Einführung in die Technische Mechanik. Kinetik

Springer-Lehrbuch

Herbert Balke

Einführung in die Technische Mechanik Kinetik

Mit 93 Abbildungen

123

Prof. Dr.-Ing. habil. Herbert Balke Technische Universität Dresden Insitut für Festkörpermechanik 01062 Dresden E-Mail: [email protected]

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7/3100/YL - 5 4 3 2 1 0

Vorwort Die Einf¨ uhrung in die Technische Mechanik/Kinetik“ schließt an den vor” liegenden Band Einf¨ uhrung in die Technische Mechanik/Statik“ an. In der ” Statik wurden die Gleichgewichtsbedingungen belasteter starrer K¨orper untersucht. Der Inhalt der Kinetik besteht darin, unter Beachtung der Kinematik, d.h. der geometrisch-zeitlichen Beschreibung der K¨orperbewegungen, den Zusammenhang zwischen den Bewegungen und den damit verbundenen Lasten aufzukl¨ aren. Inhalt und Umfang des Buches entsprechen im Wesentlichen meiner einsemestrigen Vorlesung f¨ ur den Studiengang Mechatronik“ an der Technischen ” Universit¨ at Dresden, orientieren sich aber auch stark am traditionellen Lehrstoff der Technischen Mechanik im Grundstudium f¨ ur Maschinenbauingenieure an technischen Hochschulen und Universit¨ aten. Konzeptionell beruht die Kinetik in diesem Buch auf den beiden f¨ ur beliebige K¨orper und K¨ orperteile g¨ ultigen Grundgesetzen der Mechanik, der Impulsbilanz und der Drehimpulsbilanz. Dieses Konzept, das widerspruchsfrei die Gleichgewichtsbedingungen der Statik als Sonderfall einschließt, erlaubt es, beispielunterst¨ utzt von einfachen Situationen allm¨ahlich auf kompliziertere Probleme u ahigkeit zur mechanischen Modellbildung ¨berzugehen und so die F¨ zu entwickeln. Bei paralleler Aneignung des erforderlichen mathematischen Wissens wird damit ein direkter Weg zum Verst¨andnis der modernen Kontinuumsmechanik als Grundlage computergest¨ utzter Berechnungsmethoden er¨offnet. Dar¨ uberhinaus unterst¨ utzt die gew¨ ahlte Vorgehensweise die Bereitstellung der Grundlagen f¨ ur den anschließenden Aufbau einer Feldtheorie, die es gestattet, zusammen mit den mechanischen Ph¨anomenen auch thermodynamische und elektromagnetische Erscheinungen zu analysieren. Eine solche Theorie gewinnt zunehmend an Bedeutung, da immer h¨aufiger technische Strukturen aus Werkstoffen mit physikalisch gekoppelten Eigenschaften, so genannte smarte oder intelligente Materialien, zum Einsatz kommen. Die f¨ ur das Verst¨ andnis der Kinetik erforderlichen Voraussetzungen umfassen außer den schon in der Statik ben¨ otigten Hilfsmitteln Kenntnisse in folgenden mathematischen Teilgebieten: Vektorrechnung, Kurvengeometrie, Linienund Mehrfachintegrale, gew¨ ohnliche lineare Differenzialgleichungen, Transformation kartesischer Koordinaten und homogene Gleichungssysteme einschließlich Eigenwertprobleme symmetrischer Matrizen. Ein tieferes Eindringen in die Technische Mechanik ist nur durch das selbst¨ st¨andige L¨ osen entsprechender Ubungsaufgaben m¨oglich. Deshalb wird dem Leser empfohlen, die ausgef¨ uhrten Beispiele zun¨ achst ohne Zuhilfenahme der angegebenen Ergebnisse zu l¨ osen.

Meinen verehrten Lehrern, den Herren Professoren H. G¨oldner, F. Holzweißig, G. Landgraf und A. Weigand, bin ich daf¨ ur verpflichtet, dass sie meine Begeisterung f¨ ur das Fach Technische Mechanik“ geweckt haben. Besonde” rer Dank gilt den Herren Dr.-Ing. J. Brummund, Prof. P. Haupt (Universit¨at Kassel) und Prof. V. Ulbricht, mit denen die in den einf¨ uhrenden Lehrb¨ uchern zum Teil vorhandenen Widerspr¨ uche bei der Darlegung der Grundlagen von Statik und Kinetik ausdiskutiert werden konnten. In dieser Entstehungsphase des Lehrbuchprojektes waren f¨ ur mich auch die h¨aufigen Gespr¨ache mit Herrn Prof. R. Kreißig (Technische Universit¨at Chemnitz) und Herrn Prof. H. Theilig (Hochschule Zittau/G¨ orlitz) hilfreich. Herr Prof. S. Liebig hat mir freundlicherweise zahlreiche Diskussionen gew¨ahrt, die mich in meinen Entscheidungen u arkten. Zur Aufnahme eines sepera¨ber die Stoffauswahl best¨ ten Abschnittes u ¨ber die Kinematik von Mehrk¨orpersystemen wurde ich von Herrn Dr.-Ing. S. Marburg angeregt. Das gesamte Kapitel zur Kinematik habe ich in Abstimmung mit dem Fachvertreter f¨ ur Bewegungs- und Mechanismentechnik, Herrn Prof. K.-H. Modler, formuliert. Mit der Wahl des Beispiels zur Kinetik von Mehrk¨ orpersystemen bin ich einem Wunsch von Herrn Prof. K. Reinschke (Institut f¨ ur Regelungs- und Steuerungstheorie) gefolgt. F¨ ur zahlreiche Detailhinweise bedanke ich mich bei Frau Dr.rer.nat. E. Junkert, Herrn Priv.-Doz. Dr.-Ing. habil. R. Schmidt und Herrn Doz. Dr.Ing. habil. D. Weber. Bei der Korrekturlesung der letzten Manuskriptversion wurde ich von den Herren Dipl.-Ing. C. H¨ausler, Dipl.-Ing. M. Hofmann, Dipl.-Ing. A. Liskowsky, Dipl.-Ing. P. Neumeister und Dr.-Ing. V.B. Pham unterst¨ utzt. Besonders Herr Dipl.-Ing. C. H¨ausler hat mich mit seiner kritischen Hinterfragung aller Zusammenh¨ ange zu manchen Verbesserungen der Textabfassung veranlasst. Dank geb¨ uhrt Frau C. Pellmann, die den gr¨ oßten Teil meiner Bildvorlagen in eine elektronische Form gebracht hat. Die Herstellung des reproduktionsreifen Manuskriptes lag in den bew¨ ahrten H¨ anden von Frau K. Wendt. Bei der Textund Zeichenverarbeitung von Herrn Dipl.-Ing. G. Haasemann unterst¨ utzt, hat sie mit unerm¨ udlichem Einsatz nicht nur den Schriftsatz realisiert, sondern auch meine erg¨ anzenden Bildvorlagen in die elektronische Fassung eingearbeitet. Hierf¨ ur bedanke ich mich ganz herzlich. Nicht zuletzt bin ich dem Springer-Verlag f¨ ur die erwiesene Geduld und die gute Zusammenarbeit verbunden. Dresden, im Herbst 2005

H. Balke

Inhaltsverzeichnis Einf¨ uhrung ................................................................... Kinematik Kinematik des K¨orperpunktes ................................. Kartesische Koordinaten........................................ Nat¨ urliche Koordinaten ......................................... Zylinderkoordinaten ............................................. Kinematik des starren K¨orpers ................................ Translation ........................................................ Rotation um einen raumfesten Punkt........................ Ebene Bewegung ................................................. Allgemeine Bewegung ........................................... Kinematik von Mehrk¨orpersystemen ......................... Relativbewegung des K¨orperpunktes .........................

1 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.3 1.4

1 5 7 10 13 19 19 19 22 28 32 35

2.3.6 2.3.7 2.3.8

Kinetik Grundlegende Begriffe .......................................... 41 K¨orper und Masse ............................................... 41 Lasten .............................................................. 42 Arbeit, Leistung, Potenzial ..................................... 45 Kinetik des starren K¨orpers bei Translation ................ 50 NEWTONs Bewegungsgleichung ............................. 51 Mathematische Folgerungen aus NEWTONs Bewegungsgleichung .......................................................... 64 Kinetik des starren K¨orpers bei beliebiger Bewegung ..... 71 Impuls und Drehimpuls ......................................... 72 Impuls- und Drehimpulsbilanz ................................. 73 Ebene Bewegung in einer Symmetrieebene ................. 78 Statische Interpretation der Impuls- und Drehimpulsbilanz 82 Mechanischer Arbeits- und Energiesatz f¨ ur die ebene Bewegung............................................................. 86 Drehung um eine feste Achse ................................. 90 Kinetische Schnittreaktionen des Balkens ................... 97 Kinetik von Mehrk¨orpersystemen ............................. 101

3 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2

Schwingungen von Systemen mit dem Freiheitsgrad 1 Grundbegriffe ..................................................... Freie Schwingungen ............................................. Unged¨ampfte freie Schwingungen ............................ Schaltungsarten f¨ ur Systemparameter .......................

2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.2 2.2.1 2.2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5

107 108 109 113

3.2.3 3.3 3.3.1 3.3.2

Ged¨ampfte freie Schwingungen ............................... Erzwungene Schwingungen .................................... Unged¨ampfte erzwungene Schwingungen ................... Ged¨ampfte erzwungene Schwingungen ......................

4 4.1 4.2

Schwingungen von Systemen mit dem Freiheitsgrad 2 Unged¨ampfte freie Schwingungen ............................ 127 Unged¨ampfte erzwungene Schwingungen ................... 129

5 5.1 5.2 5.3

Stoßvorg¨ ange Gerader zentrischer Stoß ....................................... 136 Gerader exzentrischer Stoß..................................... 142 Schiefer zentrischer Stoß ....................................... 146

6 6.1

LAGRANGEsche Gleichungen zweiter Art Beispiel eines alternativen Zugangs zur Bewegungsgleichung............................................................... 153 Ebene Bewegung von Mehrk¨ orpersystemen................. 156

6.2

Anwendungen der Kinetik starrer K¨ orper im Raum Kinetische Kenngr¨oßen des starren K¨ orpers ................ Kenngr¨oßen f¨ ur die Translation ............................... Kenngr¨oßen f¨ ur die Rotation .................................. Kinetische Energie ............................................... Impulsbilanzen bei Benutzung kinetischer Kenngr¨ oßen ... Rotordrehung um eine raumfeste Achse ..................... Rotordrehung bei bewegter Drehachse ...................... Literatur......................................................................

7 7.1 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.2 7.2.1 7.2.2

115 118 118 119

165 165 165 179 181 185 189 193

1

Einf¨ uhrung Ein h¨ aufig zitierter, der Mechanik zugerechneter Satz lautet: Ein K¨ orper bleibt in Ruhe oder gleichf¨ ormiger, geradliniger Bewegung, solange keine Kr¨ afte auf ihn wirken. Wie problematisch dieser Satz ist, zeigt das folgende Gedankenexperiment. Ein Rugbyball, der bekanntlich keine Kugelform besitzt, werde mit Effet getreten. Bei anschließender Ausschaltung der Schwerkraft und des Luftwiderstandes wirken keine Kr¨ afte auf ihn. Wie ist seine gleichf¨ormige, geradlinige Bewegung trotz seiner Eigendrehung festzustellen? Auf diese Frage sind verschiedene Antworten m¨ oglich. Eine erste Antwort k¨ onnte folgendermaßen lauten. Man betrachte den Ball durch ein verkehrt herum angeordnetes Fernglas. Die Abmessungen des Balles werden dann infolge ihrer Kleinheit im Vergleich zur Beobachtungssch¨arfe nicht mehr im Detail wahrgenommen. Man sieht also eine gleichf¨ormige Bewegung des Balles auf gerader Bahn. Infolge der unvollst¨andigen Beobachtung ist allerdings keine Aussage dar¨ uber m¨ oglich, mit welchem Oberfl¨achenpunkt der Ball z.B. auf eine Ebene in einer bestimmten geometrischen Anordnung auftrifft. Die gegebene Antwort f¨ uhrt auf den Begriff der Punktmasse, d.h. der in einem geometrischen Punkt konzentriert gedachten Masse des Balles. Die Bahnbewegung der Punktmasse ist messbar. Von der Eigendrehung der Punktmasse um sich selbst zu sprechen, hat keinen Sinn. Das Modell der Punktmasse ist damit offensichtlich unzureichend f¨ ur die Beschreibung der Bewegung der in Natur und Technik vorkommenden K¨ orper, die Abmessungen haben und deren Eigendrehung meistens bestimmt werden muss. Bef¨ urworter des Punktmassenmodells behelfen sich in diesem Zusammenhang mit zus¨atzlichen Annahmen, indem sie behaupten, ein K¨ orper sei aus vielen Punktmassen aufgebaut. Auf den Verbindungsgeraden zwischen den Punktmassen wirken wechselseitig konzentrierte Kr¨ afte, wobei f¨ ur jede Punktmasse das so genannte NEWTONsche Grundgesetz gilt, so dass die resultierende Kraft dem Produkt aus Masse und Beschleunigung gleicht. Diese Vorstellung, in die noch ¨ Uberlegungen zur Statistik einfließen m¨ ussen, wird in einf¨ uhrenden Lehrb¨ uchern u ussig ausgef¨ uhrt. Sie scheint auch ¨blicherweise nicht oder nicht schl¨ f¨ ur die Anwendung auf konkrete Materialien mit definierter chemischer Zusammensetzung nicht allgemein genug zu sein, denn es werden hierf¨ ur u.a. Materialmodelle entwickelt, die nicht nur konzentrierte Wechselwirkungskr¨ afte, sondern auch konzentrierte Wechselwirkungsmomente zulassen. Die Wechselwirkungsmomente haben die Eigenschaft, dass sie eine Drehung der

2

Einf¨ uhrung

Teilstruktur, an der sie angreifen, verursachen. Sie erfahren keine Erkl¨arung auf Basis der oben skizzierten NEWTONschen Punktmechanik. Die angedeuteten Schwierigkeiten bei den Bem¨ uhungen, u ¨ber eine Erkl¨arung der Mikrostruktur das makroskopische Verhalten der K¨orper verstehen zu wollen, und unser ausgepr¨ agter Wunsch, die der Anschauung zug¨anglichen makroskopischen Bewegungen der K¨ orper ohne Umwege mit einer Theorie zu verkn¨ upfen, veranlassen uns, direkt auf die Einheit zweier empirischer Grundgesetze, der Impulsbilanz und der Drehimpulsbilanz, zur¨ uckzugreifen. Dieses Modell, das auf Kernideen von NEWTON (1643-1727), EULER (17071783) und ARCHIMEDES (287-212 v.Chr.) beruht, vermeidet die schwer pr¨ ufbaren Annahmen der Punktmechanik und besitzt die f¨ ur unsere Zwecke erforderliche Allgemeing¨ ultigkeit. Kommen wir nun zu dem eingangs zitierten Satz und dem Gedankenversuch des mit Effet getretenen Rugbyballes zur¨ uck. Wir nehmen den Satz so, wie er vorliegt, und verstehen unter dem K¨ orper einen Gegenstand mit Abmessungen. Auf die anfangs gestellte Frage geben wir jetzt eine zweite, durch die Erfahrung gest¨ utzte, Antwort. Der Schwerpunkt des Balles ist festzustellen. Seine Bahn wird geradlinig und seine Geschwindigkeit konstant sein. Da der Ball keiner Wirkung von Momenten unterliegt, wird er eine Drehbewegung um seinen Schwerpunkt ausf¨ uhren, die bei gegebenen Ballabmessungen nur von seinem anf¨ anglichen Bewegungszustand abh¨angt. Das eigentliche Problem der von uns angestrebten Theorie besteht in der Beschreibung der allgemeinen Bewegung eines beliebigen K¨orpers unter der Wirkung von Lasten, d.h. von sowohl Kr¨ aften als auch Momenten. Die allgemeine Bewegung enth¨ alt translatorische und rotatorische Beschleunigungen des K¨ orpers. F¨ ur die Bestimmung der Beschleunigungen setzen wir ein mit einem starren Bezugsk¨ orper verbundenes, unbeschleunigtes Bezugssystem einschließlich einer Uhr voraus. In diesem Bezugssystem wird die Bewegung durch die beiden unabh¨ angig voneinander geltenden, gemeinsam zu erf¨ ullenden Bilanzen von Impuls und Drehimpuls beschrieben. Erstere bestimmt die translatorische Beschleunigung des K¨orperschwerpunktes, letztere bei Bezug auf den K¨ orperschwerpunkt die rotatorische Beschleunigung des K¨ orpers. Die an die zweite Antwort angekn¨ upften Gedanken umfassen den wesentlichen Inhalt der Kinetik. Sie werden im vorliegenden Band nach Bereitstellung der kinematischen Grundlagen durch das Kapitel 1 im Kapitel 2 ausgef¨ uhrt. Die verbleibenden Kapitel u ¨ber Schwingungen, Stoßprobleme, LAGRANGEsche Gleichungen zweiter Art und Rotorbewegungen stellen dann Anwendungen der allgemeinen Theorie aus Kapitel 2 dar.

Kapitel 1 Kinematik

1

1

1 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.3 1.4

Kinematik Kinematik des K¨orperpunktes ................................. Kartesische Koordinaten........................................ Nat¨ urliche Koordinaten ......................................... Zylinderkoordinaten ............................................. Kinematik des starren K¨orpers ................................ Translation ........................................................ Rotation um einen raumfesten Punkt........................ Ebene Bewegung ................................................. Allgemeine Bewegung ........................................... Kinematik von Mehrk¨orpersystemen ......................... Relativbewegung des K¨orperpunktes .........................

5 7 10 13 19 19 19 22 28 32 35

1.1

Kinematik des K¨ orperpunktes

5

1 Kinematik Die in der Realit¨ at vorliegenden technischen Objekte (Konstruktionen, Ma¨ k¨ schinenteile, Bauelemente u. A.) onnen Bewegungen ausf¨ uhren. Beim Studium dieser Bewegungen, die mit der Zeit ablaufen, ist es zweckm¨aßig, zun¨achst nur die geometrischen Einzelheiten dieser Bewegungen zu betrachten und noch nicht nach den Ursachen der Bewegungen zu fragen. Wie in der Statik (im Folgenden bezieht sich das Wort Statik“ außer auf ” allgemeine Zusammenh¨ ange noch auf die Einf¨ uhrung in die Technische Me” chanik/Statik“) werden auch in der Kinematik die h¨aufig kompliziert geformten technischen Objekte durch einfache K¨ orper ersetzt. In diese Idealisierung gehen nur die Abmessungen der technischen Objekte ein. Damit besitzen die K¨orper ein Volumen und eine Oberfl¨ ache. Die allgemeine Bewegung eines technischen Objektes umfasst gew¨ ohnlich Orts- und Winkel¨anderungen sowie Verformungen. Beispiele hierf¨ ur sind der Rahmen und die Reifen eines Fahrzeuges in der Kurvenfahrt auf unebener Straße. Bei der Modellierung der Bewegung k¨ onnen h¨ aufig die Verformungen, die klein im Vergleich zu den Abmessungen sind, unber¨ ucksichtigt bleiben, beispielsweise im Falle des Fahrzeuges die Rahmenverformungen, seltener die Reifenverformungen. Dies f¨ uhrt zum Begriff des starren K¨ orpers, bei dem alle Abst¨ande zweier beliebiger K¨ orperpunkte unge¨ andert bleiben. F¨ ur alle in dem Buch Kinetik“ be” handelten Probleme wird von dieser kinematischen Vereinfachung Gebrauch gemacht und der starre K¨ orper abk¨ urzend als K¨ orper bezeichnet. Das Verst¨ andnis der Bewegung der K¨ orper l¨ asst sich schrittweise durch die Betrachtung der Bewegung einzelner K¨ orperpunkte gewinnen. Zun¨achst wird ein K¨ orperpunkt herausgegriffen und im Folgenden sein Ort in Raum und Zeit mathematisch beschrieben. Mit dieser Vorgehensweise k¨onnen dar¨ uber hinaus schon solche praktischen Probleme gel¨ ost werden, bei denen alle K¨orperpunkte die gleiche Bewegung ausf¨ uhren. Dieser auch als Translation bezeichnete Sonderfall ist ein Bestandteil der sp¨ ater zu untersuchenden allgemeinen Bewegung der K¨ orper.

1.1 Kinematik des K¨ orperpunktes Zur Festlegung des Ortes eines K¨ orperpunktes im Raum ben¨otigt man ein Bezugssystem. Als solches k¨ onnen die starren W¨ande eines ruhenden Labors dienen. Außerdem ist ein Ereignis zu w¨ ahlen, ab dem die Zeit gemessen werden kann. Bei vielen Problemen wird die Ruhe hinreichend eingehalten, wenn das Labor auf der Erdoberfl¨ ache fixiert ist. Darf die Bewegung der Erdoberfl¨ache nicht vernachl¨ assigt werden, ist das als ruhend geltende Bezugssystem

1.1

6

1. Kinematik

an weniger bewegten Objekten, z.B. einem Fixstern, festzumachen. Wir bezeichnen ein so empirisch eingef¨ uhrtes Bezugssystem als Inertialsystem oder raumfestes Bezugssystem. In Bild 1.1 sind die Schnittlinien der als eben anP v

¢r

P

r(t)

I

r(t+¢t)

O Bild 1.1. Bahnkurve im raumfesten Bezugssystem

ande angedeutet. Sie treffen sich im Raumpunkt O. Der genommenen Laborw¨ auft die eingezeichnete Bahnkurve. Er befindet sich zur orperpunkt durchl¨ K¨ Zeit t, welche mittels der symbolisierten Uhr gemessen wird, am Raumpunkt angigen P (auch als Ort bezeichnet). Die Bahnkurve wird durch den zeitabh¨ orperpunkt akOrtsvektor r(t), der vom raumfesten Punkt O zu dem vom K¨ tuell eingenommenen Raumpunkt P zeigt, in Parameterform mit der Zeit t als ur Vektoren dienen fette Buchstaben. Parameter beschrieben. Als Symbole f¨ anderten alt noch den infolge eines zeitlichen Zuwachses ∆t ge¨ Bild 1.1 enth¨
asst sich orperpunktes. Damit l¨ Ortsvektor r(t + ∆t) zum neuen Ort P des K¨ der von P nach P
gerichtete Verschiebungsvektor, ∆r = r(t + ∆t) − r(t) ur abnehmende Beder auch Sekantenvektor der Bahnkurve ist, berechnen. F¨ aher an P heran, so dass die durch P P
gelegte uckt P
immer n¨ age von ∆r r¨ tr¨ Gerade schließlich in die Bahntangente bei P u ¨bergeht. Die Geschwindigkeit orperpunktes in P ist dann definiert durch v des K¨ v(t) = lim

∆t→0

∆r dr(t) r(t + ∆t) − r(t) = r˙ (t) . = = lim ∆t→0 ∆t dt ∆t

(1.1)

Bei der Differenziation (1.1), die einer Division des Vektors dr mit dem Skalar andert. Die Geschwindt entspricht, wird der Vektorcharakter von dr nicht ge¨ ur den das Parallelodigkeit v ist deshalb wie die Verschiebung ein Vektor, f¨ grammgesetz der Zerlegung und Zusammensetzung gilt. Die Richtung dieses ¨ mit der Richtung aß der vorangegangenen Uberlegung Vektors stimmt gem¨ berein. der Bahntangente im Punkt P u ¨

1.1

Kinematik des K¨ orperpunktes

7

Gem¨ aß (1.1) ergibt sich die Einheit [v] des Betrages v = |v| der Geschwindigkeit v zu [v] = m/s . Der Beschleunigungsvektor a des K¨ orperpunktes am Ort P wird aus (1.1) mittels der Definition a(t) =

dv(t) ˙ = v(t) = ¨r(t) dt

(1.2)

gewonnen. Seine Richtung gleicht der Richtung des Differenzials dv. Bei einer gekr¨ ummten Bahn ¨ andert sich die Richtung von v. Dann kann dv nicht die Richtung von v haben. Der Betrag von a wird gem¨aß (1.2) in der Einheit m/s2 gemessen. Es sei noch vermerkt, dass der K¨ orperpunkt auf einer gegebenen Bahnkurve nur eine Bewegungsm¨ oglichkeit, n¨ amlich die l¨ angs der Bahnkurve, besitzt. Die Anzahl der unabh¨ angigen Bewegungsm¨ oglichkeiten eines geometrischen Objektes wird auch als Freiheitsgrad f bezeichnet. Der K¨orperpunkt hat also auf einer gegebenen Bahnkurve den Freiheitsgrad f = 1. F¨ ur die Bewegung eines K¨ orperpunktes auf einer gegebenen r¨ aumlichen Fl¨ache gilt f = 2 und im Raum f = 3. In der Literatur wird h¨ aufig der Begriff Freiheitsgrad“ f¨ ur eine Bewegungs” m¨oglichkeit gebraucht. Gem¨ aß dieser Sprechweise h¨atte der K¨orperpunkt auf einer gegebenen r¨aumlichen Fl¨ ache zwei Freiheitsgrade und im Raum drei. Wir bleiben bei der erstgenannten Terminologie, in der das Wort Freiheits” grad“ ¨ ahnlich wie bei dem Begriff Schwierigkeitsgrad“ den angestrebten Sinn ” einer Skala, hier f¨ ur die Anzahl der Bewegungsm¨oglichkeiten, enth¨alt. 1.1.1 Kartesische Koordinaten

Das raumfeste Bezugssystem entstehe jetzt aus unbewegten Ebenen, die senkrecht zueinander angeordnet und deren Schnittlinien wieder Geraden sind. Die Abst¨ ande eines Raumpunktes P von diesen W¨anden sollen im gleichen Maßstab gemessen werden. Sie heißen dann kartesische Koordinaten. Im Bild 1.2 befindet sich der bewegte K¨ orperpunkt zur Zeit t in P . Seine Lage wird durch die kartesischen Koordinaten x(t), y(t) und z(t) beschrieben. Die Schnittlinien der auch als Koordinatenfl¨ achen bezeichneten Ebenen y = 0 und z = 0, x = 0 und z = 0, x = 0 und y = 0 tragen die raumfesten Koordinatenachsen x, y, z, die durch den Ursprung O verlaufen. Sowohl der als Ursprung bezeichnete Raumpunkt O als auch der Raumpunkt P k¨onnen als Schnittpunkt von jeweils drei zueinander senkrechten Koordinatenfl¨achen aufgefasst werden. Je zwei zueinander senkrechte Koordinatenfl¨achen schneiden sich in einer Koordinatenlinie.

8

1. Kinematik y

P

r(t) y(t)

ey ez z

O

ex

x z(t)

x(t)

Bild 1.2. Bahnkurve im raumfesten kartesischen Bezugssystem

In jedem Raumpunkt sind drei rechtwinklig zueinander angeordnete Einheitsvektoren ex , ey , ez parallel zu den Koordinatenlinien und gleich orientiert wie die Koordinatenachsen x, y, z angebbar. Sie bilden eine so genannte kartesische Vektorbasis, die an allen Raumpunkten gleich und unabh¨ angig von der Zeit ist. In Bild 1.2 sind diese drei Einheitsvektoren an einem m¨ oglichen Raumpunkt, hier dem Ursprung O, eingetragen. Die Gesamtheit von kartesischen Koordinaten und Basisvektoren soll kartesisches Bezugssystem heißen. Der Ortsvektor r l¨ asst sich nach den Basisvektoren ex , ey , ez zerlegen: r(t) = x(t)ex + y(t)ey + z(t)ez .

(1.3)

Wegen |ek | = 1 mit k = x, y, z besitzen die Maßzahlen (auch als Vektorkoeffizienten oder -koordinaten bezeichnet) des Ortsvektors r dieselben Werte wie die kartesischen Koordinaten x, y, z des K¨ orperpunktes in P . Mit der Zeitunabh¨ angigkeit der ek , k = x, y, z, folgt aus (1.1) und (1.3) der Geschwindigkeitsvektor ˙ ˙ v(t) = r˙ (t) = x(t)e ˙ x + y(t)e y + z(t)e z .

(1.4)

Sein Betrag ist v = |v| =


x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 .

(1.5)

Aus (1.2) mit (1.3) ergeben sich der Beschleunigungsvektor a(t) = ¨r(t) = x ¨(t)ex + y¨(t)ey + z¨(t)ez

(1.6)

und sein Betrag a = |a| =




x ¨2 + y¨2 + z¨2 .

(1.7)

Die kartesischen Bezugssysteme mit raumfesten Koordinatenachsen und raumfesten Basisvektoren reichen grunds¨ atzlich zur Beschreibung aller technischen Probleme aus. Dies gilt auch in dem besonders einfachen Fall der

1.1

Kinematik des K¨ orperpunktes

9

Bewegung auf einer geraden raumfesten Bahn. Statt des Ortsvektors r(t) ist dann nur die von einem raumfesten Punkt auf dieser Bahn gemessene Wegl¨ ange s(t) anzugeben. Die Geschwindigkeit v(t) =

ds(t) = s(t) ˙ dt

(1.8)

und die Beschleunigung a(t) = v(t) ˙ = s¨(t)

(1.9)

auf dieser Bahn sind mittels Zeitableitung aus s(t) gewinnbar. Liegen die Geschwindigkeit bzw. die Beschleunigung vor, gewinnt man den Weg bzw. die Geschwindigkeit mittels Integration unter Ber¨ ucksichtigung erforderlicher Anfangsbedingungen der Form s(t0 ) = s0 ,

v(t0 ) = v0

(1.10)

aus t

t v(t˜)dt˜ ,

s(t) = s0 +

a(t˜)dt˜ ,

v(t) = v0 +

t0

(1.11)

t0

wobei die Integrationsvariable t˜ von der oberen variablen Integrationsgrenze t unterschieden wurde. Ist die Geschwindigkeit als Funktion vom Weg v(s) gegeben, so folgen die Beschleunigung aus der Kettenregel a=

1 d 2 dv ds dv dv (v ) = = =v 2 ds ds ds dt dt

(1.12)

und die Zeit als Funktion vom Weg durch Integration nach Trennung der Variablen s d˜ s . (1.13) t(s) = t0 + v(˜ s) s0

Bei wegabh¨ angiger Beschleunigung a(s) liefert die Integration von (1.12) die wegabh¨ angige Geschwindigkeit v(s) =

[v02

s

1

a(˜ s)d˜ s] 2 .

+2 s0

(1.14)

10

1. Kinematik

Eine geschwindigkeitsabh¨ angige Beschleunigung a(v) f¨ uhrt mittels (1.12) auf v s(v) = s0 + v0

v˜ d˜ v a(˜ v)

(1.15)

d˜ v . a(˜ v)

(1.16)

und v t(v) = t0 + v0

Beispiel 1.1 Ein Fahrzeug wird in Geradeausfahrt u ¨ber die Strecke L von der Anfangsgeaßig auf die Endgeschwindigkeit v1 verz¨ogert. Wie schwindigkeit v0 gleichm¨ groß ist die Verz¨ ogerung, und wie lange wirkt sie? L¨ osung: Es liegt die translatorische Bewegung eines K¨orpers vor, welche durch die Bewegung eines K¨ orperpunktes bestimmt ist. Die Anfangsbedingungen lauten s(0) = 0 ,

v(0) = v0 .

Nach der Verz¨ogerungszeit T gilt s(T ) = L ,

v(T ) = v(L) = v1 .

Damit folgt f¨ ur a = konst. aus (1.14) a=−

v02 − v12 2L

und aus (1.16) T =

v0 − v1 2L v1 − v 0 . = 2L 2 = 2 v0 + v1 v0 − v1 a


In manchen Anwendungen ist es zweckm¨ aßig, von einem kartesischen Bezugssystem ausgehend, den speziellen Gegebenheiten angepasste Bezugssysteme mit krummlinigen Koordinatenlinien und zeitlich ver¨anderlichen Basisvektoren einzuf¨ uhren. Im Folgenden werden zwei solche M¨oglichkeiten dargelegt. 1.1.2 Nat¨ urliche Koordinaten

In Bild 1.3 ist wieder die Bahnkurve des bewegten K¨orperpunktes eingezeichnet. Die Anordnung der von dem K¨ orperpunkt eingenommenen Raumpunkte

1.1

Kinematik des K¨ orperpunktes

11 s

P

dr P¢

en

et

r r+d r

O Bild 1.3. Mitgef¨ uhrte Basis am bewegten K¨ orperpunkt

P und P
enth¨ alt jetzt in Fortf¨ uhrung von Bild 1.1 bereits den durch das Differenzial dr des Ortsvektors im differenziellen Zeitzuwachs dt ausgedr¨ uckten Grenz¨ ubergang. Mit einer gegebenen festen Bahnkurvengeometrie gilt f¨ ur den K¨ orperpunkt f = 1, und sein Ort kann durch Angabe der als Bahnkoordinate s(t) bezeichneten Bogenl¨ ange bestimmt werden. Weiterhin wurden in Bild 1.3 noch die beiden zeitabh¨ angigen, zueinander senkrechten Einheitsuhrten Basis eingetragen. basisvektoren et (t), en (t) der so genannten mitgef¨



Der Tangenteneinheitsvektor et ergibt sich mit P P = ds zu et =

(1.17)

P ¢ et

P en

dr . ds

et+det

ds

et

%

ds %

ds %

et+det

det

K Bild 1.4. Zur Berechnung des Normaleneinheitsvektors

Der Normaleneinheitsvektor en zeigt gem¨ aß Bild 1.4 zum Kr¨ ummungsmittelpunkt K der Bahnkurve mit dem Kr¨ ummungsradius
. Er hat folglich dieselbe Orientierung wie det , und es gilt en =

det det . =
ds 1 · ds/


(1.18)

12

1. Kinematik

Beide Einheitsbasisvektoren sind offensichtlich durch die Kurvengeometrie selbst bestimmt. Mittels der Bahnkoordinate s(t) l¨asst sich der Ortsvektor als r = r[s(t)]

(1.19)

darstellen. Der Geschwindigkeitsvektor folgt dann als Zeitableitung u ¨ber die Kettenregel mit (1.17) und ds/dt = v zu v=

dr ds = v et . ds dt

(1.20)

Er ist, wie es sein muss, tangential zur Bahn orientiert. Sein Betrag v gleicht deshalb der Bahngeschwindigkeit. Die Zeitableitung von (1.20) liefert mit (1.18) und Ber¨ ucksichtigung der Kettenregel den Beschleunigungsvektor v a = v˙ = v˙ et + v e˙ t = v˙ et + v en
bzw. mit v2


(1.21)

a = at et + an en .

(1.22)

at = v˙ ,

an =

das Ergebnis

Wie (1.22) zu entnehmen ist, besitzt der Beschleunigungsvektor in seiner umnat¨ urlichen Zerlegung eine tangentiale Komponente at et und eine zum Kr¨ mungsmittelpunkt der Bahnkurve hin gerichtete Normalkomponente an en . Sein Betrag ist damit  (1.23) a = |a| = a2t + a2n . Beispiel 1.2 Auf der Ellipse mit den Halbachsen a, b  2  2 y x =1 + b a bewegt sich ein K¨ orperpunkt mit konstanter Bahngeschwindigkeit v0 . Gesucht ist der Betrag des Beschleunigungsvektors.

1.1

Kinematik des K¨ orperpunktes

13

L¨ osung: Mit (1.21) und (1.22) gilt at = v˙ = 0 ,

|a| = an =

v02 .


Der Kr¨ ummungsradius im Punkt (x, y) ist nach den Rechenregeln der Kurventheorie, angewendet auf die Elipsengleichung, 3 3  2 y2 2 [1 + (dy/dx)2 ] 2 2 2 x . + 4 =a b
= b a4 d2 y/dx2 Da hier die tangentiale Beschleunigungskomponente verschwindet, besteht der Beschleunigungsvektor nur aus der zum Bahnkr¨ ummungsmittelpunkt gerichteten normalen Beschleunigungskomponente.
1.1.3 Zylinderkoordinaten

W¨ ahrend kartesische Koordinaten als gerade Schnittlinien paarweise senkrecht zueinander liegender Ebenenscharen entstehen, erzeugen konzentrische Kreiszylinderfl¨ achen, Ebenen senkrecht zur Zylinderachse und Ebenen, die die Zylinderachse enthalten, kreisf¨ ormige, radiale und zur Zylinderachse parallele Koordinatenlinien. L

y

ey

er

e

y

ex

P

e

I

ey e

er I

y

I

r

r

I

P

ex

I

der er+der

er d

I

x

z a)

x

I

x b)

Bild 1.5. Kartesische und Polarkoordinatenlinien mit Basisvektoren

achst die Koordinatenebene z = 0 (Bild 1.5a). Diese EbeWir betrachten zun¨ ne ist mit einem raumfesten kartesischen Koordinatenliniennetz x = konst., y = konst. u ¨berdeckt. An einem Punkt P der Ebene mit den kartesischen Koordinaten x, y kann ein Einheitsbasisvektorsystem ex , ey tangential zu den at der KoordinaKoordinatenlinien angegeben werden. Wegen der Parallelit¨

14

1. Kinematik

tenlinien existiert an dem von P verschiedenen Punkt P
mit den kartesischen Koordinaten x
, y
dasselbe Einheitsbasisvektorsystem ex , ey . Von den Zylinderkoordinaten verbleiben in der Ebene z = 0 Polarkoordinaten. Die Koordinatenlinien sind raumfeste radiale Geraden ϕ = konst. und raumfeste konzentrische Kreise r = konst. Die Einheitsbasisvektoren liegen wieder tangential zu den Koordinatenlinien. Die lokale Orientierung der Koordinatenlinien ist jedoch im Allgemeinen an jedem Ebenenpunkt verschieden. Deshalb besitzen die Einheitsbasisvektoren er , eϕ am Punkt P mit den Polarkoordinaten r = |r|, ϕ eine andere Orientierung als die Basisvektoren e
r , e
ϕ am Punkt P
mit den Polarkoordinaten r
= |r
|, ϕ
. Das Bild 1.5a enth¨ alt auch die Bahnkurve L eines bewegten K¨orperpunktes. Die Vektoren der Geschwindigkeit und Beschleunigung des zur Zeit t in P befindlichen K¨ orperpunktes lassen sich nach (1.4) und (1.6) bez¨ uglich der kartesischen Basis ausdr¨ ucken. Anschließend k¨onnen sie nach den Einheitsvektoren er , eϕ zerlegt werden. Es ist aber auch m¨oglich, den Ortsvektor des bewegten K¨ orperpunktes vor Bildung seiner Zeitableitungen in der Form r = r(t)er (t)

(1.24)

¨ von er beschreibt, darzustellen, wo die Zeitabh¨ angigkeit in er (t) die Anderung die infolge des Durchlaufens verschiedener Raumpunkte mit ihrer individuelahrend der Bewegung des K¨ orperpunktes auf der Bahnkurve len Basis er , eϕ w¨ eintritt. Die Ber¨ ucksichtigung der Zeitabh¨ angigkeit von er (t) in (1.24) ergibt f¨ ur den Geschwindigkeitsvektor v = r˙ = r˙ er + r e˙ r .

(1.25)

Wegen der gleichen Orientierung von der und eϕ (s. Bild 1.5b) gilt der = 1 · dϕ · eϕ und folglich nach Division durch dt e˙ r = ϕ˙ eϕ .

(1.26)

v = r˙ er + rϕ˙ eϕ = vr er + vϕ eϕ ,

(1.27)

Dies liefert mit (1.25)

wo vr = r˙ die radiale und vϕ = rϕ˙ die zirkulare Koordinate des Geschwindigkeitsvektors darstellen. Die Zeitableitung von (1.27) f¨ uhrt auf den Beschleunigungsvektor a = v˙ = r¨er + r˙ e˙ r + r˙ ϕ˙ eϕ + rϕ¨ eϕ + rϕ˙ e˙ ϕ ,

1.1

Kinematik des K¨ orperpunktes

15

der sich wegen deϕ = −1 · dϕ · er (Bild 1.6), bzw. e˙ ϕ = −ϕ˙ er ,

(1.28)

a = (¨ r − rϕ˙ 2 )er + (2r˙ ϕ˙ + rϕ)e ¨ ϕ = ar er + aϕ eϕ

(1.29)

und (1.26) in der Form

mit ar = r¨ − rϕ˙ 2 als radialer und aϕ = 2r˙ ϕ˙ + rϕ¨ als zirkularer Vektorkoordinate schreiben l¨ asst. de

e

e +de

d

er

Bild 1.6. Zur Berechnung von e˙ ϕ

Die Gleichungen (1.27) und (1.29) geben die Vektoren der Geschwindigkeit und Beschleunigung der ebenen Bewegung eines K¨ orperpunktes in Polarkoordinaten an. Bei einer r¨aumlichen Bewegung steht anstelle von (1.24) r = r(t)er (t) + z(t)ez ,

(1.30)

angt. Die Vektoren von Geschwindigkeit und wo ez nicht von der Zeit abh¨ Beschleunigung der r¨ aumlichen Bewegung in Zylinderkoordinaten lauten deshalb v = r˙ er + rϕ˙ eϕ + z˙ ez ,

(1.31)

¨ ϕ + z¨ez . a = (¨ r − rϕ˙ 2 )er + (2r˙ ϕ˙ + rϕ)e

(1.32)

Polarkoordinaten haben besondere Vorteile bei der Beschreibung von Bewegungen auf Kreisbahnen. Dort gelten die Spezialisierungen r = konst. ,

r˙ = 0 ,

r¨ = 0

(1.33)

und deshalb mit (1.24), (1.27), (1.29) r = rer ,

v = rϕ˙ eϕ ,

a = −rϕ˙ 2 er + rϕ¨ eϕ .

(1.34)

16

1. Kinematik

Die auftretenden Vektorkoordinaten f¨ uhren folgende Bezeichnungen: rϕ˙ = vϕ 2

−rϕ˙ = ar

−

Umfangsgeschwindigkeit (tangential zur Bahn),

−

Radialbeschleunigung (normal zur Bahn, zum Bahnkr¨ ummungsmittelpunkt orientiert, deshalb auch Zentripetalbeschleunigung),

rϕ¨ = aϕ

−

Umfangsbeschleunigung (tangential zur Bahn).

Die Zeitableitung ϕ˙ = dϕ/dt wird Winkelgeschwindigkeit ω genannt, ω = ϕ˙ ,

(1.35)

und definitionsgem¨ aß in der Einheit 1/s gemessen. Ihre Zeitableitung ist die Winkelbeschleunigung ω˙ = ϕ¨

(1.36)

mit der Maßeinheit [ω] ˙ = 1/s2 . Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit wird f¨ ur einen Umlauf mit dem Winkel 2π die Umlaufzeit T ben¨ otigt: ω · T = 2π ,

T =

2π . ω

(1.37)

Die Anzahl der Uml¨ aufe je Zeiteinheit, die Frequenz f , ergibt sich aus dem Kehrwert der Umlaufzeit ω 1 (1.38) = f= 2π T mit der abgeleiteten Einheit Hz (Hertz, nach HERTZ, 1857-1897) 1Hz = 1/s . Wegen (1.38) heißt ω = 2πf auch Kreisfrequenz. Beispiel 1.3 Man dr¨ ucke die Basisvektoren er , eϕ der Polarkoordinaten von Bild 1.5 durch die kartesischen Basisvektoren ex , ey aus und bilde ihre Zeitableitung. L¨ osung: Es gilt nach den Regeln der linearen Algebra f¨ ur orthogonale Einheitsvektorbasen er = ex cos ϕ + ey sin ϕ eϕ = −ex sin ϕ + ey cos ϕ

1.1

Kinematik des K¨ orperpunktes

17

bzw. ˙ ˙ eϕ e˙ r = ϕ(−e x sin ϕ + ey cos ϕ) = ϕ e˙ ϕ = ϕ(−e ˙ ˙ er , x cos ϕ − ey sin ϕ) = −ϕ d.h. die Best¨ atigung von (1.26), (1.28).




Beispiel 1.4 Die Bahnkurve L von Bild 1.5a sei ein Kreis mit dem Radius r = r0 und dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt. Unter Verwendung kartesischer Koordinaten und der Ergebnisse von Beispiel 1.3 sind die Beziehungen (1.34) herzuleiten. L¨ osung: Der Ortsvektor (1.3) lautet im ebenen Fall in kartesischen Koordinaten r = x ex + y ey . Aus Bild 1.5a folgen f¨ ur |r| = r0 die Beziehungen x = r0 cos ϕ und y = r0 sin ϕ. Die Zeitableitungen von r . . r˙ = x˙ ex + y˙ ey = r0 (cos ϕ) ex + r0 (sin ϕ) ey = r0 ϕ(−e ˙ ˙ eϕ = v x sin ϕ + ey cos ϕ) = r0 ϕ und ¨r = r0 ϕ(−e ¨ ˙ 2 (−ex cos ϕ − ey sin ϕ) x sin ϕ + ey cos ϕ) + r0 ϕ = r0 ϕ¨ eϕ − r0 ϕ˙ 2 er = a best¨ atigen (1.34).




Beispiel 1.5 Ein geradliniger Stab dreht sich gem¨ aß Bild 1.7a mit der Winkelbeschleunigung φ¨ = C cos φ um den raumfesten Punkt B und erzeugt mit dem Halbkreis vom Radius R einen Schnittpunkt P . In der horizontalen Ausgangslage befand sich der Stab in Ruhe. Gesucht sind die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren von P in Polar- und Bahnkoordinaten als Funktion von φ. L¨ osung: Als Polarkoordinaten werden zweckm¨ aßig der Winkel ϕ und der Radius R benutzt, die die Bahn als Koordinatenlinie enthalten (Bild 1.7b). Die Win-

18

1. Kinematik e er

P Á Á

R Á

B

Á

P0

a)

2Á=

b)

Bild 1.7. Kinematische Anordnung a) und benutzte Basis mit Lagekoordinate b)

kelbeschleunigung l¨ asst sich mittels (1.12) sinngem¨ aß umformen ˙ d(φ) φ˙ = C cos φ φ¨ = dφ bzw. nach Integration ˙ 2 (φ) = C sin φ + K1 . 2 ˙ = 0) = 0 folgt K1 = 0 und damit Aus der Anfangsbedingung φ(φ
φ˙ = 2C sin φ . Der Geschwindigkeitsvektor auf der Kreisbahn ist mit (1.34) wegen ϕ = 2φ (Bild 1.7b)
v = vϕ eϕ = Rϕ˙ eϕ = 2R 2C sin φ eϕ . Der Beschleunigungsvektor ergibt sich aus (1.34) zu ˙ 2 er + R · 2φ¨ eϕ a = −rϕ˙ 2 er + rϕ¨ eϕ = −R · 4(φ) = −8R C sin φ er + 2R C cos φ eϕ . Sein Betrag ist |a| = 2R C

 1 + 15 sin2 φ .

urliche VektorDie Basisvektoren der gew¨ ahlten Polarkoordinaten und die nat¨ basis fallen bis auf das Vorzeichen in en = −er zusammen. Deshalb gilt unter Ausnutzung des Vergleiches von (1.20) mit (1.27) f¨ ur die Bahngeschwindigkeit
v = vϕ = 2R 2C sin φ . Der Vergleich von (1.22) mit (1.34) liefert

1.2

Kinematik des starren K¨ orpers

at = aϕ = 2R C cos φ ,

19

an = −ar = 8R C sin φ .


1.2

1.2 Kinematik des starren K¨ orpers 1.2.1 Translation

Ein starrer K¨ orper kann verschiedenen Bewegungsformen unterliegen. Eine davon ist die schon erw¨ ahnte Translation, bei der alle K¨orperpunkte deckungsgleiche Bahnen durchlaufen. Dies ist in Bild 1.8 am Beispiel der ebenen Bahnen AA
A

und BB
B

veranschaulicht. A¢ A¢¢

A

B¢ B

B¢¢

Bild 1.8. Ebene Translation eines K¨ orpers

Das Bild zeigt auch, dass keine Rotationen auftreten. Zu jedem Zeitpunkt sind die auf den beiden Bahnen zur¨ uckgelegten Wegl¨angen, die erzeugten Geschwindigkeiten und Beschleunigungen identisch. Zur Erfassung der translatorischen Bewegung reicht die Betrachtung eines K¨orperpunktes aus. Folglich entspricht der Freiheitsgrad der Translation im Raum dem eines K¨orperpunktes, n¨ amlich f = 3. Offensichtlich muss die Bahn des K¨orperpunktes keine gerade Linie sein. Als Beispiel kann die Kabine eines Paternosteraufzuges dienen. Mit der in Abschnitt 1.1 bereitgestellten Kinematik des K¨orperpunktes sind also alle, auch r¨ aumliche, Translationsbewegungen beschreibbar. 1.2.2 Rotation um einen raumfesten Punkt

Ein K¨ orperpunkt sei gleichzeitig der Ursprung O eines raumfesten kartesischen Bezugssystems (Bild 1.9, die K¨ orperkontur wurde nicht eingezeichnet). Die derart eingeschr¨ ankte Bewegungsm¨ oglichkeit wird auch als Kreiselbewegung bezeichnet. Gegeben ist jetzt ein weiterer K¨orperpunkt P . Da O und P k¨orperfest sind, bilden alle Raumpositionen von P eine Kugelfl¨ache mit O als Mittelpunkt. Der zeitabh¨ angige Ortsvektor r, der beide Punkte miteinander verbindet, besitzt eine konstante L¨ ange. Er kann um die drei Achsen des raumfesten Bezugssystems rotieren und beschreibt damit drei unabh¨angige

20

1. Kinematik !dt v

% P !

r ® ®

O

Bild 1.9. Zur K¨ orperrotation um einen raumfesten Punkt

Winkel¨ anderungen. Der K¨orper hat deshalb unter diesen Bedingungen den Freiheitsgrad f = 3. Wir f¨ uhren in Bild 1.9 den Winkelgeschwindigkeitsvektor ω ein, der die durch den Punkt O verlaufende momentane Drehachse des K¨ orpers bestimmt. Die bei einer Winkel¨anderung um die momentane Drehachse erzeugte Rechtsschraube gibt die durch die Doppelpfeilspitze symbolisierte Orientierung des Winkelgeschwindigkeitsvektors an. Vektoren mit dieser Zusatzeigenschaft heißen axiale Vektoren (vgl. hierzu das Einzelmoment in der Statik). Die bei einer Drehung des K¨orpers um die momentane Drehachse vom K¨ orperpunkt P mit der Geschwindigkeit v im Zeitdifferenzial dt zur¨ uckgelegte Strecke vdt berechnet sich auch als Produkt aus der Winkel¨ anderung ωdt und dem momentanen Kr¨ ummungsradius
= || der Bahnkurve von P . Es gilt also vdt = ω
dt = ωr sin αdt , und da v senkrecht auf , r und ω steht, v = r˙ = ω ×  = ω × r .

(1.39)

Das Symbol ד bezeichnet das Vektorprodukt. ” Die G¨ ultigkeit des Parallelogrammgesetzes als Ausdruck des Vektorcharakters von ω ergibt sich aus der Vektoraddition von zwei infinitesimalen Verorperfeste Vektor schiebungen v1 dt und v2 dt, die entstehen, wenn sich der k¨ ahrend r nacheinander mit den Winkelgeschwindigkeiten ω 1 und ω 2 jeweils w¨ einer Zeitdauer dt um den k¨orper- und raumfesten Punkt O dreht. Die resultierende Verschiebung ist dann vres dt = v1 dt + v2 dt = ω 1 × rdt + ω 2 × rdt = (ω 1 + ω 2 ) × rdt = ω res × rdt .

