Algebra
Inoffizielles Skript der Vorlesung Algebra I an der Universit¨ at Karlsruhe (TH) im Wintersemester 2003/2004 erstellt am 24. Februar 2004, 23:08
Inhaltsverzeichnis
1 Einf¨ uhrung in die Gruppentheorie 1.1 Halbgruppen und Monoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Gruppen, Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Definitionen, Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Erzeugung und Untergruppenverband . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Der Homomorphiesatz f¨ ur Gruppen . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Gruppenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Grundbgeriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Symmetriegruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Die Operationen von G auf G durch innere Automorphismen 1.4 Sylow–S¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Untergruppenentsprechungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Sylows¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Die Gruppen G mit #G = p · q, #G = p2 q, p, q Primzahlen . 1.5 Alternierende Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 5 9 9 10 15 20 20 23 26 29 29 30 32 35
2 Einf¨ uhrung in die Ringtheorie 2.1 Grundbegriffe, Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Teilbarkeitslehre, Hauptidealringe, euklidische Ringe . . . . . . . . . . . 2.3 Primfaktorzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Quotientenk¨ orper und Primzerlegung von Polynomen . . . . . . . . . . . 2.4.1 Der Quotientenk¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Primzerlegung von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Monoidringe R[M] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Ausgew¨ ahlte Anwendungen der Primzerlegung auf Polynomringe 2.5 Der chinesische Restsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Der chinesische Restsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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39 39 44 47 51 51 53 56 58 60 61
3 Einf¨ uhrung in die K¨ orpertheorie 3.1 Zerf¨ allungsk¨ orper und Fortsetzung von Homomorphismen 3.2 Endliche K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Endliche Untergruppen von K × . . . . . . . . . . 3.2.2 Ein Separabilit¨ atskriterium . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Endliche K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Galoissche Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Ein klassisches Problem . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Der Fundamentalsatz der Galoistheorie . . . . . . 3.4 Einige konkrete Galoisgruppen . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Galoistheorie endlicher K¨ orper . . . . . . . . . . . 3.4.2 Die Gleichung X n − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Die Gleichung X m − a . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Aufl¨ osbare Gruppen und der Satz von Jordan-H¨ older . 3.6 Der Satz von Galois und die allgemeine Gleichung . . . . 3.6.1 Satz von Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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65 70 73 74 74 76 77 77 78 82 82 83 83 85 88 88
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Inhaltsverzeichnis Spezielle Gleichungen u ¨ber Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die allgemeine Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konstruktion mit Zirkel und Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90 90 91
4 Kategorien 4.1 Kategorien, eine Sprechweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93 93 94
Literaturverzeichnis
95
Index
97
3.6.2 3.6.3 3.6.4
Kommentare, Fehler und Vorschl¨ age bitte an
[email protected]. Die aktuelle Version dieses Dokuments kann auf der Website http://www.stud.uni-karlsruhe.de/ urup/ heruntergeladen werden. Dieses Skript basiert auf der Interpretation von Manuel Krings der Tafelaufschriebe zu den Vorlesungen im Wintersemester 2003/2004, gelesen von PDoz. Dr. Rehm und ist in Zusammenarbeit mit Markus Westphal entstanden, von dessen Numerik-Skript viele, naja eigentlich alle LATEX–Elemente u ¨bernommen wurden. Außerdem steuerte er einige Grafiken bei.
4
Einfu ¨ hrung in die Gruppentheorie
1
1.1 Halbgruppen und Monoide Definition 1.1. (1) Eine Verkn¨ upfung auf der Menge M ist eine Abbildung v:
M ×M (x, y)
→M 7→ v(x, y)
Wenn v feststeht, schreibt man oft xy x·y x◦y x∗y v(x, y) = x/y x∧y x +y ...
(2) v heißt assoziativ ⇔ ∀x, y, z ∈ M : v(v(x, y), z) = v(x, v(y, z)), (3) v heißt kommutativ ⇔ ∀x, y ∈ M : v(x, y) = v(y, x),
kurz: (xy)z = x(yz)
kurz: xy = yx
Das Symbol + werden wir nur f¨ ur kommutative Verkn¨ upfungen verwenden. (4) e ∈ M heißt neutral ⇔ ∀x ∈ M : v(e, x) = x = v(x, e),
kurz: ex = x = xe
(5) Eine Menge M mit assoziativer Verkn¨ upfung v (also das Paar (M, v)) heißt Halbgruppe. Ist zus¨ atzlich ein neutrales Element e vorhanden, so heißt (M, v) Monoid. Das neutrale Element eines Monoids ist eindeutig bestimmt, denn f¨ ur ein zweites neutrales Element e0 w¨ urde gelten: e0 = ee0 = e. Es wird oft mit eM , 1M oder bei + mit 0 bezeichnet. (6) Seien (M, v), (N, w) Mengen mit Verkn¨ upfungen, zum Beispiel Halbgruppen. Ein Homomorphismus oder Morphismus oder (in dieser Vorlesung) Pfeil f : (M, v) → (N, w) ist eine Abbildung f : M → N , f¨ ur die gilt: ∀x, y ∈ M : f (v(x, y)) = w(f (x), f (y)), kurz: f (xy) = f (x) ∗ f (y) (falls w mit ∗ bezeichnet wird), die also die Verkn¨ upfungen respektiert“. ” Wichtigster Homomorphismus: exp : (R, +) → (R, ·) exp(x + y) = ex+y = ex · ey = exp(x) · exp(y). Bei Monoiden wird zus¨ atzlich verlangt f (eM ) = eN
5
1 Einf¨ uhrung in die Gruppentheorie Bezeichnungskonventionen: Oft l¨ asst man die Verkn¨ upfung in der Notation weg. Man sagt: Die Halbgruppe oder das Monoid M , wenn vorher festgelegt oder bekannt ist, welches v man meint. ¨ Ahnlich wie bei Vektorr¨ aumen werden Eigenschaften eines Pfeils durch Vorsilben bezeichnet. Eigenschaft Bezeichnung injektiv Monomorphismus surjektiv Epimorphismus bijektiv Isomorphismus (M, v) → (M, v) Endomorphismus (M, v) → (M, v) und bijektiv Automorphismus Es gilt: • idM ist immer ein Automorphismus. • Sind g, f Pfeile, so ist auch g ◦ f ein Pfeil. Definition 1.2. M ∼ = N (genauer: (M, v) ∼ = (N, i) lies isomorph“) ⇔ ” ∃ Isomorphismus f : M → N F¨ ur Isomorphismen gelten folgende Eigenschaften: • Ist f Isomorphismus, so auch die Umkehrabbildung f −1 . ¨ • Isomorphie ist eine Aquivalenzrelation. Beispiel 1.1. A Menge (AA , ◦) (Abbildungen A → A mit Schachteln, Neutrales ist id = idA ) Beispiel 1.2. Ist M ein Monoid, so auch 2M (Potenzmenge von M). F¨ ur A, B ⊆ M gilt: w(A, B) = {ab|a ∈ A, b ∈ B} Außerdem gilt die Assoziativit¨ at: (AB)C = {(ab)c|a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C} = {a(bc)|a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C} = A(BC)
Kurzbezeichnung: in 2A schreibe x f¨ ur {x}. Dann ist eM = e2M Beispiel 1.3. Sei A eine Menge, hier Alphabet genannt. An = Av · · vA} = {(a1 , . . . , an )}, aj ∈ A | ·{z n-Tupel
0
A = {()} (leeres Tupel) [ Fr(A) = FrMon (A) = An n∈N
Verkn¨ upfung: (a1 , . . . , an )(b1 , . . . , bm ) := (a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm ) (Konkatenation) Neutrales Element: e = () Klar: (a1 , . . . , an ) = (a1 )(a2 ) · · · (an ). Oft wird (a) mit a identifiziert. Die Elemente sind dann a1 , . . . , an . 6
1.1 Halbgruppen und Monoide Satz 1.1 (UAE (Universelle Abbildungseigenschaft) des freien Monoids). Sei (M, ∗) ein weiteres Monoid, f eine Abbildung f : A → M . Dann existiert genau ein Morphismus f˜ : Fr(A) → M mit f = f˜ ◦ i
(f˜ ist Fortsetzung von f ).
Beweis: Annahme: f˜ existiere ˜ 1 , . . . , an )) = f˜( (a1 ) (a2 ) · · · (an )) f((a |{z} =i(a1 )
= f˜(i(a1 ) · · · i(an )) Hom.
=
˜ f˜(i (a1 )) ∗ · · · ∗ f(i(a n )) |{z} f
= f (a1 ) ∗ · · · ∗ f (an ) ⇒ f˜ ist durch f (und M ) eindeutig bestimmt. Umgekehrt erh¨ alt man f˜ durch f˜(a1 · · · an ) = f (a1 ) ∗ · · · ∗ f (an ). f˜ ist das Einsetzen von f (ai ) f¨ ur ai ∈ A.
Bedeutung dieses Satzes: (1) Man hat eine Bijektion MA f
→ Mor(Fr(A), M ) = {g : Fr(A) → M |g ist Morphismus} 7→ f˜
In gewisser Weise wurden alle Morphismen Fr(A) → M bestimmt. (2) Eine UAE legt das Objekt“ bis auf die Isomorphie fest. Genauer: Ist N, j : A → N gegeben, so ” dass die UAE f¨ ur N gilt, dann ist i ein Isomorphismus (von Monoiden). Dass l¨ asst sich durch folgendes Diagramm zeigen: N
i
→ − -j
Fr(A) ↑i A
˜ j
− → %j
N
Also (˜j ◦ i) ◦ j = j = idN ◦f ⇒ Eindeutigkeit in der UAE ˜j ◦ i = idN . Vertausche N und Fr(A), so genauso i ◦ ˜j = idFr(a) ⇒ i, ˜j sind zueinander inverse Abbildungen, also Isomorphismen. Definition 1.3 (Allgemeines Assoziativgesetz). (M, ·) sei eine Menge mit Verkn¨ upfung. Was ein (wohldefiniertes) Produkt × u ¨ber (x1 , . . . , xn ) ∈ M n ist, wird rekursiv definiert. n = 1 : x = x1 n = 2 : x = x 1 x2 (ein Produkt u ¨ber (x1 , x2 ) ∈ M 2 ) n > 2 : ∃m ∈ N, 1 ≤ m < n ∃y, z ∈ M , so dass (1) y Produkt u ¨ber (x1 , . . . , xm ) ist (2) z Produkt u ¨ber (xm+1 , . . . , xn ) ist (3) x = yz
(meist werden Klammern gesetzt: x = (y)(z))
7
1 Einf¨ uhrung in die Gruppentheorie Beispiel 1.4. Das Standardprodukt x = n=1: n>1: Also:
1 Y
i=1 n Y
i=1 n Y
Qn
xi , ist definiert durch
i=1
xi := x1 xi :=
n−1 Y
xi
i=1
!
xn
xi = (. . . ((x1 x2 )x3 ) . . . xn−1 )xn
i=1
Satz 1.2 (Allgemeine Assoziativregel). Alle Produkte u ¨ber (x1 , . . . , xn ) sind gleich, wenn M Halbgruppe ist.
Beweis: Zu zeigen: x = Standardprodukt. Beweis durch vollst¨ andige Induktion nach n. Die F¨ alle n = 1, 2 sind trivial. F¨ ur n > 2 gilt: Induktionsannahme auf y, z anwendbar (da 1 ≤ m < n, 1 ≤ n − m < n). y=
m Y
xi
j=1
z=
n−m Y
xm+j
j=1
1. Fall m = n − 1 ⇒ z = xn , x = yz = 2. Fall 1 ≤ m < n − 1 ⇒ z = uxn , u = x = yz = y(uxn )
assoz.
n Y
xj (nach Definition des Standardprodukts)
j=1 n−m−1 Y
xm+j
j=1
= (yu)xn
yu ist Produkt u ¨ber (x1 , . . . , xm , xm+1 , . . . , xn−1 ) n n−1 Y Y IA ⇒ (yu)xn = xj xn = xj j=1
j=1
Also gilt:
x1 ((x2 x3 )x4 ) = ((x1 x2 )x3 )x4 = (x1 x2 )(x3 x4 ) = ((x1 x2 )x3 )x4 =
4 Y
i=1 4 Y
xi xi
i=1
Satz 1.3 (Allgemeine Kommutativregel). Sei (M, ·) eine kommutative Halbgruppe, x1 , . . . , xn ∈ M, π Permutation von 1, . . . , n. Dann gilt: x1 · · · xn = xπ(1) · · · xπ(n) F¨ ur π : 1 ↔ 2 gilt also: x1 x2 = xπ(1) xπ(2) = x2 x1
8
1.2 Gruppen, Grundbegriffe Definition 1.4 (Potenzregeln). Sei M Halbgruppe, an = a · · a} = | ·{z
F¨ ur Monoide gilt: a0 = e F¨ ur (M, +) gilt: n · a statt an , n · a = a + · · · + a, 0 · a = 0M | {z }
n mal
Qn
j=1
a.
n mal
Klar: n, m ∈ N : a(n+m) = an · am , bzw. (n + m) · a = n · a + m · a. Achtung: In nichtassoziativen Strukturen kann (aa)a 6= a(aa) sein, d.h. a3 hat keinen Sinn.
1.2 Gruppen, Grundbegriffe 1.2.1 Definitionen, Beispiele Definition 1.5. (1) Sei (M, ·) ein Monoid, x ∈ M, u ∈ M heißt invers zu (oder Inverse von) x ⇔ ux = e = xu (2) x heißt invertierbar ⇔ ∃ Inverse u von x M × := {x ∈ M |x invertierbar} heißt Einheitengruppe von M . (3) Eine Gruppe ist ein Monoid, bei dem alle x ∈ M invertierbar sind (d.h. M = M × ). Beweis: Existenz einer L¨ osung u sei Inverse von a ⇒ x = ub (bzw. y = bu) Eindeutigkeit: ax = b ⇒ x = uax = ub
Ist (G, ·) also eine Gruppe, so sind die Gleichungen ax = b und ya = b eindeutig nach x und y aufl¨ osbar. Beispiel 1.5. ax = e eindeutig l¨ osbar. Also ist die Inverse von x eindeutig bestimmt durch u. Das Inverse wird mit mit u = x−1 (bzw. u = −x, falls v = +) bezeichnet.
Konstruktion von Gruppen Satz 1.4. Ist (M, v) ein Monoid, so ist (M × , v|M × ×M × ) eine Gruppe. Beweis: Seien a, b ∈ M × . (ab)−1 = b−1 a−1 ⇒ v(a, b) = ab ∈ M × e ∈ M × wegen e−1 = e a ∈ M × ⇒ a−1 ∈ M ×
Beispiel 1.6. M = AA , M × =: SA heißt symmetrische Gruppe auf A. π ∈ SA heißt Permutation von A. Sn := S{1,...,n} f ∈ SA ⇔ f bijektiv, f : A → A ⇔ f invertierbare Abbildung
9
1 Einf¨ uhrung in die Gruppentheorie Beispiel 1.7. (R, +, ·) Ring (mit 1), so ist (R, ·) Monoid. R × = (R, ·)× = {x ∈ R|∃ Inverse in R}. R× heißt Einheitengruppe von R. Konkrete Beispiele daf¨ ur sind: (1) Z× = {1, −1} (2) R× = (R\{0}, ·) (3) Sei V ein Vektorraum, (End(V ), +, ◦) ein Ring (Endomorphismenring von V ). Dann heißt Aut(V ) := End(V )× Automorphismengruppe von V . Ist K K¨ orper, so ist K n×n Ring der n × n-Matrizen u ¨ber K.
Gln (K) = (K n×n )× = {A ∈ K n×n | det A 6= 0} heißt allgemeine lineare Gruppe zur Dimension n (Gl = General linear)
Definition 1.6. (1) Ein Homomorphismus ϕ : G → H von Gruppen ist ein Homomorphismus der Monoide ⇔ ∀x, y ∈ G : ϕ(xy) = x ∗ y ⇒ ϕ(eG ) = eH (2) Kern ϕ := {x ∈ G|ϕ(x) = eH } (3) Bild ϕ := ϕ(G)
Satz 1.5. Ist G eine Halbgruppe und gelten (1) ∃e ∈ G : ∀x ∈ G : ex = x (2) ∀x ∈ G : ∃u ∈ G : ux = e so ist G Gruppe. Beweis: (1) x2 = x ⇒ |{z} ux x = ux = e, also x2 = x ⇒ x = e. =e
(1)
(2) (xu)2 = x |{z} ux u = xu ⇒ xu = e, also xu = e. =e
(3) xe = xux = ex = x, also xe = x.
Damit ist G Gruppe.
1.2.2 Erzeugung und Untergruppenverband Betrachte beliebige Gruppe (G, ·). Definition 1.7. U heißt Untergruppe (bzw. Untermonoid) von G ⇔ (1) U ⊆ G (2) Inklusionsabbildung i : U → G ist Homomorphismus. Ist U Untergruppe von G, so schreiben wir: U ≤ G
10
1.2 Gruppen, Grundbegriffe Satz 1.6 (Untergruppen-Kriterium). U ≤ G ⇔ (1) U ⊆ G (2) e ∈ U (3) ∀x, y ∈ U : xy ∈ U (4) ∀x ∈ U : x−1 ∈ U Ist (U, ∗) ⊆ (G, ·), so gilt: ∀u, v ∈ U : u · v = a(u) · i(v) = i(u ∗ v) = u ∗ v
Also ist die Multiplikation in U die Einschr¨ ankung der Multiplikation in G. Beispiel 1.8. (Q× , ·) ist Gruppe, (Q, +) ist Gruppe, Q× ⊆ Q ist trotzdem keine Untergruppe! Beispiel 1.9. ϕ : G → H sei Homomorphismus von Gruppen bzw. Monoiden. Dann ist Bild ϕ = ϕ(G) ≤ H. Kern ϕ = {x ∈ G|ϕ(x) = eH } ≤ G Definition 1.8. U(G) = {U |U ≤ G} heißt Untergruppenverband von G.
Sei V ≤ G. U(G, V ) = {U |V ≤ U ≤ G} heißt dann Zwischengruppenverband. Ist M ⊆ U(G) Menge von Untergruppen, so ist D =
T
U ∈M
U ≤ G (klar nach Untergruppen-Kriterium).
D ist die gr¨ oßte Untergruppe, die in allen U ∈ M enthalten ist, also ist D = inf M . Definition 1.9. Sei A ⊆ G, M = {U |A ⊆ U ≤ G}, D =
T
U :A⊆U ≤G
U ∈ U(G), also die kleinste
Untergruppe, die A enth¨ alt. Dann heißt D gruppentheoretisches Erzeugnis von A (oder von A erzeugte Untergruppe). Es wird bezeichnet mit: hAi := hAigp := D Ist M ⊆ U(G), so ist im allgemeinen die alle U ∈ M enth¨ alt.
T
U ∈M
U 6≤ G, aber h
T
U ∈M
U i = sup(M) ist die kleinste Untergruppe,
Definition 1.10. (1) Ist A = {a1 , . . . , an }, so ist hAi = ha1 , . . . , an i (2) G heißt zyklisch ⇔ ∃a ∈ G : G = hai (3) a ∈ G, ord A = #hai heißt Ordnung von a, #G heißt Ordnung von G. h∅i =: E = {e} ist die triviale Untergruppe. Ist A 6= ∅, so sei A˜ = A ∪ {a−1 |a ∈ A}. ˜ hAi = {b1 · · · bn |n ∈ N>0 ; ∀n bj ∈ A} j=1
Spezialfall: hai = {az |z ∈ Z}
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1 Einf¨ uhrung in die Gruppentheorie Satz 1.7 (Untergruppen von Z). Man hat eine bijektive Abbildung N → U(Z)) f: d 7→ hdi = {zd|z ∈ Z} = Zd Dann gilt: Zd1 ≤ Zd2 ⇔ 1d1 = d1 ∈ Zd2 ⇔ d2 | d1 f f¨ uhrt also ≤ in umgekehrte Teilbarkeit auf N u ¨ber. Beweis: Es gilt: dZ = hdi ∈ U(G). Sei U ∈ U(G): U 6= {0} = h0i = Z0, sei also U 6= {0}. Dann gilt U ∩ N>0 6= ∅ (denn 0 6= u ∈ U, |u| = ±u ∈ U ). Sei d = min(U ∩ N>0 ), dann ist Zd ⊆ U .
Zeige: 0 6= u ∈ U ⇒ u ∈ Zd ⇒ U ⊆ Zd gen¨ ugt f¨ ur u > 0. Induktion nach u: u ≥ d ⇒ u − d ∈ U, u > u − d > 0. Induktionsvoraussetzung: ∃z ∈ Z : (u − d) = zd ⇒ u = (z + 1)d ∈ Zd
Insgesamt folgt: U = Zd
Definition 1.11. Sn = S{1,...,n} ist die symmetrische Gruppe. Es gilt: #Sn = n! Definition 1.12. Sei A = {a1 , . . . , ak } ⊆ {1, . . . , n}, #A = k. π = (a1 a2 . . . ak ) ∈ Sn ist wie folgt definiert: aj+1 , j = 1, . . . , k − 1 a1 , j=k π(aj ) = aj , aj ∈ {1, . . . , n}\A
π heißt k-Zyklus. Ein 2-Zyklus wird auch Transposition genannt. Offensichtlich ist ord π = k (da π k = id und π l 6= id f¨ ur 1 ≤ l ≤ k). Beispiel 1.10. Zyklus mit k = 8:
Das Beispiel (1 2)◦(2 3) = (1 2 3) 6= (2 3)◦(1 2) = (1 3 2) zeigt, dass Zyklen im allgemeinen nicht vertauschbar sind. Jedoch gilt f¨ ur {a1 , . . . , ak } ∩ {b1 , . . . , bl } = ∅: (a1 Da gilt (a1 nehmen.
12
... ...
ak ) ◦ (b1
...
ak ) = (a2
bl ) = (b1 ...
ak
...
bl ) ◦ (a1
a1 ) = (a3
...
... ak
ak ) a1
a2 ), kann man oBdA a1 = min A
1.2 Gruppen, Grundbegriffe Beispiel 1.11. S3 = {E = id, τ3 = (1 2), τ1 = (2 3), τ2 = (1 3), σ = (1 2 3), σ −1 (1 3 2)}, #S3 = 6. Also ist U(S3 ) = {E, Z3 , Z2 , Z1 , N, S3 }, wobei Zj = hτj i = {id, τj }, N = hσi = {id, σ, σ 2 , σ −1 } Satz 1.8 (Lagrange). Sei G endliche Gruppe, U ≤ G, so gilt: #U | #G Aus dem Satz folgt: Ist #G eine Primzahl p, so ist G zyklisch, da gilt: x ∈ G,
x 6= e ⇒ ,
1 < #hxi | p ⇒ #hxi = p ⇒ G = hxi
F¨ ur π ∈ Sn gilt folgende Formel: π ◦ (a1
...
an ) ◦ π −1 = (π(a1 )
Satz 1.9. Sn = h(1 2), (1 2
...
...
π(an ))
n)i
Beweis: Sn = h{(i j)|1 ≤ i < j ≤ n}i. Zu zeigen: (i j) ∈ h(1 2), (1 gilt: (1 (1
... ...
n) ◦ (1 2) ◦ (1 n) ◦ (2 3) ◦ (1 .. .
... ...
n)−1 n)−1
...
n)i. Nach obiger Formel
= (2 3) = (3 4) =: (i i + 1) = h(1 2), (1
...
n)i
F¨ ur i + 1 < n gilt: (i + 1 i + 2) ◦ (i i + 1) ◦ (i + 1 i + 2)−1 (i + 2 i + 3) ◦ (i i + 2) ◦ (i + 2 i + 3)−1 Also: (i j) ∈ h(1 2), (1
...
= (i i + 2) f¨ ur i + 2 < n = (i i + 2)
n)i f¨ ur 1 ≤ i < j ≤ n
Im R2 (oder VR) hat man die bijektiven Translation λa : V → U, x 7→ λa (x) = a + x. Definition 1.13. Sei (G, ·) eine Gruppe. Dann heißen die Abbildungen λa : G → G, x 7→ ax = λa (x) ρa : G → G, x 7→ xa = ρa (x) gruppentheoretische Translationen. λa , ρa sind bijektiv und ∀a, b ∈ G : λab = λa λb ,
ρab = ρb ρa ,
λe = ρe = idG
Beweis: λab (x) = (ab)x = a(bx) = aλb (x) = λa (λb (x)) = (λa λb )(x) ⇒ λa−1 λa = id = λa λa−1 ⇒ λ−1 a = λa−1 (Umkehrabbildung)
Definition 1.14. G Permutationsgruppe ⇔ G ≤ SA (A geeignete Menge). Satz 1.10 (Cayley). Jede Gruppe ist isomorph zu einer Permutationsgruppe. Beweis: Sei λa ∈ SG , ϕ : G → SG , a 7→ λa = ϕ(a). Dann ist ϕ ein injektiver Homomorphismus, also G∼ = ϕ(G) ≤ SG . ϕ ist Homomorhpismus: ϕ(ab) = λab = λa ◦ λb = ϕ(a) ◦ ϕ(b) ϕ ist injektiv: λa = ϕ(a) = ϕ(b) = λb ⇒ a = λa (e) = λb (e) = b.
13
1 Einf¨ uhrung in die Gruppentheorie Faktorgruppen und Normalteiler Sei G eine Gruppe, 2G das Teilmengenmonoid. N ≤ G ⇒ N · N = N , da N = eN ⊆ N · N ⊆ N . Idee: Wann bilden die xN, x ∈ G eine Unterhalbgruppe von 2G mit N als neutralem Element? Solche N mit ∀x ∈ G : N y = yN . Definition 1.15. N ≤ G heißt normal (oder auch normale Untergruppe oder Normalteiler) ⇔ ∀x ∈ G : xN = N x Bezeichnung: N G G/N = {xN |x ∈ G} heißt (f¨ ur N ≤ G) Quotient von G nach N . N \G = {N x|x ∈ G} heißt (f¨ ur N ≤ G) Quotient von G nach N . F¨ ur normale N heißt G/N = N \G Faktorgruppe von G nach N . G/N ist eine Gruppe: N (xN ) = N N x = N x = xN x−1 N (xN ) = x−1 N xN = eN 2 = N 2 = N ⇒ G = G/N ist Gruppe, eG = N Die Kanonische Abbildung κ : G → G/N = G, x 7→ xN = x ist ein Epimorphismus mit Kern κ = N . κ(xy) = xyN = xyN N = xN yN = κ(x)κ(y) xU rechte U x linke sind Nebenklassen umgekehrt definiert. Definition 1.16. F¨ ur U ≤ G heißt
Nebenklasse von U . Achtung: In manchen B¨ uchern
Andere Sichtweise: Die Nebenklassen zu G/U bilden Partitionen: Zerlegung von U , zugleich ¨ Aquivalenzrelation, wird mit x = y mod M (lies: kongruent modulo) bezeichnet. z ∈ xU (z ≡ x
mod M ) ⇒ zU ⊆ xU U = xU
⇒ x−1 zU ⊆ U ⇒ x−1 z ∈ U
⇒ (x−1 z)−1 = z −1 x ∈ U ⇒ x ∈ zU ⇒ xU ⊆ zU Ergebnis: z ∈ xU ⇔ x ∈ zU ⇔ xU = zU . Falls z ∈ xU ∩ yU ⇒ xU = zU = yU , als Partition (x ∈ xU ). x ≡ y mod M ⇔ y −1 x ∈ U ⇔ xU = yU U ¨ Klar: G = γ∈G/U γ ist Partition Aquivalenzklassen: x = xU = {y ∈ G|y ≡ x mod U }
W¨ ahle Vertreter xγ ∈ γ ∈ G/N = g(N G), dann ist die Verkn¨ upfung auf G vertreterweise γ 1 γ 2 = x γ 2 xγ 1 = x γ 1 xγ 2
Klar: xN = λx (N ), da λx (Translation) bijektiv G → G. #xN = #λx (N ) = #N . Es folgt der Satz 1.11 (Satz von Lagrange). #G = #G/U · #U (stimmt f¨ ur Kardinalit¨ at. Allgemein ist aber am wichtigsten f¨ ur endliche G) Dann #U |#G Bezeichnung: #(G/U ) =: (G : U ) heißt Index von U in G(G : U |#G = (G : E)). Ist ϕ : G → H Homomorphismus von Gruppen, so ist Kern ϕ G
Fazit: Die normalen Untergruppen sind gerade alle m¨ oglichen Kerne von Homomorphismen. Klar: A, B, C ∈ 2G , A ⊆ B ⇒ CA ⊆ CB und AC ⊆ BC. Beispiel 1.12. xN = N x ⇔ xN x−1 = N
14
1.2 Gruppen, Grundbegriffe Satz 1.12 (Normalit¨ atskriterium). N G ⇔ N ≤ G und ∀x ∈ G : xN ⊆ N x(⇔ xN x−1 ⊆ N ) Beweis: ⇒ klar
⇐xN ⊆ N x gilt f¨ ur x−1 statt x ⇒ x−1 N ⊆ N x−1
⇒ xx−1 N x = xN x−1 x = xN
⇒ N x ⊆ xN ⇒ xNPSfrag = Nreplacements x
tj tj−1 tj+1 tj+2 Mj Mj−1 Mj+1−1 Mj+2 s00 M −1r y(x) = ln(x) 0 −1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4
y ∈ Kern ϕ ⇔ ϕ(y) = e ⇒ ϕ(xyx ⇒ xyx
) = ϕ(x) ϕ(y) ϕ(x−1 ) = ϕ(x)ϕ(x−1 ) = ϕ(xx−1 ) = ϕ(eg ) = eH |{z} eH
∈ Kern ϕ
Gesehen: ∀x ∈ Gx Kern ϕx
⊆ Kern ϕ(). Aus dem Kriterium folgt: Kern ϕ G.
