6 . 1
intersection
the s u b s o a c e
us,
=
i,
. .,r
elements one has
;
H2(Xt,~)
generated
bv t h e s e
vanishing
t cycles
and
E
Recall
that
the
<~i,61.> = -2
to the h v..... nerDlane v n
g
p
so
p (yi)
H 2 (Xt,~)
subsoace
is such
formula
to
E
is the r e f l e c t i o n
orthogonal
~l-stable
subsnace,
. Then of
that
implies,
following
Let
the a c t i o n
to
6i
E
with
" Moreover
. resnect if
q,(yj)
that
= g
q,(yi)g
p(g) (~j)
, then
= ~6 i . H e n c e
the P i c a r d the
restriction
is i r r e d u c i b l e .
the
~l-Stable.
containing
-i
-X,t)
We r e c a l l
H2(Xt,~)
in
invariant
v
6 ~i(~
Lefschetz of
smallest
V the
facts
then denote
also the
assumption
7 1 (U,t)
from
[3].
If
T c H2(Xt,~)
its o r t h o g o n a l space on
comnlement
of a l g e b r a i c t
implies
cycle
that
V
is a T±
is
classes
in
is s t a b l e
under
307
Let I
X
denote
of the
subspace
restriction of
Theorem
man
~i - i n v a r i a n t
(2.2).
the points p (B i)
a resolution
Kee~ina
E
H2(X,~)
~ H2(Xt,~)
above
notations,
a r e o n a line
is u n i o o t e n t
for
Remark
case
that
and
these
act
v
Let
U'
=
for
i = l,...,r,
~l(U',t) implies U'
n _
has
E = E
the r e s t r i c t i o n
fundamental~groun
Let
the
of
nl(U,t)
unipotent
is a s e m i s i m p l e £ = {Id}
Corollary
the
image
assumptions
no t h r e e
restriction
~-module
Sunoose
of
of
. Then
theorem
are
fulfilled
is g e n e r a t e d
p (yi)
acts
p
E±
and E±
F
in t h e by
of
trivially factorizes
Xl,...,x s
only
nodes,
and
through
a r e o n a line,
plane
intersects
this
intersettion
is i s o m o r p h i c
in A u t ( E -t) . T h e n for
on
£
j = I ..... s-i
is c o m m u t a t i v e .
This
to the
is g e n e r a t e d . 9~oreover
implies
that
= I
that
of T h e o r e m
to
[53,'which
p(~j) j~±
el~ments
. Consequently
(2.3).
the
For a general
of a c u r v e w i t h
E83.
the
that
that
El
of
is a b e l ± a n .
U'
by
on
t h a t no t h r e e
grou D of
be
the
~±
fundamental F
with
v
~l(U',t)
abel±an
suppose
, ~l(U,t)
( X l U . . . U X s) . B e c a u s e
in t h e c o m p l e m e n t
hence
and
of t h e
triv~&lly
. The condition that
the i m a g e
= E s I
the c o n d i t i o n s
s = 1 , for in t h a t c a s e
yl,...,yr
Then
coincides
i = l,...,s-i
H2(Xt,~)
Proof.
X.
elements.
the
Xl,...,x s
to
of s i n g u l a r i t f e s of
all of
(2.2)
H2(X,~)
either
is a l g e b r a i c .
V = H2(X,~)
or
Then
V = I
.
under
3O8
Proof.
As
all of
is ~ l - S t a b l e
H2(X,~)
and
E
Remark.
One w o u l d
H2(X,~)
~ H2(Xt,~)
smooth
curve
H2(X,~)
Lemma Then
Proof.
is i r r e d u c i b l e ,
like
the
same
H2 (X,~)
and
H2 (X,~)
the
Z
is the
chain
H2(X,Q)
to
either
I
E c V
equals
the
. Because
or
image of
to show,
V
V c I = E±
of the man X
that
along
a
H2(X,~)
and
H2(Xt,~)
(or have
I c V
±s the b l o w i n ~ - u n
in
X
X ) is a r a t i o n a l the
same
image
in
homology
manifold
H2(Xt,~)
of m a p p i n g s
~ H 2 (X,~)
singular
manifold,
X
image
that
Consider
if
one has
X t , it is easy
SUDDOSe
homology from
in
(2.4).
H 2 (X,~)
where
to k n o w
Because
oonta±ned
have
is a l g e b r a i c ,
locus
H~(X,~)
= 0
H2(~-Z,~)
~ H 2 (X-Z,~)
of
X
~ H 2 (Xt,~)
. Because
for
k = 2,3
X
is a r a t i o n a l
so the r e s t r i c t i o n
mad
is an i s o m o r p h i s m . OED
This
lemma
applies
in p a r t i c u l a r
if
X
has
only
isolated
quotient
singularities.
3. W e i g h t e d We
first
projective
mention
For
proofs
Let
Q =
see
some
[6]
and
(q0 .... 'qn )
spaces. facts
concernin C weighted
nrojective
spaces.
[71. be a s e q u e n c e
of D o s i t i v e
intecers.
Let
S(Q)
309
denote
the
deg(zi) space
polynomial
= qi
of
Without
algebra
. Then
type loss
Q of
~(Q)
~[z0,...,Zn~
= Proj(S(Q))
~(m)
generality
denote
consider
~(Q)
u(q0 ) x ... We
are
In t h a t the with
one
may
at
~cd~a,b)
= 1
a
and
4 has
Suppose
, N =
is
H2(S,~)
th
that
nrojective
that
to
1
roots
of
in t h e if
and
of
are
~n
for
all
of u n i t y .
under
only
from
to
theorem
Picard
case
the
n = 3 if
i
.
Then
one,can
dia~onal
i. W e
group
~
is
us
, and
equal
first
1 , we
tells
Then
action
~(Q)
g c d ( q i , q j)
singularities
equal
1
but
~2
b
> 1
. The
of
are
that for
=
1
to
the
i # j of
Q =
smooth
of
only
number
that
a aeneral
surfaces
for
the
assume
in
has
(l,l,a,b)
classical
surface lower
of
degree
degree
all
. A basis
image
is
of
a cone
S(Q) b
P(Q)
in
over
embeds
the
b-fold
Veronese
.
be
the
intersection
d
in
~N
of
. Projection
is a c o v e r i n g
of d e g r e e It
b
a =
of
S
assume
equal m
quotient
(b+l) (b+2)/2
embedding
that
weighted
such
is a l g e b r a i c .
that
degree
of
different
Noether's
cohomology
S
the
number
are
Then
Let
the
which
least
~N
as
is
group
interested
case
If b o t h case.
the
singularities
qi
the
grading
× ~(qn )
mainly
isolated
is
the
.
gcd(q0,...,qi_l,qi+l~...,qn) Let
with
of
~(Q) from
~2
of
with the
dearee
a general
vertex d
_ P
, with
hyoersurface
of
the
cone
of
shows,
a ramification
curve
bd(d-l)
shown
in
[7]
that
is a l g e b r a i c
if
pg(S) and
= dim
only
if
S(Q)b(d_l)_3 Dq(S)
= 0
, and , i.e.
all
of
b(d-l)
< 3
.
310
Thus the
one
obtains
fact
that
from
S
is
Theorem
(2.2)
and
simply-connected,
Lemma that
(2.4), Pic(S)
together ~
~
with
, except
in t h e
case d=2
, b=2
, S
is a d o u b l e
a smooth to Remark
Next the
that
d =
suppose
1
a,b
points
(0,0,i,0)
under
It is
sufficient
to
An
notations affine
acts at
on
of
T 1 on
by L
(6,0)
f:
({3,0)
({,0)
Let
A
~
the
on
[
involves
only
are
at in
0 M
. We
diagram
of
[
respect
to
A
We
sketch
the
impose is
xI =
of
is
map
7 noints.
the ~3
p (B I)
along
isomorphic
tO
p2
1 . Then
maDDing
the
ramified
isomorphic
is
~
.
~(Q)
noints
is
isomorphic
(~x,~v,~az)
hull
~3 w i t h
of
then
condition
to
A
and
determines
and
the
b
= X
has
(0,0,0,i)
p(Q)
.
uninotent.
: 0
We
on [hat
the [
where
a~local
keep
a ~erm
guotient
of
function
mapping
a germ
u+v+aw}
Taylor
such
Ub
narameter
. Because
, the
x,y,z
~3/u b
divides
m + ~ +3
U m~M
in
to
. Choose
with
f(0)
monomials
the
equal
in
, images
comnosition
convex
function
S
=
pencil
by
invariant
so
gcd(a,b)
{~(u,v,w)(~31u,v,w~0,u+v+w>0 denote
~2
~2
is
quotient
of
and
of
2.
. A Lefschetz
(X,x I) ~
M =
section
S
x2
that
~. (x,y,z)
f:
Let
and
show,
uD o f
but
the
curve,
that
> 1
neighbourhood 63
blowing
xI
resp.
the
quartlc
implies
that
singular
the
covering
that
pencil,
f
is
expansion the
that
an of
exponents
the
is n o n d e g e n e r a t e
Newton with
. proof
that
the
monodromy
transformation
of
f
at
xI
311
is
unipotent.
On which
Following
ub
acts
and
Y = ]P(A)/Ub
. Then
One
that
can
f o ~
is
show is
transverse
A'Camoo's
to
the
formula
(cf.[l])
this
implies
associates
a proper
~:
variety, transform
Y
a slight
. By
characteristic
that
the local
variety
of
~3
y ~ ~3/~ b c X
strict
of
a toric
modification
mad
a toric
the
strata the
one
a Droner
ag&£n
that
for
A
is
has
is
and
to
which
one Y
reduced
[2]
that
the
of
. Let
.
div£sor
f-i (0)
monodromy
of
of f
of
in
~eneralization
polynomial
~(A)
the
Y
Of
monodromy
at
xI
is
uninotent. We
omit
be
aware,
to
a special
not
the
detailed
that
by
gcd(~,B,¥)
b
for
To
embed
d
=
all
6 IN.
the 1
plane
. The
the the
the
for
a unique
of
that
of
Namely,
exists
supported
fact
property
fulfilled.
1 there
the
Proof
above divisor
Newton
compact
positive
integer
+
Bv
special
of
diagram
every
~u
statements.
+ yw
f
o ~
A
, which
face
a
m(a)
= re(a)
However is
of
, such
with
property
of
A
is
space
use
a basis
reduced in A
is
of
If
in S
a pro,jective is
a general
pg(S)
b2(S)
= 9
Question:
is
a is
6 IN
m(a)
and
divides
a X
pg(S)
due
codimension
we
hypernlane
section
of
S(Q)ab d
of
X
, one
and
b
= 3
has
formula
so
should
general
that
~,~,¥
that
one
= 0
if
a~d
only
= dim
ff
d =
S(Q)abd_a_b_
1 , a =
2
2
. give
a direct
geometric
description
of
S
. Then
for the
some
312
We
end
Let ~3
with
an
example
X = ~(1,7,5,11) =
for
(0,0,0,1) the
have of and which
is
not
is has
p(B 3)
do.
consider
We
d 6 ~ If
the
, i =
convex
X
of
, x2 =
Newton 1,2,3
mentioned hull
points
(0,0,i,0)
diagram, . Then
the
diagrams
but
of
vertices
the
=
and
constructed
above,
4u+6v+9w
plane
occur.
A3
22
has
as A1
not.
and The
(1,3,0) , so
above
,
m(o)
A2
face
(4,1,0) =
22
ii
t±ivially
on
E±
as
embedded
in
where
on
a lin~
evezM
x3
One
here, ~n
by
because
p(6 I)
a basis
of
and
S(Q)385d
p (~2) ,
.
contain
hyperolanes
Hence
the
supporting
acts
Xl,X2,X 3
would
the
a divisor
Still
xi
singular
(0,i,0,0)
be
property
A3which (1,0,2)
Ai
point
special
three
, xI =
. Let
singular
the
where
we
can
obtains
corresponding
apply
Theorem
kvDernlane
containinq
a contradiction to
(2.2)
55d zI
the
forms
to
~(1,7,5,11)
to
this
77d , z2 .
xI
and
considering and
35d z3
x2
313
REFERENCES [i] N. A'Camno,
La fonction
Helv. [2] V.I.
Danilov,
50,
233-248
Newton
[4] P. D e l i g n e
Th6orie
analysis de Hodge
& N. Katz,
SD±inger
and v a n i s h i n g
and its amol. II.
Grouoes
alg@brique.
Publ.
de m o n o d r o m i &
SGA 7 II. Lecture
[6] C. Delorme,
Esnaces
anisotroDes.
[8] H.A.
103,
203-223
Ann.
Un th6or@me Sc.
Equivalence
Vol.
On the
ENS 6,
relations
Geometry,
Arcata
XXIX,
Soc. Math.
55,
Mimeographed
de Zariski
317-366
1974.
du type de
Proc.
cycles. AMS
In:
Sym m.
(1975).
orouD of a n - a l g e b r a i c
255-260
notes.
(1973).
on a l g e b r a i c
129-164
fundamental
J. of Math.
1979'80.
(1975).
1975/1976.
Pure Math.
Amer.
(1971)
340,
Bourbaki
Bull.
State U n i v e r s i t y
H a m m ~ L~ Dung Trang,
van Kampen,
in Math.
Sem.
varieties.
Algebraic
E.R.
5-57
en g~om~trie
projective
Lefschetz.
i0
Drojectifs
Weighted
[9] R. Hartshorne,
(1979).
1973. conjecture,
Moscow
32-47
IHES 40,
Notes
Proof of Zariski's
[7] I. Dolgachev,
Math.
cohomology.
13,
Math.
[5] P- Deligne,
France
Comment.
(1975).
polyhedron
Functional [3] P. Deligne,
z@ta d'une monodromie.
curve.
(1933).
M a t h e m a t i s c h Instituut der, R i j k s u n i v e r s ± t e i t Leiden, W a s s e n a a r s e w e g 80, 2333 AL Leiden, The Netherlands.
VAR
I ETES
MULTIPLICITES POLAIRES,
POLA
IRES
I I
SECTIONS PLANES, ET CONDITIONS DE WHITNEY
Bernard
TEISSIER
SUMMARY
To e a c h a sequence
reduced
of
equidimensional
d integers~
where
analytic
d = dim OX
algebra
OX, x ~
for
O~ k ~ d - l ,
o f X~ a s
defined
Pk(X)
b y L5 D . T .
One c a n v i s u a l i z e sentative closure
of in
singular at
x is
(X,x)
X° o f X i s
embedding.
It
is
Theorem
:
Let
of
denoted
are
i)
purely
: Pick
linear
of the
of the
by mx(Pk(X)). purely of X.
k or
general
the
multiplicity
k
at
that
EN ~ E d - k + l
p:
plX ° o f p t o empty,
linear
its
x.
a point
The
the
non-
multiplicity
projection
P o ( X ) = X. I p r o v e
d-dimensional Given
of eodimension
an e m b e d d i n g X ~ E N o f a r e p r e -
restriction
Note
j
variety
projection
of codimension
choice
subspace
e~uivalent
The p a i r
ii)
a general
polar
and m denotes x
follows
X be a r e d u c e d
and Y a non-singular ditions
as
locus
the
local
and myself~
critical
independent
a general
Pk(X)
and take
X of the
part
is
associate
~X
MX, x = { m x ( X ) , m x ( P l ( X ) ) , . . . , m x ( P d _ l ( X ) ) where
one can
p and of the here
complex-analytic O C Y, t h e
the space~
following
con-
:
(X°,Y)
satisfies
The map f r o m Y t_oo ~ d
the
given
Whitney
by Y~ Mx,y
conditions
at
.i.s c o n s t a n t
O. in
a neighbourhood
of O in Y . Equivalently, only
if
along
one o f t h e
Y at
the
following
surface
projection
general
not
local
satisfy
polar
the
Whitney
varieties
Pk(X)
shows the
general
conditions is
not
at
0 if
and
equimultiple
O.
So t h e is
(X°~Y) d o e s
onto
picture
i n ¢3 d e f i n e d the
(x,t)-plane
already
b y y2 - x 3 - t 2 x 2 = O, Y i s :
the
curve
defined
the
phenomenon : here t-axis,
X
and p i s
by x + t 2 = O, y = O i s
the a
315
general not (see
polar
satisfy Chap.
curve the
for
Whitney
X,
it
is
not
conditions
equimultiple
at
O, w h i c h
along is
Y so
obvious
(X°~Y)
from the
does definition
III)
t
X
x
Y P
An i m p o r t a n t variant
of the
multiplicity with
germ
feature (X~x)
of the which
c a n be c o m p u t e d
X of a general
sequence
can be computed
by counting
(N-d)-plane
MX~x i s
the
i n ~N n e a r
that
it
is
topologically,
number
x (see
of points
Chap.
an analytic just
like
inthe
of intersection
IV a n d V I ) .
316
C O N T E N U
Cbapitre
O -
INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
318
Chapitre
I
DEPENDANCE I N T E G R A L E SUR LES IDEAUX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
324
-
§ O.
Introduction
§ 1.
Crit~res
§ 2.
Un exemple
: les id@aux
§ 3.
D6pendance
int&grale
§ 4.
ClOture
§ 5.
Le principe
§ 6.
Saturation
Chapi%re
II
-
de
......................................................
324
d6pendance
325
int@grale
int@grale
................................
engendr~s
par
des mon~mes .............
336
de ~ o j a s i e w i c z ..............
338
et m u l t i p l i c i t @ s ....................
339
et in6galit@s
d'id@aux
de s p @ c i a l i s a t i o n
de la d@pendance
int@grale ......
lipschitzienne ........................................
IDEAL JACOBIEN,
343 349
M O D I F I C A T I O N DE NASR E T T H E O R E M E DE B E R T I N I
IDEALISTE ...............................................................
362
§ O.
Introduction
362
§ 1.
Id6al
§ 2.
Th@oreme
§ 3.
Id@al
§ 4.
Espace
Chapitre
IIl-
......................................................
jacobien de
relatif
Bertini
3acobien
........................................... id@aliste
362
..................................
371
et t r a n s v e r s a l i t 6 ................................
conormal
d'un espace
STRATIFICATIONS
analytique
plong@ ..................
...............................................
§ O.
Introduction
§ 1.
Conditions
d'incidence
§ 2.
Conditions
de
§
3.
Stratifications
d@finies
§ 4.
Stratifications
et
§ 5.
Stratifications,
382
...........................................
383
Whitney ............................................
transversalit6
transversalit6
des
conditions
387
num@riques..
......
............................... et
6clatements
378
382
......................................................
par
377
.................
401 402 411
317
Chapitre
IV - V A R I E T E S
POLAIRES..
§ O.
Introduction**
§ l.
D~finitions
§ 2.
Exemples
§ 3.
Multiplicit@s
§ 4.
Vari@t@s
§ 5.
Transversalit@
§ 6.
Mini-formulaire
Chapitre
V -
...........................................
........................ des
vari~t@s
,.o,.,
polaires
416
........
. ............
..............................
417
......................................................... des
vari@t~s
polaires
et des
polaires conormal
vari@t@s
polaires..
pour
les
LE THEOREME P R I N C I P A L
vari@t@s
423
............................
espace
416
425
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
polaires
....................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
431 433 450
454
§ O.
Introduction
§ 1.
La d@monstration
.................................................
454
§ 2.
Version
.................................................
470
Chapitre
VI
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
relative
454
- CONSEQUENCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
474
§ O.
Introduction
474
§ 1.
Exemples
.........................................................
474
§ 2.
R@ponse
a une
476
§ 3.
La stratification
§ 4.
La r@ciproque
§ 5.
Rapport
§ 6.
Sur
avec
....................................................
question
de Zariski
de Whitney du t h ~ o r e m e le
cas
l'@quisingularit~
des
..............................
canonique
de
Thom-Mather
hypersurfaces
~ la
d'un
Zariski..
4~ 4~
espace
analytique
......................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................
478 480 484 484
318
I N TR
0 D O C T I ON
§ 1. "Tu n'es qu'un mortel, aussi ton esprit doit-il nourrir deux pens4es ~ la lois.
"
Ba cch yl i de
Tout
ce texte
est
la
r@alisation
[Te
l].
Rappelons
comprendre
le
analytique, A)
est
consacr@
de l a
pattie
entre
sa
structure
et
la
OX, x p u r e m e n t
(une multiplicit@
de X e t
un point
non-singulier
Le c o u p l e
Remarque
:
(pour
d6finition
une
impliqu6es d'autre
part
4.3.1).
Elles Mather
des
Y~Mx,y (X°,Y)
ont
conditions
[Ma],
6t6
d'un
ensemble
qui
cons~cutif
d'un
des
O E ¥,
on a i r
est
constante
de W h i t n e y voir
que, d,
effort
pour
alg@brique
r6sultats par et
sur
conditions
des
ou
III,
Whitney
entre
dans
Y
de O. au v o i s i n a g e
O.
diffbrentielles qui
d'une
Chap.
topologique [W] e t [H 3 1 .
ana-
:
de W h i t n e y
(cf.
discret
analytique
Y au v o i s i n a g e
2.2.1)),
[H 1 ] ,
ensemble
comple
doun@s un espace
conditions
de t r i v i a l i t ~
Hironaka
analytique
un sous-espace
@quivalence
sont
(Chap.
brant
alg6bro-gbom6triques
introduites
~ojasiewicz
fa£on
les
algSbre
@ l ~ m e n t MX~ x d ' u n
de d i m e n s i o n
satisfait
precise,
impliquent
r@sultat,
du p r o g r a m m e
~ cbaque
dun
de t e l l e
purement
Les conditions
par
alg@brique
de d i m e n s i o n
r@duit
ii)
seul
~ l'int@rieur
: Associer
g@n@ralis~e)
L'application
d'un
topologique.
complexe
i)
s'inscrit
structure
lytique
[Th],
qui
[ ~ _ ~ [ ~ 1 ~ 2 ~
xe r~duite
d@monstration
alg~bro-g~om@trique
ce programme,
lien
a la
part
III,
sont
2.5.1)
(Chapitre
6tudi6es
par
et VI e
Thom
319
~£}~£_}2P2}2g~9~£ :
~)
topologie
de
l'ensemble
Les r6sultats ou X e s t le
r~le
x et
analytique
de [ T e
une hypersurface
de M i l n o r
Chapitre
YI,
et
Mx
dont
, pour
~x
le
lieu
x ~ Y, b r a n t
sup6rieure
ou 6 g a l e
a la
pour
des
du r 6 s u l t a t
tenu
sur
cas
¥ est par
dimension
la
le
suite
~
de ~ d + l
des
passant
par
de Y.
de ce t r a v a i l ,
partie
particulier
non-singulier~
la
g6n6raux
principal
renseignements
de l a
de x.
singulier
des plans
pr6cis
de HX,x en t e r m e s
ce p r o g r a m m e d a n s
de X p a r
Pour un 6nonc6 V,
r6alisaient
des sections
de c o d i m e n s i o n
Chapitre
1]
interpr6tation
X au v o i s i n a g e
de ~ d + l
de l a m u l t i p l i c i t 6
nombres
Donner une
voir
topologique,
le
voir
le
§ 4.
§2. Cette vari~t~s
g~n~ralisation
polaires
(X~O) ~ ( ~ N , o ) ~
locales
r~duit
ment une vari~t~
et
repr~sentant
tion
lin~aire
g~n~rale.
critique
de l a
La m u l t i p l i c i t ~
O~k~
d ~ p e n d en f a i r Par celle
l~aide techniques de lier
la
1],
la
restriction
de r ~ s u l t a t s
locales
techniques
qu'il
stratifi~,
des r~sultats
est
des
analytfque in~ormelle-
k de X comme c e c i une
l'adh~rence
:
projecdans X
non-singuliere
X° de X.
[mo(Pk(X,O) ; Ogk~d-1]C ~d
g~n~rales
de r o u t e s
cette
suite
les
codimen-
d~entiers
ne
OX~ O .
substantiellement
raisonner
par
On p e u t
s'agit
si
des
plus
simple
r~currence
sur
d'ailleurs
r~sumer
du d ~ b u t
en o u t r e
des adherences
[L~-Te]
d~crire
p : ~N~¢d-k+l
suite
sin~uliers,
muni
soit
IY q u e
analytique
peut
On p e u t
partie
polaires
au C h a p i t r e
des es~aces
g6n~rales sont
la
de t r a n s v e r s a l i t ~ .
e m p l o y ~ s en d i s a n t
comme e n s e m b l e
est
est
d •
Pk(X,O)
de p a l a
d~monstration lion
et
polaire
dans
a un germe d ' e s p a c e
de c o d i m e n s i o n
(X,O),
cSerch6e
ltalg~bre
puisque
transversalit~
polaires tats
q u e de
ailleurs
de [ T e
g~n~rale
Une v a r i ~ t ~
On m o n t r e
l'introduction
de d i m e n s i o n
en O d e s v a r i ~ t ~ s d-1.
par
associ~es
du g e r m e
g~n~ralis~e
des multiplicit~s k,
purement locale
XCC Nun
sions
g~n~rales
polaire
Soit
du l i e u
a ~t~ permise
d'une
th~orie
que
d i m X - dim ¥ les
syst~matique
l ~ o n c o m p r e n d un e s p a c e
en c h e q u e strates.
de t r a n s v e r s a l i t ~
point
moyens
singu-
des vari~t~s
Les principaux : transverdalit~
r~sultd~une
320
vari6t6 (cf.
polaire
Chap.
locale
IV)
(Chap.
posera
pour
souple
et
sous
de cN g 6 n 6 r a l e
en O d ' e s p a c e s
cipal
au n o y a u
transversalit6,
non-singuli~re limites
g6n6rale
V) p a r a ~ t r a parler
celles
h X° ,
d'ailleurs
et
sans
qui
etc.
aussi
d'une
contiennent
plus
vid6
~ la
d6finir
hypersurface
Y ~ routes
La d 6 m o n s t r a t i o n
d'espaces
doute
servant
conditions,
beaucoup
de t r a n s v e r s a l i t 6
puissant,
projection
certaines
parmi
tangents
de l a
simple
du t b 6 o r ~ m e p r i n -
le
singuliers
les
jour
d'un
de g 6 o m b t r i e ,
oh l ' o n
langage
que
la
disaussi
topologie
alg6brique.
§ 3.
"Si le langage ~tait parfait,
l'hon~e cesserait de penser." Paul Val4ry
Provenant suit
d'un
un i t i n 6 r a i r e
De p l u s
je
cours,
que
me s u i s
il
,
me s e m b l e
rant
le
possible,
: d'une
ractbristique r~daction
z6ro
que
et
tr~s
puisse
transversalit~
des
patrols
deux extremes
sous-analytique
et
la
de t o u r i s t i q u e . d'un
part,
d~montrant
langage
des espaces Par
ailleurs~
r~daction,
entre
algbbrique,
d'autre
r~elle
mais
p e u commode.
de d ~ f o r m e r
compietement clos,
quaiifier
de l a
intbressant,
aig~briquement
au b u t ~
rudiments
~tant
en c h a c u n
droit
premiers
de p a r l e r
une r~daction
en g ~ o m ~ t r i e
l'on
les
gbom~trique
globale,
part
ne v a p a s
de c r 6 e r
permettant
langage
sa structure
trouve
j'aimerais
efforc~
alg~bro-g~om~trique singuliers
ce t e x t e
en r e s p e c
lesquels sur
elle
un c o r p s
mutatis
se
de c a -
mutandis,
un a n a l o g u e
une
du t h ~ o r e -
me p r i n c i p a l .
§ 4. Les principales de
(Chap.
condition pour tique
III,
sources
2.3.1)
qui
d'apres
d'6quidimensionnalit6
impliquer
les
d'invariants
conditions de l a
de ce
des
travail une
id6e
fibres
sont
d'une
de I t i r o n a k a d'un
certain
de W h i t n e y ~ e t d ' a u t r e
g6om6trie
d'un
espace
part
part
la
permet
construction d'6noncer
une
morphisme suffisante la
X au v o i s i n a g e
recherche
syst6ma-
d'un
x
point
321
dam,; l a par
et
la
x ou u n p e u ~ c ~ t 6 ,
faite et
g6om6trie
par
(:hap. la
la VI,
foi
4.2).
et
les
sur
ailleurs~
prouvb
que
sur
chaque
strate
ont
J.P.
pour
([L$-Te~)
la
chaque
comme l ' e s t
met p a s
de t i r e r
conditions a priori c15
du C h a p i t r e
Henry
(cf.
]ocale
Eu (X) x
de W h i t n e y
des vari~t6s
la multiplicit6 la
preuve
un r ~ s u l t a t
de
la
seule
6.1.1
beaucoup
de c o n t o u r topologi-
assez
concernant
les
de X. P u i s q u e
10.2) constante
L~ D . T .
I1
et
que
par
constante
Hironaka
sur
[H 1] .
de [ B - S ]
ne p e r -
(X°~Y) s a t i s f a i t
fautpourutiliser
sugg~r6
surfaces
de X e s t
topologique
hypothese
O~ Y .
m'a 6t6
Corollaire
de M a c P h e r s o n e s t
d'apres
une m6thode utilisant
Y~ Lemme q u i
[B-HI)
dolt
de n a t u r e
([B-S]~
polaires
de X
que
faible
IV,
d-1 k Eu (X) = Z ( - 1 ) mx(Pk(X,x)) ~ la x k=O
cependant
plus
(Chap.
des m~thodes
informations
Schwartz
formule
de ! ~ h i t n e y en u n p o i n t bien
des
pr6cis6ment
elle-mSme
l'utilitb
M.H.
stratification
des multiplicit6s
11 J ' a u t r e m a r q u e r
et
d'Euler
somme a l t e r n 6 e strate~
obtenir
Brasselet
d'une
en
est
montrent
polaires
de X p a s s a n t
singularit~s.
l'obstruction
prouv6
Zariski
g6n6rales
La j o n c t i o n
comme l e
des vari6t6s
de Thom e t
les
planes
dimensions.
polaires
th6orie
de d i s c r i m i n a n t
ont
l'auteur
de r o u t e s
Cette
alg~brique Par
des sections
des vari6t6s
communicative
apparent queet
th6orie
topologie
cette
les
hypotb~se
de l ' a l g ~ b r e ~
comme l e
Lemme-
un r 6 s u l t a t
de B r i a n g o n
et
dans ~3.
§5. Ce t e x t e
est
la
r~daction~
donn~ ~ l 'U n i v e r s i d a d
Complutense
courte
note
Je
invJt~
a donner
( [ Te 5 ] ) .
par~;iculi~rement notes
d'une
tinentes f~rence
ce c o u r s ~
sur
le
pattie
contenu.
de La R a b i d a ~
chaleureux
et
l'~quipe
efficace
ou j ' a i
le
vivante
hlonso-Garcia
du c o u r s e t Je
pour
de M a d r i d
veu~ remercier
Maria-Emilia
grande
fiddle
ont
veux aussi pr~sent~
que tous
les
les
grandes
lignes,
en S e p t e m b r e Professeur
fair
remercier
Ignacio
d~veloppant
hbellanas
de m ' a v o i r
des
ont
ont
une
et
r~dig~ les
observations
organisateurs
un r ~ s u m ~ d e s r 6 s u l t a t s ~
participants
auditeurs~
Luengo qui
de n o m b r e u s e s les
cours
1980~
e£ s y m p a t h i q u e et
d'un
de pour
pu a p p r ~ c i e r .
per-
la Conl'accueil
Pendant
la
322
r6daction j'ai J.P.G.
s
b 6 n 6 f i c i 6 des c o n s e i l s ~ c l a i r 6 s de L~ Dung Trang, Michel Merle,
Henry e t C. Sahbah. En p a r t i c u l i e r j e s u i s i r e s r e c o n n a i s s a n t a Merle
e t Henry d ' a v o i r t i t 6
l a t h 6 o r i e d'une o r n i e r e en dbcouvrant q u ' i l
fallait
r e m p l a c e r l a m o d i f i c a t i o n de Nash par l e morphisme conormal dans l a d6monstrafinn. Marie-Jo L6cuyer a a s s u r 6 l a frappe avec sa comp6tence e t son a m a b i l i t 6 coutumieres, e t a L'6nonc6 e t
r 6 a l i s 6 l e s d e s s i n s avec t a l e n t e t i m a g i n a t i o n . l e s i d 6 e s p r i n c i p a l e s de l a preuve s o n t n6s au c o u r s de
s 6 j o u r s a ] a Fondation des T r e i l l e s en 1979-80, e t l a r ~ d a c t i o n f i n a l e y a bt6 f a i t e .
l a p l u s grande p a t t i e de
Je r e m e r c i e Annette Gruner-Schlumberger
d ' a v o i r crY6 un l i e u de t r a v a i l a u s s i e x c e p t i o n n e l .
323
QUELQUES CONVENTIONS
1)
On s e
pr6sentant sens
de
2)
permettra "assez
"assez
Etant
notera
donn6s
souvent
I
5)
Etant
est
donn6s
(~ ( X - f - l ( F ) ) .
f-l(s)
est
X~Y
strictement
de
ferm6
des
sup6rieure
points
f appara~t
dans
un
diagramme
un 6 c l a t e m e n t
Le m o r p h i s m e f est
(Ceci
appel6
est Dans
strict
f' : X~S o
de
dans
cas
de X p a r
FcS
o
× S S o
ou f
e •
le o
est
l'espace
transform6
utilis~ le
et
strict Chapitre
est
Le
I
de O¥ on
d'anneaux par
rare
transform6
dans
dimS
P : A,B
et
un
P(I).
analytique
dans
canonique
FcS
et
strict
un
de H p a r
X de
trois
(cf.
cas
: celui
dimension Chap.
le
r6sultat
IV,
5.4.2)
ouf
de
III,
§ 5)~
6rant et
la
alors
enfin
celui
:
S
ou e e s t
d'id6aux
s E S o~ l a
~ dimX-
un morphisme).
l'homomorphisme
n (X- f-l(F)) de c e c i
un r e -
contexte.
faisceau
on a p p e l l e r a
servirons
X
par
un
f-l(H)
explicitement
de B e n g e n d r 6
X~S,
l'ensemble
le
un h o m o m o r p h i s m e
f e r m ~ H de St
est
un
B l'id6al
l'adh~rence
FcS
d'apr~s et
dire
de m~me p o u r
de OX i m a g e
f:
Nous n o u s
(et
le
ou f e s t un p l o n g e m e n t f e r m ~ e t F r a r e d a n s X, ^ H(~X e t a p p e l 6 i n t e r s e c t i o n stricte~ (cf. Chap.
not~ ou
un m o r p h i s m e
.~ F)
(X~O)
donn6s
I B ou I .
sans
clair
f:
6rant
analytique
et
celui
toujours
un morphisme
De m~me,
surjectif
fibre
sera
germe
I ~ x ou I ° OX l ' i d 6 a l
(relativement
f-l(H)
de c o n s i d 6 r e r
IT X d ' u n
de A~ on n o t e r a
sous-ensemble f
petit
petit"
f I ~ f O¥=(}X. id6al
souvent
ET NOTATIONS
",,X
e
l
)
S
ltensemble X transform6 de
f
o
o
par
o
exceptionnel strict
de
l'~clatement.
de S p a r
f
dans
S i nduSt
e •
V).
un p l o n g e m e n t
ferm6~
on p a r l e r a
du t r a n s f o r m 6
324
C H A P I T R E
I
DEPENDANCE INTEGRALE SUR LES IDEAUX
Introduction. espace
D a n s ce c h a p i t r e ,
analytique
d~finissant Etant
complexe r~duit
un s o u s - e s p a c e
donn~e une
de H i l b e r t ensemble de I ,
sous-jacent
a ¥,
(~)
:~-
x
d'exprimer
seulement
h s'annule
g~n~rateurs
gl~...~g
analytique
ferm~ YcX~ h sur
l'inclusion
pour
tout
I¥I,
mais
pour
tout
le
coherent que
fait
h6yI~-~
le
ou ~ - e s t
pour
point
x appartenant
suppose
th~or~me
le
X un
sur rare
que h s'annule
ce q u i
q u e de p l u s
: soient
d'id~aux
l'on que
de d i f f ~ r e n t e s
d'un
suivante
on s a l t
x 6 X, e t
p de I au v o i s i n a g e
~ C Sup(Igj(x)[)
X,
alg~briquement
algbbriquement sur
situation
I un f a i s c e a u
par x
la
et
holomorphe
d'exprimer
possibilit~
Ih(x)l
fonction
permet
v~rifiant
on ~ t u d i e
X, d a n s X.
des z~ros
sur
IYI,
faisceau
racine
nous int~resse
iciest
fagons
fait
q u e non
d'un
systeme
tout y E Y,
le
choix
on a u n e
a un v o i s i n a g e
la
de
in~galit~
U assez
petit
J de y ,
ou CE ~ + • Voici
conditions
un e x e m p l e : soit
d a n s un o u v e r t moins aussi perplan
z
o
de n i v e a u m~me,
le
o
que
= O n'est f(O,Zl,...,z
fait
voisinage z
f(Zo,...,z
uc~d+l
vite
qu'en
d) = O u n e
que
~quation
savoir
d) = v de restriction
(O,zl, ...,z o (1 ~ i ~ d) ; c e c i
restriction
de ce t y p e
tangents
d)
] 5~zf.
X d~finie (x)[
de
complexe
tend
vers
O au
signifie
que
l'hy-
aux hypersurfaces
de f a l ' h y p e r p l a n
a l'hypersurface
o limite
feral
q u e ~~ f
I 5fSz ( x ) I ~ C Sup
pas direction
espece est
la
je
pour une hypersurface
l e s ~8zf. ( O , z l , . . . , z d) 1 pas direction limite d'espaces
La p o s s i b i l i t ~
q u e s de c e t t e
des applications
• Supposons
de O l ' i n 6 g a l i t 6
= 0 ne s o i t
singuliers.
typique
par
z ° = O. E t f = O~ on a i t
( x 6 X) ~ q u i v a u t
de au
~ ce q u e
i>O d ' h y p e r p l a n s t a n g e n t s a X en s e s p o i n t s n o n -
d ' e x p r i m e r a l g 6 b r i q u e m e n t des c o n d i t i o n s g 6 o m 6 t r i -
un bon o u t i l
p e r m e t t a n t en p a r t i c u l i e r
d'6noncer al-
325
briquement, Le
et
dessin
de
d6montrer,
suivant
aidera
des
r6sultats
peut-~tre
le
de
transversalit6
lecteur
fins.
:
f-v=O
~zQ=O
Les
ingr6dients
malisation
en
inexistantes born6e
est
sur
un
que
l'aspect
utile
au
ce
ne
entier
analytique espace
chapitre
Crit~res
V~
de
I
la
si
il
la
clSture
le
6clatements
th6oreme
fonction
donn6e
Soit
l'observation
des
m6romorphe
et
de
la
nor-
singularit6s et
localement
le fait
h est
insist~
au
application
du c o n c e p t
de
qui
§ 3
nous
fonction
sera
m6romor-
la
d'un
anneau
relation
+ ...
de
d6pendance
+ ak = 0
d6pendance
A ; un
avec
~16ment
h de A est
int6grale
de
la
dit forme
ai C I i •
int6grale
sur
les
anneaux
seulement
si
l'516ment
des
616ments
au
moyen
de
: entier
sous-anneau (cf.
j'ai
§ 6.
id6al uue
a
suite, Une
alg6brique
au
I un
rameuer
la
int6grale.
satisfait
suivante
l'616ment sur
se
pour
int6grale.
traduction
d6pendance :
On p e u t
Le
des
et
toute
n6cessaire
h k + a I hk-]
entier
complexe
normal~
pas
de
est
D6finition sur
soit
num6rique
lipschitzienne,
1.1
l'existence
holomorphe.
sur
§ 1.
essentiellement
g6om6trie :
Bien
phe
sont
[Bbk
sur P(I)=
I
si
Z Ii i~O 1] I § ~ . 1 ) q u e
et Ti
h • T6 A[T]
est
de A[T].
]'ensemble
de A[T]
entiers
326
sur
P(I)
est
entiers grale de
Iest
cir.)
I.
le
:
plus
l'inclusion
implique
id&al
de A ~ c e t
id&al
Si ~= I,
on d i r a
que ~ est
Remar~ues donc
de A ~ T ~
un
l'id&al
(Loc.
est a
sur de
1.2
un s o u s - a n n e a u
1)
ideal
I . J¢I
son
anneau
engendr~ tout
ideal
Preuve aussi
un ~l~ment
Puisque
I
est
principal,
A pour
l'&l&ment
La r & c i p r o q u e
de h e s t
1.3
dans
au m o i n s
Soient
cohbrent
1.3.1
ou ~ t ]
~gal
a celui
d'id~aux
sur
Proposition
1
g~n~rateurs les
h Y
A)
convergent~
de I
- -
et
y
, une
clos.
r~duit
inversible,
de O.
~ C
r&sulte
I,
et
et
et
doric on
int~gralement
I =~,
et
r~ciproquement,
int~gralement
donc~
une
puisque
relation
clos,
~E A puisque g
lisant
~ l'envers
on a h E ( 3 )
A est ce
si
et
qui
A est
si normal.
+ a k= 0 s'~crit
g est
de
clos
principal,
hk + a I hk-1 + ...
a i E A et
I~J,
c'est-a-dire
Aiors
A est
est
implique
non-diviseur
d&pendance
int&grale
normal,
donc
et
pr&c~de.
seulement
si
analytique
complexe
donn~e yC X si
il
existe
constante
une et
et
Y de X r a r e
fonction
seulement
l'ordre
si
tels
pour
ouvert que
Sup (Igi(x)l) l~i_
pour
tout
en
X.
X,
on
syst~me
de
U de y , air
•
faisceau
h sur
tout
l'on
xEU
I un
dans
holomorphe
un v o i s i n a g e CE ~ +
r~duit
:
Ih(x)l
I1
int&-
de A.
un s o u s - e s p a c e
Etant
c I - - e n un p o i n t Y
cloture
de g .
X d~finissant
:
I~J
d'ou
,
X un e s p a c e
(gl,...,gp) gi
;
en
~t]
maintenant
a l'inclusion
lequel
~ de T o t ( A ) g se v~rifie
J
(i.e.,
I
qui
& l & m e n t s de A
appel&
de A c o n t e n a n t
l'~quation
avec
des
int&gralement
clos I~
rSduit
(~)k h k-1 g + al (g) + " ' " + a k = O,
En p a r t i c u l i e r ,
t~
d~un anneau
not& ~ et
I~Tc~,
A normal
g non-diviseur
l'ensemble
clos.
id~aux
fractions),et
h k + ~l g hk-1 + "'" + ~k g k
~ I
t
de
inversible
:
de 0 : sur
par
des
sera est
int~gralement
Supposons
total
I
inclusions
. J pour
2) dans
int&gralement
On a l e s
petit
que
que
dans
l'in6~a~-
327
B) tout
Ii
existe
x E X on a i t
D6monstration
(Y)x=~-
:
c'est-~-dire
Soit
le
ce obtenu,
qui
un unique X
r6duit
Y est
d'image
Le f a i s c e a u
avec
~ des
~
~ : ~' ~X
morphe puisque dense.
d a n s OX
c o m p o s 6 de est
cohbrent
l'6clatement
puisque et
d'id6aux
normalis6
de I e t
X tel
X l'est.
de l ' i d 6 a l
de l a
~ue,
sur3ectif
car
d'id6aux
I . ~X'
engendr6
donc un faisceau
I
pour
dans
normalisation
Le m o r p h i s m e
donc
de I e s t
~ sur
"
~X
l'6clatement
rare,
sections
faisceau
~ est
c'est
de l ' e s p a -
propre
et
un morphisme
d a n s (~X' p a r
inversible
X,
ferm6
les
d'id6aux
bim6ro-
compos~s
sur
un espace
normal. Soit
hE I
Y
; on a p a r
hk + a 1 hk-1 + ...
+ ak
dance
pour
il
int~grale
existe
:
un voisinage
hypoth~se
O~ a v e c
une qui
a. E I i 1 y'
un reorS.sentant, ~uvert
U de y d a n s
implique
l'on
d~duit
montre
tout
6rant
(h o ~)x'
est
de l a
remarque
2) q u e
d'une
x' E x-l(u) pour
que
part
w' E V x , ,
d'ouverts
et
V ,, Yi
un voisinage on a i r
du g e r m e h ,
que
(I(~x,)x,
, ) NO X) e t
ouvert
Vx,
~Cx,
on p e u t
' E ~-l(v) Yi ~ '
h,
l'on
tel Sup lgi~p
recouvrir
de t e l l e
de d ~ p e n c'est-~-dire
air
cH°(U,Ox )
sur
[h o ~ ( w ' ) ]
sur3ectif,
not~
X tel
int6grale
en une relation
pour
(h o ~)x' E (I(~x,)x,
que hE H°(U,~(I(~X
poss~de
propre
entier
de d 6 p e n d a n c e
s'6tend
encore
hE H°(U,I)
Ceci
relation
favon
que
tout
pour
d'autre qu'il
tout
et
x' E ~-I(u).
Ceci
part
que tout
point
existe
Cx, E ~ ÷
tel
Ig i o ~ ( w ' ) l -
~-l(x)
x' E ~-I(u),
par
que,
Le m o r p h i s m e
un nombre
UV , D n - l ( V ) Yi
pour
fini un voisina-
ge Y de x dans U. Prenant C = SuPi Cy[ , on en d6duit bien l ' i n 6 g a l i t b lh(x)I ~ C Sup I~(x)[ pour t o u t xE V. R6ciproquement, supposons une t e l l e in6gal i t 6 v 6 r i f i b e , disons pour t o u t x' E V ; la m~me i n 6 g a l i t 6 e s t v a l a b l e pour h o ~ e t l e s g.o ~ s u r 1
et
d'apr~s
de l ' i d ~ a l tel
le
lemme de N a k a y a m a ,
IyCOX,y
q u e I(~X ,
- I ( V ) , mais la,
~W I
chaque
= (gi ° ~)w'
point
(~X'
~W v
si
nous savons que IO est inversible ~-l(v )
(gl,...,gp) y' E -l(y) (pour
est
un syst#me
poss~de
un certain
i,
de g ~ n ~ r a t e u r s
un voisinage lgi
ouvert
~ p). Dire oue
V (hO~)w,
328
est
bornSe par
l e s $ 1 ~ m e n t s de I(N~X, w, 6 q u i v a u t
m6romorphe h o ~ e s t gi
est
holomorphe,
On a donc b i e n 6 q u i v a l e n c e
i)
f
de y ' , ce q u i
b o r n S e au v o i s i n a g e
° ~
normal qu'elle
1.3.2
donc que (h o ~ ) 0 X
l a p r e u v e de l a p r o p o s i t i o n ,
il
on a n~I(~x , cn~(~X, = O X ' f a i s c e a u
s u r X, qui
est
un f a i s c e a u
coherent
d'apr~s
coh6rent
Corollaire
d'id6aux.
1
:
l'ensemble
des points
analstique
de X.
En e f f e t ,
e t CE
+
un t h ~ o r e m e d ' O k a
Le f a i s c e a u
e t donc l e f a i s c e a u
coh6rents
m~romorphes b o r n 6 e s
n~I(~x , e s t
coh6-
~ = n ~ ( I O x , ) M~X ~ i n -
d'un faisceau
coherent,
est
un
•
Etant
d o n n 6 s deux f a i s c e a u x
xE X t e l s
le faisceau
Corollaire
h ET, Y
il
faut
(resp.
analstique
(resp.
~)
ait,
=Iy ,
que J x ~ x
T+ J / ~ e s t
est
coh6rents
d'id6aux
I,
J,
l e c o m p l 6 m e n t a i r e d ' u n ferm6
coh6rent
puisque ~ l'est,
e t son s u p p o r t
le ferm6 c h e r c h 6 .
1.3.4 ait
~W ~
de r e m a r q u e r que p u i s q u e
des fonctions
de G r a u e r t ) .
l e t h 6 o r ~ m e de G r a u e r t ,
de deux s o u s - f a i s c e a u x
suffit
de Ox-mOdules d ' a p r e s
(ou l e t h 6 o r ~ m e d e s i m a g e s d i r e e t e s
est
E IOx,
p u i s q u e X' e s t
a y e (~(IO~-X,) ~ O X ) y .
I(~X , C(~X,,
1.3.3
~,W~
(gl'''''gp)~",y-X
] h ( x ) [ ~C Sup ( g i ( x ) i comme c i - d e s s u s .
Pour a c h e v e r
faisceau
signifie
entre
m
ii)
tersection
que l a f o n c t i o n
hyE Iy
iii)
rent
donc a d i r e
et
il
r~el)
valuatif
suffit ~:
~
(D,0) ~(X,y)
: OX,y~O~, 0
complexes (resp.
de d 6 p e n d a n c e i n t 6 g r a l e )
~ue p o u r t o u t
d6signe le disque unit6
en n o t a n t
anal~ti~ues
2 (Critere
(resp.
r6elles)
~
~:
(H~0) ~ ( X , y ) )
l'intervalle
: OX,y-a~,0
associ6,
P o u r que l ' o n
morphisme analyti~ue
(resp.
de ~ ( r e s p .
:
)
complexe o__~u
]-I,+I[
de ~ )
on
le morphisme d'al~ebres
l'inclusion
:
329
~°a(h)~O~e(I) " ~ 0
(resp.
mes en 0 de f o n c t i o n s v(~(h))
>-v(~(I)),
et
(~0)
~ (X'~y'))
pour
h o < et
d'id6aux
existe
(resp.
~:
(~0)
un r 6 s u l t a t quence
facile
(morphismes
sur
(¢d,o)
: si
des
coefficients
~ valeurs
valeurs
cas
1.3.5 l'~nonc6
long le
cas
des
est
sur
le
~ n'est g
unitaire
long
de r e m o n t e r ,
apres
le
long
limite
de ~ e s t g
duquel
(~0)
r~sultat
r6guliers
X')
corps
et
le
des
fait
tend
on v 6 r i f i e
(cf.
est existe
Cela
est
cons6-
[Se]~
IV-39)
de p a r a m e t r e s que t o u t e
fonc-
m6romorphes
au v o i s i n a g e
vers cet
~ (X'~y')
en y ' ,
fonctions
satisfait
que s i
en un
infinie.
de s y s t e m e s
ramification,
le
non-singulier
locaux
cri-
un f a i s c e a u
~:
de O, doric i l elle
le
existe
holomorphe
r6el)
qu'elle
duquel
pas
(resp.
est
normaux
donc ramen6 a prDuver
n'est
de
(resp.
I(~X , e s t
pas born6e
au v o i s i n a g e
le
(~'~y')~
normal
( d = dimy,
alg6brique fonction
~ (~'~y')
l'existence
P)(Ed~o)
qu'il
doric de p r o u v e r
on e s t
un h o m o m o r -
une relation
affirme
Puisque
anneaux
est
par
on u t i l i s e
suffit
ou X'
l'image
suffisante,
I1
la
que
locaux
~' : (~,0)
duquel
signifie
des ~er-
des anneaux
et
complexe
en u t i l i s a n t
(X',y')
dans
est
un espace
dans
darts ( E d ~ o )
que
+~.
le
d non born6e
de p p e r m e t
condition
normal~
analytique
une telle
pret6
sont
y' 6 n-l(y)-
un espace
de l ' 6 q u a t i o n
m6romorphe sur¢
0
~(g,O)
factorialit6
ace
finis)
la
a~
l'algebre
en 0 " .
l e m o r p h i s m e n~ q u i
point
classique
m6romorphe sur ~'
vers
(9,0)
et
que ~ o ~' = ~ o r.
de l a
sur
que
que
pour
~ (X'~y'))
et L'on se ramene
tion
que 05~ 0
un a r c
bien
d'annulation
de d ~ p e n d a n c e
h m ~ r o m o r p h e -- s u r g
il
]I) . Ceci
int~grale
I(~X , en t o u t
point~
sur
relation
(resp.
inversible
une fonction
r6elles
o__~ua i , 0 e s t
puisque
et
tels
" (~]I,O '
~videmment n6cessaire,
de p r o p r e t ~
~ (m,O)
(I)
"l'ordre
Pour montrer
valuatif
r : (~,0)
d'une
int6grale,
principaux.
tbre
est
d'anneaux
d6pendance
analstiques
ou v e s t
La c o n d i t i o n phisme
~0 ( h ) ~ O
de y ' ,
un
une fonction un a r c
analyti-
+~ en m o d u l e .
La p r o -
arc
en u n a r c
aussitSt
que
ahalyti[~1
tend
•
Remarque suivant
:
L'avatar
: soient
de c e
corollaire
A un a n n e a u
local
en a l g ~ b r e n~therien
commutative r6duit
et
est
I un i d 6 a l
330
de
A.
Pour
de
Aet
tout
anneau
contenant
A,
de
valuation
notons
Iv
Y contenu
dans
l'anneau
l'id~al
de V engendr~
Y :
(~
par
total I
~ on
de a
fractions
l'~galit~
Iv
AcV~'rot(A) (comparer
~ [Bbk 2],
On a aussi si, pour on
te,
les v a r i a n t e s
a ~(h)
E ~(I),
d'ordre
anneau
A dans
sur
anneau
birationnel
tel
que
Y
Y
si
et
morphisme
tion,
fait
et
le
en
et
que
sur
in~galit~s
a
et
surjectif
:
composant un
normal
Avec si
ideal
un anneau v(h)
avec de
Soit et
la
sur
•
A et
~
de v a l u a t i o n ouv
valuation
la
discre-
dbsigne de Y.
fermeture
A un
I~ Z inversible.
a ~ si et seulement
~ v(I)
la
Z~Spec
hE H°(X,~x
existe
soit
soit
la
Soient
int~grale
morphisme
de
propre
On a Y = H ° ( Z , I ~
donn~s
que
et
tel
que
et
z) ~ A 05
x est deux
seulement
propre
I . OZ = J . OZ ' e t
r~sulte
si
y
a
l'inclusion
dans
de
aussit~t ce
que
Proposition,
et
surjectif.
coh~rents
siil
U de
la
faisceaux
on
X et
un
h o xE I~ Z •
r~sulte dans
ci-dessus,
ouvert
n~cessaire
comme
que
) comme
voisinage
suffisante
in~galit~s
si
un
x : Z~U
condition
~tant
tel
il
U parce
I = J
Iet
surjectif
Z des
l'~galit~
I
ou V e s t ~quivalent,
fractions.
Z soit
qu'elle
En particulier, 9n
de
est
en
r~duit,
seulement
fait
localement
qui
A obtenue
3
propre
Le
ce
h appartient
z) = ~ .
Corollaire
E I
: l'~l~ment
~ : h : A-V,
,
total
~°(z,I~z) ~°(z,o
h
ou
n~th~rien
son
1.3.6
suivantes
tout h o m o m o r p h i s m e
fonction A un
§ I n ° 3).
existe I = J~
un ils
de
Proposi-
h o ~E IO Z implique qui
se
d'id~aux
redescendent
Iet
morphisme ont
la
~:
J
sur
X,
Z ~ X propre
m~me ~ c l a t e m e n t
norma-
lis~. 1.4 un ~ue
Proposition sous-espace Z soit plus
du
sous-espace •
haut).
:
rare
normal
vu
I~ Z
2
Soit
YcX et
;
I
un
soit
IO Z inversible
Soit
D=
DcZ
de
faisceau ~ : Z~X (par
coherent un
d'id~aux
morphisme
exemple
U D. l a d ~ c o m p o s i t i o n iEI 1 codimension 1, diviseur
sur
propre
et
l'~clatement en
d~finissant
surjectif normalis~
composantes
de Cartier
X,
dans
tel de
irr~ductibles Z d~fini
par
I
3al
A)
Chaque
Di c o n t i e n t
ferm~ anal~tique (D,z) = (Di,z)
rare) et
il
un ouvert
U. e n t o u t
point
1
existe
anal[tique
un syst~me
dense
z duquel
Z et
(= c o m p l ~ m e n t a i r e
Dre d sont
--
de c o o r d o n n ~ e s
locales
.d'un
non-sin~uliers,
Wl,...,w
d pour
Z
V.
en z tel que lOz, z = Wl~ ~Z
--
B) E t a n t analstique
donn~ hE H°(X,Ox),
dense
C)
avec v.1 6 ~ -{0} .
,Z
On a h
point
E I
seulement
Y
Y
si
et
on a l ' i n 6 5 a l i t ~
D~monstration
:
normal, D.
le
~tant
lieu
existe
Vi e n t o u t
D. N - l ( y ) ~ , 1
il
irr~ductible,
z duquel
1
A) e t
re
de c e
et
Z normal,
d'apr~s
d'un
ferm~ est
la
que pour
entiers
tout
soit
g'
utilis~
engendre
w. < v . , 1
clairement
I
la
1,
sont
et
comme on l e v o i t
D. N ~ - l ( y ) ~ J ~
6quivaut
que
w. ,
qui
2,
soit
constants
C) r ~ s u l t e
lieu
clairement
parce
que,
localement
que
que pour
inversible,
de - l ( y ) ,
local
de I ~ Z e n z ' ,
polaire
fonction
Or,
dire
il
ce qui
un g~n~rateur d'une
un argument
le
lieu
et I
z' E ~-l(y),
pour
1
et
de
ouvert
seulement
q u e w. > v .
m~romorphe analogue
polaire
un voisinage
D.1 fTU' s i
tout
compl~mentai-
de v~rifier
~tant
tinsi,
le
suffit
1.
U'
contient
& dire
EI--, Y
Y
comme l e m o n t r e
D QU',
aussit~t,
h
est
du C o r o l l a i r e
petit,
du f a i r
de c e q u e I O Z ~ t a n t
a l'inclusion
vide,
dans
et
1
normal,le
preuve
assez
i tel
de c e q u e Z ~ t a n t
v.
( h . ~) , g' z' ou g '
contenu
I(} z e t
aussit~t
au moins
Le p o i n t
Sur un espace
dans
indice
de c o d i m e n s i o n
de D. s o n t 1
1 ~quivaut
de c o d i m e n s i o n
chaque
que h o xE I~ Z dans un voisinage
z' E -l(y),
est
est
v~rifier
Proposition
holomorphe.
celui
ferm~ rare connexe.
pour
est
qui
pour
1
hors
Di u n o u v e r t
( h • ~ ) z . O Z , z = wlX OZ, z (w.1 ~ 0 ) .
B) r ~ s u l t e n t
1
constants
composante
1
de Z e s t les
si,
chaque
w. ~ v . .
Les points singulier
sur
tout
si tout U'
hon g, de z '
ou
z ' E D.1 e t i,
tel
que
eomme c i -
1
dessus,
le
lieu
donc que ce de - l ( y )
et
z, E n - l ( y )
'
1.4
polaire
lieu
ou e n c o r e
Remarques
rapport
entre
polaire
donc qu'il
: la
ne contient
de h ° x n'a est
aucune vide,
d'apres
la
Dans un cas Proposition
composante
Propositinn
le
crit~re
D.1 n U ' ,
au v o i s i n a g e
de c o d i m e n s i o n
c'est-~-dire
particulier,
2 et
aucun
que 1,
(h o ~)z'
que hyE~
on p e u t valuatif
voir
y
de z '
1 au voisinage
E IOZ,z,
pour
tout
•
tres
simplement
de d ~ p e n d a n c e
le
int~grale,
332
et
surtout
[Le-T
en tirer
1],
1.4.1
§ 5)
I un id6al
r~duite
une suite
OX~ x .
primaire
Supposons
r~guliere obtenu
par
, ou d = dim 0 e t
en 6clatant
l'6clatement
de I 1 d a n s
engendr~
(f'l
par
coordonn6es sation
homogenes
(pr 2 o n)
le morphisme s6quent verses
la
plat induit
courbe
part,
la
et
h EOX, x , t E V,
si
associe
il l'on la
[Te
9]
et
r6union
existe
composante
les
de g e r m e s
point
la
=
d6composition
sur
(n-l([x}
et
×
la
dense le
t E U~ q u e de p l u s
~d-1
Par
))red
que si
contrans-
qui
est
l'on
Xl(t)=
U C. , d ' u n e jEJ a chaque fonction
U Di , p o u r i{I d e n s e V = V ( h ) de ~ d - 1
de D q u e r e n c o n t r e
de
normali-
que
tout
On v o i t
Dre d=
surjeetive
la
non-singuliers,
irr6ductibles
de Z a r i s k i
l'id6al
un systeme
normalisation.
de c o u r b e s
Dre d
par
c'est-a-dire
(pr 2 o n)-i(t) est
concevoir
de Z a r i s k i
que pour
par
1 = (fl'"''fd)OX,x
g6n~raux
de ( p r 2 o n ) - l ( t ) .
1'application D.
de
fibres
en composantes
un ouvert
consid~re
point
I
est
un ouvert
analy-
param6tr6e
d6fini
d)
r6sultats
propri6t6
ensembliste
en tout
la
sur
si
simultan6e
a la
alors
de c o u r b e s
gn effet
existe
algebre
1 1 engendr6
On p e u t
X 1 de X x ~ d - 1
les
une
un ideal
ou ( T i : . . . : T
)~ i l
de t o u t
exceptionnel
part
sous-espace
~d-1
Xl(t) est
dans
famille
o.
on a n o r m a l i s a t i o n
d6composition
d'autre
section
I
X1 • P r 2
Xl(t)
sur
X comme u n e
D'apr~s
2~
~l(t).
maximal~
entier
; 1 g i g d-l)
au v o i s i n a g e
non-singulier
eonsidere
le
Ti
[Te
l'id6al
1 soit
d'une
~d-1
duquel
au d i v i s e u r
lui-mSme
X est
compos6 ~1--~ est
(Voir
~X,x Cohen-Macaulay).
munie
sur
(ef.
au-dessus
morphisme
que
1 1 dans
Ti+l - fi+l
simultan6e
u~d-1
"effectif".
pour
(c'est-~-dire
l'espace ~d-1
valuatif
:
Soit
tique
un critere
naturelle normalis6e
tel
~ : O~I de
la
que~ qui
branche
pour
a j E J C.
de
3
Xl(t)
, on a ,
(notations
de
en notant la
w.(h) a Prorosition
la valuation
l'on
pour si
a aussi,
dans
hEOX~ x donn6,
l'on
consid~re
il
pour
de h d a r t s ~C
, l'6galit6 J
2)
w
et
de l ' i m a g e
~ ( a ).
UNV(h),
l'~galit6
existe
un ouvert
t E Uh l a
courbe
=
a v (j)=
wj(I.
de Z a r i s k i Ct
contenue
OX(t)).
dense dans
Par
Uha]pd-1 X d~finie
eons6quent~ tel par
que~ l'id~al
'
333
de OX, x e n g e n d r ~ p a r (T i f i + l - T i + l f i ; 1 ~ i ~ d - l ) en r e m a r q u a n t
que ~o : i l ( t )
~C t
est
un i s o m o r p h i s m e
s i pour chaque b r a n c h e a t , j de C on a, OX, x o b t e n u e en c o m p a s a n t la valuation
naturelle,
en n o t a n t
= (TI:...:T : hC~
d) E Uh on a,
si et seulement
v 3. l a f o n c t i o n
l e s m o r p h i s m e s OX, x ~ o C t , j , O
d'ordre
-OCt,j,O--~
v
sur o~ v e s t
les inbgalit6s v.(h)
J
Le sch6ma s u i v a n t
out
aidera
peut-~tre
~ v.(I)
3
le lecteur.