(1.40)

1.2

Kinematik des starren K¨ orpers

21

Aus (1.40) folgt vres = ω res × r ,

(1.41)

wo vres die resultierende Geschwindigkeit und ω res die resultierende Winkelgeschwindigkeit bezeichnen. Die in (1.40) ausgef¨ uhrte Vektoraddition von ω 1 und ω 2 gem¨ aß des Parallelogrammgesetzes liefert also mit ω res das richtige atigung des Vektorcharakters von ω. Ergebnis vres und folglich die Best¨ Die in (1.39) enthaltene Zeitableitung eines k¨ orperfesten Abstandsvektors r konstanter L¨ ange r˙ = ω × r

(1.42)

gilt f¨ ur beliebige, mit Bezug auf den K¨ orper konstante, Vektoren. Deren Be¨ trag ist in jedem Bezugssystem konstant. Ihre zeitliche Anderung im raumfesten Bezug ist nur durch die Drehung ihres (auch k¨orperfesten) Einheitsvektors bedingt. Mit (1.39) ergibt sich noch der Beschleunigungsvektor a = v˙ = ω˙ × r + ω × r˙ = ω˙ × r + ω × (ω × r) ,

(1.43)

wo ω˙ den Winkelbeschleunigungsvektor bezeichnet. Hier und f¨ ur k¨ unftige Auswertungen des doppelten Kreuzproduktes dreier Vektoren a, b, c sei an die Formel a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c aus der Vektoralgebra erinnert. Abschließend ist zu vermerken, dass zwar die Winkelgeschwindigkeit ω eines K¨ orpers und das Winkeldifferenzial ωdt dem Parallelogrammgesetz gen¨ ugen, nicht aber die endliche Winkel¨ anderung. Dreht man z.B. einen Quader nacheinander jeweils 90◦ um zwei raumfeste Achsen, zu denen anf¨anglich zwei Quaderkanten parallel lagen, so h¨ angt die resultierende Anordnung von der Reihenfolge der beiden Drehungen ab, was dem Parallelogrammgesetz widerspricht. Deshalb kann die endliche Winkel¨ anderung kein Vektor sein. Beispiel 1.6 In einer raumfesten Lagerung B (Bild 1.10) rotiert eine Welle mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω. Mit ihr l¨ auft eine unter dem Winkel α schr¨ ag liegende Achse um, auf der ein Rad R mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotiert, wobei |ω| = ω = konst. gilt. Gesucht sind die Betr¨age der resultierenden Winkelgeschwindigkeits- und Winkelbeschleunigungsvektoren des Rades.

22

1. Kinematik

R

B

Bild 1.10. Rotierendes Rad auf umlaufender Achse

L¨ osung: Der Betrag ωres der resultierenden Winkelgeschwindigkeit ω res = ω + Ω des Rades folgt nach Zerlegung von ω in Komponenten parallel und senkrecht zu Ω aus 2 = (Ω + ω cos α)2 + (ω sin α)2 , ωres

ωres =


Ω2 + ω 2 + 2Ωω cos α .

Zur Berechnung der Winkelbeschleunigung wird zun¨achst die Zeitableitung des bez¨ uglich der Anordnung Welle/Achse k¨orperfesten Vektors ω gem¨aß (1.42) ω˙ = Ω × ω gebildet. Dabei wurden in (1.42) ω durch Ω und r durch ω ersetzt. Der resul˙ ω˙ bzw. wegen tierende Beschleunigungsvektor ω˙ res folgt dann aus ω˙ res = Ω+ ˙ Ω = 0 aus ω˙ res = ω˙ = Ω × ω. Sein Betrag ist deshalb |ω˙ res | = Ωω sin α .
1.2.3 Ebene Bewegung

Eine ebene Bewegung liegt vor, wenn sich die Punkte einer k¨orperfesten Ebene in einer raumfesten Ebene bewegen. Dies verdeutlicht Bild 1.11. In der raumfesten Ebene z = 0 liegt die durch die Umrandung symbolisierte k¨orperfeste Ebene. Die Ortsvektoren rA und r zeigen von dem raumfesten Punkt O zu den k¨orperfesten Punkten A und P . Letztere bewegen sich in der raumfesten Ebene z = 0, wobei der Betrag des k¨orperfesten Vektors rAP

1.2

Kinematik des starren K¨ orpers

23

rAP

P

A

y

rA

ey z O ez ex

r

x

Bild 1.11. Ebene Bewegung eines K¨ orpers

konstant bleibt. Es gelten r = rA + rAP

(1.44)

v = r˙ = r˙ A + r˙ AP

(1.45)

bzw.

und wegen |rAP |· = 0 mit (1.42) und r˙ A = vA v = vA + ω × rAP .

(1.46)

Der Winkelgeschwindigkeitsvektor ω steht sowohl auf der k¨ orperfesten als auch auf der raumfesten Ebene senkrecht, d.h. es ist ω = ωez und folglich v = vA + ωez × rAP .

(1.47)

Die Geschwindigkeit eines beliebigen K¨orperpunktes P bei der ebenen Bewegung des K¨orpers ergibt sich also aus der Geschwindigkeit eines k¨ orperfesten Bezugspunktes A und der Winkelgeschwindigkeit um die momentane Drehachse durch A. Die Unabh¨ angigkeit der Winkelgeschwindigkeit von der Wahl des k¨orperfesten Bezugspunktes A wird sp¨ater im Fall der allgemeinen Bewegung bewiesen. Aus (1.47) ist ersichtlich, dass der starre K¨ orper bei der ebenen Bewegung mit den beiden in der Bewegungsebene liegenden unabh¨angigen Komponenten des Geschwindigkeitsvektors vA und dem senkrecht auf der Bewegungsebene stehenden Winkelgeschwindigkeitsvektors ω den Freiheitsgrad f = 3 besitzt. Bei nichtverschwindender Winkelgeschwindigkeit l¨ asst sich immer ein Bezugspunkt rM finden, der momentan in Ruhe ist, d.h. vM = vA + ω ez × rAM = 0 .

24

1. Kinematik

Die Lage dieses Punktes, der auch als Momentan- oder Geschwindigkeitspol bezeichnet wird, folgt dann aus vM nach vektorieller Produktbildung mit ez , ez × vM = ez × vA + ω ez × (ez × rAM ) = ez × vA + ω[(ez · rAM )ez − (ez · ez )rAM ] = 0 , wegen der Orthogonalit¨ at der Vektoren ez und rAM zu rAM =

ez × vA . ω

(1.48)

Mit der Wahl des Bezugspunktes A = M in (1.47) ist die Geschwindigkeit des beliebigen K¨ orperpunktes P einfach v = vM + ω ez × rM P = ω ez × rM P ,

(1.49)

d.h. durch den Momentanpol und den Winkelgeschwindigkeitsvektor bestimmt. W¨ ahrend der ebenen Bewegung des K¨orpers ¨andert sich der Ort des Momentanpols. Die Verbindung aller dieser Orte in der raumfesten Bewegungsebene liefert eine Kurve, die so genannte Rastpolbahn, die Verbindung der Orte in der bewegten k¨ orperfesten Ebene die so genannte Gangpolbahn. Letztere rollt auf ersterer ab. F¨ ur die ebene Bewegung ist noch der Beschleunigungsvektor des beliebigen K¨ orperpunktes P anzugeben. Aus (1.47) ergibt sich wegen e˙ z = 0 a = v˙ A + ω˙ ez × rAP + ω ez × r˙ AP = v˙ A + ω˙ ez × rAP + ω ez × (ω ez × rAP ) und wegen ez ⊥ rAP a = v˙ A + ω˙ ez × rAP − ω 2 rAP .

(1.50)

Gem¨ aß (1.50) setzt sich der Beschleunigungsvektor des K¨orperpunktes P aus einem translatorischen Anteil des k¨ orperfesten Bezugspunktes A und einem Anteil zusammen, der infolge beschleunigter Rotation des k¨orperfesten Vekallt in die bez¨ uglich der Rotation tantors rAP um A entsteht. Letzterer zerf¨ gentiale Komponente ω˙ ez × rAP sowie in die radiale Komponente −ω 2 rAP . Es existiert auch ein Beschleunigungspol, der hier nicht untersucht werden soll. Abschließend werden die Koordinatendarstellungen der Gleichungen (1.44), (1.47) und (1.50) mitgeteilt. Der Betrag des k¨orperfesten Vektors rAP wird abk¨ urzend als rˆ = |rAP | bezeichnet. Mit r = x ex + y ey , rA = xA ex + yA ey und rAP = rˆ cos ϕ ex + rˆ sin ϕ ey folgt dann aus (1.44) x = xA + rˆ cos ϕ ,

y = yA + rˆ sin ϕ ,

(1.51)

1.2

Kinematik des starren K¨ orpers

25

aus (1.47) oder Zeitableitung von (1.51) mit ϕ˙ = ω vx = x˙ = x˙ A − rˆω sin ϕ ,

vy = y˙ = y˙ A + rˆω cos ϕ

(1.52)

und aus (1.50) oder Zeitableitung von (1.52) ax = x ¨=x ¨A − rˆω˙ sin ϕ − rˆω 2 cos ϕ ,

(1.53a)

2

ay = y¨ = y¨A + rˆω˙ cos ϕ − rˆω sin ϕ .

(1.53b)

W¨ahrend die koordinatenfreie Vektordarstellung der kinematischen Zusammmenh¨ ange f¨ ur theoretische Betrachtungen zweckm¨aßig ist, empfiehlt es sich bei der ausf¨ uhrlichen L¨ osung konkreter Aufgaben h¨aufig, aus der Aufgabenstellung die Koordinatengleichungen direkt abzulesen und anschließend nach der Zeit abzuleiten. Beispiel 1.7 Eine Kreisscheibe vom Radius R rollt auf einer ebenen horizontalen Unterlage (Bild 1.12a). Die Horizontalgeschwindigkeit ihres Mittelpunktes A betr¨agt y

R

y

A

x a)

®

® P

A

r

P

R

rA

ey ez

r

ex

xA

yA

B M

x

b) Bild 1.12. Rollende Kreisscheibe

˙ Gesucht sind die Vektoren der GeschwinvA , ihre Winkelgeschwindigkeit α. digkeit und Beschleunigung des im Abstand AP = rˆ von A befindlichen ur reines Rollen, der Momentanpol orperfesten Punktes P , die Bedingung f¨ k¨ ur reines Rollen und der Betrag der Geschwindigkeit von P als Folge M f¨ orperfeste Vektor ˆr mit der der Drehung um M . Am Rollbeginn bildet der k¨ Vertikalen den Winkel α. osung: L¨ Der Ortsvektor von P ist nach Bild 1.12b r = rA + ˆr = (xA + rˆ cos ϕ)ex + (R + rˆ sin ϕ)ey = (xA + rˆ sin α)ex + (R + rˆ cos α)ey .

26

1. Kinematik

Der Geschwindigkeitsvektor von P ergibt sich mit α˙ = −ω aus (1.46) bzw. mit (1.52) oder Zeitableitung der Koordinatendarstellung von r zu v = vA + ω × ˆr = x˙ A ex − α˙ ez × ˆr = (x˙ A + rˆα˙ cos α)ex − rˆα˙ sin α ey . Der Beschleunigungsvektor folgt aus (1.50) bzw. (1.53) oder aus der Zeitableitung der Koordinatendarstellung von v zu ¨ cos α − rˆα˙ 2 sin α)ex − rˆ(¨ α sin α + α˙ 2 cos α)ey . a = (¨ xA + rˆα Zur Dimensionskontrolle der Zeitableitungen wurde die Schreibweise vA = x˙ A verwendet. Die Bedingung f¨ ur reines Rollen erfordert, dass ein zur Zeit t an dem raumfesten Punkt B befindlicher k¨ orperfester Punkt P
keine horizontale Geschwin
digkeit besitzt. Mit P = P bzw. α = π und rˆ = R ergibt sich x˙ A + rˆα˙ cos α = x˙ A − Rα˙ = 0 . Die L¨ ange des abgerollten Scheibenumfanges gleicht dann dem Betrag der Verschiebung des Ber¨ uhrungspunktes. Der Momentanpol folgt aus (1.48), wo rAM = ˆr und vA = vA ex = x˙ A ex zu setzen sind, ˆr =

x˙ A ez × x˙ A ex = − ey = −Rey . α˙ ω

Er liegt im aktuell bei B befindlichen Ber¨ uhrungspunkt. Der Betrag des Geschwindigkeitsvektors v ist f¨ ur reines Rollen 1  rα˙ sin α)2 2 v = |v| = (x˙ A + rˆα˙ cos α)2 + (ˆ 1

1

˙ 2 + 2Rˆ r cos α + rˆ2 ) 2 . = (x˙ 2A + 2x˙ A rˆα˙ cos α + rˆ2 α˙ 2 ) 2 = α(R Die Interpretation der Rollbewegung als Drehung um den Momentanpol M liefert mit (1.49) und rM P = rˆ sin αex + (R + rˆ cos α)ey sowie mit α˙ = −ω   r sin α ex + (R + rˆ cos α)ey ] v = |v| = α˙ ez × [ˆ 1  1 ˙ 2 + 2Rˆ r cos α + rˆ2 ) 2 , = α˙ (ˆ r sin α)2 + (R + rˆ cos α)2 2 = α(R d.h. die Gleichwertigkeit beider Rechnungen.




1.2

Kinematik des starren K¨ orpers

27

Beispiel 1.8 Im Inneren eines raumfesten Kreises vom Radius R rollt, ohne zu gleiten, ein Rad mit dem Radius r aus der angegebenen Lage abw¨arts.

x

A

r

C O

R

y Bild 1.13. Ausgangslage des rollenden Innenrades

Gesucht sind die Koordinaten der Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren der Punkte A und C des rollenden Rades sowie die Winkelgeschwindigkeit und -beschleunigung des rollenden Rades. L¨ osung: Der Punkt A bewegt sich auf einer Kreisbahn vom Radius AO = A
O = ρ = R − r um den raumfesten Punkt O (Bild 1.14). Dabei ist das abgerollte

x

B

A®

C

O

D I

® D

A

I

C

I

y Bild 1.14. Zur aktuellen Lage des Innenrades





Umfangsst¨ uck BD gleich dem raumfesten Umfangsst¨ uck BD
bzw. r(π − α) = Rϕ. Der Drehwinkel ψ des Rades, der wie der Winkel ϕ gegen¨ uber einer

28

1. Kinematik

raumfesten Geraden gemessen wird, folgt aus ψ = π − ϕ − α, d.h. ψ=

R R ϕ − ϕ = ( − 1)ϕ . r r

Die Koordinaten der Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren des Radmittelpunktes A in der Position A
werden mittels des Winkels ϕ ausgedr¨ uckt: x = ρ cos ϕ ,

y = ρ sin ϕ ,

x˙ = −ρϕ˙ sin ϕ ,

y˙ = ρϕ˙ cos ϕ , 2

y¨ = ρ(ϕ¨ cos ϕ − ϕ˙ 2 sin ϕ) .

x ¨ = −ρ(ϕ¨ sin ϕ + ϕ˙ cos ϕ) ,

Die Koordinaten der Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren des Radpunktes C ergeben sich daraus und gem¨aß (1.51), (1.52), (1.53) zu xC = x − r cos ψ , x˙ C = x˙ − rψ˙ sin ψ ,

yC = y + r sin ψ , y˙ C = y˙ + rψ˙ cos ψ , y¨C = y¨ + r(ψ¨ cos ψ − ψ˙ 2 sin ψ) .

¨ − r(ψ¨ sin ψ + ψ˙ 2 cos ψ) , x ¨C = x

Die Winkelgeschwindigkeit ψ˙ und -beschleunigung ψ¨ des Rades betragen

R − 1 ϕ˙ , ψ˙ = r

R − 1 ϕ¨ . ψ¨ = r

Die L¨ osung der Aufgabe verdeutlicht, wie wichtig es ist, eine u ¨bersichtliche Skizze anzufertigen, aus der die geometrischen Bestimmungsst¨ ucke und Zusammenh¨ ange abgelesen werden k¨ onnen.
1.2.4 Allgemeine Bewegung

In einem raumfesten Bezugssystem sei jetzt ein K¨orper mit den k¨orperfesten Punkten A und P gegeben, der eine allgemeine Bewegung ausf¨ uhrt. rAP

A rA

P

rAA rAP r

A rA

O Bild 1.15. Zur Berechnung der allgemeinen Bewegung

Die Bewegung der K¨ orperpunkte A und P wird durch die zeitabh¨angigen Ortsvektoren rA und r beschrieben, wobei der k¨orperfeste Differenzvektor

1.2

Kinematik des starren K¨ orpers

29

rAP eine konstante L¨ ange besitzt. Es gilt r = rA + rAP ,

|rAP | = konst.

(1.54)

Der Geschwindigkeitsvektor des K¨ orperpunktes P ist deshalb unter Benutzung von (1.42) v = r˙ = r˙ A + r˙ AP = vA + ω × rAP ,

(1.55)

ein wichtiges Ergebnis, das bereits von EULER angegeben wurde (EULERsche Formel). Demnach berechnet sich der Geschwindigkeitsvektor v eines beliebigen K¨ orperpunktes bei allgemeiner Bewegung des K¨orpers als Summe ahlten k¨orperfesten Bezugspunktes der Geschwindigkeit vA eines beliebig gew¨ A und des Kreuzproduktes des momentanen Winkelgeschwindigkeitsvektors ω mit dem k¨ orperfesten Abstandsvektor rAP , der vom Bezugspunkt A zum beliebigen K¨ orperpunkt P zeigt. Mit den jeweils drei unabh¨angige Komponenten der beiden Vektoren rA , rAP in (1.54) bzw. vA , ω in (1.55) ergibt sich f¨ ur den Freiheitsgrad der allgemeinen Bewegung des K¨orpers f = 6. Der Vergleich von (1.55) mit (1.46) zeigt, dass die allgemeine Formel (1.55) die spezielle Formel (1.46) enth¨ alt. Der Winkelgeschwindigkeitsvektor ω in der grundlegenden kinematischen Formel (1.55) h¨ angt nicht von der Wahl des Bezugspunktes A ab. So liefert die Anwendung von (1.55) bei Benutzung von A¯ nach Bild 1.15 f¨ ur die notwendigerweise eindeutige Geschwindigkeit des Punktes P zun¨achst zwei Darstellungen ¯ × rAP v = vA + ω × rAP = vA¯ + ω ¯ .

(1.56)

Die Geschwindigkeit des Punktes A¯ l¨ asst sich auch mittels (1.55) ausdr¨ ucken vA¯ = vA + ω × rAA¯ ,

(1.57)

aß Bild 1.15 so dass aus (1.56), (1.57) zusammen mit rAA¯ = rAP − rAP ¯ gem¨ ¯ × rAP vA + ω × rAP = vA + ω × (rAP − rAP ¯ )+ω ¯ bzw. ¯ − ω) × rAP (ω ¯ =0

(1.58)

entsteht. Wegen der zuzulassenden Beliebigkeit des Vektors rAP ¯ kann die Be¯ = ω erf¨ ziehung (1.58) nur f¨ ur ω ullt werden, womit die Unabh¨angigkeit des Winkelgeschwindigkeitsvektors ω in (1.55) von der Wahl des Bezugspunktes A in (1.55) gezeigt wurde. Da (1.55) f¨ ur eine allgemeine Bewegung eines starren K¨ orpers gilt, gibt es f¨ ur diese Bewegung einen eindeutigen Winkelge-

30

1. Kinematik

schwindigkeitsvektor. Der Beweis gilt auch f¨ ur den Fall der ebenen Bewegung und beantwortet die diesbez¨ uglich offene Frage in Abschnitt 1.2.3. Der Vektor der Beschleunigung des Punktes P ergibt sich aus der Zeitableitung von (1.55) unter Ber¨ ucksichtigung von (1.42) zu a = v˙ = ¨r = ¨rA + ¨rAP = v˙ A + ω˙ × rAP + ω × (ω × rAP ) = v˙ A + ω˙ × rAP + (ω · rAP )ω − ω 2 rAP . (1.59) Der Vergleich der Beschleunigung bei allgemeiner Bewegung (1.59) mit der Beschleunigung bei ebener Bewegung (1.50) zeigt, dass die allgemeine Formel (1.59) den ebenen Fall (1.50) wegen des rechten Winkels zwischen ω˙ = ωe ˙ z und rAP enth¨ alt. Mit (1.59) k¨ onnen nun noch die eingangs empirisch eingef¨ uhrten raumfesten Bezugssysteme dahingehend spezifiziert werden, dass sie keine Beschleunigung erfahren. Die Beschleunigung von Bezugssystemen hat f¨ ur die in den Bezugssystemen befindlichen K¨ orper wegen der G¨ ultigkeit der kinetischen Grundgesetze Folgen (s. Kapitel 2). Auf Berechnungsbeispiele f¨ ur die allgemeine Bewegung wird wegen des damit verbundenen Aufwandes in dieser Einf¨ uhrung verzichtet. Die grundlegende kinematische Beziehung (1.55) und die darin enthaltene Gleichung (1.39) sollen nun noch mit Bezug auf kartesische raumfeste Einur das heitsbasisvektoren ex , ey , ez diskutiert werden. Zun¨achst ergibt sich f¨ Vektorprodukt (1.39)    ex ey ez    r˙ = ω × r = ωx ωy ωz  x y z = (zωy − yωz )ex + (xωz − zωx )ey + (yωx − xωy )ez .

(1.60)

Mit der Zerlegung r˙ = x˙ ex + y˙ ey + z˙ ez entsteht durch Vergleich mit der rechten Seite von (1.60) x˙ = z ωy − y ωz , y˙ = x ωz − z ωx , z˙ = y ωx − x ωy .

(1.61)

Die Spaltenmatrix [x˙ y˙ z] ˙ T (der obere Index T bezeichnet die Transponierte) l¨ asst sich auch als Matrizenprodukt der antimetrischen quadratischen Matrix ⎡ ⎤ 0 −ωz ωy ⎣ ωz 0 −ωx ⎦ −ωy ωx

0

1.2

Kinematik des starren K¨ orpers

31

mit der Spaltenmatrix [x y z]T schreiben ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ x˙ x 0 −ωz ωy ⎣y˙ ⎦ = ⎣ ωz 0 −ωx ⎦ ⎣y ⎦ . −ωy ωx 0 z˙ z

(1.62)

Der Ersatz von x, y, z durch indizierte Koordinaten x1 , x2 , x3 in (1.61), (1.62) ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ x˙ 1 0 −ω3 ω2 x1 ⎣x˙ 2 ⎦ = ⎣ ω3 0 −ω1 ⎦ ⎣x2 ⎦ (1.63) −ω2 ω1

x˙ 3

0

x3

ur und die Einf¨ uhrung der Matrixbezeichnung wkl mit k, l = 1, 2, 3 f¨ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ w11 w12 w13 0 −ω3 ω2 ⎣w21 w22 w23 ⎦ = ⎣ ω3 0 −ω1 ⎦ w31 w32 w33 −ω2 ω1 0

(1.64)

liefern (1.62) in der Form x˙ k =

3 

wkl xl ,

k = 1, 2, 3 .

(1.65)

l=1

uber ωk außer der Einordenbarkeit in das MatriDie Gr¨ oße wkl besitzt gegen¨ ¨ zenkalk¨ ul den Vorteil einfacher Transformationseigenschaften beim Ubergang vom urspr¨ unglichen kartesischen Koordinatensystem mit dazugeh¨origen Einheitsbasisvektoren auf ein beliebiges kartesisches System, das außer Drehungen auch Spiegelungen enth¨ alt. Solche als Tensoreigenschaften bezeichnete Gegebenheiten besitzen auch z.B. die Fl¨ achentr¨ agheitsmomente in der Statik oder die Gr¨ oßen Spannung und Verzerrung in der Festigkeitslehre. Des weiteren sind sie wichtig f¨ ur den sp¨ ater zu behandelnden Tr¨agheitstensor. Mit dem Ergebnis (1.65) lautet die grundlegende kinematische Formel (1.55) in Matrix-Schreibweise x˙ k = x˙ Ak +

3 

wkl xAP l ,

k = 1, 2, 3 .

(1.66)

l=1

Erg¨anzend zur Interpretation von (1.55) sei noch erw¨ahnt, dass der momentane Geschwindigkeitszustand einer allgemeinen Bewegung aus einem momentanen Geschwindigkeitszustand in einer Ebene, aufgefasst als Drehung um den Momentanpol in dieser Ebene, und einer Translationsgeschwindigkeit senkrecht zu dieser Ebene zusammengesetzt werden kann.

32

1.3

1. Kinematik

1.3 Kinematik von Mehrk¨ orpersystemen Die bisherigen Betrachtungen betrafen die Kinematik von einzelnen K¨orperpunkten bzw. K¨ orpern. Technische Systeme bestehen h¨aufig aus mehreren K¨ orpern, die in definierter Weise miteinander verbunden sind. Die Konstruktion der Bindungen zwischen den K¨ orpern verhindert dabei in idealisierter Weise einen Teil der relativen Bewegungsm¨ oglichkeiten zwischen den K¨orpern des Systems, reduziert also den bei Abwesenheit der Bindungen vorliegenden Freiheitsgrad. Die Situation ist vergleichbar mit der zusammengesetzter Tragwerke in der Statik, wie am Beispiel ebener Tragwerke in der Statik, Kapitel 3, gezeigt wird. Dort wie hier werden die verschiedenen Bindungsarten auch zwischen K¨ orpern des Systems und der Umgebung realisiert und dann als Lager bezeichnet. Typische Beispiele sind das Gelenk bzw. das gelenkige Festlager oder die F¨ uhrung. Im ersten Fall werden Relativverschiebungen verhindert, im zweiten Fall Relativverdrehungen. Die in der Kinematik existierenden Bindungen, die Relativbewegungen in eingeschr¨ ankter Weise zulassen k¨ onnen, werden mathematisch durch Funktionsgleichungen beschrieben, die Zwangsbedingungen heißen. Als unabh¨angige Variable in den Funktionsgleichungen treten die schon fr¨ uher eingef¨ uhrten Koordinaten k¨orperfester Punkte und Winkel k¨orperfester Geraden bez¨ uglich eines raumfesten Bezugssystems sowie die Zeit auf. Liegt ein System von N K¨ orpern im Raum vor, so betr¨agt der Freiheitsgrad des Systems wegen der sechs Bewegungsm¨ oglichkeiten eines K¨orpers im Raum (vgl. Abschnitt 1.2.4) fu = 6N .

(1.67)

Dieser Freiheitsgrad entspricht fu Ausgangskoordinaten si = si (t), i = 1, ..., angen- und Winkelangaben bestehen. Der Index u weist auf die fu , die aus L¨ urspr¨ ungliche Zahl von Koordinaten der zun¨achst ungebundenen K¨orper hin. Werden dem System z Zwangsbedingungen Zk zwischen den fu Ausgangskoordinaten sk auferlegt, Zk (s1 , ..., sz , sz+1 , ..., sf u , t) = 0, k = 1, ..., z ,

(1.68)

wobei z < fu , so lassen sich die z Koordinaten sk , k = 1, ..., z, mittels der z Gleichungen (1.68) durch die f = fu − z verbleibenden Koordinaten ucken. Die verbleibenden Koordinaten, die zur eindeutigen sz+1 , ..., sf u ausdr¨ Beschreibung der Bewegung des Systems ausreichen, heißen verallgemeinerte Koordinaten und bekommen die neue Bezeichnung ql , l = 1, ..., f . Ihre Anzahl ist gleich dem infolge der Zwangsbedingungen reduzierten Freiheitsgrad f des Systems. Die gedachte, nicht notwendig durchf¨ uhrbare Aufl¨osung von (1.68) nach den u ahligen z Koordinaten liefert damit z funktionelle ¨berz¨

1.3

Kinematik von Mehrk¨ orpersystemen

33

Abh¨ angigkeiten hk sk = hk (ql , t) ,

k = 1, ..., z ,

l = 1, ..., f .

(1.69)

Der reduzierte Freiheitsgrad f des Systems, der letztlich f¨ ur das System maßgeblich ist, wird gew¨ ohnlich als Freiheitsgrad schlechthin bezeichnet, insbesondere wenn die Zwangsbedingungen von vornherein vorliegen. F¨ ur ebene Systembewegungen ist in (1.67), ..., (1.69) entsprechend dem Freiheitsgrad eines ungebundenen K¨ orpers in der Ebene fu = 3N zu setzen. Es sei noch bemerkt, dass Zwangsbedingungen der Art (1.68), worin die Zeit explizit vorkommt, als holonom-rheonom bezeichnet werden, bei fehlender expliziter Zeitabh¨ angigkeit als holonom-skleronom. Nichtholonome Zwangsbedingungen, die nichtintegrable Abh¨ angigkeiten von den s˙ i enthalten, bleiben außerhalb der folgenden Betrachtungen. Welche der Ausgangskoordinaten als verallgemeinerte Koordinaten zu w¨ahlen sind, h¨ angt vom jeweiligen Problem und angestrebten L¨osungsweg ab. Empfehlenswert ist die Anfertigung einer Skizze des idealisierten Systems im allgemeinen Bewegungszustand, aus der sich durch gedankliche Realisierung der Bindungswirkung die verallgemeinerten Koordinaten erkennen lassen. Zur Erl¨ auterung werden zwei F¨ alle ebener Systembewegungen diskutiert. Bild 1.16a zeigt einen auf horizontaler Unterlage gef¨ uhrten Schlitten, an dem ´ (t)

´

G y l 2 S

a)

G

xS

x S

l 2

yS b)

Bild 1.16. Schlitten mit Pendelstab a) und Ausgangskoordinaten b)

ein homogener Stab der L¨ ange l gelenkig befestigt ist. Die gegebene Koordinate η(t) beschreibt vollst¨ andig die translatorische Bewegung des Schlittens. Es reicht aus, in der Skizze gem¨ aß Bild 1.16b nur den allgemeinen Bewegungszustand des Stabes zu betrachten. Festhalten des zwangsgef¨ uhrten Gelenkes G, das als k¨ orperfester Punkt des Schlittens und des Stabes aufgefasst wird, ergibt den Drehwinkel ϕ als alleinige verallgemeinerte Koordinate q1 , d.h. f = 1. Die ebene Bewegung des ungebundenen Stabes, der zun¨ achst aß den Ausgangskoordinaten xG , yG , ϕ besitzt, den Freiheitsgrad fu = 3 gem¨

34

1. Kinematik

unterliegt den beiden Zwangsbedingungen xG = 0 ,

yG = η(t) ,

(1.70)

die hier schon nach den beiden u ahligen Koordinaten xG , yG aufgel¨ost ¨berz¨ sind. Der Vergleich von (1.69) mit (1.70) ergibt s1 = h1 (q1 , t) = xG = 0 ,

(1.71a)

s2 = h2 (q1 , t) = yG = η(t) .

(1.71b)

F¨ ur eine sp¨ atere kinetische Untersuchung des Systems werden die Koordinaten des Stabschwerpunktes ben¨ otigt, die hier stellvertretend f¨ ur einen gew¨ ahlten k¨ orperfesten Punkt stehen. Aus Bild 1.16b liest man die Zwangsbedingungen l l (1.72) xS = cos ϕ , yS = η + sin ϕ 2 2 ab. Der Vergleich der nun u ahligen Ausgangskoordinaten xS , yS aus ¨berz¨ (1.72) mit denen von (1.69) liefert anstelle von (1.71) l cos ϕ(t) , 2 l s2 = h2 (q1 , t) = yS = η(t) + sin ϕ(t) . 2

s1 = h1 (q1 , t) = xS =

(1.73a) (1.73b)

Wegen des expliziten Auftretens der Zeit in (1.71b) bzw. (1.73b) ist das System holonom-rheonom. Bei dem ebenen Doppelpendel nach Bild 1.17, bestehend aus zwei homogeorperfeste Punkt A auch raumfest. nen St¨ aben der L¨ angen l1 und l2 , ist der k¨ Folglich reicht der Winkel ϕ1 als verallgemeinerte Koordinate zur BeschreiA 1

S1

yS2 G 2

S2

xS2 Bild 1.17. Doppelpendel mit Ausgangskoordinaten

bung der Bewegung des Stabes 1 aus. Damit sind aber auch die Koordinaten des Gelenkes G festgelegt. Zur Angabe der Lage des Stabes 2 muss nur noch uhrt werden. Es gilt also f = 2, qi = ϕi . der Winkel ϕ2 eingef¨

1.4

Relativbewegung des K¨ orperpunktes

35

F¨ ur die sp¨ ater interessierende Bewegung des in Mitte des Stabes 2 befindlichen Schwerpunktes S2 ergibt sich aus Bild 1.17 l2 sin ϕ2 , 2 l2 = l1 cos ϕ1 + cos ϕ2 . 2

xS2 = l1 sin ϕ1 +

(1.74a)

yS2

(1.74b)

Zu den sechs Ausgangskoordinaten xA , yA , xS2 , yS2 , ϕ1 und ϕ2 , die alle im raumfesten Bezugssystem gemessen werden, liegen die nach den vier u ¨berz¨ ahligen Koordinaten aufgel¨ osten vier Zwangsbedingungen xA = 0, yA = 0 und (1.74a,b) vor, d.h. die Best¨ atigung von f = fu − z = 6 − 4 = 2. Da die Zeit nicht explizit in den Zwangsbedingungen auftritt, ist das System holonom-skleronom.

1.4 Relativbewegung des K¨ orperpunktes Die Bewegung von K¨ orperpunkten und K¨ orpern war bisher unter Zugrundelegung eines raumfesten Bezugssystems betrachtet worden. H¨aufig begegnet man Situationen, bei denen sich K¨ orper gegen¨ uber anderen K¨orpern bewegen. Als Beispiel diene der freie Fall eines Gegenstandes in einem Fahrzeug. Das Fahrzeug bewege sich mit konstanter Geschwindigkeit geradeaus. Der Gegenstand werde ohne anf¨ angliche Winkelgeschwindigkeit losgelassen. Dann ergibt sich eine translatorische Bewegung des Gegenstandes, die der Beobachter im Fahrzeug als gerade Bahn aller Punkte des Gegenstandes wahrnimmt, w¨ ahrend der Beobachter außerhalb des Fahrzeuges deckungsgleiche gekr¨ ummte Bahnen aller Punkte des Gegenstandes registriert. Die Situation wird komplexer, wenn der Gegenstand im Fahrzeug eine gef¨ uhrte Bewegung erleidet und das Fahrzeug in einer Kurve beschleunigt. Zur Beschreibung solcher Sachverhalte kann es zweckm¨aßig sein, ein mit einem der beiden bewegten K¨ orper (im Beispiel das Fahrzeug) verbundenes Bezugssystem einzuf¨ uhren, in dem die Bewegung des anderen bewegten K¨orpers (im Beispiel der Gegenstand) beschrieben wird. Die Bewegung des Gegenstandes im raumfesten Bezugssystem bestimmt sich dann aus seiner Relativbewegung gegen¨ uber dem Fahrzeugbezugssystem (auch F¨ uhrungssystem) und der Bewegung (Absolutbewegung) des Fahrzeugbezugssystem gegen¨ uber dem raumfesten Bezugssystem (Absolutsystem). Im Folgenden beschr¨ anken wir uns auf die Relativbewegung eines K¨orperpunktes. Dieser K¨orperpunkt kann stellvertretend f¨ ur die Bewegung des K¨orpers stehen, wenn der K¨ orper in einem raumfesten Bezugssystem eine reine Translation ausf¨ uhrt (s. Abschnitt 1.2.1).

1.4

36

1. Kinematik

Im Bild 1.18 sind ein raumfestes Bezugssystem mit dem Ursprung O und ein bewegtes Bezugssystem mit dem Ursprung B gegeben. P rBP r

B rB

O Bild 1.18. Zur Relativbewegung des K¨ orperpunktes

F¨ ur den Ortsvektor r des bez¨ uglich O und B beliebig bewegten K¨ orperpunktes P gilt r = rB + rBP

(1.75)

und f¨ ur die Zeitableitung des Ortsvektors v=

d
rBP drB drBP drB dr + ω × rBP + = + = dt dt dt dt dt = vB + ω × rBP + vrel .

(1.76)

Die ersten beiden Terme der rechten Seite von (1.76) entsprechen der EULERschen Formel (1.55) f¨ ur einen im F¨ uhrungssystem zun¨ achst konstan¨ ucksichtigt die zeitliche Anderung der ten Vektor rBP . Der dritte Term ber¨ im F¨ uhrungssystem gemessenen Vektorkoordinaten von rBP , die zur Unterscheidung von der Zeitableitung im Absolutsystem mit einem Strich, d
()/dt, versehen wurde. Hervorzuheben ist nochmals, dass ω die im raumfesten Bezugssystem definierte (absolute) Winkelgeschwindigkeit des F¨ uhrungssystems darstellt. Da hier nicht die Relativbewegung eines K¨ orpers sondern nur eines Punktes untersucht wird, steht die Frage nach dem Unterschied der Zeitableitungen einer K¨ orperwinkelgeschwindigkeit im F¨ uhrungs- bzw. Absolutsystem nicht zur Diskussion. Die absolute Geschwindigkeit v zerf¨ allt nach (1.76) in die F¨ uhrungsgeschwindigkeit vF und die Relativgeschwindigkeit vrel v = vF + vrel , mit vF = vB + ω × rBP ,

vrel =

(1.77) d
rBP . dt

1.4

Relativbewegung des K¨ orperpunktes

37

Die Beschleunigung folgt aus der Zeitableitung von (1.76) unter Anwendung der in (1.76) enthaltenen Differenziationsoperation d
rBP drBP = ω × rBP + dt dt

(1.78)

auf die Vektoren rBP und vrel a = v˙ = v˙ B + ω˙ × rBP + ω × (ω × rBP + vrel ) + ω × vrel +

d
vrel dt

= v˙ B + ω˙ × rBP + ω × (ω × rBP ) + 2ω × vrel + arel

(1.79)

mit den Anteilen F¨ uhrungsbeschleunigung aF , Coriolisbeschleunigung aC (CORIOLIS, 1792-1843) und Relativbeschleunigung arel a = aF + aC + arel ,

(1.80)

aF = v˙ B + ω˙ × rBP + ω × (ω × vBP ) , aC = 2ω × vrel , arel =

d
2 rBP d
vrel . = dt2 dt

Beispiel 1.9 Auf einer mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden Kreisscheibe (Bild 1.19a) befindet sich eine radiale F¨ uhrung, l¨angs der ein Punkt P gem¨ aß der gegebenen Zwangsbedingung r = kt2 , k = konst., bewegt wird. Gesucht ist der Beschleunigungsvektor des Punktes P .

r

P ey I

P B=O

ex I

ez = ez I

a)

b)

Bild 1.19. Scheibe mit gef¨ uhrtem Punkt a) und F¨ uhrungssystem b)

L¨ osung: Der Ursprung B des F¨ uhrungssystems befindet sich im Ursprung O des Absolutsystems (Bild 1.19b). Die Basisvektoren ex
, ey
des F¨ uhrungssystems rotieren mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω um die durch ez be-

38

1. Kinematik

stimmte raumfeste Achse. In (1.79) gelten v˙ B = 0 ,

ω = ωez ,

ω˙ = 0 ,

rBP = re
x = kt2 e
x ,

vrel =

dr d
rBP = vrel e
x = 2kte
x , = e
x dt dt

arel =

dvrel d
vrel = arel e
x = e
x = 2ke
x dt dt

und folglich ω × (ω × rBP ) = ω 2 rez × (ez × e
x ) = ω 2 rez × e
y = −ω 2 re
x , ω × vrel = ωez × vrel e
x = ωvrel e
y = 2ωkte
y , d.h. a = −ω 2 re
x + 2ωvrel e
y + arel e
x = (2k − ω 2 kt2 )e
x + 4ωkte
y . In der linken Summe des Ergebnisses stellt der erste Term den in diesem Beispiel verbliebenen Rest der F¨ uhrungsbeschleunigung dar. Er trat unter anderem Blickwinkel schon fr¨ uher in (1.32) auf. Der zweite Term gibt die CORIOLISbeschleunigung an, die, senkrecht auf der Drehachse und der F¨ uhrung stehend, in der dem Drehsinn entsprechenden Umfangsrichtung orientiert ist. Die anschauliche Ursache f¨ ur die CORIOLISbeschleunigung liegt darin, dass der Punkt P infolge seiner radialen Verschiebung weg von der Drehachse an Orte der Scheibe gelangt, die eine gr¨ oßere Umfangsgeschwindigkeit besitzen. Die durch den letzten Term ausgedr¨ uckte Relativbeschleunigung enth¨alt als Vektorvorzahl die im F¨ uhrungssystem gebildete zweite Zeitableitung eines Abstandes, d.h. einer rein skalaren Gr¨ oße. In dieser Bedeutung wurde sie auch schon in (1.32) angetroffen.


Kapitel 2 Kinetik

2

2

2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.2 2.2.1 2.2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6 2.3.7 2.3.8

Kinetik Grundlegende Begriffe .......................................... 41 K¨orper und Masse ............................................... 41 Lasten .............................................................. 42 Arbeit, Leistung, Potenzial ..................................... 45 Kinetik des starren K¨orpers bei Translation ................ 50 NEWTONs Bewegungsgleichung ............................. 51 Mathematische Folgerungen aus NEWTONs Bewegungsgleichung .......................................................... 64 Kinetik des starren K¨orpers bei beliebiger Bewegung ..... 71 Impuls und Drehimpuls ......................................... 72 Impuls- und Drehimpulsbilanz ................................. 73 Ebene Bewegung in einer Symmetrieebene ................. 78 Statische Interpretation der Impuls- und Drehimpulsbilanz 82 Mechanischer Arbeits- und Energiesatz f¨ ur die ebene Bewegung............................................................. 86 Drehung um eine feste Achse ................................. 90 Kinetische Schnittreaktionen des Balkens ................... 97 Kinetik von Mehrk¨orpersystemen ............................. 101

2.1

Grundlegende Begriffe

41

2 Kinetik In der Kinematik wurde die Bewegung von K¨ orperpunkten und starren K¨orpern im Zeitablauf untersucht. Dabei war die Bewegung eines K¨orperpunktes repr¨asentativ f¨ ur alle Punkte eines translatorisch bewegten K¨orpers. Die Kinetik fragt nach den Lasten, die die Bewegung der weiterhin als starr angenommenen K¨orper verursachen oder als Wirkung solcher Bewegungen entstehen. Der in der Statik behandelte Ruhezustand eines belasteten K¨orpers ist ein Sonderfall der Bewegung des belasteten K¨orpers. Insofern muss die allgemeinere Theorie der Kinetik die spezielle Theorie der Statik enthalten. Grundlegende Voraussetzungen der Statik d¨ urfen deshalb in der Kinetik nicht eingeschr¨ ankt werden, sind aber gegebenenfalls zu erweitern. Anstelle von Kinetik und Statik ist auch der Terminus Dynamik u ¨blich.

2.1 Grundlegende Begriffe 2.1.1 K¨ orper und Masse

In der Statik, Kapitel 1, wurde zur Charakterisierung der als K¨orper idealisierten technischen Objekte wie Konstruktionen, Tragwerke, Bauelemente u.¨ a. nur deren Geometrie herangezogen. Diese Geometrie enth¨alt die Abmessungen und damit die Festlegung von Volumen und Oberfl¨ache des K¨orpers. Das in der Statik eingef¨ uhrte Schnittprinzip verwertet diese Informationen zu der zwingend erforderlichen Feststellung dessen, was zum betrachteten K¨orper geh¨ ort und was nicht: Mittels Angabe einer K¨orperoberfl¨ache wird das K¨ orpervolumen von der Umgebung getrennt und unterschieden. Nur so sind dann auch die Wechselwirkungen des K¨ orpers mit der Umgebung defi¨ nierbar. Die ausgesprochenen Uberlegungen m¨ ussen prinzipiell auf beliebige K¨orper und beliebige K¨ orperteile, die wieder K¨orper sind, d.h. eine Oberfl¨ ache und ein Volumen besitzen, anwendbar sein. Ohne Benutzung dieser Voraussetzung w¨ aren die in der Statik postulierten, unabh¨angig geltenden Gleichgewichtsbedingungen (Bilanzen) von Kr¨ aften und Momenten nicht allgemeing¨ ultig und deshalb praktisch wertlos. Die mittels des Schnittprinzips in der Statik praktizierte Festlegung des zu untersuchenden K¨orpers ist in die Kinetik zu u ¨bernehmen. Der bisher verwendete statische K¨ orperbegriff war nicht an die Eigenschaft des K¨ orpers gebunden, eine Masse zu besitzen, wie zahlreiche Beispiele zur Untersuchung des Gleichgewichts von K¨ orpern, bei denen die Masse nicht vorkam, belegen. Die F¨ alle, in welchen die Masse eine Bedeutung hatte, betrafen einen speziellen Typ der Wechselwirkung des K¨ orpers mit der Umgebung in

2.1

42

2. Kinetik

Form eines anderen K¨ orpers, n¨ amlich die Anziehungskraft der schweren Masse (Gewicht) gem¨ aß dem Gravitationsgesetz von NEWTON. Die allgemeine Erfahrung lehrt, dass bei der Frage nach Ursachen und Wirkungen der Bewegungen von K¨ orpern unter dem Einfluss von Lasten die Masse des jeweiligen K¨ orpers anders als in der Statik immer bedeutsam ist (tr¨ age Masse). Wie sp¨ ater gezeigt wird, k¨ onnen die Zahlenwerte von schwerer und tr¨ ager Masse eines K¨ orpers gleich gesetzt werden. Gem¨ aß den Auffassungen der klassischen Mechanik ist die Masse eines K¨orpers eine positive Zahl, welche die in dem K¨orper enthaltene Substanzmenge angibt. Bei Zerlegung des K¨ orpers in Teile gleicht sie der Summe der Massen der Teile. Die Masse bleibt konstant bei beliebigen Bewegungen des K¨orpers und besitzt eine von den Dimensionen der L¨ange und der Zeit unabh¨angige Dimension. Ihre Maßeinheit ist das Kilogramm (kg), welches durch das Gewicht der festgelegten Menge einer bestimmten Substanz definiert ist. Wir setzen die Masse m als kontinuierlich verteilt im K¨orpervolumen V voraus. Dann existiert an jedem K¨ orperpunkt ein Zahlenwert f¨ ur die Massendichte ρ, abgek¨ urzt als Dichte bezeichnet, ρ=

dm . dV

(2.1)

Die Maßeinheit der Dichte ergibt sich damit zu [ρ] = kg/m3 . Die Gesamtmasse des K¨ orpers betr¨ agt  m = ρdV .

(2.2)

V

Es kommen auch idealisierte K¨ orper in Betracht, die eine linien- bzw. fl¨achenf¨ ormige Gestalt, d.h. kein Volumen besitzen. In diesen F¨allen werden Massendichten je L¨ angen- bzw. Fl¨ acheneinheit eingef¨ uhrt, was in der Statik anhand des Eigengewichtes eines Stabes und einer Scheibe in Kapitel 3 sowie bei der Er¨ orterung des Schwerpunktes in Kapitel 9 und der Fl¨achentr¨agheitsmomente in Kapitel 10 demonstriert wurde. 2.1.2 Lasten

Wie in der Statik werden auch in der Kinetik die beiden unabh¨angigen Lasten Kraft und Moment benutzt und zwar zun¨ achst in ihrer einfachsten Form als algebraisch gegebene Gr¨ oßen Einzelkraft und Einzelmoment, f¨ ur die das Parallelogrammgesetz der Zerlegung und Zusammensetzung von Vektoren gilt. Erforderlichenfalls sind sie durch Kraft- und Momentendichten je L¨angen-,

2.1

Grundlegende Begriffe

43

Fl¨achen- und Volumeneinheit zu erg¨ anzen. Die im technischen Sprachgebrauch formale Einteilung der Lasten nach ihrer Herkunft in eingepr¨agte Lasten und Reaktionen wird beibehalten. Diese Unterscheidung l¨ost sich jedoch wie in der Statik nach vollzogener Anwendung des Schnittprinzips auf. Denn dann liegt die K¨ orperoberfl¨ ache fest, u ¨ber die hinweg alle Lasten mit der Umgebung wechselwirken. Diese Wechselwirkungen werden unabh¨angig davon, ob sie aus dem Schnitt von Bindungen eines unmittelbar benachbarten K¨ orpers oder eines Fernfeldeinflusses wie Gravitation herr¨ uhren, als a ußere Lasten bilanziert. Gegen¨ u ber der Statik ist allerdings in der Kinetik ¨ eine Verallgemeinerung der Wechselwirkungen zu ber¨ ucksichtigen. Die jetzt m¨oglichen relativen Lage¨ anderungen des betrachteten K¨orpers zu benachbarten K¨ orpern k¨onnen die in Frage kommenden Wechselwirkungen beeinflussen. Beispielsweise h¨ angt die Gravitationskraft FΓ zwischen zwei K¨orpern der Massen m1 , m2 mit Abmessungen, die sehr viel kleiner als ihr Abstand R zueinander sind, nach NEWTON von diesem Abstand gem¨aß m 1 m2 (2.3) FΓ = Γ R2 ab, wo Γ = 6, 673 · 10−11 m3 kg −1 s−2 die von den beteiligten Substanzarten unabh¨ angige Gravitationskonstante bezeichnet. Es seien jetzt mE die Masse und R der Radius der Erde. Der Schwerpunkt eines im Vergleich zur Erde kleinen K¨ orpers der Masse m befinde sich in der H¨ ohe h << R u ache. Dann gilt bei einer n¨aherungsweise ¨ber der Erdoberfl¨ kugelsymmetrischen Dichteverteilung in der Erde f¨ ur die als Gewicht FG bezeichnete, zur resultierenden Kraft zusammengefasste Wechselwirkung auf der Geraden zwischen dem Erdmittelpunkt und dem Schwerpunkt des K¨orpers ΓmE mE m m = gm , (2.4) ≈ FG = Γ 2 R2 (R + h) wobei die als parallel wirkend und ortsunabh¨angig angenommene Erdbeuhrt wurde. Hier war also schleunigung g = ΓmE /R2 = 9, 81m/s2 eingef¨ der Abstandseinfluss auf die Wechselwirkungskraft vernachl¨assigbar. In der Technik werden Lasten auf verschiedene Arten erzeugt. Bild 2.1a zeigt symbolisch eine Feder, die durch die Federkonstante c charakterisiert ist. Wird die Feder durch die ¨ außere Kraft F belastet, so dehnt sie sich um die Strecke s (wie in der Statik bezeichnen wir die Einzelkraft abk¨ urzend als Kraft). F¨ ur beide Variablen wurde in Bild 2.1a notwendigerweise ein Orientierungssinn angenommen. Der durch die Federkonstante c bestimmte lineare Zusammenhang zwischen der Federverl¨ angerung s und der Kraft lautet F = cs .