Beispiel 1.13. Sei G abelsch. Dann sind alle Untergruppen normal (denn 2G ist auch abelsch). Beispiel 1.14. h(1 2)i = Z ist in S3 nicht normal. −2 = (1 (2 3)(1 2) 3 2) und (1 2)(2 3) = (1 2 3) −4
⇒ (2 3)Z = {(2 −0.2 3)(1 3 2)} 6= {(2 3)(1 3 2)} = (2 3)Z 4 B 0 B14
B2 Beispiel 1.15. Man hat sgn : Sn → ±1, · ∈ R× .An = Kern(sgn) = {π| sgn(π) = 1} (die Gruppe der B34 B44 geraden Permutationen) heißt alternierende Gruppe. Also An S3 . Es ist immer G G und E = eG G b0 (triviale Normalteiler) b1 4
b2 b
3 G heißt einfach ⇔ G 6=P (t)E und G hat nur die trivialen Normalteiler. Satz von Lagrange: #G = p 1 b0 (t) Primzahl ⇒ G einfach abelsch. 1 b (t) 1
b12 (t) b20 (t)
b (t) 1.2.3 Der Homomorphiesatz f¨ ur Gruppen b (t) 2 1 3 0
b
a Wir wollen uns die Funktionsweise“ an einem veranschaulichenden Beispiel klar machen: ” 1 −1 f (x, y) g(x, y) Xy2
Xy1
B g(y) c d m M
X
f
Y f (X)
y1
y2
Wir bezeichnen f¨ ur y ∈ f (X) die Menge Xy = f −1 ({y}) als Faser u ¨ber y. Dann gilt: ] X= Xy y∈f (X)
15
1 Einf¨ uhrung in die Gruppentheorie ¨ und die zugeh¨ orige Aquivalenzrelation lautet x1 ∼ x2 ⇔ f (x1 ) = f (x2 ) ¨ Bereits in LA I wurde f¨ ur eine Aquivalenzrelation auf X ein Quotient“ eingef¨ uhrt: ” ¯ := X/∼ = {¯ X x | x ∈ X} wobei x¯ = {z ∈ X | z ∼ x} = κ(x) ¨ x ¯ heißt Aquivalenzklasse von x. ¯ als dadurch entstanden Eine Hilfreiche Vorstellung erh¨ alt man, indem man sich die Elemente von X ¨ vorstellt, dass die Elemente jeder Aquivalenzklasse x ¯ als nicht wesentlich verschieden angesehen und ¯ verschmolzen“ werden. gleichsam zu einem einzigen Punkt“ des neuen Raumes X ” ”
Homomorphiesatz f¨ ur Mengen Sei f : X → Y eine Abbildung.
¨ Ist ∼f die Aquivalenzrelation in den Fasern, so hat man das nebenstehende kommutierende Abbildungsdiagramm, d.h.
f
X −−−−→ κ y f¯
f = i ◦ f¯ ◦ κ
Y x i
X/∼f −−−−→ f (X)
Dabei ist
(i) i die (injektive) Inklusionsabbildung i(y) = y f¨ ur y ∈ f (X) (ii) κ die surjektive kanonische Abbildung κ(x) = x ¯ (iii) f¯ erkl¨ art durch f¯(¯ x) = f (x) bijektiv Mit diesem Homomorphiesatz kann • das Studium von f zur¨ uckgef¨ uhrt werden auf surjektive, injektive und bijektive Abbildungen • die Bildmenge f (X) sozusagen durch Bestimmungsst¨ ucke in X (den Fasern) beschrieben werden
Anwendungsbeispiele Sei G eine Gruppe, U ≤ G und V ≤ G endliche Untergruppen, dann gilt: #(U V ) =
#U · #V #(U ∩ V )
Beweis: Betrachte f : U × V → G, (u, v) 7→ uv −1 . Dann (1) Bild f (U × V ) = U V , da V ≤ G (2) F¨ ur die Fasern gilt U ∩ V → Xy , w 7→ (u0 w, v0 w) ist bijektiv ⇒ #Xy = #(U ∩ V ) (3) Der Homomorphiesatz liefert: #(U V ) = #f (X × V ) = #U × V /∼f =
#(U × V ) #U · #V = #(U ∩ V ) #(U ∩ V )
16
1.2 Gruppen, Grundbegriffe
Anwendung auf Homomorphismen von Gruppen Statt einer beliebigen Abbildung f betrachten wir nun einen Homomorphismus ϕ : G → H zweier Gruppen G und H. (1) ϕ(G) ≤ H, i ist Homomorphismus (2) Wir betrachten die Fasern: z∈x ¯ ⇔ z ∼f x ⇔ ϕ(x) = ϕ(z)
⇔ ϕ(x−1 z) = ϕ(x)−1 ϕ(z) = eH ⇔ x−1 z ∈ Kern ϕ
⇔ z ∈ Kern ϕ · x
Also sind die Fasern gerade die Nebenklassen von Kern ϕ. G/∼ϕ = G/Kern ϕ
(Faktorgruppe)
also ist κ Homomorphismus (3) ϕ¯ ist ebenfalls ein Homomorphismus, denn ϕ(¯ ¯ xy¯) = ϕ( ¯ xy) ¯ = ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) = ϕ(¯ ¯ x)ϕ(¯ ¯ y) Damit ergibt sich unmittelbar Satz 1.13 (Homomorphiesatz f¨ ur Gruppen). Sei ϕ : G → H ein Homomorphismus von Gruppen. Dann hat man das kommutative Diagramm G κ y
ϕ
−−−−→ ϕ ¯
H x i
G/Kern ϕ −−−−→ f (G) Dabei ist (1) i Monomorphismus (Inklusion) (2) κ Epimorphismus (kanonische Abbildung) (3) ϕ¯ erkl¨ art durch ϕ(¯ ¯ x) = ϕ(x) Isomorphismus Oder in Kurzfassung: G/Kern ϕ ∼ = f (G) Zweck des Homomorphiesatzes f¨ ur Gruppen: • Die Bildgruppe f (G) wird vollst¨ andig durch G selbst und Kern ϕ beschrieben. • Kennt man alle Normalteiler von G, so auch alle epimorphen Bildgruppen bis auf Isomorphie. • Der Satz ist h¨ aufig bei Isomorphiebeweisen nutzbar.
17
1 Einf¨ uhrung in die Gruppentheorie Beispiel 1.16. Wir studieren die Drehgruppe, d.h. die Drehungen des R2 um 0: cos γ sin γ + |γ∈R O2 = − sin γ cos γ Sei ϑγ eine Drehung um den Winkel γ. Dann gilt ϑγ2 +γ1 = ϑγ2 ◦ ϑγ1 (R, +) → O2+ (R) ⇒ ϕ: γ 7→ ϕ(γ) := ϑ2πγ
Wir wollen Kern ϕ bestimmen: cos 2πγ γ ∈ Kern ϕ ⇔ − sin 2πγ
sin 2πγ cos 2πγ
ist surjektiver Homomorphismus
= eO + = 2
⇔ cos 2πγ = 1 ∧ sin 2πγ = 0
⇒
1 0 0 1
⇔ γ∈Z O2+ (R), · ∼ = (R/Z , +)
Außerdem Betrachten wir noch den Homomorphismus (R, +) → (C, ·) ψ: γ 7→ e2πiγ = cos γ + i sin γ Es ist Kern ψ = Z und ψ(R) = {cos γ + i sin γ | γ ∈ R} = {z ∈ C | |z| = 1} =: U1 (C) Wir fassen unsere Ergebnisse zusammen: Bild ϕ = O2+ (R)
Kern ϕ = Kern ψ = Z
Bild ψ = U1 (C)
Der Homomorphiesatz liefert dann U1 (C) ∼ = O2+ (R) = R/Z ∼
Beispiel 1.17. U(Z) = {dZ|d ∈ N} ist die Menge aller normalen Untergruppen von Z. Also ist nach dem Homomorphiesatz jedes surjektive, homomorphe Bild von Z isomorph zu genau einem (Z/dZ, +), d ∈ N: Sei (G, ·) eine Gruppe und expa : Z → G, z 7→ expa (z) := az ein Homomorphismus. ⇒ Bild expa = hai
⇒ expa : (Z/dZ) → hai ist ein Isomorphismus, wenn Kern expa = dZ d , falls d 6= 0 ⇒ ord a = #hai = #Z/dZ = ∞ , falls d = 0 F¨ ur d 6= 0 gilt: Z/dZ = {0, 1, . . . , d − 1}. ⇒ hai = expa (Z/dZ) = {a0 = e, a1 , . . . , ad−1 }
⇒ ord a = min{n ∈ N>0 |an = e}, bzw. ∞, wenn ∀n ∈ N>0 : an 6= e.
Zusammenfassend wissen wir nun: x, y ∈ Z : ax = ay ⇔ x − y ∈ Kern expa = dZ ⇔ d|x − y (falls d > 0)
18
1.2 Gruppen, Grundbegriffe Eigenschaften von ord a, falls ord a = d < ∞: (1) ax = ay ⇔ x − y ∈ dZ ⇔ x ≡ y mod Zd (2) G endlich ⇒ a#G = e (3) ord am =
ord a ggT(ord a,m)
f¨ ur m ∈ N
Beweis: (1) siehe oben (2) ord a = d = #hai|#G (Lagrange), a#G = ad·
#G d
=e
#G d
=e
¨ (3) siehe 3. Ubungsblatt, Aufgabe 4 Satz 1.14 (Satz u ¨ ber zyklische Gruppen). (1) Jede zyklische Gruppe ist isomorph zu genau einer der Gruppen (Z/dZ), d ∈ N. (2) Ist Cd eine zyklische Gruppe und #Cd = d < ∞, U ≤ Cd , so ist U zyklisch und #U |d. Zu jedem u|d, u ∈ N∃1 U ≤ Cd mit #U = u|d. (3) U (Cd ) sieht genauso aus wie {u ∈ N|u|d} bei | als Anordnung. Beweis: (1) Klar, da hai = expa (Z) d
d
(2) U ≤ (Cd , ·), u = #U |d. Nach Lagrange gilt dann: #Cd /U = ud , Cd = hai, a = e = a u . d ⇒ au ∈ U d d ⇒ ha u i ≤ U, ord a u = u d ⇒ U = ha u i (3) folgt Beispiel 1.18. Der Untergruppenverband f¨ ur C72 : C72 @ @ C24 C36 @ @ @ @ C12 C8 C18 @ @ @ @ @ @ C4 C6 C9 @ @ @ @ C2 C3 @ @ C1 Berechnung von ax , x ∈ Z, wenn ord a = d m¨ aßig groß“ und x sehr groß“ ist: ” ” Divison mit Rest: x = q · ord a + r, q ∈ Z, −
ord a ord a
19
1 Einf¨ uhrung in die Gruppentheorie Dann gilt ax = ar und r ist nur noch m¨ aßig groß. ar , r ∈ N>0 wird dann berechnet, indem r bin¨ ar dargestellt wird: r = c0 + c1 · 21 + c2 · 22 + ≤ +ck · 2k , mit cj ∈ {0, 1}, ck = 1 Dann ergibt sich ar =
k Y
j=0
j
a 2 · cj =
k Y
j=0 cj 6=0
bj · cj ,
j
bj = a2 , rekursiv: b0 = a, bj+1 = b2j
1.3 Gruppenoperationen 1.3.1 Grundbgeriffe Ist (G, ·) eine Gruppe (oder Monoid) so auch Gop = (G, ◦) mit ∀x, y ∈ G : x ◦ y := yx Definition 1.17. Sei (G, ·) eine Gruppe und M Menge. (1) Eine ¨ außere Verkn¨ upfung von G mit M ist eine Abbildung w : G×M → M . Bezeichnung: w(x, m) = x ∗ m (x ∈ G, m ∈ M ). (2) Eine (links–)Operation von G auf M ist eine Abbildung (¨ außere Verkn¨ upfung) w : G × M → M , so dass gelten (a) e ∗ m = m (b) ∀x, y ∈ G : y ∗ (x ∗ m) = (y · x) ∗ m Eine Rechtsoperation ist eine solche Verkn¨ upfung mit (b’) ∀x, y ∈ G : x ∗ (y ∗ m) = (y · x) ∗ m Man sagt auch G operiert auf M“ (M ist G–Menge), (englisch: G acts on M“) ” ” Es gilt: w ist Linksoperation von G auf M ⇔ w ist Rechtsoperation von Gop auf M Daher reicht es meist Linksoperationen zu diskutieren. Bei Rechtsoperationen schreibt man meist x ∈ G rechts von m ∈ M : mx := x ∗ m, b0 besagt dann: m(xy) = (mx)y Oft l¨ asst man die Zeichen ∗ und · weg. Ab jetzt gilt: Operation = Linksoperation. Man hat die Vorstellung, dass x ∈ G etwas mit dem m ∈ M tut“, n¨ amlich m auf xm verschiebt“ oder ” ” u uhrt“. ¨berf¨ ” Zu x ∈ G ist fx : M → M mit fx (m) := x ∗ m. Klar: (b) besagt: fyx = fy ◦ fx . Ist G eine Gruppe, so ist der Verschiebungsoperator“ fx ∈ SM und ” ϕ : G → SM , x 7→ ϕ(x) := fx ein Homomorphismus. (Grund: fe = idM (nach a), fx−1 x = fx−1 ◦fx = idM , aber fx−1 = fx−1 (Umkehrabbildung)) Eine Operation heißt treu, wenn ϕ injektiv ist.
20
1.3 Gruppenoperationen Beispiel 1.19. Operiert G auf M , so ist jede Untergruppe H ≤ G durch Einschr¨ anken (von w) Standdardoperation von SM auf M : π ∗ m = π(m) F¨ ur π ∈ SM , m ∈ M gilt: (ρ ◦ π) ∗ m = (ρ ◦ π)(m) = ρ(π(m)) = ρ ∗ (π ∗ m) Also ist π Standardoperation. Die Standardoperation von G = Gln (K) auf M = K n oder M = K n×m ist wie folgt defniert: A ∗ v := Av (Matrizenprodukt) Zweck: Verallgemeinere geometrsiche Vorstellung, z.B. operiert geometrische“ Untergruppe von SRn ” auf Rn . Ein Spezielles Beispiel ist die Gruppe O2+ (R) der Drehungen um 0. O2+ (R) operiert (wie die Standardoperation) auf R2 . Definition 1.18. (1) m ∈ M heißt Fixpunkt von x ∈ G ⇔ x ∗ m = m. m ∈ M heißt Fixpunkt von G ⇔ ∀x ∈ G : x ∗ m = m Zum Beispiel ist 0 Fixpunkt der Gruppe der Drehungen um 0 (im R2 ). (2) Die Bahn (englisch: Orbit) von m ∈ M ist G ∗ m = {x ∗ m|x ∈ G}. Beispiel: Die Bahnen bei der Operation von O2+ (R) sind konzentrische Kreise um 0. (3) Die Fixgruppe von m ∈ M (englisch: Stabilizer) ist erkl¨ art durch Gm = {x ∈ G|m ist Fixpunkt von x, d.h. x ∗ m = m}. Es ist die gr¨ oßte Untergruppe, die m als Fixpunkt hat. Definition 1.19. G operiert frei auf M ⇔ ∀m ∈ M : Gm = E = e Beispiel 1.20. (Rn , +) operiert auf Rn durch Translation: a ∗ v = v + a = τa (v) (Translation mit Vektor a) Diese Operation ist frei. Lemma 1.15. Operiert G auf M , so ist M die diskunkte Vereinigung aller Bahnen. Die Menge der Bahnen wird mit M \G (bei Rechtsoperationen: G/M ) bezeichnet und Quotient M nach G“ gelesen. ” Beweis: Zu zeigen: n∼m ⇔ n∈G∗m
¨ ist Aquivalenzrelation (Die Klasse m ist nach Definition G ∗ m). m ∼ m wegen m = e ∗ m
n ∼ m ⇒ n = x ∗ m (f¨ ur ein x ∈ G)
⇒ x−1 ∗ n = x−1 ∗ (x ∗ m) = (x−1 x) ∗ m = m ⇒ m∼n
n ∼ m, m ∼ r ⇒ n = x ∗ m, m = y ∗ r(x, y ∈ G) ⇒ n = x ∗ (y ∗ r) = (xy) ∗ r ⇒ n∼r
21
1 Einf¨ uhrung in die Gruppentheorie Beispiel 1.21. H ≤ G operiert auf G durch gruppentheoretische Translation. F¨ ur x ∈ G, y ∈ H gilt: y ∗ x = yx,
fy (x) = yx,
fy (H) = yH
Die Bahnen sind also die Nebenklassen H\G = H\M .
Zusammenhang von Bahn und Fixgruppe G →G∗m Betrachte f : ist surjektiv. Nach dem Homomorphiesatz f¨ ur Mengen gilt: x 7→ x ∗ m G/f → G ∗ m, x 7→ x ∗ m ist bijektiv
Fasern: y ∈ c ⇔ x ∼f y ⇔ f (x) = f (y)
⇔ x∗m=y∗m
⇔ y −1 xm = m ⇔ y −1 x ∈ Gm ⇔ x ∈ yGm
⇒
Homomorphiesatz liefert Bijektion
Satz 1.16 (Bahnensatz). Sei G eine Gruppe, die auf der Menge M operiert. Dann gelten: (1) G zerf¨ allt disjunkt in die Bahnen. W¨ ahlt man f¨ ur jede Bahn B = G ∗ m genau einen VErtreter vB ∈ B so gilt: M=
]
B=
B∈G\M
]
B∈G\M
G ∗ vB ( Bahnzerlegung“) ”
(2) Man hat bei Fixgruppe G∗vB von vB , die bijektive Abbildung G/GvB → B = G∗vB , xGvB 7→ x∗vB , insbesondere #B = (G : GvB ) ( Bahnbeschreibung“). ” (3) Es gilt: #M =
X
B∈G\M
#B =
X
B∈G\M
(G : GvB ) ( Bahnbilanzf¨ uhrung“) ”
Daraus folgt der Satz 1.17 (Fixpunktsatz). Sei G eine Gruppe von Primzahlpotenzenordnung pn mit p Primzahl, n ∈ N>0 und G operiert auf der endlichen Menge M . Dann gilt: p | (#M − Anzahl der Fixpunkte) Ist also p - #M , so gibt es zumindest einen Fixpunkt.
22
1.3 Gruppenoperationen Beweis: Sei M G := Menge der Fixpunkte. m ist Fixpunkt auf G ⇔ G ∗ m = {m} ⇔ (G : Gm ) = 1 ⇔ G = Gm
⇒ m = vB f¨ ur B = {m}
M G ⊆ Menge der Vertreter P P #M = vB ∈M G 1 + G:Gv 6=1 (G : GvB ) B p | (G : GvB ) 6= 1 und | pn #M = #M G + p(...) ⇒ Behauptng
Beispiel 1.22. Standardoperation von Sn auf {1, . . . , n}. πm = π(m), m ∈ {1, . . . , n}, π ∈ Sn Es operiert auch G = hπi ≤ Sπ , {1, . . . , n} = B1 ∪ · · · ∪ Bl (Bahnen), vi = vBi = min{j|j ∈ Bi } Zum Beispiel: di = #Bi | k. Dann ist Bi = {vi , π(vi ), π 2 (vi ), . . . , π di −1 (vi )} und es gilt: #(G/Gvi ) = di ,
τi = (vi , πvi , . . . , π di −1 vi ),
di -Zyklus
Klar: π = τ1 ◦ · · · ◦ τl Satz 1.18. (1) Jedes π ∈ Sn ist darstellbar als π = τi ◦ · · · ◦ τl mit disjunkten Zyklen τi ord τi = di | ord π = k (2) Es ist τi ◦ τj = τj ◦ τi . Dann π r = τ1r ◦ · · · ◦ τlr und ord π = kgV(d1 , . . . , dl ), di = ord τi Beweis: zu (ii): π r = id ⇔ ∀lj=1 τjr = id, r = kgV(dj ) ist kleinste Zahl, die das tut.
1.3.2 Symmetriegruppen Definition 1.20. Ist V ein euklidischer Punktraum mit Distanz d, so heißt ϕ Bewegung ⇔ ∀x, y ∈ V : d(x, y) = d(ϕ(x), ϕ(y)) Nach Wahl eines orthonormalen Koordinatensystems gilt oBdA mit V = Rn , d euklidischer Standardabstand: qX ξi2 , d(x, y) = kx − yk x = (ξ1 , . . . , ξn ), y = (η1 , . . . , ηn ) ∈ Rn , kxk = A ∈ Rn×n ist orthogonal ⇔ Spalten von A bilden ONB von Rn , d.h.: AT A = E 6= eGln (R) Dann gilt λA : Rn → Rn , x 7→ Ax ist Isometrie.
23
1 Einf¨ uhrung in die Gruppentheorie Satz 1.19 (Satz von Euler). ϕ ist Bewegung des Euklidischen Standardraumes Rn ⇔ ∃1 A ∈ On (R) (orth. Matrix) ∃1 a ∈ Rn ∀x ∈ Rn : ϕ(x) = Ax + a
Die Bewegungen bilden eine Untergruppe SV : Bn . ϕ wird mit ϕ =: (A, a) bezeichnet. Operiert G auf M , so auch auf der Potenzmenge 2M Beweis: x ∈ G, F ∈ 2M , d.h. F ⊆ M , so gilt: x ∗ F := {xm|m ∈ F }
F ⊆ 2R heißt geometrische Figur“ (z.B. f¨ ur n = 2: Gerade, Kurve, Dreieck) ” 2
Definition 1.21. Ist F eine geometrische Figur, so heißt die Fixgruppe von F Symmetriegruppe von F Bezeichnung: Sym(F ) = (Bn )n = {ϕ ∈ Bn |ϕ(F ) = F } Beispiel 1.23. g Gerade, Sym(g) W¨ ahle ON Koordinatensystem, identifiziere Punkt mit ihren Koordinatenvektoren. Dann ist g = Re 1 Anschauung: 1 0 (1) Sym(g) = Translation τa : x 7→ x+a in Richtung g = e1 . Zugeh¨ orige Abbildungsmatrix: A = 0 1 1 0 (2) Spiegelung an g. Zugeh¨ orige Abbildungsmatrix: A = 0 −1 −1 0 (3) Spiegelung an Gerade h ⊥ g. Zugeh¨ orige Abbildungsmatrix: A = 0 1 −1 0 (4) Drehung um π = 180◦ um einen Punkt auf g. Zugeh¨ orige Abbildungsmatrix: A = 0 −1 Sei ϕ(A, a) ∈ Sym(g). Dann gilt (1) 0 ∈ g ⇒ ϕ(a) = A · 0 + a ∈ g ⇒ a = λe1 , λ ∈ R (2) Es gilt ϕ(e1 ) = ae1 + λe1 ∈ g und e1 ∈ g, mit A = ⇒ ϕ(e1 ) = ⇒ c=0
a λ 1 + =µ ,µ ∈ R c 0 0
⇒ a = ±1 (wegen k
a b c d
a k = 1). c
Also gilt ±1 a b = + ⇒ ±b + 0 = 0 0 c d ⇒ b=0 ⇒ d = ±1
±1 0 , λe1 |λ ∈ R ⊆ Sym(g) 0 ±1 ±1 0 ⇒ Sym(g) = , λe1 |λ ∈ R 0 ±1
⇒ Sym(g) ⊆
24
1.3 Gruppenoperationen Symmetriegruppen der regelm¨ aßigen K¨ orper B ist die Bewegungsgruppe des Rn , d.h. sie operiert auf Rn und den geometrischen Figuren (∈ 2R ). Sei #F < ∞, F = {Po , . . . , Pm }, Sym(F ) = {ϕ ∈ B|ϕ(F ) = F }. Falls Pj − P0 n linear unabh¨ angige Vektoren enth¨ alt, so ist Sym(F ) → Sym{P0 ,...,Pm } res : ϕ 7→ ϕ|F n
ein injektiver Homomorphismus. Ist S der Schwerpunkt von F , so ist S Fixpunkt von Sym(F ) und wird meist als Ursprung gew¨ ahlt, denn Sym(F ) ≤ On (Orthogonale Gruppe) bei Wahl einer Orthonormalbasis. Sym+ (F ) := {ϕ ∈ Sym(F ) : det ϕ = 1} = Sym(F ) ∩ SOn
F¨ ur n = 3 besteht SOn nur aus Drehungen, id 6= ϕ ∈ SO3 und man hat eine Fixpunktgerade g, genannt die Drehachse von ϕ. Bemerkung: SO3 = Sym(S 2 ), S 2 =2-Sph¨ are = Oberfl¨ ache der Kugel = {x ∈ R3 |kxk = 1} Die Schnittpunkte P, P 0 von g mit S 2 heißen Pole von g. Betrachte G ≤ SO3 , #G = n < ∞. Sei P die Menge der Pole aller ϕ ∈ G, ϕ 6= id. F¨ ur P ∈ P, GP Fixgruppe heißt zP = #GP Z¨ahligkeit des Pols P . Die Z¨ ahligkeit gibt also an durch welchen Bruchteil einer vollen Umdrehung der K¨ orper auf sich selbst abgebildet werden kann.
Lemma 1.20. G operiert auf P und man hat k Polbahnen P1 , . . . , Pk , P = P1 ∪ · · · ∪ Pk . zP h¨ angt nur ab von i mit P ∈ Pi (zi := zP ). Es gilt: #Pi = (G : GP ) = zni Beweis: Sei ϕ ∈ G, P ∈ P, GϕP = ϕGP ϕ−1 . Dann ist ϕP Pol mit zϕP = #ϕGP ϕ−1 = #GP = zP . Mit der Bahnbeschreibung folgt die Behauptung. Beispiel 1.24. endliche Untergruppen G von SO3 (1) Cm = h ϑ2π n i,
ϑ2π n
Drehung (feste Achse!)
#P = 2, k = 2, P1 = {P }, P2 = {P 0 }, z1 = z2 = m
(2) Dm = Sym+ (regelm¨ aßiges m-Eck), Diedergruppe m Achsen, durch Schwerpunnkt S und den Ecken bzw. Mittelpunkten der Kanten. Die erste Achse liegt orthogonal zum m-Eck. Es gilt: z1 = z2 = 2, z3 = m (3) T = Sym+ (Tetraeder)
Kanten z1 = 2 Ecken z2 = 3 Die Pole liegen auf der Geraden durch S und ⇒ Mittelpunkte der Seitenfl¨ achen z3 = 3
Regelm¨ aßige K¨ orper:
Tetraeder (4-Flach)
Hexaeder / W¨ urfel (6-Flach)
Oktaeder (8-Flach)
Dodekaeder (12-Flach)
Ikosaeder (20-Flach)
25
1 Einf¨ uhrung in die Gruppentheorie Bemerkung: Der Oktaeder hat als Ecken die Mittelpunkte der Seitenfl¨ achen eines W¨ urfels (und umgekehrt) und geh¨ ort ebenfalls zur W¨ urfelgruppe W, denn beide K¨ orper haben die gleichen Symmetrien. Analog kann kann man Dodekaeder und Ikosaeder ineinander schachteln; sie bilden die Ikosaedergruppe I. Der Tetraeder l¨ asst sich wiederum in einen Tetraeder schachteln und bildet die Tetraedergruppe T . Es gilt f¨ ur #T : Der Tetraeder hat 4 Ecken ϑ2π , , id} #T = 4 · 2 + 1 + 3 · 1 = 12 P . GP = { ϑ2π 2 3 G Cm Dm T W I
#G m 2m 12 24 60
k 2 3 3 3 3
z1 m 2 2 2 2
z2 m 2 3 3 3
z3 m 3 4 5
Oktaeder in einem W¨ urfel
G∼ = A4 S4 A5
Bemerkung: Hat G ≤ SO3 die Daten von T , W oder I, so ist sie diese Gruppe. Beweis: P2 oder P3 bildet die Eckenmenge einer dieser 5 regelm¨ aßigen K¨ orper.
Bemerkung: Es gibt keine weiteren regelm¨ aßigen K¨ orper in R3 ; die Tabelle ist vollst¨ andig.
1.3.3 Die Operationen von G auf G durch innere Automorphismen Beobachtung: Ist (G, ·) eine Gruppe, so hat man die folgende Operation von G auf M = G: x, y ∈ G : x ∗ y := xyx−1 = innx (y) innx ∈ Aut(G) und wird innerer Automorphismus genannt (f¨ ur abelsche Gruppen wenig von Belang), denn es gelten e∗y =y
z ∗ (x ∗ y) = z ∗ (xyx−1 ) = zxyx−1 z −1 = zxy(zx)−1 = (zx) ∗ y
innx (y1 y2 ) = x(y1 y2 )x−1 = xy1 x−1 xy2 x = innx (y1 )innx (y2 ) innx ist also ein Homomorphismus G → G. Auch die Abbildung G → Aut(G) ϕ: x 7→ ϕ(x) = innx
ist ein Homomorphismus. Die Bildgruppe Inn(G) heißt Gruppe der inneren Automorphismen. Es gilt: Inn(G) Aut(G) Out(G) = Aut(G)/Inn(G) heißt a ¨ußere Automorphismengruppe. Definition 1.22. (1) Die Bahn Cl(y) := G ∗ y = {xyx−1 |x ∈ G} heißt Klasse konjugierter Elemente. Es gilt: #Cl(y) = (G : Gy ) | #G (falls endlich). G zerf¨ allt in Klassen konjugierter Elemente. (2) y1 heißt konjugiert mit y2 ⇔ ∃x ∈ G : xy1 x−1 = y2
26
1.3 Gruppenoperationen (3) Die Fixgruppe Gy = {x ∈ G|xyx−1 = y} =: CG (y) heißt Zentralisator von y in G. CG (y) ist die gr¨ oßte Untergruppe H von G mit y ∈ Z(H) T (4) Z(G) = {x ∈ G|∀y ∈ G : xy = yx} = y∈G CG (y) heißt Zentrum von G x zentralisiert y ⇔ xy = yx Beispiel 1.25. Wir verdeutlichen die neuen Begriffe am Beispiel der symmetrischen Gruppe: Z(Sn ) =E = {id} f¨ ur n > 3 Klassen in S3 : {id},
Cl((1 2)) = {(1 2), (1 3), (2 3)}, Cl((1 2 3)) = {(1 2 3), (1 3 2)}
CG (h(1 2)i) =h(1 2)i
CG (h(1 2 3)i) =h(1 2 3)i
Definition 1.23. G heißt p–Gruppe ⇔ #G = pn
n ∈ N>0 , p Primzahl
Satz 1.21. Sei G eine p-Gruppe ⇔ Z(G) 6= E Beweis: Sei M = G. Operator gegeben durch inneren Automorphismus y ∈ M G ⇔ ∀x ∈ G : xyx−1 = x ∗ y = y
⇔ x ∈ Z(G)
⇔ Cl(y) = {x}
Ein Vertretersystem der Bahnen enth¨ alt Z(G) Also M G = Z(G). Nach dem p-Fixpunktsatz gilt: p | (#M − #M G ) = pn − #Z(G) ⇔ p | #Z(G) 3 e ⇔ #Z(G) ≥ p
Bestimmung aller Gruppen G mit #G = p2 (p Primzahl) G1 , . . . , Gn seien Gruppen. Dann ist G1 × · · · × Gn bei komponentenweiser Verkn¨ upfung eine Gruppe, genannt (¨ außeres) direktes Produkt der Gi , wobei mit komponentenweiser Verkn¨ upfung (x1 , . . . , xn ) · (y1 , . . . , yn ) = (x1 · y1 , . . . , xn · yb ) gemeint ist. (Cn , ·) ist zyklische Gruppe der Ordnung n #Cp2 = p2 , #Cp2 = #(Cp × Cp ) = p2 G ist elementarabelsche p-Gruppe ⇔ G∼ = Gnp
(n ∈ N>0 )
27
1 Einf¨ uhrung in die Gruppentheorie Satz 1.22. Jede Gruppe der Ordnung p2 ist isomorph zu Cp2 (zyklisch) oder Cp2 (elementarabelsch). Beweis: (1) G ist abelsch ⇔ Z = Z(G) = G • klar, wenn G zyklisch ist.