D2
Ct,2
D
1
/
~
?
X l ( t ) -- C t , I U C t ~ 2 U C t , 3
Ct X
X1
a(
o
~pd-1
o
F -- ] p d - I - u
334
1.4.2
Un a v a t a r
Soient
hun
surjectif
alg6brique
anneau
local
de s c h e m a s t e l
de
la
Proposition
n~therien
et
que Z soit
normal
2 est
~: Z~Spec et
l'~nonc6
suivant
:
A un morphisme propre
I0 Z inversible.
Soit
et
Z= U V
un i
recouvrement
affine
associ6s
a IB.
les
sont
Pi~j
§ 14~ Th. Soient de
; d'apres
les
les
(B.)
le
de h a u t e u r
33)
v.
de Z~ a v e c Y.1 = S p e c Bi~ hauptidealsatz
I dans
localis~s
avec
entier
l'homomorphisme
sur
I si
et
normal
sont
Pi,j d'ordre sur
des
seulement
si
v.
Pi,j
les
LZ-S]
Ch.
Bi ~ e t
donc
anneaux
h obtenues
A ~ (B.) ~ Pi,j
Pi,j est
(cf.
l'anneau
(B.)
fonctions
soient
en
YlI~
~.
pour
23)~
[Z-S]~
de v a l u a t i o n
par
.(I)
premiers
§ 7~ Th.
(cf.
composant
induit
.(h) • v.
id6aux
ch.
VI,
discrete.
la valuation Un
~l~ment
tous
les
h ~ h
couples
(i,j).
1.4.3 ses
Gardant
corollaires
espace
d6fini
X1 l a
r~union
l'id~al ~ X
I
lihypothese
restent par
l'id~al
I soit des
normalis~
on a u n m o r p h i s m e n a t u r e l tel
que
tout
l'on
point
ait
encore
valables
rare
et
de I
~x
si
:
Sous
l'hypothese
. . . . . . . . . .
soit
morphisme
principal
et
X2 l a
des
Le c r i t ~ r e
d~pendance
o
outils
int~grale.
n : Z~X
d'id~aux
r~union
est
seulement
la
propre si
le
forme suivante de X s u r
qui
que
sous-
: soit
lesquelles
autres.
Notant
normalisation et
1 et
de X 2 ,
bim6romorphe~
(h o ~) ~ I . nl~'Li~2'z
et pour
que
X est
r~duit,
h6
et
surjectif
hE H (X~Ox).
on a ( h o p ) z E
valuatif
p:
que
l'on
Z~
Si
chacune
[I • OZ/
utilisera
La P r o p o s i t i o n
et
si
et
seulement
si
et
Z normal.
X
tel
que
pour
int~grale
ici
tout
et
pour montrer
bim~romorphe tel
des composantes
soit
localement
Y le
zC p-l(x).
z
2 a des consequences
Soit
IJ Z
~
de d ~ p e n d a n c e
un m o r p hisme propre
inversibles,
~ x
propre
Z normal,
principaux
soit
l'hypoth~se
d a n s XI~ e t X 2 " X 2
et
Proposition
irr~ductibles
f
les
la
la
'
tout
1.4.4
sans
d a n s X~ s o u s
~ : --' J'-[X2X1 ~X : hC
r6duit,
z E n-l(x).
Conclusion ~our
X est
composantes
un f e r m ~ r a r e ~
1 l'6clatement
l'espace
essentiellement
de c e l l e s
induit
que
2 sont
des relations du t y p e
que I~ Z soit
sous-espace
irr~ductibles
la Proposition
d~fini
de D= - l ( y )
de
suivant
:
un f a i s c e a u par
X, e t s'envoie
soit
335
surjectivement~ que rare
par
n,
sur
F de Y, a l o r s
Y, e t
hE~
si
pour
h
x
tout
~
pour
x
tout
x E Y, i . e .
x hors
d'un
hE H°(X~).
ferm~ analyti-
En e f f e t ,
x
-l(g_
F)
contiendra,
eomposante done
les
1.4.5
irr6ductible
in6galitbs
Exercice
de l ' i d 6 a ] par
d'apres
1
l'inclusion
1
(corrig$
c ,
~N+I e n g e n d r 6
1
w. ~ v .
maximal
FI,...,F
D.
de l a
les
l'on
propri6t6s
netherien
it)
dance
pour
x
(Voir
F1,...,F
Soient
I
le
c et
l'id6al
un e n s e m b l e
xE Y- F impliquera
aussi
Soient
'
§ 5 ci-dessous).
G des
616ments
de ON+ 1 e n g e n d r 6
d'indices
~(FI,..-,Fc,G) ~(Zil'''''Zie 'zj)
de e h a q u e
et
J
l'id6al
j E {O,...,N}.
de
On a
h E A,
ies
de
:
alors
:
c) ) • ON+I/I E J • ON+I/I
la
Soient
que I c I'
ee r ~ s u l t a t
et
cloture 1,
I'
int6grale et
Jc~
des
J trois
o~ ~ e s t
id6aux
id6aux
l'id6al
d'un
anneau
maximal
de A.
I = I'.
nous aurons
Soient
besoin
A un a n n e a u
propri6t~s
de
n~therien
suivantes
sont
type
fiddle
et
I un i d e a l
6~uivalentes
de A. P o u r
:
hEY il
existe
un
A-module
de
i) ~ it).
Soit
hk + a I hk-1 + ...
int~grale
pour
h ; on e n d 6 d u i t
h ( I + hA) k - l ~ I it) D'apres
2.
@T
x
dense
b(Zil,'',Zic utiles
tel
= I',
Proposition
un 6 1 6 m e n t i)
A,
a I + JI'
Pour prouver
1.5.1
zj
b(F1,-.-,F
Lemme de N a k a y a m a i n t 6 g r a l
Si
:
h
analytique
:
Autres
Ioeal
Proposition
e] c {O,...,N}
616ments
un o u v e r t
l'ineIusion
de ON+ l ~ E { z o , . . . , z N ] .
G.
1.5
de D, e t
dans [Te 6])
{il,...,i
par
l'hypothese,
~
. ( I + hA) k - 1 i).
Soit
l'hypoth~se,
et
el,...,e on
a des
fini
+ ak = 0 avec que
le
r~sultat
pun
syst~me
~galit6s
tel
~ue
l'on
a.1 ( I i
une
ait
~quation
: h k E I . ( I + hA) k - 1 en p r e n a n t de
pour
gbn~rateurs
h . e. = E X.. 1 ij
e. j
hMcIM.
d'ou
M l'idbal du
avec
de d ~ p e n -
A-module X..E 13
I,
( I + hA) k - 1 . M. d'ou,
336
d'apr6s
la
r6gle
un A - m o d u l e relation
de C r a m e r
fid61e~
ceci
de d 6 p e n d a n c e
Pour prouver avons
~ prouver
Proposition, sion
Remar~ue
:
cloture
les
produits
I = I'.
:
Consid6rons
du § 1,
par pour
id6aux
:
l'6galit6
les le
id6aux
qu'un
fini
r6sultat
on p e u t
IJ=
nous M tel
q u e ce q u e n o u s
donne~ que
aussi
d'apres
motiver
de l a
n'implique
d'apres
l'on le
en a p p l i q u a n t
probleme I'J
en~endr6s
6 1 6 m e n t hC A, s o i t
homomorphisme ~
en t
de ~0 ( z i ) ~ on a i r
la
air
l'inclu-
Lemme de Proposition.
l'introduction
"simplification" pas
la
I = I',
de dans
mais
implique
par
des mon~mes.
implique
que
entier
: ¢{zl,...,Zd]~¢{t},
(a(11) v l +
route
....
forme
a (1)
lin6aire
d e s mon~mes a p p a r a i s s a n t
6gale
au minimum d e s v a l e u r s
drant
I.
(On l a i s s e
le
des
b1 z I ...
bd zd
s6ries
tienne
a l'enveloppe
qu'elle
]ecteur
mes de mon~mes de h p e u v e n t cients
sur
I il
faut
posant
ef
il
suffit
que,
v.x = v ( ~ * ~ ( z ' ) ) l - - o r d r e
l'in6galit6
v ( ~ o~(h)) ~ i n f
exposants
remarquons
, on en d 6 d u i t ,
le
une
particulier d ' u n i d 6 a l I de l ' a n n e a u A= ¢ ( Z l , . . . , z d} (i) (i) a1 ad d e s mon~mes z I .... zd (1-~i gp). D'apres le Corollaire 2
tout
les
par
clairement
cas
pour
ce q u i
pr6c~de~
est
M est
I.
de t y p e
le
Puisque
[Sa]).
Un e x e m p l e
engendr6
A ) = O ce q u i
Or l ' h y p o t h e s e
Jc~
d'ou
des
d'id6aux
(Voir
§ 2.
. Puisque
ce q u i
int6grale
Id-
h sur
A-module
I'McIM~
D'apr~s
det(h.
T' cI.
d'un
c IM+ J . I ' M
l'inclusion
A) • M= O oh A= ( K . . ) . 13
lemme de N a k a y a m a i n t 6 g r a l ~
l'existence
: I'.M
Id-
pour
l'inclusion
Nakayama~
la
implique
int6grale
le
est
: det(h.
~ (zi) E fit]).
apparaissant
dans h sont
convexe
dans prend
N(I)
la
s6rie
sur
que
6vit6es Par
a(lP)
v l+
a coefficients
v6rifier
~tre
v d ,...,
les
les
par
exposants
annulations
si
tels
point
dans ~d
Vd )
d)
prend,
h~ u n e v a l e u r
un c h o i x
le
(p) ad
(Vl,...,v
cons6quent, que
....
de l ' e n s e m b l e
au m o i n s
d e s mon~mes e n g e n possibles
"g6n6rique"
hE T,
sur
tousles
(bl,...,bd)
par
som-
des coeffimon~mes E ~d
appar-
337
E(I)
Inversement,
si
Par
entier
oi~ a
d)
sur
se
(i)
(i) '''''ad(i))" = (a 1
trouve
l'id~al
I
dans cette (exercice
enveloppe
: ~crire
la
connexe, relation
:
Iest
engendr6
dans
points
repr6sentant
:
(bl~...,b
bd z d est
situ6s
Exemple
d +1~ )
int6grale).
cons6quent
L'id@al
(a(i)
(J i=1
l'exposant
bI l e monSme z I . . . . de d 6 p e n d a n c e
P
=
l'enveloppe
d = 2,
par
les
convexe
les
k = 3.
mon~mes d o n t N(I)
de
les
points
l'ensemble
E(I)=
monSmes ¢lui a p p a r t i e n n e n t
La p a r t i e
hachur6e
est
repr6sentatifs sont P des U (a (i) + ~d) i=1
~ I.
N(I)-
E(I).
exposant de z 2
111 E(~)
5
exposant de z 1
Ainsi,
la
difference
mes d a n s ~ z l , . . . , Z d ) sont par
pas les
Si
l'on
b (1),...,b
observe
visualis~e
par
~ l'intbrieur
que pour des
E(I . J)=
comme e n s e m b l e (d)
I et ~,
pour un ide a l les
points
I engendr~ entiers
par
de N ( I )
d e s mon8 qui
ne
faut contraster c e c i a v e c l e f a i r q u e "~- e s t e n g e n d r ~ bd z d tels que (vbl,...,vb d) 6 E ( I ) p o u r un c e r t a i n vE ~ ,
appartenant
on a l ' ~ g a l i t ~ convexe
, est
dans E(I). I1 bI mon~mes z 1 . . .
c'est-a-dire
entre
dans N(I),
E(I)+
E(J)~
du c ~ n e
id6aux la
~es b a r y c e n t r e s leur
I et
de s o m m e t 0 s u r
E(I).
J engdndr~s
d e s monSmes~
description implique
somme b ( 1 ) + . . .
classique
que~
+ b (d)
par
~tant
de
l'enveloppe
donn~s
appartient
d points
a E(I),
ce q u i
338
se traduit
en termes
d'id6aux
par
l'inclusion (y)d
I1
se
trouve
de s 6 r i e s
que
[B-S],
D6pendance
1
associ6e
~ I,
Sup[vlhE
IV}-
et
:
Soient
et
1'on
est
vraie
en fait
[Li-T]
qui
2 du § 1,
D6finition
et
et
int6~rale
Les r6sultats position
inclusion
convergentes,
d = dim A ( c f .
§ 3.
cette
et
dans
tout
in6galit6 sont
prouv6s
I un id6al note
vI
pour
vi(hk)
de h d a n s
I
des
D6finition Lim
2
:
vi(hk) ---75---_E ~
n'est
On a p p e l l e •
en d6tail
d'un
dans
dans
r6gulier
anneau
6galit6 pas
les
annaux
A, a v e c
vI : A~ ~
si
et
de h , que
faciles
qui
dans
et
cette
fonction
si
+ vi(h') la
note
limite
, et
classe
en par-
ini(h)
I 9 / I "+a
grlA = @ v~O
l'on
d'ordre
~ hE A associe
~ vi(h)
seulement
de l a P r o -
1~).
A. On a p p e l l e
nilpotente
: montrer
assez
(~Le-T
~ vi(h . h')
"nu barre"
(Exercice
local
cons6quences
l'application
~ k • vi(h) , avec
vi(h)/ivi(h)+l
anneau
id6aux
de ~ o O a s i e w i c z .
On a : v i ( h + h ' ) ~ i n f ( v i ( h ) , v i ( h ' ) ) ticulier
tousles
[Li-S]).
suivent
sont
I
c
vi(h)
la
limite
existe.)
k~+~
On a : ~ i ( h
+ h') ~ inf(~i(h),~i(h'))
Th6oreme
(Samuel-Nagata-Lejeune-Teissier,
un id6al
dans une
anal~tiqu.e
a)
Pour
b)
S~i A = O X ~ y e_~t I = I y ,
ceau
coh6rent
hE H°(X,Ox ),
tout
alg~bre
h C A, ~ i ( h )
d'id6aux y E Y, a l o r s
I sur les
est
et
cf.
maintenant
[Sa],
[Na],
[Le-T
1])
:
•
Soit
I
h.
un nombre rationnel,
h= hy pour
un espace
X, comme d a n s conditions
: ~i(h k) = k • ~i(h)
la
o__uu+ ~ .
anal~tique
Proposition
suivantes
sont
r6duit 2 du § 1,
6quivalentes
X, u n f a i s e~t :
339 --
i)
D
Vi(h) ~
ii)
(a,b@ ~) .
I1 e x i s t e
l'on
ait
un v o i s i n a g e
l'in6galit6
U d__~e y d a n s X e t une c o n s t a n t e
( p o u r un s y s t e m e de g ~ n 6 r a t e u r s Pour t o u t
int6gralement
tels
qu.e.
de ~ o j a s i e w i c z
[h(x)[ b/a ~ C Sup[gi(x)[ i
c)
C6 ~+
rationnel
gl,...~g
a/b,
c l o s -I- ~ / b t e l
il
( x 6 U)
p d_~e H ° ( U , I )
existe
~ue p o u r t o u t
un u n i q u e
d a n s H°(U,Ox) f i x 6 ) . faisceau
coh6rent
d'id6aux
x ~ X on a i t
(Ia/b) x = {h60X,x/
vI
(h) ~ a / b ] x
Remar~ues
:
1)
anneau local
~i(h)~
et
n~therien
plus
g ~ n ~ r a l e m e n t d e s que A e s t
un
p s e u d o - g ~ o m ~ t r i q u e au s e n s de N a g a t a .
2)
Un c o r o l l a i r e
3)
Si l ' i d ~ a l
h est
du Th~or~me e s t
que ( r b l , . . . , r
§ 4.
ClOture
: hCT
si
et
seulement si
d'id~aux
de I a ~ .
([Se],
A un anneau~ n ~ t h e r i e n
chap.
~crit
Darts l e c a s p a r t i c u l i e r
~e ( I )
qui e s t
II
et chap.
tel
finie~
des id~aux pri-
A, on p e u t e x p r i m e r n u m ~ r i q u e -
c o n s e r v ~ e d a n s l e p a s s a g e de I a ~ .
e t I un i d 6 a l
v a 1, £gA A / I v e s t
de d e g r 6 d = dim A ~ c o e f f i c i e n t s peut ~tre
r
et multiplicit~s.
l'information
D~finition
entier
nombre r ~ e l
a N(I).
maximal darts un a n n e a u l o c a l
ment de f a g o n p r 6 c i s e
pour tout
le plus petit
,
a montr& que l e p a s s a g e de I ~ T p e r d b e a u c o u p m o i n s
que l e p a s s a g e
maires pour l'id~al
Proposition-
que ( ~ I ( h ) ) -1 e s t
d]
On a l ' ~ g a l i t 6 ~ i ( h ) = ~ i ( h ) •
int~rale
d'information
e n g e n d r ~ p a r d e s mon~mes darts E { z l ~ . . . , z
b d) a p p a r t i e n n e
L'exemple precedent
Soient
Iest
un mon~me~ on v o i t
4)
p(v)
vrai
1.
si
tel
L ' ~ n o n c ~ a) e s t
et
V, No 2 ) ,
de A t e l il
§ 4)
:
que £gA A/I < +~. A l o r s ,
existe
que £gA A / I V = p ( v )
d + t e r m e s de d e g r ~ < v o u
EBbk 3 ] ,
v ° e t un polyn~me p(V) pour
e(I)
est
v a Vo
De p l u s
un e n t i e r
appel~
340
multiplicit~
4.1
de
Th~or~me
(deux
id~aux
et
(Rees ayant
ciproquement, I~J
l'id~al
si
e(I)
I
= e(J)
I
dans
[Re])
:
A.
On a l ' ~ g a l i t ~
m~me f e r m e t u r e
int~rale
et
id~aux
J
sont
deux
on a : I = J
, des
e(I)= ont
e(T),
d o n c m~me m u l t i p l i c i t Y )
de c o l o n g u e u r
que
le
finie
compl~t~
~
et
de A t e l s
d~e A e s t
r~-
que
~quidimension
nel. ~xemple
:
Supposons
C[z!,...,Zd).
La
~-alg~bre, tieres
et
que
I
longueur
est
tr~s
de ~ d+ _ E ( I )
d= 2 revient
§ 2) sur
l'id~al
E(I)
a1 un monSme z I et
de
l'enveloppe
~gale
donc
ce
par
mon~mes d a n s
de p o i n t s
hombre les
des
a dim~ A / I
au n o n b r e
rencontre
fini,
deux
puisque
A est
une
a coordonn~es
en-
ce qui
axes
dans
le
cas
de c o o r d o n n ~ e s ~
ou
a2 un monSme z 2
dim¢ ~ { z l , . . . , Z d ] / I ~ =
On a d o n c
engendr~
est
~gale
. Nous supposons que
I
A de A / I
clairement
a supposer
eontient
cription
(cf.
#{~d _ E(iv)]
convexe
et
comme e n s e m b l e
Lim
(!.
E(I~))
par
ailleurs
on a ,
de b a r y c e n t r e s
par
la
des-
:
= N(I)
~ + ~
et
par
consequent,
puisque
le
calcul
Lim ~ ( ~ d
(ou
le
terme
l'~galit~
de
droite
est
_ dE ( I O ) }
appel~
des
: Vol.(~d
covolume
volumes
donne
- S(I))
de N ( I ) ~
et
not~
C o v o l . N ( I ) ) on a
:
e(I)
L'essentiel
du t h ~ o r ~ m e
de R e e s ~
l'assertion
que
IcJ
N(I) cN(J),
l'6galit6
I=J.
classique
puisque
= d~ • C o v o l . N ( I )
dans
(id~aux
ce
cas
engendr~s
Covol. N(I) = Covol. N(J)
particulier~ par
des
implique
revient monSmes)
N(I) = N(J),
donc implique c'est-a-dire
341
en gros
l'6nonc6
revient
Vol.(A)
= Vol.(B),
pas
que
Proposition soient Vl,
I1
v2 entiers
multiplicit6s Ils
correspond
le
tels
N ( I 2)
est
cas
des
donn6es
ait,
facile
12,
id6aux
deux r6gions
pour
dans vl,
dans
ce cas
appel6s
4.2
d__ee A p r i m a i r e s
l'on
suppose
la
i e i v1
interpr6t6s
et
si
~ue £gA A/I1
eonvexes
d-i
que
([Te
1],
existe
des
l'on
ch.
£gl
ait~
I,
A/I2
pour appel6s
§ 2).
~(Zl,...,Zd],
r6currence
polygonales
ne
ed= e(I1).
des mon~mes dans par
et
• Les e. sont 1
v2
dans
h prouver
en ce qu'il
:
~ue e ° = e(I2),
par
~ d+ , i l
meilleur,
O $ i • d = dimA t e l s
~ sommets
rationnels
sur
d
entiers
wi E ~+
ceci : N ( I 1)
, 0 ~ i ~ d~
:
1) + v 2 . N ( I 2 ) )
de v 6 r i f i e r
=
E i:O
i
wi
'~1 v2
que
= d-' w.
(O
1
mixtes
de N ( I 1)
7],
:
[Te
8],
Soient
pour
[R-S])
on
A un anneau
l'id6al
maximal.
trouve
local On a l e s
e l2_ 1 ~ e i • e l _ 2 Si
convexes
et
N ( I 2)
; on n o t e
que
Wd= C ° v ° I ' ( N ( I 1 ) ) "
([Te
Th~or~me
et
bien
d'abord
d (d) E i O i
2)=
v2E ~+
covolumes
Wo= C ° v ° I ' ( N ( I 2 ) ) '
~ 2
facile
1
Dans
polytopes
de A, t e l s
' on n o t e
suivant,
fini
; citons
engendr6s
e.
L e s w.1 s o n t
des
num6rique
ei~
• I
1
~ u e de ~ 1 e t a 2
Covol-(vI.N(I
I1
vI
: e(I
au r6sultat
l'on
IcJ
entiers
de 1 1 e t
de c o v o l u m e
que
sont
1 2 deux id6aux
des
positifs mixtes
Etant et
1 1 et
existe
ne d6pendent
Dans
a a priori
Soient
finis.
AC~
donne un 6nonc6
l'on
:
a : si
on a A = B . ]
Le T h 6 o r ~ m e c i - d e s s o u s suppose
donc
de p l u s
A normal
et
son
la
preuve
n~therien
de
:
, 1 1 e~t 12 d e u x i d 6 a u x
in6galit6s (2 ~ i ~ d)
compl6t6
Aa6quidinensionnel
on a l e s
342
6~alit6s
eo = e I . . . . .
Remarques entre
les
:
e d si
Ces in6galit6s
covolumes
: soient
qui
entre
Kl e t
seulement
sont
les
a une expression
( v 1,
~2 E ~ + )
les
volumes
polynomiale
l'on
a I 1 = 12
in6galit6s
£ rapprocher
K2 d e u x c o n v e x e s
l'on
si
impliquent
mixtes~
de A l e k s a n d r o v - F e n c h e l vo~ci
et
mixtes
pour
le
(cf.
dans ~d.
et
= Vol-(Ko), l'on
qui
K1 + ~2 K2) = i-~O
i
les
sont
volumes
mixtes
v i et
une g~n6ralisation
des
K1 e t
l'6galit6
(ef.
~A1.],
Ainsi, est
Vo= v 1 . . . . [We 9 ] ,
tandis :
que
est
r~me c i - d e s s u s l'inclusion
4.3 les
pr~cbdents
l'anneau
r6sultat
implique
enfin (cf.
montrer
v 1 • K1 + v 2 .
que K2
v1 v2
total
I de 0 p r i m a i r e et
des
le
th6or~me les
de R e e s
implique
de A l e k s a n d r o v :
K 1 = K2 a t r a n s l a t i o n
pres
KI= K2,
e(I)
=
i=l
l'analogue
du T h 6 o r ~ m e
de R e e s p u i s q u e
l'on
v6rifie
:
e ( I 1) a e.x a e ( I 2 )
d'une
O'
contenant
maximal~
r ~
des convexes
remarquer
r6duit~
de O,
maximal
th6orie
nature
plus
que
le
th6o-
facilement
que
"
61~mentaire
que
:
n~therien
l'id6al
la
faut
suivant,
§ 7)
dans
I1
in6galit6s
r6sultat
fractions
m l'id~al
in6galit6s
isop6rim6triques
si
d'Aleksandrov-Fenchel.
[ B b k 3]~
pour
K2 l e s
(2 ~ i ~ d)
seulement
V o l . ( K 2)
le
local
et
du t h 6 o r ~ m e
Vol.(Kl):
O un anneau
maux de O'~
que
10]).
I l_~I 2 implique
Rappelons
Soient
le
[Te
v d si
l'analogue
KI~K 2 et
ci-dessus
vi
in6galit6s
2 vi_ 1 ~ v i - vi_ 2 avec
~d
Vd= V o l - ( K 1 ) ) ,
a entre
Fenchel~
dans
On p e u t
v o l u m e du c o n v e x e
d(d)
o
des in6galit6s
:
V°l'('~l
(v
[Te 7])
de c o n v e x e s
compacts
2 wi_ 1 ~ wi • wi_ 2
afialogues
de O,
si
l'on
un s o u s - a n n e a u
O et
entier
note
e(IO~, ) • dimo/m O'/m~ i
s u r O- P o u r
m 'l ~ . . . ~ m r'
on a l ' ~ g a l i t ~
(semi-local)
:
les
de
tout
id~aux
id6al
maxi-
343
On 6 c r i r a
aussi
e(IO')
Nous retiendrons
pour
que si
la
somme de d r o i t e .
~ : X' * X
est
un morphisme
fini
bim6romorphe
d'espaces
analytiques, et I C O X , x un id6al primaire pour l'id6al maximal, IOX, se d6compose
dans ~
= X,,
lit6
:
§ 5.
e(I)
=
[ x,~
) x,~-l(x)
,
] -l(x) e(I;,)
ici,
paragraphe~
~ la
crucial
th6orie
dans
de W h i t n e y "
la
g6n6ralise.
verrons
[Te I1
essentiellement
trique
mais de l a
1],
est
au Chapitre
de B e r t i n i
sans
snr
id6aliste.
dont
Soit
F : (X~x) ~ (S,s)
r6duits,
et
soit
id6aux
tout
primaires
x. C Y ( s ' ) ) . 1
diviseurexceptionnel, au-dessus
II,
est
remplac6
la
transversalit6
qui
1.
se
sera
tr~s
a l'6ga-
assez
par
~ : X' ~ X
I
petit
dans
par
pas
plat
espaces
g~om~-
Prop.
3.1)
:
la F:
restriction Y~S,
la multiplicit6
et
anneaux
locaux
de l ' i d b a l
X-S
IO~X, est
tel
e(IOx(s,
somme d e s m u l t i p l i c i t 6 s
inversible ~]D
au t h 6 o r ~ m e
analyti~ues
fini
normalis6
compos6 D
§ 5,
un morphisme
des
reposant
V.
~ue
la
de c e t r a v a i l
caract6risation
X~ t e l
d6signe
conditions
apparent6
II,
entre
un r~le
que nous
au C h a p i t r e
Chap.
les
le
r6f6-
jouait
de r 6 c u r r e n c e ,
une
d_~e F ,
l'id6al
preuve
dans
d'une
principal
la
F : X~S
chacun
l'6clatement
d6fini
dans
de s u p p o r t
de s ' E S ( e ( I O x ( s , ) ) par
r6sultat
utile
I soit
servira
au prix
un r6sultat
ETe 1 ] ,
coh6rent
Y de X d6fini
le
sur
nous
implique
un argument
de m o r p h i s m e
I u n Ox-id6al
passer
constant
termine
I,
qui
Ce m~me r 6 s u l t a t
que
par et
hppendice
un ~erme
nous
"~
de n o t e r
il
de s f f S du m o r p h i s m e
d i m X - dim S -
pourrions
§ 3) q u e
V,
induits
Soit
l'on
int6grale.
un r6sultat
du t h 6 o r ~ m e
chap.
repr6sentant
ind6pendante
d6pendance
de Z a r i s k i .
int6ressant
(~Te 2 ] ,
d__ee F a u s o u s - e s p a c e que pour
nous
saturation
de l ' 6 q u i m u l t i p l i c i t ~
Proposition
et
) •
de l a
Le p a r a g r a p h e
5.1
I' x'
d6monstration~
d6monstration
(cf.
primaires
X,,~-l(x)
Je
rappelle
en id6aux
= e(IO
de s p 6 c i a l i s a t i o n
rence
soit
OX' x ' ,
Le p r i n c i p e
prochain
ci
-l(x)
))
des
OX(s,)~xi~
I, ; alors
et
soit la
de d i m e n s i o n
Dle
fibre
D(s)
344
Corollaire
(Principe
triction
x:
D. ~ Y
de s p ~ c i a l i s a t i o n
de ~ ~ c h a q u e
de l a
composante
d~pendance
irr~ductible
int~grale)
:
D.
surjective,
1
et
par
de D e s t
1
consequent,
pour
un ~16ment
hff H ° ( X , O X ) l e s
La r e s -
- -
conditions
suivantes
sont
~uivalentes i)
tl
on a i t
existe
un ferm~ analyti~ue
l'inclusion
ii)
hOx(s, )~I.ox(s,
On a l ' i n c l u s i o n
5.1.1
Remarques
che
:
l'existence
pas
de I d a n s
a surveiller
lement
les
a u v u du f a i t
la
"£onction
de
composantes
ne peut
fondamental verticales"
composantes que,
grace I-lh
immediate
est et
que
dans
le
n'est
lois
soit
pour
tout
s' 6 S- F,
diviseur
Le c o r o l l a i r e
jointe
~ i)
que nous s'en
normalit6~
le
1 (et
surjectivit~
emp~-
exceptionnel
1~ q u e p o u r
~ la
la
b~x(s) c I.@x(s).
l'6quimultiplicit6
de c o d i m e n s i o n
que
du T h 6 o r ~ m e )
de c o m p o s a n t e
est
immerg6es). cette
vide~
que~
donc en particulier
OX ( l a n o r m a l i s a t i o n
de D) s o i t
contenir
et
Le p o i n t
m6romorphe"
(cons6quence
lire
1)
F de S tel
) •
: h~°(X,Y),
de " c o m p o s a n t e s
l'6ctatement
rare
n'ayons
d6duit
lieu
est
alors
que ce
faci-
polaire
lieu
de
union
des morphismes
implique
de
~ : D.1 ~ Y ~ polaire
de D.
2)
Pour une
3)
On p e u t
alg6brisation
et
extension
de c e s
r6suitats~
ELi].
flantes
verticales
comme c e c i
D= p - 1 ( ¥ )
~Projan¥(
inversible
OD(1)
local
X' c X ×
classe
~M
de S e g r 6
pr~ciser
: soit
G IV/I v+l ) le v~O qui est ample par
~ o~ M+ 1 e s t covariante
o~ d = dim X~ c y c l e
le
point
p : X' ~ X diviseur
nombre
sur
l'6clatement
a pet
cycle
muni
provient
A.(X)
si(y~x) des
l'existence de I~
des g6n6rateurs
X le
au g r o u p e
1)
exceptionnel~
rapport
de ¥ d a n s
appartenant
le
et
de c o m p o soit
du f a i s c e a u
du X - p l o n g e m e n t
de I .
On a p p e l l e
= p~(cl(OD(1))
i-~me
d-l-i)
cycles
particulier~
de d i m e n s i o n i de X. dim X classe de S e g r e de Y d a n s X, l a somme s ( Y ~ X ) = E sl(Y~X)~ et en i=O d'apres un r~sultat prouv~ par C.P. Ramanujam (IRa], voir aussi
[K1 2 ] )
IYI e s t
1
On a p p e l l e
e(I
si
un point
. OX,x ) = degD(~D(1))=~
r~sultat
et
le
th~or~me
x 6 X,
on a s ( Y , X ) =
(C~OD(1)) d-1. de B e z o u t
(plus
e(I.
OX,x ) • Ix],
et
Le l e c t e u r
est
pri~,
pr~cis~ment
les
propri6t~s
donc
en utilisant
ce
~l~mentaires
345
du d e g r ~ d e s f a i s c e a u x qui p r 6 c i s e
inversibles)
( [ T e 1]~ Chap.
Soient d6finissant
f:
II~
(X,O] ~ ( ~ 0 )
n6cessairement
¥aX
= d e g ( OD (1)). vert.
me de f e n
O~ on a l ' ~ g a l i t ~
deg D v e r t "
5.2
de
:
la
Utilisons
multiplicit6
d'un
([Li]~
L'id~al
~ est
entier
exceptionnel
D (non
O~
(pour s/
de s ~ • " s i
pour
donner
analytique
du g e r -
O)
et seulement si
X en
un
maximal ~X~ x
:
de 1.1 e t
de d i m e n s i o n d~ e t s o i t
(yl,...,yd)
conditions sur
l'interpr6tation
complexe
d a n s OX~ x de l ' i d ~ a l
g6om6-
de
ses
points~
d'abord
un
de Nakayama
:
~ = ( z l ~ . . . ~ z N)
de d 6 1 6 m e n t s de ~ l i n ~ a i r e m e n t
suivantes
l'id6al
P o s a n t O 1= ~ [ y l ~ . . . , y d ] ~ O ,
sont 6~uivalentes
(yl,...~yd)O.
e_~t ~ 1 = ( y l , . . . , y d ) O 1
, le morphisme naturel
gradu6es ~v/~9+l --1---1
= gr~l
~ gr~ O =
01
0 v~O
~/~+1
est
~quivalente
fini.
Remarquons t o o t tion
espace
analyti~ue
modulo 92 , l e s
• ~0 est
r~sultat
maximal ; p o u r une s u i t e
ind6pendants
d'algebres
ind6pendant
p : X' ~ X l ' 6 c l a -
suffisamment petit
§ 1)~ e t c o n s 6 q u e n c e f a c i l e
S o i e n t O une a l g ~ b r e
ii)
ce
la multiplici£~
lemme e x p l i c i t a n t
i)
repr~sentant
de OX
dim X - 2.
c'est-a-dire
son i d e a l
est
que v o i c i ,
I un i d e a l
fini~
par pest
= e ( I . ~X(O)) - e ( I . O X ( s ) )
on a " e ( I . O ] ( s ) )
Application
triqu e
r~duits~ soit
ensembliste
Pour t o u t
utile
Z.1),
~ue f l y : ¥ ~
dont l'image
deg D v e r t "
dim p - l ( O ) =
tel
tres
r ~ u n i o n d e s c o m p o s a n t e s du d i v i s e u r
r6duites)
En p a r t i c u l i e r ~
§ 5~ P r o p .
l'6galit~
un m o r p h i s m e d ' e s p a c e s
un s o u s - e s p a c e
t e m e n t de Y~ D v e r t . l a
de v 6 r i f i e r
de s u i t e
g~om6trique suivante
correspondant
~ l~algebre
que l a c o n d i t i o n
: soit
(X~O)~(~N~o)
O~ e t s o i t
n : ~N
ii)
a la condi-
l e p l o n g e m e n t du germe (X~O)
Ed l a p r o j e c t i o n
lin6aire
d6finie
346
par
(in~
yl,...,i~
modulo ~2)
, et
IKer n~Cx,xl aussi
et
Soit
est
d'apr~s
doric e ( I .
OX(O))= e(I
te
de ~ d d 6 f i n i e on a e(I.
yd_]=
versalement et
ces
5.3
de Y d a n s
.OX(~d)) une
d6finie
pour
tout
tout
O~ y d = ~ d ~
sont
pour
coupe
de c e s
m (X)
le
sous-
(yl,...,yd_l),
On s u p p o s e
pas
que
petit.
points
disons
de m ( X ) . O
est
et
dans
sous-espace
le
le
la
On a a i n s i
v6rifi6
nombre
points
droi-
discriminant entier
de ~N d 6 f i n i
on a e ( I
des
si
~ est
non-singuliers
xi(~d)
de X on a
En p a r t i c u l i e r
~ : x-~d
contenue
dim p - l ( o ) = d - 2 ,
petit
de X e n O, p u i s q u e
~d ~ O~ l e
points~
de x c ~ N
donc assez
transversale
X en des
dDnc a u n o m b r e
La m u l t i p l i c i t 6
Yd"
~d 6 ~ a s s e z
projection
et
maintenant
1 ~16ments
par
de Yi
a X e n O. On d i t
repr6sentant
Yd-1 = O n'est
§ 4)
transverse
d-
(classe
O h X e n O. A l o r s
X ; on a X' ~ x × ~ d - 2
, pour
Yl . . . . .
; en chacun
points
X-E
initiale
de O X ~ x "
pr6c6dent,
~ (cf.
Specgr~
par
OX(O)) = mo(X) ~ multiplicit6
(yl~...,yd)DX
Yl . . . . .
primaire
d6finissent par
F:
forme
Consid~rons
I engendr6
projection
r6sultat
(yl,...,yd)
sur
la
la
tangent
transversale.
l'id6al
un id6al
si
de ~,
par
l'6clatement
le
c~ne
d~signe
que Ker x est
une projection
X de
p : X' - X
le
c'est-a-dire
Y de X d ~ f i n i
munissons
o~ in?~(y i E??~/~ 2
CX~ x c ~ N
= {O],
(y]~...~yd)
et
soit
que ~ est
espace
yd ),
par
de X~ e t . OX(~d),Xi)
trans= l,
en particulier
en les~uels
:
un
O
sous-espace direction C'est
lin~aire
H~d de d i m e n s i o n
transverse
a X e n O~ c o u p e
aussi
le
c'est-~-dire les
5.4 il
de~r6
avec
~ des
:
Etant
Corollaire
mension (L,O)~
en x d'une
la multiplicit6
compos6es
existe
local
un ouvert k dans
(~N~o)
C'est
fonctions
donn6
de Z a r i s k i
EN t e l tel
dans
que pour
X~ ( e t
qui
projection
l'anneau
tout
nous n ' a u r o n s
U de l a
aucun mal~
parallele
vers
x:
OX~ x de l ' i d 6 a l
pour
a une
O, ~ u a n d
~d'O)-
(X,x)~
(Ed,o)~
engendr6
cha~ue
entier
non-singulier
des
k, plans
O g d i m X~ de c o d i -
de c o d i m e n s i o n
mo(LNX) = mo(X).
dans
par
(~d,o).
grassmannienne
sous-espace l'~alit~
tendent
sur
(X,O) c (EN,o)~ dense
de O e t
transversale
local
coordonn6es
q u e TL~ O~ U~ on a i t
pourquoi
N - d~ v o i s i n
la preuve
ci-dessous,
k
347
choisir
des r~tractions
que m (p-l(y) Y
NX)=m
Remar~ue
L'avatar
:
l'existence
5.5
alg~brique,
OE Y- P o u r
plus
superficiels
tout
non-sin6uliers
analttique
plon~ement
Y~ Y c X
sous-espace
non-singulier,
precis,
du' r ~ s u l t a t
ci-dessus
(cf.
c£.
[Bbk 5],
[Te
complexe~ local
(H~O) c ( E N ~ o )
telles
yEY.
("nons~paration",
X un e s p a c e
~N
P:
(X)~ p o u r
d'616ments
Corollaire
Soient
Y
locales
(X,O)c
contenant
111,
est
§ 7).
2.8.5
et
Th.
5,
[Li
1],
4.5)
Y ~ X un s o u s - e s p a c e
non-sin6ulier~
(~N,O),
les
¥i
considbrons
de d i m e n s i o n
: e_~t
sous-es~aces
N - dim X+ dim Y e t
tels
q u e d i m ( X N H ) = dim Y. a) sur
Si
l'application
¥ au v o i s i n a ~ e
pour
tout
Y.~
d6finie
par y~m
de O, c ' e s t - a - d i r e
sous-espace
si
non-sin~ulier
X est
Hc~N
Y
(X) e s t
localement
~quimultiple
contenant
Yet
le
tel
constante
l o n ~ de Y e__n_nO,
que
I T H ~ o N C x ~ o I = T y r o ~ on a l ' ~ g a l i t ~
IHNXI au v o i s i n a ~ e
de x ,
et
de p l u s
= Y
on a IT H , y A C X , y l
= Ty,y pour
tout
yE Y voisin
d__~eO. b) nienne pour
Inversement,
si
il
des sous-espaces tout
sous-espace
existe
lin~aires
X est
~quimultiple
Prouvons puisque
a)
(H n x , o )
:
¥, le
O
telle
que
n x ) = m (X) e t
L'hypoth~se
O
implique
(H,O) tel
de (¢N,o)
de Y e n
que
que
sur
donc choisir soit
la ~rassman-
N - dim X + dim Y t e l
que~
de d i m e n s i o n l'~alit~
IH n x I = Y,
CHNX, O~TH~ O A C X , 0 ;
son cSne tangent~ une r6traction
transverse
le morphisme
P - I ( O ) NH e s t
U dans
O.
platement
P-I(o)
dense
q u e TH, OE U, on a i r
On a dim CHNX, O= dim Y p u i s q u e
dim(H NX) = dim Y. Nous p o u v o n s
m (P-I(O)
et
long
se sp6cialise
P : (~N,o) ~ (Y,O)
de Z a r i s k i
de ¢N de d i m e n s i o n
non-singulier
N - dim X + dim Y, c o n t e n a n t alors
un o u v e r t
H NX~Y
transverse
on a d o n c a u s s i
locale
£ X~ c ' e s t - ~ - d i r e induit
par
p soit
~ P - l ( O ) NX d a n s
fini. P-I(O),
348
car
IT -1
NC _ 1 (o)Nn,o
{ : [O}.
I1
suffit
alors
de c o n t e m p l e r
le
diagramme
(O)NX,O
(o~ on a n o t ~ X ( y )
pour
p-l(y)
NX)
I
e(I.
OX(O),O)
a
e(I.
~X(y),y)
II
premiere
s~quence
et
que p a r
m (X) y
in~galit~
vient
du r 6 s u l t a t
l'6galit6
ailleurs
I P-l(y)
=
directe
6galit6)~
~X(y)
x. ) '
V/
m (X) o
ou l a
+ > , e(I" xi~P-l(y)NHNX_ ¥
de
,
la
semi-continuit6
pr6c~dent.
verticale
vient
de
e(I . OX(y)~y) ~ my(X),
NH NXI = [ y ]
pour
tout
(En f a i t ,
de dans
l'hypoth~se
on en c o n c l u t
y E Y, c ' e s t - ~ - d i r e
la multiplicit6, ce c a s - c i ~
con-
on a m~me
de t r a n s v e r s a l i t 6 . P-l(t)
Puis-
NH N X - Y = ~
[HN X[ = Y, e t
la
donc
transversa-
lit6. Prouvons
b)
6quimultiple
le
( C ~ O ) c (Y,O)
telle
m (p-l(y) Y long
fibre
P
que~
YE C - [ O ]
On s e r a m e n e
l'ouvert
ainsi
H N X est
( y ) N X en y p o u r H'
de H e t
dessus
de Y - [0~
ce q u i
TH, O)
Puisque
locale X N P-I(c)
X par
de d i m e n s i o n
supposer (il
que suffit
l'~cl~tement
cleirement on a
dans
]e
e(I . OX(O),O)
par
m (X) y
v6rifiant
ou Y e s t
Par
le
une
d a n s X~ d o n c ailleurs~
la quitte
transverse les
transform6s disjoints
le
au-
ouverte
fait
de d i m e n s i o n
diagr~mme suivant
Ii >_
cas
que
hypothese,
pas
6quimultiple
une condition
e(I . OX(y),y)
v/ m (X) o
pas
de Y d a n s EN s o i e n t
IH N XI = Y p a r
y ~ Y,
NH e s t
d'imposer
de H N X d a n s X s o i t
nous donnen~ pour
le
dim X - 2.
p-l(y)
impliqu~
X n'6tait
non-singuli~re
ne s o i t
dim X - 1 ~ q u a t i o n s
par
si
P : (~N,o) ~ (Y,O),
d6fini
de 0 de l ' ~ c l a t e m e n t
transversalit~
courbe
l'6nonc~
yC Y - {0)
p o u r TH, OE U,
une
a v6rifier
on p e u t
est
la multiplicit6,
trouver
l'espace
dans X est
tout
X'
eu-dessus
et
U,
de
pour une r6traction
de s o n ~ c l a t e m e n t
stricts
semi-continuit6
l o n g de Y, on p o u r r a i t
Dams ce c a s ~
r6tr~cir -1
Par
N X) : m (X)~ Y
de C.
courbe,
:
d-
que 2 et
sur
la la
fibre
349 d'ou
m ( X ) = m (X)~ o y
Remar~ue
:
et
le
r6sultat
On p o u r r a i t
aussi
~d+l
jection
g~n~rale
tre
on s e r a m ~ n e a l o r s
et
IV,
un calcul
§ 6.
dent
qui
6.1
Soit
Si
l'immersion d'id~aux
sur
~t~
puisque
tions
ILl
signal~e
l'espace
nous i est
I.
ouvert
traits
le
de l a
r~sultat les
r~sultat
en consid~rant
techniques pour
th~orie~
de Z a r i s k i ~ [Bo]),
et
Mr.
qui
je
une pro-
expos~es
au Chapi-
l'hypersurface
E.
X1 = p ( X ) ,
l'immersion
naturelle
int~resserons ferm~e
d~fini l®h
une erreur
des
d~finie 0;
et
Pham e t plus
d'un
notons
moi p a r
loin
travail
par
par
supposer
(cf. pr~c~-
difference
pour
des
simpli-
coherent
localement 1-
dans
locale~
~X E d e s g e r m e s
U~ [hE~x(U)/h® la
sa norma£ibr~
de n a t u r e
un faisceau
c'est-a-dire
d~signe
n: X~X
du p r o d u i t
problemes
du f a i s c e a u
holomorphes"
U de X~ ou h ® 1 -
utiles
r~duit~
qu'~
le sous-faisceau
au p r ~ f a i s c e a u
serons
i : X×X~X×X X ce que nous pouvons
s~par~
"faiblement
a F.
B~ger.
complexe
X est
inspir~e
nous
signale
analytique
immersion
Consid~rons
X] a s s o c i ~
ou d = d i m X ; p a r
par
ne nous une
m~romorphes
tout
2],
Consid~rons
produit.
fier
les
X un espace
lisation.
ce
alors.
saturation
aussi
m'a
prouver
a prouver
suffit
ici
de l a
[P],
~
bien
•
lipschitzienne.
rappelle
th~orie
EP-TJ,
le
direct
Saturation Je
la
p :
~N
cherch6.
I®hE
de f o n c -
born~es I(U)]
compos~s
pour
de h a v e e
Pl les
deux projections
X×X
t X~ c ' e s t - ~ - d i r e
h o Pl-
h o p2 , e t ~ d ~ s i g n e
la
P2 fermeture
int~grale
Lemme
L___aaO x - a l ~ b r e
:
Notons ~;
est
de
l'id~al
I.
O; est
un OX-mOdule coherent.
( ~ X ~ (~X = ( ~ X ~ l e
le noyau
du m o r p h i s m e
produit
tensoriel
de O x - m O d u l e s
~x
~ ,~×~/r
analytique
~ alors
le Ox-mOdule
350
d6fini
par
~(f)
(~Xx~/ I par
= image
un id6al
de f ® 1 -
coh6rent
1® f.
Or l e O x - m o d u l e
(~Xx~/Y
de (~X×~/ I ~(~X×X ( p u i s q u e
est
l'id6al
quotient
Y est
de
coh6rent)
X et
la ~x-alg~bre
est
fini
au~dessus
conoyau
d'un
:
et
par
:
domin6 par
est
Proposition
I1
du g e r m e
:
suffit (X,x)
sur
d'ou
q u e O~ e s t le
19)
X×X X
le
r6sultat.
~
est
r6duit
de X,
fibr~
appel6
satu-
X.
donc
s est
bim~romorphe
on a u n i s o m o r p h i s m e
de ~ X - m O d u -
C> 0 telle
de m~me l e u r
d a n s ~X×X e s t
[Ix I
tel
que,
_
tout
x2[[.
par
on p e u t
Zl,...
et
le
) ~quivaut Xs x :
,
de f o n c t i o n s
zN les dtun
(EN,O)
un plongement
trouver
un repr~sentant
m~romorphe btendre
montrer
(Xl~X 2) E X × X
diff6rences
wE X x X on a i r
on p e u t
Nous voulons
couple
d~finition,
(X,x)~
fonction
h E OX,x,
a X. A u - d e s s u s les
soit
en une
X.
des germes
X.
h C (O;)x ~
Notons
q u e h E (s~e ~ pour
sur
faiceau
sur
h s'~tend
restriction
Pi : X × X ~ X ~ X. P a r
le
de X, e t
quesi
born~e
engendr~
dire
O; est
en particulier
que pour
[ h ( x 1) - h ( x 2 ) l 4 C
:
x un point
lequel
localement
(X,x)
exp.
lipschitziennes
de p r o u v e r
m~romorphe
int~grale,
L'al6~bre
Soit
Puisque
et
par
produit
prouve
complexe
normalisation
justifi6e
le
ou Xs = S p e c a n o y
analytique
la
Ceci
coh6rents,
: Xs ~ x ,
(~Ca~
:
ehitzienne.
et
19~ No 5 ) .
du S p e c a n
localement
D6monstration
tante
puisque
xs-Ox.
m~romorphes
local.
finis
de l ' e s p a c e
Xs e s t
terminologie
6.1.1
exp.
de O x - m O d u l e s
Le m o r p h i s m e
construction
,ess. La
de X ( ~ C a ] ~
lipschitzienne
Remar~ues
un OX-mOdule coh6rent
homomorphisme
D6finition ration
(~X×X e s t X
localement
hen
quail
une existe
fonction une
cons-
on a i r
fonctions voisinage
coordonn~es
transcendental
a l'existence
sur
de X × X~ l ' i d 6 a l
z~l - z"~i ' 05 z~l = z i ° ~ 1 ' critere
lips-
d'un
~N
I
z~'=l z i ° ~ 2 ' de d ~ p e n d a n c e
repr~sentant
,
351
Ih o P l ( w ) - h oP2(W~l < C Sup I z :1 ( w ) i
Puisque
l e m o r p h i s m e X× X - X x X e s t
que h e s t
bien
localement
preuve ~ l'envers, (h) x appartient
Exercices l'autre
~ (s~
:
1)
r~duits
se prolonge
Exemple
:
zi(p2(~)[
on e n d ~ d u i t
localement
aussit~t
en l i s a n t
lipschitzienne~
cette l e germe
OxS)x.
qu'~tant
e n un m o r p h i s m e f : entre
M o n t r e r que~ p o u r t o u t
(l'une X~¥
fonctorielle
entre
X~Y entre
les
satur~s
xE X, l ' a n n e a u
donc e n p a r t , c u l l e r
(X,O)c (¢N,o)
diff~rentes
donn~ un m o r p h i s m e f :
en un m o r p h i s m e f s : Xs ~ Y s
Soit
Izi(~l(W))-
et qu'inversement,
m&romorphe e t
qui se prolonge
analytique~
= C Sup i
et surjectif,
D ~ m o n t r e r de deux f a g o n s
2) alg~bre
fini
lipschitzienne~
hest
transcendante)
lytiques il
si
z ?1 ( w ) [
espaces les
et ana-
normalis~s~
lipschitziens.
(O;)x =0~, x est
une
local.
un germe de c o u r b e
analytique
r~duite.
Soit
X= @ C. s a d ~ c o m p o s i t i o n e n c o m p o s a n t e s i r r ~ d u c t i b l e s , e t d ~ c r i v o n s (C i 0 ) i p a r une r e p r e s e n t a t i o n param~trique~ c'est-~-dire comme image r ~ d u i t e d ' u n morphisme et
(¢,0)~
l'algebre
(CN,O) d ~ c r i t
par N fonctions
de X l e l o n g de l ' e n s e m b l e
Par consequent,
l'algebre
fini
%×~,n_1(O)×n_1
zk(ti)E n-l(o) est
~(ti].
est
Alors x=J_.[ (¢,0) i ~ ~]-[f[ti~ • X,n-l(o) i
isomorphe ~
(0) l'id~al
I d~finissant
n~e p a r
la collection
et
a Ii, j = (~zk(t i) - zk(t~) ~ l~k~
l'on
engendr~ par hE-~[t
les
l e germe de X × X l e l o n g de n - l ( O ) × n - l ( o ) e s t d ~ t e r m i X de s e s i m a g e s I . . d a n s c h a c u n e d e s a l g ~ b r e s E ~ t i , t ] ]
~ l ~ m e n t s de l ' e n s e m b l e
i] ~0
m ~ ¢[ti,t ~ ] , i,j
, on a donc h 6 0 ~
N])¢(ti,t
jv ]
[ ]).
l'on
si
Si
(ici
et seulement
({ ] )
d~signe
1 i ideal
consid~re si,
pour tout
couple
X,n-l(O) (i,j)~
6.2
on a l ' i n c l u s i o n
Soit
saturation
maintenant
:
h(t i) - h(t~)E
Ii, j
(X~O) ~ (¢N~o) un germe d ' e s p a c e
lipschitzienne
de X~ on e s t
amenb a ~ t u d i e r
r~duit.
Pour ~tudier
l'~clatement
la
normalis~
352
dans
X×X
de l ' i d ~ a l
l'~clatement et
cet
Zl,
..
~ (x,x')
CN
peut
E XxX-
8tre
¢N ,
et
(cf.
la est
I,
l'id~al
§ 1,
Prop.
d~finissant
comme c e c i
consid6rons
EX c h e r c h ~ dir.,
de
d~crit
Ax a s s o c i e
du m o r p h i s m e
XxX X
dans X×X
.,z N sur
1' ~ c l a t e m e n t
graphe
d~finissant
normalis~
~clatement-ci
locales qui
I
la
de l a
isomorphe
dir.
Or,
coordonn~es
dans
~N-1
Ax
joignant
a l'adhbrenee
aussi
AX C X x K ,
des
: XxX-
s6can£e
c'est
diagonale
: choisissons
le morphisme
direction
1).
x a x'
X× X×
dans
~N-1
du
on a d o n e u n d i a g r a m m e
EX
dir.
~ ]pN-1
XxX
avec
d i m E x = 2d~
L'ensemble ensemble
des
directions
alg~brique
puisque
cet
dans
contexte
le
6.2.1
ensemble
le
sont
une
O-ieme
:
ideal
2) noyau
et
de
la
le
l'on
peut
lin~aire.
diviseur
(¢N~o)
un ~erme
Notons
X1 = p . X
Fo(P.Ox),(cf.
identifi~
a l'in~galit~
lipschitzienne,
(X,O)c
~tre
[Te
au sous-
dimb-l(o×o)
~2d-1
exceptinnnel.
Pour
voir
On a a l o r s
([P-T]).
de c o u r b e l'ima~e
3]).
r6duite
de X d a n s
Les conditions
tout
et
ceci, :
soit
~2 ( d ~ f i n i e suivantes
: X1 e s t
direction
projection
Prouvons
Soit
et
dans
saturation
de F i t t i n g
l'extension
hucune
e n 0 de s ~ c a n t e s
0)[ ~$N-1
contenu
projection
La c o u r b e
morphe,
est
de l a
~quivalentes 1)
limites
[b-l(o×
Proposition
P : ~N,¢2 par
ou d = dim X.
r~duite,
le
naturelle
s:
limite
naturellement
sons
des
coordonn~es
xS
plX = ~ : X-X 1 est
X; a u x s a t u r ~ s
e n 0 de s 6 c a n t e s
est
a X n'est
fini
bim~ro-
un isomorphisme. contenue
dans
le
p.
1) ~ 2) : P u i s q u e
tend
morphisme
u est
en un isomorphisme locales
(Zl,...,z
fini
et
bim~romorphe,
~: X ~'~X1 N) s u r
des
tN telles
le morphisme
normalisations. que
la
projection
n s'~-
Choisisp soit
353
d~finie
par
ferences
(Zl,...~ZN)~
(Zl-
dr~ par
Zl~...~z
( z 1 - z lt ~ z 2
un isomorphisme identifier Ceci une
N
! z 2)
C> 0 telle
tendant
vers
le
5 ~ k~ N.
Ceci
implique
Pn Pn ~ q u i
ne peuvent
que
ont
les
coordonn6es
(zl(Pn)-
zl(p~)
ne peuvent
Prouvons suffisamment C2 par te
est
courbe
plane
Macaulay que si point Loc. induit
(cf.
nest qui
[Te 3~
une composante g~n~ral
cit.).
de c e t t e Par
et
grand~
int~grales
les
les
...
difengen-
I = 11 • : il
existe
de c o u p l e s
de
inbgalit~s
n) - z2(p~)[~
directions
des
s6cantes
la
il
X1 e s t X---~
tousles
ont
des
fini
y aurait
r~duite,
1 des
images
puisque
par
r~duite
ideal
pas
nest
normalisations.
fini
de p o i n t s
distinctes
composan-
de F i t t i n g
une
de C o h e n ~mplique
au-dessus
d'un
de X ( c f .
bim~romorph~ reste
1.
c'est
que X est
I1 nous
darts
de d i m e n s i o n
deux points et
de p .
puisque
r~duite~
au m o i n s
noyau
de c h a q u e
X est
immerg~e parce
d~finition
le
couples
dense
son image est
de X 1 n ' ~ t a i t
composante
dans
2),
un ouvert
de c o m p o s a n t e que
contenue
de 0 × 0
fini~
projectives
: c N)
limite
sur
: zN(p n) - zN(pL))
coordonn~es
l'hypothese
irr~ductible
n:
...
un morphisme
avoir
§ 5)
les
I 1 l~id~al
~ X×X-5X
zl(p~)[,[z2(p
pour
une
distincts
un morphisme
consequent,
un isomorphisme
n assez
O: c 3,
un isomorpbisme
ne peut
soit
ou comme c e c i
( p n , P n )t
reprbsentant
ayant
vers
en particulier
consequent
suite
pour
D'apr~s
de 0 e t
p~ doric n i n d u i t
de X~ e t
Par
voisins
toute
(1.3.4)~
: z2(P n) - z2(p~): limite
:
et
par
projectives
tendre
2) ~ 1)
X×X~ X
de c l S t u r e s
valnatif
de ~ N - 1
(0: c'est-~-dire
d~finit
~ C. Sup{[zl(Pn)-
une
de (~X×~ e n g e n d r b
a l'~galitb
on a i t ~
points
vers
l'id~al
d~finit
critere
pour
tendre
qui
l'on
que pour
(0~0)~
I
~ × X. Dire que l'extension ns est X1 au v u de l a d ~ f i n i t i o n e t du f a i r q u e l ' o n p e u t
que
[zk(p n) - ~k(p~)[ pour
qui
donc,
par
Soit
ideal
ideal
I
h dire
se traduire
constante
z N)
~quivaut
~ et ~1'
peut
points~
--
(Zl,Z2).
et
donc
a montrer
354
l'6galit6 t6
I 1= I qui
n'avait
pas
analytique notant
lieu,
(~O)
z.(u)~
impliquera
et
d'apr~s
le
critere
h ~ X×X
n
}X×X
z!(u)~
les
61~ments
z i ° P2 ° n o h r e s p e c t i v e m e n t , galit~
de v a l u a t i o n s
puissance F N-1 forme tion
z~(u)
de u q u i
divise
correspond
(O: O: c3:
D~finition
tes
de
dite
2 est
pour
une
plus projection
un entier
6gali-
un morphisme 5X
et
que
z i o Pl ° n o het k,
3~kg
N l'in~-
z~(u))]
on v o l t
des
au n o y a u
par
que
s6cantes
la
la
plus
limite
z(u)z'(u)
de p ,
d'ou
dans
est
la
grande
de l a
contradic-
courbe
elle
satidfait
p: cN-~2
X par
une
(EN,o)
les
(i.e.,
si
elle
projection conditions
submersion est
lin6aire 6quivalene n O) e s t
conjugu6e
~ une pro-
des
changements
de c o o r d o n n 6 e s
sur
~N e t
par
le
la
limites
en O.
est
justifi~e est
est
le
lin~aire
le morphisme
fait
que
Ib-l(O×O)l
au p l u s le
c~N-1
2~ c a r
noyau
r~union
des
avec
dim b - l ( O × O )
de p q u i
est
les
notations ~ 1 et
donc
de c o d i m e n s i o n
O.
(X,O)c(~N,O),
dire
sur
p g~n~rale,
paraphraser
un hom~omorphisme,
cSne
de d i m e n s i o n
ce cSne qu'en
On p e u t
(X,O) c (cN,o),
X si
(X,O)c
pour
ment est que
pour
courbe
g6n~rale
d~finition
ne rencontre
une
limite
Une p r o j e c t i o n
haut,
pour
par
: ZN(U)- z~(u))
lescoordonn6es~
direction
g6n6rale
~ l'identit~
:
toutes
courbe
introduites
Remar~ue
au m o i n s
...
donn~e une
~ X, q u i
une
donn6s
cette
~X ×X-
z~(u)),v(z2(u)-
z~(u):
Etant
en O de s~cantes
po~r
: z2(u)-
appartient
lin6aire
Cette
=~{u]
< inf[v(zl(u)-
~ la
Proposition.
~2 t a n g e n t s
existerait
que n o h(~-~O])
pour
: cN) , d o n c
dire
g6n6rale
jection
il
: si
•
:
la
tel
...
cherch~e.
p: cN-c
z~(u))
(Zl(U)-
qui
saturations
valuatif,
de ~ , O
on a i t ,
des
u-adiques
V(Zk(U)-
en divisant
l'isomorphisme
une une
mats
analytique
est
pattie
projection
de c e q u i g~n~rale
un hom~omorphisme
~ admet un inverse
precede
en disant
que
~ : X~X 1CC 2 non seulelipschitzien,
lipschitzien.
c'est-~De p l u s ,
le
355
morphisme s: xS-x factorisent
6.3
analytiques
Nous a l l o n s ([G-T-S Iet
II)
de c o u r b e p l a n e Soit
ici
satur6es
sans
de d i m e n s i o n
de d o m i n a t i o n
des projections
de d i m e n s i o n
(cf.
1 est
parmi ceux qui
g6n6rales.
1.
d6monstration
complete,
[BGG] A p p e f i d i c e ) ,
de d i m e n s i o n
d'apr6s
Zariski
la structure
1. D ' a p r 6 s
ce q u i p r 6 c ~ d e ,
la saturation
de l ' a l g ~ b r e
des alg~-
toute
algebre
d ' u n germe
r6duite.
donc O = O X , O l ' a l g ~ b r e
d ' u n germe de c o u r b e p l a n e
f ( z l , z 2) = 0 ,
o~ f = f l " ' " f r '
tible.
la fermeture
Alors
sont
satur6es
et Pham-Teissier
satur6e
la relation
et qui
rappeler
analytiques
analytique
maximal pour
la normalisation
hlg~bres
bres
est
chaque f. 6rant 1
int6grale
r6duite~
une s 6 r i e
d'6quation
convergente
de O d a n s s o n a n n e a u t o t a l
irr6duc-
de f r a c t i o n s
r est
i s o m o r p h e ~ un p r o d u i t
santes ait
locales
t.1 de t e l l e
pour d6composition
d6finie
de l ' 6 1 6 m e n t • lots,
(c'est-~-dire
correspondant
K×X dans X×X est X
l'a~ons
Soit
n.