(2.5)

44

2. Kinetik F

s c B

F s

a)

b) Bild 2.1. Lineare Zugfeder

Er gilt f¨ ur Zug- und Druckkr¨ afte. In Bild 2.1b ist nur der Zugbereich von (2.5) dargestellt. Die um s verl¨ angerte Feder belastet die Einspannung bei B mit der Kraft gem¨ aß (2.5). Bedeutet die Koordinate s außer der Federverl¨ angerung die Verschiebung eines K¨ orpers, so stellt die Kraft (2.5) eine Schnittreaktion zwischen diesem K¨ orper und der Wand dar. Die Feder von Bild 2.1 kann auch eine Torsionssteifigkeit ct besitzen und durch ein Einzelmoment Mt um den Winkel ϕ verdreht werden (Bild 2.2). Mt

ct B

C Mt

a)

b) Bild 2.2. Lineare Torsionsfeder

Die in Bild 2.2a mit dem Doppelpfeil symbolisierte Winkelkoordinate ϕ bezieht sich dabei auf die axiale Verdrehung des senkrecht auf der Zeichenebene stehenden Federachsquerschnittes bei C relativ zur Einspannung B. Der Drehsinn des Winkels und des Einzelmomentes ergibt sich aus der RechteHand-Regel: Wenn der Daumen in Doppelpfeilrichtung zeigt, weisen die restlichen Finger auf die Winkelzunahme bzw. auf den Drehsinn des Einzelmomentes hin (s.a. Statik, Kapitel 1). Analog zu (2.5) gilt Mt = ct ϕ .

(2.6)

Geschwindigkeitsproportionale Lasten sind durch Fl¨ ussigkeitsreibung in D¨ ampfern realisierbar. Die entsprechenden Symbole zeigt Bild 2.3. Hier und k¨ unftig soll der angenommene Orientierungssinn f¨ ur die Wegkoordinate s und die Winkelkoordinate ϕ auch f¨ ur die Zeitableitungen dieser Variablen gelten.

2.1

Grundlegende Begriffe

45 s

b

B

bt

B F

Mt

a)

b) Bild 2.3. Symbole linearer D¨ ampfer

Die Kraft nach Bild 2.3a gen¨ ugt der Beziehung F = bs˙

(2.7)

aß Bild 2.3b gilt mit b als D¨ampferkonstante. F¨ ur das Einzelmoment Mt gem¨ analog zu (2.7) Mt = bt ϕ˙ .

(2.8)

Wenn trockene K¨orperoberfl¨achen unter Normaldruckkraft stehen, dann ist die aufzubringende Gleitreibungskraft in Richtung der tangentialen Relativgeschwindigkeit der K¨orperoberfl¨achen (vgl. Statik, Kapitel 8) FGl = µFN ,

(2.9)

wo µ den materialpaarungsabh¨angigen Gleitreibungskoeffizient bezeichnet. In den obigen Beispielen waren die volumenverteilte Wechselwirkung infolge Gravitation bzw. die fl¨achenverteilte Gleitreibung jeweils zu resultierenden Kr¨aften zusammengefasst worden. Andersherum k¨ onnen Einzellasten von der in (2.5), ..., (2.8) charakterisierten Art so verteilt werden, dass Dichten je L¨angen-, Fl¨achen- oder Volumeneinheit entstehen, wobei Momentendichten seltener vorkommen. Die Beschreibung m¨oglicher Lasttypen musste hier auf einfache F¨ alle beschr¨ankt bleiben. Sie ist Bestandteil der allgemeinen Modellfindung und kann in speziellen technischen Situationen mit betr¨achtlichem Aufwand verbunden sein. 2.1.3 Arbeit, Leistung, Potenzial

Ein grundlegender Begriff der Mechanik ist der der Arbeit. Ausgehend von der Verschiebung des Angriffspunktes einer Kraft auf dem durch die Bogenl¨ ange einer beliebigen Raumkurve gemessenen Weg wird der Arbeitszuwachs dW infolge der Kraft F auf dem Wegdifferenzial dr aus dem Skalarprodukt dW = F · dr = |F||dr| cos (F, dr)

(2.10)

46

2. Kinetik

berechnet, wobei (F, dr) den Winkel zwischen den Vektoren F und dr bezeichnet. Der Bezug des mittleren Terms von (2.10) auf das Zeitdifferenzial dt ergibt die Leistung in der Form dr =F·v . dt

P =F·

(2.11)

Hier bedeutet v gem¨ aß (1.4) den Geschwindigkeitsvektor des Kraftangriffspunktes. Die Gesamtarbeit bei Verschiebung des Kraftangriffspunktes von einem Anfangspunkt 0 zu einem Endpunkt 1 der Raumkurve betr¨agt unter Benutzung eines kartesischen Bezugssystems 1

1 F · dr =

W = 0

(Fx dx + Fy dy + Fz dz) .

(2.12)

0

Die Zahlen 0 und 1 an den Integralzeichen, die auf den Anfangs- und den Endpunkt der Raumkurve hinweisen, d¨ urfen nicht mit Integrationsgrenzen verwechselt werden. Als Maßeinheit der Arbeit W dient gem¨ aß (2.12) das Joule (J) (JOULE, 1818-1889) 1J = 1N m . Die Leistung (2.11) wird in der Einheit Watt (nach WATT, 1736-1819) 1W = 1J/s gemessen. Die rechte Seite von (2.12) stellt ein Linienintegral dar, dessen Ergebnis im Allgemeinen vom Weg abh¨ angt. Wegunabh¨ angigkeit ist nur dann gegeben, wenn der Integrand von (2.12) ein vollst¨ andiges Differenzial ist. Letzteres sei per Definition mit −dU bezeichnet, −dU = Fx dx + Fy dy + Fz dz = F · dr .

(2.13)

Die Gr¨ oße 1 F · dr ,

U =− 0

die von allen drei Koordinaten x, y, z abh¨ angen kann, ist das zu F geh¨orende Potenzial und wird auch als potenzielle Energie bezeichnet. Die Existenz des vollst¨ andigen Differenzials dU bei zun¨ achst beliebig von den Koordinaten ¨ x, y, z abh¨ angender Kraft F ergibt sich aus der folgenden Uberlegung. Der

2.1

Grundlegende Begriffe

47

Vergleich der Definition dU =

∂U ∂U ∂U dz dy + dx + ∂z ∂y ∂x

mit dem mittleren Term von (2.13) liefert Fx = −

∂U , ∂x

Fy = −

∂U , ∂y

Fz = −

∂U ∂z

(2.14)

bzw. nach partieller Ableitung in der Form ∂Fy ∂2U ∂2U ∂Fx = =− =− ∂x ∂x∂y ∂y∂x ∂y und deshalb ∂Fz ∂Fy , = ∂y ∂z

∂Fy ∂Fx , = ∂x ∂y

∂Fx ∂Fz . = ∂z ∂x

(2.15)

Kr¨afte, die diesen Gleichungen gen¨ ugen, heißen konservativ (energieerhaltend), bei Verletzung von (2.15) nichtkonservativ oder dissipativ (energiezerstreuend). F¨ ur die potenzielle Energie wird dieselbe Maßeinheit wie f¨ ur die Arbeit verwendet. Ein Arbeitszuwachs kann auch durch ein Einzelmoment M an einer differenziellen Winkel¨ anderung dϕ erzeugt werden. Analog zu (2.10) gilt dW = M · dϕ .

(2.16)

Es sei betont, dass in (2.16) die Vektoreigenschaft von dϕ, wie schon in Abschnitt 1.2.2 bemerkt, nur in Verbindung mit dem Differenzialzeichen existiert. Die Berechtigung von (2.16) ergibt sich aus den Grundgesetzen der Statik. F¨ ur das Gleichgewicht eines K¨ orpers bzw. beliebiger K¨ orperteile unter ussen die resultierende Kraft FR n Kr¨aften Fi und m Einzelmomenten Mk m¨ und das gesamte resultierende Moment MG verschwinden. FR =

n 

Fi ,

FR = 0

(2.17a,b)

i=1

MG =

n  i=1

ri × Fi +

m 

Mk ,

MG = 0 .

(2.18a,b)

k=1

In (2.18a) bezeichnet ri den Ortsvektor des Angriffspunktes der Kraft Fi . Liegen zwei nicht auf einer Wirkungslinie befindliche Kr¨ afte F1 , F2 und ein Einzelmoment M1 = −M vor, dann ist wegen (2.17) F2 = −F1 , so dass aus

48

2. Kinetik

(2.18) mit den Umbenennungen −F1 = F, (r2 − r1 ) = ˆr ˆr × F = M

(2.19)

entsteht. F¨ ur eine differenzielle Drehung dϕ des K¨orpers um eine Achse durch den Angriffspunkt von F1 liefert die skalare Multiplikation von (2.19) mit dϕ die ¨ aquivalenten Arbeitszuw¨ achse dW = dϕ · ˆr × F = dϕ · M bzw. wegen der beliebigen Reihenfolge der Vektoroperationen im Spatprodukt und der Faktoren im Skalarprodukt dW = dϕ × ˆr · F = M · dϕ .

(2.20)

Die Beziehungen (1.39) bzw. (1.42) k¨ onnen auch als dr = dϕ × r

(2.21)

geschrieben werden, so dass mit ˆr anstelle r aus (2.20) dW = dϕ × ˆr · F = F · dˆr = M · dϕ

(2.22)

folgt. In (2.22) bezeichnet dˆr das Differenzial des Ortsvektors r2 des Angriffspunktes der Kraft F2 = F infolge der differenziellen Winkel¨anderung dϕ bei festgehaltenem Angriffspunkt bzw. konstantem Ortsvektor r1 der Kraft F1 . Die mittlere Gleichung von (2.22) enth¨ alt die triviale Umrechnung des Arbeitszuwachses einer Kraft in den Arbeitszuwachs des Momentes dieser Kraft. Die rechte Gleichung von (2.22) begr¨ undet den Arbeitszuwachs (2.16) eines Einzelmomentes. Der Bezug von (2.16) auf das Zeitdifferenzial dt ergibt die Leistung P =M·ω .

(2.23)

Die Gesamtarbeit ist analog zu (2.12) wieder ein Linienintegral 1

1 M · dϕ =

W = 0

(Mx dϕx + My dϕy + Mz dϕz ) ,

(2.24)

0

wo M auch f¨ ur das Moment eines Kr¨ aftepaares stehen kann. Wegunabh¨ angigkeit von (2.24) und damit verbundene Potenzialeigenschaften sind ¨ ahnlich wie bei (2.12) erkl¨ art. Im Folgenden werden einige einfache Anwendungsf¨alle von (2.12), (2.24) diskutiert.

2.1

Grundlegende Begriffe

49

H¨ angt die Kraft als Funktion, d.h. eindeutig, von nur einer unabh¨angigen Koordinate ab F = F (x) ,

(2.25)

dann existiert wegen identischer Erf¨ ullung von (2.15) immer ein aus (2.14) folgendes Potenzial x U (x) = −

F (¯ x)d¯ x + U (0) .

(2.26)

0

Die in Erdoberfl¨ achenn¨ ahe konstante Schwerkraft aus (2.4) liefert mit zunehmender H¨ ohe h u ache und der willk¨ urlichen Festlegung ¨ber der Erdoberfl¨ U (0) = 0 auf der Erdoberfl¨ ache h ¯ = mgh . −mgdh

U (h) = −

(2.27)

0

Unter dem Integral steht ein Minuszeichen, weil die Schwerkraft, die auf den K¨orper wirkt, entgegen der H¨ ohenkoordinate h des K¨orpers gerichtet ist. Dies kann auch so ausgedr¨ uckt werden, dass die potenzielle Energie des K¨orpers mit zunehmender H¨ ohe w¨ achst bzw. mit abnehmender H¨ohe sich verringert. Die Arbeit der ¨ außeren Kraft F an der Feder von Bild 2.1 betr¨agt gem¨aß (2.5), (2.12) s 1 (2.28) sd¯ s = cs2 . W = c¯ 2 0

Sie ist wegen der Erf¨ ullung von (2.15) durch (2.5) unabh¨angig vom Weg. Ihre Gr¨oße wird durch die Dreiecksfl¨ ache unter der als Federkennlinie bezeichneten Funktion F (s) in Bild 2.1b angegeben. Das zu (2.28) bzw. (2.5) geh¨ orende Potenzial bezieht sich auf die innere Kraft der Feder bzw. auf die Kraft, mit der die Feder auf die Umgebung wirkt. Deren Richtungssinn zeigt entgegen der Wegkoordinate s. Das Federpotenzial ist deshalb mit U (0) = 0 s −c¯ sd¯ s=

U (s) = − 0

1 2 cs . 2

(2.29)

F¨ ur die lineare Torsionsfeder nach Bild 2.2 gelten zu (2.28), (2.29) analoge Gleichungen.

50

2. Kinetik

Die geschwindigkeitsproportionale Kraft (2.7) f¨ uhrt zu einer neuen Situation. Der Arbeitszuwachs ist jetzt dW = bsds ˙ =b

ds ds ≥ 0 , dt

(2.30)

wobei die Ungleichung aus b > 0, dt > 0 folgt. Die Arbeit der D¨ampferkraft ist demnach immer positiv und kann deshalb nicht zur¨ uckgewonnen werden. Meist wird ihre vollst¨ andige Umwandlung in W¨arme angenommen insbesondere, wenn (2.30) f¨ ur viele Wegzyklen g¨ ultig bleibt. Analoges gilt wieder f¨ ur das lineare D¨ ampfermoment (2.8). Die aufzubringende Gleitreibungskraft (2.9) erzeugt als ¨außere Kraft an dem relativen tangentialen Verschiebungsdifferenzial die positive Arbeit dW = µFN ds = FGl ds ,

(2.31)

welche wegen µFN = konst. a ¨hnlich wie in (2.27) eine Potenzialeigenschaft vermuten l¨ asst, die formal mathematisch auch tats¨achlich existiert, so lange das Differenzial sein Vorzeichen nicht ¨ andert. Denn wegen sgn(FGl ) = sgn(ds) in (2.9) bleibt (2.31) auch bei Richtungsumkehr des Gleitvorganges positiv. Die Gesamtarbeit auf zyklischen Wegen ist also wie bei geschwindigkeitsproportionalen Lasten immer positiv, so dass dann kein Potenzial existiert.

2.2

2.2 Kinetik des starren K¨ orpers bei Translation In der Statik wurden die durch Erfahrung begr¨ undeten Bedingungen (2.17), (2.18) f¨ ur das Gleichgewicht eines freigemachten K¨orpers postuliert. Gleichgewicht beinhaltet die Beibehaltung der Ruhe des K¨orpers unter der Einwirkung von Lasten. Werden die Gleichgewichtsbedingungen verletzt, so beginnt sich der K¨ orper zu bewegen. Wir betrachten in Bild 2.4a einen in der x, y-Ebene eines raumfesten Bezugssystems befindlichen stabf¨ ormigen K¨ orper der Masse m unter der Wirkung einer zur x-Achse parallelen Einzelkraft F . Die Masse sei durch eine homogene, d.h. im K¨ orper r¨ aumlich konstante, Verteilung der Dichte gegeben. Im Hinblick auf eine einfache experimentelle Verwirklichung der Anordnung von Bild 2.4 wurde eine stabf¨ ormige Gestalt des K¨orpers gew¨ahlt, was aber ohne prinzipielle Bedeutung f¨ ur das Ergebnis ist. Der K¨orper sollte auf einer glatten horizontalen Unterlage in der x, y-Ebene liegen, die sein senkrecht zur Kraft F im Schwerpunkt S wirkendes Gewicht durch eine Normalkraft ausgleicht. Gewicht und Normalkraft bleiben deshalb im Folgenden außerhalb der Betrachtung. Die Kraft F sei so groß, dass im Vergleich dazu die

2.2

Kinetik des starren K¨ orpers bei Translation

51

y

y F

S

F

S

S

F

xS

x a)

F

x

b)

Bild 2.4. K¨ orper mit Kraftangriff außerhalb des Schwerpunktes a) und am Schwerpunkt b)

bei Bewegung infolge Normalkraft und Gleitreibungskoeffizient auftretende Gleitreibungskraft (2.9) vernachl¨assigt werden kann. Bez¨ uglich Bild 2.4a besagt das beschriebene Experiment, dass der K¨ orper sich sowohl translatorisch als auch rotatorisch bewegen wird. Verl¨ auft dagegen die Wirkungslinie der Kraft durch den Schwerpunkt S des K¨ orpers (Bild 2.4b), so findet erwartungsgem¨aß keine Rotation aber eine Translation in Richtung der Kraft F statt. Beide Versuchsergebnisse gelten f¨ ur spitze oder stumpfe Winkel zwischen Kraft und Stab sowie f¨ ur nicht stabf¨ ormige K¨ orper. Es sei daran erinnert (Statik, Kapitel 9), dass unter der Voraussetzung eines konstanten Erdbeschleunigungsfeldes Schwerpunkt und Massenmittelpunkt zusammenfallen. Dies wird f¨ ur technische K¨orper in Erdoberfl¨ achenn¨ ahe in guter N¨ aherung erf¨ ullt, vgl. a. Abschnitt 2.1.2. Streng genommen ist mit dem Symbol S in Bild 2.4 der vom Schwerpunkt zu unterscheidende Massenmittelpunkt gemeint, der mit dem Fakt einhergeht, dass der durch die homogene Massendichte verursachte lokale Widerstand gegen¨ uber dem Verlassen des Ruhezustandes beim Realisieren der Translation an allen K¨ orperpunkten gleich groß und parallel zur Translationsrichtung orientiert ist. Wegen seiner Anschaulichkeit benutzen wir jedoch hier und k¨ unftig weiterhin den Begriff Schwerpunkt als Synonym f¨ ur das Wort Massenmittelpunkt. Die translatorische Bewegung des K¨orpers bei Angriff der Kraft F im Schwer¨ punkt f¨ uhrt nur zu einer Anderung des Schwerpunktkoordinatenwertes xS (Bild 2.4b). Es erhebt sich die sehr bedeutsame Frage, welchem Gesetz diese ¨ Anderung gen¨ ugt. 2.2.1 NEWTONs Bewegungsgleichung

Die Antwort auf die gestellte Frage gibt die fundamentale Gleichung . xS , F = (mx˙ S ) = m¨

(2.32)

52

2. Kinetik

in der die vorausgesetzte Konstanz der Masse des K¨orpers eingegangen ist. Die Beziehung (2.32) gilt offensichtlich auch in der Form . F = (m˙rS ) = m¨rS ,

(2.33)

denn ein kartesisches Bezugssystem f¨ ur (2.33) l¨asst sich immer so drehen, dass eine seiner Koordinatenachsen in Richtung von F zeigt. Anders als durch (2.32) und (2.33) ausgedr¨ uckt, steht in zahlreichen Lehrb¨ uchern der Physik aber auch der Technischen Mechanik der NEWTON zugeschriebene, als zweites NEWTONsches Axiom bezeichnete Satz: ¨ Die Anderung der Bewegungsgr¨ oße (das Produkt von Masse und Ge” schwindigkeit) ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht in Richtung der Kraft“ oder f¨ ur konstante Masse in Kurzform Kraft ist gleich Masse mal Beschleunigung“. ” Beide Aussagen bleiben mehrdeutig, wenn sie ohne Weiteres auf einen K¨orper angewendet werden, da jeder K¨ orperpunkt i. Allg. eine verschiedene Beschleunigung erf¨ ahrt, wie das Beispiel von Bild 2.4a zeigte. Eindeutigkeit kann jedoch erreicht werden, wenn die Aussagen sich auf eine Kraft beziehen, deren Wirkungslinie durch den K¨ orperschwerpunkt verl¨auft oder mit Beschleunigung die Beschleunigung des Schwerpunktes gemeint ist. Im ersten Fall bewegt sich der K¨ orper rein translatorisch gem¨aß (2.33). Im zweiten Fall ist eine Kraft zugelassen, deren Wirkungslinie nicht notwendig durch den Schwerpunkt verl¨ auft. Wird ein K¨ orper durch eine Kraft mit einer Wirkungslinie außerhalb des Schwerpunktes belastet, so ergibt sich die Schwerpunktbeschleunigung auch aus (2.33). Dabei tritt jetzt aber noch eine Drehbewegung des K¨ orpers auf. F¨ ur allgemeinere Lastsituationen als in Bild 2.4 wird die durch die Erfahrung best¨ atigte Voraussetzung benutzt, dass die in der Statik durch die Bilan¨ zen (2.17), (2.18) begr¨ undeten Aquivalenzen unterschiedlicher Lasten auch in der Kinetik gelten. Dann kann in Bild 2.4 die Einzelkraft F durch statisch ¨ aquivalente Lasten ersetzt werden. Statisch ¨aquivalente Lasten besitzen zu jedem Zeitpunkt die gleiche resultierende Kraft und das gleiche gesamte resultierende Moment bez¨ uglich eines beliebigen Bezugspunktes wie die Einzelkraft F . Insbesondere darf die Gleichung (2.33) f¨ ur die Translation allgemeiner in der Form . (2.34) FR = (m˙rS ) = m¨rS

2.2

Kinetik des starren K¨ orpers bei Translation

53

geschrieben werden, wo FR die resultierende Kraft bezeichnet, die mit F in Betrag und Richtung aber nicht notwendig bez¨ uglich der Lage ihrer Wirkungslinie u ¨bereinstimmt. Liegt FR parallel zur Kraft F aus Bild 2.4b aber nicht auf der Wirkungslinie von F, hat also eine Wirkungslinie außerhalb ¨ des Schwerpunktes S, so muss zur Sicherung der statischen Aquivalenz im Vergleich mit F außer FR = F noch das Verschwinden des gesamten resul(S) uglich des Schwerpunktes gefordert werden. tierenden Momentes MG bez¨ Das f¨ ur die Bestimmung der Translationsbewegung erforderliche Gleichungssystem enth¨ alt dann außer (2.34) noch (S)

MG =

n  i=1

ˆri × Fi +

m 

Mk = 0 .

(2.35)

k=1

orperschwerpunkt S zum KraftangriffsIn (2.35) bezeichnet ˆri einen vom K¨ punkt i zeigenden k¨ orperfesten Vektor. Eine von (2.35) nicht erfasste anf¨ angliche Rotationsbewegung ist zur Gew¨ ahrleistung der reinen Translationsbewegung auszuschließen. Dagegen darf der K¨ orper eine anf¨ angliche Translationsgeschwindigkeit besitzen, die nicht notwendig parallel zur angreifenden resultierenden Kraft orientiert sein muss. Die Beziehungen (2.34), (2.35) enthalten keinerlei spezielle Geometrie eines K¨orpers. Sie gelten wie die Gleichgewichtsbedingungen (Bilanzen) der Statik f¨ ur beliebige K¨ orper und beliebige K¨ orperteile. Ihre Anwendung beinhaltet, wie in der Statik praktiziert und in Abschnitt 2.1.1 erl¨autert, die Ausnutzung des Schnittprinzips von EULER, mit dessen Hilfe der K¨orper und seine Wechselwirkung mit der Umgebung bzw. K¨ orperteile und ihre Wechselwirkungen untereinander und mit der Umgebung festgestellt werden. Die mit der Anwendung des Schnittprinzips einzuf¨ uhrenden Schnittreaktionspaare bestehen aus entgegengesetzt gleich großen Partnern. Dies wurde in der Statik, Kapitel 1, mit Hilfe der f¨ ur beliebige K¨ orperteile zu fordernden G¨ ultigkeit der Gleichgewichtsbedingungen an einem einfachen Beispiel gezeigt. Die nachgewiesene Wechselwirkungseigenschaft der Schnittreaktionen bleibt in der Kinetik bestehen, da wie in der Statik die kinetischen Bilanzen f¨ ur beliebige K¨orperteile gelten sollen. Unter den beliebigen K¨ orperteilen d¨ urfen solche zugelassen werden, deren Volumen und deshalb auch deren Masse gegen null gehen, so dass die Wechselwirkung der Statik zu gew¨ ahrleisten ist. Die in (2.34) enthaltene Masse dr¨ uckt die Eigenschaft eines K¨orpers aus, einer Bewegungs¨ anderung infolge einer einwirkenden Kraft Widerstand entgegenzusetzen. Diese so genannte Tr¨ agheit war in Abschnitt 2.1 zun¨achst vom Gewicht der Masse unterschieden worden. Im Vergleich zur Erde kleine K¨orper unterliegen in Erdoberfl¨ achenn¨ ahe n¨ aherungsweise einer ortsunabh¨angigen Anziehungskraft. Bei Vernachl¨ assigung ihres Luftwiderstandes fallen sie be-

54

2. Kinetik

kanntlich translatorisch mit gleicher Beschleunigung, so dass die tr¨age Masse von (2.34) und die schwere Masse von (2.4) proportional zueinander sind. Die Gravitationskonstante Γ ist so festgelegt, dass sich gleiche Zahlenwerte f¨ ur die beiden Eigenschaften der Masse ergeben. Dies wurde bereits durch die einheitliche Bezeichnung mit dem Symbol m ber¨ ucksichtigt. Die experimentelle Umsetzung von (2.34) liefert erg¨anzend zu den Ausf¨ uhrungen im Kapitel 1 der Statik die u ur die ¨bliche Definition der Maßeinheit f¨ Kraft [F ] = 1N = 1kg · m/s2 . Die geniale Aussage des zweiten Axioms von NEWTON hat zu der Gleichung (2.34), die wir als NEWTONs oder NEWTONsche Bewegungsgleichung bezeichnen, gef¨ uhrt. Die notwendige Kombination von (2.34) mit (2.35) enth¨alt aber auch als wichtigen Gedanken in (2.35) das Hebelgesetz von ARCHIMEDES und insbesondere bereits die Struktur des noch durch eine rechte Seite in (2.35) zu erg¨ anzenden Gleichungssatzes, den schließlich EULER zur Beschreibung beliebiger Bewegungen beliebiger, darunter starrer, K¨orper angegeben hat (s. Abschnitt 1.2.3). Es sei noch der Begriff der Punktmasse (oder des Massenpunktes) erw¨ahnt, der vor allem in Lehrb¨ uchern der Physik beheimatet ist. Er kann als Synonym f¨ ur einen K¨ orper dienen, der den oben getroffenen Voraussetzungen und den damit verbundenen Gleichungen (2.34), (2.35) gen¨ ugt. Uns scheint es aber zweckm¨ aßiger, diese Voraussetzungen selbst zu benennen und im konkreten Einzelfall ihre exakte oder gen¨ aherte Erf¨ ullung zu kontrollieren, um auf diese Weise potenzielle Fehlerm¨ oglichkeiten auszuschließen. Im Folgenden werden zun¨ achst die einfacheren Anordnungen betrachtet, bei denen nach Freischnitt des K¨ orpers die ¨ außeren Lasten offensichtlich, z.B. infolge Symmetrie, die Forderung (2.35) erf¨ ullen. Zu dieser Problemklasse geh¨ oren K¨ orper unter Eigengewicht, da die im K¨orpervolumen verteilte Schwerkraft als resultierende Kraft im Schwerpunkt des K¨orpers zusammengefasst werden kann. Hierzu er¨ ortern wir den freien Fall eines K¨orpers der Masse m aus einer Ruhelage in der H¨ ohe h (Bild 2.5) ohne Luftwiderstand. Der K¨ orper besitze voraussetzungsgem¨ aß keine anf¨angliche Winkelgeschwindigkeit. Die Gestalt des K¨ orpers hat keine Bedeutung. Zur einfachen Kennzeichnung der gleichbleibenden Orientierung des K¨orpers und der im Sinne von (2.35) korrekten Kennzeichnung des Angriffes der ¨außeren Kraft setzen wir jedoch einen homogenen quaderf¨ ormigen K¨orper voraus. Mit Bild 2.5 kann auf (2.32) zur¨ uckgegriffen werden. Da sich alle K¨orperpunkte gleich bewegen, wird keine indizierte Wegkoordinate ben¨otigt. Glei-

2.2

Kinetik des starren K¨ orpers bei Translation

55

m b

S a

mg

h s mg

A Bild 2.5. Freier Fall eines K¨ orpers

chung (2.32) lautet also mg = m¨ s bzw. s¨ = g .

(2.36)

Zu der Differenzialgleichung zweiter Ordnung (2.36) sind zwei Anfangsbedingungen anzugeben: s(0) = 0 ,

s(0) ˙ =0.

(2.37)

Die L¨ osung der kinematischen Aufgabe (2.36), (2.37) ist rein mathematischer Natur und wurde bereits mit (1.11) demonstriert. Wir vermeiden das Einsetzen in fertige Formeln und gehen stattdessen direkt von (2.36), (2.37) aus. s˙ = gt + C1 ,

s(0) ˙ = C1 = 0 ,

s˙ = gt ,

1 2 gt + C2 , 2

s(0) = C2 = 0 ,

s=

s=

1 2 gt . 2

Die Fallzeit t0 berechnet sich aus der Fallh¨ohe h mittels (2.39) zu  2h . t0 = g Damit ergibt sich die Endfallgeschwindigkeit v0 aus (2.38) zu
v0 = 2gh .

(2.38) (2.39)

(2.40)

(2.41)

Es sei jetzt schon darauf hingewiesen, dass die obigen Ergebnisse bedingt verwendbar bleiben, wenn der K¨orper einer zus¨atzlichen Drehbewegung unterworfen wird. Die Koordinate s hat dann die Lage des K¨ orperschwerpunktes zu bezeichnen, und die K¨orperabmessungen m¨ ussen deutlich kleiner als die H¨ohe h sein, damit bei Ankunft z.B. unterschiedlicher Seitenfl¨ achen a oder b des K¨ orpers von Bild 2.5 auf der Fl¨ache A nicht zu große H¨ ohenunterschiede entstehen. Dar¨ uber hinaus darf eine solche Drehbewegung nicht gew¨ unschten

56

2. Kinetik

technischen Funktionen des K¨ orpers widersprechen. Beispiel 2.1 Von der Kante einer Gel¨ andestufe der H¨ ohe h wird ein K¨orper der Masse m schief unter dem Winkel α mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 drehungsfrei abgeworfen. mg

y

S

v0 m

y E

x

x h w

Bild 2.6. Zum schiefen Wurf

Gesucht sind Wurfbahn und -weite. L¨ osung: F¨ ur Zeiten nach dem Abwurf unterliegt der K¨orper allein seiner Gewichtskraft, die im Schwerpunkt angreift. Er wird nur translatorisch bewegt. Zur Beschreibung der ebenen translatorischen Bewegung k¨onnen deshalb die Koordinaten x, y des Eckpunktes E anstelle jedes anderen K¨orperpunktes benutzt werden. Die Auswertung von (2.33) liefert −mg = m¨ y,

0 = m¨ x,

y¨ = −g ,

x ¨=0,

y˙ = −gt + C1 , 1 y = − gt2 + C1 t + C2 , 2

x˙ = C3 , x = C3 t + C4 .

Die vier erforderlichen Anfangsbedingungen lauten y(0) = 0 ,

x(0) = 0 ,

y(0) ˙ = v0 sin α ,

= v0 cos α . x(0) ˙

Damit ergeben sich die Integrationskonstanten zu C1 = v0 sin α ,

C2 = 0 ,

C3 = v0 cos α ,

C4 = 0 .

Die Wurfbahn wird entweder in Parameterdarstellung 1 y(t) = − gt2 + (v0 sin α)t , 2

x(t) = (v0 cos α)t

2.2

Kinetik des starren K¨ orpers bei Translation

57

mit der Zeit als Parameter oder nach Elimination der Zeit als Funktion y(x) = (tan α)x −

gx2 cos2 α

2v02

beschrieben. Die Wurfweite w folgt aus y(w) = −h bzw. g w2 − (tan α)w − h = 0 . 2v02 cos2 α Die Aufl¨ osung der quadratischen Gleichung ergibt    2gh v02 cos2 α 2 . tan α ± tan α + 2 w= v0 cos2 α g Wegen positiver Wurfweite entf¨ allt das Minuszeichen. Bei verschwindender Gel¨ andestufenh¨ ohe h = 0 ist w=

v2 v02 2 tan α cos2 α = 0 sin 2α g g

und bei horizontalem Wurf α = 0   2h v02 2gh . = v0 w= g v02 g
Beispiel 2.2 An einem vertikal angeordneten linearen D¨ ampfer mit der Konstante b ist ein homogener K¨ orper der Masse m symmetrisch aufgeh¨angt (Bild 2.7).

.

b

g

bs s

m

S U mg

orper unter Eigengewicht ampfter K¨ Bild 2.7. Ged¨

utzung U entfernt. Gesucht ist die atzliche Unterst¨ otzlich wird seine zus¨ Pl¨ ur Zeiten t  m/b. orpers f¨ Geschwindigkeit vst des K¨ osung: L¨ orpers werden eine von einem raumfesten In einer Freischnittskizze des K¨

58

2. Kinetik

Punkt gemessene Verschiebungskoordinate s parallel zur Symmetrielinie der Anordnung mit einem beliebigen Orientierungssinn, die dazugeh¨orige entgegengesetzt orientierte D¨ ampfungskraft bs˙ und das Eigengewicht mg auf der Symmetrielinie der Anordnung eingetragen. NEWTONs Bewegungsgleichung (2.32) lautet im Z¨ ahlsinn von s ↓:

m¨ s = mg − bs˙

oder s¨ +

b s˙ = g m

bzw.

s¨ + εs˙ = g ,

ε=

b . m

Dies ist eine gew¨ ohnliche lineare inhomogene Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Ihre L¨ osung besteht aus einem homogenen Teil sh und einem partikul¨aren Teil sp s = sh + sp mit s¨h + εs˙ h = 0 ,

s¨p + εs˙ p = g .

Der partikul¨ are Ansatz sp =

g t ε

erf¨ ullt die inhomogene Differenzialgleichung. Der Ansatz sh = eλt liefert das charakteristische Polynom der homogenen Differenzialgleichung λ2 + ελ = 0 osung mit den Wurzeln λ1 = 0, λ2 = −ε und der L¨ sh = C1 + C2 e−εt , wo C1 , C2 Integrationskonstanten bezeichnen. Die allgemeine L¨ osung der Differenzialgleichung lautet g s = C1 + C2 e−εt + t . ε Die Integrationskonstanten folgen aus den Anfangsbedingungen g s(0) ˙ = 0 = −εC2 + s(0) = 0 = C1 + C2 , ε

2.2

Kinetik des starren K¨ orpers bei Translation

59

zu C2 =

g , ε2

C1 = −

g , ε2

so dass sich die spezielle L¨ osung s= mit der Zeitableitung s˙ =

 g g  −εt e − 1 + t ε ε2

  gm  b g 1 − e−εt = 1 − e− m t b ε

ur bt/m  1 wird die konstante station¨are Geschwindigkeit vst ergibt. F¨   gm = vst = s(t) ˙  b bt →∞ m

erreicht. Dieses Ergebnis l¨ asst sich bereits in der zu L¨osungsbeginn aufgestellten NEWTONschen Bewegungsgleichung ablesen, wenn dort der Beschleunigungsterm null gesetzt wird.
Unsymmetrische Anordnungen k¨ onnen realisiert werden, wenn die K¨orper in F¨ uhrungen durch entsprechende Lasten, die als Reaktionen agieren, zur Translation gezwungen werden oder, anders ausgedr¨ uckt, die Lasten so auf den freigeschnittenen K¨ orper wirken, dass er keine rotatorischen Bewegungen und keine Translationen senkrecht zur F¨ uhrungsbahn ausf¨ uhrt. Zur Berechnung der Bewegung wird deshalb (2.34) tangential zur F¨ uhrungsbahn aufgestellt. Die verbleibenden Komponenten von (2.34) geh¨oren zu Kr¨aftegleichgewichtsbedingungen, welche zusammen mit (2.35) die erforderlichen Zwangslasten f¨ ur die Bewegung in der F¨ uhrung liefern. Wir betrachten hierzu eine einfache Anordnung. Sie besteht aus einem homogenen Reibklotz der Masse m, der auf einer horizontalen Unterlage mit dem Gleitreibungskoeffizienten µ gegen¨ uber der Klotzreibfl¨ache durch die Kraft F beschleunigt wird (Bild 2.8). g

F

2e

c

s 2c m ¹

a

mg S

F e a d F FGl N

Bild 2.8. Reibklotz auf horizontaler Unterlage

60

2. Kinetik

Nach Freischneiden des Klotzes, Eintragen der Wegkoordinate s, der Normalkraft FN sowie der Gleitreibungskraft FGl entgegen der Relativgeschwindigkeit s˙ des bewegten Klotzes bez¨ uglich der ruhenden Unterlage liefert (2.34) in horizontaler Richtung die Bewegungsgleichung →:

m¨ s = F − FGl

(2.42)

und in vertikaler Richtung die Kr¨ aftegleichgewichtsbedingung ↑:

FN − mg = 0 .

(2.43)

Senkrecht zur Betrachterebene ist (2.34) identisch erf¨ ullt. Es verbleibt von (2.35) noch


S:

FN d − F (a − e) − FGl e = 0 .

(2.44)

Mit (2.9), (2.43) wird die Bewegungsgleichung (2.42) zu m¨ s = F − µmg .

(2.45)

Sie l¨ asst sich f¨ ur eine vorliegende Kraft F (t) problemlos integrieren, so dass bei bekannten Anfangsbedingungen eine spezielle L¨osung angebbar ist. Die Zwangskraft FN folgt aus (2.43) FN = mg

(2.46)

und die Lage ihrer Wirkungslinie mit (2.9), (2.44) aus d = µe +

F (a − e) < c . mg

(2.47)

Die Ungleichung (2.47) muss respektiert werden, wenn der Klotz nicht kippen soll. Beispiel 2.3 Auf einer schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel α befindet sich ein homogener Quader der in Bild 2.9 gegebenen Abmessungen und der Masse m. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Ebene und Quader betr¨agt µ. Unter seinem Eigengewicht beginnt der Quader aus der Ruhe heraus zu glei¨ der Strecke l und die Endgeten. Gesucht sind die Zeit t0 zum Uberwinden schwindigkeit v0 des Quaders. L¨ osung: Nach Freischneiden, Definition einer Wegkoordinate und Eintragen aller Kr¨afte, wobei die eingepr¨ agte Gewichtskraft tangential und normal zur Ebene

2.2

Kinetik des starren K¨ orpers bei Translation

61 s

g

2e

2c

d

m

l

S

F1

¹

FGl FN

®

F2

® mg Bild 2.9. Gleitender Quader auf schiefer Ebene

zerlegt wird, ergeben sich die Bewegungsgleichung in tangentialer Richtung :

s = F1 − FGl m¨

aftebilanz normal zur Ebene und die Kr¨ FN − F2 = 0

:

mit F1 = mg sin α, F2 = mg cos α, so dass unter Nutzung von (2.9) s¨ = g(sin α − µ cos α) = 0 liefert ˙ ur die Anfangsbedingungen s(0) = 0, s(0) entsteht. Integration f¨ s˙ = g(sin α − µ cos α)t , ˙ l ) = vl folgen Aus s(tl ) = l und s(t  2l , tl = g(sin α − µ cos α)

s = g(sin α − µ cos α)

vl =

t2 . 2


2lg(sin α − µ cos α) .

Diese Ergebnisse gehen in die Gleichungen (2.40), (2.41) des freien Falles u ¨ber, wenn α = 90◦ gesetzt wird. Die Kontrolle der Wirkungslinie der Zwangskraft


S:

FGl e − FN d = 0

ur realistische µ < 1 und Quader mit uhrt auf die Bedingung µe < c, die f¨ f¨
ullt ist. e < c immer erf¨ Beispiel 2.4 ange l, angt eine masselose Stange der L¨ An einem gelenkigen Festlager B h¨ an der eine homogene Kreisscheibe des Durchmessers 2R und der Masse m zentrisch in dem Gelenk G befestigt ist (Bild 2.10).

62

2. Kinetik B l

FS

G

m

G=S F1

g 2R

a)

F2

b)

mg Bild 2.10. Pendel

Beide Lagerungen B und G sind vollst¨ andig reibungsfrei. Die Scheibe beginnt infolge Schwerkraft aus der Ruhelage bei dem Winkel α eine Pendelbewegung. Gesucht ist die Stangenkraft f¨ ur |α| 1. L¨ osung: Nach Freischneiden der Scheibe wird die Winkelkoordinate ϕ eingetragen, die wegen l = konst. die Bahn des Gelenkes G vollst¨ andig beschreibt. Die Kraft uhrt, und die Schwerkraft mg der Scheibe FS , mit der die Stange die Scheibe f¨ greifen beide im Schwerpunkt der Scheibe an. Aus (2.34) folgen mit (1.34) und r = l bei identischer Erf¨ ullung von (2.35)  :

mlϕ¨ = −F1 = −mg sin ϕ ,

:

mlϕ˙ 2 = FS − F2 = FS − mg cos ϕ

bzw. ϕ¨ +

g sin ϕ = 0 , l

(a)

l FS = mg(cos ϕ + ϕ˙ 2 ) . g

(b)

Die Differenzialgleichung (a) ist nichtlinear. F¨ ur |α| 1 bleibt auch |ϕ| 1, und (a) wird n¨ aherungsweise linear g ϕ¨ + ϕ ≈ 0 . l Die ausf¨ uhrliche L¨ osung dieser Schwingungsgleichung erfolgt in Kapitel 3. Wir geben hier sofort die L¨ osung  g t ϕ = α cos l an, welche die Differenzialgleichung und die Anfangsbedingungen ϕ(0) = α, ϕ(0) ˙ = 0 erf¨ ullt, wovon man sich durch Einsetzen u ¨berzeugen kann.

2.2

Kinetik des starren K¨ orpers bei Translation

63

Die Stangenkraft FS ergibt sich damit aus (b) f¨ ur |ϕ| 1 bis auf Terme zweiter Ordnung zu       g 1 g ϕ 2 l 2 t . t − cos2 + ϕ˙ = mg 1 + α2 sin2 FS ≈ mg 1 − l 2 l g 2

ahrend im Zu Beginn der Bewegung ist FS = mg cos α ≈ mg(1 − 12 α2 ), w¨ Nulldurchgang der maximale Wert FS = mg(1 + gl ϕ˙ 2 ) = mg(1 + α2 ) erreicht wird. Eine der Translation der Scheibe u ¨berlagerte Drehbewegung um das Gelenk G beeinflusst nicht das obige Ergebnis.
Beispiel 2.5 Ein horizontal angeordneter Balken der Masse m ist mittels zweier gelenkig angeschlossener masseloser St¨abe symmetrisch aufgeh¨ angt (Bild 2.11). Er g FS1

l

an

FS2 at

m

S

F

F

S

2b mg Bild 2.11. Translationsbewegung eines Balkens

wird durch eine gegebene richtungstreue Horizontalkraft F aus der gezeigten Ruhelage ausgelenkt. Gesucht sind die Stabkr¨afte in Abh¨angigkeit von deren Auslenkwinkel und Auslenkwinkelgeschwindigkeit. Die Balkendicke sei sehr viel kleiner als die Stabl¨ange. osung: L¨ Nach Freischnitt des Balkens in der ausgelenkten Lage werden der Auslenkwinkel ϕ, die Stabkr¨afte FS1 , FS2 , das Eigengewicht mg und die Horizontalkraft F eingetragen, so dass die Beschleunigungs- und Kraftkomponenten tangential und normal zur Bahntangente der translatorischen Bewegung vorliegen. Die Auswertung von (2.34) mit (1.34) ergibt in tangentialer Richtung :

mat = F cos ϕ − mg sin ϕ ,

(a)

at = lϕ¨

und in normaler Richtung :

man = FS1 + FS2 − mg cos ϕ − F sin ϕ ,

an = lϕ˙ 2 .

(b)

64

2. Kinetik

Die Momentenbilanz (2.35) liefert


S :

−FS1 b cos ϕ + FS2 b cos ϕ = 0

bzw. FS1 = FS2 = FS .

(c)

Aus (c), (b) entsteht FS =

 1 mlϕ˙ 2 + mg cos ϕ + F sin ϕ . 2

Die Formel l¨ asst sich nach L¨ osung der Differenzialgleichung (a) mit den Anfangsbedingungen ϕ(0) = 0, ϕ(0) ˙ = 0 auswerten.


2.2.2 Mathematische Folgerungen aus NEWTONs Bewegungsgleichung

Nicht alle Aufgaben zur Berechnung translatorischer Bewegungen, die grunds¨ atzlich auf der Basis der Beziehungen (2.34) und (2.35) gel¨ost werden k¨onnen, erfordern die Angabe des vollst¨ andigen Ergebnisses. Mitunter reicht eine geringere Information in Form eines ersten Integrals von (2.34) u ¨ber der Zeit oder u ber dem Weg aus. In beiden F¨ a llen setzen wir voraus, dass die in ¨ (2.34) und (2.35) enthaltenen Forderungen zur Gew¨ahrleistung der Translation bzw. Vermeidung von Rotationsbewegungen durch die Existenz von F¨ uhrungen oder Symmetrien erf¨ ullt sind. Auch stehe jetzt F stellvertretend f¨ ur eine resultierende Kraft FR . Mit dieser Vereinfachung liefert die Integration von (2.34) zwischen zwei Zeiten t0 und t1 t1 F(t)dt = mv1 − mv0 .

(2.48)

t0

Hier sei der Begriff des Impulses des K¨ orpers p = mv als Synonym f¨ ur die Bewegungsgr¨ oße eingef¨ uhrt. In diesem Zusammenhang wird die Gleichung (2.48) auch h¨ aufig als Impulssatz bezeichnet, obwohl sie nur durch eine einfache Umformung von (2.34) gewonnen wurde und insofern keine physikalisch eigenst¨ andige Bedeutung hat. F¨ ur verschwindende Kraft F = 0 folgt aus (2.48) die Impulserhaltung mv1 = mv0 ,

(2.49)

d.h. der Impuls und damit auch die Geschwindigkeit des K¨orpers bleiben konstant.

2.2

Kinetik des starren K¨ orpers bei Translation

65

Bei Translationsbewegungen l¨ angs einer Geraden vereinfachen sich (2.48), (2.49) zu t1 F (t)dt = mv1 − mv0 , (2.50) t0

mv1 = mv0 .

(2.51)

Bewegen sich zwei verschiedene K¨ orper der Massen m1 , m2 translatorisch auf ein und derselben Geraden infolge einer Wechselwirkungskraft F (t) zwischen diesen K¨ orpern (Bild 2.12),

F(t)

m1

S

F(t)

s1

m2 S2

S1 s

s2

Bild 2.12. Zwei K¨ orper mit Wechselwirkungskraft

so gelten gem¨ aß (2.50) f¨ ur beide K¨orper die getrennten Gleichungen t1 F (t)dt = m1 v11 − m1 v10 , t0

t1 F (t)dt = m2 v21 − m2 v20 .

− t0

Dabei bezeichnet vkl die Geschwindigkeit der Masse mk zur Zeit tl . Die Summe beider Gleichungen kann in der Form m1 v10 + m2 v20 = m1 v11 + m2 v21

(2.52)

geschrieben werden. Die linke Seite von (2.52) gibt die Summe der Impulse vor, die rechte Seite die Summe der Impulse nach der Kraftwirkung an. Diese Summe, die gleich dem Gesamtimpuls beider Massen ist, bleibt offensichtlich konstant. Werden die beiden K¨orper von Bild 2.12 als Teil eines Systems aufgefasst, deren Bindung geschnitten wurde, so sind die Schnittkr¨ afte, wie schon in Abschnitt 2.2.1 angesprochen und hier bereits gem¨ aß Bild 2.12 ber¨ ucksichtigt, entgegengesetzt gleich große innere Kr¨ afte des Systems. Sie beeinflussen nicht den Gesamtimpuls des Systems.

66

2. Kinetik

Bei bekanntem Gesamtimpuls und gegebenen Massen gestattet (2.52) die gegenseitige Umrechnung der K¨ orpergeschwindigkeiten. Verschwindet beispielsweise der Gesamtimpuls zur Zeit t0 , so betr¨agt das Geschwindigkeitsverh¨ altnis beider K¨ orper zur Zeit t1 m2 v11 =− m1 , v21 d.h. die K¨ orper entfernen sich voneinander mit Geschwindigkeiten, die im umgekehrten Verh¨ altnis zu ihren Massen stehen. Nach Bild 2.12 kann noch die Koordinate s des gemeinsamen Schwerpunktes S bestimmt werden. Sie betr¨ agt (vgl. Statik, Kapitel 9) s=

m1 s1 + m2 s2 . m1 + m 2

(2.53)

Ihre Zeitableitung ist s˙ = vs =

m1 v1 + m 2 v 2 m1 s˙ 1 + m2 s˙ 2 . = m1 + m 2 m1 + m 2

(2.54)

Wenn nur die innere Kraft F wirkt, bleibt der Gesamtschwerpunkt f¨ ur verschwindende Anfangsgeschwindigkeiten gem¨aß (2.52), (2.54) in Ruhe. Trotz ver¨ anderlicher Einzelschwerpunktkoordinaten ist dann die Gesamtschwerpunktkoordinate in (2.53) konstant. Beispiel 2.6 Ein keilf¨ ormiger homogener K¨ orper ruht auf einer horizontalen Unterlage. Auf ihm liegt ein homogener Quader (Bild 2.13). Beide K¨orper besitzen gleiche Tiefenabmessungen. Alle Kontaktfl¨ achen sind reibungsfrei. Infolge Schwerkraft verschiebt sich das System, wobei der Punkt Q eine Lage lotrecht u ¨ber dem Punkt K erreicht. F¨ ur das Abmessungsverh¨altnis a/b = 4/3 ist die Verschiebung des Punktes K zu bestimmen. L¨ osung: Die horizontale Verschiebung beider K¨ orper wird durch eine innere Kraft des Systems verursacht. Deshalb bleibt die horizontale Koordinate xS des gemeinsamen Schwerpunktes beider K¨ orper konstant. Eine Diagonale des Rechtecks liegt parallel zur Unterlage und hat die L¨ange 5b/3. Die Einzelfl¨ achen sind 8 4 A1 = 2ab = 2 b2 = b2 , 3 3

A2 = ab =

4 2 b 3

2.2

Kinetik des starren K¨ orpers bei Translation

a

67

b

g S2

Q

2b

S S1 K a

2a

x

Q S s K x S2

xS xS 1

Bild 2.13. Gleitender Quader auf gleitendem Keil

und ihre Schwerpunktkoordinaten xS1 =

44 16 2 b, 2a = b= 9 3 33

xS2 = a =

4 b. 3

Damit ergibt sich die Koordinate xS des Gesamtschwerpunktes S xS =

A1 xS1 + A2 xS2 = A1 + A2

8 2 3b

·

16 4 2 9 b + 3b 8 2 4 2 3b + 3b

· 34 b

=

44 b. 27

In der verschobenen Lage sind die Schwerpunktkoordinaten der Einzelfl¨achen x ¯S1 = s + xS1 = s +

16 b, 9

x ¯S2 = s +

1 5 5 · b=s+ b . 2 3 6

Mit (2.53) gilt deshalb (m1 + m2 )xS = m1 x ¯S1 + m2 x ¯S2 bzw.

  5  16  (A1 + A2 )xS = A1 s + b + A2 s + b 9 6

68

2. Kinetik

und deshalb s = xS −

+ 65 bA2 b = . 6 A1 + A2

16 9 bA1


Wie zu Beginn von Abschnitt 2.2.2 angek¨ undigt, soll noch das Wegintegral von (2.34) betrachtet werden. Dazu wird (2.34) mit dem Wegdifferenzial dr skalar multipliziert (die Indizes werden wieder weggelassen) F · dr = m¨r · dr = m

dv · dr = mv · dv . dt

Die Integration dieser Gleichung zwischen zwei translatorischen Bewegungszust¨ anden 0 und 1 f¨ uhrt wegen v · v = v2 ,

v · dv = vdv

und mit der Definition der kinetischen Energie T =

1 mv 2 2

(2.55)

auf

1 F · dr = 0

1 1 mv12 − mv02 = T1 − T0 , 2 2

(2.56)

eine Beziehung, die als mechanischer Arbeitssatz bezeichnet wird. Gem¨aß diesem Satz ¨ andert der K¨ orper bei einer translatorischen Bewegung infolge der Kraft F auf dem Weg vom Punkt 0 zum Punkt 1 seine kinetische Energie um die Differenz T1 − T0 . Wie dem Skalarprodukt auf der linken Seite von (2.56) zu entnehmen ist, tr¨ agt die Kraftkomponente senkrecht zur durchlaufenen Bahnkurve, diese Kraft ist eine F¨ uhrungs-, Zwangs- oder Reaktionskraft, ¨ nicht zur verrichteten Arbeit bzw. zur Anderung der kinetischen Energie des K¨ orpers bei. Erf¨ ullt die Kraft F die Bedingungen (2.15), sind also ihre negativen Vektorkoordinaten mittels (2.14) aus einem Potenzial U ableitbar, so geht (2.56) mit (2.13) in

1

1 F · dr = −

0

dU = U0 − U1 = 0

1 1 mv12 − mv02 = T1 − T0 2 2

bzw. U0 + T0 = U1 + T1 = konst.

