengemittelte Geschwindigkeit u, dann kann man hieraus recht einfach auf das gesamte vertikale Profil schließen. Schauen wir dazu nochmals auf die Definition der tiefengemittelten Geschwindigkeit. Diese erhält man durch die Integration des Geschwindigkeitsfeldes über die Vertikale zwischen Boden und Wasseroberfläche und anschließende Division durch die Wassertiefe: 1 u= h

zS

u(z)dz. zB

9.5 Das Querprofil der Tidegeschwindigkeit

34

30.

34 0

40.

34 0

50.

34 0

60.

247

34 0

30.

34 0

40.

34 0

50.

34 0

60.

0

60. 59 0

50. 59 0

40. 59

59

40.

0

59

50.

0

59

60.

0

Ist - turbulente Wirbelviskositaet

0

Ist - turbulente Wirbelviskositaet

HN-Verfahren Telemac-2D

developed by EDF, Chatou

developed by EDF, Chatou 30. 59 0

20. 59

59

20.

0

59

30.

0

IBP

HN-Verfahren Telemac-2D

0

IBP

Zeitpunkt: 13.06.1990-20:40

Zeitpunkt: 13.06.1990-20:40

Topographie mNN

-2.5

-1.25

0

1.25

Topographie mNN

2.5

-2.5

-1.25

0

turbulente Wirbelviskositaet m**2/s

0

0

5.00

1.2

2.4

3.6

2.5

turbulente Wirbelviskositaet m**2/s

5.

0

10.00 km

0

Programm HVIEW2D

1.25

5.00

.05

.10

.15

.2

10.00 km

26.04.2000

Programm HVIEW2D

28.04.2000

Abbildung 9.12: Modellierung der tiefenintegrierten turbulenten Viskosität mit dem Ansatz von Elder (links) und dem wesentlich komplexeren k-ε-Modell (rechts) im Mündungsgebiet des Jade-Weser-Ästuars bei ablaufendem Wasser (Quelle: BAW). Erteres reagiert direkt auf die Wassertiefe, während zweiteres die Turbulenz auch transportiert. Hierdurch entsteht eine gleichmäßigere Verteilung der turbulenten Viskosität in den tiefen Rinnen.

Für das logarithmische Geschwindigkeitsprofil ist diese 1 u= h

h z0

u∗ z ln dz, κ z0

mit dem Ergebnis:     h z0 u∗ z0 h h ln + − 1 = 2.44u∗ ln  2.44u∗ ln u= + κ z0 h 2.718z0 h 2.718z0

(9.4)

In der Regel ist die Wassertiefe h weitaus größer als die Nullpunkthöhe z0 , so dass der zweite Term in der Klammer zumeist vernachlässigt wird, was im letzten Teil zum Ausdruck gekommen ist. Eliminiert man mit Gleichung (9.4) u∗ aus dem Geschwindgkeitsprofil   z u  ln u(z) =  , z0 h z 0 ln 2.718z0 + h

248

9 Turbulente Strömungen in Küstengewässern

0

1.6 1.4

−2

1.2 −4 1 −6 0.8 −8

0.6

−10

0.4

−12

0.2

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0

Abbildung 9.13: Simuliertes Geschwindigkeitsprofil in der Weser. Die Topographie wurde den Werten in Abbildung 9.1 nachempfunden. Dann wurde die Querverteilung der tiefengemittelten Geschwindigkeit berechnet und mit dem logarithmischen Profil auf die Vertikale ausgedehnt. Hierauf wurden zufällige Geschwindigkeitsfluktuationen aufgegeben, deren Wahrscheinlichkeit normalverteilt ist.

dann sind wir nun in der Lage, jeder tiefengemittelten Geschwindigkeit ein logarithmisches Geschwindigkeitsprofil zuzuordnen, wenn man Profilnullpunkt und natürlich die Wassertiefe kennt. Das Ergebnis dieses Verfahrens ist in Abbildung 9.13 zu sehen. Es zeigt von den Größenordnungen eine recht gute Übereinstimmung mit den in der Weser gemessenen Daten, womit wir gezeigt haben, dass es möglich ist, die Geschwindigkeitsverteilung der Gezeiten zunächst tiefengemittelt zu berechnen, dann logarithmisch über die Vertikale auszudehnen und schließlich stochastisch zu variieren, um den Einfluss der Turbulenzen zu berücksichtigen.

9.6 Zusammenfassung Das sich unter der Gezeitenströmung einstellende Geschwindigkeitsprofil hängt in komplexer Weise von den topographischen Gegebenheiten, der Sohlrauheit, der Windschubspannung und dem Seegangsklima ab. Es kann in Sohlnähe durch das logarithmische Geschwindigkeitsprofil approximiert werden. Unter dieser Annahme kann man ein zweidimensionales Datenmodell zur Beschreibung der Strömungen durch das Tripel • Wassertiefe h • Sohlschubspannungsgeschwindigkeit u∗ • Sohlrauheit ks definieren. Hiermit lassen sich sowohl die Geschwindigkeitsverteilung als auch die Turbulenzverhältnisse hinreichend genau charakterisieren.

10 Die Grenzschicht unter Wellen Bei den Gezeitenströmungen haben wir im vorangegangenen Kapitel festgestellt, dass deren Geschwindigkeitsprofil ganz entscheidend vom Grad der Turbulenz abhängt, die in die turbulente Viskosität eingeht. In diesem Kapitel wollen wir uns wieder den Seegangswellen zuwenden und deren Geschwindigkeitsprofil unter dem Einfluss der Turbulenz untersuchen. Dabei ist unser vorrangiges Ziel, das Geschwindigkeitsprofil der Wellen an der Sohle zu verbessern. Dort haben die idealen, d. h. reibungsfreien hydromechanischen Theorien die größten Schwächen, da z. B. in der Airyschen Theorie an der Sohle Orbitalgeschwindigkeiten entstehen, die nach Gleichung (5.10) im Widerspruch zur Stokesschen Wandhaftbedingung von Null verschieden sind. Genau hier verliert die Welle aber ein Großteil ihrer Energie, da sie fortfährend durch den Sohlkontakt gebremst wird. Wir wollen daher in diesem Kapitel unsere Wellentheorie so verbessern, dass sie auch das Verhalten der Strömung in der Grenzschicht zum Boden berücksichtigt und eine instationäre Grenzschichttheorie entwickeln. Die dabei entwickelte Hydromechanik ist schon äußerst anspruchsvoll und verbessert nur die untersten Zentimeter des Geschwindigkeitsprofils unter Wellen. Genau dieses sohlnahe Geschwindigkeitsprofil bestimmt aber die Belastung der Sohle und damit die Sohlschubspannung. Diese wiederum entscheidet über die Stabilität der Sohle. Sind die wirkenden Sohlschubspannungen zu groß, werden die anstehenden Sedimente in Bewegung gesetzt und die damit verbunden klein- und großräumigen Sedimenttransportprozesse verändern die Morphologie des Küstengewässers.

10.1 Die Grenzschichtgleichung für Wellen Nach Schlichting [69] besteht die grundlegende Idee des Grenzschichtkonzepts darin, die Strömung in zwei unterschiedliche Gebiete aufzuteilen. In der Grenzschicht zu einer Berandung wie der Gewässersohle sind die Geschwindigkeitsgradienten groß und die viskosen Terme nicht vernachlässigbar. Hier starten wir wieder mit der instationären Grenzschichtgleichung: ∂ p ∂ τzx ∂u =− + . ∂t ∂x ∂z Außerhalb der Grenzschicht sind die Geschwindigkeitsgradienten klein, die viskosen Terme zu vernachlässigen und die Ergebnisse der idealen, reibungsfreien Hydromechanik anwendbar. Für Seegangswellen bedeutet dies, dass die Airytheorie mit ihren Lösungen für die Orbitalgeschwindigkeiten über der sohlnahen Grenzschicht gültig bleibt. Von der Orbitalgeschwindigkeit uwB an der Sohle ρ

uwB =

Aω sin (kx − ωt) := uwm B sin (kx − ωt) sinh kh

A. Malcherek, Gezeiten und Wellen, DOI 10.1007/978-3-8348-9764-0_11, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

250

10 Die Grenzschicht unter Wellen

L

z

zS

Geschwindigkeitsprofil der Gezeiten

hGr

Orbitalgeschwindigkeit der Wellen

dS x

Abbildung 10.1: Zum Problem der Grenzschicht unter Wellen und Gezeitenströmungen: Direkt an der Sohle muss die Geschwindigkeit Null sein. Wie schnell steigt sie dann über welchen Bereich hGr an?

wird nun postuliert, dass sie nicht an der Sohle, sondern auf dem oberen Rand der Grenzschicht angenommen wird. Wie sich diese sohlnahe Orbitalgeschwindigkeit zum Boden hin weiter entwickelt und welche Sohlbelastungen hiermit verbunden sind, soll in diesem Kapitel eingehend untersucht werden. Am oberen Rand der Grenzschicht sind die inneren Spannungen τzx gerade noch zu vernachlässigen und die Geschwindigkeit dort entspricht nun der Orbitalgeschwindigkeit uB . Damit wird die Impulsgleichung dort zu: −

∂p ∂ uB =ρ ∂x ∂t

mit

uB (x,t) = uwm B sin (kx − ωt) .

In der als sehr dünn angenommenen Grenzschicht geht man nun davon aus, dass diese horizontale Druckableitung über die Grenzschichtdicke konstant bleibt. Diese Annahme ist in Gerinneströmungen nicht gültig; hier war der Druckabfall durch das Gefälle des Wasserspiegels gekennzeichnet. Nun kann man diese Bedingung in die instationäre Grenzschichtgleichung einsetzen und hat es dort neben der Geschwindigkeit nur noch mit der inneren Spannung zu tun: ρ

∂ u ∂ τzx = − ρuwm B ω cos (kx − ωt) . ∂t ∂z

(10.1)

Die Belastung der Wellengrenzschicht durch die darübergleitende Welle ist also zeit- und ortsabhängig. Das Problem wird wesentlich vereinfacht, wenn man zunächst die Ortsabhängigkeit

10.1 Die Grenzschichtgleichung für Wellen

251

Instationäre Grenzschichten  

PP



  )

PP

PP

Wellengrenzschicht

PP q P

Oszillierende Grenzschicht   )

PP PP   P 



Integralverfahren

PP PP q Feldverfahren

Abbildung 10.2: Synopsis zur theoretischen Behandlung von instationären Grenzschichten.

vernachlässigt, also keine Welle mehr, sondern eine oszillierende, in x-Richtung homogene Belastung annimmt: ρ

∂ u ∂ τzx = − ρuwm B ω cos (ωt) . ∂t ∂z

Man hat es dann nur noch mit einer Grenzschichtströmung zu tun, die zeitlich oszilliert, die horizontale Struktur der Welle aber nicht mehr auflöst (Abbildung 10.2). Als Randbedingungen des Problems ist an der Sohle die Stokessche Wandhaftbedingung uB = 0 vorzugeben. Bei einer rauen Sohle wird dieser Wert nicht direkt am Boden, sondern an einer Rauheitshöhe z0 angenommen. Die andere Randbedingung gilt am oberen Rand der Grenzschicht z = hGr . Hier soll die Geschwindigkeitssteigung Null sein, da sie diesen Wert in der idealen Wellentheorie an der Sohle annimmt. Die Grenzschichtgleichung wird dann lösbar, wenn die Abhängigkeit der inneren Spannungen τzx von der Geschwindigkeit bekannt ist. Dies ist bei laminaren Strömungen der Fall. Bei turbulenten Strömungen kennt man aber die exakte Form der Wirbelviskosität und damit auch die genaue Abhängigkeit der inneren Spannungen von der Geschwindigkeit nicht. Daher muss hier iterativ vorgegangen werden. Setzt man dabei das Geschwindigkeitsprofil als bekannt voraus, indem man etwa die logarithmische Form annimmt, dann spricht man von einem Integralverfahren, da man die instationäre Grenzschichtgleichung dann über die Vertikale z integrieren und so eine Lösung für den Verlauf der inneren Spannungen gewinnen kann.

252

10 Die Grenzschicht unter Wellen

Bei den Feldverfahren werden die turbulenten Spannungen bzw. das Mischungswegprofil als bekannt vorausgesetzt und die sich dann ergebende Differentialgleichung für das Geschwindigkeitsfeld gelöst. Wir wollen im Folgenden die laminare und die turbulente Wellengrenzschicht mit einem klassichen Feldverfahren erkunden. Im Vergleich zu Feldverfahren sind Integralverfahren ersteren aus theoretischen Gesichtspunkten unterlegen. Während die Feldverfahren lediglich Annahmen zur Verteilung der vertikalen turbulenten Viskosität machen, müssen die Integralverfahren das gesamte Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschicht voraussetzen. Die maximale Orbitalgeschwindigkeit über der Grenzschicht Dem Maximalwert der Orbitalgeschwindigkeit am oberen Rand der Grenzschicht Aω sinh kh kommt nun eine besondere Bedeutung zu. Er ist in Abbildung 10.3 für eine Welle mit einer Amplitude von nur 10 cm dargestellt. Eine solche Welle erzeugt sohlnahe Geschwindigkeiten im Bereich von Dezimetern pro Sekunde, wenn die Wellenlänge etwa doppelt so groß wie die Wassertiefe ist. uwm B =

Die Definition der Sohlschubspannung Die Sohlschubspannung ist neben dem Wasserstand und der Strömungsgeschwindigkeit vielleicht die dritte wichtige gesuchte Größe in der Hydromechanik der Küstengewässer. Sie quantifiziert die Belastung des Küstenbodens und entscheidet darüber, ob dieser stabil ist oder ob Sedimenttransporte induziert werden. Ferner dissipiert die Sohlschubspannung kinetische Strömungsenergie. Deshalb hatten wir sie als Senkenterm in den tiefengemittelten Impulsgleichungen berücksichtigt. Für eine stationäre Gerinneströmung kann die Sohlschubspannung mit Hilfe der Nikuradseformel abgeschätzt werden, die in Kapitel 4.3 vorgestellt wurde. Tatsächlich stellt diese Formel aber nur eine recht gute Abschätzung dar, und es soll nicht unerwähnt bleiben, dass es noch weitere Formeln wie die von Strickler oder Chezy gibt. Die hydromechanisch exakte Definition der Sohlschubspannung kann aus dem Tensor der viskosen inneren Spannungen abgeleitet werden, indem man diesen auf die Sohlfläche projiziert. Ist diese im einfachsten Fall eine horizontale Fläche in der xy-Ebene, dann ist der Normaleneinheitsvektor in dieser Ebene ⎛

⎞ 0 n = ⎝ 0 ⎠ 1 und vom Tensor der inneren Spannungen bleiben in der Sohlebene:   ∂ ui ∂ w τ = Pn = (τiz ) = ρν + . ∂ z ∂ xi

10.1 Die Grenzschichtgleichung für Wellen

253

Max. Orbitalgeschwindigkeit an der Sohle [m/s]

1

Wellenlänge 1 m

0,9

Wellenlänge 2 m Wellenlänge 5 m 0,8

Wellenlänge 10 m Wellenlänge 20 m

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Wassertiefe h [m]

Abbildung 10.3: Die maximale Orbitalgeschwindigkeit an der Sohle für eine Welle einer Amplitude von 10 cm ist grundsätzlich umso kleiner, je tiefer das Wasser ist. Sie steigt aber auch mit zunehmender Wellenlänge. Lange Wellen dringen also tiefer in den Wasserkörper ein.