Soit
p le p.p.c.m,
= (til
.,~(i)) la suite ''" gi de c o u r b e p l a n e i r r 6 d u c t i b l e '
choisir
les
les uniformi-
r de OX,0e-~i=~ 1- f [ t i } image de z 1
d a n s OX~O, o~ n i e s t
la multiplicit6 de X e n O, q u i la d6composition
de z 2 d a n s OX, 0 •
haut,
l'id~al
I
de
TT¢[ti,t~l
d~fini~sant
id6aux
n.
_ t'.3 3 , z 2 ( t i ) - z 2 ( t 3 ) )
des multiplicit6s
(n i ~(i)
peut
(z2(tl),z2(t2),...~z2(tr))
~u p l u s
par
l'on
composante irr6ductible)
~ l'image
d6termin6
I.l,j
et
f a ~ o n que l ' 6 1 6 m e n t
p a r f i ( z l ~ z 2) = 0 .
comme n o u s
] [ ¢[ti], i=1
nI n2 n ( t 1 ~t 2 ~ . . . ~ t r r )
en 0 de l a i - e m e b r a n c h e est
direct
ni,
des exposants
cI{t.•,t'.]3
et pour chaque i, caract6ristiques
1K i K r ,
soit
de P u i s e u x
du germe
1
X.1 d 6 f i n i
de ( n i , ~~1( i ) ' ' ' ' ' ~ k ( i ) ) (Co( i ) = n i '
(ni'2ni'3ni'''''~l
~(i)
par fi(zl,z
eg( ii ) = 1) e t
soit
2) = O. S o i t E,1 c ~
e k( i )
le p.g.c.d.
le sous-ensemble
(i) (i) (i) ~i) o(i) ~(i) (i) '~1 + el '~1 + 2e '''''~2 ~2 + e2 '
•2( i +) ~z e 2(i)' ' ' ' ' P 3 _(i) ' ' ' "
,~(gi i) ~(i )+ 1,..-) gi
356
ou c h a q u e
symbole
spas-ensemble quer
que
contient
c'est
D'autre
" d6signe tousles
pour
chaque
r) 6OX, 0 ,
(h)=
suite
entiers
racine
a priori
a partir
p-ieme
on associe
P/ni) mi,j,
une
infinie.
de ~ i ) .
I1
faut
wet
chaque
de l ' u n i t 6
~ chaque
couple
i,j
- h.((wz) 3
))
ou v d 6 s i g n e
la
m. le l'J'~
Th6or~me
hppendice)
nombre
en T obtenue
en substituant
inf (m. (h)) h~Ox, 0 l'J'~
([G-T-S
113,
Th.
T-adique
1
.
3.1),
Pham-Teissier
(voir
donn6e l'algebre OX, 0 d ' u n ~ e r m e de c o u r b e = ~ OX, 0 [ ~ C { t i } 05 l ' i m a g e de z 1 d a n s OX 0 e s t i ,
multiplicit6
un 616ment
de ]~a i - ~ m e
h= (hl,...,h
s
satur6 0~, 0 d__eeOX,O
composante
r ) E OX, 0 ,
si et seulement
[B-G-G],
plane r6duite, n1 (t I ,...,tnr), r
de X, on a
(h. E ~) l,a
:
appartient
au
:
~)
Pour chaque
i, on a h.l,a = 0 __si a ~ E i
~)
Pour chaque
racine
p-i%me
ir~6ductible
h. = E h . t~ i l~a 1
si
et
. a t.,
•
Etant
une pr6sentation la
s6rie
(Zariski
:
n .1 6 r a n t
remar-
616ment
la valuation P/n i
d6signe
On n o t e
aussi
l'entier
P/ni) 1
notre
p/nj
v(h.(z i
h.(T
6.3.1
En f a i r
un semi-groupe.
part,
h= (hl,...,h
" ...
de l'unit6 ~ et ehaque
couple
(i,j),
i ~ j,
on a l ' i n 6 g a l i t 6
m.
(h)
l,j,w
Vo~ci n.
I
l'esquisse
d'une
d'apr~s
la Remarque
1 ' 616ment
(h® 1-
suivant
l®h')
~[ti
a une courbe
assez
Or on v 6 r i f i e
g6n6ral. ~1
(qui
6quisinguliere l'ouvert
1,j,~
d6monstration
la
est
: puisque
n'est
autre
que
au v o i s i n a g e
V(h® 1-
l®h').
engendr6
Proposition
, t ~_}
est
n.
en restriction
par
m.
chacun
des
id6aux
n.
( t ' l l -- t'.3 ] , z 2 ( t i ) -- z 2 ( t ~ ) )
i,]'=
~
par
2 du § 1,
entier
sur
suite
(1.4))
I .1 , 3 . , i l
r6guli~re, pour
suffit
v6rifier
que
de l e v 6 r i f i e r
n.
k ( t ' 1 1 - t'.3 3) + ~ ( z 2 ( t i ) facilement l'espace
donc
que cette total
de X = 0 e t
On e s t
une
que
ramen6
_ z2(t~)
) ou (X : ~ ) E ~ 1 e s t
famille
de c o u r b e s
de l ' 6 c l a t 6 le
point
a d6cider
de I
k = 0 est si
i,j
dans
contenu
en restriction
param6tr6e ~2)
est
dans a la
357 n°
courbe
n.
t i 1 - t~j 3 = 0 de l ' ~ l ~ m e n t
(h®l-
l®h')i,j
est
enti~re
sur
Ii, j
(pour
tout
(i,j))~ et le Th~or~me r~sulte presque aussit~t de 1 ~ , e n r e m a r q u a n t p/n i p/nj t. = T ~ t ' . = (wT) , wp = 1 p a r a m ~ t r i s e les branches de l a c o u r b e 3 n.
que
n.
t . 1 - t,. 3 = 0 . 3 6.4
Saturation Soit
section
Pelative
f:
o.
X ~'-'~Y
On s u p p o s e
et
un morphisme X r~duit
avons
en vue~on
supposera
fibre
(X , o ( y ) ) Y
est
a-dire
que
s~par~
et
XxX X
*
des
in~galit~
des
courbes If
de L i p s c h i t z
de O~X× ~
1-
pour
les
d~finissant
et
l'on
m~romorphes
et
applications tout
pour le
de p o i n t s
~ 2,
plongement
sans
(c'estf
ferm~ au p r ~ -
--o;(f)
: c'est
mal que c'est
satisfont
situ~s
la
l'instant
on l e n o t e
X qui
quenous
y E Y,
de OX a s s o c i ~
v~rifie
sur
muni d'une
de p l o n g e m e n t
On s u p p o s e
l®hE~f(U)}
couples
les
que pour
¥ le sous-faisceau
relative~
de f o n c t i o n s
dimension
planes).
~ nouveau
lipschitzienne
une
complexes
Pour
d i m X= dim ¥ + 1 e t
1 eta
l'id~al
analytiques
Y non-singulier.
U~ [hE~x(U)/h®
germes
d'espaces
localement
dans
u n e mSme
de f . Soit
lier,
par
satur~e
faisceau
fibre
sont
consid~re
d~fini
l'algebre
une
de d i m e n s i o n
fibres
l'on
et
mSme q u e
~ X × X . On c o n s i d e r e ¥
faisceau
le
les
~uisaturation.
f : XQ ¥
X r6duit,
X(y) = f-l(y) normalisation
et soit
un morphisme d i m X= d i m ¥ + 1,
une courbe
r6duite
plat et
muni soit
d'une
section
yE Y un point
en ~(y).
hlors
~ avec tel
que
g non-singula
fibre
d'une
part
on a p o u r
donn~e
dans
le
la
un diagramme
x-~Zy)
* T(y)
X(y)
de m o r p h i s m e s
dominants
d i m Y= 1 s ' ~ t e n d [05 O=OX,a(y
aussit~t)
) , ~y est
(cf.
[Te 2],
I
; la
correspondant l'id~al
d~finissant
preuve
au d i a g r a m m e [y]
d'alg~bres
cas
ou
suivant,
c l a n s Y au v o i s i n a g e
de y E Y
358
e t 7~ • O s o n i m a g e p a r Y
le morphisme
f
: -O, y - * O Ar g ( y ) ]
°/~x " F
et
d'autre
part
on a u n d i a g r a m m e
(s~
analogue
pour
lea
saturations
relatives
OxS ( f ) ( y ) ) d ( y )
O/~y. O
~ s(y),~(~
(X(y)
)s )
c'est-~-dire
X(y) s
~
xS(f)
(Y)
X(y)
La v 6 r i f i c a t i o n
eat
tres
facile
au vu de
(Loc.
cir.)
et
de l a
d6finition
de l a
~quisatur~
au
saturation.
6.4.1 point a) culier b) trivial
D4finition ~(y)C
X si
: la
On d i t fibrc
que
X(y)
Le m o r p h i s m e c a n o n i q u e il
y a un s e u l
point
eat
r~duitc
et
xS(f)(y)~X(y)
y l E Xs ( f )
Le m o r p h i s m e c o m p o s ~ Xs ( f ) e n Yt "
le morphisme
X ar---"~Y e a t
si
l'on
s eat
au-dessus
s ) X f 7¥
f:
a
:
un i s o m o r p h i s m e ,
et
en pa rti
de ~ ( y ) . eat
localement
analytiquement
359
6.4.2
Proposition
fibres
soient
:
des courbes planes.
~ue l e m o r p h i s m e f s o i t
D~monstration 2.3.1)~
:
~a(y')(X(Y')) de y ' )
D'apr~s
ainsi
multiplicit6
ny'
point
et enfin
O~X/OX) , i l
existe
planes
rare
du nombre de M i l n o r
point
tel
F~¥
yEY-F,
r~duites)
par
(cf.
a(y')
en a ( y ~) de X ( y ' ) ,
est
[Te 1 1 ] ,
un ferm~ a n a l y t i q u e l e hombre de M i l n o r
soit
de l a c o u r b e X ( y ' ) .
+ r y , - 1 ou r y ,
t.e.1
la platitude
constant,
(ind~pendant
T ' i n v a r i a n t 5 H , 5y, = dim~(OX(y , ) / O X ( y , ) ) d ( y , )
au p o i n t
que l e s
de ~ ( Y - F ) .
([Le-T 2]),
de t o u t
(courbes
M i l n o r 25y, = ]Zd(y , ) ( x ( y ' ) ) ductibles
f~(n.
quWau v o i s i n a g e
que l e u r
en t o u t
des fibres
des fibres
un ferm~ a n a l y t i ~ u e
la semi-continuit6
du O y - m o d u l e c o h b r e n t
F de Y t e l
I1 e x i s t e
6quisatur6
de l a m u l t i p l i c i t ~
g6n6rique rare
d f : X~c---~Y un m o r p h i s m e comme c i - d e s s u s
Soit
D'apr~s
et
l'6galit~
la
de J u n g -
l e hombre d e s c o m p o s a n t e s i r r 6 -
ce hombre de c o m p o s a n t e s e s t
5~galement i n d ~ p e n d a n t
de y ' E Y - F . D'apr~s
([Te 2],
I),
p u i s q u e 5y,
m o r p h i s m e f admet une r ~ s o l u t i o n sation
n : X-*X. P u i s q u e
aussi
constants~
que s i ble,
c'est
en f a i t
un s o u s - e s p a c e
In-l(a(¥))l-a(¥)
soig
constant
simultan~e
une r ~ s o l u t i o n dbfinissant
n-l(o(¥))
~tale,
sur d(¥)
tres
l e nombre d e s b r a n c h e s
nous notons S l'idbal
d6finit
est
au v o i s i n a g e
faible
ry t et
donn~e p a r
simultan~e
forte
n-l(d(y))
le
la normali-
la multiplicit~
d(Y) d a n s X, l ' i d 6 a l
tel
de d ( y ) ,
ny~ s o n t
c~est-a-dire S(~X e s t
inversi-
que l e m o r p h i s m e i n d u i t
contenant
r= r
Y
points,
et
donc f i n a -
l e m e n t on a un i s o m o r p h i s m e de ( ~ ¥ , y - a l g e b r e s r ~T-[ Oy,y[t i] i:1
OX a ( y ) '
tel
que~ p o u r un Y - p l o n g e m e n t l o c a l
est
muni de c o o r d o n n 6 e s ( Z l , Z 2 ) ,
X ~ Y x ~ 2 e n v o y a n t d(Y) s u r Y x O~ e t o~ E 2
i m a g e s de ( Z l , Z 2) r soit inversibIe, engendr~ disons par z 1 . Soit (~l,...,~r)C]--T O y , y [ t i ] l a d~i=1 composition dans 0 de l ' i m a g e de z . L ' h y p o t h ~ s e d ' ~ q u i m u l t i ~ c i t b impli~,a(y) 1 que, te
comme on l e v ~ r i f i e
locaie
t.1 ~ l ' o n
aussit~t~
l'id~al
qu'au
engendr6 par
prix n. p e u t s u p p o s e r que ~i = t ' l l
les
d ' u n c h a n g e m e n t de l ' u n i f o r m i s a n -
360 Consid6rons maintenant l ' i d 6 a l I d 6 f i n i s s a n t Xx X dans X×X : clairement X ¥ l ' a l g e b r e de ~ e s t ~y~,y-iSomorphe am p r o d u i t ~×~,n-l(~(y))xn-1(~(y)) Y ~-~.. O ¥ , y [ t i , t 1,3 Soit
~} e t
(HI,...,H
l'id6al
r) E~-fO¥ I
Iest
y[t i}
d6termin6 l'image
par ses images Ii, jCOY y[ti,t'j}.
de z 2 ; Hi E O ¥ , y [ t i } .
L'id6al
I
'
n.
est
i,j
n.
engendr6 par ( t i l - t'. 3 , H i ( t i ) - H . ( t ' . ) ) . Soit maintenant ¢~ l ' i d 6 a l de 3 3 J i~-T3•3 O ¥ , y { t i , t , j ] d6fini comme s u i t (t ile
t ~1) "
~i
=I
,i
•
i,i
D'apr~s
l o n g du s o u s - e s p a c e
:
si i ~ j ,
(~Te 21
de X x X d 6 f i n i
~i
'
I I ' § 5)
par
l'id6al
Y
pour chaque y' E Y voisin ~i,j
• Oy/~y,~y[ti,t
l'id6al
~
est
] ] ( t i , t ~ ), J
6quimultiple
e n ce s e n s que
i,j
de y,
~} e s t
= I.,,j e t s i i = j ,
,j
l a somme d e s m u l t i p l i c i t 6 s
~ g a l e ~ 25y, ,
des id6aux
doric i n d 6 p e n d a n t e
de y ' E Y v o i s i n
de y . Voyons maintenant appartient
comment d 6 t e r m i n e r
au s a t u r 6
relatif
s i un 616ment ( h l , . . . , h r ) E T [ O y , y [ t i }
~x,~(y)~s(f)c TTi O y , y [ t
i]
• Si n o u s p o s o n s
hi = E hi
tai ' h.1,a 9 v i l f a u t d 6 t e r m i n e r s i Z h. t~ - Z h. t '.a E I ' ,a E,y l,a I 3, a 3 i,3 pour t o u s l e s couples ( i , j ) . Remarquons que s i i = j , i l r e v i e n t au m~me de d6terminer
Puisque
si
t ~ - t~ a h. 1 ~ appartient 1 , a t . - t~ l 1
Z
l'id~al
multiple
~d6finit
une famille
l e l o n g du s o u s - e s p a c e
~ ~,i
param6tr@e par ¥ d'id@aux,
d6fini
par l'id6al
~--~ ( t i , t ] ) i,j
induit
par ~dans
la fibre
qui est
, parce
6qui-
que l a
i
multiplicit6 de y '
vaut
e(~v,) 25y,,
t e du p r i n c i p e suffit
de l ' i d ~ a l qui est
constant
de s p 6 c i a l i s a t i o n
de v 6 r i f i e r
la relation
(pour tout
de d 6 p e n d a n c e i n t 6 g r a l e
d'apr~s
l e t h 6 o r ~ m e de s t r u c t u r e
on d 6 d u i t
que,
l'on
et
si
l'on
(1~ i ~ r)
voir
de l a d 6 p e n d a n c e i n t 6 g r a l e
e t de 1~,
si
ceci,
de X × X - ¥ ¥ [Te 2 ] , I I ) , (§ 5 . 1 )
vu p l u s
p r e n d une b a s e - -5' ' ' ' ' ~ ~ Y l by k d e s d ~ r i v a t i o n s
n o t e D£ l a d ~ r i v a t i o n
de T ' [ O y , y [ t i }
e t D£1Oy,y I = ~uv£ -~, on a l ' i n c l u s i o n
obtenue
en p o s a n t
il
r6sul-
qu'il
dans une fibre
des anneaux satur6s
au-dessus
g6n6rale, haut,
de O y , y D£ t i = 0
361
D£
(en
effet
E h. l~a Ceci
t~ ne contienne 1
vations
que
1 ' isomorphisme
~(f)
voulions
avec
les
a)
:
~)
de v e c t e u r s
est localement
~ J -i~ % 'Y [ t i ] ~ O y , y
X(y),d(y)
Ceci
d'exposant
que
paraphraser
ler~sultat
correspondant
aux d~ri-
analytiquement
triviale,
® OX(y),d(y
~quivaut
) induit
~ l'~quisaturation
•
_s(f) ) est OX,~(y
satur~e
(h 1 ' ...,h
notations
en disant
la sous-algebre
r ) ' h i = E h .l ~ a
t ~1 *
avec
que,
pour
r ~i=l
de ~~X,d(y) ~ tels
hi, a 6Oy,y
~y,y[t
que,
du T h 6 o r ~ m e c i - d e s s u s
l'~l~ment
h. soit l~a
l'ensemble
pour
~s
~y E
pas
0).
des champs
On p e u t
1)
~l~ments
(ou E.I est
D£(~)=
~X,~(y)
d~montrer.
y E Y- F, l'algebre des
~
~X,~(y)
Remar~ues
form~e
et
par " i n t e g r a t i o n
un isomorphisme que nous
d~ja
(l < Z ~ k) -
ne contient
~,a
~s(f) (cf. [Te 2], I) que ~X,~(y)
D£"
en ce sens
6.4.3
=
D2(E h i , a a
implique,
(@s(f) ) ~ ~s(f) X,o(y) OX,~(y)
tout
nul
associ~
couple
si
a~E.
i
a la i-eme
composante
de X(y))
;
(i~j) I i ~ j, on a l'in~galit~
m.
,,j,w
(h)
>
m.
,,j,w
(m~me c o n v e n t i o n ) . On v o l t
ainsi
pourquoi
D£( 2)
de g e r m e s
de c o u r b e s
seulement
celle
r~sultat
avait
observer
Mr.
p. est
127)
n'est
construite
os(f) . _s(f) X,o(y~COx,v(y
On s a l t
planes,
]a
(cf.
) .
[Te 2],
constance
II,
§ 5)
du h o m b r e
que pour
de M i l n o r
e t de r , m a i s a u s s i l ' ~ u i m u l t i p l i c i t ~ Y Y ~t~ prouv6 topologiquement p a r L~ D . T . , [ L ~ ] ) . B~ger,
pas
la
complete,
conserve
fin
de ma d ~ m o n s t r a t i o n puisqu'il
O~ ( f ) A
au-dessus
n'est
pas
da p o i n t
alg~brique clair
que
g6n~ral
(ce
non
dernier
Comme me l ' a ([Te
la
famille
entra~ne
de 5
E.
une
25,
d~rivation
de Y.
fait
II, D qui
i
362
C H A P I TR
E
I I
IDEAL JACOBIEN~ MODIFICATION DE NASH~ ET THEOREME DE BERTINI IDEALISTE
Introduction.
Dana ce chapitre~
des eapaces lier
d'un
eat
celle
de
l'id6al
rang
tangents espace
un plongement d'utiliser
analytique
pour
qui
s'exprime
nous
un espace
X, m a i s
m~me p o u r
la
et
d'obtenir
tr~s
utile
de N a s h ~
la modification
§ 1.
Ideal
1.1
Soient
cas
absolu
~acobien f:
X-S
un morphisme
not6 [Ca3
; expoa6
14 ; j ' u t i l i s e r a i
y sont
l'id6al
routes
autres,
~ la
c'est-~-dire
fibres
d'un
de d 6 f i n i r associ6s
S 6gal
racine
jacobien,non
les
est
celle
mineurs
de
de l ' i d 6 a l
deux points de l a
g6om6trie
de B e r t i n i ~ mineurs
alors
de
ver-
de l a m a -
que
de c e t
le
th6o-
id6al.
seulement
pour
morphisme~ l'id6al
et
de
3acobien
a un morphisme
X.S,
puis
~ un point.
relatif.
1 ~X/S ) le @X-module coh6rent
1 de ~ X / S q u i
de c e r t a i n s
certaina
de N a s h r e l a t i v e en prenant
de c e s
singu-
limites
de g 6 n 6 r a t e u r s
du t h 6 o r ~ m e
appartenance
pour
les
quantitative
de d 6 f i n i r
simultan6ment
modification
le
leur
par
fondamentaux
par
un point
alg6brique
I,a c o m p a r a i s o n
int6grale
limites
positions
de f i n i t u d e s
engendr6 par
l'6tude
syst~me
positions
vers
de c e s
engendr6
d'un
x~EN+I.
d6pendance
l'id6al
s'exprime est
jacobienne
th6or~mes
la
et
l'id6al
une version
par sur
r ~ m e de B e r t i n i I1
c'est-a-dire
les
tendant
g6om6trique
de N a s h N ( X ) - X ~
local
les
prouver
3acobienne
relatif
de X,
non singuliers
X. L ' 6 t u d e
d i m X de l a m a t r i c e
permet
trice
analytique
jacobien
N+I-
sion
points
de l a m o d i f i c a t i o n
d6finissant rue
en des
on c o m m e n c e ~ 6 t u d i e r
d6montr6es).
d'espacea des
1-formes
sans
les
Pour
chaque
analytiques
complexes
diff6rentielles
rappeler entier
les
et
~ f1 (aussi
relativeg
propri6t6s
d ~ O~ on p e u t
(cf.
616mentaires d6finir
363 le faisceau
coherent
d'id~aux
[G-R]) qui a la p r o p r i ~ t ~
(cf.
a F d ( ~ ) . OX(s) = F d ( ~ X ( s ) ) comme s u i t
: tout
point
sivement encore noter
de F i t t i n g
Fd(~ ~ ) C O X ( c f .
Loc. c i t . )
Ce f a i s c e a u
qu'il
d'id~aux
existe
Xr
§ 1,
que p o u r c h a q u e f i b r e peut ~tre
x ~ X p o s s ~ d e un v o i s i n a g e
X, t e l
[Te 3 ] ,
ouvert,
[Pi],
X(s)= f-l(s)
d~crit
on
localement
que n o u s a l l o n s
abu-
un S - p l o n g e m e n t de X d a n s s x C N
:
~. S × E N
S
Soient
fl,...,fmEOS,s{Z1,-..,ZN}
de O
N
Sx¢
,sx[O}
,
ou s = f ( x ) ,
i/i 2
s~ N ,~×[o] d e s
d~finissant
[ 0 ] ) , On a a l o r s
(X,x)~(s×EN,s×
ou d d 6 s i g n e
=O
d ~ (~1
.
la diff6rentielle
X) x
b, DI
X/S,x
naturelle
O
N
* 0 . (~1
~ hE&s,s[Zl,...,z
8h
N} l ' 6 1 ~ m e n t Z
~
1
I1 r ~ s u l t e
aussit~t
Fd(~) x est
l'id~al
ce j a c o b i e n n e
de c e c i
et
de l a d ~ f i n i t i o n
N
)
qui
s×¢ I s sxfO}
N
~ associer
I
exacte
s×¢ ,s×{O} revient
de l ' i d ~ a l
l e p l o n g e m e n t de g e r m e s
la suite
S×~N/S
g~n~rateurs
dz i
•
*
d e s i d ~ a u x de F i t t i n g
que
de OX, x e n g e n d r ~ p a r l e s m i n e u r s de r a n g N - d de l a " m a t r i -
relative"
~f. (~zl.) 1
choix d'un S-plongement local
1~ i ~m,
1~ j ~ N , .
comme c i - d e s s u s
c'est-£-dire
on a
que,
pour tout
:
ra(O)x
I
b(fil'"''fiN_d ) ~(Zjl' 'ZJN_d)
(les
indices
~[il,---,i~_d}C {1,---,-},[Jl,..-,JN_d}C{1,---,N}I • ~ X , x
sont supposes tous
distincts).
364 Un c a s
particulier.
fl,...,fd est
et
une
point
routes
intersection
s= f(x') espace
que
Supposons
de
la
d6finition G dans
tangent
Tx(s),y
grassmannienne
(x'),
encore
G= G(N- 1,d-
{Jl ....
~ les
dans
en x'
not6e 1)
s×EN
de d i m e n s i o n
En c h a q u e
de P l ~ c k e r
(~)-1
projeetif
~]~.,z.)
31
sont
, ~ X(s)
d,
m~me du p l o n g e m e n t
l'espace
X(s)
d6fini
relative).
de d i m e n s i o n
~(fl,''',fN_d)
~'(~.
les fibres complete
l'espace vectoriel
que X est
que X x'EX(s),
direction
, d a r t s cN,
d-l-plans
de s o u s -
c'est-$-dire
darts ~N-I
et
un
par
la
209) de l a g r a s s m a n n i e n n e
p.
d~terminants
'JN-d ) ~{I'''''N}
alors
non-singulier
d~termineune
([G-HI,
N- d 6quations
d (on dit
point
Tx(s),x
des
par
jacobiens
sont
les
coordonn6es
homogenes
3N_ d
(~)-I de l'image dans ~ l'ensemble
du point de G d6termin6 par Tx(s),x , • Ainsi, natant X°
des points
x' E X qui
sont
non-singuliers
dans
leur
fibre,
nous
:
avons
L'application analytique ("morphisme jacobien x ' E X° a s s o c i e
le
point
de c o o r d o n n ~ e s
X °~ (~)-I
relatif")
qui
homogenes
~(fl,-..,fN_d ) ( x ' ) , [31,-..,JN_d }~ [ 1 , . . . , N ] ~(Zjl,''',ZJN_d) (les
indices
3k s o n t
suppos6s
2 a 2 distincts) (~)-1
coincide
avec
("morpbisme
l'application
de G a u s s
compos6e
relatif")
qui
X°
~
¥ ~G •
, ou y e s t
a x ' E X° a s s o c i e
la
direction
l'application Tx(s),x
, , et
(~)-I G~
est
le
Remarquons biens
est
surfaces
p]ongement
qu'en
non nul,
un point
puisque
f. = O doicent 1
de p o i n t s
de P l f l c k e r .
les
~tre
x!l E X° t e n d a n t
x ' E Xo, espaces
en position
vers
un point
]'un
au m a i n s
tangents g~n6rale. singulier
des
en x' Si x,
d~terminants
aux fibres nous
la
prenons
position
jaco-
des N-d hyperune
suite
limite
(dans
m(~)-I ou d a n s
, ce qui
revient
a u mgme) d e s
espaces
tangents
Tx~xl
sera
en
1
partie
d~termin~
par
minants jacobiens
]es
vitesses
relatives
avec
lesquelles
les
divers
d6ter-
G,
365
8 ( f l ' " "" ' f N - d ) 8(z .... ,z. ) (x~.) 31 ' pour
vers
O. Comme n o u s
Exemple
raison
que
, montrant ¢4
f :
¢4
Ce m o r p h i s m e E4 n e s e
le
que
le
concept
le
cas
morphisme
n'est
pas
rencontrant
de d 6 p e n d a n c e
particulier
verrons
d6fini
par
surjectif,
qu'en
et
O. h u s s i
u 1 = xz,
f-l(o) il
plus
1.1.1
toutes
dimension,
le
cas
d'apr~s 22)
si
particulier
un r6sultat
nous d,
il
un ouvert
k= ()~ij)Eu
sans
, le
faire
les
pr6c~dent classique
supposons
dimension existe
que si
d'hypoth~se
de Z a r i s k i
sous-espace
la
pas
permet
les
le
bas,
r6union
c'est
U de l ' e s p a c e d6fini
u 4= yt.
que
purement le
de f s o n t
tN
utile.
particulier.
6tonnant
nombre des
tr~s
de d e u x p l a n s
commutative,
dense
sera
u 3= yz,
d'6tudier
_
X 1 de S ×
bien
de f s o n t
fibres
sur
est
tres
fibres
d'alg~bre
que routes
nous
u 2= xt,
est
n'est
facilement.
Lemme , m o n t r a n t
int~grale
pr6c6dent
F o ( ~ ~) = O, comme on l e v 6 r i f i e
Th.
le
JN_ d
cette
Soit
tendent
cas
de l a m~me :
[Z-S],
purement
tel
II,
de l a mSme
g~n6rateurs,
au voisina~e
ait
g6n~ral
(cf.
Em(N-d)
l'on
dans
alors
que,
:
s~i
de s × ~0} p a r
les
N- d 6quations
gl et
~ui
contient
6videmment
L'on plus
si
X(s)
un argument au
se
trouve
est
r6duit,
du t y p e
de
?~li
fi
X dans
on p e u t la
'''''gN-d
X, a s e s
pour
preuve
=
m E i=l
kN-d, i
fibres
de d i m e n s i o n
le
particulier
cas
supposer
que pour
du t h 6 o r ~ m e
f. l d.
6tudi6
plus
k E U, X l ( s )
de B e r t i n i
haut.
est
De
r6duit,
classique,
et
uar
laiss~
lecteur.
En p a r t i c u l i e r , analytique id6al
de
intersection des
m E i=l
=
prenant
r~duit la
purement
forme
Sun
point~
de d i m e n s i o n
on o b t i e n t d peut
(fl,...,fN_d,fN_d+l,...,fm)
complete
composantes
pour
r6duite
irr6ductibles
d~fini
germe dans
o~ ( f l , . . . , f N _ d )
X1 de d i m e n s i o n de c e t t e
~tre
que tout
d : X est
intersection
tN p a r d~finit
r~union
complete,
d'espace un une
de c e r t a i n e s et
en particulier
366
Xo1 n X ~ X ° ( o u Xo d 6 s i g n e
on a l ' ~ n c l u s i o n o
X1 N X e s t X°-G
dense
coincide
d a n s X, e t avec
Sous l'hypothese sion
la
que
les
me de G a u s s r e l a t i f . avec de
lesquelles
l'id~al
toutes
du f a i s c e a u d'un
les
fibres
X-isomorphe
dense
relatif~
non-singuliere
a X NX de
l'applieation
de f : X ~ S
g6om6trique
r6duites
d'id~aux
et
Fd(~). petit
au m o r p h i s m e o b t e n u
vers si
O est
purement pour
rapports
sur
point
G.
de d i m e n ]e m o r p h i s
des vitesses
d'~tudier
l'6clatement
nous nous restreignons
Localement
comme c e c i
et
les
de d i m e n s i o n
de c h a q u e
de G a u s s
analogue
d'~tudier
tendent
r6duites
assez
sont
de X ) ,
de G a u s s Xo1
de l ' a p p l i c a t i o n
d a n s X~ on a u n r ~ s u l t a t
c'est-~-dire~
de f s o n t
ouvert
pattie
~ XO 1 ~x
mineurs3acobiens
c)h6rent
voisinage
fibres
La m a n i e r e
jacobien
les
restriction
restriction
o q u e X1 Q X e s t
d et
la
la
au c a s
o~
d~ l ' 6 c l a t e m e n t
~f(X) ~X
X,
au-dessus
x 6 X,
c'est~-dire
ce m o r p h i s m e e s t
: (~)-1
On c o n s i d ~ r e F~X ° × GcX ° × induit
par
l'id6al
la
m(~)-~
jacobien
tangents
tives, r~s
trop
cette que
:
1.2
Soit
tel
que
dans
grand
et
le
le
Soit
Gf
1 Of,
c'est-~-dire
d sur
Gv ,
des
le morphisme ~£(X) ~X
a l'~clatement
d a n s X de
exactitude
limites
un peut
les
intersections
de r e g r e t t a b l e s
completes
le nombre des mineurs redondances.
moins explicite~
espaces
diff~rentielles le
[Ca]~ et
des exp.
que
le
quotients XII)
analytiques
relatives
compl~mentaire
grassmannienne (cf.
avec
de ce c a s ~
un morphisme entre
d = dim X - dim S s u r
de r a n g
et
qui
d'esrela-
consid~-
I1 y a cependant fonctionne
tou-
de N a s h r e l a t i v e .
rang
libre
relatif~
ne d ~ c r i t
dehors
en a p p a r e n c e
X~S
la
du g r a p h e
X-isomorphe
particulier
contient
1 module ~f des
g)x
cas
queen
la modification
f:
jacobien est
construction
du f a i t
une construction~ jours
projection
dans X×~
relatif.
~ cause
est
~f(X)
du m o r p h i s m e
premiere
Cependant paces
l'adh6rence
d'un
soit
(r~els
ou c o m p l e x e s )
localement
ferm~ analytique
localement
libres
.1 q u e g Of a u n q u o t i e n t
morphisme g est
universel
libre
de
rare
F de X.
de r a n g
d de
L localement pour
cette
pro-
367
printS. et
D'apr~s
d'apr~s
espace
est
analytique
Gf e t
que
est
r~duit,
propre
donc une modification
tive
de X / S .
modification
d~finie
Remar~ues
:
come c e c i
1)
: sur
~ un fibr~ fibr~
vectoriel tangent
le
pour
tout
X×G,
o~ G e s t
Gauss
X - F Y-~ G .
la
3) truction
valable
constant
sur
localement libre
le
tout
espace
aussi
d qui
de X - F .
un sous-
Nf(X)
ferm~
Le m o r p h i s m e
n'importe
uS
complbmentaire
torsion, le
d'un parmi
cette
de d i m e n s i o n
chaque
celles
K brant
correspond
f-l(s) l'ouvert sur
A ( X - F) dense
Nf(X)
tout
du ON~ ~ - m o d u l e
signifie
que des
des points
de X - F .
identifier de c N
est
Nf(X)
en-
v ~f ~ fI.
un cas
ont
limites
~ l'adh~rence
dans
du m o r p h i s m e
d'une
libre
propri~t~
de
cons-
de r a n g
de X : i l
admet un quotient de t o r s i o n .
identi-
pour
particulier
rare la
peut
En f a i r ,
du g r a p h e
analytique qui
1'on
directions
O X - m O d u l e M, l o c a l e m e n t ferm~
en
de N a s h r e l a t i v e
fibre
LfINf(X)
est pure.
fl I X - F = ~ X _ F / S
~ l'ensemble
d-plans
on l ' a p p e l l e
proprietY.
adh6rence
c'est-~-dire noyau
libre sur
de N a s h r e l a -
de N a s h a b s o l u e
r~duit
fibre
pr~c~dente quel
et
vectoriei
de f e n
des
La c o n s t r u c t i o n
v : N(X) ~ X
en un fibr~
cN , on p e u t
grassmannienne
modification
v~Tf sur
Ivfl(x)I
aux fibres
L ; O-K~T~M~L~O,
est
propre,
vectoriel
pour
par
l'ensemble
modulo
F)
un morphisme
la modification
localement
minimal
XcS×
note
induit
Le f i b r ~
an quotient
~ : X' ~ X m i n i m a l e libre
g est
appel~
localement
canoniquement
vf est
est
caract~riser
s'~tend
pour
g induit
au-dessus
analytique
fibre.
local
et
La m o d i f i c a t i o n
~ cette
tangents
X- F--~Gf
Gf de o ( X -
pui sque
on l a
de X.
La c o n s t r u c t i o n
S-plongement
modification
un point~
le OX-mOdule
x E X,
en x d'espaces tout
vf : Nf(X) ~X
T f de r a n g
morphisme 2)
fier,
pour
correspondant
De p l u s
S est
R- F,
,
d~finie
de X.
On p e u t
v f l ( X - F) c N f ( X ) tier,
bim~romorphe
de N a s h ( a b s o l u e )
particulier
dans
Nf(X)cGf
un isomorphisme
Le m o r p h i s m e Lorsque
l'adh~ronce
not~
et
vf y induit
:
on a u ~ e s e e t i o n b i e n
de R e m m e r t ~
ferm~
qui
O~finition
Ie
d~finition,
un thbor~me
vf : Nf(X) ~X dans
cette
existe
une
q u e ~eM e s t localement
Ce r ~ s u l t a t
peut
~tre
368
v u comme u n c a s du t h ~ o r e m e
particulier
d'aplatissement
Modification
libre
de r a n g
soient
:
a)
dans
Soit
f:
X de l ' i d ~ a l pf
ou l e s
fibres
se
de l ' i d ~ a l
deux morphismes
X~S
est
sont
dehors
d'un
~acobien
r~sum~e
un morphisme
la modification
le morphisme
celui
bclatement
d = dim X - dim S e n
~f : Nf(X) ~X
l'~clatement
et
de c e s
Proposition
simple,
lin6aires~
de [ H - L - T ] .
de N a s h r e l a t i v e
La c o m p a r a i s o n
1.2.1
tres
anal~tique
de N a s h r e l a t i v e
jacobien
factorise
relatif
la
1 ~ue ~f soit
tel
ferm~
dans
relatif.
localement
rare
F d__ee X
de X / S e__~t p f : ~ f ( X ) ~ X
de X/S.
canoni~uement
atravers
~f
:
~f(x) Pf~°~vfNf(X) X
b)
le morphisme
complete du c a s c) il
routes
localement dont
sur
le
relatif
de X 1 / S
point
fibres
X est si
de f p u r e m e n t
localement l'on
est
une
dans
b)
de X d a n s u n e
les
purement
fibres
sont
coincide
avec
: finalement~la
d~e X 1 / S p a r
la
sur~ection
a)
:
de X/S e s t
la modification
~ l'~clatement
de d i m e n s i o n
X un plongement
de X p a r
X-isomorphe
Prouvons
si
c'est-a-dire
de N a s h r e l a t i v e
stricte
d'apres
de S,
les
routes
la modification
transform~e
un isomorphisme
intersection
la
situation
d et
r~duites,
ci-dessus.
supposant
Xl~
est
au-dessus
particulier
existe
relative et
relative
qf
l'~clatement
modification
de l ' i d ~ a l ~Xl-~X
D apr~s
la
~0
de d i m e n s i o n
canoni~uement
dans
il
Oacobien
de X / S e s t ~acobien
au plon~ement
de N ¢ ( X ) ,
a la
de X 1 / S ~ ~ u i
de N a s h r e l a t i v e
correspondant
r~duites,
X-isomorphe
X 1 de l ' i d ~ a l
de l ' i d ~ a l
complete
d et
de N a s h r e l a t i v e
de ~X i m a g e
d6finition
intersection
suffit
relatif
X~X 1 •
de p r o u v e r
que
369
pf~f
1
a un quotient
morphisme
au-dessus
l'ouvert
des
de F i t t i n g
donc
son
pfl(x-F).
([G-R],
5.4.2
de r a n g
dl
ideal
de r a n g
de F i t t i n g
ou [ P i ] )
d'ou
libre
ceci
entre
est
Or~
part~
morphisme libre
par
([Te
id~aux d sur
3]),
de
570,
de O ~ f ( X ) •
un iso-
d sur
la
formation
[Pi])
implique
Le ( ~ f ( X ) - m o d u l e
analytique
D'apr~s
est
du m o r p h i s m e
d~finition
p.
l'ouvert
pf
de rang
La c o m p a t i b i l i t ~
inversible.
implique
le
localement
D'autre
1) " ( ~ f ( X )
localement
d-i~me
dense
F)
pfl(x-
u n lemme de R a y n a u d libre
localement
q u e p~Qlf a u n q u o t i e n t
a).
Prouvons d'apres
donc n~ 1 est ~f f
d.
est inversible. f(X) a u c h a n g e m e n t de b a s e
Fd(P~fll):Fd(~
P~f 4 est et
dense
de r a n g
F d ( Q l f ) . (~~
idSaux
l'~gallt~
libre
de X - F ,
analytique
l'id6al
Pft
localement
b)
:
ce que nous
Si X est avons
localement
vu plus
une
intersection
haut,localement
sur
complete
X,
le
relative,
c o m p o s ~ de l ' a p p l i -
(~)-1 cation
de G a u s s
morphisme 2)
adhbrence
et
dans
l'~clatement
s E S, de l a
(X(s)) ° avec
X- F~G-~
d6fini
par
les
jacobiens.
description
de
d~finition morphisme
Remarques
que
c)
:
la
fibre
fibre
de X 1 s u r
universelle.
soit
(X1)(s)
dense
une propri~t~
qui
dans
:
1)
et
complete
donc
existe
relative
est
(Xl(S))°
le
nX(s).
r~duite,
morphisme Le p o i n t
de N a s h r e l a t i v e
r6sulte
comme
tel
sur
coinciavec
relatif
X un
que pour
cha-
irr~ducti-
N X est
contenu
dans
de X, c o i n c i d e
aussit~t
comae adhbrence
le
globalement
composantes
de G a u s s c)
aussi
avec
renarque
coincide
X1 ,
de p l u s et
jacobien
localement
des
du p o i n t
En a d a p t a n t
il
la
, cette
de c e r t a i n e s
X(s),
(X1)(s)°
l'id~al
r~union
de l a m o d i f i c a t i o n de G a u s s ,
Lemme 1 . 1 . 1 ,
intersection
D'apr~s
de N a s h r e l a t i v e localement,
le
coincide
X- F~
relatif
D'apr~s
X(s)
de
du m o r p h i s m e
la modification
jacobien
de X d a n s u n e
mineurs
l'~clatement
du g r a p h e
deux v~rifient
, est
celui
la
de l V i d ~ a l
les
plongement
bles
de P l f l c k e r ,
aussit~t
Prouvons
que
plongement
X×
impliqne
puisque
le
X- F~
ci-dessus,
dence
avec
de c e c i , du g r a p h e
de l a du
b).
au c a s
relatif
la
preuve
donnbe
dans
[Te
3],
§ 2),
370
on o b t i e n t
une preuve
Proposition
:
Si
Nash r e l a t i v e
est
c'est-~-dire
toutes
plat
et
Soit
N(f)
de X ( s ) ~
(E~pl~
: x2
par
cation
sans
pour
relative
vf
que
au c h a n g e m e n t
tout
de
la
les
fibre
la
pas la
si
la modification
de
le mor~hisme fest
vf
formation
l'axe la
est
• X f-~s
lisse~
de
~ on p r e n d r a
la modification
avec
la modification
de
de N a s b
en g b n b r a l . d e s s~ en s = 0 . )
propri~t~
de f s o n t
transform~e
X(s)
en g ~ n b r a l
de b a s e
sur
fibres
s 6 S,
seulement
ne c o i n c i d e
mal e n u t i l i s a n t
de Nash~ q u e s i
r~duites,
et
r~duites,
le morphisme compos~ Nf(X)
- y 3 + s 2 y 2 = 0 projet~
contre
de f s o n t
si
c'est-a-dire
ne commute p a s
:
lisses.
vfl(x s)
relative
.fiera
fibres
~ fibres
que N(f)-l(s)=
Nash N ( X ( s ) )
les
suivant
un isomorphisme
2) garde
de l ' ~ n o n c ~
universelle
purement
stricte
canoniquement
Le l e c t e u r de
v~ri-
la modifi-
de l a m~me d i m e n s i o n
par
la modification
isomorphe
et
de N a s h
a la modification
de
N a s h de X ( s ) . 3) tive
En r o u t e ,
comme d ' a i l l e u r s
l'~clatement
d'un
d'une
intersection
bable
que
ment. Voir
trant
toute
ideal,
[No],
qui
Difference
Reprenons en
l'exemple [0].
L'id~al
, z,tl,
et
m a x i m a l ~ de ~X,O ~ exceptionnel des
morphisme tout
son image.
deux plans fini
(en
l'~clatement
de l a
r~union
dont
l'~clatement une
s~par~s,
tandis
la
soit
un i s o m o r p h i s m e
Le m o r p h i s m e
de f a c t o r i s a t i o n
I1
para~t
et
la
~tre
que
projective la
le
un ~ c l a t e -
des
modification
carr~
les
(comptbe
et
2 fois)
de N a s h de X
a sbparer
deux plans
a ~clater
~2 de
deux plans
$1
consistant
q consiste
impro-
de ~4 s e r e n c o n -
modification
de c h a c u n
tr~s
~crit
dans X s~pare
droite
jacobien
Proposition.
jacobien
peut
localement
l'id~al
~lobalement
de l a
normalisation)
en i n d u i s a n t
X par
q u e F2(Q ~ )o e s t
v~rifie
induisant
fait
sur
de N a s h r e l a -
est
X de d e u x 2 - p l a n s
correspondant l'on
projective
X 1 comme c i - d e s s u s .
une partie
entre
modification
induit
a inspir~
darts c h a c u n
plans
relative
l'id~al
aussi
a un d i v i s e u r
le
ici
de Nash~ m~me a b s o l u e ~
(xz,xt,yz,yt)c~[x,y
est
a savoir
la
localement
la modification
seulcment
l'id~al
a v o n s m o n t r ~ que
modification
complete
4) de N a s h .
nous
les
s~par~s
darts N(X)
deux sur
le
371
carr6
de l ' i d b a l
d6finissant
v-l(o)
Pl
J(X)
N(X)
s
§ 2.
Th6or~me
2.1
Soit
~ : x~S
de B e r t i n i
id6aliste
X un s o u s - e s p a c e le morphisme
le
par
la premiere
localement
libre
de r a n g
On s u p p o s e
enfin
X d6fini
d a n s un o u v e r t
globales
GI,...~G
par
des sections Pour
tout
choix
respectivement~ K= [ k ~ + l , . . . , k engendr6
par
pour c)~ les
d = dim X - s d e h o r s
~I,...,M], 616ments
entier
d'un
on s u p p o s e
ferm6 analytique
U de ~ s × ~ M
(tl~...~t
s)
2~ O g £ g s e t
o~ c = c o d i m s de l a
projection~
E s × ~O) •
par
Notant 1= ~1 ~¢ x/~ s
rare
un i d 6 a l
de X .
engendr6
pE H°(U,%s×EM) •
de c o o r d o n n 6 e s tout
section.
de c s × ~M c o n t e n a n t
analytique
induit
long d'une
forme
:
×~
et
tout
(Ul~...~u choix
M) s u r
d'un
MX = M - d , n o t a n t
Ju
Eset
~M
sous-ensemble l'id6al
de OX
372
b~Gil u k I .. "'Uk£ .b(Uk
'Gi c )
I ~...,Uk~
, u k£+ 1 , . -
''Uk c )
ou { k l , . . . , k ~}~{1,...,M] et [ i l , . . . , i c] c [ 1 , . . . , p ] on a
2.1.1
Th~oreme
pour
tout
de l a
:
point
forme
I1
z~ ~s×
existe
un ferm~
{O]-F,
l'image
analstique dans OX,z
~(Gil ,G i ) c ,tj£~u k£+1 ~... 'Ukc )
~ ( t 3. .1.'.
rare
soit
:
F d_~e ~ s ×
de c h a ~ u e
entiere
[0]
tel
d~terminant
dans ~X,z
~ue, Oaeobien
sur
l'idbal
(JK)z = JK" ~X,z" D~monstration comme d a n s
finie) ~(D.) 1
Soit
(Chap.
irr~ductibles diviseur
:
I,
de Z'
~ : Z'~X 1.4.2)
par
en composantes
propri~t~
ont
Soit
z6 ~s×
~0] \ F .
alors
surjectif,
dense
U. c D . e n c h a q u e 1 1
et
par
Z" e t
donc Dre d coincide 2)
Le m o r p h i s m e
5)
Le t r a n s f o r m ~
uj .0 X (lg En e f f e t ~ seur~
~,
Best
j ~M) la
puisque
est
propri~t~ Z'
un ideal et
un voisinage
~tant
point
z'
sous-espace D. 1,red
~ o ~ induit strict vide
duquel
par
1) v i e n t normal
d~composition de c e l l e s
rare
dans
analytique
le
(localement
~s×
des
{0}.
ferm~
images
Par
la
de X, e t
assez
de z s u p p o s e r
existe
petit
local
sur
X, n o u s que F= ~,
c o m p o s ~ ~ o ~ I D . : D. ~ s 1 1
un ouvert
on a l e s
analytique
propri~t~s
Dre d sont
tous
est
partout
suivantes
:
deux non-singuliers
en z',
de z ' •
une submersion
Di,re d-~s
des
sous-espaces
est
normal
.
de X d ~ f i n i s
par
de z ' .
de c e q u e Z est
DcZ"
est
~ de c h a c u n
au v o i s i n a g e
Soient
r~union
est
composantes
du t h ~ o r e m e
au v o i s i n a g e en z'
sa
JK
de ~ s × ~0] .
Le m o r p h i s m e il
des
inversible.
rare
a l'id~al
de c e l l e s
U D. 1 i6I BcX la
l'~nonc~
consequent
avec
D=
Soit
analytique
~0] .
le
r~union
un sous-ensemble
Puisque
que ~(D.)~s× 1
L'espace
induit
de X a s s o c i ~ e
que ~(D.)N(~ s× {0]) 1
un ferm~
et
Z" l a
ideal
en nous restreignant~
c'est-~-dire
1)
cet
propri~t~
F est
soit
irr~ductihles.
du m o r p h i s m e
Bn (~s × ~0])=
pouvons
la
et
ou JK " OZ'
de Z" d ~ f i n i
qui
la modification
non-singulier
et
que D est
en codimension
1.
un d~vi-
La p r o p r i ~ t ~
373
2) v i e n t
du t h 6 o r ~ m e
de S a r d
et
la propri6t6
3) de l a d 6 f i n i t i o n
du t r a n s f o r -
m~ s t r i c t . On p e u t
donc choisir
(t~,...,t~,wl,...,w
et
un systeme
d) p o u r ( t 3" ° ~ ) z '
Z'
A)
On a i t
= t ' .3
B)
Le s o u s , e s p a c e
C)
On a (Um ° ~ ) z ' : Am w 1
en z'
Puisque
tel
(Di,red)
.
zest
d~fini
off Am e s t
G i . OX~ O (1 g i
soit
~p)
wl~Z,
z,
identiquement
on a G i • OZ, ~ z r ~ O e t e n 5G.
5 St'.
puisque,
3
(G. ° E) 1 Z'
grace
=
M
1 ° E) (~--'7---0~.
3
~ la propri6t6
~t'.5 (Um ° ~) = ~ m Wlm , q u i J 3 dans OZ,~z,
on p e u t
~crire
~(tjl,...,t.
,u.
,...,u
K~+.
--
sur
et
e
et
donc finalement~
+
O, s o i t
inversible,
z'
estun
1 * E) (~---7"7".0%,.
m:l
j
avons
multiple
k ) ° u c z'
~
z'
5
3
(Um " E)Z'
~ 0
d a n s OZ, ~ z ~ :
de (Um o ~)
z
, nous
en d~duisons
que
=
3~
les
particulier
5G.
2
c) I nous
31
ou l a somme p o r t e m
par
(l~m~M).
(*)
et
locales
que
(l~j~s)
~m
~mE •
de c o o r d o n n ~ e s
'
~= (ml,...,m
£)
contenus
'Um~
k~+l
dans
[1,...,M]
"'~Ukc
Z'
\ (k£+l,...,k
c)
= ±1,
a(u o~)
chaque
composante
en chaque
point
m
puisque
~t'. J
irr~ductible z'
duquel
D. de D c Z " 1
on a
'
...,t.
2£
multiple contient
de UmO~, on a m o n t r ~ un o u v e r t
analytique
:
~(Gil'''''Gi a(tjl
estun
,u k
c
~+1
) ,..
~/
"'Uke
) o
z'
C o K .%
,z'
que dense
374
Passons
maintenant
JK • n s ' a n n u l e
~ la
r6union
identiquement
z ( ',' ) d e s c o m p o s a n t e s
; par
malis6es
des composantes
D'apr~s
1 ' hypoth~se
faite
sur
analytique
dense
en c h a q u e
un ouver t • ~,
et
(umOX)z,
un systeme
et
soit
de c o o r d o n n 6 e s
A')
(t.o~) J
B')
(umO~)z,
le
est
de X s u r
construction,
=
t'
G1 X/¢ s
O soit
,
point
de c e s
z v duquel
inversible
sont
les
nor-
identiquement. composantes
Z"'
(1 s m ~ M).
( t l ,t . . . , t s , W l , . . . ~ w
locales
lesquelles
composantes
JK s ' a n n u l e
chacune
sur
est
lisse
On p e u t
d) s u r
contient
Z"'
surts
par
doric c h o i s i r en z'
gel
que
3
= 0
m~me c a l c u l
lesquelles
ces
de Z'
ou b i e n
que ci-dessus
est
inversible
montre
que
~(Gil,...,Gic) ~(tjl,...,t
d'ou
le
r6sultat~
irr6ductible
2.1.2
puisque
alors
3~
,u. ,...,u K£+ 1
cet
616ment
k ) ° x c s'annule
= O
,
z' sur
toute
la
composante
de X c o n s i d 6 r 6 e .
Remarque
(th6oreme
de B e r t i n i
id6aliste
sans
section)
:
Soit
X m gs×~M
01/ cs
le
diagramme
plus
que X contient
d'une
section
§ 2,
2nd p a r t )
2.1.3 tel
d6crivant
la
situation
Es× [0]
d : ~S~x
que
~(B)
soit
(c'est-~-dire
de ~ ) .
T h 6 o r ~ m e de B e r t i n i de m e s u r e
du T h 6 o r e m e p r 6 c 6 d e n t ~ ne s u p p o s o n s
La mSme p r e u v e
id6aliste nulle
: dans ~s
et
plus
que ci-dessus
I1 existe tel
m a i s ne s u p p o s o n s l'existence montre
:
(cf.
un ferm6 a n a l s t i q u e queen
tout
point
[Te 3],
BcX,
z E X- B
375 5(G i on a i r ,
pour
entier
sur
tout
b(t .... 31 '
1 0 < _ £ <_ s ,
de OX~ z e n g e n d r 6
l'id~al
,.--,G
i
1
entier
) c
,t.
,u k 3£
,...lU
k
£+1
par
les
d6terminants
ceci
est
la
est
) Ox,z
c jacobiens
b(Gil,''',Gic) b(Ukl''''lUkc
)
2.1.4
Une a u t r e
jacobien
de X ( a e f i n i
du m o d u l e X, e t
des
soit
intrinseque
les
relatives)
les
mineurs
les
J
X/$ s
de m a n i e r e
X/~ s
comme d - i e m e ;
par
l'id6al
les
de
la
d'id~aux
de OX, z
z E X-B~
dans
ral
de s o u s - e s p a c e
id~aux
eux-m~mes On p e u t
n~es
3j,
pour
le
sous-espace
du m o d u l e ~1
X/¢ s
singulier
des
du T h b o r ~ m e ~
de B e r t i n i
de
de m a n i e -
diff~rentielengendr6
par
et
o~ ~ = 01 c ' e s t - ~ - d i r e
on a l ' ~ g a l i t ~
de F i t t i n g
ou a u c u n
id~aliste
de f e r m e t u r e s
peut
t.
J
s'~noncer
int~grales
:
de B e r t i n i - S a r d
([Te
id6al
l'id6al
de X ~ $ ~ s I ( d 6 f i n i
situation
Le t h ~ o r e m e
: J-(-Y-- ) x/~S z
revient
a l'~galit6
~(Jx)z
et
relatif
jacobiens
Y~z
Le t h ~ o r e m e
la
le
Jx ~OX
~ ( G i l I"'" ~Gi c ) ~(tjl,...,tj£,u.3£+l~...,U.jc)
forme
mineurs
tout
dans
: soit
comme ( d + s ) - i e m e
de F i t t i n g
JX e s t l
seuls
que pour
jacobien
ideal
au "d~nominateur".
en disant
intrins~que
suivante
1 DX de X) d 6 f i n i S s a n t
cO X l'id6ai
jacobiens
n'apparalt
de d i r e
diff6rentielles
J~ = J
re
mani~re
§ 2)
on t r o u v e
BcX soient
tel
de m~me d o n n e r
pour
une
Thbor~me ci-dessusl
~(B)
soit
des racines
)
( z ~ x - B)
X/¢ s z
un exemple
que
bgaux
: ~(J
(zqX-B)
montrant
qu'il
n'existe
pas
de m e s u r e
nulle
darts ~ s e t
en g~n~-
que
les
z C X - B.
formulation mais
il
ind~pendante faut
bien
voir
du c h o i x que
cet
des
coordon-
~nonc~ est
376
beaucoup
plus
Corollaire les
:
fibres
d'id6aux rare
faibleo
d ~ : X ~-'~
$oit
sont
purement
tel
ceci
impli~ue
int6gral
(Chap.
I,
d+t,
voisinage
not6
Chacune
) c (Jx)z X/~ s z --
de c e s
analytique
Pour tout not6
X,
Supposons
que,
rapport
r'
par
c'est-a-dire
: ~M.¥,
(Jx)yC
Preuve
:
Y
15)
a P,
que
un f e r m 6 a n a l y t i ~ u e
on a i r
dans
le
l'anneau
OX, z
Lemme de N a k a y a m a
r6duit
un p o i n t
local les
X purement
yE Y tel
XctM
d'un
r6tractions sur
En f a i t ~
Y
l'on
une r6traction
l'hypothese
¥cX
est
on s o i t
l'on
ait
dans
Y d'un
de d i m e n -
que ¥ soit
voisinage
locales
la
rlX=
ouvert
r :
voisinage
r6traction
p : X~¥
une section les
l'inclusion
Y d a n s X. A l o r s
p' : X ~ Y
+ (S . J p , )
que ( % , ) y
et
r6tractions
Y au ouvert,
pour
tout
induite
autre
sur
X,
au
•
conditions (Jx)yC
d6finie
du c o r o l l a i r e
( J p ) y + (S . J p ) y r6traction on a 1'
OU
locale
aclusion
.
a l'6galit6
(Jp + S.
En e f f e t ,
YcX
l'inclusion
d6finissant
notant
(Jp,)
analytique
consid6rons
induit
dont
l'id6al
faisceau
existe
d'apres ) X/¢ s z
plongement
les
r6tractions
de Y, e t
S est
toutes
de y d a n s ~M.
voisinage
pr6c6dent
I1
dont
c (J ) + (S . J ) -X/¢ s z X/¢ s z
un espace
c'est-~-dire
tM
Notons S le
z E o ( ~ s ) _ F,
( J x ) z = (J
maintenant
en y .
de y ,
point
~(~s).
analytiques
1.5).
de y d a n s X, e n c o r e
encore
en t o u t
un s o u s - e s p a c e
non-singulier
d = dim X - s .
sous-espace
en p a r t i c u l i e r
Consid6rons sion
le
~ue,
(J
morphisme d'espaces
de d i m e n s i o n
de OX d 6 f i n i s s a n t
F d_~e d ( ~ s )
sun
implique,
= (JX!y = ( ~ ) y
Jp)y
= (Jp, + S.
d'apres
' d'ou
(S.
te
Jp,)y
Lemme de N a k a y a m a i n t 6 g r a l
Jp)y : (S.
J p ' ) y . En f a i s a n t
(Chap.
I,
un c h o i x
377
de c o o r d o n n 6 e s en u t i l i s a n t
EMa d a p t 6
sur
le corollaire
~ P (resp.
pr6c6dent
p')
un c a l c u l
direct
p e r m e t de v 6 r i f i e r ~
que J p , ~ J p + S • Jp ~ d ' o u
aussit~t
le
rSsultat.
§ 3.
Id6al
jacobien
Voici int6grale limite"
3.1
et
maintenant
pour exprimer pour
les
un e x e m p l e t y p i q u e alg6briquement
espaces
Proposition
:
f:
fl~''''fm
dSfini
gardons
que F N Z s o i t i ~ d~ l e s
rare
des points
de f~ e t pour
l'id6al
suivantes
sont
T limite
non-singuliers
et
"~ l a
un p l o n g e m e n t
analytique
(X,O) d a n s ferm6 (Z,O) ~ (X,O),
vectoriel
en O d ' e s p a c e s
tel
D.1 ~¢M de c o d i m e n s i o n
: tangents
contenus
l_e_eS - p l o n s e -
un s y s t b m e de ~ 6 n 6 r a t e u r s
$quivalentes
d'icelles
fixons
d6finissant
d a n s Z, p o u r un s o u s - e s p a c e
direction
de t r a n s v e r s a l i t 6
( X , O ) ~ ( S , O ) × (EM,o)
fixons
donn$ un s o u s - e s p a c e
conditions
Toute
de O. S o i t
le ~raphe
Etant
de l a d 6 p e n d a n c e
un m o r p b i s m e comme en ( 1 . 2 . )
l e s mSmes n o t a t i o n s ,
' fiEOS,o(Zl''''~zM)
(S~O) × ( E M , o ) .
i)
par
une c o n d i t i o n
(X,O)~ (S,O)
( X , O ) c (EM,o) au v o i s i n a g e
merit l o c a l
d'utilisation
tangents.
Soit
avec S non-singulier, local
transversalit6.
h des fibres
dans Z- F est
de f e n
transverse
a D.1
e n ce s e n s que d i m ( T n D.) I = d- i. ii)
Cboisissant
d6fini
par z 1 .....
L'id6al
les
coordonnbes
z i = O, on a
cette
•
d a n s @Z,O s u r sorte
~ui sont
tels
D6montrons i) = ii) jacobiens
au d 6 n o m i n a t e u r
non c o n t e n u
[jl,---,jc
l'id6al
*
~z M de E M de t e l l e -
les
]~[1
que de p l u s
J
desquels
dans {i+l,...,M}.
f a ~ o n 9ue D. s o i t '
images des d6terminants
....
Jo engendr6 par
: soit
-
1
:
JX/S " OZ,O d-~e @Z,O e n g e n d r 6 p a r
B(f31, "'',f3c ) ~(zil' ''Zic) o_~5 c = M - d , entier
zl~-
P
on a i r
l'id6al
,m), les
[il,--.,ic)~[1,''',M~
seuls
mineurs
: {il,..-,ic~C
au p l u s
On a J c = J X / S " ~Z~O e t
est
jacobiens
{i+l,...,M}
de ~Z,O e n g e n d r 6 p a r
apparaissent
3acobiens
•
les mineurs
p variables
l'assertion
fie
ii)
d'indice 6quivaut
378
l'6galit6 I1 s u f f i t
: J
=J
o
c
de prouver que, pour O~ p~ c - 1 ,
on u t i l i s e
l e c r i t e r e v a l u a t i f de d6pendance i n t 6 g r a l e (Chap.
d6rons un chemin a n a l y t i q u e h : ( ~ , 0 ) drant J
celles
des 616ments par
d a n s CM
x est
(Z,O), e t s o i t A un des mineurs engen-
de J
.