• Annahme: #Z > 1, falls Z 6= G ⇒ #Z = p, Z = hxi, y ∈ G \ Z G = hx, yi, da hxi hx, yi 6= G
⇒ #hx, yi = p2 , da p < #hx, yi | p2 ⇒ yx = xy, wegen x ∈ Z ⇒ G abelsch
• Sei ⇒ ⇒ ⇒
Widerspruch zu G 6= Z
G = hx1 , . . . , xn i, xi xj = xj xi (alle 1 ≤ i < j ≤ n) G abelsch. xi ∈ CG (xj ) = G = hx1 , . . . , xn i ⊆ CG (xj ) xj ∈ Z(G) G = hx1 , . . . , ·n i ⊆ Z(G)
(2) Sei G nicht zyklisch. ⇒ G∼ = Cp × C p ⇒ ∀x ∈ G, x 6= e : ord x = p
W¨ ahle x ∈ G, y ∈ G \ hxi ⇒ G = hx, yi ⇒ x∈ / hxi ∩ hyi = E = {e}, da #(hxi ∩ hyi) | p ⇒ Jedes a ∈ G hat eindeutige Darstellung: a = xi y j i j
i0 j 0
0 ≤ i, j < p
Eindeutig: x y = x y 0 0 ⇒ xi−i = y j−j = e 0 0 ⇒ xi = xi , y j = y j ϕ Cp × C p ∼ = (Z/pZ, +) × (Z/pZ, +) → G, (¯i, ¯j) 7→ xi xj ϕ ist offensichtlich Isomorphismus.
Eine Gruppe G operiert auf 2G mit inneren Automorphismen A ⊆ G, so x ∗ a = xAx−1 = {mx (a)|a ∈ A} = innx (A) Klar: Ist U ≤ G, so x ∗ U ≤ G (und x ∗ U ∼ = U) −1 Bahn: Cl(U ) = {xU x |x ∈ G} heißt Konjugiertenklasse von Untergruppen. (U ∼ V (konjugiert) ⇔ ∃x ∈ G : xU x−1 = V ) Die Fixgruppe GU = {x ∈ GxU x−1 = U } ist die gr¨ oßte Untergruppe von G, in der U normal ist. Bezeichnung: GU =: NG (U ) heißt Normalisator von U in G Bahnbeschreibung: G/NG (U ) → Cl(U ), xNG (U ) 7→ xU x−1 ist bijektiv. Insbesondere gilt:
#Cl(U ) = G : NG (U ) U G ⇔ G = NG (U ), Cl(U ) = {U }
28
1.4 Sylow–S¨atze
1.4 Sylow–S¨ atze 1.4.1 Untergruppenentsprechungssatz Wenn ϕ : G → H ein surjektiver Homomorphismus ist, sieht der Zwischengruppenverband U(G, Kern ϕ) = {U | Kern ϕ ≤ U ≤ G} genauso aus wie U(H). Satz 1.23 (Untergruppenentsprechungssatz). Sei ϕ : G → H surjektiver Gruppenhomomorphismus. Dann ist ϕ∗ definiert durch U(G, Kern ϕ) → U(H) ϕ∗ : (Bildgruppe) und es gilt: U 7→ ϕ(U ) (1) ϕ∗ ist bijektiv und monoton bzgl. ≤. U ≤ V ⇔ ϕ∗ (U ) ≤ ϕ∗ (V ) (2) F¨ ur U, V ∈ U(G, Kern ϕ) mit V ≤ U gilt: V : U = ϕ∗ (V ) : ϕ∗ (U ) (3) ϕ∗ bildet Cl(U ) auf Cl(ϕ∗ (U )) ab. Insbesondere U G ⇔ ϕ∗ (U ) H Beweis: (1) Die Monotonie folgt aus U ≤ V
⇒ ϕ(U ) ≤ ϕ(V ).
Behauptung: F¨ ur die Umkehrabbildung λ zu ϕ∗ gilt: K ∈ U(H), λ(K) = ϕ−1 (K) (Urbildmenge) Wegen Kern ϕ ⊆ ϕ−1 (K) gilt: λ(K) ∈ U(G, Kern ϕ). Grunds¨ atzlich gilt f¨ ur eine surjektive Abbildung f : X → Y mit A ⊆ X, B ⊆ Y : f −1 ◦ f (A) ⊇ A
f ◦ f −1 (B) = B
Zu zeigen: U = ϕ−1 (ϕ(U )):
⊆“ ”
ϕ∗ (λ(K)) = ϕ(ϕ−1 (K)) = K ⇒ ϕ∗ ◦ λ = idU (H)
⇒ λ(ϕ∗ (U )) = ϕ−1 ϕ(U ) ⊇ U
x ∈ ϕ−1 (ϕ(U )) ⇔ ϕ(x) ∈ ϕ(U ) ⇔ ∃u ∈ U : ϕ(x) = ϕ(u)
⊇“ ”
⇒ ϕ(u−1 x) = e
⇒ u−1 x ∈ Kern ϕ ⊆ U ⇒ x ∈ uU = U
Also gilt: λ ◦ ϕ∗ = idU (G,Kern G) (2) OBdA: V = G ≥ U, G → H/ϕ(U ), x 7→ xϕ(U ) = x¯ = f (x) Fasern: f −1 ({¯ x}) = xU . Nach dem Homomorphiesatz f¨ ur Mengen gilt dann: G/U − → H/ϕ(U ) ist f¯
bijektiv. y ∈ f −1 ({¯ x}) ⇔ f (y) = x¯ = xϕ(U ) = yϕ(U ) ⇔ y ≤ xϕ(U ) ⇒ G : U = H : ϕ(U )
29
1 Einf¨ uhrung in die Gruppentheorie ¯ = G/N, N G ⇒ U(G/N ) ∼ Beispiel 1.26. κ : G → H = G = U(G, N ) Ansatz f¨ ur Induktionsbeweise: N oder Kern ϕ 6= E, #G endlich ⇒ #H < #G Induktionsannahme u ¨ber U(H) liefern Aussagen u ¨ber U(G). Beispiel am Satz 1.24. Sei G p–Gruppe (G 6= E). Dann gilt: ∃N G mit (G : N ) = p Folgerung: G p–Gruppe, d | #G ⇒ ∃U ∈ U(G) : #U = d Beweis: Induktion nach #G: G −−−−→ ` |y N y
¯ G `| y
K y
hai −−−−→ E
1. Fall G zyklisch ⇔ Behauptung, klar laut HS u ¨ber zyklische Gruppen. 2. Fall G abelsch, nicht zyklisch. W¨ ahle e 6= a ∈ G ⇒ #G/hai < #G ¯ ⇔ ∃K G, ¯ (G ¯ : K) = p Induktionshypothese f¨ ur G: ⇔ N = λ(K) erf¨ ullt G N, (G : N ) = p 3. Fall G nicht abelsch, dann E ( Z(G) = Z G gleicher Schluss: 1 < #G/Z < #G
Lemma 1.25 (Cauchy). Ist G endlich abelsch, p Primzahl, p | #G, so existiert x ∈ G mit ord(x) = p. Beweis: (1) Ist G zyklisch, so folgt die Behauptung. (2) Ist G nicht zyklisch, dann gilt: ∃a ∈ G, a 6= e, g¯ = G/hai • Falls p | ord a = #hai ⇒ Behauptung.
• Falls p - ord a ⇒ p | #G/hai =
#G ord a
¯ p = ord x Induktionshypothese: ∃¯ x ∈ G, ¯ ⇒ p | #hxi
1.4.2 Sylows¨ atze Bezeichnung: G Gruppe, #G = n < ∞, p Primzahl,n = pr ∗ n0 ,
n0 , r ∈ N, p - n0
Definition 1.24. H heißt p–Sylowgruppe ⇔ H ≤ G und #H = pn ⇔ H ist p–Untergruppe oder E und p - (G : H) = Bezeichnung in dieser Volesung: Sylp (G) = {H|H ≤ G, H Sylowgruppe}
30
#G #H
1.4 Sylow–S¨atze Satz 1.26 (1. Sylowsatz). Sylp (G) 6= ∅ Beweis: Beweis durch vollst¨ andige Induktion nach #G • 1. Fall: p | #Z, Z = Z(G) (Zentrum) Nach Cauchy gilt: ∃a ∈ Z, #hai = p. Wegen xax−1 = a f¨ ur alle x ∈ G ¯ = #G < #G ⇒ hai G, #G p ¯ Nach dem Untegruppenentsprechungssatz gilt Induktionshypothese: ∃ p–Sylowgruppe K von G. hai ⊆ H ≤ G ¯ : K = n0 ⇒ G:H =G ⇒ #H = pr ⇒ H ∈ Sylp (G)
• 2. Fall: p - #Z. Operiere mit G auf M = G durch innere Automorphismen. Dann gilt: Z = M G (Menge der Fixpunkte von G) Die Bahnbilanz besagt: X G : GvB wobei vB die Bahnvertreter sind. p | (pn · n0 ) = #M = #Z + vB mit G:Gv 6=1 B
Sei ohne Einschr¨ ankung r > 0. ⇒ ∃B : p - (G : GvB ) ⇒ G vB G ⇒ ∃H ∈ Sylp (GvB )
(Induktionsannahme)
⇒ p - G : H, da H p–Gruppe ⇒ H ∈ Sylp (G) Satz 1.27. Sei G eine endliche Gruppe, U ≤ G, p - #G, U p–Gruppe, H ∈ Sylp (G). Dann ist U in zu H konjugierter Untergruppe H 0 enthalten. Beweis: Cl(H) = {xHx−1 |x ∈ G} sei Konjugiertenklasse von H. U operiert auf M durch innere Automorphismen. #M = #Cl(H) = (G : NG (H)) | n0 ⇒ p - #M Nach dem p–Fixpunktsatz folgt: Operation von U hat Fixpunkt H 0 , d.h. ∀u ∈ U : H 0 = u ∗ H 0 = uH 0 u−1 ⇒ uH 0 = H 0 u
⇒ U H 0 = H 0U ⇒ H0 ≤ UH0 ≤ G
#U · #H 0 | #U · #H 0 = pl (l ∈ N) #(U ∩ H 0 ) ⇒ U H 0 = H 0 (da Sylowgruppe H 0 gr¨ oßtm¨ ogliche p-Untergruppe) #U H 0 =
⇒ U ≤ H0
Falls U ∈ Sylp (G) ⇒ U = H 0 . Also folgt 31
1 Einf¨ uhrung in die Gruppentheorie Satz 1.28 (Satz 2). Sylp (G) ist eine (volle) Klasse konjugierter Untergruppen. Insbesondere gilt: #Sylp (G) = G : NG (H).
Also gilt: H ist einzige p–Sylowgruppe
⇒ G = NG (H) ⇒ H G
Speziell gilt: Sei H einzige Sylowgruppe von NG (H). Operiere mit H ∈ Sylp (G) auf M = Sylp (G) mittels innerer Automorphismen. Aus p - #M und dem p-Fixpunktsatz folgt ∃ Fixpunkt H 0 ∈ Sylp (G) ⇔ ∀x ∈ H : xH 0 x− 1 = H 0 ⇒ H, H 0 ⊆ NG (H 0 )
⇒ H = H 0 ist einziger Fixpunkt
⇒ M H = {H} (Menge der Fixpunkte)
Nach dem p–Fixpunktsatz gilt: p | (#M − 1) ⇒ p | (#Sylp (G) − 1). Daraus folgt Satz 1.29. p | (#Sylp (G) − 1) Zusammgefasst gilt also: Satz 1.30 (Sylows¨ atze). Sei G eine endliche Gruppe, p Primzahl, p | #G und Sylp (G) ist die Menge der p–Sylowgruppe von G. Dann gilt: (1) p | (#Sylp (G) − 1) (#Sylp (G) ≡ 1 mod pZ), insbesondere: #Sylp (G) > 0 (2) #Sylp (G) | n0 , wo #G = pr xn0 , p - n0 (3) Sylp (G) ist eine volle Klasse konjugierter Untergruppen. (4) Ist U ≤ G, U p–Untergruppe, so gilt: ∃H ∈ Sylp (G) : U ≤ H
1.4.3 Die Gruppen G mit #G = p · q, #G = p2 q, p, q Primzahlen Satz 1.31. Ist #G = p · q oder #G = p2 · q, so ist eine der Sylowgruppen (zu p oder q) normal. Beweis: Seien tp = #Sylp (G), tq = #Sylq (G). Es ist tp = 1 oder tq = 1. Aus den Sylows¨ atzen folgt: tp | q, tq | p2 . Zu zeigen ist also, dass folgende F¨ alle nicht vorkommen: (1) (tp , tq ) = (q, p) (2) (tp , tq ) = (q, p2 ) Sei also tp = q. Nach den Sylows¨ atzen gilt: p | q − 1 ⇒ p < q. (1) Falls auch tq = p : q | p − 1 ⇒ q < p 32
1.4 Sylow–S¨atze (2) Falls auch tq = p2 ist, gilt: q | p2 − 1 = (p − 1)(p + 1) ⇒ q | p − 1 oder q | p + 1 | {z } ⇒ p
⇒ #G = 4 · 3 = 12
Dieser Fall wird folgendermaßen ausgeschlossen: Syl3 (4) = 4, C3 ist 3-Sylowgruppe ⇒ C3 enth¨ alt 2 Elemente der Ordnung 3, insgesamt 4 x2 = 8 Elemente der Ordnung 3. ⇒ Die restlichen 4 Elemente m¨ ussen die 2-Sylowgruppe H bilden (da #H = p2 = 4) ⇒ tp = 1 N sei die normale Sylowgruppe und U die zur anderen Primzahl. Dann gilt #(N ∩ U ) | ggT(q, p2 ) = 1 ⇒ N ∩ U = E Weiter gilt: p, q | #U N p2 , q | #U N
⇒ qp | #U N | #G ⇒ qp2 | #U N | #G
⇒ #U N = #G
Bezeichnung: Ist N G, U ≤ G mit N ∩ U = E, N U = G, so heißt (1) U gruppentheoretisches Komplement von N (2) G (inverses) semidirektes Produkt von N mit U Bezeichnung: direktes Produkt: N × U = G, semidirektes Produkt: N o U = G.
Struktur des semidirekten Produkts Sei G = N o U . Dann gilt ∀x ∈ G∃1 y ∈ N, ∃1 u ∈ U : x = yu Existenz wegen G = N U . Eindeutigkeit: yu = y 0 u0 , y, y 0 ∈ N, u, u0 ∈ U ⇒ y 0−1 y = u0 u−1 ∈ U ∩ N = {e} ⇒ y = y 0 , u = u0 y 1 u1 y 2 u2 = y 3 u3
Idee: u1 y2 = y20 u1 gilt mit y20 = u1 y1 u−1 1 ∈N y2 = innu1 (y1 ) = ϕU1 (y1 ) ϕu1 = innu1 |N ∈ Aut(N ) wegen innuv = innu ◦ inv ist ϕuv = ϕu ◦ ϕv ist U → Aut(N ) ein Homomorphismus . ϕ: u 7→ ϕu Das Vorbeiziehen von u1 an y2 kostet“ Ab¨ anderung mittels Automorphismus ϕu . ” Rechenregel: y1u1 y2 u2 = y1 ϕu (y2 )u1 u2 . Das Rechnen ist vollst¨ andig bestimmt durch das Rechnen in den Bausteinen“ N und U mit einem ” Homomorphismus ϕ : U → Aut(N ) als eine Art M¨ ortel“. ” Umgekehrt kann das auch zur Konstruktion eines semidirekten Produkts aus gegebenen N, U, ϕ verwendet werden.
33
1 Einf¨ uhrung in die Gruppentheorie Gp := (N × U, vϕ ), vϕ (als · geschrieben) definiert durch (y1 , u1 ) · (y2 , u2 ) = (y1 · ϕu1 (y2 ), u1 · u2 ) Bezeichnung: Dieses Gϕ heißt a ¨ußeres semidirektes Produkt von N mit U bzgl. ϕ. N → N 0 = {(y, eU )|y ∈ N }, y 7→ (y, e) U → U 0 = {(eN , u)|u ∈ U }, u 7→ (e, u) Identifiziert man y mit (y, e), u mit (e, u), so ist Gϕ das inverse semidirekte Produkt N o U zu ϕ. Beispiel 1.27. Am Besipiel der Assoziativregel: ((y1 , u1 ) · (y2 , u2 )) · (y3 , u3 ) = (y1 · ϕu1 (y2 ), u1 · u2 ) · (y3 , u3 )
= (y1 · ϕu1 (y2 ) · ϕu1 ·u2 (y3 ), u1 · u2 · u3 ) (y1 , u1 ) · ((y2 , u2 ) · (y3 , u3 )) = (y1 , u1 ) · (y2 · ϕu2 (y3 ), u2 · u3 ) = (y1 · ϕu1 (y2 · ϕu2 (y3 )), u1 · u2 · u3 )
ϕu1 (y2 · ϕu2 (y3 ))
ϕu1 ∈Aut(N )
=
ϕu1 (y2 ) · ϕu1 ◦ ϕu2 (y3 )
ϕ ist Homom.
=
ϕu1 (y2 ) · ϕu1 ·u2 (y3 )
(e, e) ∈ eGϕ , (y, u)−1 = (ϕu (y −1 ), u−1 ) Bemerkung: F¨ ur den trivialen Homomorphismus ε : U → Aut(N ), u 7→ εu = id gilt: vε : (y2 , u1 ) · (y2 , u3 ) = (y1 · εu1 (y2 ), u1 · u2 ) = (y1 · y2 , u1 · u2 ) N × U, ε heißt ¨ außeres direktes Produkt. Satz 1.32 (Direktheitskriterium). Sei G = N o U semidirekt. Genau dann ist G isomorph zum außeren direkten Produkt, wenn auch U G. ¨ Direkt: ϕ = ε yuy −1 u−1 ∈ U ∩ N = E ⇒ uyu−1 = ϕu (y) = y
⇒ ϕu = id, also ϕ = ε
Methode zur Bestimmung der Epimorphismen G → H (Gruppen): Suche x1 , . . . , xr m¨ oglichst klein mit G = hx1 , . . . , xn i = hϕ(x1 ), . . . , ϕ(xr )i = H. Stelle die Erzeugenden von H auf, H = hy1 , . . . , yr i (dabei ord(yi ) | ord(xi )). Teste, ob xi → yi sich zu wohldefinierten Homomorphismen forsetzen. Leichter geht es bei G = C n , Cq (hxi, ·), ord(x) = q, q Primzahl. Klar: ((q, ·) ∼ orper) = (Fq , +) (endlicher K¨ a
Satz 1.33. Aut(Fnq , +) ∼ = Gln (Fq ) Beweis: Grund: Lemma: ϕ : Fnq → Fnq ist Homomorphismus der additiven Gruppen ⇒ ϕ ist Fq –linear.
ϕ : Fq –linear ⇒ ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) Homomorphismus von (Fnq , +). ϕ Homomorphismus ⇒ ∀x, y : ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y). ¯ m ∈ {0, . . . , q − 1}. Noch zu zeigen: α ∈ Fq , x ∈ Fnq : ϕ(αx) = αϕ(x) Fq = {¯ 0, ¯ 1, . . . , q − 1}, α = m, 34
1.5 Alternierende Gruppen
ξ + · · · + ξ1 |1 {z } m St¨uck mξ ¯ 1 ξ1 .. .. .. x = . ⇒ ϕ(αx) = ϕ . = . ξ n + · · · + ξ n mξ ¯ n ξn | {z } m St¨ uck
= ϕ(x + · · · + x) = ϕ(x) + · · · + ϕ(x) | {z } {z } | m St¨ uck
m St¨ uck
= mϕ(x) = mϕ(x) ¯ = αϕ(x)
Zum Beispiel Aut(V4 ) = Aut(C − 22 ) ∼ = Gl2 (F2 ) ∼ = S3 (da ϕ(0) = 0) V4 = {id, τ1 , τ2 , τ3 }, ϕ = Aut(V4 ) permutiert die τi und jede Permutation ist ein Automorphismus (falsch schon bei C32 ) Achtung: Semidirekte Produkte derselben N, U von verschiedenen ϕ k¨ onnen isomorph sein. Diskussion von G mit #G = pq wie oben, p, q Primzahlen, p > q, Cp G. W¨ ahle ϕ : Cq → Aut(Cp1 ) ∼ = F× p. E direktes Produkt ϕ = ε ∼ Cq = hyi, Cp hxi G ϕ(Cq ) = Cq • 1. Fall: q + p − 1 ⇒ ϕ(Cq ) = E
⇒ G = (Cp × Cq , ε) ∼ = Cpq ⇒ G zyklisch
s • 2. Fall: q | p − 1 ⇒ ∃ Element s¯ ∈ F× ¯ = q (sp¨ ater: F× q mit ord s q ist zyklisch). ϕy (x) = x definiert ϕy ∈ Aut(Cp ), ji ϕyj (x) = (xs )s···s = xs , j ϕyj (xl ) = xls
ϕ : Cq → Aut(Cp ) ist H, y j 7→ ϕyj . Cq = {1, y, . . . , y q−1 }, Cp = {1, x, . . . , xp−1 } Verschiedene s mit ord s¯ = q ergeben isomorphe semidirekte Produkte. Ergebnis: Es seien p, q Primzahlen, q < p, #G = pq (1) Ist q - (p − 1), so G ∼ = Cpq (zyklisch) (2) Ist q | (p − 1), so G ∼ = Cpq oder G ∼ = (Cp × Cq , vϕ ), ϕ zu s wie oben. Gruppen¨ ubersicht bis zur Ordung 20: Zu jeder Ordnung d = #G gibt es die (abelsche) zyklische Gruppe Cd . Außerdem gibt es die abelschen Gruppen C22 = V4 f¨ ur d = 4, C23 , C2 × C4 f¨ ur d = 8, C32 f¨ ur d = 9 . . . ∼ Nichtabelsche Gruppen mit d ≤ 20: S3 = D3 f¨ ur d = 6, D4 , Q f¨ ur d = 8, D5 f¨ ur d = 10, A4 , D6 f¨ ur d = 12, D7 f¨ ur d = 14 ≤.
1.5 Alternierende Gruppen An = {π ∈ Sn | sgn(π) = 1}, n > 1, #An =
n! 2
Satz 1.34. F¨ ur n ≥ 3 ist An erzeugt von allen 3-Zyklen. 35
1 Einf¨ uhrung in die Gruppentheorie Beweis: Sn erzeugt von Transpositionen. π ∈ An ist Produkt einer geraden Zahl von Transpositionen. Es gen¨ ugt zu zeigen: π = (a b)(c
d) a 6= b, c 6= d, {a, b, c, d} > 2 ist Produkt von 3 Zyklen.
(a c b)(a c d) = (a b)(c d) falls #{a, b, c, d} = 4 (1 2)(2 3) = (1 2 3) ⇒ OK, falls #{a, b, c, d} = 3
F¨ ur n > 4 sind 2 3-Zyklen in An konjugiert, z.B. π(1 2 3)π −1 = (1 3 2) f¨ ur π = (2 3)(4 5) ∈ A5 ⊆ A 4 . Folgerung: Ist N An , n ≥ 4 und enth¨ alt n einen 3-Zyklus, so ist N = An . Beweis: Es gilt: ∀π ∈ An : πσπ −1 ∈ πN π −1 = N ⇒ N enth¨ alt alle 3-Zyklen ⇒ N = An
Satz 1.35. F¨ ur n ≥ 5 ist G = An einfach. Beweis: Gen¨ ugt E 6= N An ⇒ N enth¨ alt 3-Zyklus (laut obiger Folgerung). Induktion nach n Induktionsanfang: n = 5 #A5 = 60 = 4 · 3 · 5 Syl2 (A5 ) = V4 wegen A4 ≤ A5 Annahme: N enth¨ alt keinen 3-Zyklus. Dann gilt 3 - #N Falls 2 - #N , w¨ are N = C5 . Widerspruch zu N G = An ⇒ N enth¨ alt Doppel–Transpositionen, etwa (1 2)(3 4)
⇒ N 3 (1 2)(4 5)(1 2)(3 4)((1 2)(4 5))−1 = (1 2)(3 5) ⇒ N 3 (1 2)(3 4)(1 2)(3 5) = (3 4)(3 5) = (3 5 4)
Betrachte Fixgruppe Gj = A{1,...,n}\{j} ∼ = An−1 .
(1) 1. Fall: ∃j : E 6= N ∩ Gj Gj Induktionshypothese: N ∩ Gj enth¨ alt 3-Zyklus, also auch N . (2) 2. Fall: ∀j : N ∩ Gj = E ⇒ ∃π ∈ N, π hat keinen Fixpunkt. Gesucht ist λ = G mit id 6= λ−1 πλπ −1 = π 0 , π 0 hat Fixpunkt. ⇒ Fertig nach Fall 1, da π 0 ∈ N . π 0 (j) = j π0 ≤ id
⇔
λ0 λ0
= πλπ −1 = λ(j) = πλπ −1 ≤ λ
Betrachte Zyklenzerlegung von π: Falls ≥ 3-Zyklus vorkommt: oBdA: (1 2 3 . . . )(. . . ) . . . (. . . ) Falls ≥ 3-Zyklus nicht vorkommt: oBdA: (1 2)(3 4)(. . . )(. . . ) . . . (. . . )(. . . ) (nur Doppeltranspositionen in π) (2 3)π(k) λ = (1 2 . . . k), k > 2, dann λ0 = πλπ −1 = (2 1)π(k) ∃k ≤ n : π(k) 6= 1, 5 (gen¨ ugt k ∈ {3, 4, 5}, da π bijektiv) ⇒ λ0 6= id, λ0 (5) = 5 = λ(5) 36
1.5 Alternierende Gruppen Beispiel 1.28. U(A5 ), G = A5 . Dann enth¨ alt G nur Elemente der Ordung 2,3,5. Betrachte disjunkte Zykeldarstellung in S5 : Partitionen Beispiel Ordnung sgn id 1 1 2+1+1+1 (1 2) 2 -1 2+2+2+1 (1 2) (3 4) 2 1 3+1+1 (1 2 3) 3 1 4+1 (1 2 3 4) 4 -1 3+2 (1 2 3) (4 5) 6 -1 5 (1 2 3 4 5) 5 1 G ≥ A 4 = G5 Gj ∼ = A4
⇒ 2-Sylowgruppe ist V4 (da in A4 bekannt)
Die Gj sind konjugiert. (G : Gj ) = 5, Gj = NG (Gj ). Operiert G auf M und ist n = x ∗ m, so gilt Gn = xGm x−1 Fixpunkte zu Bahnpunkten sind immer konjugiert. • p=2: NG (V4 ) ∼ oglich. (Sonst NG (A4 ) = G, A4 G ) ⇒ #Syl2 = 5. = A4 , da = G unm¨ • p=3: #3 − Zyklen = 2 ∗ 53 = 20 ⇒ #Syl3 = 20 2 = 10 = (G : NG (C3 )) 60 = 6, ist nicht zyklisch. ⇒ #NG (C3 ) = 10 ¨ ⇒ NG (C3 ) = S3 (siehe Ubung) • p=5: # 5-Zyklen (1 a b c d) 4! = 24, je 4 in einer C5 ⇒ #Syl5 = 24 4 = 6, ist nicht zyklisch ⇒ #NG (C5 ) = 60 6 = 10 ⇒ NG (C5 ) = D5 Die Elemente der Ordnung l bilden je eine Konjugierten-Klasse (betrachte z.B. Zentralisator). H G 30 geht nicht G : H = 2 ⇒ H 15 geht nicht H ∼ = C1 5 20 geht nicht #H = 20, 2-Sylowgruppe: V4 ⇒ H enth¨ alt Element der Ordnung 10 Maximale Untergruppe (6= G): S3 , A4 , D5 Untegruppen von G: Ordung 1 2 3 4 5 6 10 Typ E C2 C3 V4 C5 S3 D5 # 1 15 10 5 6 2 #Cl 1 10 5 6 10 10
12 A4 2 5
60 A5 1 1
37
1 Einf¨ uhrung in die Gruppentheorie
38
Einfu ¨ hrung in die Ringtheorie
2
2.1 Grundbegriffe, Homomorphiesatz Definition 2.1. Ein Ring R, genauer (R, +, ·) ist eine Menge R mit zwei Verkn¨ upfungen (meistens mit +, · oder +, ∗ oder auch +, ◦ bezeichnet), f¨ ur die gilt: (1) (R, +) ist eine kommutative Gruppe. Das neutrale Element bez¨ uglich + wird mit 0 oder 0R bezeichnet. (2) (R, ·) ist ein Monoid. Das neutrale Element bez¨ uglich · wird meist mit 1 oder 1R bezeichnet. (3) Es gilt die Distributivregel, d.h. es gilt ∀a, b, c, d ∈ R : (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd Die Konvention besagt, dass · st¨ arker als + bindet.
In vielen B¨ uchern wird nicht verlangt, dass (R, ·) ein Monoid, sondern nur eine Halbgruppe ist. In dieser Vorlesung heißt R dann Rgn.
Beispiel 2.1. (1) F¨ ur jeden Ring R ist Rn×n ein Ring. (2) Ist V K–Vektorraum, so ist (EndK (V ), +, ·) ein Ring.
Allgemeiner: Ist (A, +) abelsche Gruppe, so ist (End(A), +, ·) ein Ring.