In der Regel sind die vertikalen Variationen (Ableitungen nach z) der Geschwindigkeit größer als die horizontalen (Ableitungen nach x und y). Die dritte Komponente des Spannungsvektors ist normal zur Bodenfläche orientiert. Als Sohlschubspannung bezeichnet man daher nur die horizontalen, scherenden Spannungen in der Sohlfläche: ⎛

⎞ ∂u ⎜ ∂z ⎟ ⎟ τB = ρν ⎜ ⎜ ⎟. ⎝ ∂v ⎠ ∂z Tatsächlich ist also die Sohlschubspannung umso größer, je steiler die Geschwindigkeit direkt über der Sohlfläche ansteigt. Die exakte Bestimmung der Sohlschubspannung hängt also von der exakten Bestimmung der Geschwindigkeitssteigung über der Sohle ab. Wider alle Erfahrung üben Wellen nach der idealen Airytheorie keine Schubspannung auf die Sohle aus. Betrachtet man dazu den Verlauf der Orbitalgeschwindigkeiten in Abbildung 5.5, dann ist an der Sohle keine vertikale Steigung zu erkennen, was auch die analytische Lösung bestätigt. Das Geschwindigkeitsfeld gleitet hiernach also reibungsfrei über die Sohle. Diese sicherlich nicht richtige theoretische Folgerung soll im Folgenden verbessert werden.

254

10 Die Grenzschicht unter Wellen

10.2 Die oszillierende laminare Grenzschichtströmung Auch wenn die Strömungen in Küstengewässern immer turbulent sind, wollen wir uns die laminare oszillierende Grenzschichtströmung anschauen, da man hier die inneren Spannungen kennt. Sie haben die Form τzx = ρν

∂u ∂z

und somit wird die Grenzschichtgleichung einer oszillierenden Strömung zu: ∂u ∂ 2u = ν 2 + uwm B ω cos(ωt). ∂t ∂z Zusammen mit den Randbedingungen kann man das Problem nun numerisch lösen oder dem analytischen Lösungsweg folgen, wie er z. B. in Lambs Standardwerk zur theoretischen Hydrodynamik [39] dargestellt ist. Danach ist die analytische Lösung in Sohlnähe:   −z/δS u(z,t) = −uwm sin(ωt) − e sin(ωt − z/δ ) . S B Das in dieser Gleichung neu auftauchende Längenmaß  2ν δS := ω wird auch als Stokeslänge bezeichnet, da die Untersuchung der oszillierenden Grenzschicht auf ihn zurückgeht. Sie ist ein Maß für die Grenzschichtdicke, die für die Viskosität von Wasser für eine Welle mit einer Periode von 3 Sekunden z. B. 1 mm beträgt. Über diese Länge steigt die Geschwindigkeit von Null auf die maximale sohlnahe Orbitalgeschwindigkeit. Es ist klar, dass letztere dabei nicht allzu groß sein darf, wenn die Verhältnisse nicht turbulent werden sollen. Die Geschwindigkeitsprofile sind in Abbildung 10.4 über den Verlauf einer Periode dargestellt. Sie sind für laminare Strömungen gut experimentell bestätigt [35]. Man erkennt, dass die tatsächliche Grenzschichtdicke etwa dem vierfachen der Stokeslänge entspricht, die größten Geschwindigkeitsgradienten allerdings in der ersten Stokeslänge über dem Boden auftreten. Die Besonderheit dieser Profile ist die Tatsache, dass die Geschwindigkeit nicht monoton zur Sohle hin abnimmt. Vielmehr wird die Geschwindigkeit mit einer Zeitverzögerung der sohlnahen Orbitalgeschwindigkeit hinterhergezogen. Hierdurch entstehen direkt an der Sohle natürlich wesentlich höhere Steigungen des Geschwindigkeitsprofils. Genau dieses ist proportional zur Sohlschubspannung, die man durch Ableitung nach z berechnen kann: π  √ π wm sin(ωt + ). /δ (sin(ωt) + cos(ωt)) = −ρu 2νω sin τB (t) = −ρνuwm S B B 4 4 Obwohl die Sohlschubspannung periodisch oszilliert, ist sie nicht mit der Orbitalgeschwindigkeit in Phase, sondern hinkt dieser um 7π/4 hinterher. Diese instationäre Grenzschichttheorie der Wellen scheint auch auf Gezeitenwellen anwendbar zu sein. Für diese hatten wir im vorangegangenen Kapitel das Geschwindigkeitsprofil unter der

10.3 Die oszillierende turbulente Grenzschicht

255

4

3 ,5

R e l. H ö h e ü b e r d e r S o h le z /@

S

3

2 ,5

2

1 ,5

1

0 ,5

0 -0 ,4

-0 ,2

0

0 ,2

0 ,4

0 ,6

R e l. O r b ita lg e s c h w in d ig k e it u /u

0 ,8

1

1 ,2

m a x

Abbildung 10.4: Das viskose Grenzschichtprofil einer oszillierenden Strömung.

Annahme stationärer Bedingungen hergeleitet. Die angenommenen Verhältnisse sollten dabei so langsam variieren, dass das vertikale Profil sich sich immer auf sie einstellen kann. Tatsächlich kann man aber auch im Vertikalprofil der Tidestromgeschwindigkeit transiente Zustände erkennen. Dies zeigt ein Blick auf die Abbildung 10.5, in der die verschiedenen Geschwindigkeitsprofile aus einem Tidezyklus eines dreidimensionalen numerischen Modells dargestellt sind. Bis auf eines zeigen alle Profile ein kontinuierliches Ansteigen bis zur Wasseroberfläche. Das Profil mit den kleinsten Geschwindigkeiten in der Nähe des Kenterpunktes zeigt aber einen transienten Zustand: Die Geschwindigkeit kippt in Oberflächennähe schon in die Richtung der neuen Tidephase, während die sohlnahen Geschwindigkeiten hartnäckig noch die Richtung der alten Tidephase beibehalten wollen. Somit scheinen sich Gezeitenwellen so zu verhalten, als ob ihre Grenzschicht die gesamte Wassersäule überdeckt. Übung 54: Berechnen Sie die Stokeslänge für die M2 -Gezeit. Was besagt dieses Ergebnis?

10.3 Die oszillierende turbulente Grenzschicht Um den turbulenten Charakter der Grenzschicht in einer oszillierenden Strömung zu berücksichtigen, muss die molekulare Viskosität durch ein turbulentes Viskositätsprofil oder allgemeiner die inneren viskosen durch die turbulenten Spannungen ersetzt werden.

10 Die Grenzschicht unter Wellen

z-Koordinate m

256

2. 0 -2. -4. -6. -8. -10. -12. -14. -16. -18. -20. 0

0.05

0.1 0.15

0.2 0.25 0.3

0.35

0.4 0.45

0.5 0.55

0.6 0.65

0.7 0.75

0.8 0.85 0.9

0.95

1. 1.05

1.1 1.15

1.2 1.25

1.3 1.35

1.4

Stroemungsgeschwindigkeit m/s

Abbildung 10.5: Vertikale Geschwindigkeitsprofile der Gezeitenströmung in der Weser. Dargestellt ist jede Stunde der Betrag der sich aus einem 3D-Modell ergebenden Strömungsgeschwindigkeit (Quelle: BAW).

10.3.1 Die turbulente Viskosität in der Grenzschicht unter Wellen Bei einem Feldverfahren startet man mit einer Annahme über den Verlauf der turbulenten Viskosität über die Wassersäule. Wir wollen diese Überlegungen auf die Grenzschicht am Boden begrenzen. Als Startpunkt nehmen wir das parabolische Wirbelviskositätsprofil (9.2), welches nach der Mischungsweginterpretation einfach die Entfaltungsgröße der Wirbel am Boden begrenzt. In der bodennahen Grenzschicht ist dieses einfach durch die linear ansteigende Funktion νt (z) = κumax ∗ z die Sohlschubspannungsgeschwindigkeit bezeichnet, die approximierbar. Wieder wird mit umax ∗  sich aus der Sohlschubspannung als umax = τB /ρ berechnet. Im Unterschied zur Fluss- oder ∗ Gezeitenströmung wurde hier aber ein max hinzugefügt, mit dem es folgende Bewandnis hat: Der Wirbelviskositätsansatz geht allgemein davon aus, dass die turbulente Viskosität mit der Sohlschubspannung steigt, denn der starke Abfall der Geschwindigkeit in der Bodengrenzschicht produziert im Wesentlichen die turbulente kinetische Energie. Hat man es mit einer Oberflächenwelle zu tun, deren Periode im Sekundenbereich liegt, so ist fraglich, ob die turbulenten Fluktuationen im Laufe einer Wellenperiode vollständig verschwinden und wieder ansteigen. Messungen zeigen, dass die Intensität der turbulenten Fluktuationen in so einem kurzen Zeitraum nahezu konstant bleibt, die Dissipation an turbulenter kinetischer Energie also langsamer vonstatten geht. Somit setzt man die maximale, sich einstellende Sohlschubspannung während der gesamten Wellenperiode an, um die turbulente Viskosität zu berechnen. Von dieser Grundannahme ausgehend gibt es über den Verlauf der turbulenten Viskosität in der Wellengrenzschicht aber viele Ansätze, die in Abbildung (10.6) zusammenfassend verglichen werden. Von der Sohle beginnend starten fast alle Modelle bei einem Wert Null für die Wirbelviskosität, die dann linear oder quadratisch ansteigt. Natürlich sollte sie hierbei nicht ganz auf Null gehen, sondern irgendwann den Wert der molekularen Viskosität νmol = 10−6 m2 /s annehmen.

10.3 Die oszillierende turbulente Grenzschicht

257

sw z2 z1

nmol

sw nT

nT

Kajiura (1968)

sw

sw nT

Lundgren (1972)

Smith (1977)

sw

sw

z=D

s0

nT

nT

Grant & Madsen (1979)

nT

Brevik (1981)

Myrhaug (1982)

sw s0

nT Myrhaug (1984)

sw

nT

Christoffersen & Jonsson (1985) Modell I

sw

nT

Christoffersen & Jonsson (1985) Modell II

Abbildung 10.6: Modelle zur Wirbelviskosität unter Wellen in der Grenzschicht zum Boden (nach [16]).

Dieser Sachverhalt ist lediglich in dem Modell von Kajiura [31] berücksichtigt. Er verwendete 1968 für die Wirbelviskosität ein Dreischichtenmodell, um das turbulente Geschwindigkeitsprofil unter Wellen zu bestimmen. Dies gilt allerdings nur für eine glatte Sohle, ansonsten νt = 2.71κumax ∗ h1 , wobei h1 die Höhe der inneren Schicht ist. Im Übergangsbereich steigt die turbulente Viskosität linear nach νt = max κumax ∗ z und im äußeren Bereich ist sie wieder konstant, νt = κu∗ h2 , wobei h2 die Höhe der oberen Grenze der Übergangsschicht ist. In der historischen Entwicklung der Wirbelviskositätsprofile scheint es manchmal auch Rückschritte zu einfacheren Modellen zu geben. So nahm Brevik [8] ein im Vergleich zu Kajuira we-

258

10 Die Grenzschicht unter Wellen

12

Rel. Höhe über der Sohle z/ δ

s

10

8

6

4

2

0 −1

−0.5

0

0.5

1

wm

Rel. Orbitalgeschwindigkeit u/uB

Abbildung 10.7: Das Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschicht einer Welle über einer rauen Sohle (umax = uwm ∗ B ) soll (nahezu) logarithmisch sein.

sentlich einfacheres Zweischichtenmodell an, wobei dieses von der Sohle bis zur Grenzschichtomax berkante durch νt = κumax ∗ z und von da an durch den konstanten Wert νt = κu∗ δ beschrieben werden kann. Dies lag dann daran, dass Brevik die Modellgleichungen weniger vereinfachte, und im Unterschied zu Kajiura die Änderung der Wirbelviskosität unter der Ableitung berücksichtigte.

10.3.2 Das turbulente Geschwindigkeitsprofil über glatter und rauer Sohle Bis zur Erfindung des Computers war man auf analytische Lösungen der Grenzschichtgleichung angewiesen und musste deshalb möglichst einfache Ansätze für die Wirbelviskosität bevorzugen. Heute kann man die Grenzschichtgleichungen numerisch mit beliebigen Ansätzen für die Wirbelviskosität lösen. Die maximale Wellenorbitalgeschwindigkeit umax muss dabei von Zeitschritt zu Zeitschritt ∗ jeweils durch Maximumbildung    ∂u u∗ = max u∗ , νt ∂z gewonnen werden. Die Lösungen sehen der Form nach der laminaren Lösung sehr ähnlich. Dies betrifft den zeitlichen Verzug der Geschwindigkeitsentwicklung in Sohlnähe gegenüber den Werten an der oberen

10.3 Die oszillierende turbulente Grenzschicht

259

Kante der Grenzschicht. Aber auch die Höhe der Grenzschicht, die dadurch gekennzeichnet ist, dass die Geschwindigkeit sich hier nicht mehr ändert, hat bei der turbulenten Strömung über eine glatte Sohle sehr ähnliche Werte. Unterschiede zeigen sich erst, wenn man eine raue Sohle annimmt, die man durch eine künstliche Erhöhung der maximalen Sohlschubspannungsgeschwindigkeit darstellen kann. Abbildung 10.7 zeigt dies für ein Wirbelviskositätsprofil nach Brevik, welches auch die molekulare Viskosität des Wassers berücksichtigt: νt = νmol + κumax ∗ z. Die maximale Sohlschubspannungsgeschwindigkeit hat hier den Wert der maximalen Orbitalgeschwindigkeit am Boden. Das Geschwindigkeitsprofil bekommt nun Ähnlichkeit mit dem logarithmischen Grenzschichtprofil, was umso deutlicher ist, je rauer die Sohle und je größer umax wird. ∗ Grant und Madsen [20] gingen deshalb im Fall einer turbulenten Wellenbewegung über einer rauen Sohle von einem logarithmischen Geschwindigkeitsprofil der Form u(z,t) =  ln

uwm B  max 2

κu∗ ωz0

 +

 π 2

ln

z z0

 cos (ωt + φ )

2

aus. Der Wert z0 ist auch hier der Profilnullpunkt, der mit der Höhe der Rauheitselemente korreliert. Wie im laminaren Fall ist die Geschwindigkeit in der Grenzschicht wieder gegenüber der Geschwindigkeit in der freien Wassersäule phasenverschoben; wobei der Winkel als tan φ =

π/2 ln κuωz∗ 0 − 1.15 max

berechnet werden kann. Mit diesem Profil kann nun wieder die Sohlschubspannung mit Hilfe ihrer Definitionsgleichung τBw = ρνt (z)

∂u ∂u = ρκumax ∗ z ∂z ∂z

bestimmt werden. Man erhält die implizite Bestimmungsgleichung τBw = ρκumax ∗  ln

uwm B  max 2

κu∗ ωz0

+

 π 2

cos (ωt + φ ) ,

2

die die Sohlschubspannung zwar auf der linken Seite, aber auch ihren Maximalwert umax auf ∗ der rechten Seite enthält. Bevor wir diese weiter analysieren, sei festgestellt, dass die Sohlschubspannung ebenfalls periodisch oszilliert. Ferner ist sie proportional zum Produkt zweier Geschwindigkeiten.