P
Supposons
non-singuli~re
et
en u n p o i n t
son espace
o~ t o u s l e s a J
celle
= _ ~
{Ot) ~ la
admet
mlneurs Si
p+l
hyperplan
ci
jacobiens
la valuation
limite
de l a
,--.,f. Jl
~{il,...,i
de A~ l a
forme
t r a n s v e r s a l i t 6 de i ) . h(D)
xE h(D-
tangent
~(f.
nent
1 . 3 . 4 ) . Consi-
pour
fibre
de f
6quations
:
A. dz. 1k
(a)
I,
Pour c e l a ,
e t t e l que l a v a l u a t i o n v (J o h) de J s e l o n h s o i t minime parmi o p p
p
passant
Jp+l e s t e n t i e r s u r Jp .
~(~i 1 '
~Zlk-l~Z~
apparaissant
dans
d'un
de J
616ment
T ~es espaces ~
:
~{i,...,N}
tangents
)
3c
,z Ik+l
le
'~i c
) dz£
membre de d r o i t e selon
p+l
selon
h 6tait
h serait
A£ dz£ = O, c o n t r a i r e m e n t
appartien-
inf6rieure
contenue
d a n s un
h l'hypothese
Un r a i s o n n e m e n t analogue m o n t r e r a i t que s i h J
P
de
= O, a l o r s
e s t t o u t e n t i e r form6 de p o i n t s c r i t i q u e s pour f . Prouvons que i t ) ~ i )
: chaque l i m i t e d ' e s p a c e s t a n g e n t s 6 t a n t a t t e i n t e
l e long d ' u n arc h : (D,O) -
(Z,O) comme c i - d e s s u s puisque l e morphisme
vf : N f ( X ) . X e s t une m o d i f i c a t i o n , i l
suffit
de l i r e
a l ' e n v e r s l a preuve de
i) ~ it).
§ 4.
Espace J'ai
sid6rer
conormal
6t6
aussi
conduit la
ou " c o n s t r u c t i o n cas (voir
local
d'un
de l a
de J . P . G .
dire
de l ' e s p a c e
conormal"~
qui
construction
Soit
(X,O) c ( ¢ N,o) la
suggestions
plonk6.
suivante,
ou [K1 2 ] ) .
Sur
des
anal~ti~ue
construction
[Pi]
point6s.
par
espace
partie
une
de l a v a r i 6 t 6
immersion
non-singuli~re
"des
Henry et
limites
est
en g r o s
duale
d'une
ferm6e
d'espaces
M. M e r l e
d'hyperplans ce q u i
vari6t6
tangents t
subsiste
dans
projective
analytiques
X° de X, nn a l ' i n j e c t i o n
~ con-
r6duits
naturelle
de
le
379
fibres
vectoriels
0
et
l'on
consid~re
le
i
~ TxO
~ T N × X°
n o y a u T ~ EN de l ' h o m o m o r p h i s m e X°
~, TxO ~N
0
'
~N
T~ N CNX X o
dual
i#
i > T Xo
Le fibr~ projectif ]P(T~ ¢N) associ~ ~ T # CN est donc naturellement plong~ dans
X°
~(T~N
×
¢ ~N
xo )
=" X ° ×
X°
~N-I c × ×~N-I
~ ou
~N-1
d~signe
l'espace
des hyperplans
de CN .
4.1
Proposition-D6finition
C(xc~N) espace
dans x×~N-1 analyti~ue
Preuve me b r a n t
:
fi(zl,...~ZN) (al:
...
Xx ~N-1
du
ferm~
Choisissons local
sur
:
On
fibr~
espace
appelle
pro~ectif
r~duit
p(T ~ cN)cxx X°
de d i m e n s i o n
un syst~ me
supposer
1~ i ~ p .
Choisissons
les
: a N) s u r
~N-1 , et
consid~rons
le
d6fini
par
les
6quations
aI
,
coordonn6es
les
...........
~
~f. 11 bz I
,
aN
az N <
~f. 1N_ d
af. 1N_ d '
,
bz N
CN. Le p r o b l ~ -
analytique
~f. 11 '
un sous
p 6quations
naturelles
conditions
rang
bz I
N sur
d a n s ~N p a r
sous-espaee
exprimant
l'adh6rence
~N-1 . C'est
Zl,...,z
X d6fini
= O,
a xc~N
N-1 d__e_eX × ~ N - 1 .
de c o o r d o n n 6 e s
X, n o u s p o u v o n s
conormal
N-d+1
f e r m 6 W de
suivantes
:
380
D'apres X×
la
~N-1 N
C(Xc~ Pour
d6finition,
notre
de W - ( S i n g X × ~
) est
espace
N-l)
d'o~
C(X)
n'est
aussitSt
autre
l'analyticit~,
la
dimension
de C ( x c C N ) ,
consid6rons
: C ( X ~ E N)
est
par
la premiere
l'ensemble
-l(x
l'adh6rence et
le
dans
fair
que
r6duit.
calculer
induit
que
projection
des hyperplans
) = ~N-d-1
~.X
X × ~ N - 1 ~X • P o u r
de ~N c o n t e n a n t
ou d = dim X. On en d ~ d u i t
le morphisme naturel
tout
TX~ x ~ e t
bien
x ~ Xo, l'on
l'~galit~
-l(x)c~N-1
a donc
dim C ( x ~ N )
= N-1.
x
4.1.1 et
La p l u p a r t
nous noterons
du t e m p s ,
nous travaillerons
un p l o n g e m e n t
xc~N
fix~
simplement
: C(X)
l'espace
avec
conormal.
Noter
que
~X
le morphisme ~ est
projectif,
et
en p a r t i c u l i e r
de d i m e n s i o n
d.)
propre.
4.2
Remar~ues
:
1)
on a : N - d - 1 g dim a 2) une avec
limite
On p e u t (i
~ ~)
-1
(On s u p p o s e
X purement
Pour
tout
x E X,
(x) ~ N-2.
penser
~ un point
d'hyperplans
H.
1
de C(X) tels
comme ~ un c o u p l e
qu'il
existe
(x,H)
une suite
ou H e s t
x i C X° ,
x i~x,
Hi D T x , x . 1
3)
4.3
N = d+l~
~ : C(X)~X
Proposition-D6finition
h~potheses tions
Si
de 1 . 1
et
:
de p l u s
de 1 . 1 , c o n s i d 6 r o n s
le
s'identifie
Soit
muni fibr6
f : X-S
d'un
a la modification
un morphisme
6-plongement
conormal
relatif
satisfaisant
Xcs×¢N TX_F, f
de N a s h de X.
.
hvec
~es les
(o__uu T X _ F / S )
nota-
d6fini
381
comme n o y a u
appelle
de l ' h o m o m o r p ~ i s m e
espace
~(Tx_F/S) ~f
Cf(X)
c
(X-F)
r~duites ment
et
identifi~
au-dessus
est
encore~
relatif
si
de d i m e n s i o n
C'
de X,
tout-a-fair N= d + l ,
T
N Sx¢ / S
~a f e r m e t u r e
~N-I~ ~N-1 • ×
>X p r o p r e
La p r e u v e
Ici
cenormal
nature1
est
de d i m e n s i o n
ou d e s t
a la modification
l'espace
la
) TX_F/s
d a n s X×
un e s p a c e
analogue
pure,
× (X-F) sx~N
a celle
de N a s h r e l a t i v e .
d_~e
analyti~ue
r~duit
N-1 + dim S.
du c a s
dimension conormal
. O__~_n
des
relatif
absolu. fibres peut
de f , ~tre
suppos~es naturelle-
382
C H A P I TR
E
I I I
STRATIFICATIONS
Introduction.
D a n s ce c h a p i t r e ,
une
d'incidence
condition
liers est
(X , X p ) possible
portant
espace
X, e t
de c o n s t r u i r e ,
X=UXa telles cidence
d'un
que tout
je
sur
des couples
satisfaisant
pour
couple
commence p a r m o n t r e r
tout
~tant
de s o u s - e s p a c e s
des hypotheses
espace
de s t r a t e s
comment,
analytique
tres
X,
donn~e
non-singusimples,
il
des stratifications
(X ~X~) s a t i ~ f a s s e
la
condition
d'in-
donn~e. L'exemple
Whitney,
est
du c h a p i t r e
typique
pour
introduit prbc~dent
et
nous
l'on
de c o n d i t i o n
montre
implique
d'incidence,
comment le
que cette
th~or~me
condition
les
conditions
de B e r t i n i
de
id~aliste
d'incidence
est
stratifian-
dbfinies
par
des
te. Au § 3,
j'~tudie
riants
num~riques~
culler
que
de c e t t e bles
nature.
th~or~me
des
puisque
Ensuite
ensembliste
ferm~ ZcX
on ~ t u d i e d'un
par
selon
stratifications
r~sultat
lemmes t e c h n i q u e s
facile
les
principal
de W h i t n e y
stratifies
de g ~ n ~ r i c i t ~
un r~su l t a t
le
stratification
analytiques
montrer
lit~
la
bri~vement
du t r a n s f o r m ~
p a r un ~clatement
un peu
une strict
la
utiles
et
p : X' ~ X .
montre
espace
dans
la
en p a r t i -
analytique
est
de d e u x s o u s - e n s e m -
non-singulier,
de K l e i m a n . condition
d'un
transversalit~
analytique
seront
translation
lequel
"canonique"
espace
qui
de ce t r a v a i l
inva-
surtout
pour
suite
et
~noncer
le
Le c h a p i t r e
se
termine
par
de t r a n s v e r s a l i t ~
du t r a n s f o r m ~
total
implique d'un
l'~ga-
sous-espace
383
§ 1.
Conditions
1.1
D~finition
ble
h de X e s t
ensembles
d'incidence. :
Soit
localement
analytiques que A est
nage ouvert
U tel
ment
a la Zariski
constructible fermeture est
stable
par
localement
que,
d'apres
qu'un
existe
sous-ensem-
deux sous-
q u e A= F - G. tout
point
bool~enne
EW~ ~ l a
un sous-ensemble et
que
~es operations ~ la
dans X siil
dans X si
combinaison
Nous d~rons
xE X possede
un v o i s i -
de s o u s - e n s e m b l e s
locale-
d a n s U.
frontiere,
ferm~s
Zariski
G de X t e l s
constructible
de X e s t
de s a
F et
q u e AMU s o i t
On r e m a r q u e r a
analytique.
ferm~ ~ la
fermbs
Nous dirons
ferm~s
X un espace
la
analytique
classe
bool~ennes
Zariski
est
fermeture
ferm~
que celle
par union
sous-ensemble
de X~ a i n s i
des sous-ensembles
alors
stable
dans X d'un
que
la
constructibles
des sous-ensembles
finie
et
intersection
finie.
1.2
D~finition
gique tel
X est
que
:
X est
ferm~s
1.3
dire
Une f a m i l l e
localement
~i E I / A i n U ] ~ ]
Exercice tique
:
~ la
Montrer r~union
d'une
Zariski
de X .
D~finition
:
localement
ferm~s
dans F est
le
dans X et
rare
finie
soit
que
dans F
ce q u i
tout
point
E et
Zariski)
xE X possede
constructible finie
espace
constructible
espace
topolo-
un v o i s i n a g e
espace
constructibles
analytique
(resp.
A d'un
de s o u s - e n s e m b l e s
F deux sous-ensembles d'un
d'un
X.
localement
on p e u t
(resp.
La f r o n t i ~ r e ferm~ a la
= E-FnF
lire
"constructible"
a la
place
analy-
localement
:
suit,
U
fini.
localement
~F(E)
Dans tout
de s o u s - e n s e m b l e s
sous-ensemble
famille
sous-ensemble
si
un ensemble
tout
Soient a la
(hi)iE I
de
de E Zariski)
384
"localement lement
1.4
ferm~ ~ la Zariski"
fermi"
pour
D6finition
portant
sur
Nous a p p e l l e r o n s
des quadruplets
astreinte
(H) et
tout
triplet
SI~ e n f i n
S~S
satisfait
qu'une
(X~SI~S2,x)
ensemble
d'ailleurs
en "loca-
satisfasse dans X (ou,
de f a ~ o n
en xE S~,
d'incidence.
stratifiante
des points
la condition
d'incidence~
non-singulier
la condition
l'ensemble
condition
:
la condition
ferm6 dans X et
S 1 est
localemen~
de S 2 ; c e t t e
que voici
est
condition
analytique,
sous-ensemble
satisfaisant
d'incidence
route
un e s p a c e
un p o i n t
encore
condition
constructible
d'incidence"
d'h6r6dit6
2 localement
( X , S 1 , S 2) comme c i - d e s s u s ,
quadruplet
x est
(X~S1,S2,x)
(X~S1,S~x)
Nous d i r n n s
"condition
une condition
quadruplet
sous-ensemble
le quadruplet
abr~gera
f e r m 6 de X, S 2 un a u t r e
darts ~ 1 -
~ v6rifier
Pour tout
l'on
( X ~ S 1 , S 2 , x ) ~ ou X e s t
localement
f e r m 6 de X c o n t e n u est
que
all~ger.
:
un s o u s - e n s e m b l e
vocable
x E S2 tels
d'incidence
6quivalente~
si,
pour tout que le
contient
un s o u s -
dans ~2 ) et
dense
dans ~2"
1.5
Proposition
tout
espace
ensembles bles telle
:
analyti~ue localement
localement
la partition
a-dire ii) druplet
Lemme I
Pour
X=
S
i E I~ ~ .
(X~Sa~S~,x)
Soient
de s o u s - e n s e m b l e s
(S)aE h ,
soit
famille
de X, i l
formant
cc,~ ~
les
Sa ~ ' 1 et
X. s o n t
~ N S ~
satisfait
X un e s p a c e analyti~ues
'
d'incidence
localement
existe
non-sin~ulier,
SaNXit~
Pour cc,~EA,
:
ferm~s
toute
U S satisfasse ccEA cc
iE I,
que pour
donn~e une condition
X et
ferm~s
~ue c h a ~ u e
i)
Etant
stratifiante,
finie
( X i ) i E I de s o u s -
une partition
nne famille connexe
conditions
et
de X e n s o u s - e n s e m -
localement non vide~
suivantes
et
d a n s X,
~ue de p l u s
cXi-Xi
,
c'est-
de s t r a t e s .
~ ~c~- Sa:~S~-- __et, p o u r
tout
la condition
d'incidence
donn~e.
analyti~ue~
e~t ( Z n ) n E ~
une suite
ferm~s
finie
:
~et S~N ( ~ i - X i ) ~ D ~ S union
pour
de X t e l s
~ue s i
Znt~,
x E S~ ,
l e Clua-
d~croissante
Zn+ 1 s o i t
rare
385
dans
Zn ~
poss~de
pour
tout
n ~ O~ a l o r s
un voisina~e
ouvert
N Z = ~ et en fair tout point x E X n n~O : il existe n tel ~ue UNZ = ~ pour
on a :
U tel
que
o
n
n~n ° •
Preuve Soit
:
D'apr~s
x E X,
existe
et
posons
un voisinage
la
d~finition
Z
NU= ~ pour
n
Lemme 2
:
ouvert
Preuve
:
n~ d+l .
et
donc
il
et
tion
et
de X - Z
truire
n
une pour
sont
Z')
collection
pour des
de X ; s i
;
et
de
y E U on a i t espaces
la
dim
dimension~ X~ d •
Y
analytiques~
anal~ti~ues
l'on
il
D'apr~s
on a
fermbs
a b~(Z) ~Z',
dbfinition
ouvert
x~ Z'~
c'est-~-dire ~N (Z-
alors
donc U NZc~;
et
de X e~t E EN (Z-
Z')
construit
tels
ferm~s de
Zn+ 1 C Z n que
la
S
avec
Z
o
= X,
satisfaisant
N Z (Lemme 1 ) . n n~O P o s o n s , p o u r t o u t ~ E A~ T
la
et
ferm~
dans
de et
la
supposer
U tel
•
localement
ferm~
une
parti-
N ous a l l o n s
sous-ensembles S
de x
Z - Z'
E h de X f o r m a n t
des
que
que
ouvert
Proposition.
des
que
on p e u t
unvoisinage
(S)
collection
aux conditions
construction
X tel
un s o u s - e n s e m b l e
conditions
rare
on a :
on a d o n c un o u v e r t
~videmnent
loealement les
X et
est
de b ~ ( Z ) ,
U de x d a n s
q u e U NZ e s t
Z')
avoir
ferm~
de s t r a t e s
la
Or x E U N E ,
satisfait
dans
d'apres
un v o i s i n a g e
de X - Zn+ 1 s a t i s f a i s a n t la
on a d i m x Z n + l < d i m x Zn
semi-continuit~
deux sous-ensembles
sous-ensembles qui
que
dimension
ferm~
maintenan¢
ferm~s
On c o m m e n c e r a
la
ferm6
un sous-ensemble
localement tion
des
est
Enfin,
Supposons ZnCX,
(Z-
N E = D,
Z').
la
x E X,
•
existe
Z'
UAZ'
dans EN (Z-
D'apr~s
UN ( Z - ~ ) ] ~ .
UD Z' = ~ p u i s q u e
point
d a r t s Z - Z' .
xEEN
implique
UNZ~E
de
Z' c Z c X
fermb
tout
U de x t e l
localement
Soit
x ~ Z - EN E, UNE~
ouvert
Soient
en
d = dim X. x
topologique
un s o u s - e n s e m b l e est
l'hypoth~se~
~
cons-
S'a, C Z n -
S'~ s o i t
une
Zn+l
parti-
Proposition.
on c o n s t r u i r a
aux conditions
ainsi de
la
par
r~currence
Proposition
X= X -
deux
families
localement
= bZ (~) et pour tout n finies de s o u s - e n s e m b l e s
i E I,
¥ i = 8Z ( X i ) n localement ferm~s
~ ee de X.
386
Consid6rons
les
triplets
d'incidence
est
stratifiante
denses
(X,Ss,( ~nous
assure
V c (~ - S ) NZ localement s s ~ n
(X,Ss~( ~ xE V . s
- Ss) N Zn,X) Soit
R
la
s
satisfasse
frontiere
R
La f a m i l l e
des R
localement
ferm~s.
Posons
Zn+ 1 = S i n g
analytique
ferm6
en rue
une
est de Z
est
s
Z
la
:
(V
encore
)u(z
-v
famille
que
d'incidence
dans
Z
,
n
- (z
n
que notre
S
le quadruplet donn6e
La f e r m e t u r e
c'est-~-dire
-v n
s
localement
))
finie
de s o u s - e n s e m b l e s
n
n
n
famille
localement
finie
de s o u s - e n s e m b l e s
analytiques
les
S's '
de c h a q u e
comme 6 t a n t
S'
est
les
composantes
donc bien
localement
finie.
et
(S' )s' s' EA'
se
de r 6 c u r r e n c e une
une composante
irr6ductible
de Z
N~-= a
s
dans
qu'il
rencontre~
et
donc
le
la
(X~Ss~S~,~x) de v 6 r i f i e r
et
d'o~
strate
S'a '
et
donc contient
ailleurs~
le
~ i N (Z n qu'il
les
on p e u t ~
I1
rencontre.
le
Or,
contenter
ouvert
Y~rifions
cela,
puisque
pour grace
et
composante
connexe
S~,
et
(Ss)sC A
chaque
renarquons
ouvert
montre dans
finalement
Zn
puisque Zn+ 1
que si
quadruplet
Rs ' ouvert
qu'il
et
que~
condition
Zn+ 1 c o n t i e n t
est
de Z n - Z n + l
ferm6
a la
v
l'hypothe-
1) e s t
connexe
Lemme 2, ~ s N (Z n - Zn+ 1) e s t
chaque
n+
I
de l e v 6 r i f i e r
d o n c S's, N S s ~
satisfaite pour
d'apr~s
Le m~me a r g u m e n t
Zn+ 1) e s t
suffit
se
S'S
d e s S'S
de X - Zn+ 1 p a r
composante
S~, •
est
famille
Lemme 2~ S s N (Z n - Z
chaque
K~
la
stratification
; supposons
contient
S~, c V s par
Par
d'incidence,
S's,
d'incidence
x E S~, •
l'inclusion
la
D'apres
l'inclusion
condition avec
que
X •
s ' / ~' ~ S's, Iq S~, = D,
donc
chaque
t 6 S~, n Y s = S',s N ~ Z n - Zn+ 1 ~
une
dans
condition
sous-ensemble
contient
S s ~ S~, i
la
T CZ s n+l
Zn- Zn+l
1 ~
ferm6s
puisque
Ss et
ferm~
Zn+l~
et
et n
Pour v6rifier
satisfait
strate
q u e Zn - ~
ferm6s
de Z n - Zn+ 1 •
connexes
S *
pour
tout
.
n
localement
pour
U ( U Y . ) U( U T ) U ( !J R ) ; Zn+ 1 e s t u n s o u s - e n s e m b l e 1 s iEI sEA sEA de Z i d o n c de X~ r a r e d a n s Z ~ p u i s q u e c h a c u n e d e s f a m i l l e s
D~finissons
sont
condition
de s o u s - e n s e m b l e s
X~ t e l s
condition
S
une
dans
de V s
-v S
L'hypoth~se
de l ' e x i s t e n c e
ferm6s
totale
S
rares
S s ) N Z n )"
(H),
on a l ' ~ g a l i et
ferm6
rencontre~
dans
d'ou
387
S~, ~ V
et
d o n c S'
cV
On a m o n t r 6
route
la p r o p o s i t i o n
sauf
le fair que
les X . - X. 6talent 1
r6union ~ la
de s t r a t e s .
famille
Remar~ue tible
u,
haut
:
Dans le
dans
la par
Zariski pour
que
chacun
Conditions
2.1
Consid6rons
cas
ou
aura
d'appliquer
l'on
des
a remplac6
ferm6s
l'espace usuelle
(dans
:
il
faut
localement
finie
construite
en r6solvant
ordre)
o~ B Z = [ u E [ M / ( u , b ) : dist
(A,B)=
soit
G = G(M,a)
(A,B)
O pour
O 6quivaut
u,
que
l'orthogonal coordonn6es
"construc-
famille
localement
ltexercice
~M,
v dans
(A,B)
est
propos~
)
(
ferm6s
plus
BL c A des
lu'vl
directions
Etant
1
distance
B~A.
de s o u s - e s p a c e s
l'application
Remarquons
v..
On n o t e r a
, c'est-~-dire
analytique
Met
de l a donn6s
de A a B
Ilull. Ilvll
Irull2:
b ~ B] e t
fonction
aussit~t.
1
=
sup
Ul,...,u
= Z u. la
a l'inclusion
une
(u,v)
B de ¢M, on d 6 f i n i t
a = d i m A, b = d i m B,
comme on l e v ~ r i f i e
telle
tout
la grassmannienne
a de EM ; p o s a n t
Soit
par
la
de c o o r d o n n ~ e s
ucn-~_~o)
dist
ferm6"
re,placer
pr6c6dente (Xi,X i - Xi)i( I •
de s o n s - e n s e m b l e s
~M m u n i
; pour het
dist
implique
analytiques
"localement
precede,
vectoriel
vectoriels
dist
Proposition
de W h i t n e y .
deux sous-espaces
(A,B)b
la
d e s Xi .
hermitienne
cet
cela
constitute
de c e q u i
famille
l'on
pour
finie
lecture la
§ 2.
m6trique
suffit
loealement
(Xi~X i - Xi ) la
I1
i
Ga × G b ~
r~elle
aussi
que
sur
le
que Par
de d i m e n s i o n d6finie
produit
l'in6galit~
ailleurs,
par fi a × G b ,
de S c h w a r z
( A , B ) g 1.
p :
cM~ E
une projection
K e r p N A = (O) . de p ( B )
On a a l o r s
dans
(Ul, • .. ,u£)
de l a
E£ m u n i
: en effet,
forme
pour
structure tout
M) ~ ( u l , . . . , u
~)
et
p ( B ) ~ C n ~ ou p ( B ) ± d 6 s i g n e
l'inclusion
de l a
(ul,...,u
hermitienne
v E E£ , on a ( v , b )
d6finie
par
= (v,p(b))
les ;
388
pour
la
m~me r a i s o n ,
on a
sup
:
[(u',v')[
I(u'~v)l
sup
u,~p(B)~_~o? D'apr~s dant
l'hypothSse
que
air
de A e t
!lvll
IIp(v)ll
dist
Kerpn
de l a
~1< ~
Ilu'!l.ll~ll
v~a-{o]
v'Ep(A)-{O)
A= (O)~
projection
; il
vient
il
choisie
une constante
et
telle
positive
que pour
C ne d 6 p e n -
tout
v E A - [O} on
dist
(A B)
donc
1
(p(A),p(B))
existe
)
Ilvll Hp(v)ll
•
~ ~
sup
----
u'~:p(B)'-fO}
,
~
[ [ u ' [ ] " lIvll
~
vEA-{O} la
derni~re Voici
Reprenons
in~galit~
provenant
de l ' i n c l u s i o n
une autre
in6galit6
du mSme t y p e
l a m~me s i t u a t i o n
que ci-dessus~
p(B) ~cB ± qui
mais
nous servira sans
plus
supposer
bas
que Ker
: ( p [ A ) = O.
.¢ Soit
B1 u n s o u s - e s p a c e
d~pendant
que
En e f f e t ,
pour
sous-espace
de p ,
het
tout
affine
vectoriel
d~duit
616ment
+
. Or~ p u i s q u e
galit6
soit
de K e r p de l a
(p]h)
C1E ~
telle
p(a) E p(A),
p(A) ~Ker p/Ker que t o u t
B1 e t
de E . I 1 e x i s t e
qui
a p(a)
de p ( A )
que
dist
une
constante
positive
( p ( h ) , B 1) ~ C d i s t
Ea = [wE Ker p / p ( a )
(A,p-I(B1)).
+ wC A]
; Ea e s t
forme w + Ker(p[h)~ et l'application o associe la classe de w° e s t l i n 6 a i r e .
peut
s'6crire
( p ( p _ l ( B ) ) ) L = B] e s t 1
p(p(A)+ contenu
w(a))
dans
(A,p-I(B1))
ou Iiw(a)]! ~C 1 IIP(a)ll,
(p-l(B
1
) )± ~ on a 1' i n 6 -
sup (.ha:v)l } a A-Ker p llall i :rl £
vEBv{O) m a i s on a ( a , v ) vient
:
= (p(a),v)
puisque
v E B~ c E
par
d6finition
un
On en
:
dist
C ne
L de B 1 , e t
il
389
l
sup aEh-Ker
p
'(atv)I t~ Ila[] " Ilvll
sup p(a)Ep(h)-[O} L
{
v~Sl-[o)
vEB~-[O]
_> (1+-~1)
'(p(a) ,v)l } l l p ( a ) l l + 11~(a)11
(I(p(a),v)l)
Sup p(a)Ep(h)-[O)
I ] p ( a ) l l - Ilvll
£
~ESl-[o] d'ou
le r~sultat
2.2
Soient
a v e c C = 1+C 1 .
maintenant
Y un s o u s - e s p a c e
X un e s p a c e
localement
un p l o n g e m e n t
rStraction
locale
O : ( ~ N , 0 ) ~ (Y,O)
peut
identifier
ouvert re
de t e l l e
favon
purement
de X e t
(X,O) c (~N,o)
0 un p o i n t
que
et
la r~traction
de O~ e t u n e
analytique
supposer
pres~
X plongb
9 coincide
d~
non-singulier
au v o i s i n a g e
; a un i s o m o r p h i s m e de) tk
de d i m e n s i o n
dans avec
on
(un ouver la premie-
projection.
2.2.1 tie
local
Y a (un ouvert
de) tk×En-k
r~duit
ferm~ ~ la Zariski
de Y. C h o i s i s s o n s
alors
analytique
D~finition
:
non singuli~re
condition dessus
a)
tel
que
X ° de X e t
le
couple
de l a p a t t i e
de W h i t n e y e n O E yO s i i l
que p o u r
extraire
On d i t
route
une sous-suite
de s t r a f e s
non-singuli~re
existe
suite
de p o i n t s
x. E X° t e n d a n t 1
telle
q u e Lim T x ~ x i
existe~
f o r m ~ de l a p a r -
yo de ¥ s a t i s f a i t
un p l o n g e m e n t
Lim T x ~ x i D T¥, 0 c'est-a-dire
(X°,¥ °)
local
vers
la
comme c i -
O, on a i t ,
quitte
l'inclusion
(en direction)
encore Lim d i s t x.~O
(Ty,o~Tx~xi)
= 0
1
On d i t , ( a p r e s stricte voisinage
nironaka
avec exposant ouvert
x E X° N U on a i t
[H 1 ] ) , e si
que
e est
(X°~Y) s a t i s f a i t
un h o m b r e r ~ e l
U de 0 d a n s X e t un n o m b r e r ~ e l l'in6galit6
la
positif positif
condition tel
a)
quVil
C tels
de W h i t n e y
existe
que p o u r
un tout
390
dit
o1~ d i s t ( x , Y ) On d i t
d6signe
que
le
e n OE y o s i i l tels
une
couple
distance
de s t r a t e s
existe
que pour
de l a
la
( T y , 0 , TX, x )
route
droite
(s6cante)
(X°~¥ °)
sous-suite
telle
que
satisfait
local
de p o i n t s
qui
et
x. E X° -
• x i h P ( x 1)
joint
Lim x.~O TX'xi
et
la
condition
une r6traction
Y, n o t a n t
1
b)
x.
1
la
1
direction
quit~ce
existent~
1
de W h i t n e y
P comme c i - d e s s u s
d a r t s ~N on a i t ,
Lim ~ x.~O 1
1
~ extraire
l'inclusion
1
Lim T X x.*O 'xi
~
Lim x . P ( x . ) x.*O 1 1
1
c'est-~-dire
(x,Y) e
de x a Y d a n s E N .
un plongement suite
~ C dist
1
encore
x.Lim40 d i s t
(x.1 P ( x i ) ' T x , x
i)
= 0
1
On d i t ,
apres
Whitney
avec
Hironaka exposant
un voisinage tout
(Loc.
ouvert
e en 0 si U de 0 d a n s
x E X° ~ O on a i r
Proposition
(X,S1,S2~x) le une
de s t r a t e s
condition
:
( S 1 , S 2)
Nous allons
sinage
point
Rappelons
tout
de O r - m o d u l e s
(X ° , Y )
satisfait
un nombre r~el une constante
la
positif positive
condition tel
qu'il
C tels
b)
de
existe
que pour
~ C . dist
(x,Y) e
La c o n d i t i o n ,
que voici
: x est
satisfait
les
d'abord
dScrire
non-singulier
d'abord
:
x)
portant
un point
conditions
sur
des quadruplets
non-singulier a)
e_~t b )
de S 2 e~t
e~n x E S 2 e s t
stratifiante.
Remarquons
satisfaite. d'un
X et
[W])
haut,
d'incidence
D~monstration
e est
(x P(x),Tx,
(Whitney,
comme p l u s
couple
que
l'in~galit6
dist
2.2.2
cir.),
qu'a
une
que
la
condition
de ¥ ,
l'immersion
les ~X
condition sur
conditions
d'h~rbdit~
(X°~Y)
qui
est
implique,
~videmment au v o i -
de W h i t n e y .
correspond
un morphisme
surjectif
391 1 • ~y
Q IY
exprimant
l'inclusion
de l ' e s p a c e
tangent
)0
de Z a r i s k i
1
Specany
S y m o v ( ~ Y) de Y 1
darts la
restriction
~ Y de l ' e s p a c e
(On r a p p e l l e
que
l'espace
1 q u e Qy ~
qui
n'est
pas
tions
faisceau
le
Rappelons
aussi
d~finissant OX-mOdule relle
la 5
id~y×i
vectoriel
en g~n~ral
dual
diagonale 1/12
est
de Z a r i s k i
relatif
associ5
un fibr~
du f a i s c e a u
1 q u e ~X e s t
tangent
d~fini
Ox-iSomorphe
o~ i d ~ s i g n e
¢
un homomorphisme
ou NX, Y d ~ s i g n e
le
faisceau
O~yy-modules S / S 2 ou S e s t Cet
homomorphisme
de Y a u n p o i n t genres
exprime
de X - Y ( p o u r
~ X aux points
Cons~d~rons
maintenant
fair
de X × X
et
le
ou e l l e
est
l'immersion
coherent ferm~e
; le
ferm~e
natu-
faisceau
de
diagramme
de Y d a n s X,
d~finissant que
, 0
les
limites
un plongement
c'est-a-dire
~ dans
local)
de Y . le
faisceau
de ( ~ y - m O d u l e s
~ NX, Y
conormal
le
le
~X
surjectif
l'id~al
de s e c -
T ,
~JV
faisceau
tel
) XxX
J On e n d ~ d u i t
I
Consid~rons
Yc~X,
Y×X
Y
: soit
l'ouvert
a ~X "
l'immersion
a pour
coherent
donn~.
comme c e c i
X¢--~5X×X d a r t s
a un faisceau
vectoriel~
coherent
de X.
diagramme
EyN(X)
e
> N(X)
Ev(X )
e
~ X
le
X .
de s ~ c a n t e s donnent
des
joignant directions
un point tan-
392
ouv
d6signe
la modification
l'6clatement selle
de
commuter Posons tient
de N a s h de X, e l ' 6 c l a t e m e n t
du s o u s - e s p a c e
analytique
l'6clatement
implique
le
et
diagramme
Z=E-~yN(X) e t localement
~=
l'on
d'ou
0
que
l'on
peut
part,
£
~
construction,
suite
naturelle
l'on
note
~" 1 *T~ fiX
une
la
suite
~
l'id6al
de O ~ - m o d u l e s
factorise
~0
~o
de Z d 6 f i n i s s a n t
on
a
une
sur
jection
:
, ~]/~t 2
~, o
y C Y. S i
en tout
NX,y point
par
(L[~)y,,
V de y d a n s ~ t e l
grace que
l'on
signifie
de W h i t n e y au v o i s i n a g e
est
pr6cis6ment, v6rifi6e d'un
point
pour
~ la air
YlE U ,
l'homomorphisme
propret6 une
) o
de ~,
la
existe
un voisinage
~ 0
d6finition
plongement En e f f e t ,
il
surjection
) ~ ~t~l~-l(u)
d'apres tout
y' C ~-l(y)
. (~ c~)y,
LI~-I(u)
ce qui
~ L
surjection
maintenant
ouvert
l e O Z - m O d u l e ~ fiX a u n q u o -
,~ ~
(~ Oxl~)y , se
faisant
exacte
~X Soit
v'
:
Nx, ¥ et
morphisme
univer-
exacte
~xl~j De m~me, s i
d'un
La p r o p r i 6 t 6
~= v o e= e o v' .
Par
une
N(X).
X ete
~ KI'~.
a sur
on
pose
dans
l'existence
~K
restreindre
0
D'autre
alors
~-1(~).
libre,
v-l(~)
de Y d a n s
local
pour
de L, q u e
la
condition
de X d a n s u n e s p a e e
un plongement
local
a)
affine
xcgN,
on
393
peut
comme n o u s
associ6
l'avons
a L a la
tautologique dessus
se
vu plus
restriction
sur
la
traduit
haut,
a N(X)
grassmannienne
par
soit
le support
morphisme
:
une
du f i b r b G des
injection
ans
identifier
clair
lrouvert Soit
que
de m~me B 2 l e
est
condition
(~ventuellement
lVhomomorphisme
Ii
la
clair
possede
yO
un voisinage
ce qui~
en utilisant
droites
sur y' E~
s~cantes
de W h i t n e y
point
de U, p u i s q u e de p o i n t s
c
limite {(y'~
cons6quent
ble
Y-
puisque
autre
(Sing B1 et
le
fibr6
surjection
ci-
.
par l
o°o
~o
est
satisfaite
pour
~/~2
~ Nx,y de l ' o u v e r t
U darts ~ tel
tout
image
la
v'(y') tout
vers
en
condition
point
y de
de K I ~
par
des
le
est
sous-ensembles
est
une
que
surjection
la
fibre
en y= ~(y') implique local une
que
XcE Net injection~
du f i b r 6
en en un
~/~2
de d i r e c t i o n s la
de
condition
en tout pour
b)
point
route
suite
:
de s b c a n t e s
)}
d'espaces
tangents
v6rifi6e
en tout
localement
¥o_ ~(B2 )
de O ~ - m o d u l e s
que voici
de d i r e c t i o n
d'incidence
fair
C F~(X),
implique
vide)
~ 0
limite
e n y de d i r e c t i o n y
air
inversible
y= ~(y')~
~ ) U ~(B 1) U ~(B 2) q u i B2 sont
et
plongement
ci-dessus
(x. ~y) 1 limite
local
direction
au p o i n t
surjection
l'on
, ~/g2[~-l(u)
la
pour
(6ventuellement que
au f a i s c e a u
que
satisfaite la
Par
la
rent image de
~x ~
un plongement
x i ~ X° t e n d a n t
{(y',
¢~[~-l(y)
coherent
y'
ouvert
correspond
est
N(X)
X × G, ou ~ e s t
d a n s ~ du O ~ - m o d u l e
c o r r e s n o• n d a n t
n'est
qui
)~X×
sur
~(B1 ) .
LI~-I(u)
point
sur
vectoriel
compos6
que tout
~
fibr6
de EN, e t
~~ ~
ci-dessus
vide)
support
yO
module co
~xr~ I1 est
X ×¢~
d-plans
~(T
du
le
ferm6
analytiques
TX,x.)] 1 point
a la Zariski
ferm~s
de ~ e t
de l ' e n s e m dans que ~ est
394 propre. Inversement, fasse
les
~tant
conditions
donn~ un p o i n t
y E yO t e l
a) e t b) de W h i t n e y en t o u t
d a n s Y, on p e u t r e m o n t e r l ' a r g u m e n t
que l e c o u p l e point
(X°,Y ° ) s a r i s ~
d'un voisinage
U de y
p r ~ c S d e n t p o u r p r o u v e r que y a p p a r t i e n t
¥ o _ ~(B1 ) U ~(B2) •
ll ne nous reste plus qu'~ montrer que le sous-ensemble - (Sing ¥ ) U ~(B I) U ~(B 2) est dense darts 7 . que l ' o u v e r t
form6 d e s p o i n t s
de yO au v o i s i n a g e
e t b) de W h i t n e y s o n t s a t i s f a i t e s Soit
donc O un p o i n t
( X , O ) c (C N - k x E k , O ) duite
par
Zl,...,ZN_k,Yl,...,y de Ty, 0 ( r e s p .
est
de y O . C h o i s i s s o n s
~N-k×~k,Ek
k et essayons,
de l a d r o i t e
sinage
de O p a r
l'id6al
sinage
de O. L ' e s p a c e
.
et
la r6traction
p o u r un p o i n t
engendr6 par
•
~(fl,...,fN_d) ~(Zl ,ZN_d)(X)dz i =
'
conditions
x E X° ,
locale
a)
(fl,...,fm),
TX, x p e n t S t r e
fi
i n-
d'estimer
la distance
d a n s $N au v o i -
h o l o m o r p h e s u r ~N au v o i -
d~fini k,
P : X-Y
des coordonn~es
Supposons X d~fini
{N muni d e s c o o r d o n n 6 e s d Z l , . . . , d Z N _ k , d Y l , . . . , d y
( E ,. )
les
un p l o n g e m e n t l o c a l
Munissons ~N-k×~k
x ~ ' ~ x ~ ~ TX, x
tangent
desquels
dense dans yO
e n v o y a n t Y s u r O × E k,
la projection
Pour cela, il suffit de prouver
d a n s T N,x , i d e n t i f i ~ par
l e s N-d ~ q u a t i o n s
:
k 5(fl,...,fN_d) ( x ) dy£ E e~ A £=1 ~(y£,zl,...,zi,...,ZN_ d)
+
N-k ~(fl,...,fN_d) Z e j=N-d J 8(zj,zl,...,z^.,...,ZN_ d ) .
(x) dz. J
( 1 £ i ~ N-d) o~ l e s
e valent
~(fl,-..,fN_d) ~(Zl,...,ZN_d) (x)
soit non nul. Comme nous l'avons vu au chapitre pr~cbdent,
on p e n t t o u j o u r s m3me, ~ t a n t tel
choisir
un s y s t ~ m e de g ~ n ~ r a t e u r s
donn~ un a r c a n a l y t i q u e
que ce m i n e u r j a c o b i e n
Ainsi,
±1, p o u r v u que l e m i n e u r j a c o b i e n
l'espace
vectoriel
h:
ne s ' a n n u l e
ayant cette
(D,O) -(X,O)
tel
en a u c u n p o i n t
TX, x p e r p e n d i c u l a i r e
que h ( D - [ 0 ~ )
de h ( D - [ 0 ] )
~ TX, x d a n s T N C
par les
N-d v e c t e u r s
d~terminants
wi d o n t l e s
jacobiens
coordonn~es sont
apparaissant
propri~t~
dans l'~quation
les
et
cX° ,
. est
engendr~
,0
complexes conjugu~s des
(E~).
Par d ~ f i n i t i o n
on
395
a donc
dist
(Ty,o,Tx,x) =
Sup
IZ ~ i ( Z ¢ £ i £=1 n
t
dy~¢k-{o]
IIdxII. llz
k~¢N-d_(o] Or~ l ' i n t e r p r ~ t a t i o n et l'~nonc~ tence, tel
du th~or~me de B e r t i n i
que t o u t
(1 ~
~ ( y 2 z 1,
C
C telle
o u v e r t V dans X t e l
que pour t o u t
p o i n t xE X° N v
qu'il
on a i r
exis-
les in~-
:
Sup
I
[zj(x)[ •
sans perte
mystere montre alors
Sup fi I
[ 8(fl'''''fN d) 8(Zil, ,ziN_d)- (x)[[ e s t
, ..- ,
atteint
par
f[ 8(fl'''''fN-d)) (x)
iN_d]C[1 ,
de g ~ n 6 r a l i t ~ ,
-.
N-k} [ { 8 ( z i l ' ' ' ' ' z ' ,
1N_ d
que l e supremum des
[3 ( f l ' ' ' ' ' f N - d ) x)[ 1 8 ( Z l , " ,ZN_d) ( .
Vn c a l c u l
sans
l'inbgalit~
N-d
{Iz~i will ~ ( i=1 z {~i
[2)I/2 [8(fl'''''fN-d ) (Zl,
triangulaire,
jointe
~ l'in~galit~
[
, ZN_d) (x)
{8(fl'''''fN-d),zn_d) Sup [Xi[ . { 3 ( z l ,
> _
pour xE X° N v
1.3.1)
rare F
,~i,.'-,ZN_d )
On p e u t s u p p o s e r ,
(Chap. I ,
o u v e r t U de O dans ¥, d ' u n ferm6 a n a l y t i q u e
l~j~N-k
et l'in~galit~
avec s e c t i o n
(x)
]
(*) nous donne a u s s i t ~ t
que
on a l ' i n 6 g a l i t ~ dist
( T y , o , T x , x) ~
C' d i s t (x,Y)
ou dist (x,Y) d6signe la distance (par exemple Sup {z.(x)[) de x a Y dans EN: J Nous a v o n s donc montr6 l a c o n d i t i o n
a) de Whitney s t r i c t e
{I
will
l'exis-
(x)
(*)
id~aliste
dy~ )
impliquent
positive
¢ h)
Ki
de l a d6pendance i n t ~ g r a l e
p o i n t yE Y - F p o s s ~ d e un v o i s i n a g e
t e une c o n s t a n t e galit~s
transcendantale
dans un v o i s i n a g e
-
~(fl'"~'f~ d) d) ~(y£,zl,...,zi,...,ZN_
avec e x p o s a n t
1, e t
396
en parti c u l i e r brant l'espace
condition
de t r a i t e r
Z=E~N(X)
G d6signe X° _ Y
la
la
la
peut
~tre
d~fini
de W h i t n e y ~
condition
grassmannienne
~ N - k - 1 ~G
commutatif
a)
b)
remarquons
coustruit
que~
au v o i s i n a g e
comme a d h 6 r e n c e
des d-plans
par
en y( U- F .
dans x×$N-k-1
d a n s EN~ du g r a p h e
x~ (x P(x)~T x
~X
).
de OE ¥~
Nous a v o n s
×G , O~
du m o r p h i s m e donc un diagramme
:
Z c X×
]pN-k- 1
×G
X
et
si
nous notons
la
condition
b)
condition
~ v~rifier
la
premiere
s'annule que
la
avec
condition
b)
b)
b)
stricte.
en t o u t Puisque
que r ~ e l l e ~
si
point
et
la
de 5 b l e ~ n g
Ceci
rfisulte
que~au est la
un a r c
satisfaite. limite
de h ( ~ )
limite
suffit
en q u e s t i o n
§ 9)
d'un
couple
~ Z de l a
5biZ la
sache
voisinage
d'un
est
fonction sur
(g~O) ~(Z,z)
major~e b)
de
en u t i l i s a n t
que
la
fonction
5
de O~ c ' e s t - a - d i r e de 0 d a n s Y .
(X°~Y ° ) cit.)
satisfait
pour
distance [~-l(y)[~ (o~
est
exposant
condition
voisinage
a (Loc.
identiquement h:
l'on
de s t r a t e s
renvoyant
r~el
assurer
×G
avec
essentiellement
que
point
×~N-k-1
stricte
fonction
v~rifier
la
condition
5 est
analyti-
on p e u t
(~ = ]-1~1[)
la
trouver tel
que
Lim (5 o h ) ( t ) ) soit diff~rente de O. t~O du lemme d e s p e t i t s chemins (cf. [B-c], [H 5 ] ) . M o n t r o n s
cette I1
le
pas
analytique
aussit~t
contraire~
que
la restriction
zE ~-l(y) limite
en t o u t
y E U - F,
5 b ne s ' a n n u l e
la
(~,T),
c(y]
de W h i t n e y
pourvu
au-dessus
v~rifi~e ici
Ifi-l(y)l
e non p r e c i s e ,
de ~ - l ( y ) ~
prouver
b)
[H 3]~
de % o j a s i e w i c z ~
est
(£~T)~ dist
que
de ~ _ l ( y ) ~
(voir
un e x p o s a n t
point
Nous a l l o n s condition
la
On p e u t
in~galit~
en t o u t
et
q u e au v o i s i n a g e
(~(y,),¥)e
stricte
fonction
× 5b1(0)~
revient
Whitney
la
~ v~rifier
dans
C . dist
~N-k-1 ×G~
en y6 ¥ revient
contenu
par
5b:
est
(i.e.
est
nulle~
de m o n t r e r nulle.
ce q u i
que p o u r
P o u r un p o i n t
le
prouvera chemin
x(t)
que ~ o h:
la
condition
(~0)
= ~ o h ( t ) E X° -
b)
~(X,y) Y de c o o r -
397
donn~es dist
Zl(t)~...,ZN_k(t),yl(t),...,Yk(t)
(x(~-t) P ( x ( t ~ , T x , x ( t )
supremum pour
' estimons
) : on a (5 b o h ) ( t ) =
~E [N-d_
la
distance
dist(x(t),TX,x(t))
qui
est
le
{O~ d e s q u o t i e n t s
N-k ( Z 5 ( f l , . . . , f N _ d^) ~j=N-d J ~(zo,zl,...,zi,...,zy_d)
~3 (( fZll, . .' . , f N _ d ) (x(t)) - , Z N _ d)
(x(t))zj(t)-
. z (t)) t i
I I z ( t ) l l • lie k i wi[[ Notant
v la valuation
num6rateur
est
g~n~ralit~,
t-adique~
sup~rieure
supposer
que
3(fl,'''sfN_ d) 3(z.,z ^zi ... ZN-d) 3 1~'"~ ~ Soit
b cette 3(fl,.--,fN_
o
ta+
...,
dzi par -~-
et
z.= 3
l'infimum
des valuations
est
atteint
par
d.
J
ta+
= c. t b+ ... J ...~
avec
chacune
d d t" ~
)
pr~c~dente k E £=1
la valuation
: nous pouvons,sans des mineurs
le mineur
du
perte
de
jacobiens
~(fl,...,fN_d) 3(Zl, ,ZN_d)
tb
= co
et
des ~quations
donc chacun
est
~£
consequent
l'inclusion
au c r i t ~ r e
v((
valuatif N-k E j=N-d
(N-d~ j ~ N-k). a> 0 et
~gal
a
+ ...,
(x(t)).
et
b(fl''''~fN-d
du t h ~ o r ~ m e
Ecrivons
aussi
au m o i n s u n d e s d . n o n n u l . J
(E.) 1
en rempla~ant
des coef£icients
de ~ i
dz.
1
au n u m ~ r a t e u r
)
(x(t))
de B e r t i n i
de d ~ p e n d a n c e
dy£ dt
..,ZN_d)
int~grale
~. c . d . a - c d a ) 3 J 3 o o
id~aliste nous
(chap.
II,
donne
ta+b-1 + ...)
> a+b
d ' ou N-k Z j=N-d
~. c . d . a - c J J J
o
d
o
(resp.
:
3 ( Y z , Z 1, . . - , z^i , .
jointe
que
3(fl'''''fN-d) ~(Zl ' ''ZN-d ) (x(t))
~crivons
(x(t))
r~ecrire
(resp.
de l ' e x p r e s s i o n
par
de m o n t r e r
du d ~ n o m i n a t e u r
et
d)
Or~ n o u s p o u v o n s dyj)
suffit
d)
~(zj,zl~"'~i,"',ZN_ z. = d
nous
~ celle
(x(t))
valuation,
il
a : 0
donc
~" ~. c . d . - c j j j
o
d
o
= O
§ 2)
398
La v a l u a t i o n
du n u m b r a t e u r
de l ' e x p r e s s i o n
moins 6gale
a a+ b+ 1 puisque
la valuation
du d 6 n o m i n a t e u r
utilisant
l'in6galitb
le
dormant
coefficient
est
6gale
l'existence pliquer
de s t r a t i f i c a t i o n s
le
r6sultat
•
condition
d'incidence
est
Exercice
:
que si
les
elles
le
plongement
2.3
V6rifier Iocal
Gardons
xcCN
les
( X ~ O ) c (¢N~o)
tandis
que
aussit;t
O(f1''''~fN-d) I comme h(Zl fN_d ) ( x ( t ) )
en plus
la
Proposition,
X = Sl ,
si
l'on
et
donc
remarque
la
preuve
qu'il
suffit
Y= S 2 p o u r , o b t e n i r
le
fait
de d'ap-
que
la
stratifiante.
notations
au v o i s i n a g e
de
avec
nul~
doric au
~
de W h i t n e y ,
pr6c6dent
est
a a + b comme on l e v 6 r i f i e
115" Xi w i l [ ~ S u p l k i [
Donc Lim (5 o h ) ( t ) = O. t~O Ceci ach~ve la d6monstration
distance
de t a+b y e s t
i
haut.
]a
conditions sont
de 2 . 2 d'un
pour
et
point
de W h i t n e y
sont
r6alis6es
p o u r un
tous.
consid6rons OE y O
et
un p l o n g e m e n t le
local
diagramme commutatif
e¥ E C(X) Y
ou a :
C(X)~X
est
d a n s X~ ey c e l u i universelle
2.3.1 l'on la
conormal
a)
un e x p o s a n t
(Chap.
d a n s C(X)
de l ' 6 c l a t e m e n t .
a l'6galit6
avec
de T l ( y )
Proposition
condition
l'espace
n'
le
§ 4),
ey e s t
l'6clatement
m o r p h i s m e donn6 p a r
due a H i r o n a k a ,
N - 2 - d i m ¥I
de W h i t n e y s t r i c t e non p r 6 c i s 6 ,
et
II~
la
de Y
propri6t6
P o s o n s C = ~ ° ey •
(essentiellement dim C - 1 ( 0 ) =
• C(X)
avec
le
couple
exposant
au v o i s i n a ~ e
de O .
[H 1] e t
de s t r a t e s 1~ e t
la
[H 2 ] ) (X°,Y)
condition
:
S_~_i
satisfait b)
stricte
399
Preuve
:
Remarquons d ' a b o r d
qu'il
r6sulte
des d 6 f i n i t i o n s
(2.1)
d i s t ( T y , O , TX, x) :
Sup d i s t ( T y , 0 , H) IL~Tx, x
dist
=
(x~x)~Tx,x)
Sup
dist
(x P ( x ) , H )
HmTx, X H parcourant
l'ensemble
Reprenons maintenant tirellement
des h y p e r p l a n s
les notations
p l o n g 6 dans X×
de ~N c o n t e n a n t ( e n
de 2 . 2 . 2 ,
~N-1 × ~N-t-1
locale
cette
Notons y l , . . . ~ y t , z l ~ - . . , Z N _ t
r6traction.
y×~N-t,
et
(bl:
,...~
~N~y,
~N-1
sur
~N-t-1) t
=
dist(~Y'°'H)
(ZI:
. . . : ZN_%)) l e s c o o r -
. On a a l o r s ,
pour HE ~ N - 1
hi %1
}
Sup
dYEr+-fOt~ldyll~Z Ib.12+Z la.I 2 3
e t pour ~ 6 ~ N - t - 1
Sup
=
~-I(F)
donne,
a p r ~ s une p e t i t e
queen
tout
ou ]
d6sigue
point
rare
z6 ~-l(y_
l'id6al,
F),
de (Chap.
(cf.
on a i r
inversible
par la pro~ection
t e de l ' a r g u m e n t
dans ~ - l ( y )
traduction
(z I ° ~ , . . . , Z N _ t ° C) e t 9 ( 1 ) N_l(1)
Jr
i m p l i q u e que pour t o u t est
est
ferm6 a n a l y t i ~ u e
2.2)
FcY,
que l ' o n
rare
FcY
nous tel
b j OEyC(X),z E ( ~ ( 1 ) ) z , de E¥ C(X) e n g e n d r 6 p a r
avec l'image
sur ~N-1
l'ima~e
id6aliste
un ferm6 a n a l y t i q u e
pour 1 < j ~ t ,
son p r o d u i t
1.4),
rare
; l e th6or~me de B e r t i n i
par construction,
naturelle I,
I Z a.1 Z.1 ] } I b . 1 2 * r l a i 12 3
I.ilZl I
zEcN-t-[o]
r6ciproque
1
,
dist(£,H)
L'hypoth~se
avec
un s y s t ~ m e de c o o r d o n n O e s s u r
: aN_ t ) ( r e s p . (resp.
na-
des que nous a v o n s c h o i
e t un p t o n g e m e n t X c Y × E N-t c o m p a t i b l e
: b t ; al : ...
donn6es c o r r e s p o n d a n t e s
TX, x •
e t r e m a r q u o n s que E¥C(X) e s t
, o~ t = dim ¥,
s i une r 6 t r a c t i o n
direction)
r6ciproque
On en d 6 d u i t ,
de
p a r une v a r i a n -
a bj • OEvC(X) 6 ~ ( 1 ) ,
et ceci
6tu-
400
di6
au v o i s i n a g e
exposant
1 ; on t r a i t e
(Remarque
:
jacobien
Voici
de ~ - 1 ( 0 ) la
On p e u t
implique condition
remplacer
ou l a m o d i f i c a t i o n
un sch6ma i l l u s trant
la
condition
b)
stricte
l'espace
a)
de W h i t n e y s t r i c t e
comme en 2 . 2 .
conormal
par
l'6clatement
de l ' i d 6 a l
de N a s h . )
la
situation
que
l'hypoth~se
fair
6viter
~~ composante
composante
~ de p e t i t e de - l ( y )
de ~ - l ( y ) image " " o q u e de A p a r ~ y
ey )
•
L'hypoth~se
faite
s'envoyant
tout
Remar~ue tions
:
dans F,
Le l e c t e u r
pourrait
d'incidence il
" ( S 1 , S 2)
satisfait
s o n en e s t
des
les
comme l e
s'6tonner
conditions
de c o m p o s a n t e strict
que n o u s (X,S1,S2,x)
des triplets
qui
~ la Hironaka
6noncer
fassions alors
(S],S2,x)
est :
des r6sultats
une cons6quence
c(x)
Y
de C - I ( Y )
de Y.
de W h i t n e y en xC S 2 C ~ 1 1 "
pouvoir
suivant~
y avoir
ferm~ analytique
de c o n s i d 6 r e r
que nous voulons
singularit6s
ne p e u t
que des q u a d r u p l e t s
suffirait
merit un r ~ l e ,
qu'il
entiere
pr6cede~
tion
implique
avec
porteF
les
que pour puisque
tout
ce q u i
l'assertion
a un s e n s . ou X j o u e
facile
condi-
de l a
La r a i -
effectiver6solu-
401
Proposition voici
:
La c o n d i t i o n ~
: I1 existe
transform~e
tiquement
trivial
en tout
Stratifications
Soient
g~n~ralis~e")
~ soit
point
(X~SI~S2,x),
u : X' ~ X d__£ X t e l l e
non-sin~uliere
localement
de l ' i m a ~ e
(sur
inverse
des conditions
et
que
que ~ue
de x~ e s t
la
le morphisme
(~[(~11)')-1(82))
anal~-
une condition
~ un g e r m e
analytique
analytiques
et
une application
(X,x).
M: O ~ E
d a n s E de l a
On f a i r
analytique
Y- F~E
:
application
il
d~finie
et
~quidi-
("multiplicit~
classe
de l ' a l g e b r e
de c o n s t r u c t i b i l i t ~
X purement
existe
par
r~duites
l'hypothese
r~duit
ferm~ YcX,
l'application
num~riques.
d'alg~bres
MX, x E E l ' i m a g e
d o n n ~ un e s p a c e
uu s o u s - e n s e m b l e que
par
des classes
; on n o t e r a
: brant
tel
n soit
E un e n s e m b l e
OX~ x a s s o c i b e
suivante
Fc¥
par
d~finies
Q l'ensemble
mensionnelles.
locale
des quadruplets
des sin~ularit.~s
d__£ S-~ p a r
induit
sur
stratifiante.
Soit
et
(~)'
~ (S 2)
d'incidence
§ 3.
une r~solution
stricte
(x1(~)')-1($2)
portant
de d i m e n a i o n
un f e r m ~ a n a l y t i q u e
y~Mx~y
soit
d~ rare
localement
cons-
l'hypothese
ci-
tante.
Proposition dessus~ et
Pour
la condition
l'application
S2 ~ E
S 2 au v o i s i n a ~ e
de x "
Preuve
:
condition nel
hors
route sur
~ y~ S2 associe
~ est
une condition
d'un
Corollaire analyti~ue
Etant
X peut
est
du f a i r
et
stratifi6 et
pour
en chaque
localement
point
constante.
~quidimensionnel
localement
ensemble
analytique
de l ' h y p o t h ~ s e
couple
de S~ e t
constante
faite
et
sur
est
~quidimensiDn.
sur
M.
tout
, ou c h a q u e
S
( S a , S ~) t e l
que S ~ c S S~-E
la seconde
est
M comme c i - d e s s u s ~
l'application
eu x
stratifiante...
~videmment satisfaite~
e n X= U S
chaque
est
d'incidence
qu'un
rare~
: "81 e s t
S~y
donn6e une application
ftre
dans X
69uidimensionnel y ~ _M~-est Sa~Y
aussit~t
£erm~ a n a l y t i q u e
:
la Zariski
d'h~r~dit~
satisfaisant
que v o i c i
qui
La c o n d i t i o n r~sulte
(X~S]~S2~x)
M: ~ E
espace
localement ,
d6finie
S
ferm6 est
par
402
Remarques parmi
les
:
t6s,
il
telle
strate
S
chaque soit
comme c e c i
par
bquidimensionnel
en x ,
F.1 e t
les
S i = F i - Fi+ 1 sont
lui
g~nbralis~e
associ~e
soit
( S I ~ S 2)
satisfait
les
localement
tion
num~rique
§ 4.
des
Lemme
:
0
sur
conditions
et
Soient
I1 existe x~M F
de l a
r~sultats
l'une
des i)
que
la
peut
q u e F.j n ' e s t
localement
la
est
la
rare
Chap.
Y).
cherch~e.
de X q u i
l'application
de W h i t n e y
de
d~finition
qu'inversement
c~est-a-dire
pas
cons-
minimale
de x ,
(cf.
c'est-
6.1.5).
stratification et
le
e m b o ~ t ~ s de X
S 2 au v o i s i n a g e
si x~M~l,x
une
descrip-
de ~N.
La s u i t e
transversalit6. T 1 e_! T 2 d e u x s o u s - e s p a c e s
~ ~N/TlnT2
a ) tN/TIGtN/T 2
mod T l ,v mod T 2) = u - v mod(T 1 + T 2 ) .
:
de ce t r a v a i l
de W h i t n e y en x E S 2 ~
b(u
D~finition
pas
:
m~mes p r o p r i ~ -
un f e r m ~ a n a l y t i q u e
de W h i t n e y ,
ou a ( u mod T l n T 1 ) = (u mod T1,
C'est
les
tel
stratification
telle
autres~
[L$-T],
ferm~s
O~ j ~ i
par
comment l ' o n
aussi
nrest
.~X
strates
exacte,
:
j,
hlors
est
Preuve
Voici
de s o u s - e s p a c e s
M: 0 ~ ~
conditions
.
du § I
assur~e
les
ayant
du § 1 ( c f .
une stratification
constante
Stratificatinns
4.1.1
les
que r o u t e s
T
celle
est
(T~)
3 Fi+ 1 est
Un d e s p r i n c i p a u x
est
soit
de s t r a t e s
suite
de x ~ .
l'existence
stratification
ou l ' a p p l i c a t i o n
au v o i s i n a g e
marqub sur
moins fine
F i + 1 = ~xE F i /
Fi
multiplicit~
X dont
construction
une
sur
d'une
autre
la
tante
2)
est
r6union
r~currence
: Fo= X et
a un a v a n t a g e
espace
une qui
en s p ~c ialisant
D~finissons
ici
d'un
en e x i s t e
que pour
chaque
construire
La s i t u a t i o n
stratifications
Corollaire~ a-dire
1)
vectoriels
b • cN/TI+T2
u mod T 2)
e_~_t
clair.