(3) Ist R ein Ring und U eine Menge, so ist (RU , +, ·) ein Ring bei werteweisem + und ·, d.h. f · g und f + g sind wie folgt definiert: (f + g)(u) = f (u) + g(u)
(f · g)(u) = f (u) · g(u)
Sei ∅ ≤ U ≤ Rn , U offen. Dann ist C(U, R) = {f : U → R|f ist stetig} ist ein Unterring von R U . Definition 2.2. Ein (Ring–)Homomorphismus f : (R, +, ·) → (S, +, ·) ist eine Abbildung f : R → S. f ist Homomorphismus der additiven Gruppen und der multiplikativen Halbgruppen, d.h. ∀x, y ∈ R : f (x + y) = f (x) + f (y) Gilt zus¨ atzlich f (1R ) = 1S , so heißt f (in dieser Vorlesung) unit¨ar.
39
2 Einf¨ uhrung in die Ringtheorie Definition 2.3. S heißt Unterring von R ⇔ S ⊆ R, Inklusion i : S → R ist ein Ringhomomorphismus Kriterium f¨ ur einen Unterring: • (S, +) ist Untergruppe von (R, +) • ∀x, y ∈ S : xy ∈ S Beispiel 2.2. (1) R = R
2×2
, f (r) 1 1R = 1 S = 0 r 0 g(r) = 0 0
= 0 . 1
r 0 0 r
ist unit¨ arer Ringhomomorphismus R → R2×2 . S = f (R) ist Teilring mit
ist nicht unit¨ ar. S 0 := g(R) ist Teilring, 1S 0 =
1 0 0 0
6= 1R
(2) Das Zentrum von R, Z = Z(R) = {z ∈ R|∀x ∈ R : xz = zx}, ist kommutativer Teilring von R mit 1Z = 1 R . 0 r .. Ist K K¨ orper, so ist Z(K n×n ) = . r ∈ K . 0 r Definition 2.4. Sei S ein kommutativer Ring. Ein paar (R, ϕ), wo R Ring, ϕ unit¨ arer Homomorphismus ϕ : S → R mit ϕ(S) ⊆ Z(R) heißt S-Algebra. Beispiel 2.3. (1) Jeder Ring ist Z–Algebra zu ϕ(z) = sgn(z)(1R + · · · + 1R ). {z } | (2) K
n×n
, S = K, ϕ(r) =
r
0
.. 0
. r
|Z| St¨ uck
, r = K, also ist K n×n eine K-Algebra.
Andere Sichtweise: Skalarprodukt“ S ×R → R, (α, x) 7→ ϕ(α)·x =: αx = v(α, x) (¨ außere Verkn¨ upfung). ” Beobachtung: Es gelten genau die Rechenregeln des Vektorraums, d.h. ∀α, β ∈ S, ∀x, y ∈ R: • α(x + y) = αx + αy • (α + β)x = αx + βx • (αβ)x = α(βx) • 1S x = x Außerdem gilt: • α(xy) = (αx)y = α(xy) 40
2.1 Grundbegriffe, Homomorphiesatz Umgekehrt gilt: Hat man eine ¨ außere Verkn¨ upfung (Skalarprodukt), so dass diese Rechenregeln gelten, so liegt eine S-Algebra vor zu ϕ : S → R, ϕ(α) = α1R . Beispiel 2.4. Ist R kommutativ, S ein Unterring mit 1R = 1S , so ist R eine S-Algebra zu ϕ (Inklusion). Spezieller: Ist K Teilk¨ orper des K¨ orpers L, dann ist L eine K–Algebra, insbesondere ein K–Vektorraum. Noch Spezieller: C ist R–Algebra (als R–Vektorraum).
Definition 2.5. (R1 , ϕ1 ), (R2 , ϕ2 ) seien S-Algebren. Dann ist ein Algebra–Homomorphismus f : (R1 , ϕ1 ) → (R2 , ϕ2 ) ein unit¨ arer Ringhomomorphismus f : R1 → R2 mit f ◦ ϕ1 = ϕ2 . Ist K K¨ orper, so f : R1 → R2 Algebrenhomomorhismus ⇔ f unit¨ arer Ringhomomorphismus und f ist K–linear. Grund: ⇒“: f (αx) = f (ϕ1 (α)x) = (f ◦ ϕ1 (α))f (x) = ϕ2 (α)f (x) = αf (x). ” Beispiel 2.5. Ist V ein K–Vektorraum, so ist EndK (V ) eine K–Algebra. Beobachtung: I = Kern f = {x ∈ R|f (x) = 0} hat die Eigenschaften (1) I ist Untergruppe von (R, +) (2) ∀x ∈ R: links: ∀a ∈ I : xa ∈ I (kurz: Ra ⊆ I oder RI ⊆ I)
rechts: ∀a ∈ I : ax ∈ I (kurz: aR ⊆ I oder IR ⊆ I) Grund: a ∈ Kern f ⇔ f (a) = 0 ⇒ f (xa) = f (x)f (a) = f (x)0 = 0 ⇒ xa ∈ Kern f = I
Linksideal (i) und (ii) links Definition 2.6. I heißt Rechtsideal von R ⇔ Es gilt (i) und (ii) rechts . (zweiseitiges) Ideal (i) und (ii) links und rechts
Beispiel 0 (1) 0 0 u
2.6. u u, v ∈ K ist Linksideal von K 2×2 , nicht Rechtsideal. v 0 u, v ∈ K ist Rechtsideal von K 2×2 , nicht Linksideal. v
(2) Triviale Ideale: {0}, R
41
2 Einf¨ uhrung in die Ringtheorie Bezeichnung: I ist Ideal von R ⇔ I R ¯ = R/I Faktorring. (R, ¯ +) ist Faktorgruppe, die Multiplikation wird vertreterweise Sei I R. Dann ist R ¯ definiert: In R : x ¯ · y¯ = xy, x ¯=x+I Beweis: Annahme: I ist nur Links-Ideal, nicht Rechts-Ideal. Dann gilt ∃ar 6∈ I, a ∈ I, r 6∈ I und ¯r¯ = 0R¯ · r¯ = 0R¯ 0R¯ 6= ar = a
x ¯=0 ⇔ x ¯=I
¯ wohldefiniert, d.h. x¯ = x Ist I R, dann ist · auf R ¯0 , y¯ = y¯0 ⇒ xy = x0 y 0 ¯ ist Ringhomomorphismus, denn es gilt κ:R→R κ(x) · κ(y) = x ¯ · y¯ = xy = κ(xy) Die Kerne der Ringhomomorphismen sind genau die Ideale. Homomorphiesatz f¨ ur Ringe f : R → S sei Ringhomomorphismus. Dann ist Kern f = f −1 ({0}) R und alle Homomorphismen aus dem Homomorphiesatz f¨ ur Gruppen sind Ringhomomorphismen. f
R −−−−→ κy
S x i
¯ −−−−→ f (R) R f¯
Es gilt: ¯ = R/ Kern f ist surjektiv • Die kanonische Abbildung κ : R → R • Die Inklusion i : f (R) → S ist injektiv ¯ x) = f (x) ist Ringhomomorphismus. ¯ → f (R), f(¯ • f¯ : R Kurz: R/ Kern f ∼ = f (R) als Ring. Beweis: f¯(¯ xy¯) = f¯(xy) = f (xy) = f (x)f (y) = f¯(¯ x)f¯(¯ y) Also gilt: Jedes epimorphe Bild von R ist isomorph zu einem R/I mit I R. Beispiel 2.7. Epimorphe Bilder von Z. U(Z) = {dZ|d ∈ N}, dZ Z. Jedes epimorphe Bild von Z ist isomorph zu einem Z/dZ = {¯ 0, ¯ 1, . . . , d − 1} (bzw. Z f¨ ur d = 0).
42
2.1 Grundbegriffe, Homomorphiesatz Definition 2.7. (1) Ein Ring R heißt integer, wenn er keine (nichttrivialen) Nullteiler hat. (In dieser Vorlesung erlaubt: R nicht kommutativ) (2) Das Links- bzw. Rechtsideal Ra = {ra|r ∈ R} bzw. aR heißt Links- bzw. Rechts-Hauptideal. (3) Ein (Links-)Hauptidealring ist ein integrer Ring, in dem jedes (Links-)Ideal ein (Links-)Hauptideal ist. Definition 2.8. Ein Ring R heißt einfach ⇔ 0, R sind die einzigen Ideale und R 6= {0} Beispiel 2.8. Kommutative K¨ orper sind einfach. Ist J ein Linksideal von R, so gilt: J 6= R ⇔ J ∩ R× = ∅
oder
J = R ⇔ J ∩ R× 6= ∅
Beweis: ⇒“ 1 ∈ J ∩ R× ” ⇐“ u ∈ J ∩ R× ⇒ u−1 u = 1 ∈ J ⇒ R = R · 1 ⊆ J ⊆ R ⇒ R = J ”
Satz 2.1. Ein kommutativer Ring R ist genau dann ein K¨ orper, wenn R einfach ist. Beweis: ⇒“: Sei R K¨ orper. Dann ist ” R× = R \ {0}, J 6= {0} ⇒ R× ∩ J 6= ∅ ⇒ J =R ⇐“: Sei R einfach kommutativ, x ∈ R, x 6= 0. ” 0 6= x ∈ Rx R ⇒ Rx = R 3 1 ⇒ ∃u ∈ R : ux = 1 ⇒ x ∈ R×
Die analoge Aussage ist falsch f¨ ur nichtkommutative Ringe. Ist K ein K¨ orper, n ∈ N>0 . Dann ist K n×n einfach, aber f¨ ur n > 1 nicht einmal integer. Satz 2.2 (Idealentsprechungssatz). Ist f : R → S ein surjektiver Ringhomomorphismus, dann entsprechen Links-, Rechts- und zweiseitige Ideale zwischen R und Kern f genau den Links-, Rechtsbzw. zweiseitigen Idealen von S. Beweis: Kern f ≤ I ≤ R. Aus I Linksideal folgt: f (I) ist Linksideal von S. Dann gilt f¨ ur s ∈ S : ∃x ∈ R : s = f (x), s · f (I) = f (x) · f (I) ⊆ f (xI) = f (I) Definition 2.9. Ein Ideal J von R heißt maximal, wenn es maximal ist bez¨ uglich ⊆ in der Menge {I|I R, I 6= R}. (Analog: Maximales Linksideal). 43
2 Einf¨ uhrung in die Ringtheorie Idealentsprechung: J maximal ⇒ R/J einfach Folge: Die K¨ orper, die surjektive homomorphe Bilder von R sind, entsprechen den maximalen Idealen J mit R/J kommutativ. Beispiel 2.9. R = Z ⇒ R Hauptidealring. Maximal sind die pZ mit p ist Primzahl. Die K¨ orper, die man als homomorphe Bilder von Z erh¨ alt, sind gerade die Fp = Z/pZ (= GF (p)). Beweisprinzip: Lemma 2.3 (Zorns Lemma). Sei M eine (etwa durch ≤) [partiell] geordnete Menge. Dann heißt (M, ≤) induktiv ⇔ (1) M 6= ∅ (2) Jede totalgeordnete Untermenge T von M hat eine obere Schranke t ∈ M (d.h. ∀x ∈ T : x ≤ t). Ist M induktiv, so exitsiert (mindestens) ein maximales Element m ∈ M . D.h. ist m ∈ M und t ≤ u, dann gilt: t = u Beweis: Existenz maximaler Ideale: Zeige: M := {J|J R, J 6= R} ist bei ⊆ induktiv. S J∈T J ist obere Schranke von T .
Sei T ⊆ M totalgeordnet. Behauptung: S =
Klar: ∀J ∈ T : J ⊆ S Zu zeigen: S ∈ M , d.h. S R und S 6= R. Zu “: ” r ∈ R, s ∈ S ⇒ s ∈ J mit J ∈ T ⇒ rs ∈ J ⊆ S
x, y ∈ S ⇒ ∃J1 , J2 ∈ T, x ∈ J1 , y ∈ J2 und da T totalgeordnet ⇒ J1 ⊆ J2 oder J2 ⊆ J1 , etwa J1 ⊆ J2 ⇒ x, y ∈ J2
⇒ x ± y ∈ J2 ⊆ S, also S ist additive Untergruppe Es gilt S 6= R, denn w¨ are S = R, so 1 ∈ S ⇒ ∃J ∈ T : 1 ∈ J ⇒ J = R Widerspruch!
2.2 Teilbarkeitslehre, Hauptidealringe, euklidische Ringe In diesem Abschnitt sei R ein integrer Ring (zu Anfang nicht notwendig kommutativ). Es gilt also (1) die K¨ urzungsregel, d.h. a 6= 0, ax = ay ∨ xa = ya ⇒ x = y (2) u ∈ R× ⇔ ∃v ∈ R : vu = 1 ⇔ ∃w ∈ R : uw = 1 Beweis: integer
(1) ax = ay ⇒ a(x − y) = 0 ⇒ x − y = 0 ⇒ x = y (2) ⇐“: vu = 1 ⇒ uvu = u1 = 1u ⇒ uv = 1 ”
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2.2 Teilbarkeitslehre, Hauptidealringe, euklidische Ringe Definition 2.10. a | b ⇔ ∃q ∈ R : b = qa (lies a teilt b“, genauer: a ist rechter Teiler von b“). Der ” ” linke Teiler wird analog definiert. Hier ist ohne Einschr¨ ankung immer der rechte Teiler gemeint. Idealtheoretische Interpretation: a | b ⇔ b ∈ Ra ⇔ Rb ⊆ Ra.
Merke: Teilbarkeit ist umgekehrtes Enthaltensein der Links-Hauptideale. Folge: | ist transitiv. Seien u, v ∈ R. Dann gilt: a | b, a | c ⇒ a | (ub + vc), denn b, c ∈ Ra ⇒ ub + vc ∈ Ra Bemerkung: Ra = Rb, d.h. a | b ∨ b | a ⇔ ∃e ∈ R× : b = ea ⇔ b ∈ R× a
Beweis: a = ub, b = va ⇒ 1a = uva, ⇒ 1 = uv ⇒ u, v ∈ R × × × Hier wird mit R von links auf R operiert: R × R → R, (e, a) 7→ ea (Produkt in R). Die Teilbarkeit h¨ angt nur von R× a bzw R× b ab, schreibe a | b ⇔ R× a | R× b. R× a ∈ R× \R ist die Klassenmenge. Oft w¨ ahlt man einen bestimmten Vertreter anor in der Klasse R× a. Beispiel 2.10. (1) R = Z, Z× = {±1}, Z×a = {±a} Standardnormierung anor = |a| ∈ N (2) Ist K K¨ orper, R = K[X], R× = K × , f = α0 + α1 X + · · · + αn X n , αn 6= 0, fnor = Normierung auf h¨ ochsten Koeffizienten 1“ ”
1 αn f, 0nor
= 0.
Definition 2.11. Seien a, b ∈ R. d heißt ein gr¨ oßter gemeinsamer (rechter) Teiler ⇔ (1) d | a ∧ d | b (d ist gemeinsamer Teiler) (2) u | a ∧ v | b ⇒ u | d (d gr¨ oßtm¨ oglich bez¨ uglich |) Beispiel 2.11. ggT(a, 0) = a (oder anor ). Beachte: Ist d ein ggT von a und b, so ist dnor eindeutig bestimmt, denn d | d0 und d0 | d f¨ ur noch einen ggT. Schreibe: dnor = ggT(a, b). Achtung: Allgemein braucht ein ggT(a, b) nicht zu existieren. Ist R ein Linkshauptidealring, so existieren zu a, b ∈ R immer ein rechter ggT d und x, y ∈ R mit d = a. Beweis: Bemerkung: Sind I, J (Links-)Ideale von R, so auch die Idealsumme I + J = {a + b|a ∈ I, b ∈ J} Im Hauptidealring gilt: ∃d : Rd = Ra + Rb Behauptung: d ist ein ggT d | a ⇔ Ra ⊆ Rd, wegen Rd ⊇ Ra - 0, ebenso d | b Es gilt also: u | a ∧ u | b ⇔ Ra ⊆ Ru, Rb ⊆ Ru ⇒ Rd = Ra + Rb ⊆ Ru ⇒ u|d
Merke: In Hauptidealringen kann der ggT(a, b) als R-Linearkombination von a und b dargestellt werden: d ∈ Ra + Rb ⇔ ∃x, y ∈ R : d = xa + yb
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2 Einf¨ uhrung in die Ringtheorie Definition 2.12. Ein Ring R heißt (links-)euklidisch, wenn es eine Abbildung ϕ : R \ {0} → N gibt, so dass man eine Division mit Rest“ hat, d.h. ” ∀a, b ∈ R, b 6= 0, ∃q, r : a = qb + r, wobei r = 0 ∨ ϕ(r) < ϕ(b) Idee: r heißt Rest von a bei Divison durch b, ϕ ist eine Art Gr¨ oßenmaß“ f¨ ur die Elemente von R \ {0}. ” Der Rest soll 0 sein oder bez¨ uglich ϕ kleiner werden als das b, durch das dividiert wird. Satz 2.4. Ist R linkseuklidischer Ring, so ist R ein Links-Hauptidealring. Beweis: Sei 0 6= J ⊆ R, J Linksideal. Dann gilt: J \ {0} = R \ {0} ∩ J 6= ∅
⇒ Es existiert m := min{ϕ(x)|x ∈ J \ {0}} und d ∈ J mit ϕ(d) = m ∈ N d ∈ J ⇒ Rd ⊆ J Noch zu zeigen: J ⊆ Rd: a ∈ J ⇒ a = qd + r (Division mit Rest) ⇒ r = |{z} a − qd ∈ J |{z} ∈J
∈J
W¨ are r 6= 0, so w¨ are ϕ(r) < m = ϕ(d) Widerspruch zu m ist Minimum! Also gilt: r = 0 und a = qd ∈ Rd Beispiel 2.12. (1) R = Z, b 6= 0. Sei oBdA b > 0, a = qb + r, ϕ(x) = |x|. Wunsch: 0 ≤ r < b, q ∈ Z, d.h. 0≤
a r a − q = < 1, q ∈ Z ⇔ q ≤ < q + 1 b b b
W¨ ahle also q = b ab c = max{z ∈ Z|z ≤ ab } √ (2) Genauso R = Z + Zi ⊆ C, i = −1 ( Ring der ganzen Gaußschen Zahlen“) ” z = x + iy, ϕ(z) = |z|2 = x2 + y 2 (3) R = K[X], K K¨ orper mit ϕ(f ) = Grad f Der Euklidische Algorithmus berechnet einen ggT von a, b und u, v ∈ R mit d = ua + vb, r = a mod b. Als Maple-Programm sieht der Algorithmus folgendermaßen aus: einggT = proc(a,b) if b=0 then a else einggT(b, a mod b) fi end; Funktioniert wegen ggT(a, b) = ggT(b, r), wenn b = qa + r, wegen ϕ(r) < ϕ(b) Ra + Rb ⊇ Rb + Rr Rr + Rb ⊇ Ra + Rb 46
⇒ Rd = Ra + Rb = Rb + Rr
2.3 Primfaktorzerlegung Hat man rekursiv d = u0 b + v 0 r, a = qb + r ⇒ d = u0 b + v 0 (a − qb) = v 0 a + (u0 − v 0 q)b ⇒ d = ua + vb mit u = v 0 , v = u0 − v 0 q
¯ = R/mR. Dann gilt Satz 2.5. Sei R ein (kommutativer) Hauptidealring, m ∈ R, m 6= 0, R ¯ × = {¯ R x| ggT(x, m) = 1} Beweis: 1 = ux + vm mit u, v ∈ R ¯x ¯ ⇒ 1R¯ = ¯ 1=u ¯x ¯ + v¯ |{z} m ¯ =u ⇒ u ¯=x ¯−1
=0R ¯
Falls R konstruktiv euklidisch, so kann u (und v) mit Euklids Algorithmus berechnet werden. Beispiel 2.13. ¯ 5−1 in Z/21Z, ggT(5, 21) = 1 = (−4) · 5 + 1 · 21 ⇒ ¯ 1 = −¯ 4·¯ 5 ⇒ ¯ 5−1 = −¯ 4 = 17
2.3 Primfaktorzerlegung Definition 2.13 (Noethers Kettenbedingung). Sei R ein Ring. Dann gilt (1) Eine aufsteigende Folge J0 ⊆ J1 ⊆ J2 ⊆ · · · ⊆ Ji ⊆ Ji+1 ⊆ · · · ⊆ R heißt station¨ar (oder stabil ) ⇔ ∃N ∈ N∀m ≥ N : Jm = JN (2) R heißt rechtsnoethersch, linksnoethersch bzw. noethersch ⇔ Die Kettenbedingung gilt f¨ ur Links-, Rechts- bzw. zweiseitige Ideale
Satz 2.6. Ist R ein Links-Hauptidealring, so ist R linksnoethersch. Beweis: J0 ⊆ J1 ⊆ J2 ⊆ · · · Kette von Linksidealen [ ⇒ Jj ist Linksideal j∈N
Falls Linkshauptidealring, gilt:
∃a ∈ R, J = Ra ⇒ ∃N ∈ N : a ∈ JN J = Ra ⊆ JN ⊆ Jm ⊆ J ⇒ Jm = JN f¨ ur alle m ≥ N Definition 2.14. Sei R ein integrer Ring. p ∈ R heißt Atom oder irreduzibel ⇔ p 6= 0, p 6∈ R× , p hat nur die trivialen (Rechts-)Teiler R× und R× p Bemerkung: Ist R ein Linkshauptidealring, so gilt p ist Atom ⇔ Rp ist maximales Ideal
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2 Einf¨ uhrung in die Ringtheorie Satz 2.7. Sei R ein Linkshauptidealring und rechtsnoethersch. Dann ist jedes x ∈ R, x 6= 0, x 6∈ R × ein Produkt endlich vieler Atome. F¨ ur kommutative R gen¨ ugt R ist Hauptidealring. Beweis: Annahme: Der Satz ist falsch. Dann gibt es ein Gegenbeispiel x = x0 ∈ R, x 6= 0, x 6∈ R× , x ist kein Produkt endlich vieler Atome. Dann gilt wegen x 6∈ R × : Rx 6= R ⇒ ∃ maximales Linksideal (=Rp1 , da Hauptidealring) mit x ∈ Rx ⊆ Rp1 , daher p1 Atom ⇒ ∃x1 ∈ R : x = x0 = x1 p1 x1 ist auch Gegenbeispiel (x1 ∈ R× ⇒ x0 = x1 p1 Atom ) ⇒ x1 = x2 p2 , p2 Atom , x2 ein Gegenbeispiel. Mache so weiter (Induktion): xn+1 = xn pn mit pn ist Atom ⇒ xn−1 R = xn pn R ⊂ xn R |{z} ⊆R
(falls xn pn R = xn R 3 xn , so ist xn pn u = xn · 1 ⇒ pn ∈ R× . Nichtstabile Kette von rechtsidealen Rx0 ⊂ Rx1 ⊂ Rx2 ⊂ · · ·
zu Atom) zur Voraussetung.
Ab jetzt gilt in diesem Abschnitt (2.3): R ist kommutativ. Satz 2.8. Ist R ein (kommutativer) Hauptidealring, x ∈ R, x 6= 0, x 6∈ R × , dann gibt es Atome p1 , . . . , pn (n ∈ N>0 ) mit x = p1 · · · pn . Dabei ist (Rp1 , . . . , Rpn ) bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt. Beweis: (1) Dies ist eine Art Primzerlegung. Existenz nach vorherigem Satz. (2) Eindeutigkeit: Bemerkung: Ist p ein Atom, Rab ⊆ Rp (p | ab) ⇒ Ra ⊆ Rp oder Rb ⊆ Rp (d.h. p | a oder p | b) ¯ = R/Rp folgt aus ab = a ¯¯b = 0, dass a ¯ = 0 oder ¯b = 0 ist, d.h. R/Rp ist integer. Anders gesagt: In R In vielen B¨ uchern werden solche p als Primelemente bezeichnet. Beweis: Ra ( Rp ⇒ a 6∈ Rp
⇒ R ⊇ Rp + Ra ) Rp, da Rp maximal ⇒ Rp + Ra = R ⇒ Rb = |{z} Rab + Rbp ⊆ Rp |{z} ⊆Rp
⊆Rp
Induktiv folgt Ra1 · · · an ⊆ Rp ⇒ ∃j : Raj ⊆ Rp. Sei x = p1 · · · pn = q1 · · · qm , pi , qj Atome, m, n ∈ N>0 . Dann gilt: Rq1 · · · qm = Rx = Rp1 · · · pn ⊆ Rpn
⇒ ∃j : Rpn ⊇ Rqj also Rpn = Rqj , da qj Atom (Rqj maximal)
48
2.3 Primfaktorzerlegung Ohne Einschr¨ ankung (Umnummerierung der qj ) gilt: j = m, x = q1 · · · qm = p1 · · · pn qm = epn , e ∈ R× = (eq1 ) · · · (qn−1 ) = p1 · · · pn−1 Wenn zum Beispiel n = 1, so steht Rechts 1 ⇒ n = 1, p1 = eq1 .
Ebenso ist m = 1, n > 1 unm¨ oglich, falls n > 1 und m = 1. ⇒ Rpj = Rqj (j = 1, . . . , n − 1), falls qj geeignet nummeriert.
Faktorielle Ringe Vorbild: Z mit seiner Primzerlegung. Definition 2.15. Ein (kommutativer) Ring heißt faktoriell (oder ZPE-Ring, wobei ZPE f¨ ur Zerlegung ” in PrimElemente“ steht), wenn gilt: ∃0 6∈ P = PR ⊆ R, so dass jedes x ∈ R, x 6= 0 eine eindeutige Primzerlegung“ hat: ” Y vp (x) × p mit ex ∈ R , vp (x) ∈ N x = ex p∈P
nur f¨ ur endlich viele p ∈ P ist vp (x) 6= 0. Eindeutigkeit: (ex , vp (x), p ∈ P) ist durch x eindeutig bestimmt. Satz 2.9. Ist R ein kommutativer Hauptidealring, so ist R faktoriell. Beweis: In jedem R× q, q Atom, w¨ ahle festes p ∈ R× , p := qnor , P = PR = {p|p ist Atom, p = pnor } (1) Existenz der Zerlegung: x ∈ R× , x = ex , vp (x) = 0, ansonsten laut vorherigem Satz x = q1 · · · qn mit Atomen qi , ei Pi = qi , pi normiert. Q x = e1 · · · en p1 · · · pn = ex p∈P pvp (x) , wobei vp (x) = #{pi |pi = p} | {z } =ex ∈R×
(2) Eindeutigkeit: x = ep1 · · · pn . Dann ist (Rep1 = Rp1 , Rp2 , . . . , Rpn ) bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt. Also ist ex eindeutig. Beispiel 2.14. R = Z und R = K[X], K K¨ orper Zweck faktorieller Ringe (R \ {0}, ·) → R× × (N, +)Pf in ist eine Isomorphie von Monoiden, wo NPf in = (np )p∈P , alle bis auf endlich viele np sind = 0, x 7→ (ex , (vp (x))), p ∈ P Fazit:
(1) Die Multiplikation in R geht zur¨ uck auf die in R× und Addition in N. (2) Die Teilbarkeit geht zur¨ uck auf Standardanordnung ≤ von N. 49
2 Einf¨ uhrung in die Ringtheorie Satz 2.10. Eigenschaften von vp : Sei R faktorieller Ring zu P = PR . Dann gelten f¨ ur vp : R → N ∪ {∞} mit vp (0) = ∞ folgende Eigenschaften: (1) vp (x) = ∞ ⇔ x = 0 (2) vp (xy) = vp (x) + vp (y) (3) vp (x + y) ≥ min(vp (x), vp (y)) (4) x ∈ R× ⇔ ∀p ∈ P : vp (x) = 0 (5) x | y ⇔ ∀p ∈ P : vp (x) ≤ vp (y) Q Standardnormierung: xnor = p pvp (x) (Wegstreichen von ex )
F¨ ur sie gilt: (xy)nor = xnor · ynor , Produkte normierter Elemente sind normiert Q Q Folge: ggT(x, y) = pmin(vp (x),vp (y)) , kgV(x, y) = pmax(vp (x),vp (y)) Insbesondere gilt f¨ ur normierte x, y : xy = ggT(x, y) · kgV(x, y) Beweis:
Q Q • von (2): x = ex ·Q pvp (x) , y = ey · pQvp (y) ⇒ xy = (ex ey ) pvp (x)+vp (y) = exy pvp (xy) | {z } ∈R×
Aus der Eindeutigkeit der Primzerlegung folgt dann: vp (xy) = vp (x) + vp (y)
und exy = ex ey
• von (3): m = min(vp (x), vp (y)), etwa m = vp (x) ≤ vp (y). Dann gilt x = e x p m · x0 , x0 ∈ R
und y = ey pvp (y) · y0 , y0 ∈ R ≥0
z }| { m v ⇒ x + y = p (ex x0 + ey p p (y) − m ) | {z }
⇒ p
m
| (x + y)
∈R
⇒ m = vp (pm ) ≤ vp (x + y)
• von (5): y = ax, a ∈ R, ∀p : vp (y) = vp (a) + vp (x), d.h. vp (a) = vp (y) − vp (x). Also gilt: a ∈ R ⇔ ∀p : vp (a) ≥ 0 ⇔ ∀p : vp (y) ≥ vp (x) • der Folge: Es gilt d = ggT(x, y) =
Y
plp , d | x, d | y ⇒ lp = vp (d) ≤ vp (x), vp (y) ⇒ lp ≤ min(vp (x), vp (y))
⇒ u | x, u | y ⇒ vp (u) ≤ min(vp (x), vp (y))
⇒ vp (u) ≤ lp , da u | ggT(x, y)
x, y sind normiert. Die Behauptung folgt dann aus vp (xy) = vp (x) + vp (y) = max(vp (x), vp (y)) + min(vp (x), vp (y)) = vp (ggT(x, y) · kgV(x, y))
50
2.4 Quotientenk¨orper und Primzerlegung von Polynomen
2.4 Quotientenk¨ orper und Primzerlegung von Polynomen Bemerkung: K[X, Y ], K K¨ orper ist kein Hauptidealring. Es gilt ggT(X, Y ) = 1. W¨ are K[X, Y ] Hauptidealring ⇒ ∃f, g ∈ K[X, Y ] : 1 = x · f + y · g Setze (0, 0) f¨ ur (x, y) ein ⇒ 1 = 0f (0, 0) + 0 · g(0, 0)
Widerspruch!