260

10 Die Grenzschicht unter Wellen

10.3.3 Die Sohlschubspannungsformel von Bagnold Zur praktischen Berechnung der Sohlschubspannung unter Wellen hat sich aber ein anderer Ansatz durchgesetzt, der schon 1946 von Bagnold eingeführt wurde. Er setzte diese proportional zum Quadrat der einfach berechenbaren maximalen Orbitalgeschwindigkeit am Boden an, τBw =

1 wm fw ρuwm B uB cos (ωt) , 2

wobei die Phasenverschiebung φ weggelassen wurde, da sie irrelevant ist, wenn man sich nur für die Sohlschubspannung interessiert. Hinzu kommt ein Proportionalitätsfaktor f w , der als Sohlrauheitsbeiwert bezeichnet wird. Diesen kann man durch das Gleichsetzen mit dem logarithmischen Profil aus der Wellengrenzschichttheorie quantifizieren. Man bekommt die folgende Bestimmungsgleichung für den Sohlrauheitsbeiwert fw unter Wellen fw =

umax ∗  uwm B

ln

2κ  max 2

κu∗ ωz0

+

 π 2

,

(10.2)

2

unbekannt ist. Wird in der noch die Schubspannungsgeschwindigkeit der Wirbelviskosität umax ∗ die Bodengrenzschicht nur durch Wellen belastet, dann gilt für diese:  umax ∗

=

fw wm u , 2 B

Hiermit wird die Bestimmungsgleichung für den Sohlrauheitsbeiwert f w leider implizit: 

κ fw =   2   ,  2 2 + π2 ln 30κ fw /2AB /ks

wobei der Zusammenhang zwischen dem Nullpunkt des logarithmischen Geschwindigkeitsprofils und der äquivalenten Rauheit nach Nikuradse z0 = ks /30 und die sohlnahe Maximalauslenkung der Orbitalbewegung AB =

uwm A B = ω sinh kh

eingeführt wurden. Letztere parametrisiert die sohlnahe Maximalgeschwindigkeit über der Grenzschicht mit den messbaren Wellenparametern Amplitude, Wellenzahl und Wassertiefe. Diese implizite Bestimmungsgleichung für die Wellenrauheit wurde in der Folge sowohl theoretisch als auch experimentell durch verschiedene Ansätze verbessert. Hier seien die Folgenden aufgezählt:

10.3 Die oszillierende turbulente Grenzschicht

261

1

Rauheitsbeiwert fw

Swart Kajiura Kamphuis 0,1

0,01

0,001 1

10

100

1000

10000

Relative Wellenhöhe A/(ks sinh kh)

Abbildung 10.8: Der Reibungsbeiwert für Wellen nach Kajiura (durchgezogene Linie), Swart (gepunktete Linie) und Kamphuis (gestrichelte Linie).

• Grant und Madsen (1979) [19]:  1 AB + log √ = log − 0.17 + 0.96 fw ks 4 fw 4 fw 1 √

• Kajiura (1968) [31]: 1 1 A √ + log √ = −0.254 + log B ks 4.05 fw 4 fw • Jonsson und Lundgren (1964) [30] 1 1 A √ + log √ = −0.08 + log B ks 4 fw 4 fw • Kamphuis (1975) [32] 1 4 A 1 √ + log √ = −0.35 + log B 3 ks 4 fw 4 fw 

ks fw = 0.4 AB mit ks = 2d90 .

für

AB /ks < 50

0.75 für

50 < AB /ks < 100

262

10 Die Grenzschicht unter Wellen

Die vom Typ her identischen impliziten Gleichungen für die Wellenreibung fw müssen iterativ gelöst werden. Diese Prozeduren benötigen schon fünf bis zehn Iterationen, um eine hinreichende Genauigkeit zu erzielen. Swart [75] hat daher eine explizite Berechnungsvorschrift vorgeschlagen, die da lautet:   ⎧   ⎨ 0.00251 exp 5.21 AB −0.19 falls AB > ks ks fw = (10.3) ⎩ 0.00251 exp (5.21) = 0.46 sonst Da diese für AB → 0 divergiert, wurde eine Einschränkung eingeführt, die fordert, dass die maximale Orbitalauslenkung an der Sohle die Kornrauheit schon überschreiten sollte. Der Vergleich in Abbildung 10.8 zeigt ein sehr ähnliches Verhalten der Ansätze von Kajiura und Swart, wenn das Bedeckungsverhältnis AB /ks größer als zehn ist.

10.3.4 Die Grenzschichtdicke Abschließend wollen wir die Grenzschichtdicke unter Wellen untersuchen. Sie ist dadurch definiert, dass an ihrer Oberkante δGr die Wellenorbitalgeschwindigkeit angenommen wird. Für sie erhält man somit den Zusammenhang: ⎛! ⎞  2   max 2 π ⎠ κu + , ln ∗ δGr = z0 exp ⎝ ωz0 2 Dieser Zusammenhang beinhaltet die inversen Funktionspaare Exponentialfunktion und Logarithmus sowie die Wurzel und das Quadrat. Könnte man also den aus der Phasenverschiebung resultierenden Term π/2 vernachlässigen, dann würde der Ausdruck in sich kollabierend viel einfacher. Daher lassen ihn Grant und Madsen zunächst weg und korrigieren dessen Wirkung durch eine Verdopplung der sich dann ergebenden Grenzschichtdicke: κumax ∗ . ω Sie wächst proportional zur Wellenperiode. Sehr lange Wellen, wie die Gezeiten, entwickeln also Grenzschichten mit logarithmischen Geschwindigkeitsprofil, die sich über die gesamte Wassersäule ausbreiten. Mit kürzer werdenden Perioden wird die Grenzschichtdicke immer kleiner. Dies liegt daran, dass kurze Wellen den Boden gar nicht mehr erreichen, weil ihr Geschwindigkeitsprofil sehr steil an der Wasseroberfläche abfällt. Bei ihnen findet die gesamte Energiedissipation also in den obersten Schichten der Wassersäule statt. δGr = 2

Übung 55: Schätzen Sie die Grenzschichtdicke unter einer M2 -Gezeitenwelle der Amplitude von 1 m in 8 m tiefem Wasser ab. 1. Bestimmen Sie zunächst die maximale, tiefengemittelte Strömungsgeschwindigkeit. 2. Berechnen Sie mit der Formel von Nikuradse die Sohlschubspannung und die Sohlschubspannungsgeschwindigkeit. 3. Bestimmen Sie nun die Grenzschichtdicke und vergleichen Sie diese mit der Wassertiefe.

10.3 Die oszillierende turbulente Grenzschicht

263

Sohlschubspannung in Abhängigkeit von der Amplitude für verschiedene Wellenlängen h=5m

5

L in m 10,00 10,50 11,00 12,00 13,00

maximale Sohlschubspannung ðB [kN/m²]

4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

2,20

Amplitude A [m]

Abbildung 10.9: Die Sohlschubspannung unter Wellen. Die Kurven hören am Brechpunkt nach Miche auf.

10.3.5 Der Maximalwert der Wellensohlschubspannung Der Maximalwert der welleninduzierten Sohlschubspannung bestimmt einerseits das welleninduzierte Turbulenzklima und geht in die Berechnung von umax und damit die turbulente Wirbel∗ viskosität ein. Er ist:

τBwm =

1 A2 ω 2 A2 gk tanh kh A2 gk 1 fw ρ . = fw ρ = fw ρ 2 2 2 sinh 2kh sinh kh 2 sinh kh

(10.4)

Zum anderen entscheidet der Maximalwert der Wellensohlschubspannung über die Mobilisierung von Sedimenten in Küstengewässern. Da der Nenner mit abnehmender Wassertiefe gegen Null konvergiert, hat die Wellensohlschubspannung einen erheblichen Einfluss in Flachwassergebieten. Abbildung 10.9 zeigt eine mit der Amplitude stark ansteigende Sohlschubspannung. Hohe Wellen werden also stärker als niedrige Wellen gedämpft. Erstaunlich ist zunächst jedoch, dass lange Wellen stärker als kurze Wellen gedämpft werden. Dies liegt daran, dass lange Wellen tiefer in die Wassersäule eindringen, also wesentlich mehr Grundberührung haben als kurze Wellen. Übung 56: Berechnen Sie die maximale Sohlschubspannung unter einer Welle von 10 m Länge und einer Amplitude von einem Meter in 20 m tiefem Wasser.

264

10 Die Grenzschicht unter Wellen

10.3.6 Wellenenergieverluste durch Sohlschubspannungen Bekommen Wellen in flacherem Wasser Grundberührung, so wird ihre Energie durch die Sohlschubspannung dissipiert. Hierbei gilt die allgemeine Beziehung: Dew = −ΦB Dt

mit

1 ΦB = T

T

uwB τBw dt.

0

Setzt man hier die Formel für die Sohlschubspannung unter Wellen und die Orbitalgeschwindigkeit an der Sohle ein, so bekommt man sehr schnell fw ρ ΦB = 2T

T 0

A3 ω 3 sin2 (ki xi − ωt)dt = 2 fw ρ sinh3 kh



ew k sinh 2kh

1.5 ,

was zur Bestimmung der Transformationseigenschaften ja schon verwendet wurde. In der Literatur (z. B. [36]) findet man einen ähnlichen Ansatz, wobei die Potenz allerdings eins ist. Dies liegt daran, dass man dort die Orbitalgeschwindigkeit nur quadratisch in den Verlustterm eingehen lässt und die fehlende dritte Potenz durch eine Multiplikation mit der Maximalgeschwindigkeit oder mit dem quadratischen Mittel der Geschwindigkeit ersetzt. Der Einfluss der Sohlschubspannung auf die Entwicklung der Wellenhöhe wird vor allen im Flachwasser markant sein. Hier lässt sich der Sinus hyperbolicus durch sein Argument ersetzen:  ew 1.5 ΦB = 2 f w ρ . 2h Hieraus resultiert eine Dämpfung der Amplitude analog zu denen bei Tidewellen. In der Literatur (z. B. [28]) findet man oftmals eine exponentielle Dämpfung der Amplitude als Konsequenz der Linearisierung der Sohlschubspannung. 

10.4 Die Kombination von Strömung und Welle In der Grenzschicht zur Sohle werden sowohl die Geschwindigkeiten der Gezeitenströmungen als auch der Orbitalbewegungen der Seegangswellen auf Null abgedämpft. Wir wollen nun eine Grenzschichttheorie entwickeln, die beide Strömungsarten hier verbindet. Dazu beginnen wir wieder mit der allgemeinen turbulenten Grenzschichtgleichung   1 ∂p ∂ ∂u ∂u =− + νt (z) ∂t ρ ∂x ∂z ∂z und zerlegen das Geschwindigkeitsfeld und den Druck dort in seinen Gezeitenströmungs- (u bzw. p) und seinen Wellenanteil uw bzw. pw . Da der Gezeitenströmungsanteil auf wesentlich längeren Zeitskalen als der Wellenanteil oszilliert, können wir diesen als quasistationär betrachten und vernachlässigen seine Zeitableitung:   ∂ uw 1 ∂ p + pw ∂ ∂ u + uw =− + νt (z) . ∂t ρ ∂x ∂z ∂z

10.4 Die Kombination von Strömung und Welle

τBwm    γ  π − γ    

265

τBc

Abbildung 10.10: Zur Definition des Winkels γ zwischen mittlerer Strömung und Wellenrichtung.

Die Gleichung ist in zwei Einzelanteile separierbar, wenn nur die Wirbelviskosität für Strömung und Welle dieselbe ist. Dies ist plausibel, da diese mit der vorhandenen Turbulenzintensität zusammenhängt, die auf beide Geschwindigkeitsanteile wirkt:   1 ∂p ∂ ∂u 0=− + νt (z) ρ ∂x ∂z ∂z   1 ∂ pw ∂ ∂ uw ∂ uw =− + νt (z) . ∂t ρ ∂x ∂z ∂z In beiden Gleichungen wird in der Grenzschicht (und nur dort) wieder eine zeitlich konstante Wirbelviskosität der Form νt = κumax ∗ z angenommen.

10.4.1 Die kombinierte Sohlschubspannungsgeschwindigkeit In die auf die mittlere Strömung und Welle wirkende Wirbelviskosität geht die maximale Sohlschubspannungsgeschwindigkeit umax ein. Sie ist das Resultat der bodennahen Turbulenzpro∗ duktion in der kombinierten Grenzschicht von mittlerer Strömung und Welle. Daher muss sie schon von Natur aus iterativ berechnet werden. Ihre Bestimmungsgleichung ergibt sich aus der Addition der einzelnen Sohlschubspannungen, wobei das zeitliche Maximum des Wellenanteils verwendet werden muss: max = τBc +τBwm . ρumax ∗ u∗ Für unsere Zwecke ist der Betrag der kombinierten maximalen Sohlschubspannungsgeschwindigkeit hinreichend. Mit der Einführung des Winkels γ zwischen der Wellen- und der Strömungsrichtung γ = arccos

τBc τBwm τc τwm  B

(10.5)

B

erhält man für den Betrag der Sohlschubspannungsgeschwindigkeit: !  1 = (τBc )2 + (τBwm )2 + 2τBc τBwm cos γ. umax ∗ ρ

(10.6)

266

10 Die Grenzschicht unter Wellen

Man beachte dabei, dass der Winkel zwischen Wellen- und Strömungsrichtung γ zwei Werte annehmen kann, da die Wellenbewegung in ihrer Richtung oszilliert. Es ist dabei der kleinere Wert zu nehmen (genauer: falls γ > π/2 nehme man γ = π − γ), da er zu der größeren Sohlschubspannung führt (siehe Abbildung 10.10).