(2.57)

2.2

Kinetik des starren K¨ orpers bei Translation

69

u ¨ber. Die Gleichung (2.57) beinhaltet den mechanischen Energiesatz, n¨amlich die Aussage, dass bei translatorischer Bewegung eines K¨orpers unter der Wirkung einer Potenzialkraft die Summe von potenzieller und kinetischer Energie des K¨ orpers konstant bleibt. Wir betrachten nochmals das Beispiel 2.3 und bilanzieren gem¨aß (2.56) die auf dem Weg l durch die in Bahnrichtung orientierte Kraft verrichtete Arbeit ¨ mit der dadurch verursachten Anderung der kinetischen Energie des K¨orpers l

l (F1 − FGl )ds =

(mg sin α − µmg cos α)ds = Tl − T0 .

0

0

Wegen der anf¨ anglichen Ruhe des K¨ orpers ist T0 = 0 und folglich mg(sin α − µ cos α)l =

1 mv 2 . 2 l

Die Au߬ osung nach vl ergibt mit
vl = 2lg(sin α − µ cos α) das fr¨ uhere Ergebnis. Bei verschwindender Reibung in Beispiel 2.3 kann (2.57) ausgewertet werden. Die zu bilanzierenden Energien sind U0 = mgl sin α ,

Ul = 0 ,

T0 = 0 ,

Tl =

1 mv 2 , 2 l

und (2.57) liefert mgl sin α = d.h. vl =




1 mv 2 , 2 l

2lg sin α .

Diese Geschwindigkeit ist in dem vorher berechneten Ausdruck f¨ ur µ = 0 enthalten. Beispiel 2.7 F¨ ur die homogene Kreisscheibe des Beispiels 2.4 ist die tangentiale Geschwindigkeit zu bestimmen, wobei der gegebene Winkel α der anf¨anglichen Ruhelage keiner Beschr¨ankung unterliegt. L¨ osung: Die Scheibe besitzt die potenziellen Energien im Ausgangszustand Uα = mgl(1 − cos α)

70

2. Kinetik

und im aktuellen Zustand Uϕ = mgl(1 − cos ϕ) . Die kinetischen Energien sind Tα = 0 ,

Tϕ =

1 m(lϕ) ˙ 2. 2

Damit folgt aus (2.57) 1 ˙ 2. mgl(1 − cos α) = mgl(1 − cos ϕ) + m(lϕ) 2 Die entgegen der Orientierung von ϕ in Bild 2.10 gerichtete tangentiale Geschwindigkeit v = −lϕ˙ betr¨ agt folglich
v = 2gl(cos ϕ − cos α) . Zum Vergleich mit dem Ergebnis des Beispiels 2.4 sei jetzt wieder |α| 1, d.h.
v = −lϕ˙ ≈ gl(α2 − ϕ2 ) . Einsetzten der N¨ aherungsl¨ osung  g t, ϕ = α cos l

 ϕ˙ = −α

g sin l



g t l

aus Beispiel 2.4 liefert die Gleichung   g g t) , t = gl(α2 − α2 cos2 (lϕ) ˙ 2 = α2 gl sin2 l l

welche wegen des Additionstheorems 1 − cos2 x = sin2 x erf¨ ullt ist und deshalb das Ergebnis von Beispiel 2.4 best¨ atigt.
Beispiel 2.8 Ein Quader der Masse m rutscht mit der Geschwindigkeit v reibungsfrei auf einer horizontalen Unterlage gegen eine entspannte masselose Feder (Bild 2.14). v m

s c

Bild 2.14. Gleitender Quader vor entspannter Feder

2.3

Kinetik des starren K¨ orpers bei beliebiger Bewegung

71

Die Feder ist linear und besitzt die Konstante c. Gesucht ist ihre maximale Zusammendr¨ uckung. L¨ osung: Die gr¨ oßte Zusammendr¨ uckung der Feder wird erreicht, wenn der Quader zur Ruhe kommt. Die Energien f¨ ur (2.57) sind deshalb mit Ber¨ ucksichtigung von (2.29) 1 1 U0 = 0 , T0 = mv 2 , U1 = cs2max , T1 = 0 , 2 2 so dass sich 1 1 mv 2 = cs2max 2 2 bzw.

 smax = v

m c

ergeben.




Sowohl der mechanische Arbeitssatz (2.56) als auch der mechanische Energiesatz (2.57) f¨ ur die translatorische Bewegung des starren K¨orpers stellen mechanische Energiebilanzen dar. Sie wurden durch eine rein mathematische Umformung der NEWTONschen Bewegungsgleichung gewonnen, die zwar einige zus¨ atzliche Definitionen aber keinen neuen physikalischen Grundgedanken enthielt, weshalb das Wort mechanisch“ zu betonen ist. ” Die Situation ¨ andert sich wesentlich, wenn weitere Energiearten wie z.B. W¨arme und andere mitzubilanzieren sind. Dann gilt eine allgemeinere, nicht auf rein mechanischen Annahmen beruhende Energiebilanz. Sie umfasst die me¨ chanischen Energiebilanzen als Sonderf¨ alle, liegt aber im Ubrigen außerhalb der hier zu behandelnden Starrk¨ orperkinetik.

2.3 Kinetik des starren K¨ orpers bei beliebiger Bewegung In der Statik war bereits darauf hingewiesen worden, dass das Verschwinden der resultierenden Kraft f¨ ur die Aufrechterhaltung des Gleichgewichts des K¨orpers nicht ausreicht. Unabh¨ angig von dieser Forderung musste zus¨atzlich das gesamte resultierende Moment gleich null sein. Es sei auch daran erinnert, dass diese Gleichgewichtsaussagen in die beiden i.Allg. nicht auseinander herleitbaren Vektorgleichungen (2.17), (2.18) m¨ unden, welche die Grundgesetze der Statik darstellen. Im Hinblick auf eine Verletzung des Gleichgewichts wurde in Bild 2.4 der Sonderfall diskutiert, bei dem eine im Schwerpunkt des K¨orpers angreifende

2.3

72

2. Kinetik

Kraft eine rein translatorische Bewegung des K¨orpers verursacht, wobei das gesamte resultierende Moment null war. Ein zweiter Sonderfall liegt vor, wenn der K¨orper nur der Wirkung eines von null verschiedenen gesamten resultierenden Momentes unterliegt. Dann verschwindet die resultierende Kraft, und das gesamte resultierende Moment besteht i.Allg. aus Momenten von Kr¨ aftepaaren und Einzelmomenten. Die Erfahrung besagt, dass unter diesen Bedingungen der Schwerpunkt des in Ruhe befindlichen K¨ orpers in Ruhe bleibt, der K¨orper aber in eine Drehbewegung um den Schwerpunkt versetzt wird. Analog zu der Erg¨anzung der rechten Seite von (2.17) in der Form (2.34) w¨are f¨ ur die rechte Seite von (2.18) ein Term anzugeben, der die Drehbewegung beschreibt. Im allgemeinen Fall wirken eine resultierende Kraft und ein gesamtes resultierendes Moment auf den K¨ orper. Die resultierende Kraft wird eine Translation des K¨ orperschwerpunktes und das gesamte resultierende Moment bez¨ uglich des Schwerpunktes eine Rotation des K¨ orpers um den Schwerpunkt verursachen. Dann m¨ ussen beide Gleichungen (2.17), (2.18) um kinetische Terme erweitert werden. Selbstverst¨ andlich bleibt dabei die in der Statik g¨ ultige Tatsache, dass die beiden Gleichungen (2.17), (2.18) i.Allg. nicht auseinander herleitbar sind, bestehen. In Vorbereitung auf die gemeinsame Erweiterung von (2.17), (2.18) werden zun¨ achst zwei wichtige Begriffe behandelt. Diese betreffen den schon erw¨ ahnten Impuls und den Drehimpuls des K¨orpers. 2.3.1 Impuls und Drehimpuls

In einem raumfesten Bezugssystem mit dem Ursprung O sei ein K¨orper mit dem Volumen V und der Masse m gegeben (Bild 2.15). V,m dm S

rS

r

O Bild 2.15. Zur Definition von Impuls und Drehimpuls

Der Ursprung des Bezugssystems liegt i.Allg. außerhalb des bewegten Schwerpunktes S. Die Ortsvektoren der K¨ orperpunkte h¨ angen jetzt im Gegensatz zur Statik von der Zeit ab und tragen keinen Querstrich. F¨ ur eine kontinuierliche Verteilung der Dichte
besitzt das am Ort r befindliche Volumenelement dV gem¨ aß (2.1) die Masse dm =
dV .

2.3

Kinetik des starren K¨ orpers bei beliebiger Bewegung

73

Der Schwerpunkt des K¨ orpers wurde in der Statik, Kapitel 9, definiert. Seine Lage ergibt sich aus  (2.58) mrS = rdm . m

Die Zeitableitung von (2.58) liefert  ·  m˙rS = rdm = r˙ dm . m

(2.59)

m

Auf der rechten Seite von (2.59) durfte die Zeitableitung wegen m ˙ = 0 unter das Integral gezogen und, da (dm)· = 0, allein auf den Ortsvektor angewendet werden. F¨ ur die translatorische Bewegung eines K¨ orpers wurde unter (2.48) die Gr¨oße mv als Impuls des K¨ orpers eingef¨ uhrt. Insofern stellt der Ausdruck r˙ dm in (2.59) einen elementaren Impuls dar. Das Integral dar¨ uber   (2.60) p = r˙ dm = r˙
dV m

V

wird als Gesamtimpuls des beliebig bewegten K¨orpers bezeichnet. Gem¨aß (2.59) l¨ asst er sich durch die Schwerpunktgeschwindigkeit und die Masse des K¨orpers ausdr¨ ucken. Bei translatorischer Bewegung repr¨asentiert die Schwerpunktgeschwindigkeit die Geschwindigkeit jedes K¨orperpunktes. Insofern enth¨alt (2.60) auch den in (2.48) benutzten Impuls, und statt vom Gesamtimpuls spricht man abk¨ urzend vom Impuls. Im Hinblick auf die kinetische Erweiterung der Momentenbilanz (2.18) wird u ¨ber das Kreuzprodukt des elementaren Impulses r˙ dm aus (2.60) mit dem Ortsvektor r im raumfesten Bezugssystem eine weitere Gr¨oße, der Drehimpuls, definiert.   (2.61) L = r × r˙ dm = r × r˙
dV . m

m

Es sei betont, dass wie in (2.1) auch in (2.60), (2.61) von der Kontinuit¨at der Massendichte Gebrauch gemacht wurde. 2.3.2 Impuls- und Drehimpulsbilanz

Die Grundgesetze der Statik (2.17), (2.18) werden nun so erweitert, dass sie auf kinetische Situationen von K¨ orpern wie in Bild 2.16 anwendbar sind. Die durch alle bisherigen Erfahrungen gest¨ utzte, d.h. theoretisch nicht beweisbare, Aussage lautet:

74

2. Kinetik V,m

Mk rk

dm

rSP

S

r

rS ri

P

Fi

O Bild 2.16. Zur Kinetik eines K¨ orpers unter Einzellasten

F¨ ur die vollst¨ andige Beschreibung der Bewegung eines starren K¨ orpers und beliebiger Teile desselben gelten im raumfesten Bezugssystem gemeinsam die beiden Grundgesetze der Kinetik FR = p˙

(Impulsbilanz) ,

(2.62)

MG = L˙

(Drehimpulsbilanz) .

(2.63)

Wie im statischen Sonderfall von (2.62), (2.63) FR = 0 ,

(2.64)

MG = 0 ,

(2.65)

muss der K¨ orper, damit er als solcher definiert ist, vor Anwendung der Bilanzen (2.62), (2.63) unbedingt freigeschnitten werden. Entsprechendes gilt f¨ ur Teile eines K¨ orpers und f¨ ur Mehrk¨ orpersysteme mit Zwangsbedingungen. Die Impulsbilanz (2.62) kann mittels (2.17), (2.59), (2.60) in n ·    (2.66) r˙ dm = ¨rdm = m¨rS Fi = FR = i=1

m

m

umgeschrieben werden, ein Ergebnis, das die NEWTONsche Bewegungsgleichung (2.34) wiedergibt. Die Drehimpulsbilanz (2.63) l¨ asst sich mit r˙ × r˙ = 0 und (2.18), (2.61) auf die Form n n  ·    (2.67) Mk = r × r˙ dm = r × ¨rdm ri × Fi + MG = i=1

i=1

m

m

bringen. Man erkennt eine gewisse u ¨ber das Kreuzprodukt vermittelte Beziehung zwischen den unterstrichenen Termen von (2.66) und (2.67). In (2.66)

2.3

Kinetik des starren K¨ orpers bei beliebiger Bewegung

75

wird die Gesamtheit aller Produkte aus translatorischen Beschleunigungen und elementaren Massen mit der Summe der ¨außeren Kr¨afte bilanziert, in (2.67) die Gesamtheit der Momente dieser Produkte mit der Summe der ¨außeren Momente. Insofern stecken in (2.67) sowohl die Kernidee der NEWTONschen Bewegungsgleichung als auch das davon unabh¨angig vorauszusetzende Hebelgesetz von ARCHIMEDES. Dass i.Allg. außer (2.66) zwingend noch eine weitere, nicht aus (2.66) allein gewinnbare Gleichung ben¨otigt wird, wurde bereits im Sonderfall der in der Kinetik enthaltenen Statik betont. Die Zusammenfassung aller Erfahrungen u ¨ber die Kinetik der K¨orper in obiger Form geht auf EULER zur¨ uck. Mit Erg¨ anzung der bereits in der Statik unabh¨ angig voneinander eingef¨ uhrten Einzellasten Kraft und Moment durch Kraft- und Momentendichten je L¨ angen-, Fl¨achen- und Volumeneinheit dient sie heute als vollst¨ andige Basis einer allgemeinen Mechanik der starren K¨orper. Das Konzept ist auch auf beliebig deformierbare K¨orper anwendbar, wenn die Konstanz der Masse in Gleichungsform (Massebilanz) hinzugenommen wird. Impuls-, Drehimpuls- und Massebilanz bilden seit Jahrzehnten die Grundlage der in der technischen Praxis bew¨ ahrten Computermechanik. Die obige Vorgehensweise vermeidet konzeptionelle Widerspr¨ uche, die entstehen, wenn die beiden unabh¨ angigen Grundgesetze (2.17), (2.18) der Statik kontinuierlicher K¨ orper mit den NEWTONschen Axiomen f¨ ur Punktmassensysteme vermischt werden. Denn in der NEWTONschen Punktmechanik, die die Statik enth¨ alt, wird die Drehimpulsbilanz aus dem NEWTONschen Grundgesetz und dem Wechselwirkungsgesetz f¨ ur Kr¨afte hergeleitet, w¨ ahrend in der Statik kontinuierlicher K¨ orper sich ein allgemeines Wechselwirkungsgesetz, das Kr¨ afte und Momente einschließt, aus den beiden unabh¨angigen Grundgesetzen (2.17), (2.18) ergibt. Probleme entstehen auch, wenn die NEWTONsche Punktmechanik ohne Erg¨anzungen aus der Statistik als g¨ ultig f¨ ur Statik und Kinetik kontinuierlicher K¨orper angesehen wird. Die Drehimpulsbilanz wird f¨ ur ihren Gebrauch bei der gemeinsamen Anwendung von (2.66), (2.67) auf die L¨ osung konkreter Aufgaben noch etwas umgeformt. ur Gem¨ aß Bild 2.16 gilt r = rS + rSP . Die EULERsche Formel (1.55) liefert f¨ A=S v = r˙ S + ω × rSP .

76

2. Kinetik

Damit ergibt sich die Zeitableitung des Drehimpulses (2.61) zu  ·   · ˙L = r × r˙ dm = (rS + rSP ) × (˙rS + ω × rSP )dm m

m

 ·   ·   · = rS × r˙ S dm + (rS × (ω × rSP )dm + rSP × r˙ S dm m



+

m

rSP × (ω × rSP )dm

·

m

.

(2.68)

m

Hier sind die Vektoren rS , r˙ S , ω bei der Integration u ¨ber m konstant. Die Zeitableitung darf wieder unter das Integral gezogen und u ¨ber dm hinweg benutzt werden. Damit nehmen die ersten drei Terme in (2.68) folgende Formen  ·   rS × r˙ S dm = (˙rS × r˙ S + rS × ¨rS )dm = rS × ¨rS dm m

m

m



= rS × ¨rS

dm = rS × ¨rS m , m



rS × (ω × rSP )dm

m



rSP × r˙ S dm

m

·

·

   · = rS × ω × rSP dm =0,

  =

m



rSP dm × r˙ S

·

=0

m

an, wobei in den letzten beiden Gleichungen wegen der Definition der Schwerpunktkoordinaten die Beziehung  rSP dm = 0 m

ausgenutzt werden konnte. Mit diesen Ausdr¨ ucken l¨asst sich (2.68) als   · (S) (S) , L˙ = rSP × (ω × rSP )dm (2.69a,b) L˙ = rS × ¨rS m + L˙ m

schreiben, wobei L(S) den auf den K¨ orperschwerpunkt S bezogenen Drehimpuls bezeichnet. Die Drehimpulsbilanz (2.67) geht mit (2.69) in   (S) ri × Fi + Mk = L˙ = rS × ¨rS m + L˙ (2.70a) MG = i

k

u ¨ber. Die Summationsgrenzen wurden zur Vereinfachung weggelassen.

2.3

Kinetik des starren K¨ orpers bei beliebiger Bewegung

77

H¨ aufig ist es zweckm¨ aßig, neben dem beliebig bewegten Schwerpunkt noch einen beliebig bewegten Bezugspunkt B einzuf¨ uhren (Bild 2.17). m rBS

B

S

rSi

rB rS

ri

rBi

Fi Mk

rk

O Bild 2.17. Verschiedene Bezugspunkte

Aus Bild 2.17 liest man rS = rB + rBS ,

ri = rB + rBi

ab. Einsetzen in (2.70a) ergibt zun¨achst   (S) Mk = (rB + rBS ) × ¨rS m + L˙ . (rB + rBi ) × Fi + i

k

Die unterstrichenen Terme heben sich wegen der zu erf¨ ullenden Impulsbilanz (2.66) heraus, so dass   (S) (B) rBi × Fi + MG = (2.70b) Mk = rBS × ¨rS m + L˙ i

k

entsteht. L¨asst man den Bezugspunkt B mit dem Schwerpunkt S zusammenfallen, d.h. rBS = 0, rBi = rSi , so folgt aus (2.70b)   (S) (S) MG = rSi × Fi + Mk = L˙ . (2.70c) i

k

Die Beziehungen (2.70a,b,c) stellen drei ¨aquivalente Varianten der Drehimpulsbilanz (2.63) bzw. (2.67) dar. Sie unterscheiden sich um den Bezugspunkt, der f¨ ur (2.70a) ein raumfester, f¨ ur (2.70b) ein beliebig bewegter und f¨ ur (2.70c) der beliebig bewegte Schwerpunkt ist. Die Anwendung einer der drei Varianten bei der L¨osung eines allgemeinen Falles erfordert noch die Ber¨ ucksichtigung der Impulsbilanz (2.62) bzw. (2.66). Abschließend sei noch eine Umformung des Drehimpulses L(S) aus (2.69b) ¨ angegeben, die f¨ ur sp¨atere Uberlegungen n¨ utzlich sein wird. Dazu wenden wir die Formel f¨ ur das doppelte Vektorprodukt dreier Vektoren a, b, c a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c

78

2. Kinetik

auf den Integranden von (2.69b) an. Dann ergibt sich f¨ ur den auf den Schwerpunkt bezogenen Drehimpuls   (S) 2 (2.71) L = ω rSP dm − (rSP · ω)rSP dm . m

m

2.3.3 Ebene Bewegung in einer Symmetrieebene

Im Folgenden wird die Bewegung eines symmetrischen K¨orpers in seiner Symmetrieebene betrachtet (Bild 2.18). Dann vereinfacht sich vor allem die Drehimpulsbilanz betr¨ achtlich. y Fiy

xS

Mk rk

rS

ey ez

z

ri

Fix

S z rSP P yS dm

ex

x

Fiy

y

Fix

x

z Mk Bild 2.18. Zur ebenen Bewegung eines K¨ orpers

Wir gehen zun¨ achst vom Drehimpuls L(S) in (2.71) aus. Der Betrag des k¨ orperfesten Vektors rSP ist zeitlich konstant, d.h. r˙SP = 0. Bei der ebenen Bewegung in der x, y-Ebene steht der Winkelgeschwindigkeitsvektor ω senkrecht auf der x, y-Ebene. Folglich ist ω = ωez . Die Vektoren rS und rSP liegen in der x, y-Ebene. Es gelten rS = xS ex + yS ey ,

rSP · ω = 0 ,

ω˙ = ωe ˙ z ,

xS ex + y¨S ey ) = (xS y¨S − yS x ¨S )ez . rS × ¨rS = (xS ex + yS ey ) × (¨ Einsetzen dieser Formeln in (2.71), (2.69a) ergibt die Zeitableitung des auf den raumfesten Punkt O bezogenen Drehimpulses    2 ˙ z = (xS y¨S − yS x ¨S )m + ω˙ rSP dm ez , (2.72) L˙ = Le m

2.3

Kinetik des starren K¨ orpers bei beliebiger Bewegung

wobei ω˙ = ϕ¨ ist und



79

2 rSP dm = JS

(2.73)

m

das Massentr¨ agheitsmoment bez¨ uglich einer Achse parallel zu ez durch den Schwerpunkt darstellt. Vom gesamten resultierenden Moment MG verbleibt   (Fiy xi − Fix yi ) + Mk ez , (2.74) MG = MGz ez = i

k

so dass mit (2.70a), (2.72), (2.73) und (2.74) als Drehimpulsbilanz in zRichtung MGz = L˙ z bzw. 

(Fiy xi − Fix yi ) +

i



Mk = xS y¨S m − yS x ¨S m + JS ϕ¨

(2.75)

k

folgt, eine Gleichung, die bei Bezug auf den Schwerpunkt, d.h. xS = yS = 0, die Winkelbeschleunigung ϕ¨ bestimmt. Wird dann das gesamte resultierende Moment bez¨ uglich des Schwerpunktes null gesetzt, so verschwindet die Winkelbeschleunigung. Daraus folgt, dass sich der K¨orper je nach Anfangsbedingung nicht oder mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um eine Achse durch den Schwerpunkt senkrecht zur Ebene dreht. Die zur gleichf¨ormigen Eigendrehung des Rugbyballes im Gedankenexperiment der Einf¨ uhrung f¨ uhrende Symmetrie gem¨ aß (2.75) w¨ are gegeben, wenn die Eigendrehung um eine der Durchmesserachsen des ellipsoidf¨ ormigen Balles erfolgte. Allerdings ist die Stabilit¨ at dieser Bewegung gegen¨ uber St¨ orungen zu pr¨ ufen (s. Kapitel 7). Außer (2.75) muss noch die Impulsbilanz (2.66) f¨ ur die ebene Bewegung in der Symmetrieebene   Fix = m¨ xS , Fiy = m¨ yS (2.76) i

i

erf¨ ullt werden. Als Demonstrationsbeispiel der Bilanzen (2.75), (2.76) diene m R

¹0,¹

¯

Bild 2.19. Kreisscheibe auf schiefer Ebene

80

2. Kinetik

eine homogene Kreisscheibe vom Radius R und der Masse m, die sich infolge Schwerkraft eine geneigte Ebene hinabbewegt (Bild 2.19). Dabei soll reines Rollen mit dem Haftreibungskoeffizienten µ0 vom Gleiten mit dem Gleitreibungskoeffizienten µ unterschieden werden (s. Statik, Kapitel 8). Nach dem Freischneiden entsteht Bild 2.20a. Als a¨ußere Kr¨afte wurden das y

xS O

x S

R

¯ FH , FGl

dm

dr r

mg

B FN

R

¯

Dicke b

b)

a)

Bild 2.20. Kreisscheibe mit a aften a) und Massenelement b) ¨ußeren Kr¨

im Kreisscheibenschwerpunkt angreifende Gewicht, die Normalkraft FN und alternativ die Haftreibungskraft FH bzw. die Gleitreibungskraft FGl sowie ein m¨ogliches raumfestes kartesisches Koordinatensystem mit den Achsen x, y und die raumfeste Winkelkoordinate ϕ eingetragen. Zun¨achst sei reines Rollen angenommen. Die Auswertung von (2.75), (2.76) ergibt mit yS ≡ 0

→

→ : 

:

O :

m¨ xS = mg sin β − FH ,

(a)

FN − mg cos β = 0 ,

(b)

JS ϕ¨ = xS (mg cos β − FN ) + RFH

bzw. mit (b) JS ϕ¨ = RFH .

(c)

Die Rollbedingung lautet Rϕ¨ = x ¨S

(d)

(vgl. Beispiel 1.7). Dabei muss |FH | ≤ µ0 FN oder wegen FH > 0 in (c) FH ≤ µ0 FN eingehalten werden.

(e)

2.3

Kinetik des starren K¨ orpers bei beliebiger Bewegung

81

Einsetzen von FH aus (c) und ϕ¨ aus (d) in (a) ergibt die Schwerpunktbeschleunigung g sin β . x ¨S = JS 1 + mR 2 Zur Berechnung des Massentr¨ agheitsmomentes nach (2.73) wird gem¨aß Bild 2.20b eine k¨ orperfeste Radiuskoordinate r = rSP bis zu einem ringf¨ormigen Massenelement m · 2πrbdr dm = πR2 b eingef¨ uhrt, so dass sich  JS = m

2m r dm = 2 R 2

R

r3 dr =

0

m 2 R 2

und damit x ¨S =

2 g sin β 3

ergeben. Die Haftungsbedingung (e) wird eingehalten, wenn mit (c), (d), (b) ¨S m 2 JS x JS ϕ¨ · g sin β ≤ µ0 mg cos β , = = 2 2 3 R R d.h. 1 tan β ≤ µ0 3 gilt. Soll Rollen sicher garantiert werden, muss allerdings wegen µ < µ0 und m¨ oglicher Ersch¨ utterungen 1 tan β < µ 3 gefordert werden. Im Fall eines Gleitvorganges ist (e) durch FGl = µFN

(f)

und in (a), (c) die Haftreibungskraft FH durch die Gleitreibungskraft FGl zu ersetzen. Diese Beziehung liefert mit (b) in (a) x ¨S = g(sin β − µ cos β) ,

82

2. Kinetik

ein Ergebnis, das mit dem des Beispiels 2.3 u ¨S ent¨bereinstimmt. Die von x koppelte Winkelbeschleunigung betr¨ agt dann gem¨aß (c), (b), (f) ϕ¨ =

g R µmg cos β = 2µ cos β . R JS

Vor der Behandlung weiterer Beispiele sollen die Bilanzen (2.62), (2.63) und ihr ¨ aquivalenten Versionen einer etwas anderen Interpretation unterworfen werden. 2.3.4 Statische Interpretation der Impuls- und Drehimpulsbilanz

Die Statik beruht im Wesentlichen auf den beiden Bilanzen der Kr¨afte (2.17) und Momente (2.18). Die h¨ aufige Anwendung dieser Bilanzen hat zu dem Wunsch gef¨ uhrt, Aufgaben der Kinetik ¨ ahnlich wie in der Statik zu behandeln. Dies ist formal durch Einf¨ uhrung so genannter Tr¨agheits- oder Hilfslasten FH = −p˙ in (2.62) und MH = −L˙ in (2.63) m¨oglich. Die Beziehungen FR + FH = 0 ,

(2.77)

MG + MH = 0

(2.78)

erscheinen dann als Gleichgewichtsbedingungen. Die Tr¨agheitslasten werden auch als D’ALEMBERTsche Hilfslasten bezeichnet (D’ALEMBERT, 17171783), obwohl die Idee der Vorgehensweise schon bei JACOB BERNOULLI (1655-1705) gefunden wurde. Bei der praktischen Handhabung von (2.77), (2.78) sind in die Freischnittskizze des K¨ orpers die Tr¨ agheitslasten entgegen den absoluten Beschleunigungen, und da letztere wie die raumfesten Koordinaten gez¨ahlt werden, entgegen den raumfesten Koordinaten einzutragen. Die Impulsbilanz (2.66) lautet in der Interpretation (2.77)  Fi − m¨rS = 0 , −m¨rS = FH (2.79) i

und die Drehimpulsbilanz (2.67) mit den drei Varianten (2.70a,b,c) in der Form (2.78)   (S) (S) (0) ri × Fi + Mk − rS × ¨rS m − L˙ = 0 , −rS × ¨rS m − L˙ = MH i

k

(2.80a)

2.3

Kinetik des starren K¨ orpers bei beliebiger Bewegung



rBi × Fi +

i



Mk − rBS × ¨rS m − L˙

(S)

=0,

k

−rBS × ¨rS m − L˙ 

83

rSi × Fi +

i



(S) Mk − L˙ =0,

(S)

(B)

= MH (S)

−L˙

(2.80b) (S)

= MH .

(2.80c)

k

F¨ ur die ebene Bewegung eines symmetrischen K¨orpers in seiner Symmetrieebene zeigt Bild 2.21 eine Freischnittskizze mit den Abmessungen, welche in den Gleichungsvarianten von (2.80) auftreten. y

xk m,JS

Mk xi

Fiy Fix

bSi mxÄS S JS Ä

yS

bBi

yi

myÄS

yk

bBS O

x

xS a Si

aBS

B

aBi Bild 2.21. Freischnittskizze mit Tr¨ agheitslasten

Die Spezialisierungen von (2.80a,b,c) f¨ ur diesen Fall sind in Koordinatenschreibweise mit den entsprechenden Z¨ ahlpfeilen   Fix − m¨ xS = 0 , ↑ : Fiy − m¨ yS = 0 , (2.81a,b) →: i


O:

i



(Fiy xi − Fix yi ) +



i


B:



(Fiy aBi −Fix bBi )+

i


S:

 i

Mk − xS m¨ yS + yS m¨ xS − JS ϕ¨ = 0 ,

(2.82a)

k



Mk −aBS m¨ yS +bBS m¨ xS −JS ϕ¨ = 0 , (2.82b)

k

(Fiy aSi −Fix bSi )+

 k

Mk −JS ϕ¨ = 0 .

(2.82c)

84

2. Kinetik

Der Angriffspunkt des Einzelmomentes Mk wurde in Bild 2.21 mit eingetragen, um an seine Bedeutung f¨ ur eventuelle Schnittreaktionsberechnungen zu erinnern. Es sei nochmals betont, dass die Punkte B und S beliebig bewegt sein k¨ onnen, w¨ ahrend der Punkt O raumfest ist. In allen F¨allen geben x ¨S , y¨S , ϕ¨ im raumfesten Bezugssystem gemessene, d.h. absolute, Beschleunigungen an. Das Demonstrationsbeispiel aus Bild 2.20 diene jetzt zur Erl¨auterung der statischen Interpretation der Bilanzgleichungen. Hierzu wird die Freischnittskizze Bild 2.20a modifiziert, indem außer den schon vorliegenden a¨ußeren Lasten, die jetzt nur den Haftreibungsfall enthalten sollen, entgegengesetzt zu den raumfesten Koordinatenorientierungen von xS , ϕ die Tr¨agheitslasten m¨ xS , JS ϕ¨ eingetragen werden (Bild 2.22).

y

O

xS

x

mxÄS R

¯

JS Ä S

mg

B

FH FN

¯

Bild 2.22. Scheibe mit a agheitslasten ¨ußeren Lasten und Tr¨

Die statische Bilanzierung gem¨ aß (2.81) und (2.82a) liefert Gleichungen, die mit dem fr¨ uheren Ergebnis u ¨bereinstimmen.

→

→ : mg sin β − FH − m¨ xS = 0 ,

: FN − mg cos β = 0 ,



O : xS (mg cos β − FN ) + RFH − JS ϕ¨ = 0 .

(I) (II) (III)

Zum Vergleich werden zus¨ atzlich noch die a ¨quivalenten Bilanzen (2.82b) und (2.82c) benutzt. 

xS )R − JS ϕ¨ = 0 , B : (mg sin β − m¨ 

S : RFH − JS ϕ¨ = 0 .

(IV) (V)

Durch Einsetzen von (II) in (III) entsteht (V), desgleichen durch Substitution von (I) in (IV). Damit ist gezeigt, dass das gestellte Problem durch die

2.3

Kinetik des starren K¨ orpers bei beliebiger Bewegung

85

a¨quivalenten Gleichungen (I, II, III), (I, II, IV) oder (I, II, V) beschrieben werden kann. Die Auswahl der zu benutzenden Variante gen¨ ugt Zweckm¨aßigkeitsgr¨ unden. Wie in der Statik bietet es h¨ aufig Rechenvorteile, den Bezugspunkt zu benutzen, der m¨ oglichst wenig Momente erzeugt oder nicht ben¨otigte unbekannte Kr¨ afte außerhalb der Bilanz l¨asst. W¨are im betrachteten Beispiel die Rollbedingung x¨ = Rϕ¨ gesichert, z.B. infolge einer Verzahnung, und nur der durch x¨S einschließlich gegebener Anfangsbedingungen bestimmte Bewegungsablauf von Interesse, so enthielte (IV) zusammen mit der Rollbedingung alle ben¨ otigten Informationen zur L¨osung der Aufgabe. Beispiel 2.9 Dass Innenrad aus Bild 1.13 sei eine homogene Kreisscheibe der Masse m und unterliege der Schwerkraft (Bild 2.23)

x

A

r

g

C O

m R

y Bild 2.23. Ausgangslage des rollenden Innenrades unter Schwerkraft

Gesucht ist die Differenzialgleichung der absoluten Winkelbeschleunigung des Innenrades f¨ ur reines Rollen. L¨ osung: Aus Beispiel 1.8 werden das Bild 1.14 als Bild 2.24a und die Zwangsbedingung f¨ ur das Innenrad u ¨bernommen. Die Zwangsbedingung ohne den Hilfswinkel α lautet  R −1 ϕ , R−r =
. ψ= r Die Freischnittskizze des Innenrades (Bild 2.24b) enth¨ alt neben der absoluten Drehwinkelkoordinate ψ des Innenrades im raumfesten Bezugssystem und dem Winkel ϕ der Geraden OS die a ¨ußeren Lasten FN , FR am aktuel
len Ber¨ uhrungspunkt D sowie die Schwerkraft mg. Hinzu kommen noch die

86

2. Kinetik

x B

x

A®

C

O

O

m

D

S

I

® D

A

FR

2

m

I

y I

C

D C

I

FN

I

JS

mg

y

b)

a)

Bild 2.24. Innenrad mit Geometrie a) und Lasten b)

D’ALEMBERTschen Hilfslasten m
ϕ, ¨ m
ϕ˙ 2 entgegen den absoluten Schwerpunktbeschleunigungskoordinaten und JS ψ¨ entgegen der absoluten Winkelbeschleunigung des Innenrades. Die auf den beliebig bewegten Punkt D
bezogene Drehimpulsbilanz (2.82b) liefert


D
: JS ψ¨ + rm
ϕ¨ − rmg cos ϕ = 0 bzw. mit der obigen Zwangsbedingung die gesuchte Differenzialgleichung (JS + mr2 )ψ¨ − rmg cos

rψ =0. R−r


Abschließend seien nochmals die Bilanzen (2.81) und (2.82) betrachtet. Sie zeigen, dass f¨ ur verschwindende Kr¨ afte nur eine Winkelbeschleunigung verbleiben kann. 2.3.5 Mechanischer Arbeits- und Energiesatz f¨ ur die ebene Bewegung

Im Abschnitt 2.2.2 wurde f¨ ur die translatorische Bewegung des K¨ orpers ein Wegintegral der NEWTONschen Bewegungsgleichung gebildet und als Ergebnis der mechanische Arbeitssatz gewonnen. Dieser ging bei Existenz eines Potenzials der a¨ußeren Kr¨ afte in den mechanischen Energiesatz u ¨ber. F¨ ur die Beschreibung der allgemeinen Bewegung des K¨ orpers sind die beiden Grundgesetze der Kinetik (2.62) und (2.63) zu benutzen. Auch aus ihnen lassen sich Wegintegrale berechnen, die zu Arbeits- und Energiebilanzen zusammengefasst werden k¨ onnen. Im Folgenden f¨ uhren wir eine solche Umrechnung durch und beschr¨ anken uns dabei auf den Fall der ebenen Bewegung.

2.3

Kinetik des starren K¨ orpers bei beliebiger Bewegung

87

Von den m¨ oglichen Formen der Impulsbilanzen w¨ahlen wir (2.81), (2.82c) und benutzen zur Abk¨ urzung entsprechend (2.66) und (2.70c) wieder die uglich des resultierende Kraft FR und das gesamte resultierende Moment bez¨ (S) Schwerpunktes MG . FRx =



Fix = m¨ xS = mx˙ S

i

dy˙ S , dyS i   dϕ˙ . = (Fiy aSi − Fix bSi ) + Mk = JS ϕ¨ = JS ϕ˙ dϕ i

FRy = (S)

MG



dx˙ S , dxS

Fiy = m¨ yS = my˙ S

k

Auf der rechten Seite dieser Gleichungen wurde die Kettenregel der Differenziation wie in (1.12) angewendet. Die Multiplikation der einzelnen Gleichungen mit dxS , dyS bzw. dϕ, Integration zwischen zwei Wegpunkten 0 und 1 sowie Addition der Ergebnisse liefert den mechanischen Arbeitssatz 1

(S)

(FRx dxS + FRy dyS + MG dϕ) = 0

m 2

(x˙ 2S + y˙ S2 ) +

JS 2 1 ϕ˙ . 2 0

(2.83)

Die linke Seite von (2.83) enth¨ alt die durch die resultierende Kraft an der Schwerpunktverschiebung und die durch das gesamte resultierende Moment bez¨ uglich des Schwerpunktes an dem Drehwinkel des K¨orpers verrichtete Arbeit. Beide Terme entsprechen den schon fr¨ uher angegebenen Definitionen (2.12), (2.24). Die rechte Seite von (2.83) besteht aus der kinetischen Energie, die sich aus der Translationsbewegung des Schwerpunktes ergibt und schon in (2.56) auftrat, sowie aus einem neuen Term, der kinetischen Energie der Rotation des K¨orpers um den Schwerpunkt. Die gesamte kinetische Energie T betr¨agt also T =

JS 2 m 2 ϕ˙ . (x˙ + y˙ S2 ) + 2 2 S

(2.84)

Sind alle beteiligten Lasten konservativ, dann existiert eine gesamte potenzielle Energie U f¨ ur die linke Seite von (2.83), und aus (2.83) folgt der mechanische Energiesatz U0 + T0 = U1 + T1 = konst. ,

(2.85)

der sich gegen¨ uber (2.57) nur durch die zus¨ atzlichen Terme gem¨aß (2.83) unterscheidet. Als Beispiel f¨ ur konservative Lasten wurden in Abschnitt 2.1.3 die Schwerkraft, die lineare Federkraft und das lineare Torsionsfedermoment benannt.

88

2. Kinetik

Hinsichtlich der allgemeinen Energiebilanz f¨ ur beliebige Energiearten und Leistungen gilt das schon im Abschnitt 2.2.2 Gesagte. Beispiel 2.10 Eine homogene Kreisscheibe der Masse m bewegt sich infolge ihres Eigengewichtes auf einer schiefen Ebene aus der Ruhelage 0 in der H¨ohe h abw¨arts (Bild 2.25). m 0 h 1

R S

vS (h) S g

Bild 2.25. Zur Anwendung des mechanischen Energiesatzes

Gesucht ist die Translationsgeschwindigkeit des Scheibenschwerpunktes in der Endlage 1 f¨ ur reines Rollen und reibungsfreies Gleiten. L¨ osung: F¨ ur die Anwendung des mechanischen Energiesatzes werden außer dem Masaß (2.73) und der Beispielrechnung sentr¨ agheitsmoment JS = mR2 /2 gem¨ nach Bild 2.20b aus Abschnitt 2.3.3 bereitgestellt: bez¨ uglich der Ruhelage die Gr¨ oßen potenzielle Energie U0 = mgh, Schwerpunktgeschwindigkeit vS0 = 0, Winkelgeschwindigkeit ω = ϕ˙ 0 = 0, kinetische Energie T0 = 0 und f¨ ur die Endlage die Gr¨ oßen potenzielle Energie U1 = 0, (R) S1 = 2 2 (R) (R) 1 v 1 + JS ω 1 ,

Schwerpunkt- und Winkelgeschwindigkeit des Rollens v (R)

kinetische Energie des Rollens T1

=

m 2

2

(G) S1 =

Schwerpunkt- und Winkelgeschwindigkeit des Gleitens v (G)

kinetische Energie des Gleitens T1

=

(R)

R ω 1,

1 (G)2 m v S1 . 2

(G)

0, ω 1 = 0,

2.3

Kinetik des starren K¨ orpers bei beliebiger Bewegung

89

Der Energiesatz f¨ ur Rollen 2 (R)

2 (R) v S1 3 (R)2 m (R)2 1 m (R)2 1 v 1 + mR2 · v 1 + JS ω 1 = m v S1 = mgh = 4 R2 4 2 2 2

ergibt



(R) v S1 =

2

mgh =

m (G)2 v S1 2

gh . 3

F¨ ur Gleiten liefert er

bzw. (G) v S1 = (R)




2gh .

(G)

Wie man sieht, ist v S1 < v S1 . Dieses Ergebnis wird dadurch verursacht, dass die f¨ ur beide Bewegungsarten verf¨ ugbare gleiche potenzielle Anfangsenergie beim Rollen in kinetische Energie der Translation und Rotation, beim Gleiten nur in eine kinetische Energie der Translation umgewandelt wird.
Hier sei nochmals der schon in Abschnitt 2.2.1 erw¨ahnte Begriff der Punktmasse (oder des Massenpunktes) angesprochen. Obwohl ihn viele B¨ ucher als Grundbegriff ausweisen, existiert u ¨ber seine Definition keine einheitliche Auffassung. Manchmal wird versucht, diesen Begriff durch den fehlenden Einfluss der K¨ orperabmessungen auf die K¨ orperbewegung oder die Kleinheit der K¨ orperabmessungen im Vergleich zu sonstigen Abmessungen, z.B. Bahnkr¨ ummungsradien, zu motivieren. Die Anwendung einer daraus folgenden Definition der Punktmasse auf die Kreisscheibe im oben behandelten Beispiel erm¨ oglicht keine Entscheidung dar¨ uber, ob die Scheiben w¨ahrend ihres Bewegungsablaufes als Punktmasse anzusehen ist. In beiden F¨allen des Rollens oder Gleitens handelt es sich um dieselbe Scheibe auf derselben schiefen Ebene. Der Unterschied der beiden Bewegungen ist allein durch die von null verschiedene Winkelgeschwindigkeit beim Rollen gegeben. Insofern w¨are ein Punktmassenbegriff denkbar, der von einer rein translatorischen Bewegung eines starren K¨ orpers ausgeht und dabei mit der Vorstellung verbunden ist, dass die K¨ orpermasse und der Kraftangriff als im K¨orperschwerpunkt konzentriert gedacht angenommen werden k¨ onnen. Genau diese vereinfachte Situation wurde zun¨ achst im Abschnitt 2.2.1 behandelt, allerdings unter der zwingend zu beachtenden Zusatzvoraussetzung (2.35). Die in (2.35) ausgedr¨ uckte Momentenbilanz, deren Erf¨ ullung i.Allg. eine Drehbewegung verhindert, ist aber nicht in das Punktmassenkonzept einbeziehbar. Der scheinbar

90

2. Kinetik

einfache Terminus Punktmasse“ birgt also die Gefahr, nicht alle tats¨achlich ” n¨ otigen Voraussetzungen der Modellierung zu erfassen, weshalb er, wie schon in Abschnitt 2.2.1 angedeutet, von uns vermieden wird. 2.3.6 Drehung um eine feste Achse

Ist bei einer ebenen Bewegung wie in Bild 2.26 ein k¨orperfester Punkt A gleichzeitig ein raumfester Punkt O, so liegt eine Drehung des K¨orpers um eine raumfeste Achse, die senkrecht auf der Ebene steht und durch den Punkt A = O geht, vor. Abk¨ urzend sprechen wir von einer Drehung um den Punkt A. Konstruktiv wird die Achse durch ein ebenes gelenkiges Festlager gehalten, von dem der K¨ orper nach den Regeln der Statik freizuschneiden ist (Bild 2.26). Der Angriffspunkt des Einzelmomentes M1 wurde nicht in Bild 2.26 eingetragen, da hier keine Schnittreaktionen berechnet werden. M1

y

m,JS

F1 y

y1

F1 x

S rS

FAy FAx

O =A FAx

xS

yS

x1

x

FAy Bild 2.26. Gelenkiges Festlager und freigeschnittener K¨ orper

Zur Beschreibung der Drehbewegung des K¨orpers um den Punkt A reicht die Drehimpulsbilanz (2.75) f¨ ur die Winkelkoordinate ϕ aus, da in ihr die unbekannten Lagerreaktionen FAx , FAy nicht vorkommen. Das gesamte reuglich A sei durch eine, hier sultierende Moment der eingepr¨agten Lasten bez¨ schon zerlegte, Einzelkraft F1 und das Einzelmoment M1 gegeben. Aus (2.75) folgt


xS + JS ϕ¨ . yS − yS m¨ A : F1y x1 − F1x y1 + M1 = MA = xS m¨

(2.86)

Die Zwangsbedingungen zwischen der Winkelkoordinate ϕ und den Schwerpunktkoordinaten xS , yS sowie deren Zeitableitungen lauten xS = rS cos ϕ ,

yS = rS sin ϕ ,

x˙ S = −rS ϕ˙ sin ϕ ,

(2.87a)

y˙ S = rS ϕ˙ cos ϕ , 2

(2.87b) 2

x ¨S = −rS (ϕ¨ sin ϕ + ϕ˙ cos ϕ) , y¨S = rS (ϕ¨ cos ϕ − ϕ˙ sin ϕ) . (2.87c)

2.3

Kinetik des starren K¨ orpers bei beliebiger Bewegung

91

Multiplikation von y¨S mit xS = rS cos ϕ und von x ¨S mit −yS = −rS sin ϕ sowie Addition liefert in (2.86)   2 ¨ ¨S = rS2 ϕ(sin ϕ + cos2 ϕ) + ϕ˙ 2 (cos ϕ sin ϕ − sin ϕ cos ϕ) = rS2 ϕ¨ . xS y¨S − yS x Demnach geht in die Drehimpulsbilanz bez¨ uglich des raumfesten Punktes A neben dem aus der Drehbeschleunigung um den Schwerpunkt S herr¨ uhrenden aß nur noch der durch die Umfangsbeschleunigung Term JS ϕ¨ erwartungsgem¨ des Schwerpunktes rS ϕ¨ bedingte Anteil mrS2 ϕ¨ ein. Wir erhalten MA = mrS2 ϕ¨ + JS ϕ¨ = (JS + mrS2 )ϕ¨ = JA ϕ¨ ,

(2.88)

uglich der wobei der Klammerausdruck das Massentr¨ agheitsmoment JA bez¨ Achse durch den Punkt A, JA = JS + rS2 m

(2.89)

darstellt. Analog zu den Fl¨ achentr¨ agheitsmomenten in der Statik, Kapitel 10, dr¨ uckt (2.89) den Satz von STEINER (1796-1863) aus, der hier den Zusammenhang zwischen Massentr¨ agheitsmomenten bez¨ uglich paralleler Bezugsachsen vermittelt. Damit kann die durch die Drehimpulsbilanz (2.88) bestimmte Bewegungsgleichung (2.88) in der Form MA = JA ϕ¨

(2.90)

geschrieben werden. F¨ ur gegebene Anfangsbedingungen und bekanntes Moment MA l¨asst sich aus (2.90) durch Integration eine spezielle L¨ osung gewinnen. Ist der K¨ orper symmetrisch zur x, y-Ebene und sind die Lagerreaktionen von Interesse, so k¨ onnen noch die Impulsbilanzen (2.76) ausgewertet werden. xS , → : FAx + F1x = m¨

(2.91a)

yS . ↑ : FAy + F1y = m¨

(2.91b)

Der berechnete Winkel ϕ ergibt mit den Zwangsbedingungen (2.87) die Schwerpunktkoordinaten und ihre Zeitableitungen, so dass (2.91) f¨ ur bekannangigen Lagerreaktionen FAx , FAy te eingepr¨ agte Kr¨ afte F1x , F1y die zeitabh¨ liefert. F¨ ur die konkrete Rechnung sind auch hier die formal u ¨bersichtlicheren statischen Interpretationen der Impulsbilanzen benutzbar. Nach Eintragung der D’ALEMBERTschen Tr¨ agheitslasten in die Freischnittskizze stehen dann die Gleichungen (2.81) und (2.82a) oder (2.82c) zur Verf¨ ugung.

92

2. Kinetik

F¨ ur die Berechnung der Massentr¨ agheitsmomente JS erinnern wir an (2.73), wo JS mit dm =
dV als Volumenintegral  2 JS = rSP
dV (2.92) V

zu berechnen ist, und verweisen bez¨ uglich beliebiger K¨orper auf die Mathematik. Sonderf¨ alle wie Kugel, Quader, Kegel u.a. k¨onnen auch in einschl¨agigen Tabellenb¨ uchern gefunden werden. Homogene scheibenf¨ormige K¨orper konstanter Dicke der Masse m beschreiben wir durch ebene Fl¨achen der Gr¨oße A, belegt mit der Massendichte je Fl¨ acheneinheit m/A, in einem k¨orperfesten kartesischen Koordinatensystem x ˆ, yˆ mit dem Ursprung im Schwerpunkt (Bild 2.27). y A

rSP z

P

dA y

S x

x

agheitsmomentes von Scheiben Bild 2.27. Zur Berechnung des Massentr¨

uhrt (2.92) auf Dann f¨ JS =

m A



x2 + yˆ2 )dA = (ˆ

A

m Izˆ A

mit dem aus der Statik bekannten polaren Fl¨achentr¨agheitsmoment    2 2 2 ˆ dA + yˆ2 dA = Iyˆyˆ + Ixˆxˆ Izˆ = (ˆ x + yˆ )dA = x A

A

(2.93)

(2.94)

A

und den Fl¨achentr¨agheitsmomenten Ixˆxˆ , Iyˆyˆ. Die hier notwendige Unterscheiˆ, yˆ und raumfesten Koordinaten dung zwischen k¨orperfesten Koordinaten x x, y war in der Statik nicht erforderlich. Beispielsweise liefern die Fl¨achentr¨agheitsmomente des Kreises vom Radius R das polare Fl¨achentr¨agheitsmoment aus der Statik π π Izˆ = Ixˆxˆ + Iyˆyˆ = 2 R4 = R4 2 4 und damit das schon im Anschluss an Bild 2.20b ermittelte Massentr¨agheitsuglich der Schwerpunktachse moment der Kreisscheibe bez¨ m m π 4 (2.95) · R = R2 . JS = 2 A 2

2.3

Kinetik des starren K¨ orpers bei beliebiger Bewegung

93

F¨ ur die homogene Quadratscheibe der Kantenl¨ ange a ergibt Izˆ = Ixˆxˆ + Iyˆyˆ = 2

a4 a4 = 6 12

mit (2.93) das Massentr¨ agheitsmoment JS =

m m a4 = a2 . · 6 A 6

(2.96)

Beispiel 2.11 Eine homogene Quadratscheibe der Masse m ist an einem gelenkigen Festlager A und einem Faden F aufgeh¨ angt (Bild 2.28a). F

A m S a

g

a)

FAv

FAv

JS

y FAh

y FAh

rS

x

myS

mxS mg

c)

b)

rS S

S mg

x

Bild 2.28. Zur Berechnung der Lagerreaktionen einer Quadratscheibe

Gesucht sind die Lagerreaktionen unmittelbar nach Durchtrennen des Fadens. L¨ osung: Zun¨achst werden die Massentr¨agheitsmomente JS , JA ermittelt. Mit (2.96) ist m JS = a2 , 6 so dass (2.89)

ergibt.