Les deux sous-espaces
deux conditions
On a l ' ~ g a l i t ~
suivantes
T1 +
T2= ~N
vectoriels est
r~alis~e
de ~N s o n t :
transverses
en 0 s i
403
ii) I1
On a d i m ( T I n T 2) = dim T 1 + d i m T 2 - N .
r6sulte
aussit~t
Remarques
: On d i t
l'~galit~
: d i m ( T I + T 2) = dim T 1 + d i m T 2 •
de C 3 s o n t
du Lemme p r 6 c ~ d e n t
parfois
en position
: T1AT 2= (O),
que T1 et
g~n~rale
seule
T2 sont
sans
condition
que ces
deux
"en position
Par
~tre
conditions
de t r a n s v e r s a l i t 6
bquivalentes.
g~n~rale"
exemple,
transverses.
sont
deux
si
droites
a
distinctes
(La condition
raisonnable
l'on
~quivaut
lorsque
dim T 1 + dim T 2 ~ N . )
4.1.2
Lemme
:
Posons
~rassmannienne
des
L'ensemble
couples
ouvert
de Z a r i s k i
Preuve gique
des
: sur
fibres
Soit
dim T 1 ,
sous-espaces
t 2
= dim T 2 ,
vectoriels
EI~G 1× G2).
qui
est
~N ( r e s p .
dense
des
soit
~ue T 1 soit sit
E2~G 2×~N)
L'addition
et
de d i m e n s i o n
( T 1 , T 2) E G 1 x G2 t e l s
de G I × G 2 ,
G1 ( r e s p .
au-dessus
tl=
G1 ( r e s p . t I
(resp.
fibres
t 2)
transverse
1+ t 2~ Net
l'espace
G2)
d_~e ~ N
a T2 est
vide
total
l_~a
un
sinon.
du f i b r ~
donne un morphisme
tautolo-
lin~aire
de
de G I × G 2
E1 × E2
> GI×G2×a;N
G 1 x G2
et
l'ouvert
cherch6
El(X ) ×E2(x ).~N conoyau
soit
du m o r p h i s m e
est
celui
form6
surjectif, des
de Z a r i s k i ,
et
clairement
Corollaire
•
S__~i T 1 e~t T 2 s o n t
il
existe
riels
un nombre rSel
T 1' __et T~ __de ~N t e l
points
x E GI × G 2 t e l s
c'est-~-dire
fibr6s il
des
ci-dessus.
n'est
e> 0 tel
vide
I1
que pour =
t~l '
compl6mentaire
s'agit
que si
transverses,
(~ue dim T!I
le
le
morphisme
du s u p p o r t d'un
du
ouvert
t] + t 2< N .
~tant tout
donc bien
que
donn~s
couple
i = 1 ~ 2 , _e_t
t ~ - t I e__tt t ~ >
de s o u s - e s p a c e s dist
( T 1 , T ~) < ~
t2 , vecto-
404
dist
T~, -e- t
( T 2 , T ~ ) < ~ ~,
En e f f e t ,
si
T'
soient
2
T~DT]
et
transverses.
T~T2,
c'est
6vident
et
on a p p l i q u e
ensuite
le
lemme p r 6 c 6 d e n t .
D6finition et
de
dit
:
dimension
que
X et
X et
pure
dans
Y sont
Y deux
sous-ensembles
un e s p a c e
analytique
transverses
Z e n un p o i n t alors
(XNY)
ou b i e n
d i m z X+ d i m z Y ~ d i m z Z
et
alors
TX, z e t
point
4.2.1
que
X et
Z.
On
=
Z
Ty,z
sont
transverses
Y sont
transverses
Th6oreme
de d i m e n s i o n
(des
localement
fonctions
XN Y e s t
implicites)
ferm6s
si
X et si
non-singulier
de
dimension
L'assertion
est
X et
4.2.2
le
des
sous-espace
locale
ils
sont
transverses
Si
X et
en prenant
Y sont
constructible
en
des
transverses
dans
non-singulier
sous-espaces
analytiques
X N Y d6fini
par
la
dim X + dim Y - di m Z~ X e t
sur
de Z~
Z~ e t
r6sulte
coordonn6es
aussit~t
locales
non sin~uliers
somme d e s Y sont
transverses.
du t h 6 o r e m e
et
des
id6aux
des
fonc-
6quations
locales
et
X=
Y.
Lemme
:
Soit
hun
espace
e_~t Y =
U Y~ d e u x s o u s - e n s e m b l e s ~EB (analyti~oes~ ou sous-analytiques
de W h i t n e y .
Supposons
transverses
darts Z • A l o r s
fication
Z si
ou v i d e .
Y sont
et
implicites
;
un sous-ensemble
dim X+ dim Y - dim Z,
Inversement,
tions
dans
z E Z.
comme c i - d e s s u s ~
pour
connexe
TZ~ z On d i t
est
Z
singuliers
z E Z si
et
Z
non
singulier
Z
Z
Y < dim
non
dim
tout
X+ dim
dans
constructibles
ou b i e n
dans
Z
Soient
de W h i t n e y
que
pour la
de XN Y •
analytique ferm6s dans
tout
non sin~ulier
(anal~tiques~ le
cas
r6el)
ou s o u s - e n s e m b l e munis
~ E A ~et ~ C B~ l e s
d6composition
U (X sEA pEB
soient
de s t r a t i f i c a t i o n s
strates
N Y~)
U X sEA ferm6s
Xa __et X~ s o i e n t
d__eeXN Y e s t
une
strati
405
D@monstration
( d u e a D. C h e n i o t
X ~ Y = X ~ Y~ ; l ' i n c l u s i o n vet
l'inclusion
un v o i s i n a g e
inverse. ouvert
[Ch])
:
Xa ~ Y9 ~ x
M o n t r o n s que l ' o n
n Y9 6 r a n t
S o i t doric z E X n x ~
U de z d a n s Z t e l
a l'@galit@
6vidente~
et supposons
il z~X
suffit
de p r o u -
NX~ .
I1 existe
que UN (Xa AXe) = D e t p a r c o n s 6 q u e n t
( ~ n ~ ) n , : ( x n¥ _(x n¥~))n~=((L_x )n¥]nu)u(~n(Y~-¥9)n,). que Xa N Y ~ , o n
a dim ( L M ~ )
dim (X---a X~) < dim X~ e t implique
encore
dim ( ~ n
(~-
6rant
strictement cherch6e.
Cette
@galit6
dition
dim ( ~ -
¥9) < dim ¥~ ,
: dim (X---a X~) N ~
¥~=
tion
~ dim X + dim ¥ ~ - dim Z. P a r a i l l e u r s
dim ( ~ inf6rieur
implique
de f r o n t i ~ r e
¥9) + dim X ~ - dim Z .
fronti~re
strate
X
et
est
les
la contradic-
Xa N Y~ v b r i f i e
une union
la con-
de s t r a t e s )
: en
l'@galit@ pr@c@dente montre que ceci
d
X , AYe, ~X NYg= X DYB e t
de m~me
C h a c u n de c e s deux t e r m e s
de X n Y p a r
d'une
nous avons
de t r a n s v e r s a l i t 6
~ dim Xa + dim Y ~ - dim Z n o u s o b t e n o n s
e f f e t , si l ' o n a (Xc~, n ¥ 9 , ) N ( ~ ) ~ g ~ , io,li.ne
l'hypothese
= dim (X---a Xa ) + dim Y g - dim Z e t
que l a p a r t i t i o n
(la
et
Or p u i s
donc
l ' i n c l u s i o n cherch@e.
D'apres le th@oreme des f o n c t i o n s i m p l i c i t e s , les Xccn¥~ sont des sousensembles c o n s t r u c t i b l e s non s i n g u l i e r s de Z. tions
de W h i t n e y : s o i t
points
de X N ¥~ t e n d a n t
z E X , N Yg' c X vers
z.
V@rifions maintenant l e s condi-
n Y~ e t s o i t
D'apres
les
(xi)iE ~
hypotheses,
si
une suite
de
Ta = Lim TX ,x i xi, z
e t T~ =x.-zLim Tx~,x i , on a : T ~T xa ' ' z e t T ~ T x B , , z donc Ta et T9 sont t r a n s I v e r s e s dans T ~ ce qui implique par r a i s o n de dimension, au vu de la t r a n s Z~z versalit@,
les
@galit@s
T N T~ = Lim TX ,x i n x . ~z 1 et
donc
Lim TX N Y ~ , x i ~ T x X.~Z 1
Consid~rons fier
maintenant
un v o i s i n a g e
,~Z
une carte
NTy~,
Ty~,x. =
~Z
locale
de z d a n s Z ~ ~ N
1
Lim x . ~z 1
Tx
~, n ¥~ I
de Z a u t o u r
et une r~traction
TX NY~,xi
et
la condition
a).
z
de z p e r m e t t a n t locale
P : Z~X
d'identi, NY~,
406
Si £ = L i m ~i b)
P(xi~,
de W h i t n e y ,
permis
ici,
suites
de
4.2.3 une
ce q u i
et
ach~ve
la
pour
1
faire
Ty~,,z:
Lim T(X ~ Y ~ ) , z
d6monstration.
nous permettrons
(x.)
s6cantes.)
on a £ C T x ~ , ~ z N
encore,
converger
les
(Notons
d'ou
la
condition
que nous nous sonmes
d'extraire
sans
pr6venir
directions
d'espaces
des sous-
tangents
et
de
•
Remar~ue strate
:
dense
L'~galit~
X~N Y~ = X n Y ~ i m p l i q u e
dans X (resp.
¥),
l'intersection
que s i
X° ( r e s p .
X° n gO e s t
une
yO) e s t
strate
dense
dans X n Y •
4.2.4
Lemme
:
Soient
X= Y X
m u n i s de s t r a t i f i c a t i o n s stratification
La d 6 m o n s t r a t i o n
:
singuliers
sont
tions
tangentes
verses. et
1)
g : ¥~Z
espace
On d i t
sont
giY~ : Y ~ Z
soient
de W h i t n e y
produits
fibr6s
de c e s
Lemme
ouvert
de E M c o n t e n a n t
X = xn (K× {0]) O
Soit
la
preuve
K un espace O, X e t X= UX
r6union
les
tout
pour
stratifies couple
U
X × Y~ e s t
produits
fibr6s
est
au p i r e
analyti~ue
stratification
de s t r a t e s ~
et
g:
Y~Z
une
dtespaces
d a n s TZ~
des
z
= g(p2(t)),
sont
prouver
que si
X = UX~
et
(a~)~
fiX
non-
applicatrans-
f : X~ Z
Y = U Y~
: X ~Z
dans un
et
X xY~ forment une stratiZ aussi g6n6raliser a des N o u s ne n o u s
servirons
fastidieuse.
compact
Y deux sous-espaces une
et
images
X x Y • On p e u t Z de m o r p h i s m e s ~ e t c .
nombre fini
Soient
soit
que pour
X~Z
ou z = f ( p l ( t ) )
d'espaces
fibr6
dont
f:
lemmes p r ~ c 6 d e n t s
du p r o d u i t
r6sultats
K×U.
les
t C X × Y, Z
P2(t),
les
4.2.5
du p r o d u i t
et
transverses~
d'un
:
pour
des morphismes
fication
pas
si
pl(t)
Z tel
X~ ¥ =
r6duits
X×Y •
que deux m o r p h i s m e s
utiliser
analyti~ues
un exercice.
transverses
non-singulier
La p a r t i t i o n
du p r o d u i t
est
a fen
On p e u t
Y = Y Y~ d e u x e s p a c e s
de W h i t n e y .
de W h i t n e y
Remar~ues
,
non-singulier,
analyti~ues
ferm6s
de W h i t n e y de X t e l l e supposons
que Y soit
muni
U u_~n r6duits que d'une
407
stratification
Y = UY~
a chaque strate
de l a ~ u e l l e
K× [0} e s t
transverse
dans
K × U. A l o r s 1)
La d 6 c o m p o s i t i o n
une stratification
Y = (W~ ( Y ~ - Y o , ~ ) ) U (C~ Y o , ~ ) '
de W h i t n e y de Y, t e l l e
__°5 Vo, ~ = Y~ N (K× [ 0 } )
que Y = YN (K× [ 0 } ) = UY O
est
soit
O~
r6u-
nion de strates. 2)
__Si' p o u r t o u t
couple
transverses
d a n s K, i l
X n (K×U')
e_~t Y~N ( K × U ' )
verses
(a,~)
existe
tel
~ue X~CXo '
un v o i s i n a ~ e
quelconques
les
strafes
X
U' de 0 d a n s U t e l
de x n ( K × U ' )
__et Yo,~ s o n t
~ue deux s t r a t e s
e_~t YN ( K × U ' )
soient
trans
d a n s K× U' .
D6monstration
:
Tout d'abord, nage ouverts adh6rence trons strate
puisque
rencontre
c o m p a c t on p e u t ~
quitte
que t o u t e s
d a n s Xa N Xo
Yo,~, c Y ~ N ( K ~ ~ 0 } ) , l'hypoth~se
X ~ N Y ~ cAXY e _
~ r6tr6cir
les
strates
U e n un v o i s i de X o n t u n e
Xa e t X~ , monSoit
en e f f e t
On a dim X t g dim Xa e t p a r a i l l e u r s ,
Xa, u n e d'apres
la
N (K× [ 0 } ) = dim Y ~ - N donc p o u r c h a q u e s t r a t e
on a dim X , + dim Y~, ~ dim Xa + dim Y ~ - N< dim K, donc de t r a n s v e r s a l i t 6 ,
nous fournit
X~ A Y ~ N (K× [ O } ) ~ N
P r o u v o n s donc 2 ) .
Xo • E t a n ¢ d o n n 6 e s deux s t r a t e s
d e s Y~, d i m ( ~
d'apres
du Lemme 4 . 2 . 2 .
dim X + dim Y ~ < d i m K+ N, on a X A Y e = J 3 .
contenue
structure
K est
1) r 6 s u l t e
U~ de 0 d a n s U, s u p p o s e r
qui
que s i
L'assertion
X,
N Y~, =J3. Or,
l'inclusion
6vidente
l'inclusion
(K× [O}) n ( ~ N K ×
cede, donc X~ N Y~N (K× [0}) = ~
[0}) q u i est vide d'apres ce q u i pr@-
et par cons@quent il existe un voisinage U~ de
O dans U~ tel que X NY~ n (K×U~) = ~
pour tout couple (~,8) tel que
dim X~ + dim Y~ < dim K+ N, puisque l'ensemble des couples de strates concern@s est
fini.
Supposons maintenant d6montrer. BcX
dim X + dim Y~_> dim K+ N .
S u p p o s o n s donc X a ~ Y ~
NYp form6 d e s p o i n t s
d a n s K x U 2t . ZoEBn
D6montrons par
(K×[O))
et
consid6rons
z en l e s q u e i s 1t absurde
et consid6rons
Si x a n Y ~ = D
, il
le sous-ensemble
Xa e t v~ ne s o n t
X , ~ K × [0} q u i
a rieu analytique
pas transverses
que BN (K× [ 0 ) ) =J3. S o i t
la strate
n'y
en e f f e t
contientZo
et
la stra-
408
te
Y
~,qui
o~
carte
contient
locale
ge o u v e r t
z
. D'apres
o
K×U~(ouvert
V de Zo d a n s
la
de)
condition
E£ ×EN e t
K × U~ t e l
que
a)
de W h i t n e y ,
un nomhre
dist(T X
~tant
donn~e une
¢ > O~ i l e x i s t e
un v o i s i n a
~Tx , z ) < ~ e t
~t~Z O
dist(Tv~ o'~ ' 'zo'TY~'z) a Yo~'
on
strates z° ,
~Y~"
I1
diction
espaces
plus
un c o u p l e
Yoici
petit
des
de l a
4.5
sur
munie
d'une
pour
(Kleiman
Z~X
EK1 1 ] ,
si
p o u r v E U,
le
le
produit
cherch~.
Kleiman,
d'ou
U2 p a r
contra-
un v o i s i n a g e
tout
permet
B associ6
d'une
de c r i e r
vari6t6
du Lemme. N o u s a l l o n s et
la
V de
•
qui
alg~briques
des
z du v o i s i n a g e
B ;~ K × U' = ~ p o u r
particulier~
Theorem)
alg6brique du g r o u p e
par
que pour
indiquer
Soient
integre
les
beau-
alg6brique ~noncer
grandes
e~v tout
6gale
soit
• f(e).
lignes
y 6 F,
(y,x) ~¥ • x.
produit
on n o t e il
alg6brique
irr6ductible)
vari6t6s
Alors, le
et
not6e
entre
point
¥ 6 U,
i" u n g r o u p e
(= r 6 d u i t e
F ; F×X,X
chaque
non-singuliers, '[E×Z X
:
alg6briques
Pour
d6fini
fibr6
point
~ remplacer
au s e n s
~ Y~
de t r a n s v e r s a l i t 6
d a n s TKxU, z
r6sultat
d~ a S.
2.
de d i m e n s i o n
E e_~_t Z s o n t
tout
quitte
on o b t i e n t
deux morphismes
U d_~e F t e l
l'hypoth~se
z ° apFartenant
c o m m o d i t 6 du l e c t e u r .
transitive
ou 6 ~ u i d i m e n s i o n n e l De p l u s
la
6~uidimensionnelles.
dense
et
transverses
m u n i e du m o r p h i s m e E ~ X Zariski
[0] =~
dans un cas
puisque
transverses
ou d e u x s o u s - e n s e m b l e s
E, X u n e v a r i 6 t 6
e~_t g : et
B~K×
un r 6 s u l t a t ,
action
de
que p o u r
sont
maintenant
Th6oreme
duites
TX , z
de 0 d a n s E N
seulement
d6fini
maintenant
Xa , X~ , e t
d6monstration
f : E-K
et
stratifications
r6sultat
z C ×~ N ¥~ N V,
du Lemme 4 . 1 . 2
Ainsi U'
tout
de s t r a t e s
c o u p de s i t u a t i o n s X ont
et
Ty~,z
cherch6e.
encore
le
r6sulte
d a n s K× [ 0 ]
les
< z pour
alg6bri~ues
r6-
~E l a v a r i 6 t 6
existe fibr6
Soient
un o u v e r t vE×Z X
soit
de vide~
a dim E + dim Z - dim X. on p e u t
choisir
non-singulier.
U de t e l l e
fagon
E
~ue
409
Esquisse
de d ~ m o n s t r a t i o n
(y,e) ~¥ • f(e),
et
le
:
Consid~rons
diagramme
le morphisme q : F ×E~X
d~fini
par
:
~ ( g z E )
× Z
h
X z
F
o~ p d 6 s i g n e Tout
la
d'abord,
premiere
puisque
mSme de F × E.
le morphisme induit
est
5quivariant
sur
X, q
-1
r~sultat. donc les
Si
d'apres fibres
strict sont
tout
q-l(x)
de X, e t
existe
et
bquidimensionnels, plat
un ouve rt
q-l(Y)~Y
soit
naturelle
y C F,
plat~ de F s u r
: d'une
E est
transitivement,
non-singulier,
de l i s s i t ~
en e s t
d'apres
V dense
et
part
d'autre
F×E
et
produit
F× E est le
aussit~t
ou F e s t toutes
donn6e
de F
au m o r p h i s m e
X,
d'o~
le
de B e r t i n i - S a r d ) un s o u s - e n s e m b l e
les
fibres
q
-1
(x)
non-singuli~res. puisque est
~quidimensionnel
la
plat
platitude et
est
donc par
de d i m e n s i o n
conserv6e
les
par
propri6t6s
dim q ~ l ( z )
changement de
la
de b a s e ,
que
dimension
+ dim Z ( p o u r
tout
(F×E) × Z X zE Z), c'est-a-
dire
dim q - l ( g ( z ) )
Si
th~o
non-singulier
th6oreme
que
le
dans X tel
isomorphe
yV r e c o u v r e n t
(ou
de
le morphisme q
l'action
est
p o u r x C X - F,
implique
part
les
g6n~rique,
non-singulieres
transitivit~
le
il
de Z a r i s k i
le morphisme q-l(~V) ~Y
F agit
sont la
il
q:
th6or~me
rbduits
le morphisme q est
l'action
de p l u s
morphisme ql
est
que
Puisque
le
On en d ~ d u i t , le
pour
(V)-V.
E sont
g~n6rique
que
donc pour
projection.
l' e t
Montrons
r b m e de p l a t i t u d e
plat
X
de p l u s
singulieres
E est
+ dim Z = dim i ~ E - dim X + dim Z
non-singulier,
puisque
c'est
le
le cas
morphisme ql
pour
q,
est
plat
en p a r t i c u l i e r
et si
~ fibres Zest
aussi
nonnon-
410
singulier, (resp. tout
l'espace
et
(F×E) × Zest X g6n6rique) il
lissit~
¥ E U,
dimension
la
fibre
6gale
h-l(v)
non-singulier. existe
soit
Enfin
un ouvert
ou b i e n
vide,
par
platitude
de Z a r i s k i
ou b i e n
dense
g@n@rique U tel
6quidimensionnelle
de
×Z- dim F (resp. e t de p l u s n o n - s i n g u l i e r e ) . X l'on remarque que h-l(~) =¥E× Z d'une part et que X dim ( F × E ) × Z - dim F = dim E + dim Z - dim X, on v o l t q u e l e t h 6 o r ~ m e e s t X
Voici
4.3.1
a dim (F×E)
sous
quelle
Corollaire
bri~ues
ferm~s
finies
:
des
So~ent
de l a
~ E a __de E
par
dans
G a tousles
D~monstration Z~-G
et
U B tel
l'on q u e vE
~ ~tant
Remar~ue
:
dimensionnel (resp.
Z),
dense
dans ¥ E U,
~ E U,
alors
Enfin
(~E~)nZ~
~ue pour
si si
si
:
une
E et
les
forment
que
n Z
une
est
(par
de Z a r i s k i tout
dense
aE Ale
G soit
trans-
transverse
aux injections
un ouvert
N U ~=U
E
~O
UE~ e t
de F s u r
(resp.
est
transversale.
convient.
Z
) est
~O
de d i m e n s i o n
UZ~ s o n t stratification
des
dense
de d i m e n s i o n
•
@quidimensionnels,
~O
E -*G,
de Z a r i s k i
l'intersection
Z sont
strate
~O
~ E U et
ou n o n - s i n g u l i e r
l'ouvert
de d ~ c o m p o s i t i o n s
Z~.
(a,p)
vide
al~-
non singuliers
un ouvert
pr@c@dent
couple
fini,
tout
(transitive)
signifie
p o u r y E U, yE
En Z . les
et
tel
I1 existe
th~oreme
NZ~ soit
En p a r t i c u l i e r , si
le
G, c e q u i
d6montr6.
de K l e i m a n
de ~N m u n i s
a la Zariski
non-sin~uliers
chaque
en nombre
d-plans
fermSs
naturelle
pour
×Z~ =~E aG
dim E~ + d i m Z ~ - d i m Les ~ et
F= GL(N,¢)
On a p p l i q u e
trouve
G des
de W h i t n e y ) .
l'action
le Th~oreme
Si
U E~ __et Z = U Z~ d e u x s o u s - e n s e m b l e s sEA ~EB
localement
sous-espaces
:
utiliserons
~rassmannienne
al~@bri~ue
lat~
nous
E=
stratifications
U du ~ r o u p e
pour
forme
en sous-ensembles
exemple
que pour
~ENZ dense
est
dans
@qui-
E
dim E + d i m Z - dim G e t
stratifications de W h i t n e y
de W h i t n e y , de ( ~ E ) N Z .
411
§ 5.
Stratifications,
transversalit6,
Nous u t i l i s e r o n s
le
espaces
d'un
phisme
5.1
f : Y-Z,
Etant
non singulier
au s e n s
d6fini
l'existence
que que pour
chaque
i'in6galit6 rare~ est
pas
5.2
analytique
Proposition
et
des
p - l ( B k)
que X et
ferm6
Par
p-l(x)
soit
dans X'.
chacun
par
certains
rapport
X' ~ X e n t r e
espaces~
par
de S a m u e l r e l a t i v e s
sous-
a un m o r -
pest
analytique
exemple
si
pest
p
propre,
ferm6
-1
(p(x'))
de X, e t
d'~clatement,
un
impli-
l'image
un 6 c l a t e m e n t
Ie centre
exemple
( L e - T 2)
F. = { x ' E X ' l d i m × , t
de X. P u i s q u e
dans
[L~-T],
X un s o u s - e s p a c e
rare
mettre
~ i} B
l'on
a
de c e n t r e m a i s ne
lui
6gal.
(d'apr~s
fibres
g6n~rale
sous-ensemble
contenu
X' ~ X un m o r p h i s m e p r o p r e
sion
p:
un s o u s - e n s e m b l e
B1 e s t
n@cessairement
non sin~ulier, p:
le
dim B i ~ dim X' - i .
on a B o = X e t
pour
ci-dessons.
i,
B i = p ( F i ) de c h a q u e F.1 e s t
aussi
Z en p o s i t i o n
de s t r a t i f i c a t i o n s
entier
un s o u s - e n s e m b l e
6clatement.
de K l e i m a n
donn6 un m o r p h i s m e p r o p r e
6clatement,
est
espace
th6or~me
et
5.1.3.2) analyti~ue
tel
q u e X'
constante
Soit
:
des sous-ensembles
soit
une
B.
•
Z un e s p a c e
ferm~ ~uidimensionnel
pour
Z= UZ
Soient
6quidimensionnel x E X - Bk ,
stratification
de i
associ6s
de Z e t
et
o__~u Bk e s t
analyti~ue
~ue
la
rare
de W h i t n e y
dimen-
dans X de Z t e l
a p comme c i - d e s s u s
soient
1
unions de s t r a t e s , a i n s i que chacune des d i f f 6 r e n c e s Bi - Bi+1 .
Soit Hun sous-
espaee non s i n g u l i e r de Z t r a n s v e r s e a chaeune des s t r a t e s Z .
L'ima~e i n v e r s e
p-I(H N X) par p de l ' i n t e r s e c t i o n H n x coincide ensemblistement avee l ' a d b 6 rence dans X' d__ee p-l(H D (X- Bk)) •
D~monstration dimx,
:
I1
p - l ( H N Bk)
est
composantes sultera p
-1
suffit
strictement
irr6ductibles
en e f f e t
de p r o u v e r
que p
-1
qu'en
inf6rieur
non i m m e r g 6 e s (H n Bk)
est
(H n ( X - B k ) ) = p - l ( H n x - H fi Bk)
rare
est
tout
~ la
locales
point
plus en x '
x ' ~ p I ( H n X)~
petite
dans
dimensions
de p - l ( H fi X) : i l
dans p - l ( H n X),
dense
des
donc q u e
p-l(H N X).
Or on a :
des
en r 6 -
412
p - I ( H N Bk ) = j~kU p - l ( H n ( B j - B j + I )) d i m B. g dim p - l ( B k ) - j p u i s q u e 3 transverse est
la
aux strates~
codimension
dimx,p-l(H
chaque x'
dans
de H d a n s
Z et
composante
l'in~galitb
p-l(B k)
finalement fallait
:
Z,
dans
X'
pour
k)
tout
tout
'
([Bbk
3],
in~galit~s
:
pour
Puisque
H est
- j - h~ ou h
x' E p-l(Bk), Or H e s t
§ ~,
No 1,
non immerg~e p
N Bk ) ~ d i m x , p - l ( B
j > k.
h ~ dim p -l(Bk)
j ~ k.
on a 1 ' i n ~ g a l i t ~
Par
-1
d~£ini Prop.
localement 2)
par
on a p o u r
(H n X). de p - l ( H n X) e n 1
ailleurs~
puisque
d i m x , p - l ( B k ) < dim k) - h < dimx,P-l(H
par
hypothese
,X ' c e q u i
N X)i
donne
' ce qu'il
•
Application
:
Reprenons
la
dans
X un sous-espace
Y d6fini
par
long
de Y r e l a t i v e m e n t la
) cp-l(B
locale
5.2
que
ales
N X) i ~ d i m x , X ' - h .
dimx,p-l(H
d~montrer.
d'ou
d'apres
irr~ductible
rare
3
k) - h pour
donc,
dimx,p-l(H
est
p-l(B
l'on
on a d i m ( H n B . ) = d i m B . 3 3
~ Bj) ~ dimx,p-l(B
h ~quations
et
conclusion
situation un id6al
~ un morphisme
de
(Loc.
cir.)
et
F:
la
de
(Chap.
I,
tel
I,
5.1)
ou l ' o n
que X soit
(X,x) ~ (S,s).
proposition
6quimultiple"
Le l e c t e u r
5.1
6clate
ci-dessus
le
v6rifiera impliquent
que Le t r a n s f o r m 6 l_~e X ( s ) =
F-l(s)
l'6clatement
par
num~rique
par
coincide
normalis6
Ainsi, tion
strict
l'6clatement
ensemblistement
o
avec
: X' ~ X
de Y de l a
xo-l(x(s))'
et
fibre
sp6cia-
de m~me p o u r
~.
l'interm~diaire
implique
n
de C h a p .
l'~galit~
d'un
I~ 5 . 1
et
transform~
Chap.
total
et
III,
5.1~
d'un
une
condi-
trausform~
strict.
5.3 5.3.1
R~solution
simultan~e
forte
D~finition
(cf.
[Te
bquidimensionnel~
YcX
un sous-espace
dit
que X admet
un morphisme
~:
22,
et II)
conditions :
Soient et
simultan~e
forte
X' ~ X
r~solution
des
soit
X un espace
OE Y u n p o i n t
une r~solution qui
de W h i t n e y .
le
analytique
non-singulier
long
singularit~s
de Y e n de X,
0 si
r~duit
et
de Y. On il
existe
c'est-~-dire
413
qu e X' e s t
non-singulier~
: X~ - ~ - l ( s i n g
que nest
X)
~*X-
Sing
Le m o r p h i s m e
induit
-l(y)~¥
x' ~ -l(y),
c'est-~-dire
( -l(y),~,)~
qne
( -l(~(x,)),x,
Remarques
:
fiante
en (2.5.1~
Remarque).
5.~.3
Proposition
~quidimensionnel~
X~ m o r p h i s m e est
l'on
1)
C'est
[Te 2],
II)
:
(X°,Y)
systeme ver
satisfait
:
point
locales
x' C ~-1(O)
W l ~ . . . ~ W d _ t p o u r X' e n x ' plongement (~N~o).
L'hypoth~se que
naturel
Oy~ O
encore
que d a n s
envoyant OX' ~x' -1
la
Yi s u r qui
t]
:
en t o u t
point
local
~-l(y),
a affirm~e
X un e s p a c e
simultan6e
anal~tique
forte
de ~ h i t n e y
le ~ng
stricte
simultan6e,
O. D ' a p r b s
strati-
rbduit
de ¥ e~n O~
et
locales 1 <- i ~ t .
on p e u t yl~ I
o . o
(X,O)
dans
forte
implique
l'id6al
trou-
t
Cboisissons
un
t)
sur
de
(~N,O). (crit~re
diff~rentiel
lui-mSme s'6tend, de O
~-l(y),
x,
par
~ c'est-~-dire
Yi ~ on p e u t
6tendre
la
d6rivation
5Yi
de
le morphisme
Oy ~0 ~ 0 X , ' x , = ~[y~ . . . . , y t , w l , - . . , W d _ t } ,
l'id6al
un
~Yt
naturel
respecte
1,
yl~...,yt
(yl,...,yt,zl,...,zN_
pour
d6rivation
soit
le morphisme t
non-
avec exposant
l'hypothese~
de c o o r d o n n 6 e s
~SYi de Oy~ 0 d a n s en une
~¢re
f e r m ~ de X e__~t O~ ¥ un p o i n t
des g~n~rateurs
x,
l'on
des coordonnbes
d6finissant
d~rivation • O
trivial
(Yi o n ) x ' = Yi, p o u r
que
(fl~f2~...~fm)
de r 6 s o l u t i o n
lissit6)
air
en O.
pour Yen
(X~O) c (E ,O) e t
E[yl,...,yt,zl,...,ZN_
l'on
simultan~e a)
un s y s t ~ m e
tel
que
la r~solution
N
local
Soient
stricte
~ : X'-X
de c o o r d o n n ~ e s
en tout
la condition
de W h i t n e y
Soit
localement
analytique
le couple
D6monstration
un i s o m o r p h i s m e
que
Soient
de Y. S i X a d m e t u n e r ~ s o l u t i o n
b)
tel
la condition
Y un s o u s - e s p a c e
la condition
induit
a un ¥ - i s o m o r p h i s m e
sin~ulier
et
et
)×(Y,~(x,)).
5.3.2
(cf.
propre
en une d~rivation
S' = ( ( z I ° ~ ) x ' ' ' ' ' ' ( z N - t
° n ) x ' )OX' ~x'
pour
et
Di de
d~finissant
(Y) d a n s X' e n x ' .
On a d o n c D.(3 ( z i ° X ) x ' ~ S ' ,
1 ~ j g t~
1 g i
Dj Yr' -- 5 j r
(symbole
414 de K r o n e c k e r ) . Puisque
fk est
la r~gle
nul
sur
de L e i b n i z
X~ n o u s a v o n s
N-t I fk, ) Z i=1
,~Z--'~ ° ~
en x'
chaque
v6rifie
f
J1 2
2
,.--,z
i
c
) ° ~
l'id&al
de OK, 0 e n g e n d r ~
,---z i
x' =_
l'hypoth~se,
i=1
ou JX/Y d b s i g n e
par
Zl~...,ZN_
1 idbal
engendr6
par
aucun y n'appara{t
5(fjl'
et
'''''zi
que
(X°,¥)
alors
l'on
t
Remarque
en les
deux int6ressants La c o n d i t i o n
b).
Si
a)
la preuve
(X°~¥)
satisfasse
Le c o n t e n u
Dans le cadre
en examinant ii)
:
les
que si point
° ~)x'
l'on
note
x' E n-l(O)
S :
C S. JX/¥ " ~X',x'
seuls
donc~
a en tout
Dj(zi
mineurs
d'apr~s
jacobiens
(Chap.
I,
au d b n o m i n a -
1.3.6)
les
conditions
de 2 . 2 . 2 .
nouveau
r6sultats
de l ' a r t i c l e
suivants
annon-
[Ve]
de V e r d i e r
consiste
: avec exposant
o~ n o u s sommes~ on p e u t de 2 . 2 . 2
de W h i t n e y s t r i c t e s
•
de W h i t n e y s t r i c t e
satisfait
d a n s ~X~O
c
de l a p r e u v e
5.3.4
on en d 6 d u i t
) OX, 0 E S . J x / Y
2
tion
localis~
)
fjc )
a(yj,zi
i)
compos~ avec ~ et c
° n)x' E S',
Dj(zi
~(fJl'''''fJc) ) ° ~ 1 12 'Zic x'
c~es r~sulte
) ~ x'
,... f. ) ) al ' ac (zi,z i ,---,z i ) ° 2 c x'
aT~,~. ,...
Le f a i t
Sfk ,
+I~Y~"
° ~:)x'
I 8(f.
N-t
d'apres
desquels
i
)
3c
5(Yj,Zi
' Jc
Puisque
teur
Dj(z
:
fJl' ,z i
mineur
• x'
5(~ cons~quent~
d'apres
:
0 = D j ( f k o n) =
Par
d'ou
(fk ° X)x' = 0 dans ~X',x'
s'en
1 implique
convaincre
assez
la
condifacilement
ci-dessus.
la condition
a)
de W h i t n e y
stricte
avec exposant
1,
415
tout
c h a m p de v e c t e u r s
c h a m p de v e c t e u r s point est
de Y u n e localement
V'rugueuse"~ une fasse
strafe la
et
analytique
analytique
condition
r~el
de
int~grable.
condition
Son
sur
X° e t 'v q u i
integration topologique~
stratification a)
sur
"rugosit~
en particulier
d'uns
r~el
de W h i t n e y
de X t e l l e stricte
Y peut
s'~tendre
satisfaisant implique
de X l e qne avec
au v o i s i n a g e
que
donne une
exposant
en un de t o u t
c e c h a m p de v e c t e u r s
trivialisation
long
chaque
localement
locale
de Y~ d ~ s q u e
couple ~.
de s t r a t e s
Y est saris
416
C H A P I TR
E
I V
VARIETES POLAIRES
Introduction. a permis celui
D a n s ce c h a p i t r e ,
de d o n n e r
de v a r i 6 t 6
une caract6risation
polaire
donn6 un r e p r 6 s e n t a nt 6quidimensionnel,
consid6rons lin6aire
plX ° de p ~ l a
partie
g6n6rale"~
analytique
locale,
p: cN
locale
de X a s s o c i 6 e
brique,
parler
de " l a
sur
le
corps
mieux sur sur
de b a s e
le
cd-k+l.
corps Pis
c'est-~-dire tension
des
rendue
local
projections
fix6,
lin6aires ind6pendante
l'algebre
locale
(X,O),
de ce c h a p i t r e
OX
,O ~
invariant est
il
et
le
de l ' e s p a c e polaire
un o u v e r t
critique
p E U,
la
c'est-a-dire
est
note
vari6t6
sera
r6duit
restriction pest
un s o u s - e s p a c e
appel6
"vari6t6
m~me en g 6 o m 6 t r i e
polaire
XcCN
mais
de CN
k de X " , une e x -
N6anmoins,
p o u r un
U de l ' e s p a c e
mo(P k < p > )
un i n v a r i a n t
alg6bre
analytique
Un d e s p r i n c i p a u x analytique
des
de PkKP>
ce n o m b r e ne d 6 p e n d en f a i r
mo(Pk(X,O)).
au
que s u r
dense
multiplicit6
d6finie
lin6aires
d6finie
infini.
pas
fix6,
de c o d i m e n s i o n
n'est
alg6-
k de n'est
des projections g6n6rale
: 6tant
lin6aire
de c o d i m e n s i o n
en f a ir
a chaque
de l a
k ou v i d e ,
:
o~ d = dim X~
projection
de Z a r i s k i
de p l u s
doric d ' a s s o c i e r
la
de W h i t n e y
intuitive
OKkK d-l,
critique
de t r a n s c e n d a n c e
de p E U, e t
l'on
lieu
du p l o n g e m e n t ,
que pour
que
lieu
g6n6rale
que c e t t e
"vari6t6
existe
k,
nouveau qui
analytique
mSme p o u r un p l o n g e m e n t
de d e g r 6
tel
en O s o i t
germe
¢),
ind6pendante
de b a s e
entier
X° de X. Si
polaire
fonctions la
germe d'espace
chaque
concept
conditions
. Comme on l e v o i t ,
en c e c i
(disons
encore~
du c o r p s
plongement
abusif
des
de c o d i m e n s i o n
a p"
vori6t6
principal
une d e s c r i p t i o n
darts X de ce
purement
polaire
est
d'un
non-singuli~re
Pk
voici
Cd-k+],
l'adh6rence
r6duit
(X,O) c ( ¢ N , o ) "
pour
le
num6rique
dont
(X,O) c (~N,o)
une projection
"assez
j'introduis
q u e de du
r6sultats
r6duite
puremen
417
de d i m e n s i o n
dune
"multiplicit~
g6n6ralis6e"
qui
est
M(X~O ) = ( m o ( P o ( X , O ) ) , m o ( P l ( X , O ) ) , . . . , m o ( P d _ l ( X , O ) ) ) d'ailleurs
la multiplicitb
que P (X,O)= o tion
qui
(X,O).
associe
(i~(i+l)
+ ~ (i))o_
l'hypersurface d'ailleurs
le
introduites dans
un plan
souei
de f a i r e
12]
relatives
qui
m'a
associ6es
en g6n6ral
de f~ e t faut
L~ e t
ont
prouver
th6orie~
d'hypersurface
le
dans
plus
un Comportement
sont
premier
aussit~t
de c o n s t r u c t i o n
nombre
terme
des est
la
est
d6finitions
la
isol~e
de N i l n o r
de d i m e n s i o n
d'entiers
construcsuite
de l ' i n t e r s e c t i o n
i passant
par
de
O. C ' e s t
lien
entre
les
vari6t6s
polaires
d'un
[L~-T
1] e t
les
vari6t6s
polaires
introduites
(cf.
[Te 57)
la
f:
X~S.
coliection
bien
plus
transverses
vari6t~s
polaires
polaires
relatives
des vari6t6s
polaires
des
turbulent.
que
les
germe
Ces varibtbs
de " t r a n s v e r s a l i t 6
essentiellement
g6n6raIes
le
a singularit6
~ introduire
que
r6sultats
le
g6n6ral
conduit
bien
les
est
~ un morphisme
affirmant
relatives
moi
r6sulte
de c e g e n r e
ou ~ ( i )
avec
par
[Te
sent
a un germe
suite
dont
de X e n 0 p u i s q u ' i l
Le p a r a d i g m e
la
C'est
dans
dynamique"
lorsque
au noyau
ce contexte
essentieis
dim S < 1,
les
fibres
pour
vari~t~s
des projections
qu'il Ia
polaires
servant
a les
d6finir. La d ~ f i n i t i o n celle
qui
(volt
le Corollaire
§ 1.
D6finitions
1.~
Rappels Soit
1
~f
sur
est
des le
(Chap. tout germe
la
d6crite
plus
ci-dessus
des varibt6s
X-S
point
d'un
d6finir
OE X e t
de f e n O~
d6finition
donn6e
n'est
pas
ci-dessous~
toujours au § I ,
II.
relatives
compl6mentaire 1.2)
la
polaires
polaires.
un morphisme
diff6rentielles
I,
mais
des vari6tfis
1.3.1).
du C h a p i t r e f:
op~ratoire
toute
ferm6
d'espaces soit
analytiques
localement
analytique
la modification installation
rare
libre
d'un
tel
de r a n g
vf:
repr6sentant
que
le module
d= dimX-
F de X. On p e u t
de N a s h r e l a t i v e locale
r6duits
dim S
alors
Nf(X) ~X, assez
et petit
pour du
418
L°/
(x,o)c
f
• ( s , o ) × (¢N,O)
1
(S,O)
on p e u t d ~ c r i r e
la modification
mannienne des d-plans
de ~N, e t s o i t ,
Nf(X) ~ X × G l ' a d h ~ r e n c e direction d~finir
de l ' e s p a c e
de Nash r e l a t i v e
comme c e c i
p o u r un r e p r ~ s e n t a n t
du g r a p h e du m o r p h i s m e X - F - G tangent
en x a l a f i b r e
un m o r p h i s m e de G a u s s r e l a t i f
X(f(x))=
: soit X assez
G la grasspetit,
qui a x E
X-F a s s o c i e
f-lf(x).
On p e u t doric
y f d a n s l e diagramme s u i v a n t
la
:
j>-/ Nf(X) ~
,of
/Pr2 X×G
o
j.4r f
~SxC N
/ ]
s
1.2
Proposition-D6finition
(~)
~,
k, et
Ogks
l'on
~N d ~ f i n i
vectoriels
d, on a p p e l l e
n o t e Ck(~)
:
: (O)CDN-I~DN-2C''"
un d r a p e ~ u de s o u s - e s p a c e s entier
1 (Schubert)
de t N
k-i~me vari~t~
le sous-ensemble
Soit
Nun
cDICDo
entier,
et soit
= ~N
a v e c codim Di = i .
Pour chaque
de S c h u b e r t p r o j e c t i v e
associbe
de l a g r a s s m a n n i e n n e G d e s d - p l a n s
par
Ck(~) = ~TE G/dim(T A D~l_k+l) -> k}
de
419
Pour
tout
vari~t~ Chap.
~,
al~brique I,
pour
1
:
r~duite
2
le
raison
:
¢k(~)
on l ' ~ c r i r a
Pour
Chap.
un drapeau
E ai, I,
§ 5).
(a i = 0 p o u r
liserons
que
les
Proposition
f : (X~O)~ (S,O)
te
un ouvert
codimension
structure
k dans
ii)
L'~galit~ n'est
est
Ck(&)
et
de s o u s -
G (el.
[G.H]~
pas
:
Ck(Dd_k+ 1) = U ~
de n o t r e
2
Etant
:
suite
d'entiers
de Dd_k+ 1 ~ ¢ N ,
a = (al,...,a
C'est
une
sous-varibt~
d)
a i = 1 pour
i ~ k).
Dans cette
vari6t6
l'~pith~te
donn~s
consi-
pour
dense
que pour F)
est
d'un
~erme
et
k~ O ~ k ~
ou de c o d i m e n s i o n
de)
morphisme
Gk d e s
dim S ,
k dans
il
sous-espaces
exisde
:
dans yfl(ck(Dd_k+l))red
pure
ny-l(Ck(Dd_k+l))
n'uti-
un S-plongement
D d _ k + l E Wk on a i t
dense
cons-
nous
d= dimX-
grassmannienne
tout
de c e t t e
"projective".
entier
Wk de l a
(voir
rbdaction,
S non-singulier~
tout
de G,
a a e_~t ~
particulier
un (repr~sentant
avec
algbhrique
associ~e
tr~s
n vfl(x-
vide
de S c h u b e r t un cas
d__~etN t e l
et
~
ce
Nf(X).
= dim v f l ( o ) - k
a lieu
si
l'inter-
vide.
Nous allons une
int~resse
stratification 6gale
que
Ck(Dd_k.l).
une
omettrons
dim(vfl(o)
D6monstration
nous
volontiers
en fair
sont
comme c i - d e s s u s ,
d-k+1
espace
est
i >k,
de Z a r i s k i
dernier
qui
Les Ck(~)
Yfl(ck(Dd_k+l))
section
~ et
vari~t~
(X~O)c (S,O) × (¢N~o)~
i)
de c o d i m e n s i o n
de G n e d ~ p e n d
aussi
~ i J •
appelbe
truction
local
d'une
sous-ensemble
de c o d i m e n s i o n
1.5
muni naturellement
de G, p u r e m e n t
a (~) = [T~ G/dim(TNDd+ai_i)
[G-HI,
est
La s o u s - v a r i ~ t ~
eette
Remarque d~rons
Ck(&)
§ 5).
Remarque et
l'ensemble
en fair
stratification
~ pour
chaque
de S c h u b e r t de W h i t n e y
par
U~.~
~ ek(% -1 . Dd_k+l)en
prouver
un r6sultat
de W h i t n e y 616ment l'action (cf.
utilisant
£ix6e
de
~E I'= GL(N,¢), naturelle
Chap. cette
III~
plus
la vari6t6 l'image
de ~ s u r 2.2~
fois-ci
pr6cis
l'action
de S c h u b e r t
% . Ck(Dd_k+ 1)
G est
Exercice)
: Soient
et
munie
de l a
d'autre
naturelle
part de
420
-1
sur
Gk .
Fixons
une stratification
vfl(o)
et
D'apres
vfl(F)
soit
D~apres
transverse
fix~e
dans Nf(X)
et
contenue
est
donc dense
~ chacune
Puisque
alors
ii)
1.3.1
Remarque
toutes
les
du f a i t
dans
~ assez
~n6ral,
analytique
r~duit,
de c o d i m e n s i o n
le morphisme
sont
s~rement
gularit~s,
1.3.2
Corollaire
:
~ fibres
lisses
et
tion
linbaire
fibre
notera
destin6es
telle
X(f(x)) ~
Pk°
x
l'ensemble
1
un o u v e r t
un r ~ l e
l'action
l a m~me p r e u v e ~ de d ~ f i n i r ,
locale
: v~(y-l(oa(&)). ou v i d e ,
dans
un m o r p h i s m e
x C X-F.
Soit
la restriction
des points
contenue ~ X(f(x))
xC X- F tels
p:
est
F)~ q u i F)
La p r o -
transiti-
O× O× ~ . ~
suite d) e t
un s o u s - e s p a c e
Ces vari6t6s
l'~tude
lisse,
strict polaires
locale
des sin-
c'est-~-dire
¢N ~ ¢ d - k + l
une projec-
Wk .
if(x)]
×
Pour
~N
de l a p r o j e c t i o n
que x s o i t
pour
le transform~
~ l'ouvert dans
valable
chaque
C'est
~ y-l(~ a (~)).
important
en x ,
Gk e s t
a (al,...,a
de X, d o n t
~ue f s o i t
~d-k+l
pour
associ~e
Supposons
non-singulibre
dense
~ Nf(X).
dans G des strates
ici.
point
a la
Dd_k+l)) ~ vfl(x-
de £ s u r
pas besoin
en tout
vfl(o).
~.Ck(Dd_k+l )° ~ vfl(x-
avons
,
dans
•
ensemblistement
~ jouer
des strates
de W h i t n e y
F) - y f l ( c k ( u - l .
permet
Ea.
existe
analytique
avec
par
il
F) e s t
q u e Ker p = Dd_k+ 1 a p p a r t i e n n e
est
: X(f(x))
Z~ c o n t e n u e s
que
2.2.2).
dans s×~N×G
que
polaire
d~finie
6gal
mais nous n'en
plat
la
vest
~ E U, c h a c u n e
et
donc transverse,
vfl(o).
et
d) u n e v a r i ~ t ~
un d r a p e a u
par
tout
telle
4.3),
Dd_k+l)) = S× {N× ek(-1Dd_k+l)
de S c h u b e r t ,
(al,...,a
III,
stratification
~ vfl(x-
La m~me a s s e r t i o n ,
vari~t~s
1.5
Chap.
de l a t r a n s v e r s a l i t ~
Z~ c o n t e n u e s
:
est
III,
(cf.
l'intersection
aussit~t
provenant
la
vfl(x-
de s t r a t e s ,
Chap.
des strates
4.2.5),
dans yfl(ck(g-l.
strates
d'entiers
III,
de N f ( X ) C s × ~ N × G
(cf.
que pour
dans yfl(~.Ck(Dd_k+l))
r~sulte
le point
Z~ •
r~uuion
est
les
tel
) de S × ~N × ~ . C k ( D d _ k + l )
stratification
position
de s t r a t e s
dense VcF
l e Lemme de ( C h a p .
( S × CN × ~ . ~
avec
r6unions
du Th~or~me de K l e i m a n
de Z a r i s k i
O×Ox~.~
ve~
soient
le Corollaire
un o u v e r t
de W h i t n e y N f ( X ) = UZ~
critique
et
x C X-F, l'on
p.
Soit
p o u r ~x "
421
Alors i)
Pk °= vf(yfl(ck(Dd_k+ 1) n vfl(x- F)).
ii)
L'adh~rence Pk~f~p> d~e Pk(f;p~ ° d a n s X est un sous-espace analytique
ferm~ de X, purement de codimension k dans X ou vide, b~al a l'image r~duite vf(Yfl(ck(Dd_k+l))iii)
Le t r a n s f o r m ~
-1 Yf (Ck(Dd_k+l)),
:
si
a dim(Tx(f(x)),
ce immediate
D6finition
muni
d'une
Dd_k+ 1 C C N locale
suffit
de
1.4
la
fermb
On l e
note
de r e m a r q u e r
Etant
polaire
donnbs
du f a i t
donne
que
de c o d i m e n s i o n
Pk
contenu k associ6e
die X, q u i
est
Pk,
absolue,
mais
et
Wk ,
a fet
purement
tous
les
~gal
et est
propre.
polaire
sous-espace
k d a n s X,
s_! S e s t
n'est
analy
ou v i d e .
un point.
On n o t e
pr6sent,
on p a r l e r a
souvent
•
lin6aire
vari6t~
a Dd_k+ 1 l e
on o m e t t r a
cons6quen-
comme c i - d e s s u s ,
un sous-espace
un point,
seulement
vf est
(S,O)
de c o n f u s i o n
S est
si
x
Le r e s t e
de c o d i m e n s i o n
risque
cas,
i).
~
on a p p e l l e
ou Pk((X,O),Dd_k+l)
Lorsqu'aucun
dans
dans
pour
f : (X,O)-
d-k+1
les
on n o -
de v a r i 6 t 6
adjectifs
ou " a b s o l u " .
Premier
dbfini
par
avatar
l'id~al
les
:
Supposons
I = (fl,...,fm)
coordonn~es
en@endr~ par
les
fa~on
jacobiens
1]
~(z
Notons
,...,f.
)
et
[jl,...,jc]C[1,...,N],
de OX, O en@efidr~ p a r
les
seuls
1c
~...,z.
d~terminants
D d _ k + l C Wk e t
dbfini
c = N-d.
31 [il,...,ic]C[1,...,m]
(X,O) c (S,O) × (~N,o)
Soit
q u e Dd_k+ 1 s o i t
d = d i m X - dim S e t
d~terminants
ferm~
de O S , o { Z l , . . . , Z N ] .
de t e l l e
Zd_k+ 1 = O. P o s o n s
le S-plongement
3(f.
l'id~al
vf est
le morphisme
un morphisme
de c o d i m e n s i o n
1.4.1
z I .....
et
critique
ce qui
Pk o__uuP k < D d _ k + l > . L o r s q u e
"relatif"
sissons
que x est
(X,O) c (S,O) × (~N,o),
aussi
aussi
le morphisme
S-installation
de m~me s o n ~ e r m e e n O. ,era
par
x n Dd_k+ 1) ~ k ,
Proposition,
:
relative
tique
de P k ( f ; p >
ensemblistement.
Preuve l'on
I1
strict
choi-
par J
l'id~al
de OX, O
) avec 3c et
notons 3acobiens
Jca qui
sont
tels
422
que
[jl,...,jc
darts X p a r
1 c {d-k+2,...,N].
La v a r i $ t 6
P k ( f ~ D d _ k + 1)
est
d6finie
l'id~al
n < D d _ k + l > = ( J : ~ J < D d _ k + l >)
Remarque
polaire
:
Comme l e
en g 6 n ~ r a l ,
cet
Pk(f;Dd_k+l)
calcul
avatar
dans
le
ne
des
fair
langage
id6aux
guere de
:
[ h f @X,O / h . J c ~ t J < D d _ k + l > J
r4siduels
que
d6crire
(I : J)
est
la vari6tb
assez
impraticable
polaire
l'algebre.
"Le secret de la pens4e solide est dans la d4fiance des langages. Les speculations bien s4par4es des notations sont les plus puissantes." Paul Val4ry. Cahiers
1.4.2
Second avatar
:
Soient
u n h o m o m o r p h i s m e de k - a l g e b r e s mensionnelles. Rest
On s u p p o s e
X.. , •3
corps
k(~kij])
~
~°d_k+ 1
minimaux parmi i) ii)
les
et
locales
extensions
O,k,
posons
r~duites
r~siduelles
sont
et
• : R~ A
completes
~quidi-
triviales
, que
d-1.
ind~.termin~es R = R®K k
~ h
~
.
A .~ e s t P
Consid~rons satisfont
les
les
id~aux
N z. = Z * j=l
posons
On a d o n c
; soit
X.. z. • *3 3
enfin
Notons
Rk l a
des homomorphismes :
premiers
deux conditions
g6om~triquement
L'homomorphisme naturel
et
, A = A®K k
II'~[[Zl,...,Zd_k+l]~.
ceux qui
L'anneau
k,
1 ~ j ~ N des
complete
R ¢~Rd_k+ 1
que
un e n t i e r
Soient
R -algebre
n~thbriennes
z~ro~
et
m o d u l o mr, • A, e t
le
de c a r a c t ~ r i s t i q u e
1 q u e QA/R ® T o t ( A ) e s t l i b r e de r a n g d = d i m A - d i m R . On f i x e A Zl,...,z N d ' ~ 1 6 m e n t s de l ' i d ~ a l m a x i m a l mA de A q u i e n g e n d r e n t mA
r~gulier
un s y s t ~ m e
K
k un c o r p s
p
~
de h
suivantes
qui
sont
:
r6gulier.
( R d _ k + l ) P_ld_k+l(p~ ) --~Ap~ n ' e s t
pas
de h a u t e u r
et
formeiiement
lisse.
Alors tion
ces est
id~aux l'id~al
premiers d~finissant
sont
dans Spec A
k,
en n o m b r e f i n i ~
la vari~t~
polaire
leur
locale
intersec(g~n~rique)
423
associ~e
a • et
§ 2.
Exemples.
2.1
Soit
par Si
le
f:
au c h o i x
~d+l
~ un
plongement
O est
z o = ...
N.
(germe
morpbisme
~d+I~C×C
un point
de f a s s o c i 6 e
de z l , . . . , ~
critique
d*l
le
g~nbral~
de M i l n o r
(k)
dimension
k gbn~ral
2.2
de
Examinons
(absolues) sont
par
dans
si
X est
a singularit6
que
l'on
isol6e
(loc.
cit.)~
pour
Dd_k+ 1 a s s e z
par
par il
v-
polaire
supposer
d)
pk par
de E [ z ° , . - - , z
prouv4
X= f - l ( O )
f(Zo,...,z
d6fini
l'id6al
est
installe
n}
que pour ~gale
avec
au nombre
un plan
de
O.
X= f - l ( o )
:
bZl
les
associ6es
de OX, O
vari6t6s
polaires
a d e s Dd_k+ 1 : e l l e s
:
'bZd_k+ 1 , . . - ,
C d]"
x
e n O, on a
~f 3z~__k+l ~ - . . i
~f ~z d
¢{Zo,...,Zd}/(f)
a l'6galit6
Pkn f-l(o)
Dans
12]
l a mSme s i t u a t i o n ,
,...,
~k =
on e n d 6 d u i t
par
suivants
~k =
et
peut
l'on
e n O de P k < f ; D d _ k + l > e s t
passant
id6aux
vari~t~
de l ' h y p e r s u r f a c e
d'hypersurface
les
l'on
que
engendr6
k-i~me
que
multiplicit~
maintenant,
l'id6al
Dans [Te
l'intersection
du g e r m e
d6finies
~z d
de c d + l
la
analytique,
de gn+ 1 d 6 f i n i
sous-espace
la
par
de f~
Od_k+ 1 ,
5Zd_k+ 1 Dd_k+ 1 a s s e z
d6flni
isol6
au sons-espace
= Zd_ k = O e s t
de)
on a m o n t r ~ g~n~ral,
que
~gale
= Pk(f-l(O);Dd_k+l
la ~ultiplicit~ h (k)
+ (k+l)
>
e n O de P k < X ; D d _ k + l > ~ t a i t , pour
O ~ k ~ d-1.
424
Le d e s s i n r~duite
suivant
de ~ 5
pas
aidera
peut-~tre
n~cessairement
le
lecteur
~ singularit~
~ ici
X est
une
surface
isol~e.
i<x ¢ D2>
Sing
2.5
Cas particulier
f soit
choisir
liere.
Par
jective
par
faire
polaire
des vari~t~s
R.
On p e u t
toutes
polaires
[Pi]
aussi
r~f~cences
: c'est
consulter
historiques.
tout cet
est
lui
est
d~finie le
Xd)E ~d
vari~t~s
~ la Todd des vari~t~s Piene
polaire
si
simplement
excellent
telle
le
le
travail
cas
o~ Y e s t
f par
rapport avec
la
th~orie
Oe P i e n e ,
volt
pro-
a la Pon-
cas
l'on
ou n o t r e
non-singu-
polaire
et
sur
est
La s o u s - v a r i ~ t ~
vari~t~
qu'elle
c~ne
revient
Y est
~ DdE ~ d . On p e u t
contient
projectives~
X,
que
Pl
Son intersection
projectives~
absolues
r~duit
Dd e c d + l
~gale
dans
maintenant
relative
polynSme
T o d d de Y a s s o c i ~ e
locales
droite
appel~e
en po]arisant
les
un cSne
Pk<X~Dd > = P k < f ; D d _ k > N X.
(Xo : . . . :
a la
Supposons
une
la vari~t~
qu'elle
obtenue
:
. Choisir
h Pl sera
g~n~ral
de m~me p o u r
polaires
ce cas
On n o t e r a
l'~quation
vari~t~
vc~d
d 5f Z X i ~-~z. = O~ e t 0 1
dans
~ f.
histori~ue m~ d ~ f i n i s s a n t
Xd) C ~ d e t
correspondant
suffisamment
appel~e
par
(Xo : - . . :
ailleurs,
associ~e
point
r~duite
l'hypersurface
de ~ d
guli~re
rie
dans
de n o t e
h o m o g ~ n e de d e g r ~
projective
un point
contenue
celet
servant
un polyn~me
une vari~t~
X
non sin ~ un
Y sera
bien
que
s~r
la tb~o-
des vari~t~s
a ~t~
d~velopp4e
germe est ou [K1 2]~
un c~ne. pour
des
425
Exercice
:
On s a l t trer
que
que
§ 3.
multiplicit6
est
de l a
X~£ 3 le
6gale
courbe
Th~or~me
sur
duale
Soit
courbe
e n O de X e s t
projective
6gale
courbe
classe de l a v VVc]P 2 •
des vari~t~s
:
une
e n O de l a
~ la
Multiplicit~
5.1
c~ne
la multiplicit6
la
g6n6ral, grb
Soit
au degr~
polaire
courbe
plane
r~duite courbe
V. Mon-
P I < X ; : ) 2 > de X p o u r
D2 a s s e z
projective
de l a
Y c ] P 2.
Y~ c ' e s t - a - d i r e
au d e -
polaires.
f : (X,O) ~ (S,O)
un morphisme
d'espaces
analstiques
comme e n 1 . 5 . i)
Pour
tout
coordonn~es ouvert tel
S-plongement
sur
IN
de Z a r i s k i
que
la multiplicitb
Pour
classe
un param~tre
(X,O) c (S,O) × (~N,O),
entier
Yk c o n t e n u
k,
dans
O~ kg d= dimX-
l'ouvert
m o ( P k < f ~ D d _ k + l >) e n
0 de l a
multiplicit~
de l ' h o m o m o r p h i s m e
D6crivons
Wk de l a
tout
choix
dim S~ i l
de existe
Proposition
varibtb
un
2 (1.3)
polaire
de Dd_k+ 1 ff Yk •
k~ O g k ~ d~ c e t t e
d'isomorphisme
:
tout
ind~pendante
cha~ue
Dbmonstration lea
pour
dense
Pk soit ii)
et
local
d'abord
de p r o j e c t i o n s
une
ne d~pend en fait
d'alg~bres
OS, O ~ O X , 0 a s s o c i ~
construction
~N~d-k+l,
que
: Donnons-nous
que nous
sopposons
une
d6crite
de l a a f •
familpar
N
(~)
pour
zi
lg i ~ d-k+l,
Zl,...~z
N fix6es
= zi + ) " ~i (t)z. + > j=d-k+l J a IA[~
avec Yij(t) sur
~N
et
ci,A(t)
NotooS ~ la
dans
droite
P
d6crit
par
Consid~rons
(~e) e t le
l'identit6
diagramme
~
~N
de A . suivant
t • ~[t],
affine,
me ( o 6 t E ~ )
cd-k+l
c i A(t) '
et
dans
zA
des
coordonn6es
consid~rons
le morphis-
426
S × I P N - 1 × C N × G ×~.
S×¢NxG×~
e × ida,
N~×a
S × (Ed - k + 1 ×t~
Nf(X) ×a
P
X' × ~ .
) X ×/h ¢
e× id~
I
f × idt~
Sxt~
ou V f x i d~ n ' e s t e×id~ dans
est
Notons et
que
l'6clatement
Nf(X) x~
propri6t6
autre
dans
X×~
du s o u s - e s p a c e
universelle dPt(Z)
la modification
de
le
du s o u s - e s p a c e
vfl(o)
×~,
enfin
O×&,
associ@e
e × i d~ e s t
v' × i d~ e s t
a f × i d& ,
l'~clatement
le morphisme
du a l a
l'~clatement.
l'application
consid6rons
de N a s h r e l a t i v e
tangente
sous-espace
£ la
du p r o d u i t
projection cN×G×~
Pt = p~IENx [t) d~fini
au p o i n t
comme c e c i
4¢
P :
I1
est
d6fini
facile
de v o i r
localement
par
{(z,T,t)/
que Pest les
dim(TNKer
un sous-espace
conditions
dPt(z))
.>-k]
analytique
~ al, N
a c , 1 ~. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
, ac, N
rang
< c + d-k+ 5z I
~z 1 , ........................