10.4.2 Die Beeinflussung der mittleren Strömung durch Wellen Wir wollen uns zunächst der als quasistationär angenommenen Gezeitenströmung zuwenden und die Frage beantworten, wie das Vorhandensein von Seegangswellen sie beeinflusst. Ihr Geschwindigkeitsprofil wird durch die Gleichung   1 ∂p ∂ ∂u = νt (z) ρ ∂x ∂z ∂z beschrieben. Auf der linken Seite steht der Druck als die Gezeitenströmung antreibende Kraft, der als hydrostatisch angenommen werden kann. Damit wird der horizontale Druckgradient zu einem Wasserspiegelgradient, der durch die Sohlschubspannung der mittleren Strömung ausgeglichen wird. Es entsteht die Gleichungskette: ∂ zS τB (uc )2 1 ∂p =g =− =− ∗ . ρ ∂x ∂x ρh h Damit wird die Grenzschichtgleichung der mittleren stationären Strömung zu: −

  (uc∗ )2 ∂u ∂ = νt (z) . h ∂z ∂z

Die turbulente Viskosität auf der rechten Seite wird nun aber durch die gemeinsame Grenzschicht von Strömung und Welle produziert, die durch die kombinierte Sohlschubspannungsgerepräsentiert wird: schwindigkeit umax ∗ −

   z  ∂u (uc∗ )2 ∂ z 1 − = κumax . ∗ h ∂z h ∂z

Die Lösung dieser Gleichung ist: u(z) =

uc∗ uc∗ z uc uc∗ 30z ln = ∗ max ln . max κ u∗ z0 κ u∗ ks

Die Wirkung der Wellen auf die mittlere Strömung ist sehr klar im zweiten Bruch auf der rechten Seite zu erkennen. Da dieser immer kleiner als eins ist, wird die mittlere Strömung in der Bodengrenzschicht durch den Einfluss der Wellen gebremst. Oberhalb der Wellengrenzschicht setzt sich das Profil der mittleren Strömung logarithmisch fort: uc (z) =

uc∗ 30z ln . κ ksapp

10.4 Die Kombination von Strömung und Welle

267

1 0 0 0 0 A B /k s = 1 0 A B /k s = 1 0 0 A B /k s = 1 0 0 0 A B /k s = 1 0 0 0 0

1 0 0

k

a p p

/k

s

1 0 0 0

1 0

1 0 ,1

1

1 0

u B

w m

1 0 0

/u *

1 0 0 0

c

Abbildung 10.11: Die scheinbare Sohlrauheit unter Wellen bei paralleler Strömungs- und Wellenrichtung. 5 0 0 K o m b in a tio n S tr ö m u n g /W e lle

4 5 0

r e in e S tr ö m u n g

4 0 0

R e l. H ö h e z /z

0

3 5 0

3 0 0

2 5 0

2 0 0

1 5 0

1 0 0

5 0

0 0

2

4

6

8

D im e n s io n s lo s e G e s c h w in d ig k e it u

1 0 c

1 2

/u

1 4

*c

Abbildung 10.12: Das wellenbeeinflusste Geschwindigkeitsprofil der mittleren Strömung bei gleicher Strömungs- und Wellensohlschubspannung und einer gegenüber der Sohlrauheit 1.25fach erhöhten scheinbaren Rauheit.

268

10 Die Grenzschicht unter Wellen

Die dabei auftauchende scheinbare Sohlrauheit ksapp ergibt sich aus der Stetigkeitsbedingung an der Wellengrenzschicht:  ksapp

= ks

30δGr ks

1−

uc∗ umax ∗

 = ks

24.6umax ∗ ωks

1−

uc∗ umax ∗

.

(10.7)

Zur Bestimmung der scheinbaren Sohlrauheit muss wieder ein iteratives Verfahren angewendet werden, welches die Strömungs- und Wellenanteile miteinander in einer Grenzschicht verbindet. Dieses Verfahren wird in der Zusammenfassung aus den in diesem Kapitel vorgestellten Einzelbestandteilen zusammengebunden. In Abbildung 10.11 ist die daraus resultierende scheinbare Rauheit graphisch dargestellt. Offensichtlich beeinflusst eine Welle schon bei sehr geringen Höhen die Sohlrauheit, so dass diese sich um Größenordnungen von der geometrischen Rauheit des anstehenden Materials unterscheidet. Dieser Sachverhalt hat erhebliche Konsequenzen für die Kalibrierung hydrodynamischnumerischer Modelle von Oberflächengewässern, in denen Wellen Grundberührung haben. Da die Sohlrauheit hier nicht nur aus der Korn- und Formrauheit bestimmt werden kann, müssen auch die Wellenverhältnisse bekannt sein, um die scheinbare Sohlrauheit zu bestimmen. Somit können wellenbeeinflusste Oberflächengewässer eigentlich nur adäquat durch eine gekoppelte Simulation von Strömungen und Wellen modelliert werden. Bleibt noch zu erwähnen, wie man die strömungsbedingte Sohlschubspannung τBc bzw. uc∗ bestimmt. Will man weiterhin das Nikuradsegesetz τBc κ2 = 2 uu ρ ln 12h ks anwenden (und das sollte man auch), dann sind neben der Wassertiefe die tiefengemittelte Strömungsgeschwindigkeit und die Sohlrauheit vorzugeben. Sind die Geschwindigkeiten unter Berücksichtigung der Wellendämpfung berechnet, dann ist als Sohlrauheit die scheinbare zu nehmen. Ist das Geschwindigkeitsfeld ohne Wellendämpfung bestimmt worden, dann ist die Kornrauheit der Sohle anzusetzen. In beiden Fällen sollten ähnliche Ergebnisse für die Sohlschubspannung erzielt werden.

10.4.3 Die kombinierte Sohlschubspannung unter Strömung und Welle Im Fall einer Sohlbelastung durch Strömung und Welle kann man die Sohlschubspannung additiv aus den beiden Anteilen berechnen: ρκ 2

τB = τBc + τBwm cos ωt = 

ln 12h ks

2 uu + fw ρ

A2 gk cos ωt nw . sinh 2kh

Dies ist allerdings allerhöchstens in der ersten Näherung richtig, da Strömung und Welle einander gegenseitig beeinflussen. Das Besondere dieser beiden Bewegungsformen sind die sehr unterschiedlichen Zeitskalen, auf denen sie sich abspielen. Die Wellenbewegung oszilliert mit

10.4 Die Kombination von Strömung und Welle

269

8

7

S ta rtw e rt 6

S o h ls c h u b s p a n n u n g [N /m ²]

1 . Ite r a tio n 2 . Ite r a tio n 3 . Ite r a tio n 5

4 . Ite r a tio n

4

3

2

1

0 0

0 ,5

1

1 ,5

2

2 ,5

W e lle n a m p litu d e A [m ]

Abbildung 10.13: Iterative Bestimmung der Sohlschubspannung unter Strömung und Welle (ks = 0.0015 m, h = 5 m, u = 1 m/s, L = 12 m).

Perioden von wenigen Sekunden. Die Wellengrenzschicht ist dabei nicht in der Lage, sich voll zu entwickeln, da die Bewegungsrichtung ständig alterniert. Die Gezeitenströmung kann man dagegen als stationär ansehen, da sie sehr langperiodig oszilliert. Ihre Grenzschicht kann sich voll entfalten, in Küstengewässern zumeist über die gesamte zur Verfügung stehende Wassertiefe. Das sich aus allem Vorangegangenen ergebende iterative Berechnungsverfahren für die Sohlschubspannung unter mittlerer Strömung und einer Welle sei nun zusammengefasst. Gegeben seien • • • • • •

die Wassertiefe h, die über die Wassertiefe h gemittelte Strömungsgeschwindigkeit u, die Sohlrauheit ks , die Korn- und Formrauheit beinhaltet, die Wellenamplitude A, die Wellenausbreitungsrichtung nw , und die Wellenzahl k.

Bei diesen Eingangsdaten ergibt sich der folgende Algorithmus zur Berechnung der Sohlschubspannung in einer aus Strömung und Welle gebildeten Grenzschicht: 1. Berechne die Sohlschubspannung der Strömung nach Nikuradse mit äquivalentem Korndurchmesser ksg . Damit hat man auch einem Startwert für umax ∗ . 2. Berechne die Kreisfrequenz ω der Welle mit der Dispersionsrelation (5.6).

270

10 Die Grenzschicht unter Wellen

3. Berechne den Winkel γ zwischen Strömungs- und Wellenrichtung nach Gleichung (10.5). 4. Berechne f w nach (10.2) und die maximale Wellensohlschubspannung τBwm nach Gleichung (10.4). 5. Berechne die maximale Sohlschubspannungsgeschwindigkeit umax nach (10.6) und τBc . ∗ app 6. Berechne die scheinbare Sohlrauheit ks nach (10.7). 7. Wiederhole die letzten drei Schritte bis umax konvergiert und berechne dann τB . ∗ Aus Abbildung 10.13 wird ersichtlich, dass das Verfahren schon nach etwa vier Iterationen konvergiert. Dabei kann gleichermaßen der Fall auftreten, dass die Startwerte für die Sohlschubspannung den Grenzwert über- oder unterschätzen. In numerischen Modellen mit Zeitschrittverfahren können die Iterationen daher auch weggelassen werden, wenn zur Berechnung der maximalen Schubspannungsgeschwindigkeit jeweils die gesamte Sohlschubspannung aus dem letzten Zeitschritt verwendet wird. Es kommt so zu einer Unter- oder Überschätzung der Sohlschubspannung lediglich im ersten und zweiten Zeitschritt.

10.5 Zusammenfassung Die Strömung über der Sohle eines Küstengewässers kann man in einen von der Sohle beeinflussten Bereich, die Grenzschicht, und einen unbeeinflussten Bereich einteilen. Die Grenzschicht unter Seegangswellen erstreckt sich nur über den bodennahen Bereich der Wassersäule. Die Grenzschicht unter Gezeitenwellen kann die gesamte Wassersäule überdecken. Das Geschwindigkeitsprofil ist dann annähernd logarithmisch. Dabei erhöht das Vorhandensein von Wellen mit Grundberührung die scheinbare Sohlrauheit der Gezeitenströmung. Diese empfindet die Sohle also als wesentlich rauer, als es Korn- oder Formrauheiten vermuten lassen. Zur Bestimmung der Sohlschubspannung unter Gezeitenströmungen und Seegangswellen wurde schließlich ein iterativer Berechnungsalgorithmus entwickelt.

11 Strömungen, Turbulenz und Wellen Im Verlaufe unserer Hydromechanik der Küstengewässer haben wir verschiedene Bewegungsarten im Wasserkörper kennengelernt: Die turbulenten Fluktuationen schwanken sehr kurzfristig, sind chaotisch und daher nur statistisch modellierbar. Dabei haben wir die Theorie der Wirbelviskosität dazu verwendet, ihre Wirkung, d. h. die erhöhte Durchmischung des Wasserkörpers, zu modellieren. Die Bewegungen von Seegangswellen sind durch einen Austausch von kinetischer Bewegungsund potentieller Höhenenergie der Wasseroberfläche gekennzeichnet. Die mit ihnen verbundenen zeitlichen Schwankungen liegen im Sekundenbereich. Das Geschwindigkeitsprofil kann durch die ideale Wellentheorie modelliert werden, wobei der reale Seegang allerdings aus einem kontinuierlichen Frequenzspektrum zusammengesetzt ist. Die Gezeitenströmungen schwanken ebenfalls periodisch, haben im Unterschied zu den Seegangswellen aber ein diskretes Spektrum von Perioden im Stunden- bis Tagesbereich. Ihre Ausbreitung als sehr lange Gezeitenwellen konnte durch die tiefengemittelte Flachwassertheorie hinreichend genau erklärt werden. Ihr Geschwindigkeitsprofil zeigt die Charakteristika sowohl einer periodischen als auch einer quasistationären, über die Wassersäule ausgeglichenen Strömung. Es ähnelt dem, welches sich in Flüssen ausbildet, wo die Schwankungen entsprechend den hydrologischen Gegebenheiten im Bereich von Tagen und Wochen liegen. Wir haben das Profil im Rahmen der Grenzschichttheorie beschrieben. Wir wollen das Buch mit einer umfassenden Theorie zur Hydromechanik der Küstengewässer abschließen. Diese muss bei den Navier-Stokes-Gleichungen beginnen, da sie die Bewegungen in einem Fluid vollständig, d. h. von den turbulenten Schwankungen bis zu den quasistationären Anteilen, beschreiben. In ihren Lösungen kann man allerdings die einzelnen Bewegungsarten und deren Wechselwirkungen nicht direkt erkennen. Daher werden wir die Bewegung im Gewässer in drei Anteile zerlegen: • Einen mittleren, quasistationären Anteil. Er offenbart sich, wenn man eine Strömungsmessung über einen hinreichend langen Zeitraum mittelt. • Periodische Anteile, die aus einem diskreten oder kontinuierlichem Spektrum von harmonischen Frequenzen aufgebaut sind. • Turbulente Anteile, die chaotisch fluktuieren und deren Wirkung nur statistisch erfasst werden kann. Die Gezeiten weisen Aspekte einer quasistationären Strömung, aber auch einer periodischen Strömung auf. A. Malcherek, Gezeiten und Wellen, DOI 10.1007/978-3-8348-9764-0_12, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

272

11 Strömungen, Turbulenz und Wellen

T

u(x,t)

u(x,t+T)

u(x,t+2T)

u(x,t+3T)

Abbildung 11.1: Bei der Phasenmittlung bildet man das arithmetische Mittel phasengleicher Werte, wenn diese einer Fluktuation unterworfen sind.

11.1 Die Zerlegung des Strömungsfeldes Wir wollen im Folgenden untersuchen, wie man die mittleren Strömungsverhältnisse mathematisch beschreiben kann. Als mittlere Strömungsgeschwindigkeit soll dabei das zeitliche Mittel der Strömungsgeschwindigkeit ui (x, y, z,t) über einen Zeitraum Δt verstanden werden, der länger als die Perioden der Wellenbewegungen ist. Dieser Zeitraum liegt also bei normalen Seegangsverhältnissen im Bereich von Minuten: 1 ui (x, y, z,t) = Δtl

t+Δt  l

ui (x, y, z,t)dt.

t

Dieser mittleren Strömungsgeschwindigkeit sind die Orbitalgeschwindigkeiten der Oberflächenwellen sowie die turbulenten Geschwindigkeitsfluktuationen überlagert. Wir wollen nun annehmen, dass diese Wellen sich periodisch nach einer Zeit T wiederholen. Damit bekommen wir die reine Wellenbewegung dadurch, dass man zunächst die mittlere von der tatsächlichen Geschwindigkeit abzieht. Das verbleibende Signal enthält noch die Überlagerung von Turbulenz und periodischer Wellenbewegung. Der Turbulenz kann man sich nun dadurch entledigen, dass man das Signal immer zu einer bestimmten Phase der Welle arithmetisch mittelt [56]: uwi (x, y, z,t) =

1 N ∑ ui (x, y, z,t + kT ) − ui (x, y, z,t) := u#i (x, y, z,t) − ui (x, y, z,t). N k=1

Das Prinzip dieser sogenannten Phasenmittel ist in Abbildung 11.1 verdeutlicht. Als Zeichen für die Phasenmittlung wurde ferner die Tilde als Symbol eingeführt. Schließlich gewinnt man die kleinskaligen und kurzfristigen turbulenten Fluktuationen durch ui = ui − ui − uwi . In entsprechender Weise ist auch der Druck p aus mittleren, periodischen und fluktuierenden Anteilen zusammengesetzt.