Problem: Ist eine eindeutige Primzerlegung von f ∈ K[X, Y ] vorhanden?
2.4.1 Der Quotientenk¨ orper Sei R ein kommutativer integrer Ring. Einfache Idee: Gehe so vor, wie bei Konstruktion von Q aus Z: x∈Q ⇔ x=
z , mit z, n ∈ Z, n 6= 0 n
Gleicheit von Br¨ uchen:
z n
=
z0 n0
Br¨ uche“ ”
⇔ zn0 = nz 0
] ¨ Definition 2.16. Ein Bruch ist eine Klasse (z, n) ∈ R × R \ {0} bez¨ uglich der Aquivalenzrelation (z, n) ∼ (z 0 , n0 ) ⇔ zn0 = z 0 n ] Bezeichnung: (z, n) =
z n
Definition 2.17. Quot R = R × R \ {0}/ ∼, ∼ wie oben definiert. z·m Es gilt die Erweiterungsregel: 0 6= m ∈ R : nz = n·m . Die Verkn¨ upfungen + und · sind auf Quot R wie folgt definiert: zn0 + z 0 n zz 0 z0 z z z0 := · 0 := + n n nn0 n n0 n0 n Satz 2.11. Sei R kommutativer integrer Ring und (Quot R, +, ·) wie oben erkl¨ art. Dann gelten: (1) (Quot R, +, ·) ist ein K¨ orper R → Quot R ist injektiver Ringhomomorphismus. Falls z mit (2) j : z 7→ j(z) := z1 ein Teilring von Quot R.
z 1
identifiziert wird, ist R also
(3) (UAE von Quot) Jeder injektive Homomorphismus ϕ : R → K, K K¨ orper hat genau eine Fortsetzung ϕ. ˜ Quot R I @ @ j@
∃1 ϕ˜
@
- K ϕ
@ R
51
2 Einf¨ uhrung in die Ringtheorie Beweis: Zu zeigen: ϕ˜ ist eindeutig bestimmt Annahme: ϕ existiert. Also gilt: z z 1 = ϕ˜ ϕ˜ · n 1 n z n −1 = ϕ˜ · 1 1 z n −1 = ϕ˜ · ϕ˜ 1 1 −1 = ϕ(j(z)) ˜ · ϕ(j(n)) ˜ = ϕ(z) · ϕ(n)−1 ⇒ ϕ˜ ist eindeutig bestimmt
Bemerkung: ϕ˜ ist auch injektiv: So ist also Quot R mit dem Teilk¨ orper ϕ(Quot ˜ R) ⊆ K identifizierbar. (Quot R ist kleinster K¨ orper, der R als Teilring enth¨ alt.) Die kommutativen integren Ringe sind genau die Ringe, die zu Teilringen von (Rehmsche Auslassung) isomorph sind. Bemerkung: ¨ (1) ∼ ist Aquivalenzrelation (2) +, · ist wohldefiniert (3) Die Ringaxiome gelten f¨ ur Quot R =: K, (K, +) abelsche Gruppe, d.h. + ist assoziativ. 0 = 0K = 01 , ( nz = 0 = (4) K¨ orper
z n
0 1
⇔ z = n0 = 0, also
6= 0 ⇔ z 6= 0 ⇒
K = Quot R, nz = 0 =
n z
∈ K, nz ·
n z
=
z n zn zn
+0= =
1 1
z n
+
0 n
=
z+0 n
=
0 n,
d.h.
= 1K . Also ist ( nz )−1 =
0 1
= 0K )
n z.
0 1
⇔ z=0 R→K Einbettung von R: j : ist ein injektiver Ringhomomorphismus. K ist dann eine Rr 7→ r1 = j(r) Algebra. Fast immer wird r mit r1 identifiziert. j ist ein Homomorphismus, denn es gilt j(r1 + r2 ) =
r1 + r 2 r1 r2 = + = j(r1 ) + j(r2 ), 1 1 1
j(r1 · r2 ) =
r1 · r2 r1 r2 = · = j(r1 ) · j(r2 ) 1 1 1
j ist injektiv,da gilt: r ∈ Kern j ⇔
0 r =0= ⇔ r=0 1 1
Beispiel 2.15. (1) Quot Z = Q (2) K K¨ orper, K[X1 , . . . , Xn ] = R, Quot R = K(X1 , . . . , Xn ) heißt rationaler Funktionenk¨ orper u ¨ber K in n Unbestimmten. Grund: Quot R 3 r =
f (X1 ,...,Xn ) g(X1 ,...,Xn ) , g
6= 0.
In der Analysis wird r als partielle Funktion K n → K, r(x1 , . . . , xn ) = g(x1 , . . . , xn ) 6= 0 (Analysis: R oder C)
52
f (x1 ,...,xn ) g(x1 ,...,xn )
nur definiert, wenn
2.4 Quotientenk¨orper und Primzerlegung von Polynomen Gek¨ urzte Br¨ uche sind besonders wichtig, wenn R faktoriell ist! Erweitere vp und ggT auf Quot R: Setze f¨ ur r = nz vp (r) := vp (z) − vp (n),
ggT(r1 , . . . , rl ) =
Y
pmin(vp (r1 ),...,vp (rl ))
p∈P
Der p-Betrag ist definiert als: |r|p = u−vp (r) ,
u ∈ R, u > 1
Eigenschaften von vp : K = Quot R → Z ∪ {∞} und | · |p : K → R≥0 : (1) vp (x) = ∞ ⇔ x = 0
|x|p = 0 ⇔ x = 0
|xy|p = |x|p |y|p |x + y|p ≤ max(|x|p , |y|p )
(2) vp (xy) = vp (x) + vp (y) (3) vp (x + y) ≥ min(vp (x), vp (y))
Bemerkung: Ist d = ggT(x1 , . . . , xn ), so ist x Y xn 1 = 1, da min(vp (xi ) − min{vp (x1 ), . . . , vp (xn )}) = 0, also δ = δ = ggT ,..., p0 = 1 d d p Wichtige Eigenschaft: x ∈ R ⇔ ∀p ∈ P : vp (x) ≥ 0 Beispiel 2.16. R = Z, d = ggT( 92 , 14 15 ): vp 14 vp (d) p vp 29 15 2 1 1 1 2 ⇒ d = 21 · 3−2 · 5−1 = 3 −2 −1 −2 45 5 0 −1 −1 7 0 1 0 x1 2 45 x2 14 45 ⇒ = · = 5, = · = 21 d 9 2 d 15 2 Es gilt also wie erwartet: x x x1 x2 1 2 = ggT(5, 21) = 1 , ∈ Z, ggT , d d d d
2.4.2 Primzerlegung von Polynomen Wunsch: R faktoriell, f = R[X] primzerlegen. Idee: K := Quot R, R[X] ⊆ K[X] Zu f ∈ R[X] suche Primfaktoren aus K[X], die in R[X] liegen. Es ist eine andere Normierung, als die mit h¨ ochstem Koeffizienten 1 erforderlich. Bezeichnung: Elemente von R, K griechisch klein: K[X] 3 f = α0 + α1 X + · · · + αn X n ,
αi ∈ K, αn 6= 0
Definition 2.18. c(f ) = ggT(α0 , . . . , αn ) heißt Inhalt von f
53
2 Einf¨ uhrung in die Ringtheorie a
δ = c(f ) = ggT(α0 , . . . , αn ), βj = dj g = β0 + · · · + βn X n ∈ R[X], c(g) = ggT(β0 , . . . , βn ) = 1
Normiere noch βn in R: W¨ ahle ε ∈ R× mit εβn = (βn )nor (βn = εβn =
Q
pvp (βn ) ,
ε = ε−1 βn )
Definition 2.19. fnor := εg ∈ K × f heißt in dieser Vorlesung R-normiert. Es gilt: f ist R-normiert ⇔ c(f ) = 1 (also f ∈ R[X]), h¨ ochster Koeefizient in R ist standardnormiert PK[X],pn = {g Primpolynom in K[X], R-normiert} Eindeutige Primzerlegung in K[X] bez¨ uglich PK[X],pn , da K[X] Hauptidealring. Hoffnung: Ist f ∈ K[X], f R-normiert, so ergibt die Primzerlegung von f in K[X] eine in R[X]. In allen B¨ uchern heißt f primitiv ⇔ c(f ) = 1 Beispiel 2.17. f = 29 X −
14 2 35 X , c(f )
=
2 1 45 , c(f )
= 5X − 21X 2, fnor =
1 −1 (5X
+ 21X 2) = −5X + 21X 2
¯ = R/πR integer. (solche π in kommutativem Ring R Lemma 2.12. Sei R faktoriell, π ∈ P, dann ist R werden Primelement genannt). ¯ α ¯ Dann gilt: Beweis: Seien β, ¯ ∈ R. α ¯ β¯ = 0 = αβ ⇔ αβ ∈ Rπ (⇔ π | αβ) ⇔ vπ (αβ) = vπ (α) + vπ (β) > 0
⇔ vπ (α) > 0 oder vp (β) > 0 ⇔ α ∈ Rπ oder β ∈ Rπ ⇔ α ¯ = 0 oder β¯ = 0 (d.h. π | α oder π | β)
¯ = R/αR, S = R[X]. Dann gilt: Lemma 2.13. Sei R kommutativer Ring, α ∈ R, R ¯ R[X] = (R/αR)[X] ∼ = R[X]/αR[X] (Isomorphie von R-Algebren) P P ¯ αi X i = ϕ(f ) Beweis: ϕ : R[X] → R[X], f = αi X i 7→
ϕ ist surjektiv:
f ∈ Kern ϕ ⇔ ∀i : αi = 0
⇔ ∀i : αi ∈ Rα ⇔ ∀i∃βi ∈ R : αi = βi α
⇔ ∃g ∈ R[X] (n¨ amlich: g = ⇔ f ∈ αR[X]
X
βi X i ) : αg = f
Aus dem Homomorphiesatz folgt die Behauptung. Lemma 2.14. Ist R kommutativ, integer, so auch R[X]. Es ist dann R[X]× = R×
54
2.4 Quotientenk¨orper und Primzerlegung von Polynomen Beweis: 0 6= f =
Pn
i=0
αi X i , 0 6= g =
Pm
j=0
βj X j , also
αn 6= 0, βm 6= 0 ⇒ f g = αn βm X m+n + restliche Glieder ⇒ f g 6= 0 f ∈ R× ⇒ f g = 1 ⇒ Grad f + Grad g = 0
⇒ Grad f = Grad g = 0 ⇒ f, g ∈ R, f, g ∈ R×
Lemma 2.15 (Gauß). Ist R faktoriell, f, g ∈ R[X] =: S, c(f ) = 1 = c(g) ⇒ c(f g) = 1 Beweis: Annahme: c(f g) 6= 1. Dann gilt: ∃π ∈ P : vπ (c(f g)) > 0 ⇒ f g ∈ πS ⇒ In S¯ = S/πS : f g = 0 S¯ = R[X]/πR[X] ∼ = (R/πR)[X] ist integer nach Lemma 1 und 3 ⇒ f¯ = 0 oder g¯ = 0 ⇒ π | c(f ) oder π | c(g)
zu c(f ) = 1 = c(g)
Satz 2.16. Der Inhalt c := (R[X], ·) → (R, ·) ist Homomorphismus von Monoiden, d.h. c(f g) = c(f )c(g). Beweis: f = c(f ) · f0 , g = c(g) · g0 , c(f0 ) = 1 = c(g0 ) Klar: Ist α normiert, α ∈ R, dann ist c(αf ) = αc(f ) wegen ggT(αα1 , . . . , ααn ) = α · ggT(α1 , . . . , αn ) Und es gilt: c(f g) = c(αf0 g0 ) = αc(f0 g0 ) = α1 = α = c(f ) · c(g) Sei R faktoriell, f = α0 + α1 X + · · · + αn X n ∈ K[X], K = Quot R, Inhalt c(f g) = c(f ) · c(g) Folge: Sei f = αgh, α ∈ K, f, g, h ∈ K[X]. (1) Ist c(f ) = c(g) = c(h) = 1 ⇒ α ∈ R× (2) Ist f = gh, f, h ∈ R[X], c(h) = 1 ⇒ g ∈ R[X] (ii) besagt zum Beispiel: Dividiert man f durch h in K[X] und ist der Rest 0, so ist automatisch g ∈ R[X]. Beweis:
(1) 1 = c(f ) = c(α) · c(g) · c(h) = c(α) = αnor ⇒ α ∈ R× |{z} |{z} =1
=1
(2) R 3 c(f ) = c(g)c(h) = c(h) ⇒ g ∈ R[x] wegen vp (c(g)) ≥ 0 f¨ ur alle p ∈ PR
Satz 2.17. Ist R faktoriell, so auch R[X] =: S. Genauer: PS = PR ∪ PK[X],pn (R-normierte irreduzible g ∈ K[X]) 55
2 Einf¨ uhrung in die Ringtheorie Beweis: Existenz der Primzerlegung von 0 = f, f ∈ R[X]: Q f = cf · f0 , cf = εo · p∈PR pvp (cf ) , f0 ∈ K[X], ε ∈ R× Idee: Primzerlegung von g bez¨ uglich PK[X],pn : Y f0 = α · g vg (f0 ) , α ∈ K × ⇒ α ∈ R× g∈PK[X],pn
⇒ f =ε
Y
p∈PR
pvp (cf ) ·
Y
g vg (f0 ) mit ε = ε0 α
ist Primzerlegung, wenn man vp (f ) := vp (c(f )) und vg (f ) := vg (f0 ) setzt. Q0 Q0 Eindeutigkeit: Sei außerdem f = ε0 p∈PR pnp · g∈PK[X],np g mg , np , mg ∈ N. Dann gilt Y Y p np c(f ) = c ε0 p np =
Eindeutigkeit der Primzerlegung in R ⇒ ∀p : np = vp (c(f )) = vp (f ) wegen ε0 ⇒ ∀g : mg = vg (f ) = vg (f0 ) ⇒ ∀ε = ε0
Y
pnp ∈ K × gibt Eindeutigkeit der Primzerlegung in K[X]
⇒ Eindeutigkeit der Primzerlegung in S
Folgerung: Ist R faktoriell (besonders wichtig: R = Z oder R = K K¨ orper), so auch der Polynomring in n Unbestimmten R[X1 , . . . , Xn ], n ∈ N>0 Grund: Induktion und R[X1 , . . . , Xn ] = (R[X1 , . . . , Xn−1 ])[Xn ] Bemerkung: Bei R = K sind die Primelemente die irreduziblen Polynome, geeignet durch Faktoren in K × = R× normiert.
2.4.3 Monoidringe R[M] Sei R kommutativer Ring, (M, ∗) Monoid, neutrales Element e. Sei bildung und A ∩ R = ∅. Die Elemente von R[M ] sind formale endliche Summen X f= αm [m], αm ∈ R
M m
→A 7→ [m]
eine bijektive Ab-
m∈M
Zwei Elemente sind gleich, wenn gilt X X αm [m] = βm [m] ⇔ ∀m ∈ M : αm = βm m
m
Die Addition wird wie folgt defniniert: X X X (αm + βm )[m] βm [m] = αm [m] + m
m
m
Idee f¨ ur die Multiplikation: [m][n] = [m ∗ n], arbeiten wie f¨ ur Polynome, zusammenfassen gleicher m ∗ n: X X X X αm [m] · αm βl [n] βl [l] = m
56
l
n
m,l∈M m∗l=n
2.4 Quotientenk¨orper und Primzerlegung von Polynomen Die Summe ist definiert, da nur endliche viele αm , βl 6= 0. Bemerkung: (1) Man hat wirklich einen Ring definiert 1R = 1 f¨ ur n = m hat man den injektiven Homomorphismus (2) Mit δn,m = 0 sonst j:
→ R[M P ] =: S 7→ m δn,m [m] =: [n]
M m
Falls M ∩ R = ∅ und ∗ nicht + geschrieben, wird oft m und [m] und ∗ und · identifiziert. 1S = [e]. P Besser: Schreibe kurz αn [n] := δn,m αm [m]. Dann gilt: X
m∈M αm 6=0
|
αm [m]
=
X
αm [m]
m∈M
{z
}
wirkliche Summe in S
|
{z
}
formale Summe
(3) αm [m] · βn [n] = (αm βn )[m ∗ n]
Es folgt α → α[e] = α1S ist injektiver Ringhomomorphismus, dessen Bild in Z(S). Meist wird α ∈ R und α1s ∈ S identifiziert. Grund: α[e], β[e] ⇒ αβ[e ∗ e] = αβ[e] α[e] + β[e] = (α + β)[e] Zentral, da α[e]β[m] = α[e ∗ m] = αβ[m] = βα[m] = β[m]α[e]
R[M ] ist so eine R-Algebra.
Beispiel 2.18. Sei M = S3 , R = Q, S3 = {e, σ, σ 2 , τ1 , τ2 , τ3 } mit den Elementen σ = (1 2 3),
τ1 = (2 3),
τ2 = (1 3),
τ3 = (1 2)
Q[S3 ] besteht dann aus den formalen Summen α0 e + α 1 σ + α 2 σ 2 + α 3 τ 1 + α 4 τ 2 + α 5 τ 3 Rechenbeispiel: u =
1 3
(Die Elemente von M bilden eine Basis)
(1 + σ + σ 2 ). Was ist dann u2 ? Es gilt: | {z } =:s
σs = σ(1 + σ + σ 2 ) = 1 · σ + σ 2 + σ 3 = σs = s ⇒ σ 2 s = σσs = σs = s, 1 ⇒ u2 = · 3 · s = u 9
s2 = s + s + s = 3s
Weiteres Rechenbeispiel: τ1 (2τ1 + 3τ2 ) = 2τ12 + 3τ1 τ2 = 2 · 1 + 3σ Die Ringe C[G], G endliche Gruppe, geh¨ oren zu den besterforschten Ringen. Sie spielen eine große Rolle in der Gruppentheorie. Weiterer Interessanter solcher Ring: M , das freie Monoid u ¨ber A = (X1 , . . . , Xn ). Die Elemente von M : y1 , . . . , yl ∈ A, l ∈ N. 1 + X2 X1 6= 1 + X1 X2 heißt freie R-Algebra mit n nichtkommutierenden Unbestimmten.
57
2 Einf¨ uhrung in die Ringtheorie
2.4.4 Ausgew¨ ahlte Anwendungen der Primzerlegung auf Polynomringe Bemerkung: Sei R kommutativer Ring, S := R[X1 , . . . , Xn ] = (R[X1 , . . . , Xn−1 ])[Xn ]. Dann hat jedes f ∈ S eine eindeutige Darstellung: f=
X
0
m∈Nn
αm X m , αm ∈ R,
X m = X1m1 · · · Xnmn ,
m = (m1 , . . . , mn )
Bemerkung: S ∼ = R[(Nn , +)] Gesamtgrad: |m| := m1 + m2 + · · · + mn , −∞ f¨ ur f = 0 grad(f ) = max{|m||αm 6= 0} sonst Beispiel 2.19. f = 2X1 X2 X3 + 7X22 + 5X3 ∈ Q[X1 , X2 , X3 ] m (1, 1, 1) (0, 2, 0) (0, 0, 1) ⇒ grad f = 3 |m| 3 2 1 Eigenschaften von grad : S → N ∪ {−∞}: • grad(f + g) ≤ max{grad f, grad g} • grad(f · g) ≤ grad f + grad g
(Gleicheit, wenn R integer)
Es folgt: S × = R× , falls R integer. Bemerkung: S ist R-Algebra bez¨ uglich j(α) = αX 0 , X 0 = 1S , meist identifiziert man α und αX 0 . Bekanntlich bleiben Gleichungen richtig, wenn in die Polynome etwas eingesetzt“ wird. Genauer: ” Satz 2.18 (UAE des Polynomrings). Sei R kommutatiσx - T ver Ring, S = R[X1 , . . . , Xn ], T eine kommutative R-Algebra. S n Dann existiert zu jedem x = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ T genau ein R I @ Algebra-Homomorphismus mit @ j@ jT @ σx : S → T mit σx (Xj ) = ξj (j = 1, . . . , n) @ R σx heißt Einsetzen von ξj f¨ ur Xj oder Spezialisierung. Beweis: N¨ otig f¨ ur σ = σx : X0 X σ αm σ(X1m1 · · · Xnmn ), da σ R-linear αm X m = m
m
=
X m
=
X m
=
X m
αm σ(X1m1 ) · · · σ(Xnmn ), da σ Monoidhomomorphismus (R, ·) → (T, ·)
αm ξ1m1 · · · ξnmn | {z } =xm
αm · x m
Umgekehrt: Nachrechnen σ R-linear: σ(f + g) = σ(f ) + σ(g) und σ(f · g) = σ(f ) · σ(g) 58
2.4 Quotientenk¨orper und Primzerlegung von Polynomen Wenn zum Beispiel in S gilt: f g = h2 , dann gilt σx (f g) = σx (h2 ), also auch: f (x) · g(x) = σx (f )σx (g) = σx (h)2 = h(x)2 Bezeichnung: σx (f ) = f (x) Bemerkung: S = T , x = (X1 , . . . , Xn ) = X ⇒ f (X1 , . . . , Xn ) = f , σx = idS P0 Beispiel 2.20. Sei n = 1, T = { αm Φm }, Φ ∈ EndK (V ) oder Φ ∈ K n×n , R = K K¨ orper, V Vektorraum und dim V = n. Unter-K-Algebra von EndK (V ), bzw. K n×n : σ(Φ) Einsetzen von Φ ∈ EndK (V ) f¨ ur X. ¨ Spezieller: Uber S = K[X], n = 1, K K¨ orper. S ist eunklidisch, also faktoriell. ξ ∈ K, f ∈ S: Effektive Berechnung von f (ξ) = σ(ξ) (f ) durch Division mit Rest: f = q(X − ξ) + r, q, r ∈ S, grad r < grad(X − ξ1 ) = 1 oder r = 0 ⇒ r ∈ K : f (ξ) = σξ (f ) = q(ξ)(ξ − ξ) + r(ξ) = r ⇒ f (ξ) = 0 ⇔ r = 0 ⇔ (X − ξ) | f
Satz 2.19. Ist K K¨ orper, 0 6= f ∈ R[X], n = grad f . Dann hat f in K h¨ ochstens n Nullstellen. Beweis: p = X − ξ ist Primpolynom. Wenn f (ξS ) = 0, j = 1, . . . , n, ξj verschieden. Dann gilt v pj ≥ 1 ⇒ g =
r Y
j=1
(X − ξj ) | f
⇒ r = grad g ≤ grad f = n
Beispiel 2.21. K K¨ orper ist n¨ otig. R = Z/9Z, X 2 = f, grad f = 2. Nullstellen: ¯ 0, ¯ 3, ¯ 6. Satz 2.20. Sei K K¨ orper, S = K[X1 , . . . , Xn ], n > 1, g ∈ R := K[X1 , . . . , Xi−1 , Xi+1 , . . . , Xn ]. Dann gilt: f (X1 , . . . , Xi−1 , g, Xi+1 , . . . , Xn ) = 0 ⇒ Xi − g | f
(in S)
Beweis: Sei o.E. i = n, 1 Variable ⇒ Xn − g | f in Quot(K[X1 , . . . , Xn−1 )[Xn ] Xn − g ist primitiv. S 3 f = n(Xn − g) ⇒ n ∈ S (laut Folgerung aus Lemma Gauß)
Beispiel 2.22. (1) S = K[X, Y ] 3 f , f (X, X) = 0 ⇒ X − Y | f
2πi
2π (2) S = C[X, Y ], f = X n − Y n , n ∈ N, n ≥ 1, ζn = e n = cos 2π n + i · sin n ( Kreisteilung“, 2π wird in n gleiche Teile geteilt). ” ζ = ζnk , k = 0, . . . , n − 1 sind die Nullstellen von X n − 1 in C Qn−1 Behauptung: X n − Y n = k=0 (X − ζ k Y ) Beweis: (ζ k Y )n = ζ nk Y n , da e2πi = cos 2π + i · sin 2π = 1 |{z} =1
Spezialisierung: X → ζ k Y
⇒ σf = ((ζ k Y )n − Y n ) = 0 ⇒ X − ζ k Y | f in S Qn−1 F¨ ur k = 0, . . . , n − 1 verschiedene R-normierte Primpolynome ⇒ g = k=0 (X − ζ k Y ) | X n − Y n = f ∃ε ∈ C× : εg = f grad g = grad f ⇒ ⇒ ε=1 ⇒ f =g Koeffizienten von X n ε1 = 1
59
2 Einf¨ uhrung in die Ringtheorie
2.5 Der chinesische Restsatz Sei R Ring, A0 , A, B, C Ideal von R Idealsumme und Idealprodukt sind bekanntlich definiert als: A + B = {a + b|a ∈ A, b ∈ B} R
AB = hab|a ∈ A, b ∈ Bi
Wobei hi das Erzeugnis bei abelschen Gruppen ist.
Klar: AB besteht aus allen endlichen Summen n X
a i bi ,
i=1
n ∈ N,
ai ∈ A, bi ∈ B ⇒ AB R
Es gelten folgende Rechenregeln:
(1) (Id(R), +) bilden ein Monoid mit neutralem Element 0 = {0}, wobei Id(R) die Ideale von R bezeichnet. (Id(R), +) ist keine Gruppe, da das inverse Element zu R nicht existiert. (2) (Id(R), ·) bilden auch ein Monoid mit neutralem Element R. (3) Distributivregeln: A(B + C) = AB + AC
(B + C)A = BA + CA
(4) Anordnungsregeln: Gilt A0 ⊆ A, so gelten auch A0 + B ⊆ A + B
A0 B ⊆ AB,
BA0 ⊆ BA
Beweis: (1) Klar, da Untermonoid von 2R (R = (R, +)) (2) Neutrales Element: RA = A = AR, da A R, RA ⊆ A, A ⊆ 1A ⊆ RA Assoziativregel folgt aus: (AB)C = habc|a ∈ A, b ∈ B, c ∈ Ci = A(BC)
Bemerkung: Ist R kommutativ, a, b ∈ R, so gilt: RaR. Dann ist die Abbildung
ein Homomorphismus von Monoiden mit Kern R× .
(R, ·) → (Id(R), ·) a 7→ Ra
Definition 2.20. A, B R heißen relativ prim ⇔ A + B = R Beachte: m, n ∈ Z sind relativ prim ⇔ ggT(m, n) = 1 ⇔ Rm + Rn = R Lemma 2.21. Seien I1 , . . . , In R, I1 + Is = R, n ≥ s > 1, Dk = I2 ∩ · · · ∩ Ik , k ≥ 2. Dann gilt: I 1 Dk = R
60
2.5 Der chinesische Restsatz Beweis: Induktion nach k, wegen Dk+1 = Dk ∩ Ik+1 . Hiernach gen¨ ugt Beweis f¨ ur k = 3, also I1 + A = R = I 1 + B ⇒ I 1 + A ∩ B = R Vor.