√ 2 m 2  2 2 2 a m = ma2 JA = a + 3 2 6

94

2. Kinetik

1. Variante nach (2.90), (2.91): In der Freischnittskizze Bild 2.28b werden die raumfesten Koordinaten x, y, ϕ, die eingepr¨ agte Kraft mg und die Lagerreaktionen FAh , FAv eingetragen. Die Drehimpulsbilanz (2.90) liefert √
2 a 2 = − mg = −JA ϕ¨ = − ma2 ϕ¨ A : −mgrS 3 2 2 bzw. ϕ¨ =

3 g. 4a

Aus der Impulsbilanz (2.91) folgt yS , → : FAh = m¨ xS ↑ : FAv − mg = −m¨ und wegen der f¨ ur ϕ = 0 g¨ ultigen Zwangsbedingungen a a x ¨S = ϕ¨ , y¨S = − ϕ¨ , 2 2 3 a FAh = −m ϕ¨ = − mg , 8 2

3 5 FAv = mg − mg = mg . 8 8

2. Variante nach (2.81), (2.82a): In die Freischnittskizze der 1. Variante werden zus¨atzlich die D’ALEMBERTyS , JS ϕ¨ entgegen dem Richtungssinn der raumfesten schen Hilfslasten m¨ xS , m¨ Koordinaten x, y, ϕ eingetragen (Bild 2.28c). Die Anwendung von (2.82a) mit dem Bezugspunkt A ergibt


xS A : JS ϕ¨ + m¨

a a a yS = 0 − mg − m¨ 2 2 2

bzw. mit JS = ma2 /6, x ¨S = aϕ/2 ¨ und y¨S = −aϕ/2 ¨ das obige Ergebnis ϕ¨ =

3 g. 4a

Die Impulsbilanz (2.81) f¨ uhrt auf die Gleichungen yS = 0 , → : FAh − m¨ xS − mg = 0 , ↑ : FAv + m¨ die wie oben ausgewertet werden. 3. Variante nach (2.81), (2.82c): Die Freischnittskizze ist dieselbe wie bei der 2. Variante (Bild 2.28c). Jetzt

2.3

Kinetik des starren K¨ orpers bei beliebiger Bewegung

95

dient der Schwerpunkt als Bezugspunkt f¨ ur die Drehimpulsbilanz (2.82c):


S :

JS ϕ¨ − FAv

a a − FAh = 0 . 2 2

Diese Gleichung enth¨ alt die drei Unbekannten ϕ, ¨ FAh , FAv . Mit der Impulsbilanz (2.81) entsteht wie bei der 2. Variante yS = 0 , → : FAh − m¨ xS − mg = 0 . ↑ : FAv + m¨ Elimination von FAh , FAv und Einsetzen in die Drehimpulsbilanz liefert a a a yS = 0 , xS − mg − m¨ JS ϕ¨ + m¨ 2 2 2 d.h. die Drehimpulsbilanz der 2. Variante. Der weitere Rechenweg ist dann auch derselbe wie in Variante 1. Die 2. Variante erscheint g¨ unstiger als die 3. Variante, da ohne Elimination sofort die explizite Gleichung f¨ ur ϕ¨ gewonnen werden kann. Wegen der Verwendung einer um die D’ALEMBERTschen Hilfslasten erg¨anzten Freischnittskizze besteht bei der 2. und 3. Variante eine etwas geringere Gefahr als bei der 1. Variante, w¨ ahrend der Aufstellung der Impulsbilanzen Beschleunigungsterme zu u
¨bersehen. Es sei noch auf die Analogie zwischen (2.90) und (2.34) hingewiesen. Statt des Integrals (2.48) gewinnt man aus (2.90) durch Integration u ¨ber der Zeit t1 MA (t)dt = JA ϕ˙ 1 − JA ϕ˙ 0 (2.97) t0

¨ die Bilanz zwischen dem Zeitintegral von MA und der Anderung des Drehimpulses bez¨ uglich der Achse im Punkt A. F¨ ur verschwindendes Moment MA = 0 bleibt dieser Drehimpuls konstant. Die Integration von (2.90) u ¨ber dem Winkel liefert den mechanischen Arbeitssatz ϕ1 1 1 (2.98) MA (ϕ)dϕ = JA ϕ˙ 21 − JA ϕ˙ 20 , 2 2 ϕ0

wobei die kinetische Energie jetzt T = ist.

1 JA ϕ˙ 2 2

(2.99)

96

2. Kinetik

Besitzt das Moment MA (ϕ) ein Potenzial, so geht (2.98) in den mechanischen Energiesatz ϕ1 1 1 (2.100) MA (ϕ)dϕ = U0 − U1 = JA ϕ˙ 21 − JA ϕ˙ 20 2 2 ϕ0

bzw. U0 + T0 = U1 + T1 = konst.

(2.101)

u ¨ber, der (2.57) formal gleicht. Beispiel 2.12 Auf einer Achse A sitzen zwei rotierende Scheiben, die die Massentr¨agheitsmomente J1 und J2 bez¨ uglich A haben und mit den Winkelgeschwindigkeiten ω1 und ω2 rotieren (Bild 2.29). 1

2

J1

F

F

A

J2

F

F

Mt

Mt

Bild 2.29. Scheibenkupplung mit Momenten des Kupplungsvorganges

Mittels axialer Kr¨afte F werden die Scheiben statisch aneinander gepresst, so dass sie infolge Reibung eine gemeinsame Winkelgeschwindigkeit erlangen (Kupplungsvorgang). Gesucht sind diese Winkelgeschwindigkeit und der Verlust an kinetischer Energie w¨ahrend des Kupplungsvorganges. L¨ osung: Die rotatorische Wechselwirkung der Scheiben wird analog zur translatorischen von Bild 2.12 durch ein axiales Wechselwirkungsmoment Mt , das als Schnittreaktion des aus den Scheiben 1 und 2 bestehenden Systems aufgefasst werden kann, ausge¨ ubt. Mit (2.97) gilt f¨ ur die Scheiben 1 und 2 in der Kupplungszeit t1 − t0 t1 Mt (t)dt = J1 ω11 − J1 ω10 , t0

2.3

Kinetik des starren K¨ orpers bei beliebiger Bewegung

97

t1 −

Mt (t)dt = J2 ω21 − J2 ω20 . t0

Hier bezeichnet ωkl die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe k zur Zeit tl . Die Summation beider Gleichungen liefert J1 ω11 + J2 ω21 = J1 ω10 + J2 ω20 und, da am Ende der Ankuppelzeit ω11 = ω21 = ω gilt, die gesuchte Winkelgeschwindigkeit J1 ω10 + J2 ω20 . ω= J1 + J2 Der Verlust an kinetischer Energie ergibt sich aus der Differenz der kinetischen Energien vor und nach dem Kupplungsvorgang. 1 1 1 2 2 − (J1 + J2 )ω 2 J1 ω10 + J2 ω20 2 2 2 1 J1 J2 (ω10 − ω20 )2 . = 2 J1 + J2

∆T =




2.3.7 Kinetische Schnittreaktionen des Balkens

Werden an einem beschleunigten Balken nach Freischnitt eines Balkenteils außer den Schnittreaktionen auch die D’ALEMBERTschen Tr¨agheitslasten in die Freischnittskizze eingetragen, so sind die kinetischen Schnittreaktionen des Balkens wie in der Statik berechenbar. Gegebenenfalls muss vorher noch die Kinetik der Bewegung des gesamten Balken analysiert werden. Zur Demonstration der Vorgehensweise wird nur der einfache Fall der Drehung eines homogenen Balkens der Masse m um eine feste Achse in A bei bekanntem Bewegungsgesetz ϕ(t) infolge eines Einzelmomentes MA (t) bei A betrachtet (Bild 2.30). m(s)a

l FQ

r

MA

JS(s) m(s)ar

S s

A

FL

Mb

Bild 2.30. Zur Berechnung der kinetischen Schnittreaktionen

98

2. Kinetik

Wir f¨ uhren eine k¨ orperfeste Balkenkoordinate s vom freien Ende bis zur Schnittstelle × ein und tragen an dem rechten Balkenteil die Schnittreaktionen sowie die D’ALEMBERTschen Tr¨ agheitslasten entgegen den Beschleunigungen an, wobei die Schwerpunktbeschleunigungen des Balkenteils in radialer Richtung und Umfangsrichtung s

s

aϕ = l − ϕ¨ ar = − l − ϕ˙ 2 , 2 2 aus (1.34) entnommen wurden. Die Masse des Balkenteils betr¨ agt mit der Massendichte pro L¨angeneinheit m/l m m(s) = s . l uglich seines SchwerpunkDas Massentr¨ agheitsmoment JS des Balkenteils bez¨ tes berechnet sich nach (2.92) und Bild 2.31 S ds

s s

Bild 2.31. Zum Massentr¨ agheitsmoment des Balkenteils

zu  JS (s) =

2 rSP
dV

V

m = 2 l

s/2 1 m 3 s . s˜2 d˜ s= 12 l

Die Impulsbilanzen (2.81), (2.82b) f¨ uhren auf m s

: FQ −m(s)aϕ = 0 , FQ = s l− ϕ¨ , 2 l : 

×:

FL +m(s)ar = 0 ,

Mb + m(s)aϕ · Mb = −

FL =

(2.102)

0

m s 2 s l− ϕ˙ , 2 l

(2.103a) (2.103b)

s + JS (s)ϕ¨ = 0 , 2

s2 s3

1 m 3 s

m 2 mϕ¨ . + s ϕ¨ = − s l − ϕ¨ − 6l 2 12 l 2 2l

(2.103c)

Die Ortsfunktionen in (2.103) h¨ angen nicht vom Winkel ϕ ab. Ihre qualitativen Verl¨ aufe sind in Bild 2.32 dargestellt. Beispiel 2.13 Ein homogener Balken der Masse m ist in horizontaler Anordnung gelagert

2.3

Kinetik des starren K¨ orpers bei beliebiger Bewegung

1

2F L lm

99

2 FQ lm

2

1

3M b l 2m

1

Bild 2.32. Qualitative Verl¨ aufe der Schnittreaktionen (2.103)

(Bild 2.33) und unterliegt seinem Eigengewicht. Pl¨otzlich wird das rechte Lager C entfernt, und der Balken beginnt zu pendeln. Gesucht sind die maximale L¨ angskraft und der maximale Biegemomentenbetrag. FL

B r

g C

B

Mb FQ

l 2 sin

mg mrS

S mg

l

S s

m

JS 2

mrS

Bild 2.33. Balken als Pendelstab

L¨ osung: Nach Einf¨ uhren der raumfesten Winkelkoordinate ψ und k¨orperfesten Koordinate r wird am freigeschnittenen Balkenteil vom freien Ende aus die k¨ orperfeste Koordinate s eingezeichnet. Außerdem werden neben den Schnittreaktionen und der eingepr¨agten Gewichtskraft die Tr¨agheitslasten entgegen den bekannten Orientierungen der wirklichen Beschleunigungen angetragen. Es bezeichnen rS¯ = l − s/2 die Koordinate des Balkenteilschwer¯ m punktes S, ¯ = ms/l die Balkenteilmasse und JS¯ = ms3 /(12l) das Massen¯ tr¨ agheitsmoment des Balkenteils bez¨ uglich des Balkenteilschwerpunktes S. Damit lauten die Impulsbilanzen (2.81), (2.82b) :

¯ S¯ ψ˙ 2 − mg ¯ sin ψ = 0 , FL − mr  s

m  FL = s l − ψ˙ 2 + g sin ψ 2 l

(a)

100

2. Kinetik




s s ¯ cos ψ = 0 , ¯ ¯ ψ¨ + JS ψ¨ − mg −Mb + mr 2 2 S  s s2 s

m s l − ψ¨ + ψ¨ − g cos ψ . Mb = s 2 12 2 l 2

×:

(b)

Die Bewegungsgleichung f¨ ur den Winkel ψ kann auf unterschiedliche Weise gewonnen werden. Einerseits verschwindet im Lager B das Biegemoment, d.h. Mb (l) = 0 bzw. mit (b) l2 ¨ l2 ¨ l ψ + ψ − g cos ψ = 0 2 12 4 oder 3g cos ψ . ψ¨ = 2l

(c)

Der Energiesatz (2.101) f¨ ur die Drehung des K¨ orpers um die feste Achse bei ur ψ = 0 B liefert anderseits wegen ψ˙ = 0 f¨ 1 ml2 ˙ 2 1 l ψ mg sin ψ = JB ψ˙ 2 = · 3 2 2 2

bzw. 3g sin ψ ψ˙ 2 = l

(d)

und nach Zeitableitung die Best¨ atigung von (c). Das Biegemoment ist mit (b), (c) Mb = mg

s

s2 1 − cos ψ . l 4l

(e)

Sein maximaler Betrag befindet sich zwischen seinen beiden Nullstellen an den Balkenenden und folgt mit dMb /ds = 0 aus 2sl − 3s2 = 0 unabh¨ angig vom Winkel ψ des Balkens zu s = 2l/3. Damit ergibt sich der maximale Betrag des Biegemomentes f¨ ur beliebige Winkel ψ zu |Mb |max =

1 mgl| cos ψ| . 27

Sein gr¨oßter Wert |Mb (ψ = 0)|max entsteht in der horizontalen Anfangslage des Balkens unmittelbar nach Entfernen des Lagers C. In die Gleichung (a) f¨ ur die L¨ angskraft werden noch ψ˙ 2 aus (d) eingesetzt. Das Ergebnis lautet 3s  s sin ψ . FL = mg 4 − 2l l

2.3

Kinetik des starren K¨ orpers bei beliebiger Bewegung

101

Diese Funktion der Balkenachskoordinate w¨ achst von ihrer Nullstelle bei s = 0 monoton bis zu ihrem erwarteten Maximum bei s = l. Bez¨ uglich des Winkels liegt das Maximum von FL bei ψ = π/2. Die maximale L¨angskraft hat deshalb den Wert 5 FLmax = mg , 2 befindet sich also deutlich u ¨ber dem Eigengewicht des Balkens.




2.3.8 Kinetik von Mehrk¨ orpersystemen

Technische Anordnungen bestehen h¨ aufig aus mehreren K¨orpern, die durch Gelenke, F¨ uhrungen u.a. miteinander und mit der Umgebung verbunden sind. Eine kinetische Analyse solcher Systeme gelingt prinzipiell immer durch Schneiden der Bindungen, Ersetzen der Bindungen durch entsprechende Lager- und Schnittreaktionen (auch Schnittlasten) und Anwendung der Impulsbilanzen (2.62), (2.63) bzw. (2.77), (2.78) in der jeweils zweckm¨aßigen Variante auf alle beteiligten K¨ orper. Statt einzelner K¨orper k¨onnen auch Teilsysteme oder das Gesamtsystem so in die Analyse einbezogen werden, dass wieder die gleiche Zahl ben¨ otigter Gleichungen entsteht. Sollen aus diesem Ausgangsgleichungssystem die Bewegungsgleichungen des Systems, d.h. die Gleichungen, die die Bewegung der K¨ orper gem¨ aß dem Freiheitsgrad beschreiben, ermittelt werden, so sind die Lager- und Schnittreaktionen zu eliminieren. Die verbleibenden Beziehungen stellen Differenzialgleichungen dar, die unter Ber¨ ucksichtigung gegebener Anfangsbedingungen eine Integration erfordern. Die R¨ ucksubstitution der Ergebnisse erlaubt dann die Berechnung der Lager- und Schnittreaktionen. Die Vorgehensweise wird im Folgenden nur an der Aufstellung der Bewegungsgleichungen demonstriert. Dabei sind zweckm¨ aßig die Impulsbilanzen so anzuwenden, dass das Ausgangsgleichungssystem m¨ oglichst schon keine Lager- und Schnittreaktionen enth¨alt. Gegeben sei eine horizontale F¨ uhrung, auf der sich infolge der Horizontalkraft F ein Schlitten der Masse m1 gegen eine geschwindigkeitsproportionale D¨ ampfung der Konstante b1 und eine lineare Feder der Konstante c bewegen kann (Bild 2.34). Am Schlitten befindet sich ein Gelenk G, um das sich unter Wirkung eines Momentes M und der Schwerkraft ein Pendel der Masse m2 winkelgeschwindigkeitsproportional ged¨ ampft (Konstante b2 ) dreht. Die genannten Gr¨oßen sowie der Schwerpunktabstand s und das Schwerpunkttr¨agheitsmoment JS des Pendels seien bekannt. Es ist unschwer zu erkennen, dass das Gesamtsystem mit der F¨ uhrung des Schlittens und der Drehbarkeit des Pendels den Freiheitsgrad f = 2 besitzt.

102

2. Kinetik

c

b2

m1 b1

F G s

M

g

S m2

Bild 2.34. Schlitten mit Pendel

ur die Aufstellung der beiden Bewegungsgleichungen fertigen wir zwei FreiF¨ schnittskizzen an (Bild 2.35), die beide die raumfesten Koordinaten x, y, ϕ oste, Penenthalten. Die erste Skizze stellt das idealisierte, vom Gelenk gel¨ afte FGh , agten Lasten m2 g, M , die Gelenkkr¨ del dar. Dort wurden die eingepr¨ ampfungsmoment b2 ϕ˙ entgegen der WinkelgeschwindigFGv , das D¨ agheitslasten keit, die dieselbe Orientierung wie ϕ haben soll, und die Tr¨ ¨S2 , m2 y¨S2 , JS ϕ¨ entgegen den Koordinatenorientierungen eingetragen m2 x (Bild 2.35a). m1 g FGv y

b2 _

x

s M

y1 yS2

a)

y

FGh G

s_sin

S

JS Ä

xS2 =s_cos

cy1

m1 yÄ1

G

b1 y_ 1

x

F

JS Ä

FN S

m2 yÄS2

M

m2( g - x Ä S2 )

m2 yÄS2

m2( g - xÄS2 )

b) Bild 2.35. Freischnittskizzen des Pendels a) und des Gesamtsystems b)

alt das von der Feder und der Unterlage freigeschnittene Die zweite Skizze enth¨ agten Lasten m1 g, m2 g, M , F , der ReaktionsGesamtsystem mit den eingepr¨ ampfungskraft b1 y˙ 1 entgegen y˙ 1 sowie kraft FN , Federkraft cy1 entgegen y1 , D¨ ¨S2 , m2 y¨S2 , JS ϕ¨ entgegen den Beschleunigunagheitslasten m1 y¨S1 , m2 x den Tr¨ gen, d.h. Koordinatenorientierungen. Die Zwangsbedingungen zwischen den Schwerpunktkoordinaten xS2 , yS2 , der Gelenkkoordinate y1 und dem Pen-

2.3

Kinetik des starren K¨ orpers bei beliebiger Bewegung

103

delwinkel ϕ sind xS2 = s cos ϕ ,

yS2 = y1 + s sin ϕ ,

x˙ S2 = −sϕ˙ sin ϕ ,

(2.104a)

y˙ S2 = y˙ 1 + sϕ˙ cos ϕ , 2

x ¨S2 = −s(ϕ¨ sin ϕ + ϕ˙ cos ϕ) ,

(2.104b) 2

y¨S2 = y¨1 + s(ϕ¨ cos ϕ − ϕ˙ sin ϕ) . (2.104c)

F¨ ur das Pendel (Bild 2.35a) liefert die Drehimpulsbilanz (2.82b) mit dem beliebig bewegten Gelenk G als Bezugspunkt 

¨S2 )s sin ϕ + m2 y¨S2 s cos ϕ = 0 . G : −M + JS ϕ¨ + b2 ϕ˙ + m2 (g − x

Das Einsetzen der translatorischen Beschleunigungen aus (2.104c) ergibt y1 cos ϕ + b2 ϕ˙ + m2 gs sin ϕ = M . (JS + m2 s2 )ϕ¨ + m2 s¨

(2.105)

Am Gesamtsystem (Bild 2.35b) f¨ uhrt die horizontale Impulsbilanz von (2.81) auf ← : m1 y¨1 − F + cy1 + b1 y˙ 1 + m2 y¨S2 = 0 bzw. mit Substitution von y¨S2 zu y1 + m2 s(ϕ¨ cos ϕ − ϕ˙ 2 sin ϕ) + b1 ϕ˙ 1 + cy1 = F . (m1 + m2 )¨

(2.106)

Die Beziehungen (2.105), (2.106) bilden ein System von zwei gew¨ohnlichen nichtlinearen gekoppelten Differenzialgleichungen zweiter Ordnung f¨ ur die beiden gesuchten Funktionen y1 (t) und ϕ(t). Zur Festlegung spezieller L¨osungen w¨ aren noch vier Anfangsbedingungen erforderlich. Eine explizite Angabe von L¨ osungen aus (2.105), (2.106) gelingt durch Linearisierung, wie im Kapitel 4 angedeutet wird. Das gesamte Kapitel 2 zusammenfassend, betonen wir nochmals ausdr¨ ucklich, dass nicht das eine so genannte NEWTONsche Grundgesetz, sondern die beiden f¨ ur beliebige K¨ orper, K¨ orperteile und K¨ orpersysteme g¨ ultigen kinetischen Grundgesetze (2.62), (2.63) das Wesen der Kinetik und ihres Sonderfalles Statik ausmachen. Alle weiteren Betrachtungen haben nur erg¨anzenden Charakter oder betreffen f¨ ur die Anwendung der Grundgesetze zweckm¨aßige Umformungen und mathematische L¨ osungsmethoden zu speziellen Modellsituationen. Das gilt insbesondere auch f¨ ur die folgenden Kapitel. Es sei noch erw¨ ahnt, dass die konzeptionelle Hervorhebung der Bilanzen (2.62), (2.63) vorteilhaft eine harmonische Einf¨ ugung der Kinetik in eine erweiterte Theorie, die auch thermodynamische und elektromagnetische Bilanzen ber¨ ucksichtigt, erm¨ oglicht.

Kapitel 3 Schwingungen von Systemen mit dem Freiheitsgrad 1

3

3

3 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.3 3.3.1 3.3.2

Schwingungen von Systemen mit dem Freiheitsgrad 1 Grundbegriffe ..................................................... Freie Schwingungen ............................................. Unged¨ampfte freie Schwingungen ............................ Schaltungsarten f¨ ur Systemparameter ....................... Ged¨ampfte freie Schwingungen ............................... Erzwungene Schwingungen .................................... Unged¨ampfte erzwungene Schwingungen ................... Ged¨ampfte erzwungene Schwingungen ......................

107 108 109 113 115 118 118 119

3.1

Grundbegriffe

107

3 Schwingungen von Systemen mit dem Freiheitsgrad 1 Reale Systeme sind mitunter durch einen starren K¨orper modellierbar, der speziellen eingepr¨ agten Lasten und Bindungen mit der Umgebung unterworfen ist. Im einfachsten Fall liegen f¨ unf Zwangsbedingungen vor, so dass der K¨ orper dann nur eine Bewegungsm¨ oglichkeit, d.h. den Freiheitsgrad f = 1, besitzt. Von den kinematischen Zwangsbedingungen sind Bindungen zu unterscheiden, die mit koordinatenabh¨ angigen Schnittlasten einhergehen, wie in Abschnitt 2.1.2 erl¨ autert und in Abschnitt 2.3.8 am Beispiel demonstriert wurde. Nach Anwendung der Impulsbilanz und der Drehimpulsbilanz sowie entsprechender Zwangsbedingungen gewinnt man eine Differenzialgleichung zweiter Ordnung f¨ ur die Bewegung des K¨ orpers. Dabei k¨onnen Teile der Bilanzen identisch erf¨ ullt sein, z.B. infolge Symmetrie, wie in Kapitel 2 gezeigt wurde. Unter speziellen Bedingungen kann die Koordinate der Bewegung mit der Zeit schwanken. Dann wird die Bewegung als Schwingung bezeichnet. Ihre besonderen Eigenschaften werden anschließend besprochen.

3.1

3.1 Grundbegriffe Der Begriff der Schwingung ist allgemein auf die zeitliche Schwankung irgend einer Variablen anwendbar. Wir beziehen uns haupts¨achlich auf die sich in ¨ der Zeit t regelm¨ aßig wiederholende Anderung einer verallgemeinerten Bewegungskoordinate q, die f¨ ur eine Verschiebung oder eine Verdrehung stehen kann. Eine solche Zeitabh¨ angigkeit heißt periodisch und ergibt q(t + T ) = q(t) ,

(3.1)

wobei T die Zeitperiode oder Schwingungsdauer bezeichnet. Ihr Reziprokwert f=

1 T

(3.2)

ist die Frequenz mit der Einheit Hertz [f ] = 1/s = 1Hz . Die Gr¨ oßen T , f und die Einheit Hz sowie die Kreisfrequenz ω = 2πf

(3.3)

wurden schon in Abschnitt 1.1.3 f¨ ur kreisf¨ ormige Bewegungen eingef¨ uhrt.

108

3. Schwingungen von Systemen mit dem Freiheitsgrad 1

Bild 3.1 zeigt das Beispiel einer periodischen Abh¨angigkeit der Variablen q von der Zeit t. q q(t+T )

q(t)

t

T t

t+T

Bild 3.1. Grafische Darstellung der periodischen Funktion q(t)

Periodische Schwingungen k¨ onnen im Sonderfall harmonisch sein. Ihre Gleichung lautet dann q(t) = A cos(ωt − α)

(3.4)

mit der konstanten Amplitude A, dem Phasenwinkel α und der Kreisfrequenz ω. Sie l¨asst sich auch auf die Form q = C1 cos ωt + C2 sin ωt

(3.5)

bringen. Zwischen den Konstanten C1 , C2 und A, α bestehen die Zusammenh¨ange C1 = A cos α , bzw.

 A=

C12 + C22 ,

C2 = A sin α ,

α = arctan

C2 . C1

(3.6)

(3.7)

F¨ ur die Gewinnung von (3.6) wurde (3.4) mittels Additionstheorems umgeformt. Die Quadratsumme und die Quotientenbildung in (3.6) f¨ uhren auf (3.7). Zur Bestimmung der Konstanten in (3.4) oder (3.5) dienen meist Anfangsbedingungen mit gegebenen Werten f¨ ur q(t) und q(t) ˙ zur Zeit t = t0 . Es oglich. sind aber auch Bedingungen f¨ ur t > t0 m¨ Im Folgenden beschr¨ anken wir uns auf so genannte lineare Schwingungen, die durch lineare Differenzialgleichungen beschrieben werden. Schwingungen, die ohne a¨ußere erregende Lasten stattfinden, heißen freie Schwingungen oder Eigenschwingungen, anderenfalls erzwungene oder erregte Schwingungen.

3.2

3.2 Freie Schwingungen Wir betrachten zun¨ achst den einfachsten Fall, der vorliegt, wenn ein K¨ orper unged¨ampft schwingt.

3.2

Freie Schwingungen

109

3.2.1 Unged¨ ampfte freie Schwingungen

Gegeben sei ein K¨ orper der Masse m auf einer reibungsfreien horizontalen Unterlage, der u ¨ber eine lineare Feder der Konstante c mit der raumfesten Umgebung verbunden ist (Bild 3.2a). Fc

s c

m

Fc

msÄ

s a)

c)

b) Bild 3.2. Unged¨ ampfter Einmassenschwinger

Der K¨ orper kann in der Betrachterebene eine translatorische Bewegung ausf¨ uhren. In die Freischnittskizze (Bild 3.2b) werden die von der raumfesten Ruhelage mit verschwindender Federkraft Fc (Bild 3.2c) gez¨ahlte Verschiebungskoordinate s, die Federkraft Fc entgegen s und die D’ALEMBERTsche Tr¨agheitskraft m¨ s entgegen der wie s gez¨ ahlten Beschleunigung s¨ eingetragen. Ein m¨ ogliches Eigengewicht bleibt außerhalb der Betrachtung, da es durch die Normalkraft der Unterlage statisch ausgeglichen wird und den horizontalen Schwingungsvorgang nicht beeinflusst. Die Anwendung der Impulsbilanz in der Form (2.81a) auf Bild 3.2b liefert mit Ber¨ ucksichtigung von (2.5) ← : m¨ s + cs = 0 bzw. mit der so genannten Eigenkreisfrequenz ω = s¨ + ω 2 s = 0 .


c/m (3.8)

Die gew¨ ohnliche lineare homogene Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten (3.8) wird durch einen Exponentialansatz oder gleichwertig durch den trigonometrischen Ansatz s = C1 cos ωt + C2 sin ωt

(3.9)

gel¨ost. Dies kann durch Einsetzen u uft werden. Die Winkelfunktionen ¨berpr¨ in (3.9) bilden das erforderliche Fundamentalsystem der Differenzialgleichung (3.8). Die Existenz der beiden Integrationskonstanten C1 , C2 entspricht der zweiten Ableitungsordnung in (3.8). Die Periode 2π des Argumentes der Winkelfunktionen in (3.9) ergibt wegen 2π = ωT die Schwingungsdauer T . Damit der K¨ orper schwingt, muss wenigstens ein Anfangswert aus s(0) = ˙ = v0 verschieden von null sein. Im Allgemeinen ergeben sich die s0 , s(0)

110

3. Schwingungen von Systemen mit dem Freiheitsgrad 1

Integrationskonstanten C1 , C2 aus C1 = s0 ,

C2 =

v0 . ω

(3.10)

Diese Konstanten k¨ onnen nach (3.7) uminterpretiert werden. Sie best¨atigen in (3.4), dass die Schwingung harmonisch mit der Kreisfrequenz ω ist. Der dargelegte Sachverhalt l¨ asst sich auf viele technisch unterschiedliche, aber mathematisch gleichwertige Situationen u ¨bertragen. Beispiel 3.1 Ein eingespannter masseloser Stab besitzt die aus der Festigkeitslehre bekannte Torsionsfederkonstante ct = GIt /l (Bild 3.3a). ct

l a)

Mt

JS Ä

S

Mt

JS

b)

c)

Bild 3.3. Torsionsschwinger

Er tr¨agt eine d¨ unne homogene Kreisscheibe mit dem Massentr¨agheitsmoment uglich der Stabachse. Gesucht ist die Bewegungsdifferenzialgleichung JS bez¨ der Torsionsschwingung. L¨ osung: In die Freischnittskizze (Bild 3.3b) wurden der von einer raumfesten Ruhelage z¨ahlende Verdrehungswinkel ϕ der Scheibe, das auf die Scheibe wirkende Moment Mt der Torsionsfeder entgegen ϕ und die D’ALEMBERTsche Tr¨agheitslast JS ϕ¨ entgegen ϕ¨ (ϕ¨ ist wie ϕ orientiert) eingetragen. Die Anwendung der Drehimpulsbilanz in der Form (2.82c) auf Bild 3.3b ergibt unter Ber¨ ucksichtigung von (2.6) nach Bild 2.2 und Bild 3.3c  : JS ϕ¨ + ct ϕ = 0 bzw. ϕ¨ + ω 2 ϕ = 0 ,

ω2 =

ct . JS


Beispiel 3.2 Ein masseloser Stab ist gem¨aß Bild 3.4 an einem gelenkigen Festlager A aufgeh¨angt. Er tr¨agt eine homogene Kreisscheibe der Masse m, die der Schwerkraft unterliegt. Das System vollf¨ uhrt nach Auslenkung Pendelbewegungen.

3.2

Freie Schwingungen

111

Gesucht ist die Bewegungsdifferenzialgleichung, die f¨ ur R l zu diskutieren und außerdem f¨ ur |ϕ| 1 zu linearisieren ist. FAv FAh

A

g l S JS Ä m

R m(l +R ) Ä

mg

m(l +R ) _ 2

Bild 3.4. Pendelschwinger

osung: L¨ In die Freischnittskizze werden die raumfeste Winkelkoordinate ϕ, die Lagerreaktionen FAh , FAv , die eingepr¨agte Kraft mg und die Tr¨agheitslasten ¨ m(l + R)ϕ˙ 2 , JS ϕ¨ entgegen den dazugeh¨origen Beschleunigungen m(l + R)ϕ, eingetragen. Da die Lagerreaktionen nicht gesucht sind, wird die Impulsbilanz nicht ausgewertet. Die Drehimpulsbilanz (2.82a) ergibt 

A:

m(l + R)2 ϕ¨ + (l + R)mg sin ϕ + JS ϕ¨ = 0

bzw. mit JS = mR2 /2  R g R 2 R2  sin ϕ = 0 . + 2 ϕ¨ + 1 + 1+ l l 2l l

uber dem Moment der ur R l k¨onnen die Eigendrehtr¨agheit JS ϕ¨ gegen¨ F¨ translatorischen Tr¨agheit m(R+l)2 ϕ¨ infolge Umfangsbeschleunigung und das uber 1 vernachl¨assigt werden. Die Differenzialgleichung Verh¨altnis R/l gegen¨ vereinfacht sich dann zu g ϕ¨ + sin ϕ = 0 . l Die Scheibe wird unter dieser Vernachl¨assigung mitunter als Punktmasse, die Gesamtanordnung als mathematisches Pendel bezeichnet. uhrt auf die lineare DifferenzialgleiDie Ausnutzung der Annahme |ϕ| 1 f¨ chung  g 2 ω= ϕ¨ + ω ϕ = 0 , l

112

3. Schwingungen von Systemen mit dem Freiheitsgrad 1




mit ω als Kreisfrequenz der Eigenschwingung.

In den behandelten Beispielen schwangen die K¨orper um eine lastfreie Ruhelage. Wir betrachten jetzt eine Ruhelage, in der der K¨orper belastet ist, und fragen nach dem Einfluss der zeitlich konstanten Last auf den Schwingungsvorgang. Der Schwinger bestehe gem¨ aß Bild 3.5 aus einem K¨orper der Masse m, der u uhrt eine ¨ber eine Feder der Konstante c vertikal aufgeh¨angt ist. Er f¨ vertikale Schwingungsbewegung um eine Ruhelage, in der die Feder infolge des K¨ orpergewichtes statisch vorgespannt ist, aus.

c

c

c

g

s0 s m cs0

m c (s0+s)

mg

mg

msÄ Bild 3.5. Schwinger mit Vorlast

Die Vorlast infolge Eigengewicht mg des K¨ orpers verl¨angert die Feder um die zeitlich konstante Strecke s0 , so dass in der Ruhelage das statische Gleichgewicht ↑:

cs0 − mg = 0

(3.11)

erf¨ ullt ist. Von der statischen Ruhelage aus wird die zeitlich ver¨anderliche Wegkoordinate s mit den dazugeh¨ origen Lasten in der Freischnittskizze eingef¨ uhrt. Die Impulsbilanz (2.81a) liefert die Gleichung ↑:

s − mg = 0 , c(s0 + s) + m¨

(3.12)

in der die unterstrichenen Terme wegen (3.11) entfallen, so dass f¨ ur ω 2 = c/m mit s¨ + ω 2 s = 0

(3.13)

eine zu (3.8) identische Beziehung verbleibt. Die Vorspannung der Feder und das Eigengewicht des Schwingers in der statischen Ruhelage sind also oh-

3.2

Freie Schwingungen

113

ne Einfluss auf den Schwingungsvorgang. Es sei jedoch daran erinnert, dass die Federkraft gem¨ aß (2.5) eine lineare Kennlinie (s. Bild 2.1) besaß. F¨ ur nichtlineare Kennlinien verliert die obige Aussage ihre G¨ ultigkeit. 3.2.2 Schaltungsarten f¨ ur Systemparameter

Bei der Modellierung technischer Anordnungen kann es zweckm¨aßig sein, die Wirkung mehrerer auftretender Einzellasten zusammenzufassen. Die Einzellasten werden durch spezielle Lastelemente wie Federn oder D¨ampfer realisiert. Ihre zusammengefasste Wirkung h¨ angt von der Anordnung der Lastelemente ab. Wir betrachten als Beispiel f¨ ur Lastelemente Federn. In Bild 3.6 wird ein reibungsfrei gef¨ uhrter K¨ orper von zwei parallel nebeneinanderliegenden Federn gehalten und durch die eingepr¨ agte Kraft F belastet. c1

c1s F

F c2s

c2

s Bild 3.6. Parallelschaltung zweier Federn

Die Freischnittskizze enth¨alt die beiden Federkr¨afte c1 s, c2 s und die eingepr¨agte Kraft F . Das horizontale Kr¨aftegleichgewicht →:

F − c1 s − c2 s = 0

f¨ uhrt bei gleicher Verl¨angerung der beiden Federn zur Addition der Gesamtwirkung der Federkr¨afte, die bei dieser so genannten Parallelschaltung auch f¨ ur beliebige Federkr¨afte, D¨ampferkr¨afte oder eine Kombination von beiden gilt. Im Fall linearer Federn folgt aus der Parallelschaltung F = (c1 + c2 )s = cs ,

c = c1 + c2 ,

wobei c eine Ersatzfederkonstante bezeichnet. Wirken n parallelgeschaltete Federn mit den Konstanten ci , so ist die Ersatzfederkonstante c=

n 

ci .

(3.14)

i=1

Das Bild 3.7 zeigt eine Hintereinander- oder Reihenschaltung zweier Federn. Die eingepr¨agte Kraft F verursacht eine gleiche L¨angskraft in beiden Federn. Die unterschiedlichen Verl¨angerungen ∆si der Federn infolge dieser

114

3. Schwingungen von Systemen mit dem Freiheitsgrad 1 c1

c2

F

¢s1

¢s2

Bild 3.7. Reihenschaltung zweier Federn

L¨angskraft ergeben die Gesamtverl¨angerung ∆s = ∆s1 + ∆s2 =

F F F , = + c c2 c1

1 1 1 , + = c2 c1 c

mit c als Ersatzfederkonstante der Reihenschaltung. F¨ ur n reihengeschaltete Federn gilt n 1  1 . (3.15) = c c i=1 i Es existieren Analogien zur Elektrotechnik. Dort summieren sich bei Parallelschaltung die Kapazit¨aten und die elektrischen Leitf¨ahigkeiten. Bei Reihenschaltung sind die Reziprokwerte der Kapazit¨aten bzw. Leitf¨ahigkeiten jeweils zu einem Gesamtreziprokwert zu addieren. Die Schaltung von Torsionsfedern zeigt Bild 3.8. Mt 1

ct1

ct2

a)

ct1

2

Mt

ct2

b)

Bild 3.8. Parallelschaltung a) und Reihenschaltung b) zweier Torsionsfedern

Die Parallelschaltung (Bild 3.8a) f¨ uhrt wegen des Gleichgewichts zwischen dem eingepr¨agten Moment Mt und den Federmomenten zu Mt = (ct1 + ct2 )ϕ = ct ϕ ,

ct = ct1 + ct2 ,

wobei ϕ den Verdrehwinkel des Federquerschnittes an der Einleitungsstelle des eingepr¨agten Momentes Mt bezeichnet. Bei der Reihenschaltung (Bild 3.8b) liegt in beiden Torsionsfedern das gleiche Torsionsmoment an. Es summieren sich die individuellen Verdrehwinkel ∆ϕi der beiden Federn zur Gesamtverdrehung ∆ϕ ∆ϕ = ∆ϕ1 + ∆ϕ2 =

Mt Mt Mt , = + ct ct2 ct1

1 1 1 . + = ct2 ct1 ct

3.2

Freie Schwingungen

115

Die Verallgemeinerung auf n Torsionsfedern entspricht (3.14), (3.15). 3.2.3 Ged¨ ampfte freie Schwingungen

Ein K¨ orper der Masse m sei u ¨ber eine Feder der Konstante c und einen D¨ampfer der Konstante b mit der raumfesten Umgebung wie in Bild 3.9 verbunden. Er ist zu ged¨ ampften Translationsschwingungen f¨ahig. c

b

msÄ

m

cs

bs_

s Bild 3.9. Ged¨ ampfter Translationsschwinger

Die Anwendung der Impulsbilanz (2.81a) auf die Freischnittskizze liefert ←:

m¨ s + bs˙ + cs = 0 .

(3.16)

Diese Gleichung enth¨alt bis auf die noch zu spezifizierenden Anfangsbedingungen die Mechanik des Problems. Die folgenden Ausf¨ uhrungen sind im Wesentlichen mathematischer Natur. ampften Mit der Abklingkonstante δ und der Eigenkreisfrequenz ω0 des unged¨ Schwingers gem¨aß c b (3.17) = 2δ , = ω02 m m entsteht aus (3.16) s¨ + 2δ s˙ + ω02 s = 0 .

(3.18)

ur die lineare homogene Differenzialgleichung Der L¨osungsansatz s = eλt f¨ (3.18) ergibt eλt (λ2 + 2δλ + ω02 ) = 0 . Wegen eλt = 0 ist der Klammerausdruck null zu setzen. Die Wurzeln der dadurch bestimmten charakteristischen Gleichung lauten  λ1,2 = −δ ± δ 2 − ω02 oder nach Einf¨ uhrung des LEHRschen D¨ampfungsmaßes D = δ/ω0 λ1,2 = −Dω0 ± ω0


D2 − 1 .

(3.19)

116

3. Schwingungen von Systemen mit dem Freiheitsgrad 1

Damit ist die L¨ osung von (3.18)   √ √ 2 2 s = K1 eλ1 t + K2 eλ2 t = e−Dω0 t K1 eω0 D −1t + K2 e−ω0 D −1t .

(3.20)

In (3.20) wurden zwei Integrationskonstanten K1 , K2 gem¨aß der zweiten Ordnung der Differenzialgleichung (3.18) eingef¨ uhrt. In Abh¨angigkeit von den Systemparametern werden drei L¨ osungstypen in (3.20) unterschieden: D > 1 − starke D¨ ampfung (keine Schwingung) , D = 1 − aperiodischer Grenzfall (keine Schwingung) , D < 1 − schwache D¨ ampfung (Schwingung) . Im letzten Fall sind die Quadratwurzeln aus (3.20) mit i =

D2 − 1 = i 1 − D2

√

−1 als

und die Exponentialfunktionen in (3.20) mittels der EULERschen Formel f¨ ur komplexe Zahlen eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ

(3.21)

u ¨ber die Definition der Eigenkreisfrequenz des ged¨ampften Schwingers
(3.22) ω = ω0 1 − D 2 als K1 eiωt + K2 e−iωt = (K1 + K2 ) cos ωt + i(K1 − K2 ) sin ωt = C1 cos ωt + C2 sin ωt zu schreiben. Die L¨ osungsfunktion hat deshalb die Form s(t) = e−Dω0 t (C1 cos ωt + C2 sin ωt) .

(3.23)

Ihre Zeitableitung ist s(t) ˙ = −Dω0 e−Dω0 t (C1 cos ωt+C2 sin ωt)+ωe−Dω0 t (−C1 sin ωt+C2 cos ωt) . F¨ ur gegebene Anfangsverschiebung s0 und -geschwindigkeit v0 folgen s(0) = s0 = C1 ,

und s(0) ˙ = v0 = −Dω0 C1 + ωC2 ,

C2 =

1 (v0 + Dω0 s0 ) . ω

3.2

Freie Schwingungen

117

Die spezielle L¨ osung lautet damit in der zu (3.4) a¨hnlichen Form 1 s(t) = e−Dω0 t [s0 cos ωt+ (v0 +Dω0 s0 ) sin ωt] = e−Dω0 t A cos(ωt−α) ω

(3.24)

mit der Zeitableitung s(t) ˙ = Ae−Dω0 t [−Dω0 cos(ωt − α) − ω sin(ωt − α)] .

(3.25)

In (3.25) ist zu sehen, dass f¨ ur die Schwingungsdauer der ged¨ampften Schwingung 2π (3.26) T = ω ˙ 2 ) = s(t ˙ 1 + T ) = 0 folgt, d.h. die Ausschlagsextrema aus s(t ˙ 1 ) = 0 auch s(t der ged¨ ampften Eigenschwingung liegen um die Schwingungsdauer T auseinander (Bild 3.10) und etwas vor dem Ber¨ uhrungspunkt mit der gestrichelt dargestellten Einh¨ ullenden. s(t) -Dw0t

e

s1

s2 t1

t2

t

T -Dw0t

-e

Bild 3.10. Ausschwingkurve der ged¨ ampften Eigenschwingung

Aus der m¨oglicherweise experimentell gewonnenen Ausschwingkurve nach Bild 3.10 l¨asst sich das Amplitudenverh¨ altnis e−Dωo t1 s(t1 ) s(t1 ) = −Dω (t +T ) = eDω0 T = 0 1 s(t1 + T ) s(t2 ) e bestimmen und das so genannte logarithmische Dekrement ln

2πD s(t1 ) =Λ = Dω0 T = √ s(t2 ) 1 − D2

(3.27)

berechnen, aus dem das D¨ ampfungsmaß Λ D= √ 2 4π + Λ2 folgt.

(3.28)

118

3. Schwingungen von Systemen mit dem Freiheitsgrad 1

In der Realit¨ at liegt immer eine wenigstens geringe D¨ampfung vor. Wie Bild 3.10 zeigt, klingen deshalb freie Schwingungen ab. Der K¨orper kommt nach einer endlichen Zeit praktisch zur Ruhe. Soll er dauerhaft schwingen, so muss ihm von außen Energie zugef¨ uhrt werden, d.h. er wird durch eine Erregung zur Schwingung gezwungen.

3.3

3.3 Erzwungene Schwingungen Wir betrachten zun¨ achst den einfacheren Fall ohne D¨ampfung. 3.3.1 Unged¨ ampfte erzwungene Schwingungen

Ein schwingungsf¨ ahiges System kann auf unterschiedliche Arten erregt werden. Hier wird die Erregung am Beispiel einer Kraft diskutiert. Bild 3.11 zeigt einen Translationsschwinger unter dem Einfluss einer Erregerkraft F = F0 sin Ωt . Die Amplitude F0 der Kraft und die Erregerkreisfrequenz Ω seien bekannt. c m

F

msÄ

cs

F

s Bild 3.11. Translationsschwinger mit Erregerkraft

Die Anwendung der Impulsbilanz (2.81a) auf die Freischnittskizze ergibt die Differenzialgleichung ←:

m¨ s + cs − F = 0

bzw. mit der Definition der statischen Auslenkung sF = F0 /c und der Eigenkreisfrequenz ω aus ω 2 = c/m s¨ + ω 2 s = ω 2 sF sin Ωt .

(3.29)

Die allgemeine L¨ osung von (3.29) besteht aus einem homogenen Anteil sh und einem partikul¨ aren Anteil sp s = sh + sp ,

(3.30)

sh = C sin(ωt − ϕ) sF sp = 2 sin Ωt . 1− Ω ω2

(3.31a) (3.31b)

3.3

Erzwungene Schwingungen

119

F¨ ur die Bestimmung der Integrationskonstanten C, ϕ m¨ ussen zwei Anfangsbedingungen festgelegt werden. In der Realit¨ at klingt die homogene L¨osung wegen der immer vorhandenen D¨ ampfung ab. Es verbleibt die partikul¨are L¨ osung mit der so genannten Vergr¨ oßerungsfunktion V =

1 2 , 1− Ω ω2

(3.32)

¨ die die kinetische Uberh¨ ohung des Verschiebungsausschlages gegen¨ uber dem statischen Ausschlag angibt. Der qualitative Verlauf von |V | u ¨ber dem so genannten Abstimmungs- oder Frequenzverh¨ altnis Ω/ω ist in Bild 3.12 dargestellt. V

2

1

1

2

/!

Bild 3.12. Vergr¨ oßerungsfunktionsbetrag einer unged¨ ampften, krafterregten Schwingung

Neben den Werten 1 und 0 f¨ ur die Abstimmungsverh¨altnisse Ω/ω = 0 und Ω/ω → ∞ ist die Unendlichkeitsstelle bei Ω/ω = 1 zu erkennen, wo die partikul¨are L¨ osung (3.31b) versagt. In diesem so genannten Resonanzfall ist nach den Regeln zur L¨ osung gew¨ohnlicher Differenzialgleichungen ein Ansatz f¨ ur die partikul¨ are L¨ osung in der Form sp = Kt cos Ωt = Kt cos ωt

(3.33)

zu benutzen und die Konstante K durch Einsetzen von (3.33) in (3.29) zu bestimmen. Wir stellen hier nur fest, dass die Funktion (3.33) mit der Zeit unbegrenzt anw¨ achst, ein Effekt, der meist vermieden werden soll. Es sei noch vermerkt, dass die obigen Betrachtungen auch f¨ ur unged¨ampfte erzwungene Torsionsschwingungen gelten. 3.3.2 Ged¨ ampfte erzwungene Schwingungen

Wir untersuchen jetzt am Beispiel eines ged¨ampften Translationsschwingers die Wirkung unterschiedlicher Erregungen. Bild 3.13 zeigt einen K¨orper der Masse m, der reibungsfrei horizontal gef¨ uhrt wird und u ¨ber eine Feder der

120

3. Schwingungen von Systemen mit dem Freiheitsgrad 1

Konstante c und einen D¨ ampfer der Konstante b mit der vertikalen Wand verbunden ist. s c a)

F (t)

m

bs_

cs

msÄ

F

b

u (t)

s c b (s_ -u_ )

m

b)

msÄ

c (s-u)

b

s

m

2

sin t)

t r

c m

c)

m (sÄ-r

msÄ B

bs_

cs

t

B

b Bild 3.13. Schwingungssysteme mit unterschiedlichen Erregungen

In den F¨ allen a) und c) steht die Wand fest im Raum. Die Wand der Anordnung b) vollf¨ uhrt eine Horizontalverschiebung u(t) = u0 sin Ωt mit der ¨ wie in Bild 3.11 ungegebenen Amplitude u0 und Kreisfrequenz Ω. Ahnlich terliegt der K¨ orper von Bild 3.13a einer eingepr¨ agten Kraft F (t) = F0 sin Ωt orperfesten mit bekannten Konstanten F0 , Ω. Im Fall c) rotiert um die im k¨ Punkt B befestigte Achse ein weiterer K¨ orper, der im Sinne des Beispiels 3.2 als Punktmasse m im Abstand r von B idealisiert ist. Bild 3.13 enth¨ alt zu jedem Modell eine Freischnittskizze, in die die raumfeste Koordinate s, die Feder-, D¨ ampfer- und Tr¨ agheitskr¨ afte sowie die eingepr¨ agte Kraft F eingetragen wurden. Im Bild 3.13b ist die Koordinatendifferenz f¨ ur die Berechnung von Feder- und D¨ ampferkraft zu beachten. Von der Tr¨ agheitskraft der konzentrierten Masse des Schwingers c) wird nur die horizontale Komponente ben¨ otigt. In sie gehen die Beschleunigung s¨ der Masse m und wegen Ω=konst. des weiteren nur die Horizontalkomponente der Radialbeschleunigung der konzentrierten Masse nach (1.34) ein. Die nicht n¨ aher

3.3

Erzwungene Schwingungen

121

bezeichneten F¨ uhrungsreaktionen sorgen f¨ ur das Gleichgewicht mit der vertikalen Komponente. Die Anwendung der Impulsbilanz (2.81a) auf die Freischnittskizzen liefert a)

← : m¨ s + bs˙ + cs − F = 0

bzw. m¨ s + bs˙ + cs = F0 sin Ωt , b)

(3.34)

← : m¨ s+b(s− ˙ u)+c(s−u) ˙ =0

bzw. mit der Relativverschiebung sr = s − u und u = u0 sin Ωt u = mu0 Ω2 sin Ωt , m¨ sr + bs˙ r + csr = −m¨ c)

s +bs+cs ˙ = mrΩ2 sin Ωt . (m+m)¨

(3.35) (3.36)

Die mathematische Beschreibung aller drei Modelle m¨ undet in den gleichen Typ einer gew¨ ohnlichen linearen harmonisch gest¨orten Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Man spricht von a) Kraft-, b) Weg- und c) Unwuchterregung. Die allgemeine L¨ osung dieser Differenzialgleichung ergibt sich wie im Fall (3.29) als Summe eines homogenen und eines partikul¨aren Anteils s = sh + sp .