11.1 Die Zerlegung des Strömungsfeldes

273

Wir wollen die so erhaltenen Zerlegungen ui = ui + ui + uwi p = p + p + pw nun in die Navier-Stokes-Gleichungen einsetzen ∂ ui + ui + uwi =0 ∂ xi ∂ (u j + uj + uwj )(ui + ui + uwi ) ∂ ui + ui + uwi + ∂t ∂xj =−

(11.1)

∂ 2 (ui + ui + uwi ) 1 ∂ (p + p + pw ) +ν + fi ρ ∂ xi ∂ x j∂ x j

und versuchen, die einzelnen Bewegungsarten voneinander zu trennen.

11.1.1 Die Impulsgleichungen des mittleren Geschwindigkeitsfelds Um eine Impulsgleichung für das mittlere Geschwindigkeitsfeld zu gewinnen, wird nun über die Zeit gemittelt: w w   ∂ 2 ui + ui + uwi ∂ ui ∂ (u j + u j + u j )(ui + ui + ui ) 1 ∂ p + p + pw =− +ν + fi , + ∂t ∂xj ρ ∂ xi ∂ x j∂ x j

dann fallen einige Terme mit den turbulenten und Wellenbewegungen durch die Mittlung weg. Schauen wir uns die Terme im Einzelnen an. Die Zeitableitung enthält eine Summe von drei Termen, die in die Einzelterme zerlegt werden kann. Ferner kann die Mittelwertbildung unter die Ableitung gezogen werden, wodurch die Mittelwerte der Wellenorbitalgeschwindigkeit und der turbulenten Geschwindigkeitsfluktuationen Null werden: ∂ (ui + ui + uwi ) ∂ ui ∂ ui ∂ uwi ∂ ui ∂ ui ∂ uwi ∂ ui = + + = + + = . ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t Am Ende bleibt also nur noch die Zeitableitung der mittleren Geschwindigkeit stehen. Genauso kann man mit dem Druckterm verfahren: 1 ∂p 1 ∂ 1 ∂p = (p + p + pw ) = . ρ ∂ xi ρ ∂ xi ρ ∂ xi Und schließlich kann man auch den Tensor der viskosen Spannungen in gleicher Weise behandeln, da er nur aus verschiedenen Summanden der Geschwindigkeitsableitungen besteht:

274

11 Strömungen, Turbulenz und Wellen

ν

∂ 2 ui + ui + uwi ∂ 2 ui =ν . ∂ x j∂ x j ∂ x j∂ x j

Interessant wird aber das Produkt der Geschwindigkeiten in den advektiven Termen, die wie folgt gemittelt werden:   ∂ (ui + ui + uwi ) u j + uj + uwj ∂xj =

w ∂ uwi uj ∂ uwi uwj ∂ ui u j ∂ ui uj ∂ ui u j + + + + ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj

=

w w ∂ ui u j ∂ ui uj ∂ ui u j + + . ∂xj ∂xj ∂xj

In der zweiten Zeile wurden alle Terme der Form ui u j weggelassen. Bei ihnen wird das turbulente Signal mit der mittleren Strömungsgeschwindigkeit als konstanter Faktor multipliziert und dann gemittelt. Das Ergebnis ist Null. Aber auch die Multiplikation des turbulenten Signals mit einer periodischen Funktion und die anschließende Mittlung ist Null, solange das Mittlungsintervall nur viele Perioden umfasst. In der dritten Zeile wurden daher die Terme der Form uwi uj weggelassen. Somit bekommen wir die Impulsgleichungen der mittleren Strömung als 1 ∂p ∂ 2 ui ∂ ∂ ui ∂ ui u j + =− +ν + (−ui uj − uwi uwj ) + fi . ∂t ∂xj ρ ∂ xi ∂ x j∂ x j ∂ x j

(11.2)

Die die mittlere Strömung beeinflussenden inneren Spannungen setzen sich also aus drei Anteilen zusammen: 1. Die durch Geschwindigkeitsgradienten in der mittleren Strömung und die molekulare Viskosität ausgelösten inneren Reibungen. Diese sind wegen der geringen Größe der molekularen Viskosität sehr klein. 2. Die durch die Turbulenzen verursachten Reynoldsspannungen. 3. Die aus den Wellen kommenden Spannungen. Übung 57: Schreiben Sie den Term ∂ (−ui uj − uwi uwj ) ∂xj für die y-Impulsgleichung vollständig aus.

11.1 Die Zerlegung des Strömungsfeldes

275

11.1.2 Das Prinzip der Wirbelviskosität In der klassischen Hydromechanik werden die ersten beiden Spannungsanteile durch das Prinzip der Wirbelviskosität modelliert. Man geht also davon aus, dass man die molekulare durch eine turbulente Viskosität ersetzen muss, um die turbulenten Spannungen zu berücksichtigen:     ∂ ui ∂ u j ∂ ui ∂ u j νt + + =ν − ui uj . ∂ x j ∂ xi ∂ x j ∂ xi Damit bekommt man als Impulsgleichungen der mittleren Strömung in einem Küstengewässer: ∂ ui ∂ ui u j 1 ∂p ∂ + =− + ∂t ∂xj ρ ∂ xi ∂ x j



∂ ui νt ∂xj

 −

∂ uwi uwj ∂xj

+ fi .

(11.3)

Wiederholen wir noch einmal das Lesen dieser Gleichung: Die gesamte linke Seite beschreibt die Beschleunigung eines Partikels in der Küstenströmung, der erste Term der linken Seite dagegen die Beschleunigung der mittleren Strömung, die man an einem festen Ort messen würde. Die rechte Seite beschreibt die die mittlere Strömung beschleunigenden Kräfte. Da ist zunächst einmal die Druckkraft, die durch Gradienten im Wasserspiegel verursacht wird. Dann folgen die inneren Reibungen im Fluid, die aus zwei Anteilen bestehen, den wirbelviskosen Spannungen und den Wellenspannungen. Schließlich kommen die äußeren Kräfte fi hinzu, die in der Vertikalen die Gravitationskraft und in der Horizontalen Coriolis- und Gezeitenkräfte sind. Der wesentliche Nutzen dieser Impulsgleichungen besteht in der Möglichkeit, den Einfluss von Seegang und Wellen in ein dreidimensionales Strömungsmodell einzubinden. Wir werden später natürlich auch nach Vereinfachungen dieser Gleichung schauen, um ihre Wirkungsmechanismen zu verstehen.

11.1.3 Die Impulsgleichungen der Wellenorbitalgeschwindigkeiten Zuvor sollen jedoch entsprechende Impulsbilanzen für die Wellen und Turbulenzen aufgestellt werden. Dazu subtrahieren wir die Impulsbilanz der mittleren Strömung in der Form (11.2) von den ursprünglichen Navier-Stokes-Gleichungen (11.1) und erhalten die Impulsbilanz der turbulenten und welleninduzierten Fluktuationen: ∂ (ui u j + uwi u j + ui uj + ui uj + uwi uj + ui uwj + ui uwj + uwi uwj ) ∂ ui + uwi + ∂t ∂xj =−

∂ 2 ui + uwi 1 ∂ p + pw ∂ +ν + (u u + uwi uwj ). ρ ∂ xi ∂ x j∂ x j ∂xj i j

Die Gleichung wird nach der Phasenmittlung schon etwas übersichtlicher. Hierdurch fallen alle Terme weg, die linear mit turbulenten Geschwindigkeiten verknüpft sind. Die verbleibenden Terme werden folgendermaßen zur dynamischen Gleichung für die Wellenbewegung umgeordnet 1 : 1 Die

Herleitung unterscheidet sich von der Nielsens [56], da dieser das Phasenmittel der Navier-Stokes-Gleichungen nimmt, während hier die mittlere Strömung von den Navier-Stokes-Gleichungen abgezogen und dann phasengemittelt wird.

276

11 Strömungen, Turbulenz und Wellen

∂ uwi (u j + uwj ) ∂ uwi ∂ 2 uwi 1 ∂ pw ∂ w  u − u$ + =− +ν + (u u + uwi uwj − u$ i u j ). i j ∂t ∂xj ρ ∂ xi ∂ x j∂ x j ∂ x j i j

(11.4)

Sie beginnt auf der linken Seite mit der Advektion. Die Orbitalbewegungen werden dabei lediglich mit der mittleren und der ihnen eigenen Geschwindigkeit advektiert. Turbulenz als kleinskaligere Bewegungsform ist nicht in der Lage, die Orbitalwellen zu transportieren. Auf der rechten Seite folgen der Druckterm, der viskose Impulsaustausch sowie die Wechselwirkungen zwischen mittlerer Strömung, Turbulenz und Wellen. Betrachten wir den Spezialfall einer reinen Wellenbewegung in Abwesenheit einer mittleren Strömung. Gleichung (11.4) wird dann zu: ∂ uwi uwj ∂ 2 uwi ∂ uwi 1 ∂ pw ∂  u ). =− +ν + (u u + uwi uwj − u$ + i j ∂t ∂xj ρ ∂ xi ∂ x j∂ x j ∂ x j i j Wenn diese Gleichung die Dynamik von Wellen beschreiben soll, dann ist sofort zu fragen, wo denn die äußeren Kräfte fi geblieben sind, die die Gravitationskraft und damit die eigentliche Triebfeder der Schwerewellen enthalten? Nun, die Gravitationskraft ist in den Gleichungen für die mittlere Strömung (11.2) verblieben, die in unserem Spezialfall zu 1 ∂p ∂ (u u + uwi uwj ) = − + fi ∂xj i j ρ ∂ xi wird. Setzt man diese in die dynamischen Gleichungen für die Wellen ein, dann bekommt man eine ordentliche Impulsgleichung für die Wellenbewegung.

11.1.4 Die Impulsgleichungen der turbulenten Geschwindigkeitsfluktuationen Ziehen wir schließlich die Wellengleichung von der Impulsbilanz für Turbulenz und Wellen ab, dann bleibt eine Gleichung für die turbulenten Geschwindigkeitsfluktuationen: ∂ ui ∂ ui u j 1 ∂ p ∂ ui ∂ $  w  w (11.5) + =− +ν + (u u + u$ i u j + ui u j + ui u j ). ∂t ∂xj ρ ∂ xi ∂ x j∂ x j ∂ x j i j  Produktion Diese werden im Gesamtgeschwindigkeitsfeld advektiert. Die beiden letzten Terme auf der rechten Seite beschreiben die Turbulenzproduktion durch mittlere Strömungen und Wellen. Wir kommen zur Probe des erhaltenen Ergebnisses. Zieht man die drei Gleichungssätze für die mittlere Strömung (11.2), für die Wellen (11.4) und die turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen (11.5) zusammen, dann werden die ursprünglichen Navier-Stokes-Gleichungen wieder erhalten. Damit haben wir eine konsistente Zerlegung des Strömungsfeldes in mittlere, Wellenund turbulente Anteile gewonnen. Übung 58: Die Summe der Gleichungen (11.2), (11.4) und (11.5) ergibt die Navier-StokesGleichungen (11.1). Führen Sie den Nachweis der Übersichtlichkeit halber termweise durch.

11.2 Die Wellenwirkung auf die vertikale Strömungsstruktur

277

Aus der Bewegungsgleichung für die Geschwindigkeitsfluktuationen wird in der Turbulenztheorie die Transportgleichung für die turbulente kinetische Energie k hergeleitet [41], [7], [66], allerdings ohne den Welleneinfluss direkt zu betrachten. Mit dieser konnten in der Folge der achtziger Jahre des letzten Jahrhunderts dann viele Prozesse mit sogenannten ZweigleichungsTurbulenzmodellen, wie dem k-ε oder dem k-ω-Modell, numerisch simuliert werden, die mit dem Transport von Turbulenz verbunden sind. Beispiele sind z.B. die Ablösungen hinter Hindernissen in der Strömung, wie z.B. Buhnen oder Offshore-Anlagen. Die Gleichung (11.5) schreibt nun vor, dass bei der Turbulenzproduktion auch der Einfluss von Seegangswellen zu berücksichtigen ist. Somit sind in zukünftigen HN-Modellsystemen für Küstengewässer auch die Turbulenzmodellierung mit einem Seegangsmodell zu koppeln. Übung 59: Falls Sie mit der Herleitung der k-Gleichung des k-ε-Modells vertraut sind, dann können Sie den Produktionsterm für Wellen in dieses einfügen.

11.2 Die Wellenwirkung auf die vertikale Strömungsstruktur Die Wirkung von Seegangswellen auf die mittleren, d. h. die Gezeiten- oder Flussströmungen, wird nun auch durch den Tensor uwi uwj beschrieben. Anders als bei der Turbulenz kennen wir für die auftretenden Korrelationen der Orbitalgeschwindigkeiten in Wellen analytische Lösungen, d. h. wir können die Komponenten für Airywellen schnell als ⎛

kx2 cosh2 (kz) ⎜ k2 sinh2 (kh) ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 2 2 A ω ⎜ kx ky cosh2 (kz) uwi uwj = ⎜ 2 ⎜ k2 sinh2 (kh) ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0

kx ky cosh2 (kz) k2 sinh2 (kh) ky2 cosh2 (kz) k2 sinh2 (kh) 0

⎞ 0

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 sinh (kz) ⎠ sinh2 (kh)

berechnen. Die Struktur dieses Tensors zeigt zunächst keinerlei Kopplung zwischen den horizontalen und den vertikalen Einflüssen auf die Strömung, da uw ww = vw ww = 0 gilt. Dies ist allerdings nur für ideale Wellen richtig. Für rotationsbehaftete Wellen bekommen auch diese Terme von Null verschiedene Werte. Für die tensorielle Form des Wellenanteils, der die tiefengemittelte Strömung beeinflusst, wurde Anfang der sechziger Jahre von Longuet-Higgins und Stewart der Begriff Radiation Stress eingeführt (siehe z. B. [46]), der keine deutsche Übersetzung hat. Da der Tensor mit den Komponenten uwi uwj die Wellenwirkung vollständig aufgelöste dreidimensionale Strömung beschreibt, kann man ihn auch als Radiation Stress Tensor im Dreidimensionalen bezeichnen. Übung 60: Wie groß ist uw vw für eine in y-Richtung laufende Welle?

278

11 Strömungen, Turbulenz und Wellen 1 0,9 0,8

Relative Höhe z/h

0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Welleninduzierter Überdruck pw [Pa]

Abbildung 11.2: Welleninduzierter Überdruck ww ww unter einer 20 m langen Welle in 10 m tiefem Wasser. Die Amplitude fällt von der rechten zur linken Kurve von 1 m über 0.9 m auf 0.8 m.