⇒ x + a = 1 = y + b mit y, x ∈ I1 , a ∈ A, b ∈ B
ab ∈ I1 + (A ∩ B) xb + |{z} ⇒ 1 = (x + a)(y + b) = xy + ay + |{z} |{z} |{z} ∈I1
∈I1
∈I1
∈A∩B
⇒ R = R1 ⊆ I1 + (A ∩ B) ⇒ R = I1 + (A ∩ B)
Lemma 2.22. Seien I1 , . . . , In R, n ≥ 1, D := I1 ∩· · · ∩In , J := Ii + Ij = R, 1 ≤ i < j ≤ n, dann ist D = J. Insbesondere, falls gilt R ist kommutativ: I1 ∩ · · · ∩ In = I1 · · · In
P
π∈Sn (Iπ(1)
· · · Iπ(n) ). Gilt außerdem
P Beweis: ∀j : Iπ(1) · · · Iπ(n) = (. . . )Ij (. . . ) ⊆ Ij ⇒ J = π Iπ(1) · · · Iπ(j) ⊆ D Induktion nach n: n = 1: J = I1 = D. X n = 2: I1 + I2 = R ⇒ 1 = x1 + x2 mit x1 ∈ I1 , x2 ∈ I2 . I 1 I2 + I 2 I1 F¨ ur x ∈ I1 ∩ I2 ist x = x · 1 = xx1 + xx2 ∈ ⇒ D = I 1 ∩ I2 ⊆ J | {z } |{z} |{z} P ∈I2 I1
Induktion: A = I1 ∩ · · · ∩ In−1 = n = 2 anwenden:
P
∈I1 I2
=
π∈Sn−1 Iπ(1)
π∈S2
Iπ(1) Iπ(2) =J
· · · Iπ(n−1) (Lemma 2.21: A + In = R)
D = A ∩ In ⊆ AIn + In A X X ⊆ Iπ(1) · · · Iπ(n−1) Iπ(n) + Iπ(n) Iπ(1) · · · Iπ(n−1) π∈Sn−1
⊆
X
σ∈Sn
π∈Sn−1
Iσ(1) · · · Iσ(n) = J
2.5.1 Der chinesische Restsatz Satz 2.23. Sei R ein Ring und I1 , . . . , In paarweise relativ prime Ideale von R. Dann gelten: (1) ϕ :
R/(I1 ∩ · · · ∩ In ) x + I1 ∩ · · · ∩ In
→ R/I1 × · · · × R/In ist ein Ringhomomorphismus. 7→ (x + I1 , . . . , x + In )
(2) F¨ ur beliebige (a1 , . . . , an ) ∈ Rn gibt es ein x ∈ R mit (gleichzeitig) x ≡ aj
mod Ij
(j = 1, . . . , n),
also x ¯ = a¯j in R/Ij
(∗)
Zu x in (∗) ist x + I1 ∩ · · · ∩ In eindeutig bestimmt. Ist R abelsch, so gilt: I1 ∩ · · · ∩ In = I1 · · · In R → R/I1 × · · · × R/In ist offensichtlich Ringisomorphismus, denn Beweis: Ψ : x 7→ (x + I1 , . . . , x + In ) Ψ(x + y) = Ψ(x) + Ψ(y), Ψ(x · y) = Ψ(x) · Ψ(y) 61
2 Einf¨ uhrung in die Ringtheorie folgen aus kanonischem Homomorphismus und komponentenweisem Rechnen. x ∈ Kern Ψ ⇔ ∀j : x + Ij = 0R/Ij = Ij ⇔ ∀j : x ∈ Ij n \ ⇔ ∀j : x ∈ Ij =: D j=1
Gesehen: Kern Ψ = D ∀j : x ≡ aj ≡ y
mod Ij ⇒ ∀j : x − y ≡ 0 mod Ij ⇔ ∀j : x − y ∈ Ij ⇔ x−y ∈ D ⇔ x+D =y+D
Noch zu zeigen: Ψ ist surjektiv Zu a1 + I1 , . . . , an + In gesucht: x ∈ R mit Ψ(x) = Ψ(x + I1 , . . . , x + In ) = (a1 + I1 , . . . , an + In ) ⇔ ∀j : x + Ij = aj + Ij ⇔ ∀j : x ≡ aj mod Ij (L¨ osbarkeit von (∗) ⇔ Ψ surjektiv)
Der gesuchte Isomorphismus mittels Homomorphiesatz. Beweis der Surjektivit¨ at: Aus Lemma 2.21 folgt: I1 + I 2 ∩ · · · ∩ I n = R 3 1
⇒ 1 = x 1 + y 1 , x1 ∈ I 1 , y 2 ∈ I 2 ∩ · · · ∩ I n
Genauso: Ij + I1 ∩ · · · ∩ Ij−1 ∩ Ij+1 ∩ · · · ∩ In = R 3 1 n \ ⇒ 1 = x j + y j , xj ∈ I j , y j = Ik ≡ 0 + y j
mod Ij
k=1 k6=j
f¨ ur k = j ≡ δj,k mod Ik f¨ ur k = 6 j Pn Pn x := j=1 aj yj ⇒ x ≡ j=1 aj δj,k mod Ik ≡ ak mod Ik Es gilt also: x + Ik = ak + Ik ⇒ Ψ(x) = (a1 + I1 , . . . , an + In ), also ist Ψ surjektiv.
yj ≡
1 mod Ij , 0 mod Ik ,
Zweck: R/(I1 ∩ · · · ∩ In ) wird auf die Ringe R/Ij zur¨ uckgef¨ uhrt. Beispiel 2.23. R Hauptidealring, m = pn1 1 · · · pnt t , pi ∈ PR , nj > 0 (Primzerlegung).
pn1 1 , . . . , pnt t sind relativ prim. n
⇒ Rpni i + Rpj j = R1 = R, ⇒ R/Rm ∼ =
t Y
Rpn1 1 ∩ · · · ∩ Rpnt t = Rpn1 1 · · · Rpnt t = Rm
n
R/Rpj j
j=1
⇒ (R/Rm) = (R/Rpn1 1 )× × · · · × (R/Rpnnt )× ×
Sei R = Z + Zi. Dann gilt ggT(1 + 2i, 1 − 2i) = 1, 5 = (1 + 2i)(1 − 2i), also auch: R/5R ∼ = R/(1 + 2i)R · R/(1 − 2i)R
62
2.5 Der chinesische Restsatz n
Beispiel 2.24. Sei R = Z, m = pn1 1 · · · pnl l , nj ∈ N>0 , pj ∈ P (Primzahl), mj = pj j relativ prim. Dann gilt: Z/mZ ∼ =
l Y
n
(Z/pj j Z)
j=1
Folge: (Z/mZ)× = ϕ(m) := #(Z/mZ)
l Q
j=1 ×
n
(Z/pj j Z)×
ist die eulersche zahlentheoretische Funktion. F¨ ur a ∈ Z, ggT(a, m) = 1 gilt:
aϕ(m) ≡ 1 mod m Mit dem chinesischen Restsatz folgt: ϕ(m) =
l Y
n
ϕ(pj j )
j=1
n
= #{x ∈ Z|0 ≤ x < m, ggT(x, m) = 1}, p ∈ P, n ∈ N>0
ϕ(p ) = #{y|0 ≤ x < pn , p - x}
= #{x|0 ≤ x < pn } \ {py|0 ≤ y < pn−1 } = pn − pn−1 1 = pn (1 − ) p
⇒ Eulers Formel: ϕ(m) = m ·
Y
p|m, p∈P
1 1− p
63
2 Einf¨ uhrung in die Ringtheorie
64
3
Einfu orpertheorie ¨ hrung in die K¨
Z →R mit Kern j = mZ, m ∈ N. z 7→ z1R m = char R heißt die Charakteristik von R und hat die Eigenschaft Jeder Ring R ist eine Z-Algebra j :
∀x ∈ R : mx = 0, da mx = (m1R )x = 0x = 0 Nach dem Homomorphiesatz gilt: ¯j : Z/mZ → R ist injektiv, ¯j(m) ¯ = m1R . Meist wird m ¯ ∈ Z/mZ mit m1R identifiziert; dann ist R auch Z/mZ-Algebra. Definition 3.1. Sei K ein K¨ orper. U heißt Teilk¨orper von K, wenn gilt (1) U ⊆ K ist K¨ orper (2) Inklusuion i : U ,→ K ist Homomorphismus von (Z)-Algebren (also unit¨ ar: i(1) = 1).
Bemerkung: Sind K und M K¨ orper und ist σ : K → M ein Homomorphismus, so ist σ injektiv und es gibt einen Isomorphismus K → σ(K)
Beweis: σ 6= 0 ⇒ Kern σ 6= K ⇒ Kern σ = 0 (da K einfach). Andere Ausdr¨ ucke:
U ist Teilk¨ orper von K ⇔ K ist Erweiterungsk¨orper von U
⇔ K/U ist K¨orpererweiterung (Hat nichts mit Faktorring zu tun!)
Sei K ein K¨ orper, also Z-Algebra. Es werden zwei F¨ alle unterschieden: j
• 1. Fall: char K = 0 ⇒ Z → K ist injektiv, UAE von Quot liefert So kann Q als (kleinster) Teilk¨ orper von K betrachtet werden.
(
Q = Quot Z z n
j
→K z1K = 7→ n1 K
Fp → K z¯ 7→ z1K injektiv, identifiziere z¯ mit z1K . So ist Fp als (kleinster) Teilk¨ orper von K auffassbar.
• 2. Fall: p = char K > 0 ⇒ p ∈ P (p Primzahl), da Z/pZ integer sein muss.
z n
.
ist
In ¨ alteren B¨ uchern heißt Q bzw. Fp Primk¨orper
K¨ orper und Algebrenerzeugung Bemerkung: Durchschnitte von Unteralgebren bzw. Teilk¨ orpern sind wieder Unteralgebren bzw. Teilk¨ orper.
65
3 Einf¨ uhrung in die K¨orpertheorie R sei eine kommutative S-Algebra (bzw. M/K eine K¨ orpererweiterung, insbesondere M eine KAlgebra). Sei A ⊆ R, bzw. A ⊆ M . Dann ist das Algebrenerzeugnis (bzw. K¨ orpererzeugnis) von A u ¨ber S bzw. K \ T ist die kleinste Teilagebra, die A enth¨ alt. S[A] := T ist Teilalgebra von R, A⊆T
K(A) :=
\
U
ist die kleinste K¨ orpererweiterung, die A enth¨ alt.
M/U/K, A⊆U
F¨ ur A = {a1 , . . . , an } schreibt man S[a1 , . . . , an ] bzw. K(a1 , . . . , an ) X S[A] = σa (S[X1 , . . . , Xn ]) = αm am αm ∈ S , n m⊆N
mn 1 = (am 1 , . . . , an ) bzw. f K(a1 , . . . , an ) = Quot(K[A]) = f, g ∈ K[a , . . . , a ], g = 6 0 1 m g n
mit m = (m1 , . . . , mn ) ∈ N , a
m
σa ist die Spezialisierung Xi → ai (Einsetzen).
Beispiel 3.1. C/R, C/Q sind K¨ orpererweiterungen, Q(i) = Q[i]
Bemerkung: (1) K[A] =
S
K[E], K(A) =
E⊆A, #E<∞
S
K(E)
E⊆A, #E<∞
(2) S[a1 , . . . , an ] = (S[a1 m . . . , an−1 ])[an ], K(a1 , . . . , an ) = (K(a1 , . . . , an−1 ))(an ) Erkenntnis: Im Prinzip ist alles auf Erzeugung mit einem Element zur¨ uckf¨ uhrbar. Beweis: (1) ⊇“: Folgt aus S[A] ⊇ S[E] ” ⊆“: rechte Seite enth¨ alt A (α ∈ A mit E = {α}) und ist S-Algebra. Grund: ” [ f, g ∈ K[E] ⇒ ∃E1 , E2 (endl.), f ∈ S[E1 ], g ∈ S[E2 ] E⊆A, #E<∞
⇒ f, g ∈ S[E1 ∪ E2 ] ⇒ f + g, f · g, αf ∈ S[E1 ∪ E2 ], α ∈ S
⇒ Unteralgebra Beweis f¨ ur den K¨ orper analog.
Benennung: K¨ orpererweiterung L/K heißt primitiv
66
⇔ ∃a ∈ L : l = K(a)
Primitive K¨ orpererweiterungen L=K(a) K[X] → K[a] Spezialisierung σa : f 7→ f (a) = σa (f ) • 1. Fall: Kern σa = 0 ⇔ σa ist bijektiv ⇒ Isomorphismus
(
Quot(K[X]) = K(X) → K(a) = L (a) f (X) 7→ fg(a) g(X)
mit g 6= 0
• 2. Fall: Kern σa = K[X]ma , ma o.E. normiert, ma 6= 0. Der Homomorphiesatz liefert: K[a] = Bild σa ∼ = K[X]/(K[X]ma) ist integer ⇒ ma ist Primpolynom (= irreduzibel) ⇒ K[X]ma ist maximal ⇒ K[a] ist K¨ orper
⇒ K(a) = K[a] = Bild σa
Klar: ma ist Polynom kleinsten Grades 6= 0 mit ma (a) = 0 und heißt Minimalpolynom von a. Bezeichnung: Im 1. Fall heißt a transzendent u ¨ber K, im 2. Fall algebraisch u ¨ber K. Beispiel 3.2. (1) i ist algebraisch u ¨ber R, sogar u ¨ber Q. mi/R = X 2 + 1, σi (X 2 + 1) = i2 + 1 = 0 K spielt große Rolle: mi/C = X − i (2) π = halber Umfang des Einheitskreises ⇒ π/Q transzendent (π/R ist algebraisch). Rechnen in K(a): • 1. Fall: a/K transzendent. Benutze Isomorphismus K(X) → K(a) • 2. Fall: a/K algebraisch und ma/K explizit bekannt. Benutze Isomorphismus ¯ = K[X]/K[X]ma → K[a] = K(a) R mit Vertretersystem {f ∈ K[X]| grad f < n} ∼ = K n als K-Vektorraum: f¯ = α0 + α1 X + · · · + αn−1 X n−1 7→ (a0 , . . . , an−1 ) Transportiertung in die Struktur: Vektorraum-Addition: (α0 , . . . , αn−1 ) ±a (β0 , . . . , βn−1 ) = (α0 ± β0 , . . . , αn−1 ± βn−1 )
Multiplikation: (α0 + · · · + αn−1 X n−1 )(β0 + · · · + βn−1 X n−1 ) mod ma = (γ0 + · · · + γn−1 X n−1 ) (Division mit Rest). Dann gilt: (α0 , . . . , αn−1 ) ·a (β0 , . . . , βn−1 ) := (γ0 , . . . , γn−1 ).
Ist L/K K¨ orper, so ist L eine K-Algebra, insbesondere ein K-Vektorraum.
67
3 Einf¨ uhrung in die K¨orpertheorie Definition 3.2. (L : K) = dimK L (Vektorraum-Dimension) heißt Grad der K¨ orpererweiterung. F¨ ur (L : K) = 2 heißt L quadratische Erweiterung von K
Satz 3.1 (Multiplikativit¨ at des Grads). Sind M/L, L/K K¨ orpererweiterungen, so gilt (M : K) = (M : L)(L : K) Folge: Falls (M : K) = n < ∞, so gilt (M : L) | n und (L : K) | n Beweis: Sei C K-Basis von L und B eine L-Basis von M . Gezeigt wird BC = {bc|b ∈ B, c ∈ C} ist K-Basis von M , B × C → BC, (b, c) 7→ bc ist bijektiv, denn f¨ ur bc = b0 c0 liefert der Koeffizientenvergleich 0 0 b = b und c = c . Pr¨ ufe: Vektorraum-Erzeugendensystem. Sei x ∈ M . X X αb,c c, αb,c ∈ K vb b, vb ∈ L (Basisdarstellung), vb = ⇒ x= b∈B
⇒ x=
XX
αb,c bc =
b∈B c∈C
X
c∈C
αb,c bc
(b,c)∈B×C
⇒ x ∈ hBCi Vektorraum-Erzeugnis linear unabh¨ angig: X αb,c bc, 0= (b,c)∈B×C
αb,c ∈ K ⇒ 0 =
X X αb,c c)b ( | {z } b∈B c∈C ∈L
⇒ ∀b ∈ B : 0 =
X
c∈C
αb,c c |{z} ∈K
⇒ ∀b ∈ B∀c ∈ C : αb,c = 0 √ √ √ Beispiel√ 3.3. Sei K = Q, L = Q( 2), M = L( √ gilt: √ 3). √Dann √ C √= {1, 2} ist Q-Basis von L, B = {1, 3} ist L-Basis von M und CB = {1, 1 · 2, 1 · 3, 2 · 3 = 6} ist Q-Basis von M . √ √ zu B: Zu zeigen: 3 6∈ Q( 2) √ √ √ Annahme: 3 = a + b 2, a, b ∈ Q ⇒ 3 = a2 + 2b2 + 2ab 2 √ Fall ab 6= 0 ⇒ q = 2 ∈ Q Widerspruch! ⇒ ab = 0 r √ 3 3 ∈Q Widerspruch! Fall a = 0 ⇒ √ = 2 2 √ Fall b = 0 ⇒ 3∈Q Widerspruch!
Also gilt: 4 = (M : Q) = (M : L)(L : Q) = 2 · 2
Weitere Berechnungen bei K¨ orpererweiterungen Definition 3.3. L/K heißt endliche K¨ orpererweiterung ⇔ (L : K) < ∞
L/K heißt algebraisch ⇔ ∀a ∈ K : a ist algebraisch u ¨ber K. Gegenteil: L/K transzendent. 68
Bemerkung: Sei M/L/K K¨ orpererweiterung, a ∈ L. Dann gilt (1) a/K algebraisch ⇔ K(a) : K < ∞ (2) M/K endlich ⇔ M/L und L/K endlich (3) L/K endlich ⇔ ∃m ∈ N,
a1 , . . . , am ∈ L : L = K(a1 , . . . , am ) mit a1 , . . . , am /K algebraisch
(4) M/K algebraisch ⇔ M/L und L/K algebraisch (5) Ist A ⊆ L, so K(A)/K algebraisch ⇔ ∀a ∈ A : a/K algebraisch. Beweis: (1) ⇒“: a/K algebraisch. ma/K Minimalpolynom, K-Basis von K(a) : 1, . . . , a−1 , n = grad(ma/K ) ” ⇐“: K(a) endlichdimensionaler K-Vektorraum, 1, a, . . . , an−1 linear unabh¨ angig, 1, . . . , an linear ” abh¨ angig und n ∈ N existiert. Dann gilt: an ∈ K + Ka + · · · Kan−1 , an + αn−1 an−1 + . . . + α0 = 0 f¨ ur a0 , . . . , an−1 ∈ K
⇒ X n + αn−1 X n−1 + · · · + α0 = Ma/K ) ⇒ a/K ist algebraisch
(2) klar, wegen Multiplikativit¨ at des Grades. √ Beispiel 3.4. Ist L = Q( p|p Primzahl), so ist L/Q algebraisch, aber L : Q = ∞. (Man kann zeigen: 2πi √ angig) oder Q(e n |n ∈ N)/Q unendlich. { p|p ∈ P} ist Q-linear unabh¨ √ √ √ √ √ √ Beispiel 3.5. u = 2 + 3 ist algebraisch u ¨ber Q da zum Beispiel Q( 2 + 3) ⊆ M = Q( 2, 3), also endliche Erweiterung). Minimalpolynom: √ √ √ u2 = 2 + 3 + 2 6 = 5 + 2 6 ⇒ u 2 − 5 = 2 6
⇒ u4 − 10u2 + 25 = 24
⇒ u4 − 10u + 1 = 0, mu/Q = X 4 − 10X 2 + 1
Sei L eine K-Algebra (L/K K¨ orpererweiterung), z.B. dimK L = n < ∞. Zu x ∈ L erkl¨ are λx ∈ EndK (L) (K-lineare Abbildungen L → L) durch λx (y) = xy Lemma 3.2. L → EndK (L), x 7→ λx ist ein injektiver Homomorphismus von K-Algebren. Folge: x 7→ det(λx ) = nL/K (x) ist ein Homomorphismus (L, ·) → (K, ·), genannt Relativnorm. x 7→ spur(λx ) = SL/K ist Linearform, genannt Relativspur. Bemerkung: Man erh¨ alt zu K-Basis B von L den Isomorphismus EndK (L) → K n×n DB : Φ 7→ Abbildungsmatrix von Φ L → K n×n Man hat so den injektiven Algebrenhomomorphismus x 7→ DB (λx )
69
3 Einf¨ uhrung in die K¨orpertheorie √ √ √ √ √ √ √ Beispiel 3.6. L = Q( 2, 3), B = (1, 2, 3, 6), u = 2 + 3 √ √ λu (1) = u1 = 0 + 2 + 3 + 0 √ √ √ λu ( 2) = u 2 = 2 + 0 + 0 + 1 6 √ √ √ λu ( 3) = u 3 = 3 + 0 + 0 + 1 6 √ √ √ √ λu ( 6) = u 6 = 0 + 3 2 + 2 3 + 0 0 2 3 0 1 0 0 3 D(u) = 1 0 0 2 0 1 1 0
Allgemein ist mx/K = Minimalpolynom der Darstellungsmatrix D(x). D(u) hat das charakteristisches Polynom X 4 −10X 2 +1 (irreduzibel, also Minimalpolynom), zum Beispiel D(ul ) = D(u)l . Beispiel 3.7. C/R, Basis 1, i,
z = a + bi,
a, b ∈ R
Beispiel 3.8. λz (1) = z1 = a + bi, λu (i) = zi = −b + ai. Daraus folgt: a −b D(z) = b a S(z) = 2a = 2 Re z
n(z) = a2 + b2 = |z|2 Interpolation eines Polynoms Gegeben: K K¨ orper, ξ0 , . . . , ξn (n verschiedene), ρ0 , . . . , ρn ∈ K Gesucht: f ∈ K[X] mit f (ξj ) = ρj . Es gibt genau ein f dieser Art. Hermites Interpolationsaufgabe: Sei K = R, C, ρi,j ∈ K, j = 0, . . . , n, i = 0, . . . , lj . Gesucht wird das f ∈ K[X] mit f (i) (ξj ) = ρi,j . Es ist bekannt: f (ξ) = ρ ⇔ f ≡ g mod (X − ξ). Es gilt also: System f (ξj ) = ρj ⇔
System simultaner Kongruenzen f ≡ ρj
mod (X − ξj )
Existenz und Eindeutigkeit: Der Satz u ¨ber simultane Kongruenzen (chinesischer Restsatz) besagt: f n Q existiert und ist mod (X − ξj ) eindeutig: Es existiert genau ein solches f vom Grad n. j=0
Allgemeiner ist die Taylor-Entwicklung:
f = β0 + β1 (X − ξ) + β2 (X − ξ)2 + · · · + βl (X − ξ)l +βl+1 (X − ξ)l+1 + · · · {z } | Rest von f
mod (X−ξ)l+1 =mξ
r entspricht der Vorgabe der Ableitungen f (i) (ξ), i = 0, . . . , l. Hermites Aufgabe wird gel¨ ost durch simultane Kongruenzen mod (X − ξj )lj +1
3.1 Zerf¨ allungsk¨ orper und Fortsetzung von Homomorphismen Seien K, M K¨ orper, σ : K → M ein K¨ orperhomomorphismus (immer unit¨ ar verlangt: σ(1) = 1). Dann ist σ injektiv, also σ : K → σ(K) ein K¨ orperhomomorphismus, denn es gilt: σ(1) 6= 0 ⇒ Kern σ = 6 K ⇒ Kern σ = 0 ⇒ σ injektiv
70
3.1 Zerf¨allungsk¨orper und Fortsetzung von Homomorphismen Bemerkung: σ setzt sich koeffizientenweise“ fest zu Ringisomorphismus ” K[X]P → K[X] P σ: f = αi X i 7→ σ(f ) := σαi X i
Folge: f ist irreduzibel in K[X] ⇔ σf ist irreduzibel in σK[X], da gilt: grad f = grad(σf ) Satz 3.3 (Forsetzungssatz f¨ ur primitive Erweiterung). M x i M
Sei a/K algebraisch, σ : K → M ein Homomorphismus und mα/K das Minimalpolynom von a/K. Dann gilt: (1) ist σ ˜ eine Fortsetzung von σ (K¨ orperhomomorphismus), so ist σma/K das Minimalpolynom von σ ˜ (a) =: x (2) F¨ ur jede Nullstelle x von σma/K gibt es genau eine Fortsetzung σ ˜ mit σ ˜ (a) = x iM , iσ˜ (K(a)) und iK(a)
σ ˜
K(a) −−−−→ σ ˜ (K(a)) x x i iK(a) σ˜ (K(a))
K −−−−→ σ sind die Inklusionen im kommutierenden Diagramm.
Beweis: Sei f ∈ K[X], f =
P
βi X i , f (a) = 0. Dann gilt 0 = σ ˜ (0) = σ ˜ f (a) =
P
σK
σ ˜ ( βi )˜ σ (|{z} a )i |{z} =σ(βi )
=x
(1) σma/K (x) = 0, σma/K irreduzibel in σK[X] ⇒ σma/K Minimalpolynom von x u ¨ber σK. (2) N¨ otig (x Nullstelle von σma/K ): σa = x ⇒ σ ˜ f (a) = (σf )(x), wegen K(a) = K[a] ⇒ σ ˜ eindeutig
(*)
Umgekehrt definiere σ ˜ durch (∗). Rechne nach: σ ˜ Homomorphismus: σ ˜ (f (a) + g(a)) = σ ˜ ((f + g)(a)) = σ(f + g)(x) = σf (x) + σg(x) =σ ˜ (a) + σ ˜ (a) f (a) · g(a) analog σ ˜ wohldefiniert: f (a) = g(a) ⇔ 0 = (f − g)(a)
⇔ ma/K | (f − g) ⇔ σma/K | (σf − σg) | {z } =mx/K
⇒ (σf − σg)(x) = 0
⇒ σ ˜ (f (a)) = σ ˜ (g(a))
Merkregel: Die Fortsetzungen entsprechen den Nullstellen des u ¨bertragenen minimalen Polynoms.
71
3 Einf¨ uhrung in die K¨orpertheorie Beispiel 3.9. Welche Fortsetzungen gibt es? √ √ L = Q( 2, 3) x √ √ √ τ K = Q( 2) −−−−→ Q(− 2) = Q( 2) id x x Q
−−−−→ id
Q
√ √ √ √ √ √ 2, − 2, id : 2 7→ 2, τ : 2 7→ − 2 √ √ = X 2 − 3, Nullstellen in L: x = 3, − 3, id und τ haben je 2 Fortsetzungen.
m√2/Q = X 2 − 2, Nullstellen in L: x = m√3/K
Aut(L/Q) = {σ Automorphismus, σ|Q = id} hat 4 Elemente: 1: 2: 3: 4:
id √ √ 2 → 7 2, √ √ √2 7→ −√2, 2 7→ − 2,
√ √ 3 → 7 − √ √ 3 3 √3 7→ √ 3 7→ − 3
id (3 4) (1 2) (1 2)(3 4)
√ √ √ √ G = Aut(L/Q) ist auffassbar als Permutationsgruppe von { 2, − 2, 3, − 3}, G ∼ = V4 √ √ √ √ Bemerkung: In L zerf¨ allt f = (X 2 − 2)(X 2 − 3) = (X + 2)(X − 2)(X + 3)(X − 3) Definition 3.4. (1) 0 6= f ∈ K[X]. L heißt Zerf¨allungsk¨orper von f (L = ZK(f )/K) ⇔ f zerf¨ allt in Linearfaktoren und L ist kleinstm¨ oglich ⇔ ohne Einschr¨ ankung hat f h¨ ochsten Koeffizienten 1 und grad f ≥ 1, n Y denn f = (X − uj ), u1 , . . . , un ∈ L und L = K(u1 , . . . , un ) j=1
(2) f heißt seperabel u ¨ber K (f ∈ K[X]) ⇔ die (in K[X]) irreduzibel Teiler von f haben in L keine mehrfache Nullstelle
(d.h. u Nullstellen, (X − u) | p ⇒ (X − u)2 - p. Idee: M¨ oglichst viele Fortsetzungen)
Satz 3.4 (Fortsetzungssatz f¨ ur K). Sei σ : K → M Homomorphismus von K¨ orpern, f ∈ K[X], o.B.d.A. grad f ≥ 1 und f normiert. M enthalte einen Zerf¨ allungsk¨ orper von σf u ¨ber σK und L sei Zerf¨ allungsk¨ orper von f u ¨ber K. Dann gilt: (1) Es gibt eine Fortsetzung σ ˜ : L → L0 von σ, σ ˜ (L) = L0 . (2) Ist σf u ˜. ¨ber σK seperabel, dann gibt es genau (L : K) solche Fortsetzungen σ Folgerung 1: Je 2 Zerf¨ allungsk¨ orper von f u ¨ber K sind isomorph. (Grund: M = L0 , σ = id) Folgerung 2: Ist f /K seperabel, so # AutK (L) = {σ ∈ L : σ|K = idK } = (L : K) (Grund: L = L0 , K = σK, σ = idK ) Beweis: Idee: Existenz der Nullstelle u von f in Erweiterungsk¨ orper; benutze K(u). Ist m ein Primteiler ¯ von m. Aus m(X) ¯ =m von f in K[X], so enth¨ alt K[X]/mK[X] die Nullstelle u = X ¯ = 0 folgt m(u) = 0, also f (u) = 0. m = mu/K Beweis durch Induktion nach n = grad f
72
3.2 Endliche K¨orper • n=1: f = (X − a1 ), a1 ∈ K, L = ZK(f ), σf = (X − σa), σK = L0 Zerf¨ allungsk¨ orper von σf , L : K = L0 : σK = 1, σ hat genau 1 Fortsetzung“ σ ˜=σ ” • n=2: Verwende ˜ = K(u), f ∈ K[X] ⊆ K[X], ˜ K = an , K f (an ) = 0 ˜ ⇒ (X − an ) | f in K[X], f = (X − an ) · f˜, f˜ = ˜ K ˜ ⇒ L ist ZK(f)/
n−1 Y i=1
˜ ˜ (X − ai ) ∈ K[X] (ai im Allgemeinen 6∈ K)
Sei m = man /K Minimalpolynom. Dann gilt wegen f (an ) = 0: m | f ⇒ σm | σf, σm ist u ¨ber σK irreduzibel, n Y Y f= (X − ai ), σf = (X − a0i ), a0i ∈ L0 i=1
⇒ σm =
grad Ym i=1
(X − bi ), b1 , . . . , bgrad m ∈ {a01 , . . . , a0n }
(Primzahlen sind in L0 [X] eindeutig) ˜ → L0 , σi (an ) = bi . L Satz 3.5 (Fortsetzungssatz f¨ ur primitive Erw.). σ hat Fortsetzungen σi : K 0 ˜ K. ˜ L ist Zerf¨ ˜ ist Zerf¨ allungsk¨ orper von f/ allungsk¨ orper von σi f˜/σi K. Induktionshypothese σi hat Fortsetzung σ ˜ auf L. σf /σK seperabel
⇒ bi alle verschieden ˜ ⇒ ∃K/K = grad m verschiedene σi
(σ1 , . . . , σK:K ) ˜
˜ verschiedene Fortsetzungen σi,j (j = 1, . . . , L : K) ˜ (Induktionshypothese) Jedes σi hat L : K ˜ K ˜ : K) Fortsetzungen σi,j ⇒ ∃(L : K)(
Satz 3.6. Sei f ∈ K[X]. Dann existiert ein Zerf¨ allungsk¨ orper L = ZK(f )/K. Dieser ist bis auf die Isomorphie eindeutig bestimmt. Beweis: Isomorphie laut Fortsetzungssatz. Existenz: Aus m | f und m irreduzibel folgt: ¯ = K[X]/mK[X], m( X ¯ K(X) |{z}) = m(x) = 0 =an
3.2 Endliche K¨ orper Satz 3.7 (Satz von Wedderburn). Jeder endliche Schiefk¨ orper ist kommutativ.
73
3 Einf¨ uhrung in die K¨orpertheorie
3.2.1 Endliche Untergruppen von K × Satz 3.8. Sei K ein K¨ orper, µ eine endliche Untergruppe von K × . Dann ist µ zyklisch und durch n = #µ eindeutig bestimmt. Beweis: • Aus #µ = n folgt:
∀α ∈ µ : αn = 1 ⇒ µ ⊆ Nullstellenmenge von X n − 1 ⇒ Eindeutig bestimmt
• Vorbemerkung: Sind alle Sylowgruppen einer endlichen abelschen Gruppe zyklisch, etwa m hζ1 i, . . . , hζr i, ord ζj = pj j (pj ∈ P, mj ∈ N>0 ). Dann gilt: mr 1 ζ = ζ1 · · · ζr ⇒ ord(ζ) = ord(ζ1 ) · · · ord(ζr ) = pm = n = #µ 1 · · · pr ⇒ µ zyklisch
• Es gen¨ ugt der Beweis f¨ ur n = pm = #µ, p ∈ P, m > 1. Angenommen µ w¨ are nicht zyklisch, dann gilt: ∀α ∈ µ : ord α | pm−1 ⇒ µ ⊆ Nullstellenmenge von X p ⇒ #µ ≤ p
m−1
m−1
−1
Beispiel 3.10. K = C, µn = he Aus #K = q < ∞ folgt K
×
2πi n
i, #µn = n. Q enth¨ alt nur µ2 , µ1
= hζi, ζ heißt Primitivwurzel zu q.