(3.37)

Die homogene L¨ osung ist bis auf die Bezeichnung der Masse in (3.36) identisch zu (3.23) bzw. bei Ber¨ ucksichtigung von Anfangsbedingungen zu (3.24). Sie klingt mit der Zeit ab. Wir untersuchen nur die partikul¨are (auch station¨are) L¨ osung und beschr¨ anken uns auf den Fall a). Mit den Abk¨ urzungen (3.17) und sF = F0 /c wird (3.34) zu s¨ + 2δ s˙ + ω02 s = ω02 sF sin Ωt .

(3.38)

Der die Erregerfunktion und den D¨ ampferterm 2δ s˙ ber¨ ucksichtigende L¨osungsansatz sp = B sin(Ωt − β)

(3.39)

mit den Freiwerten f¨ ur die Amplitude B und dem Phasenwinkel β zwischen Erregung und Ausschlag liefert in (3.38) unter Ausnutzung des Additions-

122

3. Schwingungen von Systemen mit dem Freiheitsgrad 1

theorems sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y die Gleichung (Bω02 cos β + 2BδΩ sin β − BΩ2 cos β − ω02 sF ) sin Ωt+ B(−ω02 sin β + 2δΩ cos β + Ω2 sin β) cos Ωt = 0 ,

(3.40)

welche f¨ ur beliebige Ωt nur erf¨ ullbar ist, wenn die beiden Klammerausdr¨ ucke getrennt verschwinden. Nullsetzen des zweiten Klammerausdruckes ergibt unter Beachtung von (3.17), der Definition des Frequenzverh¨altnisses η=

Ω , ω0

und des LEHRschen D¨ ampfungsmaßes (3.19) den Phasenwinkel β = arctan

2Dη . 1 − η2

(3.41)

Division des null gesetzten ersten Klammerausdruckes aus (3.40) durch cos β uhrt auf die gegen¨ uber und Ber¨ ucksichtigung von cos β = (1 + tan2 β)−1/2 f¨ (3.32) ge¨ anderte Vergr¨ oßerungsfunktion 1 B . =
2 sF (1 − η )2 + 4D2 η 2

Va =

(3.42)

Die grafische Darstellung der Funktionen (3.42), (3.41) vermittelt das Bild 3.14. Va

D=0

¯

2

D=0 D = 0,3

¼

D=1

D = 0,3 1

D=1

a)

1

2

´

¼ 2

b)

1

2

´

Bild 3.14. Vergr¨ oßerungsfunktion a) und Phasenwinkel b)

Extremwerte von Va in η ergeben sich aus der notwendigen Bedingung

 d (1 − η 2 )2 + 4D2 η 2 = 0 dη

3.3

Erzwungene Schwingungen

f¨ ur η = 0 und η =

123

√ 1 − 2D2 mit D2 ≤ 0, 5. Sie betragen Vae = 1

bzw.

Vae =

1 √ 2D 1 − D2

(3.43)

und geh¨ oren zu Abstimmungsverh¨ altnissen der unged¨ampften Schwingung η = Ω/ω0 ≤ 1, liegen also i.Allg. nicht bei dem Resonanzfrequenzverh¨altnis. Der in η gemessene Abstand ist aber gering. Beispiel 3.3 F¨ ur den unwuchterregten Schwinger nach Bild 3.13c ist die auf die Wand wirkende station¨ are Kraftamplitude zu bestimmen. Alle Parameter von (3.36) seien bekannt. L¨ osung: Die Wandkraft FW ergibt sich aus der Summe von D¨ampfer- und Federkraft (Parallelschaltung). FW = bs˙ + cs . Die Gleichung (3.34) geht in (3.36) u ¨ber, wenn in (3.34) folgende Ersetzungen stattfinden: mrΩ2 F0 , → m+m m

b b , → m+m m

c c . → m+m m

In (3.38) gilt dann wegen (3.17) 2δ =

b , m+m

ω02 =

c , m+m

ω02 sF =

mrΩ2 , m+m

und dies muss in (3.19), (3.22) beachtet werden. Mit der L¨ osung (3.39) wird die Wandkraft   FW = B bΩ cos(Ωt − β) + c sin(Ωt − β) , die sich nach trigonometrischer Umformung der eckigen Klammer als FW = B




(bΩ)2 + c2 sin(γ + Ωt − β) = FˆW sin(γ + Ωt − β) ,

tan γ =

bΩ c

schreiben l¨asst. Die station¨ are Amplitude der Wandkraft folgt damit f¨ ur B aus (3.42) B = sF Va =

η2 mr
, m + m (1 − η 2 )2 + 4D2 η 2

η=

Ω , ω0

(2Dη)2 =

bΩ c

124

3. Schwingungen von Systemen mit dem Freiheitsgrad 1

zu FˆW = B




η 2 1 + 4D2 η 2 mrc 2 2 2 2 . ·
(bΩ) + c = Bc 1 + 4D η = m+m (1 − η 2 )2 + 4D2 η 2


Es sei noch erw¨ ahnt, dass beliebige periodische Erregerfunktionen in FOURIERreihen (FOURIER, 1768-1830) zerlegt und deshalb partikul¨are L¨osungen in Form von FOURIERreihen gewonnen werden k¨onnen.

Kapitel 4 Schwingungen von Systemen mit dem Freiheitsgrad 2

4

4 4.1 4.2

4

Schwingungen von Systemen mit dem Freiheitsgrad 2 Unged¨ampfte freie Schwingungen ............................ 127 Unged¨ampfte erzwungene Schwingungen ................... 129

4.1

Unged¨ ampfte freie Schwingungen

127

4 Schwingungen von Systemen mit dem Freiheitsgrad 2 Wird der Freiheitsgrad von sechs Bewegungsm¨ oglichkeiten eines starren K¨orpers im Raum durch kinematische Bindungen auf zwei reduziert und der K¨ orper in den verbleibenden Bewegungsrichtungen mit Federn und D¨ampfern ausgestattet, so entsteht ein schwingungsf¨ ahiges System mit dem Freiheitsgrad 2. Ein anderes Beispiel hierf¨ ur kann aus zwei kinematisch verbundenen K¨ orpern konstruiert werden, von denen jeder nur den Freiheitsgrad 1 besitzt. Die Erweiterung auf beliebig viele K¨ orper ist evident. Wie die Bewegungsgleichungen aufzustellen sind, wurde grunds¨ atzlich in Abschnitt 2.3.8 erkl¨art und am Beispiel eines Systems mit dem Freiheitsgrad 2 demonstriert. Wir greifen auf dieses Beispiel zur¨ uck und untersuchen die Schwingungen des Systems unter vereinfachenden Annahmen.

4.1

4.1 Unged¨ ampfte freie Schwingungen Im Folgenden werden in (2.105), (2.106) die N¨ aherungen |ϕ| 1 ,

sin ϕ ≈ ϕ ,

cos ϕ ≈ 1 ,

¨ |ϕ˙ 2 ϕ| |ϕ|

(4.1)

vorausgesetzt und die Bezeichnungen JS + m2 s2 = J ,

m1 + m2 = m ,

y1 = q 1 ,

ϕ = q2

(4.2)

eingef¨ uhrt. Dann lauten die Gleichungen (2.105), (2.106) q1 + b2 q˙2 + m2 gsq2 = M , J q¨2 + m2 s¨

(4.3)

q2 + m¨ q1 + b1 q˙1 + cq1 = F . m2 s¨

(4.4)

In ihnen vermitteln m2 und s eine Kopplung zwischen den verallgemeinerur s = 0 oder m2 = 0 verbleibt mit (4.4) eine ten Koordinaten q1 , q2 . F¨ Schwingungsdifferenzialgleichung bekannten Typs. Freie unged¨ ampfte Schwingungen gehen einher mit b1,2 = 0 ,

M =0,

F =0.

(4.5)

Die L¨ osung von (4.3), (4.4) unter der Voraussetzung (4.5) wird mittels des komplexen Ansatzes √ (4.6) qk = qˆk eiωt , i = −1 , k = 1, 2

128

4. Schwingungen von Systemen mit dem Freiheitsgrad 2

gesucht. Er liefert das homogene lineare Gleichungssystem q1 (c − mω 2 )ˆ

−m2 sω 2 qˆ2 = 0

(4.7a)

2

(4.7b)

2

q2 = 0 −m2 sω qˆ1 + (m2 gs − Jω )ˆ oder in Matrixschreibweise [k][ˆ q ] = [0] ,

[k] = [k]T

(4.8)

mit der symmetrischen Koeffzientenmatrix [k] und dem Spaltenvektor [ˆ q ] der Amplituden der qk . ur ein Eine m¨ ogliche Entkopplungsvoraussetzung m2 = 0 ergibt in (4.7a) f¨ nichtriviales qˆ1 = 0 die Eigenkreisfrequenz  c . ω1 = m1 F¨ ur die zweite Entkopplungsvoraussetzung s = 0 folgt aus (4.7a)  c . ω1 = m In beiden F¨ allen findet nur eine Translationsschwingung statt. Wird die Federkonstante c gegen¨ uber dimensionsgleichen Kombinationen der restlichen Systemparameter in (4.4) unendlich gesteigert, so verbleibt die Eigenkreisfrequenz  m2 gs ω2 = J des Pendels. F¨ ur die Existenz einer gekoppelten L¨ osung ist das Verschwinden der Koeffizientendeterminante |[k]| = 0

(4.9)

notwendig. Dies ergibt mit den Abk¨ urzungen 2a =

mm2 gs + cJ , mJS + m1 m2 s2

b=

cm2 gs mJS + m1 m2 s2

(4.10)

die biquadratische Gleichung (ω 2 )2 − 2aω 2 + b = 0 .

(4.11)

Die Wurzeln von (4.11) sind 2 =a∓ ω1,2




a2 − b .

(4.12)

4.2

Unged¨ ampfte erzwungene Schwingungen

129

In (4.12) ist a2 − b =

mJS + m1 m2 s2 4 cm2 gs (mm2 gs + cJ)2 · · − mJS + m1 m2 s2 mJS + m1 m2 s2 4 4(mJS + m1 m2 s2 )2

und der Z¨ ahler der Differenz (mm2 gs + cJ)2 − 4cm2 gs(mJ − m22 s2 ) = (mm2 gs − cJ)2 + 4mm2 gscJ − 4cm2 gs(mJ − m22 s2 ) = (mm2 gs − cJ)2 + 4cm32 gs3 > 0 . 2 reell und positiv. Folglich sind die Wurzeln ω1,2 Durch Einsetzen von (4.12), (4.10) in (4.7) ergeben sich die Amplitudenverh¨ altnisse 2

c − mω1,2 = Q1,2 , q1 1,2 = qˆ2 /ˆ 2 m2 sω1,2

Q = qˆ2 /ˆ q1 ,

(4.13)

welche den beiden Schwingformen oder Eigenmoden entsprechen. Die allgemeine L¨ osung (4.6) wird unter Beachtung von (4.13) zun¨achst in der Form ¯1 e−iω1 t + qˆ2 eiω2 t + qˆ¯2 e−iω2 t q1 = qˆ1 eiω1 t + qˆ iω1 t



q2 = Q1 qˆ1 e + qˆ ¯1 e−iω1 t + Q2 qˆ2 eiω2 t + qˆ¯2 e−iω2 t

geschrieben, die mittels der EULERschen Formel f¨ ur komplexe Zahlen und ˆ Ersatz der vier Integrationskonstanten qˆ1,2 , q¯1,2 durch die anderen m¨oglichen Konstanten C1 , ..., C4 als q1 = C1 cos ω1 t + C2 sin ω1 t + C3 cos ω2 t + C4 sin ω2 t ,



q2 = Q1 C1 cos ω1 t + C2 sin ω1 t + Q2 C3 cos ω2 t + C4 sin ω2 t darstellbar ist. Zur Festlegung der vier Integrationskonstanten sind vier Anfangsbedingungen f¨ ur die Gr¨ oßen q1 , q˙1 , q2 , q˙2 anzugeben. Wegen der in der Realit¨ at immer vorhandenen D¨ampfung klingen die freien Schwingungen mit der Zeit ab.

4.2

4.2 Unged¨ ampfte erzwungene Schwingungen Wir betrachten nur unged¨ ampfte Schwingungen infolge einer Krafterregung F = F0 sin Ωt bekannter Amplitude F0 und Erregerkreisfrequenz Ω. Aus (4.3), (4.4) entsteht q1 + m2 gsq2 = 0 , J q¨2 + m2 s¨

(4.14)

130

4. Schwingungen von Systemen mit dem Freiheitsgrad 2

m2 s¨ q2 + m¨ q1 + cq1 = F0 sin Ωt .

(4.15)

Von der zun¨ achst allgemeinen L¨ osung qk = qhk + qpk ,

(4.16)

die mit qhk das homogene Differenzialgleichungssystem von (4.14), (4.15) erf¨ ullt und mit qpk das inhomogene, wird nur der inhomogene Fall diskutiert. Wir suchen die L¨ osung mittels des Ansatzes qk = q˜k sin Ωt ,

k = 1, 2

(4.17)

und gewinnen aus (4.14), (4.15)  

c − mΩ2 q˜1 − m2 sΩ2 q˜2 sin Ωt = F0 sin Ωt , 

 − m2 sΩ2 q˜1 + m2 gs − JΩ2 q˜2 sin Ωt = 0 .

(4.18a) (4.18b)

Die L¨ osung des verbleibenden algebraischen Gleichungssystems liefert die Schwingungsamplituden q˜1 =

F0 (m2 gs − JΩ2 ) , N (Ω2 )

q˜2 =

F0 m2 sΩ2 , N (Ω2 )

(4.19)

wobei der Nenner N (Ω2 ) nach dem Fundamentalsatz der Algebra in Ab2 gem¨ aß (4.12) auf die Form h¨ angigkeit von seinen Nullstellen ω1,2 N = (mJS + m1 m2 s2 )(Ω2 − ω12 )(Ω2 − ω22 ) gebracht wurde. Der qualitative Verlauf der Amplituden q˜1 , q˜2 u ¨ber der Erregerkreisfrequenz ist in den Bildern 4.1a,b dargestellt. q~1

q~2

!1

a)

t

!2

!1

!2

b)

Bild 4.1. Abh¨ angigkeit der Amplituden von der Erregerkreisfrequenz

4.2

Unged¨ ampfte erzwungene Schwingungen

131

Beide Bilder zeigen auch die Asymptoten der Amplituden an den Nullstellen des Nenners N (Ω2 ) aus (4.19). In diesen Nullstellen gleicht die Erregerfrequenz einer Eigenfrequenz, so dass Resonanz herrscht. Dann versagt die L¨ osung (4.19) ¨ ahnlich wie (3.32) im Fall des Freiheitgrades 1. Erw¨ahnt sei noch, dass der Z¨ ahler von q˜1 bei der speziellen Erregerkreisfrequenz m2 gs (4.20) Ω2t = J verschwindet. Dies entspricht einer so genannten Tilgeranordnung, bei der der Ausschlag q˜1 vermieden wird.

Kapitel 5 Stoßvorg¨ ange

5

5 5.1 5.2 5.3

5

Stoßvorg¨ ange Gerader zentrischer Stoß ....................................... 136 Gerader exzentrischer Stoß..................................... 142 Schiefer zentrischer Stoß ....................................... 146

5. Stoßvorg¨ ange

135

5 Stoßvorg¨ ange In Erg¨ anzung zu den bisherigen Anwendungen der Impulsbilanzen auf die Bewegung starrer K¨ orper und Systeme von starren K¨orpern werden jetzt Vorg¨ ange studiert, bei denen zwei getrennte K¨ orper mit unterschiedlichen Geschwindigkeitszust¨ anden zeitweise in Kontakt kommen und dabei u ¨ber Schnittreaktionen miteinander wechselwirken. Die w¨ahrend des Kontaktes ablaufenden sehr komplexen Vorg¨ ange, pauschal mit dem Begriff Stoß“ be” zeichnet, werden einer stark vereinfachenden Theorie unterworfen. Obwohl sich die K¨orper w¨ ahrend der Kontaktwechselwirkung verformen, wird ¨ nur die Anderung ihres Geschwindigkeitszustandes ber¨ ucksichtigt, nicht aber ¨ ¨ die Anderung ihres Verschiebungszustandes. Die Anderung des Geschwindig¨ keitszustandes bedingt i.Allg. eine Anderung der Impulse und Drehimpulse der K¨ orper. Die mit hinreichend großen Impuls¨anderungen verkn¨ upften Schnittreaktionen sind wegen ihrer geringen Wirkungszeit w¨ahrend des Stoßes als sehr groß im Vergleich zu den eingepr¨ agten Lasten anzunehmen, so dass letztere w¨ ahrend des Stoßes unber¨ ucksichtigt bleiben. Einschr¨ ankend wird weiterhin vorausgesetzt, dass die K¨orper Bewegungen in einer Ebene ausf¨ uhren. Bild 5.1 zeigt zwei K¨orper in dieser Ebene beim Kontakt. !1 !2

vS1 S1

vS2 B

S2 N

S1

FN FT

FT FN

S2

T Bild 5.1. Stoßgeometrie

ar, uhrungspunkt B wenigstens eine regul¨ orperkonturen sei im Ber¨ Von den K¨ d.h. ohne Ecke. Dann existieren in B eine Tangente T einer der beiden Konturen und eine Normale N . Letztere wird als Stoßnormale bezeichnet. Geht orperschwerpunkte S1 , S2 so handelt es sich um einen zensie durch beide K¨ trischen Stoß, anderenfalls um einen exzentrischen Stoß. Symmetrische An¨ achenhaftem Kontakt lassen sich in die obigen Uberlegungen ordnungen mit fl¨ mit aufnehmen, jedoch nicht Punktmassensysteme. orper unmittelbar vor dem Stoß werde Der Geschwindigkeitszustand der K¨ durch ihre Schwerpunktgeschwindigkeiten vS1 , vS2 und Winkelgeschwindigkeiten ω1 , ω2 beschrieben. Ergeben sich hieraus gleiche Tangentialgeschwinur digkeiten vT 1 = vT 2 bei B, so sprechen wir von einem geraden Stoß. F¨ vT 1 = vT 2 liegt ein schiefer Stoß vor. Weitere Idealisierungen betreffen die

136

5. Stoßvorg¨ange

Kontaktbedingungen. Bei ideal glatter, d.h. reibungsfreier, Ber¨ uhrungsfl¨ache verschwindet die Tangentialkraft. Verursacht eine hinreichend raue Ber¨ uhrungsfl¨ ache sofortiges Haften der beiden K¨ orper, so ist die tangentiale Relativgeschwindigkeit w¨ ahrend des Stoßes im Ber¨ uhrungspunkt null, und es entsteht eine tangentiale Reaktionskraft, die in ihrem Maximalwert begrenzt ist. Denkbar sind auch Situationen, bei denen durch Blockierung eines rotierenden K¨ orpers auf einer linienf¨ ormigen Achse als Reaktion ein Einzelmoment auftritt. Ein solches wird hier gem¨ aß Bild 5.1 ausgeschlossen. In der Realit¨ at tritt im Kontakt regul¨ arer Fl¨achen w¨ahrend der Anpassung tangentialer Geschwindigkeiten vor dem Haften auch Gleitreibung auf, die kinetische Energie verbraucht. Der gesamte Stoßvorgang des schiefen Stoßes ist dann nicht elementar beschreibbar. Im Folgenden beschr¨anken wir uns ¨ deshalb auf den geraden Stoß und im Ubrigen auf nur absch¨atzende Untersuchungen des schiefen zentrischen Stoßes.

5.1

5.1 Gerader zentrischer Stoß Zwei homogene Kugeln der Massen m1 , m2 n¨ahern sich translatorisch (d.h. drehungsfrei) aneinander mit Geschwindigkeiten v1 > v2 , die parallel zur Geraden durch die Schwerpunkte orientiert sind (Bild 5.2). Die Tangente im Ber¨ uhrungspunkt B wurde wieder mit T bezeichnet. v1

v* 1

v2

v* 2

T S1

B1 B2

S2

B

m2

S1

S2 N

S1

B1 B2

S2

m1

F (t)

Bild 5.2. Gerader zentrischer Stoß

Alle Punkte eines K¨orpers haben bei Translation die gleiche Geschwindigkeit, uhren sich d.h. es gilt vSi = vBi = vi , i = 1, 2. In der Stoßphase t = 0...ts ber¨ die Punkte B1 und B2 in B. In dieser Zeit wechselwirken beide Kugeln u ¨ber die Normalkraft F (t). Das Zeitintegral der Impulsbilanz (2.50) f¨ ur jede Kugel

5.1

Gerader zentrischer Stoß

137 ∗

∗

liefert mit den Geschwindigkeiten v 1 , v 2 nach dem Stoß die Gleichungen ts

∗

(v 1 − v1 )m1 = − ts

∗

(v 2 − v2 )m2 =

F (t)dt = −S ,

(5.1a)

0

F (t)dt = S ,

(5.1b)

0

in denen das Integral als Stoß S bezeichnet wird im Unterschied zu dem schon benutzten Wort Stoß f¨ ur den gesamten Vorgang. Das Gleichungssystem (5.1) ∗ ∗ enth¨ alt die drei Unbekannten v 1 , v 2 , S. Die beiderseitige Summe in (5.1) ergibt zun¨ achst ∗

∗

(v 1 − v1 )m1 + (v 2 − v2 )m2 = 0 ,

(5.2)

d.h. die Impulserhaltung f¨ ur nur innere Kraftwirkung, a¨quivalent zu (2.52). Nach dem Stoß entfernen sich i.Allg. die Kugeln wieder voneinander, wobei ∗ ∗ ∗ jetzt v Si = v Bi = v i gilt. ur die BestimMit bekannten Geschwindigkeiten v1 , v2 vor dem Stoß wird f¨ mung der Geschwindigkeiten nach dem Stoß zus¨atzlich zu (5.2) eine zweite Gleichung ben¨ otigt. Diese kann nicht die mechanische Energiebilanz sein, da w¨ ahrend der Verformungen der K¨ orper in der Stoßphase ein unbekannter Teil der kinetischen Energie in nichtmechanische Energie umgewandelt wird. Hier hilft die NEWTONsche Stoßhypothese weiter, nach der das Integral u ¨ber die ur die Belastung und Stoßkraft aus (5.1) gem¨ aß Bild 5.3 in einen Teil Ab f¨ ur die Entlastung zerlegt werden kann, so dass das einen restlichen Teil Ae f¨ Verh¨ altnis beider Teile eine bestimmbare Zahl k, die so genannte Stoßzahl k=

Ae , Ab

Ab

Ae

(5.3)

liefert. F (t)

b

e tm

ts t

Bild 5.3. Kontaktreaktionskraft w¨ ahrend des Stoßes

Die Stoßzahl h¨ angt haupts¨achlich von den Materialeigenschaften der beiden K¨ orper ab. Ein m¨oglicher Einfluss der kinematischen Bedingungen auf die Stoßzahl wird per Annahme ausgeschlossen.

138

5. Stoßvorg¨ange

In Bild 5.3 ist zu sehen, dass zur Festlegung der Fl¨achen Ab , Ae durch die Integrale tm ts Ae = F (t)dt Ab = F (t)dt , tm

0

unterschiedliche Funktionsverl¨ aufe F (t) dienen k¨onnen. Die Benutzung der in uber F (t) enthaltenen geringeren Inforden Zahlenangaben f¨ ur Ab , Ae gegen¨ mation wird die Ergebnisse der Theorie umso weniger beeinflussen, je kleiner uber sonstigen charakteristischen Zeiten der Bewegundie Stoßzeit ts gegen¨ gen ist, die mit dem Stoßvorgang verbunden sind. Da i.Allg. immer Ab = 0 gilt, f¨ uhren die kleinen Stoßzeiten auf Spitzenwerte von F (t), deren Betr¨age deutlich gr¨ oßer sein k¨ onnen als die Betr¨ age von Kr¨aften, die nicht durch den Stoß verursacht werden. Um eine Beziehung zwischen k und den Geschwindigkeiten der K¨orper vor und nach dem Stoß zu gewinnen, wenden wir die integrierte Impulsbilanz (2.50) jeweils getrennt auf die Belastungsphase b und die Entlastungsphase e an (s. Bild 5.3). Im Zeitpunkt tm , wo die Stoßkraft F (tm ) ein Maximum besitzt, ist auch die lokale Zusammendr¨ uckung jedes K¨orpers im Ber¨ uhrungspunkt B maximal und folglich station¨ar, so dass, quasistatisch gesehen, die Relativgeschwindigkeit der beiden Schwerpunkte verschwindet oder anders ausgedr¨ uckt, die Schwerpunkte die gleiche Geschwindigkeit vm besitzen. Die getrennte Anwendung der Bilanz (2.50) auf die beiden Stoßphasen jedes einzelnen K¨ orpers ergibt mit (5.3) tm (vm − v1 )m1 = −

F (t)dt = −Ab ,

ts

∗

(v 1 − vm )m1 = −

F (t)dt = −Ae ,

tm

0 ∗

Ae vm − v 1 =k , = Ab v1 − v m tm (vm − v2 )m2 =

F (t)dt = Ab ,

∗

(5.4) ts

(v 2 − vm )m2 =

F (t)dt = Ae , tm

0 ∗

Ae v 2 − vm =k . = Ab vm − v 2

(5.5)

Die Elimination von vm aus (5.4), (5.5) f¨ uhrt auf die Stoßzahl ∗

∗

v2 − v1 ≤1, k= v1 − v 2

(5.6)

5.1

Gerader zentrischer Stoß

139

wobei die Ungleichung durch die Erfahrung best¨atigt wird. Die beiden Gleichungen (5.2), (5.6) erlauben es, die Geschwindigkeiten nach dem Stoß zu berechnen.   1 ∗ m1 v1 + m2 v2 − km2 (v1 − v2 ) , (5.7a) v1 = m1 + m 2   1 ∗ m1 v1 + m2 v2 + km1 (v1 − v2 ) . (5.7b) v2 = m1 + m 2 Aus (5.7) ergeben sich zwei Sonderf¨ alle. Ein vollst¨ andig elastischer Stoß (kurz: elastischer Stoß) liegt vor, wenn k = 1 ist. Dann wird die vor dem Stoß vorhandene kinetische Energie der beteiligten K¨ orper w¨ ahrend der Stoßphase zeitweise als elastische Energie in den K¨orpern gespeichert und anschließend wieder in kinetische Energie gleicher Gr¨oße umgewandelt. Die Geschwindigkeiten nach dem Stoß sind unter dieser Voraussetzung m1 v1 + m2 (2v2 − v1 ) , m1 + m 2 m2 v2 + m1 (2v1 − v2 ) ∗ . v2 = m1 + m 2 ∗

v1 =

(5.8a) (5.8b)

Beim vollst¨ andig inelastischen Stoß (auch als plastischer Stoß bezeichnet) ist k = 0, und aus (5.7) ergibt sich eine gemeinsame Geschwindigkeit ∗

∗

∗

v = v1 = v2 =

m1 v 1 + m 2 v2 m1 + m 2

(5.9)

beider K¨ orper nach dem Stoß. Die Differenz ∆T der kinetischen Energien vor und nach dem Stoß ∗

∗

∗

∆T = T − T = T1 + T2 − T 1 − T 2 =

m2 2 ∗ 2 m1 2 ∗ 2 (v − v 2 ) (v1 − v 1 ) + 2 2 2

ist mit (5.7) ∆T =

1 − k 2 m 1 m2 (v1 − v2 )2 . 2 m1 + m 2

(5.10)

Sie wird im Wesentlichen irreversibel in W¨ arme umgewandelt ( dissipiert“). ” Dieser Verlust tritt beim elastischen Stoß nicht auf, da mit k = 1 in (5.10) ∆T = 0 ist. Beim plastischen Stoß k = 0 betr¨ agt er nach (5.10) ∆T =

1 m1 m2 (v1 − v2 )2 . 2 m 1 + m2

(5.11)

Der Verlust der kinetischen Energie (5.11) ist analog dem Verlust an kinetischer Energie beim Kupplungsvorgang der rotierenden Scheiben des Beispiels 2.12.

140

5. Stoßvorg¨ange

Ein weiterer Sonderfall entsteht f¨ ur sehr unterschiedliche Massen. So liefert m1 /m2 → 0 in (5.7b)  m1 1  m1 ∗ (v1 − v2 = v2 , (5.12) v1 + v 2 + k v2 = m1 m2 1 + m 2 m2 d.h. die Geschwindigkeit des K¨ orpers 2 wird durch den Stoß mit dem K¨orper 1 nicht beeinflusst. ∗ Ruht der K¨ orper 2, dann gilt mit v 2 = v2 = 0 in (5.6) ∗

v 1 = −kv1 .

(5.13)

∗

ur den plastischen F¨ ur den elastischen Stoß k = 1 folgt hieraus v 1 = −v1 und f¨ ∗ Stoß v 1 = 0. Diese Situation beschreibt den Fall einer homogenen Kugel der Masse m1 aus der Ruhelage bei h auf ein raumfestes Fundament (Bild 5.4). m1 h *

h Bild 5.4. Zur Bestimmung der R¨ ucksprungh¨ ohe

Die Auftreffgeschwindigkeit der Kugel entspricht der Geschwindigkeit v1 vor dem Stoß. Sie betr¨agt nach (2.41)
(5.14) v1 = 2gh . ∗

Das Fundament besitzt die Geschwindigkeit v2 = v 2 = 0, so dass sich f¨ ur die ∗ Geschwindigkeit v 1 der Kugel nach dem Stoß gem¨aß (5.13) der Wert  ∗

∗

v 1 = −kv1 = − 2g h

(5.15)

∗

uckspringt. Durch Messung der ergibt, mit der die Kugel auf die H¨ohe h zur¨ ∗

Fallh¨ohe h und der R¨ ucksprungh¨ohe h l¨asst sich aus (5.14), (5.15) die Stoßzahl zu  ∗  v∗  h  1 (5.16) k= = h v1 bestimmen. Beispiel 5.1 In einer symmetrischen Anordnung f¨allt ein Quader aus Knetmasse vom Ge-

5.1

Gerader zentrischer Stoß

141

wicht G ohne Anfangsgeschwindigkeit aus der H¨ohe h auf einen ruhenden metallischen Teller der Masse m (Bild 5.5).

g

G h m

s c

Bild 5.5. Symmetrische Stoßanordnung

Der Teller wird durch eine masselose Feder der Konstante c gest¨ utzt. Gesucht ist die maximale Zusammendr¨ uckung der Feder. Die Koordinate s der Verschiebung des Tellers z¨ahlt von der statischen Ruhelage des Tellers. L¨ osung: Der Quader besitzt die Masse m1 = G/g. Seine Geschwindigkeit unmittelbar √ vor dem Aufprall auf dem Teller betr¨agt v1 = 2gh. Nach dem Fall wird wegen der Verformungseigenschaften des Quaders ein plastischer Stoß mit k = 0 erwartet. Deshalb bewegen sich beide K¨orper nach dem Stoß mit der gemeinsamen Geschwindigkeit gem¨aß (5.9) √ m1 2gh m1 v 1 ∗ , = v= m1 + m m1 + m die nur von der Ausgangsgeschwindigkeit v1 des Quaders abh¨angt, da der Teller sich vor dem Stoß in Ruhe befand. In der mechanischen Energiebilanz (2.57) besteht die gesamte Energie des ∗ Niveaus s = 0 aus der mit v gebildeten kinetischen Energie beider K¨orper 2 ∗ T0 = (m1 + m)v /2 und der potenziellen Energie der Schwere beider K¨orper ur die maximale Federzusammendr¨ uckung sm . Auf dem U0 = (m1 + m)gsm f¨ Niveau der zusammengedr¨ uckten Feder liegt nur die potenzielle Energie der 2 /2 vor. Der Feder bez¨ uglich ihrer vorgespannten Situation UF = mgsm + csm Vergleich beider Gesamtenergien ergibt 1 2 1 ∗2 (m1 + m)v + (m1 + m)gsm = mgsm + csm . 2 2

142

5. Stoßvorg¨ange

Die maximale Federzusammendr¨ uckung ist damit   m g 2 2gm21 h m1 g 1 . + + sm = c(m1 + m) c c


5.2

5.2 Gerader exzentrischer Stoß Wir studieren das Problem am Beispiel des ballistischen Pendels. Ein homogener Stab der Masse m ist symmetrisch in dem gelenkigen Festlager A aufgeh¨ angt (Bild 5.6), wobei h a gilt. FAv

A

A FAh

m,JS

a

g

v* S

S S

S e

v1 F (t)

B m1

v* B

v* 1

B

* !

B

h Bild 5.6. Ballistisches Pendel

Die homogene Kugel der Masse m1 bewegt sich translatorisch mit der Geoßt normal auf die Staboberfl¨ ache bei B. Die Stoßschwindigkeit v1 und st¨ normale verfehlt den Schwerpunkt S des Pendels, w¨ ahrend beide Tangentialgeschwindigkeiten in B verschwinden. Es liegt also ein gerader exzentrischer ∗ Stoß vor. Zun¨achst wird die Winkelgeschwindigkeit ω des Pendels nach dem Stoß berechnet. Das Zeitintegral der Impulsbilanz (2.76) f¨ ur die Kugel (5.1a) ergibt mit der Freischnittskizze von Bild 5.6 →:

ts

∗

m 1 v 1 − m1 v 1 = −

F (t)dt .

(5.17)

0

Das Zeitintegral der Drehimpulsbilanz (2.88) f¨ ur das Pendel liefert


A:

∗

ts

JA ω = (a + e)

F (t)dt , 0

JA = JS + ma2 .

(5.18)

5.2

Gerader exzentrischer Stoß

143

Nach Multiplikation von (5.17) mit (a + e) und Addition zu (5.18) folgt ∗

∗

JA ω + (a + e)m1 (v 1 − v1 ) = 0 .

(5.19)

Die Stoßzahl (5.6) ist hier wegen vB = 0 ∗

k=

∗

vB − v1 . v1

(5.20)

Die Zwangsbedingung ∗

∗

v B = (a + e)ω

(5.21)

∗

gestattet die Elimination von v B aus (5.20) und die Aufl¨osung nach ∗

∗

ω=

(1 + k)(a + e)m1 v1 JA + (a + e)2 m1

v 1 = (a + e)ω − kv1 ,

(5.22)

so dass mit (5.19) ∗

(5.23)

entsteht. Bleibt die Kugel am Pendel haften, dann ist in (5.20) k = 0 (plastischer Stoß). Die mechanische Energiebilanz (2.57) zwischen kinetischer Energie der Anordnung unmittelbar nach dem Stoß und potenzieller Energie bei maximaler Auslenkung α ergibt noch f¨ ur den plastischen Stoß ∗2   1 JA + (a + e)2 m1 ω = ma + m1 (a + e) g(1 − cos α) , 2 so dass bei gemessenem Winkel α die Geschwindigkeit v1 der Kugel vor dem Stoß mit (5.23) aus v12 = 2

 JA + (a + e)2 m1  ma + m1 (a + e) g(1 − cos α) 2 2 (a + e) m1

(5.24)

bestimmt werden kann. In der Stoßzeit k¨ onnen relativ große Lagerreaktionen entstehen. Deshalb sind die Lagerreaktionsst¨ oße von Interesse und sollen berechnet werden. Die Freischnittskizze aus Bild 5.6 ergibt f¨ ur das Zeitintegral der vertikalen Impulsbilanz (2.76) des Pendels ts FAv (t)dt = 0 . ↑: 0

144

5. Stoßvorg¨ange

Da der Integrand das Vorzeichen nicht wechselt, ist FAv ≡ 0. Das Zeitintegral der horizontalen Impulsbilanz (2.76) des Pendels ts

∗

→ : mv S − m · 0 =

ts F (t)dt +

0

FAh (t)dt 0

kann zu (5.17) addiert werden, so dass ∗

∗

ts

m1 v 1 − m1 v1 + mv S =

FAh (t)dt 0

∗

∗

mit (5.22), (5.23) und v S = aω ts FAh (t)dt = (1 + k)m1 v1 0

a(a + e)m − JA JA + (a + e)2 m1

(5.25)

liefern. Eine weitergehende Bestimmung der horizontalen Stoßkraft FAh ist nicht m¨ oglich. Jedoch kann der Z¨ ahler von (5.25) und damit die Stoßkraft zum Verschwinden gebracht werden. Die Bedingung hierf¨ ur lautet a(a + e)m − JA = 0 bzw. e=

JA −a . ma

(5.26)

Der damit festgelegte Ort auf der durch die Punkte A und S laufenden Symmetrielinie des Pendels heißt Stoßzentrum oder Stoßmittelpunkt. Beispiel 5.2 Ein homogener Quader der Masse m gleitet mit der Geschwindigkeit v reibungsfrei auf einer horizontalen Unterlage und st¨oßt plastisch gegen eine mit der Unterlage festverbundenen Erhebung E. * !

a

g

m b

S

v

S

S E

Bild 5.7. Stoßender Quader

FE

E

5.2

Gerader exzentrischer Stoß

145

Die Querschnittsabmessungen der Erhebung sind sehr viel kleiner als die Quaderabmessungen. Gesucht ist die Gr¨ oße der Geschwindigkeit v, bei der der Quader umkippt. L¨ osung: Es wird eine Reaktionskraft der Erhebung normal zur Seitenwand des Quaders angenommen. Andere Lasten sind nicht zu ber¨ ucksichtigen. Die integrierte Drehimpulsbilanz (2.88) bez¨ uglich E lautet 

E:

b ∗ mv − JE ω = 0 2

bzw. ∗

ω=

mb v. 2JE

Der Quader kippt um, wenn die h¨ ochste Schwerpunktlage u ¨berschritten wird. Die Energiebilanz nach dem Stoß liefert hierf¨ ur m
1 ∗2 b JE ω + mg = g a2 + b2 . 2 2 2 Damit ergibt sich

 v=

4JE g
2 a + b2 − b . mb2

Das Massentr¨ agheitsmoment bez¨ uglich E ist nach dem STEINERschen Satz (2.89)  a2 b2  m, + JE = JS + 4 4 wobei JS nach (2.93), (2.94) aus Fl¨ achentr¨ agheitsmomenten mit der Massendichte pro Fl¨ acheneinheit m/(ab) als ba3  m 2 m  ab3 (a + b2 ) + = JS = 12 12 ab 12

zu berechnen ist, so dass sich m m m 2 (a + b2 ) + (a2 + b2 ) = (a2 + b2 ) JE = 3 4 12 ergibt. Damit wird die Kippgeschwindigkeit 

4(a2 + b2 )g
2 a + b2 − b . v= 3b2


146

5.3

5. Stoßvorg¨ange

5.3 Schiefer zentrischer Stoß Wir betrachten als Beispiel eine mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotierende homogene Kugel der Masse m, die aus der translatorischen Ruhelage bei h auf die horizontale Oberfl¨ ache eines Fundamentes sehr großer Masse M  m f¨ allt (Bild 5.8a) ! R

g

m

S R h

a)

*

B B

M

v*S

!*

FBh

y

FBv

x

b)

y c)

x

Bild 5.8. Stoß einer fallenden, rotierenden Kugel

Der Schwerpunkt des Fundamentes bleibt unbestimmt. Die Stoßnormale verl¨auft durch den Schwerpunkt der Kugel, d.h. der Stoß ist zentrisch. Wegen der Rotation der Kugel unterscheiden sich die Tangentialgeschwindigkeiten vor dem Stoß im Ber¨ uhrungspunkt B, so dass ein schiefer zentrischer Stoß entsteht. Wir treffen die nichtriviale Annahme, dass die w¨ahrend der Stoßzeit im Ber¨ uhrungspunkt auftretenden normalen und tangentialen Reaktionskr¨afte jeweils nur die ihrer Richtung zugeordneten Geschwindigkeitskomponenten beeinflussen, wir den Stoßvorgang also in zwei entkoppelten Teilen behandeln d¨ urfen. Die Stoßzahl sei f¨ ur die Normalenrichtung definiert und betrage kn ≤ 1 .

(5.27)

Wir untersuchen den Stoß f¨ ur die idealisierten Sonderf¨alle tangentialen Haftens und tangentialer Reibungsfreiheit. Die vertikale Schwerpunktgeschwindigkeit vSx der Kugel vor dem Stoß im raumfesten Koordinatensystem x, y gleicht der Vertikalgeschwindigkeit vBx eines Kugelpunktes unmittelbar vor der Ber¨ uhrung der horizontalen Ebene in B und betr¨agt
(5.28) vSx = vBx = 2gh . Nach dem Stoß gilt wegen (5.27) ∗

∗

v Sx = v Bx = −kn


2gh .

(5.29)

5.3

Schiefer zentrischer Stoß

147

Die u ur die ¨ber der Zeit integrierten Impulsbilanzen (2.70c), (2.66) ergeben f¨ Freischnittskizze (5.8b) 

ts

∗

JS (ω − ω) = −R

S :

FBh dt ,

(5.30)

FBh dt

(5.31)

0

ts

∗

m(v Sy − 0) =

→:

0

bzw. nach Multiplikation der letzteren Gleichung mit R und Addition zur ersten Gleichung ∗

∗

JS (ω − ω) + Rmv Sy = 0 .

(5.32)

Tangentiales Haften f¨ uhrt auf die Zwangsbedingung ∗

∗

∗

v By = v Sy − Rω = 0 .

(5.33)

Aus (5.32), (5.33) gewinnen wir ∗

ω=

JS ω , JS + mR2

∗

v Sy =

JS ωR . JS + mR2

(5.34)

Der Winkel des R¨ uckprallgeschwindigkeitsvektors des Kugelschwerpunktes (s. Bild 5.8c) bestimmt sich aus ∗

JS ωR v Sy ∗ √ . tan α = − ∗ = (JS + mR2 )kn 2gh v Sx ∗

(5.35)

Mit (5.34) ist noch ω < ω festzustellen, d.h. die Winkelgeschwindigkeit hat sich durch den Stoß verringert. Dies ist gleichbedeutend mit einer von kn unabh¨ angigen Abnahme der kinetischen Rotationsenergie, welche w¨ahrend der Stoßphase zum Teil in kinetische Energie der horizontalen Translation und in Dissipationsenergie der tangentialen Deformation der K¨orper von Bild 5.8 umgewandelt wurde. ¨ In den obigen Uberlegungen wurde außer Acht gelassen, dass die beiden K¨orper w¨ ahrend der Stoßphase vor Einsetzen des Haftens noch Gleitreibung unterliegen k¨ onnen. Wir verzichten auf eine weitere Untersuchung dieser un¨ ubersichtlichen Situation und verweisen nur darauf, dass pl¨otzlicher Formschluss einem vollst¨ andigen Haften nahekommt wie z.B. beim Fall eines rotierenden Zahnrades in eine horizontal liegende Zahnstange.

148

5. Stoßvorg¨ange

Wie angek¨ undigt, sei noch der reibungsfreie Kontakt besprochen. Wegen ∗ ∗ FBh = 0 in (5.30), (5.31) folgen sofort ω = ω und v Sy = 0. Beispiel 5.3 Eine homogene Kugel der Masse m st¨ oßt translatorisch mit der Geschwindigkeit vS unter dem Winkel α auf eine ebene raumfeste Wand (Bild 5.9). m S R a)

S

B1

v* S

vS vB1

B1 v*B1

*

!* S

b)

y B x Bild 5.9. Schiefer Stoß einer Kugel

Gesucht ist der Geschwindigkeitszustand der Kugel nach dem Stoß f¨ ur die Grenzf¨alle a) Reibungsfreiheit, elastischer Kontakt und b) Haften. L¨ osung: ∗ ∗ a) Wegen der Reibungsfreiheit ist v B1y = vB1y bzw. v Sy = vSy und wegen ∗ ∗ des elastischen Kontaktes v B1x = −vB1x bzw. v Sx = −vSx ∗

v Sx vSx ∗ = − ∗ = tan α . tan α = vSy v Sy ∗

Folglich gilt α = α, d.h. die Kugel prallt translatorisch mit der Anfangsgeschwindigkeit unter einem Winkel, der dem Auftreffwinkel gleicht, von der Wand ab. ∗ ∗ b) Haften f¨ uhrt auf v B1x = vB1x = 0, v B1y = vB1y = 0. Die zeitlich integrierte Drehimpulsbilanz bez¨ uglich B = B1 liefert 

B:

∗

RmvSy − JB ω = 0 ,

JB = JS + mR2

bzw. ∗

ω=

RmvS cos α , JB

5.3

Schiefer zentrischer Stoß

149 ∗

∗

woraus wegen der Zwangsbedingung v Sy = ωR ∗

v Sy =

R2 mvS cos α JB

folgt. Der R¨ uckprallwinkel ergibt sich aus ∗

v Sx ∗ tan α = − ∗ v Sy ∗

∗

∗

wegen v B1x = v Sx = 0 zu α = 0◦ , d.h. die Kugel rollt nach dem Stoß auf der Unterlage in y-Richtung weiter. Der vollst¨andig plastische Stoß der im Punkt B konzentrierten resultierenden Reaktionskraft, deren Wirkungslinie nicht durch den Schwerpunkt der stoßenden Kugel verl¨auft, verursacht die Drehbewegung.


Kapitel 6 LAGRANGEsche Gleichungen zweiter Art

6

6 6.1 6.2

6

LAGRANGEsche Gleichungen zweiter Art Beispiel eines alternativen Zugangs zur Bewegungsgleichung............................................................... 153 Ebene Bewegung von Mehrk¨orpersystemen................. 156

6.1

Beispiel eines alternativen Zugangs zur Bewegungsgleichung

153

6 LAGRANGEsche Gleichungen zweiter Art Wie in Kapitel 2 festgestellt wurde, bilden die beiden Impulsbilanzen (2.62), (2.63) die allgemeing¨ ultige Grundlage der Kinetik. Auf ihrer Basis ist prinzipiell jede Aufgabe der Kinetik l¨ osbar. Es gibt jedoch Problemstellungen, in denen nicht alle Informationen, die bei der Auswertung der Impulsbilanzen anfallen, ben¨ otigt werden. Diese betreffen Aufgaben mit Zwangsbedingungen, bei denen nur die Bewegungsgleichungen und nicht die Schnittreaktionen von Interesse sind. Ausgehend von den Grundgleichungen der Kinetik ist es deshalb g¨ unstig, anfallende Schnittreaktionen aus dem aufzustellenden kinetischen Gleichungssystem grunds¨ atzlich zu eliminieren. Die verbleibenden Bewegungsgleichungen werden zweckm¨ aßig in den verallgemeinerten Koordinaten (s. Abschnitt 1.3) ausgedr¨ uckt. Sie heißen dann LAGRANGEsche Gleichungen zweiter Art (LAGRANGE, 1736-1813). Die Vorgehensweise bietet besonders f¨ ur Mehrk¨orpersysteme Vorteile. Wir demonstrieren zun¨ achst die Gleichwertigkeit beider Methoden an einer einfachen Anordnung.

6.1

6.1 Beispiel eines alternativen Zugangs zur Bewegungsgleichung Wir betrachten das schon in Abschnitt 1.3 besprochene System, bestehend aus einem Schlitten und einem daran gelenkig befestigten homogenen Pendelstab. Der Stab besitze jetzt die Masse m und unterliege den gegebenen eingepr¨ agten Kr¨ aften F1 (t), F2 (t) (Bild 6.1). ´ (t)

´

G FGh

y

l 2

m

JS Ä x S

FGv

x

S

l 2

S

G

myÄS

yS F2(t)

ÄS mx

F1(t) Bild 6.1. Schlitten mit belastetem Pendelstab

F2(t)

B

F1(t)

154

6. LAGRANGEsche Gleichungen zweiter Art

Die F¨ uhrungsbewegung η(t) des Schlittens sei bekannt. Wie in Abschnitt 1.3 schon bemerkt, reicht erg¨ anzend dazu der Drehwinkel des Stabes zur Beschreibung der Stabbewegung aus. Wir suchen die Differenzialgleichung f¨ ur diesen Drehwinkel zun¨achst mittels direkter Auswertung der Impulsbilanzen. Hierf¨ ur enth¨alt die Freischnittskizze von Bild 6.1 neben den schon in Bild 1.16 eingef¨ uhrten raumfesten Koordinaten xS , yS , ϕ mit den Zwangsbedingungen l cos ϕ , 2 l x˙ S = − ϕ˙ sin ϕ , 2 l x ¨S = − (ϕ¨ sin ϕ + ϕ˙ 2 cos ϕ) , 2 xS =

l sin ϕ , 2 l y˙ S = η˙ + ϕ˙ cos ϕ , 2 l y¨S = η¨ + (ϕ¨ cos ϕ − ϕ˙ 2 sin ϕ) 2 yS = η +

(6.1) (6.2) (6.3)

die eingepr¨ agten Lasten F1 , F2 , die D’ALEMBERTschen Tr¨agheitslasten yS , JS ϕ¨ und die unben¨ otigten Gelenkreaktionen FGh , FGv . Die Imm¨ xS , m¨ pulsbilanz (2.81) und die Drehimpulsbilanz (2.82c) liefern →: ↑: 

S :

yS = 0 , F2 + FGh − m¨

(6.4)

xS = 0 , (6.5) − F1 + FGv + m¨ l l l l FGh cos ϕ + FGv sin ϕ + JS ϕ¨ − F2 cos ϕ + F1 sin ϕ = 0 . (6.6) 2 2 2 2

Einsetzen von FGh aus (6.4) und FGv aus (6.5) in (6.6) ergibt l l xS ) sin ϕ + JS ϕ¨ (m¨ yS − F2 ) cos ϕ + (F1 − m¨ 2 2 l l − F2 cos ϕ + F1 sin ϕ = 0 . 2 2

(6.7)

uhrt auf die gesuchte, in der Die Substitution von x¨S , y¨S aus (6.3) in (6.7) f¨ verallgemeinerten Koordinate ϕ ausgedr¨ uckte Bewegungsgleichung  l l2  η cos ϕ = 0 , ϕ¨ JS + m + lF1 sin ϕ − lF2 cos ϕ + m¨ 2 4

(6.8)

in der f¨ ur den homogenen Stab JS = ml2 /12 eingesetzt werden kann. Im vorliegenden Beispiel war nur ein Ende des Stabes durch unbekannte Reaktionskr¨ afte belastet. Hier ist es noch m¨ oglich, durch Aufstellung der Drehimpulsbilanz (2.82b) f¨ ur den beliebig bewegten Bezugspunkt im Gelenk die Gelenkreaktionen sofort außerhalb der Betrachtung zu lassen: 

G:

l l xS sin ϕ + JS ϕ¨ = 0 . yS cos ϕ − m¨ F1 l sin ϕ − F2 l cos ϕ + m¨ 2 2

Nach Elimination von x¨S und y¨S mittels (6.3) entsteht wieder (6.8).