Übung 61: Bestimmen Sie uw uw für eine Welle mit 40 cm Amplitude und einer Periode von 5 s in 8 m tiefem Wasser. Sie benötigen zur Lösung der Aufgabe die Dispersionsbeziehung!

11.2.1 Die Wellenwirkung auf die vertikale Druckverteilung Da die vertikale Verteilung des Drucks und deren Gradienten die wichtigsten Antreiber der mittleren Strömung sind, soll zunächst nach der Wirkung von Wellen auf diese geschaut werden. Dazu betrachten wir zunächst nur die Impulsgleichung für die mittlere vertikale Strömung. Geht man wieder davon aus, dass diese nur durch die recht trägen Gezeitenbewegungen der Wasseroberfläche zustande kommt, dann kann man w  dzS /dt  0 abschätzen. Damit fällt die linke Seite der vertikalen Gleichung (11.3) vollständig weg. Gleiches gilt für die Reynoldsspannungen. Auf der rechten Seite bleiben nur noch die Druckableitung, die Komponente ww ww des Radiation Stress Tensors und die äußere vertikale Kraft, d. h. die Gravitation: 0=−

1 ∂ p ∂ ww ww − − g. ρ ∂z ∂z

In dieser Gleichung finden sich nur noch Ableitungen nach z, so dass man sie zwischen z und der Wasseroberfläche zS integrieren kann2 :  p(z) = pS + ρg(zS − z) + ρ ww ww S − ρww ww .  den meisten Darstellungen (z.B. [25]) wird die Randbedingung an der Wasseroberfläche ρ ww ww S nicht berücksichtigt.

2 In

11.2 Die Wellenwirkung auf die vertikale Strömungsstruktur

279

Darin sind mit S die Werte des Druckes und der Radiation Stresses an der Wasseroberfläche indiziert. Setzt man nun die entsprechenden Komponenten ein, so folgt:   A2 2 sinh2 (kz) p(z) = ρg(zS − z) + ρ ω 1 − := ρg(zS − z) + Δpw (z). 2 sinh2 (kh) Damit wirkt unter einer Welle eine zusätzliche vertikale Normalspannung3 :   A2 2 sinh2 (kz) Δp (z) = ρ ω 1 − 2 sinh2 (kh) w

Ihre Darstellung in Abbildung 11.2 zeigt eine Abnahme in Richtung der abnehmenden Wellenamplitude. Hierdurch wird in den tieferen Schichten des Wasserkörpers ein Druckgefälle in Richtung der abnehmenden Amplitude erzeugt, wodurch das Wasser in diese Richtung beschleunigt wird. Wie die dadurch induzierten Strömungen aussehen, wollen wir im folgenden Abschnitt studieren. Übung 62: Bestimmen Sie den welleninduzierten Druck unter Verwendung der Stokestheorie 2. Ordnung. Falls Ihnen diese Arbeit keine mathematisch-symbolische Software abnehmen kann, beschreiben Sie nur, was gemacht werden muss.

11.2.2 Das Vertikalprofil der mittleren Strömung unter Wellen Die Beeinflussung der mittleren Strömung durch Seegangswellen erfolgte bisher über den Umweg der Produktion von Turbulenz und damit über die Veränderung des Profils der turbulenten Viskosität und der scheinbaren Sohlrauheit. Dabei konnte man keine Abhängigkeit von der Laufrichtung der Welle feststellen. Tatsächlich zeigen Messungen aber, dass das Geschwindigkeitsprofil auch von der Laufrichtung der Welle abhängt. Bewegt sich diese in Strömungsrichtung, dann wird die mittlere Geschwindigkeit erhöht, bewegt sich die Welle entgegengesetzt zur Strömungsrichtung, dann wird die mittlere Geschwindigkeit erniedrigt. Qualitativ lässt sich dieses Phänomen schon mit den Ergebnissen des letzten Abschnitts erklären. Dennoch wollen wir das vertikale Geschwindigkeitsprofil der mittleren Strömung unter Berücksichtigung der welleninduzierten Spannungen analytisch bestimmen. Dieses hat unter stationären Bedingungen eine logarithmische Form. Unter dem Einfluss von Windschubspannungen wird es an der Wasseroberfläche in Windrichtung verzerrt. Wie sieht das Profil nun also bei Anwesenheit von Wellen ohne Wind, d. h. bei Anwesenheit einer Dünung aus? Dazu nehmen wir uns ihre Impulsgleichungen (11.3) vor und gehen von stationären Bedingungen aus. Betrachten wir eine in x-Richtung laufende Welle über horizontalem Boden (bei zB = 0). Nehmen wir ferner an, dass die Hauptströmung u lediglich in der Vertikalen schert und vernachlässigen Coriolis- und Gezeitenkräfte. Für den Druck setzen wir die unter Wellen gefundene Lösung an. Von der x-Impulsgleichung bleibt dann: 3 Die

genannte Vernachlässigung führt dazu, dass die Eins in der Klammer nicht auftaucht.

280

11 Strömungen, Turbulenz und Wellen

10 9

Höhe über Boden [m]

8 7 6 5 4 3 2 1 0

0

0.5

1 1.5 2 Strömungsgeschwindigkeit [m/s]

2.5

3

Abbildung 11.3: Beispiel für ein vertikales Geschwindigkeitsprofil unter Welleneinfluss. Die Welle läuft in Strömungsrichtung und strahlt einen Teil ihrer Energie auf die Strömung ab.

∂ ∂ zS − 0 = −g ∂x ∂x



    sinh2 kz A2 2 cosh2 kz ∂ ∂u ω 1− νt . + + 2 ∂z ∂z sinh2 (kh) sinh2 (kh)

Der hyperbolische Pythagoras cosh2 (kh) − sinh2 (kh) = 1 vereinfacht die Gleichung erheblich:      ∂ zS ∂ ∂u 1 ∂ A2 2 0 = −g + − ω 1+ ν . t ∂x ∂x 2 ∂z ∂z sinh2 (kh) Damit die Wellen nun eine Wirkung auf die Strömung bekommen können, muss sich irgendeine ihrer Eigenschaften in Laufrichtung ändern. Als Kandidaten stehen die Wellenlänge, die Frequenz und die Amplitude zur Verfügung. Da wir von einer ebenen horizontalen Sohle ausgegangen sind, transformieren sich die ersten beiden Eigenschaften nicht. Es bleibt nur eine Veränderung der Amplitude, z. B. durch eine Abnahme der Wellenenergie:     1 ∂ ∂ zS ∂u 2 ∂A − Aω 1+ νt + 0 = −g ∂x ∂x ∂z ∂z sinh2 (kh) Die folgenden Schritte kennen wir schon aus Kapitel 9.3.2. Wir ersetzen den Wasserspiegelgradienten durch die Sohlschubspannung τB = ρu2∗ und integrieren über die Vertikale von 0 bis z:    ∂u 1 z 2 2 ∂A . νt = u∗ 1 − + Aω 1+ ∂z h ∂x sinh2 (kh) Für die Wirbelviskosität nehmen wir auch unter Wellen ein parabolisches Profil an:

11.3 Das Wirbelviskositätsprinzip für die Wellengleichung

281

    1 2 1 − z + Aω 2 ∂ A 1 + u ∗ h ∂x du sinh2 (kh)   = . dz κu∗ z 1 − hz Diese gewöhnliche Differentialgleichung lässt sich nun analytisch oder numerisch in einem Tabellenkalkulationsprogramm über die Vertikale integrieren. Hier ist zu beachten, dass der Anfangswert u = 0 bei z = z0 = 0 gesetzt werden muss. Der Wert für z0 steuert dabei den Maximalwert für die Geschwindigkeit. Das Geschwindigkeitsprofil der mittleren Strömung unter dem Einfluss einer sich abschwächenden Dünung in Abbildung 11.3 zeigt eine Zunahme der Strömungsgeschwindigkeit an der Wasseroberfläche. Die Welle scheint also einen Teil ihrer Energie auf die Strömung abzustrahlen. Dies ist der Ursprung des Namens Radiation Stress.

11.3 Das Wirbelviskositätsprinzip für die Wellengleichung Die Impulsgleichung für die Wellenbewegung (11.4) enthält verschiedene unbekannte Korrelationen aus der zeitlichen oder der Phasenmittlung, für die man Schließungen finden muss. Grundsätzlich kann auch hier das Wirbelviskositätsprinzip angewendet werden: Von den unbekannten Termen wird angenommen, dass sie proportional zu den entsprechenden Gradienten der Wellenorbitalgeschwindigkeiten sind. Uneinigkeit besteht aber noch darin, welche Terme man mit Hilfe des Wirbelviskositätsprinzips modellieren kann. Hier soll der Vorgehensweise von Nielsen gefolgt werden, neben den Korrelationen mit turbulenten Anteilen auch die Korrelationen der Wellenbewegungen in das Wirbelviskositätsprinzip einzubeziehen. Es wird damit die Wellenviskosität νw durch ν

w ∂ uwi  u + uw uw = ν ∂ ui + ui uj − u$ w i j i j ∂xj ∂xj

definiert, wodurch die Impulsgleichung der Wellenbewegung zu ∂ uwi (u j + uwj ) ∂ uwi 1 ∂ pw ∂ + =− + ∂t ∂xj ρ ∂ xi ∂xj

 νw

∂ uwi ∂xj

 −

∂ $w ui u j ∂xj

wird. Damit stellt sich auch hier die Aufgabe, die Wirbelviskosität unter Wellen zu bestimmen.

11.3.1 Die Wirbelviskosität unter Wellen Zur Bestimmung der turbulenten Viskosität gibt es verschiedene Laborexperimente, die Nielsen [56] dokumentiert hat. Von ihrer Definitionsgleichung ausgehend sind hochaufgelöste Geschwindigkeitsmessungen in einem Wellenkanal erforderlich, um dann alle Terme in der vorletzten Gleichung rechnerisch zu bestimmen. Die Ergebnisse hierzu werden in der Grenzschicht über einer rauen Sohle durch die Gleichung νw = κw umax ∗ z

mit

κw  0.10...0.13

282

11 Strömungen, Turbulenz und Wellen

gut wiedergegeben. Genau wie bei der stationären Gerinneströmung steigt die welleninduzierte Wirbelviskosität in Bodennähe linear an. Die dortige, als Karman-Konstante bezeichnet Proportionalitätskonstante ist allerdings viermal größer (κ = 0.41). Damit ist die durch die oszillierende Wellenbewegung induzierte Turbulenz wohl weniger ausgeprägt als in der stationären Strömung. Die Schubspannungsgeschwindigkeit umax muss mit den Methoden des Kapitels 10 bestimmt ∗ werden. Wir wollen die folgenden Betrachtungen aber auf das Tiefwasser beschränken und gehen davon aus, dass die Wellenbewegungen dort hinreichend genau durch die ideale Airytheorie beschrieben werden. Um deren Wirbelviskosität theoretisch zu bestimmen, soll der Mischungswegansatz angewendet werden.

11.3.2 Der Mischungswegansatz Beim Mischungswegansatz für die turbulente Viskosität wird angenommen, dass diese proportional zur räumlichen Entfaltungsmöglichkeit der Turbulenz ist, was durch den sogenannten Mischungsweg lm ausgedrückt wird. Ferner nutzt man beim Mischungswegansatz das Phänomen, dass Turbulenz dort entsteht, wo das induzierende Geschwindigkeitsfeld selbst Scherungen aufweist. Hier sollte daher auch die turbulente Viskosität groß sein. Dies wird durch den Betrag des Scherratentensors ausgedrückt:  νt = lm2

∂ uwj ∂ uwi + ∂xj ∂ xi



∂ uwj ∂ uwi + ∂xj ∂ xi

1/2 .

Beschränken wir uns zur Bestimmung der Wirbelviskosität nur auf die Änderung der horizontalen Orbitalbewegung in vertikaler Richtung, dann bleibt von diesem langen Ausdruck nur ein Term übrig, den man mit der Airylösung füllen kann:  

  = lm2 Aωk sinh kz . ∂z  sinh kh

∂u νw = lm2 

w

Dabei wurde auch hier der Maximalwert des Geschwindigkeitsgradienten konstant über die gesamte Wellenperiode verwendet. Es bleibt das Problem, den Mischungsweg lm unter Wellen zu bestimmen.

11.3.3 Der Mischungsweg unter Wellen Der Mischungsweg lm ist so etwas wie die freie Weglänge, die den Wasserteilchen zur Durchmischung zur Verfügung steht. In einem Gewässer ohne Oberflächenwellen geht man davon aus, dass der Mischungsweg zur Wasseroberfläche und zum Boden hin Null wird, da zur Durchmischung immer weniger Raum zur Verfügung steht. Im Fall des Vorhandensein von Oberflächenwellen nimmt sich das Wasser durch seine Orbitalbewegungen aber mehr Raum, der Mischungsweg sollte also proportional zum Orbitalradius der Wellen ansteigen. Um die analytischen Rechnungen möglichst einfach zu gestalten, verwenden wir nur den vertikalen Orbitalradius und bekommen:

11.3 Das Wirbelviskositätsprinzip für die Wellengleichung

283

1

0,95

0,9 L=10m L=5m

Relative Wassertiefe z/h [1]

0,85

L=2m 0,8

0,75

0,7

0,65

0,6

0,55

0,5 0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

0,014

0,016

0,018

0,02

Wirbelviskosität [m²/s]

Abbildung 11.4: Nur in den obersten Schichten der Wassersäule (hier: Wassertiefe h = 10 m) tragen Wellen (hier: A = 10 cm) zur turbulenten Durchmischung in Form der Wirbelviskosität bei. Diese steigt, umso kürzer die Welle ist.

lm (z)  A

sinh kz . sinh kh

Die turbulente Viskosität unter Wellen wird damit: νw = A3 ωk

sinh3 kz . sinh3 kh

Sie ist proportional zur dritten Potenz der Wellenamplitude und nimmt mit abnehmender Wellenlänge und Periode zu. Nähert man sich der freien Oberfläche, dann steigt die turbulente Wellenviskosität rapide an. Die Form dieses Profils wird qualitativ auch durch die Bestimmung des Geschwindigkeitsfeldes unter brechenden Wellen bestätigt [51]. Die turbulente Viskosität unter Wellen ist nach dieser Gleichung nicht von der Beschaffenheit, d. h. der Rauheit der Sohle abhängig. Dies zeigt nochmals, dass die Gleichung nur für das Tiefwasser gültig ist.