3.2.2 Ein Separabilit¨ atskriterium Definition 3.5. Sei K K¨ orper, f = n
f0 =
X d f := iαi X i−1 dx i=1
Pn
i=0
αi X i ∈ K[X]. Dann heißt
formale Ableitung von f
Bemerkung: Die Abbildung
d dx
: K[X] → K[X], f 7→ f 0 ist K-linear und erf¨ ullt die Ableitungsregel
f, g ∈ R : (f g)0 = f 0 g = f g 0
(*)
Beweis: Die Linearit¨ at ist offensichtlich. Der Beweis der Ableitungsregel ergibt sich durch Nachrechnen oder mit LA: R×R →R R×R →R , Ψ: Φ: (f, g) 7→ f 0 g + g 0 f (f, g) 7→ (f g)0 Φ und Ψ sind K-linear. Die Basis von R × R ist {(X i , X j )|i, j ∈ N}. Auf der Basis stimmen Φ, Ψ u ¨berein; hieraus folgt die Behauptung. Φ(X i , X j ) = (xi+j ) = (i + j)X i+j−1 Ψ(X i , X j ) = iX i−1 X j + X i (jX j−1 ) = (i + j)X i+j−1 Bemerkung: Eine Z-lineare Abbildung R → R (R Ring) mit (∗) heißt Derivation des Rings R.
Folge: (f n )0 = n · f n−1 · f 0 (Beweis durch Induktion nach n).
74
3.2 Endliche K¨orper Satz 3.9. Sei K K¨ orper, 0 6= f ∈ K[X], Z = ZK(f )/K. Dann gilt: f hat mehrfache Nullstelle in Z ⇔ ggT(f, f 0 ) 6= 1 Folge 1: Ist f in K[X] irreduzibel, so gilt: f separabel ⇔ f 0 6= 0 Folge 2: Ist char K = 0, so sind alle Polynome separabel. Zu Folge 1: ggT(f, f 0 ) 6= 1, f Primpolynom ⇒ ggT(f, f 0 ) = f o.E. sei f normiert ⇒ f | f 0 , grad f < grad f 0 ⇒ f0 = 0
Beachte: f nicht separabel ⇔ f hat mehrfache Nullstelle ⇔ ggT(f, f 0 ) 6= 1 Bemerkung: Ist char K = 0,P 0 6= f , so gilt f 0 = 0 ⇔ f konstant, d.h. f ∈ K. n Ist char K 6= 0, so gilt 0 = i=1 iαi X i ⇔ f ∈ K[X p ] ((X p )0 = pX p−1 = 0) |{z} =0 f¨ ur p|i
n
f = X − 1: Keine mehrfache Nullstelle in ZK. ⇔ ggT(f, f 0 ) = 1 = (X n − 1, nX n−1)
⇔ nX n−1 6= 0 ⇔ n = n 1K 6= 0 ⇔ char K - n
Beweis: Sei α Nullstelle von f in Z, Divison mit Rest (in Z[X]) durch (X − α)2 . Dann gilt: f = q · (X − α)2 + r, grad r < grad(X − α)2 = 2, f (α) = 0
⇒ r(α) = 0 ⇒ r = γ(X − α), γ ∈ Z,
f 0 = q 0 · (X − α)2 + q · 2 · (X − α) (X − α)0 +r0 | {z } =1
= q 0 · (X − α)2 + 2q(X − α) + γ |{z} =r 0
α ist Nullstelle von f 0 ⇔ γ = 0 ⇔ r=0
⇔ (X − α)2 | f
⇔ α mehrfache Nullstelle ⇔ (X − α) | ggT(f, f 0 )
Demnach: f besitzt mehrfache Nullstelle ⇔ grad ggT(f, f 0 ) ≥ 0 ⇔ ggT(f, f 0 ) 6= 1 f hat nur einfache Nullstelle ⇔ ggT(f, f 0 ) = 1
Beachte: Sind f, f 0 ∈ K[X] und berechnet man ggT(f, f 0 ) ∈ Z[X] mit Euklids Algorithmus, so verl¨ auft die Rechnung ganz innerhalb K[X]! ggT in K[X] und Z[X] ist dasselbe und kann in K[X] ermittelt werden. (Kenntnis von Z ist nicht n¨ otig). Die Separabilit¨ at h¨ angt nur von der Wahl des Zerf¨ allungsk¨ orpers ab!
75
3 Einf¨ uhrung in die K¨orpertheorie
3.2.3 Endliche K¨ orper Sei #K = q, char K = p Primzahl, (K : Fp ) = n. Dann gilt: K∼ = Fnp als Vektorraum
⇒ q = pn
#K × = q − 1 ⇒ ∃α ∈ K × : αq−1 = 1 ⇒ ∀α ∈ K : α1 = α
⇒ K ist Menge der Nullstellen von f = X q − X ⇒ K ist Zerf¨ allungsk¨ orper von X q − X/Fp
⇒
Zerf¨ allungsk¨ orper mit q Elementen sind isomorph
Zur Existenz: Zeige: Ein Zerf¨ allungsk¨ orper Z von f = X q − X u ¨ber Fp hat q Elemente. f 0 = (X q − X)0 = q1K · X q−1 − 1 = −1 ⇒ ggT(f, f 0 ) = 1 ⇔ f hat in Z q verschiedene Nullstellen α0 , . . . , αq−1 , Z = Fp (α0 , . . . , αq−1 )
Es gen¨ ugt zu zeigen: {α0 , . . . , αq−1 } ist K¨ orper (dim = Z) Definition 3.6. Sei R ein kommutativer Ring von Primzahldimension p. Dann heißt die Abbildung R →R Φ: x 7→ xp = Φ(x) Frobenius-Endomorphismus von R. Φ ist Endomorphismus: Φ(xy) = (xy)p = xp y p = Φ(x)Φ(y) p
p
p
Φ(x + y) = (x + y) = x + y +
p−1 X i=1
p i p−i xy = xp + y p = Φ(x) + Φ(y) i
Beachte: p p p(p − 1) · · · (p − i + 1) ⇒ p| in Z = 1 · 2···i i i p p ⇒ = · 1R = 0 in char p i i n
Beachte: Φn = Φ ◦ · · · ◦ Φ hat Φn (x) = x(p ) , Φn ∈ End R Bemerkung: Ist L ein K¨ orper, σ ein K¨ orper-Endomorphismus von L, so ist Lσ = {x ∈ L|σ(x) = x} ein Teilk¨ orper, genannt Fixk¨ orper von σ. Beweis: x, y ∈ Lσ , x 6= 0, x + y = σ(x) + σ(y) = σ(x + y) ⇒ x + y ∈ Lσ ,
x−1 = (σ(x))−1 = σ(x−1 )
⇒ x−1 ∈ Lσ
⇒ Lσ Teilk¨ orper
n
n
Nullstellenmenge von f ∈ X p − X sind genau 2Φ , also bilden sie K¨ orper. 76
3.3 Galoissche Theorie Xq − X =
Q
α∈Fq (X
− α) ∈ Fp [X], q = pn
Bemerkung: Fq = Fp (ζ), wenn hζi = Fq . Das Minimalpolynom m = mζ/Fp hat Grad n, da Fq : Fp = n. Es gilt: Fq ∼ = Fp [X]/mFp [X] Insbesondere gibt es q ∈ Fp [X] irreduzibel, Grad g = n. Das Rechnen in Fq ist klar, wenn g explizit augefunden. So ein g kann durch Primzerlegung in Fp [X] oder Fq [X] gefunden werden: Es gibt effektive Algorithmen (Berlekamp, Zassenhaus). Relativ leicht: So ein g teilt X g − X
3.3 Galoissche Theorie 3.3.1 Ein klassisches Problem Bekannt: L¨ osungsformel f¨ ur die Gleichung x2 + px + q = 0: x1/2 = − p2 ±
q
p2 4
−q
F¨ ur Polynome dritten Grades der Form x + ax + bx + c = 0 ersetzt man x durch x − q3 . OBdA: 3 x + px + q = 0. del Ferro gelangte so zu folgender Formel: s r q u − v√ q 2 p3 u+v 3 u/v := − ± −3 ± + , x1 = u + v, x2/3 = − 2 2 3 2 2 3
2
Ansatz: x = u − v, u 6= 0, 0 = f (u − v) = u3 − v 3 − (3uv − p)(u − v) + q folgt aus u3 − v 3 + q = 0 (∗), p in (∗) eingesetzt ergibt 3u6 − p3 + 33 u3 q = 0. 3uv − p = 0, v = 3u Durch das l¨ osen der quadratischen Gleichung f¨ ur u3 ergibt sich die Formel von del Ferro. F¨ ur n = 4 gibt es die Formel von Cardano. F¨ ur n = 5 gibt es keine Formel (Abel). Ein Kriterium f¨ ur die existenz solcher Formeln entwickelte Galois.
K¨ orpertheoretische Formulierung √ Sei K0 = Q, K1 = Q( −3), K2 = K1 (
r
p p q 2 p3 + ), K3 = K2 ( 3 − 2q + w), L = K4 = K3 ( 3 − 2q − w). 2 3 | {z } =:w
Dann gilt K0 ⊆ K2 ⊆ K3 ⊆ K4 und es existiert genau dann eine L¨ osungformel, wenn ZK(f ) ⊆ L. Definition 3.7. (1) F/K heißt √ Radikalerweiterung ⇔ √ m F = K(|{z} b ) mit m ∈ N>0 , also ∃b ∈ K : um = b und F = K(u) (sozusagen b = m u) =u
(2) L/K heißt Radikalturm ⇔
∃ K¨ orper K0 , . . . , Kt ,
K0 = K ⊆ K1 ⊆ K2 ⊆ · · · ⊆ Kt = L und Ki /Ki+1 ( Stockwerk“) ist Radikalerweiterung ” (3) f ∈ K[X] heißt durch Radikale aufl¨ osbar ⇔ ∃ Radikalturm L/K und es gilt: Ein Zerf¨ allungsk¨ orper Z von f /K ist in L enthalten √ (Offenbar gleichwertig mit L¨ osungsformel die +, −, ·, :, m, m ∈ N, Konstante in K enth¨ alt.)
77
3 Einf¨ uhrung in die K¨orpertheorie Galois Idee modern formuliert: Man studiere die Teilk¨ orper mittels Automorphismen. √ √ Beispiel 3.11. L = Q( 2, 3), f = (X 2 − 2)(X 2 − 3). L/Q ist Radikalturm. U(G)
Z(L/K) = {F | L/F/K}
E = {id}
@
F10 = hτ1 i @
? F20 = hτ2 i
@
@ R @ F30 = hτ3 i
bijektiv-
@
@ R @ ? G = Aut(L/Q) = V4
L 6 I @ @
@ @ √ √ √ F1 = Q( 2) F2 = Q( 3) F6 = Q( 6) 6 I @ @ @ @ Q
F 0 =√{σ ∈ √ G | σ| √F = idF √} = AutF (L) τ1 : √2 7→ √ 2, √ 3 7→ −√3 τ2 : √2 7→ −√2, √3 7→ √ 3 τ3 :√ 2 7→ − √2, 3 7→√− 3 τ1 (√6) = τ√2 ( 6) = − 6 τ3 ( 6) = 6
Ansatz der Galoistheorie: Unter geeignerter Voraussetzung ist Z(L/K) 7→ U(G) bijektiv. Definition 3.8. Sei L/K eine K¨ orpererweiterung und G = AutK (L) = G(L/K), Z = Z(L/K) = {F | L/F/K} ⊃ F , U = U(G) = {U |U ≤ G} (1) F 0 =: H = AutF (L) = {σ ∈ G | σ|F = idF } ∈ U heißt Fixgruppe von F . ( 0 Z → (2) L/K heißt galoissch ⇔ Die Abbildung ist bijektiv, F 7→ F 0 In diesem Fall heißt G = AutK (L) = G(L/K) Galoisgruppe der Erweiterung L/K
3.3.2 Der Fundamentalsatz der Galoistheorie Z Situation: L/K, F H0
0
→U 7→ F 0 wie zuvor. ←H
Definition 3.9. (1) H ∈ U, so heißt H 0 :=
T
σ∈H
Lσ = {x ∈ L|∀σ ∈ H : σ(x) = x} Fix-K¨orper von H 0
(2) Sind (Z, ≤), (U, ≤) geordnete Mengen (hier ≤=⊆), so heißt ein paar von Abbildung Z U Galoiskorrespondenz zwischen Z und U, wenn gelten (a) die Abbildungen 0 kehren die Anordnung um (d.h. z.B. F1 ≤ F2 ⇒ F10 ≥ F20 )
(b) ∀F ∈ Z : F 00 ≥ F ∀H ∈ U : H 00 ≥ H
78
3.3 Galoissche Theorie Bemerkung: F¨ ur Z = Z(L/K), U = U(G) ist obiges ’ eine Galoiskorrespondenz. Beweis: (a) antiton offensichtlich: F1 ⊆ F2 ⇒ F20 = {σ | σ|F2 = id} ⊆ {σ | σ|F1 = id}
= F10 ⇒ H10 ⊇ H20 noch leichter
H1 ⊆ H 2
(b) auch offensichtlich: σ ∈ H, ∀x ∈ H 0 : σx = x ⇒ σ ∈ H 00
⇒ H ⊆ H 00 σ ∈ F, ∀σ ∈ F 0 : σx = x ⇒ x ∈ F 00 ⇒ F ⊆ F 00
0
Lemma 3.10 (Fundamentallemma u ¨ber Galoiskorrespondenzen). Z U sei Galoiskorrespon0
denz. Dann ist U 0 Z 0 bijektiv und 0 sind zueinander inverse Abbildungen.
Beweis: U 0 :00 = idU 0 ((F 0 )0 )0 = F 000 = F 0 , also auf Zeige: ⇒ bijektiv. ((H 0 )0 )0 = H 000 = H 0 Z 0 :00 = idZ 0
Bekannt: Sind f, g Abbildungen mit f ◦ g = id, g ◦ f = id, so folgt f, g bijektiv und g = f −1 H 00 > H, d.h. F 000 ≥ F 0 (lt. (b)) F¨ ur H = F 0 gilt: ⇒ F 000 = F 0 . a F 00 > F ⇒ F 000 ≤ F 0
Der Beweis f¨ ur H 000 = H 0 geht genauso.
Folge: L/K galoissch ⇔ ∀F ∈ Z∃H ∈ U : F = H 0 , ∀H ∈ U∃F ∈ Z : H = F 0 Satz 3.11 (Hilfssatz: Dedekinds Lemma). Sei L K¨ orper, H ≤ Aut(L), #H = l < ∞. Dann ist (L : H 0 ) ≤ l Beweis: Zeige u0 , . . . , ul ∈ L mit H 0 -linear abh¨ angig: l+1 L → Ll l P Φ: = (x , . . . , x ) 7 → ( σ(uj ) xj ) , x 0 l j=0 | {z }
σ∈H
∈L
(1) Φ ist L-linear (klar)
(2) Kern Φ 6= 0 (Φ kann nicht injektiv sein) (3) Operiere komponentenweise auf Ll+1 . σ(x0 , . . . , xl ) = (σx0 . . . . , σxl ). Dann ist σ Kern Φ ⊆ Kern Φ. oglichst vielen xj = 0, dann ist x ∈ H 0l+1 Zeige: Ist 0 6= x ∈ Kern Φ mit xi = 1 und m¨ Pl σ = id liefert dann: 0 = j=0 uj xj , x := 1, xj ∈ H 0 ⇒ uj linear abh¨ angig u ¨ber H 0 .
79
3 Einf¨ uhrung in die K¨orpertheorie Zeige: τ Kern Φ ⊆ Kern Φ x ∈ Kern Φ ⇒ ∀σ : 0 =
l X
(σuj xj )
j=0
⇒ 0 = τ (0) =
l X
τ σuj = τ xj
j=0
⇒ τ x ∈ Kern Φ, weil τ H = H Falls 0 6= x ∈ Kern Φ, m¨ oglichst viele xj = 0, oBdA xi = 1 (sonst mit x−1 6= 0 multiplizieren). Zeige: Dieses x ∈ (H 0 )l+1
Annahme falsch: ∃j∃τ ∈ H : τ xj 6= xj Kern Φ 3 x − τ x = yi xk = 0 ⇒ yk = 0, yi = xi − τ xi = 1 − |{z} τ1 = 0 =1
⇒ y 6= 0, wegen σxi − xj 6= 0
0 6= y ∈ Kern Φ gefunden mit mehr 0-Koordinaten als x
Widerspruch!
Satz 3.12 (Fundameltalsatz der Galoistheorie). Sei L/K eine endliche K¨ orpererweiterung und G = G(L/K). Dann ist ¨ aquivalent: 0
(1) L/K galoissch (d.h. Z U bijektiv) (2) L ist Zerf¨ allungsk¨ orper eines separablen Polynoms f ∈ K[X] (3) G0 ⊆ K (Artin)
Z
0
-
U 1
L 6
? H2 = F20
F2
}
{
6 = grad m = Index m ? H1 = F10 F1 6
? G
K
Zus¨ atze: (1) Ist F1 ⊆ F2 , so F2 : F1 = H10 : H20 (2) Galoistheoretische Bestimmung des Minimalpolynoms: u ∈ L, H := (K(u))0 , G operiert auf L. Dann ist f¨ ur σ ¯ ∈ G/H wohldefiniert σu =: σ ¯ u. Dann gilt: Y mu/K = (X − σ ¯ u) σ ¯ ∈G/H
Beweis: • (1) ⇒ (3): trivial, denn laut (1) ist G0 = K • (2) ⇒ (1): Ist L/K Zerf¨ allungsk¨ orper von f ∈ K[X], so ist L/F Zerf¨ allungsk¨ orper von f ∈ K[X]. Nach dem Fortsetzungssatz und dem Fundamentallemma gilt:
L : F = # AutF (L) = #F 0 = L : F 00 = # AutF 00 (L) = #F 000 Wegen F 00 ⊇ F und F 00 : F = (L : F )/(L : F 00 ) folgt F 00 = F
(∗)
H ∈ U. Wende (∗) auf H 0 = F an: L : H 0 = #H 00 ≤ #H (Dedekinds Lemma). Aus H 00 ⊇ H folgt dann H 00 = H. Nach dem Fundamentallemma ist Z U bijektiv. 80
3.3 Galoissche Theorie • (3) ⇒ (2): Voraussetzung: G0 ⊆ K. G operiert auf L, u ∈ L, H := Gu sei Fixgruppe von U. G/H → Gu ist bijektiv. Bahnbeschreibung: σ ¯ 7→ σu Q Betrachte f = v∈Gu (X − v) ∈ L[X]. Es gilt: ∀σ ∈ G : σf =
Y
v∈Gu
(X − σv) =
Y
w∈σGu
(X − w) = f
|{z} =G
f = a0 + · · · + al X l , ai ∈ L, σf = f ⇒ ∀j : σaj = aj ⇒ aj ∈ G0 ⊆ K
(j = 0, . . . , l)
⇒ f ∈ K[X]
Behauptung: f = mu/K (Minimalpolynom) (daraus folgt Zusatz (2)) Klar: f separabel. f (u) = 0, wegen u ∈ Gu , also mu/K | f . mu/K (u) = 0 ⇒ In L[X] : X − u | mu/K
⇒ X − σu = σ(X − u) | σmu/K = mu/K ⇒ ∀v ∈ Gu : X − v | mu/K Y ⇒ f= X − v | mu/K v∈Gu
Insgesamt folgt: f = mu/K ∃u1 , . . . , ut ∈ L mit L0 = K(u1 , . . . , ut ) (OK f¨ ur endliche Erweiterung) Qt L ist offenbar Zerf¨ allungsk¨ orper des separablen Polynoms j=1 muj /K = f
Zusatz (1) folgt aus (L : F ) = #F 0 = #H durch die Multiplikation des Grads. Bemerkung: F1 (F2 )0 = F10 ∩ F20 , (F1 ∩ F2 )0 = hH1 ∪ H2 i
L 6
Beweis: F1 (F2 ) ist der kleinste K¨ orper, der F1 und F2 enth¨ alt. F1 (F2 )0 ist die gr¨ oßte Untergruppe, die in F10 und F20 enthalten ´ıst. Also F10 ∩ F20 (andere Formel analog). Erg¨ anzungen: Sei L/K galoissch und Zentralk¨ orper von f ∈ K[X], Vf = {u ∈ L|f (u) = 0}, also L = K(Vf ) u ∈ Vf , σ ∈ G = G(L/K) ⇒ σu ∈ Vf (wie oben f¨ ur f = mu/K ) G → S Vf ⇒ Homomorphismus res : σ 7→ σ|Vf
F1 (F2 ) I @ @ F1
I @ @
@
@ F1 ∩ F 2 6
ist injektiv
E
F2
? H1 ∩ H 2 @ @ R @ H1 H2 @ @ R @ hH1 ∪ H2 i
K
? G
(σ ∈ Kern res ⇔ σ|Vf = idVf )
Klar: σ|K = idK , wegen L = K(Vf ) ist also σ = idL (Lσ ⊇ L) Benennung: Ist L Zerf¨ allungsk¨ orper von f (separabel), f ∈ K[X], so heißt Gal(f ) = G(L/K) Galois¨ gruppe von f . Altere Literatur nennt res(G) (⊆ SVf ) Galoisgruppe von f . Satz 3.13. L/K sei galoissch, F ∈ Z = Z(L/K), σ ∈ G = G(L/K), H = F 0 . Dann gilt: 81
3 Einf¨ uhrung in die K¨orpertheorie (1) Es ist σf ∈ Z und (σF )0 = σHσ −1
(2) F/K galoisch ⇔ H G. Dann ist G(F/K) ∼ = G/H.
Genauer: Das Einschr¨ anken G(L/K) → G(F/K), σ 7→ res σ = σ|F ist surjektiver Homomorphismus mit Kern H.
Beweis: (1) Nachrechnen: τ ∈ (σF )0 ⇔ ∀x ∈ F : τ σx = σx
⇔ ∀x ∈ F : σ −1 τ σ = x
⇔ σ −1 τ σ ∈ F 0 = H
⇔ τ ∈ σHσ −1
(2) Skizze: laut (1) gilt: ∀σ : σF = F ⇔ H G. In diesem Fall σ|F ∈ G(F/K). res ist Homomorphismus mit Kern H (Klar!). res ist surjektiv (Forsetzungssatz). Satz 3.14 (Verschiebungssatz der Galoistheorie). Seien L = K(Vf ), F ∈ Z(M/K), L/K sei galoissch, f separabel, Gruppe G = G(L/K). ˜ = G(F (L)/F ) und Dann ist F (L)/F galoissch, Gruppe G 0 ∼ ˜ G = (L ∩ F ) = G(L/L ∩ F ). 1
⇒ res σ = σ|L ∈ G(L/K)
6
res : G(F (L)/F ) → G(L/K), σ ˜ 7→ σ ˜ |L ist Gruppenhomomorphismus mit Kern res = idF (L) , also ist res injektiv. Bild res = (L ∩ F )0 =: H. Was ist H 0 ? x ∈ H 0 ⇔ x ∈ L und
∀τ | ∈ H{z: τ x = x}
⇔ ∀˜ τ ∈G(L(F )/F ):˜ τ x=x ⇔ x∈F
⇔ x∈L∩F
L = K(Vf )
}
=∼
σ ∈ G(F (L)/F )
F (L) = F (Vf ) 1 6
{
F
σ ˜
? H L∩F s ? G
K
Ergebnis: H 0 = L ∩ F ⇔ x ∈ F
3.4 Einige konkrete Galoisgruppen 3.4.1 Galoistheorie endlicher K¨ orper Satz 3.15. Sei #L = pn = q, L endlicher K¨ orper, p Primzahl. Dann ist L/Fp galoissch. Ist Φ der Frobeniusautomorphismus, so gilt G(Fq /Fp ) = hΦi (also zyklisch). Beweis: L ist Zerf¨ allungsk¨ orper des separablen Polynoms f = X q − X (sogar Vf = L). Dann ist Fq /Fp galoissch. G ≥ hΦi, #G = Fq : Fp = n Φ : x 7→ xp , Φk (x) = xp
k
⇒ Φn (x) = xq = x ⇒ Φn = id ⇒ ord Φ ≤ n
82
3.4 Einige konkrete Galoisgruppen
k
Φk = id ⇒ ζ p = ζ (wo F× q = hζi) ⇒ ζp
k
−1
=1
⇒ ord ζ = q − 1 = pn − 1 | pk − 1
⇒ n≤k ⇒ #hΦi = n ⇒ hΦi = G
F¨ ur k = ord ζ folgt k = n. d
Folge 1: Z(Fpn /Fpd ) = {Fpd |d | n} = LΦ Folge 2: Ist d | n, so ist G(Fpn /Fpd ) = hΦd i Beweis:
• Folge 1: Laut Fundamentalsatz, da die Untegruppe von hΦi gerade alle hΦd i, d | n sind. • Folge 2: x ∈ FΦ q
d
d
⇔ x p = x ⇔ x ∈ F pd
3.4.2 Die Gleichung X n − 1 Sei X n − 1 separabel (⇔ char K - n), µ = µn = VX n −1 hat #µn = n. Behauptung: µ = hζi ist zyklisch.
Satz 3.16. Gal(f /K) = G(K(µ)/K) = G ist isomorph zu Untergruppe von (Z/mZ)× , insbesondere abelsch. Beweis: σ ∈ G ⇒ σ(Vf ) = Vf = µ, aber σµ ∈ Aut(µ) ∼ = Aut((Z/nZ, +)) = (Z/nZ)×
σ(ζ) = ζ jσ , ord(ζ) = m = ord(σ(ζ)) ⇒ ggT(jσ , m) = 1 Ψ : G → (Z/mZ)× , σ 7→ ¯jσ ist injektiver Homomorphismus, denn es gilt σ ∈ Kern Ψ ⇒ ¯jσ = ¯ 1 ⇔ σ(ζ) = ζ
⇒ σ = idK(µ)
Ohne Beweis: K = Q, µ = he i. Man kann zeigen: Nun ist Q(ζ) : Q = ζ(m) = #(Z/mZ) ) (Eulers Ψ Funktion). Daraus folgt: Ψ ist surjektiv, also G(Q(µ)/Q) ∼ = (Z/mZ)× . 2πi m
×
3.4.3 Die Gleichung X m − a Zus¨ atzliche Voraussetzung: µm ⊆ K, u =
√
m
a (eine L¨ osung von um = a, u eine Nullstelle, u ∈ Vf )
ζ ∈ µ, (ζu)m = ζ m um = um = a ⇒ Vf = {ζu|ζ ∈ µm }, f =
Y
(X − ζu ) |{z} 3K(u)
⇒ K(u) ist Zerf¨ allungsk¨ orper von f /K.
Wegen char K - m, (X m − a)0 = mX m−1 6= 0 ist f separabel
⇒ K(u)/K ist galoissch
83
3 Einf¨ uhrung in die K¨orpertheorie √ Achtung: Q( 3 3)/Q ist nicht galoisch! Aus G = G(K(µ)/K), σ ∈ G folgt σ(j) ∈ Vf , aber σu = χ(σ)u mit χ(σ) ∈ µm = µ χ : G → µ ist injektiver Homomorphismus: τu σ, τ ∈ G, χ(σ) = σu u , χ(τ ) = u , χ(σ)χ(τ ) =
τ (u) σu u σ( u )
=
σu στ (u) u σu
=
στ (u) u
= χ(στ )
χ ist injektiv, da χ(σ) = 1 ⇒ σu = u ⇒ σ = idK(u) Ergebnis: √ Satz 3.17. L/K sei Radikalerweiterung. L = K( m a), char K - m, K ⊇ µm = µ. Dann ist L/K galoissch, G(L/K) ist isomorph zu einer Untergruppe von µ = hζi. Insbesondere ist G zyklisch, erstrecht abelsch. Die Intuition von Galois: Die K¨ orper des Radikalturmes K0 ⊆ K1 ⊆ · · · ⊆ Kt m¨ ogen den Gruppen G = G0 ⊇ G1 ⊇ · · · ⊇ Gt = E entsprechen. Die S¨ atze lassen erwarten, dass G st¨ uckweise“ abelsch ist, ” d.h. Gi Gi+1 und Gi /Gi+1 ist abelsch. Solche Gruppen heißen aufl¨osbar. Zu erwarten ist: f aufl¨ osbar ⇔ Gal(f ) aufl¨ osbar. Probleme noch: (1) Bei Radikalturm ist im Allgemeinen Kt /K nicht galoissch. (2) L ⊆ Kt nicht notwendig L = Kt . (3) Die Voraussetzung µm ⊆ Ki ist im Allgemeinen nicht erf¨ ullt. Zur Umkehrung: Situation: (L : K) = p Primzahl, L/K galoissch, µ = µp ⊆ K. Dann ist #G(L/K) = p und somit ist G = G(L/K) ∼ = Cp Satz 3.18. Unter diesen Voraussetzungen ist L/K eine Radikalerweiterung. Beweis: (1) Standardoperation von G auf L∗ : σx = σ(x). (2) G operiert auch auf µ wie folgt: σ j ∗ ζ i = ζ i+j (G ∼ = (Z/pZ, +) ∼ = µ, ∗ entspricht der Translation) Speziell σ ∗ ζ i = ζ · ζ i
W¨ ahle v ∈ L \ K. u := ζσu =
X
τ ∈G
=
X
τ ∈G
=
X
P
∗ ζ) τ v, u heißt Lagrange-Resolvente | {z }
τ ∈G (τ
∈µp ⊆K
ζ(τ ∗ ζ)στ v, dσ|K = id σ ∗ (τ ∗ ζ)στ v
(στ ) ∗ ζστ v = u, wegen σG = G
τ ∈G
⇒ σu 6= u, also K(u) = L, da K(u) : K = p ⇒ u 6∈ K up = (ζσu)p = ζ p (σu)p = σ(up )
√ G = hσi ⇒ a := up ∈ G0 = K, K(u) = K( p a), a ∈ K
84
3.5 Aufl¨osbare Gruppen und der Satz von Jordan-H¨ older ¨ Ausblick: Uber Galoisgruppen wurde und wird noch heute viel geforscht. (1) Literatur zu algorithmischer Bestimmung von Gal(f ) (K = Q z.B). (2) Klassischer Satz von Kronecker / Weber: C/L, L/Q galoissch, G(L/Q) abelsch, so existiert 2πi m ∈ N : L ist Teilk¨ orper von Q(e m ) (3) Umkehrproblem der Galoistheorie: Welche endlichen Gruppen G kommen bis auf Isomorphie als Galoisgruppe G(L/K) vor? K = Fp (siehe 3.4.1) K = Q: Umkehrproblem von Emmi Noether. Wissensstand: Vermutlich Ja. Vor 1900: S n , An kommt vor. Viele Serien einfacher Gruppen, wie z.B gewissen Gln (Fa )/ Kern det.