6.1

Beispiel eines alternativen Zugangs zur Bewegungsgleichung

155

Es sind mehrgliedrige Systeme denkbar, bei denen z.B. ein Stab an beiden Enden durch unbekannte Gelenkkr¨ afte belastet ist. Da f¨ ur einen K¨orper aus den Impulsbilanzen in der Ebene nur drei Gleichungen zur Verf¨ ugung stehen, w¨are dann eine der unbekannten Kr¨ afte aus dem erweiterten Gleichungssystem unter Einbeziehung der benachbarten K¨ orper zu bestimmen. Der angek¨ undigte alternative Zugang zur Aufstellung der Bewegungsgleichung f¨ ur das vorliegende Beispiel geht von der kinetischen Energie (2.84) T =

1 m 2 (x˙ S + y˙ S2 ) + JS ϕ˙ 2 2 2

des Stabes aus, die sich mittels (6.2) als T =

2  1 l m l 2 2 2 + JS ϕ˙ 2 ϕ˙ sin ϕ + η˙ + ϕ˙ cos ϕ 2 2 2 4

(6.9)

schreiben l¨ asst. Außerdem wird unter Ber¨ ucksichtigung des Arbeitszuwachses (2.10) der eingepr¨ agten Kr¨ afte dW = F1 dxB + F2 dyB die Definition eines eingeschr¨ ankten Arbeitszuwachses δW = F1

∂yB ∂xB δϕ δϕ + F2 ∂ϕ ∂ϕ

(6.10)

bereitgestellt, in welchem der spezielle Winkelzuwachs δϕ aus dem allgemeinen Winkelzuwachs dϕ durch Festhalten der Zeit, d.h. t =konst. bzw. dt = 0, hervorgeht:  Def.  δϕ = dϕ . (6.11) t=konst.

Die Koordinaten des Angriffspunktes B der eingepr¨agten Kr¨afte F1 , F2 xB = l cos ϕ ,

yB = η + l sin ϕ

(6.12)

ergeben ∂xB = −l sin ϕ , ∂ϕ

∂yB = l cos ϕ , ∂ϕ

(6.13)

so dass aus (6.10) δW = (−F1 l sin ϕ + F2 l cos ϕ)δϕ = Qδϕ

(6.14)

Q = −F1 l sin ϕ + F2 l cos ϕ

(6.15)

mit

folgt. Der als Q bezeichnete Klammerausdruck wird verallgemeinerte Last zur verallgemeinerten Koordinate ϕ genannt. In (6.15) stellt Q, wie auch an der Dimension sichtbar, ein Moment dar. In der Literatur wird in einem

156

6. LAGRANGEsche Gleichungen zweiter Art

solchen Zusammenhang meist von einer verallgemeinerten Kraft gesprochen, weniger von einem verallgemeinerten Moment. Da wir Kr¨afte und Momente als eigenst¨ andige Gr¨ oßen eingef¨ uhrt und unter dem Oberbegriff Lasten zusammengefasst haben, ziehen wir zur Vermeidung der Dominanz des Kraftbegriffes den Terminus verallgemeinerte Last“ vor. ” Wir behaupten jetzt die Differenzialgleichung der Bewegung in der Form  ∂T · ∂T =Q. (6.16) − ∂ϕ ∂ ϕ˙ Der Beweis wird hier durch Auswertung von (6.16) mittels (6.9), (6.15) geliefert. Die in der linken Seite von (6.16) enthaltenen Terme sind 

l l m l 2 ∂T ϕ˙ cos ϕ cos ϕ +JS ϕ˙ ϕ˙ sin2 ϕ+2 η+ ˙ = 2 2 2 2 ∂ ϕ˙ =  ∂T · ∂ ϕ˙ −

m l 2 ϕ˙ + ηl ˙ cos ϕ + JS ϕ˙ , 2 2 m m m

η cos ϕ − lη˙ ϕ˙ sin ϕ , = JS + l2 ϕ¨ + l¨ 2 2 4

 ml

l l m l 2 2 ∂T η˙ ϕ˙ sin ϕ . ϕ˙ sin ϕ cos ϕ + 2 η˙ + ϕ˙ cos ϕ − ϕ˙ sin ϕ = =− 2 2 2 2 2 ∂ϕ

Einsetzen der letzten beiden Ausdr¨ ucke und der Gr¨ oße Q aus (6.15) in (6.16) ergibt m m

η cos ϕ = −F1 l sin ϕ + F2 l cos ϕ , JS + l2 ϕ¨ + l¨ 2 4 d.h. das schon vorliegende Ergebnis (6.8). Die am obigen Beispiel demonstrierte Methode ist nun auf beliebige Mehrk¨orpersysteme zu verallgemeinern, wobei wir uns zwecks Hervorhebung des Wesentlichen auf ebene Bewegungen beschr¨ anken.

6.2

6.2 Ebene Bewegung von Mehrk¨ orpersystemen Im Einklang mit der ebenen Kinematik von Mehrk¨ orpersystemen (Abschnitt 1.3) betrachten wir N starre ungebundene K¨orper mit 2N Schwerpunktkoordinaten und N Winkelkoordinaten im raumfesten Bezugssystem. Dies ergibt fu = 3N Ausgangskoordinaten sk , k = 1, ..., fu . Wenn z Zwangsbedingungen existieren, die auch zeitabh¨ angig sein k¨ onnen, reduziert sich der urspr¨ ungliche orper auf den zu betrachtenFreiheitsgrad fu des Systems ungebundener K¨ den Freiheitsgrad des Systems gebundener K¨ orper f = 3N − z. F¨ ur diese

6.2

Ebene Bewegung von Mehrk¨ orpersystemen

157

Situation werden von den fu Ausgangskoordinaten f ausgew¨ahlte Koordinaten als verallgemeinerte Koordinaten ql mit l = 1, ..., f deklariert, welche zur Beschreibung der Bewegung des Systems ausreichen. Die u ¨berz¨ahligen Ausgangskoordinaten sk mit k = 1, ..., z lassen sich gem¨aß (1.69) durch die ucken. verallgemeinerten Koordinaten ql ausdr¨ sk = hk (ql , t) ,

k = 1, ..., z ,

l = 1, ..., f .

(6.17)

Die vollst¨ andige Zeitableitung von (6.17) ist s˙ k =

 ∂hk ∂ql

l

q˙l +

∂hk . ∂t

(6.18)

Das hier verwendete Symbol ()· f¨ ur die vollst¨ andige Zeitableitung enth¨alt den schon fr¨ uher aufgetretenen Sonderfall f · (t) = df (t)/dt der Zeitableitung einer Funktion f (t), die nur von der Zeit abh¨ angt. F¨ ur die weiteren Herleitungen stellen wir zwei Hilfsformeln bereit. Die partielle Ableitung von (6.18) nach q˙n ergibt die Beziehung  ∂hk ∂ q˙l ∂hk ∂ s˙ k , = = ∂qn ∂ql ∂ q˙n ∂ q˙n l

die sich wegen der Willk¨ urlichkeit der Indexbezeichnung n auch als ∂hk ∂ s˙ k = ∂ql ∂ q˙l schreiben l¨ asst. F¨ ur die partielle Ableitung von (6.18) nach qi erhalten wir  ∂h ·  ∂ 2 hk  ∂ 2 hk ∂ 2 hk ∂ 2 hk ∂ s˙ k k . = q˙l + = q˙l + = ∂qi ∂qi ∂t ∂qi ∂ql ∂t∂qi ∂ql ∂qi ∂qi

(6.19)

(6.20)

l

l

Die kinetischen Grundgleichungen f¨ ur die ebene Bewegung jedes K¨ orpers k des Systems von N K¨ orpern werden entsprechend (2.81), (2.82c) in der Form Kk = Θk s¨k ,

k = 1, ..., 3N

(6.21)

ur jedes Element aus (FRx , FRy , geschrieben. Hier steht die ¨ außere Last Kk f¨ ur jedes Element aus (m, m, JS )k und die MGSz )k , der Massenparameter Θk f¨ ur jedes Element aus (xS , yS , ϕ)k . Koordinate sk f¨ Mit der Schreibweise (6.21) lautet die kinetische Energie gem¨ aß (2.84) 1 Θk s˙ 2k , k = 1, ..., 3N . (6.22) T = 2 k

158

6. LAGRANGEsche Gleichungen zweiter Art

Multiplikation von s¨k mit ∂hk /∂ql ergibt unter Ber¨ ucksichtigung von (6.20)  ∂h ·  ∂h ·  ∂h · ∂ s˙ k ∂hk k k k . (6.23) − s˙ k = s˙ k − s˙ k = s˙ k s¨k ∂ql ∂ql ∂ql ∂ql ∂ql Nach Multiplikation von (6.21) mit ∂hk /∂ql sowie von (6.23) mit Θk und Vergleich beider Ergebnisse erhalten wir  ∂h · ∂ s˙ k ∂hk ∂hk k . (6.24) − Θk s˙ k = Θk s˙ k = Θk s¨k Kk ∂ql ∂ql ∂ql ∂ql Die Summation von (6.24) u ¨ber k von 1 bis 3N liefert mit Θ·k = 0   ∂ s˙ k ∂hk ·  ∂hk . − Θk s˙ k = Θk s˙ k Kk ∂ql ∂ql ∂ql

(6.25)

k

k

k

Die linke Seite von (6.25) stellt die verallgemeinerte Last Ql zur Arbeit infolge eines Zuwachses δql der verallgemeinerten Koordinate ql in (6.17) bei festgehaltener Zeit dar:   ∂hk , δW = Ql δql . (6.26) Kk Ql = ∂ql l

k

Der erste Term der rechten Seite von (6.25) kann mit (6.19) als  ∂ s˙ k · ∂hk ·   = Θk s˙ k Θk s˙ k ∂ q˙l ∂ql k

(6.27)

k

geschrieben werden. Der Inhalt der Klammer auf der rechten Seite von (6.27) entspricht der partiellen Ableitung der kinetischen Energie (6.22) nach q˙l , der Subtrahend in (6.25) der partiellen Ableitung der kinetischen Energie (6.22) asst sich die Gleichung (6.25) mit (6.26) und (6.27) auf die nach ql . Deshalb l¨ Form  ∂T · ∂T = Ql , l = 1, ..., f (6.28) − ∂ql ∂ q˙l bringen. Diese Beziehungen sind die gesuchten LAGRANGEschen Gleichungen zweiter Art. Die Auswertung von (6.28) verl¨ auft nach folgendem Schema: 1. Festlegung der Schwerpunkt- und Winkelkoordinaten, bei Drehung um eine raumfeste Achse nur der betreffenden Winkelkoordinate 2. Ermittlung des Systemfreiheitsgrades f 3. Auswahl der f verallgemeinerten Koordinaten ql 4. Aufstellung der kinetischen Energie in Abh¨ angigkeit von den q˙l , den K¨ orpermassen und den Massentr¨ agheitsmomenten 5. Berechnung der linken Seite von (6.28)

6.2

Ebene Bewegung von Mehrk¨ orpersystemen

159

6. Bestimmung der verallgemeinerten Lasten gem¨aß (6.26). Zur Veranschaulichung der Vorgehensweise betrachten wir das Mehrk¨orpersystem eines Mechanismus in Bild 6.2. l

B

m

m

m A

G

M

l

l

S

x

l

l

m l

m

D

2l

y

orpersystem Bild 6.2. Mehrk¨

uhrten Gleitelementen der Masse m. Dieses bestehe aus den bei B und D gef¨ ¯ u unner St¨abe der Masse m Die Gleitelemente sind mittels zweier d¨ ¨ber ein unnen Kurbelstange verbunden. Die Kurbelstange der Gelenk G mit einer d¨ ¯ ist drehbar bei A gelagert und wird durch ein konstantes Moment M Masse m ur die Lager- und Gelenkreaktionen. angetrieben. Wir interessieren uns nicht f¨ Es soll nur die Winkelbeschleunigung ϕ¨ bestimmt werden. ur Die kinematische Skizze in Bild 6.2 zeigt das Fluchten der beiden St¨abe f¨ beliebige Kurbelwinkel. Die beiden St¨abe werden deshalb zu einem Stab zusammengefasst. Die Lage seines Schwerpunktes S wird in dem eingezeichneten raumfesten Koordinatensystem x, y berechnet. xS = l sin ϕ ,

yS = 2l − l cos ϕ ,

x˙ S = lϕ˙ cos ϕ ,

y˙ S = lϕ˙ sin ϕ .

(6.29)

Die Koordinaten der Gleitelemente sind y = 2l(1 − cos ϕ)

x = 2l sin ϕ ,

und die dazugeh¨origen Geschwindigkeiten x˙ = 2lϕ˙ cos ϕ ,

y˙ = 2lϕ˙ sin ϕ .

(6.30)

Der Freiheitsgrad des Systems betr¨agt f = 1. Als verallgemeinerte Koordinate dient der Kurbelwinkel ϕ. unnen Stabes der L¨ange l Das Massentr¨agheitsmoment eines homogenen d¨ uglich eines seiner Enden G oder A ist gem¨aß (2.73), (2.89) ¯ bez¨ und Masse m ¯ m JA = l

l/2 −l/2

r2 dr +

¯ m l2 ¯ = l2 . m 3 4

(6.31)

160

6. LAGRANGEsche Gleichungen zweiter Art

Die kinetische Energie setzt sich aus der Translationsenergie der Gleitelemente m(x˙ 2 + y˙ 2 )/2, der Translationsenergie der mit dem Schwerpunkt S bewegten Masse 2m ¯ in der Form 2m( ¯ x˙ 2S + y˙ S2 )/2, der Rotationsenergie des zusammengefassten Stabes der L¨ ange 2l infolge Drehung um den Schwerpunkt (2ml ¯ 2 /3)ϕ˙ 2 /2 und der Rotationsenergie der um A drehenden Kurbel (ml ¯ 2 /3)ϕ˙ 2 /2 zusammen:    2 m ¯   1  ml ¯ 2 + l2 ϕ˙ 2 ¯ x˙ 2S + y˙ S2 + T = m x˙ 2 + y˙ 2 + 2m 3 3 2 bzw. mit (6.29) bis (6.31)   3 2 2 1 ¯ l ϕ˙ . 4ml2 ϕ˙ 2 + 2ml ¯ 2 ϕ˙ 2 + ml ¯ 2 ϕ˙ 2 = 2m + m T = 2 2 Die Auswertung von (6.28) ergibt  ∂T · ∂T = (4m + 3m)l ¯ 2 ϕ¨ − 0 = Q . − ∂ϕ ∂ ϕ˙

(6.32)

(6.33)

Aus (6.26) folgt δW = Qδϕ = M δϕ ,

Q=M ,

(6.34)

so dass das Ergebnis f¨ ur die gesuchte Winkelbeschleunigung ϕ¨ =

M (4m + 3m)l ¯ 2

(6.35)

lautet. ur die verallEs sei noch erg¨anzt, dass bei Existenz eines Potenzials U (ql , t) f¨ gemeinerten Lasten der Arbeitszuwachs (6.26) als δW =



Ql δql = −δU = −

 ∂U

l

l

∂ql

δql

(6.36)

geschrieben werden kann. Wegen der Unabh¨angigkeit der δql gilt Ql = −

∂U , ∂ql

l = 1, ..., f .

(6.37)

Mit Definition der LAGRANGEschen Funktion L=T −U ergibt sich noch  ∂L · ∂ q˙l

−

∂L  ∂T ·  ∂U · ∂T ∂U . + − − = ∂ql ∂ql ∂ q˙l ∂ q˙l ∂ql

(6.38)

(6.39)

6.2

Ebene Bewegung von Mehrk¨ orpersystemen

161

Da die potenzielle Energie U voraussetzungsgem¨aß nicht von den Zeitableitungen der verallgemeinerten Koordinaten abh¨angt, ist ∂U/∂ q˙l = 0. Unter Ber¨ ucksichtigung von (6.37) und (6.28) wird dann (6.39) zu  ∂L · ∂L =0, l = 1, ..., f . (6.40) − ∂ql ∂ q˙l Es seien noch Systeme erw¨ ahnt, deren Lasten nur teilweise Potenzialcharakter besitzen. Die entsprechenden Potenzialanteile k¨onnen zur Ableitung verallgemeinerter Lastanteile in den Ausgangsgleichungen (6.28) herangezogen werden. Beispiel 6.1 Ein Doppelpendel besteht aus zwei homogenen schlanken St¨aben der Massen angen l1 , l2 (Bild 6.3). Gesucht sind die Bewegungsgleichungen m1 , m2 und L¨ f¨ ur die Winkel ϕ1 , ϕ2 . x m1,l1

A

y

1

S1

m1g

yS2

G 2

m2,l2 S2 m2g

xS2

Bild 6.3. Doppelpendel

L¨ osung: Wir berechnen die Translationsenergie des Stabes 2, die Rotationsenergie des Stabes 2 bei Drehung um S2 und die Rotationsenergie des Stabes 1 bei Drehung um A. Die Koordinaten und Geschwindigkeiten von S2 sind: l2 sin ϕ2 , 2 l2 = l1 ϕ˙ 1 cos ϕ1 + ϕ˙ 2 cos ϕ2 , 2

l2 cos ϕ2 , 2 l2 = −l1 ϕ˙ 1 sin ϕ1 − ϕ˙ 2 sin ϕ2 . 2

xS2 = l1 sin ϕ1 +

yS2 = l1 cos ϕ1 +

x˙ S2

y˙ S2

Als verallgemeinerte Koordinaten des Systems mit dem Freiheitsgrad f = 2 werden die Winkel ϕ1 , ϕ2 benutzt. Die kinetische Energie des Doppelpendels betr¨ agt

JA1 2 JS2 2 m2 2 2 ϕ˙ 2 + ϕ˙ 1 + x˙ S2 + y˙ S2 T = 2 2 2

162

6. LAGRANGEsche Gleichungen zweiter Art

mit l22 2 ϕ˙ + l1 l2 ϕ˙ 1 ϕ˙ 2 (cos ϕ1 cos ϕ2 + sin ϕ1 sin ϕ2 ) 4 2 l2 = l12 ϕ˙ 21 + 2 ϕ˙ 22 + l1 l2 ϕ˙ 1 ϕ˙ 2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) , 4

2 = l12 ϕ˙ 21 + x˙ 2S2 + y˙ S2

d.h. T =

 JA1 2 JS2 2 m2  2 2 l22 2 l1 ϕ˙ 1 + ϕ˙ 2 + l1 l2 ϕ˙ 1 ϕ˙ 2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) . ϕ˙ 2 + ϕ˙ 1 + 4 2 2 2

Die potenzielle Energie ist U = m1 g

 l l1 2 (1 − cos ϕ1 ) + m2 g (1 − cos ϕ2 ) + l1 (1 − cos ϕ1 ) . 2 2

Damit kann (6.40) ohne Kenntnis der verallgemeinerten Lasten ausgewertet werden. Man erh¨ alt  ∂L ·  ∂L m2 l1 l2 ϕ¨2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) = (JA1 + m2 l12 )ϕ¨1 + − 2 ∂ϕ1 ∂ ϕ˙ 1  l1 2 − ϕ˙ 2 sin(ϕ2 − ϕ1 ) + (m1 g + m2 gl1 ) sin ϕ1 = 0 , 2  ∂L ·  m2 ∂L l2 l1 l2 ϕ¨1 cos(ϕ2 − ϕ1 ) = (JS2 + m2 2 )ϕ¨2 + − 2 4 ∂ϕ2 ∂ ϕ˙ 2  m2 2 gl2 sin ϕ2 = 0 . + ϕ˙ 1 sin(ϕ2 − ϕ1 ) + 2

Das Ergebnis besteht aus zwei gekoppelten gew¨ ohnlichen nichtlinearen Differenzialgleichungen. Ihr f¨ ur |ϕ1,2 | 1 linearisierter Sonderfall kann in die freien Schwingungen des Abschnittes 4.1 eingeordnet werden.
Abschließend ist noch zu bemerken, dass der in den LAGRANGEschen Gleichungen zweiter Art (6.28) bzw. (6.40) enthaltene Formalismus prinzipiell auch auf K¨ orper- und Systembewegungen im dreidimensionalen Raum anwendbar ist. Die kinetische Energie der Translation eines K¨ orpers der Masse m lautet dann 1 (6.41) T = m(x˙ 2S + y˙ S2 + z˙S2 ) , 2 worin x˙ S , y˙ S , z˙S die Koordinaten des Schwerpunktgeschwindigkeitsvektors bezeichnen. Die Angabe der Rotationsenergie der Drehung um den Schwerpunkt erfordert allerdings noch die Bereitstellung des so genannten Massentr¨ agheitsmomententensors. Diese erfolgt im n¨ achsten Kapitel.

Kapitel 7 Anwendungen der Kinetik starrer K¨ orper im Raum

7

7

7 7.1 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.2 7.2.1 7.2.2

Anwendungen der Kinetik starrer K¨ orper im Raum Kinetische Kenngr¨oßen des starren K¨ orpers ................ Kenngr¨oßen f¨ ur die Translation ............................... Kenngr¨oßen f¨ ur die Rotation .................................. Kinetische Energie ............................................... Impulsbilanzen bei Benutzung kinetischer Kenngr¨ oßen ... Rotordrehung um eine raumfeste Achse ..................... Rotordrehung bei bewegter Drehachse ......................

165 165 165 179 181 185 189

7.1

Kinetische Kenngr¨ oßen des starren K¨ orpers

165

7 Anwendungen der Kinetik starrer Ko ¨rper im Raum Die in Kapitel 2 formulierte Grundlage der Kinetik, die in der G¨ ultigkeit der beiden Impulsbilanzen (2.62) und (2.63) f¨ ur beliebige K¨orper und K¨orperteile besteht, unterlag keinerlei Einschr¨ ankungen hinsichtlich der geometrischen Dimensionen. Allerdings erforderte die Anwendung der Bilanzen auf konkrete Modellierungsprobleme gewisse Aufbereitungsmaßnahmen, die bisher ebene Bewegungen betrafen. Im Folgenden werden die in die Impulsbilanzen eingehenden Bestandteile so umgeformt, dass sie bei Anwendungen auf r¨aumliche Bewegungen der K¨orper m¨ oglichst einfach zu handhaben sind.

7.1 Kinetische Kenngr¨ oßen des starren K¨ orpers Das kinetische Verhalten von K¨ orpern wird bekanntlich stark von der Verteilung der Masse in den K¨ orpern beeinflusst. Zur Erfassung dieses Einflusses ist es im Hinblick auf die Struktur der Bilanzgleichungen (2.62) und (2.63) zweckm¨ aßig, die translatorische und die rotatorische Bewegung getrennt zu betrachten. 7.1.1 Kenngr¨ oßen f¨ ur die Translation

F¨ ur die translatorische Bewegung wichtige Kenngr¨oßen sind die Masse und die Schwerpunktkoordinaten. Erstere wurde bereits als Volumenintegral der Dichte (2.2) eingef¨ uhrt. Die Definition des Schwerpunktes und die daraus folgende Berechnungsvorschrift f¨ ur die Koordinaten des Schwerpunktes sind aus der Statik, Kapitel 9, bekannt und bereits in (2.58) zitiert. Es sei nochmals darauf hingewiesen, dass (2.58) den in den kinetischen Gleichungen ben¨otigten Ortsvektor des Massenmittelpunktes korrekt definiert, w¨ ahrend der anschauliche Begriff des Schwerpunktes nur bei konstanter Erdbeschleunigung als Synonym f¨ ur den Massenmittelpunkt benutzt werden darf. Die Anwendung der Definitionen f¨ ur Masse und Schwerpunkt wurde bereits in der Kinetik des starren K¨ orpers bei Translation (Abschnitt 2.2) und bei Umformungsrechnungen in Abschnitt 2.3 praktiziert. 7.1.2 Kenngr¨ oßen f¨ ur die Rotation

Schon in den F¨ allen der ebenen Bewegung und der Drehung um eine feste Achse traten die Massentr¨ agheitsmomente bez¨ uglich einer Achse im Schwerpunkt (2.73) sowie bez¨ uglich einer raum- und k¨orperfesten Achse außerhalb ¨ des Schwerpunktes (2.89) auf. Ahnliche Gr¨ oßen allgemeinerer Art sind bei

7.1

166

7. Anwendungen der Kinetik starrer K¨ orper im Raum

der Untersuchung beliebiger Bewegungen zu erwarten, wenn der Drehimpuls (2.61) Bedeutung erlangt. Zur Gewinnung dieser Gr¨ oßen betrachten wir den im raumfesten kartesischen Bezugssystem positionierten K¨ orper (Bild 7.1). V,m

ey

S ez

rSP

rS

O

dV,dm

P

r

ey ez

ex

ex

orperfesten Bezugssystemen orper mit raum- und k¨ Bild 7.1. K¨

Außer dem raumfesten Bezugssystem mit den Koordinaten x, y, z und Baorpers ein sisvektoren ek , k = x, y, z, wird noch im Schwerpunkt S des K¨ ˆ, yˆ, zˆ und Baorperfestes kartesisches Bezugssystem mit den Koordinaten x k¨ uhrt, das besonders in Verbindung mit ˆ, yˆ, zˆ, eingef¨ sisvektoren ekˆ , kˆ = x (2.70c) eine u ¨bersichtlichere Darstellung der Drehimpulsbilanz liefert. In letzorperfeste Ortsvektor rSP vom Koordinatenursprung S zu terem ist der k¨ orperpunkt P einem beliebigen K¨ ˆexˆ + yˆeyˆ + zˆezˆ rSP = x

(7.1)

und der Winkelgeschwindigkeitsvektor ω = ωxˆ exˆ + ωyˆeyˆ + ωzˆezˆ .

(7.2)

orperfesten Vektorkoordinaten des Drehimpulses ur die Berechnung der k¨ F¨ ucke (7.1), (7.2) in (2.71) einuglich des Schwerpunktes werden die Ausdr¨ bez¨ gesetzt.  (S) x2 + yˆ2 + zˆ2 )dm L = (ωxˆ exˆ + ωyˆeyˆ + ωzˆezˆ) (ˆ 

m

xexˆ + yˆeyˆ + zˆezˆ)dm xωxˆ + yˆωyˆ + zˆωzˆ)(ˆ (ˆ

− m

7.1

Kinetische Kenngr¨ oßen des starren K¨ orpers

=



 ωxˆ



+ − ωxˆ  + − ωxˆ



(ˆ y 2 + zˆ2 )dm − ωyˆ yˆx ˆdm

+ ωyˆ

zˆx ˆdm

− ωyˆ



167



 − ωzˆ

x ˆyˆdm  

2

2



(ˆ x + zˆ )dm − ωzˆ zˆyˆdm



+ ωzˆ

 x ˆzˆdm exˆ  yˆzˆdm eyˆ  (ˆ x2 + yˆ2 )dm ezˆ . (7.3)

Zur Vereinfachung der Schreibweise wurde das Symbol m unter den Integralzeichen weggelassen. Die Integrale einschließlich des Vorzeichens definieren die Koordinaten bzw. Maßzahlen des so genannten Tr¨agheitstensors bez¨ uglich ˆ gekennzeichneten k¨ des mit () orperfesten Bezugssystems im Schwerpunkt:    y 2 + zˆ2 )dm , Jxˆyˆ = − x ˆyˆdm , Jxˆzˆ = − x ˆzˆdm , Jxˆxˆ = (ˆ   Jyˆxˆ = Jxˆyˆ , Jyˆyˆ = (ˆ x2 + zˆ2 )dm , Jyˆzˆ = − yˆzˆdm (7.4)  Jzˆxˆ = Jxˆzˆ , Jzˆyˆ = Jyˆzˆ , Jzˆzˆ = (ˆ x2 + yˆ2 )dm . Diese Gr¨ oßen werden auch als Massentr¨ agheitsmomente bezeichnet. Mit (7.4) ergibt sich der Drehimpuls (7.3) (S)

(S)

(S)

L(S) = Lxˆ exˆ + Lyˆ eyˆ + Lzˆ ezˆ= (Jxˆxˆ ωxˆ + Jxˆyˆωyˆ + Jxˆzˆωzˆ)exˆ +(Jyˆxˆ ωxˆ + Jyˆyˆωyˆ + Jyˆzˆωzˆ)eyˆ +(Jzˆxˆ ωxˆ + Jzˆyˆωyˆ + Jzˆzˆωzˆ)ezˆ . Der Koeffizientenvergleich in (7.5) liefert  (S) Jkˆˆl ωˆl , Lkˆ =

kˆ = x ˆ, yˆ, zˆ ,

(7.5)

(7.6)

ˆ l

wobei die Summe u ˆ, yˆ, zˆ indizierten Produkte ¨ber ˆl die Addition der mit ˆl = x Jkˆˆl ωˆl bedeutet. ur die kˆ = ˆl ist, heißen axiale Massentr¨agheitsmomente. Im Die Terme Jkˆˆl , f¨ Fall kˆ = ˆl sind die Bezeichnungen Deviations- oder Zentrifugalmoment u ¨blich. In (7.4) wurde bereits die in den Koordinaten ausgedr¨ uckte Symmetrie Jkˆˆl = Jˆlkˆ

(7.7)

des Tr¨ agheitstensors verwertet. Wir f¨ uhren noch die Schreibweise x ˆ = xxˆ ,

yˆ = xyˆ ,

zˆ = xzˆ

(7.8)

168

7. Anwendungen der Kinetik starrer K¨ orper im Raum

zu der Definition

 Jkˆˆl = −

kˆ = ˆl

xkˆ xˆl dm ,

(7.9)

ein. Die ausf¨ uhrliche Darstellung (7.4) l¨ asst sich dann auf die komprimierte Form  r2 δkˆˆl − xkˆ xˆl )dm (7.10) Jkˆˆl = (ˆ bringen. Hier bedeuten rˆ = |rSP | und

(7.11)

 1 , kˆ = ˆl δkˆˆl = 0 , kˆ =  ˆl

(7.12)

das KRONECKER-Symbol (KRONECKER, 1823-1891). Letzteres wird k¨ unftig ¨ ofters verwendet werden. Beispielsweise liefert (7.10) mit (7.12)      2 y 2 + zˆ2 )dm r2 − x ˆ2 )dm = (ˆ x + yˆ2 + zˆ2 ) − x ˆ2 dm = (ˆ Jxˆxˆ = (ˆ und

 Jxˆyˆ = 0 −

x ˆyˆdm ,

d.h. die Ausgangsdefinitionen in (7.4). Die Formel zur Umrechnung axialer Massentr¨agheitsmomente f¨ ur unterschiedliche parallele Bezugsachsen mit Hilfe des Satzes von STEINER wurde bereits in (2.89) angegeben. Wir leiten jetzt die allgemeing¨ ultige Beziehung her, die auch die Deviationsmomente mit erfasst. Ausgangspunkt sind zwei gegeneinander parallel verschobene, mit demselben K¨ orper festverbundene kartesischen Koordinatensysteme x ˆ, yˆ, zˆ und x ¯, y¯, z¯ (Bild 7.2). Der Ursprung des Systems x ˆ, yˆ, zˆ befindet sich im Schwerpunkt y P dm

y

r

O

rSP rS

S

x z

z Bild 7.2. Zum Satz von STEINER

x

7.1

Kinetische Kenngr¨ oßen des starren K¨ orpers

169

S des K¨ orpers. Basisvektoren werden jetzt nicht ben¨otigt. Die feste Verbindung zwischen dem K¨ orper und dem Koordinatensystem x ¯, y¯, z¯ wird nicht dadurch beeintr¨ achtigt, dass der Ursprung der Koordinaten x¯, y¯, z¯ außerhalb des K¨ orpers liegt. Mit Bild 7.2 und der zu (7.8) analogen Schreibweise x ¯ = xx¯ , y¯ = xy¯, z¯ = xz¯ ergeben sich ¯r = ¯rS + ˆrSP ,

xk¯ = xS k¯ + xkˆ

(7.13)

und daraus mit der Abk¨ urzung ˆr = ˆrSP r¯2 = (¯rS + ˆr)2 = r¯S2 + 2¯rS · ˆr + rˆ2 , xk¯ x¯l = (xS k¯ + xkˆ )(xS ¯l + xˆl ) = xS k¯ xS ¯l + xS k¯ xˆl + xkˆ xS ¯l + xkˆ xˆl . Einsetzen in die auch f¨ ur das Koordinatensystem x ¯, y¯, z¯ g¨ ultige Beziehung (7.10) liefert 

2 r¯ δk¯¯l − xk¯ x¯l dm Jk¯¯l =    2 = (¯ rS dm + 2¯rS · ˆrdm + rˆ2 dm)δk¯¯l 

 − xS k¯ xS ¯l

dm − xS k¯



 xˆl dm − xS ¯l

Aus der Definition des Schwerpunktes folgen   ˆrdm = 0 , xˆl dm = 0 ,

xkˆ dm −

xkˆ xˆl dm .

 xkˆ dm = 0 .

Die verbleibenden Terme werden entsprechend den gleichen Unterstreichungen zusammengefasst,  Jk¯¯l = (ˆ r2 δkˆˆl − xkˆ xˆl )dm + r¯S2 mδkˆˆl − xS k¯ xS ¯l m , wobei die Unabh¨ angigkeit der Eigenschaft (7.12) des KRONECKER-Symbols vom Bezugssystem benutzt wurde. Das Integral stimmt mit der Definition (7.10) u ¨berein, so dass sich Jk¯¯l = Jkˆˆl + r¯S2 mδkˆˆl − xS k¯ xS ¯l m

(7.14)

170

7. Anwendungen der Kinetik starrer K¨ orper im Raum

ergibt. Die ausf¨ uhrliche Darstellung von (7.14) lautet yS2 + z¯S2 )m , Jx¯x¯ = Jxˆxˆ + (¯ Jy¯y¯ = Jz¯z¯ =

Jyˆyˆ + (¯ x2S Jzˆzˆ + (¯ x2S

+ z¯S2 )m + y¯S2 )m

Jx¯y¯ = Jxˆyˆ − x ¯S y¯S m ,

,

Jx¯z¯ = Jxˆzˆ − x ¯S z¯S m ,

,

Jy¯z¯ = Jyˆzˆ − y¯S z¯S m .

(7.15)

Wie bei den Fl¨achentr¨ agheitsmomenten in der Statik, Kapitel 10, vergr¨oßern sich die axialen Massentr¨ agheitsmomente bei Transformation von einer Schwerpunktachse auf eine Achse außerhalb des Schwerpunktes. Es sei noch der so genannte Tr¨ agheitsradius f¨ ur ein axiales Massentr¨agheitsorpers der Masse m moment Jkˆkˆ eines K¨  Jkˆkˆ (7.16) ikˆ = m erw¨ ahnt, der h¨aufig als Abk¨ urzung benutzt wird. Die Definition (7.16) ist nicht an eine Schwerpunktachse gebunden. Der Tr¨agheitsradius ikˆ misst den Abstand zwischen einer Bezugsachse und einem Punkt, in dem man sich die K¨ orpermasse m konzentriert denken muss, so dass gem¨aß (7.16) das Massentr¨ agheitsmoment Jkˆkˆ entsteht. H¨ aufig ist es zweckm¨ aßig, ausgehend von gegebenen Koordinaten eines Tr¨agheitstensors f¨ ur ein vorliegendes Bezugssystem die Koordinaten desselben Tr¨ agheitstensors bez¨ uglich eines gedrehten Bezugssystems zu benutzen. Die Transformationseigenschaften bei solch einem Wechsel des Bezugssystems definieren genau die Tensoreigenschaften des Tr¨agheitstensors. Zur Ermittlung der gesuchten Transformationsvorschrift benutzen wir zwei gegeneinander verdrehte k¨ orperfeste kartesische Bezugssysteme ekˆ , xkˆ und ek˜ , xk˜ mit ihrem Ursprung im Schwerpunkt (Bild 7.3). y y~

P ey~

ey

rSP

S

ez

ex~ ex

dm

~ x

x

ez~ z

z~ Bild 7.3. Zur Transformation der Tr¨ agheitstensorkoordinaten

Derselbe k¨orperfeste Vektor, der vom Schwerpunkt S des K¨orpers zu einem beliebigen K¨orperpunkt P zeigt, kann nach den Basisvektoren der verschie-

7.1

Kinetische Kenngr¨ oßen des starren K¨ orpers

171

denen Bezugssysteme ekˆ oder ek˜ zerlegt werden:   rSP = x ˆexˆ + yˆeyˆ + zˆezˆ = xˆl eˆl = x ˜ex˜ + y˜ey˜ + z˜ez˜ = x˜l e˜l .

(7.17)

˜ l

ˆ l

Die skalare Multiplikation von (7.17) mit ek˜ ergibt   ek˜ · eˆl xˆl = ek˜ · e˜l x˜l = xk˜ ,

(7.18)

˜ l

ˆ l

da wegen der Orthogonalit¨ at der Basisvektoren ek˜ · e˜l = δk˜˜l gilt. Auf der linken Seite von (7.18) stellen die Skalarprodukte der zu den verschiedenen Bezugssystemen geh¨ orenden Einheitsvektoren ek˜ · eˆl = cos(ek˜ , eˆl ) = cos(xk˜ , xˆl ) = ck˜ˆl die mit ck˜ˆl bezeichneten Richtungskosinus dar, so dass (7.18) als  xk˜ = ck˜ˆl xˆl

(7.19)

(7.20)

ˆ l

˜ geschrieben werden kann. Dabei stehen in (7.20) die freien Indizes (hier k) ˆ f¨ ur x ˜, y˜, z˜ und die Summationsindizes (hier l) f¨ ur x ˆ, yˆ, zˆ. Der ebene Sonderfall von (7.20), dargestellt in der urspr¨ unglichen Schreibweise, x ˜=x ˆ cos(˜ x, x ˆ) + yˆ cos(˜ x, yˆ) = x ˆ cos ϕ + yˆ sin ϕ y˜ = x ˆ cos(˜ y, x ˆ) + yˆ cos(˜ y , yˆ) = −ˆ x sin ϕ + yˆ cos ϕ ist auch aus Bild 7.4 ablesbar. y~

y P rSP

S

y~ y

x

~ x

~ x

x

Bild 7.4. Zur ebenen Transformation von Vektorkoordinaten

Er wurde bereits f¨ ur die Herleitung der Transformationsbeziehungen der Fl¨achentr¨agheitsmomente in der Statik, Kapitel 10, verwendet. F¨ ur die Basisvektoren gilt eine zu (7.20) analoge Gleichung  ck˜ˆl eˆl , ek˜ = (7.21) ˆ l

172

7. Anwendungen der Kinetik starrer K¨ orper im Raum

da die skalare Multiplikation von (7.21) mit em ˆ   ek˜ · em ck˜ˆl eˆl · em ck˜ˆl δˆlm ˜m ˆ = ˆ = ˆ , ˆ = ck ˆ l

ˆ l

d.h. die Definition (7.19) liefert. Die Umkehrung von (7.21)  c˜lkˆ e˜l ekˆ =

(7.22)

˜ l

wird ¨ ahnlich wie (7.21) durch skalare Multiplikation mit em ˜ bewiesen. Dies f¨ uhrt auf   c˜lkˆ e˜l · em c˜lkˆ δ˜lm ekˆ · em ˆ , ˆ = ˜ = em ˜ · ek ˜ = ˜ = cm ˜k ˜ l

˜ l

ergibt also ebenfalls (7.19). ultige Definition (7.10) In die auch f¨ ur das Bezugssystem ek˜ , xk˜ g¨  Jk˜˜l = (˜ r2 δk˜˜l − xk˜ x˜l )dm 2 = rˆ2 und die Beziehungen (7.21), (7.20) in der Form werden jetzt r˜2 = rSP   ck˜m e˜l = c˜lˆn enˆ , ek˜ = ˆ , ˆ em m ˆ

δk˜˜l = ek˜ · e˜l =

 m ˆ

xk˜ =

 m ˆ

n ˆ

ck˜m ˆ , ˆ xm

n ˆ

x˜l =

ck˜m ˆ · en ˆ = ˆ c˜ lˆ n em



c˜lˆn xnˆ ,

 m ˆ

n ˆ

xk˜ x˜l =

ck˜m ˆn , ˆ c˜ lˆ n δmˆ



n ˆ

m ˆ

n ˆ

ck˜m ˆ xn ˆ ˆ c˜ lˆ n xm

eingesetzt. Es folgt      r˜2 Jk˜˜l = ck˜m ck˜m ˆn − ˆ xn ˆ dm ˆ c˜ lˆ n δmˆ ˆ c˜ lˆ n xm =

 m ˆ

n ˆ

m ˆ

n ˆ



ck˜m ˆ c˜ lˆ n

m ˆ

n ˆ

2

rˆ δmˆ ˆ n − xm ˆ xn ˆ dm

m

und mit (7.10) die gesuchte Transformationsgleichung  Jk˜˜l = ck˜m ˆn . ˆ c˜ lˆ n Jmˆ m ˆ

(7.23)

n ˆ

Sie dr¨ uckt die fundamentale, der Definition eines Tensors entsprechende, Eigenschaft aus:

7.1

Kinetische Kenngr¨ oßen des starren K¨ orpers

173

ˆ nach () ˜ a¨ndern sich die Koordinaten Bei Wechsel des Bezugssystems von () ein- und desselben Tr¨ agheitstensors nach der Vorschrift (7.23). Die Situation ¨ ahnelt der bei einem Vektor. Die Zerlegung eines Vektors bez¨ uglich unterschiedlicher Basisvektorsysteme erzeugt unterschiedliche Koordinatendarstellungen, wie am Beispiel des Abstandsvektors rSP in Bild 7.3 und (7.17), (7.20) zu sehen ist. Die Vektorkoordinaten xk˜ in (7.20) besitzen einen auf die Basis ek˜ hinweisenden Index, die Tensorkoordinaten Jk˜˜l in (7.23) zwei entsprechende Indizes. In diesem Zusammenhang heißen die Vektoren auch Tensoren erster Stufe. Tensoren wie z.B. der Tr¨agheitstensor werden Tensoren zweiter Stufe genannt. Die Anwendbarkeit des Tensorbegriffes f¨ ur beide Gr¨ oßen ist dadurch gegeben, dass in (7.23) f¨ ur jeden einzelnen Index der Tensorkoordinate die Transformationsvorschrift f¨ ur den Index der Vektorkoordinate (7.20) analog gilt. Dieser Formalismus l¨asst sich auch auf Tensoren h¨ oherer Stufe mit mehr als zwei Indizes ausdehnen. Die Beziehung (7.23) soll nun f¨ ur eine u ¨bersichtlichere Darstellung der Ten¨ sorkoordinaten ausgenutzt werden. Ahnlich wie bei den Fl¨achentr¨agheitsmomenten in der Statik, Kapitel 10, wird durch Drehung des Bezugssystems ein so genanntes Hauptachsensystem erreicht, bez¨ uglich dessen die Deviationsmomente, d.h. die Tr¨ agheitstensorkoordinaten mit gemischten Indizes, verschwinden. Da jetzt eine i.Allg. r¨ aumliche Drehung des Bezugssystems realisiert werden muss, ist der Aufwand etwas gr¨ oßer als bei der ebenen Drehung in der Statik. Zun¨achst wird noch eine Hilfsformel bereitgestellt. Die aus (7.22) folgenden Basisvektoren   ck˜pˆek˜ , em c˜lm epˆ = ˆ = ˆ e˜ l ˜ k

˜ l

werden skalar miteinander multipliziert.    ck˜pˆc˜lm ck˜pˆc˜lm ck˜pˆck˜m epˆ · em ˜ · e˜ ˜˜ ˆ = ˆ . ˆ ek l = ˆ δk l = ˆ = δpˆm ˜ k

˜ l

˜ k

˜ l

˜ k

(7.24) Die rechte Seite von (7.24) ergibt sich aus der Orthogonalit¨at der Basisvektoren auf der linken Seite von (7.24). Aus Multiplikation von (7.23) mit den Richtungskosinus ck˜pˆ und Summation u ˜, y˜, z˜ folgt mit (7.24) ¨ber k˜ = x     ck˜pˆJk˜˜l = ck˜pˆck˜m δpˆm c˜lˆn Jpˆ ˆn = ˆ c˜ ˆn = ˆn . ˆ c˜ lˆ n Jmˆ lˆ n Jmˆ ˜ k

˜ k

m ˆ

n ˆ

m ˆ

n ˆ

n ˆ

(7.25)

174

7. Anwendungen der Kinetik starrer K¨ orper im Raum

Die Richtungskosinus ck˜pˆ sollen nun so gew¨ ahlt werden, dass die Forderung Jk˜˜l = 0 ,

k˜ = ˜l

(7.26)

erf¨ ullt wird. Die verbleibenden Gr¨ oßen J˜l˜l = J˜l

(7.27)

heißen Haupttr¨ agheitsmomente. Die Anwendung von (7.26), (7.27) auf die linke Seite von (7.25) liefert unter Benutzung des KRONECKER-Symbols   ck˜pˆJk˜˜l = c˜lpˆJ˜l = δpˆ (7.28) ˆn c˜ lˆ n J˜ l . ˜ k

n ˆ

Durch Vergleich der rechten Seiten von (7.25) und (7.28) gewinnen wir das lineare homogene Gleichungssystem  (Jpˆ (7.29) ˆn − J˜ ˆn )c˜ l δpˆ lˆ n =0 , n ˆ

welches dem Eigenwertproblem der symmetrischen Matrix Jpˆ ˆn entspricht. Die notwendige Bedingung f¨ ur nichttriviale L¨osungen von (7.29) besteht im Verschwinden der Koeffizientendeterminante |Jpˆ ˆn − J˜ ˆn | = 0 . l δpˆ

(7.30)

uckte Polynom Wegen der Symmetrie der Jpˆ ˆn besitzt das in (7.30) ausgedr¨ dritten Grades drei reelle L¨ osungen (Eigenwerte) f¨ ur die Haupttr¨agheitsmomente J˜l , die wir jetzt im Einzelnen mit J1 , J2 , J3 bezeichnen. Die Eigenwerte seien verschieden. Dann erzeugt jeder dieser drei Eigenwerte ein homogenes Gleichungssystem f¨ ur die drei Koordinaten des dazugeh¨origen ˜ Eigenvektors. F¨ ur l = 1 lautet das Gleichungssystem (Jxˆxˆ −J1 )c1ˆx +

Jxˆyˆc1ˆy +

Jxˆzˆc1ˆz = 0 ,

Jyˆxˆ c1ˆx + (Jyˆyˆ−J1 )c1ˆy +

Jyˆzˆc1ˆz = 0 ,

Jzˆxˆ c1ˆx +

(7.31)

Jzˆyˆc1ˆy + (Jzˆzˆ−J1 )c1ˆz = 0 .

In (7.31) ist genau eine Gleichung linear abh¨angig von den anderen. Diese wird aus (7.31) gestrichen. Mittels der zwei verbleibenden Gleichungen lassen sich zwei Eigenvektorkoordinaten durch die dritte ausdr¨ ucken. Der aus (7.31) folgende Eigenvektor e1 = c1ˆx exˆ + c1ˆy eyˆ + c1ˆz ezˆ ,

(7.32)

7.1

Kinetische Kenngr¨ oßen des starren K¨ orpers

175

der die Richtung einer so genannten Hauptachse hat, besitzt zun¨achst eine unbestimmte L¨ ange, die durch die Normierungsbedingung |e1 |2 = c21ˆx + c21ˆy + c21ˆz = 1

(7.33)

bestimmt werden kann. Die Wiederholung der Prozedur (7.31), (7.33) f¨ ur ˜l = 2, 3 f¨ uhrt auf die verbleibenden Eigenvektoren. Die Richtungskosinus aller drei Eigenvektoren bilden mit |ck˜ˆl | = +1 die eigentlich orthogonale Matrix der gesuchten r¨aumlichen Drehung. Bei einer Drehung des Bezugssystems um eine seiner Koordinatenachsen vereinfacht sich die Transformationsvorschrift (7.23). Sie wird dann identisch mit den Formeln f¨ ur die Transformation der Fl¨ achentr¨agheitsmomente in der Statik, Kapitel 10. Die hier ermittelten Hauptachsen heißen auch zentral, da sie durch den Schwerpunkt gehen. Beispiel 7.1 Man leite aus (7.23) f¨ ur die Drehung des Bezugssystems um die zˆ-Achse vereinfachte Transformationsgleichungen der Koordinaten des Tr¨agheitstensors her. L¨ osung: Das alte und das neue Bezugssystem besitzen die gemeinsamen Basisvektoren ezˆ = ez˜ (Bild 7.5). ey~

ey

e x~ S

0

ex

ez = ez~ Bild 7.5. Drehung eines Bezugssystems um die z ˆ-Achse

Es ergeben sich zus¨ atzliche Rechtwinkligkeiten zwischen alten und neuen Basisvektoren, die zum Verschwinden der entsprechenden Richtungskosinus ahnlich cz˜yˆ = cy˜zˆ = cx˜zˆ = 0. f¨ uhren, beispielsweise ez˜ · exˆ = cz˜xˆ = 0 und ¨ Außerdem ist cz˜zˆ = 1. Die Vorschrift (7.23) liefert Jx˜x˜ = c2x˜xˆ Jxˆxˆ + c2x˜yˆJyˆyˆ + 2cx˜xˆ cx˜yˆJxˆyˆ oder Jx˜x˜ = Jxˆxˆ cos2 ϕ0 + Jyˆyˆ sin2 ϕ0 + Jxˆyˆ sin 2ϕ0

176

7. Anwendungen der Kinetik starrer K¨ orper im Raum

und analog Jy˜y˜ = Jxˆxˆ sin2 ϕ0 + Jyˆyˆ cos2 ϕ0 − Jxˆyˆ sin 2ϕ0 Jz˜z˜ = Jzˆzˆ Jx˜y˜ = −Jxˆxˆ cos ϕ0 sin ϕ0 + Jxˆyˆ cos2 ϕ0 − Jxˆyˆ sin2 ϕ0 + Jyˆyˆ cos ϕ0 sin ϕ0 1 = (Jyˆyˆ − Jxˆxˆ ) sin 2ϕ0 + Jxˆyˆ cos 2ϕo . 2 uhrt auf Die Forderung Jx˜y˜ = 0 f¨ tan 2ϕ0 =

2Jxˆyˆ Jxˆxˆ − Jyˆyˆ

bzw. nach Einsetzen in obige Gleichungen auf die Haupttr¨agheitsmomente uglich der Achsen x ˜, y˜ J1 ≥ J2 bez¨  Jxˆxˆ − Jyˆyˆ 2 Jxˆxˆ + Jyˆyˆ + Jxˆ2yˆ , ± J1,2 = 2 2

wobei auch tan ϕ0 =

Jxˆyˆ Jxˆxˆ − J2

zur eindeutigen Bestimmung des Drehwinkels ϕ0 benutzbar ist.