11.3.4 Die Trübe der Küstengewässer Im Gegensatz zur blauen offenen See oder einem Bergfluss sind Küstengewässer oftmals sehr trübe. Diese Trübe wird durch Sinkstoffe verursacht, die durch die Turbulenz in Schwebe gehalten werden. Dabei sind die mittleren Strömungen dafür verantwortlich, dass die Schwebstoffe vom Boden in die mittleren Bereiche der Wassersäule transportiert werden, während die wellen-

284

11 Strömungen, Turbulenz und Wellen

10 9 10μm

8

Bodenabstand [m]

7 20μm

6 5 30μm

4 3 2 1 0

0

0.2

0.4 0.6 relative Konzentration c/c0

0.8

1

Abbildung 11.5: Vertikale Konzentrationsprofile von verschiedenen Schwebstoffen in einer 20cm/s schnellen Strömung mit (durchgezogen) und ohne (gepunktet) Welleneinfluss (A=0.2 m, L=10 m). Erst die welleninduzierte Turbulenz transportiert die Trübe auch bis zur Wasseroberfläche und macht sie augenfällig.

induzierte Turbulenz diese bis zur Wasseroberfläche transportieren und die Trübe erst sichtbar macht. Liegen die Schwebstoffe in der Massenkonzentration c (in kg/m3 ) vor, dann kann man das stationäre Schwebstoffprofil aus der Bedingung gewinnen, dass der nach oben treibende turbulentdiffusive Massenfluss gleich dem Fluss ist, der durch das Absinken der Sinkstoffe entsteht. Mathematisch wird dies durch die gewöhnliche Differentialgleichung K

∂c = wc c ∂z

ausgedrückt, in der K die turbulente Diffusivität des Schwebstoffs und wc dessen Sinkgeschwindigkeit ist. Letztere ist durch die Stokessche Formel wc = −

g ρS − ρ 2 d . 18ν ρ

(11.6)

mit dem Durchmesser d des Sinkstoffpartikels und dessen Dichte ρS verbunden. Die die Sedimentpartikel treibenden Turbulenzen werden sowohl durch die mittlere Strömung als auch durch die Wellen erzeugt. Man kann also K=

1 (νt + νw ) Sc

11.3 Das Wirbelviskositätsprinzip für die Wellengleichung

285

setzen, wobei die Schmidtzahl Sc zwischen der Diffusion von Impuls und Stoffen vermittelt und für sehr feine Sinkstoffe etwa eins ist. Mit diesen Angaben ist die Differentialgleichung des Schwebens nun numerisch lösbar. Die Ergebnisse sind in Abbildung 11.5 für verschiedene Sedimentgrößen dargestellt. Tone und Feinschluffe werden also schon bei recht geringen Strömungsgeschwindigkeiten über die gesamte Wassersäule verteilt. Sie kommen erst in Stauwasserbereichen mit sehr geringen Strömungsgeschwindigkeiten (Ufernähe, Hafenbecken, Buchten) zur Ruhe und führen dort zur Verschlickung.

11.3.5 Die Dissipation von Wellenenergie Zur Aufrechterhaltung einer erhöhten Durchmischung unter Wellen bedarf es Energie. Mit der Wirbelviskosität unter Wellen ist also auch die Umsetzung von Wellenenergie in turbulente Bewegungsenergie verbunden. Dieser Prozess wird als turbulente Dissipation bezeichnet. Die dabei pro Zeit dissipierte Wellenenergie ew wird durch das Symbol ε beschrieben. Man kann zeigen [50], dass sie als ε =

zS

w

zB

νw

∂ uwi ∂ uwi dz. ∂xj ∂xj

berechnet werden kann. Mit der turbulenten Wellenviskosität kann man nun auch die Wellenenergiedissipation bestimmen, wenn wir wieder nur vertikale Gradienten der horizontalen Orbitalgeschwindigkeit berücksichtigen: εw =

zS zB

A5 ω 3 k 3

sinh5 kz 2 sin (kx − ωt)dz. sinh5 kh

Dieser Ausdruck ist analytisch mit einer mathematisch-symbolischen Software leicht lösbar, das Ergebnis aber etwas lang. In der Tiefwasserapproximation kh → ∞ ergibt sich aber das hinreichend kurze Ergebnis: εw =

1 5 3 2 1 A ω k = 10 10



2ew g

5/2 ω 3 k2 .

Die Wellenenergiedissipation ist proportional zur gebrochenen Potenz 5/2 der Wellenenergie bzw. zur fünften Potenz der Wellenamplitude. Kurze hektische Wellen werden also überproportional mehr als ruhige lange Wellen gedämpft. Die Dissipation von Wellenenergie ist somit ein hochgradig nichtlinearer Prozess.

11.3.6 Der Energieeintrag durch den Wind Der fortwährenden Dissipation der Wellenenergie steht natürlich auch eine Quelle der Wellenenergieproduktion gegenüber: der Wind.

286

11 Strömungen, Turbulenz und Wellen

Da auch die Strömungen der Atmosphäre turbulent sind, ist selbst ein Windstoß über einer glatten Wasseroberfläche mit fluktuierenden Druckschwankungen verbunden, die die Wasseroberfläche an einer Stelle mehr und an anderer Stelle weniger nach unten drücken. Hierdurch entsteht eine Anfangswelligkeit, durch die sich Kräusel- oder Kapillarwellen ausbilden. Streicht der Wind nun über eine gewellte Wasseroberfläche, so bilden sich an den Luvseiten der Wellen Druckmaxima und an den Leeseiten Druckminima aus. Die Luvseite der Welle wird hierdurch nach unten gedrückt, die Leeseite aus dem Wasser gesaugt, die Welle wird also in Windrichtung getrieben. Hierdurch wird Bewegungsenergie aus dem Wind in den Seegang eingetragen. Dabei trägt der Wind erst dann Energie in eine Orbitalwelle ein, wenn er schneller als deren Phasengeschwindigkeit c ist. Ist er langsamer, so bremst er diese nur. Eine qualitative Parametrisierung dieses Sachverhalts ist [36]: ΦS := FW ωew . ΦS beschreibt darin die Zunahme der Wellenenergie ew durch den Wind pro Zeit. FW ist eine dimensionslose Windeintragsfunktion, die von der Windschubspannung und der Phasengeschwindigkeit der Wellen abhängt. Eine Besonderheit dieser Parametrisierung ist das Auftauchen der Wellenenergie auf der rechten Seite der Gleichung. Diese Formulierung kann also nicht die Entstehung von Windwellen auf einem ruhigen Gewässer simulieren. Die Windeintragsfunktion FW kann z. B. nach Snyder-Cox [36] als   u  ρL 10 FW = 0.25 max 28 CD − 1, 0 ρ c modelliert werden. Darin ist u10 die Windgeschwindigkeit 10 m über der Wasseroberfläche und c die Phasengeschwindigkeit im Tiefwasser. Dabei wird angenommen, dass Wind und Wellen in dieselbe Richtung laufen. CD wird im Folgenden nach Smith und Banke [71] berechnet.

11.3.7 Das Windseespektrum im Tiefwasser bei Gleichgewichtsbedingungen Zusammen mit dem Energieeintrag durch den Wind und die Dissipation durch Turbulenz hat die Wellenenergiegleichung nun die folgende Gestalt: ∂ ew + div ( cg ew ) = ΦS − 2 fw ∂t



ew k sinh 2kh

1.5 − ε w.

Wir wollen schauen, ob diese Gleichung in der Lage ist, das JONSWAP-Spektrum für Tiefwasserwellen zu prognostizieren. Im Tiefwasser haben die Wellen keine Grundberührung, der Energiefluss ΦB durch die Sohle ist also Null. Nimmt man einen Ozean ohne mittlere Strömungen an und geht von homogenen und stationären Seegangsbedingungen aus, so bleibt von der Wellenenergiegleichung nur: ΦS = ε w .

11.3 Das Wirbelviskositätsprinzip für die Wellengleichung

287

1200

Spektrale Energiedichte [m²s]

1000

800

600

400

200

0 0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

Frequenz [Hz]

Abbildung 11.6: Vergleich der abgeleiteten (fett) mit der JONSWAP-Funktion (dünn) für die spektrale Energiedichte bei einer Windgeschwindigkeit von 30 m/s.

Setzt man die beiden Beziehungen hierfür ein und verwendet die Dispersionsbeziehung für das Tiefwasser, so erhält man:  eweq

=

100 32

1/3

FW g3 ω −4 . 2/3

Die Umrechnung auf eine spektrale Energiedichte erfolgt nach der Definition durch die Division mit der Gravitationskonstante und der Frequenz: S(ν) =

ew = gν



100 32

1/3

(2π)−4 FW g2 ν −5 = 9.38 · 10−4 FW g2 ν −5 . 2/3

2/3

Man erkennt in der umgekehrten Abhängigkeit von der fünften Potenz der Frequenz, dass das Ergebnis für hohe Frequenzen in die Phillipsfunktion übergeht. Ebenfalls wird die Proportionalität zum Quadrat der Gravitationsbeschleunigung bestätigt. Wir wollen das abgeleitete Spektrum mit dem JONSWAP-Spektrum vergleichen. In dieses geht die die Peakfrequenz ein, die das neue Spektrum bei νP = annimmt.

15 1 1 g 1 g √ = 0.006559 √ 13 28 CD 2π u10 CD u10

288

11 Strömungen, Turbulenz und Wellen

Der Vergleich in Abbildung 11.6 zeigt eine recht gute Übereinstimmung der beiden Spektren im hochfrequenten Bereich, die auch bei anderen Windgeschwindigkeiten bestehen bleibt. Bei kleineren Frequenzen ist die Übereinstimmung allerdings nicht hinreichend. Dies liegt aber an dem scharfen Sprung in der Windeintragsfunktion, die die Böigkeit des Windes nicht berücksichtigt. Günther und Rosenthal [21] haben schon in anderem Zusammenhang gezeigt, dass die Annahme einer Normalverteilung für die Windgeschwindigkeit eine Spektrumsfunktion auch für die kleinen Frequenzen verbessert. Wie ist das Ergebnis zu bewerten? Im Rahmen der Plausibilisierung der Phillipsfunktion hatten wir untersucht, ob das Wellenbrechen der dominante Mechanismus zur Beschreibung des Wellenenergiespektrums ist. Dies konnte nicht bestätigt werden. Die nun vorgestellte Analyse zeigt, dass die turbulente Dissipation der Wellenenergie hier einen viel wichtigeren Beitrag leistet.

11.4 Welleninduzierte Strömungen am Strand Nachdem wir untersucht haben, wie Seegangswellen auf das Vertikalprofil der mittleren Gezeitenströmung wirken, wollen wir nun schauen, ob sie auch zu einem Nettotransport über die Wassersäule führen können, so z. B. also die mittlere Strömung ab- oder umlenken können. Damit würden Seegangswellen in der Lage sein, auch selbst Wassermassen zu transportieren und zu Änderungen im Wasserspiegel führen. Derartige welleninduzierte Strömungen treten vor allem in flachem Wasser und beim Vorhandensein von Gradienten in der Wassertiefe, also insbesondere in Strandnähe auf. Bevor wir diese Prozesse studieren können, müssen wir ein konzeptionelles Modell für die tiefengemittelte Wellenwirkung aufstellen.

11.4.1 Die tiefengemittelten Radiation Stresses Tiefengemittelte Geschwindigkeiten sind im Gegensatz zu den vertikal aufgelösten dreidimensionalen Strömungsgeschwindigkeiten immer mit einem horizontalen Nettotransport von Wassermassen verbunden. Will man also untersuchen, ob auch Wellen eine Nettobewegung induzieren können, müssen wir die tiefengemittelten Impulsgleichungen mit den Wellenwirkungen aufstellen. Diese kann man aus der Integration der dreidimensionalen Reynoldsgleichungen (11.3) über die Wassertiefe erhalten. Dazu setzt man das Druckprofil unter Wellen in die horizontalen Impulsgleichungen ein und erhält [74]: ∂ ui ∂ ui u j ∂ zS ∂ + = −g + ∂t ∂xj ∂ xi ∂ x j

 νt

∂ ui ∂xj

 +

 ∂  w w −ui u j + δi j ww ww + fi ∂xj

Die recht komplizierte Herleitung wird in [49] dargestellt. Im Ergebnis bekommen wir die tiefenintegrierten Gleichungen für die Impulsbilanz wie in Kapitel 9.5, bloß dass ein weiterer Term für die tiefengemittelten Radiation Stresses Si j hinzukommt: ∂ ui ∂ zS 1 τWind,i − τBi 1 ∂ ∂ ui = −g + +uj + ∂t ∂xj ∂ xi h ρ h ∂xj

 hνt

∂ ui ∂xj

 −

1 ∂ Si j + fi,tide ρ ∂xj

11.4 Welleninduzierte Strömungen am Strand

289

Man beachte, dass sich der Mittlungsstrich über den Strömungsgeschwindigkeiten nun auf die tiefengemittelte, mittlere Geschwindigkeit bezieht. Im Radiation Stress Tensor Si j werden nun die dreidimensionalen Radiation Stresses über die Tiefe integriert, wobei mit dem Kroneckersymbol δi j auch die Wellenwirkung auf die vertikale Druckverteilung berücksichtigt wird: ρ Si j = h

zS 

 uwi uwj − δi j ww ww dz

zB

Mit den dreidimensionalen Radiation Stress Komponenten für Airywellen ρ A2 ω 2 Si j = h 2

zS  0

 ki k j cosh2 (kz) sinh2 (kz) − δi j dz k2 sinh2 (kh) sinh2 (kh)

und den in Kapitel 6.2 hergeleiteten Integrationsformeln bekommen die tiefengemittelten Radiation Stresses die Form4 :    ki k j cg cg  wρ − δi j 1 − Si j = e h k2 c c Um sich in diesem Gewirr aus Indizes zurecht zu finden, betrachten wir den einfachsten Fall einer in x-Richtung laufenden Welle. Die Wellenzahlen sind dann kx = k und ky = 0. Eine solche Welle produziert also die Normalspannungen   ρ  cg ρ  cg Sxx = ew 2 −1 und Syy = ew −1 , h c h c sowie die Scherspannungen Sxy = Syx = 0. Übung 63: Zeigen Sie die letzten beiden Beziehungen. Welche Wirkung diese welleninduzierten Spannungen haben, soll nun untersucht werden.

11.4.2 Die Impulsgleichungen in Strandnähe Eine spezielle Situation liegt vor, wenn Wellen einen Strand erreichen, sich also die Wassertiefe erheblich verringert. Die damit verbundenen Transformationen der Welleneigenschaften hatten wir schon studiert. Durch Wellen am Strand werden aber auch mittlere Strömungen induziert und Änderungen des Wasserspiegels bewirkt, die wir nun untersuchen wollen. 4 Die

auf den Arbeiten von Longuet-Higgins und Stewart [47] basierenden Darstellungen (z.B. [25]) würden die Radiation Stresses als    1 cg ρ ki k j cg Si j = ew − δ − i j h k2 c 2 c schreiben. Die damaligen Herleitungen basieren allerdings noch nicht auf der formal exakten Trennung von Strömung und Welle, die schon zu Unterschieden in der Darstellung des Wellendrucks führte.