~z 1
, 5z N
8Zd_k+l 1...
' ~Zd_k+ 1
8Zd_k+ 1 ~**.
de c N × G × ~ ,
:
al, 1 , ........................
5Zd-k÷ 1
ferm6
'
6z N
1
,
ou c = N - d
z,
427
o~ l e s
6quations
Le p o . i n t e s t [Ke]
Za.
sur
les
pour
une stratification
pour
(Loc.
d'apres
le
les
long
strates
de W h i t n e y provient
(cf.
de l a
Chap.
et
analytique
de l a q u e l l e
qui
est
5.2.2).
des
(el. P admet
on a r b s o l a t i o n
doric en p a r t i c u l i e r
L'existence
singularit6s
d'une
explicite
telle
donnbe
cit.). facon
coordonn~es
U . . , 1 ~ i <- n , 13
1-< j ~ p.
[O])
d6fini
par
est
les
g6n6rale,
soit
Consid~rons
U l'espace le
affine
sous-espace
ayant
fermb
de
6quations
non-singulier,
ferm6 non-singulier
: Z U . . X. = 0 13 1
et
son
image Z d a n s U× ]pn-1
de U × ] p n - 1 , d o n t
on c a l c u l e
est
facilement
un s o u s - e s p a c e
que
la
dimension
par
la
premiere
np-p+n-].
Proposition projection est
strate
III,
r~solution
g6n6raux l'espace
de c h a q u e
un peu : d'une
espace
TCC N .
r~sultats
adjacentes,
(E.) 3
vaut
les
D~taillons
U × (C n -
Cet
d6finissent
dbterminantielles,
P=(AP
forte
stratification
que~
varibtbs
une stratification
dans
. z = O (1<_i ~c) 3
maintenant
(§ 3 ) )
simultan~e
1,3
le
(Kempf, est
§ 3)
une r~solution
sous-espace
Dans le
[Ke],
cas
nous
Le m o r p h i s m e Z - U
rationnelle
de U d 6 f i n i
qui
:
par
les
int6resse,
des singularit6s 6quations
lignes
du s y s t e m e
al~
1
d'~quations
Z1
+
.
nou
ou
al,
N
ZN
=
O
.
ac, 1Z 1 + .........
~z I ~z I Z l +
le
lin~aires
• .........
+ a c , N ZN = O
8z 1 + ~ ZN = 0
...........
8Zd_k+ I 8z I ZI + ...
+
de s o n i m a g e ,
exprimant
nous utilisons e
derni~res
induit
5Zd_k+ 1 5z N ZN = 0
que
fair on
: rang(Uij)
que p u i s q u e utiliser
les
qui < p.
la d-k+l
428
pour
exprimer
lin~airement
nous ramener
~ Ocrire
une solution
non t r i v i a l e
loealement lignes
lesc
du s y s t e m e
d-k+l les
par
dernieres,
trois
fibres
la
Enfin,
est
p ),
qui
la varlet6
I1 existe
long
tel
vf× id~
relative
que p o u r
chaque
Ker Po ~ Uk '
des
P
est
c~
envoy~e sub-
La f i b r e
de P a u -
x C k ( K e r po ) comme on
(SxP)
rE/A,
N ( N f ( X ) uL&) ( d a n s
Pk(Ker
des coordonn6es
.....
de Z a r i s k i
des sin-
f e r m 6 de X x/A, que n o u s n o t e r o n s
de X, muni a zl(t)
un o u v e r t
quecN
des sur
simultanOe.
strate
de l ' i n t e r s e c t i o n
analytique
~ partir
d'Oquidimensionalit&
CNuGxL~L&. autre
premieres
une r~solution
chaque
la projection
dOfini
la projection
la rOsolution
P,
n e' s t
lesc
a
Zd_k+l(t)
p ) (1Sx
x{t}
zl(t),...,Zd_k+l(t)
= O.
d e n s e Uk de l a g r a s s m a n n i e n n e
l'espace
Pk(Ker
~
p~e) s o i t
des
~quimultiple
le
de O x ~ •
Preuve telle
:
Choisissons
une stratification
que non seulemen%
que i,
l'image
r6union (muni
par
de s t r a t e s .
vfl(O)
du C h a p i t r e
Cela
fair,
strate
III,
l'ensemble
transverse
e% d ' a u t r e ~ v;l(o},
par
part,
de W h i t n e y N f ( X ) = UZ~
rbunion
choisissons
strate
stratifi~ O'apres
l'ensemble
de s t r a t e s ~
soit
Po de t e l l e transverse
(en rant
d a n s G. D ' a p r e s
SuP
transverse
(Chap. ((7×
III~
5.1),
id~)-l((sxP)
))~
pour il
cha-
soit
f a v o n que C k ( K e r po )
a vfl(O) est
de N f ( X )
mais encore
F.1 = I x ' C N ~ ( X ) / d i m ~ - l ( e ( x '
naturelle
c-a-d.,
S uCN x G x ~ ,
soit
e de l ' e n s e m b l e
de s a s t r a t i f i c a t i o n
stratifi6,
est
par
des strafes
inconnues
1 obtenues par
enest
on v ~ r i f i e
projection)
correspondant
~ue s i
image Pet
et
dans
induit
, et
1PN - ( d - k + l ) - I
CNuGx/~×
de Z 1 , . . . , Z d _ k +
d~finissant
A par
cette
polaire
Lemme
Dd_k+ l C ~ N
droite
de
~NxGu/A
images
P~P,
a la propri~t6
,z N
:
les
un s o u s - e s p a c e
Zd_k+2,...
valeurs
a pour
pour P
P
en N-(d-k+a)
en substituant
du m o r p h i s m e P ~
l'image
S x cN x Gut&) e s t Pk(Ker
les
de Z d _ k + 2 , . . . , Z N
de c ~ q u a t i o n s
obtenues
forme des &quations
de OE/A ( p a r
le volt.
~quations
facteurs,
la
I en fonction
Le s o u s - e s p a c e
•
r~solution
mersivemen% sur dessus
systeme
ci-dessus
On p r e n d
de c e t t e
D'apres
qu'un
muni
premiers
gularit~s.
Zl,...,Zd_k+
qu'ensemble le
lemme 4 . 2 . 5
~ Nf(X) x~ puisque
dans
C k ( K e r po )
NNf(X) Ua)re d est
le
429
transform~
strict
D'apr~s
de ( S × P ) N (Nf(X) x ~ )
le Corollaire
le morphisme ~xid~=
(vfo e)xid~
et nous le noterons p r e u v e de (Chap.
1.3.2,
cet
par l'~clatement ensemble est
du s o u s - e s p a c e
P k ( K e r p )'^ • D ' a p r ~ s
IZI,
5.1),
1 • C'est
transform~
strict
dans Xx~
c'est-~-dire
plicit~
r~sulte
donc a f o r t i o r i
Pk(Ker p~)' par
alors
Pour a c h e v e r
au-dessus
le cas pour
de P k ( K e r p ) p a r l'~clatement
de (Chap.
correspondant
XcsxcN~
XcSxC N',
~ des projections CN e t
EN' ~ t a n t
par
de t r a n s v e r s a l i t ~ ,
et
la
avec (4x id~)-l{Ox~)
de O E ~ a p o u r d i m e n s i o n
l'~clatement
exceptionnel e ×id~
d a n s P k ( K e r p ).
I~ Remarque 5 . 1 . 1 ~
strict
P k ( K e r p~) de X x ~ ,
le diviseur
de 0 × ~
l a p r e u v e du t h ~ o r e m e ,
polaires
analytique
de P k ( K e r p ~ ) ' ~
a pour d i m e n s i o n d+ d i m S - k , e t sa f i b r e d+ d i m S - k -
le transform~
l'hypothese
l'intersection
exid~.
3)).
du
de O x ~ L'~quimulti-
•
on commence p a r c o m p a r e r l e s v a r i ~ t ~ s lin~aires
d a n s deux S - p l o n g e m e n t s
m u n i s de c o o r d o n n ~ e s z 1 , . . . , z
Net
N'
z li ~ . . . , z N , w
respectivement.
En c o n s i d ~ r a n t
p r o u v e r que l e s m u l t i p l i c i t ~ s projections
lin~aires
des vari~t~s
g~n~rales
de ~N e t
p o s a n t que Zl~
°.
peut,
d'un cbangement lin~aire
au p r i x
z. + t z [ ~ 1
.,Zd_k+ 1 d~finit
I ~ i ~ d - k + 1,
~N×c
d~finit
, on s e f a m i n e a u s s i t ~ t
polaires de ~N+N'
une p r o j e c t i o n
de X c o r r e s p o n d a n t
£ des
sur ~d-k+l sont ~gales.
lin~aire
g ~ n ~ r a l e p o u r EN
Supon
de c o o r d o n n ~ e s s u r ~N' s u p p o s e r que
p o u r t ~ O, a s s e z p e t i t ,
une p r o j e c t i o n
lin~aire
1
g~n~rale pour ~N+N' rencontrent
car
~N× {0~ e t
de l a g r a s s m a n n i e n n e .
les
sous-espaces
IO} x ~ N ' I1 s u f f i t
de c o d i m e n s i o n d - k + l
en c o d i m e n s i o n d - k + l alors
d'appliquer
de EN×EN'
f o r m e n t un o u v e r t
qui
dense
l e Lemme ~ l a f a m i l l e
z i = z i + tz~ .
I1 n o u s r e s t e CN, d i s o n s
a ~tudier
zl,...,z
Net
l e c a s de deux s y s t ~ m e s de c o o r d o n n ~ e s d i f f ~ r e n t s z~,...,z~.
Au p r i x
d o n n ~ e s , on p e u t s e r a m e n e r au c a s ou l ' o n
d'un changement lin~aire a une e x p r e s s i o n
dans
de c o o r -
430 A z!t :
et
il
suffit
z i + IA[~2~ C i ' A
d'appliquer
le
pour
tout
t~ 0 donne
sant
les
3.2
Remar%ues
pour
un tres
de l a
m~mes v a r i ~ t b s
:
de r a n g
existe
une modification
Nash est
le
point
sur
cas
ou F = ~ X
plonger
cal
xc~N
ce pour
utilisant de c e s
tout
n'est
que
vari6t6s le
des vari6t6s ment Xcs×~N
d'un que
de [ L ~ - T e ] ,
cette
pour donn6e
donc
Navarro
qu'un
cas
fournis-
air
montrer
locale
que
les
ne d6pefident vole
pour
le moment inutile,
deux raisons mais
O ~ - D X1
de F.
surtout
convenablement
de F e n qu'en
O. On p e u t en chaque
J e me s u i s
parce
que
permet
lom~me, point
abstenu
; un peu pour
raffin6e
tout
du p l o n g e m e n t
multiplicit6s
que
des
n g6n6rale
Le r ~ l e
de
locale
locales
en positio
(al,...,an).
localeme~t
grassmannienne
polaires
de m i s e
B de X, i l
(La modification
la
vari6t6s
libre~
rare
U ×G, les
[Na 21
particulier
un quotient
propri6t6.
ou G e s t
(cf.
localement
analytique
v(F)*(F)
pr6sentation
ci-dessus,
F,
V.
pr6sentation
de S c h u b e r t une
ferm6
cette
l e m~me a r g u m e n t
de d o n n e r
aussi
au m o y e n d ' u n e
d6finir
Th6or~me par
la
de
6viter d6monstra-
de p r o u v e r
:
La c l a s s e polaires
remarqu6
de N a s h n ' e s t
pour
dans
ainsi
symbole
suivant :
telle
On p e u t
locales
g6om6trique
Th6or~me
bres
")
a u x z! ,
donn6 un faisceau
minimale
polaires
une g6n6ralisation
r6sultat
: Etant
v(F)-I(u)
l'argument
d6montrer
le
l
x E X, e n u t i l i s a n t et
(comme l ' a
compl6mentaire
et
z
•
9(F):~.X
de ~M. On p e u t
1.3
tion
le
f s u r X,
O~Iu'FIu'O f-plans
f,
IAI-~
homoth~tiques
la modification
suivante
disons
de r a n g
coordonn~es
En f a i t
bon expos6)~
famille
F c. t [A[~2 *,A
polaires.
1)
construction
libre
des
ci, A E~
(1 ~ i ~ d - k + 1 ) ,
Lemme ~ l a
* zi = zi +
qui
z
d'6quisin~ularit6 projectives
ne d6pend
relatives
que
du t y p e
OS, O - O X , 0 c o r r e s p o n d a n t
~ f .
(au. s e n s
des
g6n6rales
d'isomorphisme
conditions
de W h i t n e y )
associ~es
~ un S-plonge-
de l ' h o m o m o r p h i s m e
d'alg~-
431
et
ce r6sultat
forcer
cadre
tr~s
de r e m p l a c e r
rationnelle)
des
d'6quisingularit6.
dessus
peut
les
~tre
vari6t6s
des
des vari6t6s
essentiellement tifi6s
ce qui
pour
(ou
est
des
prouver
g6n6ralise
concernant la
un r6sultat
pro3ectives
la
que
s'ef-
la
d6monstration
analogue
pour
ciroutes
F.
au C h a p i t r e sont
topologie
pr6sentation
on d o l t
d'6quivalence
r6sultats
coh6rent
de l a
lequel
de c l a s s e
comme on l e v e r r a
sens
selon
probable
faisceau
locales (au
de v u e
par
il
d'un
En f a i t ~
topologique
de cN)~
intersections
locales
polaires
point
num6riques
un peu modifi6e
polaires
le
D'ailleurs
2) cit6s
avec
r6sultats
en th6orie
classe
bien
Vii
les
multipli.
des
invariants
des
sous-ensembles
des (k)
de 2 . 1
de n a t u r e stra-
donn6e
dans
CTe 1 ] -
3.2
Corollaire
de d i m e n s i o n
: d,
h route
on p e u t
al~ebre
associer
anal~ti~ue
une suite
OX, O r 6 d u i t e
locale
ou m ( P k ( X , O ) )
est
(X'O)))
e n 0 de l a v a r i 6 t 6
polaire
projective
O
Pk<(X,O),Dd_k+l> espace
3.3
Remarque
:
Pk(X,O).
Exercice
:
au m o y e n d ' u n
plongement
(X~O) c ( ~ N , o )
dor6navant
de p a r l e r
et
d'un
sous-
~6n~,ral.
Nous nous
(sous-entendu
noter
3.4
calcul6e
Dd_k+ 1 a s s e z
polaire la
la multi~licit6
purement
d'entiers
MX,x = (mo ( P o ( X ' O ) ) ' m o ( P l ( X ' O ) ) ' ' ' ' ' m o ( P d - 1
- -
et
permettrons
"projective
Noter
Soit
g6n6rale')
de c o d i m e n s i o n
que
d'apr~s
1.3,
ii),
Pd(X,O)
est
X la
surface
dans
¢3 d~6quation
de " l a "
vari~t6
k de X e t
m~me de
vide.
x 2 - y 2z= 0 ; montrer
q u e MX,O = ( 2 , 1 ) .
§ 4.
Vari~t6s Voici
polaires
une autre
et
espace
conormal.
cons£ruction
possible
ou l a
modification
de N a s h e s t
forme
locale
construction
de l a
remplac6e des
cycles
des vari6t~s
par
le morphisme
polaires
polaires
projectives~
conormal.
des vari6t6s
Crest
projectives
la
432
qui
permet
Je
d'~tudier
remercie
4.1
J.P.G
supposons
comportement
Henry
Reprenons
et
le
la
et
M. M e r l e
situation
fix~
de c e s
de m ' a v o i r
de 1 . 1 .
un S-plongement
cycles
Soit
f:
Kcs×~N
.
par
dualit6
signal~
X~S
son
(cf.
intbrgt.
un morphisme~
Consid~rons
[Pij).
comme e n 1 . 1 ,
l'espace
conormal
re-
latif ~N-1
~ cf(x)
c x ×
~N-1
x
et
notons
X×
~N-1
4.1.1
~
]~N-1
tout
Uk d e
(kf j o u e
.
la
1) vide
k,
tout
3)
nant
pas
~ lWouvert
~ la
Prop.
sous-espaces
pure
est
la
seconde
projection
de G a u s s . )
2 du § l ,
et
il
un ouvert
existe
projectifs
son Corollaire
1.3.1)
de Z a r i s k i
de d i m e n s i o n
d-k
dense
d_~e ~ N-1
: dense
N-l-d+k
dans
dans
n ~fl(Ld-k))=
de L d - k Wk de
Dd_k+ 1 d a n s
~fl(Ld-k)
et
ce dernier
espace
est
Cf(X) . dim a l l ( o ) -
est la
cN de t o u s
un sous-espace
Prop.
2 du § 1 e t
(nf(xfl(Ld-k))re
:
par
N+l+d-k
a lieu
si
l'inter-
vide.
(~)
Preuve
F)
dim(~fl(o)
points
du m o r p h i s m e
L d - k E Uk on a i t
L'intersection
des
des
hall(X-
L'~alitb n~est
r~le
induit
0 £ k s d = d i m X - dim S,
ou de e o d i m e n s i o n
section
le
~rassmannienne
~fl(Ld-k)
2)
le morphisme
(a comparer
entier
que pour
par
~N-1
Proposition
Pour
tel
Xf:Cf(X)~
Les points
1)
et
2)
peuvent
]es
hyperplans
de c o d i m e n s i o n l'on
a
de ~N r e p r b s e n t ~ s
d-k+1 de ¢ N apparte-
:
d = Pk
Stre
d~montr6s
de f a ~ o n
tout
a fait
:
433
analogue tion
aus
points
de d i m e n s i o n
correspondant
vient
~
Enfin,
(*)
point
TCHE
fibre
de l a P r o p .
points
d a r t s Wk e s t
facilement.
en x ~ la
2)
en position une
d'apr~s
les
x de X - F , X(f(x))
que Ld - k
§ 5.
est
de f p a s s a n t
Transversalit~ :
e__n_n1 . 1 ,
o~ de p l u s
sentant
assez d= dimX-
nienne
Gk d e s
dans
l'ouvert
A) re
des
Soit
f:
S es£
x,
T~HE
hyperplans
on d o l t
Ld-k~
dim S ,
il
sous-espaces Wk d_~e 1 . 4
tel
que~
Dd_k+ 1 e s t
Pk,
ou C ( . o
T M
) d~si~ne
le
c~ne
condition
Tc~N
l'~galit5
l'espace
tangent
l'~quivalence
Dn a et
d'ou
inversement,
l'implication Dd_k+ 1 .
si
inverse
puis-
•
d'espaces
de d i m e n s i o n
au plus
local
1.
(~M,O),
comme
Pour
tout
repr@-
tout
entier
k,
dense
T k de l a
~rassman-
de c o d i m e n s i o n
d-k+1
dans
contenu
tout
transverse
tangent
analytiques
de Z a r i s k i
pour
en ce sens
(X,O)c
que
Dd_k+l C T k ~ e n O,
l'on
e n O, e t
dans
~M
on a i t
EM, a l a
: vari~t~
polai-
a
IDd_k+ 1 N C o ( P k < f ~ D d _ k + l > ) l
--
la
de v ~ r i f i e r
un morphisme
un ouvert
vectoriels et
l'asser-
comme on l e v o i t
prouver
Dd_k+ I ~ H ,
plongement
existe
~d-k
Ld - k
notant
~),
polaires.
non-singulier tout
point
des hyperplans
suffit
contenant
(X~O)~ (S,O)
de f ,
Le s o u s - e s p a c e
relative
par
dans sur
il
que,
= k puisque
des vari~t@s
petit
O~k~
Si
2)
o n a d i m ( T + Dd_k+ 1) ~ N - 1 ,
1'ensemble
Th@oreme
1) e t
le
l'intersection
ouverte
c'est-~-dire
d i m ( T M D d _ k + 1) ~ d + N - d + k - l - N + l
5.1
points
Dans
g~n@rale
condition
L d - k ~ d i m ( T N Dd_k+ 1) ~ k ,
d i m ( T N Dd_k+ 1) ~ k ,
2 du § 1.
de c e q u e Dd_k+ 1 e s t
d-k+l
q u e Dd_k+ 1 s o i t
en tout
1) e t
= ~0]
l'intersection
est
prise
dans
"
,0
B) points
Les directions
limites
non-singuliers
d'icelles
Dd_k+ 1 d a n s
EM~ e n c e s e n s
d i m ( T N Dd_k+ 1) = k - 1 .
en 0 d'espaces contenus
que pour
une
dans telle
tangents
aux fibres
X(~ Dd_k+ 1 s o n t limite
T,
on a
de f e n
transverses
des
434
D~monstration de l ' a u t r e
:
Ces deux r6sultats
: considbrons
le
sont
e
5.1.1
au p a r a g r a p h e
L'assertion
A')
pr6c~dent,
A) ~ q u i v a u t
Les transform6s
manibre
stricts
l'~clatement
a
et
la
posons
Xd_k+ 1
suivante
Pk'de
= (Xn Dd_k+l)re d •
: Pk et
e de 0 d a n s
B')
B) 6 q u i v a u t
a la
X sont
Les transform6s
Xd_k+ 1 p a r
suivante
stricts
la modification
X'd - k + 1
-
Pk'
L'assertion
l'un
~.X
-
Xd_k+ 1 p a r
duaux
)Nf(X)
e
X'
utilis~
gertaine
diagramme
N~(X)
d6ja
d'une
disjoints
N X'd - k + 1
de
:
=
: Xd_k+ 1 de
P k < f ~ D d _ k + l > de P k < f ~ D d _ k + l > e t
de N a s h r e l a t i v e
vf sont
disjoints
:
A P k < f ; D d _ k + l > ~ Xd_k+ 1 =
La v 6 r i f i c a t i o n
de c e s
Traduisons Supposons par
les
z I .....
coordonn6es
A) 6 q u i v a u t Pour
OPk,O est gendrb
maintenant
par
les
tout
entier, les
D'apres
a la
i tel
(Chap.
que
suivante d-k+1<
5.1)~
au v u d e s en termes
de t e l l e
fa~on
d6finitions.
de c o o r d o n n 6 e s . q u e Dd_k+ 1 s o i t
Pk = P k < f ; D d - k + l >" D ' a p r e s
(Chap.
I~
d~fini
5.2)~
:
i ~ M, l ' & 1 6 m e n t l'idbal
de z l , . . . ~ Z d _ k + II,
imm6diate
deux assertions
dans OPk,O , sur images
est
de ~M c h o i s i e s
Zd_k+ 1 = 0 ~ p o s o n s
l'assertion t")
6quivalences
z i • OPk~O i m a g e
(Zl,...,Zd_k+
de z i d a n s
1) . O P k , O de O P k , O e n -
1 •
l'assertion
B) ~ q u i v a u t
a la
suivante~
pour
tou
435
choix
d'un
syst6me
de g 6 n 6 r a t e u r s
d a n s ( S , O ) × (~M,o) B")
l'id6al
d6finissant
entiere
•
les
.,Zic
images des d6terminants
)
{jl,...,jc
d a n s OXd_k+l,O s u r
ces dbterminants
3acobiens
D6montrons maintenant pour
l'id6al
dim S = 1 ; on p e u t
l'id6al
qui sont
n6e l o c a l e Consid6rons
relatif
de r a n g c = M-d
l'idbal sur
{il,...,i
Jo engendr6
tels
:
que l ' o n
c}c{1,..-,M]
d a n s O X d _ k + l , 0 p a r c e u x de air
:
} c {d-k+l,...,"}
le Th6orbme.
Choisissons
d6finissant
supposer
: (~M,O) ~ ( ~ , O ) . par
3acobien
jacobiens
]c{1,...,p],
{i 1 , . . . , i c
n6rateurs
(X,O)
,''',fie)
8(zi1,.
P d6fini
pour
L ' i m a g e J X / S " OXd_k+l,O d a n s OXd_k+l,O de l ' i d 6 a l
3(fj
de f
P
:
JX/S ' engendr6 par
est
(fl,...,f)
un s y s t e m e
( X , O ) c (CM,O).
(X,O) = ( E , O )
Le S - p t o n g e m e n t
(fl,...,fp_l,V-
fl,...,fp_l
Plavons-nous
e t que f : X ~ S
est
d a n s l e c a s ou
la restriction
( X , O ) c ( S , O ) × (CM,O) p e u t
fp)
de C f V , Z l , . . . , z
de g 6 -
alors
M} o~ v e s t
~ X
Stre
une coordon-
(S,O).
l'ouvert
affine
A= Ea de Gk, ou ~ = ( d - k + l ) ( M - d + k - 1 ) ~ d e
nienne
Gk muni d e s c o o r d o n n b e s
espace
analytique
(i)
a3
, 1~ i ~ d-k+1,
f e r m 6 de ¢ × E M × A d 6 f i n i
~ { v , z 1 , . . , . ZM,(a~ i ) }
engendr6
par
ment hff ¢ ~ Z l , . . . , z M ~
la notation
d - k + 2 g j < M, e t
(au voisinage
((fl)a~...,(fp_l)a (h) a d6signe
'v-
l'616ment
de O) p a r
la grassmanle sousl'id6al
de
( f p a) ) 05 p o u r un 6 1 6 (a!i))] de ¢ { Z l , . . . , z M, 3
M
o b t e n u en s u b s t i t u a n t suffit
de p r o u v e r
tique
d e n s e de h.
zi + > ' a (i). z . ~ z. d a n s h~ p o u r j=d-k+2' 3 3 1
que h " )
et B")sont
hppliquons
au m o r p h i s m e Z ~ - - ~ A i n d u i t ~: h-~-~O×O×hcZ.
p o u r ~ E U, n o u s a y o n s l e s tout
entier
~
lg2
en t o u t
l e Th6or~me de B e r t i n i par
I1 existe
r6alis6es
la projection
un o u v e r t
relations
idbaliste
¢×¢Mxh-h,
analytique
de d 6 p e n d a n c e
~ M-d+k-2 e t p o u r un c h o i x
point
fixe
1~i~
d'un ouvert (Chap.
de
II,
I1 analy2.1)
muni de l a s e c t i o n
d e n s e U= A - B intbgrale
d-k+1.
dans h tel
suivantes
que
: pour
436 A= { i £ + l , . , . , i 616ments
}C {1,...,M],
C
de l a
forme
notons
Jh
l'id~al
de 0 Z v ( a
engendr6
par
les
:
~((f.
.•
Zm 1
et
les
) ,....,(f. ) 31 a 3c a Zm£ 8 ( z m , ' . - , Z m z , Z i ,...,z i ) I ,~+I c
.
616ments
de l a
forme
Alors
Z
•
-..
m2
on a ,
Z
_
' (f'3c)a)
{jl,...,j2)c[d-k÷2,...,M},
{kl,...,k~}c{1,...,d-k+l]
3((f. )a,•..,(f. ) ) 31 3c a ( k 1) (k£) b(ajl ,. • • , aj~ , z . i£+I , . . . , z
(*)
Remarquons que
les
que,
puisque
61~ments
pres,
616ments
sur
Z on a v = ( f
engendrant
darts O Z , d ( a ) , s u r int6grale
{ j 2 , . . - , j c ]C { 1 , . . . , p - I }
m£ ~ ( v , z m2 , . . . , Z m , z . l , . . . , z ;1 ) £ ~+1 c
pour
l'id6al
JA e t
groupe.
) pa
par
C'est
C
il
r~sulte
de ( C h a p •
au d 6 n o m i n a t e u r
du g r o u p e q u e JA e s t
ici
E "~5
)
,
ceux
donc supposer (N.B.
• OZ,d(a) i
ou v a p p a r a l t *
engendr6
nous pouvons
du p r e m i e r
]~{1,...,p]
:
3 ( ( v - ( f D )'a ' (.f J 2' ) a ' V
1,...,j
sont
pr6c6dent. engendr6
que n o u s u t i l i s o n s
I,
1•4.5) entiers
A d6pendance par
les
seuls
l'hypothbse
dims ~1)• Supposons les
avoir
l'inclusion
c] c [ 1 , • • . , d - k + 1 ] .
On a a l o r s
identit6s 3((fJl)a''•''(f'3
( ~
: [i2+l,...,i
c)a )
)
(k~) (k 1 ) &(a . ,ziz 31 ' "'" ' a J Z
=
,"•,z i +1
) c
I
z31 . . .
Remarquons supposer Notons
qu'au
prix
que tousles ~
l'id6al
d'un
a (i). 3 engendr~
changement sont par
nuls les
zj£
lin6aire au p o i n t
(a~ i ) ) 3
5(
fJl'
-..,f. 3c
)
~(Zkl'"''Zk£'Zi~+l'"''Zic)
des coordonn6es, ~(a)E
nous
pouvons
Z que nous consid6rons.
d a n s ~O~,z .
437 Sans plus f a i r e l'hypothese que [ i £ + l , . . . , i c] ~ [ 1 , . . . , d - k + l ] , on a la congruence modulo a correspondant a (~e), que nous noterons (~e~e) mod. g , et de m~me on a l e s
congruences b
d ( ( f J l ) a , ' ' ' , ( f j c ) a) ,.
~(zml
,...,z
"'Zmz'~iZ+l
D6montrons
l'assertion
Dd_k+ 1 e s t
d6fini 5 ( f 3. .1.'.
ailleurs,
lations fini
les
Prenant
le cas
si
[il,...,i
Z donnent
que X.
o~ £ = 1,
suivant tout
(a),
et
autre
utilisant
que pour
(~)
tout
f.
les
on a
et
des re-
de ( Z , a ( a ) )
mod. G , i l
j ~ d-k+2,
{il,...,ic}C{l,...,M],
...
vient
tout
d6-
donc,
k~
:
)
616ments
de
) ou [ m , i 2 , . . . , i
que
exemple
d-k+1<
est
entier,
la forme
c]~
ce qui
l'on
dans
OPk,O
I
sur
l'id6al
:
[d-k+2,...,M].
j gM e s t
prouver
air
force
l~m~
en utilisant
c'est-~-dire
Pour
sur
)
tels
par
1 ~mgd-k+l,
(~)
Nous p o u v o n s
choisir
c
616ments
zj OPk,O,
int6grale
n'est
c] m[d-k+2,...,M],
aussit~t,
c]c{d-k+l,...,~]
qui
Jc
2 [i2,...,i
ou
:
G, s o u s - e s p a c e
par
'''''zi
mod G
a
1.4.1
en sous-espace
...,f
zm a(zm,z i
les
= O
31' ' 3c z 3. . ~(Zk~Z i ~-.-,zi ) • ~Pk,O 2 c
Jl'
/
Pk = P k < f ~ D d - k + l > '
Z d _ k + l = O, on a d ' a p r e s
de d 6 p e n d a n c e
particulier
, engendr6
polaire
restriction
pour
L'616ment
a(f
la vari6t6
par
a(f
~Pk,O
(Zm.,...,z ~
int6grale
au vu de l a r e m a r q u e l~k~d-k+l,
) ~
c
~Pk'°
relations
l'id6al
f ) ' Jc ,z. ,...,Zic) m~ ] £ + I
'f3 c )
de d 6 p e n d a n c e
par
i
z 1 ....
a(zil'''''Zic)
Par
"'"
Jl'
h )') : S u r
par
8(f
entier
d-k+l,
{il,...,i
c] ~ {1,...,d-k+1]
{il,...,i
c] = [nl,...,n
utiliser
le criterevaluatif
prenons
et
le crit~re sur
q u e A") e s t
B"),
notre
(il,.
l'id6al r6alis6e
valuatif,
de d 6 p e n d a n c e
~tre
pour
engendr6
par
comme on l e v o l t que chacun
engendr6
On p e u t au p r i x
~
implique,
. .,ic ] c [1,...
= [nl,...,n£].
% , i%+l,...,ic],
id6al
par
les
des
z m • OPk~O ,
a# U . ,M] e t
posons
doric 6 c r i r e d'une
int6grale
permutation. : soit
Nous a l l o n s
de
un,p
o~uonbgsuoa suoT~zosao~ut,
aun ~so
~ - ~ o ~ o a o g q L oI
p soaTe[od
op 6 9 g
--dODUO3 [~ o ~ ]
~gP
9s~Ieagu9 ~ 9~
e #e~insga -d
'~
~o
soqano~ o3
~I
×ne
'u~su~ ([H-9])
"agIos T 9~!aein~uts XaUOH " 9 " d ' ?
"ogIos T 9~taeIn~uTs
°m~a°gq~
"(~'~'I ~303 e o n b T ~ u o p T
°I
"deqD)
°~!Ieagug~
ao~IT~n~
"fl 3 e
anod
oao~ta~ o I s o a d e , p
oOTJ~a9A ~so
~TJ3ns
:
~ed e~u uo,[ o I ~uep o a n o a d
(.fl uo.t~.losse~I
t n b o~
(
~sns~oP-Ta
~Io~
~+ ~ T z ~ U z ' - . -
( 3 ~z'--.'
oun e
~ u o m g I g , [ op o I [ o o
[ U z ) ~ ~a
z
- , .
ta
z =
~ oIe~9
o~!iegpT
ra}
' t+~-Px
~+
soI
~C
'X~+~-Px
"~ a e d ~ueu
on--ffb--S~mo~
onb soad
z '---' ~C" g ) ~
~ r z ' ~u .z. . .
e
~a z)~
.' iu z)~
j)~
Sa
~ae''--'
(rU)
uo
(tu)
oun e
e)~
~)~
ans
TUT~aOfl op o m o a o o q ~ o I
e uo
~C
~uTom ne u o T ~ e n l e a
~+~Tz ~
( ~z'..-'
~C ("J ......
~)~
e!a
.....
az)~
.
eq
onb aoanoad
T+~!z~a ~'''' ( ~C" J ' ' - ' '
~ o i e ~ 9 s u ~ o m ne u o T ~ e n i e ~
3C ( "J ......
....
[C
uo ~o ( ~ )
g+~-p} pica
t + ~ T z ~a z
e so~oidmo3
~o ~ s n T 9
e soo~gansaod~q
(V u o ~ a o ~ e , ~
p u!osoq
~ u T o d u n ~ s o ~ no . n I o ~ q e . s e o
•
°~ z 'jt~enieA
op o [ I o ~
~uop ~o
o z '
~C (.$ ......
onb ~uo!~qo ~Ue~TI~n • {~ . . . . .
( t z .....
D~
D -pom ( ~ )
~uenb~Idde
an~ 0 = r+~-Pz .....
u~
~z o n b s t n d
~az
..
t+~z
( ~z'-.-'
'~mz)~
'~z'--.
( ~ f~ . . . .
~z
t
. . . . .
Z
' ~C' 3 ) ~ owaoj
q uoIou
e Iop
U O T ~ e n I e a op S u o m g t 9 , I o n b u u o u o d d n ~
~ u o m o i 9 ~o I ~ n o ~ ~o
'oae
un
Tmaed oieWTUTm
(O't+~-Px).
(0~)
:q
439
th6orbme 2.7
de J . P . G .
Henry et
duns [U-M],
qui
g~n6ralise
([Te
1],I,
a 2.9).
5.2
Dans l e c a s
5.2.1
Proposition
espace
analytique
non-singulier dense
absolu~
complexe
du
de t r a n s v e r s a l i t 6
Lemme 4 . 1 • 8 de [ L ~ - T e ] )
r6duit
de d i m e n s i o n
W de l ' e s p a c e
I). e s t
- -
on a un r 6 s u l t a t
(Variante
purement
1 de X e t
:
de d i m e n s i o n
OE Y .
I1 existe
plus
d,
pr6cis.
Soient
X c ~ N u_~n
Y un s o u s - e s p a c e
un o u v e r t
de Z a r i s k i
des drapeaux
2~ :
ou
M. M e r l e
(O) c D N 1 c . . . . .
cD2~DICD
-
de c o d i m e n s i o n
i,
tel
que pour
tout
O
~ E W, on a i r
1
[Dd_ k N C y ( P k < ( X , y ) ; D d _ k + l > l
= [0}
(intersection
dans T N
) ,y
en tout
point
Preuve
:
Nous a l l o n s
P : (¢N,o)~ ouvcrt tion.
yE Y- [0]
(Y,O)~
engendr6
par
d'abord
dense
Consid~rons
surjectivement
¥ par
sur
ey (c'est
la
que pour tels
d-l.
route
r~traction
sont
la condition
exceptionnel
le sous-espace annulus
fibre
-
P 1(0)~
eyl(¥) de e y l ( ¥ )
~N-2
Ey(X) cXx
on v o l t
que F
un
de l a P r o p o s i la r~union
qui
par une puissance
le plongement
locale
q u e D 1' = T p ( 1 ) ( O ) , O c o n t i e n t
satisfaisant
du d i v i s e u r
61~ments qui
de c o o r d o n n 6 e s
Oskg
e y : E y ( X ) ~ X de Y d a n s X~ e t
mal my, 0 de Oy 'O ) • C o n s i d ~ r a n t choix
montrer
des drapeaux
l'bclatement
sur
de O, e t
de d r a p e a u x
irr~ductibles
les
proche
l'ensemble
de Z a r i s k i
composantes
assez
sont
d6fini
Fo d e s
envoy6s par
l'id~al
de l ' i d ~ a l
maxi-
d6fini
un
N ([0} ×
par
~N-2)
est
o
de d i m e n s i o n
d-2.
On p e u t
donc choisir
un s o u s - e s p a c e
Dd de c o d i m e n s i o n
d a n s T_I o=D1 e t t e l q u e P r o j Dd n (F N ([O} x ~ N - 2 ) ) = D. S u p p o s o n s p (0), o a v o i r c h o i s i Dd c D d _ 1 c . . . c D i + 1 d a n s D~ de t e l l e fa~on que, notant Fd_ 3 e X x o N - 2 nel
la r6union
de l ' 6 c l a t e m e n t
des composantes
irr6ductibles
Ey P d _ 3 < X ; D 3 + I > - P d _ 3 < X ; D 3 + I >
du d i v i s e u r
d-1
maintenan
exception-
de Y darts l a v a r i ~ t ~
polaire
440
Pd-j
associ~e
Remarquons
a D3÷ 1
,
on a i r
que p u i s q u e
ltinclusion
1 ~ et
Fd_i(O) CFd_i_l(O)
~ d'ou
dim F d _ i ( O ) =
on v o l t
codimension dimension
i-1
i-2
ble
des sous-espaces
est
de d i m e n s i o n
choisir
~
pour
chaque
Pk<X;Dd_k+l>
est
[Le-Te
2~)
yE ¥-
ce qui
et
c~ne normal. Proj
que
que Par
les
notre
exacte
pour et
que P r o j
dans Proj
tout plat
point le
de c S n e s
long
en fair
= {0}.
que
Di+ 1 tel
que
la propri~t~
par
de
l'ensem-
Di+ 1 e t
que
l e m~me a r g u m e n t
de Pk l e
long
proche
cir.)
,0
) laissent invariant ,y s'identifie ~ la fibre
la
Nk(Y) ~ e t
]Ty,y×Dd_k)nCy(Pk)l Finalement
le cSne Nk(Y)
du
Dd_ k N F k ( O ) = D~ d o n c
de O~ m a i s p a r
Fk(Y)= Proj
(cf,
de Y~ on a e n
~ Nk(Y)
Proj
de O~
implique
T N
action
voisin
I
est
de D 1 c o n t e n a n t
de Y, c e q u i
Loc.
nous avons
y C Y- [0},
Di de
Di N F d _ i ( O ) ~
y E Y - [O} a s s e z
(cf.
(dans
cette
de ~
on a
[D 1N C y ( P d _ I ( D 2 ) ) I : [0} .
translations
choix
~ on a
vectoriels
2 ayant
on p e u t
~ C y ( P k < X ; D d _ k + l >)
par
i-1
on a
construction~
D.1 c o n t e n a n t
finalement
i+1 ~ j g d •
~N-2
D~/Di+ 1) a l o r s
un d r a p e a u
on a C y ( P k) = T y ~ y X N k ( Y ) .
IDd_ k n C y ( p k < x ~ D d _ k + l > ) l
tels
le cSne normal
= D pour y assez
nous avons
exacte,
Nk ~ Y
le quotient
IDd_kNNk(Y)[ = [0}, suite
qu'en
~ Ty,y
Dd_ k D F k ( y )
tement~
que
Comme p a r
donc choisir ainsi
pour
F , ( O ) = F . 5 {O] x 3 J
de c o d i m e n s i o n
normalement
[0} u n e s u i t e
signifie
tangent~
tel
fair
en notant
0
D.1
2 ~ i g d~ e t
D2 e t le
tout
de F d _ i ( O )
=~
des sous-espaces
Di+ 1 e t
On c o n s t r u i t
maintenant
que~
l'ensemble
Nous p o u v o n s
D1 c o n t e n a n t
Utilisons
que
~N-2)
dans Pd_i_l<X;Di+2>~
Di÷ 1 n F d _ i ( O ) = ~ .
vectoriels
P r o 3 Di N F d _ i ( O ) = ~ . P r o 3 Di N F d _ i ( O )
Proj
(image
i-1.
contenu
d o n c en p o s a n t
de D~ , c o n t e n a n t
au p l u s
D3 N (Fd_ j n [0} x
Pd_i<X;Di+l > est
Fd_ i c F d _ i _
i-2~
Proj
d6finition cela
donne
= IYI p u i s q u e on a b i e n
de l ' ~ c l a
d'apres
la
441
5.2.2
Corollaire
peau ~ assez
(L~-Teissier,
g6n6ral,
on a
~L~-Te
5.3
:
Appliquer
Revenons
r~me 4 . 1 Soit
au c a s r e l a t i f ~ p o u r
f : (X~O) ~ (S~O)
(X~O) c ( c M ~ o ) FnD i soit
X. c X 1
par
; soit
comme e n 1.1~
par
de n f l ( x i - F ) .
le
de 0 × ~ .
long
interpreter
la
D. un s o u s - e s p a c e 1
vectoriel
de Nash r e l a t i v e de f )
et
un d r a -
le
nf~
B) du T h ~ o -
d o n n ~ un p l o n g e m e n t de c o d i m e n s i o n
et
notons
de Nash r e l a t i v e ~
relatif
transversalit~
que X.1 = (XN D.)~ reQ" s o i t
le graphe
On o b t i e n t
et
morphismes. supposons
la modification
le morphisme conormal
(0~ k g d-l)
et
la modification
(plong~
(X,O)~ (cN,o)
= {0~
£ X×~
de c e r t a i n s
rare dans XnD i et
Consid~rons XcS×EM
la Proposition
comme f i n i t u d e
Pour
:
IDd_ k N P k < ( X , O ) ; D d _ k + l > l
Preuve
:
3)
c'est-a-dire
diagramme
local
i de ~M t e l
de d i m e n s i o n
(pure)
que
d-i .
l'espace conormal relatif de A Xi l e t r a n s f o r m ~ strict de
et ~i
le
transform~
l'adh~rence
strict
par
dans Cf(Xcs×~M)
:
G
J
G.
1
~.-i-i
Cf(X)~,,J~Xi.
s Xir
)
X (
t s
'X i
Cflxi(Xi
442
5.3.1
Proposition
prbc~der
:
chacune
i)
Les conditions
de " p o u r
tout
reprbsentant
On a y f l ( c d _ i + l ( D i ) )
ii)
Le m o r p h i s m e
suivantes
sont
~uivalentes,
suffisamment
petit
si
l'on
fait
de X " .
n Xi = ~ •
de X~ d a n s X i × Gi
ou Gi d ~ s i ~ n e
la ~rassmannienne
des
(d-])-plans de D . , d 6 f i n i p a r x ~ ( x , T f I AT D x ) , s ' ~ t e n d e n un m o r p h i s m e 1 - (f(x)) i' A __de X.1 --darts X.1 ×G'I ' i n d u i t p a r l e m o r p h i s m e n a t u r e l de G - C d _ i _ I(D.)I d a n s Gi qui
a T associe
relatif
T n Di ,
Nf[x.(X')I
et
__de X.1
dont
]'image
d a n s Xi ×G
est
le modifi~
de Nash
"
1
iii) encore
Le m o r p h i s m e est
iv) CM t e l F1, .
un m o r p h i s m e Pour
tout
A
Xi ~ N f [ x . ( x
d~fini
d'un par
syst~me
z i = 0 et
les v)
seuls
mineurs
Pour
Notant Di ,
est
d~fini,
mais
limite
d'un
forme tels
T d'espace
systSme
d a n s OX i , O s u r
que
(zl,...,z
[il,...,iM_
tangents
M)
sur
de ~ n ~ r a t e u r s
X c S × ~M e__nn O,
d~finissant
entier
locales
1' i d 6 a l
l'id~al
en~endr6
d}c [i+l,...,M]-
~ X° e n d e s p o i n t s
de X . - F, 1
= d-i •
1
tiennent
de c e t t e
toute
on a d i m ( T ~ D . ) i')
, z M] de l ' i d ~ a l .. ) ~(Fjl' "'FjM_d 5(zi1 ,...,z.xM_d) est
les
non seulement
de c o o r d o n n ~ e s
z 1 .....
.,F m . E O. s ~.s { z.l ,
par
i)
1
fini.
choix
que D i s o i t
en~endr6 par
precedent
Li - i t e M - 1
on a
l'espace
projectif
form~ des h~perplans
qui
con-
est
l'es-
:
~fl(L i-1) nX i =
ii') pace
Le m o r p h i s m e
des hyperplans
p h i s m e X'I ~X'I ×
de ~ i
de D i ,
~M-l-i
dont
_ ~ 1 (L i - 1 ) qui
~ (x,n)
1'image
est
d a n s X. × associe
~M-l-i
o~
( x , H n Di
Cflx.(Xi)
~M-l-i
, s'6tend
e n un m o r -
.
1
iii')
Le m o r p h i s m e
un m o r p h i s m e
D~monstration
pr~c6dent
non seulement
est
d6fini,
mais encore
est
fini.
:
de l a m o d i f i c a t i o n
i)
et v)
de N a s h .
sont
clairement
D'autre
part
bquivalent
d'apres
ltapplication
T~Tn
la
dbfinition
D~ e s t
pr~cis~ment
443
d~finie
de G - C d _ i + l ( D
i)
d a n s G.1 '
a v o n s vu l ' 6 q u i v a l e n c e
de v )
montrer
puisque
faire~ tive
queii)
~ iii)
nous pouvons Z (Chap. A
(resp.
X.)
II~
et
plonger
1.1.1)
ce qui
iv)
en (Chap.
i'implication
localement
d6finie
comme t r a n s f o r m 6 s
montre
II~
q u e i ) ~* i i ) .
3.1)~
inverse
et
est
il
6vidente.
par FI~...~FM_d~
de X ( r e s p .
Xi )
Pour
calculer
de
ce
complete
et
par
Nous
nous suffit
X dans une intersection
disons
stricts
aussit~t
rela-
Nf(X)
l'~clatement
de
1
l'id~al
jacobien
relatif
s 6 m e n t que J Z / S . de I ' i d ~ a l
OXi,O est
jacobien
Comme Nf(X i ) e s t l'6ciatement
JZ/S
de X 1 .
entier
relatif
sur
JZNDi/S
l'~clatement
Mais l'hypoth~se l'id6al
de i i )
Jz~Di/S
de l ' i n t e r s e c t i o n
complete
relative
ZFID.I "
d a n s X i de J z f ) D i / S • O'Xi,O ~ q u e X i ~ X i e s t
d a n s Xi de J Z / S "
int6grale
pr~ci-
• OXi,O image dans OXi,O
~Xi~O ~ e t
que c e s
deux i d6aux ont
.Jz.QDi/S.OXi,O~.Jz/s. OXi,O e t q u e JZ/S.(~Xi,OCJzNDi/S. (~Xi,O) , l e r ~ s u l t a t c h e r c h 6 e s t d o n n ~ ture
implique
l a mg-~me f e r m e -
(puisque
par
(Chap.
I,
1.3.6). L'~quivalence
de v )
et
i)'
Pour prouver
l'~quivalence
H~HND.
d~finie
est
r6sulte
aussit~t
de i ) '
et
de ~M-1 _ L i - i
de c e q u e n o u s a v o n s vu e n 4 . 1 . 1 .
ii)'~
remarquons
que
dans ~pM-i-i ~ et
il
l'application
nous reste
a prouver
1
queii)'
~ iii)'
~pM-1
: les
Li-1
fermetures
1~ M - l - i
sont
de~ f i b r e s
des espaces
de I a p r o j e c t i o n
projectifs
IP i d o n t L i - 1
est
un
1
hyperplan~
et
si
que
Ia restriction
~i
telle
(puisque
le morphisme Xi--*Cf(X i) de rci a ~ t f l ( o )
q u e lP i 21~f1(O) ~tfl(o)
est
5.5.2 5,3.1
rencontrerait
avec
i)'.
I1 r6sulte sont
de Z a r i s k i
satisfaites, dense
pas
pas
finie~
un s o u s - e n s e m b l e
Li-1
d'apr~s
fini
alg~brique
le
~ cela
done qu'il
f e r m 6 d a n s lP M-1 ~ d o n e a l g 6 b r i q u e )
de c e s o u s - e n s e m b l e contradiction
soit
n'est
n'6tait
et
th6or~me
signifierait
existe
une
de d i m e n s i o n l'adh~rence
fibre ~ 1
d a n s IP i
de B e z o u t ~
d'ou
une
•
du T h 6 o r ~ m e 5 . 1 , lorsque
B) q u e
dim S ~ 1,
de l a g r a s s m a n n i e n n e
les
pour
des plans
conditions tout
de l a P r o p o s i t i o n
D.1 a p p a r t e n a n t
de c o d i m e n s i o n
a un o u v e r t
i de gM .
444
5.4
Vari6t6s
5.4.1
polaires
Reprenons
et
la
sections
situation
planes.
de 1 . 1 ,
(x,o)
avec
(
les
m~mes notations
, (s x ~N,o)
(S,O)
Soit
G un sous-espace o
[XNGJ = (XNG)re d • gents est
aux rare
dim T N G
fibres dans
[XN G],
Cf(X)
et
ou g = dim G
G
~fl(o) N [XN G] 2 sentant
assez
dim ~ - 1 ( 0 ) routes
les
Quoi
il
~f : Cf(X)~X
strict
de ~XN G] p a r
Proposition
Remarquons existe
espace
vectoriel et
~tant
que
dans
points
terme
de g a u c h e
cette
donn~ un tel de G
Sous
o
eas
aX ° (et
on a
relatif
l'adh6rence des
les
hyperplans
pour un reprO,
un point,
G (avec
pas
de X
:
ou S e s t
sgus-espace
~ de c o d i m e n s i o n
hypotheses
~ l'ouvert
d~signe
le
FAG
transversalit6
conormal
par
part
tan-
g= N-l)
seulement
aux
puisque transverses limites
de XN G ) . vectoriel d-k+1
dans
pr~c~dentes,
si
~ l'ouvert
Wk a s s o c i ~
correspondant
pk~G o~ l e
T,
l'ensemble
des hyperplans
tangents
Dd_k+ 1 a p p a r t i e n t
appartient
s'exprime
toujours
d'espaces
:
d'une
c'est-~-dire
c~N-I
d'espace
F'xg :D , c'est-~-dire [XN G] 0 ~fl(vN-g-1) :D
un sous-espace
o
limites que
exprimer
af,
et
limite
l'espace
~N-g-1
~s×~N
aux
une telle
aussi
: soient
a X°en des
en soit,
On p e u t
o
c'est-~-dire
, pour
Soit
G= S × G
transverse
de X N G ,
La t r a n s v e r s a l i t 6
limites
5.4.2
flEXNG],
.
petit.
tangents
qu'il
Dd_k+ l E G
o
.
o
posons
soit
o
part
- FN G).
~N-g-I
< N-l,
d'espaces
d'autre
de g f l ( [ x N G ]
de ~N c o n t e n a n t
que G
des points
de ] a m a n i e r e s u i v a n t e t-xg e t EXN G] l e t r a n s f o r m 6 dans
de ~N,
Supposons
de f e n
= d+g-N,
o
vectoriel
l'adh6rence
associb
= Pk
G
o
~
soit
~N .
de p l u s
en 1.3
le
(Prop.
sous2)
~ f~ on a l ' ~ a l i t ~
G] i D d _ k + l >
,
X d e ( X - F ) N P k < f ; D d _ k + l > ) A G.
:
445
D6monstration
:
D'apr~s
l'hypoth~se
de t r a n s v e r s a l i t 6 ,
en t o u t
point
XC (X- F) n G, v o i s i n de O, on a : T x ( f ( x ) ) , x 1
d6duit d'une p a r t que ~f[[XNG~ e s t localement l i b r e de rang d+g-N en tout point de l ' o u v e r t analytique dense (X- F) NG de [XNG], et d ' a u t r e part ( c f . 5.3, iii)')
que la p r o j e c t i o n ~N-1 _ ~ N - 1 - g . ~ g - I donn6e par H~HNG i n d u i t un o ('X2 morphisme f i n i IX DG~ ~ CfI~XNG~(~X NG]). On a donc le diagramme suivant
:
} ]~N-1 i p N - l - g
•N-I.•
L
p ]pg-1
/ [X n G]
Cf(X) 4 ~tf
o
/ , [xna]
X~
et puisque rant
Dd_k+ 1 e s t
l'ensemble
~N-1
de l ' i m a g e
contenu
contiennent
(*)
D'apr~s
r6ciproque
Dd_k~ 1 •
hypotheses,
morphe puisqu'il
induit
r~ciproque
est
partout
sur3ectif.
De p l u s
les
r6sultat.
du t e r m e e n t r e •
Ld-kc]pN-1
de ~N c o n t e n a n t
Dd_k+ 1 e s t
la projection
~- de c e n t r e
par
Ld-k-N-gc~
g-1
repr6sentant
repr6sen-
la fermeture ]pN-l-g
les
dans
donn6e
hyperplans
de G o
= V - a [ C f I [ x N G ] ( E X N G ] ) Nhf~rX~G~(Ld-k-N+g)~,L ,L J
le morphisme
b' e s t
un i s o m o r p h i s m e
fini
hypotheses
crochets
(cf.
au-dessus
d e n s e d a n s EXN G] ( r e s p .
du t e r m e de g a u c h e de ( * ) e s t r6duite
le sous-espace
On a donc l ' 6 g a l i t 6
[XNG] n K f l ( L d - k )
les
d a n s Go '
des hyperplans
p a r Hb*ttNG du s o B s - e s p a c e qui
CfI[XnG3([ xnG)]
impliquent
est
il
est
bim6ro-
de [XN G] - F A G d o n t l ' i m a g e Cf[EXNG~([XNG])),
(cf^ Pk < f ; D d - k + l > N G a droite
5.3.1),
4.l.1) ,
donc i l
que l ' i m a g e tandis
r6duite
que l ' i m a g e
Pk,
est
d'ou
le
446
5.4.3
Corollaire
sin~ulier tel
Pla~ons-nous
de d i m e n s i o n
que
~ 1 et
flY : (Y,O) ~ (S,O)
supposons Ty(o),o
que
l'espace
contienne
e_~n 0 a u x d-t
:
limites
• I1
soit
soit
(X,O)
dense
tangents
de Z a r i s k i
de 5 . 1 .
Posons
Y form6
aux fibres
dense
de
Supposons
un sous-espace
S non-
non-sin~ulier
t = dim Y - d i m S, e t
des h~perpians
de Z a r i s k i
un ouvert
situation
submersion.
~M-l-t
en 0 d'espaces
existe
la
(Y,O)c
une
pro3ectif
un ouvert
dans
de E M ~ u i
d'hyperplans de f .
Soit
contiennent transverses
k un entier
l'espace
[(Dd_k+ 1 , Ho)[Dd_k+ 1CHo ] ~ Gk×~M-l-t
tel
que,
pour
en posant
(Dd_k+ 1 , Ho)
H= S × H
appartenant
~ cet
ouvert
de Z a r i s k i
dense
on a i t ,
, 0
<
^
a)
(Pk
b)
mo (P k < f ; D d - k + 1 > ~ H )
ou m - -
O
f;Dd-k+l>n
d6si~ne
S_~i dim S = 1,
la
H ) r e d = P k < f ] [ X n HI ; D d _ k + l > = mo ( P k < f ; D d - k + l >)
multiplicit6
ce nombre est
= mo P k < f [ [ X N H ] ; D d _ k + I > )
~ l'ori~ine. 6~al
au n o m b r e
d'intersection
(Pk,Dd_k+l)
en O. D6monstration deux projections
:
Nous reprenons naturelles
les
notations
du § 1.
L'espace
Iy
est
muni
de
:
Iy
/ Gk
La p r o j e c t i o n
P2 e n f a i t
irr6ductible.
Puisqae
dim(Dd_k+ 1+ T¥(o),O) des
Dd_k+ 1 t e l s
la multiplicit6 et
5.1
soient
un fibr6
k~ d-t, ~ M-1.
Soit
la
en grassmanniennes projection WcG k le
q u e Dd_k+ 1C Wk , q u e d'une v6rifi6es.
vari6t6
polaire
Pl
est
g6n6rique,
~M-l-t
surjective,
constructible
la multiplieit6
Le s o u s - e n s e m b l e
sur
, donc Iy
est
car
de Z a r i s k i
dense
form6
e n O de P k < f ; D d _ k + l > s o i t et
que
les
conditions
p~l(w) CIy
est
constructible
de 1 . 3 dense,
447
et rencontre ailleurs~ ouverts
p21(V) s e l o n un s o u s - e n s e m b l e
Wk ( c f .
1.3)
e t Tk ( c f .
de Z a r i s k i
sont construits~ de Z a r i s k i
on v ~ r i f i e
e t 5.1~
associ~s
contient
l'assertion
imm6diate et
d'apr~s
un o u v e r t
apprtiennent
est~
d'apres
aux 1.5.1
l a m a n i ~ r e d o n t Wk e t Tk
5.1 et
de Z a r i s k i
d e n s e W' de I y .
de p l l ( W ) NW' a r o u t e s
a) r ~ s u l t e
la seconde r~sulte
d'apres
a f[~XnH]
Par
r a p i d e m e n t que l a r ~ u n i o n p o u r HoE V de c e s o u v e r t s
A) l ' i n t ~ r i e u r
demand~es ; en e f f e t
En e f f e t
5.1)
d e n s e de p21(Ho) ~ e t
d e n s e s d e s p21(H)
D'apr~s 5.4.2
Wk.
d e n s e de I ¥ .
p o u r c h a q u e HE V~ l W e n s e m b l e d e s Dd_k+ 1CH ° qui
un o u v e r t
b) e s t
constructible
(Chap.
de 5 . 4 . 2 ~
la premiere
de l a p r e m i e r e
I~ 5 . 2 )
les propri~t~s
et
~galit~
de l a d ~ f i n i t i o n
de de
puisque Dd_k+]est transverse
Co(Pk et
£ C o ( P k < f i [ x n H ] i D d _ k + l >)
fN i n d u i t
a n n e a u x l o c a u x de Pk e t P k < f [ [ X N H ] ; D d _ k + l > d e s
dans les
i d ~ a u x a y a n t m~me f e r m e t u r e m~me m u l t i p l i c i t ~ Dd_k+ 1 s o n t leur 5.4.4
(Chap.
int~grale
I~ 4 . 1 ) .
l'id6al
que l ' i d ~ a l
91 d 6 f i n i s s a n t
maximal~
(cf.
Dd_k+ 1 d a n s
5.1~
E n f i n d a n s l e c a s oh d i m S = 1~ P k < f ; D d _ k + l > e t
de d i m e n s i o n c o m p l 6 m e n t a i r e d a n s EM~ ne s e c o u p e n t q u ' e n
nombre d ' i n t e r s e c t i o n Remarques
:
1)
est
M ~) donc
cette
multiplicitb
d'apr~s
Si F N P k < f ~ D d _ k + l >N G e s t
rare
[0]
et
~Se] .
darts P k < f ; D d _ k + l >NG~
A
on a l * 6 g a l i t ~ 2)
PkN G= ( P k < f ; O d _ k + l > N G ) r e d •
Dans l a s i t u a t i o n
[XNH] e s t
de 5 . 4 . 3 ~
l e ~ r a p h e de f l [ X N H o ] ,
X 6rant
plong~ dans ~×¢M par
donc [xnn~ ~ X N H o] e t
l e g r a p h e de f~
de mSme
P k < f ; D d ; - - k+l >N H ~ P k < f ; D d - k+l > ~H 0 • 5.5 5.5.1
Vari~t~s
polaires
Proposition
et pro~ections.
(g~n~ralisant
[L~-Te]~
f : (X~O) ~ (S~O) un m o r p h i s m e comme en l . a muni d ' u n S - p l o n ~ e m e n t ( X , O ) c ( s × ¢ N , o ) .
4.2.1~
i)
et 4 2.5)
avec S non-sin~ulier On s u p p o s e que t o u t e s
sont r6duites
e t p u r e m e n t de d i m e n s i o n d . I1 e x i s t e
un o u v e r t
U de l ' e s p a c e
des ~roOcctinns
tel
O e c t i o n p ~ U, on a i r i)
fini
p : ~N~d+l
e n c o r e p l__aa S - p r o j e c t i o n ,
,
Le ~erme image (X 1 O) = (p(X)~O) e s t
dont toutes est
~ ennotant
lin6aires
les
fibres
sont r6duites
et bim6romorphe. Notons fl
la restriction
Soit
de d i m e n s i o n g 1 les
fibres
de Z a r i s k i
que~ p o u r r o u t e id Sx p
une h ~ p e r s u r f a c e
de d i m e n s i o n d~ e t
:
de f dense pro-
.
de S ×
~d+l
le morphisme p: X-X
a X1 de l a p r o j e c t i o n
1
448
S ×cd+I-~s
.
ii)
I1 existe
sous-espaces
un ouvert
de c o d i m e n s i o n
de Z a r i s k i d-k+1
dense
d__ee C d + l
tel
(p(Pk(f;p-l((D1)d_k+l>))re
et
ces
deux vari6t6s
plicit~
d'une
Preuve
:
be e t
vari6t~
Donnons-la
analogue.
Prouvons
polaires
i)
~6n6rale
dans
cas
la
existe
le
qE U
pour
preuve
un o u v e r t
~rassmannienne
des
( D 1 ) d _ k + l E W1, k on a i r :
d = Pk(fl;(D1)d_k+l>
(cf.
5.1)
en O, e t
de X e t
ou S e s t
un p o i n t .
de
(Loc.
cit.).
U
de p r o j e c t i o n s
. . . . . . . . . . .
si
que,
l a mSme m u l t i p l i c i t 6
~olaire
On s u i t
: I1
ont
W1, k de l a
ont
la
multi-
X1 r e s p e c t i v e m e n t .