Besitzt die Eigenwertgleichung (7.30) mehrfache Wurzeln, so bleiben Eigenrichtungen unbestimmt. Diese Richtungen k¨ onnen aber willk¨ urlich orthogonalisiert werden. Die obigen Aussagen u ¨ber die Transformationseigenschaften des Tr¨agheitstensors gelten auch, wenn der Ursprung der Bezugssysteme außerhalb des K¨ orperschwerpunktes liegt. Es sei noch erw¨ ahnt, dass Haupttr¨ agheitsmomente mit verschiedenen Werten Extremwerte darstellen, die mit dem hier nicht n¨aher zu er¨orternden Tr¨ agheitsellipsoid zusammenh¨ angen. Existieren in dem betrachteten K¨orper Symmetrieebenen der Massenverteilung, so gibt wegen der Zusammensetzung der Integranden in den Deviationsmomenten von (7.4) die Normale auf dieser Ebene eine Hauptrichtung an. Wenn z.B. die Ebene zˆ = 0 Symmetrieebene des K¨ orpers und damit des Integrationsgebietes f¨ ur  ˆzˆdm Jxˆzˆ = − x m

ist, dann muss das Integral u ¨ber die in zˆ ungerade Funktion xˆzˆ in dem symmetrischen Integrationsgebiet verschwinden. Analoges gilt f¨ ur Jyˆzˆ.

7.1

Kinetische Kenngr¨ oßen des starren K¨ orpers

177

Wir betrachten als erstes Beispiel einen homogenen Quader der Masse m (Bild 7.6). y

y S

b

S

z

x

z

x

a

c

Bild 7.6. Zu den Haupttr¨ agheitsmomenten des Quaders

Es sind die Definitionsgleichungen (7.4) auszuwerten. Die Dichte des homogenen Quaders betr¨agt m .
Q = abc Damit wird in (7.4)  Jxˆxˆ =

(ˆ y 2 + zˆ2 )dm =
Q

m



c

(ˆ y 2 + zˆ2 )dV =
Q

c

b

=
Q − 2c − b 2

(ˆ y 2 + zˆ2 )dˆ xdˆ y dˆ z

c

2  3  b 2 2 + zˆ2 · b dˆ z (ˆ y + zˆ )adˆ y dˆ z =
Q a 12 − 2c

b2 + c2 c3  c+ =
Q abc =
Q a · b 12 12 12 b2 + c2 m. = 12  b2

Jxˆxˆ

a

− 2c − b − a 2 2

V

2 2

b

2 2 2

(7.34)

Analog entstehen Jyˆyˆ =

a2 + c2 m, 12

Jzˆzˆ =

a2 + b2 m. 12

(7.35)

Die Deviationsmomente verschwinden wegen Symmetrie, d.h. xˆ, yˆ, zˆ sind Hauptachsen und die Gr¨ oßen (7.34), (7.35) Haupttr¨agheitsmomente. F¨ ur a = b = c im Falle eines W¨ urfels bleiben wegen Jxˆxˆ = Jyˆyˆ = Jzˆzˆ = a2 m/6 die Hauptrichtungen unbestimmt. Jede orthogonale Basis gibt Hauptrichtungen an. Mit a  b, c entsteht aus dem Quader ein schlanker Stab, und (7.35) liefert dann unabh¨ angig von der Querschnittsform Jyˆyˆ = Jzˆzˆ =

a2 m. 12

(7.36)

Als zweites Beispiel liege ein homogener Kreiszylinder der Masse m vor (Bild 7.7). Gesucht sind die Haupttr¨ agheitsmomente.

178

7. Anwendungen der Kinetik starrer K¨ orper im Raum

Das Beispiel kann wie jede andere Aufgabe dieser Art entsprechend der Definition (7.4) nach den Regeln zur Berechnung von Volumenintegralen behandelt werden. Wir gehen hier etwas anders vor, indem wir den Satz von STEINER in der Form (7.15) benutzen, dabei aber auch von der Symmetrie des Kreiszylinders Gebrauch machen. y

y

S x

x

z

z

dz

dr

S z

r

2R

h

Bild 7.7. Zu den Haupttr¨ agheitsmomenten des Kreiszylinders

Offensichtlich sind Ebenen, die die Achse und damit einen Durchmesser des Kreiszylinders enthalten, Symmetrieebenen. Folglich geben die xˆ- und die yˆ-Achse Hauptrichtungen an. Die Ebene zˆ = 0 stellt ebenfalls eine Symmetrieebene dar. Deshalb ist auch die zˆ-Achse eine Hauptachse. Zur Berechnung des axialen Massentr¨agheitsmomentes Jzˆzˆ betrachten wir ein Kreiszylinderrohr mit dem Innenradius rˆ und der Wanddicke dˆ r. Nach (7.4) gilt  Jzˆzˆ =

2



2

(ˆ x + yˆ )dm =
K m

2

R

rˆ dV =
K V

rˆ2 2πˆ rhdˆ r,

0

wobei die Dichte des Kreiszylinders
K =

m πR2 h

betr¨ agt. Aus beiden Gleichungen folgt m Jzˆzˆ = R2 . 2

(7.37)

Das axiale Massentr¨agheitsmoment einer Kreisscheibe der Dicke dˆ z ist gleich dem axialen Fl¨achentr¨agheitsmoment der Kreisfl¨ache multipliziert mit der Massendichte je Fl¨acheneinheit. Mit Hinzunahme des STEINER-Anteils ergibt sich dJxˆxˆ =

dˆ z πR 4 m . dˆ z + zˆ2 m h 4 πR2 h

7.1

Kinetische Kenngr¨ oßen des starren K¨ orpers

179

Beim Integrieren wird die Symmetrie bez¨ uglich der x ˆ, yˆ-Ebene ber¨ ucksichtigt. h

2 Jxˆxˆ = 2 0

mR 2 m 2

mR 2 mh 2 . + z= + zˆ dˆ 12 4 h 4h

(7.38)

Außerdem gilt Jxˆxˆ = Jyˆyˆ, und die Deviationsmomente verschwinden. Schließlich seien noch die axialen Massentr¨ agheitsmomente einer homogenen Kugel mit der Masse m und dem Radius R erw¨ahnt, die wegen Symmetrie alle einem Massentr¨ agheitsmoment bez¨ uglich einer beliebigen k¨orperfesten Achse a ˆ im Schwerpunkt gleichen. Mit (7.4) entsteht    2 2

2 2

2 2

yˆ +ˆ x ˆ +ˆ x ˆ + yˆ dm = Jaˆaˆ . z dm = Jyˆyˆ = z dm = Jzˆzˆ = Jxˆxˆ = m

m

Es folgt

 3Jaˆaˆ =

2

m

2

2





2(ˆ x + yˆ + zˆ dm = 2 m

rˆ2 dm .

m

Als Volumenelement wird eine Kugelschicht der Dicke dˆ r gew¨ahlt. Mit der 3 Dichte 3m/(4πR ) ergibt sich Jaˆaˆ

2 = 3

R

rˆ2 ·

0

3m 2 r2 dˆ · 4πˆ r = mR2 . 5 4πR3

(7.39)

7.1.3 Kinetische Energie

Im Abschnitt 2.3.5 wurde die kinetische Energie eines K¨orpers bei ebener Bewegung angegeben und in (2.84) festgestellt, dass sie in einen translatorischen Anteil der Schwerpunktbewegung und einen Anteil, der der Rotation des K¨ orpers um den Schwerpunkt entspricht, zerf¨allt. Dieser Sachverhalt tritt in allgemeiner Form auch bei r¨ aumlichen Bewegungen auf. Die kinetische Energie des Massenelementes dm aus Bild 7.1 betr¨agt dT =

1 2 r˙ dm 2

und die kinetische Energie des gesamten K¨ orpers   1 1 v2 dm . r˙ 2 dm = T = 2 2 m

(7.40)

m

Dabei wurde ber¨ ucksichtigt, dass das Verh¨ altnis von Rotationsenergie zu Translationsenergie des Massenelementes im Grenz¨ ubergang zu null geht.

180

7. Anwendungen der Kinetik starrer K¨ orper im Raum

Mit der EULERschen Formel (1.55), angewendet auf den Schwerpunkt, v = vS + ω × rSP

(7.41)

folgt aus (7.40)     1 T = v2S dm + 2vS · ω × rSP dm + (ω × rSP )2 dm 2 bzw. wegen



m

m

r dm m SP

m

=0

1 1 T = v2S m + 2 2



(ω × rSP )2 dm .

(7.42)

m

Diese Formel, deren erster Summand die Translationsenergie beschreibt und deren zweiter Summand die Rotationsenergie wiedergibt, entspricht (2.84). Die Rotationsenergie l¨ asst sich mit Hilfe des Tr¨agheitstensors etwas u ¨bersichtlicher darstellen. Hierzu wird das Kreuzprodukt von (7.42) in Koordinaten uhrt. bez¨ uglich der k¨orperfesten Basis exˆ , eyˆ, ezˆ ausgef¨    exˆ eyˆ ezˆ    z ωyˆ − yˆωzˆ)exˆ + (ˆ ω × rSP = ωxˆ ωyˆ ωzˆ = (ˆ xωzˆ − zˆωxˆ )eyˆ + (ˆ y ωxˆ − x ˆωyˆ)ezˆ . x ˆ yˆ zˆ  Das Quadrat dieses Ausdrucks (ω × rSP )2 = (ˆ z ωyˆ − yˆωzˆ)2 + (ˆ xωzˆ − zˆωxˆ )2 + (ˆ y ωxˆ − x ˆωyˆ)2 = ωx2ˆ (ˆ y 2 + zˆ2 ) − 2ˆ y zˆωyˆωzˆ + ... ergibt unter Ber¨ ucksichtigung der Definition (7.4)  1 1 (ω × rSP )2 dm = Jxˆxˆ ωx2ˆ + Jyˆyˆωy2ˆ + Jzˆzˆωz2ˆ 2 2 m

 + 2(Jyˆzˆωyˆωzˆ + Jxˆzˆωxˆ ωzˆ + Jxˆyˆωxˆ ωyˆ) .

Hier gehen wir noch auf ein k¨ orperfestes Hauptachsensystem e˜l , ˜l = 1, 2, 3, im K¨ orperschwerpunkt u ¨ber und erhalten nach Einsetzen des Ergebnisses in (7.42) die gesamte kinetische Energie T =

1 1 2 (x˙ S + y˙ S2 + z˙S2 )m + (J1 ω12 + J2 ω22 + J3 ω32 ) , 2 2

(7.43)

die sich im Sonderfall der ebenen Bewegung auf (2.84) reduziert. Sie bietet die M¨ oglichkeit, die LAGRANGEschen Gleichungen zweiter Art (6.28), (6.40) auf den r¨ aumlichen Fall zu erweitern.

7.2

Impulsbilanzen bei Benutzung kinetischer Kenngr¨ oßen

181

7.2

7.2 Impulsbilanzen bei Benutzung kinetischer Kenngr¨ oßen Mit der Kenntnis der Masse und der Schwerpunktkoordinaten eines K¨orpers kann die translatorische Impulsbilanz auf die schon bekannte Form (2.66) gebracht werden. Hinsichtlich der Drehimpulsbilanz ist zun¨ achst festzustellen, dass die Koordinaten des Tr¨ agheitstensors in der Beziehung f¨ ur den Drehimpuls (7.5) zeitlich konstant und damit u ¨bersichtlich bleiben, weil sie auf k¨orperfeste ¨ Achsen bezogen sind. Allerdings muss daf¨ ur die Anderung der Basisvektoren des k¨ orperfesten Bezugssystems bei Bildung der Zeitableitung des Drehimpulses in den Varianten der Drehimpulsbilanz (2.70) beachtet werden. F¨ ur Vektoren, die sich im k¨ orperfesten Bezugssystem zeitlich a¨ndern, wird dies durch die Differenziationsvorschrift (1.78) ber¨ ucksichtigt. Die im Hinblick auf (2.70) zu bildende Zeitableitung des Drehimpulses L(S) im raumfesten Bezugssystem l¨ asst sich deshalb als (S) d
L(S) = ω × L(S) + L˙ dt

(7.44)

schreiben, wobei mit (7.5) und wegen der Identit¨at ω˙ = ω × ω +

d
ω d
ω = dt dt

(7.45)

die Gleichung

  d
   d
L(S) Jkˆˆl ωˆl ekˆ = Jkˆˆl ω˙ ˆl ekˆ = dt dt ˆ k

ˆ l

ˆ k

(7.46)

ˆ l

gilt. Die formale Beziehung (7.45) ist Ausdruck der anschaulichen Tatsache, dass die Gr¨ oße ω die im raumfesten Bezugssystem gemessene Winkelgeschwindigkeit sowohl des K¨ orpers als auch des mit dem K¨orper verbundenen k¨ orperfesten Bezugssystems darstellt. In (7.46) wurde gem¨aß (1.78) die Zeitableitung im bewegten Bezugssystem d
()/dt in den k¨orperfesten Vektor(S) uhrt. koordinaten als L˙ kˆ ausgef¨ Das Kreuzprodukt in (7.44)    e eyˆ ezˆ   xˆ  ωyˆ ωzˆ  ω × L(S) =  ωxˆ  (S) (S) (S)  Lxˆ Lyˆ Lzˆ 

(S)



(S) (S) (S) (S) (S) = Lzˆ ωyˆ − Lyˆ ωzˆ exˆ + Lxˆ ωzˆ − Lzˆ ωxˆ eyˆ + Lyˆ ωxˆ − Lxˆ ωyˆ ezˆ (7.47) erfordert die Auswertung von (7.6).

182

7. Anwendungen der Kinetik starrer K¨ orper im Raum

F¨ ur ein k¨ orperfestes Hauptachsensystem des Tr¨agheitstensors verschwinden die Deviationsmomente. In den Hauptkoordinaten ˜l = 1, 2, 3 ergibt sich dann f¨ ur (7.6) (S) ˜l = 1, 2, 3 (7.48) L = J˜ω˜ , ˜ l

l l

und damit aus (7.47) ω × L(S) =(J3 ω3 ω2 − J2 ω2 ω3 )e1 + (J1 ω1 ω3 − J3 ω3 ω1 )e2 + (J2 ω2 ω1 − J1 ω2 ω1 )e3

(7.49)

sowie f¨ ur (7.46) d
L(S) = J1 ω˙ 1 e1 + J2 ω˙ 2 e2 + J3 ω˙ 3 e3 . dt

(7.50)

Der Vergleich der Komponentenzerlegung der linken Seite von (7.44) mit der Summe aus (7.49), (7.50) liefert (S) L˙ 1 = J1 ω˙ 1 − (J2 − J3 )ω2 ω3 , (S) L˙ 2 = J2 ω˙ 2 − (J3 − J1 )ω3 ω1 , (S) L˙ 3 = J3 ω˙ 3 − (J1 − J2 )ω1 ω2 .

(7.51a) (7.51b) (7.51c)

Diese von EULER angegebenen Ausdr¨ ucke f¨ ur die Zeitableitung des auf den K¨ orperschwerpunkt bezogenen Drehimpulses k¨onnen in eine der Varianten der Drehimpulsbilanz (2.70) oder deren statische Interpretationen (2.80) eingesetzt werden. Sie liefern dort gekoppelte nichtlineare Differenzialgleichungen (EULERsche Gleichungen), aus denen f¨ ur bekannte Bewegungen die zu den Bewegungen geh¨ orenden Lasten bestimmbar sind. Die L¨osung des nichtlinearen Differenzialgleichungssystems f¨ ur gegebene Lasten ist schwieriger. Wir betrachten als Beispiel gegebener Lasten den so genannten momentenfreien Kreisel. Der Kreisel bestehe aus einem unbelasteten K¨orper, der um seinen Schwerpunkt rotieren kann. Dabei ist es bedeutungslos, ob der Schwerpunkt gem¨ aß (2.66) eine von null verschiedene konstante Geschwindigkeit besitzt oder nicht. (S) (S) (S) Nach Einsetzen von (7.51) in (2.70c) folgt wegen MG1 = MG2 = MG3 = 0 J1 ω˙ 1 − (J2 − J3 )ω2 ω3 = 0 ,

(7.52a)

J2 ω˙ 2 − (J3 − J1 )ω3 ω1 = 0 ,

(7.52b)

J3 ω˙ 3 − (J1 − J2 )ω1 ω2 = 0 .

(7.52c)

Wird in (7.52) eine konstante Winkelgeschwindigkeit vorausgesetzt, so ergibt sich aus dem verbleibenden algebraischen Gleichungssystem in Abh¨angigkeit

7.2

Impulsbilanzen bei Benutzung kinetischer Kenngr¨ oßen

183

von den Werten der Haupttr¨ agheitmomente eine Winkelgeschwindigkeit um eine bestimmte oder unbestimmte Hauptachse. Im Gedankenexperiment der Einf¨ uhrung m¨ usste deshalb der Rugbyball zur Erzeugung einer gleichm¨aßigen Drehbewegung mit einem Effet um eine seiner Hauptachsen getreten werden. Zu (7.52) sei jetzt eine Anfangsbedingung f¨ ur den Winkelgeschwindigkeitsvektor gegeben. Dann l¨ asst sich aus (7.52) die zeitliche Entwicklung des Winkelgeschwindigkeitsvektors berechnen. Die Anfangsbedingung habe die spezielle Form t=0,

ω1 = 0 ,

ω2 = 0 ,

ω3 = ω0 .

(7.53)

Eine L¨ osung, die (7.52) und (7.53) erf¨ ullt, ist offensichtlich ω1 = 0 ,

ω2 = 0 ,

ω3 = ω = ω0 ,

(7.54)

d.h. der K¨ orper rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um seine dritte Hauptachse. Hier erhebt sich die Frage nach der Stabilit¨ at der Drehbewegung gegen¨ uber kleinen Anfangsst¨orungen des Winkelgeschwindigkeitsvektors. Diese Frage wurde bereits in Abschnitt 2.3.3 gestellt und betrifft auch das in der Einf¨ uhrung besprochene Gedankenexperiment. Zur Beantwortung der Frage wird die durch die Differenzialgleichungen (7.52) bestimmte zeitliche Entwicklung uft. Es gilt der St¨ orung ∆ωi (t) des Winkelgeschwindigkeitsvektors (7.54) gepr¨ also ω1 = ∆ω1 ,

ω2 = ∆ω2 ,

ω3 = ω + ∆ω3 .

(7.55)

Die gest¨ orten Funktionen (7.55) werden in (7.52) eingesetzt, wobei das Ergebnis unter der Voraussetzung |∆ωi | |ω|, |∆ω1 ∆ω2 | |∆ω˙ 3 | nur in der ersten N¨ aherung J1 ∆ω˙ 1 − (J2 − J3 )ω∆ω2 =0 ,

(7.56a)

J2 ∆ω˙ 2 − (J3 − J1 )ω∆ω1 =0 ,

(7.56b)

J3 ∆ω˙ 3 = 0

(7.56c)

untersucht wird. Das lineare homogene Differenzialgleichungssystem (7.56) hat die L¨ osungen ∆ω3 = konst.

(7.57)

und ∆ωi = Ci eλt ,

i = 1, 2 .

(7.58)

184

7. Anwendungen der Kinetik starrer K¨ orper im Raum

Aus (7.56a,b), (7.58) folgt J1 λC1 − (J2 − J3 )ωC2 =0 ,

(7.59a)

−(J3 − J1 )ωC1 + J2 λC2 =0 .

(7.59b)

Eine nichttriviale L¨ osung des homogenen Gleichungssystems (7.59) f¨ ur die Unbekannten Ci erfordert das Verschwinden der Koeffizientendeterminante J1 J2 λ2 − (J2 − J3 )(J3 − J1 )ω 2 = 0 . Die charakteristische Gleichung (7.60) hat die Wurzeln  (J2 − J3 )(J3 − J1 ) . λ1,2 = ±ω J1 J2

(7.60)

(7.61)

F¨ ur (J2 −J3 )(J3 −J1 ) > 0 wird λ1 > 0, und in (7.58) w¨achst ∆ω1 mit der Zeit unbeschr¨ ankt an. Damit entfernt sich die gest¨orte L¨osung (7.55) von der Ausgangsl¨ osung (7.54). Letztere wird deshalb als instabil bezeichnet. Dieser Fall ur J2 < J3 und J3 < J1 ein, d.h. wenn sich tritt f¨ ur J2 > J3 und J3 > J1 oder f¨ der K¨ orper um die Achse seines mittleren Haupttr¨agheitsmomentes dreht. Bei Rotation um die Achse des kleinsten oder gr¨oßten Haupttr¨agheitsmomentes ist (J2 − J3 )(J3 − J1 ) < 0, und (7.61) liefert zwei imagin¨are Wurzeln. Dann entstehen in (7.58) periodische Funktionen. Die hier nicht ausgef¨ uhrte Analyse des unlinearisierten Differenzialgleichungssystems (7.52) in Verbindung mit (7.55) zeigt, dass die Drehungen um die Achsen der kleinsten oder gr¨oßten Haupttr¨ agheitsmomente stabil sind. Wir geben noch eine spezielle Form der Drehimpulsbilanz (2.67) in Bezug auf einen raumfesten Punkt O f¨ ur den Fall der Drehung eines K¨orpers in diesen Punkt an. Der Drehimpuls aus (2.67)  L = r × r˙ dm m

geht mit (1.39) in    2 L = r × (ω × r)dm = ω r dm − (r · ω)rdm m

m

(7.62)

m

u uglich des raumfesten Punktes als ¨ber. Hier sind der Ortsvektor bez¨ r=x ¯ex¯ + y¯ey¯ + z¯ez¯

(7.63)

und der Winkelgeschwindigkeitsvektor als ω = ωx¯ ex¯ + ωy¯ey¯ + ωz¯ez¯

(7.64)

7.2

Impulsbilanzen bei Benutzung kinetischer Kenngr¨ oßen

185

gegeben. Analog zu (2.71), (7.1), (7.2), (7.5), (7.6) entsteht aus (7.62), (7.63), (7.64)  L= Jk¯¯l ω¯l ek¯ . (7.65) ¯ k

¯ l

Weiter gilt wie in (7.44), (7.46) L˙ = ω × L +

 ¯ k

Jk¯¯l ω˙ ¯l ek¯ .

(7.66)

¯ l

¨ Beim Ubergang von Schwerpunkthauptachsen auf parallele Hauptachsen außerhalb des Schwerpunktes durch den Punkt O sind im Unterschied zu (7.51) die in (7.66) eingehenden Haupttr¨ agheitsmomente um die jeweiligen STEINER-Anteile gegen¨ uber den J˜l , ˜l = 1, 2, 3, aus (7.51) zu vergr¨oßern. Wir bezeichnen sie mit J¯1 , J¯2 , J¯3 anstelle von J¯l , ¯l = 1, 2, 3. Die Drehimpulsbilanz bez¨ uglich des raumfesten Punktes O f¨ ur die Drehung des K¨orpers um diesen Punkt lautet dann in der k¨ orperfesten Hauptachsenbasis e1 , e2 , e3 MG1 = L˙ 1 = J¯1 ω˙ 1 − (J¯2 − J¯3 )ω2 ω3 , MG2 = L˙ 2 = J¯2 ω˙ 2 − (J¯3 − J¯1 )ω3 ω1 , MG3 = L˙ 3 = J¯3 ω˙ 3 − (J¯1 − J¯2 )ω1 ω2 .

(7.67a) (7.67b) (7.67c)

7.2.1 Rotordrehung um eine raumfeste Achse

Als einen Anwendungsfall der Bestimmung von Lasten aus gegebenen K¨orperbewegungen betrachten wir in Bild 7.8 einen kreiszylindrischen Rotor, der sich in exzentrischer, windschiefer Anordnung um eine raumfeste Achse AB mit der bekannten Winkelgeschwindigkeit ω(t) dreht. Gesucht sind das afte in den Lagern A und B. Moment Mt und die Kr¨ FH y Mt ,

ey

FAy

ez =ez

FA z

ex

! FH z S O

A FA x

FH x

ey

FB y

e S

e B FB x

ez =ez

MH y

l1 MH x MH z

l2 Bild 7.8. Exzentrischer, windschiefer Rotor mit raumfester Drehachse

ey ex

ex

186

7. Anwendungen der Kinetik starrer K¨ orper im Raum

F¨ ur die L¨ osung dieser Aufgabe wird es erforderlich sein, die Bilanzen von Impuls und Drehimpuls zu benutzen. Es ist zweckm¨aßig, neben der raumfesten Basis ex , ey , ez eine sich mit dem Rotor drehende k¨orperfeste Basis ex¯ , ey¯, ez¯ einzuf¨ uhren, wobei die Orientierung der raum- und k¨orperfesten Drehachse durch ez = ez¯ beschrieben wird (Bild 7.8). Wir betrachten zuerst die spezielle Kinematik des Problems. Der Winkelgeschwindigkeitsvektor hat die Form ω = ωz ez = ωz¯ez¯ = ωez¯ .

(7.68)

Die Winkelbeschleunigung ist ˙ z¯ . ω˙ = ωe ˙ z = ωe

(7.69)

F¨ ur den durch die Exzentrizit¨ at e gegebenen k¨orperfesten Abstandsvektor des Rotorschwerpunktes vom raum- und k¨ orperfesten Punkt O ergibt sich im k¨ orperfesten Bezugssystem rS = eey¯ .

(7.70)

Unter Ber¨ ucksichtigung der Zeitableitung eines k¨orperfesten Vektors konstanten Betrages (1.42) folgen aus (7.64) die Schwerpunktgeschwindigkeit r˙ S = ee˙ y¯ = eω × ey¯ = eωez¯ × ey¯ = −eωex¯

(7.71)

und die Schwerpunktbeschleunigung ¨rS = −eωe ˙ x¯ − eω e˙ x¯ = −eωe ˙ x¯ − eω 2 ey¯ .

(7.72)

Die Impulsbilanz in der Form (2.66), die erforderlichenfalls Eigengewicht und andere Kr¨ afte enthalten kann, liefert mit (7.66) in Koordinaten des raumfesten Bezugssystems  : FA¯x + FB x¯ = −meω˙ , 2

↑ : FA¯y + FB y¯ = −meω , ← : FA¯z = 0 .

(7.73a) (7.73b) (7.73c)

Wegen der speziellen Bewegung des Rotors, n¨amlich der Drehung um eine raumfeste Achse, wird eine vereinfachte Drehimpulsbilanz erwartet. Wir gehen deshalb von der Drehimpulsbilanz bez¨ uglich des raum- und k¨orperfesten Punktes O aus und schreiben den Drehimpuls bez¨ uglich des k¨orperfesten Bezugssystems mit der Basis ex¯ , ey¯, ez¯ und dem Koordinatenursprung im Punkt

7.2

Impulsbilanzen bei Benutzung kinetischer Kenngr¨ oßen

187

O an. Mit (2.61) erhalten wir analog zu (2.71) und (7.5)  ¯l = x Jk¯¯l ω¯l , ¯, y¯, z¯ Lk¯ =

(7.74)

¯ l

und daraus wegen (7.68) Lk¯ = Jk¯ ¯ z ωz¯ ,

(7.75)

L = ω(Jx¯z¯ex¯ + Jy¯z¯ey¯ + Jz¯z¯ez¯) .

(7.76)

d.h.

Die Zeitableitung von (7.76) wird wieder unter Ber¨ ucksichtigung von e˙ x¯ = ωey¯, e˙ y¯ = −ωex¯ gebildet. L˙ = ω(J ˙ x¯z¯ex¯ + Jy¯z¯ey¯ + Jz¯z¯ez¯) + ω 2 (Jx¯z¯ey¯ − Jy¯z¯ex¯ ) ˙ z¯ . = (Jx¯z¯ω˙ − Jy¯z¯ω 2 )ex¯ + (Jy¯z¯ω˙ + Jx¯z¯ω 2 )ey¯ + Jz¯z¯ωe

(7.77)

Damit lautet die Drehimpulsbilanz bez¨ uglich des Punktes O in Koordinaten zur k¨ orperfesten Basis ex¯ , ey¯, ez¯


O : 

O :


O :

FB y¯(l2 − l1 ) − FA¯y l1 = Jx¯z¯ω˙ − Jy¯z¯ω 2 , 2

(7.78a)

FA¯x l1 − FB x¯ (l2 − l1 ) = Jy¯z¯ω˙ + Jx¯z¯ω ,

(7.78b)

Mt = Jz¯z¯ω˙ .

(7.78c)

Die 6 Gleichungen (7.73) und (7.78) reichen f¨ ur die statisch bestimmte Anordnung zur Ermittlung der 5 Lagerkr¨ afte FA¯x , FA¯y , FA¯z , FB x¯ , FB y¯ und des Momentes Mt aus. Es sei noch angemerkt, dass die Hilfslasten FH x¯ , ..., MH x¯ , ... in Bild 7.8 zur statischen Interpretation der Impulsbilanz (2.79) und Drehimpulsbilanz (2.80a) geh¨ oren. Es gelten mit (7.72) ˙ x¯ + eω 2 ey¯ FH = −FH x¯ ex¯ − FH y¯ey¯ − FH z¯ez¯ = −m¨rS = eωe

(7.79)

und mit (7.77) MH = −MH x¯ ex¯ − MH y¯ey¯ − MH z¯ez¯ = −L˙ ˙ z¯ . = −(Jx¯z¯ω˙ − Jy¯z¯ω 2 )ex¯ − (Jy¯z¯ω˙ + Jx¯z¯ω 2 )ey¯ − Jz¯z¯ωe

(7.80)

Die Vorzeichen der Hilfslasten ergeben sich aus der Vorschrift, nach der die Z¨ ahlpfeile in Bild 7.8 entgegen den Koordinatenorientierungen des Bezugssystems eingetragen wurden. Nach Einsetzen von (7.79) in (2.79) und von (7.80) in (2.80a) entstehen wieder die Gleichungen (7.73) und (7.78).

188

7. Anwendungen der Kinetik starrer K¨ orper im Raum

Die Gleichungen (7.73) und (7.78) lassen sich wie folgt diskutieren. F¨ ur verschwindende Winkelbeschleunigung ω˙ = 0, d.h. Mt = 0 in (7.78c), treten Lagerkr¨ afte auf, die gem¨ aß (7.73b) von dem Produkt eω 2 und nach (7.78a,b) 2 nur von ω und dem jeweiligen Deviationsmoment abh¨angen. Wird im technischen Fall e = 0 realisiert, dann verschwindet in (7.73b) die so genannte Unwucht, und der Rotor wird als statisch ausgewuchtet bezeichnet. Werden die Tr¨ agheitshauptachsen des Rotors parallel und senkrecht zur Drehachse ausgerichtet, dann entfallen die Deviationsmomente in (7.78a,b), und der Rotor heißt dynamisch ausgewuchtet. Beispiel 7.2 Gegeben sei der Rotor aus Bild 7.8, dessen Achse, jetzt in der y¯, z¯-Ebene liegend, mit der Drehachse AB den Winkel α bildet, w¨ahrend sein Schwerpunkt mit dem raumfesten Punkt O zusammenf¨allt (Bild 7.9). Er rotiere mit der konstanten Geschwindigkeit ω. Das Massentr¨agheitsmoment des Rotors bez¨ uglich der Zylinderachse sei J3 . Die verbleibenden Haupttr¨agheitsmomente haben den Wert J1 = J2 . Die Lagerabst¨ande nach Bild 7.8 sind uglich der l2 = 2l1 = 2l. Gesucht werden die resultierenden Lagerkr¨afte bez¨ k¨ orperfesten Basis ek¯ . L¨ osung: Die y¯, z¯-Ebene stellt eine k¨ orperfeste Symmetrieebene dar. Deshalb muss Jx¯z¯ verschwinden. Von (7.73), (7.78) verbleiben FA¯x + FB x¯ = 0 ,

FA¯y + FB y¯ = 0 , 2

FB y¯l − FA¯y l = −Jy¯z¯ω ,

FA¯z = 0 ,

FA¯x l − FB x¯ l = 0

mit dem Ergebnis FA¯x = FB x¯ = 0 ,

FA¯y = −FB y¯ =

ω2 Jy¯z¯ . 2l

Das Deviationsmoment Jy¯z¯ berechnet sich nach Bild 7.9 und der Auswertung von (7.23) gem¨ aß Beispiel 7.1 mit x ˜=¯ ˆ y , y˜=¯ ˆ z, x ˆ=2, ˆ yˆ=3 ˆ und ϕ0 = −α zu Jy¯z¯ = (J3 − J2 ) ·

1 sin(−2α) , 2

so dass sich die Lagerkr¨ afte zu FA¯y = −FB y¯ =

ω2 (J2 − J3 ) sin 2α 4l

ergeben. F¨ ur einen schlanken Rotor ist J2 > J3 , d.h. es gelten FB y¯ < 0 und FA¯y > 0. Dies entspricht der Anschauung von Bild 7.9, da rechts von der Ebene z¯ = 0

7.2

Impulsbilanzen bei Benutzung kinetischer Kenngr¨ oßen 2

!

189

y

3 z

A FA y

S x 1

B

3

FBy

2

l

l

Bild 7.9. Zum Deviationsmoment des Rotors

sich oberhalb der Achse AB eine gr¨ oßere Masse als unterhalb der Achse AB befindet. Das Ergebnis kann mittels (7.51), (2.80c) u uft werden. Wegen der Ab¨berpr¨ wesenheit von Einzelmomenten verbleibt von (2.80c)  (S) rSi × Fi − L˙ =0. i

F¨ ur ω1 = 0 und ω˙ 1 = ω˙ 2 = ω˙ 3 = 0 in (7.51) folgt daraus (S)

FB y¯l − FA¯y l − L˙ 1

=0

bzw. mit FB y¯ = −FA¯y (S)

2FA¯y l = −L˙ 1

= (J2 − J3 )ω2 ω3 = (J2 − J3 )ω 2 cos α sin α ,

und folglich FA¯y =

J2 − J3 2 ω sin 2α , 4l

d.h. das obige Resultat.




7.2.2 Rotordrehung bei bewegter Drehachse

Wir betrachten noch einen kreisscheibenf¨ ormigen Rotor R, dessen Achse RA in einem Stator ST gelagert ist (Bild 7.10). Der Rotor dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω um RA, der Stator mit der zeitabh¨ angigen Winkelgeschwindigkeit Ω = f (t) um die durch den Rotorschwerpunkt S verlaufende raum- und statorfeste x-Achse. Gesucht sind die auf den Rotor und den Stator wirkenden, zu den gegebenen Bewegungen geh¨ orenden Momente. Wir streben eine Darstellung der Momente auf der Basis der Beziehungen (7.51), (2.80c) an. Hierf¨ ur werden mehrere Bezugssysteme ben¨ otigt.

190

7. Anwendungen der Kinetik starrer K¨ orper im Raum

R

2

y 1 !t S x,x z,3

ST

R y z

RA

y S x,x

z,3

Bild 7.10. Rotor in bewegtem Stator

Das raumfeste Basissystem sei ex , ey , ez . Wir f¨ uhren zus¨ atzlich die mit dem Stator verbundenen Basisvektoren exˇ , eyˇ, ezˇ ein. Die rotorfesten Hauptachsen werden mit e1 , e2 , e3 bezeichnet. Zur Vermeidung von Symbolanh¨ aufungen enth¨ alt Bild 7.10 statt der Basisvektoren nur die zu den Basisvektoren geh¨ orˇ statt exˇ , 1 statt e1 usw. Gem¨ enden Koordinatenachsen, also x statt ex , x aß Bild 7.10 gelten ezˇ = e3 und ex = exˇ . Der rechte Bildteil vermittelt eine Sicht auf den Rotor in Richtung von −e3 . Der Winkelgeschwindigkeitsvektor Ωex wird in Richtung der mit dem Rotor rotierenden Einheitsvektoren e1 , e2 zerlegt, so dass die Beziehungen ω1 = Ω cos ωt ,

ω2 = −Ω sin ωt ,

ω3 = ω

(7.81)

folgen. Die Zeitableitungen von (7.81) sind ω˙ 1 = Ω˙ cos ωt − Ωω sin ωt ,

ω˙ 2 = −Ω˙ sin ωt − Ωω cos ωt ,

ω˙ 3 = 0 . (7.82)

Die Auswertung von (7.51) liefert dann mit J1 = J2 = J (S) L˙ 1 = J(Ω˙ cos ωt − Ωω sin ωt) + (J − J3 )Ωω sin ωt , (S) L˙ 2 = −J(Ω˙ sin ωt + Ωω cos ωt) − (J3 − J)Ωω cos ωt , (S) L˙ =0 3

bzw. nach Zusammenfassung und Einsetzen in (2.80c) die vom Stator auf den Rotor ausge¨ ubten Momente (S) M1 = L˙ 1 = J Ω˙ cos ωt − J3 Ωω sin ωt , (S) M2 = L˙ 2 = −J Ω˙ sin ωt − J3 Ωω cos ωt .

(7.83a) (7.83b)

7.2

Impulsbilanzen bei Benutzung kinetischer Kenngr¨ oßen

191

M1 M2

!t

y 1 !t 2

x

Bild 7.11. Umlaufende Momente

Diese mit den Rotorhauptachsen umlaufenden Momente zerlegen wir entspreachst chend Bild 7.11 nach der statorfesten Basis exˇ , eyˇ und erhalten zun¨ Mxˇ = M1 cos ωt − M2 sin ωt , Myˇ = M1 sin ωt + M2 cos ωt bzw. nach Einsetzen von (7.83) Mxˇ = J Ω˙ ,

Myˇ = −J3 Ωω .

(7.84)

Der erste Term beruht auf der schon bekannten Drehtr¨ agheit. Der zweite beinhaltet einen so genannten Kreiseleffekt, der bei Rotoren mit hoher Drehzahl große Werte annehmen kann. Die vom Rotor auf den Stator r¨ uckwirkenden Momente entsprechen denen aus (7.84) mit umgedrehten Vorzeichen. Beispiel 7.3 Bei der Kollerm¨ uhle nach Bild (7.12) rotiert die Achse A des kreisscheibenf¨ ormigen Mahlsteins M A der Masse m mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω um den raumfesten Punkt O. Gesucht ist die Mahlkraft zwischen Mahlstein und Unterlage. MA m

2R

A O

r

U mg

O

ex e1

e3 e2 e1

FU Bild 7.12. Kollerm¨ uhle

ex

192

7. Anwendungen der Kinetik starrer K¨ orper im Raum

L¨ osung: Der Mahlstein mit seiner Achse wird freigeschnitten. Die Lagerkr¨afte, die nicht bestimmt werden sollen, bleiben unbezeichnet. Wir f¨ uhren ein mit dem Mahlstein fest verbundenes Hauptachsenbasissystem e1 , e2 , e3 und einen raumfesten Einheitsvektor ex ein. Die Haupttr¨agheitsmomente des Mahlsteins bez¨ uglich seines Schwerpunktes sind J1 und J2 = J3 = J sowie bez¨ uglich des raumfesten Punktes O entsprechend J¯1 = J1 und J¯2 = J¯3 . Der Winkelgeschwindigkeitsvektor des Mahlsteins hat in seiner Hauptachsenbasis die Koordinaten r ω2 = Ω sin ϕ , ω3 = Ω cos ϕ ω1 = Ω = ϕ˙ , R mit den Zeitableitungen ω˙ 1 = 0 ,

ω˙ 2 = Ωϕ˙ cos ϕ = ω1 ω3 ,

ω˙ 3 = −Ωϕ˙ sin ϕ = −ω1 ω2 .

Die Auswertung der Gleichungen (7.67) ergibt damit MG1 = 0 , ¯ 1 ω3 − (J¯ − J¯1 )ω3 ω1 = J¯1 ω1 ω3 = J¯1 ω1 Ω cos ϕ , MG2 = Jω ¯ 1 ω2 − (J¯1 − J)ω ¯ 1 ω2 = −J¯1 ω1 ω2 = −J¯1 ω1 Ω sin ϕ . MG3 = −Jω Das resultierende Moment aus MG2 , MG3 ist gem¨aß Bild 7.12 r MGx = MG2 cos ϕ − MG3 sin ϕ = J¯1 ω1 Ω = J¯1 Ω2 . R F¨ ur die Kreisscheibe gilt gem¨ aß (7.37) J1 =

1 mR2 = J¯1 , 2

so dass sich MGx =

mRr 2 mR2 r 2 Ω Ω = 2 2R

aquivalente Moment der Kr¨afte FU und mg bez¨ ergibt. Das zu MGx ¨ uglich O folgt aus MGx = (FU − mg)r .

Damit wird die gesuchte Mahlkraft

FU = m Ω2 R/2 + g . Die Kreiselwirkung vergr¨ oßert also die durch das Gewicht erzeugten Anpress2
kraft um den Term mΩ R/2.

193

Erg¨ anzende und weiterf¨ uhrende Literatur Bronstein, I.N., Semendjajew, K.A., Musiol, G., M¨ uhlig, H.: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2001 Balke, H.: Einf¨ uhrung in die Technische Mechanik/Statik. Springer-Verlag, Berlin 2005 Bruhns, O., Lehmann, T.: Elemente der Mechanik I/Einf¨ uhrung, Statik. Verlag Vieweg, Braunschweig 1993 Bruhns, O., Lehmann, T.: Elemente der Mechanik III/Kinetik. Verlag Vieweg, Braunschweig 1994 Szabo, I.: Einf¨ uhrung in die Technische Mechanik. Springer-Verlag, Berlin 2002 Szabo, I.: H¨ ohere Technische Mechanik. Springer-Verlag, Berlin 2001 Gummert, P., Reckling, K.-A.: Mechanik. Verlag Vieweg, Braunschweig 1987 Pfeiffer, F.: Einf¨ uhrung in die Dynamik. B.G. Teubner, Stuttgart 1992 Schiehlen, W., Eberhard, P.: Technische Dynamik. B.G. Teubner, Stuttgart 2004 Magnus, K., Popp, K.: Schwingungen. B.G. Teubner, Stuttgart 2005 Dresig, H., Holzweißig, F.: Maschinendynamik. Springer-Verlag, Berlin 2005 Malkin, J.G.: Theorie der Stabilit¨ at einer Bewegung. Akademie-Verlag, Berlin 1959 Ziegler, F.: Technische Mechanik der festen und fl¨ ussigen K¨orper. SpringerVerlag, Wien 1998 Eringen, A.C.: Mechanics of Continua. Krieger Publishing, New York 1989 Truesdell, C., Toupin, R.A.: The Classical Field Theories. In: Fl¨ ugge, S. (Hrsg.): Handbuch der Physik, Springer-Verlag, Berlin 1960 Hamel, G.: Theoretische Mechanik. Springer-Verlag, Berlin 1967 Szabo, I.: Geschichte der mechanischen Prinzipien. Birkh¨auser Verlag, Basel 1996 Truesdell, C.: Essays in the History of Mechanics. Springer-Verlag, Berlin 1968

Index

195

Index Absolutbewegung 35 Absolutsystem 35 Abstimmungsverh¨ altnis 119, 123 Amplitude 108 ff. Anfangsbedingungen 9, 55 ff., 108 ff. aperiodischer Grenzfall 116 Arbeit 45 ff., 68, 87, 158 ARCHIMEDES 2, 54, 75

Eigenwerte 174 Einzelkraft 42, 50, 90 Einzelmoment 20, 42 ff., 72, 84 ff., 136 Erregerkreisfrequenz 118, 129 Ersatzfederkonstante 113 EULER 2, 53, 75, 182 EULERsche Formel 29, 36, 75, 180 EULERsche Gleichungen 182

Beschleunigung 9 ff. absolute 82 rotatorische 2 translatorische 2, 75, 103 Beschleunigungsvektor 7 ff. Bewegung 1, 5, 29 ebene 15 ff., 22 r¨ aumliche 15, 165, 179 Bewegungsgr¨ oße 52, 64 Bezugspunkt beliebig bewegter 77, 154 raumfester 77 Bezugssystem 2, 5 ff. bewegtes 36, 181 kartesisches 8 ff. k¨ orperfestes 166, 181, 186 raumfestes 6 ff., 50 ff., 156, 181 Bindungen 32, 43, 101, 107, 127

Feder 43 freier Fall 54 Freiheitsgrad 7, 19, 29, 101, 107, 156 Frequenz 16, 107 Frequenzverh¨ altnis 119 F¨ uhrungsbeschleunigung 37 F¨ uhrungsgeschwindigkeit 36 F¨ uhrungssystem 35

CORIOLIS 37 CORIOLISbeschleunigung 37 D’ALEMBERT 82 D¨ ampfer 44, 57, 113, 127 Deviationsmoment 167, 173 ff., 182 ff. Drehbewegung 2, 52, 55 ff. Drehung 1, 20 ff., 48, 90, 158, 165, 173 Drehimpuls 72 ff., 95, 166, 181, 186 Drehimpulsbilanz 2, 74 ff., 142 ff., 181 Eigenkreisfrequenz 109 ff., 128 Eigenmoden 129 Eigenschwingungen 108 ff.

Gangpolbahn 24 Gesamtimpuls 65, 73 Geschwindigkeit 6, 9 ff. absolute 36 Geschwindigkeitspol 24 Geschwindigkeitsvektor 8 ff., 46 Gleichgewicht 47, 71, 112 Gleichgewichtsbedingungen 41, 50, 82 Gleitreibungskraft 45 ff., 80 Gravitationsgesetz 42 Gravitationskonstante 43, 54 Gravitationskraft 43 Grundgesetze der Kinetik 74, 86 Grundgesetze der Statik 47, 71 Haftreibungskraft 80 Hauptachse 175 ff. Hauptachsensystem 173, 180 Hauptrichtung 176 Haupttr¨ agheitsmomente 174 ff., 184 ff. Hebelgesetz 54, 75 Hertz 16, 107 Hilfslasten 82 ff., 187 Hintereinanderschaltung 113

196

Index

Impuls 64, 72, 135, 186 Impulsbilanz 2, 74 ff., 107 ff., 135 ff. Impulserhaltung 64, 137 Inertialsystem 6 Joule 46 kinetische Energie 68, 87, 136 ff., 179 kinetische Grundgesetze 30, 103 Koordinaten kartesische 7 ff. nat¨ urliche 10 raumfeste 82, 92, 98, 102, 154 verallgemeinerte 32, 127, 153 ff. K¨ orper 1, 5 ff., 41, 47, 53 ff., 74 ff. kontinuierlicher 75 K¨ orperpunkt 5 ff. Kraft 1, 42 ff., 51 ff., 75, 87 ff. Kraftdichten 42, 75 Kr¨ afte 1, 2, 41 ff., 82, 156 dissipative 47 innere 65 konservative 47 Krafterregung 129 Kreisel 182 Kreiselbewegung 19 Kreiseleffekt 191 Kreisfrequenz 16, 107 Lager 32 LAGRANGE 153 LAGRANGEsche Funktion 160 LAGRANGEsche Gleichungen zweiter Art 153 ff. Lasten 2, 41 ff., 50 ff., 84 ff., 135 außere 43, 54, 84 ¨ eingepr¨ agte 43, 90, 102, 135, 154 LEHRsches D¨ ampfungsmaß 115, 122 Leistung 46, 48, 88 logarithmisches Dekrement 117 Masse 1, 41 ff., 50 ff., 165 schwere 42, 54 tr¨ age 42, 54

Massendichte 42, 51, 73, 92, 98 Massenmittelpunkt 51, 165 Massenpunkt 54, 89 Massentr¨ agheitsmoment 79 ff., 165 ff. axiales 167 ff. mechanischer Arbeitssatz 68, 86, 95 mechanischer Energiesatz 69, 86, 96 Moment 42, 48, 75 gesamtes resultierendes 47, 53, 72 ff. Momentanpol 24 Momente 2, 41 ff., 72, 75, 82, 156 ff. Momentendichten 42, 75 momentenfreier Kreisel 182 NEWTON 2, 52, 54 NEWTONs Bewegungsgleichung 51, 54 ff., 64, 71 ff. NEWTONsches Axiom 52, 75 NEWTONsches Grundgesetz 1, 75, 103 Ortsvektor 6 ff. Parallelogrammgesetz 6, 20, 42 Parallelschaltung 113, 123 Pendel 62, 101, 128 balistisches 142 mathematisches 111 Periode 109 Phasenwinkel 108, 121 Polarkoordinaten 14 Potenzial 46, 49, 86, 96, 160 potenzielle Energie 46 ff., 69, 87, 161 Punktmasse 1, 54, 89, 111, 120 Punktmechanik 2, 75 Radialbeschleunigung 16, 120 Rastpolbahn 24 Reaktionen 43, 59 Reihenschaltung 113 Relativbeschleunigung 37 Relativbewegung 32, 35 Relativgeschwindigkeit 36, 60, 136 Resonanzfall 119 Rotation 19, 24 ff., 51, 165 ff.

Index

Rotationsbewegung 53 Rotationsenergie 147, 160 ff., 179 Rotor 185, 189 dynamisch ausgewuchteter 188 statisch ausgewuchteter 188 Ruhe 1, 5, 50, 66 Satz von STEINER 91, 145 ff., 185 schiefe Ebene 60, 79, 88 Schnittprinzip 41, 53 Schnittreaktionen 53, 90, 97 ff., 153 kinetische 97 Schwerpunkt 2, 42, 50 ff., 71 ff., 136 ff. Schwingformen 129 Schwingungen 107 erzwungene 108, 118 freie 108, 118 ged¨ ampfte freie 115 unged¨ ampfte freie 109, 127 harmonische 108 periodische 108 Schwingungsdauer 107, 117 Stabilit¨ at 79, 183 starrer K¨ orper 5 ff., 50, 54, 74, 89 ff. station¨ are L¨ osung 121 ¨ statische Aquivalenz 53 statische Ruhelage 112, 141 Statistik 1, 75 Stoß 135 elastischer 139 exzentrischer 135, 142 gerader 135 plastischer 139 ff. schiefer 135, 148 zentrischer 135, 146 Stoßhypothese 137 Stoßmittelpunkt 144 Stoßnormale 135, 146 Stoßzahl 137 ff. Stoßzentrum 144 Tensoreigenschaften 31, 170 Tilgeranordnung 131 Torsionsfeder 44, 49, 114

197

Torsionsschwingung 110, 119 Tr¨ agheitslasten 82 ff., 97 ff., 110, 154 Tr¨ agheitsradius 170 Tr¨ agheitstensor 31, 167 ff. Translation 5, 19, 50 ff., 89, 162, 165 Translationsbewegung 19, 53 ff. Translationsenergie 147, 160, 179 Umfangsbeschleunigung 16, 91, 111 Umfangsgeschwindigkeit 16, 38 Unwucht 188 Unwuchterregung 121 Vektorbasis kartesische 8 Vektorkoordinaten 8, 15, 36, 68, 166, 181 verallgemeinerte Kraft 156 verallgemeinerte Last 155 ff. Vergr¨ oßerungsfunktion 119, 122 Verschiebungsvektor 6 Watt 46 Wechselwirkungen 41 ff., 53, 96 Wechselwirkungsgesetz 75 Wechselwirkungskr¨ afte 1, 43, 65 Wechselwirkungsmomente 1, 96 Wegunabh¨ angigkeit 46 Winkelbeschleunigung 16 ff., 79 ff., 159, 186 Winkelbeschleunigungsvektor 21 Winkelgeschwindigkeit 16 ff., 54, 79, 89 ff., 181 absolute 36 Winkelgeschwindigkeitsvektor 20 ff., 166, 183 ff. Wurfbahn 56 Zentrifugalmoment 167 Zentripetalbeschleunigung 16 Zwangsbedingungen 32 ff., 74, 85 ff., 143 ff., 153 Zwangskraft 60 Zwangslasten 59 Zylinderkoordinaten 13