290

11 Strömungen, Turbulenz und Wellen

Wir nehmen an, dass der Strand parallel zur y-Achse verlaufe und in dieser Richtung alle Ver∂ hältnisse homogen ( ∂∂y = 0) sowie grundsätzlich stationär sind ( ∂t = 0). Senkrecht zum Strand kann keine mittlere Strömung (u = 0) vorhanden sein, ansonsten würde die Strandlinie nach hinten oder vorne verschoben. Unter Berücksichtigung aller dieser Besonderheiten bleibt von den tiefenintegrierten Impulsgleichungen nur noch: 0 = −g 0=−

∂ zS 1 ∂ Sxx 1 ∂ Sxy − − ∂x ρ ∂x ρ ∂y

1 τBy 1 ∂ Sxy 1 ∂ Syy − − h ρ ρ ∂x ρ ∂y

Die erste Gleichung erzählt etwas über eine welleninduzierte Änderung der Wasseroberfläche in Strandnähe, die zweite Gleichung über strandparallele Schubspannungen. Beide Effekte sollen quantifiziert werden.

11.4.3 Der Brandungsstau Zunächst wollen wir Spiegellinie des mittleren Wasserstandes zS betrachten und gehen von einer strandnormal (d.h. in x-Richtung) einlaufenden Welle aus. Dann gilt: ρg

 ∂  w ρ  cg ∂ zS =− e 2 −1 ∂x ∂x h c

Auf beiden Seiten wird nach x abgeleitet. Damit kann man zwischen einem Punkt im Tiefwasser und einem Punkt in Strandrichtung x integrieren. Da im Tiefwasser cg = c/2 gilt, bekommt man:   cg (x) 1 zS (x) = zS,0 + e (x) 1−2 gh(x) c(x) w

Diese Gleichung kann man für unser Strandprofil der Neigung 1:100 auswerten, für welches in Abbildung 6.1 die Wellenlänge und in Abbildung 6.4 die Wellenamplitude gezeigt wurde. Zwischen der offenen See und der Brandungszone senkt sich der mittlere Wasserspiegel immer weiter ab, man bezeichnet diesen Effekt im Englischen auch als wave setdown. Darauf folgt zwischen Brandungszone und Strand ein starker Anstieg, den man als Brandungsstau oder englisch als wave setup bezeichnet. Laufen die Wellen schräg ein, so kommen auch in der strandnormalen x-Impulsgleichung weitere Terme hinzu. So können sogar permanente küstenparallele Strömungen induziert werden, wie im folgenden Abschnitt gezeigt wird.

11.4.4 Die Küstenlängsströmung Die zweite Gleichung im Anfang dieses Abschnittes berichtet von einer strandparallelen Schubspannung. Diese ist nach dem Gesetz von Nikuradse proportional zur Strömungsgeschwindigkeit, womit eine solche induziert wird, die man als Küstenlängsströmung bezeichnet. Wir wollen

11.4 Welleninduzierte Strömungen am Strand

291

Lage des mittleren Wasserspiegels [m]

0,02

0,00

-0,02

-0,04

-0,06

-0,08

-0,10 -100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Strandabstand [m]

Abbildung 11.7: Veränderung der Lage des mittleren Wasserspiegels durch eine küstennormal einlaufende 20 m lange Welle entlang eines linearen Küstenquerprofils der Neigung 1:100.

zunächst versuchen, diese quantitativ abzuschätzen, bevor wir ihre geomorphologischen Wirkungen diskutieren. Geht man der Einfachheit halber davon aus, dass die Verhältnisse parallel zur Strandlinie konstant sind, dann bleibt von der y-Impulsgleichung:   ∂ ew kx ky cg τBy = −hρ ∂ x h k2 c Für das bekannte Strandprofil kann man die Gleichung wieder diskretisieren, d. h. die Ortsableitung durch finite Differenzenquotienten ersetzen und mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms auswerten. Das Ergebnis in Abbildung 11.8 zeigt für die 1 m lange Welle eine in positiver Küstenrichtung wirkende Spannung, die Werte bis zu einem 0.2 N/m2 erreichen kann. Die längeren Wellen zeigten im Abstand zwischen ca. 300 und 50 m ein leichtes Aufsteilen durch Shoaling. Dort sind Sohlbelastungen und dementsprechend Küstenlängsströmungen in negativer Richtung zu verzeichnen, die aber, sobald die Wellenamplitude abnimmt, in positive Richtung umschlagen. Im Bereich der Abnahme der Amplitude entstehen Sohlschubspannungen von mehreren Newton pro Quadratmeter. Die Darstellung der Küstenlängsspannungen weist noch einige Schwachstellen auf. So ist die Refraktion unberücksichtigt, ferner brechen die Wellen bei einer gewissen Steilheit, was zu einer noch stärkeren Abnahme der Amplitude und somit zu einer Unterschätzung der wirkenden Spannungen führt. Die resultierenden Belastungen der Sohle induzieren in der Brandungszone so hohe Sedimenttransportraten, dass die Morphologie der Küstengewässer hier am aktivsten ist. Der Küstenlängstransport führt letztendlich zusammen mit dem äolischen Transport zur Ausbildung von Nehrungen und Nehrungsinseln, die ca. 13 % der Weltküstenlinien vorgelagert sind.

292

11 Strömungen, Turbulenz und Wellen

5

4

Küstenlängsspannung [N/m²]

3

2

1

Einlauflänge 1 m 0

Einlauflänge 10 m -1 -400

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

-2

-3

Einlauflänge 20 m

-4

-5

Strandabstand [m]

Abbildung 11.8: Küstenlängsspannung entlang eines linearen Küstenprofils der Neigung 1:100. Dabei wurde kx ky /k2 = 0.6 als konstant angenommen.

Die dargestellte Theorie ist natürlich auch in der Lage, das Auftreten der gefährlichen Rippströmungen an Stränden darzustellen. Dieses sind welleninduzierte strandnormale Strömungen, die Badende ins Meer reißen können. Hierzu sind allerdings weitere Terme in den tiefengemittelten Impulsgleichungen mit Radiation Stresses und die tatsächliche Topographie eines Strandes zu berücksichtigen. Dies geht allerdings nur noch im Rahmen einer numerischen Modellierung.

11.5 Zusammenfassung Zur Modellierung der Strömungen in Küstengewässern auf geophysikalischen Skalen haben wir in diesem Kapitel die mittlere Strömung, turbulente Fluktuationen und periodische Oberflächenwellen konsistent voneinander getrennt. Wie bei der Reynoldsmittlung erscheinen die Wirkungen der Wellen auf die mittlere Strömung als Zusatzspanunngen, die man als Radiation Stresses bezeichnet. Eine Parametrisierung der hiermit verbundenen unbekannten Korrelationen erhält man aus den analytischen Lösungen für Airywellen. Die dargestellte Theorie zeigt den Weg, wie ein Modellierungssystem für die Hydromechanik der Küstengewässer sich aus den Komponenten für die mittlere Gezeitenströmung, den Seegang und die Turbulenz konzeptionell zusammensetzen sollte. Die zukünftige Forschung muss sich hier vor allem der Zusammenführung der spektralen Seegangstheorien mit der hydrodynamischen Theorie widmen. Die Ergebnisse können dann Anwendung in der Entwicklung von Modellen finden, die uns Auskunft über das langfristige Schicksal unserer Küsten unter den Einflüssen der verschiedenen menschlichen Eingriffe in das Natursystem und des Klimawandels geben.

Anhang

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Sachverzeichnis

Abstrahlungsgesetz, 14 ADCP-Gerät, 228 ADV-Gerät, 226 Advektion, 133 Antizyklon, 171 Ästuar, 81 hypersynchrones, 98 hyposynchrones, 98 Länge, 87 synchrones, 98 Asymmetrie der Tidewelle, 97 Beaufortskala, 209 Bemessungswasserstand, 185 Bore, 163 Boussinesq-Wellenmodell, 217 Brackwasserzone, 82 Brandungsstau, 290 Brandungszone, 290 Brecher überlaufender, 161 einstürzender, 161 hochbrandender, 162 rollender, 161 Colebrook-White-Gesetz, 83 Corioliskraft, 20, 169 Düne, 243 Dünung, 201 Deichbau, 9 Deklination, 26 Direkte Numerische Simulation, 231 Dispersion, 124 Dispersionsbeziehung, 68 für Airywellen, 119 Umkehrung, 120 Divergenzzone, 59 Doodsen-System, 38

Druck, 5 Druckkraft, 114 Druckmessdose, 216 Druckverteilung atmosphärische, 166 hydrostatische, 123 Durchfluss, spezifischer, 61 Durchmesser, hydraulischer, 83 Ebbedauer, 101 Ebbestromdauer, 101 Ebbestromgeschwindigkeit, 101 Ebbestromkenterpunkt, 101 Einzelwertverfahren, 186 Energie Druck-, 147 kinetische, 147 potentielle, 147 turbulent kinetische, 239 Energiedichte, spektrale, 196 Energieliniengefälle, 83 Erdmasse, 15 Erdradius, 15 Eulergleichungen, 134 Fetchlänge, 182, 202 Finite-Volumen-Methode, 62 Flächenkraft, 171 Flachwasserwelle, 71 Fluss einer Größe, 151 Flutdauer, 101 Flutstromdauer, 101 Flutstromgeschwindigkeit, 101 Flutstromkenterpunkt, 101 Formzahl der Gezeiten, 47 Frühlingspunkt, 26 Frequenz-Richtungsspektrum, 207 Geschwindigkeitsfluktuationen, 228

A. Malcherek, Gezeiten und Wellen, DOI 10.1007/978-3-8348-9764-0, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

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Geschwindigkeitsknoten, 91 Geschwindigkeitspotential, 115 Geschwindigkeitsprofil, logarithmisches, 175, 236 Gezeitenkalender, 70 Gezeitenkonstante, 26 Gezeitenkraftwerk, 152 Gezeitenpotential, 25 Gezeitenrechenmaschine, 43 Gravitationsbeschleunigung, 15 Gravitationsgesetz, 13 Gravitationskonstante, 13 Gravitationspotential, 19 Greensches Ästuargesetz, 97 Grenzschicht, 233 Gruppengeschwindigkeit, 125 Hadleyzonen, 169 Hafeneinfahrt, 212 Impulsgleichungen, tiefengemittelte, 64 Integriertes Küstenzonenmanagement, 10 Iribarrenzahl, 161, 210 JONSWAP-Spektrum, 202 K1 -Gezeit, 40 Küsteningenieurwesen, 7 Küstenschutz, 9 Kanalmodell, äquatoriales, 78 Karman-Konstante, 233 Kenterpunkt, 88 Kenterpunktabstand, 101 Kitaigorodskiifunktion, 206 Klimaänderung, 165 Klimawandel, 195 Kolk, 136 konservativ, 116 Konvektionsströmung, 168 Konvergenzzone, 59 Koordinatensystem, lokal-kartesisches, 18 Kornrauheit, 241 Kraft, 4 Kreuzsee, 126 Lagrangesche Ableitung, 133 Laplacegleichung, 116 M1 -Gezeit, 29

Sachverzeichnis

M2 -Gezeit, 29 M4 -Gezeit, 75 makrotidal, 99 Meeresspiegelanstieg, 1 mesotidal, 99 Meyer-Peter-Müller-Formel, 96 Mf-Gezeit, 41 mikrotidal, 99 Mischungswegansatz, 282 Mm-Gezeit, 40 Modell dreidimensionales, 230 eindimensionales, 82 tiefengemitteltes, 56 Modulation, 125 Monat, siderischer oder tropischer, 38 Mondtag, mittlerer, 38 Morison-Formel, 138 Morphodynamik, 8 Navier-Stokes-Gleichungen, 230 Nikuradseformel, 95 Nipptide, 26, 45 Nulldurchgangsverfahren, 190 O1 -Gezeit, 38, 40 Oberflächengewässer, 2 Offshore-Windenergieanlage, 136 Partialtide, 28, 38 Peakfrequenz, 200, 202 Pegel, 33 Periodenverdopplung, 75 Phasenfunktion, 127 Phasengeschwindigkeit, 68, 124, 128 Phasenmittel, 272 Phillipsfunktion, 199 Pierson-Moskowitz-Spektrum, 200 Potential, 19 Potentialströmung, 116 Radarpegel, 34, 190 Radiation Stress, 277 Rauheit, 240 Rayleigh-Verteilung, 193 Reflektion von Wellen, 89 Refraktion, 156 Rektaszension, 26 Ressourcennutzung, 1

301

Reynoldsgleichungen, 231 Reynoldsmittlung, 231 Reynoldsspannungstensor, 232 Reynoldszahl, 138 sedimentologische, 242 Rippströmung, 292

Tideprisma, 107 Tidestieg, 73 Tidewehr, 87 TMA-Spektrum, 206 Turbulenzintensität, 238 Turbulenzmodellierung, 232

S1 -Gezeit, 29 S2 -Gezeit, 29 Sa-Gezeit, 41 Saint-Venantsche Gleichungen, 83 Salinität, 66 Salzgehalt, 65 Schleuse, doppelt kehrende, 211 Schwimmerpegel, 33 Sedimenttransport, 8 Seedeich, 187 Seeschifffahrt, 7 Shoaling, 154 Shoalingkoeffizient, 154 Snellsches Brechungsgesetz, 157 Sohlrauheit, scheinbare, 267 Sohlrauheitsbeiwert, 260 Sohlschubspannung, 64 Spannungen, 5 Spannungstensor, 172 Spring-Nipp-Zyklus, 45 Springtide, 26, 45 Ssa-Gezeit, 41 Stammtide, 44 Stauwasser, 101 Stokessche Wandhaftbedingung, 233, 249 Strömungsgeschwindigkeit, 5 Sturmflut, 183 Sturmflutsperrwerk, 187 Summenkonvention, 229

Übergangsgewässer, 3

Tag siderischer, 19 Sonnen-, 20 Telegraphengleichung, 84 Tidedauer, 101 Tidefall, 74 Tidehalbwasser, 99 Tidehochwasser, 99 Tidehub, 99 Tidemittelwasser, 99 Tideniedrigwasser, 99

Vergleichswertverfahren, 186 Viskosität dynamische, 173 molekulare, 256 turbulente, 232 Wasserstand, 5 Wasserstandsknoten, 91 Wave setdown, 290 Wave setup, 290 Welle, solitäre, 214 Wellenboje, 190 Wellenenergiedichte, 147 Wellenenergiefluss, 150 Wellengleichung, 68 Wellengruppe, 124 Wellenhöhe, 145 arithmetisches Mittel, 191 quadratisches Mittel, 191 signifikante, 191, 209 Wellenkammverfahren, 190 Wellensteilheit, 210 Wellenzahl, 67 Wind, geostropischer, 170 Windschubkoeffizient, 176 Windschubspannung, 174 Windschubspannungsgeschwindigkeit, 175 Windsee, 201 Windstau, 178 Wirbelviskosität, 180 Wirbelviskositätsprinzip, 232, 281 Zenitwinkel, 27 Zero down crossing method, 190 Zirkulationsströmung, windinduzierte, 179 Zirkumpolarmeer, 79 Zustandsgleichung idealer Gase, 166 Zyklon, 171