Le c a s
ou S e s t
lin~aires
q:
~N
une
~
~d
cour-
tel
que
o
, la
restriction
de q ~ ( X , O )
soit
un m orphis m e
fini
(mise
en p o s i t i o n
o
d'un
germe).
V de
(X,O)
lytique
D'apr~s et
rare
(~d,o), F lcV
Soit
gE V- F 1 .
res
z de E N s u r
v6rifie
sans
le
•
que q i n d u i s e
existe tel
peine
que
un te l
projection
analytique cette
dense
image,
utilis~,
est
intersection nion
-
mension
~d+l
[Te
par
p
de CN ( r e s p .
form~ des couples
tels
par
bien
: q
un f e r m 6 a n a -
( Y - F 1) ~ V -
NX s o i t tels
que
faut et
qui
la
fini
et
rare
de V .
Z le
que
W1 l e
(Dl~-k+l
que
d~ja dans une est
r6u-
Le m o r -
i).
des sous-espaces
sous-espace
soit
prouve
une hypersurface]. d'ou
Pour
de l ' o u v e r t
que p(X)
bim~romorphe,
On
restriction
localement
remarquer
est
lin6ai-
de p r o f o n d e u r
plonger
F1 .
injective.
un i s o m o r p h i s m e
grassmannienne
Soit
tels
-1
X et
des projections
un a rgum e nt
1'argument
q u e Ker P C D d _ k + 1 e t
((D1)d_k+l~p)
yEV
existe
s o n i m a g e X1 d a n s ~ d + l ~ ce q u i
61 ) l a
~d+l).
il
lisse
induit
de p ( Z ) ,
est
des repr6sentants
un f e r m 6 a n a l y t i q u e
§ 5 : il
Z~ a p p l i q u e r
: ~Jotons G ( r e s p .
( D d _ k + l , p)
5],
irr~ductibles
X - X1 i n d u i t
d-k+1
p = (q~z) : ~N
Ecf.
complete
[ ~ 2 ~ _ ~
est
sur
et
de z a q - l ( y )
F2 des points
une hypersurface
r6duite
fini
de l ' e s p a c e
injective
q - l ( F 1U F 2)
est
de c o m p o s a n t e s
phisme x:
ples
qui
X
pas
est
dense
restriction
l'ensemble
NX ne s o i t
la
la
X.V
pour
un morph is m e
un o u v e r t
que
de z ~ q - l ( y ) z~
de B e r t i n i - S a r d ,
le morphisme q:
tel
I1
th6or~me
de c o d i -
de G × U f o r m 6 d e s c o u -
sous-ensemble
eppertienne
de GI × U
a l'ouvert
Wk de
449
1.3 et
que Pk<(P(X),O);(D1)d_k+l>
gGnGrale
de ( p ( X ) ~ O ) .
s e d a n s G× U p a r
ait
On p r o u v e
un a r g u m e n t
ha m u l t i p l i c i t 6
d'une
que ce sous-ensemble
semblable
~ celui
est
utilis6
variGt6
polaire
constructible
en 5.4.3.
et
On a l e
dendia-
gramme
G×U
(1 Z
WI~ G 1 × U
G
o~ h e s t
induit
On r e m a r q u e la
la seconde
que p r 2 e s t
topologie
To~G×
par
D'apr~s
G×U~U,
et
alg~brique,
5.2.2,
il
est
d'image
dense.
donc un m o r p h i s m e
existe
un o u v e r t
ouvert
de Z a r i s k i transverse
Co(Pk<(X,O);Dd_k+l>).
Soit
que pour
Dd_k+ 1E V,
polaire
tion est
la variGt6
Consid~rons
enfin
la
de Nash de X ; e t la grassmannienne
P : CN mension
~d+l
Kleiman,
Chap.
III,
des
Pour
l'intGrieur cela,
il
U
O
suffit
de Z a r i s k i
Pk<(X~O);Dd_k+l > air
construction
dans £N
de S c h u b e r t
Soit
R l'ouvert
4.3)
de G × U soit
Z(p)=
de m o n t r e r
Soit
toute
(dense
v : N(X) ~ X
gGnG-
la modifica-
projection
linbaire
T)~I~
grace
est
de c o d i -
au t h G o r ~ m e de
(Dd_k+l, p)
tel
que
2 dans v_l(ck ( Dd_k+l)).
de c o d i m e n s i o n
que si
multiplicit6
~TE G d / d i m ( K e r p n
form6 des couples
dense
tel
de G a u s s y : N ( X ) ~ G d ~ ou Gd
Pour
de Z a r i s k i
du c o n s t r u c t i b l e
dense en Ola
suivante.
le morphisme
d-plans
Y- 1 ( Z ( P ) ) ~ ¥ - l ( C k ( D d _ k + l ) ) que
ouvert
considGrons
la variGt6
2 d a n s Gd .
YcGun
pour
dense
( D d _ k + l , p) ~ T o ~ l e n o y a u K e r p de p s o i t
rale.
que pour
G1
projection
une fibration
de Z a r i s k i .
U tel
U
h(W 1) A ( P r 2 ( Y ) N T n R ) )
Montrons
convient.
O
p E U ~ on a O
P((Pk<(X~O)~Dd_k+l>)red Dd_k÷l~Ker D'apres
la
p,
) = Pk<(X1,O)~Pl(Dd_k+l)~.
donc P(Dd_k+l) = (D1)d_k+ l est
d~finition
des variGt~s
P k < ( X ~ O ) ; P ( D d _ k + I )> N X~ e s t section
nVest
PE Pr2(Prll(Y)) irrbductibles
pas vide,
il
dense
(Rappelons-nous
de c o d i m c n s i o n
polaires
locales,
et
d-k+l
le
fair
dans Pk<(X1,O)~P(Dd_k+l)>.
rGsulte
aussit~t
de 1 . 3 . 1
que ~-l(Pk<(X1,O):,P(Dd_k+l)> de P k < ( X ~ O ) ; D d _ k + l > .
Montrons
) est
et
r~union
qu'en
flit
que dans ~d+l
que p C h(W 1)
Si cette
du f a i t
inter-
que
de c o m p o s a n t e s
)
450
il
y a ~galtt~.
n'est
pas
Si
dans
et
de P e n
chaque
L'image
par
(P)
une
composante
~-l(Pk<(X~O);P(Dd_k+l))
pE Pr2(Prll(Y))
Si
Pest
puisque
point
p de TX, x e s t
rencontre
X est
Xl~° ~ ( P )
est
une
en tout
duquel
limite
il
k de X 1 ,
existe
une
, o~ V l : N ( X 1 ) ~ d
exister~
et
l'on
l'assertion est
1.~
serv~e
par
les
:
1)
comme l ' o n t
montr~
L'assertion
2) qu~e~
J.P.G.
dans
le
Henry
et
dim S ~ 2~ p a r
le
lieu
Chap.
et
I,
de X 1 , e t
un
o ~ X1 t e l l e
que
de d i m e n s i o n
d-k
de G a u s s ,
telle
et
composante
la multiplicit~
5.2
et
4.1).
•
de [ L ~ - T e ]
est
ceci
ne peut Finalement
pE Pr2(To),
que
I1 en est
donc
singulier
Pk<(X~O)~Dd_k+l>.
n'~taient
Ker p est
con-
inexacte,
de m~me du C o r o l l a i r e
utilis~s
nulle
polaires
relatives
que
fIPk
fait
~ X1 •
est
tangents
une
du f a i r
M. M e r l e .
des vari~t~s
£ TX, x .
en p(x)
l'application
du T h ~ o r ~ m e 4 . 2 . 1
Ces r~sultats
L'~tude
cas
iii)
le
po
Donc ~ ( P )
de c e q u e p u i q u e
et
(cf.
tangents
une compo~ante
~insi~
r~sulte
transversale
du mSme t r a v a i l .
est
x-l(Pk<(X],O)~P(Dd_k+l)>=
multiplicit~s
projection
dans
est
que P E h(W]).
dense
Ker p transverse
T1 d'espaces
que z(P)
a C o ( P k < ( X ~ O ) ~ D d _ k + l >)
Remar~ues
4.2.4
fair
a bien
sur
transverse
le
analytique
~ l'hypoth~se.
limite
de V ( y l l ( C k ( P ( D d _ k + l ) )
et
qui
k puisque
de P k < ( X l , 0 ) ~ P ( D d _ k + l ) >
contenu
Ceci
par
montre
un ouvert
d'espaces
composante
d i m ( T ~ ~ P ( D d _ k + ~) ~ k .
contredit~
existe
contrairement
de c o d i m e n s i o n
point
il
de P k < ( X ~ O ) ; D d _ k + l >
de c o d i m e n s i o n
non-singulier
donc une
P~-l(Pk<(Xl,0);P(Dd_k+l)>) sous-espace
, Pest
pE Pr2(R)~
x duquel
irr~ductible
part
dans
de f : X - - S peut
est
avoir
EL~-Te]. compli-
de
l'~clatement.
§ 6.
Mini-formulaire Ici
re
g~n~rale
multiplicit~ la vari~t~ 1.4)
l'on
pour
s'autorise
de c o d i m e n s i o n est polaire
d~finie
les
vari~t~s
~ ~crire k~ d o n t sur
g~n~rique~
E.
polaires.
Pk(X~O)~
ou P k ( f ~ O )
seule
classe
la
Le l e c t e u r
d~finie
sur
que cela une
pour
"la"
vari~t~
d'~quisingularit~, g~ne est
extension
pri~
de ~ ( c f .
polai-
voire
la
de p e n s e r § 0 et
§ 1~
451
6.1
Quel~ues
6.1.1
in6~alit~s
Proposition
utiles.
:
Avec l e s
notations
introduites
ci-dessus
au § 1~ e__~t
§ 4.
au
a)
On a l ' 6 q u i v a l e n c e
Pk(f,O)
b) air,
Tout point
= ~ ~
xC X possede
pour O~kg
d-1
un v o i s i n a g e
de 4 . 1 . 1 .
:
a)
est
: d'apres
des plans
1.3~
si
on c o n s t r u i t
une famille
des
facilement
plicit~
de c e t t e
D, d ' a p r ~ s
morphisme~
Pk(f,x) certain
famille
mo(Pk)
Si Pk(f,x)= d'un
Pk(f,O)~
de P k < f ; D d _ k + l > q u e p a r fibres
~
a)
et
plicit~
E Pk(f~x)
et
est
de P k ( f ~ x ) ,
dimension
Pk(f~x)
d-k et
est
tout
x ' E U o__n
tout
voisin
de B e z o u t
et
d e s D d _ k + l E Gk
dense
de Gk
q u e ~ - l ( D d _ k + 1) ne d i f -
immerg~es.
x'
Puisque
la
dimension
semi-continuit6
de l a m u l t i
Dd_k+ 1E Wk • de l a assez
on a ~ f l ( x ' )
dim ~ - l ( x ' ) <
dimension
voisin
des
de x .
Supposons
f~kfl(L d-k) =~
N-l-d+k
et
Pk(f~x')=
fibres
p o u r un
D.
'f
de x ,
on a p a r
semi-continuit6
de l a m u l t i -
l'in~galit~
mx(Pk(f,x))
mais puisque
tout
que
de Z a r i s k i
on a p a r
pour
x' E X- Pk(f,x)
assez
un o u v e r t
constante,
= ~ pour
Bezout
l'ensemble
de ~N) t e l s
la semi-continuit~
on a P k ( f , x ' )
donc par
d-k+1
des composantes est
du t h b o r ~ m e
~: Pk~'-~Wk telle
~
Six'
que p o u r
•
pour x fix~
est
~mo(Pk(f,O))
~ e n un p o i n t
Ld - k
U tel
imm6diate
de c o d i m e n s i o n
d i m ( P k < f ~ D d _ k + l >) = d - k ,
f~re
ouvert
~ mx(Pk(f,x))
une consequence
D6montrons b)
(grassmannienne
< N-l-d+k
:
mx,(Pk(f,x')
D6monstration
>dim ~ f l ( o )
est
de d i m e n s i o n
~ mx, ( P k ( f , x ) )
d-k,
un P k < f ~ D d _ k + l > e n x ' ,
l e g e r m e de P k ( f , x ) d'o~
l'in~galit~
en x'
est
de
452
mx,(Pk(f,x))
d'apr~s
ce que nous
6.1.2 il
avons
Proposition
existe
dans
:
un ferm6
~d
d6finie
Etant
:
haut,
et
le
r6sultat.
donn~ un sous-ensemble
analyti~ue
en 3.2
D6monatration
vu plus
• mx, ( P k ( f , x ' ) )
rare
soit
FcY
tel
localement
Consid6rons
le
que
(el.
analytique
ferm6
l'applieation
constante
diagramme
•
sur
4-
Y d e X,
Y~Mx~y de
4
F.
§ 3)
G
e4
Ev~(x)
EyX
ou v e a t
la modification
de V - I ( Y )
d a n a N(X)
d6composition B£ = [ z 6 est
dim
le
singulier que
dana
~-l(y)
8oit et
~-l(4£)/dimz
propre,
lieu vet
de Y e n
cas
r6union ouvert
par
de s t r a t e s de Z a r i s k i
de C N t e l transverse
o~ Y e a t 4~
une
dans
e 4 des (cf.
> d-l-dim
Y~Mx,y de W h i t n e y
III,
de l a
aux atrates
§ 5).
dim ~ - l ( y )
que
eat
est
Y= UY£
est
ramen6
telle
que
relatives
grassmannienne
des
plans
de c o d i m e n s i o n
naturelle dana
~ prou-
v-l(o).
de y . v-t(Y)~
de e y s o i e n t
d-1
contenues
F 1 le
v-l(y)
Ogk~
Z
que
au voisinage
pour
stratification
et
Soit
blots
la
la
que
constante
de N(X)
= d-1
rare.
l'on
y C Y tel
d'6quidimensionnalit6
Dd_k+ 1 6 Uk ~
O×G
Puisque
et
~
Soit
l'6clatement
soit
on v o l t
non-singulier,
Chap.
et
X, e y
ey •
F ° = ~(UB£) cY
F= F o0 F 1 ~
strates
de Y d a n s de v p a r
Y2] .
analytique
l'application
Uk
strict
irr6ductibles
stratification
dense
que pour
ey l'6clatement
composantes
de Y. En p o s a n t le
~ X c ~N
transform6
~-l(~(z))
= d-l-dim
images
v~ l e
sous-ensemble
N ( X ) = UZ lea
Y
de Naah~
et
~,N(X)Yc~N×G
il
existe
un
de C k ( D d _ k + 1) D'apr~s
(Chap.
d-k+l soit Ill,
453
4.2.5 avec sa
et
5.1)
on e n d 6 d u i t
le
transform6
fibre
au-dessus
fibre
au-dessus
t6
strict
de y - 1( C k ( D d _ k + l ) )
de 0 v a u t
est
Dd_k+ 1 E Uk •
6quimultiple
Comme p a r
(Pk<(X~y');Dd_k+l>,y')=
on o b t i e n t
6.2
le
Quel~ues
6.2.1
Pour
en posant
d-k-~im
r6sultat
aillears
cherch6.
•
dans
cas
H.
1
le
les
m~mes v a l e u r s
r6sulte
aussit~t
Pk(Xd_l_k~O)~
6 . 2 . 2
le
grace
[Li])
cas
de
pour
la
donc
au voisinage
de y
a la
transversalit6,
l'6gali-
pour
y'
de y ,
assez
i
dans
cN e t
assez
voisin
g~n~ral~
d
de k~ on a
polaires
Soit
la
ce qui a des
si
Pk(Xi~O)
on a ,
Ogk-¢ d-i-1
:
= mo ( P k ( X , O ) )
multiplicit6
permet
calculs
Xl c ~ d + l
une
de r a ~ e n e r
de P k ( X , O ) les
de m u l t i p l i c i t 6 s
projection
est
calculs
celle
de l a
de m u l t i p l i c i t 6 s
m (Pk(X,O)) o
hyperplane
r~sulte
de 5 . 5 . 1 ,
ii).
= mo(Pk(Xl,0))
courbe
~olaire
de v a r i ~ -
de c o u r b e s .
g6n6rale
de X~ on a l ' 6 g a l i -
t6
Ceci
dimension
de 5 . 4 .
En p a r t i c u l i e r ,
t6s
la
X.1 = (X ~ H i ) r e d
mo ( P k ( X i , O ) )
Ceci
que
absolu.
de c o d i m e n s i o n
( P k ( X , O ) /nx H i ) r e et pour
de Y ( c f .
on a ,
et
Pk<(X~O);Dd_k+l >,
(Pk<(X,y);Dd_k+l>,y')
formules, un plan
long
ey ,
ensemblistement
donc afortiori
de ¥ d a n s le
coincide
par
Y. C ' e s t
de 0 de l ' 6 c l a t e m e n t
Pk<(X~O)~Dd_k+l> pour
que e-l(~-l(ck(Dd_k+l))
pour
O~ k ~ d-1
454
C H A P I T R E
V
LE THEOREHE PRINCIPAL
Introduction. sion
d,
Soient
soit
dimension
Y un sous-espace
t,
du r ~ s u l t a t strafes
et
soit
principal
ace
que
g~n~ralis~e
analytique
analytique
0 un point
en 0 en
l'application (Chap.
IV,
complexe
complexe
affirmant
les
soit
de d ~ m o n s t r a t i o n
est
contient
que
cofiditions
le
purement
la
fair
loca]ement
le
et
de
couple
de
III~
§ 2)
(Chap.
d~finie
constante
de d i m e n
d~monstration
que
de ~ h i t n e y
de Y d a n s ~ d
Y~Mx,y
3.2)
r~duit
de X~ n o n - s i n g u l i e r
de Y. Ce c h a p i t r e
de ce t r a v a i l ~
(X °~Y) s a t i s f a s s e
~quivaut cit~
X un e s p a c e
par
sur
la multipli-
Y au v o i s i n a g e
de O . La m ~ t h o d e par
une hypersurface
l'essentiel, tions
dont
l'espace paces long
la
d~monstration
on v e u t
tangent
tangents
non-singuli~re
vbrifier
que
sur
Yet
"assez
a v~rifier implique
transverse
(XNH)re d satisfait
d-t
: on v a c o u p e r gbn~rale".
que c h a c u n e
que pour
~ routes encore
les la
des
H assez limites
X
Pour condi-
g~n~rale, en 0 d' e s -
m~me c o n d i t i o n
le
de ¥ .
§ 1.
La d ~ m o n s t r a t i o n .
1.1
Un o u t i l
associ~ pitre
va consister
0 est
rbcurrence
H contenant
l'~quivalence
TH, 0 ~ H e n ~ X°~ e t
la
technique
a un p l o n g e m e n t :
important Xc ~N
est
auquel
le il
diagramme sera
fair
commutatif r~f~rence
suivant, dans
tout
le
cha-
455 X x ]pN-l-t
~N-1
×
X x ~N-1
Eyc(x)
~
ey
EyX
~ C(X)J
~X ~ E N
ey
X x ]pN-l-t
ou ~ e s t
l'espace
l'6clatement
de ~ - l ( y )
l'6clatement. m'avoir ~tre
c o n o r m a l de X d a n s EN
1.1.1
d a n s C(X) e t ~' v i e n t Y
On p o s e ~ = ~ o e y .
Remar~ue
form~ s t r i c t identifier produit fonctions
l'espace
:
par
fibr6
ii)
d a n s [Te 5] d e v a i t
cono:rmal.
l'6clatement
le morphisme ~
ey du m o r p h i s m e ~
c'est-~-dire
est
le trans
que l ' o n
peut
de E y X x C X) d 6 f i n i p a r l ' i d ~ a l c o h 6 r e n t du X d o n t l e germe en u:a p o i n t de ce p r o d u i t e s t e n g e n d r 6 p a r l e s
de EyX v i a
~ la premiere
:
Soient
non s i n g u l i e r L'application
annulees
p a r une p u i s s a n c e
l ' h o m o m o r p h i s m e OEy X
projection
(cf.
analytique
complexe r6duit
suivantes
d6finie
plon~ement local
dim ~ - 1 ( 0 )
= N-2-t
p u r e m e n t de
sont 6quivalentes
O
:
par
(my(X),my(Pl((X,y))), .~yd'Pd_l(X~y))) est Pour t o u t
~EyX X x C(X)
de X, p u r e m e n t de d i m e n s i o n t~ e t
de Y. Les c o n d i t i o n s de Y d a n s ~ d
Pr I
de l ' 6 q u a t i o n
[H.L.T.]).
X un e s p a c e a n a l y t i q u e
d i m e n s i o n d~ Y un s o u s - e s p a c e
y~Mx,y=
de
Henry e t M. M e r l e de
de Nash de X u t i l i s ~ e
h o l o m o r p h e s s u r ce p r o d u i t
Th6oreme
i)
universetle
EyC(X) au s o u s - e s p a c e
correspondant
un p o i n t
J.P.G.
Dans l e diagramme c i - d e s s u s ~
du d i v i s e u r e x c e v t i o n n e l
1.2
de Y d a n s X, ey
de l a p r o p r i 6 t ~
Oe r e m e r c i e
m o n t r 6 0ue l a m o d i f i c a t i o n
remplac6e par
ey 1' ~ c l a t e m e n t
constante
(X,O)c (~N,o),
s i ~-1(O~ n ' e s t
au v o i s i n a g e
on a l ' 6 g a l i t 6
pas vide
.
de 0 .
456
iii)
Le c o u p l e de s t r a t e s
stricte
avec exposant
1 et
(X°,Y) v 6 r i f i e
la condition
en 0 l a c o n d i t i o n
b) de ~ h i t n e $
stricte
a)
de ~ h i t n e ~
a v e c un e x p o s a n t
non ~ r 6 c i s ~ . iv)
Le c o u p l e de s t r a t e s
(X°,Y) v 6 r i f i e
en 0 l e s
conditions
a) e t b) de
~hitney.
D~monstration
:
Tout d ' a b o r d ,
darts EN combe s o u s - e s p a c e ~)_~_ii).
strict
Fc¥
D'apr~s a-dire
d-t> 0 et
P u i s q u e d - t > O~ Y e s t
donc dim ~ l ( y ) ~ N - 2 tel
et
il
existe
que p o u r t o u t
(Chap.
I¥~ 6 . 1 ,
a)
) ceci
l'assertion
d - t = 0 ; d a n s ce cas~ Y e s t ~quimultiple
le
III,
conormal
est
rare
d a n s C(X)~
§ 5) un ferm~ a n a l y t i q u e
l'in~galit~
dim ~ - l ( y ) ~ N - 2 - t .
~quivaut ~ : Pk(X,y) = D pour k~ d-t, Par l ' h y p o t h ~ s e
d'~quimultiplicit~
c'eston a
Pk(X,O) =D p o u r k ~ d - t
et
d ' a p r ~ s (Loc. c i t . )
par r~currence
: Supposons d'abord
sur
d-t
une c o m p o s a n t e i r r ~ d u c t i b l e ~ dire
de X, e t
dire
que ¥ = X, donc ~ - l ( y ) =
que X C(X) e t
d'ou ~-1(0)=D.
d a n s EyC(X) qui
est
de ~ [ ~ - l ( y )
sion N-2-t
supposera~ Y plon~
l'espace
dans X et ~-l(y) Chap.
l o n g de Y ~ q u i v a u t
Supposons maintenant
La f i b r e
l'on
.
D~montrons m a i n t e n a n t
EyC(X) = ~ ,
consid~rons
y E Y - F on a i r
donc m o ( P k ( X , O ) ) = O~ c ' e s t - ~ - d i r e
est
rare (cf.
my(Pk(X,y)) = 0 pour k~ d-t.
dim u - l { o ) g N - 2 - t
et
lin~aire.
Supposons d'abord
: C(X) ~ X .
on. p e u t s u p p o s e r ,
d-t~
1. R e m a r q u o n s d ' a b o r d
que ~ - l ( y )
est
un d i v i s e u r
de d i m e n s i o n N-1 p u i s q u e d i m C ( X ) = N - l ~ donc dim ~ - l ( y ) = N-2. : ~-l(y)~y
au-dessus
et par semi-continuit6
d'un point
g6u6ral
de l a d i m e n s i o n d e s f i b r e s
yE Y est
de d i m e n -
d ' u n morphisme~
on a dim ~ - 1 ( 0 ) ~ N - 2 - t . E x a m i n o n s l e c a s ou d - t = 1 : D ' a p r ~ s a v o n s dim a - l ( o ) implique
(Chap.
puisque ~-1(0) l~6galit6, de v o i r .
gN-2-t. I, est
puisque
5.1)
Par ailleurs, que ey e s t
l'hypothese
un m o r p h i s m e f i n i .
inverse
comme n o u s l ' a v o n s
l~6quimultiplicit6
c o n t e n u darts e y l ( o ) × ~ - 1 ( 0 ) , l'in6galit6
i)~
est
de X l e
On en d 6 d u i t
l o n g de Y aussitSt,
que dim ~ - 1 ( 0 ) ~ N - 2 - t ,
un f a i r
g6n6ral
vu,nous
d~o~
comme n o u s v e n o n s
457
Supposons maintenant
le r6sultat
d6montr6 pour d - t ~ c-1 e t
d6montrons-le
pour
d-t=c.
On p e u t c h o i s i r
une r 6 t r a c t i o n
(X~O) comme p l o n g 6 d a n s Y× dans Y ×~N-t × ~N-t-I telle
que e y l ( o )
Chap.
III,
§ 5).
Soit
O
m6e s t r i c t e l'espace
il
existe
et
les
soit
relative i)
Y×H'
O
en O, d o n t l a f i b r e
O
_ a-l(o )
T¥~ 0 t e l
en 0 d ' e s p a c e s Y xH
(cf.
implique
de EN c o n t e n a n t
H est
de a'y
d e n s e U= ~ N - l - t
H l'hyperplan
p a r ey de l ' h y p e r s u r f a c e de H
de Z a r i s k i
limites
de Ey(X)
que c h a c u n e d e s i m a g e s p a r
l'hypothese
un o a v e r t
Ey(X) comme p l o n g 6
E y ( X ) = UX'
dt6quidimensionnalit6
~ routes
un h y p e r p l a n ,
6clat6
ainsi
des hyperplans
transverse
H cEN-t
on p e u t c o n s i d 6 r e r
R e m a r q u o n s que p u i s q u e
~N-I-t~N-1
H6 U, H s o i t
Ainsi
r 6 u n i o n de s t r a t e s
des s t r a t e s
dim ~ - 1 ( 0 ) ~ N - 2 - t ~ de l ' e s p a c e
.
P : (¢ ,O) ~ (Y,O) e t c o n s i d 6 r e r
. C o n s i d 6 r o n s une s t r a t i f i c a t i o n
soit
~': y EyC(X) ~ E y ( X )
tN-t
N
locale
que p o u r
tangents
cY × tN-t .
ou H' t E N - t ×
~ X° •
La t r a n s f o r -
~N-t-1
est
O
au-dessus
de O6 t N - t
est
l'hyperplan
O
P r o j THo,O de ~ N - t - 1 Choisissons ~N-t-1
Ho de t e l l e
a toutes
les
qui s o n t c o n t e n u e s TH k,
Ogk<
d-t,
l'existence
tes
f a c o n que d ' u n e
strates
o
Pro3 TH ,0 s o i t t r a n s v e r s e d a n s o de l a s t r a t i f i c a t i o n de Ey(X) d 6 c r i t e c i - d e s s u s
appartienne
a l'image
part
par
(Chap.
le sous-espace
III,
, que d ' a u t r e
~ l'ouvert
la projection
a Orb p r o u v 6 e en (Chap.
D'apres (X,O)
~ THo,O.
dans eyl(O)c~N-t-1
en 0 ~ H = Y×H
~0
correspondaat
4.2.5),
P2 de l ' o u v e r t
repr6sentant
~N-t-1
d'une part
est
de E y [ X ~ HI p a r Soit
d'apres
l e m o r p h i s m e ~} c o i n c i d e
~o une c o m p o s a n t e i r r 6 d u c t i b ~ e
ocSN-t-1
l'image
~o~O×n-l(O), puisque
l'6galit6
p a r a'y de ~ o .
on a dim ~ o ~ N - 2 - t inverse
et pour toot
de Z a r i s k i
de I y d o n t
assez petit
du germe
transverse
le transform6
t [ X ~ HI = (X~ H ) r e d p a r ey c o f ' n c i d e a v e c EyX~ (Y × Ho)
part~
tangent
IV, 5 . 4 . 5 ) .
Y x H ' de ¥ x ~ ; N - t × o
Y x ~N-t × ~N-t-1 ) , d'autre
l'espace
U d6termin6 ci-dessus
pour tout
X' de Ey(X) e t p a r c o n s 6 q u e n t ,
part
(Chap.
~ toutes strict
(intersection
III,
5.1)
ensemblistement
et par cons6quent
a tou3ours
lieu.
Si dim ~
O
stra
Ey[XC HI de dans
le transform6
strict
avec ~ ' y I ( [ x F / H ] ) .
de d i m e n s i o n m a x i m a l e de g - l ( O ) ~ Si dim To= O, p u i s q u e ,
les
et soit
par construction~
l'6galit6 > O, d ' a p r e s
d i g "~o= N - 2 - t , le th6oreme
458
de B e z o u t ,
P r o j TH , 0 n~o ~ ~ e t
donc ~o n Ey[X n
n] ~ ¢. P u i s q u e l ' i m a g e r 6 c i p r o -
O
que p a r ~
de Ey[X n
on en d 6 d u i t
que,
n] c o i n c i d e e n s e m b l i s t e m e n t a v e c s o n t r a n s f o r m 6 s t r i c t , IX n
notant
.3'~ le transforms strict
me ~, q u i n ' e s t
autre
que l e t r a n s f o r m 6
E IX n HI de IX n Y
. ] p a r e , on a Y
strict
de [ x n
.] par le morphis
p a r ~' du t r a n s f o r m 6 Y
strict
:
~on ExnH] '~ t ,~
P u i s q u e TH,OE U, d ' a p r ~ s
(Chap.
IV, 5 . 3 . 1 ) ,
p : [xns] ~
du t r a n f o r m 6
strict
le morphisme naturel
•
c([xnn])
de [ X A H ] p a r ~ d a n s l ' e s p a c e
ConsidSrons maintenant
c o n o r m a l de [ x n H ]
est
fini.
l e diagramme
ey
EyC(X)
[XnH]'~
* [xnH]-
1
! I
p
p,t Y* W
gyc([xna])
~ C([X N n ] )
• el'Y
[xnn]
ou ~ e s t
l e m o r p h i s m e c o n o r m a l de [ X N H ] c H ,
dans C([XNB]) EyC(X) ~ C ( X ) . une par
e t ey e s t En u t i l i s a n t
factorisation l'6clatement
(*)
la propri6t6
py' , qui e s t
e 1,Y,
posant ~(0)= ~-1(O)
le morphisme induit
donc e s t
el, Y est
p,~(~(o))
de l ' 6 c l a t e m e n t ~
le transforms
un m o r p h i s m e f i n i
et ~1(O)= ~11(O),
de g - l ( y )
par le morphisme d'~clatement
universelle
en f a i r
l'6clatement
strict
puisque
on a l ' ~ g a l i t 6
: ~J(o) n Ix n HI ,~
:
pest
on o b t i e n t
du m o r p h i s m e p fini.
De p l u s ,
459 Montrons maintenant l'6quimultiplicit6
que [XNH]
satisfait
des vari6t6s
aussi
polaires.
l'hypoth~se
Par notre
de i ) ,
choix
de H ,
c'est-~-dire p o u r un
O
Dd_k+ 1 a s s e z
g6n6ral
parmi
ceux qui sont
Pk(X,O) = Pk<(X,O);Dd_k+l > et 5.4.3).
d'6quimultiplicit6
my(Pk(X,Y)) = my(Pk((X,O)~Dd_k+l))
(cf.
implique
pour y E Y : consid6rons
Chap.
IY~
l'6galit6
le diagramme d'in6-
:
mo(Pk(x'O))
=
my(Pk(X' y))
II
^\
m o ( P k < ( X , O ) ; D d _ k + l >)
o~ l ' 6 g a l i t 6 Dd_k+ 1 ,
d6coule.
horizontale
l'in6galit6
l'in6galit6
vient
horizontale
verticale
~
my(Pk<(X,O);Dd_k+l>)
de l ' h y p o t h ~ s e ~
l'6galit6
de l a s e m i - c o n t i n u i t 6
de l ' a r g u m e n t
de ( C h a p .
De m~me l e d i a g r a m m e d ' i n 6 g a l i t 6 s
mo(Pk<(X,O)~Dd_k+l>)
IV,
^
Pk<(X,O);Dd_k+l >~H verse~
au s e n s
de O .
Comme H r e s t e proche
est est
de l a m u l t i p l i c i t 6 ~
6.1).
Le r 6 s u l t a t
~
<
cher~h6 en
^
6quimultiple
l e l o n g de Y, e t
de O e t c o n t i e n t
et
my (Pk (X'O)~Dd - k + l >NH)
n o u s m o n t r e que d ' u n e
transverse
de
= my(Pk<(X,O);Dd_k+l>)
analogue
des multiplicit6s,
du c h o i x
h~
m o ( P k < ( X , O ) ; D d - - k+l>NIt)
dont la justification
verticale
:
II
y assez
d a n s H, on p e u t p r e n d r e
on a m o ( P k ( X , O ) ) = mo(Pk(X,O) ~ H )
M o n t r o n s que l ' h y p o t h ~ s e
galit6s
contenus
a Pk(X,y) aux l i m i t e s
en tout
part
d'autre
point
en y d ' e s p a c e s
Dd_k+ 1 , on a
Pk<(X~y);Dd_k+l>nH = Pk<(~XnHJ,y)~Dd_k+l>
part
H est
y E Y assez tangents
trans-
voisin a X° pour
460
d~aprbs
(Chap.
Finalement~
IV,
5.4.2).
on a l e s
6galit~s
my(Pk([XNH],y)
= my(Pk(X,y)~H)
= my(Pk<(X,O)~Dd_k+l > ~H)
m y ( P k < ( X , O ) ~ D d _ k + l > = m o ( P k < ( X , O ) ~ D d _ k + l >)
d'ou
le r6sultat
Par
que
de r 6 c u r r e n c e , l'on
et
a l'~galit~
puisque
l'6galit6
(~)
dim ~ ( 0 ) N ~X N H ] ' ~ = sante
irr~ductible
ci-dessus,
N-~-t,
dim[XNH] = d - 1 e t
que [ X N H I c H ,
on
:
dim ~ 1 1 ( 0 )
D'apr~s
= mo(Pk([XnH],O))
cherch6.
l'hspothbse
en d~duit
= mo(Pk(X,O))
=
et
et
la
= N-3-t
finitude
du m o r p h i s m e
d o n c en p a r t i c u l i e r ,
~o de ~ ( 0 ) ,
puisque
nous savons
en revenant
p yI ,
on e n d 6 d u i t
a notre
q u e ~o r e n c o n t r e
compo-
[XNH~'~,
nous avons
dim(~o N [XNllj'~)
Par
ailleurs,
EyC(X) quent
d6fini
[XNH]'~
est
une union
par une seule
on a ( [ B b k
5],
§ 3,
~quation No 1 ,
Prop.
de c o m p o s a n t e s : celle 2)
dim(~oN [XNH]'~)
d'ou
-< N - 5 - t
l'in~galit~
~ dim ~ o -
finalement
le r~sultat
cherch~.
•
sous-espace
de
de H c o m p o s 6 e a v e c C, p a r
dim ~o ~ N - 2 - t
et
d'un
1
cons6-
:
461
1.1.2 Mx
Remarque est
,Y
le
(cf.
dense long
Chap.
constante
de
se
long
6.1.2)
pour
que pour
qu'il
on a i r
bien
existe
existe pour
tel
~nonc~ est
le
r6sultat.
L'implication
iii)
~ iv)
~ i).
Pour
1.2.1
pour
g~n~ral, d'autre en 0 les
:
:
un plan d'une part
On m o n t r e
tel
on c o u p e
par
un ouvert
de Z a r i s k i
~quimulti-
Soit
route
la
en effet
pour
par
{0]~
analogue
yE Y- [0~
que si
assez
que
on o b t i e n t
et
£ celui
Dk e G k t e l
Ck ~ G k t e l
Ak = Dk N C k ,
soit
situation
Fk e n
dense
dense
de
que my(Pk(X,y))
un argument
de Z a r i s k i
y = O, e n p r e n a n t
n'est est
autre
la
m~me
un ouvert
= my(Pk(X,y))
pour
yE Y
Si
que
le
nous
allons
couple
d'apr~s
IV,
l'intersection
6.1),
: mo(Pd_t(X))
que Pd_t((XnH)red,O)
est
Y~H
III~
de W h i t n e y ,
vide,
tout
de
(Chap.
III,
enfin
sN-2-t
passant
sera
2.3.1).
le
couple
(cf.
Chap.
puisque
:
les
conditions
.
de p r o u v e r par
0 et
non-singuli~re
= mo(Pd_t(XNH)red). et
montrer
satisfait
i l suffit
t-1
4.2.2), et
d'abord
(xO,y)
: dim ~-1(0)
(Chap.
(Chap.
r6sultat
de s t r a t e s
H de ¢ N de c o d i m e n s i o n part
le
6vidente.
cela,
D~apr~s
conditions
de m u l t i p l i c i t ~ s
aussi.
d i m Y - 1 de CN r e n c o n t r a n t
un ouvert
e n O, on a l ' i n ~ a l i t ~
D~monstration et
~ iii)
Proposition
de W h i t n e y
un ouvert
•
ii)
iv)
que si
que
L'implication
Prouvons
vraie rare
non vide,
m y ( P k < ( X , O ) ; D d _ k + l >)
d'o~
de v o i r
existe
m y ( P k < ( X , y ) ~ D d _ k + l >) = m y ( P k ( X , y ) )
lieu
dense
de O, i l
analytique
Fk est
o~ d i m Y= 1.
de O. Comme i l air
de c e t
de c o d i m e n s i o n
5.2.1)
Dd_k+ 1 E Dk ~
Si
Nous venons
Dd_k+ 1 E Ak , P k < ( X , O ) ; D d _ k + l > s o i t
un ferm~
yE Y- Fk lisse
IV,
de Z a r i s k i
Y comme e n 1 . 1 .
de Y au v o i s i n a g e
Fkey
ram~ne au cas
~galit~
X et
de Y. La r ~ c i p r o q u e IV,
(Chap.
proche
le
Ak C G k t e l
un sous-espace l'on
Soient
constant
Zariski ple
:
Pd_t(X,O)
au demeurant
assez
de d i m e n s i o n
1~
([XNH]°~YnH)) IV, I1
dim(XnH)re
=~,
6.2)
suffit d= d-t~
satisfera
on a u r a donc
l'~galit~
de p r o u v e r
nous voyons
que
462
nous
avons
lier
o~ t = 1.
1.2.2
ramen6
la
Tout
Lemme-cl6
purement
~ des
dense
fermeture
ferm6
(X,O)c
d,
route
Pd_l 1,
qui
(~N,o) (X,O)
une
pro~ection
est,
points
il
per
une courbe
cas
existe
on a i r ,
un ouvert en notant
de p l X °
~@n~rale
rbduit
e n O. D a n s construcPd_l
la
:
de O, u n e n s e m b l e
polaire
particu-
complexe
non-sin~uli~re
critiques
au voisina~e
le
anal~tique
courbe
~¢2
dans
:
un espace
EN
p:
des
est
a sa preuve
lemme s u i v a n t
lin~aires
X de ] . ' e n s e m b l e
L'ensemble
le
e t_t ( Y , O ) c
que pour
de d i m e n s i o n
Proposition
Soient
:
Y tel
la sur
projections
dans
i)
de
va reposer
de d i m e n s i o n
l'espace tible
preuve
de
analytique
(X,O),
e_!
IPd_~
n Yl=~o}. ii) sens
La p r o j e c t i o n
de ( C h a p .
I,
§ 6,
:
On s u p p o s e
D6monstration l'on ter
munit
les
Prop.
la
forme
famille
de p r o j e c t i o n s
D'apr~s
(Chap.
IV,
toujours x et
pour
(a,b)
E ~2(N-2)
tion
correspondante
il le
soit
On p e u t
qui
ci-dessus
_ B,
la
~N m u n i
y.
projections
1.3.1),
pour
courbe
P d _ l < P > U Y e__nnO, a__uu
6.2.l).
N : x = z I + Z3 a.i z i '
prOs,de
pour
coordonn+es prouver
zi .
comme u n m o r p h i s m e un ferm~
critique
une courbe,
le
l'adh~rence
conten-
lin~aire
ENyE2(N-2)
de ~2
donc
la
~2×¢2(N-2)
Bc~2(N-2)
restriction
Net
Lemme s e
On c o n s i d e r e
de Z a r i s k i
de l a
dont
Zl,...,z
a un automorphisme
N Y = z 2 + Z3 b i
existe
lieu
sont,
des
tel
a X° de l a
darts X e s t
une
que projec-
courbe
g~n~rale. Par
ailleurs,
remarquons
de X~ o n a P d _ l < p > n (Chap.
IV,
1.3)
Pd_l
n
Sing
en 0 des
espaces
que Ker p~T rare
g~n~rale
E 2 de c o o r d o n n ~ e s
de c o n s i d ~ r e r
polaire
pest
B'
et
Y = [0] le
Si
tangents
ne soit
de E 2 ( N - 2 ) ,
puisque
fair
X= [ 0 ] .
pas et
que si
Y est
d'apres
que Pd_l
Y n'est
pas
est
contenu
a X° a u x p o i n t s de c o d i m e n s i o n
pour
tout
contenu la
d~finition
une
courbe,
dans
de ¥ 2 dans
projection
dans
singulier polaires
on a X~ s o i t
T la
Les projections
T forment
pE ~2(N-2)
lieu
des vari@t~s
Sing
[0}.
le
limite p telles
un ferm~ analytique
- (Bu B')~
on a u r a
463
P d _ l < P >N Y= [ 0 ) .
Ceci ach~ve d'~tablir
G r a c e au lemme de t r a n s v e r s a l i t ~ existe tel
darts ¢ 2 ( N - 2 ) _ ( B U B ' )
que,
pour tout
le point
des
vari~t~s
un o u v e r t V l ,
p E V 1 , l e noyau Ker p de p s o i t
l e c~ne t a n g e n t .
un s y s t ~ m e f l , . . . , f m ,
fi E O N
tel
Sing XxV l avec
de g 6 n 6 r a t e u r s
IV, 5 . 1 )
il
et dense dans ¢2(N-2)
transverse
au c~ne t a n g e n t
aucune des d r o i t e s
d ~ j a vu,
qui
nous pouvons cho~sir
de l ' i d 6 a l
d6finissant
,O
que darts un v o i s i n a g e U
(Chap.
ne c o n t i e n n e
Comme n o u s l ' a v o n s
¢
(X,O)c (~N,o)
polaires
constructible
en 0 ~ l a c o u r b e P d _ l < p > U Y, c ' e s t - ~ - d i r e constitutent
i).
Pd_l
s o i t
de O×V 1 darts ~ N x v 1 ,
d6finie
par
l'id6al
la r6union
engendr6 par
les
de
(fi)a,b
PEV 1
~((fl)a,b,''',(fN_d)a, et
par
les
d6terminants
, tels ~(z.
,...,z.
d) c [ 5 , . . . , N ) ,
ou p o u r b E O N
IN_ d
on a n o t 6 h
E ,0
N en s u b s t i t u a n t
x-~
3
n6es sur tN×v 1 les ainsi
a.z. I
N a z 1 et y- ~ b.z. 5 1 i
1
fonctions
x , y,
que
)
1I
(il,...~iN_
b)
jacobiens
a z2,
la fonction
a,b
et
z3,--.,z N , a3,...,a
l'on
a pris
N , b2,...,b
pour coordon N • Nous
une f a m i l l e a n a l y t i q u e ~ de c o u r b e s de ~N p a r a m 6 t r 6 e p a r V1 ~
l'image
par
(x,y,a,b) (l'image Fo(O~ )
l e m o r p h i s m e E N xV 1 ~ 2 × v l
est est
une f a m i l l e toujours
du O 2
qui
analytique
d6finie
-module ~
(cf.
~ (x,y,zs,...,ZN,~,
~1 de c o u r b e s p l a n e s [Te 5 ] ,
§ 3) i c i
par
obtenue
~)
avons
dont
associe
p a r a m 6 t r b e p a r V1
l'id~al
de F i t t i n g
).
xV 1
D'apres il
les
existe
r~sultats
un ferm~ a n a l y t i q u e
de V 1 - A, ] a f a m i l l e fibre)
g~n~raux
~
(cf. rare
~ ~(v 1) e s t
Par a i l l e u r s ,
d'apres
de V 1 t e l
que l a
chaque fibre)
~tale,
(Chap.
famille
E x a m i n o n s ce q u i
se p a s s e
des courbes polaires
6.4.2),
il
en t o u t
au v o i s i n a g e
point
la r~solution
que au v o i s i n a g e
qui
~ est
de c o u r b e s p l a n e s
soit bquisatur~e
sur
la section
simultan~e ou n : ~
I,
I)
A de V 1 t e l
~ - - - ~ V 1 (ou d e s t
a d m e t t e une n o r m a l i s a t i o n
In-l(d(V1))I
[Te 2 ] ,
qui
de p l u s
simultan~e, de t o u t
point
pique 0 dans chaque a la propri~t~
que
la normalisation.
existe
un ferm~ a n a l y t i q u e
p1:~l~-l~,V1
rare
B
(o~ ~1 p i q u e 0 d a n s
de V 1 - B .
d'un point
Po de V 1 \ (Au B).
P d _ l < p > admet une p a r a m ~ t r i s a t i o n
simultan~e,
La f a m i l l e c'est-$-dire
464
qu'elle
peut
Stre
repr~sent~e
comme l ' i m a g e
r~duite
d'un
morphisme
r
(11
(E,O)) xVI~EN×v
I our
est
le
nombre des composantes
irr~ductibles
de
P=I Pd_lUY Donc s i
(ou
nous
faisons
a~ b du p o i n t posante
de ( ~ ( p o )
un changement
po E V 1 s o i e n t
irrbductible
~£
q u e m e n t comme s u i t (3<_i
et
de P d _ l < p >
l'anneau
1~£
sur
~quimultiple
: ~r.
Noter
long
identitbs
Remarquons
et
tout
notons
I,
§ 6)
In-l(~(Vl))I-*~(vl) de s o r t e
dor~navant
0 pour
sont
ici
transversale
le
fait
d'abord
que sur
puisque
la parambtrisation
tions
~, ~a i n d 6 p e n d a n t e s
Po'
chaque
q u e ~1 e s t que d a n s
I1 suffit
de p r o u v e r
est
o
les
identit~s
donn~e par
des
sont fonc-
zl(t),z2(t),...,zN(t) Ecrivons
les
par
ropport
maintenant
en utilisant
la n£
fj(t~
6quations
param~trisation
bet
et
c o n s e q u e n t on e s ~ r a m e n ~ N ~ b. l'identit~ ~(t)= z2(t)+ Z b. z.(t) o~ 3 3 J 3 est une param6trisation de Y.
dbriver
que par
satisfaites
par
les
autres
c o ~ n p o s a n t e s de :~,
:
N
- Z a i ~i(t~a~b),~a(t£,a,b) 3
-
N Z b i ~i(t~,a,_b),
C3(t~,a,b),-..,~
N( t ~ , a , b ) )
= O
3 pour et~par aussi
l ~ j ~m et dbfinition
chaque ~ des courbes
des d~terminants
polaires,
jacobiens
~((fl)a,b,''-',(fN_d)a,
sur
ZlN_ d"
ces
composantes
de
~
:
b) avec
~(Zil''''*
)
com-
la projection
de p r o u v e r
Y x V 1 de ~ ,
correspondante
de a e t
coordonn~es
r &:E,O = 1 =1I
dans le normalis~ ]a composante
que
pour PEV1,
Nous n o u s p r o p o s o n s @x9 : z k - 8b k p o u r 3 ~ k g N .
v~rifi~es
~tale).
de O p e u t ~ t r e r e p r ~ s e n t ~ e param~trin~ : x = t~ , y = X ~ ( t ~ , a , b ) , zi=~i(t~,a,b)
que n o u s u t i l i s o n s
identit~s
est
que l e s
de ~ 1 ( V 1 - A L J B ) .
v~rifi~es ~i,
nulles,
Chap.
que
de c o o r d o n n ~ e s
s o n i m a g e d a n s ~2 e s t
le
du f a i t
de ~ au v o i s i n a g e
(cf.
OM~O on a l e s
que ces
, a cause
~il,-..,iN_d~C
~3,...,N3
s'annulent
465
d6rivons
c h a c u n e des N-d p r e m i e r e s
6quations
bk : nous o b t e n o n s un s y s t ~ m e d ' @ q u a t i o n s N
((~(fJ)a,b)
i=3
~-'z~1
ou k d 6 s i g n e Utilisant
)
donne a l o r s ,
lin6aires
((5(f3))
° X ~
°
jacobiens~
(~((fl)a'b'''''(fN-d)a'b)
sant
est
impossible
dans c e s ~ q u a t i o n s
Si en e f f e t nullit6
tel
~tait
s'annulent
le cas,
des d 6 t e r m i n a n t s
X au p o i n t pondant
gbn6ral
~ notre
l'espace
tangent
ce p o i n t , polai~es
point
O serait
sur
contenu
aussit~t Ainsi
point
est 6quisatur6e.D'apres
l'anneau
s'6tendent
= O
mineurs
jacobiens
apparais-
de ~ que nous c o n s i d 6 r o n s .
de Cram~r nous m o n t r e n t , s u r ~,
que l ' e s p a c e
de l a c o u r b e p o l a i r e
darts l ' h y p e r p l a n
au vu de l a
dx-O
tangent
~(po ) corres-
; en p a r t i c u l i e r ,
contenu
dans dx= O en
l e Lemme de t r a n s v e r s a l i t @
des v a r i @ t 6 s
nous a v o n s b i e n ,
sur chaque composante
de ~ ,
(5~k~N)
la d6monstration
du Lemme-cl6 :
l a f a m i l l e de c o u r b e s p l a n e s n£ p a r a m @ t r i q u e m e n t p a r x = t£ , y = V ( t £ , a , b ) (1_<£_
est repr6sent6e
de ~ [ a , b }
( d a n s (}~,O)
O~ O ~ les 6galit@s
Achevons maintenant
~1~V1
~k- ~ k
elle-m~me serait
z k - ~b k
de t o u t
de Cram~r nous
)
la c o m p o s a n t e
qui s ' a n n u l e n t
a la c o u r b e p o l a i r e
IV, 5 . 1 ) .
.
que t o u s l e s
de l a ~ - i e m e c o m p o s a n t e
e t donc dans l ' a n n e a u
Au v o i s i n a g e
ok
les r~gles
jacobiens
ce que c o n t r e d i t (Chap.
)
la r~gle
(
(1~ j~N-d)
de ~.
l'@quation
)
3(y,zi2~...,ZiN_d
0
5b k
de l a £ - i ~ m e c o m p o s a n t e
des d 6 t e r m i n a n t s
:
) ~k
p o u r chaque [ i 2 , . . . , i N _ d J C [ 3 , . . . , N } ,
Montrons q u ' i l
que nous pouvons ~ c r i r e
~.} (
5y
+
la param6trisation
l'annulation
du p r e m i e r g r o u p e par r a p p o r t
de ~ 1 ( V 1 - AUB)~
en des d 6 r i v a t i o n s
s(P 1 ) O~¢t~O s a t u r ~
relatif~
Dk de -O ~ l- , p ~°
et v6rifiant
£=1 ~ { t £ , a ~ b }
conservant
Dk ai = O~ Dk t~ = O. P u i s q u e b i e n
466 r
s~r
l'imagel-lD(t£,a,b) 1 avons ainsi prouv6 les
de y d a n s O~ ~1' inclusions :
0 appartient
z~" °~,0 e ~*~,o ce qui
implique
sous-anneau
que
qui
le
n'est
autre
comme on l e v ~ r i f i e P ~ ~1 q u i isomorphi'sme au-dessus courbe
est
sous-anneau
est
de s a t u r ~ s
de O, on o b t i e n t
satur~s,
ce qui
D6montrons remarqu6~
il
la
: dim Y= 1 e t
Choisissons
une projection
aux conclusions p : (EN~o)lVinclusion Hi c e t t e gents
que
(X°~Y)
ci-dessus,
Ker pcKer
Tp .
D~apr~s
long
chaque
on a b g a l e m e n t
d'une
point
vide~ des
soit
par
et
le morphisme
aux
un
fibres de l a
en un isomorphisme
Pd_I(X,O) conditions
2
g~n~rale
assez
choisissons
des
0 le
pour
~ Pen
limite
Soit
avec
satisfaire locale O, on a i r
on a P d _ l ( X ~ O ) = P d _ l < p >
direction
de l a
vide~
une r6traction
irr6ductibles
long
est
l'avons
de W h i t n e y .
tangente
le Lemme-cl~ 17 u n e
Comme n o u s
en O les
l'application
P
composantes
vers
induit
que
l'absurde.
polaire
dim(TN Ker p) ~ d(1.
o~ x . t e n d 1
et
passage
~2 s ' ~ t e n d
z k • O~1,0,
le morphisme
Par
en O dtespace
de c e t t e
x E P d _ l ( X ~ O ) N X°~ on a l ' i n 6 g a l i t 6
l'in~galit6
s 6 c a n t e s ~ 1 1
T
que
les
du L e m m e - c l ~ .
p: ~N
notant
~ X° l e
Po d a n s
satisfait
linbaire
nous
q u e O~tl~ 0
de d ( O ) ~
6.4.1)
la vari6t6
que,
nWest pas
I,
ProposJtion~
telle
courbe
que pour
la
du L e m m e - c l ~
(Y~O)
Chap.
0~1~0 et
relatif
d~montr~
p = Pl ° p)"
d~monstration
de p r o u v e r
l~hypothese
(cf.
image par
maintenant
suffit
par
au v o i s i n a g e
(~ P l e t
donc
son
ach~ve
engendr~
donc
bim~romorphe
relatifs
Pd_lU ¥ sur
de ~ 1 , 0
Nous aw)ns
relatif,
(5~k_(N)
q u e O~, 0 ~ a l e m~me s a t u r ~
aussitSt. fini,
au s a t u r ~
courbe.
et tan-
Puis-
d i m ( T x ~ x N K e r p) ~ d - l ~
£ une
direction
mSme c o m p o s a n t e
limite
de
irr~ductible
de P d _ l ( X ~ O ) . D~aprbs
le
tion
de W h i t n e y ,
I1
a)
lemme-cl6~
en r6sulte
aurait
£cKer
ni £ ni
Ty, OcT,
dVune part p ce qui
T¥~ O n ' e s t et
d'apr~s
que dim(TAKer est
exclu,
et
contenu la p)=
d'autre
dans
condition d-l, part
K e r p, b)
car les
d'aprbs
de W h i t n e y ~
sinon
la
condi-
2cT.
TN K e r p = T~ e t
6galit~s
:
on
467
T= (TDKer
p) + ~ . T y , 0 e t
nous
gcKer
avons
~galit~s
Tp , d o n c
£~Ker
Nous aboutissons vide~
et
ach~ve
:
lisant
premiere
la
en O les
au cas
Terminons Montrons
(p(X)°,p(Y))
la
la
pour
de 0 d a n s
chaque
Y tel
k,
que,
my,(Pk(X,y'))
g6n6rique")
6tant
ind6pendante
5.4.5)
pour
le
P k ( X , O ) nA Dj
k~ d-t,
tions
le
et nous
JDt_ l N F k [
4.2.2),
j,
il
l'on
ait
K e r p ) + E . Ty~ 0 • dolt
•
d6montrer,
si
(X°,Y)
en uti-
satisfait
assez
conditions
un peu plus
ramener
que
les
que Pd_l(X~O)
que
l'implication
existe
pour
g6n6rale,
de W h i t n e y .
On
simple.
iv)
~ prouver
~ i)
du T h 6 o r e m e .
l'implication
pour
t-1 est
couple
de W h i t n e y
(Chap.
de y ' @ Y - F k .
dans
6.1)~
ne perdons
soit
le
les
par
aura
(si
Fk l'est)
de s t r a t e s
vari~t~s
les
vari6t6s
part,
d-J
soit
polaires
d'apres
et
tout
sup6-
("multiplicit6
(Chap.
(Chap.
IV~
IV~ 5 . 2 . 1 plan
Or p u i s q u e Pk(X,O)
en coupant la
r~duit
Dr_ l )
polaires
Fk d'un
et
D. de 3
O, on a 6 g a l i t 6
en particulier
((XADt_])°~Y~
derni~re
mo(Pk(X,O)).
information
qui
j+k~
polaires
strictement
polaires
que
passant
aucune
vide
e n O, e t
tels
strict
soit
cette
des vari6t~s
des vari6t6s
analytique
D'autre
mo(Pk([XNDj~O))=
IV,
g6n6ral,
un ferm6
y' E Y- Fk ,
g~n6ral,
et
la multipl~cit~
yE Fk ~ my(Pk(X,Y))
k d'entiers
~N a s s e z
= Bk([XADj],O)
de c o d i m e n s i o n k,
couple
j dans
Proposition
pour
excluent
p : CN ~ d + l
en 0 les
de
lemme de t r a n s v e r s a l i t 6 tout
codimension
nous
aussit~t
~C(T~
III~
projection
est
de
semi-continuit6
valeur
et
preuve
qui
de £ ,
o~ t = 1. d'apres
5.4.2)
une
qui
d6duit
5 3 ) commencer par
satisfait
pouvons
~ la
la
l'on
implique
du C h a p i t r e
pour
construction
la Proposition.
([Te
m6trique
de Whitney,
que nous
IV~ 6 . 1 ) ~
voisinage rieur
in6galit6
des hypersurfaces,
d'abord
part,
(Chap.
d'ou
ce qui
de
comme d a n s
maintenant
particulier
D'une
par
l'inclusion
contradiction,
d~monstration
aussi
de s t r a t e s
se famine
~ une la
On p e u t
conditions
couple
cas
~ais
K e r Tp = K e r p + • . Z ,
p + [ . Ty~ O ~ e t a f o r t i o r i donc
Remarque
le
p) + ~ . £.
K e r p + E . £ + [ . T y , O= K e r Tp + Im Tp = T N , E sO
l'inclnsion
~tre
T= (TQKer
X par
sont
satisfera
de X s e r o n t
vides
un plan
propri6t6 ~ [O].
d'apr~s
que pour
D'apr~s encore
Dr_ ] tout
(Chap. les
6quimultiples
III,
condile
468
long
de Y s i
multiples les
et
le
seulement
long
multiplicit6
et
6gales
de
de l a
voquent
une
et
T la
soit
r~traction
X, e t
sur
le
limite
de et
implique
impossible
cas
long soit
Pk(X,O)
£
limite
q u e T = Ty, 0 a l o r s puisque
£cKer
long
morphisme
conormal
6quimultiple Zariski que,
le
dense
pour
ailons
de Y,
long
H~ V, H ne c o n t i e n n e que pour
d'apr~s
posante
irr6ductible,
P : (EN,o) ~ (Y,O) Lim
tion £cKer l'nn
b)
(Chap.
•
ale
et
dimension
que
1'6gali¢6
Supposons
distincte
est
faut aussi
implique
de l a
a prouver
il
existe
Proposi-
ce
qui
cnntraire,
~-1(O)
d-l,
le
r6sultat
ou d = dim X .
iv)
~ i)
du
que X est de
T¥, O t e l
tangents
a X. N o u s
prouvera et
IHNXI
de
un o u v e r t
soit
l'~quimul-
F u n e com-
; soit
Lim et xEXONF TX, x T contient
que TNH= Ty,o ~ mais
supp16mentaire
la
fibre
de E N c o n t e n a n t
T=
que T= £,
l'6quimultiplicit6
dimension
la
de Ty, O •
D a n s ce c a s ~
de W h i t n e y ,
£ TNH,
:
d'o~
Ty, O ,
d'apr~s
la
une contradiction
de Ty, 0 •
I!
faut
et condi-
puisque
donc que
[H NX] = Y .
maintenant
au p l u s
il
posons
de Y,
~
un s u p p l 6 m e n t a i r e
la courbe
a)
b)
en O d ' e s p a c e s
le
irr6ductibles
de W h i t n e y p r o -
s~cantes
condition
IH NX[ = Y,
Supposons
conditinn
£ appartient ce d e r n i e r
on a
lncale,
],
de F d e s
Lemme 5 . 1 . l ,
limite
d6mons-
P : (¢N,O) ~ (Y,O) une
Soit
I1 nous reste
de Y, de
la
de d i m e n s i o n
de W h i t n e y , Tp ,
5.5).
la
la
~ F .
des hyperplans
HE V,
I,
D'aprbs
le
aucune
une r6traction
~
comme T N H e s t
tout
que
g N-3.
~N-2
la
terminer
composantes
c'est-a-dire
fait
de Y : D ' a p r ~ s
V de l ' e s p a c e
montrer
le
n : C(X) ~ X e s t
tip~cit6,
=
ou e n c o r e
ka d-t,
de X d i s t i n c t e
o~ d = 2.
que PI(X) = ~,
puisque
composante
le
fair
le
long
cas
pour
conditions
est
tion
PI(X,y)
des
Tp q u i
curinsit~)
le
une
X~ Y , l e s
que
nulks
1,
~qui-
•
£une
le
sont
de d i m e n s i o n
de X s o n t
tangentes
(par
fournit
si
en e f f e t
la
[XN D t _ l ~
Nous a l l o n s
Y est
que
Examinons maintenant nous
= l.
d = 1,
de F d e s
de
k< d-t.
out
voir
Soit
pnlaires
non-singulier
d pour
d ; si
contradiction.
a)
est
dans
nous allons
locale,
condition ce q u i
donc
est
polaires
(X~Dt_l)re
r~currence
courbe
vari6t~s
qui
des vari6t~s
a celles
par
les
de Y N D t _ 1 ,
Plavons-nnus tration
si
d6montr6 pour
les
espaces
de
469
Pour
notre
espace
dim ~-1(0) dense tout I1
~N-3
et
nous
faut
IV,
tets
le
couple
(cf.
pour a
dans
H, e t
1.1.2
plus
haut).
la
hyperplan
D5 .
Pour
tout
y C Y - ~0]
p-l(y)
cit.)
qu'il
existe
voisin
de Z a r i s k i
¢N t e l
et
en 0 d'e~paces
que
aux
T¥, 0 tel
l'on
est
limites
cela,
il
presque il
dense
le
long
dense
que pour
choisissons tangents
Wd_ 2 d a n s
D2 ~ W d - 2 '
(Chap.
tout
hyperplan
la
et
a X° •
Soit
tangents
Par
l'hypothese
5.4.5)
D3 ~ D 2 ~
on a
yE Yet
de 0
donc
pour
de O. I 1 n o u s
reste
de ¥ a u v o i s i n a g e 5.5)
H contenant
~galit~
de 0
de p r o u v e r
ait
¥,
lien
P : EN~Y
(Chap.
grassmannienne pour
IV,
que et
pour
telle
5.2.1)
des
l'on
en fair un
que pour
il
plans
existe de c o d i m e n s i o n
y~ Y- ~0~,
pouvons
supposer
D5 ~ D 2 •
fa~on
que H ne contienne
P: ~N~y
une projection
Pd_2<(X,O);D3>N
de
on a
Posons
aucune telle
que
K e r p ~ D2 . Puisque
A X~
transverse
nous
D 2 de t e l l e
I,
lin~aire
d'apres
on a i r ,
= ~0],
long
On p e u t
P k ( [ X N H ] , O) e t
et
pour
que cette
Or~
multipli-
de Y au v o i s i n a g e
IY~ 5 . 2 . 1
le
NH s o i t
la
que k~ d-2.
au v o i s i n a g e
une projection
= O.
de c o u p l e s
en 0 d'espaces
suffit
suffit
Y
que mo(Pd_l(X,O~
de W h i t n e y .
~quimultiple
sur
air pourvu
(Chap.
que ~ X° •
constantes
d~ja
de Z a r i s k i
conditions
D'aprbs
de O~ p - l ( y )
[D 2 N C y ( P d _ 2 < ( x , y ) ~ D d _ k + l ) [ H = D2 × Y ~
sont
savons
bquimultiple
N Pd_2<(X~O);Dd_k+l > en y.
un ouvert 2 dans
de l o c .
H tel
et
bquimultiple
que Pd_2<(X,O)~Ds>
preuve
nous
= my ( P k < ( X , O ) ~ D d _ k + l > AnH )
Pk<(X~O)$Dd_k+l > est
tout
est
[ P d _ 2 < ( X ~ O ) ~ D s > N HI = Y p o u r
(cf.
de Z a r i s k i
tangents
donc Pk<[XNH],O)~Dd_k+I>=
les
Pk<[XA H]~Dd_k+l>
presque
un ouvert
en 0 d'espaces
Pk<([XNH],O);Dd_k+I>
satisfait
m y ( P k < ( X , O ) ~ D d _ k + l >)
prouver
est
de E N c o n t e n a n t
un ouvert
H est transverse
(~XN H]°,¥)
Remarque
k< d-2~
existe
l'in~galit6
my(Pk(X~y))
puisque
g~n6rique~
=
puisque
r~currenee~
)
limites
multiplicit~s
il
polaire
Dd_k+ 1 g b n 6 r a l
ailleurs
-1(0
hyperplans
les
O~ kg d-2,
fournit
q u e Dd_k+ 1 o H = H° × T y , 0 ~ q u e P k < ( X , O ) ; D d _ k + l > a i r
Pk<(X,O)~Dd_k+l >~H
par
les
5.4.5),
de l a v a r i ~ t ~
supposer
des
a toutes
que
nous
U= ~N-2_
~N-2
transverse
(Chap.
1.2.1
cons6quent
de 0 p o u r
(Dd_k+l,H)
Proposition
projectif
mon£rer
au v o i s i n a g e D'apr~s
la
par
de l ' e s p a c e HE U s o i t
citb
X,
H N X° = P d _ 2 < ( [ X N H ] , O ) ~ D ~ > n x °
limite
470
mais
puisque
de [ X N H ] ouvert
(IX n H]°,Y)
en 0 est
vide
de Z a r i s k i
satisfait , donc
W~_ 2 t e l
les
le
conditions
terme
que pour
de d r o i t e
D2E W~_ 2 ,
Pd_2<(X,O);Dz>N Puisque
l'ensemble
1.3)
q u e D5 n e r e n c o n t r e
et
possible
(Sing
de c h o i s i r
D 2 ~ D 3 de t e l l e
fagon
(D 2 × Y )
Pd_2<(X,O);D3>N
(D E × Y) N X° = ~ i m p l i q u e
1.3
fallait
tivement
En c h e m i n ,
e n 0 6 Y, p o u r
satisfait 5 une question
une r6ponse
affirmative
Version Tb6or~me
dont
routes
donc un
de d i m e n s i o n
qu'en
[0}
~ 1 (Chap.
(Chap.
IV,
IV,
5.1),
il
est
que
par
avons
tout
consequent
que
IPd_2<(X,O);Ds>N
Hc~N
encore
contenant
les
de [ T e dans
le
vu que si
plongement
(X°,Y)
local
Yet
conditions
(D 2 × Y ) ]
= ¥,
a laquelle
assez
cas
particulier
V.
satisfait
(X,O)c
de W h i t n e y .
11],
:
les et
Soit fibres
supposons
d f : (X,O) ~(~,0) sont
les
(¢N,o)
g6n6rale, Ceci
Navarro
et le
r6pond
avait
condiroute
couple affirma-
d6ja
ou dim ¥ = 1 ( c f .
un morphisme
r6duites
et
purement
donn6 un ¢-plongement
X
~
tel
Nous avons
apport6
[Na l ] )
•
relative.
2.1
Y= ~ ( ~ ) c X
et
nous
non-singuli6re
([XNH]°,Y)
§ 2.
:
de W h i t n e y
hypersurface
polaire
d6montrer.
Remarque
tions
X~Y,
vide.
courbe
on a i r
est
tangent
Pd_2<(X,O)ID3>N
ce qu'il
NSing
est
la
(D 2 × Y) N X° =
X) N P d _ 2 < ( X , O ) ; D s > son c~ne
de W h i t n e y ,
~
i
¢×C
?
muni
d'une
de d i m e n s i o n
local
d.
section
~,
Posons
:
N
r]
9ue 7= ~× [0] •
Les conditions i) tangents
suivantes
L'hyper~lan a X° e t
sont
K= o × ~ N
6quivalentes
est
l'application
transverse Y~Nd+l
y~ (my(X),my(Pl(f,y)),...,my(Pd(f,y))) ii)
Le c o u p l e
de s t r a t e s
:
(X°,Y)
a toutes d6finie
est
les
Iimites
en 0 d'espaces
par
constante
satisfait
les
sur
7 au voisinage
conditions
de W h i t n e y
de 0 • en 0
471
(resp.
les conditions
de W h i t n e y s t r i c t e s
Prouvons i) ~ ii)'. est
au p l o n f f e m e n t l o c a l
dim ~ l ( y ) ~ (el.
Chap.
N-1 e t
U= ~ N - 1 _ - 1 ( 0 f transverse trons
P d ( f ~ y ) = ~.
de l ' e s p a c e
~ routes
les
dim ~ 1 ( ¥ )
hinsi
~N-1
il
existe
un o u v e r t
des hyperplans
impliquent
de ~N t e l
tangents
Pd(X~O)= ~.
ii)).
a f
on a ~ N-2,
d'6quimultiplicit6,
en 0 d ' e s p a c e s
que l e s h y p o t h e s e s
< dim C f ( X ) ,
a s s e z p r o c h e de O, dim ~ l ( y )
Par l ' h y p o t h e s e
limites
de O, comme en 1.21
Cf(X) ~ X l e m o r p h i s m e c o n o r m a l a s s o c i 6
X c E × E N. P u i s q u e
dim a l l ( O ) g N-2. )
d'abord
nf:
donc p o u r Y E Y - [ 0 ]
IV, 6 . 1 )
Pd(f,O) = ~ d'ou
Soit
au v o i s i n a g e
on a donc
de Z a r i s k i que t o u t
aux f i b r e s
donc
dense H E U soit o
de f .
Mon-
Consid6rons le morphis-
me c o n o r m a l a b s o l u
~N VN
C(X) f
X .~
D'apres droite fes
(Chap.
IV,
projective
de ~N
d'une certaine
point
§ 4) i l
assez
KE ~ N c o r r e s p o n d a n t
fie
transverse
E×~
pour S t r e
de ~ - 1 ( 0 ) .
a l'hyperplan L 1 de ~N
aux s t r a t e s
N
m o n t r e r que ~ - I ( L I ) = ~ ,
g6n6rale
stratification
P a r c o n s 6 q u e n t une d r o i t e sera
nous faut
XX × F
Or l ' h y p o t h ~ s e
O× EN n ' e s t
contenant
K et
d'une stratification
que n o u s p o u v o n s c a l e u l e r
transverse
o~ L 1 e s t ~ toutes
au d e m e u r a n t a s s e z g 6 n 6 r a l e
donn6e de ~ - 1 ( 0 ) .
Cela signi-
Pd(X,O) comme Pd((X~O);D2> ou D2 e s t
un p l a n de
vide,
( 9 , O) ~ ( X , O ) ' ~
h(m-[O])cX
°
un c h e m i n a n a l y t i q u e
e t que en t o u t
stra-
pas contenu dans ~-1(0).
Or s i P 2 ( ( X , O ) ; D 2 > n ' ~ t a i t
existerait
les
i m p l i q u e que l e
d o d i m e n s i o n 2 de E ×~N c o n t e n u d a n s O x e n . il
une
point
b:
x(t)Ch(D-~O~)
d i m ( T x , x ( t ) n D2) ~ d-1
on a i r
tel
que
pas
472
Mais puisque
~N n ' e s t
K= O×
D2 C O x C N, c e c i
dim(T
se.
implique~
D'apres
limite
d'espaces
N K N D 2) ~ d - 1
. f-l(f(x(t))
puisque
(Chap.
~
nant
implique
E x [0}
ouvert
D2 e s t
IV~ 6 . 1 )
que
(et
g6n6ral,
nous avons
et
l'ensemble
transverses
de Z a r i s k i
2 dans g ×tN), les
hypothbses
verses
aux
limites
d'espaces
aux l i m i t e s s'6crire transverse
aux
posant de i )
tangents
od T e s t
a T,
=
_
limites
~-1(0)
H= ~ × H le
long
TN K e s t
l'espace
tangents
tangents limite
une
,
de f~
d'espaces
Pk(f[~XNH]~y)
6quimultiples
par
sont
d'apres les
contradiction
le ~ng
l e mSme r 6 s u l t a t , multiplicit6s
r6currence
sur
sont
d que
mo(Pk(f,O))
l'on
l'on
et
que Het
que H
on d 6 d u i t
contre
(de
conteun
si
o
~ X° .
H contenait o
Ogk~
trans-
transverse est
aux
transverse li~ite
peut
Puisque
K est
de
donc
aux fibres
Les vari6t6s
de Y p o u r
est
codi-
satisfait
K sont
une telle
tangents
tangents
o
que O x H
En e f f e t
en O d ' e s p a e e s
limite
D2 = H c ~ N o
Du f a i t
a [XNH~ °.
voulue.
prouver
~N
a X° e s t
IX NH] = ( X N H ) r e d ~
h X° ,
la
et
f)
a l'hypoth~-
de ~ ×
tangents
g~n6ral
de g x ~ 0 ] .
aux fibres
une
o
assez
d i m ( T N H ) = d~ d ' o u o
O g k g d-l,
des hyperplans
en 0 d ' e s p a c e s
Par
et
contrairement
pour
-< N-2
on a d i m ( T N KN H ) = d i m ( T n H ) ~ d - 1 . o o
5.4.3)~
non critique
donc
~N-I
en 0 d ' e s p a c e s
en O d ' e s p a c e s
TnH
V
x(t)
Pd(f~O)/D
que pour un hyperplan
encore
limites
que
dense.
Montrons maintenant mension
a X~ e t
c'est-a-dire
ND 2) ~ d - 1
dim ~ - 1 ( 0 )
ce q u i
tangents
6quivaut
dim(Tx,x(t)
ce q u i
pas
f,
T N H on a u r a i t
polaires d-1
d'aprbs
(Chap.
IV~
a P k ( [ X N H ] ~ O ) = P k ( X , O ) NH p o u r
pr6serv6es.
I1 nous suffit
a l'6galit6
= mo(Pk(X,O))
pour
O~k ~ d
maintenant
de
473
Si d= I ,
d ' a p r e s ce que nous venons de v o l t , nous avons Po(f,O) = Po(X'O) e t
Pl(f~O) = PI(X,O)= ~ d'ou le r 6 s u l t a t . Supposons l ' a v o i r prouvb pour l e s morphismes dont l e s f i b r e s s o n t de dimension ~ d-1.
D ' a p r e s ce que nous venons de v o i r ,
nous avons
mo(Pk(f,O})
pour Ogk~
d-l,
= m o ( P k ( f l [ X N H ] , O ) = mo(Pk(~XNH],O) = m o ( P k ( X , O ) )
la seconde 6galit~
Pd(X~O) = P d ( f , O ) = 9 d ' a p r e s L'espace
X satisfait
venant
de l ' h y p o t h ~ s e
de r b c u r r e n c e ~
et
ce que n o u s a v o n s vu au d 6 b u t .
donc l ' h y p o t h e s e
i)
du Th6oreme 5 . 2 ,
d'ou ii)
d'apres
le
Th~oreme.
Prouvons ii) te limite
= i).
en O d ' e s p a c e s
La c o n d i t i o n tangents
que p ] u s h a u t on p e u t c a ] c u l e r
aussit~t,
l e s Pk<X,Dd_k+l > s o n t
~ X° e s t
de W h i t n e y i m p l i q u e a u s s i t ~ t transverse
~ K. P a r
que t o n -
l e m~me a r g u m e n t
Pk(X~O) comme P k < ( X , O ) l D d _ k + l > a v e c Dd_k+ 1 C K ,
e t p o u r Dd_k+ 1 C K a s s e z g 6 n 6 r a l , comme on l e v 6 r i f i e
a)
on a l ' 6 g a l i t 6
d'ou
6qnimultiples
le r6sultat, le
P k < f i D d _ k + l > = Pk<XiDd_k+l > puisque
l o n g de Y .
•
d'apr~s
l e Th6oreme 5 . 2 ,
474
C H h P I TRE
V I
CONSEQUENCES
Introduction. quences la
Darts c e c h a p i t r e ,
des
r6sultats
"r6ciproque
Exemples.
1.1
Le c a s Soit
telle
que
gularit6 d-k+l.
F(y~zl,...~Zd+ chacune
des
fibres
les
..
liere.
qui
pique
espace
X(y) = ([y] × cd+l)
coordonn6es
l a m~me r a i s o n est
r6union bF
de f a ~ o n
f : X~¢
o dans
la
chaque
fibre.
une des
suite
de c o d i m e n s i o n g6n6ral
polaire dans
Cd + l
que plus r6guli~re.
composantes
• . . , ~5F) qui 5Zd+ 1 composantes irr6ductibles
conse-
me s e m b l e
par
~tre
ne peut
de ¢ d + 2
done
est
on v ~ r i f i e pour
la vari6t6
de l a
~tre
par
courbe
contenues con£enue
ce
~ × [0].
5F
~Zl ~'''~
~--Zd+l
suite
(Chap. est
syst~me
le
IV~ sous-
8 5F ). Zd+ 1
de g 6 n 6 r a -
relative
est
la
l'id~al
A u c u n e de c e s
l'hyperplan
)
r6gu-
~F ~'''~ 8Zd_k+ 2
par
et
que
(5F
d'apres
£ d~finie
dans
Prl :E ×E d+l.¢
une
polaire
dans
par
O~ k~ d-1 (F,
~ sin-
de c o d i m e n s i o n
implique que
Pk/~
pas
par
et
si
k = d~
hypersurface
d6fini
L'hypoth~se grand,
Xc~×¢d+l
vectoriel
induite
engendr6
irr6ductibles
une
soit
l'id6al
Pour
ne sont
qu'il
Pk
haut,
hypersurface
NX s o i t
de D d _ k + l ~
relative
une
projection
d+l
la vari6t6
des
isol6e.
un sous-espace
un sous-espace
de X d 6 f i n i
teurs
pour
N assez
que
importante
~ sin~ularit6
~ouation
Dd_k+ 1 ~ ¢ d + 1
assez
quelques-unes
La p l u s
~ ~. , ~F ) ~ ( z I .. Zd+l) N pour "~ ~Zd+ 1
Pour un choix
1.5)
1) = 0 u n e
Choisissons
section
pr6c6dent.
d'hTpersurfaces
e n O. S o i t
d6finit
(F,
familles
bri~vement
de T h o m - M a t h e r " .
= Zd_k+ 1 = O. N o t o n s
( ~F "~zl ~
Pour
des
isol6e
z 1 .... la
du c h a p i t r e
du t h 6 o r ~ m e
§ 1.
j'indique
og~d*l
.
475
Si
tel
6tait
le
cas~
non constant
et
tel
est
un hyperplan
F(O~Zl~...,Zd+ ne peut
qu'en
limite
en effet
un point
g6n6ral
de ~ d + l
1) = O e s t
~tre
cation
on a u r a i t
de N a s h de X(O)
g6n6ral
est
x de s o n cela
isol6e.
tangents
de d i m e n s i o n
(~O)
en utilisant
Par
~(X(O)~O)
image Tx(O)~xCD 1 ,
puisque
~ d-1.
le
la
fibre
et
et la somme
la
de
que de C d + l
la modifi-
suite
le morphisme
des
@ : P~
longueurs
d'anneaux
artiniens
l(y)
est
ind6pendante
D'apr~s
[Te
1,
plan
Chap.
est
de d i m e n s i o n
rence
il
y/
O assez
Un a r g u m e n t point
II],
pour
xE ~-l(y)
le
hombre
i assez
x
(y),x
)
g6n6ral
~ (C× ~O}),
) = ~(d+l)(x(y))
de M i l n o r
= ~(d+l)(X(O))
on a
+ ~(d)(x(y))
e n O de l ' i n t e r s e c t i o n
de ~ d + l ~ y }
× ¢d÷1
passant
de X ( y ) par
avec
O. P a r
diff6-
+ ~(d)(x(o))
_ (~(d+l)(X(y))
+ %(d)(x(y)))
analogue
permet
de v 6 r i f i e r
que pour
yff
on as
en notant
~
~y} × O de ~ × (O}
On v o i t l'on
un
petit.
m (Pk(f;O))
que
1
vient
mo(Pd(f,O))
pour
~-
de y E ~ •
dimE(%-l(y),
o~ ~ ( i ) ( X ( y ) )
J dim¢(O
que
dans
ce cas
a 6quivalence
particulier entre
: g(k+l)(x(y))+
le
Th6oreme
~(k)(x(y))
2.1
du C h a p i t r e
,
o~ D 1
fair
g6n6ral
cons6quent
r6guliere,
,
h:
Or u n h y p e r p l a n
a X(O)°~
bZ bF y) est encore une suite -~o ~.. ., ~ , 8Zd+ 1 induit par y est un m o r p h i s m e fini et plat,
(F
analytique
; on v 6 r i f i e
a singularit6
d'espaces
un arc
V signifie
le
476
1)
La s u i t e
voisina6e 2)
~
((d+l)
=
y
(0)
(X(y)),...,~
(X(y)))
est
ind6pendante
de y E C a u
de 0 .
Le c o u p l e
les
conditions
1.2
Le c a s
(xO,~×
~0])
de W h i t n e y
d'une
strictes
famille
Consid6rons
la
satisfait
les
au v o i s i n a g e
de c o u r b e s
surface
conditions
ou l a
en 0 (resp.
de 0 ) .
dimension
X c E × ~3 d 6 f i n i e
2 F 1 = z 2-
de W h i t n e y
par
de p l o n g e m e n t
les
saute.
deux 6quations
3 z 1 + yz 3 = 0
2 5 F 2 = z 3 -z I z 2 = 0
Soi t
f:
la
X ~
le morphisme
section
La f i b r e
d6finie
X(O) e s t
z2= t 6,
plane
de P u i s e u x
cit6
4 le
PI(X,O)
bien
que
:
a [Z 2].
satisfait
les
espaces
Par
Remarque
R~onse
7/4).
I1
3],
Y d'un
est
le
dimension
On p o u r r a i t
p r I : E × E3 ~ • e t
projection
donn6e y/
parambtriquement
O,la
fibre
clair
d'ou
que X est
est
pri6
couple
aussi,
est
X(y)
soit
des
cet
en utilisant
r6solution
: Zl= t4,
z2= t6 -~
que
exemple
la
saute
III,
forte
t 7 +-~Y2 t l 6 + . - - ,
courbe les pour
v~rifier
(Chap.
s~multan~e
de m u l t i p l i -
se trouve
cir.)
polaire
conditions t = O.
dans que
Prop. des
a la
caract6risti-
satisfait
fibres
z I = t 4,
isomorphe
6quimultiple
de v 6 r i f i e r
a u v u de ( L o c .
qu'une
est
(X°,~ × [0])
tir~
par
a deux exposants
de p l o n g e m e n t
de W h i t n e y
l'ap-
(X°,Y)
5.2.3).
Le
singularit6s
z3= tl 3_~
tl 5 + ...
de Z a r i s k i .
§ 3, Q u e s t i o n espace
la
z2z2= 0 qui
Le l e c t e u r
a une question
([Z
X et
z~)2-
La t h ~ o r i e
par
tout
cons6quent la
v6rifier
d6crite
monomiale
(z~-
conditions
pourra
Dans
et
par
(y~O,O,O).
que pour
de C x ~ 0 ] .
pendice
§ 2.
alors
vide.
de W h i t n e y ,
de X e s t
courbe
(3/2
long
est
lecteur
~(y)=
d'6quation
ques
1.2.1
la
z3= t 13,
courbe
par
i nduit
C) Z a r i s k i
analytique
demande
non-singulier
si, Z,
6rant
donn6 deux sous-
l'ensemble
B(X,Y)
des
477
points
y E Yen
Whitney le
cas
si
:
analytique le
couple
analytique et
il
ne satisfait
ferm6
de Y.
avait
prouv6
donn6 un sous-ensemble 6quidimensionnel
(X°,Y)
:
ferm6
D6composant
rare
Yen
pas
les
(En f a i r que
conditions
Zariski
la
r6ponse
analytique
ferm6
local
pas
l'ensemble les
de
6tudie est
affir-
La q u e s t i o n
XG t N e t
B(X,Y)
conditions
Y d'un
des
points
de W h i t n e y
y E ¥ est
de Y .
composantes
Y 6quidimensionnel.
un plongement
X,
ne satisfait
analyti~ue
D6monstration supposer
Etant
r6duit
un sous-ensemble
choisir
(X°~Y)
d i m X= d i m Y + I . )
en lesquels
peut
couple
une hypersurface~
Proposition
espace
le
un sous-ensemble
oh X e s t
mative
2.1
est
lesquels
irr6ductibles~ est
consid6rer
locale le
on v o i t
sur
que
Y. On p e u t
diagramme
l'on
donc
:
ey EyC(X)
gyX
o~ ~ e s t
le morphisme
me t r a n s f o r m 6 D'apr~s (cf.
strict
1'existence
[Le-T
23)
un sous-ensemble son
de a p a r
1'ensemble
est
ne satisfait
le
r6sultat.
D'aprSs
pas
•
N
de Y d a n s
les
X et
a~
le morphis-
e¥.
ferm6
B(X,Y)
d'o~
cy l'6clatement
par
l'6quidimensionnalit6
de E y C ( X ) .
un sous-ensemble
N-2.
• X~ E
C(X,Y) = [zE ~-l(y)/dimz
analytique
dim C-1(¥)=
oh (X°~Y)
ey
de s t r a t i f i c a t i o n s
image ~(C(X,¥))
puisque
conormal~
,C(X)
(Chap. conditions
:
(Sing
~-l(~(z))
Puisque
analytique V,
1.2)
>N-2-
le morphisme ferm6
Y)U~(C(X,Y))
est
B(X~Y) :
fibres
dim Y} e s t ~ est
de Y, r a r e
l'ensemble
de ~ h i t n e y
des
des
propre~
dans
Y
points
478
Remarque suppos6
§ 5.
:
Dans le
cas
non s i n g u l i e r ~
o~ X e s t
une rbponse
La s t r a t i f i c a t i o n Rappelons
la
N o t o n s comme en
grant
construction
ferm~s
IV,
par
MX, x l a
polaires
analytique
r6currence
canonique
de [ L ~ - T e
5.2)
des vari~t~s
donn6 un e s p a ce
d~finissons
affirmative
de W h i t n e y
(Chap.
des multipBcit~s
une hypersurface
une
donn6e
espace
6.1.5~
singulier~ dans
[B-H-SJ.
analytique.
(voir
aussi
Chap.
III,
§ 3).
(mx(X)~mx(Pl(X,x),...,mx(Pd_l(X,x~) au g e r m e
r~duit
filtration
6t6
lieu
(X~x).
localement
de X p a r
des
~quidimensionnel
sous-espaces
X
analytiques
:
comme c e c i o
d'un
associ~es
complexe
Y son
avait
suite
X = F o ~FI~
F
1,
et
...~Fk~
...
:
= X ; soit
X= U F
o~j
la
d~composition
F 1 = U f x C F o , j / MX, x ne p r e n d
pasta
de X en c o m p o s a n t e s
valeur
qu'il
prend
irr~ductibles
en u n p o i n t
g~n~ral
J
de F
.}. ol.]
Notons que cette F 1 = Sing
=
est
(1,0,0,...,0)
avec
dim F
- 1 z6ros
et
que
au § 2 c i - d e s s u s ,
et
o,j
X.
Supposons Fk
valeur
avoir
U
d6fini
B ( F i , F k _ 1)
Fo,FI,...,Fk_ avec
la
1 ~ et
notation
d6finissons
introduite
Fk : l'on
O~i~k-2 v6rifie soit
au moyen de
(Chap.
Fk_ I = U F k _ l , J k _ l
Fk est
la rbunion
ferm6s
en n o m b r e f i n i
la
du l i e u
V,
1.2)
que
l'on
d6composition sin~ulier
d6finis
peut
de F k e n
de Fk_ 1 e t
comme s u i t :
aussi ses
des
dbfinir
F k comme c e c i
composantes
irr~ductibles
sous-ensembles
analytiques
Ix ~ Fk_l~
/
l'une
des
suites
Jk-I MX,x,MF1 ~ . x , . . . , M F 31 ' point D'aprbs
g~n~ral (Chap.
. k_2~Jk_2~ x
de F k _ l , J k _ l V, 1 . 2 )
ne p r e n d
) .
on a d o n e
:
pas
en x l a v a l e u r
qu'elle
prend
en un
:
479
3.1Pro~osition-D~finition (Og j)
est
suffit
stationne les
X
que puisque
stratification
Fk+ 1 e s t
d a n s Fk ~
en fair
globalement
connexes
des F.-
F
constructibles :
F3 +1
de
des
si
rare
X est
bien
des
la
de d i m e n s i o n
filtration born~e~
sous-ensembles
et
analytiques
dans X.
Etant
__de X~ c h a c u n
sont
j+l
donn~ une s t r a t i f i c a t i o n f e r m ~ s F.1 d ~ f i n i s
plus
de W h i t n e y q u e l c o n q u e haut
est
r~union
de s t r a t e s
•
Dbmonstration
:
On p e u t
supposer
un f e r m ~ F c X
est
r~union
de s t r a t e s
chaque
composante
que composante et
d e s • F . 3-
de X~ a p p e l ~ e
et
Proposition
X= U X
connexes
de X .
localement~
non-singuliers
des composantes
de W h i t n e y
de r e m a r q u e r
composantes
3.2
La r ~ u n i o n
une stratification
Whitney canonique I1
:
done si
de X
~
X= F
est
est
o
la
et
irr~ductible
done e s t r6union
r6union
Pour cela~
il
strate
X~ r e n c o n t r e
cette
d'apr~s
de s t r a t e s .
de s t r a t e s soffit
d'uns
une
dedans~
Xa c o n n e x e s .
de F e s t
de F c o n t i e n t strate
les
k< i
X
de p r o u v e r
r~union
qui
est
condition par
J~,
o fication tible
d'apr~s
de W h i t n e y
Fk,Jk
l'hypoth~se de c h a q u e
de F k q u i
q u e Xa n S i n g ( F i _ 1 ) ~ . o Sing(F i _I)cF i ~ la o o
le
Si
puisque
Xa n ' e s t
fonction
pas
MF
de i
o
q u e Xa N S i n g ( F i
_1)=~.
de F. , 1°
composante
cela
irrbductible
signifie Fk
entier la
prend
e n un p o i n t
le
long
de F.
consequent
q u e p o u r un k < i
g~n6ral
si
o
pas
~
la
entier
montr~ que Fk
en x
composonte
Fi
de Xa ~ -1,j
"
X~ ~F.~
d'abord
F.1 - 1 , j o contraire-
Nous p o u v o n s
J~ par d~fio MF d'une k~Jk
~ X ~F. la valeur a ~o _],j
o
irr~duc-
dans
fonction
o d'une
L'espace
c o m-D o s a n t e i r r ~ d u c t i b l e
'Jk qu'elle
l'adh~rence
Supposons
contenu
une strate
de F k ne p r e n d
cha-
composante,
composante
o nition
cette
avoir
connexe.
constante
Par
En e f f e t
rencontre
m~me de c h a q u e
-llj
de F i - 1 q u i c o n t i e n t Xa ne s a u r a i t ~tre o ment ~ l'hypoth~se selon laquelIe X est done suppeser
X
Xa e s t
tout
(X),
e s t r ~ u n i o n de s t r a t e s o on a XaCF.1 Or s i o est une strate d'une strati-
}~
de r ~ c u r r e n c e ~
contient~
elle
que si
q u e F. 1
Xa n F i
Fk ~ k < i ° ~ e t
dans
de f r o n t i ~ r e .
o X ~ F
de s t r a t e s .
r6currence~
montrons
que si
de W h i t n e y
dense
composante~
la
et
o
stratification
aussi
Supposons~
pour
Remorquons d'abord
En p a r t i c u l i e r
480
XoE F k ~ J k p a r
semi-continuit6
la
remarque.
Si
X
est
a eelle
6gale
nons aussit~t
ia valeur
(cf.
Chap.
que p r e n d
qu'elle
prend
une contradiction
la
IV~ 6 . 1 )
fonction
en u n p o i n t
si
X ~F i
et
donc X C F k , J k
NFk,3 k e n g6n6ral
puisque
le
long
dolt ble
de X a
~tre
Sinon~
tant
Remarque routes
le
les
long
contient
que k s i
:
Cela
o
-1~
:
Le c o n c e p t
duit
d.
Mather
nique~
par
elle.
beaucoup
4.1
On v i e n t plus
nous obte-
-1,j'
doit
8tre
eonstante
done
la
fonction
NF
la
est
t'argument ainsi
la
composante
ci-dessus~
finalement
stratification
irr6ducti-
ce q u e
l'inclusion
canonique
est
l'on
peut
X c F. ~ 1
minimale
. • o
parmi
dont
§ 4)
celui
: route
de W h i t n e y
: il
d6crit
darts l e
cohstruit ici
est
canonique
intro-
une stratification
un a v a t a r ,
que
la
stratification
cas
analytique
stratification
a 6t~
et
montre
canonique
com~lexe,
de W h i t n e y
cano-
est
que
toute
coincide
un r 6 s u l t a t
plus
fine
que
la
canonique.
du t h 6 o r e m e
quelques
Proposition purement xE X
de T h o m - M a t h e r avec
rappels
([L~-Te],
et
entier
(X,x)c i ~ d
grassmannienne
Prop. d,
(~N,x) ~ __°~ d des
~> 0 et
(Tout
ce p a r a g r a p h e
pr6sente
un
L~ D . T . ) .
:
de d i m e n s i o n
L E W un nombre r ~e l o rayon
prouve
[Ma],
D'abord
s...~eW de l a
. Fk+l~ak+l
de s t r a t i f i c a t i o n
en c ollaboration
cha~ue
o
de W h i t n e y de X .
travail
X. S o i e n t Pour
l'on
de v o i r ~
pr6cis
R6ciproque
r~duit~
~
ou
de W h i t n e y m o i n s f i n e
stratification
§ 4.
i
de
k'Jk
X CFk+ 1 ,
On r 6 p ~ t e
que
(cf.
un p r o c 6 d 6
stratification avec
et
signifie
Remarque
de X
Xa .
stratifications
par
de F.
g~n6ral
k+l~Jk+l
constante
de Fk+ 1 q u i
faire
on a l ' i n c l u s i o n
un p o i n t
M;
o
d'apr~s
6.1.8) et
Soient
X= UX
= dim Xa ,
il
local
dense
~<<~ tels
i
U de l a
que,
analytique de W h i t n e y
de X au v o i s i n a g e
existe
de c o d i m e n s i o n
un ouvert
X un e s p a c e
une stratification
un plongement
plans
~ d a n s E N, u n n o m b r e r 6 e l
:
notant
de x •
un o u v e r t
de Z a r i s k i
d_..~e EN~ e t
pour
boule •
ia
de c e n t r e boule
de
den-
cSaque x et
de c e n t r e
de x et
481
de r a y o n
e dans
tN
on a i r
y ( X ~ (Lo + t ) n ~ e ) L
o
+ t repr6sente
4.2
Th6or~me
Whitney
ne d6pend un plan
([L$-Te
de X~ e t
soit
tion
:
1)
canonique.
que
Th.
X
de
la
la
On l a
:
Soit
cir.)
vaut
×i-d
(X,X)
~ passant
o
a
une
par
. (Ici le
point
stratification
t
de
x E X. On a l ' 6 g a l i t 6
mx(Pd _da_l(X~,x))(l-
ce th6or~me
en fair
L
X= UX
contenant
d'Euler-Poincar6
notera
direction
(-1) d~-da-I
(Loc.
La p r e u v e
;
strate
caract6ristique
(X,X).
6.1.9)
) = ~Z /~
Dans
t E U~ l a
parall~le
J,
x1(X,X ~) - Y2(X,X
Remarques
: pour
pour
est
6nonc6
n*importe
Yl(X,X~))
pour
quelle
la
stratifica-
stratification
de
Whitney. 2) ~-dire
l'intersection
Goresky dans
Le c a s
et
leur
Iet
latives la
d'une
suite
X par Soit
II
g
des f:
et
121)
plans
(~d+l,O)
dans
(Loc.
de M i l n o r
g~n~raux
passant
cit.)
ailleurs,
xi(X,{O])
ce qui
v6rifie
en adaptant
bien
le
de ( X , X a ) ,
singuliers,
par
(cf.
isol6e [Mi])
O-
(1~ ( i ) -
dont
(X,O)
~X
pour
objet
(cd+l,0)
sections
est
la
O~k~
de
([Te
polaires en fonction
planes
~(XA Hi,o)
important
formules
des vari6t~s
des
ce que
[G-M]).
des
(X,O)c
c'est-
g6n6rales
ou dim H i = i ) .
fibre.
On a
d-1
:
([Mi])
= 1 + (-1) d-i
link"
de 4 . 1 ,
= dim X + 1 est
la g6n6ralisation
(cf.
= Pk(f,O)
on p r o u v e
O
construction
la multiplicit6
un morphisme
mo(Pk(X,O))
Par
est
~ singularit6
Pk(X,O) et
espaces
4.2
codim L
"complex
les
nombres
~ (~,O)
avec
E
exprimant
hypersurface des
le
sur
Le T h 6 o r e m e [Te
i = d a + 1 de l a
+ t) n ~
O
appellent
de M o r s e
3) Chap.
X ~ (L
MacPherson th6orie
particulier
= g(k+l)(X,O)
on p r o u v e
~(d+l-i)(x,o)
Th6or~me 4.2
dans
+ u(k)(x,o)
que
(avec
ce cas,
les
notations
avec
Xa = [ O 3 ,
de 4 . 1 )
X~ = X - { O ) .
17,
rede de
482
4.3
Rappelons
4.3.1
maintenant
l e Th~or~me de T h o m - M a t h e r .
Th~or~me ( T h o m - M a t h e r darts l e c a s p a r t i c u l i e r
complexes
(cf.
[Th],
stratification au v o i s i n a ~ e ouvert
IMam)
:
de W h i t n e y . de x~ t o u t e
Soit
X= UX a
Pour tout
r~traction
U de x d a n s tN t e l
hom~omorphisme compatible
~ue,
point locale
des espaces
analytiques
analytique
muni d ' u n e
un e s p a c e x~ X , p :
tN
tout
~X
en p o s a n t V = ( I n X
plon6ement
, il
on a i t
existe :
il
local
XcC N
un v o i s i n a ~ e existe
un
avec pet
XNU
~
(p-a(x)
q X N U ) xV
v
induisant
p o u r c h a q u e ~p c o n t e n a n t
XpNU
P
Xa un h o m ~ o m o r p h i s m e a n a l o g u e
~
(p-l(x)
~
/
NXp N U) xV
PrJ/2
V
Remarquons maintenant
4.5.2 tout
Proposition plongement
ouvert
que d ' a p r e s
:
local
de Z a r i s k i
S__~i ( X p , X ) (X~,x)c
(Chap.
satisfait
(~N,x)
d e n s e N de l ' e s p a c e
vectoriels
non-singulier
1..2)
on
a,
en p o s a n t
]es conditions
au v o i s i n a g e
.3" : T x c ~ , x C P N - d o - l C D N
d'espaces
V,
d
= dim
de W h i t n e y ,
de x E Xa c ~ p ,
il
X
pour
existe
un
des drapeaux
-
d -2 ¢:'''cD
0
contenant
TX ,x t e l que p o u r 2~E W e t t o u t s o u s - e s p a c e a Hi de c o d i m e n s i o n i c o n t e n a n t ):~ e t t e l ~ue TIi,x = Di , on a i t
:
483
le
couple
de s t r a t e s
En a b o u t a n t de T h o m - M a t h e r q u e X~ e s t mais
: Si
pour
I'intersection C'est
cet
4.4
Th~oreme
tout
sous-espace
d,
suivantes x E Xa e t
de Z a r i s k i
on v o i t
dense
TH
~u e p o u r ~ E W e t i,x
pour 2)
= Di , tout
~
H.
n H. s o i t 1
X~ e t
aussi
qui
:
l'on
et
soit
peut
de W h i t n e y .
renforcer
de W h i t n e y , le
long
au s e n s
g 6 n @ r a l Hi
topologiquement
th~or~me
non seulement
de X~,
assez
le
cha-
de 4 . 3 . 1 ,
contenant
triviale
le
X
long
X un espa c e
X= UX
~quivalentes
tout
plon~ement
non sin~ulier localement
complexe
r~duit
de X en s o u s - e s p a c e s
dans X.
sont
W de l ' e s p a c e
analytique
une partition
constructibles
: local
des
(X,x)c
(EN,x)
il
existe
un
drapeaux
"'" c D I ~ D
° : EN
de c o d i m e n s i o n
topblogi~uement
i
contenant
trivial
le
X
long
et
avec
de X en x , a --
O~ i ~ N - d a - 1 •
La d ~ m o n s t r a t i o n
d~taill~e
1) r ~ s ~ l t e
essentiellement
est
une stratification
sera
donnbe
de W h i t n e y
ailleurs.
du Th@or~me de T h o m - M a t h e r . sur
les
r~sultats
de X .
Nous v e n o n s La p r e u v e
du C h a p i t r e
Yet
le
de
de v o i r
1) ~
2)
Th~or~me 4 . 2
ci-dessus.
Remarque
:
I]
xcfN
tels
que
tions
XND~ .
serait l'image
plus de X
simple soit
de
admet une r~ciproque.
Soit
X= UX
s'appuie
conditions
non-singulier localement
La d 6 c o m p o s i t i o n
c o m m e n t 2) ~
que
trivial
& : TXc~xCDN_dc_IC
tel
les
une stratification
(L~-Teissier)
tout
satisfait
topologiquement
n2n-sin~uliers
Pour
ouvert
est
@nonc~ r e n f o r c ~
Les conditions 1)
(X) a
de d i m e n s i o n
analytiques
,Y)
~ 4.3.1,
X~ NH.1 e s t
X
purement
4.3.2
localement
encore
o
([X~(] Hi]
de ne r e g a r d e r lin@aire
et
que
les
de r e g a r d e r
plongements alors
les
locaux intersec-
,
4134
4.5
R6alisation
un espace il
analytique
r~sulte
×i(X~3,X
de l a
stratifi~
5.1
la
de 4 . 2
polaires
suite
X et
Rapport
par
avec
:
dimension
d~ ¥ c X
singulier
de ¥ .
i) ii) lin6aires
cas
un ouvert
existe
p : ~N~d+l
une hypersurface
tel
pourrait
utiliser
les
On p r e n d r a
bien
projection
p "cr~e
:
stricte
: la
doubles
~vanescents
§ 6.
l'6quisin~ularit~
Tr~s
sommairement,
varifies
est
Pl
l'image (cf.
polaires
Xl3 e t ia
X=UX
collection
des
mx(Pk('~-~3~x))
eat
d~termin~.e
topologie
g~n~rales,
analytique ferm6
par
de l ' e n s e m b l e
au v o i s i n a g e
de x .
aussitgt
dense
garde des
OC ¥ u n p o i n t
est
X1 = p ( X )
projections
on a i t
: X1 e s t
e n O= p ( O )
et
le
en O.
V, de
l'inclusion
singularit~s"
non-
en O.
des
non-singulier
(Chap.
de
:
U de l ' e s p a c e
m6triques
que
et
de W h i t n e y
de W h i t n e y
de
purement
6quivalentes
conditions
¥1 = P ( Y )
r6duit
r6duit
pC U~ e n p o s a n t
in6galit6s
~ la 6rant
A1 p a r
Chap. est
la
donn6
2.1
et
(Chap.
Chap. III~
XO 1 cp(X °) et
IV~ 5 . 5 ) .
On
2.1).
est
en g~nbral
en particulier
des
points
X1 .
Sur
de Z a r i s k i polaire
r6sulte
sur
leo
conditions
:
Remar~ue
par
sont
de Z a r i s k i
D6monstration aussi
Cela
que
des multiplicit~s
locales
suivantes
satisfait
les
Etant
de W h i t n e y
facile
de s t r a t e s
un espace
de E d + l
satisfait
r6currence
d6termin~e
que pour
r6duite
stratification
analyti~ue
Leo c o n d i t i o n s
I1
Introduction).
hypersurfaces.
un sous-espace
(X°~Y)
(cf.
collection
planes
xc~N
Le c o u p l e
( X ~ Y 1)
bien
des
Soient
une
adherences
sections
le
d'une
la
des
MX,x e s t
de s e s
Proposition
couple
X muni
) ou x E X0 c ' X ~ d ~ t e r m i n e
Ainsi
§ 5.
B) du p r o g r a m m e
complexe
de l ' ~ g a l i t ~
en x den vari6t~s elIe.
partie
que
IV, l'on
Zariski
(cf.
donn6 xc~N une § 1). n'a
projection A priori~ pas
[Z 1], un objet
~Z 4 ] ) . essentiel
gbn~rique
p:
un avantage
a prefidre
d'image,
~N
pour [d
du p o i n t donc
la
th~orie
de l a v a r i ~ t ~ de v u e
on n ' a
pas
des
485
faire par
d'61imination, exemple
lorsque
n'intervient salit6
fait
IV f o n t
au c a s
le
rapport
des r6sultats
que
le
De ce p o i n t
fait
conditions
5.3.5)
r6ussi
largement encore
ouverts
un r ~ l e
solution et
: Soit
projection pour
p:
g~n~rale
tout
Probl~me
:
un o u v e r t
de Z a r i s k i
P: cN
Etant
~d-k÷l
t~ polaire
"~ l a
interchan-
le
le
les
je
cas
l'6tude
est crois
entre ~ et
la
par
du r a p p o r t
fait
que
plus
les probleme
(c~.
[ B - H I ) ou
Chap.
III~
de W h i t n e y ~
polaires
con-
de Y.
Zariski,(voir forte
conditions
terminer
le
long
le
Dans
qu'une
beaucoup
rapport
dis-
[Bu].
g6n6ral
le
vari6t6s
veux
je
Zariski"
~
les
du c r i t ~ r e
de X e s t
simultanbe
pour
que
pratiquement
~ la Zariski
un s o u s - e s p a c e
~c+l
est
analytique
une projection
Z~ r e l a t i v e m e n t D~
telle
×~
dans
As )
de t r a n s v e r -
mais
de W h i t n e y
ici
et
avancer
morphisme h:
(h(t)(Z)~t)~c+l
que
(resp.
locales
restent
joueront
un p r o b l ~ m e
dont
vari6t6s
polaires
entre
la
Zariski.
pour
de ~N d a n s ~ c + 1
est
simples,
r~sultats
quelconque
myst6rieux
r6solution
faire
les
tres
Pl
g6n6ralisation
l'~quisingularit6
questions
zcEN
~N
bien
cas
polaire
sont
la
de d 6 t e r m i n e r
I 1 me s e m b l e
~ la
et
de c o u r b e s
6quisingulier
de l a
crois,
8oit
famille
stratification
~ le
ces
je
6quisingularit6
dans ~N
res
dans
ferait,
D~finition
si
.
pour
Dans les
vari6t6
deux th6ories
travail-ci
"num6riquement" au s e n s
la
ou non~
l'6quisingularit6
l'6quisingularit6 comme j ' a i
1,
vide
encore
probl~me
de W h i t n e y e t
de c a r a c t 6 r i s e r
d'une
que X soit le
les
est
d'une
de vue~
calculables.
~ consulter
de ce
une strate
plus
d'etre que
de Z a r i s k i
soit
faible
le
texte
g6n6ral,
s6ouence YcX
que p a r
sont
de c o d i m e n s i o n
Un e x c e l l e n t
criminant cas
elles
Y est
du C h a p i t r e
geables.
le
et
~
lin~aire. ~ une
ou ~ d ~ s i g n e
q u e h ( O ) = p~ l a ~quisinguli~re
donn~ x~ N dense
le
montrer
Wk de l ' e s p a c e
tel
que pour
p 6 Wk ,
Pk
~
du p o i n t
de v u e
la
r~duit
Nous d i r o n s
d~flnition l'espace
famille long
que p o u r
des
des conditions
p soit
c
une
de l ' ~ q u i s i n g u l a r i t ~ , lin~ai-
images
de 0 × ~
tout
pure
que pest
des projections
en O× 0 .
k~ O ~ k ~
des projections
projection
de d i m e n s i o n
d-l~
il
existe
lin~aires g~n~rale
de W h i t n e y ~
pour
la vari~-
ou m i e u x e n c o r e
486
de l a
r@solution
Remar~ue
:
tre
est
V~ e t
simultanbe
Le c a s
k = d-1
forte.
est
une partie
d~ ~ B r i a n ~ o n - H e n r y
dans
le
essentielle cas
du Lemme-cl@ du C h a p i -
d = 2~ s i n g u l a r i t @
isol~e
[B-H].
487
BI
[A1]
A.D.
[Bbk
~]
OGRAPHI
ALEKSANDROV : T h e o r y
Sbornik p.
BLI
44 ( N . S . ,
27-46
et
t.2),
227-251.
p.947-972
of Math.
University
par
Prof.
Schneider.
le
R.
N. BOURBAKI
of mixed volumes, et
Une t r a d u c t i o n
(Dept.
E
4 articles
1205-1238, par
of Oregon)
le
m'a
et
Prof.
dans
45
J.
(N.S.,
Firey,
aimablement
: Algebre
commutative,
Chap.
Y~ § 1,
[ B b k 2]
N. BOURBAKI : A l g ~ b r e
commutative,
Chap.
VIs
[ B b k 3]
N. BOURBAKI : A l g e b r e
commutative,
Chap.
VIII,
structure
des
t.
2),
en
1966-67,
~t~ envoy~e
Hermann~
§ 1,
Mat.
Paris.
Hermann~
Masson~
Paris.
Paris
(en pre-
paration). [B-C]
F.
BRUHAT e t
ques [B-G-G]
J.
r6els,
matique J.
Note
aux C.R.
de c o u r b e s
de F r a n c e ,
BRIAN~ON e t
de s u r f a c e s
la
hcad.
BRIAN~ON, A. GALLIGO e t
des germes
[B-HI
H. CARTAN : S u r
J.M.
gauches
Nouvelle
J.P.G.
Sc.
Paris,
sous-ensembles
t.
244
GRANGER : D ~ f o r m a t i o n s
r6duites, s6rie,
M6moire
N° 1,
isel~es,
Bull.
988-990.
6quisingulieres
de l a S o c i 6 t 6
Math6-
1980.
HENRY : E q u i s i n g u l a r i t ~
a singularit~s
(1957)
analyti-
g~n6rique S.M.F.,
des
108,
families
2 (1980)
259-281. [B-H-S]
J.
BRIAN~ON, J . P . G .
en un point (1976)
sont
HENRY e t
J.P.
analytiques,
SPEDER : L e s c o n d i t i o n s
Note
aux C.R.
head.
Sc.
de W h i t n e y
Paris,
t.
282
279.
tf
[Bo]
E.
BOGER : Z u r t h e o r i e
Math. ~B-S]
J.P.
J.
221
BRASSELET e t
ble ~B-Sk]
Annalen~
analytique BRIAN~ON e t
[Bu]
R.O.
Paris,
t.
M.H.
saturation
hst~risque
H. SKODA : S u r holomorphes
278
(1974)
monomial
analytischeu
les
classes
la
N° 8 2 - 8 3 clSture
en un point
algebren,
de C h e r n
(1981)
int~grale de f 4
93-147 d'un
Note
d'un
ensem-
(S.M.F.).
ideal
de g e r -
aux C.R.
Acad.
949-951.
BUCHWEITZ : On Z a r i s k i ' s
non-smoothable
bei
119-143.
SCHWARTZ : S u r
complexe,
m e s de f o n c t i o n s Sc.
der
(1974)
curves,
criterion These
for dtEtat,
equisingularity Paris
VII
and (1981),
voir
488
aussi [Ca]
Proc.
A.M.S.
Symp.
on S i n g u l a r i t i e s ,
Arcata
1981
(~ paraltre).*
S6minaire H. CARTAN 1960-1961, P u b l i c a t i o n s de l ' I n s t i t u t
Henri P o i n -
car@. [Ch]
D. CHENIOT : Note
[G-HI
P.
M. GIUSTI
print, L.
et
J.
transversales t.
275
d'un
(1972),
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J.P.G.
of
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28 ( 1 9 7 4 )
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d'espaees
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au C.
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No 1 6 9 "
Van N o s t r a n d ~
REGULAR
STRATIFICATIONS
AND
DAVID
When in 1964 and
(b)
[20,21]
SLrFFICIENCY
OF
JETS
TROT~N
Whitney defined his regularity conditions
and proved the existence of regular stratifications
varieties, he explained how
(a)
of analytic
Thom required that a certain condition be generic
so as to ensure stability of transversality.
This condition I call
(t)-regular-
ity : a transversal to a stratum is locally transverse to neighbouring strata. In the analytic case it is equivalent to [15] Thom's
(a)-regularity
equivalent to stability of transversality 1964
Bombay paper
Ill]
[12]
, and thus by
to the stratification.
In
he used this regularity condition to stratify
jet spaces and sketched a proof of the topological stability theorem (an open dense set of smooth maps are topologically stable, now proved in [ 7]
) , as
well as the result that except for a set of infinite codimension in jet space, smooth maps between smooth manifolds are locally topologically finitely determined, hence topologically algebraic.
In a recent
du Plessis proves these theorems using
[6] Andrew
Whitney regular stratifications of
s~aces and mappings following closely simpler than
Aarhus preprint
Thom's indications. This is rather
Varchenko's long proof of
1974
[17,18~
, which used different
arguments. A rather surprising proof that smooth maps are locally topologically finitely determined in general was found by
T.-C. Kuo
and
Y.-C. Lu
in 1979
[ 10] . Their theorem shows how various regularity conditions solve precisely the problem of when a jet is topologically sufficient. The
Kuo-Lu Theorem
Let
z = (Zl(X),...,Zp(X))
Write
Fi(x ' k(i))
G
jr(n,P) •
zi(x )
+ ~ ~l=
~ (i) x ~ r
( 1 ~ i ~ p),
493
where Let
xg VF
• "" Xn ~ n
Xl ~ I
=
[(x, ~ ) g Kqn x ~
=
where
Whitney
is
(b)-re~ular at
Whi.tne~
i__ss V-sufficient in
+ "'" + ~
Fp(X, ~(P)) = N .
Let
n
O}
Y
=
"
, 0 x a
,
V-sufficient in
i__~s V-sMff~cient in
(a)-reg~lar at
~r+s
z
(fi)-l(0)
(X,Y)
(X,Y)
,
if and only if
at
0
F(x, ~ )
of
z
i_~s
i.ss (tS)-r~ular at
O, also if
Cr+S-realisations
~fi~
such
are topologically distinct.
Corollary :. There is a proper subvariet~ ~ ~ ~
~ r + 1
jr+S-extension (s>.. l)
has at most a finite number of
such that for all
o n l ~ if
if ~
0 ,
if and only if
that the serms of the
~r
O,
(3) ever~
and onl~ if
~ I + 0(2
(Ox h ) .
(2) z (X,Y)
=
E{N , for some large
Theorem (Kuo-Lu):(1) z is
~
I Fl(X, ~(i)) . . . . .
is isomorphic with
a~d X = V F -
and
'
~"~
~
depending on
i_~s V-sufficient in
~r
.
In the statement of the theorem there are some terms we should define : a jet
fl
z
is
V-sufficient in
f2 of
,
s
( i.e.
~r+s = z,
jr(q)
homeomorphic germs. Recall that homeomorphism ency and ifolds
h
such that
X
z
if for all ,
fl-l(o)
Cr+s
realisations
and f2-1(O)
are
i=
1,2)
is
cOsufficient if there exists a local
fl = f2 o h . If
p = 1
the notions of
V-suffici-
C0-sufficiency coincide [2] . Given a pair of disjoint smooth submanX,
Y
in
g~n
if every submanifold to
( s >i 0 )
near
S
we say
(X,Y)
of class
0 . Note again that
equivalent here - as
VF
Cs
is
(tS)-regular
transverse to
(a)-regularity and
is an algebraic variety - by
Observe the relation of transversals to Cr+S-realisatimn
f f(x)
Y
of a jet z
+
z
in
jr(n,p)
,~=~ r ~ , ( x ) x "
Y
(s ~ l ) at
0
at
0
in
is transverse
(tl)-regularity are Trotman ~12] .
with realisations of can be written
z : a
Y
494
where
{~(x)3
Cs
are
functions of
Cs
x , so giving a
map
~qn x whose graph in
~n x
verse to
0 x A
At with of
Y
=
Dijon
[14]
(h s) : given S1 n X
That
and
(t s)
s ~ 1
is a
Cs
submanifold
, which for
is trans-
s ~ 1
• in June 1978
Cs
conjectured that
I
transversals
S2 n X
S1, S 2
are homeomorphlc.
is a consequence of
and the proof that
(h s)
(t l)
to
Y
(t s)
at
was equivalent
0 , the germs at
This is true only when
was proved in my thesis
implies
(h l)
0
s = 1 .
[13]
for all
will appear in [16]
These
two implications are for arbitrary smooth stratified sets - no use is made of curve selection. For
s ~ 2 ,
(t s)
does not imply
(he), as will be shown by
the example below. It does still seem plausible though that that the number of topological types of germs at
0
for
S
implies
transverse to
Y
be finite ; the converse is quite easy to obtain by a slight addition tc
the proof (t l)
X ~ S
(t s)
[13]
implies
that (h l)
(h s)
implies
(t s) . We remark that the proof that
for smooth stratified sets is rather subtle, but the
following theorem for subanalytic sets is perhaps more immediately useful.
Theorem . Let 0 E Y =
X , Y
be
subanal~tic
C1
submanifolds of
~ - X . The followin~ conditions are equivalent
(a) the ~air (t l) every
C1
(X,Y)
~erms at
0
of
C1
(t l)
(a)-re~ular at
(a) by
Y
at
with
: 0 ,
0
is transverse to
X
0 ,
submanifolds
Sln X
Proof : That
Whitney
submanifold transverse to
in some nei~hbourhood of (h l) given
is
~n
and and
S2n X (t l)
S 1 , S2
transverse to
Y
at
0 , the
are homeomorphic. are equivalent is proved by
Theorem 2.11
of
my thesis
~13] . Kuo
Trotman [9]
[12];
(h l)
implies
showed
that
(a)
implies
(h c° ) , and via the smoothing lemma below we can deduce
that
(a)
implies
(h l) . Thus the theorem is proved.
495
Smoothing Lemma. Let O ~ Y~
. Let
that for X
near
S1 , S2
i = 1 , 2 , O , and
b__ee C 1 Si
be disjoint submanifolds of
is transverse to
i.e.
ToSI + ToS2
Y
submanifolds of
~n
at
containing O ,
Si
S1
and
~n
if
~n
with
O , such
is transverse to S2
2s ~ n , and
are in
ToS I ~
ToS 2 =70]
2s ~ n . C1
Then there exists a to the identit~T where
diffeomorphism
U , U'
3)
d~(O)
If we further suppose that A
: (U,O) of
0
(U',O) , isotopic
in
~n
satisfying
(i= 1,2)
C~
isa
C~ submanifoldof ran.
(Sl~ $2)
is transverse to
X
near
0
we can
submanifold.
The proof of the smoothing lemma will appear in more general version, with many strata incident to (a) -~-) (h I)
)
I n , the identit~ matrix ,
4) @ ( x - ( s l ~ S 2 ~ X ) )
~(X)
~
are nei~hbourhoods
I) @(~ns i) = ~'nToS i,
make
C1
dim S i = n - dim Y . Suppose that
general ?os~tion~ if
X , Y
[16], which contains a
Y . However the implicaticm
is so far unproved when there is more than one incident stratum.
The other implications of the theorem require no extra arguments when there are several incident strata. An interesting consequence of the theorem above is that is a necessary condition for the stability of the topological sal intersections with a stratification. explicitly by
Mather in
1970
(a)-regularity type of transver-
This is related to the 9uestion raised
[24] , of finding the Correct stratification
of jet space for topological stability.
Calculations by the
Liverpool Group
(Bedford, Bruce, Giblin, Gibson and Wall) show that the canonical stratification of
[7]
(b)-regular
is finer than the stratification for topological
stability. Even the first (lowest codimension) unimodal families are not canonical strata ~ [5]
for
this was shown by
47 , and by
Wirthm~ller
Bruce [3] for
[22]
and
Bruce
~6 ' by
Bruce and Giblin
[4] (using results of
496
Greuel and Hironaka) for not
E 8 . In each case there is a stratification which is
(b)-regular although
(a)-regularity and topological triviality hold. It
will be useful to have a version of the above theorem with many incident strata as well as versions adapted to the jet space situation.
We shall Conclude by describing a previously unpublished example which shows that
(tS)-regularity
also that
(t 2)
and
(t l)
out of a construction of and
Kucharz
[8 ]
does not imply
(hS)-regularity when
s~2
, and
are distinct conditions. This example, which arose Kuo and myself, together with observations of
as described below, led to the
Koike
Kuo-Lu theorem (of which
we have given an extract at the beginning of this paper) characterising sufficiency in terms of regularity conditions on a pair of incident strata.
Example : Early in although the
6-jet
1979
x 3 - 3xy 5
follows from a theorem of icient in
~7)
conjectured by In
~q3
and
W. Kucharz showed that
has uncountably many
Bochnak and
Kuo
C7
realisationS
(which
I l l , since the jet is not
8 C -realisations,
V-suff-
and not one as had been
Thom.
January
in
S. Koike
it has precisely two
1979 , the author and
semialgebraic example of a y , z
~8]
and let
Y
Tzee-Char
(t2)-regular be
the
Kuo saw how to construct a
(~2)-fault. Choose coordinates
y-axis. Let
X
x ,
be the union of the
following five semialgebraic pieces :
Then
X
xI °
{x°o,y2~3
x~
°
[ x < o, 2_~ z3, x 2 = z3~ ~ { x < z 3, x < o y < o y2 ~ 37,
%
~
{ x • o , y2~ s3, x ~
x4
=
{(x 2
X5
=
[(x 2 + y2 +
is a
C
i
closed half-plane;
+ y2 +
z>o]
3)2
z31 ~ i x <
= 4z3(x-
y
)2
3, x ~ o, y > o, y2 > "9,
, y~O
z3)2 = 4z3(x _ y)2 , y < O
submanifold of
~q3
and
see the figure overleaf.
X L/ Y
, z~O
, y2~
z3 3
,
, z >0
, y2>
z3~
•
ia homeomorphic with a
497
S
Inspection of the figure shows that but
(t 2)
Y
0 . Also because at
on
and
0
will miss
{ x = 03
X3
X4
and
X5
[x 2 =
1-dimensional
(t l)
S~
to
manifold transverse to ~
of S
0
on which
an arc
~
Y
containing
S
~
of
meets
~3
~
X5
X /% S
X
with
= O~U ~0]
is
, and then we may
and tangent to
types of
U1
will be transverse to
, such that of
s ,
X1 , X2 , S
fails , because we may intersect
What are the possible topological
Answer :
U2
submanifold-with-boundary
choose a transversal
submanifold
in some neighbourhood
(if at all) . Thus
z3/2~ giving
C1
C2
is the only limiting tangent plane to
transversely
U = U 1 (% U 2 . However
the surface a
at
0 , there will be some neighbourhood
X1 , X2
is not satisfied for any
is satisfied : It is easy to check that a
transverse to
X3
(h s)
for
S
X5 ~
on C2
o~. sub-
Y ? and
~
I
/ (two types).
What are the possible topological types of S ? Answer :
X ~ S
for
C1
transversals
498
• .. et cetera. ("Comic Cuts") In fact one can obtain, for the germ of ~Ci~ cO i=l
where
C
i
X ~ S
at
0 , all sequences
is a compact (connected) subset of
~2
This is easily
seen to yield an uncountable number of topological types.
Strangely, it turned out that the figure representing the semialgebraic example given above very nearly represents the surface
v ° ~x 3 - 3 x y S + ~ y 6 = 0 ~ that is, the deformation of the jet along the
y6
direction in
x3 - 3xY 5 +
~2x~,
x 3 - 3xy 5 (studied by
Koike and
Kucharz)
j6 . In fact this is the only important part of
the whole deformation by monomials in theorem :
~
S
~
H 6 used by
x ~I y~2
Kuo and
Lu in their
. For justification of this
~ l + ~2 = 6 assertion see
Siersma's
1974
Amsterdam Thesis .
F(3~r~: xa _3xys + ~,y6 ~ O. V
may b e s h o w n t o h a v e t h e
found jointly with
Kuo: (t 2)
same properties
holds, but
(t l)
as the
and
semialgebraic
(h s)
example
fail, for all
s .
499
Thus we have a geometric explanation of the
Koike-Kucharz phenomenon, via the
Kuo-Lu theorem. Similar examples show that
Addendum : Recently
(t s) does not imply
Satoshi Koike
[22]
jr(n,p) , the equivalence of
V-sufficiency in
regularity
over
of
VF - O x A
0 x A
(h s)
for
s ~3
has proved, for a jet ~r+s (sD~l)
and
(notation as in the
•
z
in
(hS)Kuo-Lu
theorem).
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Facult~ des Sciences, Boulevard Lavoisier, 49045 France.
ANGERS
CEDEX,