3.5 Aufl¨ osbare Gruppen und der Satz von Jordan-H¨ older Definition 3.10. (1) Eine Normalreihe ist eine endliche Folge von Untergruppen von G, f¨ ur die gilt: G = G0 ≥ G1 ≥ · · · ≥ Gt = E := {e} mit Gj Gj+1
(j = 0, . . . , t − 1)
(2) Die Isomorphieklassen der Gj /Gj+1 mit Gj 6= Gj+1 heißen die Faktoren der Reihe. Die Anzahl der Faktoren t heißt L¨ange der Reihe.
(3) G heißt aufl¨osbar
⇔ G besitzt Normalreihe mit nur abelschen Faktoren.
(4) Eine Normalreihe mit nur einfachen Faktoren (Cp zugelassen) heißt Kompositionsreihe von G.
Beispiel 3.12. G abelsch oder p-Gruppe ⇒ G aufl¨ osbar. Satz 3.19 (von Thompson). Jede endliche Gruppe G mit 2 | #G ist aufl¨ osbar. G einfach, nichtabelsch ⇒ G nicht aufl¨ osbar (z.B. G = An , n ≥ 5). Satz 3.20 (Emmi Noethers Regeln). ˜ surjektiver Homomorphismus von Gruppen, N ˜ ≤ G. ˜ Dann ist N ˜ G ⇔ ϕ−1 (N ˜) = (1) Sei ϕ : G → G ∼ ˜ ˜ N G. Dann gilt G/N = G/N . ˜ = G/U mit U G, U ≤ N G, so gilt: Ist speziell ϕ = κ : G → G G/N ∼ = (G/U )/(N/U )
Noethers K¨ urzungsregel“ ”
(2) Ist N G, U ≤ G, so ist N ∩ U U , U N ≤ G und es gilt: U N/N ∼ = U/N ∩ U
Noethers Verschiebungsregel“ ”
85
3 Einf¨ uhrung in die K¨orpertheorie Beweis: ϕ κ ˜ ˜ ˜→ (1) G → G G/N . Da κ die kanonische Abbildung ist, folgt λ = (ϕ ◦ κ) ist surjektiv.
˜ x ∈ Kern κ ◦ ϕ ⇔ ϕ(¯ x) ∈ Kern K = N ˜) = N ⇔ x = ϕ−1 (N ⇒ Kern κ ◦ ϕ = N
Aus dem Homomorphiesatz folgt dann die Behauptung. i
κ
(2) U → U/N → U N/N , i Inklusuion. Zeige:
(1) i ◦ κ ist surjektiv X
(2) x ∈ Kern κ ◦ i
⇒ x ∈ U, κ(x) = 1
⇔ x ∈ U und x ∈ N ⇔ x∈U ∩N Aus Kern κ ◦ i = U ∩ N folgt die Behauptung. Bemerkung: Jede Normalreihe einer endlichen Gruppe kann (durch Einschieben weiterer Gruppen) zu Kompositionsreihen verfeinert“ werden. ” ˜i. ˜ i einfach, so ist nichts zu tun. Andernfalls gilt: ∃N ˜ : E 6= N ˜ G Beweis: Ist G 6=
Falls Gi /N und N/Gi+1 einfach, so ist man fertig. Andernfalls mache so weiter; die Induktion liefert die Behauptung. Folge 1: Sei G endlich. Dann ist G aufl¨ osbar zahlordnung.
⇔
G hat Kompositionsreihe mit Faktoren von Prim-
Beweis: Verfeinere die Reihe mit abelschen Faktoren. Die Faktoren sind dann abelsch und einfach, also isomorph zu Cp .
Folge 2: Sei N G, G endlich. Dann gilt: G ist aufl¨ osbar ⇔ N und G/N sind aufl¨ osbar G/N aufl¨ osbar ⇒ geeignete Gi zwischen G und N vorhanden, da laut Noether gilt ˜ i /G ˜ i+1 ∼ ˜ i ) / κ−1 (G ˜ i+1 ) G = Gi /Gi+1 = κ−1 (G | {z } | {z } =Gi
=Gi+1
G x
κ ˜ = G/N −−−−→ G x κ
Gi x
−−−−→
N x
−−−−→
κ
Gi+1 −−−−→ x κ
˜i G x
˜ i+1 G x E
E
Ausblick: Umfangreiche Theorie aufl¨ osbarer Gruppen vorhanden, siehe z.B Huppert, Gruppentheorie, S. 37-45, 658-761.
86
3.5 Aufl¨osbare Gruppen und der Satz von Jordan-H¨ older Satz 3.21 (Jordan-H¨ older). Ist eine Gruppe G eine Kompositionsreihe, so ist die Folge der Faktoren (also auch die L¨ ange) bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt.
Beispiel 3.13. m = p1 · · · pt (t nicht notwendig verschiedene Primzahlen) gibt Kompositionsreihe der zyklischen Gruppe Cm mit Folge der Faktoren (Cp1 , . . . , Cpt ). Der Satz von Jordan-H¨ older f¨ ur zyklische G ⇔ Eindeutigkeit der Primzerlegung. Folgerung: Sn nicht aufl¨ osbar ⇔ n ≥ 5
Normalreihe: Sn An E, n ≤ 4, An aufl¨ osbar. | {z } C2
n > 4: Folge der Faktoren (C2 , An ), An nicht abelsch ⇒ Behauptung. Beweis: G = G0 ≥ G1 ≥ G2 ≥ · · · ≥ Gs = E, G = H0 ≥ H1 ≥ · · · ≥ Ht = E seien Kompositionsreihen. Zeige: Die Faktoren Gi /Gi+1 , Hj /Hj+1 (Gi 6= Gi+1 , Hj 6= Hj+1 ) sind bis aus die Reihenfolge isomorph. Beweis durch Induktion nach s und t: s = 0 oder t = 0 ⇒ G = E ⇒ Faktorfolge
⇒ Behauptung
Seien s > 0 und t > 0 und ohne Einschr¨ ankung G1 6= G. • Fall 1: G1 ⊆ H1 . Dann ist G1 = H1
Behauptung: N = N1 ≥ N2 · · · Ns , N = M1 ≥ · · · ≥ Mt sind Kompositionsreihen von N , denn
˜j =H Wieso normal?
˜ @H0 @ H1 6 ˜1 H
@ G 2 N = G 1 ∩ H 1 H2 6 6 6 6 6E H = G =E t
s
˜j = G1 ∩ Hj /G1 ∩ Hj+1 N = (G1 ∩ Hj )/(G1 ∩ Hj ) ∩ Hj+1 ∼ = (G1 ∩ Hj ) Hj+1 /Hj+1 Hj /Hj+1 | {z } | {z } ⊆Hj
∼ =
}
G1 6I @ ˜1 @ G
I @
{
Setze N := G1 ∩ H1 , Nj := Gj ∩ H1 , Mj := G1 ∩ Hj ˜ j := Gj /Gj+1 , H ˜ j := Hj /Hj+1 Bezeichnung: G
}
• Fall 2: G1 ⊇ H1 , G1 H1 % G1 ⇒ G1 H1 = G ∼ G1 /G1 ∩H2 = Aus der Noetherregel folgt dann: G1 /H1 = ∼ H1 /N G1 /N , G/G1 =
˜0 G
G
{
Induktionshypothese: Faktoren von G1 ≥ · · · ≥ Gs , H1 ≥ · · · ≥ Ht sind dieselben (bis auf Reihenfolge). Dann gilt dasselbe f¨ ur Gi , denn es kommt nur G/G1 = G/H1 als Faktor hinzu.
G 2 ∩ H1 6 G ∩6H s
1
⊆Hj
G1 Gi , G1 ∩ Hj Hj , Hj+1 Hj ⇒ (G1 ∩ Hj )Hj+1 Hj ˜ j = E oder M ˜j ∼ ˜j ⇒ M =H
˜ j ist einfach, falls M ˜j = ⇒ M 6 E
⇒ Kompositionsreihe
87
3 Einf¨ uhrung in die K¨orpertheorie
F¨ ur Nj genauso.
˜∼ ˜ Klar ist: Jede endliche Gruppe Ausblick: Ist G N , G = G/N , so heißt G Erweiterung von N mit G. entsteht durch sukzessive Erweiterung (Beginn: E) mit einfachen Gruppen. ¨ (1) Wie sehen alle Erweiterungen aus? Ubersicht gibt Erweiterungstheorie von Schreier“ im Prinzip. ” ˜ isomorphes Komplement Spezialfall N hat (dann zu G in G) genau die semidirekten Produkte. (2) Alle einfachen Gruppen sind explizit bekannt (ca. 1982). Resultat: Man hat explizite Serien“ An , n ≥ 5 (Vorlesung). P Gln (Fq ) = Gln (Fq )/Z(Gln (Fq )) ist einfach ” mit wenigen Ausnahmen (kleine n und q). Solche Gruppen heißen vom Lie-Typ“. P Gln (R), Gln (R) sind ” Lie-Gruppen. (x, y 7→ xy, x → x−1 ist unendlich oft differenzierbar). Dazu gibt es 26 sporadisch einfache Gruppen“ (passen in keine der Serien). Die gr¨ oßte ” hat #G = 246 · 320 · 59 · 76 · 112 · 133 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71 = 808.017.424.794.512.875.886.459.904.961.710.757.005.754.368.000.000.000 ≈ 8 · 10 53 Elemente ( Mon” ster“ oder Fischer-Griess-Gruppe).
3.6 Der Satz von Galois und die allgemeine Gleichung 3.6.1 Satz von Galois Satz 3.22 (Galois). Sei K K¨ orper, char K = 0, 0 6= f ∈ K[X], dann gilt: f (durch Radikale) aufl¨ osbar ⇔ Gal(f ) aufl¨ osbar Beweis: L sei Zerf¨ allungsk¨ orper von f /K, Gal(f ) = G(L/K) Zur Erinnerung: (1) f ist aufl¨ osbar ⇔ ∃ Radikalturm M/K mit L ⊆ M . Radikalturm: K = K0 ⊆ K1 ⊆ K2 ⊆ · · · ⊆ Kl = M √ i = ai Ki+1 = Ki ( mi ai ), d.h. ai ∈ Ki , um i | {z } =ui
(2) G endlich aufl¨ osbar ⇔ G ⊇ G0 ⊇ · · · ⊇ Gt = E, Gi Gi+1 , (Gi : Gi+1 ) = pi (Primzahl) Der Beweis ist sehr durchsichtig, wenn K gen¨ ugend viele Einheitswurzeln enth¨ alt und L = M ist: ⇒“: M = L Radikalturm, m := kgV(mi ), es sei µm ⊆ K, µm = VX m −1 in Zerf¨ allungsk¨ orper. ” ⇒ ∀i : µmi ⊆ K ⊆ Ki N ach 3.4.3 gilt dann Ki+1 /Ki galoissch mit abelscher Gruppe ⇒ Gi Gi+1 , Gi /Gi+1 abelsch
⇒ G aufl¨ osbar ⇐“: ”
G aufl¨ osbar ⇒ Folge Gi mit Gi Gi+1 und (Gi+1 : Gi ) = pi Primzahl, m = kgV(pi ) Fall µm ⊆ K, so µpi ⊆ K ⊆ Ki ⇒ (3.4.3) Ki+1 /Ki ist Radikalturm ⇒ M ist Radikalturm
Allgemeiner Fall: Technik: Adjungiere gen¨ ugend Einheitswurzeln, verschiebe die Gruppen!
88
3.6 Der Satz von Galois und die allgemeine Gleichung Lemma 3.23. µ = µm = VX m −1 , L/K sei galoissch. Dann gilt: G(L/K) aufl¨ osbar ⇔ G(L(µ)/K(µ)) aufl¨ osbar Beweis: Ist L = K(Vf ), so L(µ) Zerf¨ allungsk¨ orper u ¨ber K von f (X m − 1). ˜ = G(L(µ)/K(µ)), G = G(L/K). ⇒ L(µ)/K galoissch. G ˜∼ Verschiebungssatz: G = H = G(L/L ∩ K(µ)) 3.4.3:K(µ)/K galoissch mit abelscher Gruppe
G aufl¨ osbar
⇒ Alle Untergruppen sind normal ⇒ L ∩ K(µ)/K galoissch mit abelscher Gruppe G(L ∩ K(µ)/K) ∼ = G/H
⇔ H und G/H aufl¨ osbar ∼ ˜ ⇔ G/H = G
Beweis: (Allgemeiner Beweis): ⇐“: G sei aufl¨ osbar, (Gi : Gi+1 ) = pi Primzahl, m = kgV (pi ), µ = µm ” ˜ aufl¨ Lemma ⇒ G osbar. Spezialfall L(µ)/K(µ) ist Radikalturm √ m ⇒ L(µ)/K ist Radikalturm. K1 = K( 1) = K(µ).L ≤ M ⇒“: L ⊆ M , M/K Radikalturm. Betrachte M (µ)/K(µ); ist auch Radikalturm (dieselben m i ) µ = ” kgV (mi ). Ersetze K durch K(µ), M durch M (µ). Lemma: OBdA µ ⊆ K. Fertig laut Spezialfall, wenn M/K galoissch (dann G(L/K) ∼ = Faktorgruppe von G(M/K), also aufl¨ osbar). Leider ist galoissch nicht transitiv. (L/F, F/K galoissch 6⇒ L/K galoissch). Grund: ist nicht transitiv. Der Rest wird gezeigt mit folgendem ˜ /K, M ˜ ⊇ M mit M ˜ /K Satz 3.24 (Hilfssatz). Ist M/K Radikalturm, so exitsiert Radikalturm M galoissch. Beweis: • 1. Schritt: ∃F/M, F/K galoissch. Grund: M = K(u1 , . . . , ul ), F = ZK von mu1 /K · · · mul /K (Minimalpolynome der ui ). • 2. Schritt: Bezeichnung: L1 L2 := L1 (L2 ) heißt Komposition von L1 und L2 .
˜ = F/M wie im 1. Schritt, G(F/K) = {σ0 = id, σ1 , . . . , σk } Galoisgruppe. Dann ist M σ0 M σ1 M · · · σk M/K galoissch. Beweis:
˜ =M ˜ σ ∈ G ⇒ σM ˜ 0 σ −1 = M ˜0 ⇒ σM
˜0G ⇒ M ˜ /K galoissch ⇒ M
89
3 Einf¨ uhrung in die K¨orpertheorie • 3.Schritt: Induktiv: Mj = σM · · · σj M/K ist Radikalturm (mit denselben mi ) j = 0: M0 = M ⇒ Voraussetzung liefert Behauptung
j > 0: µj = µj−1 σM mit σ = σj . Induktionsvoraussetzung: Mj−1 /K Radikalturm (dieselben Mj ) i ⇒ σKi+1 = σKi (σui ), um = ai i mi ⇒ σ(ui ) = σ(ai ) ∈ σKi
Mj−1 = Mj−1 K ⊆ Mj−1 σK1 ⊆ Mj−2 σK2 ⊆ · · · ⊆ Mj−1 σKl = Mj |{z} σM
σK = σK0 = K, Kl = M
˜ /K Radikalturm) Das ist Radikalturm mit den alten m0i s ( ⇒ M
i Mj−1 σKi+1 = mj−1 (σKi (σui )) = (Mj − 1σKi )(σui ), σum = σUi ∈ σKi ⊆ Mj−1 σKi i
3.6.2 Spezielle Gleichungen u ¨ber Q Satz 3.25 (Galois). Sei 0 6= f ∈ Q[X], f irreduzibel u ¨ber Q, grad f = p (Primzahl), f habe genau zwei nichtreelle Nullstellen in C. Dann ist Gal(F ) = Sp . Insbesondere ist f f¨ ur p > 3 nicht aufl¨ osbar. Bemerkung: F¨ ur jedes p k¨ onnen derartige f mit etwas Analysis und Eisensteins Kriterium gefunden werden, z.B. p = 5. X(X 2 + 3)(X 2 − 3) + 3 = X 5 − 9X + 3 nach Eisenstein also irreduzibel.
Reelle Nullstellen ≈ -1,8 / 0,3 / 1,6 Beweis: L Zerf¨ allungsk¨ orper von f , L ⊆ C, τ komplexe Konjugation, τ |L ∈ G(L/Q) = G. Nullstellen α1 , α2 ∈ C \ R, α3 , . . . , αp ∈ R, τ (α1 ) = α2 , τ (α2 ) = α1 , τ (αj ) = αj (j > 2), τ = (1 2) ∈ G, Q ⊆ Q(αj ) ⊆ L Q(α1 ) : Q = grad f = p ⇒ p | #G G ≤ Sp , G enth¨ alt Element π mit ord π = p ⇒ π ist p-Zyklus (π ∈ G) Bemerkung: Ein 2- und ein p-Zyklus erzeugen immer Sp
3.6.3 Die allgemeine Gleichung Betrachte K¨ orper k, den Polynomring R = k[Y1 , . . . , Yn ], L := Quot R = k(Y1 , . . . , Yn ). f= =
n Y
(X − Yj )
j=1 n X
Polynom mit allgemeinen Nullstellen Y1 , . . . , Yn , d.h. man kann die Yj spezialisieren
(−1)j sj X n−j + X n
j=1
s1 = Y 1 + · · · + Y n X s2 = Yi Yj = +Y1 Y2 + Y1 Y3 + · · · + Y2 Y3 + · · · + Yn−1 Yn 1≤i<j≤n
.. .
s n = Y 1 · · · Yn Bezeichnung: sj heißen elementarsymmetrische Polynome . K0 = k(s1 , . . . , sn ) K¨ orper der symmetrischen (rationalen) Funktionen. L/K0 ist galoissch, da Zerf¨ allungsk¨ orper des separablen Polynoms f ∈ K0 [X] ⇒ Gal(f ) ⊆ Sn . Aber: Alle Permutationen 90
3.6 Der Satz von Galois und die allgemeine Gleichung π ∈ S{Y1 ,...,Yn } geben Automorphismen von L. π ergibt Automorphismus ϕπ von k[Y1 , . . . , Yn ] durch Einsetzen (Y1 , . . . , Yn ) → (πY1 , . . . , πYn ). ϕπ ist Automorphismus wegen ϕπ−1 ϕπ = ϕπ ϕπ−1 = idR . ϕπ hat Fortsetzung zu ϕπ : L = Quot R → Quot R = L, ϕπ ∈ Aut L, schreibe π statt ϕπ .
π ∈ Sn : πf =
n Y
i=1
(X − πYi ) = f ⇒ ∀nj=1 πsj = si
Wegen σ ∈ G(L/K0 ) ∈ Sn ⇒ σ permutiert die Yi ⇒ σ =“ π ∈ Sn ” ⇒ G(L/K0 ) =“ Sn ” Ergebnis: Gal(f ) = Sn , das allgemeine Polynom n-ten Grades hat Galoisgruppe Sn . Die allgemeine Gleichung n-ten Grades u osbar, wenn n ≤ 4. ¨ber k ist genau dann aufl¨ Bemerkung: k[s1 , . . . , sn ] ∼ = Polynomring k[X1 , . . . , Xn ]
3.6.4 Konstruktion mit Zirkel und Lineal Gegeben: x1 , . . . , xn ∈ R2 , i 6= j ⇒ xi 6= xj , M = {x1 , . . . , xn }
Unmittelbar konstruierbar aus M heißen (1) Gerade durch 2 Punkte von M (2) Kreis mit Mittelpunkt xi durch xj
(3) Die Schnittpunkte zweier verschiedener unmittelbar konstruierbarer Kreise und/oder Geraden Klassische Probleme (Griechenland von 300 v. Chr.) Konstruktion mit Zirkel und Lineal gesucht f¨ ur (1) Drittelung eines vorgegebenen Winkels (2) Quadratur des Kreises Aus (0, 0), (0, 1), (1, 1) konstruiere (0, 2π) (2π = Umfang des Einheitskreises) √ √ urfelverdoppelung, 3 2 Kantenl¨ ange eine W¨ urfels mit (3) Aus (0, 0), (0, 1), (1, 0) konstruiere (0, 3 2) ( W¨ ” doppelten Volumen des Einheitsw¨ urfels) αi Die K¨ orpertheorie liefert: Alle diese Probleme sind unl¨ osbar. Methode: yi = ∈ R2 , sei βi K(y1 , . . . , yn ) = K(α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βn ). Witz der Sache: Aus M = (x1 , . . . , xn ), K = Q(x1 , . . . , xn ) und y unmittelbar konstruierbar folgt K(y) : K = 1 oder 2, da die Schnittpunkte durch Gleichungen 1. und 2. Grads u ¨ber K berechenbar sind. Satz 3.26. y konstruierbar (in mehreren Schritten) ⇒ K(y) : K = 2n (n ∈ N geeignet). Problem: ugt i.A. irreduzibel. Gleichung 3. Grads u (1) cos( α3 ) gen¨ ¨ber Q(cos α) Q(cos α3 ) : Q(cos α) = 3
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3 Einf¨ uhrung in die K¨orpertheorie (2) Q(π) : Q = ∞, da π/Q transzendent √ (3) klar wegen Q( 3 2) : Q = 3 Beispiel 3.14 (Gauß). Konstruktion des regelm¨ aßigen n-Ecks. Gauß bestimmte alle n, so dass n-Eck 2πi m n konstruierbar. Methode: Q(e ) : Q = 2 .
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4
Kategorien
4.1 Kategorien, eine Sprechweise Objekte Pfeile Mengen Abbildungen Monoide Homomorphismen Gruppen Homomorphismen K-Vektorr¨ aume Homomorphismen (K-lineare Abbildungen) Ringe Ringhomomorphismen kommutative Ringe unit¨ are Ringhomomorphismen S-Algebra S-Algebren-Homomorphismen K¨ orper der Charakteristik p K¨ orperhomomorphismen Topologische R¨ aume stetige Abbildungen Nichtleere, offene Teilmengen in gewissen Rn stetige Abbildungen Nichtleere, offene Teilmengen in gewissen Rn einmal stetig differenzierbare Abbildungen Nichtleere, offene Teilmengen in gewissen Rn ∞-fach stetig differenzierbare Ableitungen Elemente einer geordneten Menge M ≥ Definition die das gemeinsame dieser Beispiele erfasst: Kategorie
Namen Set Mon Gp K-Mod Ring Ringko S-Alg Kpp Top C C1 C∞ (M, ≤)
Definition 4.1. Eine Kategorie K ist gegeben durch (1) eine Klasse ObK (A ∈ ObK heißt Objekt von K) (2) ∀A, B ∈ ObK eine Menge MorK (A, B) = Mor(A, B) (f ∈ Mor(A, B) heißt Morphismus von oder in f
K oder Pfeil“. Man schreibt dann f : A → B oder A → B) ” (3) ∀A, B, C ∈ ObK eine Abbildung (oder Verkn¨ upfung), genannt Komposition vA,B,C Mor(B, C) × Mor(A, B) → Mor(A, C) (g, f ) vA,B,C (g, f ) =: gf
:
derart, dass folgende Kategorieaxiome gelten: • Assoziativit¨ at der Komposition: ∀A, B, C, D ∈ ObK ∀f ∈ Mor(A, B)∀g ∈ Mor(B, C), ∀h ∈ Mor(C, D) : h(gf ) = (hg)f • Neutrales Element: ∀A ∈ ObK ∃eA ∈ Mor(A, A)∀f ∈ Mor(A, B), g ∈ Mor(A, B) : f eA = f, eA g = g Leicht zu merken: Es geht zu wie bei Mengen und Abbildungen, nur brauchen die Objekte keine Mengen und die Pfeile keine Abbildungen zu sein. • Disjunktheitsaxiom:
Ist f : A → B in K, so ist A, B durch f eindeutig bestimmt (d.h. Mor(A, B) ∩ Mor(A0 , B 0 ) 6= ∅ ⇒ A = A0 und B = B 0 ). A heißt Ursprung, B heißt Ziel von f (falls das nicht erf¨ ullt ist, so f : A → B, f : C → D, so markiere f durch Urpsrung und Ziel, d.h. verwende Pfeile (A, f, B), (C, f, D))
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4 Kategorien Zweck des Begriffs: (1) Kategorien treten nat¨ urlich in den verschiedensten Bereichen der Mathematik auf. Vereinheitlichung der Sprechweise! Oft werden Argumente leichter verst¨ andlich. (2) Oft kann man n¨ utzliche Kategorien konstruieren, deren Pfeile keine Abbildungen sind. Zu (2): Triviales Beispiel: Sind A, B Kategorien, so auch A × B. ObA×B = ObA × ObB , Pfeile in A × B sind Paare von Pfeilen. Komposition: (f 0 , g 0 )(f, g) := (f 0 f, g 0 g) Beispiel zu K: K op (opposite Kategorie), ObK op = ObK , MorK op (A, B) := Mor(B, A) Komposition ∗ in K op : g ∗ f := (f g) Zu (1): Definition 4.2. f : A → B heißt Isomorphismus Isomorphismus ⇔ f invertierbar ⇔ ∃g, h : B → A : gf = eA , f h = eB . Dann gilt g = h ist eindeutig bestimmt und wird mit f −1 bezeichnet. Bemerkung: (1) Mor(A, A) ist offensichtlich Monoid, also eA durch A eindeutig bestimmt. (2) A ∼ = B (isomorph) ObK
⇔
¨ ∃ Isomorphismus f : A → B. Isomorphie ist eine Aquivalenzrelation auf
(3) Aut A = {f : A → A|f Isomorphismus} = Mor(A, A)× (Einheitengruppe des Monoids) Beispiel 4.1. (1) #ObK = 1, A einziges Objekt. Monoid M = Mor(A, A). Ist M ein Monoid, so erfinde Objekt A und setze Mor(A, A) = M (2) K mit ∀A, B ∈ ObK , # Mor(A, B) ≤ 1
Bild A ⊆ B(⇐ # Mor(A, B) = 1), A ⊆ A (Reflexivit¨ at), A ⊆ B, B ⊆ C ⇒ A ⊆ C
M Klasse: Ansammlung von Objekten, A ∈ M ist defniert und die meisten Verfahren der Mengen genauso. M Menge ⇔ ∃ Klasse N : M ∈ N . Nur f¨ ur Menge M ist {M } erlaubt ⇒ Ist M Klasse, nicht Menge, so kann Potenzklasse nicht gebildet werden. Bezeichnung: Kategorie K heißt klein ⇔ ObK ist Menge
4.1.1 Funktoren Seien A,B Kategorien. Ein kovarianter Funktor F : A → B ist gegeben durch eine Abbildung F : Ob A → f ObB , A 7→ F A = F (A) = FA Mor(A, B) → M (F (A), F (B)) ∀A1 , A2 ∈ ObA : Eine Abbildung F = FA,B : , so dass f 7→ F f = F (f ) (1) F (gf ) = F (g)F (f ) gilt, falls Ziel von f = Ursprung von g (2) F (eA ) = eF (A) (∀A ∈ ObA ) (1) bedeutet: F u agt kommutierende Diagramme in A in kommutierende Diagramme in B. ¨bertr¨ Anwendungsbeispiel: F Isomorphismus ⇒ F f Isomorphismus Beweis: F (f −1 f ) = F (eA ), F (f −1 F (f ) = eF A ⇒ F (f −1 ) = F (f )−1
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Literaturverzeichnis [1] Jacobson, N., Algebra I/II Freeman & Co. [2] Lang, S., Algebra Addison Wesley [3] van der Waerden, B. L., Algebra I/II Springer–Verlag [4] Bosch, S., Algebra Springer–Verlag [5] Fischer, G. – Sacher, R., Einf¨ uhrung in die Algebra Teubner Studienb¨ ucher Mathematik
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Literaturverzeichnis
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Index
A Ableitung formale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Algebra–Homomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 algebraisch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 assoziativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Assoziativgesetz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 aufl¨ osbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84, 85 Automorphismengruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Automorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 innerer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 B Bahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Bruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 C Charakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 D Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Diedergruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Direktheitskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 E einfach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 Einheitengruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Element inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 konjugiertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 neutrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 elementarabelsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 elementarsymmetrische Polynome . . . . . . . . . . . 90 Endomorphismenring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Endomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Frobenius- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Epimorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Erweiterung quadratische eines K¨ orpers . . . . . . . . . . . . . 68 Erweiterungsk¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Erzeugnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
euklidisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 F Faktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Faktorgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 faktoriell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Faktoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Figur geometrische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Fix-K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Fixgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Fixpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 formale Ableitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Frobenius-Endomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Funktionenk¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 G Galoisgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78, 81 Galoiskorrespondenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 galoissch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 geometrische Figur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ggT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 Grad einer K¨ orpererweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 allgemeine lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 aufl¨ osbare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 der inneren Automorphismen . . . . . . . . . . . 26 einfache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Galois- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 pubertierende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Sylow– . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 symmetrische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 12 zyklische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Gruppenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 H Halbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Hauptideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 Hauptidealring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Homomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
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Index I Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 induktiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 inhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 invertierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 irreduzibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Isomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 K K¨ orpererweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 algebraische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 endliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Grad einer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 transzendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 K¨ urzungsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Kern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 kommutativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Komplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Komposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Kompositionsreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Kongruenzen simultane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 konjugiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Konjugiertenklasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 konstruierbar unmittelbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 L L¨ ange einer Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Lagrange-Resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 M maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Minimalpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Monoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Monomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Monster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Morphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 N Nebenklasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 neutral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 noethersch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 normale (Unter-)gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Normalisator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Normalreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 O Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 treue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
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Orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 P p–Gruppe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 p–Sylowgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Permutationsgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Polynome elemantarsymmetrische . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 prim relativ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60 primitiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 K¨ orpererweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Primitivwurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Primk¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Produkt außeres direktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ¨ direktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 semidirektes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Q Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Quotientenk¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 R Radikalerweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Randgruppenhomomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . 4 relativ prim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Relativnorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Relativspur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Rgn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 S semidirekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 seperabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 simultane Kongruenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 stabil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Standardoperation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 station¨ ar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 Sylowgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Symmetriegruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 T Teiler gr¨ oßter gemeinsamer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Teilk¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 transzendent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 treu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Index U UAE des freien Monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 des Polynomrings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 des Quotientenk¨ orpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 unit¨ ar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 unmittelbar konstruierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Untergruppe normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Untergruppenverband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Unterring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 V Verkn¨ upfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 außere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ¨ assoziativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 kommutativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Verschiebungsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 W Witz der Sache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Z Z¨ ahligkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Zentralisator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Zentrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Zerf¨ allungsk¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 ZPE-Ring. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 Zwischengruppenverband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 zyklisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Zyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